Faits:
A.
K._ a travaillé en qualité d'opticienne au service de la société X._ SA du 1er mai 1995 au 31 décembre 2001. A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accident auprès de Bâloise Assurances SA (ci-après: la Bâloise).
Présentant un syndrome vertébral lombaire aigu, elle a été hospitalisée à l'Hôpital Y._ du 3 au 12 février 1997, où une hernie discale L5-S1 a été diagnostiquée. Le docteur M._, spécialiste en rhumatologie et médecin traitant de l'assurée, a procédé à deux injections péri-articulaires dans la région lombaire le 7 mars 1997. K._ a été hospitalisée derechef dans l'établissement susmentionné du 4 au 12 avril 1997 en raison d'une lombosciatalgie aiguë droite apparue, selon ses médecins traitants, le 31 mars précédent.
Le 22 mars 1999, l'assurée a consulté le professeur I._, chef du service de neurochirurgie de l'Hôpital Z._ et du Centre hospitalier W._, en raison de douleurs persistantes à la jambe droite. Dans son rapport du 22 mars 1999, le professeur I._ a indiqué qu'en réponse à sa proposition de procéder à des infiltrations, l'intéressée a déclaré que les douleurs en cause avaient débuté après une telle mesure thérapeutique lors de son hospitalisation au mois d'avril 1997. Par la suite, de nombreux médecins ont été consultés par l'assurée et informés par elle de sa suspicion à propos de l'intervention du docteur M._.
Le 21 mars 2003, les docteurs B._ et E._, spécialistes en rhumatologie, ainsi que U._, spécialiste en neurologie, ont établi un rapport pour le compte du Bureau d'expertises extrajudiciaires de la FMH, dans le cadre d'un litige opposant K._ et le docteur M._, auquel celle-ci reprochait une erreur médicale. Dans ce cadre, les experts ont entendu le médecin prénommé, lequel a contesté les accusations de son ancienne patiente en indiquant que l'infiltration en cause (pratiquée en réalité le 7 mars 1997) avait été suivie d'une période sans douleurs sciatalgiques et d'une reprise du travail. Selon le docteur M._, la lombosciatalgie aiguë droite qui avait motivé l'hospitalisation de l'intéressée au mois d'avril 1997 était apparue le 31 mars précédent. Dans leur rapport, les experts prénommés ont longuement examiné et discuté la crédibilité des versions divergentes données par les protagonistes. Ils ont qualifié celle du docteur M._ de beaucoup plus vraisemblable.
K._ a été mise au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité à compter du 1er novembre 2001.
Le 27 août 2010, elle a formé une demande de prestations de l'assurance-accidents auprès de la Bâloise en faisant valoir qu'elle avait été victime d'un accident lors de l'injection pratiquée 7 mars 1997. Par décision du 21 juillet 2011, confirmée sur opposition le 1er septembre suivant, l'assureur-accidents a refusé d'allouer ses prestations.
B.
Saisie d'un recours de l'assurée qui demandait la mise en oeuvre d'une expertise médicale, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a rejeté sans donner suite à cette offre de preuve (jugement du 10 août 2012).
C.
K._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, à ce que l'intimée soit condamnée à lui allouer des prestations pour l'événement dont elle a été victime le 7 mars 1997, subsidiairement à ce que la cause soit renvoyée à l'autorité cantonale pour instruction et nouvelle décision.
L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. La juridiction cantonale propose le rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer sur celui-ci.
La recourante a déposé des observations supplémentaires le 3 décembre 2012. L'intimée a demandé qu'elles soient écartées du dossier, tout en contestant intégralement son contenu.
Considérant en droit:
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (art. 105 al. 3 LTF).
2.
L'assurance-accidents est en principe tenue d'allouer ses prestations en cas d'accident professionnel ou non professionnel (art. 6 al. 1 LAA). A juste titre, les premiers juges ont considéré que le présent cas est régi par l'art. 9 al. 1 OLAA (dans sa teneur originelle en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, ci-après: aOLAA) eu égard au principe de droit intertemporel selon lequel les dispositions légales applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (ATF 130 V 445 et les références; cf. aussi ATF 130 V 329).
3.
3.1. Selon l'art. 9 al. 1 aOLAA, on entend par accident toute atteinte dommageable, soudaine et involontaire, portée au corps humain par une cause extérieure extraordinaire. Selon la jurisprudence, la notion d'accident se décompose en cinq éléments ou conditions, qui doivent être cumulativement réalisés: une atteinte dommageable, le caractère soudain de l'atteinte, le caractère involontaire de l'atteinte, le facteur extérieur de l'atteinte, enfin, le caractère extraordinaire du facteur extérieur. Il suffit que l'un d'entre eux fasse défaut pour que l'événement ne puisse pas être qualifié d'accident (ATF 129 V 402 consid. 2.1 p. 404 et les références; 122 V 230 consid. 1 p. 232 s.).
Il résulte de la définition même de l'accident que le caractère extraordinaire de l'atteinte ne concerne pas les effets du facteur extérieur, mais seulement ce facteur lui-même. Dès lors, il importe peu que le facteur extérieur ait entraîné, le cas échéant, des conséquences graves ou inattendues. Le facteur extérieur est considéré comme extraordinaire lorsqu'il excède, dans le cas particulier, le cadre des événements et des situations que l'on peut, objectivement, qualifier de quotidiens ou d'habituels (ATF 129 V 402 consid. 2.1 p. 404; 122 V 230 consid. 1 p. 233; 121 V 35 consid. 1a p. 38; 118 V 59 consid. 2b p. 61).
3.2. Le point de savoir si un acte médical est comme tel un facteur extérieur extraordinaire doit être tranché sur la base de critères médicaux objectifs. Le caractère extraordinaire d'une telle mesure est une exigence dont la réalisation ne saurait être admise que de manière sévère. Il faut que, compte tenu des circonstances du cas concret, l'acte médical s'écarte considérablement de la pratique courante en médecine et qu'il implique de ce fait objectivement de gros risques (ATF 121 V 35 consid. 1b p. 38; 118 V 283 consid. 2b p. 284). Le traitement d'une maladie en soi ne donne pas droit au versement de prestations de l'assureur-accidents, mais une erreur de traitement peut, à titre exceptionnel, être constitutive d'un accident, dès lors qu'il s'agit de confusions ou de maladresses grossières et extraordinaires, voire d'un préjudice intentionnel, avec lesquels personne ne comptait ni ne devait compter. La notion d'erreur médicale ne saurait en effet être étendue à toute faute du médecin, au risque de faire jouer à l'assurance-accidents le rôle d'une assurance de la responsabilité civile des fournisseurs de prestations médicales (RAMA 2000 n° U 407 p. 404, U 225/99, consid. 2 et 9b). La question de l'existence d'un accident sera tranchée indépendamment du point de savoir si l'infraction aux règles de l'art dont répond le médecin entraîne une responsabilité (civile ou de droit public). Il en va de même à l'égard d'un jugement pénal éventuel sanctionnant le comportement du médecin (ATF 121 V 35 consid. 1b p. 39 et les références). Enfin, on précisera que l'indication d'une intervention chirurgicale n'est pas un critère juridiquement pertinent pour juger si un acte médical répond à la définition légale de l'accident (ATF 118 V 283).
3.3. Conformément à ces principes, la jurisprudence admet par exemple l'existence d'un accident, imputable à une cause extérieure extraordinaire, dans le cas d'une confusion en matière de groupes sanguins (ATFA 1961 p. 201 consid. 2a p. 205), dans le cas d'une accumulation d'erreurs à l'occasion d'une angiographie (consid. 4 et 5 non publiés de l'arrêt ATF 118 V 283, partiellement reproduits dans le Courrier suisse des assurances, 1994, 1 p. 31), lors de l'injection trop rapide par voie intraveineuse d'une dose excessive de produits anesthésiques (RAMA 1993 n° U 176 p. 204, U 124/92), ainsi que lors de l'oubli d'un cathéter dans la vessie d'un patient (RAMA 2003 n° U 492 p. 371, U 56/01) ou dans le cas d'une lésion du nerf médian à l'occasion d'une prise de sang (arrêt 8C_526/2007 du 29 avril 2008), et enfin dans le cas de la mobilisation sous anesthésie d'un genou fortement raidi, occasionnant la fracture d'une ostéotomie, dans des circonstances où cette opération apparaissait vouée à l'échec, manifestement contraire à l'expérience ainsi qu'à la pratique médicale (SVR 2009 UV Nr. 47 p. 166, 8C_234/2008). En revanche la jurisprudence a nié l'existence d'un accident à propos d'une perforation de l'intestin lors d'une rectoscopie suivie d'un lavement baryté (arrêt U 5/82 du 5 août 1983), lors du choix - hautement discutable - d'une technique opératoire (RAMA 1988 n° U 36 p. 42, U 15/87), dans le cas d'une perforation par erreur de la sclérotique à l'occasion d'une injection subcorticale parabulbaire au celeston (Extr. CNA 1990 n° 1 p. 1, U 41/89), lors d'une lésion de nerfs de la main survenue au cours d'une opération spécialement difficile et délicate sur un terrain cicatriciel dont l'anatomie était modifiée par de multiples opérations antérieures (ATF 121 V 35), à l'occasion de la section accidentelle de la veine épigastrique au cours de l'opération d'une hernie inguinale (SJ 1998 p. 430, U 173/96), lors de la perforation de l'oesophage survenue au cours de l'extraction d'un morceau de viande (RAMA 2000 n° U 368 p. 99, U 335/98), dans le cas de gestes médicaux inappropriés associés à de multiples complications ayant entraîné le décès d'une femme sur le point d'accoucher (RAMA 2000 n° U 407 p. 404, U 225/99), lors d'une lésion du nerf alvéolaire provoquée par l'extraction d'une dent de sagesse sans qu'un diagnostic préopératoire n'ait été posé (RDAT 2002 II n° 90 p. 336, U 284/01), lors de complications imprévisibles et rarissimes liées à un étirement préopératoire du plexus brachial en l'absence d'erreur de traitement (arrêt U 62/03 du 21 octobre 2003), dans le cas où l'inhalation d'un aérosol d'antibiotique a causé une réaction totalement inhabituelle et imprévisible sous la forme d'un choc anaphylactique (arrêt 5C.295/2005 du 12 avril 2006), et enfin dans celui où l'administration d'une combinaison de médicaments à l'occasion d'un accouchement s'est révélée présenter a posteriori certains risques pour la patiente (arrêt U 135/06 du 15 décembre 2006).
4.
4.1. En l'occurrence, il ressort de divers documents médicaux au dossier que les infiltrations du type de celles auxquelles le docteur M._ a procédé sur la recourante le 7 mars 1997 constituent des actes thérapeutiques courants depuis au moins deux décennies et qu'ils sont généralement dépourvus de complication (rapport d'expertise des docteurs B._, E._ et U._, du 21 mars 2003; rapport du docteur A._, médecin-conseil de l'intimée, du 14 février 2011; voir aussi le rapport du docteur S._, spécialiste en neurochirurgie, du 27 juin 2000). Toute procédure d'injection dans le rachis peut être assortie de la lésion d'un nerf, pour d'évidentes raisons d'anatomie (rapport du docteur A._, susmentionné). Les experts prénommés ont en outre relevé - sans que cela soit contesté par la recourante - que le produit injecté par le docteur M._ (Depo-Medrol) est utilisé depuis des décennies pour des infiltrations péri- ou intra-articulaires au niveau des articulations intervertébrales dans l'ensemble du rachis (rapport du 21 mars 2003, précité).
4.2. En outre, les nombreux renseignements d'ordre médical versés au dossier ne permettent pas de retenir que le facteur extérieur, consistant dans l'acte médical pratiqué par le docteur M._ le 7 mars 1997, revêt en l'occurrence un caractère extraordinaire. Au surplus, l'existence d'une atteinte dommageable résultant de cette intervention n'apparaît pas non plus établie au degré de la vraisemblance prépondérante.
4.2.1. Attribuant pleine valeur probante au rapport d'expertise des docteurs B._, E._ et U._ (du 21 mars 2003), les premiers juges ont retenu que la causalgie actuellement présente chez la recourante a été plus probablement déclenchée par une hernie discale ou par des dysfonctions segmentaires que par une complication iatrogène. La recourante, invoquant la très abondante documentation médicale qu'elle a produite dans la procédure précédente, conteste cette appréciation. Pour les motifs ci-après, elle ne peut cependant pas être suivie.
4.2.2. Les médecins consultés par la recourante qui ont retenu, avec une probabilité diversement évaluée, une atteinte due à la lésion d'un nerf par l'infiltration pratiquée le 7 mars 1997 par le docteur M._ se sont tous fondés sur les seules déclarations de leur patiente. Selon ce que cette dernière a indiqué pour la première fois le 22 mars 1999 à l'occasion d'une consultation chez le professeur I._ et qu'elle a répété ultérieurement, elle aurait eu, lors de l'infiltration incriminée, un réflexe spontané de la jambe droite avec décharge électrique et persistance, pendant environ trois jours, d'une symptomatologie motrice et sensorielle à ce niveau. Le professeur I._ a dès lors estimé que cette information, venant s'ajouter à l'anamnèse déjà connue, pouvait expliquer certaines trouvailles cliniques qui n'avaient pas de corrélations radiologiques et qu'il y avait lieu de prendre en considération "la possibilité d'une atteinte L4 en relation avec l'infiltration". De son côté le docteur S._ a fait les constatations suivantes: "Mme K._ présente une douleur neuropathique nette avec une composante de déafférentation (...) touchant cliniquement plutôt la racine L4 droite, survenue suite à une infiltration probablement intra-radiculaire en 1997 d'une solution cristalline de stéroïdes, l'anamnèse, la symptomatologie clinique et le status neurologique sont compatibles avec cette complication rarissime" (rapport du 27 juin 2000). Selon le professeur O._, chef du service de neurologie de W._, l'assurée "présente donc une douleur de type causalgique anamnestiquement survenue à la suite d'injection stéroïdienne dans la région paravertébrale droite, suspecte d'avoir lésé la racine L5 à ce niveau" (rapport du 3 juillet 2000). Le docteur R._, médecin-adjoint à l'Hôpital V._, a indiqué: "nous ne reviendrons pas sur son histoire douloureuse, typique pour une douleur neurogène à caractère de déafférentation probablement au niveau de la racine L4, le tout dans le cadre d'un status après une injection de Depo-Medrol effectuée il y a plus de trois ans, injection probablement réalisée de façon accidentelle dans la racine L4 elle-même" (rapport du 29 septembre 2000). Ultérieurement, d'autres praticiens ont évoqué la possibilité ou la probabilité d'une atteinte traumatique d'une racine nerveuse causée par l'infiltration en question (rapports des docteurs N._ et D._ [du 30 janvier 2003], C._ [du 26 mars 2004], F._ [du 25 juillet 2006], G._ [du 6 novembre 2006], H._ et T._ [du 21 décembre 2006]). Cependant, d'autres spécialistes encore ont discuté le rôle de l'infiltration incriminée dans l'affection dont se plaint la recourante. Ainsi, selon la doctoresse J._, médecin-chef en rhumatologie et réhabilitation à la Clinique L._, l'intéressée et son époux suspectent une lésion du nerf lors de l'infiltration pratiquée en 1997, à l'origine de la symptomatologie; cependant, il existe manifestement des altérations dégénératives, situées en particulier dans le segment L4/5 avec spondylarthrose; les plaintes s'expliquent clairement par les altérations dégénératives de la colonne vertébrale, avec syndrome spondylogène et irritation radiculaire (rapport du 2 février 2006). De même, d'après le docteur P._, praticien dans le service de rhumatologie du Centre hospitalier Q._, "il est toujours difficile d'attribuer un lien de causalité entre un geste technique et l'apparition ultérieure de symptômes, ainsi que de préciser a retro le mécanisme probable à l'origine d'une aggravation des symptômes; la survenue rapide des signes (une heure) après l'injection (susmentionnée) pourrait aussi bien cadrer avec une blessure traumatique ou une compression aiguë par le bolus de produit de la racine qu'avec un mécanisme "chimique", lesquels mettent souvent plus de temps à se développer; toutefois, une rétraction de la gaine radiculaire pourrait avoir contribué à l'entretien des symptômes, même si ceci ne peut être affirmé" (rapport du 13 septembre 2007). Seul le docteur Z._ a admis, sans réserve mais sans motivation, que l'intéressée présentait une atteinte traumatique dans la racine L4 droite à la suite de l'injection effectuée (rapport du 26 août 2003).
Sur le vu des documents médicaux ci-dessus mentionnés, on ne saurait donc admettre, au degré de vraisemblance requis par la jurisprudence, ni l'existence d'un facteur extérieur extraordinaire, ni celle d'une atteinte dommageable causée par le traitement prodigué le 7 mars 1997 par le docteur M._.
4.3. Au regard des considérants qui précèdent, la cour cantonale pouvait statuer sans ordonner la mise en oeuvre d'une expertise médicale. Le jugement entrepris doit être ainsi confirmé, ce qui conduit au rejet du recours.
5.
Etant donné l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1, première phrase, LTF).
L'intimée n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais de justice, d'un montant de 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 18 juillet 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
Le Greffier: Beauverd