Sachverhalt:
A. In der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zürich 6 gegen X._ ersuchte die Stadtgemeinde A._ mit Eingabe vom 29. Juni 2011 den Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirksgerichts Zürich um definitive Rechtsöffnung.
B. Mit Schreiben vom 4. Juli 2011 lud das Bezirksgericht Zürich, Einzelgericht Audienz, X._ zwecks mündlicher Stellungnahme zum Rechtsöffnungsgesuch auf den 9. August 2011 zu einer Verhandlung vor. Am 29. Juli 2011 überbrachte X._ dem Bezirksgericht ein Gesuch um Verschiebung des Termins vom 9. August 2011. Das Bezirksgericht wies dieses Gesuch gleichentags ab. Dagegen erhob X._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich (Eingabe vom 15. September 2011).
C. In Abwesenheit von X._ erteilte das Bezirksgericht der Stadtgemeinde Zürich in der Betreibung ... des Betreibungsamts Zürich 6 für Fr. 7'150.-- nebst Zins zu 5 % seit 27. August 2010 die definitive Rechtsöffnung; X._s Armenrechtsgesuch wies es ab (Verfügung und Urteil vom 9. August 2011). X._ nahm diese Entscheide am 19. September 2011 in Empfang und erhob dagegen mit Eingabe vom 29. September 2011 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich.
D. Das Obergericht trat auf die Beschwerde vom 15. September 2011 (Bst. B) nicht ein und wies diejenige vom 29. September 2011 (Bst. C) ab; desgleichen X._s Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren (Urteil vom 17. November 2011).
E. Mit Eingabe vom 1. Februar 2012 wendet sich X._ ("Beschwerdeführer") an das Bundesgericht. Er beantragt, die Vorladung des Bezirksgerichts Zürich vom 4. Juli 2011 "abzunehmen, die Fristen wiederherzustellen und zur Hauptverhandlung neu vorzuladen". Die Verfügung des Bezirksgerichts vom 29. Juli 2011 und dessen Entscheide vom 9. August 2011 seien "ex tunc nichtig zu erklären" und aufzuheben; ebenso das Urteil des Obergerichts vom 17. November 2011. Weiter ersucht der Beschwerdeführer darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Schliesslich stellt er das Begehren, eine öffentliche Hauptverhandlung durchzuführen und "die Namen der untersuchenden, beratenden, beurteilenden & verkündenden Personen selbstverständlich bekannt zu geben".
Den zuletzt wiedergegebenen Antrag wies das Bundesgericht mit Mitteilung vom 6. Februar 2012 ab. Indes erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde mit Verfügung vom 24. Februar 2012 die aufschiebende Wirkung zu.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, in der Sache jedoch keine Vernehmlassung eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1 S. 216; 134 III 115 E. 1 S. 117, je mit Hinweisen).
1.2 Die rechtzeitig eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer vermögensrechtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 Abs. 1 und Art. 100 BGG). Weil deren Streitwert den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) nicht erreicht und der Beschwerdeführer auch nicht behauptet, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 BGG; vgl. Urteil 5A_40/2009 vom 14. Mai 2009 E. 1.3.4). Dieses Rechtsmittel ist grundsätzlich zulässig, soweit das Obergericht im angefochtenen Entscheid die kantonale Beschwerde gegen das Urteil und die Verfügung des Bezirksgerichts vom 9. August 2011 abgewiesen und damit einen Endentscheid im Sinne von Art. 117 i.V.m. 90 BGG gefällt hat.
1.3 Das Obergericht hat auch die Beschwerde gegen die Verfügung vom 29. Juli 2011 (s. Sachverhalt Bst. B) beurteilt, mit der das Bezirksgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um Verschiebung der auf den 9. August 2011 anberaumten Rechtsöffnungsverhandlung abgelehnt hatte. Nachdem die Verhandlung am 9. August 2011 aber stattgefunden und das Bezirksgericht der Stadtgemeinde A._ ("Beschwerdegegnerin") die Rechtsöffnung gleichentags erteilt hat, kommt dem Streit um die Verschiebung der Verhandlung allein keine selbständige Bedeutung mehr zu; die in diesem Zusammenhang erhobenen Vorwürfe prüft das Bundesgericht im Rahmen der Beurteilung der Beschwerde gegen den Endentscheid (E. 1.2).
1.4 Soweit der Beschwerdeführer beantragt, die erstinstanzlichen Entscheide des Bezirksgerichts aufzuheben bzw. nichtig zu erklären, ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten, denn vor Bundesgericht ist nur der Entscheid der letzten kantonalen Instanz anfechtbar (Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.5 Der Beschwerdeführer verlangt, es sei ein Verfahren gemäss Art. 6 Ziff. 1-3 i.Vm. Art. 13 EMRK "[mit] dem gesetzlich zuständigen Richter gemäss Art. 265a SchKG mit öffentlicher Hauptverhandlung unverzüglich durchzuführen". Was er damit genau meint, bleibt unklar. Soweit er die Durchführung einer mündlichen Parteiverhandlung vor Bundesgericht (Art. 57 BGG) verlangt, begründet er seinen Antrag nicht näher, so dass darauf nicht eingetreten werden könnte. Bezieht sich das Begehren hingegen auf die neue Hauptverhandlung, die gemäss Ziffer 1 seiner Anträge anberaumt werden soll, so käme dem Antrag keine eigenständige Bedeutung zu.
1.6 Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Dabei gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass die rechtssuchende Partei die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte in ihrem Schriftsatz vorbringt und präzise begründen muss (BGE 135 III 397 E. 1.4 S. 400 f.; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Hierzu ist anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids genau anzugeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darzulegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 133 II 396 E. 3 S. 399 f.; 133 III 393 E. 6 S. 397; 134 II 244 E. 2.2 S. 246). In jedem Fall ist es an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Von diesen Sachverhaltsfeststellungen kann das Bundesgericht nur abweichen, wenn sie unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kamen (Art. 118 Abs. 2 i.V.m. Art. 116 BGG), was der Beschwerdeführer wiederum präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 445).
2. Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, die "Terminierung einer betreibungsrechtlichen Verhandlung auf den 09.08.2011 während der Betreibungsferien [sei] bereits gesetzeswidrig erfolgt" und erfülle den "Tatbestand der unrichtigen Rechtsanwendung". Darauf ist schon deshalb nicht einzutreten, weil der Beschwerdeführer nicht behauptet, dass er deswegen in seinen verfassungsmässigen Rechten verletzt wäre. Und selbst wenn sein Vorbringen als Rüge der willkürlichen Anwendung der zitierten Vorschrift zu deuten wären, könnte das Bundesgericht mangels materieller Erschöpfung des Instanzenzuges nicht darauf eintreten, denn der Beschwerdeführer hat diesen Vorwurf vor der Vorinstanz nicht erhoben. Untersteht ein Vorbringen im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren - wie hier (E. 1.6) - dem Rügeprinzip, so ergibt sich aus dem Erfordernis der Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheides (Art. 75 Abs. 1 BGG), dass die rechtssuchende Partei die ihr bekannten rechtserheblichen Einwände der Vorinstanz nicht vorenthalten darf, um sie erst nach dem Ergehen eines ungünstigen Entscheides im anschliessenden Rechtsmittelverfahren zu erheben (BGE 133 III 638 E. 2 S. 640 mit Hinweisen). Der Rechtssuchende muss sich in der Beschwerde an das Bundesgericht mit den Erwägungen der letzten kantonalen Instanz zu einer Rüge auseinandersetzen, die er bereits vor dieser letzten kantonalen Instanz erhoben hat und die er nunmehr auch dem Bundesgericht zur Beurteilung unterbreitet (s. Urteil 5A_458/2010 vom 9. September 2010 E. 3.2).
3. Weiter wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht vor, es schütze die Verfügung vom 29. Juli 2011, mit der das Bezirksgericht seinen Antrag um Verschiebung abgewiesen hatte. Er stellt sich auf den Standpunkt, diese Verfügung vom 29. Juli 2011 sei nichtig. Die Nichtigkeit eines Entscheids ist jederzeit von sämtlichen rechtsanwendenden Behörden von Amtes wegen zu beachten (BGE 133 II 366 E. 3.1 S. 367). Im vorliegenden Fall hätte sie zur Folge, dass die Abweisung des Verschiebungsgesuchs als nicht erfolgt zu gelten hätte, die Rechtsöffnungsverhandlung demnach zu Unrecht in Abwesenheit des Beschwerdeführers durchgeführt worden wäre.
3.1 Der Beschwerdeführer erblickt den Nichtigkeitsgrund zunächst darin, dass die besagte Verfügung in Verletzung von Art. 238 lit. f ZPO, Art. 18 Abs. 2 der Verfassung des Kantons Zürich vom 27. Mai 2005 (KV/ZH), der Bundesverfassung, der EMRK und des Internationalen Paktes über bürgerliche und politische Rechte vom 16. Dezember 1966 (SR 0.103.2) keine Rechtsmittelbelehrung enthalte; darin liege eine Verletzung seines Anspruchs "auf formelles und materielles Gehör".
Nach der Rechtsprechung ist eine Eröffnung ohne Rechtsmittelbelehrung nicht schlechthin nichtig. Aus dem Grundsatz, dass einer Partei aus einer mangelhaften Eröffnung keine Nachteile erwachsen dürfen, folgt vielmehr, dass dem beabsichtigten Rechtsschutz auch dann Genüge getan ist, wenn eine objektiv mangelhafte Eröffnung trotz des Mangels ihren Zweck erreicht. Das bedeutet nichts anderes, als dass im konkreten Einzelfall zu prüfen ist, ob die betroffene Partei durch den gerügten Eröffnungsmangel tatsächlich irregeführt und dadurch benachteiligt worden ist. In diesem Sinne findet die Berufung auf Formmängel ihre Grenzen am Grundsatz von Treu und Glauben, der auch in diesem prozessualen Bereich gilt (BGE 106 V 93 E. 2a S. 97). Im vorliegenden Fall war der - nach den Feststellungen des Obergerichts prozesserfahrene - Beschwerdeführer offensichtlich in der Lage, gegen die Verfügung vom 29. Juli 2011 rechtzeitig und gesetzeskonform ein Rechtsmittel zu ergreifen. Es ist also nicht ersichtlich, inwiefern dem Beschwerdeführer ein Nachteil daraus erwachsen ist, dass die angefochtene Verfügung keine Rechtsmittelbelehrung enthielt. Von einer Nichtigkeit kann unter diesen Umständen keine Rede sein, ebenso wenig von einer Gehörsverletzung oder von einer Verletzung der in Art. 18 Abs. 2 KV/ZH enthaltenen Vorschrift, wonach die Parteien Anspruch auf einen begründeten Entscheid mit Rechtsmittelbelehrung haben. Denn auch auf Art. 18 Abs. 2 KV/ZH kann sich nur berufen, wem aus der Unterlassung der Rechtsmittelbelehrung ein Nachteil erwachsen ist (vgl. BGE 132 I 92 E. 1.6 S. 96). Soweit sich der Beschwerdeführer auf die Bundesverfassung, die EMRK und den Internationalen Pakt beruft, zeigt er nicht auf, welche Bestimmungen verletzt sein sollen; darauf ist nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer bemängelt die Eröffnung der Verfügung vom 29. Juli 2011 auch unter dem Gesichtspunkt von Art. 238 lit. a, c, e und h ZPO. Zu Recht macht er aber nicht geltend, dass diese weiteren Eröffnungsmängel die Nichtigkeit der Verfügung nach sich zögen. Denn es ist in keiner Weise ersichtlich, inwiefern der Beschwerdeführer durch die Verfügung vom 29. Juli 2011 irregeführt oder benachteiligt worden wäre. Soweit er sich bloss an der - seiner Meinung nach falschen - Anwendung von Art. 238 ZPO stört, tut er nicht in einer dem Rügeprinzip (E. 1.6) genügenden Weise dar, dass diese Vorschrift in verfassungswidriger, namentlich willkürlicher Weise angewendet worden wäre. Insofern ist auf diese Vorbringen nicht einzutreten.
3.2 Der Beschwerdeführer hält die Verfügung vom 29. Juli 2011 auch für nichtig im Sinne von Art. 22 SchKG. Es liege nicht im öffentlichen Interesse, wenn die Kanzleisekretärin Y._, die "ohne jegliche richterliche oder amtliche Kognitionsbefugnis den Tatbestand der Amtsanmassung" erfülle, die von ihm "unbestritten und unwiderlegt" eingereichten Beweismittel unterdrücke und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletze. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, welche Beweismittel im Einzelnen unterdrückt worden sein sollen. Ebenso wenig ist mit solch undifferenzierten Anwürfen an die Adresse der ersten Instanz eine Gehörsverletzung darzutun. Die erhobenen Vorwürfe entbehren mithin schon in tatsächlicher Hinsicht jeglicher Grundlage.
4. Schliesslich beharrt der Beschwerdeführer darauf, dass sein Gesuch vom 29. Juli 2011 um Verschiebung der Rechtsöffnungsverhandlung vom 9. August 2011 hätte gutgeheissen werden müssen.
4.1 Der Beschwerdeführer bestreitet zum einen, seine Abwesenheit am Verhandlungstermin nicht belegt zu haben. Erneut beruft er sich auf die Email vom 3. Mai 2011 betreffend seine Einschreibung für einen Kurs an der Harvard Medical School, die er seinem Verschiebungsgesuch beigelegt hatte, und auf die im Beschwerdeverfahren eingereichten Kopien von Boarding Pass-Abschnitten, die seine Flugreisen zwischen dem 29. Juli und 15. August 2011 aufzeigen. Mit der vorinstanzlichen Feststellung, dass die besagte Email keinen Aufschluss darüber gebe, ob er tatsächlich zum Kurs zugelassen wurde, setzt sich der Beschwerdeführer aber nicht auseinander. Die Boarding Pass-Abschnitte hat das Obergericht als echte Noven gestützt auf Art. 326 ZPO aus dem Recht gewiesen. Auch darauf geht der Beschwerdeführer mit keinem Wort ein. Stattdessen prangert er die Oberrichter als "absolut bösgläubig und realitätsfern" an und besteht darauf, dass "während der allgemeinen Ferienzeit nach gesundem Menschenverstand keine Flüge kurzfristig nach Wunsch zu erschwinglichen Preisen gebucht werden können"; wenn die Vorinstanz den Flugplan der Fluggesellschaft Swiss wiedergebe, garantiere dies "nach menschlichem Ermessen keinesfalls [...] die ohne Beweismittel behauptete Verfügbarkeit irgend eines freien Platzes". Weiter versucht er sich damit zu rechtfertigen, er habe bei den Anfang Mai 2011 erfolgten Buchungen über keinerlei Mitsprache verfügt und hätte sich ein kurzfristiges Flugticket gar nicht leisten können; auch hätten ihm die Vorinstanzen ausserplanmässig anfallende Kostenbeteiligungen nicht in Aussicht gestellt, obwohl die Reisedaten und seine Mittellosigkeit bekannt gewesen seien.
Diese Ausführungen erschöpfen sich in typischer appellatorischer Kritik. Der Beschwerdeführer begnügt sich damit, die Sachlage aus seiner eigenen Sicht zu schildern oder blosse Behauptungen aufzustellen, ohne ein konkretes verfassungsmässiges Recht zu bezeichnen und dessen Verletzung darzutun. Dies ist zur Begründung von Verfassungsrügen unzureichend (E. 1.6); insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4.2 Zweitens beanstandet der Beschwerdeführer, dass sein Verschiebungsgesuch mit der Begründung abgewiesen worden sei, er habe keine "zu bevollmächtigende Drittperson als Vertretung" bestimmt. Da sich eine solche Bedingung weder aus der ZPO noch aus dem "entsprechenden Kommentar" ergebe, sei diese Begründung "willkürlich, frei erfunden und rechtsmissbräuchlich". Die Bedingung verletze Art. 6 Ziff. 3 EMRK, wonach er als Beschwerdeführer das Recht habe, sich selbst zu vertreten oder durch einen Anwalt seiner Wahl vertreten zu lassen; dazu gehöre auch der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Wenn es ihm entgegen dem im Verschiebungsgesuch gestellten Antrag keinen unentgeltlichen Rechtsbeistand bestelle, solle das Gericht es selbst verantworten, dass er sich nicht habe vertreten lassen können.
Zwar trifft es zu, dass das Bezirksgericht in seiner Verfügung vom 29. Juli 2011 dem Beschwerdeführer die Verschiebung des Verhandlungstermins mit der Begründung verweigerte, er habe nicht dargetan, warum er "sich nicht durch eine bevollmächtigte Drittperson vertreten" lasse. In gleicher Weise ergibt sich aus dieser Verfügung aber auch, dass der Beschwerdeführer seine Abwesenheit am Verhandlungstermin nicht belegt hat. Diese - vom Obergericht bestätigte - Erkenntnis vermag der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht in keiner Weise zu erschüttern (E. 4.1). Fehlt es aber am Nachweis der Abwesenheit, so durfte das Bezirksgericht das Verschiebungsgesuch schon aus diesem Grund abweisen. Unter diesen Voraussetzungen kann offenbleiben, ob es sich mit Art. 6 Ziff. 3 EMRK verträgt, wenn dem Beschwerdeführer die Verschiebung auch noch mit der weiteren Begründung verweigert wurde, er habe nicht dargetan, warum er sich nicht vertreten lasse. Immerhin sei erwähnt, dass der Beschwerdeführer seine Abwesenheit am anberaumten Verhandlungstermin jedenfalls nicht allein damit zu entschuldigen vermöchte, dass er um unentgeltliche Verbeiständung ersucht habe, diese aber nicht gewährt worden sei. Denn entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, folgt allein aus der Verweigerung einer verlangten Terminverschiebung keine Pflicht zur Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung.
5. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. In der Hauptsache bleibt es somit dabei, dass der Beschwerdegegnerin in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zürich 6 für Fr. 7'150.-- nebst Zins zu 5 % seit 27. August 2010 die definitive Rechtsöffnung erteilt wird (s. Sachverhalt Bst. C). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen ist. Die Gerichtskosten sind deshalb dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegnegerin ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn