Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 22. Mai 2003 schied die delegierte Richterin des Amtsgerichtspräsidenten II von Luzern-Land die Ehe von X._ (geb. 1960) und Y._ (geb. 1961). Gemäss Ziff. 2.4 des Dispositivs wurde Y._ dazu verurteilt, seiner geschiedenen Ehefrau für den Unterhalt der drei gemeinsamen Kinder A._ (geb. 1989), B._ (geb. 1992) und C._ (geb. 1993) monatliche und indexierte Unterhaltsbeiträge von je Fr. 180.-- bis Ende Juli 2003 und danach je Fr. 200.-- zu bezahlen, jeweils zuzüglich Kinder- und Ausbildungszulagen.
Nach der Scheidung heiratete Y._ erneut. Aus der Ehe mit D._ gingen die Kinder E._ (geb. 2006) und F._ (geb. 3. Juni 2008) hervor.
B. Am 15. Februar 2007 leitete Y._ beim Amtsgericht Hochdorf ein Verfahren auf Abänderung des Scheidungsurteils vom 22. Mai 2003 ein. Er stellte den Antrag, er sei von der Unterhaltspflicht gegenüber seinen drei Kindern aus erster Ehe zu befreien und lediglich zu verpflichten, X._ die Kinder- und Ausbildungszulagen zu überweisen. Zur Begründung seiner Klage führt Y._ aus, seine wirtschaftlichen Verhältnisse hätten sich seit der Scheidung von X._ dauerhaft und wesentlich verändert. Erstens habe er inzwischen wieder geheiratet und eine neue Familie gegründet. Zweitens habe sich sein Einkommen im Vergleich zum Zeitpunkt des Scheidungsurteils vermindert.
Mit Eingabe vom 10. September 2007 beantragte X._ die Abweisung der Klage. Widerklageweise stellte sie das Begehren, die Unterhaltsbeiträge für die Kinder B._ und C._ seien ab 1. Januar 2008 auf Fr. 400.-- pro Monat zu erhöhen; ausserdem sei Y._ zu verpflichten, ihr Fr. 1'000.-- an die Kosten für einen Sprachaufenthalt der Tochter A._ zu bezahlen.
Das Amtsgericht Hochdorf hiess die Klage mit Urteil vom 10. November 2009 gut. Es verurteilte Y._ lediglich dazu, X._ ab 15. Februar 2007 die Kinder- bzw. Ausbildungszulagen für die drei gemeinsamen Kinder zu überweisen; im Übrigen befreite es Y._ von der Pflicht zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen. Die Begehren von X._ wies das Amtsgericht Hochdorf ab.
C. Am 3. Dezember 2009 appellierte X._ beim Obergericht des Kantons Luzern gegen das erstinstanzliche Urteil. Sie verlangte, Y._ sei zu verpflichten, ihr für die Kinder B._ und C._ ab 1. Januar 2008 monatliche Unterhaltsbeiträge von je Fr. 300.-- zuzüglich Kinder- bzw. Ausbildungszulagen zu bezahlen. Y._ beantragte die Abweisung der Appellation. Mit Urteil vom 2. März 2010 wies das Luzerner Obergericht die Appellation ab.
D. Mit Beschwerde vom 12. April 2010 wendet sich X._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und Y._ (nachfolgend: Beschwerdegegner) sei zur Bezahlung der bereits vor Obergericht geforderten Unterhaltsbeiträge zuzüglich Kinder- und Ausbildungszulagen zu verurteilen; im Übrigen sei die Urteilsabänderungsklage abzuweisen. Die Beschwerdeführerin stellt weiter das Eventualbegehren, die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich verlangt sie, es sei ihr für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Auf Einladung hin, sich zur Beschwerde vom 12. April 2010 vernehmen zu lassen, hat der Beschwerdegegner mit Eingabe vom 7. Juli 2010 in der Hauptsache den Antrag gestellt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei die Beschwerde abzuweisen. Weiter ersucht der Beschwerdegegner das Bundesgericht um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Das Obergericht des Kantons Luzern hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 und 90 BGG) in einer Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG).
1.2 Die vorliegende Streitigkeit betrifft die Aufhebung bzw. Neufestsetzung des Unterhaltsbeitrages (Art. 134 Abs. 2 i.V.m. Art. 286 Abs. 2 ZGB). Sie ist vermögensrechtlicher Natur und unterliegt grundsätzlich der Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Das Obergericht beziffert den Streitwert nach Art. 51 Abs. 1 BGG für die monatlichen Unterhaltsbeiträge der Kinder B._ und C._ auf Fr. 18'900.--. Die Beschwerdeführerin anerkennt diesen Betrag ausdrücklich als richtig. Auf diese unbestrittene Streitwertschätzung ist abzustellen, zumal dem Bundesgericht im vorliegenden Fall keinerlei Anhaltspunkte vorliegen, die es rechtfertigen würden, von der vorinstanzlichen Angabe des Streitwerts abzuweichen (Urteil 5A_587/2008 vom 29. September 2008 E. 1.1).
1.3 Erreicht der Streitwert den nach Art. 74 Abs. 1 BGG massgebenden Betrag nicht, so ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG stellt. Die Beschwerdeführerin trägt vor, als Rechtsfrage im Sinne dieser Vorschrift sei vorliegend zu klären, ob minderjährige Kinder aus erster Ehe bei der Berechnung der Unterhaltspflicht gegenüber minderjährigen Kindern desselben Elternteils aus zweiter Ehe benachteiligt werden dürfen, wenn wegen der ungenügenden finanziellen Leistungsfähigkeit des Unterhaltsschuldners (in diesem Fall des Vaters) eine Mangelsituation vorliegt. Die Beschwerdeführerin macht mithin geltend, die Vorinstanz habe die in Art. 285 ZGB enthaltenen Vorschriften über die Bemessung des Kinderunterhaltsbeitrages offensichtlich falsch angewendet und in rechtswidriger Weise an der finanziellen Leistungsfähigkeit des Rentenschuldners als unüberwindbarer Schranke für die Erfüllung aller seiner familienrechtlicher Unterhaltspflichten festgehalten. Die Frage, in welchem Verhältnis die Leistungsfähigkeit des Rentenschuldners zu seinen Unterhaltspflichten gegenüber seinen aus verschiedenen Verbindungen hervorgegangenen minderjährigen Kindern steht, ist in der Tat von grundsätzlicher Bedeutung. Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit gestützt Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG zulässig.
1.4 Die Beschwerdeführerin ist im vorinstanzlichen Verfahren mit der Geltendmachung ihres Rechtsanspruches unterlegen und hat ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides (Art. 76 Abs. 1 BGG). Auf die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde ist demnach grundsätzlich einzutreten.
1.5 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft behauptete Rechtsverletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) mit freier Kognition. Hingegen legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann der Beschwerdeführer lediglich einwenden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. BGE 134 V 53 E. 4.3 S. 62; 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22).
Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt indessen das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft demnach nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
2. Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Sie wirft dem Obergericht vor, es sei nicht auf die von ihr vorgebrachten Argumente betreffend die Verletzung des Gleichbehandlungsgrundsatzes nach Art. 8 BV und Art. 2 Abs. 2 des Übereinkommens vom 28. November 1989 über die Rechte des Kindes (SR 0.107; nachfolgend: "UNO-Kinderrechtskonvention") eingegangen. In Anbetracht der formellen Natur des Gehörsanspruches ist diese Rüge vorweg zu prüfen (BGE 122 II 464 E. 4a S. 469; 121 I 230 E. 2a S. 232).
Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV folgt, dass die Behörde die Vorbringen der Person, die vom Entscheid in ihrer Rechtsstellung betroffen ist, auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (BGE 124 I 241 E. 2 S. 242 mit Hinweisen). Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründungspflicht erfordert nicht, dass sich die Behörde mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Die Behörde kann sich auf die Gesichtspunkte beschränken, die für den Entscheid wesentlich sind. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt. Die genannten Grundsätze gelten auch für eine Rechtsmittelinstanz (BGE 133 III 439 E. 3.3 S. 445; 130 II 530 E. 4.3 S. 540; 129 I 232 E. 3.2 S. 236; 126 I 97 E. 2b S. 102 f., je mit Hinweisen).
Zwar trifft es zu, dass sich die Vorinstanz im Urteil vom 2. März 2010 mit dem Vorwurf der Verletzung des Gleichbehandlungsgebotes bzw. des Diskriminierungsverbotes nicht im Einzelnen auseinandergesetzt hat. Sie hat aber ihren Entscheid in sich geschlossen begründet und dabei zum Ausdruck gebracht, dass das Existenzminimum des Beschwerdegegners und seiner neuen Familie unantastbar sei, was notwendigerweise zur Folge habe, dass die Kinder der ersten Familie erst berücksichtigt werden können, wenn keine Mankosituation vorliegt. Die Beschwerdeführerin war denn auch ohne weiteres in der Lage, das obergerichtliche Urteil in allen Teilen umfassend und sachgerecht anzufechten. Dies zeigen ihre Rügen bzw. Ausführungen vor Bundesgericht. Vor diesem Hintergrund ist nicht ersichtlich, weshalb die Vorinstanz die Begründungspflicht verletzt haben soll (vgl. Urteil 5A_206/2009 vom 23. April 2009 E. 2.2). Die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör erweist sich als unbegründet.
3. Die Beschwerdeführerin rügt auch eine Verletzung von Art. 2 der UNO-Kinderrechtskonvention. Nach Absatz 1 dieser Bestimmung achten die Vertragsstaaten alle in diesem Übereinkommen festgelegten Rechte und gewährleisten sie jedem ihrer Hoheitsgewalt unterstehenden Kind ohne jede Diskriminierung unabhängig von der Rasse, der Hautfarbe, dem Geschlecht, der Sprache, der Religion, der politischen oder sonstigen Anschauung, der nationalen, ethnischen oder sozialen Herkunft, des Vermögens, einer Behinderung, der Geburt oder des sonstigen Status des Kindes, seiner Eltern oder seines Vormunds. Art. 2 Abs. 2 der UNO-Kinderrechtskonvention bestimmt, dass die Vertragsstaaten alle geeigneten Massnahmen treffen, um sicherzustellen, dass das Kind vor allen Formen der Diskriminierung oder Bestrafung wegen des Status, der Tätigkeiten, der Meinungsäusserungen oder der Weltanschauung seiner Eltern, seines Vormunds oder seiner Familienangehörigen geschützt wird.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Befreiung des Beschwerdegegners von der Pflicht zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen gegenüber seinen erstehelichen Kindern führe zu einer "Diskriminierung wegen des Status der Eltern" im Sinne von Art. 2 der UNO-Kinderrechtskonvention. Sie äussert sich indessen nicht zur Frage, ob die angerufene Konventionsbestimmung überhaupt direkt anwendbar ist (vgl. BGE 123 III 445 E. 2b/bb S. 449 mit Hinweisen). Diese Frage kann jedoch offengelassen werden: Die Beschwerdeführerin tut nicht dar, inwiefern sich aus der UNO-Kinderrechtskonvention ein Schutz ergibt, der über das Diskriminierungsverbot hinausgeht, wie es schon in Art. 8 BV verankert bzw. seinem Gehalt nach in Art. 285 ZGB enthalten ist. Ebenso wenig erläutert die Beschwerdeführerin im Einzelnen, inwiefern dieser (gegebenenfalls erweiterte) konventionsrechtliche Schutzbereich verletzt sein soll. Die Rüge der Verletzung von Art. 2 der UNO-Kinderrechtskonvention genügt den Anforderungen an die Begründung von Verfassungsrügen (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. E. 1.5) nicht. Deshalb kann das Bundesgericht auf diese Rüge nicht eintreten.
4. Die Beschwerdeführerin beanstandet weiter, die Unterhaltsregelung, die zum einen den Notbedarf der Kinder des Beschwerdegegners aus seiner zweiten Ehe decke und zum andern den Beschwerdegegner von der Unterhaltspflicht gegenüber seinen unmündigen Kindern aus erster Ehe entbinde, verstosse gegen das in Art. 8 Abs. 2 BV enthaltene verfassungsrechtliche Diskriminierungsverbot. Die Befreiung des Beschwerdegegners von seiner Unterhaltspflicht würdige die erstehelichen Kinder zu Kindern "zweiter Klasse" herab und wirke sich nicht nur psychisch, sondern auch materiell diskriminierend aus: Mangels Alimentenbevorschussung seien die Kinder aus erster Ehe auf Sozialhilfeleistungen angewiesen, die bei verbesserten finanziellen Verhältnissen zurückerstattet werden müssen. Zur Begründung ihrer Rüge führt die Beschwerdeführerin weiter aus, allein der Umstand, dass der Beschwerdegegner mit seinen Kindern aus zweiter Ehe zusammenlebt, sei kein sachlicher Grund, die gemeinsamen Kinder aus erster Ehe unterhaltsrechtlich schlechter zu stellen. Auch die Maxime, wonach familienrechtliche Unterhaltspflichten durch die finanzielle Leistungsfähigkeit des Unterhaltsschuldners begrenzt sind, vermöge die qualifizierte Ungleichbehandlung nicht zu rechtfertigen. Vielmehr hätten mehrere Kinder des gleichen Elternteils mit Bezug auf die elterliche Unterhaltspflicht Anspruch auf Gleichbehandlung.
4.1 Das in Art. 8 Abs. 2 BV enthaltene allgemeine Diskriminierungsverbot entfaltet seine Schutzwirkung grundsätzlich nur im Verhältnis zwischen Bürger und Staat. Die Vorschrift hat keine unmittelbare Drittwirkung in den Beziehungen zwischen Privatpersonen, weshalb sich die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde, die sich gegen einen Entscheid in einer Streitigkeit zwischen Privaten richtet, grundsätzlich nicht auf diese Vorschrift berufen kann. Indessen sind bei der Auslegung der Vorschriften des Zivilrechts die besonderen Anforderungen zu berücksichtigen, die sich aus den Grundrechten ergeben. Wie auch aus der Beschwerdeschrift hervorgeht, kommt dem Beschwerdegrund der Verletzung von Art. 8 Abs. 2 BV keine eigenständige Bedeutung zu. Im Ergebnis wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz nämlich vor, sie habe den Grundsatz der Gleichbehandlung aller unterhaltsberechtigten Kinder, wie er sich aus Art. 285 ZGB ergebe, ohne sachlichen Grund in qualifizierter Weise verletzt und damit die zivilrechtlichen Vorschriften über die Bemessung des Unterhaltsbeitrages offensichtlich falsch angewendet. Mit dieser Begründung verlangt die Beschwerdeführerin, der Unterhalt der erstehelichen Kinder sei dem Beschwerdegegner im analogen Rahmen zum Unterhalt der zweitehelichen Kinder zu überbinden, das heisst in der Höhe des monatlichen Grundbetrages zuzüglich Anteil Krankenkassenprämien.
4.1 Das in Art. 8 Abs. 2 BV enthaltene allgemeine Diskriminierungsverbot entfaltet seine Schutzwirkung grundsätzlich nur im Verhältnis zwischen Bürger und Staat. Die Vorschrift hat keine unmittelbare Drittwirkung in den Beziehungen zwischen Privatpersonen, weshalb sich die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde, die sich gegen einen Entscheid in einer Streitigkeit zwischen Privaten richtet, grundsätzlich nicht auf diese Vorschrift berufen kann. Indessen sind bei der Auslegung der Vorschriften des Zivilrechts die besonderen Anforderungen zu berücksichtigen, die sich aus den Grundrechten ergeben. Wie auch aus der Beschwerdeschrift hervorgeht, kommt dem Beschwerdegrund der Verletzung von Art. 8 Abs. 2 BV keine eigenständige Bedeutung zu. Im Ergebnis wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz nämlich vor, sie habe den Grundsatz der Gleichbehandlung aller unterhaltsberechtigten Kinder, wie er sich aus Art. 285 ZGB ergebe, ohne sachlichen Grund in qualifizierter Weise verletzt und damit die zivilrechtlichen Vorschriften über die Bemessung des Unterhaltsbeitrages offensichtlich falsch angewendet. Mit dieser Begründung verlangt die Beschwerdeführerin, der Unterhalt der erstehelichen Kinder sei dem Beschwerdegegner im analogen Rahmen zum Unterhalt der zweitehelichen Kinder zu überbinden, das heisst in der Höhe des monatlichen Grundbetrages zuzüglich Anteil Krankenkassenprämien.
4.2 4.2.1 Die Grundsätze zur Bemessung des elterlichen Unterhaltsbeitrages sind in Art. 285 Abs. 1 ZGB geregelt. Nach der Rechtsprechung ergibt sich aus dieser Vorschrift, dass alle unterhaltsberechtigten Kinder eines Elternteils im Verhältnis zu ihren objektiven Bedürfnissen finanziell gleich zu behandeln sind. Ungleiche Unterhaltsbeiträge sind somit nicht von vorneherein ausgeschlossen, bedürfen aber einer besonderen Rechtfertigung (BGE 126 III 353 E. 2b S. 358 f. mit Hinweisen). Die Höhe des Unterhaltsbeitrages hängt freilich nicht nur von der Leistungsfähigkeit des in die Unterhaltspflicht genommenen, sondern auch von den finanziellen Umständen des obhuts- bzw. sorgeberechtigten Elternteils ab (BGE 126 III 353 E. 2b S. 359 mit Hinweisen). Über die Schranke der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit des unterhaltspflichtigen Elternteils kann sich das Gericht bei der Bemessung des Unterhaltsbeitrags für die Kinder nach Art. 285 Abs. 1 ZGB aber in aller Regel nicht hinwegsetzen (BGE 127 III 68 E. 2c S. 70 f.; 123 III 1 E. 3b/bb S. 5 mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist dem Rentenschuldner mit Bezug auf alle familienrechtlichen Unterhaltskategorien zumindest das betreibungsrechtliche Existenzminimum stets voll zu belassen vgl. BGE 126 III 353 E. 1a/aa S. 356, bestätigt in 135 III 66 E. 2 ff. S. 67 ff. mit Hinweisen). Diese Rechtsprechung ist dahingehend zu verdeutlichen, dass der Rentenschuldner lediglich für seine eigene Person die Sicherung der Existenz beanspruchen kann. Er ist also nur im für ihn allein massgeblichen betreibungsrechtlichen Existenzminimum zu schützen.
4.2.2 Diesem Grundsatz und dem aus Art. 285 ZGB folgenden Gleichbehandlungsprinzip ist insbesondere bei angespannten finanziellen Verhältnissen dadurch Rechnung zu tragen, dass zur Ermittlung der tatsächlichen wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit des Rentenschuldners zunächst von dessen betreibungsrechtlichem Grundbetrag auszugehen ist. Massgeblich ist je nach den konkreten Umständen der Grundbetrag für einen alleinstehenden Schuldner, derjenige für einen alleinerziehenden Schuldner oder derjenige für einen verheirateten, in einer eingetragenen Partnerschaft oder als Paar mit Kindern lebenden Schuldner. In den drei zuletzt genannten Fällen ist dem Unterhaltsschuldner jedoch nur die Hälfte des Grundbetrages anzurechnen, denn der (neue) Ehegatte, eingetragene Partner bzw. Lebensgefährte des Rentenschuldners soll gegenüber dessen Kindern jedenfalls nicht privilegiert werden. Zum Grundbetrag sind alsdann die üblichen betreibungsrechtlichen Zuschläge hinzuzuzählen, soweit sie für den Unterhaltsschuldner allein massgeblich sind. Dazu zählen namentlich seine Wohnkosten, seine unumgänglichen Berufsauslagen sowie die Kosten für seine Krankenversicherung und - bei selbständiger Erwerbstätigkeit - für seine Altersvorsorge. Benützt der Unterhaltsschuldner seine Wohnung zusammen mit seinem Ehegatten oder mit anderen erwachsenen Personen, so ist ihm nach Massgabe deren - tatsächlicher oder hypothetischer - wirtschaftlicher Leistungsfähigkeit lediglich ein angemessener Anteil an den gesamten Wohnkosten als eigenes Existenzminimum anzurechnen. Bei der Ermittlung des Existenzminimums des Rentenschuldners sind demnach weder kinderbezogene Positionen (namentlich der betreibungsrechtliche Grundbetrag und die Krankenkassenprämie) der im gleichen Haushalt wohnenden Kinder des Unterhaltsschuldners zu berücksichtigen noch allfällige Unterhaltsbeiträge miteinzubeziehen, die der Unterhaltsschuldner seinen in einem anderen Haushalt lebenden vor- oder ausserehelichen Kindern zu bezahlen hat (BGE 127 III 68 E. 2c. S. 71; Urteil 5A_352/2010 vom 29. Oktober 2010 E. 6.2.1 mit Hinweisen). Ausser Acht bleiben müssen aber auch diejenigen Positionen, die ausschliesslich den Ehegatten betreffen und für die der Rentenschuldner allenfalls nach den in Art. 163 ff. ZGB enthaltenen Vorschriften aufzukommen hätte, soweit der Ehegatte seinen eigenen Unterhalt nicht aus eigenen Kräften bestreitet bzw. bestreiten kann. Das Gleiche gilt sinngemäss im Falle einer eingetragenen Partnerschaft des Rentenschuldners (vgl. Art. 13 des Partnerschaftsgesetzes vom 18. Juni 2004 [SR 211.231]).
4.2.3 Soweit das massgebliche Einkommen des Unterhaltsschuldners sein nach der geschilderten Berechnungsweise (E.4.2.1) ermitteltes eigenes Existenzminimum übersteigt, ist dieser Überschuss zunächst unter alle unterhaltsberechtigten Kinder (nach Massgabe ihrer jeweiligen Bedürfnisse und der Leistungsfähigkeit des anderen Elternteils) zu verteilen; gegebenenfalls muss der Schuldner zu diesem Zweck auch auf Abänderung früherer Urteile klagen, die zu hohe Beiträge festsetzen (Urteil 5A_62/2007 vom 24. August 2008 E. 6.2; Urteil 5C.197/2004 vom 9. Februar 2005, E. 3.1; Urteil 5C.127/2003 vom 15. Oktober 2003, E. 4.1.4). Vom Bedarf jedes unterhaltsberechtigten Kindes ist dabei in jedem Fall dessen Kinder- oder Ausbildungszulage abzuziehen, denn diese Leistungen, die ausschliesslich für den Unterhalt des Kindes bestimmt sind, werden nach der Rechtsprechung nicht zum Einkommen des bezugsberechtigten Elternteils hinzugezählt, sondern sind bei der Ermittlung des durch den Unterhaltsbeitrag zu deckenden Bedarfs des Kindes vorweg in Abzug zu bringen (BGE 128 III 305 E. 4b S. 310; Urteil 5A_352/2010 vom 29. Oktober 2010 E. 6.2.1 mit Hinweisen). Reicht der allfällige Überschuss des unterhaltspflichtigen Elternteils nicht aus, um die Bedürfnisse all seiner Kinder zu decken, so ist das Manko auf alle Kinder und somit auf alle betroffenen Familien zu verteilen. Verbleibt überhaupt kein Überschuss, so können auch keine Unterhaltsbeiträge zugesprochen werden.
4.2.4 Die erläuterten Grundsätze gelten nicht nur für das aussereheliche Kind, das unterhaltsmässig gleichgestellt werden will wie seine älteren Halbgeschwister aus einer anderen Verbindung seines Vaters. Die Prinzipien sind in gleicher Weise anzuwenden, wenn - wie im vorliegenden Fall - die Gleichbehandlung der älteren Kinder aus der ersten Ehe mit den jüngeren Halbgeschwistern aus der zweiten Ehe desselben Vaters in Frage steht (vgl. Urteil 5A_352/2010 vom 29. Oktober 2010 E. 6.2.1).
4.2.4 Die erläuterten Grundsätze gelten nicht nur für das aussereheliche Kind, das unterhaltsmässig gleichgestellt werden will wie seine älteren Halbgeschwister aus einer anderen Verbindung seines Vaters. Die Prinzipien sind in gleicher Weise anzuwenden, wenn - wie im vorliegenden Fall - die Gleichbehandlung der älteren Kinder aus der ersten Ehe mit den jüngeren Halbgeschwistern aus der zweiten Ehe desselben Vaters in Frage steht (vgl. Urteil 5A_352/2010 vom 29. Oktober 2010 E. 6.2.1).
4.3 4.3.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Im vorliegenden Fall anerkennt die Beschwerdeführerin die zahlenmässige Bestimmung der entscheiderheblichen Beträge, wie sie von der Vorinstanz für die Bemessung des elterlichen Unterhaltsbeitrages vorgenommen wurde, ausdrücklich als "nicht streitig". Den diesbezüglichen Feststellungen ist zu entnehmen, dass der Beschwerdegegner bei voller Ausschöpfung seiner Arbeitskraft ein Monatseinkommen von Fr. 3'348.-- (exkl. Kinderzulagen) erzielen kann und seine jetzige Ehefrau keiner Erwerbstätigkeit nachgeht. Das Existenzminimum der gesamten Familie, das heisst des Beschwerdegegners, dessen zweiter Ehefrau und der von dieser geborenen Kinder, beläuft sich gemäss vorinstanzlichen Berechnungen auf Fr. 3'534.-- (bis Ende Mai 2008), Fr. 3'876.-- (bis Ende September 2009) bzw. Fr. 4'326.-- (ab Oktober 2009). Das Obergericht hat ausserdem festgestellt, der Ehefrau des Beschwerdegegners könne zugemutet werden, eine Teilzeiterwerbstätigkeit aufzunehmen und ein (hypothetisches) Einkommen von monatlich Fr. 1'000.-- zu erzielen; diese zusätzlichen Einnahmen seien den Einkünften der Familie des Beschwerdegegners ab Juni 2010 anzurechnen. Gestützt auf diese Feststellung gelangt die Vorinstanz zum Schluss, dass der Beschwerdegegner selbst unter Berücksichtigung des hypothetischen Einkommens seiner Ehefrau ab Juni 2010 bloss den Notbedarf seiner Familie (Fr. 4'326.--) decken kann und somit nicht in der Lage ist, die Unterhaltspflicht gegenüber seinen Kindern aus erster Ehe zu erfüllen.
4.3.2 Aus diesen vorinstanzlichen Schlussfolgerungen bzw. aus den erstinstanzlichen Feststellungen im Urteil des Amtsgerichts vom 10. November 2009, auf welche die Vorinstanz ihre Erkenntnisse abstützt, geht hervor, dass das Obergericht des Kantons Luzern bei der Ermittlung der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners die in E. 4.2 dargelegten Regeln nicht befolgt und damit die in Art. 285 ZGB enthaltene Vorschrift falsch angewendet hat. Die vorinstanzliche Rechtsverletzung beruht zunächst darauf, dass das Obergericht nicht das Existenzminimum des Beschwerdegegners allein, sondern dasjenige seiner gesamten (zweiten) Familie ermittelt und bei der Prüfung seiner wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit als Ganzes berücksichtigt hat. Anstatt alle kinder- und ehegattenbezogenen Positionen von der Berechnung auszuklammern, ist das Obergericht unter Einrechnung dieser Elemente zum falschen Schluss gelangt, der Beschwerdegegner könne selbst unter Anrechnung des hypothetischen Einkommens seiner zweiten Ehefrau ab Juni 2010 bloss den Notbedarf seiner Familie decken und daher die Unterhaltspflicht gegenüber seinen Kindern aus erster Ehe nicht erfüllen. Sodann hat das Obergericht auch gegen das Bundeszivilrecht verstossen, indem es die Kinderzulagen, die der Beschwerdegegner für seine zweitehelichen Kinder beanspruchen kann, von deren Grundbedarf nicht in Abzug gebracht hat. Diese Rechtsfehler haben zur Folge, dass der Beschwerdegegner gemäss dem angefochtenen Urteil jedenfalls bei Mitberücksichtigung eines (hypothetischen) Einkommens seiner Ehefrau und bei Anrechnung der Kinderzulagen den Unterhalt seiner zweitehelichen Kinder über deren betreibungsrechtlichen Grundbedarf hinaus decken kann, während der Grundbedarf der erstehelichen Kinder überhaupt nicht oder - unter Berücksichtigung allfälliger Kinder- bzw. Ausbildungszulagen - nur teilweise gesichert ist.
4.4 Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als begründet. Im Rahmen der Ermittlung der tatsächlichen wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners nach den dargelegten Regeln (E. 4.2) wird das Obergericht auch zu berücksichtigen haben, dass den Einkünften der Familie des Beschwerdegegners ab Juni 2010 ein hypothetisches Einkommen seiner Ehefrau von monatlich Fr. 1'000.-- anzurechnen ist. Das Obergericht wird prüfen müssen, ob und gegebenenfalls in welchem Ausmass die Ehefrau dem Beschwerdegegner in der Erfüllung seiner Unterhaltspflicht gegenüber seinen vorehelichen Kindern beizustehen hat, entsprechend der in Art. 278 Abs. 2 ZGB enthaltenen Vorschrift und der dazu entwickelten Grundsätze (vgl. dazu Urteil 5A_352/2010 vom 29. Oktober 2010 E. 6.2.2 mit Hinweisen). In welcher Höhe die Beistandspflicht der Ehefrau des Beschwerdegegners im Einzelnen anzusetzen ist, bestimmt sich zunächst nach dem massgeblichem Grundbedarf der Kinder aus erster Ehe. Davon sind nach dem Gesagten (E. 4.2.3) wiederum allfällige Familienzulagen in Abzug zu bringen, die der Beschwerdegegner bezieht und der Beschwerdeführerin überweist. Ob er dies tatsächlich getan hat bzw. immer noch tut, nachdem die beiden jüngeren Kinder aus erster Ehe bereits am 28. Januar 2008 (B._) bzw. 7. Februar 2009 (C._) ihr sechszehntes Altersjahr vollendet haben, geht weder aus dem angefochtenen Entscheid noch aus den übrigen Akten hervor. Gestützt auf die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann das Bundesgericht in der Sache selbst deshalb kein Urteil fällen.
5. Die Beschwerde ist gestützt auf die vorstehenden Erwägungen teilweise gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und zur ergänzenden Tatsachenfeststellung und neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG). Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, die Gerichtsgebühr vor Bundesgericht den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und die Parteikosten wettzuschlagen, so dass jede Partei die eigenen Parteikosten für das bundesgerichtliche Verfahren selbst trägt (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).
6. 6.1 Beide Parteien ersuchen um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. In materieller Hinsicht setzt die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zunächst voraus, dass die betreffende Partei ihre Bedürftigkeit nachweist (Art. 64 Abs. 1 BGG). Bedürftig ist nach der Rechtsprechung diejenige Partei, welche die Leistung der erforderlichen Prozess- und Parteikosten nur erbringen kann, wenn sie die Mittel angreift, die sie zur Deckung des Grundbedarfs für sich und ihre Familie benötigt. Es obliegt der Antrag stellenden Partei, ihre aktuellen Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend aufzuzeigen und ihre finanziellen Verpflichtungen zu belegen. Kommt sie diesen Obliegenheiten nicht nach, ist der Antrag abzuweisen (BGE 125 IV 161 E. 4a S. 164 f.; Urteil 6B_482/2007 vom 12. August 2008 E. 21.2).
6.2 Nachdem die Beschwerdeführerin teilweise obsiegt und der Beschwerdegegner seinen hälftigen Anteil an der Gerichtsgebühr sowie seine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren selbst trägt, wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren insoweit gegenstandslos.
Im Übrigen ist der Antrag der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen. Obwohl das Bundesgericht die Beschwerdeführerin mit Verfügung vom 14. April 2010 aufgefordert hat, die in Aussicht gestellte Darlegung ihrer aktuellen Einkommens- und Auslagenverhältnisse innerhalb von 15 Tagen seit Zustellung der Verfügung nachzureichen, ist sie dieser Aufforderung nicht nachgekommen. Damit hat die Beschwerdeführerin den Nachweis ihrer Bedürftigkeit nicht erbracht.
6.3 Aus den vorstehenden Erwägungen geht hinreichend hervor, dass der Beschwerdegegner nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, um den Prozess aus eigenen Mitteln zu finanzieren. Die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sind erfüllt. Gestützt auf Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG ist sein entsprechendes Gesuch für das bundesgerichtliche Verfahren gutzuheissen.
Damit ist der hälftige Anteil des Beschwerdegegners an den Gerichtskosten einstweilen auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen und seinem Vertreter aus der Bundesgerichtskasse eine reduzierte Entschädigung zu entrichten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 2. März 2010 aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen. Ihm wird Rechtsanwalt Christian Affentranger als amtlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt. Der Anteil des Beschwerdegegners an den Gerichtskosten von Fr. 1'250.-- wird einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4. Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
5. Rechtsanwalt Christian Affentranger wird für seine Bemühungen im bundesgerichtlichen Verfahren ein reduziertes Honorar von Fr. 1'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. November 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn