Erwägungen:
Im Rekursverfahren vor dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (betreffend Aufenthaltsbewilligung von X._ bzw. aufschiebende Wirkung im diesbezüglichen Rekursverfahren vor dem Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt) wurden X._ und Y._, mit dem sie seit Dezember 2008 verheiratet ist, am 22. Dezember 2008 zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'200.-- bis spätestens zum 12. Januar 2009 aufgefordert, unter Androhung des Nichteintretens auf den Rekurs bei Säumnis. Der Vorschuss wurde erst am 16. Januar 2009 geleistet. Ein an diesem Tag gestelltes Fristwiedereinsetzungsgesuch wies das Appellationsgericht mit Urteil vom 5. Februar 2009 ab, weil die Nichtbezahlung des Vorschusses auf einer Nachlässigkeit beruhe, wobei keine besonderen Umstände vorlägen, die das Verschulden (grobe Nachlässigkeit) in einem milderen Licht erscheinen liessen. Mit Verfügung vom 12. März 2009 erklärte die Appellationsgerichtspräsidentin den Rekurs zufolge verspäteter Leistung des Kostenvorschusses als dahingefallen.
Mit Verfassungsbeschwerde vom 14. April 2009 beantragen X._ und Y._ dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts vom 5. Februar 2009 sowie die Anschlussverfügung vom 12. März 2009 seien aufzuheben, es sei der Wiedereinsetzung stattzugeben, und es sei dem (ursprünglichen) Rekurs vom 17. November 2008 (an das Sicherheitsdepartement) die aufschiebende Wirkung zu erteilen resp. diese sei wiederherzustellen. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Ob die Beschwerde als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig wäre, kann offenbleiben. Gegenstand der angefochtenen Entscheidungen sind allein die durch kantonales Prozessrecht geregelten Fragen der Folgen der Fristversäumnis bei der Bezahlung des Kostenvorschusses bzw. der Wiedereinsetzung in eine versäumte Frist. Unzulässig sind daher Rügen zur Bewilligungsfrage selbst oder zur Frage der aufschiebenden Wirkung im Rekursverfahren vor dem Sicherheitsdepartement. Auch mit dem ordentlichen Rechtsmittel könnte nicht unmittelbar die Verletzung kantonalen Rechts geltend gemacht, sondern bloss gerügt werden, bei dessen Anwendung sei schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletzt worden, wobei namentlich verfassungsmässige Rechte in Betracht fallen, deren Verletzung indessen spezifisch gerügt werden muss (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG); appellatorische Kritik ist unzulässig. Ebenso kann offenbleiben, wann dem Vertreter der Beschwerdeführer das Urteil vom 5. Februar 2009 eröffnet worden ist, wird doch zumindest die Frist zur Anfechtung der Verfügung vom 12. März 2009 gewahrt (vgl. dazu Art. 93 Abs. 3 BGG).
Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte wird nicht in einer den gesetzlichen Anforderungen genügenden Weise dargetan. Soweit die Beschwerdeführer Art. 8 EMRK erwähnen, zielen ihre Ausführungen primär auf die dem materiellen Rechtsstreit zugrundeliegenden Fragen ab, auf die vorliegend angesichts des begrenzten Prozessthemas nicht eingegangen werden kann. Inwiefern sich aus Art. 8 EMRK ein Anspruch ableiten liesse, den Beschwerde führenden Ausländer von der Einhaltung von rudimentären und leicht einzuhaltenden Verfahrensverpflichtungen zu befreien, tun die Beschwerdeführer denn auch nicht dar. Ebenso wenig substantiieren sie mit ihren rein appellatorischen Ausführungen den Vorwurf des überspitzten Formalismus (formelle Rechtsverweigerung). Ohnehin aber wäre eine entsprechende Rüge offensichtlich unbegründet, nachdem nicht bestritten wird, dass es bei (gerade angesichts der behaupteten Bedeutung des Rechtsmittelverfahrens für die Beschwerdeführer gebotener) üblicher Sorgfalt nicht zur Fristversäumnis gekommen wäre.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), weshalb darauf im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten ist. Mit diesem Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 und Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern sowie dem Sicherheitsdepartement und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. April 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller