Sachverhalt:
A. Der 1963 geborene V._ war als Schweisser in der Firma S._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Er verunfallte am 3. April 2002 ein erstes Mal, als bei der Arbeit ein Hebemagnet gegen sein linkes Knie stiess. Am 21. Oktober 2002 erlitt V._ zudem als Lenker eines VW Sharan einen Heckauffahrunfall, wobei er sich eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) zuzog. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht aus den beiden Unfällen und erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Es folgten verschiedene medizinische Behandlungen, insbes. am 15. April und 18. November 2003 zwei Arthroskopien am linken Knie sowie vom 1. September bis 6. Oktober 2004 eine stationäre Rehabilitation. Nach verschiedenen Sachverhaltsabklärungen eröffnete die SUVA dem Versicherten mit zwei Verfügungen vom 3. Dezember 2004, die Leistungen aus den beiden Unfällen würden mit dem 31. Dezember 2004 eingestellt. Zur Begründung führte sie aus, die noch bestehenden Beschwerden seien nicht Unfallfolge. V._ erhob gegen diese Verfügungen je Einsprache. Die von seinem Krankenversicherer eingereichten Einsprachen wurden wieder zurückgezogen. Mit einer weiteren Verfügung vom 26. April 2006 erklärte sich die SUVA in Bezug auf eine Belastungsschmerz-Problematik am rechten Knie für nicht leistungspflichtig. V._ führte auch hiegegen Einsprache. Die SUVA trat auf die Einsprache gegen die Verfügung vom 26. April 2006 nicht ein; die Einsprachen des Versicherten gegen die Verfügungen vom 3. Dezember 2004 wies sie ab (Einspracheentscheid vom 9. Oktober 2006).
B. V._ reichte Beschwerde ein mit dem Rechtsbegehren, die SUVA sei in Aufhebung des Einspracheentscheides vom 6. Oktober 2006 zu verpflichten, die gesetzlichen Versicherungsleistungen auszurichten; zudem beantragte er, das Verfahren sei bis zum Vorliegen eines von der Invalidenversicherung veranlassten MEDAS-Gutachtens zu sistieren. Mit Entscheid vom 14. November 2007 verneinte das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Voraussetzungen für die beantragte Sistierung, und es wies die Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt V._ sein vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern. Er legt das MEDAS-Gutachten vom 30. August 2007 bei.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Den Parteien wurde die Gelegenheit geboten, ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109 zu ergänzen. Während die SUVA darauf verzichtet, lässt V._ mit Eingabe vom 10. April 2008 Stellung nehmen. Er stellt dabei neu Antrag auf Rückweisung der Sache an den Unfallversicherer.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Vorinstanz hat zunächst erkannt, die kantonale Beschwerde setze sich mit dem Einspracheentscheid vom 9. Oktober 2006 nicht auseinander, soweit darin auf die Einsprache gegen die Verfügung vom 26. April 2006 (betreffend Beschwerden am rechten Knie) nicht eingetreten wurde. Diese formelle Verfahrenserledigung durch die SUVA bilde daher nicht Gegenstand des kantonalen Prozesses.
Der Versicherte äussert sich dazu letztinstanzlich nicht, womit sich Weiterungen erübrigen.
3. Streitig und zu prüfen ist, ob die SUVA ihre Leistungen aus den Unfällen vom 3. April und 21. Oktober 2002 zu Recht auf den 31. Dezember 2004 eingestellt hat. Dabei stehen Restfolgen der bei diesen Ereignissen erlittenen Verletzungen am linken Knie und im Bereich der HWS zur Diskussion. Eine allfällige Unfallkausalität von ebenfalls aufgetretenen Beschwerden im lumbalen Rückenbereich wird nicht behauptet. Hingegen wird überdies geltend gemacht, es bestehe eine unfallbedingte psychische Problematik.
Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die massgeblichen Bestimmungen und die Grundsätze zu dem für eine Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die Erwägungen über den Wegfall der Leistungspflicht des Versicherers bei Erreichen des Zustandes, wie er vor dem Unfall vorlag resp. ohne diesen vorliegen würde (status quo ante vel sine), und über die zu beachtenden Beweisregeln. Darauf wird verwiesen.
4. Es stellt sich zunächst die Frage der prozessualen Zulässigkeit des erst letztinstanzlich aufgelegten MEDAS-Gutachtens, zumal dieses vom 30. August 2007 datiert und mithin deutlich vor Erlass des angefochtenen Entscheides vom 14. November 2007 vorlag. Diese Frage kann indessen offen bleiben, da die Expertise die vorliegend streitigen Leistungsansprüche ohnehin nicht zu stützen vermöchte, wie die folgenden Erwägungen zeigen. Damit erübrigen sich auch Weiterungen dazu, ob die Vorinstanz gehalten gewesen wäre, das Beschwerdeverfahren bis zum Vorliegen des MEDAS-Gutachtens zu sistieren.
5. 5.1 In Bezug auf das linke Knie ist zunächst festzuhalten, dass bereits vor dem Unfall vom 3. April 2002 Beschwerden bestanden. Diese wiesen aber nach einer am 25. September 2000 vorgenommenen Arthroskopie nurmehr eine geringe Intensität auf. Nach dem Ereignis vom 3. April 2002 traten erneut erhebliche Schmerzen auf, weswegen am 15. April und am 18. November 2003 zwei weitere Arthroskopien (die erste mit Teilresektion des medialen Meniskushinterhorns und Narbenresektion infrapatellär, die zweite mit subtotaler Resektion des medialen Meniskushinterhorns) durchgeführt wurden. Trotz dieser Eingriffe und weiterer Behandlungsmassnahmen, unter anderem während des Aufenthaltes in der Rehaklinik X._ vom 1. September bis 6. Oktober 2004, persistierten Beschwerden am linken Knie. Umstritten ist, ob dem Unfall vom 3. April 2002 für diese Beschwerden über den 31. Dezember 2004 hinaus noch eine kausale Bedeutung zukommt.
5.2 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, spätestens am 31. Dezember 2004 hätten keine behandlungsbedürftigen Restfolgen am linken Knie mehr vorgelegen. Es stützt sich dabei namentlich auf die Ärztlichen Beurteilungen des Dr. med. L._, Facharzt FMH für Orthopädische Medizin, Facharzt Manuelle Medizin SAMM, Abteilung Versicherungsmedizin der SUVA, vom 4. März 2006 und 6. Februar 2007.
Dass das linke Knie über den 31. Dezember 2004 hinaus unfallbedingt noch einer ärztlichen Behandlung bedurfte, wird vom Versicherten, nach Lage der medizinischen Akten zu Recht, nicht behauptet. Geltend gemacht wird vielmehr, damit sei noch nichts zur Frage einer unfallkausalen Einschränkung der Arbeitsfähigkeit durch die Knieproblematik gesagt.
5.3 Wie im angefochtenen Entscheid dargelegt, hat sich Dr. med. L._ auch zu letzterem Gesichtspunkt geäussert. Danach besteht aufgrund der radiologischen Befunde und der bestehenden Symptomatik sicher eine Beeinträchtigung. Diese ist indessen mit allergrösster Wahrscheinlichkeit auf die durch das massive Übergewicht des Versicherten getriggerte und höchstwahrscheinlich auch beschleunigt beginnende Gonarthrose zurückzuführen. Gemäss Dr. med. L._ liegt auch keine bleibende organische Schädigung nach sanierter Meniskussituation mehr vor und besteht demnach unfallbedingt keine relevante Einschränkung der Zumutbarkeit resp. Arbeitsfähigkeit im Bereich des linken Knies mehr.
Die fachärztliche Beurteilung durch Dr. med. L._ beruht auf einer sorgfältigen Analyse der Befunde, welche mittels bildgebender Verfahren, bei den operativen Eingriffen und aufgrund klinischer Präsentation erhoben wurden. Die vom Orthopäden gezogenen Schlüsse sind überzeugend begründet. Sie stehen namentlich auch im Einklang mit den übrigen ärztlichen Stellungnahmen. Hervorzuheben ist, dass an der Rehaklinik X._ gemäss Austrittsbericht vom 5. November 2004 auch mittels bildgebender Untersuchungen keine pathologischen Befunde mehr objektiviert werden konnten. Eine Skelettszintigraphie vom 14. Dezember 2004 ergab eine mässige Speichervermehrung im Bereich der Tuberositas tibiae und im medialen linken Kniegelenksspalt. Der untersuchende Radiologe betrachtete die Anreicherung in der Gegend der Tuberositas - wie schon bei einer vorangegangenen Szintigraphie vom 7. März 2003 - als aetiologisch schwierig zuzuordnen. Den Befund im Kniegelenkspalt deutete er als beginnende mediale Gonarthrose links (Bericht Dr. med. C._, Radiologie und Nuklearmedizin FMH, vom 14. Dezember 2004). Auch Dr. med. J._, Orthopädische Chirurgie FMH, gelangte gemäss Bericht vom 23. Dezember 2004 - bei im übrigen unauffälligen Befunden - zum Ergebnis, die Szintigraphie weise auf eine beginnende mediale Gonarthrose hin. Inwieweit diese für die geklagten Beschwerden ursächlich sei, sei schwierig zu beantworten.
Die von Dr. med. L._ getroffenen Schlüsse lassen sich mit diesen spezialärztlichen Aussagen und den weiteren medizinischen Akten ohne weiteres vereinbaren. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung sind keine Widersprüche auszumachen, welche Zweifel an der Verlässlichkeit der Aussagen des Dr. med. L._ zu begründen vermöchten. Die übrigen Einwände des Versicherten verfangen ebenfalls nicht. Das gilt insbesondere auch, soweit geltend gemacht wird, die Fragestellung an den Versicherungsmediziner sei zu wenig klar gewesen. Massgebend ist, ob Dr. med. L._ zu den relevanten Gesichtspunkten überzeugend Stellung genommen hat. Dies trifft zu.
Demnach ist mit überwiegender Wahrscheinlichkeit davon auszugehen, dass eine über den 31. Dezember 2004 bestandene Einschränkung der Arbeitsfähigkeit nicht mehr Folge der unfallbedingten Verletzung am linken Knie ist. Das MEDAS-Gutachten vom 30. August 2007 enthält keine Aussagen, welche eine andere Betrachtungsweise zu rechtfertigen vermöchten. Es kann im Übrigen auf die einlässliche Darstellung und Würdigung der medizinischen Akten im angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
6. 6.1 Das kantonale Gericht hat sich im Weiteren mit der Frage der Unfallkausalität der persistierenden Beschwerden im HWS-Bereich befasst. Es ist zum Ergebnis gelangt, die beim Unfall vom 21. Oktober 2002 erlittene HWS-Distorsion sei überwiegend wahrscheinlich spätestens bei der Einstellung der Leistungen auf den 31. Dezember 2004 vollständig abgeheilt gewesen. Für die noch bestehenden Beschwerden liege kein organisch konkret fassbarer Befund vor. Sodann sei auch nicht das für Schleudertrauma-Verletzungen typische Beschwerdebild aufgetreten. Der natürliche Kausalzusammenhang zwischen der Auffahrkollision vom 21. Oktober 2002 und den noch geklagten Beschwerden sei daher zu verneinen.
Der Versicherte bejaht die Unfallkausalität der noch geklagten Beschwerden. Zur Begründung führt er aus, das typische Beschwerdebild sei entgegen dem angefochtenen Entscheid gegeben. Es liege überdies eine natürlich unfallkausale psychische Beeinträchtigung vor. Nebst dem natürlichen sei auch der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 21. Oktober 2002 und den noch bestehenden Beschwerden erfüllt.
6.2 Dass die noch geklagten Beschwerden mit einem unfallbedingten organisch klar fassbaren Substrat erklärt werden können, wird vom Versicherten, nach Lage der medizinischen Akten (u.a. Gutachten des Universitätsspitals Y._, Rheumaklinik und Institut für Physikalische Medizin, vom 2. März 2004 und Austrittsbericht der Rehaklinik X._ vom 5. November 2004) und deren zutreffender Würdigung im angefochtenen Entscheid zu Recht, nicht geltend gemacht. Zur Diskussion steht damit eine Leistungspflicht des Unfallversicherers aufgrund organisch nicht objektiv ausgewiesener Beschwerden.
6.2.1 Dabei ist zunächst umstritten, ob sich der Versicherte beim Unfall vom 21. Oktober 2002 eine Verletzung im Sinne der sog. Schleudertrauma-Praxis zugezogen hat. In BGE 117 V 359 E. 4b S. 360 wurde hiezu erkannt, dass bei diagnostiziertem Schleudertrauma der HWS (medizinisch auch kraniozervikales Beschleunigungstrauma genannt, vgl. BGE 134 V 109 E. 6.2.2 S. 117) und Vorliegen eines für diese Verletzung typischen Beschwerdebildes (mit einer Häufung von Beschwerden wie diffuse Kopfschmerzen, Schwindel, Konzentrations- und Gedächtnisstörungen, Übelkeit, rasche Ermüdbarkeit, Visusstörungen, Reizbarkeit, Affektlabilität, Depression, Wesensveränderung usw.) der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und der danach eingetretenen Arbeits- und Erwerbsfähigkeit in der Regel anzunehmen ist. In BGE 134 V 109 E. 9.1 - 9.5 S. 122 ff. wurden die Anforderungen an den Nachweis einer solchen Verletzung näher umschrieben.
Im vorliegenden Fall ist die Diagnose einer beim Unfall vom 21. Oktober 2002 erlittenen HWS-Distorsion unbestritten. Die für ein Schleudertrauma typischen Beschwerden traten indessen nur zu einem geringen Teil auf. Anfänglich wurden über geraume Zeit ausschliesslich Nackenschmerzen geklagt. Erst bei der am 2. Februar 2004 durchgeführten Begutachtung am Universitätsspital Y._ erwähnte der Versicherte - nebst Schlafstörungen - auch Schwindel und Schmerzen im Bereich des Hinterkopfes an, wobei er aber angab, diese Beschwerden träten nur gelegentlich auf. Die Gutachter des Universitätsspitals Y._ kamen dann auch zum Ergebnis, das HWS-Distorsionstrauma sei eher geringen Ausmasses, zumal zu keiner Zeit neuropsychologische Probleme geklagt worden seien (Gutachten des Universitätsspitals Y._ vom 2. März 2004). Im Austrittsbericht der Rehaklinik X._ vom 5. November 2004 werden nebst Schmerzen im Bereich der HWS ebenfalls einzig Schlafstörungen, gelegentlicher Schwindel sowie Schmerzen im Bereich des Hinterkopfes erwähnt. Und auch dem vom Versicherten eingeholten Gutachten des Dr. med. H._, Facharzt FMH für Neurologie, Computer-Tomographie, vom 14. Februar 2006 und den weiteren medizinischen Akten lässt sich nicht entnehmen, dass die schleudertrauma-typischen Beschwerden gehäuft aufgetreten wären. Das kantonale Gericht hat mithin zu Recht erkannt, dass die noch bestehenden Beschwerden nicht natürlich kausal mit der beim Unfall vom 21. Oktober 2002 erlittenen HWS-Distorsion zusammenhängen.
Hieran vermag auch die, ohnehin erst rund 5 Jahre nach dem Unfall gestellte, psychiatrische Diagnose einer anhaltenden affektiven Störung mit leichtgradiger depressiver Symptomatik und somatischem Syndrom im MEDAS-Gutachten vom 30. August 2007 nichts zu ändern. Abgesehen davon hat der Versicherte das Auftreten von Schwindel gegenüber den MEDAS-Experten verneint. Diese sind überdies zum Ergebnis gelangt, die noch geklagten Nackenschmerzen stünden im Zusammenhang mit unfallunabhängigen degenerativen Bandscheibenveränderungen.
6.2.2 Zu prüfen bleibt, ob - wie weiter geltend gemacht - ein Leistungsanspruch unter dem Gesichtspunkt einer unfallbedingten psychischen Gesundheitsschädigung besteht. Das trifft nicht zu. Dass der Versicherte eine psychische Fehlentwicklung nach dem Unfall aufweisen könnte, wurde in keinem der zahlreichen Arztberichte, welche dem Versicherungsträger und dem kantonalen Gericht vorgelegen haben, auch nur als Möglichkeit erwähnt. Erst im MEDAS-Gutachten vom 30. August 2007 wird die zuvor (E. 6.2.1) genannte Diagnose gestellt. Ein kausaler Zusammenhang zwischen der psychischen Problematik und den Unfällen erscheint aufgrund der dazwischen verstrichenen rund fünf Jahre wenig wahrscheinlich und wird in der Expertise auch nicht bestätigt. Die MEDAS-Ärzte sind überdies zum Ergebnis gelangt, die Arbeitsfähigkeit sei durch die psychische Problematik nicht beeinträchtigt. Und soweit sie eine medizinische Behandlung empfehlen, hätte diese lediglich zum Ziel, die als intakt betrachteten psychischen Ressourcen zu stützen und die Bewältigungsstrategien des Versicherten zu verbessern. Ein unfallversicherungsrechtlich relevantes psychisches Leiden ist damit nicht dargetan.
6.3 Zusammenfassend liegt keine natürlich unfallkausale Gesundheitsschädigung vor, welche über den 31. Dezember 2004 hinaus einen Leistungsanspruch zu begründen vermöchte. Die Leistungseinstellung erfolgte demnach zu Recht.
Sämtliche Vorbringen des Versicherten führen zu keinem anderen Ergebnis. Das gilt insbesondere auch, soweit weitere medizinische Abklärungen verlangt werden. Der rechtsrelevante Sachverhalt ist genügend abgeklärt und es ist nicht zu erwarten, dass zusätzliche Beweismassnahmen einen entscheidrelevanten neuen Aufschluss bringen. Dem Beschwerdeführer kann ebenfalls nicht gefolgt werden, soweit er den Zeitpunkt der Leistungseinstellung mit der Begründung beanstandet, es habe noch ein medizinischer Behandlungsbedarf bestanden. Die weitere Ausrichtung der gesetzlichen Leistungen hätte vorausgesetzt, dass entweder von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung eine namhafte Besserung des - unfallbedingt beeinträchtigten - Gesundheitszustandes zu erwarten gewesen wäre oder aber allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) noch nicht abgeschlossen waren (Art. 19 Abs. 1 UVG; BGE 134 V 109 E. 4 S. 113 ff.). Ersteres kann aufgrund der medizinischen Akten zuverlässig ausgeschlossen werden, und Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung stehen nicht zur Diskussion. Die Einstellung der Leistungen erfolgte daher auch unter diesem Gesichtspunkt zu Recht.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Oktober 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz