Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 21. März 2011 erteilte das Bezirksgericht Zürich (Besetzung: Ersatzrichterin Q._, Gerichtsschreiberin R._) der Betreibungsgläubigerin Z._ definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 4'304.-- nebst Zins in der gegen den Schuldner X._ gerichteten Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zürich ... (Zahlungsbefehl vom 21. Dezember 2010). Mit Verfügungen gleichen Datums wies das Bezirksgericht den Sistierungsantrag und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege von X._ ab. Die Rechtsöffnung erteilte es gestützt auf einen rechtskräftigen Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 25. Februar 2009 und eine rechtskräftige Ausweisungsverfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 16. September 2010, mit denen X._ jeweils zur Zahlung von Prozessentschädigungen verpflichtet worden war.
Bereits mit Verfügungen vom 15. März 2011 hatte das Bezirksgericht (Besetzung: Ersatzrichterin S._) die Ausstandsgesuche von X._ gegen Richterin Q._ und Gerichtsschreiberin R._ abgewiesen.
B. Gegen die Verfügungen vom 15. und 21. März 2011 sowie das Urteil vom 21. März 2011 erhob X._ am 18. April 2011 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Mit Beschluss vom 30. September 2011 wies das Obergericht sein Sistierungsgesuch und sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das obergerichtliche Verfahren ab (Besetzung: Oberrichter T._ und U._, Oberrichterin V._, Gerichtsschreiberin W._). Mit Urteil gleichen Datums und in der gleichen Besetzung wies es die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden konnte.
C. Am 4. November 2011 hat X._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 30. September 2011 erhoben. Er verlangt sinngemäss deren Aufhebung. Zudem seien die Kündigung und die betreffenden Beschlüsse des Obergerichts (unter anderem vom 25. Februar 2009) und die Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 16. September 2010 aufzuheben. Die Oberrichter T._ und U._, Oberrichterin V._ und Gerichtsschreiberin W._ seien befangen zu erklären und die Sache an ein unbefangenes Kollegium zurückzuweisen. Allenfalls solle das Bundesgericht über die gerügten Mängel selber entscheiden. Es sei auch festzustellen, dass er vor der Vorinstanz im Hinblick auf das Ausstandsbegehren gegen R._ obsiegt habe. Des Weiteren verlangt er aufschiebende Wirkung und die Sistierung des Verfahrens bis zum Abschluss eines Revisionsverfahrens und einer Strafuntersuchung. Schliesslich beantragt er unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Der Beschwerde ist mit Präsidialverfügung vom 22. November 2011 aufschiebende Wirkung zuerkannt worden, nachdem das Obergericht diesbezüglich auf Vernehmlassung verzichtet und Z._ (Beschwerdegegnerin) sich dem entsprechenden Gesuch widersetzt hat.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer verlangt die Sistierung des vorliegenden Verfahrens bis zur Erledigung eines Revisionsverfahrens und einer Strafuntersuchung. Sofern er sich auf das bundesgerichtliche Revisionsverfahren 4F_5/2011 beziehen sollte, so ist dieses mit abweisendem Urteil vom 5. April 2011 abgeschlossen worden. Er erläutert nicht, welches andere Revisionsverfahren gemeint sein könnte. Seine angebliche und unbelegte Strafanzeige scheint sich gegen die Beschwerdegegnerin zu richten, doch ist nicht ersichtlich, welche Auswirkungen die Anzeige auf das vorliegende Rechtsöffnungsverfahren haben könnte. Soweit er die verlangte Sistierung mit strafrechtlichen Vorwürfen gegenüber Gerichtsschreiberin W._ begründet, behauptet er nicht einmal, ein entsprechendes Strafverfahren sei hängig. Das Sistierungsgesuch ist folglich abzuweisen.
2. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1 S. 216 mit Hinweisen).
2.1 Umstritten ist die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung und damit eine streitwertabhängige Schuldbetreibungssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Die Vorinstanz hat den Streitwert mit Fr. 4'304.-- angegeben. Dieser Wert entspricht dem Betrag, für den das Bezirksgericht Rechtsöffnung erteilt hat und der vor der Vorinstanz umstritten war (Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG). Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers ist der Streitwert anderer Prozesse, die dem Rechtsöffnungsverfahren vorangegangen sind, nicht von Belang. Der erforderliche Streitwert der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) ist somit nicht erreicht. Der Beschwerdeführer bringt vor, es stellten sich verschiedene prozessuale Fragen grundsätzlicher Natur (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG). Die aufgeworfenen Fragen betreffen aber entweder Verfassungsrügen (insbesondere Ausstand) und können deshalb ohne weiteres in einer Verfassungsbeschwerde behandelt werden (BGE 134 I 184 E. 1.3.3 S. 188) oder es ist nicht ersichtlich, inwiefern ihre Beantwortung dringend erforderlich wäre (BGE 135 III 397 E. 1.2 S. 399 mit Hinweisen). Seine Eingabe ist folglich als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (Art. 113 BGG).
2.2 Der Verfahrensgegenstand ist auf die definitive Rechtsöffnung beschränkt. Der Beschwerdeführer kann nicht die Aufhebung von Urteilen aus anderen Verfahren verlangen, insbesondere nicht von denjenigen, die als Rechtsöffnungstitel dienen. Soweit er dies beantragt, ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten.
2.2 Der Verfahrensgegenstand ist auf die definitive Rechtsöffnung beschränkt. Der Beschwerdeführer kann nicht die Aufhebung von Urteilen aus anderen Verfahren verlangen, insbesondere nicht von denjenigen, die als Rechtsöffnungstitel dienen. Soweit er dies beantragt, ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten.
2.3 2.3.1 Mit Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Bei Verfassungsrügen gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Verfassungsrügen müssen in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88; 135 III 397 E. 1.4 S. 400 f.). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 135 III 232 E. 1.2 S. 234 mit Hinweisen).
2.3.2 Die Beschwerde genügt diesen Begründungsanforderungen nicht. Der Beschwerdeführer verlangt den Ausstand aller am angefochtenen Urteil beteiligten Personen, begründet dies jedoch nicht. Er rügt des Weiteren, es sei unklar, welche Obergerichtsschreiberin mitgewirkt habe, da in den Akten teilweise Y._ genannt werde und andernorts W._. Was er daraus ableiten will, ist unklar, da die gerichtlichen Urkunden jeweils von W._ unterzeichnet sind und die Bezeichnung der referierenden Gerichtsschreiberin auf dem Aktendeckel handschriftlich korrigiert wurde. Welches verfassungsmässige Recht ferner dadurch verletzt worden sein soll, dass das Urteil nicht auch von einem Richter unterzeichnet wurde, legt er nicht dar. Auf die zahlreichen Rügen der Verletzung von einfachem Gesetzesrecht des Bundes und des Kantons kann von vornherein nicht eingetreten werden (Art. 116 BGG). In der wiederholten und undifferenzierten Anrufung verschiedener Verfassungsnormen (insbesondere des Gebots von Treu und Glauben gemäss Art. 9 BV, der Rechtsverweigerung gemäss Art. 29 Abs. 1 BV und der Begründungspflicht als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs gemäss Art. 29 Abs. 2 BV) und in der kategorischen Bestreitung der vorinstanzlichen Rechtsauffassung liegt noch keine genügende Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Urteils. So kritisiert er beispielsweise in kaum nachvollziehbarer Weise einen angeblich zu Unrecht unterlassenen Aktenbeizug der Vorinstanz. Ausserdem rügt er etwa in allgemeiner Weise das Vorgehen des Bezirksgerichts bei der Beurteilung seines Ablehnungsgesuchs, z.B. dass das Verfahren trotz Ausstandsgesuch weitergeführt worden sei oder dass mit S._ eine "Nicht-Richterin" über den Ausstand befunden habe. Er setzt sich aber nicht genügend mit den diesbezüglichen Erwägungen des Obergerichts auseinander und erschöpft sich im Wesentlichen darin, dem Bezirksgericht fehlende Unabhängigkeit vorzuwerfen. Was seinen Antrag auf Feststellung betrifft, er habe vor der Vorinstanz obsiegt mit dem Begehren auf Feststellung, gegen R._ gar kein Ausstandsgesuch gestellt zu haben, so geht er nicht darauf ein, dass die Vorinstanz mangels Beschwer nicht auf seinen Antrag eingetreten ist. Auf die Beschwerde kann insgesamt nicht eingetreten werden.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde war von Anfang an aussichtslos, weshalb sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Der Sistierungsantrag wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zingg