Faits:
A. Le 24 mai 2004, R._ a ouvert action contre la Caisse de retraite et de prévoyance du personnel enseignant du canton du Valais devant le Tribunal cantonal du canton du Valais - qui a transmis l'affaire au Tribunal cantonal des assurances comme objet de sa compétence -, en demandant qu'ordre soit donné aux organes de la caisse de lui verser une rente mensuelle de 6'244 fr., avec effet au 1er avril 2004.
Par jugement du 1er juillet 2008, le Tribunal cantonal des assurances a prononcé que l'action était rejetée, dans la mesure où elle était recevable. Retenant que R._ devait répondre du dommage qu'il avait causé à la caisse dans le cadre de l'affaire X._, il a considéré que celle-ci était en droit de compenser, chaque mois, la rente mensuelle de retraite anticipée de 6'244 fr. à laquelle il avait droit dès le 1er avril 2004 avec sa créance en réparation du dommage, jusqu'à concurrence du montant en capital de 939'465 fr. (réserve mathématique de la rente) correspondant à une partie du dommage subi par elle. Par arrêt du 16 décembre 2009 (9C_697/2008), le Tribunal fédéral a rejeté le recours formé par R._ contre ce jugement.
B. Par requête du 12 mars 2010, R._ demande la révision de cet arrêt. Il conclut, sous suite de dépens, à l'annulation du jugement du 1er juillet 2008 du Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais, la Caisse de retraite et de prévoyance du personnel enseignant du canton du Valais étant condamnée à lui verser une rente mensuelle de 6'244 fr. avec effet rétroactif au 1er avril 2004, avec intérêts à 5 % dès cette date. Il produit copie d'une déclaration de la CRPE signée par lui-même et B._ datée du 27 mai 1999, conforme à l'originale selon attestation du notaire R._ du 26 février 2010, dont la teneur est la suivante: «La CRPE n'investit plus dans la société X._, au vu des résultats et de l'ensemble des affaires confiées en gestion à G._. La CRPE autorise en conséquence le rachat par son président R._, 1945, de Y._, des options X._ propriété de G._, le cas échéant».
Par requête du 2 avril 2010, R._ complète sa demande de révision. Il produit copie d'une déclaration de la CRPE signée par lui-même et B._ datée du 27 mai 1999, conforme à l'originale selon attestation du notaire R._ du 8 janvier 2010, dont la teneur est la suivante: «La CRPE n'investit plus dans la société X._, au vu des résultats et de l'ensemble des affaires confiées à G._. La CRPE autorise en conséquence le rachat par son président R._, 1945, de Y._, des options X._ propriété de G._, le cas échéant». Il produit également copie d'une attestation de la CRPE signée par lui-même et F._ datée du 27 mai 1999, conforme à l'originale selon attestation du notaire R._ du 9 février 2010, dont la teneur est la suivante: «La CRPE n'investit plus dans la société X._ vu les résultats de cet investissement et ceux de l'ensemble des affaires confiées en gestion à G._. En conséquence, la CRPE autorise quiconque à racheter les options détenues par G._ sur X._ auprès de la Caisse elle-même. Elle autorise donc aussi le rachat des options par tout membre des comités de la CRPE et par son président R._, 1945, le cas échéant. Cette attestation complète le document du même jour signée par B._ et R._».
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 123 al. 2 let. a LTF, la révision peut être demandée dans les affaires civiles et les affaires de droit public, si le requérant découvre après coup des faits pertinents ou des moyens de preuve concluants qu'il n'avait pas pu invoquer dans la procédure précédente, à l'exclusion des faits ou moyens de preuve postérieurs à l'arrêt.
En principe, le moyen est admissible pour autant que le requérant n'a pas pu l'invoquer dans la procédure précédente. Cela implique aussi qu'il doit avoir fait preuve de toute la diligence que l'on peut exiger de lui, soit celle d'un plaideur consciencieux. Celle-ci fera défaut si, par exemple, la découverte du fait ou du moyen de preuve est le fruit de recherches qui auraient pu et dû être effectuées plus tôt (arrêt 4A_528/2007 du 4 avril 2008, consid. 2.5.2.2 et la référence à NICOLAS VON WERDT, in: Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, N. 8 ad Art. 123 BGG). En résumé, il s'agit d'une impossibilité non fautive d'avoir eu connaissance du fait pour pouvoir l'invoquer à temps devant l'autorité précédente (PIERRE FERRARI, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, N. 18 ad Art. 123 LTF).
2. Le requérant fait valoir qu'il a découvert après coup les déclarations et attestation datées du 27 mai 1999. Il affirme qu'en 2001, lors du broyage des documents que B._ avait effectué par inadvertance, il avait informé ce dernier qu'il ne retrouvait plus les siens, ce qui l'avait fait "bondir jusque chez G._ pour qu'il contresigne les photocopies", si bien que "B._ savait ... que (le requérant) ne retrouvait plus les autorisations d'achat des options G._". Toutefois, "cela ne représentait pas aux yeux (du requérant) un élément fondamental, puisque les raisons qui fondaient cette autorisation découlaient de l'ensemble des différents aspects catastrophiques en fin de compte de la présence de G._ à la CRPE et de la stagnation de X._". Le requérant déclare qu'il "avait fait état de cette autorisation d'achat des options G._ en audition devant le Juge d'Instruction Cantonal en juillet 2003 déjà et ne s'en préoccupait plus".
Ces affirmations du requérant sont nouvelles. Celui-ci ne démontre pas qu'il se soit trouvé dans l'impossibilité non fautive d'avoir eu connaissance des déclarations et attestation datées du 27 mai 1999 - contresignées qui plus est par lui-même - pour pouvoir les invoquer à temps dans la procédure précédente. En effet, la découverte des déclarations et attestation datées du 27 mai 1999 est le fruit de recherches qui auraient pu et dû être effectuées plus tôt, si le requérant avait fait preuve de la diligence que l'on pouvait exiger de lui devant l'autorité précédente en ouvrant action le 24 mai 2004 contre l'intimée. Ce moyen n'est dès lors pas admissible.
3. L'appel en janvier 2010 contre le jugement du Tribunal du IIème Arrondissement pour le district de Sion du 21 octobre 2009 dont fait état le requérant n'est pas un motif de révision de l'arrêt 9C_697/2008 du Tribunal fédéral du 16 décembre 2009.
4. Le requérant se réfère aux informations données par le Conseil d'Etat du canton du Valais lors de la séance parlementaire du Grand Conseil valaisan de février 2010, selon lesquelles l'intimée aurait signé un accord d'indemnisation avec la Banque Z._ indemnisant la CRPE de tout dommage consécutif à la gestion de l'équipe dirigeante de la caisse au moment des faits. Cela ne constitue pas un motif de révision de l'arrêt 9C_697/2008 du Tribunal fédéral du 16 décembre 2009.
5. Le requérant, qui succombe, supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1, 1ère phrase, LTF), pour laquelle il ne saurait prétendre une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 LTF). En ce qui concerne l'intimée, qui n'a pas été invitée à répondre, l'octroi de dépens ne se pose pas (art. 68 al. 3 LTF; ATF 134 V 340 consid. 7 p. 351).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande de révision est rejetée dans la mesure où elle est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du requérant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 27 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner