Sachverhalt:
A. Das Bundesamt für Migration verfügte am 24. Oktober 2007 gegen den deutschen Staatsangehörigen X._ eine Einreisesperre, da sein Verhalten im In- und Ausland wiederholt zu schweren Klagen und gerichtlichen Verurteilungen Anlass gegeben habe. Dieser erhob dagegen Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht forderte X._ am 21. Januar 2008 auf, ein Zustellungsdomizil in der Schweiz zu bezeichnen. Die dafür gesetzte Frist verstrich unbenutzt. Das Bundesverwaltungsgericht forderte X._ mit am 14. Mai 2008 im Bundesblatt publizierter Verfügung auf, innert 30 Tagen einen Kostenvorschuss von Fr. 600.-- einzuzahlen. Nachdem der Vorschuss innert Frist nicht geleistet worden war, trat das Bundesverwaltungsgericht am 4. Juli 2008 auf die Beschwerde nicht ein und veröffentlichte diesen Entscheid am 15. Juli 2008 im Bundesblatt.
B. X._ legte darauf mit Schreiben vom 13. August 2008 beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde gegen die Zwischenverfügung vom 14. Mai 2008 ein; dieses überwies die Beschwerde zuständigkeitshalber dem Bundesgericht (Verfahren 2C_603/2008). Ausserdem erhob X._ mit Schreiben vom 22. August 2008 gegen den Nichteintretensentscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 4. Juli 2008 Beschwerde beim Bundesgericht (Verfahren 2C_604/ 2008).
Das Bundesverwaltungsgericht hat sich zu den Beschwerden geäussert, ohne einen Antrag zu stellen.
Das Bundesamt für Migration hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Die beiden erhobenen Beschwerden betreffen das gleiche vor dem Bundesverwaltungsgericht geführte Rechtsmittelverfahren. Es rechtfertigt sich, sie zu vereinigen und im gleichen Urteil darüber zu befinden.
1.2 Die normalerweise fehlende Zuständigkeit des Bundesgerichts auf dem Gebiet der Einreise (Art. 83 lit. c Ziff. 1 BGG) ergibt sich im vorliegenden Fall aus Art. 11 Abs. 3 des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer erhob gegen die vom Bundesamt für Migration am 24. Oktober 2007 verhängte Einreisesperre am 13. November 2007 und damit rechtzeitig Beschwerde. Die an das Bundesamt für Migration gerichtete Beschwerde wurde von diesem an das Bundesverwaltungsgericht weitergeleitet.
2.2 Das Bundesverwaltungsgericht forderte den Beschwerdeführer mit Schreiben vom 4. Dezember 2007 auf, innert 14 Tagen nach Erhalt des Schreibens ein schweizerisches Zustellungsdomizil zu bezeichnen. Das Schreiben wurde am 15. Dezember 2007 von der Ehegattin des Beschwerdeführers in Lörrach entgegengenommen. Da der Beschwerdeführer der Aufforderung nicht nachkam, wurde er mit Zwischenverfügung vom 21. Januar 2008 erneut zur Bezeichnung eines Zustelldomizils innert 20 Tagen nach Erhalt der Verfügung aufgefordert, ansonsten ihn betreffende Anordnungen und Entscheide durch Publikation im Bundesblatt eröffnet würden. Die Zwischenverfügung wurde auf dem Rechtshilfeweg befördert und dem Beschwerdeführer am 18. März 2008 übergeben.
2.3 Am 21. Januar 2008 beantragte der Beschwerdeführer beim Bundesamt für Migration die Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung seiner Beschwerde gegen die Einreisesperre; zugleich ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege. Diese Eingabe wurde nicht an das Bundesverwaltungsgericht weitergeleitet.
2.4 Mit Zwischenverfügung vom 28. April 2008, publiziert am 14. Mai 2008 im Bundesblatt, forderte das Bundesverwaltungsgericht den Beschwerdeführer auf, einen Kostenvorschuss von Fr. 600.-- zu leisten. Mangels Leistung eines Kostenvorschusses trat es mit Urteil vom 4. Juli 2008, publiziert am 15. Juli 2008, auf die Beschwerde gegen die Einreisesperre nicht ein.
3. 3.1 In seinen Beschwerden vom 13. und 22. August 2008 gegen die Kostenvorschussverfügung und den Nichteintretensentscheid weist der Beschwerdeführer darauf hin, dass er am 21. Januar 2008 ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt habe, das unbearbeitet geblieben sei. Dadurch sei ihm die "Rechtshilfe verwehrt" worden. Aus diesen - unbeholfenen - Eingaben des Beschwerdeführers ist ersichtlich, dass er sich beim Bundesgericht gegen die beiden Verfügungen beschwert ("lege ich Beschwerde ein") und sinngemäss Rechtsverweigerung wegen Nichtbehandlung des Gesuches um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (im Zusammenhang mit der ergangenen Kostenvorschussverfügung und dem Nichteintretensentscheid wegen Nichtbezahlens des Kostenvorschusses) rügt.
3.2 Gemäss Art. 8 Abs. 1 VwVG hat die (Bundes-)Behörde, die sich als unzuständig erachtet, eine Eingabe ohne Verzug der zuständigen Behörde zu überweisen. Nach Art. 21 Abs. 2 VwVG (i.V.m. Art. 37 VGG) gilt eine Frist selbst dann als gewahrt, wenn eine Partei rechtzeitig an die unzuständige Behörde gelangt.
Das Bundesamt für Migration hätte demnach das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (und dasjenige um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung), das in erkennbarem Zusammenhang mit dem zuvor von ihm geführten Verfahren stand, wie schon die Beschwerde unverzüglich an die zuständige Instanz weiterleiten sollen (vgl. dazu MICHEL DAUM, in: Christoph Auer und andere, Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2008, N 5-7 zu Art. 8 VwVG; URS PETER CAVELTI, daselbst, N 14 ff. zu Art. 21 VwVG). Der Hinweis des Bundesverwaltungsgerichts, die Akten des Bundesamtes für Migration würden elektronisch geführt, ändert nichts an der Weiterleitungspflicht und überzeugt umso weniger, als das Bundesamt für Migration vorher und nachher im gleichen Verfahren in der Lage war, Eingaben an die richtige Instanz, d.h. das Bundesverwaltungsgericht, zu senden.
3.3 Ist somit davon auszugehen, dass das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bei richtigem Vorgehen als dem Bundesverwaltungsgericht zugegangen und bekannt gelten muss, erweisen sich die angefochtenen Entscheide als rechtswidrig, auch wenn dem Bundesverwaltungsgericht kein Vorwurf zu machen ist.
4. Die Beschwerden sind aus diesen Gründen gutzuheissen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 2C_603/2008 und 2C_604/2008 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden gutgeheissen, und die Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts vom 14. Mai 2008 und 4. Juli 2008 werden aufgehoben.
3. Die Sache wird an das Bundesverwaltungsgericht zur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen zurückgewiesen.
4. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Küng