Fatti:
A. C.A._, cittadino italiano con ultimo domicilio a Collina d'Oro (Cantone Ticino), è deceduto a Milano il 14 settembre 2007, lasciando tre figli e la vedova di seconde nozze A.A._. Il 19 ottobre 2007 è stato pubblicato davanti alla Pretura di Lugano, sezione 4, il testamento olografo datato 21 febbraio 1997 nel quale il defunto designava eredi i tre figli in parti uguali.
B. Con precetto esecutivo civile del 13 marzo 2008 A.A._ ha intimato a B._ SA di consegnarle entro 10 giorni la documentazione completa concernente il conto xxx e qualsiasi altra relazione diretta intestata o cointestata in qualunque forma al defunto, nonché di informarla sull'esistenza di qualsiasi altra relazione indiretta di rapporti fiduciari, società anonime, fondazioni e Anstalt del Liechtenstein, trust anglosassoni e altre entità giuridiche in Svizzera o all'estero delle quali il defunto fosse stato avente diritto economico, di darle se del caso tutte le informazioni necessarie per identificare e raggiungere le persone che gestiscono tali relazioni e di consegnarle anche a questo proposito la documentazione completa.
La banca si è opposta al precetto esecutivo civile.
C. Statuendo il 5 giugno 2008 il Pretore del Distretto di Lugano, sezione 1, ha respinto l'opposizione limitatamente alle informazioni concernenti il conto xxx e altre relazioni bancarie, ma solo nella misura in cui fossero intestate o cointestate al defunto; per il resto ha mantenuto l'opposizione.
Entrambe le parti si sono aggravate contro il giudizio del Pretore: A.A._ per ottenere la reiezione integrale dell'opposizione al precetto esecutivo; B._ SA auspicando la conferma della propria opposizione. Con sentenza del 26 giugno 2009 la II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto le due appellazioni.
D. A.A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 4 settembre 2009, con il quale chiede che l'opposizione della banca sia respinta integralmente anche per le relazioni indirette del defunto.
Con osservazioni del 16 ottobre 2009 B._ SA propone di dichiarare il ricorso irricevibile, in via subordinata di respingerlo. L'autorità cantonale non ha presentato osservazioni.
Diritto:
1. Il Tribunale federale si pronuncia d'ufficio e con pieno potere d'esame sulla propria competenza e sull'ammissibilità del rimedio (art. 29 cpv. 1 LTF; DTF 135 III 212 consid. 1 pag. 216 con rinvii).
1.1 La sentenza impugnata è stata emanata nell'ambito di un'azione di rendiconto secondo l'art. 400 CO. Azione che nel Cantone Ticino può essere promossa sia per via ordinaria, sia secondo la procedura speciale disciplinata dall'art. 488a CPC/TI per le "fattispecie immediatamente accertabili". La ricorrente ha scelto la seconda. Quest'azione è di natura civile (art. 72 cpv. 1 LTF) e patrimoniale. Fatta eccezione del caso in cui l'istante sia rinviato alla procedura ordinaria (art. 488a cpv. 2 CPC/TI), il Tribunale di appello ticinese si pronuncia come ultima istanza cantonale (cfr. art. 75 LTF); la sua decisione è finale (art. 90 LTF), perché chiude il procedimento secondo l'art. 488a CPC/TI.
Per tutti questi aspetti concernenti la ricevibilità si veda la sentenza 4A_20/2008 del 9 giugno 2008 (consid. 1, con i rinvii).
1.2 Il gravame è presentato tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF in combinazione con l'art. 46 cpv. 1 lett. b LTF) dalla parte soccombente nella sede cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF). Anche il valore litigioso minimo di fr. 30'000.-- (art. 74 cpv. 1 lett. b LTF) è raggiunto, visti gli accertamenti del considerando 10 del giudizio cantonale.
2. La Corte cantonale ha scisso l'esame della causa in due capitoli distinti per le appellazioni dell'istante e dell'opponente.
2.1 Nel primo ha premesso - come il Pretore - che in forza del principio dell'universalità della successione gli eredi subentrano nella posizione contrattuale del defunto, per il che la banca è di principio tenuta a dare loro tutte le informazioni che avrebbe dovuto dare al cliente originario. La situazione è invece più complessa qualora questi intratteneva con la banca soltanto relazioni indirette, per esempio quale fiduciante o avente diritto economico, perché in questi casi difetta il rapporto contrattuale. Tuttavia l'erede non è un terzo qualsiasi. Perciò - hanno proseguito i giudici ticinesi - la dottrina ammette che, a seconda delle circostanze concrete, la banca possa essere obbligata a dare informazioni agli eredi in applicazione del principio della proporzionalità, ponderando cioè l'interesse dell'avente diritto economico al mantenimento del segreto bancario e quello dell'erede a essere informato.
2.2 L'autorità cantonale ha in seguito osservato che secondo il diritto svizzero gli unici beni che potrebbero appartenere alla successione, tra quelli dei quali il defunto era beneficiario economico, sarebbero quelli intestati a un suo fiduciario o a una società anonima della quale egli deteneva il pacchetto azionario di maggioranza; l'informazione a questo riguardo va tuttavia limitata all'identità e agli organi ai quali gli interessati devono rivolgersi in primo luogo per saperne di più. Non rientrano invece nell'asse successorio gli averi di fondazioni o Anstalt del diritto del Liechtenstein o di trust del diritto anglosassone; a meno che tali istituti non siano di sola facciata (Scheingeschäfte).
2.3 Richiamate queste regole del diritto svizzero, i giudici ticinesi hanno accennato all'eventualità che la soluzione possa essere diversa nel diritto italiano, come asseriva l'istante. Essi hanno tuttavia lasciato la questione indecisa, reputando la domanda infondata per altri motivi. Non potendosi ammettere ricerche indagatorie, l'erede che chiede informazioni deve rendere verosimile l'esistenza sia di un patrimonio dissimulato, sia di una relazione bancaria attuale o passata tra l'istituto bancario e le persone giuridiche o gli istituti dei quali il defunto era il beneficiario economico. La Corte cantonale ha respinto l'azione senza altre indagini perché l'istante non ha reso verosimile l'esistenza di tali relazioni.
2.4 Quanto all'appellazione della banca, circoscritta alla questione di sapere se l'istante fosse o no erede legittima del defunto, il Tribunale di appello ha osservato che l'appellante non si è confrontata con la motivazione del Pretore, ciò che rende le sue censure proceduralmente inammissibili. Ha nondimeno aggiunto che su questo punto la prima sentenza è corretta, perché la vedova è erede legittima e beneficia di una porzione legittima sia nel diritto svizzero, sia in quello italiano.
3. La ricorrente aderisce in sostanza alle considerazioni iniziali dell'autorità cantonale concernenti la natura diversa del diritto degli eredi di ricevere informazioni sulle relazioni dirette e indirette. Precisa che le prime attengono al rapporto contrattuale intrattenuto dal defunto con l'opponente e, nel caso specifico, sottostanno quindi al diritto svizzero, mentre le seconde trovano fondamento nel diritto successorio e, in forza dell'art. 17 cpv. 3 e 4 del trattato di domicilio e consolare del 22 luglio 1868 tra la Svizzera e l'Italia (RS 0.142.114.541) sono rette dal diritto italiano. Dal momento che secondo il diritto italiano rientrerebbero nella massa ereditaria anche fondazioni, Anstalt e trust, senza riguardo all'aspetto dell'apparenza, la ricorrente conclude di avere diritto alle informazioni contestate.
Essa analizza in seguito anche le condizioni alle quali soggiace l'informazione relativa alle relazioni indirette nel diritto svizzero, contestando in particolare l'esigenza - determinante per l'autorità cantonale - della prova della verosimiglianza dell'esistenza di una relazione bancaria indiretta; a mente sua è sufficiente la prova della verosimiglianza della relazione bancaria intrattenuta dal defunto; prova che sostiene di avere fornito. La ricorrente passa infine in rassegna altri fattori che a suo giudizio occorreva ponderare sotto il profilo della proporzionalità.
4. Nella successione a titolo universale gli eredi subentrano in tutti i diritti e in tutti gli obblighi patrimoniali del defunto, di conseguenza anche nel diritto di rendiconto relativo ai rapporti contrattuali, in quanto non avessero carattere strettamente personale (art. 560 CC). L'estensione di questo diritto degli eredi è la stessa che valeva per il defunto (DTF 133 III 664 consid. 2.5). Il segreto bancario secondo l'art. 47 della legge sulle banche dell'8 novembre 1934 (RS 952.0), che non esisteva evidentemente nei confronti del defunto, non è opponibile nemmeno agli eredi (DTF 133 III 664 consid. 2.6).
Per quanto riguarda invece le relazioni bancarie di istituti quali trust o fondazioni del Liechtenstein, il Tribunale federale ha già avuto modo di chiarire che il beneficiario economico non è parte nel rapporto contrattuale, cosicché per la banca i rapporti ch'egli intrattiene con il titolare del conto sono res inter alios acta. In questo caso il segreto bancario è - di principio - opponibile all'avente diritto economico (sentenza 4C.108/2002 del 23 luglio 2002, consid. 3c aa; cfr. anche DTF 100 II 200 consid. 8a e 9, pag. 211 segg.; CARLO LOMBARDINI, Droit bancaire suisse, 2° ed., 2008, cap. XXXIV, n. 64, pag. 983; CLAUDIA GEIGER, Der wirtschaftlich Berechtigte im Sinne der Vereinbarung über die Standesregeln zur Sorgfaltspflicht der Banken [VSB], Diss. Berna 2006, pag. 78).
Ne segue che la sentenza impugnata esclude con ragione che la ricorrente possa subentrare, in quanto erede di C.A._, nel diritto contrattuale di essere informata su eventuali relazioni indirette presso la banca, del quale nemmeno il defunto fruiva.
5. I giudici ticinesi, come detto, si sono in seguito chiesti se il diritto d'informazione della vedova possa nondimeno scaturire dal diritto successorio. Visto il carattere internazionale della lite - l'istante è domiciliata in Italia - era perciò necessario chiarire preliminarmente quale fosse la legge applicabile alla successione (italiana o svizzera). La questione, controversa tra le parti, è invece rimasta indecisa davanti alle due istanze cantonali. Il Tribunale federale la può esaminare d'ufficio e con pieno potere (DTF 131 III 153 consid. 3).
5.1 Per la ricorrente la successione è retta dal diritto italiano in forza del rinvio dell'art. 17 cpv. 3 del trattato italo-svizzero (RS 0.142.114.541). Se ne era in effetti prevalsa davanti al Pretore, ma solo per giustificare la propria qualità di erede legittima e per sostenere che la massa ereditaria comprende anche gli averi fiduciari e di altre società o strutture successorie delle quali il defunto fosse stato beneficiario economico; per il resto aveva dato per scontato di agire in rendiconto secondo il diritto svizzero (art. 400 CO). Anche il Pretore, di fronte alla professio iuris testamentaria eccepita dalla convenuta, aveva preso in considerazione il diritto italiano solo per appurare la qualità di erede legittima dell'istante. E il Tribunale di appello, infine, ha criticato la decisione del Pretore per non avere deciso quale fosse il diritto applicabile per la determinazione dell'asse successorio, ma ha rinunciato a sua volta a farlo, per il motivo, dedotto anch'esso dalla dottrina svizzera, che l'istante non aveva comunque reso verosimile l'esistenza di relazioni indirette tra la banca convenuta e il defunto.
5.2 L'art. 17 cpv. 3 del trattato di domicilio e consolare italo-svizzero vuole che le controversie tra gli eredi di un italiano morto con ultimo domicilio in Svizzera riguardo all'eredità siano portate davanti al giudice dell'ultimo domicilio che l'italiano aveva in Italia. Questa norma disciplina allo stesso modo il diritto materiale applicabile, sebbene il testo menzioni solo il foro (DTF 98 II 88 consid. 2 in fine).
La causa in esame riguarda l'eredità nel senso dell'art. 17 cpv. 3 del trattato italo-svizzero, dal momento che il diritto all'informazione della ricorrente può derivare solo dal diritto successorio. Nella DTF 98 II 88 consid. 3 a pag. 94 il Tribunale federale, procedendo per analogia con la portata di un trattato simile che vigeva con la Francia, aveva stabilito che era determinante il vero oggetto del litigio (era giunto alla conclusione che in quella fattispecie la contestazione non avesse carattere successorio, perché i diritti delle parti sul bene in discussione dipendevano dal diritto matrimoniale, non da quello successorio).
5.3 Anche gli altri presupposti per l'applicazione dell'art. 17 cpv. 3 del trattato italo-svizzero sono adempiuti. La ricorrente agisce come erede di un italiano morto con ultimo domicilio in Svizzera. Convenuto è invero un terzo, non un altro erede. Tuttavia, benché il testo della disposizione si riferisca soltanto a controversie "tra gli eredi" di un italiano morto in Svizzera, non v'è dubbio che, in forza del principio dell'unità della successione, anche le liti tra eredi e terzi non eredi possano rientrare nel suo campo di applicazione materiale, purché il titolo dell'azione sia di natura successoria (cfr. Herbert Chenevard, Le régime civil des successions dans les rapports italo-suisses, Diss. Losanna 1985, pag. 64; Franco Maspoli, Le successioni e il Trattato italo-svizzero del 22 luglio 1868, Diss. Berna 1934, pag. 99; Dutoit et al., Répertoire de droit international privé suisse, vol. III, 1986, pag. 120).
Questa interpretazione è conforme alla giurisprudenza della Corte di cassazione italiana (menzionata anche dalla ricorrente) secondo la quale la normativa attribuisce "tutte le controversie relative alla successione mortis causa di un cittadino italiano o svizzero, defunto in uno qualsiasi dei paesi stipulanti, e comunque insorte fra gli eredi, i legatari o altri soggetti interessati alla successione, al giudice dell'ultimo domicilio che il de cuius aveva nel suo paese d'origine" (Cass. civ., sez. un., 1° luglio 1992, n. 8081, in: NGCC 1993 pag. 236. con rinvii).
5.4 Ne viene che, in forza dell'art. 17 cpv. 3 del trattato italo-svizzero, il diritto sostanziale applicabile alla successione sarebbe quello italiano. Anche il giudice competente sarebbe invero quello italiano, ma sulla questione non v'è contestazione, avendo la convenuta accettato di comparire davanti al Pretore senza nulla eccepire ed ammettendo l'art. 17 del trattato italo-svizzero, per lo meno secondo l'interpretazione che ne dà la Svizzera, la proroga della giurisdizione (DTF 91 III 19 consid. 2b a pag. 25 in fine).
6. Contestata è invece la professio iuris a favore del diritto svizzero contenuta nel testamento di C.A._, della quale si prevale la convenuta. La ricorrente la ritiene "nulla" perché in contrasto con la norma internazionale. Essendo il diritto materiale applicabile alla successione determinante per l'esito della causa, l'efficacia della scelta testamentaria di C.A._ non può rimanere indecisa.
6.1 Per Chenevard (op. cit. pagg. 58 e 60) l'art. 17 del trattato italo-svizzero impedisce al defunto di scegliere per testamento una legge diversa da quella alla quale la norma rinvia, poiché gli Stati contraenti, nonostante il silenzio del testo adottato, si ponevano l'obiettivo principale di sottomettere i rapporti successori al diritto nazionale del defunto.
Questa interpretazione appare tuttavia desueta, soprattutto dopo che anche il diritto internazionale privato italiano ammette che il defunto possa sottoporre la propria successione alla legge dello Stato di residenza (art. 46 cpv. 2 della legge n. 218 del 31 maggio 1995). Sarebbe infatti insoddisfacente che, in un caso come quello in esame, la legge svizzera applicabile secondo il diritto internazionale privato vigente sia in Italia che in Svizzera (art. 90 cpv. 1 LDIP) venga accantonata in forza di un trattato ultra-centenario. Donde la necessità di ammettere deroghe all'art. 17 cpv. 3 del trattato italo-svizzero, che si voglia attribuirgli un carattere non imperativo anche sotto questo profilo, al pari di quanto già avviene per la proroga del foro (DTF 91 III 19 consid. 2b a pag. 25 in fine), oppure considerando semplicemente che il rinvio al diritto italiano ch'esso prevede include la possibilità della professio iuris permessa dall'art. 46 cpv. 2 della citata legge italiana (in questo senso: BERNARD DUTOIT, Le droit international privé suisse de la famille et des successions à l'épreuve du temps: Dix ans de LDIP, RSDIE 2000, pag. 295 segg.; GERARDO BROGGINI, Rapporti patrimoniali fra coniugi e successioni per causa di morte nelle relazioni italo-svizzere, in: Raccolta di studi pubblicati in occasione delle giornate dei giuristi svizzeri, 1997, pag. 155 segg.; ANDREA BONOMI, La loi applicable aux successions dans le nouveau droit international privé italien et ses implications dans les relations italo-suisses, RSDIE 1996, pag. 503 segg.).
6.2 La professio iuris va di conseguenza ammessa anche nell'ambito del campo di applicazione del trattato italo-svizzero. Il Tribunale federale non può però trarne conclusioni concrete nel caso specifico, poiché la sentenza impugnata non contiene accertamenti concernenti la volontà espressa dal defunto; esso può soltanto annullare il giudizio e rinviare la causa alla Corte cantonale, affinché completi gli accertamenti, determini il diritto che regge la controversia e statuisca di nuovo applicando quello svizzero o italiano, a seconda che ammetterà o no la professio iuris.
Il dispositivo n. 1 notificato alle parti il 26 luglio 2010 è stato redatto per inavvertenza in modo poco chiaro: esso è rettificato d'ufficio con la formulazione più precisa che segue (art. 129 cpv. 1 LTF).
7. Nelle circostanze surriferite l'esame delle rimanenti questioni di merito da parte del Tribunale federale è prematuro.
Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza: esse sono pertanto poste a carico dell'opponente (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 e 2 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso in materia civile è accolto, la sentenza impugnata è annullata e la causa è ritornata all'autorità cantonale affinché decida di nuovo nel senso dei considerandi.
2. Le spese giudiziarie di fr. 10'000.-- sono poste a carico dell'opponente, la quale rifonderà alla ricorrente fr. 12'000.-- per ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.