Fatti:
A. I coniugi A.A._ e B.A._ hanno stipulato, quali committenti, con l'architetto C._ un contratto di appalto per l'edificazione di una casa unifamiliare. La consegna dell'opera è avvenuta nel mese di settembre del 2001. Nel 2006, a causa di alcune fessure apparse nelle pareti, entrambi i coniugi hanno fatto allestire - separatamente - delle perizie per scoprirne la causa.
B. Con petizione 11 settembre 2006 A.A._ e B.A._ hanno convenuto in giudizio innanzi al Pretore del distretto di Lugano C._ per ottenere un risarcimento danni di fr. 75'000.--, composto di fr. 71'000.-- per i costi di riparazione dei vizi riscontrati nei summenzionati referti e di fr. 4'000.-- per il rimborso delle spese per un alloggio sostitutivo durante l'esecuzione dei lavori. Il Pretore ha ammesso A.A._ al beneficio dell'assistenza giudiziaria e ha accolto la petizione con sentenza 19 aprile 2010.
C. In parziale accoglimento di un appello di C._, la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha riformato la sentenza di primo grado nel senso che la petizione è accolta limitatamente a fr. 6'000.--, oltre accessori, e ha respinto la domanda di assistenza giudiziaria per la procedura di seconda istanza presentata da A.A._. La Corte cantonale ha innanzi tutto rilevato che l'applicabilità della norma SIA 118 relativa alle "condizioni generali per l'esecuzione dei lavori di costruzione" è in concreto pacifica. Essa ha poi considerato che i committenti non hanno provato di aver notificato i difetti riscontrati entro il termine di due anni previsto dalla citata norma SIA, eccezion fatta per le fessurazioni, riconosciute dal convenuto, riscontrate in uno dei bagni e per la cui riparazione ha accordato un risarcimento di fr. 6'000.--. I Giudici cantonali hanno infine ritenuto che A.A._ fosse indigente, ma hanno nondimeno respinto la sua domanda di assistenza giudiziaria perché ella, unicamente separata dal marito, non ha né addotto né dimostrato l'incapacità del coniuge a sopperire anche alle di lei spese di patrocinio.
D. Con ricorso in materia civile del 28 ottobre 2011 A.A._ e B.A._ postulano la riforma della sentenza impugnata nel senso che l'appello sia respinto e che la domanda di assistenza giudiziaria presentata da A.A._ in seconda istanza sia accolta. Entrambi i ricorrenti chiedono inoltre di essere posti al beneficio dell'assistenza giudiziaria per la sede federale. Lamentano un accertamento arbitrario dei fatti per quanto riguarda il mancato riconoscimento di una tempestiva notifica dei difetti, la quale risulterebbe invece da una lettera del 20 maggio 2006 spedita da C._. Con riferimento alla mancata concessione dell'assistenza giudiziaria alla moglie, essi ritengono che la Corte cantonale abbia violato il principio della buona fede e sia caduta nell'arbitrio, perché non ha chiesto all'istante di completare la sua documentazione con quella del marito.
La Corte adita ha respinto la domanda di assistenza giudiziaria per la sede federale con decreto del 12 gennaio 2012. Il 25 gennaio 2012 i ricorrenti hanno versato l'anticipo per le spese presunte del processo di fr. 3'500.-- a loro chiesto.
Non è stato ordinato uno scambio di scritti.
Diritto:
1. 1.1 Nella misura in cui attacca la - parziale - reiezione della petizione, il tempestivo (art. 100 cpv. 1 LTF) ricorso in materia civile è diretto contro una decisione finale (art. 90 LTF), pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 cpv. 1 LTF) in una causa civile di carattere pecuniario il cui valore litigioso supera fr. 30'000.-- (art. 72 cpv. 1 e 74 cpv. 1 lett. b LTF) e si rivela in linea di principio ammissibile con riferimento ad entrambi i ricorrenti.
1.2 Per quanto concerne invece la contestazione della decisione con cui il Tribunale di appello non ha concesso l'assistenza giudiziaria alla ricorrente, il gravame risulta unicamente ricevibile nella misura in cui è stato interposto dalla moglie. Non si vede infatti, né nel ricorso viene indicato un qualsiasi motivo per cui pure il marito sarebbe legittimato ad impugnare tale decisione.
2. Secondo l'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, l'atto ricorsuale deve contenere le conclusioni della parte ricorrente e i motivi su cui esse si fondano. Quando viene fatta valere la violazione di diritti fondamentali le esigenze di motivazione sono più severe: giusta l'art. 106 cpv. 2 LTF il Tribunale federale esamina simili censure soltanto se il ricorrente le solleva e motiva in modo circostanziato (DTF 136 II 304 consid. 2.5). Per lamentare con un'ammissibile censura la violazione del divieto dell'arbitrio non è segnatamente sufficiente formulare una critica meramente appellatoria (DTF 136 II 489 consid. 2.8) e contestare la decisione impugnata come in una procedura d'appello, nella quale l'autorità di ricorso gode di cognizione libera, opponendo semplicemente la propria opinione a quella dell'autorità cantonale (DTF 134 II 349 consid. 3).
Per quanto concerne più in particolare l'apprezzamento delle prove giova ricordare che il giudice - il quale in questo ambito dispone di un ampio potere discrezionale - incorre nell'arbitrio se misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tenere conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 137 I 58 consid. 4.1.2 pag. 62; 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62; 129 I 8 consid. 2.1).
3. 3.1 La Corte cantonale ha ritenuto - contrariamente al Pretore - che dalla lettera del 20 maggio 2006 inviata dall'opponente ai ricorrenti non poteva essere dedotta una tempestiva, precisa ed esaustiva notifica dei difetti, atteso che in tale scritto l'architetto, per quanto qui interessa, si è limitato a prendere nota della perizia di parte speditagli e ad affermare di aver valutato "a due anni dall'abitabilità" le fessurazioni, che a quell'epoca risultavano più contenute.
3.2 Secondo i ricorrenti, invece, utilizzando la preposizione articolata "delle" e l'articolo determinato "le" nella frase "Una valutazione delle fessurazioni con documentazione fotografica era già stata da me eseguita a due anni dall'abitabilità e le fessurazioni risultavano all'epoca più contenute; evidentemente il ritardo nella sistemazione delle stesse non ha fatto altro che peggiorare la situazione", l'architetto avrebbe indicato nella menzionata lettera di essere già a conoscenza dei difetti riscontrati nella perizia inviatagli.
3.3 Ora, con la loro critica, i ricorrenti, che riconoscono espressamente che la notifica dei difetti dev'essere fatta in modo dettagliato, si limitano a fornire una propria interpretazione dello scritto in discussione senza riuscire a far apparire insostenibile l'apprezzamento dello stesso effettuato dalla Corte cantonale. Contrariamente a quanto sostenuto nel ricorso, tenuto conto anche del fatto che la succitata frase costituisce un capoverso a sé stante, non appare affatto scontato che le fessurazioni di cui scrive l'architetto coincidano con - tutte - quelle menzionate nella perizia di parte mandatagli. Del resto, nemmeno la formulazione "a due anni di distanza dall'abitabilità" indica con precisione il momento in cui l'opponente sarebbe venuto a conoscenza dei difetti. Ne segue che la Corte cantonale non è incorsa in una valutazione arbitraria delle prove con riferimento alla notifica dei difetti.
4. 4.1 Dopo aver indicato che la moglie era stata posta al beneficio dell'assistenza giudiziaria innanzi al Pretore, la Corte cantonale ha rilevato che in sede di appello i qui ricorrenti erano ancora rappresentati dal medesimo avvocato, che ha inoltrato le osservazioni al gravame cantonale. Essa ha poi ritenuto che l'indigenza della moglie era data. Ha tuttavia respinto la domanda di assistenza giudiziaria, dopo aver richiamato la prassi secondo cui l'obbligo di assistenza dell'altro coniuge prevale su quello dello Stato, perché l'istante non ha addotto né dimostrato che il marito, da cui vive separata, non sia in grado di sovvenzionarla.
4.2 I ricorrenti richiamano l'ordinanza del 1° luglio 2010 con cui la Presidente della II Camera civile del Tribunale di appello aveva comunicato al loro - precedente - comune patrocinatore che la documentazione prodotta a sostegno della richiesta di assistenza giudiziaria era "completa e sufficiente per statuire sulla domanda e considerato che per motivi di economia processuale si giustifica decidere la domanda di assistenza giudiziaria con il merito, non essendovi più atti da compiere in seconda sede". Essi ritengono che, non avendo chiesto all'istante di completare la propria documentazione con quella del marito, la Corte cantonale abbia violato il principio della buona fede, sia caduta nell'arbitrio e abbia statuito in contraddizione con un documento da essa stesso redatto.
4.3 Nella presente causa il diritto all'assistenza giudiziaria in sede di appello viene in primo luogo determinato dal diritto processuale cantonale. Indipendentemente da quest'ultimo sussiste un diritto costituzionale alla stessa in base all'art. 29 cpv. 3 Cost. Poiché in concreto nell'impugnativa non viene menzionata alcuna norma del diritto cantonale che sarebbe stata applicata in modo arbitrario dalla Corte di appello, il ricorso viene unicamente esaminato dal profilo delle garanzie costituzionali invocate e per quanto attiene alla sola ricorrente, ricordato che il gravame è su questo punto inammissibile nella misura in cui è stato presentato pure per conto del marito (sopra, consid. 1.2).
4.3.1 Con riferimento all'argomentazione ricorsuale, giova innanzi tutto rilevare che - contrariamente a quanto pare essere sottinteso nel gravame - la Corte cantonale non aveva indicato nel citato decreto che avrebbe concesso l'assistenza giudiziaria. È poi opportuno ricordare che la decisione impugnata, pur riconoscendo che l'istante aveva dimostrato la propria indigenza, ha respinto la domanda di assistenza giudiziaria perché questa non aveva dimostrato l'impossibilità di far capo alle risorse del marito, la cui situazione finanziaria non veniva affatto menzionata né nella domanda né nella documentazione allegatavi. In altre parole, la Corte di appello ha rimproverato alla richiedente la mancata indicazione di tutte le circostanze rilevanti e non la - sola - mancata documentazione di queste.
4.3.2 Così stando le cose non si vede come, respingendo la domanda di assistenza giudiziaria, la Corte cantonale sia incorsa in una contraddizione con il citato decreto, che si riferiva peraltro alla mera documentazione prodotta. Per il resto occorre osservare che la ricorrente non afferma - a giusta ragione (sentenza 5A_382/2010 del 22 settembre 2010 consid. 3.1) - che l'art. 29 cpv. 3 Cost. esiga dall'autorità l'adozione della massima inquisitoria, né invoca una qualsiasi norma del diritto cantonale che avrebbe imposto tale modo di procedere. Sebbene competa all'istante indicare - e nella misura del possibile anche provare - in modo esaustivo gli elementi che giustificano la concessione dell'assistenza giudiziaria (in particolare la situazione patrimoniale e reddituale), nella DTF 120 Ia 179 consid. 3a il Tribunale federale ha tuttavia indicato, riferendosi al diritto all'assistenza giudiziaria sgorgante dalla Costituzione federale, che l'autorità deve eventualmente attirare l'attenzione di richiedenti maldestri sulle indicazioni che devono essere fornite. In concreto, però, tale eccezione non entra di primo acchito in linea di conto, poiché l'istante era patrocinata da un avvocato e tale legale doveva essere a conoscenza della costante prassi secondo cui il diritto all'assistenza giudiziaria è sussidiario all'obbligo di assistenza del coniuge (DTF 119 Ia 11 consid. 3a; 115 Ia 193 consid. 3a) non solo in virtù della sua formazione, ma anche perché il Pretore, prima di concedere alla moglie l'assistenza giudiziaria nella procedura di prima istanza, gli aveva chiesto (all'udienza del 13 marzo 2007) di provvedere a chiarire "la situazione finanziaria del marito". Ne segue che, tralasciando d'invitare la ricorrente a completare la documentazione prodotta prima di respingere la domanda di assistenza giudiziaria, la Corte cantonale non ha violato i diritti costituzionali invocati nel ricorso.
5. Da quanto precede discende che il ricorso si appalesa, nella misura in cui risulta ammissibile, infondato e come tale va respinto. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF), mentre non si giustifica assegnare ripetibili all'opponente che, non essendo stato invitato a presentare una risposta al ricorso, non è incorso in spese per la sede federale.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 3'500.-- sono poste a carico dei ricorrrenti.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.