Sachverhalt:
A. Anlässlich von drei in den Jahren 1991, 1999 und 2003 erlittenen Arbeitsunfällen zog sich A._ (Jg. 1967) Verletzungen der rechten Hand zu. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), welche jeweils Taggelder ausgerichtet hatte und für die Heilbehandlung aufgekommen war, sprach ihm mit Verfügung vom 9. Januar 2008 nebst einer Entschädigung für eine 5%ige Integritätseinbusse rückwirkend ab 1. Januar 2007 eine auf drei Jahre befristete Invalidenrente auf der Grundlage einer 10%igen Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit zu. Dies bestätigte sie mit Einspracheentscheid vom 2. Juni 2008.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die gegen den Zeitpunkt des Fallabschlusses und - eventualiter - gegen die Rentenfestsetzung gerichtete Beschwerde, soweit es darauf eintrat, mit Entscheid vom 27. November 2009 ab und hob gleichzeitig - nach erfolgter Ankündigung einer in Betracht fallenden Schlechterstellung (reformatio in peius) - den angefochtenen Einspracheentscheid vom 2. Juni 2008 unter Verneinung jeglichen Rentenanspruchs auf.
C. A._ lässt beschwerdeweise beantragen, die SUVA sei unter Aufhebung des kantonalen Entscheids zu verpflichten, ihm über den 1. Januar 2007 hinaus Taggelder zu bezahlen und die Heilungskosten zu übernehmen; eventuell seien ihm diese Leistungen bis 31. Dezember 2006 zu gewähren und für die Zeit danach eine unbefristete Invalidenrente auf der Basis einer 30%igen Erwerbsunfähigkeit zuzusprechen. Nebst einem die Eintretensfrage im vorinstanzlichen Verfahren betreffenden formellen Antrag für den Fall einer Rückweisung an das kantonale Gericht ersucht er zudem um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Im Übrigen wendet es das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und muss sich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz halten (BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Es prüft indessen - unter Beachtung der allgemeinen Begründungspflicht in Rechtsmittelverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind, und ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr aufgegriffen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Die für die Beurteilung der streitigen Leistungsansprüche massgebenden gesetzlichen Grundlagen und die in diesem Zusammenhang ergangene Rechtsprechung sind im kantonalen Entscheid sowohl in materiell- als auch in beweisrechtlicher Hinsicht richtig dargelegt worden. Darauf kann verwiesen werden (vgl. die analog anwendbare Regelung in Art. 109 Abs. 3 BGG).
2. 2.1 Zur Hauptsache macht der Beschwerdeführer geltend, sein Versicherungsfall sei Ende 2006 noch nicht abschlussreif gewesen, die Einstellung der Taggeldleistungen demnach zu früh erfolgt. Entsprechend verlangt er deren weitere Ausrichtung auch nach dem 31. Dezember 2006. Zur Begründung führt er an, die Leistungseinstellung per 31. Dezember 2006 sei auf einen Zeitpunkt hin erfolgt, in welchem er als Folge seiner Handverletzungen noch immer unter starken Schmerzen gelitten habe; wegen der Amputation des Daumenendgliedes als Folge des (letzten) Unfalles vom 12. Mai 2003 sei zudem die Greiffunktion der rechten Hand angesichts der - ebenfalls unfallbedingt - vorgeschädigten Langfinger erheblich eingeschränkt gewesen; erst eine am 3. Juli 2009 im Spital X._ durchgeführte Operation habe dazu geführt, dass nach der - noch laufenden - Rekonvaleszenz ein Fallabschluss sollte in Betracht gezogen werden können.
2.2 In BGE 134 V 109 E. 4 S. 113 ff. hat sich das Bundesgericht eingehend mit der Frage auseinandergesetzt, in welchem Zeitpunkt ein Unfallversicherer einen Fall mit Einstellung der bisher gewährten vorübergehenden Leistungen (Taggeld und Heilbehandlung) und Prüfung des Anspruchs auf eine Rente (als Dauerleistung) und/oder eine Integritätsentschädigung abschliessen darf. Dabei hat es erkannt, mit Blick darauf, dass die soziale Unfallversicherung ihrer Konzeption nach auf erwerbstätige Personen ausgerichtet ist, werde sich die in Art. 19 Abs. 1 UVG genannte "namhafte Besserung des Gesundheitszustandes" nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit unfallbedingt beeinträchtigt, bestimmen. Daraus ist zu schliessen, dass die Ausführungen des Beschwerdeführers über den gesundheitlichen Zustand seiner rechten Hand zur Beantwortung der Frage nach der Zulässigkeit des von der SUVA am 9. Januar 2008 verfügten und am 2. Juni 2008 bestätigten Fallabschlusses per 31. Dezember 2006 nichts beitragen. Entscheidwesentlich ist einzig, ob Ende 2006 noch im Sinne von Art. 19 Abs. 1 UVG Erfolg versprechende ärztliche Behandlungen in Betracht fielen, welche eine Steigerung der Arbeitsfähigkeit erwarten lassen konnten. Trifft dies nicht zu, standen weder die angegebenen Schmerzen noch die Beeinträchtigung der Greiffunktion einem Fallabschluss entgegen.
2.3 Wie die Vorinstanz gestützt auf die medizinische Aktenlage, namentlich das Gutachten der Klinik und Poliklinik für Handchirurgie und Chirurgie der peripheren Nerven am Spital Y._ vom 28. Oktober 2005 und den kreisärztlichen Bericht des Dr. med. G._ vom 19. November 2007, dargelegt hat, waren Ende 2006 keine ärztlichen Vorkehren mehr auszumachen, von welchen eine steigernde Auswirkung auf das erwerbliche Leistungsvermögen hätte erwartet werden können. Damit konnte die SUVA den Fall mit der Einstellung ihrer Taggeldleistungen und der Ablehnung der Kostenübernahme für künftige Heilbehandlungen abschliessen. Daran ändert die am 3. Juli 2009 vorgenommene Operation im Spital X._ nichts, selbst wenn der vom Beschwerdeführer erhoffte Erfolg tatsächlich noch eintreten sollte. Abzustellen ist auf die Verhältnisse im Zeitpunkt des Fallabschlusses, bis zu welchem von einem solchen Eingriff nicht die Rede war. Auch erscheint dessen Indikation, wie die SUVA in ihrer Vernehmlassung vom 18. Februar 2010 ausführt, zumindest fragwürdig. Bei den medizinischen Interventionen, die nach der auf Ende 2006 hin erfolgten Einstellung der Taggeldleistungen und der Übernahme von Heilungskosten noch notwendig wurden und welche als Rückfall anerkannt wurden - die SUVA erwähnt in ihrer Vernehmlassung vom 18. Februar 2010 die Ausräumung einer subkutan gelegenen eitrigen Infektion am Amputationsstumpf dorsal am 6. April 2007 und eine Stumpfrevision am 3. Juli 2009 -, handelte es sich um Vorfälle, die im Zeitpunkt der Leistungseinstellung nicht als zumindest wahrscheinliche Entwicklung voraussehbar waren. Bei einer prospektiven Betrachtungsweise, wie sie bei der Frage nach einem Fallabschluss Platz zu greifen hat, bestand daher auch unter diesem Aspekt kein Hinderungsgrund für einen mit einer Leistungseinstellung verbundenen Fallabschluss. Insoweit wird ebenfalls auf die beschwerdegegnerische Vernehmlassung verwiesen.
2.4 Die Leistungseinstellung per 31. Dezember 2006 kann sich auf umfangreiche und eingehende medizinische Abklärungen stützen, welche eine zuverlässige Beurteilung erlauben. Für die beantragten weiteren Erhebungen tatbeständlicher Art besteht unter diesen Umständen kein begründeter Anlass. Dies gilt auch für die behauptete psychische Problematik, traten doch während der umfassenden ärztlichen Untersuchungen keine Erkenntnisse zu Tage, welche einen ernsthaften Verdacht auf einen Gesundheitsschaden psychischer Art mit Auswirkungen auf das erwerbliche Leistungsvermögen hätten aufkommen lassen können. Weil somit aus psychischer Sicht eine ärztliche Behandlung, welche die Erwerbsfähigkeit positiv hätte beeinflussen können, von vornherein ausser Betracht fiel, konnte die SUVA auch unter diesem Gesichtspunkt zum Abschluss des Versicherungsfalles übergehen. Von zusätzlichen Erhebungen in dieser Richtung sind keine abweichenden Erkenntnisse zu erwarten, weshalb davon abzusehen ist (antizipierte Beweiswürdigung; vgl. BGE 131 I 153 E. 3 S. 157).
2.5 Lässt sich gegen den Fallabschluss per Ende 2006 nichts einwenden, spielt die Frage keine Rolle mehr, ob die Vorinstanz auf das Begehren, die SUVA sei zu verpflichten, weiterhin Taggelder und Heilungskosten auszurichten, hätte eintreten müssen oder darauf zu Recht mangels "Anfechtungs- und Streitgegenstand" nicht eingetreten ist. Das kantonale Gericht hat die Frage nach der Zulässigkeit einer Einstellung dieser Leistungen aber doch einer eingehenden Prüfung unterzogen und sie schliesslich ausdrücklich bejaht. Damit ist es auf die entsprechenden Anträge des Beschwerdeführers eingegangen, auch wenn sie der Ansicht war, darauf (formell) nicht eintreten zu müssen. Die Taggeldeinstellung und die Ablehnung der Kostenübernahme für weitere Heilbehandlungen geht mit der Zusprache einer Invalidenrente und einer Integritätsentschädigung durch die SUVA zwangsläufig einher, sodass diese beiden Leistungsarten von der Verfügung vom 9. Januar 2008 und vom Einspracheentscheid vom 2. Juni 2008 mit erfasst waren und deshalb im nachfolgenden Beschwerdeverfahren auch zum Anfechtungsgegenstand zählten. Die Vorinstanz wäre daher gehalten gewesen, auf die diesbezüglichen Anträge des Beschwerdeführers einzutreten, was sie - zumindest faktisch - auch getan hat. Dass dies im Dispositiv des angefochtenen Entscheids fälschlicherweise keinen Niederschlag gefunden hat, ändert daran nichts.
3. Zu prüfen bleibt, ob der Beschwerdeführer für die Zeit nach dem 31. Dezember 2006 eine Invalidenrente beanspruchen kann. Mangels Anfechtung nicht mehr zur Diskussion steht demgegenüber die von der SUVA gewährte 5%ige Integritätsentschädigung.
3.1 Auf Grund der ärztlichen Bescheinigungen durch Kreisarzt Dr. med. G._ vom 19. November 2007 und der Ärzte des Spitals Y._ vom 28. Oktober 2005 ist die Vorinstanz davon ausgegangen, dass die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers schon ab Januar 2006 mindestens 90 % in der bisherigen und 100 % in einer leidensangepassten Tätigkeit erreichte. Die diese Annahme stützenden medizinischen Grundlagen wurden in Kenntnis und unter Berücksichtigung sowohl der vom Beschwerdeführer angegebenen Schmerzproblematik als auch der durch die beeinträchtigte Greiffunktion funktional eingeschränkten Gebrauchsfähigkeit der rechten Hand vor allem für feinmotorische Betätigungen erstellt. Die Vorbringen in der Beschwerdeschrift lassen an der Rechtfertigung der vorinstanzlichen Beurteilung keine ernsthaften Zweifel aufkommen, weshalb sich zusätzliche Abklärungen auch insoweit erübrigen. Daran ändert die abweichende Einschätzung des Dr. med. B._, Leitender Arzt Handchirurgie am Spital X._, in dessen im kantonalen Verfahren nachgereichten Bericht vom 11. September 2009 nichts, zumal es sich dabei um eine zeitlich rückwirkende Angabe handelt, ohne dass der Beschwerdeführer diesen Arzt seinerzeit konsultiert hätte. Nachdem ein psychischer Gesundheitsschaden nicht erstellt ist (E. 2.4 hievor), kann es insoweit auch nicht zu einer Adäquanzprüfung kommen, weshalb auf die darauf bezogene Argumentation des Beschwerdeführers nicht weiter eingegangen wird.
3.2 Entgegen der Darstellung in der Beschwerdeschrift hat das kantonale Gericht richtigerweise für den zur Bestimmung des Invaliditätsgrades vorzunehmenden Einkommensvergleich nach Art. 16 ATSG sowohl den ohne Gesundheitsschaden mutmasslich erzielten Verdienst (Valideneinkommen) als auch den trotz unfallbedingter Beeinträchtigung realisierbaren Lohn (Invalideneinkommen) für das Jahr 2007 ermittelt, in welchem ein allfälliger Rentenanspruch beginnen würde. Dies ist im Übrigen in durchaus korrekter Weise geschehen, sodass es auch angesichts der vom Beschwerdeführer erhobenen Einwände keiner Korrekturen bedarf. Kinderzulagen sind bei der Festsetzung des Valideneinkommens nicht zu berücksichtigen und blieben ohnehin ohne jeglichen Einfluss auf den Invaliditätsgrad, da ihnen - wenn schon - bei beiden Vergleichseinkommen in gleicher Weise Rechnung zu tragen wäre. Auch daraus, dass die Invalidenversicherung zu einem höheren Invaliditätsgrad gelangt ist, kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten ableiten, standen dort doch auch unfallversicherungsrechtlich irrelevante Beschwerden zur Diskussion. Die Annahme eines höheren als des von SUVA und Vorinstanz zugebilligten 10%igen Leidensabzuges schliesslich lässt sich nicht rechtfertigen, zumal dieses Begehren seitens des Beschwerdeführers einzig mit der nicht dieselben Leiden berücksichtigenden Einschätzung im Invalidenversicherungsbereich begründet wird.
4. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die beantragte unentgeltliche Rechtspflege kann nicht gewährt werden, nachdem der Beschwerdeführer gemäss eingereichtem Bedürftigkeitsnachweis Eigentümer einer Liegenschaft ist, von welcher mehrere Einheiten weitervermietet werden. Deren Wert wird bei einer hypothekarischen Belastung von Fr. 463'500.- mit Fr. 580'000.- angegeben. Auch wenn momentane Liquiditätsschwierigkeiten bestehen mögen, kann bei solchen Verhältnissen nicht von einer prozessualen Bedürftigkeit gesprochen werden, welche die Inanspruchnahme finanzieller staatlicher Unterstützung für die gerichtliche Interessenwahrung gestatten würde.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Juni 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl