Faits:
A. A.a A._, né en 1961, de nationalités américaine et iranienne, et dame A._, née en 1962, de nationalités américaine, canadienne et iranienne, se sont mariés le 13 janvier 1995 aux Etats-Unis. De cette union, sont issues deux enfants, soit B._, née en 1998, et C._, née en 2001.
A.b Par acte du 31 janvier 2008, dame A._ a déposé une demande unilatérale de divorce avec requête de mesures provisoires.
B. B.a Par jugement du 6 mai 2008, le Tribunal de première instance de Genève a, sur mesures provisoires, attribué la garde des deux filles à la mère, réservé au père un droit de visite devant s'exercer, sauf accord entre les époux, à raison d'un soir par semaine et d'un week-end sur deux, sans la nuit, et condamné A._ à verser à dame A._ la somme de 3'000 fr. par mois à titre de contribution à l'entretien des enfants.
B.b Sur appel de A._, la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 16 décembre 2008, accordé au père un droit de visite sur les enfants devant s'exercer, le mercredi de 12h15 à 14h00, un week-end sur deux, ainsi que la moitié des vacances scolaires, sans la nuit, tant que A._ serait domicilié chez son père. Vu l'absence de communication entre les parents, la cour a instauré une curatelle de surveillance du droit de visite. Enfin, elle a fixé la contribution d'entretien due à la famille par A._ à 1'800 fr. par mois, dès le 31 janvier 2008.
B.c Par arrêt du 22 mai 2009, le Tribunal fédéral a rejeté le recours en matière civile que dame A._ a formé contre cette décision (arrêt 5A_46/2009 du 22 mai 2009).
C. C.a Par jugement au fond du 30 novembre 2009, le Tribunal de première instance de Genève a, entre autres, prononcé le divorce des parties (ch. 1), attribué à dame A._ l'autorité parentale et la garde des enfants (ch. 2), réservé à A._ un large droit de visite sur les enfants, le mercredi de 12h15 à 14h, un week-end sur deux, ainsi que la moitié des vacances scolaires, à l'exclusion de la nuit, tant qu'il était exercé au domicile actuel de A._ (ch. 3), maintenu la mesure de curatelle de surveillance du droit de visite (ch. 4), condamné A._ à verser à dame A._ une contribution d'entretien de 1'000 fr., par mois et par enfant, jusqu'à l'âge de 12 ans, puis de 1'250 fr. jusqu'à leur majorité et au-delà en cas de poursuite d'une formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières (ch. 5), et condamné A._ à prendre en charge la moitié des frais nets d'écolage des enfants, après déduction de la participation de l'Organisation Météorologique Mondiale (OMM) (ch. 7).
C.b A._ a recouru contre ce jugement auprès de la Cour de justice, concluant à sa réforme en ce sens, entre autres, que son droit de visite s'exerce un week-end sur deux, du vendredi 18h au dimanche 18h, du mercredi 18h au jeudi 8h, ainsi que la moitié des vacances scolaires, et à ce que la contribution d'entretien soit fixée à 900 fr. par mois et par enfant. Dame A._ a formé un appel incident contre ce jugement, concluant à sa réforme en ce sens, entre autres, que A._ soit condamné à payer une contribution d'entretien avec effet rétroactif, au jour de l'introduction de la demande, par mois et par enfant, de 1'500 fr. jusqu'à 12 ans, et de 1'650 fr. jusqu'à leur majorité et au-delà en cas de poursuite d'une formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières, et à prendre en charge la moitié des frais nets d'écolage des enfants, après déduction de la participation de l'OMM, ce également avec effet rétroactif au jour de l'introduction de la demande.
Par arrêt du 18 février 2011, la Cour de justice a condamné A._ à verser à dame A._ à titre de contribution d'entretien, par mois, d'avance et par enfant, la somme de 1'300 fr. jusqu'à l'âge de 12 ans, et de 1'500 fr. de 12 ans jusqu'à la majorité et au-delà en cas d'études ou de formation professionnelle sérieuses et régulières. Elle a maintenu la restriction du droit de visite concernant la nuit uniquement pour l'aînée des enfants. Au surplus, elle a confirmé le jugement attaqué.
D. Par mémoire du 28 mars 2011, A._ interjette un recours en matière civile contre cet arrêt. Il conclut principalement à sa réforme, en ce sens qu'il soit condamné à verser à dame A._ par mois, d'avance et par enfant, allocations familiales non comprises, un montant de 900 fr. à titre de contribution à l'entretien, et qu'il lui soit réservé un large droit de visite sur les enfants, lequel doit s'exercer sans restrictions, sauf accord contraire entre les parents, le mercredi de 12h15 à 14h, un week-end sur deux, ainsi que la moitié des vacances scolaires. Subsidiairement, il conclut au retour de la procédure à la Cour de justice afin qu'il soit statué dans le sens des considérants. Il se plaint de la violation des art. 8 CEDH, 9 et 13 Cst., 133 et 273 CC, concernant son droit de visite sur les enfants, et de la violation des art. 133, 276 et 285 CC, concernant la contribution d'entretien due à ceux-ci.
Invitée à se déterminer, l'intimée a conclu au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité; quant à la Cour de justice, elle s'est référée aux considérants de son arrêt.
Considérant en droit:
1. Le recours est interjeté, dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, par la partie qui a succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). Il est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF), par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF), dans une affaire non pécuniaire dans son ensemble, celle-ci portant notamment sur les relations personnelles entre le recourant et ses enfants (arrêt 5A_131/2011 du 31 mars 2011 consid. 1.1). Partant, le recours est en principe recevable.
2. 2.1 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4; 134 III 102 consid. 1.1). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF; ATF 137 II 305 consid. 3.3; 133 II 249 consid. 1.4.2). Si le recourant se plaint de la violation de tels droits, il doit ainsi satisfaire au principe d'allégation, en indiquant précisément quelle disposition constitutionnelle a été violée et en démontrant, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (ATF 133 IV 286 consid. 1.4; 133 II 249 consid. 1.4.2). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 II 396 consid. 3.1).
2.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par la juridiction précédente (art. 105 al. 1 LTF); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte - à savoir arbitraire (ATF 135 II 145 consid. 8.1; 135 III 127 consid. 1.5, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut se plaindre de constatations de fait arbitraires que si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Il ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit plutôt indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable. Une critique qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3; cf. aussi ATF 136 II 489 consid. 2.8; 130 I 258 consid. 1.3).
3. Le recourant se plaint tout d'abord de la violation des art. 8 CEDH et 13 Cst., ainsi que de celle de l'art. 9 Cst. dans l'établissement des faits et dans l'application des art. 273 ss CC. Il reproche à la cour cantonale de s'être écartée sans motifs sérieux du rapport du Service de protection des mineurs (SPMi) pour régler son droit de visite. Il requiert qu'un tel droit lui soit accordé sur ses deux filles, à exercer sans restriction, sauf accord contraire des parents, le mercredi de 12h15 à 14h, un week-end sur deux, ainsi que la moitié des vacances scolaires.
3.1 Pour exclure du droit de visite la nuit du samedi au dimanche, le tribunal de première instance s'est fondé, dans son jugement du 30 novembre 2009, sur le rapport du SPMi rendu en 2008, dont il ressort en substance que l'enfant B._ craignait de passer les nuits chez son grand-père, en raison du souvenir de sa grand-mère décédée dans cet appartement et de la présence de domestiques masculins.
3.2 La cour cantonale a exposé qu'à ce jour, malgré des relations globalement harmonieuses avec son père, l'enfant ne semblait pas avoir surmonté les craintes susmentionnées. En effet, du second rapport du SPMi, rendu le 3 décembre 2010, il ressortait qu'elle les avait récemment encore exprimées à une représentante du SPMi, de surcroît après avoir expressément demandé que ce service l'entende. La cour cantonale a relevé que, bien qu'il ne soit pas exclu que le ressenti de cette enfant soit lié au conflit parental et à un conflit de loyauté, on ne pouvait pas faire abstraction de l'inquiétude de B._. En outre, compte tenu de l'âge de l'enfant et de son développement normal, son avis devait être pris en compte. Au vu de ces éléments, l'instance précédente a confirmé le jugement attaqué, en tant qu'il exclut du droit de visite la nuit du week-end passé chez le recourant, tant que celui-ci conserverait ce domicile. En revanche, elle a levé la restriction en ce qui concerne la cadette C._.
3.3 Le recourant reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir violé les art. 8 CEDH et 13 Cst., tout en limitant cependant ses critiques à l'arbitraire dans l'appréciation des faits et dans l'application des art. 273 ss CC. Il expose que, dans son rapport de 2010, le SPMi a relevé que rien ne permettait de retenir que les enfants ne pouvaient pas passer les nuits au domicile de leur père et que si B._ s'était montrée réticente à le faire, elle n'avait toutefois pas été en mesure d'en expliquer les raisons. Le recourant estime que ce rapport est complet et détaillé. Dès lors, la cour cantonale ne pouvait pas s'en écarter sans motifs sérieux et solides. Il est selon lui aberrant de se fonder sur un rapport vieux de deux ans et demi alors qu'une nouvelle analyse a été rendue. Il est aussi choquant de se fonder sur l'avis d'un enfant, sans que cet avis puisse être expliqué ou motivé, d'autant plus lorsque l'enfant est en proie à un conflit de loyauté. Le recourant conclut que le raisonnement de l'autorité cantonale est arbitraire et entraîne un résultat particulièrement injuste et choquant, dans la mesure où il fait perdurer la séparation entre sa fille et lui.
3.3 Le recourant reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir violé les art. 8 CEDH et 13 Cst., tout en limitant cependant ses critiques à l'arbitraire dans l'appréciation des faits et dans l'application des art. 273 ss CC. Il expose que, dans son rapport de 2010, le SPMi a relevé que rien ne permettait de retenir que les enfants ne pouvaient pas passer les nuits au domicile de leur père et que si B._ s'était montrée réticente à le faire, elle n'avait toutefois pas été en mesure d'en expliquer les raisons. Le recourant estime que ce rapport est complet et détaillé. Dès lors, la cour cantonale ne pouvait pas s'en écarter sans motifs sérieux et solides. Il est selon lui aberrant de se fonder sur un rapport vieux de deux ans et demi alors qu'une nouvelle analyse a été rendue. Il est aussi choquant de se fonder sur l'avis d'un enfant, sans que cet avis puisse être expliqué ou motivé, d'autant plus lorsque l'enfant est en proie à un conflit de loyauté. Le recourant conclut que le raisonnement de l'autorité cantonale est arbitraire et entraîne un résultat particulièrement injuste et choquant, dans la mesure où il fait perdurer la séparation entre sa fille et lui.
3.4 3.4.1 L'art. 8 § 1 CEDH garantit notamment le droit au respect de la vie familiale. Il en résulte que l'État ne peut s'immiscer dans l'exercice de ce droit qu'aux conditions strictes du § 2. La protection accordée dans ce domaine par l'art. 13 al. 1 Cst. correspond matériellement à celle de l'art. 8 CEDH (ATF 129 II 215 consid. 4.2; 126 II 377 consid. 7). L'attribution des enfants à l'un des parents en cas de divorce ou de séparation, et la limitation correspondante des relations personnelles de l'autre parent avec eux à un droit de visite, constitue une atteinte grave au droit au respect de la vie familiale de cet autre parent. En droit suisse, cette ingérence des autorités publiques dans la vie familiale est prévue, pour le divorce, à l'art. 133 CC; dans ce domaine, la réglementation du Code civil suisse est conforme à l'art. 8 CEDH (ATF 136 I 178 consid. 5.2). Pour qu'une telle ingérence soit licite, encore faut-il que cette réglementation ait été correctement appliquée; le critère essentiel qui doit guider les autorités est le bien, autant physique que psychique, de l'enfant (ATF 120 II 229 consid. 4a). Dans la mesure où le droit conventionnel correspond à un droit constitutionnel, le Tribunal fédéral peut le revoir librement. Cependant, pour les causes où les autorités cantonales disposent d'un pouvoir d'appréciation, comme c'est le cas pour régler le droit de visite, le Tribunal fédéral fait preuve de retenue en revoyant leurs décisions. Il n'intervient que si l'autorité cantonale a excédé son pouvoir d'appréciation ou en a abusé (arrêt 5A_176/2010 du 30 avril 2010 consid. 1.3). Il en va ainsi lorsqu'elle s'est écartée sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence ou s'est appuyée sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle ou, à l'inverse, n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient dû être pris en considération (ATF 135 III 121 consid. 2 et les arrêts cités).
3.4.2 Dès lors que le recourant ne soutient pas que la législation suisse contreviendrait à l'art. 8 CEDH, il suffit d'examiner le bien-fondé des griefs tirés de la violation du droit fédéral (arrêt 5P.257/2003 du 18 décembre 2003 consid. 2.1).
3.4.2 Dès lors que le recourant ne soutient pas que la législation suisse contreviendrait à l'art. 8 CEDH, il suffit d'examiner le bien-fondé des griefs tirés de la violation du droit fédéral (arrêt 5P.257/2003 du 18 décembre 2003 consid. 2.1).
3.5 3.5.1 Selon l'art. 133 al. 2 CC, lorsqu'il attribue l'autorité parentale et règle les relations personnelles, le juge tient compte de toutes les circonstances importantes pour le bien de l'enfant; il prend en considération une éventuelle requête commune des parents et, autant que possible, l'avis de l'enfant. La jurisprudence précise qu'il faut ainsi prendre en considération les v?ux exprimés par un enfant au sujet du droit de visite lorsque ceux-ci apparaissent comme une résolution ferme, prise par un enfant dont l'âge et le développement permettent d'en tenir compte (ATF 124 III 90 consid. 3c; arrêt 5A_107/2007 du 16 novembre 2007 consid. 3.2, publié in FamPra.ch 2008 429; 5C.250/2005 du 3 janvier 2006 consid. 3.2.1, publié in FamPra.ch 2006752). Dans chaque cas, la décision doit être prise de manière à répondre le mieux possible aux besoins de l'enfant (ATF 117 II 353 consid. 3; 115 II 206 consid. 4a et 317 consid. 2; arrêt 5A_619/2007 du 25 février 2008 consid. 8.1).
3.5.2 Pour trancher le sort des enfants, le juge peut ordonner une expertise. Toutefois, il n'est en principe pas lié par les conclusions qui en ressortent, mais doit les apprécier en tenant compte de l'ensemble des autres preuves administrées. Néanmoins, le juge ne saurait s'en écarter sans raison sérieuse et doit motiver sa décision à cet égard (ATF 129 I 49 consid. 4; 128 I 81 consid. 2; 122 V 157 consid. 1c; arrêt 4A_462/2008 du 22 décembre 2008 consid. 6.2).
3.6 En l'espèce, contrairement à ce que prétend le recourant, la cour cantonale a fondé son appréciation principalement sur le rapport que le SPMi a rendu en 2010. En effet, elle a seulement fait référence au rapport de 2008 pour expliquer l'importance et l'origine des angoisses de l'enfant. C'est en revanche en s'appuyant sur le rapport de 2010 qu'elle a expliqué que, malgré le temps écoulé, l'enfant n'avait pas surmonté ses craintes, ayant clairement et spontanément exprimé celles-ci à une représentante du SPMi. Le recourant ne peut pas non plus être suivi lorsqu'il prétend que la cour se serait écartée sans motif sérieux de l'avis du SPMi. Il ressort certes du rapport qu'aucun élément objectif ne permet d'établir qu'il serait préjudiciable aux enfants de passer la nuit chez leur père, en ce sens que ce dernier a les capacités requises et l'infrastructure nécessaire pour recevoir ses filles. En revanche, il appartenait bien à la cour cantonale d'apprécier les différents éléments de fait contenus dans le rapport pour régler le droit de visite. A cet égard, cette autorité n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation en jugeant que, bien qu'aucun élément objectif ne s'opposât à un droit de visite comprenant des nuits, il fallait tenir compte de l'avis d'une enfant âgée de 13 ans, ayant montré dès 2008 des réticences à passer la nuit au domicile de son père, ses craintes reposant sur des faits concrets, notamment le décès en ce lieu de sa grand-mère, à laquelle elle était attachée.
4. Dans un second grief, le recourant se plaint de la violation des art. 133 al. 1, 276 al. 1 et 2, et 285 CC. Il demande que la contribution d'entretien soit réduite à 900 fr. par enfant.
4.1 La cour cantonale a retenu que le recourant réalisait un revenu mensuel de 6'793 fr., après déduction de l'impôt à la source. Estimant ses charges à 2'356 fr., elle a établi que son disponible se montait à 4'437 fr. S'agissant de l'intimée, la cour cantonale a retenu que celle-ci réalisait un revenu mensuel de 12'016 fr. Estimant ses charges à 3'150 fr. 65, elle a établi que son disponible se montait à 8'665 fr. [recte: 8'865 fr.]. Enfin, prenant comme point de départ les «Recommandations pour la fixation des contributions d'entretien des enfants» éditées par l'Office de la jeunesse du canton de Zurich ("tabelles zurichoises"), la cour cantonale a estimé les besoins des enfants à 2'050 fr. par enfant jusqu'à 12 ans, et à 2'380 fr. par la suite (hors coûts liés aux soins et à l'éducation de 400 fr. jusqu'à 12 ans puis à 265 fr. dès 13 ans). Au vu de ces éléments, elle a fixé la contribution d'entretien due par le recourant à 1'300 fr. par enfant jusqu'à l'âge de 12 ans, et à 1'500 fr. par la suite. Elle a relevé à cet égard que, même si les montants fixés ne laissaient au recourant qu'un disponible de 1'837 fr., puis de 1'637 fr., la contribution ne paraissait pas disproportionnée au vu du train de vie du recourant, qui bénéficiait de prestations de la part de son père, qu'il s'agisse de la mise à disposition d'un logement pour un loyer très modeste ou de soutiens financiers. Il résulte de l'arrêt attaqué que, pour sa part, l'intimée supporte le solde de l'entretien des enfants, soit 1'150 fr. par enfant jusqu'à 12 ans, puis 1'145 fr. par la suite, coûts liés aux soins et à l'éducation inclus.
4.2 Le recourant reproche tout d'abord à la cour cantonale d'avoir violé le droit fédéral en fixant le coût d'entretien des enfants à 2'050 fr. jusqu'à 12 ans, puis à 2'380 fr. par la suite, alors que les montants ressortant des tabelles zurichoises sont de 1'700 fr. jusqu'à 12 ans, puis de 1'880 fr. dès 13 ans. Selon lui, ces montants représentent le coût global qui devrait être divisé par deux pour connaître la participation exacte de chaque parent. Il se plaint ensuite de ce que la cour cantonale a pris en compte les aides financières ponctuelles dont il avait bénéficié de la part de son père par le passé, lorsqu'il n'avait pas d'activité lucrative, pour fixer les contributions d'entretien. Il estime que ces aides ne doivent plus être prises en compte aujourd'hui. Le recourant considère que le montant des contributions d'entretien, soit 1'300 fr. jusqu'à 12 ans puis 1'500 fr., est excessif car il représente près de la moitié de ses revenus nets, lui laissant un solde de 1'437 fr., alors que celui du parent gardien est de 8'665 fr. [recte: 8'865 fr.]. Cette contribution l'empêche aussi de déménager du domicile de son père, en le plaçant dans l'incapacité d'assumer un loyer plus élevé. Il rappelle également, à toutes fins utiles, qu'appelée à statuer sur recours portant sur les mesures provisionnelles régissant la vie séparée des époux durant la procédure de divorce, la cour de céans avait considéré qu'une contribution d'entretien de 1'800 fr. par mois à l'entretien de la famille était fondée (cf. arrêt 5A_46/2009 du 22 mai 2009).
4.3 Pour sa part, l'intimée soutient en substance que l'autorité cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en retenant que le recourant dispose d'un revenu fixe, d'une certaine fortune, d'une aide financière importante et régulière de sa famille et de son père, homme extrêmement fortuné, et qu'il bénéficie d'un haut standing de vie. Elle conclut que les contributions sont équilibrées et tiennent compte de l'ensemble de la situation des parents et des enfants. Au surplus, l'intimée présente des éléments de fait qui divergent de ceux contenus dans l'arrêt attaqué, alors qu'elle ne tente pas d'en démontrer le caractère manifestement inexact. Ces éléments doivent par conséquent être ignorés.
4.3 Pour sa part, l'intimée soutient en substance que l'autorité cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en retenant que le recourant dispose d'un revenu fixe, d'une certaine fortune, d'une aide financière importante et régulière de sa famille et de son père, homme extrêmement fortuné, et qu'il bénéficie d'un haut standing de vie. Elle conclut que les contributions sont équilibrées et tiennent compte de l'ensemble de la situation des parents et des enfants. Au surplus, l'intimée présente des éléments de fait qui divergent de ceux contenus dans l'arrêt attaqué, alors qu'elle ne tente pas d'en démontrer le caractère manifestement inexact. Ces éléments doivent par conséquent être ignorés.
4.4 4.4.1 A teneur de l'art. 285 al. 1 CC, auquel l'art. 133 al. 1 CC renvoie, la contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère; il est tenu compte de la fortune et des revenus de l'enfant, ainsi que de la participation de celui des parents qui n'a pas la garde de l'enfant à la prise en charge de ce dernier. Ces différents critères doivent être pris en considération; ils exercent une influence réciproque les uns sur les autres. Ainsi, les besoins de l'enfant doivent être examinés en relation avec les trois autres éléments évoqués et la contribution d'entretien doit toujours être dans un rapport raisonnable avec le niveau de vie et la capacité contributive du débirentier. Il en résulte que, les enfants ayant le droit de recevoir une éducation et de bénéficier d'un niveau de vie qui corresponde à la situation des parents, leurs besoins doivent également être calculés de manière plus large lorsque les parents bénéficient d'un niveau de vie plus élevé. Toutefois, même dans une situation économique aisée, cette règle ne conduit pas à prendre nécessairement en considération toute la force contributive des parents pour calculer la contribution à l'entretien des enfants. Il ne faut pas prendre comme point de départ le niveau de vie le plus élevé qu'il est possible d'avoir avec un certain revenu, mais celui qui est réellement mené (ATF 116 II 110 consid. 3; arrêt 5A_507/2007 du 23 avril 2008 consid. 5.1 in fine, publié in FamPra.ch 2008 992).
4.4.2 La loi ne prescrit pas de méthode de calcul particulière pour arrêter la contribution d'entretien (ATF 128 III 411 consid. 3.2.2); sa fixation relève de l'appréciation du juge, qui applique les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC; 127 III 136 consid. 3a). Il n'y a violation du droit fédéral que si le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation en se référant à des critères dénués de pertinence, ou en ne tenant pas compte d'éléments essentiels, ou encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant fixé apparaît manifestement inéquitable (ATF 132 III 178 consid. 5.1; 130 III 571 consid. 4.3; 128 III 161 consid. 2c/aa).
4.4.3 Les besoins d'entretien statistiques moyens retenus dans les «Recommandations pour la fixation des contributions d'entretien des enfants» éditées par l'Office de la jeunesse du canton de Zurich peuvent servir de point de départ pour la détermination des besoins d'un enfant dans un cas concret. Il y a toutefois lieu de les affiner en tenant compte, conformément à l'art. 285 al. 1 CC (cf. supra consid. 4.4.1), des besoins concrets particuliers de l'enfant, ainsi que du niveau de vie et de la capacité contributive des parents (ATF 116 II 110 consid. 3a; arrêt 5A_507/2007 du 23 avril 2008 consid. 5.1, publié in FamPra.ch 2008 992).
4.4.3 Les besoins d'entretien statistiques moyens retenus dans les «Recommandations pour la fixation des contributions d'entretien des enfants» éditées par l'Office de la jeunesse du canton de Zurich peuvent servir de point de départ pour la détermination des besoins d'un enfant dans un cas concret. Il y a toutefois lieu de les affiner en tenant compte, conformément à l'art. 285 al. 1 CC (cf. supra consid. 4.4.1), des besoins concrets particuliers de l'enfant, ainsi que du niveau de vie et de la capacité contributive des parents (ATF 116 II 110 consid. 3a; arrêt 5A_507/2007 du 23 avril 2008 consid. 5.1, publié in FamPra.ch 2008 992).
4.5 4.5.1 S'agissant de l'évaluation du coût d'entretien des enfants, le recourant ne démontre pas que l'autorité cantonale aurait abusé de son pouvoir d'appréciation.
La cour cantonale a arrêté le coût d'entretien de chaque enfant à 2'050 fr. jusqu'à 12 ans et à 2'380 fr. par la suite, en opérant le calcul suivant: prenant comme point de départ le coût total ressortant des tabelles zurichoises, soit 1'700 fr. jusqu'à 12 ans et 1'880 fr. par la suite, elle en a déduit le montant des soins et de l'éducation supporté par la mère, soit 400 fr. jusqu'à 12 ans et 265 fr. par la suite, et celui du loyer, soit 335 fr. jusqu'à 12 ans et 315 fr. par la suite, mais y a ajouté le loyer effectif, soit 571 fr. (40% du loyer total de 1'143 fr./2), et celui de l'écolage privé, soit 512 fr. Or, le recourant se contente d'opposer au raisonnement de la cour que les montants ressortant des tabelles zurichoises, soit 1'700 fr. jusqu'à 12 ans, puis 1'880 fr. dès 13 ans, représentent le coût global qui devrait être divisé par deux pour connaître la participation exacte de chaque parent. Il n'expose pas en quoi la cour cantonale aurait abusé de son pouvoir d'appréciation en adaptant certains postes des tabelles zurichoises en fonction des frais fixes effectifs précités. Bien au contraire, il reconnaît lui-même que les tabelles zurichoises ne sont que des lignes directrices pour le juge, admettant ainsi que ce dernier peut affiner de telles données abstraites. En conséquence, son grief est irrecevable (cf. supra consid. 2.1).
4.5.2 Le recourant se méprend également lorsqu'il entend se prévaloir de l'arrêt rendu en procédure de mesures provisionnelles pour faire fixer la contribution d'entretien. Un tel jugement, rendu suite à un examen limité à la violation des droits constitutionnels et, sauf arbitraire, sur la base des faits établis par l'instance cantonale en une procédure sommaire, ne lie évidemment pas l'autorité appelée à statuer au fond.
4.5.3 En revanche, le recourant doit être suivi lorsqu'il reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé l'art. 285 CC en fixant des contributions d'entretien disproportionnées par rapport à sa capacité contributive, sous prétexte qu'il bénéficierait d'un "train de vie relativement élevé", son père lui mettant à disposition un logement pour un loyer modeste et l'ayant toujours soutenu financièrement.
A deux points de vue, l'autorité cantonale a méconnu la notion de niveau de vie, telle qu'établie par la jurisprudence. Premièrement, elle a recouru à ce critère pour répartir le coût d'entretien des enfants entre les parties, alors qu'il sert à déterminer les besoins des enfants. Secondement, elle a ignoré que le niveau de vie pertinent concerne celui que le débirentier mène concrètement en utilisant sa fortune et ses revenus. Or, en l'espèce, le fait que le recourant profite d'un appartement, même luxueux, pour un loyer modeste n'élargit pas sa capacité contributive, si ce n'est qu'il restreint sa charge de logement à un faible loyer de 1'000 fr. S'agissant des formes de soutien autres que le loyer réduit, il ressort uniquement de l'arrêt attaqué que le père du recourant s'est "toujours montré généreux à son égard en le soutenant financièrement". En revanche, ni le montant, ni le caractère actuel, ou encore la régularité, de ce soutien ne sont établis dans la décision attaquée, de sorte qu'on ne peut pas considérer que le recourant tirerait un revenu de l'aide de son père, qui lui permettrait d'étendre sa capacité contributive.
Au vu de ce qui précède, il convient de renvoyer la cause à l'instance cantonale pour qu'elle fixe à nouveau la contribution d'entretien due aux enfants en fonction des revenus effectifs du recourant, voire de la substance de sa fortune si cela se justifie.
5. En conclusion, le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué est annulé, en tant qu'il concerne la contribution d'entretien due aux enfants, et la cause est renvoyée à la Cour de justice pour nouvelle décision au sens des considérants. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge des parties à raison de la moitié chacune (art. 66 al. 1 LTF). Les dépens sont compensés (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué est annulé, en tant qu'il concerne la contribution d'entretien due aux enfants, et la cause est renvoyée à la Cour de justice pour nouvelle décision au sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge des parties à raison de la moitié chacune.
3. Les dépens sont compensés.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 21 novembre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Achtari