Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die kolumbianische Staatsangehörige A._, geb. ...... 1966, heiratete am ...... 1999 in Basel den dort niedergelassenen spanischen Staatsangehörigen B._, geb. ...... 1971. Im Oktober 1999 erhielten A._ und ihr am ...... 1994 geborener Sohn C._, der ebenfalls über die kolumbianische Staatsangehörigkeit verfügt, die Aufenthaltsbewilligung. Daraufhin nahmen sie bei B._ Wohnsitz.
In der Folge traten wiederholt eheliche Probleme auf. Ende Juni 2000 verliess die Ehefrau die gemeinsame Wohnung und stellte ein Gesuch um Getrenntleben. Im August 2000 bewilligte der Zivilgerichtspräsident des Kantons Basel-Stadt den Ehegatten das Getrenntleben. Nach Vornahme verschiedener Abklärungen verweigerten die Einwohnerdienste Basel-Stadt am 3. Januar 2002 gestützt auf das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142.20) die Verlängerung der im November 2000 abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung.
In der Folge traten wiederholt eheliche Probleme auf. Ende Juni 2000 verliess die Ehefrau die gemeinsame Wohnung und stellte ein Gesuch um Getrenntleben. Im August 2000 bewilligte der Zivilgerichtspräsident des Kantons Basel-Stadt den Ehegatten das Getrenntleben. Nach Vornahme verschiedener Abklärungen verweigerten die Einwohnerdienste Basel-Stadt am 3. Januar 2002 gestützt auf das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; SR 142.20) die Verlängerung der im November 2000 abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung.
B. Mit Entscheid vom 12. Februar 2003 wies das Polizei- und Militärdepartement einen dagegen erhobenen Rekurs ab, wobei es in der Begründung auf das inzwischen in Kraft getretene Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit vom 21. Juni 1999 (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) Bezug nahm. Am 31. Oktober 2003 wies auch das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht einen dagegen eingereichten Rekurs ab.
B. Mit Entscheid vom 12. Februar 2003 wies das Polizei- und Militärdepartement einen dagegen erhobenen Rekurs ab, wobei es in der Begründung auf das inzwischen in Kraft getretene Abkommen zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit vom 21. Juni 1999 (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) Bezug nahm. Am 31. Oktober 2003 wies auch das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht einen dagegen eingereichten Rekurs ab.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 11. Februar 2004 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben und die Angelegenheit an die Einwohnerdienste Basel-Stadt zurückzuweisen zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung; überdies ersucht sie darum, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen und es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Das Appellationsgericht stellt in seiner Vernehmlassung vom 25. Februar 2004 keinen ausdrücklichen Antrag zur Sache, hält aber sinngemäss an seinem Urteil fest. Das Polizei- und Militärdepartement schliesst auf Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei. Das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung beantragt die Abweisung der Beschwerde. Mit Replik vom 7. Juni 2004 hat sich A._ nochmals zur Sache geäussert.
Das Appellationsgericht stellt in seiner Vernehmlassung vom 25. Februar 2004 keinen ausdrücklichen Antrag zur Sache, hält aber sinngemäss an seinem Urteil fest. Das Polizei- und Militärdepartement schliesst auf Abweisung, soweit auf die Beschwerde einzutreten sei. Das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung beantragt die Abweisung der Beschwerde. Mit Replik vom 7. Juni 2004 hat sich A._ nochmals zur Sache geäussert.
D. Mit prozessleitender Verfügung vom 10. März 2004 hat der Präsident der II. öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Nach Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde auf dem Gebiet der Fremdenpolizei ausgeschlossen gegen die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen, auf die das Bundesrecht keinen Anspruch einräumt. Gemäss Art. 4 ANAG entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Damit besteht kein Anspruch auf Erteilung einer Bewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich hierfür auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags berufen (BGE 128 II 145 E. 1.1.1 S. 148; 127 II 425 E. 1 S. 427, mit Hinweisen).
1.2 Am 1. Juni 2002 ist das Freizügigkeitsabkommen in Kraft getreten. Nachdem der Ehemann der Beschwerdeführerin spanischer Staatsangehöriger ist, der in der Schweiz über die Niederlassungsbewilligung verfügt, kann sie sich grundsätzlich auf Art. 7 lit. d FZA und Art. 3 Abs. 1 und 2 des Anhangs I zum Freizügigkeitsabkommen (nachfolgend: Anhang I FZA) berufen, um aus dem Anwesenheitsrecht ihres Ehemannes ein abgeleitetes Recht auf Aufenthalt geltend zu machen; dieser Anspruch gilt an sich während der ganzen Dauer des formellen Bestandes der Ehe, in vergleichbarer Weise wie dies Art. 7 Abs. 1 ANAG für den ausländischen Ehegatten eines Schweizers oder einer Schweizerin bestimmt (BGE 130 II 113 E. 8.3 S. 129). Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde erweist sich damit als zulässig.
1.3 Mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann vorliegend die Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, sowie die unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts (Art. 104 lit. a und b OG), nicht jedoch die Unangemessenheit des angefochtenen Entscheids (vgl. Art. 104 lit. c OG) gerügt werden. Hat - wie hier - eine richterliche Behörde als Vorinstanz entschieden, ist das Bundesgericht an deren Sachverhaltsfeststellung gebunden, sofern diese nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen zustande gekommen ist (Art. 105 Abs. 2 OG).
1.3 Mit der Verwaltungsgerichtsbeschwerde kann vorliegend die Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, sowie die unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts (Art. 104 lit. a und b OG), nicht jedoch die Unangemessenheit des angefochtenen Entscheids (vgl. Art. 104 lit. c OG) gerügt werden. Hat - wie hier - eine richterliche Behörde als Vorinstanz entschieden, ist das Bundesgericht an deren Sachverhaltsfeststellung gebunden, sofern diese nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen zustande gekommen ist (Art. 105 Abs. 2 OG).
2. 2.1 Art. 7 lit. d FZA wird im Anhang I zum Freizügigkeitsabkommen, der als Bestandteil desselben gilt (vgl. Art. 15 FZA), konkretisiert. Darin ist insbesondere vorgesehen, dass die Familienangehörigen einer Person, die Staatsangehörige einer Vertragspartei ist und ein Aufenthaltsrecht hat, ungeachtet ihrer Staatsangehörigkeit das Recht haben, bei ihr Wohnung zu nehmen (Art. 3 Abs. 1 und 2 Anhang I FZA). Diese Regelung ist derjenigen in Art. 10 und 11 der Verordnung Nr. 1612/68 des Rates der Europäischen Wirtschaftsgemeinschaft (EWG) vom 15. Oktober 1968 über die Freizügigkeit der Arbeitnehmer innerhalb der Gemeinschaft (kurz: VO [EWG] Nr. 1612/68, Amtsblatt der EWG [ABl.] Nr. L 257 vom 19. Oktober 1968, S. 2) nachgebildet. Die Auslegung von Art. 3 Abs. 1 und 2 Anhang I FZA hat sich daher an der Rechtsprechung des Gerichtshofes der Europäischen Gemeinschaften, die vor dem 21. Juni 1999, dem Zeitpunkt der Unterzeichnung des Freizügigkeitsabkommens, ergangen ist, auszurichten (vgl. Art. 16 FZA sowie BGE 130 II 113 E. 5 S. 118 ff., mit Hinweisen).
2.2 In Übereinstimmung mit der jüngsten Rechtsprechung des Gerichtshofes der Europäischen Gemeinschaften (Urteil vom 23. September 2003 in der Rechtssache C-109/01, Secretary of State c. Akrich, noch nicht in der amtlichen Sammlung des Gerichtshofs; publ. in: EuGRZ 2003 S. 607 und auszugsweise in der Europäischen Zeitschrift für Wirtschaftsrecht 2003 S. 752) hat das Bundesgericht entschieden, dass die Berufung auf den in Art. 3 Anhang I FZA vorgesehenen Familiennachzug entfällt, wenn sich der nachzuziehende Familienangehörige, der nicht Staatsangehöriger eines Vertragsstaates ist, nicht bereits rechtmässig in einem Vertragsstaat aufhält (BGE 130 II 1).
Im vorliegenden Fall verfügten die Beschwerdeführerin wie auch ihr Sohn freilich vom Oktober 1999 bis zum November 2000 über die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Basel-Stadt. Die Behörden machen weder geltend, diese Bewilligung sei erschlichen worden und daher zu widerrufen, noch berufen sie sich darauf, es habe sich von Anfang an um eine Scheinehe gehandelt. Insofern ist davon auszugehen, dass sich die Beschwerdeführerin und ihr Kind wenigstens während rund eines Jahres rechtmässig in einem Vertragsstaat aufhielten, bevor die hier angefochtene und zu beurteilende Verweigerung der Bewilligungsverlängerung erging, weshalb die Familiennachzugsregelung des Freizügigkeitsabkommens hier grundsätzlich anwendbar ist.
Im vorliegenden Fall verfügten die Beschwerdeführerin wie auch ihr Sohn freilich vom Oktober 1999 bis zum November 2000 über die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Basel-Stadt. Die Behörden machen weder geltend, diese Bewilligung sei erschlichen worden und daher zu widerrufen, noch berufen sie sich darauf, es habe sich von Anfang an um eine Scheinehe gehandelt. Insofern ist davon auszugehen, dass sich die Beschwerdeführerin und ihr Kind wenigstens während rund eines Jahres rechtmässig in einem Vertragsstaat aufhielten, bevor die hier angefochtene und zu beurteilende Verweigerung der Bewilligungsverlängerung erging, weshalb die Familiennachzugsregelung des Freizügigkeitsabkommens hier grundsätzlich anwendbar ist.
3. 3.1 Der ausländische Ehegatte des Staatsangehörigen eines Vertragsstaates mit Aufenthaltsrecht in der Schweiz verfügt, wie dargelegt (E. 1.2), über analoge Rechte, wie sie gemäss Art. 7 Abs. 1 ANAG gelten. So hat er grundsätzlich ein Recht auf Anwesenheit während der ganzen formellen Ehedauer, ohne zwingend dauernd in gemeinsamem Haushalt mit dem aufenthaltsberechtigten Ehepartner zusammenleben zu müssen. Art. 3 Anhang I FZA schützt indessen nicht die Scheinehe. Die Bestimmung wird überdies dann rechtsmissbräuchlich angerufen, wenn die Ehe, obwohl sie ursprünglich nicht als Scheinehe geschlossen worden ist, nur (noch) formell und ohne Aussicht auf Aufnahme bzw. Wiederaufnahme einer ehelichen Gemeinschaft besteht (BGE 130 II 113 E. 9 und 10 S. 129 ff.; bestätigt im Urteil des Bundesgerichts 2A.379/2003 vom 6. April 2004; vgl. zum Rechtsmissbrauch im Zusammenhang mit Art. 7 ANAG auch BGE 128 II 145 E. 2 S. 151 f.; 127 II 49 E. 5a S. 56).
Ein Rechtsmissbrauch darf nicht leichthin angenommen werden, namentlich nicht schon deshalb, weil die Ehegatten nicht mehr zusammenleben oder ein Eheschutz- oder Scheidungsverfahren eingeleitet worden ist. Erforderlich sind klare Hinweise darauf, dass die Führung einer Lebensgemeinschaft nicht mehr beabsichtigt und nicht mehr zu erwarten ist (BGE 128 II 145 E. 2.2 S. 151; 127 II 49 E. 5a S. 56 f., mit Hinweisen). Dass die Ehe nur (noch) formell und ohne Aussicht auf Aufnahme bzw. Wiederaufnahme einer ehelichen Gemeinschaft besteht, entzieht sich in der Regel einem direkten Beweis und ist oft bloss durch Indizien zu erstellen (BGE 128 II 145 E. 2.3 S. 152; 127 II 49 E. 5a S. 57). Feststellungen über das Bestehen von solchen Hinweisen können äussere Gegebenheiten, aber auch innere psychische Vorgänge betreffen (Wille der Ehegatten). In beiden Fällen handelt es sich um tatsächliche Feststellungen (BGE 98 II 1 E. 2a S. 6; vgl. auch BGE 119 IV 242 E. 2c S. 248), welche für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich sind (oben E. 1.3). Frei zu prüfen ist dagegen die Rechtsfrage, ob die festgestellten Tatsachen (Indizien) darauf schliessen lassen, die Berufung auf die Ehe sei rechtsmissbräuchlich oder bezwecke die Umgehung fremdenpolizeilicher Vorschriften (BGE 128 II 145 E. 2.3 S. 152).
3.2 Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz teilte der Ehemann der Beschwerdeführerin im Juni 2000 den Einwohnerdiensten Basel-Stadt mit, er habe seine Ehefrau im Herbst 1998 in Basel kennen gelernt; sie habe damals als Prostituierte gearbeitet. Seine Hoffnung, sie werde nach der Heirat die Prostitution aufgeben, sei enttäuscht worden. Seit der Hochzeit habe das Ehepaar immer getrennt geschlafen. Der Ehemann wies zudem darauf hin, seine Frau habe seit rund einem halben Jahr einen Freund. Am 26. Juni 2000 wurde die Polizei wegen eines Familienstreites zu den Ehegatten gerufen und hielt im Rapport "verbale Auseinandersetzungen" fest; die Eheleute erklärten, seit März 2000 "fast täglich" Auseinandersetzungen zu haben. Ende Juni 2000 stellte die Beschwerdeführerin das Gesuch um Getrenntleben, wobei sie aussagte, vom Mann geschlagen worden zu sein, wozu sie ein ärztliches Zeugnis vorlegte. Seit Ende Juni 2000 lebt die Beschwerdeführerin nicht mehr bei ihrem Ehemann. Das Appellationsgericht hält weiter fest, die Ehegatten hätten seit ihrer Trennung im Juni 2000 keinen Kontakt mehr miteinander gepflegt. Die Gründe des Scheiterns der Ehe liessen sich den Akten nicht entnehmen. Es stehe ausser Zweifel, dass der Ehemann einer Scheidung sofort zustimmen würde. Auch die Ehefrau, die ihrem Ehemann schwerste Vorwürfe entgegenhalte, sehe offensichtlich keine Möglichkeit, jemals wieder eine Lebensgemeinschaft mit ihm zu führen. Ihre Berufung auf die Ehe lasse sich einzig damit erklären, dass sie das durch die Ehe bedingte Recht nicht verlieren wolle, sich in der Schweiz aufzuhalten.
Die Beschwerdeführerin wendet dagegen ein, sie und ihr Kind seien Opfer der Gewalt ihres Ehemannes, weshalb die Berufung auf die Ehe nicht rechtsmissbräuchlich sein könne. Das Appellationsgericht hat sich in seinem Urteil auch zu diesem Argument geäussert und dazu festgehalten, aus den vorliegenden Unterlagen sei nicht ersichtlich, ob die Behauptung der Beschwerdeführerin zutreffe. Es könne nicht einfach auf ihre Schilderung und auf diejenige, die sie ihrer Ärztin gegenüber abgegeben habe, abgestellt werden. Im Übrigen spielten die Gründe für das Scheitern einer Ehe für die Frage des Rechtsmissbrauches keine Rolle, soweit mit einer Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft offensichtlich nicht mehr zu rechnen sei.
3.3 Aufgrund der bekannten Umstände ist mit der Vorinstanz zu schliessen, dass die Beschwerdeführerin selber das Eheleben gar nicht mehr aufnehmen will und sich nur deshalb auf die einzig formell noch bestehende Ehe beruft, um das Aufenthaltsrecht in der Schweiz zu behalten. Dieses Verhalten ist gemäss der geltenden Rechtsprechung rechtsmissbräuchlich. Ob bei Gewaltopfern weniger strenge Kriterien gelten könnten, erscheint fraglich, kann aber offen bleiben.
Im vorliegenden Fall ist nicht erstellt, dass die Beschwerdeführerin und ihr Kind tatsächlich gewalttätigen Übergriffen des Ehemannes ausgesetzt waren. Die einzelnen Hinweise, die dafür allenfalls bestehen, insbesondere das Arztzeugnis vom 28. Juni 2000, worin bei der Beschwerdeführerin ein kleiner blauer Bluterguss über dem rechten Jochbogen und eine kleine Beule am Hinterkopf festgestellt werden, genügen nicht für eine entsprechende Annahme. Zwischen den Ehegatten steht Aussage gegen Aussage. Einen direkten Beweis für Gewalttätigkeiten gibt es nicht. Dies gilt auch für die Verhaltensauffälligkeiten des Kindes, die Folge rein verbaler Auseinandersetzungen der Eltern sein können und für sich allein keinen Beweis für eigentliche Gewaltübergriffe erbringen. Ausserdem erklärte die Beschwerdeführerin selber, ihr Mann sei nicht unbedingt ein "aggressiver Typ" und eigentlich eine "ruhige Person". Im Übrigen wäre es an der Beschwerdeführerin gelegen, weitere für ihre Darstellung geeignete Beweismittel zu nennen bzw. vorzulegen. Insoweit trifft sie auch eine gewisse Mitwirkungspflicht (vgl. BGE 124 II 361 E. 2b S. 365, mit Hinweis, sowie nunmehr die neue, im vorliegenden Fall noch nicht direkt anwendbare Bestimmung von Art. 13f ANAG [AS 2004 1633], deren Gehalt aber im Wesentlichen der bereits vorher aufgrund der Rechtsprechung bestehenden Mitwirkungspflicht entspricht). Die tatsächliche Feststellung des Appellationsgerichts, die häusliche Gewalt sei nicht nachgewiesen, ist daher mit Blick auf Art. 105 Abs. 2 OG nicht zu beanstanden.
Im vorliegenden Fall ist nicht erstellt, dass die Beschwerdeführerin und ihr Kind tatsächlich gewalttätigen Übergriffen des Ehemannes ausgesetzt waren. Die einzelnen Hinweise, die dafür allenfalls bestehen, insbesondere das Arztzeugnis vom 28. Juni 2000, worin bei der Beschwerdeführerin ein kleiner blauer Bluterguss über dem rechten Jochbogen und eine kleine Beule am Hinterkopf festgestellt werden, genügen nicht für eine entsprechende Annahme. Zwischen den Ehegatten steht Aussage gegen Aussage. Einen direkten Beweis für Gewalttätigkeiten gibt es nicht. Dies gilt auch für die Verhaltensauffälligkeiten des Kindes, die Folge rein verbaler Auseinandersetzungen der Eltern sein können und für sich allein keinen Beweis für eigentliche Gewaltübergriffe erbringen. Ausserdem erklärte die Beschwerdeführerin selber, ihr Mann sei nicht unbedingt ein "aggressiver Typ" und eigentlich eine "ruhige Person". Im Übrigen wäre es an der Beschwerdeführerin gelegen, weitere für ihre Darstellung geeignete Beweismittel zu nennen bzw. vorzulegen. Insoweit trifft sie auch eine gewisse Mitwirkungspflicht (vgl. BGE 124 II 361 E. 2b S. 365, mit Hinweis, sowie nunmehr die neue, im vorliegenden Fall noch nicht direkt anwendbare Bestimmung von Art. 13f ANAG [AS 2004 1633], deren Gehalt aber im Wesentlichen der bereits vorher aufgrund der Rechtsprechung bestehenden Mitwirkungspflicht entspricht). Die tatsächliche Feststellung des Appellationsgerichts, die häusliche Gewalt sei nicht nachgewiesen, ist daher mit Blick auf Art. 105 Abs. 2 OG nicht zu beanstanden.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, ihr Kind habe einen Anspruch darauf, in der Schweiz zur Schule zu gehen. Daraus ergebe sich für sie als Mutter das Recht, hier eine Aufenthaltsbewilligung zu erhalten.
4.2 Nach dem Urteil des Gerichtshofes der Europäischen Gemeinschaften vom 17. September 2002 in Sachen Baumbast (Rechtssache C-413/1999, Baumbast und R., Slg. 2002, I-7091) gehören auch die Stiefkinder eines europäischen Wanderarbeitnehmers zu den zuzugsberechtigten Familienangehörigen; sie haben selbst dann das Recht, die Schulen weiterzubesuchen, wenn die Ehe der Eltern geschieden ist; da die Kinder ein Bleiberecht haben, gilt dies auch für den für sie sorgenden Ehegatten. Die aus dem Ausland hergereiste Ehefrau hat nach dieser Rechtsprechung selbst dann ein Bleiberecht, wenn ihre Ehe geschieden worden ist. Diese Rechtsprechung datiert allerdings aus der Zeit nach der Unterzeichnung des Freizügigkeitsabkommens am 21. Juni 1999, so dass sie an sich gemäss Art. 16 Abs. 2 FZA für die Anwendung des Abkommens nicht verbindlich ist (zur Berücksichtigung der nach der Unterzeichnung des Freizügigkeitsabkommens ergangenen Rechtsprechung des Gerichtshofs vgl. BGE 130 II 1, insbes. E. 3.6.1 S. 9 ff., mit Hinweisen). Ob Art. 3 Anhang I FZA entsprechend der vom Gerichtshof vorgenommenen Interpretation zu verstehen ist, wurde vom Bundesgericht bisher offen gelassen (vgl. das Urteil 2A.345/2003 vom 31. März 2004, E. 3.3) und kann auch vorliegend dahingestellt bleiben.
4.3 Im vom Gerichtshof der Europäischen Gemeinschaften beurteilten Fall ging es nämlich um das Recht des Kindes, eine Ausbildung fortzusetzen, die es in einem Zeitpunkt begonnen hatte, in welchem es eine Aufenthaltsberechtigung hatte. Im vorliegenden Fall verfügte der Sohn der Beschwerdeführerin lediglich bis zum November 2000 über eine Aufenthaltsbewilligung. Die Einschulung des Kindes erfolgte im August 2001, nachdem die Aufenthaltsbewilligung erloschen und ohne dass eine neue Bewilligung ausgestellt worden war. Auch wenn die erstinstanzliche Verfügung erst am 3. Januar 2002 erging, waren die Beschwerdeführerin und ihr Kind seit November 2000 in der Schweiz ohne Bewilligung anwesend, nachdem ihnen die Bewilligung zu Recht verweigert wurde. Der Sohn der Beschwerdeführerin hat demnach nicht in einem Zeitpunkt, in dem er über eine Bewilligung verfügte, die Schule besucht. Er hat daher auch nicht in dem Sinne ein Recht auf Fortsetzung der Ausbildung, dass seine sorgeberechtigte Mutter daraus ein Aufenthaltsrecht ableiten könnte. Eine analoge Anwendung des Urteils in Sachen Baumbast auf den vorliegenden Fall scheitert damit bereits am Fehlen der vergleichbaren Ausgangslage.
4.3 Im vom Gerichtshof der Europäischen Gemeinschaften beurteilten Fall ging es nämlich um das Recht des Kindes, eine Ausbildung fortzusetzen, die es in einem Zeitpunkt begonnen hatte, in welchem es eine Aufenthaltsberechtigung hatte. Im vorliegenden Fall verfügte der Sohn der Beschwerdeführerin lediglich bis zum November 2000 über eine Aufenthaltsbewilligung. Die Einschulung des Kindes erfolgte im August 2001, nachdem die Aufenthaltsbewilligung erloschen und ohne dass eine neue Bewilligung ausgestellt worden war. Auch wenn die erstinstanzliche Verfügung erst am 3. Januar 2002 erging, waren die Beschwerdeführerin und ihr Kind seit November 2000 in der Schweiz ohne Bewilligung anwesend, nachdem ihnen die Bewilligung zu Recht verweigert wurde. Der Sohn der Beschwerdeführerin hat demnach nicht in einem Zeitpunkt, in dem er über eine Bewilligung verfügte, die Schule besucht. Er hat daher auch nicht in dem Sinne ein Recht auf Fortsetzung der Ausbildung, dass seine sorgeberechtigte Mutter daraus ein Aufenthaltsrecht ableiten könnte. Eine analoge Anwendung des Urteils in Sachen Baumbast auf den vorliegenden Fall scheitert damit bereits am Fehlen der vergleichbaren Ausgangslage.
5. 5.1 Schliesslich vertritt die Beschwerdeführerin den Eventualstandpunkt, das Appellationsgericht habe eine Rechtsverweigerung begangen, weil es offen gelassen habe, ob die Beschwerdeführerin und ihr Kind Opfer häuslicher Gewalt geworden seien. Selbst wenn auf Rechtsmissbrauch geschlossen würde, wäre dies bei der Erteilung einer Bewilligung nach Ermessen zu berücksichtigen, wobei das Appellationsgericht hätte prüfen müssen, ob die kantonale Polizeibehörde vom freien Ermessen willkürlichen Gebrauch gemacht habe.
5.2 Nachdem im vorliegenden Fall dem grundsätzlichen Anspruch auf Bewilligungsverlängerung wegen Rechtsmissbrauchs keine Folge zu leisten ist, steht die Bewilligungserteilung im Ermessen der Behörden. Gemäss der Praxis der Bundesbehörden kann die kantonale Ausländerbehörde eine Aufenthaltsbewilligung nach Auflösung der Ehe oder der ehelichen Gemeinschaft selbst dann, wenn kein Anspruch auf Bewilligung besteht, unter anderem dann verlängern, wenn der im Familiennachzug zugelassenen Person die Fortführung der ehelichen Gemeinschaft nicht zugemutet werden kann, etwa weil sie misshandelt worden ist (vgl. Angela Bryner, Die Frau im Asyl- und Ausländerrecht, in: Uebersax/Münch/Geiser/Arnold [Hrsg.], Ausländerrecht, Ausländerinnen und Ausländer im öffentlichen Recht, Privatrecht, Strafrecht, Steuerrecht und Sozialrecht der Schweiz, Basel/Genf/München 2002, Rz. 24.27). Zurzeit steht ein Vorschlag im Raum, diese Praxis ins Gesetz überzuführen (vgl. die Botschaft des Bundesrates vom 8. März zum Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, Ziff. 1.3.7.6, in BBl 2002 3754, sowie Art. 49 des Gesetzesentwurfs des Bundesrates, in BBl 2002 3864). Das geltende Recht kennt indessen keinen dahingehenden Rechtsanspruch.
5.3 Bei Ermessensbewilligungen, also solchen, auf deren Erteilung kein Anspruch besteht, ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht an sich ausgeschlossen (vgl. Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG). Ob die von der Beschwerdeführerin vorgetragene Rüge dennoch zulässig ist, weil die Verwaltungsgerichtsbeschwerde im Hinblick auf den geltend gemachten Anspruch offen steht, erscheint fraglich, kann aber dahingestellt bleiben. Selbst wenn die Verwaltungsgerichtsbeschwerde insoweit die Funktion der staatsrechtlichen Beschwerde übernähme, erwiese sich die Rüge in Analogie zum Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nur zulässig, soweit die Verletzung von Verfahrensrechten im kantonalen Verfahren gerügt wird, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (vgl. BGE 123 I 25 E. 1 S. 26 f., mit Hinweisen). Zulässig sind dabei nur Rügen, die rein formeller Art sind und von der Prüfung der Sache selber getrennt werden können, was namentlich nicht zutrifft, wenn die Beweiswürdigung angefochten wird (BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313).
Nach § 8 Abs. 3 des basel-städtischen Gesetzes vom 14. Juni 1928 über die Verwaltungsrechtspflege (Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRPG) entscheidet das Verwaltungsgericht nach Prüfung des Tatbestandes, ob die rechtlichen Grenzen des freien Ermessens verletzt sind oder ob von diesem Ermessen ein willkürlicher Gebrauch gemacht worden ist, soweit eine polizeiliche Verfügung im freien Ermessen der Verwaltung steht. Die Beschwerdeführerin sieht eine willkürliche Ausübung des Ermessens darin, dass das Appellationsgericht den Umstand nicht näher abgeklärt habe, ob sie und ihr Kind Opfer häuslicher Gewalt gewesen seien, was einer Rechtsverweigerung gleichkomme. Damit rügt sie aber letztlich die Beweiswürdigung durch die Vorinstanz, was von einer Überprüfung des angefochtenen Entscheids in der Sache nicht getrennt werden kann. Da es insoweit um eine Bewilligung geht, deren Erteilung im freien Ermessen der Behörden steht, ist darauf nicht einzugehen.
Nach § 8 Abs. 3 des basel-städtischen Gesetzes vom 14. Juni 1928 über die Verwaltungsrechtspflege (Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRPG) entscheidet das Verwaltungsgericht nach Prüfung des Tatbestandes, ob die rechtlichen Grenzen des freien Ermessens verletzt sind oder ob von diesem Ermessen ein willkürlicher Gebrauch gemacht worden ist, soweit eine polizeiliche Verfügung im freien Ermessen der Verwaltung steht. Die Beschwerdeführerin sieht eine willkürliche Ausübung des Ermessens darin, dass das Appellationsgericht den Umstand nicht näher abgeklärt habe, ob sie und ihr Kind Opfer häuslicher Gewalt gewesen seien, was einer Rechtsverweigerung gleichkomme. Damit rügt sie aber letztlich die Beweiswürdigung durch die Vorinstanz, was von einer Überprüfung des angefochtenen Entscheids in der Sache nicht getrennt werden kann. Da es insoweit um eine Bewilligung geht, deren Erteilung im freien Ermessen der Behörden steht, ist darauf nicht einzugehen.
6. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen. Da die Begehren der bedürftigen Beschwerdeführerin nicht aussichtslos waren, insbesondere weil die bundesgerichtliche Rechtsprechung zum Freizügigkeitsabkommen im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung noch nicht gefestigt war, ist ihr antragsgemäss die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gemäss Art. 152 OG zu gewähren. Damit sind keine Kosten zu erheben, und es ist dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse auszurichten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt, und es wird ihr Advokat Guido Ehrler als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt, und es wird ihr Advokat Guido Ehrler als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dem Vertreter der Beschwerdeführerin, Advokat Guido Ehrler, wird für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
4. Dem Vertreter der Beschwerdeführerin, Advokat Guido Ehrler, wird für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Polizei- und Militärdepartement des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht sowie dem Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2004
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: