Faits:
A. M._ a travaillé au service de la société X._ SA en qualité de peintre en bâtiment du 1er mai 2004 au 31 mai 2009, date à laquelle il a été licencié. A compter du 1er juin 2009, il a requis l'octroi de prestations de l'assurance-chômage. Durant la période du 5 juin au 8 octobre 2009, l'Office régional de placement de Z._ (ci-après: l'ORP) lui a alloué 90 indemnités en faveur des assurés qui entreprennent une activité indépendante, en l'occurrence, un commerce de pièces détachées avec un pays africain, activité qu'il avait déjà exercée en tant qu'indépendant entre 1996 et 2002. Le 5 octobre 2009, l'intéressé a informé l'ORP de l'échec de la mesure, en raison de problèmes rencontrés avec l'administration africaine. Il a bénéficié d'une pleine indemnité de chômage à partir du 9 octobre suivant.
Par décision du 4 juin 2010, l'ORP a déclaré l'assuré inapte au placement du 9 octobre 2009 au 29 avril 2010, au motif qu'il n'avait définitivement abandonné son activité indépendante qu'à fin avril 2010.
Saisi d'une opposition, le Service cantonal de l'emploi du canton de Vaud a confirmé cette décision le 7 juillet 2010.
B. Par jugement du 26 juillet 2011, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours de l'assuré contre cette décision sur opposition.
C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce que son aptitude au placement soit reconnue pour la période du 9 octobre 2009 au 29 avril 2010. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement.
Le Service cantonal de l'emploi conclut au rejet du recours, tandis que la juridiction cantonale et le Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) ont renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire.
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62).
3. Le litige porte sur le droit éventuel du recourant à l'indemnité de chômage durant la période du 9 octobre 2009 au 29 avril 2010, singulièrement sur son aptitude au placement.
4. 4.1 L'assuré n'a droit à l'indemnité de chômage que s'il est apte au placement (art. 8 al. 1 let. f LACI). Est réputé apte à être placé le chômeur qui est disposé à accepter un travail convenable et à participer à des mesures d'intégration et qui est en mesure et en droit de le faire (art. 15 al. 1 LACI). L'aptitude au placement comprend ainsi deux éléments: la capacité de travail d'une part, c'est-à-dire la faculté de fournir un travail - plus précisément d'exercer une activité lucrative salariée - sans que l'assuré en soit empêché pour des causes inhérentes à sa personne, et d'autre part la disposition à accepter un travail convenable au sens de l'art. 16 LACI, ce qui implique non seulement la volonté de prendre un tel travail s'il se présente, mais aussi une disponibilité suffisante quant au temps que l'assuré peut consacrer à un emploi et quant au nombre des employeurs potentiels (ATF 125 V 51 consid. 6a p. 58; 123 V 214 consid. 3 p. 216; DTA 2004 n°18 p. 186 consid. 2.2 [C 101/03]).
4.2 Est notamment réputé inapte au placement l'assuré qui n'a pas l'intention ou qui n'est pas à même d'exercer une activité salariée, parce qu'il a entrepris - ou envisage d'entreprendre - une activité lucrative indépendante, cela pour autant qu'il ne puisse plus être placé comme salarié ou qu'il ne désire pas ou ne puisse pas offrir à un employeur toute la disponibilité normalement exigible. L'aptitude au placement doit par ailleurs être admise avec beaucoup de retenue lorsque, en raison de l'existence d'autres obligations ou de circonstances personnelles particulières, un assuré désire seulement exercer une activité lucrative à des heures déterminées de la journée ou de la semaine. Un chômeur doit être en effet considéré comme inapte au placement lorsqu'une trop grande limitation dans le choix des postes de travail rend très incertaine la possibilité de trouver un emploi (ATF 112 V 326 consid. 1a p. 327 et les références; DTA 2003 n° 14 p. 128 consid. 2.1 [C 234/01]).
5. 5.1 La juridiction cantonale a constaté que l'assuré avait conservé un véhicule utilitaire servant au transport de pièces spéciales et qu'il n'avait pas résilié le bail commercial - dont le loyer n'était pas négligeable - portant sur un local de stockage où, de surcroît, il entreposait encore des marchandises en relation avec sa précédente activité. En outre, il n'avait pas fait radier son inscription en qualité d'assuré indépendant auprès de la caisse AVS. Aussi, la juridiction cantonale a-t-elle considéré que le recourant avait poursuivi son activité lucrative indépendante ou du moins, qu'il en projetait la continuation. En effet, en n'ayant entrepris aucune démarche pour rétablir la situation matérielle, financière et juridique antérieure à l'élaboration de son projet d'activité indépendante, le recourant a montré qu'il entendait poursuivre l'exploitation de son entreprise, laquelle était restée opérationnelle après le 8 octobre 2009. Ce n'est que tardivement, le 30 avril 2010, après qu'une procédure de contrôle de l'aptitude au placement eut été ouverte, que le recourant a entrepris les démarches utiles pour rompre avec une activité indépendante restée jusqu'alors opérationnelle.
5.2 En l'espèce, le recourant se plaint à maints égards d'un établissement des faits insuffisant, au motif que les constatations du jugement attaqué ne tiendraient pas compte de divers éléments de fait susceptibles d'influer sur l'issue du litige, soit de nature à démontrer qu'il était apte au placement durant la période litigieuse. Sur ce point, il renvoie à ses allégations de fait contenues dans le mémoire déposé devant la juridiction cantonale.
Cela étant, le recours ne contient aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait du jugement attaqué. En effet, le recourant n'expose pas en quoi l'appréciation des preuves par les premiers juges est manifestement insoutenable. Son argumentation tend plutôt à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente. Au demeurant, il n'indique pas quels sont les faits susceptibles, selon lui, de démontrer son aptitude au placement. A cet égard, le simple renvoi au mémoire déposé devant la juridiction cantonale, ne saurait satisfaire aux exigences de motivation posées à l'art. 42 LTF (ATF 133 II 396 consid. 3.2 p. 400; 131 III 384 consid. 2.3 p. 387; arrêt 2C_445/2008 du 26 novembre 2008 consid. 2).
6. Sur le vu des faits constatés par la juridiction cantonale, celle-ci était fondée à nier l'aptitude au placement du recourant durant la période du 9 octobre 2009 au 29 avril 2010. Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
7. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 16 août 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd