Sachverhalt:
A. Der aus Tunesien stammende X._ (geb. 1971) reiste am 11. Mai 1995 im Rahmen des Familiennachzugs zu seiner hier niedergelassenen Ehefrau Y._ (geb. 1964) in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung, welche in der Folge regelmässig verlängert wurde, zuletzt bis zum 1. Oktober 2009. Am 1. Januar 2002 verstarb Y._. Am 31. Oktober 2006 heiratete X._ die ungarische Staatsangehörige Z._ (geb. 1981). Nach der Trennung der Eheleute anfangs 2009 wurde diese Ehe mit Urteil des Bezirksgerichts Luzern vom 30. August 2011 geschieden.
B. Am 16. Oktober 2009 hatte X._ um eine weitere Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ersucht. Am 9. November 2009 teilte ihm das Amt für Migration des Kantons Luzern mit, es sehe sich aufgrund zur Aktenlage zu weiteren Abklärungen veranlasst. Auf sämtliche Aufforderungen des Amtes zur Akteneinreichung (verbunden mit Androhungen des Nichteintretens auf das Verlängerungsgesuch) reagierte X._ nicht. Ebenso wenig beachtete er die mehrmaligen Schreiben des Amtes - eines davon wurde ihm am 29. März 2011 gar polizeilich zugestellt -, welche ihm die Gelegenheit einräumten, sich zum vorgesehenen Nichteintreten zu äussern. Daraufhin trat das Amt für Migration mit Verfügung vom 15. April 2011 wegen Verletzung der Mitwirkungspflichten auf das Verlängerungsgesuch nicht ein.
C. Nachdem das Amt für Migration es am 12. Mai 2011 abgelehnt hatte, die am 15. April 2011 ergangene Verfügung in Wiedererwägung zu ziehen, focht X._ am 19. Mai 2011 diese Verfügung fristgerecht mit Verwaltungsbeschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern an. Diese Beschwerde blieb erfolglos, und mit Urteil vom 26. Juni 2012 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die gegen den Departementsentscheid vom 2. November 2011 gerichtete Beschwerde ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat.
D. Mit Eingabe vom 2. August 2012 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und die Sache an das Amt für Migration zurückzuweisen unter gleichzeitiger Verpflichtung, auf das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung vom 16. Oktober 2009 einzutreten und dem Beschwerdeführer Gelegenheit zur Einreichung der notwendigen Unterlagen zu geben. Sodann wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Das Migrationsamt hat sich nicht vernehmen lassen. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ebenso das Bundesamt für Migration.
X._ machte von der Möglichkeit, sich noch einmal zu äussern, keinen Gebrauch.
E. Mit Verfügung vom 6. August 2012 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannnt.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit des Rechtsmittels von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (BGE 138 III 471 E. 1 S. 475; 137 III 417 E. 1 S. 417):
1.1 Anfechtungsobjekt ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid, der einen Nichteintretensentscheid der Verwaltung geschützt hat. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist nur zulässig, wenn ein bundes- oder völkerrechtlicher Anspruch auf die anbegehrte Bewilligung besteht (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG).
1.2 Der Beschwerdeführer beruft sich nicht auf einen solchen Rechtsanspruch. Ein solcher liegt auch nicht auf der Hand: Die Ehe, die beim Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG, SR 142.20) am 1. Januar 2008 bestand und aus der der Beschwerdeführer gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG einen Anspruch hätte ableiten können (vgl. zur übergangsrechtlichen Regelung Urteil 2C_869/2010 vom 19. April 2011 E. 2.3), hat weniger als drei Jahre gedauert, so dass die entsprechenden Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Gründe nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG (also wichtige persönliche Gründe, die einen Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen), werden in der Beschwerdeschrift nicht geltend gemacht. Die frühere Ehe mit Y._ hätte zwar mehr als drei Jahre gedauert, war aber vor dem Inkrafttreten des neuen Ausländergesetzes bereits aufgelöst, so dass daraus nicht rückwirkend ein Rechtsanspruch entstehen kann (Urteil 2C_371/2008 vom 9. Februar 2009 E. 2.2 mit Hinweisen).
1.3 Der Beschwerdeführer macht aber geltend, es gehe hier nicht um eine materiell-rechtliche Beurteilung, sondern um den Nichteintretensentscheid einer Verwaltungsbehörde, so dass auch ohne Anspruch auf eine ausländerrechtliche Bewilligung auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten sei.
Im Bereich der Ausnahmen von Art. 83 BGG sind auch sämtliche Zwischen- oder Prozessentscheide nicht mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anfechtbar (vgl. Urteil 2C_18/2007 vom 2. Juli 2007 E. 2, HANSJÖRG SEILER/NICOLAS VON WERDT/ ANDREAS GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz [BBG]: Bundesgesetz über das Bundesgericht, Bern 2007, Rz. 13 zu Art. 83;THOMAS HÄBERLI, in: Basler Kommentar BGG, 2. A. 2011, Rz. 9 zu Art. 83), auch Nichteintretensentscheide (BGE 137 I 371 E 1.1, Urteile 2C_64/2007 vom 29. März 2007 E. 2.1, 2C_933/2011 vom 7. Juni 2012 E. 1 und 2C_331/2011 vom 25. Januar 2012 E. 1.1). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers gilt das nicht nur, wenn die unmittelbare Vorinstanz auf das bei ihr erhobene Rechtsmittel nicht eingetreten ist, sondern auch wenn bereits eine Verwaltungsbehörde auf ein Gesuch nicht eingetreten ist und die Vorinstanz diesen Entscheid geschützt hat (vgl. Urteil 2C_197/2009 vom 28. Mai 2009 E. 6).
1.4 Die vorliegend erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts, mit dem dieses den Nichteintretensentscheid des Amtes für Migration geschützt hat, ist nach dem Gesagten unzulässig.
2. Es ist indes zu prüfen, ob die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG entgegenzunehmen ist.
2.1 Gemäss Art. 119 BGG kann dieses Rechtsmittel in der gleichen Rechtsschrift eingereicht werden wie die ordentliche Beschwerde, und es ist vom Bundesgericht im gleichen Verfahren zu behandeln. Die falsche Bezeichnung des Rechtsmittels schadet dem Beschwerdeführer nicht, sofern bezüglich des jeweils statthaften Rechtsmittels sämtliche Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (vgl. BGE 131 I 291 E. 1.3 S. 296).
2.2 Zur Verfassungsbeschwerde ist legitimiert, wer (a) vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder zu Unrecht keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat und (b) ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids dartun kann (Art. 115 BGG). Das erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich dabei nicht bereits aus dem verfassungsrechtlichen Willkürverbot oder dem Verhältnismässigkeitsprinzip (vgl. BGE 134 I 153 E. 4). Zur Willkürrüge ist eine Partei nur legitimiert, wenn sie sich auf eine gesetzliche Norm berufen kann, die ihr im Bereich der betroffenen und angeblich verletzten Interessen einen Rechtsanspruch einräumt oder zumindest den Schutz ihrer Interessen bezweckt (vgl. BGE 133 I 185 E. 6.1 S. 198). Trotz fehlender Legitimation in der Sache kann der Betroffene die Verletzung von Parteirechten rügen, deren Missachtung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt (sog. "Star"-Praxis). Unzulässig sind Vorbringen, die im Ergebnis wiederum auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen, wie die Behauptung, die Begründung sei unvollständig oder zu wenig differenziert bzw. die Vorinstanz habe sich nicht oder in willkürlicher Weise mit den Argumenten der Partei auseinandergesetzt und Beweisanträge in offensichtlich unhaltbarer antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt (vgl. BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313 [zum OG]; 133 I 185 E. 6.2 S. 199; 137 II 305 E. 2 S. 308).
2.3 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft solche Verletzungen nur insofern, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 117 BGG). Es ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungskonform ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 II 396 E. 3.2 S. 400).
2.4 Soweit die vorliegende Beschwerdeschrift überhaupt taugliche Willkürrügen enthält, sind diese unbegründet. Insbesondere ist es entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht willkürlich, wenn eine Verletzung der Mitwirkungspflicht durch Nichteintreten auf ein Gesuch sanktioniert wird; vielmehr entspricht dies auch der ständigen Bundesgerichtspraxis (vgl. ebenfalls zu § 55 des luzernischen Gesetzes vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege im Zusammenhang mit ausländerrechtlichen Bewilligungsgesuchen die Urteile 2C_693/2007 vom 7. Dezember 2007, 2P.3/2007 vom 10. Januar 2007, 2A.629/2003 vom 28. Oktober 2003, 2A.292/2001 vom 20. September 2001; ferner das Urteil 2D_23/2010 vom 26. August 2010, wo das Bundesgericht zwar das Nichteintreten der Luzerner Behörden auf ein ausländerrechtliches Bewilligungsgesuch als unzulässig erachtet hatte, dies aber nur, weil im konkreten Fall die verlangten Unterlagen verfügbar gewesen wären).
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, ihm sei in verfassungswidriger Weise im kantonalen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verweigert worden, ist er im Rahmen der "Star"-Praxis zwar zu dieser Rüge legitimiert, doch erweist sie sich als ungenügend begründet: Die Vorinstanz hat sich eingehend mit der Frage der Gewährung des prozessualen Armenrechts an den Beschwerdeführer befasst (S. 10 des angefochtenen Entscheides) und dargelegt, weswegen es den erhobenen Rechtsmitteln an hinreichender Erfolgsaussicht mangelte. Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen vom Verwaltungsgericht genannten Gründen nicht auseinander, sondern macht geltend, das angefochtene Urteil beschränke sich darauf, seine - des Beschwerdeführers - "Fehler" aufzuzählen. Darin liegt keine taugliche Verfassungsrüge im Sinne von Art. 116 bzw. 117 BGG, ebensowenig in der Anrufung des - allgemeinen - Verhältnismässigkeitsprinzips, welches nicht als verfassungsmässiges Recht gilt (BGE 135 V 172 E. 7.3.2 S. 182).
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der unterliegende Beschwerdeführer wird bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (Art. 65 und Art. 66 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (Art. 64 BGG) kann nicht entsprochen werden, da er - trotz bundesgerichtlicher Aufforderung - seine Bedürftigkeit nicht nachgewiesen hat.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement und dem Verwaltungsgericht (Verwaltungsrechtliche Abteilung) des Kantons Luzern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. März 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein