Sachverhalt:
A. Die Y._ Versicherung (Klägerin, Beschwerdegegnerin) machte am 21. Mai 2010 beim Handelsgericht des Kantons Zürich einen Zivilprozess gegen die X._ Versicherung AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) anhängig. Mit Vorurteil vom 1. März 2012 bejahte das Handelsgericht deren Aktivlegitimation zur Geltendmachung der eingeklagten Ansprüche als Abtretungsgläubigerin. Als nebenamtlicher Handelsrichter wirkte lic. iur. Martin Hablützel mit.
Gegen diesen Entscheid erhob die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 20. April 2012 Beschwerde in Zivilsachen mit dem Antrag, diesen aufzuheben und die Klage abzuweisen. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid ohne Teilnahme von Handelsrichter Hablützel an die Vorinstanz zurückzuweisen (Verfahren 4A_217/2012). Diesen Eventualantrag begründete die Beschwerdeführerin damit, Martin Hablützel führe als Anwalt regelmässig Prozesse gegen sie und er habe auch entsprechende Mandate, die noch offen seien. Dasselbe gelte auch für weitere Anwälte aus seiner Kanzlei.
B. Bereits am 16. März 2012 hatte die Beschwerdeführerin dem Handelsgericht zudem unter Hinweis auf Art. 51 ZPO die Anträge gestellt, das Vorurteil vom 1. März 2012 aufzuheben und einen neuen Entscheid ohne Mitwirkung von Handelsrichter Hablützel zu fällen. Das Handelsgericht wies diese Anträge mit Beschluss vom 10. April 2012 ab. Es erwog, Art. 51 ZPO sei auf das vorliegende Verfahren intertemporalrechtlich nicht anwendbar. Nach dem früheren zürcherischen Verfahrensrecht sei die nachträgliche Ablehnung einer Gerichtsperson nicht möglich. Um die Ablehnung geltend zu machen und die Aufhebung des Vorurteils zu erwirken, müsse die Beschwerdeführerin den Rechtsmittelweg beschreiten.
Am 14. Mai 2012 erhob die Beschwerdeführerin eine zweite Beschwerde in Zivilsachen (Verfahren 4A_277/2012). Sie beantragt, den Beschluss vom 10. April 2012 und das darin erwähnte Vorurteil vom 1. März 2012 aufzuheben. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, zur Aufhebung des Vorurteils vom 1. März 2012 und neuem Entscheid ohne Teilnahme von Handelsrichter Hablützel.
C. Die Beschwerdegegnerin stellt in den Verfahren 4A_217/2012 und 4A_277/2012 die folgenden identischen Anträge: Es sei, soweit das Bundesgericht darüber zu befinden habe, das Ausstandsbegehren abzulehnen. Auf die Beschwerde gegen das angefochtene Vorurteil sei nicht einzutreten. Eventuell sei die im Vorurteil beurteilte Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Subeventuell sei die Beschwerde gegen das Vorurteil abzuweisen.
Am 18. Juli 2012 reichte das Handelsgericht im Verfahren 4A_217/2012 eine Stellungnahme zur Behauptung der Beschwerdeführerin ein, wonach Handelsrichter Martin Hablützel ihr gegenüber befangen sei.
Die Beschwerdeführerin äusserte sich dazu mit Eingabe vom 31. Juli 2012.
Erwägungen:
1. Die Parteien beantragen, die Verfahren 4A_217/2012 und 4A_277/2012 zu vereinigen. An den beiden Verfahren sind dieselben Parteien beteiligt, den Beschwerden liegt im Wesentlichen der gleiche Sachverhalt zu Grunde und es werden darin weitgehend identische Anträge gestellt. Die Beschwerden haben beide die Aufhebung des Vorurteils vom 1. März 2012 wegen Befangenheit von Handelsrichter Hablützel zum Ziel. Es rechtfertigt sich daher, dem gestellten Verfahrensantrag in dem Sinn zu entsprechen, dass beide Beschwerden in einem Urteil zu behandeln sind.
2. Mit dem Vorurteil vom 1. März 2012 bejahte die Vorinstanz die Aktivlegitimation der Beschwerdegegnerin zur Geltendmachung der von dieser eingeklagten Ansprüche. Die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde 4A_217/2012, mit der gerügt wird, durch die Mitwirkung von Handelsrichter Hablützel bei diesem Entscheid seien Vorschriften über den Ausstand von Richtern verletzt worden, ist nur zulässig, wenn diese Rüge mit keinem kantonalen Rechtsmittel erhoben werden kann (Art. 75 Abs. 1 BGG; BGE 138 III 130 E. 2.1; 134 III 524 E. 1.3 S. 527). Der Begriff des Rechtsmittels in diesem Sinne ist weit zu verstehen und umfasst jeden Rechtsbehelf, der dem Beschwerdeführer einen Anspruch auf einen Entscheid der angerufenen Behörde gibt und geeignet ist, den behaupteten rechtlichen Nachteil zu beseitigen (BGE 137 III 417 E. 1.2 S. 418).
Da das Vorurteil vom 1. März 2012 nach Inkrafttreten der ZPO am 1. Januar 2011 eröffnet wurde, bestimmt sich ein zulässiges Rechtsmittel nach dem neuen Recht (vgl. Art. 405 Abs. 1 ZPO; BGE 138 III 41 E. 1.2.2). Eine Anfechtung mit kantonaler Nichtigkeitsbeschwerde nach §§ 281 Ziff. 1 und 285 Abs. 2 aZPO/ZH ist danach ausgeschlossen (vgl. BGE 137 III 424 E. 2.3.1 in fine; DENIS TAPPY, in: Code de procédure civile commenté, François Bohnet und andere [Hrsg.], 2011, N. 34 zu Art. 405 ZPO).
Zu prüfen ist im vorliegenden Fall, ob eine Aufhebung des Vorurteils vom 1. März 2012 gestützt auf Art. 51 Abs. 1 ZPO in Betracht fällt. Nach dieser Bestimmung sind Amtshandlungen, an denen eine zum Ausstand verpflichtete Gerichtsperson mitgewirkt hat, aufzuheben und zu wiederholen, sofern dies eine Partei innert zehn Tagen verlangt, nachdem sie vom Ausstandsgrund Kenntnis erhalten hat. Damit wird dem Rechtsuchenden ein Rechtsbehelf zur Verfügung gestellt, mit dem er Ausstandsgründe im Rahmen des vor einer Instanz laufenden Verfahrens geltend machen kann (GUIDO E. URBACH, in: ZPO-Kommentar, Gehri/Kramer [Hrsg.], 2010, N. 3 zu Art. 49 ZPO). Soweit dieser ergriffen werden kann, fehlt es an einer Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs als Zulässigkeitsvoraussetzung für die Beschwerde in Zivilsachen 4A_217/2012.
Die Vorinstanz verneinte in ihrem Beschluss vom 10. April 2012, dass der Rechtsbehelf nach Art. 51 Abs. 1 ZPO vorliegend offen stehe, und lehnte den Antrag der Beschwerdeführerin ab (bzw. trat auf diesen nicht ein), das Vorurteil vom 1. März 2012 gestützt auf diese Bestimmung aufzuheben. Da die Zulässigkeit der Beschwerde gegen das Vorurteil vom 1. März 2012 (4A_217/2012) nach dem Ausgeführten von der Rechtsbeständigkeit dieses Beschlusses abhängt, ist im Folgenden zuerst die gegen diesen Beschluss gerichtete Beschwerde 4A_277/2012 zu behandeln.
3. 3.1 Der Beschluss vom 10. April 2012 hat in der Sache ein Ausstandsbegehren zum Gegenstand. Er bildet einen Zwischenentscheid (vgl. Urteil 4A_542/2009 vom 27. April 2010 E. 3) im Sinne von Art. 92 BGG, gegen den die Beschwerde in Zivilsachen offen steht. Nicht eingetreten kann allerdings auf den im Rahmen der Beschwerde 4A_277/2012 gestellten Antrag auf Aufhebung des Vorurteils vom 1. März 2012 bzw. auf Rückweisung an die Vorinstanz mit der verbindlichen Anweisung, dieses Vorurteil aufzuheben. Nachdem die Vorinstanz diesen Antrag im angefochtenen Beschluss vom 10. April 2012 nicht materiell beurteilte, könnte das Bundesgericht bei einer Gutheissung dieser Beschwerde, wie auch die Beschwerdeführerin anerkennt, einzig die Sache an die Vorinstanz zurückweisen, damit diese über das Ausstandsbegehren bzw. über den Antrag gemäss Art. 51 Abs. 1 ZPO entscheide. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in Zivilsachen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass, so dass auf die Beschwerde 4A_277/2012 unter dem vorstehenden Vorbehalt einzutreten ist.
3.2 Die Vorinstanz verneinte die intertemporalrechtliche Anwendbarkeit von Art. 51 ZPO. Sie vermochte daher den Mangel des Vorentscheids vom 1. März 2012 infolge der Mitwirkung des befangenen Handelsrichters Hablützel nicht gestützt auf diese Bestimmung zu beheben. Sie hielt dazu zunächst zutreffend und unangefochten fest, auf das vorliegende, am 21. Mai 2010 eingeleitete Verfahren sei nach Art. 404 Abs. 1 ZPO bis zum Endentscheid, der das vorinstanzliche Verfahren abschliesst, das frühere kantonale Prozessrecht und nicht die ZPO (einschliesslich deren Art. 51) anwendbar (vgl. dazu BGE 138 I 1 E. 2.1 S. 2 f.). Sodann prüfte die Vorinstanz, ob die Anwendung von Art. 51 ZPO auf Art. 405 Abs. 1 ZPO gestützt werden könnte, wonach für die Rechtsmittel das Recht gilt, das bei der Eröffnung des Entscheides in Kraft ist. Sie anerkannte zwar, dass diese Bestimmung auf alle Arten von Rechtsmitteln, namentlich auch auf Rechtsbehelfe anwendbar sei. Erfasst seien indessen nur die unter dem 9. Titel der ZPO ("Rechtsmittel") genannten Rechtsbehelfe, weshalb ein Gesuch nach Art. 51 ZPO nicht darunterfalle.
3.3 Es trifft nach diesen Ausführungen zunächst nicht zu, dass die Vorinstanz Art. 405 ZPO ausser Acht gelassen hätte, weil sie den Anwendungsbereich dieser Norm auf (Rechtsmittel gegen) Endentscheide beschränkt hätte (vgl. dazu BGE 138 III 41 E. 1.2.2; 137 III 424 E. 2.3 mit Hinweis). Der entsprechende Vorwurf der Beschwerdeführerin und ihre Ausführungen dazu stossen daher ins Leere. Entgegen den weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin schloss die Vorinstanz die Anwendbarkeit von Art. 405 Abs. 1 ZPO auf den vorliegenden Fall auch nicht schon deshalb aus, weil es sich bei einem Gesuch nach Art. 51 ZPO um einen Rechtsbehelf handelt, sondern weil der Begriff des Rechtsmittels nach Art. 405 Abs. 1 ZPO nur die im 9. Titel der ZPO aufgeführten Rechtsbehelfe erfasse. Mit dieser entscheidenden Begründung setzt sich die Beschwerdeführerin mit keinem Wort auseinander, weshalb auf die Beschwerde 4A_277/2012 an sich mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten wäre (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.). Da die Unzulässigkeit eines Gesuchs nach Art. 51 ZPO im vorliegenden Fall indessen Voraussetzung dafür ist, dass auf die Beschwerde 4A_217/2012 eingetreten werden kann (Erwägung 2 vorne), ist die Frage, ob der Begriff des Rechtsmittels nach Art. 405 Abs. 1 ZPO auch den Rechtsbehelf nach Art. 51 ZPO umfasst, im Rahmen der entsprechenden Eintretensprüfung von Amtes wegen zu beantworten (BGE 137 III 417 E. 1).
3.4 Der Wortlaut von Art. 405 Abs. 1 ZPO spricht von "Rechtsmitteln" gegen einen eröffneten "Entscheid". Rechtsmittel im Sinne dieser Bestimmung richten sich damit gegen einen gerichtlichen Entscheid, mithin gegen einen formellen Entscheid des Gerichts, wenn von der Möglichkeit einer Rechtsverzögerungsbeschwerde gegen einen Nichtentscheid nach Art. 319 lit. c ZPO abgesehen wird (vgl. FREI/WILLISEGGER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, N. 6 f. zu Art. 405 ZPO). Als Rechtsmittel in diesem Sinn werden in der Lehre die im 9. Titel der ZPO (Art. 308 ff.) aufgeführten Rechtsmittel bzw. Rechtsbehelfe der Berufung, der Beschwerde, der Erläuterung und der Berichtigung genannt (FREI/WILLISEGGER, a.a.O., N. 6 zu Art. 405 ZPO; TAPPY, a.a.O., N. 3 zu Art. 405 ZPO; FREIBURGHAUS/AFHELDT, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 2010, N. 7 ff. zu Art. 405 ZPO). Im Gegensatz zu Rechtsmitteln in diesem Sinn kann sich ein Aufhebungsantrag nach Art. 51 Abs. 1 ZPO gegen Amtshandlungen schlechthin richten, d.h. auch gegen Prozesshandlungen des Gerichts, die nicht in einem formellen Entscheid ergangen und eröffnet worden sind, wie z.B. die Einvernahme von Zeugen. Bei solchen handelt es sich um Realakte, bei denen der einzuschlagende Rechtsweg nicht immer einfach und klar vorgegeben ist, da eigentliche Rechtsmittel regelmässig eine Verfügung oder einen Erlass als Anfechtungsobjekt voraussetzen (vgl. BGE 128 I 167 E. 4.5 S. 174; 121 I 87 E. 1b S. 91). Bei Art. 51 Abs. 1 ZPO handelt es sich um eine Spezialbestimmung, welche die Aufhebung und Wiederholung von Amtshandlungen im weitesten Sinn ermöglicht, wenn ein Ausstandsgrund vor Abschluss bzw. während des laufenden Verfahrens vor der betreffenden Instanz entdeckt wird (Art. 51 Abs. 3 ZPO e contrario), und die für diesen Fall die Geltendmachung des Ausstandsgrundes mittels Anfechtung eines Zwischenentscheides mit einem Rechtsmittel im eigentlichen Sinn ausschliesst. Die Ergreifung eines Rechtsmittels im Sinne von Art. 405 Abs. 1 ZPO kommt in zutreffender Auslegung von Art. 51 Abs. 3 ZPO zur Geltendmachung eines Ausstandsgrunds nur dann in Betracht, wenn der Ausstandsgrund nach Abschluss des Verfahrens vor der betreffenden Instanz (mithin nach Ergehen eines formellen Endentscheids) aber vor Ablauf der Rechtsmittelfrist, also vor der Rechtskraft des Entscheids entdeckt wird (Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7221 ff., Ziff. 5.2.3 zu Art. 49 E-ZPO S. 7273; TAPPY, a.a.O., N. 3 und 15 f. zu Art. 51 ZPO; STEPHAN WULLSCHLEGER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 2010, N. 10 zu Art. 51 ZPO; MARK LIVSCHITZ, in: Handkommentar zur ZPO, Baker & McKenzie [Hrsg.], 2010, N. 6 zu Art. 51 ZPO).
Die Vorinstanz verneinte damit zutreffend, dass Art. 51 Abs. 1 ZPO im vorliegenden Fall gestützt auf Art. 405 Abs. 1 ZPO angewendet werden kann. Da auf das Verfahren vor Handelsgericht im Übrigen das bisherige kantonale Prozessrecht anwendbar bleibt (Art. 404 Abs. 1 ZPO), fällt eine Anwendung von Art. 51 ZPO auch insoweit ausser Betracht.
3.5 Die Beschwerde 4A_277/2012 ist somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Nach dem Dargelegten fällt eine Aufhebung des Vorentscheids vom 1. März 2012 gestützt auf Art. 51 Abs. 1 ZPO intertemporalrechtlich ausser Betracht. Im Folgenden ist daher die gegen den Vorentscheid vom 1. März 2012 gerichtete Beschwerde 4A_217/2012 zu prüfen.
4. 4.1 Gemäss den Ausführungen der Vorinstanz kann in Fällen, in denen wie vorliegend keine öffentliche Beratung stattfand, ein erst nach Fällung eines Urteils eingegangenes Ausstandsbegehren nach den Regeln des anwendbaren zürcherischen Rechts nicht zur Aufhebung des Urteils durch das Gericht führen. Die Korrektur müsse auf dem Rechtsmittelweg erfolgen. Von dieser unbestrittenen Rechtslage ist hier auszugehen.
Das Vorurteil vom 1. März 2012 erging vom Handelsgericht des Kantons Zürich als einziger kantonaler Instanz im Sinne von Art. 6 ZPO und ist nach Art. 75 Abs. 2 lit. b BGG mit Beschwerde in Zivilsachen anfechtbar (vgl. zur Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs im Übrigen die vorstehenden Erwägungen 2 und 3).
4.2 Das genannte Vorurteil hat einzig den Entscheid über die Vorfrage der Aktivlegitimation der Beschwerdegegnerin zum Inhalt und stellt damit, wie die Beschwerdeführerin anerkennt, formell nicht einen Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren im Sinne von Art. 92 BGG dar, gegen den die Beschwerde in Zivilsachen offen steht (vgl. BGE 133 III 645 E. 2.1; Urteil 2C_507/2008 vom 14. Juli 2008 E. 2.2; Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4202 ff., Ziff. 4.1.4.1 zu Art. 87/88 E-BGG S. 4333).
Ob es sich um einen anfechtbaren Entscheid handelt, bestimmt sich nach der Praxis des Bundesgerichts indessen nicht bloss nach der äusseren Bezeichnung oder nach dem äusseren Inhalt eines Entscheides, d.h. nach den darin explizit abgehandelten Fragen (vgl. BGE 136 III 200 E. 2.3.3 S. 205, 597 E. 4). So hat das Bundesgericht beispielsweise verschiedentlich Entscheide über Gesuche um Sistierung von Verfahren als solche über die Zuständigkeit qualifiziert, wenn das Gericht mit seinem Entscheid über die Einstellung oder Nichteinstellung des Verfahrens implizit zum Ausdruck brachte, dass es sich zur Beurteilung gewisser Ansprüche für zuständig oder für unzuständig betrachtete (vgl. BGE 138 III 190 E. 5; 136 III 597 E. 4.2 in fine; 123 III 414 E. 2b; 116 Ia 154 E. 3b S. 158 f.; Urteil 4A_210/2008 vom 29. Oktober 2008 E. 2.1; vgl. auch das Urteil 4A_614/2010 vom 6. April 2011 E. 3.2.3).
Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe mit der Fällung des Vorentscheids unter Mitwirkung von Handelsrichter Hablützel ein zu erwartendes Ablehnungsbegehren antizipiert abgewiesen, mithin implizit über das Nichtvorliegen von Ausstandsgründen entschieden. Sie bringt dazu vor, die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich habe nur zehn Tage vor dem angefochtenen Vorurteil, am 20. Februar 2012, ein Ablehnungsbegehren der Beschwerdeführerin gegen Handelsrichter Hablützel in einem anderen Prozess am gleichen Handelsgericht gutgeheissen. Der Ausschluss von Handelsrichter Hablützel sei unter anderem erfolgt wegen der "negativen Dauerbeziehung", die sich daraus ergäbe, dass er und andere Anwälte aus seiner Kanzlei regelmässig Prozesse gegen die Beschwerdeführerin führten. Dieser rechtskräftige Entscheid der Verwaltungskommission sei dem Handelsgericht mitgeteilt worden und überdies habe das Handelsgericht die Vorbehalte der Beschwerdeführerin betreffend die Unbefangenheit von Handelsrichter Hablützel schon seit ihrem Ablehnungsbegehren vom 27. September 2011 in jenem Prozess gekannt. Das Handelsgericht habe den angefochtenen Entscheid unter Mitwirkung von Handelsrichter Hablützel gefällt, obwohl ihm in dieser Situation klar gewesen sei, dass die Beschwerdeführerin diesen wohl auch im vorliegenden Verfahren ablehnen würde und gute Chancen hätte, damit durchzudringen. Dies ohne der Beschwerdeführerin vorgängig Gelegenheit einzuräumen, sich zur Mitwirkung von Handelsrichter Hablützel zu äussern. Damit habe es seinen Entscheid über ein zu erwartendes Ablehnungsbegehren vorweggenommen.
Diese von der Beschwerdeführerin mit Urkunden belegten Vorbringen blieben in tatsächlicher Hinsicht unbestritten. Sie werden überdies durch die Stellungnahme des Handelsgerichts im vorliegenden Verfahren im Wesentlichen bestätigt, namentlich auch soweit, als Handelsrichter Hablützel offene Mandatsbeziehungen gegen die Beschwerdeführerin hat. Der Beschwerdeführerin ist beizupflichten, dass der Vorentscheid vom 1. März 2012 in der gegebenen Situation so verstanden werden kann, dass das Handelsgericht damit den Entscheid über ein zu erwartendes Ausstandsbegehren implizit vorwegnahm und einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 92 BGG über ein Ausstandsbegehren fällte.
Diese Betrachtungsweise rechtfertigt sich insbesondere angesichts der besonderen übergangsrechtlichen Situation. Diese könnte - vorbehältlich einer Zulassung der Beschwerde nach Art. 93 Abs. 1 BGG - dazu führen, dass die Beschwerdeführerin, würde die Qualität des angefochtenen Vorurteils als Zwischenentscheid im Sinne von Art. 92 BGG verneint, jeglicher Möglichkeit beraubt wäre, das Vorurteil vor Ergehen des Endurteils wegen Verletzung von Vorschriften über den Ausstand anzufechten: Wie vorstehend dargelegt (Erwägungen 2 und 3), steht ihr im vorliegenden Fall weder ein Aufhebungsantrag nach Art. 51 ZPO noch eine Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich offen. Sie wäre somit trotz der bestrittenen Aktivlegitimation der Beschwerdegegnerin und des ihrer Ansicht nach unter Verletzung von Ausstandsbestimmungen zu Stande gekommenen diesbezüglichen Entscheids vom 1. März 2012 zur Weiterführung des Prozesses am Handelsgericht bis zum Endurteil gezwungen. Dies würde dem Zweck von Art. 92 BGG widersprechen, gerichtsorganisatorische Fragen in jedem Verfahren frühstmöglich zu bereinigen, ohne den Ausgang der Hauptsache abzuwarten (BGE 133 IV 288 E. 2.1 S. 290; vgl. auch BGE 130 III 66 E. 4.3 mit Hinweisen).
4.3 Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde 4A_217/2012 erfüllt sind, ist auf diese Beschwerde einzutreten.
5. Da auf das handelsgerichtliche Verfahren, in dessen Rahmen der angefochtene Entscheid erging, das bisherige kantonale Prozessrecht anwendbar ist (Erwägung 3.2 vorne), werden die Ausstandsgründe in erster Linie durch dasselbe geregelt. Da die Beschwerdeführerin aber keine willkürliche Anwendung von kantonalrechtlichen Ausstandsbestimmungen geltend macht, ist einzig im Lichte der Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu prüfen, ob mit der Fällung des Vorurteils vom 1. März 2012 unter Mitwirkung von Handelsrichter Hablützel gegen den Anspruch auf einen unabhängigen und unbefangenen Richter verstossen wurde (vgl. BGE 138 I 1 E. 2.1 S. 2 f.).
5.1 Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf, dass ihre Streitsache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, welche ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das gerichtliche Urteil einwirken. Art. 30 Abs. 1 BV soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen (BGE 138 I 1 E. 2.2 S. 3; 136 I 207 E. 3.1; 134 I 238 E. 2.1 S. 240).
Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird bereits verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinne werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten aufscheinen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit hervorrufen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (BGE 138 I 1 E. 2.2 S. 3; 136 I 207 E. 3.1 S. 210; 134 I 238 E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen).
5.2 Nach dem vorstehend (Erwägung 4.3) Ausgeführten steht fest, dass Handelsrichter Hablützel als Rechtsanwalt und andere Anwälte aus seiner Kanzlei regelmässig Prozesse gegen die Beschwerdeführerin führten und auch offene Mandatsbeziehungen gegen die Beschwerdeführerin bestehen.
Diese Umstände waren der Beschwerdeführerin (bzw. auch ihrem Rechtsvertreter) seit längerer Zeit bekannt, stellte sie doch nach eigenem Bekunden genau wegen derselben bereits im September 2011 (mit Erfolg) ein Ausstandsbegehren gegen Handelsrichter Hablützel. Es stellt sich daher die Frage, ob die Beschwerdeführerin nicht gehalten gewesen wäre, auch im vorliegenden Hauptverfahren vor Handelsgericht bereits früher ein Ausstandsbegehren zu stellen.
Wer einen Ablehnungsgrund nicht unverzüglich nach dessen Kenntnisnahme geltend macht, verwirkt den Anspruch auf seine spätere Anrufung. Denn es verstösst gegen den Grundsatz von Treu und Glauben, Einwendungen dieser Art erst im Rechtsmittelverfahren vorzubringen, wenn der Mangel schon vorher hätte festgestellt werden können (BGE 138 I 1 E. 2.2 S. 4; 136 I 207 E. 3.4 S. 211; 134 I 20 E. 4.3.1 S. 21; 130 III 66 E. 4.3 S. 75; 116 Ia 485 E. 2c S. 487). Solange aber dem Betroffenen nicht mitgeteilt wird, welche Personen am Entscheid mitwirken, kann er nicht beurteilen, ob sein verfassungsmässiger Anspruch auf richtige Besetzung des Gerichts und eine unparteiische Beurteilung seiner Sache gewahrt worden ist. Vor allem ist es ihm ohne Kenntnis der personellen Zusammensetzung des Gerichts nicht möglich, Ausstandsgründe zu erkennen und gegebenenfalls geltend zu machen (BGE 117 Ia 322 E. 1c S. 323).
Können die Namen der entscheidenden Richter einer allgemein zugänglichen Publikation entnommen werden und ist die Partei durch einen Anwalt vertreten, hat sie allerdings auf jeden Fall die ordentliche Besetzung eines Gerichts zu kennen (BGE 117 Ia 322 E. 1c S. 323). Im vorliegenden Fall war der Beschwerdeführerin unabhängig davon bekannt, dass Martin Hablützel bei der Vorinstanz als nebenamtlicher Handelsrichter tätig ist. Bestehen aber innerhalb eines Gerichts für die Zuteilung der Geschäfte an verschiedene Kammern oder für die Zusammensetzung derselben vielfache Wahlmöglichkeiten, kann nicht davon gesprochen werden, dass zum Voraus bekannt wäre, in welcher Zusammensetzung in einem Fall entschieden werde. In einem solchen Fall kann nicht verlangt werden, dass ein Organmangel vor einer persönlichen (beispielsweise an einer mündlichen Verhandlung) oder mit dem Urteil erfolgten Bekanntgabe der Zusammensetzung des Spruchkörpers gerügt werde (BGE 116 Ia 485 E. 2c S. 487 f.; vgl. auch die Urteile 1P.21/1999 vom 23. April 1999 E. 3d; 1P.611/1997 vom 26. Juni 1998 E. 3b; 1P.665/1991 vom 15. Mai 1992 E. 3b, in ZBl 94/1993 S. 85 f.). Zu einer vorgängigen Geltendmachung eines Ausstandsgrundes ist der Rechtssuchende auch nicht gehalten, wenn er damit rechnen darf, der abzulehnende Richter werde von sich aus in den Ausstand treten (vgl. BGE 117 Ia 322 E. 1c S. 324).
Es ist gerichtsnotorisch, dass beim Handelsgericht des Kantons Zürich vielfache Wahlmöglichkeiten für die Zusammensetzung der Kammern bestehen (vgl. dazu auch BGE 136 I 207 E. 3.5.1). Nach den unbestrittenen und urkundlich belegten Vorbringen der Beschwerdeführerin hatte das Handelsgericht diese in einem anderen Fall auf den geplanten Einsatz von Handelsrichter Hablützel hingewiesen und ihn angefragt, ob er dagegen Einwendungen erheben würde, worauf sie das bereits erwähnte Ausstandsbegehren stellte. Im vorliegenden Fall ist demgegenüber nicht festgestellt, dass die Zusammensetzung des Spruchkörpers, der den angefochtenen Entscheid fällte, der Beschwerdeführerin im Voraus mitgeteilt worden wäre. Schon aus diesen Gründen konnte von der Beschwerdeführerin nicht verlangt werden, dass sie im vorliegenden Hauptverfahren vorsorglich ein Ausstandsbegehren gegen Handelsrichter Hablützel stellte. Dies gilt umso mehr, als sie in keiner Weise damit rechnen musste, das Handelsgericht werde im vorliegenden Fall, ohne sie vorgängig darüber zu informieren, in der Zusammensetzung mit Handelsrichter Hablützel amten, nachdem dem Handelsgericht ihre Vorbehalte betreffend dessen Unbefangenheit bereits aus dem Ausstandsbegehren vom September 2011 bekannt waren. Nach der Eröffnung des den Ausstandsgrund bejahenden Entscheids der Verwaltungskommission vom 20. Februar 2012 musste die Beschwerdeführerin schon gar nicht mehr erwarten, dass Handelsrichter Hablützel an einem Entscheid im streitbetroffenen Hauptverfahren mitwirkt.
Mit der fristgerechten Geltendmachung des Ausstandsgrundes in ihrem Gesuch nach Art. 51 ZPO und in der vorliegenden Beschwerde hat die Beschwerdeführerin ihre Einwände zeitgerecht vorgebracht, und zwar auch mit Blick auf die Vorschrift von Art. 92 Abs. 2 BGG.
5.3 Das Bundesgericht hielt in einem Entscheid aus dem Jahre 1990 fest, dass ein als Richter amtender Anwalt befangen erscheine, wenn zu einer Partei ein noch offenes Mandat besteht oder er für eine Partei in dem Sinne mehrmals anwaltlich tätig wurde, dass zwischen ihnen eine Art Dauerbeziehung besteht. Dies gelte unabhängig davon, ob das Mandat in einem Sachzusammenhang mit dem zu beurteilenden Streitgegenstand stehe oder nicht. Zu bedenken sei, dass ein Anwalt auch ausserhalb seines Mandats versucht sein könne, in einer Weise zu handeln, die seinen Klienten ihm gegenüber weiterhin wohlgesinnt sein lasse (BGE 116 Ia 485 E. 3b S. 489 f.).
In BGE 135 I 14 ging das Bundesgericht nach Auseinandersetzung mit der neueren Lehre und Rechtsprechung einschliesslich jener des EGMR noch einen Schritt weiter. Es erkannte, dass ein als Richter bzw. Schiedsrichter amtierender Anwalt nicht nur dann als befangen erscheint, wenn er in einem anderen Verfahren eine der Prozessparteien vertritt oder kurz vorher vertreten hat, sondern auch dann, wenn im anderen Verfahren ein solches Vertretungsverhältnis zur Gegenpartei einer der Prozessparteien besteht bzw. bestand (BGE 135 I 14 E. 4.1 - 4.3). Es erwog dazu, in Fällen, in denen der Richter in anderen Verfahren zwar nicht die Prozesspartei selbst, sondern deren Gegenpartei vertritt oder vertrat, bestehe insofern ein Anschein der Befangenheit, als die Prozesspartei objektiv gesehen befürchten könne, der Richter könnte nicht zu ihren Gunsten entscheiden wollen, weil sie im anderen Verfahren Gegenpartei seines Mandanten sei. Daran ändere nichts, dass von einem Anwalt, der als (nebenamtlicher) Richter oder als Schiedsrichter tätig sei, erwartet werden können sollte, dass er in einem zu beurteilenden Fall beiden Prozessparteien gleichermassen Gerechtigkeit widerfahren lässt, unabhängig davon, dass er in einem anderen Verfahren als Anwalt gegen eine der Prozessparteien auftritt oder auftrat. Das Bundesgericht wies dazu auf die Erfahrungstatsache hin, dass eine Prozesspartei ihre negativen Gefühle gegenüber der Gegenpartei oft auf deren anwaltlichen Vertreter überträgt, da dieser die Gegenpartei in der Auseinandersetzung mit ihr unterstützt. Für viele Parteien gelte der Anwalt der Gegenpartei ebenso als Gegner wie die Gegenpartei selbst, umso mehr, als er als der eigentliche Stratege im Prozess wahrgenommen werde. Es sei deshalb nachvollziehbar, dass eine Partei von einem Richter, der sie in einem anderen Verfahren als Vertreter der dortigen Gegenpartei bekämpft(e) und sie - aus ihrer Sicht - möglicherweise um ihr Recht bringen wird oder gebracht hat, nicht erwartet, er werde ihr plötzlich völlig unbefangen gegenübertreten (E. 4.3 S. 18).
Nachdem vorliegend feststeht, dass Handelsrichter Hablützel als Rechtsanwalt und andere Anwälte aus seiner Kanzlei regelmässig Prozesse gegen die Beschwerdeführerin führten und auch offene Mandatsbeziehungen gegen die Beschwerdeführerin bestehen, ist nach dieser Rechtsprechung ohne weiteres vom objektiven Anschein der Befangenheit von Handelsrichter Hablützel im vorliegenden Verfahren auszugehen. Die Vorinstanz verletzte somit Art. 30 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, indem sie unter seiner Mitwirkung den angefochtenen Entscheid fällte.
5.4 Was die Beschwerdegegnerin dagegen vorbringt, vermag nicht durchzudringen.
5.4.1 Sie hält dafür, die in BGE 135 I 14 erfolgte Präzisierung der Rechtsprechung gehe insofern zu weit, als bestehende oder seit kurzem abgeschlossene Vertretungsmandate eines Richters zu einer Gegenpartei einer der Prozessparteien in einem anderen Verfahren zwangsläufig und abstrakt den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit begründeten. Es sollte ihrer Auffassung nach immer konkret und fallbezogen geprüft werden, ob bei objektiver Betrachtungsweise berechtigterweise vom Anschein der Befangenheit ausgegangen werden könne. Dies sei nicht der Fall, wenn keine besondere Interessenlage gegeben sei, und es gebe keine Gründe, eine negative Dauerbeziehung immer gleich umfassend zu sehen. Dies wäre mit einem Menschenbild, von dem auszugehen sei und bei dem nicht negative Gefühle, sondern Unbefangenheit kraft Fachkenntnis und Amtsverpflichtung vorherrschten, nicht zu vereinbaren.
Damit vermag die Beschwerdegegnerin die in BGE 135 I 14 begründete Rechtsprechung, die mit derjenigen des EGMR harmoniert (vgl. den Hinweis in BGE 135 I 14 E. 4.1 S. 17) und vom Bundesgericht mehrfach bestätigt wurde (Urteil 4F_8/2010 E. 2.5 vom 18. April 2011; vgl. auch die Urteile 2D_29/2009 vom 12. April 2011 E. 3 und 4A_256/2010 vom 26. Juli 2010 E. 2.1, in: sic! 12/2010 S. 917 ff.) nicht in Frage zu stellen, geht sie doch nicht hinreichend auf die Begründung in BGE 135 I 14 ein. Insbesondere übersieht die Beschwerdegegnerin, dass das Bundesgericht in jenem Urteil durchaus berücksichtigte, dass von einem Anwalt, der als (nebenamtlicher) Richter tätig ist, an sich zu erwarten sei, dass er zwischen seiner amtlichen und seiner beruflichen Tätigkeit zu unterscheiden weiss. Es anerkannte, dass der Umstand, wonach er in einem anderen Verfahren als Anwalt gegen eine der Prozessparteien auftritt oder auftrat, ihn an sich nicht daran hindern sollte, als Richter auch dieser Gerechtigkeit widerfahren zu lassen. Das Bundesgericht entschied aber, es sei dennoch von einem objektiven Anschein der Befangenheit auszugehen, weil der Anwalt der Gegenpartei für viele Parteien ebenso als Gegner gelte wie die Gegenpartei selbst und die Partei daher nicht erwarte, er werde ihr in seinem Amt als Richter plötzlich völlig unbefangen gegenübertreten. Dies gelte unabhängig davon, ob das Mandat des Anwalts in einem Sachzusammenhang mit dem als Richter zu beurteilenden Streitgegenstand stehe oder nicht. Weshalb es in Fällen wie dem vorliegenden entgegen diesen Erwägungen vertretbar sein soll, eine konkrete und fallbezogene Prüfung vorzunehmen, statt ungeachtet der weiteren konkreten Umstände (abstrakt) von einem Anschein der Befangenheit auszugehen, legt die Beschwerdegegnerin nicht dar.
5.4.2 Weiter bringt die Beschwerdegegnerin vor, die kritisierte Rechtsprechung führe dazu, dass Handelsrichter, die auch als Fachanwälte tätig seien, ihre eigentlich erwünschte Fachkompetenz in den entscheidenden Fällen kaum mehr in die Rechtsprechung einfliessen lassen könnten. Damit werde die Institution des Handelsgerichts an sich in Frage gestellt. Damit argumentiert sie von den möglichen Auswirkungen dieser Rechtsprechung her und bringt kein sachdienliches Argument vor, das dieselbe in Frage zu stellen vermöchte. Namentlich sind ihre Bedenken unbegründet, die Anwendung der kritisierten Rechtsprechung könnte dazu führen, dass auch Handelsrichter, bloss weil aus der Versicherungsbranche stammend, als befangen betrachtet werden könnten. Dass dies der Fall sei, hat das Bundesgericht in BGE 136 I 207 mit ausführlicher Begründung verneint.
5.4.3 Nach dem Ausgeführten sind die Voraussetzungen für eine Änderung der Rechtsprechung (vgl. BGE 138 III 359 E. 6.1; 137 V 282 E. 4.2, 314 E. 2.2) offensichtlich nicht erfüllt und bleibt es dabei, dass Handelsrichter Hablützel im streitbetroffenen Verfahren als befangen zu gelten hat.
6. Da der Anspruch auf einen unabhängigen und unbefangenen Richter formeller Natur ist (BGE 132 V 92 E. 6.5 S. 108), führt dessen Verletzung zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids, ungeachtet der Erfolgsaussichten des Standpunkts der Beschwerdeführerin in der Hauptsache selber (Urteil 2C_732/2008 vom 24. März 2009 E. 2.2.2). Es erübrigt sich daher, auf die diesbezüglichen Vorbringen der Beschwerdeführerin einzugehen.
Die Beschwerde 4A_217/2012 ist im Eventualantrag gutzuheissen, das angefochtene Vorurteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 1. März 2012 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung ohne die Mitwirkung von Handelsrichter Martin Hablützel an die Vorinstanz zurückzuweisen.
7. Die Beschwerdegegnerin ist eine juristische Person des öffentlichen Rechts, die im vorliegenden Fall in ihrem Vermögensinteresse handelt. Sie unterliegt im Verfahren 4A_217/2012 mit ihren Anträgen im Wesentlichen. Demnach sind ihr die Gerichtskosten dieses Verfahrens aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG). Sie hat überdies die Beschwerdeführerin für dieses bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).
Dem Ausgang des Verfahrens 4A_277/2012 entsprechend, sind die betreffenden Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdegegnerin ist für dieses Verfahren keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 4 S. 446).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde 4A_277/2012 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Beschwerde 4A_217/2012 wird gutgeheissen, das angefochtene Vorurteil des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 1. März 2012 aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung ohne die Mitwirkung von Handelsrichter Martin Hablützel an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3. Die Kosten des Verfahrens 4A_277/2012 von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Die Kosten des Verfahrens 4A_217/2012 von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
5. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das Verfahren 4A_217/2012 mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Oktober 2012
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer