Faits:
A. A._, née en 2004 à Chêne-Bougeries (GE), est issue de la relation hors mariage entre dame Y._, née en 1959, et X._, né en 1959, qui étaient alors tous deux divorcés, la première depuis janvier 1994 et le second depuis décembre 2003. X._ a reconnu l'enfant en octobre 2004.
De son mariage, dame Y._ a en outre un fils, B._, né en 1992, placé sous sa garde et son autorité parentale, pour lequel elle reçoit une contribution d'entretien de l'ordre de 2'500 fr. par mois.
Quant à X._, il est le père de deux autres enfants issus de son mariage, à savoir C._, née en 1995, et D._, né en 1997, pour lesquels il ne verse aucune pension alimentaire, chacun des parents devant contribuer à parts égales à leurs dépenses et les allocations familiales étant partagées par moitié, vu le maintien de l'autorité parentale commune et l'instauration d'une garde alternée.
Depuis la naissance de A._, X._ reverse à dame Y._ les allocations familiales perçues pour la fillette et prend en charge une partie de la prime d'assurance maladie de celle-ci, le solde étant payé directement à la mère par son employeur, Z._.
X._ et dame Y._ se sont séparés en octobre 2006.
B. Le 16 avril 2008, A._, représentée par sa mère, a formé une action alimentaire à l'encontre de son père. Elle a sollicité, sur mesures provisoires et sur le fond, allocations familiales non comprises, une contribution d'entretien mensuelle d'un montant de 1'955 fr.25 jusqu'à l'âge de 6 ans, 1'861 fr.20 de 7 à 12 ans et 2'029 fr.50 de 13 à 18 ans, voire au-delà mais jusqu'à 25 ans au plus tard en cas d'études sérieuses.
Le défendeur a conclu qu'il lui soit donné acte de son engagement de verser, allocations familiales et d'études en sus, la somme de 300 fr. par mois pendant la durée de la procédure, puis des montants échelonnés entre 300 fr. et 500 fr. par mois suivant l'âge de l'enfant.
Par jugement du 27 novembre 2008, le Tribunal de première instance du canton de Genève a condamné le père à payer mensuellement, dès le 1er mai 2008, une contribution, indexée, de 1'000 fr. jusqu'à l'âge de 6 ans, 1'100 fr. de 6 à 12 ans et 1'200 fr. jusqu'à la majorité, voire au-delà en cas de formation suivie ou d'études sérieuses et régulières, mais au plus tard jusqu'à l'âge de 25 ans, allocations familiales non comprises. La requête de mesures provisoires a été rejetée vu le point de départ de la contribution d'entretien.
Sur appel du débirentier, la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 20 mars 2009, confirmé le jugement entrepris et débouté les parties de toutes autres conclusions.
C. X._ forme un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 20 mars 2009. Il conclut principalement à ce que la contribution d'entretien mensuelle soit arrêtée, allocations non comprises, à 300 fr. jusqu'à l'âge de 6 ans, 400 fr. de 6 à 12 ans puis 500 fr. jusqu'à 25 ans au plus en cas d'études sérieuses et régulières. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision au sens des considérants.
L'intimée propose le rejet du recours.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
D. Par ordonnance du 29 avril 2009, la présidente de la cour de céans a rejeté la demande d'effet suspensif.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision statuant sur une action alimentaire (art. 279 CC) est sujette au recours en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) lorsque, comme en l'espèce, la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Interjeté contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale (art. 75 LTF), par une partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 LTF), le recours est recevable au regard de ces dispositions. Il a en outre été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 La cause présente un caractère d'extranéité compte tenu du domicile en France du père. Comme l'enfant a sa résidence habituelle en Suisse, les tribunaux de ce pays sont compétents (art. 79 al. 1 LDIP) et le droit suisse est applicable (art. 83 al. 1 LDIP et art. 4 de la Convention de La Haye du 2 octobre 1973 sur la loi applicable aux obligations alimentaires [RS 0.211.231.01]).
2. Invoquant l'art. 29 al. 1 et 2 Cst., le recourant se plaint d'une violation de l'interdiction du déni de justice formel et du droit à une décision motivée, en tant que la Cour de justice n'a pas discuté la plupart des griefs pertinents qu'il a soulevés en instance cantonale, se contentant de motiver lapidairement son raisonnement sans l'étayer d'une quelconque manière.
2.1 L'autorité de recours qui ne traite pas un grief relevant de sa compétence, motivé de façon suffisante et pertinent pour l'issue du litige, commet un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst. (ATF 117 Ia 116 consid. 3a p. 117/118; 113 Ia 426 consid. 3 p. 430), ce qu'il appartient au recourant d'établir (ATF 87 I 241 consid. 3 p. 246). Par ailleurs, la jurisprudence a déduit du droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties. Il n'y a violation du droit d'être entendu que si l'autorité ne satisfait pas à son devoir minimum d'examiner les problèmes pertinents (ATF 129 I 232 consid. 3.2 p. 236; 126 I 97 consid. 2b p. 102 s. et les références).
L'interdiction du déni de justice (ATF 121 I 230 consid. 2a p. 232) et le droit d'être entendu (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437) sont des droits de nature formelle dont la violation entraîne l'annulation de la décision attaquée, indépendamment du sort du recours sur le fond.
2.2 En l'espèce, la Cour de justice n'a pas commis de déni de justice formel puisqu'elle n'a pas manqué d'examiner les griefs soulevés devant elle par le recourant, considérant toutefois que les «reproches globaux formulés à l'encontre du jugement querellé ne justifiaient pas un démenti détaillé», le premier juge ayant correctement analysé, à quelques nuances près, la situation des parents. Bien que succincte, cette explication, qui corrobore implicitement les considérants du Tribunal de première instance, constitue en outre une motivation suffisante au sens de l'art. 29 al. 2 Cst.
3. Se référant aux art. 105 al. 2 LTF et 9 Cst., le recourant soutient que la constatation de l'autorité cantonale selon laquelle il perçoit un salaire mensuel net de 10'559 fr. est manifestement inexacte, partant arbitraire, dès lors que ce montant comprend les allocations pour enfants qui s'élèvent à 442 fr. pour chacun d'eux, soit 1'326 fr. au total. Comme l'arrêt attaqué retient qu'il reverse intégralement ces allocations à l'intimée et à concurrence de 50% à ses deux autres enfants, ce qui représente une somme globale de 884 fr., le revenu net à prendre en considération serait donc de 9'675 fr.70 et non de 10'559 fr.70, voire moins si l'on déduit encore l'allocation de famille de 370 fr. par mois également incluse dans son salaire brut, selon décompte produit. En comptabilisant les allocations familiales à double, l'autorité cantonale aurait ainsi surévalué ses revenus de façon conséquente. Partant, la constatation selon laquelle il bénéficie d'un disponible de 2'800 fr. par mois au moins reposerait sur des éléments de preuve manifestement insoutenables et serait à l'évidence arbitraire dans son résultat, ayant directement influé sur la décision attaquée.
3.1 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 134 IV 36 consid. 1.4.1 p. 39; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (cf. sur la notion d'arbitraire dans le contexte de l'appréciation des preuves: ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les arrêts cités).
3.2 Selon l'arrêt attaqué, le père, ingénieur chez Z._ à plein temps, réalise un salaire mensuel brut de 12'413 fr. comprenant les allocations familiales à hauteur de 1'326 fr., soit 442 fr. par enfant, et la participation de son employeur aux primes d'assurance maladie. Il affirme, ce qui est admis, reverser les montants qu'il perçoit pour A._ à la mère de celle-ci et la moitié de ce qui lui revient pour ses deux autres enfants à son ex-femme. En conséquence, son salaire mensuel net s'élève à 10'559 fr. Par ailleurs, une partie de ses primes d'assurance maladie et de celles de ses enfants est débitée directement de son salaire, le solde étant pris en charge par son employeur. Celui-ci assume également, à concurrence de 75%, les frais de scolarité de ses enfants, sur présentation des factures acquittées. Quant à ses charges incompressibles, elle se montent à 6'735 fr. par mois. Son revenu mensuel net, de 10'559 fr., lui assure ainsi un disponible supérieur à 2'800 fr. [recte: 3'800 fr.].
3.3 Si les allocations familiales ne doivent en principe pas être prises en considération dans la capacité contributive du débirentier, dès lors que les enfants en sont titulaires et qu'il en est tenu compte dans la fixation de l'entretien que leur doit le parent débiteur (arrêt 5A_685/2008 consid. 3.2.3 et les citations; Wullschleger, FamKommentar Scheidung, Berne 2005, n. 21 ad art. 285 CC et les références mentionnées), le recourant ne démontre pas que la constatation selon laquelle il bénéficierait d'un disponible d'au moins 2'800 fr. par mois serait insoutenable, partant, que la décision attaquée serait, sur ce point, arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4/5; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148 et les arrêts cités). Se référant à un décompte de salaire figurant au dossier, il soutient que son revenu mensuel net doit en réalité être fixé à 9'675 fr.70, «voire moins», pour faire abstraction des allocations familiales. Cependant, comme il ne conteste pas ses charges, arrêtées à 6'735 fr.05, son disponible serait donc, selon ses propres chiffres, de 2'940 fr.65. Dans ces conditions, il ne saurait reprocher à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement retenu - malgré l'erreur de soustraction de celle-ci - qu'il disposait, après paiement de ses charges, d'un solde d'au moins 2'800 fr.
4. Le recourant se plaint en outre d'une violation des art. 276, 285 et 133 CC. Il fait grief à l'autorité cantonale d'avoir pris comme point de départ les montants figurant dans les tabelles zurichoises relatifs au coût d'entretien d'un enfant seul et non d'un enfant vivant dans une fratrie de deux, alors que la mère de l'intimée a également la garde et l'autorité parentale sur son fils né de son mariage. Les contributions allouées, qui dépassent largement les sommes retenues dans les tabelles zurichoises, ne se justifieraient pas non plus au regard de la situation financière des parents. Enfin, le principe d'égalité de traitement entre enfants d'un même débiteur aurait également été violé.
4.1 Les père et mère doivent pourvoir à l'entretien de l'enfant et assumer, par conséquent, les frais de son éducation, de sa formation et des mesures prises pour le protéger (art. 276 al. 1 CC); l'entretien est assuré par les soins et l'éducation ou, lorsque l'enfant n'est pas sous la garde de ses père et mère, par des prestations pécuniaires (al. 2). La contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère, compte tenu de la fortune et des revenus de l'enfant (art. 285 al. 1 CC; ATF 116 II 110 consid. 3a p. 112). En principe, les enfants doivent bénéficier du même train de vie que celui effectivement mené par leurs parents (ATF 120 II 285 consid. 3b/bb p. 291; 116 II 110 consid. 3a p. 112/113). Selon l'art. 280 al. 2 CC (et non l'art. 133 CC comme l'invoque à tort le recourant), applicable à l'action alimentaire de l'art. 279 CC, le juge examine d'office les faits et apprécie librement les preuves, ce qui ne dispense toutefois pas les parties de collaborer à la procédure et d'étayer leurs propres thèses (ATF 128 III 411 consid. 3.2.1 p. 413 et les arrêts cités).
La fixation du montant de la contribution d'entretien relève du pouvoir d'appréciation du juge, qui applique les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC); il n'y a violation du droit fédéral que si le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation, en se référant à des critères dénués de pertinence ou en ne tenant pas compte d'éléments essentiels, ou encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant arrêté apparaît manifestement inéquitable (ATF 107 II 406 consid. 2c p. 410; cf. aussi: ATF 127 III 136 consid. 3a p. 141; 108 II 30 consid. 8 p. 32).
4.2 En l'espèce, l'arrêt attaqué retient que la mère de l'intimée réalise un salaire mensuel de près de 14'440 fr. Le recourant dispose pour sa part d'un revenu net de 10'559 fr., non soumis à l'impôt. Dans ces conditions, l'autorité cantonale ne saurait se voir reprocher d'avoir abusé de son pouvoir d'appréciation en considérant qu'il se justifiait d'allouer à l'intimée un entretien supérieur à celui prévu par les tabelles zurichoises, et ce quand bien même cette autorité aurait omis de prendre en considération que l'intéressée vivait dans une fratrie de deux, compte tenu de la présence de son demi-frère. Les montants des tabelles ayant été établis sur la base de revenus plutôt modestes (Empfehlungen zur Bemessung von Unterhaltsbeiträgen für Kinder/Bildungsdirecktion des Kantons Zürich, Amt für Jugend und Berufsberatung, 2007, p. 11 in limine), des revenus supérieurs peuvent donner lieu à ajustement, une augmentation de la contribution d'entretien de 25% par rapport au coût d'entretien moyen d'un enfant pouvant être jugée comme étant adéquate (arrêt 5A_792/2008 du 26 février 2009, consid. 5.3.1; 5A_507/2007 du 23 avril 2008 consid. 5.3.2; BREITSCHMIDT, Commentaire bâlois, 3e éd., n. 23 ad art. 285 CC); or, la différence entre le coût d'entretien moyen d'un enfant unique et de celui vivant dans une fratrie de deux, selon les tabelles zurichoises (cf. www.lotse.zh.ch), n'atteint pas ce pourcentage (ex. pour 2009: deux enfants de 1-6 ans: 1'740 fr. chacun, enfant unique de 1-6 ans: 2'040 fr., soit environ 17% de plus; idem pour 2008: deux enfants de 1-6 ans: 1'715 fr. chacun, enfant unique de 1-6 ans: 2'010 fr., soit environ 17% de plus). L'autorité cantonale n'a donc pas enfreint le droit fédéral sur ce point.
On ne voit pas non plus en quoi la maxime inquisitoire aurait été violée, l'utilisation des montants recommandés par les tabelles, adaptés aux circonstances du cas, étant admise par la jurisprudence et la doctrine (arrêt 5C.171/2003 du 11 novembre 2003 consid. 3.1 et la référence mentionnée). Dans la mesure où le recourant soutient qu'il contribuerait déjà à l'entretien de l'intimée à hauteur de 1'319 fr.40 par mois (allocations familiales, assurance maladie et couverture de son école privée), il s'écarte, de manière irrecevable, des constatations de l'autorité cantonale, cette somme ne résultant pas de l'arrêt attaqué.
Enfin, le fait que la mère de l'intimée bénéficierait - comme le recourant paraît le prétendre sans toutefois démontrer son affirmation - d'une situation financière plus favorable que la mère de ses deux autres enfants n'est en l'occurrence pas décisif. Il résulte en effet des constatations de l'arrêt attaqué qu'après paiement de ses charges, le recourant dispose d'un solde de près de 3'000 fr. (2'940 fr.65 selon ses propres chiffres: cf. supra, consid. 3.3). En allouant à l'intimée une contribution échelonnée entre 1'000 fr. et 1'200 fr., l'autorité cantonale n'a pas violé le principe d'égalité de traitement - lequel n'exclut du reste pas d'emblée un traitement différent du point de vue financier (ATF 126 III 353 consid. 2b p. 358 ss) - entre les enfants du recourant, qui peuvent bénéficier approximativement d'un même traitement financier de la part de leur père: en effet, déduction faite de la contribution en faveur de l'intimée, le recourant dispose encore d'environ 1'900 fr., respectivement 1'700 fr. (2'940 fr.65 - 1'000 fr. puis 1'200 fr.). Cette somme lui permet de compléter les besoins de base de ses deux premiers enfants, nés le 22 novembre 1995 et le 2 septembre 1997 (dont la moitié du minimum vital, à savoir 500 fr. au total, a été prise en compte dans ses charges par l'autorité cantonale, de même que leurs frais d'écolage et parascolaires par 520 fr. ainsi que leurs frais de transport d'un montant de 140 fr.), sans être lui-même réduit au minimum vital du droit des poursuites. Il convient encore de relever qu'une éventuelle inégalité de traitement ne nuirait pas à l'intimée mais à ses demi-frère et soeur, qui ne sont pas parties à la procédure; de plus, il n'est pas contesté que le minimum vital du recourant soit respecté. Dès lors, c'est à ses deux premiers enfants qu'il appartiendrait d'intenter action si l'entretien qu'ils reçoivent ne suffisait pas à couvrir leurs besoins de façon convenable ou si la mesure de cet entretien violait le principe de l'égalité de traitement en leur défaveur. En l'état, dès lors que les ressources du débirentier sont suffisantes pour assurer l'entretien de ses trois enfants et que l'intimée n'est en tous les cas pas victime d'une inégalité de traitement, il ne se justifie pas de réduire l'entretien de celle-ci; le recourant ne saurait en effet invoquer le principe de l'égalité de traitement de façon contraire à son but - et donc abusive - afin d'obtenir la réduction d'une contribution que ses ressources lui permettent de payer (arrêt 5A_62/2007 du 24 août 2007 consid. 6.3 et les références citées).
5. En conclusion, le recours se révèle mal fondé et doit par conséquent être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera dès lors les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera en outre des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 10 septembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot