Fatti:
A. Il 1° ottobre 2007 la B._SA ha chiesto al Municipio di Chiasso il permesso di costruire, nel nucleo di Pedrinate, uno stabile di sei appartamenti al posto degli edifici attualmente esistenti. Numerosi abitanti del luogo, tra i quali A._, all'epoca proprietaria di uno stabile confinante con uno di quelli da demolire, si sono opposti al progetto edilizio. Raccolto il preavviso favorevole del Dipartimento del territorio, il 15 gennaio 2008 il Municipio, respinte le opposizioni, ha rilasciato la richiesta licenza.
B. Il Consiglio di Stato del Cantone Ticino, con decisione del 30 aprile 2008, ha dichiarato irricevibile per carenza di legittimazione un ricorso inoltrato da A._ contro la citata licenza. Accertato che nel frattempo la ricorrente aveva venduto il fondo confinante, essendo soltanto beneficiaria di un diritto d'abitazione su una casa situata a un centinaio di metri di distanza, il Governo cantonale ha ritenuto che l'insorgente non disponeva più di un interesse degno di protezione. Il Tribunale cantonale amministrativo, adito dalla soccombente, ne ha respinto il ricorso con giudizio del 27 giugno 2008.
C. Avverso questa sentenza A._ presenta un ricorso in materia di diritto pubblico e un ricorso sussidiario in materia costituzionale al Tribunale federale. Chiede di concedere l'effetto sospensivo al gravame e di riformare l'impugnato giudizio nel senso di dichiarare nulla rispettivamente di annullare la licenza edilizia e di attribuirle fr. 1'500.-- per ripetibili della sede cantonale.
Invitata a esprimersi sull'istanza provvisionale, la B._SA propone di respingerla, unitamente al ricorso.
Diritto:
1. 1.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio se e in che misura un ricorso può essere esaminato nel merito (DTF 133 II 400 consid. 2).
1.2 Presentato tempestivamente contro una decisione finale dell'ultima istanza cantonale, che nell'ambito del rilascio di una licenza edilizia a terzi ha confermato il diniego della legittimazione a ricorrere a A._, il ricorso in materia di diritto pubblico è di massima ammissibile sotto il profilo degli art. 82 lett. a, 86 cpv. 1 lett. d, 90 e 100 cpv. 1 LTF.
1.3 La ricorrente ha inoltrato, a ragione, con un unico allegato (art. 119 cpv. 1 LTF) sia un ricorso in materia di diritto pubblico (art. 82 e segg.) sia un ricorso sussidiario in materia costituzionale (art. 113 segg. LTF). Ella tuttavia neppure tenta di spiegare perché quest'ultimo rimedio sarebbe ammissibile, visto che nell'ambito del diritto pianificatorio ed edilizio non si è in presenza di nessuna delle eccezioni previste dall'art. 83 LTF (DTF 133 II 409 consid. 1.1, 353 consid. 2, 249 consid. 1.2). Giova comunque rilevare che l'indicazione nei rimedi di diritto della decisione impugnata, secondo cui qualora non sia proponibile il ricorso ordinario sarebbe ammissibile quello sussidiario, nel quadro del diritto pianificatorio ed edilizio è fuorviante.
1.4 Secondo l'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il gravame dev'essere motivato in modo sufficiente, spiegando nei motivi perché l'atto impugnato viola il diritto (cpv. 2; DTF 133 II 249 consid. 1.4.1; 133 IV 286 consid. 1.4). Il Tribunale federale esamina in linea di principio solo le censure sollevate; esso non è tenuto a vagliare, come lo farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono, se queste ultime non sono presentate nella sede federale (DTF 134 IV 36).
2. 2.1 La Corte cantonale, negata la legittimazione della ricorrente quale rappresentante dei firmatari di una petizione per la salvaguardia del vecchio nucleo di Pedrinate, ha accertato ch'ella si era opposta al progetto litigioso in quanto proprietaria, all'epoca, di un fondo confinante con quello dedotto in edificazione: in tale veste era senz'altro legittimata a ricorrere. Nel frattempo, ha venduto la sua particella, per cui ha perso tale facoltà. I giudici cantonali hanno nondimeno ritenuto che la sua qualità di beneficiaria di un diritto di abitazione, su una casa situata a un centinaio di metri di distanza dalla progettata costruzione, è di per sé atta a conferirle il diritto di ricorrere. Hanno tuttavia stabilito che, nella fattispecie, il rapporto che intercorre tra detto fondo e quello litigioso non è abbastanza stretto e intenso per poterle riconoscere la legittimazione attiva: ella non si trova infatti in una situazione sostanzialmente diversa da quella delle altre persone che risiedono sulla collina di Pedrinate, né il pregiudizio all'asserita menomazione del quadro paesaggistico è maggiore di quello che potrebbe subire ogni altro abitante, che, come l'insorgente, potrà vedere la nuova costruzione dalla propria abitazione. Ella non ha in effetti indicato alcun inconveniente particolare che le deriverebbe dal nuovo immobile; il vantaggio ideale risultante dall'eventuale accoglimento del ricorso non è superiore a quello di altre persone che condividono la sua concezione di tutela del nucleo.
2.2 Secondo l'art. 33 cpv. 3 lett. a LPT, il diritto cantonale deve garantire la legittimazione a ricorrere in ambito pianificatorio (p. es. riguardo alle autorizzazioni edilizie, art. 22 LPT) per lo meno nella stessa misura di quella prevista per il ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. L'art. 111 LTF prescrive inoltre, come il previgente art. 98a OG, l'unità procedurale: chi ha diritto di ricorrere al Tribunale federale deve poter essere parte nei procedimenti dinanzi a tutte le autorità cantonali (cpv. 1); l'autorità di grado immediatamente inferiore al Tribunale federale deve poter esaminare almeno le censure di cui agli art. 95-98 (cpv. 3). Da queste norme discende che le autorità cantonali non possono definire la legittimazione ricorsuale in maniera più restrittiva di quella prevista per il ricorso al Tribunale federale: possono definirla nondimeno in maniera più larga (sentenza 1C_387/2007 del 25 marzo 2008 consid. 2). La questione di sapere se il Tribunale cantonale amministrativo poteva negare la legittimazione a ricorrere dev'essere pertanto esaminata sulla base dei principi dell'art. 89 cpv. 1 LTF, che si ricollegano a quelli del previgente art. 103 lett. a OG (DTF 133 II 353 consid. 3 in fine). Ne discende che la ricorrente, indipendentemente dalla sua legittimazione nel merito, può far valere un diniego di giustizia (cfr. DTF 129 II 297 consid. 2.3; 124 II 124 consid. 1b; sentenza 1C_82/2007 del 19 novembre 2007 consid. 1.2 e, circa la vendita di un fondo durante la procedura, 1C_109/2007 del 30 agosto 2007 consid. 2.4).
2.3 Secondo la giurisprudenza, il semplice assunto d'essere toccato dal rilascio di una licenza edilizia non è sufficiente per fondare la legittimazione a ricorrere. Sulla base delle circostanze concrete deve piuttosto risultare verosimile che l'interessato, che ha partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore (art. 89 cpv. 1 lett. a), sia particolarmente toccato (lett. b) e abbia un interesse degno di protezione (lett. c): ciò allo scopo di escludere un'inammissibile azione popolare. Anche per l'adempimento delle condizioni della citata norma si può far capo alla prassi inerente alla legittimazione sviluppata nel quadro del previgente ricorso di diritto amministrativo (art. 103 lett. a OG; DTF 133 II 409 consid. 1.3; DTF 120 Ib 48 consid. 2).
2.3.1 Se un vicino vuole impugnare una licenza edilizia deve rendere verosimile, segnatamente quando non esiste uno stretto legame spaziale con l'oggetto del litigio, che la sua situazione giuridica o fattuale sia influenzata dall'esito della procedura e che egli abbia un vantaggio pratico all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata. Sussiste quindi un obbligo del vicino di un progetto di costruzione di dimostrare la sua legittimazione: quando non è manifesta, non spetta al Tribunale federale cercare negli atti i motivi che potrebbero fondarla (DTF 133 II 409 consid. 1.3, 249 consid. 1.1 e 1.3.1, 400 consid 2.2, 353 consid. 1 e 3). Un interesse particolare è segnatamente ammesso nei casi in cui il progettato impianto implica verosimilmente immissioni sul fondo che si trova nelle sue vicinanze (DTF 121 II 171 consid. 2b e rinvii; 120 Ib 379 consid. 4c).
2.3.2 Come si è visto, la ricorrente non è più proprietaria di un fondo direttamente confinante con quello dedotto in edificazione, ma dispone di un diritto di abitazione su una casa distante circa 100 m. Come a ragione ritenuto dalla Corte cantonale, la giurisprudenza riconosce la legittimazione a ricorrere anche a proprietari che si trovano a una certa distanza da una progettata costruzione. Certo, la distanza spaziale costituisce un criterio per la valutazione della facoltà di ricorrere: non ci si può tuttavia fondare in maniera astratta su determinate distanze (cfr. Heinz Aemisegger/Stephan Haag, Kommentar zum RPG, Zurigo 1999, n. 39 all'art. 33). I vicini devono comunque essere toccati personalmente dal progetto e subire un pregiudizio concreto.
2.4 Nella fattispecie, siffatti estremi non sono ravvisabili, né la ricorrente, contrariamente al suo obbligo, li adduce. Ella insiste semplicemente, richiamando la prassi relativa all'art. 103 lett. a OG, sul fatto che sarebbe sufficiente un interesse economico, materiale, ideale o morale, senza tuttavia dimostrarne la sussistenza nel caso di specie.
2.4.1 La ricorrente, mischiando censure formali e materiali e diffondendosi in maniera inutilmente prolissa su questioni teoriche, non spiega infatti né dimostra minimamente perché sarebbe "particolarmente" e personalmente toccata dal criticato progetto edilizio. Ella si limita ad addurre di avere "un diritto a godere, nel paese in cui vive, e nella sua attuale abitazione, della vista del nucleo storico debitamente conservato e salvaguardato nel rispetto del patrimonio culturale e storico del villaggio" e che la conservazione degli edifici di pregio costituirebbe una parte integrante della qualità di vita dei singoli abitanti della zona. Aggiunge che gli abitanti che vivono nel nucleo, condividendo quindi le sue tradizioni e specificità architettoniche che ne avrebbero condizionato la loro vita, rientrerebbero pertanto nella cerchia di persone che avrebbero con lo stesso un rapporto più stretto e intenso che il resto della collettività.
2.4.2 Ora, come stabilito a ragione dalla Corte cantonale, ella non è toccata in maniera maggiore di qualunque altro abitante della collina di Pedrinate o dei firmatari della petizione per la salvaguardia dell'antico nucleo di Pedrinate (al dire dell'opponente riferibile peraltro a una precedente domanda di costruzione, poi ritirata), sulla quale insiste in particolare e con la quale si chiedeva al Municipio di rispettare la tradizione e la cultura locali. Anche questo aspetto dimostra che il ricorso tende soltanto alla tutela di interessi ideali di terzi e non di quelli personali e concreti della ricorrente. Ella insiste infatti sulla circostanza che al progetto si erano opposti "quanto meno idealmente e moralmente" oltre un centinaio di cittadini, per cui vi sarebbe un interesse pubblico alla disamina delle censure di merito del ricorso. Con quest'argomentazione la ricorrente misconosce tuttavia che un ricorso fondato, come il suo, sull'interesse generale o presentato nell'interesse di terzi è inammissibile (DTF 133 II 249 consid. 1.3.2), ritenuto che il suo interesse personale deve distinguersi chiaramente da quello generale degli altri abitanti del Comune (sentenza 1C_64/2007 del 2 luglio 2007 consid. 2), essendo esclusa, come già visto, l'azione popolare (DTF 133 II 249 consid. 1.3.1).
2.4.3 Riguardo a pregiudizi concreti e personali, la ricorrente si limita ad addurre un'asserita perdita della vista sul nucleo storico di Pedrinate. Gli obiettivi dell'art. 34 NAPR, norma al suo dire disattesa dal criticato progetto, imporrebbero sotto l'aspetto paesaggistico, il mantenimento del nucleo nel suo stato originario, salvo condizioni eccezionali che in concreto non sarebbero realizzate. La realizzazione del contestato progetto implicherebbe quindi una vista su un nucleo storico modificato per rapporto al suo stato originario. Con questo assunto la ricorrente, limitandosi a rilevare in maniera del tutto generica ch'esso non rispetterebbe gli "allineamenti storici", non s'integrerebbe architettonicamente nell'aspetto tradizionale del nucleo e supererebbe in maniera non meglio precisata l'altezza degli edifici tipici, non dimostra affatto d'essere toccata in maniera personale e concreta nei suoi interessi giuridici o di fatto. Certo, un vicino può di massima far valere censure relative a una clausola di estetica, ma la relativa norma deve nondimeno avere un influsso concreto sulla sua situazione e lo stesso deve ricavare comunque un vantaggio concreto dall'accoglimento del gravame (DTF 133 II 249 consid. 1.3.2; sentenza 1C_18/2008 del 15 aprile 2008 consid. 5.1): la ricorrente, insistendo sull'interesse generale, non lo dimostra. Anche le critiche all'asserito stravolgimento degli schemi di organizzazione interna del contestato edificio non comportano ripercussioni concrete sulla situazione della vicina (DTF 133 II 249 consid. 1.3.2). Certo, ella rileva, richiamando la dottrina (YVES DONZALLAZ. Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, Berna 2008, n. 3130), che un interesse personale a ricorrere non dovrebbe peraltro essere forzatamente solo individuale: ella scorda tuttavia che, anche per l'invocato autore, l'interesse dev'essere comunque speciale e chiaramente distinto da quello degli altri membri della collettività (op. cit., n. 3131).
2.4.4 Del resto, dalle motivazioni di merito del ricorso, risulta chiaramente che la ricorrente persegue un interesse pubblico alla corretta applicazione del diritto da parte del Municipio, segnatamente dell'art. 34 NAPR, senza che da un eventuale accoglimento del gravame ella ne possa trarre alcun vantaggio pratico (DTF 133 II 249 consid. 1.3.2; BERNHARD WALDMANN, in: Basler Kommentar BGG, n. 12 e segg. all'art. 89; sentenza 1C_45/2008 del 19 marzo 2008 consid. 2.3).
2.4.5 Certo, il Tribunale federale ha recentemente ammesso la legittimazione a ricorrere di un vicino proprietario di una particella situata a 18 m da quella dedotta in edificazione, il cui colmataggio, seppure le particelle non erano viciniore, era chiaramente visibile dal suo fondo: la costruzione poteva comportare inoltre, ciò che è decisivo, immissioni negative, quali la privazione di luce e immissioni d'ombra (sentenza 1C_133/2008 del 6 giugno 2008 consid. 2.3-2.6). In un'altra causa, la legittimazione, già ammessa nella sede cantonale, è stata confermata al proprietario di un fondo situato in una zona di ville a un centinaio di metri a monte di una particella, contrariamente al caso di specie inedificata, ove si intendeva costruire abitazioni plurifamiliari, di cui il vicino vedeva le modine e la cui sistemazione dei posteggi esterni poteva influenzare l'accesso alla sua abitazione (1C_109/2007 del 30 agosto 2007 consid. 2.5 e 2.5.2).
2.4.6 La ricorrente non indica quali pregiudizi concreti e personali le deriverebbero dal criticato progetto. L'accenno ricorsuale a un'asserita perdita di insolazione e al problema dell'ombra (su questi temi vedi sentenza 1C_137/2007 del 23 gennaio 2008 consid. 5), non è motivato conformemente alle esigenze dell'art. 42 cpv. 2 LTF ed è quindi inammissibile. D'altra parte, mal si comprende perché la criticata costruzione implicherebbe siffatti effetti sull'abitazione della ricorrente, situata sulla collina.
2.4.7 Del tutto infondato è pure l'accenno alla possibilità di un'eventuale rinuncia a un interesse pratico e attuale alla disamina del gravame poiché la criticata situazione potrebbe ripetersi in futuro. Mal si comprende infatti, e la ricorrente non lo spiega del tutto, perché non potrebbe impugnare tempestivamente eventuali ulteriori progetti di costruzione, qualora fosse legittimata a farlo. Gli accenni ad altri interventi edilizi, passati e futuri, esulano del resto dall'oggetto del litigio.
2.5 L'accenno ricorsuale a un'asserita disattenzione dell'art. 33 cpv. 2 Cost. da parte dell'autorità comunale, poiché non avrebbe preso atto della citata petizione, costituisce una nuova inammissibile allegazione (art. 99 LTF), che esula anch'essa dall'oggetto del litigio. Lo stesso vale, sempre per i motivi già esposti, per l'accenno alla legittimazione della ricorrente a far valere un'asserita lesione dell'autonomia comunale, ritenuto che, al suo dire, qualora l'autorità comunale non dovesse applicare correttamente il diritto spetterebbe al singolo cittadino un diritto di ricorrere "nell'interesse della legge".
2.5.1 La ricorrente si diffonde poi sulle censure di merito, non esaminate a ragione vista la sua carenza di legittimazione, dalle autorità cantonali. Queste critiche esulano dall'oggetto del litigio e non devono pertanto essere vagliate.
2.5.2 Infine la ricorrente, richiamando gli art. 208 e segg. della legge organica comunale del 10 marzo 1987 (LOC), sostiene d'essere legittimata a impugnare la decisione con la quale il Municipio ha rilasciato la licenza edilizia quale cittadina. Certo, secondo l'art. 109 cpv. 1 LOC, ogni cittadino è legittimato a ricorrere contro le decisioni degli organi comunali. L'allegazione, nuova poiché non sollevata dinanzi alla Corte cantonale, è inammissibile (art. 99 cpv. 1 LTF; DTF 133 IV 342 consid. 2.1). Essa è peraltro manifestamente infondata, ritenuto che, come risulta proprio dalla dottrina invocata dalla ricorrente, nel Cantone Ticino in materia edilizia l'azione popolare è stata eliminata (Marco Borghi/Guido Corti, Compendio di procedura amministrativa ticinese, Lugano 1997, n. 4 all'art. 43 e relativa nota a piè di pagina n. 190).
3. 3.1 Ne segue che il ricorso in materia di diritto pubblico, in quanto ammissibile, dev'essere respinto.
3.2 Le spese seguono la soccombenza e sono quindi poste a carico della ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF), che rifonderà all'opponente, patrocinata da un legale, un'indennità per ripetibili della sede federale: l'importo tiene conto del fatto ch'essa era stata invitata a esprimersi soltanto sulla domanda di effetto sospensivo e non sul merito del ricorso (art. 68 cpv. 1 LTF). La richiesta dell'opponente di obbligare la ricorrente a fornire garanzie per eventuali spese ripetibili non poteva essere accolta, visto ch'essa neppure sostiene che quest'ultima non avrebbe un domicilio fisso in Svizzera (art. 62 cpv. 2 LTF).
4. L'emanazione del presente giudizio rende priva di oggetto la domanda di effetto sospensivo.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso sussidiario in materia costituzionale è inammissibile.
2. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso in materia di diritto pubblico è respinto.
3. Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico della ricorrente, che rifonderà all'opponente un'indennità di fr. 1'000.-- a titolo di ripetibili della sede federale.
4. Comunicazione alla ricorrente, al patrocinatore dell'opponente, al Municipio di Chiasso e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.