Fatti:
A.
P._, cittadina bosniaca nata nel 1955, già attiva in qualità di aiuto cucina, il 10 luglio 2006 ha presentato una domanda di prestazioni indicando quale causa invalidante problemi a livello cervicobrachiale e alla spalla sinistra nonché uno stato depressivo, diabete e ipertensione. Per decisione del 6 luglio 2007 l'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha riconosciuto all'assicurata una rendita intera d'invalidità dal 1° ottobre 2006. Prestazione che è stata confermata il 19 gennaio 2009 in seguito a una prima procedura di revisione.
Nel gennaio 2011 l'UAI ha avviato una nuova procedura di revisione. Preso atto delle conclusioni medico-peritali che mettevano in evidenza un miglioramento dello stato di salute (sotto il solo profilo reumatologico) e una migliorata capacità lavorativa (passata al 50%, nel senso di una diminuzione di rendimento sull'arco di una giornata a tempo pieno) in attività sostitutive, l'amministrazione ha ridotto dal 1° marzo 2012 la prestazione fin lì versata all'interessata a un quarto di rendita (decisione del 23 dicembre 2011). A fronte di un reddito senza invalidità di fr. 43'715.- l'amministrazione ha accertato un reddito da invalida di fr. 22'742.-, ottenuto dopo riduzione del 50% del valore base per tenere conto della incapacità lavorativa residua e del 14% in ragione delle particolarità personali e professionali del caso (9% per attività leggera e 5% per altri fattori). In tal modo ha stabilito un grado d'incapacità al guadagno del 48%.
B.
Adito su ricorso dell'assicurata, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha riformato il provvedimento del 23 dicembre 2011 nel senso che le ha riconosciuto una mezza rendita d'invalidità dal 1° marzo 2012 (pronuncia del 31 gennaio 2013). Dopo avere confermato il miglioramento della capacità lavorativa, i giudici cantonali hanno modificato il calcolo dell'invalidità nel senso che hanno aggiunto una riduzione del 2,6% per tenere conto della differenza tra il reddito senza invalidità realizzato e quello mediamente conseguibile a livello nazionale nello specifico settore economico (gap salariale) e aumentato, dal 14% al 15%, la deduzione complessiva operata dall'UAI per tenere conto delle particolarità personali e professionali del caso. In tal modo hanno accertato un tasso d'invalidità del 50%.
C.
L'UAI ha interposto ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale al quale, previa concessione dell'effetto sospensivo, chiede di annullare il giudizio cantonale e di confermare la decisione amministrativa. Dei motivi si dirà, per quanto di rilievo, nei considerandi.
L'assicurata propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali non si è determinato. Dal canto suo, il Presidente del Tribunale cantonale delle assicurazioni ha segnalato alcuni contributi e sentenze a sostegno della soluzione proposta con la pronuncia impugnata.
Diritto:
1.
Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Per contro, in linea di principio, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); può scostarsene solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (art. 105 cpv. 2 LTF; DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62), e a condizione che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF).
2.
Oggetto del contendere è il mantenimento, dal 1° marzo 2012, di una mezza rendita d'invalidità al posto del quarto di prestazione riconosciuto dall'UAI. La Corte cantonale ha accertato in maniera vincolante e non più contestata il miglioramento della capacità lavorativa dell'assicurata (50% in attività sostitutive, per riduzione di rendimento) come pure il reddito senza invalidità di fr. 43'715.- (anno di riferimento: 2010). Rimangono per contro controversi l'accertamento del reddito da invalida e in particolare l'applicazione di alcune deduzioni per tenere conto del gap salariale e delle particolarità personali e professionali del caso.
3.
3.1. Il giudizio impugnato espone correttamente le disposizioni legali relative alla nozione di invalidità, alla valutazione dell'incapacità di guadagno di assicurati esercitanti un'attività lucrativa e alla revisione del diritto alla rendita. A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione.
3.2. Le regole legali e giurisprudenziali relative al modo di effettuare il confronto dei redditi, comprese quelle riguardanti l'applicazione dei dati statistici dell'inchiesta svizzera sulla struttura dei salari (ISS) edita dall'Ufficio federale di statistica, sono questioni di diritto. In questo ambito, la determinazione dei due redditi di confronto costituisce una questione di diritto se si fonda sull'esperienza generale della vita; rappresenta per contro un accertamento di fatto nella misura in cui si fonda su un apprezzamento concreto delle prove. Stabilire se si applicano i salari statistici dell'ISS e quale tabella utilizzare all'interno dell'ISS sono questioni di diritto. Per contro, l'applicazione delle cifre riportate nelle tabelle determinanti dell'ISS è un accertamento di fatto (DTF 132 V 393 consid. 3.2 e 3.3 pag. 398 seg.).
4.
4.1. In primo luogo, l'UAI rimprovera all'autorità giudiziaria cantonale una violazione del diritto federale per avere applicato una riduzione, a suo avviso ingiustificata, per gap salariale del 2,6% sul salario base da invalida - non specificatamente contestato - di fr. 52'728.-.
4.2. La Corte cantonale, basandosi peraltro su quanto indicato "a titolo informativo" ed eventuale dalla consulente in integrazione professionale dell'UAI il 2 agosto 2012, ha accertato che il salario senza invalidità aggiornato al 2010 di fr. 43'715.- risultava inferiore del 7,6% a quello di fr. 47'312.- mediamente conseguibile (a livello nazionale) nello specifico settore economico. Quanto alla circostanza, opposta dall'amministrazione, che l'assicurata guadagnasse nel 2005, malgrado diversi anni di attività trascorsi nel settore, ancora il minimo salariale definito dal contratto di categoria (ristorazione), i giudici di prime cure hanno ritenuto che l'interessata (straniera nata nel 1955) non si era in realtà accontentata di un salario modesto perché quando aveva cominciato a lavorare (nel 2001) per l'allora datore di lavoro (Ristorante X._) veniva da un periodo di disoccupazione. Considerando per il resto - in conformità alla giurisprudenza in materia (DTF 135 V 297) - solo la parte eccedente la soglia del 5%, i giudici cantonali hanno così ammesso la riduzione del 2,6%.
4.3. L'Ufficio ricorrente contesta questa valutazione. Sostiene che lo statuto di disoccupata non giustificasse l'effettuazione del parallelismo dei redditi. Sia perché il periodo senza lavoro dell'opponente sarebbe durato solo tre mesi. Sia perché - in mancanza di altri dati salariali precedenti al 2005 - l'assicurata avrebbe con ogni probabilità beneficiato del minimo salariale previsto dal contratto collettivo di categoria per tutta la durata passata alle dipendenze del Ristorante X._. Orbene, continua l'UAI, l'assenza di ricerche presso altri potenziali datori di lavoro come pure la mancata richiesta di adeguamento salariale all'allora suo datore di lavoro sarebbero delle circostanze idonee a rendere altamente verosimile che l'assicurata si sia accontentata della remunerazione accordatale.
4.4. Il Tribunale federale ha già avuto modo di affermare che se una persona assicurata, per motivi estranei all'invalidità (per esempio a causa della sua carente formazione scolastica o professionale, delle sue carenti competenze linguistiche, delle limitate possibilità di assunzione dovute a uno statuto di lavoratore stagionale, ecc.), ha realizzato un reddito considerevolmente inferiore alla media dei salari nazionali conseguibili nello stesso ambito professionale (cfr. ad esempio RtiD 2009-II pag. 194, 9C_83/2008) - tale limite essendo stato fissato al 5% - senza che vi si sia spontaneamente accontentata, si procede a un parallelismo dei due redditi di paragone per la parte percentuale eccedente la soglia del 5% (DTF 135 V 297). In pratica, questo parallelismo può avvenire a livello di reddito da valido aumentando in maniera adeguata il reddito effettivamente conseguito oppure facendo capo ai valori statistici oppure ancora a livello di reddito da invalido mediante una riduzione adeguata del valore statistico (DTF 134 V 322).
Questa giurisprudenza intende garantire che i due redditi di riferimento vengano stabiliti sulla medesima base. Ora, se una persona assicurata realizzava nell'attività svolta senza danno alla salute un salario considerevolmente inferiore alla media poiché le sue qualità personali rendevano impossibile il conseguimento di un salario medio, non si può presumere che la stessa persona con il pregiudizio alla salute possa realizzare (anche solo in proporzione) un salario medio. Di conseguenza, se si prende in considerazione un salario senza invalidità che per i detti motivi si situava considerevolmente al di sotto della media, allora si deve tenere conto degli stessi fattori estranei all'invalidità anche per determinare il reddito ipotetico da invalido. Il parallelismo dei redditi tiene così conto della circostanza che la persona assicurata da invalida non è realisticamente in grado di realizzare il salario statistico medio per cui occorre riconoscerle un salario da invalido conseguentemente più basso. Non si giustificherebbe in effetti in alcun modo contrapporre a un reddito senza invalidità nettamente al di sotto della media (nazionale) un reddito da invalido medio (nazionale: SVR 2007 UV n. 17 pag. 56, U 75/03) realisticamente irrealizzabile. Per converso, laddove un reddito da invalido di fascia media è realisticamente conseguibile rispettivamente ragionevolmente esigibile, un reddito da valido inferiore alla media (per motivi economici) non deve essere adattato al livello medio (DTF 135 V 58 consid. 3.4.3 e 3.4.4 pag. 61 segg.).
4.5. Sebbene - per le circostanze invocate nel ricorso, laddove ammissibili e di rilievo - possa forse prestare il fianco a qualche dubbio, l'accertamento dei primi giudici secondo cui l'opponente - dotata di conoscenze linguistiche in italiano elementari per la capacità di espressione orale e di lettura e nulle per la scrittura - non si sarebbe accontentata di un salario modesto perché quando aveva cominciato a lavorare (nel 2001) per l'allora datore di lavoro veniva da un periodo di disoccupazione, non appare arbitrario né contrario al diritto federale (cfr. DTF 134 V 322 consid. 4.3 pag. 326 seg.). La Corte cantonale, giungendo a tale conclusione, non ha infatti applicato erroneamente le regole legali e giurisprudenziali in materia, bensì ha operato un apprezzamento delle prove nel caso di specie che appare quanto meno sostenibile e vincola dunque il Tribunale federale (cfr. le sentenze 8C_630/2012 del 7 dicembre 2012 consid. 4.1 e 8C_607/2011 del 16 marzo 2012 consid. 8.2.3 in fine). Dal canto suo, l'amministrazione si prevale in parte inammissibilmente (art. 99 cpv. 1 LTF) di fatti che non sono stati accertati dalla Corte cantonale - e che non possono dunque essere presi in considerazione -, come della circostanza che durante i quattro anni e mezzo di lavoro presso il Ristorante X._l'assicurata non si sarebbe premurata di cercare un impiego più confacente alla sua esperienza professionale. Mal si comprende poi - già solo per l'analogia delle attività intraprese prima e dopo il periodo di disoccupazione - in quale misura la Corte cantonale sarebbe incorsa in una violazione del diritto federale per non avere considerato che l'assicurata giusta l'art. 16 cpv. 2 lett. b LADI non sarebbe stata tenuta ad accettare un'occupazione che non teneva conto delle sue capacità e della sua attività lavorativa (di lavapiatti) precedente.
4.6. Quanto all'eccezione secondo cui il gap salariale - che non è contestato nel suo calcolo in quanto tale, ma solo nel suo principio - sarebbe in realtà imputabile anche alla realtà economico-sociale del Cantone Ticino poiché il salario percepito dall'assicurata sarebbe stato perfettamente in linea con quelli versati in Ticino per impieghi analoghi, essa, oltre a contraddire la tesi ricorsuale esposta al considerando precedente, dimostra semmai che un reddito di fascia media (nazionale) non era realisticamente conseguibile, rispettivamente non era ragionevolmente esigibile, in ogni caso non nella fattispecie concreta viste anche la carente formazione (5 anni di scuola dell'obbligo in Bosnia) e le precarie conoscenze linguistiche già solo in italiano che impedivano all'opponente di realizzare un salario medio (nazionale), se del caso fuori Cantone. Per riprendere quanto esposto in DTF 135 V 58 consid. 3.4.4 pag., non si giustificherebbe in effetti in alcun modo contrapporre a un reddito senza invalidità nettamente al di sotto della media (nazionale) un reddito da invalido medio (nazionale) realisticamente irrealizzabile (in questo senso in sostanza anche RtiD II-2008 pag. 293, U 8/07). Il richiamo al consid. 5.3 della DTF 135 V 297 non soccorre all'Ufficio ricorrente, non avendo il Tribunale federale in quella sede posto altri principi. Similmente l'UAI non può trarre vantaggio dalla sentenza I 405/06 del 29 maggio 2007; non fosse altro perché la sentenza U 75/03 alla quale è rinviato al consid. 4.4 si riferisce in realtà a un altro tema, e più precisamente a quello - non più in discussione - dell'inapplicabilità dei dati statistici relativi alle "grandi regioni" (tabella TA13) per determinare il reddito ipotetico da invalido. E inoltre perché il Tribunale federale ha comunque fatto chiarezza sulla questione qui in discussione con la successiva sentenza (citata) U 8/07. Inconferente si rivela infine pure il richiamo al consid. 4.5 della sentenza 9C_112/2012 del 19 novembre 2012. In quella vertenza si trattava infatti di valutare la situazione di una assicurata la quale - a differenza di quanto si è verificato in concreto - aveva continuato ad esercitare le medesime attività svolte in precedenza anche dopo il danno alla salute rendendo così logicamente inattuabile un adeguamento dei redditi.
4.7. Ne discende che la deduzione del 2,6% sul reddito base da invalida operata dalla Corte cantonale per tenere conto del gap salariale va confermata.
5.
5.1. In secondo luogo l'UAI contesta la deduzione operata dai giudici cantonali per tenere conto delle particolarità professionali e personali del caso. In particolare, l'Ufficio ricorrente rimprovera all'istanza giudiziaria cantonale di avere sostituito abusivamente, per un solo punto percentuale, il proprio potere di apprezzamento. Ricorda come la propria valutazione sia stata adottata sulla base di una direttiva interna che garantisce l'uniformità di trattamento degli assicurati, tra l'altro prevedendo delle deduzioni percentuali varianti (dall'1% al 10%) in funzione delle limitazioni nel portare pesi. Lamenta la mancata verifica, da parte dei giudici di prime cure, dell'adeguatezza di detto sistema cui la Corte cantonale ha preferito una propria prassi.
5.2. Se - come in concreto - il reddito da invalido è determinato sulla base dell'ISS, il valore base (salario tabellare) dev'essere se del caso ridotto (anche) per tenere conto del fatto che aspetti personali e professionali, quali il genere e la misura dell'impedimento, l'età, gli anni di servizio, la nazionalità o il genere di soggiorno e il grado di occupazione, possono incidere sull'entità del salario. Ora, a seconda della loro incidenza, può essere che la persona assicurata, anche in un mercato del lavoro equilibrato, non sia in grado, a causa di ciò, di realizzare un salario medio sfruttando la capacità lavorativa residua (DTF 126 V 75 consid. 5b/aa in fine pag. 80). La deduzione va valutata complessivamente - e non separatamente, in maniera schematica, sommando i singoli fattori di deduzione - tenendo conto di tutte le circostanze del singolo caso, ma non può superare il 25% (DTF 126 V 75 consid. 5b/aa in fine pag. 80). Va da sé che i fattori estranei all'invalidità di cui si dovesse già tener conto con il parallelismo dei redditi di raffronto non possono essere presi in considerazione una seconda volta nell'ambito della deduzione per circostanze personali e professionali (DTF 135 V 297; 134 V 322).
5.3. Il tema di sapere se si debba procedere a una riduzione del salario statistico in considerazione di circostanze particolari (legate all'handicap della persona o ad altri fattori) è una questione di diritto liberamente riesaminabile dal Tribunale federale. Per contro, l'estensione di tale riduzione in un caso concreto costituisce una questione attinente al potere di apprezzamento e, in quanto tale, soggiace all'esame del giudice di ultima istanza solo se la giurisdizione di primo grado ha esercitato il proprio potere di apprezzamento in violazione del diritto, commettendo un eccesso positivo ("Ermessensüberschreitung") o negativo ("Ermessensunterschreitung") del proprio potere di apprezzamento oppure abusando di tale potere ("Ermessensmissbrauch"; DTF 137 V 71 consid. 5.1 pag. 72 seg.; 132 V 393 consid. 3.3 pag. 399).
5.4. Contrariamente al potere di apprezzamento del Tribunale federale, quello dell'autorità giudiziaria di primo grado non è per contro limitato alla violazione del diritto (compresi l'eccesso e l'abuso del potere di apprezzamento), ma si estende ugualmente all'esame di adeguatezza della decisione amministrativa ("Angemessenheitskontrolle"). In tale contesto l'esame verte sulla questione di sapere se un'altra soluzione non sarebbe stata più opportuna rispetto a quella adottata, in un caso concreto, dall'autorità nell'ambito del proprio potere di apprezzamento e pur nel rispetto dei principi generali del diritto. A tal proposito, il giudice delle assicurazioni sociali non può, senza valido motivo, sostituire il suo apprezzamento a quello degli organi dell'assicurazione; deve piuttosto fondarsi su circostanze tali da fare apparire il proprio apprezzamento come quello maggiormente appropriato (DTF 126 V 75 consid. 6 pag. 81; DTF 137 V 71 consid. 5.2 pag. 73 seg.).
5.5. La decisione del Tribunale cantonale di distanziarsi dalla deduzione operata dall'UAI a titolo di circostanze particolari non viola il diritto federale né configura altrimenti un abuso o un eccesso nell'esercizio del potere di apprezzamento poiché poggia su un valido motivo. Come fanno giustamente notare i giudici di prime cure, nella sua prassi il Tribunale federale applica infatti abitualmente a questo genere di deduzioni dei multipli di 5 quando non si limita semplicemente ad avallare - a causa dell'ininfluenza del calcolo per l'esito della valutazione - il giudizio dell'istanza precedente. L'applicazione di tassi più frazionati si rivelerebbe invece problematica poiché siffatte riduzioni sarebbero difficilmente concretizzabili e quindi anche difficilmente verificabili in sede giudiziaria (cfr. Ulrich Meyer, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], in: Murer/Stauffer [ed.], Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, 2a ed. 2010, pag. 314). In tali condizioni, rappresentando questo argomento già valido motivo per scostarsi dalla valutazione dell'amministrazione, non occorre verificare oltre l'altro motivo posto a fondamento della pronuncia impugnata e contestato in sede federale, ovvero quello dell' (in) applicabilità di una direttiva amministrativa interna che regoli autonomamente per il proprio Cantone le riduzioni sul reddito statistico da invalido.
5.6. L'UAI si richiama del resto a torto alle sentenze 9C_390/2011 del 2 marzo 2012 e 9C_299/2011 del 21 novembre 2011 per invocare l'esistenza di prassi parallele in altri cantoni. In realtà dalle citate sentenze non emerge nulla di tutto ciò. La "feuille de calcul" menzionata in dette sentenze null'altro è se non il calcolo interno dell'invalidità che precede l'emanazione della decisione amministrativa. Per il resto, è sufficiente il rilievo che anche in quelle vertenze, laddove applicata, la riduzione effettuata dall'ufficio AI interessato corrispondeva a un multiplo di 5.
5.7. Per quanto concerne, nel dettaglio, i singoli fattori di riduzione, l'UAI si oppone come in sede cantonale al riconoscimento di una riduzione per attività leggera ritenendo che quest'ultima fosse in realtà già compresa nella riduzione di rendimento stabilita a livello medico.
Come accertato in maniera vincolante dalla Corte cantonale, l'opponente presenta una capacità lavorativa ridotta del 50% in attività adeguata, essenzialmente in considerazione della persistenza, inalterata, della depressione di grado medio. In ambito somatico l'assicurata è per contro migliorata, essendo stata ritenuta abile al lavoro in maniera completa per un'attività adatta che tenga conto di alcune limitazioni funzionali, tra le quali: l'impedimento a svolgere attività lavorative con il braccio sinistro alzato sopra i 90°, soprattutto in elevazione e abduzione; la limitazione nel tenere oggetti del peso superiore a 3 kg come pure la limitazione ai movimenti ripetitivi, monotoni col braccio sinistro sia in elevazione, abduzione, rotazione nonché nell'utilizzo dello stesso braccio con forza e contro resistenza; una restrizione per quanto riguarda la possibilità di mantenere posizioni statiche prolungate con la colonna cervicale leggermente flessa in avanti e la possibilità di ruotare ripetutamente la colonna cervicale.
In tali condizioni, il fatto di ammettere - come aveva del resto fatto (nella misura del 9% in considerazione della limitazione nel sollevare oggetti di 3 kg) lo stesso Ufficio ricorrente in sede amministrativa - una riduzione a titolo di attività leggere che non fosse già compresa nella limitazione della capacità lavorativa in ambito medico non è censurabile. Anche perché l'assicurata, non essendo in grado di svolgere attività pesanti, potrà ambire solo a un salario inferiore a quello medio previsto per le attività semplici e ripetitive (ISS, tabella TA1, livello di qualifica 4) che invece comprende sia le attività leggere sia quelle pesanti, a loro volta di regola meglio remunerate rispetto alle prime, come ha del resto dato atto anche l'UAI nella sua direttiva interna del 15 maggio 2009.
5.8. Per il resto non risulta che la Corte cantonale abbia ammesso altri fattori di riduzione che non siano già stati riconosciuti dall'amministrazione. In particolare, contrariamente a quanto pretende l'UAI, i giudici cantonali non hanno effettuato alcuna riduzione per occupazione a tasso parziale.
5.9. Ne discende che il riconoscimento di una deduzione complessiva del 15% - anziché del 14% - per tenere conto delle particolarità personali e professionali del caso non scaturisce da una valutazione abusiva della situazione ma è il frutto di un legittimo controllo di adeguatezza della decisione amministrativa che si fonda su motivi pertinenti.
6.
Di conseguenza, la pronuncia impugnata va confermata, il grado d'invalidità risultante dal raffronto dei redditi (reddito senza invalidità: 43'715.-; reddito da invalida: fr. 21'826.75) ammontando, per arrotondamento (DTF 130 V 121), al 50%. Le spese seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF). L'opponente, vincente in causa e patrocinata da un legale, ha diritto a ripetibili per la procedura federale (art. 68 cpv. 1 LTF). L'emanazione della presente sentenza rende priva d'oggetto la domanda di effetto sospensivo.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 800.- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Il ricorrente verserà all'opponente la somma di fr. 2800.- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
4.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.