Faits:
A. A.a X._, né le 12 septembre 1960, et dame X._, née le 10 août 1969, se sont mariés le 29 août 1989 à Genève. Deux enfants sont issus de cette union: A._, née le 28 décembre 1989, aujourd'hui majeure, et B._, né le 4 mars 1996.
Les époux se sont séparés en mars 2004.
A.b Par jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 24 septembre 2004, le Tribunal de première instance de Genève a notamment donné acte, d'une part, aux conjoints de l'exercice d'une garde alternée des enfants, ceux-ci vivant de façon prépondérante chez leur père, et, d'autre part, au mari de son engagement de payer à l'épouse une contribution à son entretien et, partiellement, à celui des enfants, d'un montant de 2'200 fr. par mois.
D'un commun accord, les parties ont réduit le montant de la contribution précitée à 1'000 fr. par mois dès le 1er juin 2005.
B. B.a Le 9 juin 2006, le mari a ouvert action en divorce. Celui-ci a été prononcé le 11 janvier 2007 par le Tribunal de première instance du canton de Genève, statuant sur partie. Par arrêt du 14 septembre 2007, la Cour de justice du canton de Genève a confirmé ce jugement.
Saisie d'un appel contre le jugement sur mesures provisoires rendu par le Tribunal de première instance le 24 mai 2007, la Cour de justice a modifié, par arrêt du 14 décembre 2007, les mesures protectrices de l'union conjugale en ce sens qu'elle a notamment condamné le mari à payer à l'épouse, dès le 2 mars 2007, une contribution d'entretien d'un montant de 1'700 fr. par mois, et à prendre en charge l'intégralité des frais des enfants.
B.b Par jugement du 1er novembre 2007, le Tribunal de première instance a, entre autres points, attribué au père la garde et l'autorité parentale sur les enfants, donné acte à celui-ci de son engagement de prendre en charge l'intégralité de leurs frais, ordinaires et extra-ordinaires, fixé le droit de visite de la mère, constaté que les époux n'avaient plus de prétentions à faire valoir du chef de la liquidation de leur régime matrimonial, réglé le partage des avoirs de prévoyance professionnelle et débouté les parties de toutes autres conclusions.
Statuant le 18 avril 2008, la Cour de justice a condamné le mari à payer à l'épouse la somme de 12'344 fr. à titre de liquidation du régime matrimonial, ordonné le partage par moitié des avoirs de prévoyance professionnelle accumulés pendant le mariage, transmis l'affaire au Tribunal cantonal des assurances pour qu'il établisse les avoirs de prévoyance des conjoints et procède au partage, et alloué à l'épouse une contribution d'entretien d'un montant de 2'000 fr. par mois jusqu'au 31 décembre 2012.
C. Le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt de la Cour de justice du 18 avril 2008, concluant à son annulation en tant qu'il le condamne à payer une contribution d'entretien en faveur de l'épouse.
L'intimée n'a pas été invitée à répondre sur le fond.
D. Par ordonnance du 13 juin 2008, le Président de la cour de céans a refusé l'effet suspensif.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 III 115 consid 1 p. 117 et les arrêts cités).
1.1 L'arrêt entrepris est une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) dans une contestation pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), car il a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée.
Déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours est en principe recevable.
1.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été retenus d'une façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252), en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
1.3 Le recours en matière civile peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), lequel comprend les droits constitutionnels (ATF 133 III 446 consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2.3 p. 466). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il incombe néanmoins au recourant d'indiquer en quoi la décision entreprise enfreint le droit (art. 42 al. 2 LTF); la violation des droits fondamentaux n'est, de surcroît, examinée que si ce grief est soulevé et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), les exigences de motivation de l'acte de recours correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (ATF 133 III 393 consid. 6 p. 397, 638 consid. 2 p. 639; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254).
2. Le présent litige porte sur la contribution d'entretien allouée à l'épouse divorcée. La cour cantonale estime que celle-ci dispose d'une capacité de gain correspondant au dernier salaire qu'elle a réalisé, soit 4'480 fr. par mois pour un taux d'occupation de 80%, auquel s'ajoute la somme de 385 fr. provenant de la sous-location de deux chambres de l'appartement qu'elle occupe. Le recourant fait valoir que l'intimée peut travailler à 100%, ou du moins à 90%, de sorte que sa capacité de gain doit être arrêtée à 5'985 fr., respectivement à 5'440 fr. par mois. Il se plaint sur ce point d'une appréciation arbitraire des faits conduisant à une violation de l'art. 125 CC.
2.1 Lors de la fixation de la contribution d'entretien, en application de l'art. 125 CC, il faut se fonder, en principe, sur les revenus effectifs des époux. Un conjoint - y compris le créancier d'entretien (cf. ATF 127 III 136 consid. 2c p. 139 ss) - peut toutefois se voir imputer un revenu hypothétique supérieur à celui qu'il obtient effectivement, pour autant qu'une augmentation correspondante soit possible et qu'elle puisse être raisonnablement exigée de lui. Les critères permettant de déterminer le montant du revenu hypothétique sont en particulier la qualification professionnelle, l'âge, l'état de santé et la situation du marché du travail (ATF 128 III 4 consid. 4a p. 5/6 et les citations). Savoir si l'on peut raisonnablement exiger du conjoint concerné une augmentation de son revenu est une question de droit; en revanche, savoir quel revenu peut être effectivement réalisé relève du fait (ATF 128 III 4 consid. 4c/bb p. 7; 126 III 10 consid. 2b p. 12/13).
2.2 Il ressort des faits constatés que l'épouse est au bénéfice d'une formation professionnelle: étudiante en lettres au moment du mariage, elle a obtenu sa licence en 1995 (en informatique, russe et arabe). Parallèlement à l'éducation de ses enfants et de son neveu, accueilli par les époux de juillet 1996 à juin 1998, elle a exercé, dès 1998, divers emplois à mi-temps et a travaillé à 100% de mai à octobre 2000, percevant en alternance des indemnités de chômage. Elle a également occupé plusieurs emplois temporaires à temps partiel dans le cadre des mesures de placement cantonales en 2001 et 2002. Dès novembre 2003, elle a travaillé à 60% en qualité de secrétaire-réceptionniste pour un salaire brut de 2'900 fr. par mois. En novembre 2004, elle a été engagée à un taux de 90% en tant qu'assistante de direction, pour un salaire mensuel net de 5'055 fr. Ayant réduit son activité à 80% en octobre 2006, sa rémunération mensuelle nette s'est alors élevée à 4'480 fr. Le 28 août 2007, son contrat de travail a été résilié avec effet au 30 novembre 2007.
Selon le certificat de son médecin traitant, psychiatre, du 6 décembre 2007, elle s'est trouvée en incapacité de travail totale depuis la fin du mois de mai 2007, causée par un état dépressif anxieux réactionnel à la procédure de divorce dont l'issue l'avait privée de la garde de son fils et de contribution d'entretien. Son état dépressif s'était aggravé, nécessitant une prise en charge sous forme de soutien. Le pronostic restait réservé. Elle ne pouvait reprendre une activité professionnelle actuellement ni durant les mois à venir, car elle devait entreprendre un travail de deuil important en raison de la perte de son rôle de mère, de l'absence de reconnaissance de son dévouement durant le mariage et de la dévalorisation de son statut social. Toutefois, il ne s'agissait pas d'une incapacité de travail durable, mais seulement de nature passagère.
Le pronostic de la juridiction précédente, qui a retenu que la capacité de gain actuelle de l'intimée correspondait à son dernier salaire - soit, mensuellement, 4'480 fr. nets pour une activité à 80%, sans compter le produit de la sous-location des deux chambres - ne prête pas le flanc à la critique. La Cour de justice a considéré à bon droit que l'épouse ne bénéficiait pas d'une grande expérience professionnelle et que même si son âge ne constituait pas un obstacle à de nouveaux débouchés, elle serait à cet égard pénalisée par rapport à une personne plus jeune. En outre, elle se trouvait en incapacité de travail complète depuis la fin de mai 2007. Compte tenu de ces éléments, l'autorité cantonale n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation (art. 4 CC; ATF 127 III 136 consid. 3a p. 141; cf. aussi: ATF 107 II 406 consid. 2c p. 410) en estimant qu'on ne pouvait exiger de l'intimée qu'elle retrouvât un emploi à plus de 80%. Par ailleurs, le recourant ne cherche pas à démontrer que le salaire de 4'480 fr. par mois - ni du reste le montant mensuel de 385 fr. provenant de la sous-location - auraient été arbitrairement établis (art. 106 al. 2 LTF). Il convient ainsi de s'en tenir, s'agissant des revenus de l'épouse, à la somme de 4'865 fr. (4'480 fr. + 385 fr.) par mois retenue dans l'arrêt entrepris.
3. Le recourant reproche en outre à la cour cantonale une violation de l'art. 125 CC au motif que la contribution d'entretien allouée à l'épouse la placerait dans une situation plus avantageuse que durant le mariage.
3.1 Lorsque, comme en l'espèce, le mariage a concrètement influencé la situation financière de l'époux qui demande une contribution d'entretien («lebensprägende Ehe»), l'art. 125 CC lui donne droit au maintien du niveau de vie mené durant la vie commune (ATF 134 III 145 consid. 4 p. 146/147; 132 III 593 consid. 3.2 p. 595); lorsqu'il n'est pas possible, en raison de l'augmentation des frais qu'entraîne l'existence de deux ménages distincts, de conserver le niveau de vie antérieur, le créancier d'entretien peut prétendre au même train de vie que le débiteur d'entretien (ATF 129 III 7 consid. 3.1.1 p. 8 s. et les citations).
La loi ne prescrit pas de méthode de calcul particulière pour arrêter le montant de la contribution d'entretien; sa fixation relève de l'appréciation du juge du fait, qui applique les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC; ATF 127 III 136 consid. 3a p. 141). Il n'y a violation du droit fédéral que si le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation en se référant à des critères dénués de pertinence ou en ne tenant pas compte d'éléments essentiels, ou encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant fixé apparaît manifestement inéquitable (ATF 127 III 136 consid. 3a p. 141 et les références). Le Tribunal fédéral ne revoit en principe qu'avec réserve la décision prise en équité (ATF 132 III 97 consid. 1 p. 99; 131 III 12 consid. 4.2 p. 15).
3.2 Il ressort des constatations de l'arrêt entrepris que les parties sont restées mariées plus de dix-huit ans, au cours desquels elles ont vécu séparées un peu plus de trois ans. Il s'agit donc d'une union de longue durée, qui a concrètement influencé la situation économique de l'épouse puisque celle-ci a travaillé à temps partiel durant la vie commune afin de se consacrer aux soins du ménage et à l'éducation des enfants, au détriment de sa carrière professionnelle.
L'autorité cantonale ne constate pas expressément le niveau de vie des époux durant la vie commune. Elle retient toutefois qu'au moment de la séparation, leurs revenus cumulés étaient de 15'900 fr. bruts, soit un montant nettement inférieur à celui, de 20'337 fr. nets [recte: 20'377 fr.70], qu'elles réalisent actuellement (15'512 fr.70 [mari] + 4'865 fr. [épouse]). Selon la juridiction précédente, les parties ne supportaient certes pas les charges liées à deux ménages distincts, mais le surplus de frais lié à la séparation réside pour l'essentiel dans le loyer supporté par le mari (2'517 fr.) et dans l'augmentation des impôts induite par l'élévation de revenu. Pour le reste, les dépenses usuelles des époux comportaient l'entretien de deux enfants, alors que dans le calcul fondé sur leur situation économique actuelle, l'entretien de l'aînée n'a plus à être pris en compte. Il s'ensuit que le partage par moitié de l'excédent à disposition des parties après couverture de leurs charges (6'010 fr.55), qui conduirait à allouer à l'épouse une contribution de 2'630 fr.80 par mois, procurerait à celle-ci un niveau de vie supérieur à celui qui prévalait durant la vie commune. Ainsi, compte tenu de la situation favorable des parties, il se justifie de déroger à l'application stricte de la méthode dite du minimum vital et d'accorder à l'épouse une contribution d'entretien de 2'000 fr. par mois.
Pour la répartition du solde disponible («Überschuss»), les juges cantonaux ont, à juste titre, raisonné à partir du train de vie antérieur des époux au lieu de leur minimum vital (arrêt 5A_249/2007 du 12 mars 2008, consid. 7.4.2), pour tenir compte de leur situation financière favorable. Considérant qu'un partage par moitié procurerait à l'épouse un train de vie supérieur à celui qui prévalait durant la vie commune, ils lui ont alloué une contribution d'entretien inférieure (2'000 fr. au lieu de 2'630 fr.80) au montant résultant du partage de l'excédent dont disposent actuellement les parties, cette somme devant en outre lui permettre de combler le déficit prévisible de sa prévoyance professionnelle. Il convient au demeurant de relever qu'après paiement des charges, le mari bénéficiera d'un solde disponible de 3'636 fr.05, contre 2'374 fr.50 pour l'épouse. Dans ces conditions, le montant fixé n'apparaît pas manifestement inéquitable au regard des circonstances de l'espèce et ne procède pas d'une fausse application des principes rappelés plus haut. Par son argumentation, fondée sur la méthode du minimum vital, le recourant n'avance aucun élément décisif qui permettrait de considérer que la cour cantonale a abusé de son pouvoir d'appréciation dans l'application des principes du maintien du train de vie antérieur et de l'égalité entre époux. En particulier, il ne démontre pas que le revenu mensuel de 6'865 fr. (4'865 fr. + 2'000 fr.) dont bénéficiera l'épouse dépasserait son train de vie antérieur compte tenu de ses charges, d'un montant de 4'490 fr.50 par mois, et de la nécessité pour elle de se constituer une prévoyance professionnelle appropriée.
4. 4.1 Le recourant s'en prend aussi à la durée de la contribution d'entretien. Il expose que l'intimée a travaillé de façon continue depuis 2003 et qu'elle est désormais libérée de ses tâches éducatives. Vu en outre son âge (38 ans), sa formation universitaire et ses connaissances linguistiques, notamment de russe et d'arabe, elle n'aurait pas besoin de quatre ans pour parvenir à évoluer professionnellement et à s'assurer un entretien convenable. Il ne lui a du reste fallu qu'une année (de novembre 2003 à novembre 2004) pour passer d'un emploi de secrétaire-réceptionniste à 60% rémunéré 2'900 fr. bruts par mois à un poste d'assistante de direction à 90% pour un salaire mensuel net de 5'055 fr.
4.2 Lorsqu'une contribution d'entretien est allouée au conjoint qui ne peut pourvoir lui-même à son entretien convenable, la durée de cette contribution dépend des perspectives offertes au bénéficiaire d'améliorer sa capacité à assurer son entretien par ses propres revenus (ATF 132 III 593 consid. 7 p. 595 ss; 129 III 7 consid. 3.1 p. 8; 127 III 136 consid. 2a p. 138/139). En l'espèce, l'autorité cantonale a considéré que la contribution d'entretien devait être versée jusqu'au 31 décembre 2012, afin de permettre à l'épouse d'améliorer sa formation et de rechercher un emploi approprié. Compte tenu des circonstances, les juges précédents n'ont pas abusé de leur pouvoir d'appréciation (art. 4 CC) en accordant à l'intimée un délai raisonnable pour parvenir à assurer seule son entretien convenable, d'autant qu'il résulte des constatations de fait qu'elle souffre de troubles psychologiques liés à la procédure de divorce, qui affecteront temporairement sa capacité à compléter sa formation et à s'engager dans la vie économique.
5. En conclusion, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Les frais judiciaires seront supportés par le recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée, qui s'est déterminée sur l'effet suspensif, a droit à des dépens de ce chef (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 800 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 28 août 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Mairot