Sachverhalt:
A. Die X._ AG betreibt eine Schule, die Arztgehilfinnen und -sekretärinnen ausbildet. Im Rahmen des obligatorischen Berufsschulunterrichts für angehende Praxisassistentinnen beauftragte der Verein für Berufsschulausbildung der Medizinischen Praxisassistentinnen (BmP; nachfolgend: der Verein) die X._ AG (im Folgenden: die Schule), Kurse durchzuführen.
B. Für Leistungen, welche die Schule dem Verein ab dem ersten Quartal 1996 bis zum zweiten Quartal 1999 erbracht hatte, verfügte die Eidgenössische Steuerverwaltung mit Entscheid vom 29. Januar 2002 eine Mehrwertsteuer-Nachbelastung von Fr. 92'746.-- (zuzüglich Verzugszins von 5 % ab dem 30. April 1998). Dagegen erhob die Schule erfolglos Einsprache und danach Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht. Sie machte geltend, die nachbesteuerten Umsätze seien als steuerbefreite Bildungsleistungen zu qualifizieren.
C. Am 21. Mai 2007 hat die X._ AG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Sie beantragt, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 17. April 2007 aufzuheben.
Die Eidgenössische Steuerverwaltung und das Bundesverwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Eine Ausnahme gemäss Art. 83 BGG ist nicht gegeben. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 und 86 Abs. 1 lit. a BGG).
1.2 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat, soweit er nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
1.3 In materieller Hinsicht sind im vorliegenden Fall noch die Bestimmungen der Verordnung über die Mehrwertsteuer vom 22. Juni 1994 (MWSTV, AS 1994 1464) und die entsprechenden Vollzugsbestimmungen anwendbar, da es ausschliesslich um Umsätze der Jahre 1996 bis 1999 geht (vgl. Art. 93 des Bundesgesetzes über die Mehrwertsteuer vom 2. September 1999, MWSTG [SR 641.20]).
2. 2.1 Art. 14 MWSTV (heute Art. 18 MWSTG) enthält einen abschliessenden Katalog der von der Mehrwertsteuer ausgenommenen Umsätze. Die Ziffer 9 von Art. 14 MWSTV nimmt von der Steuer aus: "die Umsätze im Bereich der Erziehung von Kindern und Jugendlichen, des Unterrichts, der Ausbildung, Fortbildung und der beruflichen Umschulung mit Einschluss des von Privatlehrern oder Privatschulen erteilten Unterrichts sowie von Kursen, Vorträgen und anderen Veranstaltungen wissenschaftlicher oder bildender Art"; steuerbar sind jedoch: "die in diesem Zusammenhang erbrachten gastgewerblichen und Beherbergungsleistungen".
2.1.1 Es handelt sich bei den Steuerausnahmen des Art. 14 MWSTV um unechte Steuerbefreiungen, weil der Vorsteuerabzug grundsätzlich nicht geltend gemacht werden kann (vgl. Art. 13 MWSTV). Da der Vorsteuerabzug ausgeschlossen ist, kann es zu einer Schattensteuerbelastung (Taxe occulte) kommen, die sich durch die Kumulation nicht abziehbarer Vorsteuern unter Umständen so steigert, dass sich im Endergebnis eine höhere Steuerbelastung ergibt als ohne Steuerbefreiung (vgl. BGE 124 II 193 E. 5e S. 202). Das Bundesgericht hat daher die Steuerausnahmen des Art. 14 MWSTV (und Art. 18 MWSTG) stets eher restriktiv, jedenfalls aber nicht extensiv interpretiert und zudem die Steuerausnahme regelmässig auf die Stufe des Endverbrauchs beschränkt (vgl. z.B. BGE 124 II 193 E. 5e; ASA 76 248 E. 4.1; 71 57 E. 3e).
2.1.2 Es ist somit grundsätzlich Sache des Gesetzgebers zu bestimmen, wo nicht nur Endumsätze, sondern unter bestimmten Voraussetzungen auch Vorumsätze von der Steuer ausgenommen sein sollen. Im Bereich der Erziehung und Bildung hat der Gesetzgeber die bisherige Regelung auf den 1. Juli 2002 revidiert und eigentliche Vorumsätze ("Organisationsdienstleistungen"), die das Mitglied einer Erziehungs- oder Bildungseinrichtung an diese Einrichtung erbringt, von der Steuer ausgenommen (vgl. Art. 18 Ziff. 11 lit. d MWSTG; Camenzind/Honauer/Vallender, Handbuch zum Mehrwertsteuergesetz, 2. Aufl. 2003, Ziff. 742 S. 261). Die hier noch anwendbare alte Mehrwertsteuerverordnung enthält in Art. 14 Ziff. 9 MWSTV keine dem Art. 18 Ziff. 11 lit. d MWSTG entsprechende unechte Steuerausnahme für Organisationsdienstleistungen im Bildungsbereich. Das Bundesgericht hat auch im Bereich der Erziehung und Bildung die Steuerausnahme von Art. 14 Ziff. 9 MWSTV stets auf die Vermittlung von Wissen und Kenntnissen beschränkt (vgl. ASA 71 496 E. 3; StR 61/2006 560 E. 5.2; StR 61/2006 237 E. 7) und Vorumsätze im Bereich der Erziehung und Bildung von der Steuer nicht ausgenommen (vgl. ASA 71 57 E. 3e).
2.2 Die Beschwerdeführerin vertritt die Auffassung, sie selber erbringe die von der Steuer ausgenommenen Bildungsleistungen gegenüber den Praxisgehilfinnen; diese Leistungen unterschieden sich in nichts von denen, welche sie auf eigene Rechnung im Rahmen ihrer Privatschule anbiete. Wenn dem aber so sei, müssten auch die von ihr gegenüber dem Verein erzielten Umsätze steuerfrei bleiben, da es sich um gleiche (Vor-)Leistungen wie die von der Steuer ausgenommenen handle.
Die Vorinstanz ist ebenfalls davon ausgegangen, dass die steuerbefreiten Bildungsleistungen von der Beschwerdeführerin gegenüber den angehenden Praxisassistentinnen erbracht würden. Von diesen Leistungen seien aber diejenigen zu unterscheiden, welche die Beschwerdeführerin dem Verein zur Verfügung stelle und bei denen es sich um steuerbare Dienstleistungen im Sinne von Art. 4 lit. b MWSTV handle.
Zum gleichen Ergebnis, d.h. zur Steuerbarkeit der hier massgeblichen Leistungen, gelangt auch die Eidgenössische Steuerverwaltung, allerdings mit einer anderen Begründung: Die von der Steuer ausgenommene Bildungsleistung gegenüber den auszubildenden Praxisgehilfinnen werde nicht von der Beschwerdeführerin, sondern vom Verein erbracht; davon unterschieden sich die Leistungen der Beschwerdeführerin gegenüber dem Verein; diese fielen nicht unter die Ausnahmebestimmung von Art. 14 Abs. 9 MWSTV, sondern seien als steuerbare Vorumsätze zu Recht nachgefordert worden.
2.3 Die verschiedenen Rechtsstandpunkte sind in den Gesamtzusammenhang der hier massgeblichen Berufsausbildung zu stellen. Es geht um den Ausbildungsweg nach Art. 7 lit. a des Bundesgesetzes über die Berufsbildung vom 19. April 1978 (aBBG; AS 1979, 1687 ff.). Angehende medizinische Praxisassistentinnen haben eine dreijährige Lehre bei einem Arzt mit begleitendem Unterricht zu absolvieren, wobei der Berufsschulunterricht im Rahmen des obligatorischen Lehrverhältnisses auf öffentlich- und nicht auf privatrechtlicher Grundlage dargeboten wird. Die berufliche Grundausbildung besteht aus der Praxis im Lehrgeschäft, 1600 Lektionen Unterricht an der Berufsschule sowie dem Besuch von Einführungskursen. In der Folge wird getrennt zu prüfen sein, was sich daraus für den obligatorischen Berufsschulunterricht (vgl. unten E. 2.4) und die Einführungskurse (E. 2.5) ergibt.
2.4 Grundsätzlich obliegt es dem Kanton, den Lehrlingen den Besuch des Pflichtunterrichts zu ermöglichen (vgl. Art. 32 aBBG). Er kann diese Aufgabe delegieren. Das hat der Kanton Zürich hier getan und mit Verfügung der Volkswirtschaftsdirektion vom 14. November 1995 den Verein zum Träger des Berufsschulunterrichts nach Art. 27 ff. aBBG ernannt. Gemäss der Verfügung ist (nur) der Verein als nichtstaatliche Berufsschule für die medizinischen Praxisassistentinnen bezeichnet, anerkannt und beauftragt, diese Ausbildung durchzuführen. Dabei handelt es sich um eine hoheitlich übertragene, öffentlichrechtliche Verpflichtung.
2.4.1 Gegenüber den Behörden tritt somit einzig der Verein als Berufsschulträger auf. Das zeigt sich u.a. darin, dass (nur) er gemäss Verfügung der Finanzdirektion des Kantons Zürich vom 3. Juli 1997 von den direkten Steuern befreit ist, soweit er sich, ohne Erwerbs- oder Selbsthilfezwecke zu verfolgen, den ihm aufgetragenen Unterrichtszwecken widmet und diese für den Kanton oder im allgemeinen schweizerischen Interesse erfüllt. Die Schüler haben kein Entgelt zu zahlen, da es sich um eine öffentliche Aufgabe handelt; die Schulung ist entsprechend zum grossen Teil subventioniert (vgl. Art. 30 Abs. 2 aBBG). Die Beiträge des Bundes und des Kantons werden ausschliesslich dem Verein ausgerichtet. Dieser hat jährlich einen Kostenvoranschlag zu erstellen und den Behörden gegenüber Rechenschaft abzulegen.
2.4.2 Da der Verein nicht über die sachlichen und personellen Mittel verfügt, die eigentliche Schulung selber zu erbringen, kommt er seiner Verpflichtung dadurch nach, dass er seine Mitgliedschulen - u.a. die Beschwerdeführerin - beauftragt, die Leistungen für ihn zu erbringen. Dazu tritt er mit den einzelnen Schulen in ein Leistungsaustauschverhältnis, überträgt ihnen die eigentliche Durchführung der Ausbildung und übernimmt selber nur Überwachungs- und Qualitätssicherungsaufgaben. Dennoch bleibt die gesetzliche Verpflichtung gegenüber dem Kanton zur Erfüllung der öffentlichen Aufgabe weiterhin beim Verein und wird nicht an die Mitgliedschulen abgetreten.
Das zeigt sich schon bei der Begründung des Lehr- und Unterrichtsverhältnisses: Die Auszubildenden wollen die Berufsschule besuchen, um einen staatlich anerkannten Berufsabschluss zu erlangen. Das können sie nur, wenn die Berufsschule, die sie besuchen, auch staatlich anerkannt ist. Aufgrund der genannten Aufgabenübertragung vom Kanton an den Verein haben die Lehrtöchter ihren Anspruch auf Berufsschulausbildung und alle Rechte, die sich daraus ergeben, gegenüber dem Verein. Für die Auszubildenden spielt es keine Rolle, in welcher Mitgliedschule des Vereins sie die Berufsschule besuchen, denn ihnen steht rechtlich immer der Verein als Leistungserbringer gegenüber. So sieht Art. 20 Abs. 2 aBBG vor, dass der Lehrmeister einen Lehrvertrag vor Beginn der Lehre der kantonalen Behörde einzureichen hat, welche das Lehrverhältnis genehmigt und dem Lehrling unter anderem den Lehrplan für den beruflichen Unterricht abgibt. Das bedeutet, dass sich der Lehrling gar nicht bei einer bestimmten Schule anmelden und mit dieser in direkten Kontakt treten muss. Der Berufsschule werden die Lehrlinge mit genehmigtem Lehrvertrag, welche den Berufsschulunterricht zu besuchen haben, von der kantonalen Behörde gemeldet. Diese Meldung ergeht an den Verein und nicht an die einzelnen Mitgliedschulen. Der Vereinsvorstand teilt auch die Schulklassen den Mitgliedschulen zu, wenn möglich gleichmässig.
Dasselbe gilt in Bezug auf die Durchführung des Unterrichts: Eine angehende medizinische Praxisassistentin will bei der Beschwerdeführerin - als einer Mitgliedschule unter mehreren - nicht Privatschulunterricht erhalten. Entgegen der Auffassung, wonach die von der Steuer ausgenommene Bildungsleistung von der Beschwerdeführerin gegenüber den angehenden Praxisassistentinnen erbracht werde, entsteht zwischen der Beschwerdeführerin und den Auszubildenden nicht einmal ein Leistungsaustauschverhältnis. Dementsprechend ist auch nicht wesentlich, dass die Auszubildenden in den Schulungsräumen der Beschwerdeführerin, in denen diese ansonsten Privatunterricht erteilt, von deren Lehrpersonal unterrichtet werden. Dass die Beschwerdeführerin den Unterricht durchführt und nicht der Verein, spielt keine Rolle, denn sie erbringt diese Leistungen in dessen Auftrag.
2.4.3 Die Mitgliedschulen stehen somit - wie schon hervorgehoben - nicht mit den Behörden oder den Auszubildenden, sondern nur mit dem Verein in einem Austauschverhältnis; die in diesem Rahmen von der Beschwerdeführerin erzielten Umsätze sind von den Steuerbehörden zu Recht als steuerbare Dienstleistungen im Sinne von Art. 4 lit. b MWSTV qualifiziert worden: Der Verein kauft die von der Beschwerdeführerin zur Verfügung gestellten Räumlichkeiten, Lehr- und Administrativkräfte sowie weitere Dienstleistungen als gesamtes Leistungspaket ein. Im Innenverhältnis zwischen Verein und Mitgliedschule kann es sich aber nicht um Bildungsleistungen handeln, denn schliesslich soll nicht der Verein ausgebildet werden, sondern die angehenden Praxisassistentinnen. Es geht vielmehr um Vorleistungen, d.h. um Leistungen Dritter an den Verein als Erbringer der nicht der Steuer unterstellten Leistungen. Da das Bundesgericht die Steuerausnahme von Art. 14 Ziff. 9 MWSTV in ständiger Praxis auf die direkte Vermittlung von Wissen und Kenntnissen beschränkt (vgl. oben E. 2.1.2), können die hier massgeblichen Vorumsätze somit nicht von der Steuer ausgenommen werden.
2.5 Das Gleiche wie für den obligatorischen Berufsunterricht gilt für die Einführungskurse nach Art. 16 aBBG. Absatz 1 dieser Vorschrift bestimmt, dass diese Kurse von den Berufsverbänden durchgeführt werden. Für die Einführungskurse im Rahmen der Berufslehre zur medizinischen Praxisassistentin ist im Kanton Zürich die Ärztegesellschaft verantwortlich. Diese schloss am 12. April 1996 mit dem Verein einen Vertrag ab, in welchem sie diesen beauftragte, den Einführungskurs durchzuführen; der Verein verpflichtet sich gegenüber der Gesellschaft vertraglich, die Schulung durchzuführen und hat ihr Rechenschaft abzulegen. Hinsichtlich der Beziehungen zwischen dem Verein, den Praxisassistentinnen und den Mitgliedschulen folgen Organisation und Durchführung der Kurse demselben Schema wie für den obligatorischen Berufsschulunterricht. Damit ist die Frage, von und gegenüber wem diese Kurse erbracht werden, gleich zu beantworten. Die Ergänzungsabrechnung, die Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet, enthält übrigens keine Beiträge der Lehrmeister.
2.6 Was die Beschwerdeführerin gegen die Steuerbarkeit der hier massgeblichen Leistungen einwendet, vermag ein anderes Ergebnis nicht zu rechtfertigen:
Namentlich lässt sich nichts aus der Auffassung der Vorinstanz ableiten, die Beschwerdeführerin trete gegenüber den Schülerinnen selbständig als Schule auf; diese Auffassung stützt sich zu Unrecht auf die Broschüre "Medizinische Praxisassistentinnen" der Beschwerdeführerin bzw. dort auf Stellen, die nicht den hier massgeblichen Bildungsweg betreffen, sondern den Privatlehrgang gemäss Art. 41 Abs. 2 aBBG (vgl. dazu schon oben E. 2.4.2 in fine).
Zwischen den hier erfassten Vor- und den Hauptleistungen zugunsten der Auszubildenden besteht auch keine Identität, ebenso wenig handelt es sich um eine einzige Umsatzstufe bzw. um eine blosse Preisauffüllung/Weiterverrechnung durch den Verein für die von der Beschwerdeführerin gegenüber den Schülerinnen erbrachten Leistungen.
Zu Unrecht beruft sich die Beschwerdeführerin im Übrigen auf die abweichende Vorschrift des nachfolgenden Mehrwertsteuergesetzes (vgl. dazu oben E. 2.1.2). Dieses ist hier noch nicht anwendbar; zudem bedurfte es einer ausdrücklichen Änderung, um die vorliegend umstrittenen Umsätze unterschiedlich zu beurteilen. Als ebenfalls nicht stichhaltig erweisen sich Vergleiche aus den Bereichen der Medizin oder Kultur, der Finanzen oder Mietverhältnisse; das Gleiche gilt für den Bezug auf Europäisches Recht.
3. Im Ergebnis erweist sich der angefochtene Entscheid somit als bundesrechtskonform (vgl. oben E. 1.2 u. 2.2). Die Beschwerde ist entsprechend abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 65 f. BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Matter