Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Im angefochtenen Entscheid wurde auf einen Rekurs des Beschwerdeführers nicht eingetreten, weil die Begründung des Rechtsmittels nicht genügend war. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, nicht angegeben zu haben, was ihrer Ansicht nach wirr und unverständlich in seinem Rekurs gewesen sein soll. Er behauptet indessen selber nicht, dass er im Gegensatz zum Vorwurf der Vorinstanz im Rekurs konkrete Anträge gestellt und sich materiell mit den Argumenten des erstinstanzlichen Nichteintretensentscheids auseinandergesetzt hätte (angefochtener Entscheid S. 4 oben). Unter diesen Umständen kann offenbleiben, was genau in seinem Rekurs, der auch sonst den Begründungsanforderungen nicht entsprach, wirr und unverständlich gewesen sein könnte. Die übrigen Ausführungen der Beschwerde betreffen die materielle Seite der Angelegenheit. Nachdem sich die Vorinstanz dazu nicht geäussert hat, kann dies auch das Bundesgericht nicht tun. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das nachträglich eingereichte, sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn