Faits:
A. G._ a travaillé dès le 21 novembre 2005 en qualité de chauffeur au service de la société X._. Le 29 janvier 2008, l'employeur a résilié le contrat de travail avec effet au 31 mars 2008; ce délai a été reporté au 30 juin 2008 en raison d'un accident. Le 3 mars 2008, à la demande de l'intéressé, la société X._ a expliqué que le licenciement était motivé par le fait qu'il n'acceptait pas les ordres de son supérieur, A._, ce qui avait des répercussions négatives sur l'ambiance de travail. Par lettre du 31 mars 2008, G._ a contesté les motifs de résiliation et exposé que son licenciement était abusif.
L'assuré a requis une indemnité de chômage à partir du 1er juillet 2008. Invitée par la caisse de chômage Unia (ci-après: la caisse) à s'expliquer sur les motifs du licenciement, la société X._ a indiqué, le 25 septembre 2008, que G._ n'acceptait pas A._ comme supérieur direct et refusait ses consignes. Par ailleurs, tombé malade pendant ses vacances à l'étranger à fin 2007, il n'avait pas justifié son absence de manière satisfaisante.
Par décision du 3 octobre 2008, la caisse a suspendu le droit de G._ à l'indemnité de chômage pour une durée de 31 jours. Elle a considéré que par son comportement, il avait donné à son employeur un motif de résiliation du contrat de travail.
Le 23 octobre 2008, l'assuré a contesté cette décision en indiquant qu'il avait toujours respecté A._ en tant que supérieur ainsi que les consignes reçues. Par ailleurs, il avait adressé à son employeur, de l'étranger, le certificat médical requis par téléfax du 26 octobre 2007.
Après avoir invité l'employeur à se déterminer, par décision sur opposition du 22 décembre 2008, la caisse a partiellement admis l'opposition en réduisant la durée de la suspension à 24 jours, compte tenu d'une faute de gravité moyenne.
B. Saisie d'un recours contre la décision sur opposition, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois l'a rejeté par jugement du 5 juin 2009.
C. G._ interjette recours contre ce jugement dont il requiert l'annulation en concluant à ce qu'aucune faute ne soit retenue contre lui. En outre, il demande l'exemption des frais de justice. La caisse déclare qu'elle n'a pas d'autres arguments ni de faits nouveaux à invoquer que ceux qui ont été présentés devant le Tribunal cantonal. Quant au Secrétariat d'Etat à l'économie, il a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes.
Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. Le litige porte sur le point de savoir si la caisse intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 22 décembre 2008, à suspendre le droit du recourant à l'indemnité de chômage pour une durée de 24 jours, motif pris que son comportement a donné lieu à la résiliation des rapports de travail.
3. Selon l'art. 30 al. 1 let. a LACI, le droit de l'assuré à l'indemnité est suspendu lorsqu'il est établi que celui-ci est sans travail par sa propre faute. Est notamment réputé sans travail par sa propre faute l'assuré qui, par son comportement, en particulier par la violation de ses obligations contractuelles de travail, a donné à son employeur un motif de résiliation du contrat de travail (art. 44 let. a OACI).
La suspension du droit à l'indemnité prononcée en raison du chômage dû à une faute de l'assuré, en application de l'art. 44 let. a OACI, ne suppose pas une résiliation des rapports de travail pour de justes motifs au sens des art. 337 et 346 al. 2 CO. Il suffit que le comportement général de l'assuré ait donné lieu au congédiement de celui-ci, même sans qu'il y ait des reproches d'ordre professionnel à lui faire. Tel peut être le cas aussi lorsque l'assuré présente un caractère, dans un sens large, qui rend les rapports de travail intenables (ATF 112 V 242 consid. 1 p. 245; arrêt C 143/06 du 3 octobre 2007 consid. 10 non publié in ATF 133 V 593; THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in : Schweizeriches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], 2° éd. 2007, p. 2426-2427, n. 830-831).
Une suspension du droit à l'indemnité ne peut cependant être infligée à l'assuré que si le comportement reproché à celui-ci est clairement établi. Lorsqu'un différend oppose l'assuré à son employeur, les seules affirmations de ce dernier ne suffisent pas à établir une faute contestée par l'assuré et non confirmée par d'autres preuves ou indices aptes à convaincre l'administration ou le juge (ATF 112 V 245 consid. 1 et les arrêts cités; arrêt C 190/06 du 20 décembre 2006 consid. 1.2; Gerhards, Kommentar zum Arbeitslosenversicherungsgesetz, n. 10 ss ad art. 30; Boris Rubin, Assurance-chômage, 2ème éd., p. 444).
4. En ce qui concerne la question topique, la juridiction cantonale a retenu ce qui suit:
"Au procès-verbal d'évaluation du 11 mai 2007, l'employeur a noté que, malgré le bon travail effectué, le recourant devait accepter les remarques de son supérieur direct. L'intéressé ayant signé le rapport sans émettre d'objections sous la rubrique ' Remarques du collaborateur (en cas de divergences avec le supérieur) ', on peut en déduire qu'il admettait implicitement le reproche formulé et devoir faire un effort à cet égard. On relève aussi que, dans sa lettre du 31 mars 2008, le recourant n'a pas réfuté les allégations de son employeur s'agissant de ses relations avec son supérieur, soit qu'il avait affirmé à réitérées reprises que A._ n'était pas son supérieur direct et qu'il n'acceptait pas ses ordres, ce qui a eu des répercussions négatives sur l'ambiance de travail à la plate-forme d'éclatement des camions. Enfin, en avril 2006, A._ - alors remplaçant de l'ancien chef direct du recourant, à l'époque en vacances - a refusé d'octroyer un jour de congé à l'intéressé. Passant outre le refus de son supérieur direct, le recourant s'est alors adressé au chef de la Suisse romande pour obtenir satisfaction. Force est par conséquent de constater que le recourant a violé son obligation contractuelle de respect des ordres de sa hiérarchie directe. C'est ainsi par sa faute qu'il a provoqué le conflit qui s'est installé durablement à partir de ce moment-là avec son supérieur direct. Le recourant admet d'ailleurs lui-même que A._ était fâché contre lui depuis cet événement et que leurs relations se sont dégradées de plus en plus par la suite (cf. lettre du 31 mars 2008, 1ère page, dernier paragraphe), sachant qu'au degré de vraisemblance prépondérante requis, le recourant a émis plusieurs fois l'opinion selon laquelle, il n'acceptait pas A._ en tant que supérieur direct".
La juridiction cantonale en a déduit que l'assuré avait violé son obligation contractuelle de respecter les ordres de sa hiérarchie directe.
5. 5.1 Le recourant conteste avoir eu un comportement fautif à l'égard de son employeur. Par ailleurs, se référant à l'ATF 112 V 242, il fait valoir que le comportement qui lui est reproché n'est en tout cas pas clairement établi.
5.2 En l'espèce, les faits relatifs à l'incident de 2006 et à l'évaluation du 11 mai 2007, pour autant qu'ils puissent attester d'un comportement fautif du salarié, sont bien antérieurs à la décision de l'employeur de licencier le recourant. Ces faits n'expliquent pas le licenciement intervenu en janvier 2008. Le jugement attaqué ne fait état d'aucune circonstance qui serait survenue depuis mai 2007 et qui aurait été l'élément déclencheur pour justifier la décision de l'employeur. Le jugement attaqué ne fait pas non plus état d'un avertissement qui aurait été adressé au salarié postérieurement à cette date. On note enfin que la lettre de licenciement ne contient aucun reproche précis à l'endroit du recourant. Ce n'est qu'à la demande du salarié que l'employeur en a explicité les motifs par un non-respect de l'intéressé des ordres de son supérieur hiérarchique. On ne peut pas en déduire que l'assuré est responsable de son licenciement. Celui-ci a certes admis, dans la lettre du 31 mars 2008 à laquelle se réfère la juridiction cantonale, qu'il existait une situation plus ou moins conflictuelle. Il a cependant indiqué que ce n'était pas lui qui était à l'origine du comportement ayant eu des répercussions négatives sur l'ambiance de travail mais bien A._. Il est donc probable que les relations entre le recourant et son supérieur direct aient été pour le moins tendues, mais on ne saurait sans plus en imputer la responsabilité au recourant. On doit ainsi admettre que le comportement fautif reproché à l'assuré n'est pas clairement établi.
Certes, l'employeur a indiqué à la fin septembre 2008 un deuxième motif de licenciement (le fait que l'assuré, tombé malade pendant ses vacances à l'étranger, n'était pas atteignable à ce moment et n'avait pas fait parvenir tous les certificats médicaux requis). Cependant, la juridiction cantonale n'a pas retenu ce deuxième motif, considérant qu'il avait été invoqué tardivement. Sur ce point, il n'y a pas lieu de remettre en cause le jugement attaqué.
5.3 Faute de comportement fautif clairement établi, c'est à tort que la juridiction cantonale a confirmé la mesure de suspension prononcée par la caisse. Le recours est bien fondé.
6. L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Compte tenu de l'issue du litige, la demande d'assistance judiciaire est sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du 5 juin 2009 de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois, ainsi que la décision sur opposition du 22 décembre 2008 de la Caisse de chômage Unia, sont annulés.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 18 mars 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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