Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 10. Januar 2006, bestätigt durch den Einspracheentscheid vom 30. März 2006, stellte die AXA Versicherungen AG (vormals "Winterthur" Schweizerische Versicherungsgesellschaft) ihre für das von R._, geboren 1965, beim Verkehrsunfall vom 24. August 2002 erlittene Distorsionstrauma der Halswirbelsäule erbrachten Leistungen (Taggeld, Heilbehandlung) gestützt auf das Gutachten der Klinik X._, vom 23. August 2005 mangels eines natürlichkausalen Zusammenhangs der gesundheitlichen Beschwerden mit dem Unfall mit Wirkung ab 30. Juni 2003 ein.
B. Beschwerdeweise liess R._ beantragen, es seien ihr die gesetzlichen Leistungen auch nach dem 30. Juni 2003 weiterhin auszurichten. Mit Verfügung vom 14. April 2008 stellte das angerufene Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Einholung eines polydisziplinären Obergutachtens beim Zentrum Y._, in Aussicht. In ihrer Stellungnahme vom 6. Mai 2008 liess R._ Zweifel an der fachlichen Kompetenz der Ärzte des Zentrums Y._ zur Beurteilung ihrer gesundheitlichen Beschwerden vortragen und Ablehnungs- und Befangenheitsgründe geltend machen. Die AXA Versicherungen AG erhob keine Einwände gegen die vorgesehene Gutachterstelle. Mit Beschluss vom 2. Juni 2008 setzte das kantonale Gericht die Mitglieder des Ärzteteams am Zentrum Y._ mit Dr. med. A._ als deren Vorsitzender als medizinische Experten ein und ermächtigte sie, unter ihrer Hauptverantwortung Drittpersonen mit der Durchführung von Abklärungen zu beauftragen.
C. R._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der Beschluss vom 2. Juni 2008 sei aufzuheben, und es sei die Sache zur Ernennung neuer Gutachter an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die AXA Versicherungen AG schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Sowohl das Bundesamt für Gesundheit wie auch das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten ausdrücklich auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingabe vom 31. Oktober 2008 nahm R._ zu den Vernehmlassungen Stellung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist vorab zulässig gegen Endentscheide, welche das Verfahren abschliessen (Art. 90 BGG), und gegen Teilentscheide im Sinne von Art. 91 BGG). Zwischenentscheide sind - abgesehen von den Entscheiden über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren (vgl. Art. 92 BGG) - nur dann (ausnahmsweise) selbständig anfechtbar, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können, oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 BGG).
1.2 Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren ist die Beschwerde zulässig. Diese Entscheide können später nicht mehr angefochten werden (Art. 92 Abs. 1-2 BGG). Ablehnungs- und Ausstandsgründe gegen Gerichtsexperten sind sofort nach deren Bekanntwerden geltend zu machen. Hat es eine Partei versäumt, im kantonalen Verfahren rechtzeitig die Abberufung einer sachverständigen Person zu beantragen, können angebliche Ausstandsgründe nicht mehr später im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht geltend gemacht werden (BGE 132 II 485 E. 4.3 S. 496; 121 I 225 E. 3 S. 229).
2. 2.1 Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 lit. a und b BGG prüft das Bundesgericht grundsätzlich frei, einschliesslich die Frage, ob die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Im Übrigen prüft das Bundesgericht die Handhabung kantonalen Rechts - vorbehältlich der in Art. 95 lit. c und d BGG genannten Fälle - bloss auf Willkür hin (Art. 9 BV; vgl. BGE 131 I 467 E. 3.1 S. 473). Mit freier Kognition beurteilt es indessen die Frage, ob die als vertretbar erkannte Auslegung des kantonalen Prozessrechts mit den Garantien der Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK vereinbar ist.
2.2 Nach der ständigen Rechtsprechung des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 132 I 175 E. 1.2 S. 177; 131 I 467 E. 3.1 S. 473).
3. Nach Ansicht der Beschwerdeführerin verstösst der vorinstanzliche Entscheid gegen den sich aus dem Verfassungsrecht ergebenden Anspruch auf Auseinandersetzung mit den wesentlichen Vorbringen einer Partei und damit gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör.
3.1 Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) folgt unter anderem die grundsätzliche Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Betroffene den Entscheid gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Sie muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinander setzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (BGE 133 III 439 E. 3.3 S. 445 mit Hinweisen).
3.2 Diesen Anforderungen wird der angefochtene Entscheid gerecht, indem er nachvollziehbar darlegt, aus welchen Überlegungen die Vorinstanz zu ihrem Entscheid gelangte. Namentlich wird klar, dass die fachliche Qualifikation der Ärzte des Zentrums Y._ gegebenenfalls im Rahmen der Beweiswürdigung im Endentscheid zu beurteilen sein werde, und es wird begründet, weshalb keine Ausstands- und Ablehnungsgründe gegeben seien. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, insbesondere der Begründungspflicht, ist weder dargetan noch ersichtlich.
4. 4.1 Nach § 173 Abs. 2 der zürcherischen Zivilprozessordnung vom 13. Juni 1976 (ZPO; OS 271) in Verbindung mit § 28 des Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht vom 7. März 1993 (OS 212.81) gelten für den Sachverständigen die Ausstandsgründe von §§ 95 und 96 des Gerichtsverfassungsgesetzes vom 13. Juni 1976 (GVG; OS 211.1). Laut § 96 GVG kann jeder der in § 95 GVG genannten Justizbeamten abgelehnt werden in Sachen einer juristischen Person, deren Mitglied er ist, was jedoch nicht gilt für die Zugehörigkeit zum Staat und zur Gemeinde (1), wenn er Rat gegeben, als Vermittler, Sachverständiger oder Zeuge gehandelt oder noch zu handeln hat (2), wenn zwischen ihm und einer Partei Freundschaft, Feindschaft oder ein Pflicht- oder Abhängigkeitsverhältnis besteht (3) oder wenn andere Umstände vorliegen, die ihn als befangen erscheinen lassen (4).
4.2 Im Sinne einer unabhängig vom anwendbaren Verfahrens- und Organisationsrecht geltenden und damit auch für das kantonale Versicherungsgericht nach Art. 57 ATSG ohne weiteres massgeblichen Minimalgarantie haben die Prozessparteien einen aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 30 Abs. 1 BV abgeleiteten Anspruch darauf, dass ihre Sache von unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richterinnen und Richtern ohne Einwirkung sachfremder Umstände entschieden wird. Die Garantie ist verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Für Sachverständige gelten grundsätzlich die gleichen Ausstands- und Ablehnungsgründe, wie sie für den Richter vorgesehen sind. Da sie nicht Mitglied des Gerichts sind, richten sich die Anforderungen zwar nicht nach Art. 30 Abs. 1 BV, sondern nach Art. 29 Abs. 1 BV. Hinsichtlich der Unparteilichkeit und Unbefangenheit kommt Art. 29 Abs. 1 BV indessen ein mit Art. 30 Abs. 1 BV weitgehend übereinstimmender Gehalt zu (SVR 2009 UV Nr. 4 S. 13, 8C_89/2007 E. 2; Urteil 1B_162/2008 vom 13. August 2008).
4.3 Die Garantie ist verletzt, wenn Gegebenheiten vorliegen, welche den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (BGE 134 I 20 E. 4.2 S. 21; 133 I 1 E. 6.2 S. 6; 131 I 113 E. 3.4 S. 116). Solche Umstände können in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Person oder in äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Sachverständige tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken (BGE 133 I 1 E. 6.2 S. 6; 131 I 24 E. 1.1 S. 25). Das subjektive Empfinden einer Partei vermag dagegen keine Ausstandspflicht zu begründen (BGE 134 I 20 E. 4.2 S. 21). Dass das kantonale Recht diesbezüglich strenger wäre als das Bundesrecht wird in der Beschwerde nicht geltend gemacht.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin spricht den Medizinern des Zentrums Y._ und insbesondere dessen Chefarzt Dr. med. A._ die fachliche Eignung ab, weil der Hauptgutachter ein Internist sei und weitere Ärzte der Gutachterstelle nicht über die notwendige Spezialisierung zur Begutachtung von Personen mit einem Schleudertrauma der HWS verfügen würden. Das Gerichtsgutachten müsse unter der Federführung eines Neurologen unter Beizug von Spezialisten der Otoneurologie, Neuropsychologie und speziellen Radiologie erstellt werden. Überdies gebe das Ärzteteam des Zentrums Y._ erfahrungsgemäss selbst bei schweren Fällen praktisch nie eine leistungsauslösende Beurteilung ab. Die grosse Zahl der zu erstellenden Gutachten lasse zudem Zweifel an einer eingehenden und umfassenden Untersuchung und Begutachtung aufkommen.
5.2 Das kantonale Gericht hat dazu festgehalten, der Entscheid darüber, welche spezialärztlichen Untersuchungen durchzuführen seien, obliege dem Gutachter und ergebe sich aus der Fragestellung, wobei nach Lage der Akten eine neurologische Untersuchung naheliegend sein dürfte. Da die beauftragten Ärzte den Parteien zwecks Beurteilung der Ausstandsgründe allfällig beizuziehende Spezialisten bekannt zu geben hätten, würden dannzumal auch die beteiligten Fachdisziplinen ersichtlich sein.
5.3 Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist mit Bezug auf die Rüge der fachlichen Eignung der Ärzte des Zentrums Y._ keine der Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG für die Anfechtung von Zwischenentscheiden erfüllt. Mit der Bestimmung eines gerichtlichen Experten, dessen Qualifikation die versicherte Person bestreitet, droht dieser kein nicht wiedergutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG (Urteil 2C_507/2008 vom 14. Juli 2008; vgl. auch BGE 132 V 93 E. 6.5 S. 108 und Urteil 9C_772/2008 vom 17. November 2008). Die Beschwerdeführerin selber macht dies weder geltend, noch ist ein solcher sonstwie ersichtlich. Gegen den kantonalen Entscheid über die Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin wird der Versicherten die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht offen stehen. Gemäss Art. 93 Abs. 3 BGG können dannzumal auch zuvor gefällte Zwischenentscheide mitangefochten werden, so dass die Beschwerdeführerin im betreffenden Beschwerdeverfahren - soweit erforderlich - die Rüge der fehlenden fachlichen Kompetenz erneut vortragen kann. Sodann ist nicht ersichtlich, inwiefern es sofort einen Endentscheid herbeiführen würde, wenn das Bundesgericht den vorliegenden Zwischenentscheid an die Hand nähme, zumal es vorerst bloss um die Bestimmung des gerichtlichen Experten geht und dieser über den Beizug von Fachärzten weiterer Disziplinen erst noch zu befinden haben wird. Beim Beschluss des Sozialversicherungsgerichts vom 2. Juni 2008 handelt es sich somit hinsichtlich der Beanstandung der fachlichen Qualifikation um einen Zwischenentscheid, der nicht selbständig anfechtbar ist.
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, die Ärzte des Zentrums Y._ seien befangen, weil sie finanziell aufgrund ihres beträchtlichen Gutachtenvolumens im Wert von jährlich mehreren Millionen Franken von den Versicherungsinstitutionen abhängig seien und diesen daher in den Gutachten die Grundlage liefern würden, um die Leistungseinstellungen zu schützen. Dies komme insbesondere im Umstand zum Ausdruck, dass kritische Äusserungen der Gutachter zu Rechtsprechung und Verhalten der Versicherer umgehend zu einer Reduktion der Aufträge an die betreffende Gutachterstelle führen würden. Damit stünden die Grundrechte der Handels- und Gewerbefreiheit in einem Konflikt zu jenen der Unabhängigkeit in gerichtlichen Verfahren, der Rechtsgleichheit und der fairen Verfahren.
6.2 Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung stellt eine ausgedehnte Gutachtertätigkeit für die Sozialversicherungsträger keinen Befangenheitsgrund dar. Daran hat das Bundesgericht unlängst trotz gelegentlich in Rechtsschriften und in der Literatur vorgebrachter Kritik, wer dem Versicherungsträger wirtschaftlich nahe stehe, könne nicht unparteiisch sein, festgehalten (SVR 2008 IV Nr. 22 S. 69, 9C_ 67/2007). Soweit die Beschwerdeführerin sich auf den zwischen dem Bundesamt für Sozialversicherungen und dem Zentrum Y._ getroffenen Vertrag über die Durchführung ärztlicher Untersuchungen zur Beurteilung von Leistungsansprüchen beruft, gilt es darauf hinzuweisen, dass dieser im vorliegenden Verfahren insofern ohne Relevanz ist, als er sich auf das Verfahren in der Invalidenversicherung bezieht, während es hier um ein vom kantonalen Gericht in einem unfallversicherungsrechtlichen Prozess in Auftrag gegebenes Gerichtsgutachten geht. In BGE 123 V 175 hielt das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht überdies fest, bei den MEDAS handle es sich um eine spezialisierte Abklärungsstelle, die weder den Durchführungsorganen noch der Aufsichtsbehörde in irgendeiner Art weisungspflichtig noch sonst wie untergeordnet sei, sondern auf tarifvertraglicher Grundlage medizinische Abklärungen vornehme, die einzig und allein nach bestem ärztlichem Wissen und Gewissen zu erstatten seien. Die von der Beschwerdeführerin angeführten Gegenvorschläge zu den gerichtlich bestellten Gutachtern hat das Gericht nur zu prüfen, wenn die zunächst vorgeschlagenen Sachverständigen abgelehnt werden müssen, was hinsichtlich der Ärzte des Zentrums Y._ nicht der Fall ist. Bezüglich diesen mangelt es an Anhaltspunkten dafür, dass sie gegenüber der Versicherten, dem kantonalen Gericht oder der Beschwerdegegnerin nicht unabhängig im Rechtssinne wären. Die Einigung über den Sachverständigen ist sodann keine gesetzliche Mindestanforderung, weil letztlich das Gericht über die Einholung des Gutachtens entscheidet (ULRICH MEYER, Die Sozialrechtspflege unter dem Bundesgerichtsgesetz, in: Probst/Werro [Hrsg.], Strassenverkehrsrechtstagung 10.-11. Juni 2008, S. 158). Gemäss geltendem Recht besteht auch kein Wahlrecht hinsichtlich der Person des Gutachters.
7. In der Beschwerdeschrift wird überdies vorgebracht, der Chefarzt des Zentrums Y._ pflege eine feindschaftliche Beziehung zu den Anwälten der die Versicherte vertretenden Kanzlei und habe diese gegenüber der Invalidenversicherung auch schon als Ursache des Schleudertraumaproblems bezeichnet.
Ausstandsgründe betreffen in erster Linie das Verhältnis zwischen Sachverständigem und Partei. Der Parteivertreter vertritt im Prozess nicht seine eigenen Interessen, sondern diejenigen seiner Mandantin, so dass ein Sachverständiger in aller Regel nicht schon deswegen befangen erscheint, weil er ersterem gegenüber angeblich feindschaftlich gesinnt ist. Ein schweres persönliches Zerwürfnis zwischen dem Parteivertreter und dem Gutachter, welches als konkreter Befangenheitsgrund oder zumindest als Anschein einer Voreingenommenheit des Gutachters zu werten wäre, ist mit der angeführten angeblichen Äusserung des Chefarztes des Zentrums Y._ nicht dargetan. Reaktionen von Expertinnen und Experten auf Verhaltensweisen einzelner Parteien vermögen nur dann einen Ausstandsgrund zu setzen, wenn sie objektiv betrachtet unverhältnismässig sind und beispielsweise in einen Gegenangriff oder eine Herabsetzung der Parteien münden (KIENER/KRÜSI, Die Unabhängigkeit von Gerichtssachverständigen, in: ZSR 2006 S. 505). Selbst wenn es zutreffen sollte, dass Dr. med. A._ der Unterstützung von Schleudertraumapatienten durch die Mitglieder der Anwaltskanzlei kritisch gegenübersteht, lässt dieser Umstand für sich allein nicht Zweifel an der persönlichen Integrität und der pflichtgemässen Ausübung der Gutachtertätigkeit nach bestem Wissen und Gewissen des Chefarztes aufkommen. Eine Meinungsverschiedenheit zwischen Rechtsvertreter und Gutachter nimmt in der Regel kein solches Ausmass an, dass bei objektiver Betrachtungsweise von einem Anschein der Befangenheit gesprochen werden kann, welcher die Untersuchung und Beurteilung eines zu begutachtenden Sachverhalts zum Nachteil der Partei beeinflussen könnte. Es verhält sich dabei ähnlich wie bei einer unabhängig von einem konkreten Verfahren in einer wissenschaftlichen Publikation erfolgten Meinungsäusserung, welche ebenfalls keinen Befangenheitsgrund darstellt (SVR 2006 UV Nr. 19 S. 67, U 305/05).
8. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (vgl. Art. 65 f. BGG). Parteientschädigung ist keine auszurichten (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Gesundheit und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Februar 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer