Faits:
A. Le 7 novembre 2007, M._ a recouru devant le Tribunal administratif du canton de Fribourg (aujourd'hui, Tribunal cantonal) contre une décision sur opposition du 5 octobre 2007 d'Allianz Suisse, société d'assurances. Par cette décision, l'assurance-accidents refusait notamment de lui allouer une rente d'invalidité, et lui reconnaissait le droit à une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 5 %. Devant la juridiction cantonale, M._ concluait à l'octroi d'une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 50 % et d'une rente « adaptée à son état de santé ». L'intimée a déposé sa réponse le 28 novembre 2007, en concluant au rejet du recours. Par acte du 15 janvier 2008, la recourante a présenté des « contre-observations », en maintenant ses conclusions.
Le 1er septembre 2008, M._ s'est adressée au Tribunal cantonal pour lui demander dans quel délai il envisageait de statuer sur le recours. La juridiction cantonale lui a répondu le 4 septembre 2008 que les recours étaient traités dans l'ordre chronologique de leur inscription au rôle et qu'il ne lui était pas possible de lui indiquer un délai précis dans lequel elle statuerait. Le 22 juin 2009, la recourante s'est derechef adressée au Tribunal cantonal pour l'inviter à statuer d'ici au 3 juillet 2009, sans quoi elle déposerait un recours pour déni de justice. La juridiction cantonale lui a répondu, le 29 juin 2009, qu'elle avait demandé et obtenu des forces de travail supplémentaires en raison d'une surcharge, mais qu'elle ne pourrait vraisemblablement pas statuer avant l'automne.
B. Le 17 juillet 2009, M._ a interjeté un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. Elle conclut à la constatation d'un déni de justice de la part du Tribunal cantonal fribourgeois, au renvoi de la cause à cette autorité pour qu'elle statue sans délai sur le recours contre la décision sur opposition du 5 octobre 2007, et à la condamnation de l'Etat de Fribourg au paiement des frais et dépens. Le Tribunal cantonal s'est déterminé le 12 août 2009.
Considérant en droit:
1. Le litige devant la juridiction cantonale porte sur des prestations au titre de l'assurance-accidents obligatoire. Le jugement à rendre par le Tribunal cantonal pourrait donc conduire les parties à interjeter un recours en matière de droit public (art. 82 LTF). Dans cette mesure, la voie du recours en matière de droit public pour déni de justice (art. 94 LTF) est ouverte. Un tel recours n'est soumis à aucun délai (art. 100 al. 7 LTF).
2. La voie du recours en matière de droit public étant ouverte, le recours constitutionnel subsidiaire n'est pas recevable (art. 113 LTF).
3. Le retard injustifié à statuer est une forme particulière du déni de justice prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst et l'art. 6 § 1 CEDH (qui n'offre à cet égard pas une protection plus étendue [ATF 103 V 190 consid. 2 p. 192]). Il y a retard injustifié à statuer lorsque l'autorité administrative ou judiciaire compétente ne rend pas la décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prévu par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire ainsi que toutes les autres circonstances font apparaître comme raisonnable (ATF 131 V 407 consid. 1.1 p. 409 et les références). Entre autres critères, sont notamment déterminants le degré de complexité de l'affaire, l'enjeu que revêt le litige pour l'intéressé ainsi que le comportement de ce dernier et celui des autorités compétentes (ATF 130 I 312 consid. 5.2 p. 332; 125 V 188 consid. 2a p. 191). A cet égard, il appartient, d'une part, au justiciable d'entreprendre certaines démarches pour inviter l'autorité à faire diligence, notamment en incitant celle-ci à accélérer la procédure ou en recourant pour retard injustifié. D'autre part, si on ne saurait reprocher à l'autorité quelques « temps morts », qui sont inévitables dans une procédure, elle ne peut invoquer une organisation déficiente ou une surcharge structurelle pour justifier la lenteur excessive de la procédure; il appartient en effet à l'Etat d'organiser ses juridictions de manière à garantir aux citoyens une administration de la justice conforme aux règles (ATF 130 I 312 consid. 5.2 p. 332 et les références).
En droit des assurances sociales, la procédure de première instance est par ailleurs gouvernée par le principe de célérité. Ce principe est consacré à l'art. 61 let. a LPGA, qui exige des cantons que la procédure soit simple et rapide; il constitue l'expression d'un principe général du droit des assurances sociales (ATF 110 V 54 consid. 4b p. 61).
4. En l'espèce, le recours a été interjeté devant l'autorité précédente le 7 novembre 2007. L'intimée a déposé sa réponse le 28 novembre suivant et l'échange d'écritures s'est achevé par la transmission des « contre-observations » de la recourante le 15 janvier 2008. Par la suite, aucun acte d'instruction n'a été accompli par la juridiction cantonale jusqu'au dépôt du recours pour déni de justice en juillet 2009. La recourante a adressé deux requêtes en vue d'obtenir une décision rapide, auxquelles le Tribunal cantonal a répondu sans toutefois statuer sur le recours.
Sur le fond, le litige porte sur le droit de la recourante à une indemnité pour atteinte à l'intégrité et à une rente d'invalidité de l'assureur-accidents. A lire le recours déposé en procédure cantonale, il s'agit en particulier d'apprécier le taux de l'atteinte à l'intégrité et d'analyser les critères jurisprudentiels en matière de causalité adéquate posés par la jurisprudence (ATF 115 V 133; 134 V 109). La solution du litige nécessite une appréciation minutieuse des preuves constituées de nombreux rapports médicaux ou expertises.
Compte tenu de ces éléments, un délai de dix-huit mois entre la fin de l'échange d'écritures et le dépôt du recours devant le Tribunal fédéral (par une écriture déposée à la poste le 17 juillet 2009) est certainement à la limite de ce qui est admissible, surtout si l'on considère qu'à ce jour la juridiction cantonale n'a pas encore statué. Il n'apparaît cependant pas excessif au point de constituer une violation des art. 29 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH. A titre de comparaison, on notera que le Tribunal fédéral a admis un retard inadmissible à statuer, après avoir considéré au vu des circonstances qu'un délai de 24 mois entre la fin de l'échange d'écritures et le prononcé du jugement cantonal ne pouvait plus être qualifié de raisonnable, tout en relevant qu'un tel délai représentait une situation limite (arrêt 9C_831/2008 du 12 décembre 2008 consid. 2.2, in Plädoyer 3/2009 p. 62). Dans une affaire analogue à la présente cause, le Tribunal fédéral a jugé qu'en rendant son jugement 25 mois après le dépôt du recours, alors que la cause se trouvait apparemment en état d'être jugée depuis un peu plus de 18 mois, la juridiction cantonale n'avait pas fait preuve d'un retard injustifié dans le traitement de la cause (ordonnance du 19 août 2009, cause 9C_433/2009 consid. 2.2; comp. également avec les arrêts [du Tribunal fédéral des assurances] I 473/04 du 29 novembre 2005 et I 314/99 du 16 juillet 1999 et l'arrêt [du Tribunal fédéral] 8C_681/2008 du 20 mars 2009 consid. 3).
Dans ces conditions, la recourante n'est pas fondée, à ce stade, à se plaindre d'un retard inadmissible à statuer.
5. La recourante, qui succombe, n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF). Il se justifie, vu les circonstances, de renoncer à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1, seconde phrase, LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 28 septembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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