Sachverhalt:
A. Am 18. Januar 2011 wurde X._ vom Bezirksgericht Zürich u.a. wegen sexueller Handlungen mit einem Kind, mehrfacher Pornografie, mehrfachen Verabreichens gesundheitsgefährdender Stoffe an Kinder und mehrfachen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz schuldig gesprochen. Das Bezirksgericht ordnete bezüglich einer vom Sicherheitsdepartement des Kantons Schwyz am 25. Mai 2009 verfügten bedingten Entlassung die Rückversetzung an und verurteilte X._ unter Einbezug der Reststrafe zu einer Gesamtstrafe von drei Jahren und einer Busse von Fr. 500.--. Weiter ordnete es eine stationäre therapeutische Massnahme an. Gleichzeitig beschloss das Bezirksgericht, bis zum möglichen Massnahmeantritt sei X._ in Sicherheitshaft zu belassen.
B. Gegen das damals noch nicht in begründeter Form vorliegende Urteil des Bezirksgerichts vom 18. Januar 2011 meldete X._ am 7. Februar 2011 Berufung an. Am 22. April 2011 stellte er ein Gesuch um Entlassung aus der Sicherheitshaft. Mit Beschluss vom 27. Mai 2011 wies das Bezirksgericht das Haftentlassungsgesuch ab. Ausserdem ordnete es an, dass X._ für die Dauer von einem Monat kein neuerliches Haftentlassungsgesuch stellen könne. Eine von X._ gegen den Entscheid des Bezirksgerichts vom 27. Mai 2011 erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich am 21. Juni 2011 ab, wobei es feststellte, dass die Sicherheitshaft vorläufig längstens bis am 27. August 2011 dauere.
C. Mit Beschwerde vom 21. Juli 2011 (Posteingang: 8. August 2011) gelangt X._ ans Bundesgericht. Er beantragt, die Beschlüsse des Bezirksgerichts vom 27. Mai 2011 sowie des Obergerichts vom 21. Juni 2011 seien aufzuheben und er sei aus der Sicherheitshaft zu entlassen. Allenfalls sei ihm die Möglichkeit zu geben, sich selbst um einen stationären Therapieplatz zu kümmern. Eventuell sei die zuständige Behörde anzuhalten, ihn für eine ambulante Therapie in eine andere Strafanstalt oder in ein Massnahmenzentrum zu versetzen. Weiter beantragt er, ein psychiatrisches Gutachten vom 17. Juni 2010 sei als nicht verwendbar zu erklären und die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, auf ein Schreiben von ihm vom 15. November 2010 zu reagieren und entsprechende Untersuchungshandlungen zu veranlassen.
D. Das Obergericht und die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich sowie das Bezirksgericht Zürich verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschluss vom 21. Juni 2011, mit welchem das Obergericht die Abweisung des Haftentlassungsgesuchs des Beschwerdeführers bestätigt hat, ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid in einer Strafsache, gegen den gemäss Art. 78 ff. BGG grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen offen steht. Nach Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ist die Beschwerde gegen den selbstständig eröffneten Zwischenentscheid zulässig, da die Fortsetzung der Sicherheitshaft einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (vgl. Urteil 1B_277/2011 vom 28. Juni 2011 E. 1.1). Der Beschwerdeführer ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG beschwerdebefugt, zumal er sich nach wie vor in Sicherheitshaft befindet und deshalb ein aktuelles Interesse an der Behandlung der Beschwerde hat. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen einzutreten.
1.2 Nicht einzutreten ist auf den Antrag des Beschwerdeführers, der Beschluss des Bezirksgerichts vom 27. Mai 2011 sei aufzuheben. Dieser Entscheid ist durch den Entscheid der Vorinstanz ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt als inhaltlich mitangefochten (vgl. BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
1.3 Nicht einzutreten ist sodann auf die Anträge des Beschwerdeführers, ein psychiatrisches Gutachten sei als nicht verwendbar zu erklären und die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, auf ein Schreiben vom 15. November 2010 zu reagieren bzw. entsprechende Untersuchungshandlungen zu veranlassen. Hierbei handelt es sich um ausserhalb des Streitgegenstands liegende, unzulässige neue Begehren im Sinne von Art. 99 Abs. 2 BGG. Aus dem gleichen Grund nicht einzutreten ist auf den Eventualantrag des Beschwerdeführers, wonach ihm der (vorzeitige) Antritt einer ambulanten Massnahme oder einer stationäre Therapie zu ermöglichen sei. Ein entsprechendes Gesuch wäre an die zuständigen kantonalen Behörden zu richten.
1.4 Soweit sich die Beschwerde sodann gegen die vom Bezirksgericht verfügte und von der Vorinstanz bestätigte einmonatige Sperrfrist richtet, innert welcher der Beschwerdeführer kein neues Haftentlassungsgesuch stellen dürfe, ist darauf mangels einer entsprechenden Begründung in der Beschwerdeschrift in Anwendung von Art. 42 Abs. 2 BGG ebenfalls nicht einzutreten.
2. Der angefochtene Entscheid betrifft die Fortsetzung der Sicherheitshaft und damit eine Zwangsmassnahme im Sinne von Art. 196 ff. StPO. Strafprozessuale Zwangsmassnahmen sind Verfahrenshandlungen der Strafbehörden, die in die Grundrechte der Betroffenen eingreifen und dazu dienen, Beweise zu sichern, die Anwesenheit von Personen im Verfahren sicherzustellen oder die Vollstreckung des Endentscheids zu gewährleisten (Art. 196 lit. a-c StPO). Die Auslegung und die Anwendung der im Bundesrecht geregelten Voraussetzungen für die Grundrechtsbeschränkungen prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (Art. 95 lit. a BGG; vgl. BGE 128 II 259 E. 3.3 S. 269). Mit dem Entscheid über strafprozessuale Zwangsmassnahmen wird über die Grundrechtsbeschränkung definitiv entschieden. Somit stellen diese Zwangsmassnahmen keine vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG dar. Die nach dieser Bestimmung vorgeschriebene Beschränkung der Rügegründe und das über die Begründungspflicht nach Art. 42 Abs. 2 BGG hinausgehende Rügeprinzip im Sinne von Art. 106 Abs. 2 BGG sind demnach nicht anwendbar (vgl. zur Publikation bestimmtes Urteil 1B_277/2011 vom 28. Juni 2011 E. 1.2 mit Hinweisen).
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz sei in keiner Weise auf seine Anträge eingegangen, sondern habe einfach die Ausführungen der Staatsanwaltschaft sowie des Bezirksgerichts wiederholt, obwohl er mehrfach ein fehlerhaftes Gutachten erwähnt habe und auf inhaltliche Fehler bzw. falsche Interpretationen und falsche Anschuldigungen aufmerksam gemacht habe. In diesen Vorbringen könnte die sinngemässe Rüge einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör bzw. einer formellen Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV) erblickt werden. Damit vermag der Beschwerdeführer allerdings nicht durchzudringen. Die Vorinstanz hat den vom Beschwerdeführer gestellten Antrag behandelt und ist in genügender Weise auf seine Vorbringen eingegangen, soweit diese überhaupt mit dem Verfahrensgegenstand, nämlich dem abgewiesenen Haftentlassungsgesuch, im Zusammenhang standen.
4. Nach Art. 221 Abs. 1 StPO sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft nur zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ausserdem ein besonderer Haftgrund im Sinne von Art. 221 Abs. 1 lit. a-c StPO vorliegt. Ausserdem ist Haft zulässig, wenn ernsthaft zu befürchten ist, eine Person werde ihre Drohung, ein schweres Verbrechen auszuführen, wahrmachen (Art. 221 Abs. 2 StPO).
Angesichts der Verurteilung des Beschwerdeführers durch das Bezirksgericht u.a. wegen sexueller Handlungen mit einem Kind, mehrfacher Pornografie, mehrfachen Verabreichens gesundheitsgefährdender Stoffe an Kinder und mehrfachen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz besteht zweifelsohne ein dringender Tatverdacht im Sinne von Art. 221 Abs. 1 StPO. Der Beschwerdeführer bestreitet indessen das Vorliegen eines besonderen Haftgrunds im Sinne von Art. 221 Abs. 1 lit. a-c StPO.
5. Der besondere Haftgrund der Wiederholungsgefahr ist nach Art. 221 Abs. 1 lit. c StPO gegeben, wenn ernsthaft zu befürchten ist, dass die beschuldigte Person durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich gefährdet, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat.
5.1 Nach der Praxis des Bundesgerichts kann die Anordnung bzw. Fortsetzung von strafprozessualer Haft wegen Wiederholungsgefahr dem Verfahrensziel der Beschleunigung dienen, indem verhindert wird, dass sich der Strafprozess durch immer neue Delikte kompliziert und in die Länge zieht. Auch die Wahrung des Interesses an der Verhütung weiterer schwerwiegender Delikte ist nicht verfassungs- und grundrechtswidrig. Vielmehr anerkennt Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK ausdrücklich die Notwendigkeit, Beschuldigte an der Begehung strafbarer Handlungen zu hindern, somit Spezialprävention, als Haftgrund (BGE 137 IV 84 E. 3.2 S. 85; 135 I 71 E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen). Bei der Annahme, dass ein Beschuldigter weitere schwere Delikte begehen könnte, ist indessen Zurückhaltung geboten. Im Hinblick auf das Verhältnismässigkeitsprinzip ist die Aufrechterhaltung von strafprozessualer Haft wegen Wiederholungsgefahr nach der bundesgerichtlichen Praxis zulässig, wenn einerseits die Rückfallprognose sehr ungünstig und anderseits die zu befürchtenden Delikte von schwerer Natur (im Sinne von Art. 221 Abs. 1 lit. c StPO) sind. Die rein hypothetische Möglichkeit der Verübung weiterer Delikte sowie die Wahrscheinlichkeit, dass nur geringfügige Straftaten verübt werden, reichen dagegen nicht aus, um eine Präventivhaft zu begründen (BGE 137 IV 13 E. 2.4-4 S. 17 ff.; 135 I 71 E. 2.3 S. 73; je mit Hinweisen).
5.2 Der Beschwerdeführer ist einschlägig vorbestraft und hat demzufolge bereits früher gleichartige, schwere Straftaten verübt. In einem anlässlich der Strafuntersuchung erstellten psychiatrischen Gutachten vom 17. Juni 2010 wurden bei ihm verschiedene schwerwiegende Persönlichkeitsstörungen diagnostiziert. Es wurde eine ungünstige Legalprognose gestellt. Bezüglich sexueller Handlungen mit Kindern sei mit einer gesamthaft deutlichen Rückfallgefahr zu rechnen. Auch bei Verstössen gegen das Betäubungsmittelgesetz sei die Rückfallgefahr deutlich. Der Gutachter empfahl die Anordnung einer stationären Massnahme nach Art. 59 StGB.
Der Beschwerdeführer kritisiert mehrfach das erwähnte Gutachten. Dessen Würdigung ist indessen in erster Linie Aufgabe des Sach- bzw. Berufungsgerichts, dessen Entscheid im Haftprüfungsverfahren nicht vorzugreifen ist. Im vorliegenden Verfahren ist jedenfalls festzuhalten, dass die Rückfallprognose für den Beschwerdeführer sehr ungünstig ausfällt. Dies ergibt sich insbesondere daraus, dass er einschlägig vorbestraft ist und sich nicht von der Begehung weiterer schwerer Delikte abhalten liess. Die im Falle einer Haftentlassung zu befürchtenden Verbrechen oder Vergehen sind schwerer Natur und gefährden die Sicherheit anderer erheblich. Damit ist der besondere Haftgrund der Wiederholungsgefahr im Sinne von Art. 221 Abs. 1 lit. c StPO gegeben. An dieser Einschätzung ändert auch der Einwand des Beschwerdeführers nichts, er habe genügend Zeit gehabt, sich Gedanken über das Geschehene zu machen und es sei ihm durch das ganze Verfahren bewusst geworden, dass er Kontakte zu unter 18-jährigen Jugendlichen besser bleiben lasse.
6. Nach dem Gesagten kann offen bleiben, ob neben der Wiederholungsgefahr auch der besondere Haftgrund der Kollusionsgefahr (Art. 221 Abs. 1 lit. b StPO) erfüllt wäre. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (vgl. Art. 64 BGG). Es werden deshalb keine Kosten erhoben. Ein Anwaltshonorar ist nicht auszurichten, da der Beschwerdeführer nicht anwaltlich vertreten war.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I sowie dem Obergericht des Kantons Zürich, I. und III. Strafkammer und dem Bezirksgericht Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle