Sachverhalt:
A. A.a X._ (Ehemann) (geb. 1968) und Z._ (Ehefrau) (geb. 1968) heirateten am xxxx 1998. Sie sind die Eltern der drei Kinder R._ (geb. 1998), S._ (geb. 2000) und T._ (geb. 2002). Seit dem 1. Juli 2007 leben die Eltern getrennt. Im Rahmen eines Eheschutzverfahrens schlossen sie am 11. Juni 2008 einen vom Gerichtspräsidium Bremgarten genehmigten Vergleich, worin sich der Ehemann verpflichtete, an den Unterhalt der gemeinsamen Kinder monatlich je Fr. 900.-- zuzüglich Kinderzulagen und an denjenigen der Ehefrau gestaffelte Beträge in unterschiedlicher Höhe, ab Oktober 2008 Fr. 1'330.-- (zuzüglich die Hälfte allfälliger Erfolgsbeteiligungen) zu bezahlen.
A.b Seit dem 1. Juli 2009 ist das Scheidungsverfahren hängig. Am 8. Oktober 2009 stellte Z._ ein Begehren um Abänderung des Eheschutzentscheids vom 11. Juni 2008; sie beantragte eine Erhöhung der Unterhaltsbeiträge rückwirkend per 8. Oktober 2008. Mit Verfügung vom 7. Dezember 2009 verpflichtete das Vizegerichtspräsidium Bischofszell den Ehemann, rückwirkend ab 1. Juli 2009 an die Kinder je Fr. 1'200.-- (zuzüglich Kinderzulagen) und an die Ehefrau Fr. 5'248.50 an monatlichen Unterhaltsbeiträgen zu bezahlen.
B. In teilweiser Gutheissung des vom Ehemann eingereichten Rekurses legte das Obergericht des Kantons Thurgau den der Ehefrau geschuldeten Unterhalt auf Fr. 5'150.-- fest. Soweit weitergehend wies es den Rekurs wie auch den von Z._ erklärten Anschlussrekurs, mit welchem sie die Erhöhung der Unterhaltsbeiträge rückwirkend ab 8. Oktober 2008 beantragt hatte, ab (Beschluss vom 10. Mai 2010). Dabei ermittelte das Obergericht für den Ehemann ein Einkommen von Fr. 15'800.-- und ein Existenzminimum von Fr. 3'887.80 und für die Ehefrau ein Einkommen von Fr. 250.-- und ein Existenzminimum (einschliesslich Bedarf der Kinder) von Fr. 5'834.80. Den nach der Deckung des Mankos der Ehefrau verbleibenden Überschuss verteilte es hälftig auf beide Parteien.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 21. Juni 2010 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt hauptsächlich, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und zur Feststellung des relevanten Sachverhalts sowie zur Neubeurteilung der Unterhaltsbeiträge an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei der Kinderunterhalt auf Fr. 1'000.-- (zuzüglich Kinderzulagen) und der Ehegattenunterhalt für den Monat Juli auf Fr. 2'000.-- und für die Zeit danach auf Fr. 2'310.-- (zuzüglich die Hälfte allfälliger Erfolgsbeteiligungen) festzulegen. Sodann seien die Kosten für das vorinstanzliche Verfahren der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren, unter Beiordnung des von ihm beauftragten Anwaltes.
Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde für die gemäss dem angefochtenen Beschluss bis und mit Mai 2010 geschuldeten Unterhaltsbeiträge die aufschiebende Wirkung zuerkannt, das entsprechende Gesuch jedoch (zur Sicherstellung des laufenden Unterhalts von Ehefrau und Kindern) für die ab 1. Juni 2010 geschuldeten Unterhaltsbeiträge abgewiesen (Verfügung vom 4. August 2010).
In der Sache selbst wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher, in einer vermögensrechtlichen Zivilsache ergangener Endentscheid (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG), dessen Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4 sowie Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG), sodass die Beschwerde in Zivilsachen offen steht. Die vorsorglich erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich daher als unzulässig (Art. 113 BGG). Darauf ist nicht einzutreten (Urteil 5A_176/2009 vom 5. Juni 2009 E. 1.1).
1.2 Entscheide über Massnahmen im Sinne von Art. 137 ZGB sind vorsorgliche Massnahmen im Sinn von Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.1 S. 397). Deshalb stehen nicht alle Vorbringen gemäss Art. 95 f. BGG offen, sondern kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
1.3 Neue Sachverhaltsvorbringen oder Beweismittel sind unzulässig, soweit nicht erst der Entscheid der letzten kantonalen Instanz dazu Anlass gegeben hat (Art. 99 Abs. 1 BGG). In diesem Sinne bleiben sämtliche Ausführungen über die Provisionen für die Zeit von November 2009 bis Mai 2010 für das vorliegende Verfahren unbeachtlich.
2. Der Beschwerdeführer behauptet eine Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des rechtlichen Gehörs, indem das Obergericht seine Vorbringen zur Unregelmässigkeit und mangelnden Voraussehbarkeit der "Sales Commissions" nicht in die Entscheidfindung habe einfliessen lassen (Ziff. III/2.2 S. 12-13 der Beschwerde). Diese Rüge ist wegen der formellen Natur des Anspruchs auf rechtliches Gehör vorweg zu prüfen (BGE 121 I 230 E. 2a S. 232; 122 II 464 E. 4a S. 469).
2.1 Der verfassungsrechtliche Minimalanspruch geht mit Bezug auf die Begründungspflicht nicht so weit, dass sich die Behörde mit jeder tatsächlichen Behauptung und mit jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss; vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken. Insgesamt muss die Begründung eines Entscheides so abgefasst sein, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann, was der Fall ist, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite des Entscheides ein Bild machen können. In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf welche sich ihr Entscheid stützt (BGE 133 III 439 E. 3.3 S. 445; 134 I 83 E. 4.1 S. 88).
2.2 Diesen Anforderungen kommt der angefochtene Beschluss ohne weiteres nach. Das Obergericht erwog denn auch ausdrücklich, es sei nicht anzunehmen, dass der variable Lohn des Beschwerdeführers in Zukunft tiefer ausfallen werde. Zunächst sei nach der allgemeinen Lebenserfahrung davon auszugehen, dass Provisionsansprüche nach erfolgter Einarbeitung anstiegen. Entgegen seiner Zusicherung habe der Beschwerdeführer die Lohnabrechnungen November und Dezember 2009 nicht eingereicht. Nachdem er bereits im erstinstanzlichen Verfahren versucht habe, mit gezielt ausgewählten Lohnbelegen das von ihm behauptete Einkommen zu untermauern, obwohl ihm die hohen Provisionszahlungen im Januar und Februar 2009 längst bekannt gewesen seien, sei davon auszugehen, dass sich das durchschnittliche Einkommen des Beschwerdeführers unter Berücksichtigung der Lohnabrechnungen von November und Dezember 2009 nicht vermindert hätte. Daher sei ohne weiteres von einem Nettoeinkommen von Fr. 15'800.-- auszugehen. Mithin hat sich das Obergericht sehr wohl mit der Frage der Voraussehbarkeit der "Sales Commissions" auseinandergesetzt. Die Rüge der Verletzung der Begründungspflicht ist unbegründet.
3. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht sodann vor, es habe sein monatliches Einkommen offensichtlich unrichtig festgestellt bzw. Art. 163 ZGB willkürlich angewendet. Richtig sei zwar die vorinstanzliche Feststellung, wonach er in den Monaten August 2008 bis Oktober 2009 durchschnittlich Fr. 15'800.-- verdient habe (Ziff. III/2.1.2 S. 7 der Beschwerde). Falsch sei hingegen, dass es sich bei diesem Betrag um sein tatsächliches konstantes Einkommen handle; es sei unzulässig, bei der Einkommensberechnung die variablen Einkommenselemente zu berücksichtigen bzw. in die Zukunft zu projizieren (Ziff. III/2.1 S. 7-12 der Beschwerde). Soweit der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Umschreibung des Einkommensbegriffs in Frage stellt, rügt er nicht Willkür in der Sachverhaltsfeststellung, sondern in der Rechtsanwendung.
3.1 Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 131 I 467 E. 3.1 S. 473 f. mit Hinweisen). Zu berücksichtigen ist überdies, dass dem Sachgericht bei der Unterhaltsfestsetzung ein erheblicher Ermessensspielraum zusteht (Art. 4 ZGB; BGE 127 III 136 E. 3a S. 141; Urteil 5A_392/2007 vom 27. August 2007 E. 5). Eine willkürliche Ausübung des Ermessens liegt vor, wenn die urteilende Behörde das ihr zustehende Ermessen missbraucht oder es überschreitet. Das ist der Fall, wenn der Entscheid auf einer unhaltbaren Würdigung der Umstände des Falles beruht, mit Recht und Billigkeit unvereinbar ist, Umstände nicht berücksichtigt, die eine Rolle spielen, oder gegenteils unwesentliche Umstände in Betracht zieht (vgl. BGE 109 Ia 107 E. 2c S. 109; Urteil 5A_237/2009 vom 10. Juni 2009 E. 3.1).
3.2 Soweit erforderlich trifft das Gericht die für die Dauer des Scheidungsverfahrens notwendigen vorsorglichen Massnahmen (Art. 137 Abs. 2 ZGB). Die Höhe des Unterhaltsbeitrages richtet sich nach den Bedürfnissen der Ehegatten sowie nach den persönlichen Umständen, das heisst nach der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit (Art. 163 Abs. 3 ZGB). Bei der Berechnung der Leistungsfähigkeit ist in erster Linie vom realen Nettoeinkommen auszugehen, soweit dieses auch dem entspricht, was in guten Treuen beziehungsweise bei gutem Willen als Einkommen erzielt werden kann; andernfalls ist ein hypothetisches Einkommen hinzuzurechnen. Zum Nettoeinkommen gehören nicht nur der feste Lohnbestandteil, sondern auch effektiv bezahlte Provisionen, Gratifikationen bzw. Boni, Verwaltungsrats- oder Delegiertenhonorare, Trinkgelder, aber auch Spesenentschädigungen, soweit ihnen keine tatsächlichen Auslagen gegenüberstehen (Urteil 5C.261/2006 vom 13. März 2007 E. 2; HAUSHEER/SPYCHER, Handbuch des Unterhaltsrechts, 2. Aufl. 2010, N 01.31). Werden Einkommensbestandteile unregelmässig bzw. in unregelmässiger Höhe (z.B. Provisionen, Trinkgelder, Akkordlohn) oder gar nur einmalig (z.B. der 13. Monatslohn) ausbezahlt, ist von einem schwankenden Einkommen auszugehen, dem rechtsprechungsgemäss dadurch Rechnung zu tragen ist, dass auf einen Durchschnittswert einer als massgebend erachteten Zeitspanne abgestellt wird (Urteil 5P.172/2002 vom 6. Juni 2002 E. 2.2). Ein solches Vorgehen bedeutet nicht nur eine Annäherung an die tatsächlichen Verhältnisse über einen längeren Zeitraum, sondern auch eine unter Verfassungsgesichtspunkten zulässige Vereinfachung (a.a.O.).
3.3 Der Beschwerdeführer hat am 1. August 2008 eine Erwerbstätigkeit bei seiner heutigen Arbeitgeberin aufgenommen. Neben einem Fixlohn erhält er auch sog. "Sales Commissions", das heisst Verkaufsprovisionen. Diese werden monatlich abgerechnet; allfällige Guthaben werden zusammen mit dem Fixlohn überwiesen. Sie fallen in zuweilen massiv unterschiedlicher Höhe an. Bezirksgericht und Obergericht legten ihrer Einkommensberechnung die Lohnabrechnungen von August 2008 bis und mit Oktober 2009 unter Einschluss sämtlicher in dieser Zeit in den Lohnabrechnungen ausgewiesenen Verkaufsprovisionen zugrunde. Das Obergericht hielt dazu noch - im Verfahren vor Bundesgericht unwidersprochen - fest, dass der Beschwerdeführer in seiner Rekursschrift vom 23. Dezember 2009 zwar ankündigte, die Lohnabrechnungen für November und Dezember 2009 nachreichen zu wollen, was er in der Folge aber nicht getan habe. Folglich kann dem Obergericht von vornherein nicht vorgeworfen werden, auf der Basis falscher oder ungenügender Grundlagen gerechnet zu haben. Dieses hat den monatlich schwankenden Einkommen des Beschwerdeführers insofern Rechnung getragen, als es auf den Durchschnittswert aller ihm zur Verfügung stehenden Daten über eine Zeitspanne von 15 Monaten abgestellt hat. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was dieses Vorgehen im Lichte der in E. 3.2 angeführten Rechtsprechung als verfassungswidrig erscheinen liesse. Auch diese Rüge erweist sich als unbegründet.
Damit ist dem Vorwurf, sein Existenzminimum werde nicht gewahrt (vgl. Ziff. III/2.1.6 lit. a, lit. c und lit. d, S. 10-12 der Beschwerde), die Grundlage entzogen, denn er begründet den behaupteten Eingriff in das Existenzminimum ausschliesslich mit dem Hinweis auf ein tieferes effektives Einkommen.
An der Sache vorbei gehen die Ausführungen, das Obergericht habe die Vergleichsperioden willkürlich festgelegt bzw. nicht aufgeteilt (Ziff. III/2.1.6 lit. b S. 11 der Beschwerde), denn es ist von einer Zeitspanne von 15 Monaten ausgegangen, was nicht zu beanstanden ist.
Nicht eingetreten werden kann schliesslich auf die Rüge, der Beschwerdeführer habe gar keinen Rechtsanspruch auf die fraglichen Provisionen. Der angefochtene Entscheid enthält diesbezüglich keine Sachverhaltsfeststellungen und der Beschwerdeführer unterlässt es, unrichtige bzw. unvollständige Sachverhaltsfeststellung zu rügen, geschweige denn seine Rüge in einer den Anforderungen entsprechenden Weise (E. 1.2) zu begründen.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Damit bleibt das angefochtene Urteil in Kraft und Art. 67 BGG betreffend die Änderung der Verteilung der Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens findet nicht Anwendung. Anderweitige Gründe, weshalb das Obergericht bei gleichbleibendem Ergebnis die Kosten anders hätte verteilen müssen, führt der Beschwerdeführer nicht an. Sein diesbezügliches Begehren ist daher abzuweisen.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, hatte die Beschwerde von Anfang an keine Chance auf Erfolg, sodass es für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bereits an der materiellen Voraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit gebricht (Art. 64 Abs. 1 BGG) und das Gesuch abzuweisen ist. Der Beschwerdegegnerin, die sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu vernehmen hatte und in diesem Punkt unterlag, ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Dem Beschwerdeführer werden die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn