Faits:
A. A._ exploite depuis plus de treize ans un chalet de vente de produits du terroir sur le site du col de La Vue-des-Alpes (commune de Fontaines). Ce périmètre a fait l'objet du plan spécial de développement touristique "Vue des Alpes 2001", édicté par le Conseil communal de Fontaines (ci-après: le Conseil communal) le 21 mars 1995 et sanctionné par le Conseil d'Etat du canton de Neuchâtel le 6 novembre 1996. Ce plan a pour but de promouvoir l'espace touristique dudit périmètre, d'améliorer l'attractivité du site en renforçant notamment l'infrastructure existante et en créant de nouvelles structures sportives. Une partie de ce périmètre, notamment le parking de La Vue-des-Alpes est affecté au domaine public cantonal.
Le chalet de vente était d'abord installé dans l'angle d'un restaurant, sis sur la parcelle n° 2340 du registre foncier, propriété privée de l'Etat de Neuchâtel. Estimant que le nouveau gérant du restaurant exigeait un loyer excessif, A._ a demandé au Conseil communal de lui accorder un autre emplacement, contre versement d'un loyer, par courrier du 20 juin 2007. Le 2 juillet 2007, le Conseil communal a répondu qu'il ne délivrait de telles autorisations que pour les étalages de ventes mobiles, ce qui n'était pas le cas du stand de l'intéressée. Il a invité celle-ci à s'adresser au Service cantonal des ponts et chaussées (ci-après: le Service). Dans le courant de l'été 2007, l'exécutif communal a autorisé provisoirement le déplacement du chalet de vente au sud du parking de La Vue-des-Alpes. Le 26 novembre 2007, le Service a informé la prénommée de la création de nouveaux emplacements pour les stands sur le domaine public cantonal et du fait que désormais la commune assurerait la gestion des marchands ambulants sur le site du col de La Vue-des-Alpes. Il l'a aussi invitée à solliciter auprès de cette autorité l'attribution d'une place de stand mobile, en précisant encore qu'aucune construction ou stand fixe ne pouvait être admis, sous réserve d'une autorisation de construire. Il l'a par ailleurs priée de déplacer son chalet, afin de ne pas perturber les travaux d'entretien hivernal.
Les 7 et 28 janvier 2008, A._ a demandé au Conseil communal de lui attribuer une place de stand, en précisant qu'elle avait fait monter des roulettes sous son chalet de vente. Le 2 juin 2008, le Conseil communal a averti l'intéressée qu'elle ne pouvait plus laisser son échoppe à une place fixe avant d'avoir demandé et obtenu un permis de construire. Il l'a priée d'évacuer le chalet sur un terrain au lieu-dit "Les Loges", en contrebas du parking. Le 24 juin 2008, A._ a informé le Conseil communal qu'elle avait entamé des démarches auprès du Service pour obtenir un permis de construire. Par décision du 3 novembre 2008, le Conseil communal a constaté que le chalet nécessitait un permis de construire, lequel ne pouvait être accordé, car l'autorité cantonale refusait son implantation sur le domaine public. Il a par conséquent ordonné la démolition du chalet litigieux.
B. Par décision du 19 août 2009, le Conseil d'Etat du canton de Neuchâtel (ci-après: le Conseil d'Etat) a rejeté le recours que A._ avait interjeté contre cette décision. La Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé cette décision, par arrêt du 10 février 2011. Elle a considéré en substance que le chalet de vente tel qu'il est conçu et exploité constituait une construction au sens des art. 2 et 27 de la loi cantonale sur les constructions du 25 mars 1996 (LConstr/NE; RSN 720.0), soumise à autorisation. L'Etat de Neuchâtel n'entendant pas autoriser le stationnement durable de stands de vente sur le domaine public de La Vue-des-Alpes, l'autorisation de construire ne pouvait être octroyée. L'ordre de démolition (entendu plutôt comme une remise en état des lieux) respectait en outre le principe de la proportionnalité.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle requiert subsidiairement d'«inviter l'autorité compétente à [lui] accorder une autorisation d'exploiter [son] stand mobile à l'endroit actuel ou à tel autre endroit à désigner sur le domaine public 55, au lieu-dit "La Vue-des-Alpes"».
Le Conseil d'Etat et le Tribunal cantonal concluent au rejet du recours.
D. Par ordonnance du 11 avril 2011, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif, formulée par la recourante.
Considérant en droit:
1. 1.1 Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions (art. 82 let. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. La recourante a pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. Elle est particulièrement touchée par l'arrêt attaqué confirmant l'ordre de démolition de son chalet de vente. Elle peut ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Elle a dès lors qualité pour agir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Les autres conditions de recevabilité sont par ailleurs réunies, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière.
1.2 Le mémoire de recours doit contenir les conclusions et les motifs à l'appui de celles-ci (art. 42 al. 1 LTF) sous peine d'irrecevabilité. Les conclusions doivent indiquer sur quels points la décision est attaquée et quelles sont les modifications demandées (ATF 133 III 489 consid. 3.1 et les arrêts cités). Les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (art. 42 al. 2 LTF). Pour satisfaire à ces exigences, le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (ATF 134 V 53 consid. 3.3 p. 60; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287).
1.3 Lorsqu'un recours est manifestement infondé, l'arrêt est motivé sommairement et peut renvoyer partiellement ou entièrement à la décision attaquée (art. 109 al. 2 let. a et al. 3 LTF).
2. Au début de son écriture, la recourante annonce qu'elle entend se plaindre d'un établissement inexact des faits au sens de l'art. 97 al. 1 LTF, mais elle ne précise pas de quels faits il s'agit. Ce grief ne satisfait pas aux exigences minimales de motivation de l'art. 42 al. 2 LTF et est donc irrecevable.
3. La recourante prétend ensuite que son "installation mobile lui permettant de vendre des produits du terroir" n'est pas une construction ou une installation soumise à autorisation puisqu'elle est pourvue de roulettes et peut être déplacée. Elle se plaint d'une violation de l'égalité de traitement, d'une violation de l'art. 22 al. 1 LAT et d'une application arbitraire des art. 2 et 27 al. 1 LConstr/NE.
3.1 Selon la jurisprudence, sont considérés comme des constructions ou installations au sens de l'art. 22 al. 1 LAT tous les aménagements durables et fixes créés par la main de l'homme, exerçant une incidence sur l'affectation du sol, soit parce qu'ils modifient sensiblement l'espace extérieur, soit parce qu'ils chargent l'infrastructure d'équipement ou soit encore parce qu'ils sont susceptibles de porter atteinte à l'environnement (ATF 119 Ib 222 consid. 3a p. 227; voir aussi ATF 123 II 256 consid. 3 p. 259; 120 Ib 379 consid. 3c p. 383 s.). L'art. 2 LConstr/NE reprend cette définition (al. 1), tout en précisant que "sont notamment considérés comme des constructions ou des installations, les petites constructions telles que les baraques, les kiosques, les capites de vigne ainsi que les constructions provisoires" (al. 2 let. b).
Sont assimilé à des constructions, tous les bâtiments en surface, y compris les abris mobiles, installés pour un temps non négligeable en un lieu fixe. L'exigence de la relation fixe avec le sol n'exclut pas la prise en compte de constructions mobilières, non ancrées de manière durable au sol et qui sont, cas échéant, facilement démontables (ATF 123 II 256 consid. 3 p. 259; Alexander Ruch, in Aemisegger/Kuttler/ Moor/Ruch, Commentaire de la LAT, 2010, n° 24 ad art. 22 LAT; Zen-Ruffinen/Guy-Ecabert, Aménagement du territoire, construction, expropriation, 2001, p. 214 ss).
L'assujettissement a ainsi été admis pour une roulotte de grandes dimensions destinée à jouer le rôle d'une maison de vacances (ATF 100 Ib 482 consid. 4 p. 488), des clôtures et barrières hors de la zone à bâtir (ATF 118 Ib 49), un jardin d'hiver, une véranda, une cabane de jardin ou un couvert servant de garage (arrêt non publié 1A.92/1993 consid. 2a et les références). Il en va de même pour des aménagements extérieurs tels que des balustrades préfabriquées, des colonnes en pierre ou une terrasse (arrêt 1A.156/2004 du 5 novembre 2004 consid. 3.3; cf. également les nombreux exemples cités par Waldmann/ Hänni, Raumplanungsgesetz, Handkommentar, 2006, n° 15 ad art. 22 LAT; Alexander Ruch, op. cit., n° 24 ad art. 22 LAT; Zen-Ruffinen/Guy-Ecabert, op. cit., p. 214 ss).
3.2 En l'espèce, il n'est pas contesté que le chalet de vente litigieux, d'une surface d'environ 10 m2, est stationné à l'année dans le périmètre de La Vue-des-Alpes. Le Tribunal cantonal a considéré à juste titre qu'il était donc fait pour durer et était installé de manière permanente sur le parking dont il modifie l'aspect. Il a relevé en outre que le caractère mobile ou non de l'ouvrage n'était pas en soi décisif, le dispositif mis en place ne permettant que de faciliter le déplacement sur le parking. Ainsi, le fait que le stand soit pourvu de roulettes et puisse être déplacé à loisirs importe peu, aussi longtemps que celui-ci est installé à demeure sur le site ou pour une certaine durée. Par ailleurs, le Tribunal cantonal a expressément distingué la situation de la recourante de celle des marchands ambulants qui démontent à la fin de la journée leurs installations, lesquelles n'ont donc pas d'emprise durable sur le sol. La recourante invoque par conséquent en vain une violation de l'égalité de traitement.
Pour le surplus, la recourante relève à nouveau le fait qu'à quelques occasions, certains commerçants n'ont pas démonté leurs échoppes en fin de journée. Elle ne discute pas les motifs avancés à cet égard dans l'arrêt attaqué. Le Tribunal cantonal s'est prononcé à satisfaction de droit sur ce grief. Il peut être renvoyé sur ce point à l'arrêt cantonal (art. 109 al. 3 LTF).
Le stand litigieux doit donc être considéré comme une construction au sens de l'art. 22 al. 1 LAT et être assujetti à autorisation. L'Etat de Neuchâtel n'entendant pas autoriser le stationnement durable de stands de vente sur le domaine public cantonal de La Vue-des-Alpes, c'est à bon droit que l'instance précédente a considéré que la commune de Fontaines pouvait exclure l'octroi du permis de construire.
4. La recourante rappelle le fait que pendant treize ans on ne lui a jamais demandé de permis de construction et fait valoir que l'ordre de remise en état des lieux est arbitraire et contraire aux principes de la bonne foi (art. 5 al. 3 Cst.) et de la proportionnalité (art. 5 al. 2 Cst.).
4.1 Conformément à l'art. 46 al. 1 let. d LConstr/NE, lorsqu'une construction ou une installation n'est pas conforme aux prescriptions de la LConstr/NE ou aux autorisations délivrées, les instances compétentes peuvent ordonner la remise en état, l'entretien, la suppression ou la démolition.
Selon la jurisprudence, l'ordre de démolir une construction édifiée sans droit et pour laquelle une autorisation ne peut être accordée n'est en soi pas contraire au principe de la proportionnalité. L'autorité renonce à une telle mesure si les dérogations à la règle sont mineures, si l'intérêt public lésé n'est pas de nature à justifier le dommage que la démolition causerait au maître de l'ouvrage, si celui-ci pouvait de bonne foi se croire autorisé à construire ou encore s'il y a des chances sérieuses de faire reconnaître la construction comme conforme au droit (ATF 132 II 21 consid. 6 p. 35 ; 123 II 248 consid. 3a/bb p. 252; 111 Ib 213 consid. 6b p. 224 s.; 102 Ib 64 consid. 4 p. 69). Même un constructeur qui n'est pas de bonne foi peut invoquer le principe de la proportionnalité. Toutefois, celui qui place l'autorité devant un fait accompli doit s'attendre à ce que celle-ci se préoccupe plus de rétablir une situation conforme au droit que d'éviter les inconvénients qui en découlent pour lui (ATF 123 II 248 consid. 4a p. 255; 111 Ib 213 consid. 6b p. 224 et la jurisprudence citée).
4.2 En l'espèce, il est vrai que l'autorité communale a toléré durant treize ans le stationnement du stand dans l'angle du restaurant sis sur une parcelle propriété privée de l'Etat de Neuchâtel. Cette circonstance n'est toutefois d'aucune utilité à la recourante, puisqu'il n'est plus question de maintenir le stand à cet endroit, soit sur le domaine privé de l'Etat, mais d'en examiner l'implantation sur le domaine public cantonal. Pour le surplus, le Tribunal cantonal a exposé différents motifs (demande croissante de personnes souhaitant installer des stands de vente sur le domaine public, garantie d'accès aux véhicules d'entretien des routes [déneigement], de secours et aux voitures de tourisme) expliquant en quoi l'ordre d'enlever le stand du domaine public cantonal est conforme au principe de la bonne foi. Sur ce point également, il convient de renvoyer la recourante, qui ne remet pas en cause l'argumentation pertinente développée par le Tribunal cantonal, aux considérants de l'arrêt attaqué (art. 109 al. 3 LTF).
Les arguments écologiques et touristiques que fait valoir la recourante ne sont pas en mesure d'affaiblir ce raisonnement. Ce d'autant moins que l'intéressée peut solliciter une autorisation d'exploiter un stand dans la zone nouvellement réservée à cet effet sur le domaine public cantonal, aux conditions fixées par les autorités, à savoir que l'emplacement mis à sa disposition soit libéré en fin de journée.
5. Il s'ensuit que le recours, manifestement infondé, doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Cette issue, d'emblée prévisible, implique le rejet de la demande d'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 francs, sont mis à la charge de la recourante.
3. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Conseil communal de Fontaines, au Conseil d'Etat et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 8 juin 2011
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Fonjallaz Tornay Schaller