Fatti:
A. Con sentenza del 7 novembre 2011, il Giudice della Pretura penale del Cantone Ticino ha riconosciuto A._, titolare di un salone da parrucchiera, autrice colpevole di denuncia mendace. Le ha rimproverato di avere, il 26 gennaio 2010 denunciato alla polizia come autrice di furto, pur sapendola innocente, la sua dipendente B._, accusandola a torto di avere sottratto fr. 340.-- da un portamonete riposto in un cassetto del salone.
L'imputata è stata condannata alla pena pecuniaria di trenta aliquote giornaliere di fr. 30.--, sospesa condizionalmente per un periodo di prova di due anni, e alla multa di fr. 300.--.
B. Con sentenza del 30 maggio 2012, la Corte di appello e di revisione penale (CARP) ha respinto un appello presentato dall'imputata contro il giudizio di primo grado. Ha confermato la condanna alla citata pena pecuniaria, riducendo l'ammontare della multa da fr. 300.-- a fr. 150.--.
C. A._ impugna questa sentenza con un ricorso in materia penale al Tribunale federale, chiedendo di annullarla e di proscioglierla dall'accusa di denuncia mendace. Postula inoltre di essere ammessa al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. La ricorrente fa valere l'arbitrio nell'accertamento dei fatti e nella valutazione delle prove, la violazione del diritto di essere sentita, del principio "in dubio pro reo" e dell'art. 303 n. 1 CP.
Non sono state chieste osservazioni al ricorso, al quale è stato conferito effetto sospensivo con decreto del giudice presidente del 31 luglio 2012.
Diritto:
1. Presentato dall'imputata, che ha partecipato alla procedura dinanzi alla precedente istanza, le cui conclusioni sono state disattese (art. 81 cpv. 1 lett. b n. 1 LTF), e diretto contro una decisione finale (art. 90 LTF) resa in materia penale (art. 78 cpv. 1 LTF) da autorità di ultima istanza cantonale (art. 80 cpv. 1 LTF), il ricorso in materia penale, tempestivo (art. 100 cpv. 1 LTF), è sotto i citati aspetti ammissibile.
2. 2.1 La ricorrente rimprovera alla Corte cantonale di avere travisato la portata delle dichiarazioni del teste C._, limitandosi a riportare quanto da lui inizialmente riferito alla polizia, senza confrontarsi con la successiva deposizione resa in contraddittorio al dibattimento, in cui avrebbe affermato di non potere escludere con assoluta certezza che la dipendente avesse toccato dei soldi.
2.2 I giudici cantonali hanno accertato che, in sede di interrogatorio del 2 febbraio 2010 dinanzi alla polizia, il testimone C._, cliente del salone, aveva dichiarato di avere visto la dipendente aprire un cassetto del bancone, ma soltanto per prendere un'agenda (che sembrava invero più un quadernetto) e non dei soldi. Hanno altresì rilevato che il teste aveva escluso che la dipendente avesse detto che l'imputata le doveva dei soldi. In sede di audizione al dibattimento del 7 novembre 2011, ad esplicita domanda del patrocinatore della ricorrente, il testimone ha precisato di non potere escludere con assoluta certezza che fossero pure stati toccati dei soldi, non avendo costantemente osservato la dipendente per tutta la permanenza di quest'ultima nel salone. Anche in sede dibattimentale, il teste ha comunque ribadito di non avere visto soldi, ma soltanto l'agenda, e di non avere sentito dire dalla dipendente che l'imputata le doveva del denaro. La deposizione testimoniale del 7 novembre 2011 concorda quindi sostanzialmente con quella rilasciata dal teste il 2 febbraio 2010, pochi giorni dopo i fatti. La ricorrente si limita del resto a sollevare dubbi, esponendo la possibilità teorica che la dipendente avrebbe avuto di sottrarre il denaro. Adduce inoltre genericamente che il testimone avrebbe anche potuto non sentire quello che si sono dette le due protagoniste, visto che non era a conoscenza dei loro diverbi. Con simili argomentazioni la ricorrente non dimostra però l'arbitrio degli accertamenti contenuti nel giudizio impugnato (cfr., sulla nozione di arbitrio, DTF 138 I 49 consid. 7.1; 137 I 58 consid. 4.1.2 e rispettivi rinvii). Disattende inoltre che la sua condanna per denuncia mendace non è fondata esclusivamente sulle dichiarazioni del teste C._, ma su una valutazione complessiva degli elementi disponibili e soprattutto sulle dichiarazioni rese dalla ricorrente medesima, che per finire ha riconosciuto di non avere in realtà visto la dipendente sottrarre il denaro.
3. 3.1 Secondo la ricorrente, la Corte cantonale avrebbe poi valutato in modo arbitrario i certificati medici da lei versati agli atti, ravvisando semplicemente "una certa fragilità psichica", che è stata presa in considerazione solo quale attenuante della pena.
3.2 La precedente istanza ha richiamato sia il rapporto (di uscita dal Pronto soccorso) del 28 gennaio 2010 del dott. D._ sia quello del 7 novembre 2011 del dott. E._ sia il certificato medico del 30 ottobre 2011 del dott. F._. Ha rilevato che il primo rapporto indicava unicamente come fosse necessario per la salute psico-fisica della ricorrente evitare ogni contatto con la dipendente. Il secondo attestava che la ricorrente era scompensata psichicamente, presentava vari sintomi importanti con uno stato d'ansia, agitazione psicomotoria e sintomi psicotici, sicché la sua capacità di discernimento non era completa. Il certificato medico del 30 ottobre 2011 dava a sua volta atto di uno stato d'ansia per il quale si era reso necessario un primo trattamento farmacologico. La Corte cantonale ha rilevato che, nel loro insieme, i tre rapporti medici indicavano che lo stato ansioso era da ricondurre al litigio tra la ricorrente e la sua dipendente. Ha nondimeno considerato che il rapporto del 7 novembre 2011, relativo ad una compromissione della capacità d'intendere e di volere della ricorrente, era invero stato allestito quasi due anni dopo il consulto al quale si riferiva, mentre quello di uscita, steso subito dopo il colloquio, era molto più blando. I giudici cantonali hanno poi ritenuto che l'ansia e l'agitazione derivanti in sostanza da un litigio non fossero comunque tali da inficiare la capacità della ricorrente di leggere e di riportare correttamente la realtà. Né poteva essere trascurato che la ricorrente aveva reso le sue prime dichiarazioni il 28 gennaio 2010, vale a dire due giorni dopo i fatti, e le aveva ribadite il 3 febbraio successivo. Le asserzioni relative al preteso furto erano quindi state da lei rilasciate in due momenti distinti, in cui la forte emotività dovuta al litigio si era senz'altro stemperata.
3.3 La ricorrente sostiene di avere avuto un crollo psicologico all'epoca dei fatti, legato in generale al comportamento della dipendente in quel periodo e non solo all'episodio del litigio del 26 gennaio 2010. Ritiene in sostanza, che la CARP avrebbe dovuto riconoscerle una parziale incapacità di discernimento, quantomeno in occasione del primo interrogatorio dinanzi alla polizia, ciò che spiegherebbe l'apparente contraddittorietà delle sue dichiarazioni.
La ricorrente non spiega tuttavia con una motivazione conforme agli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF, per quali ragioni l'accertamento della sua capacità di comprendere e riportare correttamente la realtà sarebbe manifestamente insostenibile tenendo altresì conto delle circostanze concrete in cui si sono svolti i fatti incriminati e della mendacità delle sue dichiarazioni, esposte e ribadite in due distinte occasioni dinanzi alla polizia alla distanza di due, rispettivamente otto giorni dai fatti. Le argomentazioni ricorsuali si limitano ad esporre in maniera appellatoria la propria versione, senza dimostrare l'arbitrio della valutazione operata dai giudici cantonali. Tenuto conto del contenuto del primo rapporto medico e delle circostanze della denuncia ribadita a una certa distanza dai fatti, in modo plausibile essi non hanno attribuito un peso decisivo al certificato medico redatto in un secondo tempo dal dott. E._. Nemmeno va trascurato che la tesi della ricorrente si manifesta perlomeno come contraddittoria, nella misura in cui fonda su una sua parziale incapacità di discernimento, qualificabile come "elastica", che da un lato le avrebbe impedito di avvedersi della contraddittorietà delle sue dichiarazioni alla polizia, ma che dall'altro non scalfirebbe la credibilità dei (falsi) addebiti da lei mossi alla dipendente.
4. 4.1 La ricorrente rimprovera alla CARP di avere apprezzato in modo arbitrario le sue dichiarazioni dinanzi alla polizia, omettendo di considerare che il primo verbale è stato da lei reso in qualità di denunciante, che in quell'occasione era parzialmente incapace di discernimento e che nel secondo interrogatorio di polizia ha confermato il primo verbale senza nemmeno rileggerlo.
4.2 Con queste argomentazioni la ricorrente rimette semplicemente in discussione il contenuto dei suoi verbali d'interrogatorio, senza sostanziare arbitrio alcuno riguardo alle contraddizioni ravvisate dai giudici cantonali rispetto alle dichiarazioni rese al pubblico dibattimento. La ricorrente si basa poi su una sua pretesa parziale incapacità di discernimento che, a ragione, come visto non è stata ritenuta dalla Corte cantonale.
5. 5.1 La ricorrente rimprovera alla precedente istanza di avere arbitrariamente omesso di considerare che la dipendente aveva vantato pretese salariali nei suoi confronti già prima dei fatti incriminati. Sostiene che la circostanza sarebbe rilevante ai fini del giudizio, poiché dimostrerebbe il movente del preteso furto e avvalorerebbe la frase "questi me li devi", asseritamente pronunciata dalla dipendente in quel frangente.
5.2 La Corte cantonale ha accertato che le pretese salariali della dipendente sono state formulate in modo formale solo dopo la denuncia e meglio con scritto del 20 ottobre 2011 del suo patrocinatore. Può essere lasciata indecisa la questione di sapere se tali pretese non fossero già state formulate perlomeno verbalmente in precedenza. In effetti, quand'anche si volesse ammettere la circostanza, essa non muterebbe la conclusione circa il carattere mendace della denuncia sporta contro la dipendente e la relativa consapevolezza da parte della ricorrente. Tale conclusione è infatti basata principalmente sulle dichiarazioni della ricorrente dinanzi alla polizia e al Giudice della Pretura penale, valutate complessivamente e tenuto altresì conto delle deposizioni di due testimoni. L'esistenza di pretese salariali avanzate dalla dipendente già prima del 26 gennaio 2010 non è perciò rilevante sotto il profilo della descrizione dello svolgimento dei fatti incriminati e non è pertanto determinante per l'esito del procedimento (cfr. art. 97 cpv. 1 LTF). La ricorrente si fonda peraltro a torto sulla circostanza che all'interno del salone la dipendente avrebbe pronunciato la frase "questi me li devi": in modo vincolante per il Tribunale federale (cfr. art. 105 cpv. 1 LTF), la circostanza non è infatti stata accertata dai giudici cantonali, siccome chiaramente smentita dalla deposizione del teste C._.
6. Secondo la ricorrente, la CARP avrebbe inoltre dovuto confrontarsi con l'esiguità dell'importo sottratto (fr. 340.--), che conforterebbe la sua credibilità, giacché non aveva interesse a denunciare falsamente la dipendente per una somma così bassa. Con questa argomentazione, la ricorrente espone semplicemente la sua diversa opinione, isolando un singolo elemento dall'insieme delle circostanze, senza confrontarsi con il complesso degli elementi disponibili e senza sostanziare arbitrio alcuno. Non basta di certo accennare all'ammontare ridotto della pretesa refurtiva per fare ritenere fondata la denuncia. Ciò, a maggior ragione, laddove pure si consideri che, secondo la stessa ricorrente, la somma di fr. 340.-- corrisponde al fondo cassa abituale e che, per il genere di attività e l'ora mattutina in cui si sono svolti i fatti, avrebbe anche potuto essere per lei arduo giustificare importi significativamente più elevati.
7. La ricorrente rimprovera alla Corte cantonale di avere ignorato l'inattendibilità della dipendente, che avrebbe negato di essersi recata dietro il bancone del salone e di avere aperto il cassetto e che avrebbe pure negato l'esistenza di tensioni nel rapporto di lavoro. Contrariamente all'opinione della ricorrente, il giudizio di condanna non è tuttavia di per sé fondato sulle contrapposte dichiarazioni della dipendente, ma principalmente sulle dichiarazioni della ricorrente medesima, valutate anche alla luce degli ulteriori elementi disponibili, quali le deposizioni di due testimoni. Nuovamente inammissibile per carenza di motivazione, la censura non deve essere esaminata oltre.
8. 8.1 La ricorrente lamenta infine la violazione dell'art. 303 CP. Rileva che sotto il profilo soggettivo il reato di denuncia mendace presuppone intenzionalità, che non sarebbe però realizzata in concreto, poiché aveva fondate ragioni per ritenere che la dipendente avesse effettivamente sottratto il denaro, frugando senza autorizzazione nel cassetto in cui era riposto il portamonete, ed avanzando pretese salariali. La ricorrente sostiene altresì di non avere voluto avviare un procedimento penale contro la dipendente in relazione al furto, ritenuto che ha sporto la denuncia anche per il reato di minaccia.
8.2 Si rende punibile di denuncia mendace giusta l'art. 303 n. 1 CP, chiunque denuncia all'autorità come colpevole di un crimine o di un delitto una persona che egli sa innocente, per provocare contro di essa un procedimento penale. Sotto il profilo soggettivo, la fattispecie esige l'intenzione e implica quindi che l'autore sappia di dire una cosa non vera riguardo alla falsità dell'accusa. Non basta ch'egli ritenga la dichiarazione come possibilmente falsa, ma occorre che l'autore sappia con certezza che l'accusa non è vera. Il dolo eventuale non è sufficiente (DTF 136 IV 170 consid. 2.1 pag. 176/177).
Ciò che l'autore sapeva, voleva o ha preso in considerazione sono questioni di fatto (DTF 130 IV 58 consid. 8.5 e rinvii), che vincolano di principio questa Corte, tranne quando i fatti sono stati accertati in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto (cfr. art. 105 LTF). È per contro una questione di diritto, quella di sapere se, sulla base dei fatti accertati, la conclusione circa l'esistenza dell'intenzione sia giustificata.
8.3 La ricorrente contesta in sostanza la sua consapevolezza riguardo al carattere mendace della denuncia, richiamando le pretese salariali della dipendente e il fatto che quest'ultima avesse aperto il cassetto in cui si trovava pure il portamonete. La Corte cantonale ha tuttavia fondato la sua conclusione su una serie di accertamenti e di valutazioni con cui la ricorrente non si confronta. Ha in particolare accertato, in modo scevro di arbitrio, che la ricorrente aveva mentito sia dichiarando di avere visto la dipendente prendere i soldi dal portamonete sia attribuendole la frase "questi me li devi" sia addebitandole di avere rubato l'agenda degli appuntamenti del salone sia infine negando di averla presa per i capelli. Sulla base di questi accertamenti, vincolanti per il Tribunale federale, e segnatamente del fatto che la ricorrente stessa ha sostanzialmente riconosciuto al dibattimento, contrariamente a quanto dichiarato dinanzi alla polizia, che non aveva in realtà visto la dipendente sottrarre il denaro, la precedente istanza ha rettamente concluso che la ricorrente era consapevole del carattere inveritiero della denuncia di furto.
9. La ricorrente rimprovera infine alla CARP di avere frainteso il suo richiamo della sentenza pubblicata in DTF 136 IV 170, destinato a chiarire che la circostanza secondo cui il procedimento penale aperto nei confronti della dipendente è sfociato in un decreto di non luogo a procedere, non basterebbe per ritenerla colpevole di denuncia mendace.
Ora, premesso che la Corte cantonale ha rettamente riportato il senso della sentenza citata, la ricorrente non è stata condannata per il semplice fatto che nei confronti della dipendente è stato decretato un non luogo a procedere il 23 aprile 2010. Il giudizio impugnato si basa infatti su una valutazione autonoma delle circostanze, da cui risulta che la ricorrente sapeva sin dall'inizio della mendacità della sua denuncia per furto. La censura, appellatoria e di portata teorica, non deve quindi essere esaminata oltre.
10. Ne segue che, in quanto ammissibile, il ricorso deve essere respinto.
La domanda di assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio presentata in questa sede deve essere respinta, essendo il gravame fin dall'inizio privo di possibilità di successo (art. 64 cpv. 1 LTF). Le spese giudiziarie sono di conseguenza poste a carico della ricorrente, in considerazione della sua soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF). Vista la sua situazione finanziaria, si giustifica tuttavia di prelevare una tassa di giustizia ridotta (art. 65 cpv. 2 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3. Le spese giudiziarie di fr. 800.-- sono poste a carico della ricorrente.
4. Comunicazione ai patrocinatori delle parti, al Ministero pubblico e alla Corte di appello e di revisione penale del Cantone Ticino.