Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1966 geborene S._ war seit 1. September 2003 für die Firma C._ GmbH im Verkaufsladen der Firma tätig. Vom 13. April bis 22. Mai 2004 hat sie aus gesundheitlichen Gründen nicht gearbeitet. Mit Schreiben vom 29. Mai 2004 kündigte die Gesellschaft das Arbeitsverhältnis auf den 30. Juni 2004 mit der Begründung, das betriebliche Ergebnis entwickle sich nicht im erhofften wirtschaftlichen Rahmen. Anlässlich einer Verhandlung vor dem Gewerblichen Schiedsgericht Basel-Stadt haben S._ und die ehemalige Arbeitgeberin am 24. Januar 2005 einen Vergleich abgeschlossen, wonach die Firma C._ GmbH S._ per Saldo aller gegenseitigen Ansprüche den Betrag von Fr. 15'760.- netto bezahle. Am 25. Januar 2005 wurde über die Firma C._ GmbH der Konkurs eröffnet; das Konkursverfahren wurde in der Folge mangels Aktiven am 9. März 2005 eingestellt.
Am 2. März 2005 beantragte S._ bei der Öffentlichen Arbeitslosenkasse Basel-Stadt Insolvenzentschädigung für einen Lohnausstand in der Höhe von Fr. 15'760.-. Die Kasse lehnte das Begehren mit Verfügung vom 10. März 2005 ab. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest und gab zur Begründung an, die Versicherte habe die Schadenminderungspflicht nicht erfüllt (Einspracheentscheid vom 11. April 2005).
Am 2. März 2005 beantragte S._ bei der Öffentlichen Arbeitslosenkasse Basel-Stadt Insolvenzentschädigung für einen Lohnausstand in der Höhe von Fr. 15'760.-. Die Kasse lehnte das Begehren mit Verfügung vom 10. März 2005 ab. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest und gab zur Begründung an, die Versicherte habe die Schadenminderungspflicht nicht erfüllt (Einspracheentscheid vom 11. April 2005).
B. S._ hat dagegen Beschwerde erheben lassen mit dem Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass sie Anspruch auf Insolvenzentschädigung habe, und die Sache sei zur Festsetzung der Höhe der Insolvenzentschädigung an die Kasse zurückzuweisen. In Gutheissung der Beschwerde hat das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt den Einspracheentscheid aufgehoben und die Sache an die Verwaltung zurückgewiesen, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre. In den Erwägungen hat das kantonale Gericht festgehalten, S._ habe während ihrer krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit für drei Wochen sowie vom 23. Mai bis 30. Juni 2004 Anspruch auf Insolvenzentschädigung auf der Basis eines Bruttolohnes von Fr. 4'200.- monatlich (Entscheid vom 15. Dezember 2005).
B. S._ hat dagegen Beschwerde erheben lassen mit dem Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass sie Anspruch auf Insolvenzentschädigung habe, und die Sache sei zur Festsetzung der Höhe der Insolvenzentschädigung an die Kasse zurückzuweisen. In Gutheissung der Beschwerde hat das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt den Einspracheentscheid aufgehoben und die Sache an die Verwaltung zurückgewiesen, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre. In den Erwägungen hat das kantonale Gericht festgehalten, S._ habe während ihrer krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit für drei Wochen sowie vom 23. Mai bis 30. Juni 2004 Anspruch auf Insolvenzentschädigung auf der Basis eines Bruttolohnes von Fr. 4'200.- monatlich (Entscheid vom 15. Dezember 2005).
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt S._ beantragen, der kantonale Gerichtsentscheid sei teilweise aufzuheben und die Sache sei "zur neuen Entscheidung im Sinne der Erwägungen" an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner lässt sie um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung ersuchen.
Die Kasse und das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichten auf eine Vernehmlassung.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (Art. 132 Abs. 1 BGG; BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395).
1. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach OG (Art. 132 Abs. 1 BGG; BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395).
2. Im vorinstanzlichen Entscheid werden die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf Insolvenzentschädigung (Art. 51 Abs. 1 AVIG) und zu dessen Umfang (Art. 52 Abs. 1 AVIG in der seit 1. Juli 2003 geltenden Fassung) sowie zu den Pflichten des Arbeitnehmers im Konkurs- oder Pfändungsverfahren (Art. 55 Abs. 1 AVIG; BGE 114 V 56 E. 3d S. 59; Urteile des Eidgenössischen Versicherungsgerichts C 91/01 vom 4. September 2001 [publ. in: ARV 2002 S. 62], C 367/01 vom 12. April 2002 [publ. in: ARV 2002 S. 190] und C 183/97 vom 25. Juni 1998 [publ. in: ARV 1999 S. 140]) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2. Im vorinstanzlichen Entscheid werden die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf Insolvenzentschädigung (Art. 51 Abs. 1 AVIG) und zu dessen Umfang (Art. 52 Abs. 1 AVIG in der seit 1. Juli 2003 geltenden Fassung) sowie zu den Pflichten des Arbeitnehmers im Konkurs- oder Pfändungsverfahren (Art. 55 Abs. 1 AVIG; BGE 114 V 56 E. 3d S. 59; Urteile des Eidgenössischen Versicherungsgerichts C 91/01 vom 4. September 2001 [publ. in: ARV 2002 S. 62], C 367/01 vom 12. April 2002 [publ. in: ARV 2002 S. 190] und C 183/97 vom 25. Juni 1998 [publ. in: ARV 1999 S. 140]) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Im angefochtenen Gerichtsentscheid wird nachvollziehbar dargelegt, die Versicherte habe ihren Lohnanspruch mit dem notwendigen Effort und innert nützlicher Frist geltend gemacht, so dass entgegen der Ansicht der Verwaltung nicht von einer Verletzung der Schadenminderungspflicht ausgegangen werden könne. Allerdings nimmt die Vorinstanz an, die Beschwerdeführerin habe für die Zeit bis zum 10. April 2004 (letzter geleisteter Arbeitstag vor Beginn der krankheitsbedingten Abwesenheit) auf die Nachforderung nicht bezogener Lohnanteile verzichtet, weshalb bis zu diesem Datum auch ein Anspruch auf Insolvenzentschädigung entfalle. Während der krankheitsbedingten Abwesenheit (13. April bis 22. Mai 2004) bestehe der Insolvenzentschädigungsanspruch für die Dauer von drei Wochen, was der Lohnfortzahlungspflicht im Krankheitsfall nach Basler Skala im ersten Dienstjahr entspreche. Insolvenzentschädigung sei neben diesen drei Wochen auch für die Zeit vom 23. Mai bis Ende Juni 2004 auszurichten.
3.2 Die Beschwerdeführerin lässt darauf hinweisen, dass das Gewerbliche Schiedsgericht seinem Vergleichsvorschlag ein monatliches Bruttoeinkommen von Fr. 4'200.- zu Grunde gelegt habe. Für die vier Monate vor Auflösung des Arbeitsverhältnisses sei daher von einem Bruttoverdienst von Fr. 16'800.- (4 x Fr. 4'200.-) auszugehen. Dieser Betrag müsse die Basis für die Berechnung der Insolvenzentschädigung bilden. Ein Verzicht auf Lohnforderungen für die Zeit vor dem 10. April 2004 könne nicht angenommen werden.
3.2 Die Beschwerdeführerin lässt darauf hinweisen, dass das Gewerbliche Schiedsgericht seinem Vergleichsvorschlag ein monatliches Bruttoeinkommen von Fr. 4'200.- zu Grunde gelegt habe. Für die vier Monate vor Auflösung des Arbeitsverhältnisses sei daher von einem Bruttoverdienst von Fr. 16'800.- (4 x Fr. 4'200.-) auszugehen. Dieser Betrag müsse die Basis für die Berechnung der Insolvenzentschädigung bilden. Ein Verzicht auf Lohnforderungen für die Zeit vor dem 10. April 2004 könne nicht angenommen werden.
4. 4.1 Es spricht auf Grund der Akten nichts dagegen, den Bruttolohn von Fr. 4'200.-, welcher Grundlage des Vergleichsvorschlags des Gewerblichen Schiedsgerichts gebildet hat, auch für die Berechnung der Insolvenzentschädigung als Basis zu verwenden. Die Beschwerdeführerin hat diesen Ansatz in ihrem Antrag auf Insolvenzentschädigung vom 2. März 2005 übernommen, was in der Folge zu Recht unbestritten geblieben ist, weil sich eine präzisere Festlegung der Lohnhöhe (über welche sich die ehemalige Arbeitgeberin und die Versicherte nicht einigen konnten) nicht bewerkstelligen lässt. Zu beachten ist allerdings, dass die Beschwerdeführerin beim Gewerblichen Schiedsgericht fehlenden Lohn sowie Kinderzulagen für die Zeit vom 1. September 2003 bis 30. Juni 2004 im Betrag von Fr. 22'974.50 eingeklagt hatte. Der Vergleich vom 24. Januar 2005, mit welchem sich die Firma C._ GmbH - per Saldo aller gegenseitigen Ansprüche - verpflichtet, Fr. 15'760.- netto an die Versicherte zu bezahlen, umfasst somit die ganze Dauer des Anstellungsverhältnisses und berücksichtigt sämtliche Umstände. Demgegenüber deckt die Insolvenzentschädigung lediglich die Lohnforderung für die letzten vier Monate des Arbeitsverhältnisses vor der Konkurseröffnung (Art. 52 Abs. 1 AVIG; vgl. E. 2 hiervor), was vorliegend den Zeitraum vom 1. März bis 30. Juni 2004 beschlägt.
4.2 Die Versicherte hat sich den Lohn jeweils selber ausbezahlt. Gemäss Zusammenstellung des Buchhalters der ehemaligen Arbeitgeberin vom 22. Juni 2004 waren dies Fr. 3'500.- für den Monat März 2004, Fr. 3'800.- für den Monat April 2004 und Fr. 478.- für den Monat Mai 2004. Im Vermittlungsverfahren vor dem Gewerblichen Schiedsgericht vom 2. November 2004 gab die Beschwerdeführerin an, die Mai- und Junilöhne (2004) seien "so gut wie ganz ausstehend" und im April (2004) "fehlt einiges". Nachdem sie in ihrem Schreiben vom 1. Juni 2004 an die Arbeitgeberin vorgeschlagen hatte, die Firma C._ GmbH zu übernehmen und darauf keine Antwort erhalten hatte, verlangte sie mit Brief vom 13. Juni 2004 die umgehende Bezahlung des Lohnes für den Monat Mai 2004. Sie ging dabei von einem Monatslohn von Fr. 5'000.- (Verdoppelung des Lohnes, welchen sie in einem 50%igen Arbeitspensum für die Firma X._ AG erzielt hatte) aus und erklärte, sie habe sich jeweils geringere Monatslöhne ausbezahlt, um der Firma C._ GmbH einen möglichst guten Start zu ermöglichen. Die noch nicht bezogenen Lohnanteile fordere sie nun ebenfalls ein.
4.3 Die Bezüge der Beschwerdeführerin richteten sich nach dem Geschäftsgang. Dies geht aus ihrer Aussage anlässlich des Vermittlungsverfahrens vor dem Gewerblichen Schiedsgericht vom 2. November 2004 hervor, wonach sie immer genügend Geld auf dem Geschäftskonto haben wollte. Sie hatte zunächst geplant, den ausstehenden Restlohn im Rahmen der von ihr ins Auge gefassten Geschäftsübernahme zu kompensieren. Als darüber mit der Arbeitgeberin keine Einigung erzielt werden konnte und die Lohnzahlung Ende Mai 2004 ausblieb, war die Versicherte gezwungen, Lohnnachforderungen zu stellen. Am 13. Juni 2004 mahnte sie die Bezahlung des Lohnes für den Monat Mai 2004 in der Höhe von Fr. 5'000.- sowie weiterer nicht näher bezifferter Lohnanteile. In ihrer beim Gewerblichen Schiedsgericht am 22. September 2004 eingereichten Klage machte sie einen Betrag von Fr. 22'974.50 geltend für fehlenden Lohn in der Zeit vom 1. September 2003 bis 30. Juni 2004. Bei dieser Entwicklung kann der Auffassung der Vorinstanz, die Beschwerdeführerin habe für die Zeit bis 10. April 2004 auf weitergehende Lohnzahlungen verzichtet, nicht gefolgt werden.
Wie vom kantonalen Gericht zutreffend festgestellt worden ist, hat die Versicherte die Schadenminderungspflicht nicht verletzt. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz gilt dies aber für die gesamten vier Monate vor Auflösung des Arbeitsverhältnisses, womit der Insolvenzentschädigungsanspruch namentlich auch für die Zeit vom 1. März bis 10. April 2004 im Grundsatz feststeht.
4.4 Die Insolvenzentschädigung berechnet sich anteilsmässig auf der Basis eines monatlichen Bruttolohnes von Fr. 4'200.- (E. 4.1 hiervor). Es ist mit dem kantonalen Gericht einig zu gehen, dass der Insolvenzentschädigungsanspruch für die Dauer der krankheitsbedingten Abwesenheit lediglich für drei Wochen - entsprechend der Lohnfortzahlungspflicht des Arbeitgebers - besteht. Zudem hat sich die Beschwerdeführerin für die Monate März bis Juni 2004 anrechnen zu lassen, was sie sich für diese Zeit bereits ausbezahlt hat. Soweit sie diese Zahlungen unberücksichtigt lassen will, kann ihr nicht gefolgt werden. Über die Bezüge für die letzten vier Monate des Arbeitsverhältnisses liegt lediglich die Zusammenstellung des Buchhalters der ehemaligen Arbeitgeberin vor (E. 4.2 hiervor). Die Verwaltung wird dazu allenfalls weitere Abklärungen tätigen müssen. Anschliessend wird die Kasse die Höhe der Insolvenzentschädigung festzusetzen haben.
4.4 Die Insolvenzentschädigung berechnet sich anteilsmässig auf der Basis eines monatlichen Bruttolohnes von Fr. 4'200.- (E. 4.1 hiervor). Es ist mit dem kantonalen Gericht einig zu gehen, dass der Insolvenzentschädigungsanspruch für die Dauer der krankheitsbedingten Abwesenheit lediglich für drei Wochen - entsprechend der Lohnfortzahlungspflicht des Arbeitgebers - besteht. Zudem hat sich die Beschwerdeführerin für die Monate März bis Juni 2004 anrechnen zu lassen, was sie sich für diese Zeit bereits ausbezahlt hat. Soweit sie diese Zahlungen unberücksichtigt lassen will, kann ihr nicht gefolgt werden. Über die Bezüge für die letzten vier Monate des Arbeitsverhältnisses liegt lediglich die Zusammenstellung des Buchhalters der ehemaligen Arbeitgeberin vor (E. 4.2 hiervor). Die Verwaltung wird dazu allenfalls weitere Abklärungen tätigen müssen. Anschliessend wird die Kasse die Höhe der Insolvenzentschädigung festzusetzen haben.
5. Im vorliegenden Verfahren geht es um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen, weshalb von der Auferlegung von Gerichtskosten abzusehen ist (Art. 134 OG). Dem Prozessausgang entsprechend ist der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 135 in Verbindung mit Art. 159 OG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, einschliesslich der unentgeltlichen Verbeiständung, erweist sich damit als gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 15. Dezember 2005 (ausser im Kostenpunkt) und der Einspracheentscheid vom 11. April 2005 aufgehoben werden und die Sache an die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 15. Dezember 2005 (ausser im Kostenpunkt) und der Einspracheentscheid vom 11. April 2005 aufgehoben werden und die Sache an die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt hat S._ für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt hat S._ für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, dem Amt für Wirtschaft und Arbeit Basel-Stadt und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 26. April 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: