Erwägungen:
1. X._ gelangte in zwei Angelegenheiten betreffend Staatshaftung ans Bundesverwaltungsgericht (B-896/2009 und A-3959/2009), welches die Akten des Verfahrens B-896/2009 am 3. August 2009 den Akten des bei seiner Abteilung I hängigen Verfahrens A-3959/2009 beifügte. Nachdem es dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit rechtskräftig abgewiesen hatte, forderte es X._ mit Verfügung vom 30. September 2009 auf, bis 21. Oktober 2009 einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu bezahlen, unter Androhung des Nichteintretens bei Säumnis. Weil die mit eingeschriebener Post versandte Verfügung vom Betroffenen nicht abgeholt worden war, wurde sie am 12. Oktober 2009 ein zweites Mal, mit einfacher Post, zugesandt. Der Vorschuss wurde in der Folge nicht bezahlt, und das Bundesverwaltungsgericht trat mit Urteil vom 30. Oktober 2009 auf die Beschwerde nicht ein.
Mit einem "Rundschreiben" vom 26. Dezember 2009 machte X._ beim Bundesverwaltungsgericht geltend, dass er aus gesundheitlichen Gründen nicht verhandlungsfähig sei und Reaktionen auf gerichtliche Entscheide von ihm frühestens in zwei Monaten erwartet werden könnten. Das Bundesverwaltungsgericht teilte ihm am 8. Januar 2010 mit, dass für die Behandlung eines Gesuchs um Fristwiederherstellung im Hinblick auf die Einreichung einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten das Bundesgericht zuständig sei; entsprechend liess es das Rundschreiben mitsamt Beilagen dem Bundesgericht zukommen. Im Auftrag des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung wurde X._ am 11. Januar 2010 das für eine allfällige Fristwiederherstellung einzuschlagende Prozedere erläutert.
Am 18. Mai 2010 hat X._ beim Bundesgericht eine Rechtsschrift mit Beilagen eingereicht. Er erklärt, dass er innerhalb der Frist von 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses nun eine Beschwerdeschrift nachreiche; er ersucht um Wiederherstellung der Frist und um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsvertreters.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind weitere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Die Frist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1 BGG) zur Anfechtung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 30. Oktober 2009 ist längst abgelaufen. Eine versäumte Frist kann gemäss Art. 50 Abs. 1 BGG wiederhergestellt werden, wenn eine Partei oder ihr Vertreter unverschuldeterweise abgehalten worden ist, fristgerecht zu handeln, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Wie dem Beschwerdeführer im Schreiben vom 11. Januar 2010 erläutert worden ist, muss sich aus der Begründung des Fristwiederherstellungsgesuchs ergeben, dass ihm die Vornahme jeglicher fristwahrenden Handlung, also auch die Mandatierung eines Vertreters, verunmöglicht war. Ein Krankheitszustand bildet nur dann ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht (BGE 119 II 86; 112 V 255; Urteil 6S.54/2006 vom 2. November 2006 E. 2.2, je zum mit Art. 50 Abs. 1 BGG im Wesentlichen übereinstimmenden Art. 35 Abs. 1 des bis Ende 2006 in Kraft stehenden Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege). Dass es sich so verhält, muss mit einschlägigen Arztzeugnissen belegt werden, wobei die blosse Bestätigung eines Krankheitszustandes und regelmässig selbst einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit zur Anerkennung eines Hindernisses im Sinne von Art. 50 Abs. 1 BGG nicht genügt. Vorliegend hat der Beschwerdeführer den entsprechenden Beweis offensichtlich nicht erbracht:
Inwiefern die Augen-Operationen im Jahr 2009 (Bestätigungen vom 20. Juli bzw. 7. September 2009 den Beschwerdeführer bis im Mai 2010 an jeglicher zweckgerichteten Anrufung des Bundesgerichts gehindert hätten (oder ihn zuvor davon abgehalten haben könnten, den Kostenvorschuss vor Bundesverwaltungsgericht zu bezahlen), bleibt unerfindlich. Ebenso wenig lässt das ärztliche Zeugnis vom 15. Dezember 2009, wonach der Beschwerdeführer seit Mitte November 2009 an einem schweren Krebsleiden erkrankt war und ihm wegen der Abklärungen, Behandlungen und psychischen Belastungen nicht zugemutet werden könne, Verhandlungstermine wahrzunehmen, auf ein so weitgehendes und langdauerndes Handlungshindernis schliessen. Erst recht unerfindlich bleibt, wie sich aus dem Schreiben der Klinik H._ vom 30. März 2010 (Terminbestätigung für zwei Sprechstunden am 3. und 6. Mai 2010) ergeben soll, dass der Beschwerdeführer sich erst ab 6. Mai 2010 dem vorliegenden Verfahren widmen konnte. Dass die Vermutung des Beschwerdeführers, keinen Rechtsanwalt zu finden, der bereit wäre, in dieser Angelegenheit im Armenrecht eine Beschwerde zu verfassen, nicht als Fristwiederherstellungsgrund angerufen werden kann, bedarf keiner näheren Erläuterung. Soweit auf das Fristwiederherstellungsgesuch überhaupt eingetreten werden kann, ist es offensichtlich unbegründet und abzuweisen.
Da die Frist zur Anfechtung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts, ohne dass ein hinreichender Entschuldigungsgrund vorläge, längst abgelaufen ist und nicht mehr gültig Beschwerde geführt werden kann, besteht von vornherein kein Anlass, dem Beschwerdeführer, wie von ihm beantragt, einen Rechtsanwalt beizugeben. Auf die offensichtlich verspätete Beschwerde ist nicht einzutreten.
Soweit mit dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung implizit auch um Kostenbefreiung ersucht werden soll, kann dem Begehren wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG).
Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 400.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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