Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft führte gegen X._ ein Strafverfahren wegen gewerbsmässigen Betrugs. Das Verfahren wurde mit rechtskräftigem Strafbefehl vom 11. März 2011 abgeschlossen. Mit diesem Strafbefehl wurde X._ zu einer Freiheitsstrafe von 6 Monaten verurteilt.
Mit Schreiben vom 3. Februar 2011 an die Staatsanwaltschaft hatte der Verteidiger von X._ unter anderem beantragt, es sei ihm die Teilnahme an Einvernahmen von Mitbeschuldigten zu bewilligen. Mit Verfügung vom 14. Februar 2011, die mit "Einschränkung des rechtlichen Gehörs (Art. 108 StPO)" überschrieben ist, wies die Staatsanwaltschaft dieses Begehren ab.
Gegen diese Verfügung gelangte X._ am 22. Februar 2011 mit Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Er beantragte, die Einschränkung des rechtlichen Gehörs gemäss Art. 108 StPO sei aufzuheben und die Teilnahme seines Rechtsbeistands an Einvernahmen von Mitbeschuldigten sei zu gestatten. Das Appellationsgericht hiess die Beschwerde mit Urteil vom 14. April 2011 gut und stellte fest, dass die Verweigerung der Teilnahme des Verteidigers des Beschwerdeführers an Einvernahmen von Mitbeschuldigten zu Unrecht erfolgt sei.
B. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 17. Juni 2011 beantragt die Staatsanwaltschaft im Wesentlichen, das Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben und die Beschwerde von X._ vom 22. Februar 2011 an das Appellationsgericht sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. X._ stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Die Staatsanwaltschaft habe kein Rechtsschutzinteresse zur Anfechtung des vorliegenden Zwischenentscheids. Im Übrigen verlangt der private Beschwerdegegner die Abweisung der Beschwerde und die Bestätigung des angefochtenen Entscheids des Appellationsgerichts.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen. Der angefochtene Entscheid ist kantonal letztinstanzlich (Art. 80 BGG).
1.2 Der angefochtene Entscheid betrifft einen Zwischenentscheid über das Recht des Strafverteidigers, an der Einvernahme eines Mitbeschuldigten teilzunehmen. Mit diesem Entscheid wird das Strafverfahren nicht abgeschlossen. Es liegt somit kein Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG, sondern ein Zwischenentscheid (Art. 93 BGG) vor.
1.2.1 Gegen selbstständig eröffnete Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Die selbstständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (BGE 135 I 261 E. 1.2; 134 III 188 E. 2.2; 133 III 629 E. 2.1). Die Ausnahme ist restriktiv zu handhaben, zumal die Parteien keine Rechte verlieren, wenn sie einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG nicht selbstständig anfechten, können sie ihn doch mit dem Endentscheid anfechten, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (Art. 93 Abs. 3 BGG; BGE 133 IV 288 E. 3.2). Dementsprechend obliegt es dem Beschwerdeführer, detailliert darzutun, dass die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich ist (vgl. dazu BGE 134 III 426 E. 1.2 in fine; 133 III 629 E. 2.3.1 und 2.4.2).
1.2.2 Die Staatsanwaltschaft setzt sich mit den Voraussetzungen von Art. 93 BGG nicht auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern die gesetzlichen Voraussetzungen für die Anfechtung des Zwischenentscheids unter den konkreten Umständen gegeben sind. Sie macht lediglich in allgemeiner Form geltend, dass eine frühzeitige Anwesenheit des Rechtsanwalts von Mitangeschuldigten bei Einvernahmen die Wahrheitsfindung erschwere und geeignet sei, der Kollusionsgefahr Vorschub zu leisten. Sie lässt dabei ausser Acht, dass der angefochtene Entscheid sie nicht daran hinderte, die Strafuntersuchung mit dem rechtskräftigen Strafbefehl vom 11. März 2011 ordnungsgemäss abzuschliessen. Es ist somit nicht ersichtlich, inwiefern der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bewirkt haben könnte. Auf die Beschwerde kann somit nicht eingetreten werden.
2. Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend ist auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 4 BGG). Die unterliegende Beschwerdeführerin hat den privaten Beschwerdegegner angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Basel-Stadt hat dem privaten Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, ausserordentlicher Appellationsgerichtspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. September 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Haag