Faits:
A. A.a L._, née en 1950, a travaillé en qualité d'employée de maison auprès de X._ et était, à ce titre, assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Elvia Assurances (aujourd'hui: Allianz Suisse Société d'Assurances SA [ci-après: Allianz]).
Le 14 juin 2001, elle a glissé sur le sol mouillé et elle est tombée sur le genou droit. Les différents médecins consultés ont fait état d'une entorse et d'une contusion du genou droit avec épanchement persistant. Ils ont attesté une incapacité de travail.
L'assureur-accidents a pris en charge le cas. Par décision du 19 décembre 2003, confirmée sur opposition le 5 janvier 2005, il a supprimé le droit aux prestations d'assurance (frais médicaux et indemnité journalière) à partir du 1er octobre 2003, motif pris que l'affection au genou droit n'entraînait plus d'incapacité de travail dans une activité adaptée et qu'il n'existait pas de troubles psychiques en relation de causalité avec l'accident survenu le 14 juin 2001.
A.b Saisi d'un recours de l'assurée qui concluait au maintien de son droit aux prestations d'assurance au-delà du 30 septembre 2003, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève l'a admis partiellement en ce sens qu'il a reconnu le droit de l'assurée à une indemnité journalière calculée en fonction d'une incapacité de travail de 50 % jusqu'au 29 février 2004 (jugement du 1er novembre 2006).
B. L'assurée, qui avait entrepris une activité de couturière au service de son employeur le 1er avril 2005, a été entièrement incapable de travailler du 17 janvier au 19 mars 2007, et partiellement, à raison de 50 %, à partir du 20 mars 2007 en raison de cervico-brachialgies chroniques à gauche et d'un état anxio-dépressif.
Allianz a alloué des indemnités journalières au titre de l'assurance- maladie perte de gain. Le 3 novembre 2008, elle a informé l'assurée que ce versement prendrait fin le 15 janvier 2009 avec l'épuisement de son droit à prestations (700 indemnités journalières).
Le 26 février 2009, l'assurée a demandé à Allianz de lui allouer une indemnité journalière de l'assurance-accidents fondée sur une incapacité de travail de 50 % en raison de vives douleurs qu'elle considérait comme une suite de l'accident du 14 juin 2001. A l'appui de sa requête, elle a produit un rapport d'expertise privée du docteur C._, spécialiste en orthopédie et chirurgie, du 21 février 2009.
Par décision du 27 août 2009, confirmée sur opposition le 23 août 2010, Allianz a rejeté la requête de l'assurée qu'elle a traitée comme une demande de révision de sa décision sur opposition du 5 janvier 2005, par laquelle elle avait supprimé le droit aux prestations d'assurance à partir du 1er octobre 2003.
C. L._ a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève), en concluant à l'octroi, à compter du mois de janvier 2007, de prestations de l'assurance-accidents fondées sur un taux d'invalidité de 100 % ou sur un taux fixé à dires d'expert.
Par jugement du 8 juin 2011, la juridiction cantonale a converti le recours en une demande de révision de son jugement du 1er novembre 2006 et elle l'a rejetée au sens des considérants, dans la mesure où elle était recevable.
D. L._ interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement attaqué et des décisions d'Allianz des 27 août 2009 et 23 août 2010, et à l'octroi, dès le mois de janvier 2007 et pour une durée indéterminée, de prestations de l'assurance-accidents fondées sur un taux d'invalidité de 100 % ou sur un taux fixé à dires d'expert, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation du jugement attaqué, à la confirmation de sa décision sur opposition du 23 août 2010 et au rejet du recours dans toutes ses autres et contraires conclusions.
La juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique (OFSP) ont renoncé à présenter des déterminations sur le recours.
Par écriture du 4 novembre 2011, la recourante a déposé des observations sur la réponse de l'intimée.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF s'entend du dommage qui ne peut pas être réparé ultérieurement, notamment par la décision finale.
Selon la jurisprudence, conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, dans la mesure où elles ne sont pas immédiatement données, la partie recourante doit exposer en quoi les conditions de recevabilité sont réunies. Il lui appartient notamment d'alléguer et d'établir la possibilité qu'une décision incidente lui cause un dommage irréparable (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 428 s. et les références citées), à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (arrêts 8C_350/2011 du 14 mai 2012 consid. 1.2.1; 2C_8/2011 du 3 mars 2011 consid. 2.2).
1.2 Sur le vu de ses considérants, auxquels renvoie le dispositif du jugement attaqué - lesquels, partant, participent de la force matérielle du prononcé (ATF 120 V 233 consid. 1a p. 237; 113 V 159 et les références; arrêt 8C_40/2009 du 13 mars 2009 consid. 3.2) -, la juridiction cantonale a déclaré nulles les décisions d'Allianz des 19 décembre 2003 et 5 janvier 2005 (recte: des 27 août 2009 et 23 août 2010), motif pris que l'assureur-accidents ne pouvait pas entrer en matière sur la demande de révision de la décision sur opposition de suppression des prestations, laquelle avait fait l'objet d'un jugement sur le fond du tribunal cantonal des assurances sociales le 1er novembre 2006. Par ailleurs, la juridiction cantonale a converti le recours dont elle était saisie en une demande de révision du jugement susmentionné et, dans la mesure où elle était recevable, elle a rejeté cette demande au motif que l'assurée ne faisait valoir aucun fait nouveau important. Enfin, la juridiction précédente a ordonné à Allianz de statuer à nouveau, par une décision motivée et munie des moyens de droit, sur la requête de l'intéressée du 26 février 2009, en tant que nouvelle demande de prestations fondée sur une rechute et/ou des séquelles tardives en relation de causalité avec l'accident du 14 juin 2001.
Cela étant, dans la mesure où le jugement attaqué renvoie la cause à l'assureur-accidents pour qu'il statue une nouvelle fois sur la demande de l'assurée, mais à la lumière des règles régissant le droit à la prise en charge des rechutes et/ou des séquelles tardives (art. 11 OLAA), il s'agit donc d'une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Cependant, la recourante n'allègue pas que l'acte attaqué puisse entraîner pour elle un préjudice irréparable et cette possibilité n'apparaît pas d'emblée réalisée.
En l'occurrence, on peut toutefois renoncer à statuer sur la recevabilité du recours du moment que celui-ci apparaît de toute manière mal fondé.
2. 2.1 Les décisions et les décisions sur opposition formellement passées en force sont soumises à révision si l'assuré ou l'assureur découvre subséquemment des faits nouveaux importants ou trouve des nouveaux moyens de preuve qui ne pouvaient être produits auparavant (art. 53 al. 1 LPGA).
Selon une jurisprudence constante, l'administration ne peut revenir sur une décision ou une décision sur opposition que si un juge n'a pas déjà statué matériellement sur celles-ci (ATF 127 V 466 consid. 2c p. 469; 109 V 119 consid. 2b p. 121; arrêts 8C_868/2010 du 6 septembre 2011 consid. 2.1; 8C_787/2008 du 4 février 2009).
2.2 En l'espèce, la décision sur opposition de suppression des prestations du 5 janvier 2005 a fait l'objet d'un jugement matériel du tribunal cantonal des assurances sociales le 1er novembre 2006. Aussi, Allianz ne pouvait-elle pas, par sa décision du 27 août 2009 confirmée sur opposition le 23 août 2010, examiner la nouvelle demande de prestations dont elle était saisie à l'aune des conditions de la révision selon l'art. 53 al. 1 LPGA. Le fait que l'intimée a alloué des prestations en exécution du jugement cantonal du 1er novembre 2006 ne justifie pas de s'écarter du principe jurisprudentiel mentionné au consid. 2.1.
Vu ce qui précède, la juridiction cantonale était fondée à déclarer nulles les décisions de l'intimée des 27 août 2009 et 23 août 2010.
3. Sur le vu des arguments exposés, il apparaît que la recourante se prévaut d'un motif tiré de la découverte après coup de faits ou moyens de preuve nouveaux, afin d'obtenir la révision du jugement du tribunal cantonal des assurances sociales du 1er novembre 2006, entré en force.
3.1 La notion de faits ou moyens de preuve nouveaux s'apprécie de la même manière en cas de révision (procédurale) d'une décision administrative (art. 53 al. 1 LPGA), de révision d'un jugement cantonal (art. 61 let. i LPGA) ou de révision d'un arrêt fondée sur l'art. 123 al. 2 let. a LTF (arrêt 8C_868/2010 du 6 septembre 2011 consid. 3.2). Sont "nouveaux" au sens de ces dispositions, les faits qui se sont produits jusqu'au moment où, dans la procédure principale, des allégations de faits étaient encore recevables, mais qui n'étaient pas connus du requérant malgré toute sa diligence. En outre, les faits nouveaux doivent être importants, c'est-à-dire qu'ils doivent être de nature à modifier l'état de fait qui est à la base de l'arrêt entrepris et à conduire à un jugement différent en fonction d'une appréciation juridique correcte (ATF 134 III 669 consid. 2.2 p. 671 et les références). Les preuves, quant à elles, doivent servir à prouver soit les faits nouveaux importants qui motivent la révision, soit des faits qui étaient certes connus lors de la procédure précédente, mais qui n'avaient pas pu être prouvés, au détriment du requérant. Dans ce contexte, le moyen de preuve ne doit pas servir à l'appréciation des faits seulement, mais à l'établissement de ces derniers. Ainsi, il ne suffit pas qu'une nouvelle expertise donne une appréciation différente des faits; il faut bien plutôt des éléments de fait nouveaux, dont il résulte que les bases de la décision entreprise comportaient des défauts objectifs. Pour justifier la révision d'une décision, il ne suffit pas qu'un médecin ou un expert tire ultérieurement, des faits connus au moment du jugement principal, d'autres conclusions que le tribunal (ATF 127 V 353 consid. 5b p. 358 et les références; arrêt 8C_868/2010 du 6 septembre 2011 consid. 3.2 et les références).
3.2 Dans son jugement du 1er novembre 2006, la juridiction cantonale a nié le droit de l'assurée à des prestations de l'assurance-accidents après le 29 février 2004. Elle a considéré que, malgré ses troubles séquellaires au genou droit (nette boiterie à la marche, impossibilité de l'accroupissement, importantes douleurs lors de l'effleurement du genou ou des orifices d'arthroscopie [rapport d'expertise du docteur R._ du 9 septembre 2003]), l'assurée ne subissait plus d'incapacité de travail dans une activité adaptée et un traitement médical n'était plus nécessaire. Toutefois, comme l'intéressée avait subi auparavant une incapacité de travail de longue durée (durant 27 mois), le tribunal cantonal a prolongé jusqu'au 29 février 2004 le droit à une indemnité journalière fondée sur une incapacité de travail de 50 % due à l'affection au genou droit, afin de tenir compte d'une période d'adaptation de cinq mois pour retrouver une activité adaptée.
Comme motifs de révision, l'assurée invoque, d'une part, un rapport d'expertise privée du docteur C._ du 21 février 2009, lequel conclut à l'existence d'une probable rupture partielle du tendon du quadriceps au-dessus de son insertion rotulienne, séquellaire à l'accident du 14 juin 2001. D'autre part, l'intéressée allègue une aggravation de son état de santé qui entraîne une diminution de sa capacité de travail de 50 % depuis le mois de janvier 2007.
3.3 En l'occurrence, le diagnostic posé par le docteur C._ n'est pas de nature à modifier l'état de fait du jugement du 1er novembre 2006 et à conduire à un jugement différent en fonction d'une appréciation juridique correcte. En effet, le tribunal cantonal des assurances sociales a reconnu l'existence d'une atteinte au genou droit mais il a considéré que celle-ci n'entraînait plus d'incapacité de travail dans une activité adaptée après le 29 février 2004. Le nouveau diagnostic posé par le docteur C._ - lequel s'apparente d'ailleurs à une simple appréciation différente des faits - ne modifie pas la situation de fait en ce qui concerne la reconnaissance d'une capacité de travail entière à partir du 1er mars 2004. Quant à l'apparition d'une incapacité de travail depuis le mois de janvier 2007, elle constitue un fait postérieur au prononcé du jugement du 1er novembre 2006 et non pas un fait "nouveau" au sens des dispositions régissant la révision de prononcés entrés en force.
Cela étant, la juridiction cantonale était fondée, par son jugement du 8 juin 2011, à rejeter les conclusions de l'assurée, traitées comme une demande de révision du jugement du 1er novembre 2006.
3.4 Les moyens invoqués ne constituant pas des motifs de révision admissibles d'un prononcé entré en force, il n'y a pas lieu d'examiner le bien-fondé des griefs de l'intéressée relatifs à l'établissement des faits par la juridiction cantonale.
Quant aux moyens tirés de l'art. 17 LPGA, ils sont mal fondés comme le retient le jugement attaqué, auquel il suffit de renvoyer. Cela étant, il n'en demeure pas moins qu'aux termes de ce jugement, l'intimée devra statuer sur la demande de prestations déposée le 26 février 2009 à la lumière des principes régissant le droit à la prise en charge des rechutes ou des séquelles tardives (art. 11 OLAA).
4. Le délai pour recourir contre le jugement du 8 juin 2011 était largement échu lorsque l'intimée a déposé sa réponse, dans laquelle elle conclut à l'annulation dudit prononcé et à la confirmation de sa décision sur opposition du 23 août 2010. En l'occurrence, les conditions qui ont donné lieu à l'arrêt ATF 138 V 106 consid. 2 p. 110 s. ne sont pas réalisées et l'intimée n'avait plus la faculté de prendre des conclusions indépendantes, c'est-à-dire, en l'occurrence, de conclure à ce que le Tribunal fédéral lui accorde plus que ce que lui a reconnu la juridiction cantonale, vu l'interdiction du recours joint. Elle ne pouvait que prononcer l'irrecevabilité ou le rejet, en tout ou partie, dudit recours (cf. ATF 124 V 153 consid. 1 p. 155; 120 V 121 consid. 6 p. 127 et la référence; arrêts 8C_334/2011 du 27 mars 2012, consid. 2; 8C_917/2010 du 28 septembre 2011, consid. 2).
5. Vu ce qui précède, le jugement entrepris n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé dans la mesure où il est recevable.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée ne peut se voir allouer des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 17 août 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd