Fatti:
A. L'attuale vertenza trae origine da alcune operazioni finanziarie avvenute nel 2001 sulla relazione bancaria denominata xxx, che la società panamense C._SA deteneva presso D.B._SA, Nassau.
B. Nel settembre 2004 la società luganese A._SA ha promosso contro la B.B._SA di Lugano l'esecuzione n. 1061491, volta all'incasso di fr. 2'420'821.65. Alla voce "titolo di credito" il precetto esecutivo indicava "contratto di mandato e atto illecito (la creditrice è subentrata a seguito di cessione nei diritti della C._SA, Panama)".
Avendo la banca omesso di interporre opposizione al precetto esecutivo, il 18 ottobre 2004 le è stata notificata la comminatoria di fallimento.
C. Il 28 ottobre seguente B.B._SA ha quindi adito la Pretura del Distretto di Lugano con l'azione dell'art. 85a LEF, chiedendo l'accertamento dell'inesistenza del debito e l'annullamento dell'esecuzione n. 1061491. Essa ha denunciato la lite alla D.B._SA, Nassau, la quale è intervenuta accessoriamente a sostegno della banca ticinese. A._SA ha proposto di respingere la petizione.
C.a Statuendo in via cautelare senza contraddittorio, il Pretore ha innanzitutto sospeso l'esecuzione e ordinato all'Ufficio di esecuzione di Lugano e a A._SA di non comunicare a terzi l'esistenza della comminatoria di fallimento. Queste misure sono poi state confermate - dopo il contraddittorio - con decreto del 1° marzo 2005.
L'impugnativa presentata contro questa decisione è stata respinta il 4 aprile 2006.
C.b Nel merito il Pretore si è pronunciato con sentenza del 26 luglio 2006, accogliendo interamente le richieste della banca.
D. Il successivo appello della soccombente è stato respinto dalla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino il 28 settembre 2007.
E. Tempestivamente insorta dinanzi al Tribunale federale con un ricorso in materia civile e ricorso sussidiario in materia costituzionale, A._SA postula in definitiva - previa concessione dell'effetto sospensivo al gravame - l'annullamento dei giudizi cantonali di prima e seconda istanza, la reiezione della petizione e il mantenimento dell'esecuzione n.1061491.
L'istanza tendente al conferimento dell'effetto sospensivo al ricorso è stata accolta il 6 dicembre 2007.
Con risposta del 10 dicembre 2007 B.B._SA propone di dichiarare inammissibile il ricorso sussidiario in materia costituzionale e di respingere quello civile, nella misura in cui fosse ammissibile. La Corte cantonale ha dal canto suo presentato una breve presa di posizione il 7 dicembre 2007, sulla quale si tornerà.
Diritto:
1. Il Tribunale federale si pronuncia d'ufficio e con pieno potere d'esame sulla propria competenza e sull'ammissibilità del ricorso (art. 29 cpv. 1 LTF; DTF 133 III 462 consid. 2, 629 consid. 2).
1.1 Come rettamente rilevato dall'opponente il ricorso sussidiario in materia costituzionale risulta d'acchito inammissibile.
A prescindere dal fatto che nel suo allegato la ricorrente nemmeno motiva in maniera specifica tale rimedio, si osserva infatti che giusta l'art. 113 LTF il Tribunale federale giudica i ricorsi in materia costituzionale interposti contro le decisioni cantonali di ultima istanza solo qualora non sia ammissibile il ricorso ordinario secondo gli art. 72-89 LTF.
Tale non è il caso in concreto, visto che contro la sentenza cantonale - finale (art. 90 LTF) e pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 cpv. 1 LTF) nell'ambito di una causa civile di carattere pecuniario con un valore litigioso superiore a fr. 30'000.-- (cfr. art. 74 cpv. 1 lett. b LTF) - è proponibile il ricorso in materia civile (art. 72 segg. LTF).
1.2 Interposto tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF) dalla parte soccombente in sede cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF) il ricorso in materia civile è ricevibile. Perlomeno sotto questo aspetto.
1.3 Così come formulato, la sua ammissibilità suscita infatti numerose perplessità sotto il profilo della motivazione.
1.3.1 Innanzitutto si osserva che la conformità delle conclusioni formulate dalla ricorrente alle esigenze poste dall'art. 42 cpv. 1 LTF appare assai dubbia. Si tratta in effetti di conclusioni assai irrituali, costituite di domande vere e proprie frammiste a considerazioni di merito, che oltretutto eccedono quanto richiesto in sede cantonale. Dato l'esito del gravame non è comunque necessario approfondire oltre la questione e ci si può limitare ad ammettere quelle evidenziate al consid. E.
1.3.2 In secondo luogo non ci si può esimere dall'osservare che, nonostante la ricorrente si prevalga di argomenti di per sé proponibili, quali la violazione di numerosi principi e norme del diritto federale (art. 95 lett. a LTF) ed errori nell'accertamento dei fatti (art. 97 cpv. 1 LTF), lo scritto da lei presentato è prolisso, ripetititivo e di difficilissima lettura: le tesi di diritto e di fatto si accavallano in modo disordinato e sono esposte con un linguaggio spesso incomprensibile.
1.3.2.1 È allora necessario precisare che, anche se è vero che il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (art. 106 cpv. 1 LTF), questo non dispensa la parte ricorrente dal motivare in maniera adeguata le proprie censure. Tenuto conto dell'esigenza di motivazione posta dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF - che se disattesa può anche comportare l'inammissibilità del gravame (art. 108 cpv. 1 lett. b LTF) - il Tribunale federale esamina infatti solamente le censure espresse con sufficiente chiarezza e che hanno pertinenza con la motivazione del giudizio impugnato o perlomeno con l'oggetto della causa; non è tenuto a vagliare tutte le questioni giuridiche che si pongono, come farebbe un'autorità di prima istanza (DTF 133 III 545 consid. 2.2 pag. 550).
Qualora venga fatta valere la violazione di diritti fondamentali, le esigenze di motivazione sono ancora più rigorose; il Tribunale federale esamina infatti queste censure solo se il ricorrente le ha debitamente sollevate e motivate, come prescritto dall'art. 106 cpv. 2 LTF. Il campo di applicazione di questa norma corrisponde a quello del precedente ricorso di diritto pubblico per violazione dei diritti costituzionali e valgono pertanto le regole di motivazione poste dall'art. 90 cpv. 1 lett. b OG (DTF 133 III 638 consid. 2).
1.3.2.2 Va inoltre rammentato che il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); può scostarsene solo se esso è stato svolto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto, ossia arbitrario (art. 105 cpv. 2 LTF). Ed è pertanto solo in questa stessa (ridotta) misura che l'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza cantonale può venir censurato in sede di ricorso (art. 97 cpv. 1 prima parte LTF); occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 seconda parte LTF).
Tocca alla parte che propone una fattispecie diversa da quella contenuta nella sentenza impugnata il compito di esporre in maniera circostanziata il motivo che la induce a ritenere adempiute le condizioni di una delle eccezioni previste dall'art. 105 cpv. 2 LTF (art. 97 cpv. 1 LTF). Se essa si prevale di un accertamento dei fatti arbitrario, le esigenze di motivazione corrispondono a quelle vigenti sotto l'egida dell'OG per il ricorso di diritto pubblico fondato sulla violazione del divieto dell'arbitrio nell'accertamento dei fatti e nell'apprezzamento delle prove (cfr. DTF 133 II 249 consid. 1.4.3).
2. Nella sentenza impugnata, dopo aver formulato alcune considerazioni generali sull'azione di accertamento dell'inesistenza del debito ex art. 85a LEF (ruolo delle parti e onere della prova, sospensione provvisoria dell'esecuzione) e stabilito l'applicabilità del diritto elvetico alla fattispecie, la Corte cantonale ha esaminato se alla banca possa essere imputata una responsabilità per violazione del contratto di mandato o per atto illecito, giungendo in ambedue i casi a una conclusione negativa.
I giudici ticinesi hanno infatti deciso che i requisiti per ammettere una responsabilità del mandatario giusta l'art. 398 CO non sono adempiuti, mentre eventuali pretese derivanti da un atto illecito sarebbero in ogni caso prescritte.
3. Contro questa decisione la ricorrente propone alcune censure formali che è opportuno trattare preliminarmente.
3.1 In primo luogo adduce la nullità - definita "inutilità assoluta" - della sentenza cantonale per il motivo ch'essa ha respinto l'appello datato 11 marzo 2005 (concernente le misure cautelari) e non quello dell'11 agosto 2006.
Effettivamente il dispositivo n. 1 del giudizio impugnato menziona l'appello dell'11 marzo 2005. Ma si tratta manifestamente di una svista di battitura, come fa notare anche la Presidente della II Camera civile del Tribunale d'appello nelle osservazioni del 7 dicembre 2007. L'unica procedura ancora pendente è infatti quella concernente l'appello dell'11 agosto 2006, così come emerge inequivocabilmente dalla motivazione della sentenza. L'appello dell'11 marzo 2005, citato per errore nel dispositivo, si riferiva alla procedura cautelare sfociata nella sentenza del 4 aprile 2006 della II Camera civile del Tribunale d'appello.
3.2 La ricorrente si duole poi della lesione del diritto di essere sentito; evoca l'art. 29 cpv. 2 Cost. ed "eccepisce la carenza assoluta di motivazione" sulla questione "status solvenza-insolvenza".
La critica è manifestamente infondata. La pronunzia impugnata adempie palesemente i requisiti posti dall'art. 29 cpv. 2 Cost., norma che istituisce peraltro una garanzia minima e sussidiaria rispetto agli ordinamenti cantonali. I giudici ticinesi hanno infatti indicato abbondantemente i motivi che stanno alla base della reiezione dell'appello e la ricorrente è stata indubbiamente posta nella condizione di capirne la portata e di proporre i rimedi adeguati con conoscenza di causa (cfr. DTF 133 III 439 consid. 3.3 con rinvii). In particolare, il tema specifico dell'insolvenza della banca escussa, al quale si allude nel ricorso, è stato espressamente trattato al consid. 11.2.
4. Per quanto concerne il merito, l'allegato ricorsuale può essere diviso in due parti. Nella prima, da pagina 11 a 44, la ricorrente si diffonde su difetti di "competenza funzionale" dei giudici ticinesi, su irregolarità commesse nel seguire "il processo giurisdizionale di cognizione ordinaria" invece di quello di esecuzione fallimentare così come sul conseguente "eccesso di potere giurisdizionale", sulla violazione di innumerevoli norme e principi giuridici tra i quali quelli di uguaglianza, della buona fede, della legalità e di divieto d'arbitrio nonché infine sul litisconsorzio necessario in relazione con il rispetto delle regole del contraddittorio. Nella seconda parte, a partire da pagina 44, il gravame tratta dei gruppi societari; in particolare la ricorrente assevera una responsabilità diretta e solidale tra la casa madre e i membri del gruppo in caso di inadempimento contrattuale.
4.1 Tenuto conto delle esigenze di motivazione descritte al consid. 1.3.2 ci si potrebbe chiedere se gli argomenti ricorsuali - presentati in una quarantina di pagine di elucubrazioni astratte, per buona parte incomprensibili, con pochissimi riferimenti diretti alla motivazione della sentenza impugnata - non dovrebbero venir dichiarati inammissibili. La questione può rimanere indecisa, visto che il gravame è comunque destinato all'insuccesso per i motivi che seguono.
4.2 Nel groviglio redazionale appena esposto si possono isolare quattro temi.
4.2.1 Nel primo viene censurata la procedura applicata dai giudici ticinesi. Ora, l'azione di accertamento dell'inesistenza del debito è prevista dall'art. 85a LEF: essa tende all'annullamento e alla sospensione dell'esecuzione (cpv. 3) e va trattata con la procedura accelerata (cpv. 4). In concreto, la Corte cantonale ha respinto l'appello proposto dalla ricorrente contro il giudizio di primo grado, nel quale, secondo la procedura accelerata, era stata accertata l'inesistenza del debito dell'attrice e annullata l'esecuzione promossa contro di essa. Entro i limiti in cui è censurato in modo comprensibile, il diritto federale risulta essere stato applicato in modo corretto.
4.2.2 La ricorrente sostiene poi di costituire un litisconsorzio necessario con la C._SA, la quale andava pertanto convenuta in causa, pena la lesione del principio del contraddittorio e del diritto di essere sentiti.
Sennonché la Corte cantonale ha accertato in fatto - quindi in modo vincolante per il Tribunale federale (art. 105 cpv. 1 LTF) - che la C._SA ha ceduto le proprie pretese alla ricorrente. In queste circostanze, le conclusioni che la Corte ha tratto quo alla titolarità del credito, nel senso che è passato alla cessionaria, e alla conseguente inesistenza di un litisconsorzio necessario sono conformi all'art. 164 cpv. 1 CO. La ricorrente non può dunque prevalersi della lesione di diritti che competerebbero semmai alla C._SA.
4.2.3 Quanto agli argomenti concernenti la responsabilità dei gruppi societari, la ricorrente non si avvede che il Tribunale d'appello ha sì evocato la questione, ma l'ha per finire lasciata indecisa, non essendo comunque adempiuti i presupposti della responsabilità contrattuale.
4.2.4 A quest'ultimo proposito il giudizio cantonale ha ricordato che, in forza degli art. 398 cpv. 1 e 321 cpv. 1 CO, il mandatario risponde del danno che cagiona intenzionalmente o per negligenza. Dopo aver precisato che l'inversione dei ruoli processuali insita nell'azione dell'art. 85a LEF non influisce sull'onere probatorio, i giudici cantonali hanno rammentato che spetta al mandante provare il danno, la violazione del contratto e il nesso casuale adeguato, mentre la colpa è presunta. Essi hanno quindi stabilito che la ricorrente non è stata in grado di provare il danno, avendo prodotto soltanto un conteggio di parte, contestato, e non essendo i documenti agli atti sufficienti per ricostruire la situazione.
Dinanzi al Tribunale federale la ricorrente contesta questa motivazione e asserisce che agli atti vi sarebbero documenti con "valenza confessoria". Così facendo propone però soltanto una critica appellatoria inammissibile, dimenticando che la natura fattuale dell'accertamento dell'esistenza e dell'entità del danno (DTF 122 III 219 consid. 3b con rinvii) imponeva una motivazione qualificata (cfr. quanto esposto al consid. 1.3.2.2).
La mancata prova del danno ha per conseguenza il fondamento dell'azione d'inesistenza del debito, senza che sia necessario soffermarsi anche sugli altri requisiti dell'azione di responsabilità valutati dall'autorità cantonale.
5. In conclusione, il ricorso va respinto nella ridotta misura in cui è ammissibile.
Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).
Il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso sussidiario in materia costituzionale è inammissibile.
2. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso in materia civile è respinto.
3. Le spese giudiziarie di fr. 15'000.-- sono poste a carico della ricorrente, la quale rifonderà all'opponente fr. 17'000.-- per ripetibili della sede federale.
4. Comunicazione alla ricorrente, al patrocinatore dell'opponente e
alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.