Sachverhalt:
A. Mit Zahlungsbefehl Nr. 1 des Betreibungsamtes Z._ vom 20. Februar 2007 erhob der Kanton Zürich, vertreten durch das Obergericht des Kantons Zürich, Zentrales Inkasso, (nachfolgend: Beschwerdegegner) gegen X._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) Betreibung über den Betrag von Fr. 3'483.-- bestehend aus zwei Forderungen zu Fr. 802.-- und Fr. 2'681.--. Die Beschwerdeführerin erhob am 22. Februar 2007 Rechtsvorschlag. Der Beschwerdegegner ersuchte mit Schreiben vom 12. April 2007 um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für die genannten Beträge. Der Einzelrichter des Kantonsgerichts von Appenzell A. Rh. erteilte mit Entscheid vom 7. Mai 2007 die definitive Rechtsöffnung.
Mit Entscheid vom 14. August 2007 wies die Stellvertreterin des Einzelrichters des Obergerichts von Appenzell A. Rh. die gegen den Entscheid der Vorinstanz erhobene Appellation ab. Für den Betrag von Fr. 617.-- und Fr. 2'681.-- erteilte sie die definitive Rechtsöffnung.
B. Gegen diesen Rechtsöffnungsentscheid gelangte die Beschwerdeführerin mit Schreiben vom 29. August 2007 an das Obergerichtspräsidium und beantragte die Wiedererwägung des Entscheides vom 14. August 2007. Die Obergerichtskanzlei machte die Beschwerdeführerin schriftlich darauf aufmerksam, dass gegen jenen Entscheid einzig die Beschwerde an die Justizaufsichtskommission des Kantons Appenzell A. Rh. zulässig sei. Das Schreiben der Beschwerdeführerin wurde deshalb samt den Verfahrensakten entsprechend weitergeleitet, und es wurde ihr eine Frist von 14 Tagen gesetzt zur Einreichung einer den Anforderungen an eine Rechtsverweigerungsbeschwerde genügenden schriftlichen Beschwerdebegründung. Mit Eingabe vom 20. September 2007 beantragte die Beschwerdeführerin sinngemäss, den Entscheid der Einzelrichterin vom 14. August aufzuheben.
Mit Entscheid vom 14. März 2008 wies das Obergericht von Appenzell A. Rh,. Justizaufsichtskommission, die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C. Mit Beschwerde vom 18. Juni 2008 beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids. Es wurde keine Vernehmlassung eingeholt.
Erwägungen:
1. Gegen kantonal letztinstanzliche Rechtsöffnungsentscheide, bei denen der Streitwert weniger als Fr. 30'000.-- beträgt, steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (Art. 113, Art. 114 i.V.m. Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Mit ihr kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG).
2. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Im Gegensatz zur staatsrechtlichen Beschwerde nach OG, die grundsätzlich rein kassatorischer Natur war (vgl. etwa BGE 129 I 129 E. 1.2.1 S. 131 f.), ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (gleich wie die ordentliche Beschwerde) ein reformatorisches Rechtsmittel (Art. 117 i.V.m. Art. 107 Abs. 2 BGG). Daher darf sich der Beschwerdeführer grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen (Urteil 4D_48/2007 vom 13. November 2007 E. 1.1). Wie nach der Praxis zur Beschwerde in Zivilsachen (zu dieser vgl. BGE 133 III 489 E. 3.1 S. 489 f.) und altrechtlichen Berufung muss der Beschwerdeführer demnach angeben, welche Punkte des Entscheids angefochten und welche Abänderungen beantragt werden. Grundsätzlich ist ein materieller Antrag erforderlich; Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig.
Die Beschwerdeführerin stellt in formeller Hinsicht kein reformatorisches Begehren. Gleichwohl ist aufgrund der Beschwerdebegründung zu ihren Gunsten davon auszugehen, dass sie vor Bundesgericht die Nichterteilung der Rechtsöffnung beantragt, sodass die Beschwerdeschrift insofern den Anforderungen an das Rechtsbegehren gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG genügt.
3. Die Beschwerdeführerin macht - wie bereits vor Obergericht - geltend, der Richter im erstinstanzlichen Verfahren, welches zum definitiven Rechtsöffnungstitel geführt hat, sei befangen gewesen. Sodann rügt sie, ihr sei der Entscheid der Obergerichts Zürich vom 20. März 2006 nicht zugestellt worden. Sie wendet sich gegen den Hinweis des Obergerichts Zürich, das Urteil habe ihr nicht ausgehändigt werden können, da sie der Post einen Rückbehaltungsauftrag gegeben habe, und macht geltend, dies sei kein Grund dafür, einen eingeschriebenen Brief nicht zu erhalten. Sie habe von einer Kanzleimitarbeiterin eine Kopie des Urteils verlangt, von diesem jedoch nur drei Seiten erhalten statt deren fünf, welche überdies neu eine Rechtskraftbescheinigung aufgewiesen hätten. Mit der Zustellung des Urteils des Obergerichts Zürich habe sie nicht rechnen können. Soweit die Beschwerdeführerin die Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts rügt, macht sie eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) geltend.
4. Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
5. Das Obergericht erwog zur Frage der Befangenheit, der Richter dürfe den zu vollstreckenden Entscheid nicht mehr materiell prüfen. Alleine aus der von der Beschwerdeführerin ins Recht gelegten Notiz könne keinesfalls auf eine Befangenheit des urteilenden Richters geschlossen werden. Ausserdem werde in der Begründung des Urteils des Obergerichts Zürich vom 20. März 2006 festgehalten, dass keinerlei Hinweise für eine Befangenheit dieses Richters vorhanden seien. Selbst wenn der urteilende Richter befangen gewesen wäre, käme man für die Frage der Rechtsöffnung nicht zwingend zu einem gegenteiligen Ergebnis, da nur schwerwiegende Verfahrensfehler einen Nichtigkeitsgrund bildeten.
Was die Frage der Zustellung des Entscheids des Obergerichts Zürich betrifft, erwog das Obergericht, dass der Beschluss des Obergerichts Zürich vom 20. März 2006 am 21. März 2006 an die Beschwerdeführerin versandt worden sei, die Zustellfiktion ungeachtet des Rückbehalteauftrag am siebten Tag nach Eingang der Sendung beim Bestimmungspostamt greife (so BGE 134 V 49 E. 4 S. 51 f.) und die Behörde nicht verpflichtet sei, einen zweiten Zustellungsversuch vorzunehmen. Ausserdem habe die Beschwerdeführerin als Verfahrensbeteiligte mit der Zustellung des Entscheids des Obergerichts Zürich rechnen müssen.
6. Weshalb der angefochtene Entscheid willkürlich sein soll, ist aus der Beschwerde nicht ersichtlich. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den Ausführungen der Vorinstanz nicht auseinander, sondern beschränkt sich vielmehr in appellatorischer Weise und in offensichtlicher Wiederholung ihrer Vorbringen vor Obergericht auf ihre oben erwähnten Ausführungen (s. oben, E. 3).
Insgesamt erweisen sich die Rügen der Beschwerdeführerin somit als ungenügend begründet, sodass auf die Beschwerde nicht einzutreten ist (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG).
7. Somit ist auf die Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht von Appenzell A. Rh., Justizaufsichtskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Rapp