Sachverhalt:
A. A.a B._ (geboren 1973) ist portugiesischer Staatsangehöriger mit Niederlassungsbewilligung in der Schweiz. Er war seit 1. August 2000 bis 31. März 2004 im Reinigungsdienst angestellt. Am 24. April 2003 erlitt er einen Motorradunfall. Das Spital X._, wo er vom 24. April bis 19. Mai 2003 hospitalisiert war und operiert wurde, diagnostizierte am 19. Mai 2003 einen Status nach 2° offener Unterschenkelfraktur beidseits. Am 22. März 2004 stellte der Versicherte das Gesuch um Ausrichtung von Leistungen der Invalidenversicherung. Am 13. Januar 2005 gab die AXA Winterthur (nachfolgend AXA) als Unfallversicherer die Erstellung eines Gutachtens bei Dr. med. H._, Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates FMH, in Auftrag, das dieser am 20. April 2005 abgeliefert hat. Er empfahl die Entfernung der Marknägel sowie eine intensive Physiotherapie. Nachdem am 26. September 2005 im Spital Y._ die operative Metallentfernung an den Unterschenkeln beidseits und an der Fibula rechts erfolgt war, holte die IV-Stelle Basel-Stadt einen Verlaufsbericht bei der Orthopädie-Traumatologie des Spitales Y._ ein. Dr. med. S._, Assistenzärztin, attestierte darin am 14. Dezember 2005 dem Versicherten sowohl in der angestammten wie auch in einer angepassten Tätigkeit volle Arbeitsfähigkeit, soweit diese nicht kniend ausgeübt werden müsse. Die IV-Stelle veranlasste bei der Eingliederungsstätte A._ eine von Januar bis Juni 2006 dauernde berufliche Massnahme, worüber diese am 17. August 2006 Bericht erstattete. Am 27. Juni 2006 wurde der Versicherte im Spital Y._ operiert (Nervenbefreiung medialer und lateraler distaler Unterschenkel rechts). Am 6. Oktober 2006 erlitt er einen weiteren Motorradunfall, der gemäss Angaben des Rechtsvertreters des Versicherten keine bleibenden Nachteile zur Folge hatte. Am 12. März 2007 lieferte Dr. med. H._ ein zweites von der AXA angefordertes Gutachten ab. Die IV-Stelle liess B._ bei Dr. med. W._, Spezialarzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, überdies noch psychiatrisch begutachten. Dieses Gutachten wurde am 28. Oktober 2007 vorgelegt. Im Rahmen der Stellungnahme zu dem am 10. Juni 2008 ergangenen Vorbescheid reichte B._ am 15. August 2008 ein von ihm eingeholtes Privatgutachten des Dr. med. E._, Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates FMH, vom 27. November 2007, sowie eine von diesem am 16. April 2008 verfasste Stellungnahme zum Einspracheentscheid der AXA vom 2. April 2008 ein. Mit Verfügungen vom 8. Oktober 2008 sprach die IV-Stelle B._ ab 1. April 2004 eine ganze Invalidenrente, ab 1. April 2005 eine halbe Invalidenrente, ab 1. Dezember 2005 eine Viertelsrente, ab 1. September 2006 eine ganze Invalidenrente, ab 1. Oktober 2006 eine halbe Invalidenrente sowie ab 1. Januar 2007 eine Viertelsrente zu.
A.b Mit Verfügung vom 17. Juli 2007 stellte die AXA als Unfallversicherer die Pflegeleistungen und Kostenvergütungen per 30. April 2007 ein. Ausgenommen davon waren Schmerzmittel und die für die Verordnung derselben nötigen Arztkonsultationen, maximal zwei bis drei Mal pro Jahr. Gleichzeitig stellte sie die Taggeldleistungen per 30. April 2007 ein und stellte fest, dass kein Anspruch auf eine Invalidenrente, aber Anspruch auf eine Integritätsentschädigung in der Höhe von 10 % bzw. Fr. 10'680.- bestehe. Dagegen erhob B._ am 17. August 2007 Einsprache, welche die AXA mit Entscheid vom 2. April 2008 abwies. Hiegegen reichte der Versicherte Beschwerde ein, die das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt guthiess, indem es die AXA anwies, ihm ab 1. Mai 2007 eine Invalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 10 % und eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer 30%igen Integritätseinbusse auszurichten (Entscheid vom 20. April 2009). Diese Sache ist Gegenstand des beim Bundesgericht hängigen Verfahrens 8C_490/2009.
B. B._ hat die Verfügungen der IV-Stelle Basel-Stadt vom 8. Oktober 2008 mit Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt angefochten. Dieses hat sie teilweise gutgeheissen und ihm vom 1. April 2005 bis 31. Dezember 2005 eine halbe Invalidenrente und vom 1. Juni 2006 bis 30. September 2006 eine ganze Invalidenrente zugesprochen und im Übrigen die Beschwerde abgewiesen (Entscheid vom 20. April 2009).
C. B._ erhebt am 2. Juni 2009 Beschwerde mit dem Antrag, in teilweiser Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die IV-Stelle anzuweisen, ihm ab 1. April 2005 eine ganze Invalidenrente, basierend auf einem mindestens 70%igen Invaliditätsgrad, auszurichten. Mit Eingabe vom 3. September 2009 reicht er neue Arztberichte ein.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dies ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen (nicht. publ. E. 1 des Urteils BGE 8C_763/2008 vom 19. Juni 2009).
2. Der Beschwerdeführer ist portugiesischer Staatsangehöriger. Ungeachtet des am 1. Juni 2002 in Kraft getretenen Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten - darunter Portugal - andererseits über die Freizügigkeit (FZA, SR 0.142.112.681) richtet sich der Anspruch des Versicherten auf eine Invalidenrente der eidgenössischen Invalidenversicherung allein nach dem schweizerischen Recht (BGE 130 V 253 E. 2.4 S. 257, 128 V 315; Urteil 8C_814/2007 von 25. September 2008 E. 4.2).
3. Der Beschwerdeführer reicht letztinstanzlich neu Berichte der Radiologie I._ vom 11. August 2009, des Spitals Y._, Notfallstation, vom 13. August 2009 und des Spitals Z._ vom 21. August 2009. Diesbezüglich ist festzuhalten, dass neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden dürfen, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was von der beschwerdeführenden Partei näher darzulegen ist (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 135 V 194 E. 2 f. S. 196 ff.; Urteil 8C_826/2008 vom 2. April 2009 E. 3). Dies wird vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht, weshalb diese neuen Beweismittel unzulässig sind (vgl. auch Urteil 8C_514/2008 vom 31. März 2009 E. 3).
4. 4.1 Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen über die Invaliditätsbemessung bei erwerbstätigen Versicherten nach der Einkommensvergleichsmethode (Art. 16 ATSG, Art. 28 Abs. 2 IVG in der bis Ende 2007 gültig gewesen Fassung und Art. 28a Abs. 1 IVG in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung; 130 V 343 E. 3.4 S. 348 f. mit Hinweisen), die Voraussetzungen und den Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 IVG), die Ermittlung des ohne Invalidität erzielbaren Einkommens (Valideneinkommen; BGE 129 V 222 E. 4.3.1 S. 224) sowie die Bestimmung des trotz Gesundheitsschädigung zumutbarerweise noch erzielbaren Einkommens (Invalideneinkommen) nach den vom Bundesamt für Statistik in der Lohnstrukturerhebung (LSE) ermittelten Tabellenlöhnen (BGE 129 V 472 E. 4.2.1 und 4.2.3 S. 475 und 481) grundsätzlich zutreffend dargelegt. Gleiches gilt betreffend die Aufgabe des Arztes bei der Invaliditätsbemessung (BGE 132 V 93 E. 4 S. 99) und den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232, 125 V 351). Darauf wird verwiesen.
Zu ergänzen ist, dass die rückwirkend ergangene Verfügung über eine befristete oder im Sinne einer Reduktion abgestufte Invalidenrente einerseits die Zusprechung der Leistung und andererseits deren Aufhebung oder Herabsetzung umfasst. Dies setzt voraus, dass Revisionsgründe (Art. 17 Abs. 1 ATSG; BGE 133 V 545) vorliegen, wobei der Zeitpunkt der Aufhebung oder Herabsetzung nach Massgabe des analog anwendbaren Art. 88a IVV festzusetzen ist (vgl. BGE 121 V 264 E. 6b/dd S. 275 mit Hinweis). Ob eine für den Rentenanspruch erhebliche Änderung des Invaliditätsgrades eingetreten und damit der für die Befristung oder Abstufung erforderliche Revisionsgrund gegeben ist, beurteilt sich in dieser Konstellation durch Vergleich des Sachverhalts im Zeitpunkt der Rentenzusprechung oder des Rentenbeginns mit demjenigen zur Zeit der Aufhebung bzw. Herabsetzung der Rente (BGE 125 V 413 E. 2d S. 418 am Ende, 368 E. 2 S. 369, 113 V 273 E. 1a S. 275, 109 V 262 E. 4a S. 265, je mit Hinweisen). In anfechtungs- und streitgegenständlicher Hinsicht ist es irrelevant, ob eine rückwirkende Zusprechung einer abgestuften und/oder befristeten Invalidenrente in einer oder in mehreren Verfügungen gleichen Datums eröffnet wird. Es gelten die Grundsätze gemäss BGE 125 V 413 (BGE 131 V 164 E. 2.3.4 S. 166; Urteil 8C_780/2007 vom 27. August 2008 E. 2.3).
4.2 Tatsächlicher Natur sind die Feststellungen zur Arbeits(un)fähigkeit, die das kantonale Gericht gestützt auf medizinische Untersuchungen trifft. Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.). Die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 43 Abs. 1 bzw. Art. 61 lit. c ATSG sowie der bundesrechtlichen Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232, 125 V 351 E. 3 S. 352 ff.) ist Rechtsfrage. Die konkrete Beweiswürdigung betrifft Tatfragen (Urteile 8C_511/2009 vom 20. August 2009 E. 3.1, und 8C_736/2008 vom 4. Juni 2009 E. 3).
5. 5.1 Vom Beschwerdeführer werden sowohl somatische wie auch psychische Beeinträchtigungen geltend gemacht. Umstritten ist dabei ausschliesslich die Beeinträchtigung im somatischen Bereich. Dafür liegen, nebst diversen Berichten der behandelnden Ärzte, zwei vom Unfallversicherer veranlasste Gutachten des Dr. med. H._ sowie ein Privatgutachten und eine Stellungnahme des Dr. med. E._ im Recht. Zudem besteht eine Aktenbeurteilung des Dr. med. U._, FMH Facharzt für Chirurgie, beratender Arzt der AXA.
5.2 Der Beschwerdeführer weist darauf hin, das Gutachten H._ sei vom Unfallversicherer bezahlt worden. Es ist indessen nicht ersichtlich, warum dies gegen dessen Beweiswert sprechen sollte. Den Unfallversicherer trifft eine Abklärungspflicht (Art. 43 ATSG) und er hat daher für die entsprechenden Folgekosten aufzukommen. Die Bezahlung des Gutachters durch den Unfallversicherer stellt daher den Normalfall dar. Auch bei einer ausgedehnten Gutachtertätigkeit für die Sozialversicherungsträger besteht kein Befangenheitsgrund (SVR 2009 UV Nr. 32 S. 111 E. 6.2 [8C_509/2008]). Bei Erstellung der Gutachten des Dr. med. H._ wurden schliesslich die Parteirechte des Beschwerdeführers gewahrt. Damit kommt diesem in formeller Hinsicht voller Beweiswert zu.
5.3 Die Beschwerdegegnerin zog in somatischer Hinsicht die beiden von der AXA eingeholten Gutachten des Dr. med. H._ bei. Währenddem im Gutachten vom 29. April 2005 noch weitere Behandlungen vorgeschlagen wurden, war dies in demjenigen vom 12. März 2007 nicht mehr der Fall. Dadurch wird belegt, dass Dr. med. H._ eine differenzierte Beurteilung des Gesundheitszustandes des Beschwerdeführers vornahm. Warum dieser Umstand, der als Indiz für eine sorgfältige Begutachtung spricht, vom Beschwerdeführer gerügt wird, ist nicht nachvollziehbar. Vielmehr wird durch die differenzierten Aussagen des Dr. med. H._ belegt, dass er in seinem späteren Gutachten nicht einfach bereits früher Ausgeführtes wiederholte, sondern aufgrund der neuen Untersuchungsbefunde zu aktuelleren, schlüssigen Erkenntnissen gelangte. Das Gutachten vom 12. März 2007 wie auch jenes vom 29. April 2005 erfüllen daher die von Lehre und Rechtsprechung verlangten Kriterien (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232 mit Hinweis; KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl., N. 32 zu Art. 44 ATSG). Es bestehen somit keine Indizien, die gegen die Aussagekraft des Gutachtens des Dr. med. H._ vom 12. März 2007 sprechen. Dieser ging davon aus, in der bisherigen Arbeit als Reinigungsangestellter sei der Versicherte geschätzt zu 50 % arbeitsfähig. Er sollte fähig sein, in leichter bis mittelschwerer Arbeit ganztags vollschichtig zu arbeiten. Dabei sollten längere kniende Tätigkeiten oder Tätigkeiten in tiefer Hocke vermieden werden. Er dürfe keine Schuhe tragen, die über dem oberen Sprunggelenk (OSG) rechts zu einer Kompression führten. Es solle mit stufenweiser Arbeitsfähigkeit begonnen werden: Beginn mit 50 % ab Oktober 2006 sowie Steigerung nach drei Monaten auf 75 % und nach weiteren ein bis zwei Monaten auf 100 %.
5.4 Der Beschwerdeführer veranlasste ein Privatgutachten des Dr. med. E._ vom 27. November 2007; dieser ging von 50%iger Arbeitsfähigkeit des Versicherten in leidensangepasster Tätigkeit aus. Dieses Gutachten wurde jedoch nicht in Kenntnis des Gutachtens des Dr. med. H._ erstellt. Es ist nicht erkennbar, auf welchen Berichten die Privatbegutachtung E._ basiert, was - wie auch vom Regionalärztlichen Dienst (RAD) am 1. September 2008 zu Recht festgestellt wurde - gegen dessen Aussagekraft spricht (vgl. dazu BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232; auch KIESER, a.a.O., N. 32 zu Art. 44 ATSG, 2. Alinea). Dr. med. E._ vertrat in seiner Stellungnahme vom 16. April 2008 die Auffassung, die Unkenntnis eines wesentlichen Teils der Vorakten stärke seine Unabhängigkeit. Dem kann nicht gefolgt werden. Für den Beweiswert eines Gutachtens ist es grundlegend, sich mit den bestehenden Akten auseinanderzusetzen, da nur ein solches Vorgehen erlaubt, Entwicklungen zu erkennen. Bei einem blossen Abstellen auf die momentanen Untersuchungsbefunde, die, wie Dr. med. E._ selber konzediert, gewertet werden müssen, besteht die Gefahr, dass einseitig auf die Beschwerdeschilderungen des Exploranden abgestellt wird.
Dr. med. E._ führte im Gutachten vom 27. November 2007 aus, wenn die Sensibilitätsstörungen des Versicherten im Unterschenkel nach einer Stunde sitzen aufträten, nähmen sie durch nachfolgende Belastungen allmählich wieder ab. Weshalb jedoch nach einer Stunde sitzender Tätigkeit eine lange Pause folgen müsse und der gleiche Effekt nicht durch eine wechselbelastende Tätigkeit (sitzend, stehend, gehend) erzielt werden könne, begründet Dr. med. E._ weder im Gutachten vom 27. November 2007 noch in der Stellungnahme vom 16. April 2008. Auch in diesem Lichte überzeugt seine Einschätzung nicht, wie die Vorinstanz richtig erkannt hat.
5.5 Der Gutachter Dr. med. H._ stellte am 12. März 2007 - im Gegensatz zur ersten Begutachtung vom 20. April 2005 - eine deutliche Aggravationstendenz fest. Eine Aggravation bzw. Verdeutlichungstendenz bestätigte ebenfalls der Psychiater Dr. med. W._ im Gutachten vom 28. Oktober 2007.
Im Rahmen der ab 30. Januar 2006 erfolgten beruflichen IV-Massnahmen bei der Eingliederungsstätte A._ (Bericht vom 17. August 2006) zeigte der Beschwerdeführer für Arbeiten in der Logistik kaum Interesse. Auch fielen seine zahlreichen Absenzen auf, bei welchen gerade auch in Anbetracht ihrer Häufigkeit geschlossen werden muss, dass er gar nicht willens war, seine tatsächlich gegebene Arbeitskraft einzusetzen.
In diesem Lichte sind die Angaben des Dr. med. E._, der die Hinweise auf eine Aggravation im Privatgutachten vom 27. November 2007 nicht thematisierte und in der Stellungnahme vom 16. April 2008 sogar negierte, unvollständig und daher kaum aussagekräftig.
5.6 Nach dem Gesagten sind das Privatgutachten und die Stellungnahme des Dr. med. E._ vom 27. November 2007 bzw. 16. April 2008 nicht geeignet, die Erkenntnisse und Schlussfolgerungen in den Gutachten des Dr. med. H._ vom 20. April 2005 und vom 12. März 2007 in Zweifel zu ziehen. Bei der durch Dr. med. U._, Facharzt für Chirurgie FMH, vorgenommenen Beurteilung handelte es sich nicht um ein Gutachten, sondern um eine Wertung der Akten, die er ohne eigene Untersuchung des Versicherten vornahm.
6. Demnach ist bezüglich der somatischen gesundheitlichen Beeinträchtigungen auf die Gutachten des Dr. med. H._ vom 20. April 2005 und 12. März 2007 abzustellen (E. 5.3 hievor). Hinsichtlich der psychischen Leiden liegt das zwischen den Parteien unbestrittene Gutachten des Psychiaters Dr. med. W._ vom 28. Oktober 2007 vor, der auf eine gesamte Arbeitsunfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit von 40 % schliesst. Aufgrund dieser Gutachten erweist sich die von der Vorinstanz angenommene Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit von April 2003 bis April 2005 von 0 %, von April bis Dezember 2005 von 50 %, von Januar bis Juni (recte Mai) 2006 von 60 %, von Juni bis Oktober (recte September) 2006 von 0 %, von Oktober 2006 bis Dezember 2006 von 50 % und ab Januar 2007 von 60 % als zutreffend. In diesem Rahmen werden diese Abstufungen wie auch die Berücksichtigung der Bestimmung von Art. 88a IVV vom Beschwerdeführer nicht in Zweifel gezogen. Es rechtfertigt sich auch, diese sowohl bei einer Verbesserung als auch bei einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes ab Eintreten der Veränderung zu berücksichtigen, da angenommen werden kann, diese werde längere Zeit dauern (Art. 88a Abs. 1 Satz 1 IVV); daher gelangt die Frist von drei Monaten gemäss Art. 88a Abs. 1 Satz 2 IVV nicht zur Anwendung.
7. Der von der Vorinstanz einlässlich durchgeführte Einkommensvergleich (zu den entsprechenden Grundsätzen vgl. E. 4 hievor und BGE 132 V 393 E. 3.3. S. 399) wird vom Versicherten nicht in Frage gestellt, weshalb es diesbezüglich sein Bewenden hat.
8. Aufgrund des Verfahrensausgangs hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen. Eine Parteientschädigung ist ihm dementsprechend nicht auszurichten (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Die IV-Stelle hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung, weil sie als eine mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt (Art. 68 Abs. 3 BGG; SVR 2009 UV Nr. 11 S. 45 E. 11 [8C_606/2007]; Urteil 8C_671/2007 vom 13. Juni 2008 E. 4.1).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, der Basler Lebens-Versicherungs-Gesellschaft und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Oktober 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar