Sachverhalt:
A. Der 1948 geborene K._, hauptsächlich in einer Leitungsfunktion bei der Firma S._ und als Pflegefachmann an der Klinik B._ tätig und dadurch bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, erlitt am 21. Dezember 2004 einen Verkehrsunfall. Er hatte den von ihm gelenkten Hyundai Lantra innerorts unmittelbar nach einem Bahnübergang hinter einem anderen, vor einem Fussgängerstreifen angehaltenen Fahrzeug zum Stillstand gebracht. Ein nachfolgender Mazda 626 fuhr ins Heck des Hyundai. Wegen in der Folge aufgetretenen Beschwerden suchte K._ anderntags das Spital L._ auf, wo eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS), Grad II, diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt wurde. Die Zürich gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach unfalltechnischen und medizinischen Abklärungen verneinte sie mit Verfügung vom 31. Mai 2006 mit Wirkung ab 1. Juni 2006 einen weiteren Leistungsanspruch aus dem Unfall vom 21. Dezember 2004. Zur Begründung führte sie aus, es fehle am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen diesem Ereignis und den noch bestehenden Beschwerden. Daran hielt die Zürich auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 17. Januar 2007). Zwischenzeitlich hatte K._ am 23. September 2006 einen weiteren Verkehrsunfall erlitten, wofür die Zürich von neuem Leistungen gewährte.
B. Die von K._ gegen den Einspracheentscheid vom 17. Januar 2007 erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 12. September 2007 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt K._ beantragen, es sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und die Zürich zu verpflichten, die Versicherungsleistungen ab 1. Juni 2006 weiterhin zu gewähren; evtl. sei die Sache für weitere medizinische Abklärungen an den Versicherer zurückzuweisen.
Die Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 2. resp. 8. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht einen Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Verkehrsunfall vom 21. Dezember 2004 ab 1. Juni 2006 zu Recht verneint hat.
Die massgeblichen Bestimmungen und Grundsätze sind im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, zutreffend dargelegt. Dies gilt namentlich in Bezug auf den für einen Leistungsanspruch nebst anderem erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden, insbesondere nach der sog. Schleudertrauma-Praxis, welche bei nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen Schleudertraumen, äquivalenten Verletzungen der HWS und Schädel-Hirntraumen zur Anwendung gelangt.
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (BGE 134 V 109 E. 9 und 10 S. 121 ff.).
2. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, dass keine organisch objektiv ausgewiesene Folge des Unfalles vom 21. Dezember 2004 besteht, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchte. Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten richtig und auch nicht umstritten.
Demnach hat, anders als bei organisch klar ausgewiesenen Unfallfolgen, bei welchen der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden kann, eine besondere Adäquanzprüfung zu erfolgen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Unfallversicherer und Vorinstanz haben eine solche Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs vorgenommen und diesen verneint. Der Beschwerdeführer wendet in diesem Zusammenhang zunächst, wie schon vorinstanzlich, ein, die Adäquanz sei zu früh beurteilt worden, da der medizinische Endzustand noch nicht erreicht sei.
3.1 In BGE 134 V 109 hat sich das Bundesgericht auch kritisch mit dem verschiedentlich erhobenen Einwand auseinandergesetzt, mit der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhanges bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden müsse bis zur Beendigung des normalen, unfallbedingten Heilungsprozesses zugewartet werden. Es hat in Präzisierung der Rechtsprechung erkannt, dass nicht danach zu fragen ist, in welchem Zeitpunkt die Adäquanzprüfung vorzunehmen ist, sondern wann der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat. Dies hat gestützt auf Art. 19 Abs. 1 UVG in dem Zeitpunkt zu geschehen, in welchem von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) abgeschlossen sind. Das Bundesgericht hat klargestellt, der Fallabschluss dürfe nicht mit der Begründung, die Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhang sei noch nicht zulässig, über diesen Zeitpunkt hinausgezögert werden (BGE 134 V 109 E. 3 und 4 S. 112 ff.).
Aus dem Gesagten erhellt, dass der von der Zürich vorgenommene Fallabschluss nicht mit der Begründung der verfrühten Adäquanzprüfung für unrechtmässig erklärt werden kann. Massgeblich ist, ob von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung über den genannten Zeitpunkt hinaus noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden konnte und ob allfällige Eingliederungsmassnahmen der IV abgeschlossen waren. Dies gilt es zu prüfen.
3.2 Eingliederungsmassnahmen der IV stehen nicht zur Diskussion. Das kantonale Gericht hat sodann erkannt, eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes habe über den 1. Juni 2006 hinaus nicht erwartet werden können. Dies bestreitet der Beschwerdeführer.
3.2.1 Was unter einer namhaften Besserung des Gesundheitszustandes im Sinne von Art. 19 Abs. 1 UVG zu verstehen ist, bestimmt sich namentlich nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit unfallbedingt beeinträchtigt, wobei die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen muss. Unbedeutende Verbesserungen genügen nicht (BGE 134 V 109 E. 4.3 S. 115 mit Hinweisen).
3.2.2 Aus den medizinischen Akten ergibt sich, dass nach dem Unfall vom 21. Dezember 2004 mittels Physiotherapie und Fussreflexzonenmassagen nach und nach eine Erhöhung der Arbeitsfähigkeit auf zuletzt, ab 1. Mai 2006, 70 % erreicht werden konnte. Die Hausärztin bestätigte diesen Wert erstmals am 6. April 2006 und erneut nach den am 22. Mai, 27. Juni und 14. August 2006 erfolgten Konsultationen. Es trat mithin eine Stagnation ein. Die Ärztin führte sodann mit Bericht vom 15. Januar 2007 aus, ohne den erneuten Unfall vom 23. September 2006 wäre möglicherweise eine kleine Steigerung der Arbeitsfähigkeit per Ende 2006 wieder möglich gewesen. Auch die Hausärztin ging mithin nur von einer geringfügigen weiteren Besserung aus, welche sie zudem lediglich für möglich hielt. Bei dieser Aktenlage schloss die Vorinstanz zu Recht, dass am 1. Juni 2006, auf welchen Zeitpunkt hin die Zürich den Fall abschloss, keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes mehr erwartet werden konnte.
3.2.3 Was der Beschwerdeführer vorbringt, führt zu keinem anderen Ergebnis. Dies gilt auch, soweit er sich auf die weiteren Berichte der Hausärztin beruft. Namentlich wird in deren aktuellsten Stellungnahme vom 20. Oktober 2007 erneut von einer nur möglichen Besserung ab Juni 2006 ausgegangen resp. im Weiteren ausgeführt, es sei nicht belegt, dass es nicht doch wieder zu einer vollen Arbeitsfähigkeit gekommen wäre. Eine zuverlässige Grundlage, um auf eine im damaligen Zeitpunkt noch zu erwartende namhafte Besserung zu schliessen, liegt damit nicht vor. Es erübrigen sich daher auch Weiterungen zu der - von der Beschwerdegegnerin bestrittenen - prozessualen Zulässigkeit dieser erst im letztinstanzlichen Verfahren aufgelegten hausärztlichen Stellungnahme. Dass weiter Physiotherapie und Fussreflexzonenmassagen durchgeführt wurden, rechtfertigt ebenfalls keine andere Beurteilung. Gleiches gilt, soweit erneut geltend gemacht wird, der medizinische Endzustand sei nicht erreicht gewesen. Darauf kommt es nach dem zuvor Gesagten nicht an. Sodann ist auch von weiteren medizinischen Abklärungen abzusehen, da diese keinen entscheidsrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen.
3.3 Wenn der Versicherer auf den 1. Juni 2006 den Fall abgeschlossen und die vorübergehenden Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld) eingestellt hat, ist dies demnach mit der Vorinstanz nicht zu beanstanden. Zu prüfen bleibt, ob ab diesem Zeitpunkt noch Unfallfolgen vorlagen, welche einen Anspruch auf weitere Leistungen der Unfallversicherung zu begründen vermögen. Die Zürich und das kantonale Gericht verneinen dies mit der Begründung der mangelnden adäquaten Unfallkausalität der noch bestehenden Beschwerden.
4. Die Adäquanzprüfung hat gemäss dem diesbezüglich unbestrittenen vorinstanzlichen Entscheid nach der Schleudertrauma-Praxis zu erfolgen.
4.1 Dabei ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen, wobei zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126, 117 V 359 E. 6a S. 366 f.). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften. Dieser Grundsatz, den das Bundesgericht jüngst in Bezug auf die Adäquanzbeurteilung bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall bestätigt hat (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07, E. 5.2 und 5.3.1), gilt auch bei Anwendung der Schleudertrauma-Praxis (Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.1).
Versicherer und kantonales Gericht haben die Auffahrkollision vom 21. Dezember 2004 bei den mittelschweren Unfällen im Grenzbereich zu den leichten Unfällen eingeordnet. Dies stellt der Beschwerdeführer, welcher zuvor noch von einem Grenzfall zu den schweren Unfällen ausgegangen war, letztinstanzlich nicht mehr in Frage. Mit Blick darauf, dass die beteiligten Autos bei der Auffahrkollision nur recht geringe Beschädigungen erlitten und die Fahrt danach offenbar fortsetzen konnten, was auf eher bescheidene Krafteinwirkungen hindeutet, wäre allerdings auch eine Einreihung bei den leichten Unfällen nicht undenkbar. Es wurde denn auch weder die Polizei beigezogen noch ärztliche Hilfe am Unfallort beansprucht (vgl. Urteile 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.1, und U 42/07 vom 16. Januar 2008, E. 3.3).
4.2 Bei der von der Vorinstanz bestätigten Unfallschwere müssten von den weiteren massgebenden Kriterien entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6a S. 367).
4.2.1 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es seien lediglich, und nicht in besonders ausgeprägter oder auffälliger Weise, die (bisherigen) Kriterien der Dauerbeschwerden sowie des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit gegeben. Demgegenüber erachtet der Beschwerdeführer das (durch BGE 134 V 109 nicht geänderte) Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen und von den durch BGE 134 V 109 modifizierten Kriterien diejenigen der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung, der erheblichen Beschwerden sowie der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen für, teilweise in ausgeprägter Weise, erfüllt. Dies gilt es nachfolgend zu prüfen. Die weiteren adäquanzrelevanten Kriterien werden, nach Lage der Akten zu Recht, nicht geltend gemacht.
4.2.2 Die medizinische Behandlung beschränkte sich auf Physiotherapie und Fussreflexzonenmassagen sowie auf die Abgabe von Medikamenten. Daneben fanden monatliche Gespräche mit der Hausärztin und einzelne fachärztliche resp. neuropsychologische Abklärungen statt. Eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung kann darin nicht gesehen werden (vgl. Urteil 8C_500/2007 vom 16. Mai 2008, E. 5.4).
Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung lassen sich ein schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen nicht mit einer gesundheitsbedingten Einschränkung der Arbeitsfähigkeit begründen. Diesem Gesichtspunkt ist bei dem dafür vorgesehenen eigenen Kriterium Rechnung zu tragen. Eine medizinische Abklärung, wie sie in diesem Zusammenhang beantragt wird, lässt keinen entscheidsrelevanten neuen Aufschluss erwarten und ist daher nicht zu veranlassen. Es liegen im Übrigen auch keine anderen Faktoren vor, welche die Bejahung des Kriteriums gestatteten.
Selbst wenn die verbleibenden zwei Kriterien bejaht würden, läge keine Häufung adäquanzrelevanter Faktoren vor. Das Kriterium der erheblichen Beschwerden erscheint zudem eher fraglich. Es liegt jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise vor. Letzteres gilt ebenfalls für das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen. Es kann daher offen bleiben, ob dieses Kriterium in der einfachen Form erfüllt wäre. Da die massgeblichen Faktoren auch nicht in auffälliger Weise gegeben sind, hat das kantonale Gericht den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 21. Dezember 2004 und den noch bestehenden Beschwerden, und damit eine Leistungspflicht der Zürich hiefür, zu Recht verneint. Damit erübrigen sich auch die vom Versicherten beantragten medizinischen Abklärungen zur Frage der natürlichen Unfallkausalität.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz