Faits:
A. A.a X._ a été impliqué dans un accident de la circulation, survenu le 16 septembre 2004, auquel a également été mêlée une cyclomotoriste mineure. Lors de cet accident, sa voiture a été endommagée.
Les parents de la cyclomotoriste ayant admis l'entière responsabilité de leur fille dans la survenance de l'accident, X._ a contacté leur assurance responsabilité civile, A._, qui l'a invité à faire réparer le véhicule auprès du carrossier de son choix, après examen par l'un de ses experts techniques.
A.b Le 8 octobre 2004, X._ s'est présenté à l'atelier de carrosserie exploité par Carrosserie Y._ SA (ci-après: la Carrosserie). Après s'être entretenu avec le patron de la Carrosserie, il est parti en laissant à l'atelier sa voiture et les clés de celle-ci.
Le 5 novembre 2004, la Carrosserie a contacté téléphoniquement X._ pour lui annoncer que le véhicule était réparé. L'automobiliste s'est aussitôt rendu sur place pour reprendre possession de son véhicule. A cette occasion, il a signé un document indiquant la nature des travaux et leur prix, à savoir 1'727 fr. 65, TVA incluse. Y figurait encore la mention manuscrite suivante: "Travaux et prix reconnus conformes ceci vaut reconnaissance de dette et cession de droit".
Dans son rapport du 10 novembre 2004, l'expert mandaté par l'assureur précité a estimé le dommage admissible à 1'727 fr. 65 TTC.
Le 12 novembre 2004, la Carrosserie a fait parvenir à X._, en copie, une facture de 1'727 fr. 65 pour les travaux effectués sur son véhicule.
A.c Par lettre du 27 janvier 2005, A._ a fait savoir à X._ qu'elle ne prendrait en charge que les deux tiers de son préjudice, l'automobiliste devant, selon elle, assumer une part du dommage en raison du risque inhérent à l'emploi de son véhicule. X._ a refusé de signer la convention d'indemnisation établie sur cette base, si bien qu'il n'a finalement perçu aucune indemnité de A._.
A.d Le 14 février 2005, la Carrosserie a fait parvenir à X._ une facture de 1'727 fr. 65 sur laquelle figurait la mention suivante: "Selon le téléphone que nous avons eu avec A._ en date du 11 courant, elle nous confirme ne pas prendre en charge ce sinistre. C'est pourquoi nous nous permettons par la présente de vous en demander le règlement".
Ladite facture n'ayant pas été honorée, la Carrosserie a fait notifier à X._, le 6 avril 2005, un commandement de payer qui a été frappé d'opposition. Celle-ci a été levée provisoirement, le 25 mai 2005, par une décision du Juge de paix du district d'Echallens que le débiteur a attaquée sans succès devant le Tribunal cantonal vaudois. Le recours formé par le poursuivi contre l'arrêt rendu le 10 novembre 2005 par cette autorité a été déclaré irrecevable par le Tribunal fédéral en date du 6 avril 2006.
B.a Le 5 juillet 2005, X._ a ouvert action en libération de dette contre la Carrosserie. Le Juge de paix du district d'Echallens a suspendu l'instruction de la cause jusqu'à droit connu sur le recours visant la décision de mainlevée. L'ayant ensuite reprise, il a rendu, le 21 décembre 2006, un jugement portant rejet de ladite action, condamnation du demandeur au paiement de 1727 fr. 65, avec intérêts à 5% dès le 4 avril 2005, et mainlevée définitive, dans cette mesure, de l'opposition formée au commandement de payer y relatif.
Amené à trancher la question de savoir si le demandeur avait ou non donné l'ordre à la défenderesse de procéder à la réparation de son véhicule, lorsqu'il lui avait confié celui-ci, le Juge de paix y a répondu par l'affirmative en énonçant six motifs pour étayer son point de vue: premièrement, s'il ne s'était agi que d'expertiser le véhicule accidenté, qui n'avait subi que de légers dégâts, il n'eût pas été nécessaire de conduire celui-ci dans un atelier de carrosserie, l'inspection des dégâts pouvant être effectuée au domicile du demandeur; deuxièmement, ce dernier admet que c'est lui-même, et non pas l'assureur couvrant la responsabilité civile de la cyclomotoriste, qui a fait appel à la défenderesse et il ne prétend pas qu'il se serait présenté à elle comme représentant de l'assureur ou de l'assurée; troisièmement, le demandeur n'eût pas manqué de s'étonner que la défenderesse gardât son véhicule dans ses locaux durant près d'un mois s'il ne le lui avait remis qu'à fin d'expertise; quatrièmement, lorsque la défenderesse lui a annoncé que sa voiture était réparée, le demandeur n'a pas protesté contre le principe de la réparation, mais s'est empressé de venir récupérer le véhicule à l'atelier de carrosserie; cinquièmement, il a signé, sans formuler de réserve, le rapport de travail établi par la défenderesse, où figuraient son nom, la nature des travaux et leur prix, confirmant ainsi sa volonté de faire réparer son véhicule et acceptant simultanément les travaux réalisés ainsi que leur coût; sixièmement enfin, le demandeur n'établit pas avoir jamais contacté la défenderesse, par la suite, pour contester l'existence d'un ordre de réparation émanant de lui et les seules protestations qu'il a élevées ont été dirigées contre l'assurance responsabilité civile de la cyclomotoriste, après qu'elle l'avait informé de son refus de prendre en charge l'intégralité de son préjudice.
En droit, le premier juge a, dès lors, retenu, sur la base de ces divers arguments, que les parties avaient clairement manifesté leur volonté réciproque et concordante de conclure un contrat d'entreprise portant sur la réparation, par la défenderesse, du véhicule du demandeur. Il a écarté les moyens soulevés par ce dernier quant à la validité dudit contrat et est arrivé à la conclusion que le demandeur était en demeure d'exécuter sa prestation, c'est-à-dire le paiement du prix de l'ouvrage.
B.b Par arrêt du 29 juin 2007, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois, saisie par le demandeur, a confirmé le jugement de première instance. Elle a considéré, en substance, sur le vu des six éléments retenus par le Juge de paix, que ce magistrat avait établi, sans arbitraire, la volonté des parties de passer un accord portant sur la réparation du véhicule du demandeur. Les parties ayant ainsi valablement conclu un contrat d'entreprise, la cour cantonale a jugé sans pertinence les différents moyens juridiques soulevés par le demandeur, parce qu'ils étaient incompatibles avec l'existence d'un tel contrat. Elle a enfin écarté l'argument soulevé par le demandeur en relation avec la mention "cession de droit" figurant sur le rapport de travail signé par le demandeur.
C. Le 7 novembre 2007, le demandeur a adressé un recours, non intitulé, au Tribunal fédéral. Il conclut, en substance, à l'admission de son action en libération de dette et au maintien de son opposition au commandement de payer que la défenderesse lui a fait notifier.
L'intimée et la cour cantonale n'ont pas été invitées à déposer une réponse.
Considérant en droit:
1. En l'espèce, la valeur litigieuse s'élève à 1727 fr. 65. La limite fixée à l'art. 74 al. 1 let. b LTF pour la recevabilité du recours en matière civile n'est donc manifestement pas atteinte. Au demeurant, contrairement à ce que soutient le recourant, la contestation ne soulève pas une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF; sur cette notion, cf. arrêt 4A_237/2007 du 28 septembre 2007, destiné à la publication, consid. 2.4 et les références). Elle revêt, bien plutôt, un caractère essentiellement factuel, puisqu'elle porte sur le point de savoir si les circonstances propres à la cause en litige suffisaient ou non à établir la volonté des parties de conclure un contrat portant sur la réparation du véhicule du demandeur. Dès lors, seul entre en ligne de compte le recours constitutionnel subsidiaire, au sens des art. 113 ss LTF. Le présent recours, non intitulé, sera donc traité comme tel.
2. 2.1 Le recours constitutionnel peut être formé pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). En vertu de l'art. 106 al. 2 LTF, applicable par analogie à ce recours (art. 117 LTF), le Tribunal fédéral n'examine semblable violation que si un grief s'y rapportant a été invoqué et motivé par le recourant. Il statue, au demeurant, sur la base des faits retenus par l'autorité précédente, sauf à les rectifier ou à les compléter s'ils ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 LTF). Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 LTF en liaison avec l'art. 117 LTF).
2.2 En produisant pour la première fois devant le Tribunal fédéral une lettre du 22 mars 2005 censée démontrer qu'il a protesté à réception de la facture de l'intimée, le recourant méconnaît la dernière règle précitée. Il sera donc fait abstraction de cette preuve nouvelle pour l'examen du cas. Il en ira de même en ce qui concerne les remarques ou critiques formulées dans la partie intitulée "Les faits" du mémoire de recours, l'auteur de celui-ci n'indiquant pas à quel droit constitutionnel les constatations de fait visées par lui porteraient atteinte.
2.3 A l'appui de ses conclusions libératoires, le recourant soutient que l'arrêt attaqué viole l'art. 29 Cst. et l'art. 4 CC. Il se plaint également d'une violation de l'art. 1er CO et de la jurisprudence relative à la culpa in contrahendo.
Le principe jurisprudentiel et les dispositions tirées du code civil et du code des obligations qu'invoque le recourant relèvent du droit privé fédéral. Il ne s'agit pas de droits constitutionnels, au sens de l'art. 116 LTF. Les moyens qui s'y rapportent sont, dès lors, irrecevables.
Quant à l'art. 29 Cst., il a certes sa place dans un recours constitutionnel subsidiaire. Toutefois, comme son titre l'indique, cette norme a pour but d'offrir des "garanties générales de procédure" à toute personne. Or, il suffit de lire l'argumentation développée dans le mémoire de recours pour constater que de telles garanties ne sont nullement en cause dans la présente espèce. En réalité, le recourant s'en prend pour l'essentiel, voire exclusivement, aux six motifs, résumés plus haut, sur la base desquels le Juge de paix a admis l'existence d'un lien contractuel entre les parties. Ses critiques n'ont ainsi rien à voir avec le droit constitutionnel invoqué. La seule d'entre elles qui pourrait y être rattachée est celle que le recourant formule sous chiffre 8, à la page 4 de son mémoire. Elle n'est cependant pas suffisamment motivée pour que l'on puisse s'y arrêter. Au demeurant, cette critique est de toute façon infondée, dès lors que la cour cantonale a fourni, au consid. 3e, 2ème phrase, de son arrêt, la réponse à la question posée par le recourant.
2.4 Pour le surplus, même si le recourant avait soulevé le moyen tiré de l'arbitraire dans la constatation des faits pertinents (art. 9 Cst.), il ne serait pas non plus possible d'entrer en matière, du moment que son argumentation revêt un caractère exclusivement appellatoire et ne consiste qu'en la présentation d'une autre version des faits que celle retenue par la cour cantonale et le juge de première instance.
3. Le présent recours apparaît ainsi manifestement irrecevable. Dans ces conditions, il y a lieu d'appliquer, par analogie (art. 117 LTF), la procédure simplifiée prévue par l'art. 108 al. 1 LTF.
4. Succombant, le recourant devra supporter les frais judiciaires de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). En revanche, il n'aura pas à verser des dépens à l'intimée, puisque celle-ci n'a pas été invitée à déposer une réponse.
Par ces motifs, le Président de la Ire Cour de droit civil:
1. N'entre pas en matière sur le recours.
2. Met les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., à la charge du recourant.
3. Communique le présent arrêt aux parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 21 janvier 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Carruzzo