Erwägungen:
1. Gegen X._ gingen am 12. und 16. März 2010 Strafanzeigen wegen Verleumdung und übler Nachrede bzw. wegen Drohung ein. Nachdem X._ polizeilich befragt worden war, erstattete er gegen die Anzeiger am 25. April 2010 eine Gegenanzeige wegen Verleumdung und falscher Anschuldigung. Der mit der Strafsache befasste Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises VI Signau-Trachselwald lud die Parteien am 15. Juli 2010 zur ersten Einvernahme auf den 30. August 2010 vor. X._ nahm die vom Gerichtspräsidenten unterzeichnete Vorladung am 16. Juli 2010 persönlich in Empfang.
Am 26. August 2010 stellte X._ ein Ablehnungsgesuch gegen den Gerichtspräsidenten. Der Gerichtspräsident setzte den vorgesehenen Verhandlungstermin ab und überwies die Akten der Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern zur Behandlung des Ablehnungsgesuchs. Die Anklagekammer trat mit Beschluss vom 17. September 2010 auf das Ablehnungsgesuch nicht ein. Zusammenfassend führte sie aus, dass die von X._ in seinem Ablehnungsgesuch erwähnten Umstände über ein Jahrzehnt zurückliegen würden. Bei Erhalt der Vorladung am 16. Juli 2010 habe der Beschwerdeführer gewusst, wer die Verhandlung führen würde. Dennoch wartete er mit seinem Ablehnungsgesuch bis wenige Tage vor der Verhandlung. Ein Grund für dieses Zuwarten sei nicht ersichtlich. Ein derartiges prozessuales Verhalten verdiene keinen Rechtschutz. Das Ablehnungsrecht sei verwirkt und auf das Gesuch sei nicht einzutreten.
2. X._ führt mit Eingabe vom 22. September 2010 (Postaufgabe 27. September 2010) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen der Anklagekammer, die zum Nichteintreten auf das Ablehnungsgesuch führten, nicht auseinander und legt nicht dar, inwiefern die Anklagekammer dabei Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt haben sollte. Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Beschlusses darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gerichtspräsidenten 1 des Gerichtskreises VI Signau-Trachselwald und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Oktober 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli