Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Auf die Ausstandsbegehren gegen einzelne Richter des Bundesgerichts ist mangels Nennung eines tauglichen Ausstandsgrundes (vgl. Art. 34 BGG) nicht einzutreten.
2. Eine Beschwerde ans Bundesgericht ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen (Art. 100 Abs. 1 BGG). Die Verfügung und das Urteil des Obergerichts wurden dem Beschwerdeführer am 6. April 2009 eröffnet. Die Beschwerde musste somit unter Berücksichtigung von Art. 46 Abs. 1 lit. a BGG spätestens am 19. Mai 2009 beim Bundesgericht eingereicht werden. Während die erste Eingabe des Beschwerdeführers vom 5. Mai 2009 fristgerecht ist, kann auf die zweite Eingabe vom 22. Mai 2009 wegen Verspätung nicht eingetreten werden.
3. Anfechtungsobjekte im vorliegenden Beschwerdeverfahren sind einzig die Verfügung des Obergerichts betreffend Ablehnungsbegehren vom 18. März 2009 sowie das Urteil betreffend Widerhandlung gegen das Anwaltsgesetz etc., welches ebenfalls vom 18. März 2009 datiert (Art. 80 Abs. 1 BGG). Soweit sich die Ausführungen des Beschwerdeführers gegen das Urteil der Amtsgerichtsstatthalterin von Olten-Gösgen vom 20. Oktober 2006 richten (vgl. Beschwerde S. 4), kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
4. Das Obergericht des Kantons Solothurn trat auf die vom Beschwerdeführer gestellten Ablehnungsbegehren mit Verfügung vom 18. März 2009 nicht ein. Gleichentags fällte es das Urteil in der Sache. In prozessualer Hinsicht stellte es klar, dass das eingelegte Rechtsmittel in Anwendung von § 190 Abs. 1 StPO/SO als Kassationsbeschwerde zu behandeln sei. Als reines Rechtsrügemittel lasse dieses keine Beweiserhebungen durch das Obergericht zu, es sei denn, es komme zur Aufhebung des angefochtenen Urteils. Auf die im Kassationsbeschwerdeverfahren gestellten Beweisanträge könne deshalb nicht eingetreten werden. Weiter führte es aus, dass der Antrag um Beizug eines amtlichen Verteidigers nicht rechtsgenüglich gestellt worden sei. Das Obergericht habe daher zu Recht nicht darüber entschieden. Im Übrigen liege angesichts der überschaubaren tatsächlichen und einfachen rechtlichen Verhältnisse kein Anwendungsfall im Sinne von § 9 Abs. 1 lit. e StPO/SO vor.
Materiell befasste sich das Obergericht eingehend mit den geltend gemachten Kassationsgründen (Verletzung wesentlicher Verfahrensgrundsätze, willkürliche Sachverhaltsfeststellung sowie unrichtige Rechtsanwendung). In Gutheissung der Beschwerde und Aufhebung des erstinstanzlichen Urteils sprach es den Beschwerdeführer vom Vorwurf der Widerhandlungen gegen das Anwaltsgesetz, angeblich festgestellt im April 2004, frei und stellte es das Strafverfahren wegen Tätlichkeit zum Nachteil von A._ ein. In Bezug auf den Vorhalt der mehrfachen Verkehrsregelverletzung, angeblich begangen am 3. Januar 2005, verschob es die Urteilsfällung und ordnete die Durchführung eines Augenscheins mit Zeugenbefragung an. Im Übrigen, d.h. in Bezug auf die Schuldsprüche wegen Widerhandlung gegen das Anwaltsgesetz, festgestellt am 16. August 2005, und wegen Verletzung der Verkehrsregeln (Nichttragen von Sicherheitsgurten), begangen am 2. Juni 2004, wies es die Kassationsbeschwerde ab. Nur gerade in diesem engen Rahmen ist die vorliegende Beschwerde zulässig, ansonsten der Beschwerdeführer entweder nicht beschwert ist (Freispruch, Einstellung) oder es an einem tauglichen Anfechtungsobjekt im Sinne von Art. 93 BGG fehlt (Verschieben der Urteilsfällung bzw. des "Abspruchs").
5. In einer Beschwerde in Strafsachen ist in gedrängter Form zu begründen, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid schweizerisches Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft derartige Rügen nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise dar-gelegt und begründet worden sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.2).
Der Beschwerdeführer erfüllt diese Voraussetzungen überwiegend nicht. Er beruft sich zwar auf "BV 29 + EMRK 6.1" bzw. "EMRK 6.1 + BV 29/30", auf "BV 10, KV 176 15 usw." sowie auf "BV 26.2" und den "solothurnischen Standard", legt aber nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern die Vorinstanz diese Bestimmungen verletzt bzw. kantonales Recht willkürlich angewendet haben könnte. Soweit der Beschwerdeführer beispielsweise eine Verletzung des Anspruchs auf ein unabhängiges und unvoreingenommenes Gericht rügt, verweist er zur Hauptsache auf die "Bussengeldgier" der am angefochtenen Entscheid mitwirkenden Personen und führt aus, er habe "explizit das Zustellen an eine ausserkantonale richterliche Behörde verlangt", weil es den solothurnischen Behörden nur darum gehe, "Geld in die Staatskasse zu holen, egal wie illegal die Mittel und Werkzeuge dazu auch seien" (Beschwerde, S. 2 und 11). Oder er macht im Sinne eines gravierenden Verfahrensmangels geltend, dass sein Antrag auf Beizug eines amtlichen Verteidigers mit "völlig irrationalen, fadenscheinigen Argumenten" formell nicht behandelt worden sei. Ein solcher Verteidiger hätte ihm aber aufgrund seines strengen Studiums und der Überlastung wegen eigener Fälle zugestanden. Wegen der "illegalen Bussengeldgier" des Kantons Solothurn, der "sich als scheinbar arm betrügerisch" präsentiere, habe er die Beschwerdeeingabe alleine verfassen müssen (Beschwerde, S. 5 f.). Auf eine solche unsubstantiierte Kritik ist nicht einzutreten. Im Übrigen kann in Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG vollumfänglich auf die umfassenden und in jeder Hinsicht überzeugenden Ausführungen des Obergerichts verwiesen werden. Was daran gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte, ist nicht ersichtlich. Diesen Ausführungen ist nichts beizufügen. Das gilt auch, soweit der Beschwerdeführer pauschal Bundesgesetzesrecht (StGB, SVG) als verletzt rügt. Das von ihm angerufene BGFA ist vorliegend nicht einschlägig.
Soweit auf die Beschwerde somit überhaupt eingetreten werden kann, ist sie im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Soweit er für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege beantragt, kann diesem Gesuch wegen Aussichtslosigkeit seiner Begehren nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist durch eine herabgesetzte Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG). Eine Parteientschädigung (vgl. Art. 68 BGG) oder gar eine Genugtuung ist nicht auszurichten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Arquint Hill