Faits:
A. La Maison X._ est un établissement médico-social de droit public qui accueille des personnes âgées (voir la loi cantonale genevoise [8441] concernant la Maison X._). Son personnel est soumis au statut de la fonction publique tel que défini par la loi générale relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissement publics médicaux du 4 décembre 1997 (LPAC; RSG B 5 05).
M._ a été engagée par la Maison X._ en qualité de femme de ménage le 1er janvier 1995.
Depuis son engagement, la qualité du travail fourni par la prénommée a toujours été appréciée et reconnue par son employeur. En revanche, son comportement a donné lieu à plusieurs rappels à l'ordre.
Par lettre du 16 janvier 1997, M._ a été priée de se conformer aux consignes en vigueur et de respecter les autres membres du personnel à la suite d'un incident avec une cheffe d'unité. Le 1er septembre 2000, la prénommée a été déplacée dans une autre unité de soins en raison d'une querelle survenue le 13 juin 2000 avec une collègue de travail (voir lettre du 27 juillet 2000). Le 5 février 2002, l'employeur a adressé un avertissement à M._ pour avoir eu des écarts de langage et tenu des propos racistes à l'égard d'une autre collègue en présence d'une résidente. Elle était invitée à se ressaisir, faute de quoi des mesures plus sévères seraient prises à son encontre. M._ a manifesté son désaccord dans une lettre du 14 février suivant. A l'issue d'un entretien avec ses supérieurs hiérarchiques, la sanction a été confirmée par décision du 21 mars 2002. Cette décision est entrée en force. Le 12 mai 2006, M._ s'est vue notifier un nouvel avertissement. Il lui était reproché d'avoir agressé verbalement une résidente et de s'être mise en colère à propos du chien de celle-ci. Son attitude envers cette personne a été qualifiée d'inadmissible. Il lui était demandé de faire preuve de respect à l'égard des personnes âgées et d'effectuer ses tâches sans commentaire. Cette sanction n'a pas été attaquée.
Au cours de l'année 2008, trois autres incidents ont impliqué M._. Le 14 février 2008, un troisième avertissement lui a été infligé pour avoir insulté une collègue, A._, en employant des mots à caractère raciste. Il était précisé qu'au cas où ce genre d'épisode devait se reproduire, un licenciement pourrait être envisagé dès lors qu'un tel comportement dénotait une inaptitude à remplir les exigences du poste. Au courant de l'été, M._ s'est disputée avec B._, qui effectuait le remplacement d'une collègue malade. D'après les déclarations de B._, M._ n'avait pas accepté sa présence dans l'équipe de nettoyage. Le ton était monté et M._ l'avait frappée au bras alors qu'elle s'apprêtait à téléphoner à leur chef. Une séance de médiation a été organisée le 12 août 2008, au cours de laquelle M._ a exprimé son souhait qu'elles travaillent dans des unités séparées. Le 4 septembre suivant, l'employeur a offert à M._ de suivre des cours de français, ce qu'elle a refusé en raison de la présence de A._ à ces cours. En date du 10 septembre 2008, le supérieur hiérarchique de M._, C._, s'est entretenu avec elle et lui a annoncé qu'elle serait déplacée pour la dernière fois dans un autre bâtiment. Immédiatement après cet entretien, la prénommée s'est rendue à l'étage où travaillait A._. Furieuse du fait qu'elle avait fait l'objet de la mesure de déplacement et non sa collègue, M._ l'aurait menacée elle et ses enfants «de payer pour ça». Le même jour, M._ a été priée de rester à la maison jusqu'à nouvel avis.
Au cours d'une séance du 28 octobre 2008, le Conseil d'administration de la Maison X._ a décidé d'ordonner l'ouverture d'une enquête administrative à l'encontre de M._. L'enquête a été confiée à un juge de la Cour de Justice du canton de Genève.
L'enquêteur a procédé à une comparution personnelle des parties et entendu onze témoins. Selon ses conclusions, M._ avait eu une attitude générale inadmissible envers sa hiérarchie et ses collègues. Elle avait refusé de se soumettre aux injonctions de ses supérieurs, et s'était montrée agressive, autoritaire et grossière envers ses collègues. Ce faisant, elle avait violé ses devoirs et obligations de service. Malgré les nombreuses occasions qui lui avaient été données de s'améliorer, elle n'avait pas changé de comportement. Même en tenant compte de ses états de service, il n'apparaissait pas qu'une autre mesure que la «révocation» pût être envisagée vu la répétition et la gravité des manquements constatés. Le rapport d'enquête a été transmis à l'intéressée qui s'est déterminée le 20 février 2009.
Par décision du 31 mars 2009, le Conseil d'administration a prononcé la révocation de M._ au sens de l'art. 16 al. 1 let. c ch. 5 de la LPAC. La prénommée était libérée de son obligation de travailler durant le délai de congé. En outre, la décision était immédiatement exécutoire nonobstant recours éventuel.
B. M._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative) en concluant à l'annulation de la décision de révocation et à sa réintégration. Préalablement, elle a demandé la restitution de l'effet suspensif.
Par décision du 6 juillet 2009, la présidente du tribunal administratif a rejeté la requête en restitution de l'effet suspensif.
Après avoir tenu une audience de comparution personnelle, l'autorité cantonale a rejeté le recours, par jugement du 19 janvier 2010.
C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle requiert l'annulation. Sous suite de frais et dépens, elle conclut à ce qu'il soit ordonné à la Maison X._ de la réintégrer dans ses fonctions; subsidiairement, à ce que la cause soit renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
La Maison X._ conclut à l'irrecevabilité du recours, sinon à son rejet. Le tribunal administratif ne s'est pas déterminé.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public n'est pas recevable contre les décisions en matière de rapports de travail de droit public qui concernent une contestation non pécuniaire, sauf si elles touchent à la question de l'égalité des sexes (art. 83 let. g LTF). S'agissant de contestations pécuniaires, pour que le recours soit recevable, il faut encore que la valeur litigieuse atteigne le seuil minimal de 15'000 fr. (art. 85 al. 1 let. b LTF). Si les conclusions ne tendent pas au paiement d'une somme d'argent déterminée, le Tribunal fédéral fixe la valeur litigieuse selon son appréciation (art. 51 al. 2 LTF).
1.2 Une affaire doit être considérée comme pécuniaire dès lors qu'elle poursuit un but économique et que son objet peut être apprécié en argent (arrêt 1C_116/ 2007 du 24 septembre 2007 consid. 2). En l'occurrence, l'intimée ne peut pas être suivie lorsqu'elle soutient que l'affaire ne revêt pas un caractère patrimonial au motif qu'elle a d'ores et déjà exprimé son refus de réintégrer M._ au sens de l'art. 31 LPAC et qu'en instance cantonale et fédérale, la recourante n'a pas pris de conclusion tendant au versement d'une indemnité en cas de décision négative de l'employeur sur sa réintégration. En effet, du moment que la recourante conclut à être réintégrée à son poste de travail pour une durée indéterminée - et entend donc obtenir le paiement de son salaire pendant plusieurs mois, voire plusieurs années -, il faut retenir qu'il s'agit au moins partiellement d'un litige de nature pécuniaire et que le seuil de 15'000 fr. de valeur litigieuse est atteint (arrêts 8C_358/2009 du 8 mars 2010 consid. 2, 8C_176/2009 du 14 septembre 2009 consid. 1, 8C_170/2009 du 25 août 2009 consid. 1, 8C_46/2009 du 24 août 2009 consid. 2). La question de savoir si la recourante a effectivement ou non un droit à être réintégrée dans l'hypothèse où la décision de révocation serait annulée relève du fond.
1.3 Pour le surplus, interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF), le recours en matière de droit public est recevable.
2. 2.1 Sur le plan des faits, la juridiction cantonale a retenu que M._ avait eu à plusieurs reprises au cours de l'année 2008 un comportement fautif à l'égard de ses collègues, ce que la prénommée n'avait pas véritablement contesté. Elle avait eu une violente altercation avec B._. Elle avait également insulté A._, en la traitant de «connasse» puis avait menacé cette même collègue quelque temps plus tard.
2.2 Invoquant une constatation et une appréciation arbitraire des faits par la juridiction cantonale (art. 9 Cst.), la recourante fait valoir qu'elle a toujours contesté les actes qui lui étaient reprochés. Le tribunal cantonal aurait fait preuve d'arbitraire en admettant l'existence d'une faute de sa part sur la base uniquement de la version des autres employées.
2.3 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause.
La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références).
2.4 En l'occurrence, la recourante n'explique pas en quoi les faits établis par les juges cantonaux se trouveraient en contradiction évidente avec la situation de fait. Selon le témoignage de C._, chef de M._, celle-ci avait tenu en sa présence des propos à connotation raciste envers A._ au cours d'une réunion, déclarations qui avaient constitué le motif de l'avertissement donné en février 2008. Quelque temps après, une dispute avait opposé M._ à B._. C._ avait eu une discussion avec les prénommées tout de suite après cette dispute. A cette occasion, B._ s'était plainte d'avoir reçu une tape de la part de M._, ce que celle-ci n'avait pas nié. Ce n'est que plus tard qu'elle avait allégué avoir été frappée par B._. Il avait donc été décidé de les séparer et de transférer M._ dans un autre bâtiment. Celle-ci, qui ne s'entendait pas avec A._ tenait cette dernière en partie responsable de la décision de transfert, ce qui pouvait expliquer le dernier incident du 10 septembre 2008 à la suite duquel elle avait été sommée de rester à la maison. Au cours de l'enquête, d'autres situations conflictuelles et dérapages verbaux impliquant M._ ont été relatés (voir les témoignages de D._, E._ et de F._). Plusieurs témoins (G._; H._; I._) ont décrit l'intéressée comme une personne compétente mais caractérielle et qui a tendance à s'emporter vite.
Au regard de l'ensemble de ces éléments, la juridiction cantonale pouvait, sans arbitraire, retenir que la recourante avait provoqué, par un comportement fautif, les épisodes conflictuels qui lui sont imputés. La recourante tente, en vérité, de substituer sa propre appréciation des événements à celle de l'autorité compétente et de minimiser sa responsabilité dans les problèmes relationnels qu'elle a connus avec ses deux collègues. Son grief n'est pas fondé.
3. 3.1 La juridiction cantonale a considéré ensuite que les différents comportements de M._ constituaient une violation grave de ses devoirs de service qui imposent à un membre du personnel d'entretenir des relations dignes et correctes avec ses collègues (art. 21 let. a du règlement d'application de la LPAC du 24 février 1999 [RPAC]; RSG B 5 05.01). Elle a relevé, par ailleurs, que M._ n'avait pas modifié son attitude en dépit des nombreux avertissements formels et informels qui lui avaient été adressés pour des faits similaires depuis 1997 et des interventions de l'employeur pour apaiser les tensions. La bonne qualité de ses prestations ne contrebalançait pas la répétition et la gravité des manquements commis. Aussi, l'autorité cantonale a-t-elle jugé que la Maison X._ n'avait pas abusé de son pouvoir d'appréciation en prononçant la révocation de son employée.
3.2 Pour la recourante, les reproches qui lui étaient faits n'étaient pas suffisamment graves pour être sanctionnés par une révocation qui est la mesure disciplinaire la plus sévère. Une sanction moins incisive telle qu'une réduction du traitement, voire le retour au statut d'employé en période probatoire aurait atteint le but recherché, ce d'autant qu'elle n'avait fait l'objet que de trois avertissements sur une période de 14 années et que ses qualités professionnelles n'avaient pas été remises en cause. Enfin, l'intérêt public à ce qu'elle soit écartée de l'administration était relativement minime. Il était arbitraire de la part des juges cantonaux de considérer que la décision de l'intimée respectait le principe de proportionnalité.
3.3 Une mesure viole le principe de la proportionnalité notamment si elle excède le but visé et qu'elle ne se trouve pas dans un rapport raisonnable avec celui-ci et les intérêts, en l'espèce publics, compromis (ATF 130 I 65 consid. 3.5.1 p. 69 et les arrêts cités; 128 II 292 consid. 5.1 p. 297/298). Le principe de la proportionnalité, bien que de rang constitutionnel, ne constitue pas un droit constitutionnel avec une portée propre (ATF 126 I 112 consid. 5b p. 120; 125 I 161 consid. 2b p. 163). Aussi, lorsque, comme en l'espèce, ce principe est invoqué en relation avec l'application du droit cantonal (en dehors du domaine de protection d'un droit fondamental spécial), le Tribunal fédéral n'intervient-il, en cas de violation du principe de la proportionnalité, que si la mesure de droit cantonal est manifestement disproportionnée et qu'elle viole simultanément l'interdiction de l'arbitraire; autrement dit le grief se confond avec celui de l'arbitraire (ATF 134 I 153 consid. 4.2.2 et 4.3 p. 158; arrêts 8C_220/2010 du 18 octobre 2010 consid. 4.3 et 2C_118/2008 du 21 novembre 2008 consid. 3.1).
3.4 Selon l'art. 16 al. 1 LPAC, les fonctionnaires et les employés qui enfreignent leurs devoirs de service, soit intentionnellement soit par négligence, peuvent faire l'objet, selon la gravité de la violation, des sanctions disciplinaires suivantes : 1° le blâme; 2° la suspension d'augmentation du traitement pendant une durée déterminée; 3° la réduction de traitement à l'intérieur de la classe; 4° le retour au statut d'employé en période probatoire pour une durée maximale de 3 ans; 5° la révocation.
3.5 Dans le domaine des mesures disciplinaires, la révocation est la sanction la plus lourde. Elle est l'ultima ratio. Elle implique une violation grave ou continue des devoirs de service. Il peut s'agir d'une violation unique spécialement grave, soit d'un ensemble de transgressions dont la gravité résulte de leur répétition. L'importance du manquement doit être appréciée à la lumière des exigences particulières qui sont liées à la fonction occupée (ATF 101 Ia 298 consid. 6 p. 308). Toute violation des devoirs de service ne saurait cependant être sanctionnée par la voie de la révocation disciplinaire. Cette mesure revêt, en effet, l'aspect d'une peine et a un caractère plus ou moins infamant. Elle s'impose surtout dans les cas où le comportement de l'agent démontre qu'il n'est plus digne de rester en fonction (voir BLAISE KNAPP, La violation du devoir de fidélité, cause de cessation de l'emploi des fonctionnaires fédéraux, in Revue de droit suisse 1984 I, pages 501 et 503).
La violation fautive des devoirs de service n'exclut pas le prononcé d'un licenciement administratif (dans le canton de Genève, l'autorité compétente peut résilier les rapports de service d'un fonctionnaire pour un «motif fondé»; voir art. 21 al. 3 LPAC en liaison avec l'art. 22 LPAC). Si le principe même d'une collaboration ultérieure est remis en cause par une faute disciplinaire de manière à rendre inacceptable une continuation du rapport de service, un simple licenciement, dont les conséquences sont moins graves pour la personne concernée, peut être décidé à la place de la révocation disciplinaire (voir PETER HÄNNI, Beendigung öffentlicher Dienstverhältnisse, in Geiser/Münch [édit.], Stellenwechsel und Entlassung, Bâle 1997, p. 188).
Lorsque l'autorité choisit la sanction disciplinaire qu'elle considère appropriée, elle dispose d'un large pouvoir d'appréciation, lequel est toutefois subordonné au respect du principe de la proportionnalité. Son choix ne dépend pas seulement des circonstances subjectives de la violation incriminée ou de la prévention générale, mais aussi de l'intérêt objectif à la restauration, vis-à-vis du public, du rapport de confiance qui a été compromis par la violation du devoir de fonction (voir les arrêts 5A_112/2009 du 7 mai 2009 consid. 2.2, 1P.273/1999 du 12 octobre 1999 consid. 3c et 2P.168/1997 du 10 février 1998 consid. 4c; voir également PIERRE MOOR, Droit administratif, vol. III, Berne 1992, p. 240).
Dans la pratique, la révocation disciplinaire est rarement empruntée. Parmi les motifs propres à justifier une révocation disciplinaire, on peut mentionner, à titre d'exemple, la violation du secret de fonction dans un domaine sensible, l'abus des pouvoirs de la fonction, l'indication fausse des heures de travail ou des irrégularités dans le cadre de l'enregistrement du temps de travail, l'alcoolisme ou encore le vol (pour une vue d'ensemble de la pratique voir : MINH SON NGUYEN, La fin des rapports de service, in Personalrecht des öffentlichen Dienstes, 1999, p. 438; également PETER BELLWALD, Die disziplinarische Verantwortlichkeit der Beamten, 1985, p. 162 et ss, et GABRIEL BOINAY, Le droit disciplinaire dans la fonction publique et dans les professions libérales particulièrement en Suisse romande, in Revue jurassienne de jurisprudence 1998, p. 30 et ss).
3.6 En l'espèce, la recourante a fait preuve d'un manque de respect et d'un comportement agressif envers ses deux collègues B._ et A._ sans raison pertinente. Ce faisant, elle a assurément contrevenu aux règles de bienséance et de cordialité que tout membre du personnel est tenu d'appliquer dans l'exercice de son travail. A cela s'ajoute qu'elle s'est montrée réfractaire aux mesures proposées par son employeur pour apaiser les tensions et l'aider à mieux communiquer avec ses collègues. Toutefois, à l'aune d'autres cas de révocation confirmés par le Tribunal fédéral - soit celui d'un maître d'enseignement et de recherche ayant falsifié des documents pour justifier des résultats scientifiques publiés dans une revue spécialisée (arrêt 2P.141/2006 du 6 septembre 2006), ou d'un policier coupable d'infractions répétées à la loi sur la circulation routière dont le comportement extra-professionnel nuisait à la crédibilité de la police cantonale (arrêt 1P. 273/1999 du 12 octobre 1999), ou encore celui d'un enseignant pour abus sexuel sur une élève (arrêt 2P.204/1997 du 20 janvier 1998) -, on peut douter que la voie utilisée par l'intimée constitue une mesure appropriée pour sanctionner les actes de la recourante. Ceux-ci se situent en deçà de la gravité des cas cités sous l'angle des attentes de la fonction occupée et de la nature des devoirs violés. En particulier, on ne voit pas que M._ ait gravement porté atteinte au fonctionnement ou à l'image de l'intimée. Les faits reprochés n'ont pas donné lieu à une plainte pénale. Il s'agit typiquement d'un conflit relationnel interne entre employés qui, dans le secteur privé, aurait été résolu par un licenciement de la personne concernée. Le contenu du rapport d'enquête administrative du 16 janvier 2009 donne d'ailleurs à penser que l'enquêteur avait plutôt en vue le licenciement immédiat de la recourante pour un motif fondé au sens de l'art. 21 al. 3 LPAC en liaison avec l'art. 22 LPAC qu'une révocation selon l'art. 16 al. 1 let. c ch. 5 LPAC. Bien que celui-ci ait employé le terme «révocation» dans ses conclusions, on constate qu'il a largement examiné les conditions d'application des dispositions sur la résiliation des rapports de service. On peut néanmoins laisser cette question ouverte.
En effet, le comportement inadéquat répété de M._ pouvait entraîner la rupture du lien de confiance avec son employeur. Malgré les précédents avertissements, et alors qu'une dernière chance lui avait été donnée en septembre 2008 pour démontrer qu'elle était capable de travailler en équipe, la recourante a persisté dans sa conduite agressive en menaçant sa collègue A._. Il ne restait donc plus guère de choix à l'employeur pour rétablir la situation que de l'éloigner définitivement du service. Ces faits constituent manifestement un motif fondé de résiliation des rapports de service selon l'art. 21 al. 3 LPAC en liaison avec l'art. 22 LPAC, de sorte que l'intimée aurait été fondée à prononcer le licenciement ordinaire et même immédiat (art. 20 al. 5 LPAC) de la recourante (pour des cas de licenciement avec effet immédiat pour justes motifs liés à l'attitude conflictuelle de l'employé au travail, voir par exemple les arrêts 8C_70/2010 du 20 décembre 2010, 8C_170/2009 du 25 août 2009 et 2P.149/2006 du 9 octobre 2006). Si ce n'est dans ses motifs, le jugement cantonal peut donc en tout cas être confirmé dans son résultat.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté.
4. La recourante, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF; ATF 136 I 39 consid. 8.3.1 p. 41). Bien qu'elle obtienne gain de cause, l'intimée n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF; arrêt 8C_151/2010 du 31 août 2010 consid. 6.2).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans le sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lucerne, le 1er mars 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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