Faits:
A. A.a X._, né le 26 octobre 1957, de nationalités togolaise et française, et Y._, née le 16 juillet 1961, de nationalité française, se sont mariés à St-Prex (VD) le 5 novembre 1994. Trois enfants sont issus de cette union: A._, née le 14 février 1995, B._, né le 24 janvier 1997, et C._, née le 21 janvier 1999. X._ est aussi le père d'un quatrième enfant, D._, née en République togolaise le 26 août 2006.
Statuant le 11 août 2000 sur requête commune des époux, le Tribunal du district de Morges a prononcé le divorce des parties, ratifié leur convention sur les effets accessoires de celui-ci et donné acte au mari de son engagement de verser mensuellement à l'épouse, détentrice de l'autorité parentale et du droit de garde sur les enfants, des contributions à l'entretien de chacun d'eux d'un montant de 300 fr. jusqu'à l'âge de 5 ans, 350 fr. de 5 à 13 ans et 400 fr. de 13 ans à la majorité, allocations familiales non comprises.
A.b Le 4 octobre 2007, le père a formé une action en modification du jugement de divorce, concluant à la diminution de la contribution d'entretien en faveur de chaque enfant à 100 fr. par mois jusqu'à l'âge de 14 ans, puis à 150 fr. par mois jusqu'à la majorité. Il s'est d'abord limité à invoquer la péjoration de sa situation financière à la suite de la naissance de son quatrième enfant et l'amélioration de celle de son ex-épouse, puis s'est en outre prévalu de la perte de son emploi.
Y._ s'est opposée à la demande, arguant que la situation de son ex-mari, hormis la naissance d'un quatrième enfant auquel il n'établissait pas envoyer régulièrement de l'argent, n'avait pas considérablement changé depuis le jugement de divorce et que la perte de son emploi, intervenue après le dépôt de la requête, n'était que passagère, s'agissant d'une résiliation pour justes motifs.
A.c Par ordonnance de mesures provisoires du 24 juillet 2008, le juge de paix du district de Morges a ratifié l'accord des parties selon lequel la mère renonçait à son droit de garde sur son fils B._, ce droit étant confié au Service de protection de la jeunesse de l'Est vaudois avec pour mission de placer l'enfant chez son père pour une durée de trois mois; il n'est pas contesté que la mesure a été reconduite pour une nouvelle période de trois mois par ordonnance de mesures provisoires du 15 octobre 2008, dans l'attente d'une décision définitive.
A.d Statuant le 21 mai 2008 sur demande de la mère, le Tribunal d'arrondissement de La Côte a ordonné à tout débiteur du père de prélever directement la somme de 1'100 fr. sur ses indemnités, rentes, salaires ou allocations, et de la verser à la mère. Le montant précité a toutefois été réduit à 500 fr. par arrêt de la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 6 octobre 2008.
B. Par jugement du 10 septembre 2008, le Tribunal de première instance du canton de Genève a débouté le père de toutes ses conclusions tendant à la modification des contributions prévues par le jugement de divorce en tant qu'elles concernaient la période antérieure au 3 août 2008, et a suspendu l'instruction de la cause pour la période postérieure au 3 août 2008 jusqu'à droit jugé par le tribunal compétent du district de Morges quant à l'attribution de la garde du mineur B._.
Le père a appelé de ce jugement, concluant à ce qu'il soit uniquement astreint à verser des contributions mensuelles à l'entretien de chacune de ses filles aînées, d'un montant de 100 fr. jusqu'à l'âge de 14 ans et de 150 fr. de 14 ans à la majorité, allocations familiales non comprises, dès le 1er septembre 2007. Il demandait en outre que lui soit réservé son droit de réclamer une contribution pour l'entretien de son fils.
Une audience de plaidoiries a été appointée au 27 janvier 2009. Par courrier du 21 janvier 2009, dans lequel elle demandait que son absence soit excusée, la mère, qui s'était préalablement opposée à l'appel, a fait part de sa décision de retourner s'installer dans la région parisienne, dont elle est originaire, à partir de septembre 2009, et de demander que la garde de son fils lui soit à nouveau attribuée dès juillet 2009.
Par arrêt du 20 mars 2009, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a modifié le jugement du 10 septembre 2008 en ce sens que le père a été débouté de toutes ses conclusions en modification des contributions d'entretien fixées par le jugement de divorce.
C. Par acte du 11 mai 2009 X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 20 mars 2009, en reprenant principalement ses conclusions formulées en appel. Subsidiairement, il conclut au renvoi du dossier à la Cour de justice pour nouvelle décision au sens des considérants.
L'intimée propose le rejet du recours.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
Les deux parties sollicitent par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Considérant en droit:
1. 1.1 L'arrêt entrepris est une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une juridiction cantonale de dernière instance (art. 75 LTF), dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a qualité pour recourir car il a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) - compte tenu de la suspension des délais de l'art. 46 al. 1 let. a LTF - et dans la forme prévue par la loi (art. 42 LTF), le présent recours est en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut notamment être formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), qui englobe les droits constitutionnels (ATF 133 III 446 consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2.3 p. 466). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties (ATF 133 III 545 consid. 2.2 p. 550). Cependant, compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), à l'art. 42 al. 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 133 IV 150 consid. 1.2 p. 152).
1.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation; le Tribunal fédéral n'examine, en effet, la violation de l'interdiction de l'arbitraire que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287); les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 III 589 consid. 2 p. 591 et les arrêts cités).
1.4 Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision précédente (art. 99 al. 1 LTF) et ce même si la maxime inquisitoire est applicable (ATF 120 II 229 consid. 1c p. 231/232; 117 II 353 consid. 1b non publié; arrêts 5C.51/2005 du 2 septembre 2005, consid. 1.2; 5C.101/1993 du 7 septembre 1993, consid. 2, in SJ 1993 p. 656).
Sont dès lors irrecevables les allégations et moyens du recourant relatifs à son licenciement, jugé injustifié par le Tribunal des prud'hommes le 6 mars 2009, et ceux concernant le rapport du Service de protection de la jeunesse (SPJ) du 9 avril 2009. L'autorisation d'établissement de son fils délivrée, selon le recourant, par les autorités genevoises à la fin du mois d'avril 2009, ne peut pas non plus être prise en considération. En ce qui concerne le rapport du SPJ et l'autorisation d'établissement, il convient en outre de relever que l'art. 99 al. 1 LTF exclut aussi la présentation de vrais faits nouveaux, soit de faits survenus après la décision attaquée, en l'espèce rendue le 20 mars 2009, dans les procédures de recours devant le Tribunal fédéral (ATF 133 IV 342 consid. 2.1 p. 343/344).
Il ne peut pas non plus être tenu compte de l'allégation contenue dans la réponse de l'intimée déposée le 16 mars 2010, selon laquelle elle aurait récemment perdu son emploi.
2. Le recourant reproche notamment à l'autorité cantonale d'avoir retenu, à la suite d'une appréciation arbitraire des faits, que son fils n'était placé chez lui que provisoirement et d'avoir par conséquent violé le droit fédéral en refusant d'incorporer dans ses charges le minimum vital de l'enfant, concluant implicitement à la suppression de la contribution qu'il doit verser pour l'entretien de celui-ci à la mère. A l'appui de son grief, il fait valoir quatre décisions des 24 juillet 2008, 15 octobre 2008, 19 novembre 2008 et 29 décembre 2008, confirmant judiciairement la curatelle de représentation confiée au SPJ et le placement de son fils chez lui. La déclaration de l'intimée selon laquelle elle souhaitait récupérer la garde de l'enfant dès le mois de juillet 2009 était en outre trop soudaine pour être prise au sérieux et n'était du reste appuyée par aucun élément de fait. Son minimum vital devait ainsi être augmenté de la charge que représente le placement de son fils chez lui.
2.1 Aux termes de l'art. 286 al. 2 CC, applicable par renvoi de l'art. 134 al. 2 CC, si la situation change notablement, le juge modifie ou supprime la contribution d'entretien à la demande du père, de la mère ou de l'enfant. Cette modification ou suppression suppose que des faits nouveaux importants et durables surviennent, qui commandent une réglementation différente. La procédure de modification n'a pas pour but de corriger le premier jugement, mais de l'adapter aux circonstances nouvelles. Pour déterminer si la situation a notablement changé, au point qu'une autre décision s'impose, il faut examiner dans quelle mesure les capacités financières et les besoins respectifs des parties ont évolué depuis le divorce (cf. ATF 131 III 189 consid. 2.7.4 p. 199/200; 120 II 177 consid. 3a p. 178, 285 consid. 4b p. 292).
L'action en modification du jugement de divorce de l'art. 134 CC, lorsqu'elle concerne des questions relatives aux enfants, est soumise à la maxime inquisitoire de l'art. 145 al. 1 CC. Selon la jurisprudence, le juge a le devoir d'éclaircir les faits et de prendre en considération d'office tous les éléments qui peuvent être importants pour rendre une décision conforme à l'intérêt de l'enfant, même si ce sont les parties qui, en premier lieu, lui soumettent les faits déterminants et les offres de preuves; il ordonne d'office l'administration de toutes les preuves propres et nécessaires à établir les faits pertinents. La maxime inquisitoire ne dispense cependant pas les parties de collaborer activement à la procédure et d'étayer leurs propres thèses (ATF 128 III 411 consid. 3.2.1 p. 412).
2.2 Concernant le placement de son fils chez lui, le recourant se réfère à l'ordonnance rendue le 24 juillet 2008 par le juge de paix du district de Morges, ratifiant l'accord des parents consistant à retirer le droit de garde à la mère pour le confier au SPJ, avec pour mission de placer l'enfant chez son père pour une durée de trois mois, et à l'ordonnance du 15 octobre 2008 reconduisant cet accord pour une nouvelle période de trois mois; bien que ces décisions soient qualifiées par l'arrêt attaqué d'«ordonnances de mesures provisoires» prises «dans l'attente qu'une décision définitive ne soit rendue», il n'en demeure pas moins que, de fait, l'enfant se trouve désormais placé chez son père depuis l'été 2008, ce que l'intimée ne conteste pas. Les deux autres décisions citées par le recourant, datées du 29 décembre 2008, respectivement du 19 novembre 2008, ne sont certes pas décisives: la première ne fait que confirmer l'institution, prévue par la seconde, d'une curatelle de représentation au sens de l'art. 392 ch. 2 CC en faveur de l'enfant, aux fins de permettre au SPJ d'entreprendre les démarches nécessaires en vue du renouvellement du passeport dudit enfant. Toutefois, compte tenu du fait que l'enfant avait déjà passé plus de sept mois chez son père au moment où la décision attaquée a été rendue, à savoir le 20 mars 2009, l'autorité cantonale ne pouvait considérer, sans violer le droit fédéral, que le recourant n'avait pas la garde de l'enfant, celui-ci étant seulement placé à titre provisoire chez lui. Il incombait à la Cour de justice de tenir compte du placement durable de l'enfant B._ chez son père et d'administrer la preuve sur les conséquences financières en découlant, aux fins de déterminer si cette nouvelle situation commandait de revoir la réglementation de la contribution d'entretien fixée par le jugement de divorce.
3. Vu ce qui précède, le recours doit être admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à la Cour de justice pour instruction et nouvelle décision au sens des considérants. Il n'y a pas lieu d'examiner, en l'état, les autres griefs soulevés, dans la mesure où la situation financière des parties, influencée par le placement de B._ chez son père, devra de toute manière être réexaminée. Les frais et dépens de la présente procédure seront supportés par l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF). Dans ces conditions, la requête d'assistance judiciaire du recourant devient sans objet. Quant à celle de l'intimée, elle ne saurait être agréée, sa conclusion tendant au rejet du recours étant d'emblée vouée à l'échec. Il n'y a pas lieu de modifier la répartition des dépens de la procédure cantonale (cf. art. 68 al. 5 LTF), que la Cour de justice a compensés eu égard à la qualité des parties.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est sans objet.
3. La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est rejetée.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
5. Une indemnité de 1'000 fr., à verser au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 25 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot