Sachverhalt:
A. Der im Anwaltsregister des Kantons Luzern eingetragene Dr. X._ ist einziger einzelzeichnungsberechtigter Stiftungsrat der "Stiftung Y._". Die Stiftung publiziert die Internetseite www.y._.ch. Darin werden angebliche Fehlleistungen und Fehlurteile verschiedener Gerichte und Behörden von der ersten Instanz bis zum Bundesgericht und dem Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) als Beispiele für den "Missstand der Justiz in der Schweiz" wiedergegeben und kommentiert.
Die Aufsichtsbehörde über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Luzern disziplinierte X._ am 21. Juni 2008 mit einer Busse von Fr. 5'000.-- mit der Begründung, er übe auf der erwähnten Internetseite unsachliche Kritik an Behörden, Parteien, Anwaltskollegen und Richtern. Auf Beschwerde hin hob das Obergericht des Kantons Luzern diesen Entscheid am 27. Oktober 2008 wegen Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör auf und wies die Sache im Sinne der Erwägungen an die Aufsichtsbehörde zurück. Hierauf erliess diese am 14. Januar 2010 einen neuen Entscheid. Sie büsste X._ wegen Verletzung von Berufsregeln mit einer "Disziplinarstrafe" von Fr. 4'000.-- und verpflichtete ihn, dafür zu sorgen, dass "sämtliche Namen von angegriffenen Mitgliedern aus Verwaltung und Justiz" umgehend aus der erwähnten Internetseite entfernt werden. Das dagegen beim Obergericht erhobene Rechtsmittel blieb - abgesehen von der Feststellung der Verletzung des Beschleunigungsgebots durch die Aufsichtsbehörde - erfolglos.
B. Mit Beschwerde vom 27. August 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, die im Kanton zuletzt ergangenen Entscheide des Obergerichts vom 21. Juni 2010 und der Aufsichtsbehörde vom 14. Januar 2010 und damit die Disziplinarbusse sowie die ihm erteilte Weisung aufzuheben. Eventuell sei die "Strafe" wegen Verletzung des Beschleunigungsgebots "zu mildern". Auch sei die Sache eventuell zu neuem Entscheid an eine andere kantonale Gerichtsbehörde zurückzuweisen. Ausserdem sei in den Erwägungen festzustellen, dass zwei Bestimmungen (§ 10 Abs. 1 Satz 2 und § 13 Abs. 1 Satz 1) des Gesetzes des Kantons Luzern über das Anwaltspatent und die Parteivertretung vom 4. März 2002 (Luzerner Anwaltsgesetz; SRL 280) verfassungs- und gesetzwidrig seien. Im Übrigen stellt X._ diverse Verfahrensanträge, auf die in den Erwägungen eingegangen wird.
Das Obergericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Aufsichtskommission hat sich nicht geäussert. Auf Antrag von X._ wurde das Bundesamt für Justiz zur Vernehmlassung eingeladen. Dieses hat am 15. November 2010 eine Stellungnahme eingereicht, ohne einen Antrag zu stellen. Am 25. November 2010 hat sich X._ zu den Vernehmlassungen geäussert. Er hält an seinen Anträgen fest.
C. Mit Verfügung vom 5. Oktober 2010 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Mangels Ausschlussgrundes nach Art. 83 BGG ist gegen den angefochtenen Entscheid des Obergerichts vom 21. Juni 2010, bei dem es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid handelt (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG), die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten das richtige Rechtsmittel (vgl. Urteil des Bundesgerichts 2C_518/2009 vom 9. Februar 2010 E. 1.1). Wegen des Devolutiveffektes ist allerdings der Antrag unzulässig, auch den Entscheid der Aufsichtsbehörde vom 14. Januar 2010 aufzuheben (vgl. BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144).
1.2 Auf die Beschwerde bzw. Rügen ist nur einzutreten, soweit die Beschwerdeschrift hinreichend substanziiertes Vorbringen enthält. Blosse Kritik, mit welcher nicht aufgezeigt wird, inwiefern eine Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG gegeben sein soll, ist nicht zu hören. Grundsätzlich ist der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt massgebend. Will der Beschwerdeführer diese Feststellungen beanstanden, gelten strenge Rügeanforderungen. Es genügt nicht, dass er einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt behauptet. Vielmehr hat er darzulegen, inwiefern deren Feststellungen willkürlich bzw. durch Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG zustande gekommen sein sollen und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (dazu Art. 42 Abs. 2, 97 Abs. 1, 105 und 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4 S. 254 f.; 134 II 244 E. 2.1-2.3 S. 245 ff.; 135 III 145 E. 6 S. 153, 397 E. 1.4 S. 400 f.; 136 II 101 E. 3 S. 104 f.; ROGER GRÜNVOGEL, Das einzelrichterliche Verfahren nach Art. 108 BGG, AJP 2011 S. 70-72 mit weiteren Rechtsprechungshinweisen).
1.3 Auf den Antrag, die Verletzung des Beschleunigungsgebots durch die Aufsichtsbehörde im Urteilsdispositiv festzustellen, ist schon mangels formeller Beschwer nicht einzutreten, da bereits die Vorinstanz eine entsprechende Feststellung in ihrem Entscheiddispositiv getroffen hat (vgl. BGE 106 II 117 E. 1 S. 118 f.).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht sei keine unabhängige Rechtsmittelinstanz im Sinne von Art. 29a, 30 und 191b BV, Art. 86 Abs. 2 und 110 BGG sowie Art. 6 EMRK. Zum einen sei dieses gleichzeitig Wahlgremium der Aufsichtsbehörde und bezeichne ihren Vorsitzenden. Zum anderen nähmen Oberrichter Einsitz in der Aufsichtsbehörde, weshalb die Richterkollegen der Rechtsmittelinstanz nicht mehr unvoreingenommen urteilen könnten. Hinzu komme, dass auch ein Gerichtsschreiber des Obergerichts als Aktuar bei der Aufsichtsbehörde mitwirke und die Obergerichtskanzlei die Sekretariatsaufgaben für die Aufsichtsbehörde führe.
Das Obergericht weist diese Rügen unter Hinweis auf das Bundesgerichtsurteil 2A.98/2004 vom 7. Juli 2004 zurück. Bei diesem Urteil ging es um die Unabhängigkeit der Aufsichtsbehörde und nicht um diejenige der Rechtsmittelinstanz. Allerdings wird dabei Bezug genommen auf die Erwägung 1.2 des Urteils des Bundesgerichts 2A.295/2003 vom 3. Juni 2004. Im zuletzt genannten Entscheid hat das Bundesgericht bei einer vergleichbaren Konstellation wie vorliegend auf die Unabhängigkeit des Obergerichts des Kantons Zürich bzw. seiner Verwaltungskommission als Rechtsmittelinstanz geschlossen. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, das nahelegen würde, von dieser Rechtsprechung abzuweichen. Namentlich zeigt er nicht auf, inwieweit das zwischenzeitliche Inkrafttreten von Art. 86 Abs. 2 und 110 BGG sowie von Art. 29a BV daran etwas ändern soll. Das Obergericht ist denn auch eine obere richterliche Behörde im Sinne dieser Bestimmungen. Eine andere Beurteilung liegt auch nicht deshalb nahe, weil der Kanton Zürich seit dem 1. Januar 2005 das Verwaltungsgericht als Rechtsmittelinstanz vorsieht.
Nach dem Dargelegten genügt auch blosse Kollegialität der urteilenden Richter nicht, um zum Verlust der Unabhängigkeit der Rechtsmittelinstanz zu führen. Das gilt ebenso, wenn es sich bei den betroffenen Richtern auf beruflicher Ebene um sog. "Duzkollegen" handelt. Ohne Belang ist zudem, dass die Richter der Aufsichtsbehörde und der Vorinstanz teilweise Mitglieder der gleichen politischen Partei sind (vgl. Urteil des Bundesgerichts 2C_71/2010 vom 22. September 2010 E. 2.2 mit Hinweisen, in: StR 65/2010 S. 976 und StE 2010 A 25 Nr. 10). Im Übrigen ist es die Erste Kammer des Obergerichts, die sich mit Rechtsmitteln gegen Entscheide der Aufsichtsbehörde befasst. Die aus dem Obergericht stammenden Mitglieder der Aufsichtsbehörde, welche der Beschwerdeführer angegeben hat, gehören hingegen anderen Kammern an. Der Beschwerdeführer weist zwar darauf hin, dass Oberrichter angeblich in den Ausstand treten, wenn über eine disziplinarische Massnahme gegen ein (Ersatz-)Mitglied des Obergerichts zu befinden ist. Er verkennt jedoch, dass in diesem Fall - im Gegensatz zur vorliegenden Ausgangslage - über persönliche Belange eines Richterkollegen zu urteilen ist. Sofern nicht im Einzelfall zusätzliche Elemente hinzutreten, die objektiv nachvollziehbare Zweifel an der Unbefangenheit einzelner Mitglieder der Rechtsmittelbehörde aufkommen lassen, kann diese demnach grundsätzlich als unabhängige Gerichtsinstanz betrachtet werden. Demzufolge besteht auch kein Anlass, im Sinne des Beschwerdeführers festzustellen, dass § 13 Abs. 1 Satz 1 des kantonalen Anwaltsgesetzes, der das Obergericht als Rechtsmittelinstanz bestimmt, verfassungs- oder gesetzwidrig sei.
2.2 Der Beschwerdeführer erwähnt diverse Umstände, um eine Befangenheit der am vorinstanzlichen Entscheid mitwirkenden Oberrichter zu begründen, wobei er gleichzeitig oft auch eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend macht. Zunächst habe das Obergericht es toleriert, dass die Aufsichtsbehörde nicht über die bei ihr gestellten Ausstandsgesuche vom 9. Oktober 2009 befunden habe. Der Beschwerdeführer übersieht indes, dass sich die Aufsichtsbehörde mit den Ausstandsgesuchen befasst hatte (E. 5.4 des Entscheids vom 14. Januar 2010). Anschliessend hat sich auch das Obergericht dazu geäussert (E. 6 des Entscheids vom 21. Juni 2010). Wohl bezeichnet dieses einen Teil der Ausstandsgesuche als trölerisch und rechtsmissbräuchlich. Das ist entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers jedoch nicht zu beanstanden, da diese Gesuche gegen die gleichen Personen gerichtet waren und dieselbe Begründung enthielten wie frühere Gesuche, die im Rahmen des interessierenden Disziplinarverfahrens bereits rechtskräftig (vgl. Art. 92 BGG) abgewiesen worden waren. Daraus ergibt sich noch keine Befangenheit der vorinstanzlichen Richter.
Der Beschwerdeführer macht ausserdem geltend, dass innert kürzester Zeit, nachdem das Obergericht am 21. Juni 2010 seinen Entscheid getroffen hatte, die Homepage der Stiftung durch "Hacking" unzugänglich gemacht worden sei. Darin liege ein starkes Indiz, dass Obergericht und Aufsichtsbehörde dieses Vorgehen in Auftrag gegeben und sich damit parteiisch gezeigt hätten. Der Beschwerdeführer übersieht, dass es sich bei diesem Vorbringen - zumindest was die Unzugänglichmachung der Internetseite als solche anbetrifft - um ein echtes Novum handelt, auf welches das Bundesgericht nicht eintreten kann (vgl. BGE 133 IV 342 E. 2.1 S. 343 f.; 134 IV 97 E. 5.1.3 S. 103). Ausserdem handelt es sich bloss um eine Vermutung des Beschwerdeführers. Er hat namentlich nicht aufgezeigt, was für ein Interesse die an den Entscheiden der Vorinstanzen mitwirkenden Personen an einem derartigen Eingriff haben sollen. Vorliegend rechtfertigt es sich daher nicht, das bundesgerichtliche Verfahren in Befolgung des Gesuchs des Beschwerdeführers nach Art. 71 BGG i.V.m. Art. 6 BZP bis zum Vorliegen der Ergebnisse der Strafuntersuchung zu sistieren. Im Übrigen hatte dieser im disziplinarrechtlichen Verfahren bereits Rechtsverzögerung geltend gemacht und ist demnach selber an einer beförderlichen Behandlung interessiert.
Was die angeblich ungesetzliche Wahl eines pensionierten Oberrichters als Ersatzmitglied der Aufsichtsbehörde für die Periode 2004-2008 anbelangt, übersieht der Beschwerdeführer, dass dieser Umstand das Obergericht nicht davon abgehalten hatte, am 27. Oktober 2008 einen für ihn günstigen Entscheid zu treffen. Schon deshalb ist sein Vorbringen unbehelflich; ein adäquater Zusammenhang ist nicht ersichtlich. Zudem erweist es sich als verspätet (vgl. BGE 136 I 207 E. 3.4 S. 211 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer beruft sich auch darauf, dass das Obergericht auf eine schriftliche Erklärung der Aktuarin der Aufsichtsbehörde abgestellt habe, anstatt sie seinem Antrag entsprechend als Zeugin anzuhören. Die schriftliche Erklärung sei ihm nicht zur Kenntnis gebracht worden. Dadurch habe die Vorinstanz seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt und damit auch ihre Befangenheit offenbart. Der Beschwerdeführer geht indes nicht auf die seinem Verfahrensbevollmächtigten zugesandte Erklärung der Aufsichtsbehörde bzw. der Aktuarin vom 27. Februar 2009 ein, weshalb sein Einwand fehl geht. Da diese Rüge im Zusammenhang mit der Verjährungseinrede erhoben wird, ist ergänzend auf die Ausführungen in nachfolgenden Erwägungen 3.3 und 3.4 zu verweisen.
Der Beschwerdeführer macht noch weitere Umstände geltend, aus denen sich eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör durch die Vorinstanz ergeben soll (Nichtbefassung mit seinen Beschwerdepunkten zur Autorenschaft der Artikel auf der Internetseite sowie zur Rechtsmittelbelehrung der Aufsichtsbehörde mit einer zu kurzen Beschwerdefrist). Der Beschwerdeführer legt indes nicht hinreichend dar, warum das Obergericht auf diese Punkte hätte eingehen müssen und weshalb daraus Befangenheit der Vorinstanz in seinem Fall anzunehmen sein soll. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör und der daraus abzuleitenden Begründungspflicht ergibt sich bloss, dass eine Instanz die Tatsachen zu würdigen hat, welche für die zu treffenden Anordnungen entscheidend sind. Ihre Begründung kann sich dabei auf jene Gesichtspunkte beschränken, die von ihr willkürfrei als wesentlich betrachtet werden (vgl. BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88; 124 II 146 E. 2a S. 149 f.; 124 V 180 E. 2b S. 183; 117 Ib 64 E. 4 S. 86). Im Übrigen wäre selbst aus einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör nicht zwingend eine Befangenheit der am vorinstanzlichen Entscheid beteiligten Richter zu folgern (vgl. zur sog. Vorbefassung der Richter BGE 131 I 113 E. 3.6 S. 120; 116 Ia 28 E. 2a S. 30; Urteile des Bundesgerichts 2P.290/2006 vom 15. Mai 2007 E. 2.4 und 1B_270/2007 vom 21. Juli 2009).
Auch der Hinweis des Beschwerdeführers auf angebliche frühere "ungesetzliche" Entscheide des Obergerichts, mit welchen gegen ihn ergriffene Massnahmen der Aufsichtsbehörde geschützt worden waren, verfängt nicht. Er macht nicht geltend, diese Entscheide erfolgreich angefochten zu haben. Daher musste sich das Obergericht mit diesem Vorbringen auch nicht auseinandersetzen, ohne deswegen als befangen zu gelten.
2.3 Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht sei nicht richtig besetzt gewesen, weshalb Art. 30 BV verletzt sei. Der Präsident der zuständigen Kammer habe nicht am Entscheid teilgenommen und sei auch nicht durch die amtsälteste Richterin der Kammer ersetzt worden. Dadurch sei § 18 Abs. 1 der Geschäftsordnung für das Obergericht des Kantons Luzern vom 7. Dezember 1970 (SRL Nr. 266) verletzt worden.
Gemäss der erwähnten Bestimmung wird der Präsident einer Abteilung oder Kommission bei Verhinderung durch das amtsälteste, unter gleichzeitig gewählten durch das der Geburt nach älteste Mitglied vertreten. Die Vorinstanz erklärt, der Präsident der Kammer sei wegen den Arbeiten für die Umsetzung der neuen schweizerischen Prozessordnungen stark belastet gewesen und habe daher nicht sämtliche Fälle präsidieren können. Der an seiner Stelle als präsidierendes Mitglied amtierende Richter sei von den am Entscheid mitwirkenden drei Richtern der amtsälteste gewesen.
Die Anwendung kantonalen Gesetzesrechts beurteilt sich - soweit nach Art. 106 Abs. 2 BGG eine entsprechende Rüge überhaupt erhoben worden ist - lediglich unter dem eingeschränkten Blickwinkel der Willkür (Art. 9 BV; dazu BGE 135 V 2 E. 1.3 S. 4 f. mit Hinweisen). Dagegen ist im Rahmen der substanziiert erhobenen Rügen frei zu prüfen, ob die - allenfalls als vertretbar erkannte - Auslegung kantonaler Vorschriften mit der in Art. 30 Abs. 1 BV gewährleisteten Garantie eines durch Gesetz geschaffenen, zuständigen Gerichts vereinbar ist (vgl. BGE 135 V 124 E. 3.1 S. 127 f. mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat nicht dargetan, dass die von der Vorinstanz vorgenommene Auslegung von § 18 Abs. 1 ihrer Geschäftsordnung willkürlich wäre.
Es fragt sich deshalb bloss, ob das Vorgehen des Obergerichts mit der Garantie des gesetzlichen Richters nach Art. 30 BV vereinbar ist. Das ist zu bejahen (vgl. auch BGE 105 Ia 172 E. 5b S. 179 f.). Das gewählte Vorgehen gewährleistet, dass nur Richter der Ersten Kammer des Obergerichts zum Einsatz kommen (vgl. § 4 lit. f der Geschäftsordnung). Der verhinderte Präsident wurde - entsprechend der Interpretation von § 18 der Geschäftsordnung durch die Vorinstanz - durch den amtsältesten Richter und nicht durch ein beliebiges anderes Mitglied des dreiköpfigen Entscheidgremiums ersetzt. Es ist schliesslich nicht ersichtlich, dass mit der Besetzung des Spruchkörpers Einfluss auf den Ausgang des Verfahrens genommen werden sollte. Das präsidierende Mitglied war bereits am ersten Entscheid vom 27. Oktober 2008 beteiligt und der Beschwerdeführer hat gegen seine Person keine persönlichen Ablehnungsgründe geltend gemacht. Eine der drei Richterpersonen soll zwar gemäss Angaben des Beschwerdeführers "Parteifreundin und Duzkollegin" von zwei Mitgliedern der Aufsichtsbehörde sein. Das genügt indes nicht, um bereits von einer verpönten Einflussnahme auszugehen (s. auch E. 2.1 hievor). Zur dritten Richterin bringt der Beschwerdeführer - auch mit Blick auf die Ausführungen in vorstehenden Erwägungen 2.1 und 2.2 - ebenso wenig gültige Ausstandsmotive vor. Im Übrigen hatte er anlässlich der mündlichen Verhandlung vom 21. Juni 2010 gegen die drei ihm und seinem Verfahrensbevollmächtigten bekannten Richter des Entscheidgremiums keine persönlichen Ablehnungsgründe geltend gemacht, obwohl diese nach Treu und Glauben unverzüglich anzubringen gewesen wären (vgl. BGE 136 I 207 E. 3.4 S. 211 mit Hinweisen). Dem Dargelegten zufolge geht denn auch die weitere Rüge des Beschwerdeführers fehl, ihm sei die Zusammensetzung der urteilenden Kammer, welche teilweise von derjenigen abwich, die in der gleichen Sache am Rückweisungsentscheid vom 27. Oktober 2008 teilgenommen hatte, nicht vor der betreffenden Sitzung angezeigt worden.
3. 3.1 Der Auffassung des Beschwerdeführers zufolge ist die disziplinarische Ahndung der ihm vorgeworfenen Berufspflichtverletzung gemäss Art. 19 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) verjährt. Die Vorinstanz sei in Rechtsverweigerung verfallen und habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie sich mit seinen diesbezüglichen Ausführungen nicht befasst habe.
3.2 Gemäss der erwähnten Bestimmung verjährt die disziplinarische Verfolgung ein Jahr, nachdem die Aufsichtsbehörde "vom beanstandeten Vorfall Kenntnis hatte" (frz.: "a eu connaissance des faits incriminés"; ital: "è venuta a conoscenza dei fatti contestati"). Diese Frist wird durch jede Untersuchungshandlung der Aufsichtsbehörde unterbrochen (Art. 19 Abs. 2 BGFA).
3.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, für den Beginn der Verjährungsfrist sei das Datum der Anzeige massgebend. Hierfür führt er den 20. Mai 2005 an. An diesem Datum habe er sich an der Generalversammlung des Luzerner Anwaltsverbandes in Anwesenheit der Präsidentin und des Vizepräsidenten der Aufsichtsbehörde selbst angezeigt. Auch erwähnt er eine Anzeige eines anderen Anwalts vom 30. Januar 2006 sowie eine weitere Anzeige eines Amtsrichters. Die Aktuarin der Aufsichtsbehörde sowie der erwähnte Amtsrichter seien trotz seiner entsprechenden Beweisanträge zu Unrecht nicht als Zeugen zum Zeitpunkt der Anzeige einvernommen worden.
Zwar spricht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht von einer "Selbstanzeige", die er am 20. Mai 2005 vorgenommen habe. Es lässt sich jedoch weder aus den vorinstanzlichen Entscheiden noch aus seinem Vorbringen vor Bundesgericht entnehmen, dass und inwiefern er die Aufsichtsbehörde damals darauf hingewiesen hatte, möglicherweise gegen Berufsregeln zu verstossen. Dass er anlässlich der Generalversammlung des Anwaltsverbandes ankündigte, es würden bald "einige bedenkliche Justizgeschichten" auf einer Internetseite nachzulesen sein, stellt keine hinreichende Selbstanzeige dar, welche den Lauf der Verjährungsfrist auszulösen vermag. In Bezug auf die Eingabe eines anderen Anwalts bleibt der Beschwerdeführer unbestimmt und befasst sich vor Bundesgericht trotz seiner Begründungspflicht nach Art. 42 Abs. 2 BGG nicht mit den Ausführungen der Vorinstanzen. Deshalb ist hierauf nicht weiter einzugehen.
Zu prüfen bleibt der Hinweis des Amtsrichters auf die interessierende Internetseite. Die Vorinstanz geht in nachvollziehbarer Weise davon aus, dass die Aufsichtsbehörde nicht vor dem 15. November 2006 von den beanstandeten Passagen auf der Internetseite der Stiftung Kenntnis genommen hatte. Der alleinige Hinweis auf die Internetseite bzw. Homepage, den der Amtsrichter oder eine Drittperson zu einem früheren Zeitpunkt gegeben haben mag, könne nicht mit der tatsächlichen Kenntnisnahme vom beanstandeten Vorfall bzw. Inhalt der Internetseite gleichgesetzt werden. Diese Erwägung ist entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers zutreffend. Entscheidend ist, wann die Aufsichtsbehörde tatsächlich vom inkriminierten Verhalten erfahren hat. Der blosse Hinweis auf die Adresse einer Internetseite, die möglicherweise zu beanstandende Elemente enthält, löst den Lauf der relativen Verjährungsfrist nach Art. 19 Abs. 1 BGFA nicht aus, wenn die Aufsichtsbehörde erst anhand zusätzlicher Vorkehren erkennen kann, ob ein Verstoss gegen Berufsregeln überhaupt in Betracht kommt. Der Beschwerdeführer will zwar darauf abstellen, wann die Aufsichtsbehörde nach einem Hinweis hätte Kenntnis nehmen können oder "müssen". Es ist jedoch kein Grund ersichtlich, in Abweichung vom klaren Wortlaut des Art. 19 Abs. 1 BGFA von einem früheren Zeitpunkt auszugehen als demjenigen, an dem die Aufsichtsbehörde tatsächlich Kenntnis vom beanstandeten Vorfall erlangt hat. Zum Schutz des Anwalts, der eine Verfehlung begangen hat, gilt die unabhängig von der Kenntnis der Aufsichtsbehörde laufende absolute Verjährungsfrist des Art. 19 Abs. 3 und 4 BGFA von zehn Jahren. Diese ist hier noch nicht verstrichen.
Demnach spielt keine Rolle, wann der Amtsrichter oder andere Personen die Aufsichtsbehörde auf die erwähnte Internetseite aufmerksam gemacht hatten. Deshalb konnten die Vorinstanzen darauf verzichten, hiezu den Amtsrichter und die Aktuarin zu vernehmen.
3.4 Im Übrigen hielt das beanstandete Verhalten am 15. November 2006, als die Aufsichtsbehörde die Kontrolle vornahm, weiter an, da die entsprechenden Passagen noch immer auf der betreffenden Internetseite aufgeschaltet waren. Wie bereits die Aufsichtsbehörde angetönt hat, greift die Verjährungseinrede nach Art. 19 Abs. 1 BGFA wegen einer etwaigen früheren Kenntnisnahme insoweit nicht. Für das am 15. November 2006 festgestellte Verhalten kommt ein Beginn der Verjährung erst ab diesem Tag in Betracht (vgl. im Strafrecht bei sog. Dauerdelikten Art. 98 lit. c StGB und BGE 132 IV 49 E. 3.1.2 S. 55 f.; im Zivilrecht Urteil 4A_559/2008 vom 12. März 2009 E. 4.3.2). Mithin ist es auch aus diesem Grund unerheblich, wann der Aufsichtsbehörde zuvor Anzeige erstattet worden ist. Die diversen in diesem Zusammenhang erhobenen Rügen des Beschwerdeführers gehen daher fehl.
3.5 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Verjährung sei zumindest später mangels geeigneter Unterbrechungshandlungen eingetreten. Weder der Rückweisungsentscheid des Obergerichts vom 27. Oktober 2008 noch die Mitteilung der neuen Zusammensetzung der Aufsichtsbehörde am 28. September 2009 seien Untersuchungshandlungen im Sinne von Art. 19 Abs. 2 BGFA. Wie es sich damit verhält, kann offen gelassen werden. Das Obergericht verweist auch auf eine verfahrensleitende Verfügung der Aufsichtsbehörde vom 27. Februar 2009 hin, welche die Verjährung nach ihrem ersten Entscheid vom 21. Juni 2008 und bis zu ihrem neuen Entscheid vom 14. Januar 2010 unterbrochen hätte. Damit befasst sich der Beschwerdeführer nicht, weshalb sich seine diesbezügliche Rüge als unbehelflich erweist, soweit auf sie mit Blick auf Art. 42 Abs. 2 BGG überhaupt einzutreten ist.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer rügt ausserdem eine "Fehlanwendung" von Art. 12 lit. a BGFA. Er macht sinngemäss geltend, die interessierende Internetseite habe nichts mit seiner Anwaltstätigkeit zu tun. Er könne insbesondere nicht für "angeblich zu angriffig-kritische" Artikel, welche zudem teilweise von anderen Personen geschrieben worden seien, disziplinarrechtlich verantwortlich gemacht werden.
4.2 Gemäss der Berufsregel des Art. 12 lit. a BGFA üben Anwälte ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft aus. Die Vorinstanz wirft dem Beschwerdeführer vor, dass er bei der Darstellung eigener Fälle auf der Internetseite den Eindruck der persönlichen Abrechnung erwecke. Angebliche "Fehlurteile", bei denen der namentlich erwähnte Beschwerdeführer als Anwalt eine Partei vertreten habe oder selber involviert gewesen sei, nähmen prominenten Raum ein. Die Zielsetzung, sich selbst als "Justizopfer" darzustellen, sei offensichtlich. Der Beschwerdeführer werfe den Behörden "Lüge", "Filz", "Verarschung" und "Geheimjustiz" vor und klassiere dabei ohne nachvollziehbare, sachliche Auseinandersetzung Gerichtsentscheide, die nicht seinem Standpunkt folgen, als "Falschurteile". Seine eigene Meinung erkläre er ohne weitere Begründung zur allein Massgeblichen und disqualifiziere gleichzeitig Behördenmitglieder in beleidigender Form. Die Beiträge auf der Internetseite seien geeignet, das Vertrauen in die Verwaltung und Rechtspflege zu untergraben. Mit dieser Haltung des Beschwerdeführers sei die Funktion des Anwalts, die Interessen seiner Klienten in einem geordneten Rechtsprechungssystem wirkungsvoll zu vertreten, gegenüber dem rechtsuchenden Publikum nicht sichergestellt. Die beanstandeten Passagen wiesen einen klaren Bezug zu seiner Berufsausübung als Anwalt auf.
4.3 Der Beschwerdeführer äussert sich nicht näher zu dem ihm vorgeworfenen Verhalten. Insoweit begnügt er sich mit der schlichten Bemerkung, seine Kritik sei nicht unsachlich, sondern "wahr". Das genügt jedoch nicht, um die gegen ihn erhobenen Vorwürfe als unzutreffend zu qualifizieren und die entsprechenden Sachverhaltsfeststellungen sowie Schlüsse zu rügen. Deshalb ist davon auszugehen, dass die Feststellungen der Vorinstanzen zum interessierenden Verhalten des Beschwerdeführers zutreffen (s. auch Art. 105 BGG und E. 1.2 hievor). Dem Dargelegten zufolge besteht denn auch kein Zweifel, dass dem Beschwerdeführer die Verletzung der Berufsregel nach Art. 12 lit. a BGFA vorgeworfen werden kann (vgl. Urteile des Bundesgerichts 2A.151/2003 vom 31. Juli 2003 E. 2.2, in: SJ 2003 I S. 572; 2A.368/2005 vom 12. Oktober 2005 E. 2 und 2A.499/2006 vom 11. Juni 2007 E. 2.1; BOHNET/MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, Rz. 1249-1279; MICHEL VALTICOS, Commentaire Romand de la Loi sur les avocats, 2010, N. 42-50 zu Art. 12 BGFA; WALTER FELLMANN, Anwaltsrecht, 2010, Rz. 230-237; weniger strikt ist wohl KASPAR SCHILLER, Schweizerisches Anwaltsrecht, 2009, S. 384 ff. Rz. 1555 ff.).
Wie die Vorinstanz richtig bemerkt, ist auch ein hinreichender Bezug zu seiner Stellung als Anwalt gegeben. Er kann sich insbesondere nicht hinter seiner Rolle als Privatmann oder als Stiftungsrat der Stiftung Y._ verbergen. Denn entgegen seiner Behauptung geht es bei den beanstandeten Beiträgen auf der Internetseite nicht um eine von seiner anwaltlichen Tätigkeit losgelöste Aktivität. Namentlich hat er die erwähnte Internetseite dazu benutzt, seine Meinung zu bestimmten Gerichtsverfahren, an denen er als Anwalt beteiligt war, zu äussern. Dabei hat er mit den Gerichten, Behörden und ihren Mitgliedern in unsachlicher bzw. beleidigender Weise abgerechnet, soweit ihm nicht Recht gegeben worden war.
Der Hinweis des Beschwerdeführers auf BGE 130 II 270 und einen weiteren Bundesgerichtsentscheid vom 22. Mai 2008 (2C_344/2007) ändert nichts an dieser Beurteilung. Im erstgenannten Fall war nicht das Inkasso des Anwalts von den für die Anwaltstätigkeit geltenden Berufsregeln ausgenommen, sondern lediglich eine entsprechende Verletzung im konkreten Fall verneint worden. Im zweiten Urteil hatte das Bundesgericht keineswegs erklärt, dass ein Anwalt nur, soweit er im Auftragsverhältnis zu einem Mandanten tätig ist, den Berufsregeln unterliege (s. zudem erwähntes Urteil 2A.151/2003 E. 2.2). Ebenso wenig hat der EGMR in dem vom Beschwerdeführer zitierten Urteil Foglia gegen Schweiz vom 13. Dezember 2007 erklärt, Art. 12 lit. a BGFA bilde keine Rechtsgrundlage für die Disziplinierung wegen "ungehöriger Kritik". Er hat bloss ausgeführt, dass das dem Anwalt damals vorgeworfene Verhalten keine Disziplinierung rechtfertigte. Eine vergleichbare Situation ist hier jedoch nicht gegeben. Dem Dargelegten zufolge gehen auch die - soweit überhaupt hinreichend substanziierten - Rügen der Verletzung der persönlichen Freiheit, der Meinungsäusserungs-, Medien- und Wirtschaftsfreiheit fehl.
5. Der Beschwerdeführer beantragt eine Reduzierung der Busse. Die Bestimmung von Art und Mass der zu ergreifenden Disziplinarsanktion ist vorab Sache der zuständigen Aufsichtsbehörde. Das Bundesgericht auferlegt sich Zurückhaltung, wenn es um die anzuordnende Massnahme geht. Insoweit greift es nur ein, wenn die angefochtene Sanktion den Rahmen des pflichtgemässen Ermessens sprengt und damit als klar unverhältnismässig und geradezu willkürlich erscheint (vgl. Urteile des Bundesgerichts 2A.499/2006 vom 11. Juni 2007 E. 5.1; 2A.177/ 2005 vom 24. Februar 2006 E. 4.1, in: ZBGR 88/2007 S. 356). Abgesehen vom Hinweis auf die Verletzung des Beschleunigungsgebots macht der Beschwerdeführer hiezu keine detaillierten Ausführungen (s. E. 1.2 hievor). Selbst wenn berücksichtigt wird, dass die Aufsichtsbehörde nach dem Ergehen des Rückweisungsentscheids des Obergerichts vom 27. Oktober 2008 das Beschleunigungsgebot verletzt hatte, erweist sich die Busse von Fr. 4'000.-- angesichts des beanstandeten Verhaltens des Beschwerdeführers nicht als klar unverhältnismässig.
6. 6.1 Der Beschwerdeführer rügt auch, die Aufsichtsbehörde sei nicht kompetent, ihm die Weisung zur Entfernung von Namen aus der interessierenden Internetseite gestützt auf § 10 des Luzerner Anwaltsgesetzes zu erteilen. Zum einen gehe es dabei um Zivilrecht. Die Gesetzgebung auf diesem Gebiet sei gemäss Art. 122 Abs. 1 BV Sache des Bundes. Zum anderen regle das eidgenössische Anwaltsgesetz das Disziplinarrecht und die Berufspflichten abschliessend, weshalb ebenfalls ein Verstoss gegen Art. 49 Abs. 1 BV gegeben sei.
Der Beschwerdeführer übersieht indes, dass es vorliegend nicht um die Beseitigung einer Persönlichkeitsverletzung nach Art. 28a Abs. 1 Ziff. 2 ZGB geht, sondern - wie erwähnt - um das öffentliche Interesse an der Wahrung des Vertrauens in die Verwaltung und Rechtspflege. Zweck der Weisung ist somit nicht der Schutz des Persönlichkeitsrechts von Privatpersonen im Sinne von Art. 28 f. ZGB. Mithin sind nicht zivilrechtliche Verhältnisse betroffen.
Das eidgenössische Anwaltsgesetz regelt das Disziplinarrecht über die Anwälte abschliessend. Das kantonale Recht darf der Aufsichtsbehörde jedoch zusätzliche Aufsichtsmittel zur Verfügung stellen (vgl. BGE 132 II 250 E. 4.3.1 S. 254; 129 II 297 E. 1.1 S. 299 mit Hinweis). Sinn der vorliegenden Weisung ist es im Gegensatz zu den in Art. 17 BGFA vorgesehenen Massnahmen nicht, den Beschwerdeführer zu disziplinieren. Vielmehr geht es bloss um die Wiederherstellung eines rechtskonformen Zustands. Die Weisung erweist sich auch nicht als zusätzliche Berufsregel. Deshalb steht das eidgenössische Anwaltsgesetz der auf § 10 des Luzerner Anwaltsgesetzes gestützten Weisung nicht entgegen, zumal die Kantone eine entsprechende Regelungskompetenz haben (s. THOMAS POLEDNA, in Fellmann/Sidler [Hrsg.], Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2005, N. 9 zu Art. 14 BGFA; A. BAUER/PH. BAUER, Commentaire Romand de la Loi sur les avocats, 2010, N. 11 zu Art. 14 BGFA; allg. zur kantonalen Regelungskompetenz: WALTER FELLMANN, Anwaltsrecht, 2010, Rz. 60 ff. und 661 ff.). Mithin besteht auch kein Anlass, eine Verfassungs- oder Gesetzwidrigkeit der erwähnten kantonalen Bestimmung festzustellen. Keine Rolle spielt, dass die Namensstreichung als solche keine typische anwaltliche Tätigkeit darstellt. Mit Blick auf die unsachliche Darstellung auf der Internetseite (s. E. 4 hievor) stellt die Weisung an sich auch keine unerlaubte Zensur im Sinne von Art. 17 Abs. 2 BV dar und ist in diesem Sinne ebenso wenig unverhältnismässig.
6.2 Der Beschwerdeführer macht allerdings geltend, die Weisung sei unsubstanziiert. Es sei nicht klar, welche Namen gemäss der Weisung zu löschen seien. Die Vorinstanz ist der Meinung, diese Rüge gehe fehl. Zur Begründung führt sie bloss aus, es seien "sämtliche" Namen der "angegriffenen" Mitglieder aus Verwaltung und Justiz zu entfernen.
Entgegen der Auffassung des Obergerichts ist weder aus der Weisung als solcher noch aus den Ausführungen der Vorinstanzen hiezu genügend klar zu entnehmen, welche Namen bzw. Passagen gelöscht werden sollen. Nach dem Wortlaut des Dispositivs des Entscheids der Aufsichtskommission wären auch die Namen von Personen zu entfernen, in Bezug auf welche bloss eine sachliche Kritik geäussert wurde. Denn insoweit sind auch sie als "angegriffen" zu bezeichnen. Das liefe aber darauf hinaus, dass sachliche Kritik ebenfalls eingeschränkt würde, was namentlich mit Blick auf die Meinungsäusserungsfreiheit unzulässig wäre. Die Weisung geht mithin zu weit oder ist zumindest nicht hinreichend bestimmt. Daher ist die Weisung - wie ein Urteilsdispositiv, mit dem etwa in Bezug auf eine Persönlichkeitsrechtsverletzung eine Unterlassung oder Beseitigung im Sinne von Art. 28a ZGB verlangt wird - deutlicher zu formulieren (vgl. BGE 97 II 92 S. 93; 131 III 70 E. 3.3 S. 73 f.; Urteil 4A_106/2009 vom 1. Oktober 2009 E. 11.3, nicht publiziert in BGE 136 III 23; je mit Hinweisen; CHRISTIAN KÖLZ, Die Zwangsvollstreckung von Unterlassungspflichten im schweizerischen Zivilprozessrecht, 2007, S. 15 ff. Rz. 22 ff.; Andreas Bucher, Natürliche Personen und Persönlichkeitsschutz, 4. Aufl. 2009, S. 126 f. Rz. 556 und 559; PAUL OBERHAMMER, Basler Kommentar ZPO, 2010, N. 2 f. zu Art. 84 ZPO). Es muss klar festgelegt werden, welche Namen bzw. Passagen zu entfernen sind. In diesem Punkt ist die Beschwerde gutzuheissen und die Angelegenheit an die Vorinstanz zwecks Präzisierung der Weisung im Sinne der Erwägungen zurückzuweisen.
7. Entgegen den Anträgen des Beschwerdeführers besteht nach dem Dargelegten keine Veranlassung, in Fünferbesetzung zu entscheiden (vgl. Art. 20 Abs. 2 BGG) und die Zustimmung der Vereinigung aller Abteilungen des Bundesgerichts einzuholen (vgl. Art. 23 Abs. 2 BGG). Ebenso wenig ist eine öffentliche Beratung durchzuführen. Das Bundesgericht berät seine Entscheide nur in den vom Gesetz vorgesehenen, vorliegend nicht zutreffenden Fällen - und nicht auf entsprechenden Parteiantrag hin - mündlich bzw. öffentlich (Art. 58 f. BGG; Urteil 2C_844/2009 vom 22. November 2010 E. 3.2.3 mit Hinweisen).
8. Die Beschwerde erweist sich in Bezug auf die Weisung zur Entfernung von Namen als teilweise begründet (s. E. 6.2 hievor). Im Übrigen ist sie unbegründet und damit abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Diesem Ausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer gemäss Art. 65 f. BGG die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens anteilsmässig zu tragen, während dem Kanton Luzern nach Art. 66 Abs. 4 BGG keine Gerichtskosten auferlegt werden dürfen. Dem Beschwerdeführer ist ausserdem eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. Art. 68 BGG). Über die Kosten und Parteientschädigungen in den vorinstanzlichen Verfahren wird das Obergericht neu zu befinden haben (vgl. Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Bezug auf die Weisung zur Entfernung von Namen wird die Beschwerde teilweise gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern vom 21. Juni 2010 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen - auch zu den Kosten und Parteientschädigungen im kantonalen Verfahren - an das Obergericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- hat der Beschwerdeführer zu tragen.
3. Der Kanton Luzern hat dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer, und dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Mai 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Merz