Sachverhalt:
A. Die 1958 geborene A._ ist als Sachbearbeiterin Kundendienst in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 17. Mai 2002 erlitt sie einen Verkehrsunfall. Sie hatte den von ihr gelenkten Personenwagen ausserorts vor der Einmündung in eine vortrittsberechtigte Strasse angehalten. Ein nachfolgender Personenwagen prallte ins Heck ihres Wagens. Der von A._ gleichentags aufgesuchte Dr. med. H._, Arzt für Allgemeine Medizin FMH, diagnostizierte mit Bericht vom 12. Juni 2002 eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und bestätigte eine volle Arbeitsunfähigkeit. Die Versicherte nahm die Arbeit am 9. September 2002 zu 20 % wieder auf und steigerte das Pensum kontinuierlich bis auf 80 % ab 13. Januar 2003. Nachdem wieder mehr Beschwerden aufgetreten waren, wurde die Arbeitsfähigkeit ab 5. November 2003 auf 60 % festgelegt. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Sie holte sodann den Polizeirapport zum Unfall, eine biomechanische Kurzbeurteilung vom 29. Oktober 2002 sowie Berichte der behandelnden Ärzte und ein Konsilium des Dr. med. Z._, Facharzt FMH für Neurologie und Physikalische Medizin und Rehabilitation, Rehaklinik N._, vom 4. November 2003 ein. Am 30. August 2004 äusserte sich Dr. med. Z._ nochmals im Rahmen einer neurologischen Verlaufskontrolle. Am 23. November 2004 gab Kreisarzt-Stellvertreter Dr. med. S._, FMH Chirurgie, eine ärztliche Beurteilung ab. Aufgrund des protrahierten Verlaufs veranlasste die SUVA zudem beim Institut Y._ ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten (mit neurologischen, neuropsychologischen und rheumatologischen Teilexpertisen), welches am 14. November 2005 erstattet wurde. Dazu äusserte sich Dr. med. S._ in einer ärztlichen Beurteilung vom 12. April 2006. Mit Verfügung vom 12. Juni 2006 eröffnete die SUVA der Versicherten, die Leistungen würden auf den 30. Juni 2006 eingestellt; zudem bestehe kein Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Begründet wurde dies damit, die noch bestehenden Beschwerden seien nicht mit einer somatischen Unfallfolge zu erklären und stünden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 17. Mai 2002. Die vom Krankenversicherer der A._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache der Versicherten wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 28. Dezember 2006).
B. A._ reichte Beschwerde ein, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Entscheid vom 30. Oktober 2008 abwies.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, über den 30. Juni 2006 hinaus Leistungen, namentlich Taggeld, Heilbehandlung etc., zu erbringen.
Die SUVA und das kantonale Gericht schliessen je auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin aus dem Unfall vom 17. Mai 2002 über den 30. Juni 2006 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, richtig dargelegt. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (sog. Psycho-Praxis), während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (sog. Schleudertrauma-Praxis; zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen). Zu erwähnen bleibt, dass das Bundesgericht die mit BGE 117 V 359 begründete Schleudertrauma-Praxis in BGE 134 V 109 in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (BGE 134 V 109 E. 9 und 10 S. 121 ff.).
3. Die Beschwerdeführerin bringt zunächst vor, sie habe sich bei dem im kantonalen Verfahren durchgeführten zweifachen Schriftenwechsel nur zur damals noch (unverändert) gültig gewesenen Schleudertrauma-Praxis nach BGE 117 V 359 äussern können. Das kantonale Gericht habe dann im hier angefochtenen Entscheid die präzisierte Schleudertrauma-Rechtsprechung gemäss BGE 134 V 109 angewendet. Es wäre gehalten gewesen, der Versicherten vorher die Möglichkeit einzuräumen, ihre Vorbringen im Hinblick auf BGE 134 V 109 zu ergänzen. Dies habe es unterlassen und damit ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
Ob im vorinstanzlichen Vorgehen ein solcher Verfahrensmangel zu sehen ist, kann offen bleiben. Denn eine allfällige Gehörsverletzung wäre jedenfalls im vorliegenden Verfahren, in welchem sich die Beschwerdeführerin vor dem mit voller Kognition urteilenden Bundesgericht auch zu BGE 134 V 109 äussern konnte, geheilt worden.
4. In materiellrechtlicher Hinsicht besteht zunächst Uneinigkeit in der Beantwortung der Frage, ob die noch bestehenden Beschwerden mit einem organisch objektiv ausgewiesenen, natürlich unfallkausalen Gesundheitsschaden zu erklären sind.
4.1 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die über den 30. Juni 2006 hinaus geklagten Beschwerden seien nicht mit klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen im Sinne nachweisbarer struktureller Veränderungen zu erklären.
Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen und zutreffenden Würdigung der medizinischen Akten, insbesondere auch der Ergebnisse der mit bildgebenden Verfahren durchgeführten Untersuchungen. Mit der Vorinstanz ist auch in antizipierter Beweiswürdigung von ergänzenden medizinischen Abklärungen abzusehen, da diese keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen.
Was in der Beschwerde vorgebracht wird, führt zu keiner anderen Betrachtungsweise. Das zeigen die folgenden Erwägungen.
4.2 Die im Bereich der HWS mittels MRI vom 6. Juni 2002 festgestellten - und gemäss erneutem MRI vom 15. Dezember 2004 seit der Erstuntersuchung unverändert gebliebenen - Veränderungen (mässiggradige spondylotische Veränderungen der HWS; medio links laterale kleine subligamentäre Diskusherniationen C5/6 und C6/7) sind als degenerativ bedingt und vorbestanden, mithin unfallfremd, zu betrachten. Die durchgeführten bildgebenden Untersuchungen ergaben auch keine Hinweise auf eine unfallbedingte Verschlimmerung dieses Vorzustandes, welche die über den 30. Juni 2006 bestanden Beschwerden zu erklären vermöchte. Das hat das kantonale Gericht gestützt auf die medizinische Aktenlage zutreffend erkannt. Alleine der Umstand, dass die Veränderungen an der HWS vor dem Unfall symptomlos waren, vermag keine unfallbedingte organisch nachweisbare Beeinträchtigung des Vorzustandes darzutun. Daran ändert der Hinweis der Beschwerdeführerin auf das Urteil U 155/05 vom 6. September 2005 nichts.
Sodann hat das kantonale Gericht entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht darauf geschlossen, die Folgen einer HWS-Distorsion heilten in der Regel innert drei bis sechs Monaten aus. Die Vorinstanz hat vielmehr gestützt auf die Aussagen des Dr. med. S._ erwogen, die Kollision habe allenfalls zu einer vorübergehenden Verschlimmerung des degenerativen Vorzustandes an der HWS und zu einer Zerrung von Weichteilen im Bereich der HWS bzw. des Nackens geführt. Aufgrund der gegebenen Umstände überzeuge die auch auf medizinischen Erfahrungswerten beruhende Einschätzung des Dr. med. S._, wonach allfällige solche Verletzungen innerhalb von drei bis sechs Monaten ausgeheilt seien. Diese Beurteilung ist, insbesondere auch im Lichte der Rechtsprechung zur Leistungspflicht des Unfallversicherers bei Diskushernien (vgl. Urteil 8C_614/2007 vom 10. Juli 2008 E. 4.1 mit Hinweisen), nicht zu beanstanden. Es kann namentlich auch zuverlässig davon ausgegangen werden, dass eine unfallbedingte Verschlimmerung der Bandscheibenproblematik spätestens ab dem 30. Juni 2006, auf welchen Zeitpunkt die Leistungen eingestellt wurden, nicht mehr für Beschwerden verantwortlich war. Damit kann offen bleiben, ob eine natürlich unfallkausale Verschlimmerung der Diskushernien überhaupt bildgebend ausgewiesen wäre (vgl. hiezu: SVR 2008 UV Nr. 36 S. 137 [8C_637/2007]).
4.3 Das kantonale Gericht hat sodann erwogen, die zwischenzeitlich diagnostizierten Pathologien an der linken Schulter (Periarthropathia humeroscapularis) und an beiden Ellbogen (Epicondylopathia) seien nicht natürlich unfallkausal.
In Bezug auf die Ellbogenproblematik ist dies nicht umstritten. Die Versicherte macht aber geltend, die Periarthropathia sei unfallbedingt.
Die Vorinstanz hat hiezu erwogen, zwar werde diese Schädigung im Gutachten des Instituts Y._ vom 14. November 2005 unter den unfallassoziierten Diagnosen aufgeführt und im rheumatologischen Teilgutachten des Instituts Y._ des Dr. med. K._ vom 14. November 2005 als unfallkausal bezeichnet. Dr. med. K._ und die weiteren Gutachter hätten indessen keine nachvollziehbare Begründung für den angenommenen kausalen Zusammenhang abgegeben. Gegen eine solche Kausalität spreche auch, dass in den echtzeitlichen medizinischen Berichten der ersten Monate keine Verletzungen im Schulterbereich erwähnt würden.
Diese Beurteilung ist richtig. Daran vermögen die Vorbringen in der Beschwerde nichts zu ändern. Die Schulterbeschwerden, welche schon gleich nach dem Unfall geklagt wurden, lassen sich nach Lage der medizinischen Akten, insbesondere der zeitlich unfallnahen Arztberichte, zwanglos als Ausstrahlungen aufgrund einer vorübergehenden Verschlimmerung im HWS-Bereich erklären. Hiefür spricht ebenfalls, dass diese Beschwerden beide Schultern betrafen und mithin die linke, nun von der Periarthropathia betroffene Schulter nicht hervortrat. Auch bietet der Hergang des Unfalles vom 17. Mai 2002 keine Anhaltspunkte dafür, dass die linke Schulter besonders betroffen worden wäre. Mit diesen Ausführungen sollen die Schulterbeschwerden nicht etwa herabgewürdigt werden. Massgebend ist hier aber, ob eine unfallbedingte organisch nachweisbare Gesundheitsschädigung vorliegt. Dies trifft in Bezug auf die Periarthropathia nicht zu. Dass Dr. med. K._ im rheumatologischen Teilgutachten vom 14. November 2005 von einer "Periarthropathia der linken Schulter im Sinne einer spondylogenen Symptomatik" spricht, rechtfertigt entgegen der von der Versicherten vertretenen Auffassung keine andere Betrachtungsweise. Wenn im Bereich der Schulter spondylogene, mithin von der Wirbelsäule herrührende Beschwerden auftraten, lässt sich dies wie dargelegt auch anders begründen. Dass wegen der spondylogenen Symptomatik die Periarthropathia nun aber als unfallkausal zu betrachten wäre, überzeugt nicht.
4.4 Umstritten ist weiter, ob die Beschwerdeführerin beim Unfall vom 17. Mai 2002 eine milde traumatische Hirnverletzung (mild traumatic brain injury, MTBI) erlitten hat. Fest steht, dass eine Hirnschädigung organisch nicht nachgewiesen werden konnte. Damit hat es an dieser Stelle sein Bewenden.
5. Nach dem Gesagten liegt keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vor. Das schliesst zwar die natürliche Unfallkausalität der bestehenden Beschwerden nicht aus. Anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat kann der adäquate Kausalzusammenhang aber nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (E. 2 hievor).
Eine solche Prüfung hat die Vorinstanz vorgenommen. Sie ist dabei nach der Schleudertrauma-Praxis (vgl. E. 2 hievor) vorgegangen und hat die Adäquanz - und damit eine weitere Leistungspflicht des Unfallversicherers - verneint. Die Versicherte geht ebenfalls von der Anwendbarkeit der Schleudertrauma-Rechtsprechung aus. Sie erachtet den adäquaten Kausalzusammenhang aber als erfüllt.
5.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126; E. 2 hievor). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.2 und 5.3.1 [U 2, 3 und 4/07]; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
5.2 Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 17. Mai 2002 bei den mittelschweren Unfällen und dort an der Grenze zu den leichten Unfällen eingereiht. Das ist im Lichte der Rechtsprechung zur Unfallschwere bei einfachen Auffahrunfällen (SVR 2007 UV Nr. 26 S. 86 E. 5.2 [U 339/06]; RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.1.2 mit Hinweisen [U 380/04]) richtig und auch nicht umstritten.
5.3 Von den weiteren massgeblichen Kriterien müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f.; 117 V 359 E. 6 S. 367 f.).
Als massgeblichen Kriterien gelten gemäss der mit BGE 134 V 109 präzisierten Rechtsprechung: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130).
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es sei höchstens und jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen erfüllt. Die Versicherte vertritt die Auffassung, es seien dieses und auch vier weitere Kriterien erfüllt.
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es sei höchstens und jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen erfüllt. Die Versicherte vertritt die Auffassung, es seien dieses und auch vier weitere Kriterien erfüllt.
5.4 5.4.1 Zu Recht nicht geltend gemacht werden die beiden Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls und der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert.
5.4.2 Das kantonale Gericht hat erwogen, die medizinischen Vorkehren hätten im Wesentlichen in Abklärungsmassnahmen, Verlaufskontrollen, Medikamentenabgaben und insbesondere in Behandlungen aus den Bereichen Physiotherapie sowie traditioneller chinesischer Medizin bestanden. Stationäre Behandlungen seien keine erfolgt und auch eine länger dauernde psychiatrische Behandlung sei nicht dokumentiert. Es könnte daher nicht von einer fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung gesprochen werden.
Diese Beurteilung ist im Lichte der Rechtsprechung zu diesem Kriterium (vgl. etwa 8C_623/2007 vom 22. August 2008 E. 8.3 und 8C_500/2007 vom 16. Mai 2008 E. 5.4 mit Hinweis) nicht zu beanstanden. Dass keine - gegebenenfalls behandlungsbedürftige - psychische Problematik besteht und dass die erfolgten Behandlungen jeweils ausserhalb der Arbeitszeit stattfanden, führt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung zu keiner anderen Betrachtungsweise. Gleiches gilt für das Vorbringen, die Versicherte habe stets arbeiten wollen und deshalb keine stationäre Therapie beansprucht; denn wenn eine Hospitalisation medizinisch wirklich indiziert gewesen wäre, hätten die berichterstattenden Ärzte diese Massnahme sicher empfohlen. Das ist nach Lage der Akten nicht erfolgt und wird auch nicht geltend gemacht.
5.4.3 Einen schwierigen Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen hat das kantonale Gericht ebenfalls zu Recht verneint. Es bedürfte hiefür besonderer Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben (Urteil 8C_252/2007 vom 16. Mai 2008 E. 7.6, auch zum Folgenden). Dass Beschwerden trotz der durchgeführten Behandlungen persistieren, genügt nicht für die Bejahung des Kriteriums. Auch reicht nicht, wenn - wie weiter geltend gemacht wird - Schulterbeschwerden bereits ab dem Unfall bestanden und sich "im Sinne einer Komplikation eher verstärkt haben". Allfällige Komplikationen müssten erheblicher Art sein, was hier nicht zutrifft.
5.4.4 Damit die Adäquanz trotz Verneinung der bisher behandelten Kriterien bejaht werden könnte, müsste von den verbleibenden Kriterien mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise vorliegen.
Bezüglich des Kriteriums der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz erheblicher Anstrengungen ist zwar der Einsatz anerkennenswert, den die Versicherte bei den Therapien und beim Versuch, sich vollständig wieder in den Arbeitsprozess einzugliedern, gezeigt hat. Es waren aber auch erhebliche Zeiträume mit einer nur vergleichsweise wenig eingeschränkten Arbeitsunfähigkeit zu verzeichnen. Dies gestattet jedenfalls nicht, das Kriterium in besonders ausgeprägter Weise zu bejahen. Sodann liegen mit dem Vorzustand an der HWS und der abgewandten Kopfhaltung beim Unfall Faktoren vor, welche beim Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen beachtlich sein könnten. Eine allenfalls erlittene MTBI wäre hingegen zu wenig gewichtig, um Berücksichtigung zu finden; es kann daher offen bleiben, ob eine solche Schädigung eingetreten ist oder nicht. In besonders ausgeprägter Weise ist das Kriterium bei gesamthafter Betrachtung nicht erfüllt. Gleiches gilt für das Kriterium der erheblichen Beschwerden. Es muss daher nicht abschliessend geprüft werden, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form gegeben wären.
5.5 Die Vorinstanz hat somit den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 17. Mai 2002 und den noch bestehenden Beschwerden und damit die Leistungspflicht des Unfallversicherers zu Recht verneint.
6. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. April 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz