Faits:
A. T._, né en 1966, a travaillé en qualité de maçon (chef d'équipe). En arrêt de travail depuis le 25 mars 2008, il a présenté une demande de prestations de l'AI le 26 septembre 2008. Selon un projet d'acceptation de rente du 8 février 2010, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) envisageait de le mettre au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité, fondée sur une perte de gain de 51 %. L'administration retenait en particulier une incapacité de travail totale dans l'activité habituelle, ainsi qu'une capacité résiduelle de travail de 65 % dans un emploi adapté.
L'assuré a manifesté son opposition par lettre du 23 février 2010 dans laquelle il a également requis l'assistance gratuite d'un conseil juridique. Par décision du 19 mai 2010, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a refusé de lui attribuer un avocat d'office.
B. T._ a déféré cette décision à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud qui l'a débouté par jugement du 22 septembre 2010.
C. T._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement dont il demande l'annulation ainsi que celle de la décision du 19 mai 2010, en concluant à ce que l'assistance juridique lui soit accordée pour la procédure administrative. Il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Le recourant précise que l'office intimé lui a alloué une demi-rente d'invalidité, par décision du 7 juillet 2010, contre laquelle il a formé recours auprès du tribunal cantonal.
Considérant en droit:
1. Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
2. Le recours interjeté céans est formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF) - incluant les droits fondamentaux - et est dirigé contre une décision rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) sans qu'aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF ne soit réalisée. En tant que la voie du recours en matière de droit public est ouverte, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF).
3. Le litige porte sur le droit du recourant à l'assistance gratuite d'un conseil juridique, au sens de l'art. 37 al. 4 LPGA. D'après cette disposition, pareille assistance est accordée lorsque les circonstances l'exigent. Devant le tribunal cantonal des assurances, les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire sont moins restrictives; il suffit que les circonstances le justifient (art. 61 let. f LPGA).
La juridiction cantonale a exposé correctement la portée de l'art. 37 al. 4 LPGA. Il convient ainsi de renvoyer au consid. 2a du jugement attaqué.
4. En bref, le tribunal cantonal a considéré que l'affaire ne présentait aucun caractère exceptionnel lors de la phase d'instruction administrative qui a suivi le préavis de l'office intimé. Il a admis que les questions litigieuses, qui consistaient essentiellement dans l'appréciation de la valeur probante de rapports médicaux afin de déterminer la capacité de travail, ne présentaient a priori pas de difficultés particulières, en fait ou en droit. Le tribunal a précisé que ces questions étaient uniquement d'ordre médical et non juridiques.
Le tribunal cantonal a aussi précisé que contrairement aux allégations du recourant, le litige ne s'inscrivait pas dans le cadre de règles complexes de coordination avec l'assurance-chômage, car il n'incombait pas à l'assurance-invalidité d'appliquer cette législation. Quant au complément d'instruction médical, il était réclamé uniquement par le recourant, ce qui ne permettait pas en soi de déduire que le dossier présentait une certaine complexité.
5. Le recourant soutient que l'intervention d'un avocat spécialisé est particulièrement nécessaire afin de convaincre l'office intimé de ses erreurs et de lui rendre justice. A cet effet, il allègue qu'une analyse très fine des rapports médicaux et de leur impact juridique est nécessaire. Il ajoute que le calcul correct de la capacité de travail exigible relève d'une question de droit et non d'une question médicale. Par ailleurs, le recourant estime que ses capacités intellectuelles et son état psychique affaibli ne lui permettaient pas de faire face à la pression psychologique constante et abrasive d'une procédure administrative tortueuse et compliquée à souhait pour le laïc. Enfin, il met en exergue les conséquences juridiques et financières graves liées à l'octroi ou au refus d'une rente.
6. Les arguments du recourant ne constituent que de simples allégués, dénués de pertinence. En particulier, il n'expose pas en quoi le tribunal cantonal aurait apprécié la situation de façon insoutenable, lorsqu'il a admis que les questions litigieuses consistaient essentiellement dans l'appréciation de la valeur probante de rapports médicaux afin de déterminer la capacité de travail, et que ces questions ne présentaient a priori pas de difficultés particulières, en fait ou en droit.
Devant le Tribunal fédéral, il incombait au recourant de démontrer en quoi les circonstances du cas d'espèce rendaient la présence d'un avocat indispensable à compter du moment où l'intimé avait rendu son préavis du 8 février 2010. Son discours se limite toutefois à donner son appréciation personnelle de la situation en s'appuyant sur des critiques vagues et d'ordre général, ce qui ne permet pas de remettre en cause le bien-fondé de l'appréciation des premiers juges.
7. Les recours étaient voués à l'échec, de sorte que l'une des conditions cumulatives de l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale n'est pas réalisée (art. 64 al. 1 LTF).
Vu les circonstances, il sera renoncé à la perception de frais de procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
4. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 mai 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud