Faits:
A. Le 14 novembre 2003, T._, enseignant de profession, a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en invoquant souffrir de problèmes lombaires et cervicaux, ainsi que de dépression. Au cours de l'instruction menée par l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: office AI), le docteur E._, médecin traitant, a diagnostiqué une épilepsie, un trouble affectif bipolaire, un trouble de la personnalité, une consommation abusive d'alcool périodique, un syndrome douloureux vertébral chonique sur cyphoscoliose sévère et des infections respiratoires hautes à répétition. Il indiquait que son patient, qui avait présenté un état dépressif grave en 1994 et cessé son activité d'instituteur à cette date, ne pouvait plus enseigner en raison des problèmes liés au trouble bipolaire et au trouble de la personnalité, ni exercer une activité physique en raison d'une nette faiblesse de la colonne vertébrale (rapport du 4 mars 2004).
Après avoir chargé le docteur B._, psychiatre et psycho-thérapeute, d'une expertise, l'office AI a rendu une décision (le 23 février 2005) par laquelle il a refusé toute prestation à l'assuré. Saisi d'une opposition de celui-ci, il l'a rejetée par décision du 17 août 2006.
B. Statuant le 5 juin 2007 sur le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel l'a rejeté.
C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont il demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, il conclut principalement à ce qu'une expertise pluridisciplinaire soit ordonnée; à titre subsidiaire, il requiert le renvoi de la cause au Tribunal administratif pour qu'il procède en ce sens.
Le Tribunal fédéral a renoncé à un échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
1.2 En ce qui concerne l'évaluation de l'invalidité, les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 ss (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations relatives à l'existence d'une atteinte à la santé, de même que l'appréciation de la capacité de travail de l'assuré et du caractère exigible de l'exercice d'une activité lucrative adaptée relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398).
2. Les chiffres 2 à 4 du dispositif du jugement entrepris portant sur les frais et dépens en instance cantonale, ainsi que sur l'octroi de l'assistance judiciaire ont fait l'objet d'un jugement en révision du Tribunal administratif neuchâtelois, rendu le 20 juillet 2007. Compte tenu des conclusions et de la motivation du recours, T._ s'en prend au jugement sur le fond et non aux droits accessoires concernant les frais et les dépens et leur répartition, sur lesquels porte le dispositif du jugement du 20 juillet 2007. En instance fédérale, seul est litigieux le droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité, singulièrement l'existence d'une atteinte à la santé entraînant une incapacité de gain au sens des art. 7 et 8 al. 2 LPGA (dans leur version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007, applicable en l'espèce [ATF 130 V 329]). A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence applicables au présent cas. Il suffit d'y renvoyer.
3. Invoquant tour à tour une constatation manifestement inexacte et incomplète des faits pertinents, une violation de l'obligation de motivation et une violation de la maxime inquisitoire, le recourant reproche aux premiers juges de s'être fondés sur l'expertise du docteur B._ dont il qualifie les constatations de "hâtives" et "incomplètes", ainsi que d'avoir omis à tort de compléter l'instruction par des investigations concernant son état de santé physique.
3.1 Lorsque le recourant s'en prend, comme en l'espèce, à l'appréciation des preuves par l'autorité judiciaire cantonale et à l'établissement des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raisons sérieuses, de tenir compte d'un moyen de preuve important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40, 118 Ia 28 consid. 1b p. 30).
3.2 Suivant les conclusions du docteur B._ du 1er juillet 2004, la juridiction cantonale a constaté que le recourant ne présentait pas d'atteinte psychique importante qui limiterait sa capacité de travail dans sa profession. Sur le plan somatique, elle a retenu qu'aucun des médecins consultés n'avait conclu à une incapacité de travail en raison de troubles physiques, le docteur E._ n'ayant mentionné qu'un empêchement d'effectuer un travail physique à cause de problèmes dorso-lombaires sans mentionner une incapacité de travail y relative dans la profession d'enseignant. Aussi, la juridiction cantonale a-t-elle considéré que le refus de prestations prononcé par l'intimé était conforme au droit.
3.3 Les griefs soulevés par le recourant à l'encontre du jugement entrepris, par lesquels il vise à substituer sa propre appréciation des preuves à celle des premiers juges, ne sont pas pertinents. Contrairement à ce qu'il allègue, le docteur B._ a procédé à une appréciation complète et soignée de la situation sur le plan psychiatrique. En particulier, dans son expertise du 1er juillet 2004, le psychiatre a dûment expliqué les raisons pour lesquelles il ne pouvait retenir les diagnostics de trouble bipolaire posé par le docteur A._ de l'Hôpital X._ (rapport du 15 juillet 1996) et de trouble de la personnalité mentionné par le médecin traitant, ni aucune autre affection psychique. Puisque cette divergence a été clairement discutée, on ne saurait reprocher à l'expert d'avoir "négligé" ou "sous-estimé" certains aspects de la situation ou conclure à l'absence de valeur probante de son rapport, comme le fait en vain le recourant. Quant à la soi-disant contradiction à indiquer "des difficultés d'adaptation à un environnement professionnel" sans en tirer de conséquences sur la capacité de travail, elle relève d'une lecture tronquée de l'expertise, dès lors que le docteur B._ précise que cette restriction ne relève pas de l'ordre strictement médical.
De son côté, la juridiction cantonale a expliqué les motifs pour lesquels elle a fait siennes les conclusions du docteur B._ et s'est écartée de l'avis du docteur E._ (en se référant à la jurisprudence relative à la différence entre mandat de soins et mandat d'expertise), de sorte que la critique tirée du défaut de motivation tombe à faux. Sur ce point, le recourant se limite en réalité à exposer que la motivation ne le satisfait pas parce que les premiers juges ont suivi l'avis de l'expert mandaté par l'intimé.
Quant à la constatation de l'autorité cantonale de recours selon laquelle le recourant ne présente pas d'incapacité de travail sur le plan physique, si elle peut être précisée en ce sens qu'elle se rapporte à la capacité de travail de l'assuré dans sa profession d'enseignant, elle n'apparaît pas manifestement inexacte ou contraire au droit. Le docteur E._ a en effet mentionné des restrictions dues aux dorso-lombalgies en relation avec un travail physique uniquement (rapports des 4 mars et 29 avril 2004). En conséquence, dès lors qu'ils ont constaté en tenant compte de l'ensemble des pièces médicales au dossier que le recourant n'était pas limité dans l'exercice de son activité d'enseignant, les premiers juges n'avaient pas à ordonner de plus amples mesures d'instruction (voir aussi sur l'appréciation anticipée des preuves, ATF 122 II 469 consid. 4a, 122 III 223 consid. 3c).
3.4 Compte tenu de ce qui précède, le recours est mal fondé.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 mars 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless