Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer reichte am 15. März 2008 im Kanton Basel-Stadt gegen den Beschwerdegegner Strafanzeige wegen Betrugs und eventuell Wuchers ein. Mit Beschluss vom 26. September 2007 stellte die Staatsanwaltschaft das Verfahren mangels Beweises des Tatbestands bzw. mangels Rechtswidrigkeit des angezeigten Verhaltens ein. Das Strafgericht Basel-Stadt wies mit Entscheid vom 11. April 2008 einen dagegen gerichteten Rekurs ab. Die Urteilsgebühr sowie eine Parteientschädigung an den Beschwerdegegner wurden dem Beschwerdeführer auferlegt.
Der Beschwerdeführer wendet sich mit Beschwerde in Strafsachen und eventuell Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nur gegeben, soweit keine Beschwerde nach den Art. 72 - 89 BGG zulässig ist (Art. 113 BGG). Eine Einstellungsverfügung in Strafsachen unterliegt - unter Vorbehalt der übrigen Voraussetzungen - der Beschwerde gemäss Art. 78 BGG (zur identischen Beschwerdelegitimation der Beschwerde in Strafsachen und der subsidiären Verfassungsbeschwerde s. Art. 81 Abs. 1 und Art. 115 BGG). Die Kosten- und Entschädigungsfolgen einer Verfahrenseinstellung sind untrennbar mit dem Strafverfahren selber verbunden und werden denn auch in der Regel wie hier vom Strafrichter mit der Hauptsache beurteilt. Rügen in diesem Zusammenhang sind mit Beschwerde in Strafsachen zu erheben. Das Eventualbegehren gemäss Beschwerde S. 3 Ziff. 4 ist gegenstandslos.
3. Als Geschädiger, der nicht Opfer ist, ist der Beschwerdeführer nicht legitimiert, gegen die Einstellung eines Strafverfahrens beim Bundesgericht Beschwerde zu führen (BGE 133 IV 228). Soweit er die Beschwerde als Verfassungsbeschwerde erhebt, kann er die Verletzung von Verfahrensrechten rügen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind dabei nur Rügen, die rein formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache selber getrennt werden können. Denn auf eine solche Prüfung hat der in der Sache selbst nicht Legitimierte keinen Anspruch (BGE 117 Ia 90 E. 4A; 114 Ia 307 E. 3c).
Der Beschwerdeführer rügt, die Kostenregelung im angefochtenen Entscheid erweise sich bei näherer Betrachtung als Folge unrichtiger Anwendung von Bundesrecht und damit als willkürlich im Sinne von Art. 9 BV (Beschwerde S. 2 Ziff. 4a). Zudem liege ein Verstoss gegen die Eigentumsgarantie sowie eine willkürliche Anwendung des kantonalen Strafprozessrechts vor (Beschwerde S. 3 Ziff. 4b und c). Er begründet seine Rügen nur damit, dass er der Vorinstanz eine unrichtige Anwendung von Bundesrecht und Willkür im Zusammenhang mit Art. 146 StGB (Betrug; Beschwerde S. 4 Ziff. A.1), Art. 157 StGB (Wucher; Beschwerde S. 8 Ziff. A.2), Art. 138 StGB (Veruntreuung; Beschwerde S. 12 Ziff. A.3) sowie Art. 158 StGB (Ungetreue Geschäftsbesorgung; Beschwerde S. 13 Ziff. A.4) vorwirft. Diese Ausführungen zielen darauf ab, dass das Bundesgericht eine Prüfung des Falles in der Sache vornehmen soll. Darauf hat der Beschwerdeführer indessen keinen Anspruch. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
4. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner, der vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte, ist keine Entschädigung auszurichten.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Strafgericht des Kantons Basel-Stadt, a.o. Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn