Faits:
A. D._, née en 1942, est veuve depuis le 13 juillet 2007. Elle a présenté une demande de rente de vieillesse datée du 2 août 2007, complétée au crayon et non signée. Dans un écrit séparé, elle s'enquérait du montant de la rente si elle en sollicitait le versement dès le 1er septembre 2007, respectivement le 1er janvier 2008, voire plus tard, son intention étant de travailler encore quelques années.
Par lettre du 6 août 2007, la caisse a retourné à D._ une formule de demande de rente de vieillesse, en l'invitant à la compléter au stylo et à la signer. Elle attirait son attention sur le fait qu'elle avait atteint l'âge de 64 ans révolus en juillet 2006 et que si elle souhaitait ajourner le versement de la rente d'un an ou plus, elle devait faire parvenir sa demande d'ici le "31 août 2007".
Le 21 août 2007, la caisse est entrée en possession d'une demande de rente de vieillesse, datée du 2 août 2007, remplie au stylo et signée par D._. Par lettre du 21 août 2007, suivie d'un rappel du 11 septembre 2007, elle a invité la requérante à produire une copie de son livret de famille complet, ainsi que du jugement de divorce du premier mariage de son défunt mari.
Par décision du 22 novembre 2007, la caisse a avisé D._ qu'elle n'avait pas droit au versement d'une rente anticipée, sa demande étant tardive, ni à l'ajournement de la rente, attendu que la déclaration d'ajournement aurait dû être présentée avant le 31 juillet 2007. La rente de vieillesse serait calculée et versée avec effet rétroactif au 1er août 2006, une fois les documents requis produits.
Le 26 novembre 2007, D._ a formé opposition contre cette décision.
Par décision du 30 novembre 2007, la caisse a rejeté l'opposition.
B. Par jugement du 18 avril 2008, le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui: la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par D._ contre cette décision.
C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens que sa demande d'ajournement de la rente de vieillesse est admise et que la rente n'est versée qu'à partir du 1er janvier 2008.
La Caisse cantonale vaudoise de compensation AVS n'a pas répondu au recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Il est constant que la déclaration d'ajournement présentée par la recourante ne l'a pas été dans le délai d'un an prévu à l'art. 55quater al. 1 deuxième phrase RAVS et qu'elle est dès lors tardive. Le litige porte uniquement sur le point de savoir si l'assurée peut invoquer le droit à la protection de la bonne foi pour bénéficier de l'ajournement de la rente de vieillesse.
2. Les premiers juges ont retenu qu'il n'y avait pas de place pour la protection de la bonne foi, dès lors que ce n'était pas sur la base d'un renseignement erroné de la caisse intimée que la recourante avait été amenée à différer sa demande d'ajournement.
2.1 La juridiction cantonale a retenu que le délai d'un an pour présenter la déclaration d'ajournement était arrivé à échéance le 31 juillet 2007, fin du mois au cours duquel l'assurée avait atteint l'âge de 65 ans révolus, et qu'il était échu quand la caisse lui a écrit le 6 août 2007. Il était dès lors sans conséquence qu'à cette date-ci, l'intimée ait laissé entendre dans son courrier que la demande devait parvenir d'ici le "31 août 2007".
Reprenant les moyens exposés dans son mémoire de recours cantonal du 20 décembre 2007, la recourante, invoquant sa bonne foi, fait valoir que le courrier de l'intimée du 6 août 2007 indiquait clairement qu'elle était en droit de déposer une demande d'ajournement d'ici au 31 août 2007, cela sans restriction aucune. Ainsi, elle pouvait se fier à cette déclaration de la caisse et c'est bel et bien sur la base d'un renseignement erroné de la part de celle-ci qu'elle a déposé sa demande d'ajournement.
Toutefois, la recourante ne se trouve pas dans la situation où elle aurait pris entre le 6 et le 31 août 2007 des dispositions qu'elle ne saurait modifier sans subir un préjudice, condition du droit à la protection de la bonne foi qui n'est dès lors pas remplie en l'espèce (ATF 131 II 627 consid. 6.1 p. 637, 131 V 472 consid. 5 p. 480 et les références). Au surplus, si le courrier de la caisse du 6 août 2007 contient un renseignement inexact dans la mesure où il laisse entendre que la demande devait lui parvenir d'ici le "31 août 2007" pour ne pas être tardive, celui-ci n'a pas causé de préjudice à la recourante, le fait que celle-ci n'a pas présenté sa déclaration d'ajournement dans le délai légal d'un an jusqu'au 31 juillet 2007 n'étant pas imputable à ce courrier. Le recours est mal fondé de ce chef.
2.2 Les premiers juges ont relevé que l'assurée avait sollicité le 22 novembre 2003 des informations sur le montant de sa rente future et que la caisse lui avait notamment répondu le 17 février 2004. L'intimée l'avait aussi informée à sa requête sur l'obligation de payer des cotisations AVS en cas de poursuite de l'activité lucrative.
Cela n'est pas discuté par la recourante. Celle-ci fait valoir qu'elle avait informé l'intimée bien auparavant du fait qu'elle entendait poursuivre son activité lucrative au-delà de l'âge de la retraite et que la caisse aurait ainsi dû en tenir compte et lui envoyer les formulaires nécessaires.
Non invoqué devant la juridiction cantonale, ce moyen est nouveau. Toutefois, le jugement attaqué du 18 avril 2008 ne justifie pas pour la première fois de soulever ce fait, lequel n'est donc pas nouveau au sens de l'art. 99 al. 1 LTF, faute de résulter de la décision de l'autorité précédente (ULRICH MEYER, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, Basler Kommentar zum BGG, Basel 2008, N. 44 à 47 ad Art. 99 BGG; NICOLAS VON WERDT, in: Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, N. 6 ad Art. 99 BGG; YVES DONZALLAZ, Commentaire de la Loi sur le Tribunal fédéral, Berne 2008, N. 4051 ad Art. 99 LTF). Il n'est dès lors pas admissible.
D'autre part, le grief d'inaction invoqué à l'encontre de la caisse ne remplit pas les exigences de motivation de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF. Il est formulé de manière générale, sans que l'on sache quand et dans quelles circonstances l'intimée aurait éventuellement violé son devoir de renseignement ou de conseil au sens de l'art. 27 LPGA. Mal fondé, le recours doit ainsi être rejeté.
3. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 mai 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner