Faits:
A. La société X._ SA, qui a son siège à K._ et qui est active dans le domaine fiduciaire, a engagé, le 13 août 2007, A._ en qualité de directeur financier. Le contrat prévoit un salaire annuel brut de 250'000 fr., avec la possibilité d'un bonus de 30'000 fr. en fonction des performances de travail et des résultats de la société. Le délai de résiliation était fixé à six mois.
Le contrat comporte une annexe, datée de ce même 13 août 2007 et signée également pour la société par B.O._, en sa qualité de "managing director". La teneur de ce document est la suivante:
"Further to the offer letter of today, I furthermore confirm that should there be a change of control of the Company from D.R._ and myself, you will be entitled to a leaving indemnity equal to 18 months salary, in the event of termination of your contract".
A l'époque de l'engagement de A._, le capital-actions de X._ SA était détenu, à 80%, par la société X.Y._ Ltd, dont les époux R._ étaient les ayants droit économiques; C.O._ possédait le 15% des actions et son épouse, B.O._, 5%. Cette dernière était par ailleurs, depuis 2004, l'administratrice, avec signature individuelle, de X._ SA. Le 18 décembre 2008, elle a été inscrite comme "administratrice- présidente" de la société avec signature individuelle. Il ressort des faits retenus qu'elle dirigeait en fait la société.
Dès le printemps 2008, des discussions ont eu lieu en vue d'un rachat des actions appartenant économiquement aux époux R._ (80% du capital-actions) par des cadres de la société. A._ a déclaré que B.O._ et lui-même étaient les éléments moteurs de ce rachat. Un projet, daté du 19 janvier 2009, a été élaboré, mais, selon un témoin, on savait déjà, le 20 janvier 2009, que l'opération n'aboutirait pas.
Lors de la séance du conseil d'administration de X._ SA qui s'est tenue le 20 janvier 2009, il a été remis à B.O._, par un huissier judiciaire, une lettre lui notifiant sa suspension avec effet immédiat de la société, le temps qu'une enquête interne soit effectuée sur les manquements qui lui étaient reprochés, notamment d'avoir l'intention de détourner une partie de la clientèle de la société vers une nouvelle entité dont elle serait l'actionnaire majoritaire; par ailleurs, il lui était fait interdiction de prendre contact avec le personnel de la société, les clients, tout intermédiaire ou relation d'affaires.
Lors de cette même séance, D.R._ a été nommé président du conseil d'administration et son épouse, E.R._, administratrice. Il a été décidé de radier les pouvoirs accordés notamment à B.O._ et à A._.
Par courrier de ce même 20 janvier 2009, notifié par un huissier judiciaire, X._ SA a informé A._ de sa suspension avec effet immédiat, notamment parce que la société avait l'impression qu'il tentait d'emmener des clients vers une nouvelle entité au sein de laquelle il serait un actionnaire significatif. Il était précisé qu'une enquête serait effectuée, que le salaire de A._ lui serait versé pendant cette durée, qu'il était dispensé de travailler et que, sauf instruction contraire, il avait l'interdiction de prendre contact avec le personnel ou les clients de la société ou tout intermédiaire ou partenaire de travail avec lequel il aurait eu des contacts.
Par lettre-circulaire du 23 janvier 2009 adressée à ses clients, X._ SA a manifesté le souhait de se rapprocher de la société G._.
Par courrier électronique du 6 février 2009, F._, administrateur avec signature collective à deux de G._, a proposé à A._ de l'engager pour un salaire annuel brut de 200'000 fr. Ce dernier n'a pas donné suite, se bornant à rappeler qu'il était suspendu de ses fonctions chez X._ SA.
Le 17 février 2009, X._ SA a informé A._ que sa suspension était levée, l'enquête interne tendant à le disculper. Il était invité à reprendre son travail. A._ a répondu en demandant une prise de position définitive.
Par pli du 23 février 2009, X._ SA a résilié, avec effet immédiat, le contrat de travail de A._, en invoquant les violations de son devoir de fidélité et de son obligation d'obéissance aux instructions de son employeur. X._ SA était entrée en possession d'une facture détaillée d'un cabinet d'avocats, d'où il ressortait que B.O._ et A._ avaient consulté ensemble un avocat les 21 janvier et 22 janvier 2009, soit immédiatement après l'interdiction de tout contact entre eux qui leur avait été notifiée le 20 janvier 2009. Quant à l'objet de ces entretiens, la note parle de "réunion de stratégie et analyse juridique" et indique que l'on a "revu les lettres-circulaires clients et employés". La société a estimé que cette désobéissance, dans les circonstances décrites, ruinait le rapport de confiance et justifiait un licenciement immédiat.
A._ a contesté son licenciement immédiat.
Il semble qu'après les entretiens avec l'avocat, une unique lettre ait été envoyée par B.O._ à un seul client. Le contenu des entretiens n'a cependant pas pu être établi avec certitude, l'avocat ayant refusé de répondre aux questions en raison du secret professionnel.
A une date qui n'a pas été établie, A._ est devenu l'actionnaire unique de la société H._ SA, pour laquelle il travaille avec B.O._; certains clients de cette société sont d'anciens clients de X._ SA.
B. Par demande du 31 mars 2009 adressée au Tribunal des prud'hom-mes du canton de Genève, A._ exerce une action en paiement à l'encontre de X._ SA, réclamant à cette dernière la somme de 660'190 fr. brut avec intérêts à 5% dès le 23 février 2009, ainsi qu'un montant à déterminer correspondant à ses bonus pour les années 2008 et 2009.
X._ SA s'est opposée à la demande en totalité.
Par jugement du 31 mai 2010, le Tribunal des prud'hommes a débouté A._ de toutes ses conclusions.
Saisie d'un appel formé par A._, la Chambre des prud'hommes de la Cour de justice, par arrêt du 31 janvier 2011, a réformé partiellement cette décision. Elle a estimé que A._ avait droit à l'indemnité de départ prévue par l'annexe au contrat de travail, dont les conditions étaient à ses yeux réalisées. Elle a donc condamné X._ SA à payer à A._ la somme de 374'994 fr. brut avec intérêts à 5% dès le 23 janvier 2009, sous réserve des déductions sociales et légales usuelles. Elle a statué par ailleurs sur les frais et dépens.
C. X._ SA exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 31 janvier 2011. Invoquant une violation des art. 151 CO, 1 et 18 CO, ainsi que de l'art. 29 al. 2 Cst. (sous l'angle du droit à une décision motivée), elle soutient qu'elle ne doit pas l'indemnité de départ dont les conditions ne seraient pas réalisées. Elle conclut, sous suite de dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué dans la mesure où il la condamne à payer 374'994 fr. brut avec intérêts; subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente.
L'intimé a conclu au rejet du recours avec suite de frais et dépens.
L'effet suspensif sollicité par X._ SA a été refusé par ordonnance présidentielle du 28 mars 2011.
D. A._ interjette également un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt de la Chambre des prud'hommes. Invoquant une constatation arbitraire des faits et une violation de l'art. 337 CO, il soutient que les circonstances ne justifiaient pas son licenciement pour justes motifs; en conséquence, il réclame son salaire jusqu'à l'échéance du contrat (art. 337c al. 1 CO) et une indemnité fondée sur l'art. 337c al. 3 CO. Il a conclu, sous suite de dépens, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que sa partie adverse doit être condamnée en sus à lui payer la somme de 249'996 fr. avec intérêts à 5% dès le 28 février 2009; il demande également que tous les frais et dépens de la procédure cantonale soient mis à la charge de sa partie adverse.
L'intimée a conclu au rejet du recours avec suite de dépens; subsidiairement, si le recours devait être admis, elle a conclu au renvoi de la cause à l'autorité précédente en vue de procéder à des imputations.
Considérant en droit:
1. 1.1 Les deux recours (celui de l'employeur et celui de l'employé) sont dirigés contre la même décision et se rapportent au même complexe de fait. Il se justifie donc de statuer par une seule décision.
1.2 Chacun des recours est interjeté par une partie qui a succombé sur certaines conclusions (des conclusions libératoires pour l'employeur et des conclusions en paiement pour l'employé), de sorte qu'elles ont toutes deux qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF). Dirigés contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. requis en matière de droit du travail (art. 74 al. 1 let. a LTF), les recours sont en principe recevables, puisqu'ils ont été déposés dans le délai (art. 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.3 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF, donc également pour violation d'un droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400).
Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 136 II 304 consid. 2.4 p. 314; 135 II 145 consid. 8.1 p. 153; 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 136 I 184 consid. 1.2 p. 187; 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, chacun des recourants a présenté son propre état de fait. Dans tous les cas où les recourants n'ont pas montré de manière précise, en se référant si possible à des pièces du dossier, que les constatations cantonales seraient arbitraires sur des points de nature à influencer le sort du litige, il n'y a pas lieu d'en tenir compte et le raisonnement doit être mené exclusivement sur la base des faits contenus dans la décision attaquée.
1.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
Sur le recours de l'employé (cause 4A_156/2011):
2. 2.1 A la page 10 de son recours, l'employé déclare qu'il renonce, par gain de paix, à ses prétentions en paiement d'un bonus, de vacances et d'une indemnité pour tort moral.
Les parties peuvent toujours réduire leurs prétentions devant le Tribunal fédéral (ATF 136 V 362 consid. 3.4.2 p. 365).
La Cour de céans étant liée par les conclusions prises (art. 107 al. 1 LTF), il suffit ici d'en prendre acte.
2.2 Sur trois points, l'employé voudrait que l'état de fait cantonal soit corrigé.
Comme on l'a vu (cf. supra consid. 1.4), une rectification de l'état de fait ne peut intervenir que si le recourant a démontré que la cour cantonale est tombée dans l'arbitraire et que le point à corriger est de nature à influer sur le sort de la cause.
S'agissant d'apprécier des preuves et d'établir des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
2.2.1 Le recourant reproche à la cour précédente de ne pas avoir reproduit intégralement une lettre du cabinet d'avocats et une lettre produite par C.O._.
On ne voit cependant pas quelle disposition du droit fédéral exigerait qu'une pièce produite soit recopiée intégralement dans le jugement. Le recourant n'indique pas quelle disposition constitutionnelle ou quelle règle de procédure cantonale aurait été à son avis violée, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner la question sous cet angle (art. 106 al. 2 LTF).
Ce premier argument est donc dépourvu de tout fondement. Il est parfaitement légitime qu'un juge résume un document en se limitant aux points qui, sans arbitraire, lui paraissent utiles pour la décision à rendre.
2.2.2 Quant à la lettre du cabinet d'avocats datée du 2 juillet 2010, elle n'a pas été ignorée par la cour cantonale. Non seulement elle est mentionnée à la page 22 de l'arrêt attaqué - comme le relève le recourant -, mais elle est encore discutée aux pages 28 et 29 avec la conclusion manifeste que la cour cantonale lui a dénié toute valeur probante. Cette appréciation des preuves ne peut pas être qualifiée d'arbitraire.
En effet, l'avocat cité comme témoin a refusé de s'exprimer en invoquant le secret professionnel. Or, la vérité n'est pas divisible et ne saurait être tronquée. Il n'y a rien d'arbitraire à écarter une lettre qui ne présente peut-être qu'une partie de la vérité, alors que son auteur a refusé de répondre à des questions complémentaires pertinentes.
Comme le relève la cour cantonale, cette lettre indique que B.O._ et le recourant étaient très affectés par la mesure de suspension dont ils venaient de faire l'objet; on doit en déduire qu'ils en ont parlé avec les avocats. Quant à l'idée que l'entretien avait pour but de discuter du rachat des actions appartenant économiquement aux époux R._, elle a été écartée sans arbitraire; en effet, les mesures de suspension prises à l'égard des deux moteurs du projet montraient bien que les époux R._ n'étaient plus disposés à leur vendre leurs actions; le projet n'était donc plus d'actualité et le fait que les autres acheteurs potentiels n'aient pas été présents lors du rendez-vous confirme que ce projet d'achat d'actions ne constituait pas l'objet de l'entretien. La note figurant au dossier montre bien qu'il s'agissait de discuter d'une stratégie et d'examiner un projet de lettre-circulaire aux clients et employés. L'envoi d'une seule lettre à un unique client ne correspond manifestement pas à la notion de lettre-circulaire et il faut en déduire que le projet initial a été abandonné, peut-être à la suite des informations juridiques qui ont pu être données au sujet de l'art. 4 let. a de la loi fédérale du 19 décembre 1986 sur la concurrence déloyale (LCD; RS 241). Quoi qu'il en soit, l'idée que le recourant n'a pas participé à la discussion et n'était pas concerné par son objet n'est pas davantage crédible; on ne voit pas pourquoi une personne assisterait à deux rendez-vous si le contenu des entretiens ne la concerne en rien; on ne saisit d'ailleurs pas pour quelle raison le recourant aurait dû assister à deux entretiens simplement pour qu'on lui dise qu'il devait, en raison d'un conflit d'intérêts potentiel, s'adresser à un autre avocat. On ne saurait ainsi dire que la cour cantonale a versé dans l'arbitraire en n'accordant pas à la lettre citée dans le recours l'importance que l'employé voudrait lui accorder. Il n'y a donc pas trace d'arbitraire dans l'établissement des faits.
2.2.3 Le recourant reproche également à la cour cantonale de ne pas avoir reproduit une lettre préparée et versée à la procédure par C.O._, qu'il cite entièrement dans son recours. On ne voit cependant pas que cette lettre puisse influer sur le sort du litige au sens de l'art. 97 al. 1 LTF, de sorte qu'une rectification de l'état de fait est exclue.
En effet, ce courrier ne fait que refléter ce qui résulte déjà de l'état de fait cantonal, à savoir qu'il y a eu un conflit entre deux groupes d'actionnaires, les actionnaires minoritaires (les époux O._) et les actionnaires majoritaires (les époux R._), les premiers souhaitant racheter, avec d'autres personnes, les actions des seconds; comme les seconds s'y sont refusés, le soupçon est né que les premiers (avec leurs partenaires) créent leur propre société et détournent la clientèle. La lettre invoquée ne change rien à cette situation et il n'était pas arbitraire de l'ignorer.
Pour les raisons déjà évoquées (refus du témoignage par l'avocat), il n'est pas possible d'affirmer que cette lettre constituait l'unique projet étudié lors des entretiens qui ont eu lieu les 21 et 22 janvier 2009. Ce texte n'a donc pas l'importance que le recourant lui prête.
2.2.4 Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir estimé, en raison de l'emploi d'un pluriel, que le cabinet d'avocats le considérait lui-même comme un "client". Il observe que la dénomination "clients" au pluriel peut s'attacher aux époux O._ et ne l'englobe pas nécessairement. Cette remarque est probablement fondée, mais on ne voit pas en quoi la suppression de ce passage du raisonnement dans l'arrêt cantonal pourrait influer sur le sort du litige au sens de l'art. 97 al. 1 LTF. Le recourant en est conscient puisqu'il dit lui-même, à la page 6 de son recours: "si tant est que cette référence ait une portée", ce qu'il confirme ensuite en demandant que le passage de l'arrêt soit "corrigé dans la mesure de sa pertinence" (p. 14 du recours). Il n'y a pas lieu à rectification des constatations de fait sur un point qui ne peut influencer le sort de la cause.
2.3 Le recourant soutient que les circonstances ne permettaient pas son licenciement immédiat pour de justes motifs en application de l'art. 337 CO.
2.3.1 Selon l'art. 337 al. 1 1ère phrase CO, l'employeur et le travailleur peuvent résilier immédiatement le contrat en tout temps pour de justes motifs. Doivent notamment être considérées comme tels toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail (cf. art. 337 al. 2 CO).
Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués à l'appui d'un renvoi immédiat doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave du travailleur justifie son licenciement immédiat; si le manquement est moins grave, il ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement. Par manquement du travailleur, on entend en général la violation d'une obligation découlant du contrat de travail, mais d'autres incidents peuvent aussi justifier une résiliation immédiate (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 31 et les arrêts cités).
En vertu de l'art. 321d al. 2 CO, le travailleur a l'obligation de suivre les instructions particulières qui lui ont été données par son employeur. La désobéissance à un ordre - pour autant que celui-ci reste dans les limites du contrat - peut constituer un juste motif de résiliation immédiate lorsque l'injonction concerne des intérêts importants de l'employeur (arrêt 4C.357/2002 du 4 avril 2003 consid. 4.1). Dans un tel cas, suivant les intérêts en jeu, la résiliation immédiate est justifiée, même sans avertissement préalable (JÜRG BRÜHWILER, Kommentar zum Einzelarbeitsvertrag, 2e éd. 1996 p. 360; cf. aussi: ATF 108 II 301 consid. 3b p. 303; ADRIAN STAEHELIN, Zürcher Kommentar, 3e éd. 1996, n° 20 ad art. 337 CO).
Le comportement d'un cadre doit être apprécié avec une rigueur accrue en raison du crédit particulier et de la responsabilité que lui confère sa fonction dans l'entreprise (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 31; 127 III 86 consid. 2c p. 89; 104 II 28 consid. 1 p. 30).
Pour qu'il y ait de justes motifs permettant un licenciement immédiat, il n'est pas nécessaire que l'employeur ait subi effectivement un préjudice (ATF 124 III 25 consid. 3b p. 29).
Le juge apprécie librement s'il existe de justes motifs (art. 337 al. 3 CO). Il applique pour cela les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC). A cet effet, il prendra en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position et la responsabilité du travailleur, le type et la durée des rapports contractuels, ainsi que la nature et l'importance des manquements. Le Tribunal fédéral revoit avec réserve la décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou à l'inverse, lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32 et les arrêts cités).
2.3.2 En l'espèce, l'employé avait reçu de son employeur, le 20 janvier 2009, l'ordre formel de ne plus entrer en contact, temporairement, avec aucun autre membre de la société.
En se rendant le lendemain (le 21 janvier 2009) et le surlendemain (le 22 janvier 2009) dans un cabinet d'avocats, où il s'est retrouvé en présence de B.O._, qui dirigeait jusqu'alors la société, le recourant a désobéi de façon manifeste à l'ordre qu'il avait reçu.
L'importance de cet ordre pour l'employeur ne pouvait lui échapper, puisqu'il lui avait été notifié par un huissier judiciaire.
Etant directeur financier de la société avec un salaire annuel brut de 250'000 fr., le recourant occupait manifestement une position de cadre et la société devait pouvoir compter sur son obéissance en situation de crise.
L'intérêt de l'employeur était réel et l'importance de l'enjeu ne pouvait échapper au recourant. Comme on l'a vu, les intérêts des actionnaires majoritaires (les époux R._) et ceux des actionnaires minoritaires (les époux O._) étaient entrés en opposition; la société était légitimée à craindre que les actionnaires minoritaires, insatisfaits de cette situation, ne créent leur propre société et ne détournent la clientèle. Dans une telle situation de crise, l'entreprise a estimé nécessaire que le recourant s'abstienne temporairement de tout contact. Le recourant a violé l'injonction qui lui était adressée et il s'est rendu à deux entretiens dans un cabinet d'avocats avec B.O._, au cours desquels il était question d'adopter une "stratégie" et d'élaborer une lettre-circulaire destinée aux clients et aux employés, dont on pouvait redouter le pire. Ayant appris cette désobéissance et le fait que le recourant avait apparemment pris fait et cause pour les actionnaires minoritaires, la société était en droit d'en conclure que son directeur financier ne lui était plus fidèle et que le rapport de confiance était rompu d'une manière telle que la continuation de la relation de travail n'était plus supportable.
En conséquence, les juges cantonaux, en première instance et en appel, n'ont pas violé le droit fédéral en considérant qu'il y avait de justes motifs pour un licenciement immédiat au sens de l'art. 337 CO.
2.3.3 Dès lors que les conditions légales pour un licenciement immédiat étaient réunies, le recourant ne peut prétendre à son salaire jusqu'à l'échéance normale du contrat (art. 337c al. 1 CO), ni à une indemnité fondée sur l'art. 337c al. 3 CO.
Le rejet de ses conclusions sur ces points ne viole donc pas le droit fédéral.
3. Il en résulte que le recours formé par l'employé doit être rejeté. En conséquence, les frais judiciaires et les dépens relatifs à ce recours sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Sur le recours de l'employeur (4A_152/2011):
4. L'employeur (ci-après: la recourante) soutient que les conditions fixées dans l'annexe au contrat de travail n'étaient pas réunies pour que l'employé ait droit à l'indemnité de départ convenue.
La question posée porte essentiellement sur l'interprétation de l'accord contractuel.
4.1 En présence d'un litige sur l'interprétation d'une disposition contractuelle, le juge doit tout d'abord s'efforcer de déterminer la commune et réelle intention des parties, sans s'arrêter aux expressions ou dénominations inexactes dont elles ont pu se servir, soit par erreur, soit pour déguiser la nature véritable de la convention (art. 18 al. 1 CO; ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 412 s.). Déterminer ce qu'un cocontractant savait ou voulait au moment de conclure relève des constatations de fait. La recherche de la volonté réelle des parties est qualifiée d'interprétation subjective (ATF 131 III 606 consid. 4.1 p. 611). Ce n'est que dans le cas d'une interprétation subjective que l'on peut prendre en considération des faits postérieurs à la conclusion du contrat dans la mesure où ils éclairent la volonté réelle d'une partie au moment de conclure (ATF 129 III 675 consid. 2.3 p. 680; 107 II 417 consid. 6 p. 418). Si le juge parvient à établir une volonté réelle et concordante des parties, il s'agit d'une constatation de fait qui lie en principe le Tribunal fédéral conformément à l'art. 105 LTF.
Si la volonté réelle des parties ne peut pas être établie ou si leurs volontés intimes divergent, le juge doit apprécier les déclarations faites et les comportements selon la théorie de la confiance. Il doit donc rechercher comment une déclaration ou une attitude pouvait être comprise de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances (on parle alors d'une interprétation objective). Le principe de la confiance permet ainsi d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même s'il ne correspond pas à sa volonté intime. L'application du principe de la confiance est une question de droit que le Tribunal fédéral peut examiner librement (art. 106 al. 1 LTF). Cependant, pour trancher cette question, il doit se fonder sur le contenu des manifestations de volonté et sur les circonstances, dont la constatation relève du fait (ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 412 s.).
Le principe selon lequel l'interprétation subjective a la priorité sur l'interprétation objective relève du droit (ATF 131 III 606 consid. 4.1 p. 611).
4.2 L'annexe litigieuse parle d'un changement dans le contrôle de la société.
Cette formule fait penser en premier lieu à un changement dans l'actionnariat majoritaire. On ne peut cependant pas exclure que les parties l'aient utilisé, dans le cas d'espèce, en lui donnant un sens différent et en englobant également l'hypothèse d'un changement dans la direction. Il faut en effet observer qu'un changement de direction, comme un changement d'actionnaire majoritaire, peut impliquer la mise en place d'une nouvelle équipe et le remplacement des cadres précédents.
En recherchant la réelle intention des parties - conformément au droit fédéral -, la cour cantonale a examiné en premier lieu la déposition de B.O._, qui a rédigé et signé la clause litigieuse. Celle-ci a clairement affirmé que la formule choisie englobait à la fois un changement dans l'actionnariat et un changement dans la direction. Il n'a pas échappé à la cour cantonale que cette déposition devait être prise en compte avec circonspection, en raison du conflit sous-jacent entre B.O._ et les actionnaires majoritaires. Elle a cependant constaté que l'interprétation donnée par B.O._ trouvait un point d'appui important dans le texte même de la clause, où B.O._ parle de "D.R._ and myself". Cette formule montre que l'on envisageait à la fois un départ de D.R._ (qui, avec son épouse, détenait économiquement la majorité du capital-actions) et un départ de B.O._ (qui, en qualité d'administratrice, dirigeait effectivement la société). Il est évident que B.O._, qui ne détenait que 5% du capital-actions (20% si l'on ajoute les actions de son mari) ne contrôlait pas la société d'un point de vue économique; si elle a été mentionnée dans la clause aux côtés de D.R._, c'est bien parce qu'elle dirigeait la société. La cour cantonale en a déduit que la clause contractuelle vise aussi bien un changement dans l'actionnariat majoritaire qu'un changement dans la direction, c'est-à-dire le départ soit des époux R._, soit de B.O._. Sur la base de la déclaration de B.O._ et du texte de la clause, la cour cantonale est parvenue à la conviction que la clause litigieuse, selon la réelle et commune intention des parties, visait aussi bien un changement dans l'actionnariat majoritaire qu'un changement de direction. On ne voit pas que l'autorité précédente ait ainsi arbitrairement déterminé la volonté réelle des parties ou qu'elle ait, d'une quelconque manière, violé les règles du droit fédéral sur l'interprétation des manifestations de volonté.
Il est établi que B.O._ a quitté la société, de même que tous les directeurs opérationnels, à l'exception d'un seul d'entre eux. Il y a donc bien eu un changement de direction, en particulier le départ de B.O._, tel que l'envisageait la clause litigieuse.
Il est également établi que l'employé a reçu son congé à la même époque. Il existe d'ailleurs un lien entre les deux événements, puisqu'il est en définitive reproché à l'employé d'avoir désobéi en se rangeant du côté de B.O._.
La cour cantonale en a donc déduit, conformément à la volonté réelle des parties, que l'indemnité de départ était due, puisque l'employé a reçu son congé à l'occasion d'un changement de direction.
La recourante voudrait ajouter à la convention des parties une autre condition, à savoir que le licenciement de l'employé devrait être causé par le changement de direction. L'exigence d'une causalité ne figure toutefois pas dans le texte de l'annexe. Il n'a pas été prouvé qu'une telle exigence aurait été convenue oralement.
Telle qu'elle a été interprétée, la clause n'est ni absurde, ni contradictoire. Lorsque, dans une société, l'actionnaire majoritaire ou l'équipe dirigeante change, il n'est pas rare que les nouveaux venus souhaitent amener avec eux de nouveaux collaborateurs. Les anciens cadres sont donc exposés à un risque accru de licenciement. Souvent, un tel licenciement n'intervient pas en invoquant directement le changement dans l'actionnariat ou dans la direction, mais plutôt en faisant valoir la nécessité d'une restructuration économique ou d'un organigramme plus efficient. Il peut donc être difficile pour l'employé licencié de prouver l'existence d'un rapport de causalité entre la fin de son contrat et le changement dans l'actionnariat ou la direction. Que la clause convenue ne lui impose pas d'apporter une telle preuve n'est donc pas dépourvu de sens.
En conclusion, la cour cantonale, dans la portée qu'elle a donné à l'annexe litigieuse, n'a pas violé les règles du droit fédéral sur l'interprétation des manifestations de volonté.
4.3 La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir violé l'art. 151 CO, en ne tenant pas compte des conditions auxquelles était assortie l'indemnité de départ.
Selon une interprétation correcte de la convention des parties, la cour cantonale est au contraire parvenue à la conclusion que toutes les conditions prévues étaient remplies.
Elle n'a pas violé le droit fédéral en ne tenant pas compte d'une condition (le rapport de causalité), dont il n'a pas été prouvé qu'elle ait été convenue entre les parties.
4.4 La recourante invoque enfin le droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), sous la forme du droit à une décision motivée.
La jurisprudence a notamment déduit du droit d'être entendu l'obligation, pour l'autorité, de motiver sa décision, afin que son destinataire puisse la comprendre et l'attaquer utilement s'il y a lieu (ATF 133 I 270 consid. 3.1 p. 277; 133 III 439 consid. 3.3 p. 445). Le juge n'a cependant pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties; il suffit qu'il mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88; 133 III 439 consid. 3.3 p. 445).
La cour cantonale n'a pas ignoré cette règle et la motivation contenue dans l'arrêt attaqué est suffisante pour comprendre les raisons qui ont guidé les juges dans leur décision. Dès lors que l'exigence d'un rapport de causalité n'était en rien établie, la cour cantonale n'avait pas à argumenter au sujet d'une condition qui n'existe pas, parce qu'elle n'a pas été convenue entre les parties.
5. Le recours interjeté par l'employeur doit donc être rejeté. Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Les dépens dus entre les parties, en raison des deux recours, seront compensés. Pour tenir compte de la différence des montants remis en question, l'employeur devra en définitive, compte tenu de la compensation, verser une indemnité réduite à l'employé à titre de dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours formé par X._ SA (4A_152/2011) est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 7'000 fr., sont mis à la charge de X._ SA.
3. Le recours formé par A._ (4A_156/2011) est rejeté.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge de A._.
5. X._ SA versera à A._ une indemnité réduite de 1'000 fr. à titre de dépens.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des prud'hommes du canton de Genève, Cour d'appel.
Lausanne, le 6 juin 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Piaget