Faits:
Faits:
A. A._ a travaillé depuis le 1er mars 2003 en qualité de secrétaire-comptable et d'assistante d'administration au service de la société X._ SA (ci-après: la société). Celle-ci a été inscrite au registre du commerce le 6 mars 2003. Son conseil d'administration était formé de B._, président et titulaire de la signature individuelle, de C._, secrétaire, et de A._, toutes deux titulaires de la signature collective à deux. La faillite de la société a été prononcée le 9 novembre 2004.
Le 28 juillet 2004, la société a décidé de résilier avec effet au 30 septembre suivant tous les contrats de travail la liant au personnel. Toutefois, A._ a continué de travailler au service de la société jusqu'au prononcé de la faillite.
Le 17 septembre 2004, elle a démissionné du conseil d'administration avec effet immédiat. Son inscription au registre du commerce a été radiée le 10 février 2005.
Le 15 septembre 2004, A._ a présenté une demande d'indemnité de chômage à partir du 1er octobre suivant. Le 6 décembre 2004, elle a requis l'octroi d'une indemnité en cas d'insolvabilité pour des prétentions de salaire relatives à la période du 1er septembre au 9 novembre 2004, y compris des indemnités pour sept jours de vacances.
Par décision du 6 décembre 2004, confirmée sur opposition le 1er mars 2005, la Caisse cantonale de chômage du canton de Vaud (ci-après: la caisse) a rejeté la demande d'indemnité en cas d'insolvabilité, motif pris qu'en qualité de membre du conseil d'administration inscrit au registre du commerce, l'assurée avait continué d'occuper une position dirigeante dans la société jusqu'au prononcé de la faillite.
Par une autre décision, du 10 décembre 2004, la caisse a nié le droit de l'assurée à une indemnité de chômage pour la période du 1er octobre au 9 novembre 2004, motif pris que le gain qu'elle percevait alors en continuant de travailler au service de la société était supérieur à l'indemnité de chômage à laquelle elle aurait droit. Cette décision a été annulée et remplacée par une décision du 17 mars 2005, confirmée le 12 mai suivant, aux termes de laquelle le droit à une indemnité de chômage pour la période en cause a été nié au motif que l'intéressée occupait une position dirigeante dans la société.
Par une autre décision, du 10 décembre 2004, la caisse a nié le droit de l'assurée à une indemnité de chômage pour la période du 1er octobre au 9 novembre 2004, motif pris que le gain qu'elle percevait alors en continuant de travailler au service de la société était supérieur à l'indemnité de chômage à laquelle elle aurait droit. Cette décision a été annulée et remplacée par une décision du 17 mars 2005, confirmée le 12 mai suivant, aux termes de laquelle le droit à une indemnité de chômage pour la période en cause a été nié au motif que l'intéressée occupait une position dirigeante dans la société.
B. A._ a recouru devant le Tribunal administratif du canton de Vaud contre la décision sur opposition du 1er mars 2005, en concluant à l'octroi d'une indemnité en cas d'insolvabilité pour ses prétentions de salaire relatives à la période du 1er septembre au 9 novembre 2004. Elle a également recouru contre la décision sur opposition du 12 mai 2005, en concluant à sa réformation, en ce sens qu'elle a droit à une indemnité de chômage pour la période du 1er octobre au 9 novembre 2004.
La juridiction cantonale a joint les causes.
Par jugement du 15 août 2006, elle a admis les recours dont elle était saisie. Elle a annulé les décisions sur opposition des 1er mars et 12 mai 2005, et renvoyé les dossiers à la caisse pour nouvelles décisions au sens des considérants. Elle a considéré, en résumé, que l'assurée n'occupait pas une position dirigeante dans la société, que ce soit en relation avec une indemnité en cas d'insolvabilité pour la période du 1er septembre au 9 novembre 2004 ou au regard d'une indemnité de chômage pour la période du 1er octobre au 9 novembre 2004.
Par jugement du 15 août 2006, elle a admis les recours dont elle était saisie. Elle a annulé les décisions sur opposition des 1er mars et 12 mai 2005, et renvoyé les dossiers à la caisse pour nouvelles décisions au sens des considérants. Elle a considéré, en résumé, que l'assurée n'occupait pas une position dirigeante dans la société, que ce soit en relation avec une indemnité en cas d'insolvabilité pour la période du 1er septembre au 9 novembre 2004 ou au regard d'une indemnité de chômage pour la période du 1er octobre au 9 novembre 2004.
C. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant à ce que soient niés les droits de l'assurée à l'indemnité en cas d'insolvabilité et à l'indemnité de chômage pour les périodes considérées.
L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de dépens. De son côté, la caisse s'en remet à justice.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. La loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
1. La loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
2. En premier lieu, est litigieux le droit de l'intimée à une indemnité en cas d'insolvabilité pour des prétentions de salaire relatives à la période du 1er septembre au 9 novembre 2004. Singulièrement, il s'agit d'examiner si la caisse était fondée à nier ce droit au motif que l'assurée avait continué d'occuper une position dirigeante dans la société durant la période en cause.
2.1 Selon l'art. 51 al. 1 LACI, les travailleurs assujettis au paiement des cotisations, qui sont au service d'un employeur insolvable sujet à une procédure d'exécution forcée en Suisse ou employant des travailleurs en Suisse, ont droit à une indemnité pour insolvabilité, notamment lorsqu'une procédure de faillite est engagée contre leur employeur et qu'ils ont, à ce moment-là, des créances de salaire envers lui (let. a).
N'ont pas droit à l'indemnité les personnes qui fixent les décisions que prend l'employeur - ou peuvent les influencer considérablement - en qualité d'associé, de membre d'un organe dirigeant de l'entreprise ou encore de détenteur d'une participation financière à l'entreprise; il en va de même des conjoints de ces personnes, lorsqu'ils sont occupés dans la même entreprise (art. 51 al. 2 LACI).
2.2 Selon la jurisprudence relative à l'art. 31 al. 3 let. c LACI - lequel, dans une teneur équivalente, exclut du droit à l'indemnité en cas de réduction de l'horaire de travail le même cercle de personnes que celui visé par l'art. 51 al. 2 LACI et auquel on peut se référer par analogie (DTA 1996/1997 no 41 p. 227 consid. 1b) - , il n'est pas admissible de refuser, de façon générale, le droit aux prestations aux employés au seul motif qu'ils peuvent engager l'entreprise par leur signature et qu'ils sont inscrits au registre du commerce. Il y a lieu de ne pas se fonder de façon stricte sur la position formelle de l'organe à considérer, mais il faut bien plutôt établir l'étendue du pouvoir de décision en fonction des circonstances concrètes. C'est donc la notion matérielle de l'organe dirigeant qui est déterminante, car c'est la seule façon de garantir que l'art. 31 al. 3 let. c LACI, qui vise à combattre les abus, remplisse son objectif (SVR 1997 ALV no 101 p. 311 consid. 5d). En particulier, lorsqu'il s'agit de déterminer quelle est la possibilité effective d'un dirigeant d'influencer le processus de décision de l'entreprise, il convient de prendre en compte les rapports internes existant dans l'entreprise. On établira l'étendue du pouvoir de décision en fonction des circonstances concrètes (DTA 1996/1997 no 41 p. 227 s. consid. 1b et 2; SVR 1997 ALV no 101 p. 311 consid. 5c). La seule exception à ce principe que reconnaît le Tribunal fédéral concerne les membres des conseils d'administration car ils disposent ex lege (art. 716 à 716b CO), d'un pouvoir déterminant au sens de l'art. 31 al. 3 let. c LACI (DTA 1996/1997 no 41 p. 226 consid. 1b et les références). Pour les membres du conseil d'administration, le droit aux prestations peut être exclu sans qu'il soit nécessaire de déterminer plus concrètement les responsabilités qu'ils exercent au sein de la société (ATF 122 V 270 consid. 3 p. 273; DTA 2004 no 21 p. 196 consid. 3.2, C 113/03).
En ce qui concerne plus précisément le cercle des personnes exclues du droit à l'indemnité en cas d'insolvabilité, on relèvera qu'en édictant l'al. 2 de l'art. 51 LACI, le législateur a voulu exclure d'une protection particulière les personnes qui exercent aussi bien une influence sur la conduite des affaires et sur la politique de l'entreprise qu'un droit de regard sur les pièces comptables et ne sont, de ce fait, pas surprises par la faillite subite de l'employeur (FF 1994 I p. 362). Cette disposition n'exige donc pas que l'on puisse imputer aux intéressés une responsabilité effective dans l'insolvabilité de ce dernier. Preuve en est le fait que les conjoints des personnes visées par l'art. 51 al. 2 LACI, lorsqu'ils sont occupés dans la même entreprise, sont également exclus du cercle des ayants droit (DTA 2004 no 21 p. 196 consid. 4.2, C 113/03).
2.3 La juridiction cantonale est d'avis que l'assurée ne jouissait pas d'un pouvoir de décision déterminant dans la société. Elle considère, en effet, que celle-ci était dominée par un investisseur qui en était le véritable ayant droit économique et le propriétaire des actions. L'intéressée, de son côté, ne possédait qu'une seule action nominative de 1'000 fr. à titre fiduciaire et disposait seulement de la signature collective à deux. En outre, sur le vu du procès-verbal de l'assemblée générale extraordinaire du 17 septembre 2004, l'assurée ne s'est pas vu confier de mission particulière par celle-ci. Au demeurant, il était probable que la présence de l'intéressée et de C._ au conseil d'administration avait été requise dans le seul but d'obtenir une majorité de membres de nationalité suisse.
De son côté, le seco soutient qu'en ce qui concerne la définition du cercle des personnes exclues du droit à l'indemnité en cas de réduction de l'horaire de travail (art. 31 al. 3 let. c LACI) - à laquelle on peut se référer à propos de l'art. 51 al. 2 LACI -, il n'y a pas lieu d'établir l'étendue du pouvoir de décision en fonction des circonstances concrètes lorsque l'on examine le cas des membres d'un conseil d'administration. Ceux-ci disposent, en effet, de par la loi, d'un pouvoir déterminant au sens de l'art. 31 al. 3 let. c LACI, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les responsabilités qu'ils exercent concrètement au sein de la société. Or, l'intimée était inscrite au registre du commerce en qualité de membre du conseil d'administration pendant la période du 1er septembre au 9 novembre 2004, ce qui suffit pour admettre que les conditions de l'art. 31 al. 3 let. c LACI sont réalisées et, partant, pour nier son droit à l'indemnité en cas d'insolvabilité au regard de l'art. 51 al. 2 LACI.
2.4 Le point de vue du recourant est bien fondé. Lorsque, comme en l'occurrence, un assuré est membre du conseil d'administration d'une société anonyme, il n'est pas nécessaire d'examiner plus avant l'étendue de son pouvoir de décision pour trancher le point de savoir s'il fait partie du cercle des personnes visées à l'art. 31 al. 3 let. c LACI et, partant, de celles visées à l'art. 51 al. 2 LACI. Certes, en l'espèce, l'intimée a démissionné avec effet immédiat du conseil d'administration le 17 septembre 2004, sans que l'inscription au registre du commerce ne fût toutefois radiée avant le 10 février 2005. Or, à ce propos, la jurisprudence considère que, pour déterminer jusqu'à quand un membre du conseil d'administration a effectivement pu influencer la gestion de l'entreprise, on se fonde sur la date à laquelle sa démission est devenue effective; on ne tient compte ni de la date à laquelle son inscription a été rayée du registre du commerce, ni de la date de la publication dans la Feuille officielle suisse du commerce (ATF 126 V 134 consid. 5b p. 137; DTA 2000 no 34 p. 178 s. consid. 1, C 184/99). Toutefois, en l'occurrence, il ressort du procès-verbal de l'assemblée générale des actionnaires du 28 juillet 2004 que les comptes de la société pour l'exercice du 1er mars au 31 décembre 2003 présentaient une perte de 521'133 fr.; loin de s'améliorer, la situation s'était même aggravée pendant la première moitié de l'année 2004, au point que le surendettement exigeât du conseil d'administration qu'il prît les mesures prévues à l'art. 725 CO. Ces difficultés financières ont finalement conduit le conseil d'administration à aviser le juge, comme cela ressort du procès-verbal de l'assemblée générale extraordinaire des actionnaires du 17 septembre 2004. Ainsi, il apparaît que les difficultés financières qui ont finalement entraîné la faillite le 9 novembre 2004 existaient avant la sortie du conseil d'administration et que les rapports de travail ont été maintenus malgré tout. Dans cette éventualité, la jurisprudence considère que le droit à l'indemnité en cas d'insolvabilité doit être nié en vertu de l'art. 51 al. 2 LACI également pour les périodes postérieures à la sortie du conseil d'administration (ATF 126 V 134).
Cela étant, la caisse était fondée, par sa décision sur opposition du 1er mars 2005, à nier le droit de l'intimée à une indemnité en cas d'insolvabilité.
Cela étant, la caisse était fondée, par sa décision sur opposition du 1er mars 2005, à nier le droit de l'intimée à une indemnité en cas d'insolvabilité.
3. En second lieu, est litigieux le droit de l'intéressée à une indemnité de chômage pour la période du 1er octobre au 9 novembre 2004.
3.1 La caisse a nié ce droit au motif qu'en sa qualité de membre du conseil d'administration, l'assurée occupait une position dirigeante dans la société. Elle a appliqué par analogie l'art. 31 al. 3 let. c LACI.
3.2 D'après la jurisprudence (ATF 123 V 234), un travailleur qui jouit d'une situation professionnelle comparable à celle d'un employeur n'a pas droit à l'indemnité de chômage lorsque, bien que licencié formellement par une entreprise, il continue de fixer les décisions de l'employeur ou à influencer celles-ci de manière déterminante. Dans le cas contraire, en effet, on détournerait par le biais d'une disposition sur l'indemnité de chômage la réglementation en matière d'indemnité en cas de réduction de l'horaire de travail, en particulier l'art. 31 al. 3 let. c LACI. Selon cette disposition légale, n'ont pas droit à l'indemnité en cas de réduction de l'horaire de travail les personnes qui fixent les décisions que prend l'employeur - ou peuvent les influencer considérablement - en qualité d'associé, de membre d'un organe dirigeant de l'entreprise ou encore de détenteur d'une participation financière à l'entreprise.
En l'espèce, l'intimée ayant démissionné avec effet immédiat du conseil d'administration le 17 septembre 2004, on ne peut considérer d'emblée qu'elle a continué d'influencer la gestion de la société au motif que l'inscription au registre du commerce n'a été radiée que le 10 février 2005 (cf. consid. 2.4). Toutefois, pour les motifs qui seront exposés ci-dessous, il n'est pas nécessaire d'examiner si, en fonction des circonstances concrètes, l'intéressée a gardé un pouvoir de décision en dépit de sa démission du conseil d'administration.
En effet, bien que la société - conformément à la décision de l'assemblée générale des actionnaires du 28 juillet 2004 - ait effectivement résilié, avec effet au 30 septembre 2004, les rapports de travail la liant à l'assurée, celle-ci a poursuivi son activité au service de la société jusqu'au moment du prononcé de la faillite, le 9 novembre suivant. Sur le vu des attestations de l'employeur des 28 octobre et 10 novembre 2004, elle a continué, durant la période du 1er octobre au 9 novembre 2004, de travailler pour le salaire prévu par le contrat de travail passé le 23 mai 2003. Certes, elle n'a pas perçu effectivement ce salaire mais a obtenu une créance contre son ancien employeur, qu'elle a produite dans la faillite de celui-ci. Dans la mesure où elle était liée à un travail effectivement fourni, cette créance de salaire ouvrait donc droit, en principe, à une indemnité en cas d'insolvabilité (ATF 132 V 82 consid. 3 p. 84, 125 V 492 consid. 3b p. 494, 121 V 377 consid. 2a p. 379, et les références), n'était-ce l'exclusion fondée sur la personne, prévue à l'art. 51 al. 2 LACI (cf. consid. 2).
Il apparaît ainsi que l'intimée n'était pas sans emploi ni partiellement sans emploi et qu'en outre elle ne subissait pas une perte de travail à prendre en considération durant la période du 1er octobre au 9 novembre 2004. Dans ces conditions, son droit à l'indemnité de chômage doit être nié (art. 8 al. 1 let. a et b, en liaison avec les art. 10 et 11 LACI).
Il apparaît ainsi que l'intimée n'était pas sans emploi ni partiellement sans emploi et qu'en outre elle ne subissait pas une perte de travail à prendre en considération durant la période du 1er octobre au 9 novembre 2004. Dans ces conditions, son droit à l'indemnité de chômage doit être nié (art. 8 al. 1 let. a et b, en liaison avec les art. 10 et 11 LACI).
4. Vu ce qui précède, les décisions sur opposition de la caisse des 1er mars et 12 mai 2005 ne sont pas critiquables et le recours se révèle bien fondé.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal administratif du canton de Vaud du 15 août 2006 est annulé.
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal administratif du canton de Vaud du 15 août 2006 est annulé.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Vaud et à la Caisse publique cantonale vaudoise de chômage.
Lucerne, le 3 octobre 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
p. le Président: Le Greffier: