Sachverhalt:
A. Die 1978 geborene R._ war seit dem 1. November 2000 als Reisedisponentin bei der Firma X._ AG tätig. Sie kündigte das Arbeitsverhältnis am 27. September 2005 auf den 31. Dezember 2005. Nach Rückkehr von einem Sprachaufenthalt meldete sich R._ zur Arbeitsvermittlung an und stellte Antrag auf Leistungen der Arbeitslosenversicherung ab 6. März 2006. Mit Verfügung vom 23. Mai 2006 teilte die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn der Versicherten mit, sie werde wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit für 32 Tage in der Anspruchsberechtigung für Taggelder der Arbeitslosenversicherung eingestellt. R._ machte in ihrer dagegen geführten Einsprache insbesondere geltend, sie habe sich vor der Auflösung des Arbeitsverhältnisses beim Gemeindearbeitsamt erkundigt, ob eine Arbeitslosigkeit nach Absolvierung einer Sprachschule im Ausland als "selbstverschuldet" qualifiziert und mit Einstelltagen sanktioniert würde, was verneint worden sei. Sie habe ihr Budget für den Auslandaufenthalt auf Grund dieser Abklärungen erstellt, weshalb sie die Verfügung nicht akzeptiere. Das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Solothurn (AWA) hielt mit Entscheid vom 16. Juni 2006 an seiner Verfügung fest.
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn befragte in einer Verhandlung vom 27. November 2006 den Kanzleisekretär der Gemeinde, K._, als Zeugen, hiess die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 12. Dezember 2006 gut und hob diesen auf.
C. Die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde und stellt den Antrag, der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn sei aufzuheben.
R._ schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde und das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vor dem 1. Januar 2007 ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach dem bis zum 31. Dezember 2006 in Kraft gewesenen Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG; Art. 131 Abs. 1 und Art. 132 Abs. 1 BGG; BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395).
2. 2.1 Die Erwägungen der Vorinstanz über die massgebenden Grundsätze und Bestimmungen zur Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen Arbeitslosigkeit aus eigenem Verschulden (Art. 30 Abs. 1 lit. a AVIG, Art. 44 Abs. 1 lit. a AVIV, Art. 20 Abs. 1 lit. b und c des Übereinkommens Nr. 168 der Internationalen Arbeitsorganisation über Beschäftigungsförderung und den Schutz gegen Arbeitslosigkeit vom 21. Juni 1988 [SR 0.822.726.8]) sind korrekt. Richtig sind auch die Erwägungen zum Grundsatz von Treu und Glauben (Art. 9 BV; BGE 127 I 36 E. 3a, 127 V 258 E. 4b, je mit Hinweisen) und zu den nach der Rechtsprechung erforderlichen fünf Voraussetzungen für eine erfolgreiche Berufung auf eine unrichtige Auskunft einer Verwaltungsbehörde (BGE 121 V 66 E. 2a). Darauf wird verwiesen.
2.2 Zu ergänzen ist, dass gemäss Art. 27 ATSG die Versicherungsträger und Durchführungsorgane der einzelnen Sozialversicherungen verpflichtet sind, im Rahmen ihres Zuständigkeitsbereiches die interessierten Personen über ihre Rechte und Pflichten aufzuklären (Abs. 1). Jede Person hat Anspruch auf grundsätzlich unentgeltliche Beratung über ihre Rechte und Pflichten. Dafür zuständig sind die Versicherungsträger, denen gegenüber die Rechte geltend zu machen oder die Pflichten zu erfüllen sind. Nach der gleichzeitig mit dem ATSG am 1. Januar 2003 in Kraft gesetzten Ausführungsbestimmung des Artikels 19a AVIV klären die in Art. 76 Abs. 1 lit. a-d AVIG genannten Durchführungsstellen die Versicherten über ihre Rechte und Pflichten auf, insbesondere über das Verfahren der Anmeldung und über die Pflicht, Arbeitslosigkeit zu vermeiden und zu verkürzen (Abs. 1). Rechtsprechungsgemäss gilt die Gleichstellung von pflichtwidrig unterbliebener Beratung und unrichtiger Auskunftserteilung auch nach der Regelung der Beratungspflicht gemäss Art. 27 ATSG. Demgemäss finden die aus dem Grundsatz von Treu und Glauben abgeleiteten Voraussetzungen, welche bei unrichtiger Auskunftserteilung eine vom materiellen Recht abweichende Behandlung des Rechtsuchenden gebieten, auf die entgegen gesetzlicher Vorschrift unterbliebene Auskunft analoge Anwendung (BGE 131 V 472 E. 5 mit Hinweisen auf Rechtsprechung und Literatur).
3. Das kantonale Gericht gelangte in Würdigung der Akten und nach Anhörung des K._ vom Gemeindearbeitsamt zur Erkenntnis, auf eine klar formulierte Frage im Hinblick auf ihre künftige Anspruchsberechtigung auf Arbeitslosenentschädigung, welche vom Gemeindemitarbeiter auch klar verstanden worden sei, habe die Versicherte eine Antwort erhalten, aus der sie schliessen konnte, sie habe nicht mit Einstelltagen zu rechnen.
Das Beschwerde führende Amt rügt, die Versicherte habe die Auskunft des Mitarbeiters des Gemeindearbeitsamtes nicht in dem Sinne verstehen dürfen, dass nach ihrer Rückkehr aus dem Ausland keine Einstelltage verfügt würden. Zudem sei das Gemeindearbeitsamt für die Erteilung der betreffenden Auskunft nicht zuständig gewesen.
4. 4.1 Die in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde geführten Argumente können nicht überzeugen. Insbesondere steht unwidersprochen fest, dass die Versicherte sich vor ihrer Kündigung des Arbeitsverhältnisses ausdrücklich an das Gemeindearbeitsamt wandte, um sich zu erkundigen, ob sie bei einer Arbeitslosigkeit nach der Rückkehr von einem Auslandaufenthalt mit Einstelltagen zu rechnen habe. Wenn nun der Zeuge K._ selber nicht sagen konnte, wie die Versicherte seine Antwort auf diese klare Frage verstehen musste, weil er ohne Nachfragen eindeutig ausgeführt hatte, dass die Arbeitslosenversicherung einen Sprachaufenthalt als Weiterbildung anerkenne, ist dies als falsche Auskunft zu werten. Im angefochtenen Entscheid - auf welchen verwiesen wird - wird dies ausführlich dargelegt. Zudem ist erstellt, dass sich der Befragte - obwohl relevant - nicht darüber erkundigte, wie lange der Sprachaufenthalt dauern werde. Ebenso wenig hatte er die Beschwerdegegnerin für eine konkrete Auskunft an die Arbeitslosenkasse weiterverwiesen.
4.2 Auch die Rüge, das Gemeindearbeitsamt sei für die Erteilung der Auskunft nicht zuständig gewesen, was die Versicherte hätte wissen müssen, ist unzutreffend. Gemäss § 6 der Vollzugsverordnung zum Einführungsgesetz des Kantons Solothurn zum AVIG (EG AVIG/AVG) sind die Gemeindearbeitsämter für die - möglichst frühzeitige - Anmeldung der in der Gemeinde wohnhaften Versicherten zur Arbeitsvermittlung gemäss Art. 17 Abs. 2 AVIG zuständig. Sie haben diese über ihre wesentlichsten Rechte und Pflichten gegenüber der Arbeitslosenversicherung zu orientieren. Damit sind sie die erste Anlaufstelle für die Versicherten. Dies in einem Zeitpunkt, in dem die für eine allfällige Einstellung wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit zuständige Arbeitslosenkasse (Art. 30 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 sowie Art. 1 Abs. 1 lit. b AVIG) noch nicht feststeht. Der von der Beschwerdegegnerin angefragte Gemeindeschreiber war damit für die Erteilung der Auskunft zuständig.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn, dem Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 7. August 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: