Faits:
A. Par requête à fin de mesure provisoire du 9 juillet 2009, les époux F.Y._ et H.Y._ ont sollicité le Président du Tribunal d'arrondissement de Courtelary, Moutier et La Neuveville, à Moutier, d'ordonner l'expulsion de X._ et d'une autre personne qui habitent prétendument sans droit un immeuble de La Neuveville; les requérants exposaient que ce bien avait été récemment vendu aux enchères forcées et qu'ils en étaient devenus les propriétaires.
X._ a demandé la récusation de tous les présidents du Tribunal d'arrondissement de Courtelary, Moutier et La Neuveville. Il avait déjà comparu en de multiples occasions devant ce tribunal. Le Président A._ l'avait à plusieurs reprises désigné comme « malade et paranoïaque ». Ce président avait refusé de prendre en considération que l'avocat de l'adverse partie se trouvait dans un cas de double représentation prohibée. Lorsque lui-même avait comparu sans l'assistance d'un avocat, le Président A._, usant de propos dépréciatifs, l'avait empêché de s'expliquer sur l'objet du litige. Lors d'autres audiences, le Président B._ lui avait également adressé des critiques personnelles et dépréciatives. Ces magistrats étaient donc suspects de partialité à son encontre, ce qui imposait leur récusation. X._ n'élevait aucun grief particulier contre les autres présidents du Tribunal d'arrondissement, lesquels avaient eux aussi, parfois, pris part à des affaires le concernant; néanmoins, il tenait pour « judicieux » que l'on désignât un président provenant d'un autre arrondissement judiciaire.
L'instruction avait d'abord été confiée au Président B._; elle fut immédiatement transférée au Président C._.
La IIe Chambre civile de la Cour d'appel a statué sur la demande de récusation le 11 septembre 2009; elle l'a rejetée, dans la mesure où elle était recevable. Selon sa décision, cette demande est insuffisamment motivée en tant qu'elle vise le Président C._; elle est tardive en tant qu'elle doit aboutir à l'invalidation des premiers actes d'instruction - transmission de la requête aux parties citées; prolongations du délai de réponse - du Président B._; enfin, il n'y a pas lieu de récuser le Président A._ car celui-ci ne prend pas part à la cause. L'auteur de la demande doit acquitter un émolument judiciaire de 300 francs.
B. Par mémoire intitulé « recours en matière de droit public », X._ requiert le Tribunal fédéral d'annuler la décision de la Cour d'appel et de prononcer que les frais de la demande de récusation suivront le sort de ceux de la requête à fin de mesure provisoire.
Une demande d'assistance judiciaire est jointe au recours.
Les époux Y._ n'ont pas été invités à répondre.
Considérant en droit:
1. La décision de la Cour d'appel est une décision incidente relative à une demande de récusation, aux termes de l'art. 92 al. 1 LTF; elle est susceptible de recours selon cette disposition.
Il s'agit d'une décision prise en matière civile (art. 72 al. 1 LTF), quant à l'objet du litige principal, et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Pour autant que la valeur litigieuse excède le minimum légal (art. 51 al. 1 let. c et 74 al. 1 LTF), la décision est susceptible du recours ordinaire en matière civile; dans la négative, elle n'est susceptible que du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
En principe, la valeur de l'action tendant à l'évacuation du logement occupé à La Neuveville devrait être appréciée conformément à l'art. 51 al. 2 LTF. Toutefois, le recourant se plaint seulement de violation de ses droits constitutionnels, ce qui est admissible aussi bien dans le cadre d'un recours ordinaire (art. 95 let. a et c LTF) que dans celui d'un recours subsidiaire (art. 116 LTF). Le recours ordinaire est recevable, le cas échéant, même s'il n'est pas intitulé correctement (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382). Par conséquent, dans la présente affaire, le Tribunal fédéral peut entrer en matière sans élucider la voie pertinente à raison de la valeur litigieuse. Le recours a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
2. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial, conférée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH, permet au plaideur d'exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à faire naître un doute sur son impartialité; elle tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Cette garantie n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du juge est établie car le sentiment intime du magistrat ne peut guère être prouvé; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale. Toutefois, seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles de l'une des parties au procès ne sont pas décisives (ATF 134 I 238 consid. 2.1 p. 240; 131 I 24 consid. 1.1 p. 25; 125 I 119 consid. 3a p. 122).
De la décision attaquée, il ressort sans équivoque que les Présidents A._ et B._ devront désormais s'abstenir de prendre part à la cause, de sorte que, quels que soient les indices de partialité que l'on puisse éventuellement relever contre eux, la décision à intervenir sera compatible avec la garantie d'un tribunal indépendant et impartial. Il est ainsi exclu que ces magistrats remplacent le Président C._, sporadiquement ou durablement, dans l'instruction et le jugement de la requête à fin de mesure provisoire.
Au regard de cette situation, il eût incombé au recourant d'alléguer des circonstances propres à mettre en doute l'impartialité de chacun des autres présidents du Tribunal d'arrondissement, et, en particulier, du Président C._ auquel l'affaire se trouve actuellement attribuée. De toute évidence, la récusation de ces magistrats n'est pas justifiée. Le recourant insiste sur les remplacements mutuels qui sont habituellement pratiqués entre les présidents du Tribunal d'arrondissement, mais, à elle seule, dans le contexte des instructions implicitement données par la Cour d'appel, cette pratique n'est d'aucune pertinence.
3. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. confère à toute personne le droit de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, d'avoir accès au dossier, d'offrir des preuves quant aux faits de nature à influer sur la décision, de participer à l'administration des preuves et de se déterminer à leur propos (ATF 129 II 497 consid. 2.2 p. 504; 127 I 54 consid. 2b p. 56; 126 I 97 consid. 2b p. 102). Cette garantie inclut le droit à l'administration des preuves valablement offertes, à moins que le fait à prouver ne soit dépourvu de pertinence ou que la preuve apparaisse manifestement inapte à la révélation de la vérité. Par ailleurs, le juge est autorisé à effectuer une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles et, s'il peut admettre de façon exempte d'arbitraire qu'une preuve supplémentaire offerte par une partie serait impropre à ébranler sa conviction, refuser d'administrer cette preuve (ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428; 125 I 417 consid. 7b p. 430).
Le recourant fait grief à la Cour d'appel de n'avoir pas pris connaissance d'une plainte pénale introduite par lui contre diverses personnes, y compris les Présidents A._ et B._, contenant prétendument des renseignements détaillés sur leur comportement à son encontre. Or, compte tenu que ces deux juges se tiendront de toute manière à l'écart de l'affaire présentement en cours, il était inutile d'élucider plus avant la suspicion de partialité. Il était, en particulier, inutile d'étudier la plainte pénale.
4. Une décision est arbitraire, donc contraire à l'art. 9 Cst., lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153).
Le recourant fait valoir qu'il a présenté une demande d'assistance judiciaire avec sa demande de récusation; il affirme que les conditions de l'assistance judiciaire étaient satisfaites et que, dans cette situation, sa condamnation à payer un émolument de 300 fr. est arbitraire. Ce moyen, comme les précédents, n'est pas fondé: dans la mesure où elle tendait indistinctement au déport de tous les présidents du Tribunal d'arrondissement, la demande de récusation ne présentait aucune perspective de succès. Il s'ensuit qu'un refus de l'assistance judiciaire, en rapport avec cette demande, est compatible avec la protection contre l'arbitraire.
5. Selon l'art. 64 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral peut accorder l'assistance judiciaire à une partie lorsque celle-ci ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec. En l'occurrence, à l'instar de la demande de récusation adressée à la Cour d'appel, la procédure entreprise devant le Tribunal fédéral n'offrait manifestement aucune chance de succès. La demande d'assistance judiciaire sera donc rejetée.
A titre de partie qui succombe, le recourant doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral. Les intimés n'ont pas été invités à répondre au recours et il ne leur sera donc pas alloué de dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Le recourant acquittera un émolument judiciaire de 1'000 francs.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel du canton de Berne.
Lausanne, le 18 novembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin