Sachverhalt:
A. X._ ist Eigentümer des Grundstücks M._-Grundbuchblatt Nr. 1._, Y._ Eigentümerin des im Westen angrenzenden Grundstücks M._-Grundbuchblatt Nr. 2._ und des nordwestlich an dieses angrenzenden Grundstücks M._-Grundbuchblatt Nr. 3._. Zu Lasten des Grundstücks Nr. 1._ und zu Gunsten der Grundstücke Nrn. 2._ und 3._ ist im Grundbuch eine als "Fahrwegrecht" bezeichnete Dienstbarkeit eingetragen, die auf einen von den Rechtsvorgängern der heutigen Eigentümerschaft im Rahmen eines Verfahrens betreffend Einräumung eines Notwegrechts am 21. Oktober 1919 geschlossenen gerichtlichen Vergleich zurückgeht. Seit anfangs der Neunzigerjahre sind die Grundstücke Nrn. 2._ und 3._ auch durch eine öffentliche Strasse erschlossen. Y._ erwarb ihre beiden Grundstücke am 30. Dezember 1997 aufgrund eines Tauschvertrags von der Z._ AG zu Miteigentum und alsdann durch Kaufvertrag vom 14. Dezember 1999 zu Alleineigentum. Auf dem Grundstück Nr. 2._ betreibt sie ein Fitnesscenter mit Tea-Room, Fitnessraum, Physiotherapie und Solbad. Zu diesem Betrieb gehören auch rund 60 Parkplätze.
B. Mit Eingabe vom 14. Dezember 2001 erhob X._ beim Gerichtskreis N._ Klage gegen Y._ und beantragte, die auf seinem Grundstück zu Gunsten des Grundstücks Nr. 2._ eingetragene Dienstbarkeitslast "Fahrwegrecht" zu löschen. Anlässlich der Hauptverhandlung vom 11. Dezember 2002 erstreckte er dieses Begehren auf die zu Gunsten des Grundstücks Nr. 3._ eingetragene Dienstbarkeit.
Y._ schloss auf Abweisung der Klage.
Am 28. November 2007 wies der Gerichtspräsident 2 von N._ die Klage ab, und das Obergericht (Appellationshof, 2. Zivilkammer) des Kantons Bern bestätigte diesen Entscheid am 2. Februar 2009.
C. X._ führt mit Eingabe vom 15. Juni 2009 Beschwerde in Zivilsachen und verlangt, das obergerichtliche Urteil vom 2. Februar 2009 aufzuheben und die Löschung der zu Gunsten der Grundstücke Nrn. 2._ und 3._ eingetragenen Dienstbarkeit "Fahrwegrecht" anzuordnen.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Angefochten ist der Entscheid in einer Dienstbarkeitsstreitigkeit, d.h. in einer Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) vermögensrechtlicher Natur (BGE 54 II 51 S. 51 f.). Für eine solche steht in einem Fall der vorliegenden Art die Beschwerde in Zivilsachen offen, sofern der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Nach den auf einem entsprechenden Gutachten beruhenden Feststellungen des Obergerichts, die von der Beschwerdegegnerin nicht in Frage gestellt werden und an denen zu zweifeln kein Anlass besteht, beträgt der Streitwert schätzungsweise 60'000 Franken, so dass dieses Erfordernis ohne Weiteres gegeben ist. Das angefochtene Urteil stammt sodann von der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) und stellt einen Endentscheid (Art. 90 BGG) dar, so dass auch aus dieser Sicht auf die Beschwerde einzutreten ist.
2. Zum Vorbringen des Beschwerdeführers, bei der strittigen Dienstbarkeit handle es sich um ein Notwegrecht, hält das Obergericht fest, der Wille der damaligen Eigentümer der betroffenen Grundstücke im gerichtlichen Verfahren, das zum Vergleich vom 21. Oktober 1919 geführt habe, sei auf die Errichtung einer Notwegdienstbarkeit gerichtet gewesen. In Ziffer 7 des Vergleichs sei die Dienstbarkeit jedoch als "Fahrwegrecht" bezeichnet worden, womit dem Grundbuchverwalter eine entsprechende Eintragung vorgeschrieben gewesen sei. Massgebend für den Inhalt einer Dienstbarkeit sei nach Art. 738 Abs. 1 ZGB der Grundbucheintrag, soweit Rechte und Pflichten sich aus diesem deutlich ergäben. Der Ausdruck "Fahrwegrecht" sei nicht interpretationsbedürftig und unterscheide sich auch für einen Laien eindeutig vom Ausdruck "Notwegrecht". Dem Grundbuch sei kein Verweis auf allfällige Belege zu entnehmen, so dass einzig auf den klaren Wortlaut des Grundbucheintrags abzustellen sei.
Mit dem erstinstanzlichen Richter hält die Vorinstanz dem Beschwerdeführer sodann entgegen, es sei ihm nicht gelungen, den nach Art. 3 Abs. 1 ZGB für den Zeitpunkt des Grundstückerwerbs zu vermutenden guten Glauben der Beschwerdegegnerin bezüglich des Grundbucheintrags zu widerlegen. Im Übrigen gehe aus den Akten hervor, dass der Beschwerdeführer das durch die strittige Dienstbarkeit belastete Grundstück offenbar im Jahre 1988 durch Erbgang erworben habe; er habe demnach bereits zu jenem Zeitpunkt davon Kenntnis erlangt, dass lediglich ein Fahrwegrecht eingetragen worden sei, und hätte schon damals eine Berichtigung des Eintrags verlangen können.
Den Vorbringen des Beschwerdeführers, die strittige Dienstbarkeit habe für die berechtigten Grundstücke alles Interesse verloren und sei deshalb im Sinne von Art. 736 Abs. 1 ZGB zu löschen, allenfalls gestützt auf Art. 736 Abs. 2 ZGB wegen im Vergleich zur Belastung unverhältnismässiger Bedeutung abzulösen, hält das Obergericht entgegen, es fehle in diesem Punkt die rechtsgenügende Substantiierung. Schliesslich weist die Vorinstanz darauf hin, dass der erstinstanzliche Richter geprüft habe, ob die Dienstbarkeit nicht deshalb zu löschen sei, weil im Sinne von Art. 739 ZGB eine dem Grundsatz der Identität zuwiderlaufende Mehrbelastung eingetreten sei. Sie bemerkt jedoch, den Akten sei nicht zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer eine unzulässige Mehrbelastung überhaupt behauptet hätte. Eine einschlägige Mehrbelastung sei aufgrund der gegebenen Verhältnisse im Übrigen auch nicht nachgewiesen.
3. 3.1 Nach Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
3.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, den Prozessakten sei zu entnehmen, dass die Dienstbarkeit seinerzeit gegen Entschädigung eingeräumt worden sei; die Höhe der Entschädigung sei indessen nicht aktenkundig und es wäre aufgrund von Art. 89 Abs. 1 der Berner Zivilprozessordnung (ZPO) Pflicht des Obergerichts gewesen, seine damaligen Akten, die im kantonalen Staatsarchiv greifbar sein müssten, zu konsultieren. Inwiefern die Höhe einer allfälligen Entschädigung für die Einräumung der strittigen Dienstbarkeit für den Ausgang des vorliegenden Verfahrens entscheidend sein soll (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG), legt der Beschwerdeführer indessen nicht dar. Im Übrigen kann die Anwendung kantonalen Gesetzesrechts einzig unter dem Gesichtspunkt eines allfälligen Verstosses gegen Art. 9 BV (Willkürverbot) überprüft werden (vgl. Art. 95 lit. a-e BGG), und die Ausführungen in der Beschwerde sind nicht geeignet, einen solchen Verstoss darzutun. In diesem Punkt ist auf die Beschwerde demnach nicht einzutreten.
3.3 In ihren Ausführungen zu den Prozessvoraussetzungen spricht die Vorinstanz in der Tat von einem Fussweg, der im Streite liege. Es handelt sich um einen offensichtlichen Verschrieb, der im Sinne von Art. 105 Abs. 2 BGG richtigzustellen ist, geht doch das Obergericht in seinen rechtlichen Erwägungen ausdrücklich von einem Fahrwegrecht aus. Der Beschwerdeführer beanstandet des Weiteren, dass die Vorinstanz unter dem Titel "Bestrittener Sachverhalt" erklärt, die Auseinandersetzung zwischen den Parteien betreffe die Frage, ob es sich bei der zu Lasten seines Grundstücks eingetragenen Dienstbarkeit um ein Notwegrecht oder um ein gewöhnliches Fahrwegrecht handle. Inwiefern diese kleine Ungereimtheit für den Ausgang des Verfahrens von Bedeutung sein soll, legt er wiederum nicht dar und ist übrigens nicht ersichtlich.
4. Für die Ermittlung von Inhalt und Umfang einer Dienstbarkeit gibt Art. 738 ZGB eine Stufenordnung vor. Ausgangspunkt ist der Grundbucheintrag. Soweit sich Rechte und Pflichten aus dem Eintrag deutlich ergeben, ist dieser massgebend (Art. 738 Abs. 1 ZGB). Nur wenn sein Wortlaut unklar ist, darf im Rahmen des Eintrags auf den Erwerbsgrund zurückgegriffen werden (Art. 738 Abs. 2 ZGB), d.h. auf den Begründungsakt, der als Beleg beim Grundbuchamt aufbewahrt wird (Art. 948 Abs. 2 ZGB) und einen Bestandteil des Grundbuchs bildet (Art. 942 Abs. 2 ZGB). Ist auch der Erwerbsgrund nicht schlüssig, kann sich der Inhalt der Dienstbarkeit - im Rahmen des Eintrags - aus der Art ergeben, wie sie während längerer Zeit unangefochten und in gutem Glauben ausgeübt worden ist (Art. 738 Abs. 2 ZGB)(BGE 131 III 345 E. 1.1 S. 347 mit Hinweisen; dazu auch BGE 132 III 651 E. 8 S. 655).
5. Wie das Obergericht festhält, war es den seinerzeitigen Eigentümern der betroffenen Grundstücke in dem dem Grundbucheintrag zugrunde liegenden Vergleich darum gegangen, ein Notwegrecht zu Gunsten der Grundstücke der Beschwerdegegnerin zu begründen. Indessen enthalte der Grundbucheintrag, auf den die Beschwerdegegnerin habe vertrauen dürfen, einzig das Stichwort "Fahrwegrecht" (ohne dass auf weitere Belege verwiesen oder durch einen entsprechenden Vermerk auf eine Notwegsituation hingewiesen würde [zu Letzterem vgl. PETER LIVER, Zürcher Kommentar, N. 39 zu Art. 732 ZGB]). Die Vorinstanz hält deshalb dafür, dass die Löschung der Dienstbarkeit sich nach Art. 736 Abs. 1 und 2 ZGB bestimme und ein blosser Wegfall der Notlage nicht genüge.
5.1 Wer sich in gutem Glauben auf einen Eintrag im Grundbuch verlassen und daraufhin Eigentum oder andere dingliche Rechte erworben hat, ist in diesem Erwerb zu schützen (Art. 973 Abs. 1 ZGB). Auf den öffentlichen Glauben kann sich nur der Dritte berufen, der ein Recht am Grundstück erwirbt; keinen Schutz geniesst eine Person, die am Rechtsgeschäft, das Grundlage für die Eintragung des dinglichen Rechts bildet oder mit dem auf ein solches verzichtet wird, beteiligt ist (dazu JÜRG SCHMID, Basler Kommentar, 3. Auflage, N. 34 zu Art. 973 ZGB; FABIENNE HOHL, Le contrôle de l'interprétation des servitudes par le Tribunal fédéral, in: ZBGR 2009 S. 78). Der gute Glaube wird vermutet (Art. 3 Abs. 1 ZGB), so dass die Beweislast diejenige Partei trifft, die Bösgläubigkeit behauptet. Allerdings ist nicht berechtigt, sich auf den guten Glauben zu berufen, wer bei der Aufmerksamkeit, wie sie nach den Umständen von ihm verlangt werden darf, nicht gutgläubig sein konnte (Art. 3 Abs. 2 ZGB). Auch hier ist beweispflichtig, wer eine Verletzung der entsprechenden Sorgfaltspflicht geltend macht. Ob jemand gut- oder bösgläubig war, ist eine vom Bundesgericht nicht frei überprüfbare Frage tatsächlicher Natur, ob bei gegebener Gutgläubigkeit die gebührende Sorgfalt angewendet wurde, um den wahren Sachverhalt zu kennen, eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (BGE 131 III 418 E. 2.3.1 S. 421).
5.2 Für die Beschwerdegegnerin, die unbestrittenermassen ihre Grundstücke erst nach Errichtung der in Frage stehenden Dienstbarkeit erwarb, ist grundsätzlich das zu dieser im Grundbuch Eingetragene massgebend. Entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers ist die Frage, ob die Beschwerdegegnerin beim Erwerb der Grundstücke bezüglich des eingetragenen Wegrechts gutgläubig gewesen sei oder nicht, nach dem Gesagten keineswegs irrelevant. Unter Berufung auf die Ausführungen des erstinstanzlichen Richters, der in Würdigung der Aussagen verschiedener Personen zum Schluss gelangt war, es sei nicht dargetan, dass die Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt des Erwerbs ihrer Grundstücke Kenntnis davon gehabt habe, dass die strittige Dienstbarkeit auf die Vereinbarung eines Notwegrechts zurückgehe, hält das Obergericht fest, es sei dem Beschwerdeführer nicht gelungen, den zu vermutenden guten Glauben der Beschwerdegegnerin zu widerlegen. Was der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang vorbringt, ist rein appellatorischer Natur und nicht geeignet, die vorinstanzliche Feststellung als willkürlich erscheinen zu lassen. Im Übrigen ist nicht ersichtlich, weshalb der vom Beschwerdeführer angesprochene Erwerbspreis, der so weit unter dem Marktpreis gelegen habe, dass die Steuerbehörde das Vorliegen einer verdeckten Gewinnausschüttung angenommen habe, auf ein Wissen der Beschwerdegegnerin um die frühere Notwegsituation schliessen lassen soll.
Den Ausführungen des Beschwerdeführers ist schliesslich nicht zu entnehmen, dass im kantonalen Verfahren Tatsachen dargetan worden wären, die die Annahme gerechtfertigt hätten, die Beschwerdegegnerin habe Sorgfaltspflichten verletzt, indem sie keine Abklärungen zur Natur der Dienstbarkeit und zu den Umständen, unter denen diese begründet worden war, getroffen hat. Zu solchen Nachforschungen bestand angesichts des klaren Grundbucheintrags, dem keine weiteren Hinweise zu entnehmen sind, und der Tatsache, dass der Eintrag mit den vom Beschwerdeführer selbst geschilderten tatsächlichen Verhältnissen an Ort und Stelle übereinstimmt, denn auch kein Anlass. Aufgrund dieser Gegebenheiten ist der Hinweis auf die Belehrungspflichten des Notars von vornherein unbehelflich: Nach den Vorbringen des Beschwerdeführers gehört es zu den Pflichten des Notars, Wortlaut und Inhalt allfälliger Dienstbarkeiten zu erheben und den Käufer darüber zu orientieren. Dass die Beschwerdegegnerin die Bedeutung des im Grundbuch eingetragenen Stichworts "Fahrwegrecht" und die Tragweite einer solchen Dienstbarkeit nicht bekannt gewesen wären, macht der Beschwerdeführer indessen selbst nicht geltend.
5.3 Zusammenfassend ist nach dem Gesagten davon auszugehen, dass die Beschwerdegegnerin auf den Eintrag im Grundbuch vertrauen durfte und sie ihre Grundstücke mit einer Dienstbarkeitslast erwarb, die nicht als Legalservitut, sondern als ordentliches Fahrwegrecht anzusehen ist.
6. Gemäss Art. 736 Abs. 1 ZGB kann der Eigentümer des belasteten Grundstücks die Löschung einer Dienstbarkeit verlangen, wenn diese für das berechtigte Grundstück alles Interesse verloren hat. Ist ein Interesse des Dienstbarkeitsberechtigten zwar noch vorhanden, aber im Vergleich zur Belastung von unverhältnismässig geringer Bedeutung, so kann die Dienstbarkeit gegen Entschädigung ganz oder teilweise abgelöst werden (Art. 736 Abs. 2 ZGB).
6.1 Unter Hinweis auf Art. 92 ZPO erklärt das Obergericht, die Prozessparteien hätten alle Angriffs- und Verteidigungsmittel (Behauptungen und Erklärungen tatsächlicher Natur sowie Bestreitungen und Einreden) in einem Mal vorzutragen, wobei allerdings gestattet sei, bis und mit den ersten Parteivorträgen in der Hauptverhandlung Ergänzungen und Berichtigungen anzubringen. Die Vorinstanz hält sodann fest, dass der Klageschrift des Beschwerdeführers vom 14. Dezember 2001 keine Behauptungen zu entnehmen seien, wonach die strittige Dienstbarkeit für die berechtigten Grundstücke alles Interesse verloren hätte und deshalb ein Löschungsanspruch bestünde. Auch bringe der Beschwerdeführer nicht vor, das Interesse an einer Beibehaltung der Dienstbarkeit sei zwar noch vorhanden, doch sei es im Vergleich zur Belastung unverhältnismässig geringer. Somit habe er den im zweiten Parteivortrag des Appellationsverfahrens vorgebrachten Sachverhalt nicht rechtsgenügend behauptet bzw. substantiiert.
6.2 Dass der vorinstanzliche Entscheid im dargelegten Punkt auf einer willkürlichen Anwendung kantonalen Prozessrechts beruhe, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Er wendet ein, er habe stringent bewiesen, dass die Wegnot, deren Beseitigung mit der im Jahre 1919 begründeten Dienstbarkeit bezweckt worden sei, mittlerweilen weggefallen sei; somit bestehe klarerweise kein Interesse an einer Aufrechterhaltung des Notwegs mehr; die Vorinstanz verletze daher Bundesrecht, wenn sie unterstelle, der Löschungsanspruch nach Art. 736 ZGB könne mangels entsprechender Sachverhaltsbehauptung nicht geprüft werden.
Der Beschwerdeführer übergeht, dass das strittige Wegrecht als ordentliche Dienstbarkeit zu behandeln ist (oben E. 5.3) und der blosse Wegfall der Wegnot für sich allein noch keinen Löschungsanspruch nach Art. 736 ZGB begründet. Entgegen seinen Vorbringen ist den Ausführungen der Vorinstanz sodann durchaus zu entnehmen, was für Tatsachen er zur Begründung des geltend gemachten Löschungsanspruchs hätte dartun müssen. Von einer Rechtsverweigerung kann deshalb keine Rede sein. Es trifft zu, dass das Recht von Amtes wegen anzuwenden ist. Indessen ist nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht aufgrund der von ihm festgehaltenen tatsächlichen Gegebenheiten zum Schluss gelangte, es sei keiner der beiden Tatbestände von Art. 736 ZGB erfüllt. Wie sich aus den Ausführungen des Beschwerdeführers selbst ergibt, wird vom strittigen Fahrwegrecht nach wie vor reger Gebrauch gemacht. Der entsprechende Zugang zum Fitnesscenter der Beschwerdegegnerin wird von verschiedenen Kunden trotz des vom Beschwerdeführer erwähnten "Anpöbelns" offensichtlich geschätzt, würden diese doch sonst die inzwischen erstellte öffentliche Strasse vorziehen. Dass das strittige Fahrwegrecht angesichts dieser neuen Strasse nicht mehr den gleichen Stellenwert hat wie im Zeitpunkt seiner Errichtung, vermag eine Löschung nicht zu rechtfertigen. Die Dienstbarkeit mag für den Beschwerdeführer Unannehmlichkeiten mit sich bringen, doch ist nicht dargetan, dass diese so gewichtig wären, dass ein Vergleich mit den Interessen der Beschwerdegegnerin den Fortbestand des Wegrechts als unverhältnismässig erscheinen liesse.
7. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt worden und der Beschwerdegegnerin somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.
Das Bundesgericht erkennt:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (Appellationshof, 2. Zivilkammer) des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Oktober 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel