Erwägungen:
1. Der Veterinärdienst des Kantons Solothurn verfügte am 23. Dezember 2011, nachdem er bei Kontrollen erhebliche Mängel in der Tierhaltung festgestellt hatte, definitiv die Beschlagnahme von sieben detailliert aufgeführten Hunden von X._; gleichzeitig verhängte er über diese und alle im gleichen Haushalt lebenden Personen wegen schwerer Verstösse gegen die Tierschutz- und Hundegesetzgebung und wegen Ungehorsams gegen eine vorausgehende Verfügung vom 30. November 2011 ein unbeschränktes Tierhalteverbot. Das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Solothurn hiess die gegen die Verfügung des Veterinärdienstes erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 6. Juli 2012 teilweise gut; definitiv zu beschlagnahmen waren nur fünf Hunde, der Halterin seien - unter bestimmten Bedingungen - zwei Hunde ihrer Wahl auszuhändigen; weiter wurde das Tierhalteverbot insofern eingeschränkt, als es nur gegen X._ gelten sollte und als unbeschränktes Teilhalteverbot zu erlassen sei, wonach das Halten von mehr als zwei Hunden untersagt bleibe. Die gegen diesen Beschwerdeentscheid erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 19. November 2012 im Sinne der Erwägungen insofern teilweise gut, als die Beschlagnahme von fünf bzw. sieben Hunden aufgehoben werde, sobald die Halterin den Nachweis erbringe, dass sie die beschlagnahmten Tiere nach Ungarn ausführen dürfe; sofern nicht alle Tiere ausgeführt werden dürften, bleibe die Beschlagnahme der übrigen Tiere im Umfang des angefochtenen Entscheids des Volkswirtschaftsdepartements vom 6. Juli 2012 aufrechterhalten.
X._ gelangte mit Eingabe vom 19. Dezember 2012 an das Bundesgericht, womit sie namentlich die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts sowie des Tierhalteverbots beantragt sowie um Übernahme sämtlicher mit dem Rechtsstreit verbundenen Kosten durch den Täter ersucht. Die Beschwerdeführerin wurde mit Schreiben vom 3. Januar 2013 über die bei der Beschwerdeerhebung zu beachtenden Modalitäten belehrt und darauf hingewiesen, dass die Eingabe vom 19. Dezember 2012 den gesetzlichen Anforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nicht genügen dürfte, wobei eine Verbesserung der Beschwerde während der noch laufenden Beschwerdefrist möglich sei und ein vollständiges Exemplar des anzufechtenden Urteils nachzureichen sei; ebenso wurde die nach Ungarn ausgereiste Beschwerdeführerin in Anwendung von Art. 39 Abs. 3 BGG eingeladen, bis zum 14. Januar 2013 eine Zustelladresse in der Schweiz bekannt zu geben, und darauf aufmerksam gemacht, dass andernfalls Zustellungen an sie unterbleiben oder in einem amtlichen Blatt eröffnet werden können. Sie hat am 8. Januar 2013 ein vollständiges Exemplar des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 19. November 2012 nachgereicht. Sie erwähnte überdies die Adresse ihres früheren Anwalts, ohne dass klar würde, ob es sich dabei um die Zustelladresse handeln soll. Im Begleitschreiben wiederholte bzw. präzisierte sie das Rechtsbegehren, das Tierhalteverbot sei in der ganzen Schweiz aufzuheben.
Im vorliegenden Zusammenhang ist weitere, teils von vor dem Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung datierende Korrespondenz geführt worden. Weitere Instruktionsmassnahmen (Schriftenwechsel usw.) wurden nicht angeordnet.
2. Wie der Beschwerdeführerin im Schreiben vom 3. Januar 2013, worauf verwiesen werden kann, erläutert worden ist, haben Rechtsschriften gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Eingaben der Beschwerdeführerin vom 19. Dezember 2012 sowie vom 8. Januar 2013 lassen jegliche Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen verwaltungsgerichtlichen Urteils vermissen. Das gilt auch hinsichtlich der weiteren mit der Beschwerdeführerin im vorliegenden Zusammenhang geführten Korrespondenz. Es fehlt offensichtlich an einer hinreichenden Beschwerdebegründung (Art. 108 Abs. 1 it. b BGG), sodass auf die Beschwerde mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Veterinäramt, dem Volkswirtschaftsdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn, dem Bundesamt für Veterinärwesen sowie Dr. iur. Thomas A. Müller, Rechtsanwalt und Notar, schriftlich mitgeteilt; überdies wird eine für die Beschwerdeführerin bestimmte Urteilsausfertigung auf der Bundesgerichtskanzlei bereitgehalten.
Lausanne, 15. Januar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller