Erwägungen:
1. Der indische Staatsangehörige X._, geboren 1987, wurde am 7. Juli 2009 nach illegalem Einreiseversuch nach Deutschland unter dem Namen Y._ festgenommen und formlos aus der Schweiz weggewiesen; um Asyl ersuchte er ausdrücklich nicht. Gleichentags ordnete das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt gegen ihn Ausschaffungshaft an. Die Haft wurde am 10. Juli 2009 richterlich genehmigt, und am 5. Oktober 2009 wurde auch der Verlängerung der Ausschaffungshaft für drei Monate, bis 5. Januar 2010, richterlich zugestimmt. Mit Verfügung vom 9. Oktober 2009 trat das Bundesamt für Migration auf das am 21. August 2009 nachgeschobene Asylgesuch von X._ gestützt auf Art. 34 Abs. 1 AsylG nicht ein, unter gleichzeitiger Anordnung der Wegweisung. Mit Urteil vom 5. Januar 2010 erkannte die Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt, dass eine weitere Verlängerung der Ausschaffungshaft für drei Monate, d.h. bis 5. April 2010, rechtmässig und angemessen sei.
Am 11. Januar 2010 liess X._ dem Bundesgericht kommentarlos ein Exemplar des Urteils des Appellationsgerichts zukommen. Mit Schreiben vom 13. Januar 2010 wurde ihm erklärt, dass gestützt auf diese Überweisung kein Beschwerdeverfahren eröffnet werden könne. Am 26. Januar 2010 gelangte er erneut ans Bundesgericht (Eingang hier am 1. Februar 2010), wobei er zusammen mit dem erneut vorgelegten Urteilsexemplar ein Schriftstück vorlegte, das in einer in Indien gebräuchlichen Sprache verfasst ist. Das Bundesgericht hat die amtlichen Akten eingeholt. Mit Schreiben des Abteilungspräsidenten vom 8. Februar 2010 wurde der Beschwerdeführer über die bei Einreichung einer Beschwerde zu beachtenden Formvorschriften belehrt; namentlich wurde er aufgefordert, dem Bundesgericht bis spätestens am 18. Februar 2010 ein Schreiben zukommen zu lassen, in welchem er in einer Amtssprache den Inhalt seiner Eingabe vom 26. Januar 2010 verständlich wiedergebe; das Schreiben enthielt den Hinweis, dass die Eingabe vom 26. Januar 2010 unbeachtet bleiben, d.h. auf die Beschwerde nicht eingetreten würde, wenn er dieser Aufforderung nicht nachkomme.
2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG ist die Beschwerdeschrift, welche die Begehren und deren Begründung zu enthalten hat, in einer Amtssprache (s. Art. 54 Abs. 1 BGG) abzufassen. Nicht in einer Amtssprache verfasste oder sonst einen Mangel aufweisende Rechtsschriften können unter Ansetzung einer angemessenen Frist zur Behebung des Mangels zurückgewiesen werden, wobei der Partei anzudrohen ist, dass die Rechtsschrift bei Nichteinhaltung der Auflage unbeachtet bleibe (Art. 42 Abs. 5 und 6 BGG).
Die wohl als Beschwerdeschrift zu betrachtende Eingabe vom 26. Januar 2010 ist nicht in einer Amtssprache verfasst. Der Beschwerdeführer wurde daher am 8. Februar 2010 in Anwendung von Art. 42 Abs. 1 sowie Abs. 5 und 6 BGG zur Behebung des Mangels aufgefordert. Da er der Aufforderung keine Folge geleistet hat, ist auf die Beschwerde androhungsgemäss - im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG - nicht einzutreten.
Ergänzend ist darauf hinzuweisen, dass nach summarischer Prüfung des angefochtenen Urteils im Lichte der eingeholten Akten nicht erkennbar ist, inwiefern es schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletzen könnte; eine formgültig erhobene Beschwerde hätte prima vista wenig Erfolgsaussichten gehabt.
Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG); indessen rechtfertigen es die Umstände auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelrichterin für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller