Faits:
Faits:
A. T._, née en 1954, a travaillé en qualité de caissière à temps partiel à la société X._. Le 26 janvier 2000, invoquant des douleurs dorsales, elle s'est annoncée à l'assurance-invalidité en vue d'obtenir une rente.
Dans un rapport du 26 avril 2002, le docteur G._, médecin au service de rhumatologie de l'Hôpital Y._ a diagnostiqué une ostéoporomalacie ainsi que des lombalgies chroniques spécifiques persistantes. A son avis, l'assurée présentait une incapacité de travail d'au moins 20 % dans la dernière activité exercée. Par ailleurs, il a recommandé la mise en oeuvre d'investigations médicales complémentaires, psychiatriques et somatiques. A l'issue d'un examen bidisciplinaire pratiqué au SMR, les docteurs A._, rhumatologue, et L._, psychiatre, ont attesté que la capacité de travail était de 60 % dès janvier 2000 dans l'ancienne activité de caissière, tandis que l'assurée conservait une capacité entière dans une activité adaptée (rapport du 23 avril 2003).
L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a fixé la part de l'activité lucrative à 88 % (36 heures hebdomadaires), les 12 % restants étant consacrés à la tenue du ménage. Par décision du 19 septembre 2003, il a rejeté la demande. Retenant un taux d'invalidité de 28 % dans l'activité lucrative, l'office AI a considéré que l'assurée devrait totaliser des empêchements complets dans la tenue du ménage pour atteindre le degré d'invalidité minimum ouvrant droit à la rente.
T._ a formé opposition en invoquant une aggravation de son état de santé. L'office AI a dès lors complété l'instruction en prenant l'avis du docteur D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 23 mars 2005), ainsi que celui du docteur L._ qui s'est alors prévalu du titre de « psychiatre FMH » (rapport du 5 septembre 2005). Les conclusions de ces psychiatres ont divergé non seulement sur le diagnostic, mais également sur l'étendue de la capacité de travail de l'assurée. C'est ainsi que le docteur D._ a fait état d'un épisode dépressif sévère sans symptômes psychotiques ainsi que de divers troubles somatiques, en indiquant que la capacité de travail de sa patiente était de 5 à 10 %, pour une durée indéterminée à compter du 7 juin 2004. De son côté, le docteur L._ a mis en évidence un épisode dépressif réactionnel d'intensité légère avec syndrome somatique, ainsi qu'un syndrome douloureux somatoforme persistant d'intensité légère, en précisant que la capacité de travail était entière aussi bien dans l'activité habituelle que dans une activité adaptée.
L'office AI a rejeté l'opposition par décision du 5 octobre 2005. En bref, il a estimé que l'assurée ne présentait pas d'affections psychiatriques invalidantes et que sa capacité de travail était entière dans une activité adaptée à ses limitations somatiques (travail semi-sédentaire avec évitement du port de charges répétitif à 8 kg). En ce qui con-cerne le taux d'invalidité dans l'activité lucrative, il l'a ramené à 2 % après comparaison d'un gain d'invalide de 37'238 fr. avec un revenu sans invalidité de 37'900 fr. Quant à l'enquête ménagère, il a renoncé à l'effectuer, car une éventuelle incapacité dans ce domaine d'activité (auquel l'assurée consacrait 12 % de son temps) n'aurait pas eu d'incidence sur le droit à la rente.
L'office AI a rejeté l'opposition par décision du 5 octobre 2005. En bref, il a estimé que l'assurée ne présentait pas d'affections psychiatriques invalidantes et que sa capacité de travail était entière dans une activité adaptée à ses limitations somatiques (travail semi-sédentaire avec évitement du port de charges répétitif à 8 kg). En ce qui con-cerne le taux d'invalidité dans l'activité lucrative, il l'a ramené à 2 % après comparaison d'un gain d'invalide de 37'238 fr. avec un revenu sans invalidité de 37'900 fr. Quant à l'enquête ménagère, il a renoncé à l'effectuer, car une éventuelle incapacité dans ce domaine d'activité (auquel l'assurée consacrait 12 % de son temps) n'aurait pas eu d'incidence sur le droit à la rente.
B. T._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud en concluant à la mise en oeuvre d'investigations médicales complémentaires destinées à déterminer les atteintes physiques et psychiques ainsi que leurs conséquences sur la capacité de travail.
Par jugement du 18 mai 2006, notifié le 30 août 2006, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours, en ce sens qu'elle a mis l'assurée au bénéfice d'un quart de rente dès le 1er novembre 2004, une demi-rente à partir du 1er décembre 2004, trois-quarts de rente dès le 1er janvier 2005, une rente entière à compter du 1er mars 2005, trois-quarts de rente à partir du 1er septembre 2005, une demi-rente dès le 1er octobre 2005, puis un quart de rente du 1er au 30 novembre 2005, date de la fin du droit à la rente. Le tribunal a rejeté la requête d'expertise.
Par jugement du 18 mai 2006, notifié le 30 août 2006, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours, en ce sens qu'elle a mis l'assurée au bénéfice d'un quart de rente dès le 1er novembre 2004, une demi-rente à partir du 1er décembre 2004, trois-quarts de rente dès le 1er janvier 2005, une rente entière à compter du 1er mars 2005, trois-quarts de rente à partir du 1er septembre 2005, une demi-rente dès le 1er octobre 2005, puis un quart de rente du 1er au 30 novembre 2005, date de la fin du droit à la rente. Le tribunal a rejeté la requête d'expertise.
C. T._ a interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement dont elle a demandé l'annulation, avec suite de dépens, en concluant à la mise en oeuvre d'une expertise multidisciplinaire. Elle a produit un rapport du docteur D._, du 27 septembre 2006. Par ailleurs, elle a sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'office intimé, qui a retiré le recours de droit administratif qu'il avait interjeté contre le jugement du 18 mai 2006 (cette cause a été rayée du rôle par décision du Tribunal fédéral des assurances du 7 décembre 2006, I 765/06), a conclu au rejet du recours de l'assurée. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. L'acte attaqué a été rendu avant l'entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2005 1205, 1242) de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), de sorte que la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
1. L'acte attaqué a été rendu avant l'entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2005 1205, 1242) de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), de sorte que la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
2. Eu égard aux modifications apportées à son pouvoir d'examen par l'art. 132 al. 2 OJ, introduit par le ch. III de la loi fédérale du 16 décembre 2005 modifiant la LAI, le tribunal de céans doit se borner à examiner si les premiers juges ont violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou l'abus de leur pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou encore s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure; cette nouvelle réglementation vaut pour tous les recours déposés après le 30 juin 2006 (ch. II let. c de la loi du 16 décembre 2005 modifiant la LAI), ce qui est le cas en l'espèce.
2. Eu égard aux modifications apportées à son pouvoir d'examen par l'art. 132 al. 2 OJ, introduit par le ch. III de la loi fédérale du 16 décembre 2005 modifiant la LAI, le tribunal de céans doit se borner à examiner si les premiers juges ont violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou l'abus de leur pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou encore s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure; cette nouvelle réglementation vaut pour tous les recours déposés après le 30 juin 2006 (ch. II let. c de la loi du 16 décembre 2005 modifiant la LAI), ce qui est le cas en l'espèce.
3. Le litige porte sur le droit de la recourante à des prestations de l'assurance-invalidité excédant celles qu'elles a obtenues en vertu du jugement attaqué.
3. Le litige porte sur le droit de la recourante à des prestations de l'assurance-invalidité excédant celles qu'elles a obtenues en vertu du jugement attaqué.
4. Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige. Il suffit d'y renvoyer (consid. 1 à 5 du jugement attaqué).
5. Du point de vue somatique, la recourante fait grief aux premiers juges d'avoir constaté les faits pertinents de manière inexacte et incomplète. En particulier, elle leur reproche d'avoir admis à tort que l'appréciation du docteur G._, spécialiste en rhumatologie, qui l'avait examinée précédemment (jusqu'en 2002), recoupait celle du SMR (rapport du 23 avril 2003). Elle fait aussi valoir que le docteur N._ avait attesté la présence d'un syndrome vertébral modéré, le 4 juillet 2000, en ajoutant qu'il ne pensait pas qu'une reconversion professionnelle lui permettrait de retrouver une activité professionnelle même partielle, compte tenu notamment des douleurs. En outre, la recourante soutient que le tribunal des assurances a passé sous silence les observations des médecins de l'Hôpital Y._ (docteurs D._, C._ et N._), rendues en 2000, qui avaient attesté l'existence d'atteintes physiques sur la base d'un examen radiologique, alors que le SMR avait conclu, à l'opposé, à l'absence d'atteintes lombo-sacrées.
Le grief tiré d'une constatation erronée des faits pertinents est infondé. En effet, le tribunal des assurances n'a pas occulté les observations des médecins de l'Hôpital Y._ dans son jugement, mais il les a résumées (p. 2 et suivantes). En outre, la juridiction cantonale a clairement constaté que la recourante présente diverses atteintes lombaires, lesquelles réduisent sa capacité de travail à 60 % dans une activité de caissière (consid. 6c/bb p. 26). Ce dernier constat ne prête aucunement le flanc à la critique et se fonde sur les conclusions radiologiques du SMR qui retenait la présence de discrètes atteintes dégénératives de la charnière lombo-sacrée, non évolutive, ainsi qu'une ostéopénie (rapport du 23 avril 2003, p. 5). On ajoutera qu'il est sans incidence, pour l'issue du litige, que la juridiction cantonale ait pu admettre que l'appréciation du docteur G._ recoupait celle du SMR, car ce médecin avait indiqué qu'il n'était plus en mesure de se prononcer objectivement et avait recommandé de faire instruire l'aspect somatique du cas par le SMR, ce qui eut lieu.
Dès lors, en retenant, à l'instar de l'intimé, que la recourante conserve une capacité de travail de 100 % dans une activité adaptée à ses problèmes dorso-lombaires, les premiers juges n'ont pas violé le droit fédéral et le recours sur ce point s'avère mal fondé.
Dès lors, en retenant, à l'instar de l'intimé, que la recourante conserve une capacité de travail de 100 % dans une activité adaptée à ses problèmes dorso-lombaires, les premiers juges n'ont pas violé le droit fédéral et le recours sur ce point s'avère mal fondé.
6. 6.1 Donnant la préférence aux conclusions du docteur L._ du SMR (rapport du 5 septembre 2005, relatif à un examen du 9 août 2005), l'office intimé a admis que la recourante ne présentait aucun trouble psychique invalidant.
De son côté, l'autorité cantonale de recours a suivi le point de vue du docteur D._ (rapport du 23 mars 2005) et admis que la capacité de travail de la recourante n'était que de 10 % de juin 2004 à mai 2005 en raison d'un trouble dépressif grave. En revanche, pour la période postérieure, les premiers juges se sont apparemment inspirés des conclusions du SMR et ont admis que le trouble somatoforme dont la recourante est affectée ne pouvait être assimilé à une atteinte à la santé invalidante.
6.2 Dans un arrêt du 31 août 2007 en la cause M. (I 65/07), le Tribunal fédéral a considéré qu'un rapport médical, élaboré dans le cadre d'un diagnostic de troubles somatoformes douloureux, signé par le docteur L._ avec l'indication « Psychiatre FMH » ne pouvait se voir attribuer une pleine valeur probante, en raison d'une irrégularité d'ordre formel liée à l'utilisation d'un titre auquel le médecin ne pouvait prétendre. La Cour de céans a retenu qu'il n'était en conséquence pas possible de tirer d'un tel rapport des conclusions définitives sur l'état de santé d'un assuré, ni de fonder son appréciation uniquement sur cette pièce médicale.
En l'espèce, tout en indiquant qu'il se distançait de l'appréciation du docteur L._ à propos de la gravité de l'épisode dépressif, le tribunal des assurances a néanmoins déclaré qu'il pouvait faire siennes les constatations d'ordre psychiatrique du SMR, dès lors qu'elles revêtaient la valeur probante requise par la jurisprudence (cf. consid. 6d/bb p. 27 du jugement attaqué). A la lumière de l'arrêt I 65/07 cité, l'appréciation de la juridiction cantonale (au demeurant non exempte d'ambiguïté), qui repose de manière essentielle sur le rapport du docteur L._ du 5 septembre 2005, sur le point de la réduction et de la fin du droit aux prestations, n'est pas conforme au droit; partant, elle ne peut être suivie.
En outre, si l'incidence d'éventuelles affections psychiques sur la capacité de travail de la recourante ne peut être évaluée au regard du rapport du docteur L._, la question ne saurait l'être davantage sur la base du seul avis du docteur D._, médecin traitant (cf. rapports des 23 mars 2005 et 27 septembre 2006), d'autant que ce spécialiste a lui-même recommandé la mise en oeuvre d'une expertise multidisciplinaire afin d'éclaircir ce point.
Aussi convient-il d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause à l'intimé pour qu'il complète l'instruction au niveau psychiatrique puis se prononce à nouveau.
Aussi convient-il d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause à l'intimé pour qu'il complète l'instruction au niveau psychiatrique puis se prononce à nouveau.
7. L'intimé, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 134 OJ, 2e phrase, 156 al. 1 OJ).
Pour le même motif, l'intimé est redevable d'une indemnité de dépens à la recourante (art. 159 al. 1 OJ), si bien que la demande d'assistance judiciaire n'a plus d'objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit administratif est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 18 mai 2006 ainsi que la décision sur opposition de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 5 octobre 2005 sont annulés, la cause étant renvoyée à cet office pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
1. Le recours de droit administratif est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 18 mai 2006 ainsi que la décision sur opposition de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 5 octobre 2005 sont annulés, la cause étant renvoyée à cet office pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2'500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2'500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud statuera sur les dépens pour la procédure de première instance, au regard de l'issue du procès de dernière instance.
4. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud statuera sur les dépens pour la procédure de première instance, au regard de l'issue du procès de dernière instance.
5. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 7 décembre 2007
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud