Erwägungen:
1. Mit Entscheid vom 7. April 2008 trat die I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts auf eine von X._ erhobene Beschwerde gegen eine von der Bundesanwaltschaft gemäss Art. 100 Abs. 3 BStP getroffene Nichtanhandnahmeverfügung nicht ein.
In der Folge stellte X._ gegen den Präsidenten der I. Beschwerdekammer und gegen eine an dieser Kammer tätige Gerichtsschreiberin ein Ausstandsbegehren. Mit Entscheid vom 11. Juni 2008 hat die I. Beschwerdekammer in anderer Besetzung das Begehren abgewiesen.
Hiergegen führt X._ mit Eingabe vom 1. Juli 2008 Verfassungsbeschwerde. Er verlangt, soweit hier wesentlich, die Aufhebung des Entscheids vom 11. Juni 2008.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
2. Der Beschwerdeführer verlangt wie schon in früheren Verfahren den Ausstand verschiedener Bundesrichter und Gerichtsschreiber. Dieses Begehren ist nicht konkret begründet. Allein im Umstand, dass ein Gerichtsmitglied in früheren Verfahren eine Angelegenheit derselben Person behandelte, kann nach der Rechtsprechung keine Verletzung des Anspruchs auf den verfassungsmässigen Richter erblickt werden (Art. 34 Abs. 2 BGG, BGE 119 Ia 221 E. 3 S. 227). Auf das offensichtlich haltlose Begehren ist somit nicht einzutreten.
3. Gemäss Art. 113 BGG beurteilt das Bundesgericht Verfassungsbeschwerden gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen, soweit keine Beschwerde nach den Art. 72-89 BGG zulässig ist. Beim Bundesstrafgericht handelt es sich somit nicht um eine Vorinstanz im Sinne von Art. 113 BGG. Die Verfassungsbeschwerde gegen den hier in Frage stehenden Entscheid ist daher nicht zulässig.
Der Sache nach ist die vorliegende Beschwerde somit als solche in Strafsachen entgegen zu nehmen, liegt ihr doch eine strafrechtliche Angelegenheit zugrunde. Nach Art. 79 BGG ist die Beschwerde in Strafsachen unzulässig gegen Entscheide der Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts, soweit es sich nicht um Entscheide über Zwangsmassnahmen handelt. Gegenstand des angefochtenen Entscheids bildet eine blosse Ausstandsfrage, die keinen Zusammenhang mit einer Zwangsmassnahme aufweist. Die vorliegende Beschwerde ist daher auch im Lichte von Art. 79 BGG nicht zulässig.
Auf die Beschwerde ist somit aus den genannten Gründen offensichtlich nicht einzutreten, weshalb über sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG entschieden werden kann. Damit wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Bundesstrafgericht, I. Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juli 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp