Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 27. März 2009 erliess die Staatsanwaltschaft des Kantons Appenzell Innerrhoden (gestützt auf Art. 55 StPO/AI) einen Haftbefehl gegen X._, der in der Folge verhaftet und am 7. April 2009 aus der Untersuchungshaft entlassen wurde. Auf eine von X._ am 2. April 2009 erhobene Beschwerde trat die Standeskommission des Kantons Appenzell Innerrhoden mit Entscheid vom 14. April 2009 nicht ein.
B. Mit Beschwerde vom 14. Mai 2009 gelangte X._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung der Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 27. März 2009 bzw. die Feststellung der "Widerrechtlichkeit des Haftbefehls und damit der Untersuchungshaft".
Die Staatsanwaltschaft und die Standeskommission liessen sich (je nach erstreckter Frist) am 19. bzw. 23. Juni 2009 vernehmen. Der Beschwerdeführer replizierte (nach erstreckter Frist) am 20. August 2009; die Standeskommission und die Staatsanwaltschaft duplizierten am 18. September bzw. 8. Oktober 2009.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde richtet sich ausdrücklich gegen den Haftbefehl der Staatsanwaltschaft vom 27. März 2009. Der Nichteintretensentscheid der Standeskommission des Kantons Appenzell Innerrhoden vom 14. April 2009 wird laut Beschwerdeschrift nicht angefochten (vgl. Beschwerdeschrift, S. 2 Ziff. I/1-2 und Ziff. II/2).
Der Beschwerdeführer wurde unbestrittenermassen am 7. April 2009 aus der Untersuchungshaft entlassen. Es kann offen bleiben, ob unter dem Gesichtspunkt des aktuellen Rechtsschutzinteresses (vgl. Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG) dennoch auf die Beschwerde eingetreten werden könnte. Der Haftbefehl vom 27. März 2009 stellt keinen anfechtbaren letztinstanzlichen Entscheid im Sinne von Art. 80 BGG dar. Ausserdem erfolgte die Beschwerde verspätet (Art. 100 Abs. 1 BGG).
2. In der Rechtsmittelbelehrung der angefochtenen Verfügung wird (mit Hinweis auf Art. 58 Abs. 2 StPO/AI) dargelegt, dass "der Verhaftete jederzeit bei der Staatsanwaltschaft Appenzell I.Rh. zu Protokoll oder schriftlich ein Gesuch um Haftaufhebung stellen" könne. Eine abweisende Verfügung der Staatsanwaltschaft bewirke "die Weiterleitung des Gesuches an den Einzelrichter" (des Bezirksgerichtes Appenzell). Der Beschwerdeführer wurde anlässlich der Hafteröffnung vom 27. März 2009 auch noch mündlich durch den befragenden Staatsanwalt auf diese Regelung hingewiesen. Wie sich aus den Akten ergibt, verzichtete der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer anlässlich der Hafteröffnung vom 27. März 2009 "zurzeit" noch darauf, ein Haftentlassungsgesuch zu stellen. Am 2. April 2009 beantragte er bei der Staatsanwaltschaft seine Haftentlassung. Gleichentags focht er den Haftbefehl mit Beschwerde bei der kantonalen Standeskommission an. Mit Schreiben vom 3. April 2009 teilte der Beschwerdeführer der Staatsanwaltschaft Folgendes mit: "Im Nachtrag zum Haftentlassungsgesuch vom 2. April 2009 ersuche ich Sie höflich, die Behandlung desselben bis zur geplanten Einvernahme vom Montag, den 6. April 2009, zu sistieren". Am 7. April 2009 wurde der Beschwerdeführer aus der Untersuchungshaft entlassen. Am 14. April 2009 trat die Standeskommission des Kantons Appenzell Innerrhoden (mit Hinweis auf Art. 56-58 StPO/AI) auf die kantonale Beschwerde nicht ein.
Auf die Beschwerde gegen den Haftbefehl der Staatsanwaltschaft ist schon mangels Letztinstanzlichkeit der angefochtenen Verfügung nicht einzutreten (Art. 80 BGG).
3. Die Beschwerde erfolgte am 14. Mai 2009 ausserdem verspätet. Wie sich aus den Akten ergibt, wurde der Haftbefehl dem Beschwerdeführer am 27. März 2009 eröffnet. Damit wurde die 30-tägige Beschwerdefrist von Art. 100 Abs. 1 BGG versäumt.
Was den Fristenlauf betrifft, stellt sich der Beschwerdeführer auf folgenden Standpunkt: "Nachdem gemäss Standeskommission kein kantonales Rechtsmittel gegen die Haftanordnung des Staatsanwalts existiert, wäre sie im Rahmen der verwaltungsrechtlichen Grundsätze verpflichtet gewesen, die Beschwerde zuständigerweise an das Bundesgericht weiterzuleiten". Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden. In ihrem Nichteintretensentscheid hat die Standeskommission keineswegs erwogen, der Haftbefehl der Staatsanwaltschaft sei nicht anfechtbar. Vielmehr hat sie betreffend strafprozessuale Haftanordnung auf die (im Haftbefehl erwähnte und bei der Hafteröffnung auch noch mündlich erläuterte) Rechtsmittelordnung von Art. 56-58 StPO/AI hingewiesen und sich im kantonalen Beschwerdeverfahren als unzuständig erklärt. Dementsprechend fehl geht auch die Annahme des Beschwerdeführers, beim angefochtenen Haftbefehl handle es sich um eine "Haftanordnung" im Sinne von Art. 31 Abs. 3 BV, welche nicht richterlich habe überprüft werden können. Wie bereits dargelegt, hat der Beschwerdeführer am 27. März 2009 (vorläufig und mündlich zu Protokoll) sowie mit Schreiben vom 3. April 2009 auf ein Haftentlassungsgesuch bzw. eine richterliche Prüfung des Haftbefehls (im Zeitraum zwischen 27. März und 6. April 2009) ausdrücklich verzichtet. Eine entsprechende Haftprüfung bzw. förmliche richterliche Haftanordnung (im Sinne von Art. 31 Abs. 3 BV) wäre noch vor der erfolgten Haftentlassung am 7. April 2009 ohne Weiteres möglich gewesen.
4. Auf die Beschwerde gegen den Haftbefehl ist nicht einzutreten.
5. In seiner Replik vom 20. August 2009 (die nach erstreckter Frist erfolgte) macht der Beschwerdeführer geltend, seine Rechtsbegehren seien gegenüber der Beschwerdeschrift vom 14. Mai 2009 "unverändert" (Seite 2 oben). In der Beschwerdeschrift hat er folgende Rechtsbegehren formuliert:
"1. Die Haftanordnung durch den Staatsanwalt des Kantons Appenzell I.Rh. vom 27. März 2009 sei aufzuheben.
2. Es sei die Widerrechtlichkeit des Haftbefehls und damit der Untersuchungs- haft festzustellen."
Unter "Formelles" hat der Beschwerdeführer verdeutlicht, dass sich die Beschwerde gegen den Haftbefehl vom 27. März 2009 richte (Beschwerdeschrift, S. 2). In seiner Replik vom 20. August 2009 (Seite 2 unten) stellt sich der Rechtsuchende nun erstmals auf den Standpunkt, seine Beschwerde richte sich auch gegen den Entscheid der Standeskommission vom 14. April 2009.
Wie sich aus den Akten ergibt, wurde der Entscheid der Standeskommission dem Beschwerdeführer am 17. April 2009 zugestellt. Innert der Beschwerdefrist von Art. 100 Abs. 1 BGG hat er weder Rechtsbegehren gegen den Nichteintretensentscheid formuliert, noch zulässige Rügen dagegen substanziiert. Die nachträglichen Vorbringen in der Replik vom 20. August 2009 erfolgen verspätet. Darüber hinaus handelt es sich auch beim Nichteintretensentscheid der Standeskommission nicht um einen letztinstanzlichen kantonalen Gerichtsentscheid (Art. 80 BGG). Gemäss ausdrücklicher Rechtsmittelbelehrung wäre dagegen eine Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Kantonsgericht zulässig gewesen (gestützt Art. 4 i.V.m. Art. 10 Abs. 1 des kantonalen Verwaltungsgerichtsgesetzes).
Auf die Beschwerde ist auch unter diesen Gesichtspunkten nicht einzutreten.
Im Übrigen wäre in diesem Zusammenhang auch keine verfassungswidrige Anwendung des kantonalen Prozessrechts ersichtlich. Wie der kantonalen Strafprozessordnung (Art. 56-58 und Art. 141 StPO/AI) und den Erwägungen des Entscheides der Standeskommission vom 14. April 2009 ohne Weiteres entnommen werden kann, war Letztere nicht zuständig, eine Beschwerde gegen den Haftbefehl vom 27. März 2009 zu prüfen.
6. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und der Standeskommission des Kantons Appenzell Innerrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Januar 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster