Sachverhalt:
A.
Die 1969 geborene B._ war vom 1. November 1986 bis 29. Februar 2000 Textilarbeiterin bei der Firma S._ AG. Am 23. Mai 2000 meldete sie sich bei der IV-Stelle des Kantons Zürich zum Leistungsbezug an. Diese gewährte ihr ab 1. April 2000 eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad 100 %; Verfügung vom 10. Oktober 2001). Im Januar 2003 wurde die Versicherte von Bankräubern als Geisel genommen. Mit Mitteilungen vom 2. Juni 2003 und 13. Juni 2007 bestätigte die IV-Stelle revisionsweise die ganze Invalidenrente. Im Rahmen des im Mai 2010 eingeleiteten Revisionsverfahrens zog sie diverse Arztberichte und ein Gutachten des Instituts X._ vom 24. November 2010 bei. Die Versicherte legte Berichte des Zentrums Y._ vom 29. Juni 2010 und des Neurologen Dr. med. H._ vom 15. Februar 2011 sowie ein Gutachten des Psychiaters Dr. med. F._ vom 28. Februar 2011 auf. Die IV-Stelle holte eine Stellungnahme des Instituts X._ vom 7. Juni 2011 ein. Mit Verfügung vom 16. August 2011 hob sie die Invalidenrente nach Zustellung der Verfügung auf Ende des folgenden Monats auf, da der Invaliditätsgrad nur noch 20 % betrage.
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 31. Januar 2013 ab.
C.
Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihr auch über den 1. Oktober 2011 hinaus eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie ein gerichtliches psychiatrisches Gutachten einhole; die IV-Stelle habe die Kosten für das Gutachten des Dr. med. F._ vom 28. Februar 2011 im Betrag von Fr. 2'400.- zu übernehmen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde; das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Trotzdem prüft es - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 105 Abs. 2 BGG). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen sowie die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232). Die aufgrund Letzterer gerichtlich festgestellte Gesundheitslage bzw. Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Tatfragen (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils BGE 135 V 254, veröffentlicht in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]).
2.
Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG), die Invalidität (Art. 8 Abs. 1 ATSG; Art. 4 Abs. 1 IVG), die Rentenrevision (Art. 17 Abs. 1 ATSG; Art. 74ter lit. f, Art. 74quater IVV; BGE 134 V 131 E. 3 S. 132), die Invalidität bei psychischen Gesundheitsschäden (BGE 131 V 49 E. 1.2 S. 50, 130 V 352 E. 2.2.1 S. 353) und den Beweiswert von Arztberichten (E. 1 hievor) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist Folgendes: Den von Versicherungsträgern im Verfahren nach Art. 44 ATSG eingeholten, den Anforderungen der Rechtsprechung entsprechenden Gutachten externer Spezialärzte darf das Gericht vollen Beweiswert zuerkennen, solange "nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit" der Expertise sprechen (BGE 137 V 210 E. 2.2.2 S. 232, 135 V 465 E. 4.4 S. 470). Ein Parteigutachten besitzt nicht den gleichen Rang wie ein vom Gericht oder vom Versicherungsträger nach dem vorgegebenen Verfahrensrecht eingeholtes Gutachten. Es verpflichtet indessen das Gericht, den von der Rechtsprechung aufgestellten Richtlinien für die Beweiswürdigung folgend, zu prüfen, ob es in rechtserheblichen Fragen die Auffassung und Schlussfolgerungen des vom Gericht oder vom Versicherungsträger förmlich bestellten Gutachters derart zu erschüttern vermag, dass davon abzuweichen ist (vgl. BGE 125 V 351).
3.
3.1. Streitig und zu beurteilen ist, ob zwischen der Mitteilung der IV-Stelle vom 13. Juni 2007, womit die Weiterausrichtung der ganzen Invalidenrente bestätigt wurde, und der Rentenaufhebungsverfügung vom 16. August 2011 (BGE 132 V 215 E. 3.1.1 S. 320) eine erhebliche Verbesserung der Arbeitsfähigkeit eintrat.
3.2. Die Versicherte legt einen Bericht des Psychiaters Dr. med. F._ vom 26. Februar 2013 auf. Hierbei handelt es sich angesichts des am 31. Januar 2013 erlassenen vorinstanzlichen Entscheides um ein so genanntes echtes Novum. Da dafür nicht erst der betreffende Entscheid Anlass gab, kann er nicht berücksichtigt werden (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 221 E. 5.2.4 S. 229 f., 135 V 194; Urteil 8C_686/2012 vom 28. Mai 2013 E. 4).
4.
Unbestritten und nicht zu beanstanden ist die vorinstanzliche Feststellung, die Versicherte sei in somatischer Hinsicht in einer leidensangepassten Erwerbstätigkeit zu 80 % arbeitsfähig, womit eine Verbesserung eingetreten sei. Hiermit hat es somit sein Bewenden.
5.
Umstritten und zu prüfen bleibt die psychische Problematik.
5.1. Die Vorinstanz stellte richtig fest, dass die IV-Stelle im Rahmen der Mitteilung vom 13. Juni 2007 davon ausging, im Vordergrund der die Arbeitsunfähigkeit auslösenden Diagnosen stehe die Anpassungsstörung; die Versicherte sei weiterhin zu 100 % arbeitsunfähig.
5.2.
5.2.1. Das von der IV-Stelle beauftragte Institut X._ stellte im orthopädischen und psychiatrischen Gutachten vom 24. November 2010 keine psychiatrische Diagnose mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit; ohne Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit sei eine nicht näher bezeichnete Reaktion auf schwere Belastung, inzwischen weitgehend remittiert (ICD-10 F43.9). In der Stellungnahme vom 7. Juni 2011 hielt das Institut X._ an seinem Gutachten fest.
5.2.2. Der von der Versicherten beigezogene Psychiater Dr. med. F._ stellte im Privatgutachten vom 28. Februar 2011 folgende Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit: 1. Panikstörung (ICD-10 F41.0), seit Adoleszenz, verstärkt nach dem Psychotrauma der Geiselnahme; 2. Chronische Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10 45.41), Beginn 1999; 3. Posttraumatische Belastungsstörung (ICD-10 F43.1); seit 2003, durch drohende Entlassung des Täters aktualisiert; mit Intrusionen, dissoziativem Erleben, Sinnestäuschungen, Schlafstörungen etc.. Ohne Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit seien 4. spezifische Phobien (ICD-10 F40.2); Liftangst, Flugangst, Angst vor Gewittern etc.; teilweise seit Kindheit (Gewitter), teilweise durch das Psychotrauma der Geiselnahme verstärkt (Klaustrophobie). Insgesamt sei davon auszugehen, im Quervergleich zum niedrigen Leistungsniveau im Bereich Haushalt/Kindererziehung/Freizeit, dass die Versicherte nach wie vor erheblich in ihrer Erwerbsfähigkeit eingeschränkt sei. Eine Arbeitstätigkeit sei aktuell nur im geschützten Rahmen zumutbar. Eine Verbesserung der Arbeitsfähigkeit im Vergleich zum Zeitpunkt der ursprünglichen Berentung habe nicht stattgefunden.
5.3. Die Vorinstanz stellte in psychiatrischer Hinsicht auf das Gutachten des Instituts X._ vom 24. November 2010 ab. Dem kann nicht gefolgt werden. Dieses Gutachten weicht sowohl diagnostisch als auch hinsichtlich der Einschätzung der Arbeitsfähigkeit erheblich von demjenigen des Dr. med. F._ vom 28. Februar 2011 ab.
Der Psychiater Dr. med. K._, Regionaler Ärztlicher Dienst (RAD) der IV-Stelle, führte in der Stellungnahme vom 8. Juli 2011 aus, angesichts der überwiegend wahrscheinlich nicht aufzulösenden Meinungsverschiedenheiten zum medizinischen Sachverhalt komme er zum Ergebnis, dass in einem nächsten Schritt ein normativ-judikativer Entscheid notwendig sei. Soweit er empfahl, an der bisherigen Beurteilung - nämlich am Gutachten des Instituts X._ - festzuhalten, überzeugt dies nicht, da er hierfür keinerlei Begründung lieferte (zur Aufgabe des RAD, die Leistungsfähigkeit zu beurteilen vgl. Art. 59 Abs. 2 und 2bis IVG; Art. 49 IVV; nicht publ. E. 3.3.2 des BGE 135 V 254; SVR 2011 IV Nr. 2 S. 7 E. 2.2 [9C_904/2009]; Urteil 8C_971/2012 vom 11. Juni 2013 E. 3.2).
Auch das Institut X._ setzte sich in der von der IV-Stelle angeforderten Stellungnahme vom 7. Juni 2011 nicht rechtsgenüglich mit dem Gutachten des Dr. med. F._ vom 28. Februar 2011 auseinander. Das Institut X._ beschränkte sich darauf, auf seine Begründung im Gutachten vom 24. November 2010 zu verweisen und führte aus, einzelne Argumente aus dem Gesamtzusammenhang herausgelöst zu betrachten und sie erneut einzeln zu erörtern, sei nicht sinnvoll, so dass darauf verzichtet werden könne.
Die Vorinstanz erwog unter anderem, Dr. med. F._ habe die Aussagen der Versicherten hauptsächlich im Hinblick auf die Diagnosestellung und nicht in Bezug auf die Arbeitsfähigkeit gewürdigt, bei deren Beurteilung er sehr vage geblieben sei und sich hauptsächlich ihren Ausführungen, welche Leistungen sie im Haushalt erbringen könne, angeschlossen habe. Der Vorinstanz ist insofern beizupflichten, als eine fachärztlich festgestellte psychische Krankheit nicht ohne weiteres gleichbedeutend mit dem Vorliegen einer Invalidität ist. In jedem Einzelfall muss eine Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit unabhängig von der Diagnose und grundsätzlich unbesehen der Ätiologie ausgewiesen und in ihrem Ausmass bestimmt sein (BGE 136 V 279 E. 3.2.1 S. 281). Indessen hat Dr. med. F._ hinreichend bestimmt zur Arbeitsfähigkeit der Versicherten Stellung genommen (E. 5.2.2 hievor). Es kann auch nicht gesagt werden, er sei hauptsächlich den Angaben der Versicherten gefolgt. Dr. med. F._ hat zudem dargelegt, weshalb er zu einer anderen Einschätzung kam als das Institut X._ im Gutachten vom 24. November 2010. In diesem Lichte wäre umso mehr eine einlässliche Stellungnahme des Instituts X._ zum Gutachten des Dr. med. F._ erforderlich gewesen.
Soweit die Vorinstanz auf die Erfahrungstatsache hinwies, dass Hausärzte und behandelnde Ärzte mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung in Zweifelsfällen eher zugunsten ihrer Patienten aussagen, weshalb ihre Berichte mit Vorbehalt zu würdigen sind (BGE 135 V 465 E. 4.5. S. 470), ist festzuhalten, dass Dr. med. F._ aufgrund der Akten und der unwidersprochenen Darlegung der Versicherten nicht ihr behandelnder Psychiater ist.
Nach dem Gesagten bestehen unter den beteiligten Psychiatern umstrittene Fragen, die das Gericht nicht durch freie Beweiswürdigung (Art. 55 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 40 BZP) zu Gunsten der einen oder anderen fachlichen Betrachtungsweise entscheiden kann. Demnach ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie ein psychiatrisches Gerichtsgutachten einholt. Danach hat sie über die Beschwerde betreffend den Rentenanspruch neu zu entscheiden (vgl. auch Urteil 8C_232/2012 vom 27. September 2012 E. 5.3.3).
6.
Dem Privatgutachten des Dr. med. F._ vom 28. Februar 2011 kommt massgebende Bedeutung dafür zu, dass die Sache an die Vorinstanz zur weiteren Abklärung zurückgewiesen wird. Die entsprechenden, masslich unbestrittenen Kosten von Fr. 2'400.- gehören somit zu den notwendigen Expertenkosten der Versicherten, welche die IV-Stelle zu übernehmen hat (BGE 115 V 62; SVR 2011 IV Nr. 13 S. 35 E. 2 [9C_178/2010]; Urteil 8C_254/2010 vom 15. September 2010 E. 5).
7.
Die unterliegende IV-Stelle trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art, 68 Abs. 2 BGG; BGE 137 V 210 E. 7.1 S. 271).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Januar 2013 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung über den Rentenanspruch an die Vorinstanz zurückgewiesen. Die IV-Stelle hat der Beschwerdeführerin für das Privatgutachten des Dr. med. F._ vom 28. Februar 2011 eine Entschädigung von total Fr. 2'400.- zu bezahlen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Juli 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar