Faits:
A. Dans une décision du 1er octobre 2007, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a alloué à H._ une rente d'invalidité LAA, fondée sur un degré d'invalidité de 26 %, dès le jour même, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un taux de 20 % pour les séquelles organiques résultant d'un accident survenu le 24 juin 2004. La CNA a en revanche refusé de prendre en charge les conséquences des troubles psychiques dont souffrait également l'assuré, au motif que ceux-ci n'étaient pas en relation de causalité avec l'accident. Saisie d'une opposition, la CNA l'a écartée dans une nouvelle décision du 12 décembre 2007.
B. Le 25 janvier 2008, l'assuré a déféré cette dernière décision à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg. Sous suite de frais et dépens, il a conclu, principalement, à l'octroi d'une rente d'invalidité de 100 % dès le 1er octobre 2007 et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la CNA pour complément d'instruction et nouvelle décision. Le 1er avril 2008, l'assuré a demandé que le dossier constitué par l'Hôpital X._, où il avait été admis juste après son accident, soit versé à la procédure. La CNA a déposé sa réponse au recours le 30 mai 2008, après avoir sollicité et obtenu deux prolongations de délai. Le 10 juin 2008, le Tribunal cantonal a imparti à l'assuré un délai de trente jours pour faire part de ses "contre-observations". Le 12 juin 2008, l'assuré a demandé au Tribunal cantonal d'inviter la CNA à déposer une traduction en français d'un rapport médical produit dans le cadre de sa réponse au recours. Le 28 juillet 2008, le Tribunal cantonal a transmis à l'assuré la traduction en français de l'appréciation médicale de la CNA et lui a imparti un nouveau délai de trente jours pour déposer ses "contre-observations", ce qu'il a fait le 13 août 2008. Il a également requis l'assistance judiciaire totale. Le 3 septembre 2008, la CNA a été invitée à déposer ses "ultimes remarques" dans un délai de trente jours. Après avoir demandé une prolongation de délai, la CNA s'est déterminée le 29 octobre 2008.
Par décision du 15 janvier 2009, H._ a été mis au bénéfice de l'assistance judiciaire totale. Cette décision lui a été notifiée le 22 janvier 2009, en même temps qu'un exemplaire des "ultimes remarques" de la CNA du 29 octobre 2008.
Par lettre du 15 décembre 2009, H._ s'est enquis auprès du Tribunal cantonal de l'avancement de sa cause. Celui-ci lui a répondu le 21 décembre suivant que le tribunal n'avait pas encore été en mesure de statuer sur son cas en raison du nombre important d'affaires en attente d'être jugées. Le 19 janvier 2011, l'assuré s'est à nouveau adressé au Tribunal cantonal, relevant que le recours avait été déposé il y a plus de trois ans. Il a également précisé que si aucune décision ne lui était parvenue jusqu'au 15 février 2011, un recours pour retard injustifié serait déposé. Le Tribunal cantonal a répondu le 21 janvier 2011 qu'il s'attachait à terminer la liquidation des affaires introduites en 2008, parmi lesquelles figurait celle de l'assuré.
C. Le 2 mars 2011, H._ a interjeté un recours en matière de droit public pour déni de justice, en concluant à ce que la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg soit invitée à statuer à bref délai sur son recours.
Par arrêt du 24 février 2011, notifié le 14 mars 2011, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal a rendu son jugement dans la cause qui oppose H._ à la CNA.
Considérant en droit:
1. Le recours, formé au motif que la juridiction cantonale tardait à rendre une décision (art. 94 LTF) sur des prétentions en matière d'assurance-accidents, concerne une cause qui relève sur le fond du droit public, de sorte qu'il est en principe recevable. Il doit cependant être déclaré sans objet et rayé du rôle. Le recourant ne dispose plus, en effet, d'un intérêt juridiquement protégé à ce que l'autorité cantonale statue dans un délai de 30 jours puisqu'un jugement a été notifié postérieurement à l'ouverture de l'instance fédérale.
2. 2.1 Lorsque, comme en l'espèce, un procès devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue néanmoins sur les frais afférents à la procédure engagée par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (art. 72 PCF applicable par renvoi de l'art. 71 LTF) et de l'issue probable de celui-ci (cf. ATF 125 V 373 consid. 2a p. 375).
2.2 Aux termes de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Le caractère raisonnable de la durée de la procédure s'apprécie en fonction des circonstances particulières de la cause et, entre autres critères, sont notamment déterminants le degré de complexité de l'affaire, l'enjeu que revêt le litige pour l'assuré ainsi que le comportement de celui-ci et des autorités intimées. A cet égard, il appartient au justiciable d'entreprendre certaines démarches pour inviter l'autorité à faire diligence, notamment en incitant celle-ci à accélérer la procédure ou en recourant pour retard injustifié. Si on ne saurait reprocher à l'autorité quelques "temps morts", elle ne peut invoquer une organisation déficiente ou une surcharge structurelle pour justifier la lenteur de la procédure (ATF 130 I 312 consid. 5.1 et 5.2 p. 331 s. et les références).
2.3 On ajoutera qu'en droit des assurances sociales, la procédure de première instance est gouvernée par le principe de célérité. Ce principe est consacré à l'art. 61 let. a LPGA qui exige des cantons que la procédure soit simple et rapide; il constitue l'expression d'un principe général du droit des assurances sociales (ATF 110 V 54 consid. 4b p. 61).
3. En l'espèce, le recours a été interjeté devant l'autorité cantonale le 25 janvier 2008. L'échange d'écritures - il y en a eu deux - s'est achevé par la transmission des "ultimes remarques" de la CNA le 22 janvier 2009. Par la suite, aucun acte d'instruction n'a été accompli par l'autorité cantonale jusqu'au dépôt du recours pour déni de justice en mars 2011. Dans l'intervalle, H._ s'est adressé à deux reprises au tribunal pour s'informer de l'avancement de la procédure, soit en décembre 2009 et en janvier 2011.
Sur le fond, le litige avait pour objet le taux d'invalidité présenté par l'assuré. Compte tenu des motifs du recours cantonal, il s'agissait en particulier de déterminer si l'assuré avait subi un traumatisme crânio-cérébral ou de type "coup du lapin" et, cas échéant, si les séquelles non-organiques présentées par l'assuré étaient en lien de causalité adéquate avec l'accident du 24 juin 2004. Si la solution du litige nécessitait une appréciation des preuves constituées de divers rapports médicaux, il s'agissait somme toute d'une affaire sans grandes particularités ni difficultés excessives en matière d'assurance-accidents, dont la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal a souvent à connaître.
Il s'est écoulé 25 mois entre la fin de l'échange d'écritures et le dépôt du présent recours, respectivement plus de trois ans depuis le dépôt du recours cantonal. A titre de comparaison, on notera que le Tribunal fédéral a admis un retard inadmissible à statuer, après avoir considéré au vu des circonstances qu'un délai de 24 mois entre la fin de l'échange d'écritures et le prononcé du jugement cantonal ne pouvait plus être qualifié de raisonnable, tout en relevant qu'un tel délai représentait une situation limite (arrêt 9C_831/2008 du 12 décembre 2008 consid. 2.2, in Plädoyer 3/2009 p. 62). Il n'y a pas de raison de statuer différemment ici. Le recourant aurait dès lors été fondé à se plaindre d'un retard inadmissible à statuer.
4. Il s'ensuit que le recourant a droit à des dépens à la charge du canton de Fribourg (art. 68 al. 1 LTF). Le Tribunal fédéral ne percevra pas de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La cause, devenue sans objet, est rayée du rôle.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. L'Etat de Fribourg versera au recourant la somme de 2000 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg ainsi qu'à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 20 avril 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung Fretz Perrin