Sachverhalt:
A. Der 1950 geborene S._ erlitt am 30. August 1986 und am 13. Juli 2005 Unfälle, bei welchen er sich am rechten Bein verletzte. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), bei welcher er über seinen Arbeitgeber obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert war, erbrachte jeweils für kurze Zeit die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Am 17. April 2008 liess S._ der SUVA, bei welcher er nunmehr als Bezüger von Arbeitslosenentschädigung unfallversichert war, melden, er habe sich am 3. März 2008 beim Fussballspielen am rechten Knie verletzt und leide deswegen an Beschwerden. Dabei handle es sich um einen Unfall, eventuell um einen Rückfall zu den Unfällen von 1986 und 2005. Im Rahmen der SUVA-Abklärungen äusserten sich u.a. die SUVA-Ärzte Dr. med. L._, Facharzt für Chirurgie FMH, Facharzt für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, und Dr. med. T._, Facharzt für Chirurgie FMH, spez. Allgemeinchirurgie und Unfallchirurgie, in der ärztlichen Beurteilung vom 3. Dezember 2008. Mit Verfügung vom 16. Januar 2009 verneinte die SUVA einen Leistungsanspruch mit der Begründung, das Ereignis vom 3. März 2008 stelle weder einen Unfall noch eine unfallähnliche Körperschädigung dar. Zudem seien die aktuellen Beschwerden nicht mit Wahrscheinlichkeit auf die Unfälle von 1986 und 2005 zurückzuführen. Daran hielt der Versicherer auf die von S._ erhobene Einsprache hin fest (Entscheid vom 6. Mai 2010). Zwischenzeitlich war am 18. Juni 2009 am rechten Bein eine Knietotalprothese implantiert worden.
B. S._ reichte Beschwerde gegen den Einspracheentscheid ein. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt gewährte ihm die unentgeltliche Verbeiständung und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 6. Dezember 2010 ab.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, "die versicherten Leistungen aus dem Unfall vom 3. März 2008 zu erbringen, insbesondere Taggeld, Rentenleistungen und Integritätsentschädigung auszurichten". Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist es nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob aufgrund der im April 2008 gemeldeten Beschwerden am rechten Knie ein Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung besteht. Dabei steht aufgrund der medizinischen Akten fest und ist nicht umstritten, dass diese Beschwerden mit einer Kniegelenksarthrose zu erklären sind.
Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Bestimmungen über den Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung im Grundfall sowie bei Rückfällen und Spätfolgen mit den erforderlichen kausalen Zusammenhängen und zu beachtenden Beweisregeln, insbesondere auch im Hinblick auf ärztliche Berichte und Gutachten, zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Die Vorinstanz hat zunächst erwogen, bei dem Ereignis vom 3. März 2008 handle es sich mangels eines ungewöhnlichen äusseren Faktors nicht um einen Unfall im Sinne von Art. 6 Abs. 1 UVG in Verbindung mit Art. 4 ATSG und der dazu ergangenen Rechtsprechung. Sodann stelle die diagnostizierte Kniegelenksarthrose definitionsgemäss keine unfallähnliche Körperschädigung im Sinne von Art. 6 Abs. 2 UVG in Verbindung mit Art. 9 Abs. 2 UVV dar.
Die Beschwerde äussert sich hiezu lediglich im Antrag, in welchem ein am 3. März 2008 erlittener Unfall postuliert wird. In der Beschwerdebegründung hingegen wird ausschliesslich damit argumentiert, die im April 2008 gemeldeten Kniebeschwerden seien auf die Vorunfälle von 1986 und 2005 zurückzuführen. Eine Begründung, weshalb es sich beim Ereignis vom 3. März 2008 entgegen der vorinstanzlichen Beurteilung um einen Unfall - oder eine unfallähnliche Körperschädigung - handeln soll, wird nicht vorgebracht. Damit hat es diesbezüglich sein Bewenden.
4. Zu prüfen bleibt, ob die Kniegelenksarthrose, welche die im April 2008 gemeldeten Beschwerden verursacht, als Rückfall oder Spätfolge der beiden früheren Unfälle von 1986 und 2005 zu betrachten ist. Das kantonale Gericht hat dies mit der Begründung verneint, es fehle am natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den besagten Unfällen und der Arthrose. Es stützt sich dabei auf die ärztliche Beurteilung der Dres. med. L._ und T._ vom 3. Dezember 2008. Der Beschwerdeführer bestreitet den Beweiswert dieser ärztlichen Beurteilung. Er vertritt die Auffassung, der natürliche Kausalzusammenhang sei aufgrund der Berichte und Stellungnahmen des Instituts Dr. G._, Institut Y._, des Dr. med. H._, Neurologie FMH, des Spitals X._, Klinik für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, sowie des Kreisarztes zu bejahen.
5. Die Dres. med. L._ und T._ sind in der ärztlichen Beurteilung vom 3. Dezember 2008 zum Ergebnis gelangt, beim Versicherten liege eine mittelgradig stark ausgeprägte Pangonarthrose des rechten Kniegelenkes, innenspaltbetont vor. Die dokumentierten Unfälle von 1986 und 2005 seien nicht geeignet, Kniebinnenläsionen hervorzurufen, die für die Entstehung der Arthrose ursächlich oder teilursächlich verantwortlich wären. Vielmehr seien bereits im Jahr 1986 erste Zeichen der Arthrose des Kniegelenkes radiologisch dokumentiert worden. Die jetzt dokumentierte Pangonarthrose sei verursacht durch den schicksalshaften, fortschreitenden Verlauf des degenerativen Verschleissleidens des rechten Kniegelenkes. Eine Rückfallkausalität sei nicht gegeben.
5.1 Diese Beurteilung beruht auf einer einlässlichen fachärztlichen Würdigung der medizinischen Vorakten. Die Berichterstatter begründen eingehend, weshalb sie hinsichtlich der sich stellenden Kausalitätsfrage zum genannten Ergebnis gelangt sind. Ihre Ausführungen sind widerspruchsfrei und überzeugend. Die ärztliche Beurteilung vom 3. Dezember 2008 ist daher mit der Vorinstanz als beweiswertig im Sinne der rechtsprechungsgemässen Anforderungen (BGE 125 V 351 E. 3 S. 352 ff.) zu betrachten.
Hieran ändert nichts, dass die ärztliche Beurteilung von SUVA-Ärzten abgegeben wurde. Die Ausführungen der Dres. med. L._ und T._ genügen auch den hohen Anforderungen, welche an den Beweiswert versicherungsinterner Arztberichte zu stellen sind (vgl. BGE 135 V 465 E. 4.4 S. 469 f.; 125 V 351 E. 3b/ee S. 353 f.). Dass es sich um ein aktengestütztes Gutachten handelt, rechtfertigt ebenfalls keine abweichende Betrachtungsweise. Die sich stellende Kausalitätsfrage liess sich unter den gegebenen Umständen fachärztlich verlässlich aufgrund der medizinischen Vorberichte, welche auch Berichte über bildgebende Untersuchungen umfassen, beurteilen. Einer eigenen Untersuchung des Versicherten durch die Dres. med. L._ und T._ bedurfte es hiefür nicht.
5.2 Zu prüfen bleibt, ob sich aus anderen medizinischen Akten Anhaltspunkte ergeben, welche die Beurteilung der Dres. med. L._ und T._ in Zweifel zu ziehen vermögen. Der Versicherte bejaht dies unter Berufung auf die von ihm erwähnten Arztberichte.
Der Bericht des Instituts Dr. G._ vom 12. März 2008 über die Untersuchung, welche am 10. März 2008 mittels bildgebender Verfahren durchgeführt wurden, enthält keine Ausführungen zur Kausalität der erhobenen Befunde.
In den Berichten des Spitals X._ vom 7. April 2008, 6. Mai 2009 und 24. Juni 2010 wird zwar der Begriff "posttraumatisch" verwendet. Das stellt aber keinen verlässlichen Anhaltspunkt für eine kausale Bedeutung der Unfälle von 1986 und 2005 dar, zumal die Spitalärzte keine entsprechende Begründung abgegeben haben. Es war auch nicht ihre Aufgabe, zur Kausalität Stellung zu nehmen. Die Spitalärzte hatten vielmehr gestützt auf die erhobenen medizinischen Befunde die geeignete Behandlung durchzuführen. Darüber haben sie sich in den besagten, im Übrigen nur kurz gehaltenen Berichten geäussert. Offensichtlich verfügten die Ärzte denn auch nicht über die medizinische Vorakten. Zudem war ihnen lediglich bekannt, dass das Knie 1986 und 2005 unfallbedingt verletzt worden war. Nähere Angaben zu den Unfallereignissen und zu den damals erhobenen Befunden standen ihnen aber nicht zur Verfügung.
Beim ebenfalls sehr kurz gehaltenen Bericht des Dr. med. H._ vom 30. April 2008 gilt dasselbe wie bei den Berichten des Spitals Z._. Die hier gegebene gesundheitliche Problematik dürfte im Übrigen eher nicht dem - neurologischen - Fachbereich dieses Arztes zuzurechnen sein.
Damit verbleiben die Stellungnahmen des Kreisarztes vom 10. und 30. Juli 2008. Darin wurde festgehalten, die Arthrose sei überwiegend wahrscheinlich Unfallfolge. Der Kreisarzt hat dies aber in keiner Weise begründet. Er hat zudem als massgebliches Unfallereignis dasjenige von 1986 bezeichnet. Bei diesem zog sich der Versicherte gemäss den damaligen Akten aber insbesondere Verletzungen am Unterschenkel resp. Schienbein zu. Das Knie wurde als frei beweglich, ohne Gelenkserguss und mit fester Bandführung, beschrieben (Berichte Dr. med. B._ vom 3. September 1986, Dr. med. M._ vom 10. September 1986 und Dr. med. V._ vom 12. September 1986). Sodann wurde zwar in der Unfallmeldung des Arbeitgebers vom 4. September 1986 eine Kniebeteiligung erwähnt. Als Verletzungen wurden aber nur ein Bluterguss und eine Muskelprellung genannt. Anhaltspunkte für eine Verletzung innerer Strukturen, welche allenfalls zur Entstehung der Arthrose beigetragen haben könnte, ergeben sich aus diesen Aussagen nicht. Die kreisärztlichen Stellungnahmen sind daher nicht nachvollziehbar.
5.3 Zusammenfassend ergeben sich keine Indizien, welche die Verlässlichkeit der ärztlichen Beurteilung vom 3. Dezember 2008 in Frage stellen könnten. Das kantonale Gericht hat daher zu Recht auf diese Beurteilung abgestellt und die natürliche Unfallkausalität der Arthrose verneint. Weiterer medizinischer Abklärungen bedurfte es hiefür nicht. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
6. Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Gemäss Art. 64 Abs. 1 BGG wird einer Partei die unentgeltliche Rechtspflege nur gewährt, wenn sie bedürftig ist und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Eine Person ist bedürftig, wenn sie nicht in der Lage ist, für die Prozesskosten aufzukommen, ohne dass sie Mittel beanspruchen müsste, die zur Deckung des Grundbedarfs für sie und ihre Familie notwendig sind. Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation der rechtsuchenden Person und ihres Ehepartners im Zeitpunkt der Entscheidung über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dazu gehören einerseits sämtliche finanziellen Verpflichtungen zur Deckung des Grundbedarfs, anderseits die Einkommens- und Vermögensverhältnisse (nicht publ. E. 3.2 des Urteils BGE 132 V 241; SVR 2010 IV Nr. 10 S. 31 E. 8.2 [9C_13/2009]; Urteil 8C_745/2010 vom 4. April 2011 E. 8.2; vgl. auch BGE 135 I 221 E. 5.1 S. 223 f. mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer und seine Ehefrau verfügen gemäss seinen Angaben und den eingereichten Unterlagen über monatliche Erwerbseinkünfte von gesamthaft Fr. 3610.-. Dem stehen Ausgaben von Fr. 2174.- (Mietzins Fr. 1505.-; Krankenkassenprämien gesamthaft Fr. 669.-) gegenüber. Dieser Summe ist der Grundbetrag für das Ehepaar (Fr. 1550.-) mit einem prozessualen Zuschlag von 25 % (Fr. 388.-) hinzuzurechnen. Aus der Gegenüberstellung der resultierenden Gesamtauslagen von Fr. 4112.- und der Einkünfte von Fr. 3610.- ergibt sich zwar ein Einkommensfehlbetrag von Fr. 502.-. Dabei ist aber noch nicht berücksichtigt, dass der Beschwerdeführer und seine Ehefrau über Kontoguthaben von über Fr. 57'000.- verfügen. Es ist ihnen möglich und zumutbar, mit diesem Vermögen den Einkommensfehlbetrag zu decken und die anfallenden Prozesskosten zu bezahlen (nicht publ. E. 2.2.1 des Urteils BGE 135 I 288). Hinzu kommt, dass der erwachsene Sohn noch im Haushalt der Eltern lebt und von seinem monatlichen Erwerbseinkommen von Fr. 3250.- zumutbarerweise einen Beitrag an die Lebenshaltungskosten leisten kann. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher mangels Bedürftigkeit abzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Juli 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz