Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft Hamburg führt gegen X._ und weitere Personen ein Strafverfahren wegen des Verdachts der bandenmässigen Umsatzsteuerhinterziehung in einer Vielzahl von Fällen bzw. der Beihilfe dazu.
Am 9. März 2009 ersuchte sie die Schweiz um Rechtshilfe.
Mit Schlussverfügung vom 11. Oktober 2010 entsprach die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen dem Rechtshilfeersuchen mitsamt dessen Ergänzungen und ordnete die Herausgabe von Beweismitteln an die ersuchende Behörde an.
Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht (Beschwerdekammer) am 11. Juni 2012 überwiegend ab.
B. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Hauptantrag, der Entscheid des Bundesstrafgerichts sowie die Schlussverfügung seien aufzuheben und dem Rechtshilfeersuchen sei nicht zu entsprechen. Überdies stellt er einen Eventualantrag.
C. Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.
Erwägungen:
1. Gemäss Art. 84 BGG ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn er unter anderem eine Herausgabe von Gegenständen oder eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
Art. 84 BGG bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen (BGE 134 IV 156 E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweisen). Ein besonders bedeutender Fall ist mit Zurückhaltung anzunehmen (BGE 136 IV 139 E. 2.4 S. 144 mit Hinweis).
Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (BGE 134 IV 156 E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweis).
Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ein besonders bedeutender Fall nach Artikel 84 vorliegt, so ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist.
Erachtet das Bundesgericht eine Beschwerde auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen als unzulässig, so fällt es gemäss Art. 107 Abs. 3 BGG - abgesehen von einem hier nicht gegebenen Ausnahmefall - den Nichteintretensentscheid innert 15 Tagen seit Abschluss eines allfälligen Schriftenwechsels.
Nach Art. 109 BGG entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
2. 2.1 Zwar geht es hier um die Herausgabe von Gegenständen sowie die Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich und damit um Sachgebiete, bei denen die Beschwerde nach Art. 84 Abs. 1 BGG insoweit möglich ist. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers handelt es sich jedoch um keinen besonders bedeutenden Fall.
2.2 Was er vorbringt, ist nicht geeignet, einen solchen Fall darzutun.
2.2.1 Er führt aus, es sei die Herausgabe von Unterlagen zu Konten von drei Firmen an die ersuchende Behörde angeordnet worden (Schlussverfügung Ziff. 2.5). Diese Firmen seien dazu nie angehört worden, womit ein elementarer Verfahrensgrundsatz verletzt worden sei.
Insoweit führt der Beschwerdeführer Beschwerde im Interesse Dritter. Dazu ist er nicht befugt (BGE 137 IV 134 E. 5.2.2 S. 138 mit Hinweisen).
2.2.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, das ausländische Verfahren leide an einem schweren Mangel. Die deutschen Strafbehörden hätten das Ermittlungsverfahren gegen zwei Haupttäter eingestellt. Wenn sie unter diesen Umständen am Rechtshilfeersuchen festhielten, sei das rechtsmissbräuchlich.
Der Einwand ist unbehelflich. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung haben die schweizerischen Behörden inzwischen im ersuchenden Staat ergangene Entscheide nicht zu interpretieren. Solange das Rechtshilfeersuchen nicht zurückgezogen worden ist, ist es zu vollziehen (Urteil 1C_284/2011 vom 18. Juli 2011 E. 1 mit Hinweisen). Die Vorinstanz legt das (angefochtener Entscheid S. 14 E. 4.2) zutreffend dar.
Der Beschwerdeführer hätte die Möglichkeit gehabt, die deutschen Behörden unter Hinweis auf die von ihm angerufenen Einstellungsentscheide zum Rückzug des Rechtshilfeersuchens zu veranlassen. Die deutschen Behörden haben das Ersuchen nicht zurückgezogen. Damit ist es nach der dargelegten Rechtsprechung zu vollziehen.
2.2.3 Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung stellen sich im vorliegenden Fall nicht. Auch sonst wie ist dieser nicht von aussergewöhnlicher Tragweite. Für das Bundesgericht besteht deshalb kein Anlass, die Sache an die Hand zu nehmen.
2.3 Die Beschwerde ist danach unzulässig.
Die beantragte Einräumung einer Nachfrist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung fällt damit gemäss Art. 43 lit. a BGG ausser Betracht.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri