Sachverhalt:
A. Die 1977 geborene G._, gelernte Bäckerin-Konditorin, ersuchte im Dezember 2003 die Invalidenversicherung um Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art (Berufsberatung, Arbeitsvermittlung, Umschulung). Die IV-Stelle des Kantons Solothurn klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Dabei ergab sich, dass G._ am 13. Mai 2003 als Beifahrerin eines Personenwagens einen Verkehrsunfall erlitten und die SUVA u.a. Taggeldleistungen bis zum 28. August 2003 erbracht hatte. Mit Verfügung vom 27. Februar 2004 lehnte die IV-Stelle des Kantons Solothurn das Leistungsbegehren ab, was sie mit Einspracheentscheid vom 11. Januar 2006 bestätigte.
Am 1. August 2005 begann G._ eine dreijährige Lehre als Tiermedizinische Praxisassistentin in einer Kleintierklinik.
B. Die Beschwerde der G._ gegen den Einspracheentscheid vom 11. Januar 2006 wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn nach Durchführung einer öffentlichen Parteiverhandlung mit Entscheid vom 4. Dezember 2006 ab.
C. G._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben und es seien berufliche Massnahmen durchzuführen, indem ihr insbesondere die gesetzlichen Leistungen für die Ausbildung zur Tiermedizinischen Praxisassistentin, allenfalls für eine andere geeignete Tätigkeit, zugesprochen werden; eventualiter sei die Sache zu weiterer Abklärung, zur Neubeurteilung und zum Neuentscheid an das kantonale Gericht oder an die IV-Stelle zurückzuweisen; subeventualiter sei ihr, ab wann rechtens, eine Invalidenrente samt Verzugszins zuzusprechen. Im Weitern lässt G._ beantragen, die Vorinstanz sei anzuweisen, ihrem Rechtsvertreter Gelegenheit zu geben, eine detaillierte Kostennote einzureichen, damit er die Parteikosten für das kantonale Verfahren rechtsgenüglich geltend machen könne, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Kantonales Gericht und IV-Stelle schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid ist am 4. Dezember 2006 ergangen. Das Verfahren richtet sich somit nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG). Das am 1. Januar 2007 in Kraft getretene Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG [AS 2006 1205 ff., 1243]) ist insoweit nicht anwendbar (Art. 132 Abs. 1 BGG).
1.2 Da die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach dem 1. Juli 2006 anhängig gemacht worden ist, bestimmt sich die Kognition im vorliegenden Streit um Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art und/oder eine Rente der Invalidenversicherung nach Art. 132 OG (in der seit 1. Juli 2006 geltenden Fassung; BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395). Es ist daher nur zu prüfen, ob der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens (Art. 104 lit. a OG), oder ob die Vorinstanz den Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt hat (Art. 104 lit. b OG und Art. 105 Abs. 2 OG).
2. Das kantonale Gericht hat den Anspruch der Beschwerdeführerin auf Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art (Art. 8 und 15 ff. IVG), insbesondere die Umschulung zur Tiermedizinischen Praxisassistentin verneint. In tatsächlicher Hinsicht hat die Vorinstanz festgestellt, auf Grund der fachärztlichen Beurteilungen sei die Versicherte für leicht bis mittelschwer belastende Tätigkeiten im Ausmass von 100% als uneingeschränkt arbeitsfähig zu betrachten. Diese Einschätzung gelte auch in Bezug auf die bisherige Tätigkeit als Bäckerin-Konditorin. Die Abklärungen der IV-Stelle hätten ergeben, dass heutzutage in diesem Beruf keine schweren Arbeiten mehr anfallen würden. Die meisten Bäckereibetriebe verfügten über zeitgemässe technische Einrichtungen, welche die anfallenden schweren Arbeiten übernähmen. Das Herumtragen schwerer Bleche mit Backwaren werde in der Regel zu Zweit gemacht. Sei aber die Beschwerdeführerin als hinreichend eingegliedert zu betrachten, bleibe kein Raum für Massnahmen im Sinne der Art. 15 ff. IVG. Selbst wenn im Übrigen die invaliditätsmässigen Voraussetzungen für eine Umschulung im Sinne von Art. 17 Abs. 1 IVG gegeben wären, scheiterte die Zusprechung der selbst gewählten Ausbildung zur Tiermedizinischen Praxisassistentin unter diesem Titel am Erfordernis der Gleichwertigkeit (vgl. BGE 124 V 108). Im Weitern würde die Beschwerdeführerin überwiegend wahrscheinlich ohne die geltend gemachten gesundheitlichen Beschwerden immer noch ihren Beruf als Bäckerin-Konditorin ausüben. Somit liege kein gesundheitsbedingter Erwerbsausfall vor, und es bestehe demzufolge auch kein Anspruch auf eine Invalidenrente.
In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird hauptsächlich die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung beanstandet.
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat für die Festsetzung der trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung noch zumutbaren Arbeitsfähigkeit auf den Bericht des Dr. med. W._, Facharzt FMH für Neurochirurgie, von der Abteilung Versicherungsmedizin der SUVA vom 15. Februar 2005 abgestellt. Dabei handelt es sich um die im Einspracheverfahren betreffend die Einstellung der Taggeldleistungen der Unfallversicherung zum 28. August 2003 eingeholte Stellungnahme aus neurologischer Sicht zur Frage nach organisch nachweisbaren Folgen des Verkehrsunfalles vom 13. Mai 2003. Die Vorinstanz hat u.a. festgestellt, der Einspracheentscheid vom 18. Juli 2005 sei in Rechtskraft erwachsen und die Beurteilung des Dr. med. W._ somit unbestritten geblieben. Dies trifft offensichtlich nicht zu, wie in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu Recht geltend gemacht wird. Die Versicherte focht den die verfügte Einstellung der Taggeldleistungen bestätigenden Einspracheentscheid der SUVA beim Kantonsgericht Basel-Landschaft an, welches die Beschwerde mit Entscheid vom 6. Dezember 2006 guthiess und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an den Unfallversicherer zurückwies.
Weiter hat das kantonale Gericht dem privat eingeholten Gutachten des Dr. med. M._, Spezialarzt für Neurologie FMH, vom 19. August 2004 mit zum Teil nicht stichhaltigen Gründen jeglichen Beweiswert aberkannt. Dr. med. M._ habe sich zwar im IV-Verfahren als einziger Arzt zur Frage der Arbeitsfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit als Bäckerin-Konditorin geäussert und sie verneint. Diese Einschätzung sei indessen nicht von Gewicht, habe doch Dr. med. W._ die ihr zu Grunde liegende Diagnose des Privatgutachters einer milden traumatischen Gehirnverletzung als unrichtig bezeichnet. Dies trifft indessen offensichtlich nicht zu. Dr. med. M._ hielt ausdrücklich fest, die Versicherte habe sich von anfänglich bestehenden kognitiven Störungen als Folge der milden traumatischen Gehirnverletzung gut erholt. Es würden noch leichte Konzentrationsstörungen geltend gemacht; diese seien aber ausschliesslich bei gleichzeitigen Schmerzen vorhanden. Die schmerzfreie Patientin sei in ihrer Kognition auf Grund eigener Angaben nicht beeinträchtigt. Der Beurteilung des Dr. med. M._, wonach der Beruf als Bäckerin-Konditorin besonders ungeeignet sei, da er ausgesprochen schultergürtelbelastend sei, liegt somit nicht die ebenfalls diagnostizierte traumatische Gehirnverletzung zu Grunde. Wenn das kantonale Gericht in diesem Zusammenhang festhält, Dr. med. M._ spreche einerseits von einer schmerzfreien Patientin, attestiere dieser anderseits, nach wie vor unter Genick- und Kopfschmerzen in zumindest mässigem Ausmass zu leiden, ortet es offensichtlich zu Unrecht einen Widerspruch in den Aussagen des neurologischen Privatgutachters. Die Schmerzen im Schultergürtelbereich sowie spontan auch im Kopf und im Genick sind belastungsabhängig. Es gibt somit auch - mehr oder weniger - beschwerdefreie Zeiten, in denen zudem keine Konzentrationsstörungen bestehen. Im Weitern muss es als willkürlich bezeichnet werden, wenn die Vorinstanz dem Gutachten des Dr. med. M._ vom 19. August 2004 auch deshalb keinen Beweiswert zuerkennt, weil die Expertise im Auftrag der Explorandin erstellt wurde (vgl. BGE 125 V 351 E. 3b/cc S. 353), anderseits dem Umstand beweisrechtlich keine Bedeutung beimisst, dass der Bericht des Dr. med. W._ vom 15. Februar 2005 lediglich zum natürlichen Kausalzusammenhang der geklagten Beschwerden zum Unfall vom 13. Mai 2003 Stellung nahm. Aufgrund der Akten hatte indessen die Beschwerdeführerin bereits früher im Zeitraum 1997 bis 2002 mehrere Unfälle erlitten, bei welchen der Kopf-, Nacken- und Schulterbereich betroffen war und danach Schmerzen auftraten. Selbst Dr. med. W._ sprach von einer Akzentuierung der Restbeschwerden eines chronifizierten cervico-cephalen Schmerzsyndroms durch die Vorgeschichte der Versicherten. (Krankhafte) Vorzustände sind bei der unfallversicherungsrechtlichen Kausalitätsbeurteilung ausser Betracht zu lassen.
Schliesslich lässt die Vorinstanz unberücksichtigt, dass Dr. med. W._ die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit des Rheumatologen Dr. med. X._ (Bericht vom 25. November 2003) übernahm und diese ohne eine Begründung insoweit ergänzte, dass er auch die Tätigkeit als Bäckerin-Konditorin als leicht bis mittelschwer qualifizierte und dementsprechend die Versicherte in diesem angestammten Beruf wieder als voll arbeitsfähig bezeichnete. Gleichzeitig und im Widerspruch dazu vertrat Dr. med. W._ die Ansicht, «dass mittel- bis langfristig eine angepasste Tätigkeit mit wechselnd sitzender, stehender Körperhaltung, ohne Kopfzwanghaltung und ohne besondere Schultergürtelbelastung geeigneter wäre» als der Beruf der Bäckerin-Konditorin.
3.2 Das kantonale Gericht hat somit den rechtserheblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig oder in willkürlicher Beweiswürdigung festgestellt. Er ist deshalb für das Bundesgericht nicht verbindlich (E. 1.2). Indessen erlauben die medizinischen Akten auch bei freier Tatsachenprüfung keine zuverlässige Beurteilung der gesundheitlich bedingt zumutbaren Arbeitsfähigkeit, insbesondere im Beruf als Bäckerin-Konditorin. Die fachärztlichen Auffassungen gehen auch in Bezug auf die (organische) Genese der Beschwerden zu weit auseinander. Es kann daher in diesem Verfahren weder über den Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art noch eine Rente entschieden werden. Auf die diesbezüglichen rechtlichen Vorbringen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist demzufolge nicht näher einzugehen. Dies betrifft auch die Frage, ob die auf eigene Initiative begonnene Ausbildung zur Tiermedizinischen Praxisassistentin eine Umschulung im Sinne von Art. 17 Abs. 1 IVG darstellt. Ebenfalls erübrigt sich der Beizug der UV-Akten. Im Sinne des Eventualantrages ist daher die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit sie zur gesundheitlich bedingt zumutbaren Arbeitsfähigkeit weitere Abklärungen vornehme und danach über die streitigen Leistungen neu verfüge.
4. In der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird geltend gemacht, das kantonale Gericht habe die Entschädigung des Rechtsvertreters der Versicherten unter dem Titel unentgeltliche Verbeiständung festgesetzt, ohne diesem Gelegenheit zur Einreichung einer Kostennote zu geben. Dieses Vorgehen verstosse gegen den verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV. Auf diese Rüge braucht nicht näher eingegangen zu werden. Aufgrund des Ausganges des letztinstanzlichen Verfahrens gilt die Beschwerdeführerin auch vor Vorinstanz als obsiegende Partei. Sie hat daher Anspruch auf Ersatz der Parteikosten (Art. 61 lit. g ATSG). Deren Höhe wird das kantonale Gericht unter Beachtung der Verfahrensrechte der Versicherten noch festzusetzen haben.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 134 zweiter Satz OG, in Kraft seit 1. Juli 2006). Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der IV-Stelle aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG in Verbindung mit Art. 135 OG). Zudem hat die Verwaltung der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist demzufolge gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne teilweise gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 4. Dezember 2006 und der Einspracheentscheid vom 11. Januar 2006 aufgehoben werden und die Sache an die IV-Stelle des Kantons Solothurn zurückgewiesen wird, damit sie, nach Abklärungen im Sinne der Erwägungen, über den Anspruch der Beschwerdeführerin auf Eingliederungsmassnahmen beruflicher Art und/ oder eine Rente der Invalidenversicherung neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle des Kantons Solothurn auferlegt.
3. Die IV-Stelle des Kantons Solothurn hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung (einschliesslich Mehrwertsteuer) von Fr. 2500.- zu bezahlen.
4. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn hat die Parteientschädigung für das kantonale Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses festzusetzen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 24. April 2007
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: