Erwägungen:
1. Mit Entscheid vom 10. Mai 2010 hat die 1. Kammer des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich eine von der X._ AG in Liquidation und der Z._ AG in Liquidation erhobene Beschwerde abgewiesen, soweit sie darauf eingetreten ist.
2. Hiergegen führt die X._ AG in Liquidation der Sache nach Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) ans Bundesgericht. Sie beantragt (u.a.), der Entscheid vom 10. Mai 2010 sei aufzuheben.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Vernehmlassungen einzuholen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offenstehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53 und 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Die Beschwerdeführerin macht auf ganz allgemeine Weise zahlreiche Rechtsverletzungen geltend, die sie über den angefochtenen Entscheid hinaus einer Vielzahl von Behördenmitgliedern namentlich der Kantone Zürich und Schwyz zur Last legt. Sie führt jedoch nicht im Einzelnen aus, inwiefern die dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegende Begründung bzw. dieser im Ergebnis im Sinn der oben erwähnten Bestimmungen rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Schon mangels einer hinreichenden Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht weiter einzutreten. Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch, der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung beizulegen, gegenstandslos.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
Ergibt sich das Nichteintreten bereits aus dem genannten Grunde, sind die von der Beschwerdeführerin nebst dem Begehren um Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Entscheids vom 10. Mai 2010 gestellten Zusatzbegehren nicht weiter zu erörtern.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 BGG). Der privaten Beschwerdegegnerin ist durch das vorliegende Verfahren kein Aufwand entstanden, weshalb ihr keine Parteientschädigung zusteht.
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Bausektion der Stadt Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juli 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp