Faits:
A. Le Département de la gestion du territoire de la République et canton de Neuchâtel a adopté le 14 octobre 1999 un plan d'affectation délimitant les secteurs forestiers par rapport à la zone à bâtir sur le territoire de la commune de La Chaux-de-Fonds. A._, propriétaire de plusieurs parcelles concernées par cette mesure de planification (nos 2162, 3217, 3218, 3219 et 3563 du cadastre des Eplatures), avait formé opposition. Le département cantonal avait partiellement admis cette opposition, en excluant de l'aire forestière la partie est de la parcelle n° 2162 ainsi que la parcelle n° 3217, mais en confirmant la nature forestière des autres terrains. A._ a recouru en vain contre cette décision auprès du Tribunal administratif cantonal.
B. Les 30 mai et 30 septembre 2004, A._ a adressé à la Commission cantonale d'estimation en matière d'expropriation pour cause d'utilité publique une demande tendant à ce que l'Etat de Neuchâtel lui verse une indemnité de 606'550 fr., plus intérêts à 5 % dès le 4 octobre 1999, à cause de l'inclusion de ses terrains dans l'aire forestière. La commission d'estimation a rejeté la demande, traitée comme une demande d'indemnité pour expropriation matérielle, par une décision rendue le 4 avril 2007.
C. A._ a recouru au Tribunal administratif cantonal contre la décision de la commission d'estimation. Son recours a été rejeté par un arrêt rendu le 18 décembre 2007. En substance, le Tribunal administratif a considéré que l'adoption du plan constatant la nature forestière des biens-fonds litigieux n'était pas constitutive d'expropriation matérielle au sens des art. 26 al. 2 Cst. et 5 al. 2 LAT.
D. Le 31 janvier 2008, A._ a adressé au Tribunal fédéral un "recours contre les décisions de la commission d'expropriation pour cause d'utilité publique du 4 avril 2007 et son recours du 20 septembre 2007 auprès des institutions cantonales neuchâteloises". En conclusion de son mémoire, il demande "la condamnation de l'Etat de Neuchâtel au paiement des servitudes nouvelles qui [lui] sont imposées à perpétuité pour l'exécution et par la loi des forêts (LFo)".
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Le présent recours doit être traité comme un recours en matière de droit public au sens des art. 82 ss LTF. Seule peut être attaquée, devant le Tribunal fédéral, la décision rendue par l'autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il faut donc considérer que le recours est dirigé contre l'arrêt du Tribunal administratif du 18 décembre 2007.
2. En vertu de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, les mémoires de recours doivent indiquer des conclusions et des motifs; il incombe donc à l'auteur du recours d'exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit. Dans le cas particulier, il est douteux que l'écriture du recourant satisfasse à ces exigences en matière de motivation. Cette question de recevabilité peut toutefois demeurer indécise. Il apparaît en effet clairement que le recours est mal fondé.
On déduit de l'argumentation du recourant qu'il prétend à une indemnisation, de la part de l'Etat, à cause du caractère inconstructible de ses biens-fonds en nature de forêt. Comme le Tribunal administratif cantonal l'a retenu, de telles prétentions ne pourraient être admises qu'en cas d'expropriation matérielle au sens de l'art. 26 al. 2 Cst. et de l'art. 5 al. 2 LAT. Selon la jurisprudence - rappelée dans l'arrêt attaqué -, il y a expropriation matérielle lorsque l'usage actuel d'une chose ou son usage futur prévisible est interdit ou restreint de manière particulièrement grave, de sorte que l'intéressé se trouve privé d'un attribut essentiel de son droit de propriété. Une atteinte de moindre importance peut aussi constituer une expropriation matérielle si elle frappe un ou plusieurs propriétaires d'une manière telle que, s'ils n'étaient pas indemnisés, ils devraient supporter un sacrifice par trop considérable en faveur de la collectivité, incompatible avec le principe de l'égalité de traitement. Dans l'un et l'autre cas, la protection ne s'étend à l'usage futur prévisible que dans la mesure où il apparaît, au moment déterminant, comme très probable dans un proche avenir. Par usage futur prévisible d'un bien-fonds, on entend généralement la possibilité de l'affecter à la construction (cf. notamment ATF 131 II 151 consid. 2.1 p. 155).
En l'occurrence, l'arrêt attaqué retient, sans que cela soit contesté par le recourant, qu'avant l'entrée en vigueur du plan du 14 octobre 1999 délimitant les secteurs forestiers, les terrains litigieux étaient classés en zone rurale et forestière. Ainsi, étant déjà hors de la zone à bâtir, ces terrains n'étaient pas, au moment déterminant, constructibles dans un proche avenir. Ce seul élément exclut l'octroi d'une indemnité pour expropriation matérielle. Pour le reste, il y a lieu de renvoyer aux motifs de la décision attaquée car le recours est manifestement infondé (art. 109 al. 2 let. a et art. 109 al. 3 LTF).
3. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (art. 65 al. 1 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 8 février 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Jomini