Erwägungen:
1. Die Stimmberechtigten des Kantons Zürich stimmten am 28. September 2008 der Volksinitiative "Schutz vor Passivrauchen" zu. Die Volksinitiative beinhaltet eine Änderung von § 22 des kantonalen Gastgewerbegesetzes vom 1. Dezember 1996 wie folgt:
"1 Das Rauchen in Innenräumen von Gastwirtschaftsbetrieben ist verboten.
2 Es besteht die Möglichkeit, zum Rauchen abgetrennte Räumlichkeiten zur Verfügung zu stellen."
2. Felix Zehnder reichte am 5. Oktober 2008 gegen die mit der Annahme der Volksinitiative "Schutz vor Passivrauchen" beschlossene Änderung des kantonalen Gastgewerbegesetzes eine Beschwerde beim Bundesgericht ein und machte sinngemäss eine Verletzung von Art. 8 BV (Rechtsgleichheit) und Art. 27 BV (Wirtschaftsfreiheit) geltend. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254).
Aus den Ausführungen des Beschwerdeführers ergibt sich nicht rechtsgenüglich, inwiefern die Änderung des Gastgewerbegesetzes das Gleichbehandlungsgebot und die Wirtschaftsfreiheit verletzen sollte. Somit ist bereits mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Die weiteren Eintretensvoraussetzungen, insbesondere ob vorliegend kein kantonales Rechtsmittel gegeben ist (vgl. § 149 des Gesetzes über die politischen Rechte), sind daher nicht weiter zu prüfen.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Regierungsrat des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Oktober 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli