Sachverhalt:
A. In der von Y._, wohnhaft in Deutschland, für eine Forderung von Fr. 3'766.-- beim Betreibungsamt des Kantons Basel-Stadt eingeleiteten Betreibung Nr. ... wurde der X._ AG am 20. November 2008 der Zahlungsbefehl zugestellt.
Mit einer vom 28. November 2008 datierten und am 1. Dezember 2008 bei der Aufsichtsbehörde über das Betreibungs- und Konkursamt Basel-Stadt eingegangenen Beschwerde verlangte die X._ AG die Aufhebung (Nichtigerklärung) der Betreibung: Y._ sei bei deren Einleitung nicht durch den vom Amtsgericht Z._ als Vormundschaftsgericht mit Beschluss vom 15. Mai 1996 bestellten Betreuer Rechtsanwalt Dr. A._ vertreten gewesen und eine Genehmigung des von Advokat Dr. B._ gestellten Betreibungsbegehrens durch das Vormundschaftsgericht falle ausser Betracht.
Die kantonale Aufsichtsbehörde wies die Beschwerde mit Urteil vom 13. Mai 2009 ab.
B. Die X._ AG verlangt mit Beschwerde vom 23. Juni 2009 an das Bundesgericht die Aufhebung dieses Entscheids und erneuert das im kantonalen Verfahren gestellte Rechtsbegehren.
Die Beschwerdegegnerin hat dem Bundesgericht mit Schreiben vom 2. Juli 2009 mitgeteilt, der Präsident des Zivilgerichts des Kantons Basel-Stadt (als Konkursrichter) habe ... über die Beschwerdeführerin den Konkurs eröffnet.
Der Beschwerdeführerin sowie dem Betreibungs- und dem Konkursamt Basel-Stadt war in dem die gleichen Parteien betreffenden Verfahren 5A_205/2009 durch Präsidialverfügung vom 12. Juni 2009 Gelegenheit eingeräumt worden, sich zu einer der Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 2. Juli 2009 entsprechenden Zuschrift vom 9. Juni 2009 zu äussern. Die an die Beschwerdeführerin gerichtete, von der Post an das Konkursamt umgeleitete Sendung kam mit dem Vermerk "Annahme verweigert" zurück. Stellungnahmen zur erwähnten Eingabe sind nicht eingegangen.
Auf Anfrage liess der Präsident des Zivilgerichts Basel-Stadt die erkennende Abteilung mit Schreiben vom 17. Juli 2009 wissen, dass gegen das Konkurserkenntnis vor dem Appellationsgericht Basel-Stadt ein Berufungsverfahren hängig sei.
Vernehmlassungen zur Sache selbst sind nicht eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig von einem allfälligen Streitwert der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a und Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Der angefochtene Entscheid stammt von der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) und befindet über die Gültigkeit eines Zahlungsbefehls, d.h. einer betreibungsamtlichen Verfügung im Sinne von Art. 17 Abs. 1 SchKG, so dass er einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG darstellt (BGE 133 III 350 E. 1.2 S. 351). Aus der Sicht der angeführten Punkte ist auf die Beschwerde nach dem Gesagten ohne weiteres einzutreten.
2. Die Eröffnung des Konkurses bewirkt, dass - von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen abgesehen - alle gegen den Schuldner hängigen Betreibungen aufgehoben sind (Art. 206 Abs. 1 SchKG). Eine Aufhebung der gegen die Beschwerdeführerin hängigen Betreibung Nr. ... hätte zur Folge, dass der vorliegenden Beschwerde die Grundlage entzogen wäre und das Beschwerdeverfahren gegenstandslos würde (vgl. BGE 99 III 12 E. 1 S. 14 betreffend das Widerspruchsverfahren). Indessen bleiben die Wirkungen von Art. 206 Abs. 1 SchKG suspendiert, falls gegen die Konkurseröffnung ein Rechtsmittel hängig ist und diesem aufschiebende Wirkung zukommt (HEINER WOHLFART, Kommentar zum SchKG, Basel 1998, N. 8 zu Art. 206). Wie es sich hier damit verhält, mag dahingestellt bleiben. Aus den nachstehend darzulegenden Gründen kann der Beschwerde von vornherein kein Erfolg beschieden sein, so dass sich eine Sistierung des vorliegenden Verfahrens bis zu einem endgültigen Entscheid über die Konkurseröffnung nicht rechtfertigt. Ebenso wenig drängt sich unter den gegebenen Umständen eine Einstellung des Verfahrens im Sinne des von der Beschwerdegegnerin erwähnten Art. 207 SchKG (Sistierung von den Bestand der Konkursmasse berührenden Zivil- und Verwaltungsprozessen) auf. Die Beschwerde ist vielmehr sofort materiell zu behandeln.
3. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG), worunter auch verfassungsmässige Rechte des Bundes fallen (BGE 133 III 446 E. 3.1 S. 447; 133 I 201 E. 1 S. 203). Für nicht vermögensrechtliche Sachen sieht Art. 96 lit. b BGG die Rüge vor, das nach dem schweizerischen internationalen Privatrecht massgebende ausländische Recht sei nicht richtig angewendet worden. Die hier strittige Einleitung einer Betreibung ist indessen eine Angelegenheit vermögensrechtlicher Natur, so dass einzig gerügt werden kann, die Anwendung des ausländischen (hier deutschen) Rechts durch die kantonale Instanz verstosse gegen das Willkürverbot (Art. 9 BV; BGE 133 III 446 E. 3.1 S. 447 f.). Letzteres gilt auch bezüglich des kantonalen (Prozess-) Rechts (vgl. Art. 95 BGG).
In der Begründung der Beschwerde ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletze (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet wird (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen). Bei der Willkürrüge ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (BGE 133 I 149 E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
4. Vorab beanstandet die Beschwerdeführerin, dass die kantonale Aufsichtsbehörde den angefochtenen Entscheid gefällt habe, obschon beim Bundesgericht noch die mit Eingabe vom 24. März 2009 gegen deren Urteil vom 7. Februar 2009 erhobene Beschwerde (Verfahren 5A_205/2009) hängig sei. Sie macht nicht geltend, sie habe um Sistierung des Verfahrens bis zum Entscheid des Bundesgerichts nachgesucht und die Vorinstanz habe in Verletzung von Bundesrecht einem solchen Begehren nicht stattgegeben. Hingegen beruft sie sich auf § 58 der basel-städtischen Zivilprozessordnung (ZPO). § 58 Abs. 1 ZPO bestimmt, dass die beklagte Partei berechtigt ist, sich in einer Klagebeantwortung jedes Eintretens auf den materiellen Inhalt der Klage zu enthalten, wenn sie behauptet, dass eine Vorbedingung der Rechtsgültigkeit des Prozesses nicht erfüllt sei. Als eine dieser Vorbedingungen wird erwähnt, dass die Streitsache noch nicht durch ein früheres Urteil erledigt oder nicht an einem anderen Gericht anhängig ist (§ 58 Abs. 2 Ziff. 3 ZPO). Der Hinweis der Beschwerdeführerin auf diese Bestimmung geht schon deshalb fehl, weil dem Verfahren 5A_205/2009 andere Betreibungen zugrunde liegen als dem vorliegend angefochtenen Urteil der Vorinstanz vom 13. Mai 2009, es mit anderen Worten nicht um die gleiche Streitsache geht. Der in jenem Fall zu fällende Entscheid des Bundesgerichts wird sich deshalb nicht etwa auf die hier strittige Betreibung Nr. ... erstrecken können. Dass die sich stellenden Rechtsfragen im Wesentlichen die gleichen sind, ist ohne Belang.
Unbehelflich ist ebenso der Hinweis der Beschwerdeführerin auf BGE 125 V 345 ff. In jenem Urteil schützte das Bundesgericht die Einrede der Rechtshängigkeit, die einer Beschwerde entgegengehalten wurde, die ungeachtet der Hängigkeit eines Rechtsmittels gegen den Entscheid, auf eine erste Beschwerde in der gleichen Sache aus formellen Gründen nicht einzutreten, eingereicht wurde. Auch dort war es somit um die gleiche Streitsache gegangen. Schon wegen der hier fehlenden Identität der Streitsache stösst schliesslich ebenfalls der Hinweis der Beschwerdeführerin auf Art. 9 (Abs. 1) IPRG ins Leere, wonach im Falle der Rechtshängigkeit einer ersten Klage im Ausland das schweizerische Gericht das bei ihm über den gleichen Gegenstand eingeleitete Verfahren unter gewissen Bedingungen aussetzt.
5. 5.1 Die kantonale Aufsichtsbehörde weist in der Begründung ihres Entscheids darauf hin, dass die Einleitung eines Betreibungsverfahrens die (aktive) Betreibungsfähigkeit der betreibenden Person voraussetze, was deren Handlungsfähigkeit erfordere. Bei einem internationalen Verhältnis unterstehe die Handlungsfähigkeit einer natürlichen Person aufgrund von Art. 35 IPRG dem Recht an ihrem Wohnsitz, im Falle der in Deutschland wohnenden Beschwerdegegnerin somit dem deutschen Recht. Der Beschwerdegegnerin sei durch Beschluss des Amtsgerichts Z._ vom 15. Mai 1996 in der Person von Rechtsanwalt Dr. A._ ein Betreuer im Sinne von § 1896 Abs. 1 des Deutschen Bürgerlichen Gesetzbuches (BGB) bestellt worden. Der Aufgabenkreis des Betreuers sei dabei wie folgt umschrieben worden:
"Vermögenssorge, beschränkt auf die Wahrnehmung der Rechte - einschliesslich des Rechts auf Stimmrechtsausübung - aus den der Betreuten aus dem Nachlass ihres Vaters Dr. C._ zustehenden 47 Inhaberaktien an der Aktiengesellschaft Schweizerischen Rechts in Firma X._ AG mit Sitz in E._ einschliesslich der Besitzverschaffung an diesen Aktien, die beim Amtsgericht D._ unter dem Aktenzeichen ... hinterlegt sind".
Sodann weist die Vorinstanz darauf hin, dass dem strittigen Betreibungsverfahren die der Beschwerdegegnerin in einem Schiedsverfahren zugesprochene Dividendenforderung gegenüber der Beschwerdeführerin zugrunde liege. Der Beschwerdegegnerin gehe es somit darum, einen Anspruch aus demjenigen Vermögensteil durchzusetzen, der durch den im Amtsgerichtsbeschluss umschriebenen Auftrag an den Betreuer erfasst werde. Der genannte Beschluss stelle indessen nicht fest, dass der Beschwerdegegnerin diesbezüglich die Geschäftsfähigkeit fehle, und bestimme demzufolge auch nicht, dass die Beschwerdegegnerin für die Einleitung eines Betreibungsverfahrens der strittigen Art auf die Einwilligung bzw. Genehmigung ihres Betreuers angewiesen gewesen wäre. Dies habe das Amtsgericht Z._ auf Anfrage des Betreuers in einem Schreiben vom 14. Mai 2008 mit der Erklärung bestätigt, die Anordnung der Betreuung über die Beschwerdegegnerin habe keine Auswirkungen auf deren Prozessfähigkeit. Dazu gehöre auch die aktive Betreibungsfähigkeit. Hinzu komme, dass der Betreuer mit Schreiben vom 25. August 2008 seine Zustimmung zu den von der Beschwerdegegnerin gegen die Beschwerdeführerin angehobenen früheren Betreibungsverfahren erklärt und diese dadurch genehmigt habe. Der Betreuer habe damit insbesondere auch die zweimalige Vollmachterteilung der Beschwerdegegnerin an Advokat Dr. B._ genehmigt, der in ihrem Namen die Betreibungsverfahren gegen die Beschwerdeführerin eingeleitet habe. Aus den dargelegten Gründen sei die Beschwerde unbegründet.
5.2 Mit den Erwägungen der kantonalen Aufsichtsbehörde setzt sich die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenügend auseinander. Sie begnügt sich damit, der Vorinstanz zu widersprechen und ihre eigene Sicht der Dinge vorzutragen. Ihre rein appellatorischen Vorbringen sind nicht geeignet, die Auffassung der kantonalen Aufsichtsbehörde als willkürlich erscheinen zu lassen. Die Rüge, die Vorinstanz habe den Antrag, beim Amtsgericht Z._ den im Jahre 2005 gefassten Beschluss über die Verlängerung der über die Beschwerdegegnerin errichteten Betreuung anzufordern, übergangen, stösst ins Leere, geht doch auch die kantonale Aufsichtsbehörde davon aus, dass die Massnahme nach wie vor bestehe. Soweit die Beschwerdeführerin erklärt, es sei keine von der Beschwerdegegnerin unterzeichnete Vollmacht für Advokat Dr. B._ zur Einleitung der Betreibungsverfahren vorgelegt worden, wird nicht ausgeführt, inwiefern die vorinstanzliche Annahme des Bestehens eines Mandatsverhältnisses gegen Bundesrecht verstossen soll.
Nach dem Gesagten ist dem Hinweis der Beschwerdeführerin auf Art. 22 (Abs. 1) SchKG, wonach betreibungsamtliche Verfügungen, die gegen im öffentlichen Interesse oder im Interesse von am Verfahren nicht beteiligten Personen erlassene Vorschriften verstossen, nichtig sind, die Grundlage entzogen. Ist nicht dargetan, dass die Vorinstanz die Bestimmungen des deutschen Betreuungsrechts in willkürlicher Weise missachtet hätte, braucht nicht erörtert zu werden, ob es sich bei diesen um Vorschriften der in Art. 22 Abs. 1 SchKG umschriebenen Art handelt. Bemerkt sei immerhin, dass der Hinweis der Beschwerdeführerin auf BGE 115 III 11 ff. insofern unbehelflich ist, als dort einem Anlagefonds die aktive Betreibungsfähigkeit deshalb abgesprochen worden war, weil ihm gar keine Rechtspersönlichkeit zukomme (BGE 115 III 11 E. 2a S. 14).
6. Die Beschwerde ist nach dem Dargelegten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt worden und der Beschwerdegegnerin somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungs- und dem Konkursamt des Kantons Basel-Stadt und der Aufsichtsbehörde über das Betreibungs- und Konkursamt Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel