Faits:
A.
F._ a travaillé en qualité d'opérateur imprimeur au service de X._ SA. A ce titre, il était assuré contre les accidents professionnels et non professionnels par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 18 septembre 2001, alors qu'il se trouvait à la chasse en montagne, F._ a effectué une longue glissade suivie d'une chute dans le vide de plusieurs mètres, avec réception sur le dos et l'épaule droite, sans perte de connaissance. Le soir, il s'est rendu à l'Hôpital Y._. A cette occasion, le diagnostic de douleurs à l'épaule droite, post-traumatiques, consécutives à une chute en montagne avec réception sur l'épaule droite a été posé et un traitement antalgique et physiologique a été administré (rapport du docteur M._, chirurgien, du 14 novembre 2001). Un examen IRM, pratiqué le 12 octobre 2001, a laissé apparaître une déchirure des tendons sus-épineux, sous-épineux et sous-scapulaire de l'épaule droite. La CNA a pris le cas en charge.
Le 19 novembre 2001, le docteur O._, médecin adjoint à l'Hôpital Z._, a pratiqué une arthroscopie de l'épaule droite avec suture à ciel ouvert du sus-épineux et du sous-scapulaire (rapport du 15 janvier 2002). Une IRM de la colonne dorsale ainsi qu'une IRM de la colonne lombaire, effectuées le 23 novembre 2001, n'ont pas mis en évidence de fracture vertébrale récente et de compression sur le cône médullaire, mais une légère cunéiformisation du corps vertébral D10, D11 et D12 sur ostéoporose ou séquelles d'une maladie de Scheuermann (rapport des docteurs H._ et D._ du 27 novembre 2001).
Du 29 janvier au 27 février 2002, l'assuré a séjourné à la Clinique W._, afin d'y subir des thérapies physiques et fonctionnelles. Le docteur I._ a posé les diagnostics de déchirure complète de la coiffe des rotateurs droite, suture tendineuse, dysbalance musculaire dorso-scapulaire, rachialgies chroniques, trouble statique du rachis, ostéoporose, séquelles de dystrophie de croissance de l'étage dorsal bas, et trouble de l'adaptation avec réaction mixte anxieuse et dépressive. La capacité de travail restait nulle. A la sortie, le traitement se poursuivait par la prise de médicaments, de même que des séances de physiothérapie deux à trois fois par semaine (rapport du 22 mars 2002).
Une nouvelle rupture de la coiffe des rotateurs a été constatée le 4 mars 2003 (rapport du docteur O._ du 5 mars 2003). L'assuré a été hospitalisé du 25 au 31 mars 2003 à l'Hôpital Z._, où il a subi une reprise de suture de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite le 26 mars (rapport du docteur O._ du 6 mai 2003). Il a séjourné à nouveau à la Clinique W._, du 15 juillet au 27 août 2003, en vue de la réadaptation fonctionnelle de l'épaule, du rachis et d'un avis neurologique. Le traitement à la sortie comportait la prise de médicaments et deux séances de physiothérapie hebdomadaires (rapport du docteur L._ du 4 septembre 2003).
Dans un rapport du 13 octobre 2003, le docteur O._ a fait état d'une nouvelle rupture spontanée du tendon du muscle sus-épineux. La possibilité d'une intervention chirurgicale a été envisagée, mais le docteur O._ a préféré attendre et poursuivre les séances de rééducation et revoir le patient en mars 2004. A l'issue d'une consultation du 12 mars 2004, il a estimé que la réparation directe du tendon du sus-épineux était illusoire (rapport du 15 mars 2004). L'intervention n'a pas eu lieu.
Parallèlement aux phénomènes douloureux de l'épaule, l'intimé a présenté des douleurs rachidiennes, cervicales, dorsales et lombaires. Mandaté par la CNA, le docteur U._, médecin-chef à l'Hôpital V._, a constaté que le patient ne présentait aucune lésion osseuse, que ce soit au niveau du rachis ou de l'épaule droite. A son avis, les troubles du dos étaient le reflet du traumatisme relativement important subi au niveau des parties molles avec vraisemblablement des lésions musculaires étendues lors de l'accident du 18 septembre 2001 (rapport du 4 juillet 2003).
Par décision du 24 novembre 2005, confirmée sur opposition le 11 avril 2007, la CNA a alloué à l'assuré une rente d'invalidité de 25 % pour les seules séquelles invalidantes de la chute au niveau de l'épaule droite (déchirure complète de la coiffe des rotateurs droite) ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 30 %.
Saisie d'un recours, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a annulé la décision du 11 avril 2007, par jugement du 8 mai 2009. Elle a renvoyé la cause à la CNA afin qu'elle fasse procéder à une expertise psychiatrique destinée à déterminer non seulement la nature des troubles psychiques, qui n'avaient pas été pris en considération, mais également le lien de causalité naturelle éventuel entre ceux-ci et l'accident et, dans l'affirmative, leur incidence sur la capacité de travail.
La CNA a confié un mandat d'expertise à la doctoresse S._, psychiatre et psychothérapeute. Dans son rapport du 22 février 2010, l'experte a attesté la présence d'un trouble dépressif majeur, moyen, avec syndrome somatique, chronique (F 32.11), d'un état de stress post-traumatique, chronique (F 43.1), d'un trouble durable de la personnalité lié à un syndrome algique, chronique (F 62.8), d'un syndrome douloureux somatoforme persistant (F 45.4), ainsi que d'un trouble cognitif non spécifié, tous en lien de causalité naturelle avec l'accident survenu en montagne le 18 septembre 2001 et limitant désormais entièrement la capacité de travail.
Par décision du 26 juillet 2010, confirmée sur opposition le 17 mars 2011, la CNA a maintenu sa position antérieure, allouant une rente d'invalidité de 25 % à compter du 1 er septembre 2005 ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 30 %.
B.
F._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal, en concluant à l'octroi d'une rente d'invalidité de 100 % et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 80 % au minimum. En bref, il reprochait à la CNA d'avoir nié à tort la relation de causalité adéquate entre l'accident et les troubles de la sphère psychique, de sorte que le degré d'invalidité et celui de l'atteinte à l'intégrité étaient trop faibles.
Par jugement du 9 août 2012, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours, reconnaissant à l'assuré le droit à une rente d'invalidité de 100 % à partir du 1 er septembre 2005 et une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 40 %.
C.
La CNA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation en concluant au rétablissement de sa décision sur opposition du 17 mars 2011.
Le Président de la Cour des assurances sociales a déposé des observations. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
L'intimé a conclu au rejet du recours avec suite de frais et dépens.
Considérant en droit:
1.
Le litige porte sur le taux de la rente d'invalidité allouée à l'intimé depuis le 1 er septembre 2005 ainsi que sur celui de son atteinte à l'intégrité.
La procédure portant sur l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction cantonale (art. 105 al. 3 LTF).
2.
2.1. En l'espèce, il est admis que les séquelles organiques consécutives à l'accident du 18 septembre 2001 réduisent, à elles seules, la capacité de gain de l'intimé de 25 %.
En ce qui concerne les affections psychiques diagnostiquées lors de l'expertise psychiatrique, il est également admis qu'elles sont en relation de causalité naturelle avec l'événement accidentel du 18 septembre 2001 et qu'elles rendent l'intimé totalement incapable de travailler (rapport de la doctoresse S._ du 22 février 2010). Le litige porte sur l'existence du lien de causalité adéquate.
2.2. En vue de juger du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident et une affection psychique additionnelle à une atteinte à la santé physique, il faut d'abord classer les accidents en trois catégories, en fonction de leur déroulement: les accidents insignifiants, ou de peu de gravité; les accidents de gravité moyenne et les accidents graves. Pour procéder à cette classification, il convient non pas de s'attacher à la manière dont l'assuré a ressenti et assumé le choc traumatique, mais bien plutôt de se fonder, d'un point de vue objectif, sur l'événement accidentel lui-même.
En présence d'un accident de gravité moyenne, il faut prendre en considération un certain nombre de critères, dont les plus importants sont les suivants (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140; 403 consid. 5c/aa p. 409) :
les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident;
la gravité ou la nature particulière des lésions physiques, compte tenu notamment du fait qu'elles sont propres, selon l'expérience, à entraîner des troubles psychiques;
la durée anormalement longue du traitement médical;
les douleurs physiques persistantes;
les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident;
les difficultés apparues au cours de la guérison et des complications importantes;
le degré et la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques.
Il n'est pas nécessaire que soient réunis dans chaque cas tous ces critères. Suivant les circonstances, un seul d'entre eux peut être suffisant pour faire admettre l'existence d'une relation de causalité adéquate. Il en est ainsi lorsque l'accident considéré apparaît comme l'un des plus graves de la catégorie intermédiaire, à la limite de la catégorie des accidents graves, ou encore lorsque le critère pris en considération s'est manifesté de manière particulièrement importante (ATF 115 V 133 consid. 6 c/bb p. 140 ; 403 consid. 5 c/bb p. 409).
3.
3.1. Les premiers juges ont rangé l'événement du 18 septembre 2001 dans la catégorie des accidents de gravité moyenne. Après avoir qualifié l'accident de particulièrement impressionnant, ils ont effectué une synthèse de leurs observations, considérant que dans le sillage immédiat de l'accident, d'importantes douleurs sont apparues, principalement situées au niveau de l'épaule droite, directement touchée, et du haut du dos, indirectement touché. Ces douleurs ont perduré, prolongées qu'elles ont été par les complications apparues dans le traitement de l'épaule droite, avec même une nouvelle rupture de la coiffe des rotateurs près de deux ans après l'accident et qui ne sera même pas traitée. Pour les supporter, l'intimé a eu recours à une très importante médication qui a fini par l'intoxiquer. A peu près à la même période, sont apparus des troubles de l'érection qui peuvent être mis indirectement en rapport avec l'accident. Durablement incapable de travailler, limité dans ses activités et ses loisirs au grand air, l'intimé a peu à peu sombré dans une dépression moyenne qui, associée aux douleurs et à la prise corollaire massive d'antidouleurs, ont probablement engendré la perte, à terme, de sa capacité de travail (jugement attaqué, consid. 3h p. 13).
Les juges cantonaux ont dès lors admis que l'accident du 18 septembre 2001 apparaissait, compte tenu de l'existence d'une majorité des critères jurisprudentiels requis, comme la cause adéquate des troubles psychiques aujourd'hui invalidants. Ils ont ainsi reconnu à l'intimé le droit à une rente d'invalidité de 100 % à compter du 1 er septembre 2005.
3.2. La CNA soutient que la juridiction cantonale a tenu compte à tort de plusieurs critères, singulièrement de celui du caractère particulièrement impressionnant de l'accident, de la durée anormalement longue du traitement médical, ainsi que des difficultés apparues au cours de la guérison et les complications importantes. Selon la recourante, deux critères au plus sont remplis, soit le degré et l'incapacité de travail et les douleurs physiques persistantes, sans que l'on puisse toutefois considérer que ceux-ci se soient manifestés d'une manière particulièrement importante. Elle en déduit que l'existence d'une relation de causalité adéquate entre l'accident du 18 septembre 2001 et les troubles psychiques de l'intimé a été admise en violation des règles topiques de droit fédéral applicables dans ce domaine.
3.3. Quant à l'intimé, il est d'avis que les critères dont la juridiction cantonale a tenu compte sont réalisés, auquel il ajoute celui des erreurs dans le traitement médical. A ses yeux, le lien de causalité adéquate est établi et il a droit à une rente d'invalidité de 100 %.
4.
4.1. Le degré de gravité d'un accident s'apprécie d'un point de vue objectif, en fonction de son déroulement; il ne faut pas s'attacher à la manière dont la victime a ressenti et assumé le choc traumatique (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140, 403 consid. 5c/aa p. 409). Sont déterminantes les forces générées par l'accident et non pas les conséquences qui en résultent (arrêts 8C_398/2012 du 6 novembre 2012 consid. 5.2 in SVR 2013 UV Nr. 3 p. 8, 8C_435/2011 du 13 février 2012 consid. 4.2 in SVR 2012 UV Nr. 23 p. 84). La gravité des lésions subies ne doit être prise en considération à ce stade de l'examen que dans la mesure où elle donne une indication sur les forces en jeu lors de l'accident (arrêt 8C_826/2011 du 17 décembre 2012, consid. 6.1 et les références).
Les premiers juges retiennent que l'on est en présence d'un accident de gravité moyenne, sans qu'il se situe à la limite des accidents graves. Le Tribunal fédéral n'a pas de motif de revenir sur cette appréciation, s'agissant d'une chute de quelques mètres avec réception sur le dos plutôt du côté droit, ayant entraîné une rupture de la coiffe des rotateurs (à propos de la classification d'événements accidentels qui ont causé des atteintes à un membre supérieur lors de chutes, voir par exemple les arrêts U 11/07 du 27 février 2008 consid. 4.2.2, U 191/04 du 12 août 2005 consid. 5.1, U 308/98 du 27 janvier 2000).
4.2.
4.2.1. Les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409) s'apprécient d'un point de vue objectif; il ne faut pas s'attacher à la manière dont la victime a ressenti l'accident, singulièrement au sentiment de peur qui en résulte (arrêts 8C_398/2012 du 6 novembre 2012 consid. 6.1 in SVR 2013 UV n° 3 p. 9, 8C_100/2011 du 1 er juin 2011 consid. 3.5.1 in SVR 2012 UV n° 2 p. 7). De ce point de vue, c'est à tort que les premiers juges, se fondant sur le rapport d'expertise psychiatrique, ont accordé un poids décisif à la crainte que l'intimé avait éprouvée pour son intégrité, voire pour sa vie, lors de la chute (consid. 3a p. 8 du jugement attaqué).
En ce qui concerne le déroulement de l'accident, le docteur E._, de la Division de médecine des accidents de la CNA, s'est étonné que l'on ait pas jugé nécessaire de faire une enquête sur les circonstances précises (rapport du 26 juillet 2002). Selon les notes du docteur I._ de la Clinique W._, que le docteur E._ a consultées (relatives au séjour effectué en février 2002), l'intimé a déclaré qu'il avait glissé en bas d'un talus sur 150m environ puis était tombé d'une hauteur de 5m en se frappant le dos contre un rocher. Le docteur E._ partage l'étonnement de son confrère B._, médecin à la Clinique W._, qui était surpris que l'intimé n'ait pas subi de lésions plus graves, compte tenu de la gravité de l'accident (avis du 13 février 2002). A l'occasion d'un entretien avec un inspecteur de la CNA, le 9 octobre 2002, l'intimé a indiqué qu'il se trouvait en montagne en-dessus de T._ en compagnie de son épouse, l'après-midi du 18 septembre 2001, dans un terrain herbeux, caillouteux et très escarpé, lorsqu'il avait glissé sur le dos sur une distance de plus de 100m environ, sans pouvoir se retenir. Arrivé sur un surplomb, il avait chuté dans le vide, d'une hauteur d'environ 10m et se serait réceptionné, toujours sur le dos mais plutôt sur le côté droit, sur un terrain caillouteux. Dans le cadre de l'expertise psychiatrique, l'intimé avait exposé à la doctoresse S._ qu'il avait dévalé une pente de 100 à 150m environ, les pieds en avant; arrivé sur une bosse qui avait provoqué un saut, il avait effectué une chute verticale d'environ 5m avec réception sur le dos et l'épaule droite. Il avait pu se relever avec l'aide de son épouse (rapport du 22 février 2010, p. 4).
Ces descriptions successives des circonstances de l'accident divergent sensiblement quant à la longueur de la glissade et la hauteur de la chute. A l'instar des médecins de la Clinique W._, on peut s'interroger sur les circonstances qui ont été décrites, compte tenu des blessures subies en relation avec la hauteur de la chute. Quoi qu'il en soit, il n'apparaît pas que l'accident ait revêtu un caractère particulièrement impressionnant. L'intimé n'a pas perdu connaissance lors de l'accident. Il a pu se relever assez rapidement et regagner son domicile accompagné de son épouse. Il n'a consulté que le soir même en raison de l'apparition de fortes douleurs. Les premiers éléments recueillis ne laissent pas apparaître la survenance d'un événement entouré de circonstances particulièrement frappantes. La déclaration d'accident mentionne simplement que l'intéressé "a déroché en allant à la chasse", cependant que le rapport du médecin qui a prodigué les premiers soins a fait état d'une "chute en montagne avec réception sur l'épaule droite". Il s'ensuit que le premier des critères applicables n'est pas réalisé.
4.2.2. Le critère de la gravité ou de la nature particulière des lésions physiques n'a, à juste titre, pas été retenu par les premiers juges. Ce point n'est d'ailleurs pas sujet à discussion.
4.2.3. Pour l'examen du critère de la durée anormalement longue du traitement médical, il ne faut pas uniquement se fonder sur l'aspect temporel; sont également à prendre en considération la nature et l'intensité du traitement, et si l'on peut en attendre une amélioration de l'état de santé de l'assuré (arrêts 8C_361/2007 du 6 décembre 2007 consid. 5.3, U 92/06 du 4 avril 2007 consid. 4.5 et les références). La prise de médicaments antalgiques et la prescription de traitements par manipulations même pendant une certaine durée ne suffisent pas à fonder ce critère (arrêts 8C_361/2007 consid. 5.3, U 380/04 du 15 mars 2004 consid. 5.2.4 in RAMA 2005 n° U 549 p. 239).
En l'occurrence, l'intimé a subi une suture à ciel ouvert du sus-épineux et du sous-scapulaire, le 19 novembre 2001. A la suite de cette opération, il a séjourné à la Clinique W._ du 29 janvier au 27 février 2002 afin d'y suivre des thérapies physiques et fonctionnelles, notamment, les objectifs de la physiothérapie consistant en l'amélioration des amplitudes articulaires de l'épaule et le gain de force. La physiothérapie a été poursuivie ambulatoirement sous forme de mobilisation, renforcement et pouliethérapie de l'épaule droite. Une nouvelle suture de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite a été pratiquée le 26 mars 2003, à l'issue de laquelle le bras a été immobilisé durant six semaines par une attelle. Cette intervention a été suivie d'un second séjour à la Clinique W._ du 15 juillet au 27 août 2003 pour la réadaptation fonctionnelle de l'épaule droite, du rachis et un avis neurologique. Pour la suite, l'intimé a bénéficié de physiothérapie, à raison de deux à trois séances hebdomadaires, dont le but consistait à essayer de lui redonner 90° d'abduction et de flexion et le rendre le plus autonome possible dans les actes de la vie quotidienne. Postérieurement à une troisième rupture du tendon du sus-épineux, constatée le 10 octobre 2003, l'intimé a encore suivi une rééducation de l'épaule en vue d'une intervention prévue en mars 2004; eu égard au pronostic défavorable, la réparation directe du tendon du sus-épineux n'a toutefois pas eu lieu (rapport du docteur O._ du 15 mars 2004). Avec la CNA, on retiendra que le traitement dans son ensemble a duré environ deux ans et demi, du jour de l'accident (18 septembre 2001) jusqu'au moment où le principe d'une nouvelle intervention a été abandonné (mars 2004). A partir de là, la physiothérapie a plutôt eu une fonction conservatrice (voir une note de la CNA du 16 décembre 2004, relative au remboursement de physiothérapie et de fitness). Sous l'angle de son intensité, le traitement a principalement consisté en deux opérations, espacées dans le temps et suivies chacune d'un séjour à la Clinique W._. Sur la durée, l'intensité n'a pas été telle que l'on puisse parler d'un traitement anormalement long.
Dans ce contexte, l'administration d'une médication importante avait essentiellement pour finalité de soulager les douleurs et non de traiter l'épaule, si bien qu'elle ne saurait entrer en ligne de compte dans l'examen du critère de la durée du traitement médical (cf. arrêt 8C_361/2007 consid. 5.3). Le bref séjour à la Clinique W._, effectué en décembre 2006 dans le cadre d'investigations sur les problèmes d'érection (rapport du docteur A._ du 23 janvier 2007), n'est pas davantage assimilable à un traitement (cf. arrêt 8C_934/2010 du 8 novembre 2011 consid. 4.2).
4.2.4. L'intimé invoque une erreur médicale. Pareille éventualité n'est toutefois ni établie ni vraisemblable, si bien que ce critère ne peut être pris en compte. On relèvera à ce propos que l'échec d'un traitement médical ne signifie pas pour autant qu'une erreur ait été commise.
4.2.5. Des difficultés sont certes apparues au cours de la guérison, puisqu'il a fallu procéder à une seconde intervention chirurgicale dix-huit mois après l'accident. Si la fonction de l'épaule n'a pas été rétablie, dès lors que le recourant ne peut plus utiliser son membre supérieur droit au-dessus de la ligne horizontale, cela ne signifie pas encore que cette situation résulte de complications importantes, qui ne sont d'ailleurs pas établies. On se trouve plutôt en présence de l'échec d'un traitement. Quant aux troubles de l'érection, leur relation de causalité naturelle avec l'accident a seulement été qualifiée de possible à l'issue des investigations pratiquées à cet effet à la Clinique W._ (rapport du docteur A._ du 23 janvier 2007).
4.2.6. La CNA admet que le critère du degré et de la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques, de même que celui des douleurs physiques persistantes, sont tous deux réalisés. S'agissant de ce dernier critère, on peut cependant relativiser l'importance des douleurs sur le moyen terme, car les affections somatiques de l'intimé restent compatibles avec l'exercice d'une activité lucrative adaptée à plein temps (appréciation du docteur C._, du 16 juin 2005).
4.3. Au regard de l'ensemble des circonstances, seuls deux critères (l'incapacité de travail et les douleurs) sont réalisés. Toutefois, ils n'apparaissent pas suffisamment prégnants pour que l'accident du 18 septembre 2001 soit tenu pour la cause adéquate des troubles psychiques de l'intimé, si bien que la recourante était fondée à limiter ses prestations en raison des seules affections subies à l'épaule droite.
Les taux respectifs de la rente d'invalidité (25 %) et de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité (30 %) pour les séquelles physiques ne sont pas litigieux. Le recours est dès lors bien fondé.
5.
L'intimé, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, du 9 août 2012, est annulé.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 23 septembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
Le Greffier: Berthoud