Sachverhalt:
A. A.a Die X._ (Beschwerdeführerin) ist eine juristische Person mit Sitz in Y. Z._.
Die Fédération Internationale de Football Association (FIFA; Beschwerdegegnerin) ist ein Verein schweizerischen Rechts mit Sitz in Zürich.
A.b Im Oktober 2006 sistierte die Beschwerdegegnerin, unter anderem wegen der Einmischung der Behörden in Fussballbelange, die Mitgliedschaft der Beschwerdeführerin. Am 9. März 2007 hob die Beschwerdegegnerin die erwähnte Sistierung vorübergehend und unter Bedingungen auf. Einige Tage später erliess sie eine sogenannte "Road Map" mit dem Ziel, die Situation hinsichtlich des Fussballsports in Z._ zu normalisieren.
Unterdessen kam es innerhalb der Beschwerdeführerin zu Meinungsverschiedenheiten zwischen zwei Gruppen, die je für sich beanspruchten, rechtswirksam für die Beschwerdeführerin zu handeln. Beide Gruppen führten in der Folge parallele Generalversammlungen durch.
Unter anderem fand am 15. November 2008 eine Generalversammlung der Beschwerdeführerin im Beisein von Vertretern der Beschwerdegegnerin statt. Dabei wurde die Gründung der Q._ Ltd. sowie die Auflösung der Beschwerdeführerin beschlossen. In der Folge erklärten sowohl die Beschwerdegegnerin als auch die kenianische Regierung, fortan die Q._ als einzigen nationalen Fussballverband von Z._ zu anerkennen.
B. Am 18. März 2009 leitete die Beschwerdeführerin beim Tribunal Arbitral du Sport ein Schiedsverfahren gegen die Beschwerdegegnerin ein. Sie beantragte im Wesentlichen, es sei die Beschwerdeführerin als rechtmässige Repräsentantin des Fussballsports in Z._ zu anerkennen. Im Weiteren sei der Beschwerdegegnerin eine weitere Zusammenarbeit mit der Q._ zu verbieten und sie sei zur Offenlegung bestimmter Finanztransaktionen zu verurteilen.
Am 26. Januar 2010 fand in Lausanne ein Hearing statt.
Mit Schiedsspruch vom 27. April 2010 wies das TAS die Klage der Beschwerdeführerin ab. Das TAS stützte seinen Entscheid insbesondere darauf ab, dass die Entscheidungen der Generalversammlung der Beschwerdeführerin vom 15. November 2008, wie auch die nachfolgenden Handlungen und Entscheide der Q._ sowie der Beschwerdegegnerin, nie angefochten worden seien.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei der Schiedsentscheid des TAS vom 27. April 2010 aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das TAS schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
D. Mit Verfügung vom 8. Juli 2010 hiess das Bundesgericht das Sicherstellungsgesuch der Beschwerdegegnerin gut. In der Folge überwies die Beschwerdeführerin den geforderten Betrag von Fr. 5'000.-- als Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung an die Bundesgerichtskasse.
Erwägungen:
1. Im Bereich der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit ist die Beschwerde in Zivilsachen unter den Voraussetzungen der Art. 190-192 IPRG (SR 291) zulässig (Art. 77 Abs. 1 lit. a BGG).
1.1 Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich vorliegend in Lausanne. Wenigstens eine Partei, vorliegend die Beschwerdeführerin, hatte im relevanten Zeitpunkt ihren Sitz ausserhalb der Schweiz. Da die Parteien die Bestimmungen des 12. Kapitels des IPRG nicht schriftlich ausgeschlossen haben, gelangen diese zur Anwendung (Art. 176 Abs. 1 und 2 IPRG).
1.2 Zulässig sind allein die Rügen, die in Art. 190 Abs. 2 IPRG abschliessend aufgezählt sind (BGE 134 III 186 E. 5 S. 187; 128 III 50 E. 1a S. 53; 127 III 279 E. 1a S. 282). Nach Art. 77 Abs. 3 BGG prüft das Bundesgericht nur die Rügen, die in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind; dies entspricht der in Art. 106 Abs. 2 BGG für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht vorgesehenen Rügepflicht (BGE 134 III 186 E. 5 S. 187 mit Hinweis). Appellatorische Kritik ist unzulässig (BGE 119 II 380 E. 3b S. 382).
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den das Schiedsgericht festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung des Schiedsgerichts weder berichtigen noch ergänzen, selbst wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (vgl. Art. 77 Abs. 2 BGG, der die Anwendbarkeit von Art. 97 BGG sowie Art. 105 Abs. 2 BGG ausschliesst). Allerdings kann das Bundesgericht die tatsächlichen Feststellungen des angefochtenen Schiedsentscheids überprüfen, wenn gegenüber diesen Sachverhaltsfeststellungen zulässige Rügen im Sinne von Art. 190 Abs. 2 IPRG vorgebracht oder ausnahmsweise Noven berücksichtigt werden (BGE 133 III 139 E. 5 S. 141; 129 III 727 E. 5.2.2 S. 733; je mit Hinweisen). Wer sich auf eine Ausnahme von der Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz beruft und den Sachverhalt gestützt darauf berichtigt oder ergänzt wissen will, hat mit Aktenhinweisen darzulegen, dass entsprechende Sachbehauptungen bereits im vorinstanzlichen Verfahren prozesskonform aufgestellt worden sind (vgl. BGE 115 II 484 E. 2a S. 486; 111 II 471 E. 1c S. 473; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin stellt ihren rechtlichen Vorbringen eine mehrseitige Sachverhaltsdarstellung voran, in der sie die Hintergründe der Auseinandersetzung sowie des Verfahrens aus eigener Sicht schildert. Sie weicht darin über weite Strecken von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz ab oder erweitert diese, ohne substantiiert Ausnahmen von der Sachverhaltsbindung geltend zu machen. Ihre Darlegungen haben insoweit unbeachtet zu bleiben.
2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs sowie des Grundsatzes der Gleichbehandlung der Parteien (Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG).
2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs sowie des Grundsatzes der Gleichbehandlung der Parteien (Art. 190 Abs. 2 lit. d IPRG).
2.1 2.1.1 Sie bringt hierzu vor, sie habe im schiedsgerichtlichen Verfahren ausführlich dargelegt, dass und weshalb die Versammlung vom 15. November 2008 nicht rechtsgültig einberufen war und keine rechtsgültigen Beschlüsse habe fassen können. Sie zählt sodann verschiedene Gegebenheiten auf, die ihrer Ansicht nach den Anforderungen von Art. 60 der Satzung der Beschwerdeführerin nicht genügen.
2.1.2 Die Rüge stösst bereits insofern ins Leere, als die Beschwerdeführerin nicht mit Aktenhinweisen aufzeigt, wo sie die in der Beschwerde aufgeführten Vorbringen, die übergangen worden sein sollen, im Schiedsverfahren erhoben hat. Abgesehen davon ist das TAS auf das Argument der Beschwerdeführerin eingegangen, wonach die Q._ nicht die rechtsmässige Rechtsnachfolgerin der Beschwerdeführerin sei. Es hat dabei berücksichtigt, dass die Versammlung vom 15. November 2008 nach Ansicht der Beschwerdeführerin mangels Einhaltung der rechtlichen Vorgaben im Hinblick auf den Übergang der Mitgliedschaftsrechte keine Rechtswirkung entfalten konnte. Es hat diese Vorbringen jedoch nicht als stichhaltig erachtet, zumal nach seinen Feststellungen im Schiedsverfahren unbestritten blieb, dass die anlässlich der fraglichen Generalversammlung vom 15. November 2008 gefällten Beschlüsse weder von der Beschwerdeführerin noch einem ihrer Mitglieder angefochten worden waren. Der von der Beschwerdeführerin erhobene Vorwurf, ihre Vorbringen zur angeblich mangelhaften Einberufung und Beschlussfassung anlässlich dieser Versammlung seien vom Schiedsgericht übergangen worden, wäre daher nicht gerechtfertigt.
2.2 Die Beschwerdeführerin wirft dem Schiedsgericht weiter vor, es habe einen Bericht des Reconciliation Committee sowie ein Schreiben der Ministerin für Jugend und Sport im Rahmen des Schiedsverfahrens zwar zugelassen, aber unbeachtet gelassen und im angefochtenen Entscheid mit keinem Wort erwähnt. Auch in diesem Zusammenhang zitiert sie lediglich aus den erwähnten Unterlagen, zeigt jedoch nicht mit Aktenhinweisen auf, welche ihrer bereits im vorinstanzlichen Verfahren prozesskonform aufgestellten Sachbehauptungen mit den beiden Dokumenten hätten bewiesen werden sollen. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ist damit nicht dargetan.
2.3 Die Beschwerdeführerin wirft dem Schiedsgericht sodann eine rechtsungleiche Behandlung vor, was sich bereits an der Wortwahl zeige. So habe das TAS in Ziffer 21 des Schiedsentscheids hinsichtlich der Versammlung vom 15. November 2008 festgehalten, "In this meeting the formation of Q._ ... was apparently agreed", während es bezüglich der Versammlung vom 20. Dezember 2008 in Ziffer 22 erklärt habe, "At such meeting the members of the Executive Committe were allegedly elected" (Hervorhebungen hinzugefügt).
Mit der blossen Gegenüberstellung der zwei zitierten Sätze sowie dem ins Feld geführten Umstand, dass das TAS an einer Stelle das Wort "apparently" und anderenorts "allegedly" verwendet, zeigt die Beschwerdeführerin keine Verletzung des Grundsatzes der Gleichbehandlung der Parteien auf, zumal es das Schiedsgericht nicht bei diesen Feststellungen bewenden lässt, sondern in seiner Entscheidbegründung weiter ausführt, weshalb es die Beschlussfassung anlässlich der Versammlung vom 15. November 2008 als rechtswirksam erachtet. Ebenso wenig kommt darin eine Voreingenommenheit des Schiedsgerichts zum Ausdruck. Dass ein Beschwerdegrund nach Art. 190 Abs. 2 lit. a IPRG vorliegen würde, macht die Beschwerdeführerin im Übrigen zu Recht nicht geltend.
3. Die Beschwerdeführerin rügt, das Schiedsgericht habe gegen den Ordre public verstossen (Art. 190 Abs. 2 lit. e IPRG).
3.1 Die materiellrechtliche Überprüfung eines internationalen Schiedsentscheids durch das Bundesgericht ist auf die Frage beschränkt, ob der Schiedsspruch mit dem Ordre public vereinbar ist (BGE 121 III 331 E. 3a S. 333). Gegen den Ordre public verstösst die materielle Beurteilung eines streitigen Anspruchs nur, wenn sie fundamentale Rechtsgrundsätze verkennt und daher mit der wesentlichen, weitgehend anerkannten Wertordnung schlechthin unvereinbar ist, die nach in der Schweiz herrschender Auffassung Grundlage jeder Rechtsordnung bilden sollte. Zu diesen Grundsätzen gehören die Vertragstreue (pacta sunt servanda), das Rechtsmissbrauchsverbot, der Grundsatz von Treu und Glauben, das Verbot der entschädigungslosen Enteignung, das Diskriminierungsverbot und der Schutz von Handlungsunfähigen. Zur Aufhebung des angefochtenen Schiedsentscheids kommt es nur, wenn dieser nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis dem Ordre public widerspricht (BGE 132 III 389 E. 2.2 S. 392 ff. mit Hinweisen).
3.2 Die Beschwerdeführerin verkennt den Begriff des Ordre public, wenn sie vor Bundesgericht die Erwägungen des Schiedsgerichts zum anwendbaren Recht kritisiert und geltend macht, auf bestimmte Fragen sei das Recht von Z._ anwendbar. Sie zeigt auch keine Odre public-Widrigkeit auf, indem sie in appellatorischer Weise vorbringt, die Einberufung einer Versammlung durch Unbefugte und die Nichteinhaltung zwingender Gültigkeitserfordernisse zur Gesellschaftsgründung könne - unabhängig vom anwendbaren Recht - nicht zur Gründung einer Gesellschaft führen bzw. es habe "eine Rechtsübertragung nicht rechtsmässig stattgefunden". Ebenso wenig zeigt sie die Missachtung eines dem Ordre public angehörenden fundamentalen Rechtsgrundsatzes auf mit dem Vorwurf, das Schiedsgericht sei der Beschwerdegegnerin ohne weitere Berücksichtigung des zwingend anwendbaren kenianischen Rechts gefolgt und habe dieser "über den ansonsten vorliegenden Verstoss gegen die eigene Satzung hinweggeholfen".
4. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen. Diese Entschädigung wird aus der an die Bundesgerichtskasse bezahlten Sicherheitsleistung ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Tribunal Arbitral du Sport (TAS) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann