Sachverhalt:
A. Der 1946 geborene G._ verletzte sich am 13. Dezember 2003 bei einem Unfall am rechten Knie. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer gewährte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Mit Verfügung vom 25. April 2005 und rechtskräftigem Einspracheentscheid vom 23. Juni 2005 schloss sie den Fall folgenlos ab. Nachdem der Versicherte einen Rückfall gemeldet hatte, gewährte die SUVA erneut Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 29. Januar 2008 stellte sie die Leistungen per 29. Februar 2008 ein und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 14. März 2008). Zur Begründung führte sie aus, die unfall- und nun rückfallbedingte gesundheitliche Verschlimmerung sei als lediglich vorübergehend und zwischenzeitlich abgeschlossen zu betrachten.
B. G._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau gewährte ihm die unentgeltliche Verbeiständung und wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 1. Oktober 2008).
C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ab 1. März 2008 weiterhin Taggeld und ab einem noch zu bestimmenden Zeitpunkt anstelle des Taggeldes eine angemessene Invalidenrente, basierend auf einer unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit resp. Invalidität von mindestens 50 %, sowie die Kostenübernahme der zweckmässigen Behandlung der Unfallfolgen zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur Ergänzung der Sachverhaltsabklärungen und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Am 7. Januar 2009 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer aus dem Unfall vom 13. Dezember 2003 resp. dem in der Folge gemeldeten Rückfall über den 29. Februar 2008 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Dies betrifft insbesondere den für einen Leistungsanspruch nebst anderem erforderlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden und die zu beachtenden beweisrechtlichen Grundsätze.
2. Das kantonale Gericht hat erwogen, dass am rechten Knie nur minimale degenerative Befunde vorlägen, welche erst durch die demonstrierte Symptomausweitung Bedeutung erhielten. Bei genauer Betrachtung sei dies bereits im Jahr 2005 so gewesen. Die SUVA wäre daher aus Rückfall nicht leistungspflichtig gewesen und habe die Leistungen demnach kulanterweise erbracht. Jedenfalls lägen spätestens seit 29. Februar 2008 keine organischen Unfallfolgen vor, welche die geklagten Beschwerden zu erklären vermöchten.
Zu beurteilen ist nur, ob die SUVA zu Recht jeglichen Leistungsanspruch des Versicherten nach dem 29. Februar 2008 verneint hat. Die diesbezügliche Beurteilung des körperlichen Gesundheitszustandes im angefochtenen Entscheid überzeugt. Das kantonale Gericht hat in einlässlicher Würdigung der medizinischen Akten eine unfallbedingte organische Gesundheitsschädigung, welche die noch geklagten Beschwerden zu erklären vermöchte, ausgeschlossen. Es stützt sich dabei namentlich auf die bildgebend erhobenen Befunde und die Berichte von Kreisarzt Dr. med. M._, Facharzt FMH für Chirurgie, Sportmedizin-Phlebologie.
In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was ein anderes Ergebnis zu rechtfertigen vermöchte. Dies gilt zunächst, soweit auf die behandelnden Ärzte Dr. med. S._, Spezialarzt für Physikalische Medizin, spez. Rheumatologie FMH, und Dr. med. B._, Facharzt für Allgemeine Medizin FMH, Manuelle Medizin SAMM, Bezug genommen wird. Deren Berichten lassen sich keine überzeugenden Hinweise für einen unfallbedingten organischen Gesundheitsschaden entnehmen, welche die noch geklagten Beschwerden zu begründen vermöchten. Dass der Unfall zu einer richtunggebenden Verschlimmerung einer Arthrose führte, wie Dr. med. S._ am 17. März 2006 postulierte, hat Dr. med. M._ am 16. Juli und 28. Dezember 2007 in einlässlicher Würdigung der klinisch und bildgebend erhobenen Befunde überzeugend verneint. In seinem weiteren Bericht vom 16. Juni 2006 hat Dr. med. S._ dann, wie Dr. med. B._ im Bericht vom 12. Februar 2007, auf ein chronisches Schmerzsyndrom geschlossen, ohne in nachvollziehbarer Weise eine unfallbedingte organische Ursache hiefür darzulegen. Festzuhalten ist sodann, dass Dr. med. M._ den Versicherten auch mehrfach klinisch abgeklärt hat, letztmals anlässlich der kreisärztlichen Untersuchung vom 16. April 2007. Der Einwand, Dr. med. M._ habe seine Meinung ausschliesslich aufgrund der Ergebnisse bildgebender Untersuchungen gebildet, ist daher unbegründet. Gleiches gilt, soweit geltend gemacht wird, das kantonale Gericht habe mit dem Verzicht auf die beantragten medizinischen Abklärungen den Anspruch des Versicherten auf rechtliches Gehör verletzt. Die Vorinstanz hat dargelegt, weshalb sie die vorhandenen medizinischen Akten für genügend erachtet. Diese antizipierte Beweiswürdigung ist ebenso rechtmässig wie die - vom Versicherten gleichermassen beanstandete - Würdigung der vorhandenen Beweismittel im angefochtenen Entscheid. Es kann im Übrigen vollumfänglich auf die Erwägungen des kantonalen Gerichts verwiesen werden.
3. Nach dem Gesagten liegt keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vor, welche die nach dem 29. Februar 2008 noch geklagten Beschwerden zu erklären vermöchte. Es stellt sich grundsätzlich die Frage, ob hiefür eine unfallkausale psychische Gesundheitsschädigung verantwortlich zu machen ist. Dass dies zutrifft, wird aber - nach Lage der Akten zu Recht - nicht geltend gemacht. Eine Leistungspflicht der SUVA für eine psychische Störung wäre im Übrigen auf jeden Fall schon mangels eines adäquaten Kausalzusammenhangs zum Unfall vom 13. Februar 2003 zu verneinen.
4. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
5. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Februar 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz