Faits:
A. M._, né en 1946, a été mis au bénéfice d'une demi-rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er juin 1995 (décision du 20 février 1996), laquelle a été supprimée par décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) du 1er juillet 2003, motif pris de l'absence de perte de gain. Employé depuis le 1er janvier 2004 comme directeur par la société X._, M._ a cessé de travailler en juillet 2004 en raison d'un trouble dépressif. Il a déposé une (nouvelle) demande de prestations à l'assurance-invalidité le 23 janvier 2006.
L'office AI a recueilli divers rapports médicaux, dont ceux de la doctoresse S._, psychiatre, selon laquelle l'assuré présentait un syndrome d'apnées du sommeil, un trouble thymique organique dépressif et des dorso-lombalgies qui entraînaient une incapacité de travail totale depuis juillet 2004. Après avoir soumis le dossier au docteur C._ de son Service médical régional AI pour la Suisse romande (SMR), l'office AI a rendu une décision le 12 septembre 2007, par laquelle il a refusé toute prestation à l'intéressé, en considérant en substance que celui-ci disposait d'une pleine capacité de travail.
B. M._ a déféré la décision administrative au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en produisant notamment un nouveau rapport de la doctoresse S._ du 13 janvier 2008. Le Tribunal cantonal a tenu une audience d'enquêtes le 4 juin 2008 afin d'entendre le psychiatre à titre de témoin, ainsi que K._, fille de l'assuré. Statuant le 18 juin 2008, il a admis le recours, annulé la décision du 12 septembre 2007 et octroyé à l'assuré une rente entière d'invalidité à partir du 1er juillet 2005.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Il conclut, principalement, à la confirmation de sa décision du 12 septembre 2007 et, subsidiairement, à ce que la cause lui soit renvoyée pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Il a par ailleurs sollicité l'effet suspensif à son recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 5 novembre 2008.
M._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales en propose l'admission.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
1.2 Les constatations de la juridiction cantonale sur l'atteinte à la santé (diagnostic, pronostic, etc.) et l'évaluation de la capacité de travail (résiduelle), ainsi que sur le point de savoir si la capacité de travail s'est modifiée d'une manière déterminante sous l'angle de la révision au cours d'une certaine période (arrêt 9C_270/2008 du 12 août 2008 consid. 2.2), sont en principe des questions de fait (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 397). Il en est de même de l'appréciation concrète des preuves. En revanche, l'application du principe inquisitoire et des règles sur l'appréciation des preuves au sens de l'art. 61 let. c LPGA, ainsi que le respect du devoir en découlant de procéder à une appréciation complète, rigoureuse et objective des rapports médicaux en relation avec leur contenu relèvent du droit (ATF 132 V 393 consid. 3.2 et 4 p. 397 ss).
2. 2.1 Le litige porte sur le droit de l'intimé à une rente entière de l'assurance-invalidité à partir du 1er juillet 2005. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales (dans leur teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007, applicables en l'espèce [ATF 131 V 9 consid. 1 p. 11 et les arrêts cités]) et les principes jurisprudentiels relatifs à la notion d'invalidité et son évaluation, ainsi que la jurisprudence sur la valeur probante des rapports médicaux et sur la libre appréciation des preuves. Il suffit donc d'y renvoyer.
2.2 On précisera que lorsque l'administration entre en matière sur une nouvelle demande après un (premier) refus de prestations (cf. art. 87 al. 4 RAI) - ou, comme en l'espèce, la suppression de celles-ci -, elle doit instruire la cause et déterminer si la situation de fait s'est modifiée de manière à influencer les droits de l'assuré. En cas de recours, le juge est tenu d'effectuer le même examen quant au fond (ATF 130 V 64 consid. 2 p. 66 et les arrêts cités). Par analogie avec le cas de la révision au sens de l'art. 17 LPGA, pour déterminer si la modification des faits (relatifs à l'état de santé ou la situation économique) suffit à admettre le droit à la prestation litigieuse, il y a lieu de comparer les faits tels qu'ils se présentaient au moment de la décision de refus de prestations - ou de suppression de celles-ci - et les circonstances existant au moment du prononcé de la nouvelle décision (ATF 130 V 343 consid. 3.5 p. 349).
3. 3.1 Se fondant sur les déclarations de la doctoresse S._, la juridiction cantonale a constaté que l'intimé était gravement handicapé par son hypersomnolence, qui rendait impossible toute reprise de travail. Selon les indications données par ce médecin lors de l'audition du 4 mai 2008, son patient présentait d'une part un syndrome d'apnées du sommeil et d'autre part un trouble thymique qui en découlait; même si le problème d'apnée du sommeil était plus ou moins bien réglé, M._ présentait une hypersomnie, soit une somnolence irrépressible qui entraînait une incapacité de travail (totale).
Les premiers juges ont également retenu que M._ souffrait de troubles dépressifs manifestes et très invalidants, dans la mesure où il ne pouvait plus vivre seul sans l'aide de sa fille, selon les déclarations convaincantes de celle-ci. Considérant que l'incapacité de travail totale ne faisait pas de doute, ils ont conclu à une invalidité totale, ce qui ouvrait le droit de l'assuré à une rente entière de l'assurance-invalidité à partir du 1er juillet 2005.
3.2 La constatation de la juridiction cantonale quant à l'incapacité totale de travail de l'intimé (dans toute activité lucrative) repose d'une part sur les déclarations de la fille de celui-ci et, d'autre part, sur l'avis de la doctoresse S._ qui n'était, d'après les premiers juges, contredit par aucun médecin ayant examiné l'assuré. Cette dernière constatation est en soi correcte, dans la mesure où les autres médecins consultés par l'assuré ne se sont en partie pas prononcés sur la capacité de travail (par exemple, le docteur G._ dans un rapport du 17 janvier 2007) ou alors dans le même sens que la doctoresse S._ (cf. avis des docteurs H._ du 29 juillet 2004 et L._ du 19 octobre 2004, qui préconisait cependant une prochaine reprise du travail à 50%). Elle ne dispensait toutefois pas la juridiction cantonale d'examiner également les autres éléments de preuve recueillis par le recourant (et mentionnés dans la partie en fait du jugement entrepris), en particulier les avis médicaux en contradiction avec celui de la psychiatre. Ainsi, même si l'évaluation du docteur C._ (du 7 septembre 2007), effectuée sur la base du seul dossier de l'intimé, n'est motivée que de façon sommaire, le médecin du SMR a cependant conclu à une capacité de travail entière; selon lui, l'adaptation de la thérapie avait permis la disparition des limitations fonctionnelles subies par l'assuré (par une réduction des apnées nocturnes et une disparition de la somnolence diurne), comme l'avait indiqué la doctoresse S._ dans un rapport du 10 juillet 2007. A cette date, la psychiatre avait fait état d'une amélioration de la somnolence diurne et d'une diminution de l'index d'apnées, en se référant aux conclusions du docteur G._, spécialiste en pneumologie, selon lesquelles l'assuré devait continuer la thérapie par propulseur mandibulaire et le traitement de décubitus latéral obligé qui avaient réduit la somnolence diurne excessive (rapport du 17 janvier 2007). Une appréciation complète et rigoureuse des preuves exigeait l'examen de ces autres pièces médicales au dossier, en sus des seules déclarations de la doctoresse S._.
Par ailleurs, en considérant que les troubles dépressifs présentés par l'intimé étaient manifestes et invalidants sur la base des déclarations de sa fille, les premiers juges ont procédé à des constatations d'ordre médical sans s'appuyer sur l'avis d'un spécialiste dans ce domaine, ce qui revient à une constatation manifestement inexacte des faits (SEILER, in Bundesgerichtsgesetz, Berne 2007, n° 15 ad art. 97 LTF). Leur constatation apparaît d'autant plus fausse que la doctoresse S._ avait diagnostiqué un "trouble thymique organique dépressif" sans qualifier la gravité de celui-ci ou retenir un trouble dépressif. En expliquant que l'incapacité de travail était en fait due à la somnolence irrépressible (procès-verbal d'audience du 4 mai 2008), la psychiatre semblait par ailleurs nier que le trouble thymique eût une répercussion négative sur l'aptitude au travail de son patient.
3.3 En conséquence de qui précède, c'est sur la base d'un état de faits manifestement inexact et en violation des règles sur la libre appréciation des preuves - qui se confond ici avec une appréciation arbitraire de ceux-ci dès lors que la juridiction cantonale s'est fondée exclusivement sur une partie des moyens de preuve (cf. ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références) - que l'autorité cantonale de recours a retenu une incapacité totale de travail. En l'état, il n'est pas possible de déterminer si et dans quelle mesure l'intimé serait à même de travailler, faute d'un avis médical dûment étayé sur ce point, ni l'appréciation du docteur C._, ni celle de la doctoresse S._ n'étant suffisante à cet égard. En particulier, l'appréciation de la psychiatre n'apparaît pas concluante, dans la mesure où elle admet que le problème d'apnée du sommeil est "plus ou moins bien réglé", mais retient néanmoins une incapacité totale de travail en raison d'une somnolence irrépressible, dont elle a indiqué ne pas connaître la cause en précisant que son patient devait souffrir d'un "autre problème organique qu'on ignore". Il convient dès lors d'admettre la conclusion subsidiaire du recourant et de lui renvoyer la cause pour qu'il complète l'instruction sous la forme d'une expertise médicale pluridisciplinaire afin que soient pris en considération tant les aspects somatiques que psychiques de la problématique de l'intimé.
4. Vu l'issue du litige, l'intimé qui succombe supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1 première phrase en relation avec l'art. 65 al. 4 let. a LTF), sans qu'il ait droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 18 juin 2008 et la décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité du 12 décembre 2007 sont annulés, la cause étant renvoyée à cet office pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 27 février 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless