Sachverhalt:
A. Der aus der Türkei stammende, 1960 geborene X._ gelangte Ende Januar 1990 in die Schweiz. Sein Asylgesuch wurde am 14. Dezember 1993 definitiv abgelehnt, und er wurde zur Ausreise aus der Schweiz bis zum 15. Februar 1994 verpflichtet.
Im Oktober 1994 heiratete er in der Türkei eine Schweizer Bürgerin, geboren 1963, und erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton St. Gallen. Am 18. Juli 2000 stellte er ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im Einbürgerungsverfahren unterzeichneten er und seine Ehefrau am 19. September 2001 eine Erklärung, wonach sie in stabiler ehelicher Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. In Entsprechung des Gesuchs wurde X._ am 27. September 2001 das Schweizer Bürgerrecht erteilt.
Im Februar 2002 trennte sich das Ehepaar; die Ehefrau beantragte am 15. Mai 2002 Eheschutzmassnahmen. Am 25. Mai 2004 machten die Ehegatten ein gemeinsames Scheidungsbegehren anhängig. Die Ehe wurde am 28. Oktober 2004 geschieden. Am 7. Januar 2005 verheiratete sich X._ in der Türkei mit seiner früheren türkischen Ehefrau. Er hat mit ihr aus erster Ehe einen gemeinsamen, 1988 geborenen Sohn.
B. Vor diesem Hintergrund leitete das Bundesamt für Migration (Bundesamt) am 21. März 2005 gegen X._ ein Verfahren betreffend Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung ein. Es befragte die geschiedene Schweizer Ehefrau schriftlich. X._ nahm zu ihren schriftlichen Antworten Stellung und verlangte, seine geschiedene Frau sei persönlich einzuvernehmen. Das Bundesamt kam diesem Begehren nicht nach; auf Nachfrage hatte die Betroffene eine mündliche Befragung in Gegenwart ihres ehemaligen Ehemanns abgelehnt. Das Bundesamt nahm allerdings Einsicht in die Gerichtsakten zum Eheschutz- und Scheidungsverfahren. Mit Verfügung vom 24. August 2006 erklärte das Bundesamt die erleichterte Einbürgerung für nichtig; zuvor hatte der Heimatkanton seine Zustimmung erteilt.
C. X._ focht diese Verfügung an. Mit Urteil vom 25. April 2008 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab.
D. Mit Eingabe vom 2. Juni 2008 legt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und das Bundesamt sei anzuweisen, von der Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung abzusehen; eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesamt und das Bundesverwaltungsgericht haben Verzicht auf eine Vernehmlassung erklärt.
Mit Präsidialverfügung vom 23. Juni 2008 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG [SR 173.110]). Der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. b BGG betrifft ordentliche Einbürgerungen und ist hier nicht erfüllt. Es sind auch keine weiteren Ausnahmen vom Beschwerderecht gemäss Art. 83 BGG gegeben. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Das Bundesamt legte in der Verfügung vom 24. August 2006 dar, der zeitliche Ablauf der Ereignisse führe zur tatsächlichen Vermutung, dass bereits im Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung kein beidseitiger, auf die Zukunft gerichteter Ehewille mehr bestanden habe.
Der Beschwerdeführer sei als verheirateter Asylbewerber in die Schweiz eingereist. In der Zeit zwischen der Abweisung des Asylgesuchs und dem Ablauf der Ausreisefrist habe er sich von der ersten, türkischen Ehefrau scheiden lassen. Gleichzeitig habe er Schritte im Hinblick auf die Eheschliessung mit einer Schweizer Bürgerin unternommen. Aufgrund dieser Heirat habe er sich erneut ein Aufenthaltsrecht in der Schweiz gesichert. Rund drei Monate nach der Einbürgerung sei die faktische Trennung der Ehegatten festgestanden; im Januar 2002 hätten die Ehegatten Mietverträge für je eigene Wohnungen abgeschlossen. Aus den gerichtlichen Akten des Eheschutz- und des Scheidungsverfahrens gehe hervor, dass sie sich über die Modalitäten der Trennung nicht hätten einvernehmlich einigen können. Auch über die Scheidungsfolgen seien sie nur unter Mitwirkung von Rechtsanwälten und des Gerichts einig geworden. Deshalb könne nicht davon ausgegangen werden, dass eine Wiederaufnahme der ehelichen Beziehung jemals ernsthaft in Betracht gezogen worden sei. Kurze Zeit nach der Scheidung habe sich der Beschwerdeführer wieder mit seiner ersten Ehefrau verheiratet und für diese und den Sohn ein Gesuch um Familiennachzug in die Schweiz gestellt.
Der Beschwerdeführer hatte geltend gemacht, die Trennung im Februar 2002 sei anfangs nur als vorübergehend und im Sinne einer Bedenkzeit gedacht gewesen. Die Ehefrau habe eine berufliche Ausbildung absolvieren wollen. Er habe sich aber gemeinsame Kinder gewünscht, was sie abgelehnt habe. Zu einer Wiedervereinigung sei es nicht gekommen, weil sie die Ausbildung in der Folge tatsächlich angefangen habe. Im Zeitpunkt der Einbürgerung sei die Ehe noch stabil gewesen. Die schliesslich erfolgte Wiederverheiratung mit der ersten Frau habe seinem Wunsch nach einer "richtigen" Familie entsprochen. Das Bundesamt kam zum Schluss, diese Behauptungen des Beschwerdeführers vermöchten die tatsächliche Vermutung, er habe die Einbürgerung erschlichen, nicht umzustossen.
2.2 Das Bundesverwaltungsgericht hat diese tatbeständlichen Grundlagen in seinem Urteil übernommen und durch folgenden Gesichtspunkt ergänzt: Der Beschwerdeführer könne nichts aus dem Umstand ableiten, dass er das Einbürgerungsgesuch nicht schon früher gestellt habe. Erst im Jahr 2000 habe er sämtliche Voraussetzungen der erleichterten Einbürgerung erfüllt; in den Vorjahren habe es ihm am guten finanziellen Leumund gemangelt. Aufgrund der Einwände des Beschwerdeführers hat sich das Bundesverwaltungsgericht nochmals ausführlich mit der Fallkonstellation auseinandergesetzt und die Sichtweise des Bundesamts bestätigt. Insbesondere erachtete das Bundesverwaltungsgericht die Darstellung des Beschwerdeführers als nicht nachvollziehbar, wonach die Ehe mit der Schweizer Bürgerin erst nach der Einbürgerung dermassen erschüttert worden sei, dass es zur Trennung gekommen sei.
3. Zunächst wirft der Beschwerdeführer dem Bundesverwaltungsgericht aktenwidrige Feststellungen des Sachverhalts vor. Diese Rügen gehen fehl.
3.1 Das Bundesverwaltungsgericht hat nicht übersehen, dass die faktische Trennung der Ehegatten bei der Aufhebung der gemeinsamen ehelichen Wohnung vorerst möglicherweise als Bedenkzeit gedacht war. Es hat jedoch diese Trennung in einen Kontext von weiteren Elementen gestellt. Aufgrund der Gesamtwürdigung der Umstände durfte das Bundesverwaltungsgericht den Schluss ziehen, dass die Ehe als Lebensgemeinschaft bereits im fraglichen Zeitpunkt gescheitert war.
3.2 Es trifft auch nicht zu, dass das Bundesverwaltungsgericht den Sachverhalt auf den Kinderwunsch des Beschwerdeführers reduziert hat. Vielmehr hat es die damaligen beruflichen Ausbildungspläne der Ehefrau ebenfalls zur Kenntnis genommen und in die Beurteilung einbezogen.
4. Ausserdem rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Dabei ruft er Art. 29 Abs. 1 und 2 BV sowie verschiedene Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021) an. Insbesondere bemängelt er, der Untersuchungsgrundsatz und der Grundsatz der freien Beweiswürdigung seien missachtet worden. Mit diesen Vorbringen wehrt er sich gegen die Ablehnung seines Antrags auf Einvernahme der geschiedenen Schweizer Ehefrau als Zeugin. Das Bundesverwaltungsgericht hielt eine derartige Befragung - zusätzlich zu den von ihr schriftlich eingeholten Auskünften - für entbehrlich.
4.1 Das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht richtet sich grundsätzlich nach dem VwVG (vgl. Art. 37 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht [VGG; SR 173.32]). Der im Bundesverwaltungsverfahren gemäss Art. 12 f. VwVG geltende Untersuchungsgrundsatz besagt, dass die Behörden von sich aus - unter Vorbehalt der Mitwirkungspflichten der Parteien - für die richtige und vollständige Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts zu sorgen haben (vgl. BGE 132 II 113 E. 3.2 S. 115). In der Bundesverwaltungsrechtspflege gilt sodann der Grundsatz der freien Beweiswürdigung (Art. 19 VwVG in Verbindung mit Art. 40 des Bundesgesetzes vom 4. Dezember 1947 über den Bundeszivilprozess [BZP; SR 273]). Frei ist die Beweiswürdigung vor allem darin, dass sie nicht an bestimmte starre Beweisregeln gebunden ist, die dem Richter genau vorschreiben, wie ein gültiger Beweis zustande kommt und welchen Beweiswert die einzelnen Beweismittel im Verhältnis zueinander haben (BGE 130 II 482 E. 3.2 S. 485 mit Hinweisen).
4.2 In BGE 130 II 169 E. 2.3.1 S. 172 findet sich die Vorgabe, die Verwaltungsbehörde habe den Sachverhalt durch Befragung der Betroffenen eigenständig zu klären, soweit die Gerichtsprotokolle des Scheidungsverfahrens keine ausreichende Beurteilungshilfe bieten. Diese Vorgabe lässt die Frage offen, ob die Befragung auf schriftlichem oder mündlichem Weg vorgenommen wird.
Aus Art. 14 VwVG folgt, dass es sich bei der Einvernahme von Zeugen im Verwaltungsverfahren um ein subsidiäres Beweismittel handelt. Diese ist nach Art. 14 VwVG nur anzuordnen, wenn sich der Sachverhalt nicht auf andere Weise hinreichend abklären lässt (vgl. BGE 130 II 169 E. 2.3.3 S. 173). Im Bundesverwaltungsverfahren verhält es sich gerade umgekehrt als im Bundeszivilprozess, wo die Zeugeneinvernahme die Regel und der Einzug von Auskünften die Ausnahme bildet. Zwar verweist Art. 19 VwVG auf Bestimmungen des Bundeszivilprozesses, letztere kommen aber gemäss Art. 19 VwVG nur sinngemäss zur Anwendung (BGE 130 II 169 E. 2.3.4 S. 173). Es hilft dem Beschwerdeführer daher im vorliegenden Zusammenhang nichts, wenn er sich auf Art. 49 BZP beruft; nach dieser Bestimmung können schriftliche Auskünfte von Privatpersonen ausnahmsweise eingeholt werden und sind daraufhin zu überprüfen, ob sie der Bekräftigung durch Zeugnis bedürfen.
Wenn die Verwaltung oder das Gericht demzufolge bei pflichtgemässer Beweiswürdigung der von Amtes wegen erhobenen schriftlichen Auskünfte des geschiedenen Schweizer Ehepartners die Überzeugung erlangt, der betreffende Sachverhalt sei genügend geklärt, so kann auf die Einvernahme dieses Ehepartners als Zeuge verzichtet werden (antizipierte Beweiswürdigung). In einem solchen Vorgehen liegt kein Verstoss gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör.
4.3 Vorliegend hatte die geschiedene Schweizer Ehefrau gegenüber dem Bundesamt schriftlich erklärt, während der Ehe sei über eine Familiengründung nie gesprochen worden. Ebenso gab sie an, der Beschwerdeführer habe den Auszug aus der gemeinsamen Wohnung nicht begründet. Gemäss dem Beschwerdeführer entsprechen diese knappen Antworten nicht der ganzen Wahrheit. Er rechnet damit, im Rahmen einer ergänzenden Abklärung mittels der beantragten Zeugeneinvernahme könnte zutage treten, dass die unterschiedlichen Zukunftsvorstellungen der Eheleute eheintern lange Zeit unausgesprochen geblieben seien und sich, in zeitlicher Hinsicht zufälligerweise, gerade nach der erfolgten Einbürgerung manifestiert hätten. Weiter würden die schriftlichen Auskünfte ausblenden, dass es die Ehefrau gewesen sei, die als erste den Mietvertrag für eine eigene Wohnung unterzeichnet habe.
4.4 Das Bundesverwaltungsgericht hat die Einwände berücksichtigt, die der Beschwerdeführer gegenüber der schriftlichen Sachdarstellung seiner geschiedenen Schweizer Ehefrau erhoben hatte. Dieser behauptet auch nicht, es könnten noch andere Gründe als die bekannten, unterschiedlichen Zukunftsvorstellungen im Spiel gewesen sein, welche die Ehefrau bewogen hätten, sich eine eigene Wohnung zu suchen. Im Ergebnis hat das Bundesverwaltungsgericht die schriftlichen Aussagen der Ehefrau bereits in dem Sinne relativiert, den der Beschwerdeführer mit der Zeugeneinvernahme erreichen will. Bei dieser Sachlage war es zulässig, dass das Bundesverwaltungsgericht angenommen hat, die beantragte Beweiserhebung könne zu keinen sachdienlichen neuen Feststellungen führen. Im Übrigen ist zum verwendeten Begriff der "tatsächlichen Vermutung" zu bemerken, dass der Sachverhalt genügend abgeklärt wurde. Der Beschwerdeführer kritisiert zu Unrecht, er trage die Folgen, dass der von ihm beantragte Beweis nicht abgenommen worden sei.
4.5 Erweist sich somit die antizipierte Beweiswürdigung bezüglich der fraglichen Zeugeneinvernahme als haltbar, so vermag an diesem Ergebnis nichts zu ändern, dass der Beschwerdeführer das in Art. 18 VwVG verankerte Recht, einem Zeugen Ergänzungsfragen zu stellen, nicht ausüben konnte. Die unterinstanzlichen Behörden hatten hier auch keinen Anlass, der geschiedenen Schweizer Ehefrau nachträglich die vom Beschwerdeführer angesprochenen Widersprüche (vgl. E. 4.3 hiervor) schriftlich zur Stellungnahme zu unterbreiten.
5. In der Sache werden im angefochtenen Urteil Art. 27 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 41 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (BüG; SR 141.0) angewendet. Die erleichterte Einbürgerung setzt namentlich voraus, dass der ausländische Bewerber insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit einer Schweizer Bürgerin lebt (vgl. Art. 27 Abs. 1 BüG). Gemäss Art. 41 Abs. 1 BüG kann die erleichterte Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist.
5.1 Der Beschwerdeführer macht die Ausbildungspläne der Ehefrau nach der Einbürgerung vor allem deswegen für das Scheitern der Ehe verantwortlich, weil sie damals bereits 38 Jahre alt war. Er habe sich ausrechnen können, dass sie nach Ausbildungsabschluss über 40 Jahre alt sein werde, allenfalls zunächst in ihrem Beruf arbeiten wolle und es anschliessend für gemeinsame Kinder zu spät sei. Das Bundesverwaltungsgericht hat zum Ausdruck gebracht, es sei aufgrund der allgemeinen Lebenserfahrung nicht vorstellbar, dass der Kinderwunsch des Beschwerdeführers erst nach siebenjähriger Ehe aufgetaucht sei und aufgrund fehlender Realisierbarkeit binnen drei Monaten zur Zerrüttung der Ehe geführt habe. Nach dem Beschwerdeführer verkennt aber das Bundesverwaltungsgericht, dass in seinem Fall ein nachvollziehbarer Grund vorliegt, weshalb die Ehe in für ihn unvorhersehbarer Weise erst nach der Einbürgerung auseinandergebrochen ist. Zudem verweist er auf die Referenzschreiben, die er im Sommer 2001 im Rahmen des Einbürgerungsverfahrens eingereicht hatte, und auf den noch im Juni 2001 abgeschlossenen Mietvertrag für eine neue gemeinsame Wohnung. Zu Unrecht habe das Bundesverwaltungsgericht diese von ihm geltend gemachten Indizien für wenig relevant erklärt.
5.2 Es besteht Grund zur Annahme, dass die eheliche Gemeinschaft im Zeitpunkt der Einbürgerung äusserlich gelebt wurde. Mehr vermögen die vom Beschwerdeführer zu seinen Gunsten angeführten Indizien nicht zu belegen. Umstritten ist jedoch, ob der Beschwerdeführer damals einen intakten Ehewillen besass. Da es sich dabei um eine innere Tatsache handelt, stellt sich die zu beantwortende Frage im Lichte der Rechtsprechung dahingehend, ob im konkreten Fall ein überzeugender bzw. nachvollziehbarer Grund für das rasche Scheitern einer angeblich bei der Einbürgerung noch stabilen Ehe gegeben ist (vgl. dazu BGE 130 II 482 E. 3.2 S. 485 f.). Den Erwägungen des angefochtenen Urteils zufolge hätte der Beschwerdeführer - ohne vorgängige Klärung der Realisierbarkeit seines Kinderwunschs - nicht im Einbürgerungsverfahren behaupten dürfen, er lebe mit seiner Frau in einer stabilen Ehe. Wie es sich mit einem solchen Grundsatz in allgemeiner Weise verhält, kann offen bleiben. In der vorliegenden Konstellation ist die Rechtsanwendung des Bundesverwaltungsgerichts jedenfalls nicht zu beanstanden. Die Unversöhnlichkeit, mit welcher der Beschwerdeführer kurz nach der Einbürgerung dem Wunsch der Ehefrau nach einer beruflichen Ausbildung begegnete, erlaubt vor dem Hintergrund des Gesamtbilds den Schluss, sein Wille zu einer auf Zukunft gerichteten ehelichen Gemeinschaft sei bereits im Zeitpunkt des Einbürgerungsverfahrens nicht intakt gewesen.
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. September 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet