Fatti:
A. A.a F._, nato nel 1946, all'epoca dei fatti dipendente, in qualità di aiuto cucina, dell'Ente Ospedaliero X._ e, in quanto tale, assicurato d'obbligo contro gli infortuni presso la Helsana Infortuni SA, in data 12 gennaio 2002 è stato colpito alla spalla sinistra da una valigia caduta da un armadio. Gli accertamenti messi in atto hanno permesso di rilevare una rottura del tendine del sovraspinato, una sospetta lesione parziale del tendine dell'infraspinato e del sottoscapolare nonché una sospetta lesione del labbro glenoidale anteriore. Il caso è stato assunto dall'assicuratore infortuni, il quale ha corrisposto le prestazioni di legge.
A.b Il 31 marzo 2007, quando si trovava alle dipendenze della ditta Y._, F._ è rimasto vittima di un ulteriore infortunio. Entrando da una porta semichiusa, ha urtato la spalla sinistra già infortunata nel 2002, riportando una rottura della cuffia rotatoria. Un successivo esame di risonanza magnetica ha messo in evidenza una lesione dei tendini del sovra- e sottospinato, una tendinosi del capo lungo del bicipite e del sottoscapolare, con ipotrofia muscolare, come pure un'artrosi acromio-clavicolare. All'inizio del 2009, l'interessato è stato sottoposto a un intervento artroscopico alla spalla sinistra. L'assicuratore infortuni del nuovo datore di lavoro, la Generali Assicurazioni SA, ha negato un proprio obbligo prestativo in ragione del fatto che i disturbi accusati erano riconducibili all'evento infortunistico del 2002, assicurato presso la Helsana.
A.c Dopo avere assunto pure questo caso, la Helsana, mediante decisione del 18 marzo 2011, ha comunicato la chiusura del medesimo e ha riconosciuto all'interessato, cui nel frattempo era stata impiantata una protesi totale inversa della spalla sinistra, una indennità per menomazione dell'integrità del 20%, negando per il resto il diritto a una rendita d'invalidità per mancanza di incapacità di guadagno. Statuendo su opposizione dell'assicurato, la Helsana ha il 4 agosto 2011 confermato il suo precedente provvedimento.
B. Contestando il mancato riconoscimento di una rendita, F._, patrocinato dall'avv. Sergio Sciuchetti, si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale, statuendo per giudice unico, ha respinto il ricorso e confermato, nel suo risultato, l'operato dell'assicuratore infortuni. Per il resto, la Corte cantonale ha accolto la domanda di assistenza giudiziaria dell'assicurato (pronuncia del 28 novembre 2011).
C. Sempre patrocinato dall'avv. Sciuchetti, l'assicurato ha presentato al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico, con il quale, protestate spese e ripetibili, chiede l'annullamento della pronuncia cantonale e il riconoscimento di una rendita del 14% a far tempo dal 1° giugno 2011. In via subordinata chiede il rinvio della causa alla precedente istanza per nuovo giudizio. Anche per la sede federale postula la concessione dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
La Helsana propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Secondo l'art. 97 cpv. 1 LTF, il ricorrente può censurare l'accertamento dei fatti soltanto se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 e l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento. Tuttavia, se il ricorso è diretto - come in concreto - contro una decisione d'assegnazione o rifiuto di prestazioni pecuniarie dell'assicurazione militare o dell'assicurazione contro gli infortuni, può essere censurato qualsiasi accertamento inesatto o incompleto dei fatti giuridicamente rilevanti (art. 97 cpv. 2 LTF). In tal caso, il Tribunale federale non è vincolato dall'accertamento dei fatti operato dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 3 LTF).
2. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, cui si rinvia, l'autorità giudiziaria cantonale ha già compiutamente esposto le norme legali e i principi giurisprudenziali disciplinanti la materia, rammentando in particolare i presupposti che reggono il diritto a una rendita d'invalidità dell'assicurazione contro gli infortuni (art. 18 cpv. 1 LAINF), la nozione stessa d'invalidità (art. 8 LPGA) come pure il metodo generale di confronto dei redditi (da valido e da invalido) per la determinazione del grado d'invalidità di assicurati esercitanti un'attività lucrativa (art. 16 LPGA). A tale esposizione può essere fatto riferimento, non senza tuttavia ribadire che per la definizione del guadagno da invalido la giurisprudenza ha in sostanza stabilito fare stato in primo luogo la situazione salariale concreta della persona interessata, a condizione che quest'ultima sfrutti in maniera completa e ragionevole la capacità lavorativa residua e che il reddito derivante dall'attività effettivamente svolta sia adeguato e non costituisca un salario sociale. Qualora difettino indicazioni economiche effettive, possono essere ritenuti i dati forniti dalle statistiche salariali (DTF 126 V 75 segg.). La questione di sapere se e in quale misura i salari fondati su dati statistici debbano essere ridotti in considerazione delle particolarità del caso dipende dall'insieme delle circostanze personali e professionali (limitazione addebitabile al danno alla salute, età, anni di servizio, nazionalità e tipo di permesso di dimora, grado di occupazione), criteri, questi, che l'amministrazione è tenuta a valutare globalmente, ritenuto che una deduzione massima del 25% del salario statistico permette di tenere conto delle varie particolarità suscettibili di influire sul reddito del lavoro e che il giudice, chiamato a pronunciarsi sulla deduzione globale, la quale procede da una stima che l'amministrazione deve succintamente motivare, non può senza valido motivo sostituire il proprio apprezzamento a quello degli organi dell'assicurazione (DTF 126 V 75 consid. 5b/cc e 6 pag. 80 seg.).
3. Unico oggetto del contendere è il tasso di deduzione dal reddito base da invalido per tenere conto delle particolarità personali e professionali del caso. Tasso che la Corte cantonale ha stabilito al 20% e che il ricorrente chiede invece di riconoscere nella misura massima possibile del 25%, conformemente a quanto del resto determinato originariamente dall'assicuratore opponente in occasione della decisione di rifiuto della rendita. L'insorgente in tale contesto lamenta inoltre una violazione del suo diritto di essere sentito da parte del primo giudice.
4. 4.1 Il tema di sapere se si debba procedere a una riduzione del salario statistico in considerazione di circostanze particolari (legate all'handicap della persona o ad altri fattori) è una questione di diritto liberamente riesaminabile dal Tribunale federale. Per contro, l'estensione di tale riduzione in un caso concreto costituisce una questione attinente al potere di apprezzamento e, in quanto tale, soggiace all'esame del giudice di ultima istanza solo se la giurisdizione di primo grado ha esercitato il proprio potere di apprezzamento in violazione del diritto, commettendo un eccesso positivo ("Ermessensüberschreitung") o negativo ("Ermessensunterschreitung") del proprio potere di apprezzamento oppure abusando di tale potere ("Ermessensmissbrauch"; DTF 137 V 71 consid. 5.1 pag. 72 seg.; 132 V 393 consid. 3.3 pag. 399). Qualora nella determinazione della portata della riduzione del salario statistico non sia a torto stato considerato un determinato elemento, il tribunale cantonale delle assicurazioni o il Tribunale federale devono procedere a una nuova valutazione globale della deduzione, e non già riprendere il tasso di deduzione riconosciuto dall'amministrazione o dalla precedente istanza, aumentandolo adeguatamente (sentenza 9C_728/2009 del 21 settembre 2010, in SVR 2011 IV n. 31 pag. 90 consid. 4.1.2).
4.2 Contrariamente al potere di apprezzamento del Tribunale federale, quello dell'autorità giudiziaria di primo grado non è per contro limitato alla violazione del diritto (compresi l'eccesso e l'abuso del potere di apprezzamento), ma si estende ugualmente all'esame di adeguatezza della decisione amministrativa ("Angemessenheitskontrolle"). In tale contesto l'esame verte sulla questione di sapere se un'altra soluzione non sarebbe stata più opportuna rispetto a quella adottata, in un caso concreto, dall'autorità nell'ambito del proprio potere di apprezzamento e pur nel rispetto dei principi generali del diritto. A tal proposito, il giudice delle assicurazioni sociali non può, senza valido motivo, sostituire il suo apprezzamento a quello degli organi dell'assicurazione; deve piuttosto fondarsi su circostanze tali da fare apparire il proprio apprezzamento come quello maggiormente appropriato (DTF 126 V 75 consid. 6 pag. 81; DTF 137 V 71 consid. 5.2 pag. 73 seg.). Ne discende che la giurisdizione cantonale, quando è chiamata a verificare il potere di apprezzamento esercitato dall'amministrazione per fissare l'estensione della riduzione sul reddito da invalido, deve dirigere la propria attenzione sulle differenti soluzioni che si offrivano agli organi esecutivi dell'assicurazione contro gli infortuni e domandarsi se una deduzione più o meno elevata (ma comunque limitata al 25% [DTF 126 V 75]) sia maggiormente appropriata e si imponga per un valido motivo, ma senza altrimenti sostituire il proprio apprezzamento a quello dell'amministrazione (cfr. DTF 9C_280/2010 citata consid. 5.2 in fine; vedi pure sentenza 9C_273/2011 del 27 gennaio 2012 consid. 1.3).
4.3 Nel caso di specie, il ricorrente lamenta in particolare un'insufficiente motivazione della pronuncia impugnata relativamente al tasso di riduzione riconosciuto sul reddito base da invalido, ritenendola del tutto sommaria e lesiva del suo diritto di essere sentito. La censura è fondata. Il primo giudice si limita in effetti ad affermare, in modo alquanto generico, di ritenere giustificato, tutto ben considerato, tenuto conto delle circostanze personali e professionali, applicare una riduzione del 15, massimo 20%, la decurtazione del 25% applicata dall'amministrazione apparendo manifestamente esagerata. Una simile motivazione, troppo succinta, non è chiaramente sufficiente per soddisfare le esigenze poste in proposito dalla suesposta giurisprudenza in DTF 137 V 71 segg..
5. Ne segue che il ricorso dev'essere accolto, il giudizio impugnato annullato e la causa rinviata all'istanza precedente per nuova valutazione del tasso di riduzione sul reddito base da invalido, da motivare in maniera adeguata. Le spese seguono la soccombenza e sono poste a carico dell'assicuratore opponente (art. 66 cpv. 1 LTF), il quale rifonderà al ricorrente, patrocinato da un legale, un'indennità per ripetibili della sede federale (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF). In tali condizioni, la domanda di assistenza giudiziaria gratuita e di gratuito patrocinio del ricorrente è priva di oggetto.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è parzialmente accolto nel senso che, annullato il giudizio del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 28 novembre 2011, la causa è rinviata all'istanza di primo grado perché proceda conformemente ai considerandi e renda una nuovo giudizio. Per il resto, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 750.- sono poste a carico dell'opponente.
3. L'opponente verserà al ricorrente la somma di fr. 2800.- a titolo di ripetibili della sede federale.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.