Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer reichte am 17. April 2015 bei der Staatsanwaltschaft St. Gallen eine Strafanzeige wegen Beschimpfung/Beleidigung und allenfalls Nötigung gegen eine Person ein, die ihn als "Arschloch" bezeichnet hatte. Das Untersuchungsrichteramt St. Gallen trat am 26. Mai 2015 auf die Anzeige nicht ein. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies die Anklagekammer des Kantons St. Gallen am 18. August 2015 ab.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, der Entscheid der Anklagekammer sei aufzuheben und eine formelle Strafuntersuchung einzuleiten. Die Beschuldigte sei strafrechtlich zu belangen und zu bestrafen.
2.
Der Privatkläger ist zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss Art. 41 ff. OR, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat der Privatkläger nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung geltend gemacht. Selbst wenn er bereits adhäsionsweise privatrechtliche Ansprüche geltend gemacht hat, werden in der Einstellungsverfügung keine Zivilklagen behandelt (Art. 320 Abs. 3 StPO). In jedem Fall muss der Privatkläger im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (BGE 141 IV 1 E. 1.1 mit Hinweisen). Diese Rechtsprechung gilt auch bei Ehrverletzungsdelikten (vgl. Urteil 6B_94/2013 vom 3. Oktober 2013 E. 1.1).
Der Beschwerdeführer äussert sich in seiner Eingabe vor Bundesgericht zu seiner Legitimation und insbesondere zur Frage der Zivilforderung nicht. Mangels Begründung ist davon auszugehen, dass er zum vorliegenden Rechtsmittel nicht legitimiert ist. Darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das nachträgliche Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers (vgl. act. 9) ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: C. Monn