Sachverhalt:
A. A.a Die X._ Company beantragte am 8. Mai 2008 gegen A._, B._ und C._ (Beschwerdeführer) beim Obergericht des Kantons Solothurn vorsorgliche Massnahmen zum Schutz ihrer Markenrechte. Mit Verfügung vom 20. August 2008 erliess der Referent der Zivilkammer die beantragten vorsorglichen Massnahmen und setzte der X._ Company Frist zur Klageeinreichung. Gegen diese Verfügung gelangten die Beschwerdeführer mit Rekurs an das Obergericht des Kantons Solothurn.
Mit Eingabe vom 17. September 2008 reichte die X._ Company beim Obergericht des Kantons Solothurn Klage ein gegen die Beschwerdeführer, die Y._ (Europe) AG, die Y._ (Switzerland) GmbH und die Z._ GmbH betreffend Ansprüche aus Marken- und Lauterkeitsrecht.
Beim Obergericht sind sowohl der Rekurs im Massnahmeverfahren als auch die Klage im Hauptverfahren hängig.
A.b Im Rekursverfahren nahm die X._ Company mit Eingaben vom 3. Oktober 2008 und vom 14. Oktober 2008 zum Rekurs und dessen Ergänzung Stellung. Am 12. November 2008 reichten die Beschwerdeführer eine weitere Ergänzung ein. Dazu nahm die X._ Company mit Eingabe vom 23. Januar 2009 Stellung. Den Beschwerdeführern wurde Gelegenheit gegeben, sich dazu zu äussern. Daraufhin beantragten sie, die Eingabe der X._ Company vom 23. Januar 2009 sei vom Richter gemäss § 31 Abs. 1 der Zivilprozessordnung des Kantons Solothurn vom 11. September 1966 (ZPO/SO; BGS 221.1) als Eingabe mit unnötig verletzendem Inhalt zur Abänderung zurückzuweisen mit der Androhung, dass bei Nichtbefolgung auf die Eingabe nicht eingetreten werde. Nach dem Entscheid sei ihnen eine neue Frist zur Stellungnahme einzuräumen und zudem sei die Verletzung der Gerichtsdisziplin in Form von grober Verletzung des prozessualen Anstandes durch Massnahmen nach § 32 Abs. 1 lit. c ZPO/SO zu ahnden.
Mit Verfügung vom 19. Februar 2009 wies der Instruktionsrichter diese Anträge ab.
B. Am 26. Februar 2009 reichten die Beschwerdeführer beim Obergericht gegen die Präsidentin der Zivilkammer und den "namentlich nicht näher bezeichneten Instruktionsrichter" ein Ausstandsbegehren ein. Zur Begründung brachten sie im Wesentlichen vor, die genannten Gerichtspersonen würden als befangen erscheinen. Die Eingabe der X._ Company vom 23. Januar 2009 enthalte eine Vielzahl unnötig verletzender Äusserungen. Trotzdem habe die Präsidentin der Zivilkammer die Eingabe nicht, wie sie gemäss § 31 Abs. 1 Satz 1 ZPO/SO verpflichtet gewesen wäre, sofort nach deren Eingang zur Abänderung zurückgewiesen. Der Instruktionsrichter habe die beanstandete Eingabe entgegen dem gestellten Antrag ebenfalls nicht zurückgewiesen.
Mit Urteil vom 8. April 2009 wies das Obergericht die Ablehnungsbegehren gegen Oberrichterin D._ und Oberrichter E._ ab. Auf die Anträge auf Rückweisung der Eingabe vom 23. Januar 2009 und Ahndung der Verletzung der Gerichtsdisziplin trat es nicht ein.
C. Die Beschwerdeführer beantragen dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts vom 8. April 2009 aufzuheben. Die beim Obergericht mit der Bearbeitung des Rechtsstreits ZKEIV.2008.6 befasste Präsidentin der Zivilkammer D._ und der mit demselben Rechtsstreit befasste Oberrichter E._ seien in den Ausstand zu versetzen, weil sie als befangen erscheinen würden. Es sei gemäss § 31 Abs. 1 ZPO/SO die Eingabe der X._ Company vom 23. Januar 2009 als Eingabe mit unnötig verletzendem Inhalt vom Richter unter Fristansetzung zur Abänderung zurückzuweisen mit der Androhung, dass bei Nichtbefolgung auf die Eingaben nicht eingetreten werde; Überschreibung und Streichung gälten nicht als Abänderung. Eventualiter beantragen sie für den Fall, dass die Sache zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückgewiesen werde, das Obergericht sei anzuweisen, die sich aus den Erwägungen des Bundesgerichts ergebenden Massnahmen zu treffen.
Das Obergericht beantragt unter Verzicht auf Gegenbemerkungen die Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Urteil der letzten kantonalen Instanz handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren. Gegen solche Entscheide ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (Art. 92 Abs. 1 BGG). Nach dem Grundsatz der Einheit des Prozesses ist der Zwischenentscheid aber nur mit Beschwerde anfechtbar, wenn es auch der Endentscheid ist (BGE 133 III 645 E. 2.2). Dies trifft vorliegend zu, da es sich in der Hauptsache um eine markenrechtliche Angelegenheit handelt (Art. 75 Abs. 2 lit. a und Art. 74 Abs. 2 lit. b BGG).
Nicht einzutreten ist allerdings auf das Begehren, die Eingabe der X._ Company vom 23. Januar 2009 sei gemäss § 31 Abs. 1 ZPO/SO als Eingabe mit unnötig verletzendem Inhalt unter Fristansetzung zur Abänderung zurückzuweisen mit der Androhung, dass bei Nichtbefolgung auf die Eingabe nicht eingetreten werde. Das Begehren zielt auf eine Überprüfung der Beurteilung der Anträge auf Rückweisung der Eingabe vom 23. Januar 2009 und Ahndung der Verletzung der Gerichtsdisziplin. Diese Anträge wurden mit der verfahrensleitenden Verfügung vom 19. Februar 2009 abgelehnt und die Vorinstanz trat mit dem angefochtenen Urteil nicht auf sie ein. Der entsprechende Nichteintretensentscheid der Vorinstanz stellt einen Zwischenentscheid dar, der nicht selbständig beim Bundesgericht anfechtbar ist, nachdem die diesbezüglichen Voraussetzungen (Art. 93 BGG) weder dargetan noch erfüllt sind.
1.2 Da gegen das angefochtene Urteil betreffend Ausstand die Beschwerde in Zivilsachen gegeben ist, erweist sich die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde als unzulässig (Art. 113 BGG). Auf diese ist nicht einzutreten.
2. Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung der Garantie des unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richters nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Ausserdem machen sie eine willkürliche Anwendung von § 93 lit. f des Gesetzes über die Gerichtsorganisation des Kantons Solothurn vom 13. März 1977 (GOG/SO; BGS 125.12) geltend. Die genannte Bestimmung, wonach ein Richter abgelehnt werden kann, wenn er aus irgendeinem Grund befangen erscheint, geht auch nach Auffassung der Beschwerdeführer nicht über den Gehalt der angerufenen Verfassungsbestimmung hinaus, weshalb die Befangenheitsrüge im Lichte von Art. 30 Abs. 1 BV geprüft wird.
Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, denen in dieser Hinsicht dieselbe Tragweite zukommt, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei (BGE 133 I 1 E. 5.2 S. 3; 131 I 31 E. 2.1.2.1 S. 34 f.; je mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (BGE 134 I 238 E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen).
3. 3.1 Die Beschwerdeführer erblicken den Umstand, der den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit von Oberrichterin D._ und Oberrichter E._ begründe, darin, dass diese §§ 30, 31 Abs. 1 und § 32 Abs. 1 lit. c ZPO/SO sowie Art. 15 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) willkürlich angewendet hätten. Die willkürliche Anwendung der genannten Vorschriften soll dadurch erfolgt sein, dass die abgelehnten Gerichtspersonen die Eingabe der X._ Company vom 23. Januar 2009 nicht wegen Verletzung des prozessualen Anstandes zur Änderung zurückgewiesen, keine gerichtsdisziplinarischen Massnahmen ergriffen und auch keine Meldung, dass anwaltliche Berufsregeln verletzt sein könnten, an die Anwaltskammer des Kantons Solothurn gemacht haben.
Konkret beanstanden sie aus der Eingabe der X._ Company vom 23. Januar 2009, dass der Rechtsvertreter der Beschwerdeführer darin ständig als "deutscher Anwalt" bezeichnet werde. Sodann rügen sie folgende Ausführungen der Eingabe als ehrverletzende und herabsetzende Behauptungen gegenüber dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführer:
Eingabe, Rz. 24: "Dabei müssen ihm einige Ideen gekommen sein, wie man mit der Wahrheit noch kreativer umgehen könnte, als es die Rekurrenten in zahlreichen Anläufen ... bereits getan hatten. Das Resultat dieser kreativen Schöpfung liegt dem Obergericht in Form der Stellungnahme vom 12. November 2008 vor."
Eingabe, Rz. 25: "Es versteht sich von selbst, dass diese Neuschöpfung der Geschichte wie auch die rechtlichen Argumente schon vor dem Landgericht Mannheim chancenlos waren."
Eingabe, Rz. 33: "Der Beizug eines deutschen Anwalts für die schweizerischen Verfahren ist offensichtlich auch nicht erfolgt, um Interessenkonflikte zu vermeiden, sondern um die von diesem neu ersonnenen Geschichten einzubringen."
Unnötig verletzend seien auch die Vorhalte, der Rechtsvertreter der Beschwerdeführer habe "sich nicht die Mühe gemacht, die bestehenden Rechtsschriften und Akten genau zu studieren" (Eingabe, Rz. 37), er veranstalte "sprachliche Gedankenspiele" (Eingabe, Rz. 68), er streiche einen Satz mit "viel Imponiergehabe" heraus (Eingabe, Rz. 73) und er habe sich "in kurzer Zeit nicht mit der schweizerischen Rechtsprechung und Gesetzgebung auseinandersetzen können" (Eingabe, Rz. 202).
Auch gegenüber den Beschwerdeführern 2 und 3 werde der Anstand bzw. die Berufsehre auf das Schwerste verletzt, indem behauptet werde, sie hätten fortgesetzt gegen die angeordneten vorsorglichen Massnahmen verstossen und sich damit nach Art. 292 StGB strafbar gemacht, wobei besonders stossend sei, dass diese "dreiste Missachtung der Justiz" vom Beschwerdeführer 3, einem Rechtsanwalt, mitgetragen werde. Mit seinem Verhalten untergrabe er zugleich auch das Vertrauen in den Anwaltsstand (Eingabe, Rz. 185).
3.2 Die Vorinstanz erwog, dem Richter stehe beim Entscheid, ob eine Eingabe im Sinne von § 31 Abs. 1 ZPO/SO zurückzuweisen sei, ein grosses Ermessen zu. Die beanstandeten Inhalte seien zwar in ihrem Tonfall recht offensiv und harsch, doch bewegten sie sich noch im Rahmen des Erlaubten. Beiden Rechtsvertretern seien aus ihrem Berufsalltag Situationen bekannt, in denen mit harten Bandagen gekämpft werde. Auch der Präsidentin der Zivilkammer sei aufgrund ihrer jahrelangen Praxis die Bandbreite des zwar harten, aber dennoch erlaubten Argumentierens bekannt. Wie sie in ihrer Stellungnahme ausgeführt habe, bewegten sich vorliegend beide Parteien nahe an der Grenze des noch Zulässigen und würden sich gegenseitig strafrechtlich relevante Vorgehensweisen vorwerfen. Der Entscheid der Präsidentin der Zivilkammer liege zweifellos innerhalb des ihr zustehenden Ermessens und lasse in keiner Weise den Schluss zu, sie habe sich bereits eine Meinung gebildet und könne in der Hauptsache nicht mehr mit der nötigen Objektivität urteilen. Aus den gleichen Gründen erscheine auch der Instruktionsrichter nicht als befangen. Er könne nicht deswegen abgelehnt werden, weil er einen Ermessensentscheid getroffen habe, der nicht der Ansicht der Beschwerdeführer entspreche.
4. Die Beschwerdeführer werfen den abgelehnten Gerichtspersonen Fehler in der Instruktion des Falles bzw. in der Handhabung der Gerichtsdisziplin vor.
4.1 Der Anspruch auf unabhängige und unparteiische Richter umfasst nicht auch die Garantie jederzeit fehlerfrei arbeitender Richter. Richterliche Verfahrens- oder Einschätzungsfehler sind deshalb ebenso wenig Ausdruck einer Voreingenommenheit wie ein inhaltlich falscher Entscheid in der Sache oder Fehler in der Verhandlungsführung (Regina Kiener, Richterliche Unabhängigkeit, Bern 2001, S. 105). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung können richterliche Verfahrensfehler nur ausnahmsweise die Unbefangenheit einer Gerichtsperson in Frage stellen. Dabei müssen objektiv gerechtfertigte Gründe zur Annahme bestehen, dass sich in Rechtsfehlern gleichzeitig eine Haltung manifestiert, die auf fehlende Distanz und Neutralität beruht. Es muss sich um besonders krasse Fehler oder wiederholte Irrtümer handeln, die eine schwere Verletzung der Richterpflichten darstellen (BGE 116 Ia 135 E. 3a S. 138; 115 Ia 400 E. 3b S. 404; 114 Ia 153 E. 3b/bb S. 158 f.; Urteil 5A_206/2008 vom 23. Mai 2008 E. 2.2).
4.2 Ein solch qualifizierter Verfahrensfehler ist vorliegend nicht dargetan. Selbst wenn ein Fehler anzunehmen wäre, weil die Eingabe vom 23. Januar 2009 nicht zur Änderung zurückgewiesen wurde und keine disziplinarischen Massnahmen gegen den Rechtsvertreter der X._ Company ergriffen wurden, läge darin nicht ohne weiteres ein objektiver Anhaltspunkt für einen Anschein der Befangenheit der abgelehnten Gerichtspersonen. Denn eine fehlerhafte Entscheidung muss keineswegs aus einer Voreingenommenheit gegenüber einer Partei resultieren. Berücksichtigt man die gerichtsnotorisch harte Sprache, derer sich teilweise die Rechtsvertreter bedienen, kann aus dem Umstand, dass die abgelehnten Gerichtspersonen die Eingabe vom 23. Januar 2009 nicht wegen der beanstandeten Passagen zurückwiesen, noch nicht geschlossen werden, sie entbehrten der nötigen Distanz und Neutralität und seien gegen die Beschwerdeführer oder deren Rechtsvertreter voreingenommen. Es sind keine Anhaltspunkte dafür aufgezeigt, dass sie die Sache nicht unparteiisch prüfen werden. Ebenso wenig ist ersichtlich, dass sie sich durch die beanstandeten Passagen zum Nachteil der Beschwerdeführer hätten beeinflussen lassen. Vielmehr beteuern beide in ihren Stellungnahmen zum Ausstandsbegehren, dass sie sich in dieser Sache völlig unbefangen fühlen. Wenn schon gesagt werden müsste, der Tonfall der Eingabe vom 23. Januar 2009 rufe beim Richter ein negatives Licht hervor, so würde dieses auf den Verfasser der Eingabe, mithin den Rechtsvertreter der X._ Company, fallen und nicht auf die Beschwerdeführer oder deren Rechtsvertreter. Dass die abgelehnten Gerichtspersonen die beanstandete Eingabe nicht zurückwiesen und keine disziplinarische Massnahmen ergriffen, lässt sich sachlich damit erklären, dass sie das weite Ermessen bei der Beurteilung der Eingaben eher grosszügig handhaben. Daraus ergibt sich aber kein in objektiver Weise gerechtfertigter Verdacht auf Voreingenommenheit oder gar persönliche Ressentiments gegen die Beschwerdeführer oder deren Rechtsvertreter.
Die Vorinstanz hat mithin Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht verletzt, indem sie die Ablehnungsbegehren gegenüber Oberrichterin D._ und Oberrichter E._ abgewiesen hat.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt, unter solidarischer Haftbarkeit und intern zu gleichen Teilen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Klett Sommer