Sachverhalt:
A. Die 1967 geborene S._ war als Verwaltungssekretärin tätig und dadurch bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachstehend: Winterthur) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 18. Juni 1996 einen Verkehrsunfall erlitt. Ein nachfolgender Audi 80 stiess ins Heck des von ihr gelenkten und verkehrsbedingt angehaltenen VW Polo. Dabei erlitt S._ ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS). Die Winterthur gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 3. September 2007 schloss die AXA Versicherungen AG (nachstehend: AXA) als Rechtsnachfolgerin der Winterthur den Fall ab, wobei sie S._ für die verbleibende Beeinträchtigung an der HWS mit Wirkung ab 1. Januar 2007 eine Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 50 % und eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 25 % zusprach. Daran hielt die AXA mit Einspracheentscheid vom 24. August 2009 fest.
Ab 1. März 1999 bezog die Versicherte von der Invalidenversicherung eine hälftige Invalidenrente. Diese wurde mit Verfügung der IV-Stelle Thurgau vom 5. April 2004 aufgrund einer im Jahr 2003 eingetretenen gesundheitlichen Verschlechterung mit Wirkung ab 1. Januar 2004 auf eine ganze Rente (bei einem Invaliditätsgrad von 100 %) erhöht.
B. Die von S._ gegen den Einspracheentscheid der AXA erhobene Beschwerde mit dem Antrag auf Zusprechung einer Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % und einer Integritätsentschädigung gemäss einem Integritätsschaden von 65 % wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht mit Entscheid vom 14. April 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ die Aufhebung des kantonalen Entscheides beantragen und ihr vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern.
Die AXA und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung der obligatorischen Unfallversicherung und dabei die Frage, ob die diesen Leistungen zugrunde zu legende Erwerbsunfähigkeit resp. Integritätseinbusse höher anzusetzen ist, als dies der Unfallversicherer getan hat. Die Vorinstanz hat dies mit der Begründung verneint, es fehle an einer adäquaten Unfallfolge, welche solche höhere Leistungen zu begründen vermöchte.
3. Der Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung setzt nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraus (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181). Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Nach der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis (BGE 115 V 133) werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen anwendbaren sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (vgl. zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
4. Die AXA hat der Versicherten für die verbleibende Beeinträchtigung im HWS-Bereich eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung zugesprochen. Das kantonale Gericht hat zwar zunächst Zweifel daran geäussert, ob eine Unfallfolge diese Leistungen zu rechtfertigen vermag. Es hat den Einspracheentscheid aber bestätigt. Die AXA hat dies nicht angefochten und bestreitet ihre Leistungspflicht für die HWS-Beschwerden somit auch letztinstanzlich nicht. Daher erübrigt sich, auf die Ausführungen der Versicherten zur Frage der Unfallkausalität dieser Beschwerden einzugehen.
5. Umstritten ist, ob die im Verlauf aufgetretene psychische Problematik höhere als die zugesprochenen Leistungen rechtfertigt.
Das kantonale Gericht hat dies mit der Begründung verneint, die psychischen Beschwerden seien nicht mit dem beim Unfall erlittenen Schleudertrauma zu erklären, sondern stellten ein eigenständiges Leiden dar. Ob dieses in einem natürlichen Kausalzusammenhang zum Unfall stehe, könne offen bleiben, da es jedenfalls an der - nach der Psycho-Praxis zu beurteilenden - adäquaten Unfallkausalität fehle.
Die Versicherte vertritt die Auffassung, die psychischen Beschwerden seien auf die Schmerzen zurückzuführen, an denen sie infolge einer beim Unfall erlittenen strukturellen Läsion an der HWS leide. Die Beschwerden stünden somit in einem engen Zusammenhang zu dieser Läsion und ihre adäquate Unfallkausalität sei deshalb wie bei organischen Unfallfolgen ohne besondere Prüfung zu bejahen. Es komme daher weder die Schleudertrauma- noch die Psycho-Praxis zur Anwendung. Im Übrigen wäre auch nach letzterer die Adäquanz zu bejahen.
6. Der Umstand, dass eine unfallbedingte Schädigung Schmerzen bewirkt, mag zwar ein Anhaltspunkt dafür sein, dass in der Folge auftretende psychische Beschwerden ihrerseits natürlich unfallkausal sind. Als organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge können die psychischen Beschwerden aber dennoch nicht betrachtet werden. Mithin bedarf die Frage ihrer adäquaten Unfallkausalität einer besonderen Prüfung. Hiebei kommt, wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat, nicht die Schleudertrauma-Praxis zur Anwendung. Denn die psychische Problematik trat nach Lage der Akten (u.a. psychiatrisches Gutachten vom 17. Mai 2005) und auch gemäss Darstellung in der Beschwerde erst rund sieben Jahre nach dem Unfall vom 18. Juni 1996 auf und kann schon deshalb nicht als Teil des bei diesem Ereignis erlittenen HWS-Distorsionstraumas betrachtet werden. Es ist somit nach der Psycho-Praxis zu prüfen, ob ein adäquater Kausalzusammenhang zwischen den psychischen Beschwerden und dem Unfall vom 18. Juni 1996 besteht.
7. Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 115 V 133 E. 6 S. 138 ff.). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.2 und 5.3.1).
7.1 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die Auffahrkollision vom 18. Juni 1996 stelle lediglich einen leichten Unfall dar. Selbst wenn aber von einem mittelschweren Ereignis im Grenzbereich zu den leichten Unfällen ausgegangen würde, wäre die Adäquanz zu verneinen. Die Versicherte geht von einem mittelschweren Unfall und gegebenem adäquaten Kausalzusammenhang aus.
Rechtsprechungsgemäss werden einfache Auffahrkollisionen auf ein haltendes Fahrzeug regelmässig dem Grenzbereich zu den leichten Unfällen zugeordnet (SVR 2007 UV Nr. 26 S. 86, U 339/06 E. 5.2; RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236, U 380/04 E. 5.1.2 mit Hinweisen; aus jüngster Zeit: Urteil 8C_310/2010 vom 29. Juli 2010 E. 7.1). Im vorliegenden Fall besteht jedenfalls kein Anlass, von einem höheren Schweregrad auszugehen. Ob gar ein nur leichter Unfall vorliegt, wie das kantonale Gericht geschlossen hat, kann offen bleiben, da der adäquate Kausalzusammenhang auch bei einem mittleren Unfall an der Grenze zu den leichten Unfällen zu verneinen ist. Das zeigen die folgenden Erwägungen.
7.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien (gemäss BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen, insbesondere ihre erfahrungsgemässe Eignung, psychische Fehlentwicklungen auszulösen; ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung; körperliche Dauerschmerzen; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit) müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sein (BGE 115 V 133 E. 6c/bb S. 141). Die Kriterien sind unter Ausschluss psychischer Aspekte zu prüfen (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140; E. 3 hievor).
7.2.1 Das kantonale Gericht hat erwogen, es sei allenfalls im Ansatz das Kriterium der Dauerschmerzen zu bejahen. Der Beschwerdeführer bringt vor, es seien vier weitere Kriterien (Schwere/Art der erlittenen Verletzungen; Behandlungsdauer; Heilungsverlauf/Komplikationen; Arbeitsunfähigkeit) gegeben. Die restlichen Kriterien (Begleitumstände/Eindrücklichkeit des Unfalls; Fehlbehandlung) werden, nach Lage der Akten zu Recht, nicht geltend gemacht.
7.2.2 Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung lässt die festgestellte Instabilität der HWS die beim Unfall erlittenen Verletzungen nicht als schwer oder von besonderer Art erscheinen. Andere Gesichtspunkte, welche die Bejahung des Kriteriums gestatten könnten, werden nicht geltend gemacht.
Der Heilungsverlauf hielt sich im Rahmen des nach derartigen Unfällen Üblichen. Es traten keine erheblichen Komplikationen auf. Dass, wie geltend gemacht wird, die durchgeführten medizinischen Massnahmen nur geringe Fortschritte brachten und teilweise scheiterten, genügt nicht zur Bejahung des Kriteriums.
Von den noch in Frage kommenden drei Kriterien (Behandlungsdauer; Dauerschmerzen; Arbeitsunfähigkeit) müsste bei der gegebenen Unfallschwere mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein, um die Adäquanz bejahen zu können (vgl. in Plädoyer 2/2010 S. 53 zusammengefasstes Urteil 8C_897/2009 vom 29. Januar 2010 E. 4.5 mit Hinweisen; Urteil 8C_358/2010 vom 30. Juni 2010 E. 6.2). Das trifft nach Lage der Akten nicht zu und wird auch nicht geltend gemacht. Damit muss nicht abschliessend geprüft werden, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form vorliegen.
8. Zusammenfassend hat das kantonale Gericht die adäquate Unfallkausalität der psychischen Beschwerden zu Recht verneint. Aus diesen Beschwerden ergibt sich mithin kein Anspruch auf eine höhere Invalidenrente und Integritätsentschädigung. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde, wobei mit der Vorinstanz offen gelassen werden kann, ob die psychische Problematik überhaupt in einem natürlichen Kausalzusammenhang zum Unfall vom 18. Juni 1996 steht.
9. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. August 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz