Faits:
A. X._ est assuré auprès de Y._ (ci-après: la caisse-maladie) pour l'assurance obligatoire des soins, une assurance combinée d'hospitalisation et une assurance de soins complémentaires.
En raison de problèmes liés à l'obésité, X._ a subi une intervention chirurgicale pour laquelle il a sollicité les prestations de la caisse-maladie. Le 12 mars 2008, celle-ci a refusé de prendre en charge ces frais médicaux sous l'angle de l'assurance obligatoire des soins, ce qu'elle a confirmé par une décision sur opposition rendue le 21 mai 2008; par un courrier séparé du 12 mars 2008, elle a informé l'assuré qu'elle refusait également le remboursement des frais sous l'angle de l'assurance complémentaire relevant du droit privé.
Par acte du 23 juin 2008, X._ s'est adressé au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, qui est compétent aussi bien pour les prétentions relevant de l'assurance-maladie sociale que pour celles reposant sur l'assurance complémentaire de droit privé. Il a conclu à ce que cette autorité prononce qu'il a droit au remboursement du traitement médical en cause par l'assurance obligatoire de base; par ailleurs, il a conclu au remboursement dudit traitement par le biais de l'assurance privée et à ce que la caisse-maladie soit en conséquence condamnée à lui rembourser les montants suivants :
- 5'000 fr. plus intérêts à compter du 23 novembre 2007 au titre de la note d'honoraires du Dr A._ datée du 16 novembre 2007;
- 2'120 fr. plus intérêts dès le 11 octobre 2007, s'agissant de la facture du Dr B._, anesthésiste, datée du 15 octobre 2007;
- 17'835 fr. plus intérêts dès le 1er octobre 2007, correspondant à la facture de la Clinique V._, du 26 septembre 2007.
Par arrêt du 18 décembre 2008, le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales a dit, sous ch. 3 du dispositif de sa décision, "que le recourant a droit au remboursement des frais litigieux, sur la base de l'assurance obligatoire des soins comme sur celle de l'assurance complémentaire". La motivation concerne exclusivement l'assurance sociale, sauf la dernière phrase, où il est dit que la demande sur la base de l'assurance complémentaire est également admise "par conséquent". Le Tribunal n'a cependant alloué à l'assuré aucune des sommes qu'il demandait au titre de l'assurance de droit privé.
X._ n'a pas recouru au Tribunal fédéral, quand bien même la décision cantonale ne donnait aucune suite à ses conclusions en paiement fondées sur l'assurance de droit privé. En revanche, la caisse-maladie a recouru contre cette décision auprès du Tribunal fédéral par la voie d'un recours en matière de droit public, discutant exclusivement le cas sous l'angle de l'assurance-maladie sociale.
Par arrêt 9C_99/2009 du 19 mars 2010, publié in ATF 136 I 121, le Tribunal fédéral, saisi du litige exclusivement sous l'angle de l'assurance-maladie sociale, est parvenu à la conclusion que l'assuré n'avait pas droit aux prestations de l'assurance, de sorte qu'il a annulé aussi bien le ch. 1 que le ch. 2 (recte : 2 et 3) du dispositif de l'arrêt attaqué. Il a mis les frais judiciaires, pour la procédure devant le Tribunal fédéral, à la charge de l'assuré et il a renvoyé la cause au Tribunal cantonal des assurances sociales pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
B. A la suite de cet arrêt du Tribunal fédéral, le Tribunal cantonal des assurances sociales, par arrêt du 20 avril 2010, a annulé le ch. 3 (recte : 4) du dispositif de l'arrêt du 18 décembre 2008 et a prononcé qu'il n'y avait pas lieu d'octroyer des dépens à l'assuré, qui n'avait pas obtenu gain de cause, même partiellement.
Saisi d'une réclamation de l'assuré, le Tribunal cantonal des assurances sociales, par arrêt du 15 juin 2010, a rejeté la réclamation.
C. X._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 15 juin 2010. Invoquant l'interdiction de l'arbitraire, il conclut à l'annulation de la décision attaquée et au renvoi de la cause à la cour cantonale.
L'intimée, qui agit sans recourir aux services d'un avocat, conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Admettant qu'il a entièrement succombé dans ses prétentions fondées sur le droit de l'assurance-maladie sociale, le recourant se place désormais exclusivement sur le plan du droit privé pour soutenir qu'il n'a pas entièrement succombé et qu'il aurait donc droit à des dépens.
Alors qu'il avait obtenu gain de cause devant le Tribunal cantonal, un montant de 3'000 fr. lui a été alloué à titre de dépens, et il ne le critique pas. Il faut en déduire qu'il cherche à obtenir aujourd'hui - ayant succombé devant le Tribunal fédéral sous l'angle de l'assurance sociale - une fraction de cette somme. Il sied d'ailleurs de souligner que la procédure devant l'autorité précédente ne portait plus que sur la question des dépens. Il appert ainsi que la valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. requise pour un recours en matière civile n'est pas atteinte (art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant ne tente pas de soutenir que l'affaire poserait une question juridique de principe (cf. art. 42 al. 2 deuxième phrase LTF), de sorte qu'il est manifeste qu'un recours en matière civile n'était pas ouvert en raison des exigences posées par l'art. 74 LTF. C'est bien à juste titre que le recourant a interjeté un recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
1.2 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions tendant à l'octroi de dépens (art. 115 LTF) et dirigé contre une décision finale sur cette question (art. 90 LTF applicable par le renvoi de l'art. 117 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF applicable par le renvoi de l'art. 114 LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.3 Le recours subsidiaire ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF).
En matière de droit constitutionnel, le Tribunal fédéral n'applique pas le droit d'office et ne peut entrer en matière que dans la mesure où un grief constitutionnel a été invoqué et suffisamment motivé dans l'acte de recours (art. 106 al. 2 LTF applicable par le renvoi de l'art. 117 LTF).
En l'espèce, le recourant invoque la protection contre l'arbitraire garantie par l'art. 9 Cst. Il évoque aussi le droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), mais il ne soutient pas qu'il aurait été empêché de s'exprimer librement sur la question de l'octroi des dépens, de sorte que ce grief, dépourvu de motivation, n'est pas recevable. Il y a lieu du reste de préciser que la décision attaquée, comme le montre son dispositif, ne porte que sur l'octroi ou le refus de dépens, et non pas sur la question de savoir si le recourant pourrait faire valoir des prétentions sur la base de l'assurance privée complémentaire.
1.4 Saisi d'un recours constitutionnel subsidiaire, le Tribunal fédéral doit statuer sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 LTF).
1.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF applicable par le renvoi de l'art. 117 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF applicable par renvoi de l'art. 117 LTF).
Le recours constitutionnel est un recours en réforme, puisque le Tribunal fédéral, s'il admet le recours, peut statuer lui-même sur le fond (art. 107 al. 2 LTF applicable par le renvoi de l'art. 117 LTF). En conséquence, le recourant ne devait pas se borner à conclure à la cassation de l'arrêt attaqué, mais il devait articuler le montant des dépens auquel il prétendait, puisque l'on ne voit pas ce qui aurait empêché le Tribunal fédéral de statuer lui-même sur cette question d'appréciation. Le recours pourrait donc être déclaré irrecevable pour ce motif. Sachant que le Tribunal fédéral répugne à trancher lui-même des questions d'appréciation relevant du droit cantonal, on peut renoncer à trancher la question, dès l'instant où le recours - comme on le verra - doit être rejeté.
2. 2.1 Le seul grief constitutionnel valablement invoqué est l'interdiction de l'arbitraire.
Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable. Le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4; 134 I 263 consid. 3.1 p. 265 s.).
2.2 Savoir si et à quelles conditions une partie peut prétendre à des dépens pour sa participation à une procédure devant une autorité cantonale est une pure question de droit cantonal. Le recourant explique qu'à teneur de l'art. 89h al. 3 de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (E 5 10), tout assuré a droit à des dépens s'il obtient gain de cause totalement ou partiellement.
La question est donc de savoir si le recourant a obtenu totalement ou partiellement gain de cause. Le Tribunal fédéral ne peut revoir l'opinion de la cour cantonale que sous l'angle restreint de l'arbitraire.
2.3 Le recourant demandait en première ligne la prise en charge de ses frais médicaux par l'assurance-maladie sociale. Sur ce point, il a totalement succombé par suite de l'arrêt du Tribunal fédéral du 19 mars 2010.
Sous l'angle de l'assurance complémentaire de droit privé, il avait demandé que sa partie adverse soit condamnée à lui rembourser des factures déterminées. Or, sur ce point, il n'a obtenu absolument aucune condamnation de la part de la cour cantonale et cette question n'a pas fait l'objet d'un recours au Tribunal fédéral.
Certes, la dernière phrase contenue dans la motivation de l'arrêt cantonal du 18 décembre 2008 ouvre la voie à une indemnisation sur la base de l'assurance complémentaire de droit privé. Le Tribunal cantonal n'a cependant fait aucune analyse sous l'angle spécifique du droit privé, si bien que son affirmation ne constitue qu'une déduction sur la base de ce qu'elle a retenu pour l'assurance sociale. Comme son raisonnement en matière d'assurance sociale a été totalement anéanti par l'arrêt du Tribunal fédéral, la phrase concernant l'assurance privée n'a plus de fondement. Quant au passage du dispositif qui évoque cette question, il semble que tout le chiffre ait été formellement annulé par l'arrêt du Tribunal fédéral, même si celui-ci ne se prononce pas sur l'assurance complémentaire de droit privé. Au surplus, l'arrêt cantonal est contradictoire, puisqu'il semble admettre - en constatation de droit - que le recourant peut prétendre à des prestations sur la base de l'assurance privée, mais que, simultanément, il n'alloue aucun des montants réclamés de ce chef. Interprété strictement, l'arrêt cantonal signifie que le recourant a en principe droit à des prestations sur la base de l'assurance privée, mais qu'il n'a droit à aucun des montants qu'il a réclamés à ce titre. On ne voit vraiment pas ce que le recourant pourrait déduire de ce jugement. Ainsi, le recourant a totalement succombé sous l'angle de l'assurance sociale et il n'a rien obtenu de concret sous l'angle de l'assurance privée. Face à une telle situation, l'autorité cantonale n'a pas statué arbitrairement en considérant qu'il n'avait pas obtenu gain de cause, même partiellement. Partant, le recours doit être rejeté.
3. Les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée, qui n'a pas recouru aux services d'un avocat et n'a pas invoqué de frais spéciaux.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 6 janvier 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet