Faits:
A. La société X._ SA (Y._ SA jusqu'au 9 février 2009) a pour but le transport et la distribution de marchandises comestibles et autres, l'exploitation d'un garage, y compris l'entretien et le commerce de voitures. En sa qualité d'employeur, la société est affiliée auprès de la Caisse interprofessionnelle neuchâteloise de compensation pour l'industrie, le commerce et les arts et métiers CICICAM-CINALFA (ci-après : la caisse). De 2005 à 2008, elle a régulièrement confié des livraisons à A._.
A la suite d'un contrôle d'employeur, la caisse a constaté que Y._ SA n'avait pas déclaré les rétributions versées à A._ en 2005, 2006 et 2007. Par décision du 15 octobre 2008, confirmée par décision sur opposition du 15 janvier 2009, elle a réclamé à la société la somme de 22'366 fr. 25 au titre des cotisations paritaires dues par celle-ci en tant qu'employeur, le travail effectué par A._ pour Y._ SA devant être qualifié d'activité dépendante.
B. X._ SA a déféré la décision sur opposition au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, Cour des assurances sociales (aujourd'hui : Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public), qui l'a déboutée par jugement du 24 août 2010.
C. X._ SA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'admission de son recours et à l'annulation de la décision sur opposition litigieuse.
La caisse conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales renonce à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut cependant rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
2. Le litige porte sur l'obligation de la recourante de payer des cotisations paritaires pour les années 2005 à 2007, singulièrement sur la question de la qualification de l'activité (salariée ou indépendante) exercée par A._ auprès celle-ci.
3. 3.1 Lorsqu'une caisse de compensation fixe le montant des cotisations paritaires par voie de décision, elle crée une obligation aussi bien à l'égard de l'employeur que du salarié (voir les art. 4 et 5, ainsi que les art. 12 et 13 LAVS). Ces derniers sont touchés de la même manière par la décision, si bien que celle-ci doit être notifiée tant à l'employeur qu'au salarié concerné.
A cet égard, la jurisprudence a précisé que le droit d'être entendu des salariés concernés par une décision relative à des cotisations paritaires et, par conséquent, celui d'obtenir la notification d'une telle décision, doit, sous réserve d'exceptions admises pour des raisons pratiques, être respecté tant lorsque la qualification de l'activité des travailleurs est en cause que lorsque c'est la nature de certains versements qui est litigieuse. D'une manière générale, cette procédure doit être appliquée chaque fois que l'on est en présence d'une reprise de salaires déterminants. Lorsqu'il apparaît que le salarié doit être mis en mesure de recourir lui-même contre la décision de cotisations paritaires, c'est d'abord à la caisse de compensation qu'il incombe de lui notifier cette dernière. L'autorité de recours qui s'aperçoit de l'omission peut, mais ne doit pas nécessairement y remédier elle-même, en invitant le salarié intéressé à intervenir dans la procédure de recours. Des exceptions à cette règle sont toutefois admises, par exemple lorsque le nombre des salariés est élevé, quand le domicile des salariés se trouve à l'étranger ou n'est pas connu, ou encore lorsqu'il s'agit de montants de cotisations de minime importance (ATF 113 V 1, ATFA 1965 p. 239 consid. 1 et 3, RCC 1979 p. 116 consid. 1b, 1978 p. 62 consid. 3a).
3.2 En l'espèce, il ne ressort pas du dossier que la caisse aurait notifié à A._ sa décision du 15 octobre 2008 et sa décision sur opposition du 15 janvier 2009 réclamant le paiement de la somme de 22'366 fr. 25 à la recourante au titre de cotisations paritaires. L'intéressé n'a pas non plus été invité par la juridiction cantonale à se déterminer sur le recours formé par la recourante.
Compte tenu de l'importance du montant réclamé, la caisse ne pouvait renoncer à communiquer ses décisions à A._. De leur côté, les premiers juges, en rejetant le recours et en exposant le prénommé à devoir rembourser la part de ses cotisations à la recourante, sans l'avoir au préalable invité à se déterminer, n'ont pas respecté les principes jurisprudentiels exposés ci-dessus.
3.3 Sans discuter le fond du litige, il se justifie dès lors d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer l'affaire au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, afin qu'il donne l'occasion à A._ de se déterminer et rende un nouveau jugement. Dans cette mesure, le recours est bien fondé.
4. L'intimée, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF) et versera à la recourante, qui obtient gain de cause (art. 68 al. 1 LTF) une indemnité de dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, du 24 août 2010 est annulé, la cause étant renvoyée à la juridiction cantonale pour qu'elle procède conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'700 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera à la recourante la somme de 1'400 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 octobre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
La Greffière: Reichen