Faits:
A. Le 4 mars 2004, A.X._, citoyen colombien, alors au bénéfice d'une autorisation de séjour à la suite de son mariage avec B._, ressortissante suisse, a sollicité une telle autorisation en faveur de son fils, C.X._, de nationalité colombienne, né en Suisse en 2001 de sa relation avec Y._, ressortissante équatorienne en situation irrégulière sur le territoire helvétique, pour qu'il vive auprès de lui.
Dans une écriture du 15 juin 2004 cosignée par son épouse, A.X._ a expliqué qu'il avait eu une liaison avec la prénommée durant son séjour en France en 2000, que cette relation avait pris fin avant la naissance de leur fils, qu'il l'avait rencontrée par hasard à Lausanne en 2003, qu'il avait alors décidé de reconnaître son fils, qu'il faisait son possible pour que celui-ci obtienne une autorisation de séjour et qu'il avait proposé à Y._ de prendre leur fils sous son toit et d'assumer tous les frais liés à ce dernier. Par lettre du 2 août 2004, cette dernière a consenti à ce que son fils vive avec son père, afin qu'il puisse obtenir une autorisation d'établissement.
Par courrier du 15 août 2004, A.X._ a indiqué au Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population) que son fils vivait avec lui depuis le 15 février 2004 et que Y._ pouvait venir le prendre quand elle le désirait.
Le 24 septembre 2004, Y._ a rempli un rapport d'arrivée, dans lequel elle a déclaré souhaiter obtenir une autorisation de séjour d'une durée illimitée. Dans des écritures des 24 et 27 septembre 2004, elle a exposé être arrivée en Suisse en 1997, avoir toujours vécu dans ce pays depuis lors, subvenir entièrement à ses besoins et n'avoir jamais eu recours aux services sociaux. Elle a encore précisé que son fils était né à Lausanne, qu'il ne pouvait vivre séparé ni de son père ni de sa mère, qu'il était bilingue, qu'il avait toutes ses attaches sur territoire helvétique, qu'elle-même s'exprimait couramment en français, qu'elle était parfaitement intégrée en Suisse et qu'il lui était impossible de retourner vivre en Equateur.
Le 25 janvier 2006 est née D._, fille des époux A.X._ et B._.
Le 21 décembre 2006, le Service de la population a informé Y._ qu'il était disposé à lui délivrer une autorisation de séjour fondée sur l'art. 13 let. f de l'ordonnance du 6 octobre 1986 limitant le nombre des étrangers (OLE; RO 1986 1791 et les modifications ultérieures; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007) et a transmis le dossier à l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) pour décision.
Par décision du 10 avril 2007, l'Office fédéral a refusé de mettre C.X._ et sa mère au bénéfice d'une exception aux mesures de limitation, prononcé qui a été confirmé par arrêt du Tribunal administratif fédéral du 24 novembre 2007.
B. Ayant entre-temps obtenu une autorisation d'établissement, A.X._ a déposé auprès du Service de la population, le 14 août 2007, une demande de regroupement familial pour son fils, fondée sur l'art. 17 al. 2 de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113 et les modifications ultérieures; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007).
Le 18 juin 2008, les époux A.X._ et B._ se sont séparés.
Par décision du 19 décembre 2008, le Service de la population a refusé de délivrer une autorisation de séjour par regroupement familial en faveur de C.X._.
Saisi d'un recours contre ce prononcé, le Tribunal cantonal vaudois l'a admis par arrêt du 9 septembre 2009 et a renvoyé le dossier au Service de la population pour nouvelle décision.
Par courrier du 7 octobre 2009, le Service de la population a déclaré être favorable à la délivrance d'une autorisation de séjour fondée sur l'art. 30 al. 1 let. b de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) en faveur du prénommé et a transmis le dossier à l'Office fédéral pour approbation.
C. Par décision du 15 juin 2010, l'Office fédéral a refusé d'approuver l'octroi d'une autorisation de séjour en faveur de C.X._ et prononcé son renvoi de Suisse.
A.X._ a déféré cette décision au Tribunal administratif fédéral qui a rejeté le recours par arrêt du 25 août 2011. Après avoir considéré que la demande de regroupement familial devait être examinée à la lumière de l'ancien droit des étrangers (LSEE et OLE), encore applicable en l'espèce, cette autorité a nié l'existence de raisons importantes, au sens de l'art. 36 OLE, justifiant d'accorder une autorisation de séjour à C.X._. Le Tribunal administratif fédéral a en outre estimé que l'art. 8 CEDH ne commandait pas davantage d'octroyer l'autorisation sollicitée et que le renvoi de l'intéressé avait été prononcé à bon droit.
D. Agissant par la voie du recours de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 25 août 2011 et, principalement, d'approuver l'octroi d'une autorisation de séjour à son fils C.X._, subsidiairement, d'ordonner à l'Office fédéral de donner son consentement à la délivrance d'un tel titre de séjour et, plus subsidiairement, de renvoyer la cause à ce dernier pour complément d'instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. Il se plaint de violation de l'art. 8 CEDH. A titre préalable, il requiert que son recours soit doté de l'effet suspensif et demande à bénéficier de l'assistance judiciaire.
L'Office fédéral propose le rejet du recours, alors que l'autorité précédente a renoncé à se déterminer.
La requête d'assistance judiciaire a été rejetée par ordonnance de la IIe Cour de droit public du 6 octobre 2011. L'effet suspensif a été accordé par ordonnance présidentielle du 10 octobre 2011.
Considérant en droit:
1. La LEtr est entrée en vigueur le 1er janvier 2008 et a abrogé la LSEE. En vertu de l'art. 126 al. 1 LEtr, les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la loi sont régies par l'ancien droit. La demande de regroupement familial qui est à la base de la présente affaire est antérieure au 1er janvier 2008, de sorte qu'elle est régie par l'ancien droit.
2. 2.1 D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179, 497 consid. 3.3 p. 500 s.).
En l'occurrence, le recourant, qui est titulaire d'une autorisation d'établissement, invoque l'art. 8 CEDH, en faisant valoir qu'il entretient des relations étroites et effectives avec son fils C.X._, pour lequel il requiert l'autorisation de séjour. Du moment que cette disposition s'applique aussi lorsque l'enfant n'est pas placé sous l'autorité parentale ou la garde du parent concerné (cf. ci-après consid. 3.1; voir aussi ATF 120 Ib 1 consid. 1d p. 3 s. et arrêt 2A.10/2001 du 11 mai 2001 consid. 1a/aa), elle est potentiellement de nature à fonder un droit à une autorisation de séjour en faveur de son fils. Partant, le recours échappe au motif d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF.
2.2 Les autres conditions de recevabilité étant réunies, il se justifie d'entrer en matière.
2.3 Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral et du droit international (art. 95 let. a et b et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF s'agissant des droits fondamentaux. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitrairement au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 III 393 consid. 7.1 p. 398) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). D'une manière générale, la correction du vice doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF).
3. 3.1 Selon la jurisprudence, un étranger peut, selon les circonstances, se prévaloir du droit au respect de sa vie privée et familiale au sens de l'art. 8 par. 1 CEDH, pour s'opposer à une éventuelle séparation de sa famille. Encore faut-il, pour pouvoir invoquer cette disposition, que la relation entre l'étranger et une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse soit étroite et effective (ATF 135 II 143 consid. 1.3.1 p. 145; 130 II 281 consid. 3.1 p. 285 et les arrêts cités).
L'art. 8 CEDH s'applique aussi lorsqu'un étranger fait valoir une relation intacte avec ses enfants bénéficiant du droit de résider en Suisse, même si ces derniers ne sont pas placés sous son autorité parentale ou sa garde du point de vue du droit de la famille (ATF 120 Ib 1 consid. 1d p. 3; arrêts 2C_190/2011 du 23 novembre 2011 consid. 4.3.1; 2C_679/2009 du 1er avril 2010 consid. 2.2 et les références).
3.2 L'art. 8 CEDH ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un État déterminé. Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut toutefois entraver sa vie familiale et porter ainsi atteinte au droit au respect de la vie privée et familiale garanti par cette disposition (ATF 135 I 143 consid. 1.3.1 p. 145, 153 consid. 2.1 p. 154 s.). Il n'y a toutefois pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des membres de la famille qu'ils réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8 CEDH n'est pas a priori violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour (ATF 135 I 143 consid. 2.2 p. 147, 153 consid. 2.1 p. 155). En revanche, si le départ du membre de la famille pouvant rester en Suisse ne peut d'emblée être exigé sans autres difficultés, il convient de procéder à la pesée des intérêts prévue par l'art. 8 par. 2 CEDH. Celle-ci suppose de mettre en balance l'intérêt privé à l'obtention d'un titre de séjour et l'intérêt public à son refus, en tenant compte de l'ensemble des circonstances (ATF 135 I 153 consid. 2.1 p. 155).
Pour ce qui est de l'intérêt privé à obtenir une autorisation de séjour, l'étranger disposant d'un droit de visite sur son enfant habilité à résider en Suisse peut en principe exercer ce droit même s'il vit à l'étranger, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée. Un droit plus étendu peut exister (regroupement familial inversé) en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique et lorsque, en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent, cette relation ne pourrait pratiquement pas être maintenue; il faut considérer qu'il existe un lien affectif particulièrement fort lorsque le droit de visite est aménagé de manière large et qu'il est exercé de manière régulière, spontanée et sans encombre (arrêt 2C_710/2009 du 7 mai 2010 consid. 3.1 et la référence citée). En outre, le parent qui entend se prévaloir de cette garantie doit avoir fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable. C'est seulement à ces conditions que l'intérêt privé du parent étranger à demeurer en Suisse peut l'emporter sur l'intérêt public que revêt une politique migratoire restrictive (arrêts 2C_190/2011, précité, consid. 4.3.1; 2C_171/2009 du 3 août 2009 consid. 2.2 et les renvois, not. aux ATF 120 Ib 1 consid. 3c p. 5, 22 consid. 4a p. 25).
Dans l'ATF 137 I 247, le Tribunal fédéral a confirmé cette jurisprudence relative aux enfants possédant une autorisation de séjour ou d'établissement, en les distinguant des enfants possédant la nationalité suisse, au sujet desquels la jurisprudence a connu une évolution. Il a envisagé deux cas distincts de regroupement familial partiel (les parents ne faisant pas ménage commun, l'un détenant l'autorité parentale et le droit de garde et l'autre un droit de visite) et inversé (l'autorisation étant sollicitée pour l'un des parents, l'enfant étant lui-même, comme indiqué, titulaire d'un droit de présence en Suisse). Dans le cas où c'est le parent détenant l'autorité parentale et le droit de garde qui sollicite une autorisation de séjour, alors que l'autre dispose lui-même d'un tel droit de présence, le Tribunal de céans a considéré qu'il y a lieu de refuser l'autorisation si l'on peut attendre de l'enfant qu'il quitte le pays. Lors de l'examen de cette question, il convient de prendre en considération de manière adéquate la possibilité pour l'autre parent d'exercer son droit de visite en cas de départ de l'enfant. A l'inverse, l'octroi de l'autorisation suppose, comme indiqué plus haut, l'existence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique entre l'enfant et le parent (ayant un droit de visite) autorisé à séjourner en Suisse; il faut en outre que le parent gardien, qui requiert l'autorisation, se soit pour sa part comporté de manière irréprochable. Cela étant, un droit à une autorisation doit être admis avec une retenue encore plus grande que dans l'autre situation, où c'est le parent ayant un droit de visite qui sollicite un titre de séjour. Dans le premier cas, en effet, la requête du parent gardien tend à faciliter l'exercice du droit de visite de l'autre parent, ce qui ne doit être admis que dans des circonstances particulières (consid. 4.2.3).
3.3 La situation où le parent ayant un droit de visite sollicite une autorisation de séjour pour lui-même, en se prévalant de sa relation avec son enfant bénéficiant d'un titre de séjour (regroupement familial inversé), se différencie de celle où le même parent disposant lui-même d'un droit de présence en Suisse requiert l'autorisation pour l'enfant (regroupement familial). En effet, dans ce second cas, l'enfant est généralement placé sous l'autorité parentale et la garde de l'autre parent, dépourvu de titre de séjour. Il vit en communauté avec cet autre parent, dont il partage en principe le destin et qu'il doit, cas échéant, suivre à l'étranger. L'octroi d'une autorisation de séjour à l'enfant revient alors à porter atteinte à la relation qu'il entretient avec le parent en question, sauf à accorder une telle autorisation également à ce dernier (ainsi qu'à d'éventuels autres membres de la famille), ce qui est généralement considéré comme disproportionné du point de vue du droit des étrangers. Le point déterminant est alors l'intensité des relations entre le parent disposant d'un droit de visite et l'enfant: seuls des liens particulièrement étroits, allant au-delà de ceux qui sont communément établis dans l'exercice d'un simple droit de visite, sont de nature à justifier l'octroi d'une autorisation de séjour, au terme de la pesée d'intérêts à effectuer selon l'art. 8 CEDH. Il convient en outre de prendre en considération dans cette pesée le ou les autres proches au(x)quel(s) une telle autorisation devrait aussi être accordée (arrêt 2A.10/2001, précité, consid. 2b et 2c; cf. aussi arrêt 2A.412/1998 du 15 décembre 1998 consid. 3a et 3b).
4. Selon l'autorité précédente, il ne serait guère contestable que C.X._ entretient, "sur le plan affectif et économique, une relation étroite et régulière" avec son père. Toutefois, les liens qui l'unissent à sa mère seraient "largement prépondérants". Or, il serait excessif, au regard de l'art. 8 CEDH, d'accorder une autorisation de séjour à la mère du prénommé, dans le seul but de faciliter l'exercice du droit de visite du recourant. Au demeurant, l'on pourrait attendre de C.X._ qu'il suive sa mère en Equateur, cela ne représentant pas un déracinement pour lui, car, "comme tous les enfants en bas âge", il serait en mesure de s'adapter sans difficultés à son nouvel environnement, dont il connaît d'ailleurs la langue. Il serait alors certes plus difficile pour son père d'exercer son droit de visite, mais les contacts pourraient être maintenus par les moyens de communication modernes. L'intérêt privé du prénommé à la poursuite des relations avec le recourant ne serait ainsi pas suffisant pour justifier l'octroi de l'autorisation sollicitée à lui-même et à sa mère.
5. Le recourant conteste à plusieurs égards l'état de fait retenu dans la décision attaquée.
5.1 D'après le recourant, la constatation selon laquelle C.X._ "vit avec sa mère" uniquement serait en contradiction flagrante avec les pièces du dossier. En réalité, ses parents en auraient la garde alternée et le prénommé vivrait (en alternance) chez l'un et l'autre. Le recourant conteste de même que les liens que son fils entretient avec Y._ soient prépondérants.
L'autorité précédente a retenu (consid. 8.3 du jugement attaqué) que C.X._ vit en Suisse depuis sa naissance avec sa mère qui en a la garde et l'autorité parentale. Dans un courrier du 26 octobre 2004, cette dernière avait affirmé que A.X._ venait chercher leur fils tous les samedis après-midi, qu'il le ramenait le dimanche après-midi, que, durant la semaine, C.X._ allait parfois manger chez lui et qu'il passait les fêtes alternativement en sa compagnie ou avec son père. Lors d'une audition par le Service de la population le 22 juin 2009, le recourant avait affirmé que son fils vivait avec sa mère, mais dormait tous les week-ends chez lui. Dans son mémoire de recours du 2 août 2010, il avait précisé qu'il prenait son fils chez lui du vendredi soir au dimanche soir, ainsi que régulièrement la semaine lorsque son travail le lui permettait. L'épouse du recourant - dont elle est séparée depuis le 18 juin 2008 - avait confirmé dans un courrier du 24 mars 2010 que celui-ci prenait son fils chez lui presque tous les week-ends, ainsi qu'assez régulièrement la semaine pour le souper et les devoirs scolaires, avant de le ramener à sa mère. Dans une écriture du 19 juillet 2010, l'actuelle compagne du recourant avait indiqué que ce dernier allait chercher son fils en fin de journée chaque fois qu'il en avait la possibilité et que C.X._ restait avec son père du vendredi soir au dimanche soir.
Quoi qu'en dise le recourant, l'autorité précédente n'a ainsi pas occulté le fait que son fils vit avec lui une partie de la semaine. A cet égard, le grief d'établissement manifestement inexact des faits est donc mal fondé.
Le Tribunal administratif fédéral a en revanche estimé que C.X._ entretenait des relations prépondérantes avec sa mère, qui en a la garde. Or, sous l'angle de l'art. 8 CEDH, il n'est pas déterminant que les relations entre le recourant et son fils soient prépondérantes par rapport à celles entretenues avec l'autre parent exerçant l'autorité parentale et la garde. Le fait en question n'étant pas susceptible d'influer sur le sort de la cause, le grief y relatif est irrecevable.
5.2 Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir considéré que son fils était en bas âge.
Il ressort effectivement d'un passage de la décision attaquée (consid. 8.3 p. 15 avant dernier par.) que C.X._ est un enfant en bas âge, ce qui est manifestement inexact du moment que celui-ci était âgé de plus de dix ans lorsque le jugement a été rendu. Ailleurs, il est question de manière plus appropriée de son jeune âge (consid. 7 et consid. 8.3 p. 15 premier par.). Le grief doit ainsi être admis dans la mesure précitée.
6. 6.1 Le recourant se plaint de violation de l'art. 8 CEDH, ainsi que de l'art. 13 Cst. (dont la portée est la même: ATF 126 II 377 consid. 7 p. 394) et de l'art. 17 du Pacte international du 16 décembre 1966 relatif aux droits civils et politiques (Pacte ONU II; RS 0.103.2), disposition qui n'offre pas une protection plus étendue que l'art. 8 CEDH (arrêt 2C_505/2009 du 29 mars 2010 consid. 5.1, in Pra 2011 no 2 p. 14).
6.2 Il ressort des faits exposés ci-dessus (consid. 5.1) que le recourant exerce son droit de visite de manière régulière et sans problème. En outre, celui-ci est nettement plus large (du moins pendant les périodes scolaires) qu'un droit de visite usuel en Suisse romande, lequel permet de prendre en charge l'enfant - en âge de scolarité - un week-end sur deux et durant la moitié des vacances scolaires (Audrey Leuba, in Commentaire romand, Code civil I, 2010, no 16 ad art. 273 CC; cette pratique est d'ailleurs elle-même plus large que celle qui a cours en Suisse alémanique). Par ailleurs, il est constant que le recourant verse une pension alimentaire mensuelle pour son fils. L'on est donc bien en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique, ce que l'autorité précédente a du reste admis. Dans le cadre de ces relations, C.X._ a d'ailleurs également noué des liens avec sa demi-soeur D._, qu'il voit toutes les deux semaines chez son père.
Au demeurant, comme indiqué plus haut (cf. consid. 5.2), lors du prononcé de la décision attaquée, C.C._ était âgé de plus de dix ans, ce qui rend son départ pour l'Equateur et son intégration dans ce pays plus difficile que pour un enfant en bas âge, même s'il en parle apparemment la langue. A cela s'ajoute qu'il a toujours vécu en Suisse, où il est bien intégré scolairement et socialement (décision attaquée, consid. 7), et qu'il ne possède pas, à la différence de sa mère, la nationalité équatorienne, étant ressortissant colombien comme son père. Dans ces conditions, l'on ne saurait dire que son départ de Suisse puisse être exigé sans autres difficultés, comme l'ont admis les premiers juges.
Il n'en demeure pas moins que c'est la mère seule qui détient l'autorité parentale et le droit de garde sur C.X._. Or, l'on ignore si celle-ci consent à l'octroi d'une autorisation de séjour en faveur de son fils. Le recourant l'allègue (mémoire de recours, p. 18 pt 55), mais sans en apporter ni offrir de preuve. Ce consentement ne va pas de soi: il ressort de la décision attaquée (consid. 8.3) qu'interrogé le 8 février 2005 par la police municipale de Renens, le recourant a déclaré "que Y._ avait refusé de lui signer une décharge pour la garde de leur fils, dès lors qu'elle vivait à Lausanne sans aucune autorisation et que si elle devait quitter la Suisse, elle le ferait avec lui". En l'occurrence, ce consentement a d'autant plus d'importance que, la prénommée n'ayant pas la qualité de partie en la cause, seul son fils peut être mis au bénéfice d'une autorisation de séjour au terme de la présente procédure, ce qui revient à porter atteinte à leur relation (cf. consid. 3.3 ci-dessus). Il convient donc de renvoyer le dossier à l'autorité précédente, afin qu'elle examine ce point et statue à nouveau.
7. Dans ces conditions, il y a lieu d'admettre le recours dans la mesure où il est recevable, d'annuler la décision entreprise et de renvoyer la cause à l'autorité précédente, afin qu'elle complète l'instruction puis statue à nouveau dans le sens des considérants (cf. art. 107 al. 2 LTF).
Il n'y a pas lieu de percevoir de frais de justice (cf. art. 66 al. 4 LTF). Succombant, l'Office fédéral versera au recourant une indemnité à titre de dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis dans la mesure où il est recevable. L'arrêt du 25 août 2011 est annulé et la cause renvoyée au Tribunal administratif fédéral afin qu'il complète l'instruction et statue à nouveau dans le sens des considérants du présent arrêt.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. L'Office fédéral des migrations versera au recourant une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, à l'Office fédéral des migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 16 février 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Vianin