Sachverhalt:
A. Die kosovarische Staatsangehörige X._ (geb. 1984) heiratete Ende 2004 einen in der Schweiz niedergelassenen Landsmann, worauf ihr eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei diesem erteilt wurde. Im August 2007 trennten sich die Eheleute, nachdem es zwischen ihnen zu Spannungen gekommen war. Am 5. März 2008 wurde die Ehe geschieden. Die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich verlängerte in der Folge am 5. September 2008 die Aufenthaltsbewilligung von X._ nicht mehr. Die von dieser hiergegen ergriffenen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (vgl. das Urteil 2D_23/2009 vom 24. Juli 2009).
B. Am 4. März 2010 forderte die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (Migrationsamt) X._ auf, die Schweiz bis zum 31. Mai 2010 zu verlassen. Der Regierungsrat des Kantons Zürich wies am 16. Juni 2010 den hiergegen gerichteten Rekurs ab, soweit er darauf eintrat. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung lehnte er mit der Begründung ab, dass die Eingabe aussichtslos gewesen sei. X._ gelangte darauf an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, welches am 8. September 2010 ihre Beschwerde ebenfalls abwies, soweit es darauf eintrat. Das Gericht ging im Wesentlichen davon aus, dass keine Vollzugshindernisse gegen die Wegweisung "manifest" seien, weshalb es sich nicht rechtfertige, beim Bundesamt für Migration eine vorläufige Aufnahme zu beantragten oder "eine entsprechende Antragsstellung" anzuordnen. Bezüglich des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung liess es die Frage der Aussichtslosigkeit der Eingabe offen, da X._ auf jeden Fall ihre Mittellosigkeit nicht hinreichend dargetan habe.
C. X._ beantragt vor Bundesgericht mit Eingabe vom 15. Oktober 2010, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 8. September 2010 sowie die diesem zugrunde liegenden Entscheide der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 5. September 2008 und des Regierungsrats des Kantons Zürich vom 16. Juni 2010 aufzuheben. Die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei die Unzumutbarkeit ihrer Wegweisung festzustellen und die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich anzuweisen, beim Bundesamt für Migration ihre vorläufige Aufnahme zu beantragen. Für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Die Beschwerdeführerin macht geltend, der Wegweisungsvollzug in den Kosovo sei für sie unzumutbar, da dort die von ihr benötigte ambulante Gesprächstherapie nicht angeboten werde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich habe die Beweise diesbezüglich willkürlich gewürdigt und ihren Anspruch auf rechtliches Gehör insofern verletzt, als es die Anforderungen an die Mitwirkungspflicht bei der Ermittlung des Sachverhalts zu hoch angesetzt habe. Das Verwaltungsgericht hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen. Die Sicherheitsdirektion und der Regierungsrat des Kantons Zürich haben keine Vernehmlassungen eingereicht.
D. Das Bundesgericht hat die Angelegenheit am 26. Mai 2011 öffentlich beraten.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig, die Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Sie ist ausgeschlossen gegen Entscheide über die vorläufige Aufnahme (Ziff. 3) und die Wegweisung (Ziff. 4). Gegen entsprechende kantonale Entscheide steht indessen die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (Urteil 2D_67/2009 vom 4. Februar 2010 E. 2.1). Der Betroffene kann in diesem Rahmen - in dem es nicht mehr um den negativen Sach-, sondern mit der Wegweisung lediglich noch um den damit verbundenen Vollzugsentscheid geht - keine Rügen erheben, die Gegenstand des Entscheids über den Widerruf bzw. über die Nichtverlängerung der Bewilligung gebildet haben oder hätten bilden müssen (Urteile 2C_425/2010 vom 17. August 2010 E. 4 und 2D_67/2009 vom 4. Februar 2010 E. 2.4 und E. 5).
1.2 Die Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf eine Bewilligung mehr. Das Migrationsamt des Kantons Zürich hat sie am 4. März 2010 angehalten, die Schweiz zu verlassen, und das Vorliegen von Vollzugshindernissen verneint. Nur noch die Verfassungsmässigkeit dieses - durch das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 8. September 2010 bestätigten - Wegweisungsentscheids bildet Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Der Antrag, auch die Entscheide des Regierungsrats und der Sicherheitsdirektion aufzuheben, ist unzulässig, da diese kantonal nicht letztinstanzlich sind (vgl. Art. 113 und 114 in Verbindung mit Art. 86 BGG; KIENER/KUHN, Rechtsschutz im Ausländerrecht, in: Jahrbuch für Migrationsrecht 2005/2006, S. 91 ff., dort S. 108).
2. Zur Verfassungsbeschwerde ist legitimiert, wer (a) vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder zu Unrecht keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat und (b) ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids dartun kann (Art. 115 BGG). Das erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich dabei nicht bereits aus dem verfassungsrechtlichen Willkürver- oder dem Verhältnismässigkeitsgebot (vgl. BGE 134 I 153 E. 4; PETER UEBERSAX, Einreise und Anwesenheit, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2009, N. 7.147). Zur Willkürrüge ist eine Partei nur legitimiert, wenn sie sich auf eine gesetzliche Norm berufen kann, die ihr im Bereich der betroffenen und angeblich verletzten Interessen einen Rechtsanspruch einräumt oder zumindest den Schutz ihrer Interessen bezweckt (vgl. BGE 133 I 185 E. 6.1 S. 198). Trotz fehlender Legitimation in der Sache kann der Betroffene die Verletzung von Parteirechten rügen, deren Missachtung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt (sog. "Star"-Praxis). Unzulässig sind Vorbringen, die im Ergebnis wiederum auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen, wie die Behauptung, die Begründung sei unvollständig oder zu wenig differenziert bzw. die Vorinstanz habe sich nicht oder in willkürlicher Weise mit den Argumenten der Partei auseinandergesetzt und Beweisanträge in offensichtlich unhaltbarer antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt (vgl. BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313 [zum OG]; 133 I 185 E. 6.2 S. 199; Urteil 2D_13/2007 vom 14. Mai 2007 E. 2.3 mit weiteren Hinweisen).
3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe in willkürlicher Weise verneint, dass bei ihr Wegweisungsvollzugshindernisse bestünden. Der Vollzug der Wegweisung sei ihr unzumutbar. Auf ihre Rüge und den damit verbundenen Antrag, den Kanton anzuhalten, beim Bundesamt für Migration um eine vorläufige Aufnahme nachzusuchen, ist mangels eines entsprechenden Rechtsanspruchs nicht einzutreten:
3.1 Ist der Vollzug der Weg- oder Ausweisung nicht möglich, nicht zulässig oder nicht zumutbar, verfügt das Bundesamt für Migration die vorläufige Aufnahme (Art. 83 Abs. 1 AuG). Diese "kann" von den kantonalen Behörden beantragt werden, nicht aber vom Betroffenen selber (Art. 83 Abs. 6 AuG; ZÜND/ARQUINT HILL, Beendigung der Anwesenheit, Entfernung und Fernhaltung, in: Ausländerrecht, a.a.O., N. 8.103). Die vorläufige Aufnahme bildet eine grundsätzlich zeitlich beschränkte Ersatzmassnahme, wenn der Vollzug der Wegweisung undurchführbar ist. Sie tritt neben die rechtskräftige Wegweisung und berührt deren Bestand nicht, sondern setzt ihn voraus. Sie ist keine Aufenthaltsbewilligung, sondern ein vorübergehender Status, der die Anwesenheit regelt, solange der Wegweisungsvollzug - d.h. die exekutorische Massnahme der Wegweisung zur Beseitigung des rechtswidrigen Zustands - nicht zulässig, nicht zumutbar oder nicht möglich erscheint (vgl. RUEDI ILLES, in: Caroni/Gächter/Thurnherr [Hrsg.], SHK Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG], 2010, N. 2 f. zu Art. 83 AuG; SPESCHA/KERLAND/BOLZLI, Handbuch zum Migrationsrecht, 2010, S. 117 f.; PETER BOLZLI, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli, Migrationsrecht, 2. Aufl. 2009, N. 3 f. zu Art. 83 AuG). Im ausländerrechtlichen Verfahren ist in der Regel mit dem negativen Bewilligungsentscheid gleichzeitig die Wegweisung als Vollstreckungsverfügung und logische Konsequenz der fehlenden Aufenthaltsberechtigung anzuordnen (Art. 66 Abs. 1 AuG) sowie dem Betroffenen eine angemessene Ausreisefrist anzusetzen (Art. 66 Abs. 2 AuG).
3.2 Vollzugshindernisse können von jedem weggewiesenen Ausländer gegenüber jeder wegweisenden Behörde vorgebracht werden (ILLES, a.a.O., N. 6 zu Art. 83 AuG; SPESCHA/KERLAND/BOLZLI, A.A.O., S. 118; BOLZLI, a.a.O., N. 5 zu Art. 83 AuG). Unabhängig davon, ob es sich um ein asyl- oder ein ausländerrechtliches Verfahren handelt, hat diejenige Instanz, welche den Vollzug der Weg- oder Ausweisung anordnet, sämtliche Wegweisungsvollzugshindernisse zu prüfen. Werden Sachverhaltselemente behauptet, die dem Vollzug der Wegweisung entgegenstehen, muss die kantonale Behörde diese bei ihrem Wegweisungsentscheid oder in dessen Vollzugsphase prüfen; eine Verweisung in das Asylverfahren kommt nur infrage, wenn die betroffene Person ausdrücklich den Willen geäussert hat, ein Asylgesuch im Sinne von Art. 18 AsylG stellen zu wollen (vgl. BVGE 2010/42 E. 4 - 12; s.a. ILLES, a.a.O., N. 6 zu Art. 83 AuG). Andernfalls sind sämtliche allfälligen Hindernisse von der kantonalen Migrationsbehörde im ausländerrechtlichen Wegweisungsverfahren zu berücksichtigen. Zwar ist die vorläufige Aufnahme, über die das Bundesamt und auf Beschwerde hin das Bundesverwaltungsgericht definitiv entscheiden, eine Folge der Feststellung, dass der Vollzug der Weg- oder Ausweisung "nicht möglich", "nicht zulässig" oder "nicht zumutbar" ist, doch hat der Betroffene im ausländerrechtlichen Verfahren keinen Anspruch auf eine vorläufige Aufnahme: Art. 83 Abs. 6 AuG sieht ausdrücklich nur vor, dass die kantonale Behörde beim Bundesamt diese beantragen kann. Art. 83 AuG verschafft dem Einzelnen keinen Rechtsanspruch; im Gegenteil: Der Gesetzgeber schloss den direkten Zugang des Ausländers zu diesem Verfahren bewusst aus und überliess es dem Kanton, gegebenenfalls ein solches einzuleiten. Auf die Willkürrügen der Beschwerdeführerin ist deshalb nicht einzutreten; dies auch nicht insofern, als sie - im Sinne einer Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör - geltend macht, es seien zu hohe Beweisanforderungen gestellt worden. Diese Frage lässt sich von der materiellen Beurteilung kaum trennen; im Übrigen wäre die Rüge unbegründet, wie im Zusammenhang mit der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung durch die kantonalen Behörden zu zeigen sein wird.
3.3 Gegen den kantonalen Wegweisungsentscheid bzw. das Verneinen von Vollzugshindernissen durch die kantonalen Behörden kann mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde hingegen an das Bundesgericht gelangt werden, soweit sich die betroffene ausländische Person dabei auf besondere verfassungsmässige Rechte beruft, die ihr unmittelbar ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 115 lit. b BGG verschaffen. Zu denken ist dabei etwa an den Schutz des Lebens (Art. 10 Abs. 1 BV/Art. 2 EMRK), an das Verbot jeder Art grausamer, unmenschlicher oder erniedrigender Behandlung oder Bestrafung (Art 10 Abs. 3 BV/Art. 3 EMRK) oder an das Verbot einer Ausschaffung in einen Staat, in welchem dem Betroffenen Folter oder eine andere Art grausamer und unmenschlicher Behandlung oder Bestrafung droht (Art. 25 Abs. 3 BV) bzw. an das Gebot, Flüchtlinge nicht in einen Staat auszuschaffen oder auszuliefern, in dem sie verfolgt werden (Art. 25 Abs. 2 BV). Die entsprechenden Rügen müssen indessen jeweils rechtsgenügend begründet werden (Art. 116 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG); das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur soweit diese klar, sachbezogen und falls möglich belegt dargetan werden ("qualifizierte Rügepflicht"; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254, 396 E. 3.1 S. 399). Die Beschwerdeführerin beruft sich auf keines dieser Grundrechte; sie begründet auch nicht, weshalb und inwiefern ein solches durch den angefochtenen Entscheid verletzt würde.
4. 4.1 In formeller Hinsicht macht die Beschwerdeführerin geltend, ihr sei in verfassungswidriger Weise im kantonalen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verweigert worden. Hierzu ist sie im Rahmen der "Star"-Praxis legitimiert, doch erweist sich ihre Kritik im Resultat als unbegründet. Zutreffend ist der Einwand, das Verwaltungsgericht habe überspitzt formalistisch entschieden (vgl. BGE 120 V 413 E. 4b S. 417; 115 Ia 12 E. 3b S. 17; je mit Hinweisen), wenn es davon ausgegangen sei, sie habe ihre Mittellosigkeit mangels Angaben zu ihrem (nicht bestehenden) Vermögen unzureichend dargetan. Indessen treffen die Ausführungen des Regierungsrats zu, dass ihre Eingaben gestützt auf die einschlägige Rechtsprechung des Bundesverwaltungsgerichts keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg hatten.
4.2 Die kantonalen Behörden haben sich eingehend mit den Ausführungen der Beschwerdeführerin auseinandergesetzt und zur Beurteilung ihrer Situation auf die Rechtsprechung des Bundesverwaltungsgerichts abgestellt, welche den von ihr ins Recht gelegten Bericht der Flüchtlingshilfe relativierte. Danach herrscht im Kosovo zurzeit "klarerweise" keine generell unsichere, von bewaffneten Konflikten oder jederzeit drohenden Unruhen geprägte Lage, aufgrund derer sich die Beschwerdeführerin bei einer Rückkehr in ihre Heimat einer konkreten Gefährdung ausgesetzt sähe (vgl. EMARK 2005 Nr. 24 E. 10.1 S. 215). Die Situation als geschiedene Frau dürfte die Beschwerdeführerin im Kosovo zwar vor Probleme stellen, doch scheint - wie die Vorinstanz zutreffend dargelegt hat - wenig glaubwürdig, dass sie von ihren Eltern bei einer Rückkehr in ihr Heimatland verstossen und überhaupt nicht mehr unterstützt würde, nachdem die entsprechenden verwandtschaftlichen Pflichten im Kosovo "sehr ausgeprägt" sind (Urteil des BVGer E-6301/2007 vom 11. August 2010 E. 4.2.2).
4.3 Hinsichtlich der geltend gemachten gesundheitlichen Probleme ist darauf hinzuweisen, dass wegen solcher nur dann auf eine Unzumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs geschlossen werden dürfte, wenn eine notwendige medizinische Behandlung im Heimatland fehlte und die Rückkehr zu einer raschen und lebensgefährlichen Beeinträchtigung des Gesundheitszustands führen würde. Es geht dabei um jene medizinische Versorgung, die zur Gewährleistung einer menschenwürdigen Existenz absolut notwendig erscheint und ohne die eine erhebliche Verschlechterung der Gesundheitslage einträte (ILLES, a.a.O., N. 34 zu Art. 83 AuG; SFH [Hrsg.], Handbuch zum Asyl- und Wegweisungsverfahren, 2009, S. 233). Die Beschwerdeführerin leidet zwar aufgrund des Verhaltens ihres Mannes und ihrer Schwiegermutter an einer posttraumatischen Belastungsstörung sowie an depressiven Verstimmungen und verschiedenen Ängsten; diese stehen aber im Wesentlichen im Zusammenhang mit dem drohenden Verlust der Zukunftsaussichten in der Schweiz. Soweit ihre gesundheitlichen Beeinträchtigungen hierüber hinausgehen, ist nicht ersichtlich, inwiefern es bundesrechtswidrig sein könnte, wenn das Verwaltungsgericht gestützt auf den Bericht der schweizerischen Botschaft im Kosovo vom 5. Februar 2010 zum Schluss gekommen ist, die gesundheitliche Basisversorgung der Beschwerdeführerin sei in der Stadt Gjilan hinreichend sichergestellt, nachdem es dort drei Institutionen gibt, welche entsprechende posttraumatische Belastungsstörungen behandeln, und sich in der Stadt zudem auch private Psychiatriepraxen finden. Die von ihr ergriffenen Rechtsmittel waren aussichtslos.
5. 5.1 Die Beschwerde ist somit abzuweisen (mit substituierter Begründung bezüglich der unentgeltlichen Rechtspflege im Kanton), soweit darauf einzutreten ist (Nichteintreten auf die Vorbringen betreffend die Verletzung des Willkürverbots [Antrag auf vorläufige Aufnahme, Beweiswürdigung]).
5.2 Da die vorliegende Eingabe zum Vornherein in der Sache selber keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg haben konnte und die öffentliche Beratung ausschliesslich zur Klärung des Verhältnisses zwischen der vorläufigen Aufnahme und dem kantonalen Wegweisungs(vollzugs)verfahren diente, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 BGG). Die unterliegende Beschwerdeführerin wird deshalb kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. 2.1 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2 Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
2.3 Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Mai 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar