Faits:
A. D._, née en 1946, a déposé une demande de rente de vieillesse auprès de l'agence communale de la Caisse de compensation Y._ (ci-après: l'agence communale). La collaboratrice de l'agence communale a rempli la demande de rente pour l'intéressée, en cochant la case "non" à la question "voulez-vous anticiper le versement de la rente de vieillesse?". Elle a ensuite fait parvenir la demande de prestations à la Caisse de compensation Y._, qui l'a transmise le 13 juillet 2009 à Caisse de compensation X._ (ci-après: la caisse), déjà compétente pour le versement d'une rente d'invalidité à l'époux de D._. Le 16 décembre 2009, au cours d'un entretien téléphonique avec la caisse, l'assurée a appris que sa rente de vieillesse ne lui serait versée qu'en date du 1er novembre 2010 et non de façon anticipée dès le 1er novembre 2009 comme elle l'aurait souhaité.
Par courrier du 9 janvier 2010, l'agence communale a expliqué à la caisse qu'elle avait répondu par erreur négativement à la question du versement anticipé contrairement aux indications données par D._. Elle lui a, par conséquent, demandé de rectifier son erreur et d'anticiper d'une année le versement de la rente de l'assurée. Par décision du 11 janvier 2010, confirmée par décision sur opposition du 9 février 2010, la caisse a rejeté la demande de versement anticipé de la rente de vieillesse avec effet rétroactif au 1er novembre 2009.
B. Par jugement du 11 août 2010, le Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, a admis le recours de l'intéressée, annulé la décision sur opposition de la caisse, et reconnu que la caisse était tenue de verser à l'assurée une rente de vieillesse anticipée dès le 1er novembre 2009.
C. La caisse interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation en ce sens que le droit à une rente de vieillesse anticipée avec effet au 1er novembre 2009 ne soit pas reconnu à l'assurée. Elle demande également l'exonération du paiement des dépens pour la procédure cantonale.
Le Tribunal fédéral a renoncé à procéder à un échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
2. Le litige porte sur le droit de l'intimée à une rente de vieillesse anticipée à partir du 1er novembre 2009. Le jugement entrepris expose correctement les règles légales applicables, en particulier celles sur le versement anticipé d'une rente de vieillesse et l'interdiction de requérir une telle prestation à titre rétroactif, si bien qu'il suffit d'y renvoyer.
3. La recourante ne conteste pas l'état de fait retenu par la juridiction de première instance. En revanche, elle soutient que l'intimée aurait dû vérifier le questionnaire une fois rempli par l'agence communale. En substance, elle lui reproche un laxisme grave, qui empêcherait d'admettre la protection de la bonne foi selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, Elle cite à cet égard l'ATF 122 V 221, selon lequel il y aurait lieu d'examiner sous l'angle de la bonne foi, si l'intéressé aurait dû identifier le vice juridique ("Rechtsmangel") existant en faisant preuve de l'attention requise.
4. Selon les constatations de la juridiction cantonale, l'intimée a indiqué à l'agence communale le 30 juin 2009 qu'elle souhaitait percevoir une rente de vieillesse anticipée. La collaboratrice de l'agence, qui s'est engagée à remplir ultérieurement le formulaire selon les renseignements donnés, a bien compris la demande de l'assurée. Elle a toutefois coché par erreur la mauvaise case. Les premiers juges ont, par ailleurs, retenu que ce n'était qu'à la mi-décembre 2009 que l'intimée avait pu se rendre compte de la faute commise par l'agence communale, lorsqu'elle a remarqué que la rente ne lui avait toujours pas été versée. Il en résultait un préjudice, puisqu'elle s'attendait à percevoir la rente de vieillesse dès le 1er novembre 2009 et non pas un an plus tard. Les premiers juges ont également rappelé que l'intéressée avait signé la formule en blanc à la demande expresse de l'agence communale, qui s'était engagée à la remplir ultérieurement conformément à ses indications, notamment au sujet de l'anticipation du versement de la rente de vieillesse. La juridiction cantonale a donc admis que la bonne foi de l'assurée devait être protégée.
Il n'y a pas lieu de s'écarter en définitive de la solution retenue par les premiers juges, quoi qu'en dise la recourante, sans examiner plus avant la pertinence du raisonnement qu'ils ont suivi sous l'angle du principe de la bonne foi. Vu les éléments mis en évidence par la juridiction cantonale, il est patent et non contesté que l'intimée, plus de trois mois avant le versement anticipé qu'elle sollicitait, a remis une formule de demande dûment remplie et signée à la recourante et clairement manifesté sa volonté de percevoir une rente de vieillesse de manière anticipée devant un organe habilité à recevoir une telle demande. Dans de telles circonstances, on ne saurait parler de prestations requises à titre rétroactif contraires au droit fédéral.
5. Au vu de ce qui précède, le recours se révèle mal fondé et les conclusions de la recourante doivent être rejetées.
6. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 août 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
La Greffière: Reichen