Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 11. Juli 2011 stellte die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) das gegen A._ wegen Tätlichkeiten, Beschimpfung und Drohung angehobene Strafverfahren ein.
Am 8. August 2011 erhob X._ dagegen Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau.
Mit Beschwerdeantwort vom 22. August 2011 beantragte die Staatsanwaltschaft, die Beschwerde sei abzuschreiben; eventualiter sei sie gutzuheissen; subeventualiter sei das Beschwerdeverfahren zu sistieren. Zur Begründung führte die Staatsanwaltschaft aus, die neuerliche Prüfung des Falles habe ergeben, dass die Einstellung voreilig erfolgt sei. Die Staatsanwaltschaft habe daher am 22. August 2011 die Einstellungsverfügung aufgehoben.
B. Am 14. September 2011 hiess das Obergericht (Beschwerdekammer in Strafsachen) die Beschwerde gut. Es hob die Einstellungsverfügung bezüglich des Vorwurfs der Drohung auf und wies die Staatsanwaltschaft an, die Untersuchung im Sinne der Erwägungen ordnungsgemäss abzuschliessen und alsdann neu über die Einstellung des Verfahrens oder die Anklageerhebung zu entscheiden.
Das Obergericht befand, für die Aufhebung der Einstellungsverfügung durch die Staatsanwaltschaft habe keine gesetzliche Grundlage bestanden. Die Staatsanwaltschaft habe darauf materiell nicht mehr zurückkommen dürfen. Mangels gültiger Aufhebung der Einstellungsverfügung sei das Beschwerdeverfahren nicht gegenstandslos geworden (E. 3.3). Das Obergericht kam sodann zum Schluss, hinsichtlich des Tatbestands der Drohung lasse sich der Nachweis einer strafbaren Handlung bzw. eine Verurteilung nicht mit der nötigen Sicherheit ausschliessen, weshalb die Einstellung des Strafverfahrens insoweit zu Unrecht erfolgt sei (E. 4.7).
C. Die Staatsanwaltschaft führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen.
D. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.
X._ hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventuell sei sie abzuweisen.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer a) vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (...) und b) ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die Staatsanwaltschaft (Ziff. 3).
Die Beschwerde muss auch hinsichtlich der Prozessvoraussetzungen hinreichend begründet werden (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer muss - wenn das nicht ohne Weiteres ersichtlich ist - insbesondere darlegen, inwiefern die Legitimationsvoraussetzungen gegeben sein sollen (BGE 134 II 120 E. 1 S. 121; 133 II 400 E. 2 S. 404; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin bringt vor, sie sei zur Aufhebung der Einstellungsverfügung berechtigt gewesen, weshalb das Obergericht das Beschwerdeverfahren hätte abschreiben müssen.
Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Beschwerdeführerin durch den angefochtenen Entscheid beschwert sein und ein rechtlich geschütztes Interesse an dessen Aufhebung haben soll. Die Beschwerdeführerin ist auf die Einstellungsverfügung zurückgekommen, weil sie der Ansicht war, das Strafverfahren sei weiterzuführen. Letzteres hat die Vorinstanz mit dem angefochtenen Entscheid angeordnet. Diese hat damit die von der Beschwerdeführerin gewollte Rechtslage geschaffen.
Die Beschwerdeführerin äussert sich nicht dazu, weshalb sie unter diesen Umständen ein rechtlich geschütztes Interesse an der Beschwerdeführung nach Art. 81 Abs. 1 BGG haben soll. Auf die Beschwerde kann schon deshalb nicht eingetreten werden.
1.2 Die Beschwerde wäre auch aus folgendem Grund unzulässig.
Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG. Dagegen ist die Beschwerde gemäss Absatz 1 dieser Bestimmung nur zulässig, wenn er a) einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann, oder b) wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde.
Auch insoweit gelten die Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG. Der Beschwerdeführer muss - wenn das nicht offensichtlich ist - darlegen, weshalb die Eintretensvoraussetzungen gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sein sollen (BGE 137 III 324 E. 1.1 S. 329; 136 IV 92 E. 4 S. 95; je mit Hinweisen).
Diese Voraussetzungen sind hier nicht klar gegeben. Die Beschwerdeführerin hätte sich somit näher dazu äussern müssen. Da sie das nicht tut, genügt die Beschwerde auch insoweit den Anforderungen von Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG nicht (vgl. Urteil 1B_265/2011 vom 22. Juli 2011 E. 1).
2. Auf die Beschwerde kann deshalb nicht eingetreten werden.
Kosten sind keine zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton hat dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Aargau hat dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Februar 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri