Sachverhalt:
A. L._ erhob beim Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen (nachfolgend: SJD) mit Eingabe vom 6. September 2010 (Eingang beim SJD am 8. Oktober 2010) Rekurs gegen einen gemeindebehördlichen Entscheid betreffend finanzielle Nothilfe. Am 14. Mai 2011 reichte L._ Rechtsverzögerungsbeschwerde betreffend die Behandlung des Rekurses ein. Die Rechtsverzögerungsbeschwerde wurde vom Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen (nachfolgend: GD) an die Hand genommen. Mit Entscheid vom 15. August 2011 trat das SJD auf den Rekurs nicht ein, da es L._ am Rechtschutzinteresse fehle. Sodann schrieb das GD mit Entscheid vom 14. September 2011 die Rechtsverzögerungsbeschwerde infolge Gegenstandslosigkeit ab. Es verneinte dabei einen Anspruch auf die beantragte ausseramtliche Entschädigung für die Bemühungen des im Rechtsverzögerungsverfahren als Rechtsvertreter des L._ aufgetretenen K._.
B. L._ erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde mit dem Antrag, für das Rechtsverzögerungsverfahren sei ihm eine ausseramtliche Entschädigung von Fr. 2790.- Honorar zuzüglich Fr. 49.- Barauslagenersatz zuzusprechen. Er stellte überdies ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Das Verwaltungsgericht wies dieses Gesuch mit verfahrensleitender Verfügung seines Präsidenten vom 10. Oktober 2011 ab, da die Beschwerde aussichtslos sei, und verlangte von L._ die Bezahlung eines Gerichtskostenvorschusses.
C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei die vorinstanzliche Verfügung aufzuheben und das kantonale Gericht anzuweisen, die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter wird beantragt, es sei die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren zu gewähren und "die aufschiebende Wirkung zu erteilen".
Das kantonale Gericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. Die vorinstanzliche Verfügung stellt einen anfechtbaren Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG dar (statt vieler: Urteil 8C_551/2011 vom 29. September 2011 E. 4.1 mit Hinweisen). Die übrigen Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde sind ebenfalls erfüllt.
2. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des sich aus Art. 29 Abs. 3 BV ergebenden Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege. Er macht nicht geltend, das kantonale Recht gewähre einen darüber hinaus gehenden Anspruch.
2.1 Gemäss Art. 29 Abs. 3 BV hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint; soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Das kantonale Gericht hat die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mit der Begründung verweigert, die bei ihm eingereichte Beschwerde sei aussichtslos.
Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (statt vieler: erwähntes Urteil 8C_551/2011 E. 4.4 mit Hinweis).
2.2 Das kantonale Gericht hat im ersten Beschwerdeverfahren, in welchem es den hier angefochtenen Zwischenentscheid fällte, darüber zu befinden, ob das GD im Entscheid vom 14. September 2011 zu Recht einen Anspruch auf die vom Beschwerdeführer beantragte ausseramtliche Entschädigung für das Rechtsverzögerungsverfahren verneinte. Es hat dazu im Zwischenentscheid erwogen, das SJD habe mit dem Entscheid im Rekursverfahren zu Recht zugewartet, bis ein Ausstandsbegehren, welches der Beschwerdeführer erhoben habe, rechtskräftig erledigt worden sei. Die Rechtsverzögerungsbeschwerde sei daher aussichtslos gewesen und hätte deswegen jedenfalls nicht zur Zusprechung einer ausseramtlichen Entschädigung geführt. Als aussichtslos sei demnach auch die Beschwerde zu betrachten, welche gegen die Verweigerung der ausseramtlichen Entschädigung erhoben worden sei. Damit bestehe kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren.
2.3 Bezüglich der Rechtsverzögerung, welche der Beschwerdeführer gegenüber dem JSD geltend gemacht hatte, gelten folgende Grundsätze:
Eine Rechtsverzögerung und damit eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV liegt vor, wenn eine Gerichts- oder Verwaltungsbehörde sich zwar bereit zeigt, einen Entscheid zu treffen, diesen aber nicht binnen der Frist fasst, welche nach der Natur der Sache und nach der Gesamtheit der übrigen Umstände als angemessen erscheint. Für die Rechtsuchenden ist es unerheblich, auf welche Gründe - ob auf ein Fehlverhalten der Behörden oder auf andere Umstände - die Rechtsverzögerung zurückzuführen ist; entscheidend ist ausschliesslich, dass die Behörde nicht fristgerecht handelt. Bei der Feststellung einer unrechtmässigen Rechtsverzögerung geht es deshalb um die Würdigung objektiver Gegebenheiten. Eine Rechtsverzögerung ist gegeben, wenn die Umstände, welche zur unangemessenen Verlängerung des Verfahrens führten, objektiv nicht gerechtfertigt sind. Ob sich die gegebene Verfahrensdauer mit dem Anspruch auf Rechtsschutz innert angemessener Frist verträgt oder nicht, ist am konkreten Einzelfall zu prüfen. Massgeblich ist namentlich die Art des Verfahrens, die Schwierigkeit der Materie und das Verhalten der Beteiligten (Urteil 8C_250/2010 vom 29. Juli 2010 E. 3.1 mit Hinweis).
2.4 Im hier zu beurteilenden Fall ist vorab ist festzuhalten, dass zwischen der Einreichung des Rekurses beim JSD am 6. September resp. (Eingangsdatum) 8. Oktober 2010 und der Einreichung der Rechtsverzögerungsbeschwerde am 25. Mai 2011 knapp acht resp. neun Monate verstrichen. Bis zum am 15. August 2011 gefällten Entscheid des SJD über den Rekurs dauerte es weitere gut zweieinhalb Monate.
Es bedürfte näherer Betrachtung, ob eine solche Verfahrensdauer bereits als unangemessen lang und daher als Rechtsverzögerung betrachtet werden könnte. Abschliessend muss dies aber nicht beantwortet werden. Denn wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat, liegen mit dem vom Beschwerdeführer gestellten Ausstandsbegehren und den von ihm diesbezüglich erhobenen Rechtsmitteln Umstände vor, welche ein Zuwarten des SJD mit dem Rekursentscheid rechtfertigten. Das zeigen die folgenden Erwägungen.
2.5 Das Ausstandsbegehren wurde am 18. Januar 2011 eingereicht und am 29. März 2011 vom Regierungsrat des Kantons St. Gallen abgewiesen. Der Beschwerdeführer erhob hiegegen beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen Beschwerde und stellte zugleich ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren. Den ablehnenden Zwischenentscheid des Verwaltungsgerichts über dieses Gesuch focht er wiederum beim Bundesgericht an, welches die vorinstanzliche Auffassung mit Urteil 8C_453/2011 vom 29. Juli 2011 bestätigte. Hierauf erliess das SJD am 15. August 2011 den Rekursentscheid. Es ist nun mit der Vorinstanz als absolut nachvollziehbar zu betrachten, dass das SJD aufgrund des Ausstandsbegehrens und der in der Folge erhobenen Rechtsmittel mit dem Entscheid im Rekursverfahren zuwartete. Daran ändert der Einwand des Beschwerdeführers, er habe das Ausstandsbegehren in einem anderen Verfahren gestellt, nichts. Denn er hat dort den Ausstand der Vorsteherin und des Leiters Rechtsdienst des SJD verlangt, mithin der Leitungsorgane des Departements, welches auch für die Behandlung des Rekurses vom 6. September/8. Oktober 2010 zuständig war. Eine Gutheissung des im anderen Verfahren gestellten Ausstandsbegehrens hätte sich daher ohne weiteres auf die Behandlung des besagten Rekurses auswirken können.
Von einer Rechtsverzögerung durch das JSD kann im Sinne dieser Erwägungen keine Rede sein. Die vorinstanzliche Beurteilung, die Rechtsverzögerungsbeschwerde habe keinerlei Aussicht auf Erfolg gehabt, ist daher nicht zu beanstanden. Gleiches gilt für den daraus gezogenen Schluss, es hätte demnach jedenfalls kein Anspruch auf eine ausseramtliche Entschädigung resultiert, womit auch die beim kantonalen Gericht erhobene Beschwerde als aussichtslos zu betrachten sei.
2.6 Was der Beschwerdeführer weiter vorbringt, führt zu keinem anderen Ergebnis. Namentlich vermögen sämtliche von ihm erwähnten nationalen und internationalen Bestimmungen zum Anspruch auf Nothilfe und zum Gebot raschen behördlichen Handelns nichts daran zu ändern, dass für das Zuwarten des SJD mit der Entscheidfällung sachlich gerechtfertigte Gründe bestanden und gesamthaft betrachtet keinesfalls eine Rechtsverzögerung vorlag.
3. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
4. Das Gesuch betreffend aufschiebende Wirkung ist gegenstandslos, da das vorliegende Urteil rasch ergeht.
5. Aufgrund der Umstände ist auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist somit gegenstandslos, soweit es auf die Befreiung von Gerichtskosten gerichtet ist. Die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der unentgeltlichen Verbeiständung kann von vornherein nicht gewährt werden, da der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers nicht Anwalt ist (Art. 64 Abs. 2 BGG; vgl. THOMAS GEISER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 33 zu Art. 64 BGG). Abgesehen davon ist auch die letztinstanzliche Beschwerde als aussichtslos zu betrachten, was einen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege ebenfalls ausschliesst (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos ist.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und der Regierung des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. November 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz