Faits:
A. X._, né en 1976, et Y._, en 1976, se sont mariés le 14 février 2003. Deux enfants sont issus de cette union: A._, né en 2003, et B._, née en 2007.
Les époux vivent séparés depuis le 11 juin 2011.
B. Le 29 juillet 2011, l'épouse a saisi le Président du Tribunal civil de la Sarine (ci-après: le Président) d'une requête de mesures protectrices de l'union conjugale.
B.a Par décision du 12 décembre 2011, le Président, après avoir entendu les parties lors d'une audience du 18 octobre 2011, a homologué la convention des époux tendant à la garde alternée des enfants, à raison d'une semaine sur deux chez chaque parent, décidé que chaque partie assumait les frais des enfants lorsqu'ils sont chez elle, la mère payant les primes d'assurance-maladie des enfants et conservant les allocations patronales perçues pour eux, le père s'acquittant des frais de garde et conservant les allocations familiales, et condamné le père à verser à la mère des montants de 60 fr. et 45 fr. par mois pour l'entretien respectivement de A._ et B._, les frais extraordinaires (orthodontie, opticien) étant supportés par moitié par chaque parent, sous réserve des prestations obtenues des assurances-maladie ou sociales, et les frais de garde correspondant à un placement auprès d'un tiers - hors accueil extra-scolaire et de garderie, assumés par le père - étant payés par le parent ayant la garde des enfants durant le placement.
La mère a interjeté appel à l'encontre de cette décision le 23 décembre 2011, concluant à ce que le père verse des montants mensuels pour l'entretien des deux enfants de 877 fr. et 786 fr., pour la période du 11 juin au 31 décembre 2011, et de 856 fr. et 767 fr., dès le 1er janvier 2012, allocations familiales en sus.
B.b Statuant le 16 avril 2012, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: la Cour d'appel) a partiellement admis l'appel et réformé la décision du Président du 12 décembre 2011 en ce sens que chaque parent assume le coût d'entretien courant des enfants lorsqu'il en a la garde, la mère s'acquitte des dépenses ordinaires des enfants, le père contribue à l'entretien des enfants par le versement de 300 fr. et 350 fr. respectivement pour A._ et B._, du 11 juin au 29 février 2012, de 200 fr. et 250 fr., pour la période du 1er mars au 31 juillet 2012 et de 100 et 150 fr., dès lors, allocations familiales en sus pour toute la durée de la séparation.
C. Par acte du 18 mai 2012, le père interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à sa réforme en ce sens qu'il contribue à l'entretien des enfants par le versement de 160 fr. et 100 fr. respectivement pour A._ et B._, du 11 juin au 29 février 2012, de 40 fr. pour A._ et aucune pension pour B._ pour la période du 1er mars au 31 juillet 2012 et à la libération de toute contribution d'entretien dès lors, les allocations familiales étant attribuées à la mère pour toute la durée de la séparation. Il sollicite au préalable l'octroi de l'assistance judiciaire.
Des déterminations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. La décision de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 ss CC) est une décision en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF. Elle est finale selon l'art. 90 LTF (ATF 133 III 393 consid. 4 p. 395 s.). Comme le litige porte sur les contributions d'entretien en faveur des enfants, le recours a pour objet une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse, qui se détermine au regard des conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente, atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, 74 al. 1 let. b LTF). Le présent recours a par ailleurs été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et ayant un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'arrêt attaqué (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision prise sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
2. 2.1 Dès lors que les mesures protectrices de l'union conjugale sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5 p. 396), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287); il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 589 consid. 2). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi manifestement insoutenable (ATF 134 II 349 consid. 3 p. 351 s. et les références citées).
2.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1), autrement dit que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252). Les faits et moyens de preuve nouveaux sont prohibés, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2.3 Aux termes de l'art. 271 let. a du Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (ci-après: CPC), les mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 à 179 CC) sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire (HOHL, Procédure civile, tome II, 2ème éd., 2010, nos 1900 à 1904). Bien que les moyens de preuve ne soient pas restreints aux seuls titres, l'administration des moyens de preuve doit pouvoir intervenir immédiatement (art. 254 al. 2 let. c et 272 CPC). La décision de mesures protectrices de l'union conjugale est en principe provisoire et revêtue d'une autorité de la chose jugée limitée, dès lors qu'elle précède généralement la procédure de divorce. La jurisprudence rendue avant l'entrée en vigueur du CPC demeure applicable (en particulier l'ATF 127 III 474 consid. 2b/bb p. 478): la cognition du juge est limitée à la simple vraisemblance des faits et à un examen sommaire du droit (arrêt 5A_661/2011 du 10 février 2012 consid. 2.3). Le point de savoir si le degré de vraisemblance requis par le droit fédéral est atteint dans le cas particulier ressortit à l'appréciation des preuves (ATF 130 III 321 consid. 5 p. 327; arrêt 5A_535/2009 du 13 octobre 2009 consid. 3.2). Dans ce domaine, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40; 118 Ia 28 consid. 1b p. 30 et les références). Cette retenue est d'autant plus grande lorsque - comme en l'espèce - le juge n'examine la cause que d'une manière sommaire et provisoire (ATF 127 III 474 consid. 2b/bb p. 478).
3. Le recours a pour objet le montant des contributions d'entretien mises à la charge du père en faveur des enfants.
S'agissant de l'entretien des enfants, les juges cantonaux ont, dans un premier temps, examiné si le coût évalué par le premier juge était contraire aux intérêts des enfants en le recalculant à l'aide des tabelles zurichoises au 1er janvier 2012. Ils ont ainsi relevé que le coût de référence des Tabelles était de 1'695 fr. pour l'enfant A._ et de 1'735 fr. pour B._. Ils ont ensuite retranché de ce coût le poste "soins et éducation" à hauteur de 395 fr. pour A._ et 595 fr. pour B._, les parties s'occupant de leurs enfants à parts égales et s'acquittant de frais de garde constituant des coûts directs de soins en nature, puis diminué de 25 % le coût restant, vu la situation financière des époux. La cour cantonale a ensuite ajouté les frais de garde effectifs, à savoir 252 fr. pour A._ et 301 fr. pour B._ et a déduit les allocations perçues pour chaque enfant à hauteur de 320 fr. Constatant que le coût d'entretien de chaque enfant qu'elle a calculé, soit 907 fr. pour A._ (1'695 - 395 - 325 [25 % de 1'300] + 252 - 320) et 836 fr. pour B._ (1'735 - 595 - 285 [25 % de 1140] + 301 -320), était inférieur ou équivalent au coût d'entretien retenu pour chacun d'eux par le premier juge, qui a appliqué la méthode du minimum vital élargi, soit 898 fr. pour A._ et 947 fr. pour B._ - méthode et sommes non remises en cause par le père en appel -, la cour cantonale a retenu ces derniers montants comme étant le coût d'entretien pertinent de chacun des enfants. L'autorité précédente a à cet égard précisé la manière dont le juge de première instance avait déterminé ces montants pour l'entretien des enfants, à savoir en partant du montant de base du droit des poursuites, augmenté de 20 %, auquel il a ajouté les frais de logement et de garde, puis soustrait les allocations cantonales et patronales.
Vu l'écart existant entre les revenus et soldes disponibles des époux, l'autorité précédente a, dans un deuxième temps, réparti le coût d'entretien pertinent de chaque enfant en fonction du solde disponible de chacun des parents, selon les différentes périodes déterminées, le père ayant été licencié au 29 février 2012 et la cohabitation avec sa s?ur, de laquelle il percevait une participation aux frais de logement, cessant le 31 juillet 2012. Ainsi, jusqu'à son licenciement, le père disposait de 83,73 % du revenu global des époux, de mars à juillet 2012, son revenu représentait 70,87 % et depuis lors, 60,55 %. Il s'ensuit que la part du père à l'entretien mensuel de l'enfant A._ se monte à 752 fr. (898 x 83,73 %) du 11 juin 2011 au 29 février 2012, à 636 fr. (898 x 70,87 %) du 1er mars au 31 juillet 2012, puis à 543 fr. (898 x 60,55 %) depuis lors. Celle qu'il doit assumer pour l'enfant B._ s'élève à 793 fr. (947 x 83,73 %) du 11 juin 2011 au 29 février 2012, à 671 fr. (947 x 70,87 %) du 1er mars au 31 juillet 2012, puis à 573 fr. (947 x 60,55 %) depuis lors.
Retenant encore que le père assume déjà des frais en nature pour ses enfants lorsqu'il en a la garde une semaine sur deux, la cour cantonale a déduit de la part du père à l'entretien, le montant de 440 fr. par enfant, à savoir 200 fr. pour la part de loyer de chacun des enfants et 240 fr. à titre de minimum vital. En définitive, la Cour d'appel a ainsi fixé les contributions d'entretien mensuelles dues par le père pour A._ et B._ à, respectivement, 300 fr. (752 - 440 = 312) et 350 fr. (793 - 440 = 353) du 11 juin 2011 au 29 février 2012, à 200 fr. (636 - 440 = 196) et 250 fr. (671 - 440 = 231) du 1er mars au 31 juillet 2012 et à 100 fr. (543 - 440 = 103) et 150 fr. (573 - 440 = 133) depuis lors, allocations familiales payables en sus.
4. Le recourant se plaint de la "violation du droit fédéral (art. 95 LTF)", le juge cantonal ayant commis plusieurs erreurs manifestes dans l'appréciation de la prise en charge du coût des enfants, au regard de la situation d'espèce, singulièrement en ce qui concerne l'évaluation des besoins de sa fille et la comptabilisation des allocations familiales et patronales.
4.1 Le recourant, qui reproche aux juges précédents la non-prise en considération de certains éléments dans la détermination du coût d'entretien de ses enfants, se plaint en réalité d'appréciation arbitraire des faits et des preuves, sans toutefois soulever explicitement ce grief (art. 9 Cst.; cf. supra consid. 2).
En matière de constatations de fait et d'appréciation des preuves dans le cadre de mesures protectrices de l'union conjugale, le Tribunal fédéral se montre réservé vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux autorités cantonales. Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que s'il apparaît que le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; 118 Ia 28 consid. 1b p. 30); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause.
4.2 Le père critique premièrement le coût d'entretien de l'enfant B._, que la Cour d'appel a décidé d'arrêter à 947 fr. par mois, conformément à la décision de première instance, alors que la cour cantonale a déterminé, selon son propre raisonnement, que la dépense mensuelle pour cet enfant se monte à 836 fr., allocations patronales et familiales déduites.
4.2.1 En vertu de l'art. 176 al. 3 CC relatif à l'organisation de la vie séparée, lorsque les époux ont des enfants mineurs, le juge ordonne les mesures nécessaires, d'après les dispositions sur les effets de la filiation (art. 273 ss CC); le principe fondamental est l'intérêt de l'enfant mineur, celui des parents étant relégué à l'arrière-plan (arrêt 5A_497/2011 du 5 décembre 2011 consid. 2.1.1 et 6.1). À teneur de l'art. 285 al. 1 CC, la contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère; il est tenu compte de la fortune et des revenus de l'enfant. Ces différents critères doivent être pris en considération; ils exercent une influence réciproque les uns sur les autres. Celui des parents dont la capacité financière est supérieure peut être tenu, suivant les circonstances, de subvenir à l'entier du besoin en argent si l'autre remplit son obligation à l'égard de l'enfant essentiellement en nature (ATF 120 II 285 consid. 3a/cc p. 289; arrêt 5A_497/2011 du 5 décembre 2011 consid. 7.1.3; 5A_216/2009 du 14 juillet 2009 consid. 4.2). La loi n'impose pas de méthode de calcul de la contribution d'entretien (ATF 128 III 411 consid. 3.2.2 p. 414 in fine).
4.2.2 Il apparaît en l'espèce que la cour cantonale, après avoir contrôlé le coût de l'entretien d'un enfant selon sa propre méthode fondée sur les besoins d'entretien statistiques moyens retenus dans les «Recommandations pour la fixation des contributions d'entretien des enfants» éditées par l'Office de la jeunesse du canton de Zurich, s'en est finalement tenue aux résultats obtenus par le Président du Tribunal avec la méthode du minimum vital élargi, que les parties n'ont pas remise en cause en appel (cf. supra consid. 3). Même si l'autorité précédente n'applique en définitive pas la méthode préalablement exposée, elle a retenu un coût d'entretien des enfants basé sur une autre méthode, tenant aussi compte de leurs besoins, puis a réparti ce coût en fonction des capacités contributives des parents (répartition du coût selon le revenu et le solde disponible) et de la prise en charge des enfants en nature (déduction de 440 fr. pour les frais assumés pendant l'exercice du droit de garde du père). La Cour d'appel a ainsi pris en considération l'ensemble des critères pertinents pour fixer le coût et la contribution d'entretien des enfants, sans s'écarter des constatations du premier juge, plus favorables aux intérêts de ceux-ci, à tout le moins en ce qui concerne l'enfant B._, et que les parties ne critiquaient pas. Cela étant, le droit fédéral n'imposant pas de méthode pour la détermination des contributions d'entretien et le recourant n'ayant pas critiqué en appel le montant de 947 fr. retenu pour l'enfant B._, il n'y a pas d'arbitraire à retenir le montant de l'entretien supérieur. Le raisonnement de l'autorité précédente ne saurait donc être taxé d'arbitraire et le grief doit être rejeté sur ce point.
4.3 Le recourant s'en prend secondement aux allocations familiales et patronales reçues à hauteur de 320 fr. par mois et par enfant. Il soutient que, dès l'instant où ces montants sont versés à la mère, lui-même est "en droit de déduire 320 fr. par mois" des contributions qu'il devrait acquitter, mais que, "pour des raisons d'équité, il consent à réduire mensuellement à 160 fr.".
4.3.1 Les allocations familiales, qui ne sont pas prises en compte dans le revenu du parent qui les perçoit, doivent être soustraites du coût d'entretien de l'enfant (ATF 128 III 305 consid. 4b p. 310; arrêts 5A_352/2010 du 29 octobre 2010 consid. 6.2.1; 5A_207/2009 du 21 octobre 2009 consid. 3.2).
4.3.2 En l'occurrence, le recourant part de la prémisse que les allocations familiales versées à la mère seraient déduites de la part que celle-ci doit assumer pour l'entretien des enfants, ce qui est inexact au vu de l'arrêt entrepris. Le montant des allocations familiales et patronales, à savoir 320 fr. par enfant, a été déduit du coût d'entretien des enfants, avant que le solde de ce coût ne soit réparti entre les parents en fonction de leurs capacités contributives (cf. supra consid. 3). Par ailleurs, le revenu de la mère - qui doit s'acquitter de l'ensemble des dépenses ordinaires des enfants - n'a pas été majoré des montants reçus à titre d'allocations pour les enfants. La cour cantonale a ainsi tenu compte des allocations familiales et patronales conformément à ce que prescrit la jurisprudence précitée; partant, le résultat auquel elle parvient n'est pas arbitraire. Le grief est par conséquent également mal fondé en ce qui concerne la déduction des allocations familiales et patronales.
5. En conclusion, le recours ne peut qu'être rejeté. Les conclusions du recourant étant dénuées de toute chance de succès, sa demande d'assistance judiciaire pour la procédure devant la cour de céans ne saurait être agréée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer (art. 68 al. 2 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est rejeté.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 23 juillet 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Carlin