Sachverhalt:
A. Der 1949 geborene G._ teilte der Ersatzkasse UVG gemäss ihren Angaben am 7. Juni 2004 mit, er habe am 15. Januar 2004 einen Autounfall erlitten und sich ein Schleudertrauma zugezogen. Im Zeitpunkt des Unfalles sei er Arbeitnehmer der X._ GmbH gewesen, welche keine Unfallversicherung abgeschlossen habe, weshalb die Ersatzkasse für das Unfallereignis leistungspflichtig sei. Die Ersatzkasse UVG verneinte ihre Leistungspflicht mit Verfügung vom 21. August 2006 im Wesentlichen mit der Begründung, G._ habe im Zeitpunkt des Unfallereignisses als Selbstständigerwerbender zu gelten, weshalb keine UVG-Unterstellungspflicht bestanden habe. An ihrem Standpunkt hielt sie mit Einspracheentscheid vom 13. April 2007 fest.
B. Die von G._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern nach Durchführung einer öffentlichen Verhandlung mit Entscheid vom 14. Dezember 2009 ab, soweit darauf eingetreten werden konnte.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ beantragen, in Aufhebung von Ziff. 1 des verwaltungsgerichtlichen Entscheids sei die Ersatzkasse UVG zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen auszurichten, eventualiter sei sie zu verpflichten, auf die Angelegenheit einzutreten und mit den Sachabklärungen nach Art. 43 ATSG zu beginnen, subeventualiter sei die Sache zur Neuabklärung an die Vorinstanz zurückzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht lässt er um Durchführung einer öffentlichen Verhandlung, um Parteibefragung und um Befragung von S._ als Zeugin zu seiner Tätigkeit bei der X._ GmbH sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen.
D. Mit Verfügung vom 9. März 2010 wies das Schweizerische Bundesgericht, I. sozialrechtliche Abteilung, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Das Bundesgericht kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
1.2 Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
Diese Einschränkungen der Rüge- und Überprüfungsbefugnis gelten auch im Streit um die Versicherungsdeckung in der obligatorischen Unfallversicherung. Die Ausnahmeregelung des Art. 105 Abs. 3 BGG kommt hier nicht zur Anwendung, und zwar ungeachtet dessen, dass von der Frage der Versicherungsdeckung auch Geldleistungen abhängen können. Soweit die Frage der Versicherungsdeckung von Sachverhaltsfeststellungen abhängt, gilt daher die eingeschränkte Kognition (BGE 135 V 412).
2. 2.1 Was zunächst den erneuten Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung anbelangt, hat es mit dem Hinweis darauf, dass die Vorinstanz eine solche durchgeführt hat und damit den rechtlichen Vorgaben, insbesondere auch Art. 6 Ziff. 1 EMRK, zu diesem formellrechtlichen Anspruch ausreichend Rechnung getragen wurde, sein Bewenden. In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was zu einer anderen Betrachtungsweise führen könnte.
2.2 Im gleichen Zusammenhang vorgebracht und zu behandeln ist der ebenfalls unter Hinweis auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK gestellte Antrag auf Durchführung einer Parteibefragung und Zeugeneinvernahme.
Die Zeugeneinvernahme und die Parteibefragung, resp. nach dem Wortlaut im letztinstanzlichen Verfahren das Parteiverhör, sind Beweismittel (Art. 55 BGG in Verbindung mit Art. 62-65 BZP, vgl. SEILER/ VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, N. 6 und 11 zu Art. 55 BGG). Auf deren Abnahme kann verzichtet werden, wenn davon kein entscheiderheblicher neuer Aufschluss zu erwarten ist (antizipierte Beweiswürdigung; BGE 124 V 90 E. 4b S. 94, 122 V 157 E. 1d S. 162). Im vorliegenden Fall ist nicht ersichtlich und wird in der Beschwerde auch nicht überzeugend begründet, inwiefern entgegen den vorinstanzlichen Ausführungen von einer Zeugeneinvernahme oder einem Parteiverhör ein solcher Erkenntnisgewinn erwartet werden könnte. Von der Durchführung dieser Beweismassnahmen ist daher, und zwar auch unter Berücksichtigung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (vgl. BGE 124 V 57 E. 4b S. 94 mit Hinweisen), abzusehen.
3. Streitig und zu prüfen ist, ob für den Unfall vom 15. Januar 2004 bei der Ersatzkasse UVG Versicherungsdeckung im Rahmen der obligatorischen Unfallversicherung besteht und diesbezüglich namentlich die Frage, ob der Beschwerdeführer im Zeitpunkt des Unfallereignisses der obligatorischen Unfallversicherung als Arbeitnehmer unterstellt war.
Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen über die obligatorische Unfallversicherung der Arbeitnehmer (Art. 1a Abs. 1 UVG in Verbindung mit Art. 1 UVV) und über die Leistungserbringung durch die Ersatzkasse (Art. 73 Abs. 1 Satz 1 UVG) sowie die von der Rechtsprechung herangezogenen Kriterien für die Unterscheidung von selbstständiger und unselbstständiger Erwerbstätigkeit im Einzelfall (BGE 123 V 161 E. 1 S. 162, 122 V 169 E. 3 S. 171, 281 E. 2 S. 283) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig sind auch die Erwägungen über den im Sozialversicherungsrecht geltenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit, den Untersuchungsgrundsatz und die zu beachtenden Beweisregeln.
4. 4.1 Die Vorinstanz hat in tatsächlicher Hinsicht festgestellt, dass der Beschwerdeführer im Zeitpunkt des Unfalls bei der AHV als Selbstständigerwerbender registriert war und dass er ab 1. Januar 2004 jedenfalls bis zum Zeitpunkt des Unfalls als Gesellschafter und Geschäftsführer der am ... 2004 ins Handelsregister eingetragenen X._ GmbH vorgesehen und im Hinblick auf ihre Gründung für sie tätig war. Was in der Beschwerde vorgebracht wird, beschränkt sich im Wesentlichen auf eine Wiederholung des bereits im kantonalen Verfahren Vorgebrachten und lässt diese Tatsachenfeststellungen und die ihr zugrunde liegende Beweiswürdigung nicht als offensichtlich unrichtig oder rechtsverletzend im Sinne von Art. 95 BGG erscheinen.
4.2 In Würdigung der dargelegten tatsächlichen Gegebenheiten ist das kantonale Gericht zum Ergebnis gelangt, es sei für den Unfallzeitpunkt mit überwiegender Wahrscheinlichkeit davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer mit Bezug auf die im Entstehen begriffene X._ GmbH Mitglied der Gründungsgesellschaft und demnach als einfacher Gesellschafter selbstständig erwerbstätig war, was wiederum der Registrierung bei der Ausgleichskasse entspricht. Diese Beurteilung, welche auf einer einlässlichen und überzeugenden Abwägung der Gesichtspunkte für und gegen eine selbstständige Erwerbstätigkeit beruht, ist nicht zu beanstanden. Auf die zutreffenden Erwägungen des angefochtenen Entscheids kann verwiesen werden, zumal die weitschweifigen Ausführungen des Beschwerdeführers grösstenteils bereits im kantonalen Verfahren vorgebracht wurden. Nochmals zu betonen ist, dass die versicherungsmässige Voraussetzung der Arbeitnehmereigenschaft resp. Ausübung einer unselbstständigen Erwerbstätigkeit eine anspruchsbegründende Tatsache darstellt, für welche die Beweislast - entgegen dessen Auffassung - beim Beschwerdeführer als Leistungsansprecher liegt. Der angefochtene Entscheid erweist sich als rechtens.
5. Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG ohne Durchführung eines Schriftenwechsels und mit summarischer Begründung erledigt.
6. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Juni 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch