Sachverhalt:
A. Die 1969 geborene W._ arbeitete zuletzt seit Dezember 2003 bis Ende Dezember 2004 als Verkäuferin bei der Firma X._. Am 28. Mai 2008 meldete sie sich wegen Depressionen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich zog diverse Arztberichte und ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. A._ vom 3. November 2008 bei. Mit Verfügung vom 13. Februar 2009 verneinte sie einen Rentenanspruch.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 8. Juni 2010 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei sie gründlich polydisziplinär medizinisch abzuklären; es seien ihr die gesetzlichen Leistungen zu gewähren. Es sei ihr Gelegenheit zu einer Replik einzuräumen und, falls ihren Vorbringen nicht gefolgt werde, eine mündliche Verhandlung anzuordnen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Die Versicherte reicht unaufgefordert am 5. Oktober 2010 eine Replik und am 7. Oktober 2010 eine Berichtigung derselben ein.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung (Art. 95 f. BGG) erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die Rechtsmängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Der aufgrund medizinischer Untersuchungen gerichtlich festgestellte Gesundheitszustand und die damit einhergehende Arbeitsfähigkeit betreffen eine Tatfrage (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.; zur Abgrenzung zwischen Tat- und Rechtsfragen bei der Prüfung, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung oder ein vergleichbarer syndromaler Zustand mit invalidisierender Wirkung vorliegt vgl. SVR 2008 IV Nr. 23 S. 71 E. 2.2 [I 683/06]). Rechtsverletzungen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 f. E. 5.1). Die konkrete Beweiswürdigung ist Tatfrage (nicht publ. E. 4.1 des Urteils BGE 135 V 254, in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]).
2. Die Versicherte verlangt die Einräumung der Gelegenheit zu einer Replik. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist innert der Beschwerdefrist (Art. 100 BGG) mit Antrag, Begründung und Angabe der Beweismittel (Art. 42 Abs. 1 BGG) einzureichen, wobei neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden dürfen, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 135 V 194). Ein zweiter Schriftenwechsel findet nur ausnahmsweise auf Anordnung des Gerichts statt (Art. 102 Abs. 3 BGG). Dazu besteht vorliegend kein Anlass.
Die Rechtsprechung hat darüber hinaus aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 29 Abs. 1 BV ein Recht auf Replik abgeleitet, das aber nur darin besteht, sich zu den von der Gegenpartei eingereichten Stellungnahmen zu äussern (BGE 133 I 100 E. 4.3 S. 102 f.), was auch der Beschwerdeführerin zustand und von ihr mit den Eingaben vom 5. und 7. Oktober 2010 wahrgenommen wurde. Dieses Recht gewährt aber keinen Anspruch darauf, ausserhalb der Beschwerdefrist Aspekte vorzutragen, die bereits mit der Beschwerde hätten vorgebracht werden können. Soweit diese nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichten Eingaben der Versicherten über eine Stellungnahme zur Beschwerdevernehmlassung hinausgehen, sind sie unbeachtlich (Urteil 9C_457/2009 vom 10. Dezember 2009 E. 1).
3. Die Beschwerdeführerin fordert die Anordnung einer mündlichen Verhandlung, falls ihren Vorbringen nicht gefolgt werde.
Das Verfahren der öffentlich-rechtlichen Beschwerde ist grundsätzlich schriftlich (Art. 102 BGG), eine Verhandlung findet nicht statt. Die Beschwerdeführerin hat ihren Standpunkt in ihren Rechtsschriften ausführlich dargetan. Es ist daher nicht ersichtlich, inwiefern sich ausnahmsweise eine öffentliche Parteiverhandlung in Sinne von Art. 57 BGG aufdrängen würde. Dies liegt umso weniger nahe, als die Beschwerdeführerin nicht darlegt, inwiefern die aufgeworfenen Rechts- und Tatfragen nicht aufgrund der Akten beantwortet werden können. Ihr Antrag auf eine mündliche Verhandlung ist daher abzuweisen.
4. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG; BGE 135 V 215), die Invalidität (Art. 8 Abs. 1 ATSG, Art. 4 Abs. 1 IVG), die Voraussetzungen und den Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 2 IVG in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung, bis Ende 2007 Art. 28 Abs. 1 IVG), den invalidisierenden Charakter psychischer Gesundheitsschäden (BGE 131 V 49 E. 1.2 S. 50 f.) die Aufgabe des Arztes bei der Invaliditätsbemessung (BGE 132 V 93 E. 4 S. 99) und den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 f. E. 5.1) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
5. 5.1 Der Psychiater Dr. med. A._ stellte im Gutachten vom 3. November 2008 folgende Diagnosen: kombinierte Störung aus dem Formenkreis der neurotischen, Belastungs- und somatoformen Störungen (ICD-10: F4), die seit ca. 2004 als undifferenzierte Somatisierungsstörung (ICD-10: F45.1) in Erscheinung getreten sei und sich ab Anfang 2008 zusätzlich als verlängerte depressive Reaktion (ICD-10: F43.21) äussere. Dem zugrundeliegend bestehe seit frühester Kindheit eine Essstörung, die am ehesten als Essattacken bei sonstigen psychischen Störungen (ICD-10: F60.4) beschrieben werden könne. Unter adäquater ambulanter therapeutischer Stütze halte er es für zumutbar, dass sich die Versicherte auf die Suche nach einer neuen, ihren Fähigkeiten angepassten Arbeitsstelle mache.
Die Vorinstanz hat in Würdigung dieses Gutachtens und der weiteren medizinischen Akten mit einlässlicher Begründung, auf die verwiesen wird, richtig erkannt, dass es der Versicherten aus psychischer Sicht - allenfalls unter ambulanter psychiatrischer Behandlung - zumutbar ist, zu 100 % einer ihrer Ausbildung und Erfahrung entsprechenden Erwerbstätigkeit nachzugehen. Weiter hat sie gestützt auf die Berichte des Dr. med. C._, Arzt für allgemeine Medizin FMH, vom 24. Juni 2008, des Dr. med. D._, leitender Arzt Chirurgie, Zentrum Y._, vom 1. September 2008 der Klinik Z._ vom 2. April 2009 zutreffend erwogen, dass die Versicherte aus somatischer Sicht in der Arbeitsfähigkeit nicht eingeschränkt ist. Die Vorinstanz hat zu Recht einen Rentenanspruch verneint und auf weitere medizinische Abklärungen verzichtet, da hievon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind; dies verstösst weder gegen den Untersuchungsgrundsatz noch gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV (antizipierte Beweiswürdigung; BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148).
5.2 Die Vorbringen der Versicherten vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern. Sie erhebt keine Rügen, welche die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen betreffend ihren Gesundheitszustand und ihre Arbeitsfähigkeit als offensichtlich unrichtig oder auf einer Rechtsverletzung nach Art. 95 BGG beruhend erscheinen lassen. Festzuhalten ist insbesondere Folgendes:
5.2.1 Die Versicherte wendet ein, die Vorinstanz habe diverse ihrer Rügen gegen das Gutachten des Dr. med. A._ ignoriert und damit ihre Begründungspflicht verletzt. Gemäss dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) hat die Behörde ihren Entscheid zu begründen. Indessen war es nicht erforderlich, dass sich die Vorinstanz mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzte und jedes einzelne Vorbringen der Parteien ausdrücklich widerlegte. Vielmehr konnte sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung musste so abgefasst sein, dass sich die Beschwerdeführerin über die Tragweite des Entscheides Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache weiterziehen konnte. In diesem Sinne mussten wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Vorinstanz hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützte (BGE 134 I 83 E.4.1 S. 88; Urteil 8C_253/2010 vom 15. September 2010 E. 5.6). Diese Anforderungen erfüllt der angefochtene Entscheid.
5.2.2 Soweit die Versicherte für ihre Kritik am Gutachten des Dr. med. A._ unter anderem auf die vorinstanzliche Beschwerde verweist, ist dies unzulässig (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 134 II 244; SVR 2010 UV Nr. 9 S. 35 E. 6 [8C_286/2009]).
5.2.3 Der Umstand, dass Dr. med. A._ eine ambulante therapeutische Stütze für die Versicherte vorschlug (E. 5.1 hievor), genügt nicht für die Annahme eines invalidisierenden psychischen Leidens (Urteil 9C_511/2009 vom 30. November 2009 E. 4.3.2).
5.2.4 Die Versicherte macht geltend, sie habe sich bei Verfügungserlass vom 13. Februar 2009 in der Klinik Z._ aufgehalten und sei - wie auch bei Klinikaustritt am 12. März 2009 - zu 100 % arbeitsunfähig gewesen. Diese Tatsache sei weder der IV-Stelle noch dem Gutachter Dr. med. A._ bekannt gewesen. Die Abklärungen seien mithin unvollständig und falsch. Das Gutachten sei nicht umfassend und nicht in Kenntnis aller Vorakten ergangen.
Die Klinik Z._ diagnostizierte im Austrittsbericht vom 2. April 2009 eine nicht näher bezeichnete Essstörung (ICD-10: F50.9) und akzentuierte Persönlichkeitszüge mit zwanghaften Anteilen (ICD-10: Z73.1). Im Bericht vom 15. Mai 2009 gab sie ab Klinikeintritt eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit der Versicherten an, führte aber gleichzeitig aus, da diese den Klinikaufenthalt vorzeitig abgebrochen habe, könne eine Beurteilung, wie sie nach einer vollständig durchgeführten Therapie erfolgt wäre, nicht vorgenommen werden.
Die Berichte der Klinik Z._ setzen sich mit dem Gutachten des Dr. med. A._ vom 3. November 2008 mit keinem Wort auseinander; sie sind mithin nicht geeignet, dieses im Rahmen der sachverhaltsmässig eingeschränkten bundesgerichtlichen Kognition auch nur ansatzweise in Zweifel zu ziehen. Zudem wird die - erst ab Klinikeintritt geltende - Einschätzung der Arbeitsfähigkeit durch die Klinik Z._ in keiner Weise begründet; hievon abgesehen konnte diese Einschätzung wegen des vorzeitigen Klinikaustritts der Versicherten nicht hinreichend vorgenommen werden. Das Hauptproblem der Versicherten ist aufgrund der Akten ihr Übergewicht. Ihr Aufenthalt in der Klinik Z._ vom 9. Februar bis 12. März 2009 diente in erster Linie der Behandlung ihrer Essstörung. Die durch diese Klinik gestellten Diagnosen können aufgrund der Akten insgesamt nicht als invalidisierende Krankheit angesehen werden (vgl. auch E. 5.2.5 hienach). Bezeichnend ist denn auch, dass die zweite Diagnose der Klinik Z._ aus der sogenannten Z-Kategorie (Kapitel XXI) des ICD-10-Systems stammt. Bei diesen Z-Kodierungen handelt es sich um Faktoren, die den Gesundheitszustand beeinflussen und zur Inanspruchnahme des Gesundheitswesens führen. Die Kategorien Z00-99 sind für Fälle vorgesehen, in denen Sachverhalte als "Diagnosen" oder "Probleme" angegeben sind, die nicht als Krankheit, Verletzung oder äussere Ursache unter den Kategorien A00-Y89 klassifizierbar sind (www. dimdi.de/static/de/klassi/diagnosen/icd10/htmlgm2009/chapter-xxi.htm). Diese Belastungen fallen als solche nicht unter den Begriff des rechtserheblichen Gesundheitsschadens (SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43 E. 2.2.2.2 [I 514/06]; Urteil 8C_570/2008 vom 4. Mai 2009 E. 4.2.5).
5.2.5 Die von Dr. med. A._ diagnostizierte undifferenzierte Somatisierungsstörung (ICD-10: F45.1; E. 5.1 hievor) gehört zum Symptomenkomplex der somatoformen Störungen (ICD-10: F45). Eine psychische Komorbidität von erheblicher Schwere, Ausprägung und Dauer ist - auch im Lichte der Diagnosen der Klinik Z._ (E. 5.2.4 hievor) - zu verneinen (vgl. Urteil 8C_945/2009 vom 23. September 2010 E. 10.1). Aufgrund der Akten sind sodann die weiteren Kriterien insgesamt nicht in einem Mass erfüllt, das die Annahme einer Unzumutbarkeit des Wiedereinstiegs der Versicherten in den Arbeitsprozess rechtfertigen würde (vgl. BGE 131 V 49 E. 1.2 S. 50 f.).
Wenn Dr. med. A._ im Gutachten vom 3. November 2008 eine (auch teilweise) Berentung als kontraindiziert erachtet, weil dadurch die anflugsweise erkennbare Motivation der Versicherten zu einer adäquaten Selbsthilfe im Keim erstickt würde, ist diese Aussage dahingehend zu verstehen, dass bei zumutbarer Willensanstrengung eine volle Arbeitsfähigkeit aus medizinisch-theoretischer Sicht grundsätzlich realisierbar ist (vgl. BGE 127 V 294 E. 4c S. 298; Urteil I 315/00 vom 11. Februar 2003 E. 4.2.2). Mit einer Berentung würde die Versicherte mithin lediglich in ihrem subjektiven Krankheitsbewusstsein bestärkt, was zu vermeiden ist.
6. Die unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. November 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar