Sachverhalt:
A.
A._ (Klägerin, Beschwerdeführerin) war Kundin bei der Bank B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin). Einen Teil ihres Vermögens überliess sie einer externen Vermögensverwalterin, der Z._ AG. An einer Sitzung vom 21. April 1997 soll vereinbart worden sein, dass die Beklagte der Klägerin einen Betrag von Fr. 8 Mio. (später zurückgeführt auf Fr. 5 Mio.) in Form eines Lombardkredits zur Verfügung stellt mit dem Zweck, dieses Kapital der externen Vermögensverwalterin zur Verwaltung zu überlassen. In der Folge warf die Klägerin der Beklagten vor, diese habe die Beschränkung der Vermögensverwaltungsvollmacht zugunsten der Vermögensverwalterin nicht eingehalten. So seien ohne Wissen der Klägerin viele, teilweise sehr spekulative Transaktionen auf Kredit abgewickelt worden. Diese hätten zudem entsprechende Transaktions- und Depotgebühren etc. generiert, an denen aufgrund einer zwischen der Beklagten und der Vermögensverwalterin bestehenden Retrozessionsvereinbarung diese beiden interessiert gewesen seien.
B.
B.a. Am 18. Oktober 2010 reichte die Klägerin beim Bezirksgericht Zürich Klage ein, mit der sie bezweckte, kontokorrentmässig den Zustand wieder herzustellen, wie wenn die ihrer Ansicht nach nicht autorisierten Transaktionen zwischen dem 19. Januar 1998 und dem 31. Oktober 2003 nicht erfolgt wären. Entsprechend beantragte sie, es seien die in dieser Zeitspanne vorgenommenen Gutschriften und Belastungen auf den wiederzueröffnenden Konten valutagerecht zu stornieren. Davon nahm sie die Gutschriften des Verkauferlöses der vor dem 19. Januar 1998 gehaltenen Wertschriften einschliesslich der Dividendengutschriften auf diesen Titeln sowie die Spesenbelastungen für die Kontoführung explizit aus. Sie verlangte, es seien die Saldi neu zu berechnen und die Wertschriftendepots nach Massgabe der Stornierung der Börsentransaktionen zu korrigieren. Dieses Begehren präzisierte die Klägerin im Laufe des Verfahrens, indem sie die Rückzahlung zweier Lombardkredite ebenfalls vom Begehren ausnahm und für verschiedene Daten die Mindest-Haben-Saldi angab, die auf den Konten auszuweisen seien. Mit Urteil und Beschluss vom 17. Mai 2013 wies das Bezirksgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat.
B.b. Die Klägerin erhob Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich. Im Hauptantrag verlangte sie, das Urteil und der Beschluss des Bezirksgerichts Zürich seien aufzuheben und die Sache sei zur Weiterführung des Verfahrens und zu neuem Entscheid in der Sache an das Bezirksgericht zurückzuweisen. Eventualiter trug sie auf Schutz des Rechtsbegehrens an, wie sie es bereits vor Bezirksgericht gestellt hatte. Das Obergericht trat im Gegensatz zum Bezirksgericht in allen Punkten auf die Klage ein und wies diese mit Urteil vom 29. Oktober 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Klägerin dem Bundesgericht unter Aufrechterhaltung ihres vor Bezirks- und (als Eventualbegehren) vor Obergericht gestellten Rechtsbegehrens, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Klage sei zu schützen. Eventualiter sei das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung an dieses zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin beantragt Abweisung der Beschwerde im Hauptantrag unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Beschwerdeführerin. Sie enthält sich eines Antrags zum Eventualantrag der Beschwerdeführerin; entsprechend seien weder bei einer Gutheissung noch bei einer Abweisung des Eventualantrags Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten oder zu Gunsten der Beschwerdegegnerin zu sprechen. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 139 III 249 E. 1 S. 250, 252 E. 1.1 ).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Rechtsmittelentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (Art. 90 i.V.m. Art. 75 BGG). Sie ist innert der Beschwerdefrist (Art. 100 BGG) von der mit ihrem Rechtsbegehren unterlegenen Partei (Art. 76 Abs. 1 BGG) eingereicht worden. Bei der Streitsache handelt es sich um eine Zivilsache (Art. 72 BGG) mit einem Streitwert von über Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.2. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Mit Blick auf die Anforderungen an die Beschwerdebegründung (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 135 III 397 E. 1.4 S. 400; 134 III 102 E. 1.1 S. 105). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Dazu ist unerlässlich, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (zur Publikation bestimmtes Urteil des Bundesgerichts 4A_408/2013 vom 17. Januar 2014 E. 2; vgl. auch BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, namentlich die Parteivorbringen in denselben (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 17 f.). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 137 III 226 E. 4.2 S. 234).
2.
Die Vorinstanz hielt fest, der Klägerin gehe es mit ihrer Klage darum, kontokorrentmässig den Zustand wieder herzustellen, wie wenn die - nach ihrer Darstellung nicht autorisierten - Transaktionen zwischen dem 19. Januar 1998 und dem 31. Oktober 2003 nicht erfolgt wären. Zur Begründung ihrer Klage habe sich die Klägerin im Verfahren vor Bezirksgericht und im Berufungsverfahren auf je unterschiedliche Ansprüche abgestützt.
2.1. Erstinstanzlich habe die Klägerin ein Leistungsbegehren gestellt, da sie die Beklagte zu einem Tun verpflichten wollte.
2.1.1. Im Falle des Auftrags seien zwei Arten von Leistungsbegehren denkbar. Es könne nach Art. 400 Abs. 1 OR ein Anspruch auf Rechenschaftsablegung oder ein solcher um Herausgabe gestellt werden. Die Klägerin habe vor Bezirksgericht ausgeführt, sie sei nicht bereit, die zwischen dem 19. Januar 1998 und dem 31. Oktober 2003 getätigten Buchungen zu akzeptieren. Transaktionen ohne gültige Weisung des Kunden bedeuteten Nichterfüllung des Auftrags. Mit den Stornierungsbegehren werde eine Klage auf Erfüllung des Vertrages erhoben, die unabhängig davon, ob die Konten zwischenzeitlich saldiert worden seien, zulässig sei. Ein solches sei einer eventuellen Forderungsklage vorzuziehen. Die Beschwerdeführerin sei so zu stellen, wie wenn sie im Mai 1997 kein Verwaltungsmandat erteilt und die Lombardkredite nicht aufgenommen hätte. Die Vorinstanz schloss aus diesen Ausführungen, dass die Klägerin im erstinstanzlichen Verfahren nicht einen der beiden Ansprüche gemäss Art. 400 Abs. 1 OR - Rechenschaft und Herausgabe - eingeklagt habe, sondern dass sie wegen Nichterfüllung des Auftrags auf dessen Erfüllung geklagt habe.
2.1.2. Die Vorinstanz erkannte, mit der beantragten Stornierung aller (angeblich) nicht autorisierten Buchungen verlange die Klägerin letztlich eine Rückabwicklung des Auftrags. Eine solche Rückabwicklung sei zwar als Rechtsfolge denkbar, beispielsweise weil ein Auftrag zufolge Willensmangel ungültig sei oder bei einer Rückerstattungspflicht wegen Unmöglichkeit i.S.v. Art. 119 Abs. 2 OR oder bei Vertragsrücktritt. Die Klägerin habe aber nichts geltend gemacht, was ihr einen derartigen Rückabwicklungsanspruch gewähren würde. Daher sei die Klage abzuweisen auch in Bezug auf denjenigen Abschnitt des Rechtsbegehrens, auf den das Bezirksgericht nicht eingetreten sei.
2.2. Im Berufungsverfahren - so die Vorinstanz weiter - sei es dann zu einem "Systemwechsel" gekommen, indem sich die Klägerin entscheidend auf die selbstständig einklagbare Rechenschaftslegungspflicht gemäss Art. 400 Abs. 1 OR berufe.
2.2.1. Sie mache geltend, sie habe Anspruch auf richtige Buchungen. Erst wenn die unrichtigen Buchungen storniert seien, sei die Rechnungslegung korrekt erfolgt. Für jede Transaktion, die ohne gültige Weisung getätigt worden sei, habe sie als Konto- und Depotberechtigte weiterhin einen Erfüllungsanspruch gegenüber der beklagten Bank. Habe die Bank auf Grund einer Weisung des nicht gehörig bevollmächtigten Vertreters geleistet, so könne sich die Beklagte nicht gültig befreien; es liege dann Nichterfüllung seitens der Bank vor, sodass nicht Schadenersatz sondern die Erfüllung des Auftrages verlangt werden könne. Genau gleich habe sie bei Nichterfüllung nach wie vor den selbstständigen klagbaren Anspruch auf Rechenschaftsablegung.
2.2.2. Die Vorinstanz schloss, damit wolle die Klägerin die Rechenschaftslegungspflicht durchsetzen, auch wenn sie zwischendurch ebenfalls einen Erfüllungsanspruch erwähne. Gegenüber dem erstinstanzlichen Verfahren habe die Klägerin also eine Klageänderung vorgenommen. Allein die Tatsache, dass sich die Klägerin vor beiden Instanzen auf das gleich lautende Rechtsbegehren stütze, ändere nichts daran, dass es sich um zwei verschiedene Ansprüche handle - erstinstanzlich ein Erfüllungsanspruch aus Auftrag, zweitinstanzlich ein materiellrechtlicher Auskunftsanspruch. Die Voraussetzungen für eine zulässige Klageänderung im Rechtsmittelverfahren seien jedoch nicht erfüllt. In einer Eventualbegründung ergänzte sie, die Klage hätte auch abgewiesen werden müssen, wenn sich die Klägerin bereits erstinstanzlich auf die Rechenschaftsablegungspflicht gestützt hätte. Für eine reine Rechenschaftsablegung brauche es keine "reale" Kontenführung mit Stornierung von eingebuchten Beträgen etc. Insgesamt seien daher Klage und Berufung abzuweisen.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt, für jede Transaktion, die ohne gültige Weisung ausgeführt worden sei, liege Nichterfüllung vor. Die Rechnungslegung müsse vollständig und wahrheitsgetreu sein. Erst mit der (eingeklagten) Stornierung, der Rückgängigmachung der auf den Konti vorgenommenen unrichtigen Buchungen, sei die Rechnungslegung korrekt erfolgt und die Pflicht zur Rechenschaftsablegung erfüllt. Entgegen der Vorinstanz sei im Berufungsverfahren keine Klageänderung erfolgt. Die Rechenschaftspflicht der Beklagten habe sie schon erstinstanzlich vorgebracht und als selbstständig klagbare Nebenpflicht geltend gemacht. Sie habe bereits erstinstanzlich eine "Klage auf Erfüllung des Vertrages " erhoben oder von der Beklagten deren "Pflicht zur Rechenschaftsablegung gemäss Art. 400 Abs. 1" eingefordert.
3.1. Nach Art. 400 Abs. 1 OR hat der Beauftragte auf Verlangen jederzeit über seine Geschäftsführung Rechenschaft abzulegen und alles, was ihm infolge derselben aus irgendeinem Grunde zugekommen ist, zu erstatten. Die Rechenschaftspflicht des Beauftragten soll dem Auftraggeber die Kontrolle über seine Tätigkeiten ermöglichen. Sie bildet Voraussetzung und Grundlage der Ablieferungs- oder Herausgabepflicht und findet ihre Grenzen im Grundsatz von Treu und Glauben (BGE 139 III 49 E. 4.1.2 S. 54 mit Hinweisen).
3.2. Soweit die Rechenschaftsablegung über von einer Bank geführte Konti und Depots verlangt wird, kommt die Bank dieser Pflicht primär durch Überlassung der Konto- und Depotauszüge nach (vgl. BGE 139 III 49 E. 4.5.2 S. 59; zur Rechenschaftsablegung im Kontokorrentverhältnis vgl. auch BJM 1994, S. 236 ff.). Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, sie hätte die massgeblichen Auszüge nicht erhalten. Sie bemängelt, die Vorinstanz habe nie ein Beweisverfahren darüber geführt, ob die Beschwerdegegnerin den ihr obliegenden Beweis der Erfüllung der Rechenschaftspflicht erbracht habe. Die Vorinstanz habe ungeprüft auf die Behauptung der Beschwerdegegnerin abgestellt, "die geschuldete Rechnungslegung sei mit den abgegebenen Kontoauszügen erfüllt". Auch mit dieser Rüge geht es der Beschwerdeführerin aber offensichtlich nur darum, dass mit den nicht korrigierten Kontoauszügen die Rechenschaftspflicht nicht erfüllt sein könne. Ihr Begehren um Berichtigung beruht nämlich gerade darauf, dass sie verschiedene Buchungen nicht anerkennen will, was Kenntnis der entsprechenden Kontoauszüge voraussetzt. Sie verlangt im Rahmen der Rechenschaftsablegung auch nicht die Herausgabe weiterer Unterlagen. Vielmehr meint sie, die Beschwerdegegnerin erfülle ihre Rechenschaftspflicht nur, wenn sie die (angeblich) unkorrekten Kontoauszüge korrigiere. Dem ist nicht so. Mit der Rechenschaftspflicht informiert der Beauftragte über seine Tätigkeit, auch wenn diese allenfalls nicht vertragskonform war. Ein Anspruch auf Korrektur bzw. Stornierung tatsächlich vorgenommener Buchungen ergibt sich daraus nicht.
4.
Die Stornierung von Buchungen aufgrund von ihr (angeblich) nicht autorisierter Transaktionen stützt die Beschwerdeführerin auch auf einen allgemeinen Erfüllungsanspruch. Wenn eine Bank ohne gültige Weisung der Konto- bzw. Depotberechtigten Belastungen vornehme, sei der Kunde nicht nur auf Schadenersatz verwiesen, sondern habe einen Erfüllungsanspruch auf Korrektur dieser Belastung. Sie verweist diesbezüglich auf BGE 132 III 449 E. 2 S. 451 f., das Urteil des Bundesgerichts 4C.377/2000 vom 8. März 2001 E. 1b, ZR 104/2005 S. 109 ff. sowie Fellmann, Berner Kommentar, 1992, N. 436 zu Art. 398 OR. Die Vorinstanz habe dies völlig verkannt, indem sie davon ausgegangen sei, bei der Stornierung gehe es um "die Rückgängigmachung des Auftrags". Tatsächlich gefordert sei keineswegs die Rückgängigmachung des Vertrages, sondern die Rückgängigmachung einzelner unrichtiger Buchungen und damit gerade die Erfüllung der vertraglichen Rechenschaftspflicht.
4.1. Durch die Eröffnung eines Kontos verpflichtet sich die Bank gegenüber dem Kunden, ihm - gemäss den vorgesehenen Modalitäten - das auf dem Konto bestehende Guthaben auszuzahlen, unabhängig davon, wie diese vertragliche Beziehung im Einzelnen zu qualifizieren ist. Mit der Auszahlung an einen unberechtigten Dritten bzw. einen Bevollmächtigten, der den Umfang der ihm erteilten Vollmacht überschreitet, wird die Bank von ihrer Leistungspflicht nicht befreit (BGE 132 III 449 E. 2 S. 451 f. mit Hinweisen; Urteil des Bundesgerichts 4A_536/2008 vom 10. Februar 2009 E. 5.2). Vielmehr leistet sie zunächst aus ihrem eigenen Vermögen und nicht aus demjenigen des Kunden, für dessen Rechnung sie handelt. Im Fall einer Auszahlung an einen Unberechtigten ist sie daher nicht berechtigt, das Konto des Kunden zu belasten (zit. Urteil 4C.377/2000 E. 1b). Verlangt der Kunde die Rückerstattung des Kontoguthabens, erhebt er mithin eine Klage auf Erfüllung des Vertrages und nicht eine Schadenersatzklage.
4.2. Ob sich die Beschwerdeführerin auf diese Rechtsprechung berufen kann, muss nicht weiter geprüft werden. Die Vorinstanz schloss nämlich nicht aus, dass ein Erfüllungsanspruch im Sinn einer Geldforderung bestehen könnte und eine entsprechende Leistungsklage zulässig wäre. Sie schloss nur einen (Erfüllungs-) anspruch auf Vornahme einer Kontokorrektur aus. Ausgehend davon, dass eine Klage entweder auf Leistung, auf Feststellung oder auf Gestaltung lauten müsse, stellte sie fest, die Klägerin verlange ein Tun und habe somit eine Leistungsklage erhoben. Sie habe ausdrücklich eine Leistungsklage auf ein Tätigwerden und nicht eine solche auf Zahlung einer Geldforderung gestellt. Unter dem Titel der auftragsrechtlichen Ablieferungspflicht führte sie sodann aus, zur Herausgabe des Abzuliefernden habe eine Klage auf Bezahlung von Geld oder Herausgabe von Sachen zu erfolgen. Sie ging somit davon aus, eine Erfüllungsklage müsse, wenn es wie hier um Kontoguthaben gehe, auf Geldleistung lauten. Entsprechend schloss sie dann, die Klägerin habe "keine solche Erfüllungsklage und die Erbringung der vereinbarten Leistung verlangt", sondern eben nur die Kontoberichtigung. Zwar verlange sie ein Tun und klage damit auf Leistung, hingegen bestehe die von ihr verlangte Leistung in der Stornierung (und anschliessenden Neuberechnung), was keine Vertragserfüllung sei. Ihr Begehren sei als Erfüllungsklage unzulässig gewesen. Auf diese Begründung geht die Beschwerdeführerin nur insofern ein, als sie geltend macht, die Auffassung der Vorinstanz, Stornierung und anschliessende Neuberechnung seien keine Erfüllung, verletze Art. 400 Abs. 1 OR. Sie begründet dies aber mit keinem Wort. Damit genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht (vgl. E. 1.2 hiervor), weshalb insoweit nicht darauf einzutreten ist.
5.
Die Beschwerde ist insgesamt abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist, ohne dass auf die Einwände betreffend unzulässiger Klageänderung noch eingegangen werden müsste. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 9'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 10'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak