Faits:
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A. La Commune de Cologny est propriétaire de la parcelle n° 392 du cadastre communal au n° 11 du chemin des Pêcheurs. Cette parcelle de 2'153 mètres carrés est classée en 5ème zone de construction au sens de l'art. 19 al. 3 de la loi cantonale d'application de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (LaLAT), soit une zone résidentielle destinée aux villas, et dans le périmètre de protection défini par la loi cantonale sur la protection générale des rives du lac. Elle comporte un bâtiment de 203 mètres carrés, exploité sous la forme d'un hôtel-restaurant à l'enseigne du "Café-restaurant X._", et trois hangars en limite de propriété avec la parcelle n° 393. L'établissement a une capacité maximale de 80 places assises en salle et de 160 places assises en terrasse. Il est ouvert 7 jours sur 7, de mars à fin novembre, et ne propose pas de plats du jour à midi. Le service se fait uniquement en terrasse en été. Les 12 chambres que compte l'hôtel sont situées au premier étage. Le parking a une capacité de 35 places de stationnement qui peut être portée à 60 places en cas de grosse affluence. La Commune de Cologny est également propriétaire de la parcelle n° 391 du cadastre communal; il s'agit d'une partie du chemin des Pêcheurs qui sert d'accès au restaurant et au port de la Belotte, lequel comporte 215 places d'amarrage et de nombreux corps morts.
Le 21 décembre 2004, la Commune de Cologny a déposé une demande définitive d'autorisation de construire ayant pour objet la rénovation et l'agrandissement du restaurant existant par l'adjonction d'une annexe de 74,12 mètres carrés accolée à la façade nord du bâtiment existant et le réaménagement du parking. Le même jour, elle a déposé une demande d'autorisation de démolir les trois hangars situés en limite de propriété. Selon les plans, le restaurant, le bar et la cuisine sis au rez-de-chaussée seraient supprimés pour laisser place à trois salles à manger d'une capacité de 100 places assises, l'annexe projetée devant accueillir les cuisines du restaurant. Au premier étage, il est prévu d'aménager une salle de banquet permettant de recevoir au maximum 80 convives en lieu et place des 12 chambres d'hôtel. Un carnotzet de 18 places serait créé au sous-sol. Dix tables de quatre personnes prendraient place sur la terrasse qui jouxte le bâtiment au sud, le jardin côté lac pouvant exceptionnellement être utilisé comme terrasse pour le restaurant suivant l'affluence. Le parking une fois réaménagé permettrait d'accueillir 23 véhicules. Le restaurant serait ouvert toute l'année.
Ces demandes, publiées dans la Feuille d'avis officielle du 17 juin 2005, ont suscité les oppositions de plusieurs propriétaires voisins ou riverains du chemin des Pêcheurs, qui se plaignaient de la non-conformité du projet à l'affectation résidentielle de la zone et du surcroît de nuisances lié à l'augmentation de la capacité d'accueil du restaurant et à la diminution des places de stationnement.
Les Services de l'Etat concernés par le projet ont émis des préavis favorables, certains assortis de conditions non litigieuses en l'état. La sous-commission nature et sites de la Commission des monuments de la nature et des sites a notamment précisé qu'elle ne s'opposait pas à l'octroi de la dérogation requise à l'art. 15 de la loi cantonale sur les eaux pour les constructions situées dans la zone inconstructible, à moins de trente mètres du lac, considérant l'implantation de l'annexe nécessaire à la rénovation du bâtiment.
Le Département de l'aménagement, de l'équipement et du logement de la République et canton de Genève, devenu par la suite le Département des constructions et des technologies de l'information (ci-après: le Département), a délivré les autorisations de construire et de démolir sollicitées en date du 14 juin 2005. A._ et consorts ont recouru le 12 juillet 2005 contre la décision du Département octroyant le permis de construire auprès de la Commission cantonale de recours en matière de constructions. Cette dernière a admis le recours et annulé la décision attaquée, après avoir considéré que l'extension du restaurant sans la création d'un parking proportionné serait la cause de nuisances graves pour les voisins, incompatibles avec la zone résidentielle et excluant l'octroi d'une dérogation fondée sur l'art. 26 al. 1 LaLAT.
Au terme d'un arrêt rendu le 8 mai 2007 sur recours de la Commune de Cologny, le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (ci-après: le ou la cour cantonale) a annulé cette décision et rétabli l'autorisation de construire du 14 juin 2005 à la condition que la capacité d'accueil de l'établissement soit limitée à 80 couverts, intérieur et extérieur compris, que la salle du premier étage ne soit pas utilisée comme salle de restaurant mais affectée à un usage de salle de réunion ou de fumoir et qu'aucun plat n'y soit servi, et que l'usage du parking soit réservé exclusivement à la clientèle du restaurant, toute mesure étant prise pour assurer le respect de cette utilisation exclusive.
Au terme d'un arrêt rendu le 8 mai 2007 sur recours de la Commune de Cologny, le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (ci-après: le ou la cour cantonale) a annulé cette décision et rétabli l'autorisation de construire du 14 juin 2005 à la condition que la capacité d'accueil de l'établissement soit limitée à 80 couverts, intérieur et extérieur compris, que la salle du premier étage ne soit pas utilisée comme salle de restaurant mais affectée à un usage de salle de réunion ou de fumoir et qu'aucun plat n'y soit servi, et que l'usage du parking soit réservé exclusivement à la clientèle du restaurant, toute mesure étant prise pour assurer le respect de cette utilisation exclusive.
B. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et consorts demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt ainsi que l'autorisation de construire du 14 juin 2005, de rejeter la demande d'autorisation de construire déposée le 21 décembre 2004 par la Commune de Cologny et, le cas échéant, de renvoyer la cause au Tribunal administratif pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Ils se plaignent d'un établissement manifestement inexact des faits, d'une violation de leur droit à une décision motivée tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. et d'une application arbitraire de l'art. 60 let. b de la loi genevoise sur la procédure administrative (LPA gen.), des art. 19 et 26 al. 1 LaLAT et de l'art. 15 de la loi cantonale sur les eaux.
Le Tribunal administratif se réfère à son arrêt. Le Département et la Commune de Cologny concluent au rejet du recours.
Le Tribunal administratif se réfère à son arrêt. Le Département et la Commune de Cologny concluent au rejet du recours.
C. Par ordonnance du 10 juillet 2007, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif présentée par les recourants.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le recours est dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions. Il est dès lors recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110) et l'art. 34 al. 1 de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700) dans sa teneur actuelle selon le ch. 64 de l'annexe à la loi sur le Tribunal administratif fédéral (ATF 133 II 249 consid. 1.2 p. 251). Aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'est réalisée.
Les recourants ont pris part à la procédure de recours devant le Tribunal administratif. Ils sont en outre particulièrement touchés par l'arrêt attaqué confirmant l'octroi d'une autorisation de construire sur la parcelle voisine pour un projet propre à leur causer des nuisances qu'ils jugent inadmissibles. Ils peuvent ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel, qui se distingue nettement de l'intérêt général des autres administrés et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Leur qualité pour agir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF est à l'évidence donnée. Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont réunies de sorte qu'il convient de statuer sur le fond.
Les recourants ont pris part à la procédure de recours devant le Tribunal administratif. Ils sont en outre particulièrement touchés par l'arrêt attaqué confirmant l'octroi d'une autorisation de construire sur la parcelle voisine pour un projet propre à leur causer des nuisances qu'ils jugent inadmissibles. Ils peuvent ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel, qui se distingue nettement de l'intérêt général des autres administrés et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Leur qualité pour agir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF est à l'évidence donnée. Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont réunies de sorte qu'il convient de statuer sur le fond.
2. Les recourants reprochent au Tribunal administratif d'avoir retenu à tort que la Commune de Cologny disposait encore d'un intérêt actuel au recours étant donné qu'elle a déposé ultérieurement une demande d'autorisation de construire portant sur un projet de rénovation du "Café-restaurant X._" qui ne prévoit plus la construction d'une annexe. Ils dénoncent une application arbitraire de l'art. 60 LPA gen.
2.1 Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; le Tribunal fédéral ne s'écarte ainsi de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle est insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 132 I 13 consid. 5.1 p. 17), ce qu'il revient au recourant de démontrer (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF; arrêt 5A_92/2007 du 8 juin 2007 consid. 4.1; ATF 131 I 217 consid. 2.1 p. 219).
2.2 L'art. 60 LPA gen. reconnaît en principe la qualité pour recourir devant le Tribunal administratif aux parties à la procédure qui a abouti à la décision attaquée (let. a) ainsi qu'à toute personne qui est touchée directement par la décision et qui a un intérêt personnel digne de protection à ce qu'elle soit annulée ou modifiée (let. b). Dans un arrêt rendu le 30 septembre 1999 dans la cause 1P.390/1999, le Tribunal fédéral a jugé que même si cette disposition ne faisait pas de l'intérêt actuel et pratique une condition expresse de la qualité pour agir, pareille exigence ne saurait être tenue pour excessive ou dépourvue de raison objective au regard de la volonté du législateur de n'ouvrir la qualité pour agir qu'aux particuliers directement touchés par la décision à prendre et d'éviter le recours populaire. Il n'y a pas lieu de revenir sur cet arrêt.
La constructrice ne conteste pas avoir déposé, le 12 décembre 2006, une demande d'autorisation de construire portant sur un projet modifié qui ne prévoit pas la construction de l'annexe destinée à la cuisine et qui a reçu l'aval du Département. Interpellée à ce propos, elle a répondu qu'elle n'entendait pas renoncer au projet litigieux, mais que pour le cas où celui-ci serait jugé non conforme au droit par le Tribunal fédéral, elle préférait aller de l'avant avec un projet réduit. Les recourants ne prétendent pas que le droit cantonal empêcherait un propriétaire de solliciter des permis de construire différents pour un même bien-fonds et de réaliser ensuite l'un des projets autorisés. Les droits des tiers sont sauvegardés par la possibilité d'intervenir dans chacune des enquêtes publiques et de déférer chacune des décisions à l'autorité de recours (cf. Benoît Bovay, Le permis de construire en droit vaudois, 2ème éd., Lausanne 1988, p. 58/59).
2.3 Dans ces conditions, il n'était nullement arbitraire d'admettre que la constructrice disposait encore d'un intérêt actuel à faire contrôler que son premier projet était en tout point conforme à la réglementation en vigueur et pouvait faire l'objet d'une autorisation de construire. Les recourants se plaignent dès lors à tort d'une application arbitraire du droit cantonal sur ce point.
2.3 Dans ces conditions, il n'était nullement arbitraire d'admettre que la constructrice disposait encore d'un intérêt actuel à faire contrôler que son premier projet était en tout point conforme à la réglementation en vigueur et pouvait faire l'objet d'une autorisation de construire. Les recourants se plaignent dès lors à tort d'une application arbitraire du droit cantonal sur ce point.
3. Les recourants prétendent que les conditions posées à l'octroi d'une dérogation aux règles de la 5ème zone de construction ne seraient pas réalisées. Ils dénoncent à ce propos une application arbitraire des art. 19 et 26 al. 1 LaLAT.
3.1 Selon l'art. 22 al. 2 let. a LAT, une autorisation de construire ne peut être délivrée que si la construction ou l'installation est conforme à l'affectation de la zone. Aux termes de l'art. 19 al. 3 LaLAT, la 5ème zone de construction dans laquelle prendrait place le projet litigieux est une zone résidentielle destinée aux villas, étant précisé que des exploitations agricoles peuvent également y trouver place.
Il est constant que l'aménagement d'une annexe destinée à accueillir les cuisines d'un café-restaurant n'est pas conforme à la destination résidentielle de la zone. Le Tribunal administratif a cependant estimé que la Commune de Cologny pouvait être mise au bénéfice d'une autorisation dérogatoire fondée sur l'art. 26 al. 1 LaLAT au motif que la construction litigieuse serait indispensable à une exploitation rationnelle et moderne de l'établissement.
3.2 L'art. 23 LAT laisse aux cantons le soin de régler les conditions matérielles des exceptions à la conformité à l'affectation de la zone à bâtir. L'art. 26 al. 1 LaLAT autorise le Département des constructions et des technologies de l'information à déroger aux dispositions des art. 18 et 19 de cette même loi quant à la nature des constructions lorsque les circonstances le justifient et s'il n'en résulte pas d'inconvénients graves pour le voisinage.
Selon la jurisprudence cantonale, les circonstances visées par l'art. 26 al. 1 LaLAT doivent être à la fois particulières, en ce sens que la situation considérée doit être réellement exceptionnelle dans le cadre de la zone, et suffisamment importantes pour justifier que l'intérêt public au respect de l'affectation de la zone consacrée par le législateur cède face à un intérêt public ou privé prépondérant (arrêt du Tribunal administratif du 7 juin 1994 consid. 12b publié in RDAF 1995 p. 65/66; arrêt du 1er décembre 1992 consid. 10 publié in RDAF 1993 p. 124). Dans l'appréciation des circonstances particulières propres à justifier une dérogation fondée sur cette disposition, il y a lieu de prendre en considération le caractère ou l'évolution du quartier, le réseau des voies de communication, le genre et la destination d'un projet qui, sans être immédiatement compatible avec les normes de la zone, se révèle admissible compte tenu des circonstances (arrêt du Tribunal administratif du 25 juin 2002 consid. 10 qui se réfère à un arrêt du Tribunal administratif du 7 juin 1994 consid. 13a publié in RDAF 1995 p. 66; cf. arrêt du Tribunal fédéral P.833/75 du 12 mai 1976 consid. 5c).
3.3 Le Tribunal fédéral a jugé que les dispositions exceptionnelles ou dérogatoires, telles que l'art. 26 al. 1 LaLAT, ne devaient pas nécessairement être interprétées de manière restrictive, mais selon les méthodes d'interprétation ordinaires. Une dérogation importante peut ainsi se révéler indispensable pour éviter les effets rigoureux de la réglementation ordinaire. En tous les cas, la dérogation doit servir la loi ou, à tout le moins, les objectifs recherchés par celle-ci: l'autorisation exceptionnelle doit permettre d'adopter une solution reflétant l'intention présumée du législateur s'il avait été confronté au cas particulier. L'octroi d'une dérogation suppose une situation exceptionnelle et ne saurait devenir la règle, à défaut de quoi l'autorité compétente pour délivrer des permis de construire se substituerait au législateur cantonal ou communal par le biais de sa pratique dérogatoire. Il implique une pesée entre les intérêts publics et privés de tiers au respect des dispositions dont il s'agirait de s'écarter et les intérêts du propriétaire privé à l'octroi d'une dérogation, étant précisé que des raisons purement économiques ou l'intention d'atteindre la meilleure solution architecturale, ou une utilisation optimale du terrain, ne suffisent pas à elles seules à justifier une dérogation (arrêt 1P.446/1998 du 5 novembre 1998 consid. 2a et les références citées).
3.4 En l'espèce, le fait que le bâtiment litigieux soit affecté depuis des décennies à l'usage d'un hôtel-restaurant et bénéficie de la garantie de la situation acquise ne constitue pas en soi une circonstance particulière suffisante au regard de l'art. 26 al. 1 LaLAT pour justifier qu'une nouvelle atteinte soit portée à la vocation résidentielle de la zone par la création d'une annexe de quelque 75 mètres carrés. Vu le caractère exceptionnel que doit revêtir l'octroi de dérogations, une telle extension ne pourrait se justifier que si elle était commandée par les circonstances. La constructrice invoque à cet égard la nécessité de doter l'établissement d'infrastructures et de cuisines répondant aux normes actuelles. Il n'est pas contesté que le "Café-restaurant X._", aujourd'hui fermé, se trouve dans un état de vétusté qui impose sa rénovation. L'obligation de se conformer aux règles de sécurité, d'hygiène et de confort moderne pourrait en principe constituer une circonstance particulière au sens de l'art. 26 al. 1 LaLAT propre à motiver l'octroi d'une dérogation en faveur d'un agrandissement mesuré d'un bâtiment non conforme à la destination de la zone. Encore faudrait-il que ces règles ne puissent pas être respectées d'une autre manière, en particulier par un aménagement adéquat du volume bâti existant. Le Tribunal administratif s'est référé à cet égard au préavis favorable de la sous-commission nature et sites de la Commission des monuments, de la nature et des sites, qui tenait la construction d'une annexe pour nécessaire à la rénovation du bâtiment. Toutefois, ce préavis n'est nullement étayé; il avait en outre trait à l'octroi d'une dérogation à l'interdiction de construire à moins de trente mètres des rives du lac, fondée sur l'art. 15 al. 6 de la loi cantonale sur les eaux (distance au lac), dont il n'est pas établi qu'elle réponde aux mêmes exigences qu'une dérogation fondée sur l'art. 26 al. 1 LaLAT. La constructrice n'a fourni aucun élément qui permettrait d'admettre que la réalisation d'une annexe au bâtiment existant destinée à accueillir les nouvelles cuisines de l'établissement répondrait à des raisons techniques plutôt qu'à des considérations de rentabilité économique ou de pure convenance personnelle. Elle a au contraire démontré qu'il était possible de rénover la cuisine existante dans le volume bâti actuel en présentant ultérieurement un projet en ce sens. Il importe peu à cet égard que l'annexe litigieuse présente des dimensions réduites par rapport au bâtiment principal, voire qu'elle réponde à la définition d'un agrandissement mesuré.
3.5 En définitive, le Tribunal administratif a conclu de manière arbitraire à l'existence de circonstances particulières propres à justifier l'octroi d'une autorisation dérogatoire fondée sur l'art. 26 al. 1 LaLAT en faveur du projet déposé par l'intimée le 21 décembre 2004. Le moyen tiré d'une application du droit cantonal contraire à l'art. 9 Cst. se révèle ainsi bien fondé. L'arrêt attaqué doit être annulé pour ce motif sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs de fond adressés à son encontre.
3.5 En définitive, le Tribunal administratif a conclu de manière arbitraire à l'existence de circonstances particulières propres à justifier l'octroi d'une autorisation dérogatoire fondée sur l'art. 26 al. 1 LaLAT en faveur du projet déposé par l'intimée le 21 décembre 2004. Le moyen tiré d'une application du droit cantonal contraire à l'art. 9 Cst. se révèle ainsi bien fondé. L'arrêt attaqué doit être annulé pour ce motif sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs de fond adressés à son encontre.
4. Le recours doit par conséquent être admis. Les frais judiciaires seront pris en charge par la Commune de Cologny qui a agi non pas en tant que détentrice de la puissance publique, mais en sa qualité de propriétaire privé (art. 66 al. 1 et 4 a contrario LTF). Celle-ci versera en outre une indemnité de dépens aux recourants qui obtiennent gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué annulé.
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la Commune de Cologny.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la Commune de Cologny.
3. Une indemnité de 2'000 fr., à payer aux recourants, créanciers solidaires, à titre de dépens, est mise à la charge de la Commune de Cologny.
3. Une indemnité de 2'000 fr., à payer aux recourants, créanciers solidaires, à titre de dépens, est mise à la charge de la Commune de Cologny.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties, ainsi qu'au Département des constructions et des technologies de l'information et au Tribunal administratif de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 14 septembre 2007
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: