Faits:
A. Y._ exerce la profession de maçon au service d'une entreprise de placement de personnel à Genève. En cas d'incapacité de travail pour cause de maladie, des indemnités journalières lui sont assurées auprès de la compagnie d'assurances X._ SA selon les termes d'un contrat d'assurance collective. Les indemnités sont versées, s'il y a lieu, au taux de 80% du salaire, durant sept cent vingt jours au plus et dès le troisième jour d'incapacité de travail.
Y._ s'est trouvé en incapacité de travail totale dès le 23 octobre 2006 et il a perçu les indemnités de la compagnie X._ SA jusqu'au 20 juin 2008.
Selon un certificat médical adressé à l'assureur le 19 mars 2008, l'incapacité de travail était confirmée pour une durée indéterminée; le médecin indiquait qu'il se trouvait confronté à un cas complexe et que son pronostic était réservé.
L'assureur a chargé deux spécialistes, l'un psychiatre, l'autre neuropsychologue, d'établir une expertise dite pluridisciplinaire. Selon le rapport remis par ces praticiens, il ne se justifiait aucunement de reconnaître à l'assuré une incapacité de travail pour motifs psychiques; sa capacité de travail était au contraire complète depuis le début de février 2008. Sur la base de cette étude, par lettre du 10 juin 2008, l'assureur a averti l'assuré qu'il suspendrait ses indemnités dès le 20 du même mois.
B. Le 13 septembre 2008, Y._ a ouvert action contre X._ SA devant le Tribunal cantonal des assurances sociales (ci-après: le Tribunal cantonal) du canton de Genève. La défenderesse devait être condamnée au versement des indemnités journalières dès le 21 juin 2008 et jusqu'au terme de l'incapacité de travail, ou jusqu'à l'épuisement du droit, soit au moins 14'774 fr.40 au jour de l'ouverture de l'action, plus intérêts au taux de 5% par an; elle devait en outre verser des dommages-intérêts par 2'044 fr.40. Sur « mesures provisionnelles », le demandeur réclamait une expertise médicale afin d'établir que son incapacité de travail perdurait.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action. Selon ses déterminations sur la demande de mesures provisionnelles, une expertise supplémentaire était superflue et, a fortiori, cette mesure probatoire n'était pas urgente.
Le 29 octobre 2008, le Tribunal cantonal a rendu un arrêt dont le dispositif se lit comme suit:
A la forme:
1. [le tribunal] Déclare la demande recevable.
Au fond:
2. L'admet partiellement.
3. Invite [la compagnie d'assurances X._ SA] à mettre sur pied, dans les meilleurs délais, une expertise pluridisciplinaire conformément aux considérants.
4. L'y condamne en tant que de besoin.
5. ...
Le Tribunal cantonal retient que le demandeur n'a pas eu l'occasion de prendre position sur le choix des deux experts ni sur le libellé des questions qui leurs seraient soumises; de surcroît, l'étude se révèle incomplète. La défenderesse a donc gravement violé le droit d'être entendu de l'autre partie, et, en conséquence, elle doit mettre en oeuvre une nouvelle expertise pluridisciplinaire, dans le respect des règles de procédure tenues pour applicables; elle doit ensuite « se déterminer ».
C. Contre cette décision, la défenderesse exerce simultanément le recours en matière civile au Tribunal fédéral, et, pour le cas où ce recours serait jugé irrecevable, le recours constitutionnel.
Elle conclut principalement à l'annulation de la décision et au rejet de l'action; elle conclut subsidiairement à l'annulation de la décision et au renvoi de la cause au Tribunal cantonal.
Le demandeur conclut principalement à l'irrecevabilité des deux recours; subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause au Tribunal cantonal afin que celui-ci ordonne une expertise et statue sur l'action.
Le demandeur présente une demande d'assistance judiciaire.
Considérant en droit:
1. La contestation porte sur la compétence et l'obligation d'accomplir des mesures probatoires, en l'occurrence une expertise, soumises à des règles de procédure spécifiques et destinées à élucider le bien-fondé des prétentions élevées contre une entreprise d'assurance. La décision attaquée attribue cette compétence et obligation, dans la cause du demandeur, à la défenderesse elle-même. Celle-ci s'y oppose; faisant valoir qu'elle pratique l'assurance privée, elle se plaint d'une transposition injustifiée des tâches incombant aux organes des assurances sociales. La décision porte ainsi sur une question de compétence aux termes de l'art. 92 al. 1 LTF; elle ne termine pas le litige pécuniaire des parties mais elle est susceptible du recours exceptionnel prévu par cette disposition.
L'assurance d'indemnités journalières en cas de maladie, individuelle ou collective, peut être souscrite dans le cadre de l'assurance-maladie sociale, régie par les lois fédérales sur l'assurance-maladie (LAMal) et sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA); elle peut aussi être l'objet d'un contrat d'assurance privée, soumis à la loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA). L'assurance sociale est prévue par les art. 1a al. 1 et 67 à 77 LAMal. Il est en principe possible que le même assureur pratique les deux sortes d'assurances, sociale et privée (Alfred Maurer, Das neue Krankenversicherungsrecht, 1996, p. 110). En l'occurrence, il est constant que le demandeur fonde ses prétentions sur un contrat d'assurance privée, de sorte que la décision attaquée est rendue en matière civile aux termes de l'art. 72 al. 1 LTF (ATF 124 III 229 consid. 2b p. 232). Il s'agit d'une décision de dernière instance cantonale selon l'art. 75 al. 1 LTF.
La valeur litigieuse devant le Tribunal cantonal (art. 51 al. 1 let. a LTF), calculée en tenant compte de la durée maximum du droit aux indemnités journalières, d'une part, et de la demande de dommages-intérêts d'autre part, s'élève à 22'000 fr. environ; le seuil de 30'000 fr. prévu par l'art. 74 al. 1 let. b LTF n'est donc pas atteint. Le demandeur prétend à tort que la contestation soulève une question juridique de principe, aux termes de l'art. 74 al. 2 let. a LTF, car, comme on le verra, la portée des dispositions de droit fédéral déterminantes peut être élucidée dans le cadre du recours constitutionnel (cf. ATF 134 I 184 consid. 1.3.3 p. 188). La cause ne répond, non plus, à aucune des autres hypothèses de dispense de la valeur litigieuse prévues par la loi; en conséquence, elle n'est susceptible que du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF), à l'exclusion du recours ordinaire en matière civile.
La défenderesse a pris part à l'instance précédente et, par l'obligation d'accomplir la mesure probatoire en cause, elle est lésée dans sa situation juridique personnelle (art. 115 LTF).
Les conclusions principales, tendant au rejet de l'action pécuniaire, sont dépourvues de toute motivation et elles sont donc irrecevables au regard de l'art. 42 al. 1 LTF. Pour le surplus, déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours constitutionnel est recevable dans ses conclusions subsidiaires.
2. La défenderesse invoque surtout l'art. 9 Cst. concernant la protection contre l'arbitraire.
Une décision est arbitraire, donc contraire à cette disposition constitutionnelle, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
Le Tribunal cantonal retient que la défenderesse a violé, au préjudice du demandeur, le droit d'être entendu que l'art. 29 al. 2 Cst. garantit à toute personne dans les procédures judiciaires ou administratives. Les plaideurs ont notamment le droit de participer à l'administration des preuves et de se déterminer à leur propos (ATF 129 II 497 consid. 2.2 p. 504; 127 I 54 consid. 2b p. 56). Les droits fondamentaux ont cependant pour objet de protéger les particuliers contre les abus du pouvoir étatique, et ils ne s'appliquent pas directement dans les rapports des particuliers entre eux (Pascal Mahon, in Petit commentaire de la Constitution fédérale [...], 2003, nos 3 et 10 ad art. 35 Cst.; Andreas Auer et al., Droit constitutionnel suisse, 2e éd., 2006, vol. II, p. 57 et ss; Ulrich Häfelin et al., Schweizerisches Bundesstaatsrecht, 7e éd., 2008, n° 205). L'art. 29 Cst. vise d'ailleurs textuellement les procédures judiciaires ou administratives, soit des procédures d'organes étatiques. Dans sa pratique de l'assurance privée, la défenderesse n'est en aucune manière un organe de l'Etat, de sorte que, lors de l'élaboration de manifestations de volonté semblables à celle adressée au demandeur par lettre du 10 juin 2008, elle n'est pas tenue de se conformer aux exigences de l'art. 29 Cst. Au regard de l'art. 9 Cst., la défenderesse est fondée à se plaindre d'arbitraire car le Tribunal cantonal, méconnaissant de façon flagrante le domaine de validité des droits fondamentaux, lui impose précisément cette obligation.
Le Tribunal cantonal juge que la défenderesse aurait dû faire application des art. 57 al. 2 et 58 al. 2 PCF, concernant respectivement, dans le procès civil, le droit des parties de se prononcer sur le libellé des questions soumises à l'expert et sur le choix de la personne à désigner en cette qualité. La décision mentionne trois arrêts du Tribunal fédéral des assurances concernant l'assurance-accidents (ATF 120 V 357; RAMA 1993 p. 97; RAMA 1996 p. 290). Ces références sont hors de propos car l'assurance-accidents fait partie des assurances sociales et ne relève pas de la loi fédérale sur le contrat d'assurance; il est donc aussi arbitraire d'assujettir la défenderesse, dans ses manifestations de volonté, aux art. 57 al. 2 et 58 al. 2 PCF. Ces mêmes références sont d'ailleurs obsolètes depuis l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2003, de l'art. 44 LPGA; celui-ci remplace la réglementation antérieure, laquelle comportait effectivement un renvoi à certaines dispositions de la procédure civile fédérale, et il ne reconnaît à l'assuré, en cas d'expertise ordonnée par l'assureur social, que le droit de participer à la désignation de l'expert (ATF 133 V 446).
En réalité, selon l'art. 85 al. 1 de la loi fédérale sur la surveillance des entreprises d'assurance (LSA), les contestations de droit privé entre assureur et assuré ressortissent au juge; à la différence du régime établi pour les assurances sociales, l'assureur n'a aucun pouvoir de trancher lui-même les contestations par ses propres décisions, et il n'est donc pas astreint aux obligations qui accompagnent normalement un pouvoir de ce genre. Il appartient au juge d'ordonner, au besoin, les mesures probatoires prévues par le droit cantonal de procédure, et les deux parties, soit l'assureur et l'assuré, ont les mêmes droits et devoirs dans le procès. En l'espèce, le Tribunal cantonal s'est écarté arbitrairement de ces principes essentiels.
3. Le recours se révèle fondé et sera donc admis, dans la mesure où les conclusions présentées sont recevables. Compte tenu que le Tribunal cantonal a adopté une solution manifestement erronée et, de plus, exorbitante des conclusions prises devant lui, il se justifie de ne pas prélever l'émolument judiciaire et d'imputer les dépens des deux parties au canton de Genève (art. 66 al. 3, 68 al. 4 LTF).
En conséquence, il n'est pas nécessaire de statuer sur la demande d'assistance judiciaire présentée par le demandeur.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est irrecevable.
2. Le recours constitutionnel est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable; la décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée au Tribunal cantonal des assurances sociales pour suite de l'instruction.
3. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
4. Le canton de Genève versera, à titre de dépens, une indemnité de 2'500 fr. au demandeur.
5. Le canton de Genève versera, à titre de dépens, une indemnité de 2'500 fr. à la défenderesse.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève.
Lausanne, le 10 février 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin