Sachverhalt:
A. A.a Mit "Kostenfestsetzungsbeschluss" vom 24. Mai 2011 setzte das Landgericht A._ (Deutschland) die von X._ und B._ aufgrund eines Urteils vom 9. Dezember 2010 an Y._ zu erstattenden Kosten auf "EUR 4'832.23 nebst Zinsen in Höhe von fünf Prozentpunkten über dem Basiszinssatz nach § 247 BGB" seit dem 23. Dezember 2010 fest.
A.b Mit Begehren vom 2. November 2011 hob Y._ gegen X._ die Betreibung für eine Forderung von Fr. 6'043.15 nebst Zins von 5% seit 23. Dezember 2010 an. Das Betreibungsamt C._ erliess am 3. November 2011 den Zahlungsbefehl (Betreibung Nr. xxx1890), wobei es als Gläubiger "RAe Conrad, Schneider" angab. X._ erhob Rechtsvorschlag. Auf das Gesuch von Y._ vom 14. November 2011 um Vollstreckbarerklärung des Kostenfestsetzungsbeschlusses vom 24. Mai 2011 und um definitive Rechtsöffnung trat das Bezirksgericht Schwyz mit Verfügung vom 15. Dezember 2011 nicht ein, da der Gläubiger gemäss Zahlungsbefehl und der "Kläger gemäss Rechtsöffnungsklage" nicht identisch seien und Y._ demnach "nicht verfahrenslegitimiert" sei.
B. B.a Auf ein neues Betreibungsbegehren von Y._ gegen X._ hin erliess das Betreibungsamt C._ (Betreibung Nr. xxx2323) am 29. Dezember 2011 den Zahlungsbefehl für eine Forderung von Fr. 6'043.15 nebst Zins von 5% seit 23. Dezember 2010. X._ erhob wiederum Rechtsvorschlag.
B.b Mit Gesuch vom 23. Januar 2012 ersuchte Y._ das Bezirksgericht Schwyz um vorfrageweise Vollstreckbarerklärung des Kostenfestsetzungsbeschlusses vom 24. Mai 2011 und um definitive Rechtsöffnung für den in Betreibung gesetzten Betrag.
Das Bezirksgericht erteilte Y._ mit Verfügung vom 8. März 2012 in der Betreibung Nr. xxx2323 des Betreibungsamts C._ die definitive Rechtsöffnung für Fr. 6'043.15 nebst Zins zu 5% seit 23. Dezember 2010, für die Kosten des Zahlungsbefehls sowie für die Spruchgebühr und Parteientschädigung seiner Verfügung.
C. Eine von X._ dagegen erhobene Beschwerde vom 18. Mai 2012 wies das Kantonsgericht Schwyz mit Beschluss vom 24. Dezember 2012 ab.
D. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Verfassungsbeschwerde vom 6. Februar 2013, der kantonsgerichtliche Beschluss vom 24. Dezember 2012 sei aufzuheben und die definitive Rechtsöffnung in der Betreibung Nr. xxx2323 sei zu verweigern. Eventualiter sei die Angelegenheit zu neuer Entscheidung an das Kantonsgericht zurückzuweisen.
Zudem ersucht der Beschwerdeführer um aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 8. Februar 2013 hat das Bundesgericht dieses Gesuch abgewiesen.
Das Bundesgericht hat die Vorakten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. Der angefochtene Endentscheid (Art. 90 BGG) eines oberen Gerichts, das auf Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich (Art. 75 BGG) über die definitive Rechtsöffnung (und zudem vorfrageweise über die Vollstreckbarerklärung) befunden hat, unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 72 BGG (Urteil 5A_754/2011 vom 2. Juli 2012 E. 1.1, nicht publ. in: BGE 138 III 520). Da der Streitwert den gesetzlichen Mindestbetrag nicht erreicht und der Beschwerdeführer keine Ausnahme vom Streitwerterfordernis geltend macht (Art. 74 BGG; BGE 136 II 489 E. 2.6 S. 493 f.), ist seine Eingabe - wie beantragt - als Verfassungsbeschwerde entgegen zu nehmen (Art. 113 ff. BGG).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV, da der kantonsgerichtliche Entscheid nicht ausreichend begründet sei.
2.2 Das rechtliche Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV verlangt, dass die Behörde die Vorbringen der vom Entscheid in ihrer Rechtslage betroffenen Person tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 138 I 232 E. 5.1 S. 237; 136 V 351 E. 4.2 S. 355).
2.3 Der Beschwerdeführer bringt vor, er habe vor dem Kantonsgericht geltend gemacht, das Amtsgericht A._ habe dem Beschwerdegegner am 18. Oktober 2011 "die Restschuldbefreiung nach § 300 der deutschen Insolvenzordnung vom 5. Oktober 1994 (InsO) erteilt". Mit der Eröffnung des Insolvenzverfahrens nach § 80 Abs. 1 InsO sei das Recht des Beschwerdegegners, das zur Insolvenzmasse gehörende Vermögen zu verwalten und über dieses zu verfügen, auf den Insolvenzverwalter übergegangen. Könne demnach der Beschwerdegegner über die Forderung aus dem Kostenfestsetzungsbeschluss gar nicht mehr verfügen, sei er auch nicht "Berechtigter" im Sinne von Art. 38 Ziff. 1 des Übereinkommens vom 30. Oktober 2007 über die gerichtliche Zuständigkeit und die Anerkennung und Vollstreckung von Entscheidungen in Zivil- und Handelssachen (Lugano-Übereinkommen, LugÜ; SR 0.275.12).
2.4 Das Kantonsgericht hat sich im angefochtenen Entscheid in Ziff. 3 mit diesen Einwänden des Beschwerdeführers auseinandergesetzt. Nach theoretischen Ausführungen und unter Bezugnahme auf eine Lehrmeinung (Ziff. 3a des kantonsgerichtlichen Entscheids) ist es zum Schluss gekommen, die Berechtigung des Beschwerdegegners ergebe sich "direkt und ohne Zweifel" aus dem Kostenfestsetzungsbeschluss, weshalb die umfassende Prüfung einer "eventuellen abgeleiteten Berechtigung (...) respektive einer dadurch entfallenen Berechtigung des Beschwerdegegners (...) entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers zu unterbleiben habe" (Ziff. 3b des kantonsgerichtlichen Entscheids).
2.5 Das Kantonsgericht hat sich demnach durchaus mit dem erwähnten Parteistandpunkt des Beschwerdeführers auseinandergesetzt und seine Einwände behandelt. Die Begründung mag zwar knapp ausgefallen sein, jedoch wäre es dem Beschwerdeführer ohne Weiteres möglich gewesen, aufgrund dieser Ausführungen des Kantonsgerichts den angefochtenen Entscheid insoweit sachgerecht anzufechten. Eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV ist demnach nicht ersichtlich und die Beschwerde erweist sich diesbezüglich als unbegründet.
Ob die Begründung des Gerichts zutrifft, ist im Übrigen nicht eine Frage der formellen Begründungspflicht (Urteil 1B_56/2007 vom 15. Mai 2007 E. 2). Da der Beschwerdeführer den kantonsgerichtlichen Entscheid in der Sache nicht anficht, ist auf das Vorgehen des Kantonsgerichts und die erwähnte Begründung nicht einzugehen.
3. 3.1 Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV; zum Begriff vgl. BGE 138 I 305 E. 4.3 S. 319), da das Kantonsgericht die Dispositionsmaxime krass verletzt habe. Der Beschwerdegegner habe in seinem Gesuch vom 23. Januar 2012 um definitive Rechtsöffnung "in der Betreibung Nr. xxx1890 des Betreibungsamts C._ (Zahlungsbefehl vom 3. November 2011)" ersucht. Das Bezirksgericht habe die definitive Rechtsöffnung jedoch gemäss seinem Dispositiv "in der Betreibung Nr. xxx2323 des Betreibungsamts C._ vom 29. Dezember 2011" erteilt. Dieses Vorgehen des Bezirksgerichts werde im angefochtenen Entscheid des Kantonsgerichts geschützt.
Das Kantonsgericht habe demnach die Anträge des Beschwerdegegners "bewusst beiseitegeschoben und von sich aus abgeändert", was nicht angehe. Auch das Verbot des überspitzten Formalismus führe nicht dazu, dass das Gericht zu Gunsten einer Partei aktiv in das Verfahren eingreifen dürfe.
3.2 Das Kantonsgericht hat ausgeführt, aus der Begründung des Gesuchs um definitive Rechtsöffnung vom 23. Januar 2012 gehe "klar und (...) unmissverständlich hervor", dass der Beschwerdeführer nunmehr in der neuen Betreibung Nr. xxx2323 und damit gestützt auf den Zahlungsbefehl vom 29. Dezember 2011 um Rechtsöffnung ersuche. Es handle sich bei den offenkundig falschen Angaben in den Anträgen im Gesuch vom 23. Januar 2012 um ein rein redaktionelles Versehen. Würde man den Beschwerdegegner entgegen der klaren Gesuchsbegründung auf den offensichtlich fehlerhaften Gesuchsanträgen behaften, wäre dies überspitzt formalistisch.
3.2 Das Kantonsgericht hat ausgeführt, aus der Begründung des Gesuchs um definitive Rechtsöffnung vom 23. Januar 2012 gehe "klar und (...) unmissverständlich hervor", dass der Beschwerdeführer nunmehr in der neuen Betreibung Nr. xxx2323 und damit gestützt auf den Zahlungsbefehl vom 29. Dezember 2011 um Rechtsöffnung ersuche. Es handle sich bei den offenkundig falschen Angaben in den Anträgen im Gesuch vom 23. Januar 2012 um ein rein redaktionelles Versehen. Würde man den Beschwerdegegner entgegen der klaren Gesuchsbegründung auf den offensichtlich fehlerhaften Gesuchsanträgen behaften, wäre dies überspitzt formalistisch.
3.3 3.3.1 Es kann offengelassen werde, ob der Beschwerdeführer den Begründungsanforderungen für die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten überhaupt zu genügen vermag (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 136 I 332 E. 2.1 f. S. 334; 133 III 439 E. 3.2 S. 444), da sich seine Willkürrüge ohnehin als unbegründet erweist.
3.3.2 Wie alle Prozesshandlungen sind Rechtsbegehren nach Treu und Glauben auszulegen, insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Begründung (BGE 137 III 617 E. 6.2 S. 622; 123 IV 125 E. 1 S. 127; 105 II 149 E. 2a S. 152; Urteil 5A_783/2009 vom 5. August 2010 E. 3.3.2, nicht publ. in: BGE 136 III 490).
3.3.3 Vorliegend legte der Beschwerdegegner in seinem Rechtsöffnungsgesuch vom 23. Januar 2012 in der Begründung ausführlich und belegt (Gesuchsbeilagen 2 und 3) dar, dass das Bezirksgericht auf sein erstes Rechtsöffnungsgesuch vom 14. November 2011 (Betreibung Nr. xxx1890) nicht eingetreten ist. Er führte sodann aus, nunmehr erneut eine Betreibung (Nr. xxx2323) eingeleitet zu haben ("korrigierter Zahlungsbefehl vom 29. Dezember 2011"; Gesuchsbeilage 4), worauf der Beschwerdeführer wiederum Rechtsvorschlag erhoben habe.
Es ist demnach nicht willkürlich, wenn das Kantonsgericht aufgrund dieser klaren Gesuchsbegründung davon ausgegangen ist, dass sich das Rechtsöffnungsgesuch vom 23. Januar 2012 zweifelsfrei auf die Aufhebung des Rechtsvorschlags auf dem Zahlungsbefehl vom 29. Dezember 2011 und damit auf die Betreibung Nr. xxx2323 bezieht, und es die Anträge in diesem Sinn ausgelegt hat.
4. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden. Der Beschwerdeführer wird kosten- (Art. 66 Abs. 1 BGG), nicht hingegen entschädigungspflichtig (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. April 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Bettler