Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. La décision litigieuse n'ayant pas pour objet l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, le Tribunal fédéral des assurances doit se borner à examiner si les premiers juges ont violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou par l'abus de leur pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure (art. 132 en corrélation avec les art. 104 let. a et b et 105 al. 2 OJ).
1. La décision litigieuse n'ayant pas pour objet l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, le Tribunal fédéral des assurances doit se borner à examiner si les premiers juges ont violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou par l'abus de leur pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure (art. 132 en corrélation avec les art. 104 let. a et b et 105 al. 2 OJ).
2. Les premiers juges ont correctement exposé les dispositions légales et la jurisprudence applicable en matière de responsabilité de l'employeur (art. 52 LAVS) et des organes de celui-ci, de sorte qu'on peut renvoyer à leur jugement.
2. Les premiers juges ont correctement exposé les dispositions légales et la jurisprudence applicable en matière de responsabilité de l'employeur (art. 52 LAVS) et des organes de celui-ci, de sorte qu'on peut renvoyer à leur jugement.
3. Il y a lieu de retenir en l'espèce que les recourants ne se sont pas véritablement souciés du paiement des cotisations d'assurances sociales à la charge de la succursale preuve en est que dès la première année d'activité de cette dernière, l'intimée a dû recourir aux voies de l'exécution forcée pour faire valoir ses créances de cotisations. Il n'y a pas non plus de circonstances qui feraient apparaître comme légitime ou non fautive l'inobservation des prescriptions en matière d'AVS (cf. ATF 108 V 186 consid. 1b, 193 consid. 2b). On relèvera au demeurant que le fait de confier la gestion des affaires courantes à un tiers n'est pas de nature à libérer les administrateurs de leur responsabilité dans le domaine des cotisations à l'égard d'une caisse de compensation (SVR 2001 AHV n° 15 p. 53 consid. 6b; ATF 114 V 223 consid. 4a et les références). A cela s'ajoute le laps de temps relativement long durant lequel les cotisations n'ont pas - ou pas régulièrement - été payées (pour comp. ATF 121 V 243).
La juridiction cantonale était ainsi fondée à admettre que les recourants ont commis une négligence grave au sens de l'art. 52 LAVS et, comme on le verra ci-après, les objections que ces derniers soulèvent dans leur recours de droit administratif se révèlent pour l'essentiel infondées.
La juridiction cantonale était ainsi fondée à admettre que les recourants ont commis une négligence grave au sens de l'art. 52 LAVS et, comme on le verra ci-après, les objections que ces derniers soulèvent dans leur recours de droit administratif se révèlent pour l'essentiel infondées.
4. T._ allègue pour sa part avoir été placé en détention préventive d'octobre 1999 à janvier 2000 (et non, comme l'ont mentionné les premiers juges, «d'octobre 2000 à fin janvier 2001»), de sorte qu'il était pas en mesure, durant cette période, de s'occuper des affaires courantes de la succursale; il en infère qu'il ne saurait être rendu responsable du dommage subi par la caisse au-delà des trois premiers trimestres de l'année 1999.
La période de détention préventive de T._ figurant dans le jugement attaqué procède à l'évidence d'une erreur, puisque dans l'éventualité retenue par les juges cantonaux, elle serait postérieure à la faillite de la société. Cela étant, cet argument ne lui est d'aucun secours. La détention préventive ne constitue pas un cas d'absence pour cause de force majeure (cf. Bürgi, Kommentar zum schweizerischen Zivilgesetzbuch, Die Aktiengesellchaft, Zurich 1979, n. 93 ad art. 753/754 CO) susceptible de dégager le recourant de toute responsabilité on peut penser que celui-ci, même détenu, pouvait et devait démissionner dans la mesure où il n'était plus à même de les exercer normalement (cf. Peter Fortmoser, Die aktienrechtliche Verantwortlichkeit, 2e éd., Zurich 1987, ch. 309). Quoi qu'il en soit, T._ a été détenu pendant trois mois environ (du 17 octobre 1999 au 27 janvier 2000); or, la faillite de la succursale a été ouverte le 23 octobre 2000. Le prénommé, qui a repris ses fonctions à fin janvier 2000, aurait donc eu la possibilité de veiller au paiement des cotisations courantes et arriérées. Par ailleurs, la société ne s'acquittait pas régulièrement des cotisations depuis 1998, si bien que la détention (pendant trois mois) ne constitue pas un facteur de nature à reléguer à l'arrière-plan le comportement du recourant et, de ce fait, à interrompre le lien de causalité naturelle et adéquate entre son comportement (fautif) et le dommage subi par la caisse.
C'est également en vain que les recourants invoquent une faute concomitante de la caisse pour prétendre une réduction de la créance en réparation du dommage.
Rien au dossier ne permet en effet d'établir que l'intimée aurait elle-même violé gravement les dispositions de l'AVS et que, de surcroît, le dommage survenu se trouverait en relation de causalité adéquate avec un tel comportement de la caisse (cf. ATF 122 V 189 consid. 3c). Par ailleurs, contrairement à ce que les recourants affirment, le non-paiement par l'employeur des cotisations d'assurance-chômage entraîne un dommage au sens de l'art. 52 LAVS dont une caisse de compensation AVS est habilitée à demander la réparation; les dispositions de la LACI sur la responsabilité de l'employeur (cf. art. 82 al. 3 et 4 en relation avec l'art. 88 al. 2 LACI), aux termes desquelles il appartient à l'organe de compensation de l'assurance-chômage de demander la réparation du dommage causé, ne s'appliquent pas à l'omission de verser les cotisations (ATF 113 V 186).
Enfin, les recourants font remarquer qu'il leur a été reclamé un montant de 16'493 fr. 40 pour 1999 alors que la décision de cotisations sur les salaires pour l'année en question portait sur une somme de 16'228 fr. 35. Il y a lieu d'entrer en matière sur ce grief dès lors qu'il a déjà été soulevé en procédure cantonale (art. 105 al. 2 OJ). Bien que les premiers juges n'y aient pas répondu, on ne peut que constater qu'il est fondé, si bien que le montant du dommage doit être réduit de 265 fr. 05. Il semble en effet que ce soient les poursuites pour l'année 1999, lesquelles ont abouti à des actes de défaut de biens, qui portaient eux-mêmes sur un montant trop élevé.
Dans cette faible mesure, le recours doit être admis.
Dans cette faible mesure, le recours doit être admis.
5. Les recourants succombent pour l'essentiel devant le Tribunal fédéral des assurances (la créance en réparation de l'intimée est réduite d'à peine 1,6 % pour la recourante et de 1,3 % pour le recourant). Aussi bien se justifie-t-il de mettre à leur charge la totalité des frais.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le jugement du 13 septembre 2001 du Tribunal cantonal valaisan des assurances est réformé en ce sens que T._ est condamné à payer à l'intimée 19'540 fr. 40, tandis que A._ est, solidairement avec le prénommé, condamnée à payer à l'intimée 16'228 fr. 35 à valoir sur le montant précité de 19'540 fr. 40.
1. Le recours est partiellement admis. Le jugement du 13 septembre 2001 du Tribunal cantonal valaisan des assurances est réformé en ce sens que T._ est condamné à payer à l'intimée 19'540 fr. 40, tandis que A._ est, solidairement avec le prénommé, condamnée à payer à l'intimée 16'228 fr. 35 à valoir sur le montant précité de 19'540 fr. 40.
2. Les frais de justice, d'un montant total de 2'300 fr., sont mis à la charge des recourants et sont couverts par l'avance de frais qu'ils ont effectuée.
2. Les frais de justice, d'un montant total de 2'300 fr., sont mis à la charge des recourants et sont couverts par l'avance de frais qu'ils ont effectuée.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan des assurances et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 octobre 2002
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre La Greffière