Faits:
A. Après avoir travaillé plusieurs années au sein du service Y._ de l'Hôpital X._, M._ a été transférée en 1998 au service Z._. Le 19 mars 2009, l'employeur lui a adressé un avertissement, en raison d'une altercation entre elle et une collègue de travail.
Le 26 mai 2010, M._ a eu un entretien avec le chef du service V._ de l'Hôpital et le chef du service des ressources humaines, S._, au cours duquel ils lui ont reproché des comportements inappropriés et proposé de l'affecter à un autre site, au service Y._. Dans l'après-midi du même jour, l'intéressée a eu une altercation avec l'une de ses collègues, F._. Le lendemain, le 27 mai 2010, l'Hôpital X._ a signifié à M._ la résiliation immédiate de son contrat de travail pour justes motifs (courrier signé par S._ et B._, Chef du département Finances et services). Par courriers des 1er juin et 1er juillet 2010, M._ a contesté la résiliation avec effet immédiat, ensuite de quoi l'employeur a saisi la Commission paritaire de l'Hôpital X._. Lors d'une séance tenue le 14 septembre 2010, la Commission est arrivée à la conclusion que la Convention collective de travail pour le personnel de l'Hôpital X._ (ci-après: CCT) avait été respectée et qu'il ne lui appartenait pas d'établir si le juste motif de résiliation était "recevable", seul un tribunal disposant des compétences pour statuer à ce sujet. Le 7 mars 2011, l'Hôpital X._ a déclaré irrecevable l'opposition de M._ pour cause de tardiveté, en précisant que dût-elle être considérée comme recevable, elle aurait de toute façon dû être rejetée. Cette décision était exécutoire nonobstant recours.
B. M._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour administrative, en concluant à son annulation et à ce que l'Hôpital X._ soit condamné à lui verser une indemnité de six mois de salaire en raison de la résiliation injustifiée de son contrat de travail avec effet immédiat. En cours de procédure, elle a retiré sa conclusion relative au paiement en sa faveur de l'indemnité sollicitée, dans la mesure où elle requérait sa réintégration. Après avoir ordonné l'édition du dossier pénal ouvert à la suite de la plainte déposée par M._ contre F._, la comparution personnelle des parties et l'audition de différentes personnes appelées à fournir des renseignements, la Cour administrative du Tribunal cantonal jurassien a rejeté le recours, par jugement du 29 novembre 2011.
C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, elle conclut principalement à l'annulation de la résiliation du contrat de travail avec effet immédiat et à ce que soit ordonnée sa réintégration au sein de l'Hôpital X._. A titre subsidiaire, elle requiert le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement au sens des considérants. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
l'Hôpital X._ conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. Le Tribunal cantonal s'est déterminé dans le même sens. Les parties se sont exprimées sur leurs écritures respectives.
Considérant en droit:
1. Le jugement entrepris a été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Dans la mesure où la contestation porte principalement sur la réintégration de la recourante, il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La valeur litigieuse atteint par ailleurs le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF).
Pour le surplus, interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF), le recours en matière de droit public est recevable. Il l'est également sous l'angle des art. 42 et 106 al. 2 LTF relatif aux exigences de motivation du recours, quoi qu'en dise l'intimé, dès lors que l'argumentation de la recourante est suffisamment précise pour répondre à celles-ci. En particulier, en exposant en quoi son droit d'être entendue avait été violé par l'intimé, elle s'en prend également au raisonnement des premiers juges qui n'ont pas admis son grief et, partant, à leur jugement conformément à l'art. 86 al. 1 let. d LTF.
2. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
Par ailleurs, sauf dans les cas prévus par l'art. 95 let. c à e LTF, qui n'entrent pas en considération en l'espèce, le Tribunal fédéral n'examine la mauvaise application du droit cantonal que si elle constitue une violation du droit fédéral (cf. art. 95 LTF) parce qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4; 133 III 462 consid. 2.3 p. 466; 133 II 249 consid. 1.2.1 p. 251).
3. Sous le titre "Fin des rapports de travail", l'art. 2.5 de la CCT, qui s'applique aux collaborateurs et collaboratrices des sites rattachés à l'Hôpital X._, prévoit que "les rapports de travail prennent fin dans les cas suivants: (...) g) résiliation du contrat de travail pour justes motifs. Selon l'art. 2.5.3 ("Résiliation immédiate du contrat de travail pour de justes motifs") de la CCT, "l'employeur et la collaboratrice peuvent résilier immédiatement le contrat de travail en tout temps pour de justes motifs; la partie qui résilie immédiatement le contrat doit motiver sa décision par écrit avec indication des voies et du délai de recours, ce dernier étant de 30 jours. Si les motifs se révèlent injustifiés, la collaboratrice, à sa demande, est réintégrée".
En ce qui concerne la procédure en cas de litige, l'art. 9.2 "Voies de droit" prévoit ceci:
"En cas de litige, la collaboratrice a le droit de se faire représenter par une personne de son choix.
Les litiges entre la collaboratrice et l'employeur qui ne peuvent être aplanis à l'amiable sont réglés selon la procédure suivante:
a) plainte / opposition écrite auprès de l'employeur;
b) l'employeur communique l'objet du litige à la commission paritaire. Il attend la position de la commission paritaire pour rendre sa décision écrite sur plainte / opposition, avec voie et délai de recours;
c) recours aux tribunaux ordinaires."
4. La recourante se plaint tout d'abord d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), en invoquant qu'elle n'a pas été entendue entre les événements du 26 mai 2010 et la décision du lendemain, par laquelle les rapports de travail ont été résiliés avec effet immédiat. Elle reproche aux premiers juges d'avoir admis que la violation du droit d'être entendue qu'ils ont constatée avait été réparée en procédure d'opposition. Selon elle, la guérison de la violation du droit d'être entendu ne doit être admise qu'exceptionnellement, par exemple lorsque la violation est de peu de gravité et (cumulativement) que la réparation du vice est dans l'intérêt de l'administré.
5. 5.1 Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit entraîner l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recourant sur le fond (ATF 132 V 387 consid. 5.1 p. 390; 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437). Le contenu du droit d'être entendu et les modalités de sa mise en oeuvre sont déterminés en premier lieu par les dispositions de droit cantonal de procédure, dont le Tribunal fédéral ne revoit l'application et l'interprétation que sous l'angle restreint de l'arbitraire; il examine en revanche librement si les garanties minimales consacrées par le droit constitutionnel fédéral sont respectées (ATF 134 I 159 consid. 2.1.1 p. 161; consid. 5.2 non publié aux ATF 136 I 39 de l'arrêt 8C_158/2009 du 2 septembre 2009 et les arrêts cités).
Le droit d'être entendu est concrétisé à l'art. 2.5.2 let. b de la CCT, invoqué par la recourante, selon lequel avant de prononcer la résiliation du contrat de travail, l'employeur entend la collaboratrice et lui donne la possibilité de s'exprimer notamment sur les motifs invoqués contre elle. La recourante ne prétend pas que cette norme accorde une garantie du droit d'être entendu allant au-delà de celle de l'art. 29 al. 2 Cst., de sorte que son grief peut être examiné exclusivement à la lumière de la disposition constitutionnelle fédérale.
5.2 Le droit d'être entendu sert non seulement à établir correctement les faits, mais constitue également un droit indissociable de la personnalité garantissant à un particulier de participer à la prise d'une décision qui touche sa position juridique. Il comprend, en particulier, le droit pour la personne concernée de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, celui de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision, celui d'avoir accès au dossier, celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos. En tant que droit de participation, le droit d'être entendu englobe donc tous les droits qui doivent être attribués à une partie pour qu'elle puisse faire valoir efficacement son point de vue dans une procédure (ATF 132 II 485 consid. 3.2 p. 494; 129 II 497 consid. 2.2 p. 504 s., et les références). L'étendue du droit de s'exprimer ne peut pas être déterminée de manière générale, mais doit être définie au regard des intérêts concrètement en jeu. L'idée maîtresse est qu'il faut permettre à une partie de pouvoir mettre en évidence son point de vue de manière efficace (ATF 111 Ia 273 consid. 2b p. 274; 105 Ia 193 consid. 2b/cc p. 197).
En matière de rapports de travail de droit public, des occasions relativement informelles de s'exprimer avant le licenciement peuvent remplir les exigences du droit constitutionnel d'être entendu, pour autant que la personne concernée ait compris qu'une telle mesure pouvait entrer en ligne de compte à son encontre (arrêts 1C_560/2008 du 6 avril 2009 et 1C_103/2007 du 7 décembre 2007 consid. 5.3). La personne concernée ne doit pas seulement connaître les faits qui lui sont reprochés, mais doit également savoir qu'une décision allant dans une certaine direction est envisagée à son égard (consid. 5.1 non publié aux ATF 136 I 39 de l'arrêt 8C_158/2009 du 2 septembre 2009 et les arrêts cités). Il n'est pas admissible, sous l'angle du droit d'être entendu, de remettre à l'employé une décision de résiliation des rapports de service en se contentant de lui demander de s'exprimer s'il le désire (GABRIELLE STEFFEN, Le droit d'être entendu du collaborateur de la fonction publique: juste une question de procédure?, in RJN 2005, p. 51 ss, plus spécialement p. 64).
5.3 Des faits constatés par la juridiction cantonale, il ressort que le licenciement de l'intimée a été prononcé le 27 mai 2010, sans que la recourante ait été entendue au préalable à ce sujet. Il s'agit là d'une violation manifeste de son droit d'être entendue, dès lors qu'elle n'a pas eu l'occasion de s'exprimer avant que la résiliation avec effet immédiat ne lui soit communiquée.
L'intimé, qui soutient le contraire en invoquant une appréciation anticipée des preuves - il aurait d'emblée renoncé à entendre la recourante, puisqu'elle aurait de toute façon contredit les déclarations de F._ sur le déroulement de l'altercation du 26 mai 2010 -, confond plusieurs aspects du droit d'être entendu. Celui-ci comprend aussi le droit pour l'intéressé de faire administrer des preuves pertinentes et d'obtenir que soit donné suite à ses offres de preuve; une partie n'a en revanche pas droit à l'administration d'une preuve dépourvue de pertinence, soit parce qu'elle porte sur une circonstance sans rapport avec le litige, soit parce qu'une appréciation anticipée des preuves déjà recueillies démontre qu'elle ne serait pas de nature à emporter la conviction de la juridiction saisie (cf. ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157). Dans le cas particulier, c'est toutefois un autre aspect du droit d'être entendu que celui relatif à l'administration des preuves qui était en jeu et auquel l'intimé a porté atteinte. L'employeur n'a en effet pas respecté le droit de la recourante de s'exprimer avant qu'une décision ne soit rendue à son détriment, à la garantie duquel il ne pouvait renoncer par une appréciation anticipée des preuves. Son argumentation relative à l'absence de violation du droit d'être entendu est donc mal fondée.
5.4 L'omission par l'intimé d'entendre la recourante avant de lui signifier son congé constitue en l'espèce une violation grave de son droit d'être entendue. La décision de l'employeur avait en effet pour objet la résiliation immédiate des rapports de travail (pour justes motifs) et entraînait de lourdes conséquences pour l'intéressée qui se trouvait, du jour au lendemain, privée d'emploi et de salaire (voir arrêt 2P.63/2003 du 29 juillet 2003).
On ne voit pas, par ailleurs, au regard des faits constatés par les premiers juges que des circonstances exceptionnelles eussent permis de faire l'économie du droit d'être entendu, telle que, par exemple, la nécessité d'agir rapidement afin de sauvegarder un intérêt public gravement menacé (ATF 135 I 279 consid. 2.6.5 p. 287; 99 Ia 22 consid. c p. 24 s; MICHELE ALBERTINI, Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör im Verwaltungsverfahren des modernen Staates, thèse, 2000, p. 308). Par conséquent, la résiliation avec effet immédiat ne pouvait être prononcée qu'après que la recourante eut été dûment informée des raisons qui la justifiaient et qu'elle eut pu s'expliquer sur celles-ci et se défendre.
6. 6.1 Selon la jurisprudence, la violation du droit d'être entendu - pour autant qu'elle ne soit pas d'une gravité particulière - est réparée lorsque la partie lésée a la possibilité de s'exprimer devant une autorité de recours jouissant d'un plein pouvoir d'examen. Toutefois, la réparation de la violation du droit d'être entendu doit rester l'exception et n'est admissible que dans l'hypothèse d'une atteinte qui n'est pas particulièrement grave aux droits procéduraux de la partie lésée. Si par contre l'atteinte est importante, il n'est pas possible de remédier à la violation (ATF 135 I 279 consid. 2.6.1 p. 285 et les arrêts cités).
6.2 Se fondant sur ces principes jurisprudentiels, la juridiction cantonale a considéré que le vice de procédure avait été guéri dans la procédure d'opposition consécutive à la décision initiale, puisque la recourante avait pu faire valoir son point de vue et que la décision sur opposition avait été rendue par la même autorité disposant d'un pouvoir d'examen identique.
6.2.1 L'opposition est un moyen de droit permettant au destinataire d'une décision d'en obtenir le réexamen par l'autorité, avant qu'un juge ne soit éventuellement saisi (cf. ATF 125 V 118 consid. 2a p. 121; Grisel, Traité de droit administratif, vol. II, p. 939). L'autorité valablement saisie d'une opposition doit examiner à nouveau sa décision et se prononcer sur les points litigieux; si nécessaire, elle procède dans ce cadre à des mesures d'instruction complémentaires et revoit sa décision au regard de l'état de fait ainsi complété. Sa nouvelle décision ouvre le recours à l'instance supérieure (ATF 131 V 407 consid. 2.1.2.1 p. 411; voir aussi PIERRE MOOR, Droit administratif, vol. II: Les actes administratifs et leur contrôle, 3ème édition, 2011, p. 630 n° 5.3.2.2).
6.2.2 Compte tenu de l'art. 2.5.3 de la CCT, selon lequel la décision portant sur la résiliation immédiate du contrat de travail doit comprendre l'indication "des voies et du délai de recours, ce dernier étant de 30 jours", il apparaît tout d'abord que les parties contractantes de la CCT ont prévu la voie du recours contre la décision de résiliation avec effet immédiat. Il s'agit là d'un moyen de droit qui a pour effet de porter l'affaire devant une autre autorité que celle qui a pris la décision initiale, alors que l'opposition n'a, à l'inverse, pas d'effet dévolutif.
En ce qui concerne ensuite la procédure prévue par l'art. 9.2 de la CCT, que les parties ont apparemment suivie, on ne saurait déduire de cette disposition qu'elle instaure réellement une procédure d'opposition avec toutes les garanties de procédure que cela implique, même si le terme "opposition" y est utilisé. La voie prévue impose en effet à l'employeur de communiquer l'objet du litige à la commission paritaire, dont les décisions "sont indépendantes du droit de porter plainte devant la justice" (art. 8.3.2 par. 2 de la CCT) et qui a la compétence de se prononcer sur l'interprétation de la CCT, de veiller au respect de la CCT et de se prononcer sur les différends qui peuvent survenir, avant de recourir aux tribunaux (art. 8.3.3 par. 1 de la CCT). L'employeur doit alors attendre la position de la commission paritaire avant de rendre sa décision (sur opposition). On peut en déduire que l'employeur confirme ou infirme sa décision initiale en fonction uniquement de la position de la commission paritaire, sans qu'il doive nécessairement procéder à un nouvel examen complet de sa décision initiale après avoir, au besoin, effectué une instruction complémentaire.
Enfin, au vu des pièces au dossier, l'intimé semble s'être contenté de communiquer à la recourante certains documents avec sa décision du 7 mars 2011 (procès-verbaux de la commission paritaire du 14 septembre 2010 et d'audition de trois employés sur les faits survenus le 26 mai 2010, datés des 27 et 28 mai 2010). Il n'apparaît pas que l'employeur ait mené à cet égard une véritable procédure d'opposition, avec une instruction impliquant la possibilité pour la recourante de faire administrer des preuves ou, pour le moins, de se prononcer à leur sujet avant que la nouvelle décision ne soit rendue à son encontre.
6.3 Dans ces circonstances, il ne pouvait, en tout état de cause, être question d'une guérison de la violation du droit d'être entendue de la recourante qui revêt, comme on l'a vu (consid. 5.4 supra), un caractère grave.
6.4 Par ailleurs, ni la juridiction cantonale, ni l'intimé ne prétendent à juste titre que dite guérison aurait pu intervenir en instance cantonale. Lorsqu'elle est saisie d'un recours en matière de droit de la fonction publique, la Cour administrative du Tribunal cantonal jurassien s'impose en effet une certaine réserve dans le contrôle de la validité des décisions de l'autorité d'engagement en vertu de l'art. 122 let. c ch. 2 de la Loi jurassienne de procédure et de juridiction administrative et constitutionnelle (Code de procédure administrative) du 30 novembre 1978 (RS JU 175.1; arrêt de la Chambre administrative du Tribunal cantonal jurassien du 16 juin 1995, publié in RJJ 1995 p. 336 ss). Dans la mesure où la juridiction cantonale ne jouissait pas du même pouvoir d'examen que l'autorité de décision, la violation du droit d'être entendu ne pouvait dès lors pas être réparée dans la procédure de recours, et cela indépendamment de la question de sa gravité.
7. Il résulte de ce qui précède que le jugement entrepris doit être annulé, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs de fond soulevés par la recourante.
Etant donné que l'arrêt attaqué doit être annulé, il n'est pas nécessaire non plus de statuer sur les autres conclusions de la recourante. En effet, il n'incombe pas au Tribunal fédéral, au stade actuel de la procédure, de se prononcer sur les conséquences de l'annulation du jugement entrepris. Il incombera à la Cour administrative du Tribunal cantonal jurassien, à qui la cause doit être renvoyée, de statuer sur ce point, ainsi que sur les frais et dépens de l'instance cantonale (art. 68 al. 5 et 107 al. 2 LTF; arrêt 8C_322/2009 du 9 septembre 2009 consid. 3.2). Il convient dès lors d'annuler uniquement le prononcé entrepris et de renvoyer la cause à la juridiction précédente pour nouveau jugement.
8. Vu l'issue du litige, l'intimé, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF). Il versera par ailleurs à la recourante une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 LTF), de sorte que la demande d'assistance judiciaire qu'elle a déposée est sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour administrative, du 29 novembre 2011 est annulé, la cause étant renvoyée à ladite juridiction pour nouveau jugement.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour administrative.
Lucerne, le 6 juin 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
La Greffière: Moser-Szeless