Sachverhalt:
A. Die 1973 geborene S._ war ab September 1990 bei der Firma G._ AG tätig. Ab August 2000 wurde ihr von ärztlicher Seite eine volle Arbeitsunfähigkeit bescheinigt. Die Arbeitgeberin kündigte das Anstellungsverhältnis auf den 31. August 2001. Im September 2001 meldete sich S._ unter Hinweis auf diesen Sachverhalt bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen holte u.a. ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten vom 13. September 2002 ein. Sie veranlasste sodann eine berufliche Abklärung (vom 2. Dezember 2002 bis 28. Februar 2003) bei der Stiftung A._ welche darüber am 3./13. März 2003 Bericht erstattete. Seit 1. März 2003 ist S._ bei der Stiftung A._ teilzeitlich im Bereich leichter Industriearbeiten tätig. Mit Verfügungen vom 18. Juni 2003 sprach ihr die IV-Stelle rückwirkend ab 1. Juni 2001 bei einem Invaliditätsgrad von 78 % eine ganze Invalidenrente zu. Im Rahmen eines im Mai 2008 eingeleiteten Revisionsverfahrens liess die IV-Stelle, nebst weiteren Abklärungen, die Versicherte durch einen RAD-Psychiater untersuchen. Dieser erstattete am 9. Juni 2009 Bericht. Mit Verfügung vom 21. Oktober 2010 setzte die IV-Stelle mit der Begründung, der Invaliditätsgrad betrage nur noch 50 %, die ganze Rente ab 1. Dezember 2010 revisionsweise auf eine halbe Rente herab.
B. S._ reichte hiegegen Beschwerde ein. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gewährte ihr die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Entscheid vom 22. August 2012 hiess es die Beschwerde teilweise gut, hob die Verfügung vom 21. Oktober 2010 mit der Feststellung, es bestehe weiterhin Anspruch auf eine ganze Invalidenrente, auf, und wies die Sache zur Durchführung beruflicher Massnahmen an die Verwaltung zurück.
C. Die IV-Stelle erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Verfügung vom 21. Oktober 2010 zu bestätigen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
S._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersuchen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung vom 9. Januar 2013 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 137 II 313 E. 1.4 S. 317 f. mit Hinweis). Trotzdem obliegt es der Beschwerde führenden Partei, sich in ihrer Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389; vgl. auch BGE 137 III 580 E. 1.3 S. 584; je mit Hinweisen).
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen zum nach dem Invaliditätsgrad abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente und zur Rentenrevision infolge erheblicher Änderung des Invaliditätsgrades zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Grundsätze zur Aufgabe von Arzt und Ärztin bei der Invaliditätsbemessung, zum Untersuchungsgrundsatz und zu den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Berichte. Darauf wird verwiesen.
2.1 Den rentenzusprechenden Verfügungen der IV-Stelle vom 18. Juni 2003 lag die Annahme zugrunde, die Versicherte sei in ihrer Arbeitsfähigkeit erheblich eingeschränkt und könne die Restarbeitsfähigkeit von 50 % allenfalls noch in einer geschützten Institution mit einem möglichen Jahresverdienst von Fr. 6000.- verwerten. Diesem Invalideneinkommen sei ein Valideneinkommen von Fr. 27'486.- gegenüberzustellen. Daraus ergebe sich eine Erwerbseinbusse von 21'486.-, entsprechend einem - den Anspruch auf eine ganze Rente begründenden - Invaliditätsgrad von 78 %.
In der Verfügung vom 21. Oktober 2010 gelangte die IV-Stelle zum Ergebnis, der Gesundheitszustand der Versicherten habe sich seit der Rentenzusprechung wesentlich verbessert. Aus medizinischer Sicht sei eine leichte bis mittelschwere Tätigkeit in der freien Wirtschaft im Rahmen von 50 % zumutbar. Die Versicherte bevorzuge die aktuelle Tätigkeit und wolle weiterhin im geschützten Rahmen arbeiten. Das Valideneinkommen belaufe sich auf Fr. 51'372.- und das - mittels Tabellenlöhnen bestimmte - Invalideneinkommen auf Fr. 25'686.-. Der Invaliditätsgrad betrage damit 50 %, weshalb die ganze auf eine halbe Rente herabgesetzt werde.
2.2 Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, massgeblich für die am 2. April 2003 verfügte Rentenzusprechung sei in medizinischer Hinsicht das Gutachten vom 13. September 2002 gewesen. Darin sei gestützt auf die erhobenen psychiatrischen Diagnosen geschlossen worden, die Arbeitsfähigkeit betrage nach Durchführung von Eingliederungsmassnahmen 50 %. Diesen gutachterlichen Feststellungen sei für die Frage der Rentenrevision der Untersuchungsbericht des RAD-Psychiaters vom 9. Juni 2009 gegenüberzustellen. Daraus ergebe sich aber nur eine geringfügige Verbesserung des Gesundheitszustandes, und es werde, wie im Gutachten vom 13. September 2002, von einer 50 %igen Arbeitsfähigkeit ausgegangen. Eine wesentliche Veränderung liege damit nicht vor. Der einzige Unterschied gegenüber der Situation bei der Rentenzusprechung bestehe somit darin, dass die IV-Stelle damals nach der Eingliederungsmassnahme bei der Stiftung A._ davon ausgegangen sei, die verbleibende Arbeitsfähigkeit lasse sich nur in einem geschützten Rahmen verwerten, während sie nunmehr nach Vorliegen des RAD-Berichtes keinen Grund mehr sehe für ein Abweichen von der 50 %igen Arbeitsfähigkeit im freien Markt. Der Umstand, dass die IV-Stelle im Rahmen des ursprünglichen Verfahrens davon ausgegangen sei, die verbleibende Arbeitsfähigkeit lasse sich nur in einem geschützten Rahmen verwerten, ändere indessen nichts daran, dass die beiden fachärztlichen Berichte in Bezug auf die prozentuale Arbeitsfähigkeit keine Abweichung enthielten. Damit fehle es auch in diesem Bereich an neuen Tatsachen. Zusammenfassend sei keine wesentliche Veränderung in den tatsächlichen Verhältnissen gegeben. Damit seien die Voraussetzungen für eine Rentenrevision nicht gegeben und bleibe es beim Anspruch auf eine ganze Rente.
2.2 Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, massgeblich für die am 2. April 2003 verfügte Rentenzusprechung sei in medizinischer Hinsicht das Gutachten vom 13. September 2002 gewesen. Darin sei gestützt auf die erhobenen psychiatrischen Diagnosen geschlossen worden, die Arbeitsfähigkeit betrage nach Durchführung von Eingliederungsmassnahmen 50 %. Diesen gutachterlichen Feststellungen sei für die Frage der Rentenrevision der Untersuchungsbericht des RAD-Psychiaters vom 9. Juni 2009 gegenüberzustellen. Daraus ergebe sich aber nur eine geringfügige Verbesserung des Gesundheitszustandes, und es werde, wie im Gutachten vom 13. September 2002, von einer 50 %igen Arbeitsfähigkeit ausgegangen. Eine wesentliche Veränderung liege damit nicht vor. Der einzige Unterschied gegenüber der Situation bei der Rentenzusprechung bestehe somit darin, dass die IV-Stelle damals nach der Eingliederungsmassnahme bei der Stiftung A._ davon ausgegangen sei, die verbleibende Arbeitsfähigkeit lasse sich nur in einem geschützten Rahmen verwerten, während sie nunmehr nach Vorliegen des RAD-Berichtes keinen Grund mehr sehe für ein Abweichen von der 50 %igen Arbeitsfähigkeit im freien Markt. Der Umstand, dass die IV-Stelle im Rahmen des ursprünglichen Verfahrens davon ausgegangen sei, die verbleibende Arbeitsfähigkeit lasse sich nur in einem geschützten Rahmen verwerten, ändere indessen nichts daran, dass die beiden fachärztlichen Berichte in Bezug auf die prozentuale Arbeitsfähigkeit keine Abweichung enthielten. Damit fehle es auch in diesem Bereich an neuen Tatsachen. Zusammenfassend sei keine wesentliche Veränderung in den tatsächlichen Verhältnissen gegeben. Damit seien die Voraussetzungen für eine Rentenrevision nicht gegeben und bleibe es beim Anspruch auf eine ganze Rente.
2.3 2.3.1 Die Beschwerde führende IV-Stelle wendet ein, es gehe nicht an, einzig auf die prozentualen Angaben der ärztlichen Arbeitsfähigkeitsschätzungen abzustellen und damit eine Verbesserung auszuschliessen. Eine Verbesserung des Gesundheitszustandes sei ausgewiesen und auch von der Vorinstanz anerkannt. Diese Verbesserung sei nicht als geringfügig zu taxieren. Bereits deshalb sei ein Revisionsgrund zu bejahen. Für die Annahme eines solchen genüge zudem, dass die Invaliditätsbemessung neu gestützt auf neue Werte vorzunehmen sei. Da die Versicherte nicht mehr in einem geschützten Rahmen tätig sein müsse, sei neu auf die LSE-Tabellenlöhne abzustellen. Folglich stehe einer umfassenden ärztlichen Beurteilung der gesundheitlichen Situation nichts entgegen.
Geltend gemacht wird in der Beschwerde weiter, werde ein Revisionsgrund verneint, sei die Revisionsverfügung mit der substituierten Begründung der Wiedererwägung zu bestätigen.
2.3.2 Die Beschwerdegegnerin äussert sich dahingehend, entgegen der Auffassung der IV-Stelle sei die gegebene Restarbeitsfähigkeit weiterhin nur in geschütztem Rahmen verwertbar. Mit der Vorinstanz sei eine erhebliche Veränderung des Gesundheitszustandes zu verneinen.
2.4 Als erstes ist auf das Vorbringen der Beschwerdeführerin betreffend Wiedererwägung einzugehen.
2.4.1 Gemäss Art. 53 Abs. 2 ATSG kann der Versicherungsträger auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Wird die zweifellose Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenverfügung erst vom Gericht festgestellt, so kann es die auf Art. 17 ATSG gestützte Revisionsverfügung der Verwaltung mit dieser substituierten Begründung schützen (BGE 125 V 368 E. 2 S. 369; SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 3.2). Vorausgesetzt ist, dass kein vernünftiger Zweifel an der Unrichtigkeit der Verfügung möglich, also nur dieser einzige Schluss denkbar ist (erwähntes Urteil SVR 2012 IV Nr. 18, E. 3.2 mit Hinweisen).
2.4.2 Die IV-Stelle begründet ihr Vorbringen damit, bei der Rentenzusprechung sei zu Unrecht davon ausgegangen worden, die Restarbeitsfähigkeit lasse sich nur in geschütztem Rahmen verwerten.
Die Stiftung A._ gelangte im Bericht vom 3./13. März 2003 gestützt auf die durchgeführte berufliche Abklärung zum Ergebnis, es sei ein geschützter Arbeitsplatz erforderlich. RAD-Arzt Dr. med. W._ äusserte sich am 25. März 2003 dahingehend, es sei medizinisch nachvollziehbar, dass eine Tätigkeit nur noch in geschütztem Rahmen in Frage komme. Unter Berücksichtigung dieser Angaben kann die damalige Rentenzusprechung entgegen der Auffassung der IV-Stelle nicht als zweifellos unrichtig betrachtet werden, auch wenn der RAD-Arzt seine Einschätzung nicht weiter begründet hat und sich im - noch ohne Kenntnis der Ergebnisse der beruflichen Abklärung erstellten - medizinischen Gutachten vom 13. September 2002 keine Aussage zum Erfordernis eines geschützten Arbeitsplatzes findet. Die Voraussetzungen für eine Wiedererwägung der Rentenverfügungen vom 18. Juni 2003 sind daher nicht erfüllt.
2.5 Zu prüfen bleibt die Frage der Rentenrevision.
2.5.1 Gemäss Art. 17 Abs. 1 ATSG wird die Rente von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben, wenn sich der Invaliditätsgrad einer Rentenbezügerin oder eines Rentenbezügers erheblich ändert. Anlass zu einer solchen Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen (BGE 134 V 131 E. 3 S. 132 mit Hinweisen, vgl. auch BGE 133 V 545). Bei den Renten der Invalidenversicherung kann auch eine geringfügige Änderung des Sachverhalts Anlass zu einer Revision geben, sofern sie zu einer Über- oder Unterschreitung eines Schwellenwertes führt (BGE 133 V 545 E. 6 S. 546 ff. mit Hinweisen). Als Schwellenwerte gelten für den Anspruch auf eine Viertelsrente 40 %, auf eine halbe Rente 50 %, auf eine Dreiviertelsrente 60 % und auf eine ganze Rente 70 % (Art. 28 Abs. 2 IVG in der seit Anfang 2008 geltenden Fassung).
Der Invaliditätsgrad ist vorliegend unstreitig nach der für Erwerbstätige geltenden Methode des Einkommensvergleichs gemäss Art. 16 ATSG zu bestimmen. Danach wird das Erwerbseinkommen, das die versicherte Person nach Eintritt der Invalidität und nach Durchführung der medizinischen Behandlung und allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihr zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte (Invalideneinkommen), in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das sie erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre (Valideneinkommen).
2.5.2 Auszugehen ist von der unbestrittenen vorinstanzlichen Feststellung, wonach weiterhin eine 50 %ige Restarbeitsfähigkeit besteht.
Entgegen der Beurteilung des kantonalen Gerichts ist nun aber für die Frage einer Rentenrevision nicht von vornherein unerheblich, ob diese Restarbeitsfähigkeit erwerblich nur im geschützten Rahmen - wie bei der Rentenzusprechung angenommen - oder aber neu auch in der freien Wirtschaft - mit entsprechend besseren Verdienstmöglichkeiten - verwertbar ist. Denn eine diesbezügliche Änderung vermag sehr wohl zu einer Über- oder - hier zur Diskussion stehend - Unterschreitung eines Schwellenwertes zu führen. Das hat denn auch die von einer solchen Änderung ausgehende Invaliditätsbemessung der IV-Stelle gezeigt.
2.5.3 Das kantonale Gericht hat sich in der wie dargelegt unzutreffenden Annahme, die Frage der Notwendigkeit eines geschützten Arbeitsplatzes sei a priori irrelevant, nicht weiter mit diesem Gesichtspunkt befasst. Damit ist noch nicht entschieden, ob weiterhin ein solcher Arbeitsplatz erforderlich ist. Es fragt sich, ob von einer Rückweisung an die Vorinstanz zur Prüfung dieses Streitpunktes abgesehen werden kann. Das träfe dann zu, wenn sich unabhängig davon beurteilen liesse, ob die von der Verwaltung verfügte Rentenrevision rechtmässig ist oder nicht. Der angefochtene Entscheid belässt es indessen bei der erwähnten Feststellung zur weiterhin bestehenden 50 %igen Restarbeitsfähigkeit und setzt sich nicht mit den übrigen Faktoren des von der Verwaltung vorgenommenen Einkommensvergleichs und den diesbezüglichen Parteivorbringen im kantonalen Verfahren auseinander. Damit hat das Bundesgericht keine genügenden Entscheidsgrundlagen, um selber über die Rechtmässigkeit der Rentenrevision zu befinden.
Die Sache ist somit an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Dieses hat im Sinne der vorstehenden Erwägungen neu zu beurteilen, ob die Rente zu Recht auf den 1. Dezember 2010 herabgesetzt wurde.
3. Die Beschwerde der IV-Stelle richtet sich auch gegen die vorinstanzliche Rückweisung zur Durchführung beruflicher Massnahmen.
Der Rückweisungsentscheid stellt einen Zwischenentscheid dar, der nur unter bestimmten Voraussetzungen beim Bundesgericht angefochten werden kann (Art. 93 BGG; BGE 133 V 477).
Ob diese Voraussetzungen hier erfüllt sind, kann offen bleiben, da die Beschwerde diesbezüglich ohnehin unbegründet ist. Die IV-Stelle bringt einzig vor, eine medizinisch attestierte Verbesserung der Arbeitsfähigkeit sei rechtsprechungsgemäss auf dem Weg der Selbsteingliederung zu verwerten. Indessen schliesst eine Verbesserung hinsichtlich Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit einen Anspruch auf berufliche Massnahmen auch unter Berücksichtigung der Selbsteingliederungspflicht der versicherten Person nicht von vornherein aus. In dieser generellen Art kann diese Pflicht dem Anspruch auf berufliche Massnahmen daher nicht entgegengehalten werden. Daran ändert entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin das im Urteil 9C_228/2010 vom 26. April 2011 E. 3.3-3.5 (veröffentlicht in: SVR 2011 IV Nr. 73 S. 220) Gesagte nichts. Andere Gesichtspunkte, welche den vorinstanzlichen Entscheid gegebenenfalls als rechtswidrig erscheinen lassen könnten, werden nicht geltend gemacht. Festzuhalten bleibt, dass auch ein - je nach dem Ergebnis der vorinstanzlichen Neubeurteilung (E. 2 hievor) weiter bestehender - Anspruch auf eine ganze Invalidenrente einen Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen nicht von vornherein ausschlösse (BGE 115 V 191 E. 5c S. 200; 108 V 210 E. 1d S. 213; RtiD 2009 I S. 189, 9C_457/2008 E. 3.2; ULRICH MEYER-BLASER, Zum Verhältnismässigkeitsgrundsatz im staatlichen Leistungsrecht, Bern 1985, S. 84). Die Beschwerde ist somit im Rückweisungspunkt abzuweisen.
4. Das Prozessergebnis rechtfertigt, die Gerichtskosten je hälftig den Parteien aufzuerlegen und die Verwaltung zur Bezahlung einer reduzierten Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin zu verhalten (Art. 66 und Art. 68 BGG). Die Voraussetzungen zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für die auf die Versicherte entfallenden Gerichts- und restlichen Parteikosten sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 22. August 2012, ausser bezüglich berufliche Massnahmen, aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdegegnerin Rechtsanwältin Zuber Hofer als Rechtsbeistand beigegeben. Rechtsanwältin Zuber Hofer wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 500.- ausgerichtet.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden zu Fr. 250.- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 250.- der Beschwerdegegnerin auferlegt. Der Anteil der Beschwerdegegnerin wird vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Februar 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz