Sachverhalt:
Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen sprach C._ mit Wirkung ab Mai 2004 eine halbe Invalidenrente zu (Verfügungen vom 30. Juni/24. Juli 2008). Auf Beschwerde hin hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die angefochtenen Verfügungen auf und wies die Sache zur Fortführung des Verwaltungsverfahrens an die Verwaltung zurück. Diese habe zu prüfen, ob Integrations- und Eingliederungsmassnahmen angezeigt seien, und für die Zeit ab Mai 2004 bis zum Beginn der Massnahmen über eine Rente zu befinden (Entscheid vom 1. Juli 2010).
Die IV-Stelle teilte der die Versicherte vertretenden Amtsvormundschaft Untertoggenburg und Wil-Land mit Schreiben 28. April 2011 mit, sie werde über den Rentenanspruch ab Mai 2004 erst nach Durchführung von Integrations- und/oder beruflichen Massnahmen verfügen. Der Amtsvormund erhob für C._ Rechtsverweigerungsbeschwerde beim kantonalen Gericht. Dieses stellte eine Rechtsverweigerung hinsichtlich der Rentenfrage fest und wies die Verwaltung an, über den Rentenanspruch ab Mai 2004 bis zum Beginn der Eingliederungsmassnahmen zu verfügen. Betreffend Integrations- und berufliche Massnahmen erkannte das kantonale Gericht auf Rechtsverzögerung und wies die Verwaltung an, entsprechende Vorkehren umgehend an die Hand zu nehmen (Entscheid vom 16. August 2011).
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 16. August 2011 sei insofern aufzuheben, als die Verwaltung verpflichtet werde, der Beschwerdegegnerin ab Mai 2004 bis März 2007 bzw. darüber hinaus eine ganze Invalidenrente zuzusprechen.
Erwägungen:
1.1 1.1.1 In seinem Entscheid vom 1. Juli 2010 hatte das kantonale Gericht das medizinische Dossier gewürdigt und daraus geschlossen, die ausgewiesene Arbeitsfähigkeit von 50 Prozent sei ohne weitere Massnahmen zur Integration in den Arbeitsmarkt nicht umsetzbar; bei erfolgreicher "Arbeitstherapie" könne auch eine höhere Arbeitsfähigkeit resultieren. Indessen habe die IV-Stelle unmittelbar eine halbe Invalidenrente zugesprochen. Die Sache werde, unter Aufhebung der Verfügungen vom 24. Juli 2008, an die IV-Stelle zurückgewiesen, damit diese zunächst Integrations- und/oder berufliche Massnahmen eingehend prüfe. Sodann werde die Beschwerdegegnerin in Anwendung von BGE 121 V 190 für die Zeit ab Mai 2004 bis zum Beginn von Eingliederungsmassnahmen über eine vorläufige Rente zu befinden haben, wobei zu berücksichtigen sei, dass bis Ende März 2007 (Zeitpunkt einer MEDAS-Begutachtung) eine vollständige Arbeitsunfähigkeit ausgewiesen sei. Nach Abschluss der Massnahmen sei über den definitiven Rentenanspruch zu verfügen. Der Entscheid vom 1. Juli 2010 blieb unangefochten.
1.1.2 Im angefochtenen Entscheid vom 16. August 2011 erwog die Vorinstanz, Gegenstand des Verfahrens bilde allein die Frage, ob eine Rechtsverzögerung oder Rechtsverweigerung gegeben sei (Art. 56 Abs. 2 ATSG). Das Versicherungsgericht habe die Verwaltung mit Entscheid vom 1. Juli 2010 angewiesen, der Versicherten eine vorläufige Rente zuzusprechen, und zwar basierend auf einer Arbeitsunfähigkeit von 100 Prozent im Zeitraum von Mai 2004 bis März 2007. Die Richtigkeit der Beweiswürdigung stehe im vorliegenden Verfahren nicht zur Prüfung an, nachdem der Entscheid vom 1. Juli 2010 formell rechtskräftig geworden sei. Es liege eine Rechtsverweigerung vor, weil sich die Beschwerdegegnerin unter Berufung auf materielle Gründe geweigert habe, der Beschwerdeführerin entscheidungsgemäss eine Rente zuzusprechen. Die Verwaltung werde angewiesen, über den Rentenanspruch für die Zeit von Mai 2004 bis zum Beginn der Eingliederungsmassnahmen zu verfügen. Weiter sei aufgrund der Akten und einer Äusserung der IV-Stelle im aktuellen Beschwerdeverfahren davon auszugehen, dass noch keine Integrations- und Eingliederungsmassnahmen eingeleitet worden seien. Damit diese ihren Zweck erfüllen könnten, seien sie möglichst rasch zu prüfen und gegebenenfalls anzuordnen. Die über ein Jahr währende Untätigkeit der Verwaltung, welche jedoch grundsätzliche Handlungsbereitschaft zu erkennen gegeben habe, sei als Rechtsverzögerung zu werten. Die Beschwerdegegnerin werde angewiesen, Integrations- oder berufliche Massnahmen umgehend an die Hand zu nehmen.
1.2 Die beschwerdeführende Verwaltung wendet sich im Wesentlichen dagegen, dass die Vorinstanz eine Vorabfestlegung der Arbeitsfähigkeit vorgenommen habe. Der vorinstanzliche Entscheid sei in sich widersprüchlich. Das kantonale Gericht stelle einerseits eine Rechtsverweigerung fest und weise die Verwaltung an, über den Anspruch auf eine Invalidenrente für den Zeitraum von Mai 2004 bis zum Beginn von Integrations- und Eingliederungsmassnahmen zu verfügen; anderseits treffe es Feststellungen, welche die Rentenleistung für den genannten Zeitraum praktisch präjudizierten. Weil der kantonale Entscheid vom 1. Juli 2010 keine verbindliche Weisung (zur Rentenhöhe) enthalte, sei die IV-Stelle berechtigt, den Anspruch materiell zu prüfen. In der Beschwerdeantwort vom 9. Juni 2011 sei in diesem Sinne ausgeführt worden, auch für den Zeitraum Mai 2004 bis März 2007 könne nur von einer Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent in adaptierten Tätigkeiten ausgegangen werden.
1.2 Die beschwerdeführende Verwaltung wendet sich im Wesentlichen dagegen, dass die Vorinstanz eine Vorabfestlegung der Arbeitsfähigkeit vorgenommen habe. Der vorinstanzliche Entscheid sei in sich widersprüchlich. Das kantonale Gericht stelle einerseits eine Rechtsverweigerung fest und weise die Verwaltung an, über den Anspruch auf eine Invalidenrente für den Zeitraum von Mai 2004 bis zum Beginn von Integrations- und Eingliederungsmassnahmen zu verfügen; anderseits treffe es Feststellungen, welche die Rentenleistung für den genannten Zeitraum praktisch präjudizierten. Weil der kantonale Entscheid vom 1. Juli 2010 keine verbindliche Weisung (zur Rentenhöhe) enthalte, sei die IV-Stelle berechtigt, den Anspruch materiell zu prüfen. In der Beschwerdeantwort vom 9. Juni 2011 sei in diesem Sinne ausgeführt worden, auch für den Zeitraum Mai 2004 bis März 2007 könne nur von einer Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent in adaptierten Tätigkeiten ausgegangen werden.
1.3 1.3.1 Nicht angefochten ist das vorinstanzliche Erkenntnis, soweit die Verwaltung verpflichtet wird, schnellstmöglich Integrations- und Eingliederungsmassnahmen an die Hand zu nehmen. Ebenfalls nicht bestritten wird die - mit der Feststellung einer Rechtsverweigerung verbundene - Verpflichtung, vor Inangriffnahme dieser Vorkehren über einen (befristeten) Rentenanspruch zu befinden. Strittig ist nur, ob das kantonale Gericht die IV-Stelle unter Verweisung auf den Entscheid vom 1. Juli 2010 auf die Zusprechung einer höheren (als der unbestrittenen halben) Rente verpflichtet hat.
1.3.2 Verhält es sich so, liegt ein Zwischenentscheid vor, der in seiner Wirkung mit einem Rückweisungsentscheid vergleichbar ist. Es fragt sich also, ob die Beschwerde hiergegen nach Art. 93 BGG zulässig ist. Nach der Rechtsprechung bewirkt ein Rückweisungsentscheid in der Regel keinen irreversiblen Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG, da der Rechtsuchende ihn später zusammen mit dem neu zu fällenden Endentscheid wird anfechten können (Art. 93 Abs. 3 BGG). Anders verhält es sich allerdings für den Versicherungsträger, wenn er durch den Rückweisungsentscheid mittels materiellrechtlicher Vorgaben gezwungen wird, eine seines Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen. Dies hat für die Verwaltung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge, weshalb bereits dieser Entscheid angefochten werden kann und nicht der Endentscheid abgewartet werden muss (BGE 133 V 477 E. 5.2 S. 483; Urteil 9C_703/2009 vom 30. Oktober 2009 E. 2.1).
1.3.3 Der angefochtene Entscheid bezweckt, den vorangehenden Entscheid vom 1. Juli 2010 durchzusetzen. Das kantonale Gericht geht davon aus, in diesem rechtskräftigen Entscheid sei die IV-Stelle angewiesen worden, eine "vorläufige Rente" zuzusprechen, "und zwar basierend auf einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % im Zeitraum vom 1. Mai 2004 bis 31. März 2007". Diesbezüglich verfüge die IV-Stelle über keinen Prüfungsspielraum mehr. Das trifft indessen nicht zu. Die Entscheidmotive nehmen nur an der Rechtskraft des Entscheiddispositivs teil, wenn dieses ausdrücklich auf jene verweist (erwähntes Urteil 9C_703/2009 E. 2.2). Die im Dispositiv des Entscheids vom 1. Juli 2010 enthaltene Wendung "Die Sache wird im Sinn der Erwägungen zur Fortführung des Verwaltungsverfahrens (...) zurückgewiesen" bezieht sich nicht eindeutig auf die fraglichen Motive; sie kann stattdessen auch als blosse Verweisung auf den vorgesehenen prozessualen Ablauf verstanden werden. Hinzu kommt, dass die Ausführungen zur Arbeitsfähigkeit in sich nicht hinreichend klar sind: Die Erwägung, aus gutachtlichen Ausführungen ergebe sich, dass die Arbeitsfähigkeitsschätzung von 50 Prozent "weiterer Eingliederungsmassnahmen bedarf, damit sie umgesetzt werden kann" (E. 3.3), legt zunächst nahe, das kantonale Gericht schliesse auf vollständige Arbeitsunfähigkeit bis zum Beginn der Integrations- und Eingliederungsmassnahmen. Sodann aber stellte es fest, nach übereinstimmender Beurteilung des MEDAS-Ärzte sowie des RAD sei eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bis Ende März 2007 ausgewiesen (E. 3.4 in fine).
Die Würdigung der Arbeitsfähigkeit im Entscheid des kantonalen Gerichts vom 1. Juli 2010 kann dahingehend verstanden werden, die IV-Stelle habe die aufgeführten Aspekte in ihrer Verfügung zu berücksichtigen. Entgegen dem angefochtenen Entscheid liegen jedoch keine verbindlichen materiellen Erwägungen betreffend die Invalidenrente vor, die kraft Verweises durch das Dispositiv an der Rechtskraft teilhätten. Folglich beschränkt sich die unmittelbare Bindungswirkung des angefochtenen Entscheids auf die - von der Beschwerdeführerin nicht beanstandeten - Feststellungen der Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung. Unter diesen Umständen trifft die IV-Stelle keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; die IV-Stelle wird durch den vorinstanzlichen Entscheid nicht gezwungen, eine aus ihrer Sicht rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Die Beschwerde ist daher nicht zulässig (oben E. 1.3.2).
2. Die Gerichtskosten gehen ausgangsgemäss zu Lasten der Beschwerdeführerin (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle des Kantons St. Gallen auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Oktober 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub