Sachverhalt:
A. Auf Gesuch der Y._ GmbH (Beschwerdegegnerin) erklärte der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Land mit Entscheid vom 29. August 2006 das gegen X._ (Beschwerdeführerin) ergangene Teil-Urteil des Landgerichts Hamburg (D) vom 25. November 2005 im Teilbetrag von Euro 62'000.-- nebst Zins zu 6.95 % seit 14. Juli 1999 für vollstreckbar. Ferner wies er das Betreibungsamt A._ an, bewegliches Vermögen der Beschwerdeführerin im Umfang von Fr. 99'820.-- nebst Zins zu 6.95 % seit 14. Juli 1999 provisorisch zu pfänden.
Dieser Entscheid wurde am 5. September 2006 von Z._, dem Ehemann der Beschwerdeführerin, an dessen Domizil in A._ in Empfang genommen.
B. Gegen den Entscheid vom 29. August 2006 erhob die Beschwerdeführerin am 6. Oktober 2006 (Postaufgabe) "Einsprache" an das Obergericht des Kantons Luzern, mit der sie die örtliche Unzuständigkeit des Amtsgerichtspräsidenten geltend machte. Dessen Schuldbetreibungs- und Konkurskommission trat mit Entscheid vom 1. Dezember 2006 auf den Rekurs nicht ein. Sie erkannte, die Beschwerdeführerin habe die Begründung eines neuen Wohnsitzes in London nicht nachzuweisen vermocht, so dass nach wie vor A._ als Wohnsitz gelte. Demnach sei die einmonatige Rekursfrist nach Art. 36 Abs. 1 LugÜ anwendbar. Der Vollstreckungserklärungs-Entscheid sei rechtsgültig am 5. September 2006 zugestellt worden. Die Einmonatsfrist habe an diesem Datum zu laufen begonnen und am 5. Oktober 2006 geendet. Damit sei der Rekurs vom 6. Oktober 2006 verspätet.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit staatsrechtlicher Beschwerde, es sei die Ziffer 1 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Luzern vom 1. Dezember 2006 aufzuheben und die Sache an das Obergericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin und das Obergericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
D. Mit Präsidialverfügung vom 21. Februar 2007 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach dem OG (Art. 132 Abs. 1 BGG).
2. Das Teil-Urteil des Landgerichts Hamburg vom 25. November 2005 erging in einem Vertragsstaat (Deutschland) des Übereinkommens vom 16. September 1988 über die gerichtliche Zuständigkeit und die Vollstreckung gerichtlicher Entscheidungen in Zivil- und Handelssachen (Lugano-Übereinkommen, LugÜ; SR 0.275.11). Seine Anerkennung und Vollstreckung in der Schweiz wird daher durch dieses Übereinkommen geregelt (Art. 26 und 31 LugÜ). Die Beschwerdeführerin rügt einerseits eine rechtsfehlerhafte Anwendung desselben und anderseits die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Willkürverbot, rechtliches Gehör).
Gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid über die Anerkennung und Vollstreckung nach dem Lugano-Übereinkommen ist die staatsrechtliche Beschwerde gegeben (Art. 84 Abs. 1 lit. c und Art. 86 Abs. 1 OG; Art. 37 Ziff. 2 LugÜ). Die Anwendung des Staatsvertrags unterliegt, soweit gehörig gerügt (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG), der freien Überprüfung durch das Bundesgericht. Betreffend Sachverhaltsfeststellungen ist die Kognition auf Willkür beschränkt (BGE 129 I 110 E. 1.3 in fine).
Im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde wendet das Bundesgericht auch bei freier Kognition das Recht nicht umfassend von Amtes wegen an, sondern beschränkt sich auf die Prüfung der rechtsgenüglich erhobenen und begründeten Rügen (BGE 129 III 626 E. 4 mit Hinweisen). Entsprechend beschränkt sich das vorliegende Verfahren auf eine Auseinandersetzung mit den von der Beschwerdeführerin gehörig vorgetragenen Rügen.
3. Das Obergericht hielt dafür, die Zustellung des Vollstreckungserklärungs-Entscheids des Amtsgerichtspräsidenten vom 29. August 2006 sei rechtsgültig erfolgt, indem der Entscheid dem Ehemann der Beschwerdeführerin als im selben Wohndomizil anzutreffender Person übergeben worden sei. Überdies habe die Beschwerdeführerin ihren Ehemann bzw. die entsprechende Adresse in A._ als Zustelldomizil bezeichnet.
Die Beschwerdeführerin rügt, das Obergericht habe in diesem Zusammenhang das LugÜ fehlerhaft angewendet sowie das Willkürverbot und das rechtliche Gehör verletzt. Sie habe seit April 2006 keinen Wohnsitz in A._ mehr. Die Zustellung sei demnach nicht an ihren Wohnort erfolgt. Die Zustellung an den Ehemann könne auch nicht als gültige Ersatzzustellung bezeichnet werden. Sie lebe nicht mit ihm zusammen. Die Eheleute hätten sich im April getrennt und der Ehegatte habe auch schon eine Scheidungsklage eingereicht. Die Zustellung habe daher keine Wirkungen gezeitigt und keine Rechtsmittelfristen auszulösen vermocht.
Die Rüge geht fehl. Das Obergericht hat die Zustellung an den Ehemann der Beschwerdeführerin unter anderem als rechtsgültig betrachtet, weil diese ihren Ehemann bzw. die entsprechende Adresse in A._ als Zustelldomizil bezeichnet habe. Die Beschwerdeführerin legt mit ihren Ausführungen nicht rechtsgenüglich dar (Erwägung 2 vorne), inwiefern das Obergericht damit vorliegend anwendbare Vorschriften über die Zustellung verletzt haben soll. Soweit sie in diesem Zusammenhang vorbringt, vor dem Amtsgericht Luzern-Land sei ein Scheidungsverfahren hängig, weshalb davon hätte ausgegangen werden müssen, dass sie mit einer Zustellung an den Ehemann nicht einverstanden gewesen wäre, beruft sie sich unzulässigerweise auf neue Tatsachen und ist nicht zu hören (BGE 129 I 49 E. 3; 128 I 354 E. 6c S. 357; 118 Ia 20 E. 5a). Es ist daher von einer rechtsgültigen Zustellung des Entscheids vom 29. August 2006 am 5. September 2006 auszugehen. Ob die Beschwerdeführerin ihren Wohnsitz im massgeblichen Zeitpunkt in A._ gehabt hat, wie vom Obergericht angenommen, oder in London, wie die Beschwerdeführerin behauptet, ist dabei unerheblich.
4. Die Beschwerdeführerin rügt weiter, sie habe vor Obergericht rechtsgenüglich geltend gemacht, dass sie ihren Wohnsitz in England, einem anderen Vertragsstaat des Luganer Übereinkommens, habe. Ihrer Behauptung nach wäre demnach für die Anfechtung des Entscheids des Amtsgerichtspräsidenten nicht die einmonatige Rechtsmittelfrist nach Art. 36 Abs. 1 LugÜ anwendbar gewesen, sondern die zweimonatige Frist nach Art. 36 Abs. 2 LugÜ, so dass das Obergericht bei Richtigkeit der Behauptung auf den Rekurs hätte eintreten müssen. Das Obergericht habe indessen ohne Durchführung eines Beweisverfahrens angenommen, dass sie ihren Wohnsitz nach wie vor in A._ habe und damit die einmonatige Rechtsmittelfrist nach Art. 36 Abs. 1 LugÜ anwendbar sei. Damit habe es Art. 36 LugÜ, das Willkürverbot (Art. 9 BV) und ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt.
Ist zu entscheiden, ob eine Partei im Hoheitsgebiet des Vertragsstaats, dessen Gerichte angerufen sind, einen Wohnsitz hat, so wendet das Gericht nach Art. 52 Abs. 1 LugÜ sein Recht an. Das Obergericht erwog zunächst zutreffend, dass der zivilrechtliche Wohnsitzbegriff zur Anwendung gelange, wenn wie hier keine besondere zivilprozessrechtliche Norm über den Wohnsitz bestehe (Jan Kropholler, Europäisches Zivilprozessrecht, Kommentar zu EuGVO, Lugano-Übereinkommen und Europäischem Vollstreckungstitel, 8. Aufl., Frankfurt a.M. 2005, N. 1 zu Art. 59 EuGVO, auf deren Kommentierung für die Auslegung des LugÜ zufolge der weitgehenden inhaltlichen Parallelität in aller Regel zurückgegriffen werden kann [Kropholler, a.a.O., Einl. N. 59 S. 57]). Weiter vertrat es die Ansicht, das IPRG sei in diesem Zusammenhang nicht anwendbar. Nach Art. 23 Abs. 1 ZGB befinde sich der Wohnsitz einer Person an dem Orte, wo sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhalte. Der einmal begründete Wohnsitz einer Person bleibe bis zum Erwerb eines neuen Wohnsitzes bestehen (Art. 24 Abs. 1 ZGB). Da die Beschwerdeführerin die Begründung eines neuen Wohnsitzes nicht rechtsgenüglich darzulegen vermöge, gelte (weiterhin) A._ als Wohnsitz.
Dem kann nicht gefolgt werden. Das Obergericht hat verkannt, dass auch im Rahmen der Vollstreckung nach dem Luganer Übereinkommen internationale Verhältnisse vorliegen. Da sich der Wohnsitz nach Art. 52 LugÜ nicht vertragsautonom, sondern nach dem nationalen Recht, grundsätzlich demjenigen des Gerichtsstandes bestimmt, ist damit der Wohnsitzbegriff nach Art. 20 IPRG massgebend (Isaak Meier/Miguel Sogo, Internationales Zivilprozessrecht und Zwangsvollstreckungsrecht, 2. Aufl., Zürich 2005, S. 97 Ziff. 2; Anton K. Schnyder/Manuel Liatowitsch, Internationales Privat- und Zivilverfahrensrecht, 2. Aufl., Zürich 2006, Rz. 555; Marco Levante, Wohnsitz und gewöhnlicher Aufenthalt im internationalen Privat- und Zivilprozessrecht der Schweiz, Diss. St. Gallen 1998, S. 29 f.. Vgl. auch Gerhard Walter, Internationales Zivilprozessrecht der Schweiz, 3. Aufl., Bern 2002, S. 176: Ist - wie nach Art. 52 LugÜ - auf inländische Vorschriften zurückzugreifen, sind nach diesem Autor die massgeblichen inländischen Bestimmungen diejenigen des IPRG, erst hilfsweise diejenigen des GestG. Vgl. auch Bernard Dutoit, Kommentar zum IPRG, 4. Aufl., Basel 2004, N. 4 zu Art. 112, der zwar auf Art. 23 ZGB verweist, aber auch anmerkt, dass sich dieser nicht von Art. 20 IPRG unterscheide). Nach Abs. 1 lit. a dieser Bestimmung hat eine natürliche Person ihren Wohnsitz in dem Staat, in dem sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält. Dieser Wohnsitzbegriff unterscheidet sich dabei von demjenigen des ZGB dadurch, dass keine fiktiven Wohnsitze anerkannt werden, insbesondere also nicht der fortgesetzte Wohnsitz im Sinne von Art. 24 Abs. 1 ZGB (BGE 119 II 64 E. 2a/aa, 167 E. 2b S. 169; Keller/Kren Kostkiewicz, Zürcher Kommentar, N. 70 zu Art. 20 IPRG; Dutoit, a.a.O., N. 11 zu Art. 20 IPRG; dasselbe gilt nach Art. 3 Abs. 2 GestG [SR 272] auch für die Feststellung des Wohnsitzes zur Bestimmung der örtlichen Zuständigkeit bei nationalen Verhältnissen). Der Wohnsitz der Beschwerdeführerin ist somit allein danach zu bestimmen, wo sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält, mithin wo sich im massgeblichen Zeitpunkt ihr tatsächlicher Lebensmittelpunkt befindet (vgl. BGE 127 V 237 E. 1 S. 238; 125 III 100 E. 3 S. 102; 119 II 64 E. 2a/bb, 167 E. 2b S. 169 unten; Keller/Kren Kostkiewicz, a.a.O., N. 16 ff. zu Art. 20 IPRG; Dutoit, a.a.O., N. 1 zu Art. 20 IPRG).
Das Obergericht hat somit zu Unrecht entschieden, mangels Nachweises des Erwerbs eines neuen Wohnsitzes gelte für die Beschwerdeführerin der fortgesetzte Wohnsitz nach Art. 24 Abs. 1 ZGB als Wohnsitz im Sinne von Art. 36 LugÜ. Ausgehend von seiner unzutreffenden Rechtsauffassung hat es keine Feststellungen über die allein erhebliche Frage getroffen, wo sich zur massgebenden Zeit ihr tatsächlicher Lebensmittelpunkt befand. Es wäre indessen im Rahmen der von Amtes wegen zu prüfenden Frage, ob die Beschwerdeführerin ihren Rekurs fristgerecht erhoben hat, verpflichtet gewesen, Feststellungen darüber zu treffen, wo sich ihr tatsächlicher Lebensmittelpunkt befindet, um zu bestimmen, welche der in Art. 36 LugÜ vorgesehenen Rechtsmittelfristen anwendbar ist. Indem es, ohne entsprechende Feststellungen zu treffen, annahm, die einmonatige Rekursfrist nach Art. 36 Abs. 1 LugÜ sei anwendbar, und in der Folge auf den Rekurs wegen Verspätung nicht eintrat, verletzte es den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör.
Das Obergericht wird demnach abzuklären haben, wo sich im massgeblichen Zeitpunkt der tatsächliche Lebensmittelpunkt der Beschwerdeführerin befunden hat. Dabei wird es die im Verfahren bereits vorgebrachten Behauptungen und die ins Recht gelegten Unterlagen der Beschwerdeführerin zu berücksichtigen haben und - soweit damit kein Nachweis über den Lebensmittelpunkt zu erbringen ist - nach Massgabe der anwendbaren Verfahrensvorschriften allenfalls weitere Beweise zu erheben haben.
Sollte sich danach ergeben, dass sich der tatsächliche Lebensmittelpunkt der Beschwerdeführerin nicht mehr in A._ befindet und kein Wohnsitz in der Schweiz, sondern nur ein solcher in einem anderen Vertragsstaat des Luganer Übereinkommens in Frage kommt, wird nach dem Recht dieses Staates zu entscheiden sein, ob sie dort Wohnsitz im Sinne von Art. 36 Abs. 2 LugÜ hat (Art. 52 Abs. 2 LugÜ) und damit die zweimonatige Rechtsmittelfrist anzuwenden ist. Ist nach dem entsprechenden Recht auch ein Wohnsitz in diesem Staat zu verneinen, führt dies dazu, dass ein Wohnsitz weder in der Schweiz noch in einem Vertragsstaat des LugÜ festgestellt werden kann. In diesem Fall wäre die Grundsatzregelung von Art. 36 Abs. 1 LugÜ anzuwenden, nach der der Schuldner gegen die Entscheidung, mit der die Zwangsvollstreckung zugelassen wird, innerhalb eines Monats nach ihrer Zustellung einen Rechtsbehelf einlegen kann, wie sie auch zur Anwendung käme, wenn die Beschwerdeführerin ihren Wohnsitz in einem Drittstaat, d.h. nicht in einem Vertragsstaat des LugÜ, hätte (vgl. Kropholler, a.a.O., N. 21 zu Art. 43 EuGVO; Yves Donzallaz, La Convention de Lugano, Band II, Bern 1997, N. 3915; vgl. auch Schnyder/Liatowitsch, a.a.O., Rz. 556).
5. Die staatsrechtliche Beschwerde ist somit gutzuheissen und das angefochtene Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 1. Dezember 2006 aufzuheben. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 2 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen und das angefochtene Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 1. Dezember 2006 aufgehoben.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 5'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, Schuldbetreibungs- und Konkurskommission, als Rekursinstanz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2007
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: