Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 3. März 2008 entzog das Kommissariat Polizeibewilligungen der Stadtpolizei Zürich X._ das Gastwirtschaftspatent zur Führung des Restaurants A._ in Zürich mit sofortiger Wirkung. Zugleich wurde einer allfälligen Einsprache die aufschiebende Wirkung entzogen. Am 16. April 2008 wies der Stadtrat von Zürich eine dagegen gerichtete Einsprache ab und entzog wiederum einem allfälligen Rekurs die aufschiebende Wirkung. Mit Schreiben vom 22. Mai 2008 teilte X._ dem Kommissariat Polizeibewilligungen unter anderem mit, einstweilen bis zur rechtskräftigen Erledigung des Verfahrens betreffend Patententzug auf das Patent zu verzichten, damit Y._ ein Patent zur Führung der Gastwirtschaft A._ erteilt und der Betrieb bis zum rechtskräftigen Entscheid über den Patententzug weitergeführt werden könne. Am 24. Mai 2008 reichte X._ bei der Volkswirtschaftsdirektion Rekurs gegen den Beschluss des Stadtrats von Zürich vom 16. April 2008 ein. Am 2. Juni 2008 erhielt Y._ das ersuchte Patent. Am 17. Juni 2008 schrieb die Volkswirtschaftsdirektion den bei ihr erhobenen Rekurs wegen Gegenstandslosigkeit ab. Mit Urteil vom 17. September 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine dagegen gerichtete Beschwerde ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 24. Oktober 2008 an das Bundesgericht beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache an dieses zurückzuweisen. Im Wesentlichen macht sie eine Verletzung von Art. 13 in Verbindung mit Art. 6 EMRK sowie von Art. 9, 27, 29 Abs. 1 und 2 und Art. 29a BV geltend.
Die Stadt Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Volkswirtschaftsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen, das Verfahren abschliessenden Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (vgl. Art. 82 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Ein Ausnahmetatbestand nach Art. 83 BGG liegt nicht vor, und die Beschwerdeführerin ist als direkte Adressatin vom angefochtenen Entscheid in schutzwürdigen Interessen besonders berührt und damit zur Beschwerde berechtigt (vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ist demnach grundsätzlich zulässig.
1.2 Mit der Beschwerde kann unter anderem geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht - inklusive Bundesverfassungsrecht -, Völkerrecht sowie kantonale verfassungsmässige Rechte (Art. 95 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Wesentliche Fragen des Sachverhalts sind vorliegend allerdings nicht strittig.
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Nach Art. 42 Abs. 1 BGG hat freilich die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid das massgebliche Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Vorbringen müssen sachbezogen sein, damit aus der Beschwerdeschrift ersichtlich ist, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird. Dies setzt voraus, dass sich die Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzen (BGE 134 II 244). Insbesondere prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 130 I 258 E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen). Es erscheint fraglich, ob die Beschwerdeschrift diese Voraussetzungen hinsichtlich der Willkürrüge erfüllt, legt die Beschwerdeführerin doch nicht dar, welche Bestimmungen oder Grundsätze des kantonalen Verfahrensrechts angeblich qualifiziert unrichtig ausgelegt bzw. angewendet worden sein sollen. Wie es sich damit verhält, kann jedoch offen bleiben.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanzen hätten gegen Art. 29 Abs. 1 und Art. 29a BV sowie gegen Art. 6 Ziff. 1 in Verbindung mit Art. 13 EMRK verstossen, indem sie in der vorliegenden Streitsache nicht materiell über die Rechtmässigkeit des Patententzuges entschieden hätten.
2.2 Nach Art. 29 Abs. 1 BV hat jede Person in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung sowie auf Beurteilung innert angemessener Frist. Eine Verletzung dieser Bestimmung liegt unter anderem dann vor, wenn eine Gerichts- oder Verwaltungsbehörde ein Gesuch, dessen Erledigung in ihre Kompetenz fällt, nicht an die Hand nimmt und behandelt. Ein solches Verhalten einer Behörde wird als formelle Rechtsverweigerung bezeichnet (BGE 107 Ib 160 E. 3b S. 164; Urteil des Bundesgerichts B 5/05 vom 17. Juli 2006 E. 3.3; JÖRG PAUL MÜLLER/MARKUS SCHEFER, Grundrechte in der Schweiz, 4. Aufl., 2008, S. 823 ff.).
2.3 Gemäss Art. 29a BV hat jede Person bei Rechtsstreitigkeiten, von hier nicht massgebenden Ausnahmen abgesehen, Anspruch auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde. Garantiert wird dadurch der effektive Zugang zum Gericht. Dieser Anspruch wird verletzt, wenn das anwendbare Verfahrensrecht den Zugang durch ungerechtfertigte Sachurteilsvoraussetzungen versperrt, was unter Umständen auch auf das hier fragliche Erfordernis eines aktuellen praktischen Interesses zutreffen könnte (vgl. MÜLLER/SCHEFER, a.a.O., S. 914 ff.). Nach Art. 130 Abs. 3 BGG stand den Kantonen allerdings eine Übergangsfrist bis zum 1. Januar 2009 zu zur Anpassung ihres Verfahrensrechts in öffentlich-rechtlichen Streitigkeiten an die prozessualen Voraussetzungen des Bundesgerichtsgesetzes (insbesondere Art. 86 Abs. 2 und 3 BGG) einschliesslich der Bestimmungen, die zur Gewährleistung der Rechtsweggarantie nach Art. 29a BV erforderlich waren. Der angefochtene Entscheid erging am 17. September 2008 und damit vor Ablauf dieser Frist. Allerdings richtet sich die Übergangsfrist von Art. 130 Abs. 3 BGG in erster Linie an den kantonalen Gesetzgeber. Ob sie auch gilt, wenn sich die Anforderungen von Art. 29a BV bereits allein durch eine Anpassung der bisherigen Rechtsprechung durch die kantonalen Gerichte und damit ohne Gesetzesänderung erfüllen lassen, erscheint fraglich, kann aber offen bleiben.
2.4 Im vorliegenden Fall ist jedenfalls Art. 6 EMRK anwendbar. Diese Bestimmung vermittelt - schon für sich und unabhängig von Art. 13 EMRK - unter anderem bei zivilrechtlichen Streitigkeiten das Recht auf Zugang zu einem Gericht, das nicht nur theoretisch und illusorisch sein darf, sondern effektiv gewährleistet werden muss (vgl. etwa CHRISTOPH GRABENWARTER, Europäische Menschenrechtskonvention, 3. Aufl., 2008, S. 48). Auch dieser Anspruch wird verletzt, wenn das anwendbare Verfahrensrecht den Zugang durch ungerechtfertigte Sachurteilsvoraussetzungen versperrt (vgl. zur entsprechenden Bedeutung des aktuellen praktischen Interesses bei der analogen Ausgangslage von Art. 13 EMRK das Urteil des EGMR vom 16. Dezember 1997 i.S. Camenzind c/ Schweiz, Recueil 1997-VIII S. 2880, VPB 1998 Nr. 113 S. 958). Der Entscheid über den Entzug eines Patentes zur Führung eines Gastwirtschaftsgewerbes hat zivilrechtlichen Charakter (vgl. MARK E. VILLIGER, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention [EMRK], 2. Aufl., 1999, Rz. 380 ff.; BGE 123 I 87 E. 2a S. 88 f.). Damit kann die Beschwerdeführerin aus Art. 6 EMRK einen Anspruch auf effektiven Gerichtszugang ableiten. Die Schutzwirkung der Menschenrechtskonvention deckt sich insoweit mit derjenigen von Art. 29 Abs. 1 BV (vgl. BGE 130 I 174 E. 2.2 S. 177 f. mit Hinweisen).
3. 3.1 Nach § 6 des Gastgewerbegesetzes des Kantons Zürich vom 1. Dezember 1996 (GastgewerbeG) wird das Patent erteilt, wenn die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Abs. 1). Bis zur Erledigung des Patentbewerbungsverfahrens kann ein vorläufiges Patent erteilt werden, wenn voraussichtlich keine Patenthinderungsgründe vorliegen (Abs. 2). Das Patent lautet auf die für die Betriebsführung verantwortliche Person und ist nicht übertragbar (§ 7 Abs. 1 GastgewerbeG). Es wird auf einen bestimmten Betrieb ausgestellt und gilt nur für die genehmigten Räumlichkeiten und Flächen (§ 8 GastgewerbeG). Die materiellen Voraussetzungen der Patenterteilung sind in §§ 13 und 14 GastgewerbeG geregelt. Nach § 5 der zürcherischen Verordnung zum Gastgewerbegesetz vom 16. Juli 1997 (GastgewerbeV) erlöschen Patente unter anderem mit dem Verzicht der Inhaberin oder des Inhabers (lit. a) oder mit dem Entzug (lit. c).
3.2 Die Volkswirtschaftsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich gehen gestützt auf diese kantonalgesetzliche Regelung davon aus, dass pro Betrieb jeweils nur ein Patent erteilt werden könne. Bestehe ein solches, sei die Erteilung eines weiteren Patentes von vornherein ausgeschlossen. Die Beschwerdeführerin habe kein Rechtsschutzinteresse mehr an der Überprüfung der Rechtmässigkeit des Patententzugs, weil sie auf das Patent inzwischen verzichtet habe und ein solches für denselben Betrieb an eine andere Person ausgestellt worden sei, zumal es sich bei diesem nicht um ein vorläufiges Patent im Sinne von § 6 Abs. 2 Gastgewerbegesetz handle, worin ein anderer Tatbestand geregelt sei. Die Volkswirtschaftsdirektion des Kantons Zürich ging davon aus, nach dem Verzicht auf das Patent habe der bei ihr hängige Rekurs der Beschwerdeführerin wegen Wegfallens bzw. wegen dadurch eingetretenen Fehlens des aktuellen praktischen Rechtsschutzinteresses als gegenstandslos abgeschrieben werden dürfen. Gemäss dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich fehlte es bereits bei Rekurserhebung am aktuellen Rechtsschutzinteresse, weil die Beschwerdeführerin den Rekurs erst nach dem Verzicht auf das strittige Patent erhob, weshalb auf den Rekurs nicht einzutreten gewesen wäre; dies sei aber im Ergebnis ohne Belang, da so oder so davon ausgegangen werden müsse, dass die Ausgangsverfügung über den Patententzug nicht in materielle Rechtskraft erwachsen sei, womit es der Beschwerdeführerin möglich bleibe, ein neues Gesuch um Patenterteilung zu stellen, das dem vollständigen Rechtsmittelweg unterliege. Damit würden die Verfahrensrechte der Beschwerdeführerin nicht beschränkt.
3.3 Der Entscheid über den Patententzug wurde - offenbar standardmässig - mit dem gleichzeitigen Entzug der aufschiebenden Wirkung allfälliger Rechtsmittel verbunden, womit er sofortige Rechtswirkung entfaltete. Das bedeutete, wie die Beschwerdeführerin geltend macht, dass sie für die Verfahrensdauer, die je nachdem mehrere Monate betragen kann, das Risiko in Kauf nehmen musste, weiterhin die anfallenden Belastungen des Betriebs wie Lohn-, Miet- und Versicherungskosten zu tragen, ohne durch eigene Bewirtschaftung zu einem Geschäftseinkommen gelangen zu können. Es ist daher wirtschaftlich folgerichtig und rechtlich nachvollziehbar, dass sie die Weiterführung des Betriebs für die Dauer des Verfahrens einer anderen Person übertragen hat. Damit diese das dafür erforderliche Patent erhielt, verlangten die kantonalen Behörden aber vorweg einen Verzicht der Beschwerdeführerin auf das Patent, weil eben nach der behördlichen Auffassung für denselben Betrieb nur ein Patent ausgestellt werden kann. Den an sich bedingt für die Verfahrensdauer ausgesprochenen Verzicht haben sie als definitiven Erlöschensgrund für das Patent beurteilt. Diese Praxis ist hier nicht zu überprüfen. Allerdings rechtfertigt sich der Hinweis darauf, dass die städtischen Behörden den Verzicht in dessen verfahrensrechtlichen Auswirkungen offenbar anders würdigten als die kantonalen Instanzen: Während jedenfalls die Chefin Polizeibewilligungen der Stadtpolizei Zürich mit Schreiben vom 16. Mai 2008 festhielt, die Beschwerdeführerin brauche das eingereichte Rechtsmittel nicht zurückzuziehen und könne im Falle eines zu Unrecht ergangenen Patententzuges den Betrieb als verantwortliche Patentinhaberin wieder weiterführen, gingen die kantonalen Behörden vom Verlust des massgeblichen Rechtsschutzinteresses aus. Damit stellt sich die Frage, ob es zulässig ist, aus dem behördlich letztlich gegen den Willen der Beschwerdeführerin erzwungenen bzw. als vorbehaltlos verstandenen Verzicht auf ein Dahinfallen des massgeblichen Rechtsschutzinteresses zu schliessen.
3.4 Die Auffassung der beiden Vorinstanzen führt dazu, dass ein Patentinhaber die Rechtmässigkeit des Patententzugs nur dann auf dem Rechtsmittelweg, unter Einschluss eines gerichtlichen Verfahrens, überprüfen lassen kann, wenn er während der Verfahrensdauer die Betriebsschliessung und die damit verbundenen Kosten in Kauf nimmt. Bemüht er sich hingegen um Kostenminderung, indem er die Bewirtschaftung des Betriebs durch eine andere Person ermöglicht, führt dies zum Wegfall der verwaltungsinternen sowie gerichtlichen Kontrolle des Patententzugs. Das ist unzumutbar. Risiko und Aufwand für das Rechtsmittelverfahren werden dadurch unverhältnismässig hoch. Insbesondere steht der Zugang zum Gericht nur theoretisch offen und wird illusorisch, da es einem gewöhnlichen Betreiber eines Gastgewerbes nicht möglich ist, die entsprechenden hohen Kosten zu tragen. Daran ändert auch nichts, falls der Nichteintretensentscheid ähnlich wie ein Beschluss über die Gegenstandslosigkeit keine materielle Rechtskraft entfaltet, wie das Verwaltungsgericht annimmt. Würde die Beschwerdeführerin ein neues Gesuch um Patenterteilung stellen, fände sie sich in einer analogen Ausgangslage wieder: Nach der Logik der kantonalen Behörden müsste der jetzige Patentinhaber, der die Weiterführung des Betriebs sicherstellt, vorweg auf sein Patent verzichten, damit ein neues Gesuch der Beschwerdeführerin überhaupt geprüft werden könnte. Damit würde der Betrieb wiederum während der Verfahrensdauer brach liegen. Will die Beschwerdeführerin dies vermeiden, wird ihr die Möglichkeit eines Rechtsmittels bzw. eines Gerichtszugangs gänzlich genommen. Selbst wenn der Auffassung des Verwaltungsgerichts zu folgen wäre, würde das die Beschwerdeführerin im Ergebnis zu einem weiteren Verfahren zwingen, ohne dass ein triftiger Grund für den damit verbundenen zusätzlichen prozessualen Aufwand ersichtlich wäre. Überdies brauchen auch die materiellen Voraussetzungen eines Patententzugs und einer Patenterteilung nicht in allen Punkten übereinzustimmen. Insbesondere erscheint es nicht ausgeschlossen, dass die Anforderungen an die Verhältnismässigkeit beim Entzug, namentlich wenn das Patent schon seit längerer Zeit bestanden hat, strenger sind als bei der Erteilung. Damit vermag ein nachfolgendes Verfahren um Patenterteilung ein solches um Entzug nicht zwingend zu ersetzen.
3.5 Soweit sich schliesslich die Vorinstanz auf die bundesgerichtliche Praxis zum aktuellen praktischen Interesse beruft, übersieht sie, dass diese nicht von den verfassungs- und menschenrechtlichen Anforderungen zu dispensieren vermag. Die Voraussetzung darf nicht so angewandt werden, dass sie auf eine formelle Rechtsverweigerung bzw. auf eine Missachtung des Anspruchs auf effektiven Gerichtszugang hinausläuft. Mit der vollständigen Geltung von Art. 29a BV in öffentlich-rechtlichen Streitigkeiten auch für die Kantone seit dem 1. Januar 2009 wird dies verdeutlicht. Im Regelfall obliegt es nun selbst nach der gesetzlichen Regelung in kantonalen Streitigkeiten den Kantonen, den Gerichtszugang, auch denjenigen nach Art. 6 EMRK, zu gewährleisten. Ist damit den prozessualen Anforderungen der Menschenrechtskonvention bereits auf kantonaler Stufe Genüge getan, stellen Einschränkungen beim Rechtsmittelverfahren vor dem Bundesgericht als zweite gerichtliche Instanz grundsätzlich keine Verletzung von Art. 29a BV oder Art. 6 EMRK dar. Daran ändert nichts, dass es unter Umständen prozessual unbefriedigend erscheinen kann, wenn in der Folge der Beschwerdeweg an den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte offen steht. In der Sache obliegt es vielmehr in erster Linie den Kantonen, in ihrem Zuständigkeitsbereich den Gerichtszugang nach Art. 29a BV sowie nach Art. 6 EMRK zu gewährleisten. Die Einhaltung dieser letzteren Bestimmung sowie die Anforderungen von Art. 29 Abs. 1 BV waren aber bereits vor dem 1. Januar 2009 sicherzustellen. Sinnvollerweise waren die entsprechenden Anforderungen dabei auch schon früher durch die unteren Rechtsmittelbehörden bzw. die erste gerichtliche Instanz und nicht erst vom Bundesgericht als nachfolgender richterlicher Behörde zu erfüllen.
3.6 Die Auffassung der Volkswirtschaftsdirektion und des Verwaltungsgerichts läuft demnach auf eine formelle Rechtsverweigerung und daher einen Verstoss gegen Art. 29 Abs. 1 BV hinaus und verletzt insoweit, als damit in der Sache auch eine gerichtliche Kontrolle ausgeschlossen wird, Art. 6 EMRK. Auf die weiteren Rügen braucht damit nicht mehr eingegangen zu werden.
4. 4.1 Die Beschwerde erweist sich als begründet und ist gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid muss aufgehoben werden. Da der Streitfall in der Sache nicht spruchreif ist, muss er zum materiellen Entscheid an eine untere Instanz zurückgewiesen werden. Art. 107 Abs. 2 BGG sieht die Möglichkeit der Rückweisung an die Vorinstanz oder an die erste Instanz vor. Im vorliegenden Fall erscheint aber beides unangebracht, ist es doch die Volkswirtschaftsdirektion und nicht eine städtische Behörde, welche die Streitsache erstmals nicht inhaltlich behandelt hat. Der Wortlaut von Art. 107 Abs. 2 BGG erscheint in diesem Sinne als zu eng. Aufgrund einer umfassenden, insbesondere am Normzweck ausgerichteten Auslegung schliesst die Bestimmung bei entsprechender Ausgangslage die Rückweisung an eine untere Rechtsmittelinstanz nicht aus. Es rechtfertigt sich daher, die vorliegende Angelegenheit an die Volkswirtschaftsdirektion zurückzuweisen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen, d.h. insbesondere zu materieller Beurteilung bzw. zum Entscheid in der Sache. Überdies wird das Verwaltungsgericht über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens neu zu befinden haben.
4.2 Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 in Verbindung mit Abs. 4 BGG). Hingegen hat die unterliegende Stadt Zürich die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. 1.1 Die Beschwerde wird gutgeheissen, und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 17. September 2008 wird aufgehoben.
1.2 Die Sache wird an die Volkswirtschaftsdirektion des Kantons Zürich zurückgewiesen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen.
1.3 Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hat über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens neu zu entscheiden.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Die Stadt Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Stadtrat von Zürich sowie der Volkswirtschaftsdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Uebersax