Faits:
A. X._, né le 8 juillet 1952, originaire de Genève, et dame X._, née Dard le 28 mai 1954, originaire de Ste-Croix (VD), se sont mariés le 18 décembre 1986 à Genève, en adoptant le régime de la séparation de biens. Deux enfants sont issus de cette union: A._, né le 9 juin 1987 et B._, né le 18 décembre 1992.
Les époux se sont séparés en février 2007. Le mari s'est installé dans le canton de Vaud, en emmenant les deux voitures à disposition du couple, soit un véhicule de marque Mini qu'il a revendu ultérieurement et un autre de marque Volvo. Les deux fils sont restés vivre auprès de leur mère.
B. Par jugement du 11 septembre 2007, le Tribunal de première instance du canton de Genève, statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale, a, entre autres points, attribué à l'épouse la garde de l'enfant B._, né le 18 décembre 1992, condamné le mari à verser, allocations familiales non comprises, la somme de 6'000 fr. par mois à titre de contribution à l'entretien de la famille, avec effet au 1er mars 2007, et attribué à l'épouse la jouissance exclusive du véhicule de marque Volvo.
La Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 18 janvier 2008, partiellement admis l'appel déposé par le mari et diminué à 4'600 fr. le montant de la contribution mensuelle due pour l'entretien de la famille.
C. Le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Il conclut à son annulation partielle et à ce qu'il lui soit donné acte de son engagement de contribuer à l'entretien de son fils cadet à hauteur de 750 fr. par mois, à l'exclusion de toute contribution d'entretien en faveur de l'épouse; il demande en outre l'attribution de la jouissance du véhicule de marque Volvo. Subsidiairement, il conclut au renvoi de l'affaire à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
L'intimée n'a pas été invitée à se déterminer quant au fond.
D. Par ordonnance du 13 mars 2008, rectifiée d'office le 1er avril 2008, le président de la cour de céans a accordé l'effet suspensif pour les contributions dues jusqu'en janvier 2008 (inclusivement), et l'a refusé pour le surplus.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 133 III 462 consid. 2 p. 465).
1.1 La décision de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 ss CC) est une décision en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF. Elle est finale selon l'art. 90 LTF, car elle tranche définitivement, dans une procédure séparée, des questions qui ne pourront plus être revues avec l'éventuelle décision sur le divorce et ses effets accessoires (ATF 133 III 393 consid. 4 p. 395/396 et les références citées). Le recours a pour objet une décision rendue dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, 74 al. 1 let. b LTF). Il a par ailleurs été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes (art. 42 LTF) prévus par la loi, contre une décision prise en dernière instance cantonale par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 LTF). Il y a donc lieu, en principe, d'entrer en matière.
1.2 S'agissant de mesures provisionnelles (ATF 133 III 393 consid. 5 p. 396 et les références citées), la décision ne peut être attaquée que pour violation des droits constitutionnels (art. 98 LTF).
Le Tribunal fédéral ne sanctionne la violation des droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 1 LTF); les exigences de motivation de l'acte de recours correspondent à celle de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (ATF 133 III 393 consid. 6 p. 397, 638 consid. 2 p. 639). Le justiciable qui se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.) ne peut, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité supérieure jouit d'une libre cognition; il ne saurait, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais il doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables; les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (cf. ATF 107 Ia 186; 130 I 258 consid. 1.3 p. 261/262 et la jurisprudence citée).
2. Pour fixer le principe et le montant de la contribution à l'entretien de la famille, la Cour de justice a retenu que l'époux, employé de commerce de formation, avait perçu jusqu'en 2001 un salaire mensuel de 8'888 fr. versé treize fois l'an. En 2002, il avait repris un magasin de tabac, journaux et papeterie, qu'il avait remis en décembre 2006. Depuis lors, il n'exerçait plus d'activité lucrative et ne bénéficiait pas d'indemnités de chômage. Compte tenu de son âge et de son expérience professionnelle, l'autorité cantonale lui a imputé un revenu hypothétique de 4'000 fr. nets par mois, en considérant, d'une part, qu'il n'avait pas démontré avoir effectué des recherches sérieuses d'emploi et, d'autre part, que les certificats médicaux produits n'étaient pas suffisants pour établir qu'il serait incapable de travailler de manière permanente. Sa fortune lui procurait un revenu mensuel supplémentaire de 7'234 fr.35, de sorte que ses ressources totales (revenu hypothétique inclus) s'élevaient à 11'234 fr.35. Ses charges incompressibles étaient de 2'950 fr. par mois. En ce qui concerne l'épouse, la cour cantonale a relevé que depuis octobre 2005, elle travaillait en qualité de secrétaire, d'abord à 50%, puis à 70% dès le mois de juin 2006, réalisant un salaire mensuel net de 3'336 fr.30, pour des charges de 4'331 fr.17.
Sur la base de ces chiffres, la Cour de justice a appliqué la méthode du minimum vital, avec répartition de l'excédent par moitié entre les parties, qui l'a conduite à fixer la contribution à l'entretien de la famille à hauteur de 4'600 fr. par mois. Elle a souligné que ce montant permettrait à l'intimée et à l'enfant mineur de conserver leur train de vie antérieur, étant relevé que, durant la vie commune, le mari s'acquittait, à tout le moins, d'une somme mensuelle de 6'000 fr. pour les charges de la famille.
L'autorité cantonale a exposé qu'il n'y avait pas lieu d'appliquer l'art. 125 CC aux mesures protectrices de l'union conjugale, comme le requérait le recourant, le lien conjugal n'étant pas définitivement rompu dès lors que la séparation remontait au mois de mars 2007 et que l'épouse n'avait pas exclu de reprendre la vie commune tout en contestant avoir un amant. Au demeurant, même en cas d'application des critères de l'art. 125 CC, il fallait constater que l'épouse avait acquis autant qu'on pouvait l'attendre d'elle, compte tenu notamment de ses obligations de mère à l'égard de son fils cadet, une autonomie financière suffisante; elle avait au demeurant produit avec sa réponse une attestation de son employeur du 6 novembre 2007 selon laquelle il n'était pas en mesure d'augmenter son temps de travail, lui-même travaillant à temps partiel. En outre, selon la jurisprudence, l'art. 125 CC impliquait également le principe de la solidarité entre époux. Enfin, tant que l'union conjugale n'était pas dissoute, même s'agissant d'un couple totalement désuni, l'art. 163 al. 1 CC constituait la cause de l'obligation d'entretien, chacun des époux devant participer aux frais supplémentaires engendrés par la création de deux ménages séparés, étant précisé qu'ils conservaient, même après leur séparation, un droit égal à préserver leur train de vie antérieur.
3. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé son droit à la preuve déduit de l'art. 29 Cst. en n'ordonnant pas l'audition de l'intimée et de la personne désignée comme son amant, ce qui lui aurait permis de démontrer l'existence d'une relation adultère et la rupture irrémédiable de l'union conjugale.
3.1 Grief de nature formelle qu'il convient d'examiner en premier lieu, le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. implique, en particulier, le droit de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur la décision à prendre (ATF 129 II 497 consid. 2.2 p. 504 s.; 127 I 54 consid. 2b p. 56; 122 II 464 consid. 4a p. 469 et la jurisprudence citée). Le droit de fournir des preuves a pour corollaire l'obligation pour l'autorité cantonale de donner suite aux offres de preuve présentées en temps utile et dans les formes requises, à moins qu'elles soient inaptes à établir le fait à prouver ou que ce fait soit sans pertinence (ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 124 I 241 consid. 2 p. 242; 115 Ia 8 consid. 2b p. 11).
3.2 Quand bien même le recourant aurait-il offert en preuve, en temps utile et dans les formes requises par le droit cantonal, l'audition du prétendu amant de sa femme, cette preuve ne porte pas sur un fait décisif, ni dans l'application de l'art. 176 CC, ni dans celle de l'art. 125 CC. Au demeurant, la cour cantonale n'a pas manqué d'examiner les critères prévus par l'art. 125 CC, autant que cette disposition se serait révélée en l'occurrence applicable. Dans ces conditions, le grief apparaît dénué de tout fondement.
4. 4.1 Le recourant fait aussi grief à la cour cantonale d'avoir arbitrairement retenu que le lien conjugal n'était pas définitivement rompu, partant, de ne pas avoir fait application des critères de l'art. 125 CC pour déterminer si l'intimée avait droit à une pension alimentaire et, le cas échéant, de quel montant. La solution à laquelle la Cour de justice était arrivée en fixant une contribution d'entretien selon la méthode du minimum vital était ainsi insoutenable.
4.2 Ce faisant, le recourant méconnaît que les mesures protectrices de l'union conjugale sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire avec administration restreinte des moyens de preuve et limitation du degré de la preuve à la simple vraisemblance; il suffit donc que les faits soient rendus plausibles (ATF 127 III 474 consid. 2b/bb p. 478 et les références). En application de ces principes, la cour cantonale a tenu pour vraisemblables les déclarations de l'intimée, qui contestait avoir un amant et n'excluait pas la reprise de la vie commune, pour en déduire que le lien conjugal n'était pas irrémédiablement rompu. Or, le recourant n'établit pas en quoi cette constatation serait arbitraire. Dans cette mesure, son grief est infondé.
Au demeurant, contrairement à ce que prétend le recourant, l'autorité cantonale a néanmoins examiné la question de l'allocation d'une contribution d'entretien au regard de l'art. 125 CC (disposition qui s'applique, le cas échéant, seulement par analogie). Sur le vu du principe d'indépendance entre les conjoints, elle a estimé qu'il ne pouvait être exigé de l'intimée, qui travaillait déjà à 70%, une augmentation supplémentaire de son taux d'activité. Elle a considéré, à la lumière du principe de solidarité, que les époux conservaient un droit égal à préserver leur train de vie antérieur et que la cause de l'obligation d'entretien demeurait l'art. 163 al. 1 CC, même si le couple était totalement désuni. La cour cantonale a ainsi fait un usage correct de la jurisprudence selon laquelle il n'est pas arbitraire d'appliquer également en cette situation la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent par moitié, pour autant que cette méthode n'ait pas pour effet de faire bénéficier l'intéressée d'un niveau de vie supérieur à celui mené par le couple durant la vie commune (arrêts 5P.253/2006 du 8 janvier 2007, consid. 3.2; 5P.52/2005 du 10 mai 2005, consid. 3.2). Or, le recourant ne critique pas le raisonnement de l'autorité cantonale, se bornant à affirmer, sans aucune motivation, que la fixation d'une contribution calculée selon la méthode du minimum vital est arbitraire. Il convient par ailleurs de rappeler qu'une éventuelle faute (adultère) de l'épouse n'entre en considération ni pour l'application de l'art. 176 CC, ni pour celle de l'art. 125 CC. Partant, le grief doit être écarté.
5. Dans un autre moyen, le recourant qualifie d'arbitraire le fait de lui avoir imputé une capacité de gain de 4'000 fr. par mois alors qu'il n'exerce pas d'activité lucrative, qu'il est âgé de 54 ans et qu'il est totalement incapable de travailler, comme cela résulte des pièces qu'il a produites devant les autorités judiciaires cantonales.
5.1 Selon la jurisprudence, le débiteur d'aliments peut se voir imputer un revenu hypothétique supérieur à celui qu'il obtient effectivement, pour autant qu'une telle augmentation soit possible et qu'elle puisse raisonnablement être exigée de lui; peu importe, en principe, le motif pour lequel il a renoncé au revenu supérieur pris en compte (ATF 128 III 4 consid. 4 p. 5 et les arrêts cités). La prise en considération d'un revenu hypothétique ne revêt pas un caractère pénal; il s'agit simplement d'inciter le débiteur à réaliser le revenu qu'il est à même de se procurer en faisant preuve de bonne volonté et dont on peut attendre de lui qu'il l'obtienne afin de remplir ses obligations. Les critères permettant de déterminer le montant du revenu hypothétique sont l'âge, l'état de santé et la situation du marché du travail (ATF 128 III 4 consid. 4a p. 5/6 et la jurisprudence citée; 129 III 577 consid. 2.1.1, non publié; arrêt 5A_170/2007 du 27 juin 2007, consid. 3.1). Savoir si l'on peut raisonnablement exiger du débiteur une augmentation de son revenu est une question de droit; en revanche, déterminer quel revenu une personne a la possibilité effective de réaliser est une question de fait (ATF 128 III 4 consid. 4c/bb p. 7; 126 III 10 consid. 2b p. 12/13; 129 III 577 consid. 2.1.2, non publié; arrêt 5A_170/2007 précité).
5.2 En l'espèce, pour déterminer la capacité de gain du recourant, la cour cantonale s'est fondée sur les critères pertinents, à savoir, sa formation d'employé de commerce, son âge et son expérience. Or, le recourant, qui conteste le bien-fondé de ces éléments, ne démontre pas en quoi leur appréciation par les juges précédents serait insoutenable, se bornant à affirmer qu'il était illusoire d'estimer qu'il avait une capacité de gain. Au sujet de son état de santé, la juridiction cantonale a relevé l'insuffisance des certificats médicaux produits pour établir une incapacité de gain pour cause de maladie. La critique du recourant à ce propos, qui se limite à se référer aux pièces soumises à la cour, est purement appellatoire en tant qu'il substitue son appréciation de ces documents à celle de l'autorité cantonale; partant, elle est irrecevable. Enfin, le recourant ne discute pas la constatation selon laquelle il n'a pas effectué de recherches sérieuses d'emploi et n'émet pas de critique motivée sur le revenu de 4'000 fr. qui lui est imputé à titre de capacité de gain, lequel représente moins de la moitié du revenu qu'il réalisait alors qu'il était employé. Par conséquent, le recourant n'établit pas en quoi la solution retenue serait arbitraire. Autant qu'elle est recevable, sa critique est ainsi infondée.
6. Enfin, le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir arbitrairement considéré que la voiture de marque Volvo devait être attribuée à l'intimée plutôt qu'à lui-même. Il fait valoir qu'il habite loin d'une gare et qu'il a besoin d'un véhicule automobile pour se déplacer.
Procédant à une pesée des intérêts respectifs des parties, l'autorité cantonale a considéré que l'intimée, dès lors qu'elle travaillait et avait un enfant mineur à sa charge, avait davantage besoin d'un véhicule pour ses déplacements que le recourant, qui avait choisi de vendre une des deux voitures du couple sans nécessité et pouvait facilement s'en procurer une autre alors que l'intimée n'en avait pas les moyens.
Le recourant ne conteste pas que l'épouse ait besoin d'un véhicule pour des raisons professionnelles, ni qu'il ait les moyens, contrairement à celle-ci, de s'en procurer un autre. Dans ces conditions, l'autorité cantonale ne saurait se voir reprocher d'avoir arbitrairement violé le droit fédéral sur ce point.
7. En conclusion, le recours apparaît mal fondé et ne peut qu'être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à répondre quant au fond et qui, s'agissant de l'effet suspensif, a principalement conclu à son rejet, se contentant de proposer, à titre subsidiaire, son admission pour les contributions dues jusqu'en janvier 2008.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 10 avril 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Mairot