Erwägungen:
1. Der Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft fällte am 11. August 2009 einen Rechtsmittelentscheid betreffend Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._. Dieser reichte am 26. August 2009 beim Kantonsgericht des Kantons Basel-Landschaft eine Beschwerde gegen den ihm am 13. August 2009 eröffneten regierungsrätlichen Entscheid ein. Mit Urteil vom 21. September 2009 der Präsidentin der Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht trat das Kantonsgericht auf die Beschwerde nicht ein. Dies mit der Begründung, dass die Beschwerdefrist gemäss § 48 des basellandschaftlichen Gesetzes vom 16. Dezember 1993 über die Verfassungs- und Verwaltungsprozessordnung (VPO) zehn Tage betrage, die Frist von zehn Tagen am 24. August 2009 (der 23. August 2009 war ein Sonntag) abgelaufen und mithin am 26. August 2009 verspätet Beschwerde erhoben worden sei; Fristwiederherstellungsgründe (§ 23 VPO in Verbindung mit § 5 Abs. 3 des kantonalen Verwaltungsverfahrensgesetzes [VwVG]) seien nicht vorgebracht worden.
Mit Eingabe vom 19. Oktober 2009 beschwert sich X._ beim Bundesgericht über das Urteil des Kantonsgerichts. Er stellt die Anträge, die Angelegenheit sei zur Neubeurteilung an den Kanton zurückzuweisen, es sei im Übrigen Gnade vor Recht walten zu lassen, es sei ihm der Verbleib in der Schweiz, gegebenenfalls mit Auflagen, zu gestatten und es sei ihm die unentgeltliche Prozessführung zu bewilligen.
2. Gemäss Art. 42 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Abs. 1). Dabei ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Abs. 2); es muss sich dabei um schweizerisches Recht handeln (Art. 95 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids, die für dessen Ergebnis ausschlaggebend sind, auseinandersetzen. Wird ein Nichteintretensentscheid angefochten, hat sich die Beschwerdebegründung auf den von der Vorinstanz herangezogenen Nichteintretensgrund zu beziehen. Beruht der (Nichteintretens-) Entscheid wie vorliegend auf kantonalem (Verfahrens-)Recht, fällt praktisch nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte in Betracht, welche spezifischer Begründung bedarf (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Der Beschwerdeführer stellt nicht in Abrede, dass er seine Beschwerde beim Kantonsgericht verspätet eingereicht hat. Er äussert sich im Wesentlichen zur materiellen Bewilligungsfrage und legt diesbezüglich auch ein Bittschreiben seiner Mutter vor. Inwiefern das Kantonsgericht bei der Auslegung des kantonalen Verfahrensrechts (§ 48 VPO und § 5 Abs. 3 VwVG) bzw. bei dessen konkreter Anwendung auf den Fall des Beschwerdeführers schweizerisches Recht verletzt haben könnte, zeigt dieser nicht auf. Es fehlt mithin an einer hinreichenden, den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügenden Beschwerdebegründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), weshalb im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtpflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien (Art. 64 BGG). Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 6 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und dem Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller