Erwägungen:
1. Am 22. November 2007 übergab X._ der Kantonspolizei Bern in Thun eine "Klage" wegen Beihilfe zur schweren Körperverletzung und weiterer Straftatbestände, die sich gegen verschiedene Ärzte richtete. Die Eingabe befasst sich mit einem Vorfall, der sich am 12. März 2003 zugetragen hatte und der bereits mehrfach Gegenstand von Gerichtsverfahren bildete.
Am 18. Januar 2008 schrieb X._ dem Untersuchungsrichteramt Thun und erhob "Aufsichtsbeschwerde" gegen die Kantonspolizei in Thun wegen Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung. Er verlangte die Bestrafung der Täterschaft, wünschte Parteirechte auszuüben, konstituierte sich als Privatkläger und verlangte Akteneinsicht. Die Beschwerde wurde der Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern zum Entscheid überwiesen.
Mit Stellungnahme vom 8. Februar 2008 wies der stellvertretende Kommandant der Kantonspolizei darauf hin, die von X._ geäusserten strafrechtlichen Vorwürfe seien bereits gerichtlich geprüft und beurteilt worden. Trotzdem sei die am 18. Januar 2008 deponierte Anzeige dem zuständigen Untersuchungsrichteramt zur weiteren Behandlung überwiesen worden.
Mit Beschluss vom 21. Februar 2008 erachtete die Anklagekammer die Vorwürfe, die X._ gegenüber der Kantonspolizei erhoben hatte, als haltlos und wies die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten wurde. Gleichzeitig überwies sie eine Kopie der Aufsichtsbeschwerde an das Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland zum Entscheid über das Akteneinsichtsbegehren.
2. Mit Eingabe vom 27. Februar 2008 führt X._ der Sache nach Beschwerde in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG) mit dem Antrag, der Beschluss vom 21. Februar 2008 sei aufzuheben.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offenstehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch BGE 133 II 249 insb. E. 1.4 S. 254).
Der Beschwerdeführer kritisiert den Beschluss der Anklagekammer nur auf ganz allgemeine Weise. Er legt nicht im Einzelnen dar, inwiefern die dem Beschluss zugrunde liegenden Erwägungen bzw. dieser im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Da keine in diesem Sinne sachbezogenen Ausführungen vorliegen, ist mangels einer hinreichenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
Ergibt sich das Nichteintreten somit schon aus dem genannten Grund, braucht nicht weiter erörtert zu werden, ob die weiteren Eintretensvoraussetzungen gegeben sind.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp