Sachverhalt:
A. Die 1956 geborene Z._ war ab März 1991 als Maschinenbedienerin in der Firma X._ AG tätig. Ab 10. Juni 2003 war sie durchgehend krank gemeldet. Am 23. Januar 2004 kündigte die Firma deswegen das Anstellungsverhältnis auf den 30. April 2004. Im März 2004 meldete sich Z._ unter Hinweis auf diesen Sachverhalt bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle holte einen Auszug aus dem individuellen Konto, Berichte der Arbeitgeberin und der behandelnden Ärzte sowie ein medizinisches Gutachten mit internistischer-rheumatologischer Teilexpertise des Dr. med. B._, Spezialarzt FMH Innere Medizin, Physikalische Medizin und Rehabilitation, speziell Rheumaerkrankungen, wohl unzutreffend mit 15. Februar 2006 datiert und am 9. Juni 2006 bei der Verwaltung eingegangen, und psychiatrischer Teilexpertise des Dr. med. A._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 25. April 2006 ein. Mit zwei Verfügungen vom 20. Juni 2006 verneinte die Verwaltung einen Anspruch auf Arbeitsvermittlung (mangels einer gesundheitsbedingten Einschränkung bei der Stellensuche) und auf eine Invalidenrente (mangels eines rentenbegründenden Invaliditätsgrades). Die Versicherte erhob Einsprache gegen die Verfügung betreffend Rentenanspruch. Die IV-Stelle holte ergänzende Stellungnahmen des Dr. A._ vom 26. August 2006 und des Dr. med. B._ vom 16. Oktober 2006 ein. Mit Einspracheentscheid vom 15. Dezember 2006 hielt sie an ihrer ablehnenden Haltung fest.
B. Z._ führte Beschwerde auf Zusprechung einer Invalidenrente; eventuell seien hiefür weitere medizinische Abklärungen vorzunehmen; subeventuell sei Arbeitsvermittlung zu gewähren. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen trat auf die Beschwerde betreffend Arbeitsvermittlung nicht ein. Im Rentenpunkt wies es die Beschwerde mit der Begründung ab, im massgeblichen Zeitraum habe kein rentenbegründender somatischer und psychischer Gesundheitsschaden vorgelegen. In somatischer Hinsicht sei die Ausübung einer angepassten Tätigkeit vollzeitlich zumutbar. In psychischer Hinsicht liege eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung bei einfacher Persönlichkeitsstruktur vor; eine invalidisierende Arbeitsunfähigkeit werde damit nicht begründet. Bei voller Arbeitsfähigkeit in adaptierter Tätigkeit liege der Invaliditätsgrad jedenfalls, und ohne dass dies mittels eines Einkommensvergleichs verifiziert werden müsse, unterhalb des rentenbegründenden Bereichs (Entscheid vom 18. März 2008).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt Z._ beantragen, es sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit diese ein neues interdiszplinäres Gutachten einhole und erneut über den Rentenanspruch befinde; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sich diese nach vorgenommenem Einkommensvergleich nochmals zum Invaliditätsgrad äussere.
Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten je auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2 Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist auf Grund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene kantonale Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht, Völkerrecht oder kantonale verfassungsmässige Rechte verletzt (Art. 95 lit. a-c BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Hingegen hat unter der Herrschaft des BGG eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheids in tatsächlicher Hinsicht zu unterbleiben, ausser wenn sich die Beschwerde gegen einen Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung richtet (Art. 97 Abs. 2 BGG).
1.3 Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage. Auch die konkrete Beweiswürdigung stellt eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG Rechtsfrage (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff. und E. 4 S. 399 ff.; Urteil 8C_691/2008 vom 1. Oktober 2008 E. 1.2 mit Hinweis).
2. Der vorinstanzliche Entscheid ist insoweit nicht angefochten, als das kantonale Gericht auf den Beschwerdeantrag betreffend Arbeitsvermittlung nicht eingetreten ist. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Invalidenrente.
Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmungen über die Begriffe Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG) und Invalidität (Art. 8 ATSG), über die Invaliditätsbemessung bei erwerbstätigen Versicherten mittels Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG) sowie über die Voraussetzungen und den Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 IVG in der von Anfang 2004 bis Ende 2007 gültig gewesenen Fassung) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Rechtsprechung über die Aufgabe des Arztes bei der Invaliditätsbemessung (BGE 125 V 256 E. 4 S. 261 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 132 V 93 E. 4 S. 99 f. mit Hinweisen) und über die Anforderungen an beweiskräftige ärztliche Berichte und Gutachten (BGE 125 V 351 E. 3 S. 352 ff.; 122 V 157 E. 1c S. 160 f.; vgl. auch BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232). Richtig ist auch, dass das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung eines Falles grundsätzlich auf den bis zum Zeitpunkt des Erlasses der streitigen Verfügung resp. des streitigen Einspracheentscheides eingetretenen Sachverhalt abstellt (BGE 131 V 242 E. 2.1 S. 243; 130 V 445 E. 1.2 S. 446, je mit Hinweis). Auf die entsprechenden Erwägungen im vorinstanzlichen Entscheid wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass intertemporalrechtlich auch Art. 28 Abs. 1 IVG in der bis Ende 2003 gültig gewesenen Fassung sowie der bis Ende 2003 in Kraft gestandene Art. 28 Abs. 1bis IVG zu erwähnen sind. Dass der Anspruch auf eine Invalidenrente einen Invaliditätsgrad von mindestens 40 % erfordert, gilt indessen nach altem wie neuem Recht. Nicht anwendbar sind sodann, wie die Vorinstanz richtig erkannt hat, die mit der 5. IV-Revision auf den 1. Januar 2008 erfolgten Rechtsänderungen.
3. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, bis zum Erlass des Einspracheentscheides vom 15. Dezember 2006 habe keine somatische oder psychische Gesundheitsschädigung bestanden, welche eine länger dauernde Arbeitsunfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit begründet hätte. Es stützt sich dabei auf das interdisziplinäre Gutachten der Dres. med. B._ und A._ vom "15. Februar"/25. April 2006.
4. Die Einwendungen der Beschwerdeführerin richten sich zunächst gegen die somatologische Expertise des Dr. med. B._ vom 15. Februar 2006 und die darauf gestützten Erwägungen der Vorinstanz.
4.1 Geltend gemacht wird zusammenfassend, der Gutachter erwecke von Beginn weg den Eindruck, gegenüber der Versicherten voreingenommen zu sein. Er kenne sodann mit dem MRI der Halswirbelsäule (HWS) vom 15. März 2003 eines der wesentlichsten Aktenstücke nicht und zitiere mit dem Röntgenbild vom 17. August 2005 ein Aktenstück, welches gar nicht existiere. Er habe praktisch keine eigenen klinischen Untersuchungen vorgenommen und es insbesondere unterlassen, neuere Bilder der HWS und der Lendenwirbelsäule (LWS) zu erstellen, obwohl die angegebenen Beschwerden darauf hätten schliessen lassen, dass sich der Gesundheitszustand verschlechtert habe. Zudem seien die Folgerungen des Experten zur Arbeitsfähigkeit nicht schlüssig. Das kantonale Gericht habe, indem es trotz der unvollständigen Diagnosen und der ungeklärten Widersprüche zwischen den Folgerungen des Experten und den früheren Arztberichten auf das Gutachten abstellte, das Beweisergebnis willkürlich gewürdigt und seine Entscheidung auf willkürliche tatsächliche Annahmen gestützt. Dies gelte erst recht, wenn berücksichtigt werde, dass das kantonale Gericht seinen Entscheid gefällt habe, obwohl es Kenntnis vom neuesten MRI des Röntgeninstituts Y._ vom 21. Februar 2007 gehabt habe, mit welchem massive Verschlechterungen im Bereich der HWS bestätigt worden seien.
4.2 Das geltend gemachte neueste MRI datiert nach Darstellung in der Beschwerde erst vom 21. Februar 2007. Es wäre schon deshalb fraglich, ob es für den hier zu beurteilenden Zeitraum bis zum Einspracheentscheid vom 15. Dezember 2006 (vgl. E. 2 hievor) Relevantes auszusagen vermöchte. Das MRI wurde im Übrigen nicht aufgelegt. Es befindet sich entgegen der Darstellung in der Beschwerde auch nicht bei den Vorakten. Damit erübrigen sich Weiterungen dazu.
4.3 Näherer Betrachtung bedürfen hingegen die Einwände gegen das Gutachten des Dr. med. B._ vom 15. Februar 2006.
4.3.1 Der Experte ist in diagnostischer Hinsicht zum Ergebnis gelangt, es liege kein invalidisierendes Leiden aus dem rheumatologisch-orthopädischen bzw. somatischen Formenkreis vor; neuroradiologisch bestünden lumbal bescheidene, cervical fortgeschrittene degenerative Segmenterkrankungen. In der anschliessenden Beurteilung führt der Experte aus, es hätten sich keine Hinweise auf die Existenz einer Grundkrankheit mit sekundärer Schmerzerkrankung bestätigt. Den vorliegenden degenerativen Veränderungen lasse sich heute kaum zuverlässig eine funktionelle (krankmachende) Bedeutung am demonstrierten Geschehen beimessen. Art und Ausmass der Veränderungen an der LWS seien gängig und erreichten an der HWS deutlich über das Altersphysiologische hinausgehendes Ausmass. Letzteres könnte somit durchaus Anlass zu chronisch wiederkehrenden, aber nicht wie berichtet unkontrollierbar invalidisierenden Beschwerden sein. Zur Arbeitsfähigkeit äussert sich Dr. med. B._ dahingehend, dass sich eine Einschränkung in einer leichten bis mittelschweren (max. gelegentliche Hebelbelastung 10-15 kg), keine Zwangshaltung erforderlich machenden Tätigkeit nicht ableiten lasse.
4.3.2 Die gutachterlichen Ausführungen erscheinen in der Tat nicht durchwegs schlüssig. So wird einerseits den degenerativen Veränderungen kaum eine relevante Bedeutung beigemessen, während anderseits doch daraus resultierende wiederkehrende Beschwerden und auch Einschränkungen bei den zumutbaren Tätigkeiten bestätigt werden. Zumindest Verständnisfragen wirft unter anderem die Formulierung mit den "unkontrollierbar invalidisierenden Beschwerden" auf. Sodann trifft zu, dass die Folgerungen des Experten im Gutachten nur sehr kurz begründet werden. Auffallend ist zunächst, dass die durchgeführten klinischen Untersuchungen nur mit wenigen Sätzen in fast schon rudimentär anmutender Weise beschrieben werden, während die Feststellungen zum Aussage- und Schmerzverhalten der Explorandin mehrere Seiten beanspruchen. Der Gutachter setzt sich zudem kaum mit den medizinischen Vorakten auseinander. Insbesondere erwähnt er zwar den Bericht der Frau Dr. med. M._, Innere Medizin FMH, spez. Rheumatologie, vom 26. April 2004, worin ab 10. Juni 2003 eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigt worden war. Dr. med. B._ äussert sich aber nicht weiter zu diesem Bericht und führt auch nicht aus, weshalb die dortige Einschätzung der Arbeitsfähigkeit, welcher unter anderem ebenfalls degenerative Veränderungen an der HWS zugrunde lagen, nicht oder nicht mehr zutreffen solle. Hinzu kommt, dass der Experte bezüglich bildgebender Diagnostik zwar auf ein Röntgenbild der HWS vom 17. August 2005, welches fortgeschrittene Intervertebralraumverschmälerungen, Uncovertebralarthrosen, Osteochondrosen und Spondylosen C5/6 und C6/7 ergeben habe, sowie auf ein MRI der LWS vom 2. März 2005 und die daraus hervorgegangenen Veränderungen verweist. Er äussert sich im Gutachten aber nicht zu dem - ihm offensichtlich auch nicht vorgelegenen - Bericht vom 15. Mai 2003 über das durch den Hausarzt veranlasste MRI der HWS. Gemäss diesem Bericht wurden immerhin schwere degenerative Veränderungen festgestellt. Wenn der Experte sodann in der ergänzenden Stellungnahme vom 16. Oktober 2006 ausführt, er habe auf die aktuelleren, weil neueren Röntgenbilder abstellen wollen, überzeugt dies nicht, zumal eine MRI-Untersuchung durchaus weitergehende Erkenntnisse bringen kann als eine Röntgenabklärung. Es ist im Übrigen davon auszugehen, dass der Experte auch bei seiner ergänzenden Stellungnahme nicht über den MRI-Bericht vom 15. Mai 2003 verfügte. Umso mehr erstaunt, wenn er dessen Bedeutungsgehalt ohne Weiteres als vernachlässigenswert betrachtet. Alleine der Umstand, dass das MRI gut zwei Jahre vor der Röntgenuntersuchung durchgeführt wurde, rechtfertigt dies unter den hier gegebenen Umständen nicht. Zu erwähnen bleibt, dass sich Frau Dr. med. M._ am 8. August 2006 nochmals äusserte. Sie bestätigte erneut eine Arbeitsunfähigkeit von nunmehr 50 % und verwies dabei unter anderem auf mit MRI-Bericht vom 15. Mai 2003 bestätigte ausgeprägte Veränderungen der HWS. Dr. med. B._, dem diese fachärztliche Stellungnahme vorgelegt wurde, äusserte sich dazu in der Ergänzung vom 16. Oktober 2006 ausgesprochen kurz und wenig überzeugend. Insbesondere nahm er erneut nicht zum MRI-Bericht vom 15. Mai 2003 Stellung.
4.3.3 Die erwähnten Ungereimtheiten finden auch im vorinstanzlichen Entscheid keine überzeugende Erklärung. Das kantonale Gericht legt einzig dar, weshalb es die Aussagen der Frau Dr. med. M._ als weniger zuverlässig erachtet. Es äussert sich aber namentlich nicht zu den Vorbringen der Beschwerdeführerin betreffend den MRI-Bericht vom 15. Mai 2003 und die erhobene inhaltliche Kritik am Gutachten des Dr. med. B._. Der - ebenfalls bereits vorinstanzlich geltend gemachte - Einwand, das Röntgenbild vom 17. August 2005, auf welches sich Dr. med. B._ hauptsächlich stützt, befinde sich nicht bei den Akten und sei offensichtlich inexistent, wird im angefochtenen Entscheid nicht behandelt. Gleiches gilt für die - letztinstanzlich erneuerten - Vorbringen, wonach das Gutachten des Dr. med. B._ auch in Bezug auf die - allenfalls im Zusammenhang mit HWS- und LWS-Veränderungen zu sehenden - Beschwerden in Schultern und Beinen nicht überzeuge und auch die überdies geklagten gynäkologischen Beschwerden nicht erwähne.
4.4 Zusammenfassend bestehen bezüglich des Gutachtens des Dr. med. B._ erhebliche, nicht überzeugend ausgeräumte Ungereimtheiten. Diese gestatten nicht, die Expertise als Grundlage für die Beurteilung des somatischen Gesundheitszustandes und der daraus gegebenenfalls resultierenden Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zu betrachten. Indem das kantonale Gericht dies dennoch getan und die Notwendigkeit weiterer medizinischer Abklärungen verneint hat, verletzte es den Untersuchungsgrundsatz.
Es sind ergänzende Abklärungen zur Frage der somatisch bedingten Einschränkung der Arbeitsfähigkeit angezeigt. Die Sache wird hiefür und zur neuen Entscheidung über die Rentenfrage an die Verwaltung zurückgewiesen.
5. 5.1 In Bezug auf den psychischen Gesundheitszustand ist Dr. med. A._ im Gutachten vom 25. April 2006 zum Ergebnis gelangt, es liege eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung bei einfach strukturierter Persönlichkeit vor; längerfristig bestehe keine Arbeitsunfähigkeit. Gestützt auf diese Einschätzung, an welcher der Experte in der Ergänzung vom 26. August 2006 festhielt, hat das kantonale Gericht eine invalidisierende psychische Erkrankung verneint.
Die Beschwerdeführerin bestreitet den Beweiswert des Gutachtens und die darauf beruhende Folgerung der Vorinstanz. Sie macht unter Hinweis u.a. auf die Aussagen des behandelnden Psychiaters geltend, im massgeblichen Zeitraum nebst der somatoformen Schmerzstörung an einer erheblichen depressiven Störung mit psychotischen Störungen und an einer Anpassungsstörung gelitten zu haben. Das kantonale Gericht habe daher zu Unrecht eine invalidisierende psychische Erkrankung verneint. Dies zeigten retrospektiv auch die Hospitalisation in der Klinik S._ vom 21. Februar bis 4. April 2007 sowie der erneute Eintritt in diese Klinik am 17. Januar 2008 mit anschliessendem fürsorgerischem Freiheitsentzug. Weiter wird auf das im Bericht von Frau Dr. med. M._ vom 8. August 2006 diagnostizierte sekundäre Fibromyalgiesyndrom verwiesen.
5.2 Nach der Rechtsprechung begründet eine diagnostizierte anhaltende somatoforme Schmerzstörung als solche wie jede andere psychische Beeinträchtigung noch keine Invalidität. Vielmehr besteht eine Vermutung, dass die somatoforme Schmerzstörung oder ihre Folgen mit einer zumutbaren Willensanstrengung überwindbar sind. Bestimmte Umstände, welche die Schmerzbewältigung intensiv und konstant behindern, können den Wiedereinstieg in den Arbeitsprozess unzumutbar machen, weil die versicherte Person alsdann nicht über die für den Umgang mit den Schmerzen notwendigen Ressourcen verfügt. Ob ein solcher Ausnahmefall vorliegt, entscheidet sich im Einzelfall anhand verschiedener Kriterien (BGE 131 V 49; 130 V 352; vgl. sodann, auch zum Folgenden, Urteil 9C_830/2007 vom 29. Juli 2008 E. 4.2). Diese Grundsätze sind bei der Würdigung des invalidisierenden Charakters einer Fibromyalgie analog anzuwenden (BGE 132 V 65).
Zu den gegebenenfalls relevanten Kriterien zählt unter anderem das Vorliegen chronischer körperlicher Begleiterkrankungen (BGE 131 V 49 E. 1.2 S. 50; 130 V 352 E. 2.2.3 S. 355). Im vorliegenden Fall ist indessen gerade die Frage des somatischen Gesundheitszustandes nicht geklärt. Insofern wäre eine abschliessende Beurteilung der Frage, ob mit den diagnostizierten Leiden eine invalidisierende psychische Gesundheitsstörung vorliegt, bei der gegebenen Aktenlage verfrüht. Die IV-Stelle wird diesen Gesichtspunkt in ihre neue Entscheidung einzubeziehen haben.
6. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 18. März 2008 und der Einspracheentscheid der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 15. Dezember 2006 werden aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle des Kantons St. Gallen zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Rentenanspruch neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2500.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, der Ausgleichskasse der Schweizer Maschinenindustrie und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. November 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz