Sachverhalt:
A. Mit Abwesenheitsurteil vom 21. November 2008 verurteilte das kantonale Strafgericht Schwyz X._ wegen mehrfacher Vernachlässigung von Unterhaltspflichten, Betrugs, Urkundenfälschung und grober Verletzung von Verkehrsregeln zu einer Freiheitsstrafe von 12 Monaten. Von weiteren Vorwürfen sprach es ihn frei.
B. Am 6. Mai 2010 wurde X._ von Brasilien an die Schweiz wegen Delikten ausgeliefert, die mit dem vorliegenden Strafverfahren keinen Zusammenhang aufweisen.
C. Das Kantonsgericht Schwyz stellte auf Berufung von X._ das Strafverfahren mit Beschluss vom 20. Juli 2010 ein.
D. Dagegen erhebt die Staatsanwaltschaft des Kantons Schwyz Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben. Das Kantonsgericht Schwyz sei anzuweisen, die Berufung zu behandeln. Eventualiter sei das Berufungsverfahren gegen das Urteil des kantonalen Strafgerichts Schwyz vom 21. November 2008 vorläufig zu sistieren.
E. Das Kantonsgericht Schwyz und X._ beantragen die Abweisung der Beschwerde bzw. die Abweisung, soweit darauf einzutreten ist. X._ ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe das Verfahren zu Unrecht eingestellt und Art. V Abs. 1 des Auslieferungsvertrages vom 23. Juli 1932 zwischen der Schweiz und Brasilien (SR.0.353.919.8; nachfolgend Auslieferungsvertrag genannt) sowie § 95 Abs. 3 der Verordnung vom 28. August 1974 über den Strafprozess im Kanton Schwyz (SRSZ 233.110; aStPO/SZ) falsch angewendet. Es liege eine formelle Rechtsverweigerung vor, da der Beurteilung der Berufung keine prozessrechtlichen Hindernisse entgegenstehen würden. Der Grundsatz der Spezialität gemäss Art. V des Ausliefe-rungsvertrages, auf welchen sich die Vorinstanz stütze, bedeute nicht, dass der um Auslieferung ersuchende Staat von jeglicher Strafverfolgung wegen anderer als der von der Auslieferung erfassten Taten absehen müsse. Die Rechte des ersuchenden Staates dürften nur in jenem Mass beschränkt werden, als sie es wären, wenn keine Auslieferung stattgefunden hätte. Die Behandlung der Berufung wäre aus prozessrechtlichen Gründen möglich gewesen, sofern keine Auslieferung erfolgt wäre. Zudem habe der Beschwerdegegner die Berufung ergriffen, womit er ausdrücklich auf die Anwendung des Grundsatzes der Spezialität verzichtet habe.
1.2 Die Vorinstanz erwägt, der Beschwerdegegner sei am 6. Mai 2010 gestützt auf ein Auslieferungsgesuch des Verhöramtes Schwyz von Brasilien an die Schweiz ausgeliefert worden. Am 7. Mai 2010 sei er nach untersuchungsrichterlicher Befragung aus der Haft entlassen worden, wobei eine Schriften- und Passsperre verfügt worden sei. Die Auslieferung beziehe sich auf Delikte zum Nachteil von A._ sowie der Gesellschaften B._ und C._ und nicht auf die im vorliegenden Strafverfahren zu prüfenden Vorwürfe. Es sei kein Auslieferungsbegehren für die zur Beurteilung stehenden Delikte gestellt worden, wobei ein Begehren um Auslieferung wegen Vernachlässigung der Unterhaltspflichten und grober Verkehrsregelverletzung keine Aussicht auf Erfolg gehabt hätte. Eine Zustimmungserklärung des Beschwerdegegners zur Strafverfolgung fehle. Er könne derzeit aufgrund der Schriftensperre nicht ausreisen. Deshalb erweise sich die Beurteilung der Berufung aus prozessrechtlichen Gründen nach Art. V Abs. 1 und Abs. 2 des Auslieferungsvertrages als unzulässig. Das Verfahren gegen den Beschwerdegegner sei gestützt auf § 95 Abs. 3 aStPO/SZ einzustellen, soweit er nicht bereits mit erstinstanzlichem Urteil freigesprochen worden sei.
1.2 Die Vorinstanz erwägt, der Beschwerdegegner sei am 6. Mai 2010 gestützt auf ein Auslieferungsgesuch des Verhöramtes Schwyz von Brasilien an die Schweiz ausgeliefert worden. Am 7. Mai 2010 sei er nach untersuchungsrichterlicher Befragung aus der Haft entlassen worden, wobei eine Schriften- und Passsperre verfügt worden sei. Die Auslieferung beziehe sich auf Delikte zum Nachteil von A._ sowie der Gesellschaften B._ und C._ und nicht auf die im vorliegenden Strafverfahren zu prüfenden Vorwürfe. Es sei kein Auslieferungsbegehren für die zur Beurteilung stehenden Delikte gestellt worden, wobei ein Begehren um Auslieferung wegen Vernachlässigung der Unterhaltspflichten und grober Verkehrsregelverletzung keine Aussicht auf Erfolg gehabt hätte. Eine Zustimmungserklärung des Beschwerdegegners zur Strafverfolgung fehle. Er könne derzeit aufgrund der Schriftensperre nicht ausreisen. Deshalb erweise sich die Beurteilung der Berufung aus prozessrechtlichen Gründen nach Art. V Abs. 1 und Abs. 2 des Auslieferungsvertrages als unzulässig. Das Verfahren gegen den Beschwerdegegner sei gestützt auf § 95 Abs. 3 aStPO/SZ einzustellen, soweit er nicht bereits mit erstinstanzlichem Urteil freigesprochen worden sei.
1.3 1.3.1 Nach Art. V des Auslieferungsvertrages zwischen Brasilien und der Schweiz kann die ausgelieferte Person wegen einer vor der Auslieferung begangenen Straftat, für welche die Auslieferung nicht beantragt worden ist, nur verfolgt und bestraft werden, nachdem der ersuchte Staat sein Einverständnis zur weiteren Verfolgung gegeben hat (Abs. 1). Diese Beschränkung ist nicht anwendbar, wenn der Angeschuldigte sich ausdrücklich und freiwillig mit der Verfolgung wegen anderen Straftaten einverstanden erklärt, oder wenn er nicht innert dreissig Tagen nach seiner Freilassung das Land, an das er ausgeliefert wurde, verlässt und auch, wenn er in dessen Gebiet zurückkehrt, nachdem er es verlassen hatte (Abs. 2).
1.3.2 Durch dieses sogenannte Spezialitätsprinzip wird die Strafgewalt des ersuchenden Staates eingeschränkt. Es ist eine Garantie zugunsten des Auszuliefernden und des ausliefernden Staates. Ob sich die Strafverfolgung und Verurteilung der ausgelieferten Person im ersuchenden Staat im Rahmen der Tatsachen und Straftatbestände bewegt, für welche die Auslieferung bewilligt worden ist, bestimmt sich in erster Linie anhand des Auslieferungsentscheids des ersuchten Staates (vgl. BGE 123 IV 42 E. 3b S. 46 f. mit Hinweisen). Die kantonalen Instanzen haben den Grundsatz der Spezialität als Prozessvoraussetzung bzw. Prozesshindernis von Amtes wegen zu beachten (BGE 118 Ib 462 E. 2a S. 465 mit Hinweisen).
Der Grundsatz der Spezialität bedeutet nicht, dass der ersuchende Staat von jeder Vorkehr absehen muss, welche der Verfolgung oder Bestrafung wegen anderer als der von der Auslieferung erfassten Taten dient oder die Vollstreckung einer für solche ausgesprochenen Strafe bezweckt (BGE 90 IV 121 E. 2a S. 124 mit Hinweis auf BGE 87 IV 57). In den beiden Entscheiden ging es um die Vollstreckung rechtskräftiger Strafen (d.h. in BGE 87 IV 57 um die Rückversetzung in den Strafvollzug nach bedingter Entlassung und in BGE 90 IV 121 um den Widerruf des bedingten Strafvollzugs), welche trotz des Spezialitätsprinzips grundsätzlich zulässig ist. Das Bundesgericht erwog, der ersuchende Staat soll in seinen Rechten nicht weiter beschränkt werden, als er es wäre, wenn keine Auslieferung stattgefunden hätte, der Verfolgte oder Verurteilte sich also noch ausser Landes befände. So kann der ersuchende Staat beispielsweise, wenn sein Prozessrecht dies zulässt, einen Ausgelieferten im Abwesenheitsverfahren verfolgen und aburteilen. Unzulässig sind hingegen Zwangsmassnahmen (wie Verhaftung, Vorführung, Abhörung als Angeschuldigter usw.), die nicht zur Anwendung kommen könnten, wenn der Verfolgte oder Verurteilte noch ausser Landes wäre (a.a.O).
1.4 Die Delikte, für welche die erste Instanz den Beschwerdegegner am 21. November 2008 verurteilte, hatte dieser vor seiner Auslieferung am 6. Mai 2010 verübt (vgl. erstinstanzliches Urteil S. 1 bis 6). Der Beschwerdegegner war im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids, welcher nach der Auslieferung erfolgte, anders als in BGE 87 IV 57 und 90 IV 121, noch nicht rechtskräftig verurteilt. Die Vorinstanz fällte den angefochtenen Beschluss in Anwesenheit des Beschwerdegegners. Ein Anwendungsfall des im kantonalen Prozessrecht geregelten Abwesenheitsverfahrens liegt nicht vor. Dabei fehlt nach den unangefochtenen vorinstanzlichen Feststellungen eine Zustimmungserklärung Brasiliens zur Strafverfolgung. Es verletzt deshalb kein Bundesrecht, wenn die Vorinstanz das in Art. V Abs. 1 des Auslieferungsvertrages verankerte Spezialitätsprinzip anwendet. Denn mit diesem Staatsvertrag werden die Hoheitsrechte der um Auslieferung ersuchenden schweizerischen Behörden insoweit beschränkt, als sie nur noch über jene Delikte urteilen dürfen, für welche die Auslieferung beantragt wurde (BGE 123 IV 42 E. 3b S. 47 mit Hinweis). Eine Bestrafung oder Beschränkung der persönlichen Freiheit wegen anderer Taten ist nicht zulässig (vgl. BGE 87 IV 57 E. 1b S. 60 f.).
1.5 Auch ohne Zustimmung Brasiliens ist die Beurteilung der Taten möglich, für welche keine Auslieferung beantragt wurde, sofern eine der Voraussetzungen von Art. V Abs. 2 des Auslieferungsvertrages erfüllt ist. Vorliegend fehlen diese Voraussetzungen. Der Beschwerdegegner war bisher nicht frei, die Schweiz zu verlassen, da über ihn eine Schriften- und Pass-Sperre verhängt wurde. Ein Verbleib länger als 30 Tage in der Schweiz bzw. eine danach erfolgte Wiedereinreise fällt mangels Ausreisemöglichkeit des Beschwerdegegners ausser Betracht. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist die Berufungsschrift des Beschwerdegegners nicht als Zustimmung zur Strafverfolgung zu werten, da es sich hierbei nicht um eine ausdrückliche Erklärung im Sinne von Art. V Abs. 2 des Auslieferungsvertrages handelt. Die Vorinstanz durfte deshalb ohne Verletzung von Bundesrecht davon ausgehen, die Voraussetzungen im Sinne von Art. V des Auslieferungsvertrages zur Strafverfolgung und Beurteilung der Berufung des Beschwerdegegners seien (derzeit) nicht gegeben.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht eventualiter geltend, das Vorgehen der Vorinstanz, welche das Berufungsverfahren aufgrund der fehlenden Prozessvoraussetzungen einstellte, verstosse gegen das (damals anwendbare, in der Zwischenzeit ausser Kraft gesetzte) kantonale Verfahrensrecht. Es liege kein definitives Verfahrenshindernis im Sinne von Art. V des Auslieferungsvertrages vor. Jedenfalls sei nicht ausgeschlossen, das Einverständnis Brasiliens zur Beurteilung der angeklagten Delikte nachträglich einzuholen oder abzuwarten, ob der Beschwerdegegner das Land innert dreissig Tagen nach der Aufhebung der Schriftensperre verlasse bzw. wieder einreise. In diesen Fällen dürfe das Verfahren in der Schweiz fortgeführt werden. Das Vorgehen der Vorinstanz, das Verfahren endgültig statt bloss einstweilen einzustellen, verstosse gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht eventualiter geltend, das Vorgehen der Vorinstanz, welche das Berufungsverfahren aufgrund der fehlenden Prozessvoraussetzungen einstellte, verstosse gegen das (damals anwendbare, in der Zwischenzeit ausser Kraft gesetzte) kantonale Verfahrensrecht. Es liege kein definitives Verfahrenshindernis im Sinne von Art. V des Auslieferungsvertrages vor. Jedenfalls sei nicht ausgeschlossen, das Einverständnis Brasiliens zur Beurteilung der angeklagten Delikte nachträglich einzuholen oder abzuwarten, ob der Beschwerdegegner das Land innert dreissig Tagen nach der Aufhebung der Schriftensperre verlasse bzw. wieder einreise. In diesen Fällen dürfe das Verfahren in der Schweiz fortgeführt werden. Das Vorgehen der Vorinstanz, das Verfahren endgültig statt bloss einstweilen einzustellen, verstosse gegen das Verhältnismässigkeitsprinzip.
2.2 2.2.1 Das Kantonsgericht führt in seiner Vernehmlassung aus, die Beschwerdeführerin habe vor Vorinstanz weder einen Eventualantrag um einstweilige Einstellung gestellt, noch habe sie dargelegt, dass sie sich um die fehlende Bewilligung bemühe bzw. eine solche innert nützlicher Frist erhältlich machen werde. Bestehe keine Aussicht, dass das Strafverfahren in absehbarer Zeit gefördert werden könne, so müsse es definitiv eingestellt werden.
2.2.2 Der Beschwerdegegner macht geltend, die Beschwerdeführerin habe es unterlassen, während des ca. zwei Jahre dauernden Auslieferungsverfahrens einen korrekten Auslieferungsantrag zu stellen. Die Beschwerdeführerin lege nicht dar, wie es sich mit der Sistierungspraxis im Kanton Schwyz verhalte und unter welchen Bedingungen eine solche möglich sei. Jedenfalls handle es sich nicht um ein bloss vorübergehendes Prozesshindernis, da die Beschwerdeführerin nicht substanziiere, was sie unternehme, um dieses aus der Welt zu schaffen.
2.3 Das Bundesgericht prüft die Verletzung von kantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG). Diesbezüglich gelten erhöhte Begründungsanforderungen. Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 136 I 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen).
2.4 Soweit das auf den vorliegenden Fall übergangsrechtlich noch anwendbare kantonale Recht für das Berufungsverfahren keine besonderen Bestimmungen aufstellt, gelten die Vorschriften für das Verfahren vor erster Instanz (vgl. § 148 Abs. 1 aStPO/SZ). Für die Einstellung enthalten die Normen über das Berufungsverfahren (§§ 143 bis 151 aStPO/SZ) keine besondere Verfahrensvorschrift. Nach § 95 Abs. 3 aStPO/SZ wird das erstinstanzliche Gerichtsverfahren eingestellt, sofern sich die Beurteilung aus prozessrechtlichen Gründen als unzulässig erweist. Eine explizite Unterscheidung zwischen definitiver und vorläufiger Einstellung bzw. Sistierung des Verfahrens sieht die Strafprozessordnung des Kantons Schwyz nicht vor.
2.5 Die Beschwerdeführerin legt nicht näher dar, ob und unter welchen Voraussetzungen das kantonale Verfahrensrecht eine provisorische Einstellung zulässt, mit welchem Zeitraum sie rechnet, um die Einwilligung Brasiliens zur Strafverfolgung einzuholen und ob bzw. wann sie gegebenenfalls ein solches Gesuch stellt. Jedenfalls steht das in Art. 29 Abs. 1 BV verankerte Beschleunigungsgebot einer unbegrenzten Sistierung des Strafverfahrens entgegen (BGE 130 IV 90 E. 5 S. 95 mit Hinweis; vgl. für das Strafverfahren Urteil 1P.623.2002 vom 6. März 2003 E. 1, in: Pra 2003 Nr. 207 S. 1129). Nachdem das Auslieferungsverfahren längere Zeit gedauert hat, durfte die Vorinstanz das Verfahren ohne Verletzung von Bundesrecht einstellen. Die Rüge erweist sich als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird damit gegenstandslos. Der Kanton Schwyz hat dem Beschwerdegegner dessen Parteikosten zu ersetzen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Die Entschädigung ist dem Vertreter des Beschwerdegegners zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Kanton Schwyz hat den Vertreter des Beschwerdegegners, Rechtsanwalt Peter Ruggle, mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Koch