Faits:
A.
La faillite de Y._ SA a été prononcée le 24 février 1999.
Par demande du 25 novembre 2002, la masse en faillite de Y._ SA a ouvert action contre X._, qui avait été l'un des administrateurs de la société. Elle lui réclamait alors la somme de 2'000'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 5 septembre 2001.
Par jugement du 6 septembre 2011, le Juge IV du district de Sion a condamné X._ à verser à la masse en faillite de Y._ SA la somme de 503'030 fr. avec intérêts à 5% dès le 24 février 1999. En substance, le juge a considéré que X._, en sa qualité d'administrateur, aurait dû déposer le bilan au plus tard le 1 er juillet 1998, compte tenu du déficit accusé par la société en 1996 et 1997, de la diminution du chiffre d'affaires, du manque chronique de liquidités, du licenciement en automne 1997 d'une partie du personnel, ainsi que de l'avis donné par l'organe de révision le 2 avril 1998 attirant expressément l'attention du conseil d'administration sur l'existence d'un surendettement. Se fondant sur le rapport de l'expert Q._, le juge a arrêté le préjudice découlant du retard dans le dépôt du bilan à 503'000 fr.
Statuant le 8 janvier 2013 sur appel de X._ et appel joint de la masse en faillite de Y._ SA, la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais a confirmé le jugement de première instance.
X._ a interjeté un recours en matière civile contre le jugement du 8 janvier 2013 (cause 4A_84/2013). Par arrêt du 7 août 2013, la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable. Le dispositif de l'arrêt a été envoyé aux parties le 9 août 2013; l'expédition complète de l'arrêt a été notifiée à X._ le 26 septembre 2013.
B.
Par mémoire déposé le 25 octobre 2013, X._ demande la révision de l'arrêt du Tribunal fédéral. Invoquant l'art. 121 let. a, c et d LTF, le requérant conclut à l'admission de sa demande de révision, à l'annulation du jugement rendu le 8 janvier 2013 par la Cour civile I du Tribunal cantonal valaisan (sic), à la réforme dudit jugement et au rejet de la demande de la masse en faillite de Y._ SA.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
Considérant en droit:
1.
Le requérant demande la révision de l'arrêt du 7 août 2013 pour violation d'autres règles de procédure que celles concernant la récusation. Conformément à l'art. 124 al. 1 let. b LTF, le mémoire a été déposé dans les 30 jours qui ont suivi la notification de l'expédition complète de l'arrêt.
2.
2.1. En premier lieu, le requérant fait valoir le motif de révision prévu à l'art. 121 let. a LTF. A son sens, les dispositions concernant la composition du tribunal n'ont pas été respectées dans la cause 4A_84/2013. Invoquant la maladie du Juge fédéral Bernard Corboz, décédé le 24 septembre 2013, le requérant prétend que la Ire Cour de droit civil n'était pas composée de trois juges.
2.2. Conformément à la règle générale de l'art. 20 al. 1 LTF, la cour de céans était composée de trois juges dans la cause 4A_84/2013, à savoir les Juges Klett, Corboz et Niquille. Elle a statué par voie de circulation (cf. art. 58 al. 2 LTF) et a rendu son arrêt le 7 août 2013, date à laquelle la Présidente de la cour a constaté que la proposition de jugement en circulation avait obtenu l'approbation des trois juges (cf. JEAN-MAURICE FRÉSARD, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 21 ad art. 61). Ce jour-là, l'arrêt a acquis force de chose jugée (art. 61 LTF). Le Juge Corboz, qui a signé la proposition de jugement le 2 août 2013, a participé à la circulation et était en vie lors du prononcé de l'arrêt le 7 août 2013. Contrairement à ce que le requérant prétend, l'arrêt a donc été rendu par la cour de céans dans une composition régulière. La maladie subséquente du Juge Corboz et son décès deux jours avant la notification de l'expédition complète de l'arrêt sont des éléments dénués de pertinence à cet égard. Le motif de révision de l'art. 121 let. a LTF n'est pas réalisé.
3.
3.1. Invoquant ensuite l'art. 121 let. c LTF, le requérant soutient que le Tribunal fédéral "n'a pas examiné la conclusion n° 2 découlant du chiffre 5 du recours en matière civile" relatif à l'aggravation du surendettement, passage qu'il reprend ensuite in extenso dans sa demande de révision.
3.2. Aux termes de l'art. 121 let. c LTF, la révision d'un arrêt peut être demandée si le Tribunal fédéral n'a pas statué sur certaines conclusions.
Dans son recours en matière civile, le requérant concluait, au fond, à l'annulation du jugement cantonal du 8 janvier 2013 et au déboutement de l'intimée de sa demande. La cour de céans, qui a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable, s'est prononcée sur les conclusions précitées.
C'est le lieu de rappeler que la motivation d'un grief ne constitue pas une conclusion (arrêt 2F_18/2012 du 3 octobre 2012 consid. 3.2.2; arrêt 4F_1/2007 du 13 mars 2007 consid. 5.1). L'éventuelle omission de prendre position sur des questions de fait ou de droit soulevées par les conclusions du recours ou d'y répondre par une argumentation spécifique ne justifie pas la révision de l'arrêt (arrêt 2F_11/2007 du 22 novembre 2007 consid. 3.3; PIERRE FERRARI, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 13 ad art. 121). Lorsqu'il prétend que la cour de céans n'aurait pas examiné la motivation de son recours relative à l'aggravation du surendettement, le requérant n'invoque ainsi pas l'un des motifs de révision liés à une violation de règles de procédure et énumérés exhaustivement à l'art. 121 LTF.
4.
4.1. Le requérant fait valoir enfin que le Tribunal fédéral a commis une inadvertance au sens de l'art. 121 let. d LTF. Si l'on comprend bien le grief, il est reproché à la cour de céans de ne pas avoir retenu que les juges cantonaux s'étaient livrés à une appréciation arbitraire des preuves en se fondant sur l'expertise Q._, laquelle aurait faussement arrêté le calcul du surendettement à fin janvier 1999, alors que la faillite a été prononcée trois semaines plus tard.
4.2. Selon l'art. 121 let. d LTF, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si, par inadvertance, le tribunal n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier.
Ce motif de révision correspond à celui prévu à l'art. 136 let. d OJ, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2006. La jurisprudence rendue sous l'empire de l'ancien droit reste valable (arrêt 4F_1/2013 du 14 mars 2013 consid. 3). Il y a ainsi inadvertance lorsque le tribunal a omis de prendre en considération une pièce déterminée, versée au dossier, ou l'a mal lue, s'écartant par mégarde de sa teneur exacte, en particulier de son vrai sens littéral; cette notion se rapporte au contenu même du fait, et non à son appréciation juridique. Par ailleurs, ce motif de révision n'est réalisé que si les faits en cause sont pertinents, c'est-à-dire susceptibles de conduire à une solution différente de celle qui a été retenue, plus favorable au requérant (ATF 122 II 17 consid. 3 p. 18; arrêt 5F_7/2012 du 7 septembre 2012 consid. 1).
Dans l'arrêt dont la révision est demandée, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable, car purement appellatoire, la critique que le requérant adressait aux rapports rendus par l'expert Q._ (consid. 2.3.6). A présent, le requérant revient sur une prétendue erreur contenue dans l'expertise Q._, que le Tribunal fédéral aurait omis de relever par inadvertance. Le motif tiré de l'art. 121 let. d LTF ne saurait manifestement servir à réintroduire, par le biais de la révision, un grief déclaré irrecevable dans l'arrêt rendu sur recours. Là encore, le motif de révision invoqué est dépourvu de tout fondement.
5.
Il suit de là que la demande de révision doit être rejetée.
Vu l'issue de la procédure, le requérant prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
La demande de révision est rejetée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du requérant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 7 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann