Sachverhalt:
A. Für die Einwohnergemeindeversammlung der Gemeinde Burg vom 3. Juni 2005 war u.a. die Beschlussfassung über die Zusicherung des Einwohnerbürgerrechts von vier Personen bzw. Familien traktandiert. Um eine Einbürgerung hatten namentlich XA._ sowie deren Kinder XB._ und XC._ von Serbien und Montenegro ersucht.
Aufgrund der durchgeführten Erhebungen befürwortete und beantragte der Gemeinderat der Einwohnergemeindeversammlung die Zusicherung des Einwohnerbürgerrechts für die Familie X._. Anlässlich der Gemeindeversammlung vom 3. Juni 2005 stellte sich die Familie kurz vor und beantwortete einige Fragen. Zwei Stimmbürger äusserten sich kritisch, ein Stimmbürger positiv zum Einbürgerungsgesuch von XA._.
In offener Abstimmung wurde den Kindern XB._ und XC._ das Einwohnerbürgerrecht zugesichert. Mit 35 Nein gegen 9 Ja lehnten die Stimmberechtigten die Einbürgerung von XA._ ab.
B. Gegen diesen Entscheid der Einwohnergemeindeversammlung vom 3. Juni 2005 hat XA._ beim Bundesgericht am 12. September 2005 mit dem Antrag um Aufhebung staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Sie rügt Verletzungen von Art. 29 Abs. 2 und Art. 8 Abs. 2 BV und macht geltend, der vom Antrag des Gemeinderates abweichende Beschluss der Einwohnergemeindeversammlung sei nicht rechtsgenüglich begründet und diskriminiere sie darüber hinaus wegen ihrer Invalidität.
Die Einwohnergemeinde Burg sowie das Departement für Volkswirtschaft und Inneres haben auf eine Stellungnahme verzichtet.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der angefochtene Beschluss der Einwohnergemeindeversammlung kann mit keinem kantonalen Rechtsmittel angefochten werden, stellt einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid gemäss Art. 86 Abs. 1 OG dar und unterliegt somit direkt der staatsrechtlichen Beschwerde (vgl. § 16 Abs. 1 Satz 2 des Gesetzes über das Kantons- und Gemeindebürgerrecht [KBüG]; nicht veröffentlichte E. 1.1 von BGE 131 I 18).
Die Einwohnergemeindeversammlung hat ihren Beschluss am 3. Juni 2005 in Anwesenheit der Beschwerdeführerin getroffen. Er wurde (zusammen mit den andern Beschlüssen) am 7. Juni 2005 unter Hinweis auf die am 11. Juli 2005 ablaufende Referendumsfrist publiziert (vgl. § 31 des Gesetzes über die Einwohnergemeinden des Kantons Aargau). Danach ist die Feststellung der Rechtskraft der Gemeindeversammlungsbeschlüsse (zu einem nicht festgestellten Zeitpunkt) veröffentlicht worden. Bei dieser Sachlage erweist sich die Beschwerde vom 12. September 2005 unter Beachtung von Art. 89 i.V.m. Art. 34 Abs. 1 lit. b OG als rechtzeitig.
Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, dass sie nach dem kantonalen Bürgerrechtsgesetz einen Anspruch auf Einbürgerung habe. Für die Bejahung ihrer Legitimation muss sie daher in unmittelbar durch die Bundesverfassung geschützten Interessen betroffen sein.
Als Partei im kantonalen Verfahren kann die Beschwerdeführerin die Verletzung von bundesverfassungsrechtlichen Verfahrensgarantien rügen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Das gilt für Rügen der Verletzung des rechtlichen Gehörs gemäss Art. 29 Abs. 2 BV und trifft namentlich zu, wenn das gänzliche Fehlen einer Begründung des angefochtenen Entscheides beanstandet wird (BGE 129 I 217 E. 1.4 S. 222).
3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, der Einwohnergemeindeversammlungsbeschluss enthalte keine bzw. keine rechtsgenügliche Begründung und stehe daher im Widerspruch zu Art. 29 Abs. 2 BV.
3.1 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung unterliegen ablehnende Einbürgerungsentscheide der Begründungspflicht (BGE 131 I 18 E. 3 S. 20 mit Hinweisen). Es besteht keine feste Praxis, wie der aus Art. 29 Abs. 2 BV fliessenden Begründungspflicht im Einzelnen nachzukommen ist, und es ergeben sich hierfür verschiedene Möglichkeiten (BGE 131 I 18 E. 3.1 S. 20). Bestätigt eine Gemeindeversammlung einen ablehnenden Antrag des Gemeinderates, kann in der Regel und vorbehältlich abweichender Voten davon ausgegangen werden, dass die Gemeindeversammlung dem Antrag und seiner Begründung zustimmt (BGE 131 I 18 E. 3.1 S. 20; Urteil 1P.516/2005 vom 19. Januar 2006). Verweigert die Gemeindeversammlung entgegen dem Antrag des Gemeinderates eine Einbürgerung, wird sich die Begründung hierfür in erster Linie aus den Wortmeldungen ergeben müssen. Findet indes keinerlei Diskussion statt, so fehlt es - ähnlich wie bei Urnenabstimmungen (BGE 129 I 232 E. 3.5 S. 241 ff., 217 E. 3 S. 230) - an einer Begründung, und es kann eine solche in aller Regel auch im Nachhinein nicht erstellt werden (BGE 129 I 232 E. 3.5 S. 241); dies hat zur Folge, dass den Anforderungen von Art. 29 Abs. 2 BV insoweit nicht Genüge getan wird.
3.2 Im vorliegenden Fall hat der Gemeinderat die erforderlichen Abklärungen getroffen und die Einbürgerung mit seinem Antrag an die Einwohnergemeindeversammlung befürwortet. Es wird von keiner Seite geltend gemacht, dass im Vorfeld der Einwohnergemeindeversammlung öffentliche Diskussionen stattgefunden hätten oder Presseartikel oder Flugblätter verfasst worden wären, aus denen sich Hinweise und Gründe für eine Verweigerung der Einbürgerung der Beschwerdeführerin ergäben (vgl. BGE 129 I 217 E. 2.3.2 S. 228). Anlässlich der Einwohnergemeindeversammlung hat der Gemeinderat gemäss dem Protokoll keine weitern Ausführungen zum Einbürgerungsgesuch der Beschwerdeführerin gemacht. Ein Stimmbürger erkundigte sich nach der Doppelbürgerschaft, worauf die Beschwerdeführerin die Bereitschaft zur Abgabe ihres bisherigen Passes erklärte. Ein weiterer Stimmbürger wies daraufhin, dass er die Beschwerdeführerin als sehr positiv erlebt habe. Demgegenüber haben sich zwei Stimmbürger kritisch geäussert.
3.3 Einer der Stimmbürger fragte und hielt fest (gemäss Protokoll): "Ich habe eine Frage an die Mutter. Ich bin acht Jahre älter und habe es noch nicht geschafft, Rentner zu werden. In der Broschüre steht Rentnerin, bitte erklären Sie mir, was das soll. Wie macht man das?" Worauf die Beschwerdeführerin antwortete: "Ich weiss, die Gesundheit ist alles. Es ist schön, wenn man gesund ist. Ich habe gesundheitliche Probleme und Depressionen. Aus diesem Grund wurde mir eine Rente zugesprochen."
Ein anderer Stimmbürger erklärte: "Ich habe sie (die Beschwerdeführerin) als Mitarbeiterin kennen gelernt. Wir gaben ihr seinerzeit die Chance, wieder ins Berufsleben einzusteigen. Sie hat diese Chance absolut nicht genutzt. Schon ziemlich bald ist sie hinter die andern Mitarbeiterinnen gekommen und hat sich auch mit den Vorgesetzten nicht verstanden und auch angelegt. XA._ hat eine Arbeitseinstellung und Arbeitsleistung an den Tag gelegt, die uns dazu bewogen hat, das Arbeitsverhältnis sehr schnell wieder aufzulösen. Sie arbeitete lediglich drei Monate bei uns. Ich möchte dazu noch sagen, dass ich hier analog einem Arbeitgeberbericht, den ich verfasst habe, diese Äusserungen gemacht habe." Die Beschwerdeführerin entgegnete: "Das war wegen meiner Gesundheit und dem Unfall. Sie haben die Stunden nicht bezahlt, die sie hätten müssen." Daraufhin der Stimmbürger: "XA._ hatte einen Anwalt genommen. Sie ist mit ihren Forderungen bei Gericht jedoch nicht durchgekommen, weil ihre Aussagen nicht wahr waren. Dass XA._ einen Unfall hatte, will ich nicht bestreiten. Das hat jedoch nichts damit zu tun, dass sie hinter die andern Mitarbeiterinnen gekommen ist und Unruhe im Team gestiftet hat und dass ihre Arbeitsbemühungen und der Arbeitswille sehr schwach waren." Und wiederum die Beschwerdeführerin: "In der Zeit des Unfalls musste ich arbeiten. Danach bin ich nicht mehr zur Arbeit. Ich hatte Probleme mit den Einzahlungen. So habe ich meinen Anwalt gefragt und der versicherte mir, weiter zu schauen." Zu dieser Begebenheit belegte die Beschwerdeführerin im bundesgerichtlichen Verfahren, dass das Arbeitsverhältnis rund neun Monate gedauert hatte und die finanzielle Seite ihres Arbeitsverhältnisses aussergerichtlich erledigt worden war.
Diesen Wortmeldungen anlässlich der Einwohnergemeindeversammlung lässt sich keine rechtsgenügliche Begründung für die Abweisung des Einbürgerungsgesuches entnehmen. Es kann nicht gesagt werden, dass die beiden intervenierenden Stimmbürger eigentliche gegen eine Einbürgerung sprechende Motive vorgebracht hätten. Sie haben lediglich ein gewisses Missbehagen bekundet und ihre Wortmeldungen persönlich gehalten. Sie haben kaum zum Ausdruck gebracht, dass eine Einbürgerung für sie nicht in Frage komme, und demnach auch nicht sinngemäss die Abweisung des Einbürgerungsgesuches vorgeschlagen. Aus den unausgesprochenen und im Unbestimmten verbliebenen Motiven kann nicht auf Gründe geschlossen werden, die verallgemeinerungsfähig wären und tatsächlich gegen eine Einbürgerung sprechen würden. Es kann daher auch nicht gesagt werden, dass diese Vorbringen von den Teilnehmern oder einer Mehrheit der Einwohnergemeindeversammlung wirklich geteilt und übernommen worden wären und aus ihrer Sicht die Abweisung des Einbürgerungsgesuches belegen würden. Es ist denn auch symptomatisch, dass sich keiner der Stimmbürger (offen) gegen den Einbürgerungsantrag des Gemeinderates wandte oder die Gründe und Abklärungen des Gemeinderates - etwa mit dem Hinweis auf eine mangelnde Integration - in Frage stellte. Aufgrund der in der Einwohnergemeindeversammlung geführten Diskussion liesse sich auch im Nachhinein eine den Anforderungen von Art. 29 Abs. 2 BV genügende Begründung kaum erstellen (vgl. BGE 129 I 232 E. 3.5 S. 241). Die Einwohnergemeinde hat denn im bundesgerichtlichen Verfahren auch gar nicht erst den Versuch unternommen, den Einwohnergemeindeversammlungsbeschluss nachträglich zu begründen oder eine entsprechende Erklärung abzugeben.
Bei dieser Sachlage hält die Abweisung des Einbürgerungsgesuches in der vorliegenden Form vor Art. 29 Abs. 2 BV nicht stand. Die Beschwerde erweist sich somit als begründet.
4. Demnach ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Beschluss der Einwohnergemeindeversammlung aufzuheben. Diese wird daher erneut über das Einbürgerungsgesuch zu befinden haben. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 156 OG). Die Einwohnergemeinde Burg hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen und der Beschluss der Einwohnergemeindeversammlung der Gemeinde Burg vom 3. Juni 2005 aufgehoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Die Einwohnergemeinde Burg hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Einwohnergemeinde Burg sowie dem Departement des Innern des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2006
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber: