Sachverhalt:
A. Der 1969 geborene K._ war seit Februar 1994 als Kranführer bei der Firma X._ AG angestellt und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 21. Oktober 2004 erlitt er beim Sturz vom Gerüstbock eine Basisfraktur des Metatarsale V, welche noch am Unfalltag operiert wurde. In der Folge entwickelte sich eine sekundäre lateral betonte Lisfranc-Arthrose links. Mitte Januar 2006 zog sich der Versicherte eine Verletzung des linken Knies zu, als er beim Absteigen in eine Grube ausrutschte. Nach einer weiteren Verletzung am selben Knie vom 17. März 2006 wurde am 24. August 2006 eine Teilmeniskektomie durchgeführt. Vom 22. November bis 13. Dezember 2006 hielt sich K._ stationär in der Klinik Y._ auf. Die kreisärztliche Abschlussuntersuchung fand durch Dr. med. W._ am 14. März 2007 statt. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete bis 31. Mai 2007 Taggelder aus. Mit Verfügung vom 2. Juni 2007 sprach sie K._ für die verbliebenen Beeinträchtigungen aus dem Unfall vom 21. Oktober 2004 mit Wirkung ab 1. Juni 2007 eine Invalidenrente auf der Basis einer Erwerbsunfähigkeit von 21 Prozent sowie eine Integritätsentschädigung von Fr. 10'680.-, entsprechend einer Einbusse der Integrität von 10 Prozent, zu. Dies bestätigte sie mit Einspracheentscheid vom 10. Januar 2008.
B. K._ führte dagegen Beschwerde, welche das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 24. September 2009 abwies.
C. K._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, die eingestellten Leistungen vollumfänglich zu erbringen; eventuell sei die SUVA zu verpflichten, ergänzende medizinische Abklärungen durchzuführen und über Rente und Integritätsentschädigung neu zu befinden. Eventuell seien ihm eine Unfallrente von 50 Prozent und eine Integritätsentschädigung von 25 Prozent zuzusprechen. Zudem wird um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die massgeblichen Rechtsgrundlagen sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das gilt namentlich auch für die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181 mit Hinweisen) sowie bei Beschwerden mit organisch klar ausgewiesenen Unfallfolgen (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen) und bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (BGE 115 V 133; sog. Psycho-Praxis). Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht hat gestützt auf die medizinischen Unterlagen zunächst festgestellt, dass die geklagten Restbeschwerden am linken Fuss und am linken Knie auf die Unfallereignisse vom 21. Oktober 2004, 16./17. Januar 2006 und 17. März 2006 zurückzuführen seien. Die Unfallkausalität dieser organisch nachweisbaren Beschwerden sei in Übereinstimmung mit der einhelligen ärztlichen Ansicht zu bejahen. Der daraus resultierende Invaliditätsgrad von 21 Prozent sowie die Integritätsschädigung von 10 Prozent seien unbestritten. Der gemeldete Rückfall habe zu keiner erheblichen, dauernden Verschlechterung des Gesundheitszustandes mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit geführt. Diese Beurteilung beruht auf einer zutreffenden Würdigung der Sach- und Rechtslage. Die Vorbringen des Beschwerdeführers erschöpfen sich weitestgehend in undifferenzierter Kritik, aus der sich kein Anlass für eine abweichende Betrachtungsweise ergibt.
4. 4.1 Hinsichtlich der Rücken- und Hüftbeschwerden hat die Vorinstanz erwogen, es habe trotz mehrfachen medizinischen Untersuchungen und einem stationären Abklärungsaufenthalt kein pathologischer Befund ausgewiesen werden können. Gemäss Austrittsbericht der Klinik Y._ vom 20. Dezember 2006 liessen sich die noch bestehenden Beschwerden nicht mit einer organisch ausgewiesenen Folge der erlittenen Unfälle erklären. Auch die vom Versicherten angeführten Ärzte Dres. med. T._, M._ und E._ hätten kein hinreichend nachweisbares organisches Korrelat finden können. Ergänzende medizinische Abklärungen erachtete das kantonale Gericht in antizipierter Beweiswürdigung als nicht erforderlich. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers beruht auch diese Beurteilung auf einer zutreffenden Würdigung der Sach- und Rechtslage. Insbesondere trifft es nicht zu, dass das kantonale Gericht nur auf Untersuchungsberichte der SUVA abgestellt hat.
4.2 Die Frage der natürlichen Kausalität der Rücken- und Hüftschmerzen wie auch der geltend gemachten psychischen Beschwerden hat die Vorinstanz nicht weiter geprüft, sondern unmittelbar die Adäquanz nach der Psychopraxis beurteilt. Dies ist nicht zu beanstanden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinten ist (vgl. SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67, U 183/93 E. 3c). Zu diesem Ergebnis ist das kantonale Gericht gelangt.
4.2.1 Für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Zu prüfen ist im Rahmen einer objektivierten Betrachtungsweise, ob der Unfall eher als leicht, als mittelschwer oder als schwer erscheint, wobei im mittleren Bereich gegebenenfalls eine weitere Differenzierung nach der Nähe zu den leichten oder schweren Unfällen erfolgt (BGE 115 V 133 E. 6 S. 139 ff.; SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07 E. 5.3.1).
4.2.2 Das kantonale Gericht hat die Unfälle vom 21. Oktober 2004 (Ausgleiten auf dem Gerüstbock und Sturz auf den Boden), 17. Januar 2006 (Ausrutschen beim Absteigen in eine Grube) und 17. März 2007 (Ausrutschen) je für sich als leicht qualifiziert. Diese Beurteilung ist richtig. Für die beiden ersten Unfälle hat die Vorinstanz dennoch eine Adäquanzprüfung nach den für mittelschwere Unfälle heranzuziehenden Kriterien vorgenommen.
4.2.3 Bei mittelschweren Unfällen müssten von den massgeblichen Kriterien (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140) für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sein (BGE 115 V 133 E. 6c/bb S. 141). Bei der Prüfung dieser Kriterien sind (anders als nach der sog. Schleudertraumapraxis) psychische Aspekte ausser acht zu lassen (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140; vgl. auch BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112). Das kantonale Gericht hat die adäquanzrelevanten Kriterien für die beiden in Frage stehenden Unfälle je gesondert geprüft. Dabei gelangte es zum Schluss, es seien höchstens zwei Kriterien (körperliche Dauerschmerzen sowie Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit) erfüllt, jedoch nicht in besonders ausgeprägter oder auffallender Weise.
4.2.4 Nach Ansicht des Versicherten sind die Kriterien der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen, der körperlichen Dauerschmerzen und der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung erfüllt. Die erlittenen Verletzungen können indessen weder aufgrund der medizinischen Unterlagen noch der Vorbringen des Versicherten als schwer oder von besonderer Art qualifiziert werden. Auch kann nach Lage der Akten nicht von einer ungewöhnlich lange dauernden, kontinuierlichen und mit einer gewissen Planmässigkeit auf die Verbesserung des Gesundheitszustandes gerichteten ärztlichen Behandlung somatischer Unfallfolgen gesprochen werden. Da organisch nicht objektiv ausgewiesene Beschwerden nicht als körperliche Dauerschmerzen gelten, ist auch dieses Kriterium nicht gegeben.
4.3 Zusammenfassend hat das kantonale Gericht demnach zu Recht eine Leistungspflicht für die Rücken-, Hüft- und psychischen Beschwerden mangels adäquater Unfallkausalität verneint.
5. Der bezüglich der zugesprochenen Integritätsentschädigung gestellte Antrag wird in der Beschwerdeschrift mit keinem Wort begründet, weshalb darauf nicht einzutreten ist (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
6. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
7. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. Dezember 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer