Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Da es um eine Strafsache geht, ist die als "öffentlich-rechtliche" Beschwerde bezeichnete Eingabe als Beschwerde in Strafsachen gemäss Art. 78 ff. BGG entgegenzunehmen.
2. Im angefochtenen Entscheid wurde auf ein Revisionsgesuch des Beschwerdeführers nicht eingetreten. Einerseits sei ihm bereits in ständiger kantonaler Rechtsprechung die Prozessfähigkeit aberkannt worden bei Anzeigen, Ablehnungen und Rechtsmitteln, welche im Zusammenhang mit angeblich kriminellen Machenschaften verschiedener Magistratspersonen ständen und die zu Ablehnungsgesuchen oft der gesamten bernischen Justiz führten (angefochtener Entscheid S. 3 E. 4). Was ein Strafmandat gegen den Beschwerdeführer wegen einfacher Körperverletzung bzw. Versuchs dazu sowie wegen Widerhandlungen gegen das Heilmittelgesetz durch unerlaubtes Herstellen und Abgeben von Lithiumkarbonat betreffe, sei seinem damaligen Verteidiger vollständige Akteneinsicht gewährt worden, weshalb eine Gehörsverweigerung nicht vorliege (angefochtener Entscheid S. 3-5 E. 6). In Bezug auf das Begehren um Weiterführung seiner Gegenanzeige sei die Vorinstanz nicht zuständig (angefochtener Entscheid S. 5 E. 7).
Was der Beschwerdeführer unter dem Titel "Tatbestand/Beweise" vorbringt (vgl. Beschwerde S. 4-10), ist rechtsmissbräuchlich und querulatorisch (wie schon in den Verfahren 6B_147/2008, 6B_154/2008, 6B_164/2008, 6B_322/2008, 6B_323/2008, 6B_8572008, 6B_876/2008, 6B_957/2009). So führt er zum Beispiel aus, es sei "eine Tatsache", dass die Oberrichter die von ihm "absolut zu Recht bemängelten und für jedermann erkennbar, aufgezeigten und mit entlastenden Beweisen hinterlegten Fakten" nicht in Erwägung gezogen hätten (Beschwerde S. 4). Ihr Vorgehen zeige, "dass die Berner Justiz sich immer mehr im Kreise des Amtsmissbrauches und daraus folgend immer wieder mittels Missbrauch der Amtsgewalt aus dem Teufelskreis heraus manövrieren wollen und dabei genau das Gegenteil (erreichen), nämlich dass sie sich selbst immer mehr in Verbrechen gegen die Allgemeinheit und vorliegend gegen den Beschwerdeführer im Teufelskreis verstricken" (Beschwerde S. 5). "Mit Lügengebäuden und Scheineinwänden zeigen diese Juristen gleich selbst ihre Fehlbarkeit und vorsätzlichen Schutzbehauptungen auf" (Beschwerde S. 6). Die Berner Justiz und ihre Organe hätten dem Beschwerdeführer "ihre Amtsmissbräuche und fehlbaren Vorgehen, Entscheide bis zu seiner anschliessenden grundlosen Verurteilung verdunkeln" wollen (Beschwerde S. 7). Sie hätten "mit allen nur erdenklichen Mitteln aus dem unschuldigen Beschwerdeführer einen Schuldigen zu machen" versucht (Beschwerde S. 8). Sie hätten "nachweislich, in jeglicher Hinsicht verbrecherisch und kriminell gegenüber dem Beschwerdeführer gehandelt" (Beschwerde S. 9). Sie "beschlossen wissentlich und damit vorsätzlich völlig falsch und unüberlegt zum absoluten Nachteil des Beschwerdeführers und vor allem zum grossen, finanziellen, Ruf-, Leumund und kreditschädigenden Verlust des absolut unschuldigen" Beschwerdeführers. Sie hätten einem "illegalen, korrupten Urteil" willkürlich zugestimmt, "um ihre Kumpane vor einer Verurteilung und Strafe zu schützen" (Beschwerde S. 10). Gemäss Art. 42 Abs. 7 BGG kann das Bundesgericht auf derartige Vorwürfe nicht eingehen.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
3. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Kassationshof, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn