Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wirft einem kantonalen Vermittler in Konfliktsituationen vor, seine Rolle als unabhängiger Ombudsmann nicht wahrgenommen zu haben. Die Beschwerde richtet sich dagegen, dass die Staatsanwaltschaft eine Strafuntersuchung wegen Amtsmissbrauchs nicht an die Hand nahm und im angefochtenen Entscheid auf eine dagegen gerichtete Beschwerde nicht eingetreten wurde. Da die Staatsanwaltschaft am kantonalen Verfahren beteiligt war, ist der Beschwerdeführer indessen nicht Privatstrafkläger im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 BGG. Da er durch die angezeigten Straftaten in seiner körperlichen, psychischen oder sexuellen Integrität nicht unmittelbar beeinträchtigt wurde, ist er auch nicht Opfer im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 OHG. Der Geschädigte, der nicht Opfer ist, ist zur vorliegenden Beschwerde grundsätzlich nicht legitimiert (BGE 136 IV 29). Aus welchem Grund die Staatsanwaltschaft den Beschwerdeführer zu einem Gespräch hätte vorladen oder sonst kontaktieren müssen, wird in der Beschwerde nicht dargelegt. Insoweit genügt sie den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG nicht. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, Justizkommission, Strafrechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn