Faits:
A. R._ a bénéficié d'indemnités de chômage au cours de deux délais-cadres d'indemnisation du 1er juillet 2002 au 30 juin 2004 et du 29 septembre 2005 au 28 septembre 2007. Dans ses demandes de prestations, elle avait indiqué être domiciliée à la rue X._, à B._.
Le 27 juin 2007, l'Office cantonal de l'emploi du canton de Genève (ci-après: l'OCE) a adressé un rapport d'enquête à la Caisse cantonale genevoise de chômage. Selon ce rapport, l'adresse indiquée à B._ n'était qu'une adresse postale à laquelle vivait la fille de l'intéressée et sa famille. En réalité, l'assurée était domiciliée en France, où elle et son mari avaient acquis une maison en 1992.
Aussi, par décision du 23 août 2007, confirmée sur opposition le 28 mars 2008, la caisse a-t-elle nié le droit de l'intéressée à l'indemnité de chômage depuis le 1er juillet 2002 et réclamé la restitution d'un montant de 131'394 fr. 75 représentant les prestations indûment perçues du 1er juillet 2002 au 30 juin 2004 et du 29 septembre 2005 au 30 juin 2007.
Saisi d'une demande de remise de l'obligation de restituer, l'OCE l'a rejetée par décision du 17 juin 2008, confirmée sur opposition le 3 octobre suivant, motif pris que la condition de la bonne foi n'était pas remplie, dès lors que l'intéressée avait donné une indication erronée au sujet de son domicile.
B. R._ a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales). Après avoir ordonné une audience de comparution personnelle le 28 janvier 2009 et entendu les témoignages de la fille, du beau-fils et du fils de l'assurée, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours, annulé la décision sur opposition du 3 octobre 2008 et renvoyé la cause à l'OCE pour nouvelle décision après examen de la situation financière de l'intéressée (jugement du 29 avril 2010).
C. Par écriture du 18 mai 2010, R._ s'est adressée au Tribunal fédéral en indiquant vouloir le convaincre de sa bonne foi en lui faisant part d'un nouvel élément.
De son côté, l'OCE a formé un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement cantonal, sous suite de frais.
L'assurée s'est déterminée sur le recours de l'OCE, tandis que le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) a renoncé à prendre position.
Le Tribunal fédéral n'a pas ordonné d'échange d'écritures au sujet du recours formé par l'assurée.
D. Par arrêt de ce jour (8C_477/2010), le juge instructeur, procédant en qualité de juge unique, a déclaré irrecevable le recours de R._.
Considérant en droit:
1.1 1.1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
Dans un arrêt ATF 133 V 477, le Tribunal fédéral a précisé les notions de décisions finales, partielles, préjudicielles et incidentes au sens des art. 90 à 93 LTF. Il a considéré qu'un jugement de renvoi ne met pas fin à la procédure, de sorte qu'il ne constitue pas une décision finale au sens de la LTF. Les jugements de renvoi qui tranchent une question de droit matériel ne sont pas non plus des décisions partielles au sens de l'art. 91 let. a LTF car il ne s'agit pas de décisions qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause. Ils constituent bien plutôt des décisions incidentes qui peuvent être attaquées séparément aux conditions prévues à l'art. 93 al. 1 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.2 p. 481 et les références). En outre, le Tribunal fédéral a considéré que l'assureur auquel la cause a été renvoyée par la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision ne subit pas un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Enfin, la règle prévue à l'art. 93 al. 1 let. b LTF - dont les conditions peuvent être examinées librement par l'autorité de dernière instance - ne justifie en principe pas non plus que l'on entre en matière sur des recours dirigés contre des jugements de renvoi par lesquels la juridiction cantonale a ordonné uniquement un complément d'instruction. En effet, les parties ne perdent pas un droit même si elles n'attaquent pas un jugement incident, dès lors qu'il leur reste la possibilité de recourir contre la décision finale dans la mesure où le jugement en question influe sur le contenu de celle-ci (art. 93 al. 3 LTF). Aussi, le recours séparé contre une décision incidente pour des motifs d'économie de procédure reste-t-il une exception qui doit être appliquée de manière restrictive (arrêts 8C_969/2008 du 2 mars 2009 consid. 1.2 et 9C_446/2007 du 5 décembre 2007 consid. 3; sur ces questions, cf. HANSJÖRG SEILER, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Schaffhauser/Schlauri [éd.], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, St-Gall 2009, p. 9 ss).
1.1.2 Par le jugement attaqué, la juridiction cantonale a annulé la décision sur opposition du 3 octobre 2008 par laquelle l'OCE avait rejeté la demande de remise de l'obligation de restituer, motif pris que la condition de la bonne foi n'était pas remplie. Considérant au contraire que ladite condition était réalisée, le tribunal cantonal a renvoyé la cause à l'administration pour qu'elle statue à nouveau sur la demande de remise après instruction sur la situation financière de l'assurée.
Cela étant, le jugement attaqué n'est pas une décision finale au sens de l'art. 90 LTF, mais une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Aussi, le recours n'est-il admissible qu'aux conditions posées à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF.
1.2 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF s'entend du dommage qui ne peut pas être réparé ultérieurement, notamment par la décision finale. Le Tribunal fédéral considère qu'il y a un préjudice irréparable au sens de cette disposition légale lorsqu'une autorité dotée du pouvoir de décision est contrainte par un jugement de renvoi de rendre une décision à ses yeux contraire au droit. Comme elle n'a pas qualité pour attaquer sa propre décision, celle-ci pourrait entrer en force sans que l'autorité puisse la déférer au Tribunal fédéral. Pour pallier cet inconvénient, il convient qu'une autorité ayant qualité pour recourir puisse, en vertu de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, attaquer d'emblée la décision de renvoi, ou le prononcé qui la confirme, devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 133 V 477 consid. 5.2.4 p. 484 s.; arrêts 8C_607/2009 du 25 août 2009 consid. 2.2.1; 2C_258/2008 du 27 mars 2009 consid. 3.6.1).
En l'espèce, le jugement cantonal attaqué a un effet contraignant pour le recourant en ce sens que celui-ci doit statuer sur la remise éventuelle de l'obligation de restituer tout en étant lié quant à l'une des conditions de la remise, à savoir celle de la bonne foi. C'est pourquoi ce jugement incident entraîne pour l'OCE un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Le recours est ainsi recevable.
2. Le litige porte sur la remise éventuelle de l'obligation de l'assurée de restituer les indemnités de chômage indûment perçues, singulièrement sur le point de savoir si l'intéressée était de bonne foi.
Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références). Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
3. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales sur la remise de l'obligation de restituer des indemnités de chômage indûment perçues (art. 25 al. 1 LPGA en liaison avec l'art. 95 al. 1 LACI), ainsi que la jurisprudence concernant la condition de la bonne foi. Il suffit donc d'y renvoyer.
4. La juridiction cantonale a admis la bonne foi de l'assurée au motif que celle-ci n'avait pas donné de fausses indications à la caisse en mentionnant dans ses demandes de prestations d'assurance-chômage qu'elle vivait à la rue X._, à B._. Tout en relevant que la question du domicile avait été définitivement tranchée par la décision sur opposition de restitution des prestations du 28 mars 2008, la juridiction précédente a constaté que l'intéressée vivait bien à l'adresse indiquée durant la période de 2000 à 2009.
5. 5.1 Par un premier moyen, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir violé le droit fédéral: en constatant que le domicile de l'assurée était en Suisse, elle a révisé la décision sur opposition de restitution des prestations du 28 mars 2008, entrée en force, en se fondant à tort sur des faits invoqués par l'intéressée seulement dans la procédure relative à la remise, alors qu'ils auraient dû être allégués au moyen d'un recours contre la décision sur opposition de restitution.
Ce reproche est mal fondé. Le jugement attaqué n'a pas d'influence sur la décision de restitution des indemnités de chômage indûment perçues. Celle-ci déploiera pleinement ses effets si la demande de remise est finalement rejetée à l'issue de la procédure.
5.2 Par un deuxième moyen, le recourant soutient que la juridiction cantonale a violé le droit fédéral en recherchant et en administrant des preuves qui n'étaient pas nécessaires pour statuer sur la remise, ainsi qu'en constatant des faits qui ne concernaient pas l'objet du litige.
Ce moyen doit être également rejeté. Pour examiner si l'assurée était de bonne foi, en particulier s'il existait une violation du devoir d'annoncer ou de renseigner (cf. ATF 112 V 97 consid. 2c p. 103; 110 V 176 consid. 3c p. 180), la juridiction cantonale devait notamment examiner si les indications de l'intéressée au sujet de son domicile étaient conformes à la vérité. Pour ce faire, elle était donc en droit d'établir des constatations au sujet du domicile réel de l'assurée.
En réalité, ce que reproche le recourant c'est que la juridiction cantonale a remis en cause un élément de fait sur lequel il s'était fondé pour rendre la décision de restitution des prestations indûment perçues. Ce grief est toutefois mal fondé. S'il était effectivement lié par le dispositif de la décision administrative entrée en force, le tribunal cantonal ne l'était pas, en revanche, en ce qui concerne les motifs de la décision, dès lors que son dispositif n'y renvoyait pas expressément (ATF 123 III 16 consid. 2a p. 18 s.; 121 III 474 consid. 4a p. 478; 113 V 159 consid. 1c; en ce qui concerne les décisions portant sur des prestations durables d'assurance sociale, cf. ATF 9C_369/2010 du 25 octobre 2010 consid. 3.1). Le fait qu'elle a indiqué que la question du domicile avait été définitivement tranchée par la décision sur opposition du 28 mars 2008 en ce qui concerne l'obligation de restituer ne permet pas d'inférer que la juridiction cantonale se considérait comme liée par ces constatations de fait pour trancher la question de la remise.
5.3 Par un troisième moyen, le recourant allègue que l'assurée a enfreint son obligation de renseigner en omettant d'informer les organes de l'assurance-chômage qu'elle et son mari étaient propriétaires d'une maison en France.
On peut inférer de ces allégations que le recourant entend remettre en cause les constatations des premiers juges selon lesquelles l'assurée n'avait pas donné de fausses indications en ce qui concerne son domicile. Cela étant, il ne démontre toutefois pas le caractère arbitraire de ces constatations, mais son argumentation tend plutôt à substituer sa propre appréciation à celle de la juridiction précédente. Sur ce point, son argumentation ne répond donc pas aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF.
5.4 Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6. Le recourant qui succombe supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 25 mars 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd