Sachverhalt:
A. Am 30. Juni 2011 verfügte der Kantonstierarzt der Urkantone ein vollständiges, zeitlich uneingeschränktes Tierhalteverbot gegenüber X._ aus A._, der auf seinem Hof Kühe, Rinder und Kälber hält. Er wurde verpflichtet, alle ihm gehörenden Tiere bis zum 15. Oktober 2011 zu veräussern. Für den Widerhandlungsfall wurde ihm u.a. eine strafrechtliche Anzeige und die Beschlagnahmung seiner Tiere angedroht. Eine dagegen gerichtete Einsprache wies der Kantonstierarzt der Urkantone ab.
B. Am 3. Oktober 2011 erhob X._ gegen den Einspracheentscheid Beschwerde an den Regierungsrat des Kantons Uri, welche dieser am 22. November 2011 abwies. Eine hiergegen gerichtete Eingabe ans Obergericht des Kantons Uri blieb ohne Erfolg.
C. Mit Beschwerde vom 30. April 2012 beantragt X._, das Urteil des Obergerichts des Kantons Uri vom 9. März 2012 sei aufzuheben. Eventuell sei Z._, A._, zu beauftragen, den Beschwerdeführer zu beraten und eine wöchentliche Kontrolle über die Tierhaltung und die Auflagen des Kantonstierarztes vorzunehmen. Subeventualiter sei die Sache zur Durchführung eines neuerlichen Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Kantonstierarzt der Urkantone beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Justizdirektion des Kantons Uri verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Eidgenössische Volkswirtschaftsdepartement (EVD) beantragt die Abweisung der Beschwerde. X._ hält an seinen Anträgen fest.
Erwägungen:
1. 1.1 Der in Anwendung des Tierschutzgesetzes vom 16. Dezember 2005 (TSchG; SR 455) ergangene kantonal letztinstanzliche Endentscheid kann mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht angefochten werden (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Eine Ausnahme liegt nicht vor. Auf die frist- und formgerechte Beschwerde (Art. 42 und Art. 100 BGG) ist grundsätzlich einzutreten.
1.2 Als unzulässig erweist sich der Antrag, auch die Verfügungen des Kantonstierarztes aufzuheben. Diese sind durch den Entscheid des Obergerichts, gegen welchen sich die Beschwerde gemäss Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG einzig richten kann, ersetzt worden (sog. Devolutiveffekt). Die genannten Verfügungen gelten aber als inhaltlich mit angefochten (vgl. BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144 mit Hinweis; Urteil 2C_829/2009 vom 27. August 2010 E. 1.1).
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft erscheint (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; 133 III 350 E. 1.3 S. 351 f.). Auf rein appellatorische Kritik an der Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 136 II 101 E. 3 S. 104 f.). Der Beschwerdeführer muss - in Auseinandersetzung mit der Begründung im angefochtenen Entscheid - im Einzelnen dartun, inwiefern dieser Recht verletzt (vgl. BGE 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62; 134 II 244 E. 2.1 - 2.3 S. 245 ff.).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs: Durch einen Telefonanruf habe sich der Kantonstierarzt ohne seine Kenntnis und während des hängigen Verfahrens in unzulässiger Weise mit der Vorinstanz in Verbindung gesetzt.
2.2 Aus der erwähnten Aktennotiz geht hervor, dass sich der Kantonstierarzt im Januar 2012 bei der Vorinstanz nach der voraussichtlichen Dauer des Verfahrens erkundigt hatte. Er fragte ebenso an, ob während des Verfahrens und nach der Abweisung seines Gesuchs um Entzug der aufschiebenden Wirkung des Tierhalteverbotes durch den Regierungsrat die üblichen Kontrollen weiter durchgeführt werden dürften. Diese Anfrage hatte zulässige Fragen zum Verfahrensablauf zum Inhalt; in der erwähnten Aktennotiz finden sich keinerlei Hinweise auf unzulässige Einbringungen durch den Kantonstierarzt. Die Kontrollergebnisse, welche während des hängigen Verfahrens erhoben wurden und am 24. Februar 2012 an die Vorinstanz gelangten, wurden dem Beschwerdeführer innert kurzer Zeit, am 27. Februar 2012, zugestellt. Dieser äusserte sich dazu und reichte seinerseits neue Beweismittel beim Gericht ein, namentlich ein Gegengutachten des Schweizerischen Bauernverbandes. Aus dem Vorgehen der Vorinstanz resultiert keine Missachtung des rechtlichen Gehörs oder weiterer Rechte (Wahrung von Treu und Glauben, Willkürverbot, Recht auf ein faires Verfahren), die der Beschwerdeführer verletzt sieht, ohne dies näher zu substanziieren.
Soweit der Beschwerdeführer zudem in allgemeiner Weise vorbringt, er könne gegen die Vorhaltungen des Kantonstierarzts vorbringen "was er will und wird nicht gehört", so kann aus dieser nicht weiter präzisierten Behauptung wie auch allein aus dem Umstand, dass alle seine Anträge abgelehnt wurden, keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör durch die Vorinstanz abgeleitet werden.
2.3 Eine Verletzung der Verfahrensrechte erblickt der Beschwerdeführer auch darin, dass er aufgrund der Anzeigen und Dokumentierungen seiner Nachbarin ein "bevorzugtes Kontrollopfer" des Kantonstierarztes sei. Indem sich die Vorinstanz zudem massgeblich auf dessen Berichte stütze, sei sie befangen.
Die kantonale Fachstelle (Art. 33 TSchG) führt ihre Kontrollen von Amtes wegen oder auf entsprechende Meldungen Dritter hin durch. Teilweise melden Passanten oder Nachbarn beobachtete Missstände in Bezug auf die Tierhaltung, damit der Kantonstierarzt die Situation abklären kann. Dies ist nicht zu beanstanden. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und des Anspruchs auf ein faires Verfahren kann auch nicht darin erblickt werden, dass der Kantonstierarzt auf das Entdecken von Mängeln hin wiederholte Kontrollen beim Beschwerdeführer durchgeführt hat. Das Zurückgreifen der Vorinstanz auf Beweismittel der mit dem Vollzug befassten Fachbehörde bedeutet keine unzulässige Einbeziehung des Kantonstierarztes ins Verfahren und rechtfertigt die Annahme der "Befangenheit" der Vorinstanz nicht.
2.4 Auch im Zusammenhang mit der Beweiswürdigung durch die Vorinstanz rügt der Beschwerdeführer die Verletzung seiner Ansprüche auf rechtliches Gehör und ein faires Verfahren, ebenso das Willkürverbot. Seine Vorbringen überzeugen jedoch nicht:
Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz im Rahmen ihrer freien Beweiswürdigung ein vom Beschwerdeführer selbst beim Schweizerischen Bauernverband in Auftrag gegebenes Gutachten als insgesamt wesentlich weniger aussagekräftig erachtete als die strafrechtliche Verurteilung des Beschwerdeführers aus dem Jahr 2009 und die über Jahre hinweg durchgeführten, teils unangemeldeten Kontrollen der kantonalen Fachstelle (vgl. dazu unten E. 3). Das Gutachten des Bauernverbands beruht auf einer dem Beschwerdeführer zum voraus bekannten Besichtigung seines Hofs und massgeblich auch auf seinen eigenen Angaben. Es gibt kein zuverlässiges Abbild der tatsächlichen Situation auf seinem Hof wieder und ist deshalb nicht geeignet, Zweifel an den aktenkundigen Missständen zu wecken. Insofern der Beschwerdeführer mit dem Vorbringen der Gehörsverletzung gleichzeitig auch eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts behauptet, ist seine Rüge nicht genügend substanziiert (vgl. E. 1.3); das Bundesgericht ist an die verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz gebunden (vgl. Art. 105 Abs. 2 BGG).
3. In materieller Hinsicht geltend gemacht wird eine Verletzung von Art. 23 Abs. 1 lit. b TschG und des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes (Art. 5 Abs. 2 BV). Der Beschwerdeführer bringt insbesondere vor, die Vorfälle seien quantitativ, nicht jedoch qualitativ gesehen erheblich, sodass sich das gegen ihn verfügte Tierhalteverbot nicht rechtfertigen lasse.
3.1 Das Tierschutzgesetz bezweckt, die Würde und das Wohlergehen der Tiere zu schützen (Art. 1 TSchG). Wer Tiere hält oder betreut, muss sie angemessen nähren, pflegen, ihnen die für ihr Wohlergehen notwendige Beschäftigung und Bewegungsfreiheit sowie soweit nötig Unterkunft gewähren (Art. 6 Abs. 1 TSchG). Nach Art. 23 Abs. 1 TSchG kann die zuständige Behörde Tierhalteverbote aussprechen gegenüber Personen, die wegen wiederholter oder schwerer Zuwiderhandlung gegen Vorschriften des Tierschutzgesetzes und seiner Ausführungserlasse oder gegen Verfügungen bestraft worden sind (lit. a) oder aus anderen Gründen unfähig sind, Tiere zu halten (lit. b). Unfähigkeit im Sinne von Art. 23 Abs. 1 lit. b TSchG liegt vor, wenn die betreffende Person nicht die grundsätzlichen Verhaltensgebote und -verbote des Tierschutzgesetzes zu befolgen vermag (vgl. bereits die Urteile 2C_79/2007 vom 12. Oktober 2007 E. 4.2.2; 2A.99/1999 vom 3. Juni 1999, E. 3b). Das Verbot der Tierhaltung als solches hat die Wahrung oder die Wiederherstellung des Tierwohls zum Ziel; es ist eine restitutorische Massnahme, die nicht auf die Bestrafung des Halters, sondern auf den Schutz der tierschutzrechtlich korrekten Haltebedingungen ausgerichtet ist (vgl. RITA JEDELHAUSER, Das Tier unter dem Schutz des Rechts, 2011, S. 202 f.). Einem Halteverbot gehen in der Regel grobe und für die Tiere leidvolle Verstösse gegen das Tierschutzrecht voraus (JEDELHAUSER, a.a.O., S. 204 f.).
Wenn festgestellt wird, dass Tiere vernachlässigt oder unter völlig ungeeigneten Bedingungen gehalten werden, schreitet die zuständige Behörde unverzüglich ein (Art. 24 Abs. 1 TSchG). Sie kann die Tiere vorsorglich beschlagnahmen und auf Kosten des Halters an einem geeigneten Ort unterbringen. Werden strafbare vorsätzliche Verstösse gegen die Vorschriften des Gesetzes festgestellt, so erstatten gemäss Art. 24 Abs. 3 TSchG die für den Vollzug von Tierschutzvorschriften zuständigen Behörden Strafanzeige (vgl. Urteil 2C_737/2010 vom 18. Juni 2011 E. 4.1).
3.2 Die Vorbringen des Beschwerdeführers, seine Verstösse seien in qualitativer Hinsicht von untergeordneter Bedeutung, vermögen nicht zu überzeugen:
In den Jahren 1998 bis 2012 wurde die Haltung der Kühe, Rinder und Kälber des Beschwerdeführers regelmässig kontrolliert. Anlässlich der Kontrollen wurden durchwegs schwere Mängel festgestellt. Die Unterbringung, der Auslauf sowie die Fütterung waren ungenügend, indem die Tiere bis zum Mittag nicht versorgt wurden und der Winterauslauf seit dem Dezember 2006 nicht gewährt worden war, was Art. 6 TSchG und Art. 40 Abs. 1 der Tierschutzverordnung vom 23. April 2008 (TSchV; SR 455.1) verletzt. Die Stallungen waren zu dunkel und die Kälber hatten keinen Zugang zu Wasser, ebenso waren sie angebunden, womit auch gegen Art. 37 und 38 TSchV sowie Art. 12 Abs. 1 der Verordnung des Bundesamts für Veterinärwesen (BVET) über die Haltung von Nutztieren und Haustieren vom 27. August 2008 (SR 455.110.1) verstossen wurde. Verletzte Tiere wurden nicht versorgt und die Rinder und Kühe waren auch nach bereits erfolgter Mahnung in unzulässiger Weise mit zu kurzen Ketten angebunden, sodass es für sie unmöglich war, aufrecht zu stehen, was u.a. Art. 8 TSchV und Art. 12 der Verordnung des BVET über die Haltung von Nutztieren und Haustieren (arttypische Haltung) verletzt. Als unzureichend wurden schliesslich die hygienischen Verhältnisse im Stall eingeschätzt; bei einem Tier war sogar ein Halsband eingewachsen.
Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, kann ein Spitalaufenthalt des Beschwerdeführers, der für diese Zeit für eine Vertretung besorgt sein musste, die mit der Tierschutzgesetzgebung nicht vereinbare Haltung seiner Tiere ebenso wenig rechtfertigen, wie ein - zur Bestätigung der guten körperlichen Verfassung des Beschwerdeführers - ausgestelltes Arztzeugnis oder die eingereichte Auszeichnung für eine gute Milchqualität, sodass offenbleiben kann, ob letztere novenrechtlich überhaupt zu berücksichtigen wäre.
Es liegen demnach insgesamt zahlreiche und wiederholte Verstösse gegen die Tierschutzgesetzgebung vor, welche über eine sehr lange Zeit festgestellt und dokumentiert sind. Der Kantonstierarzt verfügte gegen den Beschwerdeführer wiederholt Auflagen, ohne dass dieser zu reagieren und die Zustände zu verbessern vermocht hätte. Diese Umstände zeigen insgesamt eine Uneinsichtigkeit des Beschwerdeführers auf und seinen fehlenden Willen zur tatsächlichen und längerfristigen Verbesserung der Zustände auf seinem Betrieb (vgl. Urteil 2C_635/2011 vom 11. März 2012 E. 3.3).
In Anbetracht der jahrelangen Kontrolle und der gravierenden Mängel sowie des Ausbleibens von Massnahmen, die das Wohlergehen der Tiere in den bemängelten Punkten hätten verbessern können, ist die Vorinstanz zu Recht davon ausgegangen, dass auch inskünftig mit erheblichen Widerhandlungen gegen die Tierschutzgesetzgebung zu rechnen sei bzw. dass der Beschwerdeführer, der die Tierschutzbestimmungen über Jahre verletzt hat, unfähig ist, Tiere zu halten (Art. 23 Abs. 1 lit. b TSchG).
3.3 Nachdem hinreichende Beweise vorliegen, welche die Missstände in der Tierhaltung des Beschwerdeführers dokumentieren, ist dem Subeventualantrag, die Sache sei zur Beweiserhebung und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, nicht zu entsprechen.
3.4 Wenn der Beschwerdeführer weiter vorbringt, das Tierhalteverbot sei nicht das mildeste Mittel, welches noch geeignet sei, den angestrebten Erfolg zu erreichen und es ihm nicht zumutbar sei, auf seine Tierhaltung zu verzichten (Art. 5 Abs. 2 BV), so kann ihm auch in diesem Vorbringen nicht gefolgt werden:
3.4.1 Im Unterschied zu anderen Bundesgesetzen (z.B. Art. 96 Abs. 2 AuG [SR 142.20], Art. 17 Abs. 1 lit. a BGFA [SR 935.61]) sieht das Tierschutzgesetz zwar nicht ausdrücklich das Erfordernis einer Verwarnung, Mahnung oder Androhung einer künftigen Massnahme als Verwaltungssanktion vor. Diese kann sich aus Gründen der Verhältnismässigkeit gleichwohl aufdrängen (vgl. die Urteile 2C_829/2009 vom 27. August 2010 E. 2.2 betr. Androhung eines Bewilligungsentzugs; 2C_737/2010 vom 18. Juni 2011 E. 4.2).
3.4.2 Im Fall des Beschwerdeführers hat die Behörde ausserordentlich lange zugewartet, bis sie ein Tierhalteverbot ausgesprochen hat: Trotz der dokumentierten regelmässigen und schweren Verstösse (vgl. E. 3.2) hat es 13 Jahre gedauert, bis das Tierhalteverbot gegen den Beschwerdeführer verfügt wurde. Er wurde zuvor unzählige Male verwarnt und der Kantonstierarzt verfügte bereits im Jahr 2003 eine Tierbestandsreduktion, weil der Beschwerdeführer den Auflagen im Stall nie nachgekommen war. Vor diesem Hintergrund ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz eine weitere Verwarnung nicht mehr als geeignetes Mittel und das unbefristete Verbot als erforderlich angesehen hat, um die stetigen Verstösse gegen die Tierschutzbestimmungen zu beenden.
3.4.3 Als ungeeignet erweist sich der Eventualantrag des Beschwerdeführers, es sei mit der Person von Z._ ein erfahrener Landwirt zu beauftragen, ihm mit Rat und Tat beizustehen. Wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt hat, wurde eine ähnliche Massnahme bereits früher angeordnet, ohne nachhaltigen Erfolg zu zeigen. Sodann ist weder ersichtlich, ob der vorgeschlagene Berater geeignet wäre für diese Aufgabe noch ob er überhaupt dazu bereit wäre. Schliesslich wäre der Beschwerdeführer auch nicht verpflichtet, die Ratschläge zu befolgen, weshalb die Massnahme nicht geeignet ist, den Schutz der Tiere sicherzustellen.
3.4.4 Auch mit Blick auf die Zumutbarkeit sind die Erwägungen der Vorinstanz nicht zu beanstanden: Das öffentliche Interesse an einer artgerechten Haltung der Tiere ergibt sich als Staatsaufgabe aus der Verfassung (Art. 80 Abs. 2 lit. a BV) sowie aus dem Zweckartikel des Tierschutzgesetzes, wonach Würde und Wohlergehen der Tiere zu schützen sind (Art. 1). Dem öffentlichen Interesse gegenüber stehen die privaten und auch die wirtschaftlichen Interessen des Beschwerdeführers, die entgegen seiner Ansicht die Eingriffsinteressen nicht zu überwiegen vermögen: Der Rentner hätte über lange Jahre die Möglichkeit gehabt, seine Tierhaltung in Einklang mit dem Tierschutzgesetz zu bringen, um seine daraus resultierenden Einkünfte zu sichern. Das Gewicht und die Bedeutung des verfolgten öffentlichen Interesses ergeben sich aus den festgestellten Verstössen und daraus, dass der Beschwerdeführer aufgrund der schweren Mängel bereits einmal, im Jahr 2009, strafrechtlich verurteilt wurde. Eingriffszweck und Eingriffswirkung liegen damit in einem vernünftigen Verhältnis. Die Vorinstanz hat durch ihre Bestätigung des Tierhalteverbots den Grundsatz der Verhältnismässigkeit nicht verletzt.
3.5 Der Beschwerdeführer bringt schliesslich vor, durch das verfügte Tierhalteverbot werde in unzulässiger Weise in sein Eigentum eingegriffen (Art. 641a Abs. 2 i.V.m. Art. 713 ff. ZGB; Art. 26 BV). Auch dieses Vorbringen überzeugt nicht:
Einschränkungen des Eigentums (Art. 26 Abs. 1 BV) bedürfen einer gesetzlichen Grundlage. Sie müssen durch ein öffentliches Interesse oder durch den Schutz von Grundrechten Dritter gerechtfertigt und zudem verhältnismässig sein (Art. 36 Abs. 1 - 3 BV). Für das Aussprechen des Tierhalteverbots hat sich die Gegenpartei auf eine gesetzliche Grundlage berufen (Art. 23 Abs. 1 lit. b TSchG; vgl. oben E. 3.2). Das öffentliche Interesse an einer artgerechten Haltung der Tiere ergibt sich als Staatsaufgabe aus der Verfassung sowie aus dem Zweckartikel des Tierschutzgesetzes (vgl. oben E. 3.4.4). Die Massnahme erweist sich auch als verhältnismässig, da sich mildere Mittel - u.a. zahlreiche Verwarnungen und die verfügte Reduktion des Tierbestandes - über Jahre hinweg als nicht wirksam erwiesen haben (vgl. oben E. 3.4.1 ff.). Eine Verletzung der Eigentumsfreiheit liegt nicht vor.
4. Die Vorinstanz hat durch ihre Bestätigung des Tierhalteverbots kein Bundesrecht verletzt. Die Beschwerde erweist sich demnach als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Verfahrenskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Eidgenössischen Volkswirtschaftsdepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni