Sachverhalt:
A.
Der aus dem Kosovo stammende X._ (geb. 1979) reiste 1994 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein und erhielt die Niederlassungsbewilligung. Am 6. Januar 1998 heiratete er in der Heimat seine Landsfrau Y._ (geb. 1980). Mit ihr hat er vier Kinder (geb. 1999, 2001, 2002 und 2006). Die Ehefrau und die Kinder sind ebenfalls im Besitz der Niederlassungsbewilligung. Das jüngste Kind ist körperlich behindert und bedarf der medizinischen Behandlung und Betreuung.
Ab 2003 begann X._ zu delinquieren. Bis 2010 erwirkte er 17 Strafverfügungen und Urteile, oftmals im Bereich des Strassenverkehrs- und des Betreibungs- und Konkursrechts. Am 1. Juli 2004 verurteilte ihn das Bezirksgericht Winterthur wegen mehrfachen Diebstahls, mehrfacher Sachbeschädigung und mehrfachen Hausfriedensbruchs zu fünf Monaten Gefängnis (bedingt). Noch vor Ablauf der Probezeit machte er sich am 18. Mai 2006 der versuchten vorsätzlichen Tötung schuldig und wurde vom Obergericht des Kantons Luzern deswegen am 24. November 2009 zu einer Freiheitsstrafe von viereinhalb Jahren verurteilt. Eine hiegegen gerichtete Beschwerde wies das Bundesgericht am 20. Mai 2010 ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 6B_304/2010).
Bereits am 29. Mai 2006 war X._ fremdenpolizeilich verwarnt worden. Er liess sich aber auch nach der versuchten vorsätzlichen Tötung vom 18. Mai 2006 noch strafbares Verhalten zu Schulden kommen (so etwa eine Verurteilung im Jahre 2008 wegen Fahrens in angetrunkenem Zustand).
X._ hat in der Schweiz nie eine Lehre abgeschlossen, sondern er arbeitete bei verschiedenen Arbeitgebern als Gipser. Eine von ihm gegründete und geführte GmbH musste liquidiert werden. Die Gesellschaft hinterliess Betreibungen von über Fr. 115'000.-- und Verlustscheine von über Fr. 38'000.--. Gegen X._ als Privatperson bestehen Betreibungen von über Fr. 168'000.-- und Verlustscheine von über Fr. 135'000.--.
B.
Mit Verfügung vom 12. August 2011 widerrief das Amt für Migration des Kantons Luzern die Niederlassungsbewilligung von X._ und wies diesen auf den Zeitpunkt seiner Entlassung aus dem Strafvollzug aus der Schweiz weg. Die vom Betroffenen hiegegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid des kantonalen Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 22. Juni 2012, Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 15. April 2013).
C.
Mit Eingabe vom 13. Mai 2013 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; eventuell sei die Verfügung des Migrationsamtes vom 12. August 2011 aufzuheben. Sodann sei auf eine Wegweisung zu verzichten. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
D.
Mit Verfügung vom 30. Mai 2013 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Die kantonalen Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht durchgeführt worden.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid betreffend Widerruf der Niederlassungsbewilligung ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG), da auf den Fortbestand dieser Bewilligung ein Rechtsanspruch besteht (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Der Beschwerdeführer kann sich zudem auf die Garantie von Art. 8 EMRK berufen (Anspruch auf Schutz des Familien- und Privatlebens). Nicht eingetreten werden kann auf die Beschwerde hingegen, soweit damit die Aufhebung der Verfügung des kantonalen Migrationsamtes vom 12. August 2011 verlangt wird. Diese ist durch das Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt inhaltlich als mitangefochten (vgl. BGE 138 II 169 E. 3.3 S. 171).
Soweit der Beschwerdeführer seine mit als "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gem. Art. 82 ff. BGG" bezeichnete Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG ) verstanden haben will (vgl. S. 9 der Beschwerdeschrift) und sich gegen die ihm auferlegte Ausreiseverpflichtung wendet, steht ihm dieses Rechtsmittel - unter gewissen Voraussetzungen (vgl. BGE 137 II 305) - zwar zur Verfügung, doch kann er damit - wie er dies trotzdem tut - keine Rügen mehr erheben, die Gegenstand des Entscheids über den Widerruf bzw. die Nichtverlängerung der Bewilligung gebildet haben oder hätten bilden müssen (vgl. BGE 137 II 305 E. 1.1 S. 307). Taugliche Verfassungsrügen, die im Übrigen einer qualifizierten Rügepflicht unterliegen (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG), werden nicht erhoben, so dass auf die Beschwerde auch insoweit nicht einzutreten ist. Diese erweist sich darüber hinaus als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren mit summarischer Begründung (Art.109 BGG) zu erledigen.
2.
Gemäss Art. 63 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit Art. 62 lit. b AuG kann die Niederlassungsbewilligung widerrufen werden, wenn die ausländische Person zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde. Als "längerfristig" gilt jede Freiheitsstrafe, deren Dauer ein Jahr überschreitet (BGE 135 II 377 E. 4.2 und E. 4.5 S. 379 ff.). Dieses Erfordernis ist hier offensichtlich und unbestrittenermassen erfüllt. Der Beschwerdeführer beruft sich im Wesentlichen darauf, dass der angeordnete Bewilligungswiderruf unverhältnismässig sei und die kantonalen Instanzen eine qualifiziert falsche Interessenabwägung vorgenommen hätten. Diese Rüge geht jedoch ins Leere: Richtig ist wohl, dass ein Widerruf der Niederlassungsbewilligung aufgrund der gesamten Umstände des Einzelfalls verhältnismässig sein muss (BGE 135 II 377 E. 4.3 S. 381 f. m.w.H). Dies hat das Verwaltungsgericht aber nicht verkannt, sondern es hat die hier massgebenden öffentlichen Interessen an einer Ausreise des Beschwerdeführers und dessen private Interessen an einem Verbleib in der Schweiz sachgerecht gewürdigt und es für zumutbar erachtet, dass der Beschwerdeführer in seine Heimat zurückkehrt. In seinem Entscheid - auf den verwiesen werden kann (Art. 109 Abs. 3 BGG) - hat das Gericht die massgebenden Kriterien für einen Widerruf der Niederlassungsbewilligung korrekt dargestellt, sich mit allen relevanten Aspekten ausführlich auseinander gesetzt und das Gesetz sowie die Rechtsprechung des Bundesgerichts (namentlich auch dessen strenge Praxis bei schweren vorsätzlichen Gewaltdelikten [vgl. die Zusammenfassung der neueren Kasuistik im Urteil 2C_496/2013 vom 15. November 2013 E. 3.2]) richtig angewendet. Die Einwände des Beschwerdeführers dringen nicht durch: Schon allein der häufigen Straftaten wegen sowie aufgrund der zahlreichen Betreibungen und Verlustscheine kann er nicht als erfolgreich integriert gelten. Das Verwaltungsgericht hat sodann auch nicht übersehen, dass sich der Widerruf der Niederlassungsbewilligung nachteilig auf das Familienleben des Beschwerdeführers auswirkt. Dabei ist aber von Bedeutung, dass die Ehefrau aus dem selben Kulturkreis wie ihr Ehemann stammt und die ganze Familie - im Gegensatz zu dem vom Beschwerdeführer angerufenen Urteil des EGMR Udeh gegen Schweiz vom 16. April 2013 [12020/09] - die gleiche Staatsangehörigkeit besitzt, so dass ihr ein Leben im Kosovo grundsätzlich zuzumuten ist. Was die von der Vorinstanz angezweifelte Qualität der medizinischen Versorgung im Kosovo im Bereich spezialisierter Behandlungsmethoden für die jüngste Tochter betrifft, ist vorab zu bemerken, dass sich der Ausländer - soweit die medizinische Versorgung im Heimatland gewährleistet ist - auch im Lichte von Art. 8 EMRK regelmässig nicht darauf berufen kann, dass die Versorgung in der Schweiz einem höheren Standard entspricht (BGE 128 II 200 E. 5.3 S. 209; Urteile 2C_930/2012 vom 10. Januar 2013 E. 4.4.3 und 2C_925/2011 vom 22. Juni 2012 E. 5.3; je mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall ist zusätzlich zu berücksichtigen, dass aufgrund der verfügten migrationsrechtlichen Massnahme nur der Beschwerdeführer selber, nicht aber seine Familie die Schweiz verlassen muss. Sollte diese auf Grund ihres gefestigten Anwesenheitsrechts hier bleiben, kann - nachdem sich der Beschwerdeführer im Heimatland bewährt hat - gegebenenfalls eine Neubeurteilung seines Aufenthaltsrechts in der Schweiz angezeigt sein (vgl. Urteile 2C_755/2013 vom 11. November 2013 E. 2 und 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013). In der Zwischenzeit können die familiären Beziehungen besuchsweise, per Briefverkehr oder mit den Mitteln der elektronischen Kommunikation gelebt werden.
3.
Bei diesem Ausgang trägt der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 65/66 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann nicht entsprochen werden, da der angefochtene Entscheid im Einklang mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung steht und die Begehren des Beschwerdeführers daher aussichtslos erscheinen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Den wirtschaftlichen Verhältnissen der Familie kann bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen werden (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement und dem Verwaltungsgericht (Verwaltungsrechtliche Abteilung) des Kantons Luzern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. November 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein