Sachverhalt:
A.
Mit schriftlichem Vertrag vom 15. April 2008 vermietete die Y._ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) die Gastwirtschaft Z._ in D._ per 1. April 2008 zu einem monatlichen Mietzins von Fr. 4'700.-- an die A._ GmbH und an B._. Am 30. April 2009 wurde über die A._ GmbH der Konkurs eröffnet. In der Folge gab B._ das Mietobjekt an X._ (Beklagter, Beschwerdeführer) ab. Der Gastwirtschaftsbetrieb wurde seither vom Beklagten geführt; dieser bezahlte den Mietzins direkt der Klägerin und er kam für die Zahlung der im Mietvertrag vom 15. April 2008 vereinbarten Kaution von Fr. 10'000.-- auf. Auf Begehren der Klägerin bezahlte der Beklagte dieser ausserdem im Zeitraum Januar 2011 bis 1. September 2011 weitere Fr. 18'200.--.
Mit zwei sowohl an B._ als auch an den Beklagten gerichteten Schreiben vom 14. Juni 2011 und vom 12. Juli 2011 beanstandete die Klägerin den fehlenden Eingang des Mietzinses für den Juni 2011 bzw. für den Juli 2011, wobei sie für das Ausbleiben der Zahlung innert einer Frist von 30 Tagen die ausserordentliche Kündigung gemäss Art. 257d OR androhte.
Am 6. Juli 2011 überwies der Beklagte der Klägerin einen Betrag von Fr. 4'700.--, wobei er auf dem Einzahlungsschein vermerkte, die Überweisung gelte für die Miete Juli 2011. In der Folge kündigte die Klägerin das Mietverhältnis mit Formularmitteilung vom 22. August 2011 per 30. September 2011.
B.
Am 22. September 2011 verlangten B._ und der Beklagte bei der Schlichtungsbehörde in Mietsachen des Bezirksgerichts Hinwil, es sei festzustellen, dass die Kündigung vom 22. August 2011 ungültig sei, eventuell sei das Mietverhältnis um vier Jahre zu erstrecken (Proz.-Nr. MM110055-E).
Nachdem im Schlichtungsverfahren keine Einigung erzielt werden konnte, wurden B._ und dem Beklagten je eine Klagebewilligung ausgestellt, worauf keiner der beiden innert der Frist von 30 Tagen das Mietgericht Hinwil anrief. In der Folge verliess B._ die streitgegenständlichen Räumlichkeiten.
C.
C.a. Auf Antrag der Klägerin erliess das Einzelgericht im summarischen Verfahren des Bezirksgerichts Hinwil mit Urteil vom 11. November 2011 (Proz.-Nr. ER110074-E) gegenüber B._ und dem Beklagten einen Ausweisungsbefehl. Lediglich der Beklagte erhob gegen dieses Urteil Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich. Diese wurde mit Urteil vom 1. März 2012 gutgeheissen. Das Obergericht nahm an, im eingeleiteten Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen (Art. 257 ZPO) könne die als Vorfrage zu prüfende Gültigkeit der Kündigung angesichts der in summarischen Verfahren geltenden Beweismittelbeschränkung nicht abschliessend beurteilt werden. Es trat daher auf das Ausweisungsgesuch der Klägerin nicht ein.
C.b. Die Klägerin stellte daraufhin bei der Schlichtungsbehörde in Mietsachen des Bezirksgerichts Hinwil das hier zu beurteilende Ausweisungsbegehren. Am 1. November 2012 erteilte die Schlichtungsbehörde die Klagebewilligung betreffend Ausweisung. Mit Eingabe vom 6. Dezember 2012 reichte die Klägerin Klage beim Einzelgericht des Bezirksgerichts Hinwil ein. Sie verlangte, es sei dem Beklagten zu befehlen, die Gastwirtschaft Z._, bestehend aus Restaurant, Säli, Küche und Terrasse im EG, 4-Zimmerwohnung mit Terrasse im 1. OG und 4 Einzelzimmer mit separaten Nasszellen im 2. OG an der Strasse C._ in D._ unverzüglich, gereinigt, geräumt und in ordnungsgemässem Zustand der Klägerin zu übergeben, dies unter Androhung der Zwangsvollstreckung im Weigerungsfalle. Das Gemeindeammannamt Rüti sei anzuweisen, diesen Befehl nach Eintritt der Rechtskraft auf erstes Verlangen der Klägerin zu vollstrecken; alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge.
Das Einzelgericht des Bezirksgerichts Hinwil wies die Klage mit Urteil vom 15. März 2013 ab.
C.c. Die gegen diesen Entscheid erhobene Berufung der Klägerin schützte das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 19. August 2013. Dem Beklagten wurde befohlen, die Gastwirtschaft Z._ unverzüglich zu räumen und der Klägerin ordnungsgemäss zu übergeben. Das Gemeindeammannamt Rüti wurde angewiesen, diesen Befehl auf Verlangen der Klägerin zu vollstrecken.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen stellte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht das Rechtsbegehren, die Beschwerde sei gutzuheissen und in der zu treffenden Neubeurteilung sei das Urteil des Bezirksgerichts Hinwil - Mietgericht - in der Geschäfts-Nr. MG120011-E vom 15. März 2013 zu bestätigen, indem die Klage abgewiesen werde. In prozessualer Hinsicht beantragte er, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen und dem Gemeindeammannamt Rüti sei anzuordnen, das Ausweisungsverfahren zu sistieren.
Mit Verfügung der Präsidentin der I. zivilrechtlichen Abteilung vom 23. September 2013 wurde der Beschwerde superprovisorisch die aufschiebende Wirkung erteilt und das Gemeindeammannamt Rüti superprovisorisch angewiesen, das Verfahren zwischen den Parteien betreffend Vollstreckung der Ausweisung bis zum definitiven Entscheid des Bundesgerichts über das Massnahmegesuch zu sistieren.
Die Beschwerdegegnerin trug auf Abweisung der Beschwerde und Bestätigung des angefochtenen Urteils an. Auch das Gesuch um aufschiebende Wirkung sei abzuweisen, eventuell auf die vom Beschwerdeführer bewohnten Räumlichkeiten zu beschränken. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Entscheid (Art. 90 BGG) einer oberen kantonalen Instanz, die auf ein Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich in einer Zivilsache entschieden hat (Art. 75 i.V.m. Art. 72 BGG). Der massgebende Streitwert beträgt mehr als Fr. 15'000.-- (Art. 51 i.V.m. Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt einer genügenden Begründung (Art. 42 BGG) - einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 137 III 226 E. 4.2 S. 234; 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG). Willkür im Sinne von Art. 9 BV liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür nur auf, wenn er im Ergebnis unhaltbar ist (BGE 137 I 1 E. 2.4 S. 5; 129 I 8 E. 2.1 S. 9; je mit Hinweisen).
Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (BGE 137 III 226 E. 4.2 S. 234; 136 I 184 E. 1.2 S. 187). Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile des Bundesgerichts 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: BGE 137 III 539; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 134 III 570).
3.
Die Vorinstanz ging gestützt auf eine vertrauenstheoretische Auslegung davon aus, der Beschwerdeführer sei konkludent dem Mietverhältnis zwischen der Beschwerdegegnerin und B._ beigetreten und daher Mitmieter und nicht nur Untermieter. Dies wird von keiner Partei substanziiert in Abrede gestellt, weshalb darauf nicht mehr einzugehen ist.
4.
Sodann hielt die Vorinstanz fest, auch ein Mieter, der die ihm gegenüber ausgesprochene Kündigung nicht separat im mietrechtlichen Schlichtungsverfahren bzw. beim Mietgericht angefochten habe, könne sich im Ausweisungsverfahren auf deren Nichtigkeit berufen, weil die Geltendmachung von Nichtigkeit nicht von einer förmlich erfolgten gerichtlichen Anfechtung abhänge. Anders verhalte es sich aber bei rechtsmissbräuchlichen Kündigungen gemäss Art. 271 Abs. 1 OR. Diese seien rechtswirksam, wenn sie nicht innert der Frist von Art. 273 Abs. 1 OR bei der Schlichtungsbehörde (und im Fall einer dortigen Nichteinigung innert 30 Tagen beim Mietgericht) angefochten werden. Der Einwand der Rechtsmissbräuchlichkeit könne dann im Ausweisungsverfahren nicht mehr (vorfrageweise) geprüft werden. Der Einwand des Beklagten, die Kündigung sei treuwidrig gewesen, könne daher im vorliegenden Verfahren nicht mehr geprüft werden, da der Beschwerdeführer die Klagebewilligung der Schlichtungsbehörde vom 1. November 2012 nicht innert Frist beim Mietgericht eingereicht habe.
Der Beschwerdeführer macht vor Bundesgericht erneut geltend, die Kündigung sei treuwidrig gewesen. Er geht aber mit keinem Wort auf die Ausführungen der Vorinstanz ein. Insoweit genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen (vgl. E. 2.1 hiervor) offensichtlich nicht, weshalb darauf nicht einzutreten ist. Im Übrigen entspricht es der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, dass die Anfechtung gemäss Art. 271 Abs. 1 OR innerhalb der Verwirkungsfristen von Art. 273 OR erfolgen muss. Ist dies nicht erfolgt, kann die Rüge, die Kündigung sei rechtsmissbräuchlich gewesen, mangels Einhaltung der bundesrechtlichen Verwirkungsfrist im Ausweisungsverfahren nicht mehr erhoben werden (BGE 133 III 175 E. 3.3.4 S. 179 f.; Urteil des Bundesgerichts 4C.430/2004 vom 8. Februar 2005 E. 3.2.1).
5.
5.1. Ist der Mieter mit der Zahlung fälliger Mietzinse oder Nebenkosten in Rückstand, kann der Vermieter schriftlich eine Zahlungsfrist ansetzen und ihm androhen, dass bei unbenütztem Ablauf der Frist das Mietverhältnis gekündigt wird. Die Frist beträgt bei Wohn- und Geschäftsräumen 30 Tage. Bezahlt der Mieter innert Frist nicht, kann der Vermieter fristlos, bei Wohn- und Geschäftsräumen mit einer Frist von mindestens 30 Tagen auf Ende eines Monats kündigen (Art. 257d OR). Sind die materiellen Voraussetzungen einer ausserordentlichen Kündigung gemäss Art. 257d OR nicht erfüllt, so ist diese nicht nur anfechtbar, sondern völlig unwirksam. Für die Berücksichtigung der Unwirksamkeit oder der Nichtigkeit einer Kündigung bedarf es keiner Anfechtung binnen der Frist nach Art. 273 OR (BGE 121 III 156 E. 1c/aa S. 161). Die Vorinstanz hat daher richtig erkannt, dass die Frage des Zahlungsverzugs zu prüfen ist unabhängig davon, dass der Beschwerdeführer die Klagebewilligung vom 1. November 2012 nicht fristgemäss beim Mietgericht eingereicht hat.
5.2. Die Vorinstanz stellte vorerst fest, die Zahlung vom 6. Juli 2011 von Fr. 4'700.-- mit dem Vermerk der Anrechnung für die Miete Juli 2011 könne aufgrund dieser Tilgungserklärung nicht auf den früher verfallenen Mietzins für Juni 2011 angerechnet werden. Sie prüfte in der Folge den Einwand des Beschwerdeführers, er habe (zusätzlich) insgesamt Fr. 18'200.-- geleistet, auf welche die Beschwerdegegnerin zur Begleichung des Mietzinses hätte greifen können. Die Vorinstanz erwog, der in verschiedenen Teilzahlungen geleistete Betrag von Fr. 18'200.-- habe entgegen der Beschwerdegegnerin nicht als Mietzinskaution gelten können, da er nicht auf ein auf den Mieter lautendes Sparkonto hinterlegt worden sei und die Beschwerdegegnerin auch die Formvorschriften von Art. 269d Abs. 3 OR über die einseitige Abänderung des Mietvertrags zu Lasten des Mieters nicht beachtet habe. Der Beschwerdeführer hätte daher die unter dem Titel "zusätzliche Sicherheit" geleisteten Zahlungen jederzeit zurückfordern oder den ausstehenden Mietzins durch Verrechnung mit seinem Rückforderungsanspruch tilgen können. Dass er dies getan hätte, behaupte er aber nicht. Er stelle sich vielmehr auf den Standpunkt, eine Verrechnungserklärung sei nicht notwendig gewesen. Die Vorinstanz prüfte diese Frage mit Blick auf die Urteile des Bundesgerichts 4C.67/2002 vom 30. Mai 2002 und 4C.94/2004 vom 18. Mai 2004 und erkannte, in tatsächlicher Hinsicht stehe nicht fest, dass die Parteien vereinbart hätten, die zusätzlich geleisteten Beträge sollten spezifisch als Vorauszahlung künftiger Mietzinsen gelten. Der Beschwerdeführer selbst habe eine solche Vereinbarung nicht behauptet, so dass der Zweck der Zahlungen über insgesamt Fr. 18'200.-- derjenige einer Sicherheitsleistung gewesen sei, die vom Vermieter nicht zur Tilgung laufender Verpflichtungen des Mieters herangezogen werden müsse, weil sonst die vereinbarte Sicherheit im entsprechenden Betrag vermindert würde. Mangels rechtzeitiger Verrechnungserklärung und nachdem keine Vereinbarung über die Verwendung der zusätzlichen Beträge für künftige Mietzinsschulden bestanden habe, sei der Beschwerdeführer daher mit der Zahlung des Juni-Mietzinses im Verzug gewesen.
5.3. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist nicht geeignet, den angefochtenen Entscheid als rechtsfehlerhaft erscheinen zu lassen. Die Vorinstanz hat sich zu Recht namentlich auf das zit. Urteil 4C.67/2002 E. 3c berufen. Das Bundesgericht hat dort festgehalten, dass eine als Sicherheitsleistung erbrachte Zahlung nicht deshalb ihre Zweckbestimmung verliert, weil die - zum Schutz des Mieters vor Zweckentfremdung bzw. Konkurs des Vermieters aufgestellten - Formvorschriften nicht eingehalten wurden. Der Beschwerdeführer behauptet auch im bundesgerichtlichen Verfahren nicht, dass die Vorinstanz in willkürlicher Weise das Vorliegen einer (einseitigen) Verrechnungserklärung verneint hätte. Also könnte eine Tilgung nur angenommen werden, wenn die Parteien - wenigstens konkludent - vereinbart hätten, die Zahlungen über insgesamt Fr. 18'200.-- seien auf ausstehende künftige Mietzinse anzurechnen. Der Beschwerdeführer scheint dies geltend machen zu wollen, wenn er in seinen kaum nachvollziehbaren Ausführungen einen "Verrechnungsvertrag" behauptet. Die Vorinstanz schloss in tatsächlicher Hinsicht eine entsprechende Vereinbarung mangels entsprechender Parteibehauptung aus. An diese Tatsachenfeststellung ist das Bundesgericht gebunden (vgl. E. 2.2 hiervor). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass diese Feststellung willkürlich wäre; vielmehr spricht er selbst nur davon, es lägen "eindeutige Hinweise einer Verrechnungsvereinbarung" zwischen den Parteien vor.
5.4. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, ohne dass auf den Einwand der Beschwerdegegnerin einzugehen ist, der Beschwerdeführer als Mitmieter sei alleine gar nicht berechtigt, sich der Ausweisung zu widersetzen.
6.
Mit dem Urteil in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos und fällt die Verfügung vom 23. September 2013, mit der die aufschiebende Wirkung superprovisorisch erteilt worden ist, ohne weiteres dahin.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Gemeindeammannamt Rüti schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. November 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak