Nach Einsicht
in die Beschwerde gemäss Art. 72 ff. BGG gegen den Entscheid vom 21. Mai 2012 des Obergerichts des Kantons Bern, das eine Beschwerde des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Erteilung der definitiven Rechtsöffnung an die Beschwerdegegnerin für Fr. 95'362.-- (nebst verfallenen und laufenden Zinsen) ebenso abgewiesen hat wie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege,
in die Gesuche um aufschiebende Wirkung und (sinngemäss) um unentgeltliche Rechtspflege auch für das bundesgerichtliche Verfahren,
in Erwägung,
dass das Obergericht erwog, die vom Beschwerdeführer neu eingereichten Beweismittel könnten nicht berücksichtigt werden, eine unrichtige Rechtsanwendung oder Sachverhaltsfeststellung sei sodann nicht ersichtlich, zu Recht habe die erste Instanz die zwischen den Parteien abgeschlossene Trennungsvereinbarung sowie das Urteil des Gerichtspräsidenten 5 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen vom 11. März 2009 als definitive Rechtsöffnungstitel qualifiziert, der Beschwerdeführer habe weder im erstinstanzlichen noch im obergerichtlichen Verfahren ausdrücklich Einwendungen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 SchKG erhoben, soweit er sinngemäss Stundung geltend mache, fehle es - wie er selbst einräume - an einer entsprechenden Urkunde, die Rechtsöffnung sei daher zu Recht erteilt worden, infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde könne dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege nicht gewährt werden,
dass die Beschwerde nach Art. 72ff. BGG nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten hat, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht (Art. 95f. BGG) verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG),
dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sind (BGE 133 IV 286 E. 1.4 S. 287),
dass auch Verfassungsrügen in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen sind (Art. 106 Abs. 2 BGG), dass m.a.W. in der Beschwerdeschrift klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den kantonalen Entscheid verletzt sind (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen; 133 IV 286 E. 1.4 S. 287f.),
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass es insbesondere nicht genügt, den Zahlungsbefehl als "ungerechtfertigt" zu bezeichnen, pauschal und ohne Belege "pünktliche" und "genaue" Zahlung zu behaupten und (ohne jede Bezugnahme auf prozessrechtliche Vorschriften) die Behandlung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege im Beschwerdeentscheid zu beanstanden,
dass der Beschwerdeführer erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen anhand der obergerichtlichen Erwägungen aufzeigt, inwiefern der Entscheid des Obergerichts vom 21. Mai 2012 rechts- oder verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist,
dass mit dem Beschwerdeentscheid das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos wird,
dass dem Beschwerdeführer in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Beschwerde die unentgeltliche Rechtspflege auch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht gewährt werden kann (Art. 64 Abs. 1 BGG),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (Art. 66 Abs. 1 BGG),
dass in den Fällen des Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und das präsidierende Abteilungsmitglied zuständig ist,
erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Füllemann