Erwägungen:
1. Das Untersuchungsamt des Kantons St. Gallen führt insbesondere gestützt auf mehrere Strafanträge des Staatssekretariates für Wirtschaft (seco) ein umfangreiches Strafverfahren gegen den in Frankreich wohnhaften und von dort aus handelnden mutmasslichen Haupttäter A._ sowie gegen verschiedene in der Schweiz wohnhafte angebliche Mittäter und Gehilfen - unter ihnen X._ - wegen Verdachts der Widerhandlung gegen das Bundesgesetz gegen den unlauteren Wettbewerb.
2. Am 26. März 2007 erliess das Kantonale Untersuchungsamt gegen X._ einen Strafbescheid, worin er der mehrfachen Gehilfenschaft zu unlauterem Wettbewerb schuldig gesprochen wurde. Dagegen erhob X._ Einsprache. Am 17./18. Dezember 2008 verschickte das Kantonale Untersuchungsamt an X._ und an weitere acht Angeschuldigte die Parteimitteilung gemäss Art. 179 und Art. 180 StP. X._ wird die Anklageerhebung beim Gericht wegen Vergehens gegen das Bundesgesetz über den unlauteren Wettbewerb in Aussicht gestellt. Gleichzeitig wurden seinem anwaltlichen Vertreter die Akten des Strafverfahrens teilweise im Original zugestellt. Die übrigen Strafverfahrensakten waren auf eine beiliegende CD gescannt. Die erwähnte Parteimitteilung wurde am 18. Februar 2009 vom Kantonalen Untersuchungsamt in Bezug auf ein einzelnes nicht vollständig eingescanntes Aktenstück ergänzt.
Mit Schreiben vom 19. Februar 2009 ersuchte der Anwalt von X._ um Zustellung sämtlicher Originalakten in die Anwaltskanzlei. Das Kantonale Untersuchungsamt lehnte dieses Ersuchen mit Verfügung vom 23. Februar 2009 ab. Es erwog, dass das Zustellen von CDs der eingescannten Akten und die Einräumung der zusätzlichen Möglichkeit, sämtliche Akten des Strafverfahrens auf dem Untersuchungsamt einzusehen, mit der Möglichkeit, Akten zu kopieren, ein bewährtes und akzeptiertes Vorgehen bei Wirtschaftsstraffällen von vergleichbarem Umfang sei.
Gegen diese Verfügung erhob X._ Beschwerde, welche die Anklagekammer des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 15. April 2009 abwies, soweit sie darauf eintrat.
3. X._ führt mit Eingabe vom 10. Juni 2009 Beschwerde in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG) gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4. Der angefochtene Entscheid der Anklagekammer ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 80 BGG). Er ist im Rahmen eines hängigen Strafverfahrens ergangen, ohne dieses Verfahren jedoch abzuschliessen. Der angefochtene Entscheid stellt somit einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG dar.
4.1 Gegen Vor- und Zwischenentscheide - die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (s. dazu Art. 92 BGG) - ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder - was indes hier von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
4.2 Liegt wie hier ein Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG vor, hat der Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG erfüllt sein sollen. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, hierzu von Amtes wegen Nachforschungen anzustellen. Vorliegend äussert sich der Beschwerdeführer nicht, inwiefern der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte. Da die Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält, ist auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten.
5. Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Massnahme gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli