im Ehescheidungsverfahren; Prozesskostenvorschuss), hat sich ergeben:
A.- M.A._ und I.A._ heirateten am ........... 1963. Sie schlossen 1966 einen Ehevertrag, mit dem sie den Güterstand der allgemeinen Gütergemeinschaft gemäss den damaligen Bestimmungen von aArt. 215 ff. ZGB vereinbarten. Die Parteien leben seit Juni 1988 getrennt.
Seit dem gleichen Jahr ist der Scheidungsprozess hängig, in dessen Verlauf auf den Stichtag vom 23. Juli 1992 die Gütertrennung angeordnet wurde. Am 27. November 2000 fällte das Obergericht des Kantons Zürich das zweitinstanzliche Scheidungsurteil; gleichentags erliess es vorsorgliche Massnahmen.
Beide Parteien reichten je gegen das Urteil und den Massnahmebeschluss kantonale Nichtigkeitsbeschwerden an das Kassationsgericht ein, und beide Parteien erhoben überdies gegen das Urteil Berufung an das Bundesgericht.
Diese Verfahren sind zur Zeit allesamt hängig (bzw. sistiert).
B.- Für das von I.A._ gegen den Massnahmebeschluss angehobene Nichtigkeitsbeschwerdeverfahren auferlegte das Kassationsgericht des Kantons Zürich ihr am 31. Januar 2001 eine Prozesskaution von Fr. 12'000.--.
Mit Eingabe vom 16. Februar 2001 an das Kassationsgericht stellte sie darauf das Begehren, es sei der Beschwerdegegner zu verpflichten, die ihr "auferlegte Prozesskaution von Fr. 12'000.-- aus dem von ihm verwalteten ehelichen Gesamtgut der Parteien zu leisten", eventuell sei sie "für berechtigt zu erklären, die Prozesskaution von Fr. 12'000.-- zulasten des Sperrkontos Nr. ......... bei der X._ Bank, lautend auf die beiden Vertreter der Parteien, zu leisten"; subeventuell verlangte sie eine Fristerstreckung zur Leistung der Prozesskaution. Der Präsident des Kassationsgerichts überwies am 28. Februar 2001 das Haupt- und das Eventualbegehren dem Obergericht zur Beurteilung. Dieses verpflichtete mit Beschluss vom 8. Mai 2001 M.A._, I.A._ einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 12'000.-- zu bezahlen; der Entscheid betreffend Rückerstattung dieses Vorschusses oder dessen Anrechnung auf güterrechtliche und/oder zivilprozessuale Gegenforderungen bleibe dem Kassationsgericht im Beschwerdeverfahren vorbehalten.
Die von M.A._ gegen den Beschluss des Obergerichts eingereichte Nichtigkeitsbeschwerde wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich am 2. Oktober 2001 ab, soweit es darauf eintrat.
C.- M.A._ hat am 21. November 2001 staatsrechtliche Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, den Beschluss des Kassationsgerichts aufzuheben. Weiter ersucht er um aufschiebende Wirkung.
In ihrer Vernehmlassung vom 11. Dezember 2001 beantragt I.A._ die Abweisung des Gesuch um aufschiebende Wirkung, und mit Vernehmlassung vom 28. Februar 2002 beantragt sie in der Sache, die staatsrechtliche Beschwerde abzuweisen. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich hat auf Stellungnahmen verzichtet.
Der Präsident der II. Zivilabteilung hat der Beschwerde mit Verfügung vom 12. Dezember 2001 die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- Gegen selbständig eröffnete Zwischenentscheide ist die staatsrechtliche Beschwerde nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 87 Abs. 2 OG). Beim Prozesskostenvorschuss eines Ehegatten an den anderen handelt es sich um eine vorläufige Leistung. Die definitive Regelung, welche Partei die Kosten tragen soll, hat im Urteil nach Massgabe des kantonalen Prozessrechts zu erfolgen, und der Ehegatte, der den Vorschuss geleistet hat, besitzt grundsätzlich Anspruch auf Rückerstattung des Geleisteten oder dessen Anrechnung auf güterrechtliche und/oder zivilprozessuale Gegenforderungen des anderen Teils (BGE 66 II 70 E. 3 S. 71 f.; Bühler/Spühler, Berner Kommentar, N. 300 zu Art. 145 ZGB). Es handelt sich insofern um einen Zwischenentscheid, der aber nicht wieder gutzumachende Nachteile rechtlicher Natur zur Folge hat, welche nach der Rechtsprechung darin liegen können, dass dem Beschwerdeführer für eine bestimmte Zeit die Verfügungsmacht über Vermögensbestandteile entzogen bleibt (BGE 105 Ia 318 E. 2a S. 320; 96 I 629 E. 2b S. 634; 93 I 401 E. 2 S. 402).
Die staatsrechtliche Beschwerde ist deshalb zulässig. Daran ändert auch der unzutreffende Einwand der Beschwerdegegnerin nichts, die staatsrechtliche Beschwerde hätte bereits gegen den Zwischenbeschluss des Kassationsgerichts vom 9. August 2001 ergriffen werden müssen, mit dem die aufschiebende Wirkung gegen den Entscheid des Obergerichts abgewiesen worden war.
2.- a) Das Obergericht verpflichtete den Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 12'000.-- zu leisten, was die Beschwerdegegnerin jedoch nie beantragt hatte. Ihr Antrag lautete vielmehr dahin, dass der Beschwerdeführer verpflichtet werde, die ihr auferlegte Prozesskaution von Fr. 12'000.-- aus dem von ihm verwalteten ehelichen Gesamtgut der Parteien zu leisten, oder dass eventuell sie selber für berechtigt erklärt werde, die Prozesskaution zulasten eines Sperrkontos bei der X._ Bank zu leisten. Das Obergericht ging über diesen Antrag hinaus, was im angefochtenen Beschluss des Kassationsgerichts damit gerechtfertigt wird, dass es für die Leistung eines Prozesskostenvorschusses nicht darauf ankommen könne, ob dieser aus dem ehelichen Gesamtgut bzw. aus dessen Erträgen finanziert werde oder ob der Vorschusspflichtige auf anderweitige Vermögens- oder Einkommensbestandteile greifen müsse; massgebend könne allein die finanzielle Leistungsfähigkeit als solche sein. Dies folge daraus, dass die Vorschusspflicht unabhängig vom Güterstand bestehe. Es müsse aber auch deshalb gelten, weil die Pflicht zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses dem Anspruch des Vorschussberechtigten auf Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege vorgehe.
b) Was das Kassationsgericht insoweit erwogen hat, ist zwar richtig und entspricht der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, nach welcher sich aus den eherechtlichen Pflichten ergibt, dass der leistungsfähige Ehegatte seinem bedürftigen Partner im Rahmen des Möglichen Prozesskostenvorschüsse (sog. provisio ad litem) leisten muss in Verfahren, die den gemeinsamen ehelichen Bereich beschlagen (BGE 103 Ia 99 E. 4 S. 101, m.H.; zur Streitfrage, ob sich der Anspruch aus der Beistandspflicht gemäss Art. 159 ZGB oder der Unterhaltspflicht gemäss Art. 163 ZGB herleitet, vgl. Bräm, Zürcher Kommentar, N. 130 ff. zu Art. 159 ZGB, sowie Hausheer/Reusser/Geiser, Berner Kommentar, N. 38 u.
38a zu Art. 159 ZGB). Soweit derartige Leistungen aus der Unterhalts- bzw. Beistandspflicht erhältlich gemacht werden können (vgl. BGE 119 Ia 11 E. 5 S. 12 betreffend leistungspflichtige Grundeigentümer), scheidet die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung aus; diese ist gegenüber der Prozesskostenvorschusspflicht des Ehegatten subsidiär (BGE 85 I 1 E. 3 S. 4; 119 Ia 11 E. 3 S. 12, 134 E. 4 S. 135).
c) Die dargelegten Grundsätze können nicht bedeuten, dass von Bundesrechts wegen die Dispositionsmaxime des kantonalen Prozessrechts zu weichen hätte. Gemäss § 54 Abs. 2 ZPO/ZH darf einer Partei weder mehr noch anderes zugesprochen werden, als sie selbst verlangt. Eine Partei, welche zur Leistung einer Prozesskaution angehalten wird, kann diese aus eigenen Mitteln leisten, sie kann einen Prozesskostenvorschuss von ihrem Ehegatten verlangen, oder sie kann ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege stellen. Ein solches Gesuch wäre nur gutzuheissen, wenn die ersten beiden Möglichkeiten nicht gegeben sind. Aus dieser Rechtslage folgt aber weder eine Verpflichtung, den Prozesskostenvorschuss vom Ehegatten erhältlich zu machen, noch ist ein entsprechendes Begehren, wenn die rechtlichen Voraussetzungen erfüllt sind, über die gestellten Anträge hinaus gutzuheissen.
Ob und gegebenenfalls in welcher Weise der anspruchsberechtigte Ehegatte einen Prozesskostenvorschuss vom Ehegatten erhältlich macht, hat er selbst zu entscheiden und liegt in seiner Privatautonomie.
d) Entgegen dem, was das Kassationsgericht anzunehmen scheint, führt die Abweisung eines Begehrens auf Zusprechung eines Prozesskostenvorschusses nicht notwendigerweise zur Inanspruchnahme staatlicher Prozesskostenhilfe (siehe Zwischenbeschluss vom 9. August 2001, S. 8 unten). Mit Blick auf die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege handelt es sich bei der Geltendmachung des Anspruchs auf Prozesskostenvorschuss gegenüber dem Ehegatten um eine Obliegenheit, deren Verletzung dazu führt, dass die unentgeltliche Rechtspflege verweigert werden kann. Mit der Subsidiarität der unentgeltlichen Rechtspflege gegenüber der Prozesskostenvorschusspflicht des Ehegatten lässt sich nicht rechtfertigen, einen Prozesskostenvorschuss über das gestellte Begehren hinaus zuzusprechen, denn für die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege ist ausreichend, dass der gesuchstellende Ehegatte vom anderen einen Vorschuss erhältlich machen könnte. Wenn er darauf aus welchen Gründen auch immer verzichtet bzw. ein Begehren stellt, das hinter seinen Ansprüchen zurückbleibt, so ist ihm dies unbenommen, verpflichtet aber nicht den Staat.
e) Nach Meinung der Beschwerdegegnerin ist die Dispositionsmaxime deshalb nicht verletzt, weil die kantonalen Gerichte lediglich in Anwendung des Grundsatzes der Rechtsanwendung von Amtes wegen die dem Beschwerdeführer auferlegte Prozesskostenvorschusspflicht auf eine andere rechtliche Grundlage gestützt hätten als verlangt. Die Beschwerdegegnerin übergeht damit, dass sie in ihrem Begehren nicht die Leistung eines Prozesskostenvorschusses schlechthin, sondern ausdrücklich Leistung aus dem ehelichen Gesamtgut oder eventuell zulasten eines bestimmten Sperrkontos (bei der X._ Bank) beantragt hat. Ob der Beschwerdeführer das Gesamtgut bzw. das genannte Sperrkonto angreifen oder aber die Leistung aus seinem Erwerbseinkommen bzw. aus eigenem Vermögen erbringen muss, ist nicht ohne Belang, was auch daraus erhellt, dass die Beschwerdegegnerin nunmehr unter Verweis auf die weitergehende Verpflichtung des Beschwerdeführers aus dem angefochtenen Urteil ihre Zustimmung verweigert, die Prozesskaution aus dem gemeinsamen Konto bei der X._ Bank (bzw. nunmehr Y._ Bank) aufzubringen.
f) Somit ergibt sich, dass die kantonalen Gerichte dadurch, dass sie unter Missachtung der Dispositionsmaxime von § 54 Abs. 2 ZPO/ZH über den Antrag der Beschwerdegegnerin hinausgegangen sind, in klarer Weise gegen einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz (BGE 110 II 113 E. 4 S. 115) und demnach gegen das Willkürverbot der Bundesverfassung (Art. 9 BV) verstossen haben.
3.- Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich demnach als begründet. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben, ohne dass über die weiteren vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen zu befinden wäre.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang hat die Beschwerdegegnerin die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG) und den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen und der Beschluss (Nr. 2001/195 Z) des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 2. Oktober 2001 aufgehoben.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.- Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 12. März 2002
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: