Sachverhalt:
A. A.a Die 1982 geborene F._ war seit 1. Dezember 2001 als Pflegeassistentin in einem Altersheim tätig und bei der SWICA Gesundheitsorganisation (nachfolgend SWICA) gegen Unfallfolgen versichert. Am 12. November 2003 erlitt sie beim Aussteigen aus dem Bus aufgrund eines Fehltritts einen Sturz, bei welchem sie sich am rechten Fuss verletzte. Die SWICA erbrachte die gesetzlichen Leistungen.
A.b Am 27. April 2006 meldete F._ Schmerzen am rechten Handgelenk als Spätfolge des Unfalls vom November 2003 an. Nach medizinischen Abklärungen, insbesondere nach Einholung eines Gutachtens des Dr. med. A._, Spezialarzt für Chirurgie FMH, Speziell Handchirurgie FMH, vom 12. Januar 2007, verneinte die SWICA mit Verfügung vom 15. Februar 2008 und Einspracheentscheid vom 14. Mai 2008 ihre Leistungspflicht für die Handgelenksbeschwerden mangels Vorliegens eines überwiegend wahrscheinlichen natürlichen Kausalzusammenhangs zum Ereignis vom 12. November 2003.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. November 2008 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt F._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien ihr die gesetzlichen Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung auszurichten, insbesondere seien ihr rückwirkend per 12. November 2003 Kostengutsprache für sämtliche im Zusammenhang mit der Behandlung der Unfallfolgen stehenden Pflegeleistungen zu erteilen sowie rückwirkend per Eintritt ihrer unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit per 12. Juni 2005 Taggelder entsprechend der jeweiligen Beeinträchtigung zuzusprechen; eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die SWICA zurückzuweisen. Gleichzeitig lässt F._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen.
Die SWICA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung vom 19. Mai 2009 wies das Schweizerische Bundesgericht, I. sozialrechtliche Abteilung, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels nachgewiesener Bedürftigkeit ab.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin aus dem versicherten Unfallereignis vom 12. November 2003 für die im April 2006 gemeldeten Handgelenksbeschwerden leistungspflichtig ist.
2.1 Im kantonalen Entscheid werden die nach der Rechtsprechung für den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (Art. 6 UVG) geltenden Voraussetzungen des natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (BGE 129 V 177 E. 3.1. S. 181), insbesondere bei Rückfällen und Spätfolgen (BGE 118 V 293 E. 2c S. 296) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Ebenfalls richtig sind die vorinstanzlichen Erwägungen zum Nachweis des Vorliegens eines natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem neuen Beschwerdebild und dem Unfall mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit. Im Sozialversicherungsprozess tragen die Parteien in der Regel eine Beweislast nur insofern, als im Falle der Beweislosigkeit der Entscheid zuungunsten jener Partei ausfällt, die aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten wollte. Diese Beweisregel greift allerdings erst Platz, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes aufgrund einer Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 326, U 180/93 und Nr. U 189 S. 138, U 119/92). Bei der Leistungspflicht der obligatorischen Unfallversicherung gemäss Art. 11 UVV für Rückfälle und Spätfolgen kann der Unfallversicherer nicht auf der Anerkennung des natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhanges beim Grundfall und bei früheren Rückfällen behaftet werden, weil die unfallkausalen Faktoren durch Zeitablauf wegfallen können. Es obliegt - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin - vielmehr dem Leistungsansprecher, das Vorliegen eines natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhanges zwischen dem als Rückfall oder Spätfolge geltend gemachten Beschwerdebild und dem Unfall nachzuweisen. Nur wenn die Unfallkausalität mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt ist, entsteht eine erneute Leistungspflicht des Unfallversicherers; dabei sind an den Wahrscheinlichkeitsbeweis umso strengere Anforderungen zu stellen, je grösser der zeitliche Abstand zwischen dem Unfall und dem Auftreten der gesundheitlichen Beeinträchtigung ist (SVR 2005 MV Nr. 1 S. 1, M 1/02 E. 1.2; RKUV 1997 Nr. U 275 S. 188, U 93/96 E. 1c am Ende; Urteil 8C_237/2009 vom 3. Juni 2009 E. 3.3).
2.2 Das kantonale Gericht hat die Auffassung der SWICA bestätigt, wonach ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis vom 12. November 2003 und den über zwei Jahre später gemeldeten Handgelenksbeschwerden nicht rechtsgenüglich nachgewiesen ist. Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Würdigung der Sach- und Rechtslage und ist nicht zu beanstanden. Daran vermögen die Ausführungen in der Beschwerde, die sich weitgehend auf eine Wiederholung des bereits vorinstanzlich Vorgetragenen beschränken, nichts zu ändern. Der Unfallversicherer hat im Rahmen der Untersuchungsmaxime den Sachverhalt abgeklärt und u.a. einen Spezialisten beigezogen. Dr. med. A._ kam in seinem Gutachten vom 12. Januar 2007, welches die von der Rechtsprechung (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) gestellten Anforderungen erfüllt, zum eindeutigen Schluss, dass der Unfall vom 12. November 2003 nicht Ursache der geklagten Handbeschwerden ist. Weder mit dem Bericht des PD Dr. med. B._ vom 11. Juli 2006, noch mit demjenigen der Frau Dr. med. C._ vom 14. März 2008, auf welche sich die Beschwerdeführerin beruft, lässt sich ein überwiegend wahrscheinlicher Kausalzusammenhang nachweisen, da sich ersterer gar nicht ausdrücklich zur Unfallkausalität äussert und sich aus zweiterem lediglich die Möglichkeit eines Kausalzusammenhangs zwischen dem Ereignis vom 12. November 2003 und den geklagten Handgelenksbeschwerden ergibt. Es kann hiezu auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde wird im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 (Abs. 2 lit. a) BGG mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den vorinstanzlichen Entscheid (Abs. 3) erledigt.
4. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten von der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. August 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch