Fatti:
A. Con sentenza del 14 luglio 2011 la Corte delle assise criminali ha riconosciuto A._ autore colpevole di appropriazione indebita e di falsità in documenti. Riguardo a quest'ultimo reato, all'imputato è in particolare stato rimproverato di avere nel periodo da aprile a luglio del 1997, in correità con C._, dirigente della D._SA, fatto allestire una falsa fattura datata 25 febbraio 1997 di fr. 266'250.--, nonché una lettera datata 25 aprile 1997 con cui la società confermava, contrariamente al vero, l'emissione della fattura. I documenti sono poi stati utilizzati a scopo di inganno nei confronti della società E._srl.
B. Contro il giudizio di condanna, l'imputato ha presentato un appello alla Corte di appello e di revisione penale (CARP). Dopo una serie di atti che non occorre qui evocare, il dibattimento dinanzi alla CARP è stato aggiornato al 27 febbraio 2013. In quella sede, il difensore dell'imputato ha presentato un'istanza di ricusa nei confronti della Presidente della Corte, B._, siccome, quale Presidente dell'allora Corte di cassazione e di revisione penale del Tribunale d'appello (CCRP), aveva in precedenza già partecipato ai giudizi del 15 luglio 2009 e del 19 aprile 2010 concernenti il coimputato C._.
C. Con sentenza del 28 febbraio 2013 la CARP, in una composizione in cui non faceva parte la giudice ricusata, ha statuito sull'istanza di ricusa, respingendola. Ha ritenuto che nelle sentenze del 15 luglio 2009 e del 19 aprile 2010 la Corte non si era espressa in merito al reato di falsità in documenti rimproverato agli imputati. Ha inoltre considerato quantomeno dubbia la tempestività dell'istanza, siccome le citate decisioni della CCRP erano state emanate diversi anni prima ed erano verosimilmente note da tempo sia all'istante sia al suo patrocinatore.
D. A._ impugna questa sentenza con un ricorso in materia penale al Tribunale federale, chiedendo di annullarla e di accogliere la domanda di ricusa. Chiede inoltre di conferire effetto sospensivo al gravame e di essere ammesso al beneficio del gratuito patrocinio. Il ricorrente fa valere la violazione dell'art. 56 lett. b ed f CPP.
Non sono state chieste osservazioni sul merito del gravame.
Diritto:
1. Diretto contro una decisione incidentale su una domanda di ricusazione (art. 92 cpv. 1 LTF), emanata da un'autorità cantonale di ultima istanza (art. 80 cpv. 1 LTF), il ricorso concernente una causa in materia penale è, di massima, ammissibile (art. 78 cpv. 1 LTF). Esso è tempestivo e la legittimazione dell'imputato è pacifica (art. 81 cpv. 1 lett. b n. 1 LTF).
2. Il ricorrente critica l'accenno della CARP alla tardività della domanda di ricusazione. La questione della tempestività o meno dell'istanza non deve essere qui approfondita, siccome la Corte cantonale si è limitata a sollevare dubbi al riguardo a titolo abbondanziale. Non vi sono del resto sufficienti elementi per ritenere tardiva l'istanza, giacché non risulta accertato quando il ricorrente ha avuto conoscenza delle sentenze emanate dalla CCRP nei confronti del coimputato.
3. 3.1 Il ricorrente fa valere la violazione delle lett. b ed f dell'art. 56 CPP, adducendo che la Presidente della CARP avrebbe dovuto ricusarsi poiché, partecipando in veste di Presidente dell'allora CCRP ai giudizi emanati il 15 luglio 2009 e il 19 aprile 2010 nel procedimento penale contro C._, si sarebbe già espressa anche nei suoi confronti sull'accusa di falsità in documenti promossa per gli stessi fatti. Il ricorrente rileva inoltre che il procedimento penale contro il coimputato riguardava pure un'accusa di complicità in truffa, su cui non avrebbe avuto la possibilità di esprimersi. Sostiene che, avendo esaminato gli stessi fatti nell'ambito del precedente giudizio, la Giudice B._ sarebbe ora prevenuta nei suoi confronti.
3.2 Giusta l'art. 56 lett. b CPP chi opera in seno a un'autorità penale si ricusa se ha partecipato alla medesima causa in altra veste, segnatamente come membro di un'autorità, patrocinatore di una parte, perito o testimone. La nozione di "medesima causa" deve essere intesa in senso formale, vale a dire come la procedura che ha condotto a una determinata decisione o che sfocerà nella decisione attesa. Non comprende per contro una procedura distinta o preliminare concernente la stessa controversia in senso lato, riferita cioè al medesimo complesso di fatti e di diritti riguardanti le stesse parti. La nozione di "medesima causa" ai sensi dell'art. 56 lett. b CPP implica quindi un'identità di parti, di procedura e di questioni litigiose (cfr. sentenza 6B_621/2011 del 19 dicembre 2011 consid. 2.3.1). La disposizione presuppone inoltre che il magistrato in questione abbia agito "in altra veste", vale a dire in funzioni differenti. Non è per esempio considerato tale il giudice che ha statuito su ricorsi successivi o che, dopo una modifica dell'organizzazione giudiziaria, ha partecipato all'istruzione della stessa causa presso un nuovo tribunale che ha sostituito quello previgente (cfr. sentenza 6B_621/2011, citata, consid. 2.3.2).
In concreto, la Giudice B._ ha partecipato in veste di Presidente della CCRP al giudizio sul ricorso per cassazione presentato da C._ contro la decisione di condanna pronunciata in primo grado dalla Pretura penale. Ha inoltre presieduto la CARP chiamata a statuire sull'appello del ricorrente contro la sentenza di condanna pronunciata in prima istanza dalla Corte delle assise criminali. Non si tratta quindi della medesima causa, ma di due procedure distinte, concernenti due diversi imputati e sfocianti in due decisioni specifiche. D'altra parte, la CARP ha sostituito la CCRP quale Corte del Tribunale d'appello chiamata a statuire sui gravami interposti contro le sentenze dei tribunali di primo grado in seguito all'entrata in vigore del CPP il 1° gennaio 2011 (cfr. art. 63 della legge sull'organizzazione giudiziaria, del 10 maggio 2006 e diritto transitorio della legge del 20 aprile 2010 sull'adeguamento della legislazione cantonale all'introduzione del CPP). La Giudice B._ ha quindi esercitato in entrambi i procedimenti penali, quale Presidente dell'autorità giudiziaria cantonale di ultima istanza competente nel merito, una funzione analoga. Non trattandosi pertanto della medesima causa e non avendo la giudice ricusata operato in funzioni differenti, un motivo di ricusa fondato sull'art. 56 lett. b CPP non entra in considerazione.
3.3 L'art. 56 lett. f CPP impone la ricusa a chi, per altri motivi, segnatamente a causa di rapporti di amicizia o di inimicizia con una parte o con il suo patrocinatore, potrebbe avere una prevenzione nella causa. Si tratta di una clausola generale, nella quale rientrano tutti i motivi di ricusazione non espressamente previsti nelle lettere precedenti (DTF 138 IV 142 consid. 2.1). Essa concreta le garanzie derivanti dall'art. 30 cpv. 1 Cost. e consente quindi alle parti di esigere la ricusazione di un giudice la cui situazione o il cui comportamento siano di natura tali da far sorgere dubbi sulla sua imparzialità. Questa garanzia vieta l'influsso sulla decisione di circostanze estranee al processo, che potrebbero privarlo della necessaria oggettività a favore o a pregiudizio di una parte (DTF 136 I 207 consid. 3.1 e rinvii). Sebbene la semplice affermazione della parzialità, basata su sentimenti soggettivi di una parte, non sia sufficiente per fondare un dubbio legittimo, non occorre che il giudice sia effettivamente prevenuto: per giustificare la sua ricusazione bastano circostanze concrete idonee a suscitare l'apparenza di una prevenzione e a paventare un rischio di parzialità (DTF 136 I 207 consid. 3.1; 136 III 605 consid. 3.2.1). La ricusa riveste un carattere eccezionale (DTF 138 IV 142 consid. 2.3; 131 I 24 consid. 1.1; 116 Ia 14 consid. 4). Sotto il profilo oggettivo, occorre ricercare se la persona ricusata offra le necessarie garanzie per escludere ogni legittimo dubbio di parzialità; sono considerati in tale ambito anche aspetti di carattere funzionale e organizzativo e viene posto l'accento sull'importanza che possono rivestire le apparenze stesse. Decisivo è sapere se le apprensioni soggettive dell'interessato possano considerarsi oggettivamente giustificate (DTF 134 I 238 consid. 2.1, 20 consid. 4.2).
Il fatto che un giudice abbia partecipato al giudizio di un altro imputato nel quadro di un procedimento penale precedente, fondato in parte sullo stesso contesto fattuale, può comportare una situazione delicata sotto il profilo della citata garanzia costituzionale. Tuttavia, anche in una tale evenienza, l'esistenza di una prevenzione non può essere ammessa in maniera generale, ma deve essere valutata sulla base delle circostanze concrete. Una ricusa deve essere ammessa quando le considerazioni espresse nel giudizio contro il primo imputato facciano apparire predeterminato il giudizio sulla colpevolezza dell'altro imputato nel procedimento successivo (DTF 115 Ia 34 consid. 2c/cc; sentenza 1P.648/2002 del 4 marzo 2003 consid. 3.3, in: Pra 2003 n. 154 pag. 841 segg.). La presunzione d'innocenza (art. 32 cpv. 1 Cost.) garantisce infatti all'accusato di essere giudicato da un giudice che, con riferimento alle fattispecie rimproverategli, non si sia già pronunciato sulla sua colpevolezza (cfr. sentenza 1P.687/2005 del 9 gennaio 2006 consid. 6.1).
3.4 Nel procedimento penale contro il coimputato C._, la CCRP, presieduta dalla Giudice B._, si è pronunciata con sentenze del 15 luglio 2009 e del 19 aprile 2010. Secondo la procedura penale allora in vigore, riguardo all'accertamento dei fatti e all'apprezzamento delle prove, essa aveva un potere d'esame limitato all'arbitrio (cfr. art. 288 lett. c e art. 295 cpv. 1 CPP/TI). Nel primo giudizio, la Corte ha statuito sul ricorso per cassazione presentato dall'imputato contro la condanna di primo grado per i reati di complicità in truffa e di falsità in documenti, dichiarando irricevibili per carenze nella motivazione numerose censure sollevate e non entrando quindi nel merito delle stesse. La CCRP ha sostanzialmente affrontato le questioni della rilevanza di una ritrattazione dell'imputato al dibattimento circa l'effettiva fornitura delle prestazioni oggetto della fattura, del rifiuto da parte del primo giudice dell'audizione di A._, della mancata presa in considerazione delle dichiarazioni di un organo di E._srl e della distinzione tra tentativo di complicità e complicità in un reato tentato, confermando in concreto quest'ultima modalità di partecipazione riferita al reato di truffa. La sentenza è stata impugnata da C._ dinanzi al Tribunale federale che, con giudizio del 1° febbraio 2010, ha parzialmente accolto il gravame, rinviando la causa alla CCRP per una nuova decisione, ritenuto che l'imputato doveva essere prosciolto dall'accusa di complicità in truffa con conseguente ricommisurazione della pena. Con la sentenza del 19 aprile 2010, la CCRP ha quindi statuito nuovamente sulla causa, limitatamente ai considerandi del giudizio del Tribunale federale. Ha prosciolto l'imputato dall'imputazione di complicità in tentata truffa e rinviato gli atti all'istanza inferiore per ricommisurare la pena e rideterminare gli oneri processuali di prima sede.
Come rettamente rilevato nel giudizio impugnato, negli esposti giudizi contro il coimputato C._, la Corte cantonale non si è espressa in merito al reato di falsità in documenti prospettatogli in correità con il qui ricorrente. Solo i fatti relativi all'allestimento della falsa fattura e della relativa lettera del 1997, su cui verte l'imputazione di falsità in documenti, sono in effetti oggetto di entrambi i procedimenti penali, essendo caduto il reato di tentata truffa. In particolare, la Corte cantonale non si è pronunciata sugli elementi costitutivi del reato, né tantomeno si è predeterminata sulla colpevolezza del ricorrente o, sempre con riferimento alla fattispecie incriminata, ha eseguito constatazioni o apprezzamenti sul suo specifico ruolo. L'esito del giudizio che la CARP è chiamata a pronunciare nei confronti del ricorrente appare quindi ancora aperto. Egli non si confronta del resto puntualmente con il contenuto dei citati giudizi concernenti il coimputato, spiegando con una motivazione conforme alle esigenze dell'art. 42 cpv. 2 LTF, sulla base di quali considerazioni la Corte cantonale si sarebbe già espressa sulla sua colpevolezza. Si limita piuttosto ad addurre il fatto che il procedimento penale contro il coimputato e quello nei suoi confronti riguardano le medesime circostanze di tempo e di luogo. Come visto, ciò non basta però a fondare un sospetto oggettivo di prevenzione o di parzialità della giudice ricusata, che deve fondarsi su circostanze concrete da cui risulti che il magistrato si sia predeterminato sull'esito della causa.
4. Ne segue che il ricorso deve essere respinto nella misura della sua ammissibilità.
La domanda di assistenza giudiziaria non può essere accolta, siccome il ricorrente si limita a rilevare di essere stato ammesso al beneficio del gratuito patrocinio nella sede cantonale. Gli spettava invece dimostrare il suo stato di bisogno ed allegare alla domanda i ragguagli sul reddito, il patrimonio, l'insieme degli oneri finanziari e i suoi bisogni attuali (art. 64 cpv. 1 LTF; DTF 125 IV 161 consid. 4a). Le spese giudiziarie seguono quindi la soccombenza e sono di conseguenza poste a suo carico (art. 66 cpv. 1 LTF).
L'emanazione del presente giudizio rende priva d'oggetto la domanda di effetto sospensivo contenuta nel gravame.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3. Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
4. Comunicazione alle parti, rispettivamente al loro patrocinatore e alla Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino.