Faits:
A. X._, médecin anesthésiste, et Y.A._, infirmière, ont fait connaissance à la clinique A._ à ... et ont noué une relation sentimentale. Au printemps 2002, Y.A._ s'est installée, avec ses deux enfants Y.B._ et Y.C._ qui étaient alors étudiants, dans l'appartement de X._ et ils ont fait depuis lors ménage commun.
En décembre 2001, Y.A._ avait prélevé 102'879 fr.55 de son compte de 2e pilier auprès de la banque B._. Un témoin a affirmé qu'elle avait par la suite investi une large part de son 2e pilier, soit 70'000 fr., dans la remise en état de l'appartement qu'elle occupait avec son compagnon.
Le 12 octobre 2003, X._ a signé un document intitulé "Reconnaissance de dette" dont le contenu est le suivant: "Par la présente je reconnais devoir la somme de FrS 50'000.- à Madame Y.A._. L'emprunt est sans intérêts, mais la somme est exigible en tout temps et en tout les cas en cas de décès. Elle est garantie par ma voiture Mercedes ML 430".
Le 16 septembre 2004, Y.A._ a signé un contrat de vente portant sur l'acquisition d'un bateau dénommé "..." pour le prix de 23'000 fr. Elle a admis qu'elle n'avait pas participé financièrement à cette acquisition. Pour le vendeur de l'esquif, il était évident, même si la prénommée signait le contrat et se réjouissait d'apprendre la voile, que ce bateau devait avant tout profiter à son compagnon, lequel est féru de navigation, cela d'autant plus qu'il s'agit d'une embarcation difficile à piloter. Il a été établi que la possession de ce bateau impliquait des frais d'amarrage et des frais d'entretien réguliers.
En 2003, X._ a acheté, pour le prix de 1'600 fr., un chien de race "Montagne des Pyrénées" appelé "Twiggy". Très attaché à cet animal, à l'instar de la fille de sa compagne Y.B._, il a toujours payé l'impôt sur les chiens et les frais de vétérinaire.
A la fin de l'année 2004, les relations entre Y.A._ et X._ se sont dégradées; ce dernier a alors décidé de rompre au début de l'année 2005. Après avoir d'abord refusé la rupture, Y.A._ a finalement quitté le domicile de son compagnon. Ses enfants sont partis un peu plus tard, Y.B._ emportant le chien Twiggy en expliquant qu'elle ne parvenait pas à s'en séparer; en cours de procédure, X._ a renoncé à demander la restitution de cet animal.
Depuis la rupture, les parties sont en litige sur la liquidation de leurs rapports patrimoniaux.
B. Après deux procédures de mesures provisionnelles, X._ a déposé le 19 avril 2006 devant le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne une demande dirigée contre Y.A._, Y.B._ et Y.C._, tendant à la restitution d'objets et à des prestations pécuniaires. Y.A._ a pris des conclusions reconventionnelles en paiement.
Par jugement du 13 mars 2009, le Tribunal d'arrondissement a prononcé que X._ est l'unique propriétaire du bateau ..., qu'il est débiteur de Y.A._ de la somme de 50'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 15 novembre 2006 et que celle-ci doit au demandeur la somme de 4'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 19 avril 2006 (pour avoir emporté un ordinateur).
Statuant sur recours du demandeur et de la défenderesse Y.A._, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 21 octobre 2009, a confirmé le jugement attaqué, sauf en ce qui concerne la condamnation de la défenderesse à payer 4'000 fr., laquelle a été annulée. En substance, la cour cantonale a jugé que le demandeur n'était pas parvenu à établir la non-validité de la cause de la dette qu'il avait reconnue. Sur la reconvention, elle a considéré que la valeur résiduelle de l'ordinateur emporté par la défenderesse précitée n'avait pas été prouvée par le demandeur.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Il conclut à l'annulation de cette décision, au déboutement de ses parties adverses et reprend ses conclusions en paiement sur le fond.
Le recourant a sollicité par ailleurs l'effet suspensif, qui lui a été refusé par ordonnance présidentielle du 17 mars 2010.
Les intimées proposent le rejet du recours dans la mesure où il est recevable.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions tendant aussi bien à sa libération qu'à des paiements (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 135 III 670 consid. 1.4 p. 674; 134 III 379 consid. 1.2 p. 382). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 et l'arrêt cité). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
En l'espèce, le recourant invoque la violation de très nombreuses dispositions disparates: les art. 6 par. 1 CEDH, 9 et 29 al. 2 Cst., 8 et 16 CC, 17, 18, 239 ss, 243 al. 1, 312, 531 al. 2 CO et 164 al. 1 du Code de procédure civile vaudois. Il reproduit parfois des extraits d'arrêts qui explicitent les notions contenues dans ces dispositions. Une telle litanie de règles juridiques ne répond pas aux exigences de motivation contenues à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, et encore moins, pour le droit cantonal ou les griefs d'ordre constitutionnel, aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF. Le recourant devait, en partant de la décision attaquée, montrer en quoi la cour cantonale aurait violé une règle juridique déterminée. La juxtaposition d'une multitude de règles, sans que l'on puisse voir pour chacune d'elles en quoi elle aurait été violée et en quoi cette règle aurait une portée propre par rapport aux arguments présentés, ne constitue pas une motivation à l'appui d'un recours. Comme le Tribunal fédéral applique en principe le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), il convient de procéder à nouveau à l'analyse juridique des faits retenus dans la mesure où les points restent litigieux selon l'acte de recours, sans se focaliser sur cette liste de dispositions juridiques.
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. (ATF 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Le recourant ne peut de toute manière demander une correction de l'état de fait que si celle-ci est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'occurrence, le recourant demande que l'état de fait soit complété ou modifié sur trois points (cf. art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF).
S'agissant de la reconnaissance de dette, il reproche à la cour cantonale de ne pas avoir noté que l'intimée n° 1 avait admis qu'elle n'avait pas prêté 50'000 fr. à son compagnon, en ce sens qu'elle ne lui a pas remis une telle somme à titre de prêt. La cour cantonale ne s'est cependant pas fondée sur l'hypothèse d'un tel prêt, de sorte que la version retenue par la cour cantonale ne contredit pas sur ce point celle du recourant et qu'on ne voit pas quelle influence cette question pourrait avoir sur l'issue du recours.
Le recourant voudrait aussi que l'état de fait soit rectifié en constatant qu'il a prouvé le montant des frais concernant le chien Twiggy. La cour cantonale a cependant considéré que, quel que soit le montant de ces frais, le recourant ne pouvait pas les répercuter sur les intimées. En conséquence, cette question est sans pertinence et impropre à influencer le sort du litige (art. 97 al. 1 LTF).
Quant au troisième point, il ne concerne que la requête d'effet suspensif. Avec la décision sur le fond, cette requête n'a plus d'objet et la question a perdu toute pertinence.
Il n'y a donc pas lieu de rectifier l'état de fait contenu dans l'arrêt cantonal.
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
Le recourant a pris des conclusions particulièrement confuses. Il a demandé en particulier l'annulation du chiffre III de l'arrêt cantonal. Sous ce chiffre, la cour cantonale a annulé la condamnation de l'intimée n° 1 à payer 4'000 fr. au recourant pour n'avoir pas restitué un ordinateur, en considérant que la valeur résiduelle de cet objet n'avait pas été prouvée par la partie demanderesse. Le recours déposé devant le Tribunal fédéral ne contient absolument aucune allusion à cet ordinateur et à sa valeur, de sorte que ce point des conclusions est irrecevable, faute de toute motivation (art. 42 al. 2 LTF).
2. 2.1 Le recourant conteste devoir à l'intimée n° 1 la somme de 50'000 fr. sur la base de la reconnaissance de dette du 12 octobre 2003.
A ce sujet, il faut distinguer trois questions:
- l'existence de la reconnaissance de dette;
- l'existence de la dette;
- la cause de la dette.
La reconnaissance de dette a été versée au dossier. Il n'est pas contesté qu'elle porte la signature du recourant. Elle indique avec précision la prestation à fournir (payer 50'000 fr.) et la personne du créancier (l'intimée n° 1). Le libellé est sans équivoque et contient la reconnaissance d'une dette ("Par la présente je reconnais devoir la somme de FrS 50'000.- à Madame Y.A._»). On se trouve bien en présence d'une reconnaissance de dette. Il ne s'agit pas d'une reconnaissance de dette abstraite, comme l'envisage l'art. 17 CO, puisqu'elle énonce la cause de l'obligation, à savoir un prêt.
L'existence d'une reconnaissance de dette, que celle-ci mentionne ou non la cause de l'obligation, a pour conséquence de renverser le fardeau de la preuve; le créancier n'a plus à prouver la cause de la créance, ni la réalisation d'autres conditions. Il appartient au contraire au débiteur qui conteste la dette d'établir que la créance n'a pas de cause ou n'a pas de cause valable (ATF 131 III 268 consid. 3.2 p. 273; Ingeborg Schwenzer, Commentaire bâlois, Obligationenrecht I, 4e éd., n° 6 ad art. 17 CO; Silvia Tevini du Pasquier, Commentaire romand, Code des obligations I, n° 7 ad art. 17 CO). En considérant que la reconnaissance de dette faisait présumer l'existence de la créance, la cour cantonale n'a pas violé les règles du droit fédéral sur le fardeau de la preuve.
Il reste à examiner si le recourant a prouvé que la cause réelle de la reconnaissance de dette serait inexistante ou nulle. Il s'agit là d'une pure question d'appréciation des preuves que le Tribunal fédéral ne peut réexaminer que sous l'angle restreint de l'arbitraire (art. 9 Cst.).
Dans le domaine de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
Le recourant a allégué que la reconnaissance de dette était purement fictive et destinée à être produite en cas de litige avec son épouse. Il ne prouve cependant pas avoir fait un tel usage de ce document et il n'explique même pas clairement pourquoi il pensait en avoir besoin. De surcroît, la prudence aurait commandé, dans une telle hypothèse, qu'il garde le document par-devers lui ou en tout cas qu'il exige de sa compagne un contre-document. En concluant, sur la base des preuves apportées, que le recourant n'avait pas prouvé que la reconnaissance de dette était dépourvue de toute cause, la cour cantonale n'a aucunement procédé à une appréciation arbitraire des preuves.
Le recourant, sans même l'alléguer formellement, évoque l'hypothèse d'une donation. La promesse de donner n'est valable que si elle est faite par écrit (art. 243 al. 1 CO). Il suffit que le donateur signe l'acte écrit (ATF 110 II 156 consid. 2d p. 161; 105 II 104 consid. 3b p. 107/108). Il faut cependant que l'acte écrit exprime la volonté de donner; la forme requise n'est pas respectée si l'acte mentionne une autre cause qui est simulée (ATF 117 II 382 consid. 2b p. 385). En l'espèce, la reconnaissance de dette indique pour cause un prêt, de sorte qu'elle ne pourrait constituer une promesse de donner valable. On cherche vainement pourquoi le recourant aurait voulu, à ce moment-là, faire un cadeau de cette importance à sa compagne; il n'a fourni aucune explication qui puisse rendre seulement plausible cette hypothèse. Surtout, on ne voit pas pourquoi, plutôt que de procéder par une donation manuelle, il aurait choisi de signer une reconnaissance de dette et encore en invoquant un faux prétexte, à savoir le remboursement d'un prêt inexistant. Une telle hypothèse est tellement invraisemblable que la cour cantonale l'a écartée sans arbitraire.
Il a été prouvé que l'intimée n° 1 avait retiré une somme très importante sur son compte de 2e pilier auprès de la banque B._. Un témoin a affirmé qu'elle avait investi une large part de cette somme, soit 70'000 fr., dans la remise en état de l'appartement du recourant. On ne voit pas, sans autre élément, ce qu'il y a d'arbitraire à croire ce témoignage. Un tel investissement dépasse largement une contribution à l'entretien quotidien du ménage commun. Le logement appartenait au recourant et il n'a jamais été question - d'après les faits retenus (art. 105 al. 1 LTF) - que l'intimée n° 1 acquiert un quelconque droit de propriété sur cet immeuble. En remettant en état l'appartement à ses frais, l'intimée n° 1 a fourni une prestation qui a apporté une plus-value au patrimoine du recourant. Dès lors que l'intimée n° 1 n'avait aucun droit sur cet appartement, on comprend aisément que le recourant se soit senti débiteur en raison de la plus-value importante apportée à son bien. Dans une conception non juridique, les parties pouvaient se représenter que l'intimée n° 1 avait prêté cette somme au recourant pour valoriser son immeuble. Il est donc tout à fait plausible que le recourant ait voulu, par une reconnaissance de dette mentionnant un prêt, garantir à sa compagne un versement en contrepartie de son investissement en cas de rupture ou de décès. Cette hypothèse, qui conduit à constater l'existence d'un engagement valable, est en tout cas beaucoup plus vraisemblable que les explications avancées par le recourant.
Dès lors que des hypothèses très plausibles peuvent conduire à constater que l'obligation repose sur une cause valable, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en concluant que le recourant n'était pas parvenu à prouver que la reconnaissance de dette était dépourvue de cause ou fondée sur une cause nulle. C'est donc à juste titre qu'elle s'en est tenue à la présomption résultant de la reconnaissance de dette et qu'elle a condamné le recourant à payer la somme reconnue.
2.2 S'agissant du bateau ..., il est constant qu'il a été acheté avec les deniers du recourant. L'intimée n° 1 n'a fait absolument aucun apport, ni en travail ni en argent, pour ce bateau, de sorte que l'existence d'une société simple à ce sujet doit être d'emblée écartée (art. 531 al. 1 CO). Durant le litige, les parties ont passé un accord manifestement provisoire, qui ne devait en rien préjuger du sort des frais d'entretien. De ce point de vue, l'accord intervenu a été interprété par la cour cantonale conformément au principe de la confiance. Dès lors que le recourant a financé lui-même l'acquisition du bateau, qu'il en est et qu'il en reste le seul propriétaire, il apparaît évident qu'il doit assumer tous les frais liés à ce bien. Il ne ressort pas des faits constatés qu'un contrat ait été conclu entre les parties qui obligerait l'intimée à supporter tout ou partie de ces frais.
Le recourant fait certes valoir que l'intimée a adopté, durant le litige, une attitude qui l'a empêché de jouir entièrement de son embarcation. Il n'invoque cependant pas un préjudice patrimonial, mais une perte de jouissance ou la privation d'un plaisir, ce qui ne constitue pas au sens juridique un dommage susceptible d'être réparé par l'allocation de dommages-intérêts (ATF 115 II 474 consid. 3a p. 481).
2.3 La situation n'est guère différente en ce qui concerne le chien Twiggy.
Il est constant que le recourant a acheté cet animal de ses propres deniers et qu'il en a assumé tous les frais d'entretien. Faute d'apport de l'intimée, il n'est pas question d'une société simple. En tant que propriétaire exclusif de l'animal, le recourant devait évidemment en assumer les frais d'entretien. Il ne ressort pas des constatations cantonales que l'intimée n° 1 ou sa fille (l'intimée n° 2) ait conclu avec lui un contrat portant sur cet animal, ses frais d'entretien ou leur remboursement. La prétention du recourant est donc dépourvue de tout fondement juridique. Qu'il ait décidé, en cours de procédure, de renoncer à demander la restitution de cet animal à l'intimée n° 2 n'y change rien.
3. Les frais et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera aux intimées, créancières solidaires, une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 29 avril 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet