Faits:
Faits:
A. A.a Dans la cause opposant P._ à l'Office AI du canton de Neuchâtel, le Tribunal fédéral des assurances, par arrêt du 2 août 2000, a rejeté le recours interjeté par le prénommé contre un jugement du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, du 10 novembre 1999, lequel avait rejeté le recours formé par P._ contre une décision de l'office AI du 16 mars 1999 supprimant dès le 1er mai 1999 son droit à une rente entière d'invalidité. Les faits déterminants sont exposés de manière détaillée dans l'arrêt précité, auquel soit renvoi.
A.b Le 1er février 2000, P._ s'était inscrit à l'assurance-chômage. Du 12 au 18 septembre 2000, il a travaillé auprès de X._ Sàrl, à Y._, où il fut constaté qu'il ne pouvait pas exécuter un travail à 100 % du fait qu'il souffrait du dos et du bras. Son médecin traitant l'a adressé au docteur A._, spécialiste FMH en médecine physique et réhabilitation et spécialiste en maladies rhumatismales. Dans une lettre du 21 octobre 2000, ce praticien a relevé que le patient avait eu un bilan radiologique avec une IRM (imagerie par résonance magnétique) le 2 septembre 1999, examen ayant mis en évidence un remaniement inflammatoire du tendon sous-scapulaire qui, cliniquement, montrait aussi des signes de souffrance, ainsi qu'un acromion de type III qui pouvait entraîner un conflit sous-acromial lors des activités en charge des membres supérieurs. Selon un certificat médical du 2 février 2001, le docteur A._ attestait une incapacité de travail à 50 % à partir du 2 octobre 2000, d'une durée indéterminée. La Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage a soumis pour examen le cas de l'assuré à l'Office du chômage, à Neuchâtel, lequel a déclaré P._ apte au placement uniquement à un taux de 50 % dès le 2 octobre 2000.
A.c Le 11 mai 2001, P._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un projet de décision du 2 juillet 2001, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel l'a avisé qu'il n'entrerait pas en matière sur la demande, celle-ci ne rendant pas plausible que son invalidité se serait modifiée de manière à influencer ses droits.
Contestant le projet de décision, l'assuré a produit une communication du docteur A._ du 13 août 2001, qui déclarait n'être pas d'accord avec l'expertise du docteur C._ du 16 décembre 1998, surtout sur le problème des douleurs de l'épaule, ainsi que sur la capacité de travail liée à cette problématique. Selon lui, le patient n'aurait jamais une capacité de travail supérieure à 50 %, y compris dans une activité légère.
L'office AI a confié une expertise au professeur B._, médecin-chef du Service de rhumatologie, médecine physique et réhabilitation du Centre hospitalier Z._. Dans un rapport du 2 octobre 2001, l'expert a posé les diagnostics de séquelles de fracture/tassement du mur antérieur de L2 (pas de changement sur les clichés actuels par rapport aux anciens clichés de 1981-1982), de troubles somatoformes douloureux touchant le membre supérieur droit et la région lombo-fessière droite, d'hypertension artérielle traitée et de psoriasis traité. Il indiquait que dans un travail « léger » (surveillant de chantiers avec manutention légère) le patient pourrait être progressivement, après mise au courant, capable de travailler jusqu'à 100 %. A la question de savoir quelle capacité de travail pouvait-on espérer dans l'exercice d'une activité adaptée au handicap après une période éventuelle de mise au courant, il a répondu « 80 à 100 % ».
Dans un nouveau projet de décision du 23 octobre 2001, l'office AI a informé P._ que l'instruction à laquelle il avait procédé avait établi que son état de santé était pratiquement inchangé depuis la suppression de son droit à la rente d'invalidité. Il en résultait que sa capacité de gain actuelle ne permettait pas l'octroi d'une rente. Par décision du 10 décembre 2001, l'office AI a rejeté la demande de prestations.
Dans un nouveau projet de décision du 23 octobre 2001, l'office AI a informé P._ que l'instruction à laquelle il avait procédé avait établi que son état de santé était pratiquement inchangé depuis la suppression de son droit à la rente d'invalidité. Il en résultait que sa capacité de gain actuelle ne permettait pas l'octroi d'une rente. Par décision du 10 décembre 2001, l'office AI a rejeté la demande de prestations.
B. P._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celle-ci et à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité. A titre subsidiaire, il demandait que la cause soit renvoyée à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision au sens des considérants. Produisant une lettre du docteur A._ du 4 décembre 2001, il requérait l'audition de ce spécialiste.
Par jugement du 11 février 2003, le Tribunal administratif a rejeté le recours.
Par jugement du 11 février 2003, le Tribunal administratif a rejeté le recours.
C. P._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celui-ci et au renvoi de la cause à l'office AI pour nouvelle décision au sens des considérants. Il produit une lettre du docteur A._ du 2 mars 2003.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales n'a pas déposé d'observations.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral des assurances n'est pas limité à la violation du droit fédéral - y compris l'excès et l'abus du pouvoir d'appréciation - mais s'étend également à l'opportunité de la décision attaquée. Le tribunal n'est alors pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure, et il peut s'écarter des conclusions des parties à l'avantage ou au détriment de celles-ci (art. 132 OJ).
1. Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral des assurances n'est pas limité à la violation du droit fédéral - y compris l'excès et l'abus du pouvoir d'appréciation - mais s'étend également à l'opportunité de la décision attaquée. Le tribunal n'est alors pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure, et il peut s'écarter des conclusions des parties à l'avantage ou au détriment de celles-ci (art. 132 OJ).
2. La décision de rejet de la demande date du 10 décembre 2001. D'après la jurisprudence, la législation applicable en cas de changement de règles de droit reste celle qui était en vigueur lors de la réalisation de l'état de fait qui doit être apprécié juridiquement ou qui a des conséquences juridiques (ATF 127 V 467 consid. 1, 126 V 166 consid. 4b), les faits sur lesquels le Tribunal fédéral des assurances peut être amené à se prononcer dans le cadre d'une procédure de recours de droit administratif étant par ailleurs ceux qui se sont produits jusqu'au moment de la décision administrative litigieuse (ATF 121 V 366 consid. 1b). Partant, la loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA), du 6 octobre 2000, qui est entrée en vigueur le 1er janvier 2003 et qui a entraîné des modifications des dispositions dans le domaine de l'AI notamment, n'est pas applicable en l'espèce. Ratione temporis, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4e révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852), ne sont pas non plus applicables.
2. La décision de rejet de la demande date du 10 décembre 2001. D'après la jurisprudence, la législation applicable en cas de changement de règles de droit reste celle qui était en vigueur lors de la réalisation de l'état de fait qui doit être apprécié juridiquement ou qui a des conséquences juridiques (ATF 127 V 467 consid. 1, 126 V 166 consid. 4b), les faits sur lesquels le Tribunal fédéral des assurances peut être amené à se prononcer dans le cadre d'une procédure de recours de droit administratif étant par ailleurs ceux qui se sont produits jusqu'au moment de la décision administrative litigieuse (ATF 121 V 366 consid. 1b). Partant, la loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA), du 6 octobre 2000, qui est entrée en vigueur le 1er janvier 2003 et qui a entraîné des modifications des dispositions dans le domaine de l'AI notamment, n'est pas applicable en l'espèce. Ratione temporis, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4e révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852), ne sont pas non plus applicables.
3. Est litigieux le point de savoir si l'état de santé du recourant s'est aggravé depuis la décision de suppression de son droit à la rente.
3.1 Pour pouvoir calculer le degré d'invalidité, l'administration (ou le juge, s'il y a eu un recours) a besoin de documents que le médecin, éventuellement aussi d'autres spécialistes, doivent lui fournir. La tâche du médecin consiste à porter un jugement sur l'état de santé et à indiquer dans quelle mesure et pour quelles activités l'assuré est incapable de travailler. En outre, les données médicales constituent un élément utile pour déterminer quels travaux on peut encore, raisonnablement, exiger de l'assuré (ATF 125 V 261 consid. 4, 115 V 134 consid. 2, 114 V 314 consid. 3c, 105 V 158 consid. 1). Dans l'assurance-invalidité, l'instruction des faits d'ordre médical se fonde sur le rapport du médecin traitant destiné à l'Office AI, les expertises de médecins indépendants de l'institution d'assurance, les examens pratiqués par les Centres d'observation médicale de l'AI (ATF 123 V 175), les expertises produites par une partie ainsi que les expertises médicales ordonnées par le juge de première ou de dernière instance (VSI 1997, p. 318 consid. 3b; Spira, La preuve en droit des assurances sociales, in : Mélanges en l'honneur de Henri-Robert Schüpbach - Bâle, 2000, p. 270; Stéphane Blanc, La procédure administrative en assurance-invalidité, thèse Fribourg 1999, p. 142).
3.2 Les premiers juges ont considéré que les différents rapports établis par le docteur A._, spécialiste en rhumatologie, n'étaient pas aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des conclusions auxquelles avait abouti le professeur B._ dans son expertise du 2 octobre 2001, le docteur A._ octroyant en effet une place importante aux considérations subjectives du patient, auxquelles il accordait un large crédit. De plus, ce praticien fondait le degré d'incapacité retenu, outre sur l'état de santé de l'assuré, également sur le fait que celui-ci était demeuré inactif durant une vingtaine d'années, élément qui était étranger à son invalidité et expliquait, au moins partiellement, pourquoi l'appréciation du docteur A._ divergeait de celle de ses confrères.
Contestant ce qui précède, le recourant reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas constaté de manière exhaustive les faits et d'avoir abusé de son pouvoir d'appréciation. Selon lui, au vu des constantes remarques du docteur A._ soutenant que seules la consultation d'une IRM et la pratique des tests de Jobe, palm up et lift off étaient de nature à démontrer l'existence d'une tendinite chronique, ces examens auraient dû faire l'objet d'une expertise, ou, à tout le moins, d'un complément d'expertise. Aussi requiert-il le renvoi de la cause à l'intimé pour instruction complémentaire dans ce sens.
3.3 Dans sa lettre du 4 décembre 2001, le docteur A._ a indiqué qu'il y avait des signes évidents de tendinite de la coiffe des rotateurs, avec des épreuves de Jobe, palm up et lift off positives qui n'avaient pas été testées d'après la description du professeur B._, avec radiologiquement sur une IRM de 1999 des remaniements inflammatoires tendineux confirmant une atteinte de l'épaule, dont il n'était absolument pas fait mention dans l'expertise. Une radiographie récente montrait des signes d'un discret conflit sous-acromial (selon la description). Il est clair que cette pathologie d'épaule jouait un rôle sur l'incapacité de travail du patient, notamment dans un travail nécessitant des ports de charges, quels qu'ils soient. Ces douleurs avaient d'ailleurs été exacerbées après une tentative de reprise d'activité l'année dernière. Contrairement à l'avis du professeur B._, le docteur A._ pense qu'il y a des éléments objectifs permettant d'expliquer les douleurs de l'épaule et qu'il ne s'agissait pas uniquement d'un trouble somatoforme douloureux.
3.4 L'expertise du professeur B._ se fonde sur des examens auxquels ont procédé les médecins le 24 septembre 2001. Ce jour-là, des radiographies de la colonne lombaire face et profil, de l'épaule droite de face et de la colonne cervicale de profil ont été effectuées par les médecins du Service de radiodiagnostic et radiologie interventionnelle du Z._. Selon le rapport du 24 septembre 2001 de la doctoresse D._, la description de l'épaule droite de face indiquait la présence de discrets troubles dégénératifs au niveau du trochiter pouvant témoigner d'un conflit postéro-supérieur. En revanche, il n'y avait pas de pincement de l'espace sous-acromial, ni de calcification des tendons de la coiffe des rotateurs.
Dans son rapport du 2 octobre 2001, sous la rubrique relative aux examens complémentaires fondant les constatations objectives, l'expert a indiqué que selon les radiographies actuelles, l'épaule droite présentait des signes de discret conflit sous-acromial (pas de déminéralisation, pas de calcification péri-articulaire). Il a posé le diagnostic de troubles somatoformes douloureux touchant le membre supérieur droit et la région lombo-fessière droite.
3.5 Lorsque des spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (ATF 125 V 352 consid. 3b/aa et les références; arrêt non publié P. du 5 octobre 2001 [I 236/01]).
Dans sa lettre du 2 mars 2003, le docteur A._ ne pense pas qu'on puisse simplement retenir le diagnostic seul de troubles somatoformes douloureux touchant le membre supérieur droit et la région lombo-fessière chez un patient qui présente cliniquement des signes évidents de tendinite de la coiffe des rotateurs avec conflit sous-acromial. Selon ce spécialiste, le fait que le professeur B._ ne s'est pas référé à l'IRM lui semble une erreur, puisqu'il faut savoir que toutes les lésions tendineuses de l'épaule, à l'exception des calcifications, ne sont pas visibles sur les radiographies standards et qu'il est absolument nécessaire de se baser sur une IRM pour avoir des arguments précis pour juger de l'état d'une telle articulation.
Les examens mis en oeuvre par l'expert ont porté précisément sur les douleurs de l'épaule droite, ainsi que cela ressort du rapport du 24 septembre 2001 du Service de radiodiagnostic et radiologie interventionnelle du Centre Z._. Selon le professeur B._, celle-ci présente des signes de discret conflit sous-acromial. Les examens cliniques effectués dans le cadre de l'expertise ont indiqué que la pression de l'épaule droite était douloureuse dans toute sa partie supérieure, que la distance pouce-C7 était de 28 cm à droite, de 24 cm à gauche, mais qu'il n'y avait pas de signe de rupture tendineuse des tendons de l'épaule. L'ensemble de ces éléments explique pourquoi l'expert a posé le diagnostic de troubles somatoformes douloureux touchant le membre supérieur droit, mais n'a pas retenu d'incapacité de travail en ce qui concerne l'épaule droite.
La Cour de céans n'a aucune raison de s'écarter des constatations objectives de l'expertise du 2 octobre 2001. Ainsi que l'a exposé avec raison la juridiction cantonale, l'expertise du professeur B._ repose sur une étude complète et circonstanciée de la situation médicale du recourant, ne contient pas d'incohérences et aboutit à des conclusions motivées. Cela confère pleine valeur probante au rapport du 2 octobre 2001 (ATF 125 V 352 consid. 3a et les références; VSI 2001 p. 108 consid. 3a). Il n'y a pas lieu, dans ces conditions, d'ordonner une nouvelle expertise.
La Cour de céans n'a aucune raison de s'écarter des constatations objectives de l'expertise du 2 octobre 2001. Ainsi que l'a exposé avec raison la juridiction cantonale, l'expertise du professeur B._ repose sur une étude complète et circonstanciée de la situation médicale du recourant, ne contient pas d'incohérences et aboutit à des conclusions motivées. Cela confère pleine valeur probante au rapport du 2 octobre 2001 (ATF 125 V 352 consid. 3a et les références; VSI 2001 p. 108 consid. 3a). Il n'y a pas lieu, dans ces conditions, d'ordonner une nouvelle expertise.
4. Reste à examiner si, lors de la décision administrative litigieuse du 10 décembre 2001, le recourant remplissait à nouveau les conditions du droit à une rente d'invalidité.
4.1 Aux termes de l'art. 28 al. 2 LAI (en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002), pour l'évaluation de l'invalidité, le revenu du travail que l'invalide pourrait obtenir en exerçant l'activité qu'on peut raisonnablement attendre de lui, après exécution éventuelle de mesures de réadaptation et compte tenu d'une situation équilibrée du marché du travail, est comparé au revenu qu'il aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide. Lors de l'adaptation du revenu à l'évolution des salaires, il faut faire une distinction entre les sexes et appliquer l'indice relatif aux hommes ou aux femmes (ATF 129 V 410 consid. 3.1.2 et 4.2 in fine).
4.2 Selon les conclusions du professeur B._, on peut attendre de l'assuré qu'il recouvre progressivement, après une période éventuelle de mise au courant, une capacité de travail de 80 à 100 % dans l'exercice d'une activité adaptée à son handicap, soit un travail léger (par ex. surveillant de chantiers avec manutention légère).
4.3 Le revenu d'invalide doit être évalué avant tout en fonction de la situation professionnelle concrète de l'intéressé. En l'absence d'un revenu effectivement réalisé, la jurisprudence considère que le revenu d'invalide peut être évalué sur la base des statistiques salariales. Il en va ainsi en l'espèce, où il y a lieu de se référer aux données statistiques, telles qu'elles résultent des enquêtes sur la structure des salaires de l'Office fédéral de la statistique (ATF 126 V 76 s. consid. 3b/aa et bb; VSI 2002 p. 68 consid. 3b). On se réfère alors à la statistique des salaires bruts standardisés, en se fondant toujours sur la médiane ou valeur centrale (ATF 124 V 323 consid. 3b/bb; VSI 1999 p. 182). Compte tenu de l'activité légère de substitution (expertise du professeur B._ du 2 octobre 2001), le salaire de référence est celui auquel peuvent prétendre les hommes effectuant des activités simples et répétitives dans le secteur privé (RAMA 2001 n° U 439 p. 347), à savoir 4'437 fr. par mois - valeur en 2000 -, part au 13ème salaire comprise (L'Enquête suisse sur la structure des salaires 2000, p. 31, Tableau TA1, niveau de qualification 4), soit 53'244 fr. par année. Ce salaire hypothétique représente, compte tenu du fait que les salaires bruts standardisés se basent sur un horaire de travail de quarante heures, soit une durée hebdomadaire inférieure à la moyenne usuelle dans les entreprises en 2001 (41,7 heures; La Vie économique, 12-2002 p. 88, tabelle B 9.2) un revenu annuel d'invalide de 55'507 fr. (53'244 fr. x 41,7 : 40). Adapté à l'évolution des salaires selon l'indice des salaires nominaux pour les hommes (Evolution des salaires en 2002, p. 32, Tableau T1.1.93) de l'année 2001 (2.5 %), il s'élève à 56'895 fr. Attendu qu'il est raisonnablement exigible du recourant qu'il exerce à 80 % au moins une activité légère de substitution, le salaire hypothétique est dès lors de 45'516 fr. par année.
Le fait que l'atteinte à la santé oblige le recourant à éviter le port de charges trop lourdes de façon répétitive, les travaux avec les bras au-dessus du niveau des épaules pendant un temps prolongé (rapport précité de l'expert B._), justifie un abattement de 10 % au plus (ATF 126 V 79 s. consid. 5b/aa-cc; VSI 2002 p. 70 s. consid. 4b).
Compte tenu d'un abattement de 10 %, le revenu annuel d'invalide est de 40'964 fr.
4.4 Pour procéder à la comparaison des revenus, il convient également de calculer le revenu sans invalidité.
En règle générale, le revenu hypothétique de la personne valide doit être évalué sur la base du dernier revenu effectivement réalisé avant l'atteinte à la santé (Ulrich Meyer-Blaser, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung, Zurich 1997, p. 205). Compte tenu de ses capacités professionnelles et des circonstances personnelles, on prend en considération ses chances réelles d'avancement compromises par le handicap (VSI 2002 p. 161 consid. 3b et la référence), en posant la présomption que l'assuré aurait continué d'exercer son activité sans la survenance de son invalidité. Dans tous les cas, il faut établir au degré de la vraisemblance prépondérante ce qu'il aurait réellement pu obtenir au moment déterminant s'il n'était pas invalide (ATF 129 V 224 consid. 4.3.1 et la référence; voir aussi RAMA 2000 n° U 400 p. 381 consid. 2a).
Le recourant a travaillé en dernier lieu en qualité de grutier au service de l'entreprise de construction W._. Dès 1978, il a présenté des incapacités de travail totales ou partielles, avant d'être contraint de cesser toute activité professionnelle depuis la fin 1981 (notes du secrétariat de la Commission de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel du 22 mai 1986). Il y a lieu de s'écarter du revenu réalisé dans cette dernière activité, au motif que l'assuré avait déjà fait état dans ses activités antérieures de troubles de la santé (par ex. rapport du docteur E._, spécialiste FMH en chirurgie, du 16 octobre 1981), et de se référer aux données statistiques. En effet, vu le parcours professionnel du recourant et le temps écoulé depuis l'époque où il n'aurait pas présenté d'atteinte à la santé, les rémunérations réalisées jusqu'en 1981 ne permettent pas de déterminer le revenu comme personne valide avec suffisamment de précision.
En l'espèce, au regard des activités réalisées par le recourant, le salaire de référence serait celui auquel peuvent prétendre les hommes effectuant des activités simples et répétitives dans le secteur de la production, à savoir 4'598 fr. par mois - valeur en 2000 -, part au 13ème salaire comprise (L'enquête suisse sur la structure des salaires 2000, Tableau TA1, niveau de qualification 4), soit 55'176 fr. par année. Ce salaire hypothétique représente, en fonction d'un horaire hebdomadaire de 41,7 heures, un revenu annuel sans invalidité de 57'521 fr. (55'176 fr. x 41,7 : 40). Adapté à l'évolution des salaires selon l'indice des salaires nominaux pour les hommes (Evolution des salaires en 2002, p. 32, Tableau T1.1.93) de l'année 2001 dans le secteur secondaire (2.7 %), il s'élève à 59'074 fr. (valeur 2001).
4.5 La comparaison des revenus donne une invalidité de 30.7 % ([59'074 - 40'964] x 100 : 59'074), taux qui ne donne pas droit à une rente d'invalidité (art. 28 al. 1 LAI).
4.5 La comparaison des revenus donne une invalidité de 30.7 % ([59'074 - 40'964] x 100 : 59'074), taux qui ne donne pas droit à une rente d'invalidité (art. 28 al. 1 LAI).
5. Représenté par un avocat, le recourant, qui succombe, ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 159 al. 1 en corrélation avec l'art. 135 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 janvier 2004
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre: Le Greffier: