A.- A._ a été engagé dès le 1er octobre 1998 en qualité de moniteur dans un établissement de fitness à Genève par Y._ SA.
Le contrat signé par les parties contient une clause signifiant - selon une interprétation non litigieuse - que l'employeur s'engageait à conclure une assurance permettant le paiement intégral du salaire en cas de maladie.
Dans le courant du mois d'octobre 1999, cet établissement de fitness a été repris par Z._ SA, devenue par la suite X._ SA.
Selon les explications données par cette société, le précédent exploitant avait résilié, pour la date de la remise, les contrats d'assurance qu'il avait conclus avec W._. Dans le courant du mois d'octobre 1999, la reprenante est entrée en contact avec la société d'assurances K._ en vue de contracter une assurance collective perte de gain en cas de maladie. Cette société a recueilli diverses informations et les documents d'assurance ont été établis en date du 24 mars 2000; ils prévoient que la couverture d'assurance est donnée dès le 1er janvier 2000.
Le salarié a été totalement incapable de travailler pour cause de maladie du 18 novembre 1999 jusqu'au 21 mai 2000. Son cas a été exclu de l'assurance conclue avec K._.
Ayant appris que l'assureur ne couvrirait pas la perte de gain du moniteur de sport, l'employeur a cessé de lui verser son salaire. Par courrier du 25 mai 2000, il a déclaré résilier le contrat de travail pour le 31 mai 2000.
B.- Le 16 juin 2000, le travailleur a déposé devant la juridiction des prud'hommes du canton de Genève une demande en paiement, réclamant à son ancien employeur 23'380 fr.90 avec intérêts à 5% l'an dès le 31 mars 2000, à titre de salaires pour la période du 1er mars au 31 juillet 2000 et à titre d'indemnités pour les vacances.
La Caisse de chômage du SIT est intervenue dans la procédure, faisant valoir la subrogation légale pour des indemnités versées au travailleur en ce qui concerne les mois de juin et juillet 2000, à savoir 5'967 fr.
Par jugement du 24 janvier 2001, le Tribunal des prud'hommes a condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme brute de 23'380 fr.90 avec intérêts à 5% l'an dès le 31 mars 2000, sous déduction de la somme nette de 5'967 fr. à verser à la Caisse de chômage du SIT.
Saisie par la défenderesse, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève, par arrêt du 12 novembre 2001, a confirmé le jugement précité. Sur les deux points qui demeurent litigieux, la cour cantonale a considéré que la défenderesse n'avait pas apporté la preuve qu'elle avait payé le salaire du mois de mars 2000 et qu'elle devait être tenue pour responsable de l'absence de la couverture d'assurance due contractuellement à l'employé.
C.- Parallèlement à un recours en réforme, la défenderesse (qui a changé de raison sociale entre-temps) interjette un recours de droit public au Tribunal fédéral.
Invoquant un déni de justice formel et l'arbitraire dans l'appréciation des preuves, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué.
Le demandeur propose la confirmation de l'arrêt attaqué.
La cour cantonale se réfère à ses considérants.
La caisse de chômage n'a pas déposé d'observations.
Considérant en droit :
1.- Conformément à la règle générale, le recours de droit public sera examiné en premier lieu (art. 57 al. 5 OJ).
2.- a) La décision attaquée, qui est finale, n'est susceptible d'aucun autre moyen de droit sur le plan fédéral ou cantonal dans la mesure où la recourante invoque la violation directe d'un droit d'ordre constitutionnel, de sorte que la règle de la subsidiarité du recours de droit public est respectée (art. 84 al. 2 et 86 al. 1 OJ). En revanche, si la recourante soulève une question relevant de l'application du droit fédéral, le grief n'est pas recevable, parce qu'il pourrait faire l'objet d'un recours en réforme (art. 43 al. 1 et 84 al. 2 OJ).
b) Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (ATF 127 I 38 consid. 3c; 127 III 279 consid. 1c; 126 III 524 consid. 1c, 534 consid. 1b; 125 I 492 consid. 1b).
3.- a) En l'espèce, la recourante, invoquant l'art. 29 al. 1 Cst. , se plaint d'un déni de justice formel.
Le déni de justice formel suppose qu'une autorité se refuse à rendre une décision, alors qu'elle y est obligée (ATF 124 V 130 consid. 4; 107 Ib 160 consid. 3b).
En l'occurrence, la cour cantonale a statué sur l'ensemble des conclusions prises devant elle et on ne voit pas en quoi consisterait le déni de justice formel.
Il est possible que la recourante ait songé plutôt au droit à une décision motivée. Cette garantie n'est cependant pas issue de l'art. 29 al. 1 Cst. invoqué par la recourante, mais découle du droit d'être entendu prévu par l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. ATF 126 I 97 consid. 2b; 125 II 369 consid. 2c; 124 II 146 consid. 2a; 124 V 180 consid. 1a). Les exigences de motivation de l'art. 90 al. 1 let. b OJ n'étant pas réalisées (cf. ATF 110 II 1 consid. 2a), il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur ce point. Au demeurant, l'arrêt attaqué est suffisamment explicite pour que l'on puisse comprendre les motifs qui ont dicté la décision des juges sur les deux questions litigieuses. En l'absence d'un quelconque document probant, la cour cantonale n'a pas pu se convaincre que le salaire du mois de mars 2000 ait été payé (arrêt attaqué p. 10 ch. 7). Par ailleurs, il a été retenu que l'employeur aurait dû "faire le nécessaire auparavant" et qu'il devait donc être tenu pour responsable de la lacune survenue dans la couverture d'assurance (arrêt attaqué p. 10 ch. 6).
b) La recourante invoque par ailleurs l'arbitraire dans l'appréciation des preuves.
Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst. , ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; pour qu'une décision soit annulée en raison de son caractère arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 127 I 54 consid. 2b; 126 I 168 consid. 3a; 125 I 166 consid. 2a; 124 I 247 consid. 5).
S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et de l'établissement des faits, la décision est arbitraire si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables.
aa) S'il est vrai que la cour cantonale n'a pas reproduit expressément le témoignage et la lettre qui sont invoqués par la recourante, elle a néanmoins retenu un état de fait qui ne s'écarte pas de ce qui ressort de ces deux moyens de preuve. Elle a admis (p. 2 let. B) que l'employeur avait entrepris des démarches auprès de la société d'assurances à l'époque où elle a repris le fitness et que la société d'assurances a pris des mesures pour évaluer le risque. Les précisions que voudrait apporter la recourante ne conduisent pas à s'écarter fondamentalement de ces données et sont donc impropres à faire apparaître la décision attaquée comme arbitraire dans son résultat. Savoir si, dans ces circonstances, il faut retenir que la recourante a établi ne pas avoir commis de faute au sens de l'art. 97 al. 1 CO est une question de droit fédéral, qui ne peut être examinée que dans le cadre du recours en réforme déposé parallèlement (art. 84 al. 2 OJ).
bb) Que l'employeur ait affirmé, dans une lettre du 25 mai 2000, qu'il avait versé cinq mois de salaire (sans préciser de quels mois il retournait) est impropre à en apporter la preuve. Il ne s'agit en effet que d'un allégué du débiteur.
Que le représentant de l'employeur, entendu en qualité de témoin, ait déclaré que le salaire avait été payé "à sa connaissance" ne permet pas non plus une conclusion définitive.
En effet, ce témoin n'a pas affirmé qu'il se souvenait avoir remis la somme au travailleur, avoir signé un ordre de virement ou avoir vu un tel document. En employant la formule "à ma connaissance", il a introduit un élément d'incertitude, qui ne permet pas de constater que son affirmation repose sur des bases sérieuses.
Que le travailleur se soit plaint, dans une lettre du 27 avril 2000, que son salaire ne lui était "dorénavant" plus versé peut aussi s'expliquer par le fait qu'il avait constaté le non-paiement du salaire de mars 2000 et demandé des explications à ce sujet, parvenant à la conclusion que sa rémunération ne lui serait désormais plus versée. Cette phrase ne permet donc aucune conclusion décisive.
On sait en revanche que l'employé ne travaillait pas en mars 2000 et ceci pour cause de maladie. Dans ces circonstances, on imagine mal que le salaire lui ait été remis de la main à la main sans aucune quittance. On doit raisonnablement penser que le salaire, s'il a été payé, a fait l'objet d'un virement. Il est dès lors très troublant que l'employeur soit dans l'incapacité de fournir le moindre document à ce sujet. En concluant dans ces circonstances qu'il subsistait un doute irréductible, la cour cantonale n'a pas apprécié les preuves arbitrairement.
Le recours doit donc être rejeté.
4.- La procédure est gratuite, puisque la valeur litigieuse, selon la prétention du demandeur à l'ouverture de l'action (ATF 100 II 358 consid. a) ne dépasse pas 30'000 fr. (art. 343 al. 2 et 3 CO). La gratuité de la procédure vaut pour tous les degrés de juridiction, y compris pour la procédure devant le Tribunal fédéral et notamment le recours de droit public (ATF 98 Ia 561 consid. 6a et les arrêts cités).
Il n'y a pas lieu d'allouer d'indemnités de dépens aux intimés, qui n'ont pas recouru aux services d'un avocat et ne font pas valoir de frais particuliers (art. 159 al. 1 OJ; cf. ATF 115 II 30 consid. 5c).
Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours;
2. Dit qu'il n'est pas perçu d'émolument judiciaire;
3. Communique le présent arrêt en copie aux parties et à la Cour d'appel des prud'hommes du canton de Genève.
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Lausanne, le 25 avril 2002 VIZ
Au nom de la Ie Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président, La Greffière,