Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss Art. 72 ff. BGG gegen das Urteil vom 16. August 2010 des Obergerichts des Kantons Luzern, das eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde des Beschwerdeführers gegen einen abweisenden Beschwerdeentscheid vom 16. Juli 2010 des Amtsgerichtspräsidenten Z._ (betreffend die am 2. Juli 2010 gestützt auf Art. 397a ZGB angeordnete Einweisung des Beschwerdeführers in die psychiatrische Klinik A._) infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben hat,
in Erwägung,
dass das Obergericht erwog, die Frist von 30 Tagen der am 2. Juli 2010 verfügten vorsorglichen fürsorgerischen Freiheitsentziehung sei abgelaufen, durch Rückbehaltungsverfügung vom 13. August 2010 des leitenden Arztes der gerontologischen Klinikabteilung sei der ursprüngliche Freiheitsentzug auf eine neue Rechtsgrundlage gestellt worden, weshalb das vorliegende Verfahren betreffend die am 2. Juli verfügte Massnahme gegenstandslos geworden sei, die weitere Beschwerde des Beschwerdeführers gegen die am 13. August 2010 erneut verfügte fürsorgerische Freiheitsentziehung sei zuständigkeitshalber dem Amtsgerichtspräsidenten Z._ überwiesen worden,
dass die Beschwerde nach Art. 72 ff. BGG nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95 f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG),
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen betreffend die Gegenstandslosigkeit seiner Verwaltungsgerichtsbeschwerde und die Zuständigkeit des Amtsgerichtspräsidenten Z._ zur Behandlung seiner weiteren Beschwerde eingeht,
dass der Beschwerdeführer er erst recht nicht anhand der obergerichtlichen Erwägungen aufzeigt, inwiefern das Urteil des Obergerichts vom 16. August 2010 rechts- oder verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist,
dass keine Gerichtskosten erhoben werden,
dass in den Fällen des Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und das präsidierende Abteilungsmitglied zuständig ist,
erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Y._ und dem Obergericht des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Füllemann