Sachverhalt:
A.
Die 1967 geborene T._, Mutter von zwei 1988 und 1989 geborenen Kindern, seit 1995 in der Schweiz wohnhaft und zuletzt als Officemitarbeiterin tätig gewesen, meldete sich am 8. März 2006 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an (Berufsberatung und Rente). Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen klärte den medizinischen und erwerblichen Sachverhalt ab. Dabei holte sie insbesondere eine bidisziplinäre (rheumatologisch-psychiatrische) Expertise des Medizinischen Abklärungszentrums X._ vom 18. Oktober 2007 und dessen ergänzende Stellungnahme vom 6. Januar 2008 ein. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle T._ ausgehend von einem Invaliditätsgrad von 50 % mit Wirkung ab Februar 2006 eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 16. Juli 2008).
Aufgrund einer Meldung, dass die Versicherte als Tagesmutter arbeite und zu Unrecht Leistungen beziehe, sowie von zwei weiteren im September 2009 eingegangenen Anzeigen betreffend Tätigkeiten in zwei Bäckereien liess die Verwaltung ihren Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) Stellung nehmen und die Versicherte daraufhin durch eine Detektei überwachen (Ermittlungsberichte vom 8. September und 14. Oktober 2009). Nach weiteren Abklärungen, unter anderem der Einholung eines Fragebogens zur Rentenrevision und einer Arbeitgeberbescheinigung, nach einem Standortgespräch sowie dem Eingang eines Gutachtens des Medizinischen Abklärungszentrums Z._ vom 6. Januar 2011 sowie nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens hob die IV-Stelle die Invalidenrente mit Verfügung vom 29. April 2011 auf. Zur Begründung führte die Verwaltung aus, nach Observation und neuer Begutachtung lägen Beweismittel vor, aufgrund derer auch rückwirkend eine neue Beurteilung der Invalidität angezeigt sei. Es sei davon auszugehen, dass sowohl in der angestammten als auch in einer angepassten Tätigkeit nie eine relevante Einschränkung bestanden habe.
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die gegen die Verfügung vom 29. April 2011 erhobene Beschwerde gut (Entscheid vom 24. Mai 2012).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und ihre Verfügung vom 29. April 2011 zu bestätigen. Eventuell sei die strittige Verfügung insofern anzupassen, als die IV-Rente der Beschwerdegegnerin per 1. Juli 2009 aufgehoben werde.
T._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) und die beigeladene Pensionskasse GastroSocial schliessen auf Gutheissung der Beschwerde.
Erwägungen:
1.
1.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die IV-Stelle den Anspruch der Versicherten auf eine halbe Rente zu Recht aufgehoben hat.
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Verletzung u.a. von Bundesrecht beruht (Art. 95 lit. a, Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht legt seiner Urteilsfindung die vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person zugrunde, soweit sie auf Beweiswürdigung im konkreten Fall beruhen (vgl. BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397).
2.
2.1. In ihrer Verfügung vom 16. Juli 2008 hatte die Verwaltung der Beschwerdegegnerin mit Wirkung ab Februar 2006 eine halbe Invalidenrente zugesprochen. Dabei stützte sie sich auf das bidisziplinäre, rheumatologisch-psychiatrische Gutachten des Medizinischen Abklärungszentrums X._ vom 18. Oktober 2007/6. Januar 2008. Die Sachverständigen diagnostizierten damals eine (letztlich) mittelgradige depressive Episode (ICD-10 F32.1) nebst einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) sowie einem chronischen lumbospondylogenen Syndrom links (ICD-10 M54.4). Gemäss dem psychiatrischen Teilgutachter war die Fähigkeit der Versicherten, die zumutbare Willensanstrengung zur Überwindung der Schmerzen aufzubringen, infolge der Komorbidität von Schmerzstörung und depressivem Leiden erheblich eingeschränkt, was bei der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit zu berücksichtigen sei. Die medizinisch-theoretische Arbeitsfähigkeit betrage sowohl in der angestammten Tätigkeit (Küchen- und Officebereich eines Restaurants) wie auch in anderen angepassten Arbeiten 50 Prozent. Bestimmend für diese Einschränkung sei die depressive Symptomatik; allein aus rheumatologischer Sicht sei die Versicherte in leichten und wechselbelastenden Arbeiten zu 30 Prozent arbeitsunfähig.
2.2. Die strittige Verfügung vom 29. April 2011 (Aufhebung der bisherigen halben Invalidenrente) stellt - hinsichtlich der bei der Rentenzusprechung im Sommer 2008 gegebenen Verhältnisse - auf das Gutachten des Medizinischen Abklärungszentrums Z._ vom 6. Januar 2011 ab. Dem neuen Gutachten liegen neben den üblichen Elementen (medizinische Akten, eigene Untersuchung) auch die Ergebnisse einer von der Beschwerdeführerin veranlassten Observation zugrunde. Die Administrativgutachter kommen nunmehr zum Schluss, bei der Beschwerdegegnerin finde sich ein chronisches lumbospondylogenes Syndrom, welches die Leistungsfähigkeit in leichten und wechselbelastenden Arbeiten nicht einschränke. Nach heutigem Stand der Erkenntnis habe aus psychiatrischer Sicht wahrscheinlich nie eine relevante Arbeitsunfähigkeit bestanden. Es müsse aber klar festgehalten werden, dass die frühere gutachtliche Beurteilung nach dem damaligen Wissensstand nicht als offensichtlich falsch bezeichnet werden könne. Zu berücksichtigen sei auch, dass von der Vorbegutachtung bis zur Observation mehr als zwei Jahre vergangen seien.
2.3. Die Vorinstanz hat die Aufhebungsverfügung der IV-Stelle unter dem Titel der prozessualen Revision überprüft.
2.3.1. Gemäss Art. 53 Abs. 1 ATSG müssen formell rechtskräftige Verfügungen und Einspracheentscheide in Revision gezogen werden, wenn die versicherte Person oder der Versicherungsträger nach deren Erlass erhebliche neue Tatsachen entdeckt oder Beweismittel auffindet, deren Beibringung zuvor nicht möglich war. Solche neuen Tatsachen oder Beweismittel sind innert 90 Tagen nach ihrer Entdeckung geltend zu machen; zudem besteht eine absolute zehnjährige Frist, die mit der Eröffnung der Verfügung zu laufen beginnt (Art. 67 Abs. 1 VwVG in Verbindung mit Art. 55 Abs. 1 ATSG; SVR 2012 UV Nr. 17 S. 63, 8C_434/2011 E. 3 mit Hinweisen). Ergeben sich aus den neu entdeckten Tatsachen und Beweismitteln (lediglich) gewichtige Indizien für das Vorliegen eines prozessualen Revisionsgrundes, sind innert angemessener Frist zusätzliche Abklärungen vorzunehmen, um diesbezüglich hinreichende Sicherheit zu erhalten. In solchen Fällen beginnt die relative 90-tägige Revisionsfrist erst zu laufen, wenn die Unterlagen die Prüfung der Erheblichkeit des geltend gemachten Revisionsgrundes erlauben oder, bei Säumnis, in dem Zeitpunkt, in welchem der Versicherungsträger den unvollständigen Sachverhalt zumutbarerweise hätte hinreichend ergänzen können (SVR 2012 IV Nr. 36 S. 140, 9C_896/2011 vom 31. Januar 2012 E. 4.2 mit Hinweisen; SVR 2012 UV Nr. 17 S. 63, 8C_434/2011 vom 8. Dezember 2011 E. 4.2; Urteil 8C_694/2012 vom 25. Januar 2013 E. 3.1.2).
2.3.2. Ein Observationsbericht bildet für sich allein keine sichere Grundlage für Sachverhaltsfeststellungen betreffend den Gesundheitszustand und die Arbeitsfähigkeit der versicherten Person. Er kann diesbezüglich höchstens Anhaltspunkte liefern oder Anlass zu Vermutungen geben. Sichere Kenntnis des Sachverhalts vermitteln kann in dieser Hinsicht erst die ärztliche Beurteilung des Observationsmaterials (vgl. BGE 8C_272/2011 vom 11. November 2011 E. 7.1 mit Hinweisen). Die relative 90-tägige Revisionsfrist beginnt somit grundsätzlich erst zu laufen, wenn diese ärztliche Beurteilung vorliegt. Die Verwaltung hat die erforderlichen medizinischen Abklärungen innert angemessener Frist durchzuführen. Sie ist gehalten, die zusätzlichen medizinischen Abklärungen mit dem erforderlichen und zumutbaren Einsatz zügig voranzutreiben. Tut sie dies nicht, darf sich ihre Säumnis nicht zu ihren Gunsten und zuungunsten der versicherten Person auswirken. In einem solchen Fall ist der Beginn der relativen 90-tägigen Frist vielmehr auf den Zeitpunkt festzusetzen, zu welchem die Verwaltung den Sachverhalt zumutbarerweise hätte ergänzen können (SVR 2012 UV Nr. 17 S. 63, 8C_434/2011 E. 4.2 mit Hinweis und E. 6.2).
Mit Blick auf das Folgende kann offen bleiben, ob die Entdeckung neuer Tatsachen rechtzeitig geltend gemacht worden wäre (vgl. Urteil 9C_491/2012 vom 22. Mai 2013 E. 4.1).
2.4.
2.4.1. Das kantonale Gericht schloss, das Observationsmaterial (Ermittlungsberichte vom 8. September und 14. Oktober 2009) und das neue Gutachten erfüllten nicht die Voraussetzungen des Art. 53 Abs. 1 ATSG. Selbst wenn der neuen gutachterlichen Einschätzung (keine Depression und keine Schmerzkrankheit, keine Arbeitsunfähigkeit) insgesamt gefolgt werde, sei die Feststellung, eine Depression habe auch früher gefehlt, nicht ohne Weiteres schlüssig (E. 7.4 des angefochtenen Entscheids). Ein Vergleich der beiden Expertisen deute darauf hin, dass sich der psychische Status zwischenzeitlich verändert habe. Sollte ursprünglich eine unzutreffende Würdigung der Arbeitsfähigkeit der Versicherten erfolgt sein, so genügte dies nicht für eine prozessuale Revision (E. 7.7). Aus dem Umstand, dass die Versicherte teilzeitlich zu arbeiten begonnen habe, könne nicht abgeleitet werden, dass ihr zur Zeit der ursprünglichen Verfügung eine rentenausschliessende Tätigkeit zuzumuten gewesen wäre (E. 7.8). Sei somit nicht mit der erforderlichen Wahrscheinlichkeit ausgewiesen, dass damals keine Arbeitsunfähigkeit vorgelegen habe und die rentenzusprechende Verfügung unrichtig gewesen sei, rechtfertige sich deren prozessuale Revision nicht. Die angefochtene Verfügung sei ersatzlos aufzuheben, womit die leistungszusprechende Verfügung vom 16. Juli 2008 wieder auflebe (E. 7.9).
2.4.2. Die Vorinstanz begründete diesen Entscheid damit, der rheumatologische Teilgutachter von 2007 habe augenfällige Inkonsistenzen, Vermeidungsverhalten und Diskrepanzen zwischen geklagten Beschwerden und objektiven Befunden registriert und deshalb die Arbeitsfähigkeit anhand eines Vergleichs mit Fällen eingeschätzt, bei denen ähnliche strukturelle Veränderungen gegeben seien. Gestützt darauf habe er eine medizinisch-theoretische Einschränkung von 30 Prozent (wegen Bedarfs an Kurzpausen und leicht verlangsamtem Arbeitstempo) angegeben (E. 4.1 des angefochtenen Entscheids). Das kantonale Gericht erwog, die im Gutachten des Medizinischen Abklärungszentrums Z._ hervorgehobenen Diskrepanzen stellten somit keine neue Erkenntnis dar (E. 7.1).
2.4.3. Die vorinstanzliche Annahme, dass die zur Begründung einer prozessualen Revision angerufenen Dokumente hinsichtlich der gesundheitlichen Verhältnisse im Zeitpunkt der Rentenzusprechung nicht beweisend seien, wird auch durch die damalige psychiatrische Einordnung von Inkonsistenzen und Vermeidungsverhalten untermauert: Danach waren diese weniger auf eine Aggravation als auf das depressive Leiden und die Schmerzstörung zurückzuführen. Diese Aussage begründete der Psychiater des Medizinischen Abklärungszentrums X._ wiederum nachvollziehbar damit, gegen die Annahme einer selbstbestimmten Steuerbarkeit der Beschwerde spreche beispielsweise, dass sich die Versicherte nicht nur "von den unangenehmen und fordernden Aspekten des Lebens wie Haushalt und Beruf zurückgezogen" habe, sondern auf alle Aktivitäten weitgehend verzichte (E. 4.2). Der erstbegutachtende Psychiater habe die Frage, ob Aggravation und ein subjektiver Krankheitsgewinn vorlägen, ferner unter Hinweis auf die Konstanz der Angaben der Versicherten und ihre Bereitschaft, sich einer adäquaten Behandlung zu unterziehen, verneint (E. 7.2).
2.5. Die angeführten Aspekte zeigen, dass die Vorinstanz zu Recht davon ausgegangen ist, dass die Unterschiede in den durch die beiden Gutachten dokumentierten Verhältnissen eine Änderung des anspruchserheblichen Gesundheitszustandes nahelegen. Die Feststellungen im Gutachten des Medizinischen Abklärungszentrums Z._ vom 6. Januar 2011 und die Ergebnisse der Observation erlauben somit keine ausreichenden Rückschlüsse auf den Sachverhalt im Zeitpunkt der ursprünglichen Verfügung vom 16. Juli 2008. Folglich scheidet eine prozessuale Revision aus.
3.
Die beschwerdeführende IV-Stelle wie auch das BSV und die beigeladene Pensionskasse Gastrosuisse rügen, die Vorinstanz habe nicht geprüft, ob die Rentenaufhebung mit der substituierten Begründung der Wiedererwägung zu schützen sei. Damit habe sie Bundesrecht verletzt.
3.1. Unabhängig von einem materiellen Revisionsgrund kann der Versicherungsträger nach Art. 53 Abs. 2 ATSG wiedererwägungsweise auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Wird die zweifellose Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenverfügung erst vom Gericht festgestellt, kann dieses ein (zu Unrecht) auf Art. 17 ATSG gestütztes Rückkommen mit dieser substituierten Begründung schützen (BGE 125 V 368 E. 2 S. 369; SVR 2011 IV Nr. 20 S. 53, 9C_303/2010 E. 4). Vorausgesetzt ist wie immer bei der Wiedererwägung, dass kein vernünftiger Zweifel an der Unrichtigkeit der Verfügung möglich, also nur dieser einzige Schluss denkbar ist (SVR 2010 IV Nr. 5 S. 10, 8C_1012/2008 E. 4.1; Urteile 9C_587/2010 vom 29. Oktober 2010 E. 3.3.1 und 9C_575/2007 vom 18. Oktober 2007 E. 2.2). Dieses Erfordernis ist in der Regel erfüllt, wenn eine Leistungszusprechung aufgrund falscher Rechtsregeln erfolgt ist oder wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden. Erscheint indessen die Beurteilung einzelner ermessensgeprägter Schritte der Anspruchsprüfung vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage einschliesslich der Rechtspraxis im Zeitpunkt der rechtskräftigen Leistungszusprechung (BGE 125 V 383 E. 3 S. 389) als vertretbar, scheidet die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit aus (vgl. Urteile 9C_621/2010 vom 22. Dezember 2010 E. 2.2 und I 222/02 vom 19. Dezember 2002 E. 3.2).
3.2.
3.2.1. Nach dem Gesagten kann eine Invalidenrente nicht gestützt auf eine voraussetzungslose Neubeurteilung der invaliditätsmässigen Voraussetzungen wiedererwägungsweise herabgesetzt werden (Urteil 9C_114/2008 vom 30. April 2008 E. 2.1). Im Hinblick auf die notwendige Unterscheidung einer bloss abweichenden Beurteilung von der tatsächlich eingetretenen Veränderung ist zu berücksichtigen, dass bei psychiatrischen Beurteilungen praktisch immer ein Spielraum besteht, innerhalb dessen verschiedene medizinische Interpretationen möglich, zulässig und zu respektieren sind, sofern der Experte lege artis vorgegangen ist (vgl. dazu die Leitlinien der Schweizerischen Gesellschaft für Versicherungspsychiatrie für die Begutachtung psychischer Störungen, in: SAeZ 2004 S. 1050 f.).
3.2.2. Auch unter Berücksichtigung der spezifischen Rechtsprechung zur Invalidität bei psychosomatischen Leiden (BGE 131 V 49; 130 V 352; vgl. auch BGE 136 V 279 und 132 V 65) war es zumindest vertretbar, dass die IV-Stelle in der Verfügung vom 16. Juli 2008 dem Gutachten des Medizinischen Abklärungszentrums X._ vom 18. Oktober 2007/6. Januar 2008 gefolgt ist: Der psychiatrische Sachverständige hatte unter anderem dargelegt, die geschilderten Funktionsbeeinträchtigungen führten zu grossen Einschränkungen in den Aktivitäten des täglichen Lebens; die Versicherte sei bereit, sich einer adäquaten Behandlung zu unterziehen; während einer stationären Behandlung sei ihr eine gute Mitarbeit attestiert worden; die Erkrankung habe zu einem wesentlichen Verlust ihrer bisherigen Lebensqualität geführt; bestehende Verdeutlichungstendenzen seien auf das depressive Leiden und die Schmerzstörung zurückzuführen. Weiter hielten die Gutachter fest, das Fehlen von Ressourcen, die Komorbidität des depressiven Leidens mit einer somatoformen Schmerzstörung sowie der lange Krankheitsverlauf mit tendenzieller Befundverschlechterung trotz teilweise aufwendiger Therapieverfahren führten zu einer ungünstigen Prognose. Angesichts dieser gutachterlichen Feststellungen (zu den dafür massgebenden Kriterien BGE 131 V 49 S. 50) erscheint die damalige Zusprechung einer halben Invalidenrente nicht zweifellos unrichtig; weder beruhte die Verfügung vom 16. Juli 2008 auf einem offenkundig nicht beweistauglichen Gutachten noch setzte die Verwaltung dessen Schlussfolgerungen offensichtlich unzutreffend um.
4.
4.1. Im bisherigen Verfahren wurde nicht geprüft, ob, wie die beschwerdeführende Verwaltung letztinstanzlich eventualiter geltend macht, sich der Gesundheitszustand der Beschwerdegegnerin seit der letzten rechtskräftigen, auf einer rechtskonformen Sachverhaltsabklärung, Beweiswürdigung und Durchführung eines Einkommensvergleichs beruhenden Verfügung (hier vom 16. Juli 2008) leistungswirksam verbessert hat (materielle Revision; Art. 17 Abs. 1 ATSG; vgl. auch Art. 87 ff. IVV; BGE 133 V 108). Ein Vergleich zwischen den Feststellungen der Sachverständigen des Medizinischen Abklärungszentrums X._ (2007/08) und denjenigen des Medizinischen Abklärungszentrums Z._ (2011) legt nahe, dass Letztere nicht bloss eine abweichende medizinische oder rechtliche Einschätzung von im Wesentlichen unveränderten tatsächlichen Verhältnissen vornahmen (vgl. dazu BGE 115 V 308 E. 4a/bb S. 313; SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 4.1; SVR 2004 IV Nr. 5 S. 13, I 574/02 E. 2). So weisen die Gutachter des Medizinischen Abklärungszentrums Z._ darauf hin, die Versicherte habe eine teilzeitliche Arbeit aufnehmen können; die damit verbundene Bestätigung und Ablenkung könnten sich (zusätzlich) positiv auf das Befinden ausgewirkt haben. Für eine Wende des Gesundheitszustandes zum Besseren spricht auch, dass die Administrativgutachter bereits im Jahr 2007 davon gesprochen haben, die Arbeitsfähigkeit könne durch eine rekonditionierende Behandlung allenfalls binnen sechs bis zwölf Monaten auf 100 Prozent gesteigert werden. Die nach gutachterlichem Bekunden ursprünglich nur medizinisch-theoretisch vorhandene Arbeitsfähigkeit (von damals 50 %; ergänzender Bericht des Medizinischen Abklärungszentrums X._ vom 6. Januar 2008) konnte später offenkundig effektiv verwertet werden; darin liegt eine massgebliche Änderung rechtserheblicher Tatsachen.
4.2. Die Sache wird an die IV-Stelle überwiesen, damit sie den Leistungsanspruch der Beschwerdegegnerin unter dem Titel der materiellen Revision im Sinne von Art. 17 ATSG überprüfe, den Zeitpunkt der allfälligen Anspruchsaufhebung resp. -herabsetzung auch mit Blick auf eine mögliche Meldepflichtverletzung seitens der Beschwerdegegnerin festlege (vgl. Art. 77, Art. 88a Abs. 1 und 88bis Abs. 2 lit. b IVV; Urteil 9C_1022/2012 vom 16. Mai 2013 E. 3.3; BGE 119 V 431) und entsprechend neu verfüge. In diesem Zusammenhang ist zu berücksichtigen, dass die Versicherte bereits im Juni 2009 ausweislich und auch gemäss ihren eigenen Angaben als Tagesmutter und als Reinigungsfrau tätig war.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Sache wird an die IV-Stelle des Kantons St. Gallen zum weiteren Vorgehen im Sinne der Erwägungen überwiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat den Anwalt der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der GastroSocial Pensionskasse, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Juli 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub