Sachverhalt:
A. Die aus Serbien stammende X._ (geb. 1969) reiste im Juli 1986 in die Schweiz ein und heiratete am 22. November 1989 ihren Landsmann Y._ (geb. 1966). Aus dieser mit Urteil des Bezirksgerichts Uster vom 1. Oktober 1992 geschiedenen Ehe ging der Sohn A._ (geb. 1991) hervor, der bei der Scheidung unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt wurde. Während diese arbeitete, wurde er tagsüber von der Grossmutter mütterlicherseits (geb. 1948) betreut. Ende Dezember 1996 kehrte die Grossmutter mit ihrem Enkel nach Serbien zurück. Seither lebt A._ bei ihr und besuchte in seiner Heimat auch die Schule.
Am 17. Juli 1997 heiratete X._ ihren Landsmann Z._, mit dem sie die beiden Kinder B._ (geb. 1997) und C._ (geb. 1999) hat. Sie, der Ehemann und die beiden Kinder erwarben im Jahre 2003 das Schweizer Bürgerrecht.
In den Jahren 2003 und 2005 hielt sich A._ jeweils besuchsweise bei seiner Mutter und ihrer neuen Familie in Wallisellen auf. Auch besuchte X._ ihren Sohn regelmässig in seinem Heimatland.
B. Mit Verfügung vom 6. Oktober 2006 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (Migrationsamt) das von X._ am 29. Mai 2006 gestellte Gesuch um Familiennachzug ihres Sohnes A._ ab, im Wesentlichen mit der Begründung, die Mutter könne keine vorrangige Beziehung zu ihrem Sohn aus erster Ehe nachweisen und lege auch keine stichhaltigen Gründe dar, welche eine Veränderung der bisherigen Betreuungsverhältnisse gebieten würden.
Ein gegen diese Verfügung erhobener Rekurs beim Regierungsrat des Kantons Zürich blieb erfolglos, und mit Urteil vom 28. Dezember 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den regierungsrätlichen Entscheid vom 18. September 2007 erhobene Beschwerde ebenfalls ab.
C. Mit Eingabe vom 1. Februar 2008 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 28. Dezember 2007 aufzuheben und das Migrationsamt des Kantons Zürich anzuweisen, dem Sohn A._ die Einreise in die Schweiz zwecks Verbleibs bei der Mutter zu bewilligen bzw. A._ die Niederlassungsbewilligung (eventuell eine Aufenthaltsbewilligung) zu erteilen.
Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt - für den Regierungsrat - Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
1.2 Zwar ist am 1. Januar 2008 das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG, SR 142.20) in Kraft getreten, doch bestimmt dessen Art. 126 Abs. 1, dass auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes eingereicht worden sind, noch das bisherige Recht anwendbar bleibt. Das streitige Familiennachzugsgesuch wurde vor Inkrafttreten des Ausländergesetzes gestellt und beurteilt sich daher - soweit nationales Gesetzesrecht Anwendung findet - noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen.
1.3 Ledige ausländische Kinder unter 18 Jahren von Schweizer Bürgern haben gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung gestützt auf Art. 7 ANAG in Analogie zu Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammen wohnen (BGE 130 II 137 E. 2.1 S. 141; 129 I 249 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin ist Schweizer Bürgerin. Sie hat demnach einen grundsätzlichen Anspruch auf den Nachzug ihres im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung 15 Jahre alten Sohnes (vgl. BGE 129 II 11 und 126 II 329). Da dieser auch heute noch nicht volljährig ist, ist zudem die Berufung auf das in Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. in Art. 13 Abs. 1 BV garantierte Recht auf Achtung des Familienlebens zulässig (vgl. BGE 129 II 249 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist deshalb einzutreten.
1.4 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Echte tatsächliche Noven, das heisst solche Tatsachen, die erst nach dem Ergehen des angefochtenen Entscheides eingetreten sind, können im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nicht berücksichtigt werden (BGE 134 IV 342 E. 2.1 S. 343). Die Beschwerdeführerin ist daher mit ihren Einwänden, der Gesundheitszustand der Grossmutter habe sich in den letzten Wochen erneut verschlechtert, nicht zu hören. Als unzulässiges neues Beweismittel unbeachtlich bleibt auch das ärztliche Zeugnis vom 18. Januar 2008.
2. 2.1 Die in der Rechtsprechung zu Art. 7 und 17 ANAG entwickelten Voraussetzungen für den nachträglichen Nachzug von Kindern, welche sinngemäss auch für Ansprüche aus Art. 8 EMRK gelten, sind unterschiedlich, je nachdem ob es sich um die Vereinigung mit den gemeinsamen Eltern oder aber mit einem getrennt lebenden Elternteil handelt. Im ersten Fall bedarf es, unter Vorbehalt des Rechtsmissbrauches, keiner besonderen Rechtfertigung dafür, dass das Nachzugsrecht erst nachträglich geltend gemacht wird; im zweiten Fall dagegen wird ein nachträglicher Familiennachzug nur bewilligt, wenn besondere familiäre Gründe bzw. eine Änderung der Betreuungssituation dies gebieten (BGE 130 II 1 E. 2.2 S. 4; 129 II 11 E. 3.1 S. 14 f.; 126 II 329 E. 2a und 3b S. 330/332). Das ist regelmässig nicht der Fall, wenn im Heimatland alternative Pflegemöglichkeiten bestehen, die dem Kindeswohl besser entsprechen, beispielsweise weil dadurch vermieden werden kann, dass das Kind aus seiner bisherigen Umgebung und dem ihm vertrauten Beziehungsnetz gerissen wird (BGE 133 II 6 E. 3.1.2 S. 11 f.; 125 II 585 E. 2c S. 588 mit Hinweisen).
Auf die Frage der vorrangigen Beziehung kommt es nach der jüngeren Praxis nicht mehr an (vgl. etwa Urteile 2C_2008 vom 14. Mai 2008, E. 2.1, und 2C_290/2007 vom 9. November 2007, E. 2.1).
Vorliegend kommen die Regeln über den Familiennachzug von Kindern getrennt lebender Eltern zur Anwendung. Dass der Sohn A._ seinen in der Schweiz lebenden Stiefvater seit längerer Zeit kennt, ändert entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin (S. 5 der Beschwerdeschrift) nichts. Sie kann den nachträglichen Nachzug ihres Sohnes aus erster Ehe nur verlangen, wenn stichhaltige Gründe dessen Übersiedlung zur Mutter in die Schweiz gebieten. Diese Gründe müssen angesichts der drohenden Integrationsschwierigkeiten umso gewichtiger sein, je älter die nachzuziehenden Kinder sind (vgl. BGE 129 II 11 E. 3.3.2 S. 16, vgl. dazu auch BGE 133 II 6, E. 5.3, u.a. mit Hinweis auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte i. S. Tuquabo-Tekle [Nr. 60665 vom 1. Dezember 2005]).
2.2 Das Verwaltungsgericht stellte fest, A._ sei seit der Scheidung der Eltern im Oktober 1992 - also bereits als Einjähriger - tagsüber von seiner Grossmutter betreut worden, welche zusammen mit ihm im Dezember 1996 nach Serbien zurückgekehrt sei und ihn seither aufgezogen habe. Damit rechtfertige sich ohne weiteres die Annahme, dass die Grossmutter die Hauptverantwortung für die Erziehung von A._ trage. Zwar werde damit nicht in Abrede gestellt, dass auch die Beschwerdeführerin eine intakte Beziehung mit ihrem Sohn pflege, diese erreiche jedoch nicht die Intensität, die für die Annahme einer vorrangigen Beziehung erforderlich sei. Dafür spreche vor allem der Umstand, dass die Mutter, die im Jahr 1997 eine neue Familie gegründet hat, nicht schon viel früher ein Gesuch um Nachzug ihres Sohnes gestellt habe.
Dem Verwaltungsgericht lag sodann ein ärztliches Zeugnis vor, wonach die Grossmutter seit dem Tod ihres Gatten an Depressionen und Angstzuständen leide, bei ihr erhöhte Blutdruck- und Blutzuckerwerte gemessen würden und sie mit gelegentlichen rheumatischen Beschwerden leben müsse. Das Gericht erwog, es solle nicht in Abrede gestellt werden, dass diese Krankheiten ernst zu nehmen seien. Es handle sich aber um häufige und in der Regel gut behandelbare Krankheiten, die die Betreuung eines bald 17-jährigen und weitgehend selbständigen Jugendlichen nicht verunmöglichten. Überdies sei zu berücksichtigen, dass ausser der Grossmutter noch ein Bruder der Beschwerdeführerin mit A._ zusammenlebe. Auch wenn dieser selber - was in keiner Weise belegt sei - an Diabetes und Nierenproblemen leide, gelte für diese Beschwerden das Gleiche wie für diejenigen der Grossmutter, nämlich, dass dadurch die Wahrnehmung gewisser, wenig intensiver Betreuungsaufgaben regelmässig nicht ausgeschlossen sei.
2.3 Die Beschwerdeführerin macht geltend, aus den eingereichten Arztzeugnissen sei ersichtlich, dass die Grossmutter offensichtlich nicht mehr in der Lage sei, sich um ihren Enkel zu kümmern. Ebenfalls verkenne die Vorinstanz den Umfang an Betreuung, den ein 17-jähriger brauche; es könne A._ zudem nicht zugemutet werden, sich noch länger in seinem gegenwärtigen Umfeld von Trauer, Krankheit und Elend aufzuhalten. Dass sich auch der Bruder der Beschwerdeführerin um seinen Neffen kümmern könnte, sei nicht möglich. Dieser habe im Haushalt noch nie einen Finger gerührt und sich auch noch nie um A._ gekümmert. Hier in der Schweiz dagegen habe A._ seine Mutter sowie seine beiden Halbgeschwister um sich; da er im Übrigen bereits sechs Jahre in unserem Land gelebt habe, werde es ihm vergleichsweise leicht fallen, sich hier zu integrieren.
2.4 Wieso vorliegend das Nachzugsgesuch nicht schon früher gestellt wurde, ist nicht von Bedeutung und kann dahingestellt bleiben (vgl. vorne E. 2.1). Jedenfalls war A._ schon im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung 15 Jahre alt; inzwischen steht er kurz vor Erreichung der Volljährigkeit und bedarf nicht mehr derselben intensiven Betreuung wie ein Schulkind. Die geltend gemachten gesundheitlichen Beschwerden der 60 Jahre alten Grossmutter schliessen die altersgerechte Weiterbetreuung des Enkels bis zu dessen Volljährigkeit nicht aus und begründen, wie die Vorinstanz zulässigerweise annehmen durfte, keine zwingende Notwendigkeit für seine Übersiedlung in die Schweiz. Das Verwaltungsgericht hat diesbezüglich zu Recht hohe Beweisanforderungen gestellt: Je älter die nachzuziehenden Kinder sind, desto grösser sind die zu erwartenden Integrationsschwierigkeiten und desto strengere Anforderungen dürfen alsdann an den Nachweis der Notwendigkeit eines Nachzuges gestellt werden (vgl. BGE 129 II 11 E. 3.3.2 S. 16).
Bei einer Übersiedlung in die Schweiz würde A._ nicht nur von seiner Grossmutter getrennt, die ihn bisher aufgezogen hat, sondern er würde auch aus seiner vertrauten sonstigen Umgebung gerissen und wäre in der Schweiz mit erheblichen Integrationsschwierigkeiten konfrontiert. Dass er seine früheste Jugendzeit (Vorschulalter) hier verbracht hat, bevor er mit seiner Grossmutter ins Heimatland zurückkehrte, vermag daran nichts zu ändern. Der Verbleib bei ihr, die lange Zeit für ihn gesorgt hat und die heute vielleicht ihrerseits in gewissen Situationen auf die Hilfe ihres Enkels angewiesen sein könnte, ist ihm zuzumuten. Hinzu kommt, dass auch ein Bruder seiner Mutter zusammen mit der Grossmutter lebt, der sich ebenfalls an einer altersgerechten Betreuung seines Neffen beteiligen kann.
Bei dieser Sachlage durfte die Vorinstanz das Vorliegen stichhaltiger Gründe für einen nachträglichen Nachzug des Sohnes verneinen. Sie musste A._ hiezu - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin (S. 4 der Beschwerdeschrift) - auch nicht persönlich anhören (vgl. BGE 124 II 361 E. 3c S. 368, mit Hinweisen), umso weniger, als er selber seine Wünsche schriftlich ins Verfahren eingebracht hat.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Hungerbühler Klopfenstein