Faits:
A. D._, née en 1973, travaille en qualité de dessinatrice en bâtiment au service de X._. A ce titre, elle est assurée contre les accidents et les maladies professionnelles par la Vaudoise Générale, Compagnie d'Assurances SA (ci-après : la Vaudoise). En outre, elle bénéficie d'une assurance-maladie auprès d'Assura, assurance maladie et accident (ci-après : Assura).
Par déclaration d'accident LAA bagatelle du 22 octobre 2008, l'employeur de D._ a annoncé que celle-ci s'était « déboité le genou droit en sortant de la voiture » le 16 octobre 2008; la partie du corps atteinte était le genou « ligaments ou ménisque ». Les premiers soins ont été prodigués le 20 octobre 2008 à l'Hôpital Y._, où le docteur C._ a fait état d'une suspicion de lésion méniscale. Ce médecin a précisé que la capacité de travail était entière depuis le 25 octobre 2008 et que le traitement pouvait être considéré comme terminé aux alentours du 10 novembre 2008 (rapport du 26 novembre 2008).
Le 14 janvier 2009, D._ a été examinée par le docteur G._, médecin à l'Hôpital Z._, lequel a diagnostiqué une rupture du ligament croisé antérieur (LCA) et une lésion en anse de seau du ménisque interne (rapport du 24 février 2009).
Dans un questionnaire du 15 janvier 2009, D._ a indiqué que les douleurs avaient été occasionnées par « la sortie de la voiture » sans que rien de particulier (ni coup, ni chute, ni glissade) ne se soit produit.
Le 23 janvier 2009, la Vaudoise a informé l'employeur de D._ que le cas était pris en charge.
Le 26 février 2009, le docteur L._ a pratiqué une reconstruction du LCA du genou droit aux ischo-jambiers sous contrôle arthroscopique et résection de l'anse de seau méniscale interne (protocole opératoire du docteur L._ du 16 mars 2009).
Dans un rapport du 16 mars 2009 à l'intention de la Vaudoise, D._ a décrit comme suit les circonstances dans lesquelles sont survenues les lésions : « Alors que je venais de quitter ma voiture, je me suis retournée pour condamner les portes avec ma télécommande, en ayant les deux pieds au sol, quand j'ai ressenti une douleur au niveau du genou droit ».
Par décision du 6 avril 2009, la Vaudoise a refusé d'intervenir pour ce cas au motif que D._ n'avait pas été victime d'un accident et que les lésions subies ne pouvaient pas être assimilées à un accident. Saisie d'oppositions de la prénommée ainsi que d'Assura, la Vaudoise les a rejetées et a confirmé sa décision du 6 avril 2009 (décision sur opposition du 25 juin 2009).
B. Assura a déféré cette décision à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois, qui, par jugement du 6 mai 2011, a admis le recours et condamné la Vaudoise à poursuivre la prise en charge des suites des lésions méniscales et du ligament croisé antérieur subies par D._ le 16 octobre 2008.
C. La Vaudoise interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation en concluant au rétablissement de sa décision sur opposition du 25 juin 2009.
Assura conclut au rejet du recours. D._ et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 97 al. 2 LTF, si la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire, le recours peut porter sur toute constatation incomplète ou erronée des faits (voir également l'art. 105 al. 3 LTF). Il en va différemment lorsque le litige porte, comme en l'espèce, sur des prestations en nature de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire. Dans ce cas, le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est défini par les art. 97 al. 1, 105 al. 1 et 105 al. 2 LTF, d'après lesquels le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait des premiers juges et ne peut s'en écarter qu'en cas de constatation des faits manifestement inexacte ou effectuée en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF.
2. 2.1 La juridiction cantonale a retenu que le mouvement de torsion subi par le genou était propre à entraîner la double lésion constatée (au ménisque et au ligament croisé antérieur) et qu'en conséquence, la recourante devait prendre en charge les suites de ces atteintes au titre des lésions corporelles assimilées à un accident.
2.2 La recourante ne conteste pas les faits retenus par la juridiction cantonale, en particulier le déroulement de l'évènement du 16 octobre 2008. Elle persiste à soutenir que le fait de se retourner pour fermer les portières de la voiture avec une télécommande, en ayant les deux pieds au sol, ne constitue pas un facteur extérieur suffisant pour provoquer les lésions subies par D._.
3. 3.1 L'assurance-accidents est en principe tenue d'allouer ses prestations en cas d'accident professionnel ou non professionnel (art. 6 al. 1 LAA). Est réputé accident toute atteinte dommageable, soudaine et involontaire, portée au corps humain par une cause extérieure extraordinaire qui compromet la santé physique, mentale ou psychique ou qui entraîne la mort (art. 4 LPGA).
Aux termes de l'art. 6 al. 2 LAA, le Conseil fédéral peut inclure dans l'assurance-accidents des lésions corporelles qui sont semblables aux conséquences d'un accident. En vertu de cette délégation de compétence, il a édicté l'art. 9 al. 2 OLAA, selon lequel certaines lésions corporelles sont assimilées à un accident même si elles ne sont pas causées par un facteur extérieur de caractère extraordinaire, pour autant qu'elles ne soient pas manifestement imputables à une maladie ou à des phénomènes dégénératifs. Les déchirures du ménisque et les lésions de ligaments figurent dans la liste exhaustive de l'art. 9 al. 2 OLAA aux let. c et g.
La jurisprudence (ATF 129 V 466) a précisé les conditions d'octroi des prestations en cas de lésion corporelle assimilée à un accident. C'est ainsi qu'à l'exception du caractère « extraordinaire » de la cause extérieure, toutes les autres conditions constitutives de la notion d'accident doivent être réalisées (cf. art. 4 LPGA). En particulier, en l'absence d'une cause extérieure - soit d'un évènement similaire à un accident, externe au corps humain, susceptible d'être constaté de manière objective et qui présente une certaine importance -, fût-ce comme simple facteur déclenchant des lésions corporelles énumérées à l'art. 9 al. 2 OLAA, les troubles constatés sont à la charge de l'assurance-maladie.
L'existence d'une lésion corporelle assimilée à un accident doit ainsi être niée dans tous les cas où le facteur dommageable extérieur se confond avec l'apparition (pour la première fois) de douleurs identifiées comme étant les symptômes des lésions corporelles énumérées à l'art. 9 al. 2 let. a à h OLAA.
De la même manière, l'exigence d'un facteur dommageable extérieur n'est pas donnée lorsque l'assuré fait état de douleurs apparues pour la première fois après avoir accompli un geste de la vie courante (par exemple en se levant, en s'asseyant, en se couchant ou en se déplaçant dans une pièce, etc.) à moins que le geste en question n'ait requis une sollicitation du corps, en particulier des membres, plus élevée que la normale du point de vue physiologique et dépasse ce qui est normalement maîtrisé d'un point de vue psychologique. La notion de cause extérieure suppose en effet qu'un évènement générant un risque de lésion accru survienne. Tel est le cas notamment lors de changements de position du corps, qui sont fréquemment de nature à provoquer des lésions corporelles selon les constatations de la médecine des accidents (brusque redressement du corps à partir de la position accroupie, le fait d'accomplir un mouvement violent ou en étant lourdement chargé, ou le changement de position corporelle de manière incontrôlée sous l'influence de phénomènes extérieurs; ATF 129 V 466 consid. 4.2.2. p. 470).
3.2 En l'espèce, il est établi que les lésions sont survenues lorsque l'assurée s'est retournée pour fermer les portières de sa voiture avec une télécommande, ses deux pieds étant restés au sol. Il s'agit là d'un mouvement dépourvu de toute intensité (absence de geste brusque, forcé ou violent). En particulier, les genoux de l'intéressée sont restés à la même hauteur (il n'y pas eu de brusque redressement du corps à partir de la position accroupie). Par ailleurs, l'assurée n'était pas lourdement chargée. En outre, elle a maîtrisé l'ensemble de ses actes au cours du bref laps de temps en cause.
Dans ces conditions, il y a lieu d'admettre que le mouvement exécuté par l'assurée, le 16 octobre 2008, est un geste de la vie courante qui n'a requis aucune sollicitation particulière du corps et ne constitue pas non plus un changement de position corporelle de manière incontrôlée sous l'influence de facteurs extérieurs. Il n'est donc pas établi au degré de la vraisemblance prépondérante (cf. ATF 135 V 39 consid. 6.1 p. 45) que le mouvement de retournement effectué par l'assurée était d'une importance suffisante pour constituer ne serait-ce qu'un facteur déclenchant des lésions au ménisque et au ligament croisé antérieur. On ajoutera que la présente affaire se distingue de l'arrêt U 5/02 du 21 octobre 2002 cité à deux reprises par les premiers juges, d'une part, faute de caractère brusque du mouvement considéré, d'autre part, en raison du fait que rien n'est venu interrompre le cours normal des événements (alors que l'assurée en cause, qui cuisinait, s'est retournée brusquement pour prendre quelque chose dans le frigo).
3.3 Ainsi la juridiction cantonale a violé le droit fédéral en admettant que l'assurée a été victime de lésions corporelles assimilées à un accident au sens de l'art. 9 al. 2 let. c et g OLAA.
Le recours est dès lors admis et le jugement cantonal annulé.
4. Au regard de l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois du 6 mai 2011 est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge d'Assura, Assurance maladie et accident.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à D._, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 28 février 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
La Greffière: Berset