Sachverhalt:
Das Sozialversicherungsamt der Gemeinde X._ (Durchführungsstelle für Zusatzleistungen zur AHV/IV) forderte kantonale Beihilfe und Gemeindezuschüsse über Fr. 54'140.- sowie Ergänzungsleistungen und kantonale Beihilfe von Fr. 51'447.- aus dem Nachlass des am ... verstorbenen X._ zurück (Einspracheentscheide vom 28. und 31. Januar 2011). Die Rückforderung richtet sich gegen K._, welche das Erbe ihres Bruders X._ angetreten hat. Die Durchführungsstelle begründete die Rückforderung hinsichtlich der Leistungen aus kantonaler Beihilfe damit, diese seien aus dem Nachlass des Bezügers solcher Zusatzleistungen zurückzufordern, im Übrigen damit, der Eingang einer Erbschaft bei X._ bedinge eine rückwirkende Neuberechnung der Zusatzleistungen.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich trat auf die gegen die Einspracheentscheide erhobene Beschwerde nicht ein; es fehle am Anfechtungswillen. Im Entscheiddispositiv hielt es zudem fest, die Akten würden nach Eintritt der Rechtskraft an die Gemeinde X._ zur Beurteilung der Gesuche der Beschwerdeführerin vom 10. März 2011 um Erlass von Rückerstattungen im Betrag von Fr. 54'140.-, im Betrag von Fr. 51'447.- sowie weiteren Beträgen (gesamthaft: Fr. 261'665.55) überwiesen (Beschluss vom 5. April 2011).
K._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die strittigen Rückforderungen beziehen sich auf bundesrechtlich geregelte Ergänzungsleistungen (nach ELG), aber auch auf Beihilfen und Zuschüsse im Sinne des zürcherischen Gesetzes vom 7. Februar 1971 über die Zusatzleistungen zur eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (Zusatzleistungsgesetz; ZLG). Das Bundesgericht kann sich mit der Sache auch insoweit befassen, als es um kantonale (oder kommunale) Leistungen geht, jedoch nur, sofern die Verletzung (unter anderem) von Bundesrecht gerügt wird (Art. 82 lit. a und Art. 95 lit. a BGG). Gegen die vorinstanzliche Auffassung, es fehle am Anfechtungswillen, bringt die Beschwerdeführerin unter anderem vor, das kantonale Gericht habe sie mit einer verfahrensleitenden Verfügung dazu veranlasst, auf einen Teil ihrer Argumente zu verzichten, "um danach einen nicht erkennbaren Anfechtungswillen zu postulieren". Dem Sinne nach macht sie damit eine Verletzung des dem Bundes(verfassungs)recht angehörenden Verfahrensgrundrechts der Justizgewährleistung (Art. 29 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 BV) geltend. Die auf eine Grundrechtsverletzung abzielende Rüge muss hinreichend begründet sein (Art. 106 Abs. 2 BGG). Dieses Erfordernis ist erfüllt.
1.2 Nach Art. 25 Abs. 1 ATSG sind unrechtmässig bezogene Leistungen zurückzuerstatten (Satz 1). Wer Leistungen in gutem Glauben empfangen hat, muss sie nicht zurückerstatten, wenn eine grosse Härte vorliegt (Satz 2). Das kantonale Recht sieht vor, dass rechtmässig bezogene Beihilfen aus dem Nachlass einer bisher oder früher Beihilfe beziehenden Person in der Regel zurückzuerstatten sind (§ 19 Abs. 1 lit. b ZLG/ZH). Im Übrigen entspricht die Rückforderbarkeit unrechtmässig bezogener Sozialleistungen einem allgemeinen Rechtsgrundsatz (vgl. BGE 127 V 252 E. 4a S. 257).
Über die Rückforderung und den - gegebenenfalls spätestens 30 Tage nach Eintritt der Rechtskraft der Rückforderungsverfügung zu beantragenden - Erlass wird in der Regel in zwei Schritten verfügt (Art. 3 und 4 ATSV; Urteil P 62/04 vom 6. Juni 2005, E. 1.2). Auf die Rückerstattung kann bereits im Rahmen der (ersten) Verfügung über die Rückforderung nur verzichtet werden, wenn offensichtlich ist, dass die Voraussetzungen für den Erlass gegeben sind (Art. 3 Abs. 3 ATSV). Die strittigen Einspracheentscheide beschlagen erst die Frage der Rückforderung. Somit sind Gesichtspunkte, welche nur die Erlassvoraussetzungen betreffen, im Rahmen dieses Verfahrens nicht relevant.
1.3 Im angefochtenen Entscheid führt das kantonale Gericht aus, in ihrer die Beschwerde vom 22. Februar 2011 ergänzenden Eingabe vom 10. März 2011 habe die Beschwerdeführerin einlässlich begründete Gesuche um Erlass der Rückforderungen gestellt. Unter diesen Umständen sei ein Anfechtungswille der Beschwerdeführerin betreffend die Einspracheentscheide der Beschwerdegegnerin vom 28. und 31. Januar 2011, worin sie zur Rückerstattung von Fr. 54'140.- und Fr. 51'447.- verpflichtet worden sei, zu verneinen. Mangels eines Anfechtungswillens sei auf das Rechtsmittel nicht einzutreten. Die Sache werde nach Eintritt der Rechtskraft zur Prüfung der Erlassgesuche an die Beschwerdegegnerin überwiesen.
2. 2.1 Mit Beschwerdeschrift vom 22. Februar 2011 beantragte die Beschwerdeführerin dem kantonalen Gericht, die "beiden Ablehnungsentscheide [...] vom 28. und 31. Januar 2011 betreffend die Rückerstattungsverfügungen von CHF 54'140 und CHF 51'447" seien aufzuheben. Zur Begründung brachte sie unter anderem vor, die Gemeinde X._ habe ihr Rückforderungen in Höhe von bloss ungefähr 60'000 Franken in Aussicht gestellt. Daraufhin habe sie das Erbe ihres Bruders angenommen. Nunmehr sehe sie sich jedoch mit einer Rückforderung von gesamthaft Fr. 261'665.55 (einschliesslich Sozialhilfe und weiteren Betreffnissen) konfrontiert, was sie angesichts des Umfangs des noch vorhandenen Nachlasses ihres Bruders von rund 196'000 Franken schwer treffe. Ausserdem warf sie Fragen über die tatsächliche Verwendung der zurückgeforderten Zusatzleistungen auf. Im Übrigen machte die Beschwerdeführerin Ausführungen über die Art und Weise, wie die vormundschaftlichen Organe den Nachlass ihres Bruders behandelt hätten. Weiter detaillierte sie Umfang und Wert des Nachlasses. Dem stellte sie ihre persönliche finanzielle Situation gegenüber, und machte geltend, damit seien die Voraussetzungen für den Erlass der Rückforderung erfüllt.
Das kantonale Gericht teilte der Beschwerdeführerin mit verfahrensleitender Verfügung vom 28. Februar 2011 mit, in den Rechtsschriften fehlten ein klares Rechtsbegehren und eine hinreichende Begründung. Es setzte Frist zur genauen Angabe, welche Entscheidung anstelle des angefochtenen Entscheids beantragt und aus welchen Gründen diese andere Entscheidung verlangt werde, sowie insbesondere zur Erklärung, ob Bestand und Höhe des Rückforderungsanspruchs bestritten würden oder ob der Erlass der Rückerstattungen beantragt werde.
Die Beschwerdeführerin reichte daraufhin am 10. März 2011 eine Rechtsschrift ein, in welcher sie folgendes beantragte: "Das Sozialversicherungsgericht soll aufgrund grosser Härte einen Erlass der Rückforderungsansprüche der Gemeinde X._ über CHF 51'447.- und CHF 54'140.- verfügen". Zur Begründung machte sie wiederum geltend, die Rückforderungen von insgesamt über 261'000 Franken stellten für sie eine grosse Härte dar, weil sie den Nachlass ihres Bruders massiv überstiegen und sie als alleinerziehende Mutter mit einem 50 %-Pensum in finanzielle Nöte stürzten. Sie betonte erneut, sie habe das Erbe ihres Bruders nur gestützt auf die "Fehlinformation" der Gemeinde angenommen, es seien Rückerstattungsforderungen in Höhe von etwa 60'000 Franken zu erwarten. Die im Nachhinein erlassenen Rückerstattungsverfügungen beliefen sich indessen beinahe auf das Viereinhalbfache. Infolge eines Wertzerfalls des Ererbten, der Kosten von Erbschaftsstreitigkeiten sowie der Nichtverwertbarkeit einzelner Nachlassbestandteile träfen sie die Rückforderungen schwer. Insgesamt überstiegen die Passiven im Nachlass ihres Bruders die Aktiven bei weitem. Schliesslich erneuerte die Beschwerdeführerin die Angaben zu ihrer persönlichen (finanziellen) Situation.
2.2 Nachdem sie in der ersten Beschwerdeschrift vom 22. Februar 2011 noch die Aufhebung der Einspracheentscheide betreffend die Rückforderungen beantragt hatte, schloss die Beschwerdeführerin nach der vorinstanzlichen Aufforderung, Antrag und Begründung zu präzisieren, in ihrer zweiten Eingabe vom 10. März 2011 klar und ausdrücklich auf den Erlass der Rückforderungen. Dies kann nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sein; das kantonale Gericht hat die Vorbringen, mit welchen die Beschwerdeführerin eine grosse Härte belegen will, im Rahmen des Rückforderungsverfahrens zu Recht nicht gehört. Es kann offen bleiben, ob das neue Rechtsbegehren als eine den Verfahrensgegenstand bestimmende Änderung des ursprünglichen Antrags zu verstehen ist; immerhin lässt es die Rechtsprechung genügen, wenn der Beschwerde insgesamt entnommen werden kann, was verlangt wird (SVR 2004 IV Nr. 25 S. 75, in BGE 130 V 61 nicht publizierte E. 3.2.1 [mit Hinweisen] von I 138/02). Entscheidend ist, dass den Rechtsschriften kein Element zu entnehmen ist, das als Argument gegen die materiellrechtliche Begründetheit der Rückerstattung in Betracht fällt. Daher ist es keinesfalls offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht auf ein Erlassbegehren erkannte und nicht auf eine Beschwerde gegen die Rückerstattung. Die Pflicht zur Justizgewährleistung (oben E. 1.1) ist nicht verletzt.
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 200.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Juli 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub