Fatti:
A. Il 7 aprile 2008 il Tribunale di Vicenza ha emanato e notificato per via rogatoriale, su richiesta della A._ S.R.L., un decreto ingiuntivo nei confronti di B._ S.A. per il pagamento di EUR 16'711.20 oltre interessi, spese, diritti e onorari di EUR 956.88. Il 1° luglio 2008 la debitrice ha inoltrato opposizione al medesimo tribunale, il quale, il 9 dicembre 2008, ha nondimeno dichiarato esecutivo il decreto ingiuntivo senza pronunciarsi sull'opposizione.
B. Con istanza 13 luglio 2009 A._ S.R.L. ha chiesto alla Pretura del Distretto di Lugano, sezione 5, di dichiarare esecutivo in Svizzera il decreto ingiuntivo emesso dal Tribunale di Vicenza e di ordinare il pignoramento provvisorio di tutti i beni mobili, immobili e crediti di B._ S.A. fino a concorrenza dell'ammontare del credito; in via subordinata ha chiesto l'allestimento di un inventario conservativo.
Il Pretore ha accolto l'istanza con sentenza del 17 luglio 2009, conferendo esecutività in Svizzera al decreto ingiuntivo italiano e, quale misura conservativa secondo l'art. 39 della Convenzione di Lugano (CL; RS 0.275.11), ordinando il pignoramento provvisorio fino a un importo di fr. 32'045.20 oltre agli interessi.
C. Avvalendosi della facoltà concessale dall'art. 36 CL la convenuta si è opposta all'exequatur davanti alla seconda Camera civile del Tribunale d'appello ticinese, alla quale ha chiesto di annullare la sentenza del Pretore. Sosteneva che il riconoscimento del decreto ingiuntivo violasse l'ordine pubblico svizzero (art. 27 n. 1 CL), siccome emanato senza contraddittorio e quindi in violazione del suo diritto di essere sentita.
La Corte ticinese ha accolto l'opposizione e annullato il giudizio di primo grado con sentenza del 30 gennaio 2010.
D. A._ S.R.L. insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile datato 8 marzo 2010. Chiede che l'opposizione di B._ S.A. sia respinta è che sia di conseguenza confermata la sentenza del Pretore di Lugano.
B._ S.A. propone di respingere il ricorso. L'autorità cantonale non ha formulato osservazioni.
La domanda di conferimento dell'effetto sospensivo è stata evasa con decreto presidenziale del 12 aprile 2010, dando atto che, essendo impugnata una sentenza costitutiva, tale effetto si attua per legge (art. 103 cpv. 2 lett. a LTF).
Diritto:
1. 1.1 La decisione sull'opposizione contro l'exequatur (art. 27 n. 1 CL) può essere impugnata unicamente davanti al Tribunale federale (art. 37 cpv. 2 CL; Dichiarazione della Svizzera del 12 dicembre 2006, RU 2007 1339; DTF 135 III 670 consid. 1.1 pag. 672) con ricorso in materia civile (art. 72 cpv. 2 lett. b n. 1 LTF).
1.2 Interposto tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF) dalla parte soccombente nella sede cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF) contro una decisione finale (art. 90 LTF) pronunciata da un'autorità prevista dagli art. 37 cpv. 1 CL e art. 75 cpv. 1 LTF in una causa civile di carattere pecuniario, il cui valore litigioso supera fr. 30'000.-- (art. 74 cpv. 1 lett. b LTF), il ricorso è ricevibile.
1.3 Con il ricorso in materia civile può essere fatta valere la violazione del diritto federale, compresi i diritti costituzionali, e internazionale (art. 95 lett. a/b LTF), nonché l'applicazione arbitraria (art. 9 Cost.) del diritto straniero (DTF 135 III 670 consid. 1.4 pag. 674 e rif.).
2. I giudici ticinesi non hanno esaminato la causa sotto il profilo dell'ordine pubblico eccepito dalla debitrice. A mente loro il rispetto del diritto di essere sentiti è imposto dall'art. 25 CL. Il decreto ingiuntivo - hanno precisato - costituisce infatti decisione nel senso di questa norma solo se il procedimento estero ha rispettato i diritti del contraddittorio delle parti. Ciò non è avvenuto, poiché il codice di procedura civile italiano imponeva al Tribunale di Vicenza di pronunciarsi sull'opposizione della debitrice o perlomeno, considerata l'irritualità dell'opposizione non firmata da un procuratore e notificata direttamente al tribunale invece che all'ufficiale giudiziario, di darle comunicazione formale che l'atto era proceduralmente viziato. La creditrice ha invero sostenuto che il tribunale italiano avesse comunicato per telefono l'irricevibilità dell'opposizione alla debitrice, ma la Corte cantonale le ha rimproverato di non avere saputo provare né che la procedura italiana permettesse tale modo di procedere, né che la comunicazione telefonica fosse effettivamente avvenuta. L'interrogatorio formale dell'amministratrice della controparte e l'audizione testimoniale di una dipendente del tribunale italiano, proposti dall'attrice come prove, sono stati considerati incompatibili con l'esigenza di celerità della procedura contenziosa di camera di consiglio (art. 365 e 366 CPC/TI).
3. Con la censura principale la ricorrente adduce la violazione degli art. 26, 27, 29, 31 e 34 CL. Ritiene che i giudici ticinesi, addentrandosi nel diritto procedurale italiano, si siano spinti oltre le loro competenze, dimenticando che l'unico impedimento all'esecuzione in Svizzera del giudizio italiano poteva essere la riserva di ordine pubblico.
In subordine la ricorrente ritiene che la sentenza impugnata applichi arbitrariamente il diritto procedurale italiano, poiché secondo la giurisprudenza della Corte di cassazione italiana - citata abbondantemente - l'opposizione non firmata dal procuratore è considerata "inesistente", non solo nulla o annullabile. Il Tribunale di Vicenza non poteva pertanto esprimersi su di essa.
La ricorrente nega in seguito l'esistenza di un impedimento secondo l'art. 27 n. 1 CL, dal momento che la debitrice, informata correttamente nel decreto ingiuntivo sulle disposizioni formali applicabili, ha presentato un'opposizione in dispregio di norme procedurali elementari del diritto italiano. Oltre tutto ha agito di mala fede attendendo la procedura di exequatur invece di reagire immediatamente davanti alle autorità italiane per tentare di correggere la situazione in cui si era venuta a trovare.
Nella parte finale del gravame la ricorrente sostiene che il rifiuto delle prove proposte per accertare la comunicazione telefonica del Tribunale di Vicenza viola il suo diritto di essere sentita (art. 29 Cost.), il diritto alla prova (art. 8 CC) e il divieto d'arbitrio (art. 9 Cost.) in relazione con l'applicazione dell'art. 366 CPC/TI; tanto più che la società debitrice ha sede a Lugano, per cui la sua amministratrice avrebbe potuto essere interrogata a breve termine.
4. 4.1 Il procedimento d'ingiunzione italiano è stato analizzato nella recente DTF 135 III 623 consid. 2.1 pag. 624 seg., alla quale può essere rinviato. Basti ricordare che il codice di procedura civile italiano garantisce il diritto di essere sentito del debitore, il quale può opporsi all'ingiunzione di pagamento emessa dal giudice su istanza del creditore: se v'è opposizione il processo si svolge in contraddittorio (art. 645); nel caso contrario il giudice dichiara l'ingiunzione esecutiva, sempre a richiesta del creditore (art. 647). Il decreto ingiuntivo italiano, munito della dichiarazione di esecutività, è pertanto una decisione nel senso dell'art. 25 CL (cfr. la sentenza 4A_80/2007 del 31 agosto 2007 consid. 4; FRIDOLIN WALTHER, in: Kommentar zum Lugano-Übereinkommen, 2008, n. 26 ad art. 25 CL) e può essere eseguito in Svizzera (art. 31 CL).
4.2 Il giudizio impugnato è impreciso laddove, dopo avere individuato correttamente natura e modalità del procedimento d'ingiunzione, sembra fare dipendere la qualità di decisione del decreto in cui esso sfocia dal rispetto del diritto al contraddittorio. Tuttavia, è l'istituzione in sé di una procedura che dia la possibilità di esercitare tale diritto a essere condizione necessaria per ammettere l'esistenza di una decisione nel senso dell'art. 25 CL, poco importa se la parte convenuta ne faccia uso nel caso specifico (cfr. JAN KROPHOLLER, Europäisches Zivilprozessrecht, 8. ed., 2005, n. 22 ad art. 32 del regolamento [CE] n. 44/2001). Il decreto ingiuntivo dichiarato esecutivo, come tale, costituisce quindi decisione nel senso convenzionale, appunto perché la procedura civile italiana garantisce alla parte convenuta il diritto di opporsi e di attuare il contraddittorio. Tant'è che nel caso specifico la debitrice ha esercitato il diritto: la sentenza ticinese accerta infatti ch'essa ha inoltrato opposizione al Tribunale di Vicenza il 1° luglio 2008.
Se così è, al riconoscimento in Svizzera possono ostare soltanto i motivi di rifiuto degli art. 27 e 28 CL.
5. Il solo impedimento a potere entrare concretamente in considerazione è quello definito dall'art. 27 n. 1 CL, secondo cui le decisioni emanate in uno Stato contraente non sono riconosciute se il riconoscimento è contrario all'ordine pubblico dello Stato richiesto. La ricorrente delimita correttamente in questo modo i termini della causa. Erra invece quando afferma che il giudice svizzero del riconoscimento non può esaminare il diritto straniero: come si dirà, la verifica della riserva di ordine pubblico implica infatti necessariamente l'esame del diritto procedurale italiano.
5.1 Lo scopo delle norme sul riconoscimento e sull'esecuzione è di agevolare la circolazione delle sentenze in materia civile e commerciale. Aderendo a un trattato internazionale che prevede il riconoscimento e l'esecuzione in Svizzera di decisioni pronunciate all'estero il legislatore ha dunque accettato l'eventualità che certe decisioni straniere possano essere diverse da quelle che sarebbero state adottate da un giudice svizzero. Non ci si può pertanto richiamare all'ordine pubblico svizzero ogni qualvolta la legge straniera diverga - quand'anche in misura importante, nel merito o per la procedura seguita - dal diritto svizzero. In altre parole, nell'ambito del riconoscimento e dell'esecuzione di sentenze di tribunali esteri la riserva di ordine pubblico ha una portata più limitata che nell'applicazione diretta del diritto straniero: di carattere eccezionale, essa va interpretata restrittivamente (DTF 126 III 101 consid. 3b pag. 107 seg., 327 consid. 2b, 534 consid. 2c).
5.2 Nella fattispecie la lite attiene all'ordine pubblico procedurale, che garantisce alle parti il diritto a un giudizio indipendente sulle domande e sui fatti sottoposti al tribunale, in conformità con la procedura applicabile. L'ordine pubblico procedurale è violato quando principi fondamentali generalmente riconosciuti sono disattesi in modo inconciliabile con il sentimento di giustizia e con i valori di uno stato di diritto (DTF 132 III 389 consid. 2.2.1 pag. 392; 128 III 191 consid. 4a pag. 194).
L'ordine pubblico svizzero esige il rispetto delle regole fondamentali di procedura dedotte dalla Costituzione (art. 29 e 30 Cost.) e dall'art. 6 CEDU, quali il diritto a un processo equo e il diritto di essere sentito (cfr. DTF 126 III 327 consid. 2b pag. 330; sentenza 4P.82/2004 del 9 novembre 2004, consid. 3.3.2, publ. in: RTiD 2005 II pag. 163 segg.; YVES DONZALLAZ, La Convention de Lugano, vol. II, Berna 1997, n. 2844). Ai fini del giudizio sulla violazione dell'ordine pubblico procedurale occorre stabilire se tali garanzie procedurali esistano nel sistema giuridico straniero e se esse siano state debitamente offerte. Il fatto che le parti si siano effettivamente prevalse di tali diritti è per contro irrilevante. La questione va esaminata sulla scorta dell'ordinamento processuale dello stato in cui è stato emanato il giudizio, non in base alla concezione vigente nello Stato richiesto (sentenza citata 4P.82/2004 del 9 novembre 2004, consid. 3.3.2).
6. Del procedimento d'ingiunzione previsto dal codice di procedura civile italiano s'è già detto. Rimane da esaminare se l'ordine pubblico svizzero sia stato violato per avere il tribunale di Vicenza attribuito eseguibilità al decreto ingiuntivo senza pronunciarsi sull'opposizione della debitrice. Va pertanto chiarito come si è svolto il procedimento italiano.
6.1 La Corte cantonale ha accertato che il decreto ingiuntivo del Tribunale di Vicenza è stato notificato alla convenuta il 5 maggio 2008. Esso conteneva, oltre all'ingiunzione di pagamento, l'avvertimento che nel termine di 60 giorni dalla notifica "può essere fatta opposizione da proporsi avanti l'intestato Tribunale ex art. 645 c.p.c., e che in mancanza si procederà a esecuzione forzata". I giudici cantonali hanno precisato che, secondo il cpv. 1 della norma suddetta, l'opposizione si propone con atto di citazione davanti all'ufficio giudiziario al quale appartiene il giudice che ha emesso il decreto e che in forza dell'art. 163 cpv. 1 n. 6 e 7 tale atto deve contenere tra l'altro il nome e il cognome del procuratore nonché il giorno dell'udienza di comparizione. Essi hanno in seguito costatato che la debitrice ha inoltrato tempestivamente l'opposizione, il 1° luglio 2008, ma senza "costituirsi mediante pro-curatore" e direttamente al Tribunale di Vicenza, non all'ufficio giudiziario; hanno aggiunto che l'atto "non sembra rispettare i requisiti di legge per quel che concerne la comparizione (art. 163-bis cpv. 1 cpc.it.; doc. II)".
6.2 La debitrice non ha mai contestato che la sua opposizione fosse viziata dalle predette irregolarità procedurali. Non ha affrontato il tema, né davanti al Tribunale di appello, sebbene la creditrice avesse elencato puntualmente già in quella sede le norme della procedura civile italiana violate, né davanti al Tribunale federale; si è limitata a eccepire che il Tribunale di Vicenza, dichiarando esecutivo il decreto ingiuntivo senza pronunciarsi sull'opposizione, ha leso gravemente il suo diritto di essere sentita.
È perciò assodato che l'opposizione della debitrice al decreto ingiuntivo di pagamento fosse proceduralmente scorretta, per i motivi esposti nella sentenza cantonale.
6.3 Il Tribunale di appello ha ritenuto che, ciononostante, il giudice italiano non potesse ignorare l'opposizione e dovesse, se non pronunciarsi sull'opposizione, almeno informare la debitrice sugli errori procedurali commessi. Ha dedotto questo obbligo dall'art. 164 del codice di procedura civile italiano (cpc/it). La norma stabilisce che la citazione è nulla se è stato assegnato un termine a comparire inferiore a quello previsto dalla legge (cpv. 1) e che, se il convenuto non si costituisce in giudizio, il giudice, rilevata la nullità della citazione, ne dispone d'ufficio la rinnovazione entro un termine perentorio, la quale sana il vizio (cpv. 2).
L'analogia individuata dalla Corte ticinese appare forzata: è arduo stabilire una relazione diretta tra la fattispecie citata, retta dall'art. 164 cpc/it, e il caso in esame; la norma non menziona d'altronde l'assenza della firma del procuratore tra i motivi di nullità. La ricorrente obietta con ragione che nel processo civile italiano il procuratore ha un ruolo essenziale e che l'atto di citazione non firmato da parte sua è privo di qualsiasi efficacia. La giurisprudenza della Corte di cassazione italiana esprime con chiarezza questi concetti: precisa che la sottoscrizione del procuratore è un "elemento indispensabile per la formazione fenomenica dell'atto stesso", definisce "inesistente" l'atto che ne è privo e distingue espressamente questa situazione dalla "nullità" prevista in caso di soli "vizi formali", che a determinate condizioni possono anche essere sanati (Cass. civ., sez. II., 22 marzo 2001, n. 4116, in: Mass. Giur. it., 2001; Cass. civ., sez. I., 17 luglio 1974, n. 2137; MICHELE IASELLI, Il decreto ingiuntivo, Padova 2010, pag. 41; CARPI/TARUFFO, Commentario breve al codice di procedura civile, Complemento giuri-sprudenziale, 6a ed., Padova 2009, n. II/2 ad art. 125, n. XIII/4 ad art. 163).
7. Le considerazioni che precedono conducono a conclusioni di due ordini.
7.1 In primo luogo esse mostrano che l'atto di citazione italiano si distanzia assai dagli atti introduttivi del processo civile secondo il diritto svizzero, sia per il ruolo fondamentale del procuratore (cfr. art. 82 cpc/it) e delle conseguenze del mancato suo intervento, sia per la distinzione tra atto nullo e atto "inesistente", sulla quale insiste giustamente la ricorrente. S'è detto però che la riserva di ordine pubblico va ammessa con molto riserbo, deve essere contestualizzata nell'ordinamento processuale dello stato in cui è stato emanato il giudizio e prescinde dalle divergenze col diritto interno. Pertanto, tenuto conto delle particolarità della procedura civile italiana illustrate poc'anzi, l'operato del Tribunale di Vicenza non appare inconciliabile con l'ordine pubblico procedurale svizzero. Dal momento che l'opposizione al decreto ingiuntivo, rispettivamente l'atto di citazione, sottostà a esigenze di forma precise e severe, non urta il sentimento di giustizia ammettere che un tribunale italiano possa considerare come non avvenuta su di un'opposizione sprovvista della firma di un procuratore, ossia di un elemento che - sempre nel sistema italiano - ne condiziona l'esistenza stessa e non si pronunci quindi su di essa.
7.2 In secondo luogo i fatti suesposti attestano che la ricorrente ha ragione anche quando afferma che la debitrice è stata posta in condizione di esercitare i propri diritti di difesa: il decreto ingiuntivo, notificatole per rogatoria, informava infatti correttamente sulla possibilità di formulare opposizione, sulle disposizioni procedurali che reggono modalità e forma di tale atto e sulle conseguenze dell'assenza di opposizione.
7.3 Ne viene la fondatezza del ricorso. Il procedimento svoltosi davanti al Tribunale di Vicenza non urta regole fondamentali di procedura, segnatamente il diritto di essere sentita della debitrice, e il riconoscimento in Svizzera del decreto ingiuntivo litigioso non è pertanto contrario all'ordine pubblico nel senso dell'art. 27 n. 1 CL.
L'accoglimento delle censure riferite all'applicazione della norma convenzionale citata rende superfluo l'esame di quelle che attengono ai diritti costituzionali che, a mente della ricorrente, il Tribunale di appello avrebbe leso negandole il diritto alla prova.
8. La sentenza cantonale va di conseguenza annullata. Il Tribunale federale non può tuttavia riformarla definitivamente. Davanti all'autorità cantonale la debitrice aveva infatti chiesto, oltre che di negare il riconoscimento alla decisione italiana, che fosse annullato "ogni provvedimento conservativo, segnatamente il pignoramento provvisorio dei beni di B._ SA". L'interesse di quest'ultima domanda era venuto a mancare con il rifiuto dell'exequatur, per cui l'autorità cantonale non si era pronunciata su di essa. Appare pertanto opportuno ritornarle la causa affinché vi provveda (benché la debitrice non sembri avere motivato la richiesta accessoria in modo specifico).
Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza: esse sono poste a carico dell'opponente (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 e 2 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso in materia civile è accolto, la sentenza impugnata è annullata: la causa è ritornata all'autorità cantonale affinché accordi l'exequatur al decreto ingiuntivo 7 aprile 2008 del Tribunale di Vicenza e completi l'esame nel senso dei considerandi.
2. Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico dell'opponente, la quale rifonderà alla ricorrente fr. 2'500.-- per ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.