Faits:
A. A.a Le 9 décembre 2009, la société suisse X._ SA a demandé le séquestre des avoirs de la «A._ (Etat de H._) soit pour elle le B._», ou «contrôlés par elle sous les noms de C._, D._ (Suisse) SA, Y._, E._, F._ mais appartenant en réalité à l'intimée ou sur lesquels elle dispose d'une procuration ou de tous autres pouvoirs». Par ordonnance du 10 décembre 2009, le Tribunal de première instance de Genève a donné suite à la réquisition à concurrence de 7'536'740 fr.32 avec intérêts à 5% dès le 26 janvier 2009; cette ordonnance est dirigée, en particulier, contre une société «G._».
A.b Statuant le 16 juin 2010 sur l'opposition de Y._, le Tribunal de première instance de Genève a, en particulier, révoqué l'ordonnance de séquestre en tant qu'elle porte sur des avoirs au nom de l'opposante (ch. 3). Sur appel de la requérante, la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 12 août 2010, annulé ce jugement et, statuant à nouveau, rejeté l'opposition (ch. 1) et confirmé l'ordonnance de séquestre rendue le 10 décembre 2009 à concurrence de 7'536'740 fr.32 (ch. 2). Le 16 novembre 2010, Y._ a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral à l'encontre de cet arrêt: sur le fond, elle a conclu (à titre principal) à l'admission de son opposition ainsi qu'à la révocation de l'ordonnance de séquestre en tant qu'elle porte sur ses biens. Cette affaire (5A_812/2010) a été attribuée pour instruction au Juge fédéral Christian Herrmann.
B. Le 11 mai 2011, X._ SA a demandé la récusation du Juge fédéral Christian Herrmann. Invités à se déterminer, le magistrat visé et l'intimée s'opposent à la requête.
C. Par arrêt du 12 mai 2011, la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, la demande de révision de l'arrêt 5A_871/2009 déposée par X._ SA.
D. Par ordonnance du 1er juin 2011, la Présidente de la Cour de céans a suspendu les procédures au fond jusqu'à la décision sur la récusation.
Considérant en droit:
1. Aux termes de l'art. 34 al. 1 let. e LTF, motif invoqué en l'espèce par la requérante, les juges et les greffiers se récusent s'ils pouvaient être prévenus de toute autre manière, notamment en raison d'une amitié étroite ou d'une inimitié personnelle avec une partie ou son mandataire. Cette norme, qui concrétise les garanties d'indépendance et d'impartialité découlant de l'art. 30 al. 1 Cst. (arrêt 8F_3/2008 du 20 août 2008 et la doctrine citée), a la portée d'une clause générale en tant qu'elle permet la récusation d'un juge dès que celui-ci peut être prévenu de toute autre manière que les motifs énumérés à l'art. 34 al. 1 let. a à d LTF. L'existence d'un motif de prévention, au sens de la disposition en cause, est une question d'appréciation qui doit être tranchée de manière objective; ainsi, une apparence de prévention ne saurait être retenue sur la base des impressions purement individuelles des parties au procès; en revanche, la récusation sera admise dès qu'il existe une apparence objective de parti pris; peu importe que le juge concerné se sente lui-même apte à se prononcer en toute impartialité (cf. pour un rappel des principes: arrêts 2C_755/2008 du 7 janvier 2009 consid. 3.2, in: SJ 2009 I 233; 2C_466/2010 du 25 octobre 2010 consid. 2.3.1). Le risque de prévention ne saurait être admis trop facilement, sous peine de compromettre le fonctionnement normal des tribunaux (ATF 105 Ia 157 consid. 6a).
2. En l'espèce, la requérante fonde sa requête sur les éléments suivants:
2.1 Par ordonnance du 9 mars 2011, le juge instructeur n'a fixé qu'un délai de 20 jours pour se déterminer sur le recours, alors qu'un tel délai est en principe de 30 jours; en outre, l'ordonnance précise que ce délai n'est pas susceptible de prolongation, "en y ajoutant un point d'exclamation", ce qui est non seulement "inédit au Tribunal fédéral", mais encore de nature à priver l'intéressée "du droit prévu par l'art. 47 al. 2 LTF". Le juge instructeur a en revanche prolongé, à la requête de l'intéressée, d'environ 30 jours le délai imparti à l'intimée pour produire la procuration.
Le délai pour présenter des observations est un délai judiciaire, et non légal, dont la fixation doit répondre au principe de célérité et aux circonstances de l'espèce (MEYER, in: Basler Kommentar, BGG, 2008, n° 18 ad art. 102 LTF); le principe de l'égalité des armes n'exige pas que les délais soient identiques pour toutes les parties à la procédure (FRÉSARD, in: Commentaire de la LTF, 2009, n° 13 ad art. 47). Dans le cas présent, il s'agit d'une affaire de séquestre (lequel est une mesure provisionnelle urgente). De surcroît, le recours a été communiqué à la requérante le 22 novembre 2010, afin qu'elle réponde à la requête d'effet suspensif; à ce moment-là, elle connaissait les arguments que sa partie adverse entendait faire valoir. Dans ces conditions, il était assurément loisible de s'écarter du délai "usuel" de 30 jours.
La mention selon laquelle le délai (judiciaire) n'est pas "susceptible de prolongation" n'exclut pas forcément une prolongation ultérieure de délai (cf. arrêt 6P.115/2006-6S.241/2006 du 17 août 2006 consid. 1 in fine). Du reste, la requérante s'est vu accorder une prolongation jusqu'au 8 avril 2011 pour déposer sa réponse, en sorte qu'elle ne peut se prétendre victime d'une inégalité de traitement.
L'octroi à l'intimée d'une prolongation de délai pour produire la procuration n'est pas la conséquence d'un parti pris en sa faveur, mais de la situation politique en H._ (comme le juge instructeur l'a rappelé dans ses déterminations sur la requête de récusation). Le fait que la requérante n'ait pas reçu une copie de cette prolongation de délai est dénué de pertinence s'agissant d'une mesure d'instruction qui n'appelle ni approbation ni observation de sa part (l'ordonnance fixant l'avance de frais n'est pas davantage communiquée); de plus, une telle copie a été adressée à son conseil par l'avocat de la partie adverse.
Quant au "point d'exclamation", dont la requérante fait grand cas, il n'a d'autre but que de mettre en évidence la mesure ordonnée par le juge instructeur et d'attirer l'attention de son destinataire; la même caractéristique figure sur l'ordonnance destinée à la Cour de justice.
D'une manière générale, la requérante ne saurait se prétendre lésée à quelque titre que ce soit par les mesures d'instruction; elle a été constamment invitée à se déterminer sur les documents et les actes produits par l'intimée. Le juge instructeur a donné suite à sa requête en production de la procuration par l'intimée, ce qui a donné lieu à un échange d'écritures (qui n'est pas clos). On ne peut, dès lors, déclarer que l'instruction a été "pilotée par les écritures spontanées" de l'intimée, étant souligné que celle-ci avait le droit de répliquer aux écritures de la requérante (arrêt 5A_779/2010 du 1er avril 2011 consid. 2.2; arrêt de la Cour européenne des droits de l'homme dans la cause Schaller-Bossert contre Suisse du 28 octobre 2010 § 39 s. et Nideröst-Huber contre Suisse du 18 février 1997, Recueil CourEDH 1997-I p. 101 § 24).
2.2 La requérante reproche au juge instructeur de ne pas avoir invité l'intimée à répondre dans la cause 5A_654/2010, alors qu'elle-même a été invitée à le faire dans la cause 5A_812/2010; ce faisant, ce magistrat se serait "interdit toute possibilité d'admettre le recours de X._ SA".
La nécessité d'une réponse est en principe une question d'appréciation, qu'il appartient d'abord au juge instructeur de résoudre (CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2009, n° 14/15 ad art. 102). Quoi qu'en dise la requérante, il n'y a donc aucune violation du principe de "l'égalité de traitement". Le dépôt d'une réponse peut être encore décidé ultérieurement et s'imposera si la Cour de céans devait accueillir son recours dans la cause 5A_654/2010 (CORBOZ, ibid., n° 16).
2.3 La requérante soutient que, depuis le 19 avril 2011, la cause 5A_812/2010 "ne porte plus le même numéro", qui était auparavant 5A_812/2010/ZEH, sans qu'aucune explication ne lui ait été donnée.
Cet argument n'est guère sérieux. D'abord, on ne voit pas en quoi cette circonstance - fût-elle avérée - serait révélatrice d'une prévention à l'égard de la requérante, dès lors que ce soi-disant changement vaudrait en tout état de cause également pour l'intimée. En outre, la seule différence dans la désignation tient aux lettres "ZEH", qui identifient la personne chargée du traitement administratif du dossier et figurent sur les actes qui émanent de la Chancellerie de la IIe Cour de droit civil; elles sont absentes des communications des juges (cf. à titre d'exemples: ordonnance d'effet suspensif; lettre du Président du TF au DFAE; lettre du juge instructeur du 24 mars 2011; etc.).
2.4 Aux termes de l'art. 34 al. 2 LTF, la participation à une procédure antérieure devant le Tribunal fédéral ne constitue pas à elle seule un motif de récusation. Le fait que le Juge fédéral Herrmann a participé à l'affaire 5A_871/2009, dans laquelle la requérante fut déboutée, n'est donc en soi pas de nature à faire naître un doute quant à son impartialité; les éléments invoqués par la requérante n'accréditent pas, à titre additionnel, une apparence de prévention. Certes, l'arrêt susmentionné a fait l'objet d'une demande de révision, qui a été rejetée par la Cour de céans dans laquelle siégeait le Juge fédéral Herrmann. Toutefois, de jurisprudence constante, la participation d'un même juge à la décision au fond et à celle sur la révision ne viole pas la garantie du juge impartial (ATF 114 Ia 50 consid. 3d; 113 Ia 62 consid. 3b; 96 I 279 consid. 2; HÄNER, in: Basler Kommentar, BGG, 2008, n° 19 in fine ad art. 34 LTF). Il n'en va pas autrement ici.
3. Dans une écriture complémentaire du 15 juin 2011, consécutive à la prise de position du Juge fédéral Herrmann, la requérante fait valoir un nouveau motif de récusation, à savoir l'"[a]tteinte à l'indépendance du Tribunal fédéral". Ce moyen apparaît manifestement tardif (cf. sur cette condition: HÄNER, op. cit., n° 1 ad art. 36 LTF, avec les références citées); en effet, la requérante ne saurait sérieusement affirmer qu'elle vient d'apprendre l'appartenance politique du magistrat dont elle demande la récusation, lequel a été élu par l'Assemblée fédérale le 23 septembre 2009. À cet égard, il y a lieu de préciser que le Juge fédéral Herrmann ne siège pas au comité directeur du parti cantonal mais figure sur la liste des membres du comité directeur du parti de sa région pour le motif que les statuts prévoient que les magistrats élus en font partie d'office. De toute façon, pas plus que l'appartenance religieuse (arrêt 2C_466/2010 précité consid. 2.4.5), l'appartenance politique ne fonde à elle seule une apparence de prévention. La requérante ne fait état d'aucune prise de position personnelle du Juge fédéral Herrmann qui pourrait trahir une inimitié à son égard, ou de son mandataire, quelle que puisse être par ailleurs la position de son parti - voire de l'intéressé lui-même - au sujet de la problématique générale du séquestre des biens des Etats étrangers en Suisse.
4. En conclusion, la requête de récusation doit être rejetée dans la mesure de sa recevabilité, avec suite de frais et dépens à la charge de la requérante (art. 66 al. 1; art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Juge instructeur ordonne:
1. La requête de récusation est rejetée dans la mesure où elle est recevable.
2. Les frais judiciaires, par 2'000 fr., sont mis à la charge de la requérante.
3. Une indemnité de 500 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge de la requérante.
4. La présente ordonnance est communiquée aux parties, au Juge fédéral Christian Herrmann et à la 1ère Section de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 3 août 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Richard