Sachverhalt:
A. Die X._ AG mit Sitz in A._ betreibt in B._ eine Fischfarm. Mit Verfügung vom 17. August 2011 untersagte ihr das Amt für Verbraucherschutz und Veterinärwesen vorsorglich, (eingeführte) Fische in die Zuchtanlage der Fischfarm einzubringen, weil sie nicht über die hierfür erforderliche Bewilligung zur Wildtierhaltung verfüge und den Nachweis für eine zulässige Methode zur Betäubung und Tötung der Fische nicht erbracht habe. Für den Fall der Nichtbeachtung wurde ihr die Ersatzvornahme angedroht. Die dagegen eingelegten Rechtsmittel blieben erfolglos (vgl. Urteile des Bundesgerichts 2C_985/2011 vom 24. Januar 2012 und 2F_2/2012 vom 24. Februar 2012). Mit Schreiben vom 4. November 2011 stellte das Amt für Verbraucherschutz und Veterinärwesen das Vorhandensein von nicht zugelassenen Fischen im Betriebsgebäude der Fischfarm fest. Es setzte für deren Beseitigung eine Frist bis 9. November 2011 und kündigte für den Unterlassungsfall die Ersatzvornahme an (Beschlagnahme und Tötung in geeigneter Form). Die X._ AG rekurrierte dagegen (vgl. zuletzt Verfahren vor Bundesgericht 2C_1/2012). Am 10. November 2011 wurde die Ersatzvornahme durchgeführt.
B. K._ war an der Ersatzvornahme vom 10. November 2011 als Kantonstierarzt beteiligt. Er stellte am 11. November 2011 ein Gesuch unter anderem gegen die X._ AG und gegen Y._ um Erlass vorsorglicher Massnahmen zum Schutz seiner Persönlichkeit. Y._ ist nach eigenen Angaben Hauptaktionär, Verwaltungsratspräsident und Geschäftsführer der X._ AG, die als Betreiberin der Fischfarm auftritt.
Der Präsident des Bezirksgerichts Appenzell entsprach dem Gesuch am 14. November 2011 superprovisorisch und erliess nach Einholung einer Gesuchsantwort gegen die X._ AG und gegen Y._ vorsorglich das Verbot, gegenüber K._ persönlichkeitsverletzende Aussagen wie "Tiermörder, machtgeile, unreife Beamte, polizeistaatliche Methoden, Behördenwillkür, amtliche Fischkiller, skandalöses, perverses und verachtenswertes Verhalten" und vergleichbare Ausdrücke zu tätigen. Er ordnete an, die K._ in seiner Persönlichkeit verletzenden Einträge im Facebook der Fischfarm seien unverzüglich zu beseitigen. K._ wurde zur klageweisen Geltendmachung seiner Ansprüche eine Frist bis 22. Februar 2012 angesetzt (Entscheid vom 25. Januar 2012).
Die dagegen von der X._ AG und von Y._ eingelegte Berufung hiess das Kantonsgericht Appenzell I.Rh. insoweit gut, als es das Verbot auf die konkret beanstandeten Ausdrücke beschränkte. Es erliess gegen die X._ AG und gegen Y._ für die Dauer des inzwischen anhängig gemachten Hauptverfahrens das Verbot, gegenüber K._ die nachstehenden persönlichkeitsverletzende Aussagen "Tiermörder, machtgeile, unreife Beamte, polizeistaatliche Methoden, Behördenwillkür, amtliche Fischkiller, skandalöses, perverses und verachtenswertes Verhalten" zu tätigen. Es ordnete an, die Aussagen "Tiermörder, machtgeile, unreife Beamte, polizeistaatliche Methoden, Behördenwillkür, amtliche Fischkiller, skandalöses, perverses und verachtenswertes Verhalten" im Facebook der Fischfarm seien unverzüglich zu beseitigen (Entscheid vom 16. April 2012).
C. Mit Eingabe vom 16. Mai 2012 beantragen die X._ AG und Y._ (Beschwerdeführer) dem Bundesgericht in der Sache, die Begehren des Gesuchstellers K._ (Beschwerdegegner) abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Es sind die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid betrifft den Schutz der Persönlichkeit (Art. 28 ZGB) im Rahmen vorsorglicher Massnahmen (Art. 261 ff. ZPO) und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG; vgl. BGE 91 II 401 E. 1 S. 403; 136 III 410 E. 1, nicht veröffentlicht). Er ist kantonal letztinstanzlich (Art. 75 BGG) und lautet zum Nachteil der Beschwerdeführer (Art. 76 Abs. 1 BGG).
2. Der angefochtene Entscheid heisst ein vorprozessual gestelltes Gesuch um vorsorgliche Massnahmen (Art. 261 ff. ZPO) zum Schutz der Persönlichkeit (Art. 28 ZGB) gut. Das Hauptverfahren ist inzwischen rechtshängig.
2.1 Massnahmenentscheide gelten als Endentscheide gemäss Art. 90 BGG, wenn sie in einem eigenständigen Verfahren ergehen. Selbstständig eröffnete Massnahmenentscheide, die vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer des Hauptverfahrens Bestand haben bzw. unter der Bedingung, dass ein Hauptverfahren eingeleitet wird, stellen Zwischenentscheide im Sinne von Art. 93 BGG dar (BGE 134 I 83 E. 3.1 S. 86 f.; BGE 138 III 76 E. 1.2 S. 79). Der angefochtene Massnahmenentscheid ist somit ein Zwischenentscheid. Er unterliegt dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel (vgl. BGE 137 III 261 E. 1.4 S. 264) und damit der Beschwerde gemäss Art. 72 ff. BGG (vgl. E. 1 soeben).
2.2 Gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ist die Beschwerde gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können.
2.2.1 Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil muss nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung rechtlicher Natur sein, was voraussetzt, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (vgl. BGE 137 III 380 E. 1.2.1 S. 382 und 522 E. 1.3 S. 525; 138 III 190 E. 6 S. 192).
2.2.2 In der bisherigen Rechtsprechung wurde Zwischenentscheiden über vorsorgliche Massnahmen ein nicht wieder gutzumachender Nachteil regelmässig zuerkannt mit der Begründung, dass eine spätere Anfechtung des Massnahmenentscheids zufolge dessen Wegfalls mit dem Hauptentscheid nicht mehr möglich ist. Der Nachteil wurde in der Verweigerung der Verfassungskontrolle erblickt, d.h. in der Beeinträchtigung des Beschwerdeführers in seiner formellen Rechtsstellung. Die neuere Rechtsprechung hat dieses Verständnis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG, das für letztinstanzliche Entscheide über vorsorgliche Massnahmen ohne weiteres die Beschwerdemöglichkeit an das Bundesgericht eröffnet, infrage gestellt. Danach ist in Zukunft jedenfalls zu fordern, dass der Beschwerdeführer, der einen Massnahmenentscheid beim Bundesgericht anficht, in der Beschwerdebegründung aufzeigt, inwiefern ihm im konkreten Fall ein nicht wieder gutzumachender Nachteil rechtlicher Natur droht, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (vgl. BGE 137 III 324 E. 1.1 S. 327 ff.). Der blosse Hinweis auf den Verlust einer Verfassungskontrolle, wenn nicht auf die Beschwerde eingetreten würde, genügt nicht mehr als nicht wieder gutzumachender Nachteil (Urteile 4A_478/2011 vom 30. November 2011 E. 1.1, in: SZZP 2012 S. 214, 4A_460/2011 vom 20. Dezember 2011 E. 1.2 und 4A_111/2012 vom 26. März 2012).
2.2.3 Unter Hinweis auf die Rechtsprechung begründen die Beschwerdeführer den sie angeblich treffenden nicht wieder gutzumachenden Nachteil. Sie machen geltend, mit dem angefochtenen Massnahmenentscheid würden sie während den laufenden öffentlich-rechtlichen (mit Hinweis auf die Beschwerde 2C_1/2012) und zivilrechtlichen Verfahren mundtot gemacht und es werde ihre Meinungsäusserungsfreiheit eingeschränkt. Sie dürften den Beschwerdegegner, der die unrechtmässige und auch tierethisch mehr als fragwürdige Ersatzvornahme vom 10. November 2011 in der Fischfarm offenbar angeordnet habe, praktisch nicht mehr kritisieren, wenn ihnen verboten würde, gegenüber dem Beschwerdegegner die Aussagen "Tiermörder, machtgeile, unreife Beamte, polizeistaatliche Methoden, Behördenwillkür, amtliche Fischkiller, skandalöses, perverses und verachtenswertes Verhalten" zu tätigen, und wenn sie gezwungen würden, entsprechende Einträge im Facebook zu löschen. Dieser Nachteil könne mit einer späteren Abweisung der Hauptsachenklage des Beschwerdegegners nicht mehr gutgemacht werden. Eine dannzumalige Abweisung der Hauptsachenklage vermöge den Maulkorb (und damit die Einschränkung der Meinungsäusserungsfreiheit), der ihnen mit dem angefochtenen Massnahmenentscheid auferlegt werde, nicht wieder gut zu machen.
Die Beschwerdeführer halten weiter dafür, sie müssten heute und jetzt die Möglichkeit und das Recht haben, sich auch in der Öffentlichkeit gegen die unrechtmässige und auch tierethisch mehr als fragwürdige Ersatzvornahme vom 10. November 2011 in der Fischfarm zu wehren. Es nütze ihnen nichts, wenn sie sich in der Öffentlichkeit erst nach Abweisung der Hauptsachenklage gegen die Ersatzvornahme vom 10. November 2011 in der Fischfarm wehren könnten. Dies treffe in besonderem Masse auf den Beschwerdeführer zu, der bereits in fortgeschrittenem Alter (72) sei, an verschiedenen Krankheiten leide und nicht wisse, ob er das Ende der Streitigkeit mit dem Kanton St. Gallen überhaupt noch erlebe (S. 3 Ziff. II/6 der Beschwerdeschrift).
2.2.4 Mit ihren Vorbringen verkennen die Beschwerdeführer offensichtlich den Inhalt des ihnen auferlegten Verbots. Entgegen ihrer Darstellung umfasst der angefochtene Entscheid kein vorsorglich angeordnetes allgemeines Äusserungs- oder Publikationsverbot, das in der Regel einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken dürfte (vgl. Urteile 5A_202/2007 vom 13. Juni 2007 E. 1.1 und 5A_706/2010 vom 20. Juni 2011 E. 1.2). Es ist den Beschwerdeführern nicht untersagt, sich heute in der Öffentlichkeit über die ihrer Ansicht nach unrechtmässige und tierethisch fragwürdige Ersatzvornahme vom 10. November 2011 zu äussern. Vorübergehend untersagt wird ihnen lediglich die Verwendung von ein paar wenigen konkret bestimmten Begriffen, die inhaltsgleich auch anders umschrieben werden können. Eine sachliche Kritik am behördlichen Vorgehen wird dadurch nicht behindert und bleibt den Beschwerdeführern mit einem geringfügigen Mehraufwand in der Wortwahl auch während des Hauptverfahrens gewährleistet. Ihre Vorbringen vermögen keinen Nachteil, geschweige denn einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu begründen, den die Beschwerdeführer dadurch erleiden könnten, dass sie vorübergehend die Begriffe "Tiermörder, machtgeile, unreife Beamte, polizeistaatliche Methoden, Behördenwillkür, amtliche Fischkiller, skandalöses, perverses und verachtenswertes Verhalten" gegenüber dem Beschwerdegegner nicht mehr verwenden dürfen. Ob die vorsorglichen Massnahmen begründet waren, wird sich im Hauptverfahren weisen (vgl. Botschaft über die Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches (Persönlichkeitsschutz: Art. 28 ZGB und 49 OR) vom 5. Mai 1982, BBl. 1982 II 636 S. 670 Ziff. 254.2).
2.2.5 Insgesamt ist ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG weder ersichtlich noch dargetan.
2.3 Gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG ist die Beschwerde gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide zulässig, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Die Variante fällt bei Massnahmenentscheiden von vornherein ausser Betracht (vgl. BGE 134 I 83 E. 3.1 S. 87; 137 III 589 E. 1.2.3 S. 591).
3. Aus den dargelegten Gründen kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Die Beschwerdeführer werden damit kostenpflichtig, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da der Beschwerdegegner nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden ist (Art. 66 Abs. 1 und 5 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Appenzell I.Rh., der Präsident als Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Meyer
Der Gerichtsschreiber: von Roten