Sachverhalt:
Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich lehnte das Gesuch des 1960 geborenen, ledigen G._ um Ergänzungsleistungen ab (aufgrund der Verhältnisse Stand November 2008; mit Einspracheentscheid vom 30. April 2009 bestätigte Verfügung vom 25. November 2008). Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit sie über den Anspruch von G._ auf Zusatzleistungen im Sinne der Erwägungen neu verfüge (Entscheid vom 31. Mai 2011).
Das Amt für Zusatzleistungen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben.
G._ (Beschwerdegegner) und das kantonale Gericht verzichten auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen schliesst auf Gutheissung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid vom 31. Mai 2011 handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481). Ein solcher ist nach Art. 93 Abs. 1 BGG nur anfechtbar, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Ein Rückweisungsentscheid bewirkt in der Regel keinen unumkehrbaren Nachteil, da der Rechtsuchende ihn später zusammen mit dem neu zu fällenden Endentscheid wird anfechten können (Art. 93 Abs. 3 BGG). Anders verhält es sich allerdings, wenn der Rückweisungsentscheid die Verwaltung zwingt, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen. Diesfalls kann bereits dieser Entscheid angefochten und muss nicht der Endentscheid abgewartet werden (BGE 133 V 477 E. 5.2 S. 483).
1.2 Der vorinstanzliche Entscheid enthält materiell verbindliche Anordnungen (vgl. unten E. 2.4.1), welche die Verwaltung auf Leistungen verpflichten, die ihrer Auffassung nach ungerechtfertigt sind. Der betreffende Endentscheid könnte praktisch nicht angefochten und das Ergebnis nicht mehr korrigiert werden. Daher liegt ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG vor; die Beschwerde gegen den Rückweisungsentscheid ist zulässig.
2. 2.1 Der Beschwerdegegner ist Bezüger einer Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung und als solcher gegebenenfalls berechtigt, Ergänzungsleistungen (EL) zu beziehen (Art. 4 Abs. 1 lit. c ELG). Er lebt mit seiner vollerwerbstätigen Lebenspartnerin U._ zusammen im gleichen Haushalt. Das gemeinsame Kind A._ (geb. 2006) wird während der Arbeitszeiten der sorgeberechtigten Mutter durch den Beschwerdegegner betreut.
2.2 Die jährliche Ergänzungsleistung entspricht dem Betrag, um den die anerkannten Ausgaben die anrechenbaren Einnahmen übersteigen (Art. 9 Abs. 1 ELG). Nach Art. 9 Abs. 2 Satz 1 ELG werden die anerkannten Ausgaben sowie die anrechenbaren Einnahmen von Ehegatten und von Personen mit rentenberechtigten Waisen oder mit Kindern, die einen Anspruch auf eine Kinderrente der AHV oder IV begründen, zusammengerechnet. Dagegen wird die Konkubinatspartnerin oder der Konkubinatspartner genauso wenig in die Berechnung der Ergänzungsleistung eingeschlossen wie deren oder dessen eigene Kinder (BGE 137 V 434 E. 4.2 S. 437; vgl. BGE 137 V 82). Die anerkannten Ausgaben und anrechenbaren Einnahmen gemeinsamer Kinder eines Konkubinatspaars werden ebenso beim rentenberechtigten Elternteil berücksichtigt, wie dies bei geschiedenen Eltern der Fall ist, die mit ihren Kindern in einer Hausgemeinschaft leben (dazu BGE 137 V 434 E. 4.2 S. 437). Kinder, deren anrechenbare Einnahmen die anerkannten Ausgaben erreichen oder übersteigen, fallen für die Berechnung der jährlichen Ergänzungsleistung indessen ausser Betracht (Art. 9 Abs. 4 ELG und Art. 8 Abs. 2 ELV).
2.3 Um die zumutbaren beiderseitigen Unterhaltsleistungen im Rahmen der bestehenden familiären Gemeinschaft vollständig zu erfassen, rechnete die Verwaltung dem Kind einen hypothetischen jährlichen Unterhaltsbeitrag der vollerwerbstätigen Mutter als Einnahme an (Einspracheentscheid vom 30. April 2009). Dieser entsprach dem in einer EL-Schattenberechnung für das Jahr 2008 ermittelten Einnahmenüberschuss der Mutter über Fr. 6'117.-. Das führte dazu, dass die anrechenbaren Einnahmen des Kindes von Fr. 19'407.- (hypothetischer Unterhaltsbeitrag zuzüglich Kinderrente der IV von Fr. 6'816.- und der beruflichen Vorsorge von Fr. 1'434.- sowie Kinderzulagen von Fr. 5'040.-) höher waren als die anerkannten Ausgaben von Fr. 17'480.- (allgemeiner Lebensbedarf von Fr. 9'480.-, Krankenversicherungsprämien von Fr. 1'008.- sowie Mietzinsanteil [1/3] über Fr. 6'992.-). Aufgrund ihres Einnahmenüberschusses fiel die Tochter für die Berechnung der jährlichen Ergänzungsleistung des Beschwerdegegners ausser Betracht (Art. 9 Abs. 4 ELG). Dessen anerkannte Ausgaben von Fr. 29'791.- unterschritten die anrechenbaren Einnahmen von Fr. 32'038.- (Renten der Invalidenversicherung und der beruflichen Vorsorge sowie ein gemäss Art. 14a Abs. 2 lit. c ELV mit Blick auf die Teilinvalidität von 61 Prozent anzurechnendes hypothetisches Erwerbseinkommen). Demgemäss lehnte das zuständige Amt das Gesuch um Ergänzungsleistung ab.
Ohne Anrechnung des Unterhaltsbeitrages der Kindsmutter und unter Einbezug des in dieser Variante anfallenden Ausgabenüberschusses des Kindes (von rund Fr. 4'190.-, das heisst Fr. 349.- monatlich) hätte sich hingegen bei Zugrundelegung der von der Verwaltung verwendeten Zahlen ein Defizit von Fr. 1'943.- (32'038.- [29'791.- + 4'190.-]) ergeben. Aufgrund dieser Berechnungsweise wäre der Anspruch des Beschwerdegegners auf Ergänzungsleistung begründet.
Ohne Anrechnung des Unterhaltsbeitrages der Kindsmutter und unter Einbezug des in dieser Variante anfallenden Ausgabenüberschusses des Kindes (von rund Fr. 4'190.-, das heisst Fr. 349.- monatlich) hätte sich hingegen bei Zugrundelegung der von der Verwaltung verwendeten Zahlen ein Defizit von Fr. 1'943.- (32'038.- [29'791.- + 4'190.-]) ergeben. Aufgrund dieser Berechnungsweise wäre der Anspruch des Beschwerdegegners auf Ergänzungsleistung begründet.
2.4 2.4.1 Die Vorinstanz ging davon aus, der Unterhalt des Kindes nach Art. 276 ZGB sei in einem am 1. Oktober 2007 genehmigten Unterhaltsvertrag abschliessend geregelt. Dieser biete keine Grundlage, um die Mutter als Inhaberin der elterlichen Sorge und Obhut zu Unterhaltsbeiträgen an das Kind zu verpflichten. Später sei keine Änderung im Sachverhalt eingetreten, welche eine Anpassung der Regelung rechtfertigen könnte. Das kantonale Gericht erkannte demnach, im strittigen Verwaltungsentscheid sei dem Kind zu Unrecht ein hypothetischer Unterhaltsbeitrag der Mutter von rund Fr. 6'000.- als Einnahme angerechnet worden. Folglich ergebe sich in der EL-Berechnung für das Kind ein Ausgabenüberschuss. Dieser Fehlbetrag sei in die Berechnung der väterlichen Ergänzungsleistung einzubeziehen.
2.4.2 Die beschwerdeführende Verwaltung hält entgegen, nach den Prinzipien des Ergänzungsleistungsrechts und auch des Zivilrechts sei die Deckung des Kindesunterhalts in erster Linie Sache der Eltern. Ergänzungsleistung werde nur ausgerichtet, wo ein Bedarf ausgewiesen sei. Daher müsse in der EL-Berechnung für den Beschwerdegegner mit Kind unter dem Titel von Art. 11 Abs. 1 lit. h ELG auch die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit der Mutter berücksichtigt werden. Nach Anrechnung der Kinderrenten und der Kinder- und Familienzulagen verbleibe im Unterhaltsbedarf des Kindes eine monatliche Deckungslücke von bloss Fr. 349.-. In der konkreten Verdienst- und Betreuungssituation habe die Mutter im Rahmen von Art. 276 ZGB diesen ungedeckten Teil zu übernehmen, soweit bei ihr dadurch keine Mankosituation entstehe.
Im Rahmen der Eventualbegründung, die vom Vater in natura erbrachte Erziehungs- und Pflegeleistung sei in Gestalt einer Verzichtseinnahme (Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG) zu berücksichtigen, machte das beschwerdeführende Amt geltend, bei den üblichen Ansätzen der Kindertagesbetreuung sei die Betreuungsleistung des Beschwerdegegners mit jedenfalls Fr. 17'600.- jährlich zu bewerten. Der Einbezug einer solchen (nicht geltend gemachten) Entschädigung (anstelle des hypothetischen Mindesterwerbseinkommens nach Art. 14a ELV) führte wiederum zu einem Einnahmenüberschuss.
2.4.3 Auch das Bundesamt betont die Subsidiarität der Ergänzungsleistung im Verhältnis zu Familienunterhaltsleistungen. Es gehe nicht an, dass die öffentliche Hand Beiträge an den Unterhalt eines Kindes leiste, wenn auch nur ein Elternteil genügend leistungsfähig sei, für sein Kind finanziell aufzukommen, dies umso weniger, wenn der nicht zahlungskräftige Elternteil seinen Beitrag mit einer Betreuungsleistung erbringe und damit dem andern ermögliche, einer vollen Erwerbstätigkeit nachzugehen.
3. 3.1 Die beschwerdeführende Verwaltung und das Bundesamt stellen zu Recht Art. 276 Abs. 1 und 2 ZGB in den Mittelpunkt. Danach kommen die Eltern gemeinsam für den Unterhalt des Kindes auf, je nach den persönlichen Verhältnissen durch Pflege und Erziehung und/oder durch Geldzahlung. Der Beschwerdegegner und seine Lebenspartnerin stellen als Eltern - sich gegenseitig ergänzend, jeder nach seinen Möglichkeiten - den Unterhalt des Kindes sicher. Der vorinstanzliche Ansatz, wonach nur die im Unterhaltsvertrag aufgeführten Unterhaltsbeiträge EL-relevant sind, trägt der Eigenleistungskapazität der (funktionalen) Familie nicht ausreichend Rechnung.
3.2 Danach ergibt sich in der gegebenen Konstellation im Einzelnen folgende Lösung:
3.2.1 Der Unterhalt für die 2006 geborene Tochter setzt sich aus dem allgemeinen Lebensbedarf (einschliesslich Krankenkassenprämien und Mietzinsanteil) von Fr. 17'480.- (vgl. oben E. 2.3) sowie einem Aufwand für die Betreuung zusammen. Der die Kinderrenten und Kinderzulagen (von zusammen Fr. 13'290.-) übersteigende Geldbedarf von Fr. 4'188.- ist durch frei verfügbare Geldmittel der Mutter ohne Weiteres gedeckt. Beim Kind besteht somit ein Einnahmenüberschuss, der in der Anspruchsrechnung des Beschwerdegegners nicht berücksichtigt wird (Art. 9 Abs. 4 ELG).
3.2.2 Der Kindesunterhalt kann - je nach den individuellen Möglichkeiten beider Verpflichteten - in Geldform oder durch Naturalleistung erbracht werden (vgl. Peter Breitschmid, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch, Bd. I, 4. Aufl. 2010, N. 26 zu Art. 276 ZGB). In Konkubinatsverhältnissen hat der Vater den Unterhalt grundsätzlich durch Geldzahlung zu leisten; die Mutter als Inhaberin der elterlichen Sorge kann dem Vater aber auf Zusehen hin gestatten, anstelle von Geldzahlung Sach- und Dienstleistungen für den Kindesunterhalt zu erbringen (Cyril Hegnauer, in: Berner Kommentar, Schweizerisches Zivilgesetzbuch, Bd. II/2/2/1, 1997, N. 99 zu Art. 276 und N. 29 zu Art. 289 ZGB). Der Beschwerdegegner sorgt während der arbeitsbedingten Abwesenheiten der Mutter für das Kind. Das beschwerdeführende Amt veranschlagte diese Betreuungsleistung in Anlehnung unter anderem an Tarife der Tagesmütterinstitutionen mit Fr. 17'600.- (Ansatz von Fr. 10.- für 40 Betreuungsstunden während 44 Wochen). Dieser (vorsichtigen) Schätzung kann gefolgt werden. Die vertragliche Verpflichtung des Beschwerdegegners, monatliche Unterhaltsbeiträge in Höhe von Fr. 360.- (Fr. 4'320.- p.a., bis zum vollendeten sechsten Altersjahr gültiger Ansatz) zu leisten, ist durch die Betreuungsleistung mit abgegolten.
3.2.3 Angesichts des Umstandes, dass jeder Elternteil nach seinen Möglichkeiten zum Kindesunterhalt beitragen soll, stellt die Kindesbetreuung auch insoweit nicht eine freiwillige - und damit nicht vom anrechenbaren Jahreseinkommen abziehbare - Unterhaltsleistung dar, als sie über die unterhaltsvertragliche Verpflichtung hinausgeht (vgl. dazu AHI 1995 S. 222, P 63/94 E. 3; Stefan Werlen, Der Anspruch auf Ergänzungsleistungen und deren Berechnung, Diss. Freiburg 1995, S. 221; Ralph Jöhl, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2. Aufl. 2007, S. 1744 f. Rz. 159 ff.). Dementsprechend liegt auch kein Verzicht auf Einkünfte (Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG) vor. Eine solche Annahme wäre der hier gegebenen Situation nicht angemessen: Die Betreuungsleistung des Kindsvaters erlaubt eine Vollerwerbstätigkeit der Mutter, ohne dass deswegen erhebliche Fremdbetreuungskosten anfallen. Dies wiederum leistet unter anderem Gewähr für den finanziellen Kindesunterhalt (oben E. 3.2.1).
Zum gleichen Ergebnis führt die Rechtsprechung zu Art. 14a Abs. 2 (in Verbindung mit Abs. 1) ELV. Nach dieser Bestimmung wird teilinvaliden Personen, welche die ihnen zumutbare Resterwerbsfähigkeit nicht ausschöpfen, ein Mindesteinkommen angerechnet. Unter diesem Titel hat das beschwerdeführende Amt in die EL-Anspruchsrechnung des (im Zeitpunkt des strittigen Einspracheentscheids 49-jährigen) Beschwerdegegners einen dem Invaliditätsgrad von 61 Prozent entsprechenden Betrag eingesetzt (Art. 14a Abs. 2 lit. c ELV). Aus dem bisher Gesagten folgt, dass der Berechnungsweise der Verwaltung in diesem Punkt nicht gefolgt werden kann. Die Art. 14a Abs. 2 ELV zugrundeliegende Vermutung, die Verwertung der verbliebenen Erwerbsfähigkeit sei möglich und zumutbar, kommt nicht zum Tragen, wenn persönliche Umstände die Realisierung eines Einkommens verhindern oder erschweren (BGE 117 V 202 E. 2a S. 204; 115 V 88). Die Betreuungsaufgabe des Beschwerdegegners bildet zweifellos einen solchen Hinderungsgrund.
3.2.4 Mit Blick auf die Subsidiarität der Ergänzungsleistung kann der mit der Kindesbetreuung zu begründende Einkommensausfall solange nicht anspruchsbegründend sein, als innerhalb der (funktionalen) Familie noch Ressourcen für den Kindesunterhalt zur Verfügung stehen. Für die (an sich mit Fr. 17'600.- bewertete) Betreuungsleistung ist dem Beschwerdegegner mithin eine hypothetische Entschädigung anzurechnen; diese ist allerdings auf die in der EL-Schattenberechnung ermittelten frei verfügbaren Mittel der Kindsmutter von Fr. 6'117.- beschränkt (vgl. dazu Carigiet/Koch, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, 2. Aufl. 2009, S. 128).
3.3 Wird in die Vergleichsrechnung, wie sie die Verwaltung angestellt hat, anstelle eines Verzichtseinkommens die hypothetische Entschädigung über Fr. 6'117.- eingesetzt, so verbleibt - bei im Übrigen gleichbleibenden Zahlen - ein Überschuss von Fr. 969.- (anerkannte Ausgaben: Fr. 29'791.-, anrechenbare Einnahmen: Fr. 30'760.-).
4. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Einnahmen und Ausgaben gemeinsamer Kinder eines Konkubinatspaars beim rentenberechtigten Elternteil berücksichtigt werden (vgl. BGE 137 V 434); das Kind fällt indessen für die Berechnung der Ergänzungsleistung ausser Betracht, wenn es, wie hier, selber einen Einnahmenüberschuss aufweist (Art. 9 Abs. 4 ELG). Der mit Lebenspartnerin und gemeinsamem Kind zusammenlebende EL-Ansprecher erbringt mit der Kindesbetreuung eine Naturalunterhaltsleistung. Diese ermöglicht ein Erwerbseinkommen der Lebenspartnerin, ohne dass zugleich Fremdbetreuungskosten entstehen. Um im Sinne der Subsidiarität der Ergänzungsleitung alle für den Kindesunterhalt zur Verfügung stehenden Ressourcen zu erschliessen, wird dem Kindsvater eine hypothetische Entschädigung im Umfang des nach EL-Regeln ermittelten Einnahmenüberschusses der Kindsmutter angerechnet. Die Entschädigung tritt an die Stelle des Mindesteinkommens, wie es teilinvaliden Personen in der Regel angerechnet wird (Art. 14a Abs. 2 ELV). Nach Massgabe der so definierten Eckwerte der EL-Berechnung resultiert hier ein Einnahmenüberschuss. Daher hat der Beschwerdegegner keinen Anspruch auf Ergänzungsleistung.
5. Von der Erhebung von Gerichtskosten ist umständehalber abzusehen (Art. 66 Abs. 1 in fine BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Mai 2011 aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. März 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub