Sachverhalt:
A. Der 1963 geborene M._ war als Chauffeur der Verkehrsbetriebe bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als am 27. Juni 2005 ein Personenwagen auf das Heck seines Fahrzeuges auffuhr. Dr. med. K._, Allgemeine Medizin FMH, welcher vom Versicherten noch am Unfalltag aufgesucht wurde, diagnostizierte ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS). Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen, stellte diese jedoch mit Verfügung vom 24. Oktober 2007 und Einspracheentscheid vom 2. April 2008 per 30. November 2007 ein, da die über dieses Datum hinaus anhaltend geklagten Beschwerden nicht adäquat kausal durch das Unfallereignis verursacht worden seien.
B. Die von M._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 22. Januar 2010 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt M._, die SUVA sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Gleichzeitig stellt der Versicherte ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Während die SUVA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Im kantonalen Entscheid werden die nach der Rechtsprechung für den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (Art. 6 Abs. 1 UVG) geltenden Voraussetzungen des natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181), insbesondere bei Schleudertraumen der Halswirbelsäule und bei schleudertraumaähnlichen Verletzungen (BGE 134 V 109), zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Streitig und zu prüfen ist die Leistungspflicht der SUVA für die über den 30. November 2007 hinaus anhaltend geklagten Beschwerden des Versicherten.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, neben den Folgen der HWS-Distorsion sei auch die am 8. November 2007 erstmals diagnostizierte Verletzung der Supraspinatussehne der rechten Schulter als durch das Ereignis vom 27. Juni 2005 verursacht anzusehen. Wie das kantonale Gericht unter Bezugnahme auf die Beurteilung des SUVA-Arztes Dr. med. O._, Facharzt für orthopädische Chirurgie, vom 19. Dezember 2007 zutreffend erwogen hat, ist ein Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und diesen Verletzungen nicht wahrscheinlich. Die vom Versicherten angerufenen Arztberichte vermögen auch keine geringe Zweifel (vgl. BGE 135 V 465 E. 4.7 S. 471) an den Schlussfolgerungen des Dr. med. O._ zu begründen: Während sich Dr. med. R._ - entgegen der Interpretation des Beschwerdeführers - in ihrem Arztzeugnis vom 4. Februar 2008 nicht zur Kausalität äussert, begründeten die Ärzte der Klinik Y._ im Schreiben vom 21. Februar 2008 ihre Kausalitätszuordnung lediglich damit, dass der Versicherte vor dem Unfall beschwerdefrei gewesen wäre und kein weiteres Ereignis anamnestisch erhebbar sei. Rechtsprechungsgemäss ist eine solche reine "post hoc ergo propter hoc"-Argumentation beweisrechtlich wertlos (BGE 119 V 335 S. 2b/bb S. 341; SVR 2010 UV Nr. 10 S. 40, 8C_626/2009 E. 3.2).
4.2 Ist somit nicht von einem im Sinne der Rechtsprechung organisch hinreichend nachgewiesenen Gesundheitsschaden auszugehen, so ist die Adäquanz eines allfälligen Kausalzusammenhanges speziell zu prüfen. Wie die Vorinstanz einlässlich dargelegt hat, fällt diese Prüfung negativ aus. Insoweit sich der Beschwerdeführer darauf beschränkt, wörtlich die vor kantonalem Gericht erhobenen Rügen zu wiederholen, ist auf die Vorbringen nicht weiter einzugehen (vgl. Urteile 9C_496/2009 vom 10. Juli 2009 E. 3 und 8C_25/2009 vom 12. Juni 2009 E. 3.2). Der vom Versicherten erhobene pauschale Vorwurf, die Vorinstanz habe seine Rügen nicht hinreichend untersucht und beschränke sich unter Ignorierung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung auf Allgemeinplätze, trifft nicht zu. Offenbleiben kann, ob der kantonale Entscheid in der Wiedergabe der medizinischen Berichte nicht hätte kürzer ausfallen können.
4.3 Waren die über den 30. November 2007 hinaus anhaltend geklagten Beschwerden nicht mehr adäquat kausal durch das Unfallereignis verursacht, so ist die Leistungseinstellung auf dieses Datum hin rechtens. Die Beschwerde ist diesbezüglich abzuweisen.
5. Aus den Anträgen des Versicherten geht nicht klar hervor, ob er die Ablehnung der unentgeltlichen Rechtspflege durch die Vorinstanz mit anficht. Diese Frage kann indessen offenbleiben, da das kantonale Gericht das Gesuch entgegen den Darlegungen des Beschwerdeführers nicht wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen hat, die Beschwerde somit keine Auseinandersetzung mit den vorinstanzlichen Erwägungen enthält und die Beschwerde daher auch in diesem Punkt ohne weiteres abgewiesen werden müsste.
6. Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG erledigt. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung im bundesgerichtlichen Verfahren ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdeführer sind demnach die Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Juni 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer