Sachverhalt:
A.
A.a. Y._ und X._ sind die gemeinsamen nicht verheirateten Eltern der 2009 geborenen Tochter A._. Die von den Eltern am 22. Juni 2010 geschlossene Vereinbarung über den Unterhalt und die Betreuung des gemeinsamen Kindes sah insbesondere vor, dass dieses von beiden Eltern zu gleichen Teilen je zweieinhalb Tage pro fünf Werktage plus Samstag oder Sonntag bzw. plus jedes zweite Wochenende betreut wird, wobei diese Betreuungsregelung auch bei einer eventuellen Auflösung des gemeinsamen Haushaltes (Pendelmodell) gelten soll. Am 9. August 2010 genehmigte die Vormundschaftsbehörde B._ die Vereinbarung und übertrug gestützt auf aArt. 298a Abs. 1 ZGB die elterliche Sorge über das Kind antragsgemäss auf beide Eltern.
A.b. Im Juni 2011 trennten sich die Eltern und leben seither nicht mehr im gemeinsamen Haushalt. Die Mutter zog nach Z._. Am 15. Juni 2012 änderte die Vormundschaftsbehörde Z._ nach Anhörung des Sozialarbeiters und der Eltern die Betreuungsregelung. Mit Urteil vom 20. Dezember 2012 wies das Appellationsgericht Basel-Stadt als Verwaltungsgericht den von X._ gegen den Entscheid der Vormundschaftsbehörde erhobenen Rekurs ab.
B.
X._ gelangte mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht und beantragte sinngemäss, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts sei insofern abzuändern, als nach Ablauf der Übergangszeit die bestehende Kontaktregelung gemäss Vereinbarung vom 22. Juni 2010 gelte. Mit Urteil vom 14. November 2013 wies das Bundesgericht die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war (1). Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- wurden X._ auferlegt, infolge der gewährten unentgeltlichen Rechtspflege aber einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen (4).
C.
Mit Eingabe vom 5. März 2014 (Postaufgabe) ersucht X._ (Gesuchsteller) beim Bundesgericht um Revision des ihm am 3. Dezember 2013 zugestellten bundesgerichtlichen Urteils 5A_198/2013. gestützt auf Art. 123 Abs. 1 und Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG. Er beantragt im Einzelnen, es sei Ziffer 1 des bundesgerichtlichen Urteils aufzuheben und festzuhalten, dass die Betreuungsregelung gemäss Elternvereinbarung vom 22. Juni 2010 gelte (1 und 2). Aufzuheben sei ferner Ziffer 4 des bundesgerichtlichen Urteils; ihm seien die Gerichtskosten zu erlassen (3). Für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht er sinngemäss um unentgeltliche Rechtspflege (Erlass der Kosten des Revisionsverfahrens) (4). Er ersucht darum, ihm eine Parteientschädigung zu gewähren (5). Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Frist von 90 Tagen zur Einreichung der Revision gestützt auf Art. 123 BGG (Art. 124 Abs. 1 lit. d BGG) ist unter Berücksichtigung des Zustellungsdatums des Urteils 5A_198/2013 (3. Dezember 2013) und der vom 18. Dezember 2013 bis 2. Januar 2014 geltenden Gerichtsferien (Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG) eingehalten.
1.2. Auch für die Revision gelten die in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG genannten Anforderungen; die Begehren sind zu begründen, d.h., es ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Urteil 5F_8/2013 vom 24. April 2013 E. 1.2; 5F_3/2011 vom 4. Mai 2011 E. 1.2; 5F_10/2012 vom 25. März 2013 E. 1.1). Diesen Anforderungen vermag das appellatorische Revisionsgesuch im Grossen und Ganzen nicht zu entsprechen.
2.
2.1. Der Gesuchsteller beruft sich auf den Revisionsgrund von Art. 123 Abs. 1 BGG. Danach kann die Revision verlangt werden, wenn ein Strafverfahren ergeben hat, dass durch ein Verbrechen oder Vergehen zum Nachteil der Partei auf den Entscheid eingewirkt wurde; die Verurteilung durch das Strafgericht ist nicht erforderlich. Ist das Strafverfahren nicht durchführbar, so kann der Beweis auf andere Weise erbracht werden.
2.2. Zur Begründung macht der Gesuchsteller geltend, die Gesuchsgegnerin habe ihm, dem Inhaber der elterlichen Sorge und Obhut, das Kind vom 4. August bis 22 September 2011 entzogen, was als Straftatbestand im Sinn von Art. 220 StGB zu werten sei. Er habe aus Gründen des Kindeswohls keinen Strafantrag gestellt; zudem sei die Frist gemäss Art. 31 StGB bereits abgelaufen. Der Beschwerdeführer begründet in der Folge, dass die entsprechende Straftat effektiv begangen worden ist. Er zeigt indes auf den betreffenden Seiten 2-4 des Gesuchs nicht rechtsgenüglich auf, inwiefern die angebliche Straftat auf das bundesgerichtliche Urteil 5A_198/2013 eingewirkt haben soll und Entsprechendes ist auch nicht ersichtlich. Dies führt zur Abweisung des Gesuchs gestützt auf Art. 123 Abs. 1 BGG, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.
3.1. Der Gesuchsteller beruft sich des Weiteren auf den Revisionsgrund von Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG. Nach dieser Bestimmung besteht Anlass zur Revision des bundesgerichtlichen Urteils in Zivilsachen und öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind.
3.2. Der Gesuchsteller begründet sein Gesuch mit dem Hinweis, er sei erst im bundesgerichtlichen Urteil 5A_198/2013 über die erhebliche Tatsache informiert worden, dass in casu ein "in Anwendung von aArt. 298a Abs. 2 ZGB ergangener Entscheid" über die Abänderung der von den Parteien vereinbarten Betreuungsregelung vorliegen soll.
3.3. Bereits aus dem Urteil des Appellationsgerichts als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt vom 20. Dezember 2012, welches das Bundesgericht im Verfahren 5A_198/2013 auf Beschwerde hin überprüfte, ergibt sich der Hinweis auf aArt. 298a Abs. 2 ZGB. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, die Zuständigkeit zur Abänderung einer bestehenden Betreuungsregelung unverheirateter Eltern, denen gestützt auf aArt. 298a Abs. 1 ZGB aufgrund einer Vereinbarung die gemeinsame elterliche Sorge über ihr Kind übertragen worden sei, werde in aArt. 298a Abs. 2 ZGB nicht geregelt. Da die Festlegung der Betreuungsanteile beider Eltern in der Sache der Regelung des Besuchsrechts gleiche, erstrecke sich die Regelungs- bzw. Änderungskompetenz der Vormundschaftsbehörde auf die Abänderung der bestehenden Betreuungsregelung. Der Gesuchsteller hat in seiner Beschwerde gegen das besagte Urteil die Zuständigkeit der Vormundschaftsbehörde bestritten und das Bundesgericht hat sich in seinem Urteil 5A_198/2013 vom 14. November 2013 in E. 4.2 und 4.3 ausführlich mit dieser Problematik befasst. Ein Revisionsgrund liegt nicht vor. Mit seinen Ausführungen verlangt der Gesuchsteller im Ergebnis vom Bundesgericht, seinen Entscheid in Wiedererwägung zu ziehen, wozu die Revision nicht dienen kann.
4.
Damit ist das Revisionsgesuch abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Gesuchsteller kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat die Gegenpartei jedoch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht zu entschädigen, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
5.
Wie die bisherigen Ausführungen zeigen, hat sich das Revisionsgesuch als von Anfang an aussichtslos erwiesen. Fehlt es somit an einer der kumulativen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (nicht aussichtslose Eingabe), muss das entsprechende Gesuch des Gesuchstellers abgewiesen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Gesuch um Revision des Urteils 5A_198/2013 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB Z._ und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. März 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden