Faits:
A. A.a Le 25 juin 1998, X._, ressortissant français domicilié en France, a ouvert auprès de la Banque Y._ (ci-après: la banque) un compte intitulé "aaa", complété ensuite par un sous-compte dénommé "bbb". Les parties sont convenues de soumettre leurs relations contractuelles au droit suisse. La correspondance destinée au client devait être conservée "banque restante". Les conditions générales, signées par X._, prévoyaient une clause de tacite acceptation des relevés.
Le même jour, X._ a confié à la banque un mandat de gestion, qui donnait à celle-ci plein pouvoir pour effectuer, pour le compte et aux risques et périls du client, toutes opérations de bourse et tous investissements et placements habituellement pratiqués par les banques. Le gestionnaire du dossier était Z._, spécialiste du marché américain. Un profil de gestion n'a pas été précisé par écrit. Z._ a noté que X._ n'avait pas besoin de revenus réguliers, que son " horizon temps " était supérieur à trois ans et que sa tolérance à la volatilité était moyenne. Il n'est pas contesté que, lors de la conclusion du contrat, le client a indiqué à Z._ qu'il souhaitait préserver son capital. X._ s'était précédemment occupé de concession automobile; il avait géré un parking multiplaces et avait investi dans le domaine immobilier.
Le compte a été approvisionné par différentes sources, en particulier un virement du 17 juillet 1998 d'un montant de 1'457'422 US$ provenant de la Banque O._ et un virement du 26 juillet 1999 d'un montant de 1'650'000 US$ provenant de la Banque P._. Au 31 décembre 1999, compte tenu de différents retraits, les avoirs déposés atteignaient le montant total de 3'744'511 US$; 23,6 % des fonds étaient investis en actions et 2,4 % en fonds d'actions.
Dès 1999, X._ est intervenu activement dans la gestion en demandant l'achat de titres V._ et W._, qui lui avaient été conseillés par sa fille et son beau-fils; il a également demandé des renseignements sur une société qui devait être introduite en bourse.
A.b Lors de sa visite à la banque le 1er mars 2000, X._ a signé un bien-trouvé qui indiquait notamment que ses avoirs comportaient des actions et des fonds d'actions à raison de 36,5 % de la valeur du portefeuille.
A l'occasion d'un passage auprès de l'établissement bancaire le 8 janvier 2001, X._ a signé un bien-trouvé qui indiquait notamment que son portefeuille se composait désormais de 77,9 % d'actions et de fonds en actions. Il n'est pas établi qu'il ait protesté quant au changement dans la composition de son portefeuille. Lors d'une conversation téléphonique du 25 septembre 2001, il a demandé d'acheter des actions de différentes sociétés.
Lors de sa visite à la banque le 5 octobre 2001, X._ a signé un troisième bien-trouvé, d'où il résultait que la valeur des avoirs avait diminué à 2'040'140 US$ et que le portefeuille comportait des actions et des fonds d'actions à raison de 77,7 %.
Dès le mois de mars 2001, la banque a considéré, dans les sigles qu'elle utilise, que ce portefeuille ne relevait plus de la gestion équilibrée, mais de la gestion spéciale, dénomination visant les cas où le client a expressément manifesté la volonté d'avoir une gestion différente de la politique de placement de la banque et/ou intervient régulièrement dans la gestion de son compte.
Le 3 juillet 2002, X._ a commencé à s'inquiéter de l'évolution de son compte. Il a admis qu'il était arrivé au mauvais moment en bourse et a manifesté le souhait de retrouver son capital initial. Les relations entre les parties se sont dégradées, sans modification notable dans la composition du portefeuille. En février 2003, X._ s'est d'abord plaint auprès du directeur général du dommage qu'il avait subi. Puis le 28 juillet 2004, il a déclaré qu'il songeait à faire appel à l'ombudsman " pour lancer une procédure ". Le client a donné l'ordre de vendre différents titres, tout en renforçant ses positions en titres V._ et W._, ce qui s'est d'ailleurs révélé préjudiciable.
Le 12 septembre 2007, la banque a résilié le mandat de gestion avec effet immédiat. Plus de six mois plus tard, à savoir le 21 avril 2008, le portefeuille, désormais géré par le client lui-même, comportait une part d'actions de 73,1 %.
B. Par demande déposée devant le Tribunal de première instance de Genève le 17 mars 2008, X._ a conclu à ce que la Banque Y._ soit condamnée à lui payer la somme de 1'397'200 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 22 juillet 1999, montant correspondant à la différence entre ses apports au 22 juillet 1999. par 3'051'414 fr., et la valeur du portefeuille au 30 septembre 2007, soit 885'346 fr., dont étaient déduits les retraits ainsi que les titres V._ et W._ acquis selon ses ordres. Il a affirmé qu'il avait toujours exprimé la volonté que son capital initial soit préservé et que la banque, sans instruction de sa part, avait modifié la gestion de son portefeuille au cours de l'année 2000 en augmentant la part des actions et autres véhicules agressifs et donc le risque encouru.
La défenderesse a conclu à libération. Elle a excipé que s'il était vrai que son client avait tout d'abord exprimé la volonté de préserver son capital, il avait ensuite approuvé une gestion plus agressive à laquelle il avait lui-même participé activement par ses ordres.
Par jugement du 15 octobre 2009, le Tribunal de première instance a entièrement débouté X._.
Saisie d'un appel du demandeur, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, par arrêt du 21 mai 2010, a confirmé le jugement attaqué.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Invoquant une constatation manifestement inexacte des faits (art. 97 al. 1 LTF) susceptible de conduire à une violation de l'art. 397 al. 1 CO, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale.
L'intimée propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie demanderesse qui a entièrement succombé dans ses conclusions en paiement et qui a ainsi la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. de l'art. 74 al. 1 let. b LTF, le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile étant un recours en réforme (art. 107 al. 2 LTF), le recourant doit en principe prendre des conclusions sur le fond; on admet cependant qu'il en soit dispensé et que des conclusions cassatoires suffisent lorsque le Tribunal fédéral, s'il admettait le recours, ne serait pas en mesure de statuer lui-même sur le fond (ATF 134 III 379 consid. 1.3 p. 383 et l'arrêt cité). Tel est le cas en l'espèce, puisque, s'il admettait la responsabilité contractuelle de la banque, le Tribunal fédéral ne pourrait allouer des dommages-intérêts étant donné que la cour cantonale n'a pas administré de preuves et ne s'est pas prononcée sur l'existence et la quotité du dommage. Les conclusions cassatoires du recourant sont donc exceptionnellement admissibles.
1.3 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 135 III 670 consid. 1.4 p. 674; 134 III 379 consid. 1.2 p. 382). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 et l'arrêt cité). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. (ATF 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Le recourant ne peut de toute manière demander une correction de l'état de fait que si celle-ci est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
1.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. 2.1 D'après la jurisprudence du Tribunal fédéral, il sied de distinguer en matières d'opérations boursières, s'agissant du devoir contractuel de diligence et de fidélité de la banque envers son client, entre trois relations contractuelles différentes: la gestion de fortune, le conseil en placements et la relation compte/dépôt (ATF 133 III 97 consid. 7.1 p. 102).
Il n'est pas contesté qu'en l'espèce les parties ont conclu un mandat de gestion pour la période en litige. Les règles du mandat sont applicables au contrat de gestion de fortune (ATF 132 III 460 consid. 4.1 p. 464 et les arrêts cités).
Les personnes qui s'occupent à titre professionnel de gestion de patrimoine, à l'instar du gestionnaire de fortune, ont un devoir particulier d'information envers leurs clients, qui trouve sa source dans la bonne et fidèle exécution du mandat requise par l'art. 398 al. 2 CO. Le client doit ainsi être renseigné sur les risques des investissements qu'il envisage, conseillé au besoin de manière appropriée quant aux différentes possibilités de placement et prévenu contre la prise de décisions inconsidérées, cela en fonction du niveau propre de connaissances du client et de la nature des placements entrant en considération. Il incombe ainsi au mandataire de s'informer, en questionnant son client, sur le niveau de connaissances de ce dernier et sur sa tolérance au risque (ATF 124 III 155 consid. 3a p. 162/163 et les nombreuses références doctrinales). Les obligations du mandataire sont d'autant plus strictes lorsqu'il s'agit d'affaires à option ou d'opérations à terme, lesquelles sont, selon l'expérience, hautement spéculatives et en conséquence risquées (ATF 124 III 155 consid. 3a p. 163).
2.2 Dans le cas présent, il résulte des constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. LTF) - que la banque, dès que la nécessité de connaître le profil du client lui est apparue, s'est efforcée de déterminer sa surface financière et son aptitude aux risques, que l'intimée a pris le temps d'expliquer au recourant les opérations effectuées et que ce dernier a signé par deux fois des biens-trouvés, à savoir les 8 janvier et 5 octobre 2001, qui montraient clairement que le pourcentage des actions de son portefeuille avait été fortement augmenté par rapport au passé.
Le recourant ne reproche pas à l'intimée d'avoir mal exécuté les quelques ordres boursiers qu'il lui a donnés, de lui avoir fourni des renseignements faux ou des conseils téméraires, ou de s'être livrée à des opérations déraisonnables ou non conformes aux usages bancaires en matière de gestion de fortune. Que les titres aient été d'emblée mal choisis ne ressort d'ailleurs pas des constatations cantonales. Invoquant exclusivement la période du mandat de gestion, le recourant tance la banque pour s'être écartée des instructions reçues en augmentant de manière agressive le pourcentage des actions en portefeuille.
Mais le recourant admet qu'il n'avait pas interdit le placement en actions, lequel relève de la pratique bancaire ordinaire. Il reconnaît également qu'il n'avait pas fixé un pourcentage maximum d'actions. Il est certes constant qu'il avait parlé, au début de la relation contractuelle, de préserver le capital, ce qui constitue du reste, pour la gestion d'un portefeuille, une instruction extrêmement vague. A partir de là, le recourant ne pouvait pas sérieusement concevoir qu'il allait faire des placements à son profit, mais aux risques de la banque, en ce sens que les gains éventuels devaient lui revenir alors que les pertes éventuelles devaient être assumées par la banque.
La cour cantonale a retenu - d'une manière en principe déterminante pour le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - que le client a ensuite changé d'attitude et souhaité une gestion plus agressive, du type de celle qui a été pratiquée par la banque. Dès lors que la banque s'est conformée aux desiderata du client, il ne saurait être question d'une mauvaise exécution du mandat.
2.3 Le recourant ne prétend pas le contraire, mais il tente, pour parvenir à une solution inverse, de modifier l'état de fait retenu par la cour cantonale. Invoquant l'art. 97 al. 1 LTF, il soutient en effet que l'état de fait, sur deux points, a été dressé d'une manière manifestement inexacte. La seule question à résoudre est donc de savoir si, sur les deux points dont il sera question ci-dessous, l'état de fait doit être qualifié d'arbitraire.
2.3.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable. Le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4; 134 I 263 consid. 3.1 p. 265 s.). S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
2.3.2 Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir retenu qu'il disposait "de connaissances certaines en matière financière", affirmant que ce disant elle a confondu de manière arbitraire la connaissance du monde des affaires et celle des marchés boursiers.
Le recourant ne nie pas s'être occupé d'une concession automobile, avoir géré un parking multiplaces et avoir procédé à des opérations immobilières. Il a donc acquis des connaissances suffisantes du monde des affaires pour savoir que l'on ne signe pas un document contractuel (en l'occurrence: des biens-trouvés bancaires) sans l'avoir lu attentivement. On doit aussi en déduire - ce qui est pertinent - que son expérience des affaires lui permettait de comprendre ce que signifiait un pourcentage parmi les vecteurs de placement choisis (i.e. la part des actions dans son portefeuille).
Quant à sa connaissance des marchés boursiers, il a été retenu - sans que l'arbitraire ne soit cette fois invoqué à ce propos - que le gestionnaire prenait le temps de lui expliquer les placements effectués, que le recourant suivait lui-même l'évolution des cours sur Internet et que celui-ci avait aussi pris des conseils auprès de membres de sa famille disposant de connaissances en la matière. Il sied ainsi d'admettre, sans arbitraire, que le recourant s'intéressait à son portefeuille de titres, qu'il avait recueilli des informations et qu'il avait donc acquis des connaissances.
Le niveau de ses connaissances n'est pas précisé dans l'arrêt et il serait vain d'essayer de le déterminer plus exactement, parce que cette question de fait n'est pas de nature à influer sur le sort du litige (art. 97 al. 1 LTF). En effet, en suivant régulièrement l'évolution des cours sur Internet, le recourant s'est nécessairement rendu compte que les actions américaines de sociétés technologiques, en très forte proportion dans son portefeuille, étaient par nature volatiles et qu'il courait un risque certain à les acheter. Cette conscience du risque est le point de fait pertinent, de sorte qu'il n'y a pas lieu de préciser le niveau des connaissances boursières.
2.3.3 Le recourant fait grief à l'autorité cantonale d'avoir retenu arbitrairement qu'il avait modifié ses instructions initiales et qu'il avait consenti à une politique de placement plus agressive.
Il n'est pas contesté que le recourant a signé, par deux fois, des biens-trouvés qui faisaient apparaître clairement une augmentation massive du pourcentage des actions par rapport aux titres à revenu fixe. On ne peut pas croire que le recourant, rompu aux affaires, ait signé ces documents sans les lire. Et, comme on l'a vu, le recourant devait comprendre la répartition de ses avoirs en bourse et la nature plus volatile des actions par rapport à d'autres formes de placement. La cour cantonale n'a donc pas procédé à une appréciation arbitraire des preuves en retenant que le recourant avait à tout le moins ratifié, en signant les biens-trouvés bancaires - ce qui ne constitue pas une acceptation tacite -, le changement opéré dans la politique de placement de ses fonds. A cela s'ajoute que l'intéressé à lui-même donné des ordres boursiers et pris des renseignements, à chaque fois au sujet d'actions comportant un risque élevé. On peut y voir sérieusement un indice corroboratif quant à la volonté du recourant de privilégier ce type de placement.
Procédant à une appréciation des preuves, la Cour de justice est parvenue à la conviction que le recourant, selon sa volonté réelle, approuvait à l'époque la gestion effectuée. Il s'agit d'une pure constatation de fait que le Tribunal fédéral ne peut revoir que dans les limites étroites prévues par l'art. 105 al. 2 LTF. Au vu des éléments qui viennent d'être rappelés, il est exclu de retenir que l'autorité cantonale a arbitrairement apprécié les preuves ou constaté les faits.
Dès l'instant où il a approuvé la gestion effectuée, le recourant ne peut pas se plaindre aujourd'hui d'une mauvaise exécution du mandat de gestion de fortune qu'il avait conclu avec l'intimée.
Le recours doit être rejeté.
3. Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 13'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 15'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 16 novembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet