Erwägungen:
1. 1.1 X._, tunesischer Staatsangehöriger, geb. 1969, lebte bis 1995 in seiner Heimat und anschliessend in Deutschland, wo er verheiratet war. Ab April bis gegen Ende 2001 hielt er sich vorübergehend in der Schweiz auf, worauf er nach Tunesien zurückkehrte. Dort heiratete er am 7. November 2002 eine Schweizer Bürgerin; er reiste wieder in die Schweiz ein und erhielt gestützt auf Art. 7 ANAG eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleibs bei der Ehefrau. Seit April 2005 ist der eheliche Haushalt aufgehoben.
Mit Verfügung vom 17. Februar 2006 lehnte die Einwohnergemeinde Bern (Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei) eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ ab und setzte ihm eine Ausreisefrist an (Wegweisung). Eine Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern blieb erfolglos. Gegen den Beschwerdeentscheid der Direktion vom 25. September 2006 erhob X._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie an den Regierungsrat des Kantons Bern. Letzterer sistierte das Verfahren bis zum Vorliegen des Urteils des Verwaltungsgerichts. Dieses wies die bei ihm hängige Beschwerde mit Urteil vom 19. Februar 2007 ab. Es stellte dabei fest, dass X._ keinen Rechtsanspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung habe; über die Frage der Bewilligungsverweigerung im Ermessensbereich (d.h. unabhängig vom Bestehen eines Bewilligungsanspruchs) habe der Regierungsrat zu entscheiden. Der Regierungsrat seinerseits wies die Beschwerde am 25. Juni 2008 ab.
1.2 Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 28. Juli 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, der Entscheid des Regierungsrats sei aufzuheben und es sei ihm die Aufenthaltsbewilligung nach freiem Ermessen zu verlängern; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Das ordentliche Rechtsmittel, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, ist gestützt auf Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG unzulässig: Nachdem der Beschwerdeführer sich in ausländerrechtlicher Hinsicht nicht mehr auf die Ehe mit einer Schweizerin und mithin auf Art. 7 ANAG berufen kann, räumen ihm weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch auf die (Verlängerung) der Aufenthaltsbewilligung ein. Er geht selber davon aus, streitig sei nur noch eine Aufenthaltsbewilligung nach freiem Ermessen. Das Urteil des kantonalen Verwaltungsgerichts vom 19. Februar 2007, womit das (Fort-) Bestehen eines Bewilligungsanspruchs verneint wurde, ist denn auch unangefochten geblieben. Allerdings meint der Beschwerdeführer, angesichts seines psychischen Gesundheitszustands müsse ihm gestützt auf Art. 10 Abs. 1 und 2 BV (Recht auf Leben, Recht auf körperliche und geistige Unversehrtheit) eine Bewilligung erteilt werden; insofern macht er sinngemäss einen Bewilligungsanspruch geltend. Abgesehen davon, dass auch ein derartiger Bewilligungstatbestand dem Bundesgericht nur dann mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterbreitet werden könnte, wenn vorerst das kantonale Verwaltungsgericht darüber entschieden hätte (vgl. dazu Art. 77 Abs. 1 lit. g des bernischen Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege [VRPG], s. zur bernischen Zuständigkeitsregelung auch E. 1.1 des angefochtenen Entscheids), sind die auf das Arztzeugnis vom 24. September 2007 gestützten Vorbringen des Beschwerdeführers offensichtlich nicht geeignet, einen solchen Anspruch zu begründen. Es genügt hierfür der Hinweis auf die Ausführungen des Regierungsrats in E. 4 des angefochtenen Entscheids. Jedenfalls gibt die Beschwerde keinen Anlass zu einer vertieften Auseinandersetzung mit der Frage, welche ausserordentlichen Umstände es ausnahmsweise gebieten könnten, einem kranken Ausländer gestützt auf Art. 10 Abs. 1 und 2 BV ein eigentliches Recht auf längere Anwesenheit in der Schweiz einzuräumen.
Nach dem Gesagten kommt als bundesrechtliches Rechtsmittel in der Tat allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) in Betracht.
2.2 Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Zu diesem ausserordentlichen Rechtsmittel ist sodann nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG). Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 10 Abs. 1 und 2 sowie von Art. 5 Abs. 2 BV. Dass sich in seinem Fall im Hinblick auf die Bewilligungsverlängerung nichts aus Art. 10 Abs. 1 und 2 BV ableiten lässt, ist vorstehend dargelegt worden; es fehlt damit vorliegend an einem rechtlich geschützten Interesse an der Prüfung der entsprechenden Rüge. Art. 5 Abs. 2 BV (Pflicht zu verhältnismässigem staatlichem Handeln) sodann ist kein selbständiges verfassungsmässiges Recht im Sinne von Art. 116 BGG (vgl. BGE 134 I 153 E. 4.1).
2.3 Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG) ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten. Mit diesem Urteil wird das im Hinblick auf die mit dem angefochtenen Entscheid verbundene Ausreiseverpflichtung gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.4 Der Beschwerdeführer hat um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Dem Gesuch kann nicht entsprochen werden, da die Rechtsbegehren von vornherein aussichtslos erschienen (Art. 64 BGG). Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG), dem Verfahrensausgang entsprechend, dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, den Einwohnerdiensten, Migration und Fremdenpolizei der Stadt Bern und dem Regierungsrat des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. August 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller