Erwägungen:
1. X._ befindet sich in der Strafanstalt Pöschwies im Verwahrungsvollzug. Mit Verfügung vom 10. April 2008 verweigerte ihm die Direktion der Strafanstalt Pöschwies, einer ausserhalb der Anstalt lebenden Person eine Computermaus zu schenken. Dagegen erhob X._ Rekurs. Die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich auferlegte X._ mit Verfügung vom 24. April 2008 einen Barvorschuss von Fr. 100.--, da dieser der Staatskasse aus anderen Verfahren noch Verfahrenskosten im Umfang von Fr. 492.-- schuldete. Daraufhin ersuchte X._ mit Eingabe vom 30. April 2008 um unentgeltliche Verfahrensführung. Die Direktion der Justiz und des Innern wies das Gesuch mit Verfügung vom 15. Mai 2008 ab und setzte dem Rekurrenten eine Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Verfahrensführung würden nicht vorliegen, da bereits die Mittellosigkeit nicht gegeben sei. Diese sei aufgrund der gesamten wirtschaftlichen Situation im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung zu beurteilen. Aus einem eingereichten Kontoauszug ergebe sich, dass der Rekurrent aus seinem Arbeitsverdienst jeweils monatlich einen frei verfügbaren Betrag von ca. Fr. 400.-- erhalte. Das entsprechende Konto habe am 5. Mai 2008 einen Saldo von Fr. 268.05 aufgewiesen. Damit sei der Beschwerdeführer, dessen Grundbedarf gedeckt sei, ohne weiteres in der Lage, den Kostenvorschuss von Fr. 100.-- zu bezahlen. Dass er sich allenfalls beim Kauf von Genussmitteln oder persönlichen Gegenständen einschränken müsse, sei ihm ohne weiters zuzumuten.
2. X._ führt mit Eingabe vom 22. Mai 2008 Beschwerde in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG) gegen die Verfügung der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennt die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Ist ein, wie hier, in Anwendung kantonalen Rechts ergangener Entscheid angefochten, bildet die Verletzung blossen kantonalen Rechts keinen selbständigen Beschwerdegrund. Vielmehr hat der Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern der beanstandete Entscheid gegen verfassungsmässige Rechte, wie etwa das Willkürverbot oder den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege verstossen soll. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen der Direktion der Justiz und des Innern zu seinem monatlich frei verfügbaren Betrag nicht rechtsgenüglich auseinander und vermag nicht darzulegen, inwiefern die Direktion ihm in verfassungswidriger Weise oder sonst wie in Verletzung von Recht im obgenannten Sinne die unentgeltliche Verfahrensführung verweigert haben sollte. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 118 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Angesichts der offensichtlichen Aussichtslosigkeit der vorliegenden Beschwerde kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Amt für Justizvollzug und der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli