Faits:
A. A.a H._, née en 1972, a travaillé en qualité d'aide-soignante au service de l'Hôpital X._ du 1er février 2003 au 11 mars 2004, date à laquelle elle a subi un blocage du dos entraînant des douleurs lombaires. Son assureur-accidents, la Winterthur assurances a pris en charge le cas, ainsi que les conséquences d'une chute survenue le 19 septembre 2004, à la suite de laquelle des lombalgies post-traumatiques sur hernie discale L4-L5 ont été diagnostiquées. Après avoir dans un premier temps mis fin aux prestations de l'assurance-accidents au 19 mars 2005, la Winterthur assurances - dont la décision a été contestée par l'assurée devant la juridiction cantonale puis fédérale - a conclu une transaction avec l'intéressée (cf. décision sur opposition du 21 mai 2008).
A.b Le 25 avril 2005, H._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. L'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a recueilli différents avis médicaux, dont ceux du médecin traitant de l'assurée, la doctoresse P._, spécialiste FMH en rhumatologie et médecine interne. Il a également soumis H._ à un examen rhumatologique et psychiatrique auprès de son Service médical régional (SMR), où les docteurs F._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie, et O._, spécialiste FMH en psychiatrie, ont diagnostiqué, avec répercussion sur la capacité de travail, des lombalgies droites chroniques persistantes (M51.3), des discopathies L4-L5 et L5-S1 et un déconditionnement physique majeur. Selon les médecins, l'assurée aurait été en mesure de reprendre une activité professionnelle, mais adaptée au plan biomécanique à partir de mars 2005 (soit un an après l'événement de mars 2004). Par ailleurs, alors que la capacité de travail était nulle dans l'activité d'aide-soignante, l'assurée disposait en revanche, dans une activité adaptée, d'une capacité de travail de tout d'abord 50% après la réalisation d'un programme intensif de reconditionnement à l'effort, puis de 100% après environ trois mois (rapport du 22 novembre 2007).
L'office AI a alors mis l'intéressée au bénéfice d'une mesure d'orientation professionnelle auprès des Etablissements publics pour l'intégration (EPI), du 14 avril au 13 juillet 2008, puis d'une mesure de réentraînement au travail auprès de l'entreprise sociale Y._ du 27 octobre 2008 au 8 février 2009; l'assurée a interrompu les deux stages successifs pour des raisons de santé. Le 27 mars 2009, l'administration a rendu une décision, par laquelle elle a nié le droit de H._ à une rente d'invalidité, motif pris d'un taux d'invalidité inférieur à 40%.
B. B.a L'assurée a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui, Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales). Statuant le 13 octobre 2009, le Tribunal a admis le recours au sens des considérants (selon lesquels les nouveaux éléments médicaux invoqués par H._ justifiaient un nouvel examen de la situation) et renvoyé la cause à l'office AI pour instruction complémentaire. Le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours interjeté par H._ contre ce jugement (arrêt 9C_969/2009 du 18 décembre 2009).
B.b A la suite des instructions données par la juridiction cantonale, l'office AI a complété son instruction en requérant l'avis du docteur B._, chef de clinique du service de neurochirurgie de l'Hôpital X._, qui a opéré l'assurée le 31 août 2009 (discectomie L5-S1 gauche et foraminotomie pour hernie discale L5-S1 gauche), ainsi que celui de la doctoresse P._. Après avoir sollicité l'avis du docteur C._, médecin auprès du SMR (rapport du 1er novembre 2010), l'office AI a, par décision du 10 mai 2011, alloué à H._ une rente entière d'invalidité du 1er mars 2009 au 30 juin 2010.
Statuant le 13 décembre 2011 sur le recours interjeté derechef par l'intéressée contre la décision administrative, la Cour de justice genevoise, Chambre des assurances sociales, l'a partiellement admis au sens des considérants (ch. 2 du dispositif du jugement); elle a reconnu à H._ le droit à un trois quarts de rente d'invalidité du 1er mars au 30 septembre 2005 et à une rente entière du 1er mars 2009 au "30" juillet 2010 (ch. 3 du dispositif), et confirmé la décision de l'office AI pour le surplus (ch. 4 du dispositif).
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, H._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler « le point 4 » du jugement cantonal et de condamner l'office AI à lui verser une rente entière d'invalidité à compter du 25 avril 2005. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'office AI conclut à l'annulation du jugement cantonal en ce qu'il octroie à l'assurée une rente entière du 1er mars 2009 au 31 juillet 2010 et à la reconnaissance du droit à un quart de rente d'avril à juin 2009, puis à une rente entière de juillet 2009 à juillet 2010. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déteminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
1.2 On précisera au préalable que l'office AI a également interjeté un recours contre le jugement cantonal du 13 décembre 2011. Son recours a cependant été déclaré irrecevable pour cause de tardiveté (cf. art. 100 al. 1 LTF), par arrêt du Tribunal fédéral du 4 mai 2012 (9C_126/2012). Lors du dépôt de sa réponse dans la présente procédure, l'office AI ne pouvait donc que conclure à l'irrecevabilité ou au rejet du recours de la partie adverse, voire au renvoi de la cause pour complément d'instruction, mais n'avait pas la possibilité de prendre des conclusions indépendantes puisque l'institution du recours joint n'est pas admise devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 124 V 153 consid. 1 p. 155; 120 V 121 consid. 6 p. 127 et la référence; arrêt 9C_846/2010 du 12 août 2011 consid. 3). Les conclusions et considérations de l'intimé portant sur l'allocation à la recourante d'un quart de rente d'invalidité du mois d'avril 2009 au mois de juin 2009, puis d'une rente entière de juillet 2009 à juillet 2010, au lieu de la rente entière du 1er mars 2009 au 31 juillet 2010, accordée par la juridiction cantonale ne sont donc pas recevables.
2. Au regard des conclusions du recours et du dispositif du jugement entrepris, la recourante ne remet pas en cause les prestations accordées par la juridiction cantonale (trois quarts de rente du 1er mars au 30 septembre 2005 et rente entière du 1er mars 2009 au 30 juillet 2010; ch. 3 du dispositif du jugement entrepris), mais conclut à la reconnaissance d'une rente plus élevée et portant sur une période allant au-delà de ce qui lui a été alloué, à savoir l'octroi d'une rente entière d'invalidité à partir du 25 avril 2005. A cet égard, le jugement attaqué expose de manière complète les règles légales et la jurisprudence applicables au litige. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. La recourante reproche aux premiers juges d'avoir établi les faits de manière manifestement inexacte et contraire au droit, en suivant l'appréciation des docteurs F._, O._ et C._ pour constater qu'elle disposait d'une capacité de travail de 50% dans une activité adaptée de mars à juin 2005, puis entière, avant de subir une période d'incapacité de travail totale du 1er mars 2009 au 30 avril 2010. Dans ce contexte, elle critique aussi le raisonnement de la juridiction cantonale, selon lequel il n'y avait pas à revenir, dans le jugement entrepris, sur l'appréciation que celle-ci avait faite de l'expertise des docteurs F._ et O._ dans son premier arrêt (du 13 octobre 2009), revêtue de l'autorité de la chose jugée.
3.1 L'objet du litige soumis à deux reprises à la juridiction cantonale est le droit de la recourante à une rente d'invalidité (d'abord nié par la décision administrative du 27 mars 2009, puis reconnu partiellement par la seconde décision du 10 mai 2011), mais non pas la capacité, respectivement l'incapacité de travail, en tant que telle. Celle-ci ne constitue que l'un des facteurs de l'évaluation de l'invalidité (cf. art. 6 à 8 et 16 LPGA) et l'un des aspects du rapport juridique litigieux qui font partie de la motivation de la décision (ATF 136 V 362 consid. 3.4.3 p. 365; Meyer/Von Zwehl, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, in: Mélanges Pierre Moor, 2005, p. 435 ss, 441 sv.). Par conséquent, en tant qu'élément de la motivation de la décision, la capacité (ou l'incapacité) de travail ne peut en principe être considérée comme décidée et entrée en force de chose jugée - n'étant alors plus susceptible d'être soumise à l'examen du juge - que lorsqu'il a été statué de manière définitive (par une décision entrée en force de chose jugée) sur le rapport juridique litigieux (le droit à la rente d'invalidité) dans son ensemble (cf. ATF 125 V 413 consid. 2b p. 416; arrêt 9C_488/2008 consid. 4, in SVR 2009 IV n° 7 p. 13).
3.2 Comme l'a rappelé à juste titre la juridiction cantonale, en principe, seul le dispositif d'un jugement (cantonal) est revêtu de l'autorité de chose jugée. Toutefois, lorsque le dispositif se réfère expressément aux considérants, ceux-ci acquièrent eux-mêmes la force matérielle. Ainsi, lorsque l'autorité judiciaire (cantonale) rend un jugement dont le dispositif prévoit que la décision attaquée est annulée et l'affaire renvoyée à l'autorité intimée pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants, cette dernière est liée par la motivation juridique de l'arrêt de renvoi relative à l'objet du litige (ATF 120 V 233 consid. 1a p. 237 et les références; consid. 1.3 non publié de l'ATF 137 I 327). L'effet contraignant vaut en règle générale aussi pour l'autorité cantonale de renvoi lorsqu'elle est à nouveau saisie du litige, mais pas pour le Tribunal fédéral. Les parties peuvent donc remettre en cause devant le Tribunal fédéral les considérants du jugement cantonal qui concernent les aspects litigieux du rapport juridique sur lequel il n'a pas encore été statué de manière définitive, à condition qu'ils influent sur le contenu de la décision finale (art. 93 al. 3 LTF; arrêts 9C_34/2009 du 24 février 2010 [SVR 2010 IV n° 61 p. 186] et 9C_204/2012 du 4 avril 2012 consid. 2.3.3).
En conséquence, comme le fait valoir à juste titre la recourante, elle est en droit, en instance fédérale, de s'en prendre aux considérants du jugement cantonal du 13 octobre 2009 (cf. art. 93 al. 3 LTF) - qu'elle n'avait précisément pas été en mesure d'attaquer devant le Tribunal fédéral, à défaut d'un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 LTF [arrêt 9C_969/2009 du 18 décembre 2009]) - portant sur la capacité de travail alors constatée par la juridiction cantonale et à laquelle celle-ci a expressément renvoyé dans l'arrêt entrepris.
4. 4.1 En ce qui concerne tout d'abord la constatation des premiers juges relative à une capacité de travail entière de l'assurée dans une activité adaptée à partir du mois de mars (recte juillet) 2005, la recourante fait valoir qu'elle est fondée sur une évaluation médicale dénuée de valeur probante et relèverait, partant, d'une violation du droit au sens de l'art. 95 LTF. La conclusion correspondante des docteurs F._ et O._ - « un an après l'événement traumatique de mars 2004, l'assurée était en mesure de reprendre une activité professionnelle adaptée au plan biomécanique » - ne reposerait en effet pas sur un examen médical et se référerait de manière tronquée au rapport du docteur A._, médecin-conseil de l'assureur-accidents, de sorte qu'elle ne pourrait être suivie.
4.2 Contrairement à ce qu'affirme tout d'abord la recourante, le docteur A._, invité par l'assureur-accidents à évaluer l'expertise du docteur L._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique (du 3 décembre 2004), n'a nullement indiqué dans son rapport du 26 avril 2005 que l'assurée était en incapacité de travail totale à la date de son rapport. Au contraire, le médecin-conseil a expliqué se rallier aux conclusions du docteur L._ (en déterminant à mi-mars 2005, le statu quo sine). Or, celui-ci avait conclu que l'assurée avait une capacité de travail de 50% à partir du 11 septembre 2004 et de 100% à partir du 11 novembre 2004, comme l'ont mentionné les docteurs F._ et O._ dans leur rapport du 22 novembre 2007, en rappelant les conclusions du chirurgien. On ne saurait donc reprocher aux médecins du SMR de « s'être trompés » sur le contenu de l'évaluation de leurs confrères qui se sont prononcés à la demande de la Winterthur assurances, ni d'en avoir repris les conclusions quant à la capacité de travail de l'assurée en 2005.
C'est en vain que la recourante prétend ensuite qu'elle n'aurait pas fait l'objet d'un « examen médical complet au sens où l'exige la jurisprudence » en ce qui concerne la période de mars 2005 à la date du rapport du SMR. Les docteurs F._ et O._ se sont exprimés après avoir effectué un examen complet de l'assurée (le 17 octobre 2007) sur l'état de santé qui prévalait tant au moment de leur expertise que dans les années précédentes. A cet égard, ils se sont fondés sur une analyse des pièces au dossier et, partant, sur les avis des médecins qui s'étaient exprimés à l'époque. Il ne ressort nullement de leurs constatations qu'ils auraient manqué d'éléments pour se prononcer de façon circonstanciée sur la situation antérieure, laquelle constitue nécessairement un aspect de toute évaluation médicale mise en oeuvre pour statuer en connaissance de cause sur l'état de santé actuel d'un assuré, au regard de l'origine et de l'évolution des atteintes à la santé constatées. Par ailleurs, la recourante ne peut rien tirer du fait que les médecins du SMR n'ont pas mentionné un rapport de l'Hôpital X._ du 22 mars 2005, puisque celui-ci ne comporte aucune appréciation de la capacité de travail. Au demeurant, la nécessité mentionnée dans cet avis de l'aide d'une assistante sociale « pour l'aider dans les démarches que sa situation socio-professionnelle va clairement engendrer » met en évidence des difficultés (à venir) sur le plan social et professionnel, mais ne permet pas de tirer une conclusion quant à l'aptitude au travail de l'assurée.
Les griefs de la recourante relatifs à la constatation de la juridiction cantonale sur la capacité de travail de 50% dans une activité adaptée de mars à juin 2005, puis de 100% à partir de juillet 2005, sont donc mal fondés, de sorte que le Tribunal fédéral n'a pas à s'écarter des considérations du jugement entrepris sur ce point.
5. 5.1 La recourante critique également les constatations de la juridiction cantonale sur la capacité de travail pour la période subséquente, singulièrement le fait qu'elle aurait été entièrement capable de travailler dans une activité adaptée en octobre-novembre 2007 et en 2008. Comme les médecins du SMR, puis le docteur C._ (dans un rapport du 9 juillet 2008) avaient fait état d'un sévère déconditionnement physique qui empêchait une reprise du travail, ces constatations seraient manifestement inexactes.
5.2 Dans leur rapport du 22 novembre 2007, les docteurs F._ et O._ ont indiqué que « actuellement, en plus de troubles dégénératifs lombaires disproportionnés pour l'âge, l'assurée présente un sévère état de déconditionnement musculaire qui devrait impérativement être combattu avant qu'une reprise du travail, dans un emploi adapté et à taux progressivement croissant, puisse être envisagée ». Il était dès lors impératif, à leurs yeux, que l'assurée « soit inclu[s]e dans un programme exigeant de reconditionnement musculaire avant qu'on puisse estimer exigible une reprise du travail, même dans une activité adaptée », une telle mesure étant considérée comme exigible. Dans une note établie le 9 juillet 2008, le docteur C._ a pour sa part préconisé d'examiner si des mesures de réadaptation étaient possibles « parce que, vu le déconditionnement, [la capacité de travail] ne dépassera pas le 50% pendant plusieurs mois ».
5.3 Au regard de ces conclusions médicales, les constatations de la juridiction cantonale quant à la capacité entière de travail présentée par l'assurée jusqu'en février 2009 sont manifestement inexactes et ne sauraient être suivies. Il ressort en effet de l'appréciation des médecins du SMR qu'ils ont fixé la capacité résiduelle de travail de la recourante en émettant la réserve que celle-ci ne pouvait être atteinte, au moment de leur examen, que moyennant l'exécution préalable de mesures de réadaptation. Contrairement à ce qu'a retenu l'autorité cantonale de recours à ce sujet, il ne s'agissait pas simplement d'une mesure que la recourante aurait dû entreprendre de son propre chef, mais bien d'une mesure de réadaptation à laquelle devait l'astreindre l'intimé (les docteurs F._ et O._ mentionnent « qu'une telle mesure est un préalable indispensable à la réussite de la réinsertion professionnelles », tandis que le docteur C._ préconise la mise en oeuvre de « MR », soit de mesures de réadaptation). C'est du reste dans ce sens que l'administration a compris la réserve émise par les médecins du SMR, puisqu'elle a ordonné successivement une mesure d'orientation professionnelle (le 1er avril 2008), « afin de permettre un reconditionnement musculaire préalable à une augmentation progressive du temps de travail jusqu'à un plein temps » (cf. rapport des EPI du 6 juin 2008), et une mesure de réentraînement au travail (le 16 octobre 2008).
Par conséquent, dès lors que du point de vue médical, l'octroi préalable de mesures de réadaptation constituait une condition sine qua non pour permettre à l'assurée d'accroître sa capacité fonctionnelle de travail, il n'y avait pas lieu de procéder en l'occurrence à une évaluation du taux d'invalidité sur la base de la capacité résiduelle de travail médico-théorique, avant que lesdites mesures n'aient été exécutées (arrêt 9C_141/2009 du 5 octobre 2009 consid. 2.3.1 et les références, in SVR 2010 IV n° 9 p. 27 et 9C_368/2010 du 31 janvier 2010 consid. 5.2.1). Celles-ci n'ont cependant pas pu être menées à terme: la recourante n'a été présente au cours du premier stage que les deux premières semaines de travail (à 50%) et son attitude « plaintive et excessivement démonstrative » l'a rendue « particulièrement inobservable sur un plan professionnel » (cf. rapport des EPI du 6 juin 2008); la seconde mesure a été interrompue après dix jours, l'assurée se plaignant de douleurs à la jambe (cf. rapport de l'entreprise sociale Y._ du 15 décembre 2008). Aussi, le responsable de la réadaptation professionnelle de l'office AI a-t-il mis un terme au mandat de réadaptation à la suite des deux échecs de stage, au début du mois de février 2009 (rapport final de réadaptation professionnelle du 5 février 2009).
Dans ces circonstances, il apparaît qu'à ce stade la capacité de travail résiduelle de la recourante pouvait en principe être prise en considération pour évaluer le taux d'invalidité comme si le réentraînement au travail avait abouti dans la mesure prévue initialement, puisqu'une telle mesure de réadaptation était (toujours) considérée comme exigible du point de vue médical. Il ressort toutefois des constatations de la juridiction cantonale - que la recourante ne remet pas en cause et qui lient le Tribunal fédéral - que l'assurée a subi une incapacité totale de travail du 1er mars 2009 au 30 avril 2010. Dès lors, et compte tenu des conclusions des docteurs F._ et O._, on constate que la recourante présentait une incapacité totale de travail dans toute activité à partir du mois d'octobre 2007 (telle qu'admise par les médecins du SMR au moment de leur examen du 17 octobre 2007) jusqu'au 30 avril 2010 (avec une interruption d'un mois au terme du mandat de réadaptation en février 2009, qui n'est cependant pas déterminante).
6. 6.1 En ce qui concerne la période postérieure au 30 avril 2010, la recourante s'en prend encore à la constatation des premiers juges, fondée sur l'appréciation du docteur C._ du 20 octobre 2011, selon laquelle elle aurait retrouvé, après l'aggravation de son état de santé survenue en 2009, une capacité entière de travail dans une activité adaptée à partir du mois de mai 2010. Elle soutient que l'évaluation du médecin du SMR est dénuée de valeur probante, puisqu'elle ne repose pas sur un examen médical et que les conclusions n'en sont pas motivées.
6.2 Les critiques de la recourante de nature formelle à l'égard de l'avis du docteur C._ ne sont pas pertinentes. En effet, les rapports de médecins du SMR ne constituent pas un examen médical sur la personne de l'assurée (au sens de l'art. 49 al. 2 RAI), ni une expertise au sens de l'art. 44 LPGA. Il s'agit d'une appréciation par le médecin interne du SMR du dossier médical de l'assurée qui a pour but d'opérer la synthèse des renseignements médicaux versés au dossier et de faire des recommandations quant à la suite à donner au cas sur le plan médical. De tels avis ont de ce fait une autre fonction que les expertises médicales au sens de l'art. 44 LPGA ou les résultats des examens médicaux auxquels procède le SMR. Ils ne posent pas de nouvelles conclusions médicales mais portent une appréciation sur celles déjà existantes. Au vu de ces différences, ils ne doivent pas remplir les mêmes exigences au niveau de leur contenu que les expertises médicales. On ne saurait en revanche dénier toute valeur probante aux rapports de synthèse du SMR, dès lors qu'ils contiennent des informations utiles à la prise de décision pour l'administration ou les tribunaux, sous forme d'un résumé de la situation médicale et d'une appréciation de celle-ci. Selon le principe de la libre appréciation des preuves (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352), les autorités appelées à statuer ont en effet le devoir d'examiner objectivement tous les documents à disposition, quelle que soit leur provenance, puis de décider s'ils permettent de porter un jugement valable sur le droit litigieux.
6.3 Dans le cas particulier, les premiers juges ont apprécié librement et de manière circonstanciée l'ensemble des preuves médicales à leur disposition en ce qui concerne la période courant à partir de l'aggravation de l'état de santé de la recourante en 2009. Au regard de l'avis de synthèse du docteur C._ et des rapports des docteurs B._ et P._, ils ont constaté que la recourante avait subi une nouvelle opération en raison de l'aggravation de la hernie discale L5-S1, en août 2009, et que son état de santé avait évolué de façon satisfaisante ensuite, les douleurs liées à une sciatique ayant fortement diminué, de sorte qu'elle disposait d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée à partir du mois de mai 2010. Les conclusions du docteur C._ (en relation avec celles des docteurs F._ et O._), que les avis des docteurs B._, P._, R._ et T._ n'étaient pas susceptibles de remettre en cause faute de mettre en évidence des éléments de nature clinique ou diagnostique qui auraient été ignorés par les médecins du SMR, emportaient leur conviction, si bien qu'une instruction complémentaire n'était pas nécessaire.
Avec son argumentation, la recourante ne parvient pas à remettre en cause les constatations de la juridiction cantonale ou à faire apparaître son appréciation des preuves comme contraire au droit. C'est en vain, en effet, qu'elle soutient que son état de santé ne se serait pas amélioré depuis l'intervention chirurgicale, puisque le docteur B._ a fait état d'une évolution favorable, l'assurée ayant une démarche normale, une bonne mobilité du rachis lombaire, sans déficit (rapports des 22 octobre 2009 et 26 avril 2010). Il en va de même de son affirmation selon laquelle une IRM du 23 mars 2010 aurait mis en évidence une péjoration de la situation, puisque le docteur B._ s'est précisément prononcé en fonction de l'IRM en question (« à l'IRM, on note une protrusion discale L4-L5 médiane » [déjà constatée au demeurant par le passé]), sans mentionner de changement notable. Enfin, comme l'a retenu à juste titre la juridiction cantonale, le docteur C._ a complété son avis du 27 avril 2010, par une nouvelle appréciation plus détaillée du dossier le 20 octobre 2011, en se référant tant au rapport opératoire qu'aux avis du médecin traitant, de sorte qu'on ne saurait lui reprocher, comme le fait la recourante, d'avoir « ignor[é] purement et simplement le dossier médical ». Quant à l'évaluation du docteur R._ (du 10 août 2011), elle ne comporte aucune appréciation circonstanciée de la capacité de travail de la recourante, puisque le médecin atteste l'aptitude à effectuer des tâches ménagères légères, mais ne se prononce pas sur l'exigibilité de l'exercice d'une activité adaptée, de sorte qu'elle ne saurait être déterminante.
7. Il résulte de ce qui précède que les constatations de la juridiction cantonale sur la capacité de travail de la recourante peuvent être suivies en ce qui concerne la période de mars 2005 à septembre 2007 (50% jusqu'en juin 2005, puis 100%) et celle courant à partir du 1er mai 2010 (100%). On doit en revanche s'en écarter pour la période courant d'octobre 2007 à février 2009, pendant laquelle la capacité de travail de la recourante doit être considérée comme nulle (supra consid. 5). En fonction de l'incapacité entière de travail ainsi constatée, la recourante a présenté un taux d'invalidité de 100% à partir du 1er octobre 2007, ce qui lui ouvre le droit - en plus du trois quarts de rente accordé par la juridiction cantonale du 1er mars au 30 septembre 2005 - à une rente entière d'invalidité à partir du 1er janvier 2008 (art. 88a al. 2 RAI et 29bis RAI par analogie), jusqu'à la date retenue par la juridiction cantonale du "30" juillet 2010 (sous réserve des indemnités journalières perçues). Dans cette mesure, le jugement entrepris doit être réformé, ce qui conduit à l'admission partielle du recours.
8. 8.1 Compte tenu de l'issue de la procédure, les frais de justice sont répartis par moitié entre la recourante et l'intimé (art. 66 al. 1 LTF). Par ailleurs, la recourante a droit à une indemnité de dépens réduite à la charge de l'intimé (art. 68 al.1 LTF). Elle a cependant sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite pour l'instance fédérale. Dès lors que les conditions en sont réalisées (art. 64 LTF), la recourante est dispensée de sa part des frais judiciaires et les honoraires de son avocat seront pris en charge partiellement par la caisse du Tribunal fédéral. L'attention de la recourante est attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
8.2 L'issue du litige n'a en revanche pas d'incidence sur la répartition des dépens de première instance, au regard des conclusions de la recourante qui demandait à la juridiction cantonale de lui octroyer (du 1er avril 2006 au 28 février 2009, puis au-delà du 1er juillet 2010) une rente entière de l'assurance-invalidité (cf. art. 67 et 68 al. 5 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le ch. 3 du dispositif du jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 13 décembre 2011 est modifié en ce sens que l'assurée a droit à trois quarts de rente de l'assurance-invalidité du 1er mars au 30 septembre 2005 et à une rente entière du 1er janvier 2008 au 31 juillet 2010. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. L'assistance judiciaire est accordée à la recourante.
3. Les frais judiciaires, d'un montant de 500 fr., sont mis pour 250 fr. à la charge de la recourante et pour 250 fr. à la charge de l'intimé. La part de frais mise à la charge de la recourante est toutefois supportée provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. L'intimé versera à la recourante une indemnité de dépens de 1000 fr. pour l'instance fédérale.
5. Les honoraires de Me Florian Baier, non couverts par les dépens, sont fixés à 1'800 fr. pour la procédure fédérale, mais seront supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 24 septembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
La Greffière: Moser-Szeless