Erwägungen:
1. Der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt wies mit Beschluss vom 24. April 2007 den Antrag des Denkmalrats ab, das Gebäudeäussere der Liegenschaften Riehenring 63-65 / Clarastrasse und Riehenring 67, 69 und 71 sowie die Gaststättenräume in den Erdgeschossen der Liegenschaften Riehenring 63 und 69 ins Denkmalverzeichnis aufzunehmen. Die dagegen von der Freiwilligen Basler Denkmalpflege und des Baslers Heimatschutzes erhobenen Rekurse wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht mit Urteil vom 11. Juni 2008 ab.
2. Die Freiwillige Basler Denkmalpflege und der Basler Heimatschutz führen mit Eingabe vom 19. November 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde.
3. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob bzw. inwiefern es auf eine bei ihm eingereichte Beschwerde eintreten kann (BGE 134 II 186 E. 1 S. 188, 272 II E. 1.1 S. 275 mit Hinweisen).
3.1 Die beim Bundesgericht eingelegte Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Ausschlussgründe nach Art. 83 und 85 BGG liegen nicht vor. Da grundsätzlich auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten ist, verbleibt kein Raum für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG).
3.2 Es stellt sich die Frage, ob bzw. gegebenenfalls inwieweit die Beschwerdeführer zur vorliegenden Beschwerde legitimiert sind (Art. 89 BGG).
Der Basler Heimatschutz und die Freiwillige Basler Denkmalpflege sind privatrechtliche Vereine, die sich seit mehr als fünf Jahren statutengemäss der Denkmalpflege und ähnlichen ideellen Zielen widmen. Sie haben sich bereits im kantonalen Verfahren gegen die verweigerte Eintragung der Liegenschaften Riehenring 63-65 / Clarastrasse und Riehenring 67, 69 und 71 sowie der Gaststättenräume in den Erdgeschossen der Liegenschaften Riehenring 63 und 69 ins Denkmalverzeichnis gewehrt. Sie sind mit ihren Begehren im kantonalen Verfahren nicht durchgedrungen und insoweit formell beschwert. Soweit sie eine Verfahrensrechtsverletzung bzw. eine Verletzung ihrer eigenen Parteistellung rügen, sind sie zur vorliegenden Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG; s. dazu nachfolgende E. 4).
3.3 Die Beschwerdeführer legen indes nicht dar, inwiefern sie selbst bzw. eine grosse Anzahl ihrer Mitglieder, die selber Parteirechte ausüben könnten, von der verweigerten Eintragung ins Denkmalverzeichnis unmittelbar betroffen sein sollen (sog. egoistische Verbandsbeschwerde, vgl. BGE 130 I 26 E. 1.2.1 S. 29 f. mit Hinweisen). Insofern fehlt ihnen die Beschwerdelegitimation.
3.4 Nichts anderes ergibt sich in Bezug auf die Frage, ob die Beschwerdeführer zur Einreichung einer sog. ideellen Verbandsbeschwerde befugt sind. Diese Frage ist im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren einzig im Lichte der massgebenden bundesrechtlichen Bestimmungen zu prüfen. Nach Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG sind zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten Organisationen berechtigt, denen ein anderes Bundesgesetz (als das BGG) dieses Recht einräumt. Die gestützt auf Art. 55 USG und Art. 12 NHG beschwerdeberechtigten gesamtschweizerischen Organisationen sind in der Verordnung vom 27. Juni 1990 über die Bezeichnung der im Bereich des Umweltschutzes sowie des Natur- und Heimatschutzes beschwerdeberechtigten Organisationen (VBO, SR 814.076) abschliessend aufgeführt. Die Beschwerdeführer sind in dieser Verordnung nicht aufgeführt und daher nach bundesrechtlichen Bestimmungen auch insoweit nicht beschwerdebefugt.
3.5 Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahrens sind einzig der Basler Heimatschutz als Sektion des Schweizer Heimatschutzes sowie die Freiwilligen Basler Denkmalpflege. Die Beschwerde ist jedoch nicht im Namen des Schweizer Heimatschutzes als beschwerdeberechtigte gesamtschweizerische Organisation erhoben worden. Demgemäss kann sie nicht als Beschwerde des Schweizer Heimatschutzes behandelt werden.
3.6 Es ergibt sich, dass die Beschwerdeführer nicht befugt sind, die verweigerte Eintragung ins Denkmalverzeichnis in materiellrechtlicher Hinsicht zu beanstanden.
4. Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst kann ein Beschwerdeführer die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. So wird etwa eine Gehörsverletzung bzw. eine formelle Rechtsverweigerung gerügt werden können, wenn der angefochtene Entscheid keine Begründung enthält (vgl. BGE 133 I 185 E. 6.2 S. 198). Unzulässig sind allerdings Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen, wie etwa die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei. Unzulässig ist auch die Rüge, Beweisanträge seien wegen willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt worden (BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313).
4.1 Zulässige Rügen bringen die in der Sache selbst nicht legitimierten Beschwerdeführer nicht vor, jedenfalls nicht in einer den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Weise. Die von den Beschwerdeführern unter verschiedenen Punkten geltend gemachte Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) lässt sich nicht von der Prüfung der Sache selber trennen. So beanstanden sie, dass das Verwaltungsgericht in willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung auf das beantragte Sachverständigengutachten verzichtet habe. Weiter habe das Verwaltungsgericht mehrfach seine Begründungspflicht durch unvollständige und nicht nachvollziehbare Begründungen verletzt, was ausserdem gegen das Willkürverbot verstosse. Zu solchen Rügen sind die in der Sache selbst nicht legitimierten Beschwerdeführer - wie ausgeführt - nicht befugt. Auf die vorliegende Beschwerde ist deshalb auch insoweit nicht einzutreten.
5. Nach dem Gesagten ist auf die vorliegende Beschwerde nicht einzutreten. Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese haben der anwaltlich vertretenen privaten Beschwerdegegnerin für die Einreichung ihrer Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben der privaten Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien sowie dem Regierungsrat und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli