Faits :
A.
A._ a été propriétaire de la parcelle n° 406 du registre foncier de la commune de Bougy-Villars jusqu'au 7 octobre 2014. Ce bien-fonds, d'une surface de 6'856 m 2, supporte une habitation de 280 m 2, un garage de 33 m 2et un bâtiment de 42 m 2. Cette parcelle est colloquée en "secteur d'habitation individuelle" selon le plan d'extension partiel "Sus le Mont" approuvé le 24 septembre 1982 par le Conseil d'Etat du canton de Vaud.
Après différents échanges de vue et visites de conformité de la Municipalité de Bougy-Villars, celle-ci a constaté, par décision du 19 octobre 2012, que des travaux litigieux avaient été réalisés sur la parcelle précitée sans autorisation ni permis de construire; seuls une maisonnette de jardin de 12 m 2, une villa avec deux appartements et une chambre de bonne, une piscine et un garage avaient été autorisés. La Municipalité a ordonné à A._ de procéder à la démolition de toutes les réalisations exécutées sans autorisation (par ex. cuisines au sous-sol, jardin d'hiver, verrière, agrandissement de la maisonnette de jardin, rucher, bûcher, etc.) et lui a imparti à cet effet un délai au 28 février 2013. Elle a dit qu'à défaut, il sera procédé, aux frais du prénommé, à la démolition des constructions réalisées sans droit.
A._ a recouru auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) contre la décision du 19 octobre 2012. Celle-ci a procédé à une inspection locale en présence des parties le 16 octobre 2013. Par arrêt du 10 septembre 2014, le Tribunal cantonal a admis partiellement le recours. Il a réformé la décision attaquée en ce sens que la Municipalité "ordonne de supprimer le studio au sous-sol Est de la villa par le rétablissement de la liaison avec l'appartement Est et le démontage des agencements de cuisine, de supprimer l'appartement au sous-sol Ouest de la villa par le rétablissement de la liaison avec l'appartement Ouest et le démontage des agencements de cuisine, de rendre le bâtiment ECA 188 inhabitable, de réduire les dimensions du bâtiment ECA 188 à 27 m 2, de démolir entièrement le rucher".
Par contrat du 7 octobre 2014, A._ a vendu sa parcelle à un tiers. L'acheteur a certifié, dans l'acte de vente, avoir pris connaissance de l'arrêt du 10 septembre 2014, avoir connaissance de l'état de la parcelle vendue et des constructions non autorisées et contestées par la commune qui y ont été effectuées par le vendeur, ayant effectué son propre travail de due diligence et reçu diverses informations utiles à la mise en place de son projet de rénovation et de transformation. Il a encore déclaré tenir compte de l'arrêt du Tribunal cantonal dans le cadre de la rénovation future de l'immeuble vendu afin de le réhabiliter et le rendre conforme à la législation en vigueur.
B.
Agissant par le voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du 10 septembre 2014 et la décision du 19 octobre 2012, en ce sens que celle-ci autorise A._ à maintenir le studio au sous-sol est de la villa et l'appartement au sous-sol ouest de la villa. Il conclut à titre subsidiaire à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. Il sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invité à se déterminer, le Tribunal cantonal s'en remet à justice pour la recevabilité du recours et conclut sur le fond à son rejet. La Municipalité conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Le recourant a renoncé à répliquer.
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement les conditions de recevabilité des recours qui lui sont soumis.
1.1. Le recours, dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public des constructions (art. 82 let. a LTF), est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée.
1.2. L'art. 89 al. 1 LTF confère la qualité pour former un recours en matière de droit public à quiconque est particulièrement atteint par la décision ou l'acte normatif attaqué (let. b) et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (let. c).
La qualité pour recourir auprès du Tribunal fédéral au sens de l'art. 89 al. 1 LTF suppose en outre un intérêt actuel et pratique à obtenir l'annulation de la décision attaquée. L'intérêt digne de protection doit être actuel, c'est-à-dire qu'il doit exister non seulement au moment du dépôt du recours, mais encore au moment où l'arrêt est rendu (ATF 137 I 296 consid. 4.2; 137 II 40 consid. 2.1). Si l'intérêt actuel disparaît en cours de procédure, le recours devient sans objet, alors qu'il est irrecevable si l'intérêt actuel faisait déjà défaut au moment du dépôt du recours (ATF 139 I 206 consid. 1.1 p. 208 et la jurisprudence citée). De cette manière, les tribunaux sont assurés de trancher uniquement des questions concrètes et non de prendre des décisions à caractère théorique, ce qui répond à un souci d'économie de procédure (ATF 136 I 274 consid. 1.3 p. 276). Ainsi, une partie qui n'est pas concrètement lésée par la décision ne possède pas la qualité pour recourir.
Il est dérogé exceptionnellement à l'exigence d'un intérêt actuel lorsque la contestation à la base de la décision attaquée peut se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues, que sa nature ne permet pas de la trancher avant qu'elle ne perde son actualité et que, en raison de sa portée de principe, il existe un intérêt public suffisamment important à la solution de la question litigieuse (ATF 139 I 206 consid. 1.1 p. 208 et la jurisprudence citée).
1.3. En l'espèce, le recourant a vendu les bâtiments litigieux. De plus, l'acheteur a certifié, dans l'acte de vente, avoir pris connaissance de l'arrêt attaqué et en tenir compte dans le cadre de la rénovation future de l'immeuble vendu afin de le réhabiliter et le rendre conforme à la législation en vigueur. Dans ces conditions, le recourant n'a plus d'intérêt au recours contre la décision de remise en état puisque l'objet de la contestation porte sur un bâtiment dont il n'est plus propriétaire et que le nouveau propriétaire, qui n'a pas recouru contre l'arrêt attaqué, a indiqué s'y soumettre.
Le recourant soutient qu'en exigeant la remise en conformité de sa villa depuis 2001, la commune ne lui a pas permis de louer les appartements de sa villa pendant des années, lui faisant perdre des sommes considérables et l'a empêché de vendre sa villa. Il affirme ensuite que même s'il a vendu sa villa, il dispose encore d'un intérêt juridiquement protégé à faire constater l'illicéité de la décision de remise en état, afin de pouvoir cas échéant agir en dommages-intérêts contre la commune. Il ne peut être suivi. En effet, même si l'admission du recours pouvait conduire à alléguer que le prix de vente avait dû être négocié à la baisse, cela ne suffirait pas encore à fonder la qualité pour recourir dans la mesure où il s'agit d'un effet indirect de l'arrêt attaqué (arrêt du Tribunal fédéral du 4 juillet 1985 P 912/84/1b consid. 2b). A fortiori il doit en aller de même lorsque l'ancien propriétaire annonce vouloir déposer une action en responsabilité civile contre la commune.
Pour le reste, à l'appui de son argumentation, le recourant se réfère à tort à la jurisprudence rendue dans le domaine des marchés publics octroyant au soumissionnaire évincé la qualité pour recourir contre la décision d'adjudication (ATF 131 I 153 consid. 1.2 p. 157). En effet, il s'agit d'une situation différente dans la mesure où une loi réserve expressément le droit de recourir afin de faire constater l'illicéité d'une adjudication lorsque le contrat a déjà été conclu (art. 9 al. 3 de la loi fédérale du 6 octobre 1995 sur le marché intérieur [LMI; RS 943.02]). Tel n'est pas le cas en matière de remise en état de construction illicite.
Enfin, rien n'indique qu'un litige de ce genre pourrait se reproduire en tout temps dans des circonstances analogues et que la question matérielle posée par le recours est une question de principe susceptible de se poser à nouveau sans que le Tribunal fédéral, saisi d'un recours, puisse statuer en temps utile. Le recourant ne soutient d'ailleurs pas le contraire.
Par conséquent, il n'y a pas lieu de déroger à l'exigence d'un intérêt actuel et pratique au recours.
2.
Il s'ensuit que le recours doit être déclaré irrecevable, faute d'intérêt actuel.
Le recours au Tribunal fédéral était d'emblée voué à l'échec, de sorte que l'assistance judiciaire requise en relation avec la présente procédure doit être refusée (art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires seront donc mis à la charge du recourant. Ils seront toutefois fixés en tenant compte de sa situation financière (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 francs, sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant et de la Municipalité de Bougy-Villars ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 23 février 2015
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
La Greffière : Tornay Schaller