Faits:
A. Le 12 décembre 2006, A._ circulait au volant de son véhicule à Genève, lorsqu'il a eu une altercation avec un autre automobiliste, B._. Ce dernier lui reprochait de ne pas s'être arrêté à un "stop", alors que A._ lui faisait grief de circuler trop vite. Les deux automobilistes ont échangé des injures et A._ est descendu de son véhicule pour asséner un coup de poing à B._, qui a finalement déposé une plainte pénale. Cette plainte a été classée sans suite, mais les faits ont été portés à la connaissance du Service des automobiles et de la navigation du canton de Genève (ci-après: le SAN).
Par décision du 6 mars 2007, le SAN a ordonné le retrait du permis de conduire de A._ pour une durée de trois mois, en application de l'art. 16c de la loi fédérale sur la circulation routière (LCR; RS 741.01), au motif que l'intéressé n'avait pas accordé la priorité en quittant un "stop", qu'il s'était arrêté de manière inopinée sans nécessité, qu'il avait gêné la circulation et qu'il avait eu une altercation avec un autre usager de la route. Il qualifiait cette infraction de grave.
B. Par arrêt du 27 novembre 2007, le Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision. Il retenait notamment en fait que l'intéressé avait reconnu s'être conduit d'une manière inappropriée et considérait en droit qu'en l'absence de toute procédure pénale il convenait de se fonder "sur les faits tels qu'ils résultent de la déclaration-plainte de M. B._ pour admettre que M. A._ n'a pas respecté le stop". Le Tribunal administratif considérait qu'il s'agissait d'une infraction grave au sens de l'art. 16c al. 1 let. a LCR, l'intéressé ayant mis en danger la sécurité d'autrui.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt ainsi que la décision du SAN du 6 mars 2007. Il se plaint d'une violation de l'art. 16c LCR. Il requiert en outre l'octroi de l'effet suspensif. Le Tribunal administratif se réfère à l'arrêt attaqué. L'Office fédéral des routes s'est déterminé; il conclut à l'admission du recours. Le SAN n'a pas présenté d'observations.
D. Par ordonnance du 8 février 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1. La voie du recours en matière de droit public, au sens des art. 82 ss LTF, est en principe ouverte contre les décisions prises en dernière instance cantonale au sujet de mesures administratives de retrait du permis de conduire. Le recourant est particulièrement atteint par la décision attaquée - qui confirme le retrait de son permis de conduire pour une durée de trois mois - et il a un intérêt digne de protection à son annulation; il a donc la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 let. a et b LTF. Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours est recevable au regard des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF.
2. Le recourant estime qu'il n'a pas commis une infraction grave au sens de l'art. 16c al. 1 let. a LCR. Il reconnaît avoir eu une altercation avec un autre automobiliste, mais il conteste avoir mis sérieusement en danger la sécurité d'autrui ou en avoir pris le risque.
2.1 Aux termes de l'art. 16a al. 1 let. a LCR, commet une infraction légère la personne qui, en violant les règles de la circulation, met légèrement en danger la sécurité d'autrui et à laquelle seule une faute bénigne peut être imputée. Selon, l'art. 16b al. 1 let. a LCR, commet une infraction moyennement grave la personne qui, en violant les règles de la circulation, crée un danger pour la sécurité d'autrui ou en prend le risque. Enfin, conformément à l'art. 16c al. 1 let. a LCR, commet une infraction grave la personne qui, en violant gravement les règles de la circulation, met sérieusement en danger la sécurité d'autrui ou en prend le risque. Selon ces dispositions, la qualification de l'infraction dépend donc du degré de la mise en danger de la sécurité d'autrui ainsi que de la gravité de la faute imputable au conducteur concerné.
2.2 A teneur de l'art. 112 al. 1 let. b LTF, les décisions qui peuvent faire l'objet d'un recours devant le Tribunal fédéral doivent contenir les motifs déterminants de fait et de droit. Il résulte de cette norme que lesdites décisions doivent indiquer clairement les faits qui sont établis et les déductions juridiques qui sont tirées de l'état de fait déterminant (cf. Bernhard Ehrenzeller, in Basler Kommentar BGG, Bâle 2008, n. 7 ad art. 112 LTF; Hansjörg Seiler/Nicolas von Werdt/Andreas Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, n. 9 s. ad art. 112 LTF). Si une décision attaquée ne satisfait pas aux exigences fixées à l'art. 112 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral peut soit la renvoyer à l'autorité cantonale en invitant celle-ci à la parfaire, soit l'annuler (art. 112 al. 3 LTF).
2.3 En l'occurrence, l'état de fait de l'arrêt attaqué se limite pour l'essentiel à un exposé du déroulement de la procédure, mais il ne comporte pas de véritable constatation des faits pour lesquels le recourant a été sanctionné. Selon la partie "en droit" de cet arrêt, le retrait de permis pour une durée de trois mois serait justifié par le seul fait que le recourant n'a pas respecté un "stop". Or, si le recourant a reconnu avoir eu une altercation avec un autre automobiliste et avoir "pété les plombs", il n'a jamais admis avoir omis de s'arrêter au signal "stop". Il a même expressément déclaré le contraire à la police lors de son audition du 20 décembre 2006. Le seul élément sur lequel se fonde la constatation des faits est donc la "déclaration-plainte" de l'automobiliste avec lequel le recourant a eu une altercation et à laquelle le Tribunal administratif renvoie purement et simplement.
Les faits ainsi constatés ne permettent manifestement pas d'apprécier la gravité de l'infraction au regard des art. 16a ss LCR, c'est à dire de déterminer le degré de la mise en danger de la sécurité d'autrui ainsi que de la gravité de la faute imputable au conducteur concerné. A cet égard, il y a lieu de préciser que, contrairement à ce que semble considérer l'autorité intimée, le fait de ne pas respecter un "stop" ne constitue pas dans tous les cas une infraction grave au sens de l'art. 16c LCR. Comme le relève à juste titre l'Office fédéral des routes, un simple "stop coulé" pourrait même être sanctionné dans le cadre d'une procédure d'amende d'ordre (ch. 308 de l'annexe 1 de l'ordonnance sur les amendes d'ordre; RS 741.031).
Quoi qu'il en soit, l'arrêt attaqué ne permet pas au Tribunal fédéral de statuer sur la querelle, dans la mesure où il n'est pas possible de déterminer les faits pertinents qui résultent de l'administration des preuves et d'apprécier la gravité de l'infraction sur cette base.
3. Il s'ensuit que l'arrêt attaqué doit être annulé en application de l'art. 112 al. 3 LTF. Il y a lieu de retourner la cause à l'autorité cantonale, pour qu'elle rende une décision qui réponde aux exigences de l'art. 112 al. 1 LTF. Il convient de rendre l'arrêt sans frais (art. 66 al. 4 LTF) et il n'y a pas lieu d'allouer des dépens au recourant, qui n'est pas représenté par un avocat (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. L'arrêt attaqué est annulé conformément à l'art. 112 al. 3 LTF et la cause est renvoyée au Tribunal administratif du canton de Genève pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service des automobiles et de la navigation et au Tribunal administratif du canton de Genève ainsi qu'à l'Office fédéral des routes.
Lausanne, le 24 juin 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener