Sachverhalt:
A. Das Zentralamt für Wirtschaftskriminalität in Göteborg (Schweden) ermittelt gegen X._, A._ und B._ wegen schweren Steuerdelikts bzw. Mithilfe dazu. X._ und B._ wird vorgeworfen, zwei auf den Britischen Jungferninseln errichtete Gesellschaften benutzt zu haben, um über Scheinverträge Gewinne einer schwedischen Gesellschaft bzw. deren englischer Muttergesellschaft auf die Britischen Jungferninseln zu verschieben und von dort aus für sich selbst sowie weitere Personen, darunter A._, abzuzweigen.
Am 7. Januar 2008 ersuchten die schwedischen Behörden die Schweiz um Rechtshilfe. Sie baten um Ermittlungen bei einer Bank und die Einvernahme eines Bankmitarbeiters als Zeuge.
Mit Schlussverfügung vom 7. August 2008 entsprach die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich dem Rechtshilfeersuchen und ordnete die Herausgabe von Bankunterlagen an die ersuchende Behörde an.
Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht (II. Beschwerdekammer) am 20. Februar 2009 mit Ausnahme von zwei hier nicht interessierenden Nebenpunkten ab.
B. X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der Entscheid des Bundesstrafgerichts (soweit dieses seine Beschwerde abgewiesen habe) und die Schlussverfügung seien aufzuheben; die Rechtshilfe sei zu verweigern. In prozessualer Hinsicht beantragt er, für den Fall der Zulassung der Beschwerde sei ihm eine angemessene Frist zur Ergänzung der Beschwerdeschrift zu gewähren.
C. Das Bundesstrafgericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich haben auf Gegenbemerkungen verzichtet.
Das Bundesamt für Justiz hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Es hält dafür, es fehle an der Eintretensvoraussetzung des besonders bedeutenden Falles nach Art. 84 BGG.
D. X._ hat auf eine Replik verzichtet.
Erwägungen:
1. Gemäss Art. 84 BGG ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde nur zulässig, wenn er unter anderem eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
Art. 84 BGG bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen (BGE 134 IV 156 E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweisen).
Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (BGE 134 IV 156 E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweis).
Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ein besonders bedeutender Fall nach Artikel 84 vorliegt, so ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist.
Erachtet das Bundesgericht eine Beschwerde auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen als unzulässig, so fällt es gemäss Art. 107 Abs. 3 BGG den Nichteintretensentscheid innert 15 Tagen seit Abschluss eines allfälligen Schriftenwechsels.
Nach Art. 109 BGG entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
2. Zwar geht es hier um die Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach Art. 84 Abs. 1 BGG insoweit zulässig ist. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers handelt es sich jedoch um keinen besonders bedeutenden Fall.
Was er (Beschwerde S. 5 ff. N. 10-30) dazu vorbringt, ist nicht geeignet, einen solchen Fall darzutun. Die Vorinstanz hat sich mit den wesentlichen Einwänden auseinander gesetzt. Ihre Erwägungen, auf die verwiesen werden kann (Art. 109 Abs. 3 BGG), stützen sich auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung und überzeugen. Für das Bundesgericht besteht deshalb kein Anlass, die Sache an die Hand zu nehmen.
Ist die Beschwerde danach unzulässig, kann gemäss Art. 43 lit. a BGG dem Beschwerdeführer keine Nachfrist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung gewährt werden.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich, dem Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. April 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri