Faits:
A.
Au cours de l'année 2009, la société genevoise Z._ Ltd a mandaté A._, associée gérante de V._ Sàrl, pour effectuer des travaux de rénovation dans ses locaux. A._ a confié la réfection des parquets à X._ (ci-après: l'entrepreneur), qui exploite une entreprise en raison individuelle. Celui-ci a adressé deux devis à V._ Sàrl. Après avoir exécuté les travaux et touché des acomptes, l'entrepreneur a fait valoir un solde de 10'743 fr. 80, dans une facture finale qu'il a datée du 21 juillet 2009.
Par la suite, Z._ Ltd a confié d'autres travaux à l'entrepreneur, qui les a exécutés. Une facture de 8'265 fr. 50 a été établie le 18 novembre 2009.
Le 10 mai 2010, l'entrepreneur a fait notifier à Z._ Ltd un commandement de payer portant sur les montants de 10'743 fr. 80, 8'265 fr. 50 et 2'500 fr. La poursuivie a fait opposition.
B.
B.a. Le 7 mai 2011, l'entrepreneur a saisi le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une demande dirigée contre Z._ Ltd, en concluant au paiement des trois montants précités et à la mainlevée définitive de l'opposition.
La défenderesse a déposé une réponse dans laquelle elle concluait à ce que V._ Sàrl [sic!] soit déboutée de toutes ses conclusions.
A l'appui de leurs écritures, les parties ont produit des pièces. Elles ont ensuite été convoquées à une audience de débats principaux. Bien que régulièrement citée à comparaître, la défenderesse a fait défaut. Le demandeur a déclaré qu'il confirmait sa demande et considérait la cause en état d'être jugée, tout en relevant que la défenderesse n'avait pas conclu à son déboutement, mais à celui de V._ Sàrl. A l'issue de l'audience, le tribunal a gardé la cause à juger.
Par jugement du 4 octobre 2012, le tribunal a admis l'action à raison de 3'256 fr. 70; il a prononcé, à due concurrence, la mainlevée définitive de l'opposition dans la poursuite en cours. Le tribunal a jugé que le solde de la facture du 21 juillet 2009 (10'743 fr. 80) n'était pas dû par la défenderesse. Le demandeur avait fonctionné comme sous-traitant de V._ Sàrl et n'avait aucun lien contractuel avec Z._ Ltd. Quant aux travaux visés par la facture du 18 novembre 2009, ils avaient bel et bien fait l'objet d'un contrat d'entreprise entre le demandeur et la défenderesse, qui devait payer le solde de 3'256 fr. 70. Enfin, le prétendu dommage supplémentaire à l'intérêt moratoire (2'500 fr.) n'était pas établi.
B.b. L'entrepreneur a déféré cette décision à la Cour de justice. Celle-ci a jugé recevable la production d'un procès-verbal d'audition établi le 6 juin 2012 dans le cadre d'un procès divisant Z._ Ltd à V._ Sàrl. A._ déclarait avoir indiqué à toutes les entreprises qu'elle agissait en qualité de mandataire de Z._ Ltd.
La Cour de justice a rejeté l'appel par arrêt du 26 avril 2013. Elle a considéré que la défenderesse avait fait une erreur de plume sans conséquence en concluant au déboutement de V._ Sàrl. Son défaut aux débats principaux, régi par l'art. 234 al. 1 CPC également en procédure simplifiée, n'emportait pas la fiction d'un acquiescement à la demande, ni celle d'une reconnaissance des faits allégués dans la demande. En l'occurrence, la défenderesse avait contesté l'allégation selon laquelle A._ était sa représentante, de sorte que le tribunal ne pouvait pas faire droit à la demande en paiement sans apprécier les pièces produites. La défenderesse avait en outre allégué que les travaux concernés par la première facture étaient entachés de défauts et avait contesté l'inexistence d'un avis des défauts. Les pièces produites ne permettaient pas de trancher ces questions litigieuses. Le demandeur ne disait pas le contraire en dénonçant une violation de son droit à la preuve. Or, un tel grief était infondé, dès lors qu'il avait déclaré en audience que la cause était en état d'être jugée, renonçant ainsi à l'administration de preuves.
C.
L'entrepreneur (ci-après: le recourant) saisit le Tribunal fédéral d'un recours constitutionnel subsidiaire. A titre principal, il requiert l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle procède à l'audition de témoins et rende une nouvelle décision. Subsidiairement, il conclut au paiement de 10'743 fr. 80, sous déduction de la somme de 3'785 fr. 90, payée le 25 février 2013.
L'intimée Z._ Ltd conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. L'autorité précédente se réfère à son arrêt.
Considérant en droit:
1.
1.1. Dans cette affaire pécuniaire, la valeur litigieuse est inférieure à 30'000 fr., d'après les conclusions prises devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF). L'unique voie de droit est celle du recours constitutionnel subsidiaire, à l'exclusion du recours en matière civile (cf. art. 74 al. 1 let. b et art. 113 LTF).
1.2. L'art. 116 LTF admet comme seul motif de recours la violation des droits constitutionnels. Le grief doit satisfaire à des exigences de motivation strictes (cf. art. 117 LTF en liaison avec l'art. 106 al. 2 LTF). Le justiciable doit faire un exposé succinct des droits ou principes constitutionnels violés et exposer de manière claire et circonstanciée, si possible documentée, en quoi consiste leur violation (ATF 135 III 232 consid. 1.2; 134 II 244 consid. 2.2).
2.
Le recourant se plaint en substance d'une application arbitraire de l'art. 234 CPC et d'une violation de son droit d'être entendu.
2.1. L'art. 234 al. 1 CPC prévoit qu'en cas de défaut d'une partie à l'audience des débats principaux, le tribunal statue sur la base des actes qui ont, le cas échéant, été accomplis conformément aux dispositions du CPC. Il se base, au surplus, sous réserve de l'art. 153 CPC, sur les actes de la partie comparante et sur le dossier.
La portée de cette disposition, dont les trois versions linguistiques ne coïncident pas, est discutée en doctrine. En particulier, se pose la question de savoir si le juge peut retenir sans autre les allégations de la partie présente qui ont été contestées et non prouvées (cf. DENIS TAPPY, in CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, n° s 25 s. ad art. 234 CPC; cf. la réponse négative donnée par CHRISTOPH LEUENBERGER, in Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2 e éd. 2013, n° 8 ad art. 234 CPC, et ERIC PAHUD, in Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO] Kommentar, 2011, n° 8 ad art. 234 CPC).
2.2. Le recourant reproche tout d'abord à la cour cantonale de ne pas avoir dénié à la défenderesse et intimée la possibilité de rectifier ses conclusions, vu son défaut à l'audience des débats. La cour aurait arbitrairement retenu que les conclusions de la réponse étaient entachées d'une erreur de plume sans conséquence; elle aurait dû faire droit à l'intégralité des conclusions de la demande.
Dans sa réponse à l'action intentée par X._, la défenderesse a conclu à ce que la société V._ Sàrl soit déboutée de toutes ses conclusions. La Cour de justice a jugé qu'"une lecture de la réponse conforme au principe de la confiance" révélait clairement que le libellé des conclusions était entaché d'une erreur de plume commise par inadvertance, et qui ne prêtait pas à conséquence.
Les juges cantonaux n'ont donc pas autorisé la partie défenderesse à rectifier ses conclusions après son défaut à l'audience des débats. Ils ont interprété la réponse déposée avant le défaut et ont implicitement jugé l'écriture recevable, nonobstant le libellé des conclusions qui se rapportaient à un tiers non partie au procès. Le recourant ne s'attache nullement à démontrer où résiderait l'arbitraire dans l'interprétation opérée selon le principe de la confiance. Enfin, il ne plaide pas qu'indépendamment de la prétendue irrecevabilité de la réponse, le défaut aux débats principaux devrait de factoentraîner l'admission de la demande. En bref, le grief ne peut qu'être rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.3. Le recourant reproche ensuite à la Cour de justice d'avoir arbitrairement interprété sa déclaration à l'audience des débats, en retenant qu'il avait renoncé aux offres de preuve formulées dans sa demande en paiement.
Selon le procès-verbal de l'audience de débats principaux, le recourant, demandeur au procès, a comparu assisté de son avocat, tandis que la partie adverse n'était ni présente, ni représentée. Sous le nom du demandeur figurent les propos suivants: "Je confirme ma demande en paiement. Je confirme tous les faits et les conclusions. Je considère que la cause est en état d'être jugée. En particulier, je relève que la défenderesse conclut au déboutement de V._ Sàrl et non pas au déboutement de ma demande."
Il n'est pas arbitraire de considérer que par ces déclarations, une partie assistée d'un avocat renonce à requérir l'administration de preuves et accepte qu'il soit directement passé au jugement. Face à un avocat, le tribunal n'avait pas à demander expressément si son client renonçait ou non aux offres de preuve non encore administrées. La remarque sur les conclusions de la défenderesse peut certes laisser entendre que l'avocat tablait sur une irrecevabilité de la réponse; il peut aussi avoir eu de l'art. 234 al. 1 CPC une lecture différente de celle des juges cantonaux. Toutefois, il n'a assorti d'aucune réserve la déclaration selon laquelle la cause était prête à être jugée; il n'a pas requis l'administration de preuves à titre subsidiaire, pour le cas où le tribunal prendrait en compte la réponse déposée par la défenderesse. Pour le surplus, l'arbitraire ne saurait découler du seul fait que le juge de première instance a développé une autre motivation. Le grief se révèle infondé.
Au demeurant, le recourant ne s'emploie pas à expliquer quel (s) moyen (s) de preuve serai (en) t susceptible (s) de modifier l'état de fait et d'influer sur l'issue de la cause. Il se contente de répéter dans son recours l'ensemble des allégations et offres de preuve qu'il avait faites dans sa demande, ce qui est insuffisant. A lire l'arrêt attaqué, l'on croit toutefois comprendre qu'il entendait prouver l'existence d'un rapport de représentation entre A._ et la défenderesse. Comme moyens de preuve, il proposait sa propre audition, celle de la personne prénommée et l'absence de preuve contraire. Or, le recourant a pu produire en appel un procès-verbal dont il ressort que la décoratrice précitée, dont la société est aussi en litige avec la défenderesse, affirme avoir dit à tous les entrepreneurs sur le chantier qu'elle agissait en qualité de mandataire de la défenderesse. Même en tenant compte de cette déclaration, il ne serait pas insoutenable de maintenir que le recourant n'a pas établi avoir noué des liens contractuels avec la société Z._ Ltd. L'on relève en particulier que "mandataire" ne signifie pas nécessairement "représentant direct".
2.4. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais et dépens de la présente procédure (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Un émolument judiciaire de 1'500 fr. est mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 1'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 26 novembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti