Sachverhalt:
A. Die X._ mit Sitz in Vaduz, Fürstentum Liechtenstein, bezweckt gemäss dem Eintrag in das Öffentlichkeitsregister des Fürstentums Liechtenstein vom 11. Dezember 1997 "den Erwerb, Handel und Betrieb von Luftfahrzeugen, insbesondere von Helikoptern sowie alle damit zusammenhängenden Handels-, Finanz- und Rechtsgeschäfte; die Beteiligung an anderen Unternehmungen sowie Ankauf und Verkauf von Mobilien und Immobilien". Wirtschaftlich Berechtigter war in der vorliegend relevanten Zeit A._ selig. Die Gesellschaft wurde mit Wirkung ab 1. Juni 1998 im Mehrwertsteuer-Register als Mehrwertsteuerpflichtige eingetragen.
Im Jahr 1998 erwarb die X._ einen Helikopter AS 365 N3 Dauphin und im Jahr 2000 ein Flugzeug Bombardier Learjet 45. Am 1. Februar 1998 schloss sie mit der F._ für den genannten Helikopter ein "Operation Management Agreement" ab. Am 13. Juni 2000 schloss sie mit der F._ ein "Fiduciary Management Agreement" für das genannte Flugzeug ab.
Als Charterkunden für den Helikopter wurden A._, B._ (1999 und 2000), C._ (1999), D. _ und X._ verzeichnet. Das Flugzeug wurde genutzt von A._, B._ (2000 und 2001), E._ (2000 und 2001) und D._.
B. B.a Mit Verfügung vom 18. April 2005 setzte die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein die steuerbaren Entgelte für die Zeit vom 1. Quartal 1999 bis zum 3. Quartal 2004 mit insgesamt Fr. 10'019'488.-- und die Vorsteuern für diese Zeit mit insgesamt Fr. 1'136'161.-- fest. Sie führte aus, das Konto der X._ weise somit per 13. April 2005 einen Saldo von Fr. 2'005'736.15 zu Gunsten der Liechtensteinischen Steuerverwaltung aus.
Zur Begründung führte die Steuerverwaltung insbesondere aus, es liege eine Steuerumgehung vor. Die Luftfahrzeuge seien überwiegend von A._ verwendet worden. Die X._ verfüge über keine Beschäftigten. Die Kapitalausstattung der Firma sei sehr beschränkt. Die Finanzierung der Luftfahrzeuge erfolge durch A._ Als Folge werde A._ als wirtschaftlich Berechtigter der X._ und Empfänger der Leistungen für seinen Anteil an der Nutzung der Luftfahrzeuge vom Vorsteuerabzug ausgeschlossen; ebenso seien bei den Anschaffungskosten anteilige Kürzungen vorzunehmen. Andererseits werde die bisher für die Inlandsbeförderung in Rechnung gestellte MWST gutgeschrieben.
B.b Der von der X._ gegen diese Verfügung erhobenen Einsprache wurde von der Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein am 26. September 2005 teilweise stattgegeben, indem sie Korrekturen bei der Berechnung der steuerbaren Entgelte und bei den Vorsteuern vornahm und festhielt, das Konto der X._ weise per 26. September 2005 einen Saldo von Fr. 1'851'597.20 zu Gunsten der Steuerverwaltung aus. Mit Entscheid vom 10. Juni 2008 wies die Landessteuerkommission des Fürstentums Liechtenstein die dagegen erhobene Beschwerde ab.
B.c Gegen den Entscheid der Landessteuerkommission gelangte die X._ an den Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein. Dieser wies die Beschwerde mit Urteil vom 18. Dezember 2009 (Zustellung am 14. Januar 2010) ab. Der Gerichtshof erwog, es bestehe kein Grund, von der Feststellung der Steuerverwaltung abzurücken, wonach die Beschwerdeführerin zumindest im Revisionszeitraum den privaten Interessen des wirtschaftlich Berechtigten gedient habe. Auf jeden Fall erweise es sich als gesetzeskonform, wenn die Vorinstanz zum Ergebnis gelangt sei, dass die umstrittenen Eingangsleistungen überwiegend den privaten Bedürfnissen des wirtschaftlich Berechtigten dienen würden und folglich grösstenteils nicht in steuerbare Ausgangsumsätze fliessen würden, was zu einer entsprechenden Kürzung des Vorsteuerabzugs führen müsse. Daran ändere nichts, dass gewisse Drittumsätze getätigt worden seien, da dies nur in einem beschränkten Umfang geschehen sei, ohne etwas am wahren Zweck, d.h. der primär privaten Verwendung der Gesellschaft, zu ändern. Die Ausführungen der X._, wonach es mehr als nur naheliegend sei, dass A._ mindestens 90% seiner Flüge in geschäftlicher Mission tätige, vermöchten einen Nachweis über die Hintergründe der Flüge durch den wirtschaftlich Berechtigten nicht zu ersetzen. Daraus, dass der wirtschaftlich Berechtigte geschäftlich tätig sei, könne nicht einfach geschlossen werden, dass die Nutzung des Luftfahrzeugs nicht seinen privaten Interessen diene. Es liege letztlich in der Verantwortung der X._, beweiskräftige Unterlagen und Bescheinigungen beizubringen. Im vorliegenden Fall sei es für die ordnungsgemässe Erhebung der Mehrwertsteuer unerlässlich, dass die X._ über die tatsächlichen Hintergründe der Flüge ihres wirtschaftlichen Berechtigten entsprechende Unterlagen oder Bescheinigungen vorlege. Pauschalerklärungen genügten nicht, weshalb mangels solcher Unterlagen und Bescheinigungen auch der Verwaltungsgerichtshof der Feststellung der Steuerverwaltung folge, dass die Luftfahrzeuge in erster Linie den privaten Interessen des wirtschaftlich Berechtigten der X._ dienten. Ferner hielt der Verwaltungsgerichtshof fest, im vorliegenden Fall könne dahingestellt bleiben, ob die Einschaltung der Beschwerdeführerin insgesamt als Steuerumgehung anzusehen sei, da die Vorsteuern im Umfang der Nutzung durch den wirtschaftlich Berechtigten und der ihm zuzurechnenden Personen mangels eines echten Leistungsaustauschs ohnehin zu kürzen seien.
C. C.a Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 12. Februar 2010 beantragt die X._ im Wesentlichen, den angefochtenen Entscheid und den Entscheid der liechtensteinischen Steuerverwaltung aufzuheben. Auf die Begründung der Beschwerde ist - soweit erforderlich - im Rahmen der Erwägungen einzugehen.
C.b In prozessualer Hinsicht beantragte die X._ u.a., der Beschwerde die aufschiebenden Wirkung zu erteilen und das Verfahren bis zur Entscheidung des Staatsgerichtshofs zu sistieren.
Mit Verfügung vom 24. März 2010 erteilte der Abteilungspräsident der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung und sistierte das Verfahren vorerst bis zum Vorliegen eines Urteils des Staatsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein.
Mit Urteil vom 25. Oktober 2010 gab der Staatsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein der von der X._ erhobenen Individualbeschwerde keine Folge und erkannte, die Beschwerdeführerin sei durch das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein vom 18. Oktober 2009 in ihren verfassungsmässigen und durch die EMRK gewährleisteten Rechten nicht verletzt.
Mit Verfügung vom 30. November 2010 ordnete der Abteilungspräsident die Wiederaufnahme des bundesgerichtlichen Verfahrens an.
C.c Der Verwaltungsgerichtshof und die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat sich nicht fristgerecht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des liechtensteinischen Verwaltungsgerichtshofs an das Schweizerische Bundesgericht ergibt sich völkerrechtlich aus Art. 11 der Vereinbarung zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein vom 28. November 1994 zum Vertrag betreffend die Mehrwertsteuer im Fürstentum Liechtenstein (nachfolgend: MWST-Vereinbarung; SR 0.641.295.142.1) und landesrechtlich aus Art. 55 des liechtensteinischen Gesetzes vom 24. November 1994 über die Mehrwertsteuer (MWSTG/1995, LGBl. 1994, Nr. 84) bzw. Art. 66 des liechtensteinischen Gesetzes vom 16. Juni 2000 über die Mehrwertsteuer (MWSTG/2001, LGBl. 2000, Nr. 163) bzw. heute aus Art. 73 des liechtensteinischen Gesetzes über die Mehrwertsteuer vom 22. Oktober 2009, in Kraft seit 1. Januar 2010 (MWSTG/2010, LGBl. 2009, Nr. 330). Mit dem Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) am 1. Januar 2007 hat die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Funktion der Verwaltungsgerichtsbeschwerde übernommen (Art. 73 MWSTG/2010).
Auf die den gesetzlichen Anforderungen genügende Beschwerde ist einzutreten.
1.2 Art. 11 der MWST-Vereinbarung beschränkt die Anfechtbarkeit auf "Entscheidungen über materielle Vorschriften der Mehrwertsteuer". Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann somit nur gerügt werden, (materielle) Rechtsvorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuergesetzgebung und der gemäss dieser Gesetzgebung anwendbaren Vorschriften seien verletzt (vgl. auch Art. 55 Abs. 2 MWSTG/1995, Art. 66 Abs. 2 MWSTG/2001 sowie Art. 73 Abs. 2 MWSTG/2010).
1.2.1 Die Zuständigkeit des Schweizerischen Bundesgerichts wurde offensichtlich nicht deswegen begründet, weil liechtensteinischen Steuerpflichtigen ein gleich umfassender Rechtsschutz vor Bundesgericht gewährt werden sollte wie schweizerischen Steuerpflichtigen in rein schweizerischen Verfahren. Bei der Begründung der Zuständigkeit des Bundesgerichts geht es vielmehr einzig darum, eine einheitliche materielle Rechtsanwendung und Gesetzesauslegung der in den beiden Ländern identischen Mehrwertsteuergesetzgebung sicherzustellen (vgl. Art. 1 Abs. 1 des Vertrags vom 28. Oktober 1994 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein betreffend die Mehrwertsteuer im Fürstentum Liechtenstein [SR 0.641.295.142]). Daraus ergibt sich, dass Art. 11 der MWST-Vereinbarung, wonach dem Schweizerischen Bundesgericht einzig Rechtsfragen unterbreitet werden können, durchaus eng zu verstehen ist, und eine Sachverhaltsüberprüfung gänzlich - d.h. auch im Rahmen von Art. 105 BGG - ausgeschlossen bleibt (so bereits Urteile 2A.284/2000 vom 1. Dezember 2000 E. 1b; 2C_195/2007 vom 8. Januar 2009 E. 1.2 mit weiteren Hinweisen; 2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 3).
1.2.2 Massgebend ist somit der vom Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein festgestellte Sachverhalt, allenfalls ergänzt oder angepasst durch einen Entscheid des Staatsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein, sofern und soweit dieser angerufen wurde und sich aufgrund seines Urteils Änderungen am massgeblichen Sachverhalt ergeben. Dies gilt auch dann, wenn die Überprüfung durch den angerufenen Staatsgerichtshof auf einer Rechtsauffassung des Bundesgerichts basiert, welche dieses inzwischen explizit aufgegeben hat. Vorliegend ging der Staatsgerichtshof im Urteil vom 25. Oktober 2010 Ziff. 9 S. 43 davon aus, im Fall der Vermietung oder Vercharterung eines Flugzeugs sei nur dann von einem Leistungsaustausch auszugehen, wenn das Flugzeug durch unabhängige Dritte genutzt werde. Diese Rechtsprechung hat das Bundesgericht inzwischen aufgegeben (vgl. dazu Urteile 2C_732/2010 vom 28. Juni 2012 E. 3 und 4.2; 2C_129/2012 vom 15. Juni 2012 E. 4.1; 2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 5.1; 2C_638/2010 vom 19. März 2012 E. 3.2 und 2C_476/2010 vom 19. März 2012 E. 2.1).
1.2.3 Das Bundesgericht hat vorliegend weder die Aufgabe noch ist es befugt, zu Fragen des Sachverhalts Stellung zu nehmen. Dies gilt selbst dann, wenn ein Beschwerdeführer nachweisen würde, dass die Sachverhaltsermittlungen offensichtlich unrichtig oder gar willkürlich sind. Eine mangelhafte Sachverhaltsermittlung in Bezug auf das liechtensteinische Mehrwertsteuerrecht könnte für das Bundesgericht lediglich dann relevant werden, wenn sie dazu führen würde, dass es für die vorzunehmende rechtliche Beurteilung an einer genügenden sachverhaltlichen Grundlage fehlt, beispielsweise weil widersprüchliche und einander ausschliessende Sachverhaltsfeststellungen getroffen worden wären. Derartiges wird vorliegend jedoch nicht, zumindest nicht in rechtsgenüglich substanziierter Weise, vorgetragen und ergibt sich auch nicht direkt aufgrund des angefochtenen Urteils.
1.2.4 Damit bleibt es wie dargelegt bei der absoluten Verbindlichkeit der von der Vorinstanz getroffenen Sachverhaltsfeststellungen für das Bundesgericht, ergeben sich doch auch aufgrund des Urteils des Staatsgerichtshofs vom 25. Oktober 2010, mit dem der Individualbeschwerde der Beschwerdeführerin keine Folge gegeben wurde, diesbezüglich keine Änderungen oder Ergänzungen.
1.3 Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dabei prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389).
1.4 Der zu beurteilende Sachverhalt hat sich in den Jahren 1999 bis 2004 verwirklicht. Am 1. Januar 2010 ist das liechtensteinische Gesetz vom 22. Oktober 2009 über die Mehrwertsteuer in Kraft getreten. Die bisherigen gesetzlichen Bestimmungen sowie die gestützt darauf erlassenen Vorschriften bleiben aber weiterhin auf alle während ihrer Geltungsdauer eingetretenen Tatsachen und entstandenen Rechtsverhältnisse anwendbar (Art. 107 MWSTG/2010). Im vorliegenden Fall ist daher in materiellrechtlicher Hinsicht für die Zeit bis Ende 2000 das liechtensteinische Gesetz vom 24. November 1994 über die Mehrwertsteuer (MWSTG/1995; LGBl. 1994, Nr. 84) und ab 1. Januar 2001 das liechtensteinische Gesetz vom 16. Juni 2000 über die Mehrwertsteuer (MWSTG/2001; LGBl. 2000, Nr. 163) anwendbar. Da das Gesetz das schweizerische Mehrwertsteuerrecht in weiten Teilen unverändert in das eigene Recht übernommen hat (vgl. Art. 1 Abs. 1 der MWST-Vereinbarung), kann bei der Beurteilung auf die entsprechende Lehre und Rechtsprechung zur schweizerischen Mehrwertsteuer abgestellt werden. Dies gilt, soweit keine abweichenden Gesetzesbestimmungen bestehen (Urteile 2C_836/2009 vom 15. Mai 2012; 2C_476/2010 vom 19. März 2012 sowie 2C_904/2008 vom 22. Dezember 2009, je E. 1.3). Das Verfahren richtet sich nach schweizerischem Recht (Art. 11 der MWST-Vereinbarung; Art. 66 Abs. 5 MWSTG/2010).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe A._ und die B._ als wirtschaftliche Einheit betrachtet, was sich als offensichtlich falsch erweise. Sämtliche Flüge, welche die Beschwerdeführerin der B._ in Rechnung gestellt habe, seien aus der Sicht der Letzteren geschäftlich notwendig und begründet.
Die Beschwerdeführerin übersieht, dass mit der Beschwerde an das Bundesgericht nur die Verletzung der materiellen Rechtsvorschriften der Mehrwertsteuergesetzgebung gerügt werden kann, nicht aber eine falsche Sachverhaltsfeststellung (vgl. E. 1.2). Obwohl sie mit den Begriffen der geschäftlichen Notwendigkeit und Begründetheit argumentiert, was auf eine vorzunehmende rechtliche Würdigung schliessen lassen könnte, betreffen ihre Vorbringen effektiv die Feststellung des Sachverhalts. Sie beachtet nämlich nicht, dass die Vorinstanz bei ihrer - für das Bundesgericht absolut verbindlichen - Sachverhaltsfeststellung ausführte, A._ habe die Flugzeuge zum überwiegenden Teil selbst genutzt. Mangels Unterlagen oder Bescheinigungen über die tatsächlichen Hintergründe der Flüge sei zu folgern, dass die Luftfahrzeuge in erster Linie den privaten Interessen des Berechtigten gedient hätten. Es geht dabei also entgegen dem von der Beschwerdeführerin implizit Vorausgesetzten nicht um die rechtliche Würdigung der festgestellten Sachumstände, sondern um die Sachverhaltsfeststellung an sich. Vor diesem Hintergrund ist im Übrigen auch die vorinstanzliche Feststellung betreffend die Betriebsnotwendigkeit der Zahlung der Flugkosten für die B._ zu verstehen, führt die Vorinstanz doch mit Verweis auf die Darstellung der Steuerverwaltung aus, die Bezahlung der Flugkosten durch die B._ könne als Vergütungsbestandteil für die von A._ an die B._ erbrachten Leistungen angesehen werden. Somit stellte die Vorinstanz entgegen dem Vorbringen der Beschwerdeführerin gerade nicht fest, dass die Flugzeuge für die Bedürfnisse der B._ verchartert worden seien.
Aufgrund des Ausgeführten kann auf die genannte Rüge der Beschwerdeführerin nicht eingetreten werden.
2.2 Die Beschwerdeführerin legt im weiteren dar, wieso A._ eine eidesstattliche Erklärung betreffend die Benutzung der Flugzeuge für geschäftliche Zwecke abgegeben habe, wie diese Erklärung gewürdigt werden müsse und dass damit der Beweis für die geschäftliche Begründetheit der Flüge offensichtlich rechtsgenügend erbracht sei.
Auch diese Ausführungen betreffen ausschliesslich die Frage, ob der massgebliche Sachverhalt durch die Vorinstanz korrekt festgestellt worden ist. Daran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin eine willkürliche Beweiswürdigung geltend macht.
Auf die fraglichen Rügen der Beschwerdeführerin kann daher ebenfalls nicht eingetreten werden.
2.3 Die Beschwerdeführerin rügt weiter die falsche Berechnung der Vorsteuerkürzung. Ihre Ausführungen befassen sich weitgehend mit der Ermittlung einzelner Bestandteile der zu kürzenden Vorsteuer und damit wiederum mit sachverhaltlichen Feststellungen. Soweit die Beschwerdeführerin mit ihrer Rüge auch Rechtsverletzungen geltend machen will, ist aufgrund ihrer Beschwerde nicht ersichtlich, worin diese liegen sollen, insbesondere inwiefern materielle Rechtsvorschriften der liechtensteinischen Mehrwertsteuergesetzgebung verletzt sein sollen.
Auf diese Rügen kann deshalb ebenfalls nicht eingetreten werden.
3. Die Beschwerdeführerin macht in Bezug auf die Steuerforderung für das Jahr 1999, für welches die Steuerverwaltung Vorsteuerkürzungen in Höhe von Fr. 407'554.-- vorgenommen habe, die Verjährung geltend. Sie rügt dabei eine falsche Anwendung von Art. 49 Abs. 2 MWSTG/2001 durch die Vorinstanz, indem diese zu Unrecht die von der Steuerverwaltung angeführten Schreiben vom 14. Dezember 2000 und 8. November 2004 als Unterbrechungshandlungen qualifiziert habe.
3.1 Nach Art. 49 Abs. 1 MWSTG/2001 verjährt die Steuerforderung fünf Jahre nach Ablauf des Kalenderjahres, in dem sie entstanden ist. Die Verjährung wird durch jede Einforderungshandlung und durch jede Berichtigung durch die zuständige Behörde unterbrochen (Art. 49 Abs. 2 erster Satz MWSTG/2001). Identische Bestimmungen enthält Art. 40 MWSTG/1995.
3.1.1 Die Einforderungshandlung ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung an keine besondere Form gebunden. Der Begriff der Einforderungshandlung ist daher weit zu fassen: Verjährungsunterbrechende Wirkung kommt bereits der blossen Mitteilung zu, mit welcher eine spätere Veranlagung erst in Aussicht gestellt wird (vgl. BGE 126 II 1 E. 2; Urteil 2C_426/2008 vom 18. Februar 2009 E. 6.3).
3.1.2 Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin hat die Vorinstanz die verjährungsunterbrechende Wirkung der Schreiben der Steuerverwaltung vom 14. Dezember 2000 und vom 8. November 2004 zu Recht bejaht. Die Beschwerdeführerin weist selber darauf hin, dass mit dem ersten Schreiben die Durchführung einer Revision bekannt gegeben wurde. Es ist offenkundig, dass in einer derartigen Mitteilung allfällige spätere Korrekturen betreffend die zu revidierenden Abrechnungsperioden und gestützt darauf eine Veranlagung bzw. eine Korrektur der bereits erfolgten Veranlagung in Aussicht gestellt werden. Dies trifft auch bezüglich des zweitgenannten Schreibens zu, mit welchem die Steuerverwaltung gemäss Darstellung der Beschwerdeführerin um Erläuterungen betreffend einen Teil der Abrechnung ersuchte. Stellt die Veranlagungsbehörde die Abrechnung oder Teile davon in Frage, indem sie zusätzliche Auskünfte verlangt, so ergibt sich implizit ohne Weiteres, dass sie allenfalls zur Korrektur der Veranlagung schreiten will. Dementsprechend hat eine solche Mitteilung verjährungsunterbrechende Wirkung. Die Rüge der Beschwerdeführerin betreffend Verjährung der Steuerforderung für das Jahr 1999 ist daher abzuweisen.
4. Die Steuerverwaltung hat im Ausgangsentscheid des vorliegenden Verfahrens eine Kürzung der geltend gemachten Vorsteuern vorgenommen und die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid diese Kürzung geschützt. Während die Steuerverwaltung die vorgenommene Kürzung damit begründete, es liege eine Steuerumgehung vor, schützte die Vorinstanz diese Kürzung, indem sie sich direkt auf Art. 38 ff. MWSTG/2001 bezog. Sie hielt fest, aus Art. 38 Abs. 1 und 2 MWSTG/2001 ergebe sich namentlich, dass Leistungen zum Vorsteuerabzug berechtigten, wenn sie in steuerbare Ausgangsleistungen bzw. Umsätze fliessen, d.h. einem geschäftlich begründeten Zweck dienen würden, nicht aber dann, wenn sie zu einer privaten Verwendung - insbesondere einer dem Alleinaktionär direkt zuzurechnenden Leistung - Anlass geben würden. Ausgehend von der Feststellung, die Tätigkeit der Beschwerdeführerin habe sich im Wesentlichen auf das Halten der hauptsächlich von ihrem wirtschaftlichen Berechtigten benutzten Flugzeuge beschränkt, kam die Vorinstanz zum Schluss, die umstrittenen Eingangsleistungen hätten überwiegend den privaten Interessen des wirtschaftlichen Berechtigten der Beschwerdeführerin gedient und seien folglich grösstenteils nicht in steuerbare Ausgangsumsätze geflossen.
4.1 Dieser Auffassung der Vorinstanz kann so nicht gefolgt werden.
4.1.1 Die Beschwerdeführerin ist eine Anstalt (Etablissement) gemäss dem 5. Titel, 1. Abschnitt des Liechtensteinischen Personen- und Gesellschaftsrechts vom 20. Januar 1926 (PGR; LR 216.0). Sie ist demnach gemäss Art. 534 PGR ein rechtlich verselbständigtes und organisiertes, dauernden wirtschaftlichen oder anderen Zwecken gewidmetes, ins Öffentlichkeitsregister als Anstalt eingetragenes Unternehmen, das einen Bestand von sachlichen, allenfalls persönlichen Mitteln aufweist. Diese Rechtsform ist dem schweizerischen Recht nicht bekannt. Aufgrund der rechtlichen Verselbständigung des Unternehmens gelten für sie jedoch bezüglich ihres Verhältnisses zu anderen Personen analoge Überlegungen, wie sie im schweizerischen Recht in Bezug auf juristische Personen vorzunehmen sind.
4.1.2 Die Vorinstanz übersieht, dass eine juristische Person und deren Beteiligter grundsätzlich zwei voneinander getrennte selbständige Rechtssubjekte darstellen. Ein Leistungsaustausch einer selbständigen juristischen Person ist ohne Weiteres auch mit nahestehenden Personen möglich und Leistungen gegenüber nahestehenden Personen sind mit Bezug auf das Steuerobjekt im Grundsatz (vgl. E. 4.1.4) nicht anders zu behandeln als Leistungen gegenüber unabhängigen Dritten. Dies ergibt sich aus dem Begriff des Leistungsaustauschs bei Lieferungen und Dienstleistungen im Sinn der Art. 5 ff. MWSTG/2001 (ebenso Art. 4 ff. MWSTG/1995), welche diesbezüglich keine Ausnahme oder abweichende Behandlung vorsehen (vgl. Urteile 2C_732/2010 vom 28. Juni 2012 E. 3 und 4.2; 2C_129/2012 vom 15. Juni 2012 E. 4.1; 2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 5.1; 2C_638/2010 vom 19. März 2012 E. 3.2 sowie 2C_476/2010 vom 19. März 2012 E. 2.1).
4.1.3 Diese Überlegungen gelten zwingend in gleicher Weise für die Beurteilung der Frage, ob die Voraussetzungen für den Vorsteuerabzug im Sinn von Art. 38 MWSTG/2001 (bzw. Art. 29 MWSTG/1995) gegeben sind. Dies ergibt sich daraus, dass gemäss Art. 38 Abs. 1 MWSTG/2001 (bzw. Art. 29 Abs. 1 MWSTG/1995) die steuerpflichtige Person die in der Bestimmung genannten Vorsteuern abziehen kann, sofern sie sie für einen in Absatz 2 genannten geschäftlichen Zweck verwendet, und dass in Absatz 2 der beiden Bestimmungen insbesondere steuerbare Lieferungen (lit. a) und steuerbare Dienstleistungen (lit. b) genannt werden, somit auf den Leistungsaustausch Bezug genommen wird.
Dem Terminus "geschäftlich", welcher in Art. 38 Abs. 1 MWSTG/2001, nicht aber in Art. 29 Abs. 1 MWSTG/1995 verwendet wird, kommt dabei im vorliegenden Kontext keine eigenständige Bedeutung zu. Bei der Beurteilung der Frage, ob eine geschäftliche Leistungserbringung vorliegt, ist massgebend, dass sich dieser Ausdruck auf einen weiten Bereich erstreckt; insbesondere handelt es sich dabei um einen objektiv festgelegten Begriff, da die Tätigkeit an sich, unabhängig von ihrem Zweck und ihrem Ergebnis, betrachtet werden muss (vgl. in diesem Sinn auch das Urteil des EuGH vom 26. Juni 2007 C-284/04 T-Mobile Austria, Slg. 2007 I-05189 Randnr. 35 mit Hinweis auf das Urteil des EuGH vom 21. Februar 2006 C-223/03 University of Huddersfield, Slg. I-01751 Randnrn. 45 ff.; ferner Urteil des EuGH vom 21. Februar 2006 C-255/02 Halifax, Slg. 2006 I-01609 Randnrn. 53 ff.).
Erbringt eine selbständige juristische Person im Rahmen ihrer Zweckbestimmung gegenüber einer anderen selbständigen Person steuerbare Lieferungen oder Dienstleistungen im Sinn von Art. 5 ff. MWSTG/2001 (bzw. Art. 4 ff. MWSTG/1995), also im Inland und insbesondere entgeltlich - d.h. im Rahmen eines Leistungsaustauschs -, so muss diese Leistungserbringung grundsätzlich immer als geschäftlich betrachtet werden, so lange die selbständige Existenz der beteiligten Personen anerkannt wird. Der Umstand, dass der Leistungsbezüger der Leistungserbringerin nahesteht, ist dabei unerheblich; ebenso spielt es keine Rolle, zu welchem Zweck der Leistungsbezüger die Leistung verwendet. Relevant ist lediglich, ob die leistende Unternehmung nach den Gesamtumständen erkennbar um der Gegenleistung willen leistet (vgl. Urteil des EuGH vom 27. Januar 2000 C-23/98 Heerma, Slg. 2000 I-00419 Randnrn. 17 ff.; Urteil des [deutschen] Bundesfinanzhofs [BFH] vom 16. März 1993, in: Umsatzsteuer-Rundschau [UR] 1993 S. 248; vgl. auch Urteil des BFH vom 5. Dezember 2007, in: UR 2008 S. 616, wonach die Nutzung von Gegenständen des Gesellschaftsvermögens oder anderer Leistungen der Gesellschaft für eigene Zwecke der Gesellschafter als entgeltliche Leistung bereits dann steuerbar ist, wenn die Gesellschaft hierfür Aufwendungsersatz auf gesellschaftsvertraglicher Grundlage erhält [a.a.O. E. 1b/bb]; siehe auch Urteil des BFH vom 18. Dezember 1996, in: UR 1998 S. 19, wo in E. 1 ausgeführt wird, bei der umsatzsteuerrechtlichen Beurteilung von Leistungen eines Gesellschafters an die Gesellschaft sei nach ständiger Rechtsprechung des BFH zu unterscheiden zwischen Leistungen, die gegen [Sonder-] Entgelt ausgeführt werden, und solchen, die als Gesellschafterbeitrag durch das Gesellschaftsverhältnis veranlasst sind und die durch die Beteiligung an Gewinn und Verlust der Gesellschaft abgegolten werden; die Beteiligten hätten es weitgehend in der Hand, Leistungen als - durch die Beteiligung an Gewinn und Verlust der Gesellschaft abgegoltenen [unentgeltlichen] - Gesellschafterbeitrag zu vereinbaren oder die entsprechenden Leistungen auf der Grundlage eines echten Austauschvertrags gegen Sonderentgelt zu erbringen; eine Personengesellschaft und ihre Gesellschafter könnten daher frei entscheiden, wie sie ihre Rechtsbeziehungen gestalten wollten).
Eine im Inland gegen Entgelt erbrachte Lieferung von Gegenständen oder Dienstleistung im Sinn von Art. 5 ff. MWSTG/2001 (bzw. Art. 4 ff. MWSTG/1995) berechtigt ohne Weiteres zur Geltendmachung des Vorsteuerabzugs, ungeachtet dessen, ob die Leistung an nahestehende Dritte erbracht wird.
4.1.4 Von der selbständigen Existenz der beteiligten Personen kann lediglich abgesehen werden, wenn die Voraussetzungen für einen Durchgriff gegeben sind. Dies ist dann der Fall, wenn die Berufung auf die rechtliche Unabhängigkeit der verschiedenen Personen in missbräuchlicher Weise erfolgt (vgl. BGE 132 III 737 E. 2.3 und 132 III 489 E. 3.2 mit Nachweisen, sowie Urteil 5A_587/2007 vom 28. Februar 2008 E. 2.1).
In diesem Sinn hat das Bundesgericht in den bereits zitierten neuesten Urteilen - welche alle ebenfalls das Halten und Zurverfügungstellen von Flugzeugen gegenüber nahestehenden Dritten betrafen - festgestellt, in ganz ausserordentlichen Situationen, in denen trotz Heranziehung des Normsinns als Auslegungsschranke eine Besteuerung oder eine Steuerbefreiung nicht möglich sei, das Ergebnis aber aufgrund der konkreten Ausgestaltung des Sachverhalts in hohem Mass als stossend erscheine bzw. einer Willkür gleichkäme, könne auf Steuerumgehung - im Sinn einer rechtsmissbräuchlichen Anrufung der Norm (vgl. dazu BGE 131 II 562 E. 3.5 S. 567 f. und 129 III 656 E. 4.1 S. 657 f.) - erkannt werden. Dabei würden die in der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Steuerumgehung genannten Kriterien - (1.) eine von den Beteiligten gewählte Rechtsgestaltung erscheint als ungewöhnlich (insolite), sachwidrig oder absonderlich, jedenfalls den wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen, (2.) es ist anzunehmen, dass die gewählte Rechtsgestaltung in missbräuchlicher Absicht lediglich deshalb getroffen wurde, um Steuern einzusparen, die bei sachgemässer Ordnung der Verhältnisse geschuldet wären, und (3.) das gewählte Vorgehen würde tatsächlich zu einer erheblichen Steuerersparnis führen, sofern es von den Steuerbehörden hingenommen würde - als tauglicher Prüfraster für die Abgrenzung der Steuerumgehung von der steuerlich zu akzeptierenden Steuervermeidung dienen (Urteil 2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 6.1 mit Hinweisen). Was die Beurteilung der gewählten Rechtsgestaltung, das sog. objektive Element, betrifft, ist gemäss dieser Rechtsprechung das Gewicht auf die völlige Unangemessenheit zu legen. Werde der Steuerumgehung das rechtsmissbräuchliche Anrufen einer Norm zugrunde gelegt, so könne die zweckwidrige, ohne schützenswertes Interesse erfolgende Rechtsausübung nicht unbeachtet bleiben.
Dies bedeutet, dass für die Annahme einer Steuerumgehung eine Sachverhaltsgestaltung vorliegen muss, die - wenn man von den steuerlichen Aspekten absieht - jenseits des wirtschaftlich Vernünftigen liegt. Eine solche Folgerung kann sich insbesondere auch aus dem Umstand ergeben, dass ein Steuerpflichtiger gesetzliche Bestimmungen für Situationen oder Sachverhalte in Anspruch nehmen will, welche nach den Vorstellungen des Gesetzgebers offensichtlich durch die Regelung nicht erfasst werden sollten. Das sog. subjektive Element spielt insofern eine entscheidende Rolle, als die Annahme einer Steuerumgehung ausgeschlossen bleibt, wenn andere als blosse Steuerersparnisgründe bei der Rechtsgestaltung eine relevante Rolle spielen. Wie sich im Kontext der Mehrwertsteuer deutlich zeigt, kann eine Steuerersparnis darin liegen, dass einerseits die Erhebung von Steuern vermieden wird, andererseits, dass zusätzliche Steuerrückvergütungen - beispielsweise mittels Vorsteuerabzug - bewirkt werden (vgl. Urteile 2C_732/2010 vom 28. Juni 2012 E. 5.1; 2C_129/2012 vom 15. Juni 2012 E. 5.1; 2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 6; 2C_638/2010 vom 19. März 2012 E. 4 sowie 2C_476/2010 vom 19. März 2012 E. 3). Für das europäische Umsatzsteuerrecht hielt der EuGH in analoger Weise fest, die Feststellung einer missbräuchlichen Praxis setze voraus, dass zum einen die fraglichen Umsätze trotz formaler Anwendung der Bedingungen der einschlägigen Bestimmungen der Sechsten Richtlinie und des zu ihrer Umsetzung erlassenen nationalen Rechts einen Steuervorteil zum Ergebnis haben, dessen Gewährung dem mit diesen Bestimmungen verfolgten Ziel zuwiderliefe, und dass zum anderen auch aus einer Reihe objektiver Anhaltspunkte ersichtlich sein müsse, dass mit den fraglichen Umsätzen im Wesentlichen ein Steuervorteil bezweckt werde, sei doch das Missbrauchsverbot nicht relevant, wenn die fraglichen Umsätze eine andere Erklärung haben können als nur die Erlangung von Steuervorteilen (Urteil des EuGH vom 22. Dezember 2010 C-103/09 Weald Leasing, Publikation in der amtlichen Sammlung vorgesehen, Randnrn. 29 f. mit Nachweisen).
4.1.5 Gemäss den dargelegten Voraussetzungen für die Annahme einer Steuerumgehung ist im Einzelfall aufgrund der konkreten Umstände einerseits zu prüfen, inwiefern und inwieweit die Sachverhaltsgestaltung jenseits des wirtschaftlich Vernünftigen liegt bzw. ob damit Steuervorteile erzielt werden sollen, deren Gewährung dem mit den angerufenen Bestimmungen verfolgten Ziel zuwiderläuft, andererseits, ob für die Sachverhaltsgestaltung andere als blosse Steuerersparnisgründe in Frage kommen oder ob solche nicht ersichtlich sind. Schliesslich ist gegebenenfalls zu prüfen, inwiefern die konkrete Ausgestaltung zu Steuervorteilen führen würde, wenn sie akzeptiert würde.
4.2 Im vorliegenden Fall hat der liechtensteinische Verwaltungsgerichtshof festgestellt, die Beschwerdeführerin habe - zumindest im Revisionszeitraum - in erster Linie den privaten Interessen des Alleinaktionärs gedient. Mit Verweis auf die Feststellungen der Steuerverwaltung führte er insbesondere aus, die Kapitalausstattung der Beschwerdeführerin sei sehr gering. Die Finanzierung der Luftfahrzeuge sei durch den wirtschaftlich Berechtigten erfolgt. Es seien von ihm Rangrücktrittserklärungen über das gewährte Darlehen abgegeben worden, da es der Beschwerdeführerin an Liquidität mangle. Er zahle der Beschwerdeführerin Bereitstellungskosten, die anhand des Betriebsergebnisses berechnet würden mit dem Ziel, dass die Beschwerdeführerin keine Verluste ausweise. Die Flugkosten pro Flugminute, welche gegenüber dem wirtschaftlich Berechtigten verrechnet worden seien, seien um einiges teurer als jene, welche gegenüber unabhängigen Dritten verrechnet würden (rund 50% bzw. 20% höhere Flugpreise). Dem Berechtigten stehe ein Vorrangrecht auf die Nutzung der Luftfahrzeuge zu, welches zu einer vollumfänglichen Nutzungssicherung führe. Dadurch sei gewährleistet, dass auch bei Zwischenschaltung der juristischen Person keine Nutzungseinbussen für den wirtschaftlich Berechtigten entstehen würden; er könne die Luftfahrzeuge nutzen bzw. über sie verfügen, wie wenn sie in seinem direkten Eigentum stünden. Der wirtschaftlich Berechtigte nutze die Flugzeuge zum überwiegenden Teil selbst; die Nutzung durch (nicht nahestehende) Dritte habe nur untergeordnete Bedeutung.
4.2.1 Es ist zu prüfen, welche Folgerungen sich aus diesen für das Bundesgericht verbindlichen (vgl. E. 1.2) Sachverhaltsfeststellungen durch die Vorinstanz ergeben.
4.2.2 Das Bundesgericht hat in den bereits zitierten neusten Urteilen festgehalten, es sei absonderlich und den wirtschaftlichen Gegebenheiten völlig unangemessen, wenn eine Gesellschaft in erster Linie dazu da sei, dem Alleinaktionär für dessen private Belange ein Flugzeug (oder einen Hubschrauber) zur Verfügung zu stellen. Zwar liege der Missbrauch nicht darin, dass für das Halten eines privat verwendeten Flugzeugs eine juristische Person gegründet werde. Missbräuchlich sei es jedoch, wenn mit einer solchen Gesellschaft überdies versucht werde, Steuern zu sparen.
Daher sei zu prüfen, ob sich der Einsatz der Gesellschaft bloss rechnet, weil damit vom Vorsteuerabzug profitiert werden könne. Werde das Flugzeug jedoch zu rein privaten Zwecken eingesetzt, so könne die Anmeldung bei der Mehrwertsteuer offensichtlich nur das Motiv der Steuerersparnis haben. In Bezug auf Sachverhalte, bei denen die Gesellschaft ihr Flugzeug ausschliesslich oder ganz überwiegend dem Beteiligten zur Verfügung gestellt hatte, kam das Bundesgericht daher zum Schluss, einer derartigen juristischen Person sei die Anerkennung als eigenständiges Steuersubjekt abzusprechen (vgl. Urteile 2C_732/2010 vom 28. Juni 2012 E. 5.4.2; 2C_129/2012 vom 15. Juni 2012 E. 5.3; 2C_836/2009 vom 15. Mai 2012 E. 6.3.2; 2C_638/2010 vom 19. März 2012 E. 4.3.3 und 2C_476/2010 vom 19. März 2012 E. 3.3.3).
4.2.3 Im vorliegenden Fall bestreitet die Beschwerdeführerin, dass steuerliche Motive für ihre Gründung vorgelegen hätten. Auf ihr Argument, wonach erhebliche Drittumsätze vorgelegen hätten, kann jedoch aufgrund der Bindung des Bundesgerichts an die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung von vorneherein nicht eingegangen werden. Massgebend ist die Feststellung der Vorinstanz, der wirtschaftlich Berechtigte könne die Luftfahrzeuge nutzen, wie wenn sie in seinem direkten Eigentum stünden und die Nutzung durch (nicht nahestehende) Dritte habe bloss untergeordnete Bedeutung. Es ist anzunehmen, dass bei der Gründung der Beschwerdeführerin auch Überlegungen zu den Haftungsrisiken eine Rolle spielten, welche sich bei privater und direkter Haltung nicht ohne Weiteres in gleicher Weise durch eine Versicherung hätten abdecken lassen, wie die Beschwerdeführerin geltend macht. Darauf kommt es nach dem Gesagten aber ebenfalls nicht an, sondern auf die Feststellung des Verwaltungsgerichtshofs, dass eine geschäftliche Nutzung der Flugzeuge nicht nachgewiesen ist und sie zu privaten Zwecken zur Verfügung gehalten wurden. Aus diesem Grund sind auch die geltend gemachten Überlegungen zur Diskretion und zur Nachfolgeplanung nicht entscheidend.
4.2.4 Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin ist sodann eine Steuerersparnis als Folge des gewählten Vorgehens zu bejahen. Massgebend ist nicht, ob die durchgeführten Flüge von der Umsatzsteuer befreit sind oder nicht. Entscheidend ist vielmehr wiederum, dass A._ sich nach den verbindlichen vorinstanzlichen Feststellungen ein Flugzeug zur jederzeitigen privaten Nutzung zur Verfügung hielt. Hätte er dieses Ziel ohne die vorliegend zur Diskussion stehende Zwischenschaltung einer eigenen Gesellschaft erreichen wollen, so hätte er ein Flugzeug mieten oder persönlich kaufen müssen. Es ist offensichtlich, dass A._ als Mieter oder privater Halter der Luftfahrzeuge die bei deren Ankauf bezahlte Einfuhrsteuer nicht als Vorsteuer geltend machen könnte, ebensowenig die weiteren anfallenden Vorsteuern.
4.2.5 Aufgrund der eben dargelegten Erwägungen betreffend Erzielung der Vorsteuerrückerstattung ergibt sich schliesslich ohne Weiteres, dass auch das Vorbringen der Beschwerdeführerin fehlgeht, sie habe gar keine Absicht der Steuerersparnis haben können.
4.2.6 Nach dem Ausgeführten kann kein Zweifel daran bestehen, dass die von der Beschwerdeführerin vorgenommene Gestaltung zu erheblichen Steuerersparnissen führen würde, indem sie beträchtliche Vorsteuern in Abzug bringen bzw. zurückfordern könnte.
4.3 Die Steuerverwaltung hatte somit eine Steuerumgehung zu Recht bejaht. Aufgrund dieser Feststellung nahm sie lediglich mit Blick auf den Leistungsaustausch mit dem Beteiligten einen Durchgriff vor, anerkannte demnach die weiteren Leistungsaustausche sowie die separate Existenz der Beschwerdeführerin als Steuerpflichtige. Dies erscheint dann als zutreffend, wenn die mit Dritten erzielten Umsätze als echtes Drittgeschäft qualifiziert werden können, indem sie als sekundäre Zwecke - neben dem Hauptzweck, dem Beteiligten ein Flugzeug zur Verfügung zu halten - zu anerkennen sind, und nicht bloss eine untergeordnete Bedeutung haben (vgl. zu einer solchen Konstellation Urteil 2C_732/2010 vom 28. Juni 2012 E. 5.5).
Es erübrigt sich vorliegend jedoch, weiter auf diese Frage einzugehen, wird doch die Vorgehensweise der Steuerverwaltung weder von der Vorinstanz noch von der Beschwerdeführerin in Frage gestellt. Gestützt auf Art. 107 Abs. 1 BGG, nach welchem das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen darf (vgl. dazu auch ULRICH MEYER/JOHANNA DORMANN, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, N. 4 zu Art. 107 BGG, wonach Art. 107 Abs. 1 BGG eine bewusste Abwendung von den bisherigen Regelungen u.a. im Bereich der Abgabestreitigkeiten bedeutet), wäre es dem Bundesgericht vorliegend ohnehin verwehrt, auf den vollständigen Durchgriff durch die Beschwerdeführerin zu erkennen. Infolge des Grundsatzes der Rechtsanwendung von Amtes wegen (vgl. Art. 106 Abs. 1 BGG) ist das Bundesgericht nicht an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252; 134 III 102 E. 1.1 S. 104). Die Vorinstanz nimmt im Ergebnis einen Durchgriff auf der Leistungsaustauschebene vor, indem sie dem Leistungsaustauschverhältnis zwischen der Beschwerdeführerin und ihrem Beteiligten die Anerkennung versagt. Dies führt zur Korrektur der entsprechenden Umsätze sowie der darauf entfallenden Vorsteuern. Mit der geänderten Begründung für diesen Durchgriff ist das angefochtene Urteil zu bestätigen.
5. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin zu auferlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 15'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Liechtensteinischen Steuerverwaltung, dem Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. August 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner