Faits:
A. Le 21 octobre 2002, C._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Après avoir pris des renseignements notamment auprès du médecin traitant de l'assurée, le docteur I._, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a chargé son Service médical régional AI (SMR) d'examiner l'intéressée (rapport du docteur T._ du 10 septembre 2004). C._ a également suivi un stage d'observation professionnelle du 18 avril au 13 mai 2005 au Centre d'observation professionnelle de l'AI (COPAI) à Z._ (rapport du 25 mai 2005). Par décision du 28 avril 2006, l'office AI a nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité, au motif qu'elle présentait un degré d'invalidité (28,22%) insuffisant pour ouvrir le droit à une telle prestation. L'intéressée ayant contesté ce prononcé, l'administration a maintenu son point de vue par décision sur opposition du 20 mars 2007.
B. Saisi d'un recours de C._ contre cette décision, le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui, Tribunal cantonal, Cour des assurances sociales) l'a rejeté et renvoyé le dossier à l'office AI pour qu'il complète l'instruction quant à des atteintes à la santé survenues postérieurement à la décision sur opposition (jugement du 24 novembre 2008).
C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande principalement la réforme en ce sens que lui soit allouée une rente entière de l'assurance-invalidité depuis la date à fixer par le Tribunal fédéral. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à l'autorité de recours de première instance pour la mise en oeuvre d'une expertise médicale. Elle sollicite, par ailleurs, le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'office AI conclut implicitement au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit éventuel de la recourante à une rente de l'assurance-invalidité pendant la période soumise à l'examen du juge, circonscrite par la demande de rente d'une part et la décision sur opposition d'autre part. A cet égard, la juridiction cantonale a dûment exposé les dispositions légales topiques, ainsi que les principes jurisprudentiels sur le fond et en matière de preuve - en particulier les règles sur la libre appréciation des preuves (au sens de l'art. 61 let. c LPGA) et le devoir en découlant de procéder à une appréciation complète, rigoureuse et objective des rapports médicaux en relation avec leur contenu. Il suffit de renvoyer à son jugement.
2. Sur le plan formel, la recourante se plaint de la motivation lacunaire du jugement entrepris. A la lecture des considérations de la juridiction cantonale, qui se limite dans une large mesure à reprendre à son compte les constatations du SMR "lesquelles ont valeur probante et sont convaincantes" pour reconnaître à la recourante une capacité de travail dans une activité adaptée, on peut sérieusement douter que la motivation du prononcé litigieux satisfasse aux exigences déduites par la jurisprudence du droit d'être entendu (sur celles-ci, ATF 133 III 439 consid. 3.3. p. 445 et les références).
Toutefois, dans la mesure où la recourante reproche aux premiers juges de n'avoir pas indiqué pourquoi ils n'avaient pris en considération que l'appréciation du SMR sans se prononcer sur les autres éléments pertinents pour la solution du litige, son grief rejoint celui d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et peut, par économie de procédure, être examiné sous cet angle seulement.
2.1 L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou encore lorsque le juge a interprété les pièces du dossier de manière insoutenable, a méconnu des preuves pertinentes ou s'est fondé exclusivement sur une partie des moyens de preuve (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62, 120 Ia 31 consid. 4b p. 40, 118 Ia 28 consid. 1b p. 30).
2.2 En l'espèce, l'autorité cantonale de première instance a constaté, en se fondant uniquement sur les conclusions du rapport du SMR, que l'assurée était en mesure de reprendre une activité adaptée à son état de santé et que l'obésité diagnostiquée n'était pas une atteinte à la santé invalidante. Une telle manière de procéder, par laquelle les premiers juges ont manqué de prendre en considération une partie des moyens de preuve pertinents, relève d'une appréciation arbitraire des preuves, qui se confond ici avec une violation du principe de la libre appréciation des preuves dans le domaine de l'assurance sociale.
Il résulte en effet des avis médicaux recueillis par l'intimé au cours de son instruction que la situation médicale de la recourante a fait l'objet d'évaluations qui divergent sur plusieurs points essentiels. Selon les constatations des premiers juges - et l'ensemble des pièces médicales au dossier -, l'assurée est atteinte de polyarthrose au niveau de la colonne cervicale et lombaire, d'une arthrose bilatérale des deux genoux, d'une obésité morbide, d'une insuffisance veineuse chronique des membres inférieurs et d'un hallux valgus bilatéral peu symptomatique. Alors que ces diagnostics ne prêtent pas à discussion en tant que tels, les médecins consultés ne s'accordent toutefois pas sur la répercussion de ces troubles sur la capacité de travail résiduelle de la recourante (une incapacité entière dans l'activité de nettoyeuse exercée en dernier lieu étant admise par tous les praticiens). Tandis que le médecin traitant (rapport du docteur I._ du 30 décembre 2002) et le médecin-conseil du Service X._ (rapport de la doctoresse E._ du 24 mai 2002) concluent à une capacité de travail réduite à 50% dans toute activité légère (sans efforts lourds, ni port de charges dépassant 10 kg), le docteur T._ du SMR retient une capacité de travail entière dans une activité adaptée (sédentaire ou semi-sédentaire, sans port de charges supérieures à 10 kg, avec changements de position assis-debout fréquents; rapport du 10 septembre 2004). Cette dernière évaluation ne concorde pas non plus avec les observations des spécialistes du COPAI, selon lesquelles l'assurée a une capacité résiduelle de travail limitée à 40% de rendement sur une journée entière de travail (rapport du 25 mai 2006, p. 6). Une telle conclusion a expressément été tirée de l'examen clinique par le docteur A._, médecin-conseil du COPAI, qui a vu l'assurée dans le cadre du séjour à Z._ (rapport du 23 mai 2005).
2.3 En ce qui concerne le diagnostic d'obésité morbide, le médecin du COPAI a mentionné que si le très important excès de poids n'était pas, d'un point de vue médico-théorique, censé limiter la capacité de travail, il entravait cependant l'assurée sur le plan pratique, dans une activité en position assise en raison notamment de l'éloignement du corps du plan de travail et du poids des bras (rapport du 23 mai 2005). A la suite de cette appréciation, le SMR, suivi par l'intimé, a estimé que l'obésité morbide jouait un rôle majeur dans la capacité de travail, mais que ce facteur n'était pas pris en charge par l'assurance-invalidité (avis médical du 4 juillet 2005 et rapport final du 7 juillet 2005). S'il est vrai que l'obésité en soi n'est pas constitutive d'invalidité, celle-ci doit toutefois être admise, selon la jurisprudence, si l'excédent de poids a provoqué une atteinte à la santé ou s'il est lui-même la conséquence d'un trouble de la santé et qu'ainsi, la capacité de gain est sensiblement réduite et ne peut être augmentée de façon importante par des mesures raisonnablement exigibles (RCC 1984 p. 359 consid. 3). En l'état du dossier, on ignore toutefois l'origine de la surcharge pondérale dont l'assurée souffre ou si ce trouble a provoqué une atteinte à la santé. Tout au plus, apparaît-il que selon les conclusions des médecins de l'Hôpital Y._ (dont le rapport du 22 mai 2006 a été produit par la recourante à l'appui de son opposition), le seul traitement efficace (implantation de prothèses totale des genoux) de la gonarthrose, laquelle était nettement aggravée depuis novembre 2005, est exclu en raison de l'obésité.
2.4 Dans ces circonstances, compte tenu en particulier de la controverse médicale sur le taux de la capacité de travail résiduelle de l'assurée, la juridiction cantonale ne pouvait se contenter de suivre l'avis du SMR sans prendre en compte les appréciations divergentes des docteurs E._ et A._ et expliquer en quoi elles n'emportaient pas, le cas échéant, sa conviction. De plus, vu l'absence d'une évaluation médicale suffisante sur l'origine ou les conséquences de l'obésité morbide dont souffre l'assurée, la juridiction cantonale était tenue de compléter l'instruction sur ce point.
Il convient dès lors d'admettre la conclusion subsidiaire de la recourante et de renvoyer la cause à l'autorité de recours de première instance pour qu'elle ordonne une expertise judiciaire portant sur l'état de santé de l'assurée dans son ensemble. A cette occasion, la question de la présence éventuelle d'un état dépressif sévère et de troubles respiratoires, mentionnés par le docteur D._ (rapport du 26 juin 2007) et, le cas échéant, la date de la survenance de ces atteintes devra être investiguée. A la lecture de cet avis médical rendu postérieurement à la décision litigieuse du 20 mars 2007, il n'apparaît pas clairement, contrairement à ce qu'a considéré l'autorité cantonale de recours, quand ces atteintes seraient survenues à défaut de précisions sur ce point. Le jugement entrepris doit dès lors être annulé dans son ensemble, le renvoi du dossier à l'office AI ordonné par la juridiction cantonale se révélant pour l'heure prématuré. Partant, le recours est bien fondé.
3. Vu l'issue du litige, l'intimé supportera les frais de justice de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). La recourante, qui obtient gain de cause, a droit à des dépens à la charge de l'intimé (art. 68 al. 1 LTF). Sa requête d'assistance judiciaire est dès lors sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 24 novembre 2008 est annulé. La cause est renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal vaudois, Cour des assurances sociales et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 1er octobre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless