Sachverhalt:
A. Die 1961 geborene D._ ist seit 1978 bei der Gemeinde X._ angestellt (zuletzt als Leiterin einer Abteilung) und damit bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 8. Mai 2003 war sie von einem Unfall betroffen, als ein nachfolgender Personenwagen auf das von ihr gelenkte, in einem Rechtsabbiegemanöver begriffene Fahrzeug auffuhr. Die Versicherte klagte in der Folge über Kopf- und Nackenschmerzen mit Ausstrahlung bis in die Hand. Gemäss Unfallschein mit Eintragungen der am Unfalltag konsultierten Dr. med. S._ und des Dr. med. B._, Allgemeine Medizin FMH, war sie zunächst zu 100 %, ab 26. Mai 2003 zu 75 % und ab 10. Juni 2003 zu 50 % arbeitsunfähig. Die Zürich holte weitere Auskünfte von Dr. med. B._ ein und zog Berichte des Neurologen Dr. med. J._ vom 16. September und 20. Oktober 2003 sowie des Radiologen Dr. med. P._, Röntgeninstitut O._, vom 29. September 2003 bei. Anschliessend stellte sie - nach Gewährung des rechtlichen Gehörs - mit Verfügung vom 26. Februar 2004 ihre Leistungen auf den 31. Oktober 2003 ein. Zur Begründung wurde erklärt, die über dieses Datum hinaus fortbestehenden Beschwerden stünden in keinem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Ereignis vom 8. Mai 2003.
Nachdem die Versicherte Einsprache erhoben hatte, holte die Zürich Gutachten des Kantonsspitals Y._, Neurologische Klinik, vom 4. Juli 2005 sowie der Rehaklinik A._ vom 29. September 2005 ein. Zudem liess sie eine Unfallanalyse vom 4. Mai 2005 erstellen. Anschliessend hielt der Versicherer mit Einspracheentscheid vom 7. März 2006 an der Einstellung der Leistungen per 31. Oktober 2003 fest mit der Begründung, die darüber hinaus andauernden Beschwerden stünden zwar wohl in einem natürlichen, aber nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen ab (Entscheid vom 14. März 2007).
C. D._ lässt Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid und der Einspracheentscheid seien aufzuheben und die Zürich sei zu verpflichten, ihr weiterhin Versicherungsleistungen aus der Unfallversicherung zu erbringen.
Die Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 hat das Bundesgericht die sog. Schleudertrauma-Praxis bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden präzisiert. Die Parteien hielten im Rahmen des ihnen zu dieser Präzisierung gewährten rechtlichen Gehörs an ihren Rechtsbegehren fest.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Leistungspflicht eines Unfallversicherers gemäss UVG setzt zunächst voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht. Ursachen im Sinne des natürlichen Kausalzusammenhangs sind alle Umstände, ohne deren Vorhandensein der eingetretene Erfolg nicht als eingetreten oder nicht als in der gleichen Weise bzw. nicht zur gleichen Zeit eingetreten gedacht werden kann. Entsprechend dieser Umschreibung ist für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht erforderlich, dass ein Unfall die alleinige oder unmittelbare Ursache gesundheitlicher Störungen ist; es genügt, dass das schädigende Ereignis zusammen mit anderen Bedingungen die körperliche oder geistige Integrität der versicherten Person beeinträchtigt hat, der Unfall mit andern Worten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch die eingetretene gesundheitliche Störung entfiele (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181, 402 E. 4.3.1 S. 406, 119 V 335 E. 1 337, 118 V 286 E. 1b S. 289, je mit Hinweisen).
Ob zwischen einem schädigenden Ereignis und einer gesundheitlichen Störung ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht, ist eine Tatfrage, worüber die Verwaltung bzw. im Beschwerdefall das Gericht im Rahmen der ihm obliegenden Beweiswürdigung nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu befinden hat. Die blosse Möglichkeit eines Zusammenhangs genügt für die Begründung eines Leistungsanspruches nicht (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181, 119 V 335 E. 1 S. 338, 118 V 286 E. 1b S. 289, je mit Hinweisen).
1.2 Die Leistungspflicht des Unfallversicherers setzt im Weiteren voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden ein adäquater Kausalzusammenhang besteht. Nach der Rechtsprechung hat ein Ereignis dann als adäquate Ursache eines Erfolges zu gelten, wenn es nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und nach der allgemeinen Lebenserfahrung an sich geeignet ist, einen Erfolg von der Art des eingetretenen herbeizuführen, der Eintritt dieses Erfolges also durch das Ereignis allgemein als begünstigt erscheint (BGE 129 V 177 E. 3.2 S. 181, 402 E. 2.2 S. 405, 125 V 456 E. 5a S. 461 mit Hinweisen).
1.3 Zur Beurteilung der Adäquanz des Kausalzusammenhangs zwischen einem Unfallereignis und einer psychischen Fehlentwicklung mit Krankheitswert hat die Rechtsprechung (BGE 115 V 133) spezielle Regeln entwickelt. Eine besondere Ausgestaltung erfährt die Adäquanzprüfung auch bei Unfällen mit einem Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS), einem diesem äquivalenten Verletzungsmechanismus oder einem Schädel-Hirntrauma ohne organisch nachweisbare Unfallfolgen (BGE 117 V 359 und 369; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2, U 183/93). Die diesbezüglichen Regeln hat das Bundesgericht mit dem Urteil BGE 134 V 109 präzisiert.
2. Streitig ist, ob die Beschwerdegegnerin als obligatorischer Unfallversicherer für das Ereignis vom 8. Mai 2003 über den 31. Oktober 2003 hinaus Leistungen zu erbringen hat.
3. 3.1 Nachdem sie den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und den nach dem 31. Oktober 2003 fortbestehenden Beschwerden zunächst verneint hatte, holte die Zürich im Verlauf des Einspracheverfahrens zur Klärung dieser Frage zwei Expertisen ein.
3.1.1 Im Gutachten des Kantonsspitals Y._, Neurologische Klinik (Dr. med. W._, Oberärztin; Prof. Dr. med. U._, Chefarzt), vom 4. Juli 2005 wird ausgeführt, im Zeitpunkt der Untersuchung vom 9. März 2005 seien Schmerzen rechtsbetont mit Ausstrahlung in den rechten Arm und nach oben in den Hinterkopf sowie Missempfindungen im Nacken im Vordergrund gestanden. Die Schmerzen seien eindeutig belastungsabhängig. In Abhängigkeit vom Ausmass der Schmerzsymptomatik würden auch eine verminderte Konzentrationsfähigkeit, eine Beeinträchtigung der psychischen Befindlichkeit sowie eine vermehrte Tagesmüdigkeit angegeben. Die aktuelle Arbeitsfähigkeit als Beamtin betrage bei Persistenz dieser Beschwerden 50 %. In der aktuellen klinischen Untersuchung zeigten sich myofasciale Befunde mit muskulärem Hartspann im Nacken- und Schultergürtelbereich beidseits und eine leicht eingeschränkte Beweglichkeit der HWS nach rechts, insbesondere der oberen HWS-Segmente. Diese Befunde seien vereinbar mit einem Status nach cranio-cervicalem Beschleunigungstrauma. Die Beschwerden stünden mit überwiegender Wahrscheinlichkeit in einem Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis vom 8. Mai 2003. Aufgrund der belastungsabhängigen Schmerzsymptomatik und der dadurch verminderten Leistungsfähigkeit der Versicherten sei aktuell von einer 50%-igen Arbeitsunfähigkeit auszugehen. Von einer weiteren ärztlichen Behandlung der Unfallfolgen könne noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden. Die Tätigkeit als Leiterin einer Abteilung sei sicher geeignet, um die aktuelle Arbeitsfähigkeit trotz persistierendem Beschwerdebild aufrecht zu erhalten und auch eine mögliche Steigerung im Verlauf zu ermöglichen. Nicht geeignet seien Arbeiten mit schwerer körperlicher Belastung und Verharren in einseitiger Körperposition. Zur Optimierung der Arbeitsfähigkeit sollten ergonomische Verhaltensweisen, z.B. häufiges Wechseln der Körperpositionen, umgesetzt werden.
3.1.2 Laut dem rheumatologischen Gutachten der Rehaklinik A._ (Dr. med. T._, Leitender Arzt) vom 29. September 2005 klagte die Versicherte über Schmerzen im Nackenbereich rechts mit Ausstrahlung gegen den Oberarm und gegen den Hinterkopf bei meist belastungsabhängiger Schmerzzunahme im Verlauf des Nachmittags. Im Weiteren leide sie an Missempfindungen im Nackenbereich. Abhängig von der Schmerzsymptomatik habe sie Mühe mit der Konzentration. In der aktuellen klinischen Untersuchung fänden sich eine leichte Bewegungseinschränkung der HWS sowie myofasziale Befunde im Schulter-/Nackenbereich mit muskulären Verspannungen und rechtsbetonter Druckdolenz. Die von der Versicherten geklagten belastungsabhängigen Beschwerden im Schulter-/Nackenbereich rechtsbetont seien glaubhaft, mit den klinischen und radiologischen Befunden vereinbar und entsprächen der Symptomatik eines chronischen zervikospondylogenen Syndroms. Aufgrund des zeitlichen Auftretens, des Unfallmechanismus und des Beschwerdemusters seien die geklagten belastungsabhängigen Beschwerden mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf das Unfallereignis vom 8. Mai 2003 zurückzuführen. Die radiologisch nachgewiesenen, unfallfremden Degenerationen (leichte Osteochondrose und kleine mediane Diskushernie C5/6) seien demgegenüber asymptomatisch. Die Frage, ob von einer weiteren ärztlichen Behandlung der Unfallfolgen eine namhafte Besserung des Gesundheitsschadens zu erwarten sei, wird bejaht.
3.2 Gestützt auf die beiden Gutachten haben die Zürich im Einspracheentscheid vom 7. März 2006 und die Vorinstanz im Entscheid vom 14. März 2007 den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis vom 8. Mai 2003 und den über den 31. Oktober 2003 hinaus fortbestehenden belastungsabhängigen Beschwerden im Schulter- und Nackenbereich zu Recht bejaht.
3.3 Das Bundesgericht hat sich im bereits erwähnten Urteil BGE 134 V 109 auch zum Zeitpunkt des Fallabschlusses geäussert. Demnach sind Heilbehandlung und Taggeld nur solange zu gewähren, als von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden kann. Trifft dies nicht mehr zu, ist der Fall unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen mit gleichzeitiger Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung abzuschliessen (BGE 134 V 109 E. 4.1 S. 113 f.).
3.4 Im Zeitpunkt der Begutachtungen im Kantonsspital Y._ (Untersuchung vom 9. März 2005) und in der Rehaklinik A._ (Untersuchung vom 5. September 2005) war gemäss der Beurteilung der an der jeweiligen Expertise beteiligten Ärztinnen und Ärzte von einer weiteren ärztlichen Behandlung der Unfallfolgen noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes zu erwarten. Der Moment für den Fallabschluss unter Einstellung von Taggeld und Heilbehandlung war somit am 31. Oktober 2003 noch nicht erreicht. Die Beschwerdeführerin hat daher über dieses Datum hinaus Anspruch auf die erwähnten Leistungen, welche einer Kürzung wegen mitwirkender unfallfremder Ursachen nicht zugänglich sind (Art. 36 Abs. 1 UVG).
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind der Beschwerdegegnerin als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 14. März 2007 und der Einspracheentscheid vom 7. März 2006 werden aufgehoben. Es wird festgestellt, dass die Beschwerdeführerin auch nach dem 31. Oktober 2003 Anspruch auf Versicherungsleistungen hat.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2500.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. September 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger