Nach Einsicht
in die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen den Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 21. Juni 2008 des Obergerichts des Kantons Zürich, das eine Nichtigkeitsbeschwerde des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für Fr. 4'775.-- (nebst Zins und Kosten) an die Beschwerdegegnerin abgewiesen hat, soweit es darauf eingetreten ist,
in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Entscheid des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss Art. 74 Abs. 2 BGG allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG sowie Art. 116 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG),
dass das Obergericht des Kantons Zürich erwog, der Beschwerdeführer habe keinen Kassationsgrund im Sinne von § 281 ZPO/ZH dargetan, die Rechtsöffnungsforderung beruhe auf einer vom Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden bestätigten Beitragsverfügung der Beschwerdegegnerin, die Abweisung von früheren Rechtsöffnungsbegehren hindere den Richter nicht an der Erteilung der Rechtsöffnung in einer späteren Betreibung, den (vom Beschwerdeführer durch Bestreitung der Körperschaftlichkeit der Beschwerdegegnerin bestrittenen) Bestand der Forderung habe der Rechtsöffnungsrichter nicht zu überprüfen, darüber sei im Übrigen bereits in früheren Gerichtsentscheiden stets zu Ungunsten des Beschwerdeführers entschieden worden, der von ihm erhobene weitere Einwand des Nichterhalts des verwaltungsgerichtlichen Urteils überzeuge nicht, auf seine Unmutsäusserungen gegenüber der Klägerin und anderen Personen sei nicht einzugehen,
dass zwar der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht Verfassungsrügen erhebt,
dass er jedoch nicht auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass er erst recht nicht anhand dieser Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen aufzeigt, inwiefern der Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 21. Juni 2008 des Obergerichts verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. Art 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (Art. 66 Abs. 1 BGG),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und der Abteilungspräsident zuständig ist,
erkennt der Präsident:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. August 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Füllemann