Faits:
A. A._ est associé gérant de X._ Sàrl, laquelle se consacre à l'exploitation d'un bureau d'ingénieurs-conseils spécialisé dans l'étude des matériaux.
Dès le 1er septembre 2000, Y._ fut engagé par la société en qualité d'ingénieur - chef de projets. Le salaire mensuel brut s'élevait à 7'500 fr., payable douze fois par an, au plus tard le trentième jour du mois courant. L'employeuse versait « à bien plaire » un bonus compris entre dix et vingt pour cent du bénéfice de chaque projet. Pour la durée du contrat et les trois ans suivant la fin des rapports de travail, l'ingénieur s'interdisait de participer directement ou indirectement à une entreprise concurrente, à son propre compte ou à quelque autre titre que ce soit, en Europe, aux Etats-Unis d'Amérique ou au Canada. S'il contrevenait à cette interdiction, l'ingénieur devrait à l'employeuse une peine conventionnelle de 10'000 fr. par cas de violation; de plus, l'employeuse pourrait en tous temps exiger la cessation des violations et réclamer des dommages-intérêts supplémentaires.
Le 18 mai 2006, lors d'un passage dans les bureaux de la société à Carouge, Y._ prit connaissance de notes personnelles de A._, manuscrites, où il apparaissait que ce dernier envisageait de le licencier. Les notes portaient aussi sur la stratégie financière de la société.
Le lendemain, par lettre recommandée, Y._ fit savoir qu'il avait jusque-là accepté des retards dans les paiements qui lui étaient dus; il n'en accepterait plus à l'avenir et il réclamait le versement de diverses sommes au total d'environ 8'700 fr., consistant dans les bonus afférents à divers projets et dans le remboursement de ses frais professionnels.
Dans la correspondance ultérieure, A._ promit à plusieurs reprises le versement réclamé, cependant sans l'exécuter; il disait compter sur les paiements à recevoir des clients de la société. Le salaire du mois de juin fut d'ailleurs versé avec plusieurs jours de retard. Le 22 juillet 2006, A._ indiqua que la société n'avait pas de fonds pour les salaires du mois d'août mais que sa situation s'améliorerait en septembre. Le 1er juillet, Y._ avait menacé de résilier le contrat de travail avec effet immédiat; le 24, il se déclara prêt à investir dans la société au cas où celle-ci ne parviendrait pas à acquitter l'arriéré avant la fin du mois, mais à condition qu'il pût obtenir la majorité des parts sociales. Enfin, le 30 juillet 2006, il donna sa démission avec effet immédiat, au motif que les bonus et frais professionnels, au total d'environ 9'000 fr., demeuraient impayés.
B. B._ Sàrl est inscrite au registre du commerce depuis le 22 août 2006. Son capital s'élève à 20'000 fr. et Y._ est associé pour une part de 18'000 francs. Elle a pour but la fourniture de tous services et conseils en matière de technologie des matériaux et de procédés de pointe.
C. Le 8 janvier 2007, Y._ a ouvert action contre X._ Sàrl devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. Après qu'il eut chiffré toutes ses conclusions, la défenderesse devait être condamnée à lui payer 10'563 fr.93 à titre de bonus, 3'751 fr.62 à titre de remboursement de frais professionnels, 4'638 fr.23 à titre de remboursement de l'impôt à la source, 28'416 fr.67 à titre de dommages-intérêts et 85'250 fr. pour réparation morale.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action et présenté une demande reconventionnelle. Celle-ci tendait au versement d'une peine conventionnelle de 10'000 fr., avec intérêts au taux de 5% par an dès le 30 juillet 2006, et de dommages-intérêts par 117'358 fr.40, avec intérêts dès le 1er janvier 2007; en outre, le tribunal devait interdire au demandeur, sous menace des peines prévues à l'art. 292 CP en cas d'insoumission aux décisions de l'autorité, de faire concurrence à la défenderesse dans le rayon territorial et pendant la durée de la prohibition convenue, personnellement, par l'intermédiaire de B._ Sàrl ou de toute autre manière.
Le tribunal s'est prononcé le 7 août 2007. En tant que la demande principale portait sur le remboursement de l'impôt à la source, le tribunal l'a déclarée irrecevable faute de compétence de l'autorité saisie. Pour le surplus, les juges ont retenu qu'en raison de la situation financière de son employeuse, le demandeur s'était trouvé dans une situation justifiant la résiliation immédiate du contrat de travail; la défenderesse lui devait des dommages-intérêts correspondant au salaire qu'il aurait perçu pendant les deux mois du délai de congé, soit 15'000 fr. Néanmoins, les circonstances ne justifiaient pas l'allocation d'une réparation morale. La défenderesse devait encore le versement de bonus et le remboursement de frais professionnels selon les conclusions de la demande, soit 10'563 fr.93 et 3'751 fr.62. Quant à la demande reconventionnelle, le demandeur ayant rompu le contrat pour un motif imputable à la défenderesse, la prohibition de concurrence avait pris fin; cette partie-ci ne pouvait donc revendiquer ni peine conventionnelle ni dommages-intérêts en conséquence de la fondation de B._ Sàrl, ni aucune autre mesure à imposer au demandeur. Cette demande était ainsi rejetée.
La défenderesse ayant appelé du jugement, le demandeur a usé de l'appel incident. La Cour d'appel a statué le 13 mars 2008; en substance, elle a confirmé le jugement. Le congé immédiat se justifiait par la situation financière de l'employeuse et par les intentions de son gérant concernant le demandeur. La Cour a augmenté les dommages-intérêts de 15'000 fr. à 20'047 fr. pour tenir compte d'une augmentation du salaire mensuel intervenue dès le début de 2004. Elle a rectifié le montant des bonus à 6'686 fr., 899 fr. et 2'978 euros, et elle a confirmé le remboursement des frais professionnels par 3'752 fr. Dues au demandeur, toutes ces sommes sont soumises aux déductions sociales et portent intérêts au taux de 5% par an dès le 31 juillet 2006.
D. Agissant par la voie du recours en matière civile, la défenderesse conteste l'existence de justes motifs de rupture du contrat et elle demande l'application de la clause de prohibition de concurrence. Elle conclut à la réforme de l'arrêt de la Cour d'appel, en ce sens qu'il soit interdit au demandeur, sous menace des peines de l'art. 292 CP, de faire concurrence à son ancienne employeuse dans le rayon territorial et pendant la durée de la prohibition convenue, personnellement, par l'intermédiaire de B._ Sàrl ou de toute autre manière, et que le demandeur soit condamné au paiement de 94'918 fr.80, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er janvier 2007.
Le demandeur conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF). Il est formé par une partie qui a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). Introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours est en principe recevable.
Le recours peut être exercé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève conformément aux exigences légales relatives à la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 133 II 249 consid. 1.4.2). En règle générale, il conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF).
2. Il est constant que les parties se sont liées par un contrat de travail et que celui-ci était conclu pour une durée indéterminée. Ledit contrat était donc susceptible d'une résiliation ordinaire avec observation d'un délai de congé, selon l'art. 335c CO, ou d'une résiliation immédiate pour de justes motifs, selon les art. 337 et 337a CO.
L'art. 337 al. 1 CO consacre le droit de résilier sans délai pour de justes motifs. D'après l'art. 337 al. 2 CO, on considère notamment comme de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail. Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués par la partie qui résilie doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave justifie le licenciement immédiat du travailleur ou l'abandon abrupt du poste par ce dernier. En cas de manquement moins grave, celui-ci ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement. Par manquement de l'une des parties, on entend en règle générale la violation d'une obligation imposée par le contrat mais d'autres faits peuvent aussi justifier une résiliation immédiate (cf. ATF 129 III 380 consid. 2.2 p. 382).
Le juge apprécie librement, selon les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC), si le congé abrupt répond à de justes motifs (art. 337 al. 3 CO). A cette fin, il prend en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position du travailleur, la nature et la durée des rapports contractuels, et la nature et l'importance des manquements (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32; 127 III 351 consid. 4a p. 354). Le Tribunal fédéral ne contrôle qu'avec réserve une décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque la décision s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; en outre, le Tribunal fédéral redresse les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32; 130 III 213 consid. 3.1 p. 220; 129 III 380 consid. 2 p. 382).
Selon l'art. 337a CO, en cas d'insolvabilité de l'employeur, le travailleur peut résilier immédiatement le contrat si des sûretés ne lui sont pas fournies, dans un délai convenable, afin de garantir ses prétentions contractuelles. En principe, les sûretés portent sur des sommes non encore exigibles; elles doivent permettre au travailleur de poursuivre son activité sans craindre de n'être pas payé (Ullin Streiff et Adrian von Kaenel, Arbeitsvertrag, 6e éd., Zurich 2006, p. 762 in initio). Quand l'employeur se trouve en demeure de verser le salaire échu, le travailleur peut recourir à l'exécution forcée et, de plus, refuser sa propre prestation jusqu'au paiement de ce qui est dû; dans ce laps de temps, le droit au salaire subsiste alors même que le travail n'est pas fourni (ATF 120 II 209 consid. 6a p. 211 et 9 p. 212; Streiff/von Kaenel, op. cit., p. 759 ch. 3). Enfin, en cas de retard répété et prolongé dans le paiement du salaire échu, si ce retard persiste en dépit d'une sommation du travailleur, celui-ci peut résilier immédiatement le contrat; la résiliation est alors fondée sur l'art. 337 CO (Streiff/von Kaenel, ibidem).
La Cour d'appel retient que le demandeur, faute d'avoir réclamé des sûretés, ne pouvait pas résilier le contrat en application de l'art. 337a CO. Elle constate que selon les notes manuscrites trouvées par le demandeur, le gérant de l'employeuse « avait l'intention de limiter ses pouvoirs au sein de la société, de l'isoler, d'avoir des contacts parallèles avec ses clients, voire de le licencier et de le dénigrer auprès desdits clients »; de plus, selon la Cour, le demandeur pouvait comprendre que le gérant avait « mis en place une stratégie financière en vue de provoquer un manque de liquidités de la société, et ce pour des raisons d'ordre privé ». Il s'agit de constatations de fait qui lient le Tribunal fédéral. La Cour constate aussi qu'en dépit de réclamations opiniâtres du demandeur, l'une d'elles accompagnées d'une menace de résiliation immédiate du contrat, la défenderesse différait depuis plus de deux mois le paiement de prestations échues dont, en principe, sinon dans les montants exacts, elle se reconnaissait débitrice. Au regard de ces faits, les juges n'ont pas abusé de leur pouvoir d'appréciation en retenant que le demandeur était autorisé à résilier le contrat sans délai, en application de l'art. 337 CO. La défenderesse se plaint donc à tort d'une violation de cette disposition.
3. Aux termes de l'art. 340c al. 2 CO, une prohibition de faire concurrence à l'employeur, convenue entre les parties au contrat de travail, cesse si le travailleur résilie ce contrat pour un motif justifié et imputable à l'employeur. Selon la jurisprudence, la prohibition subsiste lorsque les deux parties sont responsables, à peu près dans la même mesure, de la résiliation immédiate du contrat (ATF 105 II 200 consid. 6b p. 203). Il est constant qu'en l'espèce, les parties avaient convenu d'une prohibition de faire concurrence à la défenderesse.
Celle-ci développe une argumentation subsidiaire pour soutenir que même si l'on reconnaît au demandeur un motif de rupture du contrat dont la responsabilité lui soit imputable à elle, la prohibition de concurrence perdure en raison du comportement déloyal et fautif dont le demandeur doit lui-même répondre. Elle affirme que ce dernier lui a fait concurrence déjà avant la rupture du contrat. Sur ce point de fait, elle ne se réfère toutefois à aucune constatation des précédents juges. Ses allégations sont d'ailleurs très vagues: du fait que deux entreprises ont passé de sa propre clientèle à celle du demandeur, ou de la société dominée par lui, elle présume, sans avancer aucun indice, que celui-ci les a approchées alors qu'il travaillait encore à son service. Elle lui reproche aussi d'avoir préparé la fondation de B._ Sàrl, mais, compte tenu que le demandeur se trouvait en situation de menacer son employeuse d'une rupture du contrat de travail, on comprend qu'il ait pris aussi d'autres mesures en prévision de cette éventualité. Même s'ils étaient constatés, ces éléments ne suffiraient donc pas à mettre en évidence une violation de l'art. 340c al. 2 CO.
4. Il n'y a pas lieu de vérifier les montants alloués au demandeur car la défenderesse ne les conteste pas.
Le recours se révèle privé de fondement, ce qui conduit à son rejet. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 5'000 fr.
3. La défenderesse versera, à titre de dépens, une indemnité de 6'000 fr. au demandeur.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 2 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier:
Corboz Thélin