Sachverhalt:
A. S._, geboren 1956, arbeitete seit 2000 während ca. 27 Stunden pro Woche im Aussendienst der Q._ AG. In dieser Eigenschaft war sie bei der Allianz Suisse Versicherungen (nachfolgend: Allianz oder Beschwerdeführerin) gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 2. Juli 2000 war sie mit einem Ford Focus bei dichtem Verkehr auf der Autobahn A1, als sich im Bereiche eines stationären Radarmessgerätes eine Kolonne bildete und die Versicherte bis zum Stillstand abbremsen musste. Der nachfolgende Lenker eines Peugeot 205 vermochte - trotz Einleitung einer Vollbremsung - nicht mehr rechtzeitig abzustoppen, so dass es zu einer Heckauffahrkollision kam. In der Chirurgischen Notfallstation des Spitals X._ konnten noch am Unfalltag ambulant ossäre Läsionen ausgeschlossen werden. Es wurde einzig eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert. Der ab 5. Juli 2000 nachbehandelnde Hausarzt Dr. med. B._ attestierte der Versicherten ab Unfall eine volle Arbeitsunfähigkeit und ging am 17. August 2000 von einem voraussichtlichen Behandlungsabschluss "in sechs Wochen" aus. Die Allianz übernahm die Heilbehandlung und entrichtete ein Taggeld.
Mit unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 17. Januar 2005 sprach die Allianz der Versicherten für die ihr dauerhaft verbleibenden unfallbedingten Einschränkungen eine Integritätsentschädigung aufgrund einer Integritätseinbusse von 60 % sowie eine Invalidenrente nach UVG basierend auf einer Erwerbsunfähigkeit von 78 % zu; letztere richtete die Allianz mit Wirkung ab 1. Januar 2005 in Ergänzung zu einer Rente der Invalidenversicherung als Komplementärrente von monatlich Fr. 3'046.- aus. Zudem übernahm die Allianz ein Jahres-Fitnessabonnement ab 25. November 2004 sowie für das ganze Kalenderjahr 2005 die Arztkontrollen bei Dr. med. B._ und die Versorgung mit den Medikamenten Inderal, Tonopan und Ponstan.
Nach Einsichtnahme in den im Auftrag des Haftpflichtversicherers erstellten Überwachungsbericht vom 27. November 2007 hob die Allianz ihre Rentenleistungen per 31. Januar 2009 auf (Verfügung vom 19. Januar 2009). Laut dieser Verfügung hatte die Invalidenversicherung ihre Rentenleistungen bereits mit Verfügung vom 17. November 2008 rückwirkend ab 1. Juli 2001 eingestellt und die seither zu Unrecht ausgerichteten Leistungen von der Versicherten zurückgefordert. Im Einspracheverfahren veranlasste die Allianz nochmals eine interdisziplinäre Expertise, welche das medizinische Institut Y._ am 14. November 2009 erstattete. Es folgte ein weiterer Schriftenwechsel zur Interpretation der Ergebnisse des Gutachtens des medizinischen Instituts Y._. Am 12. April 2010 kündigte die Allianz der Versicherten eine reformatio in peius an und bot ihr Gelegenheit, die Einsprache innert Frist zurückzuziehen. Nach unbenutztem Fristablauf hielt die Allianz fest, dass sie "in Abänderung der Verfügung vom 19. Januar 2009 [...] sämtliche Versicherungsleistungen per 31. Dezember 2002" rückwirkend einstelle und im Übrigen die Einsprache abweise (Einspracheentscheid vom 6. Mai 2010). Zudem verfügte die Allianz noch am gleichen 6. Mai 2010 die Rückforderung der seither zu Unrecht erbrachten Rentenleistungen, soweit die Rückforderung hinsichtlich der Rentenbetreffnisse für die Zeitdauer vom 1. Juni 2005 bis 31. Januar 2009 im Umfang von Fr. 136'598.00 noch nicht verjährt waren.
B. Gegen den Einspracheentscheid vom 6. Mai 2010 beantragte S._ beschwerdeweise, die Allianz habe ihr weiterhin die rechtskräftig zugesprochene Invalidenrente auszurichten. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hiess die Beschwerde in dem Sinne teilweise gut, als es die Einstellung der Invalidenrente aus Unfallversicherung per Ende Oktober 2009 verfügte und die Beschwerde im Übrigen abwies (Entscheid vom 13. April 2011).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Allianz unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beschwerdegegnerin die Aufhebung des angefochtenen Gerichtsentscheids und die Bestätigung des Einspracheentscheides vom 6. Mai 2010.
Während die Versicherte auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen; Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Vorinstanz hat die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache zutreffend dargelegt. Das betrifft insbesondere die Bestimmungen über die revisionsweise Erhöhung, Herabsetzung oder Aufhebung einer Invalidenrente (Art. 17 Abs. 1 ATSG) sowie über die prozessuale Revision (Art. 53 Abs. 1 ATSG) rechtskräftiger Verfügungen und Einspracheentscheide mit der dazu ergangenen Rechtsprechung. Richtig sind auch die Hinweise zu dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 126 V 353 E. 5b S. 360 mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
3. Streitig ist, ob die Allianz mit Einspracheentscheid vom 6. Mai 2010 zu Recht im Wege der reformatio in peius sämtliche Leistungen aus dem Unfall vom 2. Juli 2000 rückwirkend per Ende 2002 eingestellt hat, oder ob im Gegenteil die entsprechende Leistungspflicht erst per 31. Oktober 2009 endete, wie es die Vorinstanz entschieden hat. Nicht Gegenstand dieses Verfahrens ist die Frage, ob - und gegebenenfalls in welchem Ausmass und für welche Periode - die Beschwerdeführerin berechtigt ist, die in der Vergangenheit allenfalls zu Unrecht erbrachten Leistungen zurückzufordern.
4. 4.1 Die Allianz beruft sich vor Bundesgericht darauf, mit Kenntnisnahme von den Ergebnissen der Observation habe sie einen Revisionsgrund im Sinne von Art. 53 Abs. 1 ATSG entdeckt. Dieser Revisionsgrund gestatte es ihr, eine uneingeschränkte Neubeurteilung durchzuführen und eine rückwirkende Korrektur vorzunehmen. Die Beschwerdeführerin habe deshalb eine vollständig neue polydisziplinäre Begutachtung veranlasst. Das Gutachten des medizinischen Instituts Y._, welches den Ermittlungsbericht aus der Observation der Versicherten mitberücksichtige, beweise, dass der Status quo sine vel ante bereits im Laufe des Jahres 2002 eingetreten sei. Die Allianz habe demzufolge mit Einspracheentscheid vom 6. Mai 2010 die Leistungspflicht für die Folgen des Unfalles vom 2. Juli 2000 zu Recht per 31. Dezember 2002 eingestellt.
4.2 Demgegenüber vertrat das kantonale Gericht die Auffassung, die Akten liessen unter Berücksichtigung des Observationsberichts und des Gutachtens des medizinischen Instituts Y._ auf eine zwischenzeitlich eingetretene Verbesserung und Stabilisierung der erwerblichen Auswirkungen des Gesundheitsschadens schliessen. Die im Alltag anhaltend geklagten Einschränkungen seien nicht mit den anlässlich der Observation von Oktober/November 2007 festgestellten tatsächlichen Verhältnissen zu vereinbaren. Die gutachterlichen Untersuchungen der Versicherten im Sommer und Herbst 2009 hätten eine Verbesserung des Gesundheitszustandes spätestens auf den Abschluss der Begutachtung des medizinischen Instituts Y._ hin per Ende Oktober 2009 bestätigt. Auf diesen Zeitpunkt hin könne die von der Allianz verfügte Einstellung sämtlicher Leistungen in Anwendung von Art. 17 Abs. 1 ATSG geschützt werden.
5. Fest steht und unbestritten ist, dass die Beschwerdegegnerin im Zusammenhang mit der Heckauffahrkollision vom 2. Juli 2000 - spätestens - ab 1. November 2009 keinen Anspruch mehr auf Leistungen der Unfallversicherung hat. Zu prüfen ist einzig, ob die Beschwerdeführerin ihre Leistungspflicht gestützt auf das Gutachten des medizinischen Instituts Y._ zu Recht bereits ab einem früheren Zeitpunkt - frühestens per Ende 2002, wie mit Einspracheentscheid vom 6. Mai 2010 verfügt - verneint hat.
6. 6.1 Soll - wie hier - eine mit rechtskräftiger Verfügung vom 17. Januar 2005 zugesprochene, laufende Rente aufgehoben werden, setzt dies einen Abänderungstitel voraus. Als solche gelten die Rentenrevision (Art. 17 Abs. 1 ATSG), die prozessuale Revision (Art. 53 Abs. 1 ATSG), die Wiedererwägung (Art. 53 Abs. 2 ATSG) sowie die gesetzlich nicht geregelte Anpassung an geänderte Rechtsgrundlagen (Urteil 8C_228/2009 vom 4. Juni 2009 E. 3 mit Hinweisen).
6.1.1 Gemäss Art. 17 Abs. 1 ATSG wird die Rente bei einer erheblichen Änderung des Invaliditätsgrades von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben. Anlass zu einer solchen Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen (BGE 134 V 131 E. 3 S. 132 mit Hinweisen). Zu vergleichen ist dabei der Sachverhalt im Zeitpunkt, in welchem die Rente rechtskräftig gewährt bzw. materiell bestätigt worden ist, mit dem Sachverhalt im Zeitpunkt der Neubeurteilung (BGE 130 V 343 E. 3.5.2 S. 351; vgl. auch BGE 134 V 131 E. 3 S. 132 f. mit Hinweis).
6.1.2 Nach Art. 53 Abs. 1 ATSG müssen formell rechtskräftige Verfügungen und Einspracheentscheide in Revision gezogen werden, wenn die versicherte Person oder der Versicherungsträger nach deren Erlass erhebliche neue Tatsachen entdeckt oder Beweismittel auffindet, deren Beibringung zuvor nicht möglich war. Das revisionsweise vorgebrachte Element, welches lediglich eine neue Würdigung einer bereits bekannten Tatsache beinhaltet, rechtfertigt keine prozessuale Revision (SVR 2010 UV Nr. 22 S. 90, 8C_720/2009 E. 5.1 mit Hinweisen). Neue Beweismittel haben entweder dem Beweis der die Revision begründenden neuen erheblichen Tatsachen oder dem Beweis von Tatsachen zu dienen, die zwar bekannt gewesen, zum Nachteil des Gesuchstellers aber unbewiesen geblieben sind. Ausschlaggebend ist, dass das Beweismittel nicht bloss der Sachverhaltswürdigung, sondern der Sachverhaltsfeststellung dient. Es genügt daher nicht, dass ein neues Gutachten den Sachverhalt anders wertet; vielmehr bedarf es neuer Elemente tatsächlicher Natur, welche die Entscheidungsgrundlagen als objektiv mangelhaft erscheinen lassen (SVR 2010 UV Nr. 22 S. 90, 8C_720/2009 E. 5.2 mit Hinweisen).
6.2 Die Allianz behauptet nicht und es sind keine entsprechenden Anhaltspunkte dafür ersichtlich, dass die ursprüngliche Rentenzusprechung gemäss Verfügung vom 17. Januar 2005 im Sinne von Art. 53 Abs. 2 ATSG zweifellos unrichtig war. Vielmehr hat das kantonale Gericht in bundesrechtskonformer Beweiswürdigung zutreffend dargelegt, dass sich die Beschwerdeführerin schon damals auf eine "umfangreiche medizinische" Aktenlage abstützen konnte. Es verneinte jedoch - im Gegensatz zur Allianz - auch die Voraussetzungen der prozessualen Revision von Art. 53 Abs. 1 ATSG.
6.3 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Feststellungen hinsichtlich der Leistungsfähigkeit der Versicherten gemäss Bericht zur Observation der Beschwerdegegnerin im Oktober/November 2007 seien als neue erhebliche Tatsachen zu qualifizieren. Die medizinischen Akten würden belegen, dass im Zeitpunkt des Erlasses der Rentenverfügung vom 17. Januar 2005 ungefähr die gleichen Befunde erhoben worden seien wie anlässlich der Begutachtung des medizinischen Instituts Y._. Die Versicherte selber habe wiederholt darauf hingewiesen, dass sich ihr Gesundheitszustand seit der Rentenzusprache vom 17. Januar 2005 nicht namhaft verändert habe. Die neuen Feststellungen zur Leistungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin aus der Observation vom Oktober/November 2007 hätten demzufolge als erhebliche Tatsachen schon im Januar 2005 berücksichtigt werden müssen. "Da allein aus den Videoaufnahmen und dem Ermittlungsbericht der Z._ AG vom 27. November 2007 noch nicht auf einen einwandfreien Gesundheitszustand der Beschwerdegegnerin [habe] geschlossen werden" können, habe die Allianz noch eine weitere medizinische Begutachtung veranlasst. Gestützt auf das voll beweiskräftige Gutachten des medizinischen Instituts Y._ sei rechtsgenüglich mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt, dass spätestens seit Ende 2002 kein natürlicher Kausalzusammenhang mehr bestehe zwischen den geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 2. Juli 2000.
6.3.1 Im Gegensatz zur letztinstanzlich vorgetragenen Argumentation hatte sich die Beschwerdeführerin mit Verfügung vom 19. Januar 2009 noch auf den Standpunkt gestellt, die Versicherte habe aufgrund der Feststellungen gemäss Observationsbericht den Tatbeweis erbracht, dass sie körperlich in der Lage sei, anstrengende Tätigkeiten zu bewältigen. Angesichts fehlender kognitiver und neurologischer Ausfälle sei spätestens "per sofort" - also im Januar 2009 - von einem "massiv verbesserten Gesundheitszustand" auszugehen. Dementsprechend verfügte die Allianz die Einstellung der Rentenleistungen zunächst per 31. Januar 2009. Erst im Rahmen des Einspracheverfahrens und erst nach Kenntnisnahme des Gutachtens des medizinischen Instituts Y._ vom 14. November 2009 setzte die Beschwerdeführerin den Zeitpunkt der Leistungsterminierung weiter in die Vergangenheit auf Ende 2002 zurück, nachdem sie der Versicherten am 12. April 2010 eine reformatio in peius für den Fall angekündigt hatte, dass Letztere ihre Einsprache nicht zurückziehe.
6.3.2 Mit Blick auf das von der Allianz eingeholte Gutachten des medizinischen Instituts Y._ erweist sich die Beweiswürdigung des kantonalen Gerichts als bundesrechtskonform. Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerin ist diesem Gutachten nicht mit der gewünschten Klarheit zu entnehmen, dass der Status quo sine vel ante bereits Ende 2002 mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erreicht wurde und ab diesem Zeitpunkt der Unfall jede teilursächliche Bedeutung hinsichtlich der darüber hinaus geklagten gesundheitlichen Beeinträchtigungen verloren hatte. Nach den Gutachtern soll zwar bei der Beurteilung des Beschwerdeverlaufes überhaupt kein Vorzustand ins Gewicht gefallen und der "Endzustand" hinsichtlich der Behandlung der "Folgen des Unfalles vom 2. Juli 2000" bereits "spätestens 2002" wieder erreicht worden sein. Ab diesem Zeitpunkt sei die Beschwerdegegnerin auch wieder voll arbeitsfähig gewesen. Demgegenüber stellte die Vorinstanz in jedenfalls nicht zu beanstandender Beweiswürdigung gestützt auf dasselbe Gutachten des medizinischen Instituts Y._ fest, spätestens ab Abschluss der Begutachtung im Oktober 2009 habe sich der Gesundheitszustand der Versicherten so weit verbessert, als damals kein Gesundheitsschaden mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit mehr erkennbar gewesen sei. Die vorinstanzliche Feststellung stützt sich unter anderem auf die Aussage des Gutachtens des medizinischen Instituts Y._ zur Frage, ob sich der Gesundheitszustand der Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt der Begutachtung des medizinischen Instituts Y._ verglichen mit den Verhältnissen von November 2004 und Mai 2006 wesentlich verändert habe. Die Experten des medizinischen Instituts Y._ bejahten diese Frage, indem sie darauf hinwiesen, "aufgrund der Angaben der Versicherten und der zur Verfügung stehenden Akten [sei] davon auszugehen, dass heute eine Einschränkung der psychischen Gesundheit nicht mehr begründet werden [könne]."
6.3.3 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die vorinstanzliche Beweiswürdigung, welche sich gleichermassen wie die Argumentation der Allianz ebenfalls auf das Gutachten des medizinischen Instituts Y._ abstützt, nicht zu beanstanden ist. Die Erkenntnisse der begutachtenden Fachärzte des medizinischen Instituts Y._ beruhen im Wesentlichen auf einer aktuellen polydisziplinären Untersuchung der Beschwerdegegnerin, auf der Berücksichtigung des Observationsberichts sowie auf einer abweichenden Beurteilung (vgl. E. 6.1.2 hievor) der schon vor der ursprünglichen Rentenzusprache erhobenen und bekannt gewesenen medizinischen Befunde. Nach Kenntnisnahme des Observationsberichts leitete die Beschwerdeführerin mit Blick auf das Urteil 8C_397/2009 vom 16. Oktober 2009 E. 3.3 zu Recht weitere Abklärungen ein, weil allein aufgrund der Observationsergebnisse noch nicht auf eine rentenrelevante gesundheitliche Besserung geschlossen werden konnte. Unter Berücksichtigung der schon vor der ursprünglichen Rentenzusprache ausführlich dokumentierten medizinischen Aktenlage sowie angesichts der rund viereinhalb Jahre später im Rahmen der Begutachtung des medizinischen Instituts Y._ vorgenommenen Neubeurteilung der bereits früher bekannt gewesenen Untersuchungsbefunde hat das kantonale Gericht gestützt auf dieses Gutachten nachvollziehbar und überzeugend dargelegt, dass seit der ursprünglichen Rentenzusprache vom 17. Januar 2005 bis zum Zeitpunkt des Abschlusses der Begutachtung des medizinischen Instituts Y._ im Oktober 2009 eine wesentliche Änderung der tatsächlichen Verhältnisse eingetreten ist, welche gestützt auf Art. 17 Abs. 1 ATSG die revisionsweise Aufhebung der bisher von der Allianz ausgerichteten Invalidenrente rechtfertigt.
7. Dem Prozessausgang entsprechend hat die Allianz die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG) zu tragen und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 2 BGG; BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235 mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. Dezember 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Hochuli