Faits:
A. A.a Y._ est une fondation de droit privé inscrite au registre du commerce de Genève. Elle a pour but de réunir des partenaires publics et privés, afin de financer, gérer et soutenir sur un plan logistique la découverte et le développement de nouveaux médicaments pour le traitement et la prévention de la malaria.
Le 31 août 2001, X._ a été engagée par Y._ en qualité de « Scientific Officer ». En 2006, son salaire annuel s'élevait à 345'602 francs (dont un bonus 2005 de 52'392 fr.).
Le contrat de travail, rédigé en anglais, prévoyait un délai de résiliation de six mois pour la fin d'un mois dans l'hypothèse où le licenciement est donné « with cause » et d'une année pour la fin d'un mois si le licenciement est donné « no cause ».
A.b Le 8 janvier 2007, Y._ a mis fin au rapport de travail la liant à X._ pour le 31 juillet 2007. L'employeuse invoquait une rupture irrémédiable du lien de confiance, due notamment à l'incident qui s'est produit lors de la réunion du 8 décembre 2006 entre l'employée et son supérieur hiérarchique et aux événements qui ont fait suite. X._ a formé opposition à son congé qu'elle a qualifié d'abusif.
B. B.a Le 5 avril 2007, X._ a ouvert action contre Y._ devant la juridiction des prud'hommes du canton de Genève. Elle requérait le paiement de différents montants portant intérêts à 5% l'an dès le 8 janvier 2007, en particulier, 293'210 fr. bruts à titre de salaire du 1er août 2007 au 31 janvier 2008 (montant ensuite réduit en raison du fait que son salaire lui avait été versé jusqu'au 31 juillet 2007), 172'801 fr. nets à titre d'indemnité pour licenciement abusif et 50'000 fr. nets à titre d'indemnité pour tort moral.
Statuant le 9 juin 2008, la juridiction des prud'hommes a condamné la défenderesse à verser à la demanderesse 60'336 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 31 mars 2007, à titre de bonus 2006 et d'indexation du salaire au coût de la vie pour la période de janvier à juillet 2007. La demanderesse a été déboutée de toutes autres conclusions.
B.b La demanderesse a appelé de ce jugement. Elle sollicitait la condamnation de la défenderesse à lui verser, en sus de la somme déjà allouée, 146'605 fr. avec intérêts, à titre de salaire pour les mois d'août 2007 à janvier 2008, 172'801 fr. avec intérêts, à titre d'indemnité pour licenciement abusif et 10'000 fr. avec intérêts, à titre d'indemnité pour tort moral pour violation de l'art. 328 CO.
Statuant par arrêt du 19 décembre 2008, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes a confirmé le jugement attaqué. En bref, les magistrats cantonaux ont considéré que les circonstances du cas d'espèce étaient propres à ébranler la relation de confiance qui devait nécessairement exister entre les parties et que ces circonstances autorisaient l'employeuse à licencier l'appelante « with cause » au sens du contrat de travail. Ils ont ainsi retenu que le délai de licenciement était de six mois et rejeté les prétentions de l'appelante en paiement d'un salaire pour la période postérieure au 31 juillet 2007. La juridiction cantonale a nié le caractère abusif du congé, de même que toute atteinte à la personnalité de l'appelante.
C. La demanderesse exerce un recours en matière civile. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et à la condamnation de la partie adverse à lui verser le salaire pour les mois d'août 2007 à janvier 2008, soit la somme de 146'605 fr., plus intérêts dès le 1er janvier 2008, sous suite de frais et dépens. Elle requiert, subsidiairement, le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants.
La défenderesse conclut, à la forme, à l'irrecevabilité du recours et, au fond, à son rejet, dans la mesure de sa recevabilité.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Il est formé par une partie qui a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF). Introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours est en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 134 III 102 consid. 1.1 p. 104). Il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. Il convient d'observer, à titre liminaire, que le refus de tout octroi d'une indemnité pour licenciement abusif et pour tort moral n'est plus discuté devant le Tribunal fédéral, les seules questions encore litigieuses se rapportant aux motifs de la résiliation du contrat de travail et au délai de congé applicable au cas d'espèce.
3. La recourante dénonce, en premier lieu, une constatation arbitraire des faits en lien avec les motifs de la résiliation. De son point de vue, le motif ayant conduit à la résiliation est le refus de l'employée, signifié le 3 janvier 2007, d'accepter les excuses de son supérieur hiérarchique, et non pas, comme retenu par l'instance cantonale, les événements qui se sont déroulés avant le 2 janvier 2007. L'autorité cantonale se serait fondée à tort sur ces faits, puisqu'il a été constaté que le licenciement n'était pas encore envisagé à cette dernière date. Il en découle un résultat insoutenable, puisque l'unique motif de résiliation invoqué par la recourante doit entraîner un délai de congé de douze mois, en lieu et place du délai de six mois arrêté par la juridiction inférieure.
3.1 Les motifs de la résiliation relèvent du fait. De même, l'incidence respective des divers motifs de résiliation en concours est une question qui relève de la causalité naturelle et, par conséquent, du fait (ATF 131 III 535 consid. 4.3 p. 540; 130 III 699 consid. 4.1 p. 702). Ainsi, les constatations de la cour cantonale y relatives lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF), qui ne peut s'en écarter que si elles ont été établies de façon manifestement inexacte ou en violation du droit.
Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62).
3.2 Il ressort du jugement cantonal que parmi les motifs qui ont conduit à la rupture du lien de confiance existant entre les parties et donc au licenciement figurent le refus de la recourante d'enlever du matériel publicitaire exposé en novembre 2006 lors d'une réunion à Atlanta, le non-respect d'instructions données en lien avec le projet «A._», plus particulièrement avec le budget de celui-ci, mis en lumière lors de la conférence du 8 décembre 2006, et le comportement de l'employée postérieur à cette conférence, à savoir le refus de réintégrer sa place de travail, le refus nonobstant l'injonction de ses supérieurs de modifier le message d'absence enregistré, l'envoi à son supérieur direct d'un courrier le menaçant de poursuites judiciaires et l'intention manifestée de se plaindre de l'attitude de ses employeurs auprès des donateurs de la fondation. Pour les juges cantonaux, ces éléments ont joué un rôle prépondérant dans la décision de l'employeuse de se séparer de la recourante; ils ont à cet égard précisé, au moment d'examiner s'il y avait licenciement abusif, que le refus de la recourante, exprimé le 3 janvier 2007, d'accepter les excuses de son supérieur hiérarchique n'a joué qu'un rôle accessoire.
A l'appui de sa critique, la recourante se borne à exposer le motif qu'elle estime avoir conduit à la résiliation de son contrat de travail, sans démontrer en quoi les constatations de la cour cantonale seraient arbitraires. Non seulement elle ne remet pas en cause les événements antérieurs au 2 janvier 2007, tels que constatés par la cour cantonale, mais en sus elle ne prétend pas qu'ils ne seraient pas de nature à ébranler la nécessaire relation de confiance qui devait exister entre les parties; elle n'établit en particulier pas en quoi il serait insoutenable pour la cour cantonale d'avoir considéré que le courriel du 3 janvier 2007 a été un élément déclencheur qui a définitivement détruit la confiance que l'employeuse pouvait encore conserver en son employée avant cet événement. Il sied en outre d'observer que, contrairement à ce que soutient la recourante, le seul fait que le licenciement n'était pas déjà envisagé le 2 janvier 2007 ne signifie pas encore que les événements antérieurs à cette date n'étaient pas susceptibles d'entamer la confiance existant entre les parties. On ne saurait donc considérer que seule la communication par l'employée de son refus d'accepter les excuses de son supérieur hiérarchique, intervenue postérieurement au 2 janvier 2007, serait à même de justifier le licenciement de la recourante.
L'appréciation de la cour cantonale quant aux motifs de licenciement ne prêtant pas le flanc à la critique, le grief tombe manifestement à faux.
4. La recourante dénonce ensuite une violation du droit fédéral, en particulier des art. 1, 18 et 335c CO.
Deux délais de résiliation ont été prévus dans le contrat de travail signé par les parties: un premier de six mois pour la fin d'un mois si le licenciement est donné « with cause » et un second d'une année pour la fin d'un mois si le licenciement est donné « no cause ».
Après avoir constaté que la volonté des parties était divergente sur la signification à donner aux termes « termination with cause » et « no cause », les juges cantonaux se sont livrés à une interprétation objective de la terminologie en question. Partant du sens usuel des termes utilisés, les magistrats cantonaux sont parvenus à la conclusion que le licenciement « with cause » signifie que l'employeuse a un motif valable de licenciement, alors que le licenciement « no cause » présuppose que l'employeuse n'en a pas, mais décide ce nonobstant de mettre fin au contrat de travail. Sur le vu des événements survenus entre les parties entre la fin de l'année 2006 et le début de l'année 2007, la juridiction cantonale a retenu que les motifs invoqués étaient justifiés et qu'ils autorisaient l'employeuse à licencier l'employée « with cause » au sens du contrat de travail.
Bien que la recourante dénonce une violation de l'art. 18 CO, elle ne remet pas en cause l'interprétation faite par la cour cantonale de la clause contractuelle litigieuse, puisqu'elle admet que le terme « termination with cause » se réfère à une résiliation pour un motif légitime qui ne se confond pas avec un juste motif permettant la résiliation immédiate du contrat de travail au sens de l'art. 337 CO.
Elle ne prétend du reste pas que les motifs de résiliation, tels que retenus par la cour cantonale, entraîneraient un délai de congé d'une année et non pas de six mois. Elle se contente en définitive de soutenir que l'unique motif, qui de son point de vue fonde la décision de résiliation, n'est pas un motif valable et que par conséquent le délai de congé est d'une année et non pas de six mois. Se basant sur un fait qui n'a pas été retenu par l'autorité cantonale, la démonstration de la recourante est vaine.
Pour le surplus, le grief est irrecevable, dès lors que l'on n'y trouve aucune démonstration d'une éventuelle violation des art. 1 et 335c CO (art. 42 al. 2 LTF).
5. En définitive, le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
6. Compte tenu de l'issue du recours, il convient de mettre les frais judiciaires à la charge de la recourante et de la condamner à verser à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de 6'500 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 3 avril 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Crittin