Sachverhalt:
A. Über die X._ AG wurde im Juni 2005 der Konkurs eröffnet und im selben Monat mangels Aktiven eingestellt. Mit Verfügungen vom 28. November 2005 verpflichtete die Ausgleichskasse des Kantons Zürich S._ als Präsidenten des Verwaltungsrates, I._ als Mitglied des Verwaltungsrates und P._ als Geschäftsführer in solidarischer Haftung zur Bezahlung von Schadenersatz für entgangene bundes- und kantonalrechtliche Sozialversicherungsbeiträge in der Höhe von Fr. 68'946.45 inkl. Verwaltungskosten, Verzugszinsen und Gebühren. Die Verfügung gegen P._ erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Auf Einsprache hin reduzierte die Ausgleichskasse die Forderung gegenüber I._ auf Fr. 65'414.20 (Einspracheentscheid vom 31. Juli 2006) und gegenüber S._ auf Fr. 67'331.70 (Einspracheentscheid vom 27. Juli 2006).
B. I._ und S._ erhoben je separat Beschwerde mit dem Antrag auf Aufhebung des Einspracheentscheides. Auf die Beschwerde des I._ trat das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mangels Rechtzeitigkeit des Rechtsmittels nicht ein (Beschluss vom 26. Oktober 2006). Die Beschwerde des S._ wies es, nach Beiladung von I._ und P._ zum Verfahren, mit Entscheid vom 24. Dezember 2007 ab, soweit es darauf eintrat.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur erneuten Beschlussfassung zurückzuweisen. Eventualiter sei der Entscheid aufzuheben und festzustellen, dass er nicht schadenersatzpflichtig sei. Ferner ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
Die Ausgleichskasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Der zum Verfahren beigeladene I._ beantragt, es seien die "Sachverhaltssschilderungen und Berichtigungen für die Urteilsfindung zu berücksichtigen" und die Schadenersatzforderung sei vollumfänglich gegenüber P._ sowie S._ geltend zu machen. P._, welcher ebenfalls zum Verfahren beigeladen wurde, lässt sich nicht vernehmen.
D. Mit Verfügung vom 13. Mai 2008 hat der Instruktionsrichter der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die II. sozialrechtliche Abteilung ist zuständig zum Entscheid über die streitige Schadenersatzpflicht nach Art. 52 AHVG (Art. 82 lit. a BGG sowie Art. 35 lit. a des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [BGerR]). Nach Art. 34 lit. e BGerR fallen die kantonalen Sozialversicherungen (insbesondere Familien- und Kinderzulagen) zwar in die Zuständigkeit der I. sozialrechtlichen Abteilung. Es ist indessen aus prozessökonomischen Gründen sinnvoll, dass die II. Abteilung auch über die Schadenersatzpflicht entscheidet, soweit sie entgangene Sozialversicherungsbeiträge nach kantonalem Recht betrifft (SVR 2008 FL Nr. 1 S. 1 E. 1 [nicht publ. in BGE 134 I 179], 9C_704/2007).
1.2 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Ferner darf das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (Art. 107 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt.
1.3 Die bereits rechtskräftig beurteilte Schadenersatzpflicht der Beigeladenen steht im vorliegenden Verfahren nicht zur Diskussion. Soweit der beigeladene I._ mit dem Antrag, die Schadenersatzforderung sei vollumfänglich gegenüber P._ sowie dem Beschwerdeführer geltend zu machen, seine eigene Schadenersatzpflicht bestreiten will, ist darauf nicht einzugehen.
2. Im angefochtenen Entscheid werden die für die subsidiäre Haftung der Organe eines Arbeitgebers nach Art. 52 AHVG und gemäss Rechtsprechung erforderlichen Voraussetzungen (Organstellung, Schaden, Widerrechtlichkeit, zweistufiges Verschulden, Kausalität, Nichtverwirkung/Nichtverjährung), soweit vorliegend relevant, richtig wiedergegeben. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 In tatsächlicher Hinsicht (vgl. E. 1 hiervor zur grundsätzlichen Verbindlichkeit der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung für das Bundesgericht) hat die Vorinstanz zutreffend erkannt, dass die nachmals konkursite Arbeitgeberfirma der ihr obliegenden Beitragsablieferungspflicht (Art. 14 Abs. 1 AHVG) während längerer Zeit in widerrechtlicher und schuldhafter Weise nicht nachgekommen ist, was sich (neben anderen) der Beschwerdeführer als Verwaltungsratspräsident unter den gegebenen Umständen anrechnen lassen muss. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringen lässt, ist - soweit nicht bereits vom kantonalen Gericht entkräftet - unbehelflich.
3.2 Dies betrifft insbesondere das Vorbringen, wonach der Beschwerdeführer an allen Verwaltungsratssitzungen teilgenommen und alles in seiner Macht Stehende unternommen habe, um die Bezahlung der Sozialversicherungsbeiträge durchzusetzen. Dass er vom Geschäftsführer, P._, wiederholt Unterlagen verlangt und bei demselben interveniert haben will, vermag ihn nicht zu entlasten, weil er gehalten gewesen wäre, konkrete Massnahmen für eine fristgerechte Bezahlung der geschuldeten Beiträge in die Wege zu leiten, wofür angesichts des mehrmonatigen Beitragsausstandes allfällige mündliche Mahnungen an den Geschäftsführer nicht genügten. Nichts zu seinen Gunsten abzuleiten vermag er auch aus seiner Behauptung, der nur kollektivzeichnungsberechtigte P._ habe für die Firma eigenmächtig Arbeitsverträge abgeschlossen, welche wegen Verletzung der Formvorschriften nicht rechtsgültig zustande gekommen seien. Denn die Arbeitgebereigenschaft und damit die Beitragspflicht hängt in der AHV ohnehin nicht vom Vorliegen eines Arbeitsvertrages oder eines öffentlich-rechtlichen Dienstverhältnisses ab, sondern einzig vom Umstand, dass ein Entgelt ausgerichtet wird für eine nach ahv-rechtlichen Gesichtspunkten in unselbstständiger Stellung geleistete Arbeit (vgl. Hanspeter Käser, Unterstellung und Beitragswesen in der obligatorischen AHV, 2. Aufl. 1996, S. 243 Rz. 12.3 mit Hinweis auf ZAK 1982 S. 369, 1987 S. 31 und 1990 S. 129), welche Voraussetzungen auch nach der Darstellung des Beschwerdeführers ohne weiteres erfüllt sind. Zudem bedarf auch zivilrechtlich der Arbeitsvertrag keiner besonderen Form und gilt namentlich bereits dann als abgeschlossen, wenn der Arbeitgeber Arbeit entgegennimmt, deren Leistung nur gegen Lohn zu erwarten ist (Art. 320 OR).
Nicht gefolgt werden kann dem Beschwerdeführer auch, soweit er die Herabsetzung der Schadenersatzpflicht wegen Mitverschuldens der Ausgleichskasse verlangt. Denn nach der Rechtsprechung ist eine solche nur zulässig, wenn eine grobe Pflichtverletzung der Verwaltung für die Entstehung oder Verschlimmerung des Schadens adäquat kausal gewesen ist (BGE 122 V 185 E. 3b S. 187 f.). Eine derartige Pflichtverletzung seitens der Kasse liegt hier nicht vor und kann insbesondere weder im Rückzug einer Betreibung noch im gewährten Zahlungsaufschub erblickt werden.
Was sodann die vom Beschwerdeführer angerufene Bestimmung des Art. 759 OR anbelangt, ist darauf hinzuweisen, dass diese dem Schädiger einzig erlaubt, die Geringfügigkeit des Verschuldens geltend zu machen, weshalb sie auf das ein qualifiziertes Verschulden (Vorsatz oder grobe Fahrlässigkeit) voraussetzende Schadenersatzverfahren gemäss Art. 52 AHVG keine Anwendung findet (AHI 1996 S. 291 E. 6; vgl. auch SVR 2007 AHV Nr. 2 S. 5 E. 2.3, H 72/06).
Schliesslich beschlägt die vom kantonalen Gericht aufgrund antizipierter Beweiswürdigung implizit gezogene Schlussfolgerung, dass die seitens des Beschwerdeführers verlangten weiteren Beweismassnahmen (Partei- und Zeugenbefragungen) keinen hier relevanten Erkenntnisgewinn zeitigen würden, Fragen tatsächlicher Natur; sie ist daher für das Bundesgericht verbindlich (E. 1 hievor), zumal von einer Rechtsfehlerhaftigkeit im Sinne von Art. 105 Abs. 2 BGG nicht die Rede sein kann. Demnach bleibt auch für die in der Beschwerde verlangten prozessualen Weiterungen kein Raum.
4. Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beigeladenen steht keine Parteientschädigung zu (BGE 130 III 571 E. 6 S. 576).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Sozialversicherungen, I._ und P._ schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. September 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann