Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1978) stammt aus Mazedonien. Er kam am 25. November 1992, d.h. als Vierzehnjähriger, im Familiennachzug in die Schweiz, wo er eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Diese wurde ihm regelmässig - zuletzt bis zum 10. Februar 2012 - verlängert. Am 14. Februar 2012 suchte offenbar sein Arbeitgeber für ihn um eine Verlängerung der Bewilligung nach, worauf das Amt für Migration des Kantons Luzern am 16. Februar bzw. 16. April 2012 X._ um zusätzliche Auskünfte anging (Betreibungsregisterauszug, Lohnabrechnungen, Arbeits- und Mietvertrag, Auslandsabwesenheiten). Es wies X._ auf seine Mitwirkungspflichten und darauf hin, dass bei deren Verletzung aufgrund der Akten entschieden oder ein Nichteintretensentscheid ergehen würde.
B.
Mit Verfügung vom 10. Juli 2012 trat das Amt für Migration des Kantons Luzern auf das Verlängerungsgesuch nicht ein; gleichzeitig wies es X._ aus der Schweiz weg. Auf Beschwerden hin bestätigten das Justiz- und Sicherheitsdepartement (Entscheid vom 20. Februar 2013) und das Kantonsgericht des Kantons Luzern (Urteil vom 16. Juli 2013) die entsprechende Verfügung. X._ sei angedroht worden, es werde auf sein Gesuch nicht eingetreten, falls er seinen Mitwirkungspflichten nicht nachkomme, dennoch habe er auf die Schreiben des Amtes nicht bzw. erst im Beschwerdeverfahren reagiert. Auch bei anderen Behörden (Strassenverkehrs- und Betreibungsamt) sei er seinen Mitwirkungspflichten regelmässig nicht nachgekommen. Es könne nicht gesagt werden, dass dem Migrationsamt die relevanten persönlichen Verhältnisse von X._ "schon allein aufgrund der Akten bekannt" gewesen wären.
C.
X._ beantragt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde bzw. Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 16. September 2013, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben und die kantonalen Behörden anzuweisen, auf sein Gesuch einzutreten. Er beruft sich auf den Schutz seines Privatlebens nach Art. 8 EMRK (teilweise in Verbindung mit Art. 14 EMRK) und macht geltend, das einschlägige kantonale Recht sei willkürlich angewandt worden bzw. die kantonalen Behörden hätten mit ihrem Nichteintretensentscheid eine formelle Rechtsverweigerung begangen (Art. 9 und Art. 29 Abs. 2 BV).
Das Kantonsgericht des Kantons Luzern beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement liess dem Bundesgericht am 26. November und 24. Dezember 2013 sowie am 15. Januar 2014 zusätzliche Unterlagen zukommen.
D.
Der Abteilungspräsident hat der Eingabe am 19. September 2013 antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt.
Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Für das Eintreten genügt, wenn die betroffene Person in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein solcher Anspruch besteht (BGE 136 II 177 E. 1.1 S. 179 f.). In diesem Fall bildet die Frage, ob die Bewilligung zu erteilen oder zu verlängern ist, Gegenstand der materiellen Beurteilung (BGE 137 I 284 E. 1.3 S. 287). Soweit in der Sache selber die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offensteht, gilt dies - bei Vorliegen der entsprechenden Voraussetzungen (vgl. Art. 92 ff.) - auch für zwischen- und verfahrensabschliessende Prozessentscheide (vgl. das Urteil 2C_195/2012 vom 2. Januar 2013 E. 1, nicht publ. in: BGE 139 I 37 ff.; siehe auch: Urteil 2A.269/2003 vom 28. Oktober 2003 E. 1 [zum OG]).
1.2. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung von Art. 8 EMRK (Schutz des Privatlebens) geltend. Für einen entsprechenden Anspruch bedarf es nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung besonders intensiver, über eine normale Integration hinausgehender Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. vertiefter sozialer Beziehungen zum ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich. In der Regel genügen hierfür eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration noch nicht (BGE 130 II 281 E. 3.2.1; 126 II 377 E. 2c S. 384 ff.). Art. 8 EMRK schützt indessen das Recht, Beziehungen zu anderen Menschen und der Aussenwelt herzustellen und zu pflegen, und umfasst generell sämtliche Aspekte der sozialen Identität des Menschen. Nach der Rechtsprechung des EGMR bilden deshalb alle sozialen Bindungen zwischen dem Einwanderer und der Gemeinschaft, in der dieser sein Leben und seinen Platz gefunden hat, Teil des Begriffs "Privatleben" im Sinne von Art. 8 EMRK (EGMR-Urteil Vasquez gegen Schweiz vom 26. November 2013 [Nr. 1785/08] § 37); dies gilt insbesondere bei jungen Erwachsenen, die im Aufnahmestaat aufgewachsen sind ( MINH SON NGUYEN, La protection de la vie privée et le droit des étrangers, in: Minh Son Nguyen [Hrsg.], Actualité du droit des étrangers, Jurisprudence et analyses, Bd. 1, 2013, S. 9 ff., dort 17 ff.).
1.3. Der Beschwerdeführer ist als Jugendlicher im Familiennachzug in die Schweiz gekommen und wurde hier in der Baubranche beruflich ausgebildet (Anlehre); er ist jedoch in Mazedonien verheiratet und hat dort mit seiner Frau zwei Kinder (geb. 2001 und 2009). Der Familiennachzug in die Schweiz ist ihm wiederholt verweigert worden. Ob er sich unter diesen Umständen in der Sache selber auf den Schutz des Privatlebens nach Art. 8 EMRK wird berufen können, braucht hier nicht vertieft geprüft zu werden, da die einzig Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildende Frage der Konventions- und Verfassungsmässigkeit des umstrittenen Nichteintretensentscheids im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde in gleicher Weise zu prüfen ist (Art. 113 i.V.m. 116 und 106 Abs. 2 BGG) : Auch bei fehlender Legitimation in der Sache selber kann der Betroffene mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde die Verletzung von Parteirechten rügen, deren Missachtung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt, falls damit nicht (indirekt) eine materielle Überprüfung des Entscheids in der Sache selber verbunden ist (sog. "Star"-Praxis; BGE 137 II 305 E. 2 S. 308; vgl. auch das Urteil 2C_747/2012 vom 12. März 2013 E. 2.3 u. 2.4).
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt wurde (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft, mit anderen Worten willkürlich, erscheint (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3; 133 III 350 E. 1.3). Willkür liegt dabei nicht bereits dann vor, wenn eine andere Sicht ebenfalls vertretbar oder sogar zutreffender erschiene, sondern nur, wenn sich die vorinstanzliche Beurteilung als offensichtlich unhaltbar erweist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt bzw. in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung geht das Bundesgericht nicht ein (BGE 136 II 101 E. 3 S. 104 f.).
2.2. Nicht sämtliche Rügen des Beschwerdeführers genügen diesen Begründungsanforderungen: Soweit er lediglich die wirtschaftlichen Zustände in seinem Heimatland beschreibt und eine Diskriminierung gegenüber anderen (allenfalls straffällig gewordenen) Mazedoniern, die im Ausland verbleiben dürften, geltend macht, legt er nicht dar, worin die behauptete Verfassungsverletzung liegen soll. Eine solche ist auch nicht ersichtlich; seine entsprechende Argumentation ist nicht nachvollziehbar. Einziger Verfahrensgegenstand bildet die Frage, ob das Amt für Migration die Verletzung der Mitwirkungspflichten seitens des Beschwerdeführers ohne Verfassungs- oder Konventionsverletzung mit einem Nichteintretensentscheid sanktionieren durfte. Auf alle materiellrechtlichen Ausführungen in der Beschwerdeschrift ist deshalb zum Vornherein nicht weiter einzugehen. Die vom Justiz- und Sicherheitsdepartement nachträglich eingereichten Akten (Strafbefehl wegen Ungehorsams im Betreibungs- und Konkursverfahren usw.) betreffen ihrerseits ebenfalls nicht diesen Verfahrensgegenstand und sind somit nicht weiter zu berücksichtigen; es handelt sich dabei im Übrigen um unzulässige Noven (Art. 99 BGG).
3.
3.1. Eine formelle Rechtsverweigerung liegt vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt, obschon sie darüber befinden müsste (vgl. BGE 117 Ia 116 E. 3a S. 117). Überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung ist gegeben, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (Urteil 1P.165/2006 vom 19. April 2006 E. 3.1). Ob eine solche Rechtsverweigerung vorliegt, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition; die Auslegung und Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts untersucht es hingegen nur auf eine Verletzung des Willkürverbots hin (BGE 135 I 6 E. 2.1 S. 9 mit Hinweisen).
3.2. Nach § 55 des luzernischen Gesetzes vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG) müssen die Parteien bei der Feststellung des Sachverhalts mitwirken, wenn sie das Verfahren durch eine Rechtsvorkehr veranlasst haben (Abs. 1 lit. a), sie in einem Verfahren Anträge stellen (Abs. 1 lit. b) oder ihnen ein Rechtssatz besondere Auskunftspflichten auferlegt (Abs. 1 lit. c AuG). Verweigert eine Partei im Falle von Absatz 1 lit. a und b die notwendige und zumutbare Mitwirkung, "braucht" die Behörde auf ihre Anträge nicht einzutreten (§ 50 Abs. 2 VRG). Ausländische Personen sind von Bundesrechts wegen gehalten, an der Feststellung des für die Anwendung der ausländerrechtlichen Bestimmungen massgebenden Sachverhalts mitzuwirken und insbesondere zutreffende und vollständige Angaben über die für die Regelung des Aufenthalts wesentlichen Tatsachen zu machen bzw. die erforderlichen Beweismittel unverzüglich einzureichen oder zu beschaffen (Art. 90 AuG [SR 142.20]).
3.3. Die Folgen der Verletzung der Mitwirkungspflicht sind im Ausländergesetz nicht ausdrücklich geregelt. Grundsätzlich ist es nach der bundesgerichtlichen Praxis aber nicht willkürlich, wenn eine Verletzung der Mitwirkungspflicht gestützt auf das kantonale Verfahrensrecht zu einem Nichteintretensentscheid führt (vgl. das Urteil 2C_747/2012 vom 12. März 2013 E. 2.4 mit zahlreichen Hinweisen). Der Betroffene muss jedoch auf diese Folge in der Aufforderung zur Nachbesserung unzweideutig hingewiesen worden sein; zudem darf das Gesuch nicht aufgrund der bestehenden Aktenlage materiell behandelt werden können ( KRAUSKOPF/EMMENEGGER, in: Waldmann/ Weissenberger [Hrsg.], VwVG - Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2009, N. 55 ff. zu Art. 13 VwVG; TARKAN GÖKSU, in: Caroni/Gächter/Thurnherr [Hrsg.], SHK Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, 2010, N. 14 zu Art. 90 AuG). Beim pflichtgemäss zu treffenden Entscheid der Behörde, ob auf ein Gesuch nicht eingetreten wird oder eine andere Rechtsfolge an die Missachtung der Mitwirkungspflichten geknüpft werden soll (Kostenauflage, Beweiswürdigung usw. - hierzu: ISABELLE HÄNER, Die Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts, in: Häner/Waldmann [Hrsg.], Das erstinstanzliche Verwaltungsverfahren, 2008, S. 33 ff., dort 39 ff., 47; CLÉMENCE GRISEL, L'obligation de collaborer des parties en procédure administrative, 2008, N. 768 ff.) sind das Verhältnismässigkeitsgebot (Art. 5 Abs. 2 BV; vgl. BGE 131 V 42 E. 3; Urteil P 88/02 vom 31. Juli 2003 E. 3.2), das Gebot von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 BV) und die sich allenfalls aus materiellen Grundrechtspositionen ergebenden verfahrensrechtlichen Garantien zu berücksichtigen (vgl. KÖLZ/HÄNER/BERTSCHI, Verwaltungsverfahren und Verwaltungspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013, N. 467; GRISEL, a.a.O., N. 355 ff.). So ergibt sich etwa aus Art. 8 EMRK die verfahrensrechtliche Pflicht, die dort geschützten Rechte zu achten, da und soweit das Verfahren zu einer irreversiblen Entscheidung führt und die Verletzung des materiellen Konventionsanspruchs grundsätzlich wirksam muss überprüft werden können (vgl. Art. 13 EMRK; GRABENWARTER/PABEL, Europäische Menschenrechtskonvention, 5. Aufl. 2012, S. 263 ff.; MEYER-LADEWIG, Handkommentar EMRK, 3. Aufl. 2011, N. 4 und 47 zu Art. 8 EMRK, je mit Hinweisen; EGMR-Urteil vom 13. Dezember 2012 De Souza Ribeiro gegen Frankreich [Nr. 22689/07] Ziff. 78 ff. bzw. vom 14. Februar 2006 Turek gegen Slowakei [Nr. 57986/00] Ziff. 115 f.; zu Art. 8 EMRK und dem prozessualen Aufenthalt während des Bewilligungsverfahrens: BGE 139 I 37 E. 4 S. 49 f.).
4.
Der Nichteintretensentscheid ist im vorliegenden Einzelfall aufgrund der spezifischen Umstände unhaltbar und überspitzt formalistisch:
4.1. Der Beschwerdeführer hält sich seit über 20 Jahren hier auf. Er ist mit 14 Jahren im Familiennachzug in die Schweiz gekommen und hat seine Berufsausbildung im Land absolviert. Seine Eltern und Geschwister leben hier. Seit Jahren bemüht er sich erfolglos darum, auch seine Ehefrau und Kinder nachzuziehen. Mit dem Nichteintretensentscheid und der Wegweisung besteht für ihn keine Möglichkeit mehr, weiterhin im Land zu verbleiben, ohne dass materiell geprüft worden wäre, ob gestützt auf sein bisheriges Verhalten (diverse Strafbefehle wegen SVG-Übertretungen und wegen Verletzungen von Mitwirkungspflichten [Betreibungs- und Strassenverkehrsamt], wiederholte Betreibungen), hinreichende Gründe bestehen, ihm die Aufenthaltsbewilligung nicht mehr zu verlängern und damit allenfalls in seinen Anspruch auf Schutz des Privatlebens nach Art. 8 EMRK einzugreifen (vgl. oben E. 1.2).
4.2. Die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers ist seit Jahrzehnten immer wieder verlängert worden, wobei er schon früher jeweils seinen verfahrensrechtlichen Pflichten nicht oder nur ungenügend nachgekommen war. Die letzte Bewilligung lief am 10. Februar 2012 ab, wobei am 14. Februar 2012 um deren Erneuerung ersucht wurde. Aus dem entsprechenden Formular war ersichtlich, dass der Beschwerdeführer - durch den Arbeitgeber am 8. Februar 2012 unterschriftlich bestätigt - bei der Q._ GmbH vollzeitlich angestellt war. Da aufgrund der Akten nicht klar erschien, ob er trotz des negativen Familiennachzugsentscheids vom 28. November 2011 seinen Wohnsitz noch in der Schweiz hatte, liess das Amt für Migration dies am 22. Dezember 2011 polizeilich abklären. Aus dem entsprechenden Bericht ergibt sich, dass der Beschwerdeführer immer noch an der gleichen Adresse wohnt wie zuvor. Der Beschwerdeführer war am frühen Morgen aufgesucht worden und wurde in seiner Wohnung allein angetroffen. Dort konnten zudem Utensilien und Kleider für die Kinder festgestellt werden, was seine Aussagen bestätigte, dass seine Familie ihn offenbar regelmässig besucht. Nach Aussage der Hausmeisterin ist der Beschwerdeführer über Weihnachten eine gewisse Zeit nicht zu Hause gewesen, sonst geht er nach ihren Angaben aber dort "regelmässig ein und aus", zudem fährt er einen Lieferwagen, der auf seinen Arbeitgeber eingelöst ist.
4.3. Gestützt hierauf verfügte das Amt für Migration bei seinem Entscheid vom 10. Juli 2012 über alle wesentlichen Informationen, denen es zur Beurteilung des Verlängerungsgesuchs bedurfte, auch wenn der Beschwerdeführer die Schreiben vom 16. Februar und 16. April 2012 unbeantwortet liess. Im ersten Schreiben wurde er zwar darauf aufmerksam gemacht, dass er verpflichtet sei, bei der Feststellung des Sachverhalts mitzuwirken und wahrheitsgetreu Auskunft zu erteilen, andernfalls auf sein Verlängerungsgesuch nicht eingetreten werde. In der Aufforderung vom 16. April 2012 schrieb das Amt hingegen: "Sollten Sie dieser Mitwirkungspflicht nicht nachkommen, werden wir anhand der Akten entscheiden, bzw. einen Nichteintretensentscheid erlassen, was auch die Wegweisung aus der Schweiz zur Folge hätte. In diesem Sinn gilt dieser Hinweis gleichzeitig als rechtliches Gehör". Gestützt hierauf war - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - nicht klar, wie das Amt tatsächlich vorzugehen gedachte. Nachdem die Bewilligung des Beschwerdeführers trotz dessen Verletzungen der Mitwirkungspflicht immer wieder verlängert worden war, durfte dieser bei der entsprechenden Formulierung davon ausgehen, dass - wie früher - aufgrund der Abklärungen und der Akten wiederum materiell entschieden würde. Der Verlust des Aufenthaltsrechts für ihn selber und damit allenfalls künftig auch für seine Familie war für ihn als Laien nicht hinreichend absehbar. Der Hinweis auf das rechtliche Gehör war seinerseits kaum verständlich: Der Beschwerdeführer als Bauarbeiter konnte daraus nicht schliessen, dass ihm innerhalb der für die Wahrnehmung der Mitwirkungspflicht gewährten Nachfrist gleichzeitig auch Gelegenheit gegeben wurde, sich zur Zulässigkeit eines allfälligen Nichteintretensentscheids und der sich daraus ergebenden Pflicht, das Land allenfalls für immer verlassen zu müssen, zu äussern.
4.4. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz war es gestützt auf die Aktenlage möglich, in der Sache selber zu entscheiden. Soweit das Amt für Migration noch Zweifel an den Voraussetzungen hierfür hegte, hatte es mit der Adresse des Arbeitgebers, der Mobilnummer des Beschwerdeführers und dem polizeilichen Erhebungsbericht genügend Elemente in der Hand, um zusätzliche Abklärungen vornehmen zu können. Es erscheint widersprüchlich, dass es die polizeilichen Abklärungen aufrecht erhielt, obwohl der Beschwerdeführer am 22. Dezember 2011 bei ihm vorgesprochen und im Zusammenhang mit dem Tod seines Grossvaters um ein dringliches Rückreisevisum nachgesucht hatte, der polizeiliche Bericht im Rahmen des Bewilligungsentscheids vom 10. Juli 2012 jedoch unbeachtet blieb, obwohl darin die verschiedenen an den Beschwerdeführer gerichteten Fragen beantwortet und deren Richtigkeit bestätigt wurden (Wohnort, Arbeitsplatz, Lebensmittelpunkt, besuchsweise Beziehung zur Frau und den Kindern usw.).
4.5. Soweit die kantonalen Behörden im Zusammenhang mit dem Nichteintretensentscheid das bisherige Verhalten des Beschwerdeführers (wiederholte Strafbefehle und Betreibungen) mitberücksichtigten (vgl. E. 7.4 des Entscheids des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 20. Februar 2013), handelt es sich dabei um materielle Aspekte, welche (noch) nicht Verfahrensgegenstand bildeten und in keinem Zusammenhang zur geltend gemachten Verletzung der Mitwirkungspflichten im ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahren standen. Sollten sie berücksichtigt werden, wäre materiell zu entscheiden und das Verfahren nicht mit einem Nichteintretensentscheid abzuschliessen gewesen. Die verschiedenen dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Verhaltensweisen (Straffälligkeit, Verletzung von Mitwirkungspflichten bei verschiedenen Behörden usw.) bilden Gegenstand der Interessenabwägung bei der inhaltlichen Prüfung des Verlängerungsgesuchs (vgl. Art. 96 AuG).
5.
5.1. Die vom Verwaltungsgericht geschützte strikte Anwendung von § 55 VRG/LU, die zum Nichteintretensentscheid geführt hat, ist nach dem Dargelegten offensichtlich unhaltbar und erscheint überspitzt formalistisch (vgl. GRISEL, a.a.O., N. 383 ff.). Sie erschwert die Verwirklichung des materiellen Rechts und beendigt den Aufenthalt des Beschwerdeführers mittels Prozessentscheids, obwohl aufgrund der Akten - trotz der Verletzung der Mitwirkungspflichten - ein Sachentscheid über die von der Behörde geltend gemachten Widerrufsgründe hätte ergehen können und - mit Blick auf die Tragweite des Entscheids für den Beschwerdeführer und seine Familie - von Verfassungs wegen hätte ergehen müssen.
5.2. Die Beschwerde erweist sich damit als begründet und ist gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern vom 16. Juli 2013 ist aufzuheben und die Sache zu materiellem Entscheid (Prüfung des Gesuchs um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung) an das Amt für Migration des Kantons Luzern zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG).
5.3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind keine Kosten geschuldet (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Luzern hat den Beschwerdeführer für das vorliegende Verfahren indessen angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG). Die Vorinstanz muss über die kantonale Kosten- und Entschädigungsfrage neu befinden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist, gutgeheissen, das Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Luzern vom 16. Juli 2013 aufgehoben und die Angelegenheit zur materiellen Prüfung an das Amt für Migration des Kantons Luzern sowie zu neuem Entscheid über die Kosten- und Entschädigungsfolgen an das Kantonsgericht zurückgewiesen.
2.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Der Kanton Luzern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar