Sachverhalt:
A. X._ (Ehemann) (geb. xxxx 1960) und Z._ (Ehefrau) (geb. xxxx 1977) heirateten 2003 in Thailand. Dieser Ehe sind keine Kinder entsprossen. Mit Eingabe vom 27. November 2006 ersuchte Z._ beim Einzelrichter in Ehesachen am Bezirksgericht Dielsdorf im Rahmen von Eheschutzmassnahmen um die Bewilligung, auf unbestimmte Zeit von ihrem Ehemann, X._, getrennt zu leben. Des Weiteren verlangte sie insbesondere, X._ sei zur Leistung von persönlichen Unterhaltsbeiträgen an sie zu verpflichten. Mit Verfügung vom 10. September 2007 stellte der angerufene Richter fest, dass die Parteien berechtigt seien, auf unbestimmte Zeit getrennt zu leben und bereits seit 1. Januar 2006 getrennt leben. Im Weiteren verpflichtete er X._ zu Unterhaltsleistungen an Z._.
B. B.a Mit Beschluss vom 21. April 2009 verhielt das Obergericht des Kantons Zürich in teilweiser Gutheissung der Rekurse der Parteien X._ dazu, Z._ monatliche zum Voraus auf den Ersten eines Monats zahlbare Unterhaltsbeiträge von Fr. 754.60 für Februar 2007, Fr. 1'435.40 vom 1. März 2007 bis 31. Mai 2007, Fr. 1'095.-- vom 1. Juni 2007 bis 31. Juli 2007, Fr. 3'695 vom 1. August 2007 bis 31. Dezember 2007, Fr. 2'124.-- vom 1. Januar 2008 bis 31. März 2008, Fr. 2'400.-- vom 1. April 2008 bis 31. Januar 2009 und von Fr. 4'240.-- ab 1. Februar 2009 zu bezahlen.
B.b Mit Zirkulationsbeschluss vom 10. Juni 2010 wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich die von X._ gegen die obergerichtliche Festsetzung der Unterhaltsbeiträge erhobene kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ab.
C. Mit einer am 12. Juli 2010 der Post übergebenen Eingabe gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht mit den Begehren, die Beschlüsse des Obergerichts und des Kassationsgerichts seien aufzuheben und es sei festzustellen, dass Z._ (Beschwerdegegnerin) keine weiteren Unterhaltsbeiträge nach Art. 176 ZGB mehr zustehen. Im Weiteren sei festzustellen, dass das Eheschutzverfahren ungebührlich verzögert und dadurch sein Recht auf ein faires Verfahren nach Art. 6 EMRK verletzt worden sei.
D. Dem Begehren des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung wurde nach Anhörung der Beschwerdegegnerin mit Verfügung vom 16. August 2010 bezüglich der nach dem obergerichtlichen Beschluss bis und mit Juni 2010 geschuldeten Unterhaltsbeiträge entsprochen.
In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Massnahmen zum Schutze der Ehe gemäss Art. 172 ff. ZGB sind vorsorgliche Massnahmen im Sinn von Art. 98 BGG (BGE 134 III 667 E. 1.1; 133 III 393 E. 5).
1.2 Bei den im Kanton Zürich erlassenen Eheschutzmassnahmen stellt einzig der Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 10. Juni 2010 einen letztinstanzlichen (Art. 75 Abs. 1 BGG) kantonalen Endentscheid dar, da mit der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde alle vor Bundesgericht gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen (Art. 98 BGG) zulässigen Rügen geltend gemacht werden können (BGE 133 III 585 E. 3). Soweit der Beschwerdeführer seine Beschwerde ebenfalls gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich richtet, ist darauf nicht einzutreten.
1.3 Strittig sind einzig die persönlichen Unterhaltsbeiträge an die Beschwerdegegnerin und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache, deren Streitwert den Betrag von Fr. 30'000.-- bei Weitem übersteigt (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2; Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 51 Abs. 4 BGG). Auf die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG) gegen den Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 10. Juni 2010 eingereichte Beschwerde ist somit einzutreten.
1.4 Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich des Willkürverbotes gemäss Art. 9 BV in der Sachverhaltsfeststellung und der Rechtsanwendung, gerügt werden (Art. 98 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat somit in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzutun, inwiefern die Vorinstanz seine verfassungsmässigen Rechte verletzt hat.
2. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Eheschutzverfahren sei am 28. November 2006 angehoben worden. Der Entscheid des Bezirksgerichts sei am 10. September 2007 ergangen und ihm erst Ende 2007 übermittelt worden. Die Zustellung des Beschlusses des Obergerichts vom 21. April 2009 sei am 23. April 2009 und jene des kassationsgerichtlichen Beschlusses vom 10. Juni 2010 schliesslich am 14. Juni 2010 erfolgt. Damit ergebe sich eine gesamte Verfahrensdauer von dreieinhalb Jahren, die seinen durch Art. 6 Ziff. 1 EMRK verbrieften Anspruch auf eine angemessene Dauer des Verfahrens verletze.
2.1 Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer behauptet, mit Bezug auf das Verfahren vor dem Einzelrichter und dem Obergericht sei sein Anspruch gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt worden. Mit der Nichtigkeitsbeschwerde kann unter anderem die Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK gerügt werden (§ 285 Abs. 2 Satz 2 ZPO/ZH; vgl. auch Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 24. Juli 2009 E. 13.2). Der Beschwerdeführer hat beim Kassationsgericht des Kantons Zürich, was das Verfahren des Einzelrichters und des Obergerichts anbelangt, keine Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK gerügt und hat damit den kantonalen Instanzenzug nicht ausgeschöpft. Insoweit erweist sich das entsprechende rechtliche Vorbringen als neu, bzw. liegt insoweit kein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid vor (Art. 75 Abs. 1 BGG vgl. BGE 133 III 638 E. 2 S. 640).
2.2 Nicht eingetreten werden kann ferner, soweit der Beschwerdeführer geltend macht, das kantonale Verfahren habe insgesamt zu lange gedauert. Er legt nicht durch entsprechenden Hinweis auf die kantonalen Akten dar, dass er das Kassationsgericht auf die unzulässige Dauer des Eheschutzverfahrens hingewiesen und es dazu ermahnt hat, in der Sache zügig zu entscheiden. Entnommen werden kann den Akten aber, dass er am 4. Februar 2010 dem Kassationsgericht eine weitere Mitteilung im Sinne eines Novums zukommen liess, welche der Beschwerdegegnerin ebenso zur Kenntnisnahme zugestellt worden ist. Der Beschwerdeführer behauptet und belegt nicht, dass er danach das Kassationsgericht auf das allzu lang dauernde Verfahren hingewiesen und es dazu ermahnt hat, das Verfahren nun endlich abzuschliessen. Dazu wäre er aber aufgrund der aus der prozessualen Sorgfaltspflicht und dem Grundsatz von Treu und Glauben abgeleiteten Prinzipien verpflichtet gewesen (BGE 125 V 373 E. 2b S. 375 f.).
3. 3.1 Das Kassationsgericht hat ausgeführt, der Beschwerdeführer mache in der Kassationsbeschwerde vorab geltend, es sei unbestritten, dass sich die Frage des eheschutzrichterlichen Unterhalts bei dieser endgültig gescheiterten Ehe nach Art. 125 ZGB und nicht nach Art. 163 ff. ZGB richte. Davon sei auch das Obergericht ausgegangen. Diese Behauptung des Beschwerdeführers treffe nicht zu. Das Obergericht habe vielmehr angenommen, die Frage des Unterhalts sei grundsätzlich nach eheschutzrechtlichen Kriterien zu entscheiden (Art. 176 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB), wobei die Kriterien nach Art. 125 ZGB mitzuberücksichtigen seien, wenn - wie hier - mit einer Wiederaufnahme des gemeinsamen Haushalts nicht mehr gerechnet werden könne. Das Obergericht habe weiter ausgeführt, die Kriterien nach Art. 125 ZGB seien vorliegend bereits dadurch zur Genüge berücksichtigt worden, dass die Beschwerdegegnerin einer vollen Erwerbstätigkeit nachgehe, weshalb sie im Rahmen des Eheschutzverfahrens nach den üblichen eheschutzrechtlichen Kriterien (Art. 176 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB) Anspruch auf Beibehaltung des während der Ehe gelebten Lebensstandards habe. Diese rechtliche Erwägung habe der Beschwerdeführer nicht beanstandet, was bei der Prüfung der einzelnen Rügen zu berücksichtigen sei.
3.2 Der Beschwerdeführer macht zusammengefasst geltend, die vom Kassationsgericht an die Begründung der Beschwerde gestellten Anforderungen seien überspitzt. Er habe klar als willkürlich gerügt, dass die Beschwerdegegnerin aufgrund der Kriterien von Art. 125 ZGB keinen Anspruch auf Unterhaltsbeiträge hätte. Bei einem im Zeitpunkt des obergerichtlichen Entscheids bereits seit einem Jahr hängigen Scheidungsverfahren dürften keine Unterhaltsbeiträge nach Art. 176 ZGB auf unbestimmte Zeit zugesprochen werden.
3.3 Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und den Bürgern und Bürgerinnen den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt. Im Rechtsgang sind prozessuale Formen unerlässlich, um die ordnungsgemässe und rechtsgleiche Abwicklung des Verfahrens sowie die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten. Nicht jede prozessuale Formstrenge steht demnach Art. 29 Abs. 1 BV entgegen. Überspitzter Formalismus ist nur gegeben, wenn die strikte Anwendung der Formvorschriften durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder verhindert (BGE 134 II 244 E. 2.4.2 S. 248).
Eingaben an Behörden, vor allem Rechtsmittelschriften, haben im Allgemeinen bestimmten formellen Anforderungen zu genügen: Es soll aus ihnen hervorgehen, dass und weshalb der Rechtsuchende einen Entscheid anficht und inwieweit dieser geändert oder aufgehoben werden soll. Wird die Gültigkeit eines Rechtsmittels kraft ausdrücklicher gesetzlicher Bestimmung davon abhängig gemacht, dass es eine minimale Begründung enthält, so liegt darin weder eine Verweigerung des Anspruchs auf rechtliches Gehör noch kann darin ein überspitzter Formalismus gesehen werden (BGE 134 II 244 E. 2.4.2 S. 248 mit Hinweisen).
3.4 Nach § 288 Ziff. 3 ZPO/ZH sind die Beschwerdeanträge zu begründen. Das bedeutet insbesondere, dass sich der Beschwerdeführer mit den beanstandeten Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzen muss (vgl. Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 26. Juni 2008), was nach Auffassung des Kassationsgerichts mit Bezug auf die strittige Erwägung nicht geschehen ist. Inwiefern diese Feststellung des Kassationsgerichts willkürlich sein soll, legt der Beschwerdeführer nicht in einer den Begründungsanforderungen der Beschwerde (E. 1.4 hiervor) entsprechenden Weise dar. Damit aber erweist sich die Rüge des überspitzten Formalismus als unbegründet.
3.5 Hat aber der Beschwerdeführer die obergerichtliche Erwägung nicht rechtsgenüglich als willkürlich angefochten, so bleibt es insbesondere bei der obergerichtlichen Ausführung, wonach im Rahmen des Eheschutzverfahrens angesichts der Unmöglichkeit der Wiederaufnahme des ehelichen Zusammenlebens grundsätzlich die Kriterien von Art. 125 ZGB beizuziehen sind, dass aber im konkreten Fall diesen Kriterien bereits dadurch zur genüge Rechnung getragen worden ist, dass die Beschwerdegegnerin einer vollen Erwerbstätigkeit nachgeht (vgl. BGE 128 III 65 E. 4).
3.6 Der Beschwerdeführer scheint die Ansicht zu vertreten, dass die Unterhaltsbeiträge im Rahmen von Eheschutzmassnahmen ausschliesslich nach Art. 125 ZGB, mithin nach den für den nachehelichen Unterhalt bestimmten Kriterien, festzusetzen sind, wenn - wie hier - mit der Wiederaufnahme des gemeinsamen ehelichen Haushalts nicht mehr zu rechnen ist. Daran ist soviel richtig, dass nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts auch im Rahmen des Erlasses von Eheschutzmassnahmen (Art. 176 ZGB) die Kriterien von Art. 125 ZGB beizuziehen sind, wenn mit einer Wiederaufnahme des gemeinsamen ehelichen Lebens nicht mehr zu rechnen ist (BGE 128 III 65). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat die Rechtsprechung aber nicht den Grundsatz aufgestellt, dass in einem Fall wie dem vorliegenden ausschliesslich die Kriterien von Art. 125 ZGB zur Anwendung gelangen. Im erwähnten Entscheid hat das Bundesgericht vielmehr nur geprüft, ob der Ehefrau unter den beschriebenen Umständen (geringe Wahrscheinlichkeit der Wiederaufnahme des gemeinsamen ehelichen Lebens) eine Erhöhung der Erwerbstätigkeit auf 100% nicht zugemutet werden kann. Noch deutlicher ergibt sich dies aus BGE 130 III 537 E. 3.2 S. 541. Darin hat das Bundesgericht ausdrücklich festgehalten, dass auch nach Aufhebung des gemeinsamen Haushalts in einem Scheidungs- oder Eheschutzverfahren der Unterhaltsanspruch seine Grundlage in den Art. 163 ff. ZGB behält, dass aber anhand der Kriterien von Art. 125 Abs. 2 ZGB geprüft werden kann, ob der Ehefrau bereits während der Dauer der vorsorglichen Massnahmen des Scheidungsprozesses eine Wiederaufnahme der Erwerbstätigkeit zuzumuten ist (BGE 130 III 537 E. 3.4 S. 543). Soweit der Beschwerdeführer im vorliegenden Fall ausschliesslich Art. 125 ZGB angewendet wissen will, verkennt er den Sinn der bundesgerichtlichen Rechtsprechung.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, das Kassationsgericht behaupte, das Obergericht habe einen eigenen Bedarf der Beschwerdegegnerin errechnet und dabei allein auf deren Vorbringen abgestellt. Das Kassationsgericht führe sodann aus, das Obergericht hätte den von der Beschwerdegegnerin behaupteten Betrag von Fr. 7'539.-- nur als Obergrenze einbezogen. Diese Behauptung des Kassationsgerichts treffe nicht zu. Vielmehr habe das Obergericht auf S. 24 des Entscheides einen Unterhaltsbeitrag (gemeint ist wohl: Unterhaltsbedarf) von Fr. 8'696.-- ermittelt und daraus einen Unterhaltsanspruch der Beschwerdegegnerin von Fr. 5'400.-- pro Monat errechnet. Wie das Kassationsgericht zu Recht hervorhebe, habe das Obergericht den Bedarf der Beschwerdegegnerin selbstständig berechnet. Es habe deren theoretischen Unterhaltsbedarf ermittelt und diesen um einen Drittel des Freibetrages erweitert. Damit aber habe das Obergericht nicht den in der Ehe gelebten Lebensstandard selbst ermittelt, sondern einfach auf die bestrittenen Angaben der Beschwerdegegnerin abgestellt. Mit diesem Vorgehen sei das Obergericht zumindest seiner Begründungspflicht nicht nachgekommen, zumal allein die Höhe des Lebensstandards für die Bemessung der Alimente massgebend sei. Das Obergericht habe nicht begründet, weshalb es nicht auf die Angaben des Beschwerdeführers, sondern ausschliesslich auf jene der Beschwerdegegnerin abstelle. Das Kassationsgericht habe eine Verletzung von Bundesrecht durch das Obergericht zu Unrecht verneint und sei damit in Willkür verfallen.
4.2 Aus dem Entscheid des Obergerichts ergibt sich unmissverständlich, dass der Betrag von Fr. 7'539.-- als obere Grenze für den geltend gemachten gebührenden Unterhalt anzunehmen sei. Soweit der Beschwerdeführer dies bestreitet, legt er nicht dar, inwiefern das Kassationsgericht mit der entsprechenden Feststellung in seinem Urteil in Willkür verfallen sein soll. Woher der Beschwerdeführer den Betrag von Fr. 8'696.-- herleitet, bleibt schlicht unerfindlich, zumal dieser Betrag auf der entscheidenden Seite 24 des obergerichtlichen Urteils nicht herausgelesen werden kann. Insoweit ist Willkür nicht ersichtlich. Sodann hat das Kassationsgericht betont, das Obergericht habe bei der Ermittlung des Bedarfs jede einzelne von der Beschwerdegegnerin aufgeführte Bedarfsposition sowie die dagegen geltend gemachten Einwendungen des Beschwerdeführers geprüft und sei zu einem anderen Ergebnis, nämlich zu einem monatlichen Bedarf von Fr. 4'619.-- gelangt. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers hat das Obergericht nach den Feststellungen des Kassationsgerichts nicht ausschliesslich auf die Aussagen der Beschwerdegegnerin abgestellt. Die Rüge geht an den kassationsgerichtlichen Ausführungen vorbei und es ist nicht ersichtlich, inwiefern hier das Kassationsgericht in Willkür verfallen sein oder das rechtliche Gehör verletzt haben soll. Darauf ist insgesamt nicht einzutreten.
Soweit der Beschwerdeführer dem Kassationsgericht vorwirft, es habe Willkür zu Unrecht verneint, zumal für die Ermittlung des Unterhalts entgegen der Auffassung des Obergerichts nicht auf den Bedarf, sondern auf den in der Ehe gelebten Lebensstandard abzustellen sei, kann der Beschwerde kein Erfolg beschieden sein. Zwar trifft zu, dass es bei der Ermittlung des Bedarfs für die Dauer der Eheschutzmassnahmen nicht zu einer Vermögensverschiebung kommen soll, die eine güterrechtliche Auseinandersetzung der Ehegatten praktisch vorwegnähme (BGE 114 II 26 E. 8 S. 31 f). Ist ein Teil des Einkommens des Ehegatten gespart worden, soll im Rahmen der Eheschutzmassnahmen grundsätzlich nicht das ganze Einkommen aufgeteilt werden, da es sonst zu einer vorweggenommenen güterechtlichen Auseinandersetzung käme. Das Obergericht hat indes festgestellt, die Parteien hätten während der gelebten Ehe nicht gross Vermögen bilden können. Der Beschwerdeführer zeigt nicht durch klaren Verweis auf die einschlägige Stelle der Nichtigkeitsbeschwerde auf, dass er diese obergerichtliche Feststellung beim Kassationsgericht als willkürlich gerügt hat. Ist aber die Bildung von Vermögen während der Ehe nicht ausgewiesen, kann in der Art der Bedarfsermittlung durch das Obergericht auch keine Willkür erblickt werden. Unter den gegebenen Umständen ist nicht ersichtlich, inwiefern dem Kassationsgericht in Zusammenhang mit der Bedarfsbestimmung Willkür vorgeworfen werden könnte. Darauf ist nicht einzutreten.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht habe ihm bei seiner Liegenschaft in Izmir hypothetische Mietzinseinnahmen angerechnet, die entsprechende Aufrechnung bei der Liegenschaft der Beschwerdegegnerin in Bangkok aber unterlassen. Das Kassationsgericht sei in Willkür verfallen bzw. habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem es sich mit der Frage der rechtsungleichen Nichtaufrechnung des Mietzinseinnahmen für die Liegenschaft der Beschwerdegegnerin in Bangkok nicht befasst habe.
5.2 Das Obergericht hat zu diesem Punkt erwogen, der Beschwerdeführer habe nicht in substanziierter Form vorgebracht, in welcher Höhe Mietzinseinnahmen der Beschwerdegegnerin aus der Liegenschaft in Thailand erzielt werden könnten. Zudem sei die Liegenschaft zum Verkauf freigegeben worden. Das Kassationsgericht hält dafür, der Beschwerdeführer rüge den Vorhalt der mangelnden Substanziierung, setze sich aber in keiner Weise mit der obergerichtlichen Erwägung auseinander. Selbst wenn die Rüge betreffend mangelnde Substanziierung berechtigt wäre, bliebe es bei der zweiten vorinstanzlichen Erwägung, wonach der Beschwerdegegnerin deswegen keine Mietzinseinnahmen für ihre Wohnung in Bangkok angerechnet werden, weil die Liegenschaft zum Verkauf freigegeben worden sei. Mit seiner Behauptung, das Obergericht habe das Argument des Verkaufs erfunden, ist der Beschwerdeführer nicht zu hören: Es ist nicht ersichtlich und wird auch nicht durch entsprechende Aktenstellen belegt, dass der Beschwerdeführer diese Sachverhaltsfeststellung beim Kassationsgericht als willkürlich angefochten hätte. Damit aber bleibt unerfindlich, warum sich das Kassationsgericht mit einer angeblich rechtsungleichen Behandlung des Beschwerdeführers hätte befassen und deswegen den obergerichtlichen Entscheid als willkürlich hätte werten sollen. Die Rüge der Verletzung des Willkürverbots bzw. der Verletzung des rechtlichen Gehörs ist unbegründet, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
6. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat erfolglos auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung geschlossen und ist im Übrigen nicht zur Vernehmlassung in der Sache eingeladen worden. Daher ist ihr für das bundesgerichtliche Verfahren keine Entschädigung zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden