Erwägungen:
1. Die Beschwerde richtet sich dagegen, dass die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt das mit Strafanzeige des Beschwerdeführers eingeleitete Strafverfahren wegen falscher Anschuldigung, Irreführung der Rechtspflege (mangels Tatbestandsmässigkeit) und Ehrverletzung (mangels Zuständigkeit) einstellte und die Vorinstanz einen dagegen gerichteten Rekurs abwies bzw. den staatsanwaltlichen Einstellungsbeschluss bestätigte. In Bezug auf die Frage der Legitimation vor Bundesgericht beruft sich der Beschwerdeführer auf Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG. Er führt aus, er habe "vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen" und sei "als Antragsteller und Rekurrent aufgetreten". Der angefochtene Entscheid wirke sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche aus. "Als Reaktion auf den vorliegenden Entscheid der Rekurskammer habe ihn die Abteilung Privatklagen des Strafgerichts des Kantons Basel-Stadt angefragt, ob er die Privatklage aufrechterhalten wolle". Er sei deshalb beschwerdelegitimiert.
Gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b), insbesondere die in Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1-6 BGG genannten Personen. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Er fällt jedoch unter keine der im Gesetz ausdrücklich aufgeführten Beschwerdeberechtigten. Namentlich ist er nicht Privatstrafkläger im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 BGG. Die Anfrage der Abteilung Privatklagen des Strafgerichts des Kantons Basel-Stadt betreffend Aufrechterhaltung seiner Privatklage verschafft ihm die Beschwerdelegitimation vor Bundesgericht nicht. Sie tut im vorliegenden Verfahren entgegen seiner Auffassung vielmehr nichts zur Sache. Als blosser Geschädigter ist der Beschwerdeführer zur Beschwerdeerhebung somit grundsätzlich nicht legitimiert (vgl. BGE 136 IV 29; 133 IV 228). Er kann nur die Verletzung von Rechten rügen, die ihm als am Verfahren beteiligte Partei nach dem massgebenden Prozessrecht oder unmittelbar aufgrund der BV oder der EMRK zustehen (BGE 136 IV 29). Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache selber getrennt werden können. Denn auf eine solche Prüfung in der Sache haben nicht Legitimierte keinen Anspruch. Sie können sich nicht auf dem Umweg über die Behauptung einer Verletzung des rechtlichen Gehörs die Beschwerdelegitimation in der Sache selbst verschaffen (BGE 120 Ia 101 E. 3B; 119 Ib 305 E. 3).
2. Aus der Begründung der Beschwerde ergibt sich, dass die Vorbringen des Beschwerdeführers eine Prüfung der Sache selbst erfordern würden. Das ist der Fall, soweit er eine willkürliche Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz im Sinne von Art. 9 BV rügt (so z.B. Beschwerde, S. 8, wonach nicht ernsthaft behauptet werden könne, der Beschwerdegegner sei im Jahre 2008 davon überzeugt gewesen, über den Tisch gezogen worden zu sein, zumal ihm nachweislich vor Erhebung der Strafanzeige anerboten worden sei, die Mehrkosten zu besprechen). Seine Ausführungen hierzu sind materieller Natur. Das Bundesgericht müsste die Sache selbst prüfen. Darauf hat der Beschwerdeführer keinen Anspruch. Es fehlt ihm an der Beschwerdelegitimation. Auf die Beschwerde kann insoweit nicht eingetreten werden. Dasselbe gilt, soweit er den Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne einer unzureichenden Begründung (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt sieht (vgl. hierzu 6B_671/2009 vom 20. Januar 2010 E. 2.3.1). Er macht geltend, die Vorinstanz befasse sich nicht mit seinen Vorbringen in Rekurs und Replik und den eingereichten Beweismitteln (Beschwerde, S. 4). Sie setze sich zum Beispiel nicht mit seinen Ausführungen zu den fehlenden Strafbarkeitsvoraussetzungen, dem Wissen des Beschwerdegegners zu den objektiven Tatbestandsmerkmalen (Beschwerde, S. 5), seiner mangelnden Gutgläubigkeit bzw. zum Vorhandensein seines Vorsatzes auseinander. Hätte sie sich damit befasst und die eingereichten Beweismittel zur Kenntnis genommen, hätte sie das planmässige und systematische Vorgehen des Beschwerdegegners erkennen können (Beschwerde, S. 9). Auch diese Vorbringen des Beschwerdeführers sind nicht formeller Natur, sondern laufen auf eine materiellrechtliche Überprüfung des angefochtenen Entscheids hinaus bzw. können nicht von der Sache getrennt beurteilt werden. Der Beschwerdeführer ist damit nicht zu hören. Nicht anders verhält es sich, soweit er unter dem Titel der Gehörsverweigerung ausführt, die Vorinstanz äussere sich mit keinem Wort zu den vom Beschwerdegegner eingereichten angeblichen "Expertisen". Sie würdige nicht, dass es sich dabei um Eingaben ohne jegliche Bedeutung und Beweiskraft handle (Beschwerde, S. 6).
Ohne dass sich das Bundesgericht zu allen ähnlichen Vorbringen des Beschwerdeführers ausdrücklich äussern müsste, ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten.
3. Die Vorinstanz auferlegt dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten. Sie stützt sich auf § 172 Abs. 5 der kantonalen Strafprozessordnung (StPO/BS). Dass und inwiefern sie die einschlägige kantonale Prozessvorschrift willkürlich angewandt oder ausgelegt haben könnte, ergibt sich aus der Beschwerde nicht ansatzweise, beruft sich der Beschwerdeführer im Rahmen der Begründung seiner Rüge betreffend eine willkürliche Kostenauflage doch ausschliesslich auf die Bestimmungen der Strafprozessordnung des Kantons Solothurn (§§ 32 Abs. 2 und 80 StPO/SO). Die Beschwerde genügt damit den Begründungsanforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG nicht, weshalb darauf auch unter diesem Gesichtspunkt nicht einzutreten ist.
4. Die Gerichtskosten werden dem Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Strafgericht Basel-Stadt, Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Arquint Hill