Faits:
A. Le 27 novembre 2011, A._, ressortissant belge, a été prévenu d'infraction grave à la loi fédérale sur les stupéfiants (LStup; RS 812.121), pour avoir cheminé, à 2h10, quelques mètres devant un autre piéton, B._, qui portait un sac poubelle contenant plus de 1,4 kg d'héroïne, des sachets "minigrips" et une petite balance. A._ a nié connaître l'autre piéton et a déclaré se rendre à Annemasse en France pour y prendre un train à destination de la Belgique.
Lors de l'audience tenue le 28 novembre 2011 devant le Tribunal des mesures de contrainte du canton de Genève (ci-après: le Tmc) et présidée par le Juge C._, A._ a demandé d'entrée de cause la récusation "du tribunal", au motif que celui-ci avait retenu, en statuant peu auparavant sur la mise en détention de B._, que celui-ci cheminait "avec" A._. Cette demande a été d'emblée rejetée par le Tmc, qui a considéré qu'il s'agissait là d'un élément résultant du dossier, sans que cela ne constitue un motif de récusation.
Par ordonnance du 28 novembre 2011, le Tmc a ordonné le placement en détention provisoire de A._ jusqu'au 28 février 2012, en raison des risques de fuite, de réitération et de collusion. Statuant sur recours de l'intéressé, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a confirmé cette ordonnance par arrêt du 19 décembre 2011 (ACPR/381/2011). Elle a considéré en substance que les charges étaient suffisantes et qu'il existait des risques de réitération, de fuite et de collusion.
Le 29 novembre 2011, le Juge C._ a transmis à la Cour de justice la demande de récusation. Par arrêt du 20 décembre 2011 (ACPR/383/2011), cette autorité a rejeté la demande de récusation.
B. A._ a déposé un seul recours en matière pénale contre les arrêts de la Cour de justice du 19 décembre 2011 (cause 1B_38/2012) et du 20 décembre 2011 (cause 1B_40/2012). Il demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler ces arrêts et l'ordonnance de mise en détention provisoire du 28 novembre 2011 ainsi que d'ordonner la répétition de l'audience de mise en détention devant le Tmc. Il conclut subsidiairement au renvoi du dossier à l'instance précédente pour nouvelle décision au sens des considérants.
La Cour de justice se réfère aux considérants de son arrêt et renonce à formuler des observations. Le Tmc conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recourant attaque par un seul et même acte deux décisions rendues par la même autorité dans le cadre de la même procédure. Dans ces circonstances, l'économie de la procédure justifie que les causes 1B_38/2012 et 1B_40/2012 soient jointes pour être traitées dans un seul et même arrêt (cf. art. 24 PCF, applicable par renvoi de l'art. 71 LTF).
2. Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision relative à la récusation d'un magistrat pénal peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, qui a formulé la demande de récusation, a qualité pour agir (art. 81 al. 1 LTF). Le recours en matière pénale est en principe également ouvert contre une décision relative à la mise en détention provisoire au sens des art. 212 ss du code de procédure pénale suisse du 5 octobre 2007 (CPP; RS 312.0). Selon l'art. 81 al. 1 let. a et let. b ch. 1 LTF, l'accusé a qualité pour agir.
Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre des décisions rendues en dernière instance cantonale (art. 80 LTF). Il y a donc lieu d'entrer en matière sur le fond.
3. Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant se plaint de la constatation manifestement inexacte d'un fait.
3.1 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui entend contester les constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3).
3.2 En l'espèce, le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir retenu, dans les états de fait des deux arrêts attaqués, qu'il cheminait "quelques mètres devant - deux mètres, à teneur de la première question qui lui a été posée en audition à la police - un autre piéton". Il relève que lors de sa première audition, aucun avocat n'a été mis à sa disposition, de sorte que les déclarations ainsi faites à la police le sont en violation des art. 130 let. b et 159 al. 1 et 2 CPP. Il propose de retenir que le recourant et B._ marchaient "dans la même direction, à faible distance l'un de l'autre".
Les critiques du recourant sont toutefois impuissantes à rendre la constatation du fait précité arbitraire, dès lors que la Cour de justice s'est fondée sur le rapport de police du 26 novembre 2011 pour l'établir. L'instance précédente a d'ailleurs fait expressément référence à la première question qui a été posée au recourant lors de son audition par la police le 26 novembre 2011. Le grief doit donc être rejeté.
4. Le recourant se plaint ensuite d'une violation des art. 30 al. 1 Cst., 6 par. 1 CEDH et 56 let. f CPP.
4.1 Selon les art. 6 par. 1 CEDH et 30 al. 1 Cst., toute personne dont la cause doit être jugée dans une procédure judiciaire a droit à ce que sa cause soit portée devant un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial.
L'art. 56 let. f CPP impose la récusation de toute personne exerçant une fonction au sein d'une autorité pénale lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil juridique, sont de nature à la rendre suspecte de prévention. A l'instar de l'art. 34 al. 1 let. e LTF, cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes de l'art. 56 CPP (arrêt 1B_131/2011 du 2 mai 2011 consid. 3.1). Elle permet d'exiger la récusation d'un magistrat dont la situation ou le comportement est de nature à faire naître un doute sur son impartialité (ATF 126 I 68 consid. 3a p. 73). Elle tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du juge est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (ATF 136 III 605 consid. 3.2.1 p. 608; 134 I 20 consid. 4.2 p. 21; 131 I 24 consid. 1.1 p. 25; 127 I 196 consid. 2b p. 198).
4.2 En l'espèce, l'intéressé voit un motif de prévention dans le fait que le Juge C._, avant de se prononcer sur la mise en détention provisoire du recourant, avait retenu dans l'ordonnance séparée concernant B._ que celui-ci cheminait "avec" A._. De la sorte, le Juge précité aurait donné une réponse catégorique à une question litigieuse cruciale, qui n'aurait pas à être tranchée à ce stade initial de l'instruction.
Le recourant ne nie cependant pas avoir été interpellé en même temps que B._ à 2h10 et reconnaît avoir cheminé "à faible distance" de celui-ci. Leur présence rapprochée, à une heure de la nuit où la voie publique - a fortiori aux abords du pont de Vessy - est notoirement peu fréquentée, est par conséquent un fait objectif. La constatation opérée par le Juge mis en cause, selon laquelle le recourant cheminait "avec" l'autre piéton, ne démontre donc pas l'apparence d'une prévention susceptible de fonder la récusation du magistrat. De plus, le terme "avec" peut être compris dans un sens objectif, à savoir que les deux personnes interpellées se trouvaient alors à la même heure et au même endroit, ce qui n'est pas contesté.
Par conséquent, la Cour de justice a considéré, à juste titre, que la constatation litigieuse dans l'ordonnance relative à B._ laissait encore la place pour que, lors de l'audience subséquente du recourant, le même juge conserve la liberté d'y voir, en fonction des explications que l'intéressé donnerait de vive voix, un cheminement simultané, mais fortuit de deux quidams ne se connaissant pas auparavant.
4.3 En définitive, on ne distingue pas dans les allégués du recourant d'éléments concrets permettant objectivement de retenir une apparence de prévention du Juge C._. Dans ces conditions, il y a lieu de constater que la garantie du juge impartial a été respectée, de sorte que c'est à bon droit que la Cour de justice a rejeté la demande de récusation, dans son arrêt du 20 décembre 2011.
5. Le recourant conclut à la répétition de l'audience de mise en détention provisoire comme conséquence de l'admission de sa requête de récusation. Dans le prolongement de cette conclusion, il conclut également à l'annulation de l'arrêt du 19 décembre 2011, sans toutefois demander sa mise en liberté. Aucune critique n'est d'ailleurs dirigée contre le fond de la mise en détention provisoire. Dans ces conditions, le recours dirigé contre l'arrêt du 19 décembre 2011 est irrecevable pour défaut de motivation (art. 42 al. 2 LTF).
6. Sur le vu de ce qui précède, le recours dirigé contre l'arrêt de la Cour de justice du 19 décembre 2011 est irrecevable et celui interjeté contre l'arrêt du 20 décembre 2011 est rejeté. L'assistance judiciaire ne peut être accordée au recourant, dont les conclusions paraissaient d'emblée vouées à l'échec. Conformément à l'art. 66 al. 1 LTF, les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant, qui succombe.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 1B_38/2012 et 1B_40/2012 sont jointes.
2. Le recours dirigé contre l'arrêt de la Cour de justice du 19 décembre 2011 (ACPR/381/2011) est irrecevable.
3. Le recours dirigé contre l'arrêt de la Cour de justice du 20 décembre 2011 (ACPR/383/2011) est rejeté.
4. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
5. Les frais judiciaires, arrêtés à 1000 francs, sont mis à la charge du recourant.
6. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Juge C._, au Ministère public et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 13 février 2012
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Tornay Schaller