Sachverhalt:
A. Die Gemeinde Altendorf beabsichtigt die Erstellung eines Parkplatzes mit 25 Autoabstellplätzen entlang der Chlosstrasse im Gebiet Nägglen auf dem ausserhalb der Bauzone gelegenen Grundstück KTN 1610. Das Baugesuch wurde am 21. September 2007 öffentlich aufgelegt. X._ und Y._ erhoben gegen das Vorhaben am 10. Oktober 2007 Einsprache. Das Amt für Raumplanung des Kantons Schwyz erteilte die erforderliche Ausnahmebewilligung im Sinne von Art. 24 RPG (SR 700) am 29. Februar 2008. Daraufhin bewilligte der Gemeinderat am 11. April 2008 das Bauvorhaben und wies die Einsprache ab, soweit er darauf eintrat. Der Regierungsrat des Kantons Schwyz wies eine dagegen gerichtete Beschwerde der unterlegenen Einsprecher am 2. September 2008 ab. Mit Entscheid vom 20. November 2008 wies das kantonale Verwaltungsgericht eine gegen den Beschluss des Regierungsrats von X._ und Y._ eingereichte Beschwerde im Sinne der Erwägungen ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 26. Januar 2009 beantragen X._ und Y._ im Wesentlichen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts sowie die unterinstanzlichen Entscheide der Gemeinde Altendorf, des Amts für Raumplanung und des Regierungsrats seien aufzuheben und die Bewilligung für den projektierten Parkplatz sei zu verweigern.
Die Gemeinde Altendorf und der Regierungsrat beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführer halten in einer weiteren Eingabe an ihren Anträgen und Rechtsauffassungen fest.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts, das eine Ausnahmebewilligung für die Errichtung einer Anlage ausserhalb der Bauzone gemäss Art. 24 RPG kantonal letztinstanzlich bestätigt, steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (BGE 133 II 409 E. 1.1 S. 411). Zweifelhaft ist die vom Verwaltungsgericht (knapp) bejahte Beschwerdeberechtigung der Beschwerdeführer. Wie es sich damit im Einzelnen verhält, kann hier offen bleiben, da die Beschwerde ohnehin in der Sache unbegründet ist.
1.2 Unzulässig ist der Antrag der Beschwerdeführer, auch die unterinstanzlichen Entscheide des Regierungsrats, des Amts für Raumplanung und der Gemeinde Altendorf seien aufzuheben. Diese sind durch das Urteil des Verwaltungsgerichts ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gelten als inhaltlich mitangefochten (BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144; 129 II 438 E. 1 S. 441 mit Hinweisen).
1.3 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt. Sie geben zu keinen Erörterungen Anlass.
2. Der von den Beschwerdeführern beantragte Augenschein erscheint nicht nötig, da sich der rechtserhebliche Sachverhalt mit hinreichender Klarheit aus den Akten ergibt. Aus den gleichen Gründen ist auch der Verzicht des Verwaltungsgerichts auf einen Augenschein nicht zu beanstanden. Der entsprechenden Rüge der Beschwerdeführer kann nicht gefolgt werden.
3. Umstritten ist, ob die Vorinstanzen die Voraussetzungen zur Erteilung einer Ausnahmebewilligung im Sinne von Art. 24 RPG zu Recht bejaht haben. Eine solche Ausnahmebewilligung setzt voraus, dass der Zweck der Bauten und Anlagen einen Standort ausserhalb der Bauzonen erfordert (Standortgebundenheit, Art. 24 lit. a RPG) und keine überwiegenden Interessen entgegenstehen (Art. 24 lit. b RPG).
3.1 Die Standortgebundenheit im Sinne von Art. 24 lit. a RPG ist nach ständiger bundesgerichtlicher Praxis zu bejahen, wenn eine Anlage aus technischen oder betriebswirtschaftlichen Gründen oder wegen der Bodenbeschaffenheit auf einen Standort ausserhalb der Bauzone angewiesen ist, oder wenn ein Werk aus bestimmten Gründen in einer Bauzone ausgeschlossen ist (vgl. BGE 129 II 63 E. 3.1 S. 68; 124 II 252 E. 4a S. 255; 123 II 256 E. 5a S. 261). Dabei genügt eine relative Standortgebundenheit: Es ist nicht erforderlich, dass überhaupt kein anderer Standort in Betracht fällt; es müssen jedoch besonders wichtige und objektive Gründe vorliegen, die den vorgesehenen Standort gegenüber anderen Standorten innerhalb der Bauzone als viel vorteilhafter erscheinen lassen (Urteil des Bundesgerichts 1A.186/2002 vom 23. Mai 2003 in: ZBl 105/2004 103 E. 3; BGE 133 II 409 E. 4.2 S. 417; 108 Ib 359 E. 4a S. 362; Haller/Karlen, Raumplanungs-, Bau- und Umweltrecht, 3. Aufl., Band I, 1999 S. 195 Rz. 711; Waldmann/Hänni, Raumplanungsgesetz, 2006, Art. 24 Rz. 10).
3.2 Der umstrittene Parkplatz dient dem Ziel, das Naherholungsgebiet Bilsten-Chlos weiterhin für breite Bevölkerungskreise offen und zugänglich zu halten. Zugleich soll das unerwünschte wilde Parkieren entlang des Strassenrands und an den Böschungen des Waldrands eingedämmt werden. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer werden mit diesen Zielsetzungen öffentliche Interessen verfolgt. Die Vorinstanzen haben den Standort des Parkplatzes in einer Entfernung von 4 km vom Ortszentrum und einer Höhendifferenz von 400 m unter Prüfung anderer möglicher Alternativen beurteilt und sind mit zutreffender Argumentation zum Schluss gelangt, dass das in Frage stehende Naherholungs- und Wandergebiet einen Grossteil seiner Bedeutung verlieren würde, wenn es nur noch zu Fuss erreichbar wäre. Der Bedarf für den umstrittenen Parkplatz ist auch angesichts der übrigen Tourismusparkplätze, die Erholungssuchenden in der weiteren Umgebung zur Verfügung stehen, ausgewiesen. Die von den Beschwerdeführern genannten Alternativstandorte fallen wegen ihrer Entfernung zum Wandergebiet ausser Betracht.
Was die Beschwerdeführer gegen die vorinstanzliche Beurteilung vorbringen, vermag nicht zu überzeugen. Es liegt weder eine Verletzung des Anspruchs des rechtlichen Gehörs vor, noch ist eine offensichtlich unrichtige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts ersichtlich. Dem Wildtierschutz wird mit der Einstellung des Winterdienstes ab "Blisten" Rechnung getragen und die vom Verwaltungsgericht vorgenommene gewässerschutzrechtliche Beurteilung des Vorhabens ist mit dem Bundesrecht vereinbar. Die zahlreichen weiteren Einwände der Beschwerdeführer führen zu keiner anderen Beurteilung.
4. Es ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind den unterliegenden Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Das Bundesgericht erkennt:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Gemeinde Altendorf, dem Amt für Raumentwicklung, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer lll, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag