Sachverhalt:
A. Mit Entscheid vom 31. Oktober 2007 genehmigte der Stadtrat Luzern den Gestaltungsplan G 336 II Rodtegg über die Grundstücke Nrn. 3208, 3330, 3331, 3803 und teilweise die Grundstücke Nrn. 3233 und 3426, alle GB Stadt Luzern, linkes Ufer, unter zahlreichen Auflagen und Bedingungen. Eigentümerin der genannten Parzellen ist die Kollektivgesellschaft Y._. Gleichzeitig mit dem Genehmigungsentscheid wies der Stadtrat die dagegen u.a. von X._ erhobene Einsprache ab.
B. Gegen den Stadtratsentscheid vom 31. Oktober 2007 reichte u.a. X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ein. Sie beantragte die Aufhebung des angefochtenen Entscheids; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Urteil vom 15. September 2008 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab. Es erwog, der angefochtene Entscheid sei hinreichend begründet, und verneinte deshalb eine entsprechende Gehörsverletzung. Gestützt auf § 75 des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Luzern vom 7. März 1989 (SRL Nr. 735; im Folgenden: PBG) sei es zudem gerechtfertigt, einen Ausnützungsbonus von 15 % zu gewähren. Auch sei das Eingliederungsgebot gemäss § 72 Abs. 1 PBG erfüllt.
C. Mit Eingabe vom 20. Oktober 2008 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG). Sie beantragt die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils vom 15. September 2008 und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz. Eventuell beantragt sie, die Ziffern 2 und 3 des Rechtsspruchs des Urteils seien aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung der Verlegung der Verfahrenskosten an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventuell beantragt die Beschwerdeführerin, die ihr überbundenen Kosten von pauschal Fr. 5'000.-- sowie die der Beschwerdegegnerin zu bezahlende Parteientschädigung von Fr. 6'840.35 seien unter gleichzeitiger Kostenbelastung der Stadt Luzern angemessen zu reduzieren. Die Beschwerdeführerin rügt Verletzungen des Willkürverbots (Art. 9 BV) und des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV).
D. Das Verwaltungsgericht, der Stadtrat Luzern und die Beschwerdegegnerin stellen in ihren Vernehmlassungen den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen. Die Beschwerdeführerin hat von der Gelegenheit eine Replik einzureichen Gebrauch gemacht. Mit Eingabe vom 10. Februar 2009 hält sie an ihren bisherigen Ausführungen und Anträgen fest.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG). Es untersucht deshalb grundsätzlich von Amtes wegen, ob und inwiefern auf eine Beschwerde eingetreten werden kann.
1.1 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren über eine Nutzungsplanung im Sinne von Art. 14 ff. des Bundesgesetzes vom 22. Juni 1979 über die Raumplanung (Raumplanungsgesetz, RPG; SR 700) und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde. Für die Rechtsmittel an Bundesbehörden gelten die allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege (Art. 34 Abs. 1 RPG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 lit. a BGG steht auf dem Gebiet des Raumplanungsrechts zur Verfügung. Ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG liegt nicht vor (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2 S. 251, 409 E. 1.1 S. 411).
1.1 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren über eine Nutzungsplanung im Sinne von Art. 14 ff. des Bundesgesetzes vom 22. Juni 1979 über die Raumplanung (Raumplanungsgesetz, RPG; SR 700) und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde. Für die Rechtsmittel an Bundesbehörden gelten die allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege (Art. 34 Abs. 1 RPG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 lit. a BGG steht auf dem Gebiet des Raumplanungsrechts zur Verfügung. Ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG liegt nicht vor (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2 S. 251, 409 E. 1.1 S. 411).
1.2 1.2.1 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach Art. 89 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (lit. c). Die Kriterien von Art. 89 Abs. 1 BGG grenzen die Beschwerdelegitimation von Nachbarn gegen unzulässige Popularbeschwerden ab. Verlangt ist neben der formellen Beschwer, dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. Die Nähe der Beziehung zum Streitgegenstand muss bei Bauprojekten insbesondere in räumlicher Hinsicht gegeben sein. Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann (BGE 133 II 409 E. 1.3 S. 413, 400 E. 2.2 S. 404 f.; je mit Hinweisen).
1.2.2 Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Sie ist Eigentümerin des Grundstücks Nr. 2511, GB Luzern, linkes Ufer, das vom Gestaltungsplangebiet lediglich durch die fünf Meter breite Breitenlachenstrasse getrennt ist. In das Gestaltungsplangebiet bestehen Sichtverbindungen. Von der geplanten Überbauung ist sie in eigenen schutzwürdigen Interessen faktisch betroffen (erhöhte Einsehbarkeit ihres Grundstücks, Lichtentzug durch geplante Baukörper), und zwar in einem erheblich höheren Mass, als es für die Allgemeinheit zutrifft. Bei einer erfolgreichen Beschwerde hätte die Beschwerdeführerin einen praktischen Nutzen, weil bei einer Aufhebung oder entsprechenden Abänderung des streitigen Gestaltungsplans die von ihr geltend gemachten Nachteile voraussichtlich vermieden werden könnten. Die Beschwerdeführerin ist somit gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerde befugt.
1.3 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Vorbehältlich genügend begründeter Rügen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) ist daher auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe die Verfahrenskosten (amtliche Kosten, Parteientschädigung) willkürlich verlegt, weil sie beim Kostenentscheid nicht berücksichtigt habe, dass dem Stadtrat Luzern beim Entscheid vom 31. Oktober 2007 ein grober Verfahrensfehler unterlaufen sei. In diesem Entscheid sei nicht hinreichend begründet worden, weshalb der maximale Ausnützungsbonus von 15 % gewährt werde; dies stelle eine Gehörsverletzung dar. Weder werde dargelegt, inwiefern die von § 75 Abs. 1 PBG geforderte Grundvoraussetzung des Vorliegens besonderer Verhältnisse erfüllt sei, noch könne dem Entscheid entnommen werden, wie die einzelnen Kriterien gemäss § 75 Abs. 3 PBG gewichtet worden seien und welche dieser Kriterien für die Gewährung des Ausnützungsbonus entscheidrelevant waren. Eine sachgerechte Anfechtung des Entscheids sei damit verunmöglicht worden.
2.2 Die angefochtene Kostenverlegung stützt sich auf §§ 198 ff. des Gesetzes des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (SRL Nr. 40; im Folgenden: VRG), mithin auf kantonales Gesetzesrecht. Da dessen Verletzung keinen Beschwerdegrund nach Art. 95 BGG darstellt, überprüft das Bundesgericht die Anwendung der genannten Bestimmungen lediglich unter dem Gesichtswinkel der Willkür (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.1 S. 251 f.). Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 149; 134 II 124 E. 4.1 S. 133; je mit Hinweisen).
Nach § 199 Abs. 3 VRG können die kantonalen Rechtsmittelinstanzen den Gemeinden amtliche Kosten auferlegen, wenn ihren Behörden grobe Verfahrensmängel oder offenbare Rechtsverletzungen zur Last fallen. Wenn der Vorinstanz grobe Verfahrensfehler oder offenbare Rechtsverletzungen zur Last fallen, ist ferner der obsiegenden Partei nach § 201 Abs. 2 VRG zu Lasten des Gemeinwesens, dem die Vorinstanz abgehört, eine angemessene Vergütung für ihre Vertretungskosten zuzusprechen. Da die Vorinstanz die amtlichen Kosten vollumfänglich den Beschwerdeführenden auferlegt und diese auch allein zur Bezahlung einer Parteientschädigung an die bei ihr obsiegende private Beschwerdegegnerin verpflichtet hat, ist vorliegend zu prüfen, ob bei dieser Kostenverlegung willkürfrei davon ausgegangen werden konnte, der Stadtratsentscheid vom 31. Oktober 2007 weise keine groben Verfahrensmängel auf.
2.3 Die Vorinstanz hält die Gewährung des Ausnützungsbonus durch den Stadtrat für hinreichend begründet und verneint daher eine Gehörsverletzung. Für die Bonusgewährung werde nicht verlangt, dass sämtliche der in § 75 Abs. 3 PBG aufgelisteten Qualitätsmerkmale kumulativ erfüllt seien. Vielmehr gelte, dass je mehr dieser Merkmale ausgewiesen seien und je ausgeprägter dies der Fall sei, umso weitergehende Abweichungen von der baulichen Grundordnung gestattet werden könnten, dies freilich stets im Rahmen von § 75 Abs. 2 PBG. Der Stadtrat habe die Begründung des Ausnützungsbonus zwar nicht in einem Abschnitt zusammengefasst. Die Begründungselemente, die sinngemäss auf § 75 Abs. 3 PBG Bezug nehmen, seien jedoch in seinem Entscheid enthalten, wenn auch an unterschiedlichen Stellen. Gegen eine Gehörsverletzung spreche auch, dass die Beschwerdeführerin in der Lage gewesen sei, den stadträtlichen Entscheid sachgerecht anzufechten.
2.4 Auch wenn der Stadtratsentscheid keine eingehende Begründung enthält, weshalb im vorliegenden Fall besondere Verhältnisse im Sinne von § 75 Abs. 1 PBG gegeben seien, ist die Rechtsauffassung der Vorinstanz nicht zu beanstanden. Die Vorinstanz legt dar, dass von der Rechtsprechung bislang kaum in grundsätzlicher Hinsicht erörtert worden sei, was als besondere Verhältnisse im Sinne von § 75 Abs. 1 PBG anerkannt werden könne. Es sei lediglich geäussert worden, die entsprechenden Anforderungen dürften nicht überrissen werden; ein Härtefall sei jedenfalls nicht erforderlich (E. 7c/aa). Diesen Erwägungen hat die Beschwerdeführerin nicht widersprochen. Im Übrigen ist nicht ersichtlich, was im vorliegenden Fall, bei welchem hinsichtlich der betroffenen Grundstücke aufgrund des massgebenden Bebauungsplans immerhin eine Gestaltungsplanpflicht besteht, gegen das Vorliegen besonderer Verhältnisse sprechen sollte. Nicht zu beanstanden ist ferner, dass die Vorinstanz auch nicht verlangte, im Stadtratsentscheid hätte ausgeführt werden müssen, wie die einzelnen Kriterien gemäss § 75 Abs. 3 PBG - deren jeweilige Erfüllung die Beschwerdeführerin nicht bestreitet - gewichtet wurden und inwieweit die einzelnen Kriterien für die Gewährung des Ausnützungsbonus entscheidrelevant waren. Dieser Entscheid steht gemäss § 75 Abs. 2 und 3 PBG im Ermessen der zuständigen Behörden, sodass vorliegend nur geprüft werden muss, ob der Stadtrat dabei in Willkür verfallen ist. Letzteres wird von der Beschwerdeführerin nicht in einer den gesetzlichen Anforderungen genügenden Weise (Art. 106 Abs. 2 BGG) dargetan. Die Erwägungen der Vorinstanz, der Stadtrat habe die Gewährung des Ausnützungsbonus hinreichend begründet und es liege daher keine Gehörsverletzung vor, sind somit nicht zu beanstanden. Andere Gründe, weshalb der Stadtratsentscheid grobe Verfahrensmängel aufweisen soll, werden von der Beschwerdeführerin nicht geltend gemacht. Die Vorinstanz konnte daher willkürfrei davon ausgehen, der Stadtratsentscheid weise keine groben Verfahrensmängel auf. Ihre Kostenverlegung hält deshalb vor der Verfassung stand.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin bringt vor, da der Bebauungsplan B 131 Sternmatt für den streitigen Gestaltungsplan bezüglich Gebäudelänge keine konkreten Vorschriften enthalte, sei bei der Beurteilung, ob mit diesem Gestaltungsplan der Zonencharakter gewahrt bleibe, auf die bestehenden Bebauungsverhältnisse abzustellen. Wenn der geplante Baukörper A die quartierübliche und damit zonencharakterprägende Gebäudelänge von 14 bis 25 m um über 250 % überschreite, stehe zweifelsfrei fest, dass der Zonencharakter nicht gewahrt werde, zumal im Gegensatz zu den bestehenden Bauten eine Anordnung quer zum Hang vorgesehen sei. Die Annahme der Vorinstanz, der streitige Gestaltungsplan wahre den Zonencharakter, sei daher willkürlich. Die Grundvoraussetzungen für den Ausnützungsbonus seien folglich nicht erfüllt, weshalb dieser nicht gewährt werden dürfe.
3.2 Die Beschwerdeführerin rügt sinngemäss die Anwendung von § 75 Abs. 1 PBG durch die Vorinstanz. Da es sich dabei um kantonales Gesetzesrecht handelt und dessen Verletzung keinen Beschwerdegrund nach Art. 95 BGG darstellt, überprüft das Bundesgericht die Anwendung der genannten Bestimmung lediglich unter dem Gesichtswinkel der Willkür (vgl. dazu E. 2.2 hiervor). § 75 Abs. 1 PBG lautet wie folgt:
"Der Gestaltungsplan kann vom Zonenplan, vom Bau- und Zonenreglement oder vom Bebauungsplan abweichen, sofern wegen der besonderen Verhältnisse eine eigene Regelung sinnvoll erscheint und der Zonencharakter gewahrt bleibt. Im Bau- und Zonenreglement ist die für solche Abweichungen erforderliche Mindestfläche für Gestaltungspläne festzulegen."
Es ist demnach zu prüfen, ob die Vorinstanz ohne Willkür annehmen konnte, dass der streitige Gestaltungsplan den Zonencharakter im Sinne von § 75 Abs. 1 PBG wahre. Trifft dies zu, so ist vorliegendenfalls die Gewährung des Ausnützungsbonus von 15 %, welche unbestrittenermassen eine Abweichung vom Zonenplan, vom Bau- und Zonenreglement bzw. vom massgebenden Bebauungsplan darstellt, nicht zu beanstanden.
3.3 Die Vorinstanz erwog, der Zonencharakter umfasse gemäss Rechtsprechung alle Elemente, die dem Erscheinungsbild einer bestimmten Zone und der darin zugelassenen Nutzung das Gepräge geben können. Was konkret als Zonencharakter gelte, ergebe sich aus der durch die Bau- und Zonenvorschriften beabsichtigten Normalbauweise des betreffenden Gebiets. Eine Zone erhalte ihren Charakter nicht durch die konkreten baulichen Gegebenheiten, sondern durch den mit der Nutzungsordnung gezogenen normativen Rahmen. Mit Bezug auf den streitigen Gestaltungsplan bejahte die Vorinstanz die Wahrung des Zonencharakters, weil ausschliesslich Wohnnutzung vorgesehen sei, die maximal zulässige Ausnützung respektiert werde und die geplanten Bauten hinsichtlich Form und Volumetrie und insbesondere auch hinsichtlich Gebäudelänge mit der im Bebauungsplan vorgegebenen offenen Bauweise vereinbar seien. Zu beachten sei, dass der Bebauungsplan bezüglich Gebäudelänge keine Festsetzungen enthalte.
3.4 Die Auffassung der Vorinstanz, der Zonencharakter im Sinne von § 75 Abs. 1 PBG bestimme sich durch den mit der Nutzungsordnung gezogenen normativen Rahmen und nicht durch die konkreten baulichen Gegebenheiten, ist nicht zu beanstanden. Eine Berücksichtigung der bestehenden Bebauungsverhältnisse für die Bestimmung des Zonencharakters wäre gegebenenfalls dann angezeigt, wenn dies aufgrund konkreter öffentlicher Interessen geboten wäre. Dies könnte beispielsweise dann der Fall sein, wenn die Bebauung eine überdurchschnittliche Qualität aufweisen würde. Dass dies hier zutreffe, wird von der Beschwerdeführerin jedoch nicht geltend gemacht. Die Schlussfolgerung der Vorinstanz, der streitige Gestaltungsplan wahre den Zonencharakter nach § 75 Abs. 1 PBG, weshalb der Ausnützungsbonus von 15 % gewährt werden könne, hält somit vor der Verfassung stand.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, die Vorinstanz hätte sich bei der Prüfung, ob der streitige Gestaltungsplan den Zonencharakter wahre, nicht nur mit der Länge der geplanten Baukörper auseinandersetzen dürfen. Sie hätte sich auch zu anderen Aspekten der Form und der Volumetrie der geplanten Bauten äussern müssen, wie den exotischen Gebäudeformen, der Positionierung des Baukörpers A (quer zum Hang), der Geschossigkeit und der Reduktion des Bauvolumens hangaufwärts. Da sie dies unterlassen habe, liege eine Gehörsverletzung vor.
4.2 Der in Art. 29 Abs. 2 BV gewährleistete Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (BGE 124 I 49 E. 3a S. 51 und 241 E. 2 S. 242; je mit Hinweisen). Die Begründungspflicht und der Anspruch auf Begründung sind jedoch nicht bereits dadurch verletzt, dass sich die urteilende Behörde nicht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (vgl. BGE 126 I 97 E. 2b S. 102; 124 II 146 E. 2a S. 149; 124 V 180 E. 1a S. 181; 123 I 31 E. 2c S. 34; 121 I 54 E. 2c S. 57; je mit Hinweisen).
4.3 Unter E. 3.4 hiervor wurde die Auffassung der Vorinstanz, dass sich der Zonencharakter durch den mit der Nutzungsordnung gezogenen normativen Rahmen und nicht durch die baulichen Gegebenheiten bestimme, nicht beanstandet. Für die Vorinstanz bestand deshalb kein Anlass, sich bei der Prüfung der Frage, ob der streitige Gestaltungsplan den Zonencharakter wahre, eingehend damit auseinandersetzen, wie sich die geplanten Bauten zur bestehenden Bebauung der Umgebung punkto Form, Volumen, Anordnung etc. verhalten. Diese Aspekte waren im vorliegenden Zusammenhang, bei dem es um die Frage der Wahrung des Zonencharakters und nicht um Einordnungsfragen geht (siehe dazu E. 5 hiernach), nicht entscheidrelevant. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs ist daher nicht stichhaltig.
4.4 Soweit die Beschwerdeführerin auf Seite 10 der Beschwerdeschrift auf Ausführungen vor den kantonalen Instanzen verweist, ist darauf nicht einzutreten, weil solche Verweisungen unzulässig sind (vgl. BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f. mit Hinweisen).
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin beanstandet, der im Baubereich A geplante Baukörper sei an exponiertester Lage vorgesehen und trete von Westen her als wuchtiger, 89 m langer Gebäudekörper in Erscheinung. Dieser sei durch die dahinter liegende Hügelkuppe nicht abgedeckt und rage damit frei in den Horizont, was die Wuchtigkeit entscheidend verstärke. Auch seien von Westen aus die behauptete geländenatürliche Biegung und die vorgelagerten Terrassen nicht wahrnehmbar. Da die Vorinstanz diese Umstände nicht beachtet habe, beruhten deren Ausführungen auf einer unrichtigen und unvollständigen Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts.
5.1.1 Nach Art. 97 Abs. 1 BGG kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann.
5.1.2 Soweit sich die Äusserungen der Beschwerdeführerin allein auf die tatsächliche Situation im Bereich und in der Umgebung des Gestaltungsplangebiets beziehen und nicht bereits deren Würdigung mitenthalten, bestehen keine Widersprüche zu den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Jedenfalls zeigt die Beschwerdeführerin solche Differenzen nicht in rechtsgenügender Weise auf (Art. 42 Abs. 2 BGG). Sie macht ferner nicht geltend, die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz beruhten auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG. Auf ihre Rüge der unrichtigen und unvollständigen Sachverhaltsfeststellung ist daher nicht weiter einzutreten.
5.2 Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, mit einer Bebauung nach dem streitigen Gestaltungsplan werde ein krasser Gegensatz zur bestehenden, quartierüblichen Bebauungsstruktur geschaffen und das Orts- und Landschaftsbild massiv beeinträchtigt. Die Rechtsauffassung der Vorinstanz, der Plan sei mit § 72 Abs. 1 PBG vereinbar, sei daher willkürlich.
5.2.1 Da es sich bei § 72 Abs. 1 PBG um kantonales Gesetzesrecht handelt, dessen Verletzung keinen Beschwerdegrund nach Art. 95 BGG darstellt, überprüft das Bundesgericht die Anwendung der genannten Bestimmung durch die Vorinstanz lediglich unter dem Gesichtswinkel der Willkür (vgl. dazu E. 2.2 hiervor). Nach § 72 Abs. 1 PBG bezweckt der Gestaltungsplan eine siedlungsgerechte, architektonisch und erschliessungsmässig gute, der baulichen und landschaftlichen Umgebung angepasste Überbauung eines zusammenhängenden Gebiets.
Das Bundesgericht auferlegt sich Zurückhaltung, soweit die Beurteilung von Einordnungsfragen von der Würdigung der örtlichen Verhältnisse abhängt, weil die kantonalen Behörden diese besser kennen (BGE 129 I 337 E. 4.1 S. 344; 126 I 219 E. 2c S. 222; 119 Ia 362 E. 3a S. 366).
5.2.2 Die Vorinstanz hält zur Eingliederung der geplanten Überbauung fest, die östlich des Planperimeters situierte Hügelkuppe bleibe weitgehend unüberbaut. Der Baukörper A weise zwar eine gewisse Markanz auf, sei aber an Topografie und Geländeverlauf angepasst. Er hebe sich durch seine Länge zwar von den umliegenden Gebäuden ab, wirke aber durch seine geländenatürliche Biegung, seine klaren Formen, das zurückversetzte Attikageschoss und die vorgelagerten Terrassen nicht störend. Im Übrigen stünden auch andere Gebäude parallel zum Hang. Die Eingliederungsvoraussetzungen nach § 72 Abs. 1 PBG seien daher erfüllt.
5.2.3 Die Beschwerdeführerin macht geltend, dass sich ein an exponiertester Lage vorgesehener, die quartierübliche Gebäudelänge um rund 250 % überschreitender Baukörper nicht in die bestehende Bebauungsstruktur eingliedere, sei evident. Erschwerend komme hinzu, dass dieser Baukörper, der ein sichtbares Untergeschoss, drei Vollgeschosse und ein Attikageschoss aufweise, im Gegensatz zu den bestehenden Bauten quer zum Hang verlaufe und frei in den Horizont rage, was dessen Wuchtigkeit entscheidend verstärke. Daran ändere weder die geländenatürliche Biegung, die nicht wahrnehmbar sei, noch das zurückversetzte Attikageschoss noch die vorgelagerten Terrassen etwas. Ferner würden die geplanten Bauten auch mit ihren exotischen Gebäudeformen (Baubereich A: Zick-Zack-Form, Baubereich B: Pentagon) in einem Gegensatz zur bestehenden Bebauungsstruktur stehen, die durch klare Rechteckformen geprägt sei.
5.2.4 Die Vorinstanz stützt ihre Schlussfolgerung, dass die geplanten Bauten nicht störend wirken und das Eingliederungsgebot daher nicht verletzt sei, unter anderem auf den am 23. Juni 2008 durchgeführten Augenschein ab. Zudem hält sie fest, dass das dem streitigen Gestaltungsplan zugrunde liegende Bauprojekt im Rahmen eines zweistufigen Wettbewerbs von einer Fachjury ausgewählt worden sei. Dass die Beurteilung der Vorinstanz in einem klaren Widerspruch zur tatsächlichen Situation stehe oder sonst offensichtlich unrichtig sei, hat die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenügend aufgezeigt. Diese hat der Beurteilung der Vorinstanz lediglich ihre eigene entgegen gestellt. Damit vermag sie eine willkürliche Anwendung der massgeblichen kantonalen Bestimmung durch die Vorinstanz nicht darzutun. Deren Beurteilung, die Eingliederungsvoraussetzungen nach § 72 Abs. 1 PBG seien vorliegend erfüllt, hält demnach vor der Verfassung stand.
6. Die Beschwerdeführerin rügt den angefochtenen Entscheid zudem verschiedentlich als "rechtswidrig" (Beschwerdeschrift S. 6, 9, 11 und 12), unterlässt es aber, dies mit zusätzlichen Darlegungen zu begründen, die über die in den bisherigen Erwägungen behandelten Aspekte hinausgehen. Auf diese Vorbringen ist daher nicht weiter einzugehen.
7. Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Dem Ausgang des vorliegenden Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese hat der anwaltlich vertretenen, privaten Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat der privaten Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrat Luzern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. April 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kappeler