Die Präsidentin hat in Erwägung,
dass der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 28. Oktober 2009 beim Zivilgericht Basel-Stadt Klage gegen die Y._-Genossenschaft erhob, mit der er eine Forderung von Fr. 8'000.-- geltend machte;
dass der Zivilgerichtspräsident das von X._ gestellte Kostenerlassgesuch mit Verfügung vom 20. November 2009 wegen Aussichtslosigkeit der Klage abwies und ihm Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 590.-- ansetzte;
dass das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt eine vom Beschwerdeführer dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil vom 15. April 2010 abwies;
dass der Beschwerdeführer diesen Entscheid mit Schreiben vom 25. Juni/2. Juli 2010 kritisiert, wobei er mit Brief vom 25. Juli 2010 bestätigt, dass dieses als Beschwerde zu verstehen ist, mit der er das Appellationsgerichtsurteil formell anfechten wolle;
dass die Beschwerde in Zivilsachen nach Art. 72 ff. BGG angesichts des strittigen Betrages unzulässig ist (Art. 74 Abs. 1 und Art. 51 Abs. 1 lit. c BGG) und nicht geltend gemacht wird, dass die Beschwerde dennoch zulässig sei, weil sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG stellen würde (Art. 42 Abs. 2 BGG);
dass die Eingabe des Beschwerdeführers unter diesen Umständen als subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113 ff. BGG zu behandeln ist;
dass eine Verfassungsbeschwerde einen Antrag enthalten muss und darin dargelegt werden muss, welche Grundrechte durch das kantonale Gericht verletzt worden sind, wobei solche Rügen unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids zu begründen sind (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 117 BGG);
dass die Eingabe des Beschwerdeführers vom 26. Juni/2. Juli 2010 keinen rechtsgenüglichen Antrag und keine Rügen enthält, die den genannen Begründungsanforderungen zu genügen vermöchten, und mit denen er darlegen würde, welche verfassungsmässigen Rechte die Vorinstanz verletzt haben soll, indem sie seine Beschwerde gegen den Entscheid der Erstinstanz abwies und ihm damit den Kostenerlass verweigerte;
dass somit auf die Beschwerde mangels rechtsgenügender Begründung und rechtsgenügendem Antrag nicht einzutreten ist;
dass ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten ist (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG);
dass die Beschwerdegegnerin keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung hat, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG);
im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. August 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Widmer