Art. 9 BV (Aufhebung der Betreibung nach Art. 85 SchKG), hat sich ergeben:
A.- Am 20. Mai 1997 stellte das Betreibungsamt Solothurn der X._ Bank AG in der gegen A._ laufenden Betreibung Nr. 1.... einen Verlustschein über Fr. 1'883'959. 85 aus. Bereits am 27. März 1997 war ihr gegen B._ ein Verlustschein in gleicher Höhe ausgestellt worden.
In beiden Fällen wurde die solidarische Haftbarkeit von B._ bzw. von A._ gegenüber der X._ Bank AG festgehalten.
Am 17. Juli 2001 reichte A._ beim Richteramt von Solothurn-Lebern ein Gesuch um Aufhebung der in der Folge von der X._ Bank AG eingeleiteten Arrestbetreibung ein.
Als urkundlichen Beweis hinterlegte er den gegen B._ ausgestellten Verlustschein mit rückseitiger Erklärung vom 7. Februar 2001 und einen als Quittung bezeichneten Beleg des selben Datums.
Mit Entscheid vom 13. November 2001 wies der Gerichtspräsident das Gesuch ab.
B.-Das Obergericht des Kantons Solothurn hiess den von A._ gegen dieses Urteil erhobenen Rekurs teilweise gut und hob die Betreibung Nr. 1.... für den Teilbetrag vonFr. 188'393. 85 auf.
C.- A._ beantragt mit staatsrechtlicher Beschwerde, das Urteil des Obergerichts aufzuheben.
Das Obergericht des Kantons Solothurn und die X._ Bank AG schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit einer staatsrechtlichen Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (BGE 128 I 46 E. 1a).
a) Dem Aufhebungs- oder Einstellungsgesuch gemäss Art. 85 SchKG kommt ausschliesslich betreibungsrechtliche Bedeutung zu. Gegen den letztinstanzlichen Entscheid ist daher nur die staatsrechtliche Beschwerde gegeben (BGE 96 I 1 E. 1; Braconi, Les voies de recours au tribunal fédéral dans les contestations de droit des poursuites, in: Festschrift 75 Jahre Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz, Basel 2000, S. 253).
b) Zwar beantragt der Beschwerdeführer die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils als solches, indes lässt sich seiner Begründung entnehmen, dass er sich nur dagegen richtet, soweit seinem kantonalen Rekurs kein Erfolg beschieden war. Nur in diesem Umfang ist er auch beschwerdeberechtigt (Art. 88 OG).
c) Das staatsrechtliche Beschwerdeverfahren zeichnet sich unter andrem durch ein Novenverbot bei Willkürrügen aus, das auch für die Beschwerdegegnerin gilt (BGE 118 III 37 E. 2a). In diesem Sinne sind ihre ergänzenden Ausführungen zum Sachverhalt und ihre Belege nicht zu berücksichtigen.
Ebensowenig sind ihre Verweise auf kantonale Eingaben zulässig (BGE 115 Ia 27 E. 4a S. 30 mit Hinweis).
2.- a) Der Beschwerdeführer macht die Verletzung des Anspruchs auf ein unabhängiges Gericht gemäss Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Abs. 1 EMRK geltend. Die im angefochtenen Urteil mitwirkenden Richter und die als Referentin amtende Richterin seien in der Materie vorbefasst gewesen, da sie - mit einer Ausnahme - bereits im Arrestverfahren zwischen den gleichen Parteien geurteilt hätten, und sich alle drei dereinst mit dem inzwischen sistierten Widerspruchsverfahren zwischen der Ehefrau des Beschwerdeführers und der Beschwerdegegnerin befassen werden.
aa) Aufgrund ihrer formellen Natur ist diese Rüge vorab zu behandeln (BGE I 14/02 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 28. März 2002, E. 1).
bb) Nach der ständigen Rechtsprechung des Bundesgerichts hat der Rechtsuchende allfällige Verfahrensmängel sobald als möglich zu rügen. Es widerspricht dem Grundsatz von Treu und Glauben, ein gerichtliches Verfahren zu beanspruchen und seinen Fortgang nehmen zu lassen, um im Falle eines für den Betroffenen ungünstigen Ausgangs aus formalen und zuvor bekannten Gründen die Aufhebung des Urteils zu verlangen (BGE I 14/02 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 28. März 2002, E. 2b mit Hinweisen). Dies bedeutet indes noch nicht, dass die Zusammensetzung des Gerichts vorab mitzuteilen ist. Es genügt, dass sie aus einer allgemein zugänglichen Publikation wie dem Staatskalender, dem Amtsblatt oder dem Jahresbericht der Justizbehörden zu entnehmen ist. Ist die Partei durch einen Anwalt vertreten, hat sie auf jeden Fall die ordentliche Zusammensetzung des Gerichts zu kennen (BGE I 14/02 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 28. März 2002, E. 2b mit Hinweis auf BGE 117 Ia 323 E. 1c zu Art. 58 aBV).
cc) Diese allgemeinen Voraussetzungen waren im vorliegenden Fall gegeben. Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer nach Einreichung des Rekurses vom Obergericht verschiedene Verfügungen der Präsidentin (am 23. November, 4. und 19. Dezember 2001) bzw. des Präsidenten (11. und
30. Januar 2002) erhalten hat, ohne sich gegen die Mitwirkung bestimmter Mitglieder des Obergerichts zu verwahren.
Dass diese Verfügungen nicht namentlich gezeichnet waren, ändert am Ergebnis nichts, solange es sich um die ordentliche Zusammensetzung der urteilenden Instanz handelt.
Spätestens mit seiner Eingabe vom 8. Februar 2002 hätte der Beschwerdeführer reagieren müssen.
dd) Nach dem Gesagten kann sich der Beschwerdeführer nicht darauf berufen, das Obergericht habe ihm die Zusammensetzung des Spruchkörpers nicht vorgängig bekannt gegeben. Die Rüge ist damit verwirkt.
b) Ebenso macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht habe ihm in Verletzung von Art. 30 Abs. 3 und Art. 6 Abs. 1 EMRK sowie Art. 88 KV/SO und § 52 und § 53 ZPO/SO eine öffentliche Verhandlung und die Teilnahme an einer öffentlichen Beratung verweigert.
aa) Nach Abschluss des Schriftenwechsels teilte der Beschwerdeführer dem Obergericht am 8. Februar 2002 mit, dass er von seinem Recht Gebrauch machen möchte, an der öffentlichen mündlichen Urteilsberatung zugegen zu sein, weshalb ihm der Verhandlungstermin mitzuteilen sei. Dieses Gesuch wurde mit Präsidialverfügung vom 14. Februar 2002 abgewiesen mit der Begründung, Rekurse gegen im summarischen Verfahren ergangene Entscheide in SchKG-Sachen würden nach der Praxis des Obergerichts im schriftlichen Verfahren beurteilt.
Am darauf folgenden 1. März, zugestellt am 4. März, fällte das Obergericht das nunmehr angefochtene Urteil.
bb) Bei dieser Verfügung vom 14. Februar 2002 handelt es sich um einen Zwischenentscheid, da er das vom Beschwerdeführer veranlasste Verfahren weiterbringt, aber nicht abschliesst. Er betrifft weder die Zuständigkeit noch den Ausstand, so dass er nicht selbständig anzufechten war (Art. 87 Abs. 1 OG). Ob in der Durchführung des schriftlichen Verfahrens statt der Ansetzung einer öffentlichen Urteilsberatung ein nicht wieder gut zu machender Nachteil im Sinne der Rechtsprechung liegt, kann vorliegend offen bleiben.
Gegebenenfalls wäre die staatsrechtliche Beschwerde zulässig gewesen. Indes war der Beschwerdeführer ohnehin nicht gehalten, den Zwischenentscheid unmittelbar beim Bundesgericht anzufechten (Art. 87 Abs. 2 und 3 OG; BGE 126 I 207 E. 1 und 2).
cc) Im kantonalen Verfahren hat der Beschwerdeführer keine öffentliche Verhandlung gemäss § 302 Abs. 4 ZPO/SO und keine öffentliche Urteilsverkündung verlangt.
Insoweit ist auf seine Rüge nicht einzutreten (Art. 86 Abs. 1 OG). Dass er an einer öffentlichen Verhandlung seinen Standpunkt besser hätte darlegen und verteidigen können und ihm ohne diese Gerichtssitzung zugleich das rechtliche Gehör verweigert worden sei, kann somit ebenfalls nicht geprüft werden. Das Obergericht hat sein Begehren um Anwesenheit an der öffentlichen Urteilsberatung lediglich mit Hinweis auf seine Praxis und die fehlende Begründung des Gesuchs abgelehnt.
Dass durch eine derartig knappe Begründung des Entscheides sein rechtliches Gehör verletzt sein könnte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend.
dd) Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Abs. 1 EMRK begründen kein Recht auf eine öffentliche Urteilsberatung (Jörg-Paul Müller, Grundrechte in der Schweiz, 3. Aufl. ,S. 286/287; Höflicher/Schürmann, Die Europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz, 2. Aufl. , S. 191). Es bleibt damit zu prüfen, ob das Obergericht kantonales Verfassungsrecht falsch und kantonales Verfahrensrecht willkürlich angewendet hat. Art. 88 KV/SO sieht vor, dass Verhandlungen grundsätzlich öffentlich sind. Dass unter den Begriff 'Verhandlungen' allenfalls auch die Urteilsberatung fällt, behauptet der Beschwerdeführer nicht einmal. Diese Frage kann indes soweit offen bleiben, als die Kantonsverfassung lediglich einen Grundsatz festlegt, der eine nähere Umschreibung und auch eine Einschränkung durch die gesetzliche Regelung zulässt.
Die solothurnische Zivilprozessordnung kennt die öffentliche Urteilsberatung. In den allgemeinen Bestimmungen sieht § 53 vor, in welchen Fällen eine solche geheim ist.
Das Gesuch um Aufhebung der Betreibung nach Art 85 SchKG fällt nicht unter die erwähnten Ausnahmen. Es wird vom Amtsgerichtspräsidenten im summarischen Verfahren beurteilt (§ 244 lit. d ZPO/SO). Gegen seinen Entscheid ist der Rekurs an das Obergericht gegeben (§ 243 Abs. 1 ZPO/SO). Dieses Verfahren ist grundsätzlich schriftlich, indes kann auf Antrag oder von Amtes wegen eine mündliche Verhandlung angesetzt werden (§ 302 Abs. 4 ZPO/SO), was vorliegend nicht geschehen ist. Eine öffentliche Urteilsberatung ist im Rekursverfahren - mit oder ohne Verhandlung - nicht vorgesehen.
Von einer willkürlichen Anwendung kantonalen Rechts kann somit nicht die Rede sein.
3.- In der Sache rügt der Beschwerdeführer die Verletzung des Willkürverbotes bei der Anwendung von Art. 85 SchKG.
a) Beweist der Betriebene durch Urkunden, dass die Schuld samt Zinsen und Kosten getilgt oder gestundet ist, so kann er jederzeit beim Gericht des Betreibungsortes die Aufhebung bzw. die Einstellung der Betreibung verlangen (Art. 85 SchKG). Die materielle Rechtslage muss auf der Hand liegen, manifest sein. Die richterliche Kognition ist auf liquide Tatsachen und den Urkundenbeweis beschränkt.
Zur Anwendung gelangt das Summarverfahren (Art. 25 Ziff. 2 lit. c SchKG). Besitzt der Betriebene die notwendigen Urkunden nicht, so bleibt ihm die im ordentlichen Verfahren zu beurteilende Feststellungsklage (Art. 85a SchKG).
b) Das Obergericht gelangte zum Schluss, dass die vom Gesuchsteller eingereichten Urkunden den Nachweis der Tilgung der in Betreibung gesetzten Solidarschuld grundsätzlich erbringen. Indes werde die Beweiskraft des auf dem Verlustschein und der separaten Quittung festgehaltenen Wortlautes durch die Vorbringen der Gesuchsgegnerin nicht unerheblich in Frage gestellt. Insbesondere sei nicht anzunehmen, dass die C._ AG (nachfolgend C._) ihre auf die gegen B._ ausgestellten Verlustscheine begrenzte Verfügungsmacht bewusst habe überschreiten wollen, welcher Umstand für Dr. D._ als Vertreter des Gesuchstellers erkennbar gewesen sei. Ausser Zweifel und von keiner Seite bestritten sei, dass Dr. D._ einen Teilbetrag von Fr. 188'393. 85 an die gegen B._ und den Gesuchsteller bestehende Solidarschuld bezahlt habe.
aa) Ob der Beschwerdeführer der Natur des Aufhebungsverfahrens gerecht wird, wenn er dem Obergericht die unzulässige Beschränkung der Beweismittel auf Urkunden und damit die Verletzung von Art. 85 SchKG, Art. 25 Ziff. 2 SchKG sowie § 154 ff. und § 237 ff. ZPO-SO vorwirft, kann offen bleiben. Auf jeden Fall wurde ihm im kantonalen Verfahren kein Beweismittel verweigert, womit er durch den Standpunkt des Obergerichts keinen Nachteil erlitten hat und damit zur Erhebung dieser Rüge nicht berechtigt ist (Art. 88 OG).
bb) Der angefochtene Entscheid enthält nach Ansicht des Beschwerdeführers an drei Stellen aktenwidrige Feststellungen.
Das Obergericht halte fest, dass er den gegnerischen Vorbringen nicht widerspreche, den Umfang der Vertretungsmacht der C._ gekannt und die entsprechende Vereinbarung zwischen ihr und der X._ Bank AG bereits vor dem 7. Februar 2001 verlangt habe. Genau diese zwei Tatsachen fänden sich in den von ihm im kantonalen Verfahren vollumfänglich bestrittenen Sachverhaltsdarstellungen der Gegenpartei. Dies trifft in der Tat zu, womit der angefochtene Entscheid in zwei wesentlichen Punkten auf aktenwidrigen Feststellungen beruht. Die entsprechende Rüge wird somit zu Recht erhoben. Hingegen ist nicht nachvollziehbar, inwiefern das Obergericht Dr. D._ in willkürlicher Weise zitiert haben soll, findet sich in der angeführten Passage des angefochtenen Entscheids doch genau dessen Behauptung, er habe den Verlustschein nicht als Stellvertreter von B._, sondern als Privatperson käuflich erworben.
cc) Nach Ansicht des Beschwerdeführers auferlegte ihm das Obergericht in Verletzung von Art. 85 SchKG und Art. 8 ZGB die Beweisführungslast für die von der Gegenpartei behaupteten rechtshindernden Tatsachen. Aus seiner Begründung geht hervor, dass er die Beweisanforderungen mit der Beweisführungslast und mit den Folgen der Beweislosigkeit vermengt. Der Gesetzgeber verlangt im Verfahren nach Art. 85 SchKG ausdrücklich den vom Betriebenen zu erbringenden Urkundenbeweis. Davon geht auch das Obergericht aus und fügt unter Hinweis auf die Lehre bei, dass für eine Gutheissung der Klage der strikte Beweis verlangt werde und blosses Glaubhaftmachen nicht genüge. Die eingereichten Urkunden erbringen seiner Ansicht nach grundsätzlich den Nachweis, dass die in Betreibung gesetzte Solidarschuld mit befreiender Wirkung auch für den Betriebenen getilgt worden ist. Indes werde der Beweiswert der eingereichten Urkunden durch die Gegenpartei in Frage gestellt. Deren Schilderungen eines regelrechten 'Coups' würden zumindest vorstellbar erscheinen; die C._ habe ihre auf die Verlustscheine von B._ beschränkte Vertretungsbefugnis kaum überschreiten wollen, was für Dr. D._ erkennbar gewesen sei. Gestützt darauf kommt das Obergericht zum Schluss, die Verbindlichkeit der Quittungen werde nicht unerheblich in Frage gestellt. Abgesehen davon, dass das Obergericht sein Ergebnis zumindest bezüglich der Erkennbarkeit der begrenzten Vertretungsbefugnis der C._ auf aktenwidrige Feststellungen stützt, wie vorangehend dargelegt, werden die Beweisanforderungen zu Gunsten des Gläubigers auf ein Glaubhaftmachen herabgesetzt. Dies wird vom Beschwerdeführer zu Recht als Verletzung von Art. 85 SchKG kritisiert. In der Tat sieht das Gesetz keine entsprechende Beweiserleichterung vor, wie dies beispielsweise bei der provisorischen Rechtsöffnung (Art. 82 Abs. 2 SchKG) oder bei der Arrestbewilligung (Art. 272 Abs. 1 SchKG) der Fall ist. In der Lehre wird denn auch für die Klage nach Art. 85 SchKG einhellig der Urkundenbeweis verlangt (Amonn/Gasser, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 6. Aufl. , S. 138 N. 7; Jaeger/Walder/Kull/Kottmann, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, Art. 85 N. 2; Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, art. 85 N. 68 und 70; Weinberg, Richterliche Aufhebung oder Einstellung der Betreibung im Verfahren nach Art. 85 SchKG, Diss. Zürich 1990, S. 115; Reeb, La suspension provisoire de la poursuite selon l'art. 85a al. 2 LP, in: Festschrift 75 Jahre Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz, Basel 2000, S. 274; Ruedin, SJK Nr. 980, Art. 85 SchKG, S. 5; Bodmer, Kommentar SchKG [Hrsg.
Staehelin/Bauer/Staehelin], Bd. I, Art. 85 N. 33, der für das summarische Verfahren grundsätzlich den vollen Beweis verlangt, und Engler, ebenda, Art. 25 N. 12). Auch aus dieser Sicht besteht somit kein Anlass, bei der Anwendung von Art. 85 SchKG nicht für beide Parteien die selben Beweisanforderungen zu stellen. Damit braucht nicht im Einzelnen geprüft zu werden, inwieweit das Obergericht seine Schlussfolgerungen überhaupt auf Urkunden und nicht nur auf Behauptungen der Gläubigerin stützt.
dd) Ob das Obergericht für die Frage allfälliger Willensmängel auf das separate Widerspruchsverfahren verweisen durfte, ist vorliegend nicht von Belang, da sein Entscheid auf andern Argumenten fusst. Damit muss auch auf die Rügen des Beschwerdeführers im Hinblick auf Irrtum und Täuschung nicht eingegangen werden.
4.- Da nach dem Gesagten der angefochtene Entscheid aufzuheben ist, wird das Obergericht über die Kosten neu zu befinden habe. Auf die Kritik am Kostenverteiler wird daher ebenfalls nicht eingegangen.
5.- Der staatsrechtlichen Beschwerde ist somit Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss sind die Kosten von der Beschwerdegegnerin zu tragen, die dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung schuldet (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 1 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Obergerichts (Zivilkammer) des Kantons Solothurn vom 1. März 2002 wird aufgehoben.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 7'000.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.- Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (Zivilkammer) des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 31. Mai 2002
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: