Sachverhalt:
A.
Die A._ SA (Klägerin; Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft nach Art. 620 ff. OR mit Sitz in U._. Sie bezweckt unter anderem die Beteiligung an Unternehmen im Pflege- und Gesundheitsbereich.
Die B._ AG (Beklagte; Beschwerdegegnerin) ist ebenfalls eine Aktiengesellschaft nach Art. 620 ff. OR mit Sitz in V._. Sie bezweckt die Übernahme und Durchführung von Prüfungs-, Beratungs- und Treuhandmandaten sowie alle damit direkt oder indirekt zusammenhängenden Aufgaben und Tätigkeiten.
An der Generalversammlung der A._ SA vom 9. Juni 2010 wurden C._, D._ sowie E._ als Verwaltungsräte nicht wiedergewählt, und angestrebte Neuwahlen von Verwaltungsratsmitgliedern kamen nicht zustande. Nach dem Rücktritt von F._ aus dem Verwaltungsrat anlässlich der Sitzung vom 15. Juni 2010 setzte sich dieser nur noch aus den kollektivzeichnungsberechtigten Verwaltungsräten G._ und H._ zusammen.
Am 16. Juni 2010 unterzeichneten die verbliebenen zwei Verwaltungsräte G._ und H._ einen Mandatsvertrag ("Letter of Engagement") mit der Beklagten, in dem diese beauftragt wurde, bestimmte Zahlungen und Ausgaben der Gesellschaft in den Jahren 2007 bis 2010 näher zu überprüfen.
Am 3. September 2010 unterzeichneten G._ und H._ eine Schuldanerkennung zugunsten der Beklagten im Umfang von Fr. 600'000.-- exklusiv Mehrwertsteuern.
B.
Mit Klage vom 9. August 2011 bzw. Replik beantragte die Klägerin dem Handelsgericht des Kantons Zürich, es sei festzustellen, dass die von der Beklagten gegenüber der Klägerin geltend gemachten Forderungen in Höhe von Fr. 645'600.-- nebst Zins zu 5 % seit 3. November 2010, für die der Beklagten mit Entscheid des Juge de paix du district de Nyon vom 14. Juli 2011 im Verfahren KC11.016911 provisorische Rechtsöffnung erteilt wurde, nicht bestehen.
Zur Begründung ihrer Klage machte sie geltend, das Mandat mit der Beklagten sei nicht rechtsgültig zustande gekommen. Auch die Schuldanerkennung sei ungültig, da der Verwaltungsrat im Zeitpunkt der Unterzeichnung derselben nicht ordnungsgemäss zusammengesetzt gewesen sei und die Schuldanerkennung auch vom neu und statutenkonform bestellten Verwaltungsrat im Nachhinein nie genehmigt worden sei. Sodann seien die von der Beklagten geltend gemachten und in Rechnung gestellten Leistungen nicht ausgewiesen. Im Übrigen habe die Beklagte das Mandat schlecht erfüllt, weil sie die Prüfungen nicht objektiv vorgenommen habe.
Mit Urteil vom 1. November 2013 wies das Handelsgericht die Klage ab. Zudem hielt es fest, die mit Verfügung des Juge de paix du district de Nyon vom 14. Juli 2011 in der Betreibung Nr. xxx des Office des poursuites du district de Nyon (Zahlungsbefehl vom 29. Oktober 2010) erteilte provisorische Rechtsöffnung für Fr. 600'000.--, zuzüglich Mehrwertsteuer von 7.6 %, total Fr. 645'000.-- (recte wohl Fr. 645' 600.--), zuzüglich Zins zu 5 % auf Fr. 600'000.-- seit 3. November 2010, sei damit definitiv.
C.
Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts vom 1. November 2013 aufzuheben und die Aberkennungsklage vom 9. August 2011 gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts, Durchführung eines ordentlichen Beweisverfahrens und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und das angefochtene Urteil zu bestätigen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Die Beschwerdeführerin reichte eine Replik ein. Die Beschwerdegegnerin verzichtete auf weitere Bemerkungen.
Am 6. Mai 2014 nahm das Handelsgericht aufforderungsgemäss zu Vorbringen in der Beschwerdeschrift betreffend die Befangenheit von Handelsrichter Alexander Pfeifer Stellung. Dazu reichte die Beschwerdeführerin eine Antwort ein, wozu sich die Beschwerdegegnerin und das Handelsgericht äusserten.
Mit Präsidialverfügung vom 28. Februar 2014 wurde das Gesuch, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen, abgewiesen.
Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Handelsgerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (Art. 90 BGG). Gegen Entscheide der als einzige kantonale Instanzen im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. b BGG urteilenden Handelsgerichte (Art. 6 ZPO) ist die Beschwerde an das Bundesgericht streitwertunabhängig gegeben (BGE 139 III 67 E. 1.2). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (Erwägung 2) - auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (BGE 140 III 86 E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 138 I 171 E. 1.4; 136 I 65 E. 1.3.1; 134 II 244 E. 2.1/2.2; 133 III 439 E. 3.2 S. 444). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von Art. 9 BV geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieses offensichtlich unhaltbar ist (BGE 135 III 232 E. 1.2 S. 234; 134 II 349 E. 3 S. 352). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 136 II 489 E. 2.8; 134 V 138 E. 2.1; 133 II 396 E. 3.1. S. 399).
2.2. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (Art. 42 Abs. 1 BGG). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (vgl. BGE 132 I 42 E. 3.3.4). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. BGE 135 I 19 E. 2.2).
Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Replik darüber hinausgeht, können ihre Ausführungen nicht berücksichtigt werden.
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2 S. 117; 135 III 397 E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2 S. 90; Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: BGE 137 III 539; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 134 III 570). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE 140 III 16 E. 1.3.1).
Die Beschwerdeführerin kann demnach nicht gehört werden, soweit sie ihre Argumentation auf einen Sachverhalt stützt, der von den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht, ohne im Einzelnen hinreichend begründete Sachverhaltsrügen gemäss den dargelegten Grundsätzen zu erheben.
3.
Die Beschwerdeführerin erhebt zwei formelle Rügen (Gehörsverletzung und Verletzung der Ausstandsvorschriften). Diese sind vorab zu beurteilen.
3.1. Sie moniert eine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch Ausschluss der Beschwerdeführerin von der persönlichen Teilnahme an der Hauptverhandlung. Die Beschwerdeführerin habe die Durchführung einer Hauptverhandlung verlangt. Von ihrer Seite habe Herr Rechtsanwalt E._, Mitglied des Verwaltungsrats und Präsident des Audit Komitees der Beschwerdeführerin, an der Hauptverhandlung teilnehmen wollen, da er für die interne Bearbeitung der Streitsache ausschliesslich zuständig sei und als Einziger über detaillierte Kenntnis über das Verfahren und die Umstände, die zum Verfahren geführt hätten, verfüge. Ausserdem spreche er perfekt Deutsch und sei daher in der Lage, einer Gerichtsverhandlung in deutscher Sprache zu folgen. Herr E._ sei jedoch am 1. November 2013 wegen einer seit langem geplanten geschäftlichen Japanreise verhindert gewesen. Dies habe der Rechtsvertreter der Vorinstanz frühzeitig, bereits bei der telefonischen Terminanfrage, mitgeteilt. Trotzdem habe die Vorinstanz den Termin der Hauptverhandlung auf den 1. November 2013 festgesetzt. Ein Verschiebungsgesuch sei mit Präsidialverfügung vom 21. Oktober 2013 abgelehnt worden. Somit sei die Hauptverhandlung unter Ausschluss des für die Sache zuständigen Organs der Beschwerdeführerin durchgeführt worden, was deren Parteirechte, insbesondere Art. 53 Abs. 1 ZPO, verletze. Der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache zur Wiederholung der Hauptverhandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3.2. Mit diesem Vorbringen wendet sich die Beschwerdeführerin im Grunde gegen die Präsidialverfügung vom 21. Oktober 2013, mit der ihr Verschiebungsgesuch abgelehnt worden war. Sie ficht dieselbe jedoch formell mit der Beschwerde gegen den Endentscheid nicht mit an und unterlässt daher auch die gesetzlich geforderten Ausführungen dazu, inwiefern sich diese Verfügung auf den Inhalt des Endentscheids ausgewirkt habe (vgl. Art. 93 Abs. 3 BGG). Es ist daher fraglich, ob sie mit dieser Rüge zuzulassen ist. Diese erweist sich ohnehin als unbegründet:
3.3. Das Gericht kann einen Erscheinungstermin aus zureichenden Gründen verschieben (Art. 135 ZPO). Die Vorinstanz begründete in der Verfügung vom 21. Oktober 2013 die Ablehnung der nachgesuchten Verschiebung damit, dass die Unpässlichkeit eines von einem halben Dutzend Mitgliedern des Verwaltungsrats einer mit 63 Millionen Aktienkapital dotierten bedeutenden Aktiengesellschaft schon an sich, aber konkret hier auch deshalb keinen Verschiebungsgrund darstellen könne, weil neben E._ auch zwei weitere (vorherige und wieder jetzige) Verwaltungsräte (C._ und D._) zur Zeit der strittigen Vorgänge um und nach der Generalversammlung vom 9. Juni 2010 Mitwirkende gewesen seien (und seien). Neben E._ seien folgerichtig auch C._ sowie darüber hinaus die Direktoren I._ und J._ wiederholt zu den strittigen Sachverhalten als Zeugen angerufen worden. Die Behauptung, E._ allein sei klägerseits mit der Prozessmaterie vertraut, überzeuge deshalb nicht. Zudem stehe es immer offen, bei unerwarteten, zulässigen neuen Vorbringen Antrag auf Gelegenheit zur Einholung neuer Instruktionen zu stellen. Sodann sei es nicht Sinn einer Hauptverhandlung und auch nicht Ausfluss des rechtlichen Gehörs, dass sich ein bestimmter, zeitlich unpässlicher Parteivertreter "persönlich ein Bild vom Gang des Verfahrens machen könne, um anschliessend den andern Verwaltungsräten und dem Audit Komitee im Detail berichten zu können", was ohne weiteres der Rechtsvertreter selbst und ein anderes Verwaltungsratsmitglied übernehmen könne, umso mehr, als es nur noch um die Information über die erfolgten (beschränkten) mündlichen Parteivorträge gehe.
3.4. Mit dieser sachlich motivierten Ablehnung der Verschiebung hat die Vorinstanz ihr Ermessen bei der Verfahrensleitung (s. dazu Urteil 4A_29/2014 vom 7. Mai 2014 E. 4.2, zur Publikation vorgesehen) nicht missbraucht. Ein persönliches Erscheinen an der Hauptverhandlung war nicht angeordnet (vgl. Art. 68 Abs. 4 ZPO). Die Beschwerdeführerin konnte somit einzig durch ihren Rechtsvertreter vertreten sein. Andererseits wurde es ihr aber seitens der Vorinstanz nicht verwehrt, sich als juristische Person zusätzlich durch ein Organ vertreten zu lassen. Die Beschwerdeführerin wurde mithin nicht von der persönlichen Teilnahme an der Hauptverhandlung "ausgeschlossen", wie sie moniert. Die Vorinstanz hielt dafür, sie könne sich auch durch ein anderes, am anberaumten Termin nicht verhindertes Organ repräsentieren lassen. Die Beschwerdeführerin vermochte die (mit dem Hinweis auf die Anrufung weiterer Organe als Zeugen) begründete Annahme der Vorinstanz nicht zu widerlegen, dass die Behauptung, E._ allein sei klägerseits mit der Prozessmaterie vertraut, nicht überzeuge. Dass die Vorinstanz unter diesen Umständen die Unpässlichkeit von E._ nicht als zureichenden Grund für eine Verschiebung anerkannte, bedeutet keinen Ermessensmissbrauch, zumal an der Hauptverhandlung ohnehin kein Beweisverfahren und insbesondere keine Parteibefragung vorgesehen war. Wenn die Beschwerdeführerin in der Replik schreibt, Herr E._ hätte sich vor Gericht selbst äussern wollen, so übergeht sie, dass der Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 53 ZPO den Parteien im vorliegenden Verfahren keinen Anspruch einräumte, sich vor Gericht auch noch persönlich bzw. durch ein bestimmtes Organ mündlich zu äussern, nachdem die Parteien ihren Standpunkt bereits im Schriftenwechsel und anlässlich der Parteivorträge darlegen konnten (vgl. BGE 130 II 425 E. 2.1; 127 V 491 E. 1b S. 494; 125 I 209 E. 9b S. 219). Eine Verletzung von Art. 53 ZPO ist nicht dargetan.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, Handelsrichter Alexander Pfeifer hätte in den Ausstand treten müssen. Er habe in unzulässiger Weise am angefochtenen Entscheid mitgewirkt und dadurch die Ausstandsvorschrift von Art. 47 Abs. 1 lit. f ZPO verletzt. Sie macht geltend, Handelsrichter Pfeifer kenne laut eigenem Bekunden zwei Partner der Anwaltskanzlei K._ AG. Mit Herrn Dr. L._ sei er seit Jahren persönlich befreundet und mit Herrn Prof. Dr. M._ pflege er geschäftliche Beziehungen. Dies habe Handelsrichter Pfeifer mit E-Mail vom 19. November 2013 Oberrichter Peter Helm mitgeteilt und sei vor diesem Hintergrund im Parallelverfahren, das die Beschwerdeführerin gegen die K._ AG führe, in den Ausstand getreten. Im Parallelverfahren gegen die K._ AG gehe es über weite Strecken um denselben Grundsachverhalt und die gleichen Rechtsfragen. Der Ausgang des vorliegenden Verfahrens habe daher auch einen Einfluss auf die Haltung des Gerichts im Fall der K._ AG. Im vorliegenden Verfahren sei dargelegt worden, welche zentrale Rolle die Anwaltskanzlei K._ AG (insbesondere ihre Mitarbeiterin und heutige Partnerin N._ als Mitglied des "Kleinen Komitees", aber auch Prof. Dr. M._ als mandatsführender Partner) im Rahmen des Machtkampfes eingenommen habe und welche (umstrittenen) Honorarrechnungen sie dafür gestellt habe. Die K._ AG habe zudem ein direktes wirtschaftliches Interesse am Ausgang des vorliegenden Verfahrens, wolle sie doch nicht, dass die von ihrem Klienten G._ und unter Mitwirkung von Rechtsanwältin N._ mandatierte Beschwerdegegnerin zu Verlust komme bzw. irgendwelche Forderungen gegenüber G._ und/oder N._ geltend mache.
4.2. Nach Art. 47 Abs. 1 lit. f ZPO tritt eine Gerichtsperson in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen (als den in Art. 47 Abs. 1 lit. a-e ZPO genannten), insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder ihrer Vertretung, befangen sein könnte.
Die Generalklausel der Befangenheit aus anderen Gründen wird bereits verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten aufscheinen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit hervorrufen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (BGE 139 III 120 E. 3.2.1 S. 124, 433 E. 2.1.2 S. 436; 139 I 121 E. 5.1 S. 125 je mit Hinweisen). Ein Anschein von Befangenheit kann sich aus dem Umstand ergeben, dass ein Richter zu einer Prozesspartei in einer besonderen Beziehung - namentlich einer solchen beruflicher Natur - steht oder stand (BGE 139 I 121 E. 4.1 S. 124; 139 III 433 E. 2.1.3 S. 436).
4.3. Vorliegend steht oder stand Handelsrichter Pfeifer nicht zu einer Prozesspartei des aktuellen Verfahrens in einer besonderen Beziehung. Er pflegt jedoch zur Gegenpartei (K._ AG) der Beschwerdeführerin in einem anderen Verfahren insofern eine besondere Beziehung, als er mit einem Partner der K._ AG freundschaftliche und zu einem anderen Partner berufliche Beziehungen pflegt. Diese Beziehungen veranlassten Handelsrichter Pfeifer, im anderen Verfahren, in dem die K._ AG Prozesspartei ist, in den Ausstand zu treten. Klarzustellen ist, dass es sich bei diesen Beziehungen nicht um die Konstellation handelt, dass ein als Richter amtierender Anwalt ein Mandatsverhältnis zur Gegenpartei in einem anderen Verfahren hat oder hatte (dazu BGE 138 I 406).
Es fragt sich, ob die hier vorliegenden Beziehungen von Handelsrichter Pfeifer zu Partnern der Gegenpartei der Beschwerdeführerin in einem anderen Verfahren auch im vorliegenden Verfahren objektiv den Anschein seiner Befangenheit zu begründen vermögen. Dazu müsste konkret dargetan sein, dass der Ausgang des vorliegenden Verfahrens direkten Einfluss auf den Ausgang des anderen Verfahrens gegen die befreundete Gegenpartei hätte und/oder dass die K._ AG im vorliegenden Verfahren zwar nicht Prozesspartei ist, aber doch im zu beurteilenden Sachverhalt eine entscheidende Rolle gespielt hatte, aufgrund derer sie je nach Ausgang des vorliegenden Verfahrens persönliche Konsequenzen zu gewärtigen hätte. Erforderlich ist zusätzlich, dass Handelsrichter Pfeifer von den genannten Implikationen bzw. vom anderen Verfahren gegen die K._ AG Kenntnis hatte, als er am vorliegenden Verfahren mitwirkte. Nur bei Vorhandensein solcher Kenntnis kann allenfalls der Anschein nicht ausgeschlossen werden, dass er aufgrund seiner Freundschaft bzw. geschäftlicher Beziehung zu zwei Partnern der K._ AG auch im vorliegenden Verfahren befangen gewesen sein könnte.
4.3.1. Was zunächst die behauptete zentrale Rolle der K._ AG bzw. von Rechtsanwältin N._ beim angeblichen Machtkampf um die Besetzung des Verwaltungsrats der Beschwerdeführerin bzw. die angebliche Mitwirkung bei der Mandatierung der Beschwerdegegnerin anbelangt, so finden diese Vorbringen im angefochtenen Urteil keine Stütze. Auch die Ausführungen der Beschwerdeführerin namentlich in ihrer Replik an die Vorinstanz (act. 19) zu den "Aktionen" des Kleinen Komitees und insbesondere von Rechtsanwältin N._, auf die sie in ihrer Beschwerde verweist, belegen nicht, dass die mitwirkenden Richter annehmen mussten, die Anwaltskanzlei K._ AG sei an der Mandatierung der Beschwerdegegnerin in massgebender Weise beteiligt gewesen und dass die Beschwerdegegnerin bei Unterliegen im vorliegenden Verfahren gegen die K._ AG vorgehen würde, weshalb diese am Ausgang des vorliegenden Verfahrens ein direktes wirtschaftliches Interesse habe. Die Überlegungen der Beschwerdeführerin sind zu weit hergeholt, als dass daraus objektiv auf eine Befangenheit oder auch nur den Anschein einer solchen von Handelsrichter Pfeifer im vorliegenden Verfahren zu schliessen wäre. Es kann nicht genügen, dass eine Anwältin der K._ AG im Umfeld des vorliegend zu beurteilenden Sachverhalts eine Rolle spielte, ohne dass dargetan ist, dass deswegen je nach Beurteilung des vorliegenden Falles die K._ AG mit direkten (wirtschaftlichen) Konsequenzen zu rechnen hätte. Solches tut die Beschwerdeführerin jedoch nicht dar, sondern äussert blosse Vermutungen, die durch nichts untermauert sind. Das ist nicht hinreichend, um einen Anschein der Befangenheit zu begründen.
4.3.2. Im Verfahren der Beschwerdeführerin gegen die K._ AG teilte der Handelsgerichtspräsident den Parteien mit Verfügung vom 29. Oktober 2013 den Termin der Hauptverhandlung und die am Verfahren mitwirkenden Richter mit. Mit E-Mail vom 19. November 2013 an Oberrichter Peter Helm bedankte sich Handelsrichter Pfeifer für die Anfrage, in diesem Prozess mitzuwirken. Da er jedoch zwei Partner der K._ AG kenne, könnte der Anschein der Befangenheit entstehen. Mit Herrn Dr. L._ sei er seit Jahren persönlich befreundet und mit Herrn Prof. Dr. M._ pflege er geschäftliche Beziehungen. Vor diesem Hintergrund mache es wahrscheinlich Sinn, wenn er nicht in diesem Prozess mitwirke. Mit Präsidialverfügung vom 19. November 2013 wurde die Abstandserklärung von Handelsrichter Pfeifer und die Mitwirkung von Handelsrichter Huber an seiner Stelle den Parteien dieses Verfahrens mitgeteilt.
Daraus leitet die Beschwerdeführerin ab, dass Handelsrichter Pfeifer von der Existenz des Verfahrens gegen die K._ AG bereits gewusst habe, als er an der Hauptverhandlung und Urteilsberatung vom 1. November 2013 im vorliegenden Verfahren mitwirkte. Da sich in beiden Prozessen gleichgelagerte Fragen stellten, sei Handelsrichter Pfeifer auch im vorliegenden Prozess befangen gewesen.
Die Behauptung, dass Handelsrichter Pfeifer vom Verfahren gegen die K._ AG Kenntnis hatte, als er im vorliegenden Verfahren mitwirkte, trifft jedoch nicht zu, wie die Nachfrage des Bundesgerichts beim Handelsgericht ergeben hat: Handelsrichter Pfeifer teilte diesem mit E-Mail vom 22. April 2014 mit, dass er am 1. November 2013, dem Tag der Fällung des hier angefochtenen Urteils, mit Sicherheit noch keine Kenntnis vom Prozess der Beschwerdeführerin gegen die K._ AG gehabt habe. Von diesem Prozess habe er erstmals erfahren, als er wenige Arbeitstage vor dem 19. November 2013 von der Kanzlei wegen desselben telefonisch kontaktiert worden sei. Inhaltlich habe er von diesem Prozess keinerlei Kenntnis, da er direkt nach der telefonischen Mitteilung der Parteien den Ausstand erklärt habe. Das Handelsgericht legt in seiner Stellungnahme vom 6. Mai 2014 dar, dass Handelsrichter Pfeifer vom üblichen gerichtsinternen Ablauf her vor dem 11. November 2013, als er von der Handelsgerichtskanzlei angerufen wurde, keine Kenntnis vom Verfahren gegen die K._ AG gehabt haben konnte und ihm namentlich die Verfügung vom 29. Oktober 2013 nicht mitgeteilt wurde, wie auch aus deren Mitteilungssatz hervorgehe.
Auf diese Stellungnahmen des Handelsgerichts und von Handelsrichter Pfeifer ist abzustellen. Sie werden zwar von der Beschwerdeführerin in ihrer Antwort vom 26. Mai 2014 bestritten, jedoch ohne überzeugende Begründung. So folgt aus dem Umstand, dass die Beschwerdeführerin in ihren kantonalen Rechtsschriften des vorliegenden Prozesses die Rolle der K._ AG und die Tatsache, dass auch zugunsten der K._ AG eine Schuldanerkennung ausgestellt worden sei, thematisiert haben will, nicht auch, dass Handelsrichter Pfeifer aufgrund der Lektüre dieser kantonalen Rechtsschriften von einem hängigen Prozess zwischen der Beschwerdeführerin und der K._ AG Kenntnis haben musste. Sodann ist es eine blosse Vermutung der Beschwerdeführerin, dass bei der Urteilsberatung am 1. November 2013 die parallel laufenden Verfahren in Sachen der Beschwerdeführerin diskutiert worden seien. Das Handelsgericht versichert in seiner Stellungnahme vom 5. Juni 2014, dass dies nicht der Fall war.
Hatte Handelsrichter Pfeifer aber während seiner Mitwirkung im vorliegenden Verfahren, insbesondere zur Zeit der Urteilsberatung vom 1. November 2013, keine Kenntnis vom Verfahren der Beschwerdeführerin gegen die K._ AG, sind die in beiden Prozessen ähnlich gelagerten Fragestellungen nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit von Handelsrichter Pfeifer zu begründen. Denn wenn er keine Kenntnis davon hatte, dass gegen die K._ AG ein paralleles Verfahren eingeleitet worden war, musste er auch nicht von einer hierfür präjudiziellen Wirkung des Entscheids im vorliegenden Verfahren ausgehen. Ein Anschein der Befangenheit scheidet somit auch unter diesem Aspekt aus.
4.4. Die Rüge der Verletzung von Ausstandsvorschriften erweist sich demnach als unbegründet.
5.
In materieller Hinsicht macht die Beschwerdeführerin geltend, dass keine gültige Beauftragung der Beschwerdegegnerin vorliege. Die Mandatierung sei allein im Interesse von G._ und H._ erfolgt und habe deshalb die Beschwerdeführerin nicht verpflichtet (dazu Erwägung 5.1). Überdies sei die Mandatserteilung ungültig, weil der Verwaltungsrat der Beschwerdeführerin nach dem Rücktritt von F._ nicht mehr statutenkonform zusammengesetzt und somit nicht beschlussfähig gewesen sei (dazu Erwägung 5.2). Die Vorinstanz verwarf beide Vorbringen, was die Beschwerdeführerin als Verletzung von Art. 718 und Art. 718a OR rügt. Ausserdem wirft sie ihr im Zusammenhang mit der Frage der Gutgläubigkeit der Beschwerdegegnerin eine falsche Anwendung von Art. 3 Abs. 2 ZGB vor sowie durch das Auslassen eines Beweisverfahrens eine Verletzung von Art. 8 ZGB und Art. 152 ZPO.
5.1. Der Verwaltungsrat vertritt die Gesellschaft nach aussen (Art. 718 Abs. 1 Satz 1 OR). Nach Art. 718a Abs. 1 OR können die zur Vertretung befugten Personen im Namen der Gesellschaft alle Rechtshandlungen vornehmen, die der Zweck der Gesellschaft mit sich bringen kann. Diese Vorschrift wird zum Schutz gutgläubiger Dritter weit ausgelegt. Unter Rechtshandlungen, die der Gesellschaftszweck mit sich bringen kann, sind nicht bloss solche zu verstehen, die der Gesellschaft nützlich sind oder in ihrem Betrieb gewöhnlich vorkommen; erfasst sind vielmehr ebenfalls ungewöhnliche Geschäfte, sofern sie auch nur möglicherweise im Gesellschaftszweck begründet sind, d.h. durch diesen zumindest nicht geradezu ausgeschlossen werden (BGE 116 II 320 E. 3a S. 323; 111 II 284 E. 3b; 126 III 361 E. 3a S. 364; Urteile 4A_357/2007 vom 8. April 2008 E. 4.2; 4C.77/2000 vom 3. Juli 2000 E. 2a, nicht publ. in: BGE 126 III 361, je mit Hinweisen). Nur in Extremfällen sind Vertretungshandlungen wegen Zweckwidrigkeit und damit Überschreitung der Vertretungsmacht als von Anfang an für die Gesellschaft unverbindlich und ungültig anzusehen (Peter Böckli, Schweizer Aktienrecht, 4. Aufl. 2009, S. 1742 f. Rz. 497 mit Beispielen). Der Umfang der Vertretungsmacht des Verwaltungsrats im Aussenverhältnis erfasst demnach alle Rechtsgeschäfte, die vom objektiv verstandenen Gesellschaftszweck nicht geradezu ausgeschlossen sind.
Bei einem Konflikt zwischen den Interessen der juristischen Person und jenen des handelnden Organs ist grundsätzlich davon auszugehen, dass die Vertretungsbefugnis nach dem mutmasslichen Willen der juristischen Person stillschweigend jene Geschäfte ausschliesst, welche sich als interessen- bzw. pflichtwidriges Vertreterhandeln erweisen. Eine stillschweigende Beschränkung der Vertretungsbefugnis kann aber dem gutgläubigen Dritten nicht entgegengehalten werden. Der Interessenkonflikt vermag die Vertretungsmacht nur zu begrenzen, wenn er für den Dritten erkennbar war oder dieser ihn wenigstens bei gebührender Sorgfalt hätte erkennen müssen (BGE 126 III 361 E. 3a S. 363). Ist kein Interessenkonflikt in diesem Sinn erkennbar, kann sich der Vertragspartner auf die Vertretungsbefugnis gemäss Handelsregistereintrag verlassen (Urteil 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 3.2.1).
5.1.1. Die Vorinstanz stellte fest, die Beschwerdegegnerin sei mandatiert worden, um eine "Compliance Review" vorzunehmen. Der Auftrag habe insbesondere die Analyse der Ausgaben der Beschwerdeführerin, eine Dokumentenanalyse mit dem Fokus auf Verträge mit Drittparteien sowie Management Fees, Mitarbeiterinterviews sowie die Überprüfung der Strategie und des Budgets beinhaltet. Besagte Tätigkeiten seien durch den Gesellschaftszweck der Beschwerdeführerin nicht geradezu ausgeschlossen gewesen bzw. hätten dem Gesellschaftszweck nicht diametral entgegengestanden und diesen auch nicht vereitelt. Eine Compliance Review, die eine Gesellschaft auf ihre Schwachstellen hinweisen und geeignete Strategien zwecks Optimierung unternehmensinterner Prozesse aufzeigen solle, sei vom Zweck einer jeden Aktiengesellschaft gedeckt und liege somit nicht jenseits der Grenze, die der Zweck der Gesellschaft mit sich bringen könne. G._ und H._ hätten mithin innerhalb ihrer Vertretungsmacht gehandelt, weshalb die Beschwerdeführerin durch den Abschluss des Engagement Letters rechtsgültig verpflichtet worden sei.
Diesen Erwägungen ist ohne weiteres beizupflichten. Die Beschwerdeführerin bringt nichts vor, was eine andere Beurteilung erheischen würde. Vielmehr ist mit der Vorinstanz festzuhalten, dass die Verwaltungsräte G._ und H._ durch die Beauftragung der Beschwerdegegnerin mit einer Compliance Review ein Rechtsgeschäft abschlossen, das vom Zweck der Gesellschaft gedeckt war. Die Beschwerdeführerin wurde mithin rechtsgültig verpflichtet.
5.1.2. Die Beschwerdeführerin machte geltend, die Verwaltungsräte G._ und H._ hätten sich im Zeitpunkt der Mandatierung der Beschwerdegegnerin in einem Interessenkonflikt befunden, der für die Beschwerdegegnerin erkennbar gewesen sei oder den sie hätte erkennen müssen. Mit dem behaupteten Interessenkonflikt meint sie den Machtkampf zwischen den beteiligten Aktionärsgruppen um die Kontrolle der Beschwerdeführerin.
Die Vorinstanz erwog zum behaupteten Interessenkonflikt, dass ein Machtkampf zwischen verschiedenen Aktionärsgruppen um die Besetzung des Verwaltungsrats noch nicht belege, dass nicht (auch) im (allenfalls vermeintlichen) Interesse der Gesellschaft gehandelt worden sei. Grundsätzlich dürfe angenommen werden, dass Aktionäre als Teilhaber einer Gesellschaft neben ihren persönlichen Interessen auch die Interessen der Gesellschaft wahren wollten, wobei vorliegend offensichtlich unterschiedliche Ansichten darüber bestanden hätten, wie bzw. mit welcher Zusammensetzung des Verwaltungsrats dies zu erreichen gewesen wäre. Wenn sich bereits die einzelnen Mitglieder des Verwaltungsrats uneins seien, was im Interesse der Gesellschaft liege und was nicht, könne dieses Wissen erst recht nicht Aussenstehenden zugemutet werden. Der behauptete Interessenkonflikt zwischen den Organen der Beschwerdeführerin und der Beschwerdeführerin sei mithin von der Beschwerdegegnerin auch bei Wahrung ihrer Sorgfaltspflichten nicht erkennbar gewesen.
Die Vorinstanz nahm demnach an, dass die Interessen von G._ und H._ als Aktionäre der Beschwerdeführerin denjenigen der Gesellschaft nicht zuwider liefen, sondern dass die beiden auch die Interessen der Gesellschaft wahren wollten. Der Konflikt bestand zwischen den sich konkurrierenden Aktionärsgruppen, wobei für die Beschwerdegegnerin als Dritte nicht erkennbar war oder erkennbar sein konnte und musste, welche Zusammensetzung des Verwaltungsrats den Interessen der Gesellschaft am besten dienen würde. Die Vorinstanz vermochte somit bereits aufgrund der Parteivorbringen den behaupteten Interessenkonflikt zwischen den Verwaltungsräten H._ und G._ einerseits und der Beschwerdeführerin andererseits nicht auszumachen. Da die Vorinstanz bereits zur Erkenntnis gelangt war, dass kein solcher Interessenkonflikt bestand, dass mithin die Behauptung der Beschwerdeführerin, wonach die Verwaltungsräte G._ und H._ bei der Beauftragung der Beschwerdegegnerin (lediglich) im persönlichen Interesse gehandelt hätten, nicht zutraf, brauchte sie zur behaupteten Bösgläubigkeit kein Beweisverfahren durchzuführen. Denn die Frage, ob die Beschwerdegegnerin gutgläubig war, stellt sich nur, wenn überhaupt von einem Mangel bzw. einem Interessenkonflikt auszugehen wäre.
Demnach ist weder eine Verletzung von Art. 3 Abs. 2 ZGB noch eine solche von Art. 8 ZGB und Art. 152 ZPO dargetan. Soweit die Beschwerdeführerin wegen willkürlicher Sachverhaltsfeststellung auch Art. 9 BV missachtet sieht, dies aber nicht weiter begründet, kann darauf mangels hinlänglicher Substantiierung nicht eingetreten werden.
5.2. Die Beschwerdeführerin erachtet die Mandatserteilung an die Beschwerdegegnerin als ungültig, weil der Verwaltungsrat nach dem Rücktritt von F._ am 15. Juni 2010 nicht mehr statutenkonform zusammengesetzt und daher nicht beschlussfähig gewesen sei, da er entgegen Art. 17 Ziff. 1 der Statuten und Art. 3 Abs. 2 des Organisationsreglements nur aus zwei statt mindestens drei Mitgliedern bestanden habe. Die Auftragserteilung sei demnach mangels Beschlussfähigkeit nicht gültig erfolgt.
Die Vorinstanz verwarf dieses Argument mit der Begründung, dass die nicht gehörige Zusammensetzung des Verwaltungsrats keinen Einfluss auf die Vertretungsmacht einzelner Verwaltungsräte habe, und die interne Willensbildung von der externen Willenskundgabe zu unterscheiden sei. Ohnehin gehe aus Art. 21 der Statuten hervor, dass die Möglichkeit zur Beschlussfassung selbst dann bestehe, wenn der Verwaltungsrat nur aus einem Mitglied bestehe. Aufgrund der sich aus dem Handelsregister ergebenden Kollektivzeichnungsberechtigung der damals einzigen Verwaltungsräte G._ und H._ sei es diesen demnach möglich gewesen, die Beschwerdeführerin für den Zeitraum, in dem die Beschwerdegegnerin Dienstleistungen für die Beschwerdeführerin erbracht habe, gemeinsam zu berechtigen und zu verpflichten (sowie intern Beschlüsse zu fassen).
Die Beschwerdeführerin erblickt darin eine Verletzung von Art. 718 und Art. 718a OR. Sie meint, die statutenwidrige Besetzung des Verwaltungsrats sei auch für die Bindungswirkung der externen Willenskundgabe der Gesellschaft von Bedeutung. Art. 718a Abs. 1 OR spreche von den "zur Vertretung befugten Personen" und verweise damit auf Art. 718 Abs. 1 OR. Letztere Bestimmung verweise ausdrücklich auf die "Statuten oder das Organisationsreglement" der Gesellschaft; damit habe der Gesetzgeber zum Ausdruck gebracht, dass auch die externe Vertretung letztlich auf einer gehörigen internen Bestellung der Organe beruhen müsse, was vorliegend nicht der Fall gewesen sei. Art. 17 Ziff. 1 der Statuten und Art. 3 Abs. 2 des Organisationsreglements würden zudem als "konkrete Bestimmungen" dem von der Vorinstanz erwähnten Art. 21 der Statuten vorgehen.
Letzterer Einwand ist nicht weiter substantiiert und vermag den von der Vorinstanz ermittelten Gehalt von Art. 21 der Statuten nicht hinlänglich zu widerlegen. Letztlich kann aber offen bleiben, ob Art. 21 der Statuten eine Beschlussfassung auch ermöglicht, wenn der Verwaltungsrat entgegen Art. 17 Ziff. 1 der Statuten aus nur einem Mitglied (oder zwei) besteht, wie die Vorinstanz angenommen hat. Denn es geht hier nicht um die Frage einer gültigen internen Beschlussfassung im Verwaltungsrat, eine Frage die - wie die Vorinstanz richtig erkannt hat - in Art. 21 der Statuten geregelt ist. Vielmehr ist zu entscheiden, ob die beiden Verwaltungsräte die Beschwerdeführerin gültig nach aussen verpflichten konnten, somit eine Frage der Vertretungsmacht.
In der Aktiengesellschaft vertritt der Verwaltungsrat die Gesellschaft nach aussen. Bestimmen die Statuten oder das Organisationsreglement nichts anderes, so steht die Vertretungsbefugnis jedem Mitglied einzeln zu (Art. 718 Abs. 1 OR). Gemäss Art. 718 Abs. 2 OR kann der Verwaltungsrat die Vertretung einem oder mehreren Mitgliedern oder Dritten übertragen. Die zur Vertretung der Gesellschaft befugten Personen sind ins Handelsregister einzutragen (Art. 720 OR). Durch die Publikation im Handelsregister gibt die Gesellschaft gegen aussen kund, wer sie vertreten kann; damit sind Handlungen der gemäss Handelsregistereintrag zur Vertretung ermächtigten Personen der Gesellschaft zuzurechnen und zwar unabhängig davon, ob die entsprechenden Organe die gesellschaftsinternen Kompetenz- und Handlungsrichtlinien beachtet haben (Urteil 4A_357/2007 vom 8. April 2008 E. 4.2; 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 3.1.3).
Die damals einzigen Verwaltungsräte G._ und H._ waren im Handelsregister ordnungsgemäss als Kollektivzeichnungsberechtigte eingetragen. Sie konnten die Beschwerdeführerin demnach gemeinsam verpflichten. Daran ändert der Hinweis der Beschwerdeführerin auf "die zur Vertretung befugten Personen" in Art. 718a Abs. 1 OR bzw. auf "die Statuten oder das Organisationsreglement" in Art. 718 Abs. 1 OR nichts. Denn der in Art. 718 Abs. 1 OR enthaltene Vorbehalt abweichender Bestimmungen in den Statuten oder dem Organisationsreglement bezieht sich einzig auf die gesetzliche Vermutung der Einzelzeichnungsberechtigung jedes Verwaltungsratsmitglieds, nicht aber auf irgendwelche Statutenbestimmungen zur Zusammensetzung des Verwaltungsrats oder zur Art, wie dieser intern Beschlüsse zu fassen hat (vgl. Watter, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht, 4. Aufl. 2012, N. 11 zu Art. 718 OR). Die nicht statutengemässe Zusammensetzung des Verwaltungsrats hatte demnach keinen Einfluss auf die gegen aussen wirkende Vertretungsmacht der Verwaltungsräte G._ und H._.
Die Vorinstanz hat mithin Art. 718 und Art. 718a OR nicht verletzt und zu Recht eine gültige Beauftragung der Beschwerdegegnerin bejaht.
6.
Die Beschwerdeführerin bekämpft mit den gleichen Argumenten, mit denen sie die Gültigkeit der Auftragserteilung bestritt, auch die Gültigkeit der von den Verwaltungsräten G._ und H._ zugunsten der Beschwerdegegnerin unterzeichneten Schuldanerkennung vom 3. September 2010. Wie dort kann ihnen auch hier kein Erfolg beschieden sein:
6.1. Gemäss Vorinstanz machte die Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der Schuldanerkennung geltend, dass der Verwaltungsrat im Zeitpunkt der Unterzeichnung nicht ordentlich konstituiert gewesen sei, weshalb die Unterzeichnung ungültig sei. Das Argument der mangelnden internen Beschlussfähigkeit sticht aus den gleichen Gründen wie bei der Auftragserteilung, auf die verwiesen werden kann (Erwägung 5.2), auch bei der Schuldanerkennung nicht.
6.2. Vor Bundesgericht bringt die Beschwerdeführerin zudem vor, die Verwaltungsräte G._ und H._ hätten auch bei Unterzeichnung der Schuldanerkennung für die Beschwerdegegnerin erkennbar in eigenem Interesse und nicht im Interesse der Gesellschaft gehandelt. Aus dem vorinstanzlich festgestellten Prozesssachverhalt, der für das Bundesgericht ebenfalls verbindlich ist (Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 17 f.), geht nicht hervor, dass die Beschwerdeführerin vor Vorinstanz im Zusammenhang mit der Schuldanerkennung eine entsprechende Behauptung aufgestellt hat und die Beschwerdeführerin zeigt Entsprechendes in ihrer Beschwerde nicht klar auf. Die Beschwerdegegnerin will deshalb die Behauptung als neu zurückgewiesen haben. Die Beschwerdeführerin verweist in ihrer Replik an das Bundesgericht auf ihre Ausführungen in der vorinstanzlichen Replik, Rz. 89 ff. und Rz. 191. Als einschlägig kann höchstens allenfalls Rz. 191 betrachtet werden, wo ausgeführt wird, G._ und H._ hätten verschiedene Schuldanerkennungen ausgestellt, um den von ihnen beauftragten Personen und Gesellschaften eine bessere Ausgangslage für das Inkasso zu verschaffen. Dabei hätten sie offensichtlich nicht im Interesse der Klägerin, sondern einzig im Interesse der Beklagten und der übrigen mandatierten Personen und Gesellschaften gehandelt. Ob dieser erst in der Replik erfolgte konkrete und mit dem Prozesssachverhalt in Verbindung gebrachte Aktenhinweis für eine Ergänzung des Prozesssachverhalts ausreicht, erscheint fraglich. Ohnehin hat die Beschwerdeführerin jedoch für die Behauptung, dass die Unterzeichnung der Schuldanerkennung für die Beschwerdegegnerin erkennbar nicht im Interesse der Beschwerdeführerin erfolgt sein soll, im kantonalen Verfahren keine Beweisanträge gestellt. Die Beschwerdeführerin tut solches jedenfalls nicht dar. Die von ihr angebotenen Beweise bezogen sich auf andere Behauptungen. Ihre Rüge, die Vorinstanz habe Art. 8 ZGB und Art. 152 ZPO verletzt, weil sie diese Beweise nicht abgenommen habe, zielt daher ins Leere. Sodann entbehrt die auch im Zusammenhang mit der Schuldanerkennung gerügte Verletzung von Art. 3 Abs. 2 ZGB und von Art. 718 und Art. 718a OR bereits der tatsächlichen Grundlage, indem nicht von einem festgestellten und erkennbaren Interessenkonflikt auszugehen ist. Schliesslich kann auf den Vorwurf, die Vorinstanz habe durch willkürliche Sachverhaltsfeststellung Art. 9 BV verletzt, mangels näherer Begründung nicht eingetreten werden.
6.3. Die Vorinstanz erkannte, dass es sich bei der am 3. September 2010 von den Verwaltungsräten G._ und H._ unterzeichneten Schuldanerkennung, die den Schuldgrund nannte, nämlich erbrachte Dienstleistungen aufgrund eines Mandates, um ein kausales Schuldbekenntnis handle. Sodann legte sie im Einzelnen dar, welches die rechtlichen Wirkungen desselben seien. Sie hielt fest, dass die Schuldanerkennung zu einer vom ursprünglichen Verpflichtungsgrund losgelösten selbständigen Verpflichtung, mithin zu einer neuen Anspruchsgrundlage führe, weshalb die Beschwerdegegnerin die Schuldanerkennung als Klagegrund benutzen könne. Die Schuldanerkennung bewirke eine Umkehr der Beweislast.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe damit Art. 17 OR und Art. 8 ZGB verletzt, und behauptet, die Schuldanerkennung sei rein deklaratorischer Natur. Sie setzt sich dabei indessen mit den ausführlichen Erwägungen der Vorinstanz nicht auseinander und begründet ihre Rüge nicht hinreichend. Darauf ist nicht einzutreten. Unabhängig davon kann festgehalten werden, dass die Vorinstanz zutreffend erkannte, die Schuldanerkennung führe zu einer Umkehr der Beweislast (s. BGE 131 III 268 E. 3.2 S. 273; ferner etwa die Urteile 4C.53/2001 vom 17. August 2001 E. 2b; 4A_459/2013 vom 22. Januar 2014 E. 3.3).
6.4. Die Vorinstanz ging demnach zu Recht davon aus, dass es aufgrund der im Recht liegenden Schuldanerkennung der Beschwerdeführerin obliege, den Nichtbestand der von der Beschwerdegegnerin geltend gemachten Leistungen im Umfang von Fr. 600'000.-- (exkl. Mehrwertsteuer) zu behaupten und zu beweisen. Dabei reichten, so die Vorinstanz, die von der Beschwerdeführerin vorgebrachten blossen Zweifel an der Richtigkeit der in Rechnung gestellten Leistungen (im Sinne eines Gegenbeweises) nicht aus. Die Beschwerdeführerin habe sodann in der Triplik keinerlei Beweise zu den von ihr vollumfänglich bestrittenen und von der Beschwerdegegnerin rechtsgenüglich behaupteten Leistungen angeboten. Mangels Beweisofferten sei auf die von der Beschwerdegegnerin behaupteten und in Rechnung gestellten Leistungen abzustellen.
Die Beschwerdeführerin verweist auf ihre Bestreitungen in der Triplik bzw. ihrer Stellungnahme zu Noven in der Duplik (act. 29) und wirft der Vorinstanz Willkür (Art. 9 BV) und eine Gehörsverletzung (Art. 29 Abs. 2 BV) vor, weil sie sich mit diesen Vorbringen nicht auseinandergesetzt habe. Der Vorwurf ist unbegründet, soweit angesichts der allzu knappen Begründung (vgl. Erwägung 2.1) überhaupt auf diese Verfassungsrügen eingetreten werden kann. Denn sie übergeht, dass die Vorinstanz die Vorbringen in der Triplik durchaus beachtet hat, ihnen aber mangels Beweisofferten der beweisbelasteten Beschwerdeführerin kein Gehör schenken konnte. Dass die Beschwerdegegnerin zur Stellungnahme zu Noven in der Duplik nicht mehr Stellung nahm, schadet nicht, durfte die Vorinstanz vor dem Hintergrund der aus der Schuldanerkennung fliessenden Umkehr der Beweislast doch fordern, dass die Beschwerdeführerin die von der Beschwerdegegnerin rechtsgenüglich behaupteten Leistungen nicht bloss bezweifelte, sondern für ihre Bestreitungen Beweise anerbot. Die Beschwerdeführerin zeigt nicht rechtsgenüglich auf, inwiefern es gegen die genannten Verfassungsbestimmungen verstossen soll, dass die Vorinstanz schloss, der Beweis für die angebliche Nichterbringung der geltend gemachten Leistungen bzw. den Nichtbestand der geltend gemachten Honorarforderung sei nicht erbracht. Damit scheidet auch die von der Beschwerdeführerin gerügte Verletzung von Art. 394 Abs. 3 OR ohne weiteres aus. Eine solche ist weder dargetan noch ersichtlich.
6.5. Die Beschwerdeführerin machte bei der Vorinstanz eine Honorarminderung wegen Schlechterfüllung des Auftrags geltend. Die Schlechterfüllung soll darin bestanden haben, dass die Beschwerdegegnerin ihre Untersuchungen nicht objektiv vorgenommen, sondern gezielt gegen C._ gerichtet habe. Sie habe bei der Vertragserfüllung nicht im Interesse der Beschwerdeführerin gehandelt.
Die Vorinstanz hielt auch im vorliegenden Zusammenhang fest, die Mandatierung der Beschwerdegegnerin mit der Analyse der Geschäftsvorgänge habe nicht ausserhalb der Interessen der Gesellschaft gelegen, dies namentlich aus der Sicht der Beschwerdegegnerin. Es könne ihr daher nicht als Schlechterfüllung angelastet werden, wenn sie anlässlich ihrer Untersuchungen nach Verfehlungen früherer Exponenten der Beschwerdeführerin gesucht habe, habe der Auftrag doch explizit beinhaltet, die Geschäftsführung vergangener Jahre auf Fehlleistungen zu analysieren. Eine solche Untersuchung liege regelmässig im Interesse eines Unternehmens, weshalb unter diesem Titel keine Schlechterfüllung vorliege. Das von der Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der von ihr monierten Interessenlage beantragte gerichtliche Gutachten erübrige sich demnach, weil damit keine Honorarkürzung begründet werden könne.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 8 ZGB und Art. 152 ZPO, weil die Vorinstanz die angebotenen Beweismittel, namentlich die beantragte Expertise nicht eingeholt habe. Zu Unrecht. Nachdem die Vorinstanz bereits zur Überzeugung gelangt war, dass die Auftragserteilung und -ausführung, insbesondere die Suche nach Verfehlungen früherer Exponenten, nicht ausserhalb der Interessen der Beschwerdeführerin gelegen habe und damit keine Schlechterfüllung begründet werden könne, erübrigte es sich, zur Frage der Objektivität der Arbeiten der Beschwerdegegnerin Beweise abzunehmen und eine Expertise einzuholen.
Die Beschwerdeführerin hatte in ihrer Replik an die Vorinstanz auch die Einholung eines Gutachtens betreffend Angemessenheit der in Rechnung gestellten Honorare beantragt. Die Vorinstanz lehnte dies ab mit der Begründung, die Beschwerdeführerin habe besagte Beweisofferte einzig im Zusammenhang mit der Tatsachenbehauptung gestellt, dass die entstandenen Kosten in einem Missverhältnis zur finanziellen Situation der Beschwerdeführerin stehen würden und der Auftrag nicht dem Interesse der Beschwerdeführerin entsprochen habe. Nachdem die Beschwerdegegnerin eine detaillierte Aufstellung der von ihr erbrachten Leistungen ins Recht gelegt habe, habe die Beschwerdeführerin den besagten Beweisantrag in der Triplik nicht mehr gestellt. Mit Hinweis auf das Urteil des Bundesgerichts 4A_56/2013 vom 4. Juni 2013 E. 4.4, wonach ein Beweismittel nur dann als formgerecht angeboten zu betrachten ist, wenn sich die Beweisofferte eindeutig der damit zu beweisenden Tatsachenbehauptung zuordnen lässt, erachtete die Vorinstanz das beantragte Gutachten zur Angemessenheit des beklagtischen Honorars nicht als formgerecht angeboten. Denn das Gutachten sei nicht in Bezug auf die von der Beschwerdegegnerin vorgebrachten einzelnen Leistungsposten als Beweis offeriert worden.
Die Beschwerdeführerin lässt auch dies nicht gelten. Sie ist der Ansicht, sie habe in der Replik diesen Beweisantrag korrekt gestellt, indem sie in Rz. 95 der Replik konkret behauptet habe, dass die von der Beschwerdegegnerin geltend gemachten Leistungen in keinem angemessenen Verhältnis zu der erbrachten Leistung stünden und zu diesem Punkt ein Gutachten verlangt habe. In dieser Meinung kann ihr nicht gefolgt werden. In Rz. 95 der vorinstanzlichen Replik monierte sie, dass die Beschwerdegegnerin keine (substantiierten) Leistungsaufstellungen eingereicht habe. Ihr dabei gestellter Antrag auf Einholung einer Expertise kann nicht auf die von der Beschwerdegegnerin erst später, im Anschluss an die Replik, vorgebrachten einzelnen Leistungsposten bezogen werden. Die Vorinstanz vermisste zu Recht, dass die Beschwerdeführerin in der Triplik zu diesen nunmehr spezifizierten Leistungsaufstellungen der Beschwerdegegnerin keinen Antrag auf Begutachtung der Angemessenheit stellte. Mithin vermag die Beschwerdeführerin auch diesbezüglich keine Verletzung von Art. 8 ZGB und Art. 152 ZPO aufzuzeigen. Auf den nicht näher begründeten Willkürvorwurf ist nicht einzutreten.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 9'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 10'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer