Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 26. Juli 2010 trat das Bundesgericht auf die von X._ (Gesuchsteller) gegen das Urteil des Kantonsgerichts Schwyz vom 9. März 2010 erhobene Beschwerde nicht ein.
Mit Rechtsschrift vom 28. November 2010 stellte der Gesuchsteller den Antrag, das Urteil des Bundesgerichts vom 26. Juli 2010 sei gestützt auf Art. 129 sowie Art. 121 lit. d BGG der Revision zu unterziehen. Als seine Adresse gab er in der Rechtsschrift "Z._, Q._" an.
Mit Präsidialverfügung vom 9. Dezember 2010 wurde der Gesuchsteller gestützt auf Art. 62 BGG aufgefordert, bis spätestens am 10. Januar 2011 einen Kostenvorschuss von Fr. 500.-- einzuzahlen. Nach fruchtlosem Ablauf der Zahlungsfrist wurde ihm mit Präsidialverfügung vom 13. Januar 2011 unter Hinweis auf Art. 62 Abs. 3 BGG eine Nachfrist zur Zahlung des Kostenvorschusses bis zum 24. Januar 2011 angesetzt. Auch innerhalb der Nachfrist wurde der Vorschuss nicht bezahlt.
Beide Verfügungen wurden mit der Post als Gerichtsurkunden an die vom Gesuchsteller in der Rechtsschrift vom 28. November 2010 angegebene Adresse gesendet. Beide Sendungen wurden von der Post mit dem Vermerk "Empfänger konnte unter angegebener Adresse nicht ermittelt werden" an das Bundesgericht zurückgeschickt.
2. Der Gesuchsteller hat mit der Einreichung des Revisionsgesuchs ein Prozessrechtsverhältnis begründet. Nach der Praxis des Bundesgerichts hat eine Partei nach Begründung eines Prozessrechtsverhältnisses gestützt auf den Grundsatz von Treu und Glauben die Pflicht, dafür zu sorgen, dass ihr behördliche Akte wie Verfügungen, Entscheidungen und andere Mitteilungen als Gerichtsurkunden zugestellt werden können. Gerade unmittelbar nach Einleitung eines Verfahrens muss mit grosser Wahrscheinlichkeit mit der Zustellung eines behördlichen Aktes gerechnet werden. Die angerufene Behörde darf erwarten, dass die Zustellung einer Sendung als Gerichtsurkunde an die mitgeteilte Adresse erfolgen kann. Die Partei ist verpflichtet, eine vorübergehende Abwesenheit oder eine Adressänderung bekannt zu geben oder dafür zu sorgen, dass eine Drittperson die Sendungen in Empfang nimmt. Kann die Zustellung an der angegebenen Adresse nicht erfolgen, wird fingiert, dass die Sendung dem Empfänger nach Ablauf der üblichen Abholfrist zugekommen ist (BGE 123 III 492 E. 1 S. 493; Urteil 2P.155/2005 vom 21. Juni 2005 E. 2.2).
Nach diesen Grundsätzen haben die Präsidialverfügungen vom 9. Dezember 2010 und vom 13. Januar 2010 als dem Gesuchsteller rechtsgültig zugestellt zu gelten.
3. Somit ist auf das Revisionsgesuch nicht einzutreten, weil der vom Gesuchsteller verlangte Gerichtskostenvorschuss auch innerhalb der Nachfrist von Art. 63 Abs. 2 BGG nicht bezahlt wurde. Die Gerichtskosten sind dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Huguenin