Faits:
A. Dès le 1er février 1984, X._ a pris à bail un appartement de trois pièces dans un bâtiment d'habitation sis à Carouge. En 1998, 2001 et 2003, le locataire a intenté trois actions judiciaires à la bailleresse Y._ SA, les deux premières tendant à la réduction du loyer et à l'exécution de travaux par suite de défauts du bien loué, et la troisième tendant à l'annulation d'un congé. A chaque fois, le locataire a usé des services professionnels de Me Mauro Poggia, avocat à Genève, et a obtenu définitivement gain de cause. En février 2006, assisté de Me Michel Rudermann, le locataire a intenté une nouvelle action tendant à la réduction du loyer et à l'exécution de travaux; il a obtenu gain de cause en première instance et, à la connaissance du Tribunal fédéral, l'appel de la défenderesse est actuellement pendant.
B. Le 13 avril 2007, devant la commission de conciliation compétente puis devant le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève, X._ a derechef ouvert action contre Y._ SA. La défenderesse devait être condamnée à payer 30'160 fr. et 7'783 fr.10 pour remboursement des honoraires respectivement versés à Me Poggia et à Me Rudermann dans ces quatre procès, et 10'000 fr. à titre de réparation morale. Ces sommes devaient porter intérêts au taux de 5% par an dès le 13 avril 2007, jour de l'introduction de la demande.
La défenderesse a conclu principalement à l'irrecevabilité de la demande et subsidiairement au rejet de l'action.
Le tribunal s'est prononcé le 22 mai 2008; il a rejeté l'action.
La Chambre d'appel en matière de baux et loyers a statué le 21 juin 2010 sur l'appel du demandeur. Elle a déclaré la demande irrecevable en tant que celle-ci portait sur le remboursement de 7'783 fr.10 versés à Me Rudermann. Elle a renvoyé la cause au Tribunal des baux et loyers, pour complément d'instruction et nouvelle décision, en tant que la demande portait sur le remboursement de 30'160 fr. versés à Me Poggia, et elle a rejeté l'action en tant que la demande portait sur une indemnité de réparation morale au montant de 10'000 francs.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Chambre d'appel en ce sens que la défenderesse soit condamnée à payer 30'160 fr. pour remboursement des honoraires versés à Me Poggia et 10'000 fr. pour réparation morale, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 13 avril 2007. Des conclusions subsidiaires tendent au renvoi de la cause au Tribunal des baux et loyers pour nouvelle décision.
Une demande d'assistance judiciaire est jointe au recours.
La défenderesse n'a pas été invitée à répondre.
D. Agissant elle aussi par la voie du recours en matière civile, la défenderesse requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Chambre d'appel en ce sens que la demande soit jugée irrecevable. Des conclusions subsidiaires tendent au rejet de l'action ou, plus subsidiairement, au renvoi de la cause à la Chambre d'appel pour nouvelle décision.
Invité à répondre, le demandeur conclut principalement à l'irrecevabilité de ce recours et, subsidiairement, à son rejet. Il demande l'assistance judiciaire dans cette instance également.
Considérant en droit:
1. Par suite des mêmes faits, le demandeur réclame des dommages-intérêts à hauteur de ses frais d'avocat, d'une part, et une indemnité de réparation morale d'autre part. En tant que l'arrêt de la Chambre d'appel règle définitivement le sort de cette seconde prétention, il statue sur un objet indépendant de celui restant en cause, aux termes de l'art. 91 let. a LTF (Bernard Corboz, in Commentaire de la LTF, 2009, nos 13 et 14 ad art. 91 LTF); sur cet objet, l'arrêt est donc susceptible de recours au Tribunal fédéral selon cette disposition.
Il s'agit d'un prononcé de dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). La valeur litigieuse est déterminée d'après l'ensemble des conclusions qui étaient litigieuses devant la Chambre d'appel (art. 51 al. 1 let. b LTF), de sorte que le minimum de 15'000 fr. exigé en matière de droit du bail à loyer (art. 74 al. 1 let. a LTF) est atteint. Le demandeur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). Introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours en matière civile de cette partie est donc recevable en tant qu'il est dirigé contre le refus de l'indemnité de réparation morale.
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). La prétention dont est discussion repose sur diverses dispositions concernant la responsabilité contractuelle du bailleur et, en outre, sur l'art. 49 al. 1 CO, d'après lequel celui qui subit une atteinte illicite à sa personnalité a droit à une somme d'argent à titre de réparation morale si la gravité de l'atteinte le justifie et que l'auteur ne lui a pas donné satisfaction autrement. La Chambre d'appel constate en fait que le demandeur, conformément à ses allégations, s'est trouvé contraint d'entreprendre plusieurs procédures judiciaires pour défendre ses droits de locataire, mais elle retient en droit qu'à lui seul, le désagrément inhérent à cette situation n'était pas suffisamment grave pour justifier le versement d'une somme d'argent à titre de réparation morale. En dépit des critiques que le demandeur développe au sujet de l'attitude de son adverse partie dans leur relation contractuelle, le Tribunal fédéral peut adhérer sans plus de discussion à cette appréciation de la Chambre d'appel. Il s'ensuit que sur ladite prétention, le recours du demandeur se révèle privé de fondement et doit être rejeté.
2. Le remboursement des honoraires versés à Me Poggia, d'une part, et à Me Rudermann, d'autre part, sont aussi des objets indépendants l'un de l'autre aux termes de l'art. 91 let. a LTF.
2.1 Le prononcé de la Chambre d'appel termine le procès quant aux honoraires versés à ce second conseil, et, sur ce point, d'après les conclusions présentées, ledit prononcé n'est contesté par aucune des parties.
2.2 Quant au remboursement des honoraires versés à Me Poggia, le prononcé est une décision incidente visée par l'art. 93 al. 1 LTF. Contrairement à l'opinion de la défenderesse, la cause n'est pas renvoyée au Tribunal des baux et loyers, à ce sujet, pour une simple exécution de la décision prise par la Chambre d'appel, de sorte que ce tribunal se trouverait dépourvu de toute latitude de jugement et que cette dernière décision devrait être considérée comme finale (cf. ATF 134 II 124 consid. 1.3 p. 127). Le tribunal sera certes lié par les instructions des juges d'appel, lesquelles lui enjoignent d'élucider quelles prestations de Me Poggia se sont rapportées aux actions en exécution de travaux et réduction du loyer, d'une part, dont la défenderesse devra rembourser le prix, et à l'action en contestation d'un congé, d'autre part, dont le demandeur doit au contraire assumer définitivement le coût. Le tribunal devra encore constater et imputer les réductions du loyer. Le procès en dommages-intérêts doit ainsi se poursuivre jusqu'à un nouveau jugement sur le montant du dommage sujet à réparation, et ce jugement ne se trouve pas dans la décision présentement attaquée.
La défenderesse se réfère aussi à tort, dans une argumentation subsidiaire, à l'art. 93 al. 1 let. b LTF prévoyant qu'une décision incidente peut être attaquée séparément dans le cas où le succès du recours conduirait immédiatement à une décision finale et permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse. Il est vrai qu'une décision du Tribunal fédéral pourrait mettre fin au procès, d'après les argumentaires qui lui sont soumis, mais les prestations de Me Poggia sont déjà connues et le Tribunal des baux et loyers doit seulement élucider à quel procès chacune d'elles s'est rapportée, puis constater les réductions du loyer. On ne voit pas que cela nécessite une instruction particulièrement complexe, ni, en particulier, qu'il soit besoin d'une expertise. Les développements que la défenderesse consacre à l'attitude prétendument procédurière et dilatoire de son adverse partie sont ici hors de propos.
Il s'ensuit que les recours sont l'un et l'autre irrecevables en ce qui concerne le remboursement des honoraires versés à Me Poggia.
3. A teneur de l'art. 64 al. 1 et 2 LTF, le Tribunal fédéral peut accorder l'assistance judiciaire à une partie lorsque celle-ci ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec (al. 1). Il attribue un avocat à cette partie si la sauvegarde de ses droits le requiert; l'avocat perçoit une indemnité appropriée à verser par la caisse du tribunal (al. 2).
Au regard des pièces produites par le demandeur, celui-ci ne paraît pas en mesure d'assumer des frais judiciaires importants.
Néanmoins, la procédure qu'il a entreprise devant le Tribunal fédéral n'offrait manifestement aucune chance de succès, ce qui entraîne le rejet de la demande d'assistance judiciaire jointe à son recours. En revanche, la demande jointe à la réponse au recours de l'autre partie doit être admise pour le cas où les dépens se révéleraient irrécouvrables.
Chaque partie doit acquitter l'émolument judiciaire afférent à son recours et la défenderesse doit acquitter les dépens à allouer pour la réponse du demandeur.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours du demandeur est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire jointe à ce recours est rejetée.
3. Le demandeur acquittera un émolument judiciaire de 1'500 francs.
4. Il n'est pas alloué de dépens à la défenderesse.
5. Le recours de la défenderesse est irrecevable.
6. La demande d'assistance judiciaire jointe à la réponse est admise et Me Michael Rudermann est désigné en qualité d'avocat d'office du demandeur.
7. La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 1'500 francs.
8. La défenderesse versera une indemnité de 2'000 fr. au demandeur à titre de dépens.
9. La caisse du Tribunal fédéral versera une indemnité de 2'000 fr. à Me Rudermann, à titre d'honoraires, dans le cas où les dépens se révéleraient irrécouvrables.
10. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
Lausanne, le 6 décembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin