Sachverhalt:
A. Am 5. August 2009, um ca. 00.30 Uhr, kam es ausserhalb des Lokals "L._" in Luzern zu einer Auseinandersetzung zwischen mehreren Beteiligten.
B. X._ stellte gleichentags Strafantrag gegen Y._ wegen Tätlichkeiten, eventuell Körperverletzung, sowie geringfügigen Diebstahls. Er machte Schadenersatz in der Höhe der Arztkosten zuzüglich Fr. 52.-- geltend. Am 16. September 2009 erhob er Privatstrafklage gegen Y._, Z._ und gegen Unbekannt. Er verlangte, sie seien wegen Körperverletzung, Raubs und Drohung zu bestrafen und zur Zahlung einer Genugtuung von einstweilen Fr. 2'000.-- zuzüglich Zins zu verpflichten.
C. Das Amtsstatthalteramt Luzern, Abteilung Luzern-Stadt, führte eine Strafuntersuchung gegen die Angeschuldigten wegen Tätlichkeiten, Körperverletzung, Raubs, Drohung und geringfügigen Diebstahls durch. Mit Entscheid vom 10. November 2009, der von der Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern am 24. November 2009 visiert wurde, stellte das Amtsstatthalteramt die Strafuntersuchung gegen die Angeschuldigten ein und trat auf die Genugtuungs- und Zivilforderungen von X._ nicht ein.
D. X._ reichte am 11. Dezember 2009 Rekurs bei der Staatsanwaltschaft ein. Er beantragte die Ergänzung der Untersuchung und gegebenenfalls die Überweisung der Angeschuldigten an das zuständige Gericht.
E. Die Staatsanwaltschaft gelangte am 2. Februar 2010 im Verfahren nach § 138 Abs. 2 des Gesetzes über die Strafprozessordnung des Kantons Luzern vom 3. Juni 1957 (SRL 305; StPO/LU) an die Kriminal- und Anklagekommission des Obergerichts des Kantons Luzern (KAK) und stellte Antrag auf Abweisung des Rekurses.
F. Die Kriminal- und Anklagekommission wies den Rekurs am 4. März 2010 ab.
G. X._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, der Entscheid der Kriminal- und Anklagekommission sei vollumfänglich aufzuheben, die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, und dieser sei die Weisung zu erteilen, den angerufenen Zeugen A._ zu hören und ihm (X._) die Akten zur Verfügung zu stellen, sobald nach Auffassung der Vorinstanz alle wesentlichen Untersuchungshandlungen abgeschlossen seien. Eventualiter sei der Entscheid der Kriminal- und Anklagekommission vollumfänglich aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der nachstehenden Begründung an diese zurückzuweisen. Unter solidarischen Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten von Y._, Z._ und Unbekannt sowie der Staatskasse des Kantons Luzern.
H. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Nach der Rechtsprechung zu Art. 81 BGG ist der Geschädigte, der nicht Opfer im Sinne des Opferhilfegesetzes (OHG; SR 312.5) ist, nicht zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert, soweit es um den staatlichen Strafanspruch geht. Dieser steht allein dem Staat zu. Der Geschädigte hat an der Bestrafung des Täters nur ein tatsächliches und kein rechtlich geschütztes Interesse (BGE 136 IV 41 E. 1.1 S. 41 f. mit Hinweis).
1.2 Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann der Geschädigte die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Das nach Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich in diesem Fall nicht aus einer Berechtigung in der Sache, sondern aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Ist der Beschwerdeführer nach kantonalem Recht Partei, kann er die Verletzung jener Parteirechte rügen, die ihm nach dem kantonalen Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen. Ein in der Sache nicht legitimierter Beschwerdeführer kann daher weder die Beweiswürdigung kritisieren noch geltend machen, die Begründung sei materiell unzutreffend (BGE 136 IV 41 E. 1.4 S. 44 mit Hinweisen).
1.3 Soweit das Strafverfahren wegen Tätlichkeiten und geringfügigen Diebstahls eingestellt wurde, ist der Beschwerdeführer - da er diesbezüglich kein Opfer im Sinne des OHG ist - zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, soweit er eine Verletzung der ihm zustehenden Parteirechte rügt. Auf die übrigen Rügen ist im Hinblick auf die Tätlichkeiten und den geringfügigen Diebstahl nicht einzutreten.
2. 2.1 Im angefochtenen Urteil wird die Begründung des Amtsstatthalteramts Luzern, Abteilung Luzern-Stadt, für die Einstellung der Strafuntersuchung gegen die Beschwerdegegner 1 und 2 wie folgt dargestellt:
Die Strafuntersuchung sei eingestellt worden, da sich die Aussagen des Beschwerdeführers und von A._ einerseits und jene der Beschwerdegegner 1 und 2 sowie von B._ andererseits diametral gegenüber ständen. Der Beschwerdeführer mache geltend, er sei von den Beschwerdegegnern 1 und 2 sowie von einer unbekannten Täterschaft geschlagen, beraubt und bedroht worden. A._, der dem Beschwerdeführer nahe stehe, bestätige dessen Aussagen. Der Beschwerdegegner 1 bestreite, den Beschwerdeführer angegriffen zu haben, und behaupte, sich lediglich gegen dessen Angriffe verteidigt zu haben. Der Beschwerdegegner 2 und B._ würden geltend machen, lediglich schlichtend und nicht aktiv in die Rangelei eingegriffen zu haben. Der den Beschwerdegegnern 1 und 2 nahe stehende B._ bestätige deren Angaben. Es gebe keine unabhängigen Zeugen oder andere Anhaltspunkte, welche die eine oder die andere Sachverhaltsdarstellung untermauern könnten. Es lägen keine rechtsgenüglichen Beweise dafür vor, dass die Beschwerdegegner 1 und 2 oder weitere, unbekannte Personen den Beschwerdeführer bedroht oder diesem Bargeld abgenommen hätten. Demnach sei nach dem Grundsatz "in dubio pro reo" von der Sachverhaltsdarstellung der Beschwerdegegner 1 und 2 auszugehen. Der Beschwerdegegner 1 sei zwar geständig, gegenüber dem Beschwerdeführer tätlich geworden zu sein. Dies sei aber gemäss seiner Aussage und der Schilderung des Beschwerdegegners 2 sowie von B._ erst als Reaktion auf Schläge des Beschwerdeführers erfolgt. Somit sei zu Gunsten des Beschwerdegegners 1 von einer erlaubten Retorsion auszugehen (angefochtenes Urteil S. 4 f.).
2.2 Auf diese Begründung der Verfahrenseinstellung ging der Beschwerdeführer in seinem Rekurs an die Vorinstanz gemäss den Ausführungen im angefochtenen Entscheid nicht ein. Er rügte stattdessen, die Amtsstatthalterin habe den Sachverhalt nur über die Ermittlungsbehörden abklären lassen und die offerierten Beweismittel nicht abgenommen. Insbesondere habe sie ihm nach Abschluss der Untersuchung die Akten weder zur Einsichtnahme noch zur Vervollständigung zugestellt. Mit diesem Vorgehen habe die Amtsstatthalterin § 66 Abs. 2 und 3 StPO/LU, Art. 29 Ziff. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt (angefochtenes Urteil S. 5). Die Vorinstanz erachtet diese Rügen als unbegründet. Ob ein "einfacher Fall" im Sinne von § 66 Abs. 3 StPO/LU vorliegt, entscheidet sich gemäss den Erwägungen der Vorinstanz nicht anhand des abstrakten Tatbestands, sondern aufgrund der konkreten Verhältnisse. Insbesondere sei massgebend, ob der Fall in tatsächlicher Hinsicht einfach sei, was vorliegend ohne Zweifel zutreffe. Mit der polizeilichen Einvernahme der Beteiligten sei die Sachverhaltsaufnahme abgeschlossen gewesen. Die Ansetzung einer Frist für Anträge auf Ergänzung der Beweisaufnahmen habe daher nach § 66 Abs. 3 Satz 2 StPO/LU unterbleiben können. Sie hätte auch keinen Sinn gemacht, zumal der vom Beschwerdeführer angerufene Zeuge A._ bereits polizeilich befragt worden sei (angefochtenes Urteil S. 5 f.). Die Behauptung des Beschwerdeführers, die Amtsstatthalterin habe die Durchführung der Untersuchung an die Polizei delegiert, treffe nicht zu. Die Polizei habe - entsprechend ihrem gesetzlichen Auftrag - die ersten Erhebungen getroffen, indem sie die namentlich bekannten Personen zum Vorfall befragt habe. Erst nachher habe sie an das zuständige Amtsstatthalteramt rapportiert. Damit sei auch der sinngemäss erhobene Vorwurf des Beschwerdeführers entkräftet, die Amtsstatthalterin habe die Durchführung der Befragungen an die Polizei delegiert, um ihn seiner Parteirechte zu berauben. Auf welche Weise der Amtsstatthalter im Rahmen der Strafuntersuchung die Wahrheit erforsche, liege weitgehend in seinem pflichtgemässem Ermessen. Komme er aufgrund der polizeilichen Ermittlungsergebnisse zur Überzeugung, es liege kein Straftatbestand vor oder der Sachverhalt könne auch durch weitere Beweismassnahmen nicht hinreichend abgeklärt werden, stelle er gemäss § 125 Abs. 1 StPO/LU die Untersuchung ein (angefochtenes Urteil S. 6 f.). Die Amtsstatthalterin habe keine Verfahrensrechte verletzt, die eine Ergänzung der Untersuchung nahe legen würden. Die Strafuntersuchung sei zu Recht eingestellt worden. Ihr Ergebnis habe keine andere Möglichkeit zugelassen. Eine Verurteilung der Beschwerdegegner 1 und 2 sei höchst unwahrscheinlich (angefochtenes Urteil S. 8).
3.1 3.1.1 Nach § 66 Abs. 3 StPO/LU ist den Parteien, deren Aufenthalt bekannt ist, wenn die wesentlichen Untersuchungshandlungen abgeschlossen sind, eine angemessene Frist anzusetzen, innert welcher sie die Akten einsehen und die Ergänzung der Beweisaufnahmen beantragen können. In einfachen Fällen kann eine Fristansetzung unterbleiben.
3.1.2 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, es handle sich vorliegend nicht um einen einfachen Fall im Sinne von § 66 Abs. 3 StPO/LU (Beschwerde S. 11, 15), wiederholt er lediglich seine bereits vor der Vorinstanz vorgebrachten Rügen. Mit dem angefochtenen Entscheid setzt er sich nicht auseinander. Auf seine diesbezüglichen Ausführungen ist nicht einzutreten.
3.1.3 Die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz führe nicht aus, dass es sich um einen einfachen Fall handle (Beschwerde S. 11, 15), ist offensichtlich unbegründet.
3.1.3 Die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz führe nicht aus, dass es sich um einen einfachen Fall handle (Beschwerde S. 11, 15), ist offensichtlich unbegründet.
3.2 3.2.1 Der Beschwerdeführer vertritt im Wesentlichen die Auffassung, die Einstellung der Strafuntersuchung durch die Amtsstatthalterin allein aufgrund der Ergebnisse der polizeilichen Befragungen stehe im Widerspruch zu mehreren Bestimmungen der kantonalen Strafprozessordnung, verletzte seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) und verstosse gegen den Grundsatz des fairen Verfahrens (Art. 6 EMRK). Im Einzelnen macht der Beschwerdeführer geltend, er habe der Amtsstatthalterin entgegen der aktenwidrigen Darstellung im angefochtenen Entscheid nicht vorgeworfen, sie habe die Untersuchung ins Ermittlungsverfahren delegiert, um ihn seiner Parteirechte zu berauben. Er habe in seinem Rekurs nur angeführt, das Amtsstatthalteramt habe es unterlassen, die in der Privatstrafklage gestellten Beweisanträge abzunehmen. Es habe die Abklärungen lediglich durch die Ermittlungsbehörde treffen lassen. Er habe geltend machen wollen, dass es ihm verunmöglicht worden sei, weitere Beweisanträge zu stellen, da es bei den polizeilichen Ermittlungen geblieben sei. Hätte die Vorinstanz die Rüge nicht in aktenwidriger Weise gewürdigt, hätte sie auf Verletzung des rechtlichen Gehörs und der Verfahrensrechte nach § 66 Abs. 2 und 3 StPO/LU erkennen müssen (Beschwerde S. 8 f.). Die Vorinstanz hätte ihm das rechtliche Gehör gewähren müssen. Sie hätte eine Zeugeneinvernahme von A._ anordnen, Akteneinsicht gewähren und ihm nach Abschluss aller wesentlichen Untersuchungshandlungen die Akten zur Vervollständigung zustellen müssen. Die Vorinstanz habe § 68 Abs. 3 StPO/LU nicht korrekt angewandt. Zudem hätte die Amtsstatthalterin hinsichtlich der Erforschung der Tat, des Vorlebens und der persönlichen Verhältnisse der Täterschaft gemäss § 60 Abs. 1 StPO/LU selbst die nötigen Beweise erheben müssen. § 60 Abs. 2 StPO/LU verpflichte diese, die nötigen Beweise zu erheben, falls der Geschädigte Zivilansprüche geltend mache. Die Verpflichtung des Amtsstatthalters, tätig zu werden, ergebe sich auch aus § 66 Abs. 2 und 3 StPO/LU sowie § 125 Abs. 1 StPO/LU. Die Vorinstanz habe durch ihr Vorgehen zudem § 151 StPO/LU verletzt.
3.2.2 Die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe in aktenwidriger Weise festgehalten, er habe ihr vorgeworfen, die Untersuchungshandlungen delegiert zu haben, ist unbegründet. Die Vorinstanz hat die Einwände des Beschwerdeführers im Rekursverfahren betreffend die "Delegation" der Untersuchung zutreffend interpretiert.
3.2.3 Zum Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV gehört das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zur Sache zu äussern sowie das Recht auf Abnahme der rechtzeitig und formrichtig angebotenen rechtserheblichen Beweismittel. Die Verfassungsgarantie steht indessen einer vorweggenommenen Beweiswürdigung nicht entgegen. Das Gericht kann auf die Abnahme von Beweisen verzichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert. Der Anspruch auf rechtliches Gehör kann durch kantonales Verfahrensrecht über die Minimalgarantie von Art. 29 Abs. 2 BV hinaus ausgedehnt werden. Das Bundesgericht überprüft die Verletzung von kantonalem Recht unter dem beschränkten Blickwinkel des Willkürverbots. Es greift nur ein, wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offensichtlichen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 134 I 140 E. 5.3. S. 140).
Der in Art. 6 Ziff. 3 lit. d EMRK garantierte Anspruch der beschuldigten Person, den Belastungszeugen Fragen zu stellen, ist ein besonderer Aspekt des Rechts auf ein faires Verfahren nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
3.2.4 Die Strafprozessordnung des Kantons Luzern kennt keine klare Grenze zwischen dem polizeilichen Ermittlungsverfahren und dem Untersuchungsverfahren. Den Strafverfolgungsbehörden steht im konkreten Einzelfall ein verhältnismässig weiter Ermessensspielraum zu (Urteil des Bundesgerichts 6B_700/2009 vom 26. November 2009 E. 2.2.1 mit Hinweis). Die Vorinstanz hält zu Recht fest, dass die Entscheidung darüber, welche Beweisabnahmen zur Erforschung der Tat notwendig sind, im pflichtgemässen Ermessen der Amtsstatthalterin liege, und diese unter den gegebenen Umständen auf die polizeilichen Befragungsprotokolle abstellen und von untersuchungsrichterlichen Einvernahmen absehen durfte. Es sind keine Anhaltspunkte dafür erkennbar (und vom Beschwerdeführer wird solches auch nicht geltend gemacht), dass die Amtsstatthalterin ihr Ermessen missbrauchte. Eine willkürliche Anwendung von § 60 Abs. 1 StPO/LU, wonach der Amtsstatthalter die Tat, das Vorleben und die persönlichen Verhältnisse des Täters erforscht, liegt somit nicht vor. Ebensowenig ist eine Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör gegeben. Da der Beschwerdeführer nicht Beschuldigter ist, kann er aus Art. 6 Ziff. 3 lit. d EMRK keinen Anspruch auf eine Befragung der von ihm angerufenen Zeugen im Untersuchungsverfahren herleiten (vgl. Urteil des Bundesgerichts 6B_41/2010 vom 25. März 2010 E. 2.3.1). Es liegt weder eine Gehörsverletzung noch ein Verstoss gegen das Recht auf ein faires Verfahren nach Art. 29 BV und Art. 6 EMRK vor.
3.2.5 Hat der Geschädigte Zivilansprüche geltend gemacht, so erhebt der Amtsstatthalter nach § 60 Abs. 2 StPO/LU die zu ihrer Abklärung nötigen Beweise. Vorbehalten bleibt § 5bis Abs. 1 StPO/LU, wonach der Geschädigte an den Zivilrichter zu verweisen ist, wenn und soweit die Zivilansprüche nicht ausgewiesen sind oder ihre Abklärung das Verfahren wesentlich erschwert oder verlängert (Abs. 1). Auf die Ansprüche wird unter anderem nicht eingetreten, wenn das Strafverfahren eingestellt wird (Abs. 2). Da gemäss § 5 Abs. 2 StPO/LU bei einer Einstellung des Strafverfahrens nicht auf die Zivilansprüche eingetreten wird, kann der Beschwerdeführer aus § 60 Abs. 2 StPO unter den gegebenen Umständen nichts zu seinen Gunsten ableiten.
3.2.6 Weiter legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern § 125 Abs. 1 StPO/LU - welcher unter anderem bestimmt, dass der Amtsstatthalter die Untersuchung einstellt, wenn es an einem zureichenden Beweis fehlt - willkürlich angewandt worden sein soll. Insbesondere macht er beispielsweise nicht geltend, dass die Vorinstanz willkürlich einen zureichenden Beweis verneint habe. Auch rügt er nicht, die Vorinstanz sei zu Unrecht davon ausgegangen, betreffend die Einstellung des Strafverfahrens gelte der Grundsatz "in dubio pro reo". Der Beschwerdeführer vermag sodann nicht darzulegen, die Vorinstanz verneine zu Unrecht, dass die Beweiswürdigung des Amtsstatthalteramts willkürlich sei. Soweit er nicht Opfer im Sinne des OHG ist, wäre er allerdings zu solchen Rügen auch nicht legitimiert (vgl. E. 1).
3.2.7 Es ist nicht ersichtlich und auch nicht geltend gemacht, dass die Strafprozessordnung des Kantons Luzern einen über Art. 29 Abs. 2 BV hinausgehenden Anspruch auf Beweisabnahme garantiert. Der vom Beschwerdeführer angerufene § 68 Abs. 3 StPO/LU ist diesbezüglich nicht einschlägig, da es in dieser Bestimmung um die Möglichkeit der Beantragung von Ergänzungen am Schluss einer Untersuchungshandlung geht. § 66 Abs. 2 StPO/LU hält lediglich fest, dass die Parteien jederzeit Beweisanträge stellen können. Ein Anspruch auf Abnahme der beantragten Beweise ergibt sich daraus nicht. Es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern eine willkürliche Anwendung von § 124 Abs. 1 StPO/LU - wonach der Amtsstatthalter die Untersuchung mit einem begründeten Erkanntnis abschliesst - gegeben sein soll.
3.2.8 Inwiefern schliesslich § 151 StPO/LU, wonach der Privatkläger die Sache auch an das Amtsgericht weiterziehen kann, wenn der Angeschuldigte die Strafverfügung angenommen hat, willkürlich angewandt worden sein soll, führt der Beschwerdeführer nicht aus.
3.2.9 Von einer willkürlichen Anwendung des kantonalen Rechts kann unter diesen Umständen nicht gesprochen werden. Die Auffassung der Vorinstanz, dass das Amtsstatthalteramt auf untersuchungsrichterliche Einvernahmen verzichten und die Untersuchung in Würdigung der Aussagen der Beteiligten in den polizeilichen Befragungen einstellen durfte, ist verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, Kriminal- und Anklagekommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Häne