Faits:
A. En automne 2002, X._ a mandaté la société Y._SA pour qu'elle procède à la réfection de la toiture de son immeuble sis à l'avenue A._ à B._. Lors de l'exécution des travaux, des infiltrations d'eau sont survenues à deux reprises, provoquant des dommages dans certains appartements.
Le 23 décembre 2003, X._ a ouvert action en dommages et intérêts contre Y._ SA, lui réclamant le paiement de 31'885 fr. 20 avec intérêts dès le 20 novembre 2002. De son côté, Y._ SA, dont la facture pour les travaux effectués s'élevait encore à 31'413 fr. 70, a conclu reconventionnellement à ce que X._ soit condamné à lui verser le solde contesté de 14'947 fr. 40, avec intérêts à 6% l'an dès le 17 février 2003. En cours de procédure, X._ a reconnu devoir 26'466 fr. 80, puis 22'480 fr. 73. Invoquant la compensation avec sa propre prétention, il a réduit ses conclusions à 9'404 fr. 45 avec intérêts à 5% l'an dès le 20 novembre 2002.
Statuant le 19 mai 2005, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, dans ses considérants, arrêté à 10'800 fr. la créance de X._ consécutive aux dommages causés et à 26'991 fr. 60 celle de Y._ SA pour les travaux effectués. X._ ayant reconnu devoir 22'480 fr. 73 à ce titre, seul le montant de 4'510 fr. 87 (26'991 fr. 60 - 22'480 fr. 73), arrondi à 4'510 fr. 85, demeurait ainsi contesté par lui. Dans le dispositif de son jugement, le tribunal a donc, sur demande principale, condamné Y._ SA à verser à X._ 10'800 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 20 novembre 2002 et, sur demande reconventionnelle, condamné X._ à payer à Y._ SA 4'510 fr. 85 avec intérêts à 5% l'an dès le 17 février 2003.
B. Se fondant sur le dispositif de ce jugement, X._ a fait notifier à Y._ SA un commandement de payer la somme de 10'800 fr., avec intérêts et frais, sous déduction de 4'510 fr. 85. Cet acte a été frappé d'opposition.
Par jugement du 7 juillet 2006, le Tribunal de première instance a rejeté la requête de mainlevée définitive formée par X._. Il a admis en substance que la dette de Y._ SA avait été éteinte par compensation, la créance compensante - d'un montant de 22'480 fr. 73 - ayant été suffisamment établie par celle-ci (cf. art. 81 al. 1 LP), même si elle n'était mentionnée que dans les considérants du jugement du 19 mai 2005.
L'appel interjeté contre ce jugement par X._ a été rejeté par arrêt de la Cour de justice du canton de Genève du 28 septembre 2006. Saisi d'un recours de droit public du prénommé contre cet arrêt, le Tribunal fédéral l'a déclaré irrecevable par arrêt du 5 mars 2007 (5P.464/2006).
C. Le 21 septembre 2007, Y._ SA a fait notifier à X._ un commandement de payer la somme de 30'977 fr. 65, avec intérêts à 5 % l'an dès le 17 février 2003, sous déduction de 11'579 fr. 85, correspondant au montant du dommage de 10'800 fr. augmenté des intérêts à 5% l'an du 20 novembre 2003 au 31 mai 2005. X._ a fait opposition totale audit commandement de payer.
Sur requête de Y._ SA tendant à la mainlevée de cette opposition, le Tribunal de première instance a, par jugement du 14 octobre 2008, prononcé la mainlevée définitive à concurrence de 4'510 fr. 85 avec intérêts à 5% l'an dès le 17 février 2003 et la mainlevée provisoire à concurrence de 22'480 fr. 73 plus intérêts à 5% l'an dès le 17 février 2003, sous imputation de 10'800 fr. plus intérêts à 5% l'an du 20 novembre 2002 au 21 septembre 2008.
Par arrêt du 11 décembre 2008, la Cour de justice a rejeté l'appel formé par X._ contre le jugement précité, sous réserve de la date jusqu'à laquelle couraient les intérêts sur la somme de 10'800 fr., qu'elle a arrêtée au 21 septembre 2007. Elle a retenu, pour l'essentiel, que X._ avait reconnu, dans la procédure ayant abouti au jugement de première instance du 19 mai 2005, devoir le montant de 22'480 fr. 73 à titre de solde pour les travaux entrepris par Y._ SA, qu'il avait certes déclaré vouloir compenser cette dette avec sa propre créance, chiffrée à 31'885 fr. 20, mais que cette déclaration de compensation ne pouvait avoir d'effet au-delà de la somme reconnue par le tribunal, soit 10'800 fr. Elle a ainsi confirmé la quotité des montants réclamés en poursuite par Y._ SA. S'agissant des intérêts, elle a jugé que leur échéance, s'agissant du montant de 10'800 fr., devait être fixée au 21 septembre 2007, date de notification du commandement de payer, et non pas au 21 septembre 2008, cette date résultant d'une erreur de plume du premier juge.
D. Par acte du 15 janvier 2009, X._ a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile et d'un recours constitutionnel subsidiaire, concluant à ce que, préalablement il octroie l'effet suspensif et, au fond, il annule l'arrêt de la Cour de justice et dise que la poursuite litigieuse n'ira pas sa voie. Le recourant invoque la constatation et l'appréciation arbitraires des faits et des preuves, la violation arbitraire du principe de l'autorité de la chose jugée et de l'interdiction de la reformatio in pejus, ainsi que l'application arbitraire des art. 82 LP, 102 et 104 CO.
L'effet suspensif a tout d'abord été refusé par ordonnance présidentielle du 20 janvier 2009, puis accordé, sur la base d'une nouvelle requête, par ordonnance du juge instructeur du 11 mars 2009.
Dans sa réponse, l'intimée s'en rapporte à justice en ce qui concerne les dates déterminantes pour le calcul des intérêts et conclut pour le surplus au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 III 115 consid. 1 et les arrêts cités).
1.1 Le prononcé de mainlevée (définitive ou provisoire) de l'opposition peut faire l'objet d'un recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. a LTF) lorsque la valeur litigieuse s'élève au moins à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF; ATF 133 III 399 consid. 1.3) ou, exceptionnellement et pour autant que cela soit démontré (art. 42 al. 2 LTF; cf. ATF 134 III 354 consid. 1.3; 133 III 439 consid. 2.2.2.1), lorsque la contestation soulève une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF).
En l'occurrence, la valeur litigieuse est inférieure à 30'000 fr., mais le recourant soutient que le présent litige pose une question juridique de principe.
1.2 Le législateur n'a pas donné de définition de la question juridique de principe, qui se trouve tant dans la Constitution fédérale (art. 191 al. 2 Cst.) que dans la loi sur le Tribunal fédéral (art. 74 al. 2 let. a LTF). Il s'agit d'une notion juridique indéterminée qu'il appartient à la jurisprudence de concrétiser et qui doit être interprétée d'une manière très restrictive (ATF 135 III 1 consid. 1.3; 134 III 115 consid. 1.2; 133 III 493 consid. 1.1). Selon la jurisprudence récente, une question juridique de principe est celle qui donne lieu à une incertitude caractérisée et appelle ainsi de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral, en tant qu'autorité judiciaire suprême chargée de dégager une interprétation uniforme du droit fédéral (arrêt 4A_14/2009 du 2 avril 2009 consid. 1.2 destiné à la publication; ATF 135 III 1 consid. 1.3; 134 III 267 consid. 1.2, 354 consid. 1.3).
En l'espèce, le recourant soutient que le point de savoir si la reconnaissance d'un montant assortie d'une déclaration de compensation vaut titre de mainlevée au sens de l'art. 82 LP constitue une question juridique de principe au sens de l'art. 74 al. 2 let. a LTF. Citant un arrêt cantonal genevois du 13 juin 1986, qui se référait à un arrêt du Tribunal cantonal zurichois, il fait valoir que la jurisprudence des autorités cantonales est contradictoire en la matière et qu'il incombe au Tribunal fédéral, en sa qualité de gardien de l'interprétation uniforme du droit fédéral, de se prononcer.
L'argumentation du recourant ne saurait être suivie. L'arrêt cantonal cité fait état d'une reconnaissance de dette sous seing privé, alors que, dans la présente espèce, le recourant a reconnu sa dette dans le cadre d'une procédure judiciaire. Or une telle reconnaissance est assimilée à un jugement et permet d'obtenir la mainlevée définitive de l'opposition, conformément à l'art. 80 al. 2 ch. 1 LP. Elle justifie donc, a fortiori, l'obtention de la mainlevée provisoire. Dans son arrêt du 11 décembre 2008, la Cour de justice a d'ailleurs précisé que la mainlevée définitive aurait pu être prononcée pour le montant total de la créance invoquée par l'intimée, mais elle n'a pas modifié le jugement de première instance faute d'appel sur ce point. En outre, le Tribunal fédéral s'est déjà prononcé, dans son arrêt du 5 mars 2007 (5P.464/2006 consid. 4), sur le moyen que le recourant soulève à nouveau dans la présente procédure. Il a considéré que le recourant ne pouvait pas s'en tenir au seul dispositif du jugement du 19 mai 2005 dès lors qu'il avait expressément reconnu devoir 22'480 fr. 73 pour les travaux exécutés par l'intimée et qu'il restait bien le débiteur de celle-ci pour la différence entre le solde dû pour les travaux (26'991 fr. 60 avec intérêts) et le montant dû par l'intimée pour les dommages causés (10'800 fr. avec intérêts).
Faute de soulever une question juridique de principe, le recours en matière civile n'est pas ouvert, de sorte qu'il y a lieu d'examiner la recevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
1.3 Le recourant s'en prend à une décision rendue par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 par renvoi de l'art. 114 LTF), qui met fin à la procédure de mainlevée d'opposition, c'est-à-dire une décision finale (art. 90 par renvoi de l'art. 117 LTF; ATF 133 III 399 consid. 1.4). Le recourant a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée (art. 115 LTF). Enfin, le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 par renvoi de l'art. 117 LTF). Le recours constitutionnel est ainsi recevable.
1.4 Le recours constitutionnel ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral ne sanctionne la violation de tels droits que si ce grief est invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 par renvoi de l'art. 117 LTF). Les exigences de motivation correspondant à celles de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, le recourant doit exposer de manière claire et détaillée en quoi des droits constitutionnels auraient été violés (ATF 133 III 439 consid. 3.2); des critiques de nature purement appellatoires sont irrecevables (ATF 133 III 589 consid. 2 p. 592).
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis en violation de droits constitutionnels (art. 118 al. 2 et 116 LTF). S'agissant plus particulièrement du grief d'arbitraire dans l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière aux autorités cantonales (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40); il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans motifs sérieux, de tenir compte d'un moyen de preuve pertinent ou encore s'il a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 et les arrêts cités). Il ne suffit pas qu'une solution différente apparaisse concevable, voire préférable; la décision attaquée n'est, de surcroît, annulée que si elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (ATF 132 III 209 consid. 2.1 et les arrêts cités). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 par renvoi de l'art. 117 LTF).
Le principe d'allégation consacré à l'art. 106 al. 2 LTF implique également que seuls sont recevables devant le Tribunal fédéral les moyens qui, pouvant l'être, ont été présentés à l'autorité cantonale de dernière instance (ATF 133 III 638 consid. 2 p. 640).
2. Le recourant invoque en premier lieu la constatation et l'appréciation arbitraires des faits et des preuves, ainsi que la méconnaissance du principe de l'autorité de la chose jugée. Ces critiques portent sur le point de départ des intérêts de la dette qu'il a reconnue en procédure et sur l'échéance de ceux de sa créance envers l'intimée. Elles se confondent avec les moyens qu'il soulève par ailleurs au titre de la violation arbitraire des art. 102 et 104 CO.
2.1 S'agissant du point de départ des intérêts de la somme reconnue de 22'480 fr. 73, fixé par le Tribunal de première instance au 17 février 2003, le recourant fait grief à la Cour de justice d'avoir refusé d'examiner ses arguments au motif que la date en question avait été arrêtée dans le jugement du 19 mai 2005 devenu définitif faute d'appel. Il fait valoir que ladite date ne figurait pas dans le dispositif dudit jugement, qui revêtait seul l'autorité de la chose jugée, et que la Cour de justice pouvait et devait en conséquence revoir le cours des intérêts. En outre, le recourant conteste que les intérêts en cause aient pu courir avant la date du 2 janvier 2004, correspondant à l'échéance de paiement de 30 jours de la facture finale de l'intimée, datée du 3 décembre 2003.
La Cour de justice n'a pas fait preuve d'arbitraire en considérant que la créance de l'intimée pour ses travaux, tant en capital qu'en intérêts, avait acquis force de chose jugée. Dans la procédure ayant conduit au jugement de première instance du 19 mai 2005, l'intimée a pris des conclusions reconventionnelles en paiement de ses travaux avec intérêts dès le 17 février 2003 et le recourant a reconnu devoir 22'480 fr. 73, sans remettre en cause le point de départ des intérêts réclamés. Par ailleurs, le recourant ne conteste pas que le montant dû de 4'510 fr. 85 (correspondant à la différence entre la créance de l'intimée, par 26'991 fr. 60 et la somme qu'il a reconnue, par 22'480 fr. 73) porte intérêts à compter du 17 février 2003. Or, le point de départ des intérêts doit être identique et celui du montant de 4'510 fr. 85 figure dans le dispositif du jugement du 19 mai 2005. S'il est vrai qu'en principe seul le dispositif d'une décision a valeur de jugement, la portée de celui-ci est déterminée par les considérants (ATF 125 III 8 consid. 3b; 115 II 187 consid. 3b). En outre, l'indication dans le dispositif du point de départ des intérêts sur le solde encore dû par le recourant après déduction du montant admis permet de considérer qu'il s'applique à la dette reconnue en cours de procédure et qu'il revêt également l'autorité de la chose jugée. S'il entendait remettre en question la date du 17 février 2003, il incombait au recourant d'interjeter appel contre le jugement du 19 mai 2005.
Pour le surplus, le recourant n'établit pas à satisfaction que la fixation de l'intérêt à compter du 17 février 2003 serait arbitraire et qu'il conviendrait d'y substituer la date du 2 janvier 2004, correspondant à l'échéance de paiement de la facture finale de l'intimée. En effet, cette facture contient un simple récapitulatif des prestations de l'intimée, mais ne détaille pas les différentes factures intermédiaires qui ont été établies, et ne fait pas état des paiements opérés par le recourant. Or, il ressort du jugement de première instance du 19 mai 2005 que l'intimée a adressé plusieurs factures au recourant pendant la période du 26 novembre 2002 au 23 avril 2003, lesquelles ont été partiellement honorées. L'intérêt dû ne saurait dès lors courir dès le 2 janvier 2004 pour des factures de fin 2002 - début 2003 et la date du 17 février 2003 correspond davantage à une échéance moyenne des intérêts sur les différents montants facturés par l'intimée à compter du 26 novembre 2002.
C'est donc en vain que le recourant critique le point de départ des intérêts du montant de 22'480 fr. 73 dont il s'est reconnu le débiteur.
2.2 Le recourant conteste également la limitation au 21 septembre 2007 des intérêts de la somme de 10'800 fr. dont il est le créancier au titre de la réparation des dommages imputés à l'intimée. Il se plaint d'une violation arbitraire de l'interdiction de la reformatio in pejus dans la mesure où la Cour de justice a réformé sur ce point le jugement de première instance du 14 octobre 2008 qui avait retenu, à la suite d'une erreur de plume, la date du 21 septembre 2008.
La date du 21 septembre 2007 correspond à celle du commandement de payer notifié au recourant dans la poursuite litigieuse. Ni l'arrêt entrepris, ni le jugement de première instance n'indiquent les motifs de l'interruption du cours des intérêts pour la seule créance du recourant, alors que libre cours est laissé aux intérêts de la créance de l'intimée. Les créances réciproques des parties résultent pourtant d'un même jugement, rendu dans le cadre du contrat d'entreprise qui les liait. Il ne se justifie pas de traiter différemment, au plan de l'échéance des intérêts, la créance de l'intimée en paiement du solde des travaux exécutés de celle du recourant en réparation du dommage subi du fait de l'exécution défectueuse de ces travaux. Il convient dès lors de réformer l'arrêt entrepris en ce sens que la mainlevée est accordée en tenant compte de ce que les intérêts sur le montant de 10'800 fr. dû par l'intimée au recourant courent dès le 20 novembre 2002, sans date limite.
Le recourant obtenant gain de cause sur ce point, il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur le moyen tiré de la violation de l'interdiction du principe de la reformatio in pejus.
3. Reprenant l'argumentation qu'il a développée pour tenter d'établir que l'arrêt entrepris pose une question de principe, le recourant soutient que l'intimée ne dispose d'aucune reconnaissance de dette transcrivant la volonté de payer une somme d'argent sans réserve ni condition. S'il avait certes admis être le débiteur de 22'480 fr. 73 au titre des travaux effectués par l'intimée, il avait formellement déclaré exciper de la compensation avec le montant de 31'885 fr. 20 qu'il réclamait pour la réparation du dommage, ce qui démontrait son absence de volonté de verser sans réserve ni condition le montant reconnu. La Cour de justice aurait donc appliqué arbitrairement l'art. 82 LP en confirmant la mainlevée provisoire de l'opposition à concurrence du montant de 22'480 fr. 73.
Ces moyens ont déjà été examinés et réfutés au consid. 1.2 du présent arrêt et dans l'arrêt du Tribunal fédéral du 5 mars 2007 (5P.464/2006, consid. 4). Le recourant ne démontre toujours pas en quoi le résultat de l'arrêt attaqué serait arbitraire. Le montant dû au titre des travaux exécutés par l'intimée s'élève à 26'991 fr. 60 en capital, sous déduction de 10'800 fr. en capital. Or, la mainlevée a été prononcée à titre définitif pour la somme de 4'510 fr. 85 et à titre provisoire pour le montant de 22'480 fr. 73, soit pour un montant total de 26'991 fr. 60, sous imputation de la somme de 10'800 fr. On peine dès lors à comprendre l'obstination du recourant à ne pas admettre qu'il reste globalement le débiteur de l'intimée. Il semble raisonner comme si la dette admise en procédure était conditionnée à la possibilité de l'opposer totalement en compensation avec le dommage subi qui, en fin de compte, a été chiffré à un montant inférieur, montant que le recourant n'a d'ailleurs pas tenté de remettre en cause au plan judiciaire.
Le grief d'application arbitraire de l'art. 82 LP doit en conséquence être écarté.
4. Il résulte de ce qui précède que le recours en matière civile doit être déclaré irrecevable et le recours constitutionnel très partiellement admis dans le sens du considérant 2.2 ci-dessus. La cause doit être renvoyée à la Cour de justice pour qu'elle décide, s'il y a lieu, d'une nouvelle répartition des frais et dépens de la procédure cantonale.
Les frais judiciaires doivent être mis à la charge des deux parties, en tenant compte du fait que le recourant n'obtient que très partiellement gain de cause (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée a droit à des dépens réduits (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est irrecevable.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est très partiellement admis en ce qui concerne le cours des intérêts du montant de 10'800 fr. L'arrêt attaqué est en conséquence réformé en ce sens que la mainlevée de l'opposition faite au commandement de payer, poursuite n° xxxx, est prononcée définitivement à concurrence de 4'510 fr. 85 plus intérêts à 5 % dès le 17 février 2003 et provisoirement à concurrence de 22'480 fr. 73 plus intérêts à 5 % dès le 17 février 2003, sous imputation de 10'800 fr. plus intérêts à 5 % dès le 20 novembre 2002.
3. La cause est renvoyée à la 1ère Section de la Cour de justice du canton de Genève pour décider, s'il y a lieu, d'une nouvelle répartition des frais et dépens de la procédure cantonale.
4. Les frais de la procédure fédérale, arrêtés à 2'500 fr., sont mis, à raison de 2'000 fr., à la charge du recourant et, à raison de 500 fr., à la charge de l'intimée.
5. Une indemnité de 2'000 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens réduits, est mise à la charge du recourant.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la 1ère Section de la Cour de justice du canton de Genève et à l'Office des poursuites de Genève.
Lausanne, le 15 juin 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Fellay