Erwägungen:
1. Die Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach führt gegen X._ ein Strafverfahren wegen Verdachts auf Brandstiftung und Sachbeschädigung, begangen in der Nacht vom 31. Juli auf den 1. August 2011.
Nach Befragung des Beschuldigten und verschiedener Zeugen ersuchte der amtliche Verteidiger im Hinblick auf die für den 5. Dezember 2011 angesetzte zweite Einvernahme des Beschuldigten um Zustellung der in der Zwischenzeit erstellten Befragungsprotokolle. Am 28. November 2011 teilte die verfahrensleitende Staatsanwältin dem Verteidiger mit, eine vollständige Akteneinsicht könne gestützt auf Art. 101 Abs. 1 StPO noch nicht gewährt werden.
Hiergegen wandte sich X._ bzw. dessen Verteidiger am 29. November 2011 mit einer Beschwerde ans Obergericht des Kantons Aargau.
Mit Schreiben vom 20. Dezember 2011 teilte die verfahrensleitende Staatsanwältin mit, dass sie dem amtlichen Verteidiger nunmehr Einsicht in alle Verfahrensakten gewähre.
Dementsprechend, nach erfolgter Akteneinsicht, hat die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts mit Entscheid vom 6. Januar 2012 die Beschwerde, soweit darauf einzutreten war, als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
2. Mit Eingabe vom 8. Februar 2012 führt X._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht mit dem Begehren, der Entscheid vom 6. Januar 2012 sei aufzuheben; die Vorinstanz sei anzuweisen, in Bezug auf die Verweigerung der Akteneinsicht ein materielles Urteil zu fällen.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Der angefochtene Entscheid betrifft das Beweisverfahren. Es handelt sich bei ihm um einen Zwischenentscheid, der das genannte Strafverfahren nicht abschliesst.
3.1 Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (s. dazu Art. 92 BGG), ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder - was indes hier von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
3.2 Im Verfahren der Beschwerde in Strafsachen muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht bloss tatsächlicher, sondern rechtlicher Natur sein (BGE 133 IV 139 E. 4 S. 141). Der Beschwerdeführer hat dabei die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG darzulegen. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, von Amtes wegen Nachforschungen anzustellen, inwiefern ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG gegeben sein sollte (BGE 134 III 426 E. 1.2; 133 III 629 E. 2.3.1).
Der Beschwerdeführer räumt selber ein, die verlangte Akteneinsicht nunmehr erhalten zu haben. Dementsprechend hat das Obergericht seine Beschwerde insoweit als gegenstandslos geworden abgeschrieben. Auf diesen Verfahrensgegenstand bildenden Entscheid bezogen legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist denn auch nicht ersichtlich, inwiefern ein Nachteil gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG entstanden sein soll.
Auf die vorliegende Beschwerde ist somit nicht einzutreten. Da der genannte Mangel offenkundig ist, kann über sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden.
4. Da die Beschwerde nach dem Gesagten offensichtlich aussichtslos ist, ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abzuweisen (Art. 64 BGG). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege/amtlichen Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Brugg-Zurzach und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp