Sachverhalt:
Die IV-Stelle des Kantons Luzern stellte mit Verfügung vom 21. Januar 2008 fest, der 1973 geborene A._ sei aufgrund der Ergebnisse umfassender medizinischer Abklärungen aus interdisziplinärer Sicht zu 20 Prozent "eingeschränkt"; ein Anspruch auf eine Invalidenrente bestehe demnach nicht. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies die dagegen erhobene Beschwerde ab, ebenso das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung (Entscheid vom 11. August 2009).
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei ihm mit Wirkung ab Juli 2002 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache zu ergänzender Abklärung und anschliessender Neuverfügung an die Verwaltung zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 7. Oktober 2009 weist das Bundesgericht das mit der Beschwerde gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels ab.
Das Bundesgericht weist (in anderer Besetzung) ein Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers gegenüber den Gerichtspersonen, die an der Verfügung vom 7. Oktober 2009 beteiligt waren, ab (Verfügung vom 17. November 2009).
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 132 V 393 zur auch unter der Herrschaft des BGG gültigen Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen im Bereich der Invaliditätsbemessung [Art. 16 ATSG]).
2. 2.1 Die IV-Stelle hat ein interdisziplinäres Gutachten des Instituts X._ vom 22. Oktober 2007 eingeholt, das auf neurochirurgischer, neurologischer, neuropsychologischer und psychiatrischer Befunderhebung und versicherungsmedizinischer Beurteilung der Arbeitsfähigkeit beruht. Danach leidet der Beschwerdeführer seit Dezember 2000 an einem posttraumatischen Kopfschmerz. Die weiter festgestellte narzisstische Persönlichkeit habe keinen Krankheitswert. Das leichtgradige chronische Zervikalsyndrom und leichtgradige sensible Ausfallsyndrom C6 und C8 nach einer Luxationsfraktur des sechsten Halswirbelkörpers zeitigten keinen Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit. Aus interdisziplinärer Sicht sei der Beschwerdeführer in der bisherigen Tätigkeit (als Teilhaber einer Treuhandfirma) und in anderen angepassten Tätigkeiten vollzeitig, aber infolge der Kopfschmerzen mit einer um (höchstens) 20 Prozent eingeschränkten Leistung arbeitsfähig.
2.2 Der angefochtene Entscheid, mit welchem der Anspruch auf eine Invalidenrente verneint wird, beruht auf der Schlussfolgerung, der Beschwerdeführer sei gemäss - beweistauglicher - interdisziplinärer Einschätzung zu 80 Prozent arbeitsfähig. Ein sogenannter Prozentvergleich (zu dessen Zulässigkeit vgl. BGE 114 V 310 E. 3a S. 312; 104 V 135 E. 2b S. 137) ergebe keinen rentenbegründenden Invaliditätsgrad. Der Beschwerdeführer verlangt die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente mit Wirkung ab Juli 2002, allenfalls eine neue Prüfung des Rentenanspruchs nach weiteren medizinischen Abklärungen.
2.3 Die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen und die dazu ergangene Rechtsprechung hat die Vorinstanz zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Strittig sind im Wesentlichen die vorinstanzlichen Feststellungen über Art und Umfang des Gesundheitsschadens sowie über dessen erwerbliche Auswirkungen. Diese betreffen Tatfragen, soweit sie auf der Würdigung konkreter Umstände beruhen; insofern sind sie lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar (oben E. 1; BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397).
3. Strittig sind im Wesentlichen die vorinstanzlichen Feststellungen über Art und Umfang des Gesundheitsschadens sowie über dessen erwerbliche Auswirkungen. Diese betreffen Tatfragen, soweit sie auf der Würdigung konkreter Umstände beruhen; insofern sind sie lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar (oben E. 1; BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397).
3.1 3.1.1 Im psychischen (und neuropsychologischen) Bereich fanden die Administrativgutachter keine Störung mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit. Die narzisstische Persönlichkeitsstruktur entspricht nur dann einem nach Art. 4 Abs. 1 IVG versicherten Faktor, wenn sie ein krankheitswertiges Geschehen im Rechtssinne darstellt. Diese Anspruchsvoraussetzung ist hier jedoch nicht gegeben, mangelt es diesbezüglich - gemäss vorinstanzlich zu Recht als beweiswertig gewürdigter (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) gutachtlicher Aussage - bereits im (regelmässig weiter gefassten) medizinischen Sinn an einem eigenständigen Krankheitswert. Danach entspricht die Persönlichkeitsveränderung - im Sinne einer Persönlichkeitsakzentuierung - noch einer Normvariante. Selbst wenn mit der behandelnden Psychiaterin Dr. B._ eine narzisstische Persönlichkeitsstörung angenommen würde (Bericht vom 5. Februar 2008), wäre mit Blick auf die (die gesamte Anamnese einbeziehende) Befundaufnahme im interdisziplinären Gutachten immer noch nicht von einem invalidisierenden Gesundheitsschaden auszugehen (vgl. Urteil I 82/06 vom 20. November 2006 E. 2.4). Zumindest aber wäre anzunehmen, eine solche Störung beeinträchtige die Willensbildung und Handlungsfreiheit nicht derart, dass dadurch die Leistungsfähigkeit erheblich und dauerhaft eingeschränkt sei (vgl. Urteil I 704/02 vom 17. April 2003 E. 3.4). Das vom Beschwerdeführer beanstandete Fehlen einer Rücksprache der Gutachter mit den behandelnden Psychiatern Dres. B._ und U._ bildet daher keinen Grund, um die vorinstanzlichen Schlussfolgerungen in Frage zu stellen.
Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung besteht kein "fundamentaler Unterschied" zwischen den zur Diskussion stehenden psychischen Beeinträchtigungen; vielmehr sind die Übergänge auch hier fliessend. Vor allem aber besteht, invalidenversicherungsrechtlich entscheidend, keine zwangsläufige Korrelation zwischen Diagnose und Invalidität. Deshalb ist der Streit um die Frage, ob der Beschwerdeführer bloss narzisstische Persönlichkeitszüge oder aber (schon) eine narzisstische Persönlichkeitsstörung aufweise, im Grunde irrelevant. Nach wie vor gilt, dass eine Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit, unabhängig von der Diagnose und grundsätzlich unbesehen der Ätiologie, ausgewiesen und in ihrem Ausmass bestimmt sein muss (BGE 127 V 294 E. 4c S. 298). Daran fehlt es im Falle des Beschwerdeführers nach der gesamten Aktenlage offensichtlich. Weitere Beweisvorkehren vermöchten hieran nichts zu ändern.
3.1.2 Offen bleiben kann, wie es sich mit der im Bericht der Frau Dr. B._ vom 5. Februar 2008 zusätzlich attestierten somatoformen Schmerzstörung verhält, da eine Prüfung im Lichte der in BGE 131 V 49 und 130 V 352 statuierten Kriterien offensichtlich nicht zu einem für den Versicherten günstigen Ergebnis führt, kann doch selbst unter Berücksichtigung jener Berichte, auf die er sich beruft, von einem invalidisierenden Schmerzleiden mit sozialem Rückzug (nach seinen Angaben zu den Tagesaktivitäten im Rahmen der psychiatrischen Begutachtung) nicht die Rede sein.
3.2 In somatischer Hinsicht stimmen die gutachtlichen Befunde auch mit früheren Beurteilungen (des Rheumatologen Dr. R._ vom 3. Februar 2004 sowie des Neurologen Dr. H._ vom 7. Juni 2005: leichtgradiges chronisches Zervikalsyndrom bei Status nach einer Luxationsfraktur des Halswirbelkörpers 6, Wurzelreizsyndrom C6 rechts, Spannungskopfschmerz) weitestgehend überein. Mit Blick auf die Beschreibung des funktionellen Leistungsprofils in den erwähnten ärztlichen Berichten ist nicht erkennbar, inwiefern die im angefochtenen Entscheid anhand des Administrativgutachtens festgelegte Arbeitsunfähigkeit auf einer offensichtlich unrichtigen Beweiswürdigung beruhen oder aber nicht mit den rechtsbegrifflichen Vorgaben des Art. 6 ATSG vereinbar sein sollte.
3.2 In somatischer Hinsicht stimmen die gutachtlichen Befunde auch mit früheren Beurteilungen (des Rheumatologen Dr. R._ vom 3. Februar 2004 sowie des Neurologen Dr. H._ vom 7. Juni 2005: leichtgradiges chronisches Zervikalsyndrom bei Status nach einer Luxationsfraktur des Halswirbelkörpers 6, Wurzelreizsyndrom C6 rechts, Spannungskopfschmerz) weitestgehend überein. Mit Blick auf die Beschreibung des funktionellen Leistungsprofils in den erwähnten ärztlichen Berichten ist nicht erkennbar, inwiefern die im angefochtenen Entscheid anhand des Administrativgutachtens festgelegte Arbeitsunfähigkeit auf einer offensichtlich unrichtigen Beweiswürdigung beruhen oder aber nicht mit den rechtsbegrifflichen Vorgaben des Art. 6 ATSG vereinbar sein sollte.
3.3 3.3.1 Nach dem Gesagten weist die vorinstanzliche Würdigung des medizinischen Dossiers keine augenfälligen Mängel auf, welche eine offensichtliche Unrichtigkeit oder eine Unvollständigkeit der diesbezüglichen Feststellungen begründen könnten. Dementsprechend erscheint die auf antizipierter Beweiswürdigung (BGE 124 V 90 E. 4b S. 94) beruhende Schlussfolgerung des kantonalen Gerichts, weitere medizinische Erhebungen seien nicht notwendig, nicht bundesrechtswidrig (vgl. Art. 61 lit. c ATSG).
3.3.2 Hinsichtlich des mit der Beschwerde eingereichten Berichts der Frau Dr. B._ vom 11. September 2009 ist anzumerken, dass einerseits der Abschluss des Verwaltungsverfahrens (mit Verfügung vom 21. Januar 2008) den zeitlich massgebenden Sachverhalt begrenzt (BGE 132 V 215 E. 3.1.1 S. 220); anderseits dürfen neue Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Dies ist hier nicht der Fall.
3.4 Insgesamt ist die vorinstanzliche Schlussfolgerung nicht zu beanstanden, der Beschwerdeführer sei mit Bezug auf die angestammte und auch auf (andere) angepasste Tätigkeiten, die mit der Beeinträchtigung im Bereich der Halswirbelsäule vereinbar sind, zu 80 Prozent arbeitsfähig.
4. Der Umstand, dass das kantonale Gericht einen Prozentvergleich (vgl. oben E. 2.2) vorgenommen und nicht näher geprüft hat, wie sich die gesundheitlich bedingten Einschränkungen in einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt auswirken (vgl. Art. 16 ATSG), bedeutet keinen Rechtsfehler; der ordentliche Einkommensvergleich erübrigt sich, weil für das Validen- und das Invalideneinkommen dieselbe Bemessungsgrundlage herangezogen werden darf.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer beantragt, es sei ihm "die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren". Wortlaut und Systematik dieses letztinstanzlichen Rechtsbegehrens legen zunächst nahe, diesen Antrag allein auf das bundesgerichtliche Verfahren zu beziehen. Insoweit ist das Begehren bereits mit Verfügung vom 7. Oktober 2009 abgewiesen worden.
Rechtsbegehren sind jedoch stets auch im Lichte der dazu gegebenen Begründung auszulegen (BGE 123 IV 125 E. 1 S. 127; Urteil 4P.266/2006 vom 13. Dezember 2006 E. 1.3). Massgebend für die Bezeichnung der gestellten Parteibegehren, über welche das Bundesgericht nicht hinausgehen darf (Art. 107 Abs. 1 BGG), ist also die Beschwerde insgesamt (SVR 2004 IV Nr. 25 S. 75 E. 3.2.1 mit Hinweisen, I 138/02; Urteil 9C_251/2009 vom 15. Mai 2009 E. 1.3). In der Beschwerdebegründung wird die Auffassung vertreten, die vorinstanzliche Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung sei zu Unrecht erfolgt. Obgleich die anschliessende Formulierung, die Parteientschädigung im Verfahren vor der Vorinstanz sei "deshalb gemäss Art. 68 Abs. 5 BGG neu zu verlegen", auf eine Anpassung des kantonalen Kostenentscheids nach Massgabe des materiellen Ausgangs des bundesgerichtlichen Verfahrens Bezug nimmt, ist insgesamt davon auszugehen, die vorinstanzliche Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege sei mitangefochten.
5.2 Die Frage, ob das kantonale Gericht die in Art. 29 Abs. 3 BV und Art. 61 lit. f ATSG verankerte Garantie auf unentgeltliche Rechtspflege missachtet hat, indem es den Rechtsbegriff der Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels (vgl. BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135) falsch auslegte oder unrichtig auf den konkreten Fall anwandte, ist zu verneinen. Mit Blick auf die Rechtsprechung zum Verhältnis von (Administrativ-)Gutachten und Berichten behandelnder Ärzte (vgl. etwa SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43 E. 2.2.1, I 514/06) sowie auf die Aktenlage durfte sich der Beschwerdeführer bereits im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren kaum Chancen ausrechnen, dass sich eine von der gutachtlichen Einschätzung der Arbeitsfähigkeit abweichende Beurteilung im Rahmen der Beweiswürdigung durchsetzen werde. Entsprechendes gilt auch hinsichtlich des in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift enthaltenen Vorbringens, Fragen der beruflichen Integration und der erwerblichen Verwertbarkeit des Leistungsvermögens bedürften weiterer Abklärung; die gutachtlich ausgewiesenen Einsatzmöglichkeiten sind so weit definiert, dass sich entsprechende Schritte erübrigten.
6. 6.1 Die Beschwerde hatte keine Aussicht auf Erfolg, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG ohne Durchführung des Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den vorinstanzlichen Entscheid erledigt wird (Art. 102 Abs. 1 und Art. 109 Abs. 3 BGG).
6.2 Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Dezember 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub