Fatti:
A. P._, nato nel 1946, di formazione falegname e dal 1973 attivo in qualità di restauratore indipendente, il 21 aprile 2004 ha presentato una richiesta di prestazioni AI per adulti a dipendenza di un'inabilità addebitabile a osteocondrosi, cervicalgia cronica e discopatia degenerativa.
L'amministrazione ha affidato al dott. K._, specialista in medicina interna e in malattie reumatiche, il compito di esperire una valutazione specialistica. Con referto del 25 ottobre 2004, il perito, posta la diagnosi di sindrome cervico-vertebrale/spondilogena cronica a destra più che a sinistra su discrete alterazioni degenerative a livello C5-C6 e C6-C7 con stenosi foraminali e stato dopo importante trauma distorsivo della colonna cervicale (19 dicembre 2002), ha da un lato attestato un'inabilità del 50% nell'attività abituale, mentre dall'altro ha osservato che "sotto l'aspetto puramente teorico" l'assicurato era da ritenersi in grado di svolgere lavori fisicamente leggeri per la colonna vertebrale senza alcuna particolare limitazione, a patto che si fosse trattato di lavori che permettessero di cambiare frequentemente la posizione, che non richiedessero movimenti ripetuti di estensione/flessione della colonna cervicale e della colonna lombare e infine che non implicassero di dover ripetutamente sollevare pesi superiori ai 15 kg. A ciò ha aggiunto che l'attività ideale sarebbe stata quella d'insegnante presso una scuola di restauro; altri lavori non gli sembravano invece esigibili, soprattutto in considerazione dell'età dell'interessato e del fatto che egli già possedeva un'attività ben avviata nel suo atelier di restauro.
Mediante decisione del 28 giugno 2005, sostanzialmente confermata il 19 dicembre seguente anche in seguito all'opposizione interposta dall'assicurato, l'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha rifiutato l'assegnazione di una rendita per carenza di invalidità di grado pensionabile. Tenuto conto delle conclusioni del perito medico come pure del rapporto finale 23 giugno 2005 del caposervizio Integrazione e Collocamento, per il quale sarebbe risultata esigibile pressoché ogni attività nei settori secondario e terziario, l'amministrazione ha ritenuto una piena capacità lavorativa in attività sostitutive leggere e ha accertato un grado d'invalidità nullo, stante un reddito senza invalidità di fr. 46'890.- e un reddito da invalido di fr. 48'702 (anno di riferimento: 2002). In considerazione delle particolarità personali (età) e professionali (ultra trentennale attività nella professione appresa) del caso, l'UAI ha nondimeno offerto all'assicurato un aiuto al collocamento.
B. Patrocinato dall'avv. Felice Dafond, P._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, al quale ha chiesto il riconoscimento di almeno una mezza rendita d'invalidità. Per il resto ha domandato di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria gratuita.
Con pronuncia del 9 gennaio 2007, la Corte cantonale, statuendo per giudice unico, ha accolto il ricorso e, annullando la decisione su opposizione del 19 dicembre 2005, ha concesso all'interessato una mezza rendita d'invalidità a far tempo dal 1° dicembre 2003, oltre ad assegnargli fr. 1'500.- a titolo di ripetibili. In particolare, ritenendo le possibilità di impiego dell'assicurato nei settori di attività indicati dal consulente in integrazione professionale del tutto teoriche ed irrealistiche, considerate anche le difficoltà di intraprendere una nuova attività dopo l'esercizio ultra trentennale della professione di restauratore e l'assenza di una formazione complementare, il primo giudice ha ritenuto che la capacità residua dell'assicurato non risultava economicamente sfruttabile in un mercato equilibrato del lavoro.
C. L'UAI ha interposto ricorso al Tribunale federale, al quale chiede di annullare il giudizio cantonale e di ristabilire la decisione su opposizione. Sostanzialmente, l'Ufficio ricorrente rimprovera al dott. K._ e al primo giudice, che di fatto ne ha ripreso le conclusioni, di essersi sostituiti al consulente in integrazione nella valutazione (extra medica) dell'esigibilità di un'attività sostitutiva leggera. A sostegno della fondatezza della propria tesi produce una nuova dichiarazione del consulente intervenuto.
Sempre rappresentato dall'avv. Dafond, P._ propone la reiezione del gravame e chiede di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria gratuita. Egli segnala pure di essere rimasto vittima, il 31 maggio 2006, di un grave infortunio a seguito del quale ha segnatamente riportato una tetraplegia incompleta sub Th9 su frattura lussazione Th9/10, un trauma toracico con fratture costali multiple, una frattura instabile della scapola destra, una disgregazione del sistema nervoso autonomo e una sindrome del solco ulnare a destra (rapporto di uscita 21 settembre 2006 del Centro X._). Per parte sua, l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali non si è determinato.
Diritto:
1. 1.1 Interposto da un'autorità legittimata al ricorso in virtù di un'altra legge federale (art. 89 cpv. 2 lett. d LTF in relazione con gli art. 201 OAVS e 89 OAI), il ricorso, diretto contro una decisione finale (art. 90 LTF) pronunciata in una causa di diritto pubblico (art. 82 lett. a LTF) da un'autorità cantonale di ultima istanza (art. 86 cpv. 1 lett. d LTF), è di principio ricevibile essendo stato depositato entro il termine (art. 100 cpv. 1 LTF) e nella forma (art. 42 LTF) di legge senza che si realizzi un'eccezione ai sensi dall'art. 83 LTF.
1.2 Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Per contro, il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF) e vi si può scostare solo qualora questo accertamento sia avvenuto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF (art. 105 cpv. 2 LTF).
2. Il giudice delle assicurazioni sociali, ai fini dell'esame della vertenza, si fonda di regola sui fatti che si sono realizzati fino al momento dell'emanazione della decisione su opposizione in lite (DTF 129 V 1 consid. 1.2 pag. 4 con riferimenti). Ciò significa che le conseguenze dell'infortunio del 31 maggio 2006, che peraltro sono esaminate dall'amministrazione nell'ambito di una seconda richiesta di prestazioni AI nel frattempo formulata, esulano dal potere di esame della Corte giudicante.
3. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, cui si rinvia, l'autorità giudiziaria cantonale ha già compiutamente esposto le norme e i principi disciplinanti la materia, rammentando in particolare il concetto d'invalidità (art. 8 LPGA e art. 4 cpv. 1 LAI), i presupposti e l'estensione del diritto alla rendita (art. 28 cpv. 1 LAI, nella versione valida prima e dopo l'entrata in vigore, il 1° gennaio 2004, della 4a revisione AI), il sistema di confronto dei redditi per l'accertamento del grado d'invalidità di assicurati esercitanti un'attività lucrativa (art. 16 LPGA), i compiti del medico nell'ambito di questa valutazione e il valore probatorio generalmente riconosciuto ai referti medici fatti allestire da un tribunale o dall'amministrazione conformemente alle regole di procedura applicabili (DTF 125 V 256 consid. 4 pag. 261, 351 consid. 3b/ee pag. 353). A tale esposizione può essere fatto riferimento, non senza tuttavia ribadire che al fine di poter graduare l'invalidità, all'amministrazione (o al giudice in caso di ricorso) è necessario disporre di documenti che devono essere rassegnati dal medico o eventualmente da altri specialisti, il compito del medico consistendo nel porre un giudizio sullo stato di salute, nell'indicare in quale misura e in quali attività l'assicurato è incapace al lavoro come pure nel fornire un importante elemento di giudizio per determinare quali lavori siano ancora ragionevolmente esigibili dall'assicurato (DTF 125 V 256 consid. 4 pag. 261; 115 V 133 consid. 2 pag. 134; 114 V 310 consid. 3c pag. 314; 105 V 156 consid. 1 pag. 158). Spetta in seguito al consulente professionale, avuto riguardo alle indicazioni sanitarie, valutare quali attività professionali siano concretamente ipotizzabili (Meyer-Blaser, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum IVG, pag. 228 seg.).
Al giudizio cantonale può quindi essere prestata adesione pure per quanto concerne l'esposizione del concetto di mercato del lavoro equilibrato (DTF 110 V 273 consid. 4b pag. 276; cfr. pure DTF 130 V 343 consid. 3.2 pag. 346), dell'obbligo per l'assicurato di ridurre il danno (DTF 123 V 230 consid. 3c pag. 233) e delle condizioni per ammettere l'esigibilità di un cambiamento di professione, segnatamente nel caso di un assicurato prossimo all'età di pensionamento (SVR 2003 IV no. 35 pag. 107 [I 462/02] consid. 2.3 e 3.2 con riferimenti). Giova infine ribadire che, se la persona interessata non sfrutta in maniera completa e ragionevolmente esigibile la capacità lavorativa residua, il reddito da invalido va determinato alla luce dei dati forniti dalle statistiche salariali come risultano segnatamente dall'inchiesta svizzera sulla struttura dei salari (ISS), edita dall'Ufficio federale di statistica (DTF 126 V 75 consid. 3b pag. 76 seg. con riferimenti).
4. 4.1 Per giurisprudenza, gli accertamenti dell'autorità cantonale di ricorso in merito al danno alla salute, alla capacità lavorativa dell'assicurato e all'esigibilità di un'attività professionale - nella misura in cui quest'ultimo giudizio non si fonda sull'esperienza generale della vita - costituiscono questioni di fatto che possono essere riesaminate da questa Corte solo in maniera molto limitata (v. consid. 1.2; DTF 132 V 393 consid. 3.2 pag. 398). Per contro, per le questioni di diritto questo Tribunale fruisce di libero potere di esame.
4.2 Nel caso di specie, nel ritenere economicamente non sfruttabile in un mercato del lavoro equilibrato la capacità lavorativa residua dell'assicurato, il primo giudice si è fondato in parte sulle considerazioni mediche del dott. K._, e quindi essenzialmente su un apprezzamento concreto delle prove, e quantomeno parzialmente anche sull'esperienza generale della vita e sui principi giurisprudenziali validi in materia. Così, il giudizio sull'inesigibilità di un'attività sostitutiva leggera, oltre ad essere anche stato dettato da considerazioni legate all'età dell'assicurato, risulta da un'applicazione della giurisprudenza relativa al concetto di mercato del lavoro equilibrato e all'esigibilità di un cambiamento di professione nel caso di un assicurato prossimo all'età di pensionamento (v. consid. 3).
Ora, sia che le valutazioni del primo giudice vengano considerate di natura fattuale o di natura parzialmente giuridica, il risultato per gli esiti del giudizio non cambia, queste ultime dovendosi in ogni modo e anche senza tenere conto della dichiarazione 30 gennaio 2007 del consulente in integrazione S._, prodotta in questa sede (sull'inammissibilità o limitata ammissibilità di presentare documenti nuovi con il ricorso in materia di diritto pubblico v. l'art. 99 cpv. 1 LTF), ritenersi manifestamente errate, rispettivamente avvenute in violazione del diritto federale.
4.3 In particolare, la Corte cantonale, che nella sua valutazione si è essenzialmente richiamata al parere del dott. K._, non poteva seguire il perito nella misura in cui questi, dopo essersi espresso per una piena capacità lavorativa in attività confacenti dal profilo medico-teorico, aveva relativizzato - peraltro in termini ipotetici ("altri lavori mi sembrano invece non esigibili") - la portata di tale conclusione con motivazioni di carattere (quantomeno parzialmente) extra medico, quali l'età dell'assicurato e il fatto che egli possedesse già un'attività ben avviata nel suo atelier di restauro. Come giustamente osservato dall'UAI, a ben vedere tale valutazione, oltre a contrastare con la giurisprudenza in materia, esulava dal suo ambito di competenza, essendo essenzialmente di spettanza del consulente in integrazione (v. consid. 3). Orbene, quest'ultimo, tenuto conto dello stato di salute dell'interessato e delle conclusioni specialistiche del dott. K._, aveva chiaramente evidenziato nel suo rapporto finale del 23 giugno 2005 la pressoché totale esigibilità, per l'assicurato, di qualsivoglia attività nei settori secondario e terziario. Valutazione, questa, che del resto meglio si concilia con la prassi di questo Tribunale.
Infatti, riguardo all'esigibilità e alla possibilità per l'assicurato di cercare un nuovo impiego su un mercato equilibrato del lavoro, va ricordato che al momento determinante della decisione su opposizione in lite, l'opponente aveva 59 anni. Dal profilo dell'età, le condizioni per ammettere una incapacità di lavoro e di guadagno per mancanza di possibilità reale di sfruttarne la residua capacità non erano pertanto realizzate (v. sentenze I 359/06 del 22 giugno 2007, consid. 4.2 e I 304/06 del 22 gennaio 2007, consid. 4.2 con i rispettivi riferimenti). A ciò si aggiunge che, per quanto esposto dall'amministrazione in merito alle concrete attività suscettibili di entrare in linea di considerazione, pur dovendo riconoscere una difficoltosa collocabilità dell'assicurato dovuta soprattutto al fattore età, al medesimo si presentava - nel momento determinante della decisione su opposizione in lite - un ventaglio relativamente ampio di professioni possibili (e peraltro anche sufficientemente specificate) che non richiedevano necessariamente la messa in atto di particolari misure di reintegrazione professionale (cfr. pure la sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni U 463/00 del 28 ottobre 2003, consid. 3.3). Questa Corte ha così già ripetutamente statuito, in casi con limitazioni funzionali analoghe, che esiste un mercato del lavoro sufficiente in cui realizzare la propria capacità lavorativa residua (consid. 2b non pubblicato della sentenza DTF 119 V 347; VSI 1998 pag. 293 consid. 3b pag. 296; si veda anche la sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni I 401/01 del 4 aprile 2002, consid. 4c). Si tratta segnatamente del mercato occupazionale aperto a personale non qualificato o semi qualificato (RCC 1989 pag. 328 consid. 4a pag. 331), in cui vi è una sufficiente offerta di occupazioni, in particolare nell'industria, in cui possono venir eseguite mansioni di sorveglianza e controllo, che non comportano aggravi fisici e che consentono il cambiamento frequente di posizione (RCC 1980 pag. 481 consid. 2 pag. 482; cfr. inoltre la sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni U 329/01 del 25 febbraio 2003, consid. 4.7).
5. Dovendo di conseguenza ritenere - quantomeno fino al momento della decisione su opposizione in lite - una piena abilità lavorativa dell'assicurato in attività sostitutive leggere, il reddito da invalido va stabilito sulla base dei valori di cui alla tabella TA1 dell'ISS (SVR 2007 UV n. 17 pag. 56 [U 75/03]) e certamente non, come implicitamente invocato in sede di risposta dall'interessato, di quanto effettivamente conseguito nell'attività (limitata) di restauratore dopo l'insorgenza del danno alla salute poiché l'assicurato, in difformità con l'obbligo di ridurre il danno, non sfrutta in maniera ragionevolmente esigibile la sua piena capacità lavorativa residua in attività confacenti (v. sentenza citata I 359/06 consid. 5.2). In tali condizioni, tenuto conto di un reddito senza invalidità di fr. 46'890.- (ottenuto dopo rivalutazione, all'anno 2002 [riguardo al momento determinante per il confronto dei redditi cfr. DTF 129 V 222; 128 V 174], del reddito aziendale risultante dagli atti e più precisamente dalla documentazione fiscale), in nessun modo l'assicurato raggiungerebbe il grado d'invalidità minimo del 40% che gli permetterebbe di pretendere una rendita anche solo parziale. Al reddito da valido andrebbe infatti contrapposto il guadagno da invalido conseguibile secondo la TA1 ISS (ISS 2002, pag. 43, livello di esigenze 4, uomini) di fr. 57'008.07 (fr. 4'557 : 40 x 41.7 [orario usuale settimanale: v. La Vie économique, 9-2007, pag. 98, tabella B9.2] x 12), senza che allo stesso possa in particolare applicarsi una deduzione a dipendenza del fattore età (v. DTF 126 V 75) dal momento che questo fattore incide piuttosto favorevolmente su tale reddito ipotetico (v. ISS 2002, pag. 55, TA9). Ne discende che il ricorso dev'essere accolto. Di conseguenza il giudizio cantonale va annullato e la decisione su opposizione 19 dicembre 2005 confermata.
6. L'opponente ha chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria gratuita. Ora, egli effettivamente risulta trovarsi in una situazione di indigenza ai sensi dell'art. 64 cpv. 1 LTF. Per il resto, non si poteva pretendere che il richiedente difendesse i suoi interessi senza l'ausilio di un patrocinatore qualificato (art. 64 cpv. 2 LTF). La domanda dev'essere pertanto accolta.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è accolto e il giudizio del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 9 gennaio 2007 è annullato.
2. All'opponente viene concessa l'assistenza giudiziaria.
3. Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico dell'opponente e per il momento assunte dalla cassa del Tribunale.
4. L'Avvocato Felice Dafond, Lugano, viene designato patrocinatore dell'opponente per la procedura innanzi al Tribunale federale. La Cassa del Tribunale gli verserà un'indennità di fr. 2500.-.
5. La causa viene rinviata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino perché si pronunci sulla domanda di assistenza giudiziaria gratuita formulata in sede cantonale.
6. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali e alla Cassa di compensazione del Cantone Ticino.