Erwägungen:
1. Das Amt für Mittel- und Hochschulen des Kantons Thurgau lehnte am 24. Januar 2008 ein Begehren von A X._ um Gewährung eines Stipendiums für den am 1. März 2008 beginnenden 14-monatigen Lehrgang als Animationsdesigner an der "Animation School Hamburg" ab. Dagegen erhob A X._ Rekurs an das Departement für Erziehung und Kultur des Kantons Thurgau. Dieses verlangte einen Kostenvorschuss von Fr. 300.-- und wies das daraufhin von A X._ für das Rekursverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit der Begründung ab, dass das Stipendiengesuch materiell aussichtslos sei. Gegen diesen Entscheid gelangte A X._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses qualifizierte den Entscheid des Departements betreffend unentgeltliche Rechtspflege angesichts der zur Begründung der Aussichtslosigkeit angestellten, relativ ausführlichen Erwägungen materiellrechtlicher Natur als Rekursentscheid betreffend das Stipendiengesuch selber und wies die Beschwerde am 3. September 2008 ab.
Mit als Rekurs bezeichneter Rechtsschrift vom 26. Oktober 2008 (Postaufgabe 27. Oktober 2008) stellt B X._ dem Bundesgericht namens seines Sohnes A X._ den Antrag, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 3. September 2008 aufzuheben.
Die Rechtsschrift wird als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegengenommen. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Der angefochtene Entscheid erging in Anwendung von kantonalem Recht. Mit der Beschwerde kann gemäss Art. 95 BGG die Verletzung von schweizerischem Recht gerügt werden. Dazu gehören insbesondere das Bundesrecht, das Völkerrecht und kantonale verfassungsmässige Rechte (Art. 95 lit. a-c BGG), nicht aber unmittelbar kantonales (Gesetzes-)Recht. Beruht ein Entscheid auf kantonalem Recht, kann das Bundesgericht daher bloss prüfen, ob die Behörde bei dessen Anwendung schweizerisches Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzt hat. Hinsichtlich von Bundesrecht kommt dabei im Wesentlichen die Verletzung von durch die Bundesverfassung garantierten verfassungsmässigen Rechten in Betracht. Dem Beschwerdeführer obliegt es, in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzen soll (Art. 42 Abs. 2 BGG), wobei die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gesondert zu rügen ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.2 Das Verwaltungsgericht hat erkannt, dass die Voraussetzungen zur Gewährung von Stipendien nach kantonalem Recht (Gesetz vom 26. April 1990 über Ausbildungsbeiträge; Stipendiengesetz [StipG]) in zweierlei Hinsicht nicht erfüllt seien: Einerseits handle es sich bei der vom Beschwerdeführer angetretenen Ausbildung nicht um eine Erstausbildung bzw. um eine Zweitausbildung, die darum notwendig geworden wäre, weil die bei der Erstausbildung erworbenen Kenntnisse auf dem Arbeitsmarkt nicht mehr gefragt seien (§ 4 Abs. 1 StipG); andererseits sei die vom Beschwerdeführer besuchte Schule nicht eine anerkannte Ausbildungsstätte im Sinne von § 4 Abs. 2 StipG. Gegen welche Rechtsnorm im Sinne von Art. 95 BGG diese Auslegung des kantonalen Rechts verstossen könnte, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf. Er ruft einzig Art. 41 BV als bundesrechtliche Norm an. Art. 41 Abs. 1 lit. f BV sieht zwar vor, dass Bund und Kantone sich in Ergänzung zu persönlicher Verantwortung und privater Initiative dafür einsetzen sollen, dass Kinder und Jugendliche sowie Personen im erwerbsfähigen Alter sich nach ihren Fähigkeiten bilden, aus- und weiterbilden können. Dass es sich dabei nicht um eine feste Ansprüche begründende Norm handelt, anerkennt der Beschwerdeführer. Inwiefern diese Bestimmung (oder eine andere bundesrechtliche Norm) durch die kantonale Gesetzgebung bzw. deren Anwendung im konkreten Fall missachtet worden sei, lässt sich der Beschwerdeschrift nicht entnehmen und wäre übrigens auch nicht ersichtlich. Eine Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG ist nicht in einer den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Weise dargetan worden; es fehlt offensichtlich an einer hinreichenden Beschwerdebegründung (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), weshalb im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG auf die vorliegende Beschwerde nicht einzutreten ist.
2.3 Da die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien, kann dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer bzw. dessen Vertreter aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 und Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Vertreter des Beschwerdeführers auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Mittel- und Hochschulen, dem Departement für Erziehung und Kultur sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Oktober 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller