Faits:
A. P._, né en 1955, a travaillé en qualité de technicien-dentiste et de directeur au service de la société X._. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Victime d'un accident de la circulation le 9 décembre 1998, il a été transporté à l'Hôpital Y._, où les médecins ont diagnostiqué une fracture-luxation du calcanéum droit et effectué une intervention consistant en une réduction et un embrochage calcanéo-astragalien.
Dans un rapport du 1er juin 1999, le docteur M._, spécialiste en chirurgie et médecin d'arrondissement de la CNA, a constaté une amyotrophie importante du quadriceps à droite et du mollet, une réduction de la flexion dorso-plantaire de la cheville droite et de la pro-supination, une zone anesthésique de l'avant-pied, ainsi que la persistance d'une décharge à l'aide de deux cannes anglaises. Ce médecin a attesté une incapacité de travail entière.
L'assuré a séjourné à l'Hôpital Z._ (du 23 juin au 28 juillet 1999) et à l'Hôpital O._ (du 10 avril au 9 mai 2000).
Dans un rapport d'examen médical final du 20 septembre 2002, le docteur M._ a attesté une capacité entière dans une activité adaptée, essentiellement assise ou permettant d'alterner les positions assise et debout, et comprenant des déplacements sur de courtes distances et terrains plats. En revanche, il n'était plus possible à l'assuré de surcharger le membre inférieur droit, de s'accroupir, de s'agenouiller, de faire de longues stations debout ni de marcher en terrain instable.
Aussi, la CNA a-t-elle informé l'intéressé, le 26 septembre 2002, que l'indemnité journalière serait allouée jusqu'au 28 février 2003, date à laquelle elle statuerait sur son droit éventuel à une rente d'invalidité.
Par décision du 23 juin 2003, la CNA a alloué à l'assuré une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 20 % et lui a dénié tout droit à une rente d'invalidité. Saisie d'une opposition contre cette déci-sion, elle a accepté de compléter l'instruction du cas et de reprendre le service de l'indemnité journalière depuis le 1er mars 2003.
Elle a alors confié une expertise aux médecins du Centre multi-disciplinaire de la douleur (rapport du 18 février 2004) et recueilli des rapports du docteur N._, spécialiste en neurologie (des 14 janvier, 3 mars et 29 avril 2004). Le dossier a encore été complété par des avis des docteurs M._ (rapport du 30 juillet 2004) et L._, spécialiste en chirurgie et médecin d'arrondissement de la CNA (rapport du 7 septembre 2004).
Par décision du 3 février 2005, confirmée sur opposition le 12 juillet 2006, la CNA a supprimé le droit de l'assuré à l'indemnité journalière à partir du 1er avril 2005 et lui a dénié le droit à une rente d'invalidité.
De son côté, l'Office cantonal AI de Genève a accordé à l'intéressé une rente entière du 1er décembre 1999 au 31 août 2000, une demi-rente du 1er septembre 2000 au 31 mars 2002 et une rente entière du 1er avril 2002 au 30 septembre suivant (décisions du 8 août 2003). Par décision du 2 août 2007, l'Office cantonal AI du Valais a rejeté une nouvelle demande de rente présentée par l'assuré. Saisi d'un recours, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 19 mai 2008. Par arrêt de ce jour, la Ière Cour de droit social du Tribunal fédéral a rejeté le recours formé par l'assuré contre ce jugement (cause 8C_507/2008).
B. Saisi d'un recours de l'intéressé qui concluait à l'octroi d'une rente d'invalidité de l'assurance-accidents fondée sur un taux d'incapacité de gain de 60 % et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité correspondant à un taux de 30 %, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 14 janvier 2008.
C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il requiert l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'allocation d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 60 % et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité correspondant à un taux de 40 %.
La CNA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit éventuel du recourant à une rente d'invalidité et sur le taux déterminant le montant de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406, 119 V 335 consid. 1 p. 337, 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 177 consid. 3.2 p. 181, 402 consid. 2.2 p. 405, 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
3. 3.1 Par un premier moyen, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir nié l'existence d'un lien de causalité entre des acouphènes diagnostiqués par le docteur S._, spécialiste en oto-rhino-laryngologie, et l'accident du 9 décembre 1998. Se fondant sur les conclusions du médecin prénommé, selon lesquelles les troubles en question sont survenus à la suite de l'accident, l'assuré fait valoir que les premiers juges ne pouvaient pas nier l'existence d'un tel lien au seul motif qu'il s'est écoulé une trop longue période entre l'événement accidentel et l'apparition desdits troubles.
Ce grief est mal fondé. Le docteur S._ motive sa conclusion par le fait, d'une part, que les acouphènes sont clairement apparus depuis l'accident et, d'autre part, qu'un traumatisme cranio-cérébral peut parfaitement induire de telles répercussions (rapport du 8 juillet 2003). Or, la juridiction cantonale a justement démontré que les conclusions du docteur S._ reposent sur une prémisse erronée puisque l'assuré n'a pas été victime d'un traumatisme cranio-cérébral. En outre, admettre l'existence du lien de causalité naturelle au motif que les acouphènes sont apparus après l'accident revient à se fonder sur l'adage « post hoc, ergo propter hoc », lequel ne permet pas, selon la jurisprudence, d'établir l'existence d'un tel lien (ATF 119 V 335 consid. 2b/bb p. 341 s.).
3.2 Par un deuxième moyen, le recourant conteste le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel il n'existe pas de lien de causalité naturelle entre la coxarthrose et l'accident.
La juridiction cantonale a nié l'existence de ce lien au motif que l'assuré n'avait subi aucune lésion à la hanche lors de l'accident et que des plaintes à ce sujet n'avaient été exprimées que tardivement. Par ailleurs, les premiers juges ont réfuté l'avis du docteur V._, spécialiste en médecine interne et maladies rhumatismales, et médecin traitant de l'assuré, selon lequel la coxarthrose était très probablement la conséquence de la démarche particulière due aux troubles persistant au pied droit (rapport du 20 septembre 2005). Ils se sont fondés pour cela sur le point de vue du docteur L._, d'après lequel il n'était pas vraisemblable que la décharge du membre inférieur droit entraînât une coxarthrose, dès lors que l'articulation de la hanche est apte à supporter tout le poids d'un corps à chaque pas (rapport du 16 novembre 2005).
Si le diagnostic de coxarthrose posé par le docteur V._ n'est pas contestable, on ne saurait cependant se rallier au point de vue du recourant qui soutient que la conclusion de ce médecin au sujet de l'origine de cette affection repose sur une étude approfondie. Aussi, les motifs pour lesquels la juridiction cantonale s'est fondée sur le point de vue du docteur L._ plutôt que sur celui du docteur V._ apparaissent-ils convaincants. Au demeurant, et contrairement à ce que soutient le recourant, l'impossibilité d'exclure en l'occurrence que la coxarthrose soit due aux circonstances indiquées par le docteur V._ ne permet pas de considérer l'existence d'un lien de causalité naturelle comme établie au degré de la vraisemblance prépondérante, généralement appliquée à l'administration des preuves dans la procédure en matière d'assurances sociales (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181 et les références).
3.3 Vu ce qui précède, la CNA était fondée, par sa décision sur opposition du 12 juillet 2006, à faire abstraction des acouphènes et de la coxarthrose dans l'évaluation des taux déterminants pour l'indemnité pour atteinte à l'intégrité et pour l'évaluation de l'invalidité éventuelle.
3.4 Pour le reste, le recourant ne conteste pas le taux de l'atteinte à l'intégrité fixé à 20 % pour les troubles à la cheville droite et celui-ci doit être confirmé.
En ce qui concerne l'évaluation de l'invalidité, le recourant reproche à la juridiction cantonale de s'être fondée, pour examiner sa capacité de travail, sur l'avis des docteurs M._ et L._, plutôt que sur celui du docteur N._.
En l'occurrence, le docteur M._ a attesté une capacité entière dans une activité adaptée, essentiellement assise ou permettant d'alterner les positions assise et debout, et comprenant des déplacements sur des courtes distances et terrains plats. En revanche, il n'était plus possible à l'assuré de surcharger le membre inférieur droit, de s'accroupir, de s'agenouiller, de faire de longues stations debout ni de marcher en terrain instable (rapports des 20 septembre 2002 et 30 juillet 2004). Cette appréciation a été confirmée par le docteur L._ dans ses rapports des 7 septembre 2004 et 3 juillet 2006. De son côté, le docteur N._ a attesté une incapacité de travail de 50 % au moins, quelle que soit l'activité exercée. A l'appui de son appréciation, ce médecin indique que les troubles dont souffre l'assuré empêchent la station debout prolongée et la marche (rapports des 14 janvier 2004 et 21 juin 2006). Cela étant, le docteur N._ ne fait état d'aucun élément objectif qui n'ait été pris en compte et dûment analysé par les docteurs M._ et L._. En particulier, il n'indique pas les motifs pour lesquels il juge l'assuré inapte à exercer sans limitation son activité de technicien-dentiste, laquelle a été considérée comme pleinement compatible avec son état de santé par les docteurs M._ et L._. Cela étant, la juridiction cantonale était fondée à se référer à l'appréciation de ces médecins pour nier une diminution de la capacité de travail dans l'activité habituelle et, partant, une atteinte à la capacité de gain.
3.5 Vu ce qui précède, le jugement entrepris n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
4. Un émolument judiciaire doit être mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 20 octobre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd