Sachverhalt:
A. A.a X._ (Ehemann; geb. 1952) und Z._ (Ehefrau; geb. 1956) heirateten in der Türkei. Sie haben sieben gemeinsame Kinder, darunter die Töchter S._ (geb. 1992) und T._ (geb. 1995); die anderen Kinder sind mündig und wirtschaftlich selbständig. 1998 kam X._ als Flüchtling in die Schweiz. Zwei Jahre später folgten die Ehefrau und die Kinder nach. 2005 hoben die Eheleute den gemeinsamen Haushalt auf; das Getrenntleben musste gerichtlich geregelt werden.
A.b Im März 2010 verlangte X._ die Scheidung. Das Kreisgericht Rheintal schied die Ehe mit Urteil vom 17. September 2010. Es stellte die beiden im damaligen Zeitpunkt noch unmündigen Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter und sprach ihnen bis zur Mündigkeit bzw. bis zum Abschluss einer ordentlichen Erstausbildung monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 550.-- zuzüglich Kinderzulagen zu. Den nachehelichen Unterhalt setzte es auf Fr. 400.-- im Monat fest, wobei sich der Unterhalt um den freiwerdenden Betrag erhöht, wenn der Kinderunterhalt wegfällt. Zugleich befristete das Kreisgericht den Unterhaltsbeitrag an die Ehefrau bis Februar 2017. Sodann regelte es den Vorsorgeausgleich und stellte fest, die Parteien seien bezüglich der in der Schweiz befindlichen Vermögenswerte güterrechtlich auseinandergesetzt.
B. Auf Berufung des Ehemannes hin verpflichtete das Kantonsgericht St. Gallen diesen mit Entscheid vom 29. Juni 2011, bis zur Mündigkeit bzw. bis zum Abschluss einer ordentlichen Erstausbildung an den Unterhalt seiner Tochter T._ monatlich und im Voraus Fr. 1'000.-- (inkl. Kinder- oder Ausbildungszulage) zu bezahlen. Den bis Februar 2017 geschuldeten nachehelichen Unterhalt zugunsten der Ehefrau reduzierte es auf Fr. 300.--, verbunden mit der Anordnung, dass sich dieser um den frei werdenden Betrag erhöht, wenn der Kinderunterhalt wegfällt. Sodann stellte es fest, dass die Ehegatten güterrechtlich auseinandergesetzt sind. Grundlage für diese Unterhaltsbeiträge waren die Annahme eines hypothetischen Einkommens des Ehemannes von Fr. 3'500.-- und eines existenzsichernden Grundbedarfs von Fr. 2'200.--, was einen Überschuss von Fr. 1'300.-- ergab. Die Tochter S._, inzwischen mündig geworden, ging leer aus, weil der Zuspruch eines Unterhaltsbeitrages an sie einen Eingriff in das Existenzminimum des Vaters zur Folge gehabt hätte.
C. Mit Beschwerde vom 1. September 2011 wendet sich X._ (fortan Beschwerdeführer) an das Bundesgericht, dem er beantragt, sämtliche Unterhaltspflichten aufzuheben. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Es sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Angefochten sind die Fr. 30'000.-- übersteigenden vermögensrechtlichen Nebenfolgen eines kantonal letztinstanzlichen Scheidungsurteils, wogegen die Beschwerde in Zivilsachen offen steht (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
Die Rechtsanwendung überprüft das Bundesgericht im Rahmen behaupteter und begründeter Verletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) an sich von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 106 Abs. 1 BGG). Für die Unterhaltsfestsetzung gilt es freilich zu beachten, dass der Richter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. 4 ZGB; BGE 127 III 136 E. 3a S. 141; Botschaft, BBl 1996 I S. 115 f.) und das Bundesgericht bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung übt: Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, das heisst, wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat; aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 128 III 161 E. 2c/aa S. 162; 131 III 12 E. 4.2 S. 15; 132 III 97 E. 1 S. 99).
Im Unterschied zur Rechtsanwendung ist das Bundesgericht an die kantonalen Sachverhaltsfeststellungen grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich sind einzig Willkürrügen statthaft (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 133 III 249 E. 1.2.2), für welche das strenge Rügeprinzip gilt (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Zudem nimmt das Bundesgericht selbst grundsätzlich keine Beweise ab. Auf die diversen Beweisanträge des Beschwerdeführers ist daher von vornherein nicht einzutreten.
2. Mit Bezug auf die Unterhaltsbeiträge ist das hypothetische Einkommen des Beschwerdeführers umstritten.
2.1 Um die finanzielle Leistungsfähigkeit eines Ehegatten zu bestimmen, ist in der Regel von dessen tatsächlichen (Netto-)Einkommen auszugehen. Soweit das Einkommen nicht ausreicht, um den ausgewiesenen Bedarf zu decken, kann ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden, sofern dieses zu erreichen möglich und zumutbar ist (BGE 128 III 4 E. 4a S. 5; 127 III 136 E. 2a S. 139). Dabei handelt es sich um zwei Voraussetzungen, die kumulativ erfüllt sein müssen: Um einer Partei ein hypothetisches Einkommen anzurechnen, genügt es nicht, dass dieser Partei weitere Anstrengungen zugemutet werden können. Vielmehr muss es ihr auch möglich sein, aufgrund dieser Anstrengungen ein höheres Einkommen zu erzielen (Urteil 5A_340/2011 vom 7. September 2011 E. 5.2.1). Aus welchem Grund ein Ehegatte auf das ihm angerechnete höhere Einkommen verzichtet, ist im Prinzip unerheblich. Die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens hat keinen pönalen Charakter. Es geht vielmehr darum, dass der Unterhaltspflichtige das Einkommen zu erzielen hat, das ihm zur Erfüllung seiner Pflichten tatsächlich möglich und zumutbar ist.
Ob dem Ehegatten ein hypothetisches Einkommen zugemutet werden kann, ist Rechtsfrage. Tatfrage bildet hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist (BGE 137 III 118 E. 2.3 S. 121).
Der Richter darf sich nicht mit der Feststellung begnügen, dass dem Ehegatten weitere Anstrengungen zugemutet werden können. Vielmehr muss jener konkret bestimmen, welcher Erwerbstätigkeit dieser nachgehen kann. Massgebend für die Beurteilung sind namentlich das Alter, die Gesundheit, die Ausbildung, die persönlichen Fähigkeiten des Ehegatten, sowie die Arbeitsmarktlage. Was die Höhe des Einkommens anbelangt, kann diese zum Beispiel auf der Basis von Lohnstrukturerhebungen des Bundesamtes für Statistik oder anderen Quellen (allgemeinverbindliche Gesamtarbeitsverträge; PHILIPP MÜLHAUSER, Das Lohnbuch 2010, Mindestlöhne sowie orts- und berufsübliche Löhne in der Schweiz, Zürich 2010) ermittelt werden.
2.2 Das Kantonsgericht hat im Zusammenhang mit der Erwerbsfähigkeit des Beschwerdeführers und des erzielbaren Einkommens erwogen, dieser sei im Jahr 2004 als Mitarbeiter eines Recycling-Betriebs beschäftigt gewesen. Nach einem Unfall habe er noch zwei bis drei Jahre zu 50 % gearbeitet und im Jahr 2006 Arbeitslosengelder bezogen. Seit September 2008 sei er gar nicht mehr erwerbstätig. Die Invalidenversicherung (IV) habe sein Rentenbegehren am 24. Oktober 2006 abgewiesen, ein Invalideneinkommen von Fr. 58'320.-- angerechnet und einen IV-Grad von 16 % ermittelt. Seither habe sich der Beschwerdeführer nicht mehr bei der IV gemeldet, und er lege keine Unterlagen vor, welche die behauptete vollständige Arbeitsunfähigkeit belegten. Die eingereichten Arztzeugnisse enthielten weder eine Diagnose noch eine Begründung, noch liessen sich die Schlussfolgerungen nachvollziehen. Zudem enthielten die Arztberichte nur Aussagen über die aktuelle Arbeitsfähigkeit bzw. jene ab 23. April 2010, obwohl der Beschwerdeführer vorher gar nicht gearbeitet habe. Die im Bericht vom 29. März 2011 erwähnten Beschwerden seien nicht neu, sondern bereits der IV bekannt gewesen. Aus den vom Hausarzt beschriebenen Symptomen (Nackenschmerzen, Kopfschmerzen, eingeschränkte HWS-Beweglichkeit) lasse sich ein schweres posttraumatisches Schmerzsyndrom nicht ableiten und eine 100 %-ige Arbeitsunfähigkeit nicht nachvollziehen. Ausserdem enthalte der Arztbericht keine ausreichende Begründung, obwohl das Kantonsgericht ausdrücklich eine begründete medizinische Einschätzung verlangt habe. Schliesslich sei anzunehmen, dass sich der Beschwerdeführer im Falle einer wesentlichen gesundheitlichen Verschlechterung wieder bei der IV gemeldet hätte. Aus all diesen Gründen könne nicht gesagt werden, seine Gesundheit hindere den Beschwerdeführer daran, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Ausserdem behaupte dieser nicht, sich ausdauernd, aber vergeblich, um Arbeitsstellen bemüht zu haben; er lege keine einzige Stellenbewerbung vor. In Anbetracht seiner früheren Tätigkeit komme am ehesten eine Beschäftigung in der Produktion in Frage. Gemäss Lohnstrukturerhebung 2008 vermöchte der Beschwerdeführer in einfachen Tätigkeiten einen Nettolohn von rund Fr. 4'400.-- zu erwirtschaften. Zwar könne er voll arbeiten, sollte aber vor allem keine schweren körperlichen Arbeiten mehr verrichten. In Anbetracht dieser gesundheitlichen Beeinträchtigung und seines fortgeschrittenen Alters könne dem Beschwerdeführer zugemutet werden, monatlich Fr. 3'500.-- zu verdienen. Er gelte als geschickter Arbeiter, die Arbeitsmarktlage sei günstig und der Arbeitsmarkt biete genügend leichte bis mittelschwere Tätigkeiten an.
2.3 Der Beschwerdeführer rügt, das angefochtene Urteil sei sowohl hinsichtlich der Rechtsanwendung als auch der Sachverhaltsfeststellung willkürlich und verstosse gegen Art. 6 EMRK sowie Art. 29 Abs. 1 und Art. 9 BV.
2.3.1 Er beanstandet zunächst, dass das Kantonsgericht überhaupt auf die medizinische Einschätzung der IV abstelle, zumal diese einerseits um Jahre zurückliege und sich andererseits in den Akten ein Arztzeugnis vom 23. April 2010 befinde, worin er ab dem 23. April 2010 bis auf unbestimmte Zeit zu 100 % arbeitsunfähig erklärt werde. Die Feststellungen der IV stellten eine Momentaufnahme dar. Seither habe sich sein gesundheitlicher Zustand weiter verschlechtert. Er sei 59 Jahre alt, sichtlich geschwächt, im Verfahren vor der IV nie von einem Anwalt vertreten worden und spreche beinahe kein Deutsch. Es könne daher nicht einfach auf die veralteten Schlussfolgerungen der IV abgestellt werden; vielmehr liege ein Arztbericht vor, der eine vollständige Arbeitsunfähigkeit attestiere.
Es trifft zwar zu, dass das Arztzeugnis vom 23. April 2010 dem Beschwerdeführer eine 100 %-ige Arbeitsunfähigkeit attestiert. Das Kantonsgericht hat indes ausführlich begründet, weshalb es dieses Zeugnis als nicht stichhaltig erachtet (s. E. 2.2). Mit den einschlägigen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Insofern ist die Beschwerde ungenügend begründet (E. 1); darauf ist nicht einzutreten.
2.3.2 Ferner führt der Beschwerdeführer aus, das Kantonsgericht habe den Einwand, seine Lungenentzündung belege seine Arbeitsunfähigkeit, zu Unrecht verworfen, zumal er sich am 5. Juli 2011 einer Lungenoperation habe unterziehen müssen.
Die angesprochene Lungenoperation wurde offenbar am 5. Juli 2011, das heisst nach dem angefochtenen Urteil durchgeführt. Damit ist - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - bereits begrifflich ausgeschlossen, dass erst der vorinstanzliche Entscheid zu diesem neuen Vorbringen Anlass gegeben hat; dieses ist neu und daher unzulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.3.3 Zusammenfassend hält der Beschwerdeführer dem Kantonsgericht vor, die fehlende Ausbildung, sein Alter, die lange berufliche Abwesenheit und die mangelnden Deutschkenntnisse machten die Erzielung eines Erwerbseinkommens weder möglich noch zumutbar.
Mit derart pauschalen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun, dass das Kantonsgericht mit der Annahme, eine leichte bis mittelschwere Tätigkeit in einem Produktionsbetrieb mit einem Einkommen von Fr. 3'500.-- sei möglich und zumutbar, den Sachverhalt willkürlich festgestellt (Art. 9 BV) bzw. mit Bezug auf das Kriterium der Zumutbarkeit Bundesrecht verletzt hätte.
Welche Ansprüche der Beschwerdeführer aus den angerufenen Art. 6 EMRK bzw. Art. 29 Abs. 1 BV ableiten will, ist weder ersichtlich noch dargetan. Darauf ist nicht einzutreten.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt und wird kostenpflichtig. Angesichts der besonderen Umstände wird auf die Erhebung von Kosten verzichtet (Art. 66 Abs. 1 BGG). Damit wird das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos. Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird zufolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn