Sachverhalt:
A. Die 1969 geborene K._ war seit 1. Februar 2002 bei der Stiftung A._ tätig. Vom 15. bis 24. Oktober 2008 war sie im Spital in X._ und vom 27. November bis 23. Dezember 2008 in der Klinik Y._ hospitalisiert. Der Hausarzt Dr. med. G._ bescheinigte ihr mit Bericht vom 5. Januar 2009 eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % und hielt fest, eine Wiederaufnahme am bisherigen Arbeitsplatz werde nicht mehr möglich sein. Am 19. Januar 2009 meldete sich K._ zur Arbeitsvermittlung an und beantragte die Ausrichtung von Arbeitslosenentschädigung ab 1. Mai 2009. Mit Schreiben vom 28. Januar 2009 kündigte sie per 30. April 2009 das Arbeitsverhältnis mit der Stiftung A._. Die Dienststelle Wirtschaft und Arbeit (wira), Arbeitslosenkasse, stellte mit Verfügung vom 12. Juni 2009 K._ wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit für 25 Tage in der Anspruchsberechtigung ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 23. Juli 2009 fest.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 7. Dezember 2009 ab.
C. Mit Beschwerde lässt K._ die rückwirkende Ausrichtung der Arbeitslosenentschädigung für die eingestellten 25 Tage beantragen. Eventualiter sei die Einstellung auf maximal 10 Tage zu reduzieren oder die Sache zur weiteren Abklärung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Dienststelle Wirtschaft und Arbeit (wira), Arbeitslosenkasse, schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dies ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen (in SVR 2008 ALV Nr. 12 S. 35 publ. E. 1.2 und 2.2 des Urteils BGE 133 V 640).
2. 2.1 Die versicherte Person ist in der Anspruchsberechtigung einzustellen, wenn sie durch eigenes Verschulden arbeitslos ist (Art. 30 Abs. 1 lit. a AVIG). Die Arbeitslosigkeit gilt unter anderem dann als selbstverschuldet, wenn die versicherte Person das Arbeitsverhältnis von sich aus aufgelöst hat, ohne dass ihr eine andere Stelle zugesichert war, es sei denn, dass ihr das Verbleiben an der Arbeitsstelle nicht zugemutet werden konnte (Art. 44 Abs. 1 lit. b AVIV). Unzumutbar ist eine Arbeit, die dem Alter, den persönlichen Verhältnissen oder dem Gesundheitszustand der versicherten Person nicht angemessen ist (Art. 16 Abs. 2 lit. c AVIG).
2.2 Ein Selbstverschulden im Sinne der Arbeitslosenversicherung liegt dann vor, wenn und soweit der Eintritt oder das Andauern der Arbeitslosigkeit nicht objektiven Faktoren zuzuschreiben ist, sondern in einem nach den persönlichen Umständen und Verhältnissen vermeidbaren Verhalten der versicherten Person liegt, für das die Versicherung die Haftung nicht übernimmt (Urteil 8C_842/2008 vom 3. Februar 2009 E. 3.2 mit Hinweis; THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2. Aufl. 2007, S. 2426 Rz. 829). Der im gesamten Sozialversicherungsrecht geltenden Schadenminderungspflicht (Art. 17 Abs. 1 AVIG) folgend muss eine versicherte Person alles Zumutbare unternehmen, um den Eintritt oder das Fortdauern der Arbeitslosigkeit zu vermeiden. Im Bereich der freiwilligen Stellenaufgabe nach Art. 44 Abs. 1 lit. b AVIV findet das Schadenminderungsprinzip somit seine Grenzen am Zumutbarkeitsgedanken (Art. 16 Abs. 2 AVIG). Der Begriff der Unzumutbarkeit ist im Lichte von Art. 20 lit. c des Übereinkommens Nr. 168 der Internationalen Arbeitsorganisation vom 21. Juni 1988 über Beschäftigungsförderung und den Schutz gegen Arbeitslosigkeit (IAO-Übereinkommen; SR 0.822.726.8) auszulegen. Staatsvertraglich wird nur das freiwillige Aufgeben einer Stelle ("volontairement") ohne triftige Gründe ("sans motif légitime") sanktioniert. Vermag die versicherte Person für das Verlassen der Stelle legitime Gründe zu nennen, kann nicht von einer freiwilligen Preisgabe der Beschäftigung im Sinne des Übereinkommens gesprochen werden (BGE 124 V 234 E. 4b/aa S. 238; Urteil 8C_958/2008 vom 30. April 2009 E. 2.2).
3. 3.1 Ein schlechtes Arbeitsklima und Meinungsverschiedenheiten mit Vorgesetzten oder Arbeitskollegen vermögen grundsätzlich keine Unzumutbarkeit der Fortführung des Arbeitsverhältnisses zu begründen (SVR 1997 ALV Nr. 105 S. 323, C 128/96). Belegt die versicherte Person allerdings durch ein eindeutiges ärztliches Zeugnis (oder allenfalls durch andere geeignete Beweismittel), dass ihr die Weiterarbeit aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr zumutbar ist, ist grundsätzlich von einer Unzumutbarkeit aus gesundheitlichen Gründen auszugehen (BGE 124 V 234 E. 4b/bb S. 238; Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts C 161/06 vom 6. Dezember 2006 E. 3.2 und C 299/05 vom 9. Februar 2006 E. 2.2; je mit Hinweis; GERHARD GERHARDS, Kommentar zum Arbeitslosenversicherungsgesetz [AVIG], Bd. I [Art. 1-58], 1988, N. 14 zu Art. 30 AVIG; JACQUELINE CHOPARD, Die Einstellung in der Anspruchsberechtigung, 1998, S. 123; vgl. auch Kreisschreiben des SECO über die Arbeitslosenentschädigung [KS ALE Januar 2007] Ziff. D26).
3.2 Gemäss Arztzeugnis vom 4. Mai 2009 sowie den Berichten vom 5. Januar 2009 und 30. Juni 2009 des Hausarztes Dr. med. G._ sei es der Beschwerdeführerin aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr zuzumuten gewesen, die Arbeit bei der Stiftung A._ wieder aufzunehmen. Vom 15. Oktober 2008 bis 30. April 2009 attestiert er ihr eine Arbeitsunfähigkeit von 100 %. Die Unzumutbarkeit zum Verbleib an der bisherigen Arbeitsstelle aus gesundheitlichen Gründen ist somit durch ärztliche Zeugnisse belegt. Gründe für ein dennoch ausnahmsweises Verbleiben an der Arbeitsstelle, trotz gegenteiliger ärztlicher Bescheinigung, liegen nicht vor. Das kantonale Gericht argumentierte, aufgrund des krankheitsbedingten Fernbleibens sei die Beschwerdeführerin nicht mehr mit der gesundheitlich unzumutbaren Situation am Arbeitsplatz konfrontiert gewesen, weshalb ihr die Fortführung des Arbeitsverhältnisses zumutbar gewesen wäre. Diese Konstellation bildet allerdings die Regel, wenn mittels ärztlichem Zeugnis eine Unzumutbarkeit der Weiterarbeit aus gesundheitlichen Gründen bescheinigt wird. Wird von der Rechtsprechung einerseits ein ärztliches Zeugnis für eine Unzumutbarkeit aus gesundheitlichen Gründen vorausgesetzt, kann andererseits nicht mit Verweis auf die Abwesenheit vom Arbeitsplatz, welche sich auf dieses ärztliche Zeugnis stützt, eine Zumutbarkeit zum Verbleiben am bisherigen Arbeitsplatz gefolgert werden. Die Beschwerdeführerin war zum Zeitpunkt der Beendigung des Arbeitsverhältnisses bereits während über sechs Monaten vollständig arbeitsunfähig. Anhaltspunkte, wonach die Arbeitgeberin sie über den 30. April 2009 hinaus von der Arbeit freigestellt hätte und, etwa aus sozialen Überlegungen, ohne die Pflicht je wieder Arbeitsleistungen zu erbringen ihre Lohnfortzahlungen fortgesetzt hätte, liegen nicht vor. Die Beschwerdeführerin gab ihre bisherige Arbeit somit nicht freiwillig auf und konnte sich für die Kündigung auf triftige Gründe stützen. Ihre bisherige Arbeit erweist sich nach dem Gesagten als unzumutbar im Sinne von Art. 16 Abs. 2 lit. c AVIG. Der Tatbestand des Art. 30 Abs. 1 lit. a AVIG ist nicht erfüllt, weshalb eine Einstellung in der Anspruchsberechtigung nicht in Betracht fällt. Demgemäss sind der vorinstanzliche Entscheid und der Einspracheentscheid der Beschwerdegegnerin aufzuheben.
4. Dem Prozessausgang entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG) zu tragen und der Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 7. Dezember 2009 und der Einspracheentscheid der Dienststelle Wirtschaft und Arbeit (wira), Arbeitslosenkasse, vom 23. Juli 2009 werden aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Dienststelle Wirtschaft und Arbeit (wira), Stab Recht, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Mai 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Kathriner