Faits:
A. A.a Par prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 14 novembre 2011, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte a notamment autorisé les époux A._ à vivre séparés, attribué la jouissance du domicile conjugal et la garde de l'enfant à l'épouse, condamné celle-ci à contribuer à l'entretien de son époux à hauteur de 1'000 fr. par mois dès le 1er novembre 2011 et prononcé le régime de la séparation de biens avec effet au 13 octobre 2011.
Le 25 novembre 2011, l'époux a interjeté appel contre ce prononcé et requis le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure d'appel.
A.b Par décision du 2 décembre 2011, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Juge délégué) a dispensé l'époux de l'avance de frais, réservant la décision sur l'assistance judiciaire.
Statuant le 30 janvier 2012, le Juge délégué a rejeté l'appel et la requête d'assistance judiciaire (ch. III du dispositif). L'arrêt motivé a été expédié aux parties le 14 mars 2012.
B. Par acte du 16 avril 2012, l'époux exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à l'annulation de l'arrêt entrepris en ce qui concerne la décision sur l'assistance judiciaire et au renvoi à l'autorité précédente pour nouvelle décision, subsidiairement, à ce qu'il soit mis au bénéfice de l'assistance judiciaire dans le cadre de la procédure d'appel introduite le 25 novembre 2011. Au préalable, il requiert l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. Le refus de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente en tant qu'elle est l'accessoire de la demande principale (art. 93 al. 1 LTF; arrêt 5A_496/2009 du 21 octobre 2009 consid. 1.1). De jurisprudence constante, une telle décision est susceptible de causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF; ATF 133 IV 335 consid. 4 p. 338 s.; 129 I 281 consid. 1.1 p. 283, 129 consid. 1.1 p. 131; 126 I 207 consid. 2a p. 210 ss).
Le recours contre une telle décision incidente est soumis à la même voie de droit que celle qui est ouverte contre la décision principale (arrêts 5D_55/2011 du 23 septembre 2011 consid. 1.2; 5A_491/2007 du 15 novembre 2007, consid. 1.2). La cause pour laquelle l'assistance judiciaire est requise se rapporte à une procédure de mesures protectrices de l'union conjugale, à savoir une décision en matière civile (art. 72 al. 1 LTF), portant sur les modalités de la séparation des époux, en particulier sur le droit de garde de l'enfant, la jouissance du domicile conjugal, la contribution d'entretien à charge de l'épouse et le régime de la séparation de biens. Il s'ensuit que l'ensemble du litige est, par attraction, de nature non pécuniaire (arrêts 5A_697/2009 du 4 mars 2010 consid. 1.1; 5A_495/2008 du 30 octobre 2008 consid. 1.1). La voie du recours en matière civile est ouverte indépendamment de la valeur litigieuse (ATF 116 II 493 consid. 2b p. 495), de sorte que le recours constitutionnel subsidiaire est d'emblée irrecevable (art. 113 LTF).
Par ailleurs, le présent recours a été déposé en temps utile (art. 46 al. 2 et 100 al. 1 LTF) et dans la forme requise (art. 42 LTF), par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et ayant un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision prise par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
2. 2.1 Conformément à l'art. 98 LTF, lorsque le recours est formé à l'encontre d'une décision portant sur des mesures protectrices de l'union conjugale, seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels (ATF 133 III 393 consid. 5.1 in fine p. 397, 585 consid. 3.3 p. 587). Le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si le recourant a invoqué et motivé son grief conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, à savoir s'il l'a expressément soulevé et exposé d'une manière claire et détaillée ("principe d'allégation"; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88 et les arrêts cités). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 III 589 consid. 2 p. 591 s. et les arrêts cités).
2.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre que celles-ci sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst., conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1; ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252; arrêt 5A_338/2010 du 4 octobre 2010 consid. 3.2).
3. En instance d'appel, l'époux a conclu préalablement à être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire et, au fond, à l'attribution de la jouissance du domicile conjugal et du droit de garde de l'enfant, à ce que l'épouse contribue à l'entretien des siens à hauteur de 4'580 fr. par mois et à ce que la séparation de biens ne soit pas prononcée.
Le Juge délégué a rejeté l'appel de l'époux, confirmé la décision de première instance tant sur le résultat que sur les motifs, et refusé d'octroyer à l'époux le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours cantonale. S'agissant du droit de garde de l'enfant, le juge précédent a relevé que le premier juge ne s'était pas contenté du critère de la préférence naturelle et avait, à juste titre, raisonné en terme d'intérêt pour le bien de l'enfant, en observant que les capacités éducatives de l'époux étaient mitigées au vu du résultat de l'instruction. Le juge cantonal a constaté que, en dépit de la disponibilité plus grande de l'époux par rapport à l'épouse, celui-ci ne gardait pas l'enfant quotidiennement, le confiant une bonne partie de la semaine à sa belle-mère. Le Juge délégué a aussi retenu que l'époux avait souffert d'un état de santé fragilisé l'amenant à être hospitalisé en milieu psychiatrique durant quelques jours au mois d'octobre 2011, ce que l'époux ne contestait pas, admettant souffrir de dépression lors de l'audience de mesures protectrices de l'union conjugale. Vu la fragilité psychique du mari, que le conflit conjugal risquait d'aggraver, le juge cantonal a considéré que la garde devait être confiée à l'épouse pour garantir une stabilité à l'enfant âgée de trois ans et demi et donc totalement dépendante. Le juge cantonal a en outre relevé que l'intérêt sérieux que portait le mari aux jeux de hasard et le déni de cette passion alors qu'il se sait interdit d'accès aux casinos depuis octobre 2011 et qu'il a perdu 20'000 fr. au mois de septembre 2011, ne permettaient pas d'exclure que l'enfant pourrait être livrée à elle-même pour permettre à celui-ci de jouer. Le juge cantonal a ensuite exposé que les conclusions concernant l'attribution de la jouissance du domicile conjugal et le montant de la contribution d'entretien ont été prises en relation avec l'octroi du droit de garde, notamment dans l'optique de ne pas perturber l'équilibre de l'enfant, en sorte qu'il n'était pas nécessaire de les revoir puisque le droit de garde n'a pas été modifié. En ce qui concerne le régime de la séparation de biens, le juge précédent a relevé que seule l'épouse avait une activité lucrative et que les intérêts pécuniaires de celle-ci étaient mis en danger par les sommes et les crédits engagés par le mari pour s'adonner au jeu. Il a enfin relevé que le seul blocage des comptes de l'épouse n'était pas suffisant pour préserver les intérêts économiques de celle-ci, dans l'hypothèse où la liquidation du régime matrimonial ordinaire intervenait après le 13 octobre 2011, partant, que la séparation de biens devait être confirmée.
4. Le recourant fait valoir que le Juge délégué aurait violé son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Il invoque ce droit fondamental sous l'angle du droit à obtenir une décision motivée, affirmant que le Juge délégué lui a refusé le bénéfice de l'assistance judiciaire sans exposer la raison pour laquelle le magistrat a estimé l'appel comme dénué de chances de succès.
4.1 Le droit d'être entendu est un grief de nature formelle (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437 s.), dont la violation entraîne l'annulation de la décision attaquée indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437), qu'il convient par conséquent d'examiner avant tout autre (ATF 135 I 279 consid. 2.6.1 p. 285; 124 I 49 consid. 1 p. 50) et avec une cognition libre (ATF 121 I 54 consid. 2a p. 57 et les arrêts cités).
La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse en saisir la portée, le cas échéant, l'attaquer en connaissance de cause et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle (ATF 133 III 439 consid. 3.3 p. 445 s. et les arrêts cités). Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'est pas tenu de discuter tous les arguments soulevés par les parties, mais peut se limiter à ceux qui lui apparaissent pertinents (ATF 136 I 229 consid. 5.2 p. 236; 136 V 351 consid. 4.2 p. 355 et les références). Une motivation implicite, résultant des différents considérants de la décision, suffit à respecter le droit d'être entendu (arrêts 6B_726/2010 du 17 mai 2011 consid. 1.3 in fine, 2C_23/2009 du 25 mai 2009 consid. 3.1),
4.2 Le grief de la violation du droit d'être entendu pour défaut de motivation de la décision attaquée n'est pas fondé en l'espèce, dans la mesure où la juridiction cantonale a dûment indiqué, sur tous les points soulevés en appel par le recourant, les motifs qui l'ont conduite à confirmer intégralement le prononcé de première instance et pour les mêmes motifs que l'autorité inférieure. Le recourant admet d'ailleurs que les questions de fond de la cause ont fait l'objet d'une motivation approfondie; ce faisant, il reconnaît être en mesure de discerner la portée de la décision attaquée et de l'attaquer en connaissance de cause. Les chances de succès de l'appel dépendent du sort des griefs soulevés, lesquels ont tous été considérés en l'espèce comme manifestement mal fondés. L'appréciation selon laquelle l'appel était dénué de chances de succès - conduisant à rejeter le bénéfice de l'assistance judiciaire - résulte donc implicitement de la motivation de l'arrêt.
5. Le recourant reproche en outre au Juge délégué d'avoir violé l'art. 29 al. 3 Cst. et fait preuve d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application de l'art. 117 CPC en lui refusant le bénéfice de l'assistance judiciaire. Il estime que l'autorité précédente a déclaré à tort que ses conclusions d'appel étaient dénuées de toute chance de succès, compte tenu des critères d'octroi de l'assistance judiciaire. Il soutient que la question principale de son appel, à savoir la garde de l'enfant, n'était "pas aussi évidente", dès lors qu'il assumait le rôle de père au foyer depuis la naissance, que les médecins auraient affirmé qu'il ne souffrait que d'un léger état dépressif, sans présenter de danger pour sa famille, qu'il n'est aucunement en proie à une addiction aux jeux et quand bien même il le serait, cela n'aurait pas pour effet de remettre en cause ses capacités parentales. Selon le recourant, la question de l'attribution de la garde de l'enfant "appelait un examen approfondi et une balance minutieuse des intérêts en présence"; "l'issue de la procédure ne pouvait par conséquent être considérée comme incertaine" (sic !).
5.1 Aux termes de l'art. 117 CPC, une personne a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a) et si sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b). Il faut considérer que les conditions de l'assistance judiciaire selon le nouveau droit de procédure civile (art. 117 CPC) ne sont pas différentes de celles prévues, en tant que garantie minimale, par l'art. 29 al. 3 Cst. (arrêts 5A_265/2012 du 30 mai 2012 consid. 2.2; 5A_842/2011 du 24 février 2012 consid. 2.2.3 s.). Par conséquent, c'est à l'aune de cette dernière norme qu'il y a lieu d'examiner le mérite du présent recours.
5.2 En vertu de l'art. 29 al. 3, 1ère phr. Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Selon la jurisprudence, un procès est dénué de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre et que, dès lors, elles ne peuvent être considérées comme sérieuses, de sorte qu'un plaideur raisonnable et aisé renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'il serait exposé à devoir supporter; en revanche, il ne l'est pas lorsque les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près ou que les premières n'apparaissent que légèrement inférieures aux secondes (ATF 133 III 614 consid. 5 p. 616; 129 I 129 consid. 2.3.1 p. 135 s.). L'élément déterminant réside dans le fait que l'indigent ne doit pas se lancer, parce qu'il plaide aux frais de la collectivité, dans des démarches vaines qu'une personne raisonnable n'entreprendrait pas si, disposant de moyens suffisants, elle devait les financer de ses propres deniers (arrêt 5A_425/2009 du 13 août 2009 consid. 3.1).
La situation doit être appréciée à la date du dépôt de la requête (ATF 133 III 614 consid. 5 in fine p. 616) et sur la base d'un examen sommaire (ATF 124 I 304 consid. 4a p. 308 s.). Le Tribunal fédéral examine librement si le droit à l'assistance judiciaire découlant de l'art. 29 al. 3 Cst. a été méconnu; dire quels sont les éléments d'appréciation pertinents et s'il existe des chances de succès sont des questions de droit que le Tribunal fédéral peut examiner librement. En revanche, il ne revoit que sous l'angle de l'arbitraire les constatations de fait de l'autorité cantonale (ATF 134 I 12 consid. 2.3 p. 14).
5.3 En l'occurrence, le recourant ne remet pas en cause l'appréciation du juge cantonal qui a considéré que l'appel était dénué de chance de succès en ce qui concerne l'attribution du logement conjugal, de la contribution d'entretien et de la séparation de biens, mais uniquement sur la question du droit de garde de l'enfant, estimant celle-ci comme la plus importante et incertaine. A cet égard, le recourant se limite toutefois à exposer sa propre appréciation de l'octroi du droit de garde, au vu de ses compétences éducatives, de la situation antérieure à la séparation et de son temps libre, en se fondant partiellement sur des faits non constatés dans l'arrêt attaqué, partant, irrecevables (art. 106 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.2). Quoi qu'il en soit, sur ce point son appel était manifestement voué à l'échec: le premier juge a effectivement tenu compte de la préférence naturelle, notamment du fait que le père avait la disponibilité nécessaire pour s'occuper de l'enfant bien qu'il n'en ait pas quotidiennement fait usage, mais il a jugé que le critère déterminant était celui du bien de l'enfant. Or, le recourant a entièrement occulté cet élément dans son mémoire d'appel, omettant de discuter les critères d'appréciation pertinents et leur pondération.
De surcroît, il est manifeste que pour statuer sur l'appel du recourant, ni examen approfondi, ni pesée des intérêts ne sont apparus comme nécessaires, contrairement à ce qu'affirme le recourant sans le démontrer. Le Juge délégué a en effet renoncé à inviter l'intimée à se déterminer en instance cantonale ainsi que l'autorise l'art. 312 al. 1 in fine CPC, estimant donc d'emblée l'appel du recourant comme manifestement infondé sur tous les griefs soulevés.
Vu ce qui précède, les chances que le recourant obtienne gain de cause en appel, notamment sur la question de l'attribution de la garde de l'enfant, apparaissaient nettement inférieures au risque de succomber. Les conclusions prises par le recourant étaient vouées à l'échec, entraînant ainsi le rejet de la demande d'assistance judiciaire. Le Juge délégué n'a donc pas violé l'art. 29 al. 3 Cst., ni a fortiori fait preuve d'arbitraire dans l'application de l'art. 117 CPC.
6. En définitive, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les conclusions du recourant étant dénuées de toute chance de succès, sa demande d'assistance judiciaire pour la procédure devant la cour de céans ne saurait être agréée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'autorité intimée, qui n'a au demeurant pas été invitée à se déterminer (art. 68 al. 2 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant et au Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 14 juin 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Escher
La Greffière: Carlin