Sachverhalt:
A.
Die serbischen Staatsangehörigen C.Y._ (geb. 1994) und D.Y._ (geb. 1996) sind in der Schweiz geboren und bis im April 2006 hier aufgewachsen. Sie verfügten über eine Aufenthaltsbewilligung, die letztmals bis zum 30. Juni 2005 verlängert wurde. Ihre geschiedene Mutter, E.Y._ - (geb. 1974) wurde mit Verfügung vom 15. November 2005 infolge fehlender beruflicher Integration und fortwährender Abhängigkeit von der öffentlichen Fürsorge aus der Schweiz weggewiesen. Nach erfolgloser Beschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern reiste die Mutter mit C.Y._ und D.Y._ sowie mit den beiden jüngeren Söhnen F.Y._ (geb. 2000) und G.Y._ (geb. 2005 ) am 15. April 2006 aus der Schweiz aus.
Die beiden älteren Söhne, C.Y._ und D.Y._, sind in der zweiten Jahreshälfte 2011 von Belgien in die Schweiz eingereist und halten sich seither bei den Grosseltern A.X._ und B.X._, beide Schweizer Bürger, auf. Ihre Mutter, E.Y._, blieb mit den jüngeren Söhnen vorerst noch in Belgien.
B.
Am 19. August 2011 reichten A.X._ und B.X._ ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs für ihre Enkel C.Y._ und D.Y._ ein. Das Amt für Migration des Kantons Luzern lehnte das Gesuch mit Verfügung vom 10. Oktober 2011 ab und wies C.Y._ und D.Y._ aus der Schweiz weg.
Dagegen erhoben A.X._ und B.X._ bzw. C.Y._ und D.Y._ Beschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern. Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme ersuchten sie zudem um Erteilung einer vorläufigen Aufenthaltsbewilligung, was mit Zwischenentscheid vom 25. November 2011 abgelehnt wurde. Die gegen den Zwischenentscheid erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 14. Februar 2012 gut und wies die Sache zur neuen Beurteilung - insbesondere aufgrund der neu eingereichten dauernden belgischen Aufenthaltsbewilligungen - an das Justiz- und Sicherheitsdepartement zurück.
Mit Entscheid vom 11. Mai 2012 wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement die Beschwerde gegen die Verfügung vom 10. Oktober 2011 betreffend Nichterteilung der Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs ab und setzte die Ausreisefrist neu auf den 16. Juli 2012 fest.
C.
A.X._ und B.X._ sowie C.Y._ und D.Y._ reichten dagegen Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ein. Sie beantragten, C.Y._ und D.Y._ die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, festzustellen, dass das Justiz- und Sicherheitsdepartement das Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsverbot bezüglich der Anordnung vorsorglicher Massnahmen verletzt habe, und C.Y._ und D.Y._ den Aufenthalt während des Hauptverfahrens zu bewilligen.
Am 23. August 2012 teilten A.X._ und B.X._ sowie C.Y._ und D.Y._ dem Verwaltungsgericht mit, dass sich E.Y._ - derzeit in der Schweiz befinde. Einen Tag später reichten sie eine Kopie des Gesuchs um Aufenthaltsbewilligung für E.Y._ - zu den Akten.
Mit Urteil vom 19. September 2012 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde von A.X._ und B.X._ sowie C.Y._ und D.Y._ wegen Rechtsmissbrauchs ab, soweit es darauf eintrat, und ordnete an, C.Y._ und D.Y._ hätten die Schweiz bis spätestens am 1. November 2012 zu verlassen.
D.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 24. Oktober 2012 beantragen A.X._ und B.X._ (Beschwerdeführer 1) sowie C.Y._ und D.Y._ (Beschwerdeführer 2), das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 19. September 2012 aufzuheben, den Beschwerdeführern 2 eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, und zudem festzustellen, dass das Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie die Vorinstanz das Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsverbot bezüglich der Anordnung vorsorglicher Massnahmen verletzt haben. Weiter ersuchen sie im Sinne einer dringlichen vorsorglichen Massnahme den Beschwerdeführern 2 für die Dauer des Hauptverfahrens eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Migrationsamt sowie das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern liessen sich nicht vernehmen. Die Beschwerdeführer haben sich zu den Vernehmlassungsantworten abschliessend geäussert.
E.
Mit Verfügung vom 31. Oktober 2012 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde hinsichtlich der mit dem angefochtenen Urteil für die Beschwerdeführer 2 verbundenen Ausreiseverpflichtung aufschiebende Wirkung erteilt.
Erwägungen:
1.
1.1. Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
Nach Art. 42 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) haben ausländische Familienangehörige von Schweizerinnen und Schweizern Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie im Besitz einer dauerhaften Aufenthaltsbewilligung eines Staates sind, mit dem ein Freizügigkeitsabkommen abgeschlossen wurde. Die Beschwerdeführer berufen sich auf diese Anspruchsgrundlage und behaupten die Voraussetzungen hierfür seien gegeben. Dies bedarf näherer Prüfung, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist. Ob die in diesen Bestimmungen statuierten Voraussetzungen für eine Bewilligungserteilung erfüllt sind, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung.
Die Beschwerdeführer berufen sich für die Grosseltern-Enkel-Beziehung zwar zusätzlich auf den Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK. Daraus lassen sich jedoch vorliegend keine weitergehenden Ansprüche ableiten, weshalb sich Ausführungen dazu erübrigen.
Abgesehen davon, dass eine Bewilligung gemäss Art. 27 AuG nicht Gegenstand des angefochtenen Urteils war und sich die Beschwerdeführer zudem erst in ihren Bemerkungen zu den Vernehmlassungen darauf berufen, wäre die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten diesbezüglich mangels Rechtsanspruchs ohnehin unzulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG).
1.2. Das angefochtene Urteil stellt einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid dar. Die Beschwerdeführer sind gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert; auf das frist- und formgerecht eingereichte Rechtsmittel kann daher grundsätzlich eingetreten werden.
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 II 304 E. 2.5 S. 314 mit Hinweisen), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung oder der Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 137 II 353 E. 5.1 S. 356). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; vgl. BGE 136 III 123 E. 4.4,3 S. 129).
2.
Vorab erblicken die Beschwerdeführer eine Verletzung des Verbots der Rechtsverweigerung bzw. der Rechtsverzögerung darin, dass die Vorinstanz (bzw. bereits die untere kantonale Instanz) den Beschwerdeführern nicht in Form einer vorsorglichen Massnahme formell den Aufenthalt während des hängigen Verfahrens bewilligt habe, und stellen diesbezüglich ein Feststellungsbegehren. Wie bereits vor der Vorinstanz legen die Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich, worin das aktuelle praktische Rechtsschutzinteresse (vgl. BGE 137 I 296 E. 4.2 S. 299 mit Hinweisen) an der verlangten gerichtlichen Feststellung liegen soll. Mit diesem Erfordernis soll sichergestellt werden, dass das Gericht konkrete und nicht bloss theoretische Fragen entscheidet (BGE 136 I 274 E. 1.3 S. 276). Das Interesse an der Feststellung einer Verletzung des Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsverbots besteht in der Regel nur, solange der Entscheid der Behörde noch aussteht. Mit dem Entscheid in der Sache, ist das Gesuch um vorsorgliche Massnahme gegenstandslos geworden. Trotz fehlenden Zwischenentscheids hinsichtlich des Aufenthalts bis zum Abschluss des Verfahrens sind den Beschwerdeführern auch keine Nachteile erwachsen. Unbestrittenermassen konnten sich die Beschwerdeführer 2 während dem kantonalen Verfahren in der Schweiz aufhalten und hier zur Schule gehen. Es wurde gegen sie auch nicht strafrechtlich wegen illegalem Aufenthalt vorgegangen. Dass den Beschwerdeführern durch das Vorgehen der Vorinstanz Kosten entstanden sein sollen, ist nicht nachvollziehbar. Mangels eines aktuellen praktischen Rechtsschutzinteresses im Sinne von Art. 89 Abs. 1 BGG ist damit auf das Feststellungsbegehren nicht einzutreten. Soweit die Beschwerdeführer der Vorinstanz vorwerfen, sie habe, indem sie keinen Zwischenentscheid erlassen habe, Art. 13 EMRK, Art. 28 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (UNO-Kinderrechtskonvention, UNO-KRK; SR 0.107), Art. 11 BV sowie den Anspruch auf rechtliches Gehör und Verfahrensfairness verletzt, vermöchten ihre Vorbringen im Übrigen ohnehin den Anforderungen an die Begründung entsprechender Rügen nicht zu genügen (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. E. 1.3).
3.
3.1. Wie erwähnt haben ausländische Familienangehörige von Schweizern und Schweizerinnen Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung, wenn sie im Besitz einer dauerhaften Aufenthaltsbewilligung eines Staates sind, mit dem ein Freizügigkeitsabkommen abgeschlossen wurde (Art. 42 Abs. 2 AuG). Als Familienangehörige gelten unter anderem der Ehegatte und die Verwandten in absteigender Linie - damit auch die Enkelkinder (vgl. MARTINA CARONI, in: SHK Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, 2010, N. 35 zu Art. 42 AuG; Botschaft vom 8. März 2002 zum Bundesgesetz über die Ausländer und Ausländerinnen, BBl 2002 3752 Ziff. 1.3.7.2) - , die unter 21 Jahre alt sind oder denen Unterhalt gewährt wird (Art. 42 Abs. 2 lit. a AuG). Dieser weitgehende Familiennachzug wurde den Freizügigkeitsbestimmungen (Art. 3 Abs. 2 lit. a Anhang I FZA ) nachgebildet. Da der Familiennachzug danach keine Nachzugsfristen kennt, hat der Gesetzgeber (ursprünglich zwecks Vermeidung der Inländerdiskriminierung) den Nachzug nach Art. 42 Abs. 2 AuG durch Art. 47 Abs. 2 AuG ausdrücklich vom Fristerfordernis ausgenommen, womit vorbehältlich der Alterslimite bzw. (ab dem 21. Lebensjahr) der Unterhaltsvoraussetzung der Nachzugszeitpunkt frei bestimmt werden kann.
3.2. Die Beschwerdeführer 1 sind Schweizer Bürger und die nachzuziehenden Beschwerdeführer 2 sind ihre ausländischen Enkel, die über eine dauerhafte Aufenthaltsbewilligung in Belgien, d.h. in einem Staat mit dem ein Freizügigkeitsabkommen (vgl. BGE 136 II 497 E. 3 S. 499 ff.) abgeschlossen wurde, verfügen. Im Zeitpunkt der Gesuchsstellung waren die Enkel 15 bzw. 17 Jahre und damit unter 21 Jahre alt. Unbestrittenermassen haben die Beschwerdeführer 2 somit grundsätzlich einen Anspruch auf Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz.
4.
4.1. Die Vorinstanz erachtete das Gesuch um Nachzug der beiden Enkel jedoch als rechtsmissbräuchlich insbesondere aufgrund des langen Zuwartens der Grosseltern bis zur Gesuchseinreichung, des Alters der nachzuziehenden Jugendlichen sowie der Wiedereinreise der Kindsmutter.
4.2. Ansprüche nach Art. 42 AuG erlöschen, wenn sie rechtsmissbräuchlich geltend gemacht werden, namentlich um die Vorschriften dieses Gesetzes über die Zulassung und den Aufenthalt zu umgehen (Art. 51 Abs. 1 lit. a AuG) oder wenn Widerrufsgründe nach Art. 63 AuG vorliegen (Art. 51 Abs. 1 lit. b AuG).
4.2.1. Das Verbot des Rechtsmissbrauchs setzt der Ausübung eines Anspruchs, der formal im Einklang mit der Rechtsordnung steht, jedoch treuwidrig und damit unredlich geltend gemacht wird, eine ethisch-materielle Schranke. Es steht der Inanspruchnahme eines Rechtsinstituts zu Zwecken entgegen, welche dieses nicht schützen will (BGE 137 I 247 E. 5.1.1 S. 252; 131 I 166 E. 6.1 S. 177; 128 II 145 E. 2.2 S. 151). Der Rechtsmissbrauch muss jedoch offensichtlich sein, um einem formal gültigen Anspruch ausnahmsweise den Rechtsschutz zu versagen (vgl. HAUSHEER/AEBI-MÜLLER, in: Berner Kommentar, Schweizerisches Zivilgesetzbuch, Band I/1, 2012, N. 198 zu Art. 2 ZGB). Auf ein rechtsmissbräuchliches Vorgehen kann folglich nur geschlossen werden, wenn dafür eindeutige Hinweise bestehen.
4.2.2. Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen haben die Beschwerdeführer 2 bis im Alter von 10 bzw. 12 Jahren in der Schweiz gelebt und wurden in dieser Zeit unbestrittenermassen teilweise von ihren Grosseltern (den Beschwerdeführern 1) aufgezogen, da ihre Mutter (Tochter der Beschwerdeführer 1) mit der Erziehung der Kinder überfordert war. Als die Mutter der Kinder wegen fortwährender Fürsorgeabhängigkeit im Jahre 2006 aus der Schweiz weggewiesen wurde, reisten die Beschwerdeführer 2 mit ihr sowie den beiden jüngeren Geschwistern nach Belgien. Die Beschwerdeführer 1 verfügten zu jener Zeit zwar bereits über das Schweizer Bürgerrecht, aber eine gesetzliche Grundlage, die ihnen erlaubt hätte, den weiteren Aufenthalt ihrer Enkel in der Schweiz zu beanspruchen, fehlte damals und wurde erst durch das neue Ausländergesetz, das am 1. Januar 2008 in Kraft getreten ist, geschaffen. Es kann ihnen daher nicht vorgehalten werden, im Zeitpunkt der Wegweisung ihrer Tochter nichts unternommen zu haben, um den weiteren Verbleib der Beschwerdeführer 2 bei ihnen in der Schweiz zu erwirken.
4.2.3. Wie die Beschwerdeführer 1 darlegen, haben sie ihre Tochter und die Kinder danach wiederholt in Belgien besucht und auch finanziell unterstützt. Dabei haben sie fortdauernd ungenügende Erziehungsfähigkeiten der Mutter festgestellt. Einerseits mag zutreffen, dass es im Interesse des Kindeswohls gewesen wäre, den Nachzug zu den Grosseltern bereits im Jahr 2008 zu beantragen, als dies aufgrund des neuen Ausländergesetzes möglich geworden war. Andererseits mochten die Grosseltern aber durchaus legitime Gründe gehabt haben, trotz bestehender Defizite in der Erziehung die Enkel damals nicht von der Mutter und den jüngeren Geschwistern zu trennen, sondern abzuwarten, bis die beiden Jugendlichen selber entscheiden konnten, ob sie bei der Mutter verbleiben oder zu den Grosseltern ziehen wollten. Dazu kam es im Jahre 2011, als die beiden Enkel etwas über 17 Jahre bzw. fast 15 Jahre alt waren und mit dem Einverständnis ihrer Mutter zu den Grosseltern in die Schweiz übersiedelten. Dass die Beschwerdeführer 1 erst zu jenem Zeitpunkt Schritte in die Wege geleitet haben, um die beiden Enkel definitiv bei sich in der Schweiz aufzunehmen, kann ihnen somit nicht zum Vorwurf gemacht werden.
4.2.4. Nachdem der Anspruch auf Nachzug gemäss Art. 42 Abs. 2 lit. a AuG bis zur Vollendung des 21. Lebensjahrs bzw. bei Unterhaltsgewährung selbst danach besteht und keine Nachzugsfristen zu berücksichtigen sind (Art. 47 Abs. 2 AuG), lässt sich auch nicht sagen, der Anspruch sei erst kurz vor Erreichen der Altersgrenze geltend gemacht worden, was auf Zweckwidrigkeit hindeute. Selbst wenn bei Jugendlichen im fortgeschrittenen Alter mit dem Nachzug auch Erwerbsinteressen einhergehen, entspricht dies im Übrigen der Konzeption der hohen Alterslimite der fraglichen Gesetzesbestimmung und macht den Nachzug nicht rechtsmissbräuchlich (vgl. MARC SPESCHA, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli, Kommentar Migrationsrecht, 3. Aufl. 2012, AuG 42 N 8). Es trifft zwar zu, dass es im Hinblick auf die Integration in der Schweiz von Vorteil ist, wenn Kinder möglichst frühzeitig in die Schweiz nachgezogen werden. Abgesehen davon, dass dies mit den hier gerade nicht geltenden Nachzugsfristen bezweckt wird und damit nicht zu berücksichtigen ist, bestehen vorliegend ohnehin nicht die üblichen Integrationsbedenken, da die beiden Enkel hier geboren sind und bis zur Wegweisung in der Schweiz die Schule besucht haben. Wie die Vorinstanz ausführt, sind die Beschwerdeführer 2 der deutschen Sprache mächtig, kennen die hiesigen Verhältnisse und verfügen über einen gefestigten Freundeskreis in Luzern.
4.2.5. Ein Hinweis auf Rechtsmissbrauch lässt sich im Übrigen auch nicht darin erkennen, dass die Beschwerdeführer 1 das Familiennachzugsgesuch (zunächst) auf die beiden älteren Enkel beschränkt haben. Nachdem die beiden jüngeren Enkel im Jahre 2000 bzw. gar erst nach Erlass der Wegweisungsverfügung geboren sind, liegt es auf der Hand, dass die Grosseltern vor der Ausreise nach Belgien hauptsächlich bezüglich der beiden älteren Enkel eine wichtige Erziehungsrolle übernommen hatten. Im Übrigen stellt die Vorinstanz nicht in Abrede, dass die Beziehung zu den Grosseltern intakt ist und diese ihren Enkeln gefestigte familiäre Strukturen bieten können.
4.2.6. Inzwischen ist nun auch die Mutter der Beschwerdeführer 2 in die Schweiz eingereist und hat ebenfalls um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ersucht. Ob bei der Mutter die Voraussetzungen für eine Bewilligungserteilung erfüllt sind, steht nicht in Zusammenhang mit dem Anspruch der Beschwerdeführer 2, mithin kann aus dem Gesuch der Mutter bezüglich des Anspruchs der Beschwerdeführer 2 nichts abgeleitet werden, weder in positiver noch in negativer Hinsicht. Jedenfalls kann den Beschwerdeführern gestützt darauf kein Rechtsmissbrauch vorgeworfen werden.
4.3. Zusammenfassend ergibt sich, dass das Gesuch der Beschwerdeführer 1 um Nachzug der Beschwerdeführer 2 nicht als rechtsmissbräuchlich bezeichnet werden kann.
4.4. Die Beschwerdeführer 1 haben sich zudem schriftlich verpflichtet, für die Enkel auch finanziell zu sorgen. Sie betreiben ein eigenes Lebensmittelgeschäft. Aus den eingereichten Belegen geht unter anderem hervor, dass sie in der Stadt Luzern ein Wohnhaus mit einem Geschäft und mehreren an Dritte vermieteten Wohnungen besitzen und zudem hälftige Miteigentümer einer zweiten Liegenschaft sind. Es darf somit davon ausgegangen werden, dass sie in der Lage sind, der hinsichtlich der beiden Enkel eingegangenen finanziellen Verpflichtung auch zukünftig nachzukommen. Die Vorinstanz hat diesbezüglich ebenfalls keine Bedenken geäussert, sondern vielmehr bestätigt, dass die Beschwerdeführer 1 über geregelte finanzielle Verhältnisse verfügten. Es ist somit auch kein Widerrufsgrund im Sinne von Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG ersichtlich, der ein Erlöschen des Anspruchs der Enkelkinder auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zur Folge haben könnte (vgl. Art. 51 Abs. 1 lit. b AuG). Mithin verstösst die Verweigerung des Nachzugs der Beschwerdeführer 2 gegen Bundesrecht, was zur Gutheissung der Beschwerde führt. Unter diesen Umständen erübrigt sich die Prüfung der von den Beschwerdeführern vorgebrachten weiteren Rügen.
5.
5.1. Die Beschwerde erweist sich somit als begründet und ist gutzuheissen, soweit darauf eingetreten wird. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 19. September 2012 ist aufzuheben und das Amt für Migration des Kantons Luzern ist anzuweisen, den Beschwerdeführern 2 eine Aufenthaltsbewilligung zuerteilen.
5.2. Dem unterliegenden Kanton Luzern sind für das vorliegende Verfahren keine Kosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 4 BGG). Er muss die obsiegenden Beschwerdeführer für dieses jedoch angemessen entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wird über die Kosten- und Entschädigungsfrage für die vorinstanzlichen Verfahren im Kanton neu zu befinden haben.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 19. September 2012 wird aufgehoben und das Amt für Migration des Kantons Luzern wird angewiesen, C.Y._ und D.Y._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
2.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Der Kanton Luzern hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
3.
Die Sache wird an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern zurückgewiesen zur Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen für das kantonale Verfahren.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Amt für Migration des Kantons Luzern, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern, Rechtsdienst, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Dubs