Sachverhalt:
A. Die 1962 geborene V._ war seit März 2003 in einem 60 Prozent Pensum als Leiterin des Sekretariats des Vereins X._ tätig und dadurch bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 17. Juni 2004 war sie als Lenkerin eines Subaru in eine Auffahrkollision verwickelt, als sie innerorts verkehrsbedingt anhalten musste und der nachfolgende Lenker eines Lieferwagens, der dies zu spät bemerkte, ins Heck ihres Fahrzeugs fuhr. Da der Fahrer des Lieferwagens abrupt bremste, fuhr auch ihm ein Fahrzeug ins Heck. V._ suchte gleichentags die Klinik Y._ auf, wo eine Commotio cerebri und eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert wurden. Im Bericht vom 3. September 2004 wurde eine vom 17. bis 21. Juni 2004 dauernde volle Arbeitsunfähigkeit attestiert mit Wiederaufnahme der bisherigen Erwerbstätigkeit ab 22. Juni 2004. Dr. med. A._ attestierte der Versicherten ab 11. Oktober 2004 wieder eine volle Arbeitsunfähigkeit und wies sie wegen persistierender Schwindelbeschwerden, Kopfschmerzen und Nausea mit Müdigkeit und Erschöpfung zur stationären Rehabilitation in die Klinik Z._ ein, wo sie vom 27. Dezember 2004 bis 20. Januar 2005 behandelt wurde. Laut Austrittsbericht vom 7. Februar 2005 stuften sie die Ärzte ab 27. Januar 2005 als 50 Prozent arbeitsfähig (30 Prozent von 60 Prozent) in der bisherigen Tätigkeit ein, wobei ab 17. Februar 2005 eine schrittweise Steigerung auf das ursprüngliche Pensum zumutbar sei. Die Zürich erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Schreiben vom 1. Juni 2005 berichtete Dr. med. B._ von einer deutlichen Besserung der Beschwerden. Dr. med. A._ attestierte am 30. Dezember 2005 eine volle Arbeitsfähigkeit ab 1. Mai 2005. Im Bericht vom 21. Juli 2006 ging er indessen wieder von einer vollen Arbeitsunfähigkeit ab 19. Juni 2006 aus. Seit April 2006 unterzog sich die Versicherte zudem bei Dr. med. C._ einer ambulanten psychiatrischen Behandlung. Mit Verfügung vom 18. September 2007 verneinte die Zürich ihre Leistungspflicht für die ab 31. Mai 2005 bestehenden und behandelten Beschwerden mit der Begründung, diese stünden nicht in einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 10. Januar 2008 fest.
B. Die von V._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 14. Januar 2009 dahingehend gut, als es den Einspracheentscheid vom 10. Januar 2008 aufhob und die Sache im Sinne der Erwägungen zur Durchführung einer medizinischen Kausalitätsbeurteilung für die Zeit ab 1. Juni 2005 und zu neuer Verfügung an die Zürich zurückwies.
C. Die Zürich führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 10. Januar 2008 sei zu bestätigen.
Während V._ auf Abweisung der Beschwerde schliessen lässt und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege beantragt, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Das kantonale Gericht hat erwogen, die Versicherte habe anlässlich des Unfalles vom 17. Juni 2004 eine Beschleunigungsverletzung der HWS erlitten und in der Folge an dem für ein Schleudertrauma der HWS typischen Beschwerdebild gelitten. Anders als die Beschwerdeführerin im Einspracheentscheid vom 10. Januar 2008 hat es die natürliche Kausalität des Verkehrsunfalles für die ab 31. Mai 2005 noch vorhandenen Beschwerden nicht ausdrücklich verneint, sondern die Frage offen gelassen, da sie sich seiner Ansicht nach aufgrund der medizinischen Aktenlage nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit beurteilen lässt. Es nahm sodann eine besondere Adäquanzprüfung vor, wie sie von der Rechtsprechung für Unfälle mit Schleudertrauma, äquivalenter Verletzung der HWS oder Schädel-Hirntrauma ohne organisch objektiv ausgewiesene Beschwerden entwickelt worden ist (BGE 134 V 109). Dabei kam es zum Schluss, es seien drei der relevanten Kriterien erfüllt. Da dem Unfall somit eine adäquanzrechtlich massgebende Bedeutung für die über den 31. Mai 2005 hinaus andauernden Beschwerden zukomme, habe die Zürich den medizinischen Sachverhalt zu ergänzen und anschliessend darüber zu befinden, ob auch der für eine Leistungszusprechung erforderliche natürliche Kausalzusammenhang gegeben sei. Zu diesem Zweck wies die Vorinstanz die Sache an die Beschwerdeführerin zurück.
1.2 Ein rechtsgenüglicher Kausalzusammenhang ist eine Anspruchsvoraussetzung unter anderen im Zusammenhang mit Leistungen der Unfallversicherung (vgl. BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111). Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich somit, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (vgl. dazu SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 E. 1.1), um einen - selbständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481 f. mit Hinweisen). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeizuführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1.3 Rechtsprechungsgemäss bewirkt eine Rückweisung in der Regel keinen irreversiblen Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG, da der Rechtsuchende ihn später zusammen mit dem neu zu fällenden Endentscheid wird anfechten können (vgl. Art. 93 Abs. 3 BGG). Anders verhält es sich allerdings für die Verwaltung bzw. den Versicherungsträger, wenn diese durch den Rückweisungsentscheid gezwungen werden, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen. Diesfalls kann bereits dieser Entscheid angefochten werden, ohne dass der Endentscheid abgewartet werden müsste (BGE 133 V 477 E. 5.2 S. 483).
1.4 Im Umstand, dass der vorinstanzliche Gerichtsentscheid verbindliche Anordnungen hinsichtlich des Vorliegens einer adäquanzrechtlichen Bedeutung des Unfalles vom 17. Juni 2004 über den 31. Mai 2005 hinaus enthält und den Unfallversicherer verpflichtet, ergänzende medizinische Abklärungen zum natürlichen Kausalzusammenhang zu treffen, obwohl dieser der Auffassung ist, dass es ohnehin an der Anspruchsvoraussetzung des adäquaten Kausalzusammenhangs fehlt, zumal selbst bei Vorliegen der drei von der Vorinstanz bejahten Kriterien dem Unfall keine massgebende Bedeutung für die Entstehung der Arbeits- bzw. Erwerbsunfähigkeit zugesprochen werden könne, liegt ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne des Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG begründet. Auf die Beschwerde der Zürich ist daher einzutreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Streitig ist, ob die Versicherte aus dem Unfall vom 17. Juni 2004 über den 31. Mai 2005 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich den für einen Leistungsanspruch vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen sowie bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden nach Unfall im Besonderen, mit den sich jeweils stellenden Beweisfragen. Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Das kantonale Gericht ging gestützt auf die medizinischen Unterlagen davon aus, es würden keine organisch objektiv nachweisbare Unfallfolgen vorliegen, welche die ab Ende Mai 2005 bestehenden Beschwerden zu erklären vermöchten. Insbesondere könne der mittels funktioneller Magnetresonanztomographie vom August 2006 erhobene Befund eines Teilrisses des Ligamentum alare nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit als unfallbedingte organische Schädigung betrachtet werden. Auch fänden sich keine Anhaltspunkte dafür, dass der Unfall vom 17. Juni 2004 die Diskushernie C5/6 und die konsekutive Spinalkanalstenose verursacht haben könnte. Zudem seien unmittelbar nach dem Unfall keine typischen Symptome einer Diskushernie aufgetreten. Das ist nach Lage der Akten richtig und lässt sich im Lichte der Rechtsprechung zur Leistungspflicht des Unfallversicherers bei Diskushernien (vgl. Urteil 8C_614/2007 vom 10. Juli 2008 E. 4.1 mit Hinweisen; siehe auch SVR 2008 UV Nr. 36 S. 137, 8C_637/2007) nicht beanstanden.
4.2 Zudem gelangte das kantonale Gericht in Würdigung der medizinischen Aktenlage zur Erkenntnis, dass die Versicherte beim Unfall vom 17. Juni 2004 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit keine Commotio cerebri erlitten hat. Den Kopf habe sie lediglich an der weichen Nackenstütze angeschlagen und eine Amnesie sei nicht erstellt. Fest steht jedenfalls, dass eine gravierende Hirnverletzung im Sinne einer organisch nachweisbaren Schädigung ausgeschlossen werden kann.
4.3 Überdies hat das kantonale Gericht erwogen, die Frage, ob es sich bei den auch nach dem Einstellungszeitpunkt vom 31. Mai 2005 bestehenden Gesundheitsstörungen um eine natürliche Folge des versicherten Unfalles handle, könne gestützt auf die derzeitige Aktenlage nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit beantwortet werden. Die Beschwerdeführerin macht demgegenüber geltend, die natürliche Kausalität sei für die Zeit nach dem Behandlungsabschluss im April 2005 nicht mehr gegeben. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, die Beschwerde zunächst unter dem Gesichtspunkt der Adäquanz zu prüfen. Ist diese mit der Beschwerdeführerin zu verneinen, kann von näheren Abklärungen zur natürlichen Unfallkausalität abgesehen werden.
5. 5.1 Anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat, bei welchem der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden kann, lässt sich die Adäquanzfrage bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweis). Dabei hat die Adäquanzprüfung mit der Vorinstanz nach der in BGE 117 V 359 entwickelten und in BGE 134 V 109 präzisierten Rechtsprechung zu erfolgen. Zwar bringt die Beschwerdeführerin vor, es lägen Anhaltpunkte vor, welche für die Anwendung der Psycho-Praxis gemäss BGE 115 V 133 sprechen würden. Ob die Auffassung zutrifft, muss nicht geprüft werden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang auch nach der Schleudertrauma-Praxis, welche in der Regel (vgl. Urteil 8C_986/2008 vom 23. März 2009 E. 4.1) für die versicherte Person günstiger ist als die Psycho-Praxis, zu verneinen ist. Davon geht auch die Beschwerdeführerin aus, hat sie doch selber ebenfalls eine Prüfung in Anwendung der Kriterien der Schleudertrauma-Rechtsprechung vorgenommen.
5.2 Ausgangspunkt der Adäquanzprüfung bildet die Unfallschwere. Diese beurteilt sich nach dem augenfälligen Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.2 und 5.3.1, U 2, 3 und 4/07; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat die Auffahrkollision vom 17. Juni 2004 den mittelschweren Unfällen an der Grenze zu den leichten Unfällen zugeordnet. Dies steht mit der Rechtsprechung in Einklang und wird zu Recht von keiner Seite beanstandet.
5.3 Von den weiteren massgeblichen Kriterien (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130) müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs demnach entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f.).
Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, es seien die Kriterien "fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung", "erhebliche Beschwerden" und "erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen" erfüllt. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin sind, wenn überhaupt, höchstens zwei Kriterien ("erhebliche Beschwerden" und "erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen") erfüllt, jedoch keines davon besonders ausgeprägt.
5.3.1 Zu Recht verneint wurden im angefochtenen Entscheid die Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder der besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls, der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen und der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert.
5.3.2 Die Heilbehandlung bestand in erster Linie in Craniosakral-, TCM- und Osteopathie-Therapie, ambulanter Physiotherapie und Medikation sowie in einer fast vierwöchigen Hospitalisation in der Klinik Z._ vom 27. Dezember 2004 bis 20. Januar 2005. Ab April 2006 kam es wiederholt auch zu ambulanten psychiatrischen Behandlungen. Der Aufenthalt in der Klinik D._ vom 18. November bis 31. Dezember 2006 erfolgte aufgrund der nach der Trennung vom Ehemann im November 2006 aufgetretenen depressiven Symptomatik mit Angstzuständen und stellt auch unter Berücksichtigung des Umstandes, dass es nach dem Unfall wegen psychischen und körperlichen Problemen ab Anfang 2006 zu Konflikten mit dem Ehepartner gekommen war, keine eigentliche unfallspezifische Behandlung dar. Laut dem von der SWICA Gesundheitsorganisation in Auftrag gegebenen Gutachten des Psychiaters Dr. med. E._ vom 11. Juni 2007 haben die nach der Trennung aufgetretenen psychischen Symptome seit Ende 2006 deutlich abgenommen. Die diagnostizierte Anpassungsstörung mit Angst und depressiver Reaktion (ICD 10:F 43.22) war nur noch sehr diskret vorhanden und vermochte keine länger dauernde Arbeitsunfähigkeit zu begründen. Das Kriterium der "fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung" kann bei diesen Gegebenheiten mit der Vorinstanz bejaht werden. Diese ist aber insgesamt nicht als derart intensiv zu werten, dass deswegen von einer erheblichen Mehrbelastung aussergewöhnlicher Natur gesprochen werden könnte.
5.3.3 Zum Aspekt "erhebliche Beschwerden" (BGE 134 V 109 E. 10.2.4 S. 128) ist festzuhalten, dass aufgrund der medizinischen Unterlagen glaubhaft Schmerzen vorliegen, welche zu einer Beeinträchtigung der Lebensqualität geführt haben. Insgesamt kann dieses Kriterium daher in der einfachen Form, nicht jedoch als in auffallender oder besonders ausgeprägter Weise, als erfüllt qualifiziert werden. So berichtete Dr. med. A._ am 24. August 2004 lediglich noch von leichten Kopfschmerzen und einer leichten Druckdolenz an der HWS. Nach einer Zunahme der Beschwerden ab Mitte Oktober (vgl. Bericht des Dr. med. A._ vom 11. November 2004) führte der Aufenthalt in der Klinik Z._ zu einer starken Verbesserung der HWS-Beweglichkeit sowie der Kopfhaltung und Kontrolle. Ausser der weiterbestehenden, klinisch jedoch nicht erklärbaren Müdigkeit, war die Versicherte bei Klinikaustritt praktisch beschwerdefrei. Auch eine vom 16. März bis 27. April 2005 durchgeführte TCM-Behandlung ergab eine deutliche Besserung mit zeitweiliger Beschwerdefreiheit, weshalb die Behandlung abgeschlossen werden konnte. Gegenüber Dr. med. E._ gab die Beschwerdegegnerin laut Bericht vom 11. Juni 2007 sodann an, sie habe noch Schmerzen im Nacken und Hinterkopf, doch seien diese auszuhalten, wenn sie nicht zu viel unternehmen würde. Ausser Brausetabletten zwei bis drei Mal pro Woche müsse sie keine Schmerzmittel einnehmen.
5.3.4 Was das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen betrifft, ergibt sich aus den medizinischen Unterlagen, dass die Versicherte ab 22. Juni 2004 wieder teilweise und ab 2. Juli 2004 vollständig arbeitsfähig war. Wegen einer Überforderung am Arbeitsplatz kam es ab 11. Oktober 2004 erneut zu einer vollen Arbeitsunfähigkeit. Diese fiel laut Angaben der Versicherten an Dr. med. F._ vom 16. Dezember 2004 zeitlich mit der Entlassung des Geschäftsführers und dem damit verbundenen erhöhten Aufgaben- und Arbeitspensum zusammen. Am 18. Januar 2005 wurde ihr daraufhin die Stelle auf Ende April 2005 gekündigt. Nachdem die Ärzte der Klinik Z._ nach erfolgreicher Rehabilitation eine schrittweise Steigerung der Arbeitsfähigkeit auf das ursprüngliche 60 Prozent Pensum statuiert hatten, ging auch der Hausarzt ab 1. Mai 2005 von einer vollen Arbeitsfähigkeit aus. Im Oktober 2005 trat die Beschwerdegegnerin eine neue Teilzeitstelle an. Nach einer Ehekrise und einem damit in Zusammenhang stehenden Zusammenbruch Mitte Juni 2006 wurde sie dann jedoch erneut voll arbeitsunfähig geschrieben. Danach kündigte die Versicherte die Arbeitsstelle auf Ende September 2006, worauf sie keinen Arbeitsversuch mehr unternahm (Bericht des Dr. med. E._ vom 11. Juni 2007). Insgesamt ist in Anbetracht der konkreten Umstände und der Bemühungen der Versicherten um einen Wiedereinstieg in die Erwerbstätigkeit das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen als erfüllt zu betrachten. Selbst wenn die Erwerbsaufgabe im Jahre 2006 als unfallbedingt betrachtet wird, wäre das Kriterium indessen nicht in besonders ausgeprägter Weise gegeben.
5.3.5 Zusammenfassend ist somit festzuhalten, dass von den sieben relevanten Kriterien drei erfüllt sind, keines davon jedoch in ausgeprägter Weise. Zur Bejahung der Adäquanz allfälliger noch vorhandener unfallbedingter Beschwerden genügt dies bei einem mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten Ereignissen nicht (ebenso: Urteile 8C_951/2008 vom 3. Juni 2009 E. 6.4 und 8C_9/2008 vom 17. September 2008 E. 6.1.5). Es kann daher offen bleiben, ob der natürliche Kausalzusammenhang - ob nun im Sinne eines Rückfalles oder nicht - gegeben ist.
5.4 Waren die über den 31. Mai 2005 hinaus geklagten Beschwerden nicht mehr adäquat kausal durch das Unfallereignis vom 17. Juni 2004 verursacht, so war die Leistungseinstellung der Beschwerdeführerin spätestens auf dieses Datum hin rechtens. Die Beschwerde ist demnach gutzuheissen und der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben.
6. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdegegnerin als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; Art. 64 BGG) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 14. Januar 2009 aufgehoben.
2. Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Rainer Braun, Mels, wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdegegnerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Juli 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer