Die Kammer zieht in Erwägung:
1. Mit Verfügung vom 31. März 2005 setzte der Präsident der Aufsichtsbehörde über das Betreibungs- und Konkursamt Basel-Stadt X._ Frist an, um in der von ihm erhobenen Beschwerde zufolge mutwilliger Beschwerdeführung innert dreier Wochen einen Kostenvorschuss von Fr. 500.-- zu leisten. Am 17. Mai 2005 verfügte der Präsident der Aufsichtsbehörde, dass die Beschwerde von X._ mangels Leistung des Kostenvorschusses aus dem Recht gewiesen werde. Gegen diesen Nichteintretensentscheid gelangte X._ mit Eingabe vom 29. Juni 2005 wiederum an den Präsidenten der Aufsichtsbehörde, welcher die Eingabe als Wiedererwägungsgesuch entgegennahm und darauf mit Verfügung vom 1. Juli 2005 nicht eintrat.
X._ hat die Verfügung des Präsidenten der kantonalen Aufsichtsbehörde vom 1. Juli 2005 mit Beschwerdeschrift vom 18. Juli 2005 (Postaufgabe) an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts weitergezogen und beantragt unter anderem sinngemäss die Aufhebung der angefochtenen Verfügung.
Die Aufsichtsbehörde hat anlässlich der Aktenüberweisung auf Gegenbemerkungen (Art. 80 OG) verzichtet. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2. Der Beschwerdeführer rügt unter anderem, es sei mit Art. 20a Abs. 1 SchKG nicht vereinbar, wenn der Präsident der Aufsichtsbehörde zur Beschwerde einen Kostenvorschuss verlangt habe. Er habe mit "Eingabe/Beschwerde ... zur Weiterleitung an die richtige Instanz" vom 29. Juni 2005 beantragt, die Verfügung (d.h. den Nichteintretensentscheid) vom 17. Mai 2005 aufzuheben.
2.1 Die Beschwerde vom 18. Juli 2005 richtet sich zunächst gegen die Verfügung des Präsidenten der Aufsichtsbehörde vom 1. Juli 2005, mit welcher die Eingabe des Beschwerdeführers vom 29. Juni 2005 als Wiedererwägungsgesuch entgegengenommen und auf das Gesuch mit dem Antrag, die Nichteintretensverfügung des Präsidenten vom 17. Mai 2005 aufzuheben, nicht eingetreten wurde. Die Wiedererwägung untersteht dem kantonalen Recht (BGE 96 III 10 E. 1 S. 15), und ein Entscheid, mit welchem die Wiedererwägung eines früheren Beschwerdeentscheides verweigert wird, kann daher nicht mit Beschwerde gemäss Art. 19 SchKG angefochten werden (Poudret/Sandoz-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Ziff. 5.2 zu Art. 78, S. 746). Ob der Präsident der Aufsichtsbehörde zu Recht das Gesuch um Wiedererwägung des früheren Nichteintretensentscheides für unzulässig erklärt hat, kann daher im vorliegenden Verfahren nicht überprüft werden (Art. 43 Abs. 1 i.V.m. Art. 81 OG). Auf die Beschwerde kann insoweit nicht eingetreten werden.
2.2 Der Beschwerdeführer behauptet weiter, dass seine "Eingabe/ Beschwerde" vom 29. Juni 2005 gegen die Verfügung des Präsidenten der Aufsichtsbehörde vom 17. Mai 2005 unbehandelt geblieben sei. Die mit Schreiben vom 13. Juni 2005 versandte Verfügung des Präsidenten der Aufsichtsbehörde vom 17. Mai 2005, mit welcher die Beschwerde des Beschwerdeführers mangels Leistung des Kostenvorschusses durch Nichteintretensentscheid erledigt worden ist, kann grundsätzlich mit Beschwerde gemäss Art. 19 SchKG angefochten werden. Aus den kantonalen Akten geht nicht hervor, wann dieser Entscheid dem Beschwerdeführer eröffnet (Art. 19 Abs. 1 SchKG), d.h. an welchem Tag die Beschwerdefrist mit der Zustellung des Entscheides (BGE 114 III 51 E. 3b S. 53) begonnen hat; ein Hinweis, dass der Entscheid mit Rückschein versandt worden wäre, fehlt. Da der Versand offenbar mit gewöhnlicher Post erfolgt ist, lässt sich die Zustellung, für welche die Aufsichtsbehörde beweisbelastet ist, kaum mehr abklären, so dass angenommen werden kann, der Beschwerdeführer habe seine Eingabe vom 29. Juni 2005 innert der zehntägigen Beschwerdefrist der Post übergeben. Die Eingabe ist als "Beschwerde" bezeichnet und stellt eine Beschwerde im Sinne von Art. 19 SchKG (vgl. Art. 80 OG) gegen die Verfügung des Präsidenten der Aufsichtsbehörde vom 17. Mai 2005 dar, zu deren Behandlung das Bundesgericht zuständig ist.
2.3 Mit Beschwerde vom 29. Juni 2005 verlangt der Beschwerdeführer die Aufhebung des Nichteintretensentscheides vom 17. Mai 2005 und die Behandlung der eingelegten Beschwerde; er macht geltend, das Beschwerdeverfahren sei ohne Kostenvorschuss durchzuführen. Die Rüge ist begründet. Das Beschwerdeverfahren ist grundsätzlich kostenlos (Art. 20a Abs. 1 SchKG). Es ist nicht zulässig, dass eine Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs einem Beschwerdeführer antizipiert Verfahrenskosten oder eine Busse auferlegt (BGE 125 III 382 E. 2a). Die Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid vom 17. Mai 2005 ist begründet und der angefochtene Entscheid, mit welchem die Beschwerde mangels Leistung des Kostenvorschusses aus dem Recht gewiesen wurde, ist aufzuheben.
3. Das Beschwerdeverfahren ist grundsätzlich kostenlos (Art. 20a Abs. 1 SchKG), und es darf keine Parteientschädigung zugesprochen werden (Art. 62 Abs. 2 GebV SchKG).
Demnach erkennt die Kammer:
1. 1.1 Auf die Beschwerde vom 18. Juli 2005 gegen die Verfügung des Präsidenten der Aufsichtsbehörde über das Betreibungs- und Konkursamt Basel-Stadt vom 1. Juli 2005 wird nicht eingetreten.
1.2 Die Beschwerde vom 29. Juni 2005 gegen die Verfügung des Präsidenten der Aufsichtsbehörde über das Betreibungs- und Konkursamt Basel-Stadt vom 17. Mai 2005 wird gutgeheissen und die angefochtene Verfügung wird aufgehoben.
2. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt Basel-Stadt und der Aufsichtsbehörde über das Betreibungs- und Konkursamt Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2005
Im Namen der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber: