Faits:
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A. E._, née en 1946, a travaillé en qualité de démarcheuse pour le compte de la société X._ SA. A ce titre, elle était assurée contre les accidents par la Nationale Suisse Assurances (la Nationale).
Le 8 octobre 1997, alors que l'assurée était en train de garer sa voiture, un véhicule l'a percutée par l'arrière. Le même jour, elle s'est rendue au Service des urgences de l'hôpital Y._, où les médecins ont posé notamment le diagnostic de distorsion de la colonne cervicale, sans présence d'une subluxation, ni d'image de fracture ou de signe indirect de fracture sur les différents segments de la colonne vertébrale (rapports du docteur H._ des 8 et 24 octobre 1997). La Nationale a pris le cas en charge. Après avoir repris son travail le 11 octobre 1997, l'assurée a donné son congé pour le 30 avril 1998, invoquant des motifs de santé.
Le 7 novembre 1997, le docteur D._, neurochirurgien, a prescrit des séances de physiothérapie en raison de cervicalgies et de lombalgies, après traumatisme de la colonne cervicale avec whiplash-injury et contusion lombaire. Dans une attestation du 10 mars 1998, il a fait état de fatigabilité depuis l'accident. Le docteur D._ a précisé, le 4 mai 1998, que l'examen avait révélé un syndrome vertébral cervical, sans signes radiculaires ou des voies nerveuses longues. De son côté, la doctoresse T._, spécialiste en maladies rhumatismales, a relevé, dans un rapport du 24 juillet 1998, que le traitement médicamenteux avait amélioré l'état de santé et qu'un traitement de médecine manuelle serait nécessaire. A son avis, l'assurée avait certainement fait une réaction avec dépression agitée. Le 7 décembre 1998, la doctoresse T._ a ajouté que la situation s'était améliorée grâce à la physiothérapie et au repos; l'évolution était toutefois en dents de scie. Elle a attesté une incapacité de travail du 26 juin au 12 août 1998. Quant au docteur N._, spécialiste en neurologie, il a diagnostiqué, dans un rapport du 2 février 1999, des cervicalgies post-traumatiques. Selon ce médecin, la patiente a été victime d'un coup du lapin, le 8 octobre 1997, qui a entraîné des cervicalgies persistantes compliquées par un état dépressif. L'examen a révélé un syndrome vertébral cervical modéré sans signes d'atteinte radiculaire ou médullaire. De plus, le docteur N._ a indiqué que des facteurs non liés à l'accident entretenaient la douleur chronique.
Mandaté par la Nationale pour effectuer une expertise, le docteur J._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie, a déposé son rapport le 20 décembre 1999. En ce qui concerne les plaintes de l'assurée, l'expert a mis en évidence une douleur cervicale à la base du crâne, plutôt droite, survenant lors de certains mouvements de rotation vers la droite, dans un angle bien précis, ou après une position prolongée de la nuque en flexion antérieure. Cette cervicalgie irradiait vers le moignon de l'épaule droite et vers la pointe de l'omoplate du même côté. Le docteur J._ a également noté que l'assurée se plaignait de céphalées survenant sans événement déclenchant particulier, le plus souvent occipito-temporales bilatérales qui remontaient vers le sommet du crâne depuis la base des mastoïdes. Ces céphalées survenaient surtout la nuit et présentaient souvent un caractère pulsatile. L'expert a précisé que la patiente ne voulait pas prendre de médicament contre ces douleurs, craignant de ne pas être apte à la conduite d'un véhicule. Enfin, l'expert a relevé que cette symptomatologie douloureuse s'inscrivait dans un contexte de fatigue chronique, doublée de la présence de plusieurs symptômes subjectifs tels qu'insomnie, céphalées de tension, manque d'entrain, perte d'envie d'entreprendre et difficultés de concentration.
Selon le docteur J._, l'examen neurologique et l'IRM n'ont mis en évidence aucune séquelle anatomique consécutive à l'accident et il n'existe pas d'explication objective à la présence des douleurs cervicales. En conséquence, ce médecin a posé le diagnostic de cervicalgies chroniques comme syndrome douloureux somatoforme persistant, en précisant que ses constatations objectives expliquaient les plaintes de l'assurée. L'expert a également attesté la présence d'un état anxio-dépressif postérieur à l'accident. Il a toutefois ajouté que si l'accident avait pu jouer un rôle momentané dans l'état dépressif, il n'existait plus aucune relation de causalité naturelle entre cet état dépressif et l'événement accidentel. L'accident ne saurait expliquer à lui seul la persistance de la pathologie douloureuse rachidienne. Quant à l'incapacité de travail, le docteur J._ l'a fixée à 25 % jusqu'au jour de son expertise.
Par décision du 15 mai 2000, la Nationale a mis fin à la prise en charge du traitement médical au 31 décembre 1999 et au versement des indemnités journalières au 20 septembre 1999. Elle a par ailleurs nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité et à une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Par décision sur opposition du 4 décembre 2000, la Nationale a confirmé sa position.
Par décision du 15 mai 2000, la Nationale a mis fin à la prise en charge du traitement médical au 31 décembre 1999 et au versement des indemnités journalières au 20 septembre 1999. Elle a par ailleurs nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité et à une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Par décision sur opposition du 4 décembre 2000, la Nationale a confirmé sa position.
B. E._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant principalement à prise en charge des frais médicaux, ainsi qu'au paiement d'indemnités journalières sur la base d'un taux d'incapacité de travail minimum de 50 % dès le 30 avril 1998, le cas échéant supérieur; subsidiairement, elle a conclu au versement d'une rente d'invalidité de 50 % au moins, plus subsidiairement à l'allocation d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Elle a requis la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire.
Par jugement du 10 octobre 2002, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
Par jugement du 10 octobre 2002, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. E._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont elle demande l'annulation, avec suite de dépens, en concluant principalement à ce que l'intimée soit condamnée à prendre en charge ses frais médicaux, à lui allouer des indemnités journalières ou une rente, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à l'intimée pour complément d'instruction.
L'intimée conclut au rejet du recours, avec suite de dépens. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
L'intimée conclut au rejet du recours, avec suite de dépens. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
D. A la demande de la recourante, le Tribunal a fait éditer son dossier AI. Il en ressort notamment que la recourante a fait l'objet d'une expertise psychiatrique par le docteur G._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 5 avril 2002, le docteur G._ a fait état de dysthymie, d'un trouble somatoforme douloureux associé à des facteurs psychologiques (axe I), d'une trouble de la personnalité non spécifié, de traits de personnalité psychosomatique (axe II), de cervicalgies et céphalées occipitales chroniques après whiplash le 8 octobre 1997, d'un status post-opératoire d'une diverticulite, d'une HTA modérée traitée (axe III), d'un conflit avec les assurances (axe IV), ainsi que d'une évaluation globale du fonctionnement à 70 actuellement (axe V). Selon l'expert, en l'absence de pathologie organique expliquant les douleurs, on peut considérer que les symptômes présentés par la recourante, tout à fait authentique dans ses plaintes, savoir une labilité de l'humeur, des troubles du sommeil, la fatigabilité et des problèmes de concentration, entraînent une incapacité de travail de l'ordre de 40 % sur le plan psychiatrique.
Par décision du 10 juin 2003, l'Office AI pour le canton de Vaud a mis l'assurée au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1er avril 2001, fondée sur un degré d'invalidité de 61 % (cf. prononcé du 24 février 2003).
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit de la recourante à des indemnités journalières de l'intimée (art. 16 ss LAA), respectivement à une rente d'invalidité (art. 18 ss LAA) postérieurement au 20 septembre 1999, à la prise en charge de ses frais médicaux (art. 10 LAA) au-delà du 31 décembre 1999, ainsi qu'au paiement d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité (art. 24 ss LAA), ensuite de l'accident survenu le 8 octobre 1997.
1. Le litige porte sur le droit de la recourante à des indemnités journalières de l'intimée (art. 16 ss LAA), respectivement à une rente d'invalidité (art. 18 ss LAA) postérieurement au 20 septembre 1999, à la prise en charge de ses frais médicaux (art. 10 LAA) au-delà du 31 décembre 1999, ainsi qu'au paiement d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité (art. 24 ss LAA), ensuite de l'accident survenu le 8 octobre 1997.
2. La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA), du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, n'est pas applicable en l'espèce, le juge des assurances sociales n'ayant pas à tenir compte des modifications du droit ou de l'état de fait survenues après que la décision litigieuse (in casu du 4 décembre 2000) a été rendue (cf. ATF 129 V 4 consid. 1.2 et les références).
2. La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA), du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, n'est pas applicable en l'espèce, le juge des assurances sociales n'ayant pas à tenir compte des modifications du droit ou de l'état de fait survenues après que la décision litigieuse (in casu du 4 décembre 2000) a été rendue (cf. ATF 129 V 4 consid. 1.2 et les références).
3. 3.1 Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire, en revanche, que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé; il faut et il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé physique ou psychique de l'assuré, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de celle-ci. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte à la santé sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait, que l'administration ou, le cas échéant, le juge examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale. Ainsi, lorsque l'existence d'un rapport de cause à effet entre l'accident et le dommage paraît possible, mais qu'elle ne peut pas être qualifiée de probable dans le cas particulier, le droit à des prestations fondées sur l'accident assuré doit être nié (ATF 129 V 181 consid. 3.1, 406 consid. 4.3.1, 119 V 337 consid. 1, 118 V 289 consid. 1b et les références).
En matière de lésions du rachis cervical par accident de type « coup du lapin » (Schleudertrauma, whiplash-injury) sans preuve d'un déficit fonctionnel organique, l'existence d'un rapport de causalité naturelle doit, dans la règle, être reconnue lorsqu'un tel traumatisme est diagnostiqué et que l'assuré en présente le tableau clinique typique (cumul de plaintes tels que maux de tête diffus, vertiges, troubles de la concentration et de la mémoire, nausées, fatigabilité accrue, troubles de la vision, irritabilité, labilité émotionnelle, dépression, modification du caractère, etc.). Il faut cependant que, médicalement, les plaintes puissent de manière crédible être attribuées à une atteinte à la santé; celle-ci doit apparaître, avec un degré prépondérant de vraisemblance, comme la conséquence de l'accident (ATF 119 V 338 consid. 2, 117 V 360 consid. 4b).
3.2 La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 181 consid. 3.2, 405 consid. 2.2, 125 V 461 consid. 5a et les références).
Lors de troubles d'ordre psychique consécutifs à un accident, l'appréciation de la causalité adéquate se fonde sur des critères différents selon que l'assuré a été victime ou non d'un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale, d'un traumatisme analogue (SVR 1995 UV no 23 p. 67 consid. 2) ou d'un traumatisme cranio-cérébral. En effet, lorsque l'existence d'un tel traumatisme est établie, il faut, si l'accident est de gravité moyenne, examiner le caractère adéquat du lien de causalité en se fondant sur les critères énumérés aux ATF 117 V 366 sv. consid. 6a et 382 sv. consid. 4b, sans qu'il soit décisif de savoir si les troubles dont est atteint l'assuré sont plutôt de nature somatique ou psychique (ATF 117 V 367 consid. 6a, dernier paragraphe; RAMA 1999 no U 341 p. 408 sv. consid. 3b). En revanche, dans les autres cas, l'examen du caractère adéquat du lien de causalité doit se faire, pour un accident de gravité moyenne, sur la base des critères énumérés aux ATF 115 V 140 consid. 6c/aa et 409 consid. 5c/aa (RAMA 2002 n° U 470 p. 531 consid. 4a).
Si les lésions appartenant spécifiquement au tableau clinique des suites d'un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale, d'un traumatisme analogue ou d'un traumatisme cranio-cérébral, bien qu'en partie établies, sont reléguées au second plan par rapport aux problèmes d'ordre psychique, ce sont les critères énumérés aux ATF 115 V 140 consid. 6c/aa et 409 consid. 5c/aa, et non pas ceux énumérés aux ATF 117 V 366 sv. consid. 6a et 382 sv. consid. 4b, qui doivent fonder l'appréciation de la causalité adéquate (ATF 123 V 99 consid. 2a; RAMA 2002 n° U 470 p. 532 consid. 4a, 1995 p. 115 ch. 6).
Si les lésions appartenant spécifiquement au tableau clinique des suites d'un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale, d'un traumatisme analogue ou d'un traumatisme cranio-cérébral, bien qu'en partie établies, sont reléguées au second plan par rapport aux problèmes d'ordre psychique, ce sont les critères énumérés aux ATF 115 V 140 consid. 6c/aa et 409 consid. 5c/aa, et non pas ceux énumérés aux ATF 117 V 366 sv. consid. 6a et 382 sv. consid. 4b, qui doivent fonder l'appréciation de la causalité adéquate (ATF 123 V 99 consid. 2a; RAMA 2002 n° U 470 p. 532 consid. 4a, 1995 p. 115 ch. 6).
4. A la lecture du rapport d'expertise du docteur J._ du 20 décembre 1999, il apparaît clairement que la recourante ne présentait plus de séquelles anatomiques consécutives à l'accident de la circulation, au moment où cet expert l'avait examinée, le 20 septembre 1999. Son appréciation est confortée par le rapport de sa consoeur P._, spécialiste en médecine interne et en rhumatologie, du 28 avril 2000.
En revanche, il est établi que la recourante présente des affections psychiques. Selon le docteur J._, celles-ci prennent la forme de cervicalgies chroniques comme syndrome douloureux somatoforme persistant, ainsi qu'un état anxio-dépressif postérieur à l'accident (rapport du 20 décembre 1999), alors que le psychiatre G._ a fait état, notamment, de dysthymie, d'un trouble somatoforme douloureux associé à des facteurs psychologiques, d'une trouble de la personnalité non spécifié, de traits de personnalité psychosomatique, ainsi que de cervicalgies et de céphalées occipitales chroniques après whiplash (rapport du 5 avril 2002). Tandis que le docteur J._ a indiqué que la symptomatologie douloureuse et l'état dépressif réactionnel ont incontestablement été provoqués par l'accident, son confrère G._ n'a pas été aussi catégorique sur ce point. Ce dernier a par ailleurs estimé que dans la mesure où l'on ne retenait pas d'atteinte organique, on serait alors en présence d'une comorbidité constituée d'un trouble somatoforme douloureux associé à une atteinte thymique pour le moment légère.
Par ailleurs, l'expert J._ a relevé que la symptomatologie douloureuse s'inscrit dans un contexte de fatigue chronique, doublée de la présence de plusieurs symptômes subjectifs tels qu'insomnie, céphalées de tension, manque d'entrain, perte d'envie d'entreprendre et difficultés de concentration. Pour la plupart d'entre eux, ces symptômes correspondent au tableau clinique d'un « coup du lapin » (cf. consid. 3.1 ci-dessus).
Par ailleurs, l'expert J._ a relevé que la symptomatologie douloureuse s'inscrit dans un contexte de fatigue chronique, doublée de la présence de plusieurs symptômes subjectifs tels qu'insomnie, céphalées de tension, manque d'entrain, perte d'envie d'entreprendre et difficultés de concentration. Pour la plupart d'entre eux, ces symptômes correspondent au tableau clinique d'un « coup du lapin » (cf. consid. 3.1 ci-dessus).
5. Il s'agit dès lors d'examiner si les affections psychiques que présente la recourante se trouvent dans un rapport de causalité avec l'accident de la circulation du 8 octobre 1997.
5.1 En l'occurrence, le psychiatre G._ a admis l'existence d'une atteinte thymique remontant à une dizaine d'années environ, tout en attestant l'absence de symptômes de type stress post-traumatique consécutifs à l'accident de 1997 (cf. rapport d'expertise du 5 avril 2002). Commentant le vécu de la recourante, il a diagnostiqué un trouble de la personnalité non spécifié chez une assurée extrêmement défensive, une fixation sur la douleur, de type trouble somatoforme douloureux, tout à fait compatible avec ses traits de personnalité. En outre, il a fait état de probables épisodes dépressifs antérieurs à l'accident, pour lesquels la recourante refusait déjà une prise en charge psychologique.
On relèvera aussi que la recourante a bénéficié de soins de physiothérapie un mois après l'accident, en raison des cervicalgies et des lombalgies que cet événement a entraînées (cf. prescription du D._ du 7 novembre 1997), sans qu'on sache exactement à partir de quel moment les douleurs avaient débuté. Par ailleurs, les éléments composant le tableau clinique d'un « coup du lapin » (in casu : fatigue chronique, insomnie, céphalées de tension, manque d'entrain, perte d'envie d'entreprendre et difficultés de concentration) n'ont été documentés médicalement que longtemps après l'accident du 8 octobre 1997, soit à la fin de l'année 1999 par le docteur J._ (cf. rapport du 20 décembre 1999). En outre, la recourante avait repris le travail trois jours après l'accident et avait conservé son emploi jusqu'au 30 avril 1998, soit durant près de sept mois.
Vu ce qui précède, en admettant que les lésions appartenant spécifiquement au tableau clinique des suites d'un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale sont en partie établies, elles se trouvent reléguées au second plan par rapport aux problèmes d'ordre psychique. Dès lors, ce sont les critères énumérés aux ATF 115 V 140 consid. 6c/aa et 409 consid. 5c/aa, et non pas ceux énumérés aux ATF 117 V 366 sv. consid. 6a et 382 sv. consid. 4b, qui doivent fonder l'appréciation de la causalité adéquate (ATF 123 V 99 consid. 2a; RAMA 2002 n° U 470 p. 532 consid. 4a, 1995 p. 115 ch. 6).
5.2 Un bref examen des critères en question (cf. ATF 115 V 409 consid. 5c/aa) permet de constater d'emblée qu'ils ne sont pas réalisés, à l'exception de celui des douleurs persistantes. Par conséquence, le lien de causalité adéquate doit être nié entre l'accident du 8 octobre 1997 et les affections psychiques de la recourante.
Il s'ensuit que l'intimée a mis fin à juste titre à la prise en charge du traitement médical et au versement des indemnités journalières, tout comme elle a refusé à bon droit d'allouer une rente d'invalidité et une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Le recours est infondé.
Il s'ensuit que l'intimée a mis fin à juste titre à la prise en charge du traitement médical et au versement des indemnités journalières, tout comme elle a refusé à bon droit d'allouer une rente d'invalidité et une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Le recours est infondé.
6. L'intimée, qui obtient gain de cause, a conclu à l'allocation d'une indemnité de dépens. Elle ne saurait toutefois y prétendre, attendu qu'elle a agi en qualité d'organisme chargé de tâches de droit public (art. 159 al. 2 OJ in fine; ATF 128 V 133 consid. 5b, 126 V 150 consid. 4a, 118 V 169 consid. 7 et les références).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 20 janvier 2005
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IVe Chambre: Le Greffier: