Sachverhalt:
A. Im Rahmen ihres Scheidungsverfahrens ersuchte A.X._ das Bezirksgericht Arlesheim mit Eingabe vom 19. Februar 2008 ein erstes Mal um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung. Der Präsident des Bezirksgerichts wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 29. Juni 2009 ab. Zur Begründung führte er aus, die Ehegatten würden über freies Kapital in der Höhe von über Fr. 83'000.-- in einer Liegenschaft verfügen. Aus diesem Grund sei die Voraussetzung der Bedürftigkeit nicht erfüllt. A.X._ wehrte sich ohne Erfolg gegen die Verfügung des Bezirksgerichtspräsidenten. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft wies eine entsprechende Beschwerde ab (Beschluss vom 20. Oktober 2009).
B. Im Dezember 2009 ersuchte A.X._ das Bezirksgericht Arlesheim im hängigen Ehescheidungsverfahren erneut um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung. Sie machte geltend, ihre Lebensumstände und ihre Vermögenssituation hätten sich im letzten halben Jahr geändert. Überdies würden die Annahmen, aufgrund derer ihre finanziellen Situation im ersten Gesuchsverfahren beurteilt und ihre Prozessarmut verneint worden war, nicht zutreffen.Mit Verfügung vom 5. Januar 2010 wies der Präsident des Bezirksgerichts Arlesheim auch das zweite Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung mangels Bedürftigkeit ab und trat auf das Gesuch um Bestellung eines Beistandes nicht ein. In der gleichen Verfügung lud er A.X._ und B.X._ auf den 23. März 2010 zur Hauptverhandlung im Scheidungsverfahren vor. Mit Urteil vom 23. März 2010 hat das Bezirksgericht Arlesheim die Ehe geschieden.
Am 12. Januar 2010 legte A.X._ beim Kantonsgericht Basel-Landschaft gegen die Verfügung des Bezirksgerichtspräsidenten Beschwerde ein. Darin ersuchte sie das Kantonsgericht, ihren Antrag auf Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung für das Ehescheidungsverfahren erneut zu prüfen. Zugleich stellte sie auch für das Beschwerdeverfahren einen Antrag auf Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung. Mit Beschluss vom 6. April 2010 wies das Kantonsgericht diese Anträge ab.
C. Mit Eingabe vom 23. April 2010 gelangt A.X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt sinngemäss, der Beschluss des Kantonsgerichts sei aufzuheben und es sei ihr für das Ehescheidungsverfahren die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 5. Mai 2010 ebenfalls um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG), mit dem das Gesuch der Beschwerdeführerin um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen wurde. Dieser Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; BGE 129 I 129 E. 1.1 S. 131), unabhängig davon, ob er während des Hauptverfahrens, zusammen mit dessen Endentscheid oder nach diesem ergangen ist (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2).
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache. In diesem Fall hat das Verfahren in der Hauptsache eine Ehescheidung zum Gegenstand, mithin eine Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 1 BGG. Deshalb unterliegt auch das Verfahren betreffend die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege der Beschwerde in Zivilsachen. Betrifft die Zivilsache eine vermögensrechtliche Angelegenheit, ist die Beschwerde grundsätzlich nur zulässig, wenn ein Streitwert von Fr. 30'000.-- erreicht ist (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG).
Im Hinblick auf das damals bevorstehende Ehescheidungsverfahren haben die Beschwerdeführerin und ihr Ehemann in ihrer Teilvereinbarung betreffend die Scheidungsfolgen vom 4./6. November 2009 die Scheidung auf gemeinsames Begehren beantragt, mit Bezug auf gewisse Scheidungsfolgen eine Einigung erzielt und namentlich bezüglich der Belange ihrer Kinder gemeinsame Anträge gestellt. Ob und gegebenenfalls welche nicht vermögensrechtlichen Scheidungsfolgen zwischen der Beschwerdeführerin und ihrem Ehemann überhaupt noch streitig waren, lässt sich gestützt auf die Akten nicht feststellen. Von der Teileinigung jedenfalls nicht erfasst und demzufolge als streitig anzusehen ist aber insbesondere die Regelung des nachehelichen Unterhalts der Beschwerdeführerin. Diesbezüglich hat das Bezirksgericht Arlesheim den Ehemann (geb. 26. November 1956) in Ziff. 5 des Scheidungsurteils vom 23. März 2010 dazu verurteilt, der Beschwerdeführerin mit Wirkung ab Rechtskraft des Urteils bis zum Erreichen seines ordentlichen AHV-Alters (26. November 2021) einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'400.-- zu bezahlen.
Als Streitwert wiederkehrender Leistungen gilt nach Art. 51 Abs. 4 BGG der Kapitalwert. Unter der Annahme, dass das Scheidungsurteil im April 2010 in Rechtskraft erwachsen ist, ergibt sich für den nachehelichen Unterhalt ab Mai 2010 bis und mit November 2021 ein Kapitalwert von Fr. 194'600.-- (139 Monate zu je Fr. 1'400.--). In Anbetracht dieser Geldsumme ist festzustellen, dass die Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- offensichtlich erreicht ist, selbst wenn sich aufgrund der zur Verfügung stehenden Unterlagen nicht ermitteln lässt, welche Begehren die Beschwerdeführerin bezüglich ihres nachehelichen Unterhalts im Ehescheidungsverfahren tatsächlich gestellt hat.
1.3 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), das heisst es prüft behauptete Rechtsverletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) mit freier Kognition.
Hingegen legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann die Beschwerdeführerin lediglich einwenden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen, insbesondere auf einer Verletzung des verfassungsmässigen Willkürverbotes (vgl. zum Begriff der Willkür BGE 134 V 53 E. 4.3 S. 62). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22). Für all diese Vorbringen gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Es genügt daher nicht, einen von der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr kann das Bundesgericht Vorbringen bezüglich eines Sachverhaltes, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nur berücksichtigen, wenn die rechtssuchende Partei im Einzelnen darlegt, inwiefern diese Feststellungen willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255).
2. Nach Art. 29 Abs. 3 BV hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und allenfalls auf unentgeltlichen Rechtsbeistand, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint.
Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon garantiert Art. 29 Abs. 3 BV der bedürftigen Partei einen Mindestanspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht prüft frei, ob die direkt aus Art. 29 Abs. 3 BV hergeleiteten Ansprüche verletzt sind, während es die Anwendung des kantonalen Gesetzesrechts nur unter dem Gesichtspunkt des Willkürverbots prüft (BGE 120 Ia 179 E. 3 S. 180 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, dass sich aus dem Verfassungs- und Verfahrensrecht des Kantons Basel-Landschaft ein über Art. 29 Abs. 3 BV hinausgehender Anspruch ergebe. Somit ist die bundesrechtliche Minimalgarantie massgebend.
3. Im vorliegenden Fall ist die Voraussetzung der Bedürftigkeit streitig. Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Kantonsgericht habe ihre Bedürftigkeit zu Unrecht verneint und insbesondere ihre Vermögensverhältnisse nicht richtig beurteilt.
3.1 Die Vorinstanz hat die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Art. 29 Abs. 3 BV korrekt wiedergegeben. Danach gilt als bedürftig, wer für die Kosten eines Prozesses nicht aufkommen kann, ohne jene Mittel anzugreifen, derer er zur Deckung des notwendigen Lebensunterhalts für sich und seine Familie bedarf (BGE 128 I 225 E. 2.5.1. S. 232; 127 I 202 E. 3b S. 205). Zur Beurteilung der Bedürftigkeit sind neben den Einkommens- auch die Vermögensverhältnisse zu berücksichtigen (124 I 1 E. 2a S. 2, 97 E. 3b S. 98; 118 Ia 369 E. 4a S. 370). In zeitlicher Hinsicht ist die wirtschaftliche Situation der rechtssuchenden Partei im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgeblich (BGE 120 Ia 179 E. 3a S. 181; Urteil 4D_41/2009 vom 14. Mai 2009 E. 3). Soweit das Vermögen einen angemessenen "Notgroschen" übersteigt, ist es der gesuchstellenden Partei unbesehen der Art der Vermögensanlage grundsätzlich zuzumuten, dieses Vermögen zur Finanzierung des Prozesses zu verwenden. Wenn die eigenen Mittel es erlauben, einen Prozess zu finanzieren, ist der Zugang zur Justiz gewährleistet, und es rechtfertigt sich nicht, öffentliche Mittel dafür bereit zu stellen (Urteil 4D_41/2009 vom 14. Mai 2009 E. 3; Urteil 4P.313/2006 vom 14. Februar 2007 E. 3.3).
3.2 Hinsichtlich der Einkommensverhältnisse der Beschwerdeführerin geht aus dem angefochtenen Entscheid hervor, dass die Beschwerdeführerin pro Monat Einkünfte in der Höhe von Fr. 6'193.-- erzielt und Ausgaben in der Höhe von Fr. 5'991.-- geltend macht, so dass ihr ein Überschuss von monatlich Fr. 202.-- verbleibt.
3.2.1 Bei der Ermittlung der Bedürftigkeit sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nur tatsächlich geleistete und belegte Zahlungen zu berücksichtigen (BGE 121 III 20 E. 3b S. 22 f., bestätigt in Urteil 5D_76/2009 vom 8. Juli 2009 E. 4). Nun stellt das Kantonsgericht unter Hinweis auf seinen Beschluss vom 20. Oktober 2009 aber fest, die Beschwerdeführerin sei ihrer Mitwirkungs- und Substanziierungspflicht nicht vollumfänglich nachgekommen und habe monatliche Auslagen im Umfang von insgesamt Fr. 2'124.-- (Auslagen für Franchise/Selbstbehalt/Arztkosten von Fr. 300.--, für den Zahnarzt von Fr. 60.--, für medizinisches Turnen von Fr. 108.--, für die Unfallversicherung von Fr. 35.--, für das Auto von Fr. 404.-- sowie die Höhe der Hypothekarzinsen samt Nebenkosten von Fr. 1'217.--) nicht genügend belegt, weshalb diese Positionen ohnehin nicht berücksichtigt werden dürften.
3.2.2 Die Beschwerdeführerin setzt sich mit diesen Feststellungen ebenso wenig auseinander wie mit der Aussage des Kantonsgerichts, es dürften im neuen Gesuchsverfahren betreffend die Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung nur Elemente berücksichtigt werden, die sich gegenüber dem Beschluss vom 20. Oktober 2009 verändert hätten. Insbesondere legt die Beschwerdeführerin nicht dar, dass das Kantonsgericht bei der Beurteilung ihrer Einkommensverhältnisse veränderte Umstände, die seit der Abweisung des ersten Gesuchs im Oktober 2009 eingetreten wären, nicht berücksichtigt hätte. Vielmehr begnügt sie sich mit der Äusserung, sie könne den monatlichen Überschuss nicht nachvollziehen, und verweist auf von ihr eingereichte Monatsabrechnungen, ohne jedoch deren Bedeutung zu konkretisieren. Mit diesem nicht weiter substanziierten Vorbringen vermag die Beschwerdeführerin indessen die Anforderungen an die Begründung einer Rüge betreffend tatsächliche Feststellungen nicht zu erfüllen und nicht aufzuzeigen, dass die Vorinstanz bei der Feststellung des Sachverhaltes in Willkür verfallen ist oder sonst wie das Recht verletzt hat.
3.2.3 Damit bleibt es bei den vorinstanzlichen Feststellungen, aus denen sich im Ergebnis ein rechnerischer Einkommensüberschuss von monatlich Fr. 2'326.-- (Fr. 2'124.-- + Fr. 202.--) ergibt. In Anbetracht eines Überschusses in dieser Höhe, der sich in zwei Jahren auf über Fr. 50'000.-- beläuft, verfügt die Beschwerdeführerin aus ihrem laufenden Einkommen über genügend Mittel, um die Kosten ihres Scheidungsverfahrens zu bestreiten. Die prozessuale Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin ist demnach schon aufgrund ihrer Einkommensverhältnisse zu verneinen. Zusammenfassend stellt das Bundesgericht fest, dass das Kantonsgericht Basel-Landschaft den verfassungsmässigen Anspruch der Beschwerdeführerin auf unentgeltliche Rechtspflege (Art. 29 Abs. 3 BV) nicht verletzt hat, indem es die Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung durch das Bezirksgericht Arlesheim schützte. Die Beschwerde ist damit abzuweisen.
Bei diesem Ergebnis kann das Bundesgericht darauf verzichten, die Voraussetzung der Bedürftigkeit mit Blick auf die weitergehende Frage zu prüfen, ob sich seit der Erledigung des ersten Gesuchsverfahrens durch den rechtskräftigen Beschluss vom 20. Oktober 2009 auch die Vermögensverhältnisse der Beschwerdeführerin verändert haben. Es kann deshalb dahingestellt bleiben, ob und gegebenenfalls in welcher Form die Beschwerdeführerin zur Finanzierung ihres Scheidungsprozesses die Liegenschaft Nr. 0000, A._weg, Grundbuch B._ verwenden muss, die sie mit ihren Kindern als Eigenheim bewohnt. Ebenso erübrigen sich weitere Erörterungen zur Frage, ob der Beschwerdeführerin die Anteile am Rückkaufswert zweier auf den Namen ihres Ehemannes abgeschlossener Lebensversicherungen, die sie im Rahmen der güterrechtlichen Auseinandersetzung gemäss der Teilvereinbarung betreffend die Scheidungsfolgen vom 4./6. November 2009 übernimmt, als angreifbares Vermögen anzurechnen sind.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin und wird grundsätzlich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Im vorliegenden Fall verzichtet das Bundesgericht darauf, Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für das Verfahren vor Bundesgericht erweist sich somit als gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn