Sachverhalt:
A. A.a Das kollegiale Verhältnis zwischen den Rechtsanwälten X._ und Z._ ist seit längerem belastet. Am 23. Februar 2011 erhielt Z._ in seiner Kanzlei eine nicht für ihn bestimmte Postsendung. Er informierte umgehend deren Absender, X._, per E-Mail und bot an, die Unterlagen zu einem zu vereinbarenden Zeitpunkt gegen Quittung an eine namentlich zu bezeichnende, ordentlich bevollmächtigte Person herauszugeben. Wegen Uneinigkeit über die Rückgabemodalitäten kam es an diesem Tag zu keiner Einigung und X._ nicht in den Besitz seiner Unterlagen.
A.b Tags darauf, am 24. Februar 2011, beantragte X._ beim Bezirksgericht Zürich superprovisorisch die Herausgabe aller Dokumente und Unterlagen, die irrtümlich Z._ zugesandt worden waren. Der Einzelrichter wies das Gesuch ab, lud aber die Parteien auf den 17. März 2011 zu einer Verhandlung für den Erlass einer vorsorglichen Massnahme vor. An dieser Verhandlung übergab der Einzelrichter X._ von Z._ zuvor dem Gericht überlassene Unterlagen. Jener erklärte, damit sämtliche Unterlagen erhalten zu haben. Daraufhin schrieb der Einzelrichter das Verfahren infolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab. Er auferlegte Z._ eine Gerichtsgebühr von Fr. 850.-- und verpflichtete ihn, X._ eine Parteientschädigung von Fr. 450.-- zu bezahlen.
B. Z._ gelangte an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 9. August 2011 hiess dieses die Beschwerde gut, hob die Kostenregelung der Abschreibungsverfügung vom 17. März 2011 auf, auferlegte X._ die Gerichtsgebühr des erstinstanzlichen Verfahrens von Fr. 850.-- und verpflichtete diesen, Z._ eine Parteientschädigung von Fr. 450.-- zu bezahlen; die Prozesskosten des oberinstanzlichen Verfahrens (Gerichtskosten Fr. 225.--; Parteikosten Fr. 200.-- zzgl. Mwst) auferlegte es X._. Das Obergericht begründete seinen Entscheid im Wesentlichen damit, X._ habe vor Einreichung seines Gesuches an das Bezirksgericht gar nicht versucht, einen Termin für die Aktenherausgabe zu vereinbaren, weshalb er kein Rechtsschutzinteresse an einer gerichtlichen Klage gehabt habe und der Einzelrichter das Verfahren durch Nichteintreten hätte erledigen müssen.
C. Mit Eingabe vom 13. September 2011 an das Bundesgericht führt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen, eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts vom 9. August 2011 aufzuheben und die Prozesskosten sämtlicher Instanzen Z._ aufzuerlegen.
Es sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 und Art. 90 BGG) über die Prozesskostenregelung eines bereits vor erster Instanz gegenstandslos gewordenen Verfahrens in einer Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG). Der Streitwert beträgt Fr. 1'750.--; er erreicht den in Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG statuierten Mindestbetrag nicht. Deshalb ist die Beschwerde in Zivilsachen nur gegeben, wenn sich - was der Beschwerdeführer behauptet - eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 und Art. 90 BGG) über die Prozesskostenregelung eines bereits vor erster Instanz gegenstandslos gewordenen Verfahrens in einer Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG). Der Streitwert beträgt Fr. 1'750.--; er erreicht den in Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG statuierten Mindestbetrag nicht. Deshalb ist die Beschwerde in Zivilsachen nur gegeben, wenn sich - was der Beschwerdeführer behauptet - eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
1.2 1.2.1 Das Bundesgericht legt den Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung restriktiv aus. Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (BGE 134 III 115 E. 1.2 S. 117; BGE 133 III 493 E. 1.1 und 1.2 S. 494 ff.). Die Voraussetzung von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG ist hingegen erfüllt, wenn ein allgemeines Interesse daran besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit Rechtssicherheit herzustellen (vgl. BGE 133 III 645 E. 2.4 S. 648 f.). Eine neue Rechtsfrage kann vom Bundesgericht sodann beurteilt werden, wenn dessen Entscheid für die Praxis wegleitend sein kann, namentlich wenn von unteren Instanzen viele gleichartige Fälle zu beurteilen sein werden (vgl. Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001, BBl 2001 4309). Auch eine vom Bundesgericht bereits entschiedene Rechtsfrage kann unter der Voraussetzung von grundsätzlicher Bedeutung sein, dass sich die erneute Überprüfung aufdrängt. Dies kann zutreffen, wenn die Rechtsprechung nicht einheitlich oder in der massgebenden Lehre auf erhebliche Kritik gestossen ist (vgl. BGE 134 III 354 E. 1.5 S. 357 f.) oder wenn in der Zwischenzeit neue Gesetzesbestimmungen in Kraft getreten sind (vgl. BGE 134 III 115 E. 1.2 S. 117). Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (Art. 42 Abs. 2 BGG).
1.2.2 Zur Begründung führt der Beschwerdeführer an, es stelle sich die Frage, ob er als Kläger über das nach Art. 59 Abs. 2 lit. a ZPO erforderliche Rechtsschutzinteresse verfüge, wenn im Rahmen der Herausgabe von dringend benötigten Anwaltsakten die Modalitäten der Übergabe strittig sind bzw. der Beschwerdegegner den Herausgabeanspruch mit einseitig definierten Bedingungen vereitle.
Dem Beschwerdeführer geht es mithin um die Auslegung von Art. 59 Abs. 2 lit. a ZPO. Es trifft wohl zu, dass sich das Bundesgericht bisher noch nie zu dieser Bestimmung hat äussern müssen. Indes legt der Beschwerdeführer nicht dar und es ist auch nicht einsichtig, inwiefern ein bundesgerichtlicher Entscheid im jetzigen Zeitpunkt für die Praxis wegleitend sein könnte. Auch ist kaum anzunehmen, dass viele gleichartige Fälle von unteren Instanzen zu beurteilen sein werden. Ein allgemeines Interesse an der Beantwortung der den Beschwerdeführer im konkreten Fall betreffenden Fragen ist mithin nicht ersichtlich. Folglich kann auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht eingetreten werden.
2. Indes hat der Beschwerdeführer eventualiter auch subsidiäre Verfassungsbeschwerde geführt (Art. 113 ff. BGG). Mit dieser kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Dieses verlangt, dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe dartut, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Eine Überprüfung von Amtes wegen, wie sie dem Bundesgericht hinsichtlich des Gesetzes- und Verordnungsrechts des Bundes zusteht (vgl. Art. 106 Abs. 1 BGG), findet nicht statt. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 mit Hinweisen).
Mit der einfachen Auflistung von Verfassungsbestimmungen (Art. 9 und Art. 29 Abs. 1 BV sowie Art. 18 Kantonsverfassung Zürich), ohne aufgezeigten Bezug zum angefochtenen Entscheid, genügt der Beschwerdeführer den Begründungsanforderungen nicht. Rein appellatorischer Natur sind seine Ausführungen zu Art. 59 Abs. 2 lit. a ZPO, denn er beschränkt sich darauf zu behaupten, diese Vorschrift sei unrichtig angewendet worden, und zu erklären, wie diese Bestimmung seines Erachtens auszulegen ist. Mithin tut er nicht dar, weshalb die Auffassung des Obergerichts (wonach er im Zeitpunkt der Klageeinreichung noch keinen Grund dazu gehabt hat und ihm deshalb das Rechtsschutzinteresse fehlte) offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 134 II 124 E. 4.1 E. 133).
3. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer unterliegt und wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, denn dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Oktober 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn