Sachverhalt:
A. In der von X._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) gegen Z._ (nachfolgend: Beschwerdegegner) angestrengten Betreibung stellte das Betreibungsamt A._ Letzterem am 2. Oktober 2008 den Zahlungsbefehl in der Betreibung Nr. 1 über 1 Mio. Franken nebst Zins zu. Der Betriebene erhob am 10. Oktober 2008 Rechtsvorschlag. Der Beschwerdegegner ist der Adoptivsohn einer in Monaco verstorbenen Tante der Beschwerdeführerin, welche gemäss Testament vom 2. Juli 2003 die Beschwerdeführerin mit einem Vermächtnis von 1 Mio. Franken bedacht hat.
Mit Verfügung des Bezirksgerichts Küssnacht vom 17. Dezember 2008 wurde das Rechtsöffnungsbegehren der Beschwerdeführerin abgewiesen. Der von der Beschwerdeführerin dagegen beim Kantonsgericht Schwyz eingereichte Rekurs hatte keinen Erfolg. Mit Beschluss vom 4. Februar 2009 wurde das Rechtsmittel abgewiesen.
B. B.a Mit Eingabe vom 11. Februar 2009 hat die Beschwerdeführerin die Sache an das Bundesgericht weitergezogen und beantragt, es sei ihr Rechtsöffnung zu gewähren.
B.b Die Beschwerdeführerin hat am 25. Februar 2009 beim Bundesgericht Einsicht in die Akten genommen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Der letztinstanzliche Entscheid (Art. 75 Abs. 1 BGG) über die Rechtsöffnung beschlägt das Zwangsvollstreckungsrecht (Art. 72 Abs. 2 lit.a BGG) und stellt zugleich eine vermögensrechtliche Angelegenheit dar (zum Ganzen: BGE 133 III 399 f.). Die gesetzliche Streitwertgrenze ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG), sodass die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist.
1.2 Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (Art. 95 BGG). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine "offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts" entspricht der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung (Botschaft, BBl 2001 IV 4338; BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252; 133 III 393 E. 7.1 S. 398). Dabei genügt es aber nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sein sollen (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255).
1.3 Da Monaco kein Vertragsstaat des Lugano-Übereinkommens bzw. dieses auf dem Gebiet des Erbrechts einschliesslich des Testamentsrechts nicht anwendbar ist (Art. 1 Abs. 2 Ziff. 1 LugÜ) und der Beschwerdegegner den Betreibungsort nicht angefochten hat, ist die Zuständigkeit zur Erteilung der Rechtsöffnung beim Richter am Betreibungsort gegeben (DANIEL STAEHELIN, Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, SchKG I, N. 18 zu Art. 84 SchKG).
2. 2.1 Im angefochtenen Beschluss wird - zusammengefasst - ausgeführt, die Beschwerdeführerin behaupte nicht, dass ihre in Monaco verstorbene Tante den Nachlass schweizerischer Zuständigkeit unterstellt habe oder die zuständigen monegassischen Behörden sich nicht mit deren Nachlass befassen würden. Daher wären im ordentlichen Erkenntnisverfahren die monegassischen Behörden für die Nachlassbehandlung aus ihrem Recht zuständig (Art. 87 und 91 IPRG; vgl. Urteil 5C.299/2005 vom 6. Juli 2006 betreffend die Anfechtung des Testamentes vom 2. Juli 2003 im Bürgerrechtskanton der Erblasserin). Der schweizerische Rechtsöffnungsrichter solle vorgängig nicht durch einen Entscheid allein auf Grund des Vorliegens einer Schuldanerkennung und lediglich im Rahmen der Glaubhaftmachung geprüfter Einwendungen in die internationale Zuständigkeit eingreifen (PETER STÜCHELI, Die Rechtsöffnung, Diss. Zürich 2000, S. 49 ff.), weshalb die Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens und die Verweisung der Beschwerdeführerin ins mutmassliche ordentliche Erkenntnisverfahren vor den Gerichten in Monaco durch den Vorderrichter nicht zu beanstanden sei. Eine unterzeichnete Schuldanerkennung berechtige nicht nur zur provisorischen Rechtsöffnung gegen den Aussteller, sondern gegen alle Personen, die von Gesetzes wegen für die Schuld hafteten, namentlich auch in einer Betreibung gegen einen einzelnen Erben (DANIEL STAEHELIN, a.a.O., N. 53 zu Art. 82 SchKG); die provisorische Rechtsöffnung dürfe abgelehnt werden, wenn die dem ausländischen Recht unterliegende Schuldanerkennung nicht liquide sei (derselbe, a.a.O, N. 174). Ausländisches Recht sei im Rechtsöffnungsverfahren praxisgemäss nicht von Amtes wegen zu ermitteln. Die Beschwerdeführerin habe ihre Behauptungen, das monegassische Recht verweise auf schweizerisches Recht bzw. decke sich inhaltlich mit diesem, namentlich mit Art. 562 ZGB, wonach der Vermächtnisanspruch fällig werde, sobald der Beschwerte die Erbschaft angenommen habe oder nicht mehr ausschlagen könne, sei nicht belegt. Es sei nicht liquide, ob die Beschwerdeführerin vom Beschwerdegegner zur Zeit die Ausrichtung des geltend gemachten Vermächtnisses verlangen könne. Vielmehr sei auf Grund des Testamentes wahrscheinlicher, dass die Erfüllung des Vermächtnisses aus dem Nachlass der Verstorbenen dem Willensvollstrecker obliege, der nach schweizerischem Recht entweder an Stelle oder zumindest neben den Erben auch bei Zwangsvollstreckungsmassnahmen aktiv- und passivlegitimiert sei und damit ins Recht gefasst werden müsste (FABIAN BURKART/BERNHARD CHRIST, in: Praxiskommentar Erbrecht, Art. 484 N. 83 bzw. 518 N. 105 ff. zu Art. 518 ZGB). Letzteres helfe auch zu vermeiden, dass ein Erbe Gefahr laufe, mit eigenen Mitteln in Anspruch genommen zu werden, bevor er überhaupt in den Genuss seines Erbes gelangen könne.
2.2 Die Beschwerdeführerin setzt sich mit diesen Erwägungen nicht hinreichend auseinander, so dass fraglich ist, ob auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann. Immerhin können der Beschwerde die folgenden Beanstandungen entnommen werden.
2.3 Die Beschwerdeführerin trägt vor, gemäss der Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft B._ vom 17. April 2007 sei das Testament vom 2. Juli 2003 echt und der Beschwerdegegner habe als Universalerbe zu gelten. Sie beruft sich somit auf das Testament und die Einstellungsverfügung und damit auf einen definitiven Rechtsöffnungstitel, so dass zunächst geprüft werden muss, ob ein definitiver Rechtsöffnungstitel besteht. Der Rechtsöffnungsrichter hat von Amtes wegen die Rechtsfrage zu prüfen, ob ein gehöriger Rechtsöffnungstitel vorliegt (ERIC MUSTER, La reconnaissance de dette abstraite, Diss. Lausanne 2004, S. 176, u.a. mit Hinweis auf BGE 103 Ia 47 E. 2e S. 52).
Die Vorinstanz hat in diesem Zusammenhang erwogen, das als Rechtsöffnungstitel geltend gemachte Testament vom 2. Juli 2003 sei einerseits weder ein Urteil noch ein gerichtlicher Entscheid oder Vergleich und anderseits auch kein Entscheid einer Verwaltungsbehörde im Sinne von Art. 80 SchKG. Es werde mithin kein definitiver Rechtsöffnungstitel zur Verpflichtung des Beschwerdegegners vorgelegt, der Beschwerdeführerin 1 Mio. Franken auszurichten. Daran ändere die Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft B._ vom 17. April 2007 nichts. Auch diese Verfügung verpflichte den Beschwerdegegner nicht autoritativ, der Beschwerdeführerin 1 Mio Franken zu bezahlen. Die Verweigerung der definitiven Rechtsöffnung sei deshalb mangels zureichender Begründung nicht weiter zu prüfen (E. 3). Die Beschwerdeführerin setzt sich mit diesen zutreffenden Überlegungen in keiner Weise auseinander (zu den Begründungsanforderungen: BGE 134 II 244 E. 2.1). Der wiederholt vorgebrachte Einwand, der Beschwerdegegner sei Universalerbe, ändert nichts daran, dass die Beschwerdeführerin nicht über einen definitiven Rechtsöffnungstitel verfügt.
2.4 Sodann macht die Beschwerdeführerin geltend, das Bundesgericht habe in seinem Urteil 5C.299/2005 vom 6. Juli 2006 festgestellt, dass der Erbenschein (notoriété rectificative) vom 22. Januar 2004 echt sei. Ob sie sich mit dieser Begründung auf einen definitiven Rechtsöffnungstitel berufen will, ist unklar. Die Frage kann dahingestellt bleiben, weil sich die behauptete Feststellung in diesem Urteil nicht findet. In der Erwägung 3.1 des bundesgerichtlichen Urteils werden die Ausführungen des Kantonsgerichts Neuenburg mit Bezug auf Art. 87 Abs. 1 und 87 Abs. 2 IPRG wiedergegeben. Darin wird ausgeführt, der Erbenschein sei von einem Notar in Monaco erstellt worden und darin werde erwähnt, dass die Verstorbene einen Willensvollstrecker eingesetzt habe. Es sei auch nicht erstellt, dass die Beschwerdeführerin sich ohne Erfolg an diesen gewandt gehabt habe; sie habe im Gegenteil eine Mitteilung von ihm erhalten, so dass nicht gesagt werden könne, die ausländische Behörde habe sich mit dem Nachlass nicht befasst.
2.5 Gemäss Art. 82 Abs. 1 SchKG kann der Gläubiger die provisorische Rechtsöffnung verlangen, wenn die Forderung auf einer durch öffentliche Urkunde festgestellten oder durch Unterschrift bekräftigten Schuldanerkennung beruht. In Anlehnung an die zu Art. 82 Abs. 1 SchKG entwickelte Rechtsprechung taugt ein Testament nur dann zur Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung, wenn daraus die vorbehalts- und bedingungslose Verpflichtung eines Erben hervorgeht, einem betreibenden Vermächtnisnehmer eine bestimmte oder leicht bestimmbare Geldsumme zu zahlen (vgl. BGE 122 III 125 E. 2 S. 126; 132 III 480 E. 4.1). Die Vorinstanz hat kein Recht verletzt, wenn sie zum Schluss gekommen ist, eine solche vorbehalts- und bedingungslose Verpflichtung sei weder dem Testament vom 18. Juni 2003, noch demjenigen vom 2. Juli 2003 zu entnehmen. Zwar wird dort gemäss der Abschrift des Testaments unter anderem ausgeführt "je lège à Mll. X._ ... un million de Francs Suisses", bzw. "Je lègue ... à ma nièce X._ un million FS. (1.000.000)". Ob dieser Betrag vom Beschwerdegegner oder vom Willensvollstrecker einverlangt werden kann, ist den Testamenten nicht zu entnehmen, so dass sie nicht als provisorische Rechtsöffnungstitel anerkannt werden können. Im angefochtenen Urteil wird zu Recht erwogen, es sei nicht liquide, ob die Beschwerdeführerin vom Beschwerdegegner zurzeit das Legat einfordern könne, und ob der Beschwerdegegner passivlegitimiert sei (zu Letzterem: BGE 105 II 253 E. 2e S. 261). Die Vorinstanz hat somit kein Bundesrecht verletzt, indem sie die Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens durch den Einzelrichter des Bezirksgerichts Küssnacht geschützt hat.
2.6 Die Beschwerdeführerin bringt ferner vor, wenn die Vermächtnisnehmer sich an den Willensvollstecker wendeten, reagiere dieser nicht. Das Bundesgericht ist an die tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid gebunden (Art. 97 Abs. 1 BGG). Der angefochtene Entscheid enthält keine solche Feststellung und die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, die Vorinstanz sei diesbezüglich in Willkür verfallen oder habe Art. 29 Abs. 2 BV missachtet. Das Vorbringen gilt deshalb als neu und unzulässig.
2.7 Ob und welche Kompetenzen der Willensvollstrecker nach monegassischem Recht betreffend die Verwaltung der Erbschaft, die Ausrichtung der Vermächtnisse sowie die Teilung nach dem von der Erblasserin getroffenen Anordnungen inne hat, beurteilt sich im Übrigen nach dem Recht am letzten Wohnsitz der Erblasserin, also nach den Gesetzen des Fürstentums von Monaco. Dem Bundesgericht wäre bei einer entsprechenden Rüge der Beschwerdeführerin verwehrt zu prüfen, ob das monegassische Recht richtig angewendet wurde (Art. 96 lit. b BGG).
Im Weiteren ist zu erwähnen, dass unter der ausländischen Behörde im Sinne von Art. 87 Abs. 1 IPRG die zuständige Behörde im Staate des letzten Wohnsitzes des Erblassers (oder gegebenenfalls der dort anerkannte Willensvollstrecker) zu verstehen ist (ANDREAS BUCHER, Das neue internationale Erbrecht, in ZBGR 69 [1988], S. 150). Nicht geprüft werden kann jedoch, ob - wie die Beschwerdeführerin ausführt - nach monegassischem Recht die Erbfolge des beweglichen Vermögens dem Heimatrecht des Verstorbenen unterstellt wird (REMBERT SÜSS, Erbrecht in Europa, 2. Aufl. 2008, S. 1041). Wenn der Willensvollstrecker - wie die Beschwerdeführerin behauptet - sein Mandat nur schleppend führen sollte, bliebe ihr nichts anderes übrig, als bei diesem unmissverständlich die Ausrichtung des Vermächtnisses zu verlangen und im Falle der Untätigkeit erneut die Richter am Heimatort der Erblasserin um "Rechtshilfe" im Sinne von Art. 87 Abs. 1 IPRG zu ersuchen. Diesen vom Gesetz vorgegebenen Rechtsweg kann die Beschwerdeführerin nicht mit dem gegen den Beschwerdegegner eingeleiteten Rechtsöffnungsverfahren umgehen.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist, und die Beschwerdeführerin wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da er nicht zur Vernehmlassung aufgefordert worden ist (vgl. Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, 2. Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. April 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett