Sachverhalt:
A.
A.X._ und C.Y._ (beide geb. 1997) sind mazedonischer Herkunft und besuchen die Volksschule der Gemeinde Bürglen (TG). Sie tragen das islamische Kopftuch.
Die Schulordnung der Sekundarschule der Volksschulgemeinde Bürglen enthält die folgende Regelung:
"SchülerInnen besuchen sauber und anständig gekleidet die Schule. Der vertrauensvolle Umgang untereinander bedeutet, dass die Schule ohne Kopfbedeckung besucht wird. Aus diesem Grund ist das Tragen von Caps, Kopftüchern und Sonnenbrillen während der Schulzeit untersagt."
Im Frühling 2011 stellten A.X._ und C.Y._ das Gesuch, von dieser Bestimmung dispensiert zu werden und das Kopftuch aus religiösen Gründen tragen zu dürfen. Dieses Gesuch wurde mit Entscheid vom 23. Mai 2011 von der Volksschulbehörde abgelehnt.
B.
Ein gegen diesen Entscheid erhobener Rekurs beim Departement für Erziehung und Kultur des Kantons Thurgau blieb ohne Erfolg (15. November 2011). Die hiergegen gerichtete Eingabe an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hiess dieses am 6. Juni 2012 gut. Es begründete sein Urteil damit, die Schulgemeinde habe in unzulässiger Weise in die Grundrechte der beiden Schülerinnen eingegriffen; es fehle hierzu an einer genügenden gesetzlichen Grundlage; überdies sei der Eingriff auch nicht verhältnismässig.
C.
Mit Beschwerde vom 23. August 2012 beantragt die Volksschulgemeinde Bürglen dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 6. Juni 2012 sei aufzuheben. Eventuell sei die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsabklärung und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Volksschulgemeinde stellt sich auf den Standpunkt, sie habe die Glaubens- und Gewissensfreiheit der Schülerinnen in verfassungskonformer Weise eingeschränkt.
Das Departement für Erziehung und Kultur des Kantons Thurgau beantragt, die Beschwerde gutzuheissen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Beschwerdegegnerinnen haben in ihrer Replik an den Anträgen festgehalten.
D.
Die Angelegenheit wurde am 11. Juli 2013 öffentlich beraten.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 138 V 318 E. 6 S. 320; 135 III 1 E. 1.1 S. 3 mit Hinweisen). Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften sind nach Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt. Art. 50 Abs. 1 BV und § 59 Abs. 1 Kantonsverfassung des Kantons Thurgau (KV/TG; SR 131.228) gewähren die Gemeindeautonomie. Für das Eintreten ist allein entscheidend, dass die beschwerdeführenden Gemeinden in ihrer Eigenschaft als Trägerinnen hoheitlicher Gewalt berührt sind und eine Verletzung ihrer Autonomie geltend machen, wie dies die Beschwerdeführerin im materiellen Teil ihrer Eingabe denn auch vorbringt. Ob eine solche tatsächlich besteht oder im konkreten Fall verletzt wurde, bildet eine Frage der inhaltlichen Beurteilung (BGE 135 I 43 E. 1.2 S. 45 f.; 129 I 410 E. 1.1 S. 412; Urteil 5C_2/2009 vom 5. November 2009 E. 3.1; je mit Hinweisen).
Die Volksschulgemeinde Bürglen hat vorliegend Kleidervorschriften für Schülerinnen und Schüler erlassen. Die Vorinstanz hat eine hierauf gestützte Verfügung für ungültig erklärt. Die Gemeinde ist in ihren Hoheitsbefugnissen betroffen. Sie ist deshalb zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert (vgl. BGE 129 I 313 E. 4.2 S. 319; Urteile 1C_362/2011 vom 14. Februar 2012 E. 2.1; 1C_523/2009 vom 12. März 2010 E. 2.1).
1.2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG muss ein Rechtsmittel die Begehren und deren Begründung mit Angabe der Beweismittel enthalten. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (vgl. BGE 137 III 580 E. 1.3 S. 584; 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.; 134 V 53 E. 3.3 S. 60; Urteil 5A_754/2011 vom 2. Juli 2012 E. 1.3.1, nicht publ. in: BGE 138 III 520 ff.). Strengere Anforderungen an die Rügepflicht gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht geltend gemacht wird. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 138 I 274 E. 1.6 S. 176; 136 II 489 E. 2.8 S. 494; 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 130 I 258 E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung bloss berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 138 I 49 E. 7.1 S. 51). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt in diesem Sinne mangelhaft erscheint und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 137 II 353 E. 5.1 S. 356; 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; Urteil 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 3.2, nicht publ. in: BGE 137 III 539 ff.).
2.
2.1. Nach der Rechtsprechung sind Gemeinden in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale (oder eidgenössische) Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt. Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine solche nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (BGE 138 I 242 E. 5.2 S. 244 f.; 136 I 395 E. 3.2.1 S. 398, 265 E. 2.1 S. 269; 135 I 233 E. 2.2 S. 241 f.; je mit Hinweisen).
Besteht in diesem Sinne Autonomie, kann sich die Gemeinde dagegen zur Wehr setzen, dass eine kantonale Behörde im Rechtsmittelverfahren die den betreffenden Sachbereich ordnenden kommunalen, kantonalen oder bundesrechtlichen Normen falsch anwendet oder ihre Prüfungsbefugnis überschreitet. Die Gemeinden können in diesem Rahmen auch geltend machen, die kantonalen Instanzen hätten die Tragweite eines Grundrechts verkannt und dieses zu Unrecht als verletzt erachtet (BGE 128 I 3 E. 2b S. 9; 126 I 133 E. 2 S. 137; 114 Ia 168 E. 2a S. 170; 112 Ia 59 E. 3a S. 63; Urteil 1D_2/2012 vom 13. Mai 2013 E. 7). Soweit nicht die Handhabung von eidgenössischem oder kantonalem Verfassungsrecht infrage steht, prüft das Bundesgericht den Entscheid der kantonalen Behörde bei der Autonomiebeschwerde nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür (BGE 138 I 242 E. 5.2 S. 245; 136 I 395 E. 3.2.1 S. 397, 316 E. 2.2.1 S. 318; 135 I 302 E. 1 S. 305; 115 Ia 42 E. 3c S. 46; 114 Ia 371 E. 2a S. 372; je mit Hinweisen; Urteil 2C_401/2010 vom 14. Dezember 2012 E. 2.1).
2.2. Das Schulwesen fällt grundsätzlich in die kantonale Gesetzgebungszuständigkeit (vgl. Art. 62 Abs. 1 BV). Im Rahmen, den das kantonale Recht zulässt, können die Gemeinden des Kantons Thurgau ihre Angelegenheiten selbst regeln und hierzu eigenes Recht erlassen, wie § 59 Abs. 1 KV/TG dies unter dem Randtitel "Gemeindeautonomie" ausdrücklich festhält (vgl. Urteil 2P.227/1993 vom 21. Februar 1995 E. 1b [Oberstufengemeinde Weinfelden/TG]; vgl. auch Regula Kägi-Diener, in: Die Schweizerische Bundesverfassung, 2. Aufl. 2008, N. 8 ff. zu Art. 50 BV; Hansjörg Seiler, Gemeinden im schweizerischen Staatsrecht, in: Thürer/Aubert/Müller [Hrsg.], Verfassungsrecht der Schweiz, 2001, § 31, N. 1 ff., 10; vgl. hierzu auch Kilian Meyer, Gemeindeautonomie im Wandel, Diss., 2011, S. 12 ff.). Die Schulgemeinde kommt als öffentlich-rechtliche Gebietskorporation mit eigener Rechtspersönlichkeit als Trägerin der verfassungsrechtlich geschützten Autonomie in Betracht (vgl. Urteil 2P.43/2003 vom 16. Mai 2003 E. 2.1 mit Hinweis).
2.2.1. Die Beschwerdeführerin weist darauf hin, dass Schulgemeinden Aufgaben des Schul- und Bildungswesens zu erfüllen haben (§ 57 Abs. 3 KV/TG) : Für die Organisation und das Verfahren im Bereich der Schulangelegenheiten verweist § 60 des Gesetzes über die Volksschule des Kantons Thurgau vom 29. August 2007 (Volksschulgesetz; VSG/TG) auf das Gesetz über die Gemeinden vom 5. Mai 1999 (Gemeindegesetz/TG; GG/TG), das neben dem Volksschulgesetz subsidiär anwendbar ist und auch auf Schulgemeinden Anwendung findet. § 20 Abs. 1 des GG/TG hält fest, dass Gemeinden alle Gemeindeangelegenheiten besorgen, soweit diese nicht einem anderen Organ zugewiesen sind. Nach § 11 ff. VSG/TG und § 7 der Verordnung des Regierungsrates über die Volksschule vom 11. Dezember 2007 des Kantons Thurgau (VSV/TG) obliegt den Schulgemeinden die Organisationsplanung; insbesondere sind sie befugt, eine Schulordnung zu erlassen, welche die Rechte und Pflichten in den örtlichen Schulbetrieben sowie nach Bedarf weitere schulbezogene Pflichten der Schüler und Schülerinnen regelt.
In der Kompetenz zum Erlass der Schulordnung erblickt die Beschwerdeführerin einen geschützten Bereich kommunaler Autonomie: Hierbei gehe es "gerade darum [...], auf die besonderen Verhältnisse und Bedürfnisse in der jeweiligen Schulgemeinde Rücksicht zu nehmen". Bei der Auslegung und Anwendung der Schulordnung habe sich die Beschwerdeführerin lediglich an die im Allgemeinen Teil des Volksschulgesetzes festgehaltenen Werte zu halten (§ 2 und 4 VSG/TG), sodass es sich bei der Schulordnung um einen Bereich handle, der "zweifelsfrei gemeindefreiheitsbezogen" sei.
2.2.2. Der Kanton hat im Bereich der Volksschule ein dichtes Regelwerk erlassen. Dieses umfasst Bestimmungen zum Unterricht und zur Schulpflicht (§ 30 ff. VSG/TG), zu den persönlichen Verhältnissen der Schülerinnen und Schüler (inklusiv sonderpädagogische- und Disziplinarmassnahmen; § 40 ff., 41 und 48 VSG/TG), zur Schulleitung (§ 53 ff. VSG/TG) sowie zu den Aufgaben und zur Organisation der Schulgemeinde (vgl. § 58 ff. VSG/TG). Die Schulgemeinde und die kommunale Schulleitung sind im Rahmen der genannten übergeordneter Aufgaben verantwortlich für die Organisationsplanung, welche den Erlass einer Schulordnung mitumfasst (§ 11 ff. VSG/TG i.V.m. § 6 und 7 VSV/TG; vgl. hierzu unten E. 5.4). Die Beschwerdeführerin ist demnach - wie dies auch die Vorinstanz anerkennt - kompetent, für ihre lokalen Verhältnisse ein Schulreglement zu erlassen und darf in diesem Rahmen auch Ordnungsvorschriften vorsehen, was ihr einen gewissen Grad an Entscheidungsspielraum einräumt. Das enge Regelwerk des Kantons zum Volksschulwesen schliesst die Gemeindeautonomie für diesen Bereich demnach nicht aus (vgl. BGE 116 Ia 252 E. 4b S. 256 f. [Gemeinde Cadro/TI]; Urteil 2P.355/1998 vom 17. Dezember 1998 E. 2a/b [zur Primarschule der Gemeinde Herdern/TG]; 2P.227/1993 vom 21. Februar 1995 E. 1c [zur Oberstufengemeinde Weinfelden/TG]).
Ob es sich bei der Regelung der lokalen Benutzungsvorschriften letztlich um einen Entscheidungsspielraum handelt, der "gemeindefreiheitsbezogen" im Sinne der Rechtsprechung ist (BGE 118 Ia 218 E. 3d/e S. 222; Urteil 8C_122/2009 vom 24. Februar 2010 E. 2.2.4) oder ob es sich hierbei um Vollzugsaufgaben ohne relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit handelt - worauf insbesondere der Umstand hindeutet, dass das kantonale Volksschulgesetz die Entscheidungsbefugnisse der Schulbehörde, d.h. dem Exekutivorgan der Schulgemeinde überträgt (vgl. § 63 VSG/TG) -, kann vorliegend offenbleiben (vgl. für den Kanton Bern Martin Aubert, Bildungsrecht, in: Müller/Feller (Hrsg.), Bernisches Verwaltungsrecht, 2008, S. 575 ff., dort S. 653). Wie zu zeigen sein wird, liegt die behauptete Autonomieverletzung in materieller Hinsicht nicht vor.
3.
3.1. Soweit ein enger Zusammenhang zur behaupteten Missachtung der Autonomie besteht, sind die Gemeinden befugt, Verletzungen des Anspruchs auf rechtliches Gehör zu rügen (BGE 136 I 265 E. 3.2 S. 272; 131 I 91 E. 3.1 S. 95; 129 I 410 E. 2.3 S. 414; Urteile 1C_21/2013 vom 12. März 2013 E. 4; 2P.45/2005 vom 30. Juni 2005 E. 1.2). Die Beschwerdeführerin behauptet eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV durch die Vorinstanz. Sie beantragte der Vorinstanz insbesondere, die Klassenlehrerin dazu Auskunft geben zu lassen, inwiefern sich die Schülerinnen "nicht besonders wohl als Kopftuchträgerinnen" fühlten, "wichtigere Vorschriften ihrer Religion nicht so genau nehmen" und 2011 auch "keinen Ramadan feierten".
3.2. Aus dem verfassungsrechtlichen Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV ergibt sich für die Parteien das Recht, Beweisanträge zu stellen, und für die Behörden die Pflicht, rechtzeitig und formgültig angebotene Beweisbegehren entgegenzunehmen und zu berücksichtigen (vgl. BGE 138 V 125 E. 2.1 S. 127; 136 I 265 E. 3.2 S. 272; 135 I 187 E. 2.2 S. 190; je mit Hinweisen). Das Gericht kann jedoch Beweisanträge ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs ablehnen, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde. Ebenso müssen keine Beweise abgenommen werden, wenn die Anträge nicht erhebliche Tatsachen betreffen (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236 f.; 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 131 I 153 E. 3 S. 157; 130 II 425 E. 2.1 S. 428; 124 I 208 E. 4a S. 211; je mit Hinweisen).
3.3. Das Verwaltungsgericht hat in antizipierter Beweiswürdigung davon abgesehen, die hierzu vorgeschlagenen Zeugen zu vernehmen. Dies ist nicht verfassungswidrig: Die Vorinstanz hat sich gestützt auf die Akten ein Bild der rechtlich relevanten Elemente machen können. Soweit die Klassenlehrerin darüber hätte Auskunft geben sollen, wie sich die Schülerinnen mit dem Kopftuch fühlten und ob sie keinen Fastenmonat praktizierten, musste die Vorinstanz die entsprechenden Anträge nicht zulassen: Die offerierten Beweise sind nicht relevant für die Frage, inwiefern bzw. in welcher Intensität ein Eingriff in den Schutzbereich der Glaubens- und Gewissensfreiheit vorliegt (vgl. dazu unten E. 4.2 und 5.2). Die antizipierte Beweiswürdigung durch die Vorinstanz ist nachvollziehbar und nicht willkürlich (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236 f.; 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 131 I 153 E. 3 S. 157; Urteil 2C_157/2013 vom 22. Februar 2013 E. 3.3). Die Vorinstanz hat demnach weder den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör verletzt noch treuwidrig gehandelt (Art. 29 Abs. 2, Art. 9 BV). Das Bundesgericht bleibt an die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen gebunden (Art. 105 Abs. 2 BGG).
4.
Die Schulgemeinde wirft dem Verwaltungsgericht vor, dieses habe die Tragweite der Glaubens- und Gewissensfreiheit verkannt und diese aufgrund des erlassenen allgemeinen Kopfbedeckungsverbots zu Unrecht als verletzt betrachtet. Die Beschwerdeführerin habe unter den gegebenen Voraussetzungen in die Grundrechte der beiden Schülerinnen eingreifen dürfen (Art. 15 und 36 Abs. 1-4 BV; § 6 Ziff. 3 KV/TG).
4.1. Art. 15 BV gewährleistet (ebenso wie Art. 9 EMRK und § 6 Ziff. 3 KV/TG) die Glaubens- und Gewissensfreiheit (Abs. 1) und räumt jeder Person das Recht ein, ihre Religion und ihre weltanschauliche Überzeugung frei zu wählen und allein oder in Gemeinschaft mit anderen zu bekennen (Abs. 2). Die Religionsfreiheit umfasst sowohl die innere Freiheit, zu glauben, nicht zu glauben oder seine religiösen Anschauungen zu ändern, wie auch die äussere Freiheit, entsprechende Überzeugungen innerhalb gewisser Schranken zu äussern, zu praktizieren und zu verbreiten oder sie nicht zu teilen (BGE 123 I 296 E. 2b/aa S. 300; 119 Ia 178 E. 4c S. 184; Urteil 2C_897/2012 vom 14. Februar 2013 E. 4.2). Sie enthält den Anspruch des Einzelnen darauf, sein Verhalten grundsätzlich nach den Lehren des Glaubens auszurichten und den Glaubensüberzeugungen gemäss zu handeln. Unter ihrem Schutz stehen alle Religionen, unabhängig von ihrer quantitativen Verbreitung in der Schweiz (BGE 134 I 56 E. 4.3 S. 60, 49 E. 2.3 S. 51; 123 I 296 E. 2b/aa S. 300 f.; 119 Ia 178 E. 4b S. 184).
Zur derart gewährleisteten Religionsausübung zählen über kultische Handlungen hinaus auch die Beachtung religiöser Gebräuche und Gebote sowie andere Äusserungen des religiösen Lebens, soweit solche Verhaltensweisen Ausdruck der religiösen Überzeugung bilden (BGE 123 I 296 E. 2b/aa S. 300; 119 Ia 178 E. 4c S. 184). Das gilt auch für Religionsbekenntnisse, welche die auf den Glauben gestützten Verhaltensweisen sowohl auf das geistig-religiöse Leben wie auch auf weitere Bereiche des alltäglichen Lebens beziehen (BGE 119 Ia 178 E. 4c S. 185); auch religiös motivierte Bekleidungsvorschriften sind vom Schutz von Art. 15 BV erfasst (BGE 134 I 56 E. 4.3 S. 60 f., 49 E. 2.3 S. 51 f.; 123 I 296 E. 2b/aa S. 300; 119 Ia 178 E. 4c S. 184; 119 IV 260 E. 3b/aa S. 263; Urteil C 366/96 vom 2. Juni 1997 E. 2b).
4.2. Die beiden Schülerinnen waren zum massgeblichen Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils weniger als 16 Jahre alt. Sie sind in ihrer Glaubens- und Gewissensfreiheit geschützt (vgl. auch Art. 3 und 14 Abs. 1 UNO-Kinderrechtekonvention [KRK; SR 0.107] sowie Art. 11 BV), ihre Rechte werden jedoch durch die Eltern wahrgenommen (Art. 304 Abs. 1 ZGB). Den Eltern kommt auch das Recht zu, über ihre religiöse Erziehung zu bestimmen (Art. 303 Abs. 1 und 3 ZGB).
Entscheidend für die Annahme eines Eingriffs in den Schutzbereich ist demnach, dass die von den Schülerinnen bzw. ihren Eltern angerufenen Verhaltensweisen einen unmittelbaren Ausdruck ihrer religiösen Überzeugung bilden und dass sie dies glaubhaft darzulegen vermögen (vgl. BGE 135 I 79 E. 4.4 S. 84; 134 I 56 E. 5.2 S. 63; Urteil 2C_897/2012 vom 14. Februar 2013 E. 4.2; vgl. auch EGMR, Eweida und Mitbeteiligte gegen Grossbritannien vom 15. Januar 2013, req. n. 48420/10, 59842/10, 51671/10 und 36516/10, N. 82; Yvo Hangartner, Religionsfreiheit, AJP 2010, S. 441 ff.; Keller/Bürli, Religionsfreiheit in der multikulturellen Schulrealität, recht 2009, S. 100 ff., 102 f.; Andreas Kley, in: Die Schweizerische Bundesverfassung, 2. Aufl. 2008, N. 11 zu Art. 15 BV; Peter Karlen, Das Grundrecht der Religionsfreiheit in der Schweiz, Diss., 1982, S. 203 ff.). Die Schülerinnen legten im vorinstanzlichen Verfahren dar, das Kopftuch aus religiösen Gründen zu tragen; das Tragen des Kopftuches der Schülerinnen als (heranwachsende) Frauen, die sich zum Islam bekennen, steht demnach - wie die Vorinstanz zurecht festhält - als Ausdruck eines religiösen Bekenntnisses unter dem Schutz der Religionsfreiheit gemäss Art. 15 BV (BGE 134 I 56 E. 4.3 S. 60 f., 49 E. 2.3 S. 51 f.; 123 I 296 E. 2b/aa S. 300; 119 Ia 178 E. 4c S. 184; vgl. auch 119 IV 260 E. 3b/aa S. 263). Durch ein Verbot des Tragens des Kopftuches liegt ein Eingriff in den Schutzbereich der Glaubens- und Gewissensfreiheit der beiden Schülerinnen bzw. ihrer Eltern als Erziehungsberechtigten vor.
4.3. Eingriffe in die Glaubens- und Gewissensfreiheit und Beeinträchtigungen von religiösen Gepflogenheiten sind nur zulässig, wenn sie die Voraussetzungen zur Einschränkung von Grundrechten erfüllen (Art. 36 Abs. 1-3 BV; BGE 134 I 56 E. 4.3 S. 60 f., 49 E. 2.3 S. 51 f.; 123 I 296; 119 IV 260). Sie müssen auf einer gesetzlichen Grundlage beruhen, durch ein öffentliches Interesse oder den Schutz von Grundrechten Dritter gerechtfertigt und verhältnismässig sein. Der Kerngehalt der Glaubens- und Gewissensfreiheit ist unantastbar (Art. 36 Abs. 4 BV).
5.
Gemäss dem angefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichts konnte sich die Schulgemeinde auf keine genügende gesetzliche Grundlage stützen, welche ein Verbot des Tragens eines Kopftuches aus religiösen Gründen hätte rechtfertigen können (Art. 36 Abs. 1 BV). Aus der Sicht der Beschwerdeführerin besteht hingegen eine gesetzliche Grundlage für die angefochtene Verfügung. Einerseits stütze sich diese auf die Zweckartikel des Volksschulgesetzes (§ 2, 4 und 63 VSG/TG), andererseits auf die mit der Kompetenz zum Erlass einer Schulordnung übertragenen Befugnisse zur Regelung der wesentlichen Benutzungsvorschriften vor Ort.
5.1. Schwere Eingriffe in Freiheitsrechte bedürfen einer klaren und ausdrücklichen Regelung in einem formellen Gesetz (Art. 36 Abs. 1 Satz 2 BV; BGE 137 II 371 E. 6.2 S. 381; 130 I 65 E. 3.3 S. 68; 126 I 112 E. 3c S. 116; 124 I 34 E. 3b S. 37; 123 I 296 E. 3 S. 303; 108 Ia 33 E. 3a S. 35). Bei einem leichten Eingriff genügt ein Gesetz im materiellen Sinn (vgl. BGE 138 I 256 E. 6.3 S. 264; 131 I 333 E. 4 S. 339; 130 I 65 E. 3.3 S. 68; 129 I 173 E. 2.2 S. 177; 126 I 112 E. 3b S. 116, 109 Ia 188 E. 2 S. 190; Rainer J. Schweizer, in: St. Galler Kommentar, 2. Aufl. 2008, N. 12 zu Art. 36 BV; Kley, a.a.O., N. 29 zu Art. 15 BV). Das Legalitätsprinzip im Sinne von Art. 36 Abs. 1 BV verlangt zudem eine hinreichende und angemessene Bestimmtheit der anzuwendenden Rechtssätze (vgl. BGE 136 I 87 E. 3.1 S. 90 f.; 135 I 169 E. 5.4.1 S. 173; 132 I 49 E. 6.2 und 6.3 S. 58 f.; je mit Hinweisen). Diese müssen so präzise formuliert sein, dass die Rechtsunterworfenen ihr Verhalten danach einrichten und die Folgen eines bestimmten Verhaltens mit einem den Umständen entsprechenden Grad an Gewissheit erkennen können (BGE 133 I 110 E. 6.1 S. 121; 124 I 203 E. 2b S. 205, 40 E. 3b S. 43; 115 Ia 277 E. 7a S. 288). Das Erfordernis der Bestimmtheit steht im Dienste der Rechtssicherheit (mit den Elementen der Berechenbarkeit und Vorhersehbarkeit staatlichen Handelns) sowie der rechtsgleichen Rechtsanwendung (vgl. BGE 136 I 87 E. 3.1 S. 90; 135 I 169 E. 5.4.1 S. 173; 132 I 49 E. 6.2 S. 58; je mit Hinweisen). Der Grad der erforderlichen Bestimmtheit lässt sich dabei jedoch nicht abstrakt festlegen. Er hängt unter anderem von der Vielfalt der zu ordnenden Sachverhalte, von der Komplexität und der Vorhersehbarkeit der im Einzelfall erforderlichen Entscheidung, von den Normadressaten, von der Schwere des Eingriffs in Verfassungsrechte und von der erst bei der Konkretisierung im Einzelfall möglichen und sachgerechten Entscheidung ab (zum Ganzen BGE 136 I 87 E. 3.1 S. 90 f.; 135 I 169 E. 5.4.1 S. 173 f.; 132 I 49 E. 6.2 S. 58; 128 I 327 E. 4.2 S. 339; vgl. auch die Urteile des EGMR Maestri gegen Italien vom 14. Februar 2004, req. n. 39748/98, N. 30, CEDH 2004-I; Eglise métropolitaine und Mitbeteiligte gegen Moldavien vom 13. Dezember 2001, CEDH 2001-XII S. 37 N. 109; Hashman und Harrup gegen Grossbritannien vom 25. November 1999, CEDH 1999-VIII S. 29 N. 31; Grabenwarter/Pabel, Europäische Menschenrechtskonvention, 5. Aufl. 2012, § 18 N. 9 ff.; Frowein/Peukert, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N. 2 ff. der Vorbemerkungen zu Art. 8-11).
5.2. Ob ein Grundrechtseingriff schwer ist, beurteilt sich grundsätzlich nach objektiven Kriterien (BGE 130 I 65 E. 3.3 S. 68 [betreffend Sicherheitsmassnahmen beim Gefängnisbesuch]; 128 II 259 E. 3.3 S. 269 [betreffend Erstellung eines DNA-Profils]; 120 Ia 147 E. 2b S. 150 [betreffend Erhebung und Aufbewahrung erkennungsdienlichen Materials]). Im Bereich der Glaubens- und Gewissensfreiheit ist dies insofern schwierig, als religiöse Empfindungen und Überzeugungen stets subjektiv begründet sind; staatliche Organe haben von der Überzeugung auszugehen, welche die religiösen Normen für die Betroffenen haben (BGE 135 I 79 E. 4.4 S. 84; 134 I 56 E. 5.2 S. 63; oben E. 4.1). Behinderungen, welche die Ausübung ihrer religiösen Überzeugung beeinträchtigen, werden Betroffene normalerweise als schwer empfinden (vgl. BGE 119 Ia 178 E. 6a S. 188). Entscheidend ist demnach für die Bestimmung der Schwere des Eingriffs, ob die Betroffenen die konkrete Beeinträchtigung substanziiert als wesentliches Element bzw. als eine wichtige Verhaltensregel einer bestimmten Form religiöser Betätigung darlegen können, die sich herausgebildet hat, sodass die Schwere des Eingriffs objektiv nachvollziehbar wird und sich an äusseren Lebensumständen zeigt (vgl. BGE 135 I 79 E. 4.4 S. 84; 134 I 56 E. 5.2 S. 63; Urteil 2C_897/2012 vom 14. Februar 2013 E. 4.2 [zum Schutzbereich]; vgl. Walter Kälin, Grundrechte im Kulturkonflikt, 2000, S. 139 [zum Schutzbereich]; vgl. Kiener/Kälin, Grundrechte, 2007, S. 83 [zur Eingriffsintensität]; Karlen, a.a.O., S. 294 f. [zur Eingriffsintensität]).
Die Beschwerdegegnerinnen bringen vor, das Kopftuch in der Öffentlichkeit aus eigener religiöser Überzeugung und in Verbundenheit mit jener ihrer Familie zu tragen. Das eigene Recht auf Religionsfreiheit der Schülerinnen ist zu gewichten (Art. 3 und 14 Abs. 1 KRK); ihren Eltern kommt jedoch formell das Recht zu, über ihre religiöse Erziehung zu bestimmen (Art. 303 Abs. 1 und 3 ZGB, Art. 11 Abs. 2 BV, Art. 5 und 14 Abs. 1 und 2 KRK; oben E. 4.2). Diese haben denn auch das kantonale Verfahren angestrengt. Ein Kopftuchverbot an der Schule brächte die Schülerinnen in den Konflikt, entweder einem staatlichen oder einem religiösen, durch ihre Herkunft und die Familie vermittelten Gebot zuwiderhandeln zu müssen. Solche Spannungen können die betroffenen Kinder stark belasten und dem Kindeswohl entgegenstehen (Art. 3 KRK; BGE 119 Ia 178 E. 8a S. 194; 117 Ia 311 E. 4b S. 318; 114 Ia 129 E. 5b S. 137 f.; ebenso Keller/Bürli, a.a.O., S. 106; Kälin/Wyttenbach, Schulischer Bildungsauftrag und Grund- und Menschenrechte von Angehörigen religiös-kultureller Minderheiten, AJP 2005, S. 315 ff., 322 f.; Pahud de Mortanges/Tappenbeck, Religionsfreiheit und religiöse Neutralität in der Schule, AJP 2007 S. 1401 ff., dort S. 1410). Das generelle Verbot, das Kopftuch auf dem Schulareal zu tragen, wirkt sich zudem - entsprechend der täglichen Präsenz in der Schule - massgeblich auf den Lebensalltag der Beschwerdegegnerinnen aus. Für die Schülerinnen stellt daher ein generelles Verbot, das Kopftuch während des Unterrichts zu tragen, einen schweren Eingriff in das Grundrecht der Glaubens- und Gewissensfreiheit dar (vgl. BGE 114 Ia 129 E. 5b S. 137 f.). Das verfügte Verbot bedurfte demnach einer Grundlage in einem formellen Gesetz.
5.3. Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie könne das Verbot, das Kopftuch zu tragen, als Verhaltensvorschrift für Schülerinnen im besonderen Rechtsverhältnis direkt aus den allgemeinen Zweckartikeln im Volksschulgesetz als Gesetz im formellen Sinne (§ 2 und 4 VSG/TG) sowie den Bestimmungen zu Unterricht und Schulpflicht in § 30 ff. ableiten. Entgegen den Erwägungen der Vorinstanz brauche ein solches Verbot im Sonderstatusverhältnis nicht ausdrücklich auf kantonaler Ebene ausformuliert zu sein, um als gesetzliche Grundlage für die Einschränkung der Glaubens- und Gewissensfreiheit zu genügen.
5.3.1. Wie die Beschwerdeführerin geltend macht, stehen die beiden Schülerinnen als Anstaltsbenutzerinnen in einer besonders engen Rechtsbeziehung zum Staat (sogenanntes Sonderstatus- oder besonderes Rechtsverhältnis). Diese sind gehalten, die Anordnungen der Schulbehörde und der Lehrerschaft zu befolgen und haben alles zu unterlassen, was den geordneten Schulbetrieb beeinträchtigen könnte. Ein solches Interesse am geordneten Schulbetrieb kann die privaten Interessen der Schülerinnen und Schüler einschränken (vgl. hierzu BGE 135 I 79 E. 6.5 S. 86; 129 I 12 E. 8.3 S. 22; Urteile 2C_724/2011 vom 11. April 2012 E. 3.1 f.; 2C_666/2011 vom 7. März 2012 E. 2.5.3; 2P.372/1993 vom 23. Februar 1995 E. 3b; vgl. auch Markus Müller, Das besondere Rechtsverhältnis, 2003, S. 63; Tobias Jaag, Rechtsfragen der Volksschule, insbesondere im Kanton Zürich, ZBl 1997 S. 537 ff., 544). Personengruppen, die in einer besonders engen Rechtsbeziehung stehen, sind ebenfalls in ihrer Glaubens- und Gewissensfreiheit geschützt; die Anforderungen an Normstufe und Normdichte der Eingriffsgrundlage sind jedoch dann weniger streng, wenn Grundrechtseinschränkungen infrage stehen, die sich in voraussehbarer Weise aus dem Zweck des Sonderstatusverhältnisses ergeben (BGE 135 I 79 E. 6.2 S. 85; 129 I 12 E. 8.5 S. 24; 123 I 296 E. 3 S. 303 f.; 98 Ib 301 E. 2a S. 305; vgl. auch Urteil 2C_165/2011 vom 24. Juni 2011 E. 3.3; Müller, a.a.O., S. 33; vgl. auch Keller/Schädler, Freiheitsrechte im Strafvollzug - Plädoyer für die Abkehr vom Sonderstatus, ZSR 2013, S. 195 ff., dort S. 201).
5.3.2. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin lässt sich aus den Zweckartikeln des Volksschulgesetzes keine Befugnis zu einem entsprechenden Grundrechtseingriff im besonderen Rechtsverhältnis ableiten: Nach den Zweckartikeln fördert die Schule die geistigen, seelischen und körperlichen Fähigkeiten der Kinder; sie will die Kinder in Ergänzung zum Erziehungsauftrag der Eltern nach christlichen Grundsätzen und demokratischen Werten zu selbstständigen, lebenstüchtigen Persönlichkeiten und zu Verantwortungsbewusstsein gegenüber den Mitmenschen und der Umwelt erziehen (§ 2 VSG/TG). Dabei soll namentlich die Chancengleichheit angestrebt und den besonderen Bedürfnissen der Kinder Rechnung getragen werden (§ 4 VSG/TG). Gestützt auf diese Bestimmungen und den Bestimmungen zum Unterricht und der Schulpflicht in § 30 ff. VSG/TG kann - vor dem Hintergrund der Berechenbarkeit und Vorhersehbarkeit staatlichen Handelns sowie der rechtsgleichen Rechtsanwendung - kein Verbot des Tragens des Kopftuches aus religiösen Gründen abgeleitet werden; insbesondere bleibt rechtlich, aber auch gesellschaftspolitisch offen, ob die Chancengleichheit mittels eines Kopftuchverbots gewahrt oder gerade hierdurch beeinträchtigt wird (vgl. hierzu etwa im Kontext der Einbürgerung BGE 134 I 49 E. 3.2 S. 53 ff.; vgl. hinsichtlich der Vermittlung von Bildungsinhalten Kälin/Wyttenbach, a.a.O., S. 322 f.). Die infrage stehenden Grundrechtsbeschränkungen lassen sich nicht in vorhersehbarer Weise aus den genannten Zweckbestimmungen (§ 2 und 4 VSG/TG) und den Zielen des Sonderstatusverhältnisses herleiten (vgl. oben E. 5.1; BGE 139 I 16 E. 4.3.2 S. 26; 125 I 361 E. 4a S. 364; vgl. Urteil 2C_828/2011 vom 12. Oktober 2012 E. 4.3.2; vgl. Müller, a.a.O., S. 31 ff., dort S. 33; vgl. Pierre Tschannen, Staatsrecht der Schweizerischen Eidgenossenschaft, 3. Aufl. 2011, § 7 N. 104).
Die von der Beschwerdeführerin herangezogenen Bestimmungen (§ 2 und 4 VSG/TG) genügen somit der Anforderung an die Normdichte für die infrage stehende Grundrechtseinschränkung nicht (Art. 36 Abs. 1 BV).
5.4. Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, sie - bzw. ihre Schulbehörde als ausführendes Organ (§ 63 VSG/TG) - könne gestützt auf die ihr übertragene Aufgabe der Organisationsplanung (§ 7 VSV/TG) eine Schulordnung mit den entsprechenden Regeln für einen geordneten Schulbetrieb erlassen. Die Einzelheiten, hierzu gehörten auch Kleider- sowie Verhaltensvorschriften und damit die Verweigerung des Dispenses vom Kopftuchverbot, könnten auch durch ein Exekutivorgan geregelt werden.
5.4.1. Die Vorinstanz anerkennt, dass die Beschwerdeführerin zum Erlass eines Schulreglements ermächtigt ist: Den Schulgemeinden obliegt die Organisationsplanung, welche die Reglementierung einer Schulordnung mitumfasst (§ 11 ff. VSG/TG i.V.m. § 6 und 7 VSV/TG). Die Schulbehörde ist das Exekutivorgan der Schulgemeinde und für die "Entscheide gemäss Schulgesetzgebung" zuständig. Diese Kompetenz wurde ihr vom kantonalen Gesetzgeber durch ein formelles Gesetz übertragen (§ 63 VSG/TG). Die Schulbehörde hat ihrerseits die Kompetenz zum Erlass der Schulordnung ("Schul-ABC") an die Schulleitung als unterem Exekutivorgan übertragen (§ 63 i.V.m. § 56 Abs. 1 VSG/TG und § 7 VSV/TG; vgl. auch Art. 16 des von der Volksschulgemeindeversammlung Bürglen [dem kommunalen Legislativorgan] erlassenen Organisationsreglements vom 14. März 2005; § 34 GG/TG). Die Beschwerdeführerin bzw. ihre Schulleitung darf demnach die Rechte und Pflichten in den örtlichen Schulbetrieben sowie nach Bedarf weitere schulbezogene Pflichten der Schülerinnen und Schüler in der Schulordnung regeln, soweit damit (bereits) im Gesetz statuierte Rechte und Pflichten näher ausgeführt werden. Wenn die Beschwerdeführerin daher im Rahmen der Regelung der örtlichen Verhältnisse gewisse Ordnungsvorschriften vorsieht, wie das Verbot des Tragens von Sonnenbrillen etc. während des Schulunterrichts, so ist dies in Übereinstimmung mit den Erwägungen der Vorinstanz zulässig, zumal sich die Schülerinnen und Schüler in einem Sonderstatusverhältnis befinden (vgl. oben E. 5.3.1).
5.4.2. Indem diese Ordnungsvorschrift das Verbot des Tragens des Kopftuches aus religiösen Gründen mit einschliesst, greift sie gleichermassen in den Schutzbereich der Glaubens- und Gewissensfreiheit der Beschwerdegegnerinnen ein (oben E. 4.2). Eine Kompetenz zur Regelung von schweren Eingriffen in die Glaubens- und Gewissensfreiheit lässt sich jedoch entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht auf die den Exekutivorganen der Schulgemeinde übertragenen Regelungskompetenzen stützen. Die von ihr herangezogenen Organisationsbestimmungen des Volksschulgesetzes und die Delegationsnorm (§ 63 VSG/TG) regeln in keiner Weise die Einschränkung der Glaubens- und Gewissensfreiheit. Damit fällt auch die Subdelegation solcher - mit Blick auf den Grundrechtseingriff gewichtigen - Einschränkungen an die Schulleitung ausser Betracht (vgl. allgemein zu den Delegationsanforderungen der Legislative an die Exekutive BGE 137 II 409 E. 6.3 S. 413; 136 I 1 E. 5.3.1 S. 13; 131 II 13 E. 6.4.4 S. 29; 130 I 26 E. 5.1 S. 43; 128 I 113 E. 3c S. 122).
Der hier zu beurteilende Grundrechtseingriff beruht demnach auf einer unzulässigen Gesetzesdelegation; das Schulreglement genügt den Anforderungen an die Normstufe nicht (Art. 36 Abs. 1 BV; oben E. 5.1).
5.5. Die Beschwerdeführerin verweist schliesslich auf BGE 123 I 296 ff. In diesem Urteil hatte das Bundesgericht die in der Staatsordnung von Genf verankerte strikte Trennung von Staat und Kirche und das Neutralitätsgebot der Schulen als genügende gesetzliche Grundlage angesehen, um einer in der öffentlichen Primarschule tätigen Lehrerin das Tragen des Kopftuches aus religiösen Gründen zu verbieten (Art. 27 Abs. 2 und 3 aBV [heute Art. 15 Abs. 4 BV]; BGE 123 I 296 E. 3 und 4b/bb S. 304 f. und 308 ff.; Art. 164 ff. der Kantonsverfassung des Kantons Genf [SR 131.234]; Art. 6 Loi cantonale du 6 novembre 1940 sur l'instruction publique [LIP/GE]; vgl. auch den Entscheid des EGMR Lucia Dahlab gegen die Schweiz vom 15. Februar 2001, req. n. 42393/98; VPB 65.140).
Wenn sich die Beschwerdeführerin gestützt auf diesen Entscheid auf den Standpunkt stellt, dies gelte für die Schülerinnen gleichermassen, so kann ihr nicht gefolgt werden:
5.5.1. Die Regelung im Kanton Genf, welche auf der Tradition des Laizismus beruht (zur Entstehungsgeschichte Tristan Zimmermann, La laïcité et la République et Canton de Genève, SJ 2011, S. 29 ff., dort S. 60 ff.; vgl. auch die Rechtsprechung des EGMR zu Kopftuchtragverboten von Schülerinnen und Studentinnen: Kervanci/Dogru gegen Frankreich vom 4. Dezember 2008, req. n. 31645/04 und 27058/05, § 17 ff. und 49 ff., mit Hinweisen auf die langjährige Tradition des Laizismus in Frankreich; Sahin gegen die Türkei vom 10. November 2005, req. n. 44774/98, § 29 und 30 ff. mit Hinweisen auf die Tradition des Laizismus/Kemalismus in der Türkei), hatte ausschliesslich die Lehrpersonen im Auge, nicht aber die Schülerinnen oder Studentinnen, deren religiöse Überzeugung nach dem Genfer Gesetz gerade geschützt werden sollte ("L'enseignement public garantit le respect des convictions politiques et confessionnelles des élèves et des parents"; vgl. BGE 123 I 296 E. 3 S. 304; Art. 6 LIP/GE; vgl. auch Zimmermann, a.a.O., S. 73).
5.5.2. Die Beschwerdeführerin verkennt überdies die Tragweite und den Adressaten des Neutralitätsgebots für öffentliche Schulen: Die Glaubens- und Gewissensfreiheit enthält eine Verpflichtung des Staates zu religiöser und konfessioneller Neutralität (Art. 15 Abs. 4 BV; BGE 135 I 79 E. 7.2 S. 89; 125 I 347 E. 3 S. 354 ff.; 124 I 247 E. 7b S. 253; 123 I 296 E. 4b/bb S. 308); niemand darf gezwungen werden, eine religiöse Handlung vorzunehmen oder religiösem Unterricht zu folgen (BGE 134 I 75 E. 4.1 S. 77; vgl. Urteile 2C_897/2012 vom 14. Februar 2013 E. 3.2; 2C_724/2011 vom 11. April 2012 E. 3.1). Der Grundsatz der Neutralität verbietet daher die Ausrichtung des Unterrichts zugunsten oder zuungunsten einer oder mehrerer Religionen, da Überzeugungen der Lehrerin oder des Lehrers je nach Intensität und Alter der Kinder einen gewissen Einfluss auszuüben vermögen (BGE 125 I 347 E. 3a S. 354 f.; 116 Ia 252 E. 6b S. 261). Die öffentlichen Schulen und die für sie handelnden Lehrpersonen sind somit zu Neutralität und konfessioneller Gleichbehandlung verpflichtet, damit aber nicht (auch) die Benutzer: Im Gegensatz zur Schule sind Schülerinnen und Schüler - jedenfalls solange sie durch ihre Grundrechtsausübung die Grundrechte Dritter nicht in unzulässiger Weise beeinträchtigen - keiner Neutralitätspflicht unterworfen (vgl. BGE 123 I 296 E. 2a und 4b/aa S. 300 und 308 mit Verweis auf BGE 119 Ia 178 E. 7a S. 190; vgl. Kiener/Kälin, a.a.O., S. 270 f.; Karlen, a.a.O., S. 322 f.; Müller/Schefer, Grundrechte in der Schweiz, 2008, S. 277).
5.6. Das Verbot des Tragens des Kopftuches aus religiösen Gründen beruht demnach weder auf einer genügenden und ausreichend bestimmten Gesetzesgrundlage, noch wird es von der Regelungskompetenz der Schule abgedeckt. Ebenso wenig kann es aus dem Neutralitätsgebot der öffentlichen Schule selbst (Art. 15 Abs. 4 BV) abgeleitet werden. Die verfassungsmässigen Voraussetzungen für die Einschränkungen der Glaubens- und Gewissensfreiheit der beiden Schülerinnen sind demnach, wie die Vorinstanz zurecht festhält, nicht gegeben. Das Vorgehen der Gemeinde ermangelt einer gesetzlichen Grundlage (Art. 5 und 36 Abs. 1 BV). Es erübrigt sich, die Frage der Grundrechtskonformität des Eingriffs an dieser Stelle vollständig zu prüfen (Art. 36 Abs. 2 und 3 BV).
6.
Es gelingt der Beschwerdeführerin somit nicht, darzutun, die kantonalen Instanzen hätten die Tragweite ihrer Regelungskompetenz verkannt und die Glaubens- und Gewissensfreiheit zu Unrecht als verletzt erachtet (BGE 128 I 3 E. 2b S. 9; 126 I 133 E. 2 S. 137; 114 Ia 168 E. 2a S. 170; 112 Ia 59 E. 3a S. 63). Eine Verletzung der Autonomie der Schulgemeinde besteht - soweit das kantonale Recht der Gemeinde im hier strittigen Bereich der Schulordnung überhaupt einen relevanten Gestaltungsspielraum einräumt - nicht. Die Beschwerde ist demnach unbegründet. Vor diesem Hintergrund erübrigt es sich auch, die Streitsache zur weiteren Sachverhaltsabklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Eventualantrag).
7.
Die Beschwerde ist unbegründet und abzuweisen. Es werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegnerinnen eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerinnen mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni