Faits:
A. A.X._, ressortissante roumaine née en 1968, est arrivée en Suisse en avril 2002 pour y travailler comme artiste de cabaret. A la suite de son mariage le 28 février 2003 avec B.X._, citoyen suisse, elle a obtenu une autorisation de séjour annuelle dans le canton de Neuchâtel. Le couple s'est séparé en 2005 et le mari a introduit une procédure de divorce sur requête unilatérale en septembre 2008. Parallèlement, A.X._ a été impliquée dans une importante affaire de stupéfiants portant sur la période de mai 2007 à mars 2008. Dans ce cadre, elle a été placée en détention préventive jusqu'en juin 2008. Le 10 juillet de la même année, le Service des migrations du Département de l'économie du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des migrations) a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de la prénommée et lui a imparti un délai de départ immédiat pour quitter le territoire cantonal neuchâtelois.
B. Dûment représentée par un mandataire professionnel, Me C._, A.X._ a recouru, en date du 10 septembre 2008, contre cette décision. Le 17 septembre 2008, le Service juridique du Département de la justice, de la sécurité et des finances du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service juridique), chargé de l'instruction, a requis de l'intéressée le versement d'une avance de frais de 550 fr. Cette décision a été notifiée à l'étude de son mandataire en le rendant attentif aux conséquences d'un défaut de paiement, ainsi qu'à la possibilité de bénéficier de l'assistance administrative. L'avance de frais n'ayant pas été versée, le Service juridique a contacté, en date du 20 novembre 2008, la secrétaire du mandataire afin de s'assurer que la demande d'avance de frais leur était parvenue. Celle-ci leur a confirmé que tel était le cas et que la demande avait été transmise à la recourante.
Par décision du 17 décembre 2008, le Conseiller d'Etat, Chef du Département de l'économie du canton de Neuchâtel (ci-après: le Conseiller d'Etat) a déclaré le recours irrecevable pour défaut de paiement de l'avance de frais. Cette décision a été notifiée le même jour au mandataire de A.X._ et elle n'a pas fait l'objet d'un recours.
C. Le 27 février 2009, A.X._, agissant par son nouveau mandataire, Me Freddy Rumo, a requis du Conseiller d'Etat la restitution du délai pour s'acquitter de l'avance de frais réclamée le 17 septembre 2008. A l'appui de sa requête, elle expliquait qu'elle avait changé fréquemment de domicile et n'avait, ainsi, eu connaissance de cette décision que le 20 février 2009. Elle alléguait aussi que ses relations avec son précédent mandataire avaient été difficiles et ce de longue date. L'avance de frais de 550 fr. a été versée le 27 février 2009.
D. Le 9 mars 2009, le Conseiller d'Etat a rejeté la demande de restitution de délai au motif principal que l'intéressée, se sachant engagée dans une procédure, se devait de prendre les mesures nécessaires pour que les envois postaux lui soient transmis. En outre, n'ayant pas sollicité l'assistance administrative, elle devait s'attendre à recevoir une demande d'avance de frais après le dépôt de son recours du 10 septembre 2008.
E. Le 19 juin 2009, la Cour de droit public du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours, reprenant en substance les motifs figurant dans la décision du 9 mars 2009 du Conseiller d'Etat.
F. Le 21 août 2009, A.X._ a formé un recours en matière de droit public contre l'arrêt du 19 juin 2009 du Tribunal administratif. Elle se plaint de formalisme excessif, ainsi que d'un "abus du pouvoir d'appréciation qui conduit à une violation du droit d'être entendu". Elle allègue que, dûment représentée par un mandataire professionnel, elle était en droit de penser que ce dernier prendrait toutes les dispositions pour la sauvegarde de ses intérêts. N'ayant jamais été mise au courant qu'une avance de frais avait été requise, respectivement du délai pour effectuer le versement et moins encore des conséquences d'un défaut de paiement, elle estime que sa demande de restitution de délai aurait dû être acceptée. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à la recevabilité et à l'admission de son recours, à l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif et au renvoi de la cause à l'autorité inférieure afin qu'elle statue à nouveau.
Le Tribunal administratif se réfère aux considérants de l'arrêt attaqué et conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des migrations propose également le rejet du recours. Les conclusions du Service juridique ont été déposées hors délai.
Considérant en droit:
1. Le présent recours est formé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), ayant fait l'objet d'une décision rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), par une personne ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente, qui est particulièrement atteinte par la décision rendue et qui dispose d'un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Sous réserve des autres conditions de recevabilité ci-dessous abordées (cf. consid. 2), le recours, déposé dans les délai légaux (art. 100 al. 1 LTF), est en principe recevable.
2. Le litige au fond relève du droit des étrangers. Or, cette matière ne peut faire l'objet d'un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral que dans la mesure où aucune des exceptions prévues à l'art. 83 let. c LTF n'est réalisée. Selon la jurisprudence, toutes les procédures, qu'elles soient principales ou incidentes - par exemple un litige portant sur l'assistance judiciaire (arrêt 5A_24/2007 du 13 avril 2007) ou une requête de récusation (arrêt 5A_229/2007 du 31 août 2007) -, suivent le régime d'exclusion de la procédure principale. Il en va ainsi s'agissant d'une requête tendant, comme c'est le cas en l'espèce, à obtenir la réouverture d'une procédure de droit des étrangers close. C'est donc le contenu de celle-ci qui permet de décider de la recevabilité du recours ordinaire au Tribunal fédéral.
En l'espèce, le jugement entrepris ne livre que peu d'indications sur ce qui faisait l'objet de la procédure principale. Il mentionne que A.X._ se trouvait en instance de divorce, dès lors que le Service des migrations avait refusé de prolonger son autorisation de séjour et lui avait imparti un délai de départ immédiat pour quitter le territoire cantonal neuchâtelois. Le Tribunal fédéral examine la question de la recevabilité des recours d'office (art. 29 al. 1 LTF), en se référant le cas échéant aux actes de la procédure cantonale. Or, il ressort de cet examen que A.X._ avait fait valoir dans son recours du 10 septembre 2008 le droit au regroupement familial (art. 8 CEDH) alors qu'elle était encore mariée à un citoyen suisse, de sorte que le recours en matière de droit public lui aurait en principe été ouvert (ATF 120 Ib 1, consid. 1d p. 3; arrêt 2A.421/2006 du 13 février 2007), sans préjudice du sort qui lui aurait été réservé au fond. Eu égard au résultat de la présente cause il n'y a, toutefois, pas à examiner plus avant cette question de recevabilité.
3. 3.1 Aux termes de l'art. 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. L'acte de recours doit ainsi, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation (ATF 135 III 232 consid. 1.2 p. 234). Le Tribunal fédéral n'a pas à vérifier de lui-même si l'acte entrepris est en tous points conforme au droit et à l'équité. Il n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans le mémoire de recours. Le recourant ne saurait se contenter de soulever de vagues griefs ou de renvoyer aux actes cantonaux (ATF 133 II 249 consid. 1.4 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397).
3.2 Sauf dans les cas cités expressément par l'art. 95 LTF, le recours en matière de droit public ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 135 III 513 consid. 4.3 p. 521/522; 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Il appartient toutefois au recourant de préciser en quoi l'acte attaqué serait arbitraire, ne reposerait sur aucun motif sérieux et objectif, apparaîtrait insoutenable ou heurterait gravement le sens de la justice (cf. consid. 3.1; ATF 133 II 396 consid. 3.2 p. 400; 128 I 295 consid. 7a p. 312).
4. La recourante estime qu'en confirmant le rejet de la demande de restitution de délai le Tribunal administratif a fait preuve de formalisme excessif.
4.1 La jurisprudence a tiré de l'art. 29 al. 1 Cst. le principe de l'interdiction du déni de justice formel qui comprend la prohibition de tout formalisme excessif. Un tel formalisme existe lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi, complique sans raison objective la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux. Le Tribunal examine cette question librement (ATF 135 I 6 consid. 2.1 p. 9; 130 V 177 consid. 5.4.1 p. 183/184; 128 II 139 consid. 2a p. 142 et les arrêts cités).
4.2 Il faut distinguer deux procédures dans la présente affaire. Il y a, premièrement, la procédure qui a fait suite au refus de prolonger l'autorisation de séjour de la recourante. Cette procédure s'est terminée avec la décision d'irrecevabilité du 17 décembre 2008 du Conseiller d'Etat prononcée en raison du défaut de paiement de l'avance de frais. Cette décision n'a pas fait l'objet d'un recours et est entrée en force. Deuxièmement, il y a la procédure entamée avec la demande de restitution de délai. Le Conseiller d'Etat a rejeté cette demande le 9 mars 2009. Le Tribunal administratif a confirmé cette décision dans son arrêt du 19 juin 2009, lequel a été attaqué devant le Tribunal fédéral. Est ainsi uniquement en cause devant le Tribunal fédéral la procédure en restitution de délai.
Comme susmentionné (consid. 4.1), il peut y avoir formalisme excessif lorsque des règles de procédure ont été appliquées de façon stricte. Or, en l'espèce, le Tribunal administratif a rejeté le recours relatif à la demande de restitution car il a estimé qu'une des conditions posées par l'art. 114 du code de procédure civile neuchâtelois du 30 septembre 1991 (CPCN; RS/NE 251.1) à l'octroi d'une restitution de délai, soit la justification par la partie qu'elle ou son mandataire ont été empêchés d'agir en temps utile par des circonstances indépendantes de leur volonté, n'était pas remplie. Ce faisant, le Tribunal administratif n'a pas rejeté le recours en appliquant des règles de procédure de façon stricte. Partant, il ne pouvait y avoir formalisme excessif.
Mal fondé, le grief doit être rejeté.
5. La recourante se plaint ensuite d'un "abus du pouvoir d'appréciation qui conduit à une violation du droit d'être entendu".
En tant que la recourante entend invoquer la violation du droit d'être entendu, la motivation du grief ne correspond pas aux exigences découlant de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. supra consid. 3.1). Il ressort de la lecture du grief rédigé de façon confuse qu'en fait la recourante se plaint d'un "abus du pouvoir d'appréciation" dans l'application du droit cantonal qui a conduit à la confirmation du rejet de la demande de restitution du délai. On pourrait en déduire que la recourante fait valoir que l'application du droit cantonal est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 135 III 513 consid. 4.3 p. 521/522; 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Dans ce cas de figure, il appartient toutefois au recourant d'invoquer ce grief et de le motiver d'une manière suffisante (cf. supra consid. 3.2). Or, la recourante se contente d'exposer, d'une manière purement appellatoire, une série de faits qui aurait dû conduire, selon elle, l'instance inférieure à admettre la restitution de délai. Partant, le grief ne répond pas aux exigences de motivation requises et est irrecevable. Eût-il été recevable, il aurait de toute façon dû être rejeté, comme démontré ci-après.
5.1 Selon l'art. 20 de la loi neuchâteloise du 27 juin 1979 sur la procédure et la juridiction administrative (LPJA; RS/NE 152.130), les dispositions du code de procédure civile concernant les délais et leur restitution, ainsi que les vacances judiciaires, sont applicables par analogie.
L'art. 114 CPCN prévoit que la restitution d'un délai n'est accordée que si la partie justifie qu'elle ou son mandataire ont été empêchés d'agir en temps utile par des circonstances indépendantes de leur volonté et pour autant que l'accomplissement de l'acte omis soit encore de nature à exercer une influence sur le sort de la cause. La demande de restitution de délai est formée par requête motivée, avec pièces à l'appui, adressée au juge dans les dix jours qui suivent celui où l'empêchement a cessé. L'acte omis doit être accompli dans le même délai (art. 115 CPCN).
5.2 Le Tribunal administratif - appliquant l'art. 114 CPCN conformément à l'art. 35 de l'ancienne loi fédérale d'organisation judiciaire, dont le libellé est proche, et la jurisprudence y afférente - a retenu que les simples allégations de la recourante, relatives à ses éventuels troubles de discernement liés à une forte consommation de stupéfiants, n'établissaient en rien qu'elle aurait été empêchée de faire effectuer ses paiements. En outre, celle-ci ne pouvait rien tirer du fait qu'elle n'avait pas eu connaissance de la demande d'avance de frais. En effet, engagée dans deux procédures majeures (une administrative et l'autre pénale), elle devait prendre les dispositions nécessaires pour que son courrier lui parvienne. Finalement, le mandataire de la recourante a reçu et lui a transmis la demande d'avance de frais. Il lui incombait donc d'entreprendre les démarches adéquates pour le paiement de l'avance de frais.
5.3 Comme la recourante était représentée par un mandataire, l'ordonnance de procédure relative à l'avance de frais devait être notifiée à celui-ci. Le fait que, comme le prétend la recourante, le mandataire n'ait pas fait suivre la requête à la bonne adresse ne saurait être opposé aux autorités. En effet, la règle voulant qu'une partie à la procédure doit communiquer ses changements d'adresse à l'autorité, dès lors que la notification d'un acte officiel doit être attendu avec une certaine vraisemblance (ATF 134 V 49 consid. 4 p. 52; arrêt 4A_246/2009 du 6 août 2009 consid. 3), ne saurait être détournée par l'existence d'un représentant. De plus, le devoir d'avoir à s'attendre avec une certaine vraisemblance à recevoir la notification d'un acte officiel naît avec l'ouverture d'un procès et vaut pour toute la durée de la procédure (ATF 130 III 396 consid. 1.2.3 p. 399). Ainsi, comme l'a retenu le Tribunal administratif à juste titre, il incombait à A.X._ de prendre toutes mesures utiles pour que les communications des autorités lui parviennent, respectivement pour que son avocat soit en possession de toutes informations et provisions lui permettant d'agir en son nom et pour son compte. Ces considérations ne préjugent en rien de la bonne et fidèle exécution de ses devoirs par l'avocat, s'agissant notamment de son devoir d'information, de son obligation éventuelle d'être suffisamment provisionné pour supporter des dépens, respectivement d'avoir fourni toute autre information utile à sa cliente afin d'éviter la réalisation du résultat auquel cette dernière est confrontée ce jour. D'un point de vue procédural, toutefois, l'éventuelle défaillance de l'avocat n'est pas de nature à fonder une restitution de délai. En effet, comme l'a jugé sans arbitraire le Tribunal administratif, l'absence de faute, dans le cadre d'une restitution de délai, doit exister tant dans la personne de la partie que dans celle de son avocat (ATF 119 II 86 consid. 2 p. 87; 114 II 181 consid. 2 p. 182; 106 II 173 et les arrêts cités). Les principes de la représentation directe déploient ici tous leurs effets.
Finalement, la recourante allègue qu'une éventuelle maladie psychique aurait interféré sur son aptitude à gérer sa situation. Il n'est certes pas exclu qu'une telle maladie psychique soit de nature à être prise en compte dans ce contexte (ATF 108 V 228). Une maladie psychique, entraînant une incapacité de discernement, peut en effet être assimilée à un cas de force majeure (arrêt I 468/05 du 12 octobre 2005). Pour des motifs tenant à la sécurité du droit, la jurisprudence n'admet que de manière extrêmement stricte une restitution de délai dans de telles circonstances. Il faut notamment que le manquement ne soit pas fautif. Or, selon la jurisprudence, un état dépressif de longue durée n'empêche en principe pas de déposer une requête, par exemple en prolongation (arrêt I 337/02 du 17 octobre 2002). La règle prévalant en ce domaine veut que, dès que l'intéressé est objectivement et subjectivement en état d'agir lui-même ou de mandater un tiers pour agir à sa place, l'empêchement cesse d'être non fautif (arrêt I 854/06 du 5 décembre 2006). Comme l'a jugé sans arbitraire le Tribunal administratif, il incombait à la recourante d'établir un lien direct entre la maladie psychique alléguée et l'impossibilité de s'occuper de la procédure en cours. Ce qu'elle n'a pas fait. Ainsi, c'est à bon droit que ledit Tribunal a jugé que la recourante n'ayant pas établi avoir été dans l'impossibilité non fautive de communiquer sa nouvelle adresse à son avocat, de l'informer de son état de santé, respectivement de lui faire quérir une prolongation de délai, elle ne saurait se retrancher derrière son état psychologique pour obtenir de ce simple fait une restitution de délai.
5.4 En conséquence, le Tribunal administratif n'a pas appliqué l'art. 114 CPCN de façon arbitraire en refusant de restituer le délai imparti par le Service juridique du Département de la justice, de la sécurité et des finances pour verser l'avance de frais.
6. Compte tenu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service des migrations, au Département de l'économie et à la Cour de droit public du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 18 janvier 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
R. Müller E. Kurtoglu-Jolidon