Faits:
A. Le 5 avril 2007, B._ a recouru auprès du Tribunal administratif du canton de Fribourg (aujourd'hui, Tribunal cantonal) contre la décision de l'Office cantonal fribourgeois de l'assurance-invalidité du 1er mars 2007, par laquelle celui-ci a rejeté sa demande de prestations du 3 juin 2004. Il concluait à l'octroi d'une rente entière de l'assurance-invalidité du 1er juin 2003 au 31 janvier 2006, puis à un quart de rente à partir du 1er février 2006. Au terme de l'échange d'écritures, l'administration a déposé des contre-observations le 8 novembre 2007, dont l'assuré a reçu une copie par envoi du 12 novembre suivant. Le 10 avril 2008, B._ a modifié les conclusions de son recours, en ce sens qu'il a renoncé à prétendre un quart de rente dès le 1er février 2006. Il a par ailleurs sollicité du Tribunal une décision rapide au regard de sa situation financière, requête qu'il a réitérée le 18 août 2008. S'adressant à nouveau au Tribunal par courrier du 18 mars 2009, il l'a averti qu'il entendait saisir la juridiction fédérale s'il ne recevait pas notification du jugement cantonal jusqu'au 30 avril 2009. En réponse, le 22 avril 2009, le Tribunal cantonal a indiqué qu'il statuerait dans les meilleurs délais, sans être cependant en mesure de se prononcer jusqu'au 30 avril 2009 en raison notamment de "la forte surcharge de la Cour des assurances sociales".
B. Le 15 mai 2009, B._ a interjeté un recours en matière de droit public pour déni de justice. Il a conclu, sous suite de dépens, à ce que soit constaté le retard injustifié pris par la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal fribourgeois et à ce qu'il soit ordonné à cette autorité de statuer à très bref délai.
Le 29 mai 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal fribourgeois a rendu un jugement dans le litige opposant l'assuré à l'Office cantonal fribourgeois de l'assurance-invalidité. En procédure fédérale, elle a observé avoir statué "dans un contexte de très forte charge de travail". A la suite de la prise de position de la juridiction cantonale, B._ indique que "s'il doit être pris acte de ce que le recours pour déni de justice est devenu sans objet", une indemnité à titre de dépens doit lui être allouée (courrier du 14 juillet 2009).
Considérant en droit:
1. Le recours, formé au motif que la juridiction cantonale a tardé à rendre une décision (art. 94 LTF) sur des prétentions en matière d'assurance-invalidité, concerne une cause qui relève sur le fond du droit public. Il est donc recevable en principe. Comme l'admet à juste titre le recourant dans ses observations relatives à la prise de position de l'autorité de recours de première instance, le recours doit cependant être déclaré sans objet - et rayé du rôle (arrêt du Tribunal fédéral 9C_831/2008 du 12 décembre 2008 consid. 1.2 et les arrêts cités) -, dès lors que B._ ne dispose plus d'un intérêt juridiquement protégé (art. 89 al. 1 let. c LTF) à ce que la juridiction en cause rende une décision "à très bref délai". Le Tribunal cantonal fribourgeois a en effet statué postérieurement à l'ouverture de l'instance fédérale par jugement du 29 mai 2009, envoyé aux parties le 2 juin suivant.
2. Lorsque, comme en l'espèce, un procès devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue néanmoins sur les frais du procès par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de choses existant avant le fait qui met fin au litige (art. 72 PCF en relation avec l'art. 71 LTF). Il convient, en particulier, de tenir compte de l'issue probable du litige (ATF 125 V 373 consid. 2a p. 375).
2.1 Le retard injustifié à statuer est une forme particulière du déni de justice prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst et l'art. 6 § 1 CEDH (qui n'offre à cet égard pas une protection plus étendue [ATF 103 V 190 consid. 2 p. 192]). Il y a retard injustifié à statuer lorsque l'autorité administrative ou judiciaire compétente ne rend pas la décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prévu par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire ainsi que toutes les autres circonstances font apparaître comme raisonnable (ATF 131 V 407 consid. 1.1 p. 409 et les références). Entre autres critères sont notamment déterminants le degré de complexité de l'affaire, l'enjeu que revêt le litige pour l'intéressé ainsi que le comportement de ce dernier et celui des autorités compétentes (ATF 130 I 312 consid. 5.2 p. 332; 125 V 188 consid. 2a p. 191). A cet égard, il appartient, d'une part, au justiciable d'entreprendre certaines démarches pour inviter l'autorité à faire diligence, notamment en incitant celle-ci à accélérer la procédure ou en recourant pour retard injustifié. D'autre part, si on ne saurait reprocher à l'autorité quelques "temps morts", qui sont inévitables dans une procédure, elle ne peut invoquer une organisation déficiente ou une surcharge structurelle pour justifier la lenteur excessive de la procédure; il appartient en effet à l'Etat d'organiser ses juridictions de manière à garantir aux citoyens une administration de la justice conforme aux règles (ATF 130 I 312 consid. 5.2 p. 332 et les références).
En droit des assurances sociales, la procédure de première instance est par ailleurs gouvernée par le principe de célérité. Ce principe est consacré à l'art. 61 let. a LPGA qui exige des cantons que la procédure soit simple et rapide et constitue l'expression d'un principe général du droit des assurances sociales (ATF 110 V 54 consid. 4b p. 61).
2.2 En l'espèce, le recourant a déféré la décision administrative à la juridiction cantonale le 5 avril 2007. Dans le cadre de l'instruction de la cause, l'autorité de recours de première instance a donné l'occasion à l'intimé de répondre au recours, puis invité tour à tour chacune des parties à se déterminer sur la position de l'autre. L'échange d'écritures s'est achevé par la transmission des "contre-observations" de l'intimé le 12 novembre 2007 au recourant. Celui-ci a saisi le Tribunal fédéral d'un recours pour déni de justice le 15 mai 2009, avant que la juridiction cantonale ne rende son jugement sur le fond le 29 mai suivant. Entre les mois de novembre 2007 et mai 2009, aucun acte de procédure n'a été accompli, en dehors de l'annonce par le recourant de la modification de ses conclusions (écriture du 10 avril 2008), ainsi que de ses requêtes visant à obtenir une décision rapide et les réponses correspondantes du Tribunal cantonal. Les premiers juges avaient à se prononcer sur le droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité. Au regard des motifs du recours cantonal, il s'agissait en particulier de déterminer la capacité de travail de l'assuré pendant la période litigieuse, ainsi que d'évaluer le taux d'invalidité résultant d'une éventuelle incapacité de travail. L'instruction de l'affaire requérait en particulier du Tribunal cantonal un examen consciencieux de plusieurs avis médicaux, le choix de l'une ou l'autre des méthodes d'évaluation de l'invalidité au regard du statut de l'assuré (qui a apparemment travaillé d'abord comme salarié de sa propre société, puis comme indépendant) et l'évaluation des revenus déterminants à prendre en considération.
Au regard de ces éléments, en rendant son jugement 25 mois après le dépôt du recours, alors que la cause se trouvait apparemment en état d'être jugée depuis un peu plus de 18 mois, la juridiction cantonale n'a pas fait preuve d'un retard injustifié dans le traitement de la cause. C'est en vain que le recourant se réfère à cet égard à l'arrêt 9C_831/2008 du 12 décembre 2008, dans lequel le Tribunal fédéral avait admis un retard inadmissible à statuer. Dans cette affaire, le Tribunal fédéral avait considéré au vu des circonstances qu'un délai de 24 mois entre la fin de l'échange d'écritures et le prononcé du jugement cantonal ne pouvait plus être qualifié de raisonnable, tout en relevant qu'un tel délai représentait une situation limite (arrêt 9C_831/2008 cité, consid. 2.2, in Plädoyer 3/2009 p. 62). En l'espèce, le laps de temps d'un peu plus de 18 mois écoulé entre la fin de l'échange d'écritures et le prononcé du jugement cantonal ne constitue pas une durée excessive pour statuer sur une cause qui nécessitait, quoi qu'en dise le recourant, une analyse soigneuse de sa situation sur le plan économique (comp. arrêts [du Tribunal fédéral des assurances] I 473/04 du 29 novembre 2005 et I 314/99 du 16 juillet 1999; arrêt [du Tribunal fédéral] 8C_681/2008 du 20 mars 2009 consid. 3). Le recourant n'aurait dès lors pas été fondé à se plaindre d'un retard inadmissible à statuer.
2.3 Vu ce qui précède, le recourant n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF). Le Tribunal fédéral ne percevra par ailleurs pas de frais judiciaires (cf. art. 66 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La cause, devenue sans objet, est rayée du rôle.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. La présente ordonnance est communiquée aux parties et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 19 août 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: La Greffière:
Borella Moser-Szeless