Erwägungen:
1.
1.1. Für die Abrechnungsperioden 4. Quartal 2008 bis 4. Quartal 2009 und für die Steuerperiode 2010 schätzte die Eidgenössische Steuerverwaltung die Umsätze des Mehrwertsteuerpflichtigen A._ mangels vorhandener Buchhaltung nach pflichtgemässem Ermessen ein und verfügte eine Steuerkorrektur zugunsten des Bundes von Fr. 51'168.-- bzw. Fr. 12'622.--, je zuzüglich Verzugszins. Gegen diese Veranlagungen erhob der Pflichtige erfolglos Einsprachen und gelangte danach an das Bundesverwaltungsgericht.
1.2. In beiden Verfahren forderte das Bundesverwaltungsgericht A._ zur Bezahlung eines Kostenvorschusses auf (Fr. 3'000.-- bzw. Fr. 1'250.--), worauf der Beschwerdeführer jeweils um unentgeltliche Prozessführung ersuchte. Diese verweigerte ihm das Gericht mit zwei Zwischenverfügungen vom 8. Juli 2014, unter jeweiliger Ansetzung einer Zahlungsfrist für den Kostenvorschuss bis zum 29. Juli 2014 und Androhung des Nichteintretens bei Säumnis. Das Gericht begründete die Ablehnung der unentgeltlichen Rechtspflege wie folgt: Es könne offen bleiben, ob die Beschwerden von A._ gegen die Einspracheentscheide aussichtslos seien; auf jeden Fall habe er die massgeblichen Vermögensverhältnisse nur völlig unzureichend substantiiert bzw. belegt und somit seine Bedürftigkeit nicht nachzuweisen vermocht.
1.3. Am 30. Juli 2014 hat A._ Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die beiden Zwischenverfügungen des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. Juli 2014 erhoben. Betreffend die Mehrwertsteuer vom 4. Quartal 2008 bis zum 4. Quartal 2009 (Verfahren 2C_683/2014) und diejenige der Periode 2010 (Verfahren 2C_684/2014) formuliert er das Rechtsbegehren, "meinem Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege zu entsprechen".
1.4. Die Eidgenössische Steuerverwaltung und das Bundesverwaltungsgericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
2.
2.1. Die gleich lautenden Beschwerden betreffen dieselben Parteien, richten sich gegen praktisch übereinstimmende Zwischenverfügungen und werfen identische Rechtsfragen auf. Es rechtfertigt sich deshalb, die Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 24 BZP; siehe u.a. BGE 131 V 59 E. 1 S. 60 f. mit Hinweis).
2.2. Angefochten sind Zwischenverfügungen des Bundesverwaltungsgerichts (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG), mit denen die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wurde. Dabei handelt es sich um Zwischenentscheide, die einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (vgl. Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 129 I 129 E. 1.1 S. 131 mit Hinweis). Von einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil ist auszugehen, wenn nicht nur die unentgeltliche Rechtspflege verweigert, sondern - wie hier - zugleich auch die Anhandnahme des Rechtsmittels von der Bezahlung eines Kostenvorschusses durch die gesuchstellende Partei abhängig gemacht wird (vgl. BGE 128 V 199 E. 2b S. 202 mit Hinweisen). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. In dieser geht es hier um eine Steuerveranlagung, mithin um eine Streitsache, die der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht unterliegt (vgl. Art. 82 ff. BGG; BGE 135 II 1 E. 1.2.1 S. 4). Insoweit steht dasselbe Rechtsmittel auch gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor der Vorinstanz offen. Auf die grundsätzlich form- und fristgerecht eingereichten Beschwerden ist daher - allerdings nur unter dem folgenden Vorbehalt - einzutreten.
2.3. Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG hat die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG).
2.3.1. Unerlässlich ist dabei u.a., dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin Bundesrecht verletzt wird. Die Beschwerdeschrift soll vor Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte und Argumente wiederholen, wie sie im vorinstanzlichen Verfahren vorgebracht worden sind, sondern muss sich konkret und spezifisch mit den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.; 121 III 397 E. 2a S. 400; 116 II 745 E. 3 S. 749).
2.3.2. Eine den gesetzlichen Anforderungen genügende Begründung liegt hier nur in unzureichendem Ausmass vor. Im wesentlichen Punkt unterlässt es der Beschwerdeführer, sich vor Bundesgericht mit der Argumentation des Bundesverwaltungsgerichts auch nur ansatzweise auseinanderzusetzen (vgl. unten E. 3.2). Inwiefern unter den gegebenen Umständen auf seine Rechtsmittel überhaupt einzutreten ist, kann mit Blick auf den Verfahrensausgang offen bleiben.
3.
3.1. Das Bundesverwaltungsgericht hat die Gesuche des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abgelehnt, weil dieser die massgeblichen Vermögensverhältnisse nur völlig unzureichend substantiiert bzw. belegt und somit seine Mittellosigkeit nicht nachzuweisen vermocht habe.
3.1.1. Der Nachweis der Bedürftigkeit obliegt dem Gesuchsteller. Er hat insbesondere die Pflicht, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit wie möglich zu belegen (vgl. u.a. BGE 127 I 202 E. 3g S. 210 f.). Das Gesuch kann mangels ausreichender Substantiierung oder mangels Bedürftigkeitsnachweis abgewiesen werden, wenn der Gesuchsteller seinen Obliegenheiten nicht (genügend) nachkommt (vgl. u.a. BGE 125 IV 161 E. 4a S. 164 f.; 120 Ia 179 E. 3a S. 181 f.).
3.1.2. Vorliegend hat das Bundesverwaltungsgericht festgehalten, dass die durch den Beschwerdeführer in Bezug auf seine Einkünfte gemachten Angaben noch knapp zu genügen vermöchten (S. 4 der angefochtenen Verfügungen), dass aber die massgeblichen Vermögensverhältnisse (inkl. diejenigen der Ehefrau) in keiner Weise, z.B. durch Bankauszüge oder Steuererklärungen, belegt seien (S. 5). Namentlich habe der Beschwerdeführer weder eine aktuelle Steuererklärung zu Einkommen und Vermögen noch den letzten definitiven Steuervermögensbescheid eingereicht. Auch sei kein anderer Beleg aktenkundig, welcher lückenlos Aufschluss über die massgeblichen Vermögensverhältnisse vermittle. Gestützt auf die gelieferten Angaben und die vorhandenen Unterlagen ergebe sich kein hinreichend vollständiges Bild der finanziellen Lage, so dass den Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege bereits mangels genügender Substantiierung der Mittellosigkeit nicht stattgegeben werden könne (S. 6 ).
3.1.3. Daneben hat die Vorinstanz einen konkreten Einzelaspekt geprüft und diesbezüglich erwogen, dass der Gesuchsteller Miteigentümer einer Liegenschaft sei. Aufgrund der verfügbaren Angaben und Unterlagen könne die Möglichkeit einer zusätzlichen Hypothekenbelastung der Liegenschaft nicht ausgeschlossen werden (S. 5 f. der angefochtenen Verfügungen).
3.2. Mit der Hauptbegründung der Vorinstanz (vgl. oben E. 3.1.2) setzt sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht überhaupt nicht auseinander.
3.2.1. Vielmehr begnügt er sich damit, als Beleg für seine Bedürftigkeit die (ebenfalls nach pflichtgemässem Ermessen vorgenommene) Veranlagung für die direkte Bundessteuer 2011 einzureichen. Zudem argumentiert er, eine zusätzliche Hypothekenbelastung der im Miteigentum gehaltenen Liegenschaft (vgl. oben E. 3.1.3) sei nicht realistisch.
3.2.2. Soweit auf die Argumentation des Beschwerdeführers überhaupt eingetreten werden kann (vgl. oben E. 2.3), ergibt sich aus ihr keineswegs, dass die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch die Vorinstanz Bundesrecht verletzen würde. Es stimmt mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. oben E. 3.1.1) überein, ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege dann abzulehnen, wenn - wie hier - die durch den Gesuchsteller gemachten Angaben sich als gänzlich unzureichend einzustufen und der zuständigen Behörde keinerlei Belege unterbreitet worden sind (vgl. oben E. 3.1.2). Dann ist ohne weiteres auf einen mangelnden Nachweis der Mittellosigkeit zu schliessen, ohne dass es noch notwendig wäre, auf Einzelaspekte (vgl. oben E. 3.1.3) näher einzugehen.
4.
4.1. Nach dem Gesagten erweisen sich die Beschwerden als offensichtlich unbegründet und sind im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
4.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) somit an sich dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Es ist aber zu fragen, ob er auch für das Verfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Prozessführung ersucht hat. Das geht aus seinem Antrag (vgl. oben E. 1.3) zumindest nicht klar hervor. Selbst wenn dies aufgrund des gegenüber Laienbeschwerden üblichen Wohlwollens anzunehmen wäre, so müsste ein solches Gesuch abgelehnt werden.
4.2.1. Dabei erübrigt sich, auf den neu eingereichten Beleg (vgl. oben E. 3.2.1) einzugehen und die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers auf dieser Grundlage zu prüfen.
4.2.2. Es genügt festzuhalten, dass die beim Bundesgericht eingereichten Beschwerdemittel aussichtslos (vgl. zu diesem Begriff u.a. BGE 133 III 614 E. 5 S. 616 mit Hinweisen) waren, was die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ebenfalls ausschliesst. Die vorinstanzliche Beurteilung, wonach die Gesuche bereits wegen mangelnden Nachweises der Mittellosigkeit abzulehnen seien, entspricht der bundesgerichtlichen Rechtsprechung und ist eingehend begründet. Wenn der Beschwerdeführer zudem die vorinstanzlichen Zwischenverfügungen vor Bundesgericht anficht, ohne sich mit deren Hauptbegründung auseinanderzusetzen, dann hat ein derartiges Vorgehen keinerlei Erfolgsaussichten, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_683/2014 und 2C_684/2014 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege werden abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Oktober 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Matter