Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1969 geborene H._ war vom 1. Juni 2003 bis 30. Juni 2004 als Pflegerin im Pflegeheim X._ angestellt. Mit zwei Verfügungen vom 18. August 2004 stellte das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zürich (nachfolgend: AWA) H._ wegen ungenügender persönlicher Arbeitsbemühungen in den Monaten Mai und Juni 2004 ab 1. Juli 2004 für die Dauer von sieben Tagen und wegen ungenügender persönlicher Arbeitsbemühungen im Monat Juli 2004 ab 1. August 2004 für die Dauer von vier Tagen in der Anspruchsberechtigung ein. Die hiegegen erhobenen Einsprachen wies das AWA mit zwei Entscheiden vom 2. November 2004 ab.
A. Die 1969 geborene H._ war vom 1. Juni 2003 bis 30. Juni 2004 als Pflegerin im Pflegeheim X._ angestellt. Mit zwei Verfügungen vom 18. August 2004 stellte das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zürich (nachfolgend: AWA) H._ wegen ungenügender persönlicher Arbeitsbemühungen in den Monaten Mai und Juni 2004 ab 1. Juli 2004 für die Dauer von sieben Tagen und wegen ungenügender persönlicher Arbeitsbemühungen im Monat Juli 2004 ab 1. August 2004 für die Dauer von vier Tagen in der Anspruchsberechtigung ein. Die hiegegen erhobenen Einsprachen wies das AWA mit zwei Entscheiden vom 2. November 2004 ab.
B. Die gegen diese beiden Entscheide erhobenen Beschwerden wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheiden vom 31. März 2005 (betreffend Arbeitsbemühungen im Monat Juli 2004) und 31. Mai 2005 (betreffend Arbeitsbemühungen in den Monaten Mai und Juni 2004) ab.
B. Die gegen diese beiden Entscheide erhobenen Beschwerden wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheiden vom 31. März 2005 (betreffend Arbeitsbemühungen im Monat Juli 2004) und 31. Mai 2005 (betreffend Arbeitsbemühungen in den Monaten Mai und Juni 2004) ab.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Versicherte die Aufhebung der Einstellungen in der Anspruchsberechtigung; die beiden Verfahren seien zu vereinigen. Ferner ersucht die Versicherte um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für das letztinstanzliche Verfahren.
Sowohl das AWA als auch das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) verzichten auf eine Vernehmlassung.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde richtet sich gegen die vorinstanzlichen Entscheide betreffend ungenügende Arbeitsbemühungen der Versicherten in den Monaten Mai und Juni 2004 einerseits sowie Juli 2004 andererseits. Es rechtfertigt sich, die beiden Verfahren antragsgemäss zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen.
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen ist die Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht auf die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens beschränkt, sondern sie erstreckt sich auch auf die Angemessenheit der angefochtenen Verfügung; das Gericht ist dabei nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden und kann über die Begehren der Parteien zu deren Gunsten oder Ungunsten hinausgehen (Art. 132 OG).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen ist die Überprüfungsbefugnis des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht auf die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens beschränkt, sondern sie erstreckt sich auch auf die Angemessenheit der angefochtenen Verfügung; das Gericht ist dabei nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden und kann über die Begehren der Parteien zu deren Gunsten oder Ungunsten hinausgehen (Art. 132 OG).
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen über die Pflicht zur Stellensuche (Art. 17 Abs. 1 AVIG), die Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen ungenügender persönlicher Arbeitsbemühungen (Art. 30 Abs. 1 lit. c AVIG) und die vom Verschuldensgrad abhängige Dauer der Sanktion (Art. 30 Abs. 3 AVIG in Verbindung mit Art. 45 Abs. 2 AVIV) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die Rechtsprechung, wonach die versicherte Person vor Eintritt der Arbeitslosigkeit ihren Obliegenheiten nachzukommen hat und sich bereits während der Kündigungsfrist um einen neuen Arbeitsplatz bewerben muss (ARV 1993/94 Nr. 26 S. 184 Erw. 2b; vgl. auch ARV 2003 Nr. 10 S. 119 Erw. 1). Richtig wiedergegeben hat die Vorinstanz ferner die Rechtsprechung zur Qualität und Quantität der Arbeitsbemühungen (BGE 124 V 231 Erw. 4a; SVR 2004 ALV Nr. 18 S. 59 [in BGE 130 V 385 nicht publizierte] Erw. 4.1) sowie die Verwaltungspraxis, wonach in der Regel durchschnittlich 10 bis 12 Bewerbungen pro Monat verlangt werden, wobei indes die Umstände des Einzelfalls zu berücksichtigen sind (Urteil E. vom 25. April 2005 Erw. 2.3.1, C 10/05). Darauf wird verwiesen.
2.2 Zu ergänzen ist, dass die versicherte Person auf Grund der Schadenminderungspflicht selbst alles Zumutbare zu unternehmen hat, um Arbeitslosigkeit zu vermeiden oder zu verkürzen. Wie in den übrigen Zweigen der Sozialversicherung hat die versicherte Person auch bei der Arbeitslosenversicherung ihr Möglichstes zur Schadenminderung von sich aus, d.h. ohne besondere Aufforderung durch eine Amtsstelle oder Abgabe eines Merkblattes, vorzukehren (ARV 1980 Nr. 44 S. 109).
Für eine Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen ungenügender persönlicher Arbeitsbemühungen darf durchaus auf eine einzelne Kontrollperiode, d.h. einen einzelnen Kalendermonat abgestellt werden, und es geht rechtsprechungsgemäss nicht an, mit dem Hinweis auf intensivere Anstrengungen in anderen Monaten sich in einer andern Kontrollperiode ungenügend um Arbeit zu bemühen (erwähntes Urteil E. Erw. 2.3.2 mit Hinweis). Vor der Einstellung ist keine Verwarnung auszusprechen (BGE 124 V 233 Erw. 5b; Urteil W. vom 13. April 2005 Erw. 4, C 4/05).
Das seit 1. Januar 2003 geltende Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) mit der zugehörigen Verordnung (ATSV) und die auf den 1. Juli 2003 erfolgte Teilrevision von AVIG und AVIV modifizieren die Rechtslage nicht, weshalb die zu den bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Bestimmungen ergangene Rechtsprechung weiterhin zu berücksichtigen ist (erwähntes Urteil E. Erw. 1.2).
Das seit 1. Januar 2003 geltende Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) mit der zugehörigen Verordnung (ATSV) und die auf den 1. Juli 2003 erfolgte Teilrevision von AVIG und AVIV modifizieren die Rechtslage nicht, weshalb die zu den bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Bestimmungen ergangene Rechtsprechung weiterhin zu berücksichtigen ist (erwähntes Urteil E. Erw. 1.2).
3. Im ersten Einspracheentscheid vom 2. November 2004 stellte das AWA die Beschwerdeführerin ab 1. Juli 2004 für die Dauer von sieben Tagen in der Anspruchsberechtigung ein, weil sie in den zwei Monaten vor Eintritt der Arbeitslosigkeit am 1. Juli 2004 lediglich drei Arbeitsbemühungen nachgewiesen habe.
Auf Grund des Nachweises der persönlichen Arbeitsbemühungen vom 12. August 2004 steht fest, dass sich die Versicherte am 25. Mai 2005 um zwei Stellen als Betagtenbetreuerin beworben hatte. Am 17. Juni 2004 fand das Vorstellungsgespräch für eine dieser Stellen (Pflegezentrum Y._) statt. Hiermit vermag die Versicherte in den Monaten Mai und Juni 2004 nicht die von ihr aus arbeitslosenversicherungsrechtlicher Sicht zu erwartende Anzahl Arbeitsbemühungen zu belegen.
Auf Grund des Nachweises der persönlichen Arbeitsbemühungen vom 12. August 2004 steht fest, dass sich die Versicherte am 25. Mai 2005 um zwei Stellen als Betagtenbetreuerin beworben hatte. Am 17. Juni 2004 fand das Vorstellungsgespräch für eine dieser Stellen (Pflegezentrum Y._) statt. Hiermit vermag die Versicherte in den Monaten Mai und Juni 2004 nicht die von ihr aus arbeitslosenversicherungsrechtlicher Sicht zu erwartende Anzahl Arbeitsbemühungen zu belegen.
4. Die Einwände der Beschwerdeführerin vermögen zu keinem anderen Ergebnis zu führen.
4.1 Unbestritten ist, dass ihr Arbeitsvertrag im Pflegeheim X._ vom 1. Juni 2003 ursprünglich bis 31. Mai 2004 befristet war. Sie bringt letztinstanzlich vor, Ende April/Anfang Mai 2004 habe sie vom bisherigen Chef erfahren, das Pflegeheim werde per Ende Juni 2004 eine Handänderung erfahren. Sämtliche Arbeitsverträge seien auf Ende Juni 2004 befristet worden. Die neuen Pächter hätten Mitte Mai 2004 sämtlichen Angestellten versichert, sie würden weiter beschäftigt. Als sie Anfang Juni 2004 das Zepter übernommen hätten, habe sie mehrmals versucht, auch ab 1. Juli 2005 (recte 2004) einen schriftlichen Arbeitsvertrag zu bekommen. Erst Mitte Juni 2004 habe sie erstmals erfahren, dass nicht alle Arbeitsplätze weitergeführt würden. In der letzten Juni-Woche sei ihr eröffnet worden, dass ihre Arbeitsstelle nicht weitergeführt werde. In den verbleibenden Tagen der Anstellung habe sie noch drei Bewerbungen tätigen können. Damit habe sie ihre Pflicht zur Arbeitssuche erfüllt.
Eine Stelle gilt erst dann als zugesichert, wenn durch ausdrückliche oder stillschweigende übereinstimmende gegenseitige Willensäusserung von Arbeitgeber und Arbeitnehmer (Art. 1 OR) ein Arbeitsvertrag im Sinne von Art. 319 ff. OR tatsächlich zustande gekommen ist (vgl. auch ARV 1992 Nr. 17 S. 153 Erw. 2a; Urteil S. vom 3. Februar 2004 Erw. 4.2.4, C 275/03). Diesbezüglich ist festzuhalten, dass die Beschwerdeführerin in der von ihr selber verfassten Einsprache vom 31. August 2004 vorbrachte, die neuen Pächter hätten bloss "in Aussicht gestellt", alle Mitarbeiter zu übernehmen. Unter diesen Umständen kann nicht davon ausgegangen werden, die neuen Pächter hätten mit ihr Mitte Mai 2004 definitiv die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses ab 1. Juli 2004 vereinbart. Dies wird auch dadurch bekräftigt, dass sich die Versicherte am 25. Mai 2004 um zwei andere Stellen beworben hatte.
Nach dem Gesagten durfte sie sich nach Mitte Mai 2004 nicht darauf verlassen, sie könne ihre Stelle ab 1. Juli 2004 beibehalten. Sie war damit weiterhin verpflichtet, die erforderlichen Arbeitsbemühungen zu tätigen, was sie nicht gemacht hat (Erw. 3 hievor).
Nach dem Gesagten durfte sie sich nach Mitte Mai 2004 nicht darauf verlassen, sie könne ihre Stelle ab 1. Juli 2004 beibehalten. Sie war damit weiterhin verpflichtet, die erforderlichen Arbeitsbemühungen zu tätigen, was sie nicht gemacht hat (Erw. 3 hievor).
4.2 4.2.1 Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, sie habe sich sofort beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) gemeldet. Sie habe die RAV-Sachbearbeiterin Frau S._ gefragt, was sie in den letzten Arbeitstagen und ab Beginn der Arbeitslosigkeit für Pflichten habe. Da im Pflegebereich in den Sommermonaten erfahrungsgemäss kaum Dauerarbeitsverträge abgeschlossen, sondern praktisch nur Aushilfen gesucht würden, habe sie beim RAV ausdrücklich gefragt, ob neben den ordentlichen Bewerbungen und den telefonischen Anfragen für Aushilfen auch Blindbewerbungen nötig seien. Frau S._ habe sie ausdrücklich angewiesen, sämtliche mögliche Bewerbungen für Dauerstellen zu tätigen; sie habe auch möglichst viele telefonische Anfragen für einen Aushilfsjob vorzunehmen. Hingegen habe Frau S._ ausdrücklich bestätigt, sie habe erst nach den Sommerferien Blindbewerbungen zu versenden. Diese Weisungen, auf die sie sich nach Treu und Glauben habe verlassen dürfen, habe sie befolgt.
4.2.2 Auf Grund der Akten meldete sich die Beschwerdeführerin am 15. Juni 2004 beim RAV zur Arbeitsvermittlung an. Am 17. Juni 2004 hatte sie das erste Beratungsgespräch mit Frau S._. Für die bis zu diesem Zeitpunkt ungenügenden Arbeitsbemühungen (lediglich zwei am 25. Mai 2004; Erw. 3 hievor) können mithin allfällige Auskünfte der Frau S._ nicht verantwortlich gemacht werden.
4.2.3 Aber auch für die Zeit ab 17. bis 30. Juni 2004 kann die Versicherte aus den behaupteten Anweisungen der Frau S._ nichts zu ihren Gunsten ableiten. Sie räumt selber ein, Frau S._ habe sie aufgefordert, in erster Linie sämtliche möglichen Bewerbungen für Dauerstellen zu tätigen; telefonische Anfragen für Aushilfsjobs bzw. Blindbewerbungen (ohne entsprechende Stellenausschreibung) seien erst in zweiter Linie vorzunehmen. Diese Anweisung ist nicht zu beanstanden, da von einer arbeitslosen Person verlangt wird, dass sie sich vor allem schriftlich auf konkrete Stellenangebote bewirbt (Urteile M. vom 24. Mai 2000 Erw. 2c, C 185/99, S. vom 11. Juni 1999 Erw. 2d, C 401/98, und S. vom 26. August 1996 Erw. 5b, C 134/96). Die Versicherte vermag lediglich das Vorstellungsgespräch vom 17. Juni 2004 im Pflegezentrum Y._ auf Grund der einen Bewerbung vom 25. Mai 2004 (Erw. 3 hievor) zu belegen. Bewerbungen für Dauerstellen auf neue Inserate hin weist sie keine nach. Unbehelflich ist ihr Vorbringen, in den Sommermonaten würden im Pflegebereich erfahrungsgemäss kaum Dauerarbeitsverträge abgeschlossen. Denn allfällige Schwierigkeiten auf dem Arbeitsmarkt erfordern um so intensivere Bemühungen der versicherten Person; es kommt nicht auf die Erfolgsaussichten, sondern auf die Intensität der Stellensuche an (BGE 124 V 234 Erw. 6). Wenn nötig, ist auch ausserhalb des bisherigen Berufs Arbeit zu suchen (BGE 120 V 76 Erw. 2; Urteil S. vom 16. Februar 2005 Erw. 2, C 6/04). Unter diesen Umständen könnten die Bemühungen der Versicherten in der Zeit vom 17. bis 30. Juni 2004 selbst dann nicht als rechtsgenüglich qualifiziert werden, wenn sie Blindbewerbungen unternommen hätte.
4.3 Die einem leichten Verschulden entsprechende Einstellung von sieben Tagen ist im Rahmen der Ermessenskontrolle nicht zu beanstanden (Art. 132 OG; BGE 126 V 362 Erw. 5d, 123 V 152 Erw. 2, je mit Hinweisen).
4.3 Die einem leichten Verschulden entsprechende Einstellung von sieben Tagen ist im Rahmen der Ermessenskontrolle nicht zu beanstanden (Art. 132 OG; BGE 126 V 362 Erw. 5d, 123 V 152 Erw. 2, je mit Hinweisen).
5. Im zweiten Einspracheentscheid vom 2. November 2004 stellte das AWA die Beschwerdeführerin ab 1. August 2004 für die Dauer von vier Tagen in der Anspruchsberechtigung ein, weil sie für die Kontrollperiode Juli 2004 lediglich vier aktenkundige Bewerbungen getätigt habe.
5.1 Die Versicherte wendet - wie bereits im Einspracheverfahren - ein, sie habe am 12. August 2004 zwei Blätter betreffend ihre Arbeitsbemühungen im Juli 2004 abgegeben. Auf dem ersten seien vier konkrete Bewerbungen für Dauerstellen und auf dem zweiten noch 39 telefonische Anfragen für einen Aushilfsjob aufgelistet gewesen. Aus den Akten sei ersichtlich, dass das RAV nur das erste Blatt weitergeleitet habe. Es müsse angenommen werden, dass Frau S._ das zweite Blatt mit den 39 telefonischen Anfragen beseitigt habe, um ihr Handeln gegenüber den Vorgesetzten zu rechtfertigen.
5.2 Aus dem bei den Akten liegenden Formular über den Nachweis der persönlichen Arbeitsbemühungen vom 12. August 2004 geht hervor, dass die Versicherte im Monat Juli 2004 lediglich eine telefonische und zwei schriftliche Bewerbungen für Dauerstellen als Betreuerin aufweist. Am 1. und 2. Juli 2004 hat sie noch im Pflegezentrum Y._ Schnuppertage absolviert, wobei aber zu beachten ist, dass sie sich für diese Stelle bereits am 25. Mai 2004 beworben hatte (Erw. 3 hievor). Bemühungen um inserierte Dauerstellen ausserhalb ihres bisherigen Berufs hat sie nicht nachgewiesen (vgl. auch Erw. 4.2.3 hievor). Dieses Vorgehen im Juli 2004 ist in qualitativer und quantitativer Hinsicht ungenügend. Die behaupteten 39 telefonischen Anfragen sind unglaubwürdig, zumal die Beschwerdeführerin diese noch in ihrem Schreiben vom 12. August 2004 nicht erwähnt hatte. Zudem macht die Beschwerdeführerin nicht geltend, bei wem diese angeblichen Anfragen erfolgt sein sollen. Die blosse Behauptung dieser Anfragen kann nicht als rechtsgenüglicher Nachweis dienen.
5.3 Dem Fehlverhalten der Beschwerdeführerin im Juli 2004 ist mit einer Einstellung von vier Tagen, somit im unteren Bereich des leichten Verschuldens, angemessen Rechnung getragen worden. Es besteht kein Anlass für eine abweichende Ermessensausübung (vgl. Erw. 4.3 hievor).
5.3 Dem Fehlverhalten der Beschwerdeführerin im Juli 2004 ist mit einer Einstellung von vier Tagen, somit im unteren Bereich des leichten Verschuldens, angemessen Rechnung getragen worden. Es besteht kein Anlass für eine abweichende Ermessensausübung (vgl. Erw. 4.3 hievor).
6. Was die Vorwürfe der Beschwerdeführerin gegen die RAV-Beraterin Frau S._ betrifft - diese habe sie buchstäblich fertig gemacht und das von ihr abgegebene Blatt mit den telefonischen Aushilfsjob-Anfragen für Juli 2004 beseitigt -, ist festzustellen, dass dies nicht Gegenstand des sozialversicherungsrechtlichen Beschwerdeverfahrens sein kann. Vielmehr wäre dies im Rahmen einer Aufsichtsbeschwerde geltend zu machen (vgl. Urteil I. vom 6. August 2003 Erw. 2, C 134/03).
6. Was die Vorwürfe der Beschwerdeführerin gegen die RAV-Beraterin Frau S._ betrifft - diese habe sie buchstäblich fertig gemacht und das von ihr abgegebene Blatt mit den telefonischen Aushilfsjob-Anfragen für Juli 2004 beseitigt -, ist festzustellen, dass dies nicht Gegenstand des sozialversicherungsrechtlichen Beschwerdeverfahrens sein kann. Vielmehr wäre dies im Rahmen einer Aufsichtsbeschwerde geltend zu machen (vgl. Urteil I. vom 6. August 2003 Erw. 2, C 134/03).
7. Da es im vorliegenden Verfahren um Versicherungsleistungen geht, sind gemäss Art. 134 OG keine Gerichtskosten zu erheben. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten erweist sich daher als gegenstandslos.
Im letztinstanzlichen Verfahren bleibt die unentgeltliche Verbeiständung patentierten Rechtsanwälten vorbehalten (Art. 152 Abs. 2 OG; nicht publizierte Erw. 4 des Urteils BGE 122 II 154 ff.; Poudret, Commentaire de l'OJ, Bd. V, S. 126, N 7 zu Art. 152; Urteil K. vom 17. Januar 2002 Erw. 3, I 47/01), weshalb der Ehemann der Versicherten nicht als Rechtsbeistand von der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Unia Arbeitslosenkasse, Zürich, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 29. September 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: