Erwägungen:
1. X._ verlangte beim Bezirksgericht Zürich die gerichtliche Beurteilung einer vom Stadtrichteramt Zürich in Anwendung von Art. 90 Ziff. 1 SVG gegen ihn erlassenen Strafverfügung. Der mit dem Verfahren befasste Einzelrichter lud auf den 7. Mai 2008 zur Hauptverhandlung vor. Mit Schreiben vom 2. Mai 2008 verlangte X._, die Verhandlung sei zu verschieben, wobei er gegen den Einzelrichter ein Ablehnungsbegehren stellte.
Der Einzelrichter liess das Ablehnungsbegehren dem Obergericht zukommen. Dessen Verwaltungskommission hat das Begehren mit Beschluss vom 24. Mai 2008 abgewiesen, soweit sie darauf eingetreten ist.
Gegen diesen Beschluss führt X._ mit Eingabe vom 17. Juni 2008 der Sache nach Beschwerde in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG). Soweit hier wesentlich, verlangt er die Aufhebung des Beschlusses.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
2. Der Beschwerdeführer verlangt einmal mehr den Ausstand verschiedener Bundesrichter. Allein im Umstand, dass ein Richter in früheren Verfahren eine Angelegenheit derselben Person behandelte, kann keine Verletzung des Anspruchs auf den verfassungsmässigen Richter erblickt werden (Art. 34 Abs. 2 BGG; BGE 119 Ia 221 E. 3 S. 227). Auf das offensichtlich haltlose Begehren ist praxisgemäss nicht einzutreten.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offenstehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch BGE 133 II 249 insb. E. 1.4 S. 254). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Erwägungen, die dem angefochtenen Beschluss zugrunde liegen, nicht auseinander und zeigt daher nicht auf, inwiefern die Auffassung des Obergerichts verfassungsmässige Rechte verletzen sollte. Soweit der Beschwerdeführer auch eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV geltend macht, legt er nicht dar, worin diese bestehen soll.
Auf die mangelhafte Beschwerde ist somit offensichtlich nicht einzutreten, weshalb über sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann. Mit dem vorliegenden Entscheid wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Stadtrichteramt Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. September 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp