Sachverhalt:
A. Die 1951 geborene W._ meldete sich im August 1998 aufgrund von Rückenbeschwerden erstmals bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärung in medizinischer und erwerblicher Hinsicht verneinte die IV-Stelle Luzern einen Leistungsanspruch (Verfügung vom 26. April 2001).
Auf eine im September 2002 von W._ getätigte Neuanmeldung trat die IV-Stelle nicht ein (Verfügung vom 17. Dezember 2002).
Als die Versicherte im November 2007 um Leistungen ersuchte, klärte die Verwaltung die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab, führte Arbeitsvermittlungsmassnahmen durch und verneinte einen Rentenanspruch (Verfügung vom 6. November 2008, unangefochten in Rechtskraft erwachsen).
Im Mai 2010 meldete sich W._ erneut bei der IV-Stelle an unter Hinweis auf ein Schreiben ihres Hausarztes Dr. med. B._, Allgemeine Medizin FMH, vom 22. Mai 2010. Nach Abklärung der medizinischen und erwerblichen Verhältnisse und Durchführung des Vorbescheidverfahrens trat die IV-Stelle auf die Neuanmeldung nicht ein (Verfügung vom 24. September 2010).
B. Beschwerdeweise gelangte W._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Sie erklärte, dass sie nicht nur eine Ablehnung ihres Begehrens wünsche, sondern eine aktive Beratung und Hilfe, damit sie eine angepasste Tätigkeit finden könne. Die IV-Stelle äusserte sich in ablehnendem Sinne. Mit Entscheid vom 25. März 2011 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde gut, stellte in Ergänzung der Verfügung vom 24. September 2010 fest, dass die Versicherte Anspruch auf Arbeitsvermittlung hat, und wies die Sache dafür an die Verwaltung zurück (Ziffer 1). Des Weitern verpflichtete es die IV-Stelle, der kantonalen Gerichtskasse die amtlichen Kosten im Umfang von Fr. 400.- zu bezahlen (Ziffer 2).
C. Die IV-Stelle Luzern führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, Ziffer 1 und 2 des kantonalen Entscheides seien aufzuheben und es sei die Verfügung vom 24. September 2010 insofern zu bestätigen, als die Versicherte keinen Rentenanspruch habe. Es sei festzustellen, dass die IV-Stelle nicht zur Prüfung beruflicher Massnahmen gehalten gewesen sei.
W._ und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Stellungnahme. Das kantonale Verwaltungsgericht beantragt unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf überhaupt einzutreten sei.
Erwägungen:
1. Die Vorinstanz hat die Beschwerde der Versicherten gutgeheissen, in Ergänzung der Verfügung vom 24. September 2010 festgestellt, dass die Versicherte Anspruch auf Arbeitsvermittlung hat, und die Sache dafür an die IV-Stelle zurückgewiesen. Der IV-Stelle bleibt unter diesen Umständen nurmehr die Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten (die Durchführung der beruflichen Eingliederungsmassnahme), weswegen der kantonale Entscheid als Endentscheid zu qualifizieren ist (BGE 135 V 141 E. 1.1 S. 143; Urteil 9C_684/2007 vom 27. Dezember 2007 E. 1.1 mit Hinweisen, in: SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131). Auf die Beschwerde ist demnach ohne weiteres einzutreten.
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG).
3. 3.1 Die vorinstanzliche Beschwerde richtete sich gegen die Verfügung vom 24. September 2010, mit welcher die IV-Stelle auf die Neuanmeldung der W._ nicht eintrat. Die IV-Stelle führte darin aus, es lägen keine veränderten Verhältnisse gegenüber der Verfügung vom 6. November 2008 vor. Die Versicherte sei in angepassten Tätigkeiten nach wie vor 50 % arbeitsfähig.
Der Verwaltungsakt vom 24. September 2010 bildete im kantonalen Verfahren, formell, den Anfechtungsgegenstand. Beschwerdeweise machte die Versicherte geltend, sie wünsche nicht nur eine Ablehnung ihres Begehrens, sondern aktive Beratung und Hilfe, um eine angepasste Tätigkeit zu finden.
3.2 Die Vorinstanz erwog, das Begehren der Versicherten ziele nicht auf die Zusprache einer Rente oder die Rückweisung der Sache zur weiteren Abklärung der Rentenfrage ab, sondern einzig auf die Gewährung von Beratung und Hilfe im Hinblick auf das Finden einer angepassten Stelle. Es bestehe auch kein Anlass, die Rentenfrage über das gestellte Begehren hinaus von Amtes wegen aufzugreifen. Wenn die IV-Stelle einwende, berufliche Massnahmen seien nicht Verfahrensgegenstand, sei ihr entgegenzuhalten, dass zum Anfechtungsgegenstand nicht nur gehöre, was in der Verfügung entschieden wurde, sondern auch das, was bei richtiger Rechtsanwendung zu entscheiden gewesen wäre. Dazu zählten hier auch die beruflichen Massnahmen, zumindest der Anspruch auf Arbeitsvermittlung nach Art. 18 IVG im Sinne aktiver Unterstützung bei der Suche eines geeigneten Arbeitsplatzes. Die angefochtene Verfügung sei insofern unvollständig, als darüber nicht befunden worden sei. Die Anspruchsvoraussetzung bildende Eingliederungsfähigkeit sei bei der am Recht stehenden Versicherten erfüllt. Zwar sei nach Lage der Akten nicht ersichtlich, dass andere Massnahmen beruflicher Art in Frage kommen könnten, doch habe die Verwaltung auch darüber zu verfügen, wenn sich wider Erwarten etwas anderes ergeben sollte.
3.3 Die IV-Stelle sieht sich in ihrem Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, weil das kantonale Gericht den Anfechtungsgegenstand auf die Arbeitsvermittlung ausgeweitet und damit inhaltlich verändert habe, ohne ihr Gelegenheit zur Stellungnahme zu geben. Sie macht geltend, der Untersuchungsgrundsatz sei verletzt und der Sachverhalt offensichtlich unrichtig bzw. auf einer Rechtsverletzung beruhend festgestellt worden. Sodann sei der vorinstanzliche Entscheid widersprüchlich, insbesondere das Dispositiv, welches sich zum Anfechtungsgegenstand - der Rentenfrage - gar nicht äussere. Schliesslich hätte der Entscheid nicht durch den Einzelrichter gefällt werden dürfen, weil die Streitwertgrenze von Fr. 20'000.- angesichts eines möglichen vierjährigen Rentenbezugs überschritten gewesen sei.
4. Wiewohl auf Nichteintreten lautend, ist unter Vorinstanz und beschwerdeführender IV-Stelle unbestritten, dass mit der Verfügung vom 24. September 2010 - ihrem tatsächlichen rechtlichen Gehalt nach (BGE 132 V 74 E. 2 S. 76) - der Rentenanspruch abgelehnt wurde. Der Vorinstanz ist ebenfalls beizupflichten, wenn sie mit Blick auf den von der Versicherten gestellten Beschwerdeantrag davon ausging, die Verfügung vom 24. September 2010 sei betreffend die Rentenfrage in Teilrechtskraft erwachsen. Die von der IV-Stelle im Zusammenhang mit der Rentenfrage gemachten Einwände (fehlende Prüfung der Anspruchsberechtigung, fehlende Spruchkompetenz des Einzelrichters etc.) gehen damit ins Leere.
5. 5.1 Zum Anfechtungsgegenstand gehören nicht nur diejenigen Rechtsverhältnisse, über welche die Verwaltung tatsächlich eine Anordnung getroffen hat. Vielmehr bilden auch jene Rechtsverhältnisse Teil des Verfahrensgegenstandes, hinsichtlich deren es die Verwaltung zu Unrecht - in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes sowie des Prinzips der Rechtsanwendung von Amtes wegen - unterlassen hat zu befinden, obwohl dazu nach der Aktenlage oder den Parteivorbringen hinreichender Anlass bestanden hätte (vgl. Urteil 9C_694/2009 vom 31. Dezember 2010 E. 3.1; Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts I 2/06 vom 23. Mai 2006 E. 2.1; I 848/02 vom 18. August 2003 E. 3.2; I 347/00 vom 20. August 2002).
Nach der Rechtsprechung kann das verwaltungsgerichtliche Verfahren aus prozessökonomischen Gründen auf eine ausserhalb des Anfechtungsgegenstandes, d.h. ausserhalb des durch die Verfügung bestimmten Rechtsverhältnisses liegende spruchreife Frage ausgedehnt werden, wenn diese mit dem bisherigen Streitgegenstand derart eng zusammenhängt, dass von einer Tatbestandsgesamtheit gesprochen werden kann, und wenn sich die Verwaltung zu dieser Streitfrage mindestens in Form einer Prozesserklärung geäussert hat (BGE 130 V 501 E. 1.2 S. 503, 122 V 34 E. 2a S. 36 mit Hinweisen; Urteil 9C_599/2009 vom 14. September 2009 E. 2.2.1, in: SVR 2010 IV Nr. 18 S. 56).
5.2 Mit der Vorinstanz ist die Nichteintretensverfügung der Verwaltung vom 24. September 2010 insofern als unvollständig zu bezeichnen, als darin nicht über berufliche Massnahmen, namentlich Arbeitsvermittlung, entschieden worden ist. Zwar hat die Versicherte im Anmeldeformular bei den beantragten Leistungen nur "Rente" angekreuzt, nicht auch "berufliche Massnahmen". Aber spätestens mit dem (nach dem Vorbescheid eingereichten) hausärztlichen Schreiben vom 26. August 2010, in welchem Dr. med. B._ darum bat, mit der Versicherten auch die beruflichen Perspektiven anzuschauen, bestand Klarheit darüber, dass auch berufliche Massnahmen anbegehrt wurden. Davon abgesehen ist nach ständiger Rechtsprechung nicht entscheidend, was die versicherte Person im Anmeldeformular ankreuzt, sondern - kraft Untersuchungsmaxime (Art. 43 ATSG) und Rechtsanwendung von Amtes wegen (BGE 116 V 23 E. 3c und d S. 26 ff.), - welche Abklärungsmassnahmen und Leistungsansprüche, namentlich mit Blick auf "Eingliederung statt Rente " (BGE 137 V 351 E. 4.2 S. 357 f.) in der konkreten Situation in Betracht fallen. Ein Antrag auf berufliche Massnahmen im Sinne von Arbeitsvermittlung (Art. 18 IVG) lässt sich auch der vorinstanzlichen Beschwerde entnehmen, in welcher die Versicherte ausführt, sie wünsche - wie ihr Hausarzt der IV-Stelle bereits mitgeteilt habe - nicht nur eine Ablehnung ihres Anliegens, sondern eine aktive Beratung und Hilfe, um eine angepasste Tätigkeit zu finden.
5.3 Es verletzt daher Bundesrecht von vornherein nicht, wenn sich das kantonale Gericht unter diesen Umständen veranlasst sah, die Eingliederungsfrage zum Gegenstand des bei ihm anhängig gemachten Prozesses zu machen. Dazu war es ohne weiteres befugt (vgl. Urteil 9C_599/2009 vom 14. September 2009 E. 2.2.1, in: SVR 2010 IV Nr. 18 S. 56; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 10/05 vom 14. Juni 2005 E. 1.3), zumal auch die rechtsprechungsgemäss erforderlichen Voraussetzungen (E. 5.1) allesamt erfüllt waren: Die Tatbestandsgesamtheit (Rente und berufliche Eingliederungsmassnahmen) steht fest und ist unbestritten. Spruchreife ist gegeben, kann doch der Anspruch der Beschwerdegegnerin zumindest auf Arbeitsvermittlung im Sinne von Art. 18 IVG nach den zutreffenden vorinstanzlichen Erwägungen ohne weiteres bejaht werden (vgl. auch E. 5.4). Auch eine - der Wahrung des Gehörsanspruchs genügende - Prozesserklärung seitens der Verwaltung liegt vor, da diese sich in ihrer im kantonalen Verfahren eingereichten Vernehmlassung zum Antrag auf berufliche Massnahmen eingehend geäussert hat (die Versicherte habe sich stets gegen berufliche Massnahmen verwehrt und in der Neuanmeldung nur eine Rentenprüfung beantragt, weshalb es am Verfahrensgegenstand fehle; die im Jahre 2008 gewährte Beratung und Unterstützung bei der Stellensuche habe infolge subjektiven Arbeitsunfähigkeitsgefühls abgebrochen werden müssen; es könne bei vorhandener Motivation ein neues Gesuch gestellt werden).
5.4 Zusammenfassend ergibt sich, dass die vorinstanzliche Verfahrensgestaltung, entgegen der IV-Stelle, Bundesrecht nicht verletzt. Mit dieser Feststellung kann es sein Bewenden haben, da sich die Beschwerde der IV-Stelle einzig gegen das prozessuale Vorgehen der Vorinstanz richtet und der Anspruch auf Arbeitsvermittlung in der letztinstanzlich eingereichten Rechtsmittelschrift ausdrücklich als unstreitig anerkannt wird.
6. Die Gerichtskosten werden der IV-Stelle als unterliegender Partei auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Dezember 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann