Sachverhalt:
A. A.a Das Richteramt Z._ hiess die von X._ gegen das Eheschutzurteil vom 31. März 2004 erhobene Abänderungsklage am 6. Dezember 2005 teilweise gut und setzte seinen monatlichen Unterhaltsbeitrag an Y._ ab 1. Oktober 2005 auf Fr. 1'475.-- herab. Mit Verfügung vom 24. März 2006 übertrug ihm die Gerichtspräsidentin die Obhut über die Tochter A._, am 22. Mai 2006 hob sie den Unterhaltsbeitrag für das Kind auf und legte denjenigen für die Ehefrau ab 1. April 2006 auf Fr. 750.-- pro Monat fest. Das Obergericht des Kantons Solothurn hiess die von X._ gegen die erstinstanzlichen Verfügungen erhobenen Rekurse am 19. Oktober 2006 teilweise gut. Es legte insbesondere den Unterhaltsbeitrag an Y._ auf Fr. 1'475.-- für den Monat Oktober 2005 und auf monatlich Fr. 650.-- ab 1. November 2005 fest.
A.b Das Bundesgericht wies die von X._ gegen das obergerichtliche Urteil erhobene staatsrechtliche Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 5P.485/2006 vom 20. Juni 2007).
B. Mit Revisionsgesuch vom 18. Juli 2007 verlangt X._ (nachfolgend: Gesuchsteller) vom Bundesgericht, das Urteil vom 20. Juni 2007 aufzuheben und über seine staatsrechtliche Beschwerde vom 23. November 2006 neu zu befinden. Zudem stellt er das Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
In der Sache sind keine Antworten eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Zwar ist das angefochtene Urteil noch unter der Herrschaft des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) ergangen, indes findet auf das nach dem 1. Januar 2007 erhobene Revisionsgesuch praxisgemäss das Bundesgesetz über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) Anwendung (BGE 134 III 45 E. 1 S. 47).
2. 2.1 Der Gesuchsteller beruft sich auf Art. 121 lit. d BGG und macht geltend, das Bundesgericht sei von falschen Annahmen ausgegangen und habe in den Akten liegende Tatsachen nicht berücksichtigt oder falsch interpretiert, als es seiner Rüge der Gehörsverletzung das aktuelle und praktische Rechtsschutzinteresse abgesprochen hatte. Konkret geht es um den im früheren bundesgerichtlichen Verfahren erhobenen Vorwurf, das Obergericht habe die beantragten Beweismittel (Augenschein in der Liegenschaft des Lebenspartners der Ehefrau, Auszug aus dem elektronischen Telefonbuch und Bestätigung der Einwohnerkontrolle) nicht abgenommen. Das Bundesgericht kam zum Schluss, dass das Obergericht zwar die angebotenen Beweismittel nicht abgenommen habe und sich aus dem angefochtenen Urteil auch keine antizipierte Beweiswürdigung ergebe, womit eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorliege (Urteil 5P.485/2006 vom 20. Juni 2007, E. 3.3). Indes würde selbst eine Abnahme der in Frage stehenden Beweismittel am Ergebnis nichts ändern, d.h. der strittige Unterhaltsbeitrag wäre nicht herabzusetzen. Damit bestehe kein aktuelles und praktisches Rechtsschutzinteresse an der Prüfung dieser Rüge.
2.2 Wegen Verletzung von Verfahrensvorschriften kann die Revision nach Art. 121 lit. d BGG verlangt werden, wenn das Bundesgericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Ein Versehen im Sinne dieser Bestimmung liegt vor, wenn eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen worden ist. Davon zu unterscheiden ist die allenfalls unzutreffende Würdigung von Beweisen. Sie berechtigt so wenig zu einer Revision wie die rechtliche Würdigung eines Sachverhaltes. Insoweit schliesst sich Art. 121 lit. d BGG an den gleichlautenden Art. 136 lit. d OG an, und die diesbezügliche Praxis behält ihre Geltung (Urteil 4F_1/2007 vom 13. März 2007, E. 6.1, mit Hinweisen). Die Revision dient auch nicht dazu, allfällige Versäumnisse im vorinstanzlichen Verfahren oder bei der Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht nachträglich zu beheben.
2.3 Der Gesuchsteller wendet sich gegen die bundesgerichtliche Feststellung im angefochtenen Urteil, das Existenzminimum der unterhaltsberechtigten Ehefrau werde durch die vorhandenen Mittel auch dann nicht gedeckt, wenn die von ihm verlangten Kürzungen bei ihren Ausgaben vorgenommen würden (Urteil 5P.485/2006 vom 20. Juni 2007, E. 3.3). Soweit er an dieser Stelle betont, dass es hiebei nicht um eine Rechtsfrage gehe, sondern um eine mathematische Operation, kann ihm zugestimmt werden. Dies gilt indes nicht für seine konkrete Berechnung des Überschusses und damit des Unterhaltsbeitrages. Das Obergericht hat nämlich das genaue Einkommen der Ehefrau und ihren Bedarf nicht festgehalten, da ohnehin ein Manko vorliege. Hingegen hat es die Differenz zwischen dem Einkommen des Ehemannes von Fr. 5'378.-- netto und dessen Bedarf von Fr. 3'974.-- errechnet und den Unterhaltsbeitrag an die Ehefrau ab 1. November 2005 nach Abzug des Kinderunterhalts von Fr. 750.-- auf gerundet Fr. 650.-- festgelegt. Ob dieses Vorgehen, nämlich die nicht benötigten Mittel des Unterhaltsschuldners der Unterhaltsberechtigten als Unterhaltsbeitrag zuzusprechen, unter Willkürgesichtspunkten haltbar war, wurde vom Beschwerdeführer in der staatsrechtlichen Beschwerde nicht in Frage gestellt. Ebenso wenig setzte er sich damals mit dem Einkommen und - abgesehen vom Grundbetrag und den Wohnkosten - dem Bedarf der Ehefrau auseinander. Wenn er sich nun aufgrund erstinstanzlicher Verfügungen zu ihrem Einkommen äussert und ihren Bedarf ergänzt, so ist ihm entgegen zu halten, dass dazu bereits im vorangehenden Verfahren Gelegenheit bestanden hätte. Da ein Revisionsgesuch nicht dazu dient, Versäumtes nachzuholen, erweisen sich die Ausführungen des Gesuchstellers allesamt als verspätet.
3. Zwar macht der Gesuchsteller einen gesetzlichen Revisionsgrund geltend. Indes fehlt seinem Gesuch nach dem Gesagten die rechtsgenügliche Begründung, weshalb darauf insgesamt nicht eingetreten werden kann. Ausgangsgemäss trägt der Gesuchsteller die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege kann infolge Aussichtslosigkeit der Begehren nicht bewilligt werden (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. April 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Rapp