Sachverhalt:
A. Am 9. Mai 1996 wurde jemand vor einem Restaurant in Zürich erschossen.
Da die Täterschaft nicht ermittelt werden konnte, sistierte die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich mit Verfügung vom 8. September 1997 die Strafuntersuchung.
Im Herbst 2000 ging bei der Stadtpolizei Zürich ein Hinweis auf eine mögliche Täterschaft des serbischen Staatsangehörigen X._ ein. In der Folge wurde die Strafuntersuchung wieder aufgenommen und auf diesen ausgedehnt.
Mit Rechtshilfeersuchen vom 2. Februar 2001 bat die Bezirksanwaltschaft Zürich die zuständige Behörde der Bundesrepublik Jugoslawien, X._, der sich damals dort wegen eines anderen Tötungsdelikts in Untersuchungshaft befand, untersuchungsrichterlich zu befragen.
Am 1. Oktober 2001 sandte das Bundesamt für Justiz der Bezirksanwaltschaft das Protokoll der durch den jugoslawischen Untersuchungsrichter durchgeführten Befragung von X._ vom 9. Juli 2001 zu. Darin stelle dieser jede Beteiligung am in der Schweiz verübten Tötungsdelikt in Abrede.
Mit Rechtshilfeersuchen vom 16. September 2002 bat die damalige Bezirksanwaltschaft V für den Kanton Zürich die zuständige jugoslawische Behörde um die untersuchungsrichterliche Einvernahme eines Zeugen.
Am 23. Dezember 2002 sistierte die Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich das Verfahren bis zur Erledigung des Rechtshilfeersuchens vom 16. September 2002.
Am 25. Juli 2008 sowie am 16. Juni und 11. November 2009 veranlasste die Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich Nachforschungen zum Stand des Rechtshilfeersuchens und verlangte dessen Behandlung. Am 17. November 2009 teilte das Bundesamt für Justiz der Staatsanwaltschaft IV mit, die serbischen Behörden hätten in offensichtlicher Verkennung des Inhalts des Rechtshilfeersuchens dieses mitsamt Beilagen am 31. August 2009 X._ ausgehändigt.
Am 7. Juli 2010 ersuchte die Staatsanwaltschaft IV das Justizministerium der Republik Serbien um die Übernahme der Strafuntersuchung.
B. Mit Verfügung vom 10. Februar 2010 verweigerte die Staatsanwaltschaft IV dem Verteidiger von X._ die Einsicht in die Verfahrensakten.
Den von X._ dagegen erhobenen Rekurs wies die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich am 27. Mai 2010 ab, soweit sie darauf eintrat.
Die von X._ hiergegen eingereichte Beschwerde in Strafsachen hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 19. November 2010, soweit es darauf eintrat, teilweise gut (1B_222/2010). Es stellte fest, dass die kantonalen Strafverfolgungsbehörden das Beschleunigungsgebot verletzt hatten (E. 3).
C. Mit Schreiben vom 26. Januar 2011 beantragte der Verteidiger von X._ erneut Einsicht in die Verfahrensakten.
Am 2. Februar 2011 lehnte die Staatsanwaltschaft IV den Antrag ab. Mit Verfügung vom 16. Februar 2011 bestätigte sie ihre Rechtsauffassung.
Die von X._ hiergegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich (III. Strafkammer) mit Beschluss vom 17. Mai 2011 ab.
D. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben; die kantonale Strafverfolgungsbehörde sei zu verpflichten, dem Beschwerdeführer Auskunft über den aktuellen Stand des Rechtshilfeersuchens (gemeint: vom 7. Juli 2010) an die Serbischen Behörden zu erteilen; die kantonale Strafverfolgungsbehörde sei ferner zu verpflichten, bezüglich dieses Rechtshilfeersuchens aktiv zu sein.
E. Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich haben auf Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2 Die Vorinstanz hat kantonal letztinstanzlich entschieden. Die Beschwerde ist nach Art. 80 BGG zulässig.
1.3 Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a i.V.m. lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt.
1.4 Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid gemäss Art. 93 BGG. Nach Absatz 1 dieser Bestimmung ist gegen einen solchen Entscheid die Beschwerde zulässig: a) wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann; oder b) wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde.
Inwiefern diese Voraussetzung jeweils erfüllt ist, wird im Zusammenhang mit den einzelnen Rügen zu erörtern sein.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer bringt (Beschwerde S. 5 ff. Ziff. III/A) vor, er wolle Einsicht in die Akten betreffend das Rechtshilfeersuchen vom 7. Juli 2010, damit er prüfen könne, ob die kantonale Strafverfolgungsbehörde das Beschleunigungsgebot nicht erneut verletze. Die Verweigerung der Einsicht in diese Akten verstosse gegen Art. 107 f. StPO, Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer bringt (Beschwerde S. 5 ff. Ziff. III/A) vor, er wolle Einsicht in die Akten betreffend das Rechtshilfeersuchen vom 7. Juli 2010, damit er prüfen könne, ob die kantonale Strafverfolgungsbehörde das Beschleunigungsgebot nicht erneut verletze. Die Verweigerung der Einsicht in diese Akten verstosse gegen Art. 107 f. StPO, Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
2.2 2.2.1 Die Eintretensvoraussetzung nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG ist insoweit nicht gegeben, da mit der Gutheissung der Beschwerde kein Endentscheid herbeigeführt werden könnte.
2.2.2 Es stellt sich die Frage, ob die Eintretensvoraussetzung gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG erfüllt sei.
Ein im Sinne dieser Bestimmung nicht wieder gutzumachender Nachteil muss rechtlicher Natur und somit auch mit einem für den Beschwerdeführer günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behebbar sein. Es ist nicht nötig, dass sich der Nachteil schon im kantonalen Verfahren durch einen günstigen Endentscheid beheben lässt. Es reicht aus, wenn er in einem anschliessenden bundesgerichtlichen Verfahren beseitigt werden kann (BGE 136 IV 92 E. 4 S. 95; 134 III 188 E. 2.1 f. S. 190 f.; je mit Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung hat die Verweigerung der Akteneinsicht grundsätzlich keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur zur Folge. So verhält es sich - ausser wenn sich der Beschuldigte in Haft befindet - auch bei strafrechtlichen Entscheiden, welche die Akteneinsicht dem Beschuldigten oder seinem Verteidiger während der Strafuntersuchung verweigern oder beschränken, sofern die Akteneinsicht im weiteren Verlauf des Verfahrens ohne Einschränkung gewährt wird (BGE 1B_261/2011 vom 6. Juni 2011 E. 2; Urteile 1B_ 290/2010 vom 10. September 2010 E. 2; 2C_599/2007 vom 5. Dezember 2007 E. 2.2; je mit Hinweisen).
Im vorliegenden Fall hat die Vorinstanz die Akteneinsicht mit einer Doppelbegründung abgelehnt. Sie erwägt zunächst, es bestehe die Gefahr der Kollusion mit dem in Serbien noch zu befragenden Zeugen; bei diesem könne es sich um eines der wichtigsten Beweismittel handeln (angefochtener Entscheid S. 6 ff. E. 2-3.2). Sie führt sodann aus, der Beschwerdeführer sei flüchtig. Nach der Rechtsprechung (BGE 113 Ia 214) könne einem flüchtigen Angeschuldigten zumindest in der Anfangsphase der Untersuchung die Akteneinsicht verweigert werden. Bei der Frage, ob sich die Untersuchung in der Anfangsphase befinde, komme es nicht auf deren Dauer an, sondern auf deren Fortschritt. Die Verfahrensdauer stehe der Verweigerung der Akteneinsicht deshalb nicht entgegen (angefochtener Entscheid S. 8 ff. E. 3.3 f.).
Es ist somit davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer, wenn der Zeuge befragt sein wird und die Behörden des Beschwerdeführers überhaupt habhaft werden, Akteneinsicht erhalten wird. Weshalb mit dieser späteren Akteneinsicht ein allfälliger Nachteil, der dem Beschwerdeführer mit der jetzigen Verweigerung entsteht, nicht wieder gutgemacht werden können soll, ist nicht ohne Weiteres ersichtlich. Der Beschwerdeführer hätte dies daher nachvollziehbar darlegen müssen (BGE 136 IV 92 E. 4 S. 95 mit Hinweisen). Dies tut er nicht. Wie er ausführt, haben seine Nachforschungen in Serbien ergeben, dass dort kein Verfahren gegen ihn hängig ist, was darauf schliessen lasse, dass die kantonale Strafverfolgungsbehörde das Beschleunigungsgebot - nunmehr im Zusammenhang mit dem Ersuchen um Übernahme der Strafverfolgung vom 7. Juli 2010 - erneut verletzt habe. Der Beschwerdeführer konnte somit auch ohne Akteneinsicht eine Verletzung des Beschleunigungsgebots rügen (dazu unten E. 3).
Auf die Beschwerde kann daher im vorliegenden Punkt nicht eingetreten werden.
2.3 Verhielte es sich anders, würde das dem Beschwerdeführer im Übrigen nicht helfen. Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Gefahr der Kollusion mit dem in Serbien lebenden Zeugen annimmt. Bei diesem dürfte es sich um eines der wichtigsten Beweismittel handeln. Überdies geht es um eine vorsätzliche Tötung, gegebenenfalls Mord, und damit um ein schweres Verbrechen. Bei einem solchen besteht ein erhöhtes öffentliches Interesse an der Verhinderung von Kollusionshandlungen. Das Rechtshilfeersuchen vom 7. Juli 2010, in das der Beschwerdeführer Einsicht verlangt, enthält aber sensible Informationen in Bezug auf den Zeugen. Wenn die Vorinstanz die Akteneinsicht abgelehnt hat, verletzt das daher kein Bundesrecht. Gemäss Art. 101 Abs. 1 StPO hat die Partei vor der Erhebung der wichtigsten Beweise durch die Staatsanwaltschaft keinen Anspruch auf Akteneinsicht. Die Staatsanwaltschaft gewährt insoweit Akteneinsicht nach pflichtgemässem Ermessen. Besteht Kollusionsgefahr, darf sie die Akteneinsicht verweigern (vgl. FELIX BOMMER, Parteirechte der beschuldigten Person bei Beweiserhebungen in der Untersuchung, recht 2010 S. 206 f.; MARKUS SCHMUTZ, in: Basler Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2011, N. 18 zu Art. 101 StPO).
Ob die Alternativbegründung der Vorinstanz ebenfalls bundesrechtmässig sei, kann offen bleiben.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt (Beschwerde S. 11 ff. lit. B) eine Verletzung des Beschleunigungsgebots gemäss Art. 5 StPO, Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Ziff. 3 lit. c UNO-Pakt II.
3.2 Nach der Rechtsprechung muss insoweit das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht erfüllt sein (BGE 134 IV 43 E. 2.2 ff.; Urteil 1B_155/2008 vom 13. November 2008 E. 1; je mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist im vorliegenden Punkt somit einzutreten.
3.3 Der Beschwerdeführer hat eine Verletzung des Beschleunigungsgebots bereits vor der Vorinstanz ausdrücklich geltend gemacht (vorinstanzliche Akten 2 S. 6 f. Ziff. 7.1 f.).
Dazu hat die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid nicht Stellung genommen. Wie der Beschwerdeführer (Beschwerde S. 12 Ziff. 16) zutreffend vorbringt, liegt darin eine Verletzung der Begründungspflicht. Der Grundsatz des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die grundsätzliche Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen. Der Bürger soll wissen, warum die Behörde entgegen seinem Antrag entschieden hat. Die Begründung eines Entscheids muss deshalb so abgefasst sein, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Dies ist nur möglich, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite des Entscheids ein Bild machen können. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde leiten liess und auf welche sich ihr Entscheid stützt (BGE 136 I 229 E. 5.2 S. 236; 134 I 83 E. 4.1 S. 88; 133 I 270 E. 3.1 S. 277; je mit Hinweisen).
Die Vorinstanz hätte sich somit - wenn auch gegebenenfalls nur kurz - zur Rüge der Verletzung des Beschleunigungsgebots äussern müssen. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, dies als erste Instanz zu tun. Wie das Bundesgericht im Urteil vom 19. November 2010 erwogen hat, müssen sich - da seit der Tat lange Zeit verstrichen ist und in Berücksichtigung der von ihm festgestellten Verletzung des Beschleunigungsgebots - die schweizerischen Behörden umso nachdrücklicher um eine zeitgerechte Antwort der serbischen Behörden auf das Rechtshilfeersuchen vom 7. Juli 2010 bemühen (E. 3.7). Dazu, ob sich die schweizerischen Behörden an diese Vorgabe gehalten haben, wird sich die Vorinstanz auch äussern können, ohne dass sie sensible Informationen preisgibt, die Kollusionshandlungen des Beschwerdeführers begünstigen könnten.
3.4 Die Sache ist somit in teilweiser Gutheissung der Beschwerde an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie sich zur Rüge der Verletzung des Beschleunigungsgebots äussere.
4. Die Vorinstanz kann bei der Neubeurteilung zu einem abweichenden Entscheid kommen, was sich bei ihrer Kostenverlegung auswirkte. Es erübrigt sich deshalb von vornherein, zu den Vorbringen des Beschwerdeführers betreffend die Kostenregelung im angefochtenen Entscheid (Beschwerde S. 15 ff. lit. c) einzugehen und es kann dahingestellt bleiben, ob insoweit auf die Beschwerde überhaupt hätte eingetreten werden können.
5. Soweit der Beschwerdeführer unterliegt, war die Beschwerde aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach Art. 64 BGG kann daher insoweit nicht bewilligt werden. Der Beschwerdeführer trägt deshalb eine reduzierte Gerichtsgebühr (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Soweit der Beschwerdeführer obsiegt, trägt er keine Kosten und hat ihm der Kanton eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist insoweit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist, gutgeheissen, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 17. Mai 2011 aufgehoben und die Sache an dieses zurückgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. August 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri