Faits:
A. Le 8 mars 2004, la KPT Caisse-maladie SA (ci-après: la KPT) a intenté devant le Tribunal arbitral des assurances du canton de Genève une action contre la Clinique X._ SA (ci-après: la Clinique X._ ou la Clinique). La demanderesse a conclu au paiement par la défenderesse des sommes de 656'184 fr. 35, avec intérêt à cinq pour cent l'an dès le 1er janvier 2002, et de 165'000 fr., avec intérêt à cinq pour cent l'an dès le 7 mars 2003. La demanderesse entendait obtenir de la défenderesse la restitution des montants facturés pour la période du 1er janvier 2000 au 31 décembre 2003, sur la base de prestations recalculées en fonction d'une valeur de point de 4 fr. 10, là où elles avaient été facturées par la clinique à 4 fr. 95 le point. La demande portait en outre sur la restitution de montants résultant de diverses rectifications de facturations opérées par la clinique pour la période considérée. Enfin, la demanderesse faisait valoir que certaines prestations avaient été facturées à double.
De leur côté, Assura Assurance-maladie et accident et vingt-et-un autres assureurs-maladie (ci-après: Assura et consorts), tous représentés par Santésuisse, ont également ouvert action en paiement à l'encontre de la Clinique X._. Le même jour, la KPT et Assura et consorts ont déposé une demande similaire contre sept autres cliniques privées à N._.
Par lettre du 29 février 2008, après divers incidents de procédure, les cliniques privées ont été informées que quatre causes pilotes (sur les seize au total) seraient instruites en premier lieu. Il s'agissait des causes Assura et consorts contre Clinique Y._ SA, KPT contre Clinique X._ SA, KPT contre Clinique V._ SA et KPT contre Clinique Z._.
Par arrêts du 12 février 2010, le Tribunal arbitral des assurances a partiellement admis les demandes en paiement de la KPT contre la Clinique V._ SA et contre la Clinique Z._. Ces décisions ont fait l'objet de recours encore pendants devant le Tribunal fédéral.
B. Par ordonnance du 22 avril 2010, le Tribunal arbitral des assurances a suspendu l'instruction de la procédure au fond opposant la Clinique X._ à la KPT, jusqu'à l'issue des deux procédures précitées devant le Tribunal fédéral.
C. La Clinique X._ interjette un recours en matière de droit public contre la décision du 22 avril 2010, dont elle demande l'annulation. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que le Tribunal fédéral ordonne au Tribunal arbitral des assurances de statuer au fond dans un délai à fixer par celui-là; subsidiairement à ce que la cause soit renvoyée au Tribunal arbitral pour qu'il statue dans le sens des considérants.
Il a été renoncé à procéder à un échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui ont été soumis (art. 29 al. 1 LTF; ATF 134 III 115 consid. 1 et la jurisprudence citée).
2. 2.1 La décision attaquée, qui suspend la procédure opposant la Clinique X._ à la KPT, est une décision incidente rendue dans une cause de droit public (cf. BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 14 ad art. 93 LTF). Une telle décision ne peut être examinée par le Tribunal fédéral que si elle peut causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF), ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF). Il est manifeste que la seconde hypothèse n'entre pas en considération ici, de sorte qu'il convient uniquement d'examiner si le recours est recevable au regard de l'art. 93 al. 1 let. a LTF.
2.2 Le Tribunal fédéral s'est récemment prononcé sur la recevabilité d'un recours contre une décision de suspension en matière pénale (ATF 134 IV 43). Se référant à la pratique développée sous l'empire de l'ancienne OJ, il a fait la distinction entre les cas où une violation du principe de célérité est invoquée et les cas où la mesure de suspension est critiquée pour elle-même. Il a retenu qu'il peut être renoncé à l'exigence d'un préjudice irréparable dans la première hypothèse, en précisant que cette exception s'applique essentiellement aux cas où la suspension de procédure est prononcée sine die, pour une durée indéterminée ou lorsque la reprise de la procédure dépend d'un événement incertain sur lequel les parties n'ont aucune prise. Il a rappelé à cette occasion qu'il incombe à la partie qui critique une décision ordonnant la suspension d'une procédure d'indiquer clairement l'objet de la contestation. Si la suspension critiquée intervient à un stade de la procédure où il est évident que le principe de la célérité n'a pas été violé, et que la partie recourante ne prétend pas être nécessairement exposée au risque, à terme, d'une violation de la garantie du jugement dans un délai raisonnable (art. 29 al. 1 Cst.), il faut considérer que la contestation ne porte pas sur l'application de cette dernière garantie. En pareil cas, le Tribunal fédéral n'est pas saisi d'un recours pour déni de justice formel, à cause d'un refus de statuer, mais d'un recours pour violation d'autres garanties constitutionnelles en relation avec l'application du droit cantonal de procédure. Le recours est alors soumis aux conditions de recevabilité de l'art. 93 al. 1 LTF. Ces principes valent également pour la présente procédure.
2.3 En l'espèce, la recourante se plaint en premier lieu d'un retard injustifié. A l'appui de son grief, elle fait valoir que plus de deux ans après l'avoir choisie comme cause pilote, le Tribunal arbitral a, contre toute attente, décidé de suspendre la procédure opposant la recourante à l'intimée pour une durée indéterminée, délai sur lequel la recourante n'aurait aucune prise et, de surcroît, sur la base d'un motif erroné.
2.4 D'après cette argumentation, on se trouve dans la situation où la décision de suspension est critiquée parce qu'elle est susceptible de conduire à une violation du principe de célérité, de sorte que le recours sera considéré comme recevable conformément à la jurisprudence précitée. Il convient donc d'entrer en matière.
3. 3.1 Aux termes de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit jugée dans un délai raisonnable. Cette disposition consacre le principe de la célérité ou, en d'autres termes, prohibe le retard injustifié à statuer. L'autorité viole cette garantie constitutionnelle lorsqu'elle ne rend pas la décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire ainsi que toutes les autres circonstances font apparaître comme raisonnable (ATF 131 V 407 consid. 1.1 p. 409; 130 I 312 consid. 5.1 p. 331; 129 V 411 consid. 1.2 p. 416 et les arrêts cités).
3.2 Une suspension de procédure comporte le risque de retarder inutilement la procédure, de sorte qu'elle ne doit être admise qu'avec retenue - c'est-à-dire lorsqu'elle se fonde sur des motifs objectifs - eu égard à l'exigence de célérité posée par l'art. 29 al. 1 Cst. (cf. ATF 130 V 90 consid. 5 p. 95). Selon la jurisprudence, peuvent constituer de tels motifs le fait de permettre la mise en oeuvre de mesures d'instruction opportunes (ATF 127 V 228 consid. 2a p. 231) ou d'attendre la décision d'une autre autorité qui permettrait de trancher une question décisive pour l'issue du litige dans un délai raisonnable (ATF 119 II 386 consid. 1b p. 389). Une suspension peut également se justifier par des motifs d'économie de procédure, par exemple pour éviter un enchevêtrement des procédures et la répétition de mesures d'instruction par les différentes juridictions saisies (Pra 1996 no 141 p. 473 consid. 3b). Le juge saisi dispose d'une certaine marge d'appréciation, dont il doit faire usage en procédant à une pesée des intérêts des parties. Dans les cas limites ou douteux, le principe de célérité prime (ATF 130 V 90 consid. 5 p. 95).
3.3 En l'espèce, le Tribunal arbitral a suspendu la procédure, le 22 avril 2010, dans l'attente de l'issue des recours pendants devant le Tribunal fédéral dans les causes qu'il a jugées le 12 février 2010. Quoi qu'en dise la recourante, le Tribunal arbitral n'a donc pas suspendu la procédure sine die, pour une durée indéterminée. La procédure devant le Tribunal arbitral reprendra dès que le Tribunal fédéral se sera prononcé dans les deux causes pilotes précitées, ce qui devrait être le cas d'ici quelques mois. Par conséquent, on ne se trouve pas non plus dans un cas où la reprise de la procédure arbitrale dépend d'un événement incertain sur lequel la recourante n'a aucune prise. En l'état actuel, la recourante ne démontre pas qu'il y aurait violation du principe de célérité dans la procédure arbitrale. Après que le Tribunal fédéral aura rendu son verdict dans les deux causes pendantes, la recourante pourra toujours saisir le Tribunal arbitral d'une demande de reprise de la procédure si celui-ci ne devait pas la reprendre d'office. Compte tenu de ce qui précède, la recourante n'est pas fondée à se plaindre d'une durée excessive de la procédure.
4. La recourante se plaint ensuite de la violation d'autres garanties constitutionnelles (droit d'être entendu, principe de l'égalité de traitement, principe de la bonne foi, interdiction de l'arbitraire).
En l'espèce, quelle que soit l'issue des procédures pilotes devant le Tribunal fédéral, l'instruction devant le Tribunal arbitral reprendra et celui-ci rendra un jugement que la recourante pourra contester si elle devait estimer que l'application mutatis mutandis au cas d'espèce des considérations juridiques dégagées par le Tribunal fédéral violerait le droit ou serait arbitraire. Le Tribunal arbitral cantonal n'a donc pas fait preuve d'arbitraire en procédant à la suspension de la procédure jusqu'à droit connu dans les causes pendantes devant le Tribunal fédéral.
Selon la jurisprudence, le tribunal arbitral doit suspendre l'instance si un motif impérieux le commande; il peut la suspendre si cette mesure lui semble opportune au regard des intérêts des parties. En l'absence d'un motif impérieux, la suspension ou le refus de suspendre ne mettent pas en cause l'égalité des parties ni leur droit d'être entendues en procédure contradictoire (ATF 133 III 139 consid. 6.1 p. 144). En l'espèce, la recourante ne s'est prévalue d'aucun motif impérieux pour s'opposer à la suspension de la procédure, de sorte que la suspension de la procédure arbitrale ne viole pas son droit d'être entendue ni le principe de l'égalité de traitement entre les parties.
Enfin, la suspension de la procédure n'est pas non plus contraire au principe de la bonne foi dès lors que la recourante ne saurait arguer de dispositions qu'elle aurait prises en raison d'une éventuelle promesse de l'autorité compétente et dont elle ne pourrait se départir sans subir de préjudice (cf. entre autres, ATF 131 II 627 consid. 6.1 p. 637).
5. II résulte de ce qui précède que le recours, entièrement mal fondé, doit être rejeté. Succombant, la recourante doit supporter un émolument judiciaire (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 francs, sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal arbitral des assurances de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 9 août 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: La Greffière:
Borella Fretz