Sachverhalt:
A.
Das Obergericht des Kantons Bern verurteilte X._ zweitinstanzlich wegen mehrfach begangener übler Nachrede zu einer bedingten Geldstrafe von 3 Tagessätzen zu Fr. 70.--.
B.
X._ führt staatsrechtliche Beschwerde (recte: Beschwerde in Strafsachen) und beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben, und er sei freizusprechen.
C.
Das Bundesgericht lud die Verfahrensbeteiligten zu Vernehmlassungen ein, beschränkt auf die Frage des rechtlichen Gehörs. Y._ und die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern verzichteten auf eine Stellungnahme. Das Obergericht des Kantons Bern liess sich vernehmen. X._ hält in der Replik an seiner Auffassung fest. Diese wurde den übrigen Parteien zugestellt.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen und des Bundesstrafgerichts (Art. 80 Abs. 1 BGG). Anfechtungsobjekt bildet das angefochtene Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 25. Juli 2013. Soweit der Beschwerdeführer sich gegen das erstinstanzliche Verfahren und die erstinstanzliche Urteilsbegründung wendet, kann darauf nicht eingetreten werden (Beschwerde S. 18 f.).
2.
Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs. Da ihm die Duplik des Beschwerdegegners vor dem angefochtenen Urteil nicht zugestellt worden sei, habe er sich zu den "neuen beleidigenden und durchwegs falschen oder irrelevanten Behauptungen" nicht äussern können (Beschwerde S. 10 und 35 f.).
2.1. Das Recht, angehört zu werden, ist formeller Natur. Dessen Verletzung führt ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides (BGE 137 I 195 E. 2.2; 135 I 279 E. 2.6.1). Diese Rüge ist vorweg zu behandeln.
2.2. Gemäss Art. 29 Abs. 1 und 2 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK haben die Parteien eines Gerichtsverfahrens Anspruch auf rechtliches Gehör und ein faires Gerichtsverfahren, unter Beachtung des Grundsatzes der Waffengleichheit. Diese Garantien umfassen das Recht, von allen beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können, unabhängig davon, ob die Eingaben neue und/oder wesentliche Vorbringen enthalten. Es ist Sache der Parteien zu beurteilen, ob eine Entgegnung erforderlich ist oder nicht (BGE 139 I 189 E. 3.2; 138 I 484 E. 2.1, 154 E. 2.3.3; je mit Hinweisen).
Die Wahrnehmung des Replikrechts setzt voraus, dass die fragliche Eingabe der Partei zugestellt wird. Das Bundesgericht hat wiederholt festgehalten, dass den Verfahrensbeteiligten ein Anspruch auf Zustellung von Vernehmlassungen zusteht. Das Gericht muss vor Erlass seines Urteils eingegangene Vernehmlassungen den Beteiligten zustellen, damit diese sich darüber schlüssig werden können, ob sie sich dazu äussern wollen oder nicht (BGE 137 I 195 E. 2.3.1; 133 I 100 E. 4.5; je mit Hinweisen).
2.3. Die Vorinstanz führte mit Zustimmung der Parteien ein schriftliches Berufungsverfahren durch (Art. 406 Abs. 2 StPO). Mit Verfügung vom 21. September 2012 forderte sie den Beschwerdeführer auf, innert 20 Tagen eine schriftliche Berufungsbegründung einzureichen. Ergänzend wies sie darauf hin, dass die Berufungserklärung des Beschwerdeführers vom 30. Juli 2012 als Begründung gelte, sofern innert Frist keine schriftliche Begründung eingehe (kantonale Akten, act. 729 f.). Mit Schreiben vom 2. Oktober 2012 ersuchte die Ehefrau des Beschwerdeführers um Fristverlängerung bis mindestens am 15. Dezember 2012, da sich der Beschwerdeführer im Spital befinde (kantonale Akten, act. 741 ff.). Die Vorinstanz wies das Fristverlängerungsgesuch ab und gab dem Beschwerdegegner Gelegenheit, eine schriftliche Stellungnahme zur Berufung einzureichen (kantonale Akten, act. 749 f.). Die Vernehmlassung des Beschwerdegegners vom 10. Oktober 2012 stellte die Vorinstanz dem Beschwerdeführer am 12. Oktober 2012 zu und setzte ihm bis zum 15. Dezember 2012 Frist zur Einreichung einer Replik (kantonale Akten, act. 759 f.). Auf die Replik vom 14. Dezember 2012 folgte die Duplik des Beschwerdegegners vom 17. Januar 2013 (kantonale Akten, act. 763 ff.). Soweit aus den Akten ersichtlich, wurde Letztere dem Beschwerdeführer vor Erlass des Urteils am 25. Juli 2013 nicht zugestellt. Gegenteiliges vermochte die Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung nicht nachzuweisen.
Die Vorinstanz hat mit ihrem Vorgehen das Recht des Beschwerdeführers auf Zustellung der Vernehmlassung und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör und ein faires Gerichtsverfahren verletzt. Er konnte nicht prüfen, ob er sich zur Duplik des Beschwerdegegners hätte äussern wollen oder nicht. Eine Heilung dieser schweren Verletzung des rechtlichen Gehörs kommt im bundesgerichtlichen Verfahren nicht in Betracht (vgl. zum Ganzen BGE 137 I 195 E. 2.3.2 mit Hinweisen). Dies führt zur Aufhebung des angefochtenen Urteils, ohne dass die weiteren Rügen zu prüfen wären.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung (unter Gewährung des rechtlichen Gehörs) an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG) und keine Entschädigung zu entrichten.
Dem Beschwerdegegner sind weder Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG) noch hat er eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 BGG), da er auf eine Vernehmlassung verzichtete.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Bern vom 25. Juli 2013 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Strafabteilung, 2. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Andres