Faits:
A. A.a T._ a suivi les cours pour une formation d'audioprothésiste. Dès le 1er septembre 1996, elle a travaillé à 80 % en qualité de réceptionniste au service du Centre acoustique X._. A ce titre, elle était assurée par la Compagnie d'Assurances Nationale Suisse pour les accidents professionnels et non professionnels.
Le 13 novembre 1997, elle a été victime à son domicile de lésions du genou gauche, dont le traitement a été compliqué par une algodystrophie. La Nationale Suisse Assurances a pris en charge le cas et versé les prestations dues pour les suites de cet accident. L'employeur a mis fin aux rapports de travail pour le 31 mai 1998.
Dans une expertise du 12 janvier 1999, le docteur O._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, a conclu à une capacité de travail de 100 % dans l'ancienne activité et dans une autre activité adaptée. Par décision du 26 avril 1999, l'assureur-accidents a mis fin aux prestations (indemnités journalières) en date du 28 février 1999.
A.b Le 15 septembre 1999, T._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 10 octobre 1999, le docteur A._, spécialiste FMH en rhumatologie, a déposé ses conclusions.
Par décision du 10 février 2000, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a rejeté la demande, au motif que l'assurée pouvait reprendre normalement l'activité exercée jusque-là ou toute autre activité adaptée aux limitations qui étaient les siennes, ainsi que cela ressortait de l'expertise du docteur O._ du 12 janvier 1999. Cette décision est entrée en force.
A.c Le 19 janvier 2001, T._ a subi une plastie du ligament croisé antérieur du genou gauche, laquelle a été effectuée par le docteur E._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique.
La Nationale Suisse Assurances a repris le versement des indemnités journalières à partir du 9 octobre 2000. Elle a confié une expertise au docteur N._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique à Genève, lequel a déposé ses conclusions dans un rapport du 11 février 2003 et dans un rapport complémentaire du 14 avril 2003. Elle a chargé également le docteur L._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, d'effectuer une autre expertise. Dans un rapport du 27 mai 2003, ce médecin a conclu à l'absence de trouble psychiatrique. Il indiquait que la capacité de travail dans les professions antérieures était possible sans mesure de réadaptation et au taux de 100 % pour motifs psychiatriques.
Par décision du 28 juin 2004, confirmée sur opposition le 26 février 2007, l'assureur-accidents a avisé l'assurée que le traitement principal des suites directes de l'accident du 13 novembre 1997 était terminé et qu'il était mis fin au paiement des indemnités journalières. Sa capacité de gain n'était pas réduite, de sorte que l'octroi d'une rente d'invalidité ne se justifiait pas. Celle-ci a formé recours contre la décision sur opposition devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud.
A.d Le 29 octobre 2001, T._ a présenté une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant un reclassement dans une nouvelle profession, subsidiairement l'octroi d'une rente d'invalidité. Le docteur A._ a informé l'assurance-invalidité qu'il n'avait pas revu l'assurée depuis le 21 mars 2000, date du dernier examen. Dans un rapport du 7 novembre 2002, le docteur E._ a posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de syndrome fémoro-rotulien douloureux gauche, d'état après reconstruction du ligament croisé antérieur gauche sur lésion invétérée, d'arthrose fémoro-rotulienne gauche, d'état dépressif et d'allergies. Il relevait une très lente amélioration partielle du genou gauche depuis le 16 avril 2002 et concluait à une incapacité de travail de 100 % dans l'activité exercée jusque-là, tout en indiquant que l'on pouvait exiger de la patiente qu'elle exerce une autre activité (annexe au rapport).
Se fondant sur les conclusions du docteur N._ dans son rapport complémentaire du 14 avril 2003, selon lesquelles l'assurée était apte à reprendre son activité antérieure avec une capacité de travail de 100 %, et sur celles du docteur L._ dans son expertise du 27 mai 2003, le docteur F._, dans un avis médical SMR du 8 octobre 2003, a retenu qu'il n'y avait pas d'incapacité de travail médicalement prouvée tant au plan chirurgical-orthopédique que psychiatrique.
Le 13 octobre 2003, l'office AI a rendu une décision de refus de rente, par laquelle il a rejeté la demande.
Le 10 novembre 2003, T._ a formé opposition contre cette décision. Elle a produit une lettre du docteur E._ du 8 octobre 2003, puis un document de ce médecin du 16 mars 2004.
Sur proposition du docteur F._ (avis du 25 septembre 2004), le docteur R._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin du Service médical régional AI, a procédé le 4 novembre 2004 à un examen clinique. Dans un rapport du 22 novembre 2004, il a posé les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail de gonarthrose post-traumatique à gauche: - status après déchirure du ligament croisé antérieur (LCA), status après plastie du LCA et status après algoneurodystrophie postopératoire après arthroscopie et plastie du LCA -, de lombalgies chroniques et de tendinopathie de la coiffe des rotateurs de l'épaule gauche. L'examen clinique confirmait les données retenues par le docteur N._, de sorte que l'on pouvait admettre que la capacité de travail dans un emploi adapté était pratiquement normale le 15 janvier 2003 lorsque l'assurée a été examinée par ce médecin, soit deux ans après l'opération effectuée par le docteur E._. Il a conclu à une capacité de travail exigible de 100 % dans l'activité habituelle et dans une activité adaptée, avec un rendement limité à 80 %, conclusion qui a été reprise par le docteur F._ dans un avis médical SMR du 20 décembre 2004.
Le docteur E._, dans un document du 25 janvier 2005, a pris position sur le rapport du docteur R._ du 22 novembre 2004. De leur côté, les docteurs F._ et R._, relevant qu'ils n'avaient trouvé dans ce document aucun renseignement nouveau par rapport à ce qu'ils savaient déjà, ont maintenu leurs conclusions (avis médical SMR du 28 février 2005).
Par décision du 15 avril 2005, l'office AI a rejeté l'opposition.
B. Le 12 mai 2005, T._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celle-ci, la cause étant renvoyée à l'office AI pour qu'il complète ses investigations par une expertise neutre et qu'il examine les mesures de réadaptation auxquelles elle avait droit. Dans ses déterminations du 30 janvier 2006, elle a produit une lettre du docteur E._ du 25 mai 2005, avec la copie de deux scanographies de l'arthroscopie du 19 janvier 2001. Elle requérait l'audition de ce médecin. Le 15 mars 2006, le juge instructeur l'a avisée que, selon l'usage, les médecins étaient entendus de préférence par écrit. Le 27 mars 2006, elle a produit un document du docteur E._ du 21 mars 2006. Dans un avis SMR des 2 et 5 mai 2006, le docteur R._ a pris position sur ce document, en indiquant qu'il n'apportait aucun élément diagnostic nouveau.
Par décision du 24 mai 2006, le juge instructeur a rejeté la requête d'expertise.
Le 8 juin 2006, T._ a fait opposition à cette décision. Elle produisait un rapport du docteur E._ du 6 juin 2006. Dans un avis SMR des 28/31 août 2006, le docteur R._ a déposé ses observations sur ce nouveau document. Le 30 avril 2007, elle a produit un rapport du 23 avril 2007 du docteur U._, médecin-remplaçant du docteur E._, qui retenait le diagnostic de re-rupture du ligament croisé antérieur gauche et de probable déchirure méniscale médiale gauche, tout en indiquant la présence d'une gonarthrose tricompartimentale gauche. Dans un avis SMR du 8 juin 2007, le docteur R._ a relevé que l'absence de ligament croisé antérieur avait déjà été mise en évidence lors de l'examen clinique du 4 novembre 2004 et qu'il ne s'agissait donc pas d'un élément nouveau.
Le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté l'opposition par jugement incident du 25 juillet 2007.
Par jugement du 20 décembre 2007, expédié le 24 janvier 2008, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à la réforme de celui-ci en ce sens qu'elle a droit à une rente entière d'invalidité depuis le 1er novembre 1998. A titre subsidiaire, elle demande que le jugement attaqué soit annulé, la cause étant renvoyée à l'autorité de première instance pour qu'une expertise judiciaire soit ordonnée. A titre plus subsidiaire, elle conclut à l'octroi d'une rente entière d'invalidité pour la période du 1er novembre 1998 au 31 janvier 2002.
L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, qui s'en remet au jugement attaqué, conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue à l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée.
2. Le litige a trait au droit à une rente d'invalidité, singulièrement aux incidences sur la capacité de travail de la recourante des atteintes à la santé qu'elle présente.
2.1 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 s. (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398).
2.2 Le jugement attaqué expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs aux notions d'incapacité de gain (art. 7 LPGA) et d'invalidité (art. 4 al. 1 LAI, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002; art. 8 al. 1 LPGA). On peut ainsi y renvoyer.
On ajoutera qu'en cas de divergence d'opinion entre experts et médecins traitants, il n'est pas, de manière générale, nécessaire de mettre en oeuvre une nouvelle expertise. La valeur probante des rapports médicaux des uns et des autres doit bien plutôt s'apprécier au regard des critères jurisprudentiels (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352) qui permettent de leur reconnaître pleine valeur probante. A cet égard, il convient de rappeler qu'au vu de la divergence consacrée par la jurisprudence entre un mandat thérapeutique et un mandat d'expertise (ATF 124 I 170 consid. 4 p. 175; arrêt (du Tribunal fédéral) I 514/06 du 25 mai 2007 consid. 2.2.1, in SVR 2008 IV Nr. 15 p. 43), on ne saurait remettre en cause une expertise ordonnée par l'administration ou le juge et procéder à de nouvelles investigations du seul fait qu'un ou plusieurs médecins traitants ont une opinion contradictoire. Il n'en va différemment que si ces médecins traitants font état d'éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l'expertise et qui sont suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions de l'expert.
3. Il est constant qu'il n'y a pas de comorbidité psychiatrique au syndrome douloureux du genou gauche, en l'absence d'atteinte psychique.
3.1 Les premiers juges ont confirmé l'appréciation de la capacité de travail de la recourante par l'intimé, selon laquelle celle-ci présentait une capacité de travail entière dans une activité adaptée avec une diminution de rendement de 20 %. Ils ont retenu que l'état du genou gauche ne provoquait pas d'incapacité de travail, ni dans son ancienne activité ni dans toute autre activité adaptée, compte tenu des atteintes objectives somme toute modestes du genou, et que la capacité de travail était entière sur le plan de l'exigibilité. En ce qui concerne les autres diagnostics posés par les médecins, à savoir les lombalgies et la tendinopathie de la coiffe des rotateurs de l'épaule gauche, ils n'étaient pas de nature à diminuer la capacité de travail ni l'exigibilité dans la profession exercée jusque-là. Essentiellement, la juridiction cantonale s'est fondée sur le rapport du docteur R._ du 22 novembre 2004, dont elle a discuté les diagnostics et les conclusions relatives à la capacité de travail en les confrontant aux autres pièces du dossier. Ainsi, la question de la diminution de rendement de 20 % admise par ce médecin pour tenir compte des douleurs a été laissée indécise.
3.2 Confrontant les rapports successifs du docteur E._ aux autres pièces du dossier, les premiers juges ont constaté que les diagnostics retenus par ce médecin ne différaient pas réellement de ceux posés par les autres spécialistes. Ainsi que l'avait relevé le docteur R._, le syndrome fémoro-rotulien ne correspondait pas à un diagnostic précis, mais était plutôt une description d'un syndrome douloureux de la rotule et pouvait être la conséquence de plusieurs maladies. Lui-même avait retenu le diagnostic de gonarthrose post-traumatique, qui se rapportait précisément à une maladie provoquant des douleurs de la rotule. Il en allait de même pour les autres diagnostics évoqués par le docteur E._, qui n'étaient pas davantage précis et n'apportaient rien de nouveau, tant en ce qui concerne l'appréciation de l'atteinte à la santé et de sa gravité que de la capacité de travail (avis SMR des 2 et 5 mai 2006).
La recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir omis de tenir compte de l'absence de ligament croisé antérieur. Cette question n'a toutefois pas échappé aux premiers juges, qui ont retenu que le test de Lachmann positif avec course prolongée sans arrêt dur mis en évidence par le docteur R._ lors de l'examen clinique du 4 novembre 2004 était le signe d'une rupture du ligament croisé antérieur, qui avait donc déjà eu lieu en 2004. Ainsi, le diagnostic de re-rupture du ligament croisé antérieur gauche retenu par le docteur U._ dans son rapport du 23 avril 2007 ne constituait pas un fait nouveau devant amener à une nouvelle appréciation du cas.
Les arguments de la recourante ne font pas apparaître les constatations de fait ci-dessus de la juridiction cantonale comme manifestement inexactes. Contrairement à ce qu'elle laisse entendre, la présence d'un épanchement intra-articulaire constatée par le docteur N._ dans son expertise du 11 février 2003 n'est pas un élément qui aurait été ignoré par le docteur R._ dans le cadre de son rapport du 22 novembre 2004. Ainsi que l'ont relevé les premiers juges, ce médecin a constaté lors de l'examen clinique du 4 novembre 2004 qu'il n'y avait plus d'épanchement intra-articulaire. Il n'y a donc aucune contradiction sur ce point. Quant à l'observation du docteur R._ en page 5 de son rapport du 22 novembre 2004, d'après laquelle on ne savait pas très bien si les lâchages étaient d'origine algique ou ligamentaire, elle concerne la période entre l'arthroscopie du genou gauche en janvier 1998 et la plastie du ligament croisé antérieur en janvier 2001. On ne peut en tirer aucune conclusion en ce qui concerne la lésion du ligament croisé antérieur apparue après que l'intervention du 19 janvier 2001 eut été effectuée.
3.3 Les premiers juges ont qualifié de modestes les atteintes objectives que présente le genou gauche.
Alléguant que le terme "modeste" est vague, la recourante conteste cette qualification, au motif que l'on est en présence d'une gonarthrose tricompartimentale avec algoneurodystrophie (maladie de Sudeck) et de fortes douleurs et qu'une indication pour une prothèse totale du genou a été posée.
Cependant, l'argumentation de la recourante ne fait pas apparaître la qualification de l'atteinte du genou gauche par la juridiction cantonale comme manifestement inexacte. En effet, la symptomatologie douloureuse permanente n'entre pas dans le statut clinique objectif sur lequel se sont fondés les premiers juges pour qualifier de modeste l'atteinte du genou, tel qu'il a été retenu par le docteur R._ dans son rapport du 22 novembre 2004 en tenant compte des lésions initiales et des constatations objectives faites lors de l'examen clinique du 4 novembre 2004. Ainsi, ce médecin a-t-il indiqué que les constatations étaient modestes cliniquement et radiologiquement et que son examen clinique ne différait pas significativement de celui réalisé par le docteur O._ en janvier 1999, ni de celui du docteur N._ mais sans épanchement articulaire actuellement.
3.4 En ce qui concerne l'incidence de l'atteinte du genou gauche sur la capacité de travail de la recourante, la juridiction cantonale a retenu que les lésions n'étaient pas de nature à réduire sa capacité de travail dans une activité adaptée qui était pleinement exigible, comme l'était l'activité exercée antérieurement.
Cela est contesté par la recourante. Se référant aux conclusions du docteur E._ sur sa capacité de travail, elle relève que le docteur N._, dans son rapport du 11 février 2003, avait indiqué que les douleurs constituaient une limitation aux possibilités d'exercer une activité adaptée et qu'il avait conclu à une incapacité totale de travail. Au regard des limitations fonctionnelles décrites par le docteur R._, les activités envisagées seraient ainsi irréalistes puisque l'intéressée n'a pas de formation pour exercer un emploi de secrétaire ou d'assistante sociale.
Cette argumentation de la recourante a déjà été réfutée par les premiers juges. Ainsi, ils ont relevé que le docteur E._ critiquait l'appréciation de la capacité de travail posée par les médecins du SMR en ce qu'elle serait théorique et ne tiendrait pas compte que la capacité peut fluctuer selon les cas de 0 à 80 % si tout allait bien. Considérant que les critiques du docteur E._ n'étaient pas motivées de manière convaincante, ils ont retenu qu'à l'appui de son argumentation quant à une capacité de travail fortement diminuée voire inexistante, ce médecin indiquait notamment que le lever matinal pouvait prendre un certain temps, que les péjorations survenaient aux changements de temps et aux efforts. Quant aux limitations fonctionnelles retenues, elles concordaient avec celles posées par les autres spécialistes, en particulier par le docteur R._, mais qu'elles étaient plus détaillées. Le rapport du docteur U._ du 23 avril 2007 n'apportait rien de nouveau. La rupture du ligament croisé antérieur n'était pas en tant que telle de nature à provoquer une incapacité de travail dans une activité ne sollicitant pas de manière importante le genou et qu'elle était prise en compte dans l'appréciation des limitations fonctionnelles décrites de façon concordante par les différents médecins.
Il n'appartient pas au Tribunal fédéral, dont le pouvoir d'examen est limité par la loi (supra, consid. 2.1), de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves en ce qui concerne la capacité de travail. Même si la recourante affirme que la manière dont la juridiction cantonale a retenu les faits déterminants sur ce point est insoutenable, elle ne le démontre pas. Certes, dans son rapport du 11 février 2006, le docteur N._ a retenu une incapacité de travail de 100 % dans la profession de réceptionniste. Il indiquait toutefois qu'une capacité de travail supérieure à 50 %, voire de 100 %, était envisageable dans les professions de préposée au guichet dans l'administration, de gestionnaire de sinistres dans une compagnie d'assurances ou d'opératrice (téléphoniste) chez Swisscom était envisageable. Il n'apparaît pas que les faits retenus par les premiers juges en ce qui concerne l'incidence de l'atteinte du genou gauche sur la capacité de travail l'aient été de manière arbitraire. Le recours est mal fondé de ce chef.
3.5 En ce qui concerne les atteintes de la colonne vertébrale lombaire, des hanches et des épaules, la juridiction cantonale a retenu qu'elles n'étaient pas de nature à diminuer la capacité de travail et l'exigibilité dans l'activité d'audioprothésiste, qui était adaptée à la problématique bio-mécanique, comme le relevait le docteur R._.
Les griefs de la recourante relatifs aux diagnostics médicaux sont sans pertinence. Même si les lombalgies chroniques et la tendinopathie de la coiffe des rotateurs de l'épaule gauche figurent dans le rapport du docteur R._ du 22 novembre 2004 sous la rubrique relative aux diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail, cela ne remet pas en cause le caractère objectif de ses conclusions sur la capacité de travail exigible, lesquelles sont dûment motivées. On relèvera que le docteur E._, dans son rapport du 6 juin 2006, reproche à ce médecin d'avoir sous-estimé et/ou négligé les degrés d'atteintes de la colonne vertébrale lombaire et des hanches, mais qu'il ne s'est pas pour autant exprimé sur l'exigibilité.
S'agissant de l'exigibilité, les premiers juges ont retenu que la coxarthrose débutante bilatérale n'affectait pas la capacité de travail dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles, et qu'il en allait de même des lombalgies chroniques, vu la modicité de l'atteinte. Quant aux épaules, s'il existait une tendinopathie du membre supérieur gauche, la mobilité des deux épaules était dans les limites de la norme. On ne voit pas que les faits pertinents sous cet angle aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Le recours est également mal fondé sur ce point.
4. Il n'y a pas lieu de donner suite à la conclusion très subsidiaire de la recourante tendant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité du 1er novembre 1998 au 31 janvier 2002. D'une part, la décision du 10 février 2000 est entrée en force. D'autre part, excepté de courtes phases (opération du 19 janvier 2001), l'exigibilité pendant la période ultérieure était remplie au regard de ce qui précède (supra, consid. 3.4 et 3.5).
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner