Sachverhalt:
A. A.a Mit Verfügung vom 26. März 2003 und Einspracheentscheid vom 11. März 2004 sprach die Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur) dem 1954 geborenen, bei ihr obligatorisch gegen Unfälle versicherten I._ für die verbleibenden Folgen eines am 29. Juni 1997 erlittenen Unfalls rückwirkend ab 1. Dezember 2002 eine Invalidenrente (als Komplementärrente zu einer Rente der Invalidenversicherung) entsprechend einem Invaliditätsgrad von 100 % sowie eine Integritätsentschädigung zu.
Im Dezember 2005 leitete die Winterthur ein Rentenrevisionsverfahren ein. Die von ihr beabsichtigte medizinische Abklärung mittels psychiatrischer Begutachtung kam nicht zustande, was sie dem Versicherten anlastete. Mit Verfügung vom 14. Dezember 2006 und Einspracheentscheid vom 1. April 2008 stellte die Winterthur resp. deren Rechtsnachfolgerin AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) mit Wirkung per 28. Februar 2006 sämtliche Versicherungsleistungen ein. Zur Begründung wurde ausgeführt, zufolge Verletzung der Mitwirkungspflicht des Versicherten bei den vorgesehenen medizinischen Abklärungen sei aufgrund der vorhandenen Akten zu entscheiden. Gemäss den Ergebnissen einer zwischen Januar 2005 und Frühjahr 2006 durchgeführten Observation und deren Beurteilung durch die beratenden Ärzte des Unfallversicherers habe I._ spätestens ab dem 1. März 2006 nicht mehr an unfallbedingten somatischen und/oder psychischen Beeinträchtigungen der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit gelitten. Damit sei eine Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen eingetreten, welche Anlass zu einer revisionsweisen Prüfung des Rentenanspruchs gebe und im Ergebnis zur Aufhebung der Invalidenrente führe.
Die vom Versicherten hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Entscheid vom 26. Februar 2009 gut. Das Bundesgericht hob diesen Entscheid und den Einspracheentscheid vom 1. April 2008 auf Beschwerde der AXA hin mit Urteil 8C_397/2009 vom 16. Oktober 2009 auf. Es wies die Sache zur ergänzenden medizinischen Abklärung und neuen Verfügung über die Frage der Rentenrevision an den Unfallversicherer zurück.
A.b Die AXA holte ärztliche Stellungnahmen ein. Sie forderte I._ sodann auf, sich einer psychiatrischen/neuropsychologischen Begutachtung zu unterziehen. Der Versicherte widersetzte sich mit der Begründung, die Begutachtungsanordnung sei nicht rechtmässig. Mit Verfügung vom 20. Januar 2011 und Einspracheentscheid vom 1. Juli 2011 hielt der Unfallversicherer an der Einstellung der Leistungen per 28. Februar 2006 fest. Der Versicherte sei erneut seiner Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen, weshalb gestützt auf die Akten zu entscheiden sei. Die Observationsergebnisse und die Beurteilung, welche der beratende Psychiater hiezu und zu den eingeholten ärztlichen Stellungnahmen abgegeben habe, rechtfertigten den Schluss, dass keine unfallbedingte psychische Einschränkung mehr bestehe.
B. I._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug hiess diese gut, hob die Verfügung vom 20. Januar 2011 und den Einspracheentscheid vom 1. Juli 2011 auf, stellte fest, dass ab 1. März 2006 weiterhin Anspruch auf eine volle Rente bestehe, und verpflichtete die AXA, dem Versicherten die entsprechenden Rentenbeträge samt Verzugszins nachzuzahlen, soweit die Leistungen nicht bereits im Laufe dieses Revisionsverfahrens erbracht worden seien (Entscheid vom 25. Juli 2012).
C. Die AXA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides, soweit auf Zusprechung von Leistungen, Verzugszins und Parteientschädigung lautend, sei die am 20. Januar 2011 verfügte und mit Einspracheentscheid vom 1. Juli 2011 bestätigte Einstellung der UVG-Rente per 28. Februar 2006 samt Verzugszins zu bestätigen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
I._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 12. November 2012 lässt sich die AXA nochmals vernehmen.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, wie bereits im Verfahren 8C_397/2009, ob der Unfallversicherer die ab 1. Dezember 2002 ausgerichtete UVG-Invalidenrente zu Recht in Anwendung der Rentenrevisionsregelung des Art. 17 Abs. 1 ATSG eingestellt hat.
Gemäss dieser Gesetzesbestimmung wird die Rente bei einer erheblichen Änderung des Invaliditätsgrades einer Rentenbezügerin oder eines Rentenbezügers von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben.
Als gegebenenfalls revisionsbegründende Änderung steht eine seit dem rentenzusprechenden Einspracheentscheid vom 11. März 2004 eingetretene wesentliche Besserung des unfallbedingt beeinträchtigten Gesundheitszustandes und damit einhergehend der Arbeitsfähigkeit zur Diskussion. Ob eine solche Änderung eingetreten ist, beurteilt sich nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (SVR 2009 IV Nr. 57 S. 177, 9C_149/2009 E. 3.2.1 f.).
3. Der Rentenzusprechung lag in medizinischer Hinsicht namentlich das Gutachten der Frau Dr. med. Z._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 8. Mai 2002 zugrunde. Darin wurde gestützt auf die Diagnosen einer posttraumatischen Belastungsstörung, eines organischen Psychosyndroms nach Schädelhirntrauma, eines chronischen zervikalen Syndroms (Schleudertrauma), einer depressiven Episode mit somatischem Syndrom und einer leichten kognitiven Störung, eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigt.
Streitig ist, ob diesbezüglich eine wesentliche Änderung eingetreten ist.
3.1 Das Bundesgericht hat hiezu im Urteil 8C_397/2009 erwogen, entgegen der Auffassung der AXA gestatteten die Observationsergebnisse und deren damals vorgelegene Beurteilung durch beratende Ärzte des Versicherers alleine den verlässlichen Schluss auf eine solche Änderung nicht. Die Observationsergebnisse würfen aber Fragen auf, welche sich aufgrund der vorhandenen medizinischen Akten nicht beantworten liessen. Das gelte namentlich auch, weil die Observationsergebnisse den Ärzten, welche seit der Rentenzusprechung Bericht erstattet hätten, offensichtlich nicht bekannt gewesen seien. Es bestehe daher entgegen der Auffassung der Vorinstanz Anlass zu weiteren medizinischen Abklärungen. Dafür biete sich an, die Videoaufnahmen der Hausärztin, der Psychiaterin Z._ und Ärzten der Psychiatrischen Klinik, in welcher der Versicherte zweimal hospitalisiert gewesen sei, zu unterbreiten mit der Frage, ob sich die gezeigten Verhaltensweisen mit einem Fortbestehen der Diagnosen, welche der Rentenzusprechung zugrunde gelegen seien, und mit einer deswegen weiterhin gegebenen vollen Arbeitsunfähigkeit vereinbaren liessen. Ergäben sich aus den Antworten der Ärzte Zweifel daran resp. Anhaltspunkte dafür, dass es seit der Rentenzusprechung zu einer Änderung bei Gesundheitszustand und Arbeitsunfähigkeit gekommen sei, rechtfertige sich, ein fachärztliches, insbesondere psychiatrisches, gegebenenfalls polydisziplinäres Gutachten einzuholen. Der Versicherte werde auf seine Mitwirkungspflicht hinzuweisen sein. Bei deren Verletzung sei das gesetzlich vorgeschriebene Verfahren durchzuführen. Dann sei über die Frage der Rentenrevision neu zu befinden.
3.2 Die AXA hat in Nachachtung des bundesgerichtlichen Urteils Stellungnahmen der Psychiatrischen Klinik, der Frau Dr. med. Z._ und der Hausärztin Frau Dr. med. P._ zu den Observationsergebnissen eingeholt. Die vom Unfallversicherer in der Folge beabsichtigte psychiatrische/neuropsychologische Begutachtung kam nicht zustande, da der Versicherte sich ihr nicht unterzog. Hierauf nahm Dr. med. C._ als beratender Arzt der AXA Stellung.
In der Stellungnahme der Psychiatrischen Klinik vom 2. Februar 2010 wird lediglich festgehalten, aus medizinischer Sicht sei man nicht in der Lage, juristische Urteile - hier des Bundesgerichts - zu kommentieren. Darüber hinaus sei die Klinik als Behandlerin des Versicherten involviert, weshalb sich eine gutachterliche Stellungnahme von ihrer Seite nicht empfehle. Es werde auf die früheren Berichte der Klinik verwiesen.
Frau Dr. med. Z._ bejaht in ihrer Stellungnahme vom 3. Februar 2010 die Frage, ob sich aufgrund der medizinischen Akten und der Videoaufnahmen eine volle Arbeitsunfähigkeit weiterhin rechtfertigen lasse. Der Verlauf sei wellenförmig trotz adäquater und radikaler Therapie. Dabei habe der Versicherte in den letzten Jahren vier rezidivierende schwere depressive Episoden erlitten. Die Videoaufnahmen könnten in diesem Fall nicht massgeblich sein. Die Psychiaterin bejaht auch die Frage, ob die bestehenden psychischen Beschwerden mit überwiegender Wahrscheinlichkeit auf den Unfall von 1997 zurückzuführen seien. Die weitere Frage, ob eine erneute psychiatrische Begutachtung indiziert sei, verneint Frau Dr. med. Z._. Sie erachte eine zusätzliche Begutachtung aufgrund der seit 2006 stattgefundenen insgesamt nun vier Hospitalisationen in der Psychiatrischen Klinik als überflüssig.
Die Hausärztin beantwortet in der Stellungnahme vom 22. Februar 2010 die soeben erwähnten Fragen gleich wie Frau Dr. med. Z._. Sie geht sodann von einer progredienten Verschlechterung des psychischen Gesundheitszustandes aus.
Dr. med. C._ äussert sich in der Stellungnahme vom 21. Dezember 2010 dahin gehend, es sei keine unfallkausale psychische Erkrankung belegt. Nach dem Unfall habe sich eine Besserung bis 2005/2006 ergeben. Danach sei eine Verschlechterung eingetreten, deren Unfallkausalität nicht bewiesen und nicht wahrscheinlich sei. Die heutigen Beschwerden bestünden hauptsächlich in einer Depression.
3.3 Das kantonale Gericht hat erwogen, unter Berücksichtigung dieser ärztlichen Stellungnahmen habe kein Anlass für eine weitere Begutachtung vorgelegen.
3.3.1 Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Sowohl Frau Dr. med. Z._ als auch die Hausärztin vertreten wie dargelegt die Auffassung, die Observationsergebnisse änderten nichts an der Bestätigung einer vollen Arbeitsunfähigkeit. Dabei nimmt Frau Dr. med. Z._ immerhin auch als vom Unfallversicherer beauftragte Gutachterin Stellung, was ihren Aussagen besonderes Gewicht verleiht. Weniger deutlich äussert sich die Psychiatrische Klinik. Immerhin wurde aber in den vorangegangenen Berichten, auf welche die Klinik verweist, zuletzt am 29. Januar 2010, jeweils eine volle Arbeitsunfähigkeit aus psychischen Gründen bestätigt. Das spricht dafür, dass auch die Klinikärzte nicht von einer wesentlichen Verbesserung ausgehen. Soweit im bundesgerichtlichen Urteil 8C_397/2009 aufgrund der Observationsergebnisse noch Zweifel bestanden, wurden diese mit diesen ergänzenden ärztlichen Auskünften der behandelnden und begutachtenden Ärzte ausgeräumt und konnte eine erhebliche gesundheitliche Besserung verneint werden. Eine weitere psychiatrische Begutachtung war demnach nicht angezeigt. Wenn die AXA ergänzende Abklärungen hätte vornehmen wollen, hätte sich im Übrigen eher angeboten, die Psychiatrische Klinik zu einer klareren Stellungnahme aufzufordern. Dazu sah sich der Unfallversicherer indessen nicht veranlasst.
3.3.2 Abgesehen davon rechtfertigte auch die grundsätzliche Begründetheit der Begutachtungsanordnung kein anderes Ergebnis. Die AXA postuliert für diesen Fall, dass wegen zu Unrecht verweigerter Mitwirkung des Versicherten im Sinne von Art. 43 Abs. 2 und 3 ATSG aufgrund der Akten zu entscheiden sei. Die Akten gestatten nun aber, wie sich aus den vorstehenden Äusserungen ergibt, nicht den Schluss auf eine überwiegend wahrscheinliche Besserung des unfallbedingt beeinträchtigten psychischen Gesundheitszustandes und seiner Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit. Es ergibt sich daraus vielmehr, dass weiterhin eine volle Arbeitsunfähigkeit besteht. Das heisst, auch wenn sich der Versicherte einer grundsätzlich begründeten Begutachtungsanordnung widersetzt hätte und deswegen aufgrund der Akten zu befinden wäre, bliebe es beim fehlenden Nachweis einer wesentlichen gesundheitlichen Besserung.
3.3.3 Die im Nachgang eingeholte Stellungnahme des beratenden Psychiaters vom 21. Dezember 2010 führt zu keiner anderen Betrachtungsweise, zumal der beratende Psychiater der AXA sich lediglich aufgrund der Akten äussert, ohne den Versicherten selbst untersucht zu haben. Zudem begründet Dr. med. C._ nur sehr kurz und ohne überzeugende Auseinandersetzung mit den medizinischen Vorberichten, weshalb er zu seinen Schlussfolgerungen gelangt ist.
3.4 Nach dem Gesagten ist eine erhebliche Besserung des unfallbedingt psychisch beeinträchtigten Gesundheitszustandes nicht überwiegend wahrscheinlich. Ein anderer Revisionsgrund steht nicht zur Diskussion. Die Vorinstanz hat demnach zu Recht entschieden, dass die Voraussetzungen für die vom Unfallversicherer verfügte Rentenrevision nicht erfüllt sind.
4. Das kantonale Gericht hat weiter erkannt, die AXA habe die noch ausstehenden Rentenbeträge nachzuzahlen und auf den ausstehenden Betreffnissen in Anwendung von Art. 26 Abs. 2 ATSG in Verbindung mit Art. 7 Abs. 1 und 2 ATSV Verzugszins zu zahlen.
Die AXA äussert sich nicht zu diesen Erwägungen. Diese geben keinen Anlass zu Weiterungen. Der vorinstanzliche Entscheid ist demnach auch diesbezüglich rechtens, was zur Abweisung der Beschwerde führt.
5. Das Gesuch betreffend aufschiebende Wirkung ist mit dem vorliegenden Urteil gegenstandslos.
6. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Dezember 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz