Faits:
A. X._, ressortissante de la République démocratique du Congo, est arrivée en Suisse en 1987. Elle a déposé une demande d'asile qui a été rejetée par décision du 25 octobre 1988. Elle était alors mariée à un compatriote lui aussi requérant d'asile. Les époux ont obtenu une autorisation de séjour pour cas personnel d'extrême gravité en 1990. Ils ont eu deux filles nées en 1987 et 1988. Ils ont divorcé en 1996. X._ s'est remariée en 1997 avec Z._, ressortissant congolais, avec qui elle a eu un fils en 1998. Le 16 février 2001, elle a obtenu une autorisation d'établissement.
Le 23 septembre 2002, X._ a déposé une demande de regroupement familial en faveur de sa fille A.X._, née en 1986. Elle a fait valoir que cette dernière était restée en République démocratique du Congo auprès de son père qui était à présent décédé.
A.X._ est arrivée en Suisse illégalement dans le courant de l'année 2002.
Par décision du 8 juillet 2008, le Service des migrations du canton de Neuchâtel a refusé de délivrer une autorisation d'établissement ou de séjour à A.X._, ainsi qu'à sa fille B.X._, née à la La Chaux-de-Fonds en 2008 et leur a imparti un délai au 30 septembre 2008 pour quitter la Suisse.
Le 28 juillet 2008, l'enfant B.X._ a été reconnue par son père, de nationalité suisse. Elle a ainsi elle-même acquis cette nationalité.
B. Saisi d'un recours contre la décision du 8 juillet 2008, le Département de l'économie du canton de Neuchâtel l'a rejeté par décision du 11 août 2009.
A l'encontre de cette décision, A.X._ et sa fille B.X._ ont recouru au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel - devenu entre-temps la Cour de droit public du Tribunal cantonal -, qui a rejeté le recours par arrêt du 23 novembre 2010. En se fondant sur la jurisprudence sur le regroupement familial partiel développée sous le régime de l'ancienne loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113 et les modifications ultérieures), applicable en l'espèce, les juges cantonaux ont nié l'existence d'une relation prépondérante entre X._ et A.X._. Ils ont ensuite examiné les conséquences, sous l'angle de l'art. 8 CEDH, de la relation de A.X._ avec sa fille de nationalité suisse, sur laquelle elle exerçait l'autorité parentale. Ils ont considéré comme vraisemblable que A.X._ ait eu un comportement abusif, à deux égards. D'une part, l'authenticité de l'acte de naissance produit par celle-ci était douteuse. Ayant constaté des discordances avec l'acte de décès de son père, le Service des migrations l'avait invitée à se soumettre à un test ADN, ce qu'elle avait refusé. D'autre part, les circonstances de la reconnaissance de sa fille donnaient à penser que celle-ci était abusive. Ce comportement était nettement en défaveur de A.X._ dans la pesée des intérêts et conduisait à refuser l'autorisation sollicitée. Le Tribunal administratif a en outre confirmé le renvoi de Suisse.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, A.X._ et sa fille B.X._ demandent au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 23 novembre 2010, sous suite de frais et dépens. A titre préalable, elles demandent que leur recours soit doté de l'effet suspensif. Elles se plaignent notamment de violation de l'art. 8 CEDH.
L'autorité précédente, le Service des migrations et l'Office fédéral des migrations concluent au rejet du recours. Le Département de l'économie propose de le rejeter dans la mesure où il est recevable.
Par ordonnance présidentielle du 20 janvier 2011, la demande d'effet suspensif a été admise.
Considérant en droit:
1. 1.1 Les recourantes ont formé, en un seul acte (cf. art. 119 LTF), un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. La recevabilité du premier excluant celle du second (cf. art. 113 LTF), il convient d'examiner en priorité si la voie du recours en matière de droit public est ouverte. Il en va d'autant plus ainsi que les recourantes n'ont pas fait valoir leurs moyens en distinguant selon les conditions de recevabilité propres à chaque recours.
1.2 D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179, 497 consid. 3.3 p. 500 s.).
En l'occurrence, les recourantes invoquent notamment l'art. 8 CEDH. Du moment que la recourante 1 vit avec sa fille âgée de trois ans, qui a la nationalité suisse et sur laquelle elle exerce l'autorité parentale, cette disposition est potentiellement de nature à lui conférer un droit à une autorisation de séjour. Le recours est donc recevable au regard de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte et le recours constitutionnel subsidiaire, partant, irrecevable.
1.3 Les recourantes ne formulent que des conclusions cassatoires, alors que l'art. 107 al. 2 LTF confère au Tribunal fédéral un pouvoir général de réforme. Il ressort toutefois clairement de la motivation du recours qu'elles demandent l'octroi d'une autorisation de séjour. Interprétées à la lumière de la motivation, leurs conclusions sont ainsi recevables.
1.4 Les autres conditions de recevabilité étant réunies, il se justifie d'entrer en matière.
1.5 Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral et du droit international (art. 95 let. a et b et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitrairement (ATF 133 III 393 consid. 7.1 p. 398) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). D'une manière générale, la correction du vice doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF). Au demeurant, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, les recourantes allèguent des faits qui n'ont pas été retenus par l'autorité précédente, en se plaignant d'une constatation manifestement inexacte de l'état de fait. Ce grief étant soulevé de manière appellatoire, sans que les recourantes démontrent en quoi l'autorité précédente aurait arbitrairement établi les faits de la cause, il est irrecevable, le Tribunal fédéral étant fondé à vérifier l'application du droit sur la seule base des faits retenus dans le jugement du 23 novembre 2010.
2. 2.1 L'art. 8 CEDH ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un Etat déterminé. Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut toutefois entraver sa vie familiale et porter ainsi atteinte au droit au respect de la vie privée et familiale garanti par cette disposition (ATF 135 I 143 consid. 1.3.1 p. 145, 153 consid. 2.1 p. 154 s.). Il n'y a toutefois pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des membres de la famille qu'ils réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8 CEDH n'est pas a priori violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour (ATF 135 I 143 consid. 2.2 p. 147, 153 consid. 2.1 p. 155). En revanche, si le départ du membre de la famille pouvant rester en Suisse ne peut d'emblée être exigé sans autres difficultés, il convient de procéder à la pesée des intérêts prévue par l'art. 8 par. 2 CEDH. Celle-ci suppose de tenir compte de l'ensemble des circonstances et de mettre en balance l'intérêt privé à l'obtention d'un titre de séjour et l'intérêt public à son refus (ATF 135 I 153 consid. 2.1 p. 155).
2.2 S'agissant du droit de séjour en Suisse du parent étranger ayant le droit de garde et l'autorité parentale sur son enfant suisse, fondé sur la protection de la relation parent/enfant garantie par l'art. 8 CEDH ("regroupement familial inversé", "umgekehrter Familiennachzug"), le Tribunal fédéral a précisé les critères à prendre en considération, en soulignant la nécessité de tenir davantage compte des droits découlant de la nationalité suisse de l'enfant ainsi que de la convention relative aux droits de l'enfant (ATF 135 I 143 consid. 2.3 p. 148, 153 consid. 2.2.2 p. 156 s.).
Pour que l'on puisse contraindre un enfant suisse à suivre son parent à l'étranger, il faut non seulement que son départ paraisse exigible, mais encore qu'il existe des motifs d'ordre et de sécurité publics, de nature à justifier les importantes conséquences d'un départ pour l'étranger. L'intérêt public à mener une politique migratoire restrictive n'est pas suffisant à cet égard. Si rien ne fait apparaître le parent étranger, exerçant l'autorité parentale et ayant le droit de garde, comme indésirable en Suisse et en l'absence d'indices d'un comportement abusif de sa part en vue d'obtenir une autorisation de séjour, il y a lieu d'admettre en général que l'on ne peut attendre de l'enfant suisse qu'il suive son parent à l'étranger et que, dans la pesée des intérêts selon l'art. 8 par. 2 CEDH, l'intérêt privé de l'enfant à demeurer en Suisse l'emporte sur l'intérêt public d'une politique migratoire restrictive (ATF 135 I 153 consid. 2.2.4 p. 158). Seule une atteinte d'une certaine gravité à l'ordre et à la sécurité publics peut l'emporter sur le droit de l'enfant suisse de pouvoir grandir dans sa patrie avec le parent qui a le droit de garde et l'autorité parentale sur lui (ATF 136 I 285 consid. 5.2 p. 287). Un comportement abusif du parent en question peut fonder un intérêt public conduisant à lui refuser l'autorisation de séjour sollicitée. Un tel comportement peut consister en un édifice de mensonges, de fausses déclarations ou un acte juridique du droit de la famille (reconnaissance, adoption, mariage) effectué en vue d'éluder la loi. Dans un arrêt récent, le Tribunal fédéral a toutefois précisé qu'il convient aussi en présence d'un tel comportement de tenir compte de manière objective et sans schématisme de l'intérêt de l'enfant de nationalité suisse, lequel doit être mis en balance avec l'intérêt public à combattre l'abus de droit. Le fait pour un étranger de se marier ou d'établir un lien de parenté dans le seul but d'entrer ou de séjourner en Suisse ne mérite en effet aucune protection, ce que le législateur a entre-temps explicité en amendant le Code civil (cf. art. 97a, 98 al. 4, 99 al. 4 et 105 ch. 4 en relation avec les art. 106 al. 1 et 109 al. 3 CC). Dans la pesée d'intérêts, le comportement du parent détenteur de l'autorité parentale qui n'est que prétendument abusif ne peut toutefois être opposé à l'enfant, tant que celui-ci conserve son statut de droit civil. Lorsque le litige porte sur l'octroi ou la prolongation de l'autorisation de séjour d'un parent étranger détenant l'autorité parentale sur son enfant de nationalité suisse, de simples indices que ce parent pourrait avoir tenté d'obtenir un titre de séjour en Suisse de manière abusive, ne l'emportent en règle générale pas sur l'intérêt privé de l'enfant à pouvoir demeurer dans son pays. Il faut dans ce cas aussi qu'existent d'autres motifs, tenant notamment à l'ordre et à la sécurité publics, pour que les graves conséquences qu'un départ de Suisse entraînerait pour l'enfant apparaissent justifiées (arrêt 2C_327/2010 + 2C_328/2010 du 19 mai 2011, destiné à la publication, consid. 5.1).
Au demeurant, le fait que le parent étranger dépende de façon continue et dans une large mesure de l'aide sociale et que cette situation ne semble pas devoir évoluer favorablement, peut également constituer un motif conduisant à lui refuser une autorisation de séjour (arrêt 2C_327/2010 + 2C_328/2010, précité, consid. 5.2.5, avec renvoi not. à l'arrêt 2C_697/2008 du 2 juin 2009 consid. 4.4).
3. 3.1 Dans le cas particulier, il est constant que la recourante 2, sur laquelle la recourante 1 a l'autorité parentale, a acquis la nationalité suisse, lorsqu'elle a été reconnue par un ressortissant suisse, en date du 28 juillet 2008. L'autorité précédente a toutefois considéré que la reconnaissance apparaissait comme abusive. Elle a en effet relevé que lors de la naissance de sa fille, la recourante 1 n'avait donné aucune indication à l'officier d'état civil concernant l'identité du père. La reconnaissance n'était intervenue que six mois plus tard et, qui plus est, une vingtaine de jours après la décision par laquelle le Service des migrations avait refusé de délivrer un titre de séjour à la mère. En outre, le père était de 27 ans l'aîné de la recourante 1 et il était domicilié dans le canton de Zurich. Enfin, si une convention d'entretien avait bien été conclue le 4 novembre 2008, il ne ressortait pas du dossier que les contributions aient effectivement été versées.
3.2 Lors de l'examen du droit à une autorisation tiré de la législation sur les étrangers, il convient généralement de se baser sur la situation découlant des règles du droit civil, tant que celle-ci n'a pas été modifiée en utilisant les voies de droit instituées par lesdites règles (cf. arrêt 2C_327/2010 + 2C_328/2010, précité, consid. 5.2.3 in fine). En l'occurrence, la recourante 2 a ainsi acquis de plein droit (cf. art. 1 al. 2 de la loi fédérale du 29 septembre 1952 sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse [Loi sur la nationalité, LN; RS 141.0]) la nationalité suisse lors de la reconnaissance, laquelle n'a pas été attaquée par la voie de l'action en contestation (art. 260a ss CC), qui peut être intentée notamment par la commune d'origine ou celle du domicile de son auteur (art. 260a al. 1 CC).
Comme indiqué plus haut (consid. 2.2), s'il y a des indices que le parent étranger détenant l'autorité parentale sur son enfant de nationalité suisse pourrait avoir tenté d'obtenir un titre de séjour en Suisse de manière abusive, ceux-ci ne l'emportent en règle générale pas sur l'intérêt privé de l'enfant à pouvoir demeurer dans son pays. Pour que l'intérêt public à l'éloignement prime sur cet intérêt privé, il faut d'autres motifs, tenant notamment à l'ordre et à la sécurité publics. Or, en l'occurrence, il ne ressort pas de la décision entreprise que la recourante 1 aurait eu un comportement contraire à l'ordre et à la sécurité publics, si ce n'est qu'elle est arrivée en Suisse illégalement. Il n'apparaît cependant pas qu'elle aurait été condamnée de ce fait et de telles infractions n'atteignent de toute manière généralement pas le degré de gravité qui, selon la jurisprudence, fait primer l'intérêt public au respect de l'ordre et de la sécurité sur l'intérêt privé de l'enfant suisse à pouvoir vivre dans son pays avec le parent qui s'occupe de lui (cf. ATF 136 I 285 consid. 5.3 p. 289). En se référant à la décision du Département de l'économie du 11 août 2009, l'autorité précédente a par ailleurs relevé que la recourante 1 rencontrait "des difficultés d'intégration en Suisse dans la mesure où elle est toujours bénéficiaire de l'aide sociale et n'a entrepris qu'en 2008 une formation d'auxiliaire de santé auprès de la Croix-Rouge, sans toutefois trouver un emploi". Comme dans l'affaire à la base de l'arrêt 2C_327/2010 + 2C_328/2010 (consid. 5.2.5 in fine), il convient d'admettre que cette situation peut jusqu'à un certain point être imputée à la précarité de son statut en Suisse et que ses chances de trouver un emploi, notamment dans le domaine de la santé, seront accrues si elle dispose d'une autorisation de séjour. Si tel ne devait pas être le cas et qu'elle continue de dépendre dans une large mesure de l'aide sociale, il serait possible, en procédant à une nouvelle pesée d'intérêts, de révoquer cette autorisation (cf. art. 62 let. e de la loi fédérale sur les étrangers du 16 décembre 2005 [LEtr; RS 142.20]) ou de ne pas la renouveler.
Ainsi, en l'absence d'autres motifs tenant à la sécurité ou à l'ordre publics, il n'y a pas lieu en l'espèce de s'écarter de la règle qui fait primer l'intérêt de l'enfant de nationalité suisse à pouvoir demeurer dans son pays avec son parent détenteur de l'autorité parentale. En considérant au contraire que l'intérêt public à l'éloignement de la recourante 1 l'emportait sur cet intérêt privé, l'autorité précédente a contrevenu à l'art. 8 CEDH.
4. Vu ce qui précède, le recours doit être admis dans la mesure où il est recevable, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée au Service des migrations pour qu'il délivre l'autorisation de séjour sollicitée.
Il n'y a pas lieu de percevoir de frais de justice (cf. art. 66 al. 4 LTF). Succombant, le canton de Neuchâtel devra verser aux recourantes une indemnité à titre de dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral ne fera pas usage de la faculté prévue aux art. 67 et 68 al. 5 LTF et renverra la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure accomplie devant elle.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est admis. L'arrêt du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel du 23 novembre 2010 est annulé et la cause renvoyée au Service des migrations du canton de Neuchâtel pour qu'il délivre l'autorisation de séjour sollicitée.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. La cause est renvoyée à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, afin qu'elle statue à nouveau sur le sort des frais et dépens de la procédure cantonale.
4. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5. Le canton de Neuchâtel versera aux recourantes une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
6. Le présent arrêt est communiqué au mandataire des recourantes, au Service des migrations, au Département de l'économie et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 16 juin 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Zünd Vianin