Faits:
A. B._ a travaillé en Suisse pour différentes entreprises entre 1977 et 1993. A partir du 11 mai 1998, elle a été employée en qualité de « vendeur actions » au sein de l'Entreprise X._ en France. Le 20 mai 2005, elle a subi l'ablation d'un neurinome de l'acoustique droit par voie rétro-sigmoïde, qui a entraîné une surdité totale de l'oreille droite, des pertes d'équilibre, des acouphènes et un état dépressif réactionnel (rapport médical E 213 du 23 février 2007). B._ a été totalement incapable de travailler depuis l'opération jusqu'au 4 septembre 2005. Par la suite, elle n'a pu travailler qu'à mi-temps et a été mise au bénéfice d'une rente d'invalidité française de catégorie I (mi-temps) avec un taux d'invalidité supérieur à 66,6 %, dès le 1er décembre 2006. X._ a licencié B._ pour « motifs personnels » avec effet au 14 septembre 2007.
Le 30 novembre 2006, B._ a présenté une demande de pension d'invalidité, qui a été reçue par la Caisse suisse de compensation le 12 mars 2007.
L'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après : OAIE) a demandé un rapport au docteur R._, médecin généraliste au SMR, qui a considéré que l'opération d'un neurinome de l'acoustique pouvait justifier une incapacité de travail de courte durée (moins de 6 mois) et que l'état dépressif réactionnel n'était pas suffisant pour justifier une incapacité de travail de longue durée. Pour le médecin de l'assurance, les séquelles de l'opération, à savoir une perte auditive à droite et des vertiges, permettent une pleine capacité de travail médico-théorique dans l'activité habituelle de conseiller financier (rapport du 25 janvier 2008).
Se fondant sur cet avis médical, l'OAIE a notifié à B._ un projet de décision du 14 février 2008 lui refusant toute rente du fait que « malgré l'atteinte à la santé, l'exercice d'une activité lucrative est toujours exigible dans une mesure suffisante pour exclure le droit à une rente ».
B._ a contesté le projet de décision. Elle a produit un rapport du 26 mars 2008 de la doctoresse C._, médecin traitant, qui considère que l'état clinique de sa patiente n'est pas compatible avec la reprise d'une activité salariée, et un rapport du 8 novembre 2006 de la doctoresse O._, médecin-conseil de la Sécurité Sociale, qui retient que l'état clinique apparaît stabilisé et compatible avec la reprise d'une activité salariée à mi-temps.
Appelé à se prononcer sur ces différents avis médicaux, le docteur R._ a confirmé que les séquelles somatiques de l'opération permettaient une pleine capacité de travail médico-théorique dans une activité adaptée, telle qu'employée de commerce ou conseillère financière (rapport du 29 avril 2008).
Par décision du 9 juin 2008, l'OAIE a rejeté la demande de prestations, estimant que les atteintes dont font état les médecins français ne sont pas susceptibles d'entraîner une incapacité de travail de longue durée.
B. B._ a déféré cette décision au Tribunal administratif fédéral en concluant principalement à l'allocation d'une demi-rente d'invalidité au moins, subsidiairement au renvoi de la cause à l'OAIE.
Après avoir pris connaissance des rapports médicaux des docteurs T._, chirurgien qui a opéré B._ (rapport du 16 septembre 2009), et E._, médecin-conseil de l'OAIE (rapports des 5 mai et 9 octobre 2009), le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours par jugement du 1er avril 2010.
C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, au renvoi de l'affaire à la juridiction de première instance pour complément d'instruction.
L'OAIE conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
2. Est litigieuse, en l'espèce, la question de savoir si les atteintes à la santé de la recourante entraînent une incapacité de travail et de gain suffisante pour donner droit à une rente de l'assurance-invalidité suisse.
La juridiction de première instance a exposé correctement les dispositions légales et les règles jurisprudentielles sur le droit applicable ratione temporis, sur les conditions d'octroi des prestations aux assurés résidant à l'étranger, sur la notion d'invalidité et sur son évaluation. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. 3.1 Le Tribunal administratif fédéral a retenu que la recourante souffrait d'un neurinome de l'acoustique et d'un état dépressif réactionnel, entraînant des troubles de l'équilibre à la marche rapide, dans la foule et dans un environnement de faible luminosité, des céphalées à l'effort, une perte de la stéréophonie, une perte d'acuité des sons perçus avec mauvaise compréhension de mots et imprécision dans la compréhension des chiffres, des acouphènes persistant entraînant des troubles du sommeil, une dysesthésie rétro-auriculaire, une asthénie, des difficultés de concentration et des difficultés de suivre une conversation à plusieurs (jugement ch. 8 p. 13). Ce constat est repris textuellement du rapport médical du docteur T._ du 16 septembre 2009. Pour apprécier l'incidence de ces atteintes à la santé sur la capacité de travail, les premiers juges considèrent que la recourante ne peut plus exercer une activité dans un environnement bruyant nécessitant d'être confrontée à longueur de journée à des flux sonores directs ou téléphoniques demandant des réponses précises et directes de même que la prise en compte d'ordres de bourse précis. Sur ce point également, le Tribunal administratif fédéral fait siens les limitations de la capacité de travail relevées par le docteur T._. Cette appréciation n'est pas contestée par le docteur E._ qui reconnait qu'une activité dans le bruit et nécessitant des conversations à plusieurs, handicape l'assurée et provoque une fatigue prématurée.
Partant de ce constat, la juridiction de première instance a retenu que la recourante devait se reconvertir dans une activité plus calme, de réflexion lui permettant de mettre en valeur ses compétences. Elle n'a toutefois pas précisé dans quel genre et quel secteur d'activité la reconversion devait se faire. Elle a uniquement affirmé qu'il était « plausible » que cette reconversion lui permette de réaliser un revenu correspondant au moins au 60 % du salaire obtenu avant l'opération du neurinome. Cette appréciation est basée sur l'avis du docteur E._ du 9 octobre 2009, qui n'a tenu compte que d'une surdité à droite et de vertiges dans certaines activités, sans se prononcer sur les autres atteintes à la santé dont fait mention le docteur T._ et qui ont été retenues par la juridiction de première instance, à savoir des acouphènes entraînant des troubles du sommeil et des céphalées à l'effort.
En conséquence, les premiers juges ont admis que le taux d'invalidité n'atteignait pas le seuil minimum du 40 % requis pour l'octroi d'une rente.
3.2 La recourante estime que la juridiction de première instance a retenu un état de fait manifestement inexact en admettant que sa capacité de travail était entière sur la base de l'avis du docteur E._, s'écartant ainsi de celui du docteur T._ sans motivation.
3.3 Sur la base d'un avis médical qui ne discutait pas toutes les affections reconnues, le Tribunal administratif fédéral a constaté que la recourante pouvait exercer une activité susceptible de lui permettre de réaliser un revenu correspondant au moins au 60 % de son dernier salaire. Ce constat de fait n'est toutefois fondé sur aucun élément dûment établi et constitue donc une conjecture qui ne saurait lier le Tribunal fédéral (art. 105 al. 2 LTF).
A propos de l'activité professionnelle que la recourante exerçait avant l'opération, la juridiction de première instance - qui a admis la nécessité d'une reconversion - a considéré qu'il s'agissait d'un travail accompli dans un environnement bruyant, nécessitant une confrontation à longueur de journée à des flux sonores directs ou téléphoniques demandant des réponses précises et directes de même que la prise en compte d'ordres de bourse précis. En cela, elle a suivi la description faite par le docteur T._ et s'est écartée de l'avis du docteur E._ pour qui l'activité de cadre dans le conseil financier n'est pas une activité bruyante. Cependant, le dossier ne fournit aucun élément sur le genre d'activité exercée habituellement par la recourante, si bien qu'il est impossible de savoir si une reconversion est nécessaire et dans quelle mesure.
Il s'ensuit que la juridiction de première instance ne pouvait pas se fonder sur l'avis du docteur E._ après avoir admis une obligation de reconversion et des atteintes à la santé dont ce médecin ne fait pas mention. La cause doit donc être renvoyée à l'administration afin qu'elle établisse l'activité exacte de la recourante avant l'opération et qu'ensuite elle mandate un expert pour déterminer en fonction des atteintes à la santé dont souffre la recourante, si cette activité est encore exigible, éventuellement à quelles conditions, et si tel n'est plus le cas, quelles sont les autres activités encore exigibles permettant de mettre en valeur la capacité résiduelle de travail de la recourante.
Le recours doit donc être admis.
4. Vu ce qui précède, les frais de justice sont mis à la charge de l'intimé (art. 66 al. 1 LTF), lequel versera une indemnité de dépens à la recourante (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal administratif fédéral, Cour III, du 1er avril 2010 et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger du 9 juin 2008 sont annulés, la cause lui étant renvoyée pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2'800 fr., y compris la taxe sur la valeur ajoutée, à titre de dépens pour la procédure de dernière instance.
4. Le Tribunal administratif fédéral statuera à nouveau sur les frais et dépens de la procédure de recours de première instance, au regard de l'issue du procès.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 14 février 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud