Erwägungen:
1. Die Y._ GmbH, ehemals unter dem Firmennamen Z._ GmbH, betrieb X._ für den Betrag des ihm gewährten Darlehens von Fr. 21'250.-- nebst Zins zu 5% seit dem 30. Juni 2007 (Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamtes Kreis A._). Als Grundlage diente ein Darlehnsvertrag vom 13. Oktober 2006 bzw. 25. Dezember 2006 über den Betrag von Fr. 20'750.-- und ein am 20. August 2006 gewährter Vorschuss von Fr. 500.--. Nachdem X._ Rechtsvorschlag erhoben hatte, ersuchte die Y._ GmbH um Gewährung der provisorischen Rechtsöffnung, welche ihr das Bezirksgerichtspräsidium B._ mit Urteil vom 6. März 2008 mit der Begründung verweigerte, die Gläubigerin des Betreibungsverfahrens sei nicht mit der im Darlehensvertrag vom 13. Oktober 2006 bzw. 25. Dezember 2006 genannten Person identisch. Die Y._ GmbH habe im Betreibungsverfahren weder einen Handelsregisterauszug noch einen Beleg eingereicht, welcher den Gläubigerwechsel belege. Auf Beschwerde der Y._ GmbH hob der Kantonsgerichtsausschuss des Kantonsgerichts von Graubünden am 23. April 2008 den erstinstanzlichen Entscheid auf und erteilte der Gläubigerin in der vorgenannten Betreibung provisorische Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 21'500.-- nebst Zins zu 5% seit dem 7. August 2007.
Dagegen erhebt X._ Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, das Urteil des Kantonsgerichtsausschusses vom 23. April 2008 aufzuheben und die provisorische Rechtsöffnung zu verweigern. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2. 2.1 Der Kantonsgerichtsausschuss hat erwogen, im summarischen Rechtsöffnungsverfahren gelte eine beschränkte Offizialmaxime, wonach der Rechtsöffnungsgsrichter gehalten sei, die Identität der Person des Gläubigers und des Betreibenden zu überprüfen. Im Fall der Beschwerdegegnerin habe lediglich eine Namensänderung stattgefunden; entgegen der Auffassung der ersten Instanz liege kein Gläubigerwechsel vor. Im weiteren erachtete der Kantonsgerichtsausschuss den schriftlichen Darlehensvertrag vom 13. Oktober 2006 bzw. 25. Dezember 2006 als Rechtsöffnungstitel für den Betrag von Fr. 20'750.--, wobei der Beschwerdeführer nicht geltend mache, den Betrag zurückbezahlt zu haben. Aus demselben Grund sei auch die Vorschusszahlung vom 20. August 2006 über den Betrag von Fr. 500.-- als Rechtsöffnungstitel zu qualifizieren. Der Beschwerdeführer habe gegen die vorgenannten Rechtsöffnungstitel keine Einwendungen im Sinn von Art. 82 Abs. 2 SchKG erhoben, weshalb für den Betrag von Fr. 21'250.-- provisorische Rechtsöffnung zu gewähren sei. Mangels Vorlage der Kündigung des Darlehens sei der Verzugszins ab dem Datum des Betreibungsbegehrens (7. August 2007) geschuldet.
2.2 Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 113 i.V.m. Art. 116 BV). Es gilt das sogenannte Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer hat in der Beschwerdeschrift darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. die Rechtsprechung zur staatsrechtlichen Beschwerde, statt vieler BGE 110 Ia 1 E. 2 S. 3 f.; 119 Ia 197 E. 1d S. 201). Wie unter der Herrschaft des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) müssen die erhobenen Rügen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 133 II 396 E. 3.1). Besteht der Entscheid aus mehreren selbständigen Begründungen, sind alle anzufechten, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (BGE 133 IV 199 E. 6).
2.3 Die Begründung der Beschwerde vermag den vorgenannten Anforderungen nicht zu genügen, zumal der Beschwerdeführer weder ein Verfassungsrecht nennt, welches das angefochtene Urteil verletzt, noch in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Urteils dartut, inwiefern eine Verletzung der Verfassung vorliegen könnte. Die Beschwerde erschöpft sich in Vorbringen, die der Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren nicht vorgetragen hat; diese gelten daher als neu und unzulässig (Art. 99 BGG). Das gilt insbesondere für die Behauptung, die Darlehenszahlungen seien in Wirklichkeit Lohnzahlungen gewesen. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich die mangelnde Identität der Darlehensgeberin und der betreibenden Gläubigerin behauptet, genügt der Hinweis, dass es sich bei der heutigen Beschwerdegegnerin und der Z._ GmbH um die gleiche juristische Person handelt, wie der ins Recht gelegte Handelsregisterauszug belegt.
2.4 Auf die offensichtlich unzulässige Verfassungsbeschwerde ist daher in Anwendung von Art. 117 BGG i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit b BGG unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (Art. 66 Abs. 1 BGG) nicht einzutreten.
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, Kantonsgerichtsausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Zbinden