Erwägungen:
1. Die Beschwerde von X._ und Y._ richtet sich gegen das Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, vom 15. April 2009, mit welchem dieses den Entscheid der Finanz- und Kirchendirektion des Kantons Basel-Landschaft über das Steuererlassgesuch vom 15. Juni 2008 letztinstanzlich bestätigt hatte. Insgesamt waren die folgenden Steuerausstände zu verzeichnen:
Staatssteuer 2005 Fr. 20'124.95
Staatssteuer 2006 Fr. 5'033.80
Steuer auf Kapitalleistungen Fr. 558.15
Direkte Bundessteuer 2005 Fr. 4'000.80
Direkte Bundessteuer 2006 Fr. 388.80
Die Beschwerdeführer beantragen, dem Steuererlassgesuch sei vollumfänglich stattzugeben und auf weitere Forderungen seitens der öffentlichen Hand sei zu verzichten.
Akten und Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt.
2. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit umfassender Kognition, ob auf die Beschwerde einzutreten ist. Eine allenfalls unzutreffende Bezeichnung des Rechtsmittels schadet nicht.
I. Staatssteuer
3. 3.1 Die Beschwerdeführer bezeichnen ihr Rechtsmittel als "Beschwerde gemäss BGG". In Frage kommt zunächst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 82 lit. a BGG. Diese Beschwerde ist indessen unzulässig gegen "Entscheide über die Stundung und den Erlass von Abgaben" (Art. 83 lit. m BGG). Der Begriff der Abgabe in Art. 83 lit. m BGG ist umfassend zu verstehen. Darunter fallen namentlich alle Arten von Steuern (vgl. Hansjörg Seiler, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 84 zu Art. 83 BGG; Thomas Häberli, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 216 zu Art. 83 BGG). Der angefochtene Entscheid betrifft den Erlass der kantonalen Steuern und der direkten Bundessteuer. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist hier somit nicht zulässig.
3.2 Zu prüfen ist, ob die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) offen steht. Dieses Rechtsmittel setzt voraus, dass der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid in rechtlich geschützten Interessen betroffen ist (Art. 115 lit. b BGG). Da mit dieser Beschwerde nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (vgl. Art. 116 BGG), ist ein Entscheid, mit dem ein Erlass von Abgaben verweigert worden ist, praktisch nur wegen Verletzung des verfassungsmässigen Verbots von Willkür (Art. 9 BV) anfechtbar. Das Willkürverbot verschafft jedoch für sich allein kein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 115 lit. b BGG (BGE 133 I 185 E. 6 S. 197). Zur Willkürrüge ist deshalb nur legitimiert, wer sich auf eine gesetzliche Norm berufen kann, die ihm im Bereich seiner betroffenen und angeblich verletzten Interessen einen Rechtsanspruch einräumt.
Ein solcher Rechtsanspruch auf Erlass von Steuern besteht im Kanton Basel-Landschaft nicht. § 139b Abs. 1 des Steuergesetzes des Kantons Basel-Landschaft (StG) vom 7. Februar 1974 in der Fassung vom 8. Dezember 2004 bestimmt:
"Steuerpflichtigen Personen, für die infolge einer Notlage die Bezahlung der Steuern, Zinsen, Bussen und Gebühren eine grosse Härte bedeuten würde, können die geschuldeten Beträge ganz oder teilweise erlassen werden."
Das ist nur eine sehr allgemein gehaltene Umschreibung, wann Steuern erlassen werden können, die aber keinen justiziablen Rechtsanspruch einräumt. Die Behörde, welche über das Erlassgesuch entscheidet, hat eine Interessenabwägung vorzunehmen, welche im Rahmen der gesetzlichen Erlassgründe ("Notlage", "Härte") je nachdem so oder anders ausgelegt werden muss. Mit der gewählten "Kann"-Formulierung gewährt das anwendbare kantonale Recht den zuständigen Behörden zudem bewusst einen weiten Spielraum des Ermessens. Ein rechtlich geschütztes Interesse zur Geltendmachung des Willkürverbots im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde besteht daher nicht. In diesem Sinne hat das Bundesgericht in Bezug auf den Erlass von Steuern von Kantonen mit ähnlicher Erlassvorschrift wiederholt entschieden (BGE 122 I 373 E. 1 S. 374 ff. mit Nachweisen). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde steht zur Geltendmachung einer materiellen Rechtsverweigerung somit nicht offen.
3.3 Trotz fehlender Legitimation zur Geltendmachung der Verletzung des Willkürverbots können mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde diejenigen Rechte als verletzt gerügt werden, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Das rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls nicht aus der Sache selbst, sondern aus der Berechtigung der Partei, am Verfahren teilzunehmen und ihre Parteirechte auszuüben (sog. Star-Praxis, vgl. BGE 133 I 185 E. 6.2 S.198; 114 Ia 307 E. 3c S. 312 f.). Solche Beanstandungen haben die Beschwerdeführer indessen offensichtlich keine vorzubringen.
3.4 Nach dem Gesagten entzieht sich der Entscheid des basel-landschaftlichen Kantonsgerichts somit hinsichtlich der kantonalen Steuern einer Überprüfung durch das Bundesgericht.
II. Direkte Bundessteuer
4. Art. 167 des Bundesgesetzes über die direkte Bundessteuer (DBG; SR 642.11) regelt die Voraussetzungen, unter denen eine Steuer erlassen werden kann, wörtlich gleich wie § 139b StG/BL. Auch das Bundesrecht stellt die Gewährung des Steuererlasses ins Ermessen der Behörde und räumt keinen Rechtsanspruch auf ganzen oder teilweisen Erlass der direkten Bundessteuer ein (Urteil 2D_138/2007 vom 21. Februar 2008; Urteil 2D_24/2009 vom 9. April 2009; Werner Lüdin, in: Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, Bd. I/2b, N. 20 zu Art. 167 DBG). Den Beschwerdeführern fehlt damit die Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde auch hinsichtlich der direkten Bundessteuer.
5. Auf die Beschwerde kann offensichtlich nicht eingetreten werden. Sie ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 in Verbindung mit 117 BGG zu erledigen. Auf eine Kostenauflage ist angesichts der besonderen Umstände zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Finanz- und Kirchendirektion des Kantons Basel-Landschaft und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juli 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Müller Wyssmann