Faits:
A. M._, née en 1942, était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), lorsqu'elle a été victime, le 30 novembre 1997, d'un accident de la circulation en tant que passagère d'une motocyclette. Elle a subi deux fractures au tibia droit, qui ont nécessité une ostéosynthèse, ainsi qu'un hématome à la cuisse gauche, qui a été traité par drainage. La CNA a pris en charge le cas.
Au cours du traitement médical, l'assurée a indiqué souffrir de douleurs à l'épaule gauche, ainsi que dans la région de la nuque et de la colonne dorsale, dues, selon elle, à l'usage prolongé de béquilles.
Se fondant sur les conclusions du docteur P._, spécialiste en chirurgie et médecin d'arrondissement de la CNA (rapport du 14 juillet 1999), celle-ci a refusé d'allouer des prestations pour les troubles du dos et de l'épaule gauche (décision du 30 juillet 1999), supprimé tout droit à l'indemnité journalière à partir du 1er mars 2000 (lettre du 5 janvier 2000) et refusé l'octroi d'une rente d'invalidité (décision du 15 février 2000). Par décision du 20 novembre 2000, elle a alloué à l'intéressée une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 5 %.
Le 11 novembre 2004, l'assurée a annoncé une chute due à un lâchage du genou, qui avait entraîné une contusion du coude gauche avec épicondylalgie. Par décision du 18 janvier 2005, la CNA a refusé de prendre en charge les suites de cette atteinte au coude gauche. Par ailleurs, elle a refusé d'allouer « des prestations supplémentaires à titre de rente d'invalidité » pour les suites de l'accident du 30 novembre 1997.
Saisie d'une opposition, la CNA l'a partiellement admise, en ce sens qu'elle a accepté de prendre en charge le cas en ce qui concerne les troubles au membre supérieur gauche jusqu'au 7 décembre 2004, date à laquelle le statu quo sine devait être considéré comme atteint (décision sur opposition du 18 mai 2005).
B. Par jugement du 20 décembre 2006, le Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais a rejeté le recours de l'assurée qui concluait au maintien de son droit à une indemnité journalière jusqu'au 24 janvier 2005, ainsi qu'à l'octroi d'une rente d'invalidité pour l'incapacité de gain résultant de l'atteinte à la santé tant physique que psychique.
C. M._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement, dont elle demande l'annulation, en concluant derechef au maintien de son droit à une indemnité journalière jusqu'au 24 janvier 2005, ainsi qu'à l'octroi d'une rente d'invalidité dès cette date, le tout sous suite de dépens.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
2. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels au sujet de l'exigence d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre une atteinte à la santé et un événement dommageable de caractère accidentel. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. En ce qui concerne les troubles affectant le genou droit, la cuisse et l'épaule gauches, la recourante critique le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel il n'existe pas de lien de causalité naturelle entre lesdits troubles et l'accident du 30 novembre 1997. Certes, elle admet, d'une part, que les avis médicaux versés au dossier ne permettent pas d'établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, l'existence d'un tel lien et, d'autre part, que celui-ci ne peut être établi en fonction de l'adage « post hoc, ergo propter hoc ». Cependant, il apparaîtrait « en toute logique que ces troubles sont certainement en connexité avec l'accident du 30 novembre 1997 », de sorte que l'intimée devrait être invitée à éclaircir l'origine desdits troubles en confiant une expertise à un spécialiste en orthopédie.
Ce grief est manifestement mal fondé. Si, comme en l'occurrence, un fait n'est pas établi au degré de la vraisemblance prépondérante, mais qu'il apparaît seulement comme une hypothèse possible, l'administration ou le juge, dans le domaine du droit des assurances sociales, n'a pas à statuer en faveur de l'assuré qui entend déduire un droit de l'existence du fait allégué (ATF 126 V 319 consid. 5a p. 322). Le juge n'est pas non plus tenu d'administrer d'autres preuves lorsque, se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves fournies par les investigations auxquelles il doit procéder d'office, il est convaincu que les faits allégués par la partie qui entend en déduire un droit n'apparaissent pas comme les plus vraisemblables (appréciation anticipée des preuves; Kieser, Das Verwaltungsverfahren in der Sozialversicherung, p. 212, no 450; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2ème éd., p. 39, no 111 et p. 117, no 320; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2ème éd., p. 274; cf. aussi ATF 122 II 464 consid. 4a p. 469, 122 III 219 consid. 3c p. 223, 120 Ib 224 consid. 2b p. 229, 119 V 335 consid. 3c p. 344 et la référence).
4. En ce qui concerne l'atteinte psychique, qualifiée de trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen sans syndrome somatique (cf. rapport du docteur U._ du 14 juillet 2005), la juridiction cantonale a nié l'existence d'un lien de causalité adéquate entre cette affection et l'accident du 30 novembre 1997, au motif que les critères objectifs posés par la jurisprudence en matière de troubles du développement psychique consécutifs à un accident de gravité moyenne - en l'occurrence, à la limite supérieure de cette catégorie - (ATF 115 V 133 consid. 6 p. 138 ss et 403 consid. 5 p. 407 ss) n'étaient pas réalisés. Elle a considéré notamment que l'incapacité de travail due aux lésions physiques n'était pas particulièrement longue, du moment que la capacité de travail avait été fixée à 50 % dès le mois de février 1999 et à 100 % dès le mois de juillet suivant.
Se fondant sur le fait que la CNA a accepté de prendre en charge une incapacité de travail de 100 % jusqu'au 31 janvier 2000 et de 50 % jusqu'au 29 février 2000 (cf. lettre de la CNA du 5 janvier 2000), la recourante soutient que le jugement cantonal repose sur une constatation fausse des faits pertinents.
Ce grief est mal fondé. Si la CNA a accepté, afin de faciliter la réinsertion de l'assurée dans le processus de travail, d'allouer l'indemnité journalière jusqu'au 29 février 2000, c'est essentiellement en vue de tenir compte de l'apparition précoce d'un trouble d'ordre psychique (cf. rapport du docteur E._ du 9 octobre 1998). Cela ne remet toutefois pas en cause les constatations de la juridiction cantonale, fondées sur les conclusions du docteur P._ (cf. rapports des 18/23 février 1999 et 14 juillet 1999), selon lesquelles les lésions physiques n'entraînaient plus d'incapacité de travail après le mois de juin 1999. Au demeurant, l'admission du seul critère du degré et de la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques ne permettrait pas de s'écarter du point de vue des premiers juges, d'après lequel il n'existe pas de lien de causalité adéquate entre les troubles psychiques et l'accident du 30 novembre 1997.
Cela étant, le jugement entrepris n'est pas critiquable et le recours se révèle infondé.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral, statuant selon la procédure simplifiée prévue à l'art. 36a OJ, prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 12 avril 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: