Faits:
A. A.a G._, né en 1962, man?uvre, s'est annoncé à l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) en février 2002 en raison de problèmes dorsaux.
Sa demande a finalement été rejetée par l'office AI (décision sur opposition du 9 février 2005) puis par le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura (jugement du 28 novembre 2005) dans la mesure où les affections somatiques et le trouble somatoforme douloureux observés n'influençaient pas la capacité de travail dans une activité adaptée (cf. particulièrement rapports d'expertise du docteur B._, spécialiste en rhumatologie ainsi qu'en médecine interne générale, psychosomatique et psychosociale, et de la Clinique A._ du 7 novembre 2002 et du 27 août 2004).
A.b L'assuré a déposé une nouvelle requête en mars 2005. Celle-ci a une nouvelle fois été écartée par l'administration (décision du 9 février 2007) au motif que, selon le docteur M._, médecin du SMR spécialiste FMH en médecine interne générale, les documents récoltés ne signalaient aucun trouble dont il n'aurait pas déjà été tenu compte dans le jugement du 28 novembre 2005 (rapport du 30 octobre 2006). Le tribunal cantonal a annulé la décision et a renvoyé le dossier à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision (jugement du 25 juillet 2007).
L'administration a notamment diligenté trois expertises. Elle a confié la mise en ?uvre de la première à la Clinique C._ puis, dans la mesure où les conclusions de celle-ci avaient été contestées par le SMR (rapport du docteur M._ du 7 avril 2008), elle a mandaté le docteur D._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, et E._, spécialiste FMH en rhumatologie et médecine interne générale. Les médecins de la Clinique C._ ont diagnostiqué un trouble somatoforme douloureux persistant et des lombo-cruro-sciatalgies permettant la reprise d'une activité légère à 50% avec baisse de rendement de 20% (rapport du 18 mars 2008). Le docteur D._ a exclu l'existence de pathologies affectant la capacité de travail (rapport du 16 février 2009). La doctoresse E._ a fait état d'un status post-cure d'épicondylite avec raideurs résiduelles du coude droit dans le cadre de lésions dégénératives débutantes et d'une périarthrite scapulo-humérale sans impact sur la capacité de travail si ce n'est une diminution de rendement de 30% (rapport du 5 novembre 2009)
Sur la base des deux derniers rapports d'expertise, l'administration a à nouveau rejeté la demande (décision du 28 juin 2010).
B. Le recours interjeté contre cette décision par G._ a été rejeté par le tribunal (jugement du 16 novembre 2011).
C. L'assuré recourt contre ce jugement dont il requiert l'annulation, concluant sous suite de frais et dépens à la reconnaissance de son droit à une rente ou au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour nouveau jugement au sens des considérants. Il sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'office AI conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. 2.1 Le litige porte sur le droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité dans le contexte d'une nouvelle requête de prestations, particulièrement sur le point de savoir si - par analogie avec l'art. 17 LPGA - l'état de santé de celui-ci a subi une modification notable susceptible d'influencer son taux d'invalidité et, partant, son droit aux prestations.
2.2 Lorsque l'administration entre en matière sur une nouvelle requête (art. 87 al. 4 RAI), l'autorité amenée à statuer - soit l'office intimé ou le tribunal cantonal en l'occurrence - doit comparer les circonstances entourant la nouvelle décision et celles qui prévalaient lors de la dernière décision entrée en force reposant sur un examen matériel du droit à la rente (cf. ATF 133 V 108; 130 V 71) pour déterminer si la situation médicale a subi la modification notable évoquée.
2.3 On relèvera par ailleurs que le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et la jurisprudence relatives au principe inquisitoire qui régit la procédure dans le domaine des assurances sociales (art. 43 al. 1 LPGA), au rôle des médecins (traitants et consultés à titre d'expert), à la valeur probante de leurs avis, à l'appréciation (anticipée) des preuves et aux troubles somatoformes douloureux, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 Dans le cadre de l'objet du litige (cf. consid. 2.1), l'assuré conteste seulement la manière dont l'administration a conduit l'instruction de sa nouvelle demande de prestations. Il soutient que celle-ci ne devait pas ordonner la réalisation des expertises des docteurs D._ et E._ alors qu'elle était en possession d'un rapport d'expertise de la Clinique C._, probant selon les critères en la matière, d'autant moins que le docteur F._, spécialiste FMH en rhumatologie et médecine interne générale, approuvait les conclusions de cette expertise qui lui semblait complète et exhaustive. Il reproche concrètement aux premiers juges d'avoir entériné cette méthode en écartant l'expertise de la Clinique C._ sans raison, ni justification valable et sans posséder les connaissances médicales leur permettant de trancher entre les conclusions divergentes des médecins de la Clinique C._ d'une part et des docteurs D._ et E._ d'autre part. Il considère que seule une contre-expertise aurait permis de lever de telles divergences. Il se fonde aussi sur les considérations des médecins de la Clinique C._ pour soutenir que le trouble somatoforme douloureux dont il souffre présente un caractère invalidant qui lui donne droit à une rente.
3.2 Cette argumentation n'est pas fondée.
Il appartient effectivement à l'assureur de prendre d'office les mesures d'instruction et de réunir les informations dont il a besoin (cf. art. 43 al. 1 LPGA). L'office intimé pouvait donc en toute légitimité confier la réalisation d'expertises aux docteurs D._ et E._, d'autant plus que ces mandats n'ont pas été attribués par simple convenance mais parce que, selon le SMR (cf. rapport du docteur M._ du 7 avril 2008), les conclusions de l'expertise préexistante de la Clinique C._ relatives à la capacité résiduelle de travail du recourant ne cadraient pas avec les constatations des experts (qui avaient diagnostiqué un trouble somatoforme douloureux persistant avec composante comportementale marquée dès lors que le substrat organique [lombo-cruro-sciatalgies sur troubles dégénératifs] n'expliquait pas l'ampleur des douleurs alléguées) et ne remplissaient pas les conditions jurisprudentielles conférant un caractère invalidant à un trouble somatoforme douloureux. Dans ces circonstances, on ne saurait faire grief aux premiers juges d'avoir implicitement entériné le procédé de l'office intimé.
De plus, contrairement à ce que prétend l'assuré, la juridiction cantonale n'a pas sans raison ni justification valable privilégié les conclusions des docteurs D._ et E._ au détriment de celles des médecins de la Clinique C._. Elle a en effet explicitement et clairement expliqué que les trois rapports d'expertise étaient concordants quant à la prévalence diagnostique d'un trouble somatoforme douloureux. Elle a précisé à cet égard que l'expert psychiatre de la Clinique C._ n'avait pas relevé de comorbidité psychiatrique qui annihilerait toute ressource, ce qui était confirmé par le docteur D._, et s'est distanciée de l'analyse du premier expert dans la mesure où justement celui-ci n'avait pas mis en évidence suffisamment de signes de gravité susceptibles de renverser la présomption selon laquelle un trouble somatoforme peut être surmonté par un effort de volonté raisonnable alors que le second expert avait exclu l'existence de tels signes et que la quasi-totalité des médecins consultés avaient fait état de l'origine bio-psycho-sociale de la problématique du recourant. L'avis du docteur F._ quant à la valeur probante du rapport de la Clinique C._ ne change rien à ce qui précède dès lors qu'il fait partie des praticiens qui ont expressément signalé que la pathologie organique modérément contributive était péjorée par des éléments psychosociaux (rapport du 9 avril 2008), qui ne relèvent pas de l'assurance-invalidité (cf. ATF 127 V 294 consid. 5a p. 299).
Compte tenu de ce qui précède et dès lors que, contrairement à l'obligation d'allégation et de motivation (cf. consid. 1), l'assuré ne critique pas directement les motifs invoqués par les premiers juges, ces derniers pouvaient légitimement se référer aux conclusions des docteurs D._ et E._. Dans ces circonstances, le calcul du degré d'invalidité en fonction des considérations des médecins de la Clinique C._ n'a plus lieu d'être. Il apparaît en outre que la situation médicale n'a pas notablement évolué depuis la première demande de prestations. Il n'y a donc pas lieu de s'écarter du jugement cantonal.
4. On relèvera encore que l'administration et les premiers juges n'ont pas examiné le droit de l'assuré sous l'angle d'une nouvelle demande de prestations. Ils n'ont effectivement pas réalisé une comparaison des circonstances prévalant aux moments opportuns pour apprécier si la situation médicale du recourant avait subi une modification notable susceptible d'influencer son taux d'invalidité mais se sont contentés d'évaluer la situation existant lors de la nouvelle décision. Bien que cette manière de procéder viole le droit fédéral, cela n'a toutefois pas d'impact sur la solution du litige dès lors que les constatations de la juridiction cantonale démontrent que l'état de santé de l'assuré ne s'est pas modifié depuis la première demande, du moins pas dans une proportion influençant le droit aux prestations.
5. Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF) qui ne saurait prétendre des dépens (art. 68 al. 1 LTF). L'assistance judiciaire lui est toutefois accordée dès lors que les conditions auxquelles l'art. 64 al. 1 et 2 LTF subordonne son octroi sont réalisées. L'assuré est encore rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient ultérieurement en mesure de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée au recourant. Me Hubert Theurillat est désigné comme avocat d'office.
3. Les frais judiciaires arrêtés à 500 fr. sont mis à la charge du recourant. Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Une indemnité de 2'800 fr., supportée provisoirement par la caisse du Tribunal, est allouée à Me Hubert Theurillat à titre d'honoraires.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 19 juin 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Cretton