Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Am 22. November 2007 reichte der Beschwerdeführer unter anderem gegen eine Assistenzärztin des Universitätsspitals Zürich Strafanzeige wegen Körperverletzung ein. Mit dem angefochtenen Entscheid wurde gegen die Ärztin keine Strafuntersuchung eröffnet.
Zur Beschwerde in Strafsachen wäre der Beschwerdeführer als Opfer legitimiert, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken könnte (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Nach ständiger Rechtsprechung gilt indessen nicht als in seinen Zivilansprüchen tangiertes Opfer, wer durch Amtshandlungen von staatlichen Funktionären geschädigt wird, die öffentlich-rechtlichen Haftungsvorschriften unterstehen (BGE 128 IV 188 E. 2; 127 IV 189 E. 2b; 125 IV 161 E. 2b). Gemäss § 1 des kantonalen Gesetzes über das Universitätsspital Zürich vom 19. September 2005 (USZG; LS ZH 813.15) ist das Universitätsspital eine Anstalt des kantonalen öffentlichen Rechts. Gemäss § 6 des kantonalen Gesetzes vom 14. September 1969 über die Haftung des Staates und der Gemeinden sowie ihrer Behörden und Beamten (Haftungsgesetz; LS ZH 170.1) haftet der Staat für den Schaden, den ein Beamter in Ausübung amtlicher Verrichtungen einem Dritten widerrechtlich zufügt (Abs. 1). Dem Geschädigten steht kein Anspruch gegen den Beamten zu (Abs. 4). Mangels Zivilansprüchen gegen die seiner Ansicht nach fehlbare Assistenzärztin des Universitätsspitals Zürich ist der Beschwerdeführer nicht gestützt auf Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zur vorliegenden Beschwerde befugt.
Soweit sich die Beschwerde auf Privatärzte bezieht, ist darauf nicht einzutreten, weil sich die Vorinstanz mit deren Verhalten nicht zu befassen hatte. Im Gegensatz zur Behauptung des Beschwerdeführers (Beschwerde S. 5) hat die Vorinstanz ihren Entscheid in diesem Punkt erläutert und ausgeführt, bei den Privatärzten und Heilpraktikern ohne Anstellungsverhältnis zum Staat obliege der Entscheid über die Untersuchungseröffnung der Staatsanwaltschaft (angefochtener Entscheid S. 3). Inwieweit diese Erwägung gegen das Recht verstossen könnte, wird in der Beschwerde nicht ausgeführt.
Die Verletzung von Rechten, die dem Beschwerdeführer als am Verfahren beteiligte Partei nach dem massgebenden Prozessrecht oder unmittelbar aufgrund der BV oder der EMRK zustehen, wird in der Beschwerde nicht geltend gemacht.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Mai 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn