Sachverhalt:
A.
In dem seit Juni 2012 gegen ihn laufenden Strafverfahren und in einem weiteren Strafverfahren, das er selber angestrengt hatte, verlangte X._ mit Eingabe vom 11. März 2013 den Ausstand der fallführenden Staatsanwältin Susanne Fischer.
B.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich überwies das Ausstandsbegehren zur weiteren Behandlung an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses trat mit Beschluss vom 13. Juni 2013 auf das Begehren nicht ein, da dieses zu spät eingereicht worden sei. Abgesehen davon bestehe ohnehin kein Ausstandsgrund.
C.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat anzuweisen, Staatsanwältin Susanne Fischer in der laufenden Untersuchung gegen ihn durch eine/n unbefangene/n Untersuchungsrichter/in zu ersetzen. Zudem wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Susanne Fischer schliesst auf Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs betreffend aufschiebende Wirkung.
Mit Eingabe vom 2. September 2013 beantragt X._, ihm sei für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
D.
Mit Verfügung vom 11. September 2013 weist das Bundesgericht das Gesuch betreffend aufschiebende Wirkung ab.
Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Obergericht hat als letzte kantonale Instanz entschieden (Art. 80 BGG i.V.m. Art. 59 Abs. 1 lit. b StPO). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt. Auf die Beschwerde in Strafsachen ist einzutreten. Mit ihr kann auch die Verletzung von Verfassungsrecht gerügt werden (vgl. Art. 95 BGG). Damit besteht kein Raum für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG e contrario).
2.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 138 I 274 E. 1.6 S. 280 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
Dem Beschwerdeführer geht es gemäss dem klaren Wortlaut seines Antrages und dessen Begründung nur um das Ausstandsbegehren im gegen ihn laufenden Strafverfahren und nicht auch um dasjenige im Verfahren, das er selber angestrengt hat.
4.
Die Vorinstanz ist mit der Begründung auf das Ausstandsgesuch nicht eingetreten, dieses sei zu spät eingereicht worden.
4.1. Das kantonale Gericht stützt sich hiebei auf Art. 58 Abs. 1 StPO. Gemäss dieser Bestimmung hat eine Partei ein Ausstandsgesuch ohne Verzug zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat; die den Ausstand begründenden Tatsachen sind glaubhaft zu machen.
Gleiche zeitliche Anforderungen stellt etwa Art. 36 Abs. 1 BGG. Ein unverzügliches Handeln wird auch in der Rechtsprechung zu Art. 30 bzw. Art. 29 BV gefordert (Urteil 1B_689/2012 vom 20. Dezember 2012 E. 3 mit Hinweisen). Wer einen Ausstandsgrund nicht unverzüglich nach dessen Kenntnisnahme geltend macht, verwirkt den Anspruch auf seine spätere Anrufung (BGE 136 I 207 E. 3.4 S. 211 mit Hinweisen; Urteil 1B_13/2013 vom 17. April 2013 E. 4). Nach der Rechtsprechung gilt ein Ausstandsgesuch, das sechs bis sieben Tage nach Kenntnis des Ausstandsgrunds eingereicht wird, als rechtzeitig. Ein Zuwarten während zwei oder drei Wochen hingegen ist nicht zulässig (Urteil 1B_499/2012 vom 7. November 2012 E. 2.3 mit Hinweisen; vgl. auch MARKUS BOOG, Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2011, N. 5 zu Art. 58 StPO mit weiteren Hinweisen).
4.2. Das kantonale Gericht hat hiezu im Wesentlichen erwogen, die Umstände, in denen der Beschwerdeführer einen Ausstandsgrund sehe, hätten sich im Juni und Juli 2012 ereignet und seien ihm auch zu diesen Zeitpunkten zur Kenntnis gelangt. Ein darauf gestütztes Ausstandsgesuch hätte er daher längst stellen müssen. Das Ausstandsgesuch vom März 2013 sei weit verspätet.
4.3. In der Beschwerde wird eingewendet, der Hauptgrund des Ausstandsbegehrens habe nicht im prozessrechtlichen Fehlverhalten der Beschwerdegegnerin während der Untersuchungshaft des Beschwerdeführers vom 13. Juni bis 5. Juli 2012, sondern vielmehr in ihren schädlichen Handlungen seit dem 5. Juli 2012 gelegen. Konkret wird geltend gemacht, die Beschwerdegegnerin habe am 2. Juli 2012 entgegen ihrer vorhergehenden Ankündigung und Antragsstellung einen anderen Rechtsanwalt als den jetzigen Rechtsvertreter des Beschwerdeführers als dessen amtlichen Verteidiger beantragt. Die Oberstaatsanwaltschaft sei diesem Antrag mit Verfügung vom 4. Juli 2012 gefolgt. Davon habe der jetzige Rechtsvertreter erst später Kenntnis erhalten, weil die Beschwerdegegnerin ein erstes Akteneinsichtsgesuch vom 24. Oktober 2012 abgelehnt habe. Mit diesem Verhalten habe die Beschwerdegegnerin die Grundsätze von Treu und Glauben sowie rechtlichem Gehör verletzt.
Der Beschwerdeführer hält nun aber im Weiteren fest, er habe, vertreten durch den jetzigen Rechtsbeistand, gegen die Verfügung vom 4. Juli 2012 Beschwerde ans Obergericht und gegen dessen negativen Entscheid vom 11. Oktober/10. November 2012 eine Doppelbeschwerde beim Bundesgericht eingereicht. Dieses habe darüber am 25. Januar 2013 entschieden, worauf das Obergericht mit Beschluss vom 13. Februar 2013 den jetzigen Rechtsvertreter zum amtlichen Verteidiger bestellt habe. Auf die dagegen vom ursprünglich bestellten amtlichen Verteidiger erhobene Beschwerde sei das Bundesgericht mit Urteil vom 17. Juni 2013 nicht eingetreten.
Spätestens im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung beim Obergericht waren dem Beschwerdeführer demnach die Verfügung vom 4. Juli 2012, die vorangegangene Antragsstellung der Beschwerdegegnerin vom 2. Juli 2012 und deren Vorgehen bezüglich des Akteneinsichtsgesuchs vom 24. Oktober 2012 bekannt. Dennoch wartete er mehrere Monate zu, bis er am 11. März 2013 das Ausstandsgesuch stellte. Dieses muss daher auch hinsichtlich der genannten Sachverhalte eindeutig als verspätet angesehen werden.
Daran vermögen die weiteren Vorbringen in der Beschwerde nichts zu ändern: Dass die Beschwerdegegnerin die entsprechenden Gerichtsverfahren provoziert habe, wie der Beschwerdeführer postuliert, wäre letzterem jedenfalls spätestens bei der Beschwerdeerhebung ans Obergericht bekannt gewesen. Um das Ausstandsbegehren zu stellen, war auch nicht etwa das bundesgerichtliche Urteil vom 25. Januar 2013 abzuwarten. Es ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht nachvollziehbar, inwiefern bis dahin eine Rechtsunsicherheit gegeben gewesen sein soll, welche der Einreichung des Ausstandsgesuchs entgegengestanden wäre. Selbst wenn diese Argumentation aber stichhaltig wäre, hätte sie kein anderes Ergebnis zur Folge. Denn auch zwischen dem 25. Januar 2013 und der Einreichung des Ausstandsgesuchs vom 11. März 2013 sind eineinhalb Monate verstrichen. Das Gesuch wäre daher auch diesfalls als klar verspätet zu betrachten.
4.4. Nach dem Gesagten ist das kantonale Gericht zu Recht auf das Ausstandsgesuch nicht eingetreten. Das führt zur Abweisung der Beschwerde, ohne dass noch auf die Frage eingegangen zu werden braucht, ob ein Ausstandsgrund glaubhaft gemacht wäre.
5.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Strafsachen wird abgewiesen.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Lanz