Faits:
A. Alors qu'il était président et administrateur délégué de V._ SA, société anonyme active dans le domaine de la gestion d'immeubles, X._ a été également, du 14 avril 1998 au 30 novembre 2008, administrateur avec signature individuelle de la Société Immobilière Y._ (ci-après: la société immobilière).
Le 30 novembre 2008, tous les actionnaires de la société immobilière ont tenu une assemblée générale extraordinaire et ont décidé, à l'unanimité, de révoquer le mandat d'administrateur de X._ sans délai et de ne pas lui donner décharge pour l'activité déployée; les actionnaires ont désigné A._ comme nouvel administrateur de la société avec effet immédiat.
Le 17 décembre 2008, X._ a introduit, devant le Tribunal de première instance de Genève, une action en annulation de la décision prise lors de l'assemblée générale du 30 novembre 2008; cette action est toujours pendante.
X._, qui conteste son éviction, a été invité à transmettre au nouvel administrateur l'ensemble des dossiers et documents relatifs à la société. Il a remis un certain nombre de pièces le 2 juillet 2009 et d'autres le 22 juillet 2009. Le litige s'est ensuite concentré sur les pièces comptables pour l'année 2008, la société étant menacée d'une taxation d'office. X._ a fait notamment valoir qu'il n'avait pas à s'occuper du bouclement des comptes dès l'instant où son mandat avait été résilié au cours de l'année 2008 et que les comptes étaient de toute manière tenus, en tant que mandataire, par V._ SA.
B. La société immobilière a déposé auprès du Tribunal d'arrondissement de La Côte une requête de mesures provisionnelles datée du 24 septembre 2009.
Par ordonnance sur mesures provisionnelles rendue le 14 octobre 2009, le Président du Tribunal d'arrondissement a ordonné à X._ de remettre immédiatement à la société immobilière le grand livre 2008, le compte patrimonial 2008, le compte de pertes et profits 2008 et le bilan 2008, sous la menace de la peine d'amende prévue par l'art. 292 CP en cas d'insoumission à une décision de l'autorité.
Le 18 décembre 2009, X._ a déposé une écriture intitulée « appel » contre cette ordonnance.
Il a sollicité l'effet suspensif, qui a été refusé par une lettre du Président du Tribunal d'arrondissement de La Côte datée du 24 décembre 2009.
Par arrêt du 18 février 2010, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois a déclaré irrecevable le recours interjeté par X._ contre l'ordonnance de mesures provisionnelles susmentionnée, au motif qu'en raison d'une valeur litigieuse apparaissant inférieure à 30'000 fr., seule la voie du recours en nullité était ouverte, laquelle n'avait pas été suivie par le recourant.
C. X._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre la décision prise dans sa lettre du 24 décembre 2009 par le président du Tribunal d'arrondissement. Invoquant l'arbitraire, il conclut à l'annulation de la décision attaquée et à l'octroi de l'effet suspensif.
Faute d'opposition de la partie adverse et de l'autorité précédente, l'effet suspensif durant la procédure devant le Tribunal fédéral a été accordé par ordonnance présidentielle du 24 février 2010.
L'intimée, qui a produit l'arrêt de la Chambre des recours du 18 février 2010, conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est dirigé contre une décision refusant l'octroi de l'effet suspensif.
La décision qui accorde ou refuse l'effet suspensif est une décision sur mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 134 II 192 consid. 1.5 p. 196/197). En conséquence, seule peut être invoquée la violation des droits constitutionnels.
1.2 Savoir si et à quelles conditions l'effet suspensif peut être accordé à un recours cantonal est une question qui est régie exclusivement par le droit cantonal. Or, le recours au Tribunal fédéral n'est pas ouvert pour se plaindre d'une violation du droit cantonal (art. 95 et 96 LTF). Une partie recourante peut toutefois invoquer l'interdiction de l'arbitraire, garantie par l'art. 9 Cst., et se plaindre devant le Tribunal fédéral d'une violation arbitraire du droit cantonal (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 s.; 133 III 462 consid. 2.3 p. 466).
1.3 Les deux parties admettent que la valeur litigieuse, qui correspond aux frais qui seraient nécessaires pour reconstituer les comptes manquants, est nettement inférieure à 30'000 fr. Il n'y a pas lieu de s'écarter de cette appréciation. La valeur litigieuse requise par l'art. 74 al. 1 let. b LTF n'étant pas atteinte, c'est à juste titre que le recourant a interjeté un recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
Un tel recours ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF).
1.4 Le présent recours n'est donc ouvert que pour se plaindre de la violation d'un droit fondamental. Or, le Tribunal fédéral n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise dans l'acte de recours (art. 106 al. 2 LTF).
2. 2.1 Le recourant présente sa propre version des faits, mais, dès lors qu'il n'invoque la violation d'aucun droit constitutionnel, il n'y a pas lieu d'en tenir compte.
2.2 Il soutient que la décision attaquée du 24 décembre 2009 ne répond pas aux exigences de motivation. Il n'invoque cependant pas une violation du droit d'être entendu, garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., d'où il a été déduit le droit à une décision motivée (ATF 134 I 83 consid. 4.1; 133 III 439 consid. 3.3). En l'absence de tout grief constitutionnel correctement formulé, cette question ne peut pas être examinée dans un recours constitutionnel subsidiaire.
2.3 Le recourant se réfère abondamment à des dispositions de la loi sur le Tribunal fédéral, comme si elle était directement applicable devant les autorités cantonales. Les références à cette loi fédérale ne peuvent pas être considérées comme une invocation d'un droit constitutionnel. A défaut de motivation d'un grief d'ordre constitutionnel, il n'y a pas lieu d'entrer en matière.
2.4 Ce n'est que dans les deux dernières pages de son mémoire que le recourant invoque l'interdiction de l'arbitraire garantie par l'art. 9 Cst.
Il ne suffit cependant pas de clamer l'arbitraire, mais il faut encore que le recourant montre en quoi celui-ci serait réalisé (art. 106 al. 2 LTF; 134 V 138 consid. 2.1 p. 143; 133 III 393 consid. 6 p. 397).
Le recourant devait tout d'abord citer la disposition cantonale qui permettait en l'espèce l'octroi de l'effet suspensif et en déterminait les conditions. En effet, le Tribunal fédéral ne recherche pas d'office le contenu du droit cantonal (art. 106 al. 2 LTF; ATF 110 Ia 1 consid. 2a p. 3).
Le recourant explique lui-même qu'il a formé un recours en nullité et que l'art. 108 du Code vaudois de procédure civile (CPC/VD) est seul applicable. Or, l'art. 108 al. 1 CPC/VD prévoit que l'ordonnance sur mesures provisionnelles est immédiatement exécutoire nonobstant recours ou appel. La disposition cantonale prévoit donc l'absence d'effet suspensif. Certes, l'art. 108 al. 3 CPC/VD prévoit que le juge pourrait modifier ou rapporter la mesure provisionnelle si celle-ci n'était plus justifiée, mais l'application de cette règle suppose manifestement des faits nouveaux qui ne sont même pas allégués en l'espèce.
En poursuivant la lecture de la loi, on constate que l'art. 112 al. 4 CPC/VD (qui n'est pas invoqué par le recourant) permettrait certes l'octroi d'un effet suspensif en cas d'appel. Mais peu importe dès lors qu'il résulte de l'arrêt de la Chambre des recours du 18 février 2010 qu'un recours de cette nature n'était pas ouvert.
En conséquence, il faut en déduire que le droit cantonal ne permet pas d'octroyer l'effet suspensif en cas de recours en nullité contre une décision sur mesures provisionnelles. Le recourant ne le conteste pas et ne prétend pas que cette situation serait contraire à un quelconque droit constitutionnel. Cela dispense le Tribunal fédéral d'examiner la question plus avant.
Dès lors que l'effet suspensif était impossible en vertu du droit cantonal, on ne voit pas comment le président du Tribunal d'arrondissement pourrait avoir statué arbitrairement en le refusant. En requérant une mesure que le droit cantonal ne permettait pas, le recourant a entrepris une démarche dépourvue de sens, si bien qu'il est compréhensible que le magistrat intimé l'ait rejetée par une simple lettre.
Tous les développements du recourant sur les conditions ordinaires de l'octroi de l'effet suspensif lorsque la loi le prévoit sont donc ici totalement hors de propos.
Quant à l'idée que le magistrat intimé aurait restreint arbitrairement son pouvoir d'examen, elle n'est guère compréhensible. Lorsqu'un recours n'a pas d'effet suspensif par l'effet de la loi, l'étendue du pouvoir d'examen ne se pose pas.
Dès lors qu'aucun grief constitutionnel n'a été correctement invoqué en relation avec une question pertinente, le recours doit être déclaré irrecevable, faute de correspondre aux réquisits de la loi (art. 106 al. 2 LTF).
Dans ces conditions, il faut laisser ouverte la question de savoir si le recours devrait être déclaré irrecevable pour le motif que le recourant a perdu tout intérêt à recourir à la suite de l'arrêt de la Chambre des recours (cf. art. 115 let. b LTF; ATF 130 III 102 consid. 1.3 p. 105).
3. Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal d'arrondissement de La Côte.
Lausanne, le 1er avril 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet