Erwägungen:
1. X._, 1975 geborener Sri-Lanker, reiste im Februar 1991 in die Schweiz ein. Sein Asylgesuch wurde am 11. September 2000 abgewiesen, verbunden mit der Wegweisung, wobei aber auf deren Vollzug verzichtet und die vorläufige Aufnahme angeordnet wurde. In der Folge erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung, die ein letztes Mal bis zum 3. April 2007 verlängert wurde. Am 21. Oktober 2002 heiratete er in Sri Lanka seine Landsfrau Y._, welche am 7. Juni 2004 im Familiennachzug zu ihm zog und ihrerseits eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Das Ehepaar hat zwei in der Schweiz geborene Kinder, V._ und W._ (geboren 2006 und 2007).
Im Zeitraum von April 1998 bis August 2009 erwirkte X._ über 20 Strafverfügungen; zudem haben er und seine Frau in erheblichem Masse Schulden angehäuft. Am 26. September 2002 sowie am 31. März 2006 wurde er verwarnt. Mit Verfügung vom 15. Juni 2009 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern sein Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung(en) ab und wies die gesamte Familie weg. Eine Beschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern blieb erfolglos. Mit Urteil vom 4. Oktober 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die gegen den Departementsentscheid erhobene Beschwerde ab; die Ausreisefrist setzte es neu auf den 30. November 2010 an.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 11. November 2010 beantragen X._ und Y._ für sich und ihre Kinder dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts und die diesem zugrundeliegenden Entscheidungen seien aufzuheben; es sei ihnen die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. zu verlängern; eventualiter sei festzustellen, dass die Wegweisung nach Sri Lanka unzumutbar sei, weshalb der Kanton Luzern anzuweisen sei, dem Bundesamt für Migration ein Gesuch um Anordnung der vorläufigen Aufnahme zu unterbreiten; subeventualiter sei die Sache zur Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanzen zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden. Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2. 2.1 Gemäss Art. 83 lit. c BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), betreffend die vorläufige Aufnahme (Ziff. 3) sowie betreffend die Wegweisung (Ziff. 4). Die Ausführungen der Beschwerdeführer zur Wegweisung und zur vorläufigen Aufnahme sind im Rahmen dieses ordentlichen Rechtsmittels mithin nicht zu hören. Dieses könnte vorliegend höchstens insofern offenstehen, als ein Rechtsanspruch auf Aufenthaltsbewilligung besteht. Die Beschwerdeführer berufen sich diesbezüglich auf Art. 8 EMRK. Der Ehefrau und den Kindern fehlt von vornherein ein irgendwie gearteter, vom Aufenthaltsstatus des Beschwerdeführers 1 unabhängiger Rechtsanspruch auf Bewilligung, kann doch bei ihnen von einer Verwurzelung in der Schweiz keine Rede sein. Einzig angesichts der langen Landesanwesenheit des Beschwerdeführers 1 könnte sich die Frage eines Bewilligungsanspruchs im Sinne des von Art. 8 EMRK garantierten Rechts auf Achtung des Privatlebens stellen. Die Schranken für die Anerkennung eines Bewilligungsanspruchs unter diesem Titel sind jedoch hoch (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.2. S. 286 ff.), und vorliegend ist namentlich angesichts der unzähligen Verstösse gegen die Rechtsordnung durch den Beschwerdeführer 1 eine vertiefte Integration bzw. Verwurzelung in der Schweiz selbst ansatzweise nicht erkennbar. Es obläge damit, auch angesichts von E. 3c des angefochtenen Urteils, den Beschwerdeführern, besondere Umstände, die sonstwie für das Bestehen eines Bewilligungsanspruchs nach Art. 8 EMRK sprechen könnten, glaubhaft und in vertretbarer Weise geltend zu machen (Urteile 2C_328/2010 vom 4. Oktober 2010 E. 1.1 und 2C_84/2010 vom 1. Oktober 2010 E. 1.1; spezifisch zum Anspruch aus Art. 8 EMRK bei langer Landesanwesenheit Urteil 2C_832/2009 vom 29. Juni 2010 E. 5); dies tun sie nicht. Damit ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in jeder Hinsicht unzulässig.
Es bleibt zu prüfen, ob die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 BGG entgegengenommen werden kann.
2.2 Mit der Verfassungsbeschwerde kann bloss die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Solche Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeführer sind bei fehlendem Bewilligungsanspruch nur beschränkt zur Verfassungsbeschwerde legitimiert (vgl. BGE 133 I 185 E. 6.1 und 6.2 S. 197 ff.). Soweit sie zulässige Rügen erheben, mangelt es an einer hinreichend substantiierten Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG):
Die Beschwerdeführer werfen dem Verwaltungsgericht vor, es habe sich zu Unrecht auf das Novenverbot berufen; dabei rügen sie die Verletzung von Art. 29a und 29 Abs. 2 BV. Das Verwaltungsgericht hat sich indessen mit der Frage der Zumutbarkeit der Heimreise der Beschwerdeführer (und damit der Notwendigkeit einer Weiterleitung der Sache an das Bundesamt für Migration zwecks Prüfung der vorläufigen Aufnahme) befasst und diesbezüglich ausdrücklich anerkannt, dass die Beschwerdeführer aus dem Norden von Sri Lanka stammen. Damit waren einerseits die Erwägungen zur Frage der Zulässigkeit von Noven für das Urteil des Verwaltungsgerichts nicht ausschlaggebend. Andererseits erklären die Beschwerdeführer nicht, was sie - nebst ihrer gerade unbestrittenen Herkunft aus dem Norden - mit den Asylakten belegen wollten; inwiefern das Verwaltungsgericht durch den Verzicht auf deren Beizug in willkürliche antizipierte Beweiswürdigung verfallen wäre, ist somit nicht dargetan. Sodann sind die Ausführungen der Beschwerdeführer nicht geeignet aufzuzeigen, inwiefern die namentlich unter Berücksichtigung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts E-3322/2010 vom 29. Juni 2010 getroffenen (wenn auch knappen) Feststellungen des Verwaltungsgerichts über die Zumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs unhaltbar oder sonst mit verfassungsmässigen Rechten nicht vereinbar wären.
2.3 Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.4 Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang den Beschwerdeführern 1 und 2, die für ihre Kinder handeln, zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz und Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern 1 und 2 je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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