Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Da der angefochtene Entscheid dem Beschwerdeführer am 10. Juni 2010 zugestellt wurde, lief die Beschwerdefrist von Art. 100 Abs. 1 BGG am 12. Juli 2010 (Montag) ab. Die Beschwerdeergänzung vom 1. August 2010 ist verspätet. Darauf ist nicht einzutreten.
2. Im angefochtenen Entscheid wies die Vorinstanz ein Begehren um Wiederaufnahme des Verfahrens in Bezug auf ihr früheres Urteil vom 6. Januar 2010 ab. Der Beschwerdeführer hatte im Begehren geltend gemacht, er habe sich zu verschiedenen Zeiten, zu denen ihm Betäubungsmittelhandel vorgeworfen werde, nicht in der Schweiz aufgehalten. Die Vorinstanz kam indessen nach eingehender Beweiswürdigung zum Schluss, die drei neu eingereichten Passkopien vermöchten keine Zweifel daran zu wecken, dass der Beschwerdeführer im von drei Auskunftspersonen geschilderten Umfang im Drogenverkauf tätig gewesen sei.
Was der Beschwerdeführer vorbringt, geht an der Sache vorbei. Wie sich dem Titel der Beschwerdebegründung entnehmen lässt, befasst er sich mit der "Glaubwürdigkeit von den Belastungszeugen" (Beschwerde S. 1). Die Glaubwürdigkeit der Zeugen war indessen nicht Gegenstand des Wiederaufnahmeverfahrens. In diesem ging es ausschliesslich um die Beurteilung der neu eingereichten drei Passkopien. Dazu stellt der Beschwerdeführer nur fest, aus den neu beigebrachten Beweismitteln werde klar, dass er zur fraglichen Zeit in Griechenland und Albanien gewesen sei und sicher nicht in der Schweiz, um Drogen zu verkaufen (Beschwerde S. 4). Mit dieser reinen Behauptung kann indessen nicht dargelegt werden, dass die Vorinstanz bei der Würdigung der neuen Beweismittel in Willkür im Sinne von Art. 9 BV verfallen wäre.
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die ausgesprochene Strafe sei unangemessen hart (Beschwerde S. 6), ist er nicht zu hören. Die Strafzumessung war nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
3. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das nachträglich gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des zu einer langen Freiheitsstrafe verurteilen Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn