Faits:
A. A.a B._ a requis des prestations de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) le 5 avril 2004 en raison de lombalgies et de gonalgies qui entravaient partiellement l'exercice de son activité de lingère.
Selon le docteur A._, spécialiste FMH en médecine interne générale, l'intéressée souffrait essentiellement d'un syndrome somatoforme qui avait entraîné une incapacité de travail de 100 % du 7 novembre 2002 au 1er septembre 2003 puis de 50 %; dans une activité légère, la capacité de travail pourrait cependant être entière (rapports des 26 avril et 20 décembre 2004). Suivant les recommandations du SMR (avis du 22 février 2005), l'administration a confié au docteur U._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie et en médecine psychosociale et psychosomatique, la réalisation d'une expertise pluridisciplinaire. Ce dernier a diagnostiqué des lombalgies chroniques non spécifiques, des troubles dégénératifs des deux genoux, un syndrome des anticorps anticardiolipines, un syndrome irritatif de la coiffe des rotateurs du côté droit et un état dépressif d'intensité modérée dans un contexte de douleurs chroniques et de difficultés existentielles diminuant de moitié la capacité de travail (rapport du 2 septembre 2005). Contrairement au docteur U._, le SMR a estimé que, dans une activité adaptée, l'assurée était capable de travailler à plein temps (avis du 4 octobre 2005). Sur cette base, l'office AI a rejeté la demande de B._ (décision du 14 octobre 2005) qui a fait opposition. Malgré un rapport du docteur A._ qui estimait que la capacité de travail n'était que de 50 % en raison des problèmes rhumatologiques et psychologiques (rapport du 21 novembre 2005), l'administration a confirmé sa décision (décision sur opposition du 16 mai 2007).
A.b L'intéressée a recouru auprès du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) qui a partiellement accédé à ses conclusions en annulant la décision attaquée et en renvoyant la cause à l'office AI pour qu'il examine les possibilités de réadaptation professionnelle (jugement du 6 novembre 2007).
A.c Reprenant l'instruction, l'administration a informé l'assurée qu'elle prenait en charge un stage à la Fondation X._ du 25 août au 23 novembre 2008 (communication du 26 juin 2008). Au terme de celui-ci, la fondation mentionnée a constaté que B._ était capable de travailler dans le domaine de l'industrie légère, secteur dans lequel aucune formation préalable n'était nécessaire, tout en ne pouvant pas se prononcer sur le taux d'activité exigible, les tentatives d'augmenter le taux d'occupation à plus de 50 % s'étant soldées par des échecs (rapport du 15 décembre 2008). Sollicitée par l'office AI, la doctoresse P._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, a diagnostiqué un trouble dépressif récurrent, épisode actuel sévère sans symptômes psychotiques. Selon elle, les restrictions dans la dernière activité exercée étaient essentiellement liées aux douleurs et, dans une profession compatible avec ses limitations fonctionnelles, la capacité de travail de l'intéressée serait de 50 % (rapport du 6 avril 2009). Ses diagnostics ainsi que ceux posés par le docteur U._ ont pour l'essentiel été corroborés par le rapport du 7 janvier 2009 du Centre multidisciplinaire d'étude et de traitement de la douleur de l'Hôpital Y._, ainsi que par la doctoresse D._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie (communication téléphonique du 16 février 2010). Conformément aux recommandations du SMR (avis du 24 février 2010), l'administration a sollicité le Bureau romand d'expertises médicales (BREM) afin qu'il réalise une expertise pluridisciplinaire. Les médecins du BREM ont posé des diagnostics fondamentalement identiques à ceux retenus par le docteur U._ mais ont estimé que l'assurée avait une capacité de travail entière dans une profession adaptée, sauf du 4 février 2009 au 31 janvier 2010 (rapports des 6 septembre et 23 novembre 2010). Le SMR a alors retenu que B._ était entièrement incapable de travailler dans son activité habituelle dès le 7 novembre 2002 mais qu'une activité adaptée à plein temps pouvait être exercée dès janvier 2003, hormis du 4 février 2009 au 31 janvier 2010 où l'incapacité de travail était totale en raison de l'aggravation d'une affection psychique (avis du 4 janvier 2011). L'office AI a projeté de rejeter la demande de prestation (projet de décision du 8 février 2011). Malgré les objections de l'intéressée, l'administration a confirmé son projet par décision du 22 mars 2011.
B. L'assurée a une nouvelle fois saisi le tribunal cantonal d'un recours, concluant à l'octroi de trois quarts de rente d'invalidité et de mesures de réadaptation et de placement. Elle soutenait en substance qu'en présence de deux rapports d'expertise retenant les mêmes diagnostics et variant seulement quant à l'appréciation de la capacité de travail, il était nécessaire de réaliser une expertise judiciaire. A défaut, c'étaient les conclusions du docteur U._ qui devaient être suivies car elles étaient confirmées par les observations qui avaient été faites par la Fondation X._ ainsi que par le docteur A._ qui exposait pour quelles raisons il fallait suivre les conclusions de cet expert plutôt que celles du BREM dans un rapport produit à l'appui du recours (rapport du 3 mai 2011). L'office AI a conclu au rejet du recours.
Les conclusions de B._ ont été partiellement admises, une demi-rente d'invalidité lui ayant été accordée à partir du 1er janvier 2004, une rente entière du 1er mai 2009 au 31 janvier 2010, une demi-rente après cette date et le droit à une mesure de placement lui ayant été reconnu (jugement du 7 novembre 2011).
C. L'administration interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle en requiert l'annulation et conclut à la confirmation de sa décision du 22 mars 2011 ou au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour complément d'instruction et nouveau jugement.
L'intéressée conclut au rejet du recours et sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. Le litige porte en l'espèce sur le droit de l'intimée à une rente d'invalidité, singulièrement sur l'évaluation de son incapacité de travail. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables à la solution du cas de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 Le tribunal cantonal a partiellement admis le recours de l'assurée. Il a confronté les deux rapports d'expertise et a estimé que tant le docteur U._ que le BREM avaient procédé de manière sérieuse. Il a constaté que tous les experts avaient retenu des diagnostics semblables et avaient en particulier reconnu l'existence de lombalgies. A cet égard, il a précisé que le motif avancé par le SMR pour écarter les conclusions du docteur U._, soit que les lombalgies n'étaient pas visibles sur les radiographies, n'était pas pertinent. Il a également constaté que les conclusions des experts divergeaient quant à l'appréciation de la capacité de travail. Dans ces circonstances, il a privilégié l'avis du docteur U._ dans la mesure où son estimation d'une capacité résiduelle de travail de 50 % était confirmée par le rapport de stage de la Fondation X._ qui expliquait qu'il n'avait pas été possible d'augmenter avec succès le taux d'activité de 50 % à 80 %. Les premiers juges ont en outre relevé que ce rapport attribuait la note maximale à l'intimée pour ce qui était de sa motivation et de sa conscience professionnelle et ne laissait entendre d'aucune manière que sa collaboration avait été insuffisante ou qu'elle simulait ses douleurs. Ils n'ont par contre pu relever aucun élément qui justifiait l'absence d'incapacité de travail dans une activité adaptée retenue par le BREM.
3.2 L'office recourant critique l'appréciation des preuves par le tribunal cantonal. Il estime en substance que celui-ci a indûment écarté le rapport d'expertise du BREM alors qu'il remplissait toutes les conditions pour qu'une pleine valeur probante lui soit reconnue, que les premiers juges ne pouvaient se fonder sur le rapport du stage d'observation pour exclure les conclusions du BREM dans la mesure où la Fondation X._ mentionnait expressément qu'il ne pouvait être pris position sur le taux d'activité exigible et que les arguments qui ont amené la juridiction cantonale à privilégier les conclusions du docteur U._ ne seraient pas fondés car le premier expert se serait limité à décrire les plaintes subjectives de l'assurée et aurait conclu à une incapacité de travail de 50 % sans motivation suffisante.
3.3 Les arguments de l'administration ne remettent pas en cause l'acte attaqué.
3.3.1 On ne saurait effectivement reprocher au tribunal cantonal de s'être écarté à tort du rapport d'expertise du BREM, comme le prétend l'office recourant, dès lors que le seul fait d'énumérer les critères formels pour qu'une pleine valeur probante puisse être accordée à une expertise et d'affirmer que le rapport d'expertise écarté remplit ces critères sans démontrer concrètement en quoi cela est le cas est insuffisant au regard du devoir de motivation (cf. consid. 1) qui incombe en l'espèce à l'administration, d'autant plus que les premiers juges ont clairement admis que les deux expertises confrontées remplissaient ces critères mais qu'ils ont préféré privilégier les conclusions du docteur U._ quant à la capacité résiduelle de travail de l'assurée au motif que les conclusions de celui-ci étaient corroborées par d'autres éléments du dossier indiquant que ladite capacité de travail était diminuée de moitié - soit concrètement par le contenu du rapport de la Fondation X._ ou par le fait que l'état de santé de l'intimée n'avait que peu varié depuis la première expertise - ce qui n'était pas le cas des conclusions des médecins du BREM. Cette appréciation ne saurait être qualifiée d'insoutenable comme le soutient l'office recourant dans la mesure où, si la Fondation X._ a certes expliqué qu'elle n'était pas en mesure de se prononcer sur le taux d'activité, il n'en demeure pas moins qu'elle a observé que les tentatives d'augmenter le temps de travail au-delà de 50 % avaient été des échecs alors même que la conscience professionnelle et l'assiduité de l'intimée n'étaient nullement remises en question.
3.3.2 On ne peut pas plus faire grief à la juridiction cantonale d'avoir privilégié l'expertise du docteur U._ au seul motif que l'appréciation de celui-ci reposerait sur un dossier radiologique ne démontrant pas de pathologies objectives en lien avec les lombalgies retenues. Outre le fait que les conclusions de l'expert quant à la capacité résiduelle de travail de l'assurée ne se fondent pas uniquement sur les lombalgies évoquées et que les médecins du BREM ont posé le même diagnostic, présent depuis 2002, sur la base de constatations similaires, on relèvera que le docteur U._ a clairement expliqué pourquoi il jugeait crédible l'existence des douleurs alléguées (constellation nosologique spécifique et absence de syndrome d'amplification des plaintes malgré le défaut de lésions anatomopathologiques). Ces éléments ne sont nullement critiqués. On notera en outre qu'un diagnostic foncièrement identique a également été posé par les médecins du Centre multidisciplinaire d'étude et de traitement de la douleur de Y._ et que l'ensemble des experts avait relevé l'absence de simulation ou d'exagération des douleurs. Dans ces circonstances, les premiers juges n'ont pas fait preuve d'arbitraire en se référant au rapport du docteur U._ plutôt qu'à celui des médecins du BREM.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'office recourant (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée à droit à une indemnité de dépens pour la procédure fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Sa demande d'assistance judiciaire est dès lors sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'office recourant.
3. L'office recourant versera à Me Mouro la somme de 2'500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 9 juillet 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Cretton