Faits:
A. A.a Le 3 mars 1998, S._, né en 1956, a été victime d'un accident alors qu'il travaillait sur un chantier au service de la société X._. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), auprès de laquelle il était assuré obligatoirement, a pris en charge le cas.
Par décision du 23 août 2002, confirmée sur opposition le 5 mars 2003, elle a alloué à l'assuré, dès le 1er janvier 2002, une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 28 %, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 %. Saisi d'un recours, le Tribunal des assurances du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 28 juin 2004 (cause AA 47/03). Ce jugement n'a pas été attaqué.
De son côté, l'Office AI pour le canton de Vaud a rendu une décision, le 18 octobre 2002, par laquelle il a nié le droit de l'assuré à une rente d'invalidité, au motif que le taux d'invalidité était inférieur à 40 %. Saisi d'un recours, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a réformé la décision attaquée en ce sens que l'intéressé avait droit, à compter du 1er mars 1999, à une demi-rente d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 53 % (jugement du 29 décembre 2005; cause AI 434/02).
A.b Dans l'intervalle, le 28 octobre 2002, l'employeur de l'assuré a annoncé à la CNA une rechute de l'accident du 3 mars 1998. Par décision du 17 janvier 2003, l'assureur-accidents a refusé d'allouer d'autres prestations que la rente d'invalidité, motif pris que les séquelles de l'accident ne s'étaient pas aggravées et que la reprise du traitement médical ne se justifiait pas. Saisie d'oppositions de l'assuré et de sa caisse-maladie, la CNA les a rejetées par décision du 13 juin 2003.
B. B.a S._ a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud en concluant à l'octroi de «prestations complètes» pour les suites de l'incapacité de travail survenue le 22 octobre 2002.
Après avoir confié une expertise au docteur R._, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapport du 21 avril 2005) et requis l'apport du dossier de l'assurance-invalidité, la juridiction cantonale a réformé la décision entreprise en ce sens que l'assuré avait droit, à partir du 1er octobre 2002, à une rente fondée sur une incapacité de gain de 53 % (jugement du 22 juin 2006).
B.b Saisi d'un recours de droit administratif formé par la CNA, le Tribunal fédéral l'a admis en ce sens que le jugement du 22 juin 2006 a été annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale pour nouveau jugement au sens des motifs. Il a considéré, en résumé, que le droit d'être entendu de la CNA avait été violé, dans la mesure où le tribunal cantonal n'avait pas mis à disposition des parties pour consultation et déterminations éventuelles des avis complémentaires (des 2 et 15 novembre 2005) adressés par l'expert judiciaire au tribunal cantonal dans le cadre de la cause parallèle AI 434/02 (arrêt du 17 septembre 2007 dans la cause U 390/06).
B.c La juridiction cantonale a alors donné la possibilité à la CNA de consulter les rapports complémentaires de l'expert judiciaire et de se déterminer sur leur teneur.
Par jugement du 20 août 2008, elle a rejeté le recours contre la décision sur opposition de la CNA du 13 juin 2003.
C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande la réforme en ce sens qu'il a droit à une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 53 % à partir du 1er octobre 2002. Subsidiairement, il conclut à l'annulation du prononcé attaqué et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouveau jugement, le tout sous suite de frais et dépens.
La CNA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office, mais n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal ou intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 LTF; sur les exigences quant à la motivation, cf. ATF 133 II 396 consid. 3.1 p. 399 et arrêt 9C_722/2007 du 11 avril 2008 consid. 1.2).
2. 2.1 Le recourant invoque une violation du droit d'être entendu pour défaut de motivation du jugement cantonal. A l'appui de ce grief, il reproche aux premiers juges de s'être contentés de se référer «aux constatations de l'expert judiciaire», alors que celui-ci s'est prononcé de manière contradictoire dans ses différentes prises de position. En outre, il critique le fait que les juges cantonaux n'indiquent pas quels sont les troubles invalidants qu'ils considèrent comme étant en relation de causalité naturelle avec l'accident du 3 mars 1998. Enfin, il fait grief aux premiers juges d'avoir rendu, sur la base d'un même état de fait, un jugement totalement en contradiction avec leur précédent jugement du 22 juin 2006.
2.2 Selon la jurisprudence, le droit d'être entendu comporte notamment l'obligation pour le juge de motiver sa décision, afin que ses destinataires et toutes les personnes intéressées puissent la comprendre et l'attaquer utilement en connaissance de cause s'il y a lieu, et qu'une autorité de recours soit en mesure, si elle est saisie, d'exercer pleinement son contrôle (cf. ATF 126 I 15 consid. 2a/aa p. 16, 97 consid. 2b p. 102; 125 II 369 consid. 2c p. 372; 124 II 146 consid. 2a; 124 V 181 consid. 1a). Le principe de la libre appréciation des preuves - applicable devant les tribunaux cantonaux des assurances (art. 61 let. c LPGA) - ne dispense pas le juge de l'obligation d'établir et de présenter avec précision les faits déterminants pour la solution du litige, si nécessaire en démêlant avec soin le résultat de l'administration des preuves (cf. ATF 123 II 49 consid. 6 p. 54 s.). En exposant les faits, le juge s'abstiendra de les apprécier ou de les qualifier sur le plan juridique; il se contentera de les énoncer d'une manière aussi neutre et objective que possible et ne présentera pour établis que les faits avérés et non contestés; les éventuels points de désaccord seront exposés comme tels dans l'état de fait; ils seront tranchés dans la discussion juridique, avec l'indication des éléments et des motifs ayant conduit le juge à retenir telle thèse ou telle version plutôt que telle autre. Le juge n'est cependant pas tenu d'exposer et de discuter tous les faits ressortant de l'instruction; il peut au contraire se limiter à retranscrire ceux qui, sans arbitraire, apparaissent pertinents pour la solution du litige (cf. ATF 121 I 49 consid. 2c p. 54 et les arrêts cités). En règle générale, l'étendue de l'obligation de motiver dépend de la complexité de l'affaire à juger, de la liberté d'appréciation dont jouit le juge et de la potentielle gravité des conséquences de sa décision (cf. ATF 112 Ia 107 consid. 2b p. 107).
Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit en principe entraîner l'annulation de la décision attaquée indépendamment des chances de succès du recourant sur le fond (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437).
Selon la jurisprudence, toutefois, la violation du droit d'être entendu est réparée - à titre exceptionnel et pour autant qu'elle ne soit pas d'une gravité particulière - lorsque la partie lésée a la possibilité de s'exprimer devant une autorité de recours jouissant d'un plein pouvoir d'examen (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437; 126 I 68 consid. 2 p. 72; 126 V 130 consid. 2b p. 132 et les références).
2.3 Dans son rapport d'expertise judiciaire du 21 avril 2005, le docteur R._ a attesté que les seules séquelles de l'accident - à savoir les atteintes à l'épaule gauche et à la hanche gauche - laissaient subsister une capacité de travail de 60 % à 65 % dans une activité légère comme celles de gérant d'un kiosque, d'une station d'essence ou de magasinier de petites pièces. En revanche, dans ses avis complémentaires des 2 et 15 novembre 2005, cet expert a indiqué une capacité de travail résiduelle de 65 % dans une activité légère et adaptée, compte tenu de l'ensemble des troubles de nature somatique présentés par l'assuré, y compris les atteintes qui ne sont pas en relation de causalité avec l'accident, comme des lésions au genou gauche et à la colonne lombaire. Cela étant, les premiers juges ont toutefois considéré, en indiquant se référer aux conclusions de l'expert judiciaire, que la capacité de travail de l'intéressé était de 60 % à 65 % compte tenu de l'ensemble des troubles de nature somatique, y compris les affections qui ne découlent pas de l'accident. Ce faisant, ils n'indiquent pas pourquoi ils se sont fondés sur les avis complémentaires du docteur R._ des 2 et 15 novembre 2005 plutôt que sur son rapport d'expertise du 21 avril précédent. En outre, il n'exposent pas les raisons pour lesquelles ils retiennent une capacité de travail entière compte tenu des seules atteintes en relation de causalité avec l'accident.
Cela étant, ce défaut de motivation ne permet cependant pas de conclure que l'assuré ne puisse pas comprendre le jugement cantonal et l'attaquer utilement en connaissance de cause, ni que l'autorité saisie d'un recours ne soit pas en mesure d'exercer pleinement son contrôle. Sur le vu du rapport d'expertise judiciaire - auquel renvoie le jugement cantonal - il apparaît que le seul trouble à l'origine de l'aggravation de l'atteinte à la santé postérieurement à l'octroi de la rente d'invalidité de l'assurance-accidents (fondée sur une incapacité de gain de 28 % et une capacité de travail de 100 % dans une activité adaptée [cf. décision sur opposition du 5 mars 2003, confirmée par le jugement du tribunal des assurances du 28 juin 2004 dans la cause AA 47/03]) est une péjoration d'une discopathie lombaire sans relation avec l'accident. C'est pourquoi il est en l'occurrence possible de connaître - et, partant, de contester utilement - les motifs pour lesquels la juridiction cantonale a conclu à une incapacité de travail - inchangée - de 100 % dans une activité adaptée. Dans ces conditions, la violation du droit d'être entendu en relation avec le défaut de motivation n'apparaît pas d'une gravité telle qu'elle ne puisse être réparée compte tenu du fait qu'en l'occurrence le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est étendu (cf. art. 97 al. 2 LTF).
Par ailleurs, le recourant n'expose pas en quoi son droit d'être entendu aurait été violé du fait que le jugement attaqué s'écarte du résultat du jugement précédent du 22 juin 2006.
Le grief tiré de la violation de cette garantie constitutionnelle apparaît dès lors mal fondé.
3. 3.1 Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 13 juin 2003, à refuser de réviser le taux de la rente d'invalidité allouée au recourant. Sur ce point, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
3.2 La rente d'invalidité (art. 18 al. 1 LAA) peut être révisée à la suite d'une modification notable du taux d'invalidité (art. 17 al. 1 LPGA). Cette modification peut concerner aussi bien l'état de santé que les conséquences économiques d'un état de santé demeuré en soi inchangé (ATF 130 V 343 consid. 3.5 p. 349 s.). Pour être prise en considération, une péjoration de l'état de santé doit être en relation de causalité avec l'événement assuré (arrêt du Tribunal fédéral des assurances U 66/94 du 4 novembre 1994 consid. 3b).
En l'espèce, l'expert judiciaire a attesté que seule l'atteinte à la colonne lombaire s'était aggravée depuis 2002 et que ni cette atteinte ni sa péjoration n'étaient dues à l'accident du 3 mars 1998. Il n'y a pas de motif de mettre en cause cette appréciation médicale, laquelle, au demeurant, n'est pas contestée par le recourant. Dans la mesure où il n'existe pas de lien de causalité entre la péjoration de l'état de santé et l'événement assuré, l'intimée était dès lors fondée, par sa décision sur opposition du 13 juin 2003, à refuser de réviser la rente d'invalidité allouée au recourant.
4. Vu ce qui précède, le recours est mal fondé. Le recourant supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 31 juillet 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd