Sachverhalt:
A. X._ reichte am 26. September 2003 ein Unterstützungsgesuch bei der Sozialhilfe der Stadt Basel ein. In der Folge wurde sie ab Oktober 2003 von dieser Behörde finanziell unterstützt. Zwischen Oktober 2003 und dem 16. Oktober 2007 arbeitete sie im Stundenlohn als Raumpflegerin. Weiter beteiligte sie sich zwischen August 2004 und Juni 2006 als Probandin an einer medizinischen Studie und erhielt in diesem Zusammenhang Entgelt unter dem Titel "Probandenlohn". Die Zusatzeinkommen verschwieg sie der Sozialhilfe. Dies obschon sie am 1. Oktober 2003 ihre gesetzliche Pflicht, Einkommen aus Nebenverdienst zu melden, unterschriftlich zur Kenntnis genommen hatte. Am 16. März 2007 unterzeichnete sie zudem eine Erklärung, wonach sie sich verpflichtete, die Sozialhilfe über finanzielle Veränderungen, insbesondere Einkommen und Einnahmen aller Art, unverzüglich und unaufgefordert zu informieren. Sie wurde von den Mitarbeitern der Sozialhilfe schliesslich wiederholt gefragt, ob sie gearbeitet hatte. Die Sozialhilfe verfügte am 14. August 2008 die Rückerstattung der unrechtmässig bezogenen Sozialhilfeleistungen von Fr. 18'549.80.
B. Die Strafgerichtspräsidentin Basel-Stadt verurteilte X._ am 30. Juni 2010 wegen mehrfachen Betrugs zu einer bedingten Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu Fr. 20.--. Auf Appellation von X._ hin bestätigte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 25. April 2012 den erstinstanzlichen Schuldspruch. Die bedingte Geldstrafe reduzierte es auf 100 Tagessätze zu Fr. 20.--.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil vom 25. April 2012 aufzuheben und sie vollumfänglich freizusprechen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin rügt, die Missachtung einer Melde- oder Aufklärungspflicht stelle eine Unterlassung dar, die mangels Garantenstellung nicht strafbar sei. § 14 Abs. 1 des Sozialhilfegesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 29. Juni 2000 (SHG/BS) begründe keine Garantenpflicht zum Schutz des Vermögens des Gemeinwesens. Eine Garantenstellung ergebe sich auch nicht aus dem von ihr unterzeichneten Zusammenarbeitsvertrag. Sie habe durch ihre Unterschrift einzig bestätigt, dass sie die gesetzliche Mitteilungspflicht kenne (Beschwerde S. 4-6).
1.2 Den Tatbestand des Betruges im Sinne von Art. 146 Abs. 1 StGB erfüllt, wer in der Absicht, sich oder einen andern unrechtmässig zu bereichern, jemanden durch Vorspiegelung oder Unterdrückung von Tatsachen arglistig irreführt oder ihn in einem Irrtum arglistig bestärkt und so den Irrenden zu einem Verhalten bestimmt, wodurch dieser sich selbst oder einen andern am Vermögen schädigt.
Angriffsmittel beim Betrug ist die Täuschung des Opfers. Als Täuschung gilt jedes Verhalten, das darauf gerichtet ist, bei einem andern eine von der Wirklichkeit abweichende Vorstellung hervorzurufen (BGE 135 IV 76 E. 5.1 mit Hinweisen). Die Täuschung im Sinne von Art. 146 Abs. 1 StGB kann durch konkludentes Handeln erfolgen. Die Rechtsprechung bejaht dies, wenn der Bezüger von Versicherungsleistungen, die nur bedürftigen Personen zustehen, auf eine Anfrage der zuständigen Behörde hin betreffend seine wirtschaftliche Lage nur einen von ihr verlangten Kontoauszug vorlegt, obwohl er auf einem anderen Konto, welches er nie angegeben hat, ein beachtliches Vermögen besitzt (BGE 127 IV 163 E. 2). Unvollständige Angaben eines Sozialhilfebezügers, die ein falsches Gesamtbild entstehen lassen bzw. dieses bekräftigen, kommen einer aktiven Irreführung durch konkludentes Handeln gleich (BGE 131 IV 83 E. 2.2 in fine).
1.3 Die Vorinstanz geht zu Recht von einer aktiven Irreführung der Sozialhilfebehörde aus. Die Beschwerdeführerin kannte ihre Mitwirkungspflicht. Sie wurde von Mitarbeitern der Sozialhilfe wiederholt gefragt, ob sie gearbeitet hatte. Sie bestätigte namentlich durch die Unterzeichnung der Budgetverfügungen (kant. Akten, Urk. 60 ff.; erstinstanzliches Urteil E. 1 S. 3), der Sozialhilfe sämtliche Einnahmen gemeldet zu haben. Indem sie dieser gegenüber wahrheitswidrige Angaben machte bzw. auf deren Anfrage hin die Einkommen aus ihrer Tätigkeit als Raumpflegerin und Probandin der medizinischen Studie nicht deklarierte, täuschte sie diese zumindest durch konkludentes Handeln aktiv. Eine Garantenstellung der Beschwerdeführerin zum Schutz des Vermögens des Gemeinwesens ist nicht Tatbestandsvoraussetzung, da kein sog. unechtes Unterlassungsdelikt geahndet wird. Die Rüge ist unbegründet.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin beanstandet, die Probandenentschädigung sei kein Einkommen, sondern eine Genugtuung, welche gemäss Merkblatt der Sozialhilfe nicht anzugeben sei (Beschwerde S. 7 f.).
2.2 Die Vorinstanz erwägt, beim "Probandenlohn" handle es sich um eine Entschädigung für eine erbrachte Leistung. Selbst wenn man diese teilweise als Risikoentschädigung qualifizieren würde, wäre sie mit anderen Inkonvenienzentschädigungen wie z.B. einer Schichtentschädigung vergleichbar. Dass Schicht- und andere Inkonvenienzentschädigungen als anrechenbare Einkünfte zu deklarieren seien, ergebe sich unzweifelhaft aus dem Merkblatt (Urteil S. 5).
2.3 Für die Ausrichtung von Sozialhilfeleistungen gilt kantonales Recht (BGE 138 V 310 E. 2.2). Gemäss § 7 Abs. 3 SHG/BS regelt das zuständige Departement nach Rücksprache mit den Gemeinden das Mass der wirtschaftlichen Hilfe. Es orientiert sich dabei an den Richtlinien der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe (§ 7 Abs. 3 Satz 2 SHG/BS).
2.4 Das Bundesgericht überprüft die Auslegung und Anwendung kantonalen Rechts - von hier nicht relevanten Ausnahmen abgesehen - nur unter dem beschränkten Gesichtswinkel der Willkür (vgl. Art. 95 BGG; BGE 138 IV 13 E. 2). Für die Rüge der Willkür gelten erhöhte Begründungsanforderungen (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 138 I 171 E. 1.4 mit Hinweisen). Die Rüge der Beschwerdeführerin genügt diesen Anforderungen nicht. Sie zeigt nicht auf, was Gegenstand der medizinischen Studie war, an der sie als Probandin teilnahm. Nicht ersichtlich ist daher, worin die angebliche Beeinträchtigung bestand und wie diese im Verhältnis zur Höhe der Entschädigung steht. Auch setzt sie sich mit der Rechtslage und den Ausführungen der Vorinstanz nicht näher auseinander. Sie stützt sich einzig auf ein Urteil des Sozialgerichts Düsseldorf vom 20. November 2007, das deutsches Recht betrifft. Im erwähnten Entscheid waren zudem "Aufwandentschädigungen" für die Teilnahme an einer medizinischen Studie und nicht wie vorliegend Zahlungen unter dem Titel "Probandenlohn" (vgl. kant. Akten, Urk. 52 ff.) zu beurteilen. Auf die ungenügend begründete Rüge ist nicht einzutreten.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin wendet ein, die Vorinstanz gehe zu Unrecht von einem Deliktsbetrag von Fr. 18'549.80 aus. Der Schaden bestehe in der Differenz zwischen der empfangenen Leistung und der Leistung, zu der sie bei Beachtung sämtlicher Vorschriften berechtigt gewesen wäre. Die Sozialhilfe habe wegen des Verstosses gegen die Meldepflicht bei der Berechnung des Rückerstattungsanspruchs den Freibetrag gekürzt. Dies möge sozialhilferechtlich gesehen korrekt sein, überzeuge strafrechtlich jedoch nicht. In Berücksichtigung der Freibeträge von Fr. 100.-- bzw. Fr. 150.-- pro Monat reduziere sich der Deliktsbetrag um rund einen Drittel, was bei der Strafzumessung gewichtet werden müsse (Beschwerde S. 8 f.).
3.2 Die Vorinstanz argumentiert, der Deliktsbetrag sei nur eines von zahlreichen anderen Strafzumessungskriterien. Ins Gewicht falle hauptsächlich, dass die Beschwerdeführerin ihre Einkünfte über einen sehr langen Zeitraum verheimlicht habe. Eine Reduktion der erstinstanzlich ausgesprochenen Strafe würde sich deshalb auch bei einer Berücksichtigung eines Freibetrages nicht aufdrängen. Aufgrund der langen Verfahrensdauer reduziert sie die erstinstanzliche Geldstrafe von 120 auf 100 Tagessätze (Urteil S. 5 f.).
3.3 Daraus ergibt sich, dass die Vorinstanz die Strafe auch in Berücksichtigung der Freibeträge für angemessen erachtete und diesen damit Rechnung trug. Das Sachgericht verfügt auf dem Gebiet der Strafzumessung über einen Ermessensspielraum. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde in Strafsachen hin nur ein, wenn die Vorinstanz den gesetzlichen Strafrahmen über- oder unterschritten hat, wenn sie von rechtlich nicht massgebenden Kriterien ausgegangen ist oder wesentliche Gesichtspunkte ausser Acht gelassen bzw. durch Überschreitung oder Missbrauch ihres Ermessens falsch gewichtet hat (BGE 136 IV 55 E. 5.6; 135 IV 130 E. 5.3.1; 134 IV 17 E. 2.1). Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, die bedingte Geldstrafe von 100 Tagessätzen sei im Ergebnis unangemessen.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der finanziellen Lage der Beschwerdeführerin ist bei der Festsetzung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Januar 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld