Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1950 geborene G._ beantragte ab 9. Juli 2001 Arbeitslosenentschädigung, welche ihr von der Arbeitslosenkasse der Gewerkschaft Bau & Industrie GBI bis April 2002 und wieder ab Juli 2002 ausgerichtet wurde. Hingegen erklärte die Kasse mit Verfügung vom 20. September 2002 zunächst den Leistungsanspruch der Versicherten für den Mai 2002 für verfallen. Zur Begründung wurde ausgeführt, G._ habe das Formular "Angaben der versicherten Person" für diese Kontrollperiode innert der für die Geltendmachung des Anspruchs vorgesehenen dreimonatigen, auf Begehren der Versicherten bis 13. September 2002 erstreckten Frist nicht eingereicht.
A. Die 1950 geborene G._ beantragte ab 9. Juli 2001 Arbeitslosenentschädigung, welche ihr von der Arbeitslosenkasse der Gewerkschaft Bau & Industrie GBI bis April 2002 und wieder ab Juli 2002 ausgerichtet wurde. Hingegen erklärte die Kasse mit Verfügung vom 20. September 2002 zunächst den Leistungsanspruch der Versicherten für den Mai 2002 für verfallen. Zur Begründung wurde ausgeführt, G._ habe das Formular "Angaben der versicherten Person" für diese Kontrollperiode innert der für die Geltendmachung des Anspruchs vorgesehenen dreimonatigen, auf Begehren der Versicherten bis 13. September 2002 erstreckten Frist nicht eingereicht.
B. G._ erhob gegen die Verfügung vom 20. September 2002 Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich.
Mit Verfügung vom 31. Oktober 2002 erklärte die Arbeitslosenkasse auch den Anspruch der Versicherten auf Arbeitslosenentschädigung für den Juni 2002 als erloschen, da das Formular "Angaben der versicherten Person" für diesen Monat erst am 29. Oktober 2002 einreicht worden sei.
Nach Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels wies das kantonale Gericht die Beschwerde, ausgehend davon, dass sich diese nur gegen die Verfügung vom 20. September 2002 richte, mit Entscheid vom 28. Februar 2003 ab.
Nach Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels wies das kantonale Gericht die Beschwerde, ausgehend davon, dass sich diese nur gegen die Verfügung vom 20. September 2002 richte, mit Entscheid vom 28. Februar 2003 ab.
C. G._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und es sei ihr die Arbeitslosenentschädigung für die Monate Mai und Juni 2002 auszuzahlen.
Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft hat sich nicht vernehmen lassen.
Die Arbeitslosenkasse schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft hat sich nicht vernehmen lassen.
D. Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat eine postalische Bestätigung über den Zeitpunkt, in welchem die Verwaltungsverfügung vom 31. Oktober 2002 der Versicherten zugestellt wurde, eingeholt.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid lediglich die Verfügung vom 20. September 2002 über den Leistungsanspruch für die Kontrollperiode Mai 2002 überprüft. Zur Begründung hiefür wird angeführt, die Versicherte habe sich in Beschwerdeschrift und Replik nur gegen diesen Verwaltungsakt, nicht aber gegen die später ergangene Verfügung vom 31. Oktober 2002 betreffend die Kontrollperiode Juni 2002 ausgesprochen.
Die Versicherte bestätigt, die kantonale Beschwerdeschrift mit Blick einzig auf die Verwaltungsverfügung vom 20. September 2002 verfasst zu haben. Von der Verfügung vom 31. Oktober 2002 habe sie damals noch gar keine Kenntnis gehabt. Sie bestreitet sodann sinngemäss, dass ihr dieser zweite Verwaltungsakt überhaupt rechtsgültig eröffnet wurde. Gemäss postalischer Bestätigung wurde indessen die als eingeschriebener Brief (Lettre signature) versandte Verfügung vom 31. Oktober 2002 am 4. November 2002 am Domizil der Beschwerdeführerin entgegengenommen und damit formgerecht zugestellt. Einwendungen gegen diese Verfügung waren mit Beschwerde innert 30 Tagen geltend zu machen (vgl. den bis 31. Dezember 2002 in Kraft gewesenen Art. 103 Abs. 3 Satz 1 AVIG [BGE 129 V 4 Erw. 1.2]), welche Frist demnach am 4. Dezember 2002 ablief. Innert dieser Frist wurde gegen die Verfügung vom 31. Oktober 2002 keine Beschwerde eingereicht. Als solche könnte auch die auf die Verfügung vom 20. September 2002 bezogene Beschwerde nicht betrachtet werden. Dasselbe gilt für die Replik, welche im kantonalen Verfahren betreffend die Verfügung vom 20. September 2002 eingereicht wurde, ist doch diese Rechtsschrift erst am 9. Januar 2003, und damit nach Ablauf der besagten Beschwerdefrist, der Post übergeben worden. Die Verfügung vom 31. Oktober 2002 ist somit unangefochten in Rechtskraft erwachsen. Soweit sich die Verwaltungsgerichtsbeschwerde auf die in diesem Verwaltungsakt geregelte Anspruchsberechtigung für den Monat Juni 2002 bezieht, ist auf sie nicht einzutreten.
Die Versicherte bestätigt, die kantonale Beschwerdeschrift mit Blick einzig auf die Verwaltungsverfügung vom 20. September 2002 verfasst zu haben. Von der Verfügung vom 31. Oktober 2002 habe sie damals noch gar keine Kenntnis gehabt. Sie bestreitet sodann sinngemäss, dass ihr dieser zweite Verwaltungsakt überhaupt rechtsgültig eröffnet wurde. Gemäss postalischer Bestätigung wurde indessen die als eingeschriebener Brief (Lettre signature) versandte Verfügung vom 31. Oktober 2002 am 4. November 2002 am Domizil der Beschwerdeführerin entgegengenommen und damit formgerecht zugestellt. Einwendungen gegen diese Verfügung waren mit Beschwerde innert 30 Tagen geltend zu machen (vgl. den bis 31. Dezember 2002 in Kraft gewesenen Art. 103 Abs. 3 Satz 1 AVIG [BGE 129 V 4 Erw. 1.2]), welche Frist demnach am 4. Dezember 2002 ablief. Innert dieser Frist wurde gegen die Verfügung vom 31. Oktober 2002 keine Beschwerde eingereicht. Als solche könnte auch die auf die Verfügung vom 20. September 2002 bezogene Beschwerde nicht betrachtet werden. Dasselbe gilt für die Replik, welche im kantonalen Verfahren betreffend die Verfügung vom 20. September 2002 eingereicht wurde, ist doch diese Rechtsschrift erst am 9. Januar 2003, und damit nach Ablauf der besagten Beschwerdefrist, der Post übergeben worden. Die Verfügung vom 31. Oktober 2002 ist somit unangefochten in Rechtskraft erwachsen. Soweit sich die Verwaltungsgerichtsbeschwerde auf die in diesem Verwaltungsakt geregelte Anspruchsberechtigung für den Monat Juni 2002 bezieht, ist auf sie nicht einzutreten.
2. 2.1 Gemäss der im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegten gesetzlichen Regelung erlischt der Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung, wenn er nicht innert dreier Monate nach dem Ende der Kontrollperiode, auf die er sich bezieht, geltend gemacht wird (Art. 20 Abs. 3 Satz 1 AVIG in der hier massgebenden, bis Ende 2002 in Kraft gewesenen Fassung [BGE 129 V 4 Erw. 1.2]). Als Kontrollperiode gilt jeder Kalendermonat, für den die arbeitslose Person Entschädigungsansprüche geltend macht (vgl. Art. 27a AVIV in Verbindung mit Art. 18 Abs. 2 AVIG).
Die in Art. 20 Abs. 3 Satz 1 AVIG gesetzte Frist ist eine Verwirkungsfrist, die weder einer Erstreckung noch einer Unterbrechung, in sinngemässer Anwendung von Art. 35 OG und Art. 24 VwVG aber einer Wiederherstellung zugänglich ist (BGE 114 V 123; ARV 1993/94 Nr. 33 S. 234 Erw. 1b; vgl. auch ARV 2000 Nr. 6 S. 31 Erw. 2a).
2.2 Wie der Anspruch geltend zu machen ist, wird in Art. 29 AVIV unterschiedlich geregelt, je nachdem ob der Entschädigungsanspruch für die erste Kontrollperiode während der Rahmenfrist für den Leistungsbezug sowie bei erneuter Arbeitslosigkeit nach einem Unterbruch von wenigstens sechs Monaten (Abs. 1) oder - wie vorliegend der Fall - für die weiteren Kontrollperioden (Abs. 2) in Frage steht. Für die weiteren Kontrollperioden gilt, dass die versicherte Person der Kasse unter anderem den Ausdruck des Datensatzes "Kontrolldaten" oder das Formular "Angaben der versicherten Person" vorzulegen hat (Art. 29 Abs. 2 lit. a AVIV in der seit 1. Januar 2000 geltenden Fassung). Nötigenfalls setzt die Kasse der versicherten Person eine angemessene Frist für die Vervollständigung der Unterlagen und macht sie auf die Folgen der Unterlassung aufmerksam (Art. 29 Abs. 3 AVIV).
Das Erfordernis, zur Geltendmachung des Anspruchs die in Art. 29 Abs. 2 AVIV (ehemals: Art. 29 Abs. 3 AVIV) aufgeführten Unterlagen einzureichen, ist darin begründet, dass die Kasse gehörig über alle - oder zumindest alle wesentlichen - Elemente informiert sein muss, die sie zur Anspruchsabklärung benötigt (BGE 113 V 68 f. Erw. 1b; vgl. auch ARV 2000 Nr. 6 S. 30 Erw. 1c).
Das Erfordernis, zur Geltendmachung des Anspruchs die in Art. 29 Abs. 2 AVIV (ehemals: Art. 29 Abs. 3 AVIV) aufgeführten Unterlagen einzureichen, ist darin begründet, dass die Kasse gehörig über alle - oder zumindest alle wesentlichen - Elemente informiert sein muss, die sie zur Anspruchsabklärung benötigt (BGE 113 V 68 f. Erw. 1b; vgl. auch ARV 2000 Nr. 6 S. 30 Erw. 1c).
3. 3.1 Im vorliegenden Fall hat die Versicherte der Arbeitslosenkasse das Formular "Angaben der versicherten Person" für den Monat Mai 2002 erst am 29. Oktober 2002, mithin mehr als drei Monate nach dem Ende dieser Kontrollperiode zukommen lassen.
Eine frühere formgerechte und gegebenenfalls fristwahrende Geltendmachung der Ansprüche liegt nicht vor. Hiefür genügt entgegen der in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vertretenen Auffassung nicht, dass die versicherte Person persönlich vorspricht und, ohne die notwendigen Belege beizubringen, bloss die Auszahlung der beanspruchten Entschädigung verlangt (vgl. BGE 113 V 69 Erw. 1b). Nichts anderes kann gelten, wenn die versicherte Person die entsprechenden Unterlagen zwar vorweist, sie indessen nicht der Kasse zur Abklärung der Anspruchs überlässt, sondern umgehend wieder an sich nimmt. Dies hat die Beschwerdeführerin gemäss ihrer eigenen Aktennotiz vom 23. August 2002 getan und als Begründung dafür angegeben, das Gespräch mit der Arbeitslosenkasse habe zu keiner Lösung geführt. Die von der Beschwerdeführerin mit diesem Vorgehen verfolgte Absicht ergibt sich aus ihren Eingaben im kantonalen und letztinstanzlichen Verfahren. Es ging ihr darum, die Auszahlung der Arbeitslosenentschädigung zu verzögern, damit diese nicht von einer laufenden Lohnpfändung erfasst würde. Auf diesen Beweggrund wird bei der Prüfung der Wiederherstellung der Frist nach Art. 20 Abs. 3 AVIG (Erw. 4 hienach) zurückzukommen sein. Hier genügt die Feststellung, dass der Arbeitslosenkasse wesentliche Elemente für die Beurteilung des Leistungsanspruches fehlten, weil die Versicherte innert der gesetzlichen Frist das Formular gemäss Art. 29 Abs. 2 lit. a AVIV nicht eingereicht hat.
3.2 Am 28. August 2002 ersuchte die Beschwerdeführerin die Arbeitslosenkasse, "für die seit Mai noch offen stehenden Beträge die Verfallfrist zu verlängern". Diesem Begehren entsprach die Kasse insoweit, dass sie die Ende August 2002 ablaufende Frist für die Einreichung der die Kontrollperiode Mai 2002 betreffenden Unterlagen bis 13. September 2002 erstreckte (Schreiben vom 30. August 2002). Ob sie überhaupt befugt war, eine solche Fristerstreckung zu gewähren (vgl. Erw. 2.1 in fine und ARV 1998 Nr. 48 S. 281), und ob die Versicherte andernfalls nach Treu und Glauben auf die Zusicherung vom 30. August 2002 vertrauen durfte, muss bei der vorliegenden Beurteilung nicht weiter geprüft werden. Denn die Versicherte hat das in Art. 29 Abs. 2 lit. a AVIV genannte Formular für den Mai 2002 auch innert der Nachfrist nicht eingereicht.
3.3 Auf den Formularen "Angaben der versicherten Person", über welche die Beschwerdeführerin bereits aufgrund der vorhergehenden Kontrollperioden verfügte, wird darauf hingewiesen, dass das Formular Ende Monat vollständig ausgefüllt der Arbeitslosenkasse zugestellt werden muss und dass der Anspruch erlischt, wenn er nicht innert drei Monaten nach dem Ende der Kontrollperiode, auf die er sich bezieht, geltend gemacht wird. Die Versicherte bestätigt denn auch, von dieser Regelung Kenntnis gehabt zu haben. Die Nichteinhaltung der dreimonatigen Frist führte somit zur Verwirkung des Anspruchs für die betreffende Kontrollperiode, ohne dass diese Rechtsfolge von der Arbeitslosenkasse nochmals angedroht werden musste (ARV 1998 Nr. 48 S. 283 Erw. 1b mit Hinweisen).
3.3 Auf den Formularen "Angaben der versicherten Person", über welche die Beschwerdeführerin bereits aufgrund der vorhergehenden Kontrollperioden verfügte, wird darauf hingewiesen, dass das Formular Ende Monat vollständig ausgefüllt der Arbeitslosenkasse zugestellt werden muss und dass der Anspruch erlischt, wenn er nicht innert drei Monaten nach dem Ende der Kontrollperiode, auf die er sich bezieht, geltend gemacht wird. Die Versicherte bestätigt denn auch, von dieser Regelung Kenntnis gehabt zu haben. Die Nichteinhaltung der dreimonatigen Frist führte somit zur Verwirkung des Anspruchs für die betreffende Kontrollperiode, ohne dass diese Rechtsfolge von der Arbeitslosenkasse nochmals angedroht werden musste (ARV 1998 Nr. 48 S. 283 Erw. 1b mit Hinweisen).
4. Eine Wiederherstellung der Frist zur Geltendmachung des Anspruchs fällt im vorliegenden Fall ausser Betracht. Die Beschwerdeführerin hat, wie sie selber wiederholt bestätigte, das fragliche Formular bewusst zurückbehalten, und zwar einzig in der Absicht, die Auszahlung der Arbeitslosenentschädigung zu verzögern bis zur (betreibungs-)gerichtlichen Klärung resp. Aufhebung einer laufenden Lohnpfändung. Darin kann klarerweise kein unverschuldetes Hindernis am fristgerechten Handeln gesehen werden, wie dies - nebst anderem - nach den sinngemäss anwendbaren Art. 35 OG und 24 VwVG (Erw. 2.1 in fine hievor) für eine Wiederherstellung der Frist vorausgesetzt wird. Die streitige, vorinstanzlich bestätigte Verfügung vom 20. September 2002 ist somit rechtens, woran die weiteren Vorbringen in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nichts zu ändern vermögen.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Amt für Wirtschaft und Arbeit, Arbeitslosenversicherung, Zürich, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 19. Dezember 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: