Faits:
A. En 1999, Y._, née le 30 juin 1944 et domiciliée à Genève, a été engagée en qualité d'assistante de gestion par T._ SA. Dès le 1er juin 2000, son contrat de travail a été transféré à A.T._ SA. A ce titre, elle était au bénéfice d'une assurance collective conclue avec X._ SA, qui lui assurait, sous la forme d'une assurance contre les dommages, une indemnité journalière en cas d'incapacité de travail due à la maladie correspondant à 90% du gain assuré versée du 91ème jour au 730ème jour après l'apparition de la maladie. Durant le délai d'attente de 90 jours, il était convenu que le salaire serait payé à 100% par l'employeur.
Lors d'un entretien du 8 mars 2006, l'employeur a informé l'assurée que l'âge réglementaire de la retraite au sein du groupe en Suisse avait été abaissé de 63 ans à 62 ans, âge qu'elle atteindrait le 30 juin 2006. Y._ a refusé cette mise à la retraite. L'employeur a accepté, à bien plaire, de repousser la fin des relations contractuelles au 31 août 2006, au lieu du 30 juin 2006.
Du 26 avril au 5 juin 2006, l'assurée a été incapable de travailler à 100% pour cause de maladie, puis à 50% du 6 juin jusqu'au 25 juin ou 5 juillet 2006; elle a repris le travail à plein temps du 7 juillet au 30 août 2006, avant de retomber malade à 100% dès le 31 août suivant.
Le 2 octobre 2006, B._ SA a absorbé par fusion A.T._ SA.
Prolongé pour cause de maladie, le contrat de travail conclu avec Y._ a pris fin le 28 février 2007.
Le 4 juin 2007, X._ SA a chargé le Dr A._, psychiatre, de procéder à une expertise de l'assurée.
Dans son rapport d'expertise du 15 août 2007, ce spécialiste a diagnostiqué "un état dépressif de gravité moyenne à sévère, 1er épisode". Il a considéré que l'état de l'expertisée justifiait pleinement une incapacité de travail complète dès le 31 août 2006.
Dans un avis du 18 octobre 2007, le Dr B._, psychiatre-conseil de l'assurance-chômage, a estimé que l'assurée était dans l'incapacité complète de travailler depuis le 31 juillet 2006 et qu'elle n'était pas encore assez bien pour travailler.
Dans un rapport du 27 octobre 2008 adressé à l'assurance-invalidité, le médecin traitant de l'assurée, le psychiatre C._, a attesté que les symptômes dépressifs persistaient malgré le traitement.
Dans un avis du 5 décembre 2008, le Dr D._, médecin du service médical régional de l'assurance-invalidité, a estimé qu'une interruption de travail de plus d'une année n'était pas justifiable. Sur cette base, l'assurance-invalidité, par décision du 18 février 2009, a refusé de fournir des prestations à Y._.
Par décision du 18 juillet 2008, la Caisse de compensation des banques suisses a octroyé à Y._ une rente complète de l'AVS dès le 1er juillet 2008.
B. Par acte déposé le 28 octobre 2009 devant le Tribunal cantonal des assurances sociales (devenu par la suite la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice), Y._ a formé une demande en paiement contre X._ SA, réclamant à cette dernière 78'627 fr.84 avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 1er novembre 2009, sous suite de dépens.
La défenderesse a conclu au déboutement de sa partie adverse sous suite de dépens et elle a réclamé reconventionnellement la restitution de 73'555 fr.45 avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 23 juillet 2009.
Par arrêt du 11 août 2011, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice, statuant en instance cantonale unique, a condamné l'assureur à verser à Y._ la somme de 77'408 fr.50 avec intérêts moratoires à 5% l'an dès le 11 septembre 2009; elle a rejeté la demande reconventionnelle et statué sur les dépens. En substance, la cour cantonale a considéré que le délai d'attente de 90 jours avait débuté le 26 avril 2006 et, compte tenu de la période de reprise du travail, était arrivé à échéance le 28 septembre 2006. Le délai de couverture maximum de 640 jours (730 - 90) courrait ainsi du 29 septembre 2006 au 29 juin 2008. Retenant que l'incapacité de travail de l'assurée était encore complète le 29 juin 2008, la cour cantonale a conclu qu'elle avait droit aux indemnités journalières jusqu'à cette date. Compte tenu des sommes déjà versées, la cour cantonale a retenu que l'indemnisation ne restait litigieuse que pour la période du 1er mai 2007 au 29 juin 2008. Elle a ainsi déterminé à 104'250 fr.70 le total de l'indemnité encore due, sur lequel elle a imputé une somme de 26'842 fr. 20 reçue au titre des prestations cantonales en cas de maladie, parvenant ainsi à un total dû de 77'408 fr.50.
C. X._ SA exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 11 août 2011. La recourante fait valoir que la cour cantonale n'a pas correctement déterminé la prestation due en ne tenant pas compte d'un versement de 73'555 fr.45 qu'elle a effectué le 23 juillet 2009 pour la période litigieuse. Par ailleurs, elle considère que les avis médicaux ont été arbitrairement appréciés et que l'assurée n'était pas en état d'incapacité de travail pendant la période litigieuse, de sorte que la prestation de 73'555 fr.45 doit être restituée. Principalement, elle conclut à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui verser la somme de 73'555 fr.45 avec intérêts à 5% dès le 23 juillet 2009 sous suite de dépens; subsidiairement, elle conclut à ce que le versement effectué soit imputé et à ce que l'assureur soit condamné à verser à Y._ la somme de 3'853 fr.05.
Dans ses observations du 8 novembre 2011, la cour cantonale a admis qu'elle avait fait une erreur en n'imputant pas le montant de 73'555 fr.45, de sorte que l'assureur n'est plus débiteur que de 3'853 fr.05. En revanche, elle a contesté avoir mal apprécié les preuves en concluant que l'assurée était toujours en incapacité de travail à la fin de la période assurée.
L'intimée n'a pas contesté l'erreur de la cour cantonale et elle a demandé que les frais à ce sujet soient mis à la charge du canton de Genève. Elle s'est par ailleurs opposée à la demande reconventionnelle en restitution de la somme versée. Présentant ses propres allégués, elle a formulé de nombreuses conclusions alternatives, demandant la modification en sa faveur des montants admis par la cour cantonale. Elle sollicite par ailleurs une suspension de la cause en faisant valoir qu'elle a présenté une demande de rectification.
Les parties ont répliqué et dupliqué.
Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'art. 7 CPC, les cantons peuvent instituer un tribunal qui statue en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale selon la loi fédérale du 8 mars 1994 sur l'assurance-maladie (LAMal; RS 832.10). Le canton de Genève a fait usage de cette faculté en prévoyant, à l'art. 134 al. 1 let. c de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire du 26 septembre 2010 (LOJ; E 2 05), que la Chambre des assurances sociales connaît en instance cantonale unique des contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie obligatoire.
Avec l'entrée en vigueur du CPC, l'art. 74 al. 2 let. b et l'art. 75 al. 2 let. a LTF ont été modifiés en ce sens que la formule "une loi fédérale prescrit une instance cantonale unique" a été remplacée par la phrase "une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique". Il ressort clairement des travaux préparatoires que la volonté du législateur, en adoptant cette modification, était d'englober non seulement les cas où le droit fédéral impose une instance cantonale unique, mais aussi les cas où il permet au droit cantonal de prévoir une instance cantonale unique (Procès-verbal de la séance du 3 avril 2008 de la Commission des affaires juridiques du Conseil national, p. 9; cf. arrêts 4A_445/2010 du 1er décembre 2010 consid. 1.1; 4A_412/2010 du 27 septembre 2010 consid. 1.2.3).
Il résulte donc de l'art. 7 CPC que l'on se trouve en présence d'un cas où, selon la nouvelle formulation de la LTF, une loi fédérale prévoit une instance cantonale unique.
En conséquence, la cour cantonale a valablement statué en instance unique (art. 75 al. 2 let. a LTF) et le recours est recevable sans égard à la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. b LTF).
Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions libératoires et dans ses conclusions reconventionnelles, de sorte qu'elle a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF; cf. infra consid. 2.1), le recours est recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut donc également être formé pour violation d'un droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 137 II 313 consid. 4 p. 317 s.; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400).
Par exception à la règle selon laquelle le Tribunal fédéral applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Si la partie recourante soutient que l'état de fait serait établi arbitrairement, elle doit le motiver de manière précise conformément aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause. Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, la recourante fait valoir que la cour cantonale, au moment de statuer sur la somme due, n'a pas tenu compte du versement de 73'555 fr.45 effectué le 23 juillet 2009. Ce versement est toutefois mentionné expressément sous chiffres 28 et 30 de la décision attaquée, de sorte qu'il n'y a pas matière à rectification de l'état de fait. Savoir si ce versement, en tant que fait dûment constaté, doit être pris en compte pour déterminer la prestation encore due par l'assureur est une question de droit (cf. infra consid. 2.2). Le grief d'arbitraire dans l'appréciation des preuves médicales sera examiné ultérieurement (cf. consid. 2.3).
Pour sa part, l'intimée présente, sur de nombreuses pages dans sa réponse et son écriture complémentaire, ses propres "allégués" comme si elle plaidait devant une cour d'appel. Dès lors qu'elle n'invoque avec précision aucune des circonstances prévues par l'art. 105 al. 2 LTF, il n'y a pas lieu d'en tenir compte et le raisonnement doit être mené exclusivement sur la base de l'état de fait contenu dans la décision attaquée.
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
En l'espèce, l'intimée prend de nombreuses conclusions alternatives, en vue de faire admettre, indépendamment des griefs soulevés dans le recours, une détermination de la somme due qui n'est pas celle retenue par la cour cantonale. Dès lors qu'elle n'a pas recouru elle-même en temps utiles (art. 100 al. 1 LTF), elle n'est pas recevable - le recours joint n'existant pas devant le Tribunal fédéral - à demander une modification de l'arrêt cantonal en sa faveur (arrêt 4A_45/2010 du 25 mars 2010 consid. 2.1). Il ne s'agit en effet pas en l'espèce de proposer une substitution de motifs ou une rectification liée à l'admission éventuelle du recours (cf. ATF 136 III 502 consid. 6.2 p. 503; 135 V 56 consid. 4.2 p. 69 s.), mais bien de présenter des griefs indépendants qui auraient pu donner lieu à un recours de l'intimée si elle s'y croyait fondée. De telles conclusions sont irrecevables, de même que la motivation destinée à les appuyer. Au demeurant, on ne voit pas comment l'intimée pourrait prétendre à des intérêts calculés à partir du moment où elle a elle-même reçu la somme de 73'555 fr.45.
1.5 L'intimée a sollicité une suspension de la procédure devant le Tribunal fédéral en raison de la demande de rectification qu'elle a déposée devant la cour cantonale. Une suspension de la procédure pour des raisons d'opportunité n'est pas exclue (art. 71 LTF et 6 al. 1 PCF; arrêt 1C_363/2008 du 14 novembre 2008 consid. 1; arrêt 9C_263/2008 du 16 juin 2008 consid. 1). La question relève de l'appréciation du Tribunal fédéral. Dès lors que ce dernier peut, dans le cadre d'un recours en matière civile, procéder à la rectification d'une inadvertance manifeste dans l'état de fait (art. 105 al. 2 LTF) ou d'une erreur évidente dans l'application du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), la correction demandée peut intervenir devant le Tribunal fédéral et il n'y a aucune raison d'attendre une nouvelle décision de la cour cantonale, ce d'autant plus que celle-ci ne pourrait pas vider l'entier du litige (en raison des conclusions concernant la demande reconventionnelle) et qu'il est de surcroît douteux que le problème soulevé corresponde à l'hypothèse d'une rectification au sens de l'art. 334 CPC.
2. 2.1 Il ressort des constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - que l'intimée est au bénéfice d'un contrat d'assurance collectif conclu avec la recourante, qui oblige cette dernière, à certaines conditions, à verser à l'intimée des indemnités journalières en cas de perte de gain causée par la maladie.
Dans le domaine de l'assurance couvrant le risque de perte de gain en cas de maladie, les parties peuvent librement choisir, soit de conclure une assurance sociale d'indemnités journalières régie par les art. 67 à 77 LAMal, soit de conclure une assurance d'indemnités journalières soumise à la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1) (arrêt 4A_ 373/2010 du 10 novembre 2010 consid. 2.1). En l'occurrence, il ressort des constatations cantonales que le contrat conclu prévoit expressément qu'il est soumis à la LCA. Il s'agit donc d'une assurance complémentaire à l'assurance sociale relevant du droit privé (art. 12 al. 2 et 3 LAMal; ATF 133 III 439 consid. 2.1 p. 441 s.).
2.2 Dans son raisonnement, la cour cantonale n'a pas tenu compte du fait que la recourante a versé le 23 juillet 2009 la somme de 73'555 fr.45 à titre d'indemnités journalières pour la période litigieuse (du 1er mai 2007 au 29 juin 2008). Il s'agit là d'une violation grossière du droit fédéral, puisque le juge ne peut pas condamner un débiteur à exécuter une obligation qui est déjà éteinte par paiement (cf. art. 97 CO). L'arrêt cantonal doit donc être réformé pour ce motif et le solde dû est réduit à 3'853 fr. 05 avec intérêts.
2.3 La recourante demande reconventionnellement que le montant de 73'555 fr. 45 lui soit restitué pour le motif que la cour cantonale aurait arbitrairement apprécié les renseignements médicaux alors que, selon la recourante, l'assurée n'était plus en état d'incapacité de travail pour cause de maladie pendant la période litigieuse.
Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable. Le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 I 316 consid. 2.2.2 p. 318 s.; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560). S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves, la décision attaquée n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait une déduction insoutenable (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9). La partie recourante qui invoque l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit démontrer par une argumentation précise, en se référant si possible à des pièces indiscutables du dossier, que la cour cantonale a retenu ou omis un fait pertinent d'une manière insoutenable (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246).
Le Tribunal fédéral n'étant pas un juge du fait, il ne lui appartient pas de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées, mais il incombe bien plutôt à la partie recourante d'établir en quoi l'appréciation faite par l'autorité cantonale serait manifestement inexacte ou incomplète (arrêt 9C_886/2009 du 27 avril 2010 consid. 2.2).
En l'espèce, la cour cantonale s'est fondée sur l'opinion du psychiatre A._. Il ne s'agit certes pas d'un expert judiciaire, mais il a été choisi par la recourante, de sorte qu'il ne saurait être suspect de partialité en faveur de l'intimée. La recourante ne tente pas de soutenir que ses connaissances seraient inadéquates pour l'examen du cas, que son rapport serait contradictoire, lacunaire ou aurait ignoré des données essentielles. La cour cantonale a aussi observé que l'incapacité de travail de l'intimée était également constatée par le psychiatre mis en oeuvre par l'assurance-chômage, qui avait examiné l'expertisée en dernier lieu le 18 octobre 2007. Là encore, la recourante ne dit pas en quoi il serait arbitraire de croire l'opinion de ce spécialiste. Enfin, la cour précédente a noté que l'incapacité de travail est encore attestée, après la fin de la période litigieuse, par le psychiatre qui traite la recourante (recte: l'intimée). Certes, l'opinion du médecin traitant doit être examinée avec circonspection (ATF 124 I 170 consid. 4 p. 175; plus sommairement: ATF 125 V 351 consid. 2b/cc p. 353). Il s'agit cependant d'un élément corroboratif qui, dans l'appréciation des preuves, vient s'ajouter aux deux autres avis.
A ces avis médicaux, la recourante oppose l'opinion du médecin de l'assurance-invalidité. La cour cantonale a observé à ce sujet que ce médecin n'avait jamais vu l'intimée et que, de surcroît, il n'était pas psychiatre, alors qu'il s'agit manifestement d'un problème de nature psychiatrique. En écartant ainsi une opinion isolée, la cour cantonale n'est pas tombée dans l'arbitraire.
Le recours doit donc être rejeté sur ce point.
3. L'assureur a dû recourir pour faire corriger une erreur due à un manque de diligence manifeste de la part de la cour cantonale dans l'analyse des faits pertinents dûment établis et retenus. L'intimée ne s'est pas identifiée à l'arrêt entrepris, mais elle a au contraire mis en évidence l'erreur commise par l'autorité précédente; on ne saurait donc lui reprocher d'avoir succombé sur ce point devant la Cour de céans (cf. arrêt 5P.378/1997 du 18 novembre 1997 consid. 4). Cela étant, les dépens afférents à cette partie du recours doivent être mis à la charge du canton de Genève, dont dépend l'autorité qui a rendu la décision attaquée, à l'exception de l'émolument judiciaire (cf. art. 66 al. 4 LTF; sous l'empire de l'aOJ: cf. 5P_225/2006 du 2 octobre 2006 consid. 3 et la référence).
En revanche, la recourante succombe sur la demande reconventionnelle, qui était de même valeur, de sorte qu'il se justifie de mettre à sa charge la moitié des frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
L'intimée - qui ne s'est pas opposée à la rectification de l'erreur commise par la cour cantonale - a conclu au rejet de la demande reconventionnelle et obtient gain de cause sur ce point. Elle a donc droit en principe à des dépens à la charge de la recourante (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Il faut cependant constater qu'elle a pris des conclusions en partie irrecevables et qu'elle ne s'est pratiquement pas exprimée sur le seul point litigieux (l'appréciation des données médicales), de sorte qu'il faut aussi tenir compte du principe formulé à l'art. 66 al. 3 LTF (applicable par le renvoi de l'art. 68 al. 4 LTF), à savoir que les frais causés inutilement sont supportés par celui qui les a engendrés. Les dépens alloués à l'intimée seront donc réduits pour tenir compte du fait que les écritures présentées étaient en grande partie inutiles.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis et l'arrêt attaqué est annulé.
2. La recourante est condamnée à verser à l'intimée la somme de 3'853 fr.05 avec intérêts à 5% l'an dès le 11 septembre 2009.
3. La demande reconventionnelle est rejetée.
4. La cause est renvoyée à la cour précédente pour fixer à nouveau les dépens de la procédure cantonale.
5. Des frais judiciaires réduits, arrêtés à 1'750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
6. Le canton de Genève versera à la recourante une indemnité de 2'250 fr. à titre de dépens.
La recourante versera à l'intimée une indemnité de 1'000 fr. à titre de dépens.
7. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève Chambre des assurances sociales.
Lausanne, le 17 février 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Piaget