Sachverhalt:
A. Am 7. März 2011 stellte X._ beim Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern ein Gesuch um Erteilung eines Lernfahrausweises der Kategorie D (Motorwagen zum Personentransport mit mehr als acht Sitzplätzen ausser dem Führersitz). Dieses ordnete am 21. März 2011 an, X._ habe sich einer Eignungsuntersuchung beim Institut für Angewandte Psychologie in Bern zu unterziehen. Die Einsprache von X._ gegen diese Verfügung wies das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt am 3. Mai 2011 ab.
Dagegen reichte X._ am 6. Mai 2011 bei der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern Beschwerde ein. Am 3. Juni 2011 verlangte X._ den Ausstand der seinen Fall behandelnden Kommissionsmitglieder. Am 22. Juni 2011 wies die Rekurskommission die Beschwerde von X._ ab, ohne das Ausstandsbegehren zu behandeln. Eine gegen diesen Entscheid gerichtete Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil 1C_469/2011 vom 27. Januar 2012 gut, weil das Ausstandsbegehren nicht beurteilt worden war. Es hob den Entscheid der Rekurskommission vom 22. Juni 2011 auf und wies die Sache zu neuer Beurteilung an diese Vorinstanz zurück.
Mit Entscheid vom 30. Mai 2012 trat die Rekurskommission auf das gegen sie gerichtete Ausstandsbegehren nicht ein. Gleichzeitig wies sie ein Ausstandsgesuch gegen den Unterzeichner der Verfügung des Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamts vom 21. März 2011 ab. Ausserdem wies sie die Beschwerde gegen die Verfügung vom 21. März 2011 ab.
B. Mit Beschwerde vom 1. Oktober 2012 an das Bundesgericht beantragt X._, der Entscheid der Rekurskommission vom 30. Mai 2012 sei aufzuheben, und das Verfahren sei an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern abzugeben. Eventuell solle das Verfahren an die Vorinstanz zurückgewiesen werden unter Beizug anderer Richter. Weiter verlangt er, dass ein Verfahren gegen die Rekurskommission eingeleitet werde wegen Verstosses gegen das Urteil des Bundesgerichts 1C_469/2011 vom 27. Januar 2012.
Erwägungen:
1. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Genügt die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht, so ist darauf nicht einzutreten. Strengere Anforderungen an die Begründung der Beschwerde gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.1 und 2.2 S. 245 f. mit Hinweisen).
Die Beschwerdeschrift erfüllt die genannten Begründungsanforderungen gemäss Art. 42 und 106 BGG offensichtlich nicht. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Entscheidgründen, die die Rekurskommission zu den Ausstandsgesuchen anführt, nicht auseinander. Ebensowenig enthält die Beschwerde eine hinreichend substanziierte Auseinandersetzung mit den übrigen Entscheidgründen. Zudem fehlt eine Begründung zu den weiteren Anträgen des Beschwerdeführers. Somit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Da die Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält, ergeht der vorliegende Entscheid im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG.
2. Da die Beschwerde offensichtlich aussichtslos ist, kann dem Beschwerdeführer die beantragte unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt werden (Art. 64 BGG). Die Gerichtskosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Den in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegenden Behörden ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern, der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführern und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Haag