Sachverhalt:
A. A.a X._ (Beschwerdeführerin), eine juristische Person mit Sitz in Istanbul, ist ein türkischer Fussballclub. Die Beschwerdeführerin ist Mitglied des türkischen Fussballverbands, der wiederum der Fédération Internationale de Football Association (FIFA; Verfahrensbeteiligte) mit Sitz in Zürich angehört.
A._ (Beschwerdegegner), ist ein professioneller Fussballspieler aus Y._. Er spielt derzeit beim italienischen Fussballclub FC Z._.
A.b Seit der Saison 2003/2004 spielte der Beschwerdegegner für den italienischen Fussballclub Q._. Im Juli 2005 stimmte der Q._ gegen Erhalt einer Entschädigung von EUR 8 Mio. einem Transfer des Beschwerdegegners zur Beschwerdeführerin zu. Im Zusammenhang mit diesem Transfer musste die Beschwerdeführerin zudem Solidaritätsbeiträge an Dritte im Betrag von EUR 390'000.-- erbringen. Zudem zahlte sie dem Spielervermittler des Beschwerdegegners EUR 200'000.--.
Am 19. Juli 2005 schloss der Beschwerdegegner mit der Beschwerdeführerin einen Arbeitsvertrag mit einer festen Dauer vom 1. Juli 2005 bis 30. Juni 2009 ab. Der Vertrag sah neben einem sofort zahlbaren Handgeld ("signing fee") von EUR 250'000.-- für die vereinbarten vier Dienstjahre ein Jahressalär von EUR 1.85 Mio. (1. Jahr), EUR 1.9 Mio. (2. Jahr), EUR 1.95 Mio. (3. Jahr) bzw. EUR 2 Mio. (4. Jahr) vor. Im Weiteren verpflichtete sich die Beschwerdeführerin, dem Beschwerdegegner einen Audi A4, eine möblierte Wohnung sowie jährlich fünf Flugscheine Istanbul - Y._ - Istanbul zur Verfügung zu stellen. Der Beschwerdeführerin wurde schliesslich das Recht eingeräumt, das Arbeitsverhältnis einseitig um ein Jahr, d.h. für die Spielsaison 2009/2010, zu verlängern.
In der Folge unterzeichneten die Parteien einen weiteren, undatierten Arbeitsvertrag, der die Bedingungen der Vereinbarung vom 19. Juli 2005 bestätigte und einzelne Punkte ergänzte. So wurde unter anderem der Betrag für die dem Beschwerdegegner zur Verfügung zu stellende möblierte Wohnung auf USD 3'000.-- beschränkt und eine erfolgsabhängige Prämie auf Grundlage des "incentive scheme" der Beschwerdeführerin vereinbart, die dem Spieler zusätzlich zu seinem Salär zustehen soll. Der Beschwerdegegner verpflichtete sich zudem ausdrücklich, die Reglemente der Beschwerdeführerin zu beachten, ihre Weisungen zu befolgen, seiner Gesundheit Sorge zu tragen und an den offiziellen Spielen, Freundschaftsspielen, Trainings und Trainingslagern der Beschwerdeführerin teilzunehmen.
Am 22. Juli 2005 unterzeichneten die Parteien einen dritten Vertrag, der dem Formularvertrag des türkischen Fussballverbands entspricht. Darin wiederholten sie im Wesentlichen die Bedingungen der beiden vorangehenden Vereinbarungen, mit Ausnahme der Vertragsdauer, die um einen Monat (d.h. bis zum 31. Mai 2009) verkürzt wurde, sowie der Bestimmung, dass der versprochene Lohn ohne Abzug von Steuern ("free of taxes of the Player") zu entrichten sei.
A.c Im Januar 2007 verletzte sich der Beschwerdegegner anlässlich eines Freundschaftsspiels in Ankara am linken Knie. Nachdem die Verletzung im März 2007 noch nicht verheilt war, veranlasste die Beschwerdeführerin eine medizinische Untersuchung im R._ Spital in Instanbul. Dabei wurde eine Schädigung des Knorpels festgestellt, die einen operativen Eingriff erforderlich machte. Der Beschwerdegegner spielte jedoch noch bis zum Ende der Saison 2006/2007 weiter, in der die Beschwerdeführerin den türkischen Meistertitel gewann.
Am 24. Mai 2007 unterzog sich der Beschwerdegegner einer Operation. Dabei wurde in Anwendung eines besonderen Transplantationsverfahrens ("mosaicplasty") der beschädigte durch einen gesunden Knorpel ersetzt.
Während der Erholungsphase nach durchgeführter Operation führten der Beschwerdegegner und seine Berater Gespräche mit anderen Fussballclubs. Am 11. Juli 2007 bestätigte der FC S._ gegenüber der Beschwerdeführerin sein Interesse an einer Übernahme des Spielers gegen eine Entschädigung von EUR 4 Mio. Obwohl die Beschwerdeführerin dieses Angebot ablehnte, drängten die Berater weiter auf einen Transfer, worauf die Beschwerdeführerin der FIFA beantragte, Sanktionen gegen die Berater des Beschwerdegegners und den deutschen Fussballclub zu verhängen.
Am 5. September 2007 wurde der Beschwerdegegner, nachdem er sich über Ermüdungs- und Atemnoterscheinungen sowie Husten beklagt hatte, wiederum in das R._ Spital überwiesen. Ein Lungenspezialist diagnostizierte daraufhin eine Asthmaerkrankung und verschrieb die Einnahme von Medikamenten.
Am 10. Oktober 2007 wurde der Beschwerdegegner wegen Atembeschwerden erneut in das gleiche Spital eingewiesen.
Im Oktober 2007 nahm der Beschwerdegegner seine offizielle Wettkampftätigkeit wieder auf. Er spielte im November 2007 anlässlich eines Vierländerturniers für die Nationalmannschaft Y._ und absolvierte am 1. Dezember 2007 sein letztes Wettkampfspiel für die Beschwerdeführerin.
Im Dezember 2007 wurde der Beschwerdegegner abermals in das R._ Spital eingewiesen, da sich sein Gesundheitszustand nicht gebessert hatte. Diesmal stellten die Ärzte eine akute Thrombose im linken Oberschenkel sowie eine Lungenembolie fest. Diese Diagnose wurde sodann auch von den italienischen Ärzten bestätigt, die der Beschwerdegegner im Dezember 2007 bzw. Januar 2008 mit Zustimmung der Beschwerdeführerin konsultierte.
Am 12. Januar 2008 fand in Italien ein Treffen statt, an dem neben dem Beschwerdegegner sowie verschiedenen Vertretern der Beschwerdeführerin auch ein Arzt des R._ Spitals und die vom Beschwerdegegner beauftragten Ärzte teilnahmen. Anlässlich dieses Treffens wurde der Beschwerdegegner erneut untersucht, wobei die italienischen Ärzte diverse Blutgefässerkrankungen im operierten linken Bein des Spielers sowie eine Lungenembolie feststellten. Noch während des Treffens kam es zwischen den medizinischen Experten der Parteien zu Meinungsverschiedenheiten hinsichtlich der Diagnose, der erforderlichen Behandlung sowie der Frage, ab wann der Spieler wieder in der Lage sein sollte, zu trainieren und wettkampfmässig zu spielen.
Angesichts der verletzungsbedingten Spielunfähigkeit bat die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegner um Aussetzung seiner Spielberechtigung bis zum letzten Spiel der Saison 2007/2008, das auf den 11. Mai 2008 angesetzt war, was der Beschwerdeführerin nach den anwendbaren Regeln des türkischen Fussballverbands erlaubt hätte, einen anderen ausländischen Spieler anstelle des Beschwerdegegners einzusetzen. Am 14. Januar 2008 bestätigte die Beschwerdeführerin gegenüber dem Beschwerdegegner, dass er trotz Aussetzung seiner Spielberechtigung weiterhin seinen Lohn sowie andere vertragliche Leistungen erhalten und sein Arbeitsvertrag aufrechterhalten würde. Der Beschwerdegegner verweigerte seine Zustimmung, da ihm die möglichen Folgen einer solchen Aussetzung seiner Spielberechtigung unklar waren.
Am 16. Januar 2008 bat die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegner, der sich noch immer in Italien aufhielt, sich bis spätestens 19. Januar 2008 zurück zur Mannschaft nach Istanbul zu begeben, um seine medizinische Behandlung und Rehabilitation unter der Aufsicht ihres Medizinalpersonals weiterzuführen. Dabei drohte sie ihm an, seinen Fall der FIFA zu melden, sollte er diese Anweisungen nicht befolgen. Der Beschwerdegegner erschien am 19. Januar 2008 nicht in Instanbul, sondern reiste nach Y._, um zwischen 20. Januar und 10. März 2008 dem Afrika Cup als Berater ("special adivsor") beizuwohnen.
Am 22. Januar 2008 erklärte die Beschwerdeführerin, ihr vertragliches Recht zur Verlängerung des Arbeitsverhältnisses um ein Jahr ausüben zu wollen. Im Weiteren forderte sie den Beschwerdegegner auf, unverzüglich nach Istanbul zurückzukehren.
Am 25. Januar 2008 hielt die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegner vergeblich dazu an, sich auf ihre Kosten für eine am 29. Januar 2008 vorgesehene Untersuchung in die T._ Klinik, Arizona (USA), zu begeben.
A.d Am 28. Januar 2008 verhängte die interne Disziplinarkommission der Beschwerdeführerin eine Busse im Betrag von USD 73'500.-- gegen den Beschwerdegegner wegen Zuwiderhandlung gegen verschiedene Bestimmungen der internen Reglemente.
A.e Mit Schreiben vom 31. Januar und 4. Februar 2008 beschwerte sich die Beschwerdeführerin bei der FIFA und beantragte ihr unter anderem, es seien der Beschwerdegegner und seine Berater zu verwarnen, es sei der Beschwerdegegner zur Rückkehr nach Istanbul aufzufordern und es seien sportliche Sanktionen zu verhängen. Es folgte ein Austausch verschiedener Eingaben.
Am 21. April 2008 leitete die Beschwerdeführerin bei der Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der FIFA ("Dispute Resolution Chamber") ein Verfahren ein und beantragte, der Beschwerdegegner sei zur Zahlung einer Entschädigung im Betrag von EUR 12 Mio. zu verpflichten und zudem während sechs Monaten für die Teilnahme an offiziellen Wettkämpfen zu sperren.
Mit Entscheid vom 9. Januar 2009 sprach die Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der Beschwerdeführerin eine Entschädigung von EUR 2'281'915.-- zu; die Widerklage des Beschwerdegegners wies sie ab.
Im November 2009 unterzeichnete der Beschwerdegegner einen Einjahresvertrag mit dem Fussballclub FC Z._ für ein Jahressalär von ungefähr EUR 200'000.-- netto. Bislang wurde er allerdings bei keinem offiziellen Spiel eingesetzt.
B. Am 25. Mai 2009 appellierte die Beschwerdeführerin beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) gegen den Entscheid der Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der FIFA vom 9. Januar 2009 mit dem Antrag, es sei der angefochten Entscheid teilweise aufzuheben und der Beschwerdegegner zur Zahlung von EUR 12'131'178.-- sowie EUR 701'190.--, jeweils zuzüglich Zins, zu verpflichten.
Ebenfalls am 25. Mai 2009 erhob der Beschwerdegegner beim TAS Berufung gegen den Entscheid der Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der FIFA vom 9. Januar 2009. Er beantragte, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und festzustellen, dass er gegenüber der Beschwerdeführerin nicht haftbar sei, weil er sein Arbeitsverhältnis aus wichtigem Grund beendet habe, eventualiter weil der geschuldete Schadenersatz Null betrage. Zudem sei die Beschwerdeführerin widerklageweise wegen Vertragsverletzung und unerlaubter Handlung zu einer vom Schiedsgericht festzusetzenden Schadenersatzzahlung zu verurteilen.
Mit Schiedsspruch vom 7. Juni 2010 hiess das TAS die Berufung des Beschwerdegegners insoweit gut, als es den Entscheid der Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der FIFA vom 9. Januar 2009 teilweise aufhob, das Klagebegehren der Beschwerdeführerin abwies und feststellte, dass der Beschwerdegegner keine Entschädigung schulde.
Das TAS erwog gestützt auf die Reglemente der FIFA sowie das subsidiär anwendbare schweizerische Recht, dass dem Beschwerdegegner eine Vertragsverletzung vorzuwerfen sei. Hinsichtlich der Vertragsdauer hielt es dafür, dass die Beschwerdeführerin aufgrund ihrer Lohnzahlungen sowie ihres sonstigen Verhaltens zu Beginn des Jahres 2008 anerkannt habe, dass das bis Ende Mai 2009 befristete Arbeitsverhältnis mit dem Beschwerdegegner zunächst bis Ende April 2008 aufrechterhalten wurde und zu diesem Zeitpunkt vorzeitig endete. Die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte einseitige Vertragsverlängerung erachtete das TAS für ungültig. Es stellte fest, dass der Beschwerdegegner ab Anfang 2008 und mindestens bis zum vereinbarten Vertragsende aus gesundheitlichen Gründen nicht in der Lage war, Spiele auszutragen, ohne sich der Gefahr ernsthafter Gesundheitsschäden auszusetzen. In Bezug auf den Vermögensschaden erwog das TAS in Anwendung von Art. 17 des FIFA-Reglements bezüglich Status und Transfer von Spielern, Ausgabe 2005, ("Regulations for the Status and Transfer of Players"; nachfolgend: FIFA-Transferreglement), dass die Beschwerdeführerin mit der vorzeitigen Beendigung des Arbeitsverhältnisses EUR 2'633'020.65 eingespart habe, indem sie dem Beschwerdegegner von Anfang Mai 2008 bis Ende Mai 2009 weder einen Lohn noch andere vertragliche Leistungen habe erbringen müssen. Der ihr aufgrund der ungerechtfertigten vorzeitigen Vertragsauflösung zustehende Ersatz entspreche demgegenüber lediglich der Summe von EUR 2'445'106.35 für nicht amortisierten Transferaufwand sowie dem zusätzlichen Schadenersatz ("supplementary damages") von EUR 51'172.50 (entsprechend der verhängten Disziplinarstrafe im Betrag von USD 73'500.--). Unter Berücksichtigung der "Besonderheit des Sports" ("specificity of sport") nach Art. 17 Abs. 1 des FIFA-Transferreglements stehe der Beschwerdeführerin, die durch die vorzeitige Vertragsauflösung EUR 136'741.80 mehr eingespart als verloren habe, kein Schadenersatz zu.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Juli 2010 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 7. Juni 2010 aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an das Schiedsgericht zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit überhaupt darauf eingetreten werden könne. Das TAS beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die FIFA hat auf eine aktive Beteiligung am Verfahren verzichtet.
Die Akten des Schiedsverfahrens wurden beigezogen. Mit einer weiteren Eingabe vom 7. Dezember 2010 nahm die Beschwerdeführerin Stellung zur Beschwerdeantwort sowie zur Vernehmlassung des TAS.
Erwägungen:
1. Im Bereich der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit ist die Beschwerde in Zivilsachen unter den Voraussetzungen der Art. 190-192 IPRG (SR 291) zulässig (Art. 77 Abs. 1 lit. a BGG).
1.1 Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich vorliegend in Lausanne. Sowohl die Beschwerdeführerin als auch der Beschwerdegegner hatten im relevanten Zeitpunkt ihren Sitz bzw. Wohnsitz ausserhalb der Schweiz. Da die Parteien die Bestimmungen des 12. Kapitels des IPRG nicht schriftlich ausgeschlossen haben, gelangen diese zur Anwendung (Art. 176 Abs. 1 und 2 IPRG).
1.2 Zulässig sind allein die Rügen, die in Art. 190 Abs. 2 IPRG abschliessend aufgezählt sind (BGE 134 III 186 E. 5 S. 187; 128 III 50 E. 1a S. 53; 127 III 279 E. 1a S. 282). Nach Art. 77 Abs. 3 BGG prüft das Bundesgericht nur die Rügen, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind; dies entspricht der in Art. 106 Abs. 2 BGG für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht vorgesehenen Rügepflicht (BGE 134 III 186 E. 5 S. 187 mit Hinweis). Appellatorische Kritik ist unzulässig (BGE 119 II 380 E. 3b S. 382).
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den das Schiedsgericht festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung des Schiedsgerichts weder berichtigen noch ergänzen, selbst wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (vgl. Art. 77 Abs. 2 BGG, der die Anwendbarkeit von Art. 97 BGG sowie Art. 105 Abs. 2 BGG ausschliesst). Allerdings kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von Art. 190 Abs. 2 IPRG vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (BGE 133 III 139 E. 5 S. 141; 129 III 727 E. 5.2.2 S. 733; je mit Hinweisen). Wer sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt oder ergänzt wissen will, hat mit Aktenhinweisen darzulegen, dass entsprechende Sachbehauptungen bereits im vorinstanzlichen Verfahren prozesskonform aufgestellt worden sind (vgl. BGE 115 II 484 E. 2a S. 486; 111 II 471 E. 1c S. 473; je mit Hinweisen).
1.4 Die Beschwerdeführerin stellt ihren rechtlichen Vorbringen eine ausführliche Sachverhaltsdarstellung voran, in der sie den Ablauf der Ereignisse sowie des Verfahrens aus ihrer Sicht darlegt. Sie weicht darin in verschiedenen Punkten von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitert diese, ohne substantiiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung geltend zu machen. So trägt sie etwa vor, das Schiedsgericht sei fälschlicherweise davon ausgegangen, dass sie im Rahmen des Transfers des Beschwerdegegners effektiv lediglich einen Betrag von EUR 200'000.-- an den Spielervermittler bezahlt habe. Sie kritisiert in ihrer Sachverhaltsdarstellung zudem in appellatorischer Weise den angefochtenen Schiedsentscheid, als ob das Bundesgericht den Rechtsstreit von Grund auf neu beurteilen könnte. So stellt sie den Erwägungen des TAS zum Zeitpunkt der Vertragsbeendigung sowie zur Schadensberechnung ihre eigene Ansicht entgegen. Sie bringt etwa vor, das Schiedsgericht sei fälschlicherweise von der Ungültigkeit der von ihr erklärten Vertragsverlängerung ausgegangen. Auch habe es zu Unrecht dafür gehalten, der Beschwerdegegner sei ab Januar 2008 bis zum Ablauf seines Arbeitsvertrags gesundheitlich nicht mehr in der Lage gewesen, Spiele zu bestreiten. Die Beschwerdeführerin trägt über mehrere Seiten vor, weshalb die Schadensberechnung sowie die Schadenersatzbemessung durch das TAS ihrer Meinung nach in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht an verschiedenen Fehlern leide. Ihre entsprechenden Ausführungen, denen sich keine rechtsgenügend begründete Rüge nach Art. 190 Abs. 2 IPRG entnehmen lässt, haben daher unberücksichtigt zu bleiben.
Nach Art. 99 Abs. 1 BGG unzulässig ist die erstmals vor Bundesgericht aufgestellte Behauptung, der Beschwerdegegner sei an der FIFA-Weltmeisterschaft 2010 in mehreren Ernstkämpfen eingesetzt worden. Diese ist für das Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht ebenso unbeachtlich wie die von der Beschwerdeführerin hierzu eingereichten neuen Beweismittel.
2. Die Beschwerdeführerin bringt vor, das Schiedsgericht habe im Zusammenhang mit den eingeklagten Ansprüchen auf Lohnrückerstattung sowie Bezahlung der Disziplinarstrafe ein ihm unterbreitetes Rechtsbegehren unberücksichtigt gelassen (Art. 190 Abs. 2 lit. c IPRG) und in verschiedener Hinsicht ihr rechtliches Gehör verletzt (Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG).
2.1 2.1.1 Die Beschwerdeführerin rügt, sie habe im Verfahren vor dem Schiedsgericht "drei komplett unterschiedliche Ansprüche" eingeklagt, nämlich gestützt auf Art. 17 des Transferreglements Schadenersatz infolge unzulässiger vorzeitiger Vertragsauflösung im Umfang von EUR 12'131'178.--, die Rückzahlung zu Unrecht bezahlter Löhne für den Zeitraum 19. Januar bis 30. April 2008 im Betrag von EUR 650'000.-- sowie die im Januar 2008 ausgesprochene Disziplinarstrafe im Betrag von EUR 51'190.10. Das Schiedsgericht habe sich jedoch mit dem Anspruch auf Rückzahlung von EUR 650'000.-- überhaupt nicht auseinandergesetzt, während es den Anspruch auf Bezahlung der Disziplinarstrafe über EUR 51'190.10 "in einem völlig falschen Gesamtkontext abgehandelt" habe.
2.1.2 Das Schiedsgericht ging davon aus, dass der Beschwerdegegner ab Anfang 2008 und mindestens bis zum vereinbarten Vertragsende aus gesundheitlichen Gründen nicht ohne ernsthafte Gesundheitsgefährdung arbeiten bzw. spielen konnte. In Bezug auf den Lohn für die Monate Januar bis April 2008 hielt es fest, die Beschwerdeführerin habe dem Beschwerdegegner während dieser Zeit vorbehaltlos Lohn ausgerichtet. Obwohl sie am 21. April 2008 formell ein Verfahren bei der Kammer zur Beilegung von Streitigkeiten der FIFA eröffnet habe, sei dem Beschwerdegegner noch am 25. April 2008 der Lohn für den Monat April bezahlt worden. Aufgrund dieser Umstände ging das TAS davon aus, die Beschwerdeführerin habe anerkannt, dass das Arbeitsverhältnis bis Ende April 2008 Bestand hatte, bevor es vom Beschwerdegegner vorzeitig beendigt wurde.
Vor diesem Hintergrund kann der Beschwerdeführerin nicht gefolgt werden, wenn sie vorbringt, das TAS habe in Ziffer 222 des Schiedsspruchs selbst bestätigt, den von ihr geltend gemachten Rückforderungsanspruch nicht beurteilt zu haben. Vielmehr ist davon auszugehen, dass das Schiedsgericht den von ihr nach Bereicherungsrecht geltend gemachten Rückerstattungsanspruch für den von Januar bis April 2008 ausgezahlten Lohn mit seinen entsprechenden Erwägungen zumindest sinngemäss beurteilte, indem es für diese Zahlungen gerade von einem von der Beschwerdeführerin anerkannten Rechtsgrund ausging. Wenn das TAS entschied, dass der Beschwerdegegner der Beschwerdeführerin keine Entschädigung schulde (Dispositiv-Ziffer 1) und alle weiteren Klagen abgewiesen werden (Dispositiv-Ziffer 4), so hat es damit auch den eingeklagten Bereicherungsanspruch im Betrag von EUR 650'000.-- für angeblich irrtümlich bezahlten Lohn im Zeitraum vom 19. Januar 2008 bis 30. April 2008 abgewiesen. Dass es nicht ausdrücklich auf den Bereicherungsanspruch Bezug nahm, verletzt unter diesen Umständen den Gehörsanspruch der Beschwerdeführerin nicht. Aus dem Grundsatz des rechtlichen Gehörs im Sinne von Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG ergibt sich nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts kein Anspruch auf Begründung des Schiedsspruchs (BGE 134 III 186 E. 6 S. 187 f. mit Hinweisen).
Das Schiedsgericht hat demnach weder ein Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin unbeurteilt gelassen (Art. 190 Abs. 2 lit. c IPRG) noch den Grundsatz des rechtlichen Gehörs verletzt (Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG). Wenn die Beschwerdeführerin in ihren weiteren Ausführungen unter Berufung auf Art. 62 ff., Art. 82 und Art. 324a OR geltend macht, die Lohnzahlungen irrtümlich vorgenommen zu haben, weshalb ihr ein bereicherungsrechtlicher oder gegebenenfalls vertraglicher Rückerstattungsanspruch zustehe, kritisiert sie den angefochtenen Entscheid in inhaltlicher Hinsicht. Die materiellrechtliche Überprüfung eines internationalen Schiedsentscheids durch das Bundesgericht ist jedoch auf die Frage beschränkt, ob der Schiedsspruch den Ordre public missachtet (BGE 121 III 331 E. 3a S. 333). Dass dies der Fall wäre, macht auch die Beschwerdeführerin nicht geltend.
Das Schiedsgericht hat demnach weder ein Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin unbeurteilt gelassen (Art. 190 Abs. 2 lit. c IPRG) noch den Grundsatz des rechtlichen Gehörs verletzt (Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG). Wenn die Beschwerdeführerin in ihren weiteren Ausführungen unter Berufung auf Art. 62 ff., Art. 82 und Art. 324a OR geltend macht, die Lohnzahlungen irrtümlich vorgenommen zu haben, weshalb ihr ein bereicherungsrechtlicher oder gegebenenfalls vertraglicher Rückerstattungsanspruch zustehe, kritisiert sie den angefochtenen Entscheid in inhaltlicher Hinsicht. Die materiellrechtliche Überprüfung eines internationalen Schiedsentscheids durch das Bundesgericht ist jedoch auf die Frage beschränkt, ob der Schiedsspruch den Ordre public missachtet (BGE 121 III 331 E. 3a S. 333). Dass dies der Fall wäre, macht auch die Beschwerdeführerin nicht geltend.
2.2 2.2.1 In Bezug auf den geltend gemachten Anspruch von EUR 51'172.50 hielt das Schiedsgericht fest, dass der Beschwerdeführerin unter Berücksichtigung der von ihr am 28. Januar 2008 verhängten Disziplinarstrafe von USD 73'500.-- (entsprechend EUR 51'172.50) gegen den Beschwerdegegner für Zuwiderhandlungen gegen verschiedene Bestimmungen ihrer internen Reglemente grundsätzlich ein zusätzlicher Schadenersatzanspruch in diesem Betrag zustehe. Die Beschwerdeführerin habe aufgrund der Vertragsbeendigung jedoch EUR 2'633'020.65 eingespart, was den ihr an sich zustehenden Ersatzanspruch, bestehend aus dem nicht amortisierten Transferaufwand (EUR 2'445'106.35) und dem zusätzlichen Schadenersatz (EUR 51'172.50), um EUR 136'741.80 übersteige. Der Grundsatz der "Besonderheit des Sports" ("specificity of sport") nach Art. 17 Abs. 1 des FIFA-Transferreglements gebiete es angesichts der konkreten Umstände, insbesondere der nicht wieder gutzumachenden Gesundheitsschäden des Beschwerdegegners und deren Auswirkungen auf seine sportliche Laufbahn, dass der Beschwerdeführerin kein Schadenersatz zugesprochen werde, wenn sich schon erwiesen habe, dass sie infolge der Vertragsverletzung sogar Geld einsparte.
2.2.2 Die Beschwerdeführerin zeigt keine Gehörsverletzung auf, wenn sie hierzu vorträgt, das Schiedsgericht habe den von ihr geltend gemachten Anspruch auf Bezahlung der verhängten Disziplinarstrafe zwar nicht völlig unerwähnt gelassen, ihn jedoch "unter einem komplett falschen Gesamtkontext" abgehandelt. Ebenso wenig zeigt sie einen nach Art. 190 Abs. 2 IPRG vorgesehenen Rügegrund auf, indem sie dem TAS eine "krass falsche" und "absurde" Rechtsauffassung vorwirft und behauptet, es habe verkannt, dass dieser Anspruch "absolut nichts mit dem FIFA Transferreglement 2005 zu tun" habe. Sie kritisiert damit vielmehr in unzulässiger Weise die rechtlichen Erwägungen des angefochtenen Entscheids.
Die Beschwerdeführerin bringt zudem zu Unrecht vor, das Schiedsgericht habe ihre wesentlichen Argumente nicht zur Kenntnis genommen, genauer den Umstand, dass sie ihren Anspruch auf Bezahlung der Konventionalstrafe unabhängig und separat vom Schadenersatzanspruch gestützt auf Art. 17 des FIFA-Transferreglements eingeklagt habe. Das Schiedsgericht hat den geltend gemachten Anspruch über USD 73'500.-- (entsprechend EUR 51'172.50) vielmehr als berechtigt erachtet, diesen jedoch - zusammen mit der Entschädigung für den nicht amortisierten Transferaufwand - unter Berücksichtigung der "Besonderheit des Sports" gemäss Art. 17 Abs. 1 des FIFA-Transferreglements gegen die noch höheren Ersparnisse aufgerechnet. Die genannte Bestimmung stand im Zentrum des Verfahrens. Beiden Parteien, die im Schiedsverfahren je von mindestens zwei Rechtsanwälten vertreten waren, musste das dem Schiedsgericht aufgrund der verwendeten unbestimmten Rechtsbegriffe eingeräumte weite Ermessen bei Festsetzung der Entschädigung bewusst sein, zumal die Bestimmung dazu anhält, die "Besonderheit des Sports" ("specificity of sport") sowie "alle anderen objektiven Kriterien" ("any other objective criteria") zu berücksichtigen. Der Einbezug der Konventionalstrafe in die Überlegungen des Schiedsgerichts unter diesem Titel erfolgte daher nicht in einer Weise, die es nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ausnahmsweise geboten hätte, die Parteien zu dieser rechtlichen Würdigung noch besonders anzuhören. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht trifft nicht zu, dass die Beschwerdeführerin bezüglich der eingeklagten Konventionalstrafe mit der Erheblichkeit von Art. 17 des FIFA-Transferreglements vernünftigerweise nicht habe rechnen müssen (vgl. BGE 130 III 35 E. 5 S. 39 f.; 126 I 19 E. 2c/aa S. 22; 124 I 49 E. 3c S. 52).
Ob die Aufrechnung der verschiedenen Posten zutreffend erfolgte, beschlägt die schiedsgerichtliche Rechtsanwendung, die - mit Ausnahme einer vorliegend (zu Recht) nicht gerügten Missachtung des Ordre public (Art. 190 Abs. 2 lit. e IPRG) - einer materiellen Überprüfung durch das Bundesgericht nicht zugänglich ist.
3. Die Beschwerdeführerin bringt vor, das Schiedsgericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör in einem kontradiktorischen Verfahren verletzt, indem es feststellte, der Beschwerdegegner sei ab Anfang 2008 und mindestens bis zum vereinbarten Vertragsende (d.h. Ende Mai 2009) nicht in der Lage gewesen, ohne Gefährdung seiner Gesundheit Spiele auszutragen.
3.1 Nach Art. 182 Abs. 1 und 2 IPRG können die Parteien und allenfalls das Schiedsgericht die schiedsgerichtliche Verfahrensordnung selbst bestimmen. Als verfahrensrechtliche Minimalgarantien der Parteidisposition entzogen sind jedoch nach Art. 182 Abs. 3 IPRG die Ansprüche auf Gleichbehandlung der Parteien und auf rechtliches Gehör in einem kontradiktorischen Verfahren. Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG lässt die Anfechtung allein wegen der zwingenden Verfahrensregeln gemäss Art. 182 Abs. 3 IPRG zu. Danach muss das Schiedsgericht insbesondere den Anspruch der Parteien auf rechtliches Gehör wahren. Dieser entspricht - mit Ausnahme des Anspruchs auf Begründung - dem in Art. 29 Abs. 2 BV gewährleisteten Verfassungsrecht (BGE 130 III 35 E. 5 S. 37 f.; 128 III 234 E. 4b S. 243; 127 III 576 E. 2c S. 578 f.). Die Rechtsprechung leitet daraus insbesondere das Recht der Parteien ab, sich über alle für das Urteil wesentlichen Tatsachen zu äussern, ihren Rechtsstandpunkt zu vertreten, ihre entscheidwesentlichen Sachvorbringen mit tauglichen sowie rechtzeitig und formrichtig offerierten Mitteln zu beweisen, sich an den Verhandlungen zu beteiligen und in die Akten Einsicht zu nehmen (BGE 130 III 35 E. 5 S. 38; 127 III 576 E. 2c S. 578 f.; je mit Hinweisen).
3.2 Die Beschwerdeführerin verkennt die Tragweite des Gehörsanspruchs in einem kontradiktorischen Verfahren, wenn sie unter Hinweis auf verschiedene Parteivorbringen im Rahmen des Schiedsverfahrens vorbringt, das Schiedsgericht verletze die in Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG erwähnten Verfahrensrechte, indem es seinem Entscheid eine angeblich unbestritten gebliebene Tatsachenbehauptung nicht zugrunde gelegt habe, sondern von einem anderen Sachverhalt ausgegangen sei. Dies betrifft vielmehr die Beachtung der anwendbaren Verfahrensmaxime zur Feststellung des Sachverhalts, nicht jedoch das Recht der Beschwerdeführerin, ihren Standpunkt in das Verfahren einzubringen. Sie legt denn auch nicht dar, dass es ihr im Schiedsverfahren verunmöglicht worden wäre, zu den Vorbringen des Beschwerdegegners Stellung zu nehmen. Mit ihrem Vorbringen, sie habe in ihrer Beschwerdeantwort an das TAS vom 10. Dezember 2009 aufgezeigt, dass der Beschwerdegegner während der Saison 2008/2009 im Rahmen der Qualifikation für die FIFA-Weltmeisterschaft 2010 mindestens dreimal für die Nationalmannschaft von Y._ im Einsatz gestanden habe, was vom Beschwerdegegner im Schiedsverfahren angeblich unbestritten geblieben sei, lässt sich keine nach Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG zulässige Rüge begründen.
Abgesehen davon gibt die Beschwerdeführerin die Feststellungen des angefochtenen Entscheids ungenau wieder, wenn sie dem Schiedsgericht vorwirft, es sei angesichts der Tatsachenbehauptungen der Parteien "völlig überraschend" davon ausgegangen, der Beschwerdegegner sei bis zum Ablauf des Arbeitsvertrags (d.h. bis zum 31. Mai 2009) nicht in der Lage gewesen, wettkampfmässig Fussball zu spielen. Das Schiedsgericht sah es vielmehr für erwiesen an, dass dies nicht ohne ernsthafte Gefährdung seiner Gesundheit ("without exposing himself to majoir health complications") möglich gewesen sei. Im Übrigen ergibt sich - worauf der Beschwerdegegner zu Recht hinweist - aus der Darstellung der Parteivorbringen im angefochtenen Entscheid (Ziffer 89 S. 21), dass das Schiedsgericht die Behauptungen der Beschwerdeführerin zur Teilnahme des Beschwerdegegners an WM-Qualifikationsspielen durchaus zur Kenntnis genommen hat. Die Rüge der Beschwerdeführerin, sie sei mit ihren Vorbringen im Schiedsverfahren nicht gehört worden, ist unberechtigt.
Wenn die Beschwerdeführerin vorbringt, aus der Teilnahme des Beschwerdegegners an den erwähnten Qualifikationsspielen folge - entgegen dem angefochtenen Entscheid - zwingend die Spiel- und Arbeitsfähigkeit des Spielers bis zum Ablauf der Vertragsdauer und damit ein hoher Ersatzanspruch der Beschwerdeführerin, legt sie lediglich in appellatorischer Weise ihren Standpunkt dar und zieht die materielle Richtigkeit des Schiedsspruchs in Zweifel. Der Gehörsanspruch beinhaltet jedoch keinen Anspruch auf einen materiell richtigen Entscheid (BGE 127 III 576 E. 2b S. 577 f.). Entsprechendes gilt für die Ausführungen der Beschwerdeführerin hinsichtlich der Dauer der verunmöglichten Amortisation des Transferaufwands infolge der Vertragsverletzung, die sich in unzulässiger Kritik an der Rechtsauffassung des Schiedsgerichts erschöpfen.
4. Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich eine Verletzung ihres Gehörsanspruchs auch im Zusammenhang mit der dem Spielervermittler geschuldeten Provision für den Transfer des Beschwerdegegners.
4.1 Das Schiedsgericht berücksichtigte für die Berechnung der infolge vorzeitiger Vertragsauflösung verhinderten Amortisation des Transferaufwands neben der an den ehemaligen Fussballclub des Beschwerdegegners bezahlten Transfersumme von EUR 8 Mio., den Solidaritätsbeiträgen von EUR 390'000.-- sowie dem Handgeld von EUR 250'000.-- auch die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Provisionen zugunsten eines Spielervermittlers. Es erwog, dass die Beschwerdeführerin gestützt auf eine vom 19. Juli 2005 datierende Vertragsurkunde zwar eine Provision von EUR 400'000.-- geltend gemacht habe, dass sie jedoch lediglich eine Zahlung über EUR 200'000.-- habe nachweisen können, während der angebliche Beleg für die Bezahlung des Restbetrags keinen Zusammenhang mit den Dienstleistungen des betreffenden Spielervermittlers erkennen lasse. Entsprechend berücksichtigte das TAS den Provisionsbetrag von EUR 200'000.--, anteilsmässig für die restlichen 13 Monate der insgesamt 47-monatigen Vertragsdauer.
4.2 Die Beschwerdeführerin bringt zu Unrecht vor, das TAS habe seinen Entscheid damit auf juristische Argumente gestützt, auf die sich die beteiligten Parteien nicht berufen hätten und mit deren Erheblichkeit sie nicht habe rechnen müssen. Sie verkennt die Entscheidbegründung des Schiedsgerichts, wenn sie in diesem Zusammenhang vorbringt, nicht einmal ein Laie komme auf die Idee, dass eine noch unbezahlte Schuld keine Schuld sei, weshalb sie zu dieser "schlicht und einfach unhaltbaren" Rechtsauffassung besonders anzuhören gewesen wäre. Das TAS hat die von der Beschwerdeführerin eingereichten Vertragsurkunden und Zahlungsbelege, mit denen sie die behauptete Bezahlung des Gesamtbetrags von EUR 400'000.-- in zwei Raten zu beweisen suchte, gewürdigt und befunden, es seien dem Spielervermittler nur EUR 200'000 geschuldet. Die Berücksichtigung dieses Betrags beruht entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nicht auf einem Rechtsgrund, mit dem sie nicht hätte rechnen können, sondern ergibt sich folgerichtig aus der Beweiswürdigung durch das Schiedsgericht. Von einer überraschenden Rechtsanwendung, die vorgängig eine besondere Anhörung erfordert hätte (vgl. BGE 130 III 35 E. 5 S. 39; 126 I 19 E. 2c/aa S. 22; 124 I 49 E. 3c S. 52), kann keine Rede sein. Wie die Beschwerdeführerin im Übrigen selbst einräumt, wäre der (für die Restdauer des Vertrags anteilsmässig) geltend gemachte Mehrbetrag von EUR 200'000.-- angesichts der schiedsgerichtlichen Berechnung der Ersparnisse einerseits und der Ersatzforderung andererseits, die vor Bundesgericht vergeblich als unzutreffend gerügt worden ist, ohnehin nicht entscheidrelevant.
5. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 40'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 50'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Verfahrensbeteiligten und dem Tribunal Arbitral du Sport (TAS) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann