Sachverhalt:
A. Mit einem Schreiben vom 11. Februar 2012 ersuchte X._ das Obergericht des Kantons Zürich sinngemäss um Löschung von ihn betreffenden Einträgen im Polizei-Informationssystem POLIS.
Das Obergericht antwortete X._ am 16. Februar 2012. Es hielt fest, dass Gesuche um Berichtigung von Einträgen im Polizei-Informationssystem POLIS bei einer am System angeschlossenen Polizeien einzureichen seien. Es könne verlangt werden, dass unrichtige Personendaten berichtigt oder vernichtet werden. In Fällen von Freispruch, Einstellung eines Strafverfahrens, Nichtanhandnahme von Strafverfahren oder von Sistierung könne eine Ergänzung verlangt werden. Das Obergericht verwies auf die Verordnung über das Polizei-Informationssystem POLIS und das Gesetz über die Information und den Datenschutz. Bei dieser Sachlage kam das Obergericht zum Schluss, dass es in der vorliegenden Sache nicht tätig werden könne.
B. Am 22. März 2012 hat X._ beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Diese richtet sich gegen zwei unterschiedliche letztinstanzliche kantonale Verfügungen: Zum einen gegen den genannten Bescheid des zürcherischen Obergerichts vom 16. Februar 2012 betreffend Löschung von Personendaten im POLIS-Informationssystem; dieser Teil wird nachfolgend behandelt. Zum andern gegen einen Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 1. Februar 2012, mit dem die Nichtanhandnahme einer Strafuntersuchung gegen 000 Y._ bestätigt worden war; dieser Teil wird im Verfahren 1B_191/2012 behandelt.
Der Beschwerdeführer weist auf die folgenden Umstände hin: Er sieht sich als Opfer eines surrealen und lang anhaltenden Staatsterrors. Er erachtet die Diagnose eines Psychologen auf PTBS und eine andauernde Persönlichkeitsveränderung nach Extrembelastung für zutreffend, lehnt umgekehrt die Folgerungen des Gutachtens von Dr. Y._ ab. Er beklagt sich darüber, dass ihm die Ansprüche aus der (UN-)Folterkonvention versagt worden sind. Er anerkennt Dr. Y._ nicht als unabhängigen Experten. Es sei gegen ihn im Kanton Zürich ein fürsorgerischer Freiheitsentzug (FFE) angeordnet worden. Die Einweisungsverfügung sei ihm erst am dritten Tag nach der Einweisung eröffnet worden. Er erblickt in der Anordnung und dem Vollzug eine unmenschliche und erniedrigende Behandlung. Ferner soll die Einweisung im polizeilichen Informationssystem POLIS vermerkt worden sein. Dieser Eintrag sei entgegen den gesetzlichen Vorschriften nicht (von Amtes wegen) gelöscht worden. Sein Antrag um Untersuchung gemäss der Folterkonvention sei unterschlagen worden. Die Behörden hätten ihm keine Stelle angeben können, die eine derartige Untersuchung durchführen würde. Vor dem Zürcher Sozialversicherungsgericht bestehe wegen dessen Abhängigkeit keine Aussicht auf eine unvoreingenommene Beurteilung. Im Verfahren vor den St. Galler Behörden sei ihm das rechtliche Gehör verletzt worden. Er habe zu den Vorbringen der Zürcher Kantonspolizei nicht Stellung nehmen können. Die Nichtanhandnahmeverfügung sei nicht rechtens, weil sie nicht auf einer eingehenden Abklärung beruhe. Gestützt auf BV und EMRK habe er Anspruch auf eine eingehende Abklärung im Sinne von BGE 131 I 455.
Der Beschwerdeführer stellt im vorliegenden Zusammenhang sinngemäss das Begehren, das Obergericht sei anzuweisen, dafür besorgt zu sein, dass der verleumderische Eintrag des FFE gelöscht werde. Überdies habe das Bundesgericht festzustellen, dass "die Gerichte gem. Art. 5.1 DSG von Amtes wegen verpflichtet sind, sobald ein Urteil in Rechtskraft erwächst, den kantonalen Koordinationsstellen dieses Urteil mitzuteilen und die Berichtigung resp. Löschung der Einträge in den Datenbanken zu veranlassen".
Ferner ersucht er um Prüfung der Frage, welche unabhängige Stelle für eine Untersuchung gemäss Folterkonvention zuständig ist, beantragt ein Recht auf Replik im vorliegenden Verfahren und verlangt eine Entschädigung. Schliesslich ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
In einer weitern Eingabe vom 22. April 2012 weist der Beschwerdeführer auf neuere Vorkommnisse hin (u.a. Aufforderung zur Abklärung der Fahrtüchtigkeit).
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss eine formelle Rechtsverweigerung, weil das Obergericht seinem Begehren nicht stattgegeben und sich als unzuständig erklärt hat, für die Löschung eines Eintrages im Polizei-Informationssystem POLIS zu sorgen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen im Schreiben des Obergerichts nicht auseinander und legt nicht dar, dass die Auffassung des Obergerichts gegen Bundesrecht verstossen sollte. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG nicht.
Das Obergericht ist mit seinem Brief vom 16. Februar 2012 auf die Eingabe des Beschwerdeführers eingegangen. Es hat ihm seine Unzuständigkeit dargelegt. Zudem hat es darauf hingewiesen, dass nach § 13 Abs. 3 der Verordnung über das Polizei-Informationssystem POLIS (POLIS-VO; LS 551.103) und § 21 lit. a des Gesetzes über die Information und den Datenschutz (IDG; LS 170.4) die Löschung oder die Berichtigung von Personendaten verlangt werden könne (vgl. zum Ganzen Urteil 1C_439/2011 vom 25. Mai 2012, zur Publikation bestimmt). Für derartige Begehren sei nach § 13 Abs. 1 POLIS-VO ein Gesuch bei einer der an POLIS beteiligten Polizei einzureichen.
Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass die Auffassung des Obergerichts gegen Bundesrecht verstossen sollte. Seine Beschwerde erweist sich von vornherein als unbegründet.
1.2 Nicht belegt und nachvollziehbar ist das Begehren des Beschwerdeführers um Entrichtung einer Entschädigung.
1.3 Die vom Beschwerdeführer aufgeworfene Frage, welche unabhängige Stelle für eine Untersuchung gemäss UN-Folterkonvention zuständig ist, steht in keinem Zusammenhang mit der vorliegenden Sache.
2. Demnach ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Da keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind, erübrigt sich ein Schriftenwechsel von vornherein. Es rechtfertigt sich, auf Kosten zu verzichten, sodass das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Steinmann