Sachverhalt:
A. T._ (geb. 1961) arbeitete vom 1. Januar 1999 bis 31. Dezember 2004 bei der Y._ AG als Maurer und war damit bei der Personalvorsorgeeinrichtung X._ vorsorgeversichert.
Im Dezember 2003 meldete sich T._ wegen eines Nerven- und Rückenleidens bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich verneinte den Anspruch auf Berufsberatung (Verfügung vom 20. August 2004) und eine Rente (Verfügung vom 21. September 2004, Einspracheentscheid vom 14. Januar 2005). Auf die von T._ hinsichtlich der Rentenverfügung eingereichten Gesuche um Wiedererwägung und Revision trat sie nicht ein (Verfügungen vom 7. April und 29. Juni 2009, letztere bestätigt mit Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. August 2010).
Als T._ im Juni 2007 wegen Rückenbeschwerden und psychischer Beeinträchtigung erneut um Berufsberatung, Arbeitsvermittlung und die Zusprechung einer Rente ersuchte, veranlasste die IV-Stelle des Kantons Zürich eine polydisziplinäre Abklärung an der Akademie Z._, Spital Q._ (Gutachten vom 21. November 2008). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach sie ihm mit (unangefochten in Rechtskraft erwachsener) Verfügung vom 27. Oktober 2009 eine ganze Rente ab 1. Juni 2006 zu (Invaliditätsgrad von 100 %).
Mit Schreiben vom 29. Juni 2009 liess T._ die Personalvorsorgeeinrichtung X._ um die Ausrichtung einer Invalidenrente gemäss BVG ersuchen. Diese lehnte ab mit der Begründung, das invalidisierende Ereignis sei erst nach Austritt aus der Vorsorgeeinrichtung und Ablauf der Nachdeckungsfrist eingetreten.
B. Am 18. Oktober 2010 liess T._ Klage erheben mit dem Rechtsbegehren, die Personalvorsorgeeinrichtung X._ sei zu verpflichten, ihm ab 1. Juli 2006 eine Invalidenrente von Fr. 2'719.15 pro Monat auszurichten. Eventualiter sei zum Beginn der psychischen Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % ein ergänzender Bericht bei Prof. Dr. med. R._ einzuholen. Subeventualiter sei ein psychiatrisches Gutachten einzuholen. Mit Entscheid vom 10. Februar 2011 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die Klage im Sinne der Erwägungen gut und stellte fest, dass T._ ab 1. Juli 2006 gegenüber der Vorsorgeeinrichtung einen BVG-Rentenanspruch hat. Es wies die Vorsorgeeinrichtung an, die konkrete Rentenhöhe und die rückwirkend zu leistenden Rentenbeträge zu ermitteln und dem Versicherten zu eröffnen.
C. Die Personalvorsorgeeinrichtung X._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Klage vom 18. Oktober 2010 vollumfänglich abzuweisen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen.
Während T._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Die Behebung des Mangels muss für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Streitig und zu prüfen ist, ob die psychische Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit, deren Ursache zur invalidenversicherungsrechtlich leistungsbegründenden Erwerbsunfähigkeit geführt hat, während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses mit der Beschwerdeführerin (einschliesslich der einmonatigen Nachdeckungsfrist; Art. 10 Abs. 3 BVG) eingetreten ist.
2.2 Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen über den Anspruch auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge (Art. 23 BVG in der bis 31. Dezember 2004 gültig gewesenen Fassung und Art. 23 lit. a BVG in der ab 1. Januar 2005 geltenden Fassung; Art. 26 BVG) sowie über die Dauer der obligatorischen Versicherung (Art. 10 BVG) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt hinsichtlich der Rechtsprechung zu dem für die Leistungspflicht einer ehemaligen Vorsorgeeinrichtung massgebenden Erfordernis des engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhangs zwischen Arbeitsunfähigkeit und Invalidität (BGE 134 V 20 E. 3.2 und 3.2.1 S. 22 f.; 130 V 270 E. 4.1 S. 275; 123 V 262 E. 1c S. 264; 120 V 112 E. 2c/aa und bb S. 117 f.).
2.3 Die Bezeichnung des Zeitpunktes des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, entspricht einer Tatfrage. Diesbezügliche Feststellungen der Vorinstanz sind daher vom Bundesgericht lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar, soweit sie auf einer Würdigung konkreter Umstände beruhen (Art. 97 Abs. 1 BGG sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 4.1.1, in: SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126). Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erfolgt (Urteil 9C_127/2008 vom 11. August 2008 E. 2.2, in: SVR 2008 BVG Nr. 34 S. 143).
3. 3.1 Gestützt auf die Berichte des Prof. Dr. med. R._, Leitender Arzt Schmerzzentrum der Klinik P._, vom 1. Juli und 9. November 2004, des Dr. med. K._, Facharzt FMH für Allgemeinmedizin, vom 10. Februar und 20. Juli 2007 und des Dr. med. L._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 16. August 2007 stellte die Vorinstanz fest, der Versicherte sei nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit bereits vor dem 31. Januar 2005 (Ende der Nachdeckungsfrist) aufgrund psychischer Beschwerden mindestens 20 % arbeitsunfähig gewesen.
3.2 Zu Unrecht macht die Beschwerdeführerin geltend, die Vorinstanz habe den Zeitpunkt des Eintritts der rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit nach unhaltbaren Gesichtspunkten, willkürlich und damit rechtswidrig festgelegt. Entgegen den Vorbringen in der Beschwerde kann der Vorinstanz nicht vorgeworfen werden, sie habe sich darauf beschränkt, zu prüfen, welche der beiden Sachverhaltsvarianten (Eintritt der Arbeitsunfähigkeit vor oder nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses einschliesslich Nachdeckungsfrist) die wahrscheinlichere sei, und damit ein blosses Glaubhaftmachen genügen lassen. Denn nach dem im Sozialversicherungsprozess geltenden Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit genügt es, wenn das Gericht aufgrund der Würdigung aller relevanten Sachumstände, mithin nach objektiven Gesichtspunkten, zur Überzeugung gelangt, dass ein bestimmter Sachverhalt der wahrscheinlichste aller in Betracht fallenden Geschehensabläufe - bei zwei möglichen Sachverhaltsvarianten: die wahrscheinlichere - ist und zudem begründeterweise angenommen werden darf, dass weitere Beweismassnahmen an diesem feststehenden Ergebnis nichts mehr ändern (vgl. BGE 126 V 353 E. 5b S. 360; Urteil 9C_717/2009 vom 20. Oktober 2009 E. 3.3 mit Hinweisen, in: Plädoyer 2009/6 S. 68). Dass die Vorinstanz den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit für massgebend gehalten hat, den sie bei objektiver Betrachtung als wahrscheinlicher den Tatsachen entsprechend eingestuft hat, stellt somit keine Beweismassverletzung dar.
Unzutreffend ist sodann die Behauptung der Beschwerdeführerin, das kantonale Gericht habe sich für die Feststellung einer psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit vor dem 31. Januar 2005 auf keine Arztzeugnisse abstützen können. Denn den Erwägungen des kantonalen Entscheides liegen unter anderem die echtzeitlichen Berichte des Prof. Dr. med. R._ vom 1. Juli und 9. November 2004 zugrunde, in welchen eine deutliche psychische Dysbalance, die Behandlung mit Antidepressiva und die Entwicklung einer in dieser Form zuvor nicht vorhandenen depressiv-dysphorischen Symptomatik mit massiven Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit beschrieben werden. Soweit die IV-Stelle in diesen Ausführungen des Prof. Dr. med. R._ Ende 2004/anfangs 2005 keine IV-relevante psychiatrische Diagnose, sondern "normalpsychologische Umstände" erblickte (Einspracheentscheid vom 14. Januar 2005), wurde diese Einschätzung durch den weiteren Krankheitsverlauf, namentlich die kurz darauf notwendig gewordenen Massnahmen (stationärer Aufenthalt in der Klinik O._ vom 3. bis 24. März 2005), überholt. Auch die Gutachter der Akademie Z._ vertreten für die Zeit vor dem 25. Februar 2005 die Auffassung, dass (entgegen der Einschätzung des Dr. med. B._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 11. Juli 2006) aus psychischen Gründen nicht von einer vollen Arbeitsfähigkeit ausgegangen werden könne; "mit grosser Wahrscheinlichkeit" habe diese 50 % betragen (Gutachten der Akademie Z._ vom 21. November 2008). Bei dieser Sachlage schadet nicht, dass die Vorinstanz sich daneben auch auf den keine fachärztliche Diagnose enthaltenden Bericht des Hausarztes Dr. med. K._ vom 20. Juli 2007 und den Bericht des Dr. med. L._ vom 16. August 2007, welcher nicht aus eigener Wahrnehmung von seit 2002 bestehenden Depressionen ausgeht, stützt.
Nicht nachvollzogen werden kann, weshalb die Beschwerdeführerin sich auf den Standpunkt stellt, unter den gegebenen Umständen sei nicht massgebend, ob die Arbeitsunfähigkeit arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten sei. Denn dieses Kriterium ist schon deshalb zu bejahen, weil die Kündigung zu Beginn des Monats Oktober 2004 wegen krankheitsbedingter Absenzen erfolgte (Zeugnis der Y._ AG vom 19. Oktober 2004). Daran vermögen die Geschehnisse von Ende September bis Mitte November 2004 - der Beschwerdegegner leistete der Aufforderung zur Arbeit vom 30. September 2004 keine Folge, erhielt die Kündigung, bot seine Arbeit anfangs November 2004 an und wurde von der Arbeitgeberin, welche auf sein Angebot verzichtete, freigestellt (Schreiben der Y._ AG vom 11. November 2004) - jedenfalls nichts zu ändern.
Zusammenfassend ergibt sich, dass die vorinstanzliche Festlegung des Zeitpunkts der massgebenden Arbeitsunfähigkeit weder offensichtlich unrichtig ist noch auf einer Rechtsverletzung beruht.
3.3 Da der von der Vorinstanz auf Juli 2006 festgesetzte Beginn des Anspruchs auf eine Rente der beruflichen Vorsorge in der Beschwerde nicht beanstandet wird, erübrigen sich Weiterungen dazu.
4. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der obsiegende Beschwerdegegner hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. August 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann