Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führt ein Strafverfahren gegen X._ wegen des Verdachts der mehrfachen sexuellen Handlungen mit Kindern. Sie wirft ihm vor, bei Chat-Kontakten im Internet vor der Webcam in Live-Übertragungen vor unter 16-jährigen Kindern masturbiert zu haben. Überdies soll er unter 16-jährige Chat-Partner aufgefordert haben, selbst vor der Webcam sexuelle Handlungen an sich vorzunehmen. Ausserdem soll er Treffen mit unter 16-jährigen Chat-Partnern geplant und ihnen Geld für die Vornahme sexueller Handlungen angeboten haben.
Seit dem 10. Juni 2009 befindet sich X._ in Untersuchungshaft.
Diese verlängerte der Haftrichter Basel-Stadt am 29. März 2010 wegen Fortsetzungsgefahr um weitere 8 Wochen, d.h. bis zum 26. Mai 2010.
Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies der Präsident des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt am 26. April 2010 ab. Dieser bejahte - nebst dem unbestrittenen dringenden Tatverdacht - Fortsetzungsgefahr gestützt auf die Stellungnahme hierzu des psychiatrischen Sachverständigen Dr. med. Y._ (E. 3). Ausserdem beurteilte der Appellationsgerichtspräsident die Haft in zeitlicher Hinsicht als verhältnismässig (E. 4).
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, das Urteil des Appellationsgerichtspräsidenten sei aufzuheben und der Beschwerdeführer unverzüglich auf freien Fuss zu setzen.
C. Der Haftrichter hat auf Vernehmlassung verzichtet. Der Appellationsgerichtspräsident und die Staatsanwaltschaft beantragen unter Hinweis auf das angefochtene Urteil die Abweisung der Beschwerde.
X._ hat auf eine Stellungnahme dazu verzichtet.
D. Mit Verfügung vom 26. Mai 2010 hat der Haftrichter die Untersuchungshaft wegen Fortsetzungsgefahr erneut um 8 Wochen verlängert. X._ befindet sich somit nach wie vor in Haft.
Erwägungen:
1. Gegen das angefochtene Urteil ist gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach Art. 80 BGG zulässig.
Der Beschwerdeführer ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG zur Beschwerde befugt.
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt, die Fortsetzung der Untersuchungshaft verletze sein verfassungsmässiges Recht auf persönliche Freiheit.
2.2 Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) wegen der Fortsetzung der Untersuchungshaft erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung des entsprechenden kantonalen Rechts frei (BGE 135 I 71 E. 2.5 S. 73 f. mit Hinweis).
2.3 Gemäss § 69 lit. c der Strafprozessordnung vom 8. Januar 1997 des Kantons Basel-Stadt (StPO; SG 257.100) darf gegen die angeschuldigte Person Untersuchungshaft angeordnet werden, wenn sie eines Verbrechens, eines Vergehens oder einer wiederholten Tätlichkeit dringend verdächtigt ist und überdies konkrete Umstände vorliegen, die befürchten lassen, sie werde die Freiheit benützen zur Begehung von Verbrechen, Vergehen oder wiederholten Tätlichkeiten (Fortsetzungsgefahr).
Der dringende Tatverdacht ist hier grundsätzlich unbestritten (Beschwerde S. 10 A./2.). Der Beschwerdeführer macht (Beschwerde S. 11 ff.) geltend, die Fortsetzungsgefahr nach § 69 lit. c StPO sei zu verneinen. Mit einer Medikation und therapeutischen Begleitung könne diese auf ein so geringes Mass herabgesetzt werden, dass die Haftentlassung verantwortet werden könne.
2.4 Sinn und Zweck der Anordnung von Haft wegen Fortsetzungsgefahr ist die Verhütung von Verbrechen. Die Haft ist somit überwiegend Präventivhaft. Die Notwendigkeit, den Angeschuldigten an der Begehung einer strafbaren Handlung zu hindern, anerkennt Art. 5 Ziff. 1 lit. c EMRK ausdrücklich als Haftgrund. Die Anordnung von Haft wegen Fortsetzungsgefahr dient auch dem strafprozessualen Ziel der Beschleunigung, indem verhindert wird, dass sich das Verfahren durch immer neue Delikte kompliziert und in die Länge zieht (BGE 135 I 71 E. 2.2 S. 72; 123 I 268 E. 2c S. 270; 105 Ia 26 E. 3c S. 31).
Nach der Rechtsprechung ist die Anordnung von Untersuchungshaft wegen Fortsetzungsgefahr verhältnismässig, wenn die Rückfallprognose sehr ungünstig ist und die zu befürchtenden Delikte von schwerer Natur sind. Die rein hypothetische Möglichkeit der Verübung weiterer Delikte sowie die Wahrscheinlichkeit, dass nur geringfügige Straftaten verübt werden, reichen dagegen nicht aus, um eine Präventivhaft zu begründen (BGE 135 I 71 E. 2.3, 2.6 und 2.11 S. 73 ff.; 133 I 270 E. 2.2 S. 276, mit Hinweisen).
2.5 Am 27. März 2010 hat Dr. med. Y._ zur Frage der beim Beschwerdeführer gegebenen Fortsetzungsgefahr vorab - d.h. vor der Erstattung des Hauptgutachtens - schriftlich Stellung genommen; dies unter Berücksichtigung der zwischenzeitlich eingeleiteten triebdämpfenden (antiandrogenen) Medikation mit dem Mittel "Lucrin".
Der Sachverständige legt insbesondere dar, der Beschwerdeführer müsse der Hochrisikogruppe sexueller Missbrauchstäter (im Sinne eines Lebenslauf- oder Hangtäters) zugeordnet werden (S. 3). Seine Sexualdelinquenz könne nicht als Ausdruck kurzzeitiger lebensphasischer Veränderungen oder einer besonderen aktuellen Konflikt- oder Belastungssituation verstanden werden, sondern lasse ein persönlichkeitsgebundenes, eingeschliffenes sowie durch Strafandrohungen und therapeutische Massnahmen bisher kaum beeinflussbares Verhaltensmuster mit lebensgeschichtlich überdauernder Delinquenzbereitschaft erkennen (S. 4). Diagnostisch liege beim Beschwerdeführer zweifelsfrei eine fixierte, persönlichkeitsstrukturell verankerte und chronifizierte Abweichung des Sexualverhaltens im Sinne einer stabilen und hochdynamischen pädophilen Sexualpräferenz vor. Daneben zeigten sich in seiner lebensgeschichtlichen Entwicklung auch Merkmale einer kombinierten Persönlichkeitsstörung mit dissozialen, narzisstischen und unreifen Zügen (S. 4). In seiner Selbstdarstellung präsentiere er sich nur eingeschränkt offen und wenig selbstkritisch, ohne ausreichendes Problem- und Risikobewusstsein, mit deutlichen Leugnungs- und Bagatellisierungstendenzen sowie einer ungenügenden Selbsteinschätzung bezüglich Risikosituationen (S. 5). Aufgrund seiner strukturellen Persönlichkeitspathologie (in Verbindung mit seiner ausschliesslich pädophilen Sexualpräferenz) sei er in seinen Beziehungs- und Kommunikationsfähigkeiten erheblich gestört bzw. eingeschränkt. Seine Beziehungsgestaltung werde ebenso wie seine Wahrnehmung anderer Menschen dominiert von seinen tief verwurzelten pädophilen, infantil-narzisstischen und egozentrische-ausbeuterischen Wünschen bei gleichzeitig ausgeprägtem Empathiemangel (S. 5). Auch seine berufliche und soziale Leistungsfähigkeit sei erheblich beeinträchtigt. In der Vorgeschichte bestünden überwiegend instabile Arbeitsverhältnisse, zuletzt seit mehreren Jahren Arbeitslosigkeit mit mangelnder Tagesstruktur und einem extrem eingeengten, auf die Suche nach pädophilen Kontakten zu minderjährigen Jungen fixierten Horizont von Interessen und Freizeitaktivitäten (S. 6). Anlässlich der jetzigen psychiatrischen Untersuchung habe der Beschwerdeführer sowohl seine zahlreichen früheren, rechtskräftig festgestellten pädosexuellen Missbrauchsdelikte wie auch die aktuellen Tatvorwürfe weitgehend eingeräumt, dabei jedoch kein nachvollziehbares Bedauern über die von ihm verursachte Schädigung seiner zahlreichen Opfer, in diesem Sinne auch keine aufrichtige Reue und auch keine tatsächliche und glaubhafte Bereitschaft erkennen lassen, sich intensiv und selbstkritisch mit der Situation der geschädigten Jungen wie auch mit seinen Taten auseinanderzusetzen (S. 6 f.). Die Behandlungsprognose müsse als ausgesprochen ungünstig beurteilt werden, da neben seiner fixierten Kernpädophilie noch weitere, seine Sexualdelinquenz begünstigende und therapeutisch nur sehr schwer beeinflussbare (dissoziale, narzisstische und infantil-unreife) Persönlichkeitsfaktoren vorlägen, ausserdem frühere ambulante sowie stationäre Behandlungsversuche (mit intensiver Einzel- und Gruppentherapie) letztlich ohne nachhaltigen Erfolg geblieben seien, der heute 42-jährige Beschwerdeführer nur noch über sehr begrenzte Nachreifungs- und Entwicklungspotenziale verfüge und überdies bei ihm heute noch keine ausreichende Motivation zur Selbstveränderung, zu einer reiferen Gestaltung seiner Beziehungen und zur Etablierung eines normkonformen Lebensstils feststellbar seien (S. 8). Es existierten weder eine erprobte und erfolgversprechende Behandlungskonzeption noch eine geeignete therapeutische Institution, um die komplexe, strukturell verankerte Persönlichkeits-, Sexual- und Beziehungsproblematik des Beschwerdeführers therapeutische günstig zu beeinflussen und das daraus resultierende hohe Wiederholungsrisiko einschlägiger pädosexueller Missbrauchsdelikte langfristig und nachhaltig zu minimieren. Das vom Beschwerdeführer vorgeschlagene Konstrukt ambulanter therapeutischer Gespräche bei einem ihm bekannten Psychotherapeuten in Verbindung mit einer unterstützenden antiandrogenen Medikation möge im günstigsten Fall für eine gewisse Zeit das Rückfallrisiko für impulsive und aggressiv-penetrierende Sexualdelikte etwas reduzieren. Aufgrund der im Kern fortbestehenden strukturellen Persönlichkeitsdefizite und intensiven pädosexuellen Beziehungswünsche des Beschwerdeführers, der leichten Verfügbarkeit potentieller Opfer und der unzureichenden Kontrollmöglichkeiten im ambulanten Feld erscheine diese Konzeption jedoch nicht geeignet, bzw. unzureichend, die Wiederholungswahrscheinlichkeit für pädophil motivierte Kontakt- und Beziehungsgestaltungen wesentlich zu vermindern (S. 8 f.). Als gravierendes und prognostisch relevantes Vorkommnis müsse gewertet werden, dass der Beschwerdeführer während seines stationären Aufenthalts auf der geschlossenen Forensischen Abteilung der Klinik Z._ (unter Missachtung der ihm bekannten Stationsregel des "no touch" und des Verbots nächtlicher Besuche in anderen Patientenzimmern) selbst unter der Lucrin-Medikation bei einem nur noch minimalen Testosteron-Speigel ein eindeutig inadäquates Kontaktverhalten gegenüber einem schwächeren 40-järhigen, jedoch deutlich jünger wirkenden, geistig behinderten und widerstandsunfähigen Mitpatienten (mit typischen Merkmalen eines kindlich-naiven Gemüts) gezeigt habe. Er habe diesen Mitpatienten nachts in dessen Zimmer aufgesucht und gestreichelt, was dieser als sexuelle Belästigung empfunden habe. Zum einen müsse dieses Verhalten des Beschwerdeführers als deutlicher Hinweis auf die Stärke und Persistenz seiner narzisstisch-pädophilen Wünsche nach Intimität sowie auf seinen Empathiemangel und seine begrenzte Handlungskontrolle gewertet werden. Zum andern bestätige sich hierin, dass die alleinige anitandrogen-induzierte Absenkung des Testosteronspiegels auf Kastrationsniveau keineswegs auch die pädophil-emotionale Bedürftigkeit des Beschwerdeführers reduziere und deshalb nicht ausreiche, seine intensiven, in seiner strukturellen Persönlichkeits- und Beziehungspathologie wurzelnden pädophilen Kontakt-, Dominaz- und Zärtlichkeitswünsche unter Kontrolle zu halten (S. 11).
Der Sachverständige bemerkt abschliessend, in der Gesamtbeurteilung überwögen zum gegenwärtigen Zeitpunkt noch immer eindeutig ungünstige prognostische Faktoren. Gutachterlicherseits könne derzeit noch nicht mit der erforderlichen Sicherheit festgestellt werden, dass die in den Anlassdelikten zutage getretene Gefährlichkeit des Beschwerdeführers nicht mehr fortbestehe oder weitgehend minimiert sei und keine weiteren sexuellen Übergriffe oder Missbrauchshandlungen zum Nachteil Minderjähriger (oder anderer widerstandsunfähiger Personen) mehr zu befürchten seien. Die vorgeschlagene Konzeption ambulanter psychotherapeutischer Gespräche, kombiniert mit einer antiandrogenen Depotmedikation, sei in ihrer kriminalpräventiven Wirksamkeit beim Beschwerdeführer bisher noch nicht unter Lockerungsbedingungen ausreichend erprobt, werde auch nicht von einer fortlaufenden forensisch-psychiatrischen Risikobeurteilung (mit Möglichkeiten der sofortigen Intervention bei sich abzeichnenden risikoträchtigen oder anderen kritischen Entwicklungen) begleitet und erscheine deshalb unzureichend, die beschriebenen Risikovariablen so weit zu minimieren, dass von einer günstigen Kriminalprognose ausgegangen werden könnte (S. 11 f.).
2.6 Die Darlegungen des Sachverständigen sind - wie die Vorinstanz (E. 3.4) zutreffend erwägt - nachvollziehbar und überzeugen. Aufgrund dessen besteht nicht nur die theoretische Möglichkeit, dass der Beschwerdeführer nach einer Haftentlassung erneut sexuelle Handlungen mit Kindern vornehmen könnte. Vielmehr sind dafür ernsthafte Anhaltspunkte gegeben. Bei sexuellen Handlungen mit Kindern nach Art. 187 Ziff. 1 StGB handelt es sich um ein Verbrechen (Art. 10 Abs. 2 StGB) und damit eine schwere Straftat. An der Verhinderung derartiger Delikte besteht ein erhöhtes öffentliches Interesse. Wenn die Vorinstanz im Lichte der Ausführungen von Dr. Y._ Fortsetzungsgefahr bejaht hat, verletzt das daher kein Verfassungsrecht.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt (Beschwerde S. 13 ff.), die Dauer der Haft sei nicht mehr verhältnismässig.
3.2 Gemäss Art. 31 Abs. 3 BV und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich beurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Sie liegt dann vor, wenn die Haftfrist die mutmassliche Dauer der zu erwartenden freiheitsentziehenden Sanktion übersteigt (vgl. ebenso § 72 Abs. 1 Satz 2 StPO). Bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit der Haftdauer ist namentlich der Schwere der untersuchten Straftaten Rechnung zu tragen. Der Richter darf die Haft nur so lange erstrecken, als sie nicht in grosse zeitliche Nähe der (im Falle einer rechtskräftigen Verurteilung) konkret zu erwartenden Dauer der freiheitsentziehenden Sanktion rückt. Nach der übereinstimmenden Rechtsprechung des Bundesgerichts und des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte ist die Frage, ob eine Haftdauer als übermässig bezeichnet werden muss, aufgrund der konkreten Verhältnisse des einzelnen Falles zu beurteilen. Für die Beurteilung der Verhältnismässigkeit der Haft spielt es jedoch grundsätzlich keine Rolle, dass für die in Aussicht stehende Freiheitsstrafe gegebenenfalls der bedingte oder teilbedingte Vollzug gewährt werden kann. Der grossen zeitlichen Nähe der konkret zu erwartenden Freiheitsstrafe ist aber auch besondere Beachtung zu schenken, weil der Strafrichter dazu neigen könnte, die Dauer der nach Art. 51 StGB anrechenbaren Untersuchungshaft bei der Strafzumessung mitzuberücksichtigen (BGE 133 I 270 E. 3.4.2 S. 281 f. mit Hinweisen).
3.3 Für sexuelle Handlungen mit Kindern droht Art. 187 Ziff. 1 StGB Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder Geldstrafe an. Dem Beschwerdeführer wird mehrfache Tatbegehung vorgeworfen. Der Strafrahmen erhöht sich deshalb nach Art. 49 Abs. 1 StGB auf 7 1⁄2 Jahre Freiheitsstrafe.
Der Beschwerdeführer steht nicht nur unter dem dringenden Verdacht, exhibitionistische Handlungen vor der Webcam vorgenommen zu haben. Er soll überdies unter 16-jährige Chat-Partner aufgefordert haben, selbst vor der Webcam zu masturbieren. Es besteht ausserdem der dringende Verdacht, dass er Treffen mit unter 16-jährigen Chat-Partnern geplant und den Knaben Geld für die Vornahme sexueller Handlungen angeboten hat.
Der Beschwerdeführer ist erheblich und einschlägig vorbestraft. Am 2. März 1994 verurteilt ihn das Strafgericht Basel-Stadt insbesondere wegen Schändung, mehrfacher sexueller Handlungen mit einem Kind, Freiheitsberaubung und Entführung zu 2 Jahren und 6 Monaten Gefängnis; am 14. August 1996 das Appellationsgericht Basel-Stadt wegen mehrfacher sexueller Handlungen mit einem Kind und mehrfacher sexueller Nötigung zu 18 Monaten Zuchthaus; am 22. April 1999 das Strafgericht Basel-Stadt wegen mehrfacher sexueller Handlungen mit einem Kind und Pornographie zu 2 Jahren und 9 Monaten Gefängnis, dies unter Aufschub des Strafvollzugs und Einweisung in eine Pflegeanstalt.
Im Jahr 2005 wurde er bedingt entlassen bei einer Probezeit bis 2007. Kurz nach Ablauf der Probezeit soll er erneut rückfällig geworden sein.
Die Untersuchungshaft dauerte im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils rund 10 1⁄2 Monate. Würdigt man die dargelegten belastenden Umstände gesamthaft, ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz angenommen hat, dass diese Dauer noch nicht in grosse zeitliche Nähe der im Falle einer Verurteilung zu erwartenden Freiheitsstrafe gerückt ist.
Die Beschwerde erweist sich daher auch im vorliegenden Punkt als unbegründet.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen.
Die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers kann angenommen werden. Da die Untersuchungshaft einen schweren Eingriff in die persönliche Freiheit darstellt, konnte er sich zur Beschwerde veranlasst sehen. Die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach Art. 64 StGB wird daher bewilligt. Es werden keine Kosten erhoben und der Vertreterin des Beschwerdeführers wird eine Entschädigung ausgerichtet.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Der Vertreterin des Beschwerdeführers, Advokatin Sandra Sutter-Jeker, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Strafgericht des Kantons Basel-Stadt, Haftrichter, sowie dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juni 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri