Faits:
A. Le 10 mars 2004, C._, née en 1963, a été victime d'un accident de la circulation: la voiture qu'elle conduisait a été emboutie à l'avant droit par une autre voiture. A la suite de cet accident, elle a ressenti des douleurs dorso-lombaires gauches très intenses avec irradiations en ceinture au niveau D12-L2 gauche. Le 18 mars 2004, elle reçu des premiers soins de son médecin traitant, le docteur G._. Celui-ci a posé le diagnostic de contusions dorso-lombaires gauches et fait état de douleurs radiculaires D12-L1 gauches et de status après amputation du membre inférieur gauche pour sarcome en 1974. Il a attesté une incapacité de travail à partir du 17 mars 2004 (rapport du 17 avril 2004). La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a pris en charge le traitement médical et alloué des indemnités journalières.
Des radiographies pratiquées à l'Hôpital X._ le 18 mars 2004 n'ont pas révélé de lésion traumatique visible, de D10 à L3 en particulier. Une IRM dorso-lombaire a été pratiquée le 20 avril 2004. L'examinateur a conclu à une protrusion discale paramédiane et foraminale droite en D9-D10. Il n'a pas constaté de lésion expliquant le syndrome radiculaire D12 gauche mis en évidence. Il a signalé une discarthrose en L1-L2 (rapport du docteur S._ du 21 avril 2004).
Le 3 juin 2004, l'assurée a fait une chute à domicile sur l'épaule et le coude gauches. L'évolution n'a pas montré de limitation fonctionnelle significative au niveau de l'épaule et du coude. L'assurée a repris le travail à 25 pour cent dès le 12 juillet 2004, à 50 pour cent dès le 4 septembre 2004 et à 60 pour cent dès le 1er mars 2005 (par rapport à un horaire de travail antérieur de 80 pour cent).
L'assurée a été examinée le 22 mars 2005 par le docteur A._, médecin de l'agence de la CNA de Z._. Ce médecin a constaté que la situation évoluait lentement mais, dans l'ensemble, favorablement. Il convenait de tenir compte par ailleurs du status après la perte du membre inférieur gauche d'une patiente se déplaçant à l'aide de deux cannes anglaises sur une seule jambe et naturellement d'une modification de la statique et de la musculature du rachis. A son avis, le statu quo sine n'était pas encore atteint; il le serait probablement 18 mois après l'accident (rapport du 22 mars 2005). Le 2 novembre 2005, le docteur E._, spécialiste FMH en chirurgie et médecin-conseil de la CNA, à Y._, a examiné l'assurée afin de faire le point de la situation. Au niveau du rachis, il a fait état d'un status après contusion dorso-lombaire, sans lésion organique objectivable au moment de l'examen et qui soit imputable aux deux accidents. Le dossier radiologique montrait une image au niveau de L2 pouvant évoquer une très ancienne fracture marginale, sans relation probable avec les deux événements en question. Il a estimé que le statu quo sine, toujours pour les aspects relatifs au rachis, serait atteint au plus tard dans les deux mois suivants (rapport du 2 novembre 2005).
Par décision du 13 janvier 2006, la CNA a notifié à l'assurée qu'elle mettait fin à ses prestations (traitement médical et indemnités journalières). L'assurée a formé opposition.
Entre-temps, C._ avait été adressée par son médecin traitant au docteur H._, spécialiste en médecine physique et réhabilitation FMH. Ce médecin a fait état de séquelles après un accident de la circulation sous la forme de dorsalgies au niveau D7 à D9. Il a prescrit un nouvel examen IRM (rapport du 25 janvier 2006). Cet examen a été pratiqué le 2 février 2006 par le docteur S._. Celui-ci a conclu à une protrusion discale pluriétagée au niveau dorsal, avec une hernie discale paramédiane gauche en D8-D9 et une hernie paramédiane et foraminale droite en D9-D10. L'examen a confirmé la présence de signes évocateurs d'une ancienne fracture sur la base d'une ostéophyte du plateau supérieur L2 (rapport du 3 février 2006). Commentant ces résultats dans un rapport adressé au médecin traitant le 16 février 2006, le docteur H._ a noté que l'IRM metttait en évidence une hernie discale paramédiane gauche en D8-D9 qui correspondait à la zone douloureuse et à l'irradiation en hémi-ceinture que présentait la patiente. Cette hernie était déjà présente, bien que non décrite, sur la première IRM réalisée en avril 2004. On retrouvait la hernie paramédiane et foraminale droite, qui était toutefois asymptomatique attendu que les douleurs se situaient clairement à gauche.
Le docteur P._, successeur du docteur E._ auprès de l'agence de la CNA de Y._, a pris connaissance de ces nouvelles pièces. Il a exprimé l'avis que le tableau présenté faisait plutôt penser à un processus dégénératif, aggravé de manière passagère par un ou les deux accidents. Il a estimé qu'il n'y avait pas d'élément nouveau susceptible de changer l'appréciation du docteur E._ émise à la suite de son examen du 2 novembre 2005.
Le 13 mars 2006, la CNA a rejeté l'opposition.
B. C._ a recouru devant le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel. Elle a produit une attestation du docteur H._ du 5 avril 2006. La CNA a conclu au rejet du recours et déposé, à l'appui de ses conclusions, une appréciation médicale du docteur I._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et rattaché à sa division de médecine des assurances.
Statuant le 12 février 2006, le Tribunal administratif a rejeté le recours.
C. C._ interjette un recours en matière de droit public dans lequel elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et au versement des prestations d'assurance-accidents «auxquelles elle a droit». Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des motifs. La CNA conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé.
Considérant en droit:
1. Comme la décision attaquée a été rendue après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007 (RO 2006 1242), de la loi fédérale sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours est régi par le nouveau droit (art. 132 al. 1 LTF).
2. 2.1 La procédure porte sur l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, de sorte que le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 et art. 105 al. 3 LTF).
2.2 La recourante annonce dans son mémoire qu'elle va déposer un rapport d'expertise qui sera rédigé par le docteur F._. Selon l'art. 99 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Cette restriction vaut également quand le Tribunal fédéral examine librement les faits (Nicolas von Werdt, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], note 4 ad art. 99). En l'espèce, et pour les motifs qui vont suivre, il n'y a pas lieu de faire exception à la règle.
3. En vertu de l'art. 36 al. 1 LAA, les prestations pour soins, les remboursements de frais, ainsi que les indemnités journalières et les allocations pour impotents ne sont pas réduits lorsque l'atteinte à la santé n'est que partiellement imputable à l'accident. La jurisprudence a souligné à cet égard que lorsqu'un état maladif préexistant est aggravé ou, de manière générale, apparaît consécutivement à un accident, le devoir de l'assurance-accidents d'allouer ses prestations cesse si l'accident ne constitue pas la cause naturelle (et adéquate) du dommage, soit lorsque ce dernier résulte exclusivement de causes étrangères à l'accident. Tel est le cas lorsque l'état de santé de l'intéressé est similaire à celui qui existait immédiatement avant l'accident (statu quo ante) ou à celui qui serait survenu tôt ou tard même sans l'accident par suite d'un développement ordinaire (statu quo sine) (cf. RAMA 1994 no U 206 p. 328 consid. 3b, 1992 no U 142 p. 75). A contrario, aussi longtemps que le statu quo sine vel ante n'est pas rétabli, l'assureur-accidents doit prendre à sa charge le traitement de l'état maladif préexistant, dans la mesure où il a été causé ou aggravé par l'accident.
4. 4.1 La CNA a mis fin à ses prestations en se fondant principalement sur le rapport de son médecin-conseil du 2 novembre 2005, selon lequel le statu quo sine serait atteint dans les deux mois suivants. Faisant référence à la littérature médicale, ce médecin a considéré que les traumatismes du rachis sans lésion objectivable et à caractère durable, qui leur sont directement imputables, ne sont pas à même de dégager leurs effets de manière indéfinie; il existe un consensus pour affirmer qu'après une période de quelques mois, d'autres éléments, non accidentels, jouent un rôle nettement prépondérant, pour ne pas dire exclusif, dans l'évolution du cas, ceci même quand les patients étaient asymptomatiques avant l'événement accidentel, ce dernier ayant joué tout au plus un rôle révélateur.
Pour sa part, la recourante se fonde essentiellement sur l'avis du docteur H._, selon lequel les hernies dorsales sont rares et le plus souvent liées à des traumatismes (attestation du 5 avril 2006, produite en procédure cantonale) Ce praticien se réfère à un extrait d'un ouvrage du Professeur Chalès (Diagnostic des dorsalgies, Paris 1996), joint au recours devant l'autorité cantonale.
4.2 Les premiers juges ont écarté l'avis du docteur H._ au profit de l'appréciation émise par le docteur I._, qui a conclu que l'allégation selon laquelle la patiente souffre d'une hernie discale d'étiologie nécessairement traumatique, au motif que cette pathologie est extrêmement rare, était infondée. Le docteur I._ admet - avec le docteur H._ - que les hernies discales dorsales (ou thoraciques) sont extrêmement rares (moins de un pour cent de toutes les hernies discales symptomatiques sont de localisation thoracique, les autres étant de localisation lombaire ou cervicale). Les hernies discales de localisation dorsale découvertes fortuitement lors d'examens radiologiques sont en revanche extrêmement communes. L'étiopathogénèse de la hernie discale thoracique est la même que celle des hernies de localisation cervicale ou lombaire. Toujours selon le docteur I._, la cause spécifique de la dégénérescence discale n'est pas encore établie à l'heure actuelle. L'étiologie est multi-factorielle. Il n'y a donc pas de corrélation entre l'extrême rareté des hernies discales dorsales et l'hypothèse émise selon laquelle elles seraient nécessairement d'origine traumatique.
4.3 Comme l'ont retenu les premiers juges, cet avis est convaincant. On doit donc admettre avec eux qu'il n'est pas établi au degré de la vraisemblance prépondérante que l'accident du 10 mars 2004 soit à l'origine de la hernie discale D8-D9 mise en évidence par l'IRM dorsale et lombaire du 2 février 2006. Quant à la hernie paramédiane et foraminale droite en D9-D10 qui avait déjà été révélée à l'occasion de l'IRM dorso-lombaire du 20 avril 2004, elle est asymptomatique, les douleurs étant clairement paradorsales gauches (rapport du docteur H._ du 16 février 2006).
Enfin l'affirmation de la recourante selon laquelle elle n'a jamais souffert du dos avant l'accident ne saurait être déterminante, car elle repose uniquement sur l'adage post hoc, ergo propter hoc (voir ATF 119 V 335 consid. 2b/bb p. 341 s.).
4.4 L'accident du 10 mars 2004 a incontestablement entraîné une symptomatologie douloureuse au niveau du rachis. Sur la base des appréciations des docteurs A._ et E._ et conformément à l'expérience médicale (voir p. ex. arrêt U 496/05 du 7 décembre 2006, consid. 3.2), il y a lieu d'admettre, cependant, que le statu quo sine était atteint au plus tard deux ans après l'accident, et de conclure, avec les premiers juges, que les douleurs de l'assurée sont à ce jour attribuables à la hernie discale mise en évidence lors de l'examen du 2 février 2006. On vu que cette hernie était, selon la plus grande vraisemblance, étrangère à l'accident.
4.5 La recourante reproche aux premiers juges de ne pas avoir ordonné une expertise. Ce grief n'est pas non plus fondé. En effet, une nouvelle expertise n'avait pas à être ordonnée en l'absence d'avis médicaux convaincants allant à l'encontre de l'avis des médecins qui se sont prononcés sur le cas (appréciation anticipée des preuves; ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 429 et les arrêts cités).
5. Vu ce qui précède, le recours est mal fondé. La recourante ne peut donc pas prétendre de dépens à la charge de l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Elle supportera par ailleurs les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de la recourante et sont compensés avec l'avance de frais qu'elle a effectuée.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 20 juin 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: