Sachverhalt:
A. R._ (Jg. 1967) klagt nach einem im August 1995 erlittenen Unfall vor allem über rechtsseitige Hand-, Arm- und Schulterbeschwerden sowie über psychische Störungen. Mehrere bei der Invalidenversicherung seit 1996 gestellte Leistungsbegehren blieben trotz teilweise bis an die oberste Instanz weitergezogener Rechtsmittelverfahren ohne Erfolg. Letztmals lehnte die IV-Stelle des Kantons Freiburg nach Einholung eines interdisziplinären Gutachtens mit Verfügung vom 8. Juni 2006, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 7. September 2007, jegliche Leistungsgewährung ab.
B. Das Kantonsgericht Freiburg schützte diese Erkenntnis auf Beschwerde hin mit Entscheid vom 26. März 2010.
C. Beschwerdeweise lässt R._ unter Kritik am vorinstanzlichen Rechtsmittel- wie auch am vorausgegangenen Administrativverfahren beantragen, es seien der angefochtene Entscheid aufzuheben und ihm - ausgehend von einer 100%igen Erwerbsunfähigkeit - eine (ganze) Invalidenrente zu gewähren, eventuell die Sache zur Neuabklärung zurückzuweisen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst unter Hinweis auf die Erwägungen im kantonalen Entscheid auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG) - Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Im Übrigen wendet es das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Es prüft allerdings - unter Beachtung der allgemeinen Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind, und ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Fragen zu untersuchen, auch wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr aufgegriffen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Soweit der Beschwerdeführer - eventualiter - subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) erheben will, ist darauf hinzuweisen, dass die Voraussetzungen für eine Beschwerde in öffentlichrechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) erfüllt sind, weshalb seine hier zu behandelnde Eingabe ans Bundesgericht einzig als solche - und nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde - entgegenzunehmen ist (vgl. Urteil 8C_274/2008 vom 27. November 2008 E. 1.2).
2. Der Beschwerdeführer beanstandet den vorinstanzlichen Entscheid, weil er in Verletzung der Untersuchungspflicht (Art. 43 ATSG) gestützt auf Berichte nicht unabhängiger Untersuchungsstellen und in Missachtung der Waffengleichheit sowie des Öffentlichkeitsprinzips ergangen sei. Zudem sei ein Richter an der Entscheidfindung beteiligt gewesen, der in früheren seine Leistungsansprüche gegenüber der Invalidenversicherung betreffenden Verfahren schon als Gerichtsschreiber mitgewirkt und daher als befangen zu gelten habe. Ausdrücklich gerügt wird schliesslich eine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK, weil das kantonale Gericht von der Durchführung der beantragten öffentlichen Verhandlung abgesehen habe. Auf die darüber hinaus beanstandete Missachtung anderer internationaler Konventionen wird schon mangels genügender Substanziierung nicht weiter eingegangen.
2.1 Nicht einzusehen ist, weshalb ein Richter, der in einer früheren, längst rechtskräftig abgeschlossenen Streitsache des Beschwerdeführers als Gerichtsschreiber mitgewirkt hat, als befangen zu gelten hätte, sodass ein Ausstandsgrund gegeben wäre. Selbst wenn er damals schon als Richter mitgewirkt hätte, liesse sich gegen die erneute richterliche Teilnahme an der Entscheidfindung in einem neuen wiederum den Beschwerdeführer betreffenden Verfahren nichts einwenden. Insoweit ist die verfahrensrechtliche Beanstandung des Beschwerdeführers haltlos. Nicht ersichtlich ist, weshalb sich der Beschwerdeführer und auch das kantonale Gericht darüber aufhalten, ob nun ein Gerichtsschreiber-Berichterstatter am vorliegend zu beurteilenden vorinstanzlichen Verfahren mitgewirkt hat oder nicht. Gemäss Rubrum des angefochtenen Entscheids jedenfalls traf dies nicht zu. Die Mitwirkung eines bestimmten Gerichtsschreibers ist vom Beschwerdeführer denn auch gar nicht bemängelt worden, weshalb sie hier nicht zur Diskussion steht.
2.2 Weiter ist in formeller Hinsicht zu prüfen, ob der vorinstanzliche Prozess wesentliche verfahrensrechtliche Mängel aufweist, sodass der darin gefundene Entscheid keinen Bestand haben kann. Der Beschwerdeführer vertritt diese Auffassung, indem er geltend macht, das kantonale Gericht habe seinem Antrag, eine öffentliche Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK durchzuführen, nicht stattgegeben.
2.2.1 Nach der Rechtsprechung muss das kantonale Gericht, welchem es primär obliegt, die Öffentlichkeit einer Verhandlung zu gewährleisten (BGE 122 V 47 E. 3 S. 54), bei Vorliegen eines klaren und unmissverständlichen Parteiantrages grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung durchführen (BGE 122 V 47 E. 3a und b S. 55 f.). Von einer ausdrücklich beantragten öffentlichen Verhandlung kann es absehen, wenn der diesbezügliche Antrag der Partei als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwiderläuft oder sogar rechtsmissbräuchlich ist. Gleiches gilt, wenn sich ohne öffentliche Verhandlung mit hinreichender Zuverlässigkeit erkennen lässt, dass eine Beschwerde offensichtlich unbegründet oder unzulässig ist (BGE 122 V 47 E. 3b/cc und b/dd S. 56). Als weiteres Motiv für die Verweigerung einer beantragten öffentlichen Verhandlung fällt die hohe Technizität der zur Diskussion stehenden Materie in Betracht. Schliesslich kann das kantonale Gericht auf die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung verzichten, wenn es auch ohne eine solche allein auf Grund der Akten zum Schluss gelangt, dass dem materiellen Begehren der die Verhandlung beantragenden Partei zu entsprechen ist (BGE 122 V 47 E. 3b/ee und b/ff S. 57 f.; Urteil 9C_1034/2009 vom 8. Juni 2010 E. 2.2).
2.2.2 In seinem Urteil 9C_870/2009 vom 8. Juni 2010 hat sich das Bundesgericht näher mit der - als nicht einheitlich erkannten - Rechtsprechung sowohl des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) als auch des Bundesgerichts und des früheren Eidgenössischen Versicherungsgerichts zum Verzicht auf eine beantragte öffentliche Verhandlung im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren betreffend sozialversicherungsrechtliche Ansprüche auseinandergesetzt. Es hat dabei entschieden, dass in Verfahren mit hauptsächlich medizinischer Fragestellung eine bessere Eignung des schriftlichen Verfahrens nicht erkennbar ist, auch wenn Gegenstand einer allfälligen Verhandlung einzig die Auseinandersetzung mit den vorhandenen ärztlichen Stellungnahmen zum Gesundheitsschaden und der verbliebenen Arbeitsfähigkeit bildet. Es erkannte, bei der Würdigung medizinischer Berichte und der Beurteilung der Beweiskraft einander widersprechender ärztlicher Aussagen handle es sich um eine auf dem Gebiet des Sozialversicherungsrechts alltägliche und damit nicht "hochtechnische" Thematik im Sinne der Rechtsprechung (Urteil 9C_870/2009 vom 8. Juni 2010, E. 3.2; vgl. auch Urteil 9C_1034/2009 vom 8. Juni 2010, E. 2.4).
2.2.2 In seinem Urteil 9C_870/2009 vom 8. Juni 2010 hat sich das Bundesgericht näher mit der - als nicht einheitlich erkannten - Rechtsprechung sowohl des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) als auch des Bundesgerichts und des früheren Eidgenössischen Versicherungsgerichts zum Verzicht auf eine beantragte öffentliche Verhandlung im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren betreffend sozialversicherungsrechtliche Ansprüche auseinandergesetzt. Es hat dabei entschieden, dass in Verfahren mit hauptsächlich medizinischer Fragestellung eine bessere Eignung des schriftlichen Verfahrens nicht erkennbar ist, auch wenn Gegenstand einer allfälligen Verhandlung einzig die Auseinandersetzung mit den vorhandenen ärztlichen Stellungnahmen zum Gesundheitsschaden und der verbliebenen Arbeitsfähigkeit bildet. Es erkannte, bei der Würdigung medizinischer Berichte und der Beurteilung der Beweiskraft einander widersprechender ärztlicher Aussagen handle es sich um eine auf dem Gebiet des Sozialversicherungsrechts alltägliche und damit nicht "hochtechnische" Thematik im Sinne der Rechtsprechung (Urteil 9C_870/2009 vom 8. Juni 2010, E. 3.2; vgl. auch Urteil 9C_1034/2009 vom 8. Juni 2010, E. 2.4).
2.3 2.3.1 Das vorliegende, eine Rente der Invalidenversicherung betreffende Verfahren stellt eine Streitigkeit über einen zivilrechtlichen Anspruch im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK dar (BGE 125 V 499 E. 2a S. 501, 122 V 47 E. 2a S. 50 mit Hinweisen; SVR 2006 IV Nr. 1 E. 3.3 [I 573/03]). Auch liegt unbestrittenermassen ein rechtzeitig gestellter unmissverständlicher Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung vor (vgl. BGE 122 V 47 E. 3b/bb S. 56 und Urteil 9C_1034/2009 vom 8. Juni 2010, E. 2.3).
2.3.2 Das kantonale Gericht hat mit der Begründung keine öffentliche Verhandlung durchgeführt, dass von einer Anhörung des Beschwerdeführers wie auch von weiteren Beweismassnahmen - in antizipierter Beweiswürdigung - keine neuen Erkenntnisse zu erwarten seien, dass die Beurteilung des umstrittenen Sachverhalts nicht vom persönlichen Eindruck des Beschwerdeführers, sondern in erster Linie von den Akten abhänge, was insbesondere für die Beurteilung der "medizinisch-technischen" Arbeitsfähigkeit gelte, und dass das aus medizinischen Laien bestehende Gericht nicht in der Lage wäre, aus seinem persönlichen Eindruck vom Beschwerdeführer eine verlässlichere Beurteilung zu gewinnen als aus dem Studium der medizinischen Akten.
2.3.3 Diese Argumentation vermag im Lichte der dargestellten Rechtslage (E. 2.2 hievor) nicht zu überzeugen. Es ist daher unumgänglich, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese den Verfahrensmangel beheben und die vom Beschwerdeführer verlangte öffentliche Verhandlung durchführen kann. Hernach wird sie über die Beschwerde materiell neu befinden (vgl. Urteil 9C_1034/2009 E. 2.5 f.). Dabei wird sie erneut beurteilen, welche Schlüsse sie aus den medizinischen Unterlagen zieht. Auf die diesbezüglichen Ausführungen in der vorliegenden Beschwerde ist daher nicht weiter einzugehen.
3. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG) von der Beschwerdegegnerin als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese schuldet dem Beschwerdeführer überdies eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 2 BGG), womit dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Kantonsgerichts Freiburg, Sozialversicherungsgerichtshof, vom 26. März 2010 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 7. September 2007 neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Freiburg, Sozialversicherungsgerichtshof, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl