Erwägungen:
1. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) lehnte es mit Verfügung vom 28. Mai 2008 ab, das Gutachten von Dr. med. A. Trenkel aus dem Jahre 1959 als nichtig zu erklären und aus den Akten zu entfernen oder gegenüber zur Einsicht berechtigten Dritten zu sperren. Die dagegen von X._ erhobene Einsprache wies die SUVA mit Entscheid vom 4. August 2008 ab. Gegen diesen Einspracheentscheid erhob X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Dieses trat mit Urteil vom 29. September 2008 auf die Beschwerde nicht ein und überwies die Verfahrensakten dem Bundesverwaltungsgericht. Das Bundesverwaltungsgericht hielt mit Zwischenverfügung vom 2. September 2008 fest, Gegenstand des Verfahrens vor dem Bundesverwaltungsgericht bilde allein die datenschutzrechtliche Frage, die im angefochtenen Entscheid der SUVA geprüft worden sei; ausserdem wurde das Gesuch um Bestellung einer unentgeltlichen amtlichen Rechtsvertretung abgewiesen. X._ focht diese Zwischenverfügung mit Beschwerde beim Bundesgericht an, das mit Urteil vom 22. November 2008 darauf nicht eintrat (Verfahren 8C_941/2008).
2. Das Bundesverwaltungsgericht hiess mit Urteil vom 30. März 2009 die Beschwerde im Sinne der Erwägungen teilweise gut; im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass das datenschutzrechtliche Begehren des Beschwerdeführers im Zeitpunkt seiner Beurteilung durch die SUVA gegenstandslos war, weil sich das Gutachten gemäss Ausführungen der SUVA seit Jahren nicht mehr in ihren Akten befand. Inzwischen habe die SUVA eine Kopie des betreffenden Gutachtens eingeholt. Diese Kopie sei allerdings aus datenschutzrechtlicher Sicht nicht mit Gutachten selbst gleichzusetzen. Die Erstellung des Gutachtens vom 21. April 1959 habe der Abklärung des Sachverhalts in den vom Beschwerdeführer anhängig gemachten sozialversicherungsrechtlichen Verfahren gedient. Die SUVA behaupte vorliegend nicht, die Kopie dieses Gutachtens zur Vervollständigung der Akten jener sozialversicherungsrechtlichen Verfahren eingeholt zu haben. Vielmehr sei dies geschehen, um im vorliegenden Verfahren "Klarheit zu bekommen und zu den Vorwürfen des Beschwerdeführers Stellung nehmen zu können". Die Beschaffung der betreffenden Kopie diente somit ausschliesslich dazu, das vom Beschwerdeführer gestellte datenschutzrechtliche Begehren zu beurteilen. Diese Datenbeschaffung sei indessen nicht erforderlich gewesen, da sich die SUVA mit der Feststellung hätte begnügen können und müssen, das Gutachten sei seit Jahren gar nicht mehr vorhanden und das Begehren entsprechend gegenstandslos. Selbst wenn die Wiederbeschaffung des Gutachtens in Form einer Kopie als erforderlich betrachtet würde, wäre festzustellen, dass der Zweck der Datenbearbeitung mit dem Eintritt der Rechtskraft des vorliegenden Urteils wegfallen würde und damit eine über diesen Zeitpunkt hinaus andauernde Aufbewahrung der Kopie widerrechtlich wäre. Die betreffende Kopie sei daher zu vernichten.
3. X._ führt mit Eingabe vom 28. April 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4. Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet einzig die datenschutzrechtliche Behandlung des Gutachtens vom 21. April 1959 bzw. der bei der SUVA liegenden Kopie dieses Gutachtens. Soweit der Beschwerdeführer darüber hinausgehende Anträge stellt, kann darauf von vornherein nicht eingetreten werden.
5. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennt die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen des Bundesverwaltungsgerichts nicht auseinander und vermag nicht darzulegen, inwiefern das beanstandete Urteil Recht verletzen sollte. Da die vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Urteils darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang kann offen bleiben, ob der Beschwerdeführer überhaupt ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Urteils hat (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG).
6. Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsbeistand nicht zu entsprechen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten sind dem Ausgang des Verfahrens entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG)
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli