Faits:
A. X._, né en 1991, se prétend ressortissant de la Sierra Leone.
Le 16 septembre 2009, l'Office fédéral des migrations a refusé d'entrer en matière sur sa demande d'asile et a ordonné à X._ de quitter la Suisse le jour suivant l'entrée en force de ladite décision, faute de quoi il s'exposerait à des moyens de contrainte. Dans le cadre de la procédure d'asile, X._ a indiqué être né le 10 août 1992 et posséder une double nationalité (Sierra Leone et Nigéria).
Impliqué dans des affaires de stupéfiants, X._ a disparu le 1er février 2010. Il a été ramené, le 1er juillet 2010, par les autorités de St-Gall à Sion où il a été placé, du 2 juillet 2010 au 21 septembre 2010, en détention en vue de son renvoi. Il a été libéré en raison de l'impossibilité existant alors de le présenter à une délégation des autorités du Nigéria.
B. Le 6 décembre 2010, le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) a de nouveau placé X._ en détention avec effet immédiat pour trois mois au plus.
Par arrêt du 10 décembre 2010, le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan (ci-après: le Juge unique) a approuvé la décision précitée, en application des art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. A l'appui de sa décision, il a retenu que X._ avait une attitude dénotant qu'il cherchait à compliquer l'exécution de son renvoi.
C. A l'encontre de l'arrêt du 10 décembre 2010, X._, dans un mémoire rédigé en anglais, a formé un recours au Tribunal fédéral ("letter of appeal"). Il ressort de ce document que le recourant veut sortir de prison, la détention affectant sa santé mentale. Estimant être en danger de mort s'il rentre en Afrique, il demande à être envoyé en Espagne où il a déposé, sous une autre identité, une demande d'asile. Il affirme qu'un délai minimum de 48 heures lui suffirait pour quitter la Suisse.
Le Tribunal cantonal a produit le dossier, mais a renoncé à se déterminer, à l'instar du Service cantonal. L'Office fédéral des migrations a également renoncé à prendre position. Le recourant n'a, pour sa part, pas fourni d'observations complémentaires dans le délai imparti à cet effet.
Considérant en droit:
1. La voie du recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est en principe ouverte à l'encontre des décisions cantonales en matière de mesures de contrainte (arrêts 2C_945/2010 du 5 janvier 2011 consid. 1; 2C_10/2009 du 5 février 2009 consid. 2, non publié aux ATF 135 II 94). La décision attaquée, qui émane d'une autorité judiciaire cantonale supérieure de dernière instance (cf. art. 86 al. 1 lettre d et al. 2 LTF), peut donc faire l'objet d'un tel recours, à condition que l'écriture présentée remplisse les exigences de recevabilité propres à cette voie de droit.
A cet égard, le mémoire doit contenir les conclusions et les motifs (art. 42 al. 1 LTF) qui doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (art. 42 al. 2 LTF). Pour satisfaire à cette obligation de motiver, le recourant doit discuter les motifs de l'arrêt entrepris et indiquer en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (ATF 134 V 53 consid. 3.3 p. 60 et les arrêts cités). En l'espèce, le recourant n'expose pas dans quelle mesure, à son avis, le Juge unique aurait pris une décision contraire au droit ni ne critique l'arrêt en tant que tel. Partant, on peut douter de la recevabilité du recours. Cette question peut toutefois demeurer indécise, la cause devant de toute façon être rejetée au fond.
2. 2.1 La détention du recourant a été ordonnée le lundi 6 décembre 2010 par le Service cantonal. Elle a été approuvée par le Juge unique le vendredi 10 décembre 2010, après audition de l'intéressé. Le délai impératif de 96 heures prévu à l'art. 80 al. 2 LEtr (cf. arrêt 2C_356/2009 du 7 juillet 2009 consid. 5.4) a donc été respecté.
2.2 La mise en détention du recourant se fonde sur l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. Cette disposition prévoit notamment que, lorsqu'une décision de renvoi a été notifiée, l'autorité compétente peut, afin d'en assurer l'exécution, mettre en détention la personne concernée si des éléments concrets font craindre que celle-ci entende se soustraire au renvoi, en particulier parce qu'elle ne se soumet pas à son obligation de collaborer, ou si son comportement permet de conclure qu'elle se refuse à obtempérer aux instructions des autorités. D'après la jurisprudence, un risque de fuite existe notamment lorsque l'étranger tente d'entraver les démarches en vue de l'exécution du renvoi en donnant des indications manifestement inexactes ou contradictoires ou encore s'il laisse clairement apparaître, par ses déclarations ou son comportement, qu'il n'est pas disposé à retourner dans son pays d'origine (cf. ATF 130 II 56 consid. 3.1 p. 58 s.; arrêt 2C_206/2009 du 29 avril 2009 consid. 4.1).
2.3 Selon les faits retenus, le recourant, à la suite de la décision de l'Office fédéral des migrations du 16 septembre 2009, s'est vu ordonner de quitter la Suisse. Il n'a pas obtempéré. Il a en outre donné des indications contradictoires sur sa date de naissance et sa nationalité, prétendant au cours de la procédure d'asile, être double national (ressortissant de la Sierra Leone et du Nigéria). Selon l'interprète spécialisé qui l'avait interrogé le 18 décembre 2009, X._ ne connaissait pas les dialectes parlés en Sierra Leone, mais s'exprimait dans l'anglais du Nigéria, de sorte qu'il fallait en inférer qu'il venait de ce pays. Mis en détention en vue du renvoi une première fois de juillet à septembre 2010, il a été libéré parce que les renvois vers le Nigéria étaient alors impossibles. Désormais, le recourant soutient être ressortissant de la Sierra Leone uniquement. Entendu le 6 décembre 2010 par une délégation du Nigeria, il a estimé ne pas avoir à répondre aux questions posées, car il ne comprenait pas la langue; à la suite de cette audition, la délégation précitée ne l'a pas reconnu. On peut ajouter que, dans son recours auprès du Tribunal fédéral, le recourant indique clairement qu'il ne veut pas retourner en Afrique, mais demande à être reconduit en Espagne où il aurait déjà déposé une demande d'asile sous une autre identité, de sorte qu'il existe un risque de fuite. En pareilles circonstances, on ne peut reprocher aux autorités valaisannes d'avoir placé le recourant en détention en application des art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. Au demeurant, le recourant ayant aussi fait l'objet d'une décision de non-entrée en matière en application de l'art. 32 al. 2 let. a de la loi fédérale du 26 juin 1998 sur l'asile (LAsi; RS 142.31), sa détention remplit également les conditions de l'art. 76 al. 1 let. b ch. 2 LEtr (cf. arrêt 2C_273/2009 du 8 mai 2009 consid. 4; sous l'ancien droit, ATF 130 II 488 consid. 3.2 p. 490).
3. 3.1 Même si, comme indiqué, le recourant n'a pas été reconnu par les autorités du Nigéria, l'exécution du renvoi n'apparaît pas en l'état et pour ce motif d'emblée impossible pour des raisons juridiques ou matérielles (cf. art. 80 al. 6 let. a LEtr a contrario), dès lors que le recourant est apparemment aussi ressortissant de la Sierra Leone et prétend avoir récemment entrepris des démarches auprès de l'Ambassade de cet Etat. Il appartiendra ainsi aux autorités compétentes, dans le respect de leur obligation de diligence (cf. art. 76 al. 4 LEtr), de prendre contact avec les autorités de ce pays et d'accomplir ou de faciliter les démarches nécessaires en vue du retour du recourant. Enfin, la mise en détention pour une durée de trois mois apparaît nécessaire pour assurer l'exécution du renvoi et conforme au principe de la proportionnalité.
3.2 S'agissant des problèmes de santé dont fait état le recourant dans son écriture, il convient de rappeler qu'en vertu de l'art. 25 de la loi cantonale valaisanne d'application du 15 novembre 1996 de la loi fédérale sur les mesures de contrainte en matière de droit des étrangers (LALMC/VS; RS/VS 142.4), celui-ci peut demander à être examiné par un médecin.
4. Dans ces circonstances, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Succombant, le recourant devrait en principe supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1, 1ère phrase LTF); compte tenu des circonstances, il se justifie cependant de statuer sans frais (cf. art. 66 al. 1, 2e phrase LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service de la population et des migrations et au Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 11 janvier 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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