Sachverhalt:
A. A.a Mit Zahlungsbefehl Nr. 1 des Betreibungsamtes Münchwilen betrieb X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) für den Betrag von Fr. 996.-- nebst Zins von 5 % seit 18. Januar 2010. Der Beschwerdegegner erhob Rechtsvorschlag.
A.b Daraufhin reichte die Beschwerdeführerin beim Bezirksgericht Münchwilen am 30. Januar 2010 ein Gesuch um Erteilung der Rechtsöffnung für den in Betreibung gesetzten Betrag ein.
A.c Mit Verfügung vom 18. März 2010 trat der Präsident des Bezirksgerichts nicht auf das Gesuch ein, da die Beschwerdeführerin innert Frist (und trotz Zahlungsaufforderung mit Androhung des Nichteintretens) keinen Kostenvorschuss bezahlte.
B. Dagegen rekurrierte die Beschwerdeführerin an das Obergericht des Kantons Thurgau und stellte ein Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege. Am 26. April 2010 wies das Obergericht den Rekurs ab und verzichtete auf die Erhebung von Verfahrenskosten.
C. Dem Bundesgericht beantragt die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe vom 10. Mai 2010 die Aufhebung des obergerichtlichen und bezirksgerichtlichen Entscheides und sinngemäss die Erteilung der Rechtsöffnung. Zudem stellt sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Es sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Das Obergericht hat im Rahmen der Zusendung der kantonalen Akten die Abweisung der Beschwerde beantragt.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid betrifft die provisorische Rechtsöffnung und damit eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache, die der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit (vgl. BGE 134 III 141 E. 2 S. 143; 133 III 399 E. 1 S. 399 f.).
Da der Streitwert mit knapp Fr. 1'000.-- den gesetzlichen Mindestbetrag nicht erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und keine Ausnahme vom Streitwerterfordernis geltend gemacht wird, ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (Art. 113 ff. BGG). Auf formelle Einzelfragen ist nachfolgend einzugehen.
2. 2.1 Das Bundesgericht ist grundsätzlich an die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz gebunden. Es kann davon nur abweichen, wenn diese unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kamen (Art. 118 i.V.m. Art. 116 BGG), was die Beschwerdeführerin präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 445).
2.2 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 117 i.V.m. Art. 99 Abs. 1 BGG). In der Beschwerde ist darzulegen, inwiefern die Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein soll (BGE 134 V 223 E. 2.2.1 S. 226).
2.3 Soweit sich die Beschwerdeführerin sinngemäss gegen die obergerichtliche Sachverhaltsfeststellung wendet, macht sie überwiegend neue Tatsachen geltend, in dem sie Bezug auf andere Verfahren nimmt und Kritik an Behörden (und einzelnen Behördenvertretern) übt. Sie legt dem Bundesgericht zudem Beweismittel vor, die sich abgesehen von den Beilagen 14, 15, 16 und 32 nicht bei den kantonalen Akten befinden. Schliesslich stellt sie (erstmals) einen Beweisantrag auf Einvernahme eines Zeugen.
Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern der obergerichtliche Entscheid Anlass zur Einreichung dieser neuen Tatsachen und Beweismittel gegeben hätte. Sie sind deshalb unzulässig und nicht zu berücksichtigen.
2.4 Zudem unterlässt es die Beschwerdeführerin darzulegen, inwiefern die obergerichtliche Sachverhaltsfeststellung überhaupt verfassungsmässige Rechte verletzen soll. Das gilt insbesondere, soweit sie ihren bereits in der Rekursschrift an das Obergericht vorgebrachten und allgemein gehaltenen Beweisantrag auf Beiziehung der Akten aus diversen anderen (teilweise auch ausländischen) Verfahren vor Bundesgericht wiederholt. Diesbezüglich ist zudem festzuhalten, dass es nicht Aufgabe des Bundesgerichts ist, Beweise abzunehmen und Tatsachen festzustellen, über die sich das kantonale Sachgericht nicht ausgesprochen hat (BGE 135 III 31 E. 2.2 S. 33).
2.5 Soweit die Beschwerdeführerin (sinngemäss) die obergerichtlichen Sachverhaltsfeststellungen rügt und eine Abklärung des massgeblichen Sachverhalts durch das Bundesgericht verlangt, kann darauf nicht eingetreten werden.
3. 3.1 Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Es gilt das Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeführerin muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde und substanziiert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern verlangt rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und (soweit möglich) belegte Rügen. Auf appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 135 IV 43 E. 4 S. 47; 133 II 396 E. 3.1 S. 399).
3.2 Diesen qualifizierten Begründungsanforderungen genügt die Beschwerdeführerin nicht. Eine Stellungnahme und Auseinandersetzung mit den kantonsgerichtlichen Erwägungen fehlt. Soweit sie für die Begründung ihrer Beschwerde auf die Akten verweist, ist dies nicht zulässig (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.; 131 III 384 E. 2.3 S. 387 f.).
Die Beschwerdeführerin nimmt auf den angefochtenen Entscheid nicht konkret Bezug und legt nicht dar, welche verfassungsmässigen Rechte sie als verletzt erachtet. Vielmehr begnügt sie sich mit allgemeiner Kritik und gibt ihre Sicht der Dinge wieder. Sie nimmt zudem Bezug auf andere Verfahren, ohne aufzuzeigen, inwiefern dies für das Rechtsöffnungsverfahren massgebend sein könnte.
4. Auf die Beschwerde kann deshalb nicht eingetreten werden. Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird verzichtet (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, da sich die Beschwerde als aussichtslos erwiesen hat (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Bettler