Erwägungen:
1. X._, mazedonischer Staatsangehöriger, geboren 1971, arbeitete von 1989 bis 1992 als Saisonnier in der Schweiz. Am 9. November 1992 erhielt er eine jährlich, letztmals bis zum 31. Juli 2007 verlängerte Aufenthaltsbewilligung. Während Jahren hielt sich auch seine Ehefrau, eine Landsfrau, in der Schweiz auf; sie lebt mittlerweile wieder im Herkunftsland. Die beiden hier geborenen Kinder (1993 und 1998) wurden schon per 1999 bzw. per Anfang 2005 dorthin abgemeldet. Seit Ende September 1996 hat X._ (mit einer unbedeutenden Ausnahme) keine Arbeitsstelle mehr; seit Oktober 1997 ist er krank geschrieben. Ein 1998 gestelltes Gesuch um IV-Rente wurde am 15. April 2004 letztinstanzlich abgewiesen. Ein neues Begehren um IV-Leistungen ist zurzeit - nach einem Rückweisungsentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern - noch hängig.
Mit Verfügung vom 4. März 2008 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ ab und wies ihn aus dem Kanton Luzern weg. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern wies die gegen die Verfügung des Migrationsamtes erhobene Beschwerde am 6. Juni 2008 ab und bestätigte diese.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 9. Juli 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, den Entscheid vom 6. Juni 2008 aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung ordentlich zu verlängern, eventuell die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer erhebt zurecht subsidiäre Verfassungsbeschwerde, ist doch das ordentliche Rechtsmittel, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, gestützt auf Art. 83 lit. c BGG unzulässig: Weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht räumen ihm einen Anspruch auf die (Verlängerung der) Aufenthaltsbewilligung ein (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Insbesondere ist nicht ersichtlich, inwiefern sich ein Bewilligungsanspruch aus den vom Beschwerdeführer angerufenen Art. 7, 10 und 12 BV ergeben könnte; sollte mit der Anrufung dieser Verfassungsbestimmungen ein Bewilligungsanspruch geltend gemacht werden, wäre ohnehin zuvor an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern zu gelangen gewesen (vgl. Art. 148 lit. a des Luzerner Gesetzes vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege [VRG]). Gegen die Wegweisung sodann ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich ausgeschlossen (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG).
2.2 Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Dass und inwiefern eine solche Rechtsverletzung vorliege, ist in der Beschwerdeschrift konkret darzulegen (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG). Ferner ist zur subsidiären Verfassungsbeschwerde nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat.
2.2 Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Dass und inwiefern eine solche Rechtsverletzung vorliege, ist in der Beschwerdeschrift konkret darzulegen (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG). Ferner ist zur subsidiären Verfassungsbeschwerde nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat.
2.3 2.3.1 Wie bereits dargelegt, hat der Beschwerdeführer keinen Rechtsanspruch auf Verlängerung der Bewilligung; insbesondere lässt sich hinsichtlich der materiellen Bewilligungsfrage nichts aus den Art. 7, 10 und 12 BV ableiten; dasselbe gilt für das ebenfalls angerufene Willkürverbot von Art. 9 BV. Damit aber hat der Beschwerdeführer keinerlei rechtlich geschützte Interessen im Sinne von Art. 115 lit. b BGG an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids, soweit ihm damit die Verlängerung der Bewilligung verweigert wird (vgl. BGE 133 I 185 E. 6 S. 197 ff.). Legitimiert zur subsidiären Verfassungsbeschwerde ist er höchstens zur Anfechtung der ihm auferlegten Rechtspflicht, auszureisen (Wegweisung).
2.3.2 Der Ausländer, der sich in der Schweiz aufhalten will, bedarf gemäss Art. 1a ANAG einer Bewilligung (s. auch Art. 10 und 11 AuG). Wird seine Bewilligung nicht verlängert, wird er gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 ANAG von der zuständigen Behörde weggewiesen (s. auch Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Wegweisung ist insofern zwingende Folge der Nichtverlängerung der Bewilligung. Dass eine derartige Anordnung gegen verfassungsmässige Rechte verstosse, ist nur in Ausnahmefällen denkbar. Soweit in einem solchen Fall nicht ohnehin primär auf dem von Art. 14a - 14c ANAG vorgezeichneten Weg (vorläufige Aufnahme, s. auch Art. 83 AuG) vorzugehen wäre, hat der Beschwerdeführer jedenfalls besonders deutlich aufzuzeigen, worin die gerügte Verfassungsverletzung bestehe. Vorliegend tut er dies nicht: Es mag dahingestellt bleiben, unter welchen Bedingungen gesundheitliche Probleme von Verfassungs wegen einen längeren Wegweisungs-Vollzugsstopp gebieten würden; der dem Bundesgericht vorgelegte Arztbericht vom 16. Juni 2008 genügte als Grundlage hierfür wohl schwerlich, kann aber als unzulässiges neues Beweismittel, welches vorzulegen der Beschwerdeführer schon im kantonalen Verfahren Anlass und Gelegenheit gehabt hätte, ohnehin nicht berücksichtigt werden (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.3.3 Der Beschwerdeführer rügt am Rande eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BGG; was er dem Verwaltungsgericht diesbezüglich vorwirft (Ziff. V.10 S. 7 unten Beschwerdeschrift), genügt im vorliegenden Kontext zur Substantiierung einer Gehörsverweigerungsrüge nicht. Die Rüge sodann, die Rechtsweggarantie sei verletzt, stösst schon angesichts von Art. 130 Abs. 3 BGG, welchen der Beschwerdeführer nicht zur Kenntnis nimmt, ins Leere.
2.4 Soweit der Beschwerdeführer zur subsidiären Verfassungsbeschwerde überhaupt legitimiert sein könnte, enthält seine Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Es ist darauf im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten. Mit diesem Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.5 Dem Begehren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Amt für Migration und dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller