Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Y._ bezichtigte X._, einen Beamten im Kanton Luzern, im Frühjahr 2009 auf zwei öffentlich aufgestellten Plakattafeln und in einem Inserat, Initiant und Auftraggeber heimlicher Durchsuchungen in seinen Geschäftsräumlichkeiten gewesen und in schweren Betrug verwickelt zu sein. Wörtlich warf er X._ u.a. "akzeptierende Mitwisserschaft krimineller Manipulationen und Betrügereien gegen (Y._) rücksichtslos bis zu seiner Entlarvung" vor. Das Gesamte entspreche einer "Gewaltmonopol gestützten, psychologischen Willkür-Hinrichtung durch delinquente Justizbesoldete".
Das Amtsgericht Luzern-Land sprach Y._ am 7. Juni 2010 der mehrfachen üblen Nachrede schuldig und bestrafte ihn mit einer Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu je Fr. 21.--, bedingt vollziehbar bei einer Probezeit von zwei Jahren, sowie mit einer Busse von Fr. 500.-- beziehungsweise einer Ersatzfreiheitsstrafe von 24 Tagen. Y._ wurde verpflichtet, X._ eine Genugtuung von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
Das Obergericht des Kantons Luzern sprach Y._ demgegenüber im Appellationsverfahren mit Urteil vom 9. Dezember 2010 zufolge Schuldunfähigkeit frei. Auf die Anordnung einer Sanktion wurde verzichtet. Die Genugtuungsforderung wurde abgewiesen.
X._ wendet sich mit Beschwerde ans Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und das Urteil des Amtsgerichts Luzern-Land sei zu bestätigen.
2. Der angefochtene Entscheid datiert vom 9. Dezember 2010. In Bezug auf die Legitimation ist Art. 81 BGG in der bis zum 31. Dezember 2010 geltenden Fassung anwendbar (Art. 132 Abs. 1 BGG). Es ist fraglich, ob der Beschwerdeführer zur vorliegenden Beschwerde legitimiert ist. Die Frage kann indessen offen bleiben, weil sich die Beschwerde ohnehin als unbegründet erweist.
3. Der Beschwerdeführer bemängelt, die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, der Beschwerdegegner sei schuldunfähig. Ihre Ausführungen verletzten seine verfassungsmässigen Rechte auf einen fairen Prozess und auf die Einhaltung der prozessrechtlichen Vorschriften. Durch die Annahme, es sei überhaupt eine (recte wohl: keine) gutachterliche Fragestellung vorhanden, und den Entscheid, auf eine Begutachtung zu verzichten, habe die Vorinstanz den Sachverhalt unrichtig festgestellt (Beschwerde S. 4 Ziff. 8).
In Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG kann auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. angefochtenen Entscheid S. 11 - 15 E. 4). Diese sind einleuchtend. Wenn der Beschwerdegegner in einer Eingabe an die Vorinstanz davon spricht, er sei betroffen gewesen von einer "fünfwöchigen Untersuchung seiner Räume mit der Unterstützung von Drohnen" (angefochtener Entscheid S. 12), so stellt die Vorinstanz zu Recht fest, er leide offensichtlich an Wahnvorstellungen und sei vernünftigen Gedankengängen nicht zugänglich (vgl. auch seine Angabe, er habe einmal in der Dunkelheit einen Mann bemerkt, der auf dem Rücken eine grosse weisse Scheibe getragen und so mit einer Drohne kommuniziert habe; angefochtener Entscheid S. 7). Dieser Wahn wird durch den Umstand illustriert, dass der Beschwerdegegner sich dauernd in seinen Geschäftsräumlichkeiten aufhält, obwohl diese nicht als Wohnung ausgestaltet sind, weil er glaubt, sich nur so vor weiteren Übergriffen des Beschwerdeführers oder anderer staatlicher Exponenten schützen zu können. Er könne die Räumlichkeiten über einen Radius von 200 Metern, der maximalen Reichweite seiner Alarmanlage, nicht verlassen (angefochtener Entscheid S. 13). Unter den gegebenen Umständen durfte die Vorinstanz auf eine Begutachtung verzichten. Eine Verletzung des Fairnessgebots oder eine im Sinne von Art. 9 BV willkürliche Feststellung liegt jedenfalls nicht vor.
Der Beschwerdeführer macht geltend, der Beschwerdegegner habe sich vor beiden kantonalen Instanzen auch vernünftig verhalten (Beschwerde S. 4 - 6 lit. a und b). Dies mag teilweise ohne Weiteres richtig sein. Es ändert Indessen nichts daran, dass sich aus den oben zitierten Äusserungen und Verhaltensweisen deutlich ergibt, dass er an einem nicht mehr nachvollziehbaren Verfolgungswahn leidet. Allerdings trifft es zu, dass nicht alle von der Vorinstanz angeführten Beispiele seiner Äusserungen auf eine Schuldunfähigkeit hindeuten (vgl. Beschwerde S. 6/7 lit. c). So ist z.B. der Vorwurf der "Willkür" an die Adresse der Behörden nicht von vornherein eine vollständig haltlose Rüge (angefochtener Entscheid S. 12 unten).
Der Beschwerdeführer verweist auf BGE 119 IV 120 (Beschwerde S. 7/8 lit. d). Der Fall eines angetrunkenen Fahrzeuglenkers, an dessen Zurechnungsfähigkeit wegen der hohen Blutalkoholkonzentration Zweifel bestehen, ist indessen mit dem vorliegenden Fall einer offensichtlichen Wahnvorstellung nicht zu vergleichen.
Die Vorinstanz verweist auf den Grundsatz der Verhältnismässigkeit, die Schwere der vom Beschwerdegegner begangenen Delikte und den Umstand, dass eine strafrechtliche therapeutische Massnahme keine Aussicht auf Erfolg hätte (angefochtener Entscheid S. 14 - 16 E. 4.4 und 5). Diese Erwägungen sind für den Ausgang der Sache jedoch höchstens von sehr untergeordneter Bedeutung, weil sie mit der Frage der Schuldfähigkeit des Beschwerdegegners direkt nichts zu tun haben. Folglich muss sich das Bundesgericht mit den entsprechenden Ausführungen des Beschwerdeführers nicht befassen (vgl. Beschwerde S. 9 lit. e, S. 9 lit. g und S. 12 Ziff. 11).
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen.
4. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung auszurichten, weil er vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Mathys C. Monn