Sachverhalt:
A. A.a Die 1956 geborene G._ ist seit 1. April 2003 als Sekretärin in der Klinik I._ tätig und dadurch bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) u.a. gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Mit Unfallmeldung vom 27. Januar 2011 wurde der AXA mitgeteilt, dass G._ am 17. September 2010 zu Hause auf einer Wendeltreppe ausgerutscht sei und sich die Schulter verletzt habe. Am 6. Juli 2011 verfügte der Unfallversicherer die Einstellung der Leistungen rückwirkend per 31. Oktober 2010.
A.b Am 22. September 2011 erhielt der obligatorische Krankenversicherer von G._, die Progrès Versicherungen AG (nachfolgend: Progrès), eine Kopie der Verfügung der AXA vom 6. Juli 2011. Mit Eingabe vom 23. September 2011 erhob sie dagegen Einsprache, bat um Einsicht in die Unfallakten und führte aus, dass sie nach deren Erhalt entweder noch eine Begründung der Einsprache nachliefern oder aber diese mit einer entsprechenden Mitteilung zurückziehen werde.
Am 6. Februar 2012 erkundigte sich die Progrès bei der AXA per E-Mail unter Bezugnahme auf die gegen die Verfügung vom 6. Juli 2011 erhobene vorsorgliche Einsprache sowie die am 20. Oktober 2011 übermittelte Einsprachebegründung bezüglich des Verfahrensstandes. Gleichentags teilte die AXA der Progrès telefonisch mit, dass sie die erwähnte Begründung nicht erhalten und den Fall deshalb erledigt habe. Mit Schreiben vom 6. Februar 2012 stellte die Progrès der AXA die (angebliche) Einsprachebegründung vom 20. Oktober 2011 zu. Der Unfallversicherer trat mit Entscheid vom 14. Februar 2012 infolge Fristversäumnisses auf die Einsprache nicht ein.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ab (Entscheid vom 12. Juni 2012).
C. Die Progrès führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids.
Während die AXA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichten die Vorinstanz, das Bundesamt für Gesundheit und G._ auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin stellt vor dem Bundesgericht einzig den Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Dies genügt praxisgemäss den Formerfordernissen an eine rechtsgenügliche Beschwerde an das Bundesgericht nicht, nach welchen ein präziser Antrag in der Sache verlangt wird (BGE 136 V 131 E. 1.2 S. 135 f.; Laurent Merz, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2011, N. 15 f. zu Art. 42 BGG). Aus dem Gesamtzusammenhang, insbesondere aus der Beschwerdebegründung, die zur Interpretation des Rechtsbegehrens beigezogen werden kann, wie auch aus der Antragstellung in der kantonalen Beschwerde vom 22. Februar 2012 (vgl. S. 2 oben), ergibt sich indes ohne Weiteres, dass die Beschwerdeführerin zugleich fordert, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, ihr zur Einreichung der Einsprachebegründung eine angemessene Nachfrist zu setzen, um anschliessend über den strittigen Anspruch materiell zu befinden. Vor diesem Hintergrund ist auf die Beschwerde einzutreten (vgl. Merz, a.a.O., N. 16 zu Art. 42 BGG).
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil [des Bundesgerichts] 8C_784/2008 vom 11. September 2009 E. 1.1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 412, aber in: SVR 2010 UV Nr. 2 S. 7).
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil [des Bundesgerichts] 8C_784/2008 vom 11. September 2009 E. 1.1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 412, aber in: SVR 2010 UV Nr. 2 S. 7).
2.2 2.2.1 Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
Diese Einschränkungen der Rüge- und Überprüfungsbefugnis gelten nicht bei Beschwerden, welche sich gegen einen Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung richten. Hier kann jede unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gerügt werden (Art. 97 Abs. 2 BGG) und ist das Bundesgericht nicht an die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz gebunden (Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.2.2 Vorliegend ist strittig, ob die Beschwerdegegnerin der Beschwerdeführerin eine Nachfrist zur Begründung ihrer am 23. September 2011 erhobenen (vorsorglichen) Einsprache hätte gewähren müssen. Dabei geht es vorab um die Beurteilung einer formellen Frage - eine allfällige konkrete Leistungsprüfung durch den Unfallversicherer erfolgte erst in einem zweiten Schritt -, sodass die Regelung über die freie bundesgerichtliche Kognition gemäss Art. 105 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 97 Abs. 2 BGG, welcher Ausnahmecharakter zukommt, nicht zur Anwendung gelangt (vgl. auch BGE 135 V 412 E. 1.2.2 S. 414 f. mit diversen Hinweisen). Hinsichtlich der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen gilt daher die eingeschränkte Kognition.
3. Festzuhalten ist mit dem kantonalen Gericht zunächst, dass der Beschwerdeführerin der Zustellungsbeweis für die angeblich am 20. Oktober 2011 der Post übergebene Begründung zur Einsprache vom 23. September 2011 nach den hierfür geltenden Regeln (BGE 124 V 400 E. 2a S. 402; 117 V 103 V 63 E. 2a S. 66 und 261 E. 3b S. 264 mit Hinweis; Urteil [des Eidg. Versicherungsgerichts] U 263/96 vom 30. Juni 1997 E. 2b mit Hinweisen, in: RKUV 1997 Nr. U 288 S. 442) nicht gelungen ist. Es muss mithin davon ausgegangen werden, dass innert der 30-tägigen Frist gemäss Art. 52 Abs. 1 Teilsatz 1 ATSG (in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 UVG) keine begründete Einsprache erhoben worden ist. Diese Erkenntnis wird denn auch seitens der Beschwerdeführerin nicht bestritten. Ebenfalls Einigkeit besteht darüber, dass die mit Eingabe vom 6. Februar 2012 nachgereichte Einsprachebegründung die ordentliche Einsprachefrist, welche am 23. September 2011 zu laufen begonnen hatte, nicht wahrt.
4. 4.1 Gestützt auf die dem Bundesrat in Art. 61 ATSG eingeräumte Delegationskompetenz hat er in Art. 10 bis 12 ATSV Ausführungsbestimmungen zu Form und Inhalt der Einsprache sowie zum Einspracheverfahren erlassen. Gemäss Art. 10 Abs. 1 ATSV (in Verbindung mit Art. 52 Abs. 1 Teilsatz 1 ATSG) haben Einsprachen ein Rechtsbegehren und eine Begründung zu enthalten. Die schriftlich erhobene Einsprache muss ferner die Unterschrift der Einsprache führenden Person oder ihres Rechtsbeistandes aufweisen (Art. 10 Abs. 4 ATSV). Abs. 5 der Bestimmung präzisiert alsdann, dass, falls die Einsprache den Anforderungen nach Abs. 1 nicht genügt oder die Unterschrift fehlt, der Versicherer eine angemessene Frist zur Behebung der Mängel anzusetzen und damit die Androhung zu verbinden hat, dass sonst auf die Einsprache nicht eingetreten werde.
4.2 Nach Massgabe von Art. 61 lit. b Satz 2 ATSG für den erstinstanzlichen Beschwerdeprozess hat auch im Einspracheverfahren die Nachfrist zur Verbesserung einer mangelhaften Einspracheschrift nicht nur bei Unklarheit des Rechtsbegehrens oder der Begründung, sondern ganz allgemein immer dann zu erfolgen, wenn eine Einsprache den gesetzlichen Anforderungen nicht genügt; also auch für den Fall, dass ein Rechtsbegehren und/oder eine Begründung überhaupt fehlen. Es handelt sich dabei um eine formelle Vorschrift, die den Versicherungsträger - ausser in Fällen von offensichtlichem Rechtsmissbrauch - stets verpflichtet, eine Frist zur Verbesserung der Mängel anzusetzen (Urteile [des Bundesgerichts] 9C_139/2012 vom 10. April 2012 E. 3.2.2, 8C_28/2011 vom 26. Mai 2011 E. 2.1 und 2.2, 8C_770/2008 vom 21. April 2009 E. 5.1, in: SVR 2009 UV Nr. 43 S. 150, und I 898/06 vom 23. Juli 2007 E. 3.2 mit Hinweisen, in: SVR 2009 IV Nr. 19 S. 49; vgl. auch Urteil [des Bundesgerichts] 8C_475/2007 vom 23. April 2008 E. 4.1 mit Hinweisen; ferner Hansjörg Seiler, Rechtsfragen des Einspracheverfahrens in der Sozialversicherung [Art. 52 ATSG], in: Sozialversicherungsrechtstagung 2007, S. 65 ff., insb. S. 84 unten; Franz Schlauri, Grundstrukturen des nichtstreitigen Verwaltungsverfahrens in der Sozialversicherung, in: Verfahrensfragen in der Sozialversicherung, 1996, S. 9 ff., insb. S. 67 ff.).
5. 5.1 Die am 23. September 2011 - und damit einen Tag nach Erhalt der Verfügung vom 6. Juli 2011 - durch die Beschwerdeführerin vorsorglich erhobene Einsprache war unbestrittenermassen nicht offensichtlich rechtsmissbräuchlich, da dem Krankenversicherer die Unfallakten zur allfälligen Begründung der Einsprache nicht zur Verfügung standen (vgl. dazu auch BGE 134 V 162 E. 5.1 S. 168; Urteil [des Bundesgerichts] I 898/06 vom 23. Juli 2007 E. 4, in: SVR 2009 IV Nr. 19 S. 49; Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 25 zu Art. 52 ATSG; Seiler, a.a.O., S. 80 unten f.).
5.2 Liegt keine rechtsmissbräuchliche Einspracheerhebung vor, ist nach der hievor dargelegten Rechtsprechung grundsätzlich in jedem Fall einer ungenügenden bzw. fehlenden Begründung eine Nachfrist anzusetzen, sofern der Einsprachewille rechtzeitig und in prozessual gehöriger Form klar bekundet worden ist. Die Einräumung einer derartigen Frist steht nicht im Belieben des jeweiligen Versicherungsträgers (BGE 134 V 162 E. 2 S. 163 f. mit Hinweisen). Die Begründung der Vorinstanz, die Beschwerdegegnerin habe auf die Nachfristansetzung verzichten können, da die Beschwerdeführerin entgegen ihrer expliziten einspracheweisen Ankündigung in der Folge weder eine Begründung nachgereicht noch die Rechtsvorkehr mit einer entsprechenden Mitteilung zurückgezogen habe, hält vor dem Grundsatz, dass nur ein diesbezüglich rechtsmissbräuchliches Verhalten den Verzicht auf die Nachfristansetzung zu rechtfertigen vermöchte, nicht stand. Vielmehr hätte der Unfallversicherer angesichts der Formulierung in der Eingabe vom 23. September 2011, wonach so oder anders mit einer Reaktion der Einsprechenden zu rechnen war, eine Nachfrist ansetzen oder aber sich zumindest erkundigen müssen, ob das Stillschweigen der Beschwerdeführerin als impliziter Rückzug zu verstehen sei. Der Umstand, dass der Krankenversicherer versucht hat, mit der nach eigener Aussage am 20. Oktober 2011 der Post übergebenen Begründung die ordentliche Einsprachefrist zu wahren, ändert entgegen der Darstellung des kantonalen Gerichts an diesem Ergebnis nichts.
In Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und des Einspracheentscheids vom 14. Februar 2012 wird die Sache somit an die Beschwerdegegnerin zurückgewiesen, damit sie der Beschwerdeführerin eine angemessene Frist zur Nachreichung der Begründung der am 23. September 2011 erhobenen Einsprache gewähre und hernach über den Fall materiell befinde.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 12. Juni 2012 und der Einspracheentscheid der AXA Versicherungen AG vom 14. Februar 2012 werden aufgehoben. Die Sache wird an die AXA Versicherungen AG zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, G._, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. November 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Fleischanderl