Sachverhalt:
A. Der 1961 geborene E._ ist seit 1991 in der Firma X._ angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 22. Mai 1995 verunfallte er bei der Arbeit, indem er mit dem Kopf gegen ein Rohr stiess. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen und schloss den Fall mit Einspracheentscheid vom 30. Juli 1998, welchen das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit rechtskräftigem Beschwerdeentscheid vom 24. Februar 1999 bestätigte, folgenlos ab. Am 4. Oktober 2001 und 31. Juli 2002 erlitt der Versicherte als Autolenker Verkehrsunfälle (Heckauffahrunfall und seitliche Kollision mit anderem Fahrzeug). Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete ein Taggeld aus. Mit Verfügung vom 9. September 2005 und Einspracheentscheid vom 23. Januar 2006 stellte sie die Leistungen auf den 30. September 2005 ein. Zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zu einem versicherten Ereignis.
B. Die von E._ gegen den Einspracheentscheid vom 23. Januar 2006 erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 14. März 2007 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt E._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei die SUVA anzuweisen, ergänzende Sachverhaltsabklärungen zu treffen und danach eine Invalidenrente festzusetzen.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Mit Eingabe vom 31. Mai 2007 lässt E._ Arztberichte nachreichen.
Erwägungen:
1. Streitig ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung über den 30. September 2005 hinaus.
1.1 Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Bestimmung über die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers bei Berufsunfällen, Nichtberufsunfällen und Berufskrankheiten (Art. 6 Abs. 1 UVG) richtig wiedergegeben. Gleiches gilt für die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch nebst anderem erforderlichen natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen). Ebenfalls zutreffend dargelegt ist die Rechtsprechung über den zusätzlich zum natürlichen Kausalzusammenhang erforderlichen adäquaten Kausalzusammenhang. Danach spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen). Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen (BGE 117 V 359 E. 6 S. 366 ff. und 369 E. 4 S. 382 ff., 115 V 133 E. 6 S. 138 ff.). Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140), während bei Schleudertraumen (BGE 117 V 359 E. 6a S. 367) und äquivalenten Verletzungen der HWS (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) sowie Schädel-Hirntraumen (BGE 117 V 369 E. 4b S. 383) auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (vgl. zum Ganzen auch BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 und SVR 2007 UV Nr. 8 S. 27, E. 2 ff., U 277/04, je mit Hinweisen).
1.2 Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die sog. Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (noch nicht in der Amtlichen Sammlung veröffentlichtes Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008, E. 9 und 10). Die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze liess das Bundesgericht hingegen unverändert bestehen (E. 6.1 des erwähnten Urteils).
2. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, dass keine organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen vorliegen, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchten. Diese Beurteilung ist nach Lage der medizinischen Akten, welche verschiedene Arztberichte und die Ergebnisse bildgebender Untersuchungen enthalten, richtig. In der Beschwerde wird ebenfalls davon ausgegangen, dass keine nachweisbaren organischen Befunde vorliegen. Dennoch werden weitere Sachverhaltsabklärungen verlangt. Dass sich daraus zuverlässige Anhaltspunkte für eine organische Unfallschädigung ergeben könnten, ist indessen unwahrscheinlich. Auf Beweisergänzungen ist daher mit der Vorinstanz zu verzichten.
Der adäquate Kausalzusammenhang ist demnach, anders als bei organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen (vgl. E. 1.1 hievor), besonders zu prüfen. Dabei kann mit der Vorinstanz auf weitere Beweisvorkehren zur natürlichen Kausalität verzichtet werden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang ohnehin zu verneinen ist (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c). Trifft dies zu, erübrigen sich Weiterungen zu den die natürliche Kausalität und diesbezügliche Beweisfragen betreffenden Vorbringen des Beschwerdeführers.
3. Die Vorinstanz hat eine unfallbedingte Verletzung, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigen würde, ausgeschlossen. Zur Begründung wird im angefochtenen Entscheid ausgeführt, es sei nicht das gemäss Rechtsprechung für derartige Verletzungen typische Beschwerdebild aufgetreten. Die Adäquanz sei daher gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen zu prüfen.
Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten und im Sinne der bisherigen Rechtsprechung (BGE 117 V 359 E. 4b S. 360 und 369 E. 4b S. 382) zutreffend. Die Beschwerde äussert sich hiezu einzig insofern, als auf Schmerzen im Bereich der HWS, Parästhesien im Bereich der Finger beidseits und Verspannungen der Schultermuskulatur verwiesen wird. Das typische Beschwerdebild für der Schleudertrauma-Praxis unterliegende Verletzungen ist damit nicht dargetan. Eine solcher Gesundheitsschaden ist sodann im Lichte der mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 erhöhten Anforderungen an den Nachweis derartiger Verletzungen erst recht zu verneinen.
4. Bei der Adäquanzprüfung gelangte die Vorinstanz zum Ergebnis, die versicherten Ereignisse seien (höchstens) bei den mittelschweren Unfällen im Grenzbereich zu den leichten Unfällen einzuordnen. Sie beurteilte und verneinte sodann sämtliche adäquanzrelevanten Kriterien.
Der angefochtene Entscheid ist eingehend begründet und entspricht hinsichtlich der Einordnung der Unfallschwere und der dementsprechend erforderlichen Beurteilung weiterer unfallbezogener Kriterien in allen Teilen Gesetz und Praxis (BGE 115 V 133). Richtigzustellen ist einzig, dass entgegen der von der Vorinstanz vertretenen Auffassung die erlittenen Verletzungen bei der Prüfung der Unfallschwere nicht zu berücksichtigen sind (Urteil U 2, 3 und 4/07 vom 19. November 2007, E. 5.3.1). Dies ändert aber hier im Ergebnis nichts.
In der Beschwerde wird lediglich und ohne weitere Begründung eingewendet, der adäquate Kausalzusammenhang sei nach der allgemeinen Adäquanzformel zu beurteilen, wie sie im privaten Haftpflichtrecht Anwendung findet. Gemäss steter Praxis, von der abzuweichen kein Anlass besteht, dürfen indessen an den adäquaten Kausalzusammenhang in der sozialen Unfallversicherung höhere Anforderungen als im privaten Haftpflichtrecht gestellt werden und kann die Abgrenzung adäquater Unfallfolgen von inadäquaten in beiden Rechtsgebieten demnach unterschiedlich ausfallen (Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008, E. 8.1 mit Hinweisen). Dies gilt namentlich auch mit Blick auf die in der sozialen Unfallversicherung geltenden Grundsätze zur Adäquanzbeurteilung bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (BGE 123 V 98; in HAVE 2007 S. 272 zusammengefasstes Urteil 1A.230/2006 vom 5. Juni 2007, E. 3.2 mit weiteren Hinweisen und E. 3.3.3).
5. Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz eine weitere Leistungspflicht der SUVA über den 30. September 2005 hinaus zu Recht mangels Adäquanz verneint.
Hieran vermöchten die vom Beschwerdeführer nachträglich aufgelegten Arztberichte aus jüngerer Zeit nichts zu ändern. Diese begründen namentlich keine Zweifel an der auf die echtzeitlichen medizinischen Akten gestützten Beurteilung, wonach es an einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge und an einer Verletzung im Sinne der Schleudertrauma-Praxis fehlt. Entsprechendes wird vom Versicherten auch nicht geltend gemacht. Es erübrigen sich Weiterungen zur prozessualen Zulässigkeit der neu eingereichten Beweismittel.
6. Die Beschwerde ist somit offensichtlich unbegründet und im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. März 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz