Sachverhalt:
A. Die Jugendanwaltschaft Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachtes von sexuellen Handlungen mit Kindern, sexueller Nötigung, Vergewaltigung, Schändung und Körperverletzung. Im untersuchten Tatzeitraum (Juli-Oktober 2010) war der beschuldigte Jugendliche knapp (etwas weniger als) 15 Jahre alt. Am 12. April 2011 bewilligte ihm die Jugendanwaltschaft die amtliche Verteidigung bis zur Durchführung der Zweitbefragung des mutmasslichen Opfers. Am 3. Mai 2011 widerrief sie die amtliche Verteidigung. Eine vom Beschuldigten dagegen erhobene Beschwerde hiess das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, a.o. Appellationsgerichtspräsident, am 28. Juni 2011 gut. Es wies die Jugendanwaltschaft an, dem Beschuldigten für das gesamte Strafverfahren die amtliche Verteidigung zu gewähren, solange der Vorwurf der Vergewaltigung bzw. sexuellen Nötigung aufrechterhalten wird.
B. Gegen den Entscheid des Appellationsgerichts gelangte die Jugendanwaltschaft mit Beschwerde vom 12. September 2011 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Bestätigung ihrer Verfügung vom 3. Mai 2011.
Mit Schreiben vom 22. September 2011 teilte die Beschwerdeführerin dem amtlichen Verteidiger des beschuldigten Jugendlichen mit, dass sie auf aufschiebende Wirkung ihrer Beschwerde verzichte und der Rechtsvertreter vorläufig, nämlich "mindestens bis zum von uns angestrebten anderen Entscheid des Bundesgerichts", Offizialverteidiger bleibe. Der beschuldigte Jugendliche hat am 29. September 2011 ausdrücklich auf Antrag und Stellungnahme verzichtet. Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. Seit dem 1. Januar 2011 sind die Schweizerische Jugendstrafprozessordnung (JStPO; SR 312.1) und die Schweizerische Strafprozessordnung (StPO; SR 312.0) in Kraft. Es stellt sich die Frage nach dem intertemporal anwendbaren Recht.
1.1 Am 1. Januar 2011 hängige Jugendstrafverfahren werden (von hier nicht vorliegenden Ausnahmen abgesehen) nach neuem Recht und von den nach JStPO zuständigen Behörden fortgeführt (Art. 47 Abs. 1 i.V.m. Art. 48 Abs. 1 JStPO).
1.2 Enthält die JStPO keine besondere Regelung, so sind die Bestimmungen der StPO anwendbar (Art. 3 Abs. 1 JStPO). Ist ein Entscheid noch vor Inkrafttreten von JStPO und StPO gefällt worden, so werden dagegen erhobene Rechtsmittel nach bisherigem Recht und von den bisher zuständigen Behörden beurteilt (Art. 453 Abs. 1 StPO). Für Rechtsmittel gegen erstinstanzliche Entscheide, die nach dem 31. Dezember 2010 gefällt werden, gilt neues Recht (Art. 454 Abs. 1 StPO i.V.m. Art. 47 Abs. 1 und Art. 48 Abs. 1 JStPO). Ausschlaggebend für die Anwendbarkeit des alten oder neuen Prozessrechts ist insofern das erstinstanzliche Entscheiddatum (BGE 137 IV 219 E. 1.1 S. 221 mit Hinweisen).
1.3 Sowohl die Verfügungen der Jugendanwaltschaft (vom 12. April bzw. 3. Mai 2011) als auch der angefochtene Beschwerdeentscheid vom 28. Juni 2011 ergingen nach dem 1. Januar 2011, weshalb hier neben der JStPO auch die StPO (subsidiär) anwendbar ist.
2. Zunächst ist die Zulässigkeit der Beschwerde in Strafsachen zu prüfen.
2.1 Für die Anfechtbarkeit des Entscheides vom 28. Juni 2011 gelten die Sachurteilsvoraussetzungen von Art. 81 BGG in der Fassung gemäss Anhang Ziff. II/5 des Strafbehördenorganisationsgesetzes vom 19. März 2010, in Kraft seit dem 1. Januar 2011 (Art. 132 Abs. 1 BGG; vgl. BGE 137 IV 219 E. 2.1 S. 222 mit Hinweisen).
2.2 Das rechtlich geschützte Interesse im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b (Ingress) BGG ist grundsätzlich auch bei Beschwerdeführung durch die Staatsanwaltschaft bzw. Jugendanwaltschaft zu prüfen (vgl. zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil des Bundesgerichtes 1B_376/2011 vom 3. November 2011 E. 2.3). Die jugendstrafprozessuale Untersuchung wird im Kanton Basel-Stadt durch Jugendanwältinnen bzw. Jugendanwälte geführt. Die Jugendanwaltschaft vertritt die Anklage vor Jugendgericht (vgl. Art. 21 i.V.m. Art. 6 Abs. 1 lit. c, Abs. 2 lit. b und Abs. 4 JStPO). Sie legt dar, dass das Verfahren (trotz hängiger Beschwerde) inzwischen mit dem amtlichen Verteidiger weitergeführt werde, damit dem Beschleunigungsgebot im Jugendstrafrecht Rechnung getragen werden könne. Die Klärung der Frage, in welchen jugendstrafprozessualen Fällen (im Lichte der seit 1. Januar 2011 anwendbaren neuen Gesetzgebung) eine Offizialverteidigung geboten sei, erscheine dennoch von aktuellem und für die Praxis wichtigem Interesse.
2.3 Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, kann offenbleiben, ob die Jugendanwaltschaft diesbezüglich beschwerdelegitimiert erscheint.
3. Im angefochtenen Entscheid wird Folgendes erwogen: Zwar sei dem Anspruch auf amtliche Verteidigung in der jugendstrafprozessualen Literatur bisher mit Zurückhaltung begegnet worden. Auch die Lehre anerkenne ihn jedoch grundsätzlich, um einen faktischen Inquisitionsprozess bzw. eine übergrosse Machtfülle der Untersuchungs- bzw. Anklagebehörde zu vermeiden. In einem Leitentscheid aus dem Jahr 1985 habe das Bundesgericht erwogen, dass die auf dem Erziehungsgedanken beruhenden Besonderheiten des Jugendstrafrechts nicht dazu führen dürfen, dass dem jugendlichen Beschuldigten der prozessuale Rechtsschutz vorenthalten würde. Wie im Erwachsenenstrafverfahren sei bei schweren und komplexen Fällen eine ausreichende Verteidigung schon im Untersuchungsstadium geboten. Entgegen der Ansicht der Jugendanwaltschaft sei bei der Prüfung der Frage, ob eine amtliche Verteidigung sachlich geboten erscheint, grundsätzlich auch der Schwere des Tatvorwurfes Rechnung zu tragen.
Dem beschuldigten Jugendlichen werde unter anderem Vergewaltigung bzw. sexuelle Nötigung vorgeworfen. Diesbezüglich sei er nicht geständig. Der Vorwurf wiege sehr schwer, und nach den bisherigen Untersuchungsergebnissen komme den Opferaussagen eine wichtige Bedeutung für die Beurteilung des Falles zu. Es sei gerichtsnotorisch, dass es in Fällen wie dem vorliegenden von einigen wenigen Details in den Aussagen abhängen könne, "ob ein Schuldspruch oder ein Freispruch resultiert". Der Beschuldigte sei mittlerweile 16 Jahre alt geworden und gehe noch zur Schule. Seine Eltern seien geschieden. Er lebe bei seiner Mutter, welche auch die gesetzliche Vertretung ausübe. Zwar seien beim privaten Verfahrensbeteiligten in intellektuell-sprachlicher Hinsicht grundsätzlich keine Defizite erkennbar. Nach Auffassung des Appellationsgerichtes erscheint jedoch die Einschätzung der Jugendanwaltschaft "eher abwegig", dass er der sich stellenden strafprozessualen Problematik "emotional und intellektuell hinreichend gewachsen" wäre. Seine Mutter spreche nur gebrochen deutsch und stamme vermutlich aus einem eher bildungsfernen Milieu. Dass sie ihren Sohn im Strafprozess angemessen unterstützen könnte, sei (selbst mit Beizug eines Dolmetschers) nicht ernsthaft anzunehmen. Die finanzielle Bedürftigkeit des Beschuldigten sei erwiesen und unbestritten. Der Widerruf der amtlichen Verteidigung sei (in Anwendung von Art. 24 lit. b i.V.m. Art. 25 Abs. 1 lit. c JStPO) zu Unrecht erfolgt. Die Vorinstanz weist die Jugendanwaltschaft an, dem privaten Verfahrensbeteiligten die amtliche Verteidigung für das gesamte Strafverfahren zu gewähren, solange der Vorwurf der Vergewaltigung bzw. der sexuellen Nötigung gegen ihn aufrechterhalten wird.
4. Die beschwerdeführende Jugendanwaltschaft wirft dem jugendlichen Beschuldigten vor, er habe ein im Tatzeitraum 14 Jahre altes Mädchen zum Geschlechts- und Oralverkehr gezwungen. Die sexuellen Handlungen habe er zwar zugegeben; er bestreite aber, dass sie gegen den Willen des mutmasslichen Opfers erfolgt seien. In der Beschwerdeschrift wird die Ansicht vertreten, der private Verfahrensbeteiligte sei grundsätzlich selbst in der Lage, seine Interessen im Jugendstrafprozess ausreichend zu wahren. Die "Behauptung", wonach seine gesetzliche Vertretung ihn nicht wenigstens marginal unterstützen könne, sei "nicht dargelegt". Zwar spreche seine Mutter nur gebrochen deutsch. Bei der Erwägung der Vorinstanz, die gesetzliche Vertreterin stamme vermutlich aus einem eher bildungsfernen Milieu, handle es sich jedoch ausdrücklich um eine Mutmassung, welche nicht als Begründung beigezogen werden könne.
Art. 24 lit. b JStPO sei in der Weise auszulegen, dass beschuldigten Jugendlichen nicht nur wegen einer Behinderung oder anderen besonderen Nachteilen eine amtliche Verteidigung zu bewilligen sei. Diese könne sich unter Umständen auch angesichts einer nicht ausgereiften Persönlichkeitsentwicklung des Jugendlichen als geboten erweisen. Als Beispiel für besondere Nachteile nennt die Beschwerdeführerin fehlende Sprach- oder Fachkenntnisse, mangelnde intellektuelle Fähigkeiten, Unkenntnis der hiesigen Gepflogenheiten sowie die Komplexität des Falles. Zwar sei es unrealistisch und unpraktikabel, von einem Jugendlichen die Persönlichkeitsentwicklung eines Erwachsenen zu erwarten. "Auch 15-Jährige" verfügten jedoch "zum Teil über beachtliche Sozialkompetenzen", was es ihnen erlaube, "sich in einem Strafverfahren geschickt zu ihrem Vorteil zu verhalten". Die blosse Tatsache, dass es sich beim privaten Verfahrensbeteiligten um einen Schüler der Weiterbildungsschule mit geschiedenen Eltern handle, genüge nicht zur Annahme, dass er dem Strafprozess in der konkreten Konstellation nicht gewachsen wäre. Zwar sei die Beweiswürdigung in Fällen wie dem vorliegenden oft schwierig. Dies lasse jedoch (nach Ansicht der Jugendanwaltschaft) den Schluss nicht zu, dass damit auch die intellektuelle Herausforderung für den beschuldigten Jugendlichen besonders hoch wäre. Demgegenüber könne die Instruktion durch einen Rechtsvertreter mit entsprechendem Sonderwissen "sicher dazu führen, dass sich ein Beschuldigter - erwachsen oder jugendlich - bei seinen Aussagen anders verhält".
Die strafrechtlichen Vorwürfe seien im vorliegenden Fall "kurz, klar und intellektuell einfach zu erfassen". Seine Verfahrensrechte seien dem jugendlichen Beschuldigten altersadäquat erklärt worden. Abgesehen von der Befragung des mutmasslichen Opfers seien hier die Beweiserhebungsmöglichkeiten sehr beschränkt, weshalb gerade kein komplexes Verfahren vorliege. Bei seiner ersten Befragung habe sich der Beschuldigte denn auch "als absolut der Sache gewachsen gezeigt und seine Rechte angemessen wahrgenommen". Zwar erscheine es als vernünftig, auch dem Alter des Jugendlichen Gewicht beizumessen, und sei der private Verfahrensbeteiligte "noch relativ jung". Er sei jedoch schon "sexuell erfahren" und könne die gegen ihn erhobenen Tatvorwürfe entwicklungsbedingt erfassen.
Was die Schwere der untersuchten Delikte betrifft, werde dieses Kriterium in der JStPO "explizit nicht als Grund für eine notwendige Verteidigung aufgeführt". Entgegen der Ansicht der Vorinstanz sei auch nicht ersichtlich, dass der jugendliche Beschuldigte im Strafverfahren einer schweren emotionalen Belastung ausgesetzt wäre, zumal er eine Vertrauensperson beiziehen könne. Dass bei schweren strafrechtlichen Vorwürfen die emotionale Belastung von Jugendlichen grösser wäre als bei Erwachsenen, sei "generell nicht zutreffend und hier wie dort stark persönlichkeitsabhängig". Das von der Vorinstanz zitierte Urteil des Bundesgerichtes sei veraltet und nicht einschlägig. Der angefochtene Entscheid verletze Art. 24 lit. b JStPO. Überdies sei er unzureichend begründet (i.S.v. Art. 80 Abs. 2 bzw. Art. 81 Abs. 3 StPO).
5. 5.1 Art. 24 JStPO bestimmt (unter dem Randtitel "Notwendige Verteidigung") Folgendes:
Die oder der Jugendliche muss verteidigt werden, wenn:
a. ihr oder ihm ein Freiheitsentzug von mehr als einem Monat oder eine Unterbringung droht;
b. sie oder er die eigenen Verfahrensinteressen nicht ausreichend wahren kann und auch die gesetzliche Vertretung dazu nicht in der Lage ist;
c. die Untersuchungs- oder Sicherheitshaft mehr als 24 Stunden gedauert hat;
d. sie oder er vorsorglich in einer Einrichtung untergebracht worden ist;
e. die Jugendanwältin oder der Jugendanwalt beziehungsweise die Jugendstaatsan- waltschaft an der Hauptverhandlung persönlich auftritt.
Art. 25 Abs. 1 JStPO lautet (mit der Marginalie "Amtliche Verteidigung") wie folgt:
1 Die zuständige Behörde ordnet eine amtliche Verteidigung an, wenn bei notwendiger Verteidigung:
a. die oder der beschuldigte Jugendliche oder die gesetzliche Vertretung trotz Auffor- derung keine Wahlverteidigung bestimmt;
b. der Wahlverteidigung das Mandat entzogen wurde oder sie es niedergelegt hat und die oder der beschuldigte Jugendliche oder die gesetzliche Vertretung nicht innert Frist eine neue Wahlverteidigung bestimmt; oder
c. die oder der beschuldigte Jugendliche und die gesetzliche Vertretung nicht über die erforderlichen Mittel verfügen.
5.2 Liegt ein Fall notwendiger Verteidigung vor, so achtet die Verfahrensleitung darauf, dass unverzüglich eine Verteidigung bestellt wird (Art. 131 Abs. 1 StPO). Sind die Voraussetzungen notwendiger Verteidigung bei Einleitung des Vorverfahrens erfüllt, so ist die Verteidigung nach der ersten Einvernahme durch die Staatsanwaltschaft, jedenfalls aber vor Eröffnung der Untersuchung, sicherzustellen (Art. 131 Abs. 2 StPO). Wurden in Fällen, in denen die Verteidigung erkennbar notwendig gewesen wäre, Beweise erhoben, bevor eine Verteidigerin oder ein Verteidiger bestellt worden ist, so ist die Beweiserhebung nur gültig, wenn die beschuldigte Person auf ihre Wiederholung verzichtet (Art. 131 Abs. 3 StPO). Diese Grundsätze gelten sinngemäss auch im Jugendstrafprozess (vgl. Art. 3 Abs. 1 JStPO; Daniel Jositsch/Marcel Riesen-Kupper/Claudia Brunner/Angelika Murer Mikolásek, Schweizerische Jugendstrafprozessordnung, Kommentar, Zürich 2010, Art. 24 N. 4).
5.3 Gestützt auf die Bundesverfassung hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand (Art. 29 Abs. 3 BV).
In BGE 111 Ia 81 (einem Urteil, das ebenfalls die Jugendanwaltschaft Basel-Stadt betraf) hat das Bundesgericht zum grundrechtlichen Anspruch jugendlicher Beschuldigter auf Offizialverteidigung Folgendes erwogen: Das (im Jahre 1985 noch geltende) baselstädtische Jugendstrafprozessrecht sei auf dem Boden einer (damals schon) "älteren Lehre" gestanden, die im Interesse des jugendlichen Beschuldigten möglichst viele Kompetenzen bei einer einzigen Stelle, nämlich der Jugendanwaltschaft, habe konzentrieren wollen. Zwar erschienen entsprechende Überlegungen weiterhin "durchaus beachtlich". Eine auf dem Fürsorgegedanken beruhende Praxis dürfe jedoch dem Jugendlichen nicht den Rechtsschutz entziehen, der dem erwachsenen Beschuldigten zusteht, jedenfalls dann nicht, wenn er mit vergleichbaren Sanktionen strafrechtlicher Natur zu rechnen hat. Dass Jugendanwältinnen und Jugendanwälte die Offizialmaxime anzuwenden und primär die Entwicklung des fehlbaren Jugendlichen (und erst sekundär das Verhältnis der zu verhängenden Strafe oder Massnahme zur Tatschuld) zu berücksichtigen hätten, vermöge daran nichts zu ändern. Auch die fähigsten Jugendanwältinnen und -anwälte könnten nicht gleichzeitig den staatlichen Strafanspruch verfechten und dasjenige Vorkehren, was im Regelfall Aufgabe des Verteidigers ist, nämlich im Rahmen der Rechtsordnung auf ein freisprechendes oder ein möglichst mildes Urteil hinzuwirken. In der (damals) neueren Literatur sei denn auch einhellig die Auffassung vertreten worden, dem Jugendlichen müsse unter den gleichen Voraussetzungen wie dem erwachsenen Beschuldigten ein Anspruch auf den Beistand eines Verteidigers zugebilligt werden. Die Mehrzahl der Lehrmeinungen betone die besondere Schutzbedürftigkeit des Jugendlichen und erblicke darin ein zusätzliches Argument für die Notwendigkeit der Verteidigung bei schweren Fällen. In entsprechenden Konstellationen genüge es nicht, die Offizialverteidigung erst für die allfällige Verhandlung vor dem Jugendgericht zu gewährleisten. Es sei allgemein anerkannt, dass die Mitwirkung des Rechtsbeistandes schon während der Untersuchung von erheblicher Bedeutung sei. Dies müsse auch für die jugendstrafprozessuale Untersuchung gelten, wo regelmässig wesentliche verfahrensrechtliche Vorentscheidungen zu treffen seien, zu denen der Verteidiger Stellung zu nehmen habe (BGE 111 Ia 81 E. 3a S. 83 f. mit Hinweisen).
6. Im vorliegenden Fall sind die Voraussetzungen der amtlichen Verteidigung gemäss Art. 25 Abs. 1 lit. c i.V.m. Art. 24 JStPO zu prüfen.
6.1 Ein Anwendungsfall von Art. 25 Abs. 1 lit. a-b JStPO liegt hier nicht vor. Die amtliche Verteidigung ist nach Art. 25 Abs. 1 lit. c JStPO zu bewilligen, wenn der beschuldigte Jugendliche und die gesetzliche Vertretung nicht über die erforderlichen Mittel für eine private Verteidigung verfügen und eine der Voraussetzungen von Art. 24 JStPO erfüllt ist. Zwar sind die Kriterien von Art. 24 lit. a-e JStPO (im Gegensatz zu Art. 25 Abs. 1 lit. a-c JStPO) im Gesetzeswortlaut nicht ausdrücklich mit der Konjunktion "oder" verbunden. Aus dem Sinn und Zweck von Art. 24 JStPO ergibt sich jedoch eindeutig, dass es sich bei den literae a-e um alternative Anspruchsvarianten (und nicht um kumulative Voraussetzungen) handeln muss (vgl. Christoph Hug/Patrizia Schläfli, Basler Kommentar StPO/JStPO, Basel 2011, Art. 24 JStPO N. 1 ff.; Jositsch/Riesen-Kupper/Brunner/ Murer Mikolásek, a.a.O., Art. 24 N. 5 ff.).
6.2 Die finanzielle Bedürftigkeit des privaten Verfahrensbeteiligten (im Sinne von Art. 25 Abs. 1 lit. c JStPO) ist unbestritten. Im vorliegenden Fall kommt nach übereinstimmender Auffassung der Vorinstanz und der Jugendanwaltschaft ausschliesslich eine amtliche (und notwendige) Verteidigung gestützt auf Art. 24 lit. b JStPO in Frage. Die Beschwerdeführerin legt dar, dass der jugendliche Beschuldigte im Tatzeitpunkt noch nicht 15 Jahre alt gewesen sei, weshalb ihm (im Falle eines Schuldspruches) als Höchststrafe lediglich 10 Tage persönliche Leistung drohten und Art. 24 lit. a JStPO nicht zur Anwendung gelange (vgl. Art. 23 Abs. 3 i.V.m. Art. 15 und Art. 25 Abs. 1 JStG [SR 311.1]).
6.3 Gestützt auf Art. 24 lit. b (i.V.m. Art. 25 Abs. 1) JStPO ist die Offizialverteidigung zu bewilligen, wenn der beschuldigte Jugendliche und seine gesetzliche Vertretung die eigenen Verfahrensinteressen nicht ausreichend wahren können. Dafür können persönliche Gründe sprechen (wie z.B. mangelnde Sprachkenntnisse, Interessenkonflikte oder eine spezifische Unterstützungsbedürftigkeit) oder auch fallbezogene sachliche Gründe wie eine besondere Schwierigkeit oder Komplexität des Verfahrens (vgl. Hug/Schläfli, a.a.O., Art. 24 N. 3; Jositsch/Riesen-Kupper/Brunner/Murer Mikolásek, a.a.O., Art. 24 N. 11; s. auch schon BGE 111 Ia 81 E. 3a S. 83 f.). In diesem Zusammenhang ist auch der Schwere des Tatvorwurfes angemessen Rechnung zu tragen (vgl. BGE 111 Ia 81 E. 3a S. 84). Im Jugendstrafprozess ist an die Gewährung der amtlichen Verteidigung grundsätzlich ein grosszügiger Massstab anzulegen (vgl. Jositsch/Riesen-Kupper/Brunner/Murer Mikolásek, a.a.O., Art. 25 N. 3).
6.4 Im vorliegenden Fall sprechen das Alter des beschuldigten Jugendlichen, die Schwere der gegen ihn erhobenen Tatvorwürfe, die prozessuale Konstellation des Falles sowie die Schulbildung und Sprachkenntnisse seiner gesetzlichen Vertreterin für die sachliche Gebotenheit der amtlichen Verteidigung im Sinne von Art. 24 lit. b (i.V.m. Art. 25 Abs. 1) JStPO (vgl. auch Hug/Schläfli, a.a.O., Art. 24 N. 3; Jositsch/Riesen-Kupper/Brunner/Murer Mikolásek, a.a.O., Art. 24 N. 11, Art. 25 N. 2-3). Dass die Vorinstanz die Jugendanwaltschaft in dieser Konstellation angehalten hat, dem privaten Verfahrensbeteiligten die Offizialverteidigung zu gewähren (solange sie den Vorwurf der Vergewaltigung bzw. sexuellen Nötigung gegen ihn aufrechterhält), erscheint bundesrechtskonform.
6.5 Es kann offenbleiben, ob beim beschuldigten Jugendlichen eine Unterbringung (Art. 15 JStG) als jugendstrafprozessuale Schutzmassnahme angeordnet werden könnte und ob insofern auch noch die separate Anspruchsgrundlage von Art. 24 lit. a (i.V.m. Art. 25 Abs. 1) JStPO zu bejahen wäre. Auch eine mangelnde Begründung des angefochtenen Entscheides (i.S.v. Art. 80 Abs. 2 bzw. Art. 81 Abs. 3 StPO) ist entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nicht ersichtlich (vgl. oben, E. 3).
7. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Da der private Verfahrensbeteiligte sich auf das Beschwerdeverfahren nicht eingelassen und ausdrücklich auf eigene Anträge verzichtet hat, ist ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, a.o. Appellationsgerichtspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Dezember 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster