Sachverhalt:
A. A.a Die 1958 geborene schweizerisch-liechtensteinische Doppelbürgerin G._ war in den Jahren 2001 und 2002 jeweils befristet mit einem Teilpensum in der Gemeinde A._ (FL) als Aushilfe angestellt. Vom 2. April 2002 bis September 2002 bezog sie im Fürstentum Liechtenstein Arbeitslosenentschädigung. Alsdann war sie vom 1. Oktober 2002 bis zur sofortigen Freistellung Ende April 2003 als Grenzgängerin in der X._ AG in C._ (CH) tätig. Daraufhin meldete sie sich beim Amt für Volkswirtschaft des Fürstentums Liechtenstein zum Leistungsbezug an, welches ihr vom 2. Juni 2003 bis zur Ausschöpfung des Anspruchs am 16. Januar 2004 Arbeitslosentaggelder ausrichtete.
A.b Am 10. Februar 2004 meldete sich G._ beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) Z._ (CH) zur Arbeitsvermittlung an und beantragte Arbeitslosenentschädigung. Sie gab an, seit 1. Februar 2004 an einzelnen Tagen in der V._ AG mit Kundendienstsitz in M._ (CH) als kaufmännische Angestellte zu arbeiten, suche jedoch eine Vollzeitstelle. Ab 1. März 2004 bezog sie vom Amt für Soziale Dienste des Fürstentums Liechtenstein wirtschaftliche Sozialhilfe. Sodann meldete sie sich am 2. April 2004 rückwirkend ab 1. Februar 2004 in der Gemeinde C._ an, ohne sich jedoch im Fürstentum Liechtenstein abzumelden. Mit Verfügung vom 9. Dezember 2004 verneinte die Kantonale Arbeitslosenkasse St. Gallen den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 10. Februar 2004 mit der Begründung, die Versicherte habe ihren Lebensmittelpunkt im Fürstentum Liechtenstein, weshalb die Voraussetzungen für einen Leistungsanspruch in der Schweiz nicht erfüllt seien. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 14. Januar 2005 fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 17. Juni 2005 gut, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung der Anspruchsvoraussetzungen an die Kantonale Arbeitslosenkasse zurück.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Arbeitslosenkasse Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids mit der Feststellung, dass ab 10. Februar 2004 kein Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung gegeben sei.
G._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das vom Eidgenössischen Versicherungsgericht zur Vernehmlassung aufgeforderte Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) äussert sich in zustimmendem Sinne zum Rechtsmittel.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Im vorinstanzlichen Entscheid wird richtig festgehalten, dass am 1. Juni 2002 das Abkommen vom 21. Juni 2001 zur Änderung des Übereinkommens vom 4. Januar 1960 zur Errichtung der Europäischen Freihandelsassoziation (SR 0.632.31; im Folgenden: EFTA-Übereinkommen) in Kraft getreten ist. Nach dessen Art. 21 regeln die Mitgliedstaaten die Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit gemäss Anlage 2 zu Anhang K und durch das Protokoll zu Anhang K über die Freizügigkeit zwischen Liechtenstein und der Schweiz. Anlage 2 zu Anhang K trägt den Titel "Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit". Dort werden die Verordnungen (EWG) Nr. 1408/71 und (EWG) Nr. 574/72 als anwendbar erklärt (Art. 1 Abs. 1 Anlage 2 zu Anhang K des EFTA-Übereinkommens). Der am 1. Juni 2002 in Kraft getretene Art. 121 AVIG verweist in lit. b auf das EFTA-Übereinkommen und die erwähnten Koordinierungsverordnungen.
1.2 Die Kollisionsnormen der Verordnung Nr. 1408/71 bestimmen, welche nationale Rechtsordnung anzuwenden ist. Unter Vorbehalt der gemeinschaftsrechtlichen Vorgaben ist es Sache des innerstaatlichen Rechts, festzulegen, unter welchen Voraussetzungen Leistungen gewährt werden (vgl. BGE 131 V 214 Erw. 5.3; SVR 2006 AlV Nr. 24 S. 82, C 290/03).
1.3 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen der Verordnung Nr. 1408/71 über die bei Arbeitslosigkeit grundsätzlich zuständige Rechtsordnung des letzten Beschäftigungsstaates (Art. 13 Abs. 2 lit. a) und die Sonderregeln für Arbeitslose mit Wohnsitz ausserhalb des Beschäftigungsstaates (Art. 71), insbesondere für Grenzgänger (vgl. Art. 1 lit. b; Art. 71 Abs. 1 lit. a) bei Kurzarbeit oder sonstigem vorübergehendem Arbeitsausfall in dem Unternehmen, das sie beschäftigt (Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. i) und bei Vollarbeitslosigkeit (Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. ii) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen. Zutreffend ist auch, dass die darin enthaltenen Kriterien gemeinschaftsrechtlich auszulegen sind (Eberhard Eichenhofer, in: Maximilian Fuchs [Hrsg.], Kommentar zum Europäischen Sozialrecht, 4. Aufl., Baden-Baden 2005, N 4 zu Art. 71 der Verordnung Nr. 1408/71; Urteil des EuGH vom 15. März 2001 in der Rechtssache C-444/98, de Laat, Slg. 2001, I-2229).
1.4 Im Rahmen des die Zuständigkeit für den Fall regelnden Art. 71 Abs. 1 der Verordnung Nr. 1408/71, dass während der letzten Erwerbstätigkeit Beschäftigungs- und Wohnortstaat verschieden sind, ist zwischen so genannten echten und unechten Grenzgängern zu unterscheiden. Nach Art. 1 lit. b der Verordnung Nr. 1408/71 sind (echte) Grenzgänger Personen, die ihre Berufstätigkeit im Gebiet eines Mitglied- oder Abkommensstaates ausüben und im Gebiet eines andern Mitglied- oder Abkommensstaates wohnen, in das sie in der Regel täglich, mindestens aber einmal wöchentlich zurückkehren. Sie fallen unter Art. 71 Abs. 1 lit. a der Verordnung Nr. 1408/71. Die in Art. 71 Abs. 1 lit. b der Verordnung Nr. 1408/71 normierten "nicht Grenzgänger" ("unechte Grenzgänger") sind demgegenüber Personen, deren Wohn- und Beschäftigungsort zwar ebenfalls in zwei verschiedenen Staaten liegen, die aber nicht mindestens einmal wöchentlich an ihren Wohnort zurückkehren. Dazu zählen beispielsweise Saisonarbeitnehmende, Arbeitnehmende im internationalen Verkehrswesen, Arbeitnehmende, die ihre Tätigkeit gewöhnlich im Gebiet mehrerer Mitgliedstaaten ausüben und Arbeitnehmende, die in einem Grenzbetrieb beschäftigt sind (vgl. Beschluss Nr. 160 vom 28. November 1995 der Verwaltungskommission der Europäischen Gemeinschaften für die Soziale Sicherheit der Wanderarbeitnehmer zur Auslegung des Art. 71 Abs. 1 lit. b Ziff. ii der Verordnung Nr. 1408/71, im Amtsblatt Nr. L 49 vom 28. Februar 1996, S. 31-33; vgl. auch Kreisschreiben des seco über die Auswirkungen des Abkommens über den freien Personenverkehr sowie des geänderten EFTA-Abkommens auf die Arbeitslosenversicherung [KS-ALE-FPV], B 46; Patricia Usinger-Egger, Die soziale Sicherheit der Arbeitslosen in der Verordnung [EWG] Nr. 1408/71 und in den bilateralen Abkommen zwischen der Schweiz und ihren Nachbarstaaten, Diss. Freiburg [Schweiz] 2000, S. 85 ff.; Edgar Imhof, Eine Anleitung zum Gebrauch des Personenfreizügigkeitsabkommens und der VO 1408/71, in: Hans-Jakob Mosimann [Hrsg.], Aktuelles im Sozialversicherungsrecht, Zürich 2001, S. 57; vgl. zudem BGE 131 V 228 Erw. 6.2).
2. 2.1 Die Voraussetzungen des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung sind in Art. 8 AVIG aufgezählt. Danach muss die versicherte Person unter anderem in der Schweiz wohnen (Art. 8 Abs. 1 lit. c AVIG) und die Beitragszeit erfüllen (Art. 8 Abs. 1 lit. e AVIG). Nach Art. 13 Abs. 1 AVIG erfüllt die Beitragszeit, wer innerhalb der dafür vorgesehenen Rahmenfrist (Art. 9 Abs. 3 AVIG) während mindestens zwölf Monaten eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt hat. Diese Bestimmung bezieht sich auf die Beitragspflicht und setzt daher eine beitragspflichtige Beschäftigung in der Schweiz voraus (BGE 128 V 186 Erw. 3b).
2.2 Im Zeitpunkt, als sich die Beschwerdegegnerin am 10. Februar 2004 bei der Arbeitslosenversicherung meldete, konnte sie für die zwei Jahre davor beginnende Rahmenfrist (vgl. Art. 9 Abs. 3 AVIG) keine mindestens zwölfmonatige beitragspflichtige Beschäftigung in der Schweiz ausweisen. Die Anstellung in der X._ in C._ dauerte vom 1. Oktober 2002 bis zur Freistellung Ende April 2003, allenfalls bis Ende Mai 2003. Anschliessend nahm sie erst am 1. Februar 2004 wieder eine Erwerbstätigkeit in der Schweiz auf. Weitere Beschäftigungszeiten in der Schweiz sind - entgegen dem, was die Vorinstanz anzunehmen scheint - aufgrund der Akten nicht ausgewiesen.
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat erwogen, Art. 8 Abs. 1 lit. c AVIG sei staatsvertragskonform auszulegen. Dabei genüge es, dass sich die versicherte Person regelmässig in der Schweiz aufhalte, sich den hiesigen Kontrollvorschriften unterziehe und sich dem schweizerischen Arbeitsmarkt zur Verfügung stelle. Die strittige Frage, ob die Beschwerdegegnerin ihren Lebensmittelpunkt im Februar 2004 effektiv vom Fürstentum Liechtenstein in die Schweiz verlegt hat, kann nach Auffassung der Vorinstanz offen bleiben. Als vollarbeitslose Grenzgängerin im Sinne von Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. ii der Verordnung Nr. 1408/71 habe sie ein Wahlrecht zwischen Leistungen des Wohnstaates und solchen des Beschäftigungsstaates. Indem sie sich am 10. Februar 2004 beim RAV Z._ zur Arbeitsvermittlung angemeldet habe, habe sie sich im Sinne von Fussnote 1 zu Ziffer 1 in Abschnitt A zu Art. 3 zu Anlage 2 zu Anhang K des EFTA-Übereinkommens dem schweizerischen Arbeitsmarkt zur Verfügung gestellt. Zudem habe sie in der Schweiz eine Teilzeitstelle gefunden. Sodann bestünden gewichtige Anhaltspunkte dafür, dass sie als gebürtige Schweizerin in diesem Land persönliche und berufliche Bindungen aufrechterhalte und hier somit über die besten Voraussetzungen für eine berufliche Wiedereingliederung verfüge. Da das Gemeinschaftsrecht eine Diskriminierung von Wanderarbeitnehmenden verhindern und das Recht auf Freizügigkeit im europäischen Raum fördern wolle, erscheine es nicht stossend, wenn die Beschwerdegegnerin unabhängig vom Wohnsitz in der Schweiz Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung geltend machen könne. Die Vorinstanz wies die Sache daher zur Prüfung der weiteren Anspruchsvoraussetzungen an die Verwaltung zurück.
3.2 Die Beschwerde führende Arbeitslosenkasse stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, der Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung sei zu verneinen, weil die Beschwerdegegnerin ihren Wohnsitz nicht in der Schweiz, sondern im Fürstentum Liechtenstein habe und damit die Anspruchsvoraussetzung von Art. 8 Abs. 1 lit. c AVIG nicht erfülle.
Das seco bezweifelt ebenfalls, dass die Beschwerdegegnerin in der Schweiz wohnt. Sie habe hier erst einen zusätzlichen Wohnort geltend gemacht, nachdem die Ansprüche auf Arbeitslosenentschädigung im Fürstentum Liechtenstein erschöpft gewesen seien. Unter diesen Umständen könne sie nicht als unechte Grenzgängerin betrachtet werden. Echte Grenzgänger im Sinne von Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. ii der Verordnung Nr. 1408/71 hätten kein Wahlrecht und müssten ihren Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung im Wohnstaat geltend machen.
4. 4.1 Das "Wohnen" in der Schweiz im Sinne von Art. 8 Abs. 1 lit. c AVIG ist nicht im Sinne des zivilrechtlichen Wohnsitzes (vgl. etwa Art. 13 Abs. 1 ATSG, in Kraft seit 1. Januar 2003) zu verstehen, sondern setzt den gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz voraus; verlangt werden der tatsächliche Aufenthalt in der Schweiz und die Absicht, diesen Aufenthalt während einer gewissen Zeit aufrechtzuerhalten und hier in dieser Zeit auch den Schwerpunkt der Lebensbeziehungen zu haben (BGE 125 V 466 Erw. 2a, 115 V 448; SVR 2006 AlV Nr. 24 S. 82 mit Hinweisen; vgl. zum gewöhnlichen Aufenthalt Art. 13 Abs. 2 ATSG, in Kraft seit 1. Januar 2003). Eine analoge Heranziehung des in Art. 24 Abs. 1 ZGB statuierten Grundsatzes, wonach der einmal begründete Wohnsitz bis zum Erwerb eines neuen bestehen bleibt, hat im Rahmen der Anwendung von Art. 8 Abs. 1 lit. c AVIG somit nicht zu erfolgen.
4.2 Gemäss Bestätigung der Einwohnerkontrolle Y._ (FL) vom 25. Februar 2004 war die Beschwerdegegnerin am Weg U._ in Y._ wohnhaft. Bei der Anmeldung beim RAV Z._ am 10. Februar 2004 hatte sie ebenfalls diese Adresse angegeben. Auch der am 11. Februar 2004 unterzeichnete Arbeitsvertrag mit der V._ AG enthält diese Adresse. Dem Schreiben des Amtes für Volkswirtschaft des Fürstentums Liechtenstein vom 16. April 2004 ist zu entnehmen, dass die Beschwerdegegnerin seit April 1993 ununterbrochen ihren Wohnsitz an der gleichen Adresse in Y._ verzeichnet. Vom 2. Juni 2003 bis 16. Januar 2004 habe sie zudem in Y._ bis zur Ausschöpfung des Anspruchs Arbeitslosenentschädigung bezogen. Am 19. April 2004 teilte die Versicherte der Kantonalen Arbeitslosenkasse St. Gallen mit, aufgrund eines Mitte Januar 2004 in ihrer Wohnung in Y._ erlittenen Wasserschadens habe sie sich relativ überstürzt eine neue Wohnung suchen müssen. Anfangs Februar 2004 sei sie daher nach C._ gezogen und habe den Wohnsitz im Fürstentum Liechtenstein Ende Januar 2004 aufgegeben. Damit habe sie zugleich auch dem Wunsch ihres Arbeitgebers auf Verlegung des Wohnsitzes in die Schweiz entsprochen. Das Einwohneramt C._ führte in der Wohnsitzbestätigung vom 5. April 2004 die Adresse in C._ an mit Zuzugsdatum am 1. Februar 2004. Am 10. Mai 2004 bestätigte die an derselben Adresse in C._ wohnhafte E._, dass die Beschwerdegegnerin "seit Ende Januar 2004 bei mir Wohnsitz genommen hat". Auf Anfrage der Kantonalen Arbeitslosenkasse St. Gallen gab die Einwohnerkontrolle Y._ am 14. Juli 2004 an, die aktuelle Adresse der Versicherten laute auf Y._.
4.3 Gegenüber der Kantonalen Arbeitslosenkasse St. Gallen machte der Rechtsvertreter der Versicherten geltend, diese lebe seit 1. Februar 2004 wieder in der Schweiz, weil sie hier seit Anfang des Jahres teilzeitig erwerbstätig sei. Es treffe zu, dass sie sich in Y._ noch nicht formell abgemeldet habe, weil ihre Tochter weiterhin dort wohnhaft bleiben wolle, um ihre Ausbildung in Österreich beenden zu können. Die Versicherte selber sei im Februar 2004 nach C._ in eine eigene Wohnung gezogen. Dort habe sie ihren Lebensmittelpunkt und verbringe sie den grössten Teil ihrer Freizeit. Da sie in der Schweiz bessere Chancen habe, eine Vollzeitstelle zu finden, habe sie die feste Absicht, hier wohnhaft zu bleiben. Weil sie noch für die sich in Ausbildung befindende Tochter aufkommen müsse, welche die liechtensteinische Staatsbürgerschaft besitze, werde sie von den sozialen Diensten des Fürstentums Liechtenstein unterstützt. Auf Anfrage der Kantonalen Arbeitslosenkasse St. Gallen gab das Amt für Soziale Dienste des Fürstentums Liechtenstein am 24. September 2004 an, die Versicherte beziehe seit 1. März 2004 wirtschaftliche Sozialhilfe. Aufgrund ihrer Aussagen sei man davon ausgegangen, sie habe den Lebensmittelpunkt in Y._. Die Unterstützung sei wegen des offiziellen Wohnsitzes im Fürstentum Liechtenstein gewährt und nach dem dortigen Sozialhilfegesetz berechnet und monatlich ausbezahlt worden. Nachdem der Versicherten eröffnet worden sei, dass sie nicht zwei Lebensmittelpunkte haben könne, habe sie ab Oktober 2004 auf die wirtschaftliche Sozialhilfe verzichtet.
4.4 Die Beschwerdegegnerin hat somit beim Amt für Soziale Dienste des Fürstentums Liechtenstein wirtschaftliche Sozialhilfe beantragt und dabei erklärt, ihren Lebensmittelpunkt in Y._ zu haben und auch dort wohnhaft zu sein. Dieses Vorgehen begründet sie nachträglich damit, dass sie für die Ausbildung ihrer Tochter aufkommen müsse, welche in Österreich die Schule besuche. Bei einem Wohnsitzwechsel müsse ein höheres Schulgeld bezahlt werden. Laut Angaben der Direktion des Gymnasiums S._ vom 23. Februar 2004 wohnt die 1986 geborene Tochter in Y._. Obwohl sich die Beschwerdegegnerin am 5. April 2004 rückwirkend auf den 1. Februar 2004 in der Gemeinde C._ angemeldet hat, konnte sie trotz Aufforderung der Arbeitslosenkasse vom 27. April 2004 keinen Mietvertrag über eine Wohnung in C._ auflegen, sondern nur eine Bestätigung von E._ vom 10. Mai 2004, wonach sie seit Ende Januar 2004 bei ihr wohne. Das Verlassen der Wohnung in Y._ wegen des Wasserschadens ohne diese indessen aufzugeben, lässt auf die Begründung einer Wohngelegenheit in C._ schliessen, ohne dass es zu einer definitiven Übersiedlung in diese Gemeinde gekommen wäre. Hinzu kommt, dass die Versicherte im Antrag auf Arbeitslosenentschädigung vom 10. Februar 2004 wohl kaum die Adresse in Y._ angegeben hätte, wenn es sich dabei lediglich um eine Zustelladresse und nicht gleichzeitig um die Wohnadresse gehandelt hätte. Aufgrund ihrer Darlegungen steht der Aufenthalt in der Schweiz in erster Linie mit der am 1. Februar 2004 aufgenommenen Teilzeitbeschäftigung in Zusammenhang. Nach der Rechtsprechung ist bei fehlenden Anhaltspunkten für die Annahme, der Aufenthalt in einem anderen als dem bisher leistungszuständigen Staat diene anderen Zwecken als der Ausübung eines Zwischenverdienstes, nicht davon auszugehen, dass der Schwerpunkt der Lebensbeziehungen der versicherten Person sich nicht mehr im Herkunftsland befindet und diese zur dortigen Arbeitswelt keine enge Verbindung mehr aufweist (vgl. SVR 2006 AlV Nr. 24 S. 82). Bis zur Ausschöpfung des Leistungsanspruchs Mitte Januar 2004 hatte die Beschwerdegegnerin der Arbeitslosenversicherung im Fürstentum Liechtenstein zur Verfügung gestanden, weshalb nicht gesagt werden kann, sie habe keine enge Verbindung mit der dortigen Arbeitswelt mehr unterhalten. Im März 2005 reichte sie dem Amt für Volkswirtschaft des Fürstentums Liechtenstein zudem zwei Arbeitgeberbescheinigungen ein, wonach sie vom 1. Februar 2004 bis 28. Februar 2005 in der V._ AG und vom 1. Oktober 2004 bis 31. Januar 2005 in der O._ gearbeitet habe, was darauf hinweist, dass sie dessen Dienste weiterhin in Anspruch nehmen wollte. Dies lässt darauf schliessen, dass sie der Auffassung war, in Liechtenstein über die besseren beruflichen Eingliederungsmöglichkeiten zu verfügen. Dass sie ihren Wohnort in die Schweiz verlegen wollte, weil sie hier die besseren Aussichten auf eine Vollzeitstelle hat, ist daher nicht erstellt.
4.5 Bei dieser Sachlage ist davon auszugehen, dass die Beschwerdegegnerin auch ab dem 10. Februar 2004 ihren tatsächlichen Aufenthalt weiterhin in Y._ (FL) verzeichnete, wo auch ihre Tochter wohnte und wo sie gemäss eigenen Angaben einen Schwerpunkt ihrer Lebensbeziehungen aufrechterhielt. Daran vermag die Tatsache nichts zu ändern, dass sie in der Schweiz Freunde und Bekannte hat, einen grossen Teil ihrer Freizeit hier verbringt und den arbeitslosenversicherungsrechtlichen Kontrollvorschriften nachgekommen ist. Obwohl ein Aufenthalt während einer gewissen Dauer genügt, kann nicht gesagt werden, sie habe den gewöhnlichen Aufenthalt ab 10. Februar 2004 in die Schweiz verlegt, zumal sie zuvor während über 10 Jahren in Y._ wohnte.
5. Zu prüfen bleibt, ob die Beschwerdegegnerin aus dem am 1. Juni 2002 in Kraft getretenen EFTA-Übereinkommen und den gestützt darauf anwendbaren gemeinschaftsrechtlichen Regeln, insbesondere der Verordnung Nr. 1408/71, einen Leistungsanspruch abzuleiten vermag. In zeitlicher Hinsicht ist dieses Abkommen anwendbar, da ein Leistungsanspruch für die Zeit nach dessen Inkrafttreten geltend gemacht wird und der Einspracheentscheid nach diesem Datum ergangen ist. Unerheblich ist in diesem Zusammenhang, dass allenfalls Versicherungs-, Beschäftigungs- oder Wohnzeiten zu berücksichtigen sind, die in einem anderen Abkommensstaat vor dem 1. Juni 2002 zurückgelegt worden sind (Art. 94 Abs. 2 der Verordnung Nr. 1408/71; BGE 131 V 225 Erw. 2.3). Auch in persönlicher Hinsicht ist die Verordnung Nr. 1408/71 anwendbar, da die Beschwerdegegnerin als Staatsangehörige eines Mitgliedstaates zu betrachten ist, für welche die Rechtsvorschriften eines oder mehrerer Mitgliedstaaten im Sinne von Art. 2 Abs. 1 der Verordnung Nr. 1408/71 gelten oder galten. Ebenfalls gegeben ist die sachliche Anwendbarkeit, da sich der Geltungsbereich der Verordnung Nr. 1408/71 unter anderem auf Leistungen bei Arbeitslosigkeit bezieht (Art. 4 Abs. 1 lit. g der Verordnung Nr. 1408/71).
6. 6.1 Titel II der Verordnung Nr. 1408/71 (Art. 13 bis 17a) enthält allgemeine Kollisionsregeln zur Bestimmung der anzuwendenden Rechtsvorschriften. Dabei legt Art. 13 Abs. 1 den kollisionsrechtlichen Grundsatz der Einheitlichkeit der anwendbaren Rechtsvorschriften nach den Regeln gemäss Art. 13 Abs. 2 bis Art. 17a in dem Sinne fest, dass für jede betroffene Person die Rechtsvorschriften nur eines Mitgliedstaates massgebend sind. Ausnahmen vorbehalten, gilt für Arbeitnehmende das Beschäftigungslandprinzip. Dies trifft auch dann zu, wenn sie im Gebiet eines anderen Mitgliedstaates wohnen oder ihr Arbeitgeber oder das Unternehmen, das sie beschäftigt, den Wohn- oder Betriebssitz im Gebiet eines andern Mitgliedstaates hat (Grundsatz der lex loci laboris; Art. 13 Abs. 2 lit. a der Verordnung Nr. 1408/71; BGE 132 V 57 Erw. 4.1).
6.2 Titel III der Verordnung Nr. 1408/71 enthält besondere Vorschriften für die einzelnen Leistungsarten. Leistungen bei Arbeitslosigkeit erbringt nach Art. 67 Abs. 3 grundsätzlich der Staat, nach dessen Rechtsvorschriften die betroffene Person unmittelbar zuvor Versicherungs- oder Beschäftigungszeiten zurückgelegt hat, somit der letzte Beschäftigungsstaat (Art. 68 Abs. 1). Art. 71 regelt die Zuständigkeit für Arbeitslose, die während der letzten Beschäftigung in einem anderen Mitgliedstaat als dem zuständigen Staat wohnten.
6.3 Für die Beantwortung der Frage, ob die Beschwerdegegnerin gestützt auf die Verordnung Nr. 1408/71 Anspruch auf Leistungen der schweizerischen Arbeitslosenversicherung hat, ist zunächst festzustellen, welche Rechtsvorschriften nach den allgemeinen Anknüpfungsregeln von Titel II der Verordnung anzuwenden sind, und anschliessend zu prüfen, ob die besonderen Anknüpfungsregeln dieser Verordnung als Sondervorschriften die Anwendung anderer Rechtsvorschriften vorsehen (BGE 132 V 58 Erw. 5).
6.4 Nach der allgemeinen Grundregel von Art. 13 Abs. 2 lit. a der Verordnung Nr. 1408/71 wäre an und für sich das Recht des Beschäftigungsstaates massgebend. Diese Regel gilt jedoch nur soweit, als nicht die besonderen Vorschriften für die einzelnen Leistungsarten, die den Titel III bilden, etwas anderes bestimmen. Diese greifen, wenn Beschäftigungs- und Wohnstaat - wie dies bei der Beschwerdegegnerin der Fall ist (vgl. Erw. 4) - nicht identisch sind.
7. 7.1 Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. ii und lit. b Ziff. ii der Verordnung Nr. 1408/71 bestimmen, dass bei Vollarbeitslosigkeit echte Grenzgänger ausschliesslich und unechte Grenzgänger für den Fall, dass sie sich den Arbeitsbemühungen ihres Wohnstaates zur Verfügung stellen, Leistungen aufgrund von Versicherungs- oder Beschäftigungszeiten im Beschäftigungsstaat nach dem Recht des Wohnstaates erhalten (BGE 132 V 61 Erw. 6.4). Diese Regelung beruht auf der Annahme, dass die Vermittlungschancen für die arbeitslose Person an ihrem Wohnort am grössten sind (Eberhard Eichenhofer, a.a.O., N 2 f. zu Art. 71 der Verordnung Nr. 1408/71). Der unechte Grenzgänger hat die Wahl zwischen Leistungen des Beschäftigungs- oder des Wohnstaates. Dieses Wahlrecht übt er dadurch aus, dass er sich entweder der Arbeitsverwaltung des Staates der letzten Beschäftigung (Art. 71 Abs. 1 lit. b Ziff. i) oder der Arbeitsverwaltung des Wohnortstaates (Art. 71 Abs. 1 lit. b Ziff. ii) zur Verfügung stellt (BGE 132 V 61 Erw. 6.4 mit Hinweis auf die Rechtsprechung des EuGH; 131 V 228 Erw. 6.2). Der EuGH hat die strikte Verweisung des vollarbeitslosen echten Grenzgängers auf den Arbeitsmarkt des Wohnstaates in Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. ii Verordnung Nr. 1408/71 für den Fall aufgehoben, dass dieser zum Beschäftigungsstaat persönliche und berufliche Bindungen solcher Art aufrechterhält, dass er dort die besten Aussichten auf Wiedereingliederung hat (Urteil des EuGH vom 12. Juni 1986 in der Rechtssache 1/85, Miethe, Slg. I-1986 S. 1837). Dabei handelt es sich jedoch insofern nicht um ein echtes Wahlrecht, als es Sache des Beschäftigungsstaats ist zu entscheiden, ob eine besonders enge Bindung besteht (vgl. Patricia Usinger-Egger, a.a.O., S. 85; dieselbe, Ausgewählte Rechtsfragen des Arbeitslosenversicherungsrechts im Verhältnis Schweiz-EU, in: Thomas Gächter [Hrsg.], Das Europäische Koordinationsrecht der sozialen Sicherheit und die Schweiz, Zürich 2006, S. 37 FN 23; vgl. zudem BGE 132 V 53). Leistungen bei Teilarbeitslosigkeit sind ausschliesslich nach dem Recht des Beschäftigungsstaates zu erbringen (Art. 67 Abs. 3, Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. i und lit. b Ziff. i der Verordnung Nr. 1408/71; vgl. Eberhard Eichenhofer, a.a.O., N 3 zu Art. 71 der Verordnung Nr. 1408/71).
7.2 Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, dass die Beschwerdegegnerin als vollarbeitslose echte Grenzgängerin im Sinne von Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. ii der Verordnung Nr. 1408/71 zu qualifizieren sei. Nach dem Wortlaut dieser Bestimmung wäre somit der Wohnortstaat zur Leistungsausrichtung zuständig. Gemäss Art. 1 lit. h der Verordnung Nr. 1408/71 wird "Wohnort" als der Ort des gewöhnlichen Aufenthalts definiert. Massgebend für das Vorliegen des Wohnortes sind die Dauer und Kontinuität des Wohnens bis zur Aufnahme der Beschäftigung, die Dauer und die Modalität der Abwesenheit, die Art der im anderen Mitgliedstaat ausgeübten Beschäftigung sowie die Absicht des Arbeitnehmers, wie sie sich aus den gesamten Umständen ergibt, an den Ort vor Aufnahme der Beschäftigung zurückzukehren (Eberhard Eichenhofer, a.a.O., N 7 zu Art. 71 der Verordnung Nr. 1408/71; BGE 131 V 230 Erw. 7.4 mit Hinweis auf die Rechtsprechung des EuGH). Nach dem in Erw. 4.2 ff. Gesagten befindet sich der Wohnort der Beschwerdegegnerin in diesem Sinne in Y._. Ein Recht auf Leistungen vom Beschäftigungsstaat hätte sie daher nur, wenn ihr die Stellung einer unechten Grenzgängerin zuzuerkennen wäre, weil sie zur Schweiz persönliche und berufliche Bindungen solcher Art aufrecht erhält, dass sie dort die besten Aussichten auf Wiedereingliederung hat. Diese Voraussetzung ist entgegen der von der Vorinstanz vertretenen Auffassung nicht erfüllt. Abgesehen davon, dass die Beschwerdegegnerin bis zur Aufnahme der Teilzeitstelle in C._ im Februar 2004 der Arbeitsvermittlung in Y._ unterstellt war und mit dem dortigen Amt für Volkswirtschaft weiterhin in Kontakt blieb (vgl. Erw. 4.4), kann nicht gesagt werden, sie habe in der Schweiz über die besseren beruflichen Eingliederungsmöglichkeiten verfügt.
7.3 Des Weitern hat das kantonale Gericht erwogen, die Beschwerdegegnerin sei teilarbeitslos im Sinne von Art. 10 Abs. 2 lit. b AVIG (Person, die eine Teilzeitbeschäftigung hat und eine Vollzeit- oder eine weitere Teilzeitbeschäftigung sucht), nicht aber im Sinne von Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. i der Verordnung Nr. 1408/71. Nach Gemeinschaftsrecht bedeutet Vollarbeitslosigkeit einen Erwerbsausfall infolge Auflösung des Arbeitsverhältnisses und Teilarbeitslosigkeit einen vorübergehenden Arbeitsausfall bei andauerndem Arbeitsverhältnis, insbesondere bei Kurzarbeit (Edgar Imhof, a.a.O.,S. 53; Eberhard Eichenhofer, a.a.O., N 5 zu Art. 71 der Verordnung Nr. 1408/71). Teilweise Arbeitslosigkeit gemäss Art. 10 Abs. 2 lit. b AVIG kann unter bestimmten Voraussetzungen eine Teilarbeitslosigkeit im Sinne der Verordnung Nr. 1408/71 sein (Patricia Usinger-Egger, Ausgewählte Rechtsfragen des Arbeitslosenversicherungsrechts im Verhältnis Schweiz-EU, a.a.O., S. 49 FN 110). Eine Teilzeitbeschäftigung ist nach Gemeinschaftsrecht anzunehmen, wenn ein bisher vollzeitig beschäftigter Arbeitnehmer in einem Unternehmen teilzeitbeschäftigt ist und Anwärter auf eine vollzeitige Arbeit ist (Eberhard Eichenhofer, Sozialrecht der Europäischen Union, 3. Aufl., S. 167 Rz 284; derselbe in: Rechtsprechung des EuGH zum Europäischen koordinierenden Sozialrecht, Juristen Zeitung 2005, S. 264). Begründet wird dies damit, dass das mit Art. 71 der Verordnung Nr. 1408/71 verfolgte Ziel des Schutzes des Arbeitnehmers nicht erreicht werde, wenn ein Arbeitnehmer, der bei demselben Unternehmen in einem anderen Mitgliedstaat als dem Staat, auf dessen Gebiet er wohnt, in Teilzeitbeschäftigung beschäftigt bleibt, jedoch Anwärter auf eine Vollzeitbeschäftigung bleibt, sich an einen Träger seines Wohnortes wenden müsste, um dort Unterstützung bei der Suche nach einer zusätzlichen Beschäftigung neben der bereits ausgeübten zu finden (Urteil des EuGH vom 15. März 2001 in der Rechtssache C-444/98, de Laat, Slg. 2001, I-2229). Die Beschwerdegegnerin hat nun aber nicht im Unternehmen, das sie beschäftigt, einen "vorübergehenden Arbeitsausfall" erlitten (vgl. Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. i der Verordnung Nr. 1408/71), sondern am 1. Februar 2004 bei der V. AG eine Teilzeitstelle angetreten. Sie hat daher als vollarbeitslos im Sinne von Art. 71 Abs. 1 lit. a Ziff. ii der Verordnung Nr. 1408/71 zu gelten und untersteht somit der Rechtsordnung des Wohnstaates, also des Fürstentums Liechtenstein.
8. Sofern in Anlage 2 nichts Gegenteiliges bestimmt ist, werden gemäss Art. 18 Anhang K des EFTA-Übereinkommens die bilateralen Abkommen über die soziale Sicherheit zwischen den Mitgliedstaaten mit Inkrafttreten dieses Anhangs insoweit ausgesetzt, als in diesem Anhang derselbe Sachbereich geregelt ist. Im Verhältnis zu Liechtenstein stehen die Art. 6 und 9 des Abkommens zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein über die Arbeitslosenversicherung vom 15. Januar 1979 (SR 0.837.951.4) weiterhin in Kraft (vgl. Art. 3 Abs. 2 von Anlage 2 zu Anhang K sowie Abschnitt A und B, Protokoll 1 und 2 zu Anlage 2 zum Anhang K des EFTA-Übereinkommens). Da die gestützt auf das EFTA-Übereinkommen im Verhältnis Schweiz-Fürstentum Liechtenstein anwendbare Verordnung Nr. 1408/71 die materiell-rechtliche Koordinierung der nationalen Sozialrechtsordnungen bei Arbeitslosigkeit regelt, ist nicht ersichtlich, inwiefern die Beschwerdegegnerin aus dem bilateralen Abkommen mit Bezug auf die Zuständigkeit für die Leistungsgewährung etwas abzuleiten vermöchte.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 17. Juni 2005 aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, dem Amt für Arbeit, St. Gallen, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 8. November 2006
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der I. Kammer: Die Gerichtsschreiberin: