Faits:
A. Par décision du 15 septembre 2010, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a remplacé la rente entière d'invalidité qu'il avait précédemment allouée à S._ depuis le mois d'août 2005 par une demi-rente; simultanément, il a retiré l'effet suspensif à un éventuel recours contre cette décision. Le 17 septembre 2010, l'office AI a rendu une seconde décision fixant le montant de la demi-rente.
B. S._ a déféré ces décisions au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui : Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) en concluant à leur annulation.
Par jugement du 4 juillet 2011, notifié à l'office AI le 11 juillet suivant, la juridiction cantonale a admis le recours, annulé la décision du 15 septembre 2010 et renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision. De ceux-ci, il ressort que l'office AI est invité à mettre en oeuvre une expertise médicale orthopédique et psychiatrique, le cas échéant un stage d'observation professionnel, puis à évaluer le taux d'invalidité et à rendre une nouvelle décision; en outre, les premiers juges ont précisé que dans l'intervalle l'assuré avait droit au maintien de la rente entière.
C. Sous pli posté le 7 septembre 2011, l'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de la décision du 15 septembre 2010. Il requiert l'octroi de l'effet suspensif à son recours.
L'intimé conclut à ce que le dispositif du jugement attaqué soit maintenu dans son intégralité. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 136 I 42 consid. 1 p. 43).
2. Le litige porte d'une part sur le renvoi de la cause à l'administration pour complément d'instruction et nouvelle décision.
D'autre part, est également litigieux le maintien du versement de la rente entière durant l'instruction de la cause.
3. 3.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF) et qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause (art. 91 let. a LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
Dans un arrêt ATF 133 V 477, le Tribunal fédéral a précisé les notions de décisions finales, partielles, préjudicielles et incidentes au sens des art. 90 à 93 LTF. Il a considéré qu'un jugement de renvoi ne met pas fin à la procédure, de sorte qu'il ne constitue pas une décision finale au sens de la LTF. Les jugements de renvoi qui tranchent une question de droit matériel ne sont pas non plus des décisions partielles au sens de l'art. 91 let. a LTF car il ne s'agit pas de décisions qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause. Ils constituent bien plutôt des décisions incidentes qui peuvent être attaquées séparément aux conditions prévues à l'art. 93 al. 1 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.2 p. 481 et les références).
Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF est un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (ATF 133 IV 139 consid. 4 p. 141, 288 consid. 3.1 p. 291). En revanche, un dommage de pur fait, comme la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme irréparable (ATF 131 I 57 consid. 1 p. 59 et les arrêts cités). Les décisions relatives à l'administration des preuves ne sont en principe pas de nature à causer aux intéressés un dommage juridique irréparable (ATF 133 V 477 consid. 5.2 p. 483), qu'il s'agisse de décisions refusant ou, comme en l'espèce, ordonnant la mise en oeuvre d'un moyen de preuve déterminé. En particulier, le fait que la décision de renvoi procéderait d'une constatation manifestement inexacte ou incomplète des faits pertinents - question que le Tribunal fédéral n'examine qu'avec retenue - ne saurait être constitutif d'un dommage qui ne pourrait plus être réparé en cours de procédure (arrêt 9C_446/2007 du 5 décembre 2007 consid. 2).
L'ouverture du recours, prévue pour des motifs d'économie de procédure (art. 93 al. 1 let. b LTF), contre une décision incidente constitue une exception et doit être interprétée de manière restrictive, d'autant plus que les parties ne subissent aucun préjudice lorsqu'elles n'attaquent pas immédiatement de telles décisions, qu'elles peuvent contester en même temps que la décision finale (art. 93 al. 3 LTF). Le Tribunal fédéral examine librement le point de savoir si l'admission du recours permettrait d'éviter une procédure d'administration des preuves longue et coûteuse. Il appartient cependant au recourant d'établir que cette condition est réalisée, si celle-ci n'est pas manifeste; il doit en particulier indiquer de manière détaillée quelles questions de fait sont encore litigieuses, quelles preuves - déjà offertes ou requises - devraient encore être administrées et en quoi celles-ci entraîneraient une procédure probatoire longue et coûteuse (ATF 133 IV 288 consid. 3.2 p. 292). En particulier, le Tribunal fédéral a précisé que le renvoi de la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision ne se confondait en principe pas avec une procédure probatoire prenant un temps considérable et exigeant des frais importants (arrêt 9C_446/2007 du 5 décembre 2007 consid. 3).
3.2 En l'espèce, l'office recourant n'établit pas que le renvoi de la cause pour instruction complémentaire lui causerait, au sens de la jurisprudence précitée, un dommage irréparable, ni qu'une décision finale immédiate permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse. Pour l'essentiel, l'office recourant fait valoir que dans la mesure où le dossier médical est complet et que l'octroi initial d'une rente entière était erroné, il est superflu de requérir un complément d'instruction sous la forme d'un nouvelle expertise. Cela étant, les griefs évoqués portent, quoi qu'il en soit, sur la constatation des faits des premiers juges et l'appréciation des preuves à laquelle ils ont procédé. Or, même si la décision de renvoi attaquée procédait d'une constatation manifestement erronée des faits pertinents ou d'une violation du droit fédéral, cela ne constituerait pas un dommage qui ne pourrait plus être réparé dans la suite de la procédure. Entrer en matière sur une telle argumentation reviendrait d'ailleurs à permettre à quiconque, quelles que soient les circonstances, de faire examiner le litige au fond et viderait par conséquent de son sens l'art. 93 LTF.
Il s'ensuit que le recours contre la décision incidente, dans la mesure où celle-ci porte sur la mise en oeuvre d'un complément d'instruction, est irrecevable.
4. 4.1 Une décision portant sur le retrait ou la restitution de l'effet suspensif est une décision incidente en matière de mesures provisionnelles (arrêt 9C_191/2007 du 8 mai 2007, in SVR 2007 IV n° 43 p. 143; SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz, 2007, n° 7 ad art. 98). Le recours en matière de droit public ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 98 LTF; arrêt 2C_309/2008 du 13 août 2008 consid. 3.2). Le Tribunal fédéral ne peut dès lors entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 II 192 consid. 1.5 p. 197, 133 III 393 consid. 6 p. 397). La voie du recours en matière de droit public au Tribunal fédéral est en principe ouverte à l'administration en pareilles circonstances, lorsque la restitution de l'effet suspensif est susceptible de lui causer un préjudice irréparable (arrêt 9C_94/2011 du 12 mai 2011, consid. 1.3 et 2.1).
4.2 Les premiers juges ont expressément reconnu à l'assuré intimé le droit au maintien de sa rente entière jusqu'à ce que l'administration fixe à nouveau le degré de l'invalidité par voie de décision (le ch. 3 du dispositif du jugement attaqué renvoie au consid. 9 in fine). Ce faisant, sans motiver leur décision, les juges cantonaux ont rétabli l'effet suspensif au recours que l'office AI avait retiré dans sa décision du 15 septembre 2010 en vertu des art. 66 LAI et 97 LAVS.
4.3 L'office recourant soutient que le maintien du versement de la rente entière durant l'instruction de la cause, à teneur du dispositif du jugement attaqué, est susceptible de causer à l'administration un préjudice irréparable. Dans ce contexte, il précise que l'intimé n'avait pas demandé le rétablissement de l'effet suspensif à son recours cantonal, si bien que les premiers juges auraient violé le droit fédéral en se saisissant d'office de cette question. A cet égard, il fait grief à la juridiction cantonale de n'avoir pas respecté son droit constitutionnel d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), dès lors qu'elle a statué sur le rétablissement de l'effet suspensif au recours cantonal sans lui avoir permis de se déterminer sur cette question.
Par ailleurs, en se référant la jurisprudence, l'office recourant soutient que si l'effet suspensif a été retiré à un recours en relation avec la réduction ou la suppression d'une rente et que la cause est subséquemment renvoyée à l'administration, le retrait de l'effet suspensif persiste encore durant cette procédure d'instruction jusqu'au prononcé de la décision (arrêt 8C_451/2010 du 11 novembre 2010 consid. 4.3, in SVR 2011 IV n° 33 p. 98).
4.4 L'examen des griefs du recourant s'avère toutefois superflu, car le recours est également irrecevable dans la mesure où il est interjeté contre le rétablissement de l'effet suspensif. En effet, contrairement à l'opinion du recourant (mémoire, p. 6), la suspension du délai de recours de trente jours durant les féries judiciaires (art. 100 al. 1 LTF, en corrélation avec l'art. 46 al. 1 let. b LTF) ne s'applique pas - comme en l'espèce - dans les procédures concernant l'octroi de l'effet suspensif et d'autres mesures provisionnelles (art. 46 al. 2 LTF; KATHRIN AMSTUTZ / PETER ARNOLD, Commentaire bâlois, 2e ed., ch. 11 et 11a ad art. 46; JEAN-MAURICE FRÉSARD, Commentaire de la LTF, ch. 13 ad art. 46). Déposé le 7 septembre 2011 contre un jugement notifié le 11 juillet 2011, le recours est tardif.
La particularité du cas d'espèce réside dans le fait que la juridiction cantonale a statué simultanément, dans un même jugement, sur deux objets litigieux différents, pour lesquels la réglementation en matière de suspension des délais diverge en procédure fédérale (art. 46 LTF). Rien n'empêchait pourtant le recourant d'attaquer le principe du rétablissement de l'effet suspensif dans les trente jours (jusqu'au 10 août 2011), puis de compléter ultérieurement son mémoire de recours sur la question du renvoi.
5. Vu le sort du procès, la requête du recourant tendant à l'attribution de l'effet suspensif au recours en matière de droit public (art. 103 LTF) n'a plus d'objet.
6. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF) ainsi que les dépens de l'intimé (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimé la somme de 1'000 fr. (y compris la TVA) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 19 janvier 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Berthoud