Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 5. Februar 2004, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 27. Juli 2004, hatte die IV-Stelle Bern das Leistungsgesuch der 1963 geborenen H._ gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 32 % abgelehnt. Mit einer Neuanmeldung vom 28. Juli 2008 ersuchte die Versicherte unter Hinweis darauf, dass sich ihr Gesundheitszustand seit Erlass der ersten Verfügung erheblich verschlechtert habe, um Ausrichtung einer Invalidenrente. Die IV-Stelle veranlasste eine Begutachtung durch die Dres. med. R._, Spezialarzt für Rheumatologie, und E._, Spezialarzt für Psychiatrie und Psychotherapie, welche bereits im Jahre 2003 eine fachärztliche Expertise erstattet hatten, obwohl H._ Dr. R._ als Experten abgelehnt hatte. Gestützt auf das Gutachten vom 28./ 30. Januar 2009 ermittelte die IV-Stelle einen Invaliditätsgrad von 24 %. Mit Verfügung vom 27. August 2009 lehnte sie das Rentengesuch erneut ab.
B. Die von H._ eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern nach Durchführung einer öffentlichen Verhandlung unter Annahme eines Invaliditätsgrades von 33 % mit Entscheid vom 10. November 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt H._ beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei ihr eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zu neuer Abklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner ersucht sie um die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Die Versicherte lässt am 8. Februar 2011 "gestützt auf das Replikrecht" eine weitere Stellungnahme einreichen.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Im Wesentlichen aufgrund der interdisziplinären Begutachtung durch die Dres. med. R._ und E._ vom 28./30. Januar 2009 gelangte die Vorinstanz zum Schluss, der Beschwerdeführerin sei eine rückenschonende Arbeit zu 70 % bis 75 % zumutbar. Eine anspruchserhebliche Verschlimmerung des Gesundheitszustandes sei im massgebenden Beurteilungszeitraum seit der ursprünglichen Ablehnung des Leistungsgesuchs nicht eingetreten. Den Einwand der Versicherten, die Administrativexperten seien befangen, verwarf das Verwaltungsgericht unter den verschiedenen geltend gemachten Gesichtspunkten wie Vorbefassung und wirtschaftliche Abhängigkeit der Sachverständigen von der Invalidenversicherung. Der Einkommensvergleich ergab einen Invaliditätsgrad von 33 %, was eine Verneinung des Rentenanspruchs zur Folge hatte.
3. Die Beschwerdeführerin erhebt zur Hauptsache verschiedene verfahrensrechtliche Rügen. So behauptet sie, das Öffentlichkeitsprinzip sei verletzt worden; die Möglichkeit, an einer Verhandlung ein Plädoyer zu halten, genüge den Anforderungen von Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht. Sodann besteht sie darauf, dass die begutachtenden Ärzte, die sie schon im September 2003 untersucht hatten, befangen und wirtschaftlich von der Invalidenversicherung abhängig seien, weshalb sie sich eher zu ihren Lasten äussern würden. Ferner beruft sich die Beschwerdeführerin auf das Prinzip der Waffengleichheit, welches hier verletzt worden sei, weil Zeugenaussagen nicht zugelassen wurden. Ebenso macht die Versicherte wie vor Vorinstanz geltend, ihr Anspruch auf rechtliches Gehör sei verletzt worden, indem ihr im Rahmen des Vorbescheidverfahrens nicht alle Akten unterbreitet wurden. Des Weiteren unterzieht die Beschwerdeführerin die Administrativgutachten der Dres. med. R._ und E._ sowie die Beweiswürdigung des kantonalen Gerichts einer einlässlichen inhaltlichen Kritik, welche darin mündet, dass der Sachverhalt nicht hinreichend abgeklärt worden sei, womit eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes vorliege. Überdies rügt die Versicherte die Rechtsprechung zu den somatoformen Schmerzstörungen, welche eines wissenschaftlichen Hintergrundes entbehre, diskriminierend sei und in ihrem Fall zu einer Aberkennung des Rentenanspruchs geführt habe. Schliesslich stellt sie auch den von der Vorinstanz durchgeführten Einkommensvergleich in Frage und macht dabei u.a. geltend, es sei gesamthaft ein leidensbedingter Abzug vom Invalideneinkommen (Tabellenlohn) von über 25 % zuzulassen.
4. 4.1 Wie erwähnt bringt die Beschwerdeführerin vor, die von der IV-Stelle im Nachgang zur erstmaligen Anmeldung vom 17. Mai 2002 wie auch nach Eingang der Neuanmeldung vom 28. Juli 2008 mit der interdisziplinären Begutachtung betrauten Ärzte Dres. med. R._ und E._ seien befangen. Einen gleichen Vorwurf hatte sie bereits im Administrativverfahren erhoben und im kantonalen Gerichtsverfahren erneuert.
Die Vorinstanz hat dem Einwand der Beschwerdeführerin, der Expertise der beiden Ärzte sei der Beweiswert abzusprechen, zu Recht nicht stattgegeben. Zunächst schliesst der Umstand, dass sich ein Sachverständiger schon einmal mit einer Person befasst hat, später dessen Beizug als Gutachter nicht zum vornherein aus (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 29/04 vom 17. August 2004). Gegenteils ist es sachgerecht und kann es den Aufschlusswert einer Verlaufsbegutachtung erhöhen, wenn die seitherige gesundheitliche Entwicklung von den mit dem Fall schon Vertrauten medizinischen Vorgutachtern abgeklärt und beurteilt wird. Hinsichtlich der behaupteten wirtschaftlichen Abhängigkeit der Gutachter kann auf das neueste Urteil des Bundesgerichts 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011 (BGE 137 X) verwiesen werden. Damit wurde bestätigt, dass der regelmässige Beizug eines Gutachters oder einer Begutachtungsinstitution durch den Versicherungsträger, die Anzahl der beim selben Arzt in Auftrag gegebenen Gutachten und Berichte sowie das daraus resultierende Honorarvolumen für sich allein genommen nicht zum Ausstand führen (E. 1.3.3).
Was sodann die Waffengleichheit betrifft, die gemäss den umfangreichen Ausführungen der Versicherten verletzt sein soll, ist zunächst darauf hinzuweisen, dass die IV-Stelle im Verwaltungsverfahren nicht Partei, sondern ein dem Gesetzesvollzug dienendes, der Objektivität verpflichtetes Durchführungsorgan der Invalidenversicherung ist. Unter den Aspekten von Unabhängigkeit und Verfahrensfairness darf aus dem Umstand, dass die IV-Stelle, Durchführungsorgan der Invalidenversicherung, im gerichtlichen Verfahren formell als Partei auftritt und aus ihrer Legitimation zur Erhebung von Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht nicht gefolgert werden, die Beweiserhebungen der Verwaltung im vorausgehenden nicht streitigen Verfahren seien Parteihandlungen (BGE 136 V 376 E. 4.2.2 S. 380). Dementsprechend sind die unter diesem Gesichtswinkel gemachten Ausführungen der Versicherten ungegründet. Es sind keine Anhaltspunkte ersichtlich, dass die Beschwerdegegnerin im Falle der Beschwerdeführerin ihren gesetzlichen Pflichten zur richtigen und vollständigen Ermittlung des Sachverhaltes von Amtes wegen sowie zu dessen neutraler und objektiver Beurteilung nicht nachgekommen wäre.
4.2 Soweit die Beschwerdeführerin weiter vorbringt, Art. 6 Ziff. 1 EMRK garantiere nebst dem Anspruch auf ein Plädoyer auch das Recht, vor dem Gericht Beweismassnahmen durchzuführen, namentlich Zeugen einvernehmen zu lassen, kann ihr nicht beigepflichtet werden. Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich von einem unabhängigen Gericht gehört wird. Statuiert wird die Öffentlichkeit der Verhandlung. Diesem Anspruch ist Genüge getan, wenn die Partei ein Plädoyer halten kann. Zu Fragen des Beweisverfahrens, namentlich der Beweisabnahme, enthält Art. 6 Ziff. 1 EMRK keinerlei Anordnungen zuhanden der staatlichen Gerichte. Die Weigerung, Zeugen einzuvernehmen, verletzt weder das Vertrauensprinzip noch den Grundsatz der Waffengleichheit, sondern ist als antizipierte Beweiswürdigung zulässig, wenn der rechtserhebliche Sachverhalt umfassend abgeklärt wurde und von zusätzlichen Beweismassnahmen keine neuen Erkenntnisse erwartet werden können. Davon abgesehen sind ein (psychischer) Gesundheitszustand und seine Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit (Art. 6 ATSG) dem Zeugnisbeweis nicht zugänglich sondern durch das Beweismittel des Sachverständigengutachtens abzuklären. Die erforderliche bidisziplinäre Expertise liegt hier vor.
4.3 Der Einwand der Beschwerdeführerin, ihr Anspruch auf rechtliches Gehör sei verletzt worden, weil die Verwaltung ihr im Vorbescheidverfahren nicht sämtliche Akten unterbreitet hatte, ist unbegründet. Es kann insoweit auf die Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden, welche zu Recht dargelegt hat, dass sich die Versicherte in der Folge vor einem mit voller Überprüfungsbefugnis ausgestatteten Gericht äussern konnte, womit eine allfällige Verletzung des Gehörsanspruchs praxisgemäss als geheilt gelten kann (BGE 126 I 68 E. 2 S. 71, 124 V 180 E. 4a S. 183).
4.4 Auf die inhaltliche Kritik der Versicherten an den Aussagen der beiden Fachärzte und der einlässlichen Beweiswürdigung der Vorinstanz ist nicht einzugehen, handelt es sich dabei doch um im Rahmen der gesetzlichen Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts unzulässige Rügen der Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Verwaltungsgerichts (E. 1 hievor).
4.5 Soweit die Beschwerdeführerin die Rechtsprechung zu den anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen in Zweifel zieht, rechtfertigen ihre Vorbringen hier keine Weiterungen. Die 2004 begründete, gefestigte und vom Gesetzgeber ins positive Recht (Art. 7 Abs. 2 ATSG, in Kraft seit 1. Januar 2008; BGE 135 V 215) überführte Praxis des Bundesgerichts (vgl. BGE 130 V 352 und 396, 131 V 49) lässt sich durch die Vertretung einer weithin pauschalen, bloss zu gegenteiligen Schlüssen führenden Auffassung nicht ernsthaft in Frage stellen. Entscheidend ist hier, dass die lege artis vorgenommene interdisziplinäre Untersuchung im Neuanmeldungsverfahren, welche von der Beschwerdeführerin namentlich in psychiatrischer Hinsicht ein sehr differenziertes Bild zeichnet, keine gesundheitlichen Beeinträchtigungen ergeben hat, welche die Arbeitsfähigkeit weitergehend limitieren würden, zumal die zumutbaren Behandlungsmöglichkeiten bestätigtermassen nicht ausgeschöpft (worden) sind, auch nicht unter Berücksichtigung des Berichts des Spitals, Psychosomatik X._, vom 23. August 2007.
5. Der von der Vorinstanz durchgeführte Einkommensvergleich, der einen Invaliditätsgrad von 33 % ergeben hat, lässt sich, soweit einer letztinstanzlichen Überprüfung zugänglich (vgl. dazu BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399), nicht beanstanden. Das kantonale Gericht hat neben einem leidensbedingten Abzug von 10 % eine Parallelisierung der hypothetischen Einkommen vorgenommen, indem sie den Ausgangswert für das Invalideneinkommen aufgrund des deutlich unterdurchschnittlichen Valideneinkommens um 18 % reduziert hat, was zu keiner Kritik Anlass gibt. Da es sich bei der Höhe des leidensbedingten Abzuges um eine Ermessensfrage handelt, wäre eine letztinstanzliche Korrektur nur mehr dort möglich, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, also Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung vorliegt (BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399). Davon kann im vorliegenden Fall keine Rede sein.
6. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist zu entsprechen, da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdeführerin wird indessen darauf hingewiesen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Philip Stolkin, Zürich, wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. September 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Widmer