Erwägungen:
1. Mit Entscheid vom 8. Oktober 2010 anerkannte der Kanton Bern den Gerichtsstand für die Verfolgung und Beurteilung von A._ und B._. In der Folge wurde bekannt, dass gegen den Erstgenannten bereits am 21. März 2007 im Kanton Basel-Stadt ein Strafverfahren eröffnet worden war, ohne dass dies aus dem VOSTRA-Auszug ersichtlich war. Mit Schreiben vom 1. Dezember 2010 anerkannte der Kanton Basel-Stadt die Zuständigkeit in Bezug auf A._, nicht aber für B._, und reichte die Akten an den Kanton St. Gallen weiter. Dieser sandte die Akten mit Gerichtsstandsanfrage vom 14. Januar 2011 an die Staatsanwaltschaft des Kantons Bern und beantragte in Bezug auf B._ die Verfahrensübernahme für den am 18. Juli 2010 in Oftringen/AG erfolgten Einbruchdiebstahl (nachdem im Kanton St. Gallen insgesamt neun weitere Einbrüche zu verzeichnen waren). Der Kanton Bern anerkannte seine diesbezügliche Zuständigkeit, aus seiner Sicht in Unwissenheit des Verfahrens im Kanton Basel-Stadt.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Bern ersuchte am 20. Januar 2011 die Generalstaatsanwaltschaft dieses Kantons um Prüfung der Gerichtsstandsanerkennung und Aufnahme der Gerichtsstandsverhandlungen mit dem Kanton Aargau. Daraufhin gelangte die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern am 18. März 2011 an die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm und ersuchte in Bezug auf B._ um Verfahrensübernahme, welche indes durch die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau mit Schreiben vom 23. März 2011 abgelehnt wurde. Am 2. Mai 2011 wandte sich die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern abermals an die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau und bat um Verfahrensübernahme sowie um Kontaktaufnahme mit dem Kanton St. Gallen. Dieses Ersuchen wurde seitens der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau am 12. Mai 2011 abgelehnt. Am 7. Juni 2011 gelangte die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern erneut mit demselben Begehren an die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau, welche jedoch mit Schreiben vom 8. Juni 2011 an der Ablehnung der Zuständigkeit festhielt.
Anschliessend gelangte die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern mit Gesuch vom 23. Juni 2011 an die I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts mit dem Antrag, die Behörden des Kantons Aargau seien zur Verfolgung und Beurteilung des Angeschuldigten (B._) bezüglich der ihm vorgeworfenen Taten für berechtigt und verpflichtet zu erklären; eventuell seien die Behörden des Kantons Basel-Stadt zur Verfolgung und Beurteilung des Angeschuldigten (B._) bezüglich der ihm vorgeworfenen Taten für berechtigt und verpflichtet zu erklären.
Mit Beschluss vom 13. Juli 2011 ist die I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts auf das Gesuch nicht eingetreten. In erster Linie hat sie erwogen, das Gesuch sei nur unzureichend substantiiert, so dass schon aus diesem Grund nicht darauf eingetreten werden könne. Der Vollständigkeit halber sei festzuhalten, dass die am 1. Januar 2011 in Kraft getretene eidgenössische StPO den Kantonen zwar keine genau bestimmte Frist gebe, innerhalb welcher sie nach einem gescheiterten Meinungsaustausch die I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts anzurufen hätten. In Art. 40 Abs. 2 StPO würden sie jedoch verpflichtet, dies "unverzüglich" (bzw. "sans retard" bzw. "senza indugio") zu tun. Laut der zur Publikation vorgesehenen Rechtsprechung der I. Beschwerdekammer (TPF BG.2011.7 vom 17. Juni 2011, E. 2.2, wiederholt bestätigt) werde im Normalfall auf die 10-tägige Frist gemäss Art. 396 Abs. 1 StPO verwiesen. Ein Abweichen von dieser Frist sei nur unter besonderen, von den Gesuchstellern zu spezifizierenden Umständen möglich. Im vorliegenden Fall sei der Meinungsaustausch zwischen den betroffenen Kantonen am 10. Juni 2011 abgeschlossen worden. Das Gesuch an die I. Beschwerdekammer, datierend vom 23. Juni 2011, sei gemäss Track & Trace-Auszug am 24. Juni 2011 bei der Schweizerischen Post aufgegeben worden. Die Anrufung der I. Beschwerdekammer sei mithin erst zwei Wochen nach Abschluss des Meinungsaustauschs und daher verspätet erfolgt. Gründe für ein nur ausnahmsweise mögliches Abweichen von der 10-tägigen Frist würden keine vorgebracht. Demgemäss könne auf das Gesuch auch aus diesem Grund nicht eingetreten werden.
Dieser Beschluss ist mit der Rechtsmittelbelehrung versehen, dass gegen ihn kein ordentliches Rechtsmittel gegeben ist.
2. Mit Eingabe vom 27. Juli (Postaufgabe: 28. Juli) 2011 führt die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht. Sie beantragt, der Nichteintretensbeschluss vom 13. Juli 2011 sei aufzuheben und zwecks verbindlicher Festlegung des Gerichtsstandes an das Bundesstrafgericht zurückzuweisen; eventualiter sei die Beschwerde als Aufsichtsbeschwerde im Sinne von Art. 34 des Strafbehördenorganisationsgesetzes (StBOG) zu behandeln und festzustellen, dass der angefochtene Entscheid eine Verweigerung der Fallerledigungspflicht wider Treu und Glauben darstellt.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau beantragt unter Hinweis auf Art. 79 BGG, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt stellt denselben Antrag, ergänzt mit einem auf Abweisung lautenden Eventualantrag. Die I. Beschwerdekammer verweist auf den angefochtenen Beschluss und im Übrigen darauf, dass gegen einen solchen Beschluss weder die Beschwerde in Strafsachen noch eine aufsichtsrechtliche Beschwerde zulässig sei.
3. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit einer bei ihm eingereichten Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (s. BGE 136 II 497 E. 3 S. 499 mit Hinweisen).
3.1 Gegen Entscheide der Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts ist die Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht unzulässig, soweit es sich nicht um Entscheide über Zwangsmassnahmen handelt (Art. 79 BGG). Diese Regelung ist im Rahmen der Einführung der neuen StPO unverändert geblieben.
Eine Gerichtsstandsregelung stellt keine Zwangsmassnahme im Sinne von Art. 79 BGG dar. Gerichtsstandskonflikte müssen im Interesse der Verfahrensbeschleunigung innert nützlicher Frist beendet werden, weshalb der Bundesgesetzgeber dafür seit jeher eine einzige Bundesinstanz mit abschliessender Kompetenz festgelegt hat; früher war es die Anklagekammer des Bundesgerichts, seit 2007 ist es die I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts. So hat denn das Bundesgericht auch schon im Rahmen des nunmehr durch StPO und StBOG abgelösten Bundesstrafgerichtsgesetzes festgehalten, dass gemäss Art. 28 Abs. 1 lit. g dieses Gesetzes die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts allein zuständig ist, interkantonale Zuständigkeitskonflikte zu entscheiden (Urteil 1B_333/2008 vom 18. Februar 2009 E. 3.2). Die genannte Regelung ist nunmehr durch Art. 40 Abs. 2 StPO und Art. 37 Abs. 1 StBOG abgelöst worden, ohne dass dabei der Rechtsmittelweg erweitert worden wäre.
Auf die vorliegende Beschwerde ist daher schon aus diesem Grund nicht einzutreten, da insoweit von Gesetzes wegen kein Rechtsmittel ans Bundesgericht offen steht.
3.2 Der Beschwerdeführer hält dafür, die vorliegende Angelegenheit sei analog zu BGE 137 IV 22 betreffend Zwangsmassnahmen zu betrachten. Entsprechend sei in einem Fall wie dem vorliegenden eine Rechtsmittelmöglichkeit an das Bundesgericht einzuräumen (Beschwerde S. 2 unten). Das genannte, eine Haftüberprüfung betreffende Urteil lässt sich indes nicht mit einer wie hier Verfahrensgegenstand bildenden Gerichtsstandsangelegenheit vergleichen, bei der eben keine Zwangsmassnahme in Frage steht. Der Beschwerdeführer vermag somit nichts zu seinen Gunsten daraus abzuleiten.
3.3 Soweit die vorliegende Eingabe (auch) als Aufsichtsbeschwerde gemäss Art. 34 Abs. 1 StBOG bezeichnet worden ist, wird sie zur weiteren Behandlung der Verwaltungskommission zuhanden des Bundesgerichts überwiesen.
4. Bei den gegebenen Verhältnissen sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 BGG).
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Soweit als Aufsichtsbeschwerde eingereicht, wird die Eingabe vom 27. Juli 2011 der Verwaltungskommission des Bundesgerichts zur weiteren Behandlung überwiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesstrafgericht, I. Beschwerdekammer, sowie der Verwaltungskommission des Bundesgerichts schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. September 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp