Faits:
A. S._ est assuré auprès de la KPT Caisse-maladie SA (ci-après: la caisse) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie, ainsi qu'à titre complémentaire. Souffrant de troubles psychiques sévères, il a été hospitalisé du 28 octobre au 4 novembre 2008 à la Clinique X._.
A la suite de cette hospitalisation, A._, mère de l'assuré a sollicité de la caisse la prise en charge, par le biais de l'assurance obligatoire des soins et, le cas échéant, des assurances complémentaires, des frais de transport auxquels elle avait dû faire face entre le 28 octobre et le 4 novembre 2008. Elle a expliqué qu'elle avait dû conduire son fils à la clinique depuis leur lieu de séjour à Y._, qu'elle s'était rendue quotidiennement à son chevet depuis son domicile de Z._ et qu'elle avait encore effectué le trajet aller-retour entre son domicile et la clinique pour aller rechercher son fils, avant de le reconduire à Y._.
Il s'en est suivi un important échange de correspondance entre A._ et la caisse. Finalement, la caisse a, par décision du 3 mars 2010, confirmée sur opposition le 14 juillet suivant, refusé la prise en charge des frais de transport de l'assuré, au motif qu'il avait pu utiliser un moyen de transport privé, soit le véhicule de sa mère, et n'avait pas été contraint de recourir à une entreprise de transport. Quant aux trajets que A._ avait effectués seule, ils n'étaient pas pris en charge par l'assurance obligatoire des soins.
B. B.a Le 14 septembre 2010, l'assuré, représenté par sa mère, a déféré cette décision auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant, d'une part, à ce que la caisse soit condamnée à lui rembourser le 50 % des frais encourus par sa mère pour son transport à et de la Clinique X._ et, d'autre part, à ce que la cause soit renvoyée à la caisse pour qu'elle se détermine sur les autres frais de déplacement encourus par sa mère pour se rendre à la clinique. Par jugement du 24 août 2011, la juridiction cantonale a rejeté le recours formé par l'assuré.
B.b Le 20 février 2011, l'assuré, toujours représenté par sa mère, a déposé auprès de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice une demande contre la caisse tendant, entre autres conclusions, à la prise en charge par ses assurances complémentaires, de l'ensemble des frais de déplacement encourus par sa mère entre le 28 octobre et le 4 novembre 2008. Par jugement du 24 août 2011, confirmé par arrêt du Tribunal fédéral du 13 février 2012 (cause 4A_609/2011), la juridiction cantonale a entièrement rejeté la demande de l'assuré
C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement rendu le 24 août 2011 par la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève, en concluant à la prise en charge, au titre de l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie, de 50 % des frais de transport (aller et retour) engendrés par son hospitalisation à la Clinique X._.
La caisse conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer. S._ a présenté des contre-observations.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Par exception à ce principe, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. 2.1 En l'espèce, les premiers juges ont constaté que pour se rendre à la Clinique X._, l'assuré avait pu utiliser un moyen de transport privé et n'avait pas dû recourir à une entreprise de transport pour le trajet en question, si bien qu'une condition de l'art. 26 OPAS n'était pas réalisée. Le transport effectué par un membre de la famille devait être considéré comme un transport privé: en effet, il était peu probable que le législateur ait voulu que les frais de transports effectués par un proche soient remboursés, à l'exclusion des frais de transports publics et des frais de transports afférents à son propre véhicule. La solidarité familiale commandait de retenir une certaine égalité de traitement entre le transport aux propres frais de l'assuré et celui aux frais d'un membre de sa famille. Il était en effet évident que contrairement à une entreprise de transport, un proche qui rendait service à un membre de sa famille en l'emmenant à l'hôpital ne demanderait aucun remboursement à ce dernier s'il ne pouvait répercuter les frais de transport sur l'assurance. Quant aux autres trajets effectués par la mère de l'assuré, leur prise en charge avait été refusée à bon droit, puisque ces frais n'avaient manifestement pas été occasionnés pour permettre la dispensation de soins par un fournisseur de prestations admis. Le fait que sa mère soit également sa représentante thérapeutique ne modifiait en rien les présentes considérations.
2.2 Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir violé l'art. 26 OPAS. La question juridique à résoudre avait notamment été mal posée, dès lors qu'il ne s'agissait pas de savoir s'il avait eu recours ou non à une entreprise de transport ou si le transport en question pouvait être qualifié de privé, mais de savoir s'il aurait pu utiliser un autre moyen de transport public ou privé. Or, tel n'était pas le cas en l'occurrence. Il ne s'agissait pas non plus de rémunérer A._ pour des prestations personnelles de solidarité, mais de rembourser des frais de véhicule, somme toute insignifiants en comparaison de ce qu'aurait coûté un transport en ambulance. Au travers de la demande de prise en charge, il s'agissait également de garantir une égalité de traitement entre les patients souffrant d'une atteinte à la santé psychique et les autres patients; les malades psychiques nécessitant un transport assisté mais ne pouvant pas prendre, en raison de leur pathologie ou de leur état de santé, des moyens de transport habituels (ambulance, taxi) devaient également avoir droit au remboursement de leurs frais. Quant au trajet de retour, celui-ci devait également faire l'objet d'une prise en charge, dès lors qu'il avait tout aussi eu besoin au retour d'un transport assisté, aucun autre moyen de transport public ou privé n'étant envisageable.
3. 3.1 Est litigieuse la question de la prise en charge par l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie des frais de transport encourus par l'assuré en lien avec son entrée et sa sortie de la Clinique X._. N'est plus litigieuse en revanche en procédure fédérale la question des frais de déplacement journaliers de la mère de l'assuré pour se rendre à cette clinique durant l'hospitalisation de son fils.
3.2 Selon l'art. 25 al. 2 let. g LAMal, l'assurance obligatoire des soins prend en charge une contribution aux frais de transport médicalement nécessaires ainsi qu'aux frais de sauvetage. D'après l'art. 33 al. 2 LAMal, il appartient au Conseil fédéral de désigner en détail quelles sont ces prestations. Le Département fédéral de l'intérieur (DFI), auquel le Conseil fédéral a délégué à son tour les compétences susmentionnées (art. 33 al. 5 LAMal en corrélation avec l'art. 33 lit. g OAMal), a promulgué l'ordonnance sur les prestations dans l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie du 29 septembre 1995 (OPAS; RS 832.112.31).
3.3 Selon l'art. 26 OPAS, l'assurance prend en charge 50 % des frais occasionnés par un transport médicalement indiqué pour permettre la dispensation des soins par un fournisseur de prestations admis, apte à traiter la maladie et qui fait partie des fournisseurs que l'assuré a le droit de choisir, lorsque l'état de santé du patient ne lui permet pas d'utiliser un autre moyen de transport public ou privé. Le montant maximum est de 500 fr. par année civile (al. 1). Le transport doit être effectué par un moyen qui corresponde aux exigences médicales du cas (al. 2).
3.4 La jurisprudence a souligné que l'art. 26 OPAS ne faisait aucune allusion à un genre spécifique de moyen de transport pouvant entrer en considération pour les déplacements visés par cette disposition, la seule exigence posée ayant trait à l'adéquation du moyen utilisé (al. 2). En particulier, on ne pouvait déduire de ce texte que seuls devaient être remboursés les frais consécutifs à un trajet effectué au moyen d'un véhicule spécialement équipé pour le transport de malades. Lorsqu'un assuré ne peut utiliser pour des raisons médicales - attestées par un médecin - les transports publics ou son propre moyen de transport, c'est-à-dire lorsqu'il est contraint pour se rendre chez un fournisseur de prestations de recourir aux services d'une entreprise de transport, les conditions de la prise en charge par l'assurance obligatoire des soins sont réunies. Si, par exemple, le recours à une entreprise de taxis était une solution adéquate, l'assuré avait droit, dans les limites fixées, au remboursement des frais qui en découlaient (ATF 124 V 338 consid. 2c/bb p. 344; voir également le commentaire de GEBHARD EUGSTER, Krankenversicherung, in Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2ème éd. 2007, n° 781 ss p. 657).
3.5 D'après le système mis en place par la LAMal, les prestations en matière de transport et de sauvetage prises en charge par l'assurance obligatoire des soins ne peuvent être le fait que d'entreprises qui effectuent le transport de personnes à titre professionnel (art. 35 al. 2 let. m LAMal; voir également l'art. 56 OAMal et le Message du 21 septembre 1998 concernant l'arrêté fédéral sur les subsides fédéraux dans l'assurance-maladie et la révision partielle de la loi fédérale sur l'assurance-maladie, FF 1999 769; GEBHARD EUGSTER, op. cit., n° 416 p. 534). Dans la mesure où la LAMal énumère de manière exhaustive les fournisseurs de prestations habilités à pratiquer à charge de l'assurance obligatoire des soins, il n'y a pas de place, en l'état actuel de la législation, pour le remboursement de prestations effectuées par un parent ou un proche, sauf si cette personne a elle-même la qualité d'un professionnel remplissant les conditions fixées par la loi pour pratiquer au titre de l'assurance obligatoire des soins (arrêt K 156/04 du 21 juin 2006 consid. 4.2, in RAMA 2006 n° KV 376 p. 303; voir également ATF 125 V 430 et 435).
3.6 Contrairement à ce que soutient le recourant, la question à résoudre n'est donc pas de savoir si l'impossibilité d'utiliser un moyen de transport public ou privé justifie une prise en charge de la part de l'assurance obligatoire des soins, mais de savoir si la prise en charge demandée entre dans le catalogue des prestations remboursées par l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie. Or, tel n'est manifestement pas le cas en l'espèce, puisque, comme l'a constaté la juridiction cantonale, la prestation de transport n'a pas été effectuée par une entreprise de transport professionnelle. Eu égard au caractère exhaustif des prestations prises en charge par l'assurance obligatoire des soins (art. 25 al. 2 LAMal) et des fournisseurs de prestations admis à pratiquer à la charge de celle-ci (art. 35 al. 2 LAMal), le Tribunal fédéral n'est pas habilité à remettre en cause des choix qui sont l'apanage du législateur et qui relèvent aussi bien des objectifs de politique sociale fixés par ce dernier que de l'opportunité. Il est d'ailleurs admis que les actes courants de la vie quotidienne effectués par des parents ou des proches - tel que celui faisant l'objet du litige - sont, compte tenu des valeurs de solidarité réciproque sur lesquelles demeure fondée notre société, normalement rendus à titre gracieux et échappent, pour l'heure, à une quelconque forme de monétarisation. Dans ce contexte, on ne voit pas très bien, et le recourant ne l'explique d'ailleurs pas, en quoi le fait que sa mère soit également sa représentante thérapeutique justifierait une approche différente de la situation.
3.7 Faute d'une motivation répondant aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF, il n'y a pas lieu d'examiner si cette situation constitue dans le cas d'espèce une forme de discrimination au sens de l'art. 8 al. 2 Cst. à l'égard des personnes souffrant d'un handicap psychique.
4. Conforme au droit fédéral, le jugement attaqué doit être confirmé et le recours rejeté. Compte tenu de l'issue du recours, les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 4 mai 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Piguet