Sachverhalt:
A. Die 1958 geborene B._ war ab 16. Oktober 2006 als Mitarbeiterin im Reinigungsdienst für die Stiftung Z._ tätig. Mit Schreiben vom 27. November 2008 löste sie dieses Arbeitsverhältnis auf den 31. März 2009 durch Kündigung auf und gab an, sie wolle ein Restaurant eröffnen. Am 18. März 2009 stellte sie Antrag auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. April 2009. Mit Verwaltungsakt vom 19. Mai 2009 verneinte das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Solothurn (AWA) die Vermittlungsfähigkeit ab 1. April 2009 bis auf weiteres und gab zur Begründung an, B._ stehe dem Arbeitsmarkt für eine zu kurze Zeit, nämlich lediglich während zweier Monate bis zur Eröffnung des Restaurants am 1. Juni 2009, zur Verfügung. Daran hielt es auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 10. Juni 2009).
B. In teilweiser Gutheissung der dagegen erhobenen Beschwerde bejahte das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die Vermittlungsfähigkeit ab 1. Juni 2009 (Entscheid vom 1. April 2010).
C. Das AWA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die Vermittlungsfähigkeit sei ab 1. April 2009 bis auf weiteres zu verneinen.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Es darf nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (Art. 107 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat die für die Vermittlungsfähigkeit mass-gebenden gesetzlichen Bestimmungen (Art. 8 Abs. 1 lit. f AVIG in Verbindung mit Art. 15 Abs. 1 AVIG) sowie die dazu ergangene Rechtsprechung (BGE 126 V 520 E. 3a S. 522) zutreffend dargelegt. Richtig ist insbesondere, dass nach der Praxis eine versicherte Person, die auf einen bestimmten Termin anderweitig disponiert hat und deshalb für eine neue Beschäftigung nur noch während relativ kurzer Zeit zur Verfügung steht, in der Regel als nicht vermittlungsfähig gilt. In einem solchen Fall sind nämlich die Aussichten, zwischen dem Verlust der alten und dem Antritt der neuen Stelle von einem andern Arbeitgeber angestellt zu werden, verhältnismässig gering. Entscheidend für die Beurteilung des Einzelfalles sind dabei nicht in erster Linie der Arbeitswille und die Arbeitsbemühungen der versicherten Person oder gar die Frage, ob sie in dieser Zeit effektiv eine Beschäftigung gefunden hat. Massgebend ist vielmehr, ob mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit angenommen werden kann, dass ein Arbeitgeber die versicherte Person für die konkret zur Verfügung stehende Zeit noch einstellen würde (BGE 126 V 520 E. 3a S. 522 mit Hinweisen).
2.2 Die Frage der Vermittlungsfähigkeit ist prospektiv (BGE 120 V 385 E. 2 S. 387) und aufgrund einer gesamthaften Würdigung der für die Anstellungschancen im Einzelfall wesentlichen, objektiven und subjektiven Faktoren zu beurteilen. Ausser dem Umfang des für die versicherte Person in Betracht fallenden Arbeitsmarktes ist auch die Art der gesuchten zumutbaren Arbeit von Bedeutung (Urteil [des Eidg. Versicherungsgerichts] C 162/05 vom 27. Dezember 2005 E. 1.2).
3. 3.1 Die Vorinstanz stellt am 1. April 2009 eine andere Sachlage als zwei Monate danach fest. Am 1. April 2009 sei die Beschwerdegegnerin noch davon ausgegangen, dass sie ihr Restaurant am 1. Juni 2009 werde eröffnen können, weshalb sich ihre damalige Suche auf eine höchstens zweimonatige Anstellung beschränkt haben dürfte. In der Zeit bis zum Einspracheentscheid vom 10. Juni 2009 - dieses Datum bilde die Grenze der richterlichen Überprüfungsbefugnis - habe sich die Einschätzung der Beschwerdegegnerin geändert, nachdem sie zur Kenntnis habe nehmen müssen, dass sich die geplante Eröffnung des Restaurants insbesondere mit Blick auf die Verfügung der Bau- und Werkkommission, Einwohnergemeinde X._, vom 20. April 2009 betreffend "Ausführung nicht nach Baubewilligung" möglicherweise erheblich verzögern werde. So habe sie dem Berater des Regionalen Arbeitsvermittlungszentrums (RAV) am 8. Mai 2009 mitgeteilt, den definitiven Entscheid über das Datum der Eröffnung des Restaurants werde sie in der folgenden Woche erhalten. In ihrem Schreiben vom 22. Mai 2009 in Verbindung mit der Einspracheschrift vom 4. Juni 2009 sei allerdings zum Ausdruck gekommen, dass sie dem Arbeitsmarkt wegen aufgetretener Bauverzögerungen für unbestimmte Zeit zur Verfügung stehen werde. Bei diesen veränderten Zukunftsperspektiven sei davon auszugehen, dass die Versicherte nunmehr nach einer zwei Monate erheblich überschreitenden Anstellung gesucht habe. Zudem sei zu berücksichtigen, dass sie sich im Juni 2009 sehr flexibel als Serviceaushilfe, Verkäuferin und Reinigungskraft beworben habe. Demgemäss könne die Vermittlungsfähigkeit ab 1. Juni 2009 bejaht werden. Die Frage, ob allenfalls eine Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit im Sinne von Art. 30 Abs. 1 lit. a AVIG in Verbindung mit Art. 44 Abs. 1 lit. b AVIV vorzunehmen sei, weil die Versicherte in der Eingabe ans Gericht vom 30. Dezember 2009 geäussert habe, sie habe ihre letzte Arbeitsstelle auch gekündigt, weil der Arbeitsweg zu anstrengend gewesen sei, bilde nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens; darüber habe die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn zu befinden.
3. 3.1 Die Vorinstanz stellt am 1. April 2009 eine andere Sachlage als zwei Monate danach fest. Am 1. April 2009 sei die Beschwerdegegnerin noch davon ausgegangen, dass sie ihr Restaurant am 1. Juni 2009 werde eröffnen können, weshalb sich ihre damalige Suche auf eine höchstens zweimonatige Anstellung beschränkt haben dürfte. In der Zeit bis zum Einspracheentscheid vom 10. Juni 2009 - dieses Datum bilde die Grenze der richterlichen Überprüfungsbefugnis - habe sich die Einschätzung der Beschwerdegegnerin geändert, nachdem sie zur Kenntnis habe nehmen müssen, dass sich die geplante Eröffnung des Restaurants insbesondere mit Blick auf die Verfügung der Bau- und Werkkommission, Einwohnergemeinde X._, vom 20. April 2009 betreffend "Ausführung nicht nach Baubewilligung" möglicherweise erheblich verzögern werde. So habe sie dem Berater des Regionalen Arbeitsvermittlungszentrums (RAV) am 8. Mai 2009 mitgeteilt, den definitiven Entscheid über das Datum der Eröffnung des Restaurants werde sie in der folgenden Woche erhalten. In ihrem Schreiben vom 22. Mai 2009 in Verbindung mit der Einspracheschrift vom 4. Juni 2009 sei allerdings zum Ausdruck gekommen, dass sie dem Arbeitsmarkt wegen aufgetretener Bauverzögerungen für unbestimmte Zeit zur Verfügung stehen werde. Bei diesen veränderten Zukunftsperspektiven sei davon auszugehen, dass die Versicherte nunmehr nach einer zwei Monate erheblich überschreitenden Anstellung gesucht habe. Zudem sei zu berücksichtigen, dass sie sich im Juni 2009 sehr flexibel als Serviceaushilfe, Verkäuferin und Reinigungskraft beworben habe. Demgemäss könne die Vermittlungsfähigkeit ab 1. Juni 2009 bejaht werden. Die Frage, ob allenfalls eine Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit im Sinne von Art. 30 Abs. 1 lit. a AVIG in Verbindung mit Art. 44 Abs. 1 lit. b AVIV vorzunehmen sei, weil die Versicherte in der Eingabe ans Gericht vom 30. Dezember 2009 geäussert habe, sie habe ihre letzte Arbeitsstelle auch gekündigt, weil der Arbeitsweg zu anstrengend gewesen sei, bilde nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens; darüber habe die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn zu befinden.
3.2 3.2.1 Das AWA wendet gegen die Bejahung der Vermittlungsfähigkeit ab 1. Juni 2009 ein, die Versicherte habe auch Ende Mai/anfangs Juni 2009 ihr Vorhaben, die selbstständige Erwerbstätigkeit aufzunehmen, sobald die Eröffnung des Restaurants möglich werde, nicht aufgegeben. Aufgrund der Ungewissheit über den Zeitpunkt der Eröffnung habe sie sich nicht wirklich für unbestimmte Zeit (bis zu sechs Monate) dem Arbeitsmarkt zur Verfügung gestellt, vielmehr sei sie nach wie vor nur für eine beschränkte Zeit, nämlich bis zur Bewilligungserteilung bzw. Eröffnung des Restaurants, bereit gewesen, eine unselbstständige Beschäftigung anzunehmen. Deshalb sei die Vermittlungsfähigkeit auch ab 1. Juni 2009 zu verneinen.
Dieser Argumentation kann nicht gefolgt werden. Es ist zwar einzuräumen, dass aus den Akten nicht ersichtlich ist, für welche Zeitdauer die Beschwerdegegnerin den potentiellen Arbeitgebern ihre Arbeitskraft angeboten hat. In diesem Zusammenhang ist darauf hinzuweisen, dass sowohl das Verwaltungsverfahren wie auch der kantonale Sozialversicherungsprozess vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht sind (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG). Danach haben Verwaltung und Sozialversicherungsgericht den rechtserheblichen Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen. Diese Untersuchungspflicht dauert so lange, bis über die für die Beurteilung des streitigen Anspruchs erforderlichen Tatsachen hinreichende Klarheit besteht. Der Untersuchungsgrundsatz weist enge Bezüge zum - auf Verwaltungs- und Gerichtsstufe geltenden - Grundsatz der freien Beweiswürdigung auf. Führen die im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes von Amtes wegen vorzunehmenden Abklärungen den Versicherungsträger oder das Gericht bei umfassender, sorgfältiger, objektiver und inhaltsbezogener Beweiswürdigung (BGE 132 V 393 E. 4.1 S. 400) zur Überzeugung, ein bestimmter Sachverhalt sei als überwiegend wahrscheinlich (BGE 126 V 353 E. 5b S. 360; 125 V 193 E. 2 S. 195, je mit Hinweisen) zu betrachten und es könnten weitere Beweismassnahmen an diesem feststehenden Ergebnis nichts mehr ändern, so liegt im Verzicht auf die Abnahme weiterer Beweise keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (antizipierte Beweiswürdigung; BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 124 V 90 E. 4b S. 94). Bleiben jedoch erhebliche Zweifel an Vollständigkeit und/oder Richtigkeit der bisher getroffenen Tatsachenfeststellung bestehen, ist weiter zu ermitteln, soweit von zusätzlichen Abklärungsmassnahmen noch neue wesentliche Erkenntnisse zu erwarten sind (Urteil 9C_167/2009 vom 28. Mai 2009 E. 3.1). In casu legt das kantonale Gericht dar, aus welchen Gründen es an der wachsenden Erkenntnis der Versicherten, es bleibe ihr bis zur Restauranteröffnung noch ein längerer Zeitraum, während welchem sie einer unselbstständigen Erwerbstätigkeit nachgehen könne, nicht zweifelt. Die Vorinstanz sah keinen Grund, diesen insbesondere durch die Umstände im Zusammenhang mit dem Aufschub der Restauranteröffnung durch die Verzögerung in der Erteilung der vorab notwendigen Baubewilligung ausgelösten Wandel der Absichten der Versicherten in Frage zu stellen und sah daher implizit von weiteren Beweisvorkehren ab. Die Beweiswürdigung im Allgemeinen einschliesslich die Würdigung von Indizien und fallbezogene Wahrscheinlichkeitsüberlegungen betreffen Tatfragen (Urteil 8C_831/2008 vom 29. Mai 2009 E. 2.3; ULRICH MEYER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 34 zu Art. 105 BGG, und MARKUS SCHOTT, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 29 zu Art. 95 BGG, je mit Hinweisen), die das Bundesgericht lediglich auf offensichtliche Unrichtigkeit und Rechtsfehlerhaftigkeit hin zu überprüfen befugt ist (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. E. 1 hiervor). Blosse Zweifel an der Richtigkeit der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung ändern an deren Verbindlichkeitswirkung gemäss Art. 105 Abs. 1 BGG nichts (vgl. die Hinweise in Urteil 9C_539/2007 vom 31. Januar 2008 E. 2.2.2). Die im angefochtenen Gerichtsentscheid zur Disponibilität der Beschwerdegegnerin ab 1. Juni 2009 angestellten Wahrscheinlichkeitsüberlegungen sind nicht offensichtlich unrichtig, weshalb das Bundesgericht an die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz gebunden ist. Auf weitere Beweisvorkehren konnte im kantonalen Gerichtsverfahren verzichtet werden, weil davon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten waren.
3.2.2 Der Beschwerdeführer macht zudem geltend, die vorinstanzliche Bejahung der Vermittlungsfähigkeit ab 1. Juni 2009 sei willkürlich; folge man nämlich der Argumentation im angefochtenen Gerichtsentscheid, so hätte bereits ab 22. Mai 2009 Vermittlungsfähigkeit bestanden. Dieser Einwand ist nicht stichhaltig. Aus dem Schreiben der Beschwerdegegnerin vom 22. Mai 2009 lässt sich eine gewisse Enttäuschung über die Verzögerung der Baubewilligungserteilung erkennen. Erst in der Einsprache vom 4. Juni 2009 macht sie aber deutlich, dass sie nunmehr dem Arbeitsmarkt "für unbestimmte Zeit zur Verfügung" stehe, weil sich ihre anfängliche Prognose einer zweimonatigen Überbrückungszeit bis zur Eröffnung ihres Restaurants nicht erfüllt habe. Die Annahme der Vorinstanz, die Beschwerdegegnerin habe ab anfangs Juni 2009 eine Anstellung für eine zwei Monate beträchtlich überschreitende Zeit gesucht, lässt sich demgemäss nicht als unhaltbar qualifizieren.
3.2.3 Schliesslich führt auch die Argumentation des AWA, wonach das Restaurant bereits am 1. Oktober 2007 hätte eröffnet werden können, wenn die Beschwerdegegnerin der Baubehörde keine Änderungsgesuche eingereicht hätte, zu keinem anderen Ergebnis. Die Versicherte musste in der Zeit seit der am 18. März 2009 erfolgten Antragstellung bei der Arbeitslosenversicherung feststellen, dass sie ihren eigenen Betrieb nicht so schnell würde aufnehmen können, wie sie dies geplant hatte, und sie stellte sich in der Folge auf die korrigierte Perspektive einer längeren Überbrückungszeit bis zur Eröffnung ihres Restaurants ein. Dies allein ist massgebend. Unerheblich ist, aus welchen Gründen ihr mehr Zeit für die Ausübung einer unselbstständigen Erwebstätigkeit blieb.
3.3 Zusammenfassend ergibt sich, dass die Ausführungen in der Beschwerdeschrift nicht geeignet sind, die Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts als klar unrichtig oder unvollständig erscheinen zu lassen. Die Beschwerde ist daher abzuweisen.
4. Dem AWA als unterliegender Partei sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen, weil es in seinem amtlichen Wirkungskreis und nicht im eigenen Vermögensinteresse handelt (Art. 66 Abs. 4 BGG; BGE 133 V 640). Dementsprechend wird ihm der bereits geleistete Kostenvorschuss zurückerstattet.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn, der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Juli 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz