Faits:
A. Par avis du 24 février 2009, le contrôle des habitants de la commune de Lausanne a informé son homologue de la commune de A._ du départ de X._, née en 1946, qui avait quitté son domicile lausannois pour la rue B._, sur le territoire de cette dernière commune. L'avis précisait que la prénommée était séparée de son époux, Y._.
Le 14 juillet 2009, X._ s'est entretenue avec C._ et D._, respectivement syndic et municipal de A._. Ces derniers lui ont alors indiqué que si elle ne dormait pas sur le territoire de la commune, elle ne pouvait y avoir son domicile. Or, il apparaissait que l'adresse indiquée ne correspondait qu'à une boîte aux lettres, la prénommée ne disposant pas d'un accès à la maison. Un procès-verbal de cet entretien a été signé par les participants.
Le 16 juillet 2009, l'intéressée a précisé qu'elle était en conflit avec son frère, E._, principalement pour des questions successorales, et que l'interdiction qui lui était faite d'accéder à l'immeuble en cause en était la conséquence. Par courrier du même jour, le prénommé a en substance confirmé aux autorités communales l'existence d'un conflit avec sa s?ur et affirmé que celle-ci n'avait aucun accès à la maison familiale.
Par courrier du 26 août 2009, le contrôle des habitants de A._ a invité l'intéressée à annoncer son départ, dès lors que, selon ses informations, elle ne résidait de fait pas sur le territoire de la commune. Cette dernière a manifesté son refus par lettre du 15 septembre 2009.
Le 21 novembre 2009, E._ a transmis aux autorités communales une ordonnance de mesures provisionnelles rendue le 16 juin 2009 par le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte dans le cadre de l'action en partage intentée par X._ contre lui. Dans ce prononcé, le magistrat précité a rejeté la requête de cette dernière tendant entre autres conclusions à ce qu'il soit ordonné à son frère de lui laisser libre accès à l'immeuble successoral sis à la rue B._ à A._. Il a considéré notamment ce qui suit:
«[...] il n'apparaît en revanche pas que la requérante se trouve dans une situation d'urgence s'agissant de son logement. Le fait de déposer ses papiers dans la commune de A._ ne signifie pas pour autant que la requérante y ait séjourné et l'on ignore dans quelle mesure elle a occupé l'immeuble successoral et ce qu'elle y a déposé. Aussi douteuse soit-elle, la séparation de la requérante d'avec son époux début février 2009 s'est faite de manière amiable, de sorte qu'elle a conservé la clé de l'appartement conjugal, est libre d'y aller et venir, de s'y restaurer et de se reposer. Rien ne l'empêche donc d'y dormir la nuit. Ni le témoignage de la voisine, Mme F._, selon laquelle celle-ci aurait hébergé la requérante dernièrement quatre à cinq fois, ni les déclarations de cette dernière selon laquelle elle dormirait dans sa voiture, ne sont crédibles.
[...] Jusqu'à ce qu'il soit vaguement occupé dans une mesure indéterminée par la requérante, l'immeuble successoral était à l'abandon. L'intimé n'y a fait que déposer ses peintures. On veut bien admettre qu'il soit utilisé ainsi, les frais étant partagés ultérieurement selon les indications du notaire. En revanche, si un membre de l'hoirie devait en prendre possession d'une autre manière, le président interdirait à quiconque d'occuper l'immeuble.»
Le 22 janvier 2010, le contrôle des habitants de la commune de A._ a fait savoir à X._ qu'il la radiait du registre des habitants.
B. A l'encontre de ce prononcé, X._ a interjeté un recours auprès de la municipalité de A._, lequel a été rejeté par décision du 31 mars 2010.
X._ a déféré cette décision à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui l'a déboutée par arrêt du 20 juin 2011. Les juges cantonaux ont considéré qu'au vu de l'ordonnance du 16 juin 2009, la prénommée n'était pas en droit d'occuper l'immeuble où elle prétendait résider à A._. En outre, rien au dossier ne permettait d'affirmer que sa séparation d'avec son mari était effective et que, si tel était le cas, elle n'avait plus accès à son domicile de Lausanne. Dans ces conditions, X._ n'avait pas établi qu'elle avait la possibilité ni même la ferme intention de résider durablement sur le territoire de ladite commune et c'était à bon droit qu'elle avait été radiée du registre des habitants, même si elle affirmait y avoir le centre de ses intérêts.
C. Par acte daté du 22 juillet 2011, X._ a interjeté recours au Tribunal fédéral contre cet arrêt, dont elle demande l'annulation. Elle a également requis, en substance, que son recours soit doté de l'effet suspensif. Dans une écriture du 5 septembre 2011, elle a en outre demandé à être dispensée du versement de l'avance de frais.
L'autorité précédente s'en remet à justice quant au sort du recours. La municipalité de A._ conclut à son rejet, sous suite de frais et dépens. Le contrôle des habitants ne s'est pas déterminé.
Par ordonnance présidentielle du 8 septembre 2011, la requête d'effet suspensif a été admise.
Considérant en droit:
1. 1.1 La recourante n'a pas intitulé son acte. Cette imprécision ne saurait lui nuire si son recours remplit les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (cf. ATF 136 II 497 consid. 3.1 p. 499).
1.2 Formellement, la recourante conclut uniquement à l'annulation de la décision attaquée. Il ressort toutefois de la motivation du recours - notamment du passage interprété comme une requête d'effet suspensif - qu'elle demande au surplus à être réinscrite au registre des habitants de A._.
1.3 Interjeté par une partie directement touchée par la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (cf. art. 89 al. 1 LTF), le recours, dirigé contre un jugement final (cf. art. 90 LTF) rendu dans une cause de droit public (cf. art. 82 let. a LTF) par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), est en principe recevable comme recours en matière de droit public, puisqu'il a été déposé dans le délai (cf. art. 100 al. 1 LTF) et - sous réserve des considérants suivants - en la forme (cf. art. 42 LTF) prévus par la loi et ne tombe sous aucune des exceptions mentionnées à l'art. 83 LTF.
1.4 Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF s'agissant des droits fondamentaux. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitrairement au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 III 393 consid. 7.1 p. 398) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). D'une manière générale, la correction du vice doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF). S'agissant de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 135 V 2 consid. 1.3; 134 I 140 consid. 5.4). Le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergeant de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal de céans n'entre pas en matière sur des critiques appellatoires portant sur l'état de fait ou l'appréciation des preuves (cf. ATF 135 III 397 consid 1.4 p. 400).
1.5 Selon l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente.
En l'occurrence, la recourante allègue des faits nouveaux qui ne peuvent être pris en considération au vu de ce qui précède. Le Tribunal de céans s'en tiendra par conséquent aux faits ressortant de l'arrêt attaqué.
2. 2.1 Depuis l'entrée en vigueur (échelonnée entre le 1er novembre 2006 et le 1er janvier 2008) de la loi fédérale du 23 juin 2006 sur l'harmonisation des registres des habitants et d'autres registres officiels de personnes (loi sur l'harmonisation de registres, LHR; RS 431.02), les registres communaux des habitants ne sont plus seulement régis par le droit cantonal et communal, à savoir en l'occurrence la loi vaudoise du 9 mai 1983 sur le contrôle des habitants (LCH; RS/VD 142.01) et son règlement d'application du 28 décembre 1983 (RLCH; RS/VD 142.01.1), mais également par ladite loi (art. 2 al. 2 let. a LHR), ainsi que par l'ordonnance fédérale du 21 novembre 2007 sur l'harmonisation de registres (OHR; RS 431.021). Selon la loi vaudoise du 2 février 2010 d'application de la loi fédérale du 23 juin 2006 sur l'harmonisation des registres des habitants et d'autres registres officiels de personnes (LVLHR; RS/VD 431.02; entrée en vigueur le 1er mai 2010), le contenu et la gestion du registre communal des habitants sont toutefois déterminés par la LCH et son règlement d'application (art. 2 al. 2 LVLHR).
2.2 Selon l'art. 1er LCH, le contrôle des habitants des communes est destiné à fournir aux administrations publiques les renseignements dont elles ont besoin sur l'identité, l'état civil et le lieu d'établissement ou de séjour des personnes résidant plus de trois mois sur le territoire communal (al. 1).
Intitulé "Déclaration d'arrivée", l'art. 3 al. 1 LCH prévoit que quiconque réside plus de trois mois consécutifs ou plus de trois mois par an dans une commune du canton est tenu d'y annoncer son arrivée.
Sous le titre "Lieu d'enregistrement", l'art. 3 RLCH dispose qu'à l'exception des détenus, toute personne, y compris les mineurs et les interdits, doit être annoncée et inscrite à son lieu de résidence effective, quel que soit le lieu de son domicile civil.
D'après l'art. 9 al. 2 LCH, le bureau compétent indique en particulier si la personne est établie dans la commune ou si elle ne fait qu'y séjourner. Une personne est réputée établie à l'endroit où le contrôle des habitants a procédé à son inscription en résidence principale et, à défaut d'une telle inscription, à l'endroit où se trouve le centre de ses intérêts (lieu de résidence principal). Il ne peut y avoir qu'un lieu d'établissement (art. 9 al. 2 LCH).
Sous le titre "Déclaration de départ", l'art. 6 LCH dispose que celui qui cesse de résider dans la commune ou dont la durée du séjour n'atteint plus trois mois par an est tenu d'annoncer sans délai son départ, la date de celui-ci et sa destination.
2.3 La loi fédérale sur l'harmonisation de registres définit la commune d'établissement comme celle dans laquelle une personne réside, de façon reconnaissable pour des tiers, avec l'intention d'y vivre durablement et d'y avoir le centre de ses intérêts personnels. Une personne est réputée établie dans la commune où elle a déposé le document requis. Elle ne peut avoir qu'une commune d'établissement (art. 3 let. b 1ère phr.). La commune de séjour est celle dans laquelle une personne réside dans un but particulier sans intention d'y vivre durablement, mais pour une durée d'au moins trois mois consécutifs ou répartis sur une même année; il s'agit notamment de la commune dans laquelle une personne séjourne pour y fréquenter les écoles ou se trouve placée dans un établissement d'éducation, un hospice, un hôpital ou une maison de détention (art. 3 let. c LHR).
2.4 L'établissement (au sens large) est une notion de police qui désigne la résidence (ou établissement au sens étroit, cf. arrêt 2C_478/2008 du 23 septembre 2008 consid. 4.4) ou le séjour, policièrement réguliers, d'une personne en un lieu déterminé (Aubert/Mahon, Petit commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse, 2003, no 6 ad art. 24 Cst. et les références).
3. 3.1 En l'occurrence, la recourante qualifie la décision attaquée d'arbitraire à plusieurs égards. Le grief n'est toutefois pas formulé de manière conforme aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF mentionnées ci-dessus (consid. 1.4), étant rappelé qu'il ne suffit pas de qualifier de la sorte une constatation de fait ou l'appréciation des preuves de l'autorité précédente, mais qu'il faut exposer de manière circonstanciée en quoi cette constatation ou appréciation est arbitraire au sens indiqué ci-dessus. Pour l'essentiel, la recourante se limite à opposer sa propre version des faits à celle retenue dans la décision attaquée, procédé qui serait peut-être admissible dans le cadre d'une procédure d'appel, mais qui n'est pas conforme aux exigences auxquelles la LTF soumet les recours au Tribunal fédéral. Dans ces conditions, il est douteux que le recours soit suffisamment motivé pour être recevable, ce d'autant que la recourante n'évoque en aucune manière les dispositions cantonales sur lesquelles la décision attaquée repose. La question de la recevabilité peut toutefois demeurer ouverte, du moment que le recours est de toute manière mal fondé, pour les motifs suivants.
3.2 Jusqu'au terme de la procédure de partage, l'immeuble de la rue B._ à A._ est la propriété commune, en indivision, des héritiers (cf. art. 602 al. 1 et 2 CC), de sorte que la recourante ne peut en jouir sans l'accord de son frère, avec qui elle se trouve précisément en litige. La recourante a certes requis qu'il soit ordonné à ce dernier, à titre provisionnel, de lui laisser libre accès à l'immeuble en cause, mais cette requête a été rejetée par ordonnance du Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte du 16 juin 2009. Selon la motivation de ladite ordonnance, s'il est admissible que les intéressés continuent d'utiliser le bâtiment comme ils l'ont fait jusque-là - c'est-à-dire en l'occupant "vaguement dans une mesure indéterminée" pour ce qui est de la recourante et en y déposant ses peintures s'agissant de son frère -, il est en revanche exclu que l'un d'eux "en prenne possession d'une autre manière", auquel cas le Président du Tribunal civil "interdirait à quiconque d'occuper l'immeuble". Quoi qu'en dise la recourante, le prononcé en question ne l'autorise ainsi pas à occuper librement le bâtiment en question et à y habiter. Dans ces conditions, on ne saurait dire que la recourante se soit établie de manière policièrement régulière en ce lieu et, partant, c'est à juste titre que l'autorité précédente a confirmé sa radiation du registre des habitants de la commune de A._.
4. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire est rejetée (cf. art. 64 al. 1 LTF).
La recourante, qui succombe, supportera les frais de justice (cf. art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (cf. art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué à la recourante, au contrôle des habitants de la commune de A._, au mandataire de la municipalité de A._ et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 13 décembre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Vianin