Faits:
A. W._, née en 1954, travaille en qualité d'aide soignante au service de la Fondation X._. A ce titre, elle est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Axa Winterthur (ci-après: Axa).
Elle a été victime d'un accident de la circulation le 26 décembre 2004: alors qu'elle se rendait à son travail, sa voiture a été heurtée par un véhicule circulant en sens inverse, puis s'est déportée vers la droite et a enfoncé une barrière et un mur. Selon un certificat descriptif initial établi le même jour au Centre hospitalier Y._ l'assurée présentait un hématome à la cuisse gauche, une contusion au cinquième orteil gauche, ainsi qu'une morsure de la langue. Des radiographies ont révélé, en outre, des contusions costale et dorsale. L'intéressée a quitté l'hôpital le soir même.
Se plaignant d'une persistance de ses douleurs, l'assurée a consulté son médecin traitant qui a prescrit un antalgique et des séances de massages. Elle a été incapable de travailler jusqu'au 6 juin 2005, date à laquelle elle a repris son activité à raison de 50 %, puis de 70 % dès le 1er octobre 2005 et, enfin, au taux habituel depuis le 1er mars 2006.
Axa a recueilli des rapports du docteur R._ établis à l'intention de l'assureur-maladie de l'intéressée (des 24 mai et 26 novembre 2005) et elle a confié une expertise à la doctoresse F._, spécialiste en neurologie (rapport du 15 novembre 2005).
Le 19 juin 2006, le médecin traitant de l'assurée a fait état d'une incapacité de travail en raison de gonalgies à droite et d'une arthrose fémoro-patellaire bilatérale. Axa a alors confié une expertise au docteur S._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie (rapport du 29 novembre 2006).
Par décision du 20 avril 2007, confirmée sur opposition le 11 juillet suivant, Axa a supprimé le droit de l'assurée à des prestations d'assurance dès le 1er mars 2006 pour les troubles aux genoux et à partir du 1er janvier 2007 en ce qui concerne les cervicalgies.
B. L'assurée a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura en concluant au maintien de son droit à prestations, subsidiairement au renvoi de la cause à l'assureur-accidents pour complément d'instruction. A l'appui de ses conclusions, elle a produit un rapport d'IRM fonctionnelle réalisée le 7 novembre 2007 au M. à U, un rapport d'expertise psychologique du docteur H._ (rapport du 21 février 2008), ainsi que les résultats d'une IRM cérébrale mise en oeuvre au Centre hospitalier Z._, à Paris, et un rapport d'interprétation du professeur R._, médecin consultant au Département d'imagerie morphologique et fonctionnelle de cet établissement (du 4 août 2008).
La juridiction cantonale a rejeté le recours par jugement du 2 février 2009.
C. W._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi des prestations prévues par la LAA, subsidiairement au renvoi de la cause à Axa pour nouvelle décision.
L'intimée conclut au rejet du recours, ce que propose également la juridiction cantonale. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le maintien éventuel du droit de la recourante à des prestations de l'assurance-accidents au-delà du 28 février 2006 pour les troubles aux genoux et postérieurement au 31 décembre 2006 pour les cervicalgies.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales et la jurisprudence applicable au présent cas, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 La juridiction cantonale a constaté que les gonalgies persistant au-delà d'une période de six semaines après l'accident du 26 décembre 2004 ne sont pas en relation de causalité naturelle avec cet événement mais sont dues exclusivement à des lésions dégénératives. En ce qui concerne les cervicalgies, elle est d'avis que le statu quo sine a été atteint après une période de huit à dix semaines après l'accident, les atteintes dégénératives préexistantes ayant ensuite exercé une influence déterminante dans l'évolution des troubles. Les premiers juges se sont fondés pour cela sur les conclusions du docteur S._, en indiquant qu'elles avaient pleine valeur probante et qu'elles n'étaient pas infirmées par les autres avis médicaux versés au dossier. En particulier, la doctoresse F._ ne conclut pas à l'existence d'une relation de causalité entre les gonalgies et l'accident. Par ailleurs, si ce médecin est d'avis que les troubles dégénératifs à la colonne cervicale n'ont fait que ralentir le processus de guérison après le mécanisme traumatique de distorsion cervicale, la juridiction cantonale considère que cette appréciation ne permet pas de conclure à l'existence d'un lien de causalité. Cela reviendrait, en effet, à se fonder sur l'adage « post hoc ergo propter hoc », lequel ne permet pas, selon la jurisprudence, d'établir la présence d'un tel lien. Quant aux rapports médicaux produits par l'assurée, les premiers juges sont d'avis qu'ils ne sont pas de nature à mettre en cause les conclusions du docteur S._. En particulier, les résultats de l'IRM cérébrale et les conclusions du professeur R._ ne reposent pas sur une méthode diagnostique ayant valeur probante en ce qui concerne le rapport de causalité entre des symptômes et un traumatisme cervical.
La recourante reproche aux premiers juges de s'être fondés exclusivement sur les conclusions du docteur S._ et d'avoir ainsi écarté sans justification le rapport du docteur H._, ainsi que les dossiers d'IRM produits en instance cantonale, lesquels révèlent différents déficits organiques à l'origine de ces troubles.
3.2 3.2.1 Selon la jurisprudence, une méthode diagnostique médicale doit être reconnue scientifiquement pour que ses résultats constituent un fondement fiable pour statuer. Une méthode d'examen est considérée comme éprouvée par la science médicale si elle est largement admise par les chercheurs et les praticiens. En l'état actuel de la science médicale, qui reflète d'importantes divergences au sujet de l'efficacité diagnostique d'une tomographie par résonance magnétique fonctionnelle (TRMf), les résultats d'une telle méthode n'ont pas de valeur probante pour statuer sur le rapport de causalité entre des symptômes présentés par un assuré et un traumatisme par accélération cervicale ou un traumatisme équivalent (ATF 134 V 231).
3.2.2 En l'occurrence, il n'y a pas lieu de revenir sur le point de vue des premiers juges, selon lequel les résultats de l'IRM fonctionnelle réalisée au M. à U ne sont pas de nature à mettre en doute les conclusions du docteur S._. Contrairement aux allégations de la recourante, la méthode d'examen utilisée en l'espèce (Upright-MRI, qui réalise l'imagerie en position debout) ne diffère pas de celle qui est visée par la jurisprudence précitée. Même si elle offre la possibilité d'effectuer des investigations en charge, la méthode utilisée est destinée à des examens fonctionnels au sujet desquels la doctrine médicale est partagée en ce qui concerne leur aptitude à clarifier la question de la causalité (cf. ATF 134 V 231 consid. 5.2 p. 233).
Quant à la méthode pratiquée par le professeur R._ (technique dite de tenseur de diffusion 3D), elle est, comme l'affirme ce médecin, en pleine expérimentation et ne permet pas forcément d'établir une correspondance clinique. Elle ne saurait dès lors être considérée comme éprouvée par la science médicale et, partant, ne constitue pas un fondement fiable pour statuer sur le rapport de causalité avec un événement accidentel.
Par ailleurs, les résultats de l'examen psychologique effectué par le docteur H._ (rapport du 21 février 2008) ne sont pas de nature à mettre en doute les conclusions du docteur S._ au sujet de l'absence d'un déficit organique objectivable d'origine traumatique.
3.3 Vu ce qui précède, il n'y a pas lieu, sans qu'il soit nécessaire de compléter l'instruction, comme le demande la recourante, de mettre en doute le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel l'intéressée ne présente plus de déficit organique objectivable en relation de causalité naturelle avec l'accident du 26 décembre 2004.
Par ailleurs, les premiers juges ont nié l'existence d'un lien de causalité adéquate entre les plaintes sans substrat organique objectivable et l'accident. Ce point de vue ne prête pas le flanc à la critique. Au demeurant, il n'est pas contesté par la recourante.
Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
4. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 novembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd