Sachverhalt:
A. Die 1920 geborene V._ meldete sich im August 2006 zum Bezug von Ergänzungsleistungen zur Altersrente an. Die Ausgleichskasse des Kantons St. Gallen stellte mit Verfügung vom 26. Oktober 2006 fest, es bestehe wegen eines Einnahmenüberschusses kein Anspruch auf Ergänzungsleistungen. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen hiess eine dagegen erhobene Einsprache der Versicherten teilweise gut und stellte fest, V._ habe mit Wirkung ab August 2006 einen EL-Anspruch von Fr. 475.- und ab Januar 2007 einen solchen von Fr. 1059.- (Entscheid vom 5. März 2007). Dabei rechnete die Verwaltung im Rahmen der Bedarfsrechnung eine Schenkung über Fr. 60'000.- als Vermögensverzicht sowie den gesetzlich definierten Bruchteil des Steuerwertes von Grundeigentum als Einnahme an. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde am 6. September 2007 teilweise gut und wies die Sache zur Neuberechnung der Ergänzungsleistung ab August 2006 (aufgrund weiterer Erhebungen zum Marktwert der Liegenschaft) an die Verwaltung zurück.
Die Ausgleichskasse erliess gestützt auf eine Marktwertschätzung am 24. April 2008 neue Verfügungen. Die Sozialversicherungsanstalt trat auf die dagegen erhobene Einsprache vom 4. Juni 2008 nicht ein, da diese verspätet eingereicht worden sei, und lehnte das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung im Einspracheverfahren ab (Entscheid vom 25. August 2008).
B. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies die dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Ausserdem verneinte es den Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung im Einspracheverfahren (Entscheid vom 27. Februar 2009).
C. V._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid und der Nichteintretensentscheid der Verwaltung vom 25. August 2008 seien aufzuheben. In materieller Hinsicht verlangt die Beschwerdeführerin, bei der Berechnung des anrechenbaren Vermögens sei der Betrag unter dem Titel "Übriges Vermögen" oder "Vermögensverzicht" mit null Franken einzusetzen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege (Befreiung von den Prozesskosten und unentgeltliche Verbeiständung).
Erwägungen:
1. Gegenstand des Verfahrens ist allein die Frage, ob die Verwaltung, wie das kantonale Gericht entschied, zu Recht auf die Einsprache vom 4. Juni 2008 nicht eingetreten ist. Auf den in der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gestellten materiellen Antrag (zum Umfang der Ergänzungsleistung) kann daher nicht eingetreten werden (BGE 132 V 74 E. 1.1 S. 76 mit Hinweis). Auch ist die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Einspracheverfahren letztinstanzlich nicht mehr angefochten.
2. Die Einsprachefrist ist mit der Eingabe vom 4. Juni 2008 unstrittig nur eingehalten worden, wenn die Verfügungen vom 24. April 2008 nicht vor dem 5. Mai 2008 zugestellt worden sind.
2.1 Gegen Verfügungen kann innerhalb von (im Regelfall) 30 Tagen bei der verfügenden Stelle Einsprache erhoben werden (Art. 52 Abs. 1 ATSG). Die Feststellung von Tatsachen, welche für die (den Fristenlauf auslösende) Eröffnung der Verfügung erheblich sind, erfolgt mit Blick auf die Eigenheiten der Massenverwaltung anhand des Beweisgrades der überwiegenden Wahrscheinlichkeit. Nur mit Bezug auf Tatsachen, die für die Rechtzeitigkeit im gerichtlichen Verfahren ausschlaggebend sind, ist der volle Beweis erforderlich (BGE 124 V 400 E. 2b 402; 121 V 5 E. 3b S. 6); dieser kann praktisch nur mit einem förmlichen Zustellnachweis erbracht werden. Im Verwaltungsverfahren massgebend ist also der Geschehensablauf mit der grössten Wahrscheinlichkeit (BGE 126 V 353 E. 5b S. 360). Im Bestreitungsfall kann die Tatsache oder das Datum der Zustellung einer nicht eingeschriebenen Verfügung nicht allein anhand des üblichen administrativen Ablaufs als erstellt betrachtet werden. Hingegen kann der Nachweis aufgrund weiterer Indizien oder gestützt auf die Gesamtumstände erbracht werden; so kann sich aus der Zahlung der Forderung, aus der Korrespondenz, aus dem Verhalten der versicherten Person oder aus Zeugenaussagen ergeben, dass und wann die Verfügung eröffnet worden ist (Urteil I 218/04 vom 31. August 2004 E. 5.1 mit Hinweisen; ZAK 1984 S. 123). Da die verfügende Behörde die materielle Beweislast hinsichtlich der Zustellung sowie ihres Zeitpunktes trägt, ist im Zweifel auf die Darstellung des Empfängers abzustellen (BGE 124 V 400 E. 2a S. 402).
2.2 Das kantonale Gericht erwog, die Behauptung, die Verfügungen seien der Tochter der Versicherten erst am 5. Mai 2008 zugestellt worden, sei nicht glaubhaft. Der Schwiegersohn der Versicherten habe die (am Wohndomizil zugestellten) Verfügungen an diesem Tag bereits um 8.12 Uhr morgens von seinem (mindestens eine halbstündige Wegstrecke vom Wohnort entfernten) Büro aus per Fax versandt. Das zu den Verfügungen gehörende Berechnungsblatt trage handschriftliche Vermerke, was auf vorgängiges Aktenstudium schliessen lasse. Die Annahme einer falschen Zeitangabe des Faxgerätes sei durch nichts belegt. Die auf einer der Verfügungen handschriftlich angebrachte Datumsangabe "Mo. 26.05.2008" deute auf eine Zustellung am 25. oder 26. April 2008 hin, womit die Einsprachefrist am 26. Mai 2008 abgelaufen wäre. Die Beschwerdeführerin bringe nichts vor, was diesen Indizienbeweis als unzutreffend erscheinen lassen könnte. Die Verwaltung habe nicht lediglich auf den normalen organisatorischen Ablauf im Verfügungsversand hingewiesen, sondern eine einlässliche und nachvollziehbare Würdigung der vorhandenen Beweismittel vorgenommen. Demnach erweise sich die Variante, dass die Verfügung der Adressatin schon vor dem 5. Mai 2008 zugekommen sei, als eindeutig wahrscheinlicher als die Zustellung erst an diesem Tag, zumal für letztere Möglichkeit kein plausibler Hergang geschildert worden sei.
2.2 Das kantonale Gericht erwog, die Behauptung, die Verfügungen seien der Tochter der Versicherten erst am 5. Mai 2008 zugestellt worden, sei nicht glaubhaft. Der Schwiegersohn der Versicherten habe die (am Wohndomizil zugestellten) Verfügungen an diesem Tag bereits um 8.12 Uhr morgens von seinem (mindestens eine halbstündige Wegstrecke vom Wohnort entfernten) Büro aus per Fax versandt. Das zu den Verfügungen gehörende Berechnungsblatt trage handschriftliche Vermerke, was auf vorgängiges Aktenstudium schliessen lasse. Die Annahme einer falschen Zeitangabe des Faxgerätes sei durch nichts belegt. Die auf einer der Verfügungen handschriftlich angebrachte Datumsangabe "Mo. 26.05.2008" deute auf eine Zustellung am 25. oder 26. April 2008 hin, womit die Einsprachefrist am 26. Mai 2008 abgelaufen wäre. Die Beschwerdeführerin bringe nichts vor, was diesen Indizienbeweis als unzutreffend erscheinen lassen könnte. Die Verwaltung habe nicht lediglich auf den normalen organisatorischen Ablauf im Verfügungsversand hingewiesen, sondern eine einlässliche und nachvollziehbare Würdigung der vorhandenen Beweismittel vorgenommen. Demnach erweise sich die Variante, dass die Verfügung der Adressatin schon vor dem 5. Mai 2008 zugekommen sei, als eindeutig wahrscheinlicher als die Zustellung erst an diesem Tag, zumal für letztere Möglichkeit kein plausibler Hergang geschildert worden sei.
2.3 2.3.1 Die Beschwerdeführerin rügt zunächst, die Vorinstanz habe ihren Entscheid auf einen unvollständigen Sachverhalt gestützt. Der angefochtene Entscheid lasse ausdrücklich offen, an welchem Datum die Verfügungen zugestellt worden seien. Der Nichteintretensentscheid der Sozialversicherungsanstalt hätte nur unter Festlegung eines konkreten Datums (vor dem 5. Mai 2008) bestätigt werden dürfen; hierfür nenne das kantonale Gericht jedoch nicht einmal Indizien. Dies war indessen nicht notwendig. Die Vorinstanz hat die aktenkundigen und von den Parteien in das Verfahren eingebrachten Umstände gewürdigt und ist zum Schluss gekommen, eine Zustellung am 5. Mai 2008 sei erheblich weniger wahrscheinlich als eine frühere Entgegennahme. Dies genügt für die Belange des konkreten Falls. Der in Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG vorgeschriebene Umfang der vorinstanzlichen Sachverhaltsdarstellung betrifft nur entscheidungserhebliche Elemente. Der Bestand des Nichteintretensentscheids hängt nicht davon ab, an welchem der dem 5. Mai 2008 vorangegangenen Tage die Zustellung tatsächlich erfolgt ist. Der vorinstanzliche Sachverhalt ist somit auch ohne Nennung eines konkreten Zustelldatums vollständig.
2.3.2 In der Beschwerde werden verschiedene Bundesrechtsverletzungen geltend gemacht. So sei der angefochtene Entscheid nicht mit der Beweislastregel des Art. 8 ZGB vereinbar, weil für die Festlegung des Zustelldatums nicht der volle Beweis (Gewissheit) verlangt worden sei. Angesichts eines zwischen den Parteien seit dem 20. April 2007 bestehenden Prozessrechtsverhältnisses (Beschwerde gegen den ersten Einspracheentscheid vom 5. März 2007) erscheine es nicht sachgerecht, den sozialversicherungsrechtlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit anzuwenden. Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden, ändert der den hier strittigen Verfügungen vom 24. April 2008 vorangegangene Rückweisungsentscheid des kantonalen Gerichts vom 6. September 2007 doch nichts daran, dass sich das Erfordernis eines vollen Beweises nur auf Tatsachen bezieht, die für die Rechtzeitigkeit im gerichtlichen Verfahren selber ausschlaggebend sind (oben E. 2.1). Der Umstand, dass ein Verwaltungsverfahren auf Veranlassung eines Gerichts stattfindet, macht jenes nicht zum Teil eines gerichtlichen Prozesses.
Zu Recht stellt die Beschwerdeführerin fest, dass die Eröffnung der Verfügungen mit uneingeschriebener Post einen eindeutigen Beweis des Zeitpunkts der Zustellung nicht zulässt. Dieser Konsequenz wird dadurch Rechnung getragen, dass im Zweifelsfall - das heisst wenn eine Würdigung der konkreten Umstände keinen überwiegend wahrscheinlichen Tatbestand zutage fördert - auf die Darstellung des Empfängers abzustellen ist (oben E. 2.1 in fine). Hingegen führt der Verzicht auf einen Versand per Einschreiben nicht dazu, dass ein für die beweisbelastete Verwaltung "günstiges" Beweisergebnis, das auf einer - mangels Zustellbescheinigung - indiziengestützten Beweiswürdigung beruht (unten E. 2.4), mit Treu und Glauben nicht zu vereinbaren wäre. Im Übrigen spricht der Umstand, dass die verfügende Behörde materiell beweisbelastet ist, nicht gegen den erleichterten Beweisgrad (der überwiegenden Wahrscheinlichkeit).
2.3.3 Die in der Beschwerdeschrift vertretene Differenzierung in einen Hauptbeweis und einen Gegenbeweis lehnt sich an die Rechtsprechung zum Nachweis des Eintritts eines Versicherungsfalls im privatversicherungsrechtlichen Prozess. Dort kann der Hauptbeweis einer (zunächst) als überwiegend wahrscheinlich erscheinenden Tatsache durch den Gegenbeweis von Umständen, die den Hauptbeweis erschüttern, vereitelt werden (Urteil 4A_96/2007 vom 26. Juni 2007 E. 4.1; vgl. BGE 130 III 321 E. 3.4 und 3.5 S. 326 f.). Die Beschwerdeführerin lässt unter Hinweis auf Isabelle Berger-Steiner (Das Beweismass im Privatrecht, Bern 2008, S. 31 Rz. 02.41 und S. 261 Rz. 06.104) geltend machen, mit Blick auf die Anforderungen an den Gegenbeweis - der Gegner des Hauptbeweisführers (hier der Verwaltung) müsse beim Richter lediglich hinreichende Zweifel an der Schlüssigkeit von dessen Sachverhaltsdarstellung wecken, ihn nicht aber entsprechend dem für das Gelingen des Hauptbeweises erforderlichen Mass von seiner Sachdarstellung überzeugen - sei der vorinstanzliche Vergleich zwischen möglichen Sachverhaltsvarianten nicht zielführend. Ob diese im Privatversicherungsrecht entwickelte Rechtsprechung im Zivilrecht allgemein gilt, kann offen bleiben. Denn jedenfalls kommt die im Verhältnis von Haupt- und Gegenbeweis bestehende Asymmetrie der Beweislast nur im Rahmen von (Zivil-)Prozessen zur Geltung, in welchen die Verhandlungsmaxime gilt; hier ist es Sache der Parteien, dem Gericht den Tatbestand darzulegen und zu beweisen, auf den das Gericht die Rechtssätze zur Anwendung bringen soll (Hans Ulrich Walder-Richli/Béatrice Grob-Andermacher, Zivilprozessrecht, 5. Aufl., Zürich 2009, S. 203 ff.). Die im Bereich des Privatversicherungsrechts angewandte Beweislastregel kann nicht auf den Sozialversicherungsprozess übertragen werden, in welchem das Untersuchungsprinzip zu beachten ist, wonach das Gericht den rechtserheblichen Sachverhalt von Amtes wegen abklärt (vgl. Art. 61 lit. c ATSG; Ueli Kieser, Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts [ATSG], in: Ulrich Meyer [Hrsg.], Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht Band XIV, 2. Aufl., Basel 2007, S. 299 Rz. 194). Ist das Sozialversicherungsgericht grundsätzlich zuständig für die Zusammentragung des Beweismaterials, besteht grundsätzlich kein Raum für eine Beweisführungslast der Parteien (BGE 117 V 261 E. 3b S. 264). Diese wäre aber Voraussetzung für die beschwerdeweise postulierte Art und Weise der Beweiswürdigung.
In diesem Sinne durfte (und musste) die Vorinstanz die Fallumstände frei würdigen und die Sachverhaltsalternativen gegeneinander abwägen. Dabei kommt es nicht darauf an, ob der - ohne Rückgriff auf eine prozentmässige Wahrscheinlichkeitsschwelle festzustellende - Sachverhalt direkt aus Indizien für einen Empfang der Verfügungen vor dem 5. Mai 2008 abgeleitet wird, oder ob die entsprechende richterliche Überzeugung auf einem Umkehrschluss beruht. Letzteres ist hier der Fall, indem die Vorinstanz erkannte, die konkreten Fallumstände liessen eine Eröffnung erst an diesem Datum vergleichsweise als entfernte Möglichkeit erscheinen (vgl. oben E. 2.2).
2.4 Beweislastverteilung und Beweismass werden durch das Bundesrecht geregelt, dessen Verletzung mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten geltend gemacht werden kann (Art. 95 lit. a BGG). Dagegen kann letztinstanzlich prinzipiell nicht überprüft werden, ob der den bundesrechtlichen Anforderungen entsprechende Beweis von der (materiell) beweisbelasteten Partei tatsächlich erbracht worden ist (vgl. BGE 130 III 321 E. 5 S. 327). Ergebnisse einer gerichtlichen Beweiswürdigung sind tatsächliche Feststellungen, welche das Bundesgericht nur überprüfen darf, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 8C_784/2008 vom 11. September 2009 E. 5.3 mit Hinweisen).
Ein solcher Ausnahmetatbestand ist hier nicht gegeben. Offensichtliche Unrichtigkeit scheidet aus, zumal die vorinstanzlichen Überlegungen nicht aktenwidrig und inhaltlich plausibel sind. Entgegen der Beschwerdeschrift hat die Vorinstanz nicht "eine lediglich theoretische Sachverhaltsvariante ohne jegliche Beweise oder Indizien" zum überwiegend wahrscheinlichen Sachverhalt erhoben, sondern aufgrund einer einleuchtenden Würdigung erwogen, eine Zustellung erst am 5. Mai sei dermassen unwahrscheinlich, dass auf diese Möglichkeit nicht abgestellt werden könne.
2.5 Insgesamt ist festzuhalten, dass die dem Entscheid über die Rechtzeitigkeit der Einsprache zugrunde liegenden Vorgaben der Beweiswürdigung rechtmässig sind. Die Handhabung des Beweismasses der überwiegenden Wahrscheinlichkeit und die Erheblicherklärung der in die Beweiswürdigung einfliessenden Umstände sind nicht zu beanstanden. In diesem - bundesrechtskonformen - Rahmen ist sodann die Feststellung, die Verfügungen vom 24. April 2008 seien der (zur Entgegennahme befugten) Tochter der Versicherten nicht erst am 5. Mai 2008 zugestellt worden, nicht offensichtlich unrichtig.
2.6 Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV, Art. 42 und Art. 61 lit. c ATSG); die Sachverhaltsannahmen betreffend eine am 5. Mai 2008 um 8.12 Uhr erfolgte Fax-Übermittlung der strittigen Verfügungen vom Arbeitsplatz des Schwiegersohns der Beschwerdeführerin an den Rechtsvertreter seien in den angefochtenen Entscheid eingeflossen, ohne dass die Beschwerdeführerin Gelegenheit zur Stellungnahme erhalten hätte. Der Einwand ist nicht stichhaltig, sind die entsprechenden Annahmen (über den Zeitaufwand für den Arbeitsweg etc.) im Wesentlichen doch bereits im Einspracheentscheid vom 25. August 2008 aufgeführt, so dass die betreffenden Entscheidungsgrundlagen bereits bei Gelegenheit der vorinstanzlichen Beschwerdeführung bekannt gewesen sind und die Beschwerdeführerin sich dazu in der kantonalen Beschwerde äussern konnte. Ebensowenig liegt eine Gehörsverletzung darin, dass die Vorinstanz auf die weiteren Beweisbegehren der Beschwerdeführerin nicht eingegangen ist, konnte doch aufgrund der vorliegenden Beweiswürdigung (oben E. 2.4 und 2.5) willkürfrei in antizipierter Beweiswürdigung auf weitere Abklärungen verzichtet werden.
3. Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin auferlegt (Art.66 Abs. 1 BGG). Ihr kann jedoch die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung - im Rahmen eines angemessenen Aufwands - gewährt werden (BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indessen vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Alexander Frei wird als unentgeltlicher Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2000.- aus der Gerichtskasse entschädigt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Oktober 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub