Erwägungen:
1.
Die Strafverfolgungsbehörden des Kantons Basel-Stadt führen gegen Y._ eine Strafuntersuchung wegen verschiedener Wirtschaftsdelikte. Der Beschuldigte befindet sich seit seiner Verhaftung am 24. Januar 2012 in Haft bzw. im vorzeitigen Strafvollzug. Er ist ab 27. Januar 2012 durch Rechtsanwalt X._ amtlich verteidigt.
X._ ersuchte im Juni 2012 die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt um Ausrichtung einer Akontozahlung. Die Staatsanwaltschaft entsprach dem Gesuch mit Verfügung vom 31. Oktober 2012 teilweise und sprach dem Verteidiger eine Akonto-Entschädigung von Fr. 17'209,8 zu. X._ erhob dagegen Beschwerde - er forderte einen Betrag von Fr. 77'292.4 per Ende September 2012 -, welche das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 5. Juli 2013 abwies.
Am 10. September 2013 wandte sich X._ erneut mit einer Akonto-Rechnung an die Staatsanwaltschaft und beantragte eine weitere Vorauszahlung. Die Staatsanwaltschaft wies das Gesuch mit Verfügung vom 11. September 2013 ab. Dagegen erhob X._ am 23. September 2013 Beschwerde, welche das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 27. November 2013 abwies.
Am 10. September 2013 wandte sich X._ erneut mit einer Akonto-Rechnung an die Staatsanwaltschaft und beantragte eine weitere Vorauszahlung. Die Staatsanwaltschaft wies das Gesuch mit Verfügung vom 11. September 2013 ab. Dagegen erhob X._ am 23. September 2013 Beschwerde, welche das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 27. November 2013 abwies.
2. X._ führt mit Eingabe vom 22. Januar 2014 Beschwerde in Strafsachen sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 27. November 2013. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
2. X._ führt mit Eingabe vom 22. Januar 2014 Beschwerde in Strafsachen sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 27. November 2013. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Der angefochtene Entscheid ist im Rahmen des noch nicht abgeschlossenen Strafverfahrens gegen Y._ ergangen. Es handelt sich somit um einen Zwischenentscheid, der nur nach Massgabe von Art. 93 Abs. 1 BGG angefochten werden kann.
3.1 Der angefochtene Zwischenentscheid ist somit nur anfechtbar, falls er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirkt (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder, was hier von vornherein nicht in Betracht fällt, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen kann und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG).
3.2 Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (BGE 137 III 324 E. 1.1; 136 IV 92 E. 4 je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer äussert sich zu den Beschwerdevoraussetzungen gemäss Art. 93 BGG überhaupt nicht. Er legt nicht dar, inwiefern ihm durch den angefochtenen Entscheid ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG drohen sollte. Ein solcher Nachteil ist im Übrigen auch nicht ersichtlich, da dem Beschwerdeführer im weiteren Verfahren voller gerichtlicher Rechtsschutz zusteht (vgl. auch 1B_225/2011 vom 6. Juni 2011 E. 3.1). Auf die Beschwerden ist deshalb mangels einer hinreichenden Begründung im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer äussert sich zu den Beschwerdevoraussetzungen gemäss Art. 93 BGG überhaupt nicht. Er legt nicht dar, inwiefern ihm durch den angefochtenen Entscheid ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG drohen sollte. Ein solcher Nachteil ist im Übrigen auch nicht ersichtlich, da dem Beschwerdeführer im weiteren Verfahren voller gerichtlicher Rechtsschutz zusteht (vgl. auch 1B_225/2011 vom 6. Juni 2011 E. 3.1). Auf die Beschwerden ist deshalb mangels einer hinreichenden Begründung im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
4. Die Beschwerden erweisen sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 BGG) abzuweisen ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, Abteilung Wirtschaftsdelikte, und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Januar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli