Sachverhalt:
A. In der Betreibung Nr. 2090905 stellte die Y._ A/S als Gläubigerin am 10. Mai 2010 das Konkursbegehren gegen die X._ GmbH als Schuldnerin. Das Bezirksgericht Appenzell eröffnete den Konkurs mit Wirkung ab dem 8. Juni 2010, 16.30 Uhr (Entscheid vom 8. Juni 2010).
B. Die X._ GmbH gelangte an das Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden, das ihre Berufung am 3. August 2010 abwies und die bezirksgerichtliche Konkurseröffnung bestätigte.
C. Dem Bundesgericht beantragt die X._ GmbH (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde vom 14. September 2010 die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheides sowie der Konkurseröffnung.
Es sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Mit Eingabe vom 22. November 2010 ersuchte die Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung, soweit dies nicht bereits von Gesetzes wegen der Fall sei. Mit Schreiben vom 29. November 2010 wies die Instruktionsrichterin die Beschwerdeführerin darauf hin, dass das bundesgerichtliche Verfahren kurz vor dem Abschluss stehe und deshalb keine gesonderte Verfügung mehr zum Gesuch um aufschiebende Wirkung ergehe.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid über die Konkurseröffnung ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG), und zwar unabhängig von der Höhe des Streitwertes (Art. 74 Abs. 2 lit. d BGG) und ohne Beschränkung der Beschwerdegründe (Art. 95 ff. BGG; BGE 133 III 687 E. 1.2 S. 689 f.). Auf die Beschwerde kann damit grundsätzlich eingetreten werden. Formelle Einzelfragen sind im Sachzusammenhang zu erörtern.
1.2 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin bringt erstmals vor Bundesgericht vor, sie sei über Jahre hinweg erfolgreich tätig gewesen. Dieses Vorbringen ist unzulässig und unbeachtlich (BGE 136 III 123 E. 4.4.3 S. 128 f.).
2. 2.1 Das obere Gericht kann gestützt auf Art. 174 Abs. 2 Ziff. 3 SchKG die Konkurseröffnung aufheben, wenn der Schuldner mit der Einlegung des Rechtsmittels seine Zahlungsfähigkeit glaubhaft macht und durch Urkunden beweist, dass der Gläubiger inzwischen auf die Durchführung des Konkurses verzichtet hat.
2.2 Das Kantonsgericht hat sinngemäss festgehalten, dass die Beschwerdegegnerin nach dem bezirksgerichtlichen Entscheid mit Schreiben vom 18. Juni 2010 auf die Durchführung des Konkurses verzichtet hat und damit der Konkurshinderungsgrund von Art. 174 Abs. 2 Ziff. 3 SchKG erfüllt ist. Umstritten ist deshalb einzig die Glaubhaftmachung der Zahlungsfähigkeit.
2.3 Glaubhaft gemacht ist eine Tatsache schon dann, wenn für deren Vorhandensein gewisse Elemente sprechen, selbst wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass sie sich nicht verwirklicht haben könnte (BGE 132 III 715 E. 3.1 S. 719 f.). Konkret heisst dies im Hinblick auf die Aufhebung der Konkurseröffnung, dass die Zahlungsfähigkeit des Konkursiten wahrscheinlicher sein muss als die Zahlungsunfähigkeit. In diesem Bereich dürfen keine zu strengen Anforderungen gestellt werden.
2.4 Zahlungsfähigkeit bedeutet, dass ausreichende liquide Mittel vorhanden sind, mit welchen die Gläubiger bei Fälligkeit ihrer Forderungen befriedigt werden können. Dabei sind nur die sofort und konkret verfügbaren, nicht aber zukünftige, zu erwartende oder mögliche Mittel zu berücksichtigen. Als grundsätzlich zahlungsunfähig erweist sich ein Schuldner, der beispielsweise Konkursandrohungen anhäufen lässt, systematisch Rechtsvorschlag erhebt und selbst kleinere Beträge nicht bezahlt. Bloss vorübergehende Zahlungsschwierigkeiten lassen den Schuldner noch nicht als zahlungsunfähig erscheinen, ausser wenn keine wesentlichen Anhaltspunkte für eine Verbesserung seiner finanziellen Situation zu erkennen sind und er auf unabsehbare Zeit als illiquid erscheint. Die Beurteilung der Zahlungsfähigkeit beruht auf einem aufgrund der Zahlungsgewohnheiten eines Konkursiten gewonnenen Gesamteindruck (Urteil 5A_350/2007 vom 19. September 2007 E. 4.3; 5P.129/2006 vom 30. Juni 2006 E. 2.2.2; 5P.80/2005 vom 15. April 2005 E. 3.2; Diggelmann/Müller, Kurzkommentar SchKG, 2009, N. 13 zu Art. 174 SchKG; Cometta, Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 8 zu Art. 174 SchKG; Jaeger und andere, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Band II, 4. Aufl. 1997/1999, N. 10 zu Art. 174 SchKG).
Zu beurteilen ist immer auch die wirtschaftliche Lebensfähigkeit des schuldnerischen Betriebes (Botschaft vom 8. Mai 1991 über die Änderung des SchKG, BBl 1991 III 1 ff., S. 112).
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin hat vor dem Kantonsgericht innerhalb einer vom Gericht eingeräumten Nachfrist zur Voraussetzung der Zahlungsfähigkeit Stellung genommen und ausgeführt, sie habe ihren Zahlungsverpflichtungen nicht nachkommen können, weil anfangs Mai 2007 in einem ausserkantonalen Strafverfahren gegen zwei ihrer Gesellschafter ihr Guthaben auf mehreren Bankkonten beschlagnahmt worden sei. Am 31. Juli 2009 (und nachdem ihre Rechtsverzögerungsbeschwerde gegen das Untersuchungsamt gutgeheissen worden sei) habe die Staatsanwaltschaft Anklage erhoben. Mit dem erstinstanzlichen Entscheid sei demnächst zu rechnen. Die Angeschuldigten würden sämtliche Anschuldigungen bestreiten.
Wie sich aus den Kontoauszügen ergebe, belaufe sich der Betrag der beschlagnahmten Vermögenswerte auf Fr. 1'451'151.52. Dem stünden Schulden in der Höhe von Fr. 358'128.96 und EUR 470'170.49 entgegen. Bei einem Überschuss von rund Fr. 400'000.-- verfüge sie damit über genügend finanzielle Mittel, sämtliche Schulden zu bezahlen, sobald die Rückgabe der beschlagnahmten Gelder erfolge.
3.2 Das Kantonsgericht gelangte zum Ergebnis, der Beschwerdeführerin gelinge es mit den eingereichten Unterlagen (Kontensperren, eigene Aufstellung der Schulden, Übersicht beschlagnahmter Konten, Anklageschrift an das Strafgericht) nicht, ihre Zahlungsfähigkeit glaubhaft zu machen. Selbst bei einem baldigen Entscheid des erstinstanzlichen Strafgerichts bestünden aktuell keine Anhaltspunkte dafür, ob und in welchem Umfang die beschlagnahmten Vermögenswerte zurückgegeben, eingezogen oder für die Verfahrens- und Vollzugskosten sichergestellt würden. Die beschlagnahmten Vermögenswerte seien keine liquiden Mittel, sondern es bestehe einzig die Möglichkeit, dass sie der Beschwerdeführerin (im Falle der Rückgabe) zur Tilgung der Schulden zur Verfügung stünden.
4. 4.1 Vor Bundesgericht erhebt die Beschwerdeführerin eingangs ihrer Beschwerde die Rüge einer unrichtigen Sachverhaltsfeststellung durch das Kantonsgericht, ohne in ihrer Beschwerdebegründung ausdrücklich auf diese Rüge zurückzukommen.
4.2 Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig - was willkürlich bedeutet (BGE 135 III 397 E. 1.5 S. 401) - oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG zustande gekommen ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 135 II 313 E. 5.2.2 S. 322; 135 V 39 E. 2.2 S. 41).
4.3 Die in Art. 97 Abs. 1 BGG erwähnte zweite Alternative einer Rechtsverletzung gemäss Art. 95 BGG richtet sich gegen bundesrechtliche Beweisvorschriften und Vorschriften über die Abnahme von Beweisen sowie gegebenenfalls die willkürliche Anwendung entsprechender kantonaler Vorschriften. Darunter fällt auch die Beweismassregel gemäss Art. 174 Abs. 2 SchKG, welche die Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit der Rüge der unrichtigen Sachverhaltsfeststellung ebenfalls erwähnt. Eine Verletzung des Beweismasses gemäss Art. 174 Abs. 2 SchKG behandelt die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde jedoch nicht. Wird damit eine Rechtsverletzung im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG nicht dargelegt (vgl. E. 4.2 oben), kann auf die Rüge nicht eingetreten werden.
4.4 Ob der Beweis gemäss dem bundesrechtlich vorgegebenen Beweismass (vorliegend Glaubhaftmachung nach Art. 174 Abs. 2 SchKG) im konkreten Fall erbracht wurde, ist eine Frage der Beweiswürdigung, welche das Bundesgericht gemäss der ersten Alternative von Art. 97 Abs. 1 BGG nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür nach Art. 9 BV prüft (BGE 130 III 321 E. 5 S. 327).
Die Beschwerdeführerin legt einzig ihre Sicht und Würdigung der Tatsachen dar, ohne aufzuzeigen, inwiefern das Kantonsgericht in Willkür verfallen sein soll (vgl. E. 4.2 oben). Auf diese Rüge kann ebenfalls nicht eingetreten werden.
5. 5.1 Im Zusammenhang mit der Beweiswürdigung steht auch die weitere Rüge der Beschwerdeführerin, wonach das Kantonsgericht "indirekt" gegen die Unschuldsvermutung gemäss Art. 32 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 2 EMRK (vorliegend verstanden als Beweiswürdigungsregel) verstosse, indem es die Zahlungsfähigkeit verneine. Vielmehr müsse unter Berücksichtigung der Unschuldsvermutung auch die Zahlungsfähigkeit als gegeben betrachtet werden.
5.2 Diese Rüge erweist sich von vornherein als unbegründet. Der Grundsatz der Unschuldsvermutung betrifft das Strafverfahren und gilt im Schuldbetreibungs- und Konkursrecht nicht (Urteil 5A_201/2007 vom 4. Juli 2007 E. 5).
6. 6.1 Schliesslich wendet sich die Beschwerdeführerin gegen die rechtliche Beurteilung der Zahlungsfähigkeit im Sinne von Art. 174 Abs. 2 SchKG und wirft dem Kantonsgericht eine Verletzung dieser Bestimmung vor. Sie legt dar, mit den beschlagnahmten Vermögenswerten über liquide Mittel zu verfügen, welche die bestehenden Schulden bei Weitem überstiegen. Diese Vermögenswerte stünden trotz Beschlagnahme nach wie vor in ihrem Eigentum. Die Zahlungsfähigkeit werde durch die Auszüge der beschlagnahmten Konten gestützt, die ihre wirtschaftliche Existenz belegten. Nach Freigabe der Konten würden die Schulden sofort abgetragen.
6.2 Das Kantonsgericht hat Art. 174 Abs. 2 SchKG nicht verletzt und den Begriff der Zahlungsfähigkeit nicht verkannt, in dem es diese mit der Begründung verneinte, aufgrund der Beschlagnahme im Strafverfahren sei die Beschwerdeführerin gerade nicht liquide und es bestehe einzig die Möglichkeit, dass ihr die beschlagnahmten Vermögenswerte wieder zurückgegeben werden (vgl. E. 2.4 oben).
Dies rechtfertigt sich umso mehr, als die ausstehenden Schulden von Fr. 358'128.96 sowie EUR 470'170.49 eine beträchtliche Summe ausmachen (zur Höhe der Schulden als Faktor der Beurteilung der Leistungsfähigkeit: Urteil 5P.401/2004 vom 22. Dezember 2004 E. 2.2.1). Zudem hat die Beschwerdeführerin - wie aus den von ihr selbst erstellten Aufstellungen offener Rechnungen hervorgeht - systematisch Rechtsvorschlag erhoben, sofern eine Betreibung eingeleitet wurde. Aus dieser Zusammenstellung geht weiter hervor, dass auch Rechnungen aus dem Jahr 2006 und damit deutlich vor der Beschlagnahme im Strafverfahren nicht bezahlt wurden. Schliesslich hat es die Beschwerdeführerin vollumfänglich unterlassen, sich zur aktuellen Lebensfähigkeit ihres Betriebes zu äussern.
7. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos, was vorliegend der guten Ordnung halber im Dispositiv festzuhalten ist.
Die Beschwerdeführerin wird ausgangsgemäss kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zu sprechen, da in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt wurde (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Appenzell I.Rh., der Präsident als Einzelrichter, und im Dispositiv dem Betreibungs- und Konkursamt Appenzell, dem Handelsregisteramt Appenzell und dem Grundbuchamt Appenzell schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Dezember 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Bettler