Faits:
A. A.a Y._, né en 1947, est l'époux de dame Y._, née en 1954. De cette union sont issues deux filles, nées en 1983 et 1986, actuellement étudiantes.
Y._ a entretenu une relation extra-conjugale avec dame A._, née le 29 septembre 1973. Ils ont eu un fils, X._, né à Genève le 25 mars 2002. Y._ a reconnu être le père de l'enfant.
Dès que dame A._ eût annoncé sa grossesse à Y._, leur relation a pris fin et de longues discussions ont eu lieu entre eux et leurs conseils respectifs au sujet de la contribution d'entretien à verser pour l'enfant à naître.
A.b Le 3 mai 2002, Y._ et dame A._ ont conclu une première convention par laquelle le père s'est engagé à payer mensuellement, dès avril 2002, une contribution d'entretien en faveur de son fils d'un montant de 7'000 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 8'000 fr. de 10 à 15 ans et 10'000 fr. de 15 ans à la majorité, voire au-delà mais au plus tard jusqu'à 25 ans en cas d'études ou de formation professionnelle sérieuses et suivies (ch. 5), à financer les frais d'écolage de son fils auprès d'établissements privés jusqu'à la fin de sa scolarité obligatoire, et à souscrire une assurance-vie d'une durée de 10 ans et d'un capital de 200'000 fr., avec une clause bénéficiaire irrévocable en faveur de l'enfant, ainsi qu'à en payer les primes. Cette convention a été homologuée le 25 juin 2002 par le Tribunal de première instance du canton de Genève, qui n'a pas procédé à l'audition des parties.
Le même jour, les intéressés ont signé une seconde convention par laquelle Y._ s'engageait notamment à verser à dame A._ la somme de 300'000 fr., pour lui permettre de s'organiser de manière à assurer les meilleures conditions de vie et d'éducation à l'enfant.
Par la suite, Y._ a contesté avoir signé librement la convention d'entretien du 3 mai 2002, expliquant avoir été bouleversé par la naissance de l'enfant et par les répercussions de cet événement sur sa propre famille.
Des procédures de mainlevée et en libération de dette ont opposé les parties s'agissant du paiement de la contribution d'entretien.
A.c Le 22 avril 2004, Y._ a ouvert action en modification de la contribution alimentaire, concluant à sa réduction. Il a en outre demandé à être libéré de l'obligation de financer l'écolage de son fils et de souscrire une assurance sur la vie en sa faveur. A l'appui de ses prétentions, il a requis ultérieurement la constatation de la nullité, notamment, de la convention d'entretien du 3 mai 2002, subsidiairement, la constatation de la validité de l'invalidation de cet accord, plus subsidiairement, la constatation de la validité de son exception de crainte fondée, et la condamnation de l'intimé à lui restituer le montant symbolique d'1 fr.; il s'est déclaré prêt à verser pour l'enfant une contribution d'entretien de 2'000 fr. par mois, allocations familiales non comprises, jusqu'à la majorité et au-delà en cas d'études sérieuses.
Par jugement du 29 mars 2006, le Tribunal de première instance a rejeté la demande.
Le demandeur a appelé de ce jugement. Par arrêt du 17 novembre 2006, la Cour de justice du canton de Genève a, entre autres points, constaté la nullité de l'art. 5 de la convention d'entretien du 3 mai 2002 dans la mesure où il prévoyait une contribution supérieure à 3'680 fr. par mois, tout engagement du père allant au-delà de ce montant étant excessif, a condamné l'enfant à restituer à celui-ci la somme symbolique d'1 fr. et a renvoyé la cause au Tribunal de première instance pour complément d'instruction et nouvelle décision sur la contribution d'entretien.
Le recours en réforme interjeté par le défendeur contre cet arrêt a été déclaré irrecevable par le Tribunal fédéral le 10 avril 2007 (5C.14/2007).
B. Statuant sur renvoi le 1er novembre 2007, le Tribunal de première instance a, notamment, fixé le montant de la contribution d'entretien mensuellement due par le père à 1'500 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 2'500 fr. de 10 à 15 ans puis 4'000 fr. jusqu'à la majorité, voire au-delà en cas d'études ou de formation professionnelle sérieuses et suivies, allocations familiales en sus.
X._ a appelé de ce jugement, concluant à l'allocation d'une contribution d'entretien mensuelle, indexée, d'un montant de 7'200 fr. jusqu'à l'âge de 8 ans, 7'800 fr. de 8 à 15 ans et 9'500 fr. de 15 à 25 ans, dans l'hypothèse où il poursuivrait des études ou une formation professionnelle sérieuses et suivies jusqu'à cet âge.
Par arrêt du 10 juillet 2008, la Cour de justice a arrêté la contribution d'entretien mensuellement due à 2'000 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 2'500 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans, 3'000 fr. jusqu'à l'âge de 18 ans et 4'000 fr. dès cette date, en cas de formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières. L'autorité cantonale a en outre condamné le père à payer les frais d'écolage de son fils jusqu'à ce que celui-ci atteigne l'âge de 18 ans. Le jugement attaqué a été confirmé pour le surplus, les dépens d'appel étant compensés.
C. Par actes déposés les 12 septembre, respectivement 15 septembre 2008, chacune des parties exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 10 juillet 2008.
X._ reprend, principalement, les conclusions qu'il a présentées en appel s'agissant de la contribution d'entretien, et demande en outre que Y._ soit condamné à tous les dépens de la cause. Subsidiairement, il requiert le renvoi du dossier à la cour cantonale pour nouvelle décision, plus subsidiairement, après nouvelle instruction. Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Y._ conclut à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que la contribution d'entretien mise à sa charge est limitée à 2'000 fr. par mois jusqu'à l'âge de 18 ans et au-delà en cas de formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières.
Des réponses n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. Les deux recours sont dirigés contre la même décision, reposent sur les mêmes faits et soulèvent des questions juridiques identiques; dans ces conditions, il y a lieu de les joindre et de statuer à leur sujet par un seul arrêt (art. 24 PCF, applicable par renvoi de l'art. 71 LTF).
2. Les deux recours ont pour objet une décision finale (art. 90 LTF) prise en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par l'autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF). La valeur litigieuse minimale est par ailleurs atteinte (art. 74 al. 1 let. b LTF). Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) compte tenu de la suspension des délais de l'art. 46 al. 1 let. b LTF, et en la forme prévue par la loi (art. 42 LTF), par des parties qui ont succombé dans leurs conclusions en instance cantonale (art. 76 al. 1 LTF), les recours sont en outre recevables sous l'angle de ces dispositions.
I. Sur le recours du père
3. 3.1 Par arrêt de renvoi du 17 novembre 2006, la Cour de justice a jugé que la convention du 3 mai 2002 était nulle dans la mesure où elle portait atteinte de manière durable au minimum vital du père (art. 27 al. 2 CC), et a considéré qu'elle était partiellement nulle (art. 20 CO) malgré sa ratification par l'autorité tutélaire en tant que l'engagement du père dépassait son disponible de 3'680 fr. Cette juridiction a en revanche estimé que ladite convention n'avait pas été conclue sous l'empire d'une crainte fondée, a constaté que les conditions d'une modification de la contribution d'entretien étaient réunies et, ne disposant pas de tous les éléments nécessaires pour refixer celle-ci, a renvoyé la cause au Tribunal de première instance pour qu'il établisse la situation patrimoniale actuelle des parents de l'enfant, détermine les besoins de celui-ci et arrête la contribution due pour son entretien.
A la suite d'une nouvelle instruction, le Tribunal de première instance a, par jugement du 1er novembre 2007, condamné le père à verser pour l'entretien de l'enfant des contributions mensuelles de 1'500 fr. jusqu'à 10 ans, 2'500 fr. jusqu'à 15 ans et 4'000 fr. jusqu'à la majorité, voire au-delà en cas d'études ou de formation professionnelle sérieuse et suivie.
Contre le jugement du 1er novembre 2007, seul l'enfant a recouru, concluant à l'allocation de contributions d'entretien plus élevées. Par arrêt du 10 juillet 2008, la Cour de justice a très légèrement modifié les montants des contributions, qu'elle a arrêtés à 2'000 fr. jusqu'à 10 ans, 2'500 fr. jusqu'à 15 ans, 3'000 fr. jusqu'à 18 ans, puis 4'000 fr. en cas de formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières.
Dans son recours «de droit civil» (recte: en matière civile), Y._ conclut à sa condamnation à verser une pension mensuelle de 2'000 fr. jusqu'à l'âge de 18 ans et au-delà en cas de formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières. Il remet en cause le rejet de son exception de crainte fondée (art. 29 CO) par l'arrêt de renvoi de la Cour de justice du 17 novembre 2006 et critique la façon dont ses revenus futurs ont été fixés ainsi que le refus de déterminer correctement celui de la mère dans l'arrêt du 10 juillet 2008.
3.2 Dès lors que Y._ n'a pas interjeté appel dans le délai de 30 jours contre le jugement du Tribunal de première instance du 1er novembre 2007, qui le condamne à verser les contributions échelonnées de 1'500 fr., 2'500 fr. et 4'000 fr., ni n'a recouru dans ce même délai au Tribunal fédéral dans l'hypothèse où un appel n'aurait été qu'une vaine formalité - sur la question de l'exception de crainte fondée -, il lui est interdit de le remettre en question et de prendre des conclusions qui vont en-deçà, au détriment de l'enfant (interdiction de la reformatio in pejus), à l'occasion d'un recours contre l'arrêt rendu sur appel de celui-ci (Bühler/Spühler, Berner Kommentar, n. 44 ad art. 156 aCC).
En l'occurrence, dans son dernier arrêt du 10 juillet 2008, la Cour de justice a essentiellement confirmé les contributions fixées en première instance, ne les modifiant que sur deux points. Ainsi, dans la mesure où les montants ont été confirmés, les conclusions du père sont irrecevables. En tant que la contribution jusqu'à l'âge de 10 ans a été portée de 1'500 fr. à 2'000 fr., le recours est irrecevable puisque le père conclut lui-même à la fixation d'une contribution de 2'000 fr. sans échelonnement. Enfin, lorsque la Cour de justice a modifié la contribution après l'âge de 16 ans en prévoyant deux périodes, elle a en réalité réduit la contribution d'entretien fixée par le jugement de première instance, de sorte que le débirentier n'apparaît pas lésé.
Il s'ensuit que le recours du père doit être déclaré irrecevable, aux frais de son auteur.
II. Sur le recours de l'enfant
4. 4.1 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF, y compris les droits constitutionnels (ATF 133 III 446 consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2 p. 466). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Cependant, compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité, à l'art. 42 al. 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés (ATF 133 IV 150 consid. 1.2 p. 152). Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux ou du droit cantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), les exigences de motivation correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (ATF 134 I 23 consid. 5.2 p. 30 et les arrêts cités).
4.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été retenus d'une façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui entend contester les constatations de la juridiction cantonale doit exposer de manière circonstanciée en quoi les exceptions prévues par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, à défaut de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui figurant dans la décision attaquée (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 255; 133 III 462 consid. 2.4 p. 466/467).
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF); il en est ainsi même si la maxime inquisitoire est applicable, ce qui est le cas ici (ATF 120 II 229 consid. 1c p. 232/233 [ad art. 55 al. 1 let. c OJ]). En tant que X._ allègue des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris, sans invoquer valablement l'une des exceptions susmentionnées, son recours est irrecevable. Tel est aussi le cas des pièces produites à l'appui de son recours, visant à démontrer que l'épouse et l'une des filles de Y._ géreraient ensemble un commerce leur rapportant des revenus, l'exception de l'art. 99 al. 1 in fine LTF n'étant pas réalisée.
4.3 Le chef de conclusions de X._ tendant à l'annulation de l'arrêt entrepris dans la mesure où il compense les dépens d'appel est irrecevable, faute de toute motivation (art. 42 al. 1 et 2 LTF).
5. X._ reproche notamment à la Cour de justice une «violation de nature procédurale». Dès lors qu'il n'indique pas quelles dispositions de procédure auraient été enfreintes, sa critique est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF). Tel est le cas en particulier lorsqu'il fait grief à l'autorité cantonale de ne pas lui avoir communiqué une pièce de l'adverse partie déclarée irrecevable. Pour le surplus, on ne voit pas en quoi la cour cantonale aurait violé son droit d'être entendu, ni les principes d'impartialité et d'égalité de traitement, dès lors qu'il se contente de soutenir, en résumé, que Y._ a multiplié les manoeuvres pour ne pas produire les documents requis concernant sa situation financière tout en déposant au dossier de nombreuses pièces hors délai, ce qui aurait réussi à influencer les juges bien qu'ils aient déclaré celles-ci irrecevables.
6. 6.1 X._ se plaint en outre d'arbitraire dans l'établissement des faits en ce qui concerne les revenus et les charges de Y._. A l'appui de ce grief, il expose qu'à partir du 29 septembre 2008, la fille aînée de celui-ci aura 25 ans révolus, de sorte que le coût de son entretien ne devra plus être inclus dans le budget familial, d'autant qu'elle est l'associée gérante d'une société fort lucrative qui lui assure d'ores et déjà son indépendance financière. De surcroît, alors que l'aînée était censée finir ses études en 2006, cette échéance a été repoussée jusqu'en 2010, sans raison, et sans que des justificatifs ne soient apportés concernant le cursus suivi. Par ailleurs, dès le 1er janvier 2009, le prêt de la GE Money Bank sera intégralement remboursé, de sorte qu'il ne devra plus être pris en compte. Quant aux emprunts contractés par l'intimé auprès de ses deux sociétés - prêts dont la réalité est au demeurant douteuse -, ils seront remboursés au plus tard à fin octobre 2012. Ainsi, les charges de Y._ baisseront sensiblement dès le début de l'année 2009 déjà, ce dont la Cour de justice n'aurait tiré aucune conséquence quant au montant de la contribution d'entretien.
6.2 Ces griefs ne sont pas fondés. L'autorité cantonale n'a pas omis de tenir compte du fait que le prêt de la GE Money Bank devrait être remboursé à fin 2008, et les deux autres, à fin 2012. X._ affirme certes que les emprunts contractés par Y._ auprès de ses sociétés seraient fictifs, mais sans établir que l'opinion contraire de la Cour de justice, dûment argumentée, serait insoutenable (art. 106 al. 2 LTF).
En ce qui concerne la prise en charge, par Y._, des frais d'entretien de ses deux filles majeures, l'autorité cantonale a retenu que celles-ci n'avaient pas encore terminé leur formation universitaire. Elles détenaient toutes deux un bachelor et souhaitaient poursuivre leurs études par un master, la cadette devant faire précéder celui-ci d'un stage de six mois à une année. Seule l'aînée paraissait avoir pris un peu de retard, sans toutefois que l'on pût retenir à son égard une durée d'études excessive. Leur père se disait prêt à assumer leur entretien jusqu'à ce qu'elles obtiennent un master. Par ailleurs, il n'était pas contesté qu'elles habitaient chez leurs parents, qui assumaient leur entretien. Il convenait dès lors d'intégrer leurs charges dans celles de leur père, jusqu'en mai 2010 pour l'aînée et mai 2011 pour la cadette. En affirmant, sans autre précision, que, «selon la jurisprudence», le coût d'entretien des deux filles ne devrait plus être pris en considération dans le budget de leur père après 25 ans, X._ n'apporte aucun élément qui permettrait de considérer que la Cour de justice a violé le droit fédéral sur ce point; en particulier, il n'indique nullement à quelle jurisprudence il se réfère. Par ailleurs, il n'est pas démontré que l'aînée exercerait une activité commerciale qui la rendrait indépendante financièrement, les pièces déposées à cet égard étant au demeurant irrecevables (cf. supra, consid. 4.2). Par conséquent, on ne voit pas en quoi le principe d'égalité de traitement entre les enfants d'un même débiteur aurait été violé; il en va de même dans la mesure où X._ reproche à l'autorité cantonale d'avoir pris en compte l'écolage des deux filles de Y._ au-delà de leur majorité, alors qu'il en sera privé à partir de ses 18 ans: en effet, dès ce moment, le montant de la contribution en sa faveur sera de 4'000 fr. par mois, alors que les frais d'entretien des deux filles ont été arrêtés à 3'590 fr. par mois au total.
Enfin, il ne saurait être reproché à la Cour de justice d'avoir prévu des augmentations de la contribution d'entretien en fonction de l'âge de l'enfant et non à chaque diminution prévisible des charges du débirentier, l'art. 285 al. 1 CC disposant que ladite contribution ne doit pas seulement correspondre à la situation et aux ressources des père et mère, mais aussi aux besoins objectifs de l'enfant (ATF 120 II 285 consid. 3b/bb p. 290/291); or, ceux-ci augmentent notoirement avec l'âge.
7. X._ formule aussi des critiques en rapport avec l'affectation du montant de 300'000 fr. reçu par sa mère en exécution de la convention du 3 mai 2002. Il soutient que, contrairement aux affirmations de la cour cantonale, cette somme n'a pas été versée en deux fois mais en huit versements, dont une part importante - soit 175'000 fr. - à la suite de procédures de recouvrement pour lesquelles sa mère a dû consentir des frais considérables. Il reproche également à la Cour de justice d'avoir déduit de l'épuisement de ce montant que sa mère réalisait des revenus non déclarés et de lui avoir ainsi imputé un revenu hypothétique.
Autant qu'elles sont suffisamment intelligibles, ces allégations n'apparaissent pas décisives pour l'issue du litige. En tout cas, elles ne permettent pas de retenir que l'autorité cantonale aurait constaté les faits de manière inexacte, comme le prétend X._. Supposés recevables, ses griefs relatifs à la prise en compte, par l'autorité cantonale, de ressources supérieures à celles déclarées par sa mère au motif que celle-ci vivait nettement au-dessus de son prétendu revenu de 2'200 fr., se révèlent ainsi mal fondés. En tant que le recourant note que «le premier juge» a doublement imputé le montant de 300'000 fr. en sa défaveur, en le comptabilisant dans les prêts prétendument contractés par Y._, soit dans les charges de celui-ci, tout en reprochant à sa mère de ne pas avoir expliqué l'affectation de cette somme, sa critique, dont on peut douter qu'elle soit suffisamment motivée, est de toute façon irrecevable faute d'être dirigée contre la décision de l'autorité de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF).
8. X._ reproche à tort à l'autorité cantonale d'avoir admis que les parties ne contestaient pas son budget mensuel minimum tel que retenu par le premier juge. Contrairement à ce qu'il prétend, son mémoire d'appel du 7 décembre 2007 ne contient aucune critique au sujet des charges mensuelles en question. Au demeurant, la Cour de justice s'est contentée de les mentionner dans l'arrêt attaqué, et a fondé son évaluation des besoins de l'enfant mineur sur les «tabelles zurichoises» publiées par l'Office zurichois de la jeunesse. Le grief relatif à la prise en compte d'un minimum de base identique quel que soit son âge tombe dès lors à faux. Quant aux autres critiques, notamment celles visant à reprocher à Y._ de ne pas exercer son droit de visite, elles sont en l'occurrence sans pertinence.
9. Dans un autre moyen, X._ se plaint de constatation inexacte des faits pertinents s'agissant de la capacité de travail de sa mère. Il reproche à la Cour de justice de ne pas s'être informée, d'elle-même ou en l'interpellant, de l'impact de la maladie dont souffrirait sa mère - à savoir des troubles bipolaires de type 2 - sur la vie des patients, et d'avoir fixé la capacité de gain de celle-ci à 75%, contrairement à l'avis des spécialistes scientifiques.
Selon les juges précédents, la mère de l'enfant a indiqué que la faillite de son commerce d'onglerie avait été clôturée et qu'elle continuait d'exploiter celui-ci à temps partiel afin de pouvoir s'occuper personnellement de son fils, réalisant désormais un bénéfice net de 2'200 fr. par mois; elle a exposé souffrir d'un «trouble bipolaire de type 2», sans cependant alléguer, ni a fortiori prouver, que celui-ci diminuerait sa capacité de gain. Le recourant ne tente pas de démontrer que ces constatations seraient arbitraires (art. 106 al. 2 LTF). De plus, contrairement à ce qu'il prétend, l'autorité cantonale n'a pas fixé la capacité de gain de sa mère à 75%, mais s'est bornée à constater que l'intéressée affirmait travailler à temps partiel, pour un bénéfice net de 2'200 fr. par mois. Enfin, X._ n'établit nullement que la cour cantonale aurait apprécié les preuves de manière insoutenable en retenant qu'il est régulièrement gardé, y compris le soir et les week-ends, par des baby-sitters. Autant qu'elles sont suffisamment motivées, ses critiques tombent dès lors à faux.
10. En conclusion, les recours se révèlent irrecevable, respectivement mal fondé en tant que recevable. La requête d'assistance judiciaire présentée par X._, dont les conclusions étaient vouées à l'échec, ne saurait donc être agréée (art. 64 al. 1 LTF). Les frais des deux procédures fédérales seront dès lors supportés par les recourants à parts égales (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens, des réponses n'ayant pas été requises.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 5A_613/2008 et 5A_626/2008 sont jointes.
2. Le recours de X._ est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
3. Le recours de Y._ est irrecevable.
4. La demande d'assistance judiciaire de X._ est rejetée.
5. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis pour moitié à la charge de chacune des parties.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 15 juillet 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot