Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der kantonale Rekurs des Beschwerdeführers vom 29. Dezember 2007 richtete sich gegen einen Einstellungsbeschluss der Staatsanwaltschaft vom 10. Januar 2007 (angefochtener Entscheid S. 4 E. 1). Dieser Beschluss war nur dem Beschuldigten, aber entgegen der Regelung in der Strafprozessordnung nicht dem Beschwerdeführer als Anzeigeerstatter zugestellt worden (angefochtener Entscheid S. 2 E. 6). Insoweit war das kantonale Verfahren mangelhaft.
Die Vorinstanz stellt indessen fest, im Rahmen eines denselben Beschuldigten betreffenden zweiten Verfahrens, welches eine "Privatklage" des Beschwerdeführers vom 17. August 2007 betrifft, sei dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers mitgeteilt worden, dass das erste Strafverfahren, um welches es heute geht, am 10. Januar 2007 eingestellt worden sei. Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers habe diesen mit einem Mail, welches der Beschwerdeführer spätestens am 17. September 2007 gelesen habe, über die Einstellung vom 10. Januar 2007 orientiert. In der Folge hätten der Beschwerdeführer bzw. sein Rechtsvertreter nichts gegen den Einstellungsbeschluss vom 10. Januar 2007 unternommen, obwohl insbesondere dem Rechtsvertreter bewusst gewesen sei, dass gegen Einstellungsbeschlüsse nur innert zehn Tagen Rekurs erhoben werden könne. Der Rekurs vom 29. Dezember 2007 sei deshalb verspätet, weshalb darauf nicht eingetreten werden könne (angefochtener Entscheid S. 4/5 E. 3).
Mit dieser entscheidenden Erwägung befasst sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht. Was er statt dessen unter "Formelles" vorbringt (vgl. Beschwerde S. 4 Ziff. 2 - 4), geht an der Sache vorbei. Bei der "Privatklage" vom 17. August 2007 (vgl. a.a.O. Ziff. 2) kann es sich nicht um einen Rekurs gegen die Einstellung vom 10. Januar 2007 gehandelt haben, weil der Beschwerdeführer im August 2007 vom Einstellungsbeschluss noch gar keine Kenntnis hatte. Beim Schreiben vom 18. September 2007 (vgl. a.a.O. Ziff. 3), welches der Beschwerdeführer seiner Eingabe vor Bundesgericht beigelegt hat, handelt es sich ebenfalls nicht um einen Rekurs, sondern ausdrücklich um eine "Dienstaufsichtsbeschwerde", die das Verhalten der Staatsanwaltschaft "in disziplinarrechtlicher Hinsicht" betrifft, und die denn auch an das Sekretariat des Justizdepartements gerichtet war. Und der Rekurs vom 3. Oktober 2007 (vgl. a.a.O. Ziff. 4), welcher der Eingabe vor Bundesgericht ebenfalls beiliegt, richtet sich "gegen die am 1. Oktober 2007 zugestellte Einstellung des Verfahrens". Am 1. Oktober 2007 wurde dem Beschwerdeführer indessen ein Beschluss vom 11. September 2007 zugestellt, mit welchem auf seine "Privatklage" vom 17. August 2007 nicht eingetreten wurde (angefochtener Entscheid S. 3 Ziff. 8). Der Rekurs vom 3. Oktober 2007 richtet sich somit gemäss der darin enthaltenen Begründung ausdrücklich gegen die Einstellung des zweiten Verfahrens, welches auf die "Privatklage" des Beschwerdeführers vom 17. August 2007 hin eröffnet worden war.
Auch die "materiellen" Vorbringen des Beschwerdeführers gehen an der Sache vorbei (vgl. Beschwerde S. 5/6 Ziff. 1 - 6).
Nach dem Gesagten ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer bzw. sein Rechtsvertreter es unterlassen haben, nach dem 17. September 2007 innert zehn Tagen gegen den Einstellungsbeschluss vom 10. Januar 2007 zu rekurrieren. Dass unter diesen Umständen die Feststellung der Vorinstanz, die Eingabe vom 29. Dezember 2007 sei als Rekurs gegen den Einstellungsbeschluss vom 10. Januar 2007 verspätet, gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG und insbesondere gegen die Grundrechte des Beschwerdeführers verstiesse, macht dieser nicht geltend. Seine Eingabe vor Bundesgericht genügt insoweit den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG nicht. Darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um superprovisorische Massnahmen gegenstandslos geworden.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Strafgericht des Kantons Basel-Stadt, Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn