Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wurde mit Urteil des Amtsgerichtspräsidenten von Solothurn-Lebern vom 30. November 2009 der mehrfachen Übertretung des Transportgesetzes für schuldig befunden. Von einer Bestrafung wurde abgesehen. Dem Beschwerdeführer wurden indessen die Verfahrenskosten von Fr. 380.-- auferlegt. Neben einer Kassationsbeschwerde (vgl. dazu Urteil des Bundesgerichts 6B_484/2010 vom 23. Juni 2010) reichte der Beschwerdeführer einen Kostenrekurs ein. Die Vorinstanz wies den Rekurs mit Urteil vom 23. Juli 2010 ab.
Soweit die teilweise nur schwer verständlichen Ausführungen des Beschwerdeführers an der Sache vorbei gehen (vgl. z.B. Beschwerde lit. a), ist darauf nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer macht wie vor der Vorinstanz auch vor Bundesgericht geltend, ohne Bestrafung dürften ihm keine Kosten auferlegt werden (Beschwerde lit. d). Die Vorinstanz stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, grundsätzlich habe ein Verurteilter die Verfahrenskosten auch zu tragen, wenn keine Sanktion ausgesprochen werde (angefochtener Entscheid S. 3 E. 2). Da bei einem gerichtlich Verurteilten auch dargetan ist, dass er das Verfahren verschuldet hat, wenn von einer Bestrafung Umgang genommen wird, ist die Auffassung der Vorinstanz jedenfalls unter dem Gesichtswinkel des schweizerischen Rechts im Sinne von Art. 95 BGG und insbesondere der Unschuldsvermutung nicht zu beanstanden (vgl. Hauser/Schweri/Hartmann, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Auflage 2005, § 108 N 4 f.).
Die Vorinstanz stellt weiter fest, wenn die finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers die Bezahlung der Verfahrenskosten nicht erlauben sollten, könne er bei der Gerichtskasse ein Erlassgesuch einreichen (angefochtener Entscheid S. 3). Dass und inwieweit diese Erwägung gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte, wird in der Beschwerde nicht dargelegt und ist auch nicht ersichtlich.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn