Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Da es um eine Strafsache geht, ist die "national wirksame Beschwerde" als Beschwerde gemäss Art. 78 ff. BGG entgegenzunehmen.
2. Eine Verhandlung ist nicht notwendig (vgl. Art. 58 BGG). Das Gesuch um eine mündliche Hauptverhandlung ist abzuweisen.
3. Im vorliegenden Verfahren kann es nur um den Entscheid der Einzelrichterin des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 22. Februar 2010 gehen. Soweit sich die Beschwerde gegen andere Entscheide richtet, ist darauf nicht einzutreten.
4. In einer Beschwerde ist anzugeben, inwieweit der angefochtene Akt das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Soweit sich der Beschwerdeführer nicht auf den angefochtenen Entscheid bezieht, ist darauf nicht einzutreten.
5. Sein Ausstandsbegehren gegen verschiedene kantonale Verwaltungsrichter (Antrag 15) ist gegenstandslos, da diese am angefochtenen Entscheid nicht mitgewirkt haben.
6. Der Beschwerdeführer wurde am 20. November 2009 durch das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich auf den 4. März 2010 in den Strafvollzug von insgesamt 26 Tagen vorgeladen. Die Direktion der Justiz und des Innern trat am 26. Januar 2010 auf einen Rekurs des Beschwerdeführers infolge Verspätung nicht ein. Im angefochtenen Entscheid wurde eine dagegen gerichtete kantonale Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wurde.
Was der Beschwerdeführer zur Sache vorbringt, genügt, soweit es überhaupt verständlich ist, den minimalen Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG nicht. Er macht zum Beispiel geltend, die kantonalen Fristen stünden vom 20. Dezember bis und mit 8. Januar still (Beschwerde S. 4 Ziff. 2). Aus dieser Behauptung ergibt sich nicht, dass die mit einem Zitat aus einem massgeblichen Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz belegte Schlussfolgerung der Vorinstanz, der Fristenstillstand gelte nur im Verfahren vor Gerichtsinstanzen, indessen nicht im Rekursverfahren (angefochtener Entscheid S. 4 E. 2.2), gegen das schweizerische Recht im Sinne von Art. 95 BGG oder den Anspruch auf rechtliches Gehör verstossen bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV sein könnte.
7. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Infolge der rechtsmissbräuchlichen Art der Prozessführung kommt eine Herabsetzung der Gerichtsgebühr nicht in Betracht (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Das Gesuch um Durchführung einer mündlichen Verhandlung wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn