Sachverhalt:
A. A.a Mit Urteil vom 4. Dezember 2007 hiess der Pretore della Giurisdizione di Locarno-Campagna die Einsprache von Y._ gegen einen von der X._ AG erwirkten Arrestbefehl gut und hob diesen auf. Die Arrestgläubigerin wurde verurteilt, Y._ mit Fr. 9'000.-- zu entschädigen. Die von X._ AG dagegen erhobene Berufung wies die Camera di esecuzione e fallimenti del Tribunale d'appello des Kantons Tessin ab (Urteil vom 3. Juli 2008). Diese verpflichtete die Berufungsklägerin dem Berufungsbeklagten für das Berufungsverfahren eine Entschädigung von Fr. 7'000.-- zu bezahlen.
A.b Gestützt auf diese beiden Urteile betrieb Y._ die X._ AG, welche Rechtsvorschlag gegen den Zahlungsbefehl Nr._ des Betreibungsamtes Zug erhob. Der von Y._ am 9. Dezember 2008 angerufene Einzelrichter am Kantonsgericht Zug erteilte jenem am 27. Februar 2009 die definitive Rechtsöffnung für Fr. 16'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 27. November 2008.
A.c Am 27. November 2008 leitete die X._ AG vor dem Landgericht Stuttgart eine Klage gegen Y._ ein, worin sie beantragte, es sei festzustellen, dass Y._ weder ein Zahlungsanspruch aus den Tessiner Urteilen vom 4. Dezember 2007 und vom 3. Juli 2008 zustehe noch ein solcher aus dem Zahlungsbefehl Nr. _ des Betreibungsamtes Zug.
B. Die von der Schuldnerin gegen den Entscheid des Einzelrichters am Kantonsgericht Zug vom 27. Februar 2009 erhobene Beschwerde wies die Justizkommission des Obergerichts des Kantons Zug vollumfänglich ab (Urteil vom 6. Mai 2009).
C. Mit als "subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG sowie Beschwerde nach Art. 72 ff. BGG" bezeichneter Eingabe vom 22. Mai 2009 gelangt die X._ AG (fortan Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht und beantragt, die definitive Rechtsöffnung sei nicht zu erteilen, eventuell seien die Gerichtsbehörden in Zug für die Durchführung des Rechtsöffnungsverfahrens für unzuständig zu erklären oder dieses sei bis zum Abschluss des Verfahrens vor dem Landgericht Stuttgart zu sistieren. Schliesslich beantragt die Beschwerdeführerin, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
D. Es wurden die kantonalen Akten und bei Y._ (fortan Beschwerdegegner) eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung eingeholt.
Mit Verfügung vom 5. Juni 2009 erteilte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde unter Berücksichtigung der ansonsten drohenden Konkursandrohung und des Umstandes, dass der Beschwerdegegner keine Gründe vorbrachte, welche diese Massnahme zwingend ausschlössen, die aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin erhebt gleichzeitig Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde.
1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Endentscheid im Sinn von Art. 75 Abs. 1 BGG und Art. 90 BGG betreffend definitive Rechtsöffnung. Dabei handelt es sich um einen Entscheid in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, der gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG grundsätzlich der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (BGE 133 III 399 E. 1.4 S. 400; 134 III 141 E. 2 S. 143).
In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Wird diese Streitwertgrenze - wie hier - nicht erreicht, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
1.2 Dieser Rechtsbegriff wird vom Bundesgericht angesichts der im Verlaufe der parlamentarischen Beratungen eingeführten subsidiären Verfassungsbeschwerde restriktiv ausgelegt, weshalb nicht mehr einfach von den in der Botschaft des Bundesrates erwähnten Anforderungen ausgegangen werden kann (BGE 134 III 115 E. 1.2; 133 III 493 E. 1.1 mit Hinweisen auf die Entstehungsgeschichte). Die Voraussetzungen von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG sind erfüllt, wenn ein allgemeines Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit Rechtssicherheit herzustellen (BGE 133 III 645 E. 2.4 S. 649; 134 III 354 E. 1.3 S. 357). Ein erhöhtes Interesse besteht dann, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass die entsprechende Frage je dem Bundesgericht unterbreitet werden kann, infolge der Streitwertgrenze äusserst gering ist (BGE 134 III 267 E. 1.2.3 S. 271). Keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt demgegenüber vor, wenn es lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht (BGE 133 III 493 E. 1.2 S. 495 f.; 134 III 115 E. 1.2 S. 117). Beruft sich der Beschwerdeführer auf diese Bestimmung, hat er in seiner Rechtsschrift darzutun, weshalb die Voraussetzungen hierfür gegeben sein sollen (Art. 42 BGG; BGE 133 III 645 E. 2.4 S. 648).
Die Beschwerdeführerin begnügt sich damit zu behaupten, es liege eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung vor, ohne diese Behauptung hinreichend zu begründen bzw. darzulegen, inwiefern die soeben skizzierten Voraussetzungen erfüllt sein sollen. Sie stellt dem Bundesgericht lediglich die Frage, ob die zur Rechtsöffnung angerufenen Gerichte nicht wenigstens dann zur materiellrechtlichen Überprüfung befugt seien, wenn ein Entscheid aufgrund eines Prozessbetrugs erwirkt worden und damit nichtig sei (s. zur Nichtigkeit E. 3 und 4 nachfolgend). Damit genügt sie den Begründungsanforderungen vor Bundesgericht nicht, weshalb auf ihre Beschwerde in Zivilsachen nicht eingetreten werden kann.
1.3 Gestützt auf Art. 113 BGG ist damit die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegeben, soweit die formellen Anforderungen an diese erfüllt sind.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Die Beschwerdeführerin muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde und substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Es gilt das Rügeprinzip (BGE 133 III 589 E. 2 S. 591). Das Bundesgericht prüft daher nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
2. 2.1 Vorab beanstandet die Beschwerdeführerin die Verletzung des rechtlichen Gehörs, indem sowohl das Kantonsgericht als auch das Obergericht des Kantons Zug sich nicht zu den Anforderungen und Grenzen der zivilprozessualen Wahrheitsverpflichtung des Beschwerdegegners geäussert hätten.
2.2 Das rechtliche Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (BGE 134 I 83 E. 4.1, mit Hinweisen). Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (a.a.O.). Diese verfassungsrechtlichen Minimalanforderungen an die Begründung gelten auch für Rechtsöffnungsentscheide.
2.3 Der angefochtene Entscheid setzt sich mit allen wesentlichen Vorbringen der Beschwerdeführerin auseinander. Er nennt die zentralen Überlegungen, von denen das Obergericht ausgegangen ist, und diese werden in jeder Hinsicht verständlich und nachvollziehbar ausgeführt. Wie ihre 24-seitige Beschwerde zeigt, war die Beschwerdeführerin denn auch ohne Weiteres in der Lage, den Entscheid des Obergerichts sachgerecht anzufechten. Die Rüge ist demnach unbegründet.
3. Nach Art. 80 und Art. 81 Abs. 1 SchKG ist die definitive Rechtsöffnung zu erteilen, wenn die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Urteil beruht und der Betriebene nicht durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Urteils getilgt oder gestundet worden ist, oder wenn er die Verjährung anruft. Demgegenüber ist die definitive Rechtsöffnung bezüglich eines in einem anderen Kanton ergangenen Urteils zu verweigern, wenn der Betriebene nicht richtig vorgeladen worden oder nicht gesetzlich vertreten gewesen war (Art. 81 Abs. 2 SchKG). Darüber hinaus ist die definitive Rechtsöffnung ebenfalls zu verweigern, wenn sie sich auf eine nichtige Verfügung oder einen nichtigen Entscheid als Rechtsöffnungstitel stützt (BGE 129 I 361 E. 2.3 S. 364; 127 II 32 E. 3g S. 48, je mit Hinweisen).
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die beiden Rechtsöffnungstitel seien nichtig. Dazu bringt sie - zusammengefasst - vor, der Beschwerdegegner habe vor den Tessiner Instanzen gelogen und folglich Prozessbetrug begangen. Die auf dem Prozessbetrug beruhenden Rechtsöffnungstitel seien damit von diesem deliktisch und daher in unzulässiger Weise erwirkt worden. Sie dürften deshalb zur Durchführung eines Rechtsöffnungsverfahrens nicht verwendet werden, weil dadurch der Taterfolg des Prozessbetruges perpetuiert würde.
4.2 Fehlerhafte Entscheide sind nach mehrfach bestätigter bundesgerichtlicher Rechtsprechung nichtig, wenn der ihnen anhaftende Mangel kumulativ besonders schwer ist, wenn er sich als offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar erweist und die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird (sog. Evidenztheorie; vgl. BGE 132 II 21 E. 3.1 S. 27). Als Nichtigkeitsgründe fallen vorab funktionelle und sachliche Unzuständigkeit der entscheidenden Behörde sowie krasse Verfahrensfehler in Betracht (BGE 129 I 361 E. 2.1; 133 II 366 E. 3.2, mit Hinweisen). Inhaltliche Mängel einer Entscheidung führen nur ausnahmsweise zur Nichtigkeit (BGE 129 I 361 E. 2 S. 363). So müsste etwa ein Hoheitsakt, der jemanden zu einer objektiv unmöglichen Leistung verpflichtet oder die Partei oder Leistung so ungenügend bezeichnet, dass eine Vollstreckung unmöglich ist, als nichtig erklärt werden. Die Nichtigkeit kann dabei nicht an ein formales Kriterium geknüpft werden, sondern greift nur bei besonders hoher Wertung des verletzten Rechtsgutes Platz (MAX IMBODEN, Der nichtige Staatsakt, Zürich 1944, S. 147). In diesem Sinne hat das Bundesgericht etwa in der Verletzung des verfassungsrechtlich verbotenen Schuldverhafts (Art. 59 Abs. 3 aBV) in ständiger Rechtsprechung einen Nichtigkeitsgrund gesehen (BGE 14 526 E. 1 S. 527; 22 I 24).
4.3 Wenn die Beschwerdeführerin behauptet, der Beschwerdegegner sei vor den Tessiner Gerichten seiner Wahrheitsverpflichtung nicht nachgekommen, was besonders verwerflich sei, weil sie "zu diesem Zeitpunkt mangels [ihr] zur Verfügung stehender Beweismittel nicht in der Lage [gewesen sei, das Gegenteil] nachzuweisen" (Beschwerde S. 16 oben), dann macht sie Mängel geltend, die das Beweisverfahren des dem Kostenentscheid zu Grunde liegenden Hauptverfahrens betreffen. Derartige Mängel sind auf dem ordentlichen Rechtsmittelweg zu verfolgen. Dem Rechtsöffnungsrichter ist es untersagt, rechtskräftige Entscheide, die als definitive Rechtsöffnungstitel in Frage kommen, in der Sache selbst zu hinterfragen. Selbst wenn die hier interessierenden Rechtsöffnungstitel mit einem Mangel behaftet sein sollten, wozu sich das Bundesgericht nicht äussert, folgt aus diesem keine (absolute) Nichtigkeit der in Rechtskraft erwachsenen Entscheide. Der Antrag auf Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens ist deshalb abzuweisen.
Gleichzeitig erweist sich der Vorwurf der Rechtsverweigerung, weil Kantons- und Obergericht nicht von Amtes wegen überprüft hätten, ob der Beschwerdegegner die von ihm erlangten Rechtsöffnungstitel im Weg der unerlaubten Handlung erlangt hat, als unbegründet.
5. Schliesslich vertritt die Beschwerdeführerin die Auffassung, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht, denn Art. 21 LugÜ sei eine dem Bundesrecht zuzuordnende, von den schweizerischen Gerichten direkt anwendbare zivilprozessuale Norm aus internationalen Verträgen (BGE 123 III 414); in Anwendung dessen hätte das Rechtsöffnungsverfahren zufolge vorgängiger Anhängigmachung der negativen Feststellungsklage vor dem Landgericht Stuttgart sistiert werden sollen, weshalb der angefochtene Entscheid bundesrechtswidrig sei.
Abgesehen davon, dass sich die Behauptung der Beschwerdeführerin, Art. 21 LugÜ sei eine dem Bundesrecht zuzuordnende, von den schweizerischen Gerichten direkt anwendbare zivilprozessuale Norm, weder aus der Regeste noch aus den Erwägungen des von ihr angeführten Bundesgerichtsurteils ergibt, hat die Vorinstanz ausführlich dargetan, wann diese Bestimmung zur Anwendung gelangt. Weder damit, noch mit der entscheidrelevanten Erwägung (E. 3.3), dass für das vorliegende definitive Rechtsöffnungsverfahren - ohne Rücksicht auf den Wohnsitz - nach Art. 16 Nr. 5 LugÜ die Gerichte des Vertragsstaates zuständig seien, in dessen Hoheitsgebiet die Zwangsvollstreckung durchgeführt werden soll oder durchgeführt worden ist (FELIX DASSER/PAUL OBERHAMMER, Kommentar zum Lugano-Übereinkommen, N. 33 zu Art. 16 Nr. 5, S. 351), setzt sich die Beschwerdeführerin hinreichend auseinander. Im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde genügt die blosse Geltendmachung einer Verletzung von Art. 21 LugÜ nicht (E. 1.3); ein Entscheid ist nur dann aufzuheben, wenn Völkerrecht willkürlich (Art. 9 BV) angewendet worden ist. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133, mit Hinweisen). Mit ihren Vorbringen genügt die Beschwerdeführerin den Begründungsanforderungen (s. E. 1.3) nicht. Auf diese Rüge ist daher nicht einzutreten.
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegner ist einzig zur Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung eingeladen worden, wobei seinem Antrag, dasselbe abzuweisen, nicht stattgegeben worden ist. Daher ist ihm auch keine Entschädigung geschuldet.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zug, Justizkommission Zivilrechtliche Kammer, und dem Betreibungsamt Zug schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. August 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett