Sachverhalt:
A. A._ (geb. 1964), Titularprofessor an der Universität Y._ und bis 2009 tätig gewesen am Universitätsspital X._, will - von diesen beiden Institutionen verursacht - grossen Schaden erlitten haben, und zwar "durch die widerrechtliche Verweigerung der Herausgabe bzw. mutmasslicher Zerstörung" seiner "Forschungsdaten und -materialien".
Mit Eingabe vom 11. April 2012 reichte A._ deswegen beim Bezirksgericht Zürich gegen das Universitätsspital X._ und gegen die Universität Y._ gestützt auf § 19 Abs. 1 des kantonalen Haftungsgesetzes vom 14. September 1969 eine "Haftungsklage" ein und verlangte im Wesentlichen, dieser Schaden sei ihm zu ersetzen und es sei ihm eine angemessene Genugtuung zuzusprechen. Auf S. 55 der Klageschrift führte er aus:
"Eine vorläufige Einschätzung des Schadens, welcher mir durch das Verhindern des Zuganges und wissenschaftlicher Nutzung meiner Forschungsmaterialien und -ergebnissen entstanden ist, muss sich ungefähr in der Höhe von circa CHF 13 Mio. belaufen (....)."
Gleichzeitig verlangte A._, "es sei im Sinne einer Vorfrage die Zuständigkeit des Bezirksgerichtes Zürich in dieser Angelegenheit festzustellen; eventualiter sei das Klagebegehren an den zuständigen Friedensrichter resp. an die zuständige richterliche Behörde zu überweisen". Sodann stellte er Sistierungsanträge.
B. Mit Beschluss vom 21. Mai 2012 erwog das Bezirksgericht Zürich, A._ habe eine Klage mit einem Streitwert von Fr. 13'000'000.-- eingereicht, weshalb "in Anwendung von Art. 98 ZPO" vom Kläger einstweilen ein Kostenvorschuss von Fr. 80'000.-- zu verlangen sei.
Gegen diesen Beschluss erhob A._ mit Eingabe vom 8. Juni 2012 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich und machte im Wesentlichen geltend, die Vorinstanz hätte bei der Bemessung des Kostenvorschusses nicht "tel quel" auf die Bestimmungen der Eidgenössischen Zivilprozessordnung bzw. auf diejenigen der kantonalen Gebührenverordnung des Obergerichts - welche für öffentlich-rechtliche Verfahren gar nicht Geltung hätten - zurückgreifen dürfen. Jedenfalls sei ein "neuer und angemessener Kostenvorschuss festzulegen".
Gleichzeitig ersuchte A._ um aufschiebende Wirkung seiner Beschwerde.
C. Mit Verfügung vom 13. Juni 2012 trat das Obergericht auf das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung nicht ein und setzte A._ eine Frist von zehn Tagen, um seinerseits - nun für das von diesem angestrengte Verfahren vor Obergericht - einen Kostenvorschuss von Fr. 6'000.-- an die Obergerichtskasse zu leisten. Zur Begründung führte das Obergericht im Wesentlichen aus, der Kläger bringe keine besonderen Gründe vor, welche die Erteilung der aufschiebenden Wirkung rechtfertigen würden. In Anwendung von Art. 98 ZPO sei vom Kläger für das Beschwerdeverfahren ein Kostenvorschuss von Fr. 6'000.-- zu bezahlen.
D. Mit Eingabe vom 11. Juli 2012 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, die letztgenannte Verfügung aufzuheben. Eventuell sei das Dossier zwecks Ansetzung eines neuen und angemessenen Kostenvorschusses an das Bezirksgericht Zürich zu überweisen; subeventuell die Vorinstanz anzuweisen, einen solchen festzulegen.
Das Universitätsspital X._ beantragt, auf die Beschwerde(n) nicht einzutreten, eventuell sie abzuweisen. Die Universität Y._ stellt dieselben Anträge.
A._ hat sich mit Eingabe vom 25. September 2012 noch einmal geäussert.
E. Mit Verfügung vom 11. September 2012 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Anfechtungsobjekt ist vorliegend die - unter dem Vorbehalt von E. 1.2 - kantonal letztinstanzliche (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG) Verfügung des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. Juni 2012, worin der Beschwerdeführer verpflichtet wird, für das von ihm mit Eingabe vom 8. Juni 2012 angestrengte obergerichtliche Verfahren einen Kostenvorschuss von Fr. 6'000.-- zu bezahlen. Mit derselben Verfügung ist das Obergericht auf das Gesuch des Beschwerdeführers, seiner Beschwerde vom 8. Juni 2012 aufschiebende Wirkung zu erteilen, nicht eingetreten. Es hat diesbezüglich in Wirklichkeit zwar nicht einen Nichteintretensentscheid, sondern einen materiellen Abweisungsentscheid gefällt. Die angefochtene Verfügung regelt somit zwei Rechtsverhältnisse: Das eine betrifft die Verpflichtung zur Leistung eines Kostenvorschusses vor Obergericht, das andere die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung eines dort erhobenen Rechtsmittels.
1.2 Der Streitgegenstand wird durch den Gegenstand des angefochtenen Entscheids und durch die Parteibegehren bestimmt, wobei der angefochtene Entscheid den möglichen Streitgegenstand begrenzt (BGE 136 II 165 E. 5 S. 174; 133 11 181 E. 3.3 S. 189). Vorliegend ist dieser auf die in E. 1.1 erwähnten Punkte beschränkt; nicht dazu gehört der Kostenvorschuss von Fr. 80'000.-- für das erstinstanzliche Verfahren vor dem Bezirksgericht. Darüber wird das Obergericht erst noch zu befinden haben, weswegen insoweit noch kein kantonal letztinstanzlicher Entscheid vorliegt. Der Eventualantrag des Beschwerdeführers, wonach das Dossier zwecks "Ansetzung eines neuen und angemessenen Kostenvorschusses an das Bezirksgericht Zürich" zu überweisen sei (Rechtsbegehren Ziff. 3), erweist sich demnach von vornherein als unzulässig. Aus demselben Grunde ist auch der Subeventualantrag des Beschwerdeführers, wonach "die Vorinstanz anzuweisen (sei), einen neuen und angemessenen Kostenvorschuss festzulegen" (Rechtsbegehren Ziff. 4) nur zulässig, soweit damit der Kostenvorschuss im Verfahren vor dem Obergericht (Fr. 6'000.--) gemeint ist.
1.3 Der Beschwerdeführer hat in der Hauptsache ausdrücklich eine Forderung aus Staatshaftung geltend gemacht. Nach einhelliger Lehre und Rechtsprechung gehört die Staatshaftung dem öffentlichen Recht an. Entsprechende letztinstanzliche kantonale Entscheide sind vor Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbar (Urteil 2C_257/2011 vom 25. Oktober 2011 E. 1.1, Urteil 2C_391/2008 vom 1. September 2008 E. 1, nicht publ. in: BGE 134 I 331, Art. 30 Abs. 1 lit. c Ziff. 1 des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht [BGerR; SR 173.110.131]). Dass die Fragen der Staatshaftung - wie hier - von (kantonalen) Zivilgerichten beurteilt wird, ändert nichts (Urteil 2C_111/2011 vom 7. Juli 2011 E. 1.2). Ausgenommen ist einzig die Staatshaftung aus medizinischer Tätigkeit (Arzthaftung), die trotz ihrer öffentlich-rechtlichen Natur im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen von der I. zivilrechtlichen Abteilung behandelt wird (Art. 31 Abs. 1 lit. d BGerR; BGE 135 III 329 E. 1.1 S. 331; 133 III 462 E. 2.1 S. 465). Vorliegend richten sich die Ansprüche des Beschwerdeführers zwar - auch - gegen ein Spital; es geht dabei aber nicht um eine Arzthaftung im soeben umschriebenen Sinne. Das Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 82 ff. BGG bleibt damit offen, zumal mit dem in der Hauptsache eingeforderten Betrag von Fr. 13'000'000.-- auch die auf dem Gebiet der Staatshaftung geltende Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- erreicht wird (Art. 85 Abs. 1 lit. a BGG).
1.3 Der Beschwerdeführer hat in der Hauptsache ausdrücklich eine Forderung aus Staatshaftung geltend gemacht. Nach einhelliger Lehre und Rechtsprechung gehört die Staatshaftung dem öffentlichen Recht an. Entsprechende letztinstanzliche kantonale Entscheide sind vor Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbar (Urteil 2C_257/2011 vom 25. Oktober 2011 E. 1.1, Urteil 2C_391/2008 vom 1. September 2008 E. 1, nicht publ. in: BGE 134 I 331, Art. 30 Abs. 1 lit. c Ziff. 1 des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht [BGerR; SR 173.110.131]). Dass die Fragen der Staatshaftung - wie hier - von (kantonalen) Zivilgerichten beurteilt wird, ändert nichts (Urteil 2C_111/2011 vom 7. Juli 2011 E. 1.2). Ausgenommen ist einzig die Staatshaftung aus medizinischer Tätigkeit (Arzthaftung), die trotz ihrer öffentlich-rechtlichen Natur im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen von der I. zivilrechtlichen Abteilung behandelt wird (Art. 31 Abs. 1 lit. d BGerR; BGE 135 III 329 E. 1.1 S. 331; 133 III 462 E. 2.1 S. 465). Vorliegend richten sich die Ansprüche des Beschwerdeführers zwar - auch - gegen ein Spital; es geht dabei aber nicht um eine Arzthaftung im soeben umschriebenen Sinne. Das Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 82 ff. BGG bleibt damit offen, zumal mit dem in der Hauptsache eingeforderten Betrag von Fr. 13'000'000.-- auch die auf dem Gebiet der Staatshaftung geltende Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- erreicht wird (Art. 85 Abs. 1 lit. a BGG).
1.4 1.4.1 Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab und ist daher als selbständig eröffneter Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG zu qualifizieren. Gegen einen solchen Zwischenentscheid ist die Beschwerde - abgesehen von den hier nicht gegebenen Ausnahmefällen gemäss Art. 92 und Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG - nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG).
1.4.2 Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts können Zwischenentscheide, mit denen - wie hier - zwecks Sicherstellung der mutmasslichen Gerichtskosten ein Kostenvorschuss verlangt wird, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken, weshalb die Beschwerde ans Bundesgericht offensteht, wenn die Zahlungsaufforderung mit der Androhung verbunden wird, dass im Säumnisfall auf die Klage oder das Rechtsmittel nicht eingetreten werde (vgl. BGE 133 V 402 E. 1.2 S. 403; 128 V 199 E. 2b und 2c S. 202 ff.; Urteil 4A_100/2009 vom 15. September 2009 E. 1.3, nicht publ. in BGE 135 III 603 ff.). Dies gilt jedenfalls dann, wenn sich der Beschwerdeführer gleichzeitig auf Mittellosigkeit beruft (Urteil 4A_680/2011 vom 2. Dezember 2011 E. 1).
Vorliegend hat das Obergericht dem Beschwerdeführer zwar nicht ausdrücklich, aber - mit dem Hinweis auf Art. 98 der Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008 (ZPO, SR 272) - doch implizit angedroht, dass es im Falle der Nichtleistung des Kostenvorschusses auf das angehobene Rechtsmittel nicht eintreten werde (vgl. E. 3 des angefochtenen Entscheides). Der Beschwerdeführer macht zudem Mittellosigkeit geltend (vgl. S. 5 der Beschwerdeschrift). Damit kann der Zwischenentscheid des Obergerichts vom 13. Juni 2012 - soweit er die Verpflichtung zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 6'000.-- enthält - beim Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken. Insofern erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als zulässig, und es ist - mit den vorne umschriebenen Einschränkungen - grundsätzlich darauf einzutreten.
Die Verfassungsbeschwerde ist im Verhältnis zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten subsidiär (Art. 113 BGG). Da hier die letztere zur Verfügung steht, ist die gleichzeitig erhobene Verfassungsbeschwerde nicht zulässig, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
1.4.3 Gleichzeitig ist dem Beschwerdeführer - mit derselben Verfügung (vgl. vorne E. 1.1) - die aufschiebende Wirkung seines Rechtsmittels vor dem Obergericht verweigert worden. Diesfalls gelten analog die Ausführungen von E. 1.4.1 und E. 1.4.2: Die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung hat - wird sie rechtskräftig - vorliegend zur Folge, dass das Bezirksgericht - ohne dass es den Entscheid des Obergerichts über die Rechtmässigkeit des Kostenvorschusses von Fr. 80'000.-- abwarten müsste - auf die Klage vom 11. April 2012 nicht eintreten kann, sofern der entsprechende Kostenvorschuss (in der noch anzusetzenden Nachfrist) nicht bezahlt wird (vgl. Art. 101 Abs. 3 ZPO). Dies stellt für den Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil dar; weswegen die angefochtene Verfügung auch in diesem Punkt der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (und sich auch hier die Verfassungsbeschwerde als unzulässig erweist).
2. 2.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts (Art. 95 lit. a BGG). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (Art. 9 BV), sowie der kantonalen Verfassungsrechte (Art. 95 lit. c BGG) geprüft werden (BGE 137 V 143 E. 1.2 S. 145; 134 I 153 E. 4.2.2 S. 158; 134 II 349 E. 3 S. 351).
2.2 Im Kanton Zürich bestimmt sich die Staatshaftung nach dem kantonalen Haftungsgesetz vom 14. September 1969 (HG/ZH). Dieses verweist mehrfach auf das Zivilrecht, so etwa in § 19 Abs. 1 lit. a (betreffend die grundsätzliche Zuständigkeit der Zivilgerichte bei Ansprüchen Dritter gegen den Kanton), oder in § 29 (betreffend die ergänzende Anwendung des Schweizerischen Obligationenrechts). Wie das Bundesgericht bereits erkannt hat, findet sich keine Bundesverfassungsnorm, welche die Kantone anhält, Staatshaftungsprozesse nicht in einem Zivilverfahren vor einem Zivilrichter zu entscheiden. Somit spricht nichts dagegen, wenn der kantonale Gesetzgeber die Beurteilung einer öffentlich-rechtlichen Forderung einem Zivilgericht überantwortet (vgl. Urteil 2C_333/2011 vom 1. Juni 2011, E. 2.2.). Stützt sich dieses im Rahmen seiner Tätigkeit auf (Bundes-)Zivilrecht, gelten diese Regelungen aber nur als subsidiäres kantonales Recht (vgl. Urteile 2C_940/2011 vom 23. November 2011, E. 5.1, und 2C_616/2008 vom 16. Juni 2009, E. 3.1). Dessen Anwendung prüft das Bundesgericht nicht frei, sondern - wie allgemein bei der Auslegung von kantonalem Recht - lediglich unter dem Gesichtswinkel der Willkür bzw. von Art. 95 lit. c BGG. Entsprechende Rügen haben den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG zu genügen (vorne E. 2.1). Gleiches gilt im Übrigen für die beschränkten Beschwerdegründe gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen, wo ohnehin bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (Art. 98 BGG).
2.2 Im Kanton Zürich bestimmt sich die Staatshaftung nach dem kantonalen Haftungsgesetz vom 14. September 1969 (HG/ZH). Dieses verweist mehrfach auf das Zivilrecht, so etwa in § 19 Abs. 1 lit. a (betreffend die grundsätzliche Zuständigkeit der Zivilgerichte bei Ansprüchen Dritter gegen den Kanton), oder in § 29 (betreffend die ergänzende Anwendung des Schweizerischen Obligationenrechts). Wie das Bundesgericht bereits erkannt hat, findet sich keine Bundesverfassungsnorm, welche die Kantone anhält, Staatshaftungsprozesse nicht in einem Zivilverfahren vor einem Zivilrichter zu entscheiden. Somit spricht nichts dagegen, wenn der kantonale Gesetzgeber die Beurteilung einer öffentlich-rechtlichen Forderung einem Zivilgericht überantwortet (vgl. Urteil 2C_333/2011 vom 1. Juni 2011, E. 2.2.). Stützt sich dieses im Rahmen seiner Tätigkeit auf (Bundes-)Zivilrecht, gelten diese Regelungen aber nur als subsidiäres kantonales Recht (vgl. Urteile 2C_940/2011 vom 23. November 2011, E. 5.1, und 2C_616/2008 vom 16. Juni 2009, E. 3.1). Dessen Anwendung prüft das Bundesgericht nicht frei, sondern - wie allgemein bei der Auslegung von kantonalem Recht - lediglich unter dem Gesichtswinkel der Willkür bzw. von Art. 95 lit. c BGG. Entsprechende Rügen haben den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG zu genügen (vorne E. 2.1). Gleiches gilt im Übrigen für die beschränkten Beschwerdegründe gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen, wo ohnehin bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (Art. 98 BGG).
2.3 2.3.1 Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was den angefochtenen Zwischenentscheid - soweit er die Verpflichtung zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 6'000.-- für das obergerichtliche Verfahren enthält (vorne E. 1.4.2) - als willkürlich bzw. als nicht verfassungskonform erscheinen liesse:
Was die grundsätzliche Festsetzung und die Höhe dieses Kostenvorschusses betrifft, lässt sich der Beschwerdeschrift überhaupt keine genügend begründete Rüge entnehmen. Sodann liegt in der Anwendung der Eidgenössischen Zivilprozessordnung als subsidiäres kantonales Recht keine Bundesrechtsverletzung: Die Rüge, es hätten die verwaltungsrechtlichen Verfahrensordnungen (VRG/ZH bzw. VwVG) angewendet werden müssen, wird nicht substantiiert, und es erscheint in keiner Weise willkürlich, dass sich das Obergericht im Rahmen seiner Beschwerdeinstruktion im Verfahren gegen die Kostenvorschussverfügung des Bezirksgerichts analog auf die Bestimmungen der Eidgenössischen Zivilprozessordnung gestützt hat. Soweit der Beschwerdeführer rügt, diese letztere Kostenvorschussverfügung - des Bezirksgerichts (Fr. 80'000.--) - sei rechtswidrig, gehen seine Ausführungen am Anfechtungsobjekt und damit am Streitgegenstand vorbei (vorne E. 1.1 und 1.2).
Die Beschwerde ist folglich - mit Bezug auf die Verpflichtung zur Leistung eines Kostenvorschusses - abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist.
2.3.2 Hingegen beruft sich der Beschwerdeführer - soweit er die Verfassungswidrigkeit der angefochtenen Verfügung mit Blick auf die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung rügt - zu Recht auf die Rechtsweggarantie (Art. 29a BV):
Die Rechtsverbindlichkeit einer behördlichen Anordnung setzt vor dem Hintergrund eines rechtsstaatlichen Handelns die Möglichkeit voraus, sich dagegen angemessen zur Wehr zu setzen. Dementsprechend gewährleistet die verfassungsrechtliche Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) den Zugang zu wenigstens einem Gericht, das Rechts- und Sachverhaltsfragen umfassend überprüfen kann (Urteile 2C_423/2012 vom 9. Dezember 2012 E. 3.5, 2C_273/2012 vom 29. Mai 2012 E. 2.3 und 2C_690/2010 vom 25. Januar 2011 E. 2.1).
Wie ausgeführt (E. 1.4.3), hat die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung hier zur Folge, dass das Bezirksgericht auf die Klage vom 11. April 2012 nicht eintreten kann, wenn der Kostenvorschuss von Fr. 80'000.-- innert einer noch anzusetzenden Nachfrist (Art. 101 Abs. 3 ZPO) nicht geleistet wird. Diesfalls wird es - wegen Nichtleisten des Kostenvorschusses - einen Nichteintretens- und damit einen Endentscheid fällen, den der Beschwerdeführer wiederum beim Obergericht anfechten und allenfalls gegen dessen Entscheid erneut ans Bundesgericht gelangen kann. Insoweit ist keine Verletzung von Art. 29a BV gegeben. Die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung führt aber dazu, dass es dem Beschwerdeführer verwehrt bleibt, die Begründetheit des Kostenvorschusses durch eine gerichtliche Instanz überprüfen zu lassen, bevor ein Endentscheid vorliegt. Gewiss kann er einen solchen - wie erwähnt - anfechten und dadurch in einem Rechtsmittelverfahren die Begründetheit des Kostenvorschusses erneut in Frage stellen. Wird dessen Rechtmässigkeit aber bestätigt, verliert der Beschwerdeführer - weil der Nichteintretensentscheid schon gefällt worden ist - die Wahlmöglichkeit, den Kostenvorschuss doch noch zu bezahlen und seine Klage vom Bezirksgericht materiell prüfen zu lassen. Dies indessen verletzt ihn - den Beschwerdeführer - in seinem eingangs umschriebenen Anspruch auf Zugang zu einem Gericht im Sinne von Art. 29a BV.
3. 3.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit teilweise begründet. Der angefochtene Entscheid ist mit Bezug auf die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung aufzuheben und es ist der Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich vom 8. Juni 2012 aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Auf die Verfassungsbeschwerde kann nicht eingetreten werden (vorne E. 1.4.2 und E. 1.4.3).
3.2 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Kosten des Verfahrens wie folgt zu verteilen: Der Beschwerdeführer ist als teilweise unterliegend zu betrachten, hat aber in einem für ihn wesentlichen Hauptpunkt der Beschwerdesache (aufschiebende Wirkung) obsiegt; es rechtfertigt sich daher, ihm die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens nur zu einem Drittel aufzuerlegen (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG). Da die Universität Y._ und das Universitätsspital X._ - auch im vorliegenden Verfahren - vermögensrechtliche Interessen vertreten haben, tragen sie die anderen beiden Drittel der bundesgerichtlichen Kosten unter solidarischer Haftung (Art. 66 Abs. 4 und 5 BGG). Sie haben den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren ausserdem angemessen zu entschädigen, wobei - unter Berücksichtigung der zahlreichen unzulässigen Beschwerdeanträge - zu bemerken ist, dass nur die durch den Rechtsstreit verursachten notwendigen Kosten zu ersetzen sind (Art. 68 Abs.2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird teilweise gutgeheissen: Der Beschwerde vom 8. Juni 2012 an das Obergericht des Kantons Zürich wird aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden je zu einem Drittel dem Beschwerdeführer, dem Universitätsspital X._ und der Universität Y._ auferlegt.
4. Das Universitätsspital X._ und die Universität Y._ haben den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Universitätsspital X._, der Universität Y._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein