Sachverhalt:
A. A.a X._ (Mutter) und Z._ (Vater) sind die nicht verheirateten Eltern von Y._ (geb. xxxx 1997). Der Vater verfügt über das alleinige Sorgerecht. Im Juni 2008 setzte sich die Mutter mit dem Kind nach Italien ab; im Jahr 2009 konnte das Kind indes in die Schweiz zurückgeführt werden. Dieser Vorfall veranlasste das Bundesamt für Justiz zur Empfehlung eines begleiteten Besuchsrechts der Mutter. Am 27. April 2009 wurde über Y._ eine Beistandschaft im Sinn von Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB errichtet. Der Junge ist nunmehr in der Schul- und Hausgemeinschaft B._ untergebracht. In der Folge versuchte die Vormundschaftsbehörde A._ das Besuchsrecht der Mutter im Einvernehmen mit den Beteiligten zu regeln. Eine 2009 ausgearbeitete Besuchsrechtsvereinbarung wurde aber nie verbindlich. Die Kontakte mit der Mutter verliefen nicht immer optimal; überdies liess die Mutter Besuchstage unentschuldigt aus.
A.b Mit Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 1. Juli 2011 räumte die Vormundschaftsbehörde der Mutter das Recht ein, ihren Sohn pro Ferienperiode der Schul- und Hausgemeinschaft B._ an einem Tag zwei Stunden in der "C._" unter Beisein einer dritten Person zu besuchen. Der Mutter wurde die Weisung erteilt, die Besuche allein ohne weitere Familienangehörige vorzunehmen. Die Beiständin wurde angewiesen, das Besuchsrecht zu überwachen, insbesondere die Bedingungen für eine im wohlverstandenen Interesse des Kindes gelegene Durchführung des Besuchsrechts für alle Beteiligten verbindlich festzulegen und der Vormundschaftsbehörde bis zum 31. März 2012 einen Verlaufsbericht über das Besuchsrecht einzureichen, eventuell bereits vorher Antrag über die Änderung der Massnahme zu stellen.
B. Eine gegen diesen Entscheid der Vormundschaftsbehörde erhobene Beschwerde der Mutter wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 21. Dezember 2011 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau gab seinerseits der von der Mutter gegen den Departementsentscheid erhobenen Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht statt (Entscheid vom 25. April 2012).
C. Die Mutter hat gegen den ihr am 22. Mai 2012 in voller Ausfertigung zugestellten Entscheid des Verwaltungsgerichts am 4. Juni 2012 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie ersucht darum, "eine ehrliche und vollständige Weisung /Beschluss /Entscheid der Beschwerdeführerin darzulegen und danach zu vollziehen, vor allem, was die Besuchsrechtsregelung betrifft" (Antrag 1). Ferner verlangt sie sinngemäss die Absetzung der Beiständin (Antrag 2) und die Anhörung ihres Sohnes durch den Jugendrichter (Antrag 3); schliesslich verlangt sie eine Ausweitung des Besuchsrechts (Ferienrecht, Antrag 4).
Erwägungen:
1. 1.1 Auf den Antrag, sämtliche Beistände abzusetzen (Antrag 2) ist nicht einzutreten, war doch dieser Punkt nicht Gegenstand des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens.
1.2 Nicht einzutreten ist sodann auf die ergänzenden, ebenfalls rechtzeitig eingereichten, aber in keiner der Amtssprachen (Art. 54 Abs. 1 BGG) verfassten Eingaben der Beschwerdeführerin vom 10. Juni 2012 (Art. 54 Abs. 4 i.V.m. Art. 42 Abs. 5 und 6 BGG).
1.3 In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 135 III 232 E. 1.2 S. 234). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) zustande gekommen ist (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein.
2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es seien diverse Besuchsrechtsregelungen vorhanden, jedoch werde keine vollzogen. Nach den Ausführungen des angefochtenen Entscheids ist aktenkundig, dass die Beschwerdeführerin ihren Sohn am 12. Oktober 2011, 19. Dezember 2011 und am 28. Januar 2012 getroffen hat. Die Beschwerdeführerin geht somit nicht auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids ein und legt damit nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern Bundesrecht verletzt worden sein soll. Soweit die Beschwerdeführerin behauptet, ihren Sohn am 19. Dezember 2011 nicht getroffen zu haben ist darauf nicht einzutreten, zumal sie nicht darlegt, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt in Missachtung von Art. 9 BV oder in Verletzung einer anderen bundesrechtlichen Vorschrift festgestellt haben soll (E. 1.3).
3. Die Beschwerdeführerin verlangt die Anhörung ihres Sohnes durch den Jugendrichter und rügt damit sinngemäss eine Verletzung des Anhörungsrechts des Kindes durch die kantonalen Instanzen. Das Verwaltungsgericht hält dazu fest, dass der Sohn der Parteien im Zuge des erstinstanzlichen Verfahrens am 10. Juli 2011 von der Sekretärin der Vormundschaftsbehörde zum geplanten und schliesslich angeordneten begleiteten Besuchsrecht angehört worden ist. Die Beschwerdeführerin geht auf diese Erwägung nicht rechtsgenüglich ein (E. 1.3). Sie legt insbesondere nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern mit der Berücksichtigung der allein durch die Sekretärin der Vormundschaftsbehörde vorgenommenen Anhörung des Sohnes der Parteien Bundesrecht verletzt worden sein soll. Darauf ist nicht einzutreten.
4. Im Übrigen setzt sich die Beschwerdeführerin nicht mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinander. Indem sie einfach behauptet, der Sachverhalt sei unkorrekt festgestellt worden, legt sie nicht dar, inwiefern dieser willkürlich (Art. 9 BV) oder in Verletzung von Vorschriften des Bundesrechts festgestellt worden sein soll. Auf die insoweit ungenügend begründete Beschwerde ist nicht einzutreten.
5. Auf die offensichtlich ungenügend begründete und damit unzulässige Beschwerde ist somit in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG durch den Einzelrichter nicht einzutreten.
6. Den Umständen des konkreten Falles entsprechend werden keine Kosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
7. Da keine Gerichtskosten erhoben werden, die Beschwerdeführerin keinen Anwalt mit der Wahrung ihrer Interessen betraut hat und ihr somit insoweit keine ausgewiesenen Kosten entstanden sind, wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Vormundschaftsbehörde A._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden