Sachverhalt:
A. Die 1972 geborene K._ erlitt am 6. Juni 2000 als Autolenkerin bei einer Heckauffahrkollision eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS). Die "Zürich Versicherungs-Gesellschaft" (nachfolgend: Zürich), bei der sie über ihren damaligen Arbeitgeber obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert war, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Am 29. Juli 2002 zog sich K._ als Autolenkerin bei einer mehrfachen Auffahrkollision wiederum eine HWS-Distorsion zu. Zu diesem Zeitpunkt war sie als juristische Sekretärin am Gericht X._ tätig und dadurch bei der "Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft" (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch unfallversichert. Diese erbrachte Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen. Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt verneinte die "AXA Versicherungen AG" (nachfolgend: AXA), als Rechtsnachfolgerin der Winterthur, mit Wirkung ab 1. September 2007 jeglichen Leistungsanspruch. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 29. Juli 2007 (Verfügung vom 17. Oktober 2007 und Einspracheentscheid vom 28. April 2008).
B. Die von K._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Entscheid vom 24. September 2009 ab.
C. K._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, ihr seien die gesetzlichen Leistungen zu gewähren.
Die AXA lässt auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf diese einzutreten sei, schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Trotzdem obliegt es der Beschwerde führenden Partei, sich in der Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist vorab, ob aus dem Unfall vom 29. Juli 2002 über den 31. August 2007 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
2.1 Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung dieser Streitfrage sind im angefochtenen Entscheid dargelegt. Das betrifft nebst den massgeblichen Gesetzesbestimmungen namentlich auch die Rechtsprechung über den für einen Leistungsanspruch erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang im Allgemeinen (BGE 129 V 179 E. 3.1 und 3.2 S. 181) sowie bei organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103) und bei nicht mit einer solchen Verletzung verbundenen HWS-Schleudertraumen, äquivalenten Verletzungen der HWS und Schädel-Hirntraumen (sog. Schleudertrauma-Praxis; BGE 134 V 109) im Besonderen mit den sich jeweils stellenden Beweisfragen. Darauf wird verwiesen.
2.2 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die über den 31. August 2007 hinaus bestandenen Beschwerden liessen sich nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls vom 29. Juli 2002 erklären.
Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Würdigung der medizinischen Akten. Hervorzuheben ist, dass die bildgebende Untersuchung der HWS vom 3. Juli 2003 keine Hinweise für traumatische Knochenläsionen ergab. Es wurden eine bei Inklination auftretende leichte segmentale Instabilität C2, eine beginnende Unkarthrose sowie eine leichte Arthrose in den oberen Halsgelenken beschrieben. Ob diese Befunde noch geklagte Beschwerden überhaupt zu erklären vermögen, steht nicht fest, bedarf aber entgegen der von der Versicherten vertretenen Auffassung auch keiner weiteren medizinischen Abklärung. Denn wie die Vorinstanz einlässlich und überzeugend darlegt, ist der Nachweis dafür, dass die bildgebend erhobenen Veränderungen durch den Unfall vom 29. Juli 2002 verursacht wurden, mit den vorhandenen Akten nicht geleistet und überwiegend wahrscheinlich auch mit weiteren Untersuchungen nicht zu erbringen. Das gilt ebenfalls bezüglich der segmentalen Instabilität. Hieran ändern die Hinweise der Beschwerdeführerin auf einzelne Aussagen im von der Beschwerdegegnerin eingeholten Gutachten des Dr. med. O._, Facharzt FMH für Neurologie, vom 15. Mai 2006 (mit Ergänzung vom 25. Oktober 2006) nichts. Bei genauer Betrachtung ergibt sich nämlich, dass der Experte zwar die von ihm erhobenen Restbeschwerden als unfallkausal betrachtet, aber nicht bestätigt, die segmentale Instabilität oder die Unkarthrose und die Arthrose seien durch den Unfall vom 29. Juli 2002 verursacht worden. Es kann im Übrigen auf die vorinstanzlichen Erwägungen verwiesen werden.
Zu keinem anderen Ergebnis führt auch der Einwand der Versicherten, die Vorinstanz spreche bei der Expertise des Dr. med. O._ unzutreffenderweise von einem Parteigutachten. Es trifft zu, dass die Expertise von der Beschwerdegegnerin in dem von ihr als Versicherungsträgerin durchgeführten Abklärungsverfahren (Art. 43 ATSG) eingeholt wurde. Es handelt sich somit nicht um ein Parteigutachten, wenn unter einem solchen ein in einem Zwei- oder Mehrparteienverfahren von der einen Partei aufgelegtes Beweismittel verstanden wird. Massgebend für den Beweiswert eines ärztlichen Berichts oder Gutachtens ist aber ohnehin nicht, von wem es stammt, sondern ob es inhaltlich den von der Rechtsprechung erarbeiteten Kriterien zu genügen vermag (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352). Davon, und nicht von der Herkunft des Gutachtens, hat sich das kantonale Gericht denn auch bei dessen Würdigung leiten lassen. Es hat dabei entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung weder Beweisregeln noch Art. 8 BV verletzt.
2.3 Liegt demnach keine organisch klar ausgewiesene Folge des Unfalls vom 29 Juli 2002 vor, lässt sich der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den noch geklagten Beschwerden und diesem Ereignis nicht ohne besondere Prüfung bejahen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112). Dabei kann die Frage der natürlichen Unfallkausalität mit der Vorinstanz offengelassen werden, wenn es ohnehin an der - kumulativ erforderlichen - Adäquanz fehlt. Denn diesfalls ist ein Leistungsanspruch ohne weiteres ausgeschlossen. Wenn die Beschwerdeführerin geltend macht, es sei auf jeden Fall, mithin selbst bei nicht gegebener Adäquanz, auch die Frage des natürlichen Kausalzusammenhangs zu beurteilen, kann ihr daher nicht gefolgt werden (vgl. BGE 135 V 465 E. 5.1 S. 472).
2.4 Der adäquate Kausalzusammenhang ist im vorliegenden Fall unstreitig nach der Schleudertrauma-Praxis zu beurteilen. Den Ausgangspunkt bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Zu prüfen ist im Rahmen einer objektivierten Betrachtungsweise, ob der Unfall eher als leicht, als mittelschwer oder als schwer erscheint, wobei im mittleren Bereich gegebenenfalls eine weitere Differenzierung nach der Nähe zu den leichten oder schweren Unfällen erfolgt. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126; SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1 mit Hinweis; Urteil 8C_129/2009 vom 15. September 2009 E. 5.2.1).
2.4.1 Das kantonale Gericht hat den Unfall 29. Juli 2002 bei den mittelschweren Unfällen und dort nicht nahe den schweren Unfällen eingereiht. Das ist zu Recht nicht umstritten.
2.4.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien (gemäss BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen) müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. mit Hinweis).
Das kantonale Gericht hat sämtliche dieser Zusatzkriterien verneint. Die Beschwerdeführerin wendet einzig ein, die HWS sei bereits durch frühere Unfälle erheblich vorgeschädigt gewesen, weshalb das Kriterium der Komplizierung des Heilungsverlaufs (gemeint ist offenbar das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen) in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sei. Der aus den Akten ersichtliche Heilungsverlauf hielt sich indessen im Rahmen des bei derartigen Verletzungen Üblichen und es bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass es hiebei zu Komplikationen gekommen ist. Das Kriterium liegt daher nicht in einfacher und schon gar nicht in besonders ausgeprägter Weise vor. Eine allfällige Vorschädigung der HWS wäre denn auch eher beim Kriterium der besonderen Art der erlittenen Verletzung (vgl. SVR 2009 UV Nr. 30 S. 105, 8C_413/2008 E. 6.3.2 mit Hinweisen) einzuordnen. Dieses Kriterium liegt aber mit Blick auf die nicht sehr gewichtig erscheinenden Befunde, welche mittels bildgebender Untersuchung erhoben wurden, sicher nicht in besonders ausgeprägter Weise vor. Es kann daher offenbleiben, ob es überhaupt in der einfachen Form gegeben wäre. Denn auch bejahendenfalls würde dies nicht genügen, um auf einen adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 29. Juli 2002 und den noch bestehenden Beschwerden zu schliessen. Die vorinstanzliche Beurteilung der übrigen Kriterien gibt keinen Anlass zu weiteren Bemerkungen. Es kann auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
2.5 Zu prüfen bleibt der Einwand der Versicherten, es sei eine gesamthafte Adäquanzbeurteilung unter Einbezug sowohl des Unfalls vom 29. Juli 2002 als auch des Vorunfalls vom 6. Juli 2000 vorzunehmen.
Hat eine Person mehrere versicherte Unfälle mit Schleudertrauma der HWS erlitten, ist die Adäquanz des Kausalzusammenhangs in der Regel für jeden Unfall gesondert zu beurteilen. Rechtsprechungsgemäss ist jedoch nicht generell ausgeschlossen, die wiederholte Betroffenheit desselben Körperteils bei der Adäquanzprüfung zu berücksichtigen. Letzteres ist insbesondere dann denkbar, wenn die Auswirkungen der verschiedenen Ereignisse auf gewisse Beschwerden und/oder die Arbeitsfähigkeit nicht voneinander abgegrenzt werden können. Der hinreichend nachgewiesenen, durch einen früheren versicherten Unfall verursachten dauerhaften Vorschädigung der HWS kann diesfalls bei der Beurteilung der einzelnen, abhängig von der Unfallschwere in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehenden Kriterien - beispielsweise der besonderen Art der Verletzung, der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen oder der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztliche Behandlung) - Rechnung getragen werden (SVR 2009 UV Nr. 30 S. 105, 8C_413/2008 E. 2.3 mit Hinweis; Urteil 8C_477/2008 vom 19. Dezember 2008 E. 6.1).
Im vorliegenden Fall liesse sich mit Blick auf den Umstand, dass die beiden Unfälle bei unterschiedlichen Unfallversicherern versichert waren, fragen, ob die dargelegten Grundsätze überhaupt - gegebenenfalls aufgrund von Art. 100 Abs. 2 UVV (vgl. nachfolgend E. 3) - zum Zuge kommen können. Das muss aber nicht abschliessend beantwortet werden. Denn auch wenn im Sinne des beschwerdeführerischen Vorbringens der Vorunfall mit einbezogen wird, ändert dies im Ergebnis nichts. Der Vorschädigung - ob diese nun durch den Vorunfall vom 6. Juni 2000 verursacht wurde oder nicht - wurde bei den Adäquanzkriterien bereits Rechnung getragen. Es ergeben sich sodann aus den Akten keine Anhaltspunkte dafür und wird auch nicht geltend gemacht, dass der Einbezug des Vorunfalls zu einer anderen Beurteilung der übrigen adäquanzrelevanten Kriterien und damit zu einer Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 29. Juli 2002 und den noch geklagten Beschwerden führen würde.
2.6 Zusammenfassend hat die Vorinstanz einen Leistungsanspruch aus dem Unfall vom 29. Juli 2002 über den 31. August 2007 hinaus zu Recht verneint. Diesbezüglich ist die Beschwerde abzuweisen.
3. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, die AXA habe aus dem früheren Unfall vom 6. Juni 2000 Leistungen zu erbringen. Dies ergebe sich aus der gemäss Art. 100 Abs. 2 UVV gebotenen "integralen Schadenbehandlung".
3.1 Die AXA hat in der Verfügung vom 17. Oktober 2007 ihre Leistungspflicht aus Art. 100 Abs. 2 UVV verneint. Gemäss dieser Bestimmung habe der "vorschussleistende" Versicherer nur "seine" Unfallfolgen zu vertreten. Art. 100 UVV sei einzig erlassen worden, damit ein Versicherter nicht gleichzeitig mit zwei oder mehreren Unfallversicherern kommunizieren müsse. Die Leistungspflicht der AXA beschränke sich demnach auf die Folgen des bei ihr versicherten Unfalls vom 29. Juli 2002.
Die Versicherte erneuerte ihr Vorbringen in der Einsprache. Die AXA ist aber im Einspracheentscheid vom 28. April 2008 darauf nicht eingegangen und hat ihre Leistungspflicht lediglich mit Bezug auf den Unfall vom 29. Juli 2002 geprüft.
Das kantonale Gericht hat zum entsprechenden Beschwerdevorbringen erwogen, für den früheren Unfall sei nicht die AXA, sondern die Zürich zuständig. Aus diesem Grund sei dieser Unfall bei der hier vorzunehmenden Beurteilung nur insoweit zu berücksichtigen, als er allenfalls einen Vorzustand verursacht habe. Weiterungen zu der geltend gemachten "integralen Schadenbehandlung" erübrigten sich.
3.2 Zur Diskussion stehen die Leistungspflicht und das Zusammenwirken der Versicherer bei einem erneuten Unfall. Gemäss dem - gestützt auf Art. 77 Abs. 3 lit. b UVG ergangenen - Art. 100 Abs. 2 UVV (ein Anwendungsfall von Abs. 1 der Bestimmung liegt unstreitig nicht vor) gilt Folgendes: "Verunfallt der Versicherte während der Heilungsdauer eines oder mehrerer Unfälle, aber nach der Wiederaufnahme einer versicherten Tätigkeit, erneut und löst der neue Unfall Anspruch auf Taggeld aus, so erbringt der für den neuen Unfall leistungspflichtige Versicherer auch die Leistungen für die früheren Unfälle. Die anderen beteiligten Versicherer vergüten ihm diese Leistungen, ohne Teuerungszulagen, nach Massgabe der Verursachung; damit ist ihre Leistungspflicht abgegolten. Die beteiligten Versicherer können untereinander von dieser Regelung abweichende Vereinbarungen treffen, namentlich wenn der neue Unfall wesentlich geringere Folgen hat als der frühere."
3.3 Aus Art. 100 Abs. 2 UVV geht klar hervor, dass der für den erneuten Unfall zuständige Versicherer (nachfolgend der Einfachheit halber: Zweitversicherer) unter den genannten Voraussetzungen auch für noch bestehende Folgen eines nicht bei ihm versicherten Vorunfalles Leistungen zu erbringen hat. An dieser primären Leistungspflicht des Zweitversicherers ändert entgegen der in der Verfügung der AXA vom 17. Oktober 2007 vertretenen Auffassung nichts, dass der besagte Versicherer für entsprechend ausgerichtete Leistungen einen Vergütungsanspruch gegenüber dem für den früheren Unfall zuständigen Versicherer hat. Entgegen den vorinstanzlichen Erwägungen genügte es daher auch nicht, wenn einzig geprüft wurde, ob ein Vorzustand Auswirkungen auf die Leistungspflicht aus dem erneuten Unfall vom 29. Juli 2002 habe.
3.4 Der Unfall vom 29. Juli 2002 ist nach der Wiederaufnahme einer versicherten Tätigkeit erfolgt und hat einen Taggeldanspruch ausgelöst. Es bestehen Anhaltspunkte dafür, dass noch Heilbehandlung aus dem ersten Unfall stattfand. Insofern stellt sich die Frage, ob die AXA Leistungen für den früheren Unfall zu erbringen hat, wofür ihr die Zürich als Versicherer dieses Unfalls dann rückerstattungspflichtig wäre. Dass ab dem erneuten Unfall die Winterthur resp. AXA auch für allfällige weitere Leistungen aus dem ersten Unfall zuständig sei, entspricht offensichtlich ebenfalls dem Verständnis der Zürich. Diese teilte der Winterthur am 28. Oktober 2002 schriftlich mit, sie werde dieser künftig bei ihr eingehende Behandlungsabrechnungen gestützt auf Art. 100 Abs. 2 UVV zur direkten Begleichung weiterleiten.
3.5 Bei dieser Ausgangslage wäre die AXA grundsätzlich gehalten gewesen, die Frage, ob sie gestützt auf Art. 100 Abs. 2 UVV aus dem Unfall vom 6. Juni 2000 Leistungen auszurichten habe, aufgrund der konkret gegebenen Verhältnisse zu prüfen. Das ist nicht erfolgt.
Von einer Rückweisung hiefür ist indessen unter den gegebenen Umständen abzusehen. Aufgrund der Akten lässt sich nämlich verlässlich ausschliessen, dass der Unfall vom 6. Juni 2000 Folgen zeitigte, welche über den 31. August 2007 hinaus einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung zu begründen vermöchten. Das zeigen die folgenden Erwägungen:
3.5.1 Vorübergehende Leistungen werden von der Versicherten zu Recht nicht geltend gemacht. Ein Anspruch hierauf wäre denn auch schon aufgrund von Art. 19 Abs. 1 UVG und BGE 134 V 109 E. 4 S. 113 ff. zu verneinen. Danach besteht ein Anspruch auf Taggeld und auf Heilbehandlung nur solange, als von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) abgeschlossen sind. Vorliegend stehen keine Eingliederungsmassnahmen der IV zur Diskussion. Sodann ist festzuhalten, dass die Versicherte im Zeitpunkt des zweiten Unfalls vom 29. Juli 2002 wieder der Arbeit nachging und sich nur noch in lockeren Abständen in therapeutischer Behandlung und in ärztlicher Kontrolle befand. Es kann ohne weiteres davon ausgegangen werden, dass ab 31. August 2007, mithin fünf Jahre später, eine ärztliche Behandlung von Folgen des ersten Unfalls nicht mehr erforderlich war, geschweige denn noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwarten liess.
3.5.2 Ein Rentenanspruch lässt sich ebenfalls ohne weiteres verneinen. Der Unfall vom 6. Juni 2000 hatte keine organisch objektiv ausgewiesenen Auswirkungen, welche noch geklagte Beschwerden zu erklären vermöchten. Der adäquate Kausalzusammenhang zu solchen Beschwerden ist bei diesem Unfall zweifelsohne nicht gegeben. Die Versicherte beruft sich denn auch selber auf eine Arztaussage, wonach der erste Unfall deutlich weniger schwerwiegend war als der zweite. Sie bringt auch sonst nichts vor, was eine andere Beurteilung zu rechtfertigen vermöchte. Es bleibt somit bei der vorinstanzlichen Verneinung eines Leistungsanspruchs über den 31. August 2007 hinaus.
4. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. April 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz