Sachverhalt:
A. Der Einzelrichter des Bezirks Höfe erteilte Y._ am 2. August 2010 in der Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamts Höfe gegen die X._ AG für Fr. 327'662.40 nebst Zins und Kosten provisorische Rechtsöffnung. Dagegen erhob die X._ AG am 20. bzw. 23. August 2010 Rekurs an das Kantonsgericht Schwyz.
Mit Verfügung vom 27. September 2010 trat der Präsident der 2. Rekurskammer auf den Rekurs nicht ein. Zur Begründung führte er an, dass die X._ AG den verlangten Kostenvorschuss mittels Online-Zahlung am 13. September 2010 und damit um drei Tage verspätet geleistet habe, wobei sie binnen angesetzter Nachfrist nicht von der Möglichkeit Gebrauch gemacht habe, dazu Stellung zu nehmen. Die Postsendung mit der Aufforderung zur Stellungnahme sei nicht abgeholt worden.
B. Am 27. Oktober 2010 (Postaufgabe) hat die X._ AG (Beschwerdeführerin) Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sinngemäss beantragt sie die Aufhebung der angefochtenen Verfügung und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur materiellen Behandlung, eventualiter solle das Bundesgericht in der Sache entscheiden.
Y._ (Beschwerdegegner) ersucht um Abweisung der Beschwerde und die Vorinstanz um Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei. Die Beschwerdeführerin hat mit Duplik vom 4. Januar 2011 (Postaufgabe) und einem Nachtrag dazu vom 7. Januar 2011 reagiert. In der Duplik beantragt sie neu eine Prozessentschädigung zu ihren Gunsten. Ebenfalls am 7. Januar 2011 hat die Vorinstanz ihre Vernehmlassung teilweise korrigiert. Am 11. Januar 2011 hat die Beschwerdeführerin nochmals Bemerkungen eingereicht.
Erwägungen:
1. Angefochten ist - binnen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) - ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1, Art. 90 BGG) in einer Schuldbetreibungssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Der erforderliche Streitwert ist bei weitem überschritten (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dabei bedeutet "offensichtlich unrichtig" willkürlich (BGE 135 III 127 E. 1.5 S. 130 mit Hinweis). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
Die Beschwerde ist zu begründen (Art. 42 Abs. 1 BGG). Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Ansonsten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird (Art. 106 Abs. 2 BGG). Eine Verfassungsrüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (vgl. BGE 135 III 127 E. 1.6 S. 130; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; je mit Hinweisen). Es muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 III 393 E. 6 S. 397 mit Hinweis). Wird eine Verletzung des Willkürverbots - einschliesslich der Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255) - geltend gemacht, muss im Einzelnen aufgezeigt werden, in welcher Hinsicht der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246 mit Hinweis). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid ist nicht einzutreten (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399; 133 III 589 E. 2 S. 591 f.).
2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, den Kostenvorschuss am 10. September 2010 und damit rechtzeitig am letzten Tag der Zahlungsfrist geleistet zu haben. Aus dem Überweisungsbeleg ihres Online-Banking-Systems ergebe sich, dass sowohl Auftragseingang, Buchung, Abschluss und Valuta (Wertstellung) auf den 10. September 2010 datiert seien.
2.1 Die von der Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang vorgebrachten Tatsachen und die zahlreichen eingereichten Beweismittel sind neu. Sie sind deshalb nur zulässig, wenn erst der angefochtene Entscheid Anlass gegeben hat, sie vorzutragen (Art. 99 Abs. 1 BGG). Dies ist jedoch nicht der Fall. Das Kantonsgericht hat nämlich die Beschwerdeführerin mit Einschreiben vom 14. September 2010 auf die Verspätung aufmerksam gemacht und sie zur Stellungnahme sowie zur Einreichung von Belegen aufgefordert, welche die Rechtzeitigkeit der Vorschussleistung hätten beweisen können. Diese Verfügung konnte unbestrittenermassen nicht zugestellt werden. Die Nichtentgegennahme führt die Beschwerdeführerin darauf zurück, dass sie die Post durch einen externen Büroservice erledigen liess, welcher aber mehrfach Briefe nicht korrekt weitergeleitet und Einschreiben nicht entgegengenommen habe. Dabei handelt es sich allerdings um ein Organisationsproblem, das sich die Beschwerdeführerin selber zurechnen lassen muss. Mit der Rechtshängigkeit entsteht ein Prozessrechtsverhältnis, welches die Parteien verpflichtet, sich nach Treu und Glauben zu verhalten. Unter anderem müssen sie dafür besorgt sein, dass ihnen Entscheide, welche das Verfahren betreffen, zugestellt werden können (BGE 130 III 396 E. 1.2.3 S. 399). Bezeichnet die Partei dazu einen empfangsberechtigten Stellvertreter, so muss sie sich dessen Verhalten zurechnen lassen. Die Beschwerdeführerin hat deshalb selber zu verantworten, dass ihr die Verfügung nie physisch zugegangen ist. Soweit sie sich in diesem Zusammenhang auf eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) durch die Vorinstanz beruft, ist die Beschwerde unbegründet, da ihr die Vorinstanz Gelegenheit zur Stellungnahme gegeben hat. Sie hätte in dieser Stellungnahme auch alle Tatsachenbehauptungen und Beweismittel geltend machen können, die sie nun erstmals vor Bundesgericht vorgebracht hat. Diese Noven können deshalb nicht mehr berücksichtigt werden. Die Beschwerdeführerin macht des Weiteren geltend, dass die Vorinstanz einen zweiten Zustellversuch hätte unternehmen können. Sie begründet aber nicht, inwiefern im Unterlassen dieser Massnahme eine Verfassungs- oder Bundesrechtsverletzung liegen soll, weshalb darauf nicht einzugehen ist. Die Beschwerdeführerin bemängelt schliesslich, von der Vorinstanz nicht auf die Möglichkeit eines Fristwiederherstellungsgesuches - offenbar hinsichtlich der Vernehmlassungsfrist - aufmerksam gemacht worden zu sein. Sie legt aber nicht dar, dass das massgebliche kantonale Prozessrecht diesbezüglich willkürlich angewandt worden sein soll. Mangels genügender Begründung ist auch darauf nicht einzutreten.
2.2 Gemäss § 124 Abs. 1 Satz 3 der Gerichtsordnung des Kantons Schwyz vom 10. Mai 1974, die bis am 31. Dezember 2010 in Kraft stand (weiland SRSZ 231.110; § 124 Abs. 1 der Gerichtsordnung in der Fassung gemäss Fortlaufender Gesetzsammlung GS 21-148d [Änderung vom 24. Oktober 2007]), müssen Zahlungen spätestens am letzten Tag der Frist zugunsten der Bestimmungsstelle der Schweizerischen Post übergeben oder einem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden sein. Die Vorinstanz hat in der angefochtenen Verfügung festgestellt, dass die Kostenvorschusszahlung erst am 13. September 2010 bei ihr eingegangen ist. Da die Beschwerdeführerin dazu keine Stellung genommen und keine Beweismittel eingereicht hat, durfte die Vorinstanz aufgrund der damaligen Aktenlage ohne Willkür davon ausgehen, dass der Beschwerdeführerin der Nachweis einer rechtzeitigen Belastung ihres eigenen Kontos nicht gelungen ist (vgl. zur Willkür in der Beweiswürdigung BGE 135 II 356 E. 4.2.1 S. 362 mit Hinweis). Erweist sich die angefochtene Verfügung bereits unter diesem Aspekt als haltbar, braucht auf das weitere Argument der Vorinstanz nicht eingegangen zu werden, wonach Online-Aufträge bis zu ihrer Ausführung durch die Bank jederzeit stornierbar seien. Die diesbezüglichen Ausführungen der Beschwerdeführerin, mit welchen sie die Stornierbarkeit bestreitet, stossen demzufolge ins Leere. Abgesehen davon, stützen sie sich wie gesagt auf unzulässige Noven. Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Zudem hat sie dem Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 300.-- zu entrichten.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, Präsident der 2. Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Januar 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zingg