Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1962; mit US-amerikanischem Bürgerrecht) und Y._ (geb. 1980; ukrainische Staatsangehörige) haben im Jahr 2007 geheiratet und leben seit 1. Januar 2009 getrennt; sie sind die Eltern des Sohnes A._ (geb. 2008). Nebst dem Scheidungsverfahren sind zwischen den Eheleuten verschiedene Massnahmeverfahren hängig.
B. Mit Eingabe vom 13. Dezember 2011 stellte X._ beim Bezirksgericht Luzern ein Begehren um dringliche Aufhebung des begleiteten Besuchsrechts. Nachdem er zur Bezahlung eines Kostenvorschusses aufgefordert worden war, ersuchte er am 15. Dezember 2011 für dieses Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bezirksgericht wies das Armenrechtsgesuch mit Entscheid vom 9. März 2012 ab. Ohne Erfolg gelangte X._ darauf an das Obergericht des Kantons Luzern. Dieses wies seine Beschwerde ab, ebenso seinen Antrag um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren (Entscheid vom 8. Mai 2012).
C. Mit Beschwerde vom 13. Juni 2012 wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den obergerichtlichen Entscheid vom 8. Mai 2012 aufzuheben und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. "Das Gesuch sei unter Beizug der Akten BG 02 10 390 sowie der ur-Akten 02 10 391 einschliesslich der Akten OG 3C 11 8 im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen". Im Eventualbegehren verlangt er, es sei ihm die Bevorschussung der Gerichtskosten zu erlassen. Schliesslich ersucht er auch für das Verfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege.
Es wurden die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 BGG), mit dem ein Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen wurde. Nach der Rechtsprechung ist dieser Entscheid ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann und der daher gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG selbständig anfechtbar ist (Urteile 5A_10/2007 vom 23. März 2007 E. 2.3; 5A_262/2008 vom 8. September 2008 E. 1.1; vgl. auch BGE 129 I 129 E. 1.1 S. 131).
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (BGE 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.). In diesem Fall hat das Verfahren in der Hauptsache die vorsorgliche Aufhebung des begleiteten Besuchsrechts zum Gegenstand, also eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) nicht vermögensrechtlicher Natur. Mithin ist die Beschwerde in Zivilsachen gegen den Entscheid in der Hauptsache zulässig, womit sie auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid ergriffen werden kann.
1.3 Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz in verschiedener Hinsicht Willkür in der Sachverhaltsfeststellung und in der Anwendung der Regeln über die unentgeltliche Rechtspflege vor; mit Hinweis auf Art. 9 und 29 BV rügt er unter anderem, durch die Verweigerung des Armenrechts sei ihm der Rechtsweg "verunmöglicht oder verkürzt" worden.
Das Bundesgericht untersucht nicht von Amtes wegen, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist. Vielmehr überprüft es die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur insofern, als die rechtssuchende Partei sie in der Beschwerde vorbringt und begründet (Art. 106 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip: Im Schriftsatz ist präzise anzugeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen substanziiert darzulegen, worin die Verletzung besteht (vgl. BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht beurteilt nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.). Sind die Anforderungen des Rügeprinzips erfüllt, so prüft das Bundesgericht frei, ob die angerufenen verfassungsmässigen Rechte verletzt sind (vgl. BGE 130 I 26 E. 2.1 S. 31 mit Hinweisen). In diesem Rahmen untersucht das Bundesgericht auch die Rüge der Verletzung von aus Art. 29 Abs. 3 BV hergeleiteten Ansprüchen mit freier Kognition. Dabei ist es allerdings an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Von diesen Sachverhaltsfeststellungen kann das Bundesgericht nur abweichen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kamen (BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588), was wiederum präzise geltend zu machen ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 445).
2. Die Vorwürfe des Beschwerdeführers beziehen sich allesamt auf die Streitfrage, ob er im Rahmen der Prüfung der Anspruchsvoraussetzung der Prozessarmut seiner Mitwirkungspflicht nachgekommen sei.
2.1 Bei der Prüfung der Bedürftigkeit hat die entscheidende Behörde sämtliche Umstände zu würdigen und der gesamten wirtschaftliche Situation des Gesuchstellers Rechnung zu tragen. Zu diesem Zweck sind einerseits alle finanziellen Verpflichtungen des Gesuchstellers zu berücksichtigen und anderseits seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse zu prüfen. In zeitlicher Hinsicht ist die wirtschaftliche Situation des Gesuchstellers im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgeblich. Allenfalls unbeholfene Rechtssuchende hat die Behörde auf die Angaben hinzuweisen, die sie zur Beurteilung des Gesuches benötigt. Grundsätzlich obliegt es aber dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen. Diesbezüglich trifft ihn eine umfassende Mitwirkungspflicht: An ihm ist es, sowohl seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse als auch sämtliche finanziellen Verpflichtungen vollständig anzugeben und soweit möglich zu belegen. An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation durch den Gesuchsteller selbst dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind. Verweigert ein Gesuchsteller die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Behörde die Bedürftigkeit ohne Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs verneinen (BGE 120 Ia 179 E. 3a S. 181 f. mit Hinweisen). Insbesondere ist die mit dem Gesuch befasste Behörde weder verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen. Sie muss den Sachverhalt nur dort (weiter) abklären, wo noch Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, sei es, dass sie von einer Partei auf solche - wirkliche oder vermeintliche - Fehler hingewiesen wird, sei es, dass sie sie selbst feststellt (Urteil 5A_65/2009 vom 25. Februar 2009 E. 4.3 mit Hinweisen).
2.2 Unter Hinweis auf die früheren Entscheide, insbesondere auf seinen eigenen Entscheid vom 5. Juli 2011, betont das Obergericht zunächst, dem Beschwerdeführer sei bestens bekannt, dass ihn im Gesuchsverfahren eine erhöhte Mitwirkungspflicht treffe. Er könne zwar jederzeit ein neues Armenrechtsgesuch stellen, verfehle aber seine Mitwirkungspflicht, wenn er in seinem Gesuch einzig auf bereits eingereichte Eingaben verweise. Für die Beurteilung der finanziellen Verhältnisse sei nämlich auf den Zeitpunkt des Entscheids abzustellen. Wenn der Gesuchsteller in seinem Gesuch vom 15. Dezember 2011 auf Urkunden und Belege des Verfahrens Nr. 02 10 390 (Entscheid vom 20. April 2011) verweise, verkenne er, dass diese Verfahren einige Zeit auseinanderliegen und eine Aktualisierung der finanziellen Lage erforderlich machen. Weiter hält das Obergericht fest, es sei dem Beschwerdeführer bis heute ohnehin nicht gelungen, seine finanziellen Verhältnisse widerspruchsfrei und plausibel darzulegen. Daran ändere sich auch nichts mit der Behauptung, es sei gerichtsnotorisch, dass er wegen des Finanzmarktes keinen Gewinn habe generieren können. Eine solche Aussage erfordere einen substanziierten Beweis und könnte mit der Auflegung einer Buchhaltung erbracht werde; dies habe der Beschwerdeführer aber unterlassen. Daher habe das Bezirksgericht sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vom 15. Dezember 2011 zu Recht abgewiesen.
2.3 Mit dem, was er dem Bundesgericht in weitschweifigen Ausführungen vorträgt, vermag der Beschwerdeführer die Verfassungsmässigkeit des angefochtenen Entscheides nicht in Zweifel zu ziehen. Zwar ist dem Beschwerdeführer insofern Recht zu geben, als nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung die wirtschaftliche Situation des Gesuchstellers im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgeblich ist und nicht etwa diejenige im Zeitpunkt der Entscheidung (s. E. 2.1). Das Bundesgericht hebt einen Entscheid indessen nur dann auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern das Obergericht, wenn es auf den Zeitpunkt der Gesuchseinreichung abgestellt hätte, seine Prozessarmut - gestützt auf die verwiesenen Eingaben und Urkunden - als erstellt hätte ansehen müssen.
Im Weiteren beanstandet der Beschwerdeführer einmal mehr (s. Urteil 5A_150/2012 vom 28. März 2012 E. 2.2.2 und zuletzt Urteil 5A_447/2012 vom 27. August 2012 E. 3.2 f.), man verlange von ihm, seine wirtschaftliche Situation mittels einer Buchhaltung nachzuweisen. Auch im vorliegenden Prozess stossen seine diesbezüglichen Argumente ins Leere. Tatsächlich hält ihm das Obergericht vor, für seine Aussage, wegen des Finanzmarktes keinen Gewinn generieren zu können, keinen substanziierten Beweis erbracht zu haben, wie dies mit der Auflegung einer Buchhaltung möglich wäre (E. 2.2). Angesichts dessen kann jedoch nicht gesagt werden, dass das Obergericht dem Beschwerdeführer eine kaufmännische Buchführung im Sinne von Art. 957 ff. OR abverlangt hätte und er seine finanzielle Lage nicht auch auf andere Art und Weise hätte dartun können. Entsprechend vermag sich der Beschwerdeführer auch nicht damit herauszureden, dass eine Aufstellung nach anerkannten Rechnungslegungsgrundsätzen frühestens auf den 31. Dezember 2011 vorausgesetzt werden konnte. Ausschlaggebend ist mit Blick auf das Ergebnis, dass der Beschwerdeführer seine finanziellen Verhältnisse bis anhin nicht widerspruchsfrei und plausibel hat darlegen können (E. 2.2). Diese vorinstanzliche Erkenntnis vermag der Beschwerdeführer mit den vorgetragenen Rügen nicht ins Wanken zu bringen. Unbegründet ist schliesslich auch seine Befürchtung, das Obergericht habe einen strikten Beweis der Mittellosigkeit gefordert. Dass dies nicht der Fall ist, ergibt sich schon aus der Verwendung des Ausdrucks "plausibel".
3. 3.1 Vor Bundesgericht beantragt der Beschwerdeführer pauschal, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und ihm das Armenrecht zu gewähren (s. Sachverhalt Bst. C). Soweit er damit auch die Verweigerung des Armenrechts für das kantonale Rechtsmittelverfahren anficht, die das Obergericht mit der Aussichtslosigkeit seines Rechtsmittels begründet, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, denn diesbezüglich enthält die Beschwerde keine Ausführungen (Art. 42 Abs. 1 BGG).
3.2 Im Eventualbegehren verlangt der Beschwerdeführer, es sei ihm die Bevorschussung der Gerichtskosten zu erlassen. Mit diesem Begehren war die Vorinstanz nicht befasst; es ist neu und somit unzulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG).
3.3 Wenn sich der Beschwerdeführer schliesslich darüber beklagt, dass das Bezirksgericht das Hauptverfahren betreffend die Aufhebung des begleiteten Besuchsrechts verschleppt habe, ist er im vorliegenden Beschwerdeverfahren mangels Zuständigkeit des Bundesgerichts nicht zu hören. Eine Rechtsverzögerungsbeschwerde wäre an die zuständige kantonale Beschwerdeinstanz zu richten (Art. 319 lit. c und Art. 321 Abs. 4 ZPO).
4. Wie die vorstehenden Ausführungen zeigen, erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit im Lichte von Art. 106 Abs. 2 BGG überhaupt darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Bezirksgericht Luzern ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen, soweit es überhaupt nachvollziehbar begründet ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Luzern, Einzelrichter der 2. Abteilung, und dem Obergericht des Kantons Luzern, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn