Erwägungen:
1. Am 6. April 2010 erhob X._ Anzeige gegen seine (Noch-)Ehefrau Y._ wegen verschiedener strafbarer Handlungen.
In Bezug auf einen Teil der Vorfälle trat das Untersuchungsamt Altstätten in der Folge nicht auf die Strafklage ein, während auf einen Vorfall bezogen eine vorläufige Einstellungsverfügung erging.
Gegen die vorläufige wie auch gegen die definitive Einstellung gelangte X._ mit Beschwerde an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Für beide Verfahren ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Mit Entscheid vom 2. Juni 2010 hat der Präsident der Anklagekammer des Kantons St. Gallen das Gesuch in Anwendung der massgebenden strafprozessualen Bestimmungen in Bezug auf beide Beschwerdeverfahren abgewiesen und X._ eine Frist von zehn Tagen zur Leistung einer Einschreibegebühr von Fr. 400.-- pro Verfahren gesetzt, unter Hinweis darauf, dass die Beschwerden im Falle der Nichtleistung der Gebühren unberücksichtigt blieben.
2. Gegen diesen Entscheid führt X._ der Sache nach Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht.
Das Untersuchungsamt bzw. die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Präsident der Anklagekammer hat sich dazu nicht geäussert.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch Art. 106 Abs. 2 BGG; zudem BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Ist ein - wie hier - in Anwendung kantonalen Rechts ergangener Entscheid angefochten, bildet die Verletzung blossen kantonalen Rechts keinen selbstständigen Beschwerdegrund. Vielmehr hat der Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern der beanstandete Entscheid gegen verfassungsmässige Rechte verstossen soll. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (s. die vorstehend bereits zitierte Rechtsprechung). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer äussert sich ausführlich zu den zugrunde liegenden kantonalen Verfahren und zu den einzelnen Vorfällen, die Ursache für seine Anzeige bildeten. Ebenso ausführlich bemängelt er ganz allgemein den angefochtenen Entscheid des Präsidenten der Anklagekammer. Zwar behauptet er verschiedene Rechtsverletzungen. Doch setzt er sich nicht hinreichend mit den dem Entscheid zugrunde liegenden Erwägungen auseinander und legt nicht im Einzelnen dar, inwiefern der Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzen soll.
Mangels einer genügenden Begründung im Sinn von Art. 42 Abs. 2 BGG ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Da die Beschwerde nach dem Gesagten offensichtlich aussichtslos ist, ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abzuweisen (Art. 64 BGG). Bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt es sich jedoch, für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt Altstätten, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juli 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Bopp