Sachverhalt:
A. A.a Der 1957 geborene S._ meldete sich im August 1999 bei der IV-Stelle des Kantons St. Gallen unter Hinweis auf andauernde Schmerzen in verschiedenen Gelenken zum Leistungsbezug an. Die medizinischen Abklärungen führten zur Diagnose somatoforme Schmerzstörung und leichte depressive Episode. Mit Verfügungen vom 11. Juli 2002 sprach ihm die IV-Stelle für die Dauer vom 1. Juli 2000 bis 31. März 2001 eine halbe und ab 1. April 2001 eine ganze Invalidenrente zu.
A.b Im Rahmen des von Amtes wegen eingeleiteten Revisionsverfahrens holte die IV-Stelle das orthopädisch/psychiatrische Gutachten vom 10. Januar 2008 ein, welches zum Schluss kam, der Versicherte sei seit Juli 2007 in einer leidensangepassten Tätigkeit zu 90 Prozent arbeitsfähig. Mit Verfügung vom 16. Juli 2008 stellte die IV-Stelle die Rentenleistungen auf Ende August 2008 hin ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die vom Versicherten dagegen eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 10. Juni 2009 gut, hob die Verfügung vom 16. Juli 2008 auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit sie den medizinischen Sachverhalt näher abkläre und anschliessend neu verfüge.
Auf Empfehlung ihres Regionalen Ärztlichen Dienstes ordnete die IV-Stelle am 10. September 2009 eine medizinische Begutachtung im Ärztlichen Begutachtungsinstitut (ABI) an. Dies eröffnete sie am 11. September 2009 auch dem Versicherten. Mit Schreiben vom 30. September 2009 teilte dieser der IV-Stelle unter Berufung auf Rz. 2075.1 des Kreisschreibens des Bundesamtes für Sozialversicherungen über das Verfahren in der Invalidenversicherung (KSVI) mit, die Anordnung sei widerrechtlich, da er gestützt darauf einen formellen Anspruch auf Begutachtung im Wohnkanton oder zumindest in der Wohnregion habe. Auf Wunsch des Versicherten erliess die IV-Stelle am 2. Oktober 2009 eine Verfügung, mit welcher sie an der Begutachtung festhielt und darauf hinwies, dass die beteiligten Ärzte zu einem späteren Zeitpunkt direkt durch das ABI mitgeteilt würden.
B. Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde vom 5. November 2009 hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 8. Juli 2010 gut, hob die Verfügung vom 2. Oktober 2009 auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit sie in Nachachtung von Rz. 2075.1 KSVI eine neue medizinische Abklärung anordne.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, und ihre Verfügung vom 2. Oktober 2009 sei zu bestätigen.
Das kantonale Gericht schliesst auf Nichteintreten, eventuell auf Abweisung der Beschwerde. S._ beantragt Abweisung der Beschwerde; zudem lässt er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab, sondern hebt die Verfügung der Beschwerdeführerin vom 2. Oktober 2009 auf und weist die Sache unter Hinweis auf die verfahrensrechtlichen Vorgaben zur Anordnung einer medizinischen Begutachtung in den Verwaltungsweisungen zur neuen medizinischen Abklärung an die Verwaltung zurück. Es liegt somit kein Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG vor.
Ebenso wenig ist ein Teilentscheid im Sinne von Art. 91 BGG gegeben. Hiebei handelt es sich um eine Variante des Endentscheids, mit welchem über ein oder mehrere Rechtsbegehren abschliessend befunden wird, wobei es nicht um verschiedene materiellrechtliche Teilfragen eines Rechtsbegehrens, sondern um verschiedene Rechtsbegehren gehen muss (vgl. BGE 136 II 165 E. 1.1 S. 169; 135 III 212 E. 1.2 S. 216 ff; 133 V 477 E. 4.1.2 S. 480 f.; 133 III 629 E. 2.1 S. 630; je mit Hinweisen). Das kantonale Versicherungsgericht weist die Sache zu weiteren Beweiserhebungen an die Verwaltung zurück (sog. Rückweisungsentscheid). Damit schliesst sein Entscheid das Verfahren weder insgesamt noch über einzelne Rechtsbegehren ab, weshalb es einen Zwischenentscheid darstellt (vgl. BGE 133 V 477 E. 4.2 und 4.3 S. 481 f.).
1.2 Zwar werden Rückweisungsentscheide trotzdem wie Endentscheide behandelt, wenn der unteren Instanz, an welche die Sache zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der rechnerischen Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (BGE 134 II 124 E. 1.3 S. 127; Urteile 2C_596/2007 vom 24. Juni 2008 E. 1.2, in: RDAF 2008 II S. 390; 9C_684/2007 vom 27. Dezember 2007 E. 1.1, in: SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, je mit Hinweisen). Das ist hier jedoch offensichtlich nicht der Fall und wird von der IV-Stelle im Übrigen auch nicht behauptet.
1.3 Dasselbe würde im Ergebnis auch gelten, wenn die Anordnung der Begutachtung als Verfügung betrachtet würde, wovon das kantonale Gericht in Erwägung 2.2 des angefochtenen Entscheids ausgeht. Es würde sich dabei um eine prozessuale Zwischenverfügung handeln, die nur anfechtbar wäre, wenn ein nicht wieder gutzumachender Nachteil droht (Urteil 9C_548/2010 vom 10. August 2010 E. 3.2). Befindet das kantonale Gericht über einen Zwischenentscheid einer unteren Instanz, so stellt der Rechtsmittelentscheid regelmässig ebenfalls einen Zwischenentscheid dar, da damit nicht über ein Rechtsverhältnis endgültig entschieden wird, sondern nur über einen Schritt auf dem Weg zum Endentscheid. Anders ist lediglich dann zu entscheiden, wenn durch den Entscheid der letzten kantonalen Instanz ein Zwischenentscheid der ersten Instanz umgestossen und das Verfahren vor erster Instanz damit abgeschlossen wird (Urteil 8C_699/2009 vom 22. April 2010 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 136 I 156), was vorliegend nicht der Fall ist.
2. 2.1 Da es sich nicht um einen Zwischenentscheid über die Zuständigkeit oder über Ausstandsbegehren handelt, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Nach der Rechtsprechung ist diese Voraussetzung von Art. 93 lit. a BGG seitens des Versicherers erfüllt, wenn der Rückweisungsentscheid eines kantonalen Gerichts verbindliche Vorgaben zu den Grundlagen der Anspruchsbeurteilung enthält. Ebenso stellt es einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil dar, wenn eine Behörde durch einen Rückweisungsentscheid gezwungen wird, entgegen ihrer Auffassung eine neue Verfügung zu erlassen (BGE 133 V 477 E. 5.2 S. 483 ff.; Urteil I 126/07 vom 6. August 2007 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 133 V 504, aber in: SVR 2008 IV Nr. 31 S. 100). Die selbständige Anfechtung von Zwischenentscheiden bildet aus prozessökonomischen Gründen eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (BGE 135 I 261 E. 1.2 S. 263; 134 III 188 E. 2.2 S. 191; 133 III 629 E. 2.1 S. 631).
Die Beschwerdeführerin hat aufzuzeigen, dass die Voraussetzungen des Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, soweit diese nicht ohne Weiteres auf der Hand liegen (BGE 134 III 426 E. 1.2 in fine S. 429; 133 IV 288 E. 3.2 S. 292; 133 III 629 E. 2.3.1 und 2.4.2 S. 632 f.; StE 2009 B 96.21 Nr. 14, 2C_258/2008 E. 3.4).
2.2 Die Beschwerdeführerin macht zu Recht nicht geltend, eine Gutheissung der Beschwerde würde sofort zu einem Endentscheid in der Sache (mithin über den Rentenanspruch des Versicherten) führen (vgl. Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Sie bringt auch nicht vor, dass mit der Behandlung der Beschwerde gegen den Zwischenentscheid ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde. Es liegen denn auch keine Anhaltspunkte dafür vor, dass sich das Beweisverfahren, bei an sich unbestrittenem Abklärungsbedarf, durch die Einhaltung der Verfahrensvorschriften von Rz. 2075.1 KSVI aufwändiger gestalten würde. Die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG sind demnach nicht erfüllt.
2.2 Die Beschwerdeführerin macht zu Recht nicht geltend, eine Gutheissung der Beschwerde würde sofort zu einem Endentscheid in der Sache (mithin über den Rentenanspruch des Versicherten) führen (vgl. Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Sie bringt auch nicht vor, dass mit der Behandlung der Beschwerde gegen den Zwischenentscheid ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde. Es liegen denn auch keine Anhaltspunkte dafür vor, dass sich das Beweisverfahren, bei an sich unbestrittenem Abklärungsbedarf, durch die Einhaltung der Verfahrensvorschriften von Rz. 2075.1 KSVI aufwändiger gestalten würde. Die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG sind demnach nicht erfüllt.
2.3 2.3.1 Dass die Tatbestandsalternative von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG gegeben wäre, legt die Beschwerdeführerin ebenfalls nicht dar. Sie geht - wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren und entgegen ihrem ursprünglichen Vorgehen - davon aus, dass sie den Einwand der erheblichen Distanz der vorgesehenen Gutachterstelle zum Wohnort des Versicherten nicht in Verfügungsform hätte zurückweisen dürfen. Ihrer Ansicht nach ist die Auffassung des kantonalen Gerichts rechtswidrig, wonach es sich bei der Rüge des Versicherten, die Durchführung der medizinischen Abklärungen in Basel sei aus geografischen Gründen unzulässig, um eine Einwendung formeller Natur handle, welche verfügungsweise zurückzuweisen sei. Da es an einer Prozessvoraussetzung gefehlt habe, sei das Versicherungsgericht zu Unrecht auf die Beschwerde vom 5. November 2009 eingetreten, was im Rechtsmittelverfahren von Amtes wegen zu korrigieren sei.
2.3.2 In seinem Urteil vom 8. Februar 2006 hat das Eidg. Versicherungsgericht erwogen, die Anordnung einer Begutachtung stelle keine anfechtbare Zwischenverfügung dar (BGE 132 V 93 E. 5 S. 100 ff.). In BGE 136 V 156 E. 4 S. 159 hat das Bundesgericht ausgeführt, daran ändere sich auch im Lichte des am 1. Januar 2007 in Kraft getretenen Art. 25a VwVG (SR 172.021) nichts. Auch diese Bestimmung setze ein schutzwürdiges Interesse am Erlass einer Verfügung voraus, was zu verneinen sei, wenn der Realakt später anfechtbar sei.
2.3.3 Mit Blick auf diese Rechtsprechung ist der IV-Stelle zuzugestehen, dass das kantonale Gericht ihre Anordnung vom 2. Oktober 2009 nicht als anfechtbare (Zwischen-)Verfügung hätte qualifizieren dürfen. In diesem Sinne hat das Bundesgericht auch im Urteil 8C_319/2008 vom 3. September 2008 mit Bezug auf eine Verfügung der Verwaltung entschieden, welche aufgrund des Einwands der versicherten Person ergangen war, die gutachterlichen Untersuchungen hätten ambulant und nicht in stationärem Rahmen zu erfolgen. Das Versicherungsgericht hätte daher mangels Vorliegens einer anfechtbaren Verfügung auf die Eingabe des Beschwerdegegners vom 5. November 2009 nicht eintreten dürfen und die Sache der Verwaltung zum Vorgehen nach Art. 43 ATSG überweisen müssen.
2.3.4 Obwohl das kantonale Gericht nicht im obigen Sinne entschieden hat, ist nicht ersichtlich, inwiefern der IV-Stelle durch den angefochtenen Entscheid ein nicht wieder gutzumachender Nachteil entsteht. Der Rückweisungsentscheid enthält keine materiellen Anweisungen, welche die Verwaltung zwingen würden, eine ihrer Ansicht nach rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Sie wird lediglich verpflichtet, in Nachachtung der Verfahrensvorgaben von Rz. 2075.1 KSVI eine neue Begutachtung anzuordnen und ihren Standpunkt sachlich zu begründen, sofern sie vom Grundsatz der Beauftragung einer dem Wohnort des Versicherten nahegelegenen Begutachtungsstelle abweicht. Da der Beurteilungsspielraum der IV-Stelle bezüglich des Vorliegens eines Revisionsgrundes im Sinne von Art. 17 Abs. 1 ATSG dadurch nicht eingeschränkt wird, liegt darin kein nicht wieder gutzumachender Nachteil begründet.
3. Auf die Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden. Die Gerichtskosten sind bei diesem Verfahrensausgang der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat ausserdem dem Beschwerdegegner dessen Parteikosten für das vorliegende Verfahren zu ersetzen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Damit wird dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer