Erwägungen:
1. Mit Zwischenentscheid vom 8. September 2009 hat das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt ein von X._ gestelltes Ablehnungsbegehren abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist.
2. Gegen diesen Entscheid führt X._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Vernehmlassungen einzuholen.
3. Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch BGE 134 II 349 E. 3 S. 351 f.; 133 II 249 insb. E. 1.4 S. 254). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer kritisiert den angefochtenen Entscheid und die Strafjustiz ganz allgemein. Er legt jedoch nicht im Einzelnen dar, inwiefern die dem Entscheid zugrunde liegende Begründung bzw. der Entscheid im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Mangels einer hinreichenden Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Bei den gegebenen Verhältnissen kann davon abgesehen werden, Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird dadurch gegenstandslos.
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp