Sachverhalt:
A. A.a Der 1964 geborene S._ war ab 1. Oktober 1999 als Chef Haustechnik der M._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 10. Dezember 2003 erlitt er beim Aufladen von Festbänken eine Verletzung am rechten Handgelenk (Hypersupinationstrauma). Die SUVA sprach ihm für die Folgen dieses Ereignisses mit Einspracheentscheid vom 6. November 2006 eine Invalidenrente auf der Basis einer Erwerbsunfähigkeit von 18 % zu.
A.b Am 10. Februar 2004 war S._ erneut von einem Unfall betroffen. Er fuhr als Lenker eines Personenwagens auf ein anderes, an erster Stelle vor einem Rotlicht stehendes Fahrzeug auf. Dabei zog er sich gemäss Arztzeugnis UVG des am Unfalltag aufgesuchten Dr. med. D._, Assistenzarzt, Spital X._, ein HWS-Schleudertrauma zu. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Zudem nahm sie Abklärungen vor. Mit Verfügung vom 30. November 2005 stellte die Anstalt die laufenden Leistungen per 1. Januar 2006 ein. Gleichzeitig lehnte sie es ab, eine Rente oder eine Integritätsentschädigung auszurichten. Zur Begründung wurde erklärt, die fortbestehenden Beschwerden stünden in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis. Daran hielt die SUVA mit Einspracheentscheid vom 20. Oktober 2006 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab, soweit darauf eingetreten wurde (Entscheid vom 24. Juni 2008).
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei die SUVA zu verpflichten, ihm ab 1. Januar 2006 die gesetzlichen Leistungen auszurichten, und es sei "eine unabhängige und umfassende Begutachtung der Situation des Beschwerdeführers durchzuführen und dem Beschwerdeführer nach Vorliegen der Ergebnisse Gelegenheit einzuräumen, die Anträge entsprechend anzupassen oder zu ergänzen".
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (Art. 6 Abs. 1 UVG) vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und Gesundheitsschaden im Allgemeinen (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181; 119 V 335 E. 1 S. 337 mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen zur überdies erforderlichen Adäquanz des Kausalzusammenhangs (vgl. auch BGE 129 V 177 E. 3.2 S. 181; 125 V 456 E. 5a S. 461 f. mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass die Rechtsprechung zur Adäquanzprüfung bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (BGE 115 V 133) sowie bei Unfällen mit Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS; BGE 117 V 359, präzisiert durch BGE 134 V 109) spezifische, die allgemeine Adäquanzformel konkretisierende Regeln entwickelt hat.
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat erwogen, es liessen sich keine objektivierbaren organischen Unfallfolgen nachweisen. Rechtsgenüglich erstellt sei dagegen, dass der Beschwerdeführer anlässlich der Auffahrkollision vom 10. Februar 2004 ein HWS-Distorsionstrauma erlitten habe. Eine nähere Prüfung des natürlichen und auch des adäquaten Kausalzusammenhangs erübrige sich jedoch: Der Zeitpunkt für den Fallabschluss sei am 1. Januar 2006 erreicht gewesen. Damit seien gemäss Art. 19 Abs. 1 UVG die Ansprüche auf Heilbehandlung und Taggeld dahingefallen. Ein Anspruch auf Invalidenrente oder Integritätsentschädigung bestehe offensichtlich nicht. Folglich seien keine Leistungen mehr geschuldet.
2.2 Der Beschwerdeführer lässt geltend machen, die Vorinstanz übersehe, dass nach Art. 21 Abs. 1 UVG eine weitere Heilbehandlung unter anderem dann gewährt werden müsse, wenn sie zur Erhaltung der verbleibenden Erwerbsfähigkeit beitrage. Die heute bestehende 80%ige Arbeitsfähigkeit habe nur erreicht werden können und lasse sich nur weiter erhalten, weil sich der Beschwerdeführer einer sehr intensiven Schmerzbehandlung und einer physiotherapeutischen Behandlung unterzogen habe und nach wie vor unterziehe. Ohne diese Behandlung wäre er heute arbeitsunfähig. Aus den medizinischen Unterlagen, insbesondere den Stellungnahmen des behandelnden Arztes Dr. med. R._, Neurologie FMH, könne der Schluss gezogen werden, dass der Beschwerdeführer zur Aufrechterhaltung der heutigen Arbeitsfähigkeit auf Schmerzbehandlungen und Therapien angewiesen sei. Diese seien deshalb weiterhin durch den obligatorischen Unfallversicherer zu tragen. Der adäquate Kausalzusammenhang sei in Anwendung der Rechtsprechung gemäss BGE 134 V 109 zu bejahen, denn der Unfall sei als mittelschwer zu qualifizieren und es seien mindestens drei Kriterien erfüllt (besondere Art der erlittenen Verletzung; fortgesetzte spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden).
3. 3.1 Nach Lage der Akten litt der Beschwerdeführer während des zur Debatte stehenden Zeitraums ab 1. Januar 2006 weiterhin an Kopfschmerzen und Nackenbeschwerden. Diese liessen sich organisch nicht objektivieren. Von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung war zu diesem Zeitpunkt, wie die Vorinstanz überzeugend darlegt, keine namhafte Besserung des Gesundheitszustands des Versicherten mehr zu erwarten. Die SUVA hat den Fall demnach zu Recht abgeschlossen (BGE 134 V 109 E. 4.1 S. 114). Ein Anspruch auf weitere Leistungen bestünde nur dann, wenn die fortbestehenden Beschwerden in einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfallereignis stehen sollten. Lässt sich die Adäquanz des Kausalzusammenhangs aufgrund der vorhandenen Unterlagen verneinen, kann auf weitere Abklärungen zur natürlichen Kausalität verzichtet werden (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c [U 183/93]; Urteil 8C_42/2007 vom 14. April 2008 E. 2).
3.2 Zum Hergang des Unfalls vom 10. Februar 2004 ist den Akten zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer mit seinem Auto auf einen vor einem Rotlicht stehenden Personenwagen auffuhr. Die kollisionsbedingte Geschwindigkeitsänderung (delta-v) für das vom Versicherten gelenkte Fahrzeug lag gemäss der biomechanischen Kurzbeurteilung der Arbeitsgruppe Unfallmechanik, Prof. Dr. med. W._ vom 27. Dezember 2004 unterhalb eines Bereichs von 20-30 km/h. Im Rahmen der für die Adäquanzbeurteilung vorzunehmenden Einteilung (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126) ist dieses Ereignis den mittelschweren Unfällen im Grenzbereich zu den leichten zuzuordnen (vgl. SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81 E. 7.2 [U 479/05]; RKUV 2005 Nr. U 549 S. 237 E. 5.1.2 [U 380/04]; Urteil 8C_797/2008 vom 19. März 2009 E. 5.3). Die Adäquanz des Kausalzusammenhangs ist demzufolge zu bejahen, falls die von der Rechtsprechung entwickelten Kriterien (dazu BGE 134 V 109 E. 10.2 S. 127 ff.) in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sind (BGE 117 V 359 E. 6b S. 367 f.).
3.2.1 Der Unfall vom 10. Februar 2004 ist weder als besonders eindrücklich zu bezeichnen noch ereignete er sich unter besonders dramatischen Begleitumständen.
3.2.2 Die Diagnose einer HWS-Distorsion (oder einer anderen, adäquanzrechtlich gleich zu behandelnden Verletzung) genügt für sich allein nicht zur Bejahung des Kriteriums der Schwere und besonderen Art der erlittenen Verletzung. Es bedarf hiezu einer besonderen Schwere der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können. Diese können allenfalls auch in einer beim Unfall eingenommenen besonderen Körperhaltung und dadurch bewirkten Komplikationen bestehen (BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127 f.). Der Beschwerdeführer macht diesbezüglich geltend, er habe nach oben zur Ampel geblickt und sich deshalb nach vorne gebeugt. Dies vermag jedoch unter den konkreten Umständen keine besondere Art der Verletzung zu begründen. Andere diesbezüglich relevante Sachverhaltselemente werden nicht geltend gemacht. Das Kriterium ist zu verneinen.
3.2.3 Erhebliche Beschwerden im Sinne der präzisierten Rechtsprechung (BGE 134 V 109 E. 10.2.4 S. 128 f.) liegen vor. Sie sind jedoch nicht in derart ausgeprägter Weise gegeben, dass die Adäquanz allein aus diesem Grund zu bejahen wäre.
3.2.4 Der Beschwerdeführer bezieht aufgrund des Unfalls mit Handgelenksverletzung vom 10. Dezember 2003 eine Invalidenrente aufgrund einer Erwerbsunfähigkeit von 18 %. Von Seiten des Unfalls vom 10. Februar 2004 ist ihm gemäss den Ergebnissen der Abschlussuntersuchung durch den Kreisarzt Dr. med. T._ vom 13. September 2005 jede Erwerbstätigkeit, welche nicht mit stundenlangen Zwangshaltungen verbunden ist, in vollem Zeitpensum zuzumuten. Der Beschwerdeführer arbeitet denn auch zu 80 %, was beinahe vollumfänglich dem verbliebenen Leistungsvermögen entspricht. Deshalb ist das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen nicht erfüllt.
3.2.5 Aus der Dauer der ärztlichen Behandlung und der geklagten Beschwerden - welche im Rahmen der spezifischen Adäquanzkriterien (fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden) zu berücksichtigen sind - darf nicht auf einen schwierigen Heilungsverlauf oder erhebliche Komplikationen geschlossen werden. Es bedarf hierzu besonderer Gründe, welche die Genesung beeinträchtigt oder verzögert haben (SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81 E. 8.5 mit Hinweis [U 479/05]; Urteil 8C_726/2007 vom 16. Mai 2008, E. 4.3.2.6). Solche Umstände liegen hier nicht vor. Dasselbe gilt für eine ärztliche Fehlbehandlung.
3.2.6 Ob von einer fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung (BGE 134 V 109 E. 10.2.3 S. 128) gesprochen werden kann, ist nicht näher zu prüfen, denn das Kriterium wäre jedenfalls nicht in besonderer Ausprägung erfüllt. Wenn es bejaht würde, ergäben sich zwei Kriterien. Dies reicht nicht aus, um die Adäquanz zu bejahen.
3.3 Nach dem Gesagten stehen die ab 1. Januar 2006 fortbestehenden Beschwerden in keinem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 10. Februar 2004. Die Vorinstanz hat demnach einen Anspruch auf weitere Leistungen zu Recht verneint. Unter diesen Umständen ist nicht näher zu prüfen, ob ein Anspruch auf Heilbehandlung nach Fallabschluss (Art. 21 UVG) voraussetzt, dass die versicherte Person eine Rente bezieht.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. April 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger