Faits:
A. X._ SA, dont le conseil d'administration est présidé par A._, est propriétaire de la résidence médicalisée «V._», à .... Par contrat du 25 février 2000, cette société a engagé Y._ en qualité d'infirmière-cheffe, responsable de la direction des soins de la résidence.
Par lettre du 3 octobre 2000, le Service de la santé publique du canton de Neuchâtel a fait observer à A._ qu'à la suite de l'engagement de Y._, il avait apparemment renoncé à assumer la direction de la résidence et à acquérir la formation de directeur d'un établissement médico-social (EMS) exigée par la loi; si tel était le cas, l'autorisation d'exploiter devrait être modifiée et établie au nom de la nouvelle directrice, qui assumerait alors l'entière responsabilité de la gestion de l'établissement. En conséquence, le Service de la santé publique exigeait une copie du contrat de travail et du cahier des charges de Y._. Il réitérera sa demande en janvier 2001, en vain.
En réalité, aucun cahier des charges n'a jamais été établi et, dès le début, le partage des tâches entre A._ et Y._ a posé problème. Aucun accord n'a abouti malgré les interventions du Service de la santé publique.
A partir de septembre 2001, Y._ a suivi la formation exigée pour diriger un EMS auprès du Centre d'étude et de formation continue, à Genève. Elle obtiendra son certificat en juillet 2004.
Par décision du 5 février 2002, le Département neuchâtelois de la justice, de la santé et de la sécurité (ci-après: DJSS) a autorisé X._ SA à exploiter la résidence médicalisée «V._» jusqu'au 31 décembre 2006, en précisant que l'établissement était placé sous la direction de Y._ et qu'une prolongation de l'autorisation ne serait possible que si la directrice obtenait le certificat validé par la Conférence romande des affaires sanitaires et sociales.
Le 11 août 2004, X._ SA, sous la plume de A._, a résilié le contrat de travail de Y._ en ces termes:
«Faisant suite à notre entretien de ce jour, je vous confirme par la présente la résiliation de votre contrat de travail dans les délais légaux, soit pour le 31 octobre 2004. Comme vous avez quitté mon bureau de manière intempestive au cours de notre entretien, sans me donner la possibilité de vous exposer en détail les motifs qui sont à l'origine de cette décision, je reste à votre disposition pour vous les exposer au jour et à l'heure que nous aurons convenus.»
La lettre de congé a été remise à Y._ sur son lieu de travail.
Par la suite, A._ a indiqué que le motif principal de la résiliation était le fait que Y._ n'avait pas respecté l'horaire de travail prévu par le contrat, soit huit heures et demie par jour et un week-end sur deux.
Du 3 au 7 septembre 2004, Y._ a été incapable de travailler pour cause de maladie.
B. Par demande du 6 décembre 2004, Y._ a ouvert action contre X._ SA, concluant à la constatation du caractère abusif du licenciement et à la condamnation de la défenderesse à lui verser, d'une part, une indemnité de 45'000 fr. représentant six mois de salaire et, d'autre part, le salaire de novembre 2004 par 7'500 fr. Elle faisait valoir notamment que l'unique motif du licenciement résidait dans sa prétention, fondée sur l'accord conclu avec son employeur lors de l'engagement, les directives du Service de la santé publique et la réussite de sa formation, d'obtenir un contrat de travail de directrice et un cahier des charges clair et précis de sa fonction.
X._ SA a conclu au rejet de la demande. Elle a exposé notamment les éléments suivants: comme aucun employé ne disposait du diplôme permettant d'être reconnu par le DJSS en qualité de directeur d'EMS, elle souhaitait engager une infirmière-cheffe qui soit titulaire de ce certificat ou qui suive la formation pour l'obtenir; cette personne était censée participer à la direction du home médicalisé en qualité de responsable des soins et de l'exploitation, l'autre directeur assumant la responsabilité de la gestion et de l'administration. Or, la demanderesse, confondant son activité de directrice au sens du droit public avec celle qui était la sienne sous l'angle du droit privé, n'a eu de cesse de s'immiscer dans la gestion administrative de l'établissement. Lors de la séance de direction du 11 août 2004, la demanderesse a quitté la salle de réunion en claquant la porte et la défenderesse a alors pris la décision de la licencier.
Par jugement du 11 juillet 2008, la Ie Cour civile du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a condamné X._ SA à payer à Y._ la somme de 30'000 fr., correspondant à quatre mois de salaire, à titre d'indemnité pour licenciement abusif et la somme de 7'500 fr., moins les déductions sociales à la charge de la travailleuse, à titre de salaire pour novembre 2004. Selon la cour cantonale, «un faisceau d'indices [l'a amenée] à retenir que la résiliation du 11 août 2004 a constitué un congé abusif en raison des revendications de la demanderesse quant à son rôle de directrice de l'établissement.»
C. X._ SA forme un recours en matière civile. Elle conclut à l'annulation du jugement cantonal en tant qu'il la condamne à payer à l'intimée la somme de 30'000 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif et qu'il met à sa charge la totalité des frais et dépens; puis, elle demande au Tribunal fédéral, principalement, de rejeter la conclusion tendant au versement d'une indemnité pour licenciement abusif et de modifier la répartition des frais et dépens de première instance ou, à titre subsidiaire, de renvoyer la cause à la cour cantonale pour nouveau jugement dans le sens des considérants du Tribunal fédéral.
Dans sa réponse, Y._ propose implicitement le rejet du recours.
Pour sa part, la cour cantonale se réfère aux considérants de son jugement.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). La valeur litigieuse dépasse le seuil de 15'000 fr. fixé en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF). Le recours en matière civile est ouvert, bien que la décision attaquée ait été rendue par un tribunal supérieur statuant en instance cantonale unique (cf. art. 75 al. 2 et art. 130 al. 2 LTF).
Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions libératoires (art. 76 al. 1 LTF), dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours est en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. En vertu de l'exception ancrée à l'art. 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante. Pour le reste, il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), cela sans être limité par les moyens du recours ni par le raisonnement de la cour cantonale, ce qui implique qu'il peut admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en substituant une nouvelle argumentation à celle de l'autorité précédente (ATF 134 III 102 consid. 1.1 et l'arrêt cité). Toutefois, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sanctionnée par l'irrecevabilité des recours dont la motivation est manifestement insuffisante (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est donc pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 134 III 102 consid. 1.1 p. 105).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). L'auteur du recours ne peut critiquer les faits que s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 97 al. 1 LTF; cf aussi art. 105 al. 2 LTF); il faut encore que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la querelle (art. 97 al. 1 LTF). La notion de «manifestement inexacte» évoquée ci-dessus correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 p. 4135 ch. 4.1.4.2; ATF 133 II 384 consid. 4.2.2). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception à l'art. 105 al. 1 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. ATF 133 III 462 consid. 2.4; 133 II 249 consid. 1.4.3). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. Selon la recourante, qui invoque l'art. 29 al. 2 Cst., le jugement attaqué présente un défaut de motivation. D'une part, la cour cantonale n'aurait pas véritablement discuté les arguments soulevés par l'employeur, qui a motivé le congé notamment par le non-respect de l'horaire de travail convenu et qui a exposé dans ses écritures les raisons pour lesquelles le licenciement n'était pas abusif. D'autre part, les juges neuchâtelois n'auraient pas expliqué en quoi la revendication de l'intimée aurait influé de manière déterminante sur la décision de l'employeur de résilier le contrat de travail, alors que la recourante avait invoqué d'autres motifs de licenciement, dont la liberté prise par la travailleuse en matière d'horaire de travail.
2.1 Selon la jurisprudence, le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., implique notamment l'obligation pour le juge de motiver ses décisions, afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer ses droits de recours à bon escient. Le juge doit ainsi mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, apparaissent pertinents (ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88 et les arrêts cités).
2.2 En ce qui concerne le motif qui a conduit la recourante à licencier l'intimée, la cour cantonale a exposé tout d'abord la version de chacune des parties: selon l'employeur, il s'agissait avant tout du non-respect de l'horaire contractuel par la travailleuse; selon cette dernière, c'est parce qu'elle avait cherché à exercer la direction effective de l'établissement que le contrat de travail avait été résilié. L'autorité précédente a examiné ensuite la position des parties à la lumière des indices et des témoignages recueillis. Il en ressortait notamment que l'intimée n'avait pas rencontré de problèmes avec le personnel ni avec les résidents; que la recourante n'avait pas allégué avoir adressé, avant la résiliation, des reproches à son employée au sujet des heures de travail effectuées; que l'employeur avait restreint les responsabilités de direction de la travailleuse, contrairement aux exigences du DJSS; qu'aucun cahier des charges n'avait jamais été établi; que le licenciement était survenu peu après la délivrance du certificat de directrice d'EMS à l'intimée, alors que celle-ci voulait exercer pleinement son rôle de direction; que le flou dans la répartition et la définition des tâches régnait déjà avant l'arrivée de l'intimée et qu'il avait conduit la recourante à licencier plusieurs directeurs. L'autorité précédente a jugé qu'il y avait là un faisceau d'indices l'amenant «à retenir que la résiliation du 11 août 2004 a constitué un congé abusif en raison des revendications de la demanderesse quant à son rôle de directrice de l'établissement.» Même si la formulation choisie n'est pas des plus heureuses, il n'en demeure pas moins que la recourante pouvait aisément comprendre, à la lecture du considérant 2b et c du jugement attaqué, que, pour la cour cantonale, le licenciement était motivé uniquement par la volonté manifestée par l'intimée d'exercer pleinement son rôle de directrice, avec un cahier des charges précis. La décision entreprise n'est entachée d'aucun défaut de motivation à cet égard.
Pour le reste, la cour cantonale n'a pas retenu l'existence de plusieurs motifs en concours dont il aurait fallu, sous l'angle de la causalité naturelle, déterminer l'incidence respective sur la décision de l'employeur de résilier le contrat de travail. La question du motif déterminant ne se posait donc pas, de sorte que, là non plus, les juges neuchâtelois n'ont pas méconnu l'art. 29 al. 2 Cst.
En conclusion, le moyen tiré d'une violation du droit d'être entendu se révèle mal fondé.
3. La recourante reproche également à la cour cantonale d'avoir établi le motif réel du congé sur la base d'une appréciation arbitraire des preuves. Il serait manifestement insoutenable de retenir que la résiliation était liée aux revendications de l'intimée «quant à son rôle de directrice de l'établissement», selon les termes du jugement attaqué, alors qu'elle avait été précisément engagée pour tenir ce rôle, qu'elle était reconnue comme directrice par les autorités cantonales compétentes, qu'elle percevait le salaire correspondant à cette fonction et que la recourante avait pris en charge le coût de la formation suivie par l'intimée en vue d'obtenir le certificat de directrice d'EMS. A cet égard, l'autorité précédente aurait omis de tenir compte de plusieurs éléments, dont la détérioration des relations entre les parties au printemps 2004, le fait que l'intimée se permettait de traiter A._ de «nain de jardin», la réaction intempestive de l'intimée le matin du 11 août 2004, laquelle a déclenché le processus de licenciement, et la lettre de l'employeur du 22 août 2004 motivant notamment la résiliation du contrat de travail par le non-respect de l'horaire de travail par l'intimée.
3.1 Le motif de la résiliation relève du fait (ATF 131 III 535 consid. 4.3 p. 540; 130 III 699 consid. 4.1 p. 702; 127 III 86 consid. 2a). Les constatations cantonales sur ce point lient le Tribunal fédéral, à moins qu'elles n'aient été établies de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitrairement - ou en violation du droit, ce qu'il appartient à l'auteur du recours d'expliquer de manière circonstanciée (cf. consid. 1.3 ci-dessus).
Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 III 209 consid. 2.1 p. 211; 131 I 57 consid. 2, 217 consid. 2.1; 129 I 8 consid. 2.1).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3; 129 I 8 consid. 2.1; 118 Ia 28 consid. 1b et les arrêts cités).
Lorsqu'il s'agit de démontrer qu'un congé est abusif, le Tribunal fédéral tient compte des difficultés liées à la preuve d'un élément subjectif, à savoir le motif réel de celui qui a résilié le contrat. Selon la jurisprudence, le juge peut présumer en fait l'existence d'un congé abusif lorsque l'employé parvient à présenter des indices suffisants pour faire apparaître comme non réel le motif avancé par l'employeur. Cette présomption de fait, qui facilite la preuve, constitue, en définitive, une forme de «preuve par indices». De son côté, l'employeur ne peut rester inactif; il n'a pas d'autre issue que de fournir des preuves à l'appui de ses propres allégations quant au motif du congé (ATF 130 III 699 consid. 4.1 p. 703).
3.2 Comme ils l'expliquent en préambule (consid. 2a de la décision attaquée), les juges neuchâtelois se sont fondés sur la preuve par indices. En réalité, ils ont considéré non seulement que les indices apportés par l'intimée faisaient apparaître comme non réels les motifs invoqués par la recourante, sans que cette dernière ne soit parvenue à prouver ses propres allégations, mais ils ont établi que le véritable motif du congé résidait dans les revendications de l'intimée «quant à son rôle de directrice de l'établissement».
La recourante explique avoir avancé plusieurs motifs au licenciement de l'intimée. De fait, elle a invoqué comme raison majeure le non-respect de l'horaire de travail; par la suite, elle a également motivé le congé par la sortie abrupte de l'intimée lors de la séance du 11 août 2004. Dans son recours, elle fait état des mauvaises relations entre parties, insistant sur l'appellation «nain de jardin» que l'intimée aurait utilisée pour qualifier A._, mais elle ne prétend pas avoir licencié l'intimée pour ce motif-là.
En ce qui concerne les heures à effectuer par la travailleuse, la cour cantonale a relevé que la recourante n'avait même pas allégué avoir adressé des reproches à ce sujet à son employée avant le licenciement d'août 2004, ce qui était manifestement de nature à affaiblir la position de l'employeur quant à la réalité de ce motif de licenciement. De même, le claquement de porte reproché à l'intimée pouvait difficilement être tenu pour le motif réel du licenciement dès lors que, dans la lettre même de résiliation, l'employeur explique n'avoir pu exposer en détail les raisons de sa décision à la travailleuse parce que celle-ci avait quitté la séance du 11 août 2004 de manière intempestive. A cet égard, les heures de création des documents, invoquées par la recourante, ne sont assurément pas propres à démontrer que l'employeur n'avait pas encore décidé de se passer des services de l'intimée au moment où celle-ci a claqué la porte.
De l'autre côté, il apparaît que, de tout temps, la répartition des tâches entre l'intimée et A._ n'était pas claire et que l'employée ne disposait pas de cahier des charges. D'une part, l'intimée avait été engagée comme infirmière-cheffe, responsable de la direction des soins uniquement; d'autre part, l'autorisation d'exploiter la résidence précisait que l'établissement était placé sous la direction de l'intimée et qu'elle ne pourrait être prolongée que si l'employée obtenait le certificat idoine. Par ailleurs, l'autorité de surveillance avait déploré l'absence de cahier des charges à plusieurs reprises. En instance cantonale, la recourante a elle-même allégué que l'intimée confondait son activité de directrice au sens des dispositions de droit public avec celle qui était la sienne sous l'angle du droit privé. Sur cette base, il n'était en tout cas pas insoutenable de tenir pour établi que, à l'intérieur de la résidence, l'intimée était en principe confinée au rôle d'infirmière-cheffe sans pour autant disposer d'un cahier des charges, alors que, vis-à-vis de l'extérieur, elle était la directrice de l'établissement. La recourante ne conteste pas que, une fois son diplôme obtenu, l'intimée a cherché à mettre un terme à cette situation ambivalente en revendiquant de pouvoir exercer pleinement les fonctions de directrice. Jouant sur les mots, elle se borne à prétendre que l'intimée était la directrice de l'EMS, mais se garde bien de se prononcer sur la répartition réelle des tâches entre l'infirmière-cheffe et le président du conseil d'administration de la recourante.
En bref, les motifs de licenciement invoqués par l'employeur n'apparaissaient guère sérieux. En revanche, il était établi que le rôle de l'intimée dans la résidence n'était pas défini avec précision, alors que l'employée était reconnue comme directrice par les autorités cantonales compétentes. Dans ces conditions, la cour cantonale pouvait, sans tomber dans l'arbitraire, retenir que la recourante avait résilié le contrat de travail parce qu'elle n'acceptait pas la volonté affichée par l'intimée - qui venait justement d'obtenir son diplôme - d'assumer toutes les prérogatives et responsabilités liées à la fonction de directrice ainsi que de disposer enfin d'un cahier des charges précis.
Le grief fondé sur la violation de l'art. 9 Cst. ne peut être qu'écarté.
4. La recourante se plaint ensuite d'une violation de l'art. 336 al. 1 let. d CO. Elle fait valoir qu'une revendication de l'intimée concernant l'existence ou la reconnaissance d'un statut - celui de directrice - qui était déjà le sien ne saurait entrer en ligne de compte pour apprécier le caractère éventuellement abusif du congé du 11 août 2004. Elle conteste au surplus qu'il s'agisse d'une prétention résultant du contrat de travail, formulée de bonne foi. Quant à la revendication tendant à l'établissement d'un cahier des charges clair et précis, elle ne constituerait pas non plus une prétention exercée de bonne foi dès lors que l'intimée était parfaitement en mesure de soumettre un tel document à son employeur si elle estimait qu'il lui était nécessaire pour assumer la direction de l'établissement.
4.1 Selon l'art. 335 al. 1 CO, le contrat de travail conclu pour une durée indéterminée peut être résilié par chacune des parties. En droit suisse du travail, la liberté de la résiliation prévaut, de sorte que, pour être valable, un congé n'a en principe pas besoin de reposer sur un motif particulier. Le droit de chaque cocontractant de mettre unilatéralement fin au contrat est toutefois limité par les dispositions sur le congé abusif (art. 336ss CO). L'art. 336 al. 1 et 2 CO contient une liste non exhaustive de cas dans lesquels la résiliation est abusive (ATF 132 III 115 consid. 2.1 p. 116; 131 III 535 consid. 4.1 et 4.2 p. 537/538). Ainsi, selon l'art. 336 al. 1 let. d CO, le congé est abusif lorsqu'il est donné par une partie parce que l'autre partie fait valoir de bonne foi des prétentions résultant du contrat de travail. Cette disposition vise le congé-représailles ou congé-vengeance. Elle tend en particulier à empêcher que le licenciement soit utilisé pour punir le travailleur d'avoir fait valoir des prétentions auprès de son employeur en supposant de bonne foi que les droits dont il soutenait être le titulaire lui étaient acquis. En principe, la bonne foi du travailleur est présumée (art. 3 al. 1 CC) et il importe peu que les prétentions invoquées de bonne foi soient réellement fondées. La réclamation ne doit toutefois être ni chicanière ni téméraire, car elle empêcherait alors une résiliation en elle-même admissible (arrêt 4C.237/2005 du 27 octobre 2005 consid. 2.2 et les références).
4.2 En l'espèce, la revendication à l'origine du licenciement consistait, pour l'intimée, à pouvoir exercer réellement les tâches de directrice de la résidence, selon un cahier des charges précis. C'est le lieu de relever que, contrairement à ce que la recourante soutient à présent, ce statut n'était alors pas reconnu à l'intimée dans le cadre interne à l'établissement. Par ailleurs, il est établi que l'employeur n'a jamais fourni un cahier des charges à l'intimée; or, quoiqu'en dise la recourante, cette tâche lui incombait. Du reste, l'absence d'un tel document a donné lieu à des interventions de l'autorité compétente auprès de l'employeur.
Selon le contrat de travail, l'intimée a été engagée comme infirmière-cheffe chargée de la direction des soins, et non comme directrice de l'ensemble de l'établissement. On peut dès lors se demander si la prétention exercée résulte du contrat de travail, comme l'art. 336 al. 1 let. d CO l'exige. A ce sujet, il convient de préciser que cette notion s'entend au sens large et comprend la loi, les conventions collectives de travail, les règlements d'entreprise, voire la pratique (RÉMY WYLER, Droit du travail, 2e éd. 2008, p. 546, note de pied 2049; BRUNNER/BÜHLER/WAEBER/BRUCHEZ, Commentaire du contrat de travail, 3e éd. 2004, p. 253). En tous les cas, l'intimée pouvait penser de bonne foi que, une fois qu'elle avait obtenu son diplôme de directrice d'EMS, elle aurait le droit d'exercer réellement toutes les compétences liées à la fonction de directrice de la résidence. En effet, selon ses propres déclarations, l'employeur avait lui-même assumé les frais de la formation de l'intimée, élément dont celle-ci pouvait légitimement déduire qu'il entendait lui confier la direction effective de l'établissement, et non seulement se prévaloir de son titre pour obtenir une prolongation de l'autorisation officielle d'exploiter la résidence. Dans ce sens-là, la prétention invoquée était bel et bien issue des relations de travail entre les parties et l'intimée l'a formulée de bonne foi. Au surplus, aucun élément du jugement attaqué ne laisse supposer que la réclamation procéderait d'une attitude chicanière ou téméraire.
Il s'ensuit que la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en qualifiant le licenciement signifié le 11 août 2004 de congé-représailles, abusif au sens de l'art. 336 al. 1 let. d CO.
5. La recourante s'en prend également au montant alloué à l'intimée à titre d'indemnité pour licenciement abusif. D'une part, elle est d'avis que les considérations générales émises par la cour cantonale ne constituent pas une motivation suffisante au sens de l'art. 29 al. 2 Cst. D'autre part, elle se plaint d'une violation de l'art. 336a CO. Les éléments avancés dans le jugement attaqué ne justifieraient pas l'octroi d'une indemnité de 30'000 fr., correspondant à quatre mois de salaire. A ce sujet, la recourante met en avant les circonstances dans lesquelles le licenciement a eu lieu, qui n'impliqueraient pas une faute suffisamment grave pour justifier une indemnité aussi élevée, l'âge de l'employée lors du congé (34 ans) ainsi que le fait que la formation acquise pendant les rapports de travail procure un avantage à l'intimée pour son avenir professionnel et ne supposait du reste aucune garantie de maintien d'un emploi auprès de la recourante.
5.1 Aux termes de l'art. 336a al. 1 et 2 CO, la partie qui résilie abusivement le contrat de travail doit verser à l'autre partie une indemnité s'élevant à six mois de salaire au maximum; dans cette limite, l'indemnité est fixée par le juge, qui tiendra compte de toutes les circonstances.
Dans l'exercice de son pouvoir d'appréciation, le juge applique les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC). Il doit notamment tenir compte de la gravité de la faute de l'employeur, d'une éventuelle faute concomitante du travailleur, de la manière dont la résiliation s'est déroulée, de la gravité de l'atteinte à la personnalité du travailleur licencié, de la durée des rapports de travail, de leur étroitesse, des effets économiques du licenciement, de l'âge du travailleur, d'éventuelles difficultés de réinsertion dans la vie économique et de la situation économique des parties (ATF 123 III 246 consid. 6a p. 255).
Le montant de l'indemnité est fixé librement par le juge; le pouvoir d'appréciation qui est reconnu de la sorte à l'autorité cantonale conduit le Tribunal fédéral à ne pas substituer sa propre appréciation à celle de l'instance inférieure. Il intervient lorsque la décision s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; en outre, le Tribunal fédéral sanctionne les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (cf. ATF 133 III 201 consid. 5.4 p. 211; 130 III 213 consid. 3.1 p. 220, 28 consid. 4.1 p. 32; 129 III 380 consid. 2 p. 382).
5.2 En l'espèce, la cour cantonale a énuméré les quatre éléments qui l'ont conduite à fixer l'indemnité à quatre mois de salaire. Même si la motivation de la décision entreprise est effectivement succincte sur ce point, elle permet néanmoins de comprendre les raisons qui ont guidé les juges dans l'exercice de leur pouvoir d'appréciation. Il n'y a là aucune violation de l'obligation de motiver déduite du droit d'être entendu.
La cour cantonale a pris en compte la durée des rapports de travail, la formation dont l'intimée n'a pas pu tirer profit en continuant son emploi auprès de la recourante, les circonstances dans lesquelles la résiliation a eu lieu ainsi que l'âge de l'employée. Ce faisant, elle s'est appuyée sur des éléments pertinents au sens de la jurisprudence susmentionnée. Par ailleurs, la conclusion qu'elle en a tirée, soit la fixation d'une indemnité représentant les deux tiers du montant maximal, ne procède pas d'un abus du pouvoir d'appréciation. L'intimée est restée plus de quatre ans au service de la recourante. Elle a été formée comme directrice aux frais de l'employeur, ce qui lui offrait sans conteste la perspective d'un emploi de longue durée. En outre, on ne saurait qualifier de légère la faute de la recourante, qui a adopté une attitude ambivalente par rapport au statut de directrice de l'intimée et n'a jamais clarifié les compétences que son employée devait exercer. Même si l'âge de l'intimée au moment du licenciement (34 ans de l'aveu des deux parties) est un facteur qui plaide plutôt pour une réduction de l'indemnité, il ne fait pas apparaître le montant alloué comme manifestement injustifié.
Il s'ensuit que le grief tiré de la violation de l'art. 336a CO est mal fondé.
6. Dans un dernier moyen, la recourante se plaint d'arbitraire dans l'application du droit de procédure cantonal. Invoquant l'art. 152 du code de procédure civile neuchâtelois (CPC/NE), elle fait valoir que la cour cantonale aurait dû procéder à une répartition des frais et dépens cantonaux, au lieu de mettre les frais de la cause et les dépens de la demanderesse entièrement à la charge de la défenderesse. En effet, en obtenant un montant total de 37'500 fr. alors que ses conclusions portaient sur 52'500 fr., l'intimée aurait succombé partiellement et devrait ainsi supporter une partie des frais et dépens.
6. Dans un dernier moyen, la recourante se plaint d'arbitraire dans l'application du droit de procédure cantonal. Invoquant l'art. 152 du code de procédure civile neuchâtelois (CPC/NE), elle fait valoir que la cour cantonale aurait dû procéder à une répartition des frais et dépens cantonaux, au lieu de mettre les frais de la cause et les dépens de la demanderesse entièrement à la charge de la défenderesse. En effet, en obtenant un montant total de 37'500 fr. alors que ses conclusions portaient sur 52'500 fr., l'intimée aurait succombé partiellement et devrait ainsi supporter une partie des frais et dépens.
6.1 6.1.1 En matière d'application du droit cantonal, l'arbitraire et la violation de la loi ne sauraient être confondus; une violation de la loi doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être considérée comme arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à déterminer quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit simplement vérifier si l'interprétation qui a été faite est défendable. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (ATF 133 II 257 consid. 5.1 p. 260/261; 132 I 13 consid. 5.1 p. 18; 131 I 217 consid. 2.1 p. 219).
6.1.2 En procédure civile, la répartition des frais et dépens est régie par le principe dit du résultat («Erfolgsprinzip»), qui repose sur la présomption selon laquelle la partie qui succombe a causé les coûts du procès (ATF 119 Ia 1 consid. 6b p. 2). En règle générale, les frais et dépens sont donc mis à la charge des parties dans la mesure où elles succombent (entre autres, arrêt 4P.166/2003 du 21 mai 2004 consid. 4.1). Ce principe est valable en procédure civile neuchâteloise. Aux termes de l'art. 152 CPC/NE, tout jugement ou décision condamne la partie qui succombe aux frais et dépens (al. 1); si les parties succombent chacune partiellement, le juge répartit les frais et dépens selon son appréciation (al. 2). Dans ce dernier cas, il est admis que le juge dispose d'un large pouvoir d'appréciation. En cas d'admission partielle d'un chef de conclusion, il n'est ainsi pas arbitraire de mettre tous les frais et dépens à la charge du défendeur si le demandeur ne pouvait déterminer précisément l'étendue de ses droits au moment de les faire valoir et si, en limitant sa prétention au montant qui lui a été finalement alloué, il n'aurait ni simplifié la procédure, ni réduit les frais. Par ailleurs, lorsqu'une conclusion du demandeur est fondée dans son principe, il est loisible au juge de mettre la totalité des frais et dépens à la charge de la partie adverse (FRANÇOIS BOHNET, Code de procédure civile neuchâtelois commenté, 2e éd. 2004, p. 244).
6.2 En instance cantonale, l'intimée a obtenu entièrement gain de cause sur sa prétention de 7'500 fr. relative au salaire de novembre 2004. Elle a vu sa prétention à une indemnité pour licenciement abusif admise dans son principe; à ce titre, elle réclamait six mois de salaire et la cour cantonale lui en a alloué quatre.
Ainsi, la recourante a succombé sur le principe du licenciement abusif et l'intimée a obtenu près des trois quarts de ses conclusions chiffrées. Il s'agit là typiquement d'un cas où le juge peut, sans arbitraire, mettre à la charge du défendeur la totalité des frais et dépens de la procédure. Le grief tiré de la violation de l'art. 9 Cst. est manifestement dénué de fondement.
7. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
La recourante, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Comme la valeur litigieuse, calculée selon les prétentions de la demanderesse à l'ouverture de l'action (cf. ATF 115 II 30 consid. 5b p. 41), dépasse le seuil de 30'000 fr., le montant de l'émolument judiciaire est fixé selon le tarif ordinaire (art. 65 al. 3 let. b LTF), et non réduit (art. 65 al. 4 let. c LTF). En outre, la recourante versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr, sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Ie Cour civile du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 18 décembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Corboz Godat Zimmermann