Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1970) stammt aus Österreich, wurde aber in der Schweiz geboren und wuchs hier auf. Zwischen 1994 und 2010 sind gegen ihn vorab wegen Vermögens- und Urkundendelikten sechs Freiheitsstrafen von insgesamt sechs Jahren, fünf Monaten und 21 Tagen ausgesprochen worden.
B. Nach der letzten Verurteilung zu 21 Monaten Freiheitsstrafe wegen gewerbsmässigen Diebstahls und mehrfacher Sachbeschädigung widerrief die Einwohnergemeinde Thun am 16. Dezember 2010 die Niederlassungsbewilligung von X._ und wies ihn weg. Sowohl die Polizei- und Militärdirektion als auch das Verwaltungsgericht des Kantons Bern bestätigten diese Massnahme auf Beschwerde hin.
C. X._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 8. September 2011 aufzuheben und ihm seine Niederlassungsbewilligung zu belassen; eventuell sei er lediglich zu verwarnen. X._ macht geltend, der Widerruf seiner Niederlassungsbewilligung aufgrund seiner suchtbedingten Straffälligkeit sei nach einem Aufenthalt von 40 Jahren in der Schweiz unverhältnismässig.
Die Einwohnergemeinde Thun hat darauf verzichtet, sich vernehmen zu lassen. Die Polizei- und Militärdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen.
D. Mit Verfügung vom 18. Oktober 2011 legte der Abteilungspräsident der Eingabe aufschiebende Wirkung bei.
E. X._ hat am 7. Februar 2012 an seinen Ausführungen und Anträgen festgehalten und zwei Berichte vom 15. Dezember 2011 (Stiftung für Gesundheitsförderung und Suchtfragen) und 19. Januar 2012 (Abteilung Bewährungshilfe und alternativer Strafvollzug) zu seiner aktuellen Situation nachgereicht.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist auf dem Gebiet des Ausländerrechts gegen Entscheide betreffend Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Gegen den Widerruf einer Niederlassungsbewilligung kann ohne weitere Voraussetzungen an das Bundesgericht gelangt werden, da diese zeitlich unbeschränkt gilt (vgl. Art. 34 Abs. 1 AuG [SR 142.20]) und ohne Widerruf weiterhin Rechtswirkungen entfalten würde (BGE 135 II 1 E. 1.2.1 S. 4). Der Beschwerdeführer kann sich als österreichischer Staatsangehöriger zudem auf das Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit berufen (FZA; SR 0.142.112.681). Gemäss Art. 2 Abs. 1 Anhang I FZA hat er das Recht, sich nach Massgabe der Kapitel II bis IV in der Schweiz aufzuhalten und hier einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Dieser Anspruch darf nur durch Massnahmen eingeschränkt werden, die aus Gründen der öffentlichen Ordnung, Sicherheit und Gesundheit gerechtfertigt sind (Art. 5 Anhang I FZA).
1.2 Auf die Eingabe ist mit folgenden Einschränkungen einzutreten: Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen, und in gezielter Form auf die für dessen Ergebnis massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz eingehen (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 - 2.3). Soweit der Beschwerdeführer bloss seine bereits vor dem Verwaltungsgericht vorgebrachten Ausführungen bzw. seine Sicht der Dinge wiederholt, ohne gleichzeitig darzutun, inwiefern dessen Erwägungen dazu Bundesrecht verletzen, ist auf seine Vorbringen nicht weiter einzugehen. Da der Beschwerdeführer nicht rechtsgenügend darlegt, inwiefern die Vorinstanz den entscheidwesentlichen Sachverhalt klar und eindeutig mangelhaft festgestellt hat, ist dieser für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252; 133 III 393 E. 7.1 S. 398). Nicht zu berücksichtigen sind dabei die von ihm am 7. Februar 2012 nachgereichten Berichte zu seiner heutigen Situation: Es handelt sich bei diesen um unzulässige echte Noven (Art. 99 Abs. 1 BGG; vgl. BGE 133 IV 342 E. 2 S. 343 f.).
2. 2.1 Die Niederlassungsbewilligung kann widerrufen werden, wenn der Ausländer zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe, d.h. zu einer solchen von mehr als einem Jahr, verurteilt worden ist, wobei mehrere unterjährige Strafen nicht zu kumulieren sind (Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AuG; BGE 135 II 377 E. 4.2 S. 381; 137 II 297 E. 2). Dabei spielt keine Rolle, ob die Sanktion bedingt, teilbedingt oder unbedingt ausgesprochen wurde (Urteil 2C_515/2009 vom 27. Januar 2010 E. 2.1). Ein Widerruf ist zudem zulässig, wenn der Ausländer in schwerwiegender Weise gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz oder im Ausland verstossen hat oder diese gefährdet (Art. 63 Abs. 1 lit. b AuG). Das ist regelmässig der Fall, wenn er durch seine Handlungen besonders hochwertige Rechtsgüter verletzt oder in Gefahr bringt; der Widerruf einer Niederlassungsbewilligung ist aber auch schon dann zulässig, wenn der Ausländer sich von strafrechtlichen Massnahmen nicht beeindrucken lässt und damit zeigt, dass er auch künftig weder gewillt noch fähig ist, sich an die Rechtsordnung zu halten, was jeweils im Rahmen einer Gesamtbetrachtung zu prüfen ist (BGE 137 II 297 E. 3 S. 302 ff.; Urteile 2C_562/ 2011 vom 21. November 2011 E. 3.2 und 2C_310/2011 vom 17. November 2011 E. 5).
2.2 Die genannten Widerrufsgründe gelten auch bei Niederlassungsbewilligungen ausländischer Personen, die sich seit mehr als 15 Jahren ununterbrochen und ordnungsgemäss in der Schweiz aufhalten (Art. 63 Abs. 2 AuG). Sie bilden ebenfalls Grundlage für den Widerruf einer Niederlassungsbewilligung EG/EFTA, da diese durch das Freizügigkeitsabkommen nicht geregelt ist und nach Massgabe des nationalen Rechts erteilt wird (vgl. Art. 2 Abs. 2 AuG; Art. 5 und 23 Abs. 2 VEP [SR 142.203]; vgl. das Urteil 2C_831/2010 vom 27. Mai 2011 E. 2.2). Dabei ist aber zusätzlich zu berücksichtigen, dass eine strafrechtliche Verurteilung nur insoweit als Anlass für einen Bewilligungswiderruf herangezogen werden darf, als die ihr zugrunde liegenden Umstände ein persönliches Verhalten erkennen lassen, das eine gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung darstellt. Art. 5 Anhang I FZA steht aufenthaltsbeendenden Massnahmen entgegen, die (allein) aus generalpräventiven Gründen verfügt werden. Dabei kommt es wesentlich auf das Rückfallrisiko an. Verlangt wird eine nach Art und Ausmass der möglichen Rechtsgüterverletzung zu differenzierende, hinreichende Wahrscheinlichkeit, dass der Ausländer auch künftig die öffentliche Sicherheit und Ordnung stören wird. Je schwerer die möglichen Rechtsgüterverletzungen wiegen, desto niedriger sind die Anforderungen, welche an die hinzunehmende Rückfallgefahr zu stellen sind (Urteil 2C_903/2010 vom 6. Juni 2011 E. 4.3, nicht publ. in BGE 137 II 233; BGE 136 II 5 E. 4.2 S. 20, je mit Hinweisen).
2.3 Schliesslich muss der Widerruf der Niederlassungsbewilligung verhältnismässig sein (vgl. dazu BGE 135 II 377 E. 4.3 u. 4.5). Dabei sind praxisgemäss namentlich die Schwere des Delikts und des Verschuldens des Betroffenen, der seit der Tat vergangene Zeitraum, das Verhalten des Ausländers während diesem, der Grad seiner Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen (BGE 135 II 377 E. 4.3; vgl. auch das Urteil des EGMR i.S. Trabelsi gegen Deutschland vom 13. Oktober 2011 [41548/06], Ziff. 53 ff. bezüglich der Ausweisung eines in Deutschland geborenen, wiederholt straffällig gewordenen Tunesiers). Die Niederlassungsbewilligung eines Ausländers, der sich schon seit langer Zeit hier aufhält, soll nur mit Zurückhaltung widerrufen werden. Bei wiederholter bzw. schwerer Straffälligkeit ist dies jedoch selbst dann nicht ausgeschlossen, wenn der Ausländer hier geboren ist und sein ganzes bisheriges Leben im Land verbracht hat (vgl. das Urteil 2C_562/2011 vom 21. November 2011 E. 3.3 [Widerruf der Niederlassungsbewilligung eines hier geborenen 43-jährigen Türken]). Bei schweren Straftaten und bei Rückfall bzw. wiederholter Delinquenz besteht regelmässig ein wesentliches öffentliches Interesse, die Anwesenheit eines Ausländers zu beenden, der dermassen die öffentliche Sicherheit und Ordnung beeinträchtigt (vgl. das Urteil 2C_903/2010 vom 6. Juni 2011 E. 3.1, nicht publ. in BGE 137 II 233; BGE 130 II 176 E. 4.4.2 S. 190).
3. Der angefochtene Entscheid gibt die bundesgerichtliche Praxis zutreffend wieder und die Vorinstanz, auf deren Ausführungen ergänzend verwiesen werden kann, hat die auf dem Spiel stehenden Interessen im Rahmen von Art. 63 Abs. 2 i.V.m Art. 63 Abs. 1 lit. b und Art. 62 lit. b AuG bzw. Art. 8 Ziff. 2 EMRK und Art. 5 Anhang I FZA in vertretbarer Weise gegeneinander abgewogen:
3.1 Der Beschwerdeführer ist über einen Zeitraum von 16 Jahren hinweg sechsmal zu Freiheitsstrafen zwischen 21 Tagen und 21 Monaten verurteilt worden. Dabei überstiegen vier Verurteilungen die Dauer eines Jahres und haben deshalb als längerfristig im Sinne der Rechtsprechung zu gelten. Die kriminellen Aktivitäten des Beschwerdeführers, welche insbesondere unzählige Diebstähle mit Sachbeschädigungen umfassten, zogen sich über längere Zeiträume hinweg und wurden jeweils erst durch seine Verhaftung gestoppt. Die letzte Verurteilung zu 21 Monaten Freiheitsstrafe am 1. Juli 2010 war die höchste und bezog sich auf eine Diebstahlsserie in parkierten Autos zwischen April und November 2009. Der Beschwerdeführer liess sich durch frühere Verurteilungen und Anhaltungen jeweils nicht beeindrucken und delinquierte erneut. Auch der Hinweis der Einwohnergemeinde Thun am 14. April 2004, dass er bei einer weiteren Straffälligkeit mit dem Entzug seiner Niederlassungsbewilligung rechnen müsse und ihm eine "letzte Chance" gegeben werde, um weiterhin in der Schweiz bleiben zu können, vermochte ihn nicht davon abzuhalten, wieder und diesmal noch schwerer straffällig zu werden. Zwar mögen seine Taten jeweils im Zusammenhang mit seinen Alkoholproblemen gestanden haben; diese vermochte er indessen über Jahre hinweg trotz der gerichtlich angeordneten suchtspezifischen Massnahmen und entsprechenden Zusicherungen seinerseits nicht in den Griff zu bekommen. Den Beschwerdeführer trifft bei einer Gesamtverurteilung zu insgesamt sechseinhalb Jahren Freiheitsentzug trotz seiner Alkoholsucht, welche jeweils bei den strafrechtlichen Verurteilungen zu berücksichtigen war, mit Blick auf eine gewisse Unverbesserlichkeit ausländerrechtlich ein erhebliches Verschulden. Zwar hat er - wie er unterstreicht - keine Gewalt-, Sexual- oder schwerwiegenden Betäubungsmitteldelikte begangen; zu Recht weist die Vorinstanz indessen darauf hin, dass ein schweres Verschulden auch bei wiederholten Vermögensdelikten von einem gewissen Gewicht vorliegen kann. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die durchschnittliche Deliktssumme habe jeweils nur rund Fr. 758.-- pro Tat betragen, verkennt er, dass es vor allem die Häufung seiner Delikte über eine lange Zeitperiode bei immer schwereren Verurteilungen ohne Rücksicht auf die erfolgten Sanktionen und Warnungen ist, die sein Verschulden als erheblich und seine Geringschätzung der hiesigen Ordnung als schwerwiegend erscheinen lassen. Dass ein Ausländer "bloss" wegen Vermögensdelikten verurteilt worden ist, steht Entfernungsmassnahmen auch im Rahmen des FZA nicht entgegen (BGE 134 II 25 E. 4.3.1 S. 29; Urteil 2C_680/2010 vom 18. Januar 2011 E. 2.3).
3.2 Sämtliche ambulanten oder stationären suchtspezifischen Massnahmen sind längerfristig ohne nachhaltigen Erfolg geblieben. Gestützt hierauf durften die Vorinstanzen (unter Berücksichtigung der mit der Sucht verbundenen Delinquenz) davon ausgehen, dass dem Beschwerdeführer, wenn nicht die Bereitschaft, so doch (zumindest zurzeit noch) die Fähigkeit fehlt, die hiesige Ordnung zu respektieren und die öffentliche Sicherheit nicht (weiter) zu gefährden. Bei seinen Vermögensdelikten wurden zahlreiche Personen geschädigt, womit ein grundlegendes Interesse der Gesellschaft hinreichend schwer im Sinne der Rechtsprechung zu Art. 5 des Anhangs I FZA betroffen erscheint. Die von ihm ausgehende Gefahr ist zudem noch gegenwärtig: Der Beschwerdeführer wurde am 8. Januar 2011 zwar bedingt aus dem Strafvollzug entlassen; hieraus kann jedoch nicht bereits geschlossen werden, es gehe keine Gefahr (im ausländerrechtlichen Sinn) mehr von ihm aus, selbst wenn er sich im Strafvollzug klaglos verhalten und positiv entwickelt haben sollte (vgl. BGE 137 II 233 E. 5.2.2 S. 237 mit Hinweisen; Urteil 2C_680/2010 vom 18. Januar 2011 E. 2.4). Zwar will sich der Beschwerdeführer aufgefangen und seine Sucht in den Griff bekommen haben, die entsprechende Erklärung ist aber insofern zu relativieren, als die bisherigen Massnahmen alle längerfristig gescheitert sind und er bereits 2004 erfolglos zugesichert hatte, einen Neuanfang machen zu wollen. Unter diesen Umständen ist davon auszugehen, dass trotz seiner Anstellung bei einem früheren Arbeitgeber seine Situation zurzeit nicht bereits als derart stabilisiert gelten kann, dass ein Rückfall bei einer finanziellen, beruflichen oder persönlichen Krise weitgehend ausgeschlossen erscheint. Der Beschwerdeführer hält selber fest, dass der "alte Kreislauf von Abhängigkeit" nach einer Abstinenz ohne Weiteres neu entstehen könne und viele alkoholabhängige Personen erst nach mehreren Therapiemassnahmen zu "stabiler Trockenheit" gelangten. Das Verwaltungsgericht hat seinen Entscheid damit nicht auf generalpräventive Überlegungen oder ausschliesslich auf die ausgesprochene Strafe, sondern auf eine konkrete Risikobeurteilung gestützt und zu Recht eine erhebliche und gegenwärtige Gefährdung bejaht.
3.3 Die Vorinstanz hat dabei nicht verkannt, dass der Widerruf der Niederlassungsbewilligung den Beschwerdeführer hart trifft. Er ist hier geboren, hat in der Schweiz seine Kochlehre absolviert und gehört damit zur Kategorie der Ausländer der "zweiten Generation". Wenn sie dennoch davon ausgegangen ist, seine privaten Interessen, in der Schweiz verbleiben zu können, überwögen das öffentliche Interesse nicht, seinen Aufenthalt zu beenden, ist dies nicht zu beanstanden: Der Beschwerdeführer hält sich zwar seit rund 40 Jahren in der Schweiz auf; seine soziale Integration ist indessen - wie er selber einräumt - im Wesentlichen auf seinen Arbeitsplatz und auf seine Familie, insbesondere seine Brüder und seine Eltern, beschränkt. Er macht keine besonderen Abhängigkeiten von diesen geltend (vgl. BGE 137 I 154 E. 3.4.2 mit Hinweisen) und verfügt hier über keine Angehörigen der Kernfamilie (Frau und Kinder). Die Beziehungen zu seiner erweiterten Familie, die ihn bisher nicht zu stabilisieren und von seiner Delinquenz abzuhalten vermochte, kann der Beschwerdeführer von Österreich aus besuchsweise pflegen. Zwar muss er seine nach der Entlassung aus dem Strafvollzug angetretene Stelle als Koch aufgeben, doch darf davon ausgegangen werden, dass er auch in seiner Heimat eine Beschäftigung in der Gastronomie finden wird und sich dort ebenfalls einer alkoholspezifischen Behandlung bzw. einer Gesprächstherapie unterziehen kann. Die soziokulturellen und ökonomischen Rahmenbedingungen in Österreich sind mit den hiesigen vergleichbar, sodass sich der Beschwerdeführer auch in seiner Heimat, die er von Ferienaufenthalten kennt, ein Umfeld schaffen kann, das es ihm erlauben wird, eine neue Existenz aufzubauen, selbst wenn er dort - wie er geltend macht - zurzeit noch über kein spezifisches Beziehungsnetz verfügt.
4. 4.1 Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.2 Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Februar 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar