Erwägungen:
1. Der Leitende Staatsanwalt des Kantons Solothurn trat mit Verfügung vom 27. Januar 2010 auf vier Strafanzeigen von X._ nicht ein. Dagegen erhob X._ am 6. Februar 2010 Beschwerde. Der Instruktionsrichter der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn wies mit Verfügung vom 9. März 2010 das sinngemäss gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und forderte X._ auf, bis 30. März 2010 für das obergerichtliche Verfahren einen Kostenvorschuss von Fr. 500.-- zu bezahlen. X._ erhob gegen diese Verfügung am 15. März 2010 Beschwerde, auf welche die Beschwerdekammer des Obergerichts mit Urteil vom 1. April 2010 nicht eintrat. Sie setzte dem Beschwerdeführer eine neue Frist zur Leistung des Kostenvorschusses. Die Beschwerdekammer begründete ihr Urteil zusammenfassend damit, dass in der angefochtenen Verfügung ausgeführt worden sei, aus den Strafanzeigen sei kein strafrechtlich relevantes Verhalten der angezeigten Personen ersichtlich. Hinweise auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten würden auch in der Beschwerde vom 15. März 2010 nicht vorgebracht, weshalb auf die Beschwerde mangels einer adäquaten Begründung nicht einzutreten sei.
2. X._ führt mit Eingabe vom 24. April 2010 Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, setzt sich mit den Ausführungen der Beschwerdekammer, die zum Nichteintreten auf seine Beschwerde führten, nicht auseinander. Er legt nicht dar, inwiefern die Beschwerdekammer Rechte im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt haben sollte, als sie auf seine Beschwerde nicht eintrat. Da die vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Urteils darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dadurch wird das sinngemäss gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli