Sachverhalt:
A. Der aus dem Kosovo stammende X._ (geb. 1971) reiste im Herbst 1998 mit seiner damaligen Gattin Z._ und den gemeinsamen Kindern A._ (geb. 1996) und B._ (geb. 1998) in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch, das im Juli 1999 abgewiesen wurde. Bis November 1999 wurde die Familie vorläufig aufgenommen, da der Vollzug der Wegweisung damals nicht möglich war. Die Ehefrau und Kinder wurden im August 2000 ausgeschafft. Der zunächst untergetauchte Familienvater konnte erst im November 2000 in die Heimat zurückgeführt werden. Dort wurde im Herbst 2001 das dritte Kind, C._, geboren. Im September 2002 wurde die Ehe im Kosovo geschieden und die drei Kinder wurden der Mutter anvertraut. Zwischen Juli 2002 und dem Jahr 2006 hielt sich X._ mehrfach unerlaubt in der Schweiz auf und wurde sieben Mal wegen Verletzung fremdenpolizeilicher Vorschriften (illegale Einreise, Erwerbstätigkeit ohne Bewilligung) verurteilt.
B. Am 31. Juli 2006 heiratete X._ die elf Jahre ältere Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1960), worauf er eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Freiburg erhielt, die seither regelmässig verlängert wurde. Im April 2008 wurde um Familiennachzug für die damals siebeneinhalb sowie knapp zehn und zwölfjährigen Kinder C._, B._ und A._ ersucht. Mit Urteil vom 14. Mai 2008 vertraute ein kosovarisches Gericht die Kinder ihrem Vater an. Das Amt für Bevölkerung und Migration des Kantons Freiburg verweigerte am 12. Juni 2009 die Bewilligung des Familiennachzugs. Das von X._ dagegen erhobene Rechtsmittel wies das Kantonsgericht Freiburg am 13. Juli 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und hilfsweise subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 14. September 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Kantonsgerichts vom 13. Juli 2010 aufzuheben und ihm das Recht auf Nachzug seiner drei Kinder "zuzuerkennen". Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung und ergänzendern Prüfung der "neuen Beweismittel" an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Amt für Bevölkerung und Migration des Kantons Freiburg hat auf einen Antrag und eine Vernehmlassung verzichtet. Gemäss Mitteilung des Verwaltungsgerichts vom 22. November 2010 hat der Beschwerdeführer bei ihm am 18. November 2010 ein "vorsorgliches Revisionsgesuch" gegen das Urteil vom 13. Juli 2010 eingereicht. Am 16. März 2011 hat X._ sich unter Beilage von drei neuen Zertifikaten ergänzend geäussert.
D. Das Bundesgericht hat die Angelegenheit am 1. April 2011 öffentlich beraten.
Erwägungen:
1. Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
1.1 Namentlich mit Blick auf die Staatsangehörigkeit des Beschwerdeführers, seiner Kinder und der Ehefrau kommt vorliegend eine unmittelbare Anwendung des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten anderseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) nicht in Betracht (vgl. BGE 129 II 249 E. 4.2 S. 260; 135 II 369 E. 2 S. 372). Aus einem anderen bilateralen Staatsvertrag kann hier ebenso wenig ein Nachzugsanspruch abgeleitet werden. Soweit der Niederlassungs- und Konsularvertrag zwischen der Schweiz und Serbien vom 16. Februar 1888 (SR 0.142.118.181) überhaupt noch auf Staatsbürger aus dem Kosovo anwendbar ist, verschafft er keinen Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung für die Familienangehörigen (Urteil des Bundesgerichts 2A.42/2001 vom 11. Mai 2001 E. 3b in fine; vgl. auch BGE 119 IV 65; Urteil 2C_582/2009 vom 5. März 2010 E. 3).
1.2 Die Frage, ob der Beschwerdeführer nach dem internen Recht einen Anspruch geltend machen kann, richtet sich vorab nach dem Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20), zumal das Nachzugsgesuch nach dessen Inkrafttreten gestellt wurde (vgl. Art. 126 AuG; BGE 135 I 143 E. 1.2 S. 145). Der Beschwerdeführer verfügt als Ausländer über eine Aufenthaltsbewilligung, nicht jedoch über eine Niederlassungsbewilligung. Daher kann er sich für den Nachzug seiner Kinder aus erster Ehe nicht auf Art. 43 AuG stützen. Obwohl seine jetzige Ehefrau Schweizer Bürgerin ist, kommt auch kein Anspruch nach Art. 42 Abs. 1 AuG in Betracht. Denn sie ist nicht die Mutter der Kinder (vgl. zu Stiefkindern bzw. Stiefeltern Urteil des Bundesgerichts 2C_537/2009 vom 31. März 2010 E. 2.2.2). Auch Art. 42 Abs. 2 AuG hilft nicht weiter, da die Kinder nicht im Besitz einer dauerhaften Aufenthaltsbewilligung eines Staates sind, mit dem ein Freizügigkeitsabkommen abgeschlossen wurde (vgl. insoweit zu Stiefkindern BGE 136 II 177 E. 3.2.1 - 3.2.3 S. 184 ff.).
Der Beschwerdeführer kann sich nach dem internen Ausländerrecht somit nur auf Art. 44 AuG stützen, der den Nachzug durch Ausländer mit Aufenthaltsbewilligung regelt. Diese Bestimmung räumt ihm aber, anders als Art. 42 und 43 AuG, keinen Nachzugsanspruch im Sinne von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ein (vgl. die Kann-Formulierung; AB 2005 S 305 f. und AB 2005 N 1238 f.; erwähntes Urteil 2C_537/2009 E. 2.2.2 in fine sowie die Urteile des Bundesgerichts 2C_345/2009 vom 22. Oktober 2009 E. 2.2.1; 2C_764/2009 vom 31. März 2010 E. 2.1.1 und 2C_508/2009 vom 20. Mai 2010 E. 2.1; je mit Hinweisen).
1.3 Wie der Beschwerdeführer zu Recht geltend macht, kann er sich für den Nachzug seiner Kinder allerdings auf den Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV berufen. Denn durch das Zusammenleben mit der Schweizer Ehefrau hat er selber einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung gemäss Art. 42 Abs. 1 AuG und damit ein gefestigtes Aufenthaltsrecht. Zudem macht er eine intakte und tatsächlich gelebte Beziehung zu seinen Kindern geltend. Insoweit ist daher auf die - nach Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG fristgerecht eingereichte - Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG einzutreten (vgl. BGE 135 I 143 E. 1.3.1 S. 145 f.; 131 II 265 E. 5 S. 269; 129 II 193 E. 5.3.1 S. 211; erwähnte Urteile 2C_764/2009 E. 2.1.2 und 2C_508/2009 E. 2.2). Ob der Familiennachzug letztlich zu gewähren ist, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (Urteil des Bundesgerichts 2C_44/2010 vom 26. August 2010 E. 1 mit Hinweisen). Demnach ist die hilfsweise eingereichte subsidiäre Verfassungsbeschwerde unzulässig (vgl. Art. 113 BGG).
2. 2.1 Nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK hat jede Person namentlich das Recht auf Achtung ihres Privat- und Familienlebens. Aus dem Wortlaut dieser Bestimmung lässt sich noch nicht viel zum Recht auf Familiennachzug bzw. zu dessen Ausgestaltung ableiten. Allgemein wird zunächst erklärt, dass Art. 8 EMRK kein absolutes Recht auf Einreise und Aufenthalt an Familienmitglieder vermittelt. Immerhin wird aus dieser Bestimmung aber ein das Ermessen der Ausländerbehörden einschränkender Anspruch auf Familiennachzug abgeleitet. Insoweit ist eine Einzelfallprüfung bzw. Güterabwägung vorzunehmen, wobei die in Art. 8 Ziff. 2 EMRK genannten Aspekte einen Eingriff in das Familienleben rechtfertigen können. Als zulässige öffentliche Interessen kommen namentlich das Durchsetzen einer restriktiven Einwanderungspolitik, die Schaffung günstiger Rahmenbedingungen für die Eingliederung der Ausländer sowie die Verbesserung der Arbeitsmarktstruktur in Betracht (vgl. BGE 135 I 143 E. 2.1 und 2.2 S. 147; 125 II 633 E. 2e und 3a S. 639 f.; 133 II 6 E. 5 S. 14 ff. mit Hinweisen auf Urteile des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte [EGMR] zum Familiennachzug; vgl. auch erwähntes Urteil 2C_508/ 2009 E. 4 sowie Frowein/Peukert, Europäische Menschenrechtskonvention, 3. Aufl., Kehl am Rhein 2009, S. 309 N. 40 zu Art. 8 EMRK; Martina Caroni, Privat- und Familienleben zwischen Menschenrecht und Migration, 1999, S. 96 f. und 171 ff.). Nicht anders wird im Übrigen Art. 13 Abs. 1 BV verstanden (vgl. BGE 129 II 215 E. 4.2 S. 218 f.; 126 II 377 E. 7 S. 394, 425 E. 4c/bb S. 433; je mit Hinweisen).
Die EMRK ist an sich autonom, d.h. unabhängig vom nationalen Recht auszulegen. Die Garantien der Konvention sind allerdings in die europäische Gesellschaft mit allen ihren aktuellen politischen, kulturellen und sozialen Komponenten eingebettet. Diese sind somit bei der Auslegung der EMRK mitzuberücksichtigen, wobei sie eine gewisse Entwicklung erfahren können. Insoweit kann sich auch ein Rechtswandel auf europäischer Ebene auf die Interpretation der EMRK auswirken (EMRK als sog. living instrument; vgl. Mark E. Villiger, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention, 2. Aufl. 1999, S. 106 ff. Rz. 162 ff. insb. 163 und 179 f. mit Hinweisen; Frowein/Peukert, a.a.O., S. 5 ff. Rz. 8 ff. der Einführung; Pettiti/Decaux/Imbert, La Convention européenne des droits de l'homme, 2. Aufl., Paris 1999, S. 42 ff.; Urteile des EGMR Marckx gegen Belgien vom 13. Juni 1979, Serie A Bd. 31, insb. §§ 41 und 58, zur Unterscheidung zwischen ausserehelichen und ehelichen Kindern; Tyrer gegen Grossbritannien vom 25. April 1978, Serie A Bd. 26, insb. § 31, zur Körperstrafe Jugendlicher).
2.2 Die in der Rechtsprechung zu Art. 17 des seit dem 1. Januar 2008 aufgehobenen Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121 und Änderungen gemäss der Fussnote zur Ziff. I des Anhangs 2 zum AuG, insb. AS 1991 1034 und 1043) entwickelten Voraussetzungen für den zeitlich gestaffelten Familiennachzug von minderjährigen Kindern unterschieden danach, ob dieser zu den gemeinsamen Eltern oder bloss zu einem Elternteil erfolgen sollte. Während der Nachzug bei zusammenlebenden Eltern grundsätzlich jederzeit möglich war und einzig durch das Rechtsmissbrauchsverbot eingeschränkt wurde, bestand beim Nachzug zu einem Elternteil kein bedingungsloser Anspruch auf Familienvereinigung. Für eine solche mussten besondere familiäre Gründe bzw. eine zwingend nötig gewordene Änderung in den Betreuungsverhältnissen sprechen. Das war in der Regel nicht der Fall, wenn im Heimatland alternative Pflegemöglichkeiten gegeben waren, die dem Kindeswohl besser entsprachen. Dabei wurde namentlich berücksichtigt, ob und inwieweit die Kinder aus ihrer bisherigen Umgebung und dem ihnen vertrauten Beziehungsnetz gerissen wurden. An den Nachweis der fehlenden Betreuungsmöglichkeit im Heimatland waren umso höhere Anforderungen zu stellen, je älter das nachzuziehende Kind war bzw. je grösser die Integrationsschwierigkeiten erschienen, die ihm hier drohten. Dabei unterlag die Beurteilung des Nachzugsbegehrens einer Gesamtwürdigung der relevanten Umstände (vgl. BGE 136 II 78 E. 4.1 S. 80, 120 E. 2.1 S. 123 f.; 133 II 6 E. 3.1, 5.3 und 5.5 S. 9 ff.; 126 II 329 E. 2 und 3 S. 330 ff.; je mit Hinweisen).
Vorstehende Praxis wandte das Bundesgericht ebenso an, soweit es darum ging, den Nachzug zu einem Elternteil unter dem Blickwinkel von Art. 8 EMRK und Art. 13 BV zu beurteilen (BGE 133 II 6 E. 3.1 Ingress S. 10; 125 II 633 E. 3a S. 640; Urteil 2C_8/2008 vom 14. Mai 2008 E. 2.1). Diese schematische Unterscheidung zwischen dem Kindernachzug durch zusammenlebende Eltern einerseits und demjenigen durch einen einzigen Elternteil anderseits - sei es, dass die Eltern nie geheiratet hatten, getrennt bzw. geschieden waren oder der andere Elternteil verstorben war - ergab sich aber nicht zwingend aus dem Wortlaut des Art. 8 EMRK oder der Rechtsprechung des EGMR hiezu. Sie wurde im Inland vielmehr vor allem zwecks einer handhabbaren und einheitlichen Lösung praktiziert.
2.3 2.3.1 Mit Blick auf die angestrebte frühzeitige Integration der Kinder und den Wandel der gesellschaftlichen Verhältnisse, wonach immer mehr Einelter- und sog. Patchworkfamilien (familles recomposées) anzutreffen sind, hat der Bundesgesetzgeber den Familiennachzug im Ausländergesetz neu gestaltet (vgl. BGE 136 II 78 E. 4 S. 80 ff. mit Hinweisen). Ledige Kinder unter 18 Jahren von Schweizern bzw. von Personen mit Niederlassungsbewilligung haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, wenn sie (1) mit diesen zusammenwohnen werden (Art. 42 Abs. 1 und 43 Abs. 1 AuG), (2) der Nachzug bei Kindern über zwölf Jahren innerhalb von zwölf Monaten bzw. bei Kindern unter zwölf Jahren innerhalb von fünf Jahren geltend gemacht wird (Art. 47 Abs. 1 und 3 AuG), (3) die Wahrnehmung des Anspruchs nicht rechtsmissbräuchlich erscheint und (4) kein Widerrufsgrund nach Art. 62 bzw. 63 AuG vorliegt (vgl. Art. 51 Abs. 1 und 2 AuG). Dabei darf nicht mehr zwischen nachträglichem Gesamt- und nachträglichem Teilfamiliennachzug unterschieden werden. Allerdings muss aus familienrechtlichen Gründen der nachziehende Elternteil immerhin über das Sorge- bzw. Obhutsrecht verfügen (BGE 136 II 78 E. 4.7 und 4.8 S. 85 ff.; erwähntes Urteil 2C_44/2010 E. 2.1.2 und 2.1.3).
Der Nachzug darf schliesslich nicht in klarer Missachtung des Wohls sowie der familiären Bindungen des Kindes in seinem Heimatstaat erfolgen (vgl. zu Art. 42 Abs. 1 AuG: BGE 136 II 78 E. 4.8 S. 87 f.; Urteil 2C_606/2009 vom 17. März 2010 E. 2.2; zu Art. 43 AuG: erwähntes Urteil 2C_44/2010 E. 2.1.3; Urteil 2C_526/2009 vom 14. Mai 2010 E. 9.1). Dabei ist jedem Einzelfall angemessen Rechnung zu tragen (vgl. unter anderem auch zum Kindeswohl Art. 3 der UNO-Kinderrechtskonvention vom 20. November 1989 [KRK; SR 0.107]). Insoweit ist regelmässig erforderlich, dass die Beziehung zum Kind intakt und bereits bisher sachgerecht gelebt worden ist (vgl. BGE 136 II 497 E. 4.3 S. 506 f., wo dieser Aspekt im Rahmen des Rechtsmissbrauchs erwähnt wird; erwähnte Urteile 2C_44/2010 E. 2.1.3; 2C_508/2009 E. 5.2 und 2C_764/2009 E. 4 in fine; s. auch Caroni, a.a.O., S. 187 mit Hinweisen). Auch wird grundsätzlich verlangt, dass die Betreuung des Kindes in der Schweiz als sichergestellt gelten kann (erwähntes Urteil 2C_44/2010 E. 2.3.2; ebenso Art. 39 Abs. 1 lit. d der bis zum 31. Dezember 2007 geltenden Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer [BVO; AS 1986 1791]; dazu Caroni, a.a.O., S. 101 f.). Die Migrationsämter haben im Weiteren aber nur beschränkte Eingriffsmöglichkeiten. Namentlich können sie sich nicht wie eine Vormundschaftsbehörde über den Willen der Eltern hinwegsetzen. Diesen ist es in erster Linie überlassen, über den Aufenthaltsort ihrer Kinder zu befinden. Dabei können wirtschaftliche Erwägungen mit eine Rolle spielen. Die Ausländerbehörden können den Nachzug von Kindern nur verweigern, wenn dieser offensichtlich und eindeutig gegen deren Interessen stattfinden soll (dazu BGE 136 II 78 E. 4.8 S. 86 f. sowie die nicht publizierte E. 5; erwähnte Urteile 2C_508/2009 E. 5.2 und 2C_526/2009 E. 9.1).
Ausserhalb der Nachzugsfristen des Art. 47 Abs. 1 AuG ist der Familiennachzug bloss noch möglich, wenn hiefür wichtige familiäre Gründe sprechen (Art. 47 Abs. 4 AuG). Solche liegen etwa dann vor, wenn das Kindeswohl letztlich nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (vgl. Art. 75 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]; erwähntes Urteil 2C_44/2010 E. 2.1.2). Insoweit kann die frühere Praxis (s. E. 2.2 hievor) zum Nachzug bei getrennten Eltern noch zum Tragen kommen, wobei diese dann neuerdings grundsätzlich auch für zusammenlebende Eltern gilt (vgl. BGE 136 II 78 E. 4.7 S. 86).
2.3.2 Wie bei Art. 42 Abs. 1 und 43 AuG verhält es sich entsprechend beim Familiennachzug durch einen Ausländer mit Aufenthaltsbewilligung, der gestützt auf Art. 44 AuG beantragt wird (erwähnte Urteile 2C_537/2009 E. 3 und 2C_764/2009 E. 4). Allerdings ist diese Bestimmung für sich genommen nicht anspruchsbegründend (s. E. 1.2 hievor). Die Behörden entscheiden insoweit nach pflichtgemässem Ermessen. Auch werden einige Zusatzbedingungen gestellt. Es muss eine bedarfsgerechte Wohnung vorhanden sein und die Familie darf nicht auf Sozialhilfe angewiesen sein (Art. 44 lit. b und c AuG). Im Übrigen gilt im Wesentlichen die gleiche Fristenregelung wie bei Art. 42 Abs. 1 und Art. 43 AuG (vgl. Art. 47 AuG und Art. 73 VZAE).
2.4 Auch auf der Ebene der Europäischen Union (EU) werden spätestens seit Oktober 2005 mit Blick auf die Integrationsfähigkeit der Kinder Altersbeschränkungen für den Familiennachzug durch Drittstaatsangehörige als zulässig angesehen (vgl. BGE 133 II 6 E. 5.4 S. 21 f.; Art. 4 Abs. 1 letzter Unterabsatz und Abs. 6 der Richtlinie 2003/86/EG des Rates vom 22. September 2003 betreffend das Recht auf Familienzusammenführung [ABl. L 251 vom 3. Oktober 2003] und Ziff. 12 der Einführungserwägung zu dieser Richtlinie). Wie neuerdings in der Schweiz wird im Übrigen aber ebenfalls nicht danach unterschieden, ob der Nachzug durch beide Elternteile oder nur durch einen beantragt wird (Art. 4 Abs. 1 lit. b-d der Richtlinie). Die EU erklärt in ihren Einführungserwägungen zur Richtlinie (dort Ziff. 2), dass ihre Massnahmen zur Familienzusammenführung in Übereinstimmung mit der völkerrechtlichen Verpflichtung zum Schutz der Familie und zur Achtung des Familienlebens, wobei sie ausdrücklich Art. 8 EMRK nennt, getroffen werden. In einem späteren Entscheid hat der Gerichtshof der Europäischen Gemeinschaften (EuGH) denn auch die soeben zitierten Altersvorschriften der Richtlinie, die sie mit Blick auf Art. 8 EMRK prüfte, geschützt (Urteil des EuGH vom 27. Juni 2006 C-540/03 Europäisches Parlament, Slg. 2006 I-5769). Eine Unterscheidung nach getrennt- und zusammenlebenden Eltern wird erst recht nicht vorgenommen, wenn es um den Familiennachzug durch EU-Bürger oder ihre Ehepartner geht (vgl. Urteil des EuGH vom 17. September 2002 C-413/1999 Baumbast und R, Slg. 2002 I-7091 Randnr. 57; BGE 136 II 65 E. 3 und 4 S. 70 ff. mit Hinweisen).
2.5 Es ist demnach festzustellen, dass sowohl das Schweizer Recht als auch das EU-Recht heute zum einen prinzipiell nicht mehr danach unterscheiden, ob ein Gesamt- oder Teilfamiliennachzug begehrt wird, und zum anderen den Nachzug an die Einhaltung von Fristen knüpfen. Ferner ist festzuhalten, dass die frühere Rechtsprechung des Bundesgerichts für den Teilfamiliennachzug einerseits und den Gesamtfamiliennachzug anderseits unterschiedliche Voraussetzungen vorsah. Dabei handhabte das Bundesgericht Art. 17 Abs. 2 ANAG und Art. 8 EMRK parallel, ohne dass sich dies zwingend aus dem Wortlaut des Art. 8 EMRK oder der Rechtsprechung des EGMR ergeben hätte.
2.6 Es stellt sich die Frage, ob der veränderten Rechtslage in der Schweiz und der EU auch im Rahmen der Auslegung und Anwendung von Art. 8 EMRK durch die inländischen Behörden Rechnung zu tragen ist. Das ist zu bejahen: Wie erwähnt, ist die EMRK als living instrument unter Berücksichtigung der Rechtsentwicklung in den Vertragsstaaten zu interpretieren (s. E. 2.1 hievor). Ein Aufenthaltsberechtigter - d.h. eine Person, die selber einen gefestigten Anspruch auf Aufenthalt in der Schweiz hat - muss mit Blick auf Art. 8 EMRK und Art. 13 BV grundsätzlich die Gelegenheit zum Familiennachzug erhalten. Dabei ist aufgrund des Wandels der gesellschaftlichen Verhältnisse und dem damit einhergehenden Rechtswandel (s. E. 2.3.1 hievor) prinzipiell nicht mehr zwischen dem Gesamt- und Teilfamiliennachzug zu unterscheiden.
Im Interesse einer einheitlichen und handhabbaren Praxis im Inland kann insoweit auf die Bewilligungsvoraussetzungen des Art. 44 AuG abgestellt werden. Diese sind nicht EMRK-widrig. Art. 44 AuG gewährt für sich zwar keinen Bewilligungsanspruch. Diese Einschränkung ergibt sich daraus, dass sie in erster Linie auf Personen zugeschnitten ist, die selber keinen Anspruch auf Erneuerung ihres zeitlich befristeten Anwesenheitstitels haben. Haben die im Inland wohnhaften Ausländer selber keinen Anspruch auf Aufenthalt, sollen sie auch keinen rechtlich durchsetzbaren Anspruch auf Familiennachzug haben. Der Gesetzgeber wollte deshalb - anders als noch der Entwurf des Bundesrates (vgl. BBl 2002 3793 und 3862 zu Art. 43 E-AuG) -, dass die Kantone den Familiennachzug durch die sog. Jahresaufenthalter bloss ermessensweise bewilligen (vgl. AB 2005 S 306 und AB 2005 N 1239). Die Ausgangslage ist für diejenigen Ausländer, die - wie hier der Beschwerdeführer - selber einen Anspruch auf Erneuerung ihrer Aufenthaltsbewilligung haben und sich deshalb nach der bundesgerichtlichen Praxis für den Familiennachzug zusätzlich auf Art. 8 EMRK und Art. 13 BV berufen können, jedoch anders. Insoweit haben die Behörden nicht nur pflichtgemäss nach Art. 44 AuG über das Nachzugsbegehren zu entscheiden. Es müssen mit Blick auf ihre aus Art. 8 EMRK und Art. 13 BV abgeleiteten Rechte vielmehr auch gute Gründe gegeben sein, um den begehrten Nachzug zu verweigern. Im Sinne der anzustrebenden einheitlichen inländischen Praxis bestehen diese Gründe zum einen regelmässig, wenn die Bewilligungsvoraussetzungen des Art. 44 AuG nicht erfüllt sind. Zum anderen ist die Bewilligung auch zu verweigern, wenn eine der in Art. 51 Abs. 2 AuG geregelten Situationen gegeben ist.
2.7 Demnach ist in Anlehnung an die vorstehenden Ausführungen in Erwägung 2.3 ein Anspruch auf Nachzug der Kinder gestützt auf Art. 8 EMRK und Art. 13 BV für den Ausländer mit einem gefestigten Aufenthaltsrecht gegeben, wenn (1) dieser mit seinen Kindern zusammenleben will (vgl. Art. 44 lit. a AuG), (2) eine bedarfsgerechte Wohnung vorhanden ist (Art. 44 lit. b AuG), (3) die Familie nicht auf Sozialhilfe angewiesen ist (Art. 44 lit. c AuG), (4) der Nachzug bei Kindern über zwölf Jahren innerhalb von zwölf Monaten bzw. bei Kindern unter zwölf Jahren innerhalb von fünf Jahren geltend gemacht wird (Art. 47 Abs. 1 und 3 AuG bzw. Art. 73 VZAE) und (5) der Nachzug nicht in klarer Missachtung des Wohls sowie der familiären Bindungen des Kindes erfolgen soll, wobei auch die bisherige Beziehung zwischen den nachziehenden Eltern und den Kindern sowie die Betreuungsmöglichkeiten in der Schweiz zu berücksichtigen sind (dazu E. 2.3.1 hievor). Schliesslich darf (6) die Wahrnehmung des Anspruchs nicht rechtsmissbräuchlich erscheinen (vgl. BGE 136 II 497 E. 4 S. 506 f.; Urteile des Bundesgerichts 2C_606/2009 vom 17. März 2010 E. 2.4 und 2C_181/2010 vom 1. Oktober 2010 E. 5.3) und (7) kein Widerrufsgrund nach Art. 62 AuG vorliegen (vgl. Art. 51 Abs. 2 lit. a und b AuG zum Nachzug durch Niederlassungsberechtigte; vgl. hiezu auch das Urteil des Bundesgerichts 2C_847/2009 vom 21. Juli 2010 E. 3). Bei einem Nachzug ausserhalb der in Art. 47 Abs. 1 AuG und Art. 73 Abs. 1 VZAE angegebenen Fristen müssen zudem wichtige familiäre Gründe geltend gemacht werden.
2.8 Vorliegend hat der Beschwerdeführer die Fristen nach Art. 47 AuG bzw. Art. 73 VZAE mit seinem im Jahr 2008 eingereichten Gesuch um Familiennachzug eingehalten (s. zudem die Übergangsbestimmung des Art. 126 Abs. 3 AuG). Dennoch sind die Vorinstanzen vorliegend bloss von den Voraussetzungen für den Familiennachzug nach der früheren, zu Art. 17 ANAG entwickelten Praxis bei getrennt lebenden Eltern (s. E. 2.2 hievor) ausgegangen. Sie haben nicht geprüft, ob die Anforderungen für den Nachzug der Kinder entsprechend Art. 44 AuG bzw. gemäss vorstehender Erwägung 2.7 erfüllt sind. Da sie bereits das Vorliegen besonderer familiärer Gründe im Sinne der alten Rechtsprechung verneint bzw. das Vorhandensein alternativer Betreuungsmöglichkeiten in der Heimat der Kinder angenommen haben, wurden von ihnen keine weiteren Sachverhaltsfeststellungen getroffen. Das Bundesgericht ist nicht dazu berufen, den insoweit unvollständig festgestellten Sachverhalt an Stelle der Vorinstanz zu ermitteln. Deshalb wird diese, an welche die Sache zurückzuweisen ist, nach entsprechender Gewährung des rechtlichen Gehörs neu zu entscheiden haben (vgl. Art. 107 Abs. 2 BGG). Insoweit trifft den Beschwerdeführer eine entsprechende Mitwirkungspflicht (vgl. Art. 90 AuG). Sollten sämtliche Voraussetzungen für den Nachzug gemäss vorstehender Erwägung 2.7 gegeben sein, wird die Vorinstanz den beantragten Nachzug der Kinder angesichts des Anspruchs, den Art. 8 EMRK und Art. 13 BV vermitteln, zu bewilligen haben.
Die Vorinstanz wird mit Blick auf das Wohl der Kinder vor allem abzuklären haben, ob die Beziehung des Beschwerdeführers zu seinen Kindern tatsächlich intakt und bisher trotz verschiedener Wohnorte sachgerecht gelebt worden ist. Die derzeitigen Angaben des Beschwerdeführers, wonach er zum Unterhalt der Kinder finanziell beitrage und regelmässige telefonische Kontakte habe, genügen nicht, um sich hierüber ein genaues Bild zu verschaffen. Denn der Beschwerdeführer verliess seine Heimat nicht einmal ein Jahr nach der Geburt des jüngsten Kindes. In dieser Zeit wurde auch die Ehe mit der Mutter der Kinder geschieden, wobei diese ihr zunächst für mehrere Jahre anvertraut wurden. Da offenbar sowohl der Beschwerdeführer als auch seine Ehefrau berufstätig sind, ist ausserdem zu prüfen, ob und inwiefern die Betreuung der Kinder in der Schweiz als sichergestellt gelten kann. Schliesslich bleibt auch zu klären, ob eine bedarfsgerechte Wohnung zur Verfügung steht und ob die Familie - auch nach Einreise der Kinder - nicht auf Sozialhilfe angewiesen sein wird.
3. 3.1 Dem Dargelegten zufolge ist die Beschwerde gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen zurückzuweisen.
3.2 Diesem Ausgang entsprechend werden keine Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren erhoben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Da der Kanton Freiburg unterliegt, hat er dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 BGG). Über die Kosten und Parteientschädigungen in den vorinstanzlichen Verfahren wird das Verwaltungsgericht neu zu befinden haben (vgl. Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen, das Urteil des Kantonsgerichts Freiburg vom 13. Juli 2010 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Freiburg hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Freiburg, I. Verwaltungsgerichtshof, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. April 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Merz