Faits:
A. A.a P._ exerce à titre indépendant l'activité d'éleveur et de marchand de chevaux. Le 26 février 2001, il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a chargé le docteur M._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, d'une expertise. Selon ce médecin, l'assuré, qui souffrait notamment d'une ostéochondromatose de l'épaule droite, présentait une baisse de la capacité de travail de 30 à 40 % dans son métier; dans une activité adaptée, après une période éventuelle de mise au courant, la capacité de travail pouvait être de 100 %, mais un reclassement professionnel était difficilement envisageable chez un patient extrêmement indépendant de caractère et ne disposant d'aucune formation (rapport du 12 juin 2003). Par décision du 29 août 2003, confirmée sur opposition le 24 août 2004, l'office AI a rejeté la demande.
A.b Saisi à nouveau de la cause à la suite de l'admission du recours interjeté par P._ contre la décision du 24 août 2004 (jugement du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel du 3 avril 2006), l'office AI a procédé à des mesures d'instruction complémentaires, dont la mise en oeuvre d'une enquête économique (rapport du 6 novembre 2006). Il a par ailleurs confié une expertise psychiatrique au docteur E._, psychiatre et psychothérapeute, qui n'a retenu aucun diagnostic psychiatrique, ni, partant, d'incapacité de travail pour des motifs psychiatriques (rapport du 7 juin 2007). Le 16 décembre 2008, l'office AI a alloué à l'intéressé une demi-rente d'invalidité du 1er février 2000 (en raison d'une demande tardive) au 31 décembre 2003. En bref, il a considéré que P._ présentait un taux d'invalidité de 56 % depuis le 17 novembre 1998, mais qu'on pouvait exiger de lui qu'il remît son exploitation d'élevage de chevaux à compter du 1er janvier 2004 et mît à profit sa capacité de travail (de 100 %) dans une activité adaptée depuis cette date, de sorte qu'il ne subissait alors plus d'incapacité de gain.
B. Statuant le 20 août 2009 sur le recours formé par l'assuré, le Tribunal administratif neuchâtelois, Cour des assurances sociales, l'a rejeté.
C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant, en substance, à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité au-delà du 31 décembre 2003 ("sans limitation dans le temps"). Le Tribunal fédéral a renoncé à procéder à un échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Compte tenu des conclusions du recours (art. 107 al. 1 LTF), le litige porte sur le droit du recourant à une demi-rente d'invalidité au-delà du 31 décembre 2003, singulièrement sur le point de savoir si un changement d'activité lucrative apparaissait raisonnablement exigible de sa part. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement la jurisprudence relative à l'obligation incombant à l'assuré de diminuer le dommage, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
On ajoutera que l'obligation de diminuer le dommage s'applique aux aspects de la vie les plus variés. Toutefois, le point de savoir si une mesure peut être exigée d'un assuré doit être examiné au regard de l'ensemble des circonstances objectives et subjectives du cas concret (ATF 113 V 22 consid. 4a p. 28 et les références). Par circonstances subjectives, il faut entendre les facteurs personnels tels que l'âge, la situation professionnelle concrète ou encore l'attachement au lieu de domicile. Parmi les circonstances objectives doivent notamment être prises en compte l'existence d'un marché équilibré du travail et la durée prévisible des rapports de travail (arrêt I 750/04 du 5 avril 2006 consid. 5.3, in SVR 2007 IV n° 1 p. 1).
2. Au regard de l'enquête économique du 6 novembre 2006 et des rapports des docteurs E._, M._ et R._ (médecin-conseil de l'intimé; avis du 8 juillet 2003), la juridiction cantonale a constaté que le recourant présentait une incapacité de travail de 61 % pour l'élevage de chevaux, mais disposait d'une pleine capacité de travail dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles dues à son atteinte à l'épaule droite. Elle a par ailleurs retenu qu'au vu de l'ensemble des circonstances, en particulier du fait que l'assuré se trouvait à plus de vingt ans de l'âge de la retraite, on pouvait exiger de lui qu'il changeât d'activité, au besoin en abandonnant l'exploitation de son élevage de chevaux à partir du 1er janvier 2004. Il existait en effet un nombre significatif de métiers ne nécessitant pas l'usage de la force physique que le recourant était susceptible d'exercer (à plein temps) en dépit de ses limitations fonctionnelles. Dans une telle activité adaptée, le recourant était en mesure de réaliser un revenu excluant toute perte de gain.
3. 3.1 Sans remettre en cause les constatations de fait des premiers juges sur la capacité (résiduelle) de travail en tant que telles, le recourant leur reproche tout d'abord d'avoir procédé à une constatation inexacte des faits pertinents et à une appréciation arbitraire des preuves en "ne retenant pas l'entier des conclusions" des docteurs E._, M._ et R._.
3.2 Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours en matière de droit public ne peut critiquer les constatations de faits que si ceux-ci ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références).
Les griefs du recourant sont en l'espèce mal fondés: les éléments dont il affirme que l'autorité précédente n'a pas tenu compte, ont non seulement été pris en considération par les premiers juges, mais n'apparaissent par ailleurs pas avoir été écartés sans raison sérieuse. Ainsi, la juridiction cantonale a fait état des conclusions des docteurs M._, E._ et R._ (consid. 3 p. 4 et 5 du jugement entrepris), qui ont tous trois considéré en substance qu'un reclassement professionnel serait voué à l'échec principalement à cause du caractère très indépendant de l'assuré (ainsi que de son absence de formation). Elle a cependant considéré que ces conclusions ne sauraient être suivies pour évaluer la capacité résiduelle de travail de l'assuré, parce que les motifs évoqués par les médecins pour justifier leur évaluation négative des chances d'une reconversion professionnelle - indépendance de caractère de l'intéressé et manque de formation - ne relevaient pas d'une atteinte à la santé. Une telle atteinte avait en particulier été niée par le docteur E._, qui avait précisé que la nature particulièrement indépendante de l'assuré constituait une "inclinaison dans le champ de la norme" (complément d'expertise du 1er octobre 2007). Loin d'être insoutenable comme l'allègue en vain le recourant, l'appréciation de l'autorité précédente est conforme au droit, puisqu'est seule déterminante dans le domaine de l'assurance-invalidité l'incapacité de travail qui résulte d'une atteinte à la santé (art. 6 LPGA en relation avec l'art. 4 al. 1 LAI).
4. 4.1 Le recourant soutient ensuite que sous l'angle de l'obligation de réduire le dommage, on ne saurait exiger de lui qu'il change de métier, puisqu'il avait aménagé son activité de façon à être à même d'utiliser au mieux sa capacité de travail résiduelle, que son âge au moment de la naissance du droit à la rente - 41 ans - était "déjà un âge avancé sur le marché de l'emploi", qu'il n'avait aucune formation et que sa profession d'éleveur de chevaux ne pouvait être considérée comme "une profession ordinaire".
4.2 A la lumière des circonstances concrètes du cas d'espèce, constatées par l'autorité cantonale de recours de façon à lier le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF), l'appréciation des premiers juges selon laquelle le recourant peut être tenu de mettre fin à son activité indépendante au profit d'une activité salariée plus lucrative n'apparaît pas erronée. En premier lieu, que l'on considère son âge au moment de la naissance du droit à la rente (41 ans) ou au moment de la décision litigieuse (50 ans), le recourant n'avait de loin pas atteint l'âge à partir duquel la jurisprudence considère généralement qu'il n'existe plus de possibilité réaliste de mise en valeur de la capacité résiduelle de travail sur un marché de l'emploi supposé équilibré (cf. arrêts 9C_918/2008 du 28 mai 2009 consid. 4.2.2, 9C_437/2008 du 19 mai 2009 consid. 4 [SVR 2009 IV n° 35 p. 97] et I 819/04 du 27 mai 2005 consid. 2.2 et les références). Compte tenu en second lieu de l'étendue de la capacité de travail de l'assuré dans une activité adaptée (100 %), les perspectives de revenu offertes par un changement d'activité par rapport au revenu qu'il serait en mesure d'obtenir dans le cadre de son activité indépendante (avec une capacité de travail partielle) sont nettement plus élevées selon les chiffres retenus par la juridiction cantonale à la suite de l'intimé (salaire de 57'258, [voire avec un abattement de 25 %, 42'944 fr.] comparé à un revenu de 27'165 fr.). On ne voit pas ensuite - et le recourant ne l'explique pas - en quoi la profession d'éleveur de chevaux serait "particulière" et que, de ce fait, sa reconversion professionnelle devrait être soumise à des exigences spécifiques. D'un point de vue objectif, rien ne s'oppose par ailleurs à une telle reconversion puisque l'indépendance de caractère dont ont fait état les différents médecins mandatés par l'intimé ne relève pas d'une atteinte à la santé. Enfin, même si le recourant ne dispose d'aucune formation, il a bénéficié d'une expérience en matière commerciale et pour des travaux administratifs (en relation, jusqu'alors, au commerce de chevaux). A la suite de la juridiction cantonale et de l'intimé - auquel il aurait incombé d'indiquer concrètement des activités adaptées exigibles de l'assuré -, on peut admettre que les secteurs de la production et des services recouvrent une large palette d'activités, dont un nombre suffisant est adapté aux limitations fonctionnelles du recourant (p. ex., surveillance, contrôle de machines, réception, tâches légères dans la vente) et qui sont à sa portée.
En conséquence, la juridiction cantonale était en droit de déterminer le degré d'invalidité du recourant en fonction du salaire qu'il pouvait obtenir en changeant d'activité. Celui-ci ne conteste au demeurant pas le calcul du taux d'invalidité au moyen d'une comparaison des revenus pour la période postérieure au 31 décembre 2003, dont il ne ressort aucune incapacité de gain.
5. Il résulte de ce qui précède que le recours est mal fondé. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires seront supportés par le recourant (art. 66 al. 1 en relation avec l'art. 65 al. 4 let. a LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 27 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless