Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 10. September 1999 sprach die IV-Stelle Luzern der 1958 geborenen A._ rückwirkend ab 1. April 1996 wegen Fibromyalgie eine halbe Rente (bei einem IV-Grad von 53 %) sowie drei Kinderrenten zu. Im Jahr 2006 erkrankte A._ an Brustkrebs. Die IV-Stelle holte ärztliche Berichte und eine Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 29. September 2006 ein und verfügte am 5. Dezember 2006 die Zusprechung einer ganzen Rente ab 1. Oktober 2006. Nach neuen Abklärungen, einem Triage-Gespräch vom 5. März 2007 und Stellungnahme des RAD vom 6. März 2007 setzte die IV-Stelle den Rentenanspruch mit Verfügung vom 27. April 2007 wieder auf eine halbe Rente herab (bestätigt am 25. Januar 2011). Bereits am 18. April 2007 hatte sie Beratung und Unterstützung bei der Stellensuche gewährt.
Nach Inkrafttreten der Schlussbestimmungen der Änderung des IVG vom 18. März 2011 (6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket [AS 2011 5659]; nachfolgend: SchlB IVG) am 1. Januar 2012 aktualisierte die IV-Stelle ihre Unterlagen und stellte mit Vorbescheid vom 11. Oktober 2012 die Aufhebung der bisherigen Invalidenrente mit der (ausschliesslichen) Begründung in Aussicht, die gesundheitliche Beeinträchtigung (Fibromyalgie) sei überwindbar, weshalb gemäss den SchlB IVG für die Zukunft kein Rentenanspruch mehr bestehe. A._ liess hiegegen Einwände erheben und insbesondere geltend machen, sie beziehe seit mehr als 15 Jahren eine IV-Rente, diese könne daher nicht aufgehoben werden.
Am 5. Dezember 2012 sprach die IV-Stelle A._ ein Job-Coaching zu. Mit Verfügung vom 6. Dezember 2012 hielt sie an der Renteneinstellung fest und führte zur Begründung an, ausschlaggebend sei der Verfügungserlass vom " 18. November 1998". Am 7. Dezember 2012 verfügte die IV-Stelle die Weiterausrichtung der Rente während des Job-Coaching (längstens bis 31. Januar 2015).
B.
A._ liess gegen die Verfügung vom 6. Dezember 2012 Beschwerde erheben. Das Kantonsgericht Luzern hiess diese mit Entscheid vom 26. September 2013 gut, hob die angefochtene Verfügung auf und sprach A._ weiterhin eine halbe Rente zu. Während des Schriftenwechsels verfügte die IV-Stelle am 6. Mai 2013 den Abbruch der Wiedereingliederungsmassnahmen. Gegen diese Verfügung liess A._ ebenfalls Beschwerde erheben. Am 10. Juli 2013 teilte die IV-Stelle A._ mit, sie gewähre Beratung und Begleitung im Rahmen der Eingliederungsmassnahmen und nehme die Zahlungen der Übergangsrente ab 1. Juni 2013 wieder auf.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, in Aufhebung der Ziffern 1-3 des kantonalen Entscheides vom 26. September 2013 sei die Vorinstanz anzuweisen, auf das Gesuch um substituierte Prüfung der Wiedererwägung einzutreten und dieses materiell zu prüfen. In prozessualer Hinsicht ersucht die IV-Stelle, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um aufschiebende Wirkung schliessen. Es sei festzuhalten, dass die IV-Stelle ihr ab 1. November 2013 Rentenleistungen auszurichten habe. In prozessualer Hinsicht ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung. Gleichzeitig lässt sie einen Vorbescheid der IV-Stelle vom 18. November 2013 ins Recht legen, mit welchem die IV-Stelle in Aussicht stellt, wegen Nichtanwendbarkeit der SchlB IVG (gemäss kantonalem Entscheid vom 26. September 2013) und Wegfalls der damit zusammenhängenden Massnahmen die Wiedereingliederungsmassnahmen per 18. Oktober 2013 und die Ausrichtung einer halben Invalidenrente ab 31. Oktober 2013 einzustellen.
D.
Mit Verfügung vom 20. Dezember 2013 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (Art. 95 lit. a BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140).
2.
Gemäss lit. a Abs. 1 SchlB IVG werden Renten, die bei pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage (nachfolgend: unklare Beschwerden) gesprochen wurden, innerhalb von drei Jahren nach Inkrafttreten dieser Änderung überprüft. Sind die Voraussetzungen nach Art. 7 ATSG nicht erfüllt, so wird die Rente herabgesetzt oder aufgehoben, auch wenn die Voraussetzungen von Art. 17 Abs. 1 ATSG nicht erfüllt sind. Abs. 4 der Bestimmung präzisiert, dass Abs. 1 keine Anwendung findet auf Personen, die im Zeitpunkt des Inkrafttretens der Änderung das 55. Altersjahr zurückgelegt haben oder im Zeitpunkt, in dem die Überprüfung eingeleitet wird, seit mehr als 15 Jahren eine Rente der Invalidenversicherung beziehen. Massgeblicher Anknüpfungspunkt ist der Beginn des Rentenanspruchs, nicht der Zeitpunkt des Erlasses der rentenzusprechenden Verfügung (BGE 139 V 442 E. 4.3 S. 450).
3.
3.1. Das kantonale Gericht erwog, die Voraussetzung des 15-jährigen Rentenbezuges sei erfüllt, weshalb eine Leistungsaufhebung gestützt auf lit. a Abs. 1 SchlB IVG ausser Betracht falle. Bezüglich der beantragten Wiedererwägung fehle es an einem formellen Anfechtungsgegenstand, nachdem die leistungseinstellende Verfügung sich ausschliesslich auf die SchlB IVG stütze. Eine materielle Revisionsverfügung nach Art. 17 ATSG, welche allenfalls mit der substituierten Begründung der Wiedererwägung geschützt werden könnte, liege ebenfalls nicht vor, weshalb kein Anlass zur Prüfung der Wiedererwägungsvoraussetzungen bestehe.
3.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht mehr, dass eine Leistungseinstellung gestützt auf lit. a Abs. 1 SchlB IVG ausser Betracht fällt, weil die Beschwerdegegnerin seit 1. April 1996 und damit im Zeitpunkt des Inkrafttretens der IV-Revision 6a bereits seit mehr als 15 Jahren eine Invalidenrente bezog. Sie macht aber geltend, das kantonale Gericht hätte in Nachachtung seiner Untersuchungspflicht und der Rechtsanwendung von Amtes wegen prüfen müssen, ob die Rentenaufhebungs-Verfügung vom 6. Dezember 2012 "im Sinne einer substituierten Revision oder allenfalls Wiedererwägung zu schützen gewesen wäre", weil im Rahmen der am 27. April 2007 verfügten Rentenherabsetzung die zwischenzeitlich gefestigte "Schmerzrechtsprechung" nicht angewendet und die Verfügung mit der weiterhin eine halbe Rente zugesprochen worden war, daher offensichtlich falsch gewesen sei. Der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht.
4.
4.1. Weil die mit BGE 130 V 352 etablierte Rechtsprechung zur Beurteilung unklarer Beschwerdebilder für sich allein nicht ausreicht, um - im Sinne der Anpassung an eine veränderte Rechtsgrundlage - auf laufende Invalidenrenten zurückzukommen (BGE 135 V 215) und lit. a Abs. 1 SchlB IVG wegen der in Abs. 4 dieser Bestimmung verankerten Ausschlussklausel eine Rentenrevision im Fall der Beschwerdegegnerin verbietet (vorangehende E. 2), liesse sich eine revisionsweise Rentenaufhebung nur mit verbesserten gesundheitlichen Verhältnissen oder veränderten anderweitigen Bemessungsfaktoren begründen. Als Ergebnis des im Juni 2012 von Amtes wegen in die Wege geleiteten Revisionsverfahrens gelangte die Beschwerdeführerin indes zum Schluss, die neuen medizinischen Unterlagen wiesen keine neuen Beschwerdebilder auf, die nicht schon bei den vorangehenden Abklärungen berücksichtigt worden wären. Auf welcher Basis die Beschwerdeführerin bei dieser Ausgangslage die verfügte Renteneinstellung unter dem Titel der Rentenrevision (Art. 17 Abs. 1 ATSG) hätte prüfen und beurteilen wollen, bleibt somit im Dunkeln und wird von ihr selbst in keiner Weise dargelegt. Während die letztinstanzliche Beschwerde keinerlei Ausführungen zu einem allfälligen Revisionsgrund enthält, hatte sich die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren auf die überwundene Krebserkrankung der Beschwerdegegnerin berufen. Diese war Anlass für die am 27. April 2007 revisionsweise verfügte Rentenherabsetzung und kann nicht als Revisionsgrund für die am 6. Dezember 2012 erlassene Verfügung herangezogen werden. Dass beim Erlass der Verfügung vom 27. April 2007 die Schmerzrechtsprechung zu Unrecht nicht berücksichtigt worden sei, ist nicht revisionsrechtlich relevant, sondern wäre allenfalls Grund für eine Wiedererwägung (hiezu nachfolgende E. 4.2). Eine Prüfung und Beurteilung der verfügten Renteneinstellung unter dem substituierten Titel der Rentenrevision nach Art. 17 Abs. 1 ATSG scheidet folglich aus.
4.2. Die Vornahme einer Wiedererwägung liegt in der ausschliesslichen Kompetenz der Verwaltung. Allein die IV-Stelle hätte es in der Hand gehabt, ihre rentenzusprechende Verfügung vom 27. April 2007 in Wiederwägung zu ziehen, nachdem sie zur Auffassung gelangt war, beim Verfügungserlass sei die Rechtsprechung zu den unklaren Beschwerdebildern zu Unrecht nicht berücksichtigt worden. Diese Kompetenz konnte sie auch nicht durch einen entsprechenden Antrag im kantonalen Beschwerdeverfahren an die Vorinstanz abtreten. Zum einen räumt Art. 53 Abs. 3 ATSG dem Versicherungsträger explizit die Möglichkeit ein, auf eine erst im Rechtsmittelverfahren als mangelhaft erkannte Verfügung zurückzukommen (und es stehen der versicherten Person gegen eine neue Verfügung wiederum alle Rechtsbehelfe zur Verfügung). Davon abgesehen, dass das Gericht, welches in der Sache noch nichts erwogen hat, bereits begrifflich nicht "wieder"erwägen kann, wäre zum andern mit einer solchen Kompetenzdelegation eine unzulässige Vermischung der Aufgaben von Verwaltung und Gericht verbunden (BGE 125 V 368 E. 3b S. 370). Dass ein Gericht befugt ist, eine auf Art. 17 ATSG gestützte Revisionsverfügung mittels substituierter Begründung der Wiedererwägung zu bestätigen, wenn erst im kantonalen Beschwerdeverfahren die zweifellose Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenverfügung festgestellt wird, ändert daran nichts. Das Gericht kann auf diesem Weg lediglich im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen, nach Gewährung des rechtlichen Gehörs, eine im Ergebnis richtige, aber falsch begründete Verfügung aus anderen rechtlichen Überlegungen schützen (BGE a.a.O. E. 3b S. 370). Kommt die Verwaltung selbst - auch erst lite pendente (in BGE 129 V 73 nicht publ. E. 2.2 des Urteils B 26/01 vom 29. November 2002) - zum Schluss, die von ihr erlassene Verfügung sei offensichtlich unrichtig, bleibt der Entscheid über eine Wiedererwägung nach dem Gesagten allein in ihrer Kompetenz.
Im Übrigen fiele eine Wiedererwägung ohnehin ausser Betracht, weil die Verfügung vom 27. April 2007 nicht als offensichtlich unrichtig im wiedererwägungsrechtlichen Sinn bezeichnet werden kann. Eine solche Unrichtigkeit setzt voraus, dass kein vernünftiger Zweifel an der Unrichtigkeit der Verfügung besteht und nur ein einziger Schluss - derjenige auf die Unrichtigkeit der Verfügung - denkbar wäre (in BGE 140 V 15 nicht publ. E. 4.1 des Urteils 9C_125/2013 vom 12. Februar 2014 mit Hinweisen). Zwar entsprach es bereits im Frühjahr 2007 der bundesgerichtlichen Praxis, die für somatoforme Schmerzstörungen entwickelten Grundsätze auch auf eine Fibromyalgie analog anzuwenden (BGE 132 V 65 E. 4.2 S. 71). Die erneute Zusprechung einer halben Invalidenrente im April 2007 erscheint aber im damaligen Kontext gleichwohl nicht als geradezu zweifellos unrichtig im Sinn der höchstrichterlichen Rechtsprechung. Die Verfügung vom 27. April 2007 basierte auf aktualisierten medizinischen Berichten. So attestierte Dr. med. B._, Facharzt Gynäkologie und Geburtshilfe, Chefarzt am Spital C._, in seinem Bericht vom 17. Januar 2007 eine Einschränkung der Arbeitsunfähigkeit zwischen 50 und 70 %. Insbesondere kam der RAD nach einem Gespräch mit der Versicherten vom 6. März 2007 zum Schluss, funktionell sei der Zustand vor der Krebserkrankung erreicht; die subjektive Einschätzung und die Schmerzsituation beeinflussten die Zumutbarkeit nicht, weshalb die Arbeitsfähigkeit für leichte bis mittelschwer wechselbelastende Tätigkeiten auf das frühere Niveau (50 %) festzulegen sei. Auch wenn durchaus Vorbehalte am Vorgehen des RAD und der IV-Stelle angebracht werden können (und aus heutiger Sicht ein invalidisierender Gesundheitsschaden verneint würde), erscheint die - ermessensgeprägte - Anspruchsprüfung nicht geradewegs als zweifellos unrichtig.
Die vorinstanzlich verneinte Rechtmässigkeit der Rentenaufhebung ist damit im Ergebnis nicht zu beanstanden und der Anspruch der Beschwerdegegnerin auf eine halbe Invalidenrente zu bestätigen.
5.
Die Gerichtskosten sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Sie hat der anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, der Ausgleichskasse Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Juni 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Bollinger Hammerle