Sachverhalt:
A. Am 8. August 2006 eröffnete der Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirks Dielsdorf auf Begehren der Y._ AG (in der Betreibung Nr. 1, Betreibungsamt A._) über die X._ GmbH (nachfolgend: Beschwerdeführerin) für eine Forderung von Fr. 1'055.70 nebst Zins und Kosten den Konkurs.
B. Gegen diese Verfügung erhob die Beschwerdeführerin am 14. August 2006 Rekurs an die II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Mit Verfügung vom 15. August 2006 wurde die Beschwerdeführerin aufgefordert, eine mit einer Originalunterschrift versehene Rekursschrift einzureichen, und es wurde ihr überdies eine Frist von 7 Tagen angesetzt, um
- dem Gericht einen während laufender Rekursfrist verwirklichten Konkurshinderungsgrund (Tilgung der Schuld, Hinterlegung oder Verzicht) durch Urkunden zu belegen,
- dem Gericht verschiedene Unterlagen zur Zahlungsfähigkeit einzureichen, nämlich
- einen aktuellen, detaillierten und vollständigen Auszug aus dem Betreibungsregister der letzten drei Jahre (gegebenenfalls auch von Betreibungsämtern früherer Wohn-/Firmensitze),
- eine Stellungnahme zu den im Betreibungsregisterauszug als nicht erledigt ausgewiesenen Betreibungen,
- Bankkontoauszüge bzw. weitere Unterlagen, die geeignet sind, kurzfristig abrufbare Guthaben/Vermögenswerte nachzuweisen,
- von einer zeichnungsberechtigten Person unterzeichnete, ev. durch Urkunden ausgewiesene aktuelle Debitoren- und Kreditorenlisten,
- Jahres- bzw. Zwischenjahresabschlüsse, wobei die siebentägige Frist bezüglich der Einreichung dieser Unterlagen ausdrücklich als einmal erstreckbar bezeichnet wurde,
- einen Barvorschuss von Fr. 500.-- zu leisten und
- dem Gericht durch Urkunden den Nachweis zu erbringen, dass die beim Konkursamt A._ entstandenen und noch entstehenden Kosten durch einen Barvorschuss sichergestellt worden seien.
Mit Beschluss vom 5. September 2006 wies die II. Zivilkammer des Obergerichts den Rekurs ab und bestätigte die Konkurseröffnung.
C. Gegen diesen Beschluss erhob die Beschwerdeführerin kantonale Nichtigkeitsbeschwerde, welche das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 31. Januar 2007 abwies.
D. Gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 31. Januar 2007 hat die Beschwerdeführerin Beschwerde im Sinne von Art. 72 ff. BGG beim Bundesgericht erhoben mit dem Antrag, der angefochtene Beschluss und die Konkurseröffnung seien aufzuheben, eventuell seien die Akten an das Obergericht zurückzuweisen mit der Anordnung, eine Nachfrist zur Einreichung der Unterlagen anzusetzen.
Der Abteilungspräsident erkannte der Beschwerde mit Verfügung vom 28. März 2007 in dem Sinn aufschiebende Wirkung zu, als Vollstreckungsmassnahmen während des bundesgerichtlichen Verfahrens zu unterbleiben haben.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgerichtsgesetz vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006, 1242). Da der angefochtene Entscheid am 31. Januar 2007 ergangen ist, ist das BGG auf das vorliegende Verfahren anwendbar (Art. 132 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Der Beschwerde in Zivilsachen unterliegen auch Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG); dazu gehört insbesondere die Konkurseröffnung. Die Beschwerde gegen Entscheide des Konkursrichters ist an keinen Streitwert gebunden (Art. 74 Abs. 2 lit. d BGG). Der Entscheid des Konkursgerichts gemäss Art. 171 und Art. 172 SchKG beendet ein Verfahren, das durch das Konkursbegehren des Gläubigers nach Art. 166 Abs. 1 SchKG eröffnet worden ist. Er ist damit in einem eigenen Verfahren ergangen, womit er einen Endentscheid nach Art. 90 BGG darstellt. Hingegen kommt er keiner einstweiligen Verfügung gleich, über die in einem späteren Hauptverfahren entschieden wird (Botschaft zum BBG, Ziff. 4.1.4.2, BBl 2001 S. 4336). Daraus ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin sämtliche Beschwerdegründe vorbringen kann und das Bundesgericht in seiner Prüfungsbefugnis nicht auf die verfassungsmässigen Rechte beschränkt ist (Art. 95 ff. BGG).
2.2 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (Art. 108 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Schliesslich ist darauf hinzuweisen, dass das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen darf (Art. 107 Abs. 1 BGG).
2.3 Vorliegend ist das Kassationsgericht auf die Nichtigkeitsbeschwerde auch hinsichtlich der Frage der Verletzung von Bundesrecht mit der Begründung eingetreten, die Sache sei nicht berufungsfähig, und es hat anschliessend seine Kognition mit Bezug auf die behauptete Verletzung von materiellem Bundesrecht (Art. 174 Abs. 2 SchKG) auf die Verletzung klaren Rechts (§ 281 Ziff. 3 ZPO/ZH) beschränkt. Es hat allerdings seinen Entscheid in einem Zeitpunkt gefällt, als das BGG bereits in Kraft stand und die eidgenössische Berufung abgeschafft war. Wie soeben dargestellt (E. 2.1), ist gegen das Konkurserkenntnis die Beschwerde in Zivilsachen zulässig, in deren Rahmen das Bundesgericht das materielle Bundesrecht mit freier Kognition prüft. Gemäss Art. 111 Abs. 3 BGG muss die unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts mindestens die Rügen nach den Art. 95-98 BGG prüfen können, was unter anderem bedeutet, dass das Bundesrecht frei überprüfbar sein muss. Vorbehalten bleiben Rechtsmittel im Sinne von Art. 100 Abs. 6 BGG. Nach dieser Bestimmung beginnt die Beschwerdefrist erst mit der Eröffnung bei der zusätzlichen kantonalen Gerichtsinstanz, wenn der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts mit einem Rechtsmittel, das nicht alle Rügen nach den Art. 95-98 BGG zulässt, angefochten worden ist. Der Entscheid des Obergerichts ist daher mitanfechtbar und die dem Bundesgericht vorgetragenen Fragen des Bundesrechts, welche das Kassationsgericht nur unter dem beschränkten Gesichtspunkt (§ 281 Ziff. 3 ZPO/ZH) geprüft hat, sind frei überprüfbar (zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil 5A_86/2007 vom 3. September 2007, E. 1.3). Soweit demnach mit der Beschwerde eine Verletzung des materiellen Bundesrechts geltend gemacht wird, muss sie sich unmittelbar gegen den Beschluss des Obergerichts vom 5. September 2006 richten.
2.4 Die Beschwerdeführerin hat in ihrem Antrag Ziff. 1 verlangt, dass der Zirkulationsbeschluss vom 31. Januar 2007 des Kassationsgerichts des Kantons Zürich und die Konkurseröffnung aufzuheben seien und in Ziff. 2 hat sie eventuell verlangt, dass der Zirkulationsbeschluss vom 31. Januar 2007 des Kassationsgerichts aufzuheben sei und die Akten an das Obergericht zurückzuweisen seien mit der Anordnung, eine Nachfrist zur Einreichung der Unterlagen anzusetzen. Dass der Beschluss des Obergerichts vom 5. September 2006 aufzuheben sei, hat die Beschwerdeführerin nicht ausdrücklich verlangt, so dass fraglich ist, ob gemäss Art. 107 Abs. 1 BGG auf die Beschwerde eingetreten werden kann, soweit sie sich unmittelbar gegen den Beschluss des Obergerichts vom 5. September 2006 richten muss. Immerhin hat die Beschwerdeführerin auch die Aufhebung der Konkurseröffnung verlangt, was bezüglich der Rügen der Verletzung materiellen Bundesrechts (Art. 174 SchKG) die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids voraussetzt. Bei dieser Sachlage ist auf die Rüge, Art. 174 SchKG sei verletzt, einzutreten. Anfechtungsgegenstand ist der Beschluss des Obergerichts vom 5. September 2006.
3. 3.1 Gemäss Art. 174 Abs. 2 Ziff. 1 SchKG kann das obere Konkursgericht die Konkurseröffnung aufheben, wenn der Schuldner mit der Einlegung des Rechtsmittels seine Zahlungsfähigkeit glaubhaft macht und durch Urkunden beweist, dass inzwischen die Schuld, einschliesslich der Zinsen und Kosten getilgt ist. Aus dieser Bestimmung ergibt sich, dass die Aufhebung des Konkurses nur in Frage kommt, wenn der Schuldner einerseits durch Urkunden beweist, dass inzwischen die Schuld einschliesslich der Zinsen und Kosten getilgt und kumulativ andererseits die Zahlungsfähigkeit des Schuldners glaubhaft gemacht ist. Glaubhaft gemacht ist eine Tatsache schon dann, wenn für deren Vorhandensein gewisse Elemente sprechen, selbst wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass sie sich nicht verwirklicht haben könnte (BGE 130 III 321 E. 3.3 S. 325; 120 II 393 E. 4c S. 398). Konkret heisst dies im Hinblick auf die Aufhebung der Konkurseröffnung, dass die Zahlungsfähigkeit des Konkursiten wahrscheinlicher sein muss als die Zahlungsunfähigkeit. In diesem Bereich dürfen keine zu strengen Anforderungen gestellt werden.
3.2 Das Obergericht hat festgestellt, dass die Beschwerdeführerin die Konkursforderung beglichen hat. Ebenso hat sie den Barvorschuss von Fr. 500.-- geleistet. Hingegen sind die angeforderten Unterlagen zur Glaubhaftmachung der Zahlungsfähigkeit nicht eingegangen. Ebenso hat sie es unterlassen, die Konkurskosten sicherzustellen. Dieser Sachverhalt ist unbestritten. Die Beschwerdeführerin räumt ausdrücklich ein, sie habe es bedauerlicherweise unterlassen, die Konkurskosten sicherzustellen sowie die seitens des Obergerichts Zürich geforderten Unterlagen zur Glaubhaftmachung der Zahlungsfähigkeit einzureichen. Es ist aber Sache des Schuldners, die erforderlichen Unterlagen beizubringen und er trägt die Beweislast, wenn weder die Zahlungsfähigkeit noch die Zahlungsunfähigkeit erstellt bzw. glaubhaft gemacht sind. Die Beschwerdeführerin macht denn auch nicht geltend, ihre Zahlungsfähigkeit sei auch ohne die von ihr geforderten Unterlagen glaubhaft gemacht. Bei dieser Sachlage haben die kantonalen Gerichte Art. 174 Abs. 2 SchKG nicht verletzt, wenn sie zum Schluss gelangt sind, die Beschwerdeführerin habe die Zahlungsfähigkeit nicht glaubhaft gemacht.
4. Die Beschwerdeführerin macht aber geltend, in einem früheren Konkursverfahren gegen sie, das im Jahre 2003 stattgefunden habe, sei der Konkurs nach Zahlung der Ausstände wie auch der Leistung einer Kaution zur Deckung der Spruchgebühr aufgehoben worden; es sei für sie als Laie nicht verständlich gewesen, weshalb es sich im vorliegenden Verfahren anders verhalten sollte.
Aus diesem früheren Konkursverfahren kann die Beschwerdeführerin nichts für sich ableiten. Sie wurde mit Verfügung vom 15. August 2006 ausdrücklich auf die konkreten Unterlagen aufmerksam gemacht, welche sie innert Frist einzureichen habe. Dass sie diese Verfügung nicht verstanden habe, macht sie mit Grund nicht geltend.
5. Weiter führt die Beschwerdeführerin aus, dass das Versäumnis wohl in der Hektik der Situation und unter Zeitdruck geschehen sei, weil sich ihr Geschäftsführer sowohl im Zeitpunkt der Zustellung der Konkurseröffnung wie auch der Verfügung vom 15. August 2006 im Ausland befunden habe. Dieser sei erst am Samstag, den 19. August 2006 zurückgekehrt, so dass ihm lediglich vier Arbeitstage verblieben seien, um die Unterlagen zu beschaffen. Es hätte ihr deshalb von Amtes wegen eine Nachfrist gewährt werden müssen. Das Nichtgewähren einer Nachfrist von Amtes wegen verletze Art. 174 Abs. 2 SchKG und verschiedene kantonale Verfahrensvorschriften, sei unverhältnismässig, verstosse gegen den Grundsatz von Treu und Glauben im Verfahren und verletze das Rechtsgleichheitsgebot.
5.1 Die Beschwerdeführerin meint zunächst, das Vorgehen der kantonalen Gerichte verletze das Rechtsgleichheitsgebot, weil sie im Vergleich zu anderen an solchen Verfahren beteiligten Prozessparteien benachteiligt worden sei. Sie legt aber nicht dar, welche Partei inwiefern in verfassungswidriger Weise anders behandelt worden sei als sie selber. Darauf ist nicht einzutreten (Art. 106 Abs. 2 BGG).
5.2 Art. 174 Abs. 2 SchKG verlangt, dass der Schuldner seine Zahlungsfähigkeit "mit der Einlegung des Rechtsmittels" ("en déposant le recours", "impugnando la decisione") glaubhaft macht. Das Gesetz selber setzt damit eine zeitliche Schranke für das Beibringen von Unterlagen, welche seine Zahlungsfähigkeit belegen. Es geht davon aus, dass der Konkurseröffnung ein längeres Betreibungsverfahren vorausgegangen ist, in dessen Verlauf sich der Konkursit über seine finanziellen Verhältnisse Klarheit verschaffen konnte und musste (Jaeger/Walder/Kull/Kottmann, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. II, 4. Aufl. 1999, N. 12 zu Art. 174 SchKG). Werden daher innert Frist keine Unterlagen vorgelegt, besteht grundsätzlich kein Grund für Weiterungen. Insbesondere besteht kein Raum für weitergehende kantonale Regelungen (Jaeger/Walder/Kull/Kottmann, a.a.O., N. 12 und 14 zu Art. 174 SchKG; Jürgen Brönnimann, Novenrecht und Weiterziehung gemäss Art. 174 E SchKG, in: Festschrift Walder, Zürich 1994, S. 442, 448 und 451; Giroud, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, N. 19 und 26 zu Art. 174 SchKG). Soweit die Beschwerdeführerin im vorliegenden Zusammenhang kantonale Verfahrensbestimmungen anruft, welche in verfassungswidriger Weise angewendet worden seien, ist sie daher nicht zu hören.
In der Lehre wird darauf hingewiesen, dass kantonale Gerichte es mitunter zulassen, Unterlagen sogar nach Ablauf der Rechtsmittelfrist nachzureichen, und dass sie dazu eine Nachfrist ansetzen (Giroud, a.a.O., N. 26 zu Art. 174 SchKG). Ob sich ein solcher Anspruch ausnahmsweise aus den Grundsätzen ergibt, dass staatliches Handeln verhältnismässig sein muss und dass staatliche Behörden nach Treu und Glauben handeln müssen (Art. 5 Abs. 2 und 3 BV), kann im vorliegenden Fall dahingestellt bleiben, weil das Obergericht der Beschwerdeführerin nach Einreichen des Rekurses eine Frist für das Nachreichen von konkret umschriebenen Unterlagen gesetzt und darin sogar auf Antrag eine einmalige Nachfrist in Aussicht gestellt hat. Weitergehende Rechte sind unter keinem Titel auszumachen. Die wichtigste Unterlage zum Glaubhaftmachen der Zahlungsfähigkeit ist der Auszug aus dem Betreibungsregister. In der Lehre wird zum Teil die Meinung vertreten, der Richter könne diesen nach Ablauf der Rechtsmittelfrist von Amtes wegen beschaffen, weil das Betreibungsregister als notorisch betrachtet werden könne (Cometta, in: Commentaire Romand, Poursuite et faillite, N. 14 zu Art. 174 SchKG). Im vorliegenden Fall hat der Richter die Beschwerdeführerin indessen ausdrücklich aufgefordert, innert Frist einen Auszug aus dem Betreibungsregister einzureichen, und sie sogar darauf hingewiesen, dass sie eine einmalige Fristverlängerung beantragen könne, so dass er weder Anlass hatte, selber einen Registerauszug einzuholen noch eine Fristverlängerung von Amtes wegen einzuräumen. Weshalb es der Beschwerdeführerin nicht möglich oder nicht zumutbar gewesen sei, innert der Frist von vier Arbeitstagen die in Aussicht gestellte Nachfrist zu beantragen, ist nicht nachvollziehbar. Die Beschwerde ist aus diesen Gründen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten (Art. 65 Abs. 3 lit. a und Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind keine zu sprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, dem Kassationsgericht des Kantons Zürich und dem Konkursamt A._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. September 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: