Faits:
A.
A.a. Le 12 juillet 1989, Y._ a octroyé à A._ un crédit d'un montant de 700'000 fr. dont le remboursement était garanti par la remise en propriété d'une cédule hypothécaire au porteur (n° xxxx) grevant en premier rang les parcelles nos 3 et 4 de la commune de B._ dont celui-ci était propriétaire.
Le 3 juin 1992, le même établissement lui a ouvert un crédit de 110'000 fr., semble-t-il garanti par deux cédules en deuxième rang nos 1 et 2.
A.b. Après la reprise de Y._ par la Banque X._ (ci-après: X._), le prêt hypothécaire de 700'000 fr. a été maintenu selon acte des 18 et 29 juillet 1996. Le 29 juillet 1996, A._ a également confirmé la cession à X._ " en propriété et à fin de garantie " de la propriété de la cédule hypothécaire au porteur n° 3 en 1er rang de 700'000 fr. grevant ses immeubles n°s 3 et 4 de la commune de B._.
Par la suite, les crédits furent renouvelés et augmentés, puis partiellement remboursés, notamment par la vente de la parcelle n° 4.
La banque a dénoncé au remboursement les crédits et les cédules hypothécaires.
B.
Le 24 mai 2005, X._ a formé une réquisition de poursuite en réalisation de gage immobilier contre A._ pour le montant de 700'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er août 2001 et de 141'0 fr. 85 avec intérêts à 6% l'an dès le 4 décembre 2002, sous déduction des sommes de 139'665 fr. 90 (valeur au 15 décembre 2004), de 1'200 fr. (valeur au 24 février 2005) et de 1'743 fr. 10 (valeur au 24 février 2005).
Le commandement de payer le montant de 699'385 fr. 85 (poursuite n° xxxx de l'Office des poursuites de Z._) a été notifié à A._, ainsi qu'à son épouse conformément à l'art. 153 LP, le 7 juin 2005. Les poursuivis ont formé opposition.
Le 4 janvier 2007, la banque a ouvert action en paiement devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois, et requis également la mainlevée définitive des oppositions au commandement de payer. Par arrêt du 2 juillet 2009, la Cour civile a condamné A._ à payer à la banque le montant de 700'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juin 2004, sous déduction de 139'556 fr. 90, valeur au 15 décembre 2004, de 2'943 fr. 10, valeur au 24 février 2005, et de 126'815 fr., valeur au 3 août 2006, la mainlevée définitive des oppositions étant accordée pour ces montants, arrêt que le Tribunal fédéral n'a réformé qu'en ce qui concerne le point de départ des intérêts sur le montant de 700'000 fr. fixé au 1er août 2001 (cf. arrêt 4A_130 et 138/2010 du Tribunal fédéral du 15 décembre 2010; dispositif ch. 1.1), le prononcé de la mainlevée étant confirmé avec les intérêts à la date du 1er juin 2004 (ch. 1.2). Il ressort des motifs de cet arrêt que les intérêts sur le capital pour la période du 1er août 2001 au 31 mai 2004 ne sont ni garantis par le gage immobilier, ni recouvrables dans la poursuite n° xxxx, mais qu'ils sont dus conventionnellement (cf. consid. 2).
C.
Se fondant sur l'arrêt du Tribunal fédéral du 15 décembre 2010, X._ a formé, le 4 février 2011, une réquisition de poursuite or dinaire contre A._ pour le montant de 700'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er août 2001, sous déduction de 139'556 fr. 90, valeur au 15 décembre 2004, de 2'943 fr. 10, valeur au 24 février 2005 et de 126'815 fr., valeur au 3 août 2006. Le poursuivi a fait opposition au commandement de payer (poursuite n° xxxx de l'Office des poursuites du district de C._), qui lui a été notifié le 17 février 2011.
Par prononcé du 11 décembre 2012, le Juge de paix du district de Morges a accordé à la banque la mainlevée définitive de l'opposition.
Statuant le 12 juillet 2013, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours de A._ et confirmé le prononcé du juge de paix.
D.
Le 17 septembre 2013, A._ a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant, principalement, à sa réforme en ce sens que la requête de mainlevée est rejetée et son opposition au commandement de payer maintenue et, subsidiairement, à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants, les frais judiciaires devant être mis à la charge du fisc et une indemnité de dépens devant lui être allouée. Il invoque la violation de l'art. 855 al. 1a CC en relation avec l'art. 17 al.1 Tit. fin. CC, ainsi que celle du principe de l'interdiction de la double poursuite.
Il sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invitées à se déterminer, la banque a conclu au rejet du recours et la cour cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
Par ordonnance du 2 décembre 2013, l'effet suspensif a été attribué au recours.
Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) à l'encontre d'une décision de mainlevée définitive (art. 80 LP), soit une décision finale (art. 90 LTF; ATF 133 III 399 consid. 1.4), rendue en matière de poursuite pour dettes (art. 72 al. 2 let. a LTF) par le tribunal supérieur du canton ayant statué sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF); la valeur litigieuse est atteinte (art. 74 al. 1 let. b LTF); le poursuivi, qui a été débouté de ses conclusions par l'autorité précédente, a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF).
1.2. L'état de fait de l'arrêt attaqué étant incomplet, il a été complété (art. 105 al. 2 LTF) à l'aide de l'arrêt du Tribunal fédéral du 15 décembre 2010 (cf. arrêt 4A_130 et 138/2010).
2.
Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral, y compris les droits constitutionnels (art. 95 let. a LTF). La décision en matière de mainlevée, qu'elle soit définitive ou provisoire, n'est en effet pas une décision de mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF - contre laquelle seule la violation des droits constitutionnels peut être invoquée - (ATF 133 III 399 consid. 1.5; 135 III 670 consid. 1.3-1.3.1).
3.
3.1. Le débiteur ayant fait valoir qu'il est inadmissible de mener de front deux ou plusieurs poursuites pour une même créance, et que c'est par la voie de l'opposition - et non de la plainte - que ce moyen devait être invoqué, la cour cantonale a considéré que, lorsque la cédule hypothécaire est remise en garantie à titre fiduciaire, il y a juxtaposition entre la créance abstraite et la créance causale et que l'une et l'autre peuvent faire l'objet d'une exécution forcée, la première venant doubler la seconde afin d'en faciliter le recouvrement. La banque ayant d'abord poursuivi le recourant par la voie de la poursuite en réalisation de gage immobilier, la question du beneficium excussionis realiset de la plainte ne se poserait pas. La banque était donc légitimée à procéder contre le débiteur à la fois par le biais de la poursuite en réalisation de gage pour la créance abstraite et par la poursuite ordinaire pour la créance causale.
3.2. Le recourant soulève deux griefs. Premièrement, il invoque pour la première fois la violation de l'art. 855 al. 1a CC en relation avec l'art. 17 al. 1 Tit. fin CC: reprochant à la cour cantonale d'avoir appliqué le nouveau droit entré en vigueur le 1 er janvier 2012, il fait valoir que l'art. 855 al. 1a CC s'applique et que la cédule a été remise en garantie directe, l'effet novatoire de la disposition précitée ayant déployé ses effets et éteint la créance causale. Deuxièmement, il invoque la violation du principe de l'inadmissibilité de la double poursuite, soutenant de manière quelque peu confuse que la seconde poursuite - ordinaire - est inadmissible car elle porte sur la même créance que la poursuite en réalisation de gage immobilier, dans laquelle la réquisition de vente a déjà été déposée.
4.
4.1. Le droit de la cédule hypothécaire a été modifié lors de la révision du 11 décembre 2009, entrée en vigueur le 1er janvier 2012 (RO 2011 4637 ss, p. 4657). Dès lors que la cédule hypothécaire a en l'espèce été remise en garantie avant l'entrée en vigueur du nouveau droit, le présent recours doit être examiné sous l'angle de l'ancien droit (art. 1 al. 1 et 26 al. 1 Tit. fin. CC; cf. Denis Piotet, Le droit transitoire de la révision du Code civil du 11 décembre 2009 et la pratique notariale, Le notaire bernois 2010 225 ss, p. 230; Bénédict Foëx, Le nouveau droit des cédules hypothécaires, in: JdT 2012 II 3 ss, p. 14).
4.2. C'est à tort que le recourant croit que la cour cantonale aurait appliqué le nouveau droit. Elle s'est fondée exclusivement sur l'ancien art. 855 al. 1 CC, dont elle a précisé qu'il était de droit dispositif, et sur la jurisprudence rendue sous l'ancien droit. Le recourant soutient pour la première fois que la cédule hypothécaire au porteur aurait été remise en garantie directe avec effet novatoire, mais sans exposer les faits sur lesquels il se fonde pour l'affirmer. Sa conception est en outre contradictoire: si effet novatoire il y avait, il pourrait être poursuivi pour le montant total de 700'000 fr., alors même qu'il admet que soient portés en déduction de la créance abstraite les montants de 139'556 fr. 90, 2'943 fr. 10 et 126'815 fr. 10 versés. La cédule a donc bien été remise à titre de garantie fiduciaire, le débiteur pouvant opposer l'exception de la limitation de la garantie à la créance causale ( pactum de non petendo ).
5.
Il s'impose donc d'examiner si la cession à titre fiduciaire de la cédule hypothécaire au porteur autorise le créancier à poursuivre en parallèle en recouvrement, d'une part, la créance cédulaire (abstraite) par la poursuite en réalisation de gage immobilier et, d'autre part, la créance de prêt (causale) par la poursuite ordinaire.
5.1. Sous le droit antérieur à la révision du Code civil de 2009 (cf. supra consid. 4.1), comme sous le nouveau droit, la cédule hypothécaire est une créance personnelle garantie par un gage immobilier (art. 842 a CC et art. 842 al. 1 CC; Message du Conseil fédéral du 27 juin 2007 concernant la révision du Code civil suisse (Cédule hypothécaire de registre et autres modifications des droits réels), FF 2007 5015 ss, p. 5053 [ci-après: Message]). Il s'agit d'un papier-valeur qui incorpore à la fois la créance et le droit de gage immobilier, qui en est l'accessoire.
5.1.1. Selon la jurisprudence, lorsque les parties conviennent - par contrat de fiducie - que la cédule hypothécaire est remise au créancier en propriété à titre fiduciaire aux fins de garantie (garantie fiduciaire; Sicherungsübereignung), il n'y a pas novation de la créance garantie (ATF 136 III 288 consid. 3.1; 134 III 71 consid. 3 et les références); la créance incorporée dans la cédule se juxtapose à la créance garantie en vue d'en faciliter le recouvrement (ATF 119 III 105 consid. 2a in fine ). On distingue alors la créance abstraite (ou créance cédulaire) garantie par le gage immobilier, incorporée dans la cédule hypothécaire, et la créance causale (ou créance garantie ou encore créance de base) résultant de la relation de base, en général un contrat de prêt, pour laquelle la cédule a été remise en garantie, ces deux créances étant indépendantes l'une de l'autre. La créance abstraite incorporée dans la cédule hypothécaire et garantie par le gage immobilier doit faire l'objet d'une poursuite en réalisation de gage immobilier; la créance causale doit faire l'objet d'une poursuite ordinaire (ATF 136 III 288 consid. 3.1 et les arrêts cités). Ces considérations demeurent d'ailleurs valables sous le nouveau droit, qui présume toutefois la remise de la cédule à titre de garantie fiduciaire (art. 842 al. 2 CC), alors que l'ancien droit présumait la remise à titre de garantie directe, avec novation (art. 855 al. 1a CC).
5.1.2. Dans la poursuite en réalisation de gage immobilier pour la créance abstraite, la cédule hypothécaire au porteur est une reconnaissance de dette au sens de l'art. 82 al. 1 LP et vaut titre de mainlevée pour toute la créance instrumentée dans le titre (ATF 134 III 71 consid. 3; arrêt 5A_226/2007 du 20 novembre 2007 consid. 5.1 et les références). Le créancier n'a donc pas à produire une reconnaissance de dette pour la créance causale.
Si le créancier poursuit pour le montant de la créance abstraite incorporée dans le titre, alors que la créance causale (en capital et intérêts) est d'un montant inférieur, le débiteur poursuivi peut opposer les exceptions personnelles dont il dispose contre le poursuivant (propriétaire fiduciaire), conformément au contrat de fiducie, en particulier celle consistant à exiger la limitation de la somme réclamée au montant de la créance causale (art. 855 al. 2 et 872a CC; art. 842 al. 3 et 849 al. 1 CC); il doit rendre vraisemblable, dans le cadre de l'art. 82 al. 2 LP, que le montant de la créance causale est inférieur au montant de la créance abstraite incorporée dans le titre et que le créancier a, à tort, poursuivi pour le montant de cette dernière (arrêt 5A_226/2007 du 20 novembre 2007 consid. 5.1 et les références; cf. également ATF 136 III 288 consid. 3.2).
Si la créance causale (en capital et intérêts) résultant du rapport de base est en revanche supérieure au montant nominal de la créance cédulaire (capital) majoré des intérêts couverts par le droit de gage, le créancier peut faire valoir dans la poursuite en réalisation de gage immobilier l'intégralité de la créance cédulaire avec les intérêts de trois années échus au moment de l'ouverture de la faillite ou de la réquisition de vente. Pour le calcul de ces intérêts, le nouvel art. 818 al. 1 ch. 3 CC est applicable immédiatement (art. 26 al. 2 Tit. fin. CC; Piotet, op. cit., p. 230; Foëx, op. cit., p. 14) : la cédule ne garantit au créancier gagiste que les intérêts effectivement dus pour un maximum de trois ans, ainsi que les intérêts courants et les intérêts moratoires (Message p. 5049/5050; cf. Paul-Henri Steinauer, Les droits réels, tome III, 4e éd., Berne 2012, n° 2795a [cité ci-après: T. III]; le même, La nouvelle réglementation de la cédule hypothécaire, in: Jusletter, p. 67 note 51; Foëx, op. cit., p. 8).
Le solde de la créance causale doit faire l'objet d'une poursuite ordinaire (ATF 136 III 288 consid. 3.2 et les références; arrêt 5A_295/2012 du 9 octobre 2012 consid. 4.2.2, in: SJ 2013 I p. 417); pour le recouvrement de ce solde, le créancier n'a pas à attendre l'issue de la procédure en réalisation de gage immobilier, puisque cet excédent n'est manifestement pas couvert par le gage et que l'exception du beneficium excussionis realis de l'art. 41 al. 1bis LP n'entre donc pas en ligne de compte (arrêt 5A_295/2012 précité consid. 4.2.2 et les références).
5.1.3. Dans un arrêt de ce jour, le Tribunal fédéral s'est prononcé sur la possibilité pour le créancier, propriétaire fiduciaire de la cédule, d'introduire parallèlement une poursuite en réalisation de gage immobilier pour l'intégralité de la créance abstraite (capital et intérêts) et une poursuite ordinaire pour l'entier de la créance causale (cf. arrêt 5A_686/2013 du 31 janvier 2014 destiné à la publication).
Il a considéré que le fait que la créance causale et la créance abstraite coexistent ne signifie nullement que les deux créances s'ajoutent l'une à l'autre en ce sens que le créancier pourrait exiger cumulativement l'exécution des deux créances, ni qu'il pourrait choisir entre la poursuite ordinaire en recouvrement de la créance causale et la poursuite en réalisation de gage pour la créance abstraite. En effet, il découle de la nature de la convention de fiducie que les parties conviennent tacitement d'une clause de bénéfice de discussion réelle: le créancier a donc l'obligation de rechercher d'abord la créance abstraite. Le débiteur a toutefois la possibilité, par convention expresse, de renoncer au bénéfice de l'exception de discussion réelle, de telle sorte que le créancier pourrait poursuivre directement la créance causale, sans que le débiteur puisse s'y opposer en exigeant qu'il recherche en premier lieu la créance abstraite (arrêt 5A_686/2013 susmentionné consid. 5.1.3 - 5.1.5).
5.1.4. Si le créancier introduit contre son débiteur une poursuite ordinaire, sans égard à l'ordre dans lequel la créance abstraite et la créance causale doivent être recherchées selon la convention de fiducie, le débiteur peut et doit former une opposition au commandement de payer (cf. Daniel Staehelin, Betreibung und Rechtsöffnung beim Schuldbrief in: Pratique juridique actuelle [PJA], 1994 p. 1255 ss, p. 1261 [cité ci-après: Betreibung]; Dieter Zobl/Christoph Thurnherr, Berner Kommentar, Systematischer Teil und Art. 884-887 ZGB, 3e éd. 2010, Syst. Teil, n° 1491 avec de nombreuses références; Domenico Acocella, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs I, 2e éd. 2010, n° 20 ad art. 41 LP; Charles Jaques, Exécution forcée spéciale des cédules hypothécaires, in: Blätter für Schuldbetreibung und Konkurs [BlSchK] 2001 201 ss, p. 211; Wolfang Wiegand/Christoph Brunner, Vorschläge zur Ausgestaltung des Schuldbriefes als papierloses Registerpfand, p. 47; Markus F. Vollenweider, Die Sicherungsübereignung von Schuldbriefen als Sicherungsmittel der Bank, p. 136 s.; contra : Sidney Kamerzin, Le contrat constitutif de cédule hypothécaire, n° 197; Foëx, op. cit., p. 16; Staehelin, in: Basler Kommentar ZGB, 4e éd. 2011, n° 59 ad art. 842 CC), opposition qui n'a pas à être motivée (Staehelin, Betreibung, p. 1261).
L'art. 41 al. 1bis LP n'étant pas applicable (cf. arrêt 5A_295/2012 du 9 octobre 2012 consid. 4.2.2), le débiteur ne contestant d'ailleurs pas le mode de poursuite en tant que tel - puisque la créance causale est bien soumise à la poursuite ordinaire -, la plainte de l'art. 17 LP n'est pas ouverte. L'exception du bénéfice de discussion réelle doit être examinée par le juge dans le cadre de la procédure de mainlevée de l'opposition.
5.2. Il s'impose d'examiner encore si l'exception du bénéfice de discussion réelle peut être opposée non seulement dans la procédure de mainlevée provisoire, mais également dans la procédure de mainlevée définitive.
5.2.1. En vertu de l'art. 81 al. 1 LP, lorsque la poursuite est fondée sur un jugement exécutoire rendu par un tribunal, le juge ordonne la mainlevée définitive de l'opposition, à moins que l'opposant ne prouve par titre que la dette a été éteinte ou qu'il a obtenu un sursis postérieurement au jugement, ou qu'il ne se prévale de la prescription.
Cette disposition n'énumère pas exhaustivement les moyens de défense que le débiteur peut opposer à un jugement exécutoire (Staehelin, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs I, 2e éd. 2010, n° 2 ad art. 81 LP), même si ceux-ci sont limités, le juge de la mainlevée n'ayant ni à revoir ni à interpréter le titre de mainlevée qui lui est produit, ni à examiner les moyens de droit matériel que le débiteur pouvait faire valoir dans le procès qui a abouti au jugement exécutoire (ATF 124 III 501 consid. 3a).
5.2.2. Comme le Tribunal de céans l'a exposé dans son arrêt 5A_686/2013 susmentionné, il faut donc examiner si le débiteur pouvait opposer l'exception du bénéfice de discussion réelle devant le juge civil, saisi de conclusions condamnatoires en paiement de la créance causale.
L orsque le débiteur remet à son créancier une cédule hypothécaire au porteur à titre de garantie fiduciaire, il le fait pour que celui-ci puisse se faire payer sur le gage en cas de demeure de sa part; il découle ainsi de la nature de la convention de fiducie que les parties conviennent tacitement d'une clause de bénéfice de discussion réelle en ce sens que le créancier fiduciaire a l'obligation d'intenter d'abord la poursuite en réalisation de gage immobilier sur la base de la créance abstraite (Steinauer, Les nouvelles dispositions générales sur les cédules hypothécaires, in: Les servitudes et les cédules hypothécaires, Zurich 2012, p. 267 ss, p. 282 in fine [cité ci-après: Les nouvelles dispositions]; Foëx, op. cit., p. 15/16; Acocella, op. cit., n° 20 ad art. 41 LP; Betschart, op. cit., nos 170 et 798). Il en découle que, selon la volonté des parties à la convention de fiducie, l'exception du bénéfice de discussion réelle empêche seulement le créancier d'intenter la procédure de poursuite ordinaire avant d'avoir été renvoyé perdant dans la procédure en réalisation de l'immeuble grevé de la cédule hypothécaire (cf. les références de l'arrêt 5A_295/2012, citées au consid. 5.1.4).
Il s'agit donc d'une exception liée exclusivement au recouvrement de la créance causale par la voie de l'exécution forcée, et non d'une exception de fond touchant à l'exigibilité de cette créance. Cette exception existe certes dès le début - et non seulement postérieurement au jugement -, puisqu'elle découle de la convention de fiducie, mais elle ne peut logiquement être invoquée que lorsque le créancier requiert la poursuite ordinaire. En effet, ce n'est qu'au moment où le créancier intente la poursuite ordinaire que se réalise la condition prévue par la clause de bénéfice de discussion réelle. Il doit en aller ainsi non seulement lorsque le créancier intente d'abord la poursuite ordinaire, mais aussi lorsque, après avoir entamé la procédure en réalisation de gage immobilier, le créancier requiert parallèlement la poursuite ordinaire.
L'exception du bénéfice de discussion réelle ne peut donc pas être soulevée devant le juge civil, saisi de conclusions condamnatoires en paiement de la créance causale.
5.2.3. En conséquence, saisi d'une requête de mainlevée définitive, le juge examine l'exception du bénéfice de discussion réelle que le débiteur déduit de la convention de fiducie. En lui-même le jugement portant condamnation au paiement de la créance causale est exécutoire, et constitue un titre à la mainlevée définitive, mais le débiteur peut valablement s'opposer à la levée de son opposition dès lors que l'exception du bénéfice de discussion réelle lui permet de s'opposer à la poursuite sur ses autres biens tant que la poursuite en réalisation de gage immobilier n'est pas terminée, c'est-à-dire tant que le tableau de distribution n'est pas en force (art. 157 LP).
S'il admet que l'exception du bénéfice de discussion réelle est fondée, le juge ne peut que rejeter la requête de mainlevée formée par le créancier. Lorsque la poursuite en réalisation de gage immobilier sera terminée, le créancier pourra déposer à nouveau une requête de mainlevée, l'art. 88 al. 2 LP demeurant toutefois réservé.
5.2.4. En résumé, si le créancier introduit simultanément ou successivement la poursuite en réalisation de gage immobilier pour l'entier de la créance abstraite et la poursuite ordinaire pour l'intégralité de la créance causale, le débiteur peut former opposition au commandement de payer et le juge de la mainlevée - définitive ou provisoire - peut examiner ce moyen de défense et rejeter la mainlevée.
6.
En l'espèce, le débiteur a remis la cédule hypothécaire au porteur à titre de garantie fiduciaire à la banque par convention de fiducie du 29 juillet 1996. A l'appui de sa requête de mainlevée du 9 mars 2011, la banque n'a pas allégué que les parties y seraient convenues d'exclure le bénéfice de discussion réelle et n'a pas non plus produit cette convention. Il s'ensuit que, faute d'allégation et de preuve d'une telle exclusion, il y a lieu d'admettre que le débiteur peut se prévaloir du bénéfice de discussion réelle et que la requête de mainlevée définitive de la banque doit être rejetée. A toutes fins utiles, il est rappelé que la procédure de mainlevée est un incident de la poursuite, soumise à la procédure sommaire (art. 251 let. a CPC), que la décision en matière de mainlevée ne peut faire l'objet que d'un recours au sens des art. 319 ss CPC (cf. art. 309 let. b ch. 3 CPC), lequel exclut les allégations de fait et les preuves nouvelles (art. 326 al. 1 CPC), et que le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral n'est pas plus étendu, de sorte qu'un renvoi pour compléter l'état de fait est d'emblée exclu (cf. arrêt 5A_686/2013 susmentionné consid. 6.1).
Il s'ensuit que le recours doit être admis et l'arrêt attaqué réformé en ce sens que la requête de mainlevée est rejetée et l'opposition au commandement de payer maintenue.
7.
L'intimée qui succombe doit être condamnée aux frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF), ainsi qu'au versement d'une indemnité de dépens en faveur du recourant (art. 68 al. 1 LTF). La requête d'assistance judiciaire présentée par celui-ci est par conséquent sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que la requête de mainlevée définitive formée par la Banque X._ contre A._, dans la poursuite n° xxxx de l'Office des poursuites du district de C._, est rejetée.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est sans objet.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 7'000 fr., sont mis à la charge de la Banque X._.
4.
La Banque X._ versera à A._ une indemnité de dépens de 7'000 fr.
5.
La cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens des instances cantonales.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal vaudois.
Lausanne, le 31 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Hildbrand