Sachverhalt:
A. Am 8. September 2003 erteilte die Gemeinde Naters die baurechtliche Bewilligung zur Errichtung eines Mehrfamilienhauses auf der Parzelle Nr. 6428. Die von X._, Y._ sowie Mitbeteiligten dagegen erhobenen Beschwerden wiesen der Staatsrat des Kantons Wallis und anschliessend das Kantonsgericht Wallis ab, soweit sie darauf eintraten. Das Bundesgericht trat am 9. August 2005 auf eine von X._, Y._ sowie Mitbeteiligten gegen den Entscheid des Kantonsgerichts erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht ein und wies die ebenfalls eingereichte staatsrechtliche Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 1A.115/2005). Am 8. Dezember 2005 wies das Bundesgericht ein von X._, Y._ sowie Mitbeteiligten eingereichtes Gesuch um Revision des Urteils des Bundesgerichts vom 9. August 2005 ab, soweit darauf einzutreten war (Urteil 1A.255/2005).
B. Mit Schreiben vom 26. März 2008 verlängerte die Gemeinde die Geltung der für das Bauprojekt auf der Parzelle Nr. 6428 erteilten Baubewilligung "gestützt auf das Gerichtsurteil vom 8. Dezember 2005 ab dem 5. Dezember 2008 für zwei Jahre". Am 26. September 2010 richteten sich X._, Y._ sowie Mitbeteiligte an die Gemeinde Naters. Sie beantragten, es sei festzustellen, dass die Baubewilligung vom 8. September 2003 inzwischen erloschen sei. Ausserdem sei die Einstellung jeglicher Bautätigkeit auf dem Baugrundstück anzuordnen. Am 11. Oktober 2010 teilte ihnen die Gemeinde mit, sie werde keine Einstellung der Bautätigkeit anordnen. Die Baubewilligung sei um zwei Jahre verlängert worden und folglich noch gültig bis zum 8. Dezember 2010.
C. Daraufhin gelangten X._, Y._ sowie Mitbeteiligte mit Beschwerde an den Staatsrat. Sie beantragten wiederum, es sei festzustellen, dass die Baubewilligung vom 8. September 2003 erloschen sei. Sodann seien die Einstellung der sich in Gang befindlichen Arbeiten anzuordnen und fortführende Bauarbeiten bis zum Vorliegen einer neuen Baubewilligung zu untersagen. Mit Entscheid vom 28. September 2011 wies der Staatsrat die Beschwerde ab und stellte fest, dass die Z._ AG mit den Bauarbeiten auf der Parzelle Nr. 6428 in Ausübung der Baubewilligung vom 8. September 2003 zu Recht begonnen habe. Dagegen erhoben X._ und Y._ Beschwerde an das Kantonsgericht. Sie beantragten, es sei festzustellen, dass auf der Parzelle Nr. 6428 ohne gültige Baubewilligung gebaut worden sei bzw. gebaut werde. Es sei zu verfügen, dass das Auflage- und Baubewilligungsverfahren nachzuholen sei und bis zum Vorliegen einer rechtskräftigen Baubewilligung mit der Bautätigkeit nicht fortgefahren werden dürfe. Zufolge der Bautätigkeit im "bewilligungsfreien Raum" sei eine Busse zu verfügen. Auf Gesuch der Z._ AG hin entzog das Kantonsgericht der Beschwerde von X._ und Y._ am 7. Dezember 2011 die aufschiebende Wirkung. Mit Entscheid vom 26. Januar 2012 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab, soweit es auf sie eintrat und die Begehren nicht gegenstandslos geworden waren.
D. Gegen die Entscheide des Kantonsgerichts vom 7. Dezember 2011 sowie vom 26. Januar 2012 haben X._ und Y._ am 9. März 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragen, der Entscheid vom 7. Dezember 2011 sei vollständig, eventualiter mit Ausnahme von Ziffer 3 und der Entscheid vom 26. Januar 2012 mit Ausnahme von Ziffer 3 aufzuheben. Es sei festzustellen, dass auf der Parzelle Nr. 6428 ohne gültige Baubewilligung gebaut worden sei bzw. gebaut werde. Es sei zu verfügen, dass das Auflage- und Baubewilligungsverfahren nachzuholen sei und bis zum Vorliegen einer rechtskräftigen Baubewilligung mit der Bautätigkeit zumindest teilweise nicht fortgefahren werden dürfe. Einzustellen seien die Arbeiten am grossen Garagenanbau, am Kinderspielplatz, an der Umgebungsgestaltung sowie das Abpumpen des Grundwassers.
E. Mit Verfügung vom 11. April 2012 hat das Bundesgericht das von den Beschwerdeführerinnen gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
F. Die Vorinstanz, der Staatsrat und die Gemeinde Naters beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Mit Eingabe vom 14. Mai 2012 halten die Beschwerdeführerinnen an der Beschwerde fest.
Erwägungen:
1. 1.1 Mit dem Entscheid vom 26. Januar 2012 bestätigte das Kantonsgericht, dass die Beschwerdegegnerin zu Recht von der Baubewilligung vom 8. September 2003 Gebrauch gemacht und rechtzeitig mit der Errichtung eines Mehrfamilienhauses auf der Parzelle Nr. 6428 begonnen habe. Es handelt sich dabei um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerinnen sind Adressatinnen des angefochtenen Entscheids und (soweit aus den Akten ersichtlich) einzige Mitglieder von Erbengemeinschaften, die als Stockwerkeigentümerinnen an einer unmittelbar zum Baugrundstück benachbarten Parzelle beteiligt sind. Damit sind die Beschwerdeführerinnen nach Art. 89 Abs. 1 BGG beschwerdeberechtigt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde gegen den Entscheid vom 26. Januar 2012 ist grundsätzlich einzutreten.
1.2 Die Beschwerde richtet sich auch gegen den Zwischenentscheid vom 7. Dezember 2011, mit dem der Beschwerde an die Vorinstanz die aufschiebende Wirkung entzogen (Dispositiv-Ziffer 1), das Begehren der Beschwerdeführerinnen um Anordnung der unverzüglichen Baueinstellung als vorsorgliche Massnahme als gegenstandslos geworden abgeschrieben (Dispositiv-Ziffer 2), auf das Begehren der Beschwerdeführerinnen um Anordnung von Bussen für verschiedene Personen nicht eingetreten (Dispositiv-Ziffer 3), den Beschwerdeführerinnen eine Gerichtsgebühr von Fr. 400.-- unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt (Dispositiv-Ziffer 4) und keine Parteientschädigung zugesprochen wurde (Dispositiv-Ziffer 5).
An der Anfechtung des Zwischenentscheids vom 7. Dezember 2011 haben die Beschwerdeführerinnen indessen kein schutzwürdiges Interesse im Sinne von Art. 89 Abs. 1 BGG mehr. Die Dispositiv-Ziffern 1 und 2 des Zwischenentscheids sind mit dem Entscheid in der Sache hinfällig geworden. Die Dispositiv-Ziffern 4-5 des Zwischenentscheids sind als mit dem Entscheid in der Sache vom 26. Januar 2012, mit welchem auf die Erhebung von Kosten verzichtet und den Beschwerdeführerinnen für die Verfahren vor der Vorinstanz und dem Staatsrat eine (reduzierte) Parteientschädigung zugesprochen worden ist (Dispositiv-Ziffern 3 und 4), aufgehoben zu betrachten. Im Hinblick auf die Ausführungen der Vorinstanz, wonach sich die Beschwerdeführerinnen zu Recht zur Erhebung der Beschwerde veranlasst gesehen hätten (vgl. S. 10 des angefochtenen Entscheids vom 26. Januar 2012), kann die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen im Entscheid vom 26. Januar 2012 nämlich nur so verstanden werden, dass die Vorinstanz damit die Kosten- und Entschädigungsfolgen für das gesamte vorinstanzliche Verfahren (neu) geregelt hat. Schliesslich hat auch Dispositiv-Ziffer 3 des Zwischenentscheids keine selbstständige Bedeutung mehr, nachdem mit dem Entscheid in der Sache das Nichteintreten auf das Begehren der Beschwerdeführerinnen um Anordnung von Bussen für verschiedene Personen bestätigt worden ist (vgl. S. 9 des angefochtenen Entscheids vom 26. Januar 2012). Folglich ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit sie sich gegen den Zwischenentscheid vom 7. Dezember 2011 richtet.
Zur Rüge der Beschwerdeführerinnen, die Vorinstanz habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt, weil sie sich vor dem Erlass des Zwischenentscheids vom 7. Dezember 2011 zu verschiedenen Stellungnahmen der Verfahrensbeteiligten nicht mehr hätten äussern können, ist immerhin zu bemerken, dass vorsorgliche Massnahmen ihrer Natur nach auf einer bloss summarischen Prüfung der Sach- und Rechtslage beruhen (BGE 130 II 149 E. 2.2 S. 155 mit Hinweisen) und die Beschwerdeführerinnen zum Gesuch der Beschwerdegegnerin um Entzug der aufschiebenden Wirkung vorgängig Stellung nehmen konnten.
1.3 Die Beschwerde ist nur im Rahmen des Streitgegenstands zulässig. Dieser wird durch den Gegenstand des angefochtenen Entscheids und durch die Parteibegehren bestimmt, wobei der angefochtene Entscheid den möglichen Streitgegenstand begrenzt (BGE 133 II 181 E. 3.3 S. 189). Neue Begehren sind vor Bundesgericht unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG).
Streitgegenstand ist vorliegend die Frage, ob die Beschwerdegegnerin gestützt auf die Baubewilligung vom 8. September 2003 sowie das Verhalten der Gemeinde rechtzeitig mit der Errichtung eines Mehrfamilienhauses auf der Parzelle Nr. 6428 begonnen hat. Wie die Vorinstanz zu Recht festgestellt hat, bilden dagegen die Fragen, ob die Beschwerdegegnerin sich beim Bau des Mehrfamilienhauses an das mit Entscheid vom 8. September 2003 bewilligte Bauprojekt gehalten hat und ob allfällige Abweichungen vom bewilligten Projekt nachträglich bewilligt werden könnten oder allenfalls rückgängig zu machen wären, nicht Gegenstand des Verfahrens. Folglich hat die Vorinstanz auch nicht den Anspruch der Beschwerdeführerinnen auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt, wenn sie auf die Durchführung eines Augenscheins zur Abklärung der Frage, ob die Bauausführung von der seinerzeit erteilten Bewilligung abweicht, verzichtet hat.
Die Beschwerdeführerinnen anerkennen zwar an sich, dass die Fragen, ob die Beschwerdegegnerin sich beim Bau des Mehrfamilienhauses an das mit Entscheid vom 8. September 2003 bewilligte Bauprojekt gehalten hat und ob allfällige Abweichungen vom bewilligten Projekt nachträglich bewilligt werden könnten oder allenfalls rückgängig zu machen wären, nicht im vorliegenden Verfahren zu beurteilen sind. Sie übersehen aber, dass diese Fragen auch bei der Beurteilung der Beschwerdebegehren, es sei das Nachholen des Auflage- und Baubewilligungsverfahrens sowie zumindest teilweise die Einstellung der Bautätigkeit zu verfügen, keine Rolle spielen können. Soweit die Beschwerdeführerinnen geltend machen, die genannten Rechtsbegehren müssten (auch) deshalb gutgeheissen werden, weil sich die Beschwerdegegnerin beim Bau des Mehrfamilienhauses nicht an das mit Entscheid vom 8. September 2003 bewilligte Bauprojekt gehalten habe und die Abweichungen nicht nachträglich bewilligt werden könnten, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2. Nach Art. 105 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Abs. 2). Von der beschwerdeführenden Person kann die Feststellung des Sachverhalts wiederum nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (Art. 9 BV) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (Art. 42 Abs. 2 BGG i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG).
Die Beschwerdeführerinnen rügen verschiedentlich, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt. Diese Kritik bezieht sich indessen teilweise auf Umstände, die für den Ausgang des Verfahrens nicht entscheidend sein können, weil sie im Hinblick auf den zulässigen Streitgegenstand (vgl. E. 1.3) keine Rolle spielen. Für die Beantwortung der Frage, ob die Beschwerdegegnerin rechtzeitig mit dem Bau des Gebäudes begonnen hat, sind sodann auch die von den Beschwerdeführerinnen aufgeführten Geschehnisse, die sich erst nach dem vorinstanzlichen Entscheid vom 26. Januar 2012 ereignet haben sollen, nicht von Bedeutung. Soweit die Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung hingegen entscheidwesentliche Tatsachen betrifft, vermögen die Beschwerdeführerinnen jedenfalls nicht aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt haben sollte.
3. Die Beschwerdeführerinnen bringen mehrfach vor, die Vorinstanz habe sich mit ihren Einwänden gegen den Entscheid des Staatsrats nicht bzw. nicht in genügender Weise auseinandergesetzt und damit ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Weiter machen sie geltend, es sei unklar, auf welche Rechtsbegehren die Vorinstanz nicht eingetreten sei, welche sie abgewiesen und welche als gegenstandslos geworden abgeschrieben habe.
Die aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) fliessende grundsätzliche Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen, bedeutet nicht, dass sie sich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Der Bürger soll wissen, warum die Behörde entgegen seinem Antrag entschieden hat, damit er gegebenenfalls den Entscheid sachgerecht anfechten kann (BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88; 133 I 270 E. 3.1 S. 277; je mit Hinweisen). Diesen Anforderungen genügt der vorinstanzliche Entscheid. Dass die Vorinstanz nicht für jedes Rechtsbegehren ausdrücklich ausgeführt hat, ob und inwieweit es abgewiesen, darauf nicht eingetreten oder es als gegenstandslos geworden abgeschrieben wird, ist nicht zu beanstanden, zumal die vorinstanzliche Begründung darüber Aufschluss gibt und eine sachgerechte Anfechtung des Entscheids ohne weiteres möglich war.
4. Gemäss Art. 53 Abs. 1 der Bauverordnung des Kantons Wallis vom 2. Oktober 1996 (BauV/VS) sowie Art. 21 Ziff. 2 Abs. 1 des Bau- und Zonenreglements der Gemeinde Naters vom 9. Juni 1996 (BZR) erlischt eine Baubewilligung, wenn innerhalb von drei Jahren seit ihrer rechtskräftigen Erteilung mit der Ausführung des Bauvorhabens nicht begonnen wird, wobei bei Gebäuden der Bau als begonnen gilt, wenn die Bodenplatte oder die Fundamentskonsolen erstellt sind. Nach Art. 53 Abs. 4 BauV/VS sowie Art. 21 Ziff. 2 Abs. 4 BZR kann die zuständige Baubewilligungsbehörde die Geltungsdauer einer Bewilligung aus berechtigten Gründen um höchstens zwei Jahre verlängern, wenn sich die massgebenden rechtlichen oder tatsächlichen Verhältnisse seit dem Bauentscheid nicht verändert haben.
4.1 Die Vorinstanz führte im angefochtenen Entscheid aus, die von der Gemeinde am 8. September 2003 erteilte Baubewilligung sei mit dem Urteil des Bundesgerichts vom 9. August 2005 rechtskräftig geworden. Die dreijährige Frist bis zum Erlöschen der Bewilligung habe folglich bis am 9. August 2008 gedauert. Nachdem die Gemeinde die Frist am 26. März 2008 um zwei Jahre verlängert habe, sei diese am 9. August 2010 abgelaufen. Der Ansicht der Gemeinde, wonach die dreijährige Frist erst am Tag des vom Bundesgericht abgewiesenen Revisionsgesuchs, nämlich am 8. Dezember 2005, zu laufen begonnen habe und nach der Verlängerung um zwei Jahre erst am 8. Dezember 2010 abgelaufen sei, könne demzufolge zwar nicht gefolgt werden. Allerdings habe die Bauherrschaft im berechtigten Vertrauen auf die Mitteilung der Gemeinde vom 26. März 2008, gemäss der die Baubewilligung "ab dem 5. Dezember 2008 für zwei Jahre" verlängert wurde, sowie auf das spätere Verhalten der Gemeinde gehandelt. Daraus dürften der Bauherrschaft keine Nachteile erwachsen, weshalb die falsche Auskunft der Gemeinde für sie bindend gewesen sei. Am 8. Dezember 2010 sei die Bodenplatte der Baute auf der Parzelle Nr. 6428 mindestens teilweise bereits erstellt gewesen, womit der Bau als begonnen habe angesehen werden können. Folglich habe die Bauherrschaft mit den Bauarbeiten fortfahren dürfen.
4.2 Die Beschwerdeführerinnen sind wie die Vorinstanz der Ansicht, die nach kantonalem Recht maximale Gültigkeitsdauer der Baubewilligung sei am 9. August 2010 abgelaufen. Ihrer Meinung nach hätte die Beschwerdegegnerin den Baubeginn aber trotz des Verhaltens der Gemeinde und insbesondere des Schreibens vom 26. März 2008 nicht über den 9. August 2010 hinauszögern dürfen.
4.2.1 Der in Art. 9 BV verankerte Grundsatz von Treu und Glauben verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten der Behörden. Unter bestimmten Umständen rechtfertigt selbst eine unrichtige Zusicherung einer Behörde eine vom materiellen Recht abweichende Behandlung des Rechtsuchenden. Vorausgesetzt ist, a) dass sich das Verhalten der Behörden auf eine konkrete, den betreffenden Bürger berührende Angelegenheit bezieht, b) dass die Behörde für die Erteilung der Zusicherung zuständig war oder der Bürger sie aus zureichenden Gründen als zuständig betrachten durfte, c) dass die anfragende Person die Unrichtigkeit bei pflichtgemässer Aufmerksamkeit nicht ohne weiteres erkennen konnte, d) dass sie im Vertrauen auf die Richtigkeit der Auskunft Dispositionen getroffen hat, die nicht ohne Nachteil rückgängig gemacht werden können und e) dass die gesetzliche Ordnung seit der Auskunftserteilung keine Änderung erfahren hat (BGE 131 II 627 E. 6.1 S. 636 f. mit Hinweisen). Sind diese Voraussetzungen erfüllt, rechtfertigt sich eine vom materiellen Recht abweichende Behandlung, sofern keine überwiegenden öffentlichen Interessen entgegenstehen (BGE 129 I 161 E. 4.1 S. 170 mit Hinweisen).
4.2.2 Die Mitteilung der Gemeinde vom 26. März 2008 betrifft die Verlängerung der Baubewilligung für die Parzelle Nr. 6428 und damit eine Angelegenheit, die die Beschwerdegegnerin konkret berührt. Als Baubewilligungsbehörde war die Gemeinde für die Verlängerung der Baubewilligung zuständig (Art. 53 Abs. 4 BauV/VS i.V.m. Art. 21 Ziff. 2 Abs. 4 BZR). Es ist anzunehmen, dass die Beschwerdegegnerin mit dem Bau bis zum 9. August 2010 begonnen hätte, wenn sie gewusst hätte, dass die Baubewilligung nach kantonalem Recht spätestens an diesem Datum abläuft. Im Zusammenhang mit der Projektierung der Baute und dem Baubewilligungsgesuch sowie -verfahren hat die Beschwerdegegnerin Investitionen getätigt, die mindestens zu einem gewissen Teil verloren wären, wenn sie wegen der unrichtigen Mitteilung der Gemeinde auf die Errichtung der Baute verzichten oder eine neue Baubewilligung einreichen müsste. Die kantonalen und kommunalen Normen zur maximalen Gültigkeitsdauer einer erteilten Baubewilligung haben seit dem 26. März 2008 keine Änderung erfahren.
4.2.3 Die Beschwerdeführerinnen sind der Ansicht, die Beschwerdegegnerin hätte die Fehlerhaftigkeit des Schreibens vom 26. März 2008 erkennen müssen, weshalb sie sich nicht auf den Grundsatz von Treu und Glauben berufen könne. Die Gemeinde teilte der Beschwerdegegnerin am 26. März 2008 wörtlich mit:
"Das Baugesuch ..., Parzelle 6428, ... wird gestützt auf das Gerichtsurteil vom 8. Dezember 2005 ab dem 5. Dezember 2008 für zwei Jahre verlängert."
Wie die Vorinstanz zu Recht festgehalten hat, durfte die Beschwerdegegnerin auf die Richtigkeit dieser Mitteilung vertrauen. Bei der Beschwerdegegnerin handelt es sich um ein Immobilienunternehmen, welches sich im Verkehr mit der Gemeinde zum damaligen Zeitpunkt offenbar von einem Architekturbüro vertreten liess. Die Erkenntnis, dass die Gemeinde die Baubewilligung über die nach kantonalem Recht maximal zulässige Dauer verlängerte, setzt vertiefte Rechtskenntnisse voraus, die von der Beschwerdegegnerin bzw. dem sie vertretenden Architekturbüro nicht ohne weiteres erwartet werden können. Im Gegensatz zur Ansicht der Beschwerdeführerinnen konnte die Beschwerdegegnerin nicht ohne weiteres erkennen, dass die Baubewilligung bereits am 9. August 2005 (und nicht erst mit dem Revisionsurteil vom 8. Dezember 2005) rechtskräftig geworden ist und nach kantonalem Recht spätestens am 9. August 2010 hätte erlöschen müssen (vgl. auch BGE 138 I 49 E. 8.3.2 S. 54). Daran ändert auch der Umstand nichts, dass in der Mitteilung der Gemeinde vom 26. März 2008 fälschlicherweise vom "Baugesuch" statt von einer "Baubewilligung" die Rede war, zumal die Gemeinde in der Mitteilung den mit "Geltung der Baubewilligung" überschriebenen Art. 21 BZR als rechtliche Grundlage für die Verlängerung aufgeführt hat.
Unbehelflich ist auch der Einwand der Beschwerdeführerinnen, die Beschwerdegegnerin hätte auf Grund von Eingaben von ihnen an die Behörden sowie den anwaltlichen Vertreter der Beschwerdegegnerin wissen müssen, dass die Baubewilligung bereits erloschen sei, zumal es sich dabei um Eingaben handelt, die von den Beschwerdeführerinnen erst nach dem 9. August 2010 verfasst und eingereicht worden sind.
4.2.4 Die Beschwerdeführerinnen führen sodann aus, der vorinstanzliche Entscheid verhindere die Durchsetzung von klarem Recht und insbesondere des Grundsatzes, wonach Bauten und Anlagen nur mit behördlicher Bewilligung errichtet oder geändert werden dürfen. Damit machen sie sinngemäss geltend, einer vom materiellen Recht abweichenden Behandlung stünden vorliegend überwiegende öffentliche Interessen entgegen.
An der Durchsetzung der gesetzlichen Baubewilligungspflicht und insbesondere auch von Art. 53 Abs. 1 sowie Abs. 4 BauV/VS, wonach eine einmal erteilte Baubewilligung erlischt, wenn bis zum Ablauf einer bestimmten Frist mit dem Bau nicht begonnen wird, besteht ein öffentliches Interesse. Es ist aber zu berücksichtigen, dass die Gemeinde die Frist bis zum Erlöschen der Baubewilligung im Vergleich zur gesetzlich zulässigen Maximaldauer von fünf Jahren seit dem 9. August 2005 (drei Jahre mit der Möglichkeit der Verlängerung um höchstens zwei Jahre) nur um knapp vier Monate ausgedehnt hat. Die dieser Verlängerung um wenige Monate entgegenstehenden öffentlichen Interessen sind nicht besonders schwer zu gewichten. Das private Interesse der Beschwerdegegnerin, in ihrem berechtigten Vertrauen auf das Verhalten der Gemeinde geschützt zu werden und an einer vom materiellen Recht abweichenden Behandlung überwiegt.
4.2.5 Nicht zu folgen ist dem Einwand der Beschwerdeführerinnen, der vorinstanzliche Entscheid sei widersprüchlich, weil nicht festgestellt worden sei, dass die Baute ohne gültige Bewilligung errichtet worden sei, obwohl festgehalten worden sei, dass die maximale Frist bis zum Erlöschen der Baubewilligung am 9. August 2010 abgelaufen sei. Die Beschwerdeführerinnen übersehen, dass der Grundsatz von Treu und Glauben bzw. das berechtigte Vertrauen einer Person in ein bestimmtes behördliches Verhalten unter den genannten Voraussetzungen, die vorliegend erfüllt sind, zu einer vom materiellen Recht abweichenden Behandlung führen müssen.
4.3 Die Beschwerdeführerinnen bringen weiter vor, selbst wenn man vom 8. Dezember 2010 als letztmögliches Datum für den Baubeginn ausginge, könne der Bau nicht als zu diesem Zeitpunkt begonnen angesehen werden, weil die Bodenplatte am 8. Dezember 2010 einzig ostseitig zu einem geringen Teil erstellt gewesen sei.
4.3.1 In tatsächlicher Hinsicht hat die Vorinstanz festgestellt, dass die Bodenplatte der Baute auf der Parzelle Nr. 6428 am 8. Dezember 2010 mindestens teilweise bereits erstellt war. Es ist davon auszugehen, dass dies auch für den 5. Dezember 2010 gilt, weshalb unerheblich ist, ob man vom 5. Dezember 2010 (vgl. Mitteilung der Gemeinde vom 26. März 2008, wonach die Gültigkeit der Baubewilligung ab dem 5. Dezember 2008 für zwei Jahre verlängert wurde) oder wie die Vorinstanz vom 8. Dezember 2010 als für die Beschwerdegegnerin massgebendes letztmögliches Datum für den Baubeginn ausgeht. Umstritten ist, ob der Bau am 5. bzw. 8. Dezember 2010 unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Bodenplatte erst teilweise erstellt war, in Anwendung von Art. 53 Abs. 1 BauV/VS und Art. 21 Ziff. 2 Abs. 1 BZR als begonnen gelten kann oder nicht.
Das Bundesgericht prüft die Verletzung von kantonalem Recht nur auf Willkür hin (vgl. Art. 95 lit. a BGG) und nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Willkürlich im Sinne von Art. 9 BV ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtssatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 138 I 49 E. 7.1 S. 51 mit Hinweisen).
4.3.2 Art. 53 Abs. 1 BauV/VS sowie Art. 21 Ziff. 2 Abs. 1 BZR schliessen nicht ausdrücklich aus, dass ausser der Erstellung der Bodenplatte oder der Fundamentskonsolen auch andere Umstände dazu führen können, dass bei einem Gebäude der Bau als begonnen zu gelten hat. Insbesondere wird nicht ausdrücklich ausgeschlossen, dass der Bau eines Gebäudes als begonnen gelten kann, wenn zwar die Bodenplatte erst teilweise erstellt worden ist, dafür aber sonst bereits umfangreiche Bauarbeiten vorgenommen worden sind. Den Akten ist zu entnehmen, dass mit der Präparierung des Baugrunds (spätestens) am 11. Oktober 2010 begonnen wurde. Aus den von den Beschwerdeführerinnen im vorinstanzlichen Verfahren eingereichten Fotografien ist sodann ersichtlich, dass bis zum 5. bzw. 8. Dezember 2010 umfangreiche Aushub- und Planierarbeiten vorgenommen worden sind und in einer grossen Baugrube die Bodenplatte teilweise bereits erstellt worden ist. Es ist nicht offensichtlich unhaltbar oder eine krasse Verletzung von Art. 53 Abs. 1 BauV/VS sowie Art. 21 Ziff. 2 Abs. 1 BZR, wenn die Vorinstanz unter diesen Umständen zum Schluss gekommen ist, der Bau habe als zu diesem Zeitpunkt begonnen angesehen werden können.
4.4 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Beschwerdegegnerin gestützt auf die Baubewilligung vom 8. September 2003 und die Mitteilung der Gemeinde Naters vom 26. März 2008 rechtzeitig mit der Errichtung eines Mehrfamilienhauses auf der Parzelle Nr. 6428 begonnen hat.
5. Die Beschwerdeführerinnen beantragen wie schon vor der Vorinstanz, es sei die Nachholung des Auflage- und Baubewilligungsverfahrens anzuordnen und zumindest teilweise die Einstellung der Bauarbeiten zu verfügen.
Soweit sie diese Anträge damit begründen, dass sich die Beschwerdegegnerin nicht an das seinerzeit bewilligte Bauprojekt bzw. an die rechtlichen Vorgaben gehalten habe, ist auf ihre Ausführungen wie bereits dargelegt nicht einzugehen (vgl. E. 1.3 hiervor). Nachdem feststeht, dass die Beschwerdegegnerin gestützt auf die Baubewilligung vom 8. September 2003 und die Mitteilung der Gemeinde vom 26. März 2008 rechtzeitig mit der Errichtung eines Mehrfamilienhauses auf der Parzelle Nr. 6428 begonnen hat (vgl. E. 4 hiervor), sind unter Berücksichtigung des Streitgegenstands auch die Beschwerdebegehren, es sei die Nachholung des Auflage- und Baubewilligungsverfahrens anzuordnen und zumindest teilweise die Einstellung der Bauarbeiten zu verfügen, abzuweisen.
Bereits der Staatsrat und die Vorinstanz kamen zum Schluss, dass die Beschwerdegegnerin mit den Bauarbeiten auf der Parzelle Nr. 6428 rechtzeitig begonnen hat. Damit waren nach dem Gesagten ohne weiteres auch die Begehren abzuweisen, es sei die Nachholung des Auflage- und Baubewilligungsverfahrens sowie die Einstellung der Bauarbeiten zu verfügen. Folglich kann den Beschwerdeführerinnen nicht gefolgt werden, wenn sie der Vorinstanz und dem Staatsrat vorwerfen, sie hätten bei der Beurteilung dieser Begehren Bundesrecht bzw. in willkürlicher Weise kantonales Recht verletzt.
6. Die Beschwerdeführerinnen beantragen, die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens seien der Beschwerdegegnerin zu auferlegen und ihnen sei für das zum Zwischenentscheid vom 7. Dezember 2011 führende Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen. Die Vorinstanz hat für das vorinstanzliche Verfahren keine Kosten erhoben (Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids vom 26. Januar 2012) und den Beschwerdeführerinnen eine (reduzierte) Parteientschädigung zugesprochen (Dispositiv-Ziffer 4 des angefochtenen Entscheids vom 26. Januar 2012). Wie bereits aufgeführt, kann dies nur so verstanden werden, dass die Vorinstanz die Kosten- und Entschädigungsfolgen für das gesamte vorinstanzliche Verfahren (neu) geregelt und somit die Auferlegung von Gerichtskosten sowie die Verweigerung einer Parteientschädigung für die Beschwerdeführerinnen gemäss Zwischenentscheid vom 7. Dezember 2011 wieder aufgehoben hat (vgl. E. 1.2 hiervor).
Es ist demzufolge festzustellen, dass für das vorinstanzliche Verfahren inklusive Zwischenentscheid vom 7. Dezember 2011 weder den Beschwerdeführerinnen noch der Beschwerdegegnerin Kosten auferlegt worden sind und dass den Beschwerdeführerinnen für das gesamte vorinstanzliche Verfahren eine (reduzierte) Parteientschädigung zugesprochen worden ist. Die Beschwerdeführerinnen begründen nicht, inwiefern die Vorinstanz diesbezüglich Bundesrecht verletzt haben sollte, weshalb auf die genannten Begehren nicht einzutreten ist.
7. Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführerinnen kostenpflichtig (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerinnen haben der privaten Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (vgl. Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführerinnen unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerinnen haben der privaten Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Naters, dem Staatsrat des Kantons Wallis und dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle