Sachverhalt:
A. Das Amtsstatthalteramt Luzern führt gegen X._ eine Strafuntersuchung u.a. wegen Urkundenfälschung und Fälschung von Ausweisen. Ihm wird vorgeworfen, Ausweise und Zeugnisse gefälscht zu haben und sich unter Vorlage der gefälschten Dokumente jeweils an der medizinischen Fakultät von in- und ausländischen Universitäten immatrikuliert zu haben. Das Verfahren wurde mit einer Strafanzeige der Universität Genf vom 9. Dezember 2004 eingeleitet. Am 27. März 2006 folgte eine weitere Strafanzeige der gleichen Institution.
B. Mit Eingabe vom 4. Januar 2008 reichte X._ bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern eine Beschwerde ein. Dabei warf er der für die Strafuntersuchung zuständigen Amtsstatthalterin Helene Geisseler namentlich eine unrechtmässige Verfahrensverzögerung vor. Gleichzeitig stellte er gegen sie ein Ausstandsgesuch. Die Staatsanwaltschaft wies die Beschwerde und das Ausstandsgesuch am 27. März 2008 ab, soweit sie darauf eintrat. Eine hiergegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 6. Mai 2008 ab, soweit es darauf eintrat.
C. Gegen den Entscheid des Obergerichts erhebt X._ am 13. Juni 2008 beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Das Ausstandsbegehren sei gutzuheissen und die gerügte Rechtsverzögerung sei festzustellen; das Statthalteramt sei unter Ansetzung einer kurzen Frist anzuweisen, das Strafverfahren entweder einzustellen oder dem sachlich zuständigen Gericht zu überweisen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung zurückzuweisen.
Die Amtsstatthalterin hat Verzicht auf eine Stellungnahme zur Beschwerde erklärt. Die Staatsanwaltschaft ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht spricht sich für die Abweisung der Beschwerde aus. Diese Stellungnahmen wurden dem Beschwerdeführer am 24. Juli 2008 zur freigestellten Vernehmlassung bis 9. September 2008 zugestellt. Er hat sich in der Folge nicht dazu vernehmen lassen.
D. Mit Präsidialverfügung vom 18. Juli 2008 hat das Bundesgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.
Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen strafprozessualen Zwischenentscheid. Die direkte Anfechtbarkeit von Vor- und Zwischenentscheiden mit der Beschwerde in Strafsachen richtet sich nach Art. 92 f. BGG. Was die Ausstandsfrage angeht, ist die Beschwerde nach Art. 92 Abs. 1 BGG zulässig. Die Rüge der Rechtsverzögerung dient im Rahmen der vorliegenden Beschwerde nicht nur der Begründung des Ausstandsbegehrens, sondern hat - wie aus den Beschwerdeanträgen ablesbar - eine eigenständige Bedeutung. Das vom Beschwerdeführer angerufene Beschleunigungsgebot (Art. 29 Abs. 1 BV) wird von der Rechtsprechung als nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG anerkannt (BGE 134 IV 43 E. 2.2-2.4 S. 45 f.; Urteil 1B_134/2008 vom 18. August 2008, E. 1.2); auch in diesem Punkt steht die Beschwerde in Strafsachen hier offen. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben keinen Anlass zu Bemerkungen. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. Im Vordergrund der Beschwerde steht das Ausstandsbegehren.
2.1 Zur Hauptsache lehnt der Beschwerdeführer die Amtsstatthalterin ab, weil sie gegen ihn im Rahmen der laufenden Strafuntersuchung bereits viermal eine Strafverfügung erlassen hat. Die Strafverfügungen datieren vom 16. Mai 2006, 16. August 2006, 3. Januar 2007 und 28. März 2007; der Beschwerdeführer hat aber keinen dieser Urteilsvorschläge akzeptiert. Bei diesem Vorbringen beruft sich der Beschwerdeführer auf Art. 30 Abs. 1 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Zugleich rügt er eine willkürliche Handhabung von § 30 Abs. 1 Ziff. 2 und Ziff. 4 der Luzerner Strafprozessordnung (StPO/LU; SRL Nr. 305). Dabei zeigt er nicht auf, dass den kantonalen Ausstandsnormen eine weitergehende Bedeutung als den verfassungs- bzw. konventionsrechtlichen Garantien zukommt.
2.2 Beim Amtstatthalter im Kanton Luzern handelt es sich - unter Vorbehalt der haftrichterlichen Befugnisse - um ein Organ der Strafverfolgung, das unter Aufsicht der kantonalen Staatsanwaltschaft steht (vgl. §§ 153 ff. StPO/LU). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, die Amtsstatthalterin habe ihm gegenüber haftrichterliche Aufgaben ausgeübt. Seine Vorwürfe betreffen ausschliesslich ihre Rolle als Untersuchungsbeamtin.
2.3 Unter den Voraussetzungen von § 131 StPO/LU kann das Amtsstatthalteramt die Untersuchung mit einer Strafverfügung abschliessen. Die Rechtswirksamkeit der Strafverfügung steht jedoch unter der Bedingung, dass der Angeschuldigte sie innert gesetzlicher Frist akzeptiert. Das kantonale Gesetz sieht dafür, je nach verhängter Sanktion, eine ausdrückliche Annahmeerklärung des Angeschuldigten bzw. eine Einsprachemöglichkeit von seiner Seite vor (vgl. § 133 und § 133bis StPO/LU). Bei Nichtannahme bzw. erhobener Einsprache kann das Amtsstatthalteramt gemäss § 133ter StPO/LU den Weg wählen, die Untersuchung zu ergänzen; diesfalls darf es auch eine neue Strafverfügung aussprechen (Abs. 2). Wird die Untersuchung dagegen nicht ergänzt, so ist die Sache dem zuständigen Gericht zu überweisen (Abs. 1). Der Beschwerdeführer stellt nicht grundsätzlich das System infrage, dass nach der ergänzten Untersuchung unter Umständen eine neue Strafverfügung ergeht und dadurch die gerichtliche Beurteilung aufgeschoben wird. Mit anderen Worten geht es ihm nicht um den in Art. 6 Ziff. 1 EMRK bzw. Art. 30 Abs. 1 BV verankerten Anspruch, dass er eine gerichtliche Beurteilung der ihn betreffenden Strafsache erwirken kann. In seinem Fall hat die Amtsstatthalterin nun das Erlassen einer erneuten Strafverfügung ausgeschlossen. Der Beschwerdeführer behauptet nichts Gegenteiliges.
2.4 Vielmehr verlangt der Beschwerdeführer, die Strafuntersuchung sei angesichts der wiederholten Strafverfügungen durch einen anderen Amtsstatthalter weiterzuführen. Es geht um die Auswechslung einer Untersuchungsbeamtin durch einen anderen Untersuchungsbeamten. Folglich verhält es sich hier anders, als wenn eine richterliche Instanz eine Strafverfügung (bzw. nach der Terminologie in anderen Kantonen ein Strafmandat oder einen Strafbefehl) verhängt hat. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist eine personelle Identität zwischen dem Richter, welcher die Strafverfügung erlässt, und dem Strafrichter, welcher den Fall auf Einsprache hin beurteilt, ausgeschlossen (BGE 114 Ia 143 E. 7b S. 153; Urteil 1P.411/1991 vom 17. Juni 1992, E. 5, in: EuGRZ 1992 S. 548). Diese Rechtsprechung erging gestützt auf Art. 58 Abs. 1 aBV - diese Bestimmung wurde in Art. 30 Abs. 1 BV überführt - und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Hingegen hat der Angeschuldigte keinen Anspruch darauf, dass ein Untersuchungsrichter mit qualifizierter richterlicher Unabhängigkeit im Sinne von Art. 30 Abs. 1 BV ausgestattet würde (vgl. BGE 124 I 274 E. 3e S. 282; Urteile 1P.109/2005 vom 4. Mai 2005, E. 2.1, und 1P.709/2005 vom 21. Februar 2006, E. 3). Das vorliegende Ausstandsbegehren gegen die Amtsstatthalterin als Untersuchungsbeamtin ist nicht aufgrund von Art. 30 Abs. 1 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK, sondern aufgrund von Art. 29 Abs. 1 BV zu beurteilen.
2.5 Hinsichtlich der Unparteilichkeit eines Untersuchungsbeamten kommt Art. 29 Abs. 1 BV zwar ein mit Art. 30 Abs. 1 BV weitgehend übereinstimmender Gehalt zu. Ebenso wie ein Staatsanwalt als Anklagevertreter kann auch ein Untersuchungsrichter abgelehnt werden, wenn Umstände vorliegen, die nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (BGE 127 I 196 E. 2b S. 198 f. mit Hinweisen). Dabei gilt es aber dem spezifischen Umfeld und Aufgabenbereich der betroffenen Behörde Rechnung zu tragen. Von Untersuchungsrichtern sind Sachlichkeit, Unbefangenheit und Objektivität namentlich insofern zu erwarten, als sie sich vor Abschluss der Untersuchung grundsätzlich nicht darauf festlegen sollen, dass der angeschuldigten Person ein strafbares Verhalten zur Last zu legen sei. Auch haben sie den entlastenden Indizien und Beweismitteln ebenso Rechnung zu tragen wie den belastenden (Urteile 1P.109/2005 vom 4. Mai 2005, E. 2.1.1; 1P.709/2005 vom 21. Februar 2006, E. 3.1; je mit Hinweisen). Es kann indessen vorkommen, dass sich die Untersuchungsbehörden in Erfüllung ihrer Aufgaben bereits vor Abschluss des Verfahrens in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht zum Gegenstand der Untersuchung zu äussern haben; dabei kommen sie nicht umhin, die aufgrund des jeweiligen Verfahrensstands vorläufig gebildete Meinung offenzulegen. Diesfalls kann und muss vorausgesetzt werden, dass der Untersuchungsrichter in der Lage ist, seine Beurteilung des Prozessstoffs entsprechend dem jeweils neuesten Stand des Verfahrens ständig neu zu überprüfen und allenfalls zu revidieren. Unter diesen Umständen vermag eine auf den aktuellen Verfahrensstand abgestützte vorläufige Beurteilung und Bewertung keine Vorverurteilung oder Befangenheit zu begründen (vgl. BGE 127 I 196 E. 2d S. 200).
2.6 Das Bundesgericht hat entschieden, dass der Genfer Generalprokurator, dessen Strafverfügung mit Einsprache angefochten wird, nicht allein deswegen von der Anklagevertretung vor Gericht ausgeschlossen ist (BGE 124 I 76 E. 2 S. 78 f.). Nicht grundlegend anders ist es zu bewerten, wenn der Untersuchungsbeamte nach der Ablehnung einer Strafverfügung einstweilen die Verfahrensherrschaft behält. Von verpönten, voreiligen Vorverurteilungen unterscheidet sich der Erlass der Strafverfügung dadurch, dass die Strafuntersuchung hierbei aus behördlicher Sicht an sich als abschlussreif erscheint. Einer solchen vorläufigen Einschätzung des Verfahrensstands steht mit Blick auf das Gebot der Unparteilichkeit nicht von vorneherein entgegen, dass im Nachgang zur Einsprache weitere Untersuchungshandlungen erfolgen und es sogar zu einer erneuten, inhaltlich abweichenden Strafverfügung kommt. Verfahrens- und Einschätzungsfehler und falsche Sachentscheide sind für sich allein nicht Ausdruck einer Voreingenommenheit. Für eine Ausstandspflicht müssen objektiv gerechtfertigte Gründe dafür bestehen, dass sich in Fachfehlern gleichzeitig eine Haltung zeigt, die auf fehlender Distanz und Neutralität beruht (REGINA KIENER, Richterliche Unabhängigkeit, Bern 2001, S. 105 f.). Dies ist nur dann anzunehmen, wenn besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Versäumnisse und Mängel vorliegen, die einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zu Lasten einer Prozesspartei auswirken können (vgl. BGE 125 I 119 E. 3e S. 124; Urteil 1P.766/2000 vom 18. Mai 2001, E. 5-11, erwähnt in: ZBl 103/2002 S. 276).
2.7 Aus den vorstehenden Erwägungen folgt, dass der Beschwerdeführer überspannte Anforderungen an die Unparteilichkeit von Untersuchungsbeamten aufstellt, wenn er aus dem Dahinfallen der Strafverfügung einen systematischen Ausstandsgrund abzuleiten versucht. Auch vor dem Hintergrund der im konkreten Fall nicht akzeptierten Strafverfügungen ist der Ausstand der umstrittenen Amtsstatthalterin nicht geboten. Der Beschwerdeführer tut nicht dar, dass bei den einzelnen Strafverfügungen schwerwiegende Versäumnisse oder Mängel gegeben wären. Im Anschluss an das Dahinfallen einer Strafverfügung zeigte die Amtsstatthalterin jeweils eine hinreichende Offenheit zur Überprüfung ihrer vorläufigen Prozessbeurteilungen. Dass sie dabei nicht allen Beweisanträgen des Beschwerdeführers gefolgt ist, ändert nichts. Zwar ist vorliegend eine ungewöhnliche Häufung von Strafverfügungen im gleichen Fall festzustellen. Für den angeschuldigten Beschwerdeführer mag es auch befremdlich wirken, wenn selbst im Anschluss an die vierte Strafverfügung weitere Untersuchungshandlungen erforderlich sind. Dennoch nähert sich aber diese Konstellation noch nicht einer Amtspflichtverletzung an, die objektiv als Voreingenommenheit gegen den Beschwerdeführer eingestuft werden müsste.
3. 3.1 Weiter wirft der Beschwerdeführer der Amtsstatthalterin vor, sie müsse wegen eines nachfolgenden Amtsberichts in den Ausstand treten. In einem Beschwerdeverfahren über die Zulassung des Beschwerdeführers zu den eidgenössischen Medizinalprüfungen hatte das Bundesverwaltungsgericht die Amtsstatthalterin am 25. Juli 2007 schriftlich um Beantwortung verschiedener Fragen zum Strafverfahren ersucht. Auf die Frage nach den möglichen Geschädigten antwortete diese in ihrem Amtsbericht vom 31. Juli 2007:
"X._ steht unter dringendem Verdacht, sich mit gefälschten Dokumenten an verschiedenen Universitäten immatrikuliert zu haben. Dadurch ist den Universitäten möglicherweise ein Schaden entstanden.
Da sich der medizinisch offensichtlich unqualifizierte X._ auch Zugang zu Praktika in Krankenhäusern verschafft hat, besteht zumindest die Möglichkeit, dass er Leib und Leben von Patienten in Gefahr gebracht bzw. Patienten geschädigt hat."
3.2 Das Obergericht hat dargelegt, dass der Beschwerdeführer nach dem früheren definitiven Scheitern in universitären Prüfungen nicht mehr zum medizinischen Studium zugelassen sei. Es werde ihm angelastet, ein Notenblatt der Universität Genf gefälscht zu haben, um weiter studieren zu können. Der zweite Absatz der umstrittenen Passage sei so zu verstehen, dass der Beschwerdeführer nicht über die für die Praktika erforderlichen beruflichen Qualifikationen verfüge. Diese Würdigung im angefochtenen Entscheid erweist sich nicht als unhaltbar. Wie im Übrigen aus den Untersuchungsakten hervorgeht, hat der Beschwerdeführer mit der Einreichung von Lohnabrechnungen in der Strafuntersuchung selbst offengelegt, dass er in den Jahren 2005 und 2006 medizinische Praktika in Krankenhäusern im Inland absolviert hat. Zu diesen Praktika wurde er offenbar wegen seiner medizinischen Studien zugelassen. Es hilft dem Beschwerdeführer somit nicht, wenn er die beanstandeten Aussagen als durch nichts belegbar und haltlos bezeichnet.
3.3 Zwischen dem eigentlichen Gegenstand der Strafuntersuchung - der vorgeworfenen Fälschung von Dokumenten im Zusammenhang mit dem Medizinstudium - und der Möglichkeit von weiteren Schädigungen im Rahmen von Praktika ist ein hinreichender Zusammenhang erstellt. Es ist nicht zu beanstanden, dass die Amtstatthalterin die Praktika ebenfalls angesprochen hat. Aus einem anderen Abschnitt des Amtsberichts geht hervor, dass die Amtsstatthalterin gegen den Beschwerdeführer nicht wegen eines Delikts gegen Leib und Leben von Dritten ermittelte. Auch insofern ist eine missverständliche Deutung der Passage über die Praktika ausgeschlossen.
3.4 Insgesamt sind die fraglichen Äusserungen nicht geeignet, bei objektiver Betrachtung den Anschein einer verfassungswidrigen Voreingenommenheit zu erwecken.
4. Der Beschwerdeführer macht sodann geltend, die Amtsstatthalterin sei befangen, weil sie das Verfahren verschleppt habe. Dieser Vorwurf ist jedoch ebenfalls unbegründet. Bereits die Staatsanwaltschaft ist in ihrem Entscheid vom 27. März 2008 zum Schluss gelangt, dass in der bei der Amtsstatthalterin hängigen Strafuntersuchung keine Rechtsverzögerung erkennbar sei. Dabei hat sich die Staatsanwaltschaft eingehend mit dem fraglichen Verfahrensgang befasst. Das Obergericht hat weitgehend auf die entsprechenden Erwägungen verwiesen. Die damit zum Ausdruck gebrachte Beurteilung vermag der Beschwerdeführer mit seinen Einwänden im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zu entkräften. In Ergänzung zu den Ausführungen in den kantonalen Entscheiden ist festzuhalten, dass sich die Verzögerungen im Zusammenhang mit den dahingefallenen Strafverfügungen in einem vertretbaren Rahmen bewegen und objektiv rechtfertigen lassen. Im Übrigen ergibt sich aus den Akten, dass die Amtsstatthalterin nun bestrebt ist, das bei ihr hängige Verfahren zügig zur gerichtlichen Überweisung zu bringen. Der gegenteiligen Einschätzung des Beschwerdeführers kann nicht beigepflichtet werden.
5. Bei gesamthafter Betrachtung der bisherigen Führung der Strafuntersuchung gegen den Beschwerdeführer geben die von ihm vorgebrachten Umstände keinen Hinweis auf eine Befangenheit der Amtsstatthalterin ab. Bezüglich des Ausstandsbegehrens dringt die Beschwerde nicht durch.
6. Zusätzlich rügt der Beschwerdeführer, es liege eine Rechtsverzögerung im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK vor. Den diesbezüglichen Beschwerdeanträgen liegen allerdings im Wesentlichen die gleichen Vorwürfe zugrunde wie dem Ausstandsbegehren. Es geht um die Behauptung, die Amtsstatthalterin habe das Verfahren unrechtmässig verzögert. Dass diese Behauptung fehl geht, wurde bereits dargelegt (vgl. E. 4 hiervor).
Ausserdem hält der Beschwerdeführer die bisherige Verfahrensdauer für übermässig lang, weil sich die Strafsache um Bagatelldelikte drehe und dennoch seit rund dreieinhalb Jahren bei der Untersuchungsbehörde hängig sei. Dabei blendet er die Komplexität des Falls aus. Wie die Staatsanwaltschaft in ihrem Entscheid erläutert hat, wurden im Verlauf des Verfahrens Verdachtsmomente für weitere Straftaten entdeckt. Die Untersuchung betrifft nunmehr Immatrikulationen an einer Vielzahl von in- und ausländischen Universitäten. Hinzu kam die Notwendigkeit einer psychiatrischen Begutachtung des Beschwerdeführers. Dieses Gutachten wurde am 11. Dezember 2007 erstattet. Auch in dieser Hinsicht kann von einer Verletzung des verfassungsrechtlichen Beschleunigungsgebots keine Rede sein.
7. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. November 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet