Faits:
A. X._ a travaillé en qualité de chef de rang pour la Brasserie A._ à B._. Son employeur avait conclu une assurance collective soumise à la LCA avec Y._ couvrant les employés contre le risque d'une perte de gain due à la maladie.
Dès le 8 avril 2008, X._ s'est trouvé en incapacité totale de travail et il a dû subir un remplacement valvulaire aortique. Il a fait valoir son droit aux indemnités journalières prévues par l'assurance collective.
Par courrier du 24 octobre 2008, Y._ a informé son assuré qu'elle cesserait le versement de ses prestations le 31 octobre 2008, considérant que celui-ci avait recouvré une capacité complète de travail dès le 1er novembre 2008.
Une expertise judiciaire confiée au médecin-chef du service de cardiologie des Hôpitaux Universitaires Genevois, a conclu que X._ pouvait reprendre une activité à plein temps dès le 1er novembre 2008 à la condition que celle-ci soit adaptée à son état.
Le 29 novembre 2008, X._ a été licencié pour le 31 janvier 2009.
B. Le 29 janvier 2009, X._ a déposé une demande en paiement à l'encontre de Y._, concluant, sous suite de dépens, au versement des indemnités journalières au-delà du 31 octobre 2008.
Y._ s'est opposée à la demande.
Par arrêt du 12 mai 2010, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a admis partiellement la demande, condamnant Y._ à payer à X._ les indemnités journalières pour une incapacité de travail entière jusqu'au 31 janvier 2009. Adoptant les conclusions de l'expert, la cour cantonale a admis que X._ avait une entière capacité de travail dès le 1er novembre 2008, mais à la condition que son activité soit adaptée à son état. Elle a donc estimé qu'il devait se reconvertir et qu'il se justifiait de lui accorder pour cela un délai d'adaptation de trois mois, soit jusqu'au 31 janvier 2009. Elle a observé également qu'en vertu de l'art. III 25 des conditions générales d'assurance, l'obligation de verser les prestations s'est éteinte au moment où le rapport de travail a pris fin, soit également au 31 janvier 2009.
C. Ayant reçu cet arrêt le 21 mai 2010, X._ a déposé dans un bureau de poste suisse, le lundi 21 juin 2010, un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant une violation de l'art. 71 LAMal et une mauvaise application du délai d'adaptation de trois mois, il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à l'octroi des indemnités journalières jusqu'au 16 avril 2009. Préalablement, il a sollicité l'assistance judiciaire, puis a retiré cette requête par lettre du 27 août 2010.
Y._, qui plaide sans l'assistance d'un avocat, a conclu au rejet du recours avec suite de frais et dépens.
Considérant en droit:
1. 1.1 Selon les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente, le litige porte sur le droit à des indemnités journalières, à raison de 6'461 fr.15 par mois, du 1er novembre 2008 au 16 avril 2009, de sorte que la valeur litigieuse requise par l'art. 74 al. 1 let. b LTF est atteinte.
Interjeté par la partie qui a succombé dans sa demande en paiement (art. 76 al. 1 LTF) et dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF), dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 45 al. 1, 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Sous réserve de l'art. 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Cependant, compte tenu de l'exigence de motivation figurant à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexactes - ce qui correspond à la notion d'arbitraire : ATF 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; 135 II 145 consid. 8.1 p. 153 - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 136 I 184 consid. 1.2 p. 187; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287 et 6.2 p. 288).
En l'espèce, le recourant, aux pages 2 à 4 de son mémoire, voudrait compléter l'état de fait contenu dans l'arrêt cantonal. Comme il n'invoque aucune des circonstances prévues par l'art. 105 al. 2 LTF, il n'y a pas lieu d'en tenir compte et il faut raisonner exclusivement sur la base des constatations cantonales.
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. 2.1 Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé l'art. 71 de la Loi fédérale du 18 mars 1994 sur l'assurance-maladie (LAMal; RS 832.10). Cette disposition prévoit que, lorsqu'un assuré sort de l'assurance collective parce qu'il cesse d'appartenir au cercle des assurés défini par le contrat ou parce que le contrat est résilié, il a le droit de passer dans l'assurance individuelle de l'assureur (art. 71 al. 1 LAMal). L'assureur doit faire en sorte que l'assuré soit renseigné par écrit sur son droit de passage dans l'assurance individuelle; s'il omet de le faire, l'assuré reste dans l'assurance collective. L'assuré doit faire valoir son droit de passage dans les trois mois qui suivent la réception de la communication (art. 71 al. 2 LAMal).
Il faut tout d'abord rappeler, dans le domaine de l'assurance couvrant le risque de la perte de gain en raison de la maladie, que les parties peuvent librement choisir, soit de conclure une assurance sociale d'indemnités journalières régie par les art. 67 à 77 LAMal, soit de conclure une assurance d'indemnités journalières soumise à La loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1) (arrêt 5C.41/2001 du 3 juillet 2001 consid. 2b/bb).
En l'occurrence, il ressort des constatations cantonales que l'employeur du recourant et l'intimée ont conclu un contrat d'assurance qui prévoit, à l'art. I 1b de ses conditions générales, qu'il est soumis à la LCA. Le recourant ne prétend pas que cette constatation serait arbitraire ou établie en violation du droit (art. 97 al. 1 LTF) et on ne voit pas qu'elle le soit (art. 105 al. 2 LTF). Le contrat d'espèce est donc soumis à la LCA, et non à la LAMal.
Il en résulte que l'assureur n'a pas les devoirs d'information prévus pour l'assurance sociale (arrêt 5C.41/2001 du 3 juillet 2001 consid. 2b).
En conséquence, l'art. 71 LAMal, invoqué par le recourant, n'est ici pas applicable, sauf dans le cas des chômeurs prévu spécialement par l'art. 100 al. 2 LCA (arrêt 4A_354/2009 du 23 décembre 2009 consid. 2.1). Or, le recourant n'était pas un chômeur, de sorte que l'art. 100 al. 2 LCA n'est pas applicable.
Ainsi, l'art. 71 LAMal n'étant pas applicable dans le cas d'espèce, c'est à tort que le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir ignoré cette disposition.
2.2 La cour cantonale a constaté que le contrat d'espèce, à l'art. III 25 de ses conditions générales, prévoit que l'obligation de verser des prestations s'éteint après l'extinction de la couverture d'assurance.
Le recourant ne prétend pas que cette constatation serait arbitraire ou établie en violation du droit (art. 97 al. 1 LTF) et on ne voit pas qu'elle le soit (art. 105 al. 2 LTF). Le Tribunal fédéral se trouve donc lié (art. 105 al. 1 LTF).
Dans le cas de l'assurance des indemnités journalières, il est vrai que l'assureur doit en principe verser les prestations convenues jusqu'à épuisement, quand bien même la relation contractuelle a pris fin. Cette règle ne vaut cependant que sous réserve d'une convention contraire conclue par les parties (arrêt 5C.211/2000 du 8 janvier 2001 consid. 3b; ALFRED MAURER, Schweizerisches Privatversicherungsrecht, 3ème éd. 1995, n° 1 p. 240).
Or, en l'espèce, selon les constatations cantonales qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF), les parties sont précisément convenues que le droit aux prestations cesse avec l'extinction de la couverture d'assurance. Il a été constaté et il n'est pas contesté que le recourant a été licencié pour le 31 janvier 2009 et que la couverture d'assurance a cessé avec son licenciement.
Le recourant, qui ne critique d'ailleurs pas cette partie du raisonnement cantonal, ne saurait donc prétendre à des indemnités au-delà de cette date. Son argumentation sur le calcul du délai d'adaptation de trois mois ne peut rien y changer, puisque le droit aux prestations s'éteint pour un autre motif, à savoir l'extinction de la couverture d'assurance.
En limitant à la date du 31 janvier 2009 les prestations dues au recourant, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral. Le recours doit donc être rejeté.
3. Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée, qui n'a pas recouru aux services d'un avocat et n'a pas établi avoir subi d'autres frais (art. 68 al. 1 LTF; ATF 125 II 518 consid. 5b p. 519 s.).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, Chambre 4.
Lausanne, le 10 novembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Crittin