Faits:
A. La Fondation de la commune de Bellevue pour la construction et la gestion de logements (ci-après: la Fondation) est propriétaire des parcelles n° 2846, 2847, 2848, 2866, 2778 et 3765 du registre foncier de la commune de Bellevue. Ces biens-fonds sont colloqués en zone 4B protégée.
Le 27 octobre 2006, la Fondation a requis l'autorisation de démolir une station de filtrage sise sur la parcelle n° 2778 et de construire sur les biens-fonds précités deux immeubles d'habitation comprenant au total 25 logements, un garage souterrain et un parc avec un biotope. Les plans décrivent deux immeubles distants de 14,5 m l'un de l'autre et culminant à une hauteur de 14,6 m au faîte et de 10 m à la sablière.
Dans le cadre de l'instruction de la requête en autorisation de construire, la commission des monuments, de la nature et des sites (ci-après: la CMNS) a rendu un préavis favorable sous réserve, le 13 février 2007. La commune de Bellevue (ci-après: la commune) a quant à elle émis un préavis défavorable, au motif que le gabarit des immeubles projetés s'intégrait difficilement aux bâtiments voisins. Après que la Fondation a réduit la hauteur sous plafond des étages à 2,4 m, la commune a rendu, le 12 juin 2007, un préavis favorable sous réserve. Le 14 août 2007, la CMNS a rendu un nouveau préavis, précisant être favorable à l'octroi d'une dérogation au sens de l'art. 106 al. 1 de la loi sur les constructions et les installations diverses du 14 avril 1988 (LCI; RSG L 5 05), relative aux distances et vues droites avec la parcelle n° 2866, estimant que celle-ci faisait partie intégrante du projet.
Le 24 octobre 2007, le Département des constructions et des technologies de l'information du canton de Genève (ci-après; le Département) a délivré l'autorisation de construire sollicitée. A._ et B._, propriétaires d'un appartement sis dans un bâtiment voisin, ont recouru contre cette autorisation auprès de la Commission cantonale de recours en matière de constructions (devenue depuis le 1er janvier 2009, la Commission cantonale de recours en matière administrative; ci-après, la Commission de recours). Par décision du 27 mai 2008, la Commission de recours a rejeté le recours.
B. Le 17 juillet 2008, A._ a interjeté recours contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif). Le 22 septembre 2008, l'instance cantonale a procédé à une inspection locale en présence des parties. Par arrêt du 12 janvier 2010, le Tribunal administratif a rejeté le recours. Il a considéré en particulier que la dérogation à la distance entre les bâtiments à édifier, fondée sur l'art. 106 al. 1 LCI se justifiait.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt ainsi que l'autorisation de construire du 24 octobre 2007. Il conclut subsidiairement au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Il fait grief au Tribunal administratif d'avoir fait preuve d'arbitraire (art. 9 Cst.) en appliquant l'art. 106 al. 1 LCI et en constatant les faits.
Le Tribunal administratif persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Département et la Fondation concluent au rejet du recours. Le recourant a répliqué.
Par ordonnance du 18 mars 2010, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif présentée par le recourant.
Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 lit. d LTF) dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions (art. 82 lit. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. Le recourant a pris part à la procédure de recours devant le Tribunal administratif. En tant que propriétaire d'un appartement dans un bâtiment sis sur une parcelle directement voisine du projet, il est particulièrement touché par l'arrêt attaqué confirmant l'octroi d'un permis de construire pour un projet de construction qu'il tient en particulier pour non conforme à l'art. 106 al. 1 LCI. Il peut ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Il a dès lors qualité pour agir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Les autres conditions de recevabilité sont par ailleurs réunies, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2. Dans un grief qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant estime que le Tribunal administratif a fait preuve d'arbitraire dans la constatation des faits.
2.1 En principe, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), ce qu'il leur appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.). L'existence de faits constatés de manière inexacte ou en violation du droit doit en outre être susceptible d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure (art. 97 al. 1 in fine LTF).
L'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4; 134 I 263 consid. 3.1 p. 266; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17; 131 I 217 consid. 2.1 p. 219, 57 consid. 2 p. 61; 129 I 173 consid. 3.1 p. 178).
2.2 Se fondant sur les pièces du dossier et sur l'état de fait retenu par la Commission de recours dans sa décision du 27 mai 2008, le recourant avance d'abord que la hauteur au faîte des immeubles sis en aval du projet litigieux est de 13,6 m et non pas de 14,7 m comme l'a retenu le Tribunal administratif. Il demande la rectification de l'état de fait sur ce point. Or, vu le raisonnement qui suit, la prise en compte d'une hauteur de 13,6 m au lieu de 14,7 m ne permettrait pas de trancher différemment la question de l'intégration des immeubles litigieux dans le quartier ainsi que celle de l'application de l'art. 106 al. 1 LCI. Faute d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure, ce grief doit donc être écarté.
Il en va de même des compléments de fait portant sur le contenu des différents préavis émis dans le cadre de l'instruction de la requête en autorisation de construire, sollicités par le recourant.
2.3 Le recourant reproche ensuite au Tribunal administratif d'avoir constaté de manière arbitraire que les bâtiments projetés s'intégreront mieux dans le quartier grâce à l'octroi de la dérogation. Il prétend au contraire que "les constatations objectives faites par le Tribunal administratif" démontreraient que le gabarit des immeubles projetés excèderait de façon sensible celui des autres bâtiments environnants. Il relève que les constructions aux alentours sont de dimensions plus modestes: les immeubles en aval ont 8,7 m à la sablière et 13,6 m au faîte (ou 14,7 m: cf. supra consid. 2.2); d'autres maisons au nord ouest ont 8,2 m environ à la sablière et 11,30 m au faîte du toit; enfin à l'ouest, la hauteur des bâtiments est de moitié inférieure, soit d'environ 6 m.
La critique du recourant selon laquelle l'intégration dans le voisinage serait meilleure avec un gabarit plus modeste, "la ligne de faîte des toits en suivant l'axe nord-ouest, sud-est, perpendiculaire à la route de Lausanne et aux rives du lac [épousant alors] harmonieusement le dénivelé du sol plutôt que d'être disgracieusement coudée à l'endroit des deux bâtiments prévus", est l'expression de son appréciation subjective du projet. Elle n'est pas de nature à démontrer le caractère manifestement insoutenable de l'argumentation du Tribunal administratif. Ce d'autant moins que le milieu bâti de ce quartier ne présente pas une homogénéité ou une spécificité particulière qu'il conviendrait de préserver. En effet, la Commission de recours et le Tribunal administratif, qui ont procédé à des inspections locales, ont relevé le caractère "peu villageois" et hétérogène du quartier. Le recourant ne prétend par ailleurs pas qu'une telle constatation serait contraire à la situation effective. Il focalise son argumentation sur la hauteur des constructions existantes qu'il qualifie de similaire. Outre le fait qu'on ne saurait parler de similitude entre les constructions précitées, les hauteurs au faîte étant de 13,6 m (ou de 14,7 m: cf. supra consid. 2.2), 11,3 m et 6 m, l'intégration des bâtiments dans le quartier ne dépend pas seulement de la hauteur de leur gabarit, mais également de leur implantation, de leur caractère architectural, du respect de l'échelle du quartier ainsi que du site environnant. Or, la dérogation qui permet un rapprochement des deux immeubles assure l'intégration du projet dans son environnement puisque le parc s'en trouve agrandi et qu'une unité avec les constructions est créée. A l'instar de la CMNS, la Commission de recours a par ailleurs estimé que l'échelle du site était respectée, malgré le fait que les bâtiments projetés dépassent de quelques mètres à quelques dizaines de centimètres les constructions voisines.
Par conséquent, en considérant que, dans un quartier hétérogène et à faible caractère villageois, le projet litigieux permet une meilleure intégration dans le quartier puisqu'il remplace la station de filtrage existante par des bâtiments mieux adaptés à l'environnement et par un parc d'agréments, le Tribunal administratif n'a pas fait preuve d'arbitraire.
2.4 Le recourant soutient également que le Tribunal administratif a considéré de manière arbitraire que l'octroi de la dérogation litigieuse a pour but de préserver le parc attenant au bâtiment à édifier. Pour lui, la dérogation aurait été sollicitée d'abord pour réutiliser les fondations existantes de la station de filtrage, ce qui imposerait l'implantation des immeubles. Elle permettrait ensuite un gabarit plus grand pour respecter le cahier des charges relatif au nombre de logements imposé par la commune.
Le recourant méconnait toutefois que si l'on peut également déduire, sur la base du dossier, que l'implantation des bâtiments est dictée par la configuration des fondations de la station de filtrage, cela n'enlève rien à la pertinence de l'argument selon lequel cette implantation permet d'aménager un parc avec biotope aussi grand que possible.
Quant au fait que l'intimée ait dû se conformer au cahier des charges établi par la commune, notamment quant à la rentabilité du projet, il ne permet pas au recourant de déduire qu'aucune dérogation ne puisse être accordée lorsque celle-ci a pour effet de permettre la réalisation d'un projet financièrement équilibré.
Dès lors, le Tribunal administratif n'a aucunement procédé à une déduction insoutenable tirée des éléments du dossier en estimant que l'octroi de la dérogation avait pour objectif notamment d'améliorer la situation existante par l'aménagement d'un parc d'agrément.
3. Le recourant soutient enfin que le Tribunal administratif aurait appliqué de manière arbitraire la deuxième phrase de l'art. 106 al. 1 LCI. Il lui reproche d'avoir approuvé la dérogation au motif que le projet améliorera la situation existante et que l'intérêt de préserver le parc était conforme au but de protection de la norme.
3.1 Le Tribunal fédéral revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal, respectivement du droit communal, sous l'angle de l'arbitraire (sur la notion d'arbitraire, cf. consid. 2.1). Il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'interprétation défendue par la cour cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (ATF 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
3.2 Selon le plan de zones, les parcelles concernées sont classées en zone 4B protégée. Conformément à l'art. 19 al. 2 de la loi d'application de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire du 4 juin 1987 (LaLAT; RSG L 1 30), la quatrième zone est destinée principalement aux maisons d'habitation, comportant en principe plusieurs logements. Elle est divisée en zone urbaine (4A) et en zone rurale (4B), applicable aux villages et aux hameaux. Lorsque la zone est en outre protégée, l'aménagement et le caractère architectural du quartier ou de la localité considérés doivent être préservés (art. 12 al. 5 LaLAT).
Selon l'art. 28 LaLAT, les villages protégés font l'objet de dispositions particulières incluses dans la LCI. Cette loi prévoit en effet une réglementation spéciale aux art. 105 à 107. Cette dernière disposition précise que dans la mesure où il n'y est pas dérogé par l'article 106, les dispositions applicables à la quatrième zone rurale sont applicables aux constructions édifiées dans la zone des villages protégés. Selon l'art. 106 al. 1 LCI, "dans les villages protégés, le département, sur préavis de la commune et de la commission des monuments, de la nature et des sites, fixe dans chaque cas particulier l'implantation, le gabarit, le volume et le style des constructions à édifier, de manière à sauvegarder le caractère architectural et l'échelle de ces agglomérations ainsi que le site environnant. Le département peut en conséquence, à titre exceptionnel, déroger aux dispositions régissant les distances entre bâtiments, les distances aux limites de propriétés et les vues droites".
Le Tribunal fédéral fait preuve de retenue dans l'appréciation des circonstances locales. Dans ce domaine, les autorités locales disposent en effet d'un large pouvoir d'appréciation (cf. ATF 132 II 408 consid. 4.3 p. 416 et les références; arrêt 1P.678/2004 du 21 juin 2005 consid. 4, in ZBl 2006 p. 430). Il en va ainsi de l'octroi d'une dérogation en matière de construction. C'est le cas également lorsqu'il s'agit de savoir si une construction ou une installation est de nature à compromettre l'aspect ou le caractère d'un site, d'une localité, d'un quartier ou d'une rue (ATF 115 Ia 114 consid. 3d p. 118, 363 consid. 3b p. 367; arrêt P.265/1985 du 16 avril 1986 consid. 3 in RDAF 1987 p. 155). Toutefois, la question de l'intégration d'une construction ou d'une installation à l'environnement bâti dans un site ne doit pas être résolue en fonction du sentiment subjectif de l'autorité, mais selon des critères objectifs et systématiques; en tous les cas, l'autorité compétente doit indiquer les raisons pour lesquelles elle considère qu'une construction ou une installation serait de nature ou non à enlaidir le site (arrêt 1P.581/ 1998 du 1er février 1999, in RDAF 2000 I 288; ATF 115 Ia 363 consid. 3b p. 367, 370 consid. 3 p. 373; 114 Ia 343 consid. 4b p. 345 et les arrêts cités).
3.3 Pour le recourant, il ne suffit pas que le projet litigieux améliore la situation existante et que la préservation du parc soit conforme aux buts de la dérogation: il faut encore que la démonstration soit faite du caractère indispensable de la dérogation aux règles ordinaires, celles-ci ne permettant pas de réaliser le but de protection voulu.
Dans les zones 4B protégées, l'autorité cantonale jouit d'un pouvoir d'appréciation très large. En effet, conformément à l'art. 106 LCI, le département peut décider des conditions de l'autorisation de construire dans chaque cas particulier. L'examen du projet doit donc se faire à la seule lumière des critères fixés par l'art. 106 al. 1 LCI, à savoir la sauvegarde du caractère architectural et l'échelle des agglomérations ainsi que du site environnant. Or, la Commission de recours a fait poser des gabarits en vue de son inspection locale pour examiner la volumétrie des bâtiments à construire et leur impact sur l'échelle du site environnant. Elle est arrivée à la conclusion que l'échelle du site était respectée, l'orientation des bâtiments litigieux formant en outre une unité avec les constructions existantes. Le Tribunal administratif a confirmé cette analyse. Il pouvait ainsi admettre de manière soutenable que la dérogation avait donc été valablement accordée, dans la mesure où les conditions de son octroi étaient remplies et les buts de protection de la zone respectés.
4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens, à la charge de la recourante (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 3'000 francs est allouée à l'intimée à titre de dépens, à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant et de l'intimée, ainsi qu'au Département des constructions et des technologies de l'information et au Tribunal administratif du canton de Genève.
Lausanne, le 25 mai 2010
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Tornay Schaller