Faits:
A.
Ressortissant turc né à Morges en 1980, A.X._ est titulaire d'une autorisation d'établissement, alors que son épouse, B.X._, ressortissante turque née en 1983, est titulaire d'une autorisation de séjour par regroupement familial. Leur fils, C._, né en 2009, est titulaire d'une autorisation d'établissement.
B.
Entre 2000 et 2002, .A.X._ a été condamné à plusieurs reprises pour violation des règles de la circulation routière, soit: le 9 mars 2000, à une peine d'emprisonnement de cinq jours avec sursis et à une amende de 600 fr.; le 22 février 2001, à une peine d'emprisonnement de dix jours avec sursis et à une amende de 500 fr. et le 8 novembre 2002, à une peine d'emprisonnement de dix jours avec sursis et à une amende de 600 fr.
Le 27 janvier 2006, A.X._ a été condamné à une peine de quatre ans de réclusion pour infraction et contravention à la loi fédérale du 3 octobre 1951 sur les stupéfiants et les substances psychotropes (loi sur les stupéfiants, LStup; RS 812.121) par le Tribunal correctionnel de la Côte de Nyon. L'intéressé a été libéré conditionnellement le 13 novembre 2006.
A une date indéterminée, A.X._ s'est installé avec sa famille à Bulle, dans le canton de Fribourg, afin d'y exploiter un établissement de restauration. Le 1er octobre 2011, A.X._ a quitté le canton de Fribourg pour s'installer dans le canton de Vaud avec sa famille. Il a annoncé son arrivée le 27 octobre 2011 au bureau des étrangers de la ville de Morges, qui a transmis sa demande de changement de domicile à l'autorité compétente.
C.
Par décision du 14 mai 2012, rendue après avoir entendu l'intéressé, le Service cantonal a refusé d'autoriser le changement de canton en faveur de A.X._ et de sa famille et leur a imparti un délai d'un mois pour quitter le canton de Vaud et régler leurs conditions de séjour dans le canton de Fribourg. Il a retenu que les intéressés n'exerçaient aucune activité lucrative, qu'ils avaient bénéficié des prestations de l'assistance publique dans le canton de Fribourg jusqu'à leur arrivée en octobre 2011 dans le canton de Vaud et que A.X._ avait fait l'objet de plusieurs condamnations pénales, dont l'une à quatre années de réclusion.
A.X._ a recouru contre cette décision devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 14 janvier 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de A.X._. Il a en substance retenu que les conditions de révocation de l'autorisation d'établissement de l'intéressé étaient réunies, de sorte qu'un changement de canton était exclu au sens de l'art. 37 al. 3 LEtr. Le Tribunal cantonal a ensuite estimé, sous l'angle de la proportionnalité, qu'au vu de la gravité des condamnations pénales, l'intérêt privé du recourant à changer de canton ne l'emportait pas sur l'intérêt public à son éloignement du canton de Vaud.
D.
Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, A.X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, de réformer l'arrêt du 14 janvier 2013 du Tribunal cantonal et de l'autoriser ainsi que sa femme et son fils à s'établir dans le canton de Vaud, subsidiairement, d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour une nouvelle décision dans le sens des considérants. Il invoque une violation de la liberté économique, du droit au respect de la vie de famille, de l'interdiction de l'arbitraire, de l'égalité de traitement ainsi que du droit à la liberté personnelle.
Le Service cantonal et le Tribunal cantonal ont renoncé à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit:
1.
1.1. Selon l'art. 83 let. c ch. 6 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent le déplacement de la résidence dans un autre canton même si l'étranger a un droit au changement de canton (arrêts 2D_17/2011 du 26 août 2011 consid. 1.1; 2C_140/2010 du 17 juin 2010 consid. 2.3; 2C_886/2008 du 4 mai 2009 consid. 2). C'est dès lors à juste titre que l'intéressé a déposé un recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
1.2. La qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire suppose un "intérêt juridique" à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 115 let. b LTF).
L'art. 37 al. 3 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) dispose que le titulaire d'une autorisation d'établissement a droit au changement de canton s'il n'existe aucun motif de révocation au sens de l'art. 63 LEtr. Le recourant peut ainsi faire valoir un intérêt juridique à la modification de la décision cantonale. Selon l'art. 62 let. b LEtr, applicable par renvoi de l'art. 63 al. 1 let. a LEtr, l'autorisation d'établissement peut être révoquée lorsque l'étranger a été condamné à une peine privative de liberté de longue durée. Savoir si l'autorisation sollicitée peut être refusée pour un tel motif est une question de fond et non de recevabilité.
1.3. Pour le surplus, interjeté par une partie qui a succombé dans ses conclusions, le présent recours, déposé dans le délai (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans la forme (art. 42 LTF) prévus, est en principe recevable, puisqu'il est dirigé contre un jugement final (art. 117 et 90 LTF) rendu par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 114 et 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF).
2.
En vertu de l'art. 99 LTF, applicable au recours constitutionnel subsidiaire par renvoi de l'art. 117 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente.
En l'espèce, le recourant produit un fax du Service cantonal daté du 19 février 2013, une attestation d'établissement datée du 20 février 2013, ainsi qu'une convocation pour le renouvellement du permis C du 15 juin 2005. En tant que ces pièces ne ressortent pas de la procédure devant le Tribunal cantonal, il s'agit de moyens nouveaux irrecevables dont la Cour de céans ne tiendra pas compte. Il n'y a pas non plus lieu de traiter les griefs qui se fondent sur ces pièces nouvelles. Au surplus, lorsque le recourant reproche au Tribunal cantonal de n'avoir pas tenu compte des liens extrêmement forts qu'il aurait tissés avec ses amis résidant à Morges, il invoque un fait nouveau irrecevable, puisqu'il ne l'a pas soulevé devant l'autorité cantonale.
3.
3.1. La voie du recours constitutionnel subsidiaire n'est ouverte que pour se plaindre de la violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). En vertu de l'art. 106 al. 2 LTF, applicable par renvoi de l'art. 117 LTF, les griefs y relatifs doivent être invoqués et motivés de façon détaillée, sous peine d'irrecevabilité (ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254).
Saisi d'un recours constitutionnel subsidiaire, le Tribunal fédéral statue sur la base de faits constatés dans la décision attaquée; il ne peut rectifier ou compléter les constatations de fait de l'autorité précédente que si les faits ont été établis en violation des droits constitutionnels (art. 118 LTF), ce qu'il appartient à la partie recourante d'exposer et de démontrer de manière claire et circonstanciée. La correction du vice soulevé doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. arrêt 2D_14/2011 du 29 août 2011 consid. 1.2).
3.2. Le recourant reproche tout d'abord à l'instance précédente de n'avoir pas retenu qu'il était né à Morges et qu'il avait vécu dans le canton de Vaud jusqu'en novembre 2007. Force est toutefois de constater que ces éléments ont été pris en compte dans la pesée des intérêts (arrêt attaqué, p. 6), mais que l'instance précédente a considéré qu'ils ne l'emportaient pas sur l'intérêt public à l'éloignement du recourant. En réalité, l'argument soulevé par le recourant ne concerne pas l'établissement des faits mais relève de la pesée des intérêts et sera examinée dans ce contexte (cf. infra consid. 5.3).
Le recourant reproche encore au Tribunal cantonal de n'avoir pas retenu que son séjour à Fribourg avait duré " à peine quatre ans " (cf. mémoire de recours, p. 4). Or, contrairement à ce que le recourant semble soutenir, le Tribunal cantonal ne retient pas que l'intéressé (et sa famille) aurait séjourné plus de quatre ans dans le canton de Fribourg. Bien au contraire, l'instance précédente admet que le recourant a passé l'essentiel de sa vie à Morges, se limitant à constater qu'à la naissance de leur enfant en 2009, les époux X._ étaient déjà domiciliés dans le canton de Fribourg, ce que le recourant ne conteste pas. On ne discerne dès lors aucune contradiction entre la version du recourant et celle retenue par l'instance précédente.
Le recourant se plaint enfin de ce que l'arrêt attaqué aurait passé "sous silence le fait que la famille et les amis du recourant résident toujours à Morges" (cf. mémoire de recours, p. 4). Or, contrairement aux dires du recourant, le Tribunal cantonal a expressément retenu que sa famille résidait encore à Morges (cf. arrêt attaqué, p. 6). Quant à l'existence d'un réseau social dans le canton de Vaud, le recourant n'expose pas en quoi il était arbitraire de ne pas retenir cet élément, ni en quoi la rectification de l'état de fait dans le sens qu'il propose serait de nature à influer sur le sort de la cause.
Dans la suite du raisonnement, le Tribunal fédéral se fondera donc exclusivement sur les faits retenus par l'instance précédente.
4.
Le recourant considère que le refus de changement de canton viole sa liberté économique.
4.1. Selon l'art. 27 Cst., la liberté économique est garantie. Elle comprend le libre choix de la profession, le libre accès à une activité économique lucrative privée et son libre exercice (art. 27 al. 2 Cst.). Elle protège toute activité économique privée, exercée à titre professionnel et tendant à la production d'un gain ou d'un revenu. Elle s'étend à toute la Suisse, trouvant application " sur un point quelconque du territoire suisse " (ATF 103 Ia 259 consid. 2a p. 262).
4.2. En l'espèce, contrairement ce que soutient le recourant, le refus du changement de canton n'a pas pour effet de limiter son droit d'exercer une activité lucrative dans le canton suisse de son choix. Comme l'a relevé à juste titre le Tribunal cantonal, l'intéressé conserve la possibilité d'exercer une activité lucrative dans le canton de Vaud tout en étant domicilié dans le canton de Fribourg (art. 38 al. 4 LEtr). Tout au plus, le recourant devra-t-il s'accommoder de la distance entre ces deux lieux. Il s'agit toutefois là d'une question de convenance qui ne porte pas atteinte à la liberté économique. Le grief tiré de la violation de la liberté économique est donc mal fondé.
5.
Le recourant estime qu'en lui refusant l'autorisation de s'établir dans le canton de Vaud, le Tribunal cantonal est tombé dans l'arbitraire et a violé son droit au changement de canton tel que garanti à l'art. 37 LEtr.
5.1. Une décision est arbitraire (art. 9 Cst.) lorsqu'elle contredit clairement la situation de fait, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (ATF 132 III 209 consid. 2.1 p. 211). A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. De plus, il ne suffit pas que les motifs de l'arrêt attaqué soient insoutenables, encore faut-il que ce dernier soit arbitraire dans son résultat. Il n'y a en outre pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle de l'autorité intimée paraît concevable, voire préférable (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4 p. 560; 134 I 263 consid. 1 p. 265; 134 II 124 consid. 4.1 p. 133).
5.2. Selon l'art. 66 de l'ordonnance fédérale du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201), les étrangers ne peuvent disposer d'une autorisation de séjour, de courte durée ou d'établissement que dans un seul canton; les autorisations sont valables sur le territoire du canton qui les a délivrées. L'étranger qui souhaite changer de canton doit requérir une autorisation de changement de canton (art. 67 al. 1 OASA). L'autorisation prend fin lorsque l'étranger obtient une autorisation dans un autre canton (art. 61 al. 1 let. b LEtr). Comme susmentionné, l'art. 37 al. 3 LEtr prévoit que le titulaire d'une autorisation d'établissement a droit au changement de canton s'il n'existe aucun motif de révocation au sens de l'art. 63 LEtr, lequel mentionne par renvoi à son al. 1 let. a, le fait que l'étranger a été condamné à une peine privative de liberté de longue durée.
Le Message du 24 octobre 2007 concernant la loi sur les étrangers (FF 2002 3469), précise que l'existence d'un motif de révocation ou d'expulsion ne suffit pas: il faut également qu'une telle mesure soit proportionnelle et raisonnablement exigible. La nature juridique particulière de l'autorisation d'établissement est donc prise en compte (FF 2002 3547). Il ressort également de la directive "3. Règlement des conditions de séjour ", dans sa version au 30 septembre 2011, des directives " Domaine des étrangers" de l'Office fédéral des migrations, qui traite du changement de canton (ch. 3.1.8.2) qu'outre la présence d'un motif de révocation, il convient de vérifier que celle-ci est "proportionnée compte tenu de l'ensemble des circonstances". Cependant, l'autorisation ne pourra être refusée dans le nouveau canton au seul motif que le requérant peut rester dans l'actuel canton de domicile. Il doit exister un motif de révocation justifiant un renvoi de Suisse. Pour cette raison, le nouveau canton est tenu d'examiner s'il existe un motif de révocation et si une expulsion de Suisse constituerait un mesure proportionnelle " (cf. arrêt 2D_17/2011 du 26 août 2011 consid. 3.3).
5.3. Selon le recourant, le Tribunal cantonal est tombé dans l'arbitraire en confirmant le refus de changement de canton alors qu'aucune procédure de révocation n'avait été intentée suite à la condamnation pénale prononcée en 2006 et que ses agissements délictuels n'avaient pas empêché les autorités compétentes de l'autoriser à s'établir dans le canton de Fribourg. Il critique également la pesée des intérêts effectuée par l'autorité intimée.
Dans la pesée des intérêts, le Tribunal cantonal a notamment retenu que le recourant était né dans le canton de Vaud et qu'il avait passé l'essentiel de sa vie à Morges, où résidait sa famille. Il a également constaté que le recourant et son épouse étaient au bénéfice d'un contrat de durée indéterminée en qualité d'employés de cuisine et service pour un restaurant à Renens, de sorte à réduire le risque que les intéressés sollicitent l'aide sociale. A ces éléments favorables, le Tribunal a toutefois opposé la gravité de la condamnation prononcée à l'encontre du recourant. Les juges cantonaux ont également tenu compte de la proximité géographique de Fribourg avec son canton de provenance et du réseau social que l'intéressé a dû se créer durant son séjour à Fribourg.
Il est vrai que, dans la balance des intérêts publics et privés à opérer, le jugement cantonal a omis de considérer le temps écoulé depuis les faits reprochés ainsi que le comportement adopté depuis la condamnation pénale. L'omission de ces deux éléments n'est toutefois pas de nature à modifier le résultat de la décision entreprise. Ils revêtent en effet une importance relative qui ne suffit pas à compenser la gravité des actes reprochés au recourant. Il ne faut pas perdre de vue que le recourant a été condamné pour infraction à la législation sur les stupéfiants, ce qui, selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, représente une atteinte très grave à la sécurité et à l'ordre public (cf. arrêts 2C_238/2012 du 30 juillet 2012 consid. 2.3; 2C_221/2012 du 19 juin 2012 consid. 3.3.2; 2C_492/2011 du 6 décembre 2011 consid. 4.1). La durée de la peine prononcée reflète au surplus la gravité des actes du recourant. Compte tenu de ces éléments, la décision attaquée n'est pas disproportionnée au point d'apparaître arbitraire dans son résultat. Le grief tiré de l'arbitraire doit donc être écarté.
6.
Invoquant l'art. 8 Cst., le recourant se plaint d'une violation du principe de l'égalité de traitement. Il se prévaut d'un arrêt rendu par le Tribunal cantonal le 8 février 2011 dans une cause qu'il estime "très similaire" à la sienne et reproche à cette autorité d'avoir traité différemment les deux situations.
6.1. Une décision viole le droit à l'égalité de traitement garanti à l'art. 8 Cst. lorsqu'elle établit des distinctions juridiques qui ne se justifient par aucun motif raisonnable au regard de la situation de fait à réglementer ou lorsqu'elle omet de faire des distinctions qui s'imposent au vu des circonstances (ATF 131 V 107 consid. 3.4.2 p. 114; 129 I 113 consid. 5.1 p. 125 et les arrêts cités).
En l'espèce, l'arrêt du Tribunal cantonal dont se prévaut le recourant présente des différences par rapport au cas particulier. La peine subie par l'intéressé était moins lourde que dans le cas d'espèce et, hormis une contravention à la législation sur les stupéfiants, le recourant n'avait pas été condamné pour des actes pour lesquels le Tribunal fédéral se montre particulièrement rigoureux (cf. supra consid. 5.3). Le Tribunal cantonal avait, de surcroît, relevé le jeune âge de l'intéressé (moins de vingt ans) à l'époque des agissements délictueux. Dans ces circonstances, le Tribunal cantonal n'a pas traité de façon différente des situations semblables, de sorte que ce grief doit lui aussi être rejeté.
7.
Le recourant se plaint d'une violation de son droit au respect de la vie familiale garanti par les art. 13 Cst., 15 Cst./VD (RS 131.231) et 8 de la Convention européenne de sauvegarde des droits de l'homme et des libertés fondamentales du 4 novembre 1950 (CEDH; RS 0.101). D'une part, il fait valoir un droit à ne pas être séparé de ses parents qui résident dans le canton de Vaud. D'autre part, il considère que le refus du changement de canton constitue une ingérence inadmissible dans ses prérogatives en matière d'éducation de son enfant.
En matière de droit des étrangers, l'art. 13 al. 1 Cst. n'a pas une portée plus grande que l'art. 8 CEDH (ATF 129 II 215 consid. 4.2 p. 218 s.). Dans la mesure en outre où le recourant n'allègue ni ne démontre que l'art. 15 Cst./VD aurait une portée plus large que l'art. 13 Cst., il convient d'examiner le grief soulevé à la lumière de l'art. 8 CEDH seulement.
7.1.
7.1.1. Selon la jurisprudence, un étranger peut, selon les circonstances, se prévaloir du droit au respect de sa vie privée et familiale au sens de l'art. 8 par. 1 CEDH pour s'opposer à une éventuelle séparation de sa famille. Les relations visées par l'art. 8 CEDH sont avant tout celles qui existent entre époux, ainsi que les relations entre parents et enfants mineurs vivant en ménage commun (ATF 127 II 60 consid. 1d/aa p. 65; 120 Ib 257 consid. 1d p. 261). S'agissant d'autres relations entre proches parents, comme celles entre frères et soeurs, la protection de l'art. 8 CEDH suppose que l'étranger se trouve dans un état de dépendance particulier à l'égard du parent ayant le droit de résider en Suisse. Tel est le cas lorsqu'il a besoin d'une attention et de soins que seuls les proches parents sont en mesure de prodiguer. Cela vaut notamment pour les enfants majeurs vis-à-vis de leurs parents résidant en Suisse (ATF 129 II 11 consid. 2 p. 14). On peut en effet généralement présumer qu'à partir de dix-huit ans un jeune adulte est en mesure de vivre de manière indépendante, sauf circonstances particulières telles qu'un handicap ou une maladie grave (ATF 120 Ib 257 consid. 1e p. 261/262). Le champ de protection de l'art. 8 CEDH serait étendu de façon excessive si les descendants majeurs capables de gagner leur vie pouvaient déduire de cette disposition conventionnelle le droit de vivre en ménage commun avec leurs parents et, à cette fin, le droit d'obtenir une autorisation de séjour (ATF 115 Ib 1 consid. 2c p. 5).
7.1.2. En l'espèce, le recourant n'invoque aucun facteur de dépendance allant au-delà des sentiments d'attachement ordinaires. Il se limite à mettre en avant la possibilité de vivre près des siens et de bénéficier d'une solution de garde pour son fils. Si ces éléments sont certes de nature à faciliter le retour à la vie professionnelle, ils ne sauraient créer une relation de dépendance, au sens de la jurisprudence précitée.
7.2. Il reste à examiner si le recourant a subi une atteinte injustifiée dans ses prérogatives en matière d'éducation de son enfant, grief également rattaché à l'art. 8 par. 1 CEDH.
7.2.1. Selon la Cour européenne des droits de l'homme, l'art. 8 par. 1 CEDH ne garantit point par elle-même un droit à l'instruction, ni un droit propre des parents en matière d'instruction de leurs enfants: elle a essentiellement pour objet de protéger l'individu contre des ingérences arbitraires des pouvoirs publics dans sa vie privée ou familiale. Toutefois, il n'est pas exclu que des mesures prises dans le domaine de l'enseignement puissent affecter le droit au respect de la vie privée et familiale ou y porter atteinte; il en serait ainsi, par exemple, si elles avaient pour but ou pour effet de troubler la vie privée ou familiale d'une manière injustifiée, notamment en éloignant de façon arbitraire des enfants de leurs parents (arrêt [de la CourEDH] Affaire relative au régime de l'enseignement en Belgique du 23 juillet 1968, Série A vol. 6 § 7).
7.2.2. En l'espèce, on peine à comprendre en quoi le refus de changement de canton empêcherait le recourant de prendre les décisions en matière d'éducation de son enfant. Le refus d'autoriser le changement de canton n'a en particulier pas pour effet d'imposer un régime scolaire éloignant l'enfant de ses parents (cf. arrêt [de la CourEDH] Affaire relative au régime de l'enseignement en Belgique du 23 juillet 1968, Série A vol. 6 § 7). Ainsi que le recourant l'admet lui-même, il peut toujours faire appel à une solution de garde alternative, sans que ce choix ne résulte d'une immixtion des autorités dans sa vie privée et familiale.
7.3. Dans ces conditions, le recourant ne peut valablement invoquer l'art. 8 par. 1 CEDH pour obtenir l'autorisation de s'établir dans le canton de Vaud.
8.
Le recourant invoque à titre subsidiaire une violation de la liberté personnelle garantie aux art. 10 Cst., 12 Cst./VD et 5 CEDH. Le recourant considère que le refus du changement de canton viole tant son droit de pouvoir se mouvoir sur le territoire suisse que son droit aux relations sociales et familiales. Il ne prétend toutefois pas que les garanties offertes par l'art. 12 Cst./VD aillent au-delà de l'art. 10 Cst.
8.1. D'après l'art. 10 al. 2 Cst., la liberté personnelle inclut la liberté de mouvement. Dans un sens large, celle-ci serait atteinte par toute mesure étatique empêchant une personne d'aller et venir librement. Dans un sens étroit, la liberté de mouvement garantit une protection contre les privations de liberté injustifiées (cf. le Message, in FF 1997 I 150). La liberté personnelle se conçoit comme une garantie générale et subsidiaire à laquelle le citoyen peut se référer pour la protection de sa personnalité ou de sa dignité, en l'absence d'un droit fondamental plus spécifique (ATF 123 I 112 consid. 4 p. 118).
Contrairement à ce que prétend le recourant, l'arrêt attaqué ne l'empêche pas de se déplacer, pas plus qu'il ne l'y force. Il ne viole donc pas la liberté de mouvement. Quant au droit aux relations sociales et familiales, il est couvert par celui de la protection de la sphère privée, qui a déjà été examiné (cf. supra consid. 7). Les moyens que le recourant tire d'une prétendue violation des art. 10 Cst., 12 Cst./VD et 5 CEDH doivent donc être rejetés, dans la mesure où ils sont recevables.
9.
Compte tenu de ce qui précède, le recours constitutionnel subsidiaire doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêté à 2'000 fr. sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population du canton de Vaud et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 30 mai 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor