Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1988), türkische Staatsangehörige, reiste am 13. September 2004 in die Schweiz ein, nachdem sie am 22. Juli 2004 in ihrer Heimat den in der Schweiz niedergelassenen türkischen Staatsangehörigen Y._ geheiratet hatte. Gestützt auf die Bestimmungen über den Familiennachzug erhielt sie im Kanton Bern eine Aufenthaltsbewilligung, die regelmässig verlängert wurde, letztmals bis zum 9. April 2009. Am 15. April 2006 wurde Z._, der gemeinsame Sohn der Ehegatten, geboren. Wie sein Vater ist er im Besitze der Niederlassungsbewilligung.
Mit rechtskräftigem Strafmandat vom 30. Oktober 2007 wurde X._ wegen Stellenantritts ohne Bewilligung zu einer Busse von Fr. 120.-- verurteilt.
Am 27. März 2009 ersuchte X._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Am 13. April 2009 trennte sie sich von ihrem Ehegatten und lebt seither alleine mit ihrem Sohn.
Aufgrund der Trennung unterbreitete der Migrationsdienst des Kantons Bern das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung am 4. Juni 2009 dem Bundesamt für Migration zur Zustimmung. Mit Verfügung vom 3. November 2009 verweigerte das Bundesamt diese Zustimmung und ordnete die Wegweisung von X._ aus der Schweiz innerhalb von acht Wochen ab Rechtskraft der Verfügung an.
B. X._ erhob dagegen am 2. Dezember 2009 beim Bundesverwaltungsgericht Beschwerde mit dem Antrag auf Aufhebung der vorinstanzlichen Verfügung, Erteilung der Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung sowie Widerruf der Wegweisung aus der Schweiz.
Während der Dauer des Verfahrens vor dem Bundesverwaltungsgericht wurde die Ehe von Y._ und X._ am 23. Dezember 2011 geschieden.
Mit Urteil vom 21. August 2012 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
C. Mit Eingabe vom 21. September 2012 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, den Entscheid der Vorinstanz aufzuheben und ihr - der Beschwerdeführerin - die Niederlassungsbewilligung, eventuell die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, zu erteilen. Zudem beantragt sie Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung. Das Bundesamt für Migration beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Bundesgericht hat auch die Akten des kantonalen Migrationsamts eingeholt.
Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 26. September 2012 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Streitgegenstand vor Bundesgericht kann nur sein, was bereits Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war; neue Begehren sind unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG). Ausgangspunkt des vorliegenden Verfahrens bildete die Verfügung des Bundesamtes für Migration, womit dieses die Zustimmung zur von der Beschwerdeführerin nachgesuchten Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Art. 99 AuG; Art. 85 f. der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]) verweigerte. Vor der Vorinstanz beantragte die Beschwerdeführerin die Erteilung der Zustimmung und den Widerruf der Wegweisung. Der vor Bundesgericht gestellte Antrag auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung ist neu und daher unzulässig, so dass darauf nicht einzutreten ist; dass die Vorinstanz Erwägungen über den Anspruch auf Niederlassungsbewilligung nach Art. 43 Abs. 2 AuG angestellt hat, ändert daran nichts. Zulässig ist hingegen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, soweit ein (Eventual-)Antrag auf Erteilung der Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestellt wird, da dieser Antrag vor der Vorinstanz bereits gestellt wurde und in vertretbarer Weise ein Anspruch auf Aufenthaltsbewilligung gemäss Art. 50 AuG geltend gemacht wird (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario). Ob der Anspruch tatsächlich besteht, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (BGE 136 II 113 nicht publ. E. 1.1).
1.2 Das Bundesgericht prüft frei die Anwendung von Bundesrecht mit Einschluss des Verfassungs- und Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat; es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Entsprechende Mängel müssen in der Beschwerde entsprechend gerügt werden; rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid ist nicht zu hören (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.2). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. Die Beschwerdeführerin hatte gemäss Art. 43 Abs. 1 AuG Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange sie mit ihrem in der Schweiz niedergelassenen ehemaligen Ehemann zusammenwohnte. Dieser Anspruch besteht nach Art. 50 Abs. 1 AuG nach Auflösung der Ehe weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht (lit. a) oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (lit. b).
3. Zu prüfen ist zunächst ein Anspruch aufgrund von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG. Unbestritten hat die Ehegemeinschaft länger als drei Jahre gedauert. Die Vorinstanz hat jedoch eine erfolgreiche Integration verneint.
3.1 Die Integration soll längerfristig und rechtmässig anwesenden Ausländerinnen und Ausländern ermöglichen, am wirtschaftlichen, sozialen und kulturellen Leben der Gesellschaft teilzuhaben (Art. 4 Abs. 2 AuG; vgl. BGE 134 II 1 E. 4.1 S. 4 f.). Dazu ist erforderlich, dass sich Ausländerinnen und Ausländer mit den gesellschaftlichen Verhältnissen und Lebensbedingungen in der Schweiz auseinandersetzen und insbesondere eine Landessprache erlernen (Art. 4 Abs. 4 AuG). Nach Art. 77 Abs. 4 VZAE liegt eine erfolgreiche Integration nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG vor, wenn die Ausländerin oder der Ausländer namentlich die rechtsstaatliche Ordnung und die Werte der Bundesverfassung respektiert (lit. a) sowie den Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb der am Wohnort gesprochenen Landessprache bekundet (lit. b). Nach Art. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über die Integration von Ausländerinnen und Ausländern (VintA; SR 142.205) zeigt sich der Beitrag der Ausländerinnen und Ausländer zu ihrer Integration namentlich in der Respektierung der rechtsstaatlichen Ordnung und der Werte der Bundesverfassung (lit. a), im Erlernen der am Wohnort gesprochenen Landessprache (lit. b), in der Auseinandersetzung mit den Lebensbedingungen in der Schweiz (lit. c) sowie im Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb von Bildung (lit. d). Das Bundesgericht hat festgehalten, dass das Adverb "namentlich", welches sowohl in Art. 77 Abs. 4 VZAE wie auch in Art. 4 VintA verwendet wird, auf den nicht ausschliesslichen Charakter der in diesen Bestimmungen aufgezählten Kriterien hinweist. Bei der Prüfung der Integrationskriterien verfügen die zuständigen Behörden über einen grossen Ermessensspielraum, in welchen das Bundesgericht nur zurückhaltend eingreift (vgl. Art. 54 Abs. 2 und Art. 96 Abs. 1 AuG; vgl. Urteil 2C_668/2011 vom 23. Juli 2012 E. 3.2.1). Bei einem Ausländer, der in der Schweiz beruflich integriert ist und eine feste Anstellung hat, immer finanziell unabhängig war, sich korrekt verhält und die örtliche Sprache beherrscht, bedarf es ernsthafter besonderer Umstände, um eine erfolgreiche Integration zu verneinen (Urteile 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 3.3; 2C_839/2010 vom 25. Februar 2011 E. 7.1.2). Nicht erforderlich ist eine besonders qualifizierte berufliche Karriere (Urteil 2C_430/2011 vom 11. Oktober 2011 E. 4.2). Auch das Fehlen besonders enger sozialer Beziehungen schliesst für sich allein eine erfolgreiche Integration nicht aus (Urteil 2C_839/2010 vom 25. Februar 2011 E. 7.1.2). Keine erfolgreiche Integration liegt vor, wenn eine Person kein Erwerbseinkommen erwirtschaften kann, welches ihren Konsum zu decken vermag, und während einer substantiellen Zeitdauer von Sozialleistungen abhängig ist (Urteile 2C_857/2010 vom 22. August 2011 E. 2.3.1; 2C_546/2010 vom 30. November 2010 E. 5.2.3 f.). Umgekehrt ergibt sich aus dem Umstand, dass die ausländische Person sich strafrechtlich nichts zuschulden hat kommen lassen und ihr Unterhalt ohne Sozialhilfe gewährleistet erscheint, für sich allein noch keine erfolgreiche Integration (Urteil 2C_830/2010 vom 10. Juni 2011 E. 2.2.2). Ein Indiz gegen eine erfolgreiche Integration ist der Umstand, dass das gesellschaftliche Leben einer ausländischen Person primär mit Angehörigen des eigenen Landes erfolgt (Urteil 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 3.3; 2C_546/2010 vom 30. November 2010 E. 5.2.4).
3.2 Die Vorinstanz hat erwogen, die Beschwerdeführerin geniesse einen unbescholtenen Leumund und sei mit Ausnahme eines geringen ausländerrechtlichen Verstosses während ihres Aufenthalts in der Schweiz nie mit dem Gesetz in Konflikt geraten. Sie sei bis zum 1. März 2009 keiner Erwerbstätigkeit nachgegangen, obwohl die Ehegatten nicht in stabilen finanziellen Verhältnissen gelebt hätten und im Jahre 2006 während einiger Monate von der Sozialhilfe unterstützt werden mussten. Nach der Trennung sei sie vom 1. März 2009 bis 31. Mai 2009 zu 40 % als Raumpflegerin und ab dem 29. Juni 2009 während eines nicht aktenkundigen Zeitraums für rund 10 Stunden pro Woche als Reinigungsmitarbeiterin tätig gewesen. Ab 16. August 2010 sei sie für unbestimmte Zeit zu 80 % als Serviceangestellte tätig gewesen. Seit einiger Zeit sei sie erneut ohne Anstellung und auf Unterstützung durch die öffentliche Hand angewiesen. Insgesamt sei die Beschwerdeführerin nicht massgeblich wirtschaftlich integriert. Sie sei auch sprachlich ungenügend integriert; sie habe zwar drei Deutschkurse besucht, habe aber lediglich Kenntnisse aufgrund der Stufe A 1.2 des Europäischen Sprachenportfolios, was Kenntnissen der niedrigsten Stufe entspreche. Bezüglich der sozialen Integration liessen die Akten wenig Schlüsse zu; zwar sei davon auszugehen, dass in gewissem Umfang soziale Kontakte bestünden, doch enthielten die Akten keine Hinweise auf das Bestehen eines Bekannten- oder Freundeskreises. Eine erfolgreiche Integration sei daher zu verneinen.
3.3 Soweit diese vorinstanzlichen Erwägungen Sachverhaltsfeststellungen sind, werden sie von der Beschwerdeführerin nicht bestritten und sind auch sonst nicht offensichtlich unrichtig, so dass sie für das Bundesgericht verbindlich sind (vorne E. 1.2). Die Hinweise der Beschwerdeführerin auf ihre seit 29. August 2012 dauernde 50 %-Beschäftigung sowie ihre im Bericht vom 14. September 2012 attestierten Deutschkenntnisse sind unzulässige Noven (Art. 99 Abs. 1 BGG). Die Beweismittel, mit denen die Beschwerdeführerin die Entwicklung ab Anfang 2010 bis zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils dokumentieren will, wurden von der Vorinstanz berücksichtigt, soweit sie ihr vorlagen (angefochtenes Urteil E. 6.2); soweit dies nicht der Fall ist, können sie nicht vor Bundesgericht neu eingereicht werden, da sie bereits vor der Vorinstanz hätten eingereicht werden können.
3.4 Bei dieser sachverhaltlichen Lage hat die Vorinstanz angesichts der rechtlichen Anforderungen (vorne E. 3.1) mit Recht das Vorliegen einer erfolgreichen Integration verneint: Auch wenn die Beschwerdeführerin Deutschkurse besucht und zeitweilig (teilzeitlich) gearbeitet hat, ist insgesamt trotz bereits längerer Aufenthaltsdauer in der Schweiz weder die sprachliche noch die wirtschaftliche Integration erfolgreich. Sie wurde denn auch längere Zeit von der Sozialhilfe unterstützt. Auch wenn zu Gunsten der Beschwerdeführerin berücksichtigt wird, dass der seit April 2009 ungesicherte ausländerrechtliche Status die Stellensuche erschwert, so ist doch darauf hinzuweisen, dass sie schon vorher keine berufliche Tätigkeit ausgeübt hat, obwohl sie dazu berechtigt gewesen wäre (Art. 46 AuG). Für eine gesellschaftliche Integration werden keine Aspekte vorgebracht.
4. Zu prüfen ist weiter, ob wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG).
4.1 Solche Gründe können namentlich vorliegen, wenn die Ehegattin das Opfer ehelicher Gewalt wurde und die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (Abs. 2). Diese Gründe sind nicht abschliessend; ein nachehelicher Härtefall setzt aber aufgrund der konkreten Umstände eine erhebliche Intensität der Konsequenzen für das Privat- und Familienleben der ausländischen Person voraus, die mit ihrer Lebenssituation nach dem Dahinfallen der gestützt auf Art. 42 Abs. 1 bzw. Art. 43 Abs. 1 AuG abgeleiteten Anwesenheitsberechtigung verbunden sind. Hat der Aufenthalt nur kürzere Zeit gedauert und wurden keine engen Beziehungen zur Schweiz geknüpft, lässt sich ein Anspruch auf weiteren Verbleib nicht begründen, wenn die erneute Integration im Herkunftsland keine besonderen Probleme stellt (Botschaft AuG, BBl 2002 3709 Ziff. 1.3.7.6 S. 3754). Entscheidend ist, ob die persönliche, berufliche und familiäre Wiedereingliederung als stark gefährdet zu gelten hat und nicht, ob ein Leben in der Schweiz einfacher wäre (zum Ganzen BGE 138 II 229 E. 3.1; 137 II 345 E. 3.2.3). Nach der Rechtsprechung ist bei der Anwendung von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG nicht von Bedeutung, wie stark das öffentliche Interesse an einer Begrenzung der Einwanderung gewichtet wird, sondern allein, wie sich die Pflicht des Ausländers, die Schweiz verlassen zu müssen, nach der gescheiterten Ehe auf seine persönliche Situation auswirkt (BGE 137 II 1 E. 4.1, 345 E. 3.2.1). Schliesslich ist im Rahmen von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG jeweils den Interessen allfälliger Kinder Rechnung zu tragen, falls eine enge Beziehung zu ihnen besteht und sie in der Schweiz ihrerseits gut integriert erscheinen (Botschaft AuG, BBl 2002 3709 Ziff. 1.3.7.6 S. 3754; BGE 138 II 229 E. 3.1; 137 II 345 E. 3.2.2). Dabei sind auch die Anforderungen zu berücksichtigen, die sich aus Art. 8 EMRK ergeben, denn die wichtigen persönlichen Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG können nicht einschränkender verstanden werden als allfällige sich aus Art. 8 EMRK ergebende Ansprüche auf Erteilung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (BGE 137 I 247 E. 2.2).
4.2 Die Vorinstanz hat erwogen, die Beschwerdeführerin könne sich als sorgeberechtigte Mutter eines in der Schweiz niedergelassenen Kindes in Bezug auf den weiteren Aufenthalt in der Schweiz auf Art. 8 EMRK berufen; der daraus fliessende Anspruch gelte aber nicht absolut, sondern könne u.a. auch zwecks Durchsetzung einer restriktiven Einwanderungspolitik eingeschränkt werden. Müsse eine ausländische Person das Land verlassen, so hätten dies ihre Familienangehörigen grundsätzlich hinzunehmen, wenn es ihnen ohne weiteres zumutbar sei, mit ihr auszureisen. Kindern im anpassungsfähigen Alter sei es grundsätzlich zumutbar, dem sorgeberechtigten Elternteil ins Ausland zu folgen. Der Sohn der Beschwerdeführerin sei im anpassungsfähigen Alter. Es liege bei ihm eine fokale Epilepsie mit sekundär generalisierten Anfällen unklarer Ursache sowie ein Entwicklungsrückstand vor. Diese Epilepsie könne mit Antiepileptika behandelt und kontrolliert werden, was auch in der Türkei möglich sei. Die Entwicklungsverzögerung werde therapeutisch angegangen; das Kind benötige Stabilität und Sicherheit, doch sei nicht dargetan, dass es zwingend auf eine Therapie in der Schweiz angewiesen sei. Der Zugang zu medizinischer und therapeutischer Versorgung sei in der Türkei grundsätzlich gewährleistet; die Finanzierung der Behandlung sei durch die in der Schweiz erworbene IV-Kinderrente von monatlich Fr. 619.-- sichergestellt, auf die der Sohn der Beschwerdeführerin auch in der Türkei Anspruch habe. Zudem lebe der Halbbruder des Sohnes mit ähnlichen gesundheitlichen Schwierigkeiten in der Türkei und werde dort offenbar auch medizinisch und therapeutisch versorgt. Was die Beziehung zum in der Schweiz niedergelassenen Vater betreffe, so könne diese weder affektiv noch wirtschaftlich als besonders intensiv bezeichnet werden. Er lebe seit April 2009 nicht mehr in Familiengemeinschaft mit der Beschwerdeführerin und dem gemeinsamen Kind und könne schon heute aufgrund seiner eigenen Erkrankung sein Besuchsrecht nur eingeschränkt ausüben; das Besuchsrecht liege jedenfalls im Rahmen des Üblichen. Der Vater habe auch keine Unterhaltspflichten, abgesehen von einer Weiterleitung allfälliger Kinder- und Ausbildungszulagen. Unter diesen Umständen sei es für den Sohn nicht unzumutbar, die Schweiz zusammen mit der Mutter zu verlassen und die Beziehung zum Vater vom Ausland her zu pflegen. In Bezug auf die wichtigen Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 2 AuG erwog die Vorinstanz, es lasse sich nicht erkennen, dass die soziale Wiedereingliederung in der Türkei stark gefährdet wäre, habe doch die Beschwerdeführerin den grössten Teil ihres bisherigen Lebens dort verbracht. Überdies befinde sich ihre gesamte Familie dort. Den Anspruch auf allfällige Kinder- und Ausbildungszulagen sowie auf die direkte Auszahlung der IV-Kinderrente habe sie auch in der Türkei. Insgesamt bestünden keine wichtigen Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG.
4.3 Soweit es sich bei diesen Erwägungen um Sachverhaltsfeststellungen handelt, rügt die Beschwerdeführerin nicht in rechtsgenüglicher Weise, dass diese offensichtlich unrichtig wären; teilweise beruft sie sich selber auf diese Feststellungen. In Abweichung davon bringt sie vor, die medizinische Versorgung des Kindes sei nicht mittels gewöhnlicher Behandlung mit Antiepileptika zu gewährleisten. Diese Kritik ist rein appellatorisch und daher nicht zu hören (vorne E. 1.2). Weiter bringt sie vor, in ländlichen Gebieten der Türkei sei die medizinische Versorgung unterdurchschnittlich bis schlecht und hochstehende medizinische Behandlung nur für Menschen zugänglich, die über die notwendigen finanziellen Mittel verfügen. Auch die Vorinstanz ist aber nicht davon ausgegangen, dass die Versorgung in der Türkei in jeder Beziehung derjenigen in der Schweiz äquivalent sei; die daraus zu ziehenden Folgerungen sind nicht Tat-, sondern Rechtsfragen (vgl. hinten E. 4.4.3). Insbesondere kritisiert die Beschwerdeführerin nicht die vorinstanzliche Feststellung, mit der schweizerischen IV-Kinderrente könne die notwendige Behandlung in der Türkei finanziert werden.
4.4 In rechtlicher Beziehung bringt die Beschwerdeführerin auch vor Bundesgericht nichts vor, was auf wichtige Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 2 AuG (eheliche Gewalt/starke Gefährdung der Wiedereingliederung in der Türkei) schliessen liesse. Sie beruft sich hauptsächlich auf das Interesse ihres Sohnes, in der Schweiz bleiben zu können.
4.4.1 In diesem Zusammenhang rügt sie zunächst eine Verletzung von Art. 12 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechte-Konvention, KRK; SR 0.107), indem die Vorinstanz ihren Sohn nicht persönlich angehört habe.
Nach Art. 12 KRK sichern die Vertragsstaaten dem Kind, das fähig ist, sich eine eigene Meinung zu bilden, das Recht zu, diese Meinung in allen es berührenden Angelegenheiten frei zu äussern, und berücksichtigen die Meinung des Kindes angemessen und entsprechend seinem Alter und seiner Reife. Zu diesem Zweck wird dem Kind insbesondere Gelegenheit gegeben, in allen das Kind berührenden Gerichts- oder Verwaltungsverfahren entweder unmittelbar oder durch einen Vertreter oder eine geeignete Stelle im Einklang mit den innerstaatlichen Verfahrensvorschriften gehört zu werden. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts sind Kinder (im Rahmen von Scheidungsverfahren) aus kinderpsychologischen Gründen grundsätzlich erst etwa ab dem 6. Altersjahr persönlich anzuhören (BGE 131 III 553 E. 1.2). Zudem verlangt Art. 12 KRK dort, wo das Verfahren hauptsächlich schriftlich ist, wie namentlich im ausländerrechtlichen Verfahren, nicht zwingend, dass das Kind persönlich angehört wird, sofern sein Gesichtspunkt angemessen, d.h. durch eine schriftliche Erklärung des Kindes selber oder seines Vertreters ausgedrückt werden kann (Urteile 2C_746/2009 vom 16. Juni 2010 E. 4.1; 2A.195/2006 vom 7. Februar 2007 E. 3). Vorliegend wurden die Interessen des Kindes durch die Beschwerdeführerin, welche seine gesetzliche Vertreterin und anwaltlich vertreten ist, im Verfahren eingehend vorgebracht. Die Vorinstanz durfte deshalb auf eine persönliche Anhörung verzichten, zumal das Kind im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils erst gut sechs Jahre alt war.
4.4.2 Sodann kritisiert die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz sich auf das öffentliche Interesse an einer restriktiven Einwanderungspolitik bezogen habe; ein solches Interesse finde keine rechtliche Grundlage und dürfe weder im Rahmen von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG noch von Art. 8 Ziff. 2 EMRK berücksichtigt werden.
Die Vorinstanz hat sich entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerin nicht im Zusammenhang mit Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG, sondern im Rahmen der Würdigung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK auf das öffentliche Interesse an einer restriktiven Einwanderungspolitik berufen. In diesem Rahmen ist die Begrenzung der Einwanderung ein anerkanntes und zulässiges öffentliches Interesse, welches zur Einschränkung des Rechts auf Familienleben führen kann (BGE 137 I 284 E. 2.1 S. 288; 135 I 143 E. 2.2 S. 147).
Die Kritik der Beschwerdeführerin ist daher unbegründet.
4.4.3 Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, ein allfälliges Interesse an restriktiver Einwanderungspolitik hätte gegenüber dem Kindeswohl zurückzutreten. Angesichts der Betreuungsbedürftigkeit des Kindes und der Unmöglichkeit, die Betreuung in der Türkei zu gewährleisten, werde den Art. 11 und 13 BV, Art. 3, 6 und 16 KRK sowie Art. 8 EMRK nur dann gebührend Rechnung getragen, wenn Kind und Mutter in der Schweiz bleiben könnten.
Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen (vorne E. 4.2 und 4.3) ist jedoch die Behandlung des Sohnes grundsätzlich auch in der Türkei möglich. Soweit die medizinische Versorgung im Heimatland gewährleistet ist, kann sich der Ausländer auch im Lichte von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG oder Art. 8 EMRK regelmässig nicht darauf berufen, dass die Versorgung in der Schweiz einem höheren Standard entspricht (BGE 128 II 200 E. 5.3 S. 209; Urteil 2C_925/2011 vom 22. Juni 2012 E. 5.3 [mit Hinweisen]). Auch die verfassungs- und staatsvertragsrechtliche Pflicht zur Wahrung des Kindeswohls gibt keinen Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung in demjenigen Land, in welchem der höchste Standard der medizinischen Behandlung gewährleistet ist. Dem Sohn ist daher grundsätzlich zumutbar, zusammen mit seiner sorgeberechtigten Mutter auszureisen.
4.4.4 Die Beschwerdeführerin beruft sich schliesslich darauf, dass ihr Sohn bei einer Ausreise aus der Schweiz den Kontakt zum hier niedergelassenen Vater nicht mehr aufrechterhalten könne.
Das unmündige Kind teilt grundsätzlich schon aus familienrechtlichen Gründen (Art. 25 Abs. 1 und Art. 301 Abs. 3 ZGB; BGE 133 III 505 E. 3.3; Urteil 2C_31/2007 vom 27. Juli 2007 E. 2.5) das ausländerrechtliche Schicksal des sorgeberechtigten Elternteils und hat gegebenenfalls mit diesem das Land zu verlassen, wenn der Elternteil keine Bewilligung (mehr) hat. Ist dem Kind die Ausreise zumutbar (was grundsätzlich zu bejahen ist, wenn es sich im anpassungsfähigen Alter befindet), liegt gar kein Eingriff in das Familienleben vor (BGE 135 I 153 E. 2.1; 122 II 289 E. 3c; Urteil 2C_656/2011 vom 8. Mai 2012 E. 3.2). Etwas anderes gilt, wenn das Kind das Schweizer Bürgerrecht besitzt, weil es dann einen staatsbürgerrechtlichen Anspruch auf Aufenthalt in der Schweiz hat (Art. 24 und 25 BV; BGE 135 I 153 E. 2.2.3); es bedarf alsdann besonderer - namentlich ordnungs- und sicherheitspolizeilicher - Gründe, um die mit der Ausreise für das Schweizer Kind verbundenen weitreichenden Folgen zu rechtfertigen (BGE 137 I 247 E. 4.2.1; Urteil 2C_173/2011 vom 24. Juni 2011, RTiD 2012 I S. 120, E. 4 und 5). Dies gilt jedoch nicht für Kinder ohne schweizerisches Bürgerrecht, da bei diesen keine spezifischen bürgerrechtlichen Überlegungen zu berücksichtigen sind (BGE 137 I 247 E. 4.2.3; Urteil 2C_830/2010 vom 10. Juni 2011 E. 3.2.2); hier genügt die Zumutbarkeit der Ausreise des Kindes für eine Bewilligungsverweigerung an den sorge- bzw. obhutsberechtigten Elternteil, wobei die Möglichkeit der Ausübung des Besuchsrechts des in der Schweiz anwesenheitsberechtigten anderen Elternteils sachgerecht mitberücksichtigt werden kann (BGE 137 I 247 E. 4.2.3). Nach der Rechtsprechung hat der nicht sorge- oder obhutsberechtigte Elternteil gestützt auf Art. 8 EMRK ausnahmsweise einen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, wenn er sich tadellos verhalten hat und zwischen ihm und seinem Kind in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht, die - würde eine Bewilligung verweigert - wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Land, in welches der Ausländer vermutlich auszureisen hätte, praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte (BGE 137 I 247 E. 4.2.3; Urteil 2C_336/2012 vom 3. August 2012 E. 3.2). Geht es umgekehrt darum, dass der sorge- oder obhutsberechtigte Elternteil seine Bewilligung einzig zur Erleichterung der Ausübung des Besuchsrechts zwischen dem Kind und dem anderen Elternteil erhältlich machen will, so ist mit noch grösserer Zurückhaltung auf eine Pflicht zu schliessen, ihm eine Bewilligung zu erteilen, als im Falle des besuchsberechtigten Ausländers, der selber, im Hinblick auf die Ausübung seines Besuchsrechts, um die Bewilligung nachsucht (BGE 137 I 247 E. 4.2.3).
Vorliegend hat der Vater des Sohnes nach den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen weder in wirtschaftlicher noch in affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Sohn: Er hat ihm gegenüber keine Unterhaltspflicht (mit Ausnahme einer Weiterleitung allfälliger Kinderzulagen und der Kinderrente der IV) und sein Besuchsrecht überschreitet jedenfalls nicht das übliche Mass. Unter diesen Umständen könnte nach der dargelegten Rechtsprechung der Vater aus der Beziehung zum Kind keinen Anspruch auf Bewilligung ableiten; umso weniger kann dies die Beschwerdeführerin für sich selber tun, um dem Sohn die Ausübung des Besuchsrechts zu ermöglichen.
5. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt grundsätzlich die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es kann ihr jedoch die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährt werden, da sie bedürftig ist und die Beschwerde nicht aussichtslos war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Fürsprecher Christian Flückiger als Rechtsbeistand beigegeben. Fürsprecher Flückiger wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Januar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein