Faits:
A. Y._, avocat, a défendu les intérêts de X._ dans une procédure en libération de dette et dans un cadre extrajudiciaire. Il s'en est suivi un litige au sujet de ses honoraires.
Le 1er décembre 2006, X._ a déposé une requête en fixation d'honoraires; en dernier lieu, elle concluait à ce que Me Y._ fût condamné à lui payer un montant de 30'000 fr. plus intérêts, le capital représentant le solde des montants perçus par l'avocat après déduction des honoraires qu'elle reconnaissait lui devoir. Par demande reconventionnelle, Y._ a réclamé le paiement du solde impayé de ses honoraires, soit un montant finalement arrêté à 74'018 fr. Le 27 novembre 2007, la Cour civile I du Tribunal cantonal valaisan a condamné Me Y._ à verser à X._ la somme de 30'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 5 décembre 2006.
L'avocat a interjeté recours auprès du Tribunal fédéral, reprenant ses conclusions en paiement précédentes. Par arrêt du 22 mai 2008 (cause 4A_11/2008), la décision du 27 novembre 2007 a été annulée et l'affaire a été renvoyée à l'autorité cantonale pour nouveau jugement.
La cour cantonale a statué dans un jugement du 23 novembre 2009. Elle a condamné X._ à payer à Y._ la somme de 16'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 7 février 2007 et rejeté toutes autres ou plus amples conclusions.
B. X._ interjette un recours en matière civile, subsidiairement un recours constitutionnel. Elle demande l'annulation du jugement cantonal et la condamnation de Me Y._ à lui payer la somme de 30'000 fr. avec intérêts moratoires dès le 1er juin 2006. Comme les exemplaires de son mémoire de recours ne contenaient pas l'avant-dernière page, la recourante a été invitée à la produire.
Pour sa part, Y._ propose, principalement, l'irrecevabilité des recours et, subsidiairement, leur rejet.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 1 consid. 1.1 p. 3, 329 consid. 1 p. 331).
1.1 La contestation opposant les parties porte sur des honoraires d'avocat; il s'agit d'une affaire pécuniaire en matière civile (cf. art. 394 al. 3 CO et art. 72 al. 1 LTF). La décision rendue dans une contestation de cette nature peut être attaquée par un recours en matière civile pour autant que la valeur litigieuse de 30'000 fr. soit atteinte (art. 74 al. 1 let. b LTF) ou que le litige soulève une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF). La valeur litigieuse est déterminée par les conclusions restées contestées devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF), et non pas, comme l'intimé semble le penser, par les conclusions subsidiaires prises devant le Tribunal fédéral. Le montant d'une demande reconventionnelle et celui de la demande principale ne sont pas additionnés (art. 53 al. 1 LTF). En l'espèce, la valeur litigieuse correspond aux conclusions de la recourante sur lesquelles l'autorité cantonale s'est prononcée, soit 30'000 fr. (cf. Jean-Maurice Frésard, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 7 ad art. 53).
L'arrêt attaqué termine la cause (cf. art. 90 LTF). L'exigence légale selon laquelle la dernière instance cantonale statue sur recours n'est pas encore en vigueur (cf. art. 75 al. 2 et art. 130 al. 2 LTF). Le fait que la cour cantonale a statué en instance unique n'exclut donc pas le recours.
Le recours en matière civile est ainsi ouvert. Il s'ensuit l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
Il est à préciser que les griefs soulevés dans le recours constitutionnel subsidiaire seront examinés dans le cadre du recours en matière civile, dès lors que les griefs d'ordre constitutionnel sont recevables dans ce recours-ci (art. 95 let. a LTF; cf. ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 et les arrêts cités).
1.2 L'intimé conclut à l'irrecevabilité du recours à cause d'une "architecture déficiente de l'écriture de recours", laquelle serait "peu structurée, voire chaotique". Cette critique, qui concerne la recevabilité des divers griefs, sera traitée lors de l'examen de ceux-ci.
Selon l'intimé, le recours serait également irrecevable parce que la recourante n'a pas pris de conclusions chiffrées. Cette allégation est inexacte. En effet, la page 33 du mémoire de recours contient des conclusions chiffrées. Certes, cette page ne figurait pas dans les exemplaires produits lors du dépôt du recours et c'est à la demande du juge instructeur que la recourante a envoyé copie de la page manquante. L'absence de cette page était toutefois décelable aisément sur le vu de la numérotation des pages du mémoire et à la lecture un peu attentive du texte, de sorte qu'elle ne pouvait manifestement être due qu'à une inadvertance.
2. La recourante scinde son recours en deux parties. La première partie est intitulée "argumentation de droit constitutionnel" (recours ch. IV/A). Dans la seconde partie sous le titre "argumentation en matière de droit civil" (recours ch. IV/B), la recourante fait valoir un établissement inexact des faits au sens de l'art. 97 LTF et critique l'application du tarif de l'Ordre des avocats valaisans.
2.1 Les griefs constitutionnels doivent être expressément invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF). L'acte de recours doit, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits ou principes constitutionnels violés et préciser en quoi consiste la violation. Le recourant doit discuter les considérants de la décision attaquée et exposer de manière claire et circonstanciée en quoi consiste la violation du droit constitutionnel (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 133 III 439 consid. 3.2 p. 444). Cette exigence vaut en particulier pour le grief tiré d'une violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire.
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des conclusions insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
En ce qui concerne l'interprétation et l'application du droit cantonal, une violation doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être considérée comme arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à examiner quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il n'y a pas arbitraire du fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (ATF 133 III 462 consid. 4.4.1).
2.2 Pour le surplus, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). En tant que cour suprême, il est instance de révision du droit, et non juge du fait (Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4135 ch. 4.1.4.2). Certes, le Tribunal fédéral peut s'écarter de l'état de fait de la décision entreprise si les constatations de l'autorité précédente ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; 135 II 145 consid. 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Néanmoins, cette exception à la règle selon laquelle le Tribunal fédéral ne revoit pas les faits ne permet pas aux parties de rediscuter dans leurs mémoires les faits de la cause comme si elles plaidaient devant un juge d'appel. La partie recourante qui entend faire rectifier ou compléter les faits doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions pour le faire seraient réalisées; les exigences en matière de motivation correspondent à celles en matière de violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (cf. ATF 135 III 127 consid. 1.5 p. 129 s.).
3. Invoquant l'art. 29 al. 2 et l'art. 9 Cst., la recourante se plaint tout d'abord d'une violation de son droit d'être entendue et d'une application arbitraire de l'art. 287 al. 2 CPC/VS. Cette disposition prévoit que si, en procédure sommaire, le juge statue définitivement sur une prétention, la décision doit être rendue à l'issue d'une procédure probatoire complète.
3.1 Le droit d'être entendu est garanti en premier lieu par le droit cantonal, dont le Tribunal fédéral ne revoit l'application que sous l'angle restreint de l'arbitraire. En l'espèce, la recourante invoque certes la violation de l'art. 287 al. 2 CPC/VS, mais elle se limite à citer cette disposition sans explication spécifique, au mépris des exigences de motivation posées en la matière et sans même alléguer que la norme cantonale confère une protection allant au-delà de la garantie minimale octroyée par la Constitution fédérale. C'est dès lors exclusivement à la lumière de la garantie offerte par l'art. 29 al. 2 Cst. qu'il convient d'examiner le grief (cf. ATF 126 I 15 consid. 2a p. 16).
Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend le droit pour l'intéressé de prendre connaissance du dossier, de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 133 I 270 consid. 3.1 p. 277; 129 II 497 consid. 2.2 p. 504 s.; 127 I 54 consid. 2b p. 56; 124 I 48 consid. 3a p. 51 et les arrêts cités).
3.2 La critique de la recourante s'appuie sur l'arrêt que la cour de céans a rendu le 22 mai 2008 sur recours de l'intimé. Dans cet arrêt, qui annule le jugement cantonal du 27 novembre 2007, le Tribunal fédéral juge que l'autorité cantonale n'a pas suffisamment instruit la cause; il admet une application arbitraire de l'art. 287 al. 2 CPC/VS, relatif au droit d'obtenir des mesures probatoires même en procédure sommaire, ainsi qu'une violation du droit d'être entendu de l'intimé au sens de l'art. 29 al. 2 Cst.
La recourante fait valoir que les juges valaisans n'ont ni réparé les carences relevées dans l'arrêt du Tribunal fédéral du 22 mai 2008, ni complété le dossier avant de rendre un nouveau jugement en date du 23 novembre 2009. Elle prétend en conséquence reprendre à son compte les griefs que l'intimé avait soulevés dans son recours au Tribunal fédéral contre le jugement cantonal du 27 novembre 2007; selon les propres termes de la recourante, sa critique est totalement similaire à celle de l'intimé, quand bien même elle avait à l'époque vivement contesté toute violation du droit d'être entendu de son adverse partie. En résumé, la recourante reproche à l'autorité cantonale de ne pas avoir procédé à une instruction et, en particulier, de ne pas avoir administré les moyens de preuve que l'intimé avait requis.
3.3 La recourante ne soutient pas qu'elle aurait été elle-même empêchée de produire des preuves pertinentes ou qu'il n'aurait pas été donné suite à ses offres de preuves pertinentes. Et, du reste, rien de tel ne ressort de l'arrêt attaqué. Au contraire, la cour cantonale constate que, dans sa détermination faisant suite à l'arrêt du 22 mai 2008, la recourante a déclaré s'en remettre à justice et s'est simplement référée aux écritures déposées. En réalité, la recourante fait valoir que l'autorité cantonale n'aurait pas donné suite aux requêtes de preuve de l'intimé. Elle se plaint ainsi non pas d'une violation de son propre droit d'être entendue, mais d'une violation du droit d'être entendu de l'intimé, ce qu'elle n'est pas habilitée à faire. Le grief tiré d'une violation de l'art. 29 al. 2 Cst. est mal fondé.
4. Dans un deuxième moyen, la recourante soutient que l'autorité cantonale a ignoré les exigences du tarif de l'Ordre des avocats valaisans.
Dans son arrêt du 22 mai 2008, la cour de céans a jugé que les parties n'avaient pas convenu d'appliquer ce tarif (consid. 4 § 4). Cette question est tranchée et il n'y a pas lieu d'y revenir (cf. ATF 135 III 334 consid. 2.1 p. 335 s.). Par ailleurs, dans la décision présentement attaquée, la cour cantonale a admis que le tarif en question n'est pas l'expression de l'usage mentionné à l'art. 394 al. 3 CO. La recourante ne discute pas la conclusion des juges cantonaux. Faute de critique motivée, il n'y a pas à revoir ce point du jugement.
5. La recourante se plaint également d'une "absence arbitraire de constatation de l'état de délabrement psychique" dans lequel elle se trouvait. Cette circonstance n'aurait pas été prise en considération dans la détermination des honoraires dus à l'intimé.
La mandante n'explique pas en quoi son état psychique serait déterminant pour la fixation des honoraires de son mandataire. Au surplus, le rapport entre ces deux éléments ne tombe pas d'emblée sous le sens. Le grief ne peut être que rejeté faute de pertinence pour la question à juger.
6. Enfin, la recourante s'en prend, tant sous l'angle d'une violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire que sous celui de l'établissement manifestement inexact des faits, au "caractère éminemment arbitraire, et par certains aspects même fantaisistes", des postes de facturation retenus dans le jugement attaqué, qu'elle conteste jusqu'aux plus modestes. Dans sa réponse, l'intimé nie la recevabilité des griefs, mais ne se détermine pas de manière détaillée sur le fond.
6.1 A défaut de convention, de tarif public applicable ou d'usage, le juge fixe la rémunération de l'avocat pour son activité sur la base de toutes les circonstances pertinentes, en veillant à ce qu'elle soit objectivement proportionnée aux services rendus (art. 394 al. 3 CO; ATF 135 III 259 consid. 2.2 p. 262 et les arrêts cités).
L'autorité cantonale dispose d'un large pouvoir d'appréciation lorsqu'elle procède à cette démarche. Le Tribunal fédéral n'intervient que si la décision attaquée s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, si elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou à l'inverse, si elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionne en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 135 III 259 consid. 2.5 p. 264 et les arrêts cités).
En l'espèce, la recourante ne se plaint pas d'une violation de l'art. 394 al. 3 CO, mais critique l'établissement des faits nécessaires à l'application de cette disposition. Néanmoins, le large pouvoir d'appréciation accordé à l'autorité cantonale en matière de fixation d'honoraires est déterminant pour juger si ces griefs sont susceptibles d'influer sur le prononcé.
6.2 La recourante conteste 4'378 fr. de débours de l'intimé mis à sa charge.
Selon les juges précédents, la recourante a admis elle-même que ce montant était à sa charge exclusive. Elle ne démontre pas à présent que cette constatation est manifestement fausse. A cet égard, il ne suffit pas d'affirmer que seule une interprétation abusive des éléments de fait qu'elle a avancés a pu conduire à cette décision.
La recourante se fonde sur une pièce, jointe au recours, relative au compte bancaire de son frère. La production de pièces nouvelles n'est pas admissible (art. 99 al. 1 LTF). Au surplus, la recourante ne précise pas si ce document se trouve dans le dossier, ni, a fortiori, à quel endroit. Or, il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'éplucher le dossier cantonal afin de suppléer aux carences de l'auteur du recours, d'autant moins lorsque, comme en l'espèce, le dossier est très volumineux, pesant plus de trente kilogrammes.
La recourante allègue qu'une simple audition de son frère aurait confirmé que celui-ci avait payé les montants en question. Comme ce témoin n'a pas été entendu, la question d'une appréciation arbitraire du témoignage ne se pose pas. Au demeurant, la recourante n'ayant pas requis l'audition de son frère en instance cantonale, elle ne saurait se plaindre de ce qu'il n'a pas été entendu.
6.3 La recourante conteste les montants des débours retenus par la cour cantonale pour les appels téléphoniques et les envois postaux.
L'autorité cantonale a alloué 20 fr. par appel téléphonique, en précisant que ce montant servait également à défrayer le temps consacré par l'intimé à cette activité. On ne discerne pas en quoi cette manière de procéder serait critiquable sous l'angle de l'arbitraire dans l'établissement des faits. En tout cas, la recourante ne démontre pas que ce temps aurait été pris en compte une seconde fois dans le cadre des honoraires.
La cour cantonale a retenu 5 fr. par envoi postal, en se fondant sur un montant moyen, sans distinguer entre les courriers expédiés sous pli simple et ceux adressés en recommandé. Là encore, on ne voit pas en quoi ce mode de faire serait arbitraire. Au demeurant, la critique porte, à l'évidence, sur des sommes modestes, sans pertinence pour juger si le montant finalement alloué est manifestement injuste ou consacre une iniquité choquante. Et il n'appartient pas au Tribunal fédéral, en tant que juge constitutionnel, de passer au crible un volumineux dossier afin d'y décompter les envois postaux.
6.4 La recourante relève encore la "confusion magistrale" faite par la cour cantonale entre l'honoraire judiciaire, l'honoraire extra-judiciaire et l'honoraire pour les procédures connexes. Elle considère insoutenable de tenir pour établi que les fiches de travail ayant servi à arrêter la note d'honoraires ne concernent que l'activité extra-judiciaire et ainsi de ne pas déduire les dépens obtenus dans la procédure judiciaire.
6.4.1 L'autorité cantonale a constaté tout d'abord que l'avocat avait scindé ses prétentions en quatre périodes successives. Elle s'est fondée sur les quatre décomptes correspondants de l'intimé pour fixer sa rémunération complémentaire à 30'230 fr. pour l'ensemble des opérations répertoriées. Elle y a ajouté 13'400 fr. pour l'activité fournie dans les procédures annexes. Elle a retenu en conséquence que les "honoraires supplémentaires, toutes procédures confondues, s'élevaient à 43'630 fr. (en plus de l'activité déjà rémunérée dans la procédure judiciaire)".
En outre, la cour cantonale a considéré que l'intimé avait droit au remboursement de montants avancés par 14'282 fr. et de débours par 10'600 fr. Elle y a ajouté les honoraires judiciaires de 21'000 fr., c'est-à-dire le montant que la recourante a obtenu à titre de dépens dans la procédure judiciaire en libération de dette. Elle est ainsi parvenue à la conclusion que le total de la note de frais et d'honoraires de l'intimé s'élevait à 89'512 fr. (30'230 fr. + 13'400 fr. + 14'282 fr. + 10'600 fr. + 21'000 fr.).
De cette somme, l'autorité cantonale a déduit divers montants déjà encaissés par l'intimé: 40'622 fr. à titre de provisions, 21'000 fr. de dépens alloués à la recourante, 11'452 fr. et 377 fr. de ristournes. Elle a ainsi arrêté le solde de la note encore dû à l'intimé au montant arrondi de 16'000 fr.
6.4.2 La cour cantonale a fixé les honoraires pour "toutes les opérations répertoriées" à 30'230 fr. "après examen détaillé des quatre décomptes". Elle n'en dit pas plus et la lecture du jugement ne permet pas de comprendre comment elle a procédé. L'autorité cantonale retient ensuite, sans donner de motif, que le montant susmentionné ne recouvre pas l'activité judiciaire. Peut-être a-t-elle estimé que les opérations rémunérées par les dépens alloués dans la procédure judiciaire ne figuraient pas sur les décomptes. Aucune constatation dans ce sens ne ressort toutefois du jugement. Et, dans le premier jugement du 27 novembre 2007, elle avait retenu, au contraire, que nombre d'opérations figurant dans les décomptes étaient déjà comprises dans l'activité judiciaire englobée dans les 21'000 fr. de dépens. Si l'on admet que les décomptes recouvrent l'entier de l'activité de l'intimé, on ne perçoit pas comment la cour cantonale a procédé dans le cadre de l'examen détaillé auquel elle dit s'être livrée. Peut-être a-t-elle fait la distinction entre les opérations judiciaires et extra-judiciaires et uniquement retenu les dernières, ou encore a-t-elle jugé que les décomptes justifiaient des honoraires de 51'230 fr. dont elle a déduit les 21'000 fr. de dépens pour aboutir au montant de 30'230 fr. Mais ces hypothèses ne sont guère compatibles avec la constatation selon laquelle le montant est fixé pour toutes les opérations répertoriées. De son côté, l'intimé ne se détermine pas dans sa réponse au recours. Comme les motifs de la décision attaquée ne permettent pas de comprendre le jugement sur ce point, il ne peut être exclu que l'autorité cantonale ait commis une erreur ou une inadvertance en retenant que le montant de 21'000 fr. était dû en sus du montant de 30'230 fr.
Le recours doit dès lors être admis sur ce point. Le jugement attaqué sera annulé et la cause sera renvoyée à la cour cantonale afin qu'elle éclaircisse et, le cas échéant, rectifie le point litigieux.
7. Le recours est admis partiellement. Partant, il se justifie de mettre les frais judiciaires par moitié à la charge de chaque partie (art. 66 al. 1 LTF) et de compenser les dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière civile est admis partiellement, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis par moitié à la charge de chaque partie.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 24 mars 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Godat Zimmermann