Erwägungen:
1. Die Schweizer Demokraten Thurgau und Willy Schmidhauser reichten am 4. Juni 2008 beim Regierungsrat des Kantons Thurgau eine Abstimmungsbeschwerde gegen die eidgenössische Volksabstimmung vom 1. Juni 2008 über die Volksinitiative vom 11. August 2004 "Volkssouveränität statt Behördenpropaganda" ein. Der Regierungsrat des Kantons Thurgau trat mit Entscheid vom 10. Juni 2008 auf die Beschwerde nicht ein. Er kam zusammenfassend zum Schluss, dass die Beschwerde verspätet eingereicht worden sei.
2. Die Schweizer Demokraten Thurgau und Willy Schmidhauser führen mit Eingabe vom 17. Juni 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) gegen den Entscheid des Regierungsrats des Kantons Thurgau. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennt die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Die Beschwerdeführer setzen sich mit der Begründung des Regierungsrats, die zum Nichteintreten auf die Abstimmungsbeschwerde führte, nicht auseinander und legen nicht nicht dar, inwiefern der regierungsrätliche Nichteintretensentscheid Recht im obgenannten Sinne verletzen sollte. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG ist somit auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Entsprechend dem Verfahrensausgang tragen die Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 86 Abs. 2 BPR in Verbindung mit Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden den beiden Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit je zur Hälfte auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Schweizerischen Bundeskanzlei und dem Regierungsrat des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli