Erwägungen:
1. 1.1 X._ führt einen Landwirtschaftsbetrieb. Das Veterinäramt des Kantons Thurgau sprach am 23. Juli 2010 gegen ihn und alle mit ihm im gleichen Haushalt wohnenden Personen ein ab dem 1. August 2010 gültiges, unbefristetes Tierhalteverbot für alle Nutztiere aus. Gleichzeitig hielt es fest, dass in den Gebäuden und Einrichtungen, welche er für die Tierhaltung genutzt habe, keine Tiere mehr gehalten werden dürften, ohne dass es jene vorgängig abgenommen habe. Das Bundesgericht wies eine hiergegen gerichtete Beschwerde am 11. März 2012 ab (2C_635/2011).
1.2 Am 4. Mai 2012 stellte das Veterinäramt fest, dass seine Verfügung vom 23. Juli 2010 zu vollziehen sei. Es setzte X._ Frist bis zum 30. Juni 2012, um seinen Nutztierbestand aufzulösen und die Stallungen und Einrichtungen vollständig zu räumen. Verstreiche die Frist ungenutzt, erfolge am 10. Juli 2012 auf seine Kosten die Ersatzvornahme. Hiergegen gelangte X._ an den Regierungsrat des Kantons Thurgau, welcher seine Beschwerde am 6. August 2012 abwies (Entscheid Nr. 664). Als Rechtsmittelinstanz bezeichnete er das Bundesgericht. X._ gelangte in der Folge am 21. August 2012 unter anderem mit dem Antrag an dieses, den regierungsrätlichen Entscheid betreffend die Vollstreckungsverfügung aufzuheben und "auf die angedrohte Ersatzvornahme zufolge Übergabe des Rindviehbestandes und Verpachtung des Landwirtschaftsbetriebes zu verzichten".
2. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unzulässig und kann durch den Präsidenten als Einzelrichter im Verfahren nach Art. 108 BGG erledigt werden:
2.1 Nach Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig, wobei als unmittelbare Vorinstanz seit dem 1. Januar 2009 ein oberes Gericht entschieden haben muss, soweit nicht nach einem anderen Bundesgesetz Entscheide anderer richterlicher Behörden direkt der Eingabe an das Bundesgericht unterliegen (Art. 86 Abs. 2 BGG; TOPHINKE, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, BSK Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 26 zu Art. 86). Einzig für Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter können die Kantone anstelle eines Gerichts noch andere Behörden als unmittelbare Vorinstanzen einsetzen (Art. 86 Abs. 3 BGG).
2.2 Der angefochtene Regierungsratsbeschluss über die angeordnete Vollstreckbarkeit bzw. über die Ersatzvornahme ist nicht politischer Natur (vgl. hierzu BGE 136 I 42 E. 1.5, 135 II 94 E. 3 u. 4) und ohne Weiteres justiziabel; es ist zudem nicht ersichtlich, welches Bundesgesetz in diesem Zusammenhang eine direkte Beschwerdemöglichkeit an das Bundesgericht eröffnen würde. Auf die vorliegende Eingabe ist deshalb nicht einzutreten und diese zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau zu überweisen (vgl. BGE 135 II 94 E. 6.2).
3. Für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine Kosten zu erheben, da dem Beschwerdeführer aus der falschen Rechtsmittelbelehrung kein Nachteil erwachsen darf. Die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung bzw. Gewährung der aufschiebenden Wirkung werden gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten. Die Eingabe wird zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau weitergeleitet.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau (diesem unter Beilage der Eingabe [inkl. Beilagen] des Beschwerdeführers) sowie dem Eidgenössischen Volkswirtschaftsdepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar