Sachverhalt:
A. A.a Im Eheschutzverfahren zwischen X._ (Beschwerdeführerin) und Z._ (Beschwerdegegner) entschied das Gerichtspräsidium Baden mit Urteil vom 19. November 2007, es nehme Vormerk davon, dass die Parteien seit Mitte Januar 2006 getrennt lebten (Ziff. 1). Der Beschwerdegegner wurde verpflichtet, der Beschwerdeführerin an ihren persönlichen Unterhalt (für den Monat März 2006 pro rata temporis) monatlich vorschüssig folgende Unterhaltsbeiträge, unter Anrechnung der bereits geleisteten Zahlungen, zu bezahlen (Ziff. 3):
2. März - bis Oktober 2006: Fr. 1'640.--
November und Dezember 2006: Fr. 1'060.--
Januar bis August 2007: Fr. 860.--
September bis Dezember 2007: Fr. 460.--
ab Januar 2008: Fr. 750.--.
A.b Die Beschwerdeführerin betrieb den Beschwerdegegner mit Zahlungsbefehl Nr. 1 des Betreibungsamts A._ vom 25. April 2008 für eine Forderung von Fr. 24'680.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. Dezember 2007. Als Forderungsgrund wurden im Zahlungsbefehl die im Urteil des Gerichtspräsidiums Baden vom 19. November 2007 festgelegten Unterhaltszahlungen gemäss Dispositiv-Ziffer 3 angegeben. Der Beschwerdegegner erhob Rechtsvorschlag.
A.c Mit Entscheid vom 16. Juli 2008 erteilte die Präsidentin II des Bezirksgerichts Bremgarten der Beschwerdeführerin die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 18'580.-- nebst Zins zu 5 % seit 28. April 2008.
B. Die vom Beschwerdegegner gegen den Rechtsöffnungsentscheid eingereichte Beschwerde wurde vom Obergericht des Kantons Aargau (Zivilgericht, 4. Kammer) mit Entscheid vom 17. September 2008 gutgeheissen, der Entscheid der Präsidentin II des Bezirksgerichts Bremgarten vom 16. Juli 2008 wurde aufgehoben und die Klage abgewiesen.
C. Die Beschwerdeführerin hat am 13. November 2008 beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde eingereicht und beantragt, Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids sei aufzuheben. Sodann seien Dispositiv-Ziffer 2 (Gerichtsgebühr) und 3 (Parteientschädigung) aufzuheben und zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Mit Verfügung des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung vom 1. Dezember 2008 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt. In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen auch Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Beim vorliegenden Entscheid über die definitive Rechtsöffnung handelt es sich um einen solchen Entscheid (BGE 133 III 399 E. 1.2). Der für vermögensrechtliche Angelegenheiten vorausgesetzte Streitwert von mindestens Fr. 30'000.-- wird nicht erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG), sodass nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde, mit welcher ein Endentscheid nach Art. 113 BGG angefochten wird, zulässig ist.
1.2 Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechts nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 444).
1.3 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Willkürverbots gemäss Art. 9 BV. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen; 125 II 129 E. 5b S. 134 mit Hinweis).
2. 2.1 Das Obergericht führt aus, der Beschwerdegegner mache Tilgung der Unterhaltsforderungen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 SchKG vor Erlass des Urteils vom 19. November 2007 geltend. Dies müsse entgegen dem Wortlaut von Abs. 1 dieser Bestimmung im Falle von Unterhaltsbeitragsschulden zulässig sein, zumal im Urteil vom 19. November 2007 die Anrechnung bereits geleisteter Zahlungen ausdrücklich vorbehalten worden sei. Es verweist auf seine Rechtsprechung (AGVE 2005 S. 41), wonach der Rechtsöffnungsrichter die Tilgung einer Schuld, welche vor Erlass des zu vollstreckenden Urteils eingetreten sei, ausnahmsweise prüfen dürfe, wenn der Schuldner im definitiven Rechtsöffnungstitel verpflichtet werde, der Gläubigerin rückwirkend ab einem bestimmten Zeitpunkt monatliche Unterhaltsbeiträge in bestimmter Höhe zu leisten. Im Unterhaltsprozess werde nicht primär darüber gestritten, wieviel bereits bezahlt, sondern wieviel (und wie lange) grundsätzlich Unterhalt zu bezahlen sei. Der Rechtsöffnungsrichter könne im Rechtsöffnungsverfahren die Einrede der Tilgung des Unterhaltsschuldners zulassen, auch wenn sie sich auf einen Zeitpunkt vor Erlass des Unterhaltsurteils beziehe, ohne dass er damit den Unterhaltsentscheid materiell überprüfen müsste. Dem rechtsöffnungsbeklagten Unterhaltsschuldner müsse daher der Nachweis offen stehen, dass er die geschuldeten Unterhaltsbeiträge teilweise oder vollständig erbracht habe, auch wenn sich dieser Sachverhalt bereits ganz oder teilweise vor Erlass des Urteils abgespielt habe. In der Praxis werde deshalb zuweilen eine Klausel in den Unterhaltsentscheid aufgenommen, welche die Anrechnung bisher bezahlter Unterhaltsbeiträge für zulässig erkläre. Dieser Erklärung komme aber bloss deklaratorische Bedeutung zu.
Der Beschwerdegegner belege unter anderem vier Bezüge der Beschwerdeführerin ab seinem Konto in der Zeit vom 1. Februar 2006 - 5. Mai 2006 von insgesamt Fr. 41'500.--. Würden nur die Bezüge innerhalb der Zeit, für welche die Beschwerdeführerin Unterhaltsbeiträge betreibe, berücksichtigt, d.h. ab März 2006, betrügen die Bezüge Fr. 31'500.--. Die Beschwerdeführerin habe mit ihrer Unterschrift bestätigt, diese Beträge erhalten zu haben. Sie bestreite die Bezüge auch nicht, behaupte jedoch, damit gemeinsame Rechnungen der Parteien bezahlt und die Restbeträge dem Beschwerdegegner zurückerstattet zu haben. Der Beschwerdegegner bestreite diese Darstellung, und die Beschwerdeführerin vermöge keinen Beweis für ihre Behauptung vorzubringen. Die Bezüge der Beschwerdeführerin vom Konto des Beschwerdegegners seien daher als Zahlungen des Beschwerdegegners an die Beschwerdeführerin zu werten und gemäss dem Urteil vom 19. November 2007 an seine Unterhaltsschuld anzurechnen. Es handle sich entgegen der Auffassung der Vorinstanz und der Parteien nicht um Verrechnung im Sinne von Art. 120 ff. OR, sondern um Anrechnung im Sinne von Art. 85 ff. OR, sodass Art. 125 Ziff. 2 OR nicht zur Anwendung komme. Der Beschwerdegegner habe damit, dass er die Beschwerdeführerin zu Bezügen von seinem Konto berechtigt habe, Zahlungen an die Beschwerdeführerin getätigt und damit seine Schuld durch Zahlung direkt getilgt.
2.2 Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Vorinstanz habe im Rechtsöffnungsverfahren in Überschreitung ihrer Überprüfungsbefugnis über die zivilrechtliche Frage der Anrechenbarkeit von allfällig geleisteten Unterhaltszahlungen entschieden, obwohl bereits das Eheschutzgericht über die Anrechenbarkeit von behaupteten erbrachten Unterhaltsbeiträgen rechtskräftig entschieden habe. Bei einer rückwirkenden Verpflichtung zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen seien schon tatsächlich erbrachte Unterhaltsleistungen nach Lehre und Rechtsprechung zu berücksichtigen bzw. anzurechnen. Das Eheschutzurteil habe sich nicht zum konkreten Anrechnungsbetrag geäussert, sondern nur allgemein festgehalten, dass allfällige Zahlungen anzurechnen seien, und dies genüge nicht, um die Anrechenbarkeit eines behaupteten Betrages zu bejahen. Die Vorinstanz habe ihre Entscheidkompetenz mit Bezug auf die Rechtsanwendung willkürlich überschritten. Die Anrechnung dürfe nicht ins Vollstreckungsverfahren verwiesen werden.
Die Rüge ist an sich begründet, nur zieht die Beschwerdeführerin nicht die richtigen Schlussfolgerungen daraus.
2.3 Beruht die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Urteil, so kann der Gläubiger definitive Rechtsöffnung verlangen (Art. 80 Abs. 1 SchKG). Diese kann nur erteilt werden, wenn das Urteil den Schuldner zur definitiven Zahlung einer bestimmten Geldleistung verpflichtet (Daniel Staehelin, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 1998, N. 38 zu Art. 80 SchKG). Die zu bezahlende Summe muss im Urteil beziffert werden oder muss sich zumindest in Verbindung mit der Begründung oder aus dem Verweis auf andere Dokumente klar ergeben (Daniel Staehelin, a.a.O., N. 41 zu Art. 80 SchKG). Das Rechtsöffnungsgericht hat zu prüfen, ob sich die in Betreibung gesetzte Forderung aus dem vorgelegten gerichtlichen Urteil ergibt. Dabei hat es weder über den materiellen Bestand der Forderung zu befinden, noch sich mit der materiellen Richtigkeit des Urteils zu befassen. Ist dieses unklar oder unvollständig, bleibt es Aufgabe des Sachgerichts, Klarheit zu schaffen (BGE 113 III 6 E. 1b S. 9/10; 124 III 501 E. 3a S. 503).
2.4 Der Eheschutzrichter hat den Beschwerdegegner mit Urteil vom 19. November 2007 unter anderem verpflichtet, der Beschwerdeführerin an ihren persönlichen Unterhalt rückwirkend per März 2006 monatlich vorschüssig zahlenmässig bestimmte Unterhaltsbeiträge unter Anrechnung der bereits geleisteten Zahlungen zu entrichten.
Gemäss der Lehre und teilweise der kantonalen Rechtsprechung sind bei einer rückwirkenden Verpflichtung zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen schon tatsächlich erbrachte Unterhaltsleistungen in Abzug zu bringen (HAUSHEER UND ANDERE, Berner Kommentar, N. 23 zu Art. 173 ZGB, S. 510; HASENBÖHLER/OPEL, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, 3. Aufl. 2006, N. 11 zu Art. 173 ZGB; BRÄM/HASENBÖHLER, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1998, N. 150 zu Art. 163 ZGB; Urteil [des Kassationsgerichts des Kantons Zürich] vom 10. Juni 2008, in: ZR 107/2008 S. 224; anders: Urteil [des Obergerichts des Kantons Aargau] vom 2. Mai 2005, in: AGVE 2005 S. 41). Dies ist nötig, weil nur der in einem konkreten Rechtstitel festgelegte Geldbetrag vollstreckbar ist (HAUSHEER/SPYCHER, Handbuch des Unterhaltsrechts, 1997, N. 0607). Die Berechnung des Unterhaltsanspruchs, wie ihn das Eheschutzgericht in das Dispositiv seines Entscheids aufgenommen hat, ist zwar bei rückwirkenden Unterhaltsbeiträgen notwendige Voraussetzung für die Zusprechung eines konkreten Geldbetrags. Werden aber im Dispositiv die bereits bezahlten Unterhaltsleistungen vorbehalten, entspricht der im Dispositiv festgelegte Geldbetrag nicht der zu zahlenden Schuld. Im Umfang seiner Leistungen ist nämlich die entsprechende Verpflichtung untergegangen. Wie hoch der Betrag ist, der für die rückwirkenden Beiträge bezahlt werden muss, ist weder dem Dispositiv noch der Begründung, noch einem in der Begründung enthaltenen Verweis auf andere Dokumente zu entnehmen, so dass nicht gesagt werden kann, welcher Betrag geschuldet ist. Jedenfalls sind für die rückwirkenden Beiträge nicht die im Urteil genannten Beträge geschuldet. Andernfalls wäre der Vorbehalt der Anrechnung bereits geleisteter Zahlungen sinnlos. Es kann auch nicht gesagt werden, die Leistungsverpflichtung gemäss Ziffer 3 des Eheschutzurteils stehe unter der Bedingung, dass nicht bereits geleistet worden sei, denn Bedingung kann nur eine ungewisse zukünftige und nicht eine im Urteilszeitpunkt bereits bestehende Tatsache sein (Art. 151 OR). Ziffer 3 des Eheschutzurteils vom 19. November 2007 ist nach dem Gesagten derart auszulegen, dass damit bezüglich der rückwirkenden Unterhaltsbeiträge ausschliesslich die Höhe des Unterhaltsanspruchs und nicht auch der zu bezahlende Betrag festgelegt wurde. Mangels einer klaren Zahlungsverpflichtung in bestimmter Höhe kann gestützt auf dieses Urteil für die rückwirkenden Unterhaltsbeiträge nicht definitive Rechtsöffnung erteilt werden.
2.5 Würde das Eheschutzurteil als definitiver Rechtsöffnungstitel auch für die rückwirkenden Beiträge anerkannt, hätte dies zur Folge, dass der Beschwerdegegner zur Leistung der im Urteil bezifferten Beiträge verpflichtet ist und die Beschwerdeführerin hierfür die definitive Rechtsöffnung verlangen könnte, wie sie dies auch tut. Damit wäre aber gleichzeitig gesagt, dass im Zeitpunkt des Urteils noch keine Leistungen erbracht worden sind, denn eine getilgte Forderung darf nicht zu einem Leistungsurteil führen, das zur definitiven Rechtsöffnung berechtigt. Der Beschwerdegegner könnte die Einrede der Tilgung gemäss Art. 81 SchKG nicht erheben, weil nach dem klaren Wortlaut und Wortsinn von Art. 81 Abs. 1 SchKG Tilgung nur eingewendet werden kann, wenn diese nach Erlass des Urteils erfolgt ist. Tilgung vor dem Erlass des Urteils darf im Rechtsöffnungsverfahren nicht berücksichtigt werden, weil der Rechtsöffnungsrichter sonst den Rechtsöffnungstitel und die darin aufgeführte konkrete Zahlungsverpflichtung materiell überprüfen müsste (Daniel Staehelin, a.a.O., N. 2 und 5 zu Art. 81 SchKG; Peter Stücheli, Die Rechtsöffnung, Diss. Zürich 2000, S. 232). Vor Erlass des Urteils behauptete Tilgungen hat der Sachrichter zu berücksichtigen. Gestützt auf Art. 81 SchKG dürften daher frühere Leistungen nicht berücksichtigt werden, obwohl diese im behaupteten Rechtsöffnungstitel vorbehalten wurden. Aus all dem ergibt sich, dass das Eheschutzurteil vom 19. November 2007 nicht als definitiver Rechtsöffnungstitel anerkannt werden kann und das Obergericht des Kantons Aargau im Ergebnis nicht in Willkür verfallen ist, wenn es die Rechtsöffnung verweigert hat.
2.6 Wird die Rechtsöffnung verweigert, so bleibt dem Gläubiger die Möglichkeit, eine Anerkennungsklage beim Sachrichter im Sinne von Art. 79 Abs. 1 SchKG einzureichen, da die Verweigerung der Rechtsöffnung nur bedeutet, dass das Rechtsöffnungsverfahren nicht zum Ziel führen kann (vorne E. 2.3; FRITZSCHE/WALDER, Schuldbetreibung und Konkurs nach schweizerischem Recht, Bd. I, 3. Aufl. 1984, § 19 Die endgültige [definitive] Rechtsöffnung, S. 255 Rz. 29; vgl. DANIEL STAEHELIN, a.a.O., N. 13 zu Art. 79 SchKG).
2.7 Nach dem Gesagten muss die Beschwerde abgewiesen werden. Die Beschwerdeführerin wird damit kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner, der sich lediglich zur Gewährung der aufschiebenden Wirkung geäussert und dabei erfolglos deren Verweigerung beantragt hat, ist keine Entschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett