Erwägungen:
1. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führt aufgrund einer von der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich am 18. September 2007 erstatteten Strafanzeige eine Strafuntersuchung gegen X._ u.a. wegen mehrfachen Betrugs.
Mit Rekurs vom 27. Oktober 2010 gelangte der Beschuldigte an die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich u.a. mit den Begehren, die Staatsanwaltschaft I sei anzuweisen, die Strafuntersuchung gegen ihn mit sofortiger Wirkung einzustellen; die bei ihm beschlagnahmten Gegenstände seien umgehend zurückzuerstatten.
Mit Entscheid vom 14. Dezember 2010 ist die Oberstaatsanwaltschaft mangels veränderter Verhältnisse auf den Rekurs nicht eingetreten, nachdem sie dieselben Begehren bereits mit früheren Entscheiden (vom 22. Februar bzw. 6. Mai 2010) verworfen hatte.
2. Gegen den Rekursentscheid vom 14. Dezember 2010 führt X._ mit Eingabe vom 31. Dezember 2010 der Sache nach Beschwerde in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG) bzw. Rechtsverzögerungs-/ Rechtsverweigerungsbeschwerde.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen einzuholen.
3. Streitgegenstand bildet der angefochtene Nichteintretensentscheid vom 14. Dezember 2010 und in diesem Zusammenhang die beanstandete Nichteinstellung der Strafuntersuchung sowie die umstrittene Beschlagnahme. Soweit der Beschwerdeführer Anträge stellt, die darüber hinausgehen, ist darauf von vornherein nicht einzutreten.
4. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch Art. 106 Abs. 2 BGG; s. zudem BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53 und 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich nicht sachbezogen mit den dem angefochtenen Nichteintretensentscheid zugrunde liegenden Erwägungen auseinander. Er übt ganz allgemein Kritik an den Zürcher Justizbehörden und an der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich, welche die Strafuntersuchung veranlasst hatte. Sodann beruft er sich wie in früheren Verfahren auch nur ganz allgemein auf eine Vielzahl verfassungs- bzw. völkerrechtlicher Bestimmungen. Dabei legt er indes nicht im Einzelnen dar, inwiefern der angefochtene Nichteintretensentscheid Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzen soll.
Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Entscheids darstellen, ist bereits mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
5. Da die Beschwerde nach dem Gesagten offensichtlich aussichtslos ist, ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abzuweisen (Art. 64 BGG). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Bopp