Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft, Hauptabteilung Arlesheim, führt gegen X._ eine Strafuntersuchung wegen Drohung, Nötigung, Beschimpfung, Tätlichkeiten, Missbrauch des Telefons sowie Ungehorsam gegen amtliche Verfügungen. Am 9. Juli 2011 wurde X._ in Untersuchungshaft versetzt. Mit Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts Basel-Landschaft vom 26. August 2011 wurde die Untersuchungshaft auf Antrag der Staatsanwaltschaft gestützt auf den Haftgrund der Ausführungsgefahr für die Dauer von drei Monaten bis zum 23. November 2011 verlängert. Die von X._ gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Basel-Landschaft mit Beschluss vom 11. Oktober 2011 gut, hob den Entscheid des Zwangsmassnahmengerichts auf und ordnete die unverzügliche Haftentlassung von X._ unter Festsetzung von Ersatzmassnahmen an.
B. Mit Verfügung vom 6. September 2011 erteilte die Staatsanwaltschaft Dr. med. Karen Fürstenau den Auftrag zur psychiatrischen Begutachtung von X._. Mit Verfügung vom 26. September 2011 wies die Staatsanwaltschaft die Beweisanträge von X._ vom 19. September 2011 ab, im Rahmen der Begutachtung auf die Fragen zur Rückfallgefahr zu verzichten, der Gutachterin hingegen konkrete Fragen zur Ausführungsgefahr zu unterbreiten. Zur Begründung führte die Staatsanwaltschaft aus, das forensisch-psychiatrische Vorabgutachten von Dr. med. Karen Fürstenau vom 5. August 2011 habe sich auf die Frage der Ausführungsgefahr der von X._ angedrohten Straftaten (Tötung der ehemaligen Lebenspartnerin und der gemeinsamen Kinder respektive Entführung der Kinder) beschränkt und hierzu detailliert Stellung genommen, weshalb sich insoweit eine erneute Begutachtung erübrige. Demgegenüber solle mit dem Begutachtungsauftrag vom 6. September 2011 die Rückfallgefahr bezüglich der dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Taten abgeklärt werden.
Diese Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 26. September 2011 focht X._ mit Eingabe vom 10. Oktober 2011 beim Kantonsgericht an, welches mit Beschluss vom 6. Dezember 2011 nicht auf die Beschwerde eintrat. Die Verfahrenskosten des Beschwerdeverfahrens von insgesamt Fr. 550.-- auferlegte es X._. Dessen Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege wies es ab. Zur Begründung führte das Kantonsgericht aus, die Staatsanwaltschaft habe über die im Vorabgutachten vom 5. August 2011 abgeklärte Frage der Ausführungsgefahr keinen erneuten Beweis führen müssen, zumal der Beschwerdeführer in seinen Eingaben jeweils ausdrücklich festgehalten habe, das Vorabgutachten beruhe auf einer sorgfältigen Untersuchung, sei umfassend und in sich schlüssig. Der Beschwerdeführer habe seine Rüge, das Zwangsmassnahmengericht habe aus dem Vorabgutachten in rechtlicher Hinsicht nicht die korrekten Schlüsse gezogen, richtigerweise mit Beschwerde gegen den Haftentscheid des Zwangsmassnahmengerichts vom 26. August 2011 vorgebracht (vgl. Sachverhalt lit. A). In Bezug auf die Tatbestände der vorliegenden Strafuntersuchung seien die Zusatzfragen des Beschwerdeführers zur Ausführungsgefahr hingegen nicht relevant. Mangels Beschwer sei daher nicht auf die Beschwerde einzutreten. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend habe der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten zu tragen. Infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde könne die amtliche Verteidigung für das Beschwerdeverfahren nicht bewilligt werden.
C. Mit Eingabe vom 1. Februar 2012 erhebt X._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht sinngemäss mit den Anträgen, der Beschluss des Kantonsgerichts vom 6. Dezember 2011 sei in Bezug auf die Kostenauflage und die Verweigerung der amtlichen Verteidigung aufzuheben. Die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, um den Zeitaufwand des Rechtsvertreters für das Beschwerdeverfahren festzustellen. Des Weiteren beantragt X._ die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Zur Begründung führt der Beschwerdeführer aus, die Vorinstanz sei in Verletzung von Bundesrecht von der Aussichtslosigkeit seiner Beschwerde ausgegangen. Er habe sich zum Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung am 10. Oktober 2011 noch in Untersuchungshaft befunden, weshalb er ein Interesse gehabt habe, der Gutachterin Ergänzungsfragen zum Haftgrund der Ausführungsgefahr unterbreiten zu lassen. Seine Beschwerde an die Vorinstanz sei erst während des laufenden Beschwerdeverfahrens - nämlich mit Rechtskraft des Haftentlassungsentscheids des Kantonsgerichts vom 11. Oktober 2011 - gegenstandslos geworden. Die Beschwerde sei somit nicht von vorneherein aussichtslos gewesen.
Das Kantonsgericht beantragt in seiner Vernehmlassung, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft verzichtet auf eine Stellungnahme. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Kenntnisnahme zugestellt.
Erwägungen:
1. 1.1 Mit dem angefochtenen Beschluss trat die Vorinstanz auf eine Beschwerde des Beschwerdeführers gegen die Abweisung von Beweisanträgen durch die Staatsanwaltschaft nicht ein, auferlegte dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten und verweigerte ihm die unentgeltliche Rechtspflege. Der Beschluss schliesst das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht ab; es handelt sich daher um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid. Gegen einen Zwischenentscheid, der weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betrifft (vgl. Art. 92 BGG), ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder - was indes hier von vorneherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Soweit der Zwischenentscheid mit Beschwerde in Strafsachen anzufechten ist, muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht bloss tatsächlicher, sondern rechtlicher Natur sein. Dabei ist es Sache des Beschwerdeführers darzutun, dass die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG erfüllt sind, sofern dies nicht offenkundig ist (BGE 133 III 629 E. 2.3 S. 632).
1.2 Der Beschwerdeführer legt nicht dar und es ist auch nicht ersichtlich, dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Zwar kann nach der Rechtsprechung die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege mit irreparablen Nachteilen verbunden sein (BGE 133 IV 335 E. 4 S. 338). Mit dem angefochtenen Beschluss wurde die amtliche Verteidigung einzig fürs Beschwerdeverfahren betreffend die Abweisung von Beweisanträgen verweigert; der Entscheid bezieht sich hingegen nicht aufs Hauptverfahren. Da das kantonale Beschwerdeverfahren abgeschlossen ist, droht nicht die Gefahr, dass der Beschwerdeführer durch die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege seine Rechte nicht wahrnehmen kann. Vielmehr geht es - wie auch der Antrag des Beschwerdeführers auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Feststellung des Zeitaufwands des Rechtsvertreters für das Beschwerdeverfahren deutlich macht - einzig um die nachträglich zu beantwortende Frage, von wem der Rechtsvertreter für sein Tätigwerden im Beschwerdeverfahren honoriert wird. Dem Beschwerdeführer steht es offen, seine Rügen der zu Unrecht verweigerten unentgeltlichen Rechtspflege und der rechtswidrigen Kostenauflage mit Beschwerde gegen den Endentscheid vorzubringen (Art. 93 Abs. 3 BGG). Sollte das kantonale Verfahren mit einem für ihn günstigen Entscheid enden, können die beiden streitigen Punkte unmittelbar im Anschluss an den unterinstanzlichen Entscheid mit Beschwerde beim Bundesgericht angefochten werden (vgl. zum Ganzen BGE 133 V 645 E. 2.2. S. 647 f.).
2. Nach dem Gesagten kann der angefochtene Zwischenentscheid für den Beschwerdeführer keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bewirken. Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen (Art. 64 BGG). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 und Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. April 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner