Faits:
A. La commune de Troistorrents (ci-après: la commune) est propriétaire de la parcelle n° 63 du registre foncier de ladite commune, sise au centre du village en "zone village" selon le plan d'affectation des zones approuvé par le Conseil d'Etat du canton du Valais le 31 octobre 2000 (PAZ). Ce bien-fonds se situe entre la salle polyvalente - sur le toit de laquelle se trouve le parking du Collège - (parcelle n° 73), l'accès menant audit parking (parcelle n° 73 également) et le chemin des Quarroz (parcelle n° 65).
Le 29 mai 2009, la commune a demandé l'autorisation de construire sur ce terrain un bâtiment sur trois niveaux comprenant une crèche, un centre médico-social et des salles multi-usages. Mis à l'enquête publique par publication au Bulletin officiel du même jour, ce projet a suscité l'opposition de X._, propriétaire du bien-fonds voisin n° 61.
Après consultation des services cantonaux spécialisés, le projet fut modifié afin de respecter la distance de 2 m avec la limite du chemin des Quarroz au sud. Le 10 mars 2010, la Commission cantonale des constructions a délivré à la Municipalité de Troistorrents l'autorisation de construire sollicitée et a rejeté l'opposition.
La commune de Troistorrents a ouvert, en parallèle, une procédure de modification partielle du PAZ et du règlement communal des constructions et des zones (RCCZ) qui visait à classer la parcelle n° 63 en "zone de constructions publiques A". Le 10 novembre 2010, le Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) a approuvé ladite modification partielle.
Le 6 décembre 2010, le bâtiment projeté fut une nouvelle fois modifié, le mur de soutènement ouest étant retiré à 2 m au moins de la limite du chemin des Quarroz.
B. Par décision du 13 avril 2011, le Conseil d'Etat a rejeté le recours déposé par X._ contre la décision de la Commission cantonale des constructions. Le recours interjeté par la prénommée contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) a également été rejeté, par arrêt du 20 septembre 2011. Le Tribunal cantonal a considéré en substance que la construction projetée respectait les distances aux limites et que la commune n'avait pas abusé de son pouvoir d'appréciation en proposant un toit plat.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal et l'autorisation de construire délivrée le 10 mars 2010 à la Municipalité de Troistorrents. Elle conclut subsidiairement au renvoi de l'affaire à l'instance précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer. Le Conseil d'Etat et la commune concluent au rejet du recours. La recourante a répliqué par courrier du 3 janvier 2012.
D. Par ordonnance du 25 novembre 2011, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif, présentée par la recourante.
Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 lit. d LTF) dans le domaine du droit public des constructions (art. 82 lit. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. La recourante a pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. En tant que propriétaire d'une parcelle directement voisine du projet, elle est particulièrement touchée par l'arrêt attaqué confirmant l'octroi d'un permis de construire pour un projet de construction qu'elle tient en particulier pour non conforme au règlement communal et à la loi cantonale sur les routes du 3 septembre 1965 (LR; RS/VS 725.1). Elle peut ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Elle a dès lors qualité pour agir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF.
Les autres conditions de recevabilité sont par ailleurs réunies, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière sur le fond.
2. Dans la première partie de son écriture, la recourante présente son propre exposé des événements. Elle perd cependant de vue que le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. La recourante ne peut critiquer la constatation de faits qui importent pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (art. 97 al. 1 LTF; ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF. En l'espèce, le recours ne comporte aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait de la décision attaquée, de sorte qu'il n'y a pas lieu de prendre en considération d'autres faits que ceux retenus dans ladite décision.
3. Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, la recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), en raison d'un défaut de motivation de l'arrêt attaqué.
3.1 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) l'obligation pour le juge de motiver ses décisions, afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer ses droits de recours à bon escient. Le juge doit ainsi mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (ATF 135 III 670 consid. 3.3.1 p. 677; voir aussi ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88 et les arrêts cités).
3.2 En l'espèce, la recourante reproche d'abord à l'instance précédente d'avoir dénié au chemin d'accès au parking du Collège, sans explication, la qualité de voie publique et d'avoir fait abstraction de la loi cantonale sur les routes. Or, la lecture de l'arrêt attaqué permet de comprendre pourquoi le Tribunal cantonal a procédé de la sorte (cf. infra consid. 4.2.2). Il en va de même de la raison qui a conduit l'instance précédente à ne pas appliquer l'art. 127 RCCZ (cf. infra consid. 4.5.3).
En réalité, l'intéressée critique plutôt la pertinence de la motivation du Tribunal cantonal et reprend sous l'angle de la violation du droit d'être entendu les griefs qu'elle fait valoir sur le fond. Elle soulève ainsi des questions de fond qui seront examinées ci-après. Mal fondé, le grief de la violation du droit d'être entendu doit être rejeté.
4. Sur le fond, la recourante soutient que le Tribunal cantonal aurait appliqué de manière arbitraire différentes dispositions réglementaires et légales.
4.1 Appelé à revoir l'interprétation d'une norme de droit cantonal ou de droit communal sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5 et les arrêts cités).
Pour les griefs de violation des droits constitutionnels, du droit cantonal et du droit intercantonal, les exigences de motivation sont accrues. Conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, ceux-ci ne peuvent être examinés que s'ils sont invoqués et motivés par le recourant (cf. ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287).
4.2 La recourante prétend d'abord que la distance aux limites de la route n'est pas respectée au nord de la parcelle n° 63 avec l'accès au parking du Collège. Elle fait valoir une application arbitraire des art. 3, 11, 166 et 203 al. 2 de la loi cantonale sur les routes.
4.2.1 L'art. 203 al. 1 LR prévoit que la distance à observer le long des routes et chemins communaux pour les constructions et autres ouvrages analogues est fixée par voie de règlement communal. L'alinéa 2 de cette disposition précise qu'en l'absence de prescriptions réglementaires, cette distance est de 2 m du bord de la chaussée ou du trottoir, pour les routes ouvertes à la circulation des véhicules à moteur.
Quant à l'art. 166 al. 1 LR, il dispose que les murs et clôtures ne peuvent être construits, rétablis ou exhaussés à moins de 1 m 20 du bord de la chaussée, le long des voies publiques cantonales et de 60 cm le long des autres voies publiques.
L'art. 3 ch. 4 LR qualifie les routes et chemins privés affectés à l'usage commun de voies publiques.
Enfin, conformément à l'art. 11 LR, les routes et chemins construits par des particuliers sur leur propre fonds ou sur le fonds d'autrui et affectés à l'usage commun sont publics dans le sens de la présente loi.
4.2.2 En l'espèce, sans véritablement formuler de grief, la recourante dénonce d'abord le fait que le projet litigieux empiète sur la parcelle n° 73, dont il devrait être distant de 3 m. Il ressort certes des plans n° 301 et 302 que le parvis et la rampe projetés sont en grande partie installés sur le bien-fonds n° 73 et que l'angle nord du bâtiment projeté empiète sur cette parcelle. Le Tribunal cantonal a toutefois considéré, à juste titre, que ces empiètements ne portaient pas à conséquence; les parcelles n° 63 et 73 sont toutes deux propriétés de la commune et colloquées en "zone de constructions publiques A", de sorte que la collectivité peut envisager une construction à cheval entre ces deux parcelles si elle le souhaite, même si une réunion de ces deux bien-fonds eût été souhaitable.
Ensuite, la recourante affirme que l'extension du mur sur la parcelle n° 73, au nord du bien-fonds n° 63, ne respecte pas la distance, respectivement de 2 m et de 60 cm, prescrite par rapport à la limite de l'accès menant au parking du Collège.
A cet égard, le Tribunal cantonal a considéré que les prescriptions en matière de distance prévues par la LR, notamment celle de l'art. 203 al. 2, n'étaient pas applicables à cette voie d'accès. En effet, il a jugé que la voie carrossable qui mène du chemin des Quarroz vers le parking du Collège ne pouvait être considérée comme une voie publique au sens de la LR; il s'agissait d'un accès aménagé sur la parcelle n° 73 desservant les infrastructures d'utilité publique qui s'y trouvent; la nature juridique de cet accès pouvait être assimilée à celle du parking auquel il mène et qui, bien que public, n'est pas soumis aux règles de la LR, parce qu'il se distingue des voies de circulation usuelles.
La recourante prétend au contraire que la route située sur la parcelle n° 73 est une voie publique à teneur de l'art. 3 ch. 4 LR, dès lors qu'elle appartient au domaine public communal; elle serait affectée à l'usage commun, en tant qu'elle dessert - sans que la parcelle n° 73 n'octroie de servitudes de passage avec véhicules - six bâtiments publics, soit l'école, le parking, la salle polyvalente et son parking, la cure, la salle paroissiale, le cimetière, la bibliothèque communale et des bâtiments privés avec garage, et sert de liaison avec la route cantonale. Ainsi, même s'il s'agissait d'une route privée, son affectation à l'usage commun en ferait une voie publique au sens de l'art. 11 LR.
Ces critiques ne sont toutefois pas de nature à démontrer le caractère manifestement insoutenable de l'argumentation du Tribunal cantonal. En effet, la recourante ne conteste pas que cette voie d'accès n'a pas fait l'objet d'une décision communale d'affectation à l'usage commun, conformément à l'art. 21 al. 1 LR, à teneur duquel les routes et chemins privés sont publics dès que l'autorité compétente les a affectés à l'usage commun avec le consentement du propriétaire. De surcroît, il ressort du plan de situation du 22 février 2010 que l'accès aménagé sur la parcelle n° 73 desservant les infrastructures d'utilité publique n'est défini par aucune limite propre qui en fixerait l'assiette sur le PAZ, au contraire du chemin des Quarroz.
Dans ces conditions, la solution retenue par l'instance précédente ne paraît pas insoutenable. En considérant que la voie d'accès située sur la parcelle n° 73 n'était pas soumise à la LR, le Tribunal cantonal n'a donc pas versé dans l'arbitraire. Le grief doit par conséquent être écarté.
4.3 Pour la première fois devant le Tribunal de céans, la recourante se prévaut de la violation de dispositions relatives à la planification routière. Elle reproche en particulier à l'instance précédente d'avoir fait abstraction des articles régissant la modification des voies publiques de la LR, alors qu'ils s'appliquaient en raison de l'empiètement de l'extension du mur, de la réduction des dimensions de la route et de la suppression de la place d'évitement. Elle se plaint aussi de la violation du principe de la coordination puisque le projet litigieux n'a été traité que sous l'angle du droit des constructions. La recourante souligne encore que le projet ne prévoit que six places de stationnement, destinées aux employés du futur bâtiment, et qu'aucune autre place de parc n'a été prévue pour les utilisateurs du bâtiment public litigieux, alors qu'il s'agit d'une exigence découlant des art. 215 LR et 43 ch. 2 RCCZ. Elle affirme également que les nouvelles installations fixes, telles que les bâtiments et les places de parc, doivent être appréciées sous l'angle de leurs nuisances (art. 11 al. 1 et 2 de la loi fédérale sur la protection de l'environnement du 7 octobre 1983 [LPE; RS 814.01]).
4.3.1 Selon la jurisprudence constante, il est exclu, en raison de la prohibition de la présentation de faits et moyens de preuve nouveaux devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF), d'entrer en matière sur un argument juridique nouveau s'il implique le complètement de l'administration des preuves et des constatations de fait (ATF 134 III 643 consid. 5.3.2 p. 651 et les références citées).
4.3.2 En l'occurrence, la recourante n'a invoqué aucun de ces arguments dans son recours devant le Tribunal cantonal. Ces nouveaux moyens sont déduits de faits qui n'ont pas été constatés par l'instance précédente. En effet, le jugement attaqué ne contient aucune constatation de fait au sujet du nombre de places de stationnement, de la réduction des dimensions de la route et de la suppression de la place d'évitement. Le Tribunal cantonal a retenu au contraire que "la largeur de cette voie en légère pente ne sera pas réduite par la construction projetée dont les aménagements extérieurs (mur, rampe, fontaine,...) longeront son côté sud sur une vingtaine de mètres dans le prolongement du mur déjà présent au niveau du parking". Dès lors, il apparaît que les griefs avancés constituent des moyens de droit nouveaux inadmissibles en procédure fédérale.
4.4 La recourante met encore en doute la capacité de la route à absorber le trafic inhérent au bâtiment projeté. Elle souligne les difficultés de croisement sur cet accès public et le risque consécutif de voir se multiplier le "parking sauvage" le long du chemin des Quarroz et sur sa propre parcelle.
Partant, la recourante ne discute pas les motifs avancés par le Tribunal cantonal sur les possibilités de croisement (cf. arrêt attaqué consid. 6c p. 11). Comme si elle plaidait devant une cour d'appel, elle se contente d'affirmer que "le flux des véhicules notamment aux heures de pointe, qui n'est pas jugulé actuellement, le sera d'autant moins avec la circulation supplémentaire inhérente au [bâtiment public projeté]", sans démontrer concrètement et précisément en quoi et pour quel motif l'appréciation de l'instance précédente serait insoutenable. Faute de motivation satisfaisant aux exigences accrues de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. supra consid. 4.1), le grief doit être déclaré irrecevable.
4.5 La recourante fait enfin valoir que le projet litigieux prévoit de doter le bâtiment projeté d'un toit plat, ce qui violerait l'art. 127 du règlement communal. Elle avance que la construction projetée serait la seule de la commune portant un toit plat.
4.5.1 L'art. 127 RCCZ, intitulé "Troistorrents - secteur du village", prévoit une réglementation uniforme pour toutes les zones à bâtir dont il traite: les constructions doivent être pourvues d'un toit à deux pans, dont l'inclinaison est comprise entre 30 % et 50 %; il est de plus conseillé de réaliser un toit en sifflet.
L'art. 123 RCCZ qui a trait à la "zone de constructions publiques A" ne comporte aucune prescription quant à la forme du toit.
Conformément à l'art. 68 ch. 1 RCCZ, les constructions et leurs abords doivent présenter des formes, des couleurs et des aménagements qui s'harmonisent aux constructions environnantes et au caractère du site.
4.5.2 Lorsqu'il s'agit d'examiner l'application de clauses d'esthétique, le Tribunal fédéral fait preuve de retenue dans l'appréciation des circonstances locales. Dans ce domaine, les autorités locales disposent en effet d'un large pouvoir d'appréciation (cf. ATF 132 II 408 consid. 4.3 p. 416 et les références; arrêt 1P.678/2004 du 21 juin 2005 consid. 4, in ZBl 2006 p. 430). C'est le cas notamment lorsqu'il s'agit de savoir si une construction ou une installation est de nature à compromettre l'aspect ou le caractère d'un site, d'une localité, d'un quartier ou d'une rue (ATF 115 Ia 114 consid. 3d p. 118, 363 consid. 3b p. 367; arrêt P.265/1985 du 16 avril 1986 consid. 3 in RDAF 1987 p. 155). Toutefois, la question de l'intégration d'une construction ou d'une installation à l'environnement bâti dans un site ne doit pas être résolue en fonction du sentiment subjectif de l'autorité, mais selon des critères objectifs et systématiques; en tous les cas, l'autorité compétente doit indiquer les raisons pour lesquelles elle considère qu'une construction ou une installation serait de nature ou non à enlaidir le site (arrêt 1P.581/ 1998 du 1er février 1999, in RDAF 2000 I 288; ATF 115 Ia 363 consid. 3b p. 367, 370 consid. 3 p. 373; 114 Ia 343 consid. 4b p. 345 et les arrêts cités).
4.5.3 En l'espèce, à l'instar du Conseil d'Etat, le Tribunal cantonal a considéré que la commune n'avait pas abusé du pouvoir d'appréciation dont elle dispose en matière d'esthétique, en préférant un toit plat à un toit à deux pans. Ce choix, usuel en matière de constructions publiques, répondait au souci d'uniformiser la contiguïté du bâtiment projeté avec la salle polyvalente existante, dont la dalle supérieure sert de parking. Dans ce sens, l'édifice s'harmonisait avec son environnement immédiat, de sorte que les réquisits que pose l'art. 68 ch. 1 RCCZ en matière d'esthétique étaient respectés.
La recourante tente de remettre en cause cette interprétation, en arguant que le principe de la légalité dicte d'appliquer l'art. 127 RCCZ, qui porte sur le secteur du village - indépendamment des zones - et qui régit tous les types de zones mentionnés (y compris les constructions publiques); pour chacune de ces zones, l'article précité imposerait un toit à deux pans avec une inclinaison de 30 à 50 %. Cette disposition ne conférerait aucun pouvoir d'appréciation à la commune.
Cette argumentation ne suffit cependant pas à démontrer le caractère manifestement insoutenable de celle du Tribunal cantonal, ce d'autant moins que le Tribunal de céans s'impose une retenue dans l'appréciation de circonstances locales. Il en va de même de la critique de la recourante, selon laquelle, même uniquement sous l'angle de la clause d'esthétique, la réalisation d'un toit plat serait arbitraire, car elle ne reposerait sur aucun critère objectif. Cette remarque est en effet l'expression d'une appréciation subjective du projet, qui ne rend pas déraisonnable l'argumentation de l'instance précédente.
Le Tribunal cantonal pouvait ainsi considérer sans arbitraire que la commune n'avait pas excédé son pouvoir d'appréciation en proposant une construction à toit plat.
5. Il s'ensuit que le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. La recourante, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 francs, sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, au Conseil d'Etat et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 8 février 2012
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Tornay Schaller