A.- Par jugement du 15 novembre 2001, le Tribunal de première instance de Genève a condamné F._ à verser à sa fille O._, dès le 1er juin 2001, une contribution d'entretien d'un montant de 1'400 fr. par mois, allocations non comprises, pendant la durée de ses études.
Le 21 décembre 2001, F._ a appelé de ce jugement auprès de la Cour de justice du canton de Genève.
B.- Par lettre recommandée du 3 janvier 2002, cette juridiction a demandé à l'appelante de lui faire parvenir, d'ici au 28 janvier 2002, un émolument de mise au rôle de 1'500 fr., en application des art. 11 et 21 du règlement cantonal fixant le tarif des greffes en matière civile du 9 avril 1997 (E 3 05.10; ci-après: le règlement). Ce courrier mentionnait comme annexe un bulletin de versement et précisait ce qui suit: "Nous attirons votre attention sur le fait que, faute par vous de procéder comme indiqué ci-dessus et dans le délai imparti, votre appel sera déclaré irrecevable. "
Constatant que l'appelante n'avait pas justifié du paiement de cet émolument dans le délai fixé, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 18 février 2002, déclaré l'appel irrecevable.
C.- F._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Elle conclut à son annulation et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision.
L'intimée propose le rejet tant de la requête d'effet suspensif que du recours et la confirmation de l'arrêt attaqué. Elle sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire.
L'autorité cantonale n'a pas formulé d'observations et s'est référée aux considérants de son arrêt.
D.- Par ordonnance du 19 avril 2002, le président de la cour de céans a admis la demande d'effet suspensif en ce qui concerne la contribution due à l'intimée jusqu'en février 2002; il l'a rejetée pour le surplus.
Considérant en droit :
1.- a) Formé en temps utile contre une décision finale rendue en dernière instance cantonale, le recours est recevable au regard des art. 86 al. 1 et 89 al. 1 OJ.
b) Dans la procédure de recours de droit public, la partie adverse n'a aucun droit de disposition sur l'objet du litige (Marti, Die staatsrechtliche Beschwerde, 4e éd., p. 53 n. 70 et p. 144 n. 259); elle ne peut que conclure à l'irrecevabilité ou au rejet du recours, et critiquer les points de l'acte attaqué qui lui sont défavorables (ATF 115 Ia 27 consid. 4a p. 30; 101 Ia 521 consid. 3 p. 525), sans pouvoir prendre de conclusions propres sur le fond (ATF 109 Ia 169 consid. 3a p. 170; 107 Ia 269 consid. 1 p. 271). Les conclusions de l'intimée sont dès lors irrecevables dans la mesure où elles visent à la confirmation de la décision attaquée.
c) Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; ATF 127 I 38 consid. 3c p. 43; 127 III 279 consid. 1c p. 282; 126 III 524 consid. 1c p. 526, 534 consid. 1b p. 536).
2.- La recourante prétend d'abord que l'arrêt attaqué serait arbitraire dans la mesure où il ne reposerait sur aucune base légale. Elle se plaint en outre à cet égard d'une violation du principe de la séparation des pouvoirs.
a) En vertu de l'autonomie dont ils disposent en matière de procédure (art. 122 al. 2 Cst.), les cantons sont libres de définir les sanctions attachées aux conséquences d'un défaut de versement d'une avance de frais (ATF 104 Ia 105 consid. 4 p. 108). En droit genevois, l'art. 121 de la loi d'organisation judiciaire du 22 novembre 1941 (LOJ/GE) dispose que les parties avancent au greffe les émoluments fixés réglementairement. Selon l'art. 2 du règlement édicté par le Conseil d'Etat conformément à l'art. 120 al. 1 LOJ/GE, les émoluments sont perçus sous forme d'émoluments de mise au rôle, d'émoluments complémentaires, d'émoluments de décision et d'émoluments de greffe (al. 1). Sauf disposition contraire, ils sont perçus en première et en deuxième instance (al. 2).
Aux termes de l'art. 3 al. 1 du règlement, l'émolument de mise au rôle et les sûretés destinées à garantir le paiement de l'émolument complémentaire ou de décision sont perçus auprès de la partie demanderesse, sous peine d'irrecevabilité de la demande.
b) La recourante soutient que cette dernière disposition ne concerne que les demandes déposées en première instance.
Cet argument apparaît manifestement infondé. L'art. 3 du règlement vise en effet clairement toute partie qui saisit une autorité judiciaire (arrêt 4P.248/2000 du 26 avril 2001, consid. 3d), que ce soit en première ou en deuxième instance (art. 2 al. 2 du règlement). Il est vrai que la disposition citée mentionne la partie demanderesse, et non pas la partie appelante. Il n'est cependant pas arbitraire de considérer comme partie demanderesse, au sens de cette disposition, celle qui demande que la cause soit réexaminée en appel (arrêt 4P.75/2002 du 30 avril 2002, consid. 2c). La recourante prétend en outre qu'au vu de sa gravité, une telle conséquence - l'irrecevabilité de l'appel - devrait être inscrite dans une loi cantonale. Elle ne paraît toutefois pas faire valoir que cette sanction devrait reposer sur une base légale formelle, et non sur un simple règlement. Même s'il fallait comprendre que la recourante entend soulever un tel grief, il devrait être écarté, faute de motivation suffisante (art. 90 al. 1 let. b OJ).
3.- La recourante reproche aussi à la Cour de justice d'avoir commis arbitraire en statuant contrairement à sa propre jurisprudence. Elle soutient que, dans l'affaire citée par l'autorité cantonale pour justifier sa décision (SJ 1989 p. 155), l'appelant a bénéficié d'un "double délai" d'une durée de plus de 5 mois (recte: un peu moins de 4 mois) pour effectuer le versement de l'avance de frais alors que, dans le cas particulier, il ne lui a été imparti qu'un seul délai de 24 jours.
Ce moyen est à l'évidence infondé. Il résulte en effet de l'arrêt cantonal précité qu'en droit genevois, le défaut de versement de l'émolument d'introduction entraîne l'irrecevabilité de la demande ou de l'appel. Dès lors, la Cour de justice n'a manifestement pas méconnu sa jurisprudence.
Le fait que, dans cette affaire, deux mises en demeure au lieu d'une aient été adressées à l'appelant et qu'un délai plus long lui ait été fixé pour effectuer le versement de l'émolument ne permet pas d'affirmer que l'arrêt attaqué soit insoutenable.
4.- Dans un autre moyen, la recourante prétend que la décision incriminée consacre un formalisme excessif prohibé par l'art. 29 Cst. Elle soutient en particulier qu'un délai supplémentaire aurait dû lui être accordé pour verser l'émolument exigé.
En principe, aucun formalisme contraire à la Constitution n'est commis lorsque, conformément au droit de procédure applicable, la recevabilité d'un recours est subordonnée au versement d'une avance de frais dans un délai déterminé (arrêts 1P.96/1999 du 30 avril 1999, consid. 3c; 1P.163/1997 du 17 juin 1997, consid. 2; 1P.144/1993 du 16 avril 1993, consid. 3). En effet, il s'agit là d'une sanction que l'on retrouve, avec des nuances, dans la plupart des procédures cantonales et fédérale (voir notamment l'art. 150 al. 4 OJ) et qui ne constitue donc pas un formalisme excessif, pour autant que le montant de l'avance, le délai imparti pour son versement et les conséquences du défaut de paiement soient communiqués au plaideur de façon appropriée (ATF 104 Ia 105 consid. 5 p. 112; 96 I 521 consid. 4 p. 523; Poudret/Sandoz-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. V, n. 4 ad art. 150, p. 107). En l'espèce, cette dernière condition a été pleinement satisfaite par la lettre recommandée du 3 janvier 2002; la recourante ne le conteste du reste pas. Or lorsque, comme dans la présente affaire, le plaideur a préalablement reçu un avertissement adéquat, il n'est pas fondé à exiger un délai supplémentaire (arrêt 1P.49/1996 du 14 mai 1996, consid. 2b et les références), d'autant qu'il ne s'agit pas ici d'une avance symbolique destinée uniquement à éviter des recours abusifs (ATF 95 I 1 consid. 2b p. 5; cf. Poudret/Sandoz-Monod, op. cit. , loc.
cit.). L'ATF 104 Ia 105, invoqué par la recourante, ne lui est au demeurant d'aucun secours. Dans cette affaire, le non-versement de l'avance de frais en première instance avait pour conséquence que la partie ne pouvait plus présenter de nouvelle demande. A la différence de cet arrêt, le cas particulier concerne une procédure de recours, de sorte que l'intéressée ne se voit pas totalement privée d'une décision sur le fond (cf. arrêt 4P.201/2000 du 13 novembre 2000, consid. 3).
5.- Enfin, la recourante se plaint d'une violation du principe de la bonne foi. Elle expose que le montant de l'avance de frais devait être automatiquement débité du compte - selon elle régulièrement approvisionné - dont son avocat dispose auprès du tribunal. Si, à l'expiration du délai fixé, le greffe de la Cour de justice avait constaté que le compte ne présentait pas un solde suffisant pour prélever l'émolument, il aurait dû, conformément à sa pratique, l'en aviser par le biais de son conseil. En changeant sa façon de procéder sans avertissement, l'autorité cantonale aurait agi de manière imprévisible et, par conséquent, contraire à l'art. 9 Cst.
Les pièces produites par la recourante montrent que le compte de son avocat n'était pas suffisamment provisionné pour permettre le prélèvement d'une somme de 1'500 fr. à la date fixée, à savoir le 28 janvier 2002. Il n'était dès lors pas insoutenable de considérer que le versement exigé n'avait pas été effectué dans le délai imparti. La recourante prétend que l'administration aurait dû aviser son avocat que le montant en compte était insuffisant. Elle n'invoque toutefois aucune disposition du droit cantonal qui le prescrive, et ne démontre pas davantage avoir reçu des assurances en ce sens.
L'existence d'une pratique de la Cour de justice consistant à informer l'avocat du déficit de son compte n'est pas non plus établie. Il n'est toutefois pas nécessaire de trancher cette question. En effet, la recourante admet expressément que son conseil a été avisé, par lettre du 3 janvier 2002, reçue le lendemain, qu'un délai fixé au 28 janvier suivant lui était imparti pour payer l'émolument, à défaut de quoi l'appel serait déclaré irrecevable. Dans ces conditions, la recourante ne saurait se prévaloir du principe de la bonne foi. Quand bien même la pratique antérieure de la Cour de justice aurait consisté à débiter automatiquement le compte de l'avocat et à aviser celui-ci en cas de déficit, il résulte du courrier précité qu'en l'occurrence, le conseil de la recourante a été clairement informé qu'il devait verser un émolument de mise au rôle de 1'500 fr. dans un délai déterminé, sous peine d'irrecevabilité de l'appel. Si l'avocat avait des doutes sur la nécessité de procéder de la sorte, compte tenu d'un éventuel changement de pratique de l'autorité cantonale, il lui appartenait de se renseigner sans attendre l'échéance du délai.
Au reste, il n'est pas arbitraire d'imputer à la recourante le comportement de son avocat (cf. ATF 114 Ib 67 consid. 2c p. 70/71). Le grief se révèle ainsi mal fondé.
6.- Le recours doit donc être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. La recourante supportera dès lors les frais judiciaires (art. 156 al. 1 OJ) et versera en outre des dépens à l'intimée, qui s'est déterminée sur le recours et sur la requête d'effet suspensif (art. 159 al. 1 OJ). La demande d'assistance judiciaire présentée par celle-ci devient par conséquent sans objet.
Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours dans la mesure où il est recevable.
2. Met à la charge de la recourante:
a) un émolument judiciaire de 2'000 fr.
b) une indemnité de 2'500 fr. à payer à l'intimée
à titre de dépens.
3. Communique le présent arrêt en copie aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
_
Lausanne, le 11 juin 2002MDO/frs
Au nom de la IIe Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE :
Le Président,
La Greffière,