Das Bundesgericht stellt fest und zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht stellt fest und zieht in Erwägung:
1. 1.1 Der aus der Türkei stammende A._ (geb. 1966) reiste am 15. September 2001 zum dritten Mal illegal in die Schweiz ein. Nach eigenen Angaben hielt er sich hier an verschiedenen Orten auf. Nachdem gegen ihn eine Strafanzeige eingegangen war, wurde er am 23. September 2003 in einer Wohnung in Bern angehalten; dabei fand die Polizei bei ihm einen gefälschten Ausweis mit seinem Passfoto. Gleichentags wurde A._ von der Fremdenpolizei formlos weggewiesen und in Ausschaffungshaft genommen; sodann verurteilte ihn der Untersuchungsrichter 7 von Bern zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 30 Tagen (Delikte: Illegale Einreise und Aufenthalt, Arbeiten ohne Bewilligung, Fälschen eines fremdenpolizeilichen Ausweispapieres).
Nachdem A._ in der Ausschaffungshaft ein Asylgesuch - sein mittlerweile drittes - gestellt hatte, ordnete der Migrationsdienst des Kantons Bern gegen ihn Vorbereitungshaft an, welche vom Haftgericht III Bern-Mittelland (im Folgenden: Haftgericht) am 26. September 2003 bestätigt wurde. Eine hiergegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde hiess das Bundesgericht am 31. Oktober 2003 wegen Fehlens der Voraussetzungen für die Vorbereitungshaft teilweise gut und wies die Sache zu neuem Entscheid an den Migrationsdienst des Kantons Bern zurück. Das Begehren um sofortige Haftentlassung wies das Bundesgericht ab (Urteil 2A.487/2003).
1.2 Am 4. November 2003 ordnete der Migrationsdienst des Kantons Bern gegenüber A._ Ausschaffungshaft an. Diese wurde vom Haftgericht am 6. November 2003 geprüft und bis zum 22. Dezember 2003 bewilligt, im Wesentlichen mit der Begründung, es liege Untertauchensgefahr vor. In der Folge buchten die kantonalen Behörden für A._ einen Rückflug in die Türkei.
Am 11./18. November 2003 trat das Bundesamt für Flüchtlinge auf das - dritte - Asylgesuch von A._ nicht ein und wies ihn aus der Schweiz weg. Hiergegen erhob A._ umgehend Beschwerde bei der Schweizerischen Asylrekurskommission, worauf diese den Vollzug der Wegweisung vorsorglich aussetzte. Der Rückflug in die Türkei wurde daraufhin annulliert.
Nachdem sich die kantonalen Fremdenpolizeibehörden in der Folge bei der Schweizerischen Asylrekurskommission nach dem Stand des Verfahrens erkundigt und die Antwort erhalten hatten, mit einem Entscheid sei erst im Januar 2004 zu rechnen, stellten sie dem Haftgericht Antrag auf Verlängerung der Ausschaffungshaft. Am 18. Dezember 2003 bestätigte das Haftgericht nach Durchführung einer mündlichen Verhandlung die Verlängerung der Haft bis zum 22. März 2004 (Datum der Entscheidausfertigung: 3. Januar 2004). Hiergegen gelangte A._ erneut ans Bundesgericht. Seine undatierte Eingabe in türkischer Sprache ging am 5. Januar 2004 beim Gericht ein und wurde von Amtes wegen übersetzt. Der übersetzten Eingabe kann u.a. ein zumindest sinngemäss gestelltes Begehren um Haftentlassung entnommen werden.
Der Migrationsdienst des Kantons Bern, das Haftgericht sowie das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement (Abteilung Vollzugsunterstützung) schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat von der Möglichkeit, sich ergänzend vernehmen zu lassen, nicht Gebrauch gemacht.
2. 2.1 Ein Ausländer darf zur Sicherstellung des Vollzugs eines erstinstanzlichen Weg- oder Ausweisungsentscheids in Ausschaffungshaft genommen bzw. in dieser belassen werden, wenn konkrete Anzeichen befürchten lassen, dass er sich der Ausschaffung entziehen will, insbesondere weil sein bisheriges Verhalten darauf schliessen lässt, dass er sich behördlichen Anordnungen widersetzt (Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG [SR 142.20], "Untertauchensgefahr"). Dies ist nach der Rechtsprechung regelmässig der Fall, wenn er bereits einmal untergetaucht ist, durch erkennbar unglaubwürdige und widersprüchliche Angaben die Vollziehungsbemühungen zu erschweren versucht oder sonst klar zu erkennen gibt, dass er auf keinen Fall in sein Heimatland zurückzukehren bereit ist (BGE 128 II 241 E. 2.1 S. 243; 125 II 369 E. 3b/aa S. 375; 122 II 49 E. 2a S. 51).
2.2 Der Beschwerdeführer ist zunächst formlos und dann im Asylverfahren aus der Schweiz weggewiesen worden. Der Asylentscheid ist mittlerweile rechtskräftig geworden (vgl. Urteil der Schweizerischen Asylrekurskommission vom 15. Januar 2004). Die angeordnete, verlängerte Ausschaffungshaft dient der Sicherstellung des Vollzugs der Wegweisung. Der Beschwerdeführer erfüllt aufgrund seines bisherigen Verhaltens nach wie vor den Haftgrund der Untertauchensgefahr nach Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG (langer illegaler Aufenthalt, Besitz gefälschter Papiere, erklärter Widerstand gegen eine Ausreise in die Türkei).
Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind - insbesondere nicht gesagt werden kann, dass sich die Ausreise nicht in absehbarer Zeit organisieren liesse (vgl. die Vernehmlassung des EJPD, wonach für den Beschwerdeführer inzwischen ein Ersatzreisedokument ["Laissez-Passer"] erhältlich gemacht werden konnte; vgl. auch Nichteintretensentscheid der Schweizerischen Asylrekurskommission vom 15. Januar 2004) - ist die Verlängerung der Ausschaffungshaft damit zu Recht genehmigt worden. Was der Beschwerdeführer gegen seine Ausschaffung sonst noch vorbringt (Bedrohung durch Gläubiger usw.), bildet nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens, in dem lediglich die Rechtmässigkeit der Haft, nicht dagegen die Zulässigkeit der Wegweisung zu beurteilen ist (BGE 128 II 193 ff.; 125 II 217 E. 2 S. 220, mit Hinweisen).
Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind - insbesondere nicht gesagt werden kann, dass sich die Ausreise nicht in absehbarer Zeit organisieren liesse (vgl. die Vernehmlassung des EJPD, wonach für den Beschwerdeführer inzwischen ein Ersatzreisedokument ["Laissez-Passer"] erhältlich gemacht werden konnte; vgl. auch Nichteintretensentscheid der Schweizerischen Asylrekurskommission vom 15. Januar 2004) - ist die Verlängerung der Ausschaffungshaft damit zu Recht genehmigt worden. Was der Beschwerdeführer gegen seine Ausschaffung sonst noch vorbringt (Bedrohung durch Gläubiger usw.), bildet nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens, in dem lediglich die Rechtmässigkeit der Haft, nicht dagegen die Zulässigkeit der Wegweisung zu beurteilen ist (BGE 128 II 193 ff.; 125 II 217 E. 2 S. 220, mit Hinweisen).
3. Die offensichtlich unbegründete Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist damit im Verfahren nach Art. 36a OG (summarische Begründung) abzuweisen.
Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Es rechtfertigt sich jedoch, praxisgemäss von der Erhebung einer Gerichtsgebühr abzusehen (Art. 154 und Art. 153a OG).
Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern und dem Haftgericht III Bern-Mittelland sowie dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement (Abteilung Vollzugsunterstützung) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2004
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: