Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 8. März 2005 stellte die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) die im Zusammenhang mit dem Unfall vom 15. August 2003 des 1960 geborenen M._ erbrachten Versicherungsleistungen auf den 31. März 2005 ein. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 25. April 2007).
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 21. April 2008).
C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, die SUVA sei zu verpflichten, ihm mit Wirkung ab 1. April 2005 eine Invalidenrente auf der Basis einer Erwerbsunfähigkeit von 30 % auszurichten.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen über einzelne Leistungsarten der Unfallversicherung (Art. 10 Abs. 1 UVG [zweckmässige Heilbehandlung], Art. 16 Abs. 1 UVG [Taggeld], Art. 18 Abs. 1 UVG [Invalidenrente]) sowie die Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht der Unfallversicherung vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) und zur im Weiteren erforderlichen Adäquanz des Kausalzusammenhangs im Allgemeinen (BGE 129 V 177 E. 3.2 S. 181 mit Hinweisen) sowie bei psychischen Unfallfolgen im Besonderen (BGE 115 V 133) richtig dargelegt. Gleiches gilt für die Erwägungen zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352 mit Hinweis). Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat nach umfassender Würdigung der medizinischen Aktenlage in allen Teilen überzeugend dargelegt, dass die SUVA ihre Leistungspflicht ab 31. März 2005 zu Recht verneint hat, weil sich die somatischen Leiden nicht mehr auf den Unfall vom 15. August 2003 zurückführen lassen und es an der Adäquanz des geltend gemachten psychischen Gesundheitsschadens fehlt.
3.2 Die in der Beschwerde vorgebrachten Einwände vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern. Soweit darin die bereits im vorinstanzlichen Verfahren entkräfteten Rügen wiederholt werden, kann auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Gerichtsentscheid verwiesen werden. Der Versicherte lässt zudem unter Hinweis auf die Schreiben des Dr. med. H._, Spezialarzt FMH für Chirurgie, Wirbelsäulenleiden, Schleudertrauma und orthopädische Traumatologie, vom 1. April 2008 und des Dr. med. S._, Spezialarzt FMH für Innere Medizin und Rheumatologie, vom 9. Mai 2008 sowie die Bestätigungen zweier Krankenversicherungen geltend machen, er sei bis zum Unfall weder auf Grund von Rückenbeschwerden behandelt noch deswegen arbeitsunfähig gewesen, weshalb der "lumbale Gesundheitsschaden", namentlich die Diskushernie, unfallbedingt sei. Damit begründet er seine abweichende Meinung in Bezug auf sein Rückenleiden allein mit der Beweisregel "post hoc, ergo propter hoc" (BGE 119 V 335 E. 2b/bb S. 341 f.). Diese Beweisregel beinhaltet eine natürliche Vermutung dahingehend, dass nach einem Unfall aufgetretene Beschwerden dauerhaft auf unfallbedingte Ursachen zurückzuführen sind, wenn eine vorbestehende Erkrankung bis zum Unfallereignis schmerzfrei war. Eine derartige natürliche Vermutung entspricht weder den anerkannten unfallmedizinischen Erkenntnissen über Verlauf und Symptomatik von degenerativen Wirbelsäulenerkrankungen noch denjenigen über die zeitlichen Folgen von unfallbedingten Einwirkungen auf die Wirbelsäule, sofern das versicherte Ereignis keine strukturellen Läsionen an der Wirbelsäule und namentlich keine Wirbelkörperfraktur verursachte (vgl. Bär/Kiener, Prellung, Verstauchung oder Zerrung der Wirbelsäule, in: Medizinische Mitteilungen der SUVA Nr. 67 von Dezember 1994, S. 45 ff.; Debrunner/Ramseier, Die Begutachtung von Rückenschäden in der schweizerischen sozialen Unfallversicherung, Bern 1990, S. 52; Morscher/ Chapchal, Schäden des Stütz- und Bewegungsapparates nach Unfällen, in: Baur/Nigst, Versicherungsmedizin, 2. Auflage, Bern 1985, S. 192). Diese natürliche Vermutung ist daher unfallmedizinisch nicht haltbar und dementsprechend beweisrechtlich nicht zulässig. Die Schreiben der Dres. med. H._ (vom 1. April 2008) und S._ (vom 9. Mai 2008) stützen allerdings die Meinung des Versicherten nicht. Dr. med. H._ gibt an, dass die Pseudospondylolisthesis L3/L4 den Hauptgrund für die invalidisierenden Beschwerden darstelle, und Dr. med. S._ geht davon aus, dass die Pseudospondylolisthesis L3/L4 vorbestehend war, dass also - zusammenfassend - der (allenfalls) invalidisierende Gesundheitsschaden nicht unfallbedingt sei. Soweit im Übrigen Dr. med. S._ die mediale Diskushernie L5/S1 - ohne weitere Begründung - "mit grosser Wahrscheinlichkeit" auf das Unfallereignis zurückführt, ist seine Angabe aus obgenannten Gründen nicht beweistauglich. Damit kann offen bleiben, ob die beiden Berichte der Dres. med. H._ und S._ im Rahmen der Kognition nach Art. 97 Abs. 2 BGG als unzulässige Noven im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG zu gelten haben (vgl. Urteil 8C_260/2007 vom 31. Oktober 2007). Auch aus den übrigen medizinischen Unterlagen, insbesondere aus den vom Beschwerdeführer erwähnten Berichten des Dr. med. T._, Konsiliararzt Interventionelle Schmerztherapie, Rehaklinik X._, vom 22. Dezember 2003, des Psychiatrie-Zentrums Y._ vom 3. Mai 2004 und des SUVA-Kreisarztes Dr. med. C._ vom 2. September 2004, lässt sich nichts Abweichendes ableiten.
Zu Recht unbestritten geblieben ist schliesslich die mangelnde adäquate Kausalität bezüglich der psychischen Leiden.
4. Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG, insbesondere ohne Durchführung eines Schriftenwechsels und mit summarischer Begründung, erledigt.
5. Mit Blick auf diesen Ausgang des Prozesses sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Juli 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz