Erwägungen:
1. Der Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft bestätigte mit Entscheid vom 22. Dezember 2009 eine Verfügung des Amtes für Migration des Kantons Basel-Landschaft vom 21. September 2009, wonach die Aufenthaltsbewilligung von X._, 1975 geborener Staatsangehöriger von Gambia, nicht mehr verlängert werde. Zur Begründung führte der Regierungsrat im Wesentlichen an, nach Auflösung der ehelichen Gemeinschaft mit einer Schweizer Bürgerin, die dreieinhalb Jahre gedauert habe, käme eine Verlängerung der Bewilligung zwar in Betracht, wenn eine erfolgreiche Integration vorliege (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG), woran es indessen fehle; auch wichtige persönliche Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG lägen nicht vor.
Gegen den Entscheid des Regierungsrates führte X._ am 8. Januar 2010 Beschwerde an das Kantonsgericht Basel-Landschaft, welches am 12. Januar 2010 Frist zur Zahlung eines Kostenvorschusses in der Höhe von Fr. 1'600.-- ansetzte. Am 8. Februar 2010 gab das Kantonsgericht dem Antrag von X._ statt, den Kostenvorschuss in monatlichen Raten à Fr. 400.-- zu bezahlen. Dabei wurde festgehalten, dass eine erste Rate bereits bezahlt sei; die weiteren Zahlungen hätten bis 27. Februar 2010, 31. März 2010 und die letzte bis 30. April 2010 zu erfolgen. Die Ansetzung dieser Fristen erfolgte mit der Androhung: "Geraten Sie mit einer Ratenzahlung in Verzug, so geht das Gericht davon aus, dass der Kostenvorschuss nicht innerhalb der vom Gericht gesetzten Nachfrist bezahlt worden ist, und auf Ihre Beschwerde wird nicht eingetreten."
Mit Verfügung vom 9. März 2010 schrieb die Präsidentin des Kantonsgerichts Basel-Landschaft das Verfahren ab, weil die zweite Rate des Kostenvorschusses von Fr. 400.-- nicht innert der angesetzten Nachfrist bezahlt worden sei.
Gegen die Abschreibungsverfügung des Kantonsgerichts hat X._ am 16. April 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Die Akten sind eingeholt worden; von der Möglichkeit zur Vernehmlassung machte nur das Bundesamt für Migration Gebrauch, welches Abweisung der Beschwerde beantragt.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zwar zulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG, e contrario), sie wird aber nicht den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG entsprechend begründet, weshalb darauf im vereinfachten Verfahren durch Entscheid des Einzelrichters (Art. 108 BGG) nicht eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer stellt nicht in Abrede, dass die zweite Rate nicht fristgerecht bezahlt worden ist. Er macht nur geltend, er sei davon ausgegangen, der Gerichtskostenvorschuss von Fr. 1'600.-- müsse bis Ende April 2010 bezahlt worden sein. Das steht indessen im klaren Widerspruch zum Wortlaut der Verfügung vom 8. Februar 2010, mit welcher ihm explizit angedroht worden ist, auf die Beschwerde würde nicht eingetreten, wenn nur eine der ausstehenden drei Raten verspätet geleistet werde. Unbehelflich ist auch der Einwand, die zu spät bezahlte Rate sei am 5. März 2010 zur Zahlung angewiesen worden, so dass der Betrag am 9. März 2010, als der angefochtene Entscheid erging, bereits beim Kantonsgericht eingetroffen sein musste. Es wird nicht dargetan und ist auch nicht ersichtlich, inwiefern der Entscheid des Kantonsgerichts wegen des genannten Umstandes mit schweizerischem Recht (Art. 95 BGG) nicht vereinbar wäre. Nicht massgebend ist des Weiteren, dass dem neu ins Verfahren getretenen Rechtsvertreter des Beschwerdeführers am 12. Februar 2010 Frist zur Einreichung der Beschwerdebegründung bis 15. März 2010 angesetzt worden ist, ohne dass er gleichzeitig auf die parallel laufende Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses aufmerksam gemacht worden wäre. Der Hinweis auf die derogatorische Kraft des Bundesrechts lässt schliesslich ebenso wenig erkennen, inwiefern die vom Kantonsgericht an die verspätet erfolgte Leistung des Kostenvorschusses geknüpfte Rechtsfolge mit Bundes(verfassungs)recht unvereinbar sein sollte.
3. Da auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann, wird der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Zwar hat er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt; dieses ist jedoch infolge Aussichtslosigkeit des Begehrens abzuweisen (Art. 64 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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