Sachverhalt:
A. Die X._ AG bezweckt den Kauf und Verkauf, das Halten und den Betrieb von Flugzeugen. Am 17. November 2000 wurde sie ins Register für Mehrwertsteuerpflichtige eingetragen. Aufgrund einer im Jahr 2002 durchgeführten Kontrolle erliess die Eidgenössische Steuerverwaltung gegenüber der X._ AG zwei Ergänzungsabrechnungen (über Fr. 215'484.-- für das 4. Quartal 2000 und über Fr. 238'480.-- für den Zeitraum vom 1. Quartal 2001 bis zum 1. Quartal 2002), die sie mit zwei Entscheiden vom 21. März 2003 bestätigte. Die Nachforderungen beruhten auf einer Kürzung des von der Pflichtigen geltend gemachten Vorsteuerabzugs (namentlich infolge von steuerausgenommenen Umsätzen) sowie auf der unzulässigen Behandlung der an nahestehende Personen erbrachten Leistungen. Die von der X._ AG dagegen erhobenen Einsprachen wurden im Umfang gewisser Kurskorrekturen gutgeheissen, im Übrigen aber abgewiesen, im Sinne einer Mehrwertsteuerschuld von Fr. 370'872.-- für das 4. Quartal 2000 und von Fr. 402'272.-- für die Zeitspanne vom 1. Quartal 2001 bis zum 1. Quartal 2002 (d.h. insgesamt Fr. 773'174.--). Diese Einspracheentscheide wurden vom Bundesverwaltungsgericht (nach Vereinigung der beiden Verfahren) mit Urteil vom 13. Mai 2008 bestätigt.
B. Am 25. Juni 2008 hat die X._ AG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts und den Abzug bzw. die Erstattung der von ihr geltend gemachten Vorsteuern, eventuell eine Rückweisung an die Veranlagungsbehörde zur Neufestlegung des Vorsteuerabzugs.
Die Eidgenössische Steuerverwaltung schliesst auf eine teilweise Gutheissung der Beschwerde, im Sinne einer veränderten Berechnung des Vorsteuerabzuges und einer Herabsetzung der Steuerschuld von insgesamt Fr. 773'174.-- auf Fr. 742'575.--. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen ein Urteil des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Eine Ausnahme gemäss Art. 83 BGG ist nicht gegeben. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher grundsätzlich zulässig (Art. 82 und 86 Abs. 1 lit. a BGG).
Angefochten wird hier - entgegen der Auffassung der ESTV - einzig das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts (was gemäss den genannten Bestimmungen zulässig ist), im Gegensatz zu den beiden Einspracheentscheiden (worauf wegen des Devolutiveffekts des vorinstanzlichen Urteils nicht eingetreten werden könnte); daran ändert nichts, dass die Beschwerdeschrift sich teilweise auch mit der Begründung der Einspracheentscheide auseinandersetzt. Hingegen kann die Beschwerde insoweit nicht entgegengenommen werden, als die Beschwerdeschrift den gesetzlichen Begründungsanforderungen (vgl. Art. 42 u.106 BGG) nicht genügt; das betrifft im Wesentlichen die Rüge einer unvollständigen Sachverhaltsfeststellung.
1.2 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht geltend gemacht werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG).
1.3 Streitig sind hier einerseits Steuerforderungen, die das 4. Quartal 2000 betreffen und für welche somit die Bestimmungen der Mehrwertsteuerverordnung (MWSTV) von 1994 (AS 1994 1464) anwendbar sind. Andererseits bezieht sich der umstrittene Sachverhalt auf den Zeitraum vom 1. Quartal 2001 bis zum 1. Quartal 2002 und unterliegt insoweit dem auf den 1. Januar 2001 in Kraft getretenen Mehrwertsteuergesetz (MWSTG; vgl. dazu Art. 93 und 94 MWSTG).
2. 2.1 Die Verordnung und das Gesetz regeln die Berechtigung zum Abzug von Vorsteuern im Wesentlichen gleich (vgl. Art. 29 ff. MWSTV bzw. Art. 38 ff. MWSTG). Dabei ist ein Abzug nur für die im Gesetz umschriebenen Zwecke möglich: Verwendet der Steuerpflichtige Gegenstände oder Dienstleistungen für steuerbare Ausgangsleistungen oder für optierte Umsätze, so kann er in seiner Steuerabrechnung die ihm von anderen Steuerpflichtigen mit den Angaben nach Art. 28 MWSTV/Art. 38 MWSTG in Rechnung gestellte Steuer für Lieferungen und Dienstleistungen abziehen (vgl. Art. 29 Abs. 1 und 2 MWSTV; Art. 38 Abs. 1 und 2 MWSTG). Unmittelbar aus dem Wortlaut der einschlägigen Bestimmungen ergibt sich namentlich, dass Leistungen zum Vorsteuerabzug berechtigen, wenn sie in steuerbare Ausgangsleistungen bzw. Umsätze fliessen, d.h einem geschäftlich begründeten Zweck dienen, nicht aber dann, wenn sie zu einer privaten Verwendung - insbesondere einer dem Alleinaktionär direkt zuzurechnenden Leistung - Anlass geben (vgl. dazu u.a. BGE 123 II 295 E. 6 S. 302 ff.; StR 62/2007 234 E. 3.2 sowie das Urteil 2C_195/2007 vom 8. Januar 2008 E. 2.3).
2.2 Im vorliegenden Fall besteht kein Grund, von der Feststellung des Bundesverwaltungsgerichts abzurücken, wonach die Gesellschaft einem verdeckten Ziel, nämlich der Liebhaberei des Alleinaktionärs, diente. Dieser brachte selber gegenüber den Zollbehörden klar zum Ausdruck, dass der Erwerb der beiden hier massgeblichen Flugzeuge primär zu privaten Zwecken erfolgt war. Damit steht im Einklang, dass die Gesellschaft als reine Domizilgesellschaft ohne Personal oder eigentlichen Geschäftsbetrieb geführt und auf eine Art finanziert wurde, die zumindest als ungewöhnlich zu bezeichnen ist und sich nur aus der besonderen Beziehung zum Alleinaktionär erklären lässt (u.a. Überschuldung der Gesellschaft im Sinne von Art. 725 Abs. 1 OR seit dem ersten Geschäftsjahr, Finanzierung durch den Alleinaktionär mit Rangrücktritten). Das gesamte Vorgehen kann wohl nur als Steuerumgehung qualifiziert werden (vgl. ASA 77 354 E. 4; siehe auch E. 3.4 des angefochtenen Urteils), was hier aber nicht näher zu prüfen ist.
Auf jeden Fall erweist es sich als bundesrechtskonform, wenn die Vorinstanz festgehalten hat, dass die umstrittenen Eingangsleistungen den privaten Bedürfnissen des Aktionärs dienten und nicht in steuerbare Ausgangsumsätze flossen. Das muss zu einer entsprechenden Kürzung des Vorsteuerabzuges führen. Daran ändert nichts, dass gewisse Drittumsätze getätigt wurden, da diese nur in einem beschränkten Umfang erfolgten, ohne etwas am wahren Zweck, d.h. der primär privaten Verwendung der Gesellschaft, zu ändern.
2.3 Die Beschwerdeführerin bestreitet die Kürzung des Vorsteuerabzugs auch deshalb, weil ihr dieser Abzug im Rahmen eines telefonischen und dann schriftlichen Kontaktes seitens der Steuerbehörde zugesichert worden sei, was aufgrund des in Art. 9 BV verankerten Grundsatzes von Treu und Glauben verbindlich sein müsse.
Die Bindungswirkung einer behördlichen Zusage unterliegt indessen bestimmten Voraussetzungen (vgl. dazu u.a. BGE 131 II 627 E. 6.1 S. 636), namentlich derjenigen einer vollständigen und wahrheitsgetreuen Sachverhaltsdarstellung gegenüber der Behörde. Schon diese Bedingung ist hier nicht erfüllt: Die Beschwerdeführerin behauptete in ihrer Anfrage, das Flugzeug werde vorwiegend dem Hauptaktionär zur Verfügung gestellt und von diesem für steuerbare Zwecke verwendet. Aufgrund des von der Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhaltes (vgl. oben E. 1.2) erfolgte die Nutzung im Wesentlichen aber nicht für geschäftliche, sondern für private Zwecke. Die Anfrage war entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht "offen und ehrlich", sondern im entscheidenden Punkt unvollständig und sogar falsch. Ob sich deswegen weitere Massnahmen im Rahmen eines Strafverfahrens aufdrängen, wie die ESTV annimmt, ist ebenfalls nicht hier zu prüfen.
2.4 Gegen die Abzugskürzung bringt die Beschwerdeführerin noch weitere Argumente vor, die jedoch ebensowenig zu überzeugen vermögen:
2.4.1 Namentlich wird eine Entgeltskorrektur geltend gemacht, die von der Vorinstanz nicht beurteilt worden sei. Im angefochtenen Urteil (vgl. dort E. 3.5.3) wird diese Rüge aber sehr wohl behandelt, in dem Sinne, dass sich die Frage des Drittvergleichs und der geldwerten Leistung hier nicht stelle. Daran ist schon deshalb nichts auszusetzen, weil die Vorinstanz den Abzug nur im Umfang der effektiv erbrachten Ausgangsumsätze anerkannt und die Beschwerde auch aus Gründen der Steuerumgehung abgewiesen hat. Demgemäss hat sie auf eine allfällige Entgeltskorrektur nicht mehr näher eingehen müssen und ist sie ihrer Beurteilungs- bzw. Begründungspflicht nachgekommen.
2.4.2 Im Übrigen argumentiert die Beschwerdeführerin, das Bundesverwaltungsgericht habe sich bei der Berechnung der Vorsteuerkürzung zu Unrecht auf das Verhältnis zwischen den Vorsteuern und den steuerbaren Umsätzen gestützt.
Der Gesetzgeber hat mit der in Art. 41 Abs. 1 MWSTG (Art. 32 Abs. 1 MWSTV) getroffenen Lösung zwar bewusst darauf verzichtet, eine Aufteilungsmethode zwingend vorzuschreiben; entscheidend ist allein, dass die Kürzung sachgerecht vorgenommen wird. Diese Bedingung ist aber erfüllt, wenn hier die Vorsteuern den deklarierten Lieferungssteuern gegenüberstellt worden sind, weil damit das prozentuale Verhältnis der Eingangsleistungen, welche in die Ausgangsumsätze einfliessen, ermittelt wird. Die sich daraus ergebende Kürzung entspricht den gesetzlichen Vorgaben.
Die Beschwerdeführerin unterlässt es, überzeugend darzulegen bzw. nachzuweisen, inwiefern das von ihr vorgeschlagene Abstellen auf die effektiv verwendete Flugzeit zu einer sachgerechteren Lösung führen soll; das würde übrigens eine spezifische Betriebsrechnung für jedes Flugzeug oder klare Aufzeichnungen und Zusammenstellungen über die geflogenen Flugstunden anhand des Bordbuches voraussetzen; solche Unterlagen befinden sich weder bei den Akten noch sind sie vor Bundesgericht eingereicht worden. Überdies sind derartige Methoden erst dann anzuwenden, wenn schon die "Nicht-Umsätze" bestimmt und von der Berechnung ausgeschlossen worden sind. Im Ergebnis sind die Behörden hier nicht anders vorgegangen.
2.5 Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin, dass die Vorsteuerkürzung nicht nur für den hier massgeblichen Zeitraum vom vierten Quartal 2000 bis und mit dem ersten Quartal 2002 ermittelt worden sei, sondern auch die nachfolgenden Perioden umfasse.
Für den Vorsteuerabzug bestimmt Art. 38 Abs. 7 MWSTG (bzw. Art. 29 Abs. 6 MWSTV) den zeitlichen Aspekt zumindest insoweit, als der Zeitpunkt festgelegt wird, in welchem der Anspruch des Vorsteuerabzugs frühestens entsteht: Bei Abrechnung nach vereinbartem Entgelt kann der Steuerpflichtige auf den Zeitpunkt der Rechnungsstellung abstellen und den Abzug in der entsprechenden Abrechnungsperiode geltend machen. Diese Regelung umfasst aber nicht die zeitlichen Aspekte der Vorsteuerkürzung. Diesbezüglich erweist es sich ebenfalls als sachgerecht, dass jedes Jahr besonders betrachtet wird und Gegenstand einer spezifischen Kürzungsberechnung bildet, wie das die ESTV in ihrer Vernehmlassung vor Bundesgericht nunmehr zu Recht hervorhebt. Daraus ergibt sich für die hier massgebliche Zeitspanne eine Herabsetzung der noch ausstehenden Mehrwertsteuerschuld von insgesamt Fr. 773'174.-- auf Fr. 742'575.--.
3. Im eben genannten Umfang ist die Beschwerde somit gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neufestsetzung des noch geschuldeten Steuerbetrags an die Veranlagungsbehörde zurückzuweisen. Im Übrigen erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die Kosten von Fr. 12'000.-- sind dem Ausgang des Verfahrens entsprechend aufzuteilen und mit Fr. 11'500.-- durch die Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die ESTV hat die Kosten vor dem Bundesgericht in Anwendung von Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG i.V. mit Art. 65 BGG mit Fr. 500.-- zu übernehmen. Für das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht schuldet sie keine Kosten (Art. 67 BGG i.V. mit Art. 37 VGG und Art. 63 Abs. 2 VwVG). Indessen sind die der Beschwerdeführerin überbundenen Kosten für das Verfahren vor der Vorinstanz dem Ausgang entsprechend um Fr. 500.-- auf Fr. 7'500.-- zu ermässigen. Die ESTV hat zudem die Beschwerdeführerin für die teilweise Gutheissung in beiden Verfahren angemessen, d.h. mit insgesamt Fr. 1'000.--, zu entschädigten (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 5 BGG i.V.m. Art. 37 VGG und Art. 64 VwVG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 13. Mai 2008 wird mit Bezug auf die Berechnung der Vorsteuerkürzung aufgehoben. Die Angelegenheit wird zur Neufestsetzung der geschuldeten Steuerbetreffnisse an die Eidgenössische Steuerverwaltung zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 12'000.-- werden zu Fr. 11'500.-- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 500.-- der Eidgenössischen Steuerverwaltung auferlegt.
3. Die Kosten des Verfahrens vor dem Bundesverwaltungsgericht werden zu Fr. 7'500.-- der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat die Beschwerdeführerin für die Verfahren vor dem Bundesgericht und dem Bundesverwaltungsgericht mit insgesamt Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Eidgenössischen Steuerverwaltung, Hauptabteilung Mehrwertsteuer, und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Januar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Matter