Faits:
A. A.a AX._ et BX._, se sont mariés le 9 mai 1998 à Addis Abeba (Ethiopie); une fille, C._, née en 2000, est issue de leur union.
A.b Le 12 mai 2004, le mari a requis du Tribunal de première instance de Genève des mesures protectrices de l'union conjugale.
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Par jugement du 16 décembre 2004, cette juridiction a, en substance, autorisé les conjoints à vivre séparés, attribué à l'épouse la jouissance exclusive du domicile conjugal, attribué à la mère la garde de l'enfant, réservé le droit de visite du père et fixé la contribution due par celui-ci à l'entretien de sa famille.
Statuant sur appel le 18 mars 2005, la Cour de justice du canton de Genève a condamné le père à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement d'une pension de 500 fr. du 1er juin 2004 au 31 mai 2005 et de 1'400 fr. dès le 1er juin 2005.
B. B.a Le 9 mars 2005, A._ a ouvert action en divorce devant le Tribunal de Grande Instance d'Addis Abeba; sa femme s'est opposée à la demande.
Ce tribunal a prononcé le divorce le 18 juillet 2005, mais sans statuer sur les effets accessoires, en particulier le sort de l'enfant, dont il n'est pas même fait mention dans le jugement.
B.b Le 20 septembre 2005, A._ a requis la reconnaissance et l'exequatur du jugement de divorce éthiopien.
Par jugement du 22 février 2006, le Tribunal de première instance de Genève a rejeté la requête. La Cour de justice du canton de Genève a confirmé cette décision le 15 juin suivant.
B.c Le 30 novembre 2006, A._ a formé une nouvelle requête de reconnaissance et d'exequatur.
Le Tribunal de première instance de Genève l'a débouté derechef le 10 mai 2007. La Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 18 octobre 2007, confirmé cette décision.
C. Contre cet arrêt, AX._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant à ce que le jugement de divorce éthiopien soit reconnu et rendu exécutoire; il requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'intimée n'a pas répondu dans le délai imparti à cet effet, alors que la juridiction précédente se réfère aux considérants de son arrêt.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 III 115 consid. 1 p. 117, 235 consid. 1 p. 236 et la jurisprudence citée).
1.1 La décision attaquée est susceptible d'un recours en matière civile sous l'angle de l'art. 72 al. 2 let. b ch. 1 LTF (Klett/Escher, in: Basler Kommentar, n. 9 ad art. 72 LTF). Ayant pour objet la reconnaissance d'un jugement étranger qui tranche uniquement le principe du divorce, le présent litige est de nature non pécuniaire (cf. a contrario: FF 2001 p. 4107 al. 3 in fine).
1.2 Interjeté en temps utile à l'encontre d'une décision finale prise par une juridiction cantonale de dernière instance statuant sur recours, la présente écriture est également recevable au regard des art. 75, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Après avoir retenu que la requête était accompagnée d'une expédition complète et authentique du jugement de divorce éthiopien (art. 29 al. 1 let. a LDIP) ainsi que d'une attestation constatant que celui-ci était bien définitif (art. 29 al. 1 let. b LDIP), la Cour de justice a considéré que la reconnaissance de cette décision était incompatible avec l'ordre public suisse (art. 27 al. 1 LDIP). En effet, selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, la maxime d'office fait partie de l'ordre public (matériel) suisse; conformément à ce principe, le juge du divorce doit se prononcer sur l'attribution de l'enfant mineur, le droit de visite et la contribution à son entretien; or, tel n'est pas le cas en l'espèce, de sorte que le jugement en discussion, qui ne statue que sur la dissolution du lien conjugal, ne saurait être reconnu en Suisse.
2.1 A teneur de l'art. 65 al. 1 LDIP, un jugement de divorce étranger est reconnu en Suisse lorsqu'il a été rendu dans l'Etat du domicile ou de la résidence habituelle, ou dans l'Etat national de l'un des époux, ou s'il est reconnu dans l'un de ces Etats. Cette disposition doit être lue en relation avec les normes générales posées aux art. 25 ss LDIP, qui prévoient en substance qu'une décision étrangère est reconnue en Suisse pour autant que les autorités judiciaires de l'Etat dont émane la décision étaient compétentes, que celle-ci n'est plus susceptible d'un recours ordinaire et qu'elle n'est pas manifestement incompatible avec l'ordre public suisse (ATF 126 III 327 consid. 2a p. 330).
En vertu de l'art. 1er de la Convention de La Haye, du 5 octobre 1961, concernant la compétence des autorités et la loi applicable en matière de protection des mineurs, applicable par renvoi de l'art. 85 al. 1 LDIP, les autorités de la résidence habituelle d'un mineur sont compétentes pour prendre des mesures tendant à la protection de sa personne ou de ses biens; ladite convention s'applique également aux mineurs qui ne sont pas - comme en l'occurrence - ressortissants d'un des Etats contractants (art. 13 al. 3; ATF 126 III 298 consid. 2a/aa p. 301).
En l'espèce, il est incontesté que l'enfant a sa résidence habituelle en Suisse; cela étant, les autorités suisses sont compétentes pour statuer sur l'attribution de l'autorité parentale et le droit de visite - mesures de protection du mineur (ATF 132 III 586 consid. 2.2.1 p. 590 et les arrêts mentionnés) -, ainsi que sur la contribution d'entretien (ATF 126 III 298 consid. 2a/bb p. 302/303 et les références). La présente cause diffère donc de l'arrêt sur lequel s'est fondée l'autorité cantonale (i.e. ATF 126 III 298), où, faute de compétence directe du juge étranger (cf. art. 25 let. a LDIP), sa décision ne pouvait pas être reconnue en tant qu'elle concernait le sort de l'enfant. Partant, la reconnaissance du jugement de divorce éthiopien ne saurait être refusée, au nom de l'ordre public matériel suisse, pour le motif qu'il ne se prononce pas sur «l'attribution de l'enfant, le droit de visite et la contribution d'entretien», dès lors que le tribunal éthiopien était précisément incompétent pour connaître de ces questions; certes, son jugement est incomplet, mais le principe de l'unité du jugement de divorce ne relève pas de l'ordre public (ATF 109 Ib 232 consid. 2a p. 235).
2.2 En l'occurrence, le recourant demande de «reconnaître et rendre exécutoire» le jugement de divorce éthiopien.
Le Tribunal fédéral a jugé que, lorsqu'une décision est non seulement reconnue, mais encore «déclarée exécutoire», elle peut donner lieu à exécution forcée et faire l'objet de formalités, telles que l'inscription ou la transcription dans des registres publics (ATF 98 Ia 537 consid. 6 [in principio] p. 544). Cette conception paraît cependant dépassée. Il est actuellement admis que les décisions dont la nature est, comme dans le cas présent, constitutive et non condamnatoire ne sont pas sujettes à exequatur, mais à reconnaissance (Message du Conseil fédéral du 10 novembre 1982 concernant une loi fédérale sur le droit international privé [loi de DIP], FF 1983 I 255 ss, 316/317 ch. 217.1; Schnyder, Das neue IPR-Gesetz, 2e éd., § 6 I/1, p. 37). En matière d'état civil, c'est la transcription du jugement de divorce étranger dans les registres d'état civil qui constitue la reconnaissance d'une telle décision (Berti/Däppen, in: Basler Kommentar, 2e éd., n. 2 ad art. 32 LDIP; Bucher/Bonomi, Droit international privé, 2e éd., n° 307 et 572; cf. aussi: arrêt 5A.6/1996 du 19 avril 1996, consid. 2b, Pra 1997 n° 11). Il s'ensuit qu'une déclaration formelle d'exequatur n'est pas nécessaire ici.
2.3 Il ressort du dossier que l'intimée s'était plainte de n'avoir pas été régulièrement citée (art. 27 al. 1 let. a LDIP), moyen que le Tribunal de première instance avait accueilli dans son premier jugement. S'étant fondée - dans ses deux arrêts (cf. supra, let. B.b) - sur le motif déduit de l'incompatibilité avec l'ordre public suisse, la juridiction précédente n'a pas examiné cet aspect; à la lecture de l'arrêt attaqué, il n'apparaît pas non plus que l'intéressée aurait finalement renoncé à se prévaloir de ce vice de procédure. Dans ces circonstances, on ne saurait donner suite aux conclusions du recourant.
3. En conclusion, le recours doit être partiellement admis, l'arrêt attaqué annulé et l'affaire renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue à nouveau (art. 107 al. 2 LTF). Bien qu'elle n'ait pas répondu, l'intimée n'est pas dispensée pour autant d'assumer les frais de la procédure et de verser des dépens à sa partie adverse (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF; ATF 123 V 156 et 159), ce qui rend sans objet la requête d'assistance judiciaire du recourant.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé et l'affaire est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est sans objet.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4. Une indemnité de 1'500 fr., à payer au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la 1ère Section de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 3 juillet 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Raselli Braconi