Sachverhalt:
A. Als das Bezirksgericht A._ mit Urteil vom 3. September 2001 die Ehe von Y._ (Ehemann) und X._ (Ehefrau) schied, vertraute es den 1997 geborenen Sohn Z._ den Eltern zur gemeinsamen Sorge an. Es stellte aufgrund der von ihm genehmigten Vereinbarung vom 11./20. Juni 2001 fest, dass zur Zeit die Mutter während vier Tagen und der Vater während drei Tagen in der Woche die Betreuung des Sohnes übernehme und dass jeder Elternteil nach rechtzeitiger Absprache mindestens drei Wochen jährlich Ferien mit ihm verbringen werde. Ausserdem wurde Y._ unter anderem verpflichtet, an den Unterhalt von Z._ Beiträge von monatlich Fr. 450.-- bis zum vollendeten 12. Altersjahr, von monatlich Fr. 500.-- bis zum vollendeten 16. Altersjahr und von monatlich Fr. 550.-- bis zur Aufnahme einer Erwerbstätigkeit, längstens aber bis zur Mündigkeit, zu zahlen.
B. Mit Eingabe vom 6. Juni 2003 reichte Y._ beim Bezirksgericht A._ Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils ein und verlangte eine Herabsetzung der für Z._ zu zahlenden Unterhaltsbeiträge. X._ erhob Widerklage mit dem Begehren, die elterliche Sorge über Z._ ausschliesslich ihr zu übertragen und die im Scheidungsurteil festgesetzten Unterhaltsbeiträge zu bestätigen. Mit Gegenwiderklage verlangte Y._ hierauf seinerseits, es sei ihm die alleinige elterliche Sorge zuzusprechen.
Das Bezirksgericht erkannte am 8. Juni 2006, dass in Abänderung des Scheidungsurteils die elterliche Sorge über Z._ X._ übertragen werde. Gleichzeitig regelte es das Y._ zustehende Besuchs- und Ferienrecht und errichtete es für Z._ eine Erziehungsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 ZGB.
Y._ appellierte an das Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft mit den Begehren, die Z._ geschuldeten Unterhaltsbeiträge herabzusetzen, ihm die alleinige Sorge über Z._ zuzuweisen, X._ ein Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen und diese zu verpflichten, an den Unterhalt von Z._ Beiträge von monatlich Fr. 600.-- zu leisten.
Mit Urteil vom 28. September 2007 hat das Kantonsgericht (Abteilung Zivil- und Strafrecht) die Appellation teilweise gutgeheissen und erkannt, dass Z._ weiterhin beiden Eltern zur gemeinsamen Sorge anvertraut bleibe.
C. X._ führt mit Eingabe vom 1. November 2007 Beschwerde in Zivilsachen und beantragt, es sei in Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheids und in Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils die gemeinsame elterliche Sorge aufzuheben und ihr die alleinige elterliche Sorge über Z._ zu übertragen; allenfalls sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner und das Kantonsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. Gegenstand der Beschwerde ist ausschliesslich die Zuweisung der elterlichen Sorge über den Sohn Z._, d.h. eine Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Natur (Art. 72 Abs. 1 BGG). Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG), so dass auf die von der im kantonalen Verfahren unterlegenen Partei (Art. 76 Abs. 1 BGG) rechtzeitig eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 BGG) aus formeller Sicht ohne weiteres einzutreten ist.
2. Mit Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG).
2.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist deshalb weder durch die in der Beschwerdeschrift erhobenen Argumente noch durch die vorinstanzliche Begründung eingeschränkt; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem geltend gemachten Grund gutheissen, eine Beschwerde aber auch mit einer von der vorinstanzlichen Argumentation abweichenden Begründung abweisen. Angesichts der in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG festgelegten allgemeinen Begründungspflicht prüft das Bundesgericht allerdings grundsätzlich nur die erhobenen Rügen. Es ist auf jeden Fall nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, soweit solche nicht (mehr) vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2.2 Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 III 393 E. 6 S. 397; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254).
2.3 Nach Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann sich mit anderen Worten nicht darauf beschränken, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Instanz, die den dargelegten Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten. Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von Art. 105 Abs. 2 BGG, die dem Richter geradezu in die Augen springen (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255).
3. Das Kantonsgericht weist darauf hin, dass gemäss dem (im Rahmen des Scheidungsprozesses eingeholten) Gutachten der Kantonalen Psychiatrischen Dienste vom 20. Februar 2001 zur Frage der Gestaltung des Sorgerechts bezüglich Z._ zwischen den Parteien Schwierigkeiten in der gegenseitigen Kooperation bestanden hätten. Das Gutachten der Psychiatrischen Klinik vom 12. Juli 2005 halte sodann fest, dass es in dieser Beziehung zu keinerlei Entspannung gekommen sei. Hinsichtlich der Kooperationsfähigkeit habe sich seit der Scheidung demnach keine wesentliche Änderung der Verhältnisse ergeben. Dem jüngeren Bericht könne weiter entnommen werden, dass Z._ die Zeit von Freitag bis Montag beim Vater und die übrige Zeit bei der Mutter verbringe, sich die Übergaben von einem Elternteil zum anderen etabliert hätten und Z._ jeweils gerne zum anderen Elternteil gehe. Dies zeige, dass die gemeinsam ausgeübte elterliche Sorge gegenwärtig funktioniere. Aus dem Gutachten vom 12. Juli 2005 folge zudem, dass Z._ keine Änderung der geltenden Regelung wünsche. Die Vorinstanz erklärt des Weiteren, dass die Appellation (die Beschwerdeführerin im vorliegenden Verfahren) nicht substanziiert darlege, weshalb eine Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge im Interesse des Kindeswohls geboten sein solle. Auch das Gutachten zeige nicht auf, weshalb hier ein gemeinsames elterliches Sorgerecht dem Kindeswohl entgegenstehen solle. Anzumerken sei im Übrigen, dass eine Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge sich auch negativ auf das Kindeswohl auswirken könnte, so etwa dann, wenn ein Elternteil die alleinige elterliche Gewalt zum Schaden des Kindes ausnützen sollte. Aus der Sicht des Kindeswohls erscheine es unter den angeführten Umständen nicht als erforderlich, auf jeden Fall nicht als zwingend geboten, die gemeinsame elterliche Sorge aufzuheben. Dass das Gutachten vom 12. Juli 2005 eine Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge verlange, sei nicht nachvollziehbar.
4. Vorab wirft die Beschwerdeführerin dem Kantonsgericht vor, sein Urteil unzureichend begründet und damit ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) missachtet zu haben.
4.1 Der Grundsatz des rechtlichen Gehörs als persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Ferner ergibt sich die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Der Betroffene soll sich über dessen Tragweite ein Bild machen und ihn in voller Kenntnis der Sache gegebenenfalls anfechten können. Indessen besteht kein Anspruch auf ausführliche Begründung; es reicht, dass wenigstens kurz die Überlegungen angeführt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich der Entscheid stützt, und braucht nicht auf jede Einwendung der Parteien eingegangen zu werden (BGE 133 III 439 E. 3.3 S. 445 mit Hinweisen).
4.2 In Anbetracht der oben (E. 3) dargelegten Erwägungen ist die Rüge der Missachtung des Anspruchs auf rechtliches Gehör unbegründet: Den Ausführungen des Kantonsgerichts sind die Gründe seines Entscheids klar zu entnehmen. Dass die Vorinstanz sich nicht mit den Argumenten des Bezirksgerichts auseinandergesetzt habe, ist ohne Belang. Entscheidend ist, dass die Beschwerdeführerin in die Lage versetzt wurde, ihr Rechtsmittel sachgerecht zu begründen.
5. Zur Begründung ihrer Beschwerde beruft sich die Beschwerdeführerin in einem nicht unwesentlichen Ausmass auf einen Vorfall, der sich zwischen der Kantonsgerichtsverhandlung vom 11. September 2007 und der Fällung des Urteils am 28. September 2007 ereignet haben und eine mangelnde Kooperationsbereitschaft des Beschwerdegegners illustrieren soll. Die Beschwerdeführerin beantragt, die betreffenden tatsächlichen Vorbringen und die Schriftstücke, die den Vorfall belegen sollen, in Anwendung von Art. 99 BGG als Noven zuzulassen.
Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz Anlass dazu gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG), was in der Beschwerde näher darzulegen ist. Die ausnahmsweise Zulassung von Noven ist namentlich dann gerechtfertigt, wenn bestimmte tatsächliche Gegebenheiten erst durch die rechtliche Argumentation der letzten kantonalen Instanz Rechtserheblichkeit erlangt haben (vgl. BGE 128 I 354 E. 6c S. 357 mit Hinweisen). Davon kann hier keine Rede sein, hatte doch bereits das Bezirksgericht auf die gestörte Kommunikation zwischen den Parteien hingewiesen. Zwischen den beiden kantonalen Instanzen gingen lediglich die Meinungen über die Auswirkungen dieser Störungen auf die Ausgestaltung des Sorgerechts auseinander.
6. In verschiedener Hinsicht rügt die Beschwerdeführerin die tatsächlichen Feststellungen des Kantonsgerichts. Soweit ihre Vorbringen überhaupt rechtserhebliche Tatsachen betreffen, vermögen sie nicht durchzudringen. Die Ausführungen zu Vorkommnissen, die zeigten, dass die Kooperation zwischen den Parteien nicht funktioniere, stossen insofern ins Leere, als das Kantonsgericht festgehalten hat, hinsichtlich der Kooperationsfähigkeit zwischen den Parteien sei seit der Scheidung keine wesentliche Veränderung eingetreten, und die Beschwerdeführerin nicht etwa geltend macht, die Beziehungen zwischen den Parteien hätten sich seit der Scheidung verschlechtert. Unbehelflich ist sodann auch die Beanstandung, dass die Vorinstanz verschiedene Feststellungen des Gutachtens vom 12. Juli 2005 zu den Zusammenhängen zwischen dem Verhalten der Parteien untereinander und der Befindlichkeit von Z._ nicht berücksichtigt habe. Wie noch darzulegen sein wird (E. 7.1 und 7.2), ist dieser Umstand für die zu beurteilenden Rechtsfragen ohne Belang. Was die Beschwerdeführerin ferner zu den kantonsgerichtlichen Feststellungen betreffend die Übergaben von Z._ von einem Elternteil zum anderen, zur Folgerung der Vorinstanz, die gemeinsame elterliche Sorge funktioniere zur Zeit in der Praxis, und zum Hinweis der Vorinstanz auf die Bemerkung im Gutachten, wonach Z._ keine Änderung der jetzigen Obhutsregelung wünsche, ausführt, vermag die beanstandeten Feststellungen nicht als willkürlich erscheinen zu lassen.
7. Die Beibehaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge hält die Beschwerdeführerin für bundesrechtswidrig. Bundesrecht widerspreche insbesondere, dass über das Kindeswohl eine eigenständige zusätzliche Voraussetzung mit überhöhten Anforderungen begründet worden sei und die Vorinstanz trotz der elterlichen Zerstrittenheit eine Kindeswohlgefährdung verneint habe; ausreichend müsse vielmehr der Nachweis dafür sein, dass die mangelnde Kooperation der Eltern das Kindeswohl gefährde.
7.1 Gemäss Art. 134 Abs. 1 ZGB (und der inhaltlich entsprechenden Bestimmung von Art. 298a Abs. 2 ZGB) ist die Zuteilung der elterlichen Sorge neu zu regeln, wenn dies wegen wesentlicher Veränderung der Verhältnisse zum Wohl des Kindes geboten ist. Eine Neuregelung setzt somit nicht allein die wesentliche Veränderung der Verhältnisse voraus; vielmehr muss sie auch zum Wohl des Kindes geboten sein. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu aArt. 157 ZGB, an die für das neue Recht angeknüpft werden kann (ANNATINA WIRZ, in: Praxiskommentar Scheidungsrecht, Basel 2000, N. 11 zu Art. 134/315 a/b ZGB), kommt eine Änderung des Sorgerechts nur in Betracht, wenn die Beibehaltung der geltenden Regelung das Wohl des Kindes ernsthaft zu gefährden droht. Eine Neuregelung setzt in diesem Sinn voraus, dass die Veränderung der Verhältnisse zwingend eine solche gebietet, weil die aktuelle Regelung dem Kind mehr schadet als der mit der Änderung der Hauptbezugspersonen verbundene Verlust an Kontinuität in der Erziehung und in den Lebensumständen (vgl. BGE 100 II 76 E. 1 S. 77 f.; 109 II 375 E. 4c S. 380; 111 II 313 E. 4 S. 316). Insbesondere im Falle gemeinsamer elterlicher Sorge ist eine Änderung nur gerechtfertigt, wenn die Grundbedingungen für eine gemeinsame Verantwortung der Eltern nicht mehr gegeben sind, so dass das Kindeswohl die Übertragung der elterlichen Sorge an einen Elternteil gebietet. Dies trifft unter anderem zu, wenn Kooperationswille und Kooperationsfähigkeit der Eltern nicht mehr bestehen. Ob eine wesentliche Veränderung im dargelegten Sinn vorliegt, ist aufgrund sämtlicher Umstände des konkreten Einzelfalles zu beurteilen (Urteil des Bundesgerichts vom 12. November 2002 [5P.212/2002], E. 2.2.3, veröffentlicht in: FamPra.ch 2003 S. 449 ff.; THOMAS SUTTER/DIETER FREIBURGHAUS, Kommentar zum neuen Scheidungsrecht, Zürich 1999, N. 10 und 15 zu Art. 134 ZGB; WIRZ, a.a.O. N. 19 f. zu Art. 134/315a/b ZGB).
7.2 Das Kantonsgericht hat das Begehren um Abänderung der scheidungsrichterlichen Sorgerechtsregelung im Wesentlichen aus zwei Gründen abgelehnt: Weil eine Veränderung im Verhalten der Parteien zueinander nicht nachgewiesen sei, und weil keine zwingenden Gründe des Kindeswohls eine Umstellung des Sorgerechts erheischten. Damit ist die Vorinstanz in zutreffender Weise von den oben dargelegten Grundsätzen ausgegangen, und die Einwände der Beschwerdeführerin schlagen fehl: Es ist zwar richtig, dass Zwistigkeiten zwischen den Eltern dem Kindeswohl grundsätzlich abträglich sind. Im Rahmen eines Abänderungsverfahrens betreffend die Sorgerechtsregelung ist der Richter indessen nicht frei, die ihm aus der Sicht des Kindeswohls angemessen erscheinende Anordnung zu treffen. Vielmehr hat er zu beachten, dass eine Regelung bereits besteht und gelebt wurde. Eine Umteilung der elterlichen Sorge ist nur anzuordnen, wenn der bisherige Modus schlicht nicht mehr gelebt werden kann und eine Änderung das Kindeswohl weniger beeinträchtigt als die Beibehaltung der ursprünglichen Lösung.
7.3 Was in der Beschwerde weiter vorgebracht wird, ist nicht darzutun geeignet, dass die kantonsgerichtliche Annahme, es sei nicht gerechtfertigt, die gemeinsame elterliche Sorge aufzuheben, gegen Bundesrecht verstiesse.
7.3.1 Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass die Vorinstanz von den im Gutachten vom 12. Juli 2005 enthaltenen Empfehlungen, die den Parteien gemeinsam zugewiesene Sorge um das Kind aufzuheben und Z._ unter die alleinige Obhut der Mutter zu stellen, abwich. Welche Anordnungen aufgrund der tatsächlichen Verhältnisse, wie sie in einem im Hinblick auf die Regelung des Kindersorgerechts eingeholten Gutachten festgehalten sind, zu treffen sind, ist eine Frage rechtlicher Natur und somit vom Richter - nach pflichtgemässem Ermessen - zu entscheiden. Dieser ist an allfällige Empfehlungen des beigezogenen Experten mithin keineswegs gebunden. Soweit beanstandet werden will, dass der Richter die dem Gutachten zugrunde gelegten tatsächlichen Gegebenheiten übernommen hat, ist im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG neben der Erheblichkeit für den Ausgang des Verfahrens darzutun, inwiefern die Feststellung der Tatsachen willkürlich sein bzw. auf einer Rechtsverletzung nach Art. 95 BGG beruhen solle (vgl. oben E. 2.3).
7.3.2 Das Kantonsgericht bezeichnet die Empfehlung, die gemeinsame elterliche Sorge aufzuheben, als nicht nachvollziehbar, zumal im Gutachten vom 12. Juli 2005 selbst erklärt werde, dass sich die Situation seit der Anordnung dieser Regelung nicht verschlechtert habe. Angesichts der dort festgehaltenen tatsächlichen Gegebenheiten ist die Auffassung der Vorinstanz nicht zu beanstanden: So wurde namentlich festgestellt, dass beide Parteien über gleichwertige erzieherische Kompetenzen verfügten und zu Z._ eine ähnlich enge Beziehung hätten. Z._ empfinde seinerseits gegenüber beiden Eltern eine ähnliche Zuneigung, hätte am liebsten wieder beide zusammen und mache sich stets Sorgen, dem jeweils nicht anwesenden Elternteil könnte während seiner Abwesenheit etwas zustossen. Ferner wurde im erwähnten Gutachten ausgeführt, dass der Einigung der Parteien, die elterliche Sorge gemeinsam auszuüben, intensiv geführte Auseinandersetzungen vorangegangen seien; die Übergaben des Sohnes gingen ohne offen ausgetragene Konflikte zwischen den Eltern vor sich und Z._ wünsche sich keine Änderung der Aufenthaltsregelung. Die im Bericht ausserdem enthaltenen Hinweise, dass nun beide Elternteile die alleinige Sorge beanspruchten, dass die ähnlichen Eigenschaften und Kompetenzen der beiden und der Wunsch des Kindes jedoch keine Grundlagen für einen Entscheid abgäben, wie auch die Erklärung, dass die Beschwerdeführerin unter der Woche mehr Zeit für Z._ habe und derzeit nicht durch die Pflege eines Kleinkindes beansprucht werde, lassen darauf schliessen, dass der Gutachter den ihm erteilten Auftrag dahin verstand, die Grundlagen für die Beantwortung der Frage zusammenzutragen, welchem der beiden Elternteile die (alleinige) Sorge für Z._ zuzuweisen sei.
Die Beschwerdeführerin legt im Übrigen nicht dar, dass die Beibehaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge dem Wohl von Z._ abträglicher sei als eine Zuweisung der elterlichen Sorge an sie. Aus der Tatsache, dass das Kantonsgericht die von der ersten Instanz angeordnete Beistandschaft hat bestehen lassen, lässt sich nichts zu ihren Gunsten ableiten: Dass das Vorliegen eines Grundes für die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge und für die Zuweisung des Sorgerechts an nur einen der beiden Elternteile verneint wird, bedeutet noch nicht, dass die Spannungen zwischen den Parteien die Betreuungssituation von Z._ nicht belasten würden. Eine Beistandschaft kann sich besonders auch in einem Fall aufdrängen, da die Ausübung des gemeinsamen Sorgerechts in gewissen Punkten (noch) nicht reibungslos verläuft.
8. Soweit auf die Beschwerde einzutreten ist, ist sie nach dem Gesagten abzuweisen. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem als Anwalt in eigener Sache handelnden Beschwerdegegner steht keine Parteientschädigung zu, zumal kein besonderer Aufwand dargetan ist (vgl. BGE 129 II 297 E. 5 S. 304 mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft (Abteilung Zivil- und Strafrecht) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. April 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel