Sachverhalt:
A. X._ und Z._, beide Jahrgang 1974, heirateten am 2. Juni 2006 und wurden Eltern einer Tochter, geboren am 31. Oktober 2006. Am 27. September 2008 hoben sie den gemeinsamen Haushalt in A._ auf und X._ zog zusammen mit der Tochter zu seinen Eltern nach B._ (Österreich). Z._ blieb zunächst in A._ und zog am 1. Mai 2009 in das Haus ihres Vaters in C._ (Aargau).
B. Am 10. März 2009 reichte Z._ beim Gerichtspräsidium Bremgarten ein Gesuch um Scheidung auf gemeinsames Begehren ein, dem eine von beiden Parteien unterzeichnete Scheidungskonvention zugrunde lag. Am 27. März 2009 zog sie das Gesuch jedoch zurück und das Gerichtspräsidium schrieb das Verfahren in der Folge (mit dem Einverständnis von X._) ab.
C. Im April 2009 gelangte die Mutter mit einem Antrag auf Rückführung ihrer Tochter an die zuständigen schweizerischen Behörden, die dieses Begehren nach Österreich übermittelten. Vor dem für das Rückführungsverfahren zuständigen Bezirksgericht Feldkirch schlossen die Parteien am 5. Juni 2009 eine Vereinbarung über die gemeinsame Obhut ("gemeinsame Obsorge") über ihre Tochter für den Zeitraum ab Juni 2009 ab. Sie vereinbarten, dass sich die Tochter jeweils in einem Rhythmus von zwei Wochen beim einen und dann wieder beim anderen Ehegatten aufhalten sollte. Das Bezirksgericht Feldkirch erklärte damit den Antrag auf Rückführung als erledigt.
D. Auf das Eheschutzgesuch der Ehefrau vom 8. Juni 2009 hin regelte das Gerichtspräsidium Bremgarten das Getrenntleben der Ehegatten. Soweit vorliegend massgebend, stellte es die Tochter unter die Obhut des in Österreich lebenden Vaters und räumte der Kindsmutter ein Besuchs- und Ferienrecht ein (Entscheid vom 29. September 2009). Da Z._ gegen diesen Entscheid mit Bezug auf die Regelung des Kindesverhältnisses kantonale Beschwerde erhob, erliess das Gerichtspräsidium Bremgarten am 6. Oktober 2009 eine "vorläufige Massnahme", in der es die Obhutszuteilung und das Besuchs- und Ferienrecht der Mutter gleich wie in seinem Entscheid regelte, womit das Kind für die Dauer des Verfahrens unter die alleinige Obhut des Vaters gestellt wurde.
E. Das Obergericht des Kantons Aargau stellte in der Begründung zu seinem Beschwerdeentscheid vom 14. Dezember 2009 die Rechtskraft des erstinstanzlichen Entscheides mit Ausnahme der Regelung des Kindesverhältnisses fest. Es hiess die Beschwerde der Ehefrau teilweise gut und stellte die Tochter unter ihre Obhut. Dem Vater wurde ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt und er wurde verpflichtet, einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 600.-- für die Tochter zu bezahlen.
F. Dagegen hat X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) mit Eingabe vom 8. Januar 2010 (Postaufgabe am gleichen Tag) eine Beschwerde in Zivilsachen eingereicht. Er beantragt dem Bundesgericht die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und in der Sache die Bestätigung des erstinstanzlichen Entscheides. Als Eventualantrag verlangt er die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung. Zudem verlangt er antragsgemäss die Neuverlegung der vorinstanzlichen Kosten sowie die Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Z._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung und der Beschwerde. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2010 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid über die Anordnung von Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (Art. 172 ff. ZGB). Es handelt sich dabei um einen Endentscheid in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 1 BGG und Art. 90 BGG; BGE 133 III 393 E. 4 S. 395 f.). Erst als Folge der Kinderzuteilung geht es auch um die Unterhaltsbeiträge. Wie schon unter der Herrschaft des Bundesrechtspflegegesetzes, gelten familienrechtliche Klagen mit finanziellen Nebenfolgen als nicht vermögensrechtliche Streitigkeiten, wenn die Regelung dieser Folgen notwendiger Bestandteil des Entscheides über die nicht vermögensrechtliche Streitigkeit ist (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). Strittig ist hier zur Hauptsache die Obhut über das gemeinsame Kind und damit eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit.
1.2 Eheschutzentscheide sind Entscheide über vorsorgliche Massnahmen (BGE 133 III 393 E. 5 S. 396 f.). Nach Art. 98 BGG kann demnach nur die Verletzung verfassungsmässiger Recht gerügt werden. Zur Anwendung gelangt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Es muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides dargelegt werden, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.; 133 III 589 E. 2 S. 591 f.).
Wird eine Verletzung des Willkürverbots - einschliesslich Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 III 397 E. 1.5 S. 401) - geltend gemacht, muss im Einzelnen aufgezeigt werden, in welcher Hinsicht der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Es reicht nicht aus, die Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f.; 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
Willkür in der Beweiswürdigung setzt voraus, dass der Richter den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich nicht erkannt, ohne vernünftigen Grund ein entscheidendes Beweismittel ausser Acht gelassen oder aus den vorhandenen Beweismitteln einen unhaltbaren Schluss gezogen hat (BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9).
1.3 Der Beschwerdeführer begnügt sich in seiner Beschwerde auf mehreren Seiten damit, den Erwägungen des Obergerichts seine eigene Betrachtungsweise entgegenzuhalten. In den Ziff. 2 bis 6, 11, 14, 17, 21 und 22 seiner Beschwerde beschränkt er sich auf appellatorische Kritik, setzt sich mit dem angefochtenen Entscheid nicht auseinander und wird dem Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG nicht gerecht, da nicht nachvollziehbar ist, welche Bestimmung er als verletzt betrachtet.
Soweit die Beschwerde den vorgenannten Begründungsanforderungen (E. 1.2 oben) nicht entspricht, ist darauf ohne weitere Ausführungen nicht einzutreten.
1.4 Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ergeben haben, können vor Bundesgericht nicht mehr geltend gemacht werden (BGE 134 IV 97 E. 5.1.3 S. 103). Die von der Beschwerdegegnerin in ihren Eingaben ans Bundesgericht ins Recht gelegten Beweismittel sind deshalb unzulässig.
2. 2.1 Die Vorinstanzen haben einen gewöhnlichen Aufenthalt der Tochter der Parteien in der Schweiz bejaht und damit die schweizerischen Gerichte als zuständig erachtet und das schweizerische Recht als anwendbar erklärt. Insoweit werden keine Rügen erhoben und es besteht für das Bundesgericht kein Anlass, auf diese Fragen näher einzugehen.
2.2 Strittig sind im vorliegenden Fall die Obhut über die gemeinsame Tochter der Parteien, daraus sich ergebend das Besuchsrecht, der Kinderunterhaltsbeitrag und die Kosten- und Entschädigungsfolge des obergerichtlichen Verfahrens.
3. 3.1 Das mit der "Regelung des Getrenntlebens" (Marginalie zu Art. 176 ZGB) befasste Eheschutzgericht trifft nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses die nötigen Massnahmen, wenn die Ehegatten unmündige Kinder haben (Art. 176 Abs. 3 ZGB). Für die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil gelten grundsätzlich die gleichen Kriterien wie im Scheidungsfall. Nach der Rechtsprechung hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Vorab muss deren Erziehungsfähigkeit geklärt werden. Ist sie bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und dazu bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, so die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (vgl. BGE 115 II 206 E. 4a S. 209; 115 II 317 E. 2 und 3 S. 319 ff.; 117 II 353 E. 3 S. 354 f.; BGE 5A_798/2009 vom 4. März 2010 E. 5.3).
3.2 Bei der Beurteilung der für die Obhutszuteilung massgebenden Kriterien verfügt das Sachgericht über grosses Ermessen (vgl. alle soeben zitierten Urteile). Auf Willkürbeschwerde hin kann das Bundesgericht deshalb nur eingreifen, wenn das Sachgericht grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn es Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn es umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Der Ermessensentscheid muss sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 109 la 107 E. 2c S. 109; 128 III 4 E. 4b S. 6 f.; 132 III 97 E. 1 S. 99).
3.3 Nachfolgend ist deshalb mit Blick auf die vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen zu prüfen, ob das Obergericht bei der Beurteilung der Zuteilungskriterien sein Ermessen im erwähnten Sinne willkürlich ausübte.
4. 4.1 Wie die erste Instanz kam auch das Obergericht zum Schluss, dass die Erziehungsfähigkeit bei beiden Parteien in gleichem Masse vorhanden sei (Ziff. 7.2 des angefochtenen Entscheides).
4.1.1 Mit den vom Beschwerdeführer vor erster Instanz eingereichten Schreiben (Beilagen 25 - 29) von Bekannten, in denen diese Einzelereignisse der Beschwerdegegnerin darlegen (z.B. Verweigern des gemeinsamen Bades mit der Tochter; "Ausflippen" als die Tochter sich mit Schokolade beschmutzte; Unterlassen des Spitalbesuchs der todkranken Mutter; Aufgabenteilung zwischen den Ehegatten während eines Besuchs), setzte sich das Obergericht auseinander und erachtete diese als nicht aussagekräftig, um berechtigte Zweifel an der Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin zu wecken. Auf die vom Beschwerdeführer beantragte Befragung dieser Personen verzichtete das Obergericht deshalb "mangels Erheblichkeit" (Ziff. 7.2.1 des angefochtenen Entscheides).
Der Beschwerdeführer sieht in der Unterlassung der Befragung dieser Personen eine Verletzung der Offizialmaxime. Allein der Hinweis des Obergerichts, dass diese Personen nur Einzelheiten festgestellt hätten, müsse dazu führen, dass es sich ein Bild der Erziehungsfähigkeit hätte machen müssen (Ziff. 9 der Beschwerde).
4.1.2 Zusätzlich verzichtete das Obergericht, entgegen dem Antrag der Beschwerdegegnerin (dem sich der Beschwerdeführer nicht widersetzte), auf die Einholung eines kinderpsychologischen Gutachtens. Es hielt dazu fest, weder habe eine Partei die Notwendigkeit einer Begutachtung näher dargelegt, noch sei ersichtlich, inwiefern diesbezüglich besonderer Abklärungsbedarf bestehe (Ziff. 7.2.2 des angefochtenen Entscheides).
Der Beschwerdeführer erachtet auch darin eine Verletzung der in Kinderbelangen herrschenden Offizialmaxime und sinngemäss eine willkürliche (antizipierte) Beweiswürdigung. Er begründet dies damit, dass sich ein Gutachten vorliegend umso mehr aufgedrängt hätte, weil die Kinderzuteilung "von besonderer Brisanz" und kritisch sei, was darin zum Ausdruck komme, dass das Obergericht die Zuteilung schliesslich anders vorgenommen habe als die erste Instanz. Auch die Tatsache, dass die Tochter seit September 2008 im intakten Umfeld des Beschwerdeführers lebe, hätte vor der Änderung der Obhutszuteilung eines Gutachtens bedurft (Ziff. 10 der Beschwerde).
4.2 Die derart vorweggenommene Beweiswürdigung verletzt weder den verfassungsmässigen Beweisanspruch noch die bundesrechtliche Untersuchungsmaxime in Kinderbelangen, es sei denn, sie wäre willkürlich (für Art. 29 Abs. 2 BV: BGE 131 I 153 E. 3 S. 157; zur Untersuchungsmaxime: BGE 130 III 734 E. 2.2.3 S. 735 f.). Zu prüfen ist deshalb, ob die obergerichtliche antizipierte Beweiswürdigung der Willkürprüfung standhält (Art. 97 Abs. 1 BGG).
4.3 Der Richter kann das Beweisverfahren schliessen, wenn Beweisanträge eine nicht erhebliche Tatsache betreffen, offensichtlich untauglich sind oder wenn er aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (BGE 124 I 208 E. 4a S. 211; Urteil 5P.157/2003 vom 30. Juni 2003 E. 3.1, in: FamPra.ch 2003 S. 951 ff.).
4.3 Der Richter kann das Beweisverfahren schliessen, wenn Beweisanträge eine nicht erhebliche Tatsache betreffen, offensichtlich untauglich sind oder wenn er aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (BGE 124 I 208 E. 4a S. 211; Urteil 5P.157/2003 vom 30. Juni 2003 E. 3.1, in: FamPra.ch 2003 S. 951 ff.).
4.4 4.4.1 Was die beantragte Befragung der Personen betrifft, die bereits schriftliche Erklärungen abgegeben haben, hat sich das Obergericht mit diesen Aussagen ausführlich auseinandergesetzt und diese gewürdigt (Ziff. 7.2.1 des angefochtenen Entscheides). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, was diese Personen anlässlich einer Befragung zusätzlich hätten aussagen können. Das Vorgehen des Obergerichts erweist sich daher unter diesem Gesichtspunkt nicht als willkürlich.
4.4.2 Im Eheschutzverfahren geht es darum, möglichst rasch eine optimale Situation für das Kind zu schaffen. Langwierige Abklärungen, etwa durch Gutachten, sollten auch im Streitfall nicht die Regel sein, sondern nur angeordnet werden, wenn besondere Umstände vorliegen (Urteile 5A_444/2008 vom 14. August 2008 E. 2.2; 5P.17/2003 vom 25. Februar 2003 E. 4.1, in: FamPra.ch 2003 S. 700 ff.; 5P.157/2003 vom 30. Juni 2003, E. 4.4, in: FamPra.ch 2003 S. 951 ff.). Der Beschwerdeführer legt keine solchen besonderen Umstände dar. Die Tatsache, dass die Obhutszuteilung sehr umstritten ist, reicht für die Notwendigkeit der Einholung eines Gutachtens nicht aus, wäre doch sonst fast in jeder Zuteilungsstreitigkeit eine Begutachtung anzuordnen. Die antizipierte Beweiswürdigung des Obergerichts erweist sich damit auch bezüglich der unterlassenen Einholung eines Gutachtens nicht als willkürlich und verletzt die Untersuchungsmaxime nach Art. 145 Abs. 1 ZGB nicht.
5. 5.1 Bei der Beurteilung des Kriteriums der persönlichen Betreuung gelangte das Obergericht zum Schluss, die Beschwerdegegnerin sei in wesentlich grösserem Ausmass dazu in der Lage. Es begründete dies einerseits mit der Aufgabe der Erwerbstätigkeit seitens der Beschwerdegegnerin. Andererseits hielt das Obergericht fest, der Beschwerdeführer arbeite zwar von zu Hause aus und sei lediglich an zwei bis drei Nachmittagen pro Woche abwesend. In dieser Zeit sei er auf die Unterstützung seiner Verwandten angewiesen. Nach allgemeiner Lebenserfahrung müsse aber davon ausgegangen werden, dass er sich auch dann, wenn er zu Hause arbeite, nur begrenzt um die Kinder kümmern könne, würde sich die Tochter in dieser Zeit doch nicht immer im Büro aufhalten wollen (Ziff. 7.3.1 des angefochtenen Entscheides).
5. 5.1 Bei der Beurteilung des Kriteriums der persönlichen Betreuung gelangte das Obergericht zum Schluss, die Beschwerdegegnerin sei in wesentlich grösserem Ausmass dazu in der Lage. Es begründete dies einerseits mit der Aufgabe der Erwerbstätigkeit seitens der Beschwerdegegnerin. Andererseits hielt das Obergericht fest, der Beschwerdeführer arbeite zwar von zu Hause aus und sei lediglich an zwei bis drei Nachmittagen pro Woche abwesend. In dieser Zeit sei er auf die Unterstützung seiner Verwandten angewiesen. Nach allgemeiner Lebenserfahrung müsse aber davon ausgegangen werden, dass er sich auch dann, wenn er zu Hause arbeite, nur begrenzt um die Kinder kümmern könne, würde sich die Tochter in dieser Zeit doch nicht immer im Büro aufhalten wollen (Ziff. 7.3.1 des angefochtenen Entscheides).
5.2 5.2.1 Der Beschwerdeführer erachtet diese Folgerungen als willkürlich (Ziff. 15 der Beschwerde).
5.2.2 Im Rahmen der (unmittelbaren) persönlichen Betreuung ist neben der zeitlichen Verfügbarkeit (Quantität) auch die Qualität der Betreuung zu berücksichtigen (HAUSHEER/REUSSER/GEISER, Berner Kommentar, 1999, N. 45 zu Art. 176 ZGB). Die persönliche Betreuung äussert sich denn vor allem auch in einer aktiven Betreuung. Dies gilt umso mehr, wenn das Kind noch nicht schulpflichtig ist und auch tagsüber zu Hause ist (BGE 115 II 317 E. 2 S. 319). Blosse Erreichbarkeit oder Anwesenheit im Alltag ist kein Betreuungskonzept (Urteil 5A_444/2008 vom 14. August 2008 E. 3.3).
Vergleicht man deshalb die Situation der Mutter, die zu Hause ist und keiner Erwerbstätigkeit nachgeht, mit den Verhältnissen des Vaters, der zwar (abgesehen von zwei bis drei Nachmittagen) zu Hause ist, aber in dieser Zeit einer Arbeit nachgeht, erweist sich der obergerichtliche Schluss, dass die Mutter in wesentlich grösserem Ausmass in der Lage ist, das Kind persönlich zu betreuen, nicht als willkürlich.
Vergleicht man deshalb die Situation der Mutter, die zu Hause ist und keiner Erwerbstätigkeit nachgeht, mit den Verhältnissen des Vaters, der zwar (abgesehen von zwei bis drei Nachmittagen) zu Hause ist, aber in dieser Zeit einer Arbeit nachgeht, erweist sich der obergerichtliche Schluss, dass die Mutter in wesentlich grösserem Ausmass in der Lage ist, das Kind persönlich zu betreuen, nicht als willkürlich.
5.3 5.3.1 Der Beschwerdeführer bemängelt in diesem Zusammenhang weiter die Nichtberücksichtigung des Berichts der Bezirkshauptmannschaft Bregenz, aus dem hervorgehe, dass er sehr wohl zur persönlichen Betreuung in der Lage sei (Ziff. 12 bis 15 der Beschwerde).
5.3.2 Die erste Instanz hat zum fraglichen Bericht festgehalten, sie berücksichtige diesen einzig insoweit, als dass er sich zur Erziehungsfähigkeit des Beschwerdeführers äussere. Weitere Bedeutung komme dem Bericht nicht zu, zumal dieser ohne Mitwirkung und Befragung der Beschwerdegegnerin erhoben worden sei. Die erste Instanz ging in der Folge von einer gleichen Erziehungsfähigkeit beider Parteien aus (S. 20 f. des erstinstanzlichen Urteils). Das Obergericht gelangte in Bezug auf die Erziehungsfähigkeit zum gleichen Schluss (S. 18 des angefochtenen Urteils).
5.3.3 Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern der Bericht der Bezirksmannschaft Bregenz sich auch noch zu weiteren Zuteilungskriterien äussert und welchen Einfluss der Bericht auf die vorliegend massgebenden Zuteilungskriterien haben soll (abgesehen von der vom Obergericht gleich wie von der ersten Instanz beurteilten Erziehungsfähigkeit). Der Beschwerdeführer zeigt damit nicht auf, inwiefern sich die (seiner Ansicht nach willkürliche) Nichtberücksichtigung auch im Ergebnis ausgewirkt haben soll (BGE 135 V 2 E. 1.3 S. 4 f.; 133 I 149 E. 3.1 S. 153). Hat damit die Nichtberücksichtigung des Berichts im Ergebnis keine Auswirkungen, kann offen bleiben, ob darin überhaupt ein Verstoss gegen das Willkürverbot liegt. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet.
6. 6.1 Das Obergericht verneinte eine geringere Betreuungsbereitschaft seitens der Beschwerdegegnerin. Die Folgerung der ersten Instanz, aufgrund der abgeschlossenen Scheidungskonvention und dem teilweise nicht wahrgenommenen Besuchsrecht auf eine geringere Betreuungsbereitschaft zu schliessen, erachtete es als unzutreffend (Ziff. 7.1.2 und 7.3.2 des angefochtenen Entscheides).
6.2 Der Beschwerdeführer sieht darin ein willkürliches Vorgehen (Ziff. 8 und 16 der Beschwerde).
6.3 Das Obergericht hat sich zu den Gründen der Beschwerdegegnerin für die von ihr ausgelassenen Besuchsmöglichkeiten (Arbeitsbelastung aufgrund Schichtbetrieb) nicht geäussert. Es hat auch die entsprechenden Entgegnungen des Beschwerdeführers, in denen er unter Verweis auf die Beschwerdebeilage 4 darlegt, dass die Beschwerdegegnerin tatsächlich je nur einmal am Freitagabend und Samstag arbeiten musste (Ziff. 29 der kantonalen Beschwerdeantwort), nicht berücksichtigt. Vielmehr hat es einzig auf das Rückführungsbegehren der Beschwerdegegnerin abgestellt und hat darin die Betreuungsbereitschaft der Mutter bestätigt gesehen (Ziff. 7.1.2 des angefochtenen Entscheides).
Warum darüber hinaus der im März 2009 abgeschlossenen Scheidungskonvention keine Bedeutung zukommt und warum der anderslautende Schluss der ersten Instanz unzutreffend sein soll, hat das Obergericht nicht begründet. Das Bundesgericht hat in BGE 114 II 200 E. 5b S. 204, der zwar aufgrund der Tatsachen mit dem vorliegenden Fall nicht völlig vergleichbar ist, festgehalten, dass eine Vereinbarung über die Obhut sehr wohl mitberücksichtigt werden kann. Warum dies vorliegend nicht der Fall ist, legt das Obergericht nicht dar.
6.4 Anders als ein blosses Gesuch um Rückführung gibt die Ausübung des Besuchsrechts einen besseren Eindruck darüber, inwiefern ein Elternteil zur Betreuung eines Kindes bereit ist. Das Obergericht hat deshalb willkürlich gehandelt, soweit es die nicht wahrgenommenen Besuchsmöglichkeiten bei der Beurteilung der Betreuungsbereitschaft nicht mitberücksichtigt und die Erklärungen der Beschwerdegegnerin, wonach dies durch die Arbeitsbelastung bedingt gewesen sei, nicht näher überprüft hat. Dies drängt sich umso mehr auf, als die erste Instanz die Obhutszuteilung massgeblich darauf abgestützt hatte, dass der Beschwerdeführer eine höhere Betreuungsbereitschaft aufweise (Ziff. 3.3.8 des erstinstanzlichen Entscheides). Kommt das Obergericht zu einem anderen Schluss, hätte es wenigstens die Argumente der ersten Instanz aufnehmen müssen. Dies hat es in Bezug auf das teilweise nicht wahrgenommene Besuchsrecht nicht getan und damit rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als begründet.
7. 7.1 Bei der Beurteilung des Kriteriums der Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse hielt das Obergericht fest, es könne nicht gesagt werden, die stabilen Verhältnisse müssten den Ausschlag zugunsten der einen oder anderen Partei geben. Im Ergebnis berücksichtigte es dieses Kriterium gar nicht, da seiner Ansicht nach die Beschwerdegegnerin bereits bessere Möglichkeiten zur persönlichen Betreuung aufweise (Ziff. 7.4 und 7.6 des angefochtenen Entscheides).
Der Beschwerdeführer bemängelt die Nichtberücksichtigung der Tatsache, wonach die Tochter seit der Trennung Ende September 2008 bis zum Mai 2009 sowie seit Oktober 2009 in seiner Obhut stehe (Ziff. 16 der Beschwerde).
7.2 Bei der Obhutszuteilung ist dem Bedürfnis der Kinder nach der für eine harmonische Entfaltung in körperlicher, seelischer und geistiger Hinsicht notwendigen Stabilität der Verhältnisse Rechnung zu tragen (BGE 114 II 200 E. 3 S. 201 f.; 112 II 381 E. 3 S. 382 f.). Bei ungefähr gleicher Erziehungs- und Betreuungsfähigkeit beider Eltern kommt diesem Kriterium besonderes Gewicht zu. Unter Umständen kann die Möglichkeit der persönlichen Betreuung auch dahinter zurücktreten (Urteil 5C.212/2005 vom 25. Januar 2006 E. 4.2 und 4.4.1, in: FamPra.ch 2006 S. 753 ff.).
Das Kriterium der Stabilität der Verhältnisse ist in jedem Fall zu berücksichtigen. Gleichzeitig darf sich aber der Richter nicht bloss damit begnügen, die Obhut demjenigen Elternteil zuzuweisen, der diese auch während des Verfahrens ausübt (BGE 114 II 200 E. 5b S. 204).
7.3 Das Obergericht gibt die eben erwähnten rechtlichen Voraussetzungen korrekt wieder. Die Tochter lebt seit dem Trennungszeitpunkt (September 2008) bei ihrem Vater in Österreich, wobei in der Zeit von Juni bis Oktober 2009 insofern ein Unterbruch stattfand, als die Obhut abwechselnd ausgeübt wurde. Im obergerichtlichen Urteilszeitpunkt lebte damit die Tochter ungefähr fünfzehn Monate (mit einem Unterbruch von gut vier Monaten) bei ihrem Vater. Diesen (rechtserheblichen) Umstand gibt das Obergericht zwar sinngemäss kurz wieder, geht aber nicht darauf ein und berücksichtigt ihn in seinen Schlussfolgerungen nicht, sondern gelangt vielmehr zum Ergebnis, das Kriterium der stabilen Verhältnisse spreche nicht für die eine oder andere Partei (Ziff. 7.4 des angefochtenen Entscheides). Auch wenn dem Kriterium der Stabilität der Verhältnisse bei Kleinkindern im Vorschulalter eine geringere Bedeutung zukommen kann (vgl. Urteil 5P.6/2004 vom 12. März 2004 E. 2.4), ist nicht von der Hand zu weisen, dass in jüngster Zeit die Obhut schwergewichtig durch den Vater in Österreich ausgeübt wurde. Indem das Obergericht dieser für das Kindeswohl wichtigen Tatsache der Stabilität und Kontinuität keine Beachtung schenkte, handelte es willkürlich.
8. Insgesamt ist das Obergericht bei der Ausübung seines Ermessens in Willkür verfallen, indem es Umstände nicht in Betracht gezogen hat, die hätten beachtet werden müssen. Insoweit erweist sich die Beschwerde als begründet.
Dem Sachgericht kommt wie erwähnt bei der Obhutszuteilung ein grosses Ermessen zu (vgl. E. 3.2 oben). In solchen Fällen entscheidet das Bundesgericht nicht in der Sache selbst, sondern ist der angefochtene Entscheid im Sinne des Eventualantrages aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückzuweisen.
9. Bei diesem Verfahrensausgang rechtfertigt es sich, die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Parteikosten werden wettgeschlagen (Art. 68 Abs. 1 BGG). Aufgrund des Ausgang des Verfahrens um aufschiebende Wirkung drängt sich keine anderweitige Verlegung auf.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, vom 14. Dezember 2009 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Beurteilung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3. Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Bettler