Faits:
A. K._, né en 1968, a travaillé en qualité d'employé de voirie au service de la société X._. A ce titre, il était obligatoirement assuré contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 23 décembre 2004, il a été victime d'un accident professionnel: alors qu'il poussait du pied un sac de déchets à l'intérieur de la benne, son pied droit a été heurté par la plaque de compactage.
L'assuré a séjourné à l'Hôpital Y._ du 29 décembre 2004 au 5 janvier 2005, puis du 14 au 24 janvier 2005. Dans un rapport du 23 mars 2005, le docteur S._, médecin à l'établissement précité, a diagnostiqué une plaie post-traumatique en regard de la malléole interne droite. L'intéressé a été incapable de travailler depuis le 23 décembre 2004. La CNA a pris en charge le cas.
Constatant que la guérison était accompagnée de douleurs et d'oedèmes chroniques, le docteur O._, médecin d'arrondissement de la CNA, a préconisé la mise en oeuvre d'un bilan global à la Clinique Z._ (rapport du 27 juillet 2005). L'assuré a séjourné dans cet établissement du 9 au 31 août 2005. Dans un rapport du 6 septembre 2005, les médecins de cette clinique ont nié l'existence d'une lésion objective clinique pouvant expliquer les douleurs, tout en relevant qu'une comorbidité psychiatrique, sous la forme d'un trouble de l'adaptation avec réaction anxieuse prédominante, ainsi que des facteurs sociaux avaient une influence sur l'évolution délétère. De son côté, le docteur S._ a fait état de la persistance des douleurs, sans qu'il existe des éléments objectifs permettant de les expliquer, hormis un status cicatriciel post-traumatique alors calme (rapport du 31 octobre 2005).
Dans un rapport d'examen médical final du 27 février 2006, le docteur O._ a indiqué que les séquelles somatiques de l'accident du 23 décembre 2004 étaient minimes et qu'elles ne devraient pas empêcher l'assuré de reprendre progressivement son activité professionnelle.
Aussi, par décision du 1er mars 2006, confirmée sur opposition le 25 septembre suivant, la CNA a-t-elle supprimé le droit de l'assuré aux prestations (indemnité journalière et frais médicaux) à partir du 1er mai 2006. Allouées initialement sur la base d'un taux d'incapacité de travail de 100%, les indemnités journalières ont été versées jusqu'à cette date, aux taux de 75% dès le 13 mars 2006, 50% à compter du 3 avril et 25% depuis le 18 avril 2006.
B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Tribunal des assurances du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 3 juillet 2007.
C. K._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction sous la forme d'une expertise pluridisciplinaire. En outre, il requiert le bénéfice de l'assistance judiciaire et la désignation de son mandataire en qualité d'avocat d'office.
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Après la clôture de l'échange d'écritures, le recourant a produit un certificat du docteur N._, spécialiste en neurologie, du 8 mai 2007.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si le recourant a droit à des prestations de l'assurance-accidents (indemnité journalière et traitement médical) au-delà du 30 avril 2006.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire, en revanche, que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé; il faut et il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé physique ou psychique de l'assuré, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de celle-ci. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte à la santé sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait, que l'administration ou, le cas échéant, le juge examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale. Ainsi, lorsque l'existence d'un rapport de cause à effet entre l'accident et le dommage paraît possible, mais qu'elle ne peut pas être qualifiée de probable dans le cas particulier, le droit à des prestations fondées sur l'accident assuré doit être nié (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406, 119 V 335 consid. 1 p. 337, 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références).
3. 3.1 Sur le plan somatique, la juridiction cantonale a considéré que l'état du pied droit était stabilisé au point qu'un retour objectif au statu quo ante devait être admis et toute incapacité de travail niée après le 30 avril 2006. Elle s'est fondée pour cela sur les avis médicaux versés au dossier, en particulier les rapports des médecins de la Clinique Z._ (du 6 septembre 2005), du docteur O._ (du 27 février 2006) et du docteur S._ (du 31 octobre 2005), selon lesquels il n'existait aucun élément objectif permettant d'expliquer les douleurs. En particulier, se fondant sur les conclusions de la doctoresse C._, spécialiste en neurologie et médecin à la Division de médecine des accidents de la CNA (rapport du 7 mars 2007), le tribunal cantonal a exclu l'existence d'une origine neurogène suspectée par les docteurs D._, médecin-chef du Service d'anesthésiologie et antalgie de l'Hôpital Y._ (rapport du 3 avril 2006), et S._ (rapport du 10 novembre 2006).
3.2 Le recourant reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas mis en oeuvre une instruction complémentaire afin de clarifier les éléments médicaux. Il est d'avis qu'il existe, sur le plan somatique, des divergences entre les médecins de la CNA, qui ont conclu à l'existence du statu quo ante, et les docteurs D._ et S._ qui indiquent une persistance d'importantes douleurs au membre inférieur droit, ainsi qu'une amélioration très lente de l'état de santé.
3.3 Le grief du recourant n'est toutefois pas de nature à mettre en cause les conclusions des juges cantonaux, selon lesquelles aucun des médecins qui se sont prononcés sur le cas n'a décelé des atteintes d'ordre somatique de nature à objectiver les douleurs. Au demeurant - et à supposer que ce nouveau moyen de preuve soit admissible dans une procédure où le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 et 99 al. 1 LTF; cf. Seiler /Von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, n. 4 ad art. 99; Ulrich Meyer, Bundesgerichtsgesetz [Basler Kommentar], Niggli/Uebersax/Wiprächtiger éd., n. 52 ad art. 99) -, le certificat du docteur N._ du 8 mai 2007, produit par le recourant en instance fédérale, ne remet pas en question les avis médicaux sur lesquels s'est fondée la juridiction cantonale, dès lors que ce médecin a indiqué ne pas être en mesure d'objectiver les déficits indiqués (dysesthésies et hyperesthésies douloureuses).
Sur le plan somatique, il convient par conséquent de se rallier au point de vue des premiers juges, sans qu'il soit nécessaire de compléter l'instruction sur ce point, comme le demande notamment le recourant.
3.4 Par ailleurs, la juridiction cantonale a nié l'existence d'une relation de causalité adéquate entre le trouble psychique et l'accident qu'elle a qualifié d'accident de gravité moyenne, à la limite des accidents de peu de gravité. Elle s'est fondée pour cela sur les critères objectifs développés par la jurisprudence (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409) pour juger du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident et une atteinte à la santé psychique. En particulier, elle a nié la réalisation de tous ces critères, à l'exception de la persistance des douleurs, bien que celles-ci fussent essentiellement d'origine psychogène.
Ce point de vue - qui n'est pas contesté par le recourant - n'est pas critiquable et l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'atteinte à la santé psychique et l'accident doit être niée. Une instruction complémentaire sur le plan psychique apparaît dès lors également superflue.
3.5 Vu ce qui précède, l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 25 septembre 2006, à supprimer le droit du recourant à des prestations d'assurance à partir du 1er mai précédent.
Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé
4. Le recourant, qui satisfait aux conditions de l'art. 64 al. 1 LTF, est dispensé de l'obligation de payer les frais judiciaires. Quant aux conditions auxquelles l'art. 64 al. 2 LTF subordonne la désignation d'un avocat d'office, elles sont également réalisées. L'attention du recourant est cependant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Une indemnité de 2000 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à Maître Genillod, à titre d'honoraire.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 22 avril 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd