Fatti:
A. A.a Per decisioni del 13 febbraio 2008 l'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha attribuito a M._, nato nel 1962 e già attivo quale aiuto gessatore, una rendita intera dal 1° dicembre 2004 al 31 agosto 2005 nonché una mezza rendita dal 1° settembre 2005 al 31 maggio 2006. Adito su ricorso dell'interessato, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha annullato la decisione amministrativa nella misura in cui si era pronunciata sul diritto alla prestazione dal 1° settembre 2005 e ha rinviato gli atti all'UAI per ulteriori accertamenti di natura medica (giudizio del 22 aprile 2009).
A.b Affidata una perizia pluridisciplinare (reumatologica, neurologica e psichiatrica) al Servizio accertamento X._, gli esperti incaricati hanno accertato nel loro rapporto del 21 dicembre 2009 che l'assicurato presentava dal 1° marzo 2006 un grado di capacità lavorativa residua del 60% nella professione abituale - la diminuzione essendo da ricondurre ad alcune limitazioni di natura reumatologica ed essendo motivata da una riduzione di rendimento - nonché una piena abilità in attività sostitutive confacenti al suo stato di salute. Con progetto di decisione del 26 luglio 2010 l'amministrazione ha di conseguenza confermato la decisione di soppressione della mezza rendita dal 1° giugno 2006. Con osservazioni del 2 settembre 2010 l'interessato ha contestato il predetto progetto di decisione sollevando una serie di questioni. Dopo avere invitato il Servizio accertamento X._ - il quale rendeva poi il suo complemento in data 30 novembre 2010 - a prendere posizione sulle osservazioni dell'assicurato e avere inoltre commissionato una nuova valutazione psichiatrica al Centro peritale Y._ - il quale nel proprio referto del 10 febbraio 2011 confermava le conclusioni cui era pervenuto il Servizio accertamento X._ -, l'UAI per decisione del 28 febbraio 2011 ha ribadito il rifiuto di erogare una rendita AI dal 1° giugno 2006.
B. Con pronuncia del 23 novembre 2011 il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha respinto il ricorso dell'assicurato che chiedeva l'annullamento della decisione amministrativa, l'allestimento di una nuova perizia interdisciplinare e l'assegnazione di una rendita intera d'invalidità.
C. M._ ha presentato ricorso al Tribunale federale al quale chiede, in via principale, il riconoscimento di una rendita intera e, in via subordinata, il rinvio degli atti all'UAI per complemento istruttorio e nuova decisione.
L'UAI propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali non si è determinato.
Diritto:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto conformemente agli art. 95 e 96 LTF. L'accertamento dei fatti determinanti può invece essere censurato unicamente se è avvenuto in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62), oppure in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 LTF).
2. 2.1 Configura una violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF anche la violazione del diritto di essere sentito. Di conseguenza chi invoca - come fa essenzialmente il ricorrente nel presente contesto - dinanzi al Tribunale federale una violazione del diritto di essere sentito correlata a una contestazione dell'accertamento dei fatti deve - quantomeno in assenza, come nella fattispecie, di una grave infrazione - indicare perché e in quale misura la violazione del diritto di essere sentito potrebbe essere decisiva per l'esito della procedura. È sufficiente a tal proposito rendere verosimile la circostanza che qualora si fosse proceduto correttamente si sarebbe potuto ottenere una diversa decisione di merito (art. 42 cpv. 2, rispettivamente art. 106 cpv. 2 LTF; SVR 2011 AHV n. 2 pag. 4 [9C_1001/2009] consid. 3.2 con riferimenti).
2.2 Sennonché il presente ricorso non soddisfa queste esigenze. Non soltanto infatti l'insorgente non pretende né tanto meno rende verosimile che avrebbe potuto ottenere un giudizio diverso qualora l'UAI gli avesse notificato senza ritardo, già in sede amministrativa, il complemento istruttorio del Servizio accertamento X._ del 30 novembre 2010 e la valutazione del Centro peritale Y._ del 10 febbraio 2011. Ma a ben vedere, tenuto conto del chiarissimo contenuto dei referti specialistici raccolti dall'amministrazione - che hanno messo segnatamente in evidenza l'assenza di limitazioni invalidanti dal profilo psichiatrico e la chiara tendenza rivendicativa dell'assicurato nei confronti delle assicurazioni sociali, con un quadro sintomatologico che pressoché tutti gli esperti intervenuti non hanno esitato a definire incongruente, dimostrativo e grottesco -, egli nemmeno oggettivamente avrebbe potuto sperare in un giudizio diverso.
2.3 A prescindere da queste considerazioni va comunque detto che l'operato irregolare, benché non nuovo (cfr. ancora recentemente la sentenza 9C_961/2009 del 17 gennaio 2011 consid. 2) e deplorevole, dell'amministrazione che ha omesso di trasmettere i referti raccolti dopo il progetto di decisione, dimenticando che avrebbe almeno dovuto informare l'assicurato o il suo patrocinatore della loro esistenza (DTF 132 V 387 consid. 6.2 pag. 391 con riferimenti; cfr. inoltre DTF 128 V 272 consid. 5b/bb pag. 278; 125 V 332 consid. 4b pag. 337), poteva essere sanato in sede giudiziaria cantonale. Da un lato perché il ricorso ai sensi degli art. 56 segg. LPGA configurava un rimedio giuridico ordinario che rendeva possibile il riesame della decisione impugnata dal profilo sia del diritto che dei fatti. Dall'altro perché per costante giurisprudenza è possibile prescindere da un rinvio della causa all'amministrazione se - come in concreto, per le ragioni esposte al consid. 2.2 - una simile operazione si esaurirebbe in uno sterile esercizio procedurale e procrastinerebbe inutilmente il processo in contrasto con l'interesse - di pari rango del diritto di essere sentito - della parte ad essere giudicata celermente (DTF 132 V 387 consid. 5.1 pag. 390 con riferimenti).
2.4 A ciò si aggiunge che il ricorrente, contrariamente a quanto da lui sostenuto, non è stato impedito di consultare l'incarto e di esprimersi con cognizione di causa in sede giudiziaria cantonale. Qualora l'avesse reputato necessario, avrebbe infatti potuto - in ogni momento - prendere visione dell'incarto presso il Tribunale cantonale (v. sentenza 8C_231/2009 del 24 novembre 2009 consid. 2). Al più tardi al momento della decisione del 28 febbraio 2011, l'interessato poteva rendersi conto, leggendo semplicemente il provvedimento, non solo della presenza agli atti di una valutazione del Centro peritale Y._ ma anche della ulteriore presa di posizione (contenente le risposte ai quesiti da lui sollevati) da parte degli esperti del Servizio accertamento X._, le cui conclusioni per l'aspetto sia reumatologico sia psichiatrico non lasciavano - secondo l'UAI - emergere elementi di criticità suscettibili di rivedere il proprio apprezzamento. Al più tardi in quel momento egli poteva dunque formulare una domanda per ottenere la consultazione di tutti gli atti e determinarsi con piena cognizione di causa. Se non lo ha fatto, non può ora in buona fede pretendere l'annullamento delle decisioni impugnate. La violazione del diritto di essere sentito in sede amministrativa poteva ritenersi sanata (cfr. anche sentenze 9C_617/2008 del 6 agosto 2009 consid. 3.2.3 e 9C_127/2007 del 12 febbraio 2008). In tale conclusione non è ravvisabile una contraddizione con quanto enunciato (dopo la resa della decisione amministrativa) in DTF 137 V 210 (sul tema della compatibilità con la nuova prassi delle perizie eseguite secondo i precedenti canoni cfr. ad esempio sentenza 9C_575/2011 del 12 ottobre 2011 consid. 4.2).
2.5 L'insorgente dà inoltre prova di non avere attentamente letto il giudizio impugnato laddove rimprovera all'autorità giudiziaria cantonale di avere erroneamente ritenuto che le risposte ai quesiti in ambito reumatologico (e psichiatrico) gli sarebbero state debitamente trasmesse dall'amministrazione (v. ricorso, punto 5). In realtà il giudice cantonale non ha affermato ciò, ma soltanto che i quesiti posti dall'avv. Beni Dalle Fusine erano stati sottoposti al Servizio accertamento X._ (e non all'assicurato quindi).
3. Quanto alla decisione della Corte cantonale di prescindere dalla messa in atto di ulteriori accertamenti medico-specialistici e di procedere quindi a un apprezzamento anticipato delle prove, l'insorgente si limita a criticarne in maniera appellatoria l'operato e - estrapolando dal loro più ampio contesto alcuni stralci delle precisazioni peritali - a invocare la necessità di ulteriori indagini senza però spiegare né dimostrare perché l'accertamento contestato - che aveva rilevato l'assenza di ogni documentazione specialistica atta a suffragare la bontà o anche solo la (remota) utilità di ulteriori test, comunque facilmente manipolabili dal comportamento amplificatorio e dimostrativo dell'interessato - sarebbe manifestamente insostenibile (cfr. DTF 131 I 153 consid. 3 pag. 157; 124 I 208 consid. 4a pag. 211).
4. Ne segue che il ricorso dev'essere respinto nella misura della sua ammissibilità. Le spese seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.