Faits:
A. C._ s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 31 août 2004. Les rapports de travail qui le liaient à la société X._ SA ont pris fin le 31 mai 2004 (dernier jour de travail: 14 août 2003), tandis que sa famille est retournée dans son pays d'origine, le Portugal, pour faciliter les études universitaires des trois enfants du couple. Au cours de l'instruction de la demande de prestations tendant à l'octroi d'une rente, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a soumis l'assuré à des examens rhumatologiques et psychiatriques, avant de nier, par décision du 9 décembre 2005, le droit à une rente d'invalidité. Il a considéré que C._ disposait, malgré ses problèmes de santé, d'une capacité de travail de 80 % dans l'activité habituelle d'employé de production et une capacité de travail entière dans une activité permettant l'alternance des positions assise/debout et sans port de charge excédant quinze kilos ou dans l'activité de serveur/chef de rang qu'il avait exercée par le passé, de sorte que la capacité de gain n'atteignait pas le seuil minimal pour ouvrir le droit à la prestation requise. L'office AI a confirmé le refus de rente par décision sur opposition du 6 mars 2008, en se fondant sur une expertise psychiatrique rendue par le docteur A._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, le 27 avril 2007, selon lequel l'assuré ne présentait aucune incapacité de travail du point de vue psychiatrique.
B. Le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition dans la mesure où il était recevable (jugement du 4 mars 2009).
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, C._ conclut à l'annulation du jugement cantonal et des décisions administratives litigieuses, ainsi qu'à l'octroi d'une rente entière d'invalidité dès le 1er août 2004. Il requiert, alternativement, le renvoi du dossier à l'office AI pour qu'une nouvelle expertise psychiatrique soit ordonnée et, subsidiairement, la reconnaissance de son droit à une rente entière limitée dans le temps (du 1er août 2004 au 28 février 2007), ainsi que la mise en oeuvre de mesures d'ordre professionnel, par exemple sous la forme d'un reclassement professionnel.
L'office AI et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit:
1. En tant que les conclusions subsidiaires du recourant portent sur l'octroi de mesures d'ordre professionnel (ch. 5 de ses conclusions), elles sont irrecevables, dès lors qu'elles sortent de l'objet du litige défini par la décision litigieuse (sur la notion d'objet de la contestation, voir ATF 125 V 413; cf. également MEYER/VON ZWEHL, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, in Mélanges Pierre Moor, 2005, p. 437 ss).
2. Le litige se limite à la question de savoir si le recourant présentait une atteinte à la santé physique et/ou psychique invalidante pendant la période soumise à l'examen du juge, circonscrite par la demande de rente d'une part et la décision sur opposition d'autre part. A cet égard, la juridiction cantonale a dûment exposé les dispositions légales topiques et les principes jurisprudentiels sur le fond et en matière de preuve, si bien qu'il suffit de renvoyer à son jugement.
3. 3.1 Dans son écriture de recours, C._ reprend dans une large mesure les arguments qu'il avait déjà soulevés dans la procédure précédente et auxquels la juridiction cantonale a répondu de manière convaincante, de sorte qu'il sied sur ce point aussi de renvoyer aux considérants de l'arrêt attaqué.
En instance fédérale, le recourant s'en prend à nouveau à l'expertise du docteur A._ sur laquelle s'est fondé le Tribunal administratif neuchâtelois pour nier le droit à la rente d'invalidité, même pour une période limitée dans le temps. En fait, en réitérant sa critique relative à la partialité de l'expert, qui avait relevé l'absence de trace de tramadol dans l'urine de l'assuré alors que celui-ci avait annoncé suivre le traitement médicamenteux, le recourant perd de vue qu'il incombe justement à l'expert psychiatrique (mandaté par l'administration) de signaler d'éventuelles incohérences dans les indications et le comportement de l'expertisé (cf. ATF 131 V 49 consid. 1.2 p. 51). La jurisprudence a déjà souligné l'importance des indications de l'assuré sur une thérapie par médicaments, dont l'observance pouvait être contrôlée par une prise de sang (arrêt I 329/05 du 10 février 2006 consid. 4.2.2). Dès lors qu'il incombe à l'expert invité à se prononcer sur la situation d'un assuré présentant un état douloureux de décrire le comportement de celui-ci et de faire des observations y relatives, on ne saurait en déduire des indices de partialité (arrêt cité consid. 4.2.1). Cela vaut également dans le cas d'une personne souffrant de dépression. La constatation de l'expert, reprise par la juridiction cantonale, selon laquelle le recourant ne présentait pas un tel diagnostic (ni du reste un autre diagnostic psychique) ne peut en soi être qualifiée de manifestement inexacte ou arbitraire (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF).
3.2 Cela étant, il ressort de l'expertise en cause que s'il a nié l'existence d'une pathologie psychique chez le recourant au jour de son examen (le 26 février 2007), le docteur A._ a en revanche admis que celui-ci avait présenté une telle atteinte par le passé. Requis par l'intimé de se prononcer sur l'influence des troubles constatés sur la capacité de travail, le psychiatre a indiqué pouvoir suivre ses confrères pour dire que depuis l'année 2004 il existait un état dépressif et des symptômes dépressifs ayant une répercussion sur la capacité de travail. Il a encore précisé que l'incapacité de travail avait évolué de 100 % à 0 %, sans qu'il ne pût cependant se prononcer sur les dates exactes de cette évolution (rapport d'expertise, p. 32). A cet égard, comme le relève le recourant, les médecins du SMR ont, dans un rapport du 18 septembre 2007, admis à la suite de l'expertise du docteur A._ que l'assuré avait été incapable de travailler du 15 août 2003 au 28 septembre 2005 en raison d'un trouble dépressif; à cette date, il avait été soumis à un examen auprès du SMR (cf. rapport du 13 octobre 2005), à l'issue duquel les docteurs B._ et E._ avaient conclu à l'absence d'une pathologie psychiatrique et à une capacité de travail de 100 % dans une activité adaptée.
Aussi, la constatation de la juridiction cantonale selon laquelle aucune incapacité de travail pour des motifs psychiatriques ne pouvait être retenue pendant toute la période considérée (parce que les médecins du SMR avaient nié toute incapacité de travail pour raisons psychiatriques) apparaît manifestement inexacte, voire insoutenable, dans la mesure où elle est contraire au rapport du SMR du 18 septembre 2007 (lui-même fondé sur l'expertise du docteur A._). Il convient donc de s'en écarter et de retenir que le recourant a été incapable de travailler à 100 % du 15 août 2003 au 28 septembre 2005, dans quelque activité que ce soit. L'argument qu'il invoque pour que soit retenue une date ultérieure (le 28 février 2007) marquant la fin de la période d'incapacité de travail n'est pas pertinent. Les médecins du SMR se sont en effet prononcés sur l'absence d'un trouble psychique postérieurement au second rapport du docteur M._ et ont dûment expliqué pourquoi une telle atteinte à la santé ne pouvait pas être retenue à la date de leur examen. Quant au rapport du docteur L._, on ne saurait lui accorder une valeur probante suffisante pour les raisons évoquées à juste titre par les premiers juges.
3.3 Compte tenu de la période d'incapacité complète de travail ainsi constatée (qui correspond en l'espèce à une incapacité de gain de 100 %), le recourant a droit à une rente entière d'invalidité du 1er août 2004 au 31 décembre 2005 (art. 28 al. 1 et 29 al. 1 let. b et 2 LAI, en relation avec l'art. 88a al. 1 RAI [ATF 106 V 16]). Le recours doit être admis dans cette mesure.
4. Vu l'issue du litige, dans lequel le recourant n'obtient que partiellement gain de cause, les frais judiciaires sont répartis par moitié entre les parties (art. 66 al. 1 LTF). Le recourant a par ailleurs droit à une indemnité réduite de dépens à la charge de l'intimé (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le jugement du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel du 4 mars 2009 et la décision de l'Office AI du canton de Neuchâtel du 6 mars 2008 sont annulés. Le recourant a droit à une rente entière d'invalidité du 1er août 2004 au 31 décembre 2005. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 250 fr. à la charge du recourant et pour 250 fr. à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera au recourant la somme de 1'400 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. La cause est renvoyée au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, Cour des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 28 mai 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless