Faits:
A. Y._ est décédée alors qu'elle était hospitalisée et prise en charge par la Dresse A._. Son mari, X._, a porté plainte.
A._ a été renvoyée en jugement sous l'accusation d'homicide par négligence (art. 117 CP). Aux débats, X._ a pris contre elle des conclusions civiles tendant au paiement de quelque 42'000 fr. de dommages-intérêts et de 50'000 fr. d'indemnité pour tort moral.
Par jugement du 4 décembre 2008, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de La Côte a acquitté A._ et donné acte de ses réserves civiles à X._.
B. X._ a recouru contre ce jugement. Par arrêt du 17 mars 2009, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois a, dans une large mesure, déclaré le recours irrecevable et l'a rejeté pour le surplus.
C. X._ recourt au Tribunal fédéral contre cet arrêt, dont il demande l'annulation.
L'intimée A._ conclut à l'irrecevabilité du recours, tandis que la cour cantonale propose son rejet.
Le ministère public du canton de Vaud renonce à se déterminer.
Considérant en droit:
1. L'arrêt attaqué examine à l'aune des art. 413, 414, 417 et 418 du code de procédure pénale vaudois (ci-après: CPP/VD; RS/VD 312.0) la qualité d'X._ pour recourir en nullité (art. 411 ss CPP/VD) et en réforme (art. 415 ss CPP/VD) contre le jugement de première instance. Au regard de ces dispositions légales, le Tribunal cantonal considère que le recourant n'a pas vocation à obtenir l'annulation ou la réforme de l'acquittement prononcé en faveur de l'intimée A._. Il entre exclusivement en matière sur le recours en réforme, dans la mesure seulement où celui-ci concerne les conclusions civiles, pour confirmer que ces dernières ne peuvent être admises si l'intimée est acquittée.
Le recourant fait grief à l'arrêt attaqué de perdre ainsi de vue qu'il est une victime, au sens de l'art. 93a CPP/VD, et que les art. 414a et 418a CPP/VD ouvrent à la victime au sens de l'art. 93a CPP/VD les voies du recours en nullité et du recours en réforme contre le jugement sur l'action pénale dans la mesure où celui-ci peut avoir des effets sur le sort des conclusions civiles. Il en conclut que l'arrêt attaqué est arbitraire, au sens de l'art. 9 Cst.
Dans sa réponse, la cour cantonale fait valoir que le recourant n'a jamais revendiqué le statut de victime LAVI au cours de la procédure. Quant à l'intimée A._, elle soutient, en substance, que le recourant n'a pas qualité de victime au sens de la LAVI ni, par conséquent, vocation à interjeter un recours en matière pénale au Tribunal fédéral, puisque l'arrêt attaqué, dont les constatations de fait lient le Tribunal fédéral, nie l'existence d'une infraction.
1.1 Disposant d'un droit constitutionnel à l'interdiction du déni de justice formel (art. 29 al. 1 Cst.), qui peut être violé par une application arbitraire (art. 9 Cst.) des règles cantonales définissant la qualité pour recourir en nullité ou en réforme au Tribunal cantonal, le recourant a qualité pour recourir au Tribunal fédéral contre le refus de la cour cantonale d'entrer en matière sur le recours dont il l'avait saisie.
1.2 L'art. 93a CPP/VD, qui a été introduit dans le CPP/VD par la loi vaudoise du 16 décembre 1992 d'application de la loi fédérale du 4 octobre 1991 sur l'aide aux victimes d'infractions, prévoit que la victime, au sens du CPP/VD, est celle de "l'article 2, alinéa premier, LAVI". Il est ainsi manifeste que le législateur vaudois entend reprendre dans le CPP/VD la notion de victime du droit fédéral. Peu importe qu'il n'ait pas adapté la rédaction de l'art. 93a CPP/VD à la numérotation de la loi fédérale sur l'aide aux victimes d'infractions du 23 mars 2007, en vigueur depuis le 1er janvier 2009 (RO 2008 1607 1620). Est une victime au sens du droit fédéral toute personne qui a subi, du fait d'une infraction, une atteinte directe à son intégrité physique, psychique ou sexuelle (art. 1 al. 1 LAVI). Lui sont assimilés son conjoint, ses enfants, ses père et mère et les autres personnes unies à elle par des liens analogues (art. 1 al. 2 LAVI).
Le droit fédéral confère notamment à la victime des droits d'intervention dans la procédure pénale, de sorte que doit être considérée comme "victime" au sens procédural du terme toute personne qui se prétend avec une certaine vraisemblance victime d'infraction au sens de l'art. 1 al. 1 ou 2 LAVI (cf. ATF 126 IV 147 consid. 1 p. 149). En l'espèce, le recourant est le conjoint survivant de la personne dont la mort a résulté directement de l'infraction reprochée à l'intimée selon l'ordonnance de renvoi. Il est donc une victime au sens procédural du terme et, par conséquent, au sens du CPP/VD.
1.3 Aux termes de l'art. 93a al. 2 CPP/VD, dès qu'elle manifeste son intention d'intervenir dans la procédure pénale, la victime acquiert la qualité de partie civile. Il ne ressort ni du texte légal ni de la jurisprudence publiée que la prise de conclusions civiles ne suffirait pas pour manifester son intention d'intervenir dans la procédure, au sens de l'art. 93a al. 2 CPP/VD (cf., notamment, arrêt de la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 11 octobre 1993, in JdT 1994 III 99; arrêt du Tribunal d'accusation du canton de Vaud du 17 avril 2001, in JdT 2002 III 200). En particulier, le texte de l'art. 93a al. 2 CPP/VD ne fournit aucun appui à la thèse selon laquelle la victime qui prend des conclusions civiles devrait, en outre, revendiquer expressément son statut de victime pour bénéficier de celui-ci. Au demeurant, si tel était le cas, le droit vaudois, qui fait dépendre la qualité pour recourir de celle de victime partie civile au sens de l'art. 93a CPP/VD, ne satisferait pas aux exigences de l'art. 37 al. 1 let. c LAVI, dès lors qu'il suffit, au regard de cette dernière disposition, que la victime ait agi dans la procédure, en quelle qualité que ce soit, pour que les cantons doivent lui ouvrir les mêmes voies de recours qu'au prévenu, si le jugement de l'action pénale peut influencer celui de l'action civile (BERNARD CORBOZ, Les droits procéduraux découlant de la LAVI, SJ 1996 p. 51 ss, spéc. p. 77; NIKOLAUS TAMM, in Opferhilfegesetz, 3ème éd. 2009, n° 42 ad art. 37 LAVI).
En l'espèce, en prenant des conclusions civiles aux débats, le recourant, victime au sens du droit fédéral, a manifesté son intention d'intervenir dans le procès pénal. Il est dès lors insoutenable de nier qu'il est devenu, au plus tard à ce moment-là, partie au procès en qualité de victime au sens de l'art. 93a CPP/VD.
1.4 Les art. 414a et 418a CPP/VD ouvrent expressément à la victime les voies du recours en nullité et du recours en réforme contre le jugement sur l'action pénale dans la mesure où celui-ci peut avoir des effets sur le sort des conclusions civiles. En déniant au recourant la qualité pour contester l'acquittement prononcé en première instance, l'arrêt attaqué méconnaît donc une règle claire de la procédure pénale vaudoise. Il est dès lors arbitraire.
Partant, le recours doit être admis, l'arrêt entrepris annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision.
2. Comme l'accusateur public succombe, l'arrêt sera rendu sans frais (art. 66 al. 4 LTF).
Le recourant, qui obtient gain de cause, a droit à de pleins dépens (art. 68 al. 1 LTF), qu'il convient de mettre à la charge du canton de Vaud et de l'intimée A._, solidairement entre eux.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt entrepris annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision.
2. Il n'est pas prélevé de frais judiciaires.
3. Le canton de Vaud et l'intimée A._ verseront, en qualité de débiteurs solidaires, une indemnité de 3'000 fr. au recourant, à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de cassation pénale.
Lausanne, le 17 décembre 2009
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Favre Oulevey