Erwägungen:
1. Am 16. Mai 2008 erstattete X._ Strafanzeige gegen verschiedene Oberrichter und juristische Sekretäre des Obergerichts des Kantons Zürich.
In Bezug auf die juristischen Sekretäre erwog die zuständige Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich, bei summarischer Prüfung liege kein deliktsrelevanter Verdacht vor; es werde daher beantragt, die Ermächtigung zur Einleitung eines Strafverfahrens nicht zu erteilen. Mit Verfügung vom 11. September 2008 überwies sie die Akten zuständigkeitshalber an die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit dem Antrag, über die Eröffnung einer Strafuntersuchung bzw. das Nichteintreten auf die Anzeige zu entscheiden (gemäss § 22 Abs. 6 StPO/ZH).
Hinsichtlich der zur Anzeige gebrachten Richter beschloss die Geschäftsleitung des Kantonsrates am 4. September 2008, das Ermächtigungsgesuch zur Strafverfolgung von der Hand zu weisen.
2. Gegen die Verfügung vom 11. September 2008 führt X._ der Sache nach Beschwerde in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG). Er beantragt soweit hier wesentlich, die Verfügung sei aufzuheben; die Anklagekammer des Obergerichts sei anzuweisen, die Strafanzeige zuzulassen und an die Strafkammer des Obergerichts zu überweisen, damit diese die Durchführung einer Strafuntersuchung veranlasse. (Der genannte, am 4. September 2008 ergangene Entscheid der Geschäftsleitung des Kantonsrates bildet nicht Gegenstand der vorliegenden Beschwerde.)
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Vernehmlassungen zur Beschwerde einzuholen.
3. Die angefochtene Überweisungsverfügung der Staatsanwaltschaft schliesst das vom Beschwerdeführer angestrengte Verfahren nicht ab. Vielmehr wird gemäss dieser Verfügung die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Zürich über die Eröffnung einer Strafuntersuchung bzw. das Nichteintreten auf die vom Beschwerdeführer erstattete Strafanzeige zu befinden haben, was die angezeigten juristischen Sekretäre anbelangt. Gegen Beschlüsse der Anklagekammer steht im Rahmen der gesetzlichen Voraussetzungen der Rekurs an das Obergericht offen (§ 402 Ziff. 8 StPO/ZH).
Bei der fraglichen Überweisungsverfügung handelt es sich nach dem Gesagten nicht um einen Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Auf die Beschwerde ist daher schon aus diesem Grunde nicht einzutreten.
Abgesehen davon handelt es sich bei der Überweisungsverfügung wie ausgeführt nicht um einen Endentscheid nach Art. 90 BGG, sondern um eine Zwischenverfügung. Gegen eine solche ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG nur dann sofort gesondert zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden rechtlichen Nachteil bewirken kann (lit. a; s. in diesem Zusammenhang etwa BGE 134 II 192 E. 1.4 S. 196) oder - was indes hier von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Im Falle eines derartigen Zwischenentscheids hat der Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG erfüllt sein sollen; es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, hierzu von Amtes wegen Nachforschungen anzustellen. Vorliegend äussert sich der Beschwerdeführer nicht, inwiefern die angefochtene Verfügung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte.
Die Beschwerde ist somit offensichtlich unzulässig, weshalb über sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
Ergibt sich das Nichteintreten bereits aus dem genannten Grunde, sind die übrigen Eintretensvoraussetzungen und im Übrigen auch die vom Beschwerdeführer mit seiner Eingabe nebst dem Hauptbegehren um Aufhebung der staatsanwaltschaftlichen Verfügung gestellten Zusatzbegehren nicht weiter zu erörtern.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich, Besondere Untersuchungen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Oktober 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp