Sachverhalt:
A. X._ ist Willensvollstrecker im Nachlass von Z._, die am 19. September 2011 in Zürich starb. A._, B._, C._ und D._ sind die Erbinnen der Verstorbenen. In dieser Eigenschaft erhoben sie vor dem Einzelgericht-Aufsicht des Bezirksgerichts Zürich am 17. Februar 2012 eine Beschwerde gegen X._. Mit Urteil vom 30. April 2012 setzte das Einzelgericht X._ als Willensvollstrecker ab. Das begründete Urteil wurde X._ am 7. Juni 2012 zugestellt.
B. B.a Gegen diesen Entscheid legte X._ am 15. Juni 2012 beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde ein. Mit Verfügung vom 21. Juni 2012 setzte ihm Oberrichter S._ unter Mitwirkung von Gerichtsschreiberin T._ eine Frist von zehn Tagen, um für die Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens einen Vorschuss von Fr. 6'000.-- zu leisten.
B.b Hierauf machte X._ geltend, Oberrichter S._ und Gerichtsschreiberin T._ seien beim Erlass der Verfügung vom 21. Juni 2012 "schwer befangen" gewesen; sie dürften daher im Beschwerdeverfahren nicht mehr tätig werden. Zudem sei der Gerichtskostenvorschuss auf Fr. 4'000.-- zu reduzieren (Eingabe vom 9. Juli 2012).
B.c Ohne Mitwirkung der abgelehnten Gerichtspersonen entschied die II. Zivilkammer des Obergerichts mit Beschluss vom 13. Juli 2012, auf das Ablehnungsbegehren nicht einzutreten. Sie setzte X._ eine einmalige Nachfrist von fünf Tagen, um den am 21. Juni 2012 verfügten Kostenvorschuss von Fr. 6'000.-- zu leisten, und drohte ihm für den Fall der Nichtleistung an, auf seine Beschwerde vom 15. Juni 2012 nicht einzutreten.
B.d Mit Schreiben vom 30. Juli 2012 teilte X._ dem Obergericht mit, dass er an der Befangenheit von Oberrichter S._ und Gerichtsschreiberin T._ festhalte; ausserdem seien auch sämtliche am Beschluss vom 13. Juli 2012 mitwirkenden Personen "schwer befangen". Überdies stellte er in Aussicht, dass er an das Bundesgericht gelangen werde.
B.e Am 7. August 2012 stellte die II. Zivilkammer des Obergerichts fest, dass bis zum Ablauf der fünftägigen Nachfrist (Bst. B.d) kein Kostenvorschuss geleistet wurde, und beschloss, auf die Beschwerde vom 15. Juni 2012 (Bst. B.a) nicht einzutreten. An diesem Entscheid wirkten die Oberrichter S._ (Vorsitz), U._ und V._ sowie Gerichtsschreiberin T._ mit.
C. Mit als "Verfassungsbeschwerde + Beschwerde in Zivilsachen" bezeichneter Eingabe vom 21. August 2012 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung vom 21. Juni 2012 (Bst. B.a) sowie die Beschlüsse vom 13. Juli 2012 (Bst. B.c) und vom 7. August 2012 (Bst. B.e) aufzuheben. Das Bundesgericht hat die Beschwerde gegen die beiden zuerst genannten Entscheide in die separaten Verfahren 5A_599/2012 und 5A_600/2012 verwiesen. Im vorliegenden Verfahren 5A_601/2012 ist die Eingabe vom 15. August 2012 demnach nur soweit zu beurteilen, als sie sich gegen den Beschluss vom 7. August 2012 richtet.
Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Am 9. November 2012 hat der Beschwerdeführer am Bundesgericht Einsicht in die Akten genommen.
Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer wehrt sich binnen Frist gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz aus dem Gebiet der Aufsicht über die Willensvollstrecker (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5, 75 Abs. 1, 90 und 100 BGG). Die vorliegende Auseinandersetzung über die Absetzung des Beschwerdeführers als Willensvollstrecker ist eine vermögensrechtliche Angelegenheit (vgl. Urteil 5A_395/2010 vom 22. Oktober 2010 E. 1.2.2 mit Hinweisen). Deren Streitwert überschreitet den Angaben des Obergerichts zufolge den nach Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG massgeblichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.--. Darauf ist abzustellen, zumal dem Bundesgericht keinerlei Anhaltspunkte vorliegen, die es rechtfertigen würden, von der vorinstanzlichen Angabe des Streitwerts abzuweichen (Urteil 5A_587/2008 vom 29. September 2008 E. 1.1). Nach dem Gesagten steht die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich offen. Soweit der Beschwerdeführer daneben noch Verfassungsbeschwerde erhebt, ist diese unzulässig (Art. 113 BGG); darauf ist nicht einzutreten (Urteil 5A_176/2009 vom 5. Juni 2009 E. 1.1).
2. Die Beschwerde in Zivilsachen ist ein reformatorisches Rechtsmittel (Art. 107 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer muss einen materiellen Antrag stellen, das heisst angeben, inwiefern das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid abändern soll. Ein blosser Aufhebungsantrag, wie ihn der Beschwerdeführer stellt, genügt nicht und macht die Beschwerde an sich unzulässig (BGE 133 III 489 E. 3.1 S. 489 f.). Nach der Beschwerdebegründung, die für die Auslegung der Begehren beizuziehen ist (BGE 136 V 131 E. 1.2 S. 136), verlangt der Beschwerdeführer zumindest sinngemäss, dass das Obergericht auf seine Beschwerde gegen das erstinstanzliche Urteil eintreten soll. Insoweit kann das Bundesgericht auf das Rechtsmittel eintreten.
3. 3.1 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft behauptete Rechtsverletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) mit freier Kognition. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung aber in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. BGE 121 III 397 E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/ 2008 vom 10. April 2008 E. 1). Allgemein gehaltene Einwände, die er ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorbringt, genügen nicht (BGE 116 II 745 E. 3 S. 749). Soweit die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht wird, gilt überdies auch im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft und auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
3.2 Die Beschwerde vermag diesen Anforderungen kaum zu genügen. Soweit sich der Beschwerdeführer überhaupt in nachvollziehbarer Weise zur Sache äussert, begnügt er sich weitgehend damit, den Sachverhalt oder die Rechtslage aus eigener Sicht dar- oder blosse Behauptungen aufzustellen. Von vornherein unbeachtlich sind im bundesgerichtlichen Verfahren insbesondere all jene Erörterungen, mit denen der Beschwerdeführer darlegt, weshalb das Bezirksgericht seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, ihn als Willensvollstrecker zu Unrecht abgesetzt und die Entscheidgebühr für das erstinstanzliche Verfahren nicht richtig festgesetzt habe. Nachdem das Obergericht gar nicht auf die Beschwerde eingetreten ist, beschränkt sich der Prozess vor Bundesgericht auf die Eintretensfrage; hinsichtlich der Begründetheit der kantonalen Beschwerde fehlt es an einem letztinstanzlichen Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts im Sinne von Art. 75 BGG (Urteil 4A_330/2008 vom 27. Januar 2010 E. 2.1, nicht publ. in: BGE 136 III 102; Urteil 5A_440/2008 vom 19. März 2009 E. 2.2.1).
4. In formeller Hinsicht will der Beschwerdeführer eine Verweigerung des rechtlichen Gehörs ausgemacht haben. Er wirft dem Obergericht vor, es habe ihm "die Stellungsnahmen der Gegenpartei nie mitgeteilt".
Der verfassungsmässige Gehörsanspruch (Art. 29 Abs. 2 BV) umfasst auch das Recht einer Partei, sich im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu den Stellungnahmen bzw. Vernehmlassungen der anderen Parteien, unteren Instanzen und weiteren Stellen zu äussern (BGE 133 I 98 E. 2.1 S. 99, 100 E. 4.5; Urteil 9C_557/2008 vom 3. April 2009 E. 3.2, nicht publ. in: BGE 135 III 289). Den vorinstanzlichen Akten lässt sich jedoch nicht entnehmen, dass das Obergericht überhaupt schon einen Schriftenwechsel angeordnet und die Beschwerde vom 15. Juni 2012 den Beschwerdegegnerinnen und dem Bezirksgericht zur Stellungnahme zugestellt hätte. Als einziges Schriftstück der Gegenseite findet sich in der Akte ein Schreiben vom 2. Juli 2012, mit dem Dr. Gessler, der Parteivertreter der Erbinnen, dem Obergericht "im Sinne einer Noveneingabe" ein Schreiben des Beschwerdeführers vom 9. Juni 2012 an die Beschwerdegegnerin D._ zukommen lässt. Dass das Obergericht verpflichtet gewesen wäre, ihm diese Eingabe noch vor der Leistung seines Gerichtskostenvorschusses zuzustellen, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Insofern erweist sich die Beschwerde als unbegründet.
5. In der Sache geht es um den Beschluss des Obergerichts, auf die kantonale Beschwerde vom 15. Juni 2012 nicht einzutreten.
5.1 Das Obergericht begründet seinen Beschluss damit, dass der Gerichtskostenvorschuss von Fr. 6'000.--, den es dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 21. Juni 2012 auferlegt habe, bis zum 30. Juli 2012, dem letzten Tag der mit Beschluss vom 13. Juli 2012 eingeräumten Nachfrist, nicht geleistet worden sei. Es führt aus, der Beschwerdeführer habe dem Gericht lediglich mit Schreiben vom 30. Juli 2012 mitgeteilt, dass er an der Befangenheit von Oberrichter S._ und Gerichtsschreiberin T._ festhalte und überdies sämtliche am Beschluss vom 13. Juli 2012 mitwirkenden Personen "schwer befangen" seien. Ferner habe der Beschwerdeführer in diesem Schreiben in Aussicht gestellt, dass er ans Bundesgericht gelangen werde; soweit bekannt, habe er bis zum Tag des obergerichtlichen Entscheids (7. August 2012) aber keine Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht. Insbesondere habe die zuständige Kammer keine Kenntnis davon, dass einer Beschwerde vom Bundesgericht aufschiebende Wirkung zuerkannt worden wäre. Daher sei auf die Beschwerde vom 15. Juni 2012 nicht einzutreten.
5.2 Der Beschwerdeführer stört sich daran, dass die Oberrichter S._ und V._ sowie Gerichtsschreiberin T._ im Rahmen des Beschlusses vom 7. August 2012 "wieder tätig" wurden, obwohl er diese Gerichtspersonen "als befangen erklärt" hatte. Soweit er sich damit in seinem verfassungsmässigen Anspruch auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht (Art. 30 Abs. 1 BV) verletzt sieht, ist seine Befürchtung jedoch unbegründet.
Mit Bezug auf Oberrichter V._ beruft sich der Beschwerdeführer offensichtlich auf sein Schreiben vom 30. Juli 2012, worin er den Personen, die am Beschluss vom 13. Juli 2012 mitwirkten, Befangenheit vorwirft, weil sie die von ihm als befangen abgelehnten Gerichtspersonen S._ und T._ "schützten". Soweit er daraus den Schluss zieht, dass die Frist zur Bezahlung des Vorschusses mit dem neuerlichen Ablehnungsbegehren gegen Oberrichter V._ hinfällig geworden sei, kann ihm nicht gefolgt werden, denn insofern war sein prozessuales Verhalten vor Obergericht offensichtlich darauf angelegt, die mit seiner Sache befassten Richter systematisch und ohne Differenzierung abzulehnen und damit das Funktionieren des Justizbetriebs zu lähmen. Das ist missbräuchlich (vgl. Urteil 1B_146/2010 vom 23. Juni 2010 E. 2.1). Was die abgelehnten Gerichtspersonen S._ und T._ angeht, so hat das Obergericht seinen Nichteintretensentscheid vom 7. August 2012 zwar zu einem Zeitpunkt gefällt, als die Frist für eine Beschwerde gegen den Beschluss vom 13. Juli 2012 betreffend das Ablehnungsbegehren noch nicht abgelaufen war (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG). Diese Vorgehensweise ist als solche aber nicht zu beanstanden. Das Obergericht setzte sich damit lediglich dem Risiko aus, dass sein Entscheid allenfalls aufgehoben würde, falls das Bundesgericht eine Beschwerde gegen den Beschluss vom 13. Juli 2012 guthiesse. Der Beschwerdeführer ist im Ablehnungsstreit tatsächlich an das Bundesgericht gelangt. Wie das Urteil 5A_600/2012 vom 16. November 2012 2012 zeigt, vermochte er gegen den Beschluss vom 13. Juli 2012 jedoch nichts auszurichten.
Nach dem Gesagten ist es somit nicht zu beanstanden, dass am Beschluss vom 7. August 2012 die Oberrichter S._ und V._ sowie Gerichtsschreiber T._ mitgewirkt haben. Insbesondere macht der Beschwerdeführer, was den Entscheid vom 7. August 2012 angeht, auch keine anderen als die bereits angerufenen Ausstandsgründe geltend. Dass das Obergericht wegen der unterbliebenen Leistung des Gerichtskostenvorschusses einen Nichteintretensentscheid gefällt hat, obwohl der Streit um den Gerichtskostenvorschuss am 7. August 2012 noch gar nicht rechtskräftig entschieden war, beanstandet der Beschwerdeführer nicht.
6. Im Ergebnis ist die Beschwerde gegen den Entscheid vom 7. August 2012 offensichtlich unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Es bleibt beim Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 30. April 2012, wonach der Beschwerdeführer als Willensvollstrecker im Nachlass von Z._ als Willensvollstrecker abgesetzt wird. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Den Beschwerdegegnern ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn