Faits:
A.
Les époux A.A._ et B.A._ sont copropriétaires pour une demie chacun d'une maison à X._ (FR), dans laquelle ils ont vécu ensemble avec leurs trois enfants, nés en 1997, 1999 et 2003, jusqu'au 30 novembre 2010. A cette date, le président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine (ci-après: le Tribunal civil) a ordonné à A.A._ de quitter le domicile conjugal, à la suite d'une décision du 27 novembre 2010 prononçant son expulsion immédiate. Par ordonnance du 10 décembre 2010, cette même autorité a exigé le blocage des comptes bancaires des époux à la requête de B.A._. Sur mesures protectrices de l'union conjugale, le 9 mars 2011, le Tribunal civil a fixé provisoirement les pensions alimentaires dues rétroactivement par A.A._ dès le 1 er décembre 2010. A.A._ a loué un appartement à Fribourg le 1 er janvier 2011.
Dans sa déclaration d'impôt pour la période fiscale de 2010, qu'il a remplie (et signée seul) le 30 juin 2011, A.A._ a indiqué son adresse à Fribourg, précisé que son domicile se situait à X._, où ses papiers étaient déposés, et mentionné la séparation de son couple le 30 novembre 2010.
B.
B.a. Par taxation ordinaire du 20 octobre 2011, le Service cantonal des contributions de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Service cantonal) a procédé à l'imposition séparée de A.A._. Se référant aux décisions du Tribunal civil attribuant la garde, l'entretien des enfants ainsi que le domicile familial à X._ à la mère, le Service cantonal a retenu qu'était déterminante la situation du contribuable au 31 décembre 2010; les déductions sociale et de caisse maladie n'étaient pas admises dans le chef de A.A._. L'impôt cantonal sur le revenu (ci-après: IC) de ce dernier a été fixé à 15'085 fr. 15 sur la base d'un revenu imposable de 128'371 fr., et son impôt fédéral direct (ci-après: IFD) à 5'921 fr. 55 sur la base d'un revenu imposable de 130'721 fr.
B.b. A.A._ a formé réclamation à l'encontre de l'avis de taxation du 20 octobre 2011, en concluant en particulier au maintien de l'imposition commune du couple pour la période fiscale de 2010. Par courrier du 30 novembre 2011, le Service cantonal a avisé le réclamant qu'il procédait à la "liquidation" de la réclamation et qu'un "nouvel avis de taxation rectifié et tenant compte de [ses] remarques sera prochainement notifié au (x) contribuable (s) avec suppression des voies de droit". Par avis de taxation définitive du 15 décembre 2011 rétablissant la taxation commune, l'IC des époux a été fixé à 8'440 fr. 95 sur la base d'un revenu imposable de 98'624 fr. et l'IFD à 2'489 fr. sur la base d'un revenu imposable de 105'344 fr.
B.c. Le 12 janvier 2012, B.A._ a contesté l'avis de taxation du 15 décembre 2011, faisant pour l'essentiel valoir qu'il y avait séparation du couple depuis le 30 novembre 2010 et que A.A._ avait interdiction de se rendre au domicile familial à X._. Le 15 mars 2012, le Service cantonal a invité individuellement les deux conjoints à se déterminer sur les conditions fixées à leur imposition séparée, requise par B.A._. Par courriers des 21 mars, 3 et 10 avril 2012, cette dernière a maintenu ses conclusions. Les 20 mars et 4 avril 2012, A.A._ a demandé au Service cantonal de lui communiquer la réclamation formée par l'épouse le 12 janvier 2012. Dans sa réponse du 11 avril 2012, le Service cantonal a résumé le contenu de la réclamation du 12 janvier 2012, dont il n'a pas transmis copie. Le 24 avril 2012, A.A._ s'est opposé au principe de la taxation séparée du couple en 2010, indiquant que la taxation du 15 décembre 2011 était définitive et que les conditions d'un rappel d'impôt n'étaient pas réalisées.
B.d. Par décision du 8 mai 2012, envoyée pour copie également à B.A._, le Service cantonal a rejeté la réclamation déposée par A.A._ le 23 novembre 2011, après avoir considéré comme "nul et non avenu" l'avis de taxation du 15 décembre 2011 rétablissant une taxation commune pour 2010, dès lors que B.A._ n'avait pas été formellement entendue dans le cadre de ladite procédure; les conditions pour une taxation séparée des conjoints étaient données durant la période 2010.
A.A._, représenté par son avocat, a recouru contre cette décision sur réclamation. Par arrêt du 17 septembre 2013, la Cour fiscale du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) a partiellement admis le recours interjeté par l'intéressé tant pour ce qui a trait à l'IC qu'à l'IFD 2010, en ce sens qu'une déduction de 7'000 fr. a été accordée au recourant au titre de contribution d'entretien. Le recours - y compris la conclusion tendant au rétablissement de l'imposition commune des époux - a été rejeté pour le surplus.
C.
A.A._ saisit le Tribunal fédéral d'un "recours" à l'encontre de l'arrêt du 17 septembre 2013, concernant tant l'IFD que l'IC. Il conclut en particulier, sous suite de frais et dépens, à ce que "les conclusions figurant dans le recours du 11 juin 2012, pts IIa-IIc [soient] maintenues", subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle prenne une nouvelle décision au sens des considérants, ainsi qu'à l'octroi d'une équitable indemnité. Son mémoire inclut aussi une requête d'assistance judiciaire.
Contestant les faits allégués par le recourant ne correspondant pas aux faits constatés dans l'arrêt, le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours, à l'instar du Service cantonal et de l'Administration fédérale des contributions. Ces observations ont été acheminées au recourant par ordonnance du 21 février 2014, en l'invitant à déposer d'éventuelles observations jusqu'au 4 mars 2014.
Par ordonnance présidentielle du 29 octobre 2013, le Tribunal fédéral a rejeté la requête d'effet suspensif formée par le recourant.
D.
D.a. Depuis le dépôt de son recours, A.A._ s'est adressé à de maintes reprises à la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral, en particulier dans ses lettres du 21 novembre 2013, des 6 et 23 décembre 2013, des 6 (trois lettres) et 10 janvier 2014, des 15 et 31 mars 2014, des 12, 14 (deux lettres), 16 et 26 avril 2014, ainsi que des 3 (deux lettres) et 26 mai 2014 (une lettre avec note introductive). Ces écritures consistaient essentiellement, premièrement, à solliciter sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire et à compléter la requête initiale insuffisante; deuxièmement, à demander la récusation des juges fédéraux et greffiers ayant siégé dans des précédentes causes concernant le recourant; troisièmement, à exiger du Tribunal fédéral qu'il statue sur sa compétence; quatrièmement, à remettre en cause des arrêts que le Tribunal fédéral a rendus dans d'autres affaires; cinquièmement, à reprocher différentes violations de la loi au Tribunal fédéral et à ses membres (dispositions pénales, protection des données et de la bonne foi, garanties de procédure, connivence avec la Cour pénale du Tribunal fédéral ou d'autres autorités au détriment du recourant, etc.).
D.b. Par ordonnance du 30 décembre 2013, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable la requête de récusation que le recourant avait déposée dans les causes 2C_980/2013 et 2C_981/2013, et a partant refusé d'annuler les actes de procédure accomplis jusqu'à cette date. Le recourant a renouvelé ses demandes de récusation dans des courriers ultérieurs, critiquant aussi l'ordonnance du 30 décembre 2013.
D.c. Dans ses observations du 4 mars 2014, le recourant demande, notamment, au Tribunal fédéral de lui adresser une copie intégrale du dossier, d'examiner sa propre compétence et de lui accorder l'assistance judiciaire avec effet rétroactif au 22 octobre 2013. Il sollicite en outre la récusation de l'ensemble des juges et greffiers étant intervenus dans les causes 2C_980/2013, 2C_981/2013, 2C_537/2013 et 2F_19/2013 le concernant, de même que l'annulation de l'ensemble des actes de procédure effectués dans les causes fiscales sous examen.
D.d. Par lettre du 18 mars 2014, le Tribunal fédéral a informé le recourant, à sa demande réitérée, au sujet des conditions à la restitution de l'avance de frais qu'il avait effectuée. Le 12 avril 2014, l'intéressé a fait parvenir une nouvelle lettre au Tribunal fédéral. Le 14 avril 2014, A.A._ a été autorisé à consulter les dossiers fiscaux 2C_980/2013 et 2C_981/2013 ouverts auprès du Tribunal fédéral à la suite de son recours. Par deux lettres du 14 avril 2014, le recourant a demandé à pouvoir aussi consulter le dossier cantonal. Celui-ci a été transmis au Tribunal cantonal pour mettre en oeuvre une telle consultation. Dans une lettre au Tribunal fédéral du 16 avril 2014, le recourant a notamment exigé la consultation du dossier complet, y compris cantonal, dans les locaux du Tribunal fédéral et refusé "les dispositions figurant au courrier du 14 avril 2014" de la Cour de céans (act. 38; cf. aussi la lettre du recourant du 26 avril 2014 [act. 41]). Le 16 avril 2014, le Tribunal cantonal a invité le recourant à prendre rendez-vous pour consulter le dossier cantonal auprès de lui (act. 39). Par courrier du 25 avril 2014, envoyé en copie au recourant, le Tribunal fédéral a prié le Tribunal cantonal de lui retransmettre le dossier cantonal le 2 mai 2014, compte tenu des horaires de consultation flexibles que celui-ci avait aménagés en faveur du recourant. Par courriers des 26 avril et 3 mai 2014 (avec, en annexe, des pièces relatives à sa requête de récusation), le recourant a insisté pour pouvoir consulter simultanément les dossiers fédéral et cantonal auprès du Tribunal fédéral. Le Tribunal cantonal a adressé le dossier cantonal au Tribunal fédéral le 2 mai 2014, reçu le 6 mai 2014.
D.e. Par ordonnance du 26 mai 2014, la Cour de céans a donné suite à la requête de A.A._ à pouvoir consulter auprès du Tribunal fédéral l'intégralité des dossiers relatifs aux causes 2C_980/2013 et 2C_981/2013, y compris les pièces liées à la réclamation de son épouse dont l'accès lui avait été refusé devant les instances cantonales. Un délai au 16 juin 2014, prolongé au 26 juin 2014 par ordonnance du 11 juin 2014, a été accordé à l'intéressé pour venir consulter lesdits dossiers. Par courrier du 31 mai 2014, A.A._ s'est plaint du caractère selon lui arbitraire, fallacieux et incompréhensible de l'ordonnance du 11 juin 2014 et a notamment exigé une prise de position de la part du Tribunal fédéral. Le 3 juin 2014, ce dernier a confirmé les termes de son ordonnance et indiqué à l'intéressé qu'il était libre de renoncer à consulter les dossiers, dans quel cas il serait toutefois réputé avoir obtenu la possibilité d'accéder à l'intégralité des dossiers et de s'exprimer à leur sujet. Un nouvel échange de lettres s'en est suivi le 10, respectivement le 11 juin 2014, dans le cadre duquel le recourant a formulé plusieurs requêtes tendant notamment à ce que sa demande de récusation soit traitée en premier lieu, à ce que la Cour de céans confirme qu'elle entend observer la jurisprudence gouvernant la réparation d'une violation du droit d'être entendu, ainsi qu'à la restitution de l'avance de frais effectuée. Par courrier du 11 juin 2014, A.A._ a encore demandé au Tribunal fédéral, notamment, d'intervenir dans des procédures cantonales en cours et d'accorder l'effet suspensif à son recours; la Cour de céans a rejeté ces requêtes le 12 juin 2014.
D.f. A.A._ n'a pas consulté les dossiers précités dans les délais impartis. Le 26 juin 2014, il a adressé des "observations complémentaires et requête de récusation", accompagnées de trois pièces, au Tribunal fédéral. Réitérant sa requête d'assistance judiciaire et ses conclusions au fond, l'intéressé y a en outre exposé, en substance, qu'il refusait "l'offre de consultation des dossiers" par le Tribunal fédéral, lequel tentait de l'induire astucieusement en erreur dans le but de réparer une violation du droit d'être entendu commise sur le plan cantonal, ce que la cour fédérale n'était selon le recourant pas en droit de faire et ce qui fondait un motif de récusation des juges et greffier impliqués. A.A._ a de surcroît exigé que les dossiers soient remis aux autorités de poursuite pénale compétentes et mis à sa disposition dans ce cadre, ainsi que requis un dédommagement et une réparation du tort moral subi.
Considérant en droit:
I. Requête de récusation
1.
A titre préalable et tel qu'il résulte tant de ses observations du 4 mars et du 26 juin 2014 que de ses différentes lettres adressées à la Cour de céans (let. D supra), A.A._ demande la récusation des juges et greffiers fédéraux étant intervenus dans les causes 2C_980/2013, 2C_981/2013, 2C_537/2013 et 2F_19/2013 le concernant, ainsi que l'annulation de tous les actes de procédure que ceux-ci ont effectués dans les deux causes fiscales sous examen, qu'il sied de joindre pour les besoins de la présente procédure de récusation (cf. ordonnance 2C_980/2013 et 2C_981/2013 du 30 décembre 2013 consid. 3).
1.1. D'après l'art. 34 al. 1 let. e LTF, seul motif susceptible d'entrer en ligne de compte eu égard aux arguments développés par le requérant, les juges et les greffiers se récusent s'ils pouvaient être prévenus de toute autre manière, notamment en raison d'une amitié étroite ou d'une inimitié personnelle avec une partie ou son mandataire. Cette norme, qui concrétise les garanties d'indépendance et d'impartialité découlant de l'art. 30 al. 1 Cst. (arrêts 5A_654/2010 du 30 septembre 2011 consid. 1; 8F_3/2008 du 20 août 2008), a la portée d'une clause générale en tant qu'elle permet la récusation d'un juge dès que celui-ci peut être prévenu de toute autre manière que les motifs énumérés à l'art. 34 al. 1 let. a à d LTF (ATF 138 IV 142 consid. 2.1 p. 144). L'existence d'un motif de prévention, au sens de la disposition en cause, est une question d'appréciation qui doit être tranchée de manière objective; ainsi, une apparence de prévention ne saurait être retenue sur la base des impressions purement individuelles des parties au procès. En revanche, la récusation sera admise dès qu'il existe une apparence objective de parti pris; peu importe que le juge ou greffier concerné se sente lui-même apte à se prononcer, respectivement à agir en toute impartialité (cf. ATF 138 I 1 consid. 2.2 p. 3; arrêts 5A_654/2010 précité, consid. 1; 2C_755/2008 du 7 janvier 2009 consid. 3.2, SJ 2009 I 233). Le risque de prévention ne saurait être admis trop facilement, sous peine de compromettre le fonctionnement normal des tribunaux (ATF 122 II 471 consid. 3b p. 477; 105 Ia 157 consid. 6a p. 163; arrêts 1B_425/2012 du 4 octobre 2012 consid. 5.2; 9C_393/2007 du 8 mai 2008 consid. 3.51). Aux termes de l'art. 34 al. 2 LTF, la participation à une procédure antérieure devant le Tribunal fédéral ne constitue pas à elle seule un motif de récusation.
En vertu de l'art. 36 al. 1 LTF, la partie qui sollicite la récusation d'un juge ou d'un greffier doit présenter une demande écrite au Tribunal fédéral dès qu'elle a connaissance du motif de récusation. Elle doit rendre vraisemblables les faits qui motivent sa demande.
1.2. Revenant sur la procédure distincte 2C_537/2013, le requérant estime que l'arrêt que la Cour de céans a rendu le 22 août 2013 dans ladite cause a violé plusieurs garanties fondamentales, notamment les art. 6 CEDH et 29 Cst., de sorte à constituer un motif de récusation.
Contrairement à ce qu'affirme le requérant, notamment dans ses observations du 26 juin 2014 (p. 7), les griefs, censés établir un devoir de récusation, qu'il a formulés à l'encontre des juges et greffier fédéraux à l'origine de l'arrêt 2C_537/2013 du 22 août 2013 ont été examinés en détail et rejetés, en tant qu'ils étaient recevables, dans le cadre des arrêts sur révision 2F_19/2013 du 4 octobre 2013 et 2F_4/2014 du 20 mars 2014. Il n'y a pas lieu d'y revenir (cf. GEISER/UHLMANN, Grundlagen, in Prozessieren vor Bundesgericht, 3 e éd., 2011, n. 1.18 p. 8). Ce motif de récusation est partant irrecevable.
1.3. D'après le requérant, l'ordonnance 2C_980/2013 et 2C_981/2013 du 30 décembre 2013 déclarant irrecevable une première requête de récusation devrait être annulée parce qu'en substance, elle ne revêt pas la forme d'un arrêt et qu'elle a été communiquée aux autorités participantes.
La décision qui tranche une demande de récusation est de nature préjudicielle ou incidente ( "Zwischenverfügung"; cf. art. 92 LTF). La cour concernée du Tribunal fédéral traite en principe de la requête de récusation de juges et greffiers fédéraux sous la forme d'une ordonnance (cf., par exemple, ordonnance 2C_466/2010 du 25 octobre 2010), ce que confirme le terme de "décision" ( "Entscheid"; "decisione" ) à l'art. 37 LTF, qui se distingue du mot "arrêt" ( "Urteil"; "sentenza" ) figurant à l'art. 107 LTF. En tant que les circonstances du cas d'espèce (notamment l'absence d'urgence) le permettent, la cour concernée peut toutefois aussi rendre cette décision dans le cadre de son arrêt, sous un chiffre séparé du dispositif. En général, la procédure de récusation n'échappe pas aux règles ordinaires en matière de respect du droit d'être entendu ( YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral - Commentaire, 2008, ad art. 37, n. 649 p. 315; cf. art. 37 al. 2 LTF: "peut"); partant, la décision qui statue sur la requête de récusation doit par principe être communiquée aux autres participants à la procédure. L'ordonnance du 30 décembre 2013 n'est par conséquent manifestement pas viciée ni quant à sa forme, ni quant à sa notification.
1.4. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 138 I 435 consid. 1 p. 439; 133 II 353 consid. 1 p. 356). La maxime d'office a pour conséquence que ce contrôle s'effectue en dehors de toute contestation par les parties et sans qu'il y ait besoin de les entendre à ce sujet ( MARKUS BOOG, ad art. 29 LTF, in BGG-Kommentar, 2 e éd., 2011, n. 5 p. 381). Si le Tribunal fédéral parvient à la conclusion qu'il est compétent, il entre en matière, sans être tenu d'en motiver les raisons ( FLORENCE AUBRY GIRARDIN, ad art. 29 LTF, in Commentaire de la LTF, 2e éd., 2014, n. 8 p. 208), ni de rendre formellement une décision préjudicielle ( ANDREAS GÜNGERICH, ad art. 29 LTF, in BGG-Handkommentar, 2007, n. 3 p. 106). Comme il sera vu (consid. 3 infra), la Cour de céans s'est implicitement estimée compétente pour connaître du présent recours, qu'elle considère comme partiellement recevable, ce qui suffisait pour l'autoriser à procéder aux actes et rendre les ordonnances, que le requérant conteste vainement.
En l'espèce, on ne voit pas que l'appréciation retenue dans l'ordonnance du 30 décembre 2013, selon laquelle la motivation de la requête était insuffisante pour étayer une prévention de la part des juges et greffier fédéraux, frôlait l'inintelligible, et visait des finalités dilatoires constitutives d'un abus de droit (au vu de l'octroi de plusieurs prolongations à l'intéressé en lien avec sa demande d'assistance judiciaire, dont ce dernier faisait usage aux fins de multiplier ses requêtes de récusation et de solliciter l'annulation de tous les actes procéduraux antérieurs), traduirait des propos vexatoires à l'encontre du requérant, qui ne le rend pas vraisemblable.
Il suit de ce qui précède que les griefs que fait valoir le requérant par rapport à l'ordonnance 2C_980/2013 et 2C_981/2013 du 30 décembre 2013 ne sont pas même susceptibles de fonder le soupçon d'une prévention de la Cour de céans à son égard. Ils sont partant irrecevables.
1.5. Le requérant critique la décision du président de la IIe Cour de droit public d'avoir refusé d'octroyer l'effet suspensif à son recours par ordonnance du 29 octobre 2013. Selon lui, le Tribunal fédéral aurait dû au préalable examiner sa propre compétence, la qualité de partie et la situation financière de l'intéressé; ne l'ayant pas fait et s'étant ligué avec d'autres autorités contre le requérant, il a entamé la confiance que le requérant était en droit de placer en la Cour de céans. De surcroît, la tentative par le Tribunal fédéral de réparer une violation du droit d'être entendu commise sur le plan cantonal en offrant la possibilité au requérant de consulter l'ensemble des dossiers liés aux présentes procédures fiscales serait constitutive d'une manoeuvre astucieuse au détriment de l'intéressé et corroborerait le parti pris du tribunal.
Dans l'ordonnance 2C_980/2013 et 2C_981/2013 du 30 décembre 2013 précitée, la Cour de céans a déjà exclu que sa jurisprudence constante concernant l'octroi restrictif de l'effet suspensif en matière fiscale puisse traduire une quelconque prévention de la part de son président (consid. 4.2). Dans ses nouvelles demandes de récusation, le requérant n'apporte aucun élément propre à remettre en cause ce raisonnement, si bien que ce motif de récusation est lui aussi irrecevable. S'agissant de l'absence d'examen, notamment, de la compétence reprochée au Tribunal fédéral, il est renvoyé au consid. 1.4 ci-dessus. Pour ce qui est de l'éventuelle intention de la Cour de céans de réparer une violation du droit d'être entendu du requérant commise sur le plan cantonal, on ne voit pas en quoi elle serait per se "astucieuse" ou partiale, encore moins si les conditions juridiques pour y procéder étaient réunies, ce qui sera examiné ultérieurement (consid. 4 infra).
1.6. Le requérant suspecte que la Cour de céans aurait procédé à des échanges avec la Cour de droit pénal à ses dépens. N'eût-elle pas procédé à un échange de vues qu'elle aurait violé son devoir de consultation selon l'art. 23 al. 1 LTF. Il se plaint aussi de ne pas avoir eu connaissance de l'ordonnance du Tribunal fédéral du 30 octobre 2013 par rapport à laquelle le Tribunal cantonal s'était déterminé.
Dans son ordonnance du 30 décembre 2013, la Cour de céans a déjà pris position sur l'inexistence d'échanges avec la Cour de droit pénal (consid. 4.2); il y est renvoyé. Depuis lors, il résulte du dossier qu'un seul contact avec la Cour de droit pénal a eu lieu à la suite de l'envoi par le requérant de son courrier du 15 mars 2014. Dès lors que ce courrier se référait tant au présent litige qu'à des affaires pénales, une copie en a été transmise pour information à la Cour de droit pénal (act. 29a et 29b), ce qui est un procédé usuel. Pour le surplus, on ne perçoit pas, et le requérant ne démontre pas en quoi les affaires que ces deux cours ont (eu) à traiter à son sujet fonderaient la nécessité d'une coordination ou d'un échange de vues, au sens de l'art. 23 LTF. Lors de la consultation, le 14 avril 2014, des dossiers ouverts par le Tribunal fédéral, le requérant a pu constater que l'ordonnance que la Cour de céans a adressée au Tribunal cantonal le 30 octobre 2013 (act. 7) se contentait d'inviter ce dernier à produire le dossier cantonal ainsi qu'à déposer une éventuelle réponse au recours d'ici au 2 décembre 2013; une copie de la réponse du 26 novembre 2013 (act. 10) a été transmise au requérant, qui a obtenu l'occasion de se déterminer à son sujet (cf. act. 27), conformément à la procédure ordinaire devant le Tribunal fédéral. Ces griefs sont donc infondés.
1.7. Le requérant est aussi d'avis qu'en refusant de statuer sur des procédures et pièces étrangères à la présente procédure, à propos de sa demande d'assistance judiciaire, et en tentant d'obtenir son consentement à ce que la cause soit prête à être jugée, alors que le choix du dépôt d'observations appartenait aux seules parties, la IIe Cour de droit public a conforté les soupçons de prévention relatifs à ses membres; elle aurait en outre exercé une contrainte indue sur le requérant pour que celui-ci s'acquitte de l'avance de frais demandée.
Ces arguments sont dépourvus de tout fondement. A plusieurs reprises, le Tribunal fédéral a prolongé les délais pour permettre au requérant, en vain, d'étayer sa demande d'assistance judiciaire ou, alternativement, de s'acquitter du montant de l'avance; l'intéressé a fini par s'acquitter de l'avance le 6 janvier 2014. Ce n'est que par la suite, le 10 janvier 2014, qu'il a complété sa requête d'assistance. Dans ces circonstances, il ne peut être reproché à la Cour de céans, comme elle en a la possibilité (cf. Thomas Geiser, ad art. 64 LTF, in BGG-Kommentar, 2e éd., 2011, n. 40 p. 734), de traiter de la demande d'assistance judiciaire conjointement au fond de l'affaire et non par ordonnance séparée préalable, en conservant l'avance de frais dans l'intervalle.
Dans son ordonnance du 21 février 2014, le Tribunal fédéral a expressément autorisé l'intéressé à déposer ses éventuelles observations au sujet des déterminations des autres participants à la procédure jusqu'au 4 mars 2014, ce que A.A._ a fait. Ce dernier a en outre obtenu l'occasion de consulter les dossiers fédéraux et cantonaux en la présente affaire, que ce soit tant auprès du Tribunal cantonal qu'auprès du Tribunal fédéral. Quant aux procédures exorbitantes au présent litige, non pertinentes et/ou échappant à la compétence de la Cour de céans, elles n'appellent aucune remarque de la part du Tribunal fédéral. On ne voit donc pas en quoi la renonciation par la Cour de céans d'imposer divers actes de procédure aux autorités cantonales, de trancher des questions étrangères au litige ou d'ordonner un échange d'écritures supplémentaire aurait lésé les garanties procédurales reconnues à l'intéressé.
1.8. Il suit de ce qui précède que la requête de récusation est infondée dans la mesure où elle peut être tenue pour recevable. En vertu du principe selon lequel les juges et greffiers dont la récusation est demandée de manière inadmissible peuvent siéger (ATF 114 Ia 278 consid. 1 p. 279; arrêt 1F_23/2013 du 22 juillet 2013 consid. 1), la Cour de céans - y compris ses membres visés par la demande - peut ainsi écarter elle-même cette requête, sans qu'il ne lui soit nécessaire de mettre en place la procédure prévue à l'art. 37 LTF (cf. arrêts 1C_606/2012 du 5 juin 2013 consid. 2, non publié in ATF 139 II 303; 8C_41/2013 du 15 mars 2013; 2F_12/2008 du 4 décembre 2008 consid. 2.1). Au vu du sort réservé à la requête de récusation, il n'y a pas lieu de procéder à l'annulation des opérations auxquelles les personnes concernées par ladite demande ont déjà participé (art. 38 al. 1 LTF a contrario).
1.9. Le Tribunal fédéral observe que le requérant a multiplié ses demandes de récusation devant lui, en particulier dans ses missives des 6 et 23 décembre 2013 ainsi que des 6 janvier, 4 mars 2014, 3 mai et 26 juin 2014. Le requérant est rendu attentif au fait que le Tribunal fédéral se réserve le droit de ne plus traiter formellement de nouvelles interventions de sa part qui concerneraient la récusation des membres ou greffiers de la Cour de céans en lien avec les causes 2C_980/2013 et 2C_981/2013 (cf. art. 42 al. 7 LTF; arrêts 2F_4/2014 du 20 mars 2014 consid. 4; 5D_198/2012 du 19 décembre 2012 in fine; 6F_20/2011 du 1 er mars 2012 consid. 3).
II. Recevabilité générale, droit d'être entendu et cognition
2.
Le Tribunal cantonal a rendu un seul arrêt pour les deux catégories d'impôts (IC et IFD), ce qui est admissible, dès lors que la question juridique à trancher est réglée de la même façon en droit fédéral et dans le droit cantonal harmonisé (cf. ATF 135 II 260 consid. 1.3.1 p. 262 s.). Dans ces circonstances, on ne peut reprocher au recourant d'avoir formé les mêmes griefs et pris des conclusions valant pour les deux catégories d'impôts dans son recours devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 135 II 260 consid. 1.3.3 p. 264). Par souci d'unification par rapport à d'autres cantons dans lesquels deux décisions sont rendues, la Cour de céans a toutefois ouvert deux dossiers, l'un concernant l'IC (2C_980/2013), l'autre l'IFD (2C_981/2013). Comme l'état de fait et les griefs qu'invoque le recourant sont identiques, les causes seront néanmoins jointes et il sera statué dans un seul arrêt (cf. art. 71 LTF et 24 PCF [RS 273]).
3.
3.1. Le recourant a simplement déclaré former un "recours" auprès du Tribunal fédéral. Cette désignation imprécise ne saurait lui nuire à condition que le recours remplisse les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (ATF 136 II 489 consid. 2.1 p. 491).
3.2. L'arrêt entrepris a été rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'art. 83 LTF. La voie du recours en matière de droit public est partant ouverte. Les lois fiscales applicables confirment cette voie de droit: pour l'IFD, à l'art. 146 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'impôt fédéral direct (LIFD; RS 642.11) et, pour l'IC, à l'art. 73 al. 1 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes (LHID; RS 642.14), dès lors que le recours soulève en particulier des questions liées à l'imposition commune ou séparée des époux et au rappel d'impôt, soit des matières harmonisées figurant aux titres 2 et 5 de ladite loi. Le recours a en outre été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et, sous réserve de sa dénomination incomplète et de ce qui suit (consid. 3.1 et 3.3), dans les formes requises (art. 42 LTF) par le contribuable destinataire de l'acte attaqué, de sorte qu'il convient en principe d'entrer en matière.
3.3. Au point n° 3 de ses conclusions, le recourant renvoie aux conclusions prises dans son recours du 11 juin 2012 points IIa - IIc, ce qui ne respecte pas les exigences formelles découlant de l'art. 42 al. 1 LTF (cf. arrêts 2C_922/2012 du 5 mars 2013 consid. 2.1; 2A.251/2005 du 29 novembre 2005 consid. 1.3). Quoi qu'il en soit, le Tribunal fédéral comprend à la lecture du recours déposé devant lui (cf. en particulier sa page 25 pt 31) que l'intéressé exige, en substance, le rétablissement de la taxation commune pour la période de 2010, ce qui suffit in casu au regard de l'art. 42 LTF (cf. ATF 133 II 409 consid. 1.4.1 p. 415).
3.4. On n'accédera pas à la requête du recourant tendant à ce que les plaintes pénales qu'il dit avoir introduites les 23 juillet 2012 (plainte liée à son transfert du domicile légal, qui s'est soldée par une décision de non entrée en matière confirmée par le Tribunal fédéral dans son arrêt 6B_177/2013 du 4 novembre 2013), 27 avril et 23 septembre 2013 soient versées au dossier. Il n'apparaît en effet pas, et le recourant ne l'expose pas à satisfaction de droit, en quoi lesdites plaintes seraient pertinentes pour l'issue du présent litige qui porte pour l'essentiel sur la question de savoir si, au regard du droit fiscal, les époux A._ s'étaient séparés durant l'année 2010, indépendamment des conflits opposant le recourant à son épouse ou à divers autres acteurs ou autorités.
3.5. S'agissant de la demande du recourant tendant à consulter conjointement les dossiers fédéral et cantonal auprès du Tribunal fédéral en vue de formuler de nouvelles observations, on soulignera les éléments suivants: par courrier du 2 avril 2014, la Cour de céans a autorisé le recourant de consulter les dossiers qu'elle a ouverts dans les causes 2C_980/2013 et 2C_981/2013, tout en le rendant attentif au fait que s'il désirait aussi consulter le dossier cantonal, il lui faudrait le requérir sans délai, dans quel cas ledit dossier serait retransmis pour consultation auprès de l'autorité précédente. Le 14 avril 2014, le recourant est venu consulter le dossier ouvert par le Tribunal fédéral auprès de ce dernier; à cette occasion, il a prétendu, sans que cela ne soit prouvé, qu'il aurait également demandé à pouvoir consulter le dossier cantonal. Dans le doute, le Tribunal fédéral a envoyé le dossier cantonal au Tribunal cantonal pour qu'une consultation par le recourant puisse être organisée à Fribourg, ce dont A.A._ a été informé par courrier du 14 avril 2014; par ailleurs, le Tribunal cantonal a été prié de retourner le dossier au Tribunal fédéral le 2 mai 2014, durée jugée suffisante pour permettre au recourant de prendre connaissance du dossier. Par courrier du 16 avril 2014, le Tribunal cantonal a invité le recourant à prendre connaissance du dossier cantonal auprès de lui, en lui aménageant de larges possibilités pour la consultation en ses locaux. Le recourant a ignoré ce courrier et a, sans explications claires, insisté pour que la consultation du dossier cantonal ait lieu auprès du Tribunal fédéral. Par ordonnance du 26 mai 2014, la Cour de céans a autorisé le recourant à consulter dans ses locaux l'ensemble du dossier, y compris les pièces auxquelles l'accès lui avait été refusé au niveau cantonal; cette possibilité a été confirmée par le Tribunal fédéral dans le cadre d'échanges ultérieurs de courriers. Or, A.A._ a expressément indiqué au Tribunal fédéral qu'il refusait "l'offre de consultation des dossiers", renonçant par là à exercer ce droit; il a en revanche formulé une ultime détermination dans les délais impartis. L'occasion ayant été amplement donnée au recourant d'avoir accès aux dossiers cantonal et fédéral ainsi que de s'exprimer, ses requêtes tendant à pouvoir consulter les dossiers liés à la présente procédure en un lieu spécifique ou devant des autorités déterminées sont partant devenues sans objet.
4.
Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir violé son droit d'être entendu et différentes dispositions constitutionnelles en matière de droit fiscal fédéral et de procédure cantonale en lui déniant, malgré sa requête, la consultation de la réclamation du 12 janvier 2012 et des déterminations du 10 avril 2012 (ainsi qu'en résumant celles-ci de façon incomplète à son attention) formée par son épouse contre la décision du 15 décembre 2011 rétablissant la taxation commune pour la période fiscale de 2010. Ce procédé l'aurait empêché de comprendre les motifs à la base de la réclamation de son épouse et de se déterminer efficacement devant les autorités cantonales. Il aurait aussi été privé de la possibilité de se défendre contre les éventuels propos attentatoires à l'honneur (art. 27 ss CC) et à connotation pénale potentielle tenus par son épouse à son égard. Ces violations ne sauraient être guéries devant le Tribunal fédéral, lequel devrait partant annuler l'arrêt entrepris.
4.1. Garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, d'avoir accès au dossier, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 135 II 286 consid. 5.1 p. 293; 135 I 279 consid. 2.3 p. 282).
En matière d'imposition directe, ce principe est entre autres concrétisé par l'art. 41 LHID et, de façon plus explicite, par l'art. 114 LIFD (cf. arrêts 2C_160/2008 du 1 er septembre 2008 consid. 2.4; 2A.438/2006 du 14 décembre 2006 consid. 3.1, RtiD 2007 I 652). Les époux séparés étant traités comme des tiers et, par conséquent, déchus de leur droit de consultation réciproque du dossier de leur conjoint, l'al. 1, 2e phrase de l'art. 114 LIFD ne trouve pas application ici (al. 1: "qui doivent être taxés conjointement"; Lydia Masmejan-Fey, ad art. 114 LIFD, in Commentaire romand - Impôt fédéral direct, 2008, n. 10 p. 1151 s.). En vertu de l'al. 2 de cette dernière disposition, le contribuable peut prendre connaissance des autres pièces une fois les faits établis et à condition qu'aucune sauvegarde d'intérêts publics ou privés ne s'y oppose. Selon l'al. 3, auquel s'apparente l'art. 28 PA (RS 172.021; voir également, en procédure fribourgeoise, art. 65 du Code de procédure et de juridiction administrative, du 23 mai 1991 [CPJA/FR; RS/FR 150.1]), lorsqu'une autorité refuse au contribuable le droit de consulter une pièce du dossier, elle ne peut se baser sur ce document pour trancher au détriment du contribuable que si elle lui a donné connaissance, oralement ou par écrit, du contenu essentiel de la pièce et qu'elle lui a au surplus permis de s'exprimer et d'apporter ses propres moyens de preuve (cf. aussi ATF 115 Ia 293 consid. 5c p. 304 s.; arrêts 1C_674/2013 du 12 décembre 2013 consid. 2.2; 2A.586/2003 du 1 er octobre 2004 consid. 6.6, sic! 2/2005 p. 111). Le principe de la proportionnalité, auquel sont soumis l'activité de l'Etat ainsi que, plus particulièrement, toute restriction des droits fondamentaux (art. 5 al. 2 et art. 36 al. 3 Cst.; cf. ATF 139 I 16 consid. 4.3.2 p. 26), requiert qu'en limitant le droit de consulter une pièce du dossier, l'autorité opte pour la mesure qui soit la moins invasive possible, en préférant, par exemple, l'anonymisation ("caviardage"; cf., mutatis mutandis, arrêt 2A.587/2003 du 1er octobre 2004 consid. 6) de certains passages d'un texte au refus de divulguer le texte intégral en n'en résumant que les éléments essentiels.
4.2. La juridiction précédente a estimé, en substance, qu'au vu de l'ampleur (y compris pénale, indépendamment de la question de savoir si les accusations contre le recourant et son épouse étaient fondées ou non) du conflit conjugal et de la demande expresse de l'épouse, craignant la réaction de son époux, à ce que ses envois au fisc fribourgeois demeurent confidentiels, c'était à bon droit que les pièces litigieuses n'avaient pas été communiquées au recourant. En outre, il ressortait du dossier, en particulier du courrier adressé par le Service cantonal à A.A._ le 15 mars 2012, que le résumé de la réclamation de son épouse fait par le fisc (réclamation réitérée le 11 avril 2012) était suffisant pour permettre au recourant, qui était du reste représenté par un avocat, non seulement de comprendre que son épouse s'opposait au rétablissement de la taxation commune pour 2010, mais aussi de saisir sur quels critères le fisc entendait fonder son nouvel examen approfondi du mode de taxation des époux.
La Cour de céans ne saurait partager cet avis. Il est certes avéré que le présent litige fiscal s'insère dans un contexte très conflictuel entre les conjoints. Toutefois, cette situation émotionnellement chargée, qui est le propre de nombreux litiges conjugaux, voire des procédures contentieuses en général, ne permettait pas per se de retenir que la sauvegarde d'intérêts privés prépondérants s'opposait à la divulgation des lettres de réclamation de l'épouse du recourant, quand bien même celle-ci en avait expressément fait la demande. Encore eût-il fallu pouvoir considérer, à l'aune du caractère fondamental que revêt le droit constitutionnel d'être entendu, que la transmission des lettres susmentionnées au recourant aurait porté une atteinte sans commune mesure aux intérêts de son épouse et, dans l'affirmative, qu'aucune mesure moins incisive que le refus de divulguer ces documents (en particulier, par l'anonymisation de passages inutilement vexatoires, propres à attiser encore davantage le conflit) n'était envisageable.
Or, tel n'est manifestement pas le cas en l'espèce. D'une part, il sied de rappeler que ce sont les lettres de réclamation de l'épouse qui ont déclenché la procédure à l'issue de laquelle l'autorité fiscale fribourgeoise a décidé de taxer séparément les époux pour la période de 2010, que le fisc a notifié à A.A._ l'existence de cette réclamation et que le seul fait que son épouse conteste le maintien de la taxation commune pour 2010, sollicitée par le recourant, était propre à contrarier ce dernier. D'autre part, les deux lettres litigieuses rédigées par l'épouse se contentent de marquer son opposition à la taxation commune en se référant à des éléments et décisions, censés étayer la vie séparée dès fin 2010, dont le recourant avait d'ores et déjà connaissance (décision d'expulsion immédiate du 27 novembre 2010; ordonnance d'urgence du 30 novembre 2010); ces lettres n'étant pas écrites dans un style particulièrement polémique ou vexatoire, on ne voit pas pour quelle raison le Tribunal cantonal a estimé que le fisc avait eu raison de ne pas les transmettre au recourant et de n'en faire parvenir qu'un résumé à son attention. Le refus par les autorités cantonales de permettre au recourant d'accéder aux documents litigieux ne se justifiant dès lors pas, il constitue une violation du droit d'être entendu de celui-ci.
4.3. Le droit d'être entendu ancré à l'art. 29 al. 2 Cst. est une garantie de nature formelle, dont la violation entraîne en principe l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (ATF 135 I 187 consid. 2.2 p. 190; 126 I 19 consid. 2d/bb p. 24). Selon la jurisprudence, la violation du droit d'être entendu peut cependant être réparée lorsque la partie lésée a la possibilité de s'exprimer devant une autorité de recours jouissant d'un plein pouvoir d'examen. Toutefois, la réparation de la violation du droit d'être entendu doit rester l'exception et n'est admissible que dans l'hypothèse d'une atteinte qui n'est pas particulièrement grave aux droits procéduraux de la partie lésée. Si par contre l'atteinte est importante, il n'est en règle générale pas possible de remédier à la violation (cf. ATF 137 I 195 consid. 2.3 p. 197 s.; 135 I 279 consid. 2.6.1 p. 285; arrêt 8C_53/2012 du 6 juin 2012 consid. 6.1). Cela étant, une réparation de la violation du droit d'être entendu peut également se justifier, même en présence d'un vice grave, lorsque le renvoi constituerait une vaine formalité et aboutirait à un allongement inutile de la procédure [en allemand: "formalistischer Leerlauf"] (cf. ATF 137 I 195 consid. 2.3.2 p. 197 s.; 136 V 117 consid. 4.2.2.2 p. 126 s.; arrêt 2C_1043/2013 du 11 juin 2014 consid. 2.2).
En l'occurrence, le Tribunal cantonal a, à tort (cf. consid. 4.2 supra), jugé que l'autorité fiscale pouvait refuser au recourant l'accès aux lettres par lesquelles son épouse avait contesté la taxation commune des époux pour 2010. In casu, cette violation du droit d'être entendu du recourant ne saurait toutefois pas automatiquement mener à l'annulation de l'arrêt querellé et au renvoi de la cause pour nouvelle décision aux instances inférieures. Premièrement, en effet, la violation commise n'est, prise dans son contexte global, pas particulièrement grave, dès lors que l'autorité fiscale cantonale en a néanmoins résumé le contenu essentiel à l'attention du recourant; de plus, celui-ci a par la suite eu l'occasion, tant dans la procédure préalable à la décision de l'autorité fiscale (à l'instar de son épouse) que devant le Tribunal cantonal, de se déterminer en détail sur les conditions gouvernant la taxation commune ou séparée du couple, sur lesquelles portaient en substance les deux lettres de réclamation de son épouse. Deuxièmement et quoi qu'affirme le recourant à ce propos (cf., en particulier, ses observations du 26 juin 2014, p. 13 ss), la violation commise peut ici exceptionnellement être réparée par le Tribunal fédéral. En effet, le Tribunal cantonal a, de manière convaincante et non réfutée par le recourant, considéré que les motifs précis fournis par l'épouse dans ses lettres de réclamation n'étaient pas déterminants pour la décision du fisc de taxer séparément les époux en 2010, mais uniquement sa volonté de déclencher une procédure de réclamation en vue d'être taxée séparément; en d'autres termes, seule la réclamation contre la décision de taxation commune en tant qu'élément déclencheur de la procédure décisionnelle, dont le recourant avait été informé par l'autorité fiscale, a été déterminant devant les instances précédentes, et non les éléments factuels avancés à ce titre par son épouse. Il s'ensuit que les éléments pertinents auxquels le recourant s'est vu dénier l'accès étaient uniquement de nature juridique, dans le domaine du droit fiscal harmonisé que la Cour de céans revoit avec un plein pouvoir d'examen (cf., s'agissant de la possibilité pour le Tribunal fédéral de réparer une violation du droit d'être entendu, ATF 133 I 100 consid. 4.9 p. 105; arrêts 5A_300/2013 du 29 novembre 2013 consid. 3.2; 5A_503/2010 du 28 mars 2011 consid. 2.4). Troisièmement, dans la mesure où ces questions juridiques ont été traitées en détail par les instances cantonales, l'annulation par la Cour de céans de la décision pour violation du droit d'être entendu et le renvoi de la cause au Tribunal cantonal prolongeraient inutilement la procédure, à laquelle le Tribunal fédéral est pourtant en mesure de mettre un terme en l'espèce.
4.4. C'est dans une telle perspective, également dictée par des motifs d'économie de procédure, que la Cour de céans a autorisé le recourant à consulter l'ensemble des dossiers relatifs aux causes 2C_980/2013 et 2C_981/2013 et à se déterminer par écrit. A.A._ a ainsi pu prendre connaissance des dossiers ouverts par le Tribunal fédéral le 14 avril 2014. A sa demande instante, l'occasion lui a subséquemment été donnée de consulter les dossiers cantonaux, ce que l'intéressé a toutefois refusé de faire auprès du Tribunal cantonal. Finalement, le recourant s'est vu accorder l'accès illimité aux dossiers tant cantonaux que fédéraux dans les causes susmentionnées auprès du Tribunal fédéral; subodorant une manoeuvre "astucieuse" de la part de la Cour de céans à son égard, A.A._ a cependant expressément refusé de consulter les pièces, tout en adressant des observations complémentaires de vingt-deux pages à la cour fédérale.
En conséquence, il a été loisible au recourant d'accéder aux pièces dont l'accès lui avait été refusé devant les instances précédentes et de se déterminer librement devant une instance judiciaire qui dispose, pour ce qui est du droit fiscal harmonisé en jeu, de la même cognition en droit que le Tribunal cantonal. Il s'ensuit que la violation du droit d'être entendu commise au niveau des instances cantonales a été pleinement guérie devant le Tribunal fédéral.
Il sera ajouté qu'exiger, comme le fait à présent le recourant dans ses observations du 26 juin 2014, à pouvoir consulter l'intégralité des dossiers, mais cette fois-ci auprès d'autorités pénales, et reprocher à la Cour de céans d'avoir tenté de l'induire en erreur en lui offrant la possibilité - non mise à profit et pourtant requise à de multiples reprises - d'accéder à l'intégralité des dossiers fédéraux comme cantonaux, s'avère être contraire au comportement de bonne foi dont tout particulier doit faire preuve à l'égard des organes de l'Etat (art. 5 al. 3 Cst.; cf. arrêts 8C_607/2013 du 28 novembre 2013 consid. 6.2, SVR 2014 UV n. 9 p. 29; 4D_2/2013 du 1 er mai 2013 consid. 3.1; 1C_150/2012 du 6 mars 2013 consid. 2.3, URP 2013 p. 138). Un tel comportement ne saurait être protégé devant la Cour de céans.
4.5. En résumé, la confirmation par le Tribunal cantonal de dénier l'accès à certaines pièces du dossier au recourant a violé son droit d'être entendu. Cette violation a toutefois été valablement réparée devant le Tribunal fédéral, qui peut dès lors entamer l'examen au fond du présent recours.
4.6. En tant que le recourant entend faire porter son recours sur le défaut d'accès allégué à encore d'autres déterminations (hormis la réclamation du 12 janvier 2012 et la lettre du 10 avril 2012) de son épouse en lien avec leur litige fiscal, ce procédé est irrecevable, car il reviendrait à élargir l'objet du litige à des éléments non soulevés devant le Tribunal cantonal (cf. arrêt attaqué, consid. 2c p. 5; cf. ATF 136 II 457 consid. 4.2 p. 462 s.; arrêt 2C_589/2013 du 17 janvier 2014 consid. 4).
5.
5.1. Sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral applique le droit d'office; toutefois, il n'examine que les griefs soulevés, sauf en présence de violations de droit évidentes (ATF 138 I 274 consid. 1.6 p. 280). En tant que l'écriture en cause soulève la violation de droits fondamentaux, le Tribunal fédéral se limitera à l'examen des seuls griefs dont l'invocation correspond aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF. Or, le recourant ne respecte pas ces exigences lorsqu'il invoque, en particulier, les principes de proportionnalité et d'égalité de traitement (art. 5 al. 2 et art. 8 Cst.), la protection de la bonne foi (art. 5 al. 3 et art. 9 Cst.) en lien avec l'indication ou non des voies de droit sur l'avis de taxation du 15 décembre 2011, et la dignité humaine (art. 7 Cst.). Ces griefs sont ainsi irrecevables.
5.2. Le Tribunal fédéral applique le droit sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 et 106 al. 1 LTF), sauf si ceux-ci ont été retenus de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 1 et 2 LTF) et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Lorsque le recourant entend s'en prendre aux faits ressortant de l'arrêt attaqué, il doit établir de manière précise la réalisation de ces conditions. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait (cf. ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104 s.).
5.3. Dans la mesure où ses arguments sont compréhensibles, le recourant soulève une série de griefs, tirés de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) et du déni de justice (art. 29 al. 1 Cst.), ainsi que des art. 123 et 130 LIFD (devoir du fisc d'établir les faits et de contrôler la déclaration d'impôt), en relation avec l'établissement des faits par le Tribunal cantonal. Il reproche aux précédents juges de ne pas avoir tenu compte, en particulier, de quatre documents figurant dans l'envoi du 15 décembre 2011 (avis de taxation commune, avis de taxation individuelle, décomptes IFD et IC) ainsi que d'un courrier de l'Administration cantonale daté du 11 janvier 2012 et concernant notamment la répartition des acomptes provisoires versés (recours, p. 4 et 12); de pièces en lien avec le remboursement aux époux - ou, erronément d'après le recourant, à un seul des époux - des acomptes d'impôts effectués à la suite de la décision de les taxer séparément (recours, p. 6 et 13 s.); de documents relatifs au mode de notification (incohérent selon le recourant), avec ou sans indication des voies de droit, de l'avis de taxation du 15 décembre 2011 rétablissant la taxation commune des époux (recours, p. 6 à 9); de même que de l'infirmation des accusations d'ordre pénal que l'épouse du recourant avait portées à son encontre (recours, p. 15 et 24 s.).
Ce faisant, le recourant ne démontre cependant ni la pertinence des arguments pour l'issue de son litige fiscal, ni en quoi l'éventuel défaut de prise en compte de ces éléments par le Tribunal cantonal aurait abouti à un résultat choquant ou en violation du droit fiscal à son désavantage. Il sera par ailleurs précisé que l'arrêt querellé traite, contrairement à ce qu'affirme l'intéressé, des avis de taxation séparée et commune ainsi que des décomptes fiscaux. Appellatoires, ces griefs ne sont partant pas admissibles. Au demeurant, s'agissant des modalités de la notification de l'avis de taxation commune du 15 décembre 2011 aux époux, on ne voit pas que le défaut d'indication des voies de droit sur l'avis envoyé au recourant aurait lésé ses droits, étant donné qu'avant d'être déclaré nul, cet avis s'était conformé à sa demande de rétablissement de la taxation commune. La Cour de céans reste par conséquent liée par les faits établis par le Tribunal cantonal (art. 105 al. 1 LTF).
6.
Sur le fond, le litige porte principalement sur les questions de savoir si, d'une part, le Tribunal cantonal a eu raison de confirmer que l'autorité fiscale cantonale pouvait revenir sur l'avis de taxation du 15 décembre 2011 rétablissant la taxation commune des époux à la demande du recourant, et si, d'autre part, il convenait, pour la période fiscale de 2010, d'imposer les époux A._ en commun, comme l'exigeait le recourant, ou séparément, tel que le souhaitait l'épouse de ce dernier. N'est en revanche pas contestée, devant le Tribunal fédéral, la solution que les précédents juges ont adoptée par rapport aux déductions fiscales auxquelles pouvait prétendre le recourant, de sorte qu'il n'y aura pas lieu d'en traiter.
III. Impôt fédéral direct
7.
Le recourant se plaint, en lien avec la taxation du 15 décembre 2011 ayant rétabli la taxation commune des époux à sa demande, d'une violation des règles sur la procédure de rappel d'impôt (art. 151 LIFD), de la constatation arbitraire des faits (art. 9 Cst.) et d'une violation de l'art. 85 al. 2 CPJA/FR (applicable, le cas échéant, à la procédure de réclamation via l'art. 103 al. 3 CPJA/FR) au sujet de la faculté qui est donnée à l'autorité inférieure de rétracter une décision. Le contribuable soutient que ledit avis modifié était définitif, de sorte que son épouse ne pouvait plus le contester, les conditions en matière de rappel d'impôt n'étant pas réunies.
7.1. La question de savoir si l'autorité pouvait revenir sur l'avis de taxation commune du 15 décembre 2011 relève du droit. Partant, le grief du recourant lié à la constatation arbitraire des faits sur ce point n'est pas pertinent. Quant à l'argument de la prétendue violation de la procédure cantonale, il ne serait recevable devant le Tribunal fédéral que sous l'angle de l'application arbitraire du droit cantonal, que l'intéressé n'a cependant pas invoquée ni motivée en ce sens (art. 106 al. 2 LTF). Il reste donc à examiner si, comme l'affirme le recourant, l'avis de taxation commune précité était définitif, de sorte que l'autorité fiscale ne pouvait le modifier qu'aux conditions de l'art. 151 al. 1 LIFD.
7.2. La position des précédents juges (arrêt, consid. 3 p. 6), selon laquelle l'avis de taxation commune du 15 décembre 2011 -, qui annulait les deux taxations séparées du 20 octobre 2011 conformément à la réclamation de l'époux, pour qui l'avis était partant définitif -, n'était pas entré en force de chose décidée au jour de sa contestation par l'épouse, le 12 janvier 2012, ne prête pas le flanc à la critique; il est en effet constant que le délai de trente jours pour former réclamation contre l'avis de taxation, selon les art. 132 al. 1 LIFD et 48 al. 1 LHID, n'était pas encore arrivé à échéance à cette date, si bien que les règles gouvernant le rappel d'impôt ne trouvaient pas application in casu.
L'argumentation du recourant peut aussi être écartée par un raisonnement a fortiori, dès lors que le Service cantonal avait, dans sa décision sur réclamation du 8 mai 2012, constaté de manière soutenable la nullité absolue de l'avis de taxation modifié du 15 décembre 2011, en raison d'une violation particulièrement grave et manifeste du droit d'être entendue de B.A._. Cet avis avait en effet été adopté sans que celle-ci, pourtant partie directement concernée par l'éventuel rétablissement de la taxation commune pour la période de 2010, n'eût été informée par l'autorité fiscale de la réclamation diligentée par son époux, ni invitée à prendre part et à faire valoir ses droits dans le cadre de cette procédure (cf. ATF 129 I 361 consid. 2.1 p. 363 s.; 122 I 97 consid. 3a/aa p. 99; arrêt 2C_962/2012 du 21 mars 2013 consid. 4.1).
8.
Le recourant s'en prend également à l'analyse des conditions qui président à l'établissement d'avis de taxation séparés pour des personnes mariées.
8.1. D'après l'art. 9 al. 1 LIFD, les revenus des époux qui vivent en ménage commun sont additionnés, quel que soit le régime matrimonial applicable. A contrario, en cas de divorce ou de séparation durable de fait ou de droit durant la période fiscale, les époux sont imposés séparément (cf. art. 45 let. a LIFD; ATF 133 II 305 consid. 4.1 p. 308; arrêt 2C_200/2011 du 14 novembre 2011 consid. 4.1), pour l'ensemble de la période fiscale (art. 5 al. 2 de l'ordonnance fédérale du 16 septembre 1992 sur le calcul dans le temps de l'impôt fédéral direct dû par les personnes physiques; acte abrogé le 1 er janvier 2014 mais applicable au présent état de fait [cf. RO 2013 2773]). Selon la jurisprudence, pour que l'on admette la séparation de fait, il ne doit plus y avoir de ménage commun et les moyens financiers ne doivent plus être gérés en commun. Ces conditions sont cumulatives. Une séparation au sens de l'art. 9 al. 1 LIFD suppose ainsi que les époux aient renoncé à la vie commune. Partant, aussi longtemps que chaque époux a un domicile propre tout en maintenant la communauté conjugale, il n'y a pas de vie séparée. Il est dès lors nécessaire, pour que les conditions d'une taxation séparée soient réalisées, que les époux entendent réduire à néant la communauté conjugale, plus précisément qu'ils renoncent à vivre en ménage commun, en particulier pour l'un des motifs indiqués aux art. 137, 175 et 176 CC (RS 210), et qu'ils vivent séparés de manière durable. Par ailleurs, l'imposition séparée suppose l'absence de mise en commun des moyens d'existence des époux s'agissant notamment des dépenses afférentes à l'appartement et au ménage; autrement dit, l'assistance d'un époux par l'autre ne se fait plus que sous la forme de subsides d'un montant déterminé (cf. arrêts 2A.353/2006 du 18 janvier 2007 consid. 4.1, RF 62/2007 352, confirmé in ATF 138 II 300 consid. 2.1 p. 302; 2A.432/2004 du 16 décembre 2004 consid. 3.2, RF 60/2005 516; ATF 121 I 14 consid. 5c p. 19).
8.2. Le recourant conteste, essentiellement sous l'angle de l'interdiction de l'arbitraire, l'appréciation des preuves ayant conduit le Tribunal cantonal à considérer, compte tenu des critères légaux et jurisprudentiels susmentionnés (consid. 8.1 supra), que les époux A._ vivaient effectivement séparés au 31 décembre 2010, si bien qu'il convenait de les imposer séparément pour l'ensemble de la période fiscale 2010. Il sied partant de vérifier si l'appréciation des preuves qu'ont effectuée les précédents juges, et au terme de laquelle ils ont retenu qu'un faisceau d'indices suffisant confirmait la vie séparée du couple en 2010 déjà, résiste au grief d'arbitraire.
8.3. Il n'y a arbitraire dans l'appréciation des preuves que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (cf. ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560). Il ne suffit pas que la motivation de la décision critiquée soit insoutenable; encore faut-il que celle-ci se révèle arbitraire dans son résultat (ATF 138 I 305 consid. 4.3 p. 319; arrêt 2C_546/2013 du 5 décembre 2013 consid. 4.4.1).
8.4. S'agissant du premier critère pour déterminer le mode d'imposition du recourant, c'est-à-dire l'absence de ménage commun des époux, le Tribunal cantonal n'a pas versé dans l'arbitraire en considérant que la conservation par le recourant de ses papiers à X._ et non pas à Fribourg, son nouveau lieu de résidence, n'était pas déterminante en l'espèce; du point de vue fiscal, le maintien formel d'un domicile civil commun ne saurait en effet pallier l'absence de volonté des époux de poursuivre leur vie en communauté (cf. arrêt 2A.353/2006 du 18 janvier 2007 consid. 4.2, RF 62/2007 p. 352). Compte tenu du blocage judiciaire des comptes communs des époux, de l'expulsion immédiate du recourant du domicile conjugal, de la fixation rétroactive, dès le 1 er décembre 2010, des pensions alimentaires à charge du recourant, et des accusations graves portées par son épouse à son égard (peu importe que celles-ci n'eussent pour l'essentiel pas abouti, tel que l'ont du reste relevé les précédents juges), le Tribunal cantonal pouvait légitimement admettre que la perspective d'une reprise de la vie commune apparaissait durablement compromise en l'absence d'unanimité des époux. Au vu des actes judiciaires précités, on peut même se demander si on ne serait pas, du point de vue du droit fiscal, en présence d'une séparation de droit des époux, cette question souffrant toutefois de demeurer indécise. Que le recourant ne se soit, comme il le prétend, rendu compte du refus de conciliation par son épouse qu'en janvier 2011 ou qu'il n'ait eu, initialement, "qu'une idée vague de la gravité des accusations" formulées contre lui n'y change rien. Par ailleurs, le recourant reproche à tort à son épouse d'avoir manifesté tardivement sa volonté d'être taxée séparément. Il sera rappelé que le fisc avait, dans un premier temps, taxé séparément les époux, que la taxation commune controversée n'a été rétablie qu'en date du 15 décembre 2011 sans que l'épouse n'ait été informée au préalable qu'une telle procédure était en cours (cf. consid. 7.2 supra), et que B.A._ a contesté ledit avis modifié le 12 janvier 2012, soit peu de temps après la fin des fêtes de fin d'année de 2011.
8.5.
8.5.1. En vue d'admettre la seconde condition présidant à la taxation séparée des époux A._ (séparation de fait), soit celle de l'interruption de la communauté des moyens d'existence, le Tribunal cantonal s'est en particulier fondé sur le blocage des comptes communs du couple auprès de la banque C._ à partir du 10 décembre 2010, élément auquel s'ajoute, notamment, la fixation rétroactive des pensions alimentaires dues par le recourant à partir du 1 er décembre 2010.
8.5.2. Les arguments que le recourant invoque se laissent résumer comme suit. Du 25 décembre 2010 au 5 janvier 2011, son épouse et ses enfants auraient entrepris un voyage au Maroc grâce à des virements, les 30 septembre et 27 octobre 2010, totalisant 10'059 fr. depuis le compte de salaire du recourant, qui aurait donc exclusivement subvenu aux besoins de sa famille jusqu'en fin d'année 2010. Au 2 décembre 2010, son épouse aurait disposé de quelque 2'300 fr. en argent liquide provenant de ressources communes des époux, ainsi que d'un avoir de plus de 20'000 fr. sur son compte personnel sur lequel le recourant possédait une procuration; elle aurait de surcroît obtenu le déblocage de certains montants par ordonnance judiciaire du 14 octobre 2011 (7'059 fr.) sur les comptes communs. Parmi les factures payées le 3 décembre 2010, certaines arrivaient à échéance le 31 décembre 2010 (par ex. camp de ski 2011, facture du D._, certaines primes d'assurance). Le paiement du 31 décembre 2010 des intérêts hypothécaires afférents à la villa familiale à X._ aurait quant à lui été opéré, par ordre de virement donné par l'épouse le 3 décembre 2010, depuis un compte commun, en application du contrat de base hypothécaire engageant les époux vis-à-vis de la banque, de sorte que l'appréciation des faits effectuée par le Tribunal cantonal à cet égard était erronée.
8.5.3. Du propre aveu du recourant (recours, p. 4), les faits et pièces dont il se prévaut dans le cadre du présent recours - il en va de même s'agissant des éléments exposés dans diverses autres écritures ultérieures du recourant (cf. notamment les observations du 26 juin 2014) - sont nouveaux et en principe irrecevables au sens de l'art. 99 al. 1 LTF. Il est en outre exclu, quoiqu'en dise le recourant, qu'ils puissent être exceptionnellement pris en compte en tant qu'éléments résultant de la décision de l'autorité précédente (cf., pour cette notion, arrêt 5A_291/2013 du 27 janvier 2014 consid. 2.2). En effet, les conditions permettant de taxer séparément les époux ont pris un rôle prééminent dès le premier examen, en 2011, de la situation fiscale de ces derniers par l'Administration cantonale. Or, l'on pouvait s'attendre du recourant, assisté en instances de réclamation et de recours cantonales par un avocat, qu'il se procure et produise aussitôt l'ensemble des éléments financiers propres à étayer que les époux auraient continué à faire caisse commune jusqu'au 31 décembre 2010.
Quoi qu'il en soit, les nouveaux éléments que produit le recourant ne feraient pas apparaître comme arbitraire l'appréciation des preuves opérée dans l'arrêt attaqué. Qu'ils concernent des factures échéant à la fin du mois de décembre 2010 ou aient été utilisés pour couvrir les besoins financiers relatifs à ladite période, les débits, virements et autres opérations que mentionne le recourant (y compris le paiement des intérêts hypothécaires pour la maison familiale) ont en effet été effectués ou enregistrés avant l'ordonnance de blocage des comptes communs du 10 décembre 2010, (en particulier) à un moment où le couple faisait encore caisse commune. Il n'est donc nullement choquant d'admettre, comme cela découle de l'arrêt contesté, qu'en dépit des inévitables incertitudes, voire aléas liés à une rupture conjugale aussi abrupte, notamment dans l'attente d'une réglementation judiciaire plus cohérente de la vie séparée (fixation rétroactive au 1 er décembre 2010 des pensions alimentaires dues par le recourant, du 9 mars 2011), la communauté des moyens d'existence des époux ait d'ores et déjà pris fin au moment du blocage des comptes communs. Quant à la libération d'une somme de 6'859 fr., il découle de la décision présidentielle du Tribunal civil du 14 octobre 2011 produite en annexe au recours qu'elle est intervenue dans le but d'honorer une facture pour la réparation d'un dommage ayant affecté la maison familiale en juillet 2009, soit avant la séparation des époux.
8.6. Il suit de ce qui précède qu'en considérant que les époux A._ vivaient effectivement séparés au 31 décembre 2010, avec pour conséquence leur imposition séparée pour l'ensemble de la période fiscale 2010, le Tribunal cantonal n'est pas tombé dans l'arbitraire, ni n'a violé aucune norme de droit fiscal fédéral.
IV. Impôt cantonal sur le revenu
9.
Dans le cadre du droit fiscal harmonisé qui régit l'imposition directe aux niveaux fédéral, cantonal et communal (cf. consid. 2 supra), tant la notion de rappel d'impôt (art. 192 de la loi fribourgeoise du 6 juin 2000 sur les impôts cantonaux directs [LICD/FR; RS/FR 631.1] et 53 LHID) que les règles gouvernant la taxation commune ou séparée des époux (art. 66 al. 1 et 4 LICD/FR, art. 3 al. 3 et art. 18 LHID) correspondent aux concepts employés par la LIFD. Partant, les considérations développées pour l'IFD s'appliquent également à l'IC par rapport à la période fiscale sous examen. En refusant de taxer en commun les époux durant la période 2010, les autorités cantonales n'ont donc pas violé le droit fiscal cantonal harmonisé.
V. Considérations finales
10.
Tout en rappelant que la violation constatée du droit d'être entendu du recourant a pu être réparée devant le Tribunal fédéral, les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité, en ce qu'il concerne tant l'IFD que l'IC pour la période fiscale 2010.
11.
Etant donné que le recourant a obtenu gain de cause quant à l'existence d'une violation - guérie devant le Tribunal fédéral - de son droit d'être entendu en lien avec le refus par les autorités précédentes de lui transmettre les lettres de réclamation de son épouse, il convient de rendre le présent arrêt sans frais (art. 66 al. 1 LTF). Ce, quand bien même le recourant succombe entièrement au fond. La requête d'assistance judiciaire est partant sans objet (cf. arrêt 2C_256/2013 du 10 avril 2013 consid. 5). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF), le recourant n'étant du reste pas assisté d'un avocat devant le Tribunal fédéral.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Les causes 2C_980/2013 et 2C_981/2013 sont jointes.
2.
Dans la mesure où elle est recevable, la requête de récusation est mal fondée.
3.
Dans la mesure où il est recevable, le recours est rejeté en tant qu'il concerne l'impôt fédéral direct.
4.
Dans la mesure où il est recevable, le recours est rejeté en tant qu'il concerne l'impôt cantonal.
5.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
6.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service cantonal des contributions et au Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg, Cour fiscale, ainsi qu'à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 21 juillet 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Chatton