Faits:
A. Les époux X._ sont en instance de divorce depuis le 21 novembre 2006.
Par ordonnance de mesures provisoires du 21 juin 2007, le Tribunal de première instance du canton de Genève a maintenu l'autorité parentale conjointe sur les deux enfants du couple, instauré une garde alternée et condamné X._ à payer en mains de son épouse une contribution mensuelle d'entretien de 1'000 fr. par enfant dès le 27 mars 2007, "à charge pour celle-ci de payer les frais courants des enfants (cotisations d'assurance-maladie, frais de repas scolaires, de cours privés, de garde et de thérapie)".
B. Le 13 mars 2008, dame X._ a sollicité de nouvelles mesures provisoires, réclamant l'autorité parentale et la garde des enfants, sous réserve de l'attribution d'un large droit de visite au père. Celui-ci s'est opposé à ces conclusions et a demandé la suppression de la contribution d'entretien mise à sa charge.
Par jugement du 19 juin 2008, le Tribunal de première instance a confié à la mère la garde des enfants et fixé le droit de visite du père; il a rejeté les conclusions de celui-ci tendant à la suppression de la contribution d'entretien, qui est demeurée inchangée.
Statuant sur appel des deux parties, la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 20 mars 2009, attribué à dame X._ l'autorité parentale et la garde des enfants et modifié le droit de visite du père. Elle a confirmé le jugement pour le surplus.
C. Sur réquisition de dame X._, l'office des poursuites du canton de Genève a notifié à X._ un commandement de payer le montant de 22'000 fr. avec intérêt à 5 % l'an dès le 1er octobre 2007 (poursuite n° xxxx). Cet acte, auquel le poursuivi a fait opposition totale, indique comme titre de la créance que le montant réclamé correspond aux contributions d'entretien dues aux enfants pour les mois d'avril 2007 à février 2008 selon le jugement du 21 juin 2007.
Le 5 février 2009, le Tribunal de première instance a admis la requête de mainlevée définitive de l'opposition formée par la poursuivante.
Par arrêt du 7 mai 2009, la Cour de justice a rejeté l'appel interjeté par le poursuivi.
D. Celui-ci dépose un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire contre cet arrêt, concluant à son annulation en ce sens que la requête de mainlevée est rejetée.
E. Par ordonnance du 23 juin 2009, la demande de jonction avec la cause 5A_271/2009 (recours contre l'arrêt de la Cour de Justice du 20 mars 2009) et la requête d'effet suspensif ont été rejetées.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le prononcé de mainlevée (définitive ou provisoire) de l'opposition peut faire l'objet d'un recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. a LTF) lorsque la valeur litigieuse s'élève au moins à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF; ATF 133 III 399 consid. 1.3) ou, exceptionnellement et pour autant que cela soit démontré (art. 42 al. 2 LTF; cf. ATF 133 III 439 consid. 2.2.2.1), lorsque la contestation soulève une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF).
En l'occurrence, la valeur litigieuse est inférieure à 30'000 fr., mais le recourant soutient que le présent litige pose une question juridique de principe.
1.2 La notion de question juridique de principe doit être interprétée de manière restrictive (ATF 134 III 267 consid. 1.2). Elle doit avoir une valeur de principe, soit une portée générale (ATF 134 III 267 consid. 1.2). Il ne peut donc s'agir d'appliquer des règles connues à un cas particulier, même atypique (ATF 133 III 493 consid. 1.2; arrêts 5A_125/2007 du 20 septembre 2007 consid. 2.2.2; 5A_241/2007 du 9 août 2007 consid. 3.1). Le Tribunal fédéral doit donner une réponse qui ne vaut pas seulement pour le cas d'espèce, mais permet de résoudre un nombre indéterminé de cas futurs (BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, 2009, n° 36 ad art. 74 LTF).
La question soulevée par la présente cause consiste à savoir si le paiement de la contribution, telle qu'elle est formulée dans le dispositif de l'ordonnance du 21 juin 2007, est soumise à la condition que la mère justifie l'affectation des montants reçus aux besoins des enfants, tels qu'ils ont été arrêtés par dite ordonnance. Une telle question dépend uniquement de l'interprétation du dispositif; elle est donc dépourvue de portée générale et ne saurait avoir valeur de principe. Partant, l'écriture est irrecevable en tant que recours en matière civile.
1.3 En revanche, le recours est recevable en tant que recours constitutionnel subsidiaire au sens des art. 113 ss LTF. Il s'en prend en effet à une décision rendue par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF, auquel renvoie l'art. 114 LTF), qui met fin à la procédure de mainlevée d'opposition, c'est-à-dire à une décision finale (art. 90 LTF, auquel renvoie l'art. 117 LTF; ATF 133 III 399 consid. 1.4). Le recourant a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée (art. 115 LTF). Enfin, le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF par renvoi de l'art. 117 LTF).
2. Le recours constitutionnel ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Dans ce cadre, le recourant doit, comme sous l'empire de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, satisfaire au principe d'allégation («Rügeprinzip»; ATF 133 III 638 consid. 2); il doit indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle a été violée et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste cette violation; le Tribunal fédéral n'examine en effet de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF, par renvoi de l'art. 117 LTF), à savoir s'ils ont été expressément soulevés et exposés d'une façon claire et détaillée (ATF 133 III 439 consid. 3.2).
3. Le recourant dénonce une violation de son droit d'être entendu au motif que l'autorité précédente n'a pas traité sa requête, formulée dans son écriture d'appel, d'édition du dossier C/27826/2006. Il considère également qu'en refusant de statuer sur cette requête, la Cour de justice a violé le principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 Cst.).
3.1 Le droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) comprend notamment le devoir minimum pour l'autorité d'examiner et de traiter les problèmes pertinents (ATF 126 I 97 consid. 2b). Ce devoir est violé lorsque le juge ne prend pas en considération des allégués, arguments, preuves et offres de preuve présentés par l'une des parties et importants pour la décision à rendre. Il incombe à la partie soit-disant lésée d'établir que l'autorité n'a pas examiné certains éléments qu'elle avait régulièrement avancés à l'appui de ses conclusions et que ces éléments étaient de nature à influer sur le sort du litige. Cependant, le juge n'a pas l'obligation de discuter tous les arguments invoqués, de sorte qu'il ne peut lui être reproché, au titre de la violation du droit d'être entendu en procédure contradictoire, de n'avoir pas réfuté, même implicitement, un moyen objectivement dénué de toute pertinence (ATF 133 III 235 consid. 5.2 et les références).
3.2 En l'espèce, l'argumentation du recourant, qui se borne à affirmer que la cour cantonale n'a pas examiné sa requête en édition du dossier n'est pas suffisamment motivée (art. 106 al. 2 LTF). Il n'explique pas en quoi ce moyen de preuve était pertinent pour l'issue du litige. Il dit certes qu'il avait requis dans son écriture d'appel l'édition de ce moyen de preuve mais n'explique pas pourquoi cette requête était conforme aux règles de procédure cantonale applicables, en l'espèce les règles de la procédure sommaire qui se caractérisent par une certaine célérité. Faute de motivation adéquate, le grief est irrecevable.
3.3 Le grief tiré d'une violation du principe de la bonne foi ne sera pas examiné pour le même motif, le recourant se contentant d'énoncer, sans autre explication, que le refus de la Cour de justice de statuer sur sa requête en édition du dossier C/27826/2006 viole ce principe constitutionnel.
3.4 Quant au reproche de ne pas avoir motivé la décision de verser au dossier la pièce produite par l'intimée lors de l'audience d'appel, le recourant ne peut se plaindre d'une violation de son droit d'être entendu dès lors qu'interpellé à ce sujet, il a admis que cette pièce soit versée en cause. Il ne peut donc se prétendre lésé par cette décision ni ignorer les raisons pour lesquelles la cour cantonale a admis ce moyen de preuve.
4. Le recourant se plaint d'une application arbitraire des règles de procédure cantonale, en particulier de l'art. 292 de la loi de procédure civile du canton de Genève (ci-après : LPC/GE; RS GE E 3 05), au motif que la Cour de justice a admis la production de l'arrêt cantonal rendu sur appel dans la procédure de modification de mesures provisoires.
4.1 Dans le cadre de l'appel extraordinaire prévu par l'art. 292 LPC/GE - seul ouvert contre les prononcés de mainlevée (art. 23 al. 2 LALP/GE) - la production de pièces nouvelles, à savoir non soumises au premier juge, est par principe exclue (arrêt 5P.460/2006 du 17 janvier 2007 consid. 4.3; SJ 1995 p. 329 n° 50). Cela étant, il ressort du dossier que le recourant a admis le dépôt de la pièce nouvelle. Une telle convention de procédure est admissible dès lors qu'elle ne déroge à aucune règle de droit fédéral (BERTOSSA/GAILLARD/GUYET/SCHMIDT, Commentaire de la loi de procédure civile genevoise, n. 9 ad art. 1 LPC). Dans le cadre de la procédure sommaire applicable aux décisions rendues en matière de mainlevée d'opposition, le droit fédéral impose une procédure sommaire qui se caractérise par sa rapidité et une administration des preuves limitée en principe aux moyens immédiatement disponibles (art. 25 ch. 2 let. a LP; arrêt 5P.130/1999 du 4 juin 1999 consid. 4a; cf. PIERRE-ROBERT GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, n. 23 ad art. 25 LP).
En l'espèce, cela signifie que l'accord des parties de verser en cause la pièce proposée par l'intimée ne contrevient à aucune règle de droit fédéral et était, partant, admissible. Dans ces conditions, le recourant ne saurait, en vertu du principe de la bonne foi (art. 2 al. 2 CC) applicable dans l'ensemble des domaines du droit, y compris la procédure civile (ATF 132 I 249 consid. 5; 126 I 165 consid. 3b; 107 Ia 206 consid. 3a p. 211 et les références), reprocher à la cour cantonale d'avoir administré le moyen de preuve qu'il a admis. Ce comportement contradictoire ne saurait être protégé.
5. Le recourant reproche encore à l'autorité précédente d'avoir violé son droit d'être entendu et l'art. 6 CEDH en ne lui donnant pas l'occasion de se déterminer sur cette pièce nouvelle.
5.1 Compris comme l'un des aspects de la notion générale de procès équitable au sens de l'art. 29 al. 1 Cst., le droit d'être entendu garanti à l'alinéa 2 de cette norme constitutionnelle comprend notamment le droit pour une partie à un procès de prendre connaissance de toute prise de position soumise au tribunal et de se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement susceptible d'influer sur le jugement à rendre. Il s'agit d'une concrétisation du droit à une procédure équitable, consacré par l'art. 29 al. 1 Cst., qui correspond à la garantie similaire que l'art. 6 ch. 1 CEDH confère à l'égard des autorités judiciaires proprement dites. Selon la jurisprudence européenne relative à l'art. 6 ch. 1 CEDH, il appartient en effet aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Elles doivent à cette fin pouvoir s'exprimer dans le cadre de la procédure, ce qui suppose que la possibilité leur soit concrètement offerte de faire entendre leur point de vue. En ce sens, il existe un véritable droit à la réplique qui vaut pour toutes les procédures judiciaires (ATF 133 I 98 consid. 2.1). Lorsque le droit de procédure applicable ne prévoit pas de communication de la prise de position, l'autorité doit informer la partie du dépôt de celle-ci et de la possibilité de se déterminer à son sujet. S'il ne prévoit en principe qu'un seul échange d'écritures, l'autorité peut se limiter dans un premier temps à communiquer la prise de position à titre d'information, sans avis formel de la possibilité de répliquer; la partie est ainsi mise en situation de faire ou non usage de cette possibilité; si elle s'en abstient, elle est censée y avoir renoncé (ATF 132 I 42 consid. 3.3.3).
5.2 En l'espèce, lorsque l'intimée a déposé lors de l'audience d'appel la pièce nouvelle, le recourant, interpellé à ce sujet, ne s'y est pas opposé. Il a annoncé lors de sa plaidoirie son intention de recourir au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. S'il souhaitait faire des observations au sujet de la pièce, il lui appartenait de le faire savoir immédiatement, ce qu'il ne prétend pas avoir fait. Contrairement à ce qu'il soutient, la cour cantonale n'était pas tenue de l'informer expressément de son droit de se déterminer sur le contenu de cette pièce. Faute de réaction de sa part, elle était légitimée à partir du principe qu'il renonçait à faire usage de ce droit. Il n'y a par conséquent pas eu d'atteinte au droit d'être entendu de l'intéressé.
6. Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir restreint son pouvoir d'examen en se référant à l'arrêt rendu par la Cour de justice le 20 mars 2009.
6.1 En vertu du droit d'être entendu, une autorité judiciaire ne peut restreindre son pouvoir d'examen à l'arbitraire alors que le droit applicable lui attribue un contrôle complet de la décision attaquée (ATF 131 II 271 consid. 11.7.1 et les arrêts cités).
6.2 En l'espèce, le seul fait d'adopter les mêmes considérations qu'une autre autorité judiciaire ne signifie pas que l'autorité cantonale aurait tranché l'affaire sur la base d'un pouvoir d'examen différent de celui que la loi lui impose. L'arrêt attaqué ne contrevient donc pas au droit d'être entendu du recourant pour le motif énoncé.
7. Le recourant estime que la mainlevée accordée par les juges cantonaux viole l'interdiction de l'arbitraire.
7.1 Le créancier qui est au bénéfice d'un jugement exécutoire peut requérir du juge la mainlevée définitive de l'opposition (art. 80 al. 1 LP). Les décisions de mesures protectrices de l'union conjugale et de mesures provisoires constituent des titres de mainlevée définitive pour les contributions d'entretien qui y sont fixées (arrêt 5A_104/2007 du 9 août 2007 consid. 2.1), à condition que l'obligation de payer les contributions et le montant à verser ressortent clairement du jugement (ATF 135 III 315 consid. 2).
En ce qui concerne les moyens libératoires que peut élever l'opposant, celui-ci peut prouver par titre que la dette a été éteinte ou qu'il a obtenu un sursis, postérieurement au jugement, ou se prévaloir de la prescription (art. 81 al. 1 LP). Dans la procédure de mainlevée définitive, le juge n'a ni à revoir, ni à interpréter le titre de mainlevée qui lui est produit (ATF 124 III 501 consid. 3a; 113 III 6 consid. 1b). Si le jugement sur la base duquel la mainlevée est requise est peu clair ou incomplet, il appartient au juge du fond de l'interpréter ou de le compléter (ATF 113 III 6 consid. 1b), selon les formes prévues par le droit cantonal (cf. art. 153 et 161 de la LPC/GE, aux termes desquels l'interprétation d'un jugement doit être requise dans les 30 jours à compter de sa notification). Cela ne signifie toutefois pas que le juge de la mainlevée n'aurait pas à tenir compte d'autre chose que du dispositif du jugement invoqué à l'appui de la requête de mainlevée; il peut au contraire se reporter aux motifs du jugement pour rechercher si ce dernier constitue bien le titre nécessaire pour justifier la continuation de la poursuite; ce n'est que si le sens du dispositif est douteux et que ce doute ne peut être levé à l'examen des motifs que la mainlevée peut être refusée (ATF 134 III 656 consid. 5.3 et les réf. citées).
7.2 Le recourant prétend que sa dette est éteinte car la mère ne s'est pas acquittée des frais courants relatifs aux enfants, ce qui était selon lui une condition pour que les contributions aux enfants soient dues. Il soutient que cette condition ressort du dispositif de l'ordonnance du 21 juin 2007 qui le condamne à verser à son épouse 1'000 fr. par mois pour l'entretien de chaque enfant, « à charge pour dame X._ de prendre à sa charge les frais courants des enfants (cotisations assurance-maladie, frais de repas scolaires, frais d'animation, frais de cours privés, frais de garde et frais de thérapie) ».
En l'espèce, à lire ce dispositif, il n'apparaît pas que l'obligation de payer soit soumise à la condition que la mère prenne en charge les frais courants. Comme l'a relevé l'autorité précédente, cette formulation s'explique par la garde alternée dont disposaient les parents sur les deux enfants. Comme ceux-ci passaient presque autant de temps avec leur père qu'avec leur mère, le tribunal de première instance a ainsi entendu préciser que l'obligation financière du père se limite au paiement de la contribution d'entretien, la mère assumant les frais courants des enfants. Les motifs de l'ordonnance corroborent cette conclusion. Il en ressort qu'au moment de leur séparation, les époux avaient convenu de pratiquer une garde alternée et que, s'agissant des frais liés aux enfants, la mère prendrait en charge les primes d'assurance-maladie, les frais parascolaires et les frais de cuisine scolaires tandis que le père verserait à l'épouse 1'000 fr. par mois pour l'entretien des enfants, puis 1'500 fr. dès le mois d'octobre 2006. Le Tribunal de première instance a ensuite considéré que, comme le père avait cessé depuis décembre 2006 de verser à l'épouse une quelconque contribution et s'était contenté de s'acquitter des frais d'entretien des enfants lorsque ceux-ci étaient chez lui, il se justifiait de préciser la répartition entre les parties des frais liés aux enfants. Après avoir constaté le coût de l'entretien de chaque enfant, il a fixé la contribution d'entretien due par le père à 1'000 fr. par enfant en précisant qu'il appartenait à la mère de se charger des frais courants liés aux enfants. Il apparaît ainsi clairement que cette formulation, reprise ensuite dans le dispositif, avait uniquement pour but de clarifier la répartition des frais entre les parents et de préciser que la contribution du père à l'entretien des enfants se limitait au versement de 1'000 fr. par mois et par enfant.
Dès lors que l'exécution de l'ordonnance condamnant au paiement des contributions d'entretien n'était pas soumise à condition, les critiques du recourant tombent à faux.
7.3 Le recourant estime que l'ordonnance du 21 juin 2007 n'était pas exécutoire car une procédure en modification des mesures provisoires était pendante dans laquelle il demandait de revoir les contributions fixées avec effet rétroactif.
7.3.1 Parmi les moyens libératoires qui remettent en cause l'existence ou l'exigibilité de la créance déduite en poursuite (art. 81 al. 1 LP) figure la modification du jugement sur lequel le poursuivant se fonde pour requérir la mainlevée définitive de l'opposition (ATF 55 II 161; Pierre-Robert Gilliéron, op. cit., n. 51 ad art. 81 LP; cf. Staehelin, op. cit., n. 47 ad art. 80 LP). Toutefois, tant selon la doctrine que selon la jurisprudence, un jugement portant condamnation à verser une contribution d'entretien constitue un titre de mainlevée définitive tant qu'il n'a pas été modifié par un nouveau jugement entré en force de chose jugée (arrêt 5P.82/2002 du 11 avril 2002 consid. 3b; Staehelin, loc. cit. et les arrêts cantonaux cités; Bühler/Spühler, Commentaire bernois, vol. II/1/1/2, 1980, n. 190 ad art. 157 CC), c'est-à-dire qui est devenu définitif, parce qu'il ne peut plus être attaqué par une voie de recours ordinaire qui, de par la loi, a un effet suspensif (Staehelin, op. cit., n. 7 ss ad art. 80 LP).
7.3.2 Au moment où l'arrêt attaqué a été rendu, la demande de modification de la contribution d'entretien avait été rejetée par la Cour de justice. C'est dire que le recourant ne pouvait se prévaloir d'aucun jugement entré en force de chose jugée modifiant les contributions allouées dans le titre de mainlevée. Il n'y avait par conséquent aucun arbitraire à considérer que l'intimée était au bénéfice d'un titre exécutoire au sens de l'art. 81 LP.
8. Dans un dernier grief, le recourant prétend que l'arrêt attaqué est contraire à l'ordre public. Il ne s'agit toutefois pas d'un droit constitutionnel et son argument ne peut donc être examiné dans le présent recours (cf. consid. 2 supra). En tant qu'il affirme péremptoirement que la procédure suivie l'a exposé à l'arbitraire de l'Etat et viole l'art. 6 § 1 CEDH et aboutit à un résultat choquant, ses reproches sont beaucoup trop vagues et donc insuffisamment motivés (art. 106 al. 2 LTF).
9. La demande tendant à la suspension de la présente affaire jusqu'à droit connu dans la cause 5A_271/2009 est sans objet au vu de l'arrêt rendu par le Tribunal fédéral dans cette cause le 29 juin 2009.
10. Au vu de ce qui précède, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée qui n'a pas été invitée à se déterminer.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La requête de suspension est sans objet.
2. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la 1ère Section Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 15 septembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Rey-Mermet