Erwägungen:
1. X._ (geb. 1984) stammt aus dem Irak. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am am 11. Dezember 2007 in Ausschaffungshaft, welche das Haftgericht III Bern-Mittelland am 5. März 2008 bis zum 10. September 2008 verlängerte. X._ beantragt vor Bundesgericht, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Seine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) erweist sich aufgrund der eingeholten Akten als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden; es erübrigt sich unter diesen Umständen, das Vorliegen der Eintretensvoraussetzungen zu prüfen:
2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden und hätte das Land bis zum 21. Dezember 2004 verlassen müssen, was er nicht getan hat. Er ist hier wiederholt straffällig geworden und weigert sich nach wie vor, freiwillig in den Irak zurückzukehren. Es besteht bei ihm deshalb Untertauchensgefahr im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 AuG; BGE 130 II 56 E. 3.1 S. 58 f.). Der Beschwerdeführer ist am 13. Dezember 2007 als irakischer Staatsangehöriger anerkannt und sein Fall zur weiteren Prüfung nach Bagdad weitergeleitet worden. Sobald die Modalitäten für eine allfällige zwangsweise Rückschaffung geklärt sind, wird der Beschwerdeführer auch gegen seinen Willen in seine Heimat verbracht werden können (vgl. Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG). Es bestehen keine Hinweise dafür, dass sich die schweizerischen Behörden nicht weiterhin mit Nachdruck hierum bemühen werden (Art. 76 Abs. 4 AuG). Der angefochtene Entscheid verletzt deshalb kein Bundesrecht.
2.2 Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Der Umstand, dass sich seine Ausschaffung schwierig gestaltet, lässt die Ausschaffungshaft nicht bereits unverhältnismässig erscheinen; gerade wegen solcher Probleme hat der Gesetzgeber die Haftdauer erhöht und die Möglichkeit der Haftverlängerung - inzwischen bis zu achtzehn Monaten - geschaffen (Art. 76 Abs. 3 AuG; BGE 133 II 1 E. 4.2). Der Asyl- bzw. Wegweisungsentscheid ist rechtskräftig und kann im vorliegenden Verfahren nicht mehr in Frage gestellt werden (BGE 128 II 193 E. 2.2 S. 197; 125 II 217 E. 2 S. 220 f.; Art. 105 Abs. 1 Satz 2 AsylG [SR 142.31]). Die Haftverlängerung direkt um sechs Monate erscheint zwar als relativ lang, nachdem die Haftbehörden selber davon ausgehen, dass das Verfahren nur noch etwa "drei bis vier Monate" dauern dürfte; da mit dem Irak aber entsprechende Erfahrungen fehlen, kann nicht gesagt werden, sie sei geradezu unverhältnismässig, zumal es der Beschwerdeführer jederzeit in der Hand hat, seine Haft zu beenden, indem er freiwillig in seine Heimat zurückkehrt. In diesem Fall können die Papiere für ihn innert weniger Tage beschafft werden.
2.3 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, bei einer Haftentlassung sofort ohne Papiere in ein anderes Land zu reisen, verkennt er, dass die schweizerischen Behörden nicht bewusst zu einer illegalen Einreise in einen Drittstaat Hand bieten dürfen (BGE 133 II 97 E. 4.2.2). Der Beschwerdeführer hätte die Schweiz bis Ende 2004 verlassen müssen; er hatte seither genügend Zeit, eine legale Ausreise in ein anderes Land zu organisieren. Soweit er einwendet, er habe sich nichts zu Schulden kommen lassen, verkennt er, dass die Ausschaffungshaft keine Strafe bildet, sondern dazu dient, den Vollzug seiner Wegweisung durch eine administrative Festhaltung sicherzustellen, da dieser wegen seines Verhaltens gefährdet erscheint.
3. Aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, absehbarer Wegweisungsvollzug usw.) kann davon abgesehen werden, Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. März 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar