Faits:
A. K._ a obtenu un diplôme de médecin-dentiste à l'Université X._ en 1974, puis elle a travaillé à 60 % en qualité de médecin-dentiste à la Clinique dentaire X._, au service de Y._. A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accident auprès de la Compagnie d'Assurances Nationale Suisse SA (ci-après: la Nationale).
A la suite d'un accident de la circulation survenu le 6 février 1984, elle a été mise au bénéfice d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux d'atteinte de 15 % (décision du 9 juin 1988), ainsi que d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 20 % à partir du 1er janvier 1988 (décision du 13 février 1995).
Le 21 avril 1998, l'assurée a subi une entorse au poignet gauche en voulant mettre en marche une tondeuse à gazon. Les médecins consultés ont attesté une incapacité de travail dès cette date et la Nationale a pris en charge le cas. Le 6 octobre 1999, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève a informé l'assureur- accidents que l'assurée avait été mise au bénéfice d'une rente entière.
Après avoir confié des expertises aux docteurs O._, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapport du 15 février 1999) et A._, spécialiste en chirurgie plastique et reconstructive (rapport du 28 décembre 2001), la Nationale a rendu une décision, le 9 janvier 2004, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assurée à l'indemnité journalière depuis le 1er mars 2003, lui a alloué dès cette date une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 50 % et nié le droit de l'intéressée à une indemnité pour atteinte à l'intégrité pour les suites de l'accident du 21 avril 1998.
Saisie d'une opposition, la Nationale l'a rejetée par décision du 23 juillet 2010.
B. L'assurée a recouru contre cette décision sur opposition, dont elle demandait l'annulation, devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (depuis le 1er janvier 2011: la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève), en concluant à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 100 % et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux d'au moins 30 %, ainsi qu'au paiement d'un intérêt compensatoire de 5 % sur les prestations dues.
Par jugement du 22 mars 2011, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours et annulé les décisions des 9 janvier 2004 et 23 juillet 2010 en tant qu'elles portent sur le taux d'invalidité. Elle a reconnu le droit de l'assurée à une "rente entière" d'invalidité à partir du 1er mars 2003, avec intérêt à 5 % l'an dès le 1er mars 2005 à compter du jour où chaque prestation aurait dû être versée, ainsi que son droit à un intérêt de 5 % sur les indemnités journalières dues selon la décision du 9 janvier 2004 à compter du jour où ces prestations auraient dû être versées. En outre, elle a renvoyé la cause à l'assureur-accidents pour calcul des prestations dues.
C. La Nationale interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement dont elle requiert l'annulation. Elle demande au Tribunal fédéral de constater que l'intimée n'a pas droit, à compter du 1er mars 2003, à une rente fondée sur un taux d'incapacité de gain supérieur à 50 %, ni à des intérêts sur les arriérés de sa rente d'invalidité, en tous les cas pas à compter du 1er mars 2005. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut à la confirmation du jugement attaqué, sous suite de frais et dépens.
La juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1.1 1.1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
1.1.2 Dans son jugement, le tribunal cantonal a reconnu le droit de l'assurée à une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 100 % depuis le 1er mars 2003 et il a renvoyé la cause à l'assureur pour qu'il en fixe le montant. D'un point de vue purement formel, il s'agit donc d'une décision de renvoi, soit une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Aussi, le recours n'est-il admissible qu'aux conditions posées à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF.
1.1.2 Dans son jugement, le tribunal cantonal a reconnu le droit de l'assurée à une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 100 % depuis le 1er mars 2003 et il a renvoyé la cause à l'assureur pour qu'il en fixe le montant. D'un point de vue purement formel, il s'agit donc d'une décision de renvoi, soit une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Aussi, le recours n'est-il admissible qu'aux conditions posées à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF.
1.2 1.2.1 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF s'entend du dommage qui ne peut pas être réparé ultérieurement, notamment par la décision finale.
Selon la jurisprudence, conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, dans la mesure où elles ne sont pas immédiatement données, la partie recourante doit exposer en quoi les conditions de recevabilité sont réunies. Il lui appartient notamment d'alléguer et d'établir la possibilité qu'une décision incidente lui cause un dommage irréparable (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 428 s. et les références citées), à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (arrêts 2C_8/2011 du 3 mars 2011 consid. 2.2; 2C_687/2009 du 17 février 2010 consid. 1.3.2).
Le Tribunal fédéral considère qu'il y a un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF lorsqu'une autorité dotée du pouvoir de décision est contrainte par un jugement de renvoi de rendre une décision à ses yeux contraire au droit. Comme elle n'a pas qualité pour attaquer sa propre décision, celle-ci pourrait entrer en force sans que l'autorité puisse la déférer au Tribunal fédéral. Pour pallier cet inconvénient, il convient qu'une autorité ayant qualité pour recourir puisse, en vertu de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, attaquer d'emblée la décision de renvoi, ou le prononcé qui la confirme, devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 133 V 477 consid. 5.2.4 p. 484 s.; arrêts 8C_478/2010 du 25 mars 2011 consid. 1.2; 8C_607/2009 du 25 août 2009 consid. 2.2.1; 2C_258/2008 du 27 mars 2009 consid. 3.6.1).
1.2.2 En l'espèce, le jugement cantonal attaqué a un effet contraignant pour la recourante en ce sens qu'elle doit fixer le montant de la rente d'invalidité tout en étant liée par le taux de ladite prestation. Dans ces conditions, le jugement incident entraîne sans aucun doute un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Le recours en matière de droit public est donc admissible, bien que la recourante n'allègue pas l'existence d'un tel préjudice.
2. Le recours en matière de droit public remplit en outre les conditions de recevabilité posées aux art. 82 à 85 LTF. Partant, en raison de son caractère subsidiaire, le recours constitutionnel n'est pas recevable (art. 113 LTF).
3. Le litige porte sur le taux de la rente d'invalidité allouée à l'intimée et sur son droit éventuel à un intérêt compensatoire de 5 % l'an sur cette prestation, la recourante ayant renoncé à recourir en ce qui concerne les intérêts dus sur le solde des indemnités journalières.
Le Tribunal fédéral n'est dès lors pas lié par l'état de fait constaté par l'autorité précédente (art. 105 al. 3 LTF).
4. 4.1 En l'occurrence, il est constant que l'incapacité de travail de l'intimée est entière dans sa profession de médecin-dentiste en raison d'une limitation de la mobilité du poignet gauche. En revanche, selon le docteur A._, l'intéressée est toujours en mesure, en dépit des séquelles des accidents de 1984 (cervicalgies et troubles fonctionnels en relation avec une distorsion cervicale) et 1998, d'exercer une autre activité ne nécessitant pas un travail chirurgical précis, comme médecin-conseil d'une caisse-maladie, spécialiste des questions dentaires, comme enseignante dans une école d'hygiénistes dentaires ou comme gestionnaire de sinistres au service d'une compagnie d'assurance.
Toutefois, la juridiction cantonale est d'avis que l'assurée n'est plus en mesure d'exploiter économiquement sa capacité de gain résiduelle sur le marché du travail entrant en considération pour elle. En effet, des emplois envisageables sans formation complémentaire, comme ceux de médecin-conseil auprès d'une caisse-maladie ou d'enseignante dans une école d'hygiénistes dentaires, ne sont pas disponibles en nombre suffisant sur le marché du travail pour entrer en considération dans le cas particulier. Quant à l'activité de gestionnaire de sinistres au service d'une compagnie d'assurance, elle n'est pas exigible, du moment qu'elle suppose une formation commerciale. Par ailleurs, d'autres activités envisageables - pour autant qu'elles soient compatibles avec l'état de santé -, comme des emplois de commis administratif ou de serveuse, ne sauraient être exigées en raison de leur niveau socio-culturel largement inférieur à la profession de médecin-dentiste. La juridiction cantonale infère de ces circonstances qu'il n'y a dès lors pas de motif de s'écarter des conclusions de l'assurance-invalidité, selon lesquelles l'incapacité de gain de l'assurée est entière.
De son côté, la recourante fait valoir que, outre les emplois évoqués par la juridiction cantonale, d'autres professions sont envisageables. Se fondant sur l'avis de son médecin-dentiste conseil, le docteur M._ (courrier du 3 mai 2004), elle fait valoir qu'un diplôme de médecine dentaire donne accès aux emplois d'instructeur dans le cadre de la formation continue pour les médecins-dentistes, de médecin-dentiste dans l'industrie de production d'accessoires professionnels (implants, matériel dentaire), ainsi que de directeur de la Clinique dentaire X._. Aussi, la recourante reproche-t-elle à la juridiction précédente de n'avoir pas tenu compte de ces activités. Au demeurant, elle fait valoir que les postes de médecin-conseil auprès d'une caisse-maladie et de gestionnaire de sinistres sont assez nombreux pour que l'on considère ces activités comme exigibles. Quant au taux d'invalidité retenu par l'assurance-invalidité, il ne lie pas l'assureur-accidents, du moment que, selon la recourante, il tient compte de troubles étrangers à cet événement.
Dans ses déterminations sur le recours, l'intimée est d'avis que les professions évoquées par la recourante offrent peu d'opportunités et supposent certaines conditions qui ne sont pas réalisées en l'espèce comme un diplôme de médecin-dentiste suisse, la poursuite simultanée d'une activité à temps partiel dans un cabinet privé, ainsi qu'une formation et une expérience dans la conduite de personnel, en informatique et en bureautique.
4.2 Lorsqu'il s'agit d'examiner dans quelle mesure un assuré peut encore exploiter économiquement sa capacité de gain résiduelle sur le marché du travail entrant en considération pour lui (art. 16 LPGA en liaison avec l'art. 1 al. 1 LAA), on ne saurait subordonner la concrétisation des possibilités de travail et des perspectives de gain à des exigences excessives. Il s'ensuit que pour évaluer l'invalidité, il n'y a pas lieu d'examiner la question de savoir si un invalide peut être placé eu égard aux conditions concrètes du marché du travail, mais uniquement de se demander s'il pourrait encore exploiter économiquement sa capacité résiduelle de travail lorsque les places de travail disponibles correspondent à l'offre de la main d'oeuvre (VSI 1998 p. 293, I 198/97 consid. 3b et les références). On ne saurait toutefois se fonder sur des possibilités de travail irréalistes. Ainsi, on ne peut parler d'une activité exigible au sens de l'art. 16 LPGA, lorsqu'elle ne peut être exercée que sous une forme tellement restreinte qu'elle n'existe pratiquement pas sur le marché général du travail ou que son exercice suppose de la part de l'employeur des concessions irréalistes et que, de ce fait, il semble exclu de trouver un emploi correspondant (RCC 1991 p. 329, I 350/89 consid. 3b; RCC 1989 p. 328, I 329/88 consid. 4a; arrêt 9C_713/2009 du 22 juillet 2010, consid. 3.2). A la lumière de ces considérations, il y a lieu de déterminer dans chaque cas de manière individuelle si l'assuré est encore en mesure d'exploiter une capacité de travail résiduelle sur le plan économique et de réaliser un salaire suffisant pour exclure une rente. Ni sous l'angle de l'obligation de diminuer le dommage, ni sous celui des possibilités qu'offre un marché du travail équilibré aux assurés pour mettre en valeur leur capacité de travail résiduelle, on ne saurait exiger d'eux qu'ils prennent des mesures incompatibles avec l'ensemble des circonstances objectives et subjectives (arrêts 9C_313/2007 du 8 janvier 2008, consid. 5.2; I 537/03 du 16 décembre 2003, consid. 3.1).
4.3 En l'espèce, les objections soulevées par la recourante ne permettent pas de s'écarter du point de vue de la juridiction cantonale selon lequel les professions de médecin-conseil auprès d'une caisse-maladie et d'enseignante dans une école d'hygiénistes dentaires n'offrent pas suffisamment d'opportunités pour être qualifiées d'exigibles au sens de l'art. 16 LPGA. En outre, le fait que l'intimée n'est pas titulaire d'un diplôme de médecin-dentiste suisse rend illusoires les possibilités de reconversion dans certaines des activités proposées par le docteur M._, comme celles d'instructeur dans le cadre de la formation continue pour les médecins-dentistes et de directeur de la Clinique dentaire X._, lesquelles, au demeurant, ne paraissent pas offrir des possibilités de travail réalistes. Par ailleurs, la recourante ne remet pas en cause le point de vue de la juridiction cantonale selon lequel des emplois de commis administratif ou de serveuse ne sont pas compatibles avec l'ensemble des circonstances objectives et subjectives du cas particulier.
En revanche, les séquelles des accidents de 1984 et 1998 empêchent nullement l'intéressée d'exercer une activité dans le domaine de l'industrie pharmaceutique et dentaire (implants, matériel dentaire, instruments chirurgicaux), éventuellement en complément ou en parallèle avec l'une des activités mentionnées ci-dessus pouvant entrer en considération. Aussi, convient-il de fixer le revenu hypothétique d'invalide en se référant - vu le niveau de formation et l'expérience de l'intéressée - au salaire statistique auquel peuvent prétendre les femmes qui accomplissent des activités ressortissant au niveau de qualification 1+2 (travaux les plus exigeants et tâches les plus difficiles, ainsi que travaux indépendants et très qualifiés dans le secteur privé; Enquête suisse sur la structure des salaires 2002, tableau TA1), en tenant compte d'un rendement de 100 %. Le montant de 72'084 fr. (6'007 fr. x 12) doit ensuite être adapté à l'horaire usuel de travail de 41,5 heures en 2003 et à l'évolution des salaires nominaux en 2003 (1,4 %), ce qui donne un revenu hypothétique d'invalide de 75'834 fr. En comparant ce montant à un revenu sans invalidité de 145'890 fr., on obtient un taux d'incapacité de gain de 48 %. Aussi, la décision sur opposition litigieuse n'est-elle pas critiquable en tant qu'elle reconnaît un taux de 50 % et qu'elle s'écarte de l'évaluation de l'invalidité opérée par l'office AI, laquelle ne lie pas l'assureur-accidents (ATF 133 V 549 consid. 6.2 p. 554).
Cela étant, l'assurée a droit à une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 50 % depuis le 1er mars 2003.
5. La recourante a alloué cette prestation depuis le mois de février 2004 et payé les arriérés pour la période du mois de mars 2003 au mois de janvier 2004. L'intimée n'a dès lors pas droit à des intérêts moratoires (art. 26 al. 2 LPGA).
6. Vu ce qui précède, le recours en matière de droit public se révèle bien fondé.
L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). La recourante ne peut se voir allouer une indemnité de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est admis et le jugement de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève du 22 mars 2011 est annulé.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 14 mai 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Leuzinger
Le Greffier: Beauverd