Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Nachdem das Verhöramt des Kantons Schwyz eine Strafuntersuchung wegen sexueller Handlungen mit einem Kind mit Verfügung vom 18. Oktober 2007 eingestellt hatte, erhob das Kind, gesetzlich vertreten durch die Mutter, dagegen Beschwerde, welches Rechtsmittel durch die Staatsanwaltschaft des Kantons Schwyz mit Verfügung vom 25. Februar 2008 abgewiesen wurde. Dagegen erhob die auf Anweisung des Regierungsrates vom 22. Januar 2008 durch die zuständige Vormundschaftsbehörde ernannte rechtskundige Prozessbeiständin des Kindes Beschwerde beim Kantonsgericht Schwyz. Dieses wies die Beschwerde mit Beschluss vom 30. Juni 2008 ab.
Die Mutter erhebt in ihrem eigenen Namen und in demjenigen des Kindes mit einer 28 Seiten umfassenden Eingabe Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht. Sie beantragt unter anderem, der Entscheid des Kantonsgerichts vom 30. Juni 2008 sei aufzuheben.
2. Die Sache ist spruchreif, weshalb die eventualiter beantragte Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens nicht in Betracht kommt.
Gegenstand des vorliegenden Verfahrens kann nur der Beschluss des Kantonsgerichts vom 30. Juni 2008 sein. Soweit die Beschwerdeführer beantragen, die Verfügungen der Staatsanwaltschaft vom 25. Februar 2008 und des Verhöramtes vom 18. Oktober 2007 sowie der Beschluss des Regierungsrates vom 22. Januar 2008 seien aufzuheben, ist darauf nicht einzutreten.
Die Beschwerdefrist von Art. 100 Abs. 1 BGG ist eine gesetzliche Frist, die nicht erstreckt werden kann (Art. 47 Abs. 1 BGG). Die beantragte Frist zur Verbesserung der vorliegenden Beschwerde kann deshalb nicht gewährt werden.
Da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, ist der Antrag auf einen zweiten Schriftenwechsel gegenstandslos.
3. Im kantonalen Verfahren war nur das Kind, vertreten durch seine rechtskundige Prozessbeiständin, Partei. Die Mutter war demgegenüber nicht Partei. Auf deren in eigenem Namen eingereichte Beschwerde ist folglich nicht einzutreten.
Zur Vertretung des Kindes als Opfer könnte die Mutter demgegenüber vor Bundesgericht legitimiert sein (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 2; Art. 8 Abs. 1 lit. c OHG). Die Frage kann indessen offen bleiben.
Die Vorinstanz stellt materiell fest, die angeblich neuen Äusserungen des Kindes gingen allein auf Angaben der Mutter zurück, die notorischerweise in einer verhärteten zivilrechtlichen Auseinandersetzung mit dem Angeschuldigten und Kindsvater stehe. Es sei nicht abzusehen, dass dergestalt unsichere Angaben des Kindes an der Einschätzung der bisherigen Unverwertbarkeit der ersten Aussage etwas zu ändern vermöchten. Zudem erwecke auch der Umstand, dass die Mutter den Kontakt der Prozessbeiständin mit dem Kind zumindest lange Zeit unterlaufen habe, keine überzeugenden Erwartungen, das Kind werde nunmehr zu Aussagen mit realen Erlebnisgrundlagen in der Lage sein. Die Vorinstanz kommt zum Schluss, es erscheine mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen, dass sich die Vorwürfe gegenüber dem Angeschuldigten in einer die Anklageerhebung rechtfertigenden Weise erhärten liessen (angefochtener Entscheid S. 2/3 E. 3).
Was der Beschwerdeführer vorbringt (vgl. Beschwerde S. 12 ff.), betrifft teilweise nicht den angefochtenen Entscheid (z.B. Beschwerde S. 13 Ziff. 2.2/b, c und d) oder geht sonst an der Sache vorbei (z.B. Beschwerde S. 14 Ziff. 2.2/g und i). Es erschöpft sich im Übrigen in weitschweifiger und unzulässiger appellatorischer Kritik, aus der sich nicht ergibt, dass die Vorinstanz von einem offensichtlich unrichtigen und damit willkürlichen Sachverhalt im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 9 BV ausgegangen wäre. Inwieweit die Schlussfolgerung der Vorinstanz, auch durch eine neue Einvernahme des Kindes liessen sich die Vorwürfe gegen den Angeschuldigten nicht in einer eine Anklage rechtfertigenden Weise erhärten, gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte, ergibt sich aus der Beschwerde ebenfalls nicht. Insoweit vermag sie den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG nicht zu genügen.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Mit dem Entscheid in der Sache sind die Gesuche um aufschiebende Wirkung und um ein superprovisorisches Verbot gegenstandslos geworden.
4. Die Gerichtskosten sind den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Umfang der Beschwerde und die Art der Prozessführung ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr zu berücksichtigen (vgl. Urteil 6B_487/2008 vom 21. Juli 2008).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, 2. Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn