Faits:
A. A.a P._ est assuré auprès de Mutuel Assurances pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie. Le 20 octobre 2006, Mutuel Assurances a communiqué à l'intéressé le montant de sa prime valable à compter du 1er janvier 2007. L'assuré ayant contesté la légitimité de la hausse qui lui avait été annoncée, la caisse a confirmé le montant de la prime par décision du 12 décembre 2006, confirmée sur opposition le 2 avril 2007.
A.b P._ a déféré la décision du 2 avril 2007 devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève. La procédure a été suspendue jusqu'à droit connu sur une affaire parallèle pendante devant la juridiction cantonale, puis devant le Tribunal fédéral, opposant les mêmes parties et concernant le montant de la prime due pour l'année 2001. Après que le Tribunal fédéral eut définitivement tranché ce litige (arrêt 9C_312/2008 du 24 novembre 2008), le Tribunal cantonal des assurances sociales a ordonné le 20 janvier 2009 la reprise de la cause et fixé à P._ un délai au 20 février 2009 pour retirer son recours ou déposer un mémoire complémentaire. Sur la base de l'échange d'écritures qui s'en est suivi, la Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales a, par ordonnance du 30 avril 2009 - confirmée par arrêt incident du 8 juin 2009 -, ordonné la mise en oeuvre d'une expertise comptable devant porter sur l'exercice financier de l'année 2006 de Mutuel Assurances et imparti aux parties un délai échéant au 29 mai 2009 - prolongé ensuite jusqu'au 14 juillet 2009 - pour lui communiquer plusieurs noms d'experts-comptables, ainsi que la liste des questions qu'elles souhaitaient voir poser à l'expert qui serait désigné. Le Tribunal fédéral a déclaré irrecevables les recours interjetés par Mutuel Assurances contre ces deux décisions (arrêt 9C_485/2009, 9C_565/2009 du 16 juillet 2009).
A.c Par ordonnance du 3 août 2009, la Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales a imparti aux parties un nouveau délai échéant au 28 août 2009 - prolongé ensuite jusqu'au 9 novembre 2009 - pour déposer des propositions de noms d'experts et de questions à leur soumettre. Après s'être préalablement assuré de leur disponibilité, P._ a proposé de nommer la Fiduciaire X._ SA, par la personne de J._, et la Fiduciaire Y._ SA, par la personne de C._. Par ordonnance du 16 décembre 2009, la Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales a ordonné la mise en oeuvre d'une expertise comptable devant porter sur l'exercice comptable 2006 de Mutuel Assurances, désigné J._ et C._ en qualité d'experts et défini la mission d'expertise.
B. Invoquant les contacts préalables établis entre l'assuré et les experts désignés, Mutuel Assurances a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales d'une demande de récusation à l'encontre de J._ et de C._. Par jugement incident du 9 mars 2010, le Tribunal cantonal des assurances a rejeté la demande.
C. Mutuel Assurances interjette un recours en matière de droit public, concluant à l'annulation du jugement attaqué et à ce qu'il soit fait droit à sa demande de récusation.
P._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique (OFSP) a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Nonobstant leur caractère incident, les décisions de dernière instance cantonale relatives à la récusation d'un expert judiciaire peuvent faire immédiatement l'objet d'un recours en matière de droit public, conformément aux art. 82 let. a, 86 al. 1 let. d et 92 al. 1 LTF.
2. De l'avis de la recourante, le refus du Tribunal cantonal des assurances sociales de donner suite à sa demande de récusation des experts consacrerait une violation de son droit à un expert indépendant et impartial, tel qu'il est garanti par les art. 39 al. 2 et 15 al. 2 let. d de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (LPA/GE; RSG E 5 10), 29 al. 1 et 30 al. 1 Cst et 6 § 1 CEDH.
3. 3.1 Saisi du grief de la violation du droit à un expert indépendant et impartial, le Tribunal fédéral n'examine l'application et l'interprétation du droit cantonal que sous l'angle de l'arbitraire. Il apprécie en revanche librement la compatibilité de la procédure suivie avec les garanties offertes par le droit fédéral et international.
3.2 Selon la jurisprudence relative aux art. 29 al. 1 Cst., 30 al. 1 Cst. et 6 § 1 CEDH, les parties à une procédure ont le droit d'exiger la récusation d'un expert dont la situation ou le comportement sont de nature à faire naître un doute sur son impartialité. Cette garantie tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie, car une disposition interne de l'expert ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale. Seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (ATF 127 I 196 consid. 2b p. 198; 126 I 68 consid. 3a p. 73, 168 consid. 2a p. 169; 125 II 541 consid. 4a p. 544 et les arrêts cités).
3.3 Selon l'art. 39 al. 2 LPA/GE, les causes de récusation prévues pour les membres des autorités administratives s'appliquent aux experts. L'art. 15 al. 2 LPA/GE prévoit la récusation des membres des autorités administratives, notamment, s'ils représentent une partie ou ont agi pour une partie dans la même affaire (let. c) ou s'il existe des circonstances de nature à faire suspecter leur partialité (let. d). Cette disposition n'offre cependant pas de garanties plus étendues que les art. 29 al. 1 Cst., 30 al. 1 Cst. et 6 § 1 CEDH. La recourante ne le prétend d'ailleurs pas. C'est dès lors à la lumière des principes déduits de ces dernières normes qu'il convient d'examiner le mérite du présent recours.
4. 4.1 La recourante estime que le fait pour l'assuré d'avoir établi un contact avec les experts et de leur avoir remis des éléments de procédure préalablement à leur nomination - faits non contestés par l'assuré - était de nature à faire naître, d'un point de vue objectif, une suspicion de partialité à leur égard, ce d'autant que ces agissements s'étaient déroulés à son insu. Elle reproche également aux experts désignés de ne pas disposer des compétences et de l'expérience suffisante pour effectuer une expertise dans le domaine de l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie.
4.2 Selon le droit cantonal de procédure, lorsqu'une autorité (administrative ou judiciaire) ordonne une expertise, il lui appartient de nommer l'expert (art. 38 al. 1 LPA/GE). Les parties ne disposent d'aucune prérogative quant au choix de l'expert, si ce n'est de pouvoir en proposer la récusation (art. 38 al. 2 LPA/GE). Malgré le silence de la loi en la matière, la Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales a toutefois offert la possibilité aux parties de proposer le noms d'experts susceptibles de fonctionner. Faute de grief sur ce point, il n'y a pas lieu de remettre en cause l'initiative de cette magistrate.
4.3 Comme l'ont relevé les premiers juges, il n'est pas inhabituel que les parties ou leurs représentants, lorsqu'ils sont invités à proposer des noms d'experts, contactent au préalable des experts potentiels, ne serait-ce que pour vérifier leur indépendance, leurs qualifications et leur disponibilité. Cela étant, l'établissement de contacts préalables n'est pas dénué de risques et ne devrait avoir lieu que si les informations requises ne peuvent être obtenues d'une autre manière. En pareille hypothèse, les parties ou leurs représentants doivent demeurer soucieux de l'influence qu'ils pourraient exercer, même inconsciemment, sur les experts et agir avec objectivité, prudence et retenue (à propos du devoir de diligence de l'avocat, voir BOHNET/MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, p. 506 n. 1180 ss; MICHEL VALTICOS, Commentaire romand, Loi sur les avocats, 2009, n. 67 ad art. 12 LLCA; WALTER FELLMANN, Kommentar zum Anwaltsgesetz. 2005, n. 22 ad art. 12 LLCA).
4.4 Le fait de prendre préalablement contact avec un expert dont on entend proposer le nom n'est ainsi pas de nature à justifier, en tant que tel, la récusation de cet expert. Il convient bien plutôt d'examiner si les circonstances concrètes entourant la désignation de l'expert sont objectivement de nature à faire naître une suspicion de partialité à l'égard de celui-ci.
4.4.1 Contrairement à ce que prétend la recourante, l'assuré n'a pas fait preuve d'un comportement déloyal à son égard en la tenant dans l'ignorance des démarches qu'il avait entreprises. L'assuré a en effet informé le Tribunal cantonal des assurances sociales - qui a transmis le courrier de l'assuré à la recourante - du fait qu'il avait pris contact avec J._. A cette occasion, il a expliqué, de façon transparente, les raisons qui l'avaient conduit à agir de la sorte, relevant notamment les difficultés à trouver une structure adaptée susceptible de mener à bien l'expertise envisagée. Dans ces conditions, la recourante ne saurait tirer argument d'un comportement critiquable de l'assuré afin de susciter, par ricochet, un doute quant à l'impartialité des experts.
4.4.2 Comme l'a relevé la juridiction cantonale, qui a procédé aux vérifications nécessaires auprès des personnes concernées, rien ne permet d'établir - et la recourante n'avance aucun élément qui viendrait contredire cette affirmation - que l'assuré aurait entretenu par le passé ou entretiendrait à l'heure actuelle, à titre privé ou professionnel, des relations avec l'un ou l'autre des deux experts choisis. A cet égard, l'assertion selon laquelle l'assuré et les experts auraient conclu - implicitement à tout le moins - un contrat de mandat confine à la témérité, dès lors qu'il appartient au juge de nommer l'expert, les parties ne disposant d'aucun droit en la matière (cf. supra consid. 4.2).
4.4.3 La remise à J._ de documents relatifs à la procédure, soit, aux dires de l'assuré, les décisions rendues précédemment par le Tribunal cantonal des assurances sociales et par le Tribunal fédéral, ne saurait non plus constituer, en soi, un motif de prévention. Au contraire, il apparaît légitime - voire même responsable - que la personne à qui on demande si elle dispose des compétences et de l'expérience nécessaires pour accomplir le mandat qui pourrait éventuellement lui être confié s'informe de la procédure et des faits de la cause. Un expert ne saurait en effet accepter un mandat qui dépasse son domaine de compétences. Faute d'éléments objectifs permettant, en l'état, d'admettre que les pièces remises par l'assuré puissent exercer, quelles qu'elles soient, une influence négative sur le déroulement de l'expertise, la simple crainte exprimée par la recourante ne suffit pas à mettre en doute l'impartialité des experts.
4.4.4 En tant que la recourante estime que la nature des propos tenus par J._ dans un courrier adressé à l'assuré le 11 septembre 2009 permettrait de redouter une attitude partiale des experts à son égard, elle ne saurait être suivie. J._ s'est exprimé en ces termes: « Après étude approfondie de la procédure et des arrêtés, nous avons déterminé que le mandat d'expertise qui sera confié par le Tribunal cantonal des assurances sociales ne pouvait être le fait d'un seul expert. Le ou les experts désignés devront être des experts expérimentés en matière judiciaire. Devant cette situation, nous avons constitué un consortium de fiduciaires pour assumer à bien le mandat d'expertise qui sera confié sur la base des questions que vous devrez déposer au Tribunal ». La juridiction cantonale a considéré que ce passage était de nature à démontrer que J._ connaissait et respectait le rôle des parties ou de leurs avocats et celui du juge dans le cadre d'une expertise. La recourante n'apporte pas la démonstration que cette appréciation procéderait d'une interprétation arbitraire des propos de J._. A cet égard, il y a lieu de relever que ce dernier ne fait aucun commentaire sur l'objet du litige opposant les parties, mais qu'il met en évidence divers problèmes liés à l'exécution de l'expertise, ce qui est plutôt la preuve d'une approche professionnelle de la fonction d'expert.
4.4.5 Quant aux reproches faits aux experts désignés, selon lesquels ils ne disposeraient pas des compétences ou de l'expérience suffisante pour effectuer une expertise dans le domaine de l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie, ils ne suffisent pas à éveiller la méfiance quant à leur impartialité. Au-delà de ce constat, il convient de souligner que la mission qui leur a été confiée consiste à analyser des données comptables et financières et à vérifier que les comptes de Mutuel Assurances sont tenus conformément aux règles du droit comptable applicables aux caisses-maladie. Le droit en vigueur, qu'il s'agisse de la législation sur l'assurance-maladie ou les dispositions du code des obligations, contient à ce titre des prescriptions détaillées concernant l'établissement des comptes, le système de financement, les réserves et les placements de capitaux. L'OFSP a également émis des directives en matière de présentation des comptes. Dans ces conditions, étant admis que les experts désignés disposent de l'expérience professionnelle suffisante dans le domaine de la comptabilité, rien ne permet de douter, en l'état, qu'ils ne seront pas en mesure de remplir la mission confiée par le Tribunal cantonal des assurances sociales.
4.5 En jugeant que les circonstances entourant la désignation des experts n'étaient pas de nature à faire naître un doute objectif au sujet de leur impartialité, le Tribunal cantonal des assurances sociales, aux motifs duquel il peut d'ailleurs être renvoyé pour le surplus, n'a pas porté atteinte au droit de la recourante à un expert indépendant et impartial au sens de l'art. 29 al. 1 Cst. Le recours, largement appellatoire, doit par conséquent être rejeté.
5. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1, 1ère phrase, LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 11 août 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Le Greffier:
Borella Piguet