Sachverhalt:
A. Y._ und X._ heirateten im Jahre 1997. Die Ehefrau lebt in der Schweiz und ist Schweizer Bürgerin. Der Ehemann ist schweizerisch-tschechischer Doppelbürger.
Am 4. Juli 2005 reichte X._ in Prag/Tschechien die Scheidungsklage ein. Y._ gelangte am 18. Oktober 2005 an das Amtsgericht Hochdorf und ersuchte um Regelung des Getrenntlebens. Mit Entscheid vom 19. Juni 2006 stellte der Amtsgerichtspräsident II von Hochdorf im Rahmen von Eheschutzmassnahmen fest, dass die Parteien zum Getrenntleben berechtigt seien; weiter wurde die eheliche Wohnung der Ehefrau zur Benützung zugewiesen und der Ehemann zur Zahlung von abgestuften Unterhaltsbeitragen an die Ehefrau verpflichtet.
B. Gegen den Entscheid des Amtsgerichtspräsidenten erhob X._ Rekurs beim Obergericht des Kantons Luzern mit der Begründung, der Amtsgerichtspräsident sei zur Entscheidung nicht zuständig; weiter rügte er die Berechnung seiner Unterhaltspflicht. Mit Entscheid vom 29. September 2006 verwarf das Obergericht die Unzuständigkeitseinrede und setzte die Unterhaltsbeiträge geringfügig im Sinne der Rekursanträge herab.
C. X._ führt mit Eingabe vom 14. November 2006 staatsrechtliche Beschwerde und beantragt dem Bundesgericht, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern vom 29. September 2006 aufzuheben.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Mit Präsidialverfügung vom 23. November 2006 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
D. Die in der gleichen Sache von X._ erhobene eidgenössische Nichtigkeitsbeschwerde wurde vom Bundesgericht an der Sitzung vom 6. Dezember 2007 abgewiesen (Verfahren 5C.287/2006).
Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil ist vor dem 1. Januar 2007 ergangen (vgl. Art. 132 Abs. 1 BGG), so dass auf das Verfahren das Bundesgesetz über die Bundesrechtspflege (OG) anzuwenden ist.
1.2 Das Bundesgericht prüft die Rechtsmittelvoraussetzungen frei und von Amtes wegen, ohne an die Auffassungen der Parteien gebunden zu sein (BGE 132 III 747 E. 4 S. 748).
1.3 Eheschutzentscheide stellen regelmässig keine Endentscheide im Sinne von Art. 48 Abs. 1 OG dar und sind deshalb nicht berufungsfähig (BGE 127 III 474 E. 2 S. 476); hingegen steht die staatsrechtliche Beschwerde offen (Art. 84 Abs. 2 OG). Das rechtzeitig (Art. 89 Abs. 1 OG) von der beschwerten Partei (Art. 88 OG) gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid (Art. 86 Abs. 1 OG) wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte der Bürger (Art. 84 Abs. 1 lit. a OG) eingelegte Rechtsmittel ist grundsätzlich zulässig.
2. 2.1 Im Bereich der Verfassungsbeschwerde gilt der Grundsatz der richterlichen Rechtsanwendung nicht (BGE 125 I 71 E. 1c S. 76). Gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, ob ein kantonaler Entscheid verfassungswidrig ist (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261, mit Hinweisen). Auf appellatorische Kritik, wie sie allenfalls im Rahmen eines Berufungsverfahrens zulässig ist, wird nicht eingetreten (BGE 128 I 295 E. 7a S. 312; 117 Ia 10 E. 4b S. 11 f.).
2.2 Wird der kantonalen Instanz Willkür vorgeworfen, ist aufzuzeigen, inwiefern deren Entscheid offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletze oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufe (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 262; 129 I 8 E. 2.1 S. 9, 49 E. 4 S. 58, mit Hinweisen). Das Bundesgericht greift im Übrigen nur ein, wenn nicht bloss die Begründung des Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 129 I 49 E. 4 S. 58; 128 I 81 E. 2 S. 86, 177 E. 2.1 S. 182, mit Hinweisen). Mit Zurückhaltung überprüft das Bundesgericht im Rahmen einer staatsrechtlichen Beschwerde kantonale Entscheidungen, die auf richterlichem Ermessen beruhen (BGE 125 II 86 Erw. 6 S. 98).
3. Mit dem angefochtenen Urteil wird der Beschwerdeführer zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen an die Beschwerdegegnerin verpflichtet, welche Fr. 3'890.-- ab 1. Juli 2005 und (in zeitlicher Staffelung sinkend) Fr. 2'700.-- ab 1. Januar 2007 betragen. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die vom Obergericht eingesetzten Einkommens- und Auslagenposten beider Parteien, um aufzuzeigen, dass die Vorinstanz in Willkür verfallen sei.
3.1 Das Obergericht hat unter Verweisung auf den erstinstanzlichen Entscheid befunden, wegen der angespannten finanziellen Situation der Parteien sei der Beschwerdegegnerin die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit zuzumuten, zumal mit einer Wiederaufnahme des gemeinsamen Haushaltes nicht zu rechnen sei. Angesichts ihres Alters und der langen Absenz vom Arbeitsmarkt könne ihr jedoch lediglich eine Anstellung von 20% zugemutet und ein Erwerbseinkommen von monatlich Fr. 800.-- angerechnet werden.
Bereits aus dem Gesagten ist ersichtlich, dass der angefochtene Entscheid nachvollziehbar begründet ist, weil die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Vorinstanz leiten liess und auf welche sie ihren Entscheid stützt (vgl. BGE 126 I 97 E. 2b S. 102). Der gegen die fehlende Begründung des zumutbaren Arbeitspensums gerichtete Einwand des Beschwerdeführers, der übrigens auf die ausdrücklich miteinbezogene erstinstanzliche Begründung gar nicht eingeht, ist unbehelflich und auf die Rüge der unzureichenden Begründung ist nicht einzugehen. In der Sache selbst setzt sich der Beschwerdeführer mit den Motiven der kantonalen Instanzen nicht auseinander. Auf die Schwierigkeiten einer Stellensuche, die mit dem Alter der Beschwerdegegnerin zusammenhängen, geht er nicht ein. Wenn er - ohne sich auf fundierte Annahmen abzustützen - eine leichte Vermittelbarkeit der Beschwerdegegnerin auf dem Arbeitsmarkt annimmt und die Zumutbarkeit einer 100%-Arbeitsstelle behauptet, übt er lediglich unzulässige appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid. Auch diesbezüglich ist auf die Rüge nicht einzugehen (E. 2.1). Unbehelflich ist sodann die Kritik an der einberaumten Übergangsfrist für eine Stellensuche. Der Beschwerdeführer kann sich nicht über die Feststellung des Obergerichtes, dass sich die Stellensuche für die Beschwerdegegnerin als schwierig erweist, mit dem Argument hinwegsetzen, sie hätte keinerlei Beweise für ihre Bemühungen aufgelegt. Jedenfalls vermag er damit Willkür nicht darzutun.
3.2 Das Obergericht hat die von der ersten Instanz per 1. Oktober 2006 auf Fr. 1'300.-- herabgesetzten Wohnkosten der Beschwerdegegnerin gebilligt und insbesondere eine Übergangsfrist von drei Monaten unter Hinweis auf deren Argument geschützt, die Weigerung des Beschwerdeführers, regelmässige Unterhaltsbeiträge zu bezahlen, hätte potentielle Vermieter abgeschreckt.
Diese Sachverhaltsfeststellung rügt der Beschwerdeführer vergeblich als willkürlich, weil das Obergericht dazu Abweisungen von Vermietern hätte vorlegen lassen müssen. Er legt nicht dar, inwiefern diese Annahme des Obergerichts offensichtlich unhaltbar sei, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe. Dass die Beschwerdegegnerin eine 6-Zimmer-Wohnung bewohne und über genügend Barvermögen verfüge, um eine Kaution zu zahlen, ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid nicht, und der Beschwerdeführer erhebt gegen die unterbliebene Feststellung keine entsprechende Rüge. Dieser Einwand kann folglich nicht berücksichtigt werden.
3.3 Was die Steuerrückstellungen der Beschwerdegegnerin und den ihr vom Obergericht für den Aufbau einer privaten Vorsorge zugebilligten Betrag betrifft, wiederholt der Beschwerdeführer lediglich das vor der letzten kantonalen Instanz Vorgetragene, ohne auf die Begründung des angefochtenen Entscheides einzugehen. Das Argument der Erbschaftsanwartschaft der Beschwerdegegnerin ist mangels entsprechender Tatsachenfeststellung des Obergerichts nicht zu berücksichtigen. Auf die Rügen ist nicht einzutreten.
3.4 Streitig war vor Obergericht das Einkommen des Beschwerdeführers für das Jahr 2005, insbesondere der Einbezug von Repräsentationsspesen, Jahresendzulage und Zielbonus. Auch hier geht der Beschwerdeführer auf die Begründung im angefochtenen Entscheid überhaupt nicht ein, sondern beruft sich - mit seinem Hinweis auf seinen Einsatz für die Familie - auf ein neues und nicht einschlägiges Argument. Darauf ist nicht einzugehen.
Was sein vom Obergericht bestätigtes Einkommen für die Jahre 2006 und 2007 anbelangt, legt der Beschwerdeführer lediglich Zahlen dar, ohne auszuführen, ob und allenfalls wie sich seine Angaben von denjenigen des Obergerichtes unterscheiden. Damit erweist sich auch diese Rüge als unzureichend begründet und kann darauf nicht eingetreten werden.
3.5 Bezüglich seiner Auslagen beschwert sich der Beschwerdeführer, dass das Obergericht zahlreiche Posten nicht berücksichtigt habe, obwohl sie urkundlich belegt worden seien.
Zu den Wohnkosten hat das Obergericht (unter Verweisung auf die Schlussfolgerung der ersten Instanz) im Wesentlichen festgehalten, der Beschwerdeführer, der in der Schweiz nur einmal im Monat verweile, könne sich mit einem Zimmer für rund monatlich Fr. 500.-- begnügen. Hingegen sind die Wohnkosten in Prag anerkannt worden. Der Einwand des Beschwerdeführers, er sei weiterhin auch in der Schweiz auf medizinische Betreuung angewiesen, geht an der Sache vorbei: Es wird daraus nicht klar, warum er zu diesem Zweck in der Schweiz eine Wohnung benötigt, zumal er sich unbestrittenermassen nur einmal pro Monat hier aufhält. Die behauptete Ersparnis in den Behandlungskosten muss nicht notwendigerweise durch doppelte Wohnkosten wieder zunichte gemacht werden. Der Einwand, das Obergericht habe mit dem Betrag von Fr. 500.-- pro Monat einen unrealistischen Mietzins angenommen, geht ins Leere, hatte doch der Beschwerdeführer selbst angegeben, ein solches Objekt in Erwägung gezogen zu haben. Wenn das Obergericht insoweit auf seine eigene Aussage abgestellt hat, ist die Willkürrüge offensichtlich unbegründet. Was schliesslich die Parkplatzkosten in Prag anbelangt, hat der Beschwerdeführer nicht einmal behauptet, dass das Obergericht sie nicht berücksichtigt hätte. Seine Ausführungen genügen insoweit den Begründungsanforderungen nicht.
3.6 Das Obergericht hat die medizinischen Behandlungskosten des Beschwerdeführers eingehend gewürdigt. Bis auf die neu hinzukommende Berücksichtigung einer zahnärztlichen Teilrechnung hat es die erstinstanzliche Berechnung im Ergebnis gebilligt.
3.6.1 Die Alternativbehandlungen in Tschechien hat das Obergericht im Wesentlichen als esoterische Konsultationen erachtet, welche die (private) Versicherung des Beschwerdeführers nicht übernehme; dies zeige, dass sie als Alternativbehandlungen nicht anerkannt würden. Zudem seien sie kaum zu den von Dr. A._ empfohlenen Alternativbehandlungen zu zählen (Vitamine, Spurenelemente, Ayurveda und Yoga). Folglich hat das Obergericht die von der ersten Instanz berücksichtigten Fr. 300.-- gänzlich gestrichen. Wenn der Beschwerdeführer dem Obergericht Willkür vorwirft, weil dieses sich als Parkinson-Experte aufgespielt hätte, übt er lediglich appellatorische Kritik aus, auf die nicht einzutreten ist (E. 2.1).
3.6.2 An Stelle der Alternativbehandlungen in Tschechien hat das Obergericht die Ayurveda-Behandlungskosten im Umfange von Fr. 300.-- berücksichtigt. Die Kürzung von Fr. 58.-- im Vergleich zu dem geltend gemachten Betrag hat es mit der Möglichkeit für den Beschwerdeführer begründet, doch noch günstigere Angebote als im Seehotel B._ zu finden. Die dagegen erhobenen Einwendungen des Beschwerdeführers sind nicht geeignet, eine offensichtlich unhaltbare Begründung und ein stossendes Ergebnis dartun.
3.6.3 Bezüglich der Badekuren in C._ hat das Obergericht den erstinstanzlichen Standpunkt geschützt und die behaupteten Kosten für die spezielle Wassergymnastik nicht berücksichtigt, weil diese (betragsmässig) nicht belegt seien, sondern mit dem entsprechenden Beleg (AG gg.Bel.26) einzig die Eintrittspreise (Fr. 34.--) und die Fahrtkosten (Fr. 161.--) geltend gemacht würden. Entgegen der Darstellung des Beschwerdeführers hat das Obergericht die Nützlichkeit dieser Behandlung nicht in Abrede gestellt. Dass das Obergericht im Beleg aufgeführte Kosten für Wassergymnastik übergangen habe, behauptet der Beschwerdeführer selber nicht. Der Beschwerdeführer vermag mit dem Hinweis auf den betreffenden Beleg keine Willkür darzutun.
3.6.4 Die geringfügige Kürzung der Kosten für Vitaminpräparate (um Fr. 29.-- auf Fr. 300.--) durch die erste Instanz hat das Obergericht mit dem doppelten Argument geschützt, es handle sich dabei einerseits um eine nicht ganz unbedenkliche und unkontrollierte Selbstmedikation, andererseits sei nicht auszuschliessen, dass die Krankenkasse zumindest einen Teil dieser Kosten übernehmen würde, wenn sie wirklich medizinisch indiziert wären. Weil der Beschwerdeführer die zweitgenannte Begründung gar nicht diskutiert, ist auf seine Rüge nicht einzutreten (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; BGE 115 II 300 E. 2a S. 302; 111 II 398 E. 2b; 132 I 13 E. 3 S. 16).
3.6.5 Das Obergericht hat nur eine der zwei eingereichten Zahnarztrechnungen berücksichtigt, weil nur diese (und die ihr zu Grunde liegende Behandlung) in die fragliche Zeitspanne fiele. Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers trifft nicht zu, dass das Obergericht verkannt hätte, dass die erste Rechnung erst im Juli 2005 fällig wurde: Vielmehr hat es auf den Zeitraum der Behandlung abgestellt, was der Beschwerdeführer nicht kritisiert.
3.6.6 Was den Betrag von Fr. 1'660.-- unter dem Titel ungedeckter Kosten eines Klinikaufenthaltes im D._ anbelangt, hat das Obergericht festgehalten, dass der Beschwerdeführer nicht angegeben habe, um welche Behandlung es sich gehandelt habe, weshalb gar nicht ermittelt werden könne, ob sie wirklich notwendig war. Der Umstand, dass seine Zusatzversicherung diese Kosten wohl nicht übernommen habe, spreche dagegen. Daher sei dieser Betrag zu streichen. Von einer fehlenden Begründung, wie sie der Beschwerdeführer ohne Hinweis, inwiefern ein verfassungsmässiges Recht verletzt sein soll, geltend macht, kann insoweit keine Rede sein. Um welche Operation es sich handelte, führt der Beschwerdeführer erst vor Bundesgericht aus, was als Tatsachenvorbringen verspätet ist und nicht berücksichtigt werden kann. Im Übrigen erklärt er nicht, inwiefern die von der Krankenkasse nicht übernommenen Kosten notwendig gewesen seien. Die insoweit nicht substantiierten Vorbringen sind unzulässig.
3.7 Zu den Fahrt- und Fahrzeugkosten des Beschwerdeführers hat das Obergericht erwogen, dass er - ausser Bad C._ - alle Arztpraxen mit den öffentlichen Verkehrsmitteln erreichen könne, so dass ein privates Fahrzeug nicht unbedingt nötig wäre, zumal private Fahrten nicht zu berücksichtigen seien. Wenn der Beschwerdeführer aber schon ein Auto besitze, wodurch ohnehin erhebliche Fixkosten anfielen, rechtfertige es sich, dessen Benutzung an Stelle der öffentlichen Verkehrsmitteln zuzulassen. Dabei seien jedoch die Fixkosten restriktiv zu berechnen. Die Kritik des Beschwerdeführers, das Obergericht habe diese Kosten ohne Begründung gekürzt, ist haltlos. Die Rüge, es sei willkürlich, seine Auslagen nicht in vollem Umfange zu berücksichtigen, beschränkt sich auf eine appellatorische Kritik. Auf die nicht substantiierte Rüge ist nicht einzugehen (E. 2.1).
3.8 Zur Berechnung des Betrages, den der Beschwerdeführer für Steuerrückstellungen in seinen monatlichen Notbedarf einsetzen dürfe, ist das Obergericht von einem steuerbaren Einkommen ab 2007 von maximal Fr. 50'000.-- jährlich ausgegangen. Dieser Betrag stelle sich aus den tatsächlichen Einkünften abzüglich der geschuldeten Unterhaltsbeiträge zusammen, was einen Betrag für Rückstellungen von Fr. 400.-- monatlich rechtfertige. Seine Willkürrüge begründet der Beschwerdeführer mit seiner Unfähigkeit, Unterhaltsbeiträge überhaupt zu bezahlen. Der Vorwurf geht ins Leere, weil der Beschwerdeführer seine Unterhaltspflicht - wie sich aus dem bisher Dargelegten ergibt - nicht in Frage zu stellen vermag.
3.9 Schliesslich stellt sich die Frage der Verrechenbarkeit rückständiger Unterhaltsbeiträge des Beschwerdeführers mit Kontoabhebungen seitens der Beschwerdegegnerin. Der Beschwerdeführer geht nach wie vor von einem Gesamtbetrag von Fr. 124'000.-- aus. Das Obergericht hat dazu festgehalten, solche Abhebungen seien in der Höhe von Fr. 42'000.-- nachgewiesen und mit rückständigen Unterhaltsbeiträgen auch zu verrechnen; den Überschuss habe der Beschwerdeführer zur Unterstützung seiner Stieftochter und nicht zum Unterhalt der Ehegattin verwendet (nicht belegte Fr. 27'000.--) bzw. dürfe die Beschwerdegegnerin kraft Güterrecht beanspruchen (Fr. 55'000.--). Solange der Beschwerdeführer leistungsfähig sei und ausreichende Unterhaltsbeiträge erbringen könne, könne die Beschwerdegegnerin nicht gehalten werden, eigenes Vermögen zu verzehren. Der Beschwerdeführer bestreitet die Natur als Eigengut der Beschwerdegegnerin des Betrages von Fr. 55'000.-- auf dem Konto der Raiffeisenbank; in Anwendung von Art. 200 Abs. 3 ZGB sei Errungenschaft anzunehmen. Dies entkräftet allerdings die Überlegung des Obergerichts nicht und vermag keine Willkür dartun, zumal der Beschwerdeführer nicht auseinandersetzt, inwiefern der vom Obergericht gestützt auf die Parteibefragung gezogene Schluss, dass Eigengut vorliege, offensichtlich unhaltbar sei. Dem Argument des Obergerichts gegen die Anrechenbarkeit der Fr. 27'000.-- hält der Beschwerdeführer lediglich entgegen, diesen Betrag für die Unterstützung der Tochter der Beschwerdegegnerin verwendet zu haben. Damit geht er jedoch auf die Begründung des angefochtenen Entscheides nicht ein. Insoweit genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht.
4. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann, unbegründet und muss sie abgewiesen werden. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Eine Parteientschädigung entfällt, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist und der Beschwerdegegnerin im bundesgerichtlichen Verfahren keine Kosten entstanden sind (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, als Rekursinstanz nach ZPO, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Levante