Faits:
A.
A.a. Le 28 septembre 1990, X._ a été heurté par un motocycliste alors qu'il traversait une rue lausannoise en dehors d'un passage pour piétons. Il a subi un traumatisme cranio-cérébral sévère entraînant une incapacité de travail totale et exigeant un placement permanent dans une institution spécialisée.
X._ a mandaté Me Y._, avocat à Lausanne, pour défendre ses intérêts dans les différentes procédures judiciaires consécutives à cet accident.
Le 1er juin 2001, Me Y._, agissant au nom de X._, a introduit une action en paiement contre l'assureur couvrant la responsabilité civile du motocycliste. Par jugement des 27 juin et 22 octobre 2003, qui n'a pas fait l'objet d'un recours au Tribunal fédéral, la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté la demande pour cause de prescription.
A.b. Le 25 janvier 2005, X._, représenté par Me A._, avocat à Sion, a ouvert action contre Y._ aux fins d'obtenir le paiement de 1'329'500 fr., plus intérêts, pour mauvaise exécution du mandat. Le défendeur a conclu au rejet de la demande.
Par jugement du 26 juin 2008, la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois, admettant partiellement la demande, a condamné le défendeur à payer au demandeur un total de 556'534 fr. 60 à différents titres. Elle a considéré, en résumé, que le demandeur aurait pu obtenir une telle somme de l'assureur couvrant la responsabilité civile du motocycliste si le défendeur n'avait pas fautivement laissé la créance correspondante se prescrire. Pour calculer la somme précitée, les juges cantonaux ont estimé que la faute grave commise par le demandeur, qui était sous l'influence de l'alcool au moment de la survenance de l'accident, eût justifié une réduction de 70% de ses prétentions.
Les deux parties ont recouru au Tribunal fédéral contre ce jugement: X._, toujours représenté par Me A._, en date du 26 juin 2009, par le truchement de son tuteur et avec l'autorisation de l'autorité pupillaire compétente, en vue d'obtenir la somme de 1'129'500 fr. (cause 4A_329/2009); Y._, le 17 août 2009, pour que son ancien mandant soit débouté totalement des fins de sa demande (cause 4A_369/2009). Par arrêt du 1er décembre 2010, la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral, après avoir joint ces deux causes, a déclaré irrecevable le recours interjeté par X._, faute d'épuisement des voies de recours, s'agissant des critiques touchant les constatations de fait, et d'une motivation suffisante quant aux griefs concernant l'application du droit; elle a rejeté, dans la mesure où il était recevable, le recours formé par Y._. La demande d'assistance judiciaire formulée par X._ dans la cause cause 4A_329/2009 a été rejetée, les conclusions du recourant étant vouées à l'échec (art. 64 al. 1 LTF). Dans la cause 4A_369/2009, Y._ a été condamné à verser à X._ une indemnité de 9'000 fr. à titre de dépens.
B.
Le 14 avril 2011, Me A._ a établi sa note de frais et honoraires présentant un total de 131'542 fr. 10.
Par écriture du 27 juillet 2011, S._, agissant pour le compte de son pupille X._, a saisi la Chambre arbitrale de l'Ordre des avocats valaisans (ci-après: la Chambre arbitrale) d'une réclamation contre cette note de frais et honoraires. Les parties ont signé un compromis pour asseoir la compétence matérielle de cette juridiction arbitrale; elles ont fixé le siège de l'arbitrage à Monthey et précisé que la procédure serait uniquement écrite. Le demandeur a conclu à ce que le montant de 25'000 fr. facturé par le défendeur pour le dépôt du recours susmentionné au Tribunal fédéral soit ramené à 5'000 fr., à ce que la somme de 10'000 fr. portée en compte au titre des honoraires extrajudiciaires soit supprimée et à ce que les 92'837 fr. 60 réclamés par son ancien mandataire pour les procédures conduites devant le Tribunal fédéral et le Tribunal cantonal vaudois soient justifiés par dates, vacations et durées.
Le 17 juin 2013, la Chambre arbitrale, composée de trois avocats valaisans, a rendu sa sentence. Elle a admis les deux premières conclusions précitées du demandeur et supprimé un montant de 5'391 fr. comptabilisé indûment.
C.
Le 8 juillet 2013, A._ (ci-après: le recourant), agissant seul, a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation du chiffre 2 du dispositif de la sentence du 17 juin 2013 et la fixation à 25'000 fr., TVA non comprise, de ses honoraires relatifs au recours interjeté au Tribunal fédéral contre le jugement rendu le 26 juin 2008 par la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois.
X._ ne s'est pas déterminé sur ce recours.
En date du 4 septembre 2013, la Chambre arbitrale, qui a produit son dossier, a déposé des observations, par le truchement de son président, sans prendre de conclusion formelle quant au sort du recours.
Le recourant a répliqué par écriture du 24 septembre 2013.
Par lettre du 30 septembre 2013 de son président, la Chambre arbitrale a renoncé à se déterminer sur cette écriture.
Considérant en droit:
1.
Le siège du Tribunal arbitral se trouve en Suisse, pays dans lequel les deux parties sont domiciliées. Aussi le chapitre 12 de la LDIP n'est-il pas applicable puisque l'on a affaire à un arbitrage interne au sens des art. 353 ss CPC (cf. art. 176 al. 1 LDIP a contrario) et que les parties n'ont pas fait usage de la faculté, réservée à l'art. 353 al. 2 CPC, d'exclure ces dispositions au profit de celles du chapitre 12 de la LDIP. La possibilité, prévue par l'art. 390 al. 1 CPC, d'instituer comme autorité de recours le tribunal cantonal compétent en vertu de l'art. 356 al. 1 let. a CPC, en lieu et place du Tribunal fédéral, n'a pas non plus été utilisée en l'espèce.
2.
Dans le domaine de l'arbitrage interne, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions fixées aux art. 389 à 395 CPC (art. 77 al. 1 let. b LTF). Qu'il s'agisse de l'objet du recours, de la qualité pour recourir et du délai de recours, aucune de ces conditions de recevabilité ne fait problème in casu.
Le recours ne peut tendre, en principe, qu'à l'annulation - totale (art. 395 al. 1 CPC) ou partielle (art. 395 al. 3 CPC) - de la sentence (art. 77 al. 2 LTF, qui exclut l'application de l'art. 107 al. 2 LTF dans la mesure où cette dernière disposition permet au Tribunal fédéral de statuer lui-même sur le fond de l'affaire). Toute autre conclusion est irrecevable (arrêt 4A_67/2013 du 1er juillet 2013 consid. 1.3 avec l'indication des exceptions à ce principe). En l'espèce, le recourant méconnaît la nature du recours en matière civile visant une sentence rendue dans un arbitrage interne lorsqu'il requiert le Tribunal fédéral d'arrêter lui-même le montant des honoraires en cause à 25'000 fr., étant précisé qu'il ne s'agit pas ici de fixer les honoraires des arbitres. Semblable conclusion est, partant, irrecevable.
Il n'est pas nécessaire, au surplus, de trancher ici la question - controversée - de savoir si le recours en matière civile formé contre une sentence rendue dans un arbitrage interne doit satisfaire à l'exigence d'une valeur litigieuse minimale. En effet, le seuil de 30'000 fr. fixé à l'art. 74 al. 1 let. b LTF est de toute façon atteint dans le cas concret, étant donné que, devant les arbitres, l'intimé avait conclu à une réduction de 20'000 fr. de la créance d'honoraires du recourant et, en outre, à la suppression d'un montant de 10'000 fr. qui lui avait été facturé au titre des honoraires extrajudiciaires.
Rien ne s'oppose, dès lors, à l'entrée en matière. Demeure réservé l'examen de la recevabilité des griefs formulés par le recourant. Il sied de rappeler, à ce propos, qu'en vertu de l'art. 77 al. 3 LTF, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs qui ont été invoqués et motivés par le recourant, raison pour laquelle celui-ci doit les formuler conformément aux exigences strictes en matière de motivation, posées par la jurisprudence relative à l'art. 90 al. 1 let. b OJ (cf. ATF 128 III 50 consid. 1c), qui restent valables sous l'empire du nouveau droit de procédure fédéral (arrêt 4A_205/2013 du 17 juin 2013 consid. 2.1 et les précédents cités).
3.
Le recourant précise, à titre liminaire, qu'il s'en prend exclusivement au chiffre 2 du dispositif de la sentence attaquée, c'est-à-dire à la décision des arbitres de réduire de 25'000 fr. à 5'000 fr. ses honoraires afférents au dépôt du recours au Tribunal fédéral au nom de l'intimé. Il y a lieu d'en prendre acte. En conséquence, l'examen de la cause se limitera à ce point du dispositif de la sentence entreprise.
4.
Le seul motif de recours invoqué à l'encontre de la sentence du 17 juin 2013 est celui que prévoit l'art. 393 let. e CPC.
4.1. Conformément à cette disposition, la sentence issue d'un arbitrage interne peut être attaquée lorsqu'elle est arbitraire dans son résultat parce qu'elle repose sur des constatations manifestement contraires aux faits résultant du dossier ou parce qu'elle constitue une violation manifeste du droit ou de l'équité.
Selon la jurisprudence, une constatation de fait n'est arbitraire que si le tribunal arbitral, à la suite d'une inadvertance, s'est mis en contradiction avec les pièces du dossier, soit en perdant de vue certains passages d'une pièce déterminée ou en leur attribuant un autre contenu que celui qu'ils ont réellement, soit en admettant par erreur qu'un fait est établi par une pièce alors que celle-ci ne donne en réalité aucune indication à cet égard. L'objet du grief d'arbitraire en matière de faits prévu par l'art. 393 let. e CPC est donc restreint: il ne porte pas sur l'appréciation des preuves et les conclusions qui en sont tirées, mais uniquement sur les constatations de fait manifestement réfutées par des pièces du dossier. En cela, il s'apparente davantage à la notion d'inadvertance manifeste qu'utilisait l'art. 63 al. 2 de la loi fédérale d'organisation judiciaire du 16 décembre 1943 qu'à celle d'établissement des faits de façon manifestement inexacte qui figure à l'art. 105 al. 2 LTF et qui correspond à l'arbitraire.
L'arbitraire proscrit par l'art. 393 let. e CPC découle aussi du fait que la sentence constitue une violation manifeste du droit. Seul le droit matériel est visé, à l'exclusion du droit de procédure. C'est le lieu de rappeler, conformément à la définition générale de l'arbitraire, qu'une décision ne mérite ce qualificatif, s'agissant de l'application du droit, que si elle méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté. Il ne suffit donc pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable.
Encore faut-il, dans les hypothèses évoquées ci-dessus, que la violation avérée ait rendu la sentence arbitraire dans son résultat, comme le précise expressément la disposition citée (arrêt 4A_67/2013, précité, consid. 1.4 et les références).
4.2. Sur le point controversé, la Chambre arbitrale a tenu le raisonnement résumé ci-après.
Le recourant a fixé à 25'000 fr. le montant de ses honoraires judiciaires relatifs au dépôt du recours en matière civile au Tribunal fédéral contre le jugement rendu le 26 juin 2008 par la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois. Selon lui, cette somme correspond au tarif fixé dans le règlement ad hoc édicté le 9 novembre 1978 par le Tribunal fédéral. Il lui a cependant échappé que ce règlement a été abrogé lors de l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007, du règlement du 31 mars 2006 sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral (ci-après: le Tarif; RS 173.110.210.3).
Les honoraires de l'avocat en matière de recours sont fixés dans les limites du tableau figurant à l'art. 4 du Tarif. Dans son recours, X._ a réclamé à Y._ le paiement de la somme de 1'129'500 fr., plus intérêts. Semblable prétention apparaît à l'évidence surévaluée au regard des montants alloués par la cour cantonale. De plus, pour fixer le montant des honoraires, il convient de prendre en considération l'ampleur du travail effectué par l'avocat, sans se limiter au résultat obtenu. Or, le recours en question, qui consiste en un mémoire de 12 pages, dont 7 environ consacrées à la partie "Droit", reprend, pour l'essentiel, les faits déjà exposés en première instance, la motivation des griefs soulevés à l'encontre du jugement attaqué se limitant à deux phrases. Aussi, le montant de 25'000 fr., réclamé à titre d'honoraires pour la procédure de recours dans la cause 4A_329/2009, n'est-il pas justifié. Il convient, dès lors, de le ramener à 5'000 fr.
4.3.
4.3.1. A l'appui de ses conclusions, le recourant commence par citer in extenso le considérant topique de la sentence attaquée, ce qui est superflu. La motivation de son mémoire laisse, en revanche, à désirer, au regard de l'art. 42 al. 2 LTF, en ce sens qu'il n'y expose pas clairement en quoi ladite sentence méconnaîtrait gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté. Aussi la recevabilité du recours est-elle déjà sujette à caution pour cette raison.
4.3.2. Le recourant allègue, à titre préliminaire, avoir soumis son mémoire de recours à la Chambre pupillaire chargée de suivre le dossier de X._ et ajoute que le secrétaire de celle-ci, avocat de formation, a examiné cette écriture dans le détail pendant plusieurs jours pour aboutir à la conclusion qu'il convenait de l'adresser sous cette forme au Tribunal fédéral. Selon lui, il y aurait là la preuve que son recours n'était pas de médiocre qualité, contrairement à ce que laisse entendre la Chambre arbitrale.
L'allégation de fait sur laquelle repose cet argument est nouvelle et, partant, irrecevable en vertu de l'art. 99 al. 1 LTF dont l'application n'est pas exclue par l'art. 77 al. 2 LTF (arrêt 4A_439/2012 du 8 mai 2013 consid. 3.1, 1er § i.f.). Quoi qu'il en soit, l'avis invoqué par le recourant, si autorisé fût-il, ne modifierait en rien la constatation, faite au consid. 2 de l'arrêt fédéral du 1er décembre 2010, selon laquelle l'avocat de X._, d'une part, n'avait pas soumis le grief d'arbitraire dans l'appréciation des preuves à l'instance compétente pour le traiter (i.e. la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois) et, d'autre part, avait motivé son recours au Tribunal fédéral sans respecter les exigences légales en la matière. Pareille constatation révèle assurément une exécution défectueuse du mandat.
4.3.3. A suivre le recourant, l'argument principal, s'agissant d'étayer son grief d'arbitraire, a trait à la valeur litigieuse. Selon lui, la Chambre arbitrale aurait calculé celle-ci de manière tout à fait inexacte, sans d'ailleurs en fixer le montant, alors qu'un tel calcul était extrêmement facile puisqu'il suffisait de retenir, à ce titre, le montant de 1'129'500 fr. correspondant à celui qui figurait dans les conclusions du recours de X._ au Tribunal fédéral. Or, pour une telle valeur litigieuse, le tableau reproduit à la page 12 de la sentence attaquée indique que les honoraires sont compris dans une fourchette allant de 16'000 fr. à 60'000 fr. Par conséquent, la Chambre arbitrale serait tombée dans l'arbitraire en ne lui allouant que la somme de 5'000 fr. pour le dépôt du recours au Tribunal fédéral.
Le moyen n'est pas fondé. Force est d'observer d'emblée que le tableau en question n'est pas le bon car il s'agit de celui qui figure à l'art. 5 du Tarif et qui s'applique aux demandes soumises directement au Tribunal fédéral. Pour les recours interjetés devant celui-ci, c'est le tableau de l'art. 4 du Tarif qui est déterminant, ce que la Chambre arbitrale admet expressément (sentence, p. 12, consid. 14 bb), 3e §). Les honoraires qu'il prévoit pour la valeur litigieuse alléguée par le recourant sont moindres, puisqu'ils se situent dans une fourchette comprise entre 8'000 fr. et 30'000 fr.
En outre et surtout, le calcul de la valeur litigieuse opéré par le recourant est erroné. L'art. 3 al. 2 du Tarif précise, en effet, que la valeur litigieuse est déterminée en fonction des conclusions prises devant le Tribunal fédéral. En cela, il se distingue de l'art. 51 al. 1 let. a LTF, relatif au calcul de la valeur litigieuse dont dépend la recevabilité de certains recours au Tribunal fédéral (cf. art. 74 al. 1 et 85 al. 1 LTF), qui commande de prendre en considération les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente ( THOMAS GEISER, in Commentaire bâlois, Bundesgerichtsgesetz, 2e éd. 2011, n ° 8 ad art. 68 LTF, p. 759). Dans le cas concret, X._ s'est vu allouer un total de 556'534 fr. 60 par la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois. Il a cherché à obtenir la somme de 1'129'500 fr. en recourant au Tribunal fédéral contre le jugement rendu par cette autorité. La valeur litigieuse déterminante pour le calcul des honoraires de son avocat correspond ainsi à la différence entre ces deux montants, soit à 572'965 fr. 40. Or, les honoraires fixés à l'art. 4 du Tarif pour une valeur litigieuse comprise entre 500'000 fr. et 1'000'000 fr. se situent dans une fourchette allant de 7'000 fr. à 22'000 fr. Les 25'000 fr. réclamés par le recourant à son mandant étaient donc surfaits.
4.3.4. En vertu de l'art. 8 al. 2 du Tarif, lorsqu'il y a disproportion manifeste entre le taux applicable selon ce règlement et le travail effectif de l'avocat, le Tribunal fédéral peut fixer des honoraires inférieurs au taux minimum. C'est ce qu'a fait la Chambre arbitrale en l'espèce. Contrairement à ce que soutient le recourant, elle ne s'est pas focalisée de la sorte sur le résultat obtenu par lui, mais, comme elle le précise expressément, sur l'ampleur du travail qu'il a effectué (sentence, p. 13, 3e §). Or, cette circonstance figure au nombre des critères énumérés à l'art. 3 al. 1 du Tarif pour la fixation du montant des honoraires.
L'analyse de la qualité du travail effectué par le recourant en vue du dépôt du recours au Tribunal fédéral relève du domaine des faits et de l'appréciation des preuves. Comme telle, elle échappe à l'examen de la Cour de céans (cf. consid. 4.1 ci-dessus). De toute façon, elle ne prête pas le flanc à la critique, quoi qu'en dise l'intéressé.
Cela étant, la fixation des honoraires du recourant à 5'000 fr., autrement dit à 2'000 fr. de moins que la limite inférieure prévue par l'art. 4 du Tarif, n'apparaît en rien insoutenable sur le vu des circonstances prises en considération par la Chambre arbitrale. C'est le lieu de rappeler, au demeurant, que le Tarif ne s'applique pas directement aux rapports de l'avocat avec la partie représentée, comme le précise son art. 2 al. 3, que les honoraires dus à un mandataire doivent être objectivement proportionnés aux services rendus (ATF 135 III 259 consid. 2.2 p. 262) et que l'autorité qui les fixe jouit d'un large pouvoir d'appréciation (arrêt cité, consid. 2.5). On ne saurait admettre, in casu, que la Chambre d'arbitrage ait gravement mésusé de ce pouvoir.
4.3.5. Le recourant affirme, au surplus, que "les positions de la Chambre arbitrale sont déterminées plus par les noms des avocats-justiciables que par la réalité des causes qui lui sont soumises" (recours, p. 10, dernier §). Il reproche, en d'autres termes, à cette juridiction privée de faire acception de personne, mais sans motiver plus avant le bien-fondé de cette accusation. Toutefois, dans sa réplique, l'intéressé concède "que cet argument n'est pas un grief de nature juridique pouvant être revu par le Tribunal fédéral" (p. 3, 1 er §). Il y a lieu d'en prendre acte.
5.
Dans ces conditions, le présent recours ne peut qu'être rejeté, si tant est qu'il soit recevable. Les frais de la procédure fédérale seront, dès lors, supportés par son auteur (art. 66 al. 1 LTF). L'intimé, qui n'a pas déposé de réponse, n'aura pas droit à des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au président de la Chambre arbitrale de l'Ordre des avocats valaisans.
Lausanne, le 11 octobre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Carruzzo