Faits:
A. Il ressort du dossier que X._, ressortissant burkinabé né en 1981, a franchi clandestinement la frontière suisse pour déposer une demande d'asile le 17 mai 2007, que l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) a rejetée par décision du 10 juillet 2008. Le Tribunal administratif fédéral a confirmé cette décision par arrêt du 6 mai 2011 (cause E-5189/2008), au motif notamment que le Burkina Faso était considéré comme un "pays sûr" depuis avril 2009, que le document produit par l'intéressé, selon lequel les autorités de cet Etat le recherchaient pour son implication dans des massacres, présentait "certains signes évidents de falsification", et que rien n'indiquait que l'exécution du renvoi impliquerait une mise en danger concrète de l'intéressé.
Le 17 mai 2011, l'Office fédéral a imparti à X._ un délai au 14 juin 2011 pour quitter la Suisse. Le 11 juillet 2011, le Service de la population et des migrations du canton du Valais (ci-après: le Service cantonal) a rejeté la requête de X._, déposée le 4 juillet 2011, en vue de l'obtention d'un permis de séjour pour cas de rigueur et invité l'intéressé à "débuter toute démarche utile à l'obtention d'un document de voyage", sans quoi il s'exposerait à des "moyens de contrainte".
B. Entendu par la police cantonale valaisanne le 10 octobre 2011 dès 8h55, X._ a déclaré ne pas avoir effectué de démarches pour se procurer un document de voyage et refuser de retourner au Burkina Faso par peur de représailles, tout en étant d'accord de partir vers d'autres pays. Par décision du même jour, le Service cantonal l'a placé en détention administrative pour une durée maximale de trois mois, au motif que des indices sérieux faisaient craindre qu'il entende se soustraire à son obligation de quitter la Suisse. Les représentants de l'Ambassade du Burkina Faso ont reconnu la nationalité de X._ le 12 octobre 2011.
C. Déféré devant le Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Juge unique) en date du 14 octobre 2011 à 8h50, X._ a entre autres confirmé qu'il refusait de retourner au Burkina Faso et a donné des indications sur sa situation familiale dans cet Etat. Par arrêt du même jour, le Juge unique a approuvé la mise en détention en raison d'un risque de soustraction au renvoi et du refus d'obtempérer aux instructions des autorités.
D. A l'encontre de l'arrêt du 14 octobre 2011, X._ interjette un recours en matière de droit public, doublé d'un recours constitutionnel subsidiaire, au Tribunal fédéral. Sur recours en matière de droit public, il conclut principalement à l'annulation de l'arrêt attaqué, subsidiairement à son annulation et au renvoi de la cause à l'instance inférieure afin qu'elle le mette au bénéfice d'une admission provisoire. Il prend les mêmes conclusions à l'appui de son recours constitutionnel subsidiaire. Il demande par ailleurs l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le Tribunal cantonal a produit le dossier, mais a renoncé à se déterminer, à l'instar du Service cantonal et de l'Office fédéral. X._ n'a pas formulé d'observations complémentaires.
E. Par ordonnance présidentielle du 17 novembre 2011, la IIe Cour de droit public a notamment rejeté la requête de mesures provisionnelles de X._ tendant à sa libération immédiate et a précisé que la procédure devant elle ne bloquait pas l'exécution du renvoi.
Considérant en droit:
1. Dans le même acte (art. 119 al. 1 LTF), le recourant a déposé à la fois un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire.
1.1 La voie du recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est en principe ouverte à l'encontre des décisions cantonales rendues en matière de mesures de contrainte (arrêts 2C_974/2010 du 11 janvier 2011 consid. 1; 2C_10/2009 du 5 février 2009 consid. 2, non publié aux ATF 135 II 94). Dirigé contre une telle décision émanant d'une autorité judiciaire cantonale supérieure de dernière instance (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le présent recours a été déposé par un ressortissant étranger encore en détention en application de l'arrêt litigieux, de sorte que sa qualité pour recourir doit être admise (art. 89 al. 1 LTF). Interjeté dans le délai prévu par la loi (cf. art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF), le recours est recevable, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 a contrario LTF).
1.2 En revanche, il ne sera pas entré en matière sur la demande du recourant tendant à ce que la cause soit renvoyée à l'instance inférieure pour qu'elle le mette au bénéfice d'une admission provisoire. Une telle requête est irrecevable, car elle dépasse l'objet de la présente procédure, qui concerne uniquement le contrôle de la détention du recourant en vue de son renvoi (cf. arrêt 2C_974/2010 du 11 janvier 2011 consid. 1). Au demeurant, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de statuer sur ce point dans le cadre d'un recours en matière de droit public (cf. art. 83 let. c ch. 3 LTF).
2. 2.1 Saisi d'un tel recours, le Tribunal fédéral vérifie librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant.
2.2 Le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF). En application de l'art. 105 al. 2 LTF, il peut toutefois compléter d'office un état de fait insuffisant, ce qu'il a fait en l'occurrence pour comprendre les circonstances ayant conduit le recourant en détention.
En revanche, le Tribunal fédéral ne peut pas prendre en considération une argumentation de nature appellatoire (ATF 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322). Il ne sera ainsi, en particulier, pas tenu compte des nombreux passages du recours dans lesquels le recourant se contente de présenter, de manière purement appellatoire, sa propre version des faits.
2.3 Dans la mesure où les pièces qui accompagnent le mémoire de recours n'ont pas trait à la requête d'assistance judiciaire et ne ressortent pas déjà de la procédure cantonale, il s'agit de moyens nouveaux irrecevables (art. 99 al. 1 LTF).
3. 3.1 La mise en détention du recourant confirmée par la décision attaquée se fonde sur l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. Cette disposition prévoit entre autres que, lorsqu'une décision de renvoi a été notifiée, l'autorité compétente peut, afin d'en assurer l'exécution, mettre en détention la personne concernée si des éléments concrets font craindre que celle-ci entende se soustraire au renvoi, en particulier parce qu'elle ne se soumet pas à son obligation de collaborer, ou si son comportement permet de conclure qu'elle se refuse à obtempérer aux instructions des autorités. D'après la jurisprudence, un risque de fuite existe notamment lorsque l'étranger tente d'entraver les démarches en vue de l'exécution du renvoi en donnant des indications manifestement inexactes ou contradictoires ou encore s'il laisse clairement apparaître, par ses déclarations ou son comportement, qu'il n'est pas disposé à retourner dans son pays d'origine (cf. ATF 130 II 56 consid. 3.1 p. 58 s.; arrêt 2C_945/2010 du 5 janvier 2011 consid. 2.1).
3.2 Comme l'indique l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 LEtr, il faut qu'il existe des éléments concrets en ce sens. Dans ce contexte, le Tribunal fédéral a plusieurs fois souligné, à propos d'arrêts émanant du Juge unique valaisan, que la seule existence de contradictions dans les déclarations de l'étranger qui n'ont pas de lien avec sa propre situation et, partant, ne sont pas de nature à entraver les démarches en vue de l'exécution du renvoi, ne saurait suffire à justifier la détention (arrêts 2C_420/2011 du 9 juin 2011 consid. 3.2; 2C_963/2010 du 11 janvier 2011 consid. 2.1 s.; 2C_945/2010 du 5 janvier 2011 consid. 2.2).
3.3 Lorsqu'il examine le risque de fuite, le juge de la détention doit établir un pronostic, en déterminant s'il existe des garanties que l'étranger prêtera son concours à l'exécution du renvoi le moment venu, c'est-à-dire lorsque les conditions en seront réunies. Il dispose pour ce faire d'une certaine marge d'appréciation, ce d'autant qu'il doit en principe entendre l'intéressé (arrêt 2C_128/2009 du 30 mars 2009 consid. 3.1).
3.4 En l'espèce, le Juge unique a considéré que les conditions de l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr étaient réalisées du fait que le recourant avait, durant la procédure, varié dans ses explications relatives à sa famille, en particulier au sujet de l'existence et du décès de l'un de ses frères; s'y ajoutait le dépôt de documents falsifiés concernant l'avis de recherche des autorités burkinabé. Il s'agissait là d'une "man?uvre visant à retarder son identification et donc l'exécution de son renvoi", et faisant craindre qu'en cas de libération, le recourant ne passe dans la clandestinité. Enfin, le recourant avait déclaré refuser de repartir au Burkina Faso.
3.4.1 Comme la Cour de céans n'a de cesse de le rappeler au Juge unique valaisan (cf. supra consid. 3.2), les indications erronées ou contradictoires d'un étranger sur sa fratrie sont impropres à fonder une mise en détention en vertu de l'art 76 al. 1 let. b ch. 3 et 4 LEtr. En effet, sans autre explication figurant dans l'arrêt attaqué, l'on ne voit pas que de fausses informations relatives aux frères et soeurs soient de nature à rendre l'exécution du renvoi plus difficile, voire à l'empêcher. Un tel motif pour justifier une détention administrative est donc, à lui seul, contraire au droit fédéral.
3.4.2 Il ressort cependant de l'arrêt attaqué que d'autres motifs, alternatifs et pertinents, ont été pris en compte. Il a ainsi été retenu que, lors de son audition devant le Juge unique, le recourant avait expressément confirmé qu'il refusait de rentrer dans son pays. En outre, le Tribunal administratif fédéral avait, dans son arrêt du 6 mai 2011, jugé que l'avis de recherche des autorités burkinaises fourni à l'appui de sa demande d'asile présentait "certains signes évidents de falsification". Il résulte de plus du dossier que, bien que sommé de quitter la Suisse à la suite du rejet de son recours formé devant le Tribunal administratif fédéral, le recourant, dépourvu de papiers d'identité et sans attaches particulières en Suisse (cf. arrêt de la Cour européenne des droits de l'Homme du 2 décembre 2010 dans la cause Jusic c. Suisse, req. 4691/06 par. 80 s. a contrario), n'a pas obtempéré. Ces éléments permettent, selon la jurisprudence, d'en conclure qu'il existe un risque de fuite justifiant une mise en détention administrative, au sens de l'art. 76 al. 1 let. b ch. 3 LEtr (cf. arrêts 2C_945/2010 du 5 janvier 2011 consid. 2.3; 2C_806/2010 du 21 octobre 2010 consid. 2.2).
4. Les arguments du recourant pour s'opposer à sa détention sont par ailleurs infondés.
4.1 On ne discerne pas en quoi le fait pour le recourant d'avoir, en juillet 2011, entrepris des démarches en vue de l'obtention d'un permis de séjour serait propre à remettre en cause les motifs de sa détention. Outre que cette requête témoigne de la volonté du recourant de demeurer en Suisse en dépit de l'ordre de renvoi prononcé le 17 mai 2011, son rejet par le Service cantonal en date du 11 juillet 2011, associé à la menace de faire usage de moyens de contrainte, n'a pas non plus incité le recourant à préparer son départ. Certes, le recourant, dont l'identité et le domicile sont connus, a répondu présent aux convocations du Service cantonal. Cet élément ne suffit toutefois pas à contrebalancer les indices concrets de départ dans la clandestinité susmentionnés (consid. 3.4.2) auxquels les autorités cantonales étaient, en l'espèce, en droit d'attribuer un poids prépondérant.
4.2 Il est certes regrettable, tel que s'en plaint le recourant sous l'angle de l'art. 5 CEDH, ainsi que des art. 2 et 4 de la Constitution du canton du Valais du 8 mars 1907 (Cst./VS; RS/VS 101.1) garantissant en particulier le principe de la légalité en matière de détention, que la loi d'application valaisanne de la loi fédérale sur les mesures de contrainte en matière de droit des étrangers du 15 novembre 1996 (LALMC/VS; RS/VS 142.4) n'ait pas été adaptée au nouveau droit et continue ainsi à se référer à l'aLSEE. L'art. 76 LEtr n'en constitue pas moins une base légale spécifique et suffisante permettant aux autorités valaisannes de prononcer la mise en détention du recourant, qui n'est dès lors pas illégale pour ce motif. Ceci est d'autant plus vrai que, en la matière, la réglementation prévue par l'art. 76 LEtr se recoupe largement avec celle de l'aLSEE (cf. arrêt 2C_2/2008 du 9 janvier 2008 consid. 2.1).
4.3 Au surplus, l'on ne perçoit pas, et le recourant ne le démontre nullement (art. 106 al. 2 LTF), en quoi la détention actuelle serait arbitraire (art. 9 Cst.; pour cette notion, cf. ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5).
5. Par ailleurs, le recourant a été déféré devant le Juge unique dans le délai de 96 heures prescrit par l'art. 80 al. 2 LEtr (pour la computation de ce délai, cf. ATF 127 II 174 consid. 2b/aa p. 175 s.; arrêt 2C_206/2009 du 29 avril 2009 consid. 5.1.1). Interrogé par la police valaisanne le 10 octobre 2011, à partir de 8h55, et placé en détention le même jour sur ordre du Service cantonal, il a en effet assisté à l'audience du Juge unique tenue le 14 octobre 2011 dès 8h50.
6. Le recourant n'établit en outre pas qu'il disposerait de la possibilité de se rendre légalement dans un Etat tiers de son choix (art. 69 al. 2 LEtr). Il ne saurait dès lors être reproché aux autorités de ne pas avoir accédé à son souhait de se rendre dans un autre pays (cf. arrêt 2C_393/2009 du 6 juillet 2009 consid. 3.4).
7. Le recourant se prévaut du principe de non-refoulement déduit des art. 5 de la loi fédérale du 26 juin 1998 sur l'asile (LAsi; RS 142.31), 3 de la Convention contre la torture et autres peines ou traitements cruels, inhumains ou dégradants du 10 décembre 1984 (CCT; RS 0.105) et 3 CEDH pour s'opposer à son renvoi vers le Burkina Faso. Il allègue que l'exécution dudit renvoi serait impossible au sens de l'art. 80 al. 6 let. a LEtr, car elle l'exposerait - à l'aune du mandat de recherche des corps de sécurité burkinabé - à un danger pour sa vie ou son intégrité corporelle.
7.1 Si la vérification d'un tel argument rendrait effectivement impossible, pour des raisons juridiques, l'exécution du renvoi (cf. art. 80 al. 6 let. a LEtr; THOMAS HUGI YAR, Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Ausländerrecht [Peter Uebersax et al. (éds)], 2e éd., Bâle 2009, p. 417 ss, 476 N 10.111; ANDREAS ZÜND, ad art. 80 LEtr, in: Migrationsrecht [Marc Spescha et al. (éds)], Zurich 2009, p. 188 N 8), le recourant oublie que son statut de requérant d'asile lui a été successivement dénié par l'Office fédéral et le Tribunal administratif fédéral en 2008, respectivement en mai 2011, au terme de décisions motivées examinant en détail la question du non-refoulement, que le Burkina Faso était à nouveau considéré comme un "pays sûr" depuis avril 2009 et qu'aucun élément au dossier n'indiquait qu'il encourrait une mise en danger concrète en cas de renvoi vers son pays d'origine. De plus, la validité de la seule pièce matérielle sur laquelle le recourant fondait ses craintes, à savoir l'avis de recherche burkinabé, a été mise en doute à l'occasion dudit examen. Se contentant de contester ces différentes appréciations, le recourant n'en démontre pas le caractère arbitraire; encore moins n'apporte-t-il un quelconque autre élément susceptible de corroborer sa propre version du risque encouru ou de faire apparaître, compte tenu de la cognition limitée du juge de la détention sur ce point, son renvoi comme étant manifestement inadmissible (ATF 125 II 217 consid. 2 p. 220; arrêt 2C_625/2011 du 5 septembre 2011 consid. 4.2.1).
7.2 Dans de telles circonstances, la Cour de céans ne perçoit aucun motif justifiant de s'écarter de l'appréciation faite par le Tribunal administratif fédéral et de considérer comme impossible l'exécution du renvoi du recourant.
8. Enfin, la mise en détention du recourant pour un maximum de trois mois apparaît nécessaire pour assurer l'exécution du renvoi et conforme au principe de la proportionnalité (art. 5 al. 2 Cst.; pour cette notion, cf. ATF 133 II 97 consid. 2.2 p. 100). Rien n'indique que les autorités suisses compétentes n'agissent pas avec la célérité requise (cf. art. 76 al. 4 LEtr). Elles ont du reste, deux jours seulement après la mise en détention de l'intéressé, soit le 12 octobre 2011, organisé son audition par les autorités burkinaises et, partant, initié les démarches en vue de son renvoi en toute diligence. Au demeurant, il ne tient qu'au recourant de mettre un terme à sa détention, en retournant de son plein gré vers le Burkina Faso.
Sur la base de tous ces éléments, il convient d'admettre que le recourant remplit les exigences légales justifiant une détention en vue du renvoi.
9. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Comme son recours paraissait d'emblée dénué de chances de succès, le recourant ne saurait bénéficier de l'assistance judiciaire (cf. art. 64 LTF). Au vu des circonstances de la cause, il se justifie toutefois de ne pas percevoir de frais pour la procédure fédérale (cf. art. 66 al. 1 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (cf. art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et des migrations et au Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 7 décembre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Chatton