Fatti:
A. C.B._, cittadino italiano con ultimo domicilio nel Cantone Ticino, è deceduto a Milano il 14 settembre 2007, lasciando tre figli di primo letto e la vedova di seconde nozze B.B._. Il 19 ottobre 2007 è stato pubblicato davanti alla Pretura di Lugano il testamento olografo datato 21 febbraio 1997 nel quale il defunto aveva designato eredi i tre figli in parti uguali.
B. Con precetto esecutivo civile del 13 marzo 2008 B.B._ ha intimato alla A._ SA di consegnarle entro 10 giorni la documentazione completa concernente uno specificato conto bancario e qualsiasi altra relazione diretta intestata o cointestata in qualunque forma al defunto, nonché di informarla sull'esistenza di qualsiasi altra relazione indiretta di rapporti fiduciari, società anonime, fondazioni e Anstalt del Liechtenstein, trust anglosassoni e altre entità giuridiche in Svizzera o all'estero delle quali il defunto fosse stato avente diritto economico, di darle se del caso tutte le informazioni necessarie per identificare e raggiungere le persone che gestiscono tali relazioni e di consegnarle anche a questo proposito la documentazione completa. La banca si è opposta al precetto esecutivo civile.
C. Statuendo il 5 giugno 2008 il Pretore del distretto di Lugano ha respinto l'opposizione limitatamente alle informazioni concernenti lo specificato conto e altre relazioni bancarie, ma solo nella misura in cui fossero intestate o cointestate al defunto; per il resto ha mantenuto l'opposizione.
D. Entrambe le parti si sono aggravate contro il giudizio del Pretore: B.B._ per ottenere la reiezione integrale dell'opposizione al precetto esecutivo; A._ SA auspicando la conferma della propria opposizione. Con sentenza del 26 giugno 2009 la II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto le due appellazioni.
E. In accoglimento di un ricorso in materia civile inoltrato da B.B._, la I Camera di diritto civile del Tribunale federale ha, con sentenza 26 luglio 2010, annullato la pronunzia di appello e ha rinviato la causa all'autorità cantonale per nuova decisione nel senso dei considerandi. Il Tribunale federale ha confermato il giudizio cantonale secondo cui la vedova, prevalendosi della sua qualità di erede, non può pretendere di subentrare nel diritto contrattuale - di cui nemmeno il defunto marito fruiva - di essere informata su eventuali relazioni indirette presso la banca. Per quanto attiene invece alla possibilità di ottenere le desiderate informazioni sulla base del diritto successorio, dopo aver stabilito che il diritto applicabile alla successione sarebbe quello italiano, questa Corte ha rilevato di non disporre delle constatazioni concernenti la volontà espressa dal defunto con riferimento alla professo iuris in favore del diritto svizzero invocata dalla banca. Per questo motivo ha ritornato la causa all'autorità inferiore per completazione degli accertamenti e nuova decisione in applicazione del diritto che regge la controversia.
F. Con sentenza del 31 maggio 2011 la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha parzialmente accolto l'appello di B.B._ e ha rigettato l'opposizione per un'ulteriore serie di specificati documenti, ordinando alla A._ SA di consegnarli entro 30 giorni alla procedente. La Corte di appello ha accertato la volontà del testatore di sottoporre la successione al diritto svizzero e ha reputato che il termine di prescrizione relativo di un anno previsto dall'art. 533 cpv. 1 CC per l'inoltro di un'eventuale azione di riduzione non abbia ancora iniziato a decorrere, perché lo scopo della procedura incoata dalla vedova è appunto quello di ottenere informazioni per determinare se vi è una lesione della sua porzione legittima. Dopo aver indicato, con riferimento al diritto di informazione sgorgante dal diritto successorio, che alla fattispecie va applicato per analogia l'art. 170 CC, ha verificato quali eventuali averi presso la banca intestati a terzi (fiduciario, società anonima, Anstalt del Liechtenstein, ecc.) siano suscettibili di entrare nell'asse successorio.
G. Con ricorso in materia civile del 9 agosto 2011 la A._ SA postula, previo conferimento dell'effetto sospensivo al gravame, la riforma della sentenza di appello nel senso che l'opposizione da lei interposta al precetto esecutivo fatto spiccare da B.B._ sia mantenuta - come deciso dal Pretore - per le relazioni bancarie indirette intestate a terzi e con beneficiario economico il de cuius. La ricorrente ritiene che la Corte cantonale, introducendo l'aspetto del diritto di informazione successorio, abbia statuito "extra-petizione", perché la vedova avrebbe fondato la sua domanda esclusivamente sull'art. 400 CO. Contesta poi che il diritto di informazione possa basarsi su un'applicazione analogica dell'art. 170 CC e afferma che in ogni caso, essendo l'azione di riduzione perenta in virtù dell'art. 533 cpv. 1 CC, non sussiste più alcun diritto di rendiconto basato sul diritto successorio.
La Presidente della Corte adita ha conferito effetto sospensivo al ricorso con decreto dell'8 settembre 2011.
B.B._ propone la reiezione del ricorso con risposta 13 settembre 2011. Nega segnatamente che la Corte cantonale abbia statuito extra-petizione e afferma che, vista la riserva contenuta nell'art. 46 cpv. 2 della legge italiana sul diritto internazionale privato in favore degli eredi legittimari residenti in Italia, l'azione di riduzione soggiacerebbe al termine di prescrizione di 10 anni previsto dalla legislazione di tale paese.
La ricorrente ha inoltrato spontaneamente una replica il 7 ottobre 2011 a cui l'opponente, sempre spontaneamente, ha duplicato il 26 ottobre 2011.
Diritto:
1. Nella sentenza 4A_421/2009 del 26 luglio 2010, emanata fra le medesime parti e con cui la causa è stata rinviata alla Corte cantonale per nuova decisione, il Tribunale federale si è già espresso sull'ammissibilità del ricorso in materia civile interposto nell'ambito di un'azione di rendiconto ai sensi dell'art. 488a CPC/TI (consid. 1.1, non pubblicato nella DTF 136 III 461). Tali considerazioni, a cui può essere rinviato, rimangono valide anche nella fattispecie, nonostante l'entrata in vigore il 1° gennaio 2011 del Codice di diritto processuale civile svizzero (CPC). L'impugnativa, consegnata alla posta il 10 agosto 2011 e diretta contro una sentenza ricevuta dalla ricorrente il 20 giugno 2011, è tempestiva (art. 100 cpv. 1 LTF combinato con l'art. 46 cpv. 1 lett. b LTF).
2. Contrariamente all'abrogata legge sull'organizzazione giudiziaria (art. 66 cpv. 1 OG), la LTF non contiene alcuna norma che prevede espressamente che i Tribunali cantonali e lo stesso Tribunale federale siano vincolati dalla decisione di rinvio. Ciò perché l'effetto vincolante è stato ritenuto ovvio dal legislatore. Non vi è pertanto motivo di derogare alla giurisprudenza sviluppata in applicazione del previgente art. 66 cpv. 1 OG (DTF 135 III 334 consid. 2.1).
3. Trattandosi nella fattispecie di una causa attinente alla successione di un cittadino italiano morto con un ultimo domicilio in Svizzera, il Tribunale federale ha stabilito - nella decisione di rinvio del 26 luglio 2010 (DTF 136 III 461) - che l'art. 17 cpv. 3 del Trattato di domicilio e consolare tra la Svizzera e l'Italia del 22 luglio 1868 (RS 0.142.114.541) ne disciplina il diritto applicabile (consid. 5.2). Questo Tribunale ha tuttavia indicato che tale norma non esclude la possibilità di sottoporre la successione a un diritto diverso da quello (il diritto italiano; consid. 5.4) a cui la predetta norma rinvia in concreto. Esso ha quindi ritenuto che pure una professio iuris in favore del diritto dello Stato di residenza, come quella di cui si prevale la qui ricorrente, è possibile nel campo di applicazione della menzionata Convenzione (consid. 6.1). Ha conseguentemente ritornato la causa all'autorità inferiore per completazione degli accertamenti di fatto concernenti la volontà espressa dal defunto con riferimento all'invocata professio iuris e nuovo giudizio in applicazione del diritto svizzero o italiano, dopo aver determinato quale dei due regge la controversia (consid. 6.2).
3.1 La Corte cantonale ha ritenuto che il testamento non lascia spazio a dubbi sulla volontà del testatore, che ha chiaramente optato in favore del diritto svizzero. Tale accertamento non è contestato né dalla ricorrente né dall'opponente ed è quindi vincolante per il Tribunale federale, che lo pone a fondamento della sua sentenza (art. 105 cpv. 1 LTF).
3.2 I Giudici cantonali hanno poi reputato che nella citata sentenza il Tribunale federale abbia indicato "la strada del rinvio", motivo per cui alla fattispecie non sarebbe esclusivamente applicabile il diritto svizzero a cui il de cuius ha sottoposto la propria successione, ma pure, in virtù della normativa italiana in materia di diritto internazionale privato (art. 46 cpv. 2 della legge n. 218 del 31 maggio 1995), il diritto italiano, qualora il diritto scelto dal testatore dovesse pregiudicare i diritti che la legge italiana attribuisce ai legittimari residenti in Italia al momento della morte della persona della cui successione si tratta.
Ora, l'appena menzionata argomentazione del giudizio impugnato discende da un'interpretazione errata della sentenza di questo Tribunale, il quale non ha affatto rinviato al diritto italiano e alla legge sul diritto internazionale privato di tale Stato. Questa Corte ha invece indicato che, nell'ambito del Trattato applicabile nella fattispecie, un cittadino italiano con ultimo domicilio in Svizzera può sottoporre la sua successione al diritto di questo paese (sopra, consid. 3), ciò che in base agli incontestati accertamenti della sentenza di appello è stato fatto dal de cuius (sopra, consid. 3.1). Ne segue che la controversia è retta esclusivamente dal diritto svizzero. Giova del resto rilevare che, vista la similitudine fra i due ordinamenti giuridici, che conoscono entrambi il diritto alla legittima per coniuge e figli, non sussiste alcun motivo che giustifichi l'adozione da parte del giudice svizzero, nell'ambito dell'applicazione del menzionato Trattato, di una norma italiana che pare essere in primo luogo intesa a proteggere gli eredi legittimari da un'eventuale diseredazione, operata sottoponendo la successione al diritto di un paese che consente di disporre senza alcun limite del proprio patrimonio (cfr. TITO BALLARINO, Diritto internazionale privato, 2a ed. 1996, pag. 507 seg.).
4. Nella fattispecie è pacifico che nel testamento olografo del 21 febbraio 1997, pubblicato innanzi alla Pretura di Lugano il 19 ottobre 2007, il de cuius ha designato suoi eredi in parti uguali i tre figli. L'opponente soggiunge tuttavia che non vi sarebbe certezza sull'inesistenza di ulteriori successive disposizioni di ultima volontà e che non sarebbe nemmeno esatto affermare, come fatto dalla ricorrente, che ella sarebbe stata "sottaciuta nel testamento", atteso che quest'ultimo è stato redatto diversi anni prima del suo matrimonio con il defunto.
Con riferimento alla prima obiezione, occorre osservare che spetta a colui che si prevale di un diritto d'informazione basato sul diritto successorio allegare la sua qualità di erede e che a tal fine non basta semplicemente evocare la possibile esistenza di non meglio precisate disposizioni a causa di morte in proprio favore. Pure irrilevante è il fatto che il matrimonio sarebbe posteriore alla redazione del testamento. L'art. 516 CC recita infatti che, se dopo la disposizione di ultima volontà sorge per il disponente una causa che ne limita la facoltà di disporre, la disposizione non è annullata, ma rimane soggetta all'azione di riduzione.
5. Un erede legittimario escluso dalla successione in virtù di un testamento che non lo menziona, ma in cui il testatore designa suoi eredi altre persone, è unicamente un erede virtuale fintanto che, dopo aver attaccato con un'azione di riduzione la disposizione di ultima volontà, non ottiene la sua legittima; se omette di introdurre l'azione nel termine di perenzione dell'art. 533 CC, egli perde definitivamente la sua qualità di erede (v. da ultimo FORNI/PIATTI, Commento basilese, Zivilgesetzbuch II, 4a ed. 2011, n. 2 a prima degli art. 522-533 CC, con rinvii). La sentenza che pronuncia la riduzione ha infatti carattere costitutivo (DTF 115 II 211 consid. 4; sentenza 5C.81/2003 del 21 gennaio 2004 consid. 5.2). Ne segue che nella fattispecie in esame, contrariamente a quanto pare ritenere l'opponente, il fatto di essere la vedova del defunto non dimostra ancora la sua qualità di erede, ma occorre verificare, ritenuto come non viene nemmeno preteso che sia già stata introdotta un'azione di riduzione, se questa può ancora essere validamente incoata o se invece la stessa sia perenta, come affermato dalla ricorrente.
5.1 In concreto, contrariamente a quanto sostiene l'opponente nella sua risposta e ricordata la professio iuris contenuta nel testamento, il termine entro il quale può essere inoltrata un'azione di riduzione viene determinato esclusivamente in base al diritto svizzero e un eventuale termine più lungo previsto dal diritto italiano è irrilevante.
5.2 Giusta l'art. 533 cpv. 1 CC la predetta azione si prescrive col decorso di un anno dal momento in cui gli eredi hanno avuto conoscenza della lesione dei loro diritti. Il testo legale è impreciso, poiché non si tratta di un termine di prescrizione, ma di perenzione (DTF 128 III 318 consid. 2.1; 121 III 249 consid. 2 con rinvii). Questo termine (relativo) inizia a decorrere quando la persona lesa nella propria legittima conosce gli elementi di fatto che lasciano confidare nell'esito favorevole di un'eventuale azione di riduzione (DTF 121 III 249 consid. 2a). A tal fine è necessaria, se l'interessato non è stato completamente escluso dalla successione, una conoscenza approssimativa dell'ammontare dell'eredità (DTF 121 III 249 consid. 2b). L'erede totalmente estromesso da una successione apprende invece la lesione della sua porzione legittima già dalla relativa disposizione di ultima volontà.
Nella fattispecie l'opponente ha saputo della violazione della propria legittima con la comunicazione del contenuto del menzionato testamento olografo, che la esclude dalla successione. Ne segue che, contrariamente a quanto ritenuto dalla Corte cantonale, per determinare se i suoi diritti successori fossero lesi, la vedova non necessitava delle informazioni richieste con l'azione di rendiconto. Atteso che già il precetto esecutivo civile del 13 marzo 2008 con cui è iniziata la presente causa menzionava il testamento con il suo contenuto, l'azione di riduzione era ampiamente perenta quando la Corte cantonale ha emanato la decisione impugnata. Così stando le cose, l'opponente ha perso la sua qualità di erede e di conseguenza il diritto di ottenere informazioni in base al diritto successorio.
6. Atteso che il ricorso deve già essere accolto per il predetto motivo, non occorre esaminare le rimanenti censure ricorsuali. La sentenza impugnata va pertanto annullata e riformata nel senso che l'opposizione interposta dalla ricorrente è mantenuta nei limiti già fissati nel giudizio pretorile. Rimane pertanto immutata, perché già cresciuta in giudicato, la reiezione dell'opposizione pronunciata dal giudice di prime cure con il relativo ordine di consegna dei seguenti documenti (estratto dalla sentenza del Pretore):
"Conto xxx, ma solo se intestato o cointestato al fu C.B._ (22-8-1931)
Tutta la documentazione completa di apertura del conto (comprese eventuali procure rilasciate sia personali che di amministrazione del patrimonio).
Tutti gli estratti patrimoniali, estratti conto mensili, giustificativi dei movimenti compiuti in entrata ed in uscita (avvisi di addebito e accredito) per qualsiasi titolo o causa su detti conti con l'indicazione dei mittenti e/o beneficiari ed i relativi ordini di pagamento e/o di prelievo.
Il tutto dalla data di apertura sino ad oggi.
Altre relazioni bancarie intestate o cointestate al fu C.B._ (22-8-1931)
Elenco di tutte le relazioni intestate o cointestate sotto qualsiasi forma, denominazione o cifra, ivi comprese ev. cassette di sicurezza, al fu C.B._, 22.8.1931, cittadino italiano, già domiciliato a X._, deceduto a Milano il 14.9.2007, esistenti presso la A._ SA, in particolare su tutto il territorio svizzero e succursali estere;
In caso di estinzione di dette relazioni, i documenti attestanti la relativa data, nonché i giustificativi bancari di pagamento rispettivamente di bonifico dei relativi importi in conto fino all'estinzione.
Documentazione completa di apertura delle relazioni (conti, deposito titoli e ogni altro connesso), eventualmente di estinzione, estratti patrimoniali, estratti conto mensili, giustificativi dei movimenti compiuti in entrata ed uscita (avvisi di addebito e accredito) ed i relativi ordini scritti di pagamento e/o di prelievo. Il tutto dalla data di apertura sino ad oggi."
Le spese processuali e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è accolto e la sentenza impugnata è annullata e riformata nel senso che l'appello 16 giugno 2008 di B.B._ è respinto nella misura in cui è ricevibile.
2. La causa è rinviata alla II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino per nuova fissazione delle spese processuali e delle ripetibili della procedura cantonale.
3. Le spese giudiziarie di fr. 10'000.-- sono poste a carico dell'opponente, che rifonderà alla ricorrente fr. 12'000.-- a titolo di ripetibili per la sede federale.
4. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.