Erwägungen:
1. 1.1 Am 13. Mai 2009 wies das Eidgenössische Starkstrominspektorat (EStI) X._ an, bestimmte, in einem Kontrollbericht festgehaltene Mängel an den elektrischen Anlagen in seiner Liegenschaft bis spätestens zum 13. Juli 2009 durch eine installationsberechtigte Fachperson beheben zu lassen und die Behebung sämtlicher Mängel der Netzbetreiberin bis zum gleichen Datum schriftlich zu melden oder einen Sicherheitsnachweis einzureichen. Das Starkstrominspektorat setzte für diese Verfügung eine Gebühr von Fr. 700.-- fest und drohte für den Fall der Missachtung eine Ordnungsbusse von bis zu Fr. 5'000.-- an. Die Verfügung wurde X._ am 2. Juni 2009 eröffnet. Mit Schreiben vom 2. Juli 2009 teilte seine Schwester S._ dem Bundesverwaltungsgericht mit, X._ sei wegen Krankheit daran gehindert, gegen die Verfügung des Starkstrominspektorats fristgerecht Beschwerde zu erheben. Das Bundesverwaltungsgericht behandelte diese Eingabe als sinngemässes Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist und trat darauf am 7. Juli 2009 nicht ein.
1.2 Mit Beschwerde vom 7. September 2009 an das Bundesverwaltungsgericht ersuchte X._ um Wiederherstellung der Beschwerdefrist und beantragte in der Hauptsache die Aufhebung der Verfügung des Starkstrominspektorats. Am 22. September 2009 wies die Einzelrichterin am Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, das Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist ab und trat auf die Beschwerde nicht ein.
1.3 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht beantragt X._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei zur Wiederherstellung der Beschwerdefrist sowie zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht ersuchte X._ um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
1.4 Das Starkstrominspektorat äusserte sich lediglich zur Frage der aufschiebenden Wirkung. Das Bundesverwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
1.5 Mit Verfügung vom 25. November 2009 wies der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
2. 2.1 Umstritten ist hier einzig, ob die Frist von 30 Tagen, um gegen die Verfügung des Starkstrominspektorats beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde zu erheben, wieder herzustellen ist.
2.2 Nach Art. 24 VwVG wird eine Frist wieder hergestellt, wenn der Gesuchsteller oder sein Vertreter unverschuldeterweise abgehalten worden ist, binnen Frist zu handeln, sofern er unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt.
2.3 Auf Wiederherstellung der Frist ist nur zu erkennen, wenn die Säumnis auf ein "unverschuldetes Hindernis", also auf die Unmöglichkeit, rechtzeitig zu handeln, zurückzuführen ist. Waren der Gesuchsteller bzw. sein Vertreter wegen eines von ihrem Willen unabhängigen Umstandes verhindert, zeitgerecht zu handeln, liegt objektive Unmöglichkeit vor. Subjektive Unmöglichkeit wird angenommen, wenn zwar die Vornahme einer Handlung objektiv betrachtet möglich gewesen wäre, der Betroffene aber durch besondere Umstände, die er nicht zu verantworten hat, am Handeln gehindert worden ist. Die Wiederherstellung ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nur bei klarer Schuldlosigkeit des Gesuchstellers und seines Vertreters zu gewähren. Ein Krankheitszustand bildet, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht, ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis. Doch muss die Erkrankung derart sein, dass der Rechtsuchende durch sie davon abgehalten wird, selber innert Frist zu handeln oder doch eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen (Urteile des Bundesgerichts 8C_767/2008 vom 12. Januar 2008 E. 5.3, 2C_401/2007 vom 21. Januar 2008 E. 3.3, 6S.54/2006 vom 2. November 2006 E. 2.2.1 und 2A.322/1996 vom 5. November 1996 E. 3, mit Hinweisen). Wer Wiederherstellung der Frist beantragt, hat schliesslich, wie sich aus dem Gesetzeswortlaut ergibt, von sich aus die Gründe für die Wiederherstellung zu nennen, und er muss logischerweise auch die erforderlichen Belege dazu einreichen.
3. 3.1 Im vorliegenden Fall lief die fragliche Beschwerdefrist am 2. Juli 2009 ab. An diesem Tag teilte die Schwester des Beschwerdeführers dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mit, ihr Bruder sei wegen Krankheit an einer Beschwerdeeingabe verhindert. Dem in der Folge vom Beschwerdeführer eingereichten Gesuch um Wiederherstellung der Frist (vom 7. September 2009) war lediglich zu entnehmen, dass er vor Ablauf der Beschwerdefrist erkrankt und bis zum 9. Juli 2009 arbeitsunfähig gewesen war. Das beigelegte Arztzeugnis bestätigte zwar die Arbeitsunfähigkeit und deren Dauer, daraus ergaben sich aber weder die Art noch der Grad derselben. Da der Beschwerdeführer insofern von Anfang an beweispflichtig war, kann der angefochtene Entscheid nicht Anlass für die nachträgliche Ergänzung des Arztzeugnisses vom 20. Oktober 2009 gegeben haben, weshalb diese als neues Beweismittel unzulässig ist (vgl. Art. 99 BGG). Im Übrigen ergibt sich daraus einzig, dass der Beschwerdeführer vollständig arbeitsunfähig war; Angaben zur Art der Erkrankung sind erneut nicht vorhanden. Da die Information darüber vom Beschwerdeführer selbst erteilt werden müsste und er daran auch ein eigenes Interesse hat, stellt sich die Frage der Entbindung vom Arztgeheimnis nicht.
3.2 So oder so ist nicht belegt, dass der Beschwerdeführer im fraglichen Zeitpunkt gänzlich handlungsunfähig und es ihm damit verunmöglicht war, selbst die nötigen fristwahrenden Rechtshandlungen vorzunehmen oder einen rechtskundigen Vertreter damit zu betrauen. Der Beschwerdeführer ist studierter Jurist und Rechtsanwalt. Er musste daher über die Tragweite der Regelung über die Beschwerdefrist und die Modalitäten zur Fristwiederherstellung Bescheid wissen. Wenn die Streitsache, wie er geltend macht, rechtlich und technisch einige Anforderungen stellte, so liess sich die Beschwerdeerhebung nicht erst am Ende der Beschwerdefrist vorbereiten, weshalb er bei Eintritt der Erkrankung damit schon weit fortgeschritten sein musste. Am letzten Tag der Beschwerdefrist kam es offenbar zu einer ärztlichen Konsultation; jedenfalls trägt das eingereichte Arztzeugnis das entsprechende Datum. Da sich die Krankheit nach den eigenen Angaben des Beschwerdeführers schon einige Tage vor Fristablauf einstellte und sich sein Gesundheitszustand mit der Zeit verschlimmerte, musste er damit rechnen, am letzten Tag nicht in der Lage zu sein, die Beschwerdeschrift selbst zu verfassen. Weshalb es angesichts der beginnenden Erkrankung nicht möglich gewesen sein sollte, rechtzeitig einen Anwalt mit der rechtsgenüglichen Fertigstellung und fristwahrenden Einreichung der Beschwerde zu beauftragen, ist nicht nachvollziehbar. Jedenfalls vermochte er sich nicht nur ein Arztzeugnis zu verschaffen, sondern auch seine Schwester zu instruieren, dem Bundesverwaltungsgericht ein Schreiben einzureichen, um dieses über die Erkrankung bzw. das Verpassen der Frist zu informieren. Damit ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer wenigstens eine Drittperson geeignet mit der Wahrung seiner Interessen hätte beauftragen können.
4. Die Beschwerde erweist sich demzufolge als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Eidgenössischen Starkstrominspektorat und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. April 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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