Faits:
A.
B._ est propriétaire des parcelles n os 3702 et 3747 du registre foncier de la commune de Montreux. Ces terrains adjacents, de respectivement 1'384 mètres carrés et 1'363 mètres carrés, sont compris dans le secteur d'habitat familial individuel du plan de quartier "A Chaulin" adopté le 26 juin 1991 par le Conseil communal de Montreux et approuvé le 30 octobre 1992 par le Conseil d'Etat du canton de Vaud.
Le 4 avril 2011, la société IDM Développement Conseils Immobiliers SA, promettant-acquéreur des deux biens-fonds, a déposé une demande de permis de construire une villa familiale à deux logements sur chacune des parcelles, après démolition de la maison individuelle et du garage existants sur la parcelle n° 3747.
Ce projet mis à l'enquête publique du 13 mai au 14 juin 2011 a suscité notamment une opposition collective de voisins qui ont fait valoir que chacun des bâtiments nouveaux serait en réalité un ensemble de deux villas jumelées non conforme au règlement du plan de quartier.
Le 3 juillet 2011, le conseil des opposants, déclarant agir au nom de plus de la moitié des propriétaires du périmètre du plan de quartier "A Chaulin", dont les immeubles représentent plus de la moitié de l'estimation fiscale totale, a requis une modification du règlement du plan de quartier tendant à empêcher que les constructions dans le secteur d'habitat familial individuel puissent être dotées de toitures plus hautes que celles dans le secteur d'habitat familial groupé.
Par décisions des 11 et 16 août 2011, la Municipalité de Montreux a accordé à IDM Développement Conseils Immobiliers SA le permis de construire sollicité, levé les oppositions et refusé d'entrer en matière sur la requête de modification du plan de quartier "A Chaulin" formulée par les opposants.
A._ et consorts ont déposé un recours contre cette décision que la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté, dans la mesure où il était recevable, au terme d'un arrêt rendu le 24 septembre 2012.
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle du recours constitutionnel subsidiaire, A._ et consorts demandent au Tribunal fédéral d'annuler les décisions de la Municipalité de Montreux du 16 août 2011 et de renvoyer le dossier à l'autorité communale pour qu'elle entre en matière sur la demande de nouveau plan de quartier.
Le Tribunal cantonal a renoncé à déposer des observations et se réfère aux considérants de son arrêt. La Municipalité de Montreux propose de déclarer tant le recours constitutionnel subsidiaire que le recours en matière de droit public irrecevables et, subsidiairement, de rejeter celui-ci. L'intimée conclut au rejet du recours.
Les recourants ont répliqué.
C.
Par ordonnance présidentielle du 19 novembre 2012, la demande d'effet suspensif présentée par les recourants a été rejetée.
Considérant en droit:
1.
La voie du recours en matière de droit public au sens des art. 82 ss LTF est ouverte contre les décisions rendues, comme en l'espèce, en dernière instance cantonale dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions, dans la mesure où aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'est réalisée. Le recours constitutionnel subsidiaire est de ce fait irrecevable (cf. art. 113 LTF).
Les recourants ont pris part à la procédure devant le Tribunal cantonal et sont, en tant que voisins, particulièrement touchés par l'arrêt attaqué, qui rejette leur recours contre l'octroi d'une autorisation de construire qu'ils considèrent comme non conforme au règlement du plan de quartier dans lequel les constructions litigieuses s'insèrent et contre le rejet de leur demande de modification dudit plan. Ils peuvent se prévaloir d'un intérêt digne de protection à obtenir l'annulation de cet arrêt et ont donc la qualité pour agir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF.
Les recourants ont conclu à l'annulation des décisions de la Municipalité de Montreux du 16 août 2011 et au renvoi du dossier à cette autorité pour qu'elle entre en matière sur leur demande de modification du plan de quartier. Ils n'ont en revanche pris aucune conclusion quant au sort à réserver à l'arrêt attaqué. L'incidence de cette omission sur la recevabilité du recours peut demeurer indécise vu l'issue de celui-ci.
2.
Les recourants reprochent à la Municipalité de Montreux de ne pas avoir produit le dossier original et complet de la cause concernant leur requête de modification du plan de quartier "A Chaulin". Ils contestent l'arrêt attaqué en tant qu'il retient que leur conseil se serait contenté de déclarer avoir agi au nom de plus de la moitié des propriétaires du périmètre de ce plan sans produire de justificatif. Ils auraient joint à leur requête des tableaux qui établiraient la double majorité requise par l'art. 67 al. 2 de la loi vaudoise sur l'aménagement du territoire et les constructions (LATC) pour la modification du plan de quartier. Ils produisent une copie de ces documents en annexe à leur recours à titre indicatif pour le cas où ils ne figureraient pas dans le dossier communal.
Il ressort du dossier que les tableaux précités étaient mentionnés comme annexes à la demande de modification du règlement du plan de quartier du 3 juillet 2011 adressée à la Municipalité de Montreux, mais qu'ils ne se trouvent pas dans le dossier de la commune. Il n'y a pas lieu de vérifier plus avant si, dans ces circonstances, l'on peut reprocher à la cour cantonale une appréciation inexacte ou incomplète des faits. Le recours ne peut en effet critiquer les constatations de fait de l'arrêt attaqué que si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. art. 97 al. 1 LTF). Cette exigence n'est pas réalisée. La cour cantonale a rejeté le recours en tant qu'il concernait le refus d'entrer en matière sur la demande de modification du plan de quartier présentée par les recourants non pas parce qu'ils n'auraient pas établi avoir satisfait aux conditions formelles posées à l'art. 67 al. 2 LATC (requête émanant de la moitié au moins des propriétaires concernés représentant la moitié au moins de l'estimation fiscale totale des biens-fonds), mais parce que cette disposition n'était pas applicable à la modification d'un plan de quartier.
3.
Les recourants considèrent que les constructions prévues sur chacune des parcelles s'apparenteraient à des villas jumelles ou contiguës d'un logement chacune, qui devraient prendre place dans le secteur d'habitat familial groupé, plutôt qu'à des villas familiales de deux logements seules autorisées dans le secteur d'habitat familial individuel en vertu de l'art. 38 RPQ. Ils dénoncent à cet égard une application arbitraire du règlement du plan de quartier.
3.1. Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal ou communal ne constitue pas un motif de recours. Elle peut en revanche être constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF, telle que l'interdiction de l'arbitraire ancrée à l'art. 9 Cst. Sur ce point, la loi sur le Tribunal fédéral n'apporte aucun changement à la cognition du Tribunal fédéral qui était la sienne sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire (ATF 133 II 249 consid. 1.2.1 p. 251). Appelé à revoir l'application faite d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou encore si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4), ce qu'il revient aux recourants de démontrer conformément aux exigences de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 396 consid. 3.2 p. 400).
3.2. La cour cantonale a tout d'abord relevé que seules des villas familiales comportant au plus deux logements étaient autorisées dans le secteur d'habitat familial individuel du plan de quartier "A Chaulin" en vertu de l'art. 38 RPQ. Elle a ensuite constaté qu'à l'époque de l'élaboration de ce plan de quartier, une villa pouvait être comprise, dans l'interprétation des règles vaudoises de police des constructions, non seulement comme une maison individuelle, mais aussi comme une maison comportant deux appartements, pour deux familles (cf. JEAN-LUC MARTI, Distances, coefficients et volumétrie des constructions en droit vaudois, 1988, p. 49). Elle a enfin rappelé les critères posés par la jurisprudence pour distinguer une villa familiale de deux logements de deux villas juxtaposées, jumelles ou mitoyennes, à savoir la destination des constructions en cause et leurs liaisons fonctionnelles (avec les éventuels locaux communs), les dimensions des constructions, leurs surfaces de plancher respectives, la conception architecturale et les matériaux des revêtements extérieurs, l'apparence extérieure, en particulier l'impression donnée à un observateur, ainsi que les objectifs de la planification communale et cantonale (cf. arrêts cités dans les chroniques de jurisprudence cantonale in RDAF 2008 I p. 253 et à la RDAF 2007 I p. 125).
Appliquant ces principes au cas particulier, elle a jugé qu'il ressortait clairement d'une analyse des plans de la constructrice que, sur chacune des deux parcelles concernées, le bâtiment projeté pouvait être qualifié de villa familiale de deux appartements. L'aspect extérieur est déterminant (étant rappelé que les deux villas sont quasiment identiques) et, en l'occurrence, il apparaît que chaque bâtiment est bien une seule maison. En outre, le garage est commun, avec une seule entrée par villa. En réalité, on ne voit pas sur la base de quel critère on pourrait qualifier une de ces maisons de villas juxtaposées.
3.3. Les recourants soutiennent qu'il conviendrait de s'en tenir à la jurisprudence qui prévalait lors de l'adoption du plan de quartier, pour interpréter l'art. 38 RPQ et apprécier la réglementarité à cet égard des constructions litigieuses. Selon cette jurisprudence, une symétrie marquée des bâtiments constitue le signe de bâtiments distincts accolés, de même que des décrochements en plan ou en élévation révèlent en un coup d'oeil que l'on a affaire à des unités distinctes et accolées. Le critère tiré de la distribution intérieure des bâtiments était alors totalement étranger aux principaux motifs qui conduisaient les communes à prohiber les villas accolées (RDAF 1989 p. 83). Il aurait fallu tenir compte de cette jurisprudence qui s'est traduite sur le terrain par l'exclusion de constructions accolées. Cet écart par rapport à la pratique appliquée depuis vingt ans relèverait de l'arbitraire et devrait être sanctionnée par le refus du permis de construire. Il en irait de l'égalité de traitement entre propriétaires. La cour cantonale aurait pu constater cet état de fait si elle s'était rendue sur place, comme ils le demandaient. En ne le faisant pas, elle aurait violé leur droit d'être entendus.
3.4. L'intimée estime que la jurisprudence en vigueur lors de l'adoption du plan de quartier et de son règlement ne différerait pas de la jurisprudence actuelle et qu'elle laisse aux autorités communales une large place à l'interprétation de leur propre règlement. En particulier, le critère de l'apparence extérieure est essentiel pour distinguer la villa jumelée de la villa individuelle de deux logements. Examinée sous cet angle, chacune des constructions litigieuses devrait être considérée comme telle. Les recourants n'auraient pas amené la preuve que des projets de villas uniques avec deux logements semblables aux deux villas litigieuses auraient été mis à l'enquête publique et refusés par les autorités communales. La Municipalité de Montreux partage cet avis et relève que les constructions litigieuses ne présentent aucune des caractéristiques qui permettraient de les tenir pour des bâtiments accolés selon l'art. 61 du règlement communal sur le plan d'affectation et la police des constructions adopté le 15 décembre 1972.
3.5. A teneur de l'art. 38 RPQ, le secteur d'habitat familial individuel est destiné à l'habitation familiale individuelle, sous forme de villas familiales comportant au plus deux logements.
Le règlement du plan de quartier ne précise pas de quelle manière les deux logements doivent être aménagés pour qu'une construction puisse être considérée comme conforme à cette disposition. Il ne s'oppose pas à ce qu'ils soient juxtaposés et non pas répartis par étage, conformément à la jurisprudence cantonale en vigueur lors de l'adoption du plan de quartier (cf. RDAF 1972 p. 274; RDAF 1989 p. 83).
Le règlement du plan de quartier oppose en revanche l'habitation familiale individuelle, sous la forme de villas familiales comportant au plus deux logements (art. 38 RPQ), à l'habitation familiale groupée, qui se caractérise par l'édification de bâtiments d'habitation contigus, disposés en rangées et ayant un prolongement extérieur sous forme de jardin individuel (ou terrasse), ainsi que des surfaces d'accès individuelles (art. 27 al. 1, 2 et 3 RPQ). L'art. 31 RPQ insiste sur les caractéristiques architecturales de la construction pour distinguer l'habitat groupé de l'habitation familiale individuelle. Selon cette disposition, l'architecture des façades doit exprimer le caractère de "tranches" d'habitation d'une manière claire et sans artifice, les décrochements en plan et en hauteur étant autorisés. Elle doit permettre de comprendre clairement que l'on est en présence de bâtiments distincts. L'aspect extérieur de la construction revêt ainsi une importance prépondérante pour distinguer la villa individuelle de deux logements des bâtiments accolés, caractéristiques de l'habitat groupé. Il en va de même s'agissant de distinguer les bâtiments autorisés dans le secteur du village de la villa de type individuelle (art. 19 RPQ). Cette réglementation rejoint ainsi la jurisprudence cantonale rendue à l'époque de l'adoption du plan qui, pour opérer la distinction entre villas jumelées et villa individuelle de deux logements, se réfère de manière prépondérante au critère de l'apparence extérieure (RDAF 1989 p. 82).
En l'occurrence, les constructions litigieuses ne présentent aucune des caractéristiques architecturales qui permettraient de les qualifier de deux bâtiments accolés au sens de la réglementation du plan de quartier. En particulier, elles ne comportent aucun décrochement en façade ou en hauteur qui permettrait à un observateur extérieur de conclure à la présence de deux bâtiments distincts. Elles sont coiffées d'une toiture unique à deux pans et présentent la silhouette d'une villa de type traditionnel. La symétrie entre les deux logements au niveau des façades sud-ouest et nord-ouest résulte de la juxtaposition des logements, laquelle est tolérée par le règlement du plan de quartier, de sorte qu'elle n'est pas déterminante pour conclure à la présence de deux bâtiments accolés dans le cas particulier.
Cela étant, la cour cantonale n'a pas fait preuve d'arbitraire en considérant que les constructions autorisées répondaient à la notion de villas familiales de deux logements et qu'elles étaient ainsi conformes à l'art. 38 RPQ. Elle n'a pas davantage violé le droit d'être entendus des recourants en statuant sur la base du dossier sans avoir procédé à une inspection locale. Etant donné que la distinction de la villa familiale à deux logements de deux bâtiments distincts accolés se fonde principalement sur une appréciation de l'aspect extérieur de la construction litigieuse, qui pouvait se faire sur la base des plans versés au dossier, il n'était pas nécessaire de se rendre sur les lieux. Enfin, les recourants ne démontrent pas que la délivrance du permis de construire irait à l'encontre d'une pratique constante des autorités communales et serait discriminatoire à leur égard. Le fait qu'il n'existerait pas d'autres villas individuelles comportant deux logements juxtaposés dans le secteur d'habitat familial individuel, comme le prétendent les recourants, n'est pas de nature à établir une telle pratique. Une inspection locale ne s'imposait donc pas plus pour ce motif.
4.
Les recourants s'en prennent également au refus de la Municipalité de Montreux d'entrer en matière sur leur demande de plan de quartier qu'ils tiennent pour arbitraire et contraire aux art. 21 al. 2 LAT et 67 LATC.
4.1. La cour cantonale a considéré à ce propos que la demande des intéressés ne tendait pas à l'établissement d'un plan de quartier, puisqu'un tel plan existait déjà depuis une vingtaine d'années, mais qu'elle avait pour objectif une modification de clauses réglementaires dans le secteur d'habitat familial individuel du plan de quartier existant, à propos de la hauteur des constructions ou des toits. Or cette situation n'était pas directement visée par l'art. 67 al. 2 LATC. Elle a ainsi examiné le grief des recourants au regard de l'art. 21 LAT, qui dispose que lorsque les circonstances se sont sensiblement modifiées, les plans d'affectation feront l'objet des adaptations nécessaires. Dans un quartier déjà largement bâti, elle n'a pas vu, sur la base de l'argumentation des recourants, en quoi ceux-ci pourraient se prévaloir, à propos de la réglementation de la hauteur des bâtiments, d'une modification sensible des circonstances qui justifierait une adaptation de ce plan d'affectation spécial, au détriment de l'intérêt à la stabilité du plan de quartier. Leur démarche semblait davantage motivée par une volonté d'empêcher, par un autre biais que l'opposition, la réalisation du projet de l'intimée. La Municipalité était ainsi fondée en l'espèce à considérer qu'il n'y avait aucun motif, en fonction de l'évolution des circonstances depuis l'entrée en vigueur du plan de quartier, de revoir à ce stade cet élément de la planification communale.
Les recourants critiquent l'interprétation ainsi faite de l'art. 67 al. 2 LATC pour en exclure l'application. Ils estiment que cette disposition leur permettrait de demander l'établissement d'un nouveau plan de quartier à la condition de satisfaire à l'exigence formelle de la double majorité requise par cette disposition, ce qui était le cas si le dossier produit à l'appui de leur demande n'avait pas été escamoté. Le refus d'entrer en matière sur leur demande de plan de quartier serait dépourvu de tout fondement valable et entaché d'un vice formel diriment qui justifierait l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi du dossier à la Municipalité de Montreux pour examen.
4.2. L'art. 67 LATC régit l'établissement d'un plan de quartier, comme cela ressort de sa note marginale, et ne vise pas sa modification ou sa révision. Cette situation est visée à l'art. 63 LATC qui subordonne, à l'instar de l'art. 21 al. 2 LAT, le réexamen des plans d'affectation à une modification sensible des circonstances. Dans leur écriture du 3 juillet 2011, les recourants sollicitaient une modification du règlement du plan de quartier applicable au secteur d'habitat familial individuel et plus spécialement des art. 43 et 44 RPQ concernant la hauteur, respectivement les toitures des villas familiales individuelles afin d'harmoniser ces dispositions avec les règles en la matière régissant le secteur d'habitat familial groupé et de préserver la vue dont les bâtiments édifiés dans ce secteur en amont bénéficient sur le lac. On ne saurait ainsi reprocher à la cour cantonale d'avoir considéré cette écriture comme une demande de modification d'un plan de quartier existant et non comme une demande d'établissement d'un nouveau plan de quartier au sens de l'art. 67 al. 2 LATC. Au demeurant, même si cette disposition était applicable, les recourants n'auraient de toute manière pas pu se prévaloir, sur cette base, d'un droit inconditionnel à ce que la Municipalité de Montreux adopte un nouveau plan qui intègre les modifications proposées, mais ils auraient tout au plus été en droit d'exiger qu'elle traite leur demande et y réponde, ce qui a été précisément le cas en l'espèce (cf. arrêt 1P.440/2000 du 1 er février 2001 consid. 3c in SJ 2001 I p. 228). Pour le surplus, la lettre que les recourants ont adressée le 4 août 2011 au municipal des travaux et dont ils ont joint une copie à leurs observations finales figurait au dossier communal transmis à la cour cantonale. Seules les pièces annexées à leur requête du 3 juillet 2011 manquaient. Or, pour les raisons évoquées au considérant 2 ci-dessus, cette omission n'était pas de nature à conduire à l'annulation de l'arrêt de la cour cantonale.
Les conditions matérielles de révision des plans d'affectation sont déterminées par les art. 21 al. 2 LAT et 63 LATC. Il faut que les circonstances se soient sensiblement modifiées pour que les plans d'affectation puissent être réexaminés. L'art. 21 al. 2 LAT exprime un compromis entre la nécessité de l'adaptation régulière des plans, d'une part, et l'exigence de la sécurité du droit, d'autre part. Cette disposition tend à assurer à la planification une certaine stabilité, sans laquelle les plans d'aménagement ne peuvent remplir leur fonction. La stabilité des plans est un aspect du principe, plus général, de la sécurité du droit, qui doit permettre aux propriétaires fonciers, comme aux autorités chargées de mettre en oeuvre la planification, de compter sur la pérennité des plans d'affectation. Ceux-ci doivent toutefois être révisés lorsque les circonstances déterminantes se sont modifiées depuis leur adoption (ATF 128 I 190 consid. 4.2 p. 198 et les arrêts cités). Pour apprécier l'évolution des circonstances et la nécessité d'adapter un plan d'affectation, une pesée des intérêts s'impose. L'intérêt à la stabilité du plan doit être mis en balance avec l'intérêt à l'adoption d'un nouveau régime d'affectation. Selon les cas, des intérêts publics pourront également justifier soit la stabilité du plan, soit son adaptation. Il incombe donc à l'autorité appelée à statuer sur un projet de modification d'un plan en vigueur d'examiner, en fonction des circonstances concrètes, une pluralité d'intérêts (ATF 132 II 408 consid. 4.2 p. 413; 128 I 190 consid. 4.2 p. 198). Le Tribunal fédéral examine librement cette question, en s'imposant néanmoins une certaine retenue lorsqu'il s'agit de circonstances locales ou de trancher de pures questions d'appréciation (ATF 132 II 408 consid. 4.3 p. 415; 119 Ia 362 consid. 3a p. 366).
Les recourants ne prétendent pas que les circonstances de fait ou de droit se seraient sensiblement modifiées depuis l'adoption du plan de quartier au point que la révision des dispositions réglementaires relatives à la hauteur et aux toitures des constructions autorisées dans le secteur d'habitat familial individuel serait nécessaire pour respecter les objectifs de l'aménagement du territoire. Il s'agirait, selon eux, de corriger une inadéquation du règlement qui n'aurait pas été vue lors de son adoption et que le projet de l'intimée aurait mise en évidence. La hauteur des constructions dans le secteur d'habitat familial individuel n'est pas fixée de manière uniforme, comme cela est le cas dans le secteur d'habitat groupé, mais elle découle, à l'instar de celles autorisées dans le secteur de village, de la combinaison des règles fixant la hauteur des bâtiments à la corniche à 6 mètres (art. 43 RPQ) et la pente de la toiture entre 50 et 90% (art. 44 RPQ). Cette réglementation peut avoir pour effet de permettre l'édification dans ce secteur de constructions plus élevées que celles qui sont autorisées dans le secteur d'habitat familial groupé avec les conséquences négatives qui peuvent en résulter, comme dans le cas particulier, sur la vue dont disposent les propriétaires de terrains sis dans ce secteur. De même, la possibilité offerte à l'art. 38 RPQ de prévoir deux logements par villa a pour effet d'augmenter en conséquence le nombre d'usagers du chemin d'accès et des canalisations existantes. Les propriétaires concernés pouvaient toutefois prévoir les incidences de cette réglementation lors de l'adoption du plan de quartier et c'est dans ce cadre qu'ils auraient dû intervenir le cas échéant. Quoi qu'il en soit, dans la pesée des intérêts en présence que postulent les art. 21 al. 2 LAT et 63 LATC, la cour cantonale, à l'instar de la Municipalité, pouvait de manière soutenable et sans violer le droit fédéral, prendre en compte le fait que le quartier est déjà largement construit et que seule une parcelle reste encore à bâtir dans le secteur d'habitat familial individuel pour conclure que les modifications du règlement du plan de quartier proposées par les recourants ne s'imposaient pas. Le degré de réalisation du plan constitue un élément important à prendre en considération dans la pesée des intérêts; lorsque le plan d'affectation a été mis en oeuvre par l'octroi d'autorisations de construire, sa stabilité doit être garantie (ATF 128 I 190 consid. 4.2 p. 199). Il importe peu à cet égard que les modifications proposées soient de peu d'importance. Le besoin de stabilité des plans revêt en effet une importance accrue pour les plans d'affectation spéciaux, qui définissent de façon détaillée les possibilités de construction (ATF 128 I 190 consid. 4.2 p. 199; 116 Ib 185 consid. 4b p. 188). Le refus d'entrer en matière sur la demande de modification du plan de quartier ne procède ainsi pas d'une pesée incorrecte des intérêts en présence ou d'un abus du large pouvoir d'appréciation dévolu aux autorités de planification que le Tribunal fédéral devrait absolument sanctionner pour se conformer aux buts et aux principes de l'aménagement du territoire.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours en matière de droit public dans la mesure où il est recevable. Les frais de justice seront mis à la charge des recourants, qui succombent (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Ces derniers verseront solidairement entre eux des dépens à l'intimée, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 LTF). La Municipalité de Montreux, qui a procédé dans l'exercice de ses attributions officielles, n'a en revanche pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF; ATF 134 II 117 consid. 7 p. 119).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge des recourants.
4.
Les recourants verseront solidairement à l'intimée la somme de 2'000 fr. à titre de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et de la Municipalité de Montreux ainsi qu'à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 24 juin 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Parmelin