Faits:
A. A.a La loi cantonale genevoise en matière de chômage du 11 novembre 1983 (RS GE J 2 20) accorde aux chômeurs ayant épuisé leur droit aux indemnités fédérales de chômage la possibilité d'obtenir des prestations cantonales complémentaires, en particulier sous la forme de stages de réinsertion professionnelle, d'allocations de retour en emploi ou, à titre subsidiaire, d'emplois temporaires cantonaux. Les emplois temporaires font l'objet du chapitre V du titre III de la loi (art. 39 à 45). C'est ainsi que l'autorité compétente propose un emploi temporaire, à titre subsidiaire, aux chômeurs ayant épuisé leur droit aux indemnités fédérales et qui n'ont pas trouvé un travail salarié donnant droit à l'allocation de retour en emploi (art. 39 al. 1 let. b). L'emploi temporaire est offert à titre individuel ou dans le cadre d'un programme collectif et correspond dans la mesure du possible aux aptitudes professionnelles des chômeurs (art. 39 al. 2). Il se déroule au sein de l'administration cantonale, d'établissements et fondations de droit public, d'administrations communales et d'administrations et régies fédérales (art. 39 al. 3). La charge financière de l'emploi temporaire est assumée par le budget de l'Etat (art. 39 al. 5). L'engagement des chômeurs fait l'objet d'un contrat de travail de droit privé conclu entre l'autorité compétente et le bénéficiaire (art. 40 al. 1). Les conditions mises au bénéfice d'un emploi temporaire sont fixées à l'art. 42. L'art. 43 prévoit que le chômeur peut bénéficier d'un emploi temporaire pour la durée nécessaire à l'ouverture d'un nouveau droit aux indemnités fédérales de chômage; cette durée n'excédera pas douze mois.
A.b Le 10 juin 2005, par une modification de l'annexe à l'OACI (RO 2005 2529) le Conseil fédéral a décidé qu'à partir du 1er juillet 2005, le canton de Genève ne bénéficierait d'une augmentation du nombre maximum d'indemnités journalières au sens de l'art. 27 al. 5 LACI que pour les chômeurs âgés de 50 ans et plus. Cette décision impliquait à court terme pour le canton un afflux de chômeurs qui avaient épuisé leur droit aux indemnités journalières. Pour parer à cette situation, le Conseil d'Etat a décidé de mettre en oeuvre des mesures exceptionnelles dès le 1er juillet 2005. Il s'est agi de conclure un contrat d'emploi temporaire à bref délai avec tous les chômeurs qui sollicitaient cette mesure et qui remplissaient certaines conditions, dans l'attente de leur affectation auprès d'un service utilisateur au sens de l'art. 39 précité de la loi. Les bénéficiaires reçoivent un salaire subventionné par l'Etat, y compris durant la période d'attente durant laquelle ils n'ont pas à fournir une prestation de travail.
Avant la mise en vigueur de cette mesure, le Département genevois de l'économie, de l'emploi et des affaires extérieures (devenu entre-temps le Département de la solidarité et de l'emploi) a consulté le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) au sujet de ces mesures. Ce dernier a exprimé ses réserves par deux courriers des 7 juillet et 30 août 2005. Il a considéré, en particulier, que la mesure genevoise de marché du travail ne concordait pas avec la politique fédérale en matière de lutte contre le chômage. En effet, cette mesure avait pour but la réintégration des demandeurs d'emploi dans l'assurance-chômage par la conclusion de contrats permettant le versement de cotisations sociales, et ainsi la création d'un nouveau droit à l'indemnité de chômage, alors que les mesures cantonales doivent servir avant tout, comme les mesures fédérales du marché du travail, à leur réintégration durable sur le marché de l'emploi. Selon le seco, pour que les conditions relatives à la période de cotisation au sens de l'art. 13 al. 1 LACI soient réalisées, il convenait de démontrer l'existence d'une activité effective soumise à cotisation.
Dans le cadre d'une procédure d'approbation par la Confédération (art. 58 de la loi cantonale en matière de chômage), le Conseil fédéral, dans une décision du 28 mars 2007, a refusé d'approuver l'art. 43 de la loi cantonale, au motif qu'il était contraire au droit fédéral. Dans cette même décision, il a pris acte de l'engagement du Conseil d'Etat de mettre sa législation sur les emplois temporaires et sur les stages professionnels de réinsertion en conformité avec le droit fédéral.
A.c Le 22 juillet 2005, après avoir épuisé son droit aux indemnités fédérales de chômage, M._ a conclu, conformément aux dispositions précitées, un contrat d'emploi temporaire cantonal (ETC) avec l'Etat de Genève, représenté par le Service des mesures cantonales (SMC) de l'Office cantonal de l'emploi (OCE). La durée de ce contrat était de douze mois, soit du 19 juillet 2005 jusqu'au 20 juillet 2006 au plus tard. L'horaire hebdomadaire était de 40 heures. Le salaire convenu était de 3301 fr. 95 brut. En préambule de ce contrat, l'attention de la bénéficiaire était attirée sur le fait que la période précédant le placement auprès d'un service utilisateur pouvait ne pas être considérée comme une activité salariée soumise à cotisation permettant l'ouverture d'un droit aux indemnités fédérales de chômage. Le 7 octobre 2005, un avenant au contrat d'emploi temporaire a prévu que l'intéressée - jusqu'alors en attente d'un emploi et au bénéfice du salaire convenu - serait affectée du 10 octobre 2005 au 20 juillet 2006 en qualité d'employée de maison auprès de X._ Sàrl. L'intéressée a effectivement travaillé au service de cet établissement durant la période en cause.
A.d Le 26 juillet 2006, M._ a présenté une demande d'indemnité de chômage à partir du 21 juillet 2006. Par décision du 28 juillet 2006, la Caisse de chômage du SIT a nié le droit à l'indemnité prétendue au motif que, dans les limites du délai-cadre prévu à cet effet, la requérante n'avait pas exercé durant 12 mois au moins une activité soumise à cotisation. Elle a constaté, en effet, que l'intéressée avait travaillé du 10 octobre 2005 au 20 juillet 2006, soit 9,4 mois. Elle a considéré, par ailleurs, que le contrat de travail dont elle avait bénéficié du 19 juillet 2005 au 9 octobre 2005 ne pouvait pas être pris en compte comme période de cotisation ouvrant droit à l'indemnité de chômage. Saisie d'une opposition, la caisse l'a rejetée par une nouvelle décision, du 2 octobre 2006.
B. L'assurée a recouru contre cette décision. Statuant le 27 février 2007, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a admis le recours, après avoir considéré que la réalité de la prestation de travail n'était pas déterminante pour la fixation de la période de cotisation. Par conséquent, la condition d'une durée d'activité soumise à cotisation de douze mois était réalisée en l'espèce.
C. Le seco a formé un recours en matière de droit public dans lequel il a conclu à l'annulation de ce jugement. M._ conclut au rejet du recours. La Caisse de chômage du SIT déclare s'en tenir à ses décisions. Invité à se déterminer, l'Etat de Genève, par l'Office cantonal de l'emploi, a présenté des observations et s'en est remis à justice.
Par ordonnance du 29 mai 2007, le juge instructeur a attribué l'effet suspensif au recours.
D. Entre temps, la loi cantonale genevoise en matière de chômage du 11 novembre 1983 a été modifiée le 28 juin 2007 (loi 9922). La loi modifiée a notamment supprimé les emplois temporaires cantonaux en faveur d'un programme d'emploi et de formation sous la forme d'un contrat individuel d'insertion, en règle ordinaire d'une durée de six mois.
Considérant en droit:
1. 1.1 Comme la décision attaquée a été rendue après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007 (RO 2006 p. 1242), de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours est régi par le nouveau droit (art. 132 al. 1 LTF).
1.2 Interjeté par une unité subordonnée à un département fédéral et à laquelle la législation fédérale confère un droit de recours (art. 102 al. 2 LACI en corrélation avec l'art. 89 al. 2 let. a LTF), le recours, dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi et que l'on ne se trouve pas dans l'un des cas d'exceptions mentionnés par l'art. 83 LTF.
1.3 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui. Il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.4 Enfin, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
2. 2.1 La question est de savoir si la période du 19 juillet au 9 octobre 2005, durant laquelle l'intimée bénéficiait d'un contrat temporaire sans être affectée à un emploi, compte comme période de cotisation.
2.2 L'assuré a droit à l'indemnité de chômage notamment s'il remplit les conditions relatives à la période de cotisation ou en est libéré (art. 8 al. 1 let. e LACI, en liaison avec les art. 13 et 14 LACI). Celui qui, dans les limites du délai-cadre prévu à cet effet (art. 9 al. 3 LACI), a exercé durant douze mois au moins une activité soumise à cotisation remplit les conditions relatives à la période de cotisation (art. 13 al. 1 LACI dans sa version en vigueur depuis le 1er juillet 2003). En vue de prévenir les abus qui pourraient advenir en cas d'accord fictif entre l'employeur et un travailleur au sujet du salaire que le premier s'engage contractuellement à verser au second, la jurisprudence considère que la réalisation des conditions relatives à la période de cotisation (art. 8 al. 1 let. e et 13 LACI) présuppose qu'un salaire a été réellement versé au travailleur (DTA 2001 p. 228). Dans un arrêt récent (ATF 131 V 444), le Tribunal fédéral des assurances a précisé cette jurisprudence en indiquant qu'en ce qui concerne la période de cotisation, la seule condition du droit à l'indemnité de chômage est, en principe, que l'assuré ait exercé une activité soumise à cotisation durant la période minimale de cotisation. Aussi bien la jurisprudence exposée au DTA 2001 p. 225 ss (et les arrêts postérieurs) ne doit-elle pas être comprise en ce sens qu'un salaire doit en outre avoir été effectivement versé; en revanche, la preuve qu'un salaire a bel et bien été payé est un indice important en ce qui concerne la preuve de l'exercice effectif de l'activité salariée (ATF 131 V 444 consid. 3 p. 449 ss).
2.3 L'exercice d'une activité salariée pendant douze mois au moins est donc une condition à part entière pour la réalisation de la période de cotisation, tandis que le versement d'un salaire effectif n'est pas forcément exigé, mais permet au besoin de rapporter la preuve de cette activité. Le versement déclaré comme salaire par un employeur ne fonde cependant pas, à lui seul, la présomption de fait qu'une activité salariée soumise à cotisation a été exercée.
2.4 Par activité soumise à cotisation, il faut entendre toute activité de l'assuré destinée à l'obtention d'un revenu soumis à cotisation pendant la durée d'un rapport de travail (Gerhard Gerhards, Kommentar zum Arbeitslosenversicherungsgesetz [AVIG], vol. I, n. 8 ad art. 13 LACI p. 170). Cela suppose l'exercice effectif d'une activité salariée suffisamment contrôlable (ATF 113 V 352; DTA 1999 n. 18 p. 101 consid. 2a; Thomas Nussbaumer, Arbeitslosenversicherung, in : Ulrich Meyer [éd.], Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Soziale Sicherheit, 2ème éd., n. 207 p. 2239; Boris Rubin, Assurance-chômage : Droit fédéral, survol des mesures cantonales, procédure, 2ème éd., n. 3.8.4.2, p. 179).
2.5 Le contrat d'emploi temporaire entre les parties s'inscrit dans le contexte de mesures cantonales en faveur des chômeurs qui n'ont plus droit aux prestations de la LACI et qui visent à leur permettre de reconstituer un droit aux prestations par le biais d'une activité soumise à cotisation d'une durée suffisante au regard de l'art. 13 al. 1 LACI. Il est admis jusqu'à présent que l'exercice d'une activité soumise à cotisation dans un programme d'occupation de ce genre peut être pris en considération à titre de période de cotisation, même si l'on a mis en cause le bien-fondé de la mesure, qui n'inciterait pas suffisamment les chômeurs à réintégrer le marché du travail ordinaire et, partant, ne ferait que renforcer l'exclusion qui les touche (voir à ce sujet Rubin, op. cit., n. 16.1.2, p. 1003 s.; voir aussi dans ce sens le rapport au Grand Conseil genevois du 11 juin 2007 de la Commission de l'économie chargée d'étudier le projet de loi du Conseil d'Etat modifiant la loi en matière d'assurance-chômage).
2.6 En l'espèce, il est constant toutefois que l'intimée n'a effectivement travaillé, durant le délai-cadre relatif à la période de cotisation, que du 10 octobre 2005 au 20 juillet 2006 au service de X._, soit une période inférieure à douze mois. Partant, elle ne remplit pas la condition prévue par l'art. 13 al. 1 LACI. Peu importe, à cet égard, qu'elle ait reçu un salaire et que des cotisations aient été déduites du salaire pendant la période du 19 juillet au 9 octobre 2005.
2.7 Tout en admettant que la durée d'activité effective n'était pas suffisante, les premiers juges invoquent les dispositions du code des obligations relatives à la demeure de l'employeur (art. 324 CO). Ils considèrent, à cet égard, que l'intimée s'est engagée à rester disponible de façon permanente dans l'attente d'un placement dans un service utilisateur. On se trouve, dès lors, dans une situation de demeure de l'employeur, celui-ci ne disposant pas de postes de travail en nombre suffisant pour placer immédiatement et pour la durée complète du contrat tous les chômeurs concernés par les art. 39 ss de la loi en matière de chômage. Selon les premiers juges, il ne s'agit pas d'un contrat fictif, non susceptible d'être exécuté, mais d'un contrat de travail pour lequel l'employeur, pour des questions d'organisation, renonce momentanément aux services du travailleur. La réalité de la prestation de travail n'est pas déterminante quant à la fixation de la période de cotisation: ainsi, dans le cas d'un employeur qui devait encore verser un salaire jusqu'à l'échéance du délai de congé, pour cause de résiliation injustifiée du contrat de travail, la période durant laquelle le travailleur avait reçu son salaire, alors qu'il ne travaillait plus, devait être prise en compte comme période de cotisation selon la jurisprudence (ATF 119 V 494).
2.8 Selon la définition même du contrat de travail, le paiement d'un salaire par l'employeur implique la fourniture de services par le travailleur (art. 319 al. 1 CO). Autrement dit, le contrat de travail se caractérise par un rapport d'échange en vertu duquel le travailleur fournit une prestation de travail à l'employeur contre une rémunération. En l'espèce, la réelle et commune intention des parties (art. 18 al. 1 CO) n'était pas de conclure dès l'origine un contrat de travail impliquant la fourniture de services par l'intimée. Il s'agissait, bien plutôt, de permettre à celle-ci, par le seul paiement d'une rémunération, de verser des cotisations à l'assurance-chômage en vue de la réouverture d'un droit aux prestations après une période de cotisations de douze mois, conformément à l'art. 43 de la loi en matière de chômage. Dans ce contexte, la prestation de travail était reléguée au second plan. L'Etat y a renoncé, provisoirement tout au moins, non pour des circonstances spéciales propres à une relation de travail (p. ex. une libération de travailler pendant le délai de congé), mais faute de disponibilités dans un service utilisateur. Au reste, loin d'attendre de l'intimée qu'elle exécute un travail au sein de l'administration ou d'une institution publique, l'Etat l'incitait fermement à trouver un emploi en dehors d'un service utilisateur. A son art. 4 en effet, le contrat type d'emploi temporaire auquel les parties se sont soumises en l'espèce prévoit que l'employé(e) est tenu(e) d'effectuer, durant toute la semaine, le nombre de recherches d'emploi exigé par l'employeur, ces recherches devant également être satisfaisantes en qualité; il (elle) remet régulièrement et dans le délai imparti la preuve des dites recherches effectuées.
2.9 Dans ces conditions, il y a lieu d'admettre que le contrat passé par l'Etat avec la personne au chômage ne présentait pas les caractéristiques d'un contrat de travail avant que l'intimée n'entre au service de X._. On ne saurait donc parler de demeure de l'employeur au sens de l'art. 324 CO. En réalité, l'intimée était en attente d'obtenir un emploi, soit pour le compte d'un service utilisateur, soit auprès d'un autre employeur en cas de succès des recherches personnelles de travail qui lui incombaient. Pendant ce temps, la rémunération que l'Etat versait sans exiger la fourniture d'un travail s'apparentait bien plus à une prestation de l'aide sociale qu'à un salaire versé en contrepartie d'une prestation de travail. Cette période d'attente ne saurait donc être prise en considération au titre d'activité soumise à cotisation.
2.10 Pour le reste, on ne peut à l'évidence pas tirer un parallèle entre la situation ici envisagée et celle d'un travailleur qui n'a plus travaillé mais dont l'employeur devait encore verser le salaire jusqu'à l'échéance du délai de congé déterminant, pour cause de résiliation injustifiée du contrat de travail (ATF 119 V 494). La comparaison opérée ici par les premiers juges n'est pas pertinente.
3. De ce qui précède, il résulte que le recours est bien fondé. Vu l'issue de la procédure, les frais de justice doivent être mis à la charge de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal des assurances sociales du canton de Genève du 27 février 2007 est annulé.
2. Un émolument judiciaire de 500 fr. est mis à la charge de l'intimée.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, à la Caisse de chômage du SIT, au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève et au Département de la solidarité et de l'emploi du canton de Genève.
Lucerne, le 17 août 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: