Faits :
A.
A.a. B.X._, né en 1966, et A.X._, née en 1968, se sont mariés le 29 août 1997 à Chexbres (VD). Quatre enfants sont issus de cette union: C._, né en 2000, D._, née en 2001, E._, né en 2001, et F._, né en 2003.
Les conditions de la séparation des époux, intervenue en juin 2010, ont été réglées dans plusieurs prononcés de mesures protectrices de l'union conjugale. Dans un premier temps, le mari a été astreint à contribuer à l'entretien des siens par le versement d'une pension mensuelle fixée ex aequo et bono à 5'500 fr., allocations familliales en sus. Par convention signée le 29 septembre 2011 et ratifiée séance tenante pour valoir arrêt sur appel, les parties sont convenues de réduire le montant de la pension à 4'700 fr., l'épouse s'engageant notamment à entreprendre toutes les démarches utiles pour trouver un emploi.
A l'occasion d'une nouvelle procédure d'appel, les parties ont signé, le 19 juin 2012, une convention prévoyant notamment le versement par le mari d'une contribution de 6'200 fr. par mois, allocations familiales, par 800 fr., en sus, du 1er juillet au 31 décembre 2012, chaque partie se réservant de requérir la révision de la contribution ainsi fixée dès cette dernière date; l'épouse s'est en outre engagée à entreprendre toutes les démarches utiles en vue de trouver un emploi salarié à 50% d'ici au 31 décembre 2012. Par arrêt du 13 juillet 2012, cette convention a été ratifiée pour valoir prononcé partiel de mesures protectrices de l'union conjugale.
A.b. Le 31 août 2012, le mari a déposé une demande unilatérale en divorce.
Par requête du 5 février 2013, il a conclu à ce que la contribution d'entretien qui lui incombe pour l'entretien des siens à titre provisoire soit réduite, dès le 1er janvier 2013, à un montant qui sera précisé en cours d'instance mais qui, en tous les cas, ne dépassera pas 3'000 fr. par mois, allocations familiales en sus.
Des ordonnances de mesures superprovisionnelles ont été rendues les 15 et 22 février ainsi que le 5 mars 2013.
Une audience de mesures provisionnelles a été tenue le 23 avril 2013.
Par ordonnance de mesures provisionnelles du 16 juillet 2013, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a, entre autres points, rejeté la requête déposée par le mari le 5 février 2013, dit que celui-ci contribuera à l'entretien des siens par le versement d'une pension mensuelle provisoire de 6'960 fr., allocations familiales en sus, dès le 1er février 2013, dit que, dans la mesure où le mari paiera directement le loyer de l'appartement de l'épouse et des quatre enfants du couple, la pension précitée sera compensée à concurrence du montant payé à titre de loyer, révoqué le prononcé de mesures superprovisionnelles du 22 février 2013, ordonné à G._ SA, à Y._, de prélever chaque mois sur les montants (indemnités journalières) dus au mari la somme de 4'074 fr. et de la verser directement sur le compte postal au nom de l'épouse, enfin, ordonné au mari de remettre à l'épouse et à G._ SA, d'avance le premier de chaque mois, le certificat médical d'incapacité permettant à cette dernière de verser les avances d'indemnités journalières auxquelles il peut prétendre.
B.
Par arrêt du 21 novembre 2013, notifié le 5 décembre 2013, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud, admettant partiellement l'appel du mari, a notamment réformé l'ordonnance du 16 juillet 2013 en ce sens, d'une part, que celui-ci contribuera à l'entretien des siens par le versement d'une pension mensuelle provisoire de 5'115 fr., allocations familiales en sus, dès le 1er février 2013, et, d'autre part, qu'il est ordonné à G._ SA de prélever chaque mois sur les montants (indemnités journalières) dus à l'intéressé la somme de 2'229 fr. et de la verser directement sur le compte postal au nom de l'épouse.
C.
Par acte du 6 janvier 2014, l'épouse exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 21 novembre 2013. Elle conclut principalement à l'annulation de celui-ci, la cause étant renvoyée devant un autre juge pour qu'il instruise et statue à nouveau dans le sens des considérants. Subsidiairement, elle demande la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que l'appel du mari est rejeté et l'ordonnance du 16 juillet 2013 entièrement confirmée.
La recourante sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimé propose le rejet du recours.
L'autorité cantonale a renoncé à se déterminer.
D.
Par ordonnance du 28 janvier 2014, le Président de la cour de céans a accordé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF; ATF 134 III 426 consid. 2.2), rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par l'autorité de dernière instance cantonale statuant sur recours (art. 75 LTF), dans une cause de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, art. 74 al. 1 let. b LTF). Il a en outre été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) par la partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 LTF), de sorte qu'il est en principe recevable.
1.2. Le recours en matière civile des art. 72 ss LTF étant une voie de réforme (art. 107 al. 2 LTF), le recourant ne doit pas se borner à demander l'annulation de la décision attaquée; il doit également prendre des conclusions sur le fond du litige (ATF 134 III 379 consid. 1.3). De surcroît, les conclusions doivent être déterminées avec suffisamment de précision; ainsi, celles qui portent sur une somme d'argent doivent être chiffrées (ATF 134 III 235 consid. 2). Exceptionnellement, des conclusions non chiffrées suffisent lorsque la somme à allouer est d'emblée reconnaissable au regard de la motivation du recours ou de la décision attaquée (ATF 134 III 235 consid. 2 et les références citées; arrêt 5A_766/2008 du 4 février 2009 consid. 2.2 s., publié in FamPra.ch 2009 p. 422).
En l'occurrence, les conclusions de la recourante ne visent qu'à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à un nouveau juge, subsidiairement à la confirmation de la décision prise par l'autorité de première instance. Toutefois, on comprend du rapprochement de la motivation de son mémoire et de son chef de conclusions tendant à la confirmation de l'ordonnance du 16 juillet 2013 que la recourante sollicite la fixation d'une contribution d'entretien mensuelle de 6'960 fr. et le versement, par G._ SA, d'une somme de 4'074 fr. prélevée sur les indemnités journalières dues au mari, à savoir les montants qu'avait fixé le premier juge.
1.3. Dès lors que la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (cf. ATF 133 III 393 consid. 5.1 in fine; arrêts 5A_488/2013 du 4 avril 2014 consid. 4.1; 5A_9/2007 du 20 avril 2007 consid. 2.1, publié in Pra 2007 n° 137), seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été dûment invoqués et motivés («principe d'allégation», art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 139 I 229 consid. 2.2; 134 I 83 consid. 3.2 et les arrêts cités). La partie recourante qui se plaint de la violation d'un droit fondamental ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme elle le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; elle ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer ses allégations par une argumentation précise (ATF 134 II 349 consid. 3; 133 II 396 consid. 3.2 et les références). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 III 589 consid. 2).
1.4. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, la partie recourante ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que si elle démontre la violation de droits constitutionnels par l'autorité cantonale. Les art. 95 et 97, ainsi que l'art. 105 al. 2 LTF ne s'appliquent donc pas directement puisqu'ils ne sont pas des droits constitutionnels (ATF 133 III 393 consid. 7.1, 585 consid. 4.1). Toutefois, l'application de l'art. 9 Cst. aboutit pratiquement au même résultat: le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires et ont une influence sur le résultat de la décision.
2.
Invoquant l'art. 29 al. 2 Cst., la recourante se plaint de la violation de son droit d'être entendue à plusieurs égards. Elle reproche au juge cantonal de n'avoir pas auditionné les parties sur certains points, d'avoir refusé de donner suite à ses réquisitions de pièces et de faire entendre ses témoins, de s'être fondé, pour établir l'état de fait, sur des documents dont elle n'a pas eu connaissance et qui sont en contradiction avec les pièces figurant au dossier, enfin, de n'avoir pas motivé le point de départ de la pension.
2.1. La garantie constitutionnelle de l'art. 29 al. 2 Cst. prévoit que toute personne a le droit de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, d'avoir accès au dossier, de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur la décision à rendre, de participer à l'administration des preuves valablement offertes, à moins que le fait à prouver ne soit dépourvu de pertinence ou que le moyen de preuve n'apparaisse manifestement inapte à établir le fait allégué, et de se déterminer à leur propos (ATF 132 V 368 consid. 3.1; 129 II 497 consid. 2.2; 127 I 54 consid. 2b; 127 III 576 consid. 2c et les références). L'art. 29 al. 2 Cst. ne confère pas le droit d'être entendu oralement (arrêt 5A_225/2011 du 9 août 2011 consid. 3.2). Le droit d'être entendu ne s'oppose pas à ce que l'autorité mette un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de forger sa conviction, quand bien même le procès est soumis à la maxime inquisitoire (art. 296 al. 1 CPC); si le juge cantonal a refusé une mesure probatoire en procédant à une appréciation anticipée des preuves, ce refus ne peut être remis en cause devant le Tribunal fédéral qu'en invoquant l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) de manière claire et détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 138 III 374 consid. 4.3.2; 131 I 153 consid. 3; 130 II 425 consid. 2.1; 125 I 417 consid. 7b; 115 Ia 8 consid. 3a et 97 consid. 5b).
La jurisprudence a également déduit du droit d'être entendu le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse en saisir la portée, le cas échéant, l'attaquer en connaissance de cause et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle (ATF 133 III 439 consid. 3.3 et les arrêts cités). Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'est pas tenu de discuter tous les arguments soulevés par les parties, mais peut se limiter à ceux qui lui apparaissent pertinents (ATF 136 I 229 consid. 5.2; 136 V 351 consid. 4.2 et les références).
2.2. En tant que la recourante se plaint de l'absence de comparution personnelle de l'intimé depuis le 19 juin 2012, son grief n'apparaît pas fondé. Après avoir refusé par deux fois la requête de dispense de comparution personnelle du mari, le Juge délégué a renoncé à exiger cette comparution à la reprise de l'audience d'appel, fixée le 20 novembre 2013, compte tenu des nouveaux certificats médicaux produits par celui-ci. La recourante ne démontre pas que cette appréciation serait insoutenable. Or conformément à l'art. 316 al. 3 CPC, l'autorité d'appel peut librement décider d'administrer des preuves. Il ressort déjà de cette disposition qu'il ne suffit pas qu'une partie sollicite un acte d'instruction complémentaire pour qu'elle y ait droit. Comme en atteste l'usage du verbe «peut» à chacun des trois alinéas de l'art. 316 CPC, le législateur a souligné que l'autorité dispose d'une grande liberté de manoeuvre pour fixer la conduite des opérations (Nicolas Jeandin, in Code de procédure civile commenté, Bohnet et al. [éd.], 2011, n. 1 ad art. 316 CPC; Karl Spühler, Commentaire bâlois, 2e éd., 2013, n. 1 ad art. 316 CPC; cf. aussi à propos de l'art. 316 al. 2 CPC: ATF 138 III 252 consid. 2.1 et les citations). Lorsque l'autorité cantonale bénéficie d'un large pouvoir d'appréciation, le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec retenue la manière dont elle l'a exercé. Il n'intervient que lorsque celle-ci a excédé son pouvoir d'appréciation ou en a abusé et a abouti à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 138 III 252 consid. 2.1; 136 III 278 consid. 2.2.1 et les arrêts cités). En l'occurrence, la recourante ne démontre pas que tel soit le cas. Son allégation selon laquelle le Juge délégué n'aurait protocolé aucune de ses déclarations et l'aurait empêchée de s'exprimer sur sa situation personnelle lors de dite audience est par ailleurs purement appellatoire: en effet, elle ne tente nullement de démontrer que ce magistrat aurait refusé de retranscrire certaines de ses déclarations au procès-verbal, ni qu'elle se serait opposée à la clôture de la procédure probatoire. Au demeurant, l'art. 29 al. 2 Cst. ne confère pas le droit d'être entendu oralement (cf. supra consid. 2.1); or la recourante ne prétend pas avoir été empêchée de faire valoir ses droits tout au long de la procédure en déposant des observations écrites sur chaque demande ou détermination de la partie adverse.
Quant au refus de donner suite à ses réquisitions de pièces et de faire entendre ses témoins, ainsi que d'ordonner une expertise comptable, son grief tombe à faux, l'autorité cantonale ayant considéré que ces moyens n'étaient pas de nature à apporter, à ce stade, des éléments essentiels pour l'issue de la cause; or le droit à la preuve et à la contre-preuve n'exclut pas une telle appréciation anticipée des preuves (cf. supra consid. 2.1). En ce qui concerne plus particulièrement la mise en oeuvre d'une expertise comptable pour déterminer les revenus du mari, le juge précédent a considéré que le mari avait fourni un certain nombre de pièces permettant une analyse suffisante de sa situation financière à ce stade, l'instruction portant sur ces pièces ayant en outre été complétée par une longue audition du témoin H._, comptable de l'intéressé, dont les déclarations avaient pleine valeur probante. La recourante ne démontre pas l'arbitraire sur ce point (art. 106 al. 2 LTF), de sorte qu'on ne voit pas en quoi son droit d'être entendu aurait été violé.
Dans la mesure où elle reproche en outre au juge d'appel de s'être fondé, s'agissant de l'audition du comptable de l'intimé, sur des documents dont elle n'a pas eu connaissance et en contradiction avec les pièces du dossier, elle se contente d'affirmer qu'elle a demandé la production de ces documents, demande que le juge aurait refusé de protocoler: une fois de plus, ses allégations sont de nature appellatoire et ne peuvent dès lors être prises en compte (art. 106 al. 2 LTF).
Enfin, on ne discerne aucune violation du droit à une décision motivée. S'agissant en particulier du dies a quo de la contribution d'entretien, que l'autorité cantonale a maintenu au 1er février 2013 - comme prévu dans l'ordonnance de première instance du 16 juillet 2013 -, la recourante conclut, devant le Tribunal fédéral, à la confirmation de cette ordonnance, sans formuler de critique concernant le point de départ de la contribution d'entretien. A cet égard, son grief de violation du droit à une décision motivée est dès lors sans pertinence.
3.
La recourante se plaint aussi d'une violation de l'art. 30 al. 1 Cst. La partialité du juge cantonal ressortirait de revirements inexpliqués en sa défaveur dans le cadre de l'instruction, d'un état de fait «nettement orienté», de l'absence de retranscription de déclarations importantes au procès-verbal d'audience du 20 novembre 2013 et du refus systématique des moyens de preuve proposés par elle.
3.1. En vertu de l'art. 30 al. 1 Cst., toute personne dont la cause doit être jugée dans une procédure judiciaire a droit à ce qu'elle soit portée devant un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial. Cette garantie permet d'exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité. Elle vise à éviter que des circonstances extérieures à l'affaire puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du juge est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Cependant, seuls les éléments objectivement constatés doivent être pris en considération; les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (ATF 139 I 121 consid. 5.1; 139 III 433 consid. 2.1.2; 138 I 1 consid. 2.2; 138 IV 142 consid. 2.1 et les arrêts cités).
Des décisions arbitraires ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention; en raison de son activité, le juge est contraint de se prononcer sur des questions contestées et délicates; même si elles se révèlent par la suite erronées, des mesures inhérentes à l'exercice normal de sa charge ne permettent pas encore de le suspecter de parti pris; en décider autrement, reviendrait à dire que tout jugement inexact, voire arbitraire, serait le fruit de la partialité du juge, ce qui est inadmissible. Seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent ainsi justifier une suspicion de partialité, autant que les circonstances corroborent à tout le moins objectivement l'apparence de prévention (ATF 138 IV 142 consid. 2.3).
3.2. La recourante ne démontre pas que l'art. 30 al. 1 Cst. aurait été violé. En particulier, le refus de donner suite à certaines de ses réquisitions de preuves, quel que soit le bien-fondé de ces mesures, ne trahit en soi aucune prévention à son endroit, la recourante n'exposant en outre pas en quoi cette disposition constitutionnelle s'opposerait à l'appréciation anticipée des preuves par l'autorité judiciaire. Il en va de même s'agissant des «revirements» du juge d'appel concernant la dispense de comparution personnelle de l'intimé et l'audition du comptable de celui-ci. Le reproche adressé à l'autorité précédente de n'avoir pas retranscrit des déclarations importantes au procès-verbal du 20 novembre 2013 n'apparaît pas non plus fondé, la recourante se contentant d'affirmer, sans rien démontrer, que les rectifications demandées ne lui auraient pas été accordées; de toute façon, encore faudrait-il que ces prétendus vices de procédure fussent révélateurs d'un parti pris à son encontre. Au regard des conditions posées par la jurisprudence (cf. supra consid. 3.1), tel n'est pas le cas; il n'est pas établi que les violations alléguées - qui ne sont, par ailleurs, nullement avérées - ne puissent s'expliquer que par une prévention du juge. Au reste, il appartenait à la recourante, si elle l'estimait justifié, de requérir la récusation du juge durant la procédure d'appel, dès lors que les prétendus manquements qu'elle lui reproche étaient déjà survenus.
4.
La recourante reproche en outre au juge précédent d'avoir fait preuve d'arbitraire dans la constatation des faits s'agissant des revenus et des charges des parties.
4.1. Dans le domaine de l'appréciation des preuves et de la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (ATF 120 Ia 31 consid. 4b; 118 Ia 28 consid. 1b et les références). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2; 136 III 552 consid. 4.2; 134 V 53 consid. 4.3; 129 I 8 consid. 2.1); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort du litige. Cette retenue est d'autant plus grande lorsque, comme ici, le juge n'examine la cause que d'une manière sommaire et provisoire (ATF 130 III 321 consid. 3.3; 127 III 474 consid. 2b/bb et les références).
4.2.
4.2.1. Selon la recourante, la base mensuelle d'entretien des quatre enfants du couple, tous âgés de plus de 10 ans, est de 2'400 fr. (600 fr. x 4) et non de 2'200 fr. L'autorité cantonale a effectivement retenu à ce titre un montant de 1'400 fr., déduction faite des 800 fr. d'allocations familiales directement perçues par la mère, soit au total 2'200 fr., conformément au montant pris en compte par le premier juge. Il appert toutefois que le plus jeune des enfants a atteint l'âge de dix ans le 1er septembre 2013. Dès lors, la base mensuelle d'entretien de celui-ci est de 600 fr. par mois, comme pour ses frères et soeurs, nés entre le 20 février 2000 et le 20 mars 2001 (cf. Lignes directrices du 1er juillet 2009 pour le calcul du minimum d'existence en matière de poursuite [minimum vital] selon l'art. 93 LP élaborées par la Conférence des préposés aux poursuites et faillites de Suisse, publiées in BlSchK 2009 p. 96 ss).
Si l'on prend en compte la base mensuelle de l'enfant ainsi rectifiée - soit 600 fr. au lieu de 400 fr. par mois - dans les charges de l'épouse, arrêtées à 6'302 fr. 85 par le juge cantonal, celle-ci subit un déficit de 4'502 fr. 85 et non de 4'302 fr. 85, un revenu hypothétique de 2'000 fr. lui ayant été imputé (revenu: 2'000 fr. - charges: 6'502 fr. 85). Comme le mari bénéficie d'un solde de 5'657 fr. 65, et le 60% du disponible des époux (soit 60% de 1'154 fr. 80 = 692 fr. 80) étant attribué à l'épouse et aux enfants, le montant de la contribution d'entretien s'élève ainsi à 5'195 fr. au lieu de 5'115 fr. par mois (4'502 fr. 85 + 692 fr. 80). Cependant, pour que la décision attaquée soit annulée, encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 137 I 1 consid. 2.4; 136 III 552 consid. 4.2; 135 V 2 consid. 1.3). Or l'admission de ce seul grief (cf. infra consid. 4.2.2-4.3.3) ne permet pas de considérer que tel est le cas.
4.2.2. La recourante reproche aussi à l'autorité cantonale d'avoir ignoré les pièces du dossier, qui démontrent que les charges hypothécaires de l'intimé sont payées, non pas par lui, mais par les comptes de l'association qu'il forme avec son frère (ci-après: l'association).
Se fondant sur le témoignage du comptable du mari, l'autorité cantonale a considéré que les frais bancaires (intérêts et amortissements) des dettes hypothécaires dont ce dernier est débiteur, bien que payés par un compte de l'association, constituaient des charges liées à son activité professionnelle, qui venaient en déduction de son revenu fiscal annuel puisqu'ils n'étaient pas déductibles des impôts; en outre, c'était bien le mari qui s'en acquittait dans la mesure où ils étaient rattachés à des dettes personnelles de celui-ci. Cette opinion résiste au grief d'arbitraire. Il résulte en effet des déclarations du comptable, reproduites dans l'arrêt attaqué, que bien que les charges hypothécaires soient réglées par le biais d'un compte au nom de l'association, il s'agit de charges privées qui sont assumées par le mari et que celui-ci mentionne dans sa déclaration d'impôts. La recourante soutient que le juge précédent a constaté les faits de manière arbitraire en se fondant sur les déclarations manifestement peu fiables du témoin plutôt que sur les pièces claires figurant au dossier, et que le fait qu'il s'agisse de mesures provisionnelles examinées sous l'angle de la vraisemblance ne dispensait pas ce magistrat de requérir les pièces comptables de l'intimé: ce faisant, elle ne démontre pas qu'il serait insoutenable de considérer que ces paiements, bien qu'effectués via un compte de l'association, correspondent à des prélèvements privés du mari. En tant qu'il est suffisamment motivé (art. 106 al. 2 LTF), le grief est ainsi infondé.
4.2.3. L'autorité cantonale aurait aussi arbitrairement omis de considérer, dans l'établissement de la situation financière de l'intimé, que celui-ci vivait en concubinage stable, ce qui conduisait à un allégement de ses charges.
Le juge précédent a estimé que, vu le témoignage de son amie, il n'y avait pas lieu de retenir l'existence d'un concubinage simple entre elle et le mari, dans la mesure où celle-ci ne vivait pas de manière continue chez lui - puisqu'étant de nationalité brésilienne, elle ne pouvait séjourner en Suisse que pendant trois mois d'affilée ou illégalement -, qu'elle n'avait aucun revenu et ne participait pas aux charges du ménage.
Si le débiteur d'entretien vit en ménage commun, il paraît justifié de ne prendre compte, dans le calcul de son minimum vital, que la moitié du montant de base et des frais de logement réduits, quand bien même il ne s'agit que d'une (simple) communauté domestique et que le concubin ne lui apporte aucun soutien financier (arrêt 5A_833/2012 du 30 mai 2013 consid. 3). Ce qui est déterminant, ce n'est pas la durée du concubinage, mais l'avantage économique - les économies - qui en découle. Savoir s'il existe un concubinage (simple) entre le débirentier et sa nouvelle compagne est une question de droit; les circonstances dans lesquelles vivent les intéressés relèvent en revanche du fait (ATF 138 III 97 consid. 2.3.2 et les références; arrêt 5A_833/2012 précité consid. 3.3.1).
L'arrêt attaqué retient que l'amie du mari a effectué, depuis 2011, trois séjours de trois mois au maximum en Suisse et qu'elle est retournée le reste du temps dans son pays, le Brésil, où elle travaille périodiquement comme secrétaire pour sa famille. Ces trois séjours se sont déroulés de mars à mai 2011, puis de décembre 2011 à février 2012 et de septembre à novembre 2013. A ces occasions, elle a séjourné dans la maison familiale de l'intimé, parfois dans son appartement, parfois dans celui de sa mère. Elle a aidé à tenir le ménage et faire la cuisine, ainsi que du jardinage. Son départ pour le Brésil était fixé le lendemain de son audition et elle n'avait prévu aucun autre séjour en Suisse, voulant rester un peu avec sa famille; le cancer dont souffrait l'intimé était en outre difficile à supporter pour elle. Sur la base de ces éléments, l'autorité cantonale ne peut se voir reprocher d'avoir commis l'arbitraire en refusant de retenir l'existence d'un concubinage, même simple, entre l'intimé et son amie. La recourante fait certes valoir que le nom de celle-ci est mentionné sur la boîte aux lettres de l'intimé, qu'elle a en réalité passé presque une année chez lui de novembre 2012 à novembre 2013, avec une interruption en juin 2013 pour un voyage en Italie, et que ses enfants la voient chaque semaine depuis deux ans lors du droit de visite chez leur père, ce que celui-ci n'a pas contesté mais qui n'a pas été protocolé: ces allégations sont de nature appellatoire, partant irrecevables (art. 106 al. 2 LTF).
4.2.4. La recourante reproche aussi au juge d'appel de n'avoir pas tenu compte du fait que l'intimé vivait en communauté avec ses parents dans la maison familiale et qu'il en résultait une diminution de ses charges. Ce magistrat ne pouvait donc retenir un montant mensuel de 920 fr. 75 au titre de ses frais de logement, dès lors qu'il bénéfierait du soutien de sa famille pour leur paiement.
Il ne ressort pas de la décision attaquée que l'intimé et ses parents vivraient dans le même logement, ni qu'ils partageraient à parts égales les frais y relatifs. La recourante prétend qu'il y a confusion dans les paiements et les charges de l'intimé et de ses parents, voisins directs, et que, selon ses enfants, tous les repas sont pris en commun. Ces constatations ne résultent toutefois pas de l'arrêt déféré, sans que la recourante ne démontre d'arbitraire à ce sujet. A cet égard, il n'est pas décisif que l'amie du mari fasse le ménage de la mère de celui-ci lorsqu'elle se trouve en Suisse, ni que les enfants prennent les repas non seulement avec leur père mais aussi avec leurs grands-parents lors de l'exercice du droit de visite. Dans la mesure où la recourante paraît prétendre que l'intimé ne paierait en réalité que la moitié de son loyer, son allégation n'est pas non plus établie. Autant qu'il est suffisamment motivé (art. 106 al. 2 LTF), le grief est ainsi infondé.
4.2.5. L'autorité cantonale a considéré qu'on ne pouvait exiger de l'intimé qu'il déménage et loue le logement qu'il occupe actuellement pour en retirer un revenu supplémentaire, compte tenu de son état de santé et du fait qu'il doit pouvoir recevoir ses quatre enfants. La recourante le conteste. Elle prétend en substance qu'il est choquant que l'intimé occupe un appartement de 7 pièces d'une surface de 280 m2, que cet appartement pourrait être aisément loué, ce qui permettrait d'augmenter le disponible des parties, et que l'intimé aurait la possibilité de s'installer dans l'apparement de vacances de 2,5 pièces situé dans le même immeuble. Selon la recourante, on ne voit pas en quoi un tel déménagement aurait un impact négatif sur sa santé. De plus, l'accueil de ses enfants ne serait nullement entravé, dès lors qu'ils dorment déjà de temps en temps chez leurs grands-parents et passent l'essentiel de leur droit de visite chez eux. Par cette argumentation, essentiellement fondée sur des faits qui ne résultent pas de l'arrêt attaqué, la recourante se contente d'opposer sa propre appréciation de la situation à celle effectuée par l'autorité cantonale, ce qui ne suffit pas à démontrer l'arbitraire. En ce qui concerne la possibilité que l'intimé aurait de louer l'appartement qu'il occupe actuellement, et même en admettant qu'il puisse être inféré de l'arrêt attaqué qu'il en est propriétaire, il n'apparaît pas insoutenable, vu les circonstances, de ne pas l'obliger à déménager à ce stade de la procédure. Au demeurant, comme il sera exposé plus loin, il n'est pas établi que la contribution litigieuse ne permettrait pas de couvrir le coût d'entretien des enfants et de maintenir pour l'épouse le niveau de vie qui était le sien durant la vie commune ou, à tout le moins, un niveau de vie équivalent à celui du mari (cf. infra consid. 4.3.1.2). Le grief doit par conséquent être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
4.2.6. La recourante soutient en outre qu'il lui est impossible d'obtenir des gains supplémentaires. L'autorité cantonale aurait donc fait preuve d'arbitraire en lui imputant un revenu hypothétique supérieur à celui qu'elle obtient effectivement de son travail.
4.2.6.1. Un conjoint peut se voir imputer un revenu hypothétique, pour autant qu'il puisse gagner plus que son revenu effectif en faisant preuve de bonne volonté et en accomplissant l'effort que l'on peut raisonnablement exiger de lui. L'obtention d'un tel revenu doit donc être effectivement possible. Savoir si l'on peut raisonnablement exiger d'une personne une augmentation de son revenu est une question de droit; en revanche, déterminer quel revenu la personne a la possibilité effective de réaliser est une question de fait (ATF 137 III 102 consid. 4.2.2.2; 128 III 4 consid. 4c/bb).
La capacité de pourvoir soi-même à son entretien est susceptible d'être limitée totalement ou partiellement par la charge que représente la garde des enfants. En principe, on ne peut exiger d'un époux la prise ou la reprise d'une activité lucrative à un taux de 50% avant que le plus jeune des enfants n'ait atteint l'âge de 10 ans révolus, et de 100% avant qu'il n'ait atteint l'âge de 16 ans révolus (ATF 115 II 6 consid. 3c; 137 III 102 consid. 4.2.2.2). Ces lignes directrices sont toujours valables dès lors que, comme par le passé, la garde et les soins personnels sont dans l'intérêt des enfants en bas âge, ainsi que de ceux en âge de scolarité, et que les soins personnels représentent un critère essentiel lors de l'attribution de la garde (ATF 137 III 102 consid. 4.2.2.2 et la référence). Elles ne sont toutefois pas des règles strictes; leur application dépend des circonstances du cas concret (ATF 137 III 102 consid. 4.2.2.2; arrêt 5A_241/2010 du 9 novembre 2010 consid. 5.4.3), notamment de ce qui a été convenu durant la vie commune (arrêts 5A_70/2013 du 11 juin 2013 consid. 5.1; 5A_6/2009 du 30 avril 2009 consid. 2.2) ou des capacités financières du couple. Le juge du fait tient compte de ces lignes directrices dans l'exercice du large pouvoir d'appréciation qui est le sien (art. 4 CC; ATF 134 III 577 consid. 4).
4.2.6.2. Selon l'autorité cantonale, l'épouse est âgée de 45 ans et est en bonne santé. Elle est titulaire d'un diplôme de technicienne en radiologie médicale (ci-après: TRM), mais n'a plus exercé dans ce domaine dès la naissance de ses jumeaux en 2000. Depuis l'audience d'appel du 19 juin 2012, elle cumule deux emplois - l'un auprès d'une société et l'autre auprès de l'Entraide familiale de sa région - et travaille en moyenne 42 heures et demie par mois, ce qui équivaut à un taux d'activité de 25%. Considérant que l'épouse n'avait pas entrepris toutes les démarches possibles pour augmenter son revenu, puisqu'elle n'avait pas réellement cherché une activité à 50% comme elle s'y était engagée et ne l'envisageait d'ailleurs pas, et qu'elle n'avait plus effectué d'offres d'emploi depuis qu'elle avait trouvé son poste actuel dans une société, ni donné suite à la proposition de stage de mise à niveau du CHUV, le juge précédent a estimé qu'elle serait pourtant en mesure d'exercer une activité lucrative à un taux plus élevé. Il était en tout cas raisonnable d'exiger d'elle, dès lors que son fils cadet était âgé de 10 ans et vu la situation familiale des parties, qu'elle exerce une activité lucrative à 40%. Dans son domaine de formation professionnelle, à un tel taux, elle serait à même de réaliser un revenu mensuel brut d'au moins 2'100 fr., selon l'échelle des salaires du canton de Vaud. De plus, d'après les statistiques suisses, pour une activité nécessitant des connaissances professsionnelles spécialisées, elle pourrait prétendre à un salaire mensuel brut d'environ 2'300 fr. pour une activité à 40%. Dès lors, il pouvait lui être imputé un revenu hypothétique de 2'000 fr. net par mois.
4.2.6.3. La recourante expose qu'elle doit élever seule quatre enfants âgés de 10 à 13 ans, qu'elle a été accidentée le 2 juin 2013, ce qui lui a occasionné une pleine incapacité de travail jusqu'au 18 septembre 2013, et que, compte tenu de l'âge des enfants et de son travail auprès de l'entraide familiale, il lui aurait été impossible de se libérer pour suivre le stage de formation continue du CHUV débutant fin avril 2012, qui se déroulait à plein temps sur plusieurs semaines. De plus, même si elle avait suivi cette formation, il est très peu probable qu'elle aurait trouvé un poste de TRM, le courriel du CHUV du 11 octobre 2011 indiquant qu'aucun poste n'était alors vacant en radio-oncologie, que la direction risquait de diminuer l'effectif des TRM à la fin de l'année et que cette activité diminuerait en raison de la concurrence des cliniques privées.
La recourante ne démontre pas que l'autorité cantonale aurait fait preuve d'arbitraire dans la constatation des faits en retenant qu'elle n'avait pas effectué toutes les démarches possibles pour augmenter son revenu. Tel est en particulier le cas lorsqu'elle affirme qu'elle ne pouvait trouver un emploi de TRM au CHUV en octobre 2011, cette constatation, fût-elle insoutenable, n'étant à elle seule pas déterminante. L'autorité cantonale a en effet constaté, sans que la recourante ne soulève de grief à ce sujet, que celle-ci n'avait pas formulé d'autres offres d'emploi, et qu'elle n'envisageait pas de trouver une activité à un taux plus élevé que celui de 25% qui était le sien actuellement. A cet égard, il n'est au demeurant pas décisif qu'elle se soit trouvé en incapacité de travail du 2 juin au 18 septembre 2013 à la suite d'un accident.
L'argumentation de la recourante n'établit en outre aucune application arbitraire du droit fédéral. Selon la jurisprudence, une activité lucrative ne peut certes, en principe, être raisonnablement exigée lorsqu'un époux a de nombreux enfants à charge (arrêts 5A_776/2012 du 13 mars 2013 consid. 5.4.2; 5A_6/2009 du 30 avril 2009 consid. 2.2). Il appert toutefois que la recourante, qui travaillait jusqu'à la naissance de ses jumeaux, en 2000, a d'ores et déjà repris des activités professionnelles correspondant à un taux de 25%, réalisant ainsi, selon elle, un revenu de 1'232 fr. par mois. Au surplus, par convention signée le 29 septembre 2011 et ratifiée séance tenante pour valoir arrêt sur appel, elle s'était engagée à entreprendre toutes les démarches utiles pour trouver un emploi et, lors de l'audience du 19 juin 2012, à entreprendre toutes les démarches utiles en vue de trouver un emploi salarié à 50% d'ici au 31 décembre 2012, cette convention ayant été ratifiée pour valoir prononcé partiel de mesures protectrices de l'union conjugale par arrêt du 13 juillet 2012. Sous l'angle de l'arbitraire, l'autorité cantonale, qui dispose dans ce domaine d'un large pouvoir d'appréciation (art. 4 CC), ne saurait dès lors se voir reprocher d'avoir considéré qu'il pouvait être exigé de l'épouse qu'elle augmente son activité professionnelle de 25% à 40% afin d'obtenir un revenu de l'ordre de 2'000 fr. par mois, soit moins de 800 fr. de plus que ce qu'elle réalise actuellement. Dans la mesure où il est suffisamment motivé (art. 42 et 106 al. 2 LTF), le grief est par conséquent infondé.
4.2.7. Le juge précédent aurait de plus arbitrairement constaté les charges de la recourante s'agissant, en particulier, des frais de transport ainsi que des frais dentaires, orthodontiques et de lunettes des enfants, et en omettant de tenir compte de ses dettes, qui s'élèveraient à 430 fr. par mois au moins. Il ressort de l'arrêt entrepris que les charges de l'épouse et des enfants, telles que retenues en première instance, n'ont pas été contestées devant le juge cantonal. Dans cette mesure, les critiques de la recourante, qu'elle n'a pas soulevées dans sa réponse sur appel, sont irrecevables faute d'épuisement des voies de droit cantonal (art. 75 al. 1 LTF; arrêt 5A_216/2009 du 14 juillet 2009 consid. 3.2).
4.3. Dans un autre moyen, la recourante soulève l'arbitraire dans l'application du droit. Elle se plaint de la violation des art. 159 al. 3, 163, 176, 276 et 285 CC ainsi que de l'art. 296 CPC.
4.3.1. La recourante soutient que le juge précédent aurait dû s'écarter de la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent, qui serait inadaptée au cas particulier vu la situation financière favorable des époux.
4.3.1.1. Le montant de la contribution d'entretien due selon l'art. 176 al. 1 ch. 1 CC, applicable par analogie aux mesures provisionnelles (art. 276 al. 1 2e phrase CPC), se détermine en fonction des facultés économiques et des besoins respectifs des époux. Le législateur n'a pas arrêté de mode de calcul à cette fin. L'une des méthodes préconisées par la doctrine, qui est considérée comme conforme au droit fédéral, est celle dite du minimum vital avec répartition de l'excédent. Selon cette méthode, lorsque le revenu total des conjoints dépasse leur minimum vital de base du droit des poursuites (art. 93 LP), auquel sont ajoutées les dépenses non strictement nécessaires, l'excédent est en règle générale réparti par moitié entre eux (ATF 114 II 26), à moins que l'un des époux ne doive subvenir aux besoins d'enfants mineurs communs (ATF 126 III 8 consid. 3c et les arrêts cités) ou que des circonstances importantes ne justifient de s'en écarter (ATF 119 II 314 consid. 4b/bb).
En cas de situation financière favorable, il convient plutôt de se fonder sur les dépenses indispensables au maintien des conditions de vie antérieures (arrêts 5A_778/2013 du 1er avril 2014 consid. 5.1; 5A_291/2013 du 27 janvier 2014 consid. 6.3; 5A_323/2012 du 8 août 2012 consid. 5.1, non publié in ATF 138 III 672 et les arrêts cités), le train de vie mené jusqu'à la cessation de la vie commune constituant la limite supérieure du droit à l'entretien (ATF 121 I 97 consid. 3b; arrêt 5A_147/2012 du 26 avril 2012 consid. 4.1.1 et les références). Le principe de l'égalité de traitement des époux en cas de vie séparée ne doit en effet pas conduire à ce que, par le biais d'un partage du revenu global, se produise un déplacement de patrimoine qui anticiperait sur la liquidation du régime matrimonial (ATF 121 I 97 consid. 3b; 114 II 26 consid. 8). Lorsqu'il est établi que les conjoints ne réalisaient pas d'économies durant le mariage, ou que l'époux débiteur ne démontre pas qu'ils ont réellement fait des économies, ou encore qu'en raison des frais supplémentaires liés à l'existence de deux ménages séparés et de nouvelles charges, le revenu est entièrement absorbé par l'entretien courant, il est admissible de s'écarter d'un calcul selon les dépenses effectives des époux durant le mariage (ATF 134 III 145 consid. 4; 119 II 314 consid. 4b). En effet, dans de tels cas, la méthode du minimum vital élargi avec répartition, en fonction des circonstances concrètes, de l'excédent entre les époux permet de tenir compte adéquatement du niveau de vie antérieur et des restrictions à celui-ci qui peuvent être imposées au conjoint créancier et aux enfants (ATF 137 III 102 consid. 4.2.1.1).
En tant que des enfants mineurs sont concernés, le juge ordonne les mesures nécessaires d'après les dispositions sur les effets de la filiation (art. 176 al. 3 CC). Selon l'art. 285 al. 1 CC, la contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère, compte tenu de la fortune et des revenus de l'enfant ainsi que de la participation de celui des parents qui n'a pas la garde de l'enfant à la prise en charge de ce dernier.
4.3.1.2. La recourante se contente d'exposer sa propre appréciation de la cause, sans toutefois démontrer que le Juge délégué aurait appliqué arbitrairement le droit fédéral ou violé le large pouvoir d'appréciation dont il dispose en choisissant la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent. Quoi qu'il en soit, pour que le Tribunal fédéral intervienne du chef de l'art. 9 Cst., encore faudrait-il que l'arrêt attaqué se révèle arbitraire, non seulement dans sa motivation, mais encore dans son résultat. Tel serait le cas en particulier si la contribution allouée ne permettait plus de couvrir le coût d'entretien des enfants et de maintenir pour l'épouse le niveau de vie qui était le sien durant la vie commune ou, à tout le moins, un niveau de vie équivalent à celui du mari. Or la recourante n'établit pas que tel serait le cas. Reprenant son grief relatif à l'absence de prise en considération de ses dettes, déclaré irrecevable selon l'art. 75 al. 1 LTF (cf. supra consid. 4.2.7), elle soutient en bref qu'elle se trouve désavantagée de manière choquante par rapport à l'intimé, lequel bénéficierait du même train de vie que durant la vie commune alors qu'elle n'arriverait pas à subvenir aux besoins premiers des enfants. Par cette argumentation, elle ne démontre pas que la contribution d'entretien arrêtée par l'autorité précédente serait arbitraire dans son résultat. Le grief doit par conséquent être rejeté.
4.3.2. Selon la recourante, les maximes inquisitoire et d'office auraient également été appliquées de manière arbitraire.
4.3.2.1. En vertu de l'art. 296 al. 1 CPC, les maximes inquisitoire et d'office s'appliquent lorsque le juge est saisi de questions relatives aux enfants dans les affaires de droit de la famille. Le juge a le devoir d'éclaircir les faits et de prendre en considération d'office tous les éléments qui peuvent être importants pour rendre une décision conforme à l'intérêt de l'enfant, même si ce sont les parties qui, en premier lieu, lui soumettent les faits déterminants et les offres de preuve. Il n'est lié ni par les faits allégués, ni par les faits admis, ni par les moyens de preuve invoqués par les parties; il ordonne d'office l'administration de tous les moyens de preuve propres et nécessaires à établir les faits pertinents (arrêts 5A_229/2013 du 25 septembre 2013 consid. 4.1 et 5A_442/2013 du 24 juillet 2013 consid. 5.1).
4.3.2.2. Il ressort de la décision entreprise que le juge précédent a statué sur un état de fait qui diverge partiellement des allégations de la recourante, fondé cependant sur les preuves administrées, à l'exception de celles jugées non pertinentes à la suite d'une appréciation anticipée. La recourante prétend que ce magistrat a arbitrairement ignoré toute une série d'éléments pourtant démontrés, lesquels, s'ils avaient été pris en compte, auraient immanquablement eu une influence sur la fixation de la contribution d'entretien. Cette critique n'a pas de portée propre par rapport à celle d'arbitraire dans l'établissement des faits. Partant, on ne voit pas en quoi les maximes inquisitoire et d'office auraient été appliquées de manière insoutenable.
4.3.3. Enfin, en tant que la recourante reproche à l'autorité cantonale de lui avoir imputé un revenu hypothétique à titre rétroactif, la jurisprudence à laquelle elle se réfère ne lui est d'aucun secours, dès lors qu'elle concerne une situation différente du cas particulier. L'arrêt en question (ATF 129 III 417 consid. 2.2) prévoit en effet qu'il n'est pas arbitraire d'accorder à l'épouse un délai convenable pour reprendre son activité lucrative après la naissance de son enfant conçu hors mariage. En l'occurrence, la séparation est intervenue en juin 2010 et la recourante s'est engagée, en juin 2012 déjà, à entreprendre toutes les démarches utiles pour trouver un emploi à 50% d'ici au 31 décembre suivant. Dans ces conditions, l'autorité cantonale ne saurait se voir reprocher d'avoir fait preuve d'arbitraire en considérant, dans le cadre de mesures provisionnelles requises en février 2013, qu'on pouvait exiger d'elle qu'elle augmente son taux d'activité de 25% à 40%.
5.
En conclusion, le recours apparaît mal fondé et ne peut donc qu'être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les conclusions de la recourante n'étaient toutefois pas vouées à l'échec et ses ressources sont faibles. Sa requête d'assistance judiciaire doit par conséquent être admise (art. 64 al. 1 LTF). Cet octroi ne la dispense pas pour autant de payer des dépens à sa partie adverse, qui l'emporte (ATF 122 I 322 consid. 2c). La recourante supportera en outre les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF), qui seront cependant provisoirement pris en charge par la Caisse du Tribunal fédéral.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est admise et Me Alix de Courten, avocate, lui est désignée comme conseil d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante, mais ils sont provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2'500 fr., à verser à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
5.
La Caisse du Tribunal fédéral versera au mandataire de la recourante une indemnité de 2'500 fr. à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 3 juillet 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : La Greffière :
von Werdt Mairot