Sachverhalt:
A. Der türkische Staatsangehörige X._ (geb. 1979) reiste am 22. Oktober 2001 in die Schweiz ein und durchlief erfolglos ein Asylverfahren (Entscheid der Schweizerischen Asylrekurskommission vom 17. Oktober 2002). Seit dem 23. Dezember 2002 galt er als verschwunden.
Am 1. August 2003 kehrte er illegal in die Schweiz zurück - wofür er später bestraft und fremdenpolizeilich verwarnt wurde -, heiratete am 27. Oktober 2003 die um 15 Jahre ältere drogensüchtige, an multipler Sklerose erkrankte Schweizer Bürgerin Z._ und erhielt gestützt auf diese Eheschliessung eine Aufenthaltsbewilligung, welche mehrmals verlängert wurde, zuletzt bis zum 26. April 2007.
Seit Oktober 2005 wohnt das Ehepaar zugestandenermassen getrennt. Bei jeweiligen Befragungen erklärten die Eheleute regelmässig, bald wieder zusammen wohnen zu wollen. So gaben sie etwa am 24. April 2007 gegenüber dem Migrationsamt des Kantons Zürich an, sie bräuchten Abstand voneinander, weil sie sich oft gestritten hätten; der Grund hiefür sei meistens die Drogensucht der Ehefrau gewesen. Sie würden aber "wieder zusammen leben, sobald sich die Situation gebessert" habe. Auch sähen sie sich regelmässig und würden zwei bis drei Mal wöchentlich etwas zusammen unternehmen; es sei keine Scheidung im Gange und sie hätten sich auch nicht gerichtlich getrennt .
B. Mit Verfügung vom 24. Juli 2007 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch von X._ um eine weitere Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab. Ein hiegegen erhobener Rekurs beim Regierungsrat des Kantons Zürich blieb erfolglos, und mit Urteil vom 17. März 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den regierungsrätlichen Entscheid vom 12. Dezember 2007 erhobene Beschwerde ebenfalls ab.
C. Mit Eingabe vom 22. April 2008 führt X._ "Beschwerde" beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Vewaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 17. März 2008 aufzuheben und ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.
Die kantonalen Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht durchgeführt worden. Das Urteil ergeht im Verfahren nach Art. 109 BGG.
Erwägungen:
1. 1.1 Zwar ist am 1. Januar 2008 das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG, SR 142.20) in Kraft getreten, doch bestimmt dessen Art. 126 Abs. 1, dass auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes eingereicht worden sind, noch das bisherige Recht anwendbar bleibt. Das streitige Gesuch wurde vor Inkrafttreten des Ausländergesetzes gestellt und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen.
1.2 Da der Beschwerdeführer formell mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet ist, hat er gestützt auf Art. 7 Abs. 1 ANAG einen grundsätzlichen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher zulässig und der Beschwerdeführer hierzu legitimiert (Art. 89 BGG).
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Gemäss Art. 7 Abs. 2 ANAG hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers keinen Anspruch auf Erteilung der ihm nach Absatz 1 grundsätzlich zustehenden Bewilligung, wenn die Ehe eingegangen worden ist, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung von Ausländern und namentlich jene über die Begrenzung der Zahl der Ausländer zu umgehen. Erfasst wird davon die sog. Scheinehe bzw. Ausländerrechtsehe, bei der die Ehegatten von vornherein keine echte eheliche Gemeinschaft beabsichtigen (BGE 128 II 145 E. 2.1 S. 151; 127 II 49 E. 4a S. 55, mit Hinweisen). Auch wenn die Ehe nicht bloss zum Schein eingegangen worden ist, heisst dies nicht zwingend, dass dem ausländischen Ehepartner der Aufenthalt bzw. die Niederlassung ungeachtet der weiteren Entwicklung gestattet werden muss. Zu prüfen ist diesfalls, ob sich die Berufung auf die Ehe nicht anderweitig als rechtsmissbräuchlich erweist (BGE 127 II 49 E. 5a S. 56, mit Hinweisen).
Rechtsmissbrauch im Zusammenhang mit Art. 7 ANAG liegt vor, wenn der Ausländer sich im Verfahren um Erteilung einer fremdenpolizeilichen Anwesenheitsbewilligung auf eine Ehe beruft, welche nur (noch) formell und ohne Aussicht auf Aufnahme bzw. Wiederaufnahme einer ehelichen Gemeinschaft besteht (BGE 128 II 145 E. 2.2 S. 151, mit Hinweisen).
3. 3.1 Das Verwaltungsgericht stellte vorliegend - gestützt auf aktenkundige Auskünfte der Vermieter - fest, dass die Eheleute schon vor dem eingestandenen Trennungstermin nicht mehr zusammen gewohnt hatten. Es erwog, von Instanz zu Instanz hätten sich die Beschwerdeführer und seine Frau "wortreicher, aber nicht substanziierter oder glaublicher" geäussert. Mit gutem Grund habe der Regierungsrat die Behauptungen der Eheleute als zweckgerichtet bzw. unglaubwürdig bezeichnet, zumal die beiden erst unter dem Eindruck der Androhung, die Aufenthaltsbewilligung des Ehemannes nicht mehr zu verlängern, von der Suche nach einer gemeinsamen Wohnung gesprochen hätten. Das Gericht schloss sich der Auffassung des Regierungsrates an, wonach aufgrund der gesamten Umstände davon ausgegangen werden müsse, dass die Eheleute ein Eheleben nur vortäuschten, um dem Beschwerdeführer das Aufenthaltsrecht in der Schweiz zu sichern.
3.2 Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was diese tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts und die von ihm daraus gezogenen rechtlichen Schlussfolgerungen in Frage stellen könnte. Vorliegend bestehen gewichtige Indizien dafür, dass es dem Beschwerdeführer schon bei der Eingehung der Ehe im Jahre 2003 in erster Linie um die Erwirkung einer Aufenthaltsbewilligung ging und nicht um die Begründung einer echten, auf Dauer ausgerichteten Lebensgemeinschaft. Besonders zu erwähnen sind in diesem Zusammenhang sein erfolglos durchlaufenes Asylverfahren sowie der erhebliche Altersunterschied und die Drogensucht bzw. Krankheit der Ehefrau. Gemäss den verbindlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts haben die Eheleute denn auch schon vor dem Termin der zugegebenen Trennung im Oktober 2005 nicht mehr zusammen gewohnt, später beschränkten sich ihre Kontakte nach eigenen Aussagen darauf, zwei bis drei Mal wöchentlich etwas gemeinsam zu unternehmen (vgl. vorne "A".). Wer sich als Ausländer auf einer solchen Grundlage darauf einrichtet, das in Art. 7 Abs. 1 ANAG vorgesehene Anwesenheitsrecht in Anspruch zu nehmen, handelt - wie das Verwaltungsgericht zulässigerweise annehmen durfte - rechtsmissbräuchlich.
3.3 Der Beschwerdeführer behauptet, er und seine Frau hätten inzwischen eine Wohnung gefunden, in welche die Eheleute - nach einem dreiwöchigen Spitalaufenthalt der Ehefrau ab dem 25. März 2008 - kürzlich gemeinsam eingezogen seien. Als Beweis hiefür legt er einen am 6. März 2008 - mieterseitig von ihm allein - unterzeichneten, ab 1. April 2008 gültigen Mietvertrag über eine Zweizimmer-Wohnung in Zürich ins Recht.
Echte tatsächliche Noven, das heisst solche Tatsachen, die erst nach dem Ergehen des angefochtenen Entscheides aufgetreten sind - hier das angeblich kürzlich wieder aufgenommene Zusammenwohnen der Eheleute -, können im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nicht berücksichtigt werden (vorne E. 1.3 sowie BGE 134 IV 342 E. 2.1 S. 343). Selbst wenn von einem zulässigen neuen Beweismittel auszugehen wäre, könnte der Beschwerdeführer durch die Vorlage des Mietvertrages für sich allein das angeblich wieder aufgenommene Zusammenleben mit der Ehefrau aber nicht nachweisen, gilt dieser Vertrag doch ausdrücklich bloss für die Nutzung der Wohnung durch eine Person ("Personenzahl: 1"). Zudem wäre der Einwand des Rechtsmissbrauchs aufgrund des bisherigen Verhaltens der Beteiligten damit noch nicht schlüssig widerlegt.
4. Die Beschwerde ist als offensichtlich unbegründet abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG); seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann mangels ernsthafter Erfolgsaussicht der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein