Sachverhalt:
A. K._ (Arbeitnehmerin) war bei der Association X._ (Arbeitgeberin) ab dem 1. Januar 2004 als Leiterin der sozialtherapeutischen Wohngemeinschaft "P._" angestellt, welche sie schon seit 1987 geführt hatte.
Mit Schreiben vom 21. März 2005 löste die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis mit der Arbeitnehmerin unter Einhaltung der ordentlichen sechsmonatigen Kündigungsfrist auf Ende September 2005 auf und stellte die Arbeitnehmerin ab dem 30. Juni 2005 frei.
Am 12. April 2005 fand eine Sitzung mit der Arbeitnehmerin, Vertretern der Arbeitgeberin, Betreuerinnen der Wohngemeinschaft "P._" und Eltern von betreuten Personen statt. An dieser Sitzung erhoben Betreuerinnen gegenüber der Arbeitnehmerin Vorwürfe, welche den Arbeitgeber veranlassten, die Arbeitnehmerin sofort freizustellen.
Mit Schreiben vom 13. April 2005 teilte die Arbeitnehmerin dem Arbeitgeber mit, sie akzeptiere die sofortige Freistellung, weise jedoch die gegen sie erhobenen Vorwürfe von sich.
Am 19. April 2005 leiteten Eltern von Bewohnern des Hauses "P._" ein Strafverfahren gegen die Arbeitnehmerin ein.
Im Schreiben vom 21. April 2005 führte die Arbeitgeberin gegenüber der Arbeitnehmerin namentlich aus:
"Mit diesem Schreiben bestätigen wir die fristlose Kündigung des Arbeitsverhältnisses mit Ihnen per 15. April 2005 mit der Konsequenz, dass die Lohnzahlung ebenfalls nur bis zum 15. April ausgerichtet wird."
B. Am 6. Juni 2005 klagte die Arbeitnehmerin (Klägerin) beim Arbeitsgericht Brugg gegen die Arbeitgeberin (Beklagte) auf Zahlung von Fr. 75'048.70 nebst Zins zu 5 % seit 21. April 2005. Die Klägerin forderte damit aufgrund ungerechtfertigter fristloser Kündigung vom 21. April 2005 die Zahlung des Lohnes bis Ende September 2005 und eine Entschädigung gemäss Art. 337c Abs. 3 OR in der Höhe von vier Monatslöhnen.
Die Beklagte machte in der Klageantwort geltend, die Klägerin sei an der Besprechung vom 12. April 2005 aufgefordert worden, sofort zu demissionieren. Mit Scheiben vom 13. April 2005 habe die Klägerin die sofortige Freistellung akzeptiert und dieses Demissionsschreiben sei am 21. April 2005 vom Beklagten betätigt worden. Dem Schreiben vom 21. April 2005 sei daher keine rechtsbegründende Funktion zugekommen, weil das Arbeitsverhältnis der Parteien zuvor im gegenseitigen Einvernehmen bereits aufgelöst worden sei. Eventualiter stellte sich die Beklagte auf den Standpunkt, ihre fristlose Kündigung sei gerechtfertigt gewesen, nachdem an der Besprechung vom 12. April 2005 Gründe geltend gemacht worden seien, welche es der Beklagten unzumutbar gemacht hätten, das Arbeitsverhältnis auch nur einen Tag fortzusetzen. Zu diesen Gründen zählten Zwangsmassnahmen gegenüber der Bewohnerin M._, der Umstand, dass O._, weil er zu wenig Essen bekommen habe, in seiner Not Hundebiskuits sowie altes und hartes, teilweise graues Brot gegessen habe, sowie der Umstand, dass die Klägerin nach der ordentlichen Kündigung gedroht habe, das ganze Heim anzuzünden.
Das Klageverfahren wurde ab dem 11. Juli 2006 während der Dauer des gegen die Klägerin eingeleiteten Strafverfahrens sistiert. Dieses führte zu einer strafrechtlichen Verurteilung der Klägerin, weil diese die Heimbewohnerin M._ in der Zeit zwischen Januar 2002 und Oktober 2002 während mehreren Wochen täglich beim Morgenessen genötigt hatte, Vollkornbrot zu essen, und einmal einer Bewohnerin (E._) das Essen vorenthalten hatte.
Mit Urteil vom 11. November 2011 wies das Arbeitsgericht die Klage ab. Die Klägerin focht dieses Urteil beim Obergericht des Kantons Aargau mit Appellation an, in der sie die eingeklagte Forderung auf Fr. 59'205.50 nebst Zins reduzierte. Das Obergericht ging davon aus, die Beklagte habe ihre Behauptung, wonach die Klägerin das Arbeitsverhältnis am 13. April 2005 habe auflösen wollen, nicht beweisen können. Vielmehr seien die Parteien gemäss den Aussagen der Klägerin im Privatstrafverfahren offenbar von einer einvernehmlichen Auflösung des Arbeitsverhältnisses per Ende April ausgegangen. Sodann kam das Obergericht zum Ergebnis, die fristlose Kündigung vom 21. April 2005 sei gerechtfertigt gewesen, wirke jedoch nicht bereits ab dem 15. April 2005, weshalb die Beklagte für die Zeit vom 16. bis 21. April 2005 noch Lohn schulde. Demnach verpflichtete das Obergericht mit Urteil vom 31. Mai 2011 die Beklagte in teilweiser Gutheissung der Klage, der Klägerin Fr. 1'585.40 zuzüglich Zins von 5 % seit 22. April 2005 zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Klage ab.
C. Die Klägerin erhebt Beschwerde in Zivilsachen mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin Fr. 59'205.50 nebst Zins zu 5 % seit 21. April 2005 zu bezahlen. Eventuell sei die Streitsache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich einzutreten, da sie unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) und Form (Art. 42 BGG) von der mit ihren Anträgen unterlegenen Partei (Art. 76 Abs. 1 BGG) eingereicht wurde, eine arbeitsrechtliche Zivilstreitigkeit mit einem Streitwert von mindestens Fr. 15'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG) betrifft und sich gegen einen Entscheid einer letzten kantonalen Instanz richtet (Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Rügt der Beschwerdeführer eine unvollständige Feststellung des Sachverhalts, hat er mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachenbehauptungen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozessrechtskonform eingebracht hat (Urteil 4A_526/2008 vom 21. Januar 2009 E. 3.2 mit Hinweis). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde näher darzulegen ist (BGE 134 V 223 E. 2.2.1 S. 221 mit Hinweis).
2. 2.1 Nach Art. 337 OR kann der Arbeitgeber wie der Arbeitnehmer das Arbeitsverhältnis aus wichtigen Gründen jederzeit fristlos auflösen. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist eine fristlose Kündigung ohne Verzug nach Kenntnis des wichtigen Grundes auszusprechen, andernfalls Verwirkung anzunehmen ist (BGE 123 III 86 E. 2a mit Hinweisen). Eine Frist von zwei bis drei Arbeitstagen zum Nachdenken und Einholen von Rechtsauskünften wird als angemessen erachtet. Eine längere Frist wird nur zugestanden, sofern praktische Erfordernisse des Alltags- und Wirtschaftslebens eine solche als berechtigt erscheinen lassen (BGE 130 III 28 E. 4.4 S. 34; 112 II 41 E. 3b S. 51). So wird juristischen Personen, bei denen der Entscheid über die Kündigung in die Kompetenz eines mehrköpfigen Organs fällt, aufgrund des längeren Willensbildungsprozesses eine Entscheidungsfrist von etwa einer Woche zugestanden (Urteil 4C.282/1994 vom 21. Juni 1995 E. 3a mit Hinweisen, publ. in: JAR 1997 S. 208 f.; vgl. auch Urteil 4A_569/2010 vom 14. Februar 2011 E. 3.1). Entsprechend hat das Bundesgericht eine Überlegungsfrist von acht Tagen bzw. sechs Arbeitstagen als zulässig erachtet (Urteil 4C.282/1994 vom 21. Juni 1995 E. 3b, publ. in: JAR 1997 S. 209 f.).
2.2 Das Obergericht ging davon aus, der Umstand, dass die Beschwerdeführerin strafrechtlich verurteilt wurde, weil sie eine Heimbewohnerin in der Zeit zwischen Januar 2002 und Oktober 2002 während mehreren Wochen täglich beim Morgenessen nötigte, Vollkornbrot zu essen und einmal einer Bewohnerin das Essen vorenthielt, hätte - auch wenn diese Straftaten während einer früheren Anstellung begangen worden seien - einen wichtigen Grund zur ausserordentlichen Kündigung des Arbeitsverhältnisses gemäss Art. 337 OR begründet. Zur Rechtzeitigkeit der Kündigungserklärung führte das Obergericht aus, die Beschwerdegegnerin habe das Schreiben der Beschwerdeführerin vom 13. April 2005, das die rechtliche Situation nicht geklärt habe, am 14. April 2004 erhalten. Bis zur Kündigungserklärung vom 21. April 2005 seien somit eine Woche mit vier ganzen Arbeitstagen verstrichen. Da es sich bei der Beschwerdegegnerin um eine juristische Person handle, erscheine die Kündigungserklärung als noch rechtzeitig erfolgt, zumal die Beschwerdegegnerin aufgrund der örtlichen Zerstreuung eine komplizierte Entscheidstruktur aufweise.
2.3 Die Beschwerdeführerin bestreitet vor Bundesgericht nicht, dass die fristlose Kündigung vom 21. April 2005 durch wichtige Gründe gerechtfertigt war. Sie macht jedoch geltend, die fristlose Kündigung sei nicht rechtzeitig erfolgt, da ein Vertreter der Beschwerdegegnerin bereits im Januar 2005 von den zur fristlosen Kündigung führenden Gründen bzw. Vorwürfen erfahren habe. Im Übrigen sei die Beschwerdeführerin bereits im Jahr 2002 über Übergriffe orientiert worden.
2.4 Diese Behauptungen finden im angefochtenen Urteil keine Stütze, und die Beschwerdeführerin legt weder mit Aktenhinweisen dar, dass sie entsprechende Tatsachenbehauptungen bereits bei den Vorinstanzen prozessrechtskonform eingebracht hat, noch zeigt sie auf, inwiefern erst das angefochtene Urteil zu diesen Behauptungen Anlass gegeben haben soll (vgl. E. 1.2 hiervor). Sie ist somit mit diesen Vorbringen nicht zu hören.
2.5 Weiter wendet die Beschwerdeführerin ein, die Überlegungsfrist dürfe ein bis zwei Tage, ausnahmsweise auch etwas mehr betragen. Auch wenn man sich auf den Standpunkt der Vorinstanz stellen würde, erscheine eine Woche Überlegungszeit als weit zu lange, da nicht nachgewiesen sei, dass es sich bei der Beschwerdegegnerin um eine Assoziation mit einer komplizierten Entscheidstruktur handle.
2.6 Auch mit diesen Ausführungen verkennt die Beschwerdeführerin die Bindung des Bundesgerichts an die Feststellungen im angefochtenen Urteil, indem sie ohne substanziierte Sachverhaltsrüge in Frage stellt, dass es sich bei der Beschwerdegegnerin um eine juristische Person handelt, bei welcher der Entscheid über die Kündigung in die Kompetenz eines mehrköpfigen Organs mit komplizierter Entscheidungsstruktur fällt. Inwiefern bei dieser Sachlage eine Überlegungsfrist von etwa einer Woche bundesrechtswidrig sein sollte, legt die Beschwerdeführerin nicht dar und ist nicht ersichtlich.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin dafür kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Gelzer