Sachverhalt:
A. Die 1964 geborene K._ war vom 1. November 1998 bis 30. April 1999 in einem befristeten Arbeitsverhältnis bei der Firma Z._ AG tätig. Seit 1. August 2000 bezieht sie bei einem Invaliditätsgrad von 100 % eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Am 30. Juni 2004 liess K._ beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Klage gegen die Pensionskasse X._ einreichen mit dem Antrag, diese sei zu verpflichten, ihr die gesetzlichen und reglementarischen Invalidenleistungen, zuzüglich Zins zu 5 %, auszurichten. Nach Beizug von Arztberichten, Durchführung einer Parteibefragung und der Einvernahme von Zeugen wies das Versicherungsgericht die Klage mit Entscheid vom 26. März 2007 ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt K._ das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren erneuern. Ferner verlangt sie, es sei den zusätzlich in Frage kommenden Vorsorgeeinrichtungen (Vorsorgeeinrichtung Y._ und Stiftung Auffangeinrichtung BVG) der Streit zu verkünden. Schliesslich ersucht sie um die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Während die Pensionskasse auf Abweisung der Beschwerde schliesst, lässt sich das kantonale Gericht in ablehnendem Sinne vernehmen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.
C. Mit Beschluss vom 10. Oktober 2007 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit der Versicherten ab.
D. In der Folge wurde der Vorsorgeeinrichtung Y._ und der Stiftung Auffangeinrichtung BVG Gelegenheit eingeräumt, zur Beschwerde Stellung zu nehmen, wovon beide Beteiligten keinen Gebrauch machten.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Die Vorinstanz hat unter Hinweis auf Art. 23 BVG (in der vorliegend anwendbaren, bis Ende 2004 gültig gewesenen Fassung) und die hiezu ergangene Rechtsprechung (BGE 123 V 263 ff., 120 V 112 E. 2c S. 117 f.) sowie Art. 10 Abs. 2 BVG (betreffend Ende der obligatorischen beruflichen Vorsorge) zutreffend dargelegt, dass im Rahmen des BVG massgebend ist, ob eine Arbeitsunfähigkeit von einem gewissen Ausmass (praxisgemäss mindestens 20 %) aufgetreten ist, während die versicherte Person der Vorsorgeeinrichtung angehörte und zwischen dieser Arbeitsunfähigkeit und der späteren Invalidität in sachlicher und zeitlicher Hinsicht ein direkter und enger Zusammenhang besteht. Ebenso hat sie die vom Gesetz abweichende reglementarische Regelung der Beschwerdegegnerin zur Entstehung des Invalidenrentenanspruchs in der weitergehenden Vorsorge wiedergegeben. Darauf kann verwiesen werden. Richtig ist sodann, dass das kantonale Gericht die Frage, in welchem Zeitpunkt die massgebende Arbeitsunfähigkeit eingetreten ist, frei und unabhängig vom Entscheid der Invalidenversicherung prüfen konnte. Anders verhält es sich hingegen im letztinstanzlichen Verfahren. Wie das Bundesgericht im Urteil 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007 entschieden hat, handelt es sich beim Zeitpunkt des Eintritts des berufsvorsorgerechtlichen Versicherungsfalles, d.h. der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, um eine Tatfrage, die lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel (Art. 97 Abs. 1 sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; E. 1 hievor) überprüfbar ist.
3. 3.1 Das Versicherungsgericht stellte in einlässlicher und korrekter Würdigung der medizinischen und erwerblichen Unterlagen fest, dass eine Arbeitsunfähigkeit von erheblichem Ausmass frühestens am 4. Juni 1999 eingetreten sei. Zu jenem Zeitpunkt sei das Vorsorgeverhältnis (einschliesslich Nachdeckungsfrist) beendet gewesen, weshalb die Beschwerdeführerin gegenüber der Pensionskasse keinen Anspruch auf Invalidenleistungen habe.
3.2 In der Beschwerde wird nicht geltend gemacht, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung gemäss Art. 97 Abs. 1 BGG offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen soll. Zwar rügt die Beschwerdeführerin verschiedene Bundesrechtsverletzungen wie willkürliche Beweiswürdigung, Verletzung von Beweislastregeln sowie des Untersuchungs- und des Vertrauensgrundsatzes, vermag diese Vorwürfe jedoch nicht hinlänglich zu begründen. Die Behauptung, die Vorinstanz habe unbesehen die Position der Versicherung übernommen, was willkürlich sei, ist nicht belegt. Vielmehr gelangte das Versicherungsgericht nach eingehender Prüfung der Arztberichte zum gleichen Schluss wie die Pensionskasse. Dass die Vorinstanz die mehrere Jahre nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit erstellten Arztzeugnisse nicht als Beweismittel anerkannt hat, verstösst ebenfalls nicht gegen Bundesrecht, sondern trägt dem Umstand Rechnung, dass eine während eines Vorsorgeverhältnisses eingetretene Einschränkung der Arbeitsfähigkeit in erster Linie mit echtzeitlichen Dokumenten nachzuweisen ist. Die übrigen Vorbringen der Beschwerdeführerin erschöpfen sich im Wesentlichen in einer im Rahmen der geltenden Überprüfungsbefugnis unzulässigen appellatorischen Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung, indem sie die Arztberichte aus ihrer Sicht einer Prüfung unterzieht und dabei zu einem vom angefochtenen Entscheid abweichenden Ergebnis gelangt. Da schliesslich der rechtserhebliche medizinische Sachverhalt vollständig abgeklärt ist und von zusätzlichen fachärztlichen Untersuchungen keine neuen Erkenntnisse erwartet werden können, ist von weiteren Beweismassnahmen, insbesondere auch der beantragten Befragung der Psychiaterin Frau Dr. med. S._ als Zeugin und Sachverständige, abzusehen.
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation hat die Pensionskasse X._ keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG; vgl. BGE 126 V 143 E. 4a S. 150).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Juni 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Widmer