Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der türkische Staatsangehörige X._, geb. 1949, reiste am 1. März 1979 mit Frau und Tochter in die Schweiz ein und erhielt im Kanton Appenzell A.Rh. eine Aufenthaltsbewilligung. 1981 zog die Familie in den Kanton Thurgau, wo 1984 eine zweite Tochter geboren wurde. 1988 und 1990 wurden Gesuche um Erteilung der Niederlassungsbewilligung wegen laufender Betreibungen abgewiesen. Die Ehe von X._ wurde 1991 geschieden; seiner Unterhaltspflicht gegenüber der geschiedenen Ehefrau und den Töchtern kam er nicht nach, weshalb diese Sozialhilfe beanspruchen mussten. X._ wurde 1994 und 1996 wegen der Anhäufung von Schulden fremdenpolizeilich verwarnt. 1997 wurde er arbeitslos; am 1. Mai 1999 wurde er ausgesteuert. In der Folge bezog er Sozialhilfe. Per 1. Juni 2002 wurde ihm eine ganze IV-Rente (monatlich Fr. 1'224.--) zugesprochen; ab 1. Januar 2004 erhält er Ergänzungsleistungen von mittlerweile monatlich Fr. 1'255.--.
Mit Verfügung vom 31. März 2005 lehnte das Ausländeramt (Migrationsamt) des Kantons Thurgau eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ unter Hinweis auf die fortgesetzte Schuldenmacherei trotz zweier Verwarnungen ab und ordnete seine Wegweisung an. Ein Rekurs an das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau blieb erfolglos. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies die gegen den Departementsentscheid erhobene Beschwerde am 1. März 2006 ab. Gestützt darauf wurde X._ eine Ausreisefrist auf den 15. Mai 2006 angesetzt; das Bundesamt für Migration dehnte die Wegweisung am 7. April 2006 auf das Gebiet der ganzen Schweiz aus.
Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde und subsidiär staatsrechtlicher Beschwerde vom 25. April 2006 beantragt X._ dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts und die diesem vorausgegangenen unterinstanzlichen Entscheide aufzuheben und ihm den weiteren Aufenthalt in der Schweiz zu bewilligen, eventuell auf Zusehen hin bzw. unter Bedingungen und Auflagen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden. Mit dem vorliegenen Urteil werden die für beide Rechtsmittel im Hinblick auf die Ausreiseverpflichtung gestellten Gesuche um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden. Mit dem vorliegenen Urteil werden die für beide Rechtsmittel im Hinblick auf die Ausreiseverpflichtung gestellten Gesuche um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2. Der Beschwerdeführer hat Verwaltungsgerichtsbeschwerde und staatsrechtliche Beschwerde, welche gegenüber der Verwaltungsgerichtsbeschwerde subsidiär ist (vgl. Art. 84 Abs. 2 OG), erhoben. Die Zulässigkeit von Rechtsmitteln prüft das Bundesgericht von Amtes wegen mit freier Kognition (BG 130 I 312 E. 1 S. 317; 130 II 509 E. 8.1 S. 510, je mit Hinweisen).
2.1 Gemäss Art. 100 Abs. 1 lit. b OG ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde auf dem Gebiete der Fremdenpolizei unzulässig gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen, auf die das Bundesrecht keinen Anspruch einräumt (Ziff. 3), sowie gegen die Wegweisung (Ziff. 4).
2.1.1 Der Beschwerdeführer kann weder aus einer Norm des Landesrechts noch aus einer Bestimmung eines bilateralen Abkommens zwischen der Schweiz und der Türkei einen Bewilligungsanspruch ableiten. Er macht geltend, ein solcher stehe ihm unter dem Gesichtswinkel des Rechts auf Achtung des Familien- und Privatlebens (Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 und 14 BV) zu.
2.1.2 Was den Schutz des Familienlebens betrifft, so kann sich der Ausländer im Hinblick auf die Erteilung einer ausländerrechtlichen Bewilligung dann auf Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 oder 14 BV berufen, wenn er eine enge Beziehung zu in der Schweiz über ein festes Anwesenheitsrecht verfügenden Familienangehörigen pflegt, die zum engen Familienkreis gehören (Beziehung zum Ehegatten sowie Beziehung zwischen Eltern und minderjährigen Kindern). Der Beschwerdeführer ist seit 1991 von seiner Ehefrau geschieden. Die in der Schweiz lebenden Töchter sind längst volljährig und leben nicht in Familiengemeinschaft mit ihm. Aus der Beziehung zu ihnen kann er, vorbehältlich eines eigentlichen Abhängigkeitsverhältnisses, unter dem Titel Recht auf Achtung des Familienlebens keinen Bewilligungsanspruch ableiten (BGE 120 Ib 257 E. 1d und 1e S. 260 ff.; s. auch BGE 129 II 11 E. 2 S. 13 unten). Der Beschwerdeführer hebt zwar unter Hinweis auf seinen Gesundheitszustand hervor, dass seine beiden Töchter ihn regelmässig betreuten. Selbst wenn, ohne zusätzliche Abklärungen, vollständig auf die Verhältnisse abgestellt wird, wie er sie schildert, kann bloss angenommen werden, dass das Verbleiben in der Nähe der Töchter für den Beschwerdeführer im Vergleich zu einer Rückkehr in die Türkei weit vorteilhafter wäre, ohne dass aber die Voraussetzungen für die Annahme eines eigentlichen Abhängigkeitsverhältnis erfüllt sind.
2.1.3 Ein Bewilligungsanspruch liesse sich aus Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV allenfalls insofern ableiten, als das Recht auf Achtung des Privatlebens in Frage steht. Selbst langjährige Anwesenheit in der Schweiz lässt für sich allein unter diesem Titel noch keinen Bewilligungsanspruch im Sinne eines "faktischen" Anwesenheitsrechts entstehen. Erforderlich wären besonders intensive, über eine normale Integration hinausgehende private Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. vertiefte soziale Beziehungen zum ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich; es müsste von einer eigentlichen Verwurzelung in der Schweiz gesprochen werden können. Die entsprechenden Kriterien sind zusammengefasst in einem kürzlich ergangenen Grundsatzurteil des Bundesgerichts (BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286). Der Beschwerdeführer weilt nunmehr seit rund 27 Jahren in der Schweiz. Zuvor aber lebte er während 30 Jahren in der Türkei. In der Schweiz hat er sich insbesondere wirtschaftlich nie zu integrieren vermocht. Seit vielen Jahren (ab der zweiten Hälfte der 80er Jahre) kam er, obschon er ein regelmässiges Einkommen erzielte, seinen finanziellen Verpflichtungen nicht nach und verschuldete sich kontinuierlich und massiv, dies unabhängig von seiner per 2002 anerkannten Invalidität. Auch ausdrückliche fremdenpolizeiliche Verwarnungen vermochten keine Änderung seiner Haltung herbeizuführen. Unabhängig von der genauen Feststellung der Summe der Schulden oder der Höhe der bezogenen Sozialhilfe kann von einer Verwurzelung in der Schweiz keine Rede sein. Dem Beschwerdeführer ist es auch nicht verunmöglicht, in der Türkei zu leben, zu welchem Land nicht jegliche Kontakte abgebrochen sind. Nach eigenen Angaben hielt er sich dort letztmals im Jahr 2004 auf, und nach verbindlicher Feststellung des Verwaltungsgerichts (vgl. Art. 105 Abs. 2 OG) lebt dort ein Sohn des Beschwerdeführers. Selbst mit der blossen Invalidenrente - die Ergänzungsleistungen würden bei einem Wegzug entfallen - könnte er seinen Unterhalt in der Türkei zumindest ebenso gut finanzieren wie in der Schweiz. Entgegen seiner Auffassung lässt sich sein Fall in keinerlei Hinsicht mit dem Fall vergleichen, welcher dem vorerwähnten Urteil (BGE 130 II 281) zugrunde liegt, und zwar auch nicht bei Berücksichtigung der jeweiligen familiären Situation (kombinierter Schutzbereich von Privat- und Familienleben, s. BGE 130 II 281 E. 3.2.2 S. 287 f.). Es fehlt an einem "spezifischen Ausnahmefall" (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.3 S. 288), welcher die Annahme eines faktischen Anwesenheitsrechts rechtfertigte. Nicht ersichtlich ist, inwiefern sich aus Art. 7 und 12 BV in ausländerrechtlicher Hinsicht über Art. 8 EMRK oder Art. 13 BV hinausgehende Ansprüche ergeben könnten. Weiter wird der Beschwerdeführer durch die Anwendung der allgemeinen ausländerrechtlichen Regeln auf ihn nicht diskriminierend behandelt, und ein Bewilligungsanspruch lässt sich damit auch nicht aus Art. 8 Abs. 2 BV ableiten (vgl. dazu BGE 126 II 377 E. 6 S. 392 ff.). Schliesslich kann der Beschwerdeführer keinen Bewilligungsanspruch aus Art. 9 bzw. 5 Abs. 3 BV (Treu und Glauben) ableiten; die Erteilung früherer Aufenthaltsbewilligungen begründet kein schutzwürdiges Vertrauen in die Erneuerung der Bewilligung (BGE 126 II 377 E. 3b S. 388).
2.1.4 Der Beschwerdeführer hat unter keinem Titel einen Rechtsanspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist damit im Sinne von Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 wie auch Ziff. 4 OG unzulässig, und es kann darauf nicht eingetreten werden. Es bleibt noch zu prüfen, ob bzw. inwiefern auf die Beschwerde als staatsrechtliche Beschwerde eingetreten werden kann.
2.2 Der Ausländer, der über keinen Anspruch auf Erteilung einer Bewilligung zum Verweilen in der Schweiz verfügt, erleidet durch den eine solche Bewilligung verweigernden Entscheid keine Rechtsverletzung. Eine solche wäre gemäss Art. 88 OG Voraussetzung der Legitimation zur staatsrechtlichen Beschwerde. Der Beschwerdeführer ist insofern zur staatsrechtlichen Beschwerde nicht legitimiert, als er die materielle Bewilligungsfrage zum Gegenstand der Rügen macht (BGE 126 I 81 E. 3b S. 85 ff., mit Hinweisen). Dies gilt nicht nur für die Rüge, das Willkürverbot sei verletzt, sondern auch insofern, als die Verletzung von speziellen Grundrechten gerügt wird, nachdem sich bei der Prüfung der Eintretensfrage zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde ergeben hat, dass diese Grundrechte in Bezug auf das ausländerrechtliche Bewilligungsverfahren keine Rechtsansprüche verschaffen.
Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist der Ausländer, der keinen Bewilligungsanspruch hat, zur staatsrechtlichen Beschwerde berechtigt, soweit er - in einer den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügenden Weise - die Verletzung von ihm im kantonalen Verfahren zustehenden Parteirechten rügt, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (grundlegend BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 312 f.; vgl. auch BGE 128 I 218 E. 1.1 S. 220; 127 II 161 E. 3b S. 167; 126 I 81 E. 3b S. 86 sowie E. 7b S. 94). Nicht zu hören sind dabei aber Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des Bewilligungsentscheids abzielen, wie die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei oder sich nicht mit sämtlichen von der Partei vorgetragenen Argumenten auseinandersetze oder dass die Parteivorbringen willkürlich gewürdigt worden seien. Ebenso wenig ist der Vorwurf zu hören, der Sachverhalt sei unvollständig oder sonst wie willkürlich ermittelt worden (vgl. BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313; 126 I 81 E. 7b S. 94; 118 Ia 232 E. 1c S. 236; 117 Ia 90 E. 4a S. 95).
Aufgrund dieser Vorgaben könnte höchstens die Rüge zulässig sein, dem Beschwerdeführer sei das rechtliche Gehör verweigert worden. Sie läuft allerdings im Wesentlichen auf die - unzulässige - Rüge hinaus, der Sachverhalt sei unvollständig oder falsch ermittelt bzw. unzutreffend gewürdigt worden. Die genaue Ermittlung der Schuldensumme bzw. der zuletzt erbrachten Fürsorgeleistungen war für den Entscheid des Verwaltungsgerichts nicht erheblich, weshalb der Verzicht auf entsprechende Abklärungen den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers nicht verletzte. Dasselbe gilt hinsichtlich näherer Abklärungen über die Beziehung des Beschwerdeführers zu seinen Töchtern und der ehemaligen Ehefrau. Während es auf die Beziehung zu Letzterer ausländerrechtlich ohnehin nicht ankommen kann, liegt eine Gehörsverweigerung bezüglich der Kontakte zu den Töchtern darum nicht vor, weil der Beschwerdeführer nicht aufzeigt, welche diesbezüglichen Elemente das Verwaltungsgericht gestützt auf seine Sachbehauptungen im Hinblick auf die sich stellende Rechtsfrage konkret näher hätte abklären müssen; wie vorne (E. 2.1.2 am Ende) ausgeführt, liesse sich nämlich selbst bei unbesehenem Abstellen auf die Darstellung des Beschwerdeführers nicht von einem Abhängigkeitsverhältnis sprechen, welches für das Entstehen eines Rechtsanspruchs erforderlich wäre. Insofern läuft die Rüge ohnehin weitgehend auf eine unzulässige Kritik an der rechtlichen Würdigung der Situation hinaus.
Soweit auf die staatsrechtliche Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, ist sie unbegründet und abzuweisen.
2.3 Der Beschwerdeführer hat für das bundesgerichtliche Verfahren um Kostenbefreiung (unentgeltliche Rechtspflege) ersucht. Dem Gesuch ist wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren nicht zu entsprechen (Art. 152 Abs. 1 OG).
Entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 OG), wobei bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr (Art. 153 Abs. 1 OG) zu seinen Ungunsten der aufwendigen Art der Prozessführung und zu seinen Gunsten seinen finanziellen Verhältnissen Rechnung getragen wird (Art. 153a Abs. 1 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten. Soweit auf die Beschwerde als staatsrechtliche Beschwerde eingetreten werden kann, wird sie abgewiesen.
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten. Soweit auf die Beschwerde als staatsrechtliche Beschwerde eingetreten werden kann, wird sie abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'200.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'200.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement für Justiz und Sicherheit und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2006
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber: