Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Der kroatische Staatsangehörige A._, geb. 1982, reiste am 14. März 1996 im Familiennachzug in die Schweiz ein, wo er die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Luzern erhielt. Diese wurde ihm letztmals bis zum 30. Juni 2001 verlängert. Mit Entscheid vom 27. August 2002 verweigerte das Amt für Migration des Kantons Luzern die weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, das Verhalten von A._ habe wiederholt zu polizeilichen Interventionen und Strafverfügungen geführt; zurzeit liefen erneut mehrere Strafverfahren wegen verschiedener strafbarer Handlungen.
A. Der kroatische Staatsangehörige A._, geb. 1982, reiste am 14. März 1996 im Familiennachzug in die Schweiz ein, wo er die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Luzern erhielt. Diese wurde ihm letztmals bis zum 30. Juni 2001 verlängert. Mit Entscheid vom 27. August 2002 verweigerte das Amt für Migration des Kantons Luzern die weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, das Verhalten von A._ habe wiederholt zu polizeilichen Interventionen und Strafverfügungen geführt; zurzeit liefen erneut mehrere Strafverfahren wegen verschiedener strafbarer Handlungen.
B. Gegen die Verfügung des Amts für Migration erhob A._ am 18. September 2002 Beschwerde beim Wirtschaftsdepartement des Kantons Luzern. Dieses forderte ihn am 23. September 2002 auf, bis zum 3. Oktober 2002 eine verbesserte Beschwerdeschrift mit einem konkreten Antrag und einer Begründung einzureichen. Damit verbunden war die Androhung, auf die Beschwerde werde nicht eingetreten, falls der Aufforderung nicht fristgerecht nachgekommen werde. Gleichzeitig forderte das Wirtschaftsdepartement A._ auf, ebenfalls bis zum 3. Oktober 2002 einen Vorschuss zur Sicherstellung der amtlichen Kosten von Fr. 1'000.-- zu leisten oder ein Gesuch um Kostenbefreiung wegen Bedürftigkeit einzureichen. Auch in diesem Zusammenhang wurde Nichteintreten angedroht für den Fall, dass der Aufforderung nicht fristgerecht nachgekommen werde.
Bis zum 3. Oktober 2002 bezahlte A._ weder den verlangten Kostenvorschuss noch reichte er ein Gesuch um Kostenbefreiung ein. Die zweite Beschwerdeschrift ging beim Amt für Migration am 8. Oktober 2002 ein und trug den Poststempel vom 4. Oktober 2002. Mit Entscheid vom 14. Oktober 2002 trat das Wirtschaftsdepartements daraufhin auf die Beschwerde nicht ein.
Bis zum 3. Oktober 2002 bezahlte A._ weder den verlangten Kostenvorschuss noch reichte er ein Gesuch um Kostenbefreiung ein. Die zweite Beschwerdeschrift ging beim Amt für Migration am 8. Oktober 2002 ein und trug den Poststempel vom 4. Oktober 2002. Mit Entscheid vom 14. Oktober 2002 trat das Wirtschaftsdepartements daraufhin auf die Beschwerde nicht ein.
C. A._ führt staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, der Entscheid des Wirtschaftsdepartements des Kantons Luzern vom 14. Oktober 2002 sei aufzuheben und es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen. Zur Begründung beruft er sich im Wesentlichen darauf, der Nichteintretensentscheid sei willkürlich und überspitzt formalistisch, weshalb er gegen Art. 9 und 29 BV verstosse. Das Wirtschaftsdepartement schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
C. A._ führt staatsrechtliche Beschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, der Entscheid des Wirtschaftsdepartements des Kantons Luzern vom 14. Oktober 2002 sei aufzuheben und es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu bewilligen. Zur Begründung beruft er sich im Wesentlichen darauf, der Nichteintretensentscheid sei willkürlich und überspitzt formalistisch, weshalb er gegen Art. 9 und 29 BV verstosse. Das Wirtschaftsdepartement schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
D. Mit verfahrensleitender Verfügung vom 28. November 2002 hat der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (BGE 128 Ia 46 E. 1a S. 47). Wegen der Subsidiarität der staatsrechtlichen Beschwerde (vgl. Art. 84 Abs. 2 OG) ist dabei vorweg zu prüfen, ob nicht ein anderes Rechtsmittel an eine Bundesbehörde, insbesondere die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ans Bundesgericht, zulässig wäre.
1.2 Nach Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen die Erteilung oder Verweigerung von fremdenpolizeilichen Bewilligungen ausgeschlossen, auf die das Bundesrecht keinen Anspruch einräumt. Gibt es einen solchen Anspruch, steht freilich nicht nur die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht, sondern vorweg auch ein entsprechendes Rechtsmittel an eine kantonal letztinstanzliche gerichtliche Behörde offen (vgl. Art. 98a OG). Wird ein Anspruch auf Bewilligung auch nur behauptet, muss nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts von dieser Möglichkeit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde Gebrauch gemacht werden, selbst wenn nicht eindeutig oder zweifelhaft ist, dass die kantonal letztinstanzliche Gerichtsbehörde, deren Zuständigkeit - wie dies im vorliegenden Zusammenhang zutrifft (vgl. § 19 Abs. 1 lit. a des luzernischen Gesetzes vom 1. Dezember 1948 über die Niederlassung und den Aufenthalt sowie über die Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht) - vom Bestehen eines Anspruchs abhängt, einen solchen und damit ihre Kompetenz bejaht (BGE 127 II 161). Erweist sich die Verwaltungsgerichtsbeschwerde als zulässig, sind auch verfahrensrechtliche Rügen, die sich auf Bundesverfassungsrecht stützen, im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu behandeln (vgl. BGE 124 II 409 E. 5 S. 423, mit Hinweisen).
Indessen macht der Beschwerdeführer weder einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung geltend, noch ist ersichtlich, dass ihm ein solcher zusteht oder zustehen könnte. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde erweist sich damit als ausgeschlossen, wovon auch ohne weiteres der Beschwerdeführer auszugehen scheint.
1.3 Besteht kein Rechtsanspruch auf eine fremdenpolizeiliche Bewilligung, ist in der Sache auch die staatsrechtliche Beschwerde ausgeschlossen. Da die Bewilligungsverweigerung nicht rechtlich geschützte Interessen im Sinne von Art. 88 OG berührt, ist der davon betroffene Ausländer nicht zur staatsrechtlichen Beschwerde legitimiert (BGE 121 I 267 E. 2; 118 Ib 145 E. 6 S. 153, mit Hinweisen). Trotz fehlender Legitimation in der Sache kann mit staatsrechtlicher Beschwerde aber die Verletzung von Parteirechten gerügt werden, die dem Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren zustanden und deren Verletzung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (BGE 123 I 25 E. 1; 122 I 267 E. 1b; 114 Ia 307 E. 3c). Das Bundesgericht prüft die Auslegung und Anwendung der kantonalen Verfahrensvorschriften auf Willkür hin; frei prüft es dagegen, ob, im Rahmen der dem Beschwerdeführer nach kantonalem Recht eingeräumten Parteistellung im Verfahren, die durch die Bundesverfassung, insbesondere Art. 29 BV, gewährleisteten Minimalansprüche respektiert wurden (BGE 122 I 267 E. 1b; 114 Ia 307 E. 3c S. 312 f., mit Hinweis). Nicht zulässig sind hingegen Rügen, die auf eine materielle Prüfung hinaus laufen, namentlich die Anfechtung der insoweit massgebenden Beweiswürdigung (BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313).
Der Beschwerdeführer rügt, der angefochtene Nichteintretensentscheid beruhe auf völlig falschen Tatsachen, sei willkürlich, im Ergebnis absolut stossend und unhaltbar und überspitzt formalistisch, weshalb er gegen Art. 9 und 29 BV verstosse. Dabei beruft er sich auf die rein verfahrensrechtliche Lage und macht einzig Parteirechte geltend, die ihm gestützt auf die Bundesverfassung im kantonalen Verfahren zugestanden seien. Diese Rügen laufen nicht auf eine materielle Prüfung hinaus und sind grundsätzlich zulässig.
1.4 Der Beschwerdeführer beruft sich nicht auf konkrete Bestimmungen des kantonalen Rechts. Ob solche willkürlich ausgelegt und angewendet worden sind, ist daher schon mangels rechtsgenüglicher Begründung der Beschwerde nicht zu prüfen (vgl. Art. 90 Abs. 1 lit. b OG sowie BGE 110 Ia 1 E. 2a S. 3; 125 I 492 E. 1b S. 495, mit Hinweisen). Zulässig sind hingegen die Rügen, die Sachverhaltsfeststellung des Wirtschaftsdepartements sei völlig falsch und damit willkürlich und der angefochtene Entscheid sei überspitzt formalistisch.
1.5 Der angefochtene Entscheid datiert vom 14. Oktober 2002 und wurde am 16. Oktober 2002 versandt. Wann der Beschwerdeführer, der sich seit dem 4. September 2002 in Untersuchungshaft befand, den Entscheid erhalten hat, ist nicht erstellt. Selbst wenn dies bereits am 17. Oktober 2002 der Fall gewesen wäre, hätte der Beschwerdeführer die 30-tägige Frist von Art. 89 OG mit der postalischen Aufgabe der Beschwerdeschrift am 18. November 2002 aber gewahrt, handelte es sich doch beim 16. und 17. November 2002 um ein Wochenende (vgl. Art. 32 Abs. 2 OG).
1.6 Auf die formgerecht erhobene staatsrechtliche Beschwerde, die sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid richtet (vgl. Art. 86 Abs. 1 OG sowie § 19 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 des luzernischen Gesetzes vom 1. Dezember 1948 über die Niederlassung und den Aufenthalt sowie über die Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht in Verbindung mit § 142 Abs. 1 lit. c des luzernischen Gesetzes vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege e contrario), ist demnach einzutreten.
1.6 Auf die formgerecht erhobene staatsrechtliche Beschwerde, die sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid richtet (vgl. Art. 86 Abs. 1 OG sowie § 19 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 des luzernischen Gesetzes vom 1. Dezember 1948 über die Niederlassung und den Aufenthalt sowie über die Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht in Verbindung mit § 142 Abs. 1 lit. c des luzernischen Gesetzes vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege e contrario), ist demnach einzutreten.
2. 2.1 Im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde überprüft das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid lediglich auf Willkür hin (vgl. etwa BGE 124 I 208 E. 4a S. 211, mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer befindet sich seit dem 4. September 2002 in Untersuchungshaft. Seine schriftliche Korrespondenz steht unter der Kontrolle durch den Untersuchungsrichter. Daraus ergibt sich zunächst ein gewisser Hinweis, dass bereits das verfahrensleitende Schreiben des Departements vom 23. September 2002, mit dem der Beschwerdeführer aufgefordert worden war, bis zum 3. Oktober 2002 seine Beschwerdeschrift nachzubessern und einen Kostenvorschuss zu leisten oder um entsprechende Befreiung zu ersuchen, erst mit Verzögerung beim Beschwerdeführer angelangt sein dürfte. Vom Beschwerdeführer durch eine Bestätigung des Amtsstatthalteramtes Luzern belegt ist aber insbesondere, dass die von ihm als Untersuchungshäftling verfassten Briefe vom jeweiligen Amtsstatthalter oder Amtsschreiber zunächst gesichtet werden, bevor sie weitergeleitet werden. Die konkreten zeitlichen Verhältnisse des am 4. Oktober 2002 von der Post abgestempelten Antwortschreibens des Beschwerdeführers lassen sich zwar nicht rekonstruieren. Es kann aber, wie das Amtsstatthalteramt Luzern bestätigt, dennoch davon ausgegangen werden, dass eine Verzögerung von einem Tag wahrscheinlich, eine solche von mehreren Tagen denkbar erscheint. Bei den vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht nachgereichten Unterlagen handelt es sich im Übrigen um zulässige Noven, hat doch erst der angefochtene Entscheid Anlass zu ihrer Einreichung gegeben.
Diese Umstände hat das Wirtschaftsdepartement bei seinem Entscheid nicht berücksichtigt. Sie hätten aber dem Departement ohne weiteres erkennbar sein können und sind bei der Beurteilung, ob der Beschwerdeführer seinen verfahrensmässigen Pflichten nachgekommen ist, durchaus wesentlich. Die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Entscheids sind daher unvollständig, weswegen sie unter einem erheblichen Mangel leiden und sich als unhaltbar erweisen.
2.2 Zu prüfen bleibt, ob diese willkürlichen tatsächlichen Feststellungen den angefochtenen Entscheid auch im Ergebnis unhaltbar erscheinen lassen. Dabei fragt sich insbesondere, ob der angefochtene Entscheid überspitzt formalistisch sei.
Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsmittel überspannte Anforderungen stellt und dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (BGE 120 V 413 E. 4b S. 417; 115 Ia 12 E. 3b S. 17; je mit Hinweisen). Das Verbot des überspitzten Formalismus weist einen engen Bezug zum Grundsatz von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 BV) auf: Das Bundesgericht hat mehrfach entschieden, dass es überspitzt formalistisch sei, eine Prozesserklärung buchstabengetreu auszulegen, ohne zu fragen, welcher Sinn ihr vernünftigerweise beizumessen sei (BGE 113 Ia 94 E. 2 S. 96 f. mit Hinweisen; Urteile des Bundesgerichts 1P.192/2001 vom 14. Mai 2001, E. 2c, und 1A.80/2002 vom 18. Juni 2002, E. 3). Parteierklärungen, die im Rahmen eines Prozesses abgegeben werden, sind unter Berücksichtigung von Treu und Glauben auszulegen (BGE 105 II 149 E. 2a S. 152 mit Hinweisen), d.h. sie müssen so ausgelegt werden, wie sie der Empfänger nach den gesamten Umständen in guten Treuen verstehen durfte und verstehen musste (BGE 116 Ia 56 E. 3b S. 58, mit Hinweisen). Aus dem Verbot des überspitzten Formalismus (Art. 4 aBV; heute: Art. 29 BV) folgt sodann die Pflicht, den Beschwerdeführer bzw. dessen Vertreter auf Mängel der Rechtsschrift aufmerksam zu machen und ihm eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels anzusetzen mit der Androhung, dass die Rechtsschrift sonst unbeachtet bleibe (BGE 114 Ia 20 E. 2 S. 22 ff.; Urteil des Bundesgerichts 1A.80/2002 vom 18. Juni 2002, E. 3).
2.3 Das Wirtschaftsdepartement hat den angefochtenen Nichteintretensentscheid damit begründet, der Beschwerdeführer habe innert Frist den verlangten Kostenvorschuss nicht bezahlt und auch kein Gesuch um Kostenbefreiung gestellt. Weiter habe er auch seine verbesserte Beschwerdeschrift erst verspätet eingereicht.
Das Wirtschaftsdepartement adressierte sein Schreiben vom 23. September 2002, mit dem es dem Beschwerdeführer Frist bis zum 3. Oktober 2002 ansetzte, an die "Haftanstalt und Untersuchungsgefängnis X._". Es war ihm also bekannt, dass sich der Beschwerdeführer dort in Untersuchungshaft befand. Wird berücksichtigt, dass die Verzögerung durch die Korrespondenzkontrolle mindestens einen Tag gedauert hat und die Eingabe des Beschwerdeführers den Poststempel vom 4. Oktober 2002 trägt, ist davon auszugehen, dass er sie spätestens am 3. Oktober 2002 und damit rechtzeitig dem Gefängnispersonal zum Versand übergeben hat. Abgesehen davon erscheint die gesetzte Frist von - im besten Fall - zehn Tagen als sehr knapp, wenn die konkreten Umstände berücksichtigt werden. Dem in Untersuchungshaft sitzenden Beschwerdeführer, der damals im ausländerrechtlichen Verfahren nicht vertreten war, wäre es insbesondere nur erschwert möglich gewesen, innert so kurzer Frist den verlangten Kostenvorschuss zu leisten. Insofern erscheint fraglich, ob die gesetzte Frist überhaupt als angemessen gelten kann. Dies kann aber offen bleiben, denn der Beschwerdeführer hat in seiner Eingabe ausdrücklich darum ersucht, sich im Hinblick auf die Bezahlung des Vorschusses an seine - namentlich erwähnte - Schutzaufsicht zu wenden. Dies ist zumindest als Fristerstreckungsgesuch für die Leistung des Kostenvorschusses bzw. Stellung eines Befreiungsbegehrens zu betrachten und angesichts der konkreten Umstände des Falles auch als solches zu behandeln. Für die Leistung des Kostenvorschusses handelte es sich im Übrigen nicht um eine Nachfrist, sondern um die erstmalige Fristansetzung. Der Entscheid, auf die Beschwerde mangels rechtzeitiger Leistung des Vorschusses bzw. wegen verspäteter Einreichung der Nachbesserung nicht einzutreten, erweist sich demnach als überspitzt formalistisch.
2.4 Damit ist einzig noch zu prüfen, ob die zweite Eingabe des Beschwerdeführers die Anforderungen an eine gültige Beschwerdeschrift erfüllt und daher als rechtzeitige Nachbesserung gelten kann. Dazu hat sich das Wirtschaftsdepartement zwar nicht geäussert, da es die Eingabe bereits als verspätet erachtete; weil das Bundesgericht das entsprechende unzutreffende Motiv aber substituieren könnte (vgl. BGE 124 I 208 E. 4a S. 211, mit Hinweisen), ist die Frage, ob es sich um eine gültige Verbesserung handelt, bereits im vorliegenden Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde wesentlich. Das Schreiben des Beschwerdeführers enthält mehrere Passagen, die nach dem Grundsatz von Treu und Glauben als Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung verstanden werden müssen. So steht darin zum Beispiel: "Hiermit stelle ich diesen Antrag und bitte Sie, mir eine letzte Chance zu geben." oder: "Ich würde sehr gern ... hier bleiben ...". Der Beschwerdeführer hat seinen Standpunkt auch näher ausgeführt. Der Eingabe den Charakter einer gültigen Beschwerde abzusprechen, erschiene daher ebenfalls überspitzt formalistisch.
2.5 Ein Verstoss gegen das Verbot des überspitzten Formalismus als besondere Form der (formellen) Rechtsverweigerung führt unabhängig von der materiellrechtlichen Lage bzw. ohne Berücksichtigung der Erfolgsaussichten in der Sache zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
2.5 Ein Verstoss gegen das Verbot des überspitzten Formalismus als besondere Form der (formellen) Rechtsverweigerung führt unabhängig von der materiellrechtlichen Lage bzw. ohne Berücksichtigung der Erfolgsaussichten in der Sache zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
3. Die staatsrechtliche Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 156 Abs. 2 OG). Hingegen hat der Kanton Luzern den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, und der Entscheid des Wirtschaftsdepartements des Kantons Luzern vom 14. Oktober 2002 wird aufgehoben.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, und der Entscheid des Wirtschaftsdepartements des Kantons Luzern vom 14. Oktober 2002 wird aufgehoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Luzern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
3. Der Kanton Luzern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Wirtschaftsdepartement des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2003
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: