Erwägungen:
1.
Gegen X._ ist im Zusammenhang mit Vorfällen vom 1. März 2012 im Foyer des Kreisgerichts Rorschach und vom 2. März 2012 bei seiner polizeilichen Anhaltung ein Strafverfahren wegen Verdachts der Sachbeschädigung, der versuchten Nötigung, der Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte hängig. Gegen den vom Ersten Staatsanwalt erlassenen Strafbefehl vom 22. November 2012 erhob X._ Einsprache, worauf der Staatsanwalt am 27. Dezember 2012 beim Kreisgericht Wil Anklage erhob.
2.
Am 17. April 2013 reichte X._ gegen den beim Kreisgericht Wil für das Strafverfahren zuständigen Richter sowie gegen den Ersten Staatsanwalt ein Ausstandsbegehren ein. Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen wies das Ausstandsbegehren mit Entscheid vom 14. Mai 2013 ab. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass das Vorgehen des Kreisrichters als zuständiger Verfahrensleiter gesetzeskonform gewesen sei, als er die gestellten Beweisanträge abwies. Entsprechend der gesetzlichen Regelung habe er dabei darauf hingewiesen. dass die abgelehnten Beweisanträge an der Hauptverhandlung neu vorgebracht werden könnten. Ausstandsgründe seien deshalb nicht ersichtlich. Die im Ausstandsbegehren gegen den Ersten Staatsanwalt erhobenen Vorwürfe seien bereits Gegenstand von Verfahren vor der Anklagekammer und des Bundesgerichts gewesen. Daraus würden sich keinerlei Hinweise für Ausstandsgründe ergeben.
3.
X._ führt mit Eingabe vom 27. Juni 2013 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 14. Mai 2013. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung der Anklagekammer, die zur Abweisung des Ausstandsbegehrens führte, nicht auseinander. Aus seiner hauptsächlich appellatorischen Kritik ergibt sich nicht, inwiefern die Anklagekammer in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise das Ausstandsbegehren abgewiesen haben sollte. Der Beschwerdeführer legt demnach nicht dar, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Entscheid selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
5.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli