Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1978) stammt aus der Republik Dagestan, Russland. Er heiratete am 19. Juli 2005 dort die Schweizer Bürgerin A._. Am 13. März 2006 reiste er in die Schweiz ein, am 17. März 2006 erhielt er gestützt auf das von der Ehefrau eingereichte Gesuch um Familiennachzug eine Aufenthaltsbewilligung der Migrationsbehörde des Kantons Basel-Stadt. Am 1. Februar 2007 kam die gemeinsame Tochter B._ zur Welt; sie verfügt als schweizerische Staatsangehörige über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht.
B. Nach einer längeren Abwesenheit von X._ ab dem Mai 2008 mit unbekanntem Aufenthaltsort beantragte seine Gattin das Getrenntleben; am 25. Juli 2008 entsprach das Zivilgericht Basel-Stadt dem Gesuch und übertrug ihr das Sorgerecht über die gemeinsame Tochter. Infolge der längeren Abwesenheit ohne Abmeldung strich die Migrationsbehörde X._ am 10. Dezember 2008 - rückwirkend auf den 10. Mai 2008 - amtlich aus der Aufenthaltskontrolle des Kantons Basel-Stadt.
Zu einem unbekannten Zeitpunkt reiste X._ erneut in die Schweiz ein, bezog ab dem 21. Januar 2009 Sozialhilfe und ersuchte am 23. Januar 2009 um eine erneute Erteilung der Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Gattin. Diese wurde ihm mit Verfügung vom 4. Juni 2010 verweigert; das Migrationsamt ordnete seine Wegweisung an. Mit Urteil vom 10. Januar 2011 wurde die Ehe zwischen X._ und A._ geschieden und die elterliche Sorge über B._ definitiv auf die Mutter übertragen.
Einen Rekurs gegen die Nichterteilung der Aufenthaltsbewilligung und die Wegweisung wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt am 12. August 2011 ab. Dieser Entscheid wurde vom Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 13. März 2012 bestätigt.
C. X._ beantragt mit Eingabe vom 13. April 2012 dem Bundesgericht, den Entscheid der Vorinstanz aufzuheben; es sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Tochter zu erteilen, von einer Wegweisung sei abzusehen.
Das Bundesgericht hat keine Vernehmlassungen eingeholt, wohl aber die kantonalen Akten beigezogen.
D. Mit Verfügung vom 11. Mai 2012 wurde ein Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Für das Eintreten genügt, wenn der Betroffene in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein Anspruch auf die Bewilligung besteht; ob die jeweiligen Voraussetzungen tatsächlich gegeben sind, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (BGE 136 II 177 E. 1.1 S. 179 f.). Der Beschwerdeführer macht in vertretbarer Weise einen Anspruch nach Art. 50 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) bzw. eine Verletzung von Art. 8 Ziff. 1 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV geltend; auf die Beschwerde ist dementsprechend einzutreten (vgl. BGE 135 II 1 E. 1.1 S. 4 ff.).
1.2 Das Bundesgericht ist grundsätzlich an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 BGG), was nicht schon dann der Fall ist, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn die Sachverhaltsfeststellung eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 und E. 1.4.3 i.f. S. 252 bzw. 255).
2. 2.1 Ausländische Ehegatten von Schweizer Bürgern haben unter Vorbehalt von Art. 51 Abs. 1 AuG Anspruch auf Erteilung und Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit ihrem Partner zusammenwohnen (Art. 42 Abs. 1 AuG). Der Bewilligungsanspruch besteht trotz Auflösung bzw. definitiven Scheiterns der Ehegemeinschaft fort, wenn diese mindestens drei Jahre gedauert und die betroffene ausländische Person sich hier zudem erfolgreich integriert hat (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG). Ein Anspruch auf eine Bewilligung besteht für ausländische Personen auch dann, wenn diese einen nachehelichen Härtefall darzutun vermögen, d.h. wenn "wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen" (Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG).
2.2 Nach Art. 50 Abs. 2 AuG und der bundesgerichtlichen Rechtsprechung dazu (BGE 136 II 1 E. 5 S. 3 ff.) kann ein Härtefall namentlich vorliegen, wenn die ausländische Person mit abgeleitetem Aufenthaltsrecht Opfer ehelicher Gewalt geworden ist oder wenn ihre soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint. Mögliche weitere Anwendungsfälle bilden (gescheiterte) unter Zwang eingegangene Ehen oder solche im Zusammenhang mit Menschenhandel. Der Verbleib in der Schweiz kann sich zudem auch dann als erforderlich erweisen, wenn der Ehegatte, von dem sich die Aufenthaltsberechtigung ableitet, verstirbt (vgl. BGE 137 II 1 E. 3 und 4 S. 3 ff.).
Im Rahmen von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG sind auch die Interessen von gemeinsamen Kindern zu berücksichtigen, zu denen eine enge Beziehung besteht und die in der Schweiz gut integriert sind (Botschaft AuG, BBl 2002 3709 Ziff. 1.3.7.6 S. 3754; BGE 2C_784/2010 vom 26. Mai 2011 E. 3.2.2; Urteil 2C_830/2010 vom 10. Juni 2011 E. 3.1.3). Dabei ist den verfassungsrechtlichen bzw. staatsvertraglichen Ansprüchen auf Erteilung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV) Rechnung zu tragen (Urteile 2C_327/2010 vom 19. Mai 2011 E. 2.2, nicht publ. in: BGE 137 I 247; 2C_173/2011 vom 24. Juni 2011 E. 4.3).
2.3 Vorliegend hat die relevante Ehegemeinschaft unbestritten weniger als 3 Jahre gedauert; der Beschwerdeführer beruft sich einzig auf die Interessen von ihm und seiner Tochter als wichtigen persönlichen Grund für einen weiteren Aufenthalt: Er erblickt in der durch den angefochtenen Entscheid bewirkten Beeinträchtigung seiner Beziehung zu ihr - unter Berücksichtigung von Art. 8 EMRK und Art. 13 BV - einen nachehelichen Härtefall.
3. 3.1 Art. 8 EMRK gewährt grundsätzlich keinen Anspruch auf Aufenthalt in einem Konventionsstaat, kann aber verletzt sein, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme zur Trennung von Familienmitgliedern führt und damit das Familienleben vereitelt wird (BGE 137 I 247 E. 4.1.1 S. 249; 135 I 143 E. 1.3.1 S. 146 f., 153 E. 2.1; Urteil des EGMR Gezginci gegen Schweiz vom 9. Dezember 2010 [16327/05], § 54, in: Plädoyer 2011/1 S. 65; AJP 2011 S. 560). Unter dem Schutz von Art. 8 EMRK steht in erster Linie die Kernfamilie, das heisst das Zusammenleben von Ehegatten und von minderjährigen Kindern mit ihren Eltern (BGE 135 I 143 E. 1.3.2 S. 146). Durch Art. 8 EMRK geschützt wird nicht primär ein rechtlich begründetes, sondern ein intaktes und tatsächlich gelebtes Familienleben (BGE 2C_711/2010 vom 1. April 2011 E. 1.3; 135 I 143 E. 3.1 S. 148; 122 II 1 E. 1e S. 5). Deshalb ist für die Anrufung von Art. 8 EMRK im Zusammenhang mit ausländerrechtlichen Bewilligungen regelmässig erforderlich, dass die Beziehung zum Kind intakt und bereits bisher sachgerecht gelebt worden ist (BGE 137 I 284 E. 2.3.1 S. 290; Urteil 2C_578/2011 vom 1. Dezember 2011 E. 3.4.2; 2C_711/2010 vom 1. April 2011 E. 2.3.1; vgl. Nichtzulassungsentscheide der Europäischen Kommission für Menschenrechte Biçilir gegen Schweiz vom 22. Februar 1995 [23701/94], in: JAAC 1995 Nr. 140 S. 1037 und Kusungana gegen Schweiz vom 16. April 1998 [39401/98], in: JAAC 1998 Nr. 112 S. 955).
3.2 Aus familienrechtlichen Gründen muss der Elternteil, der sich für das Zusammenleben mit seinen Kindern auf Art. 8 EMRK beruft, an sich über das Sorge- bzw. Obhutsrecht verfügen (BGE 137 I 284 E. 2.3.1 S. 290; 137 I 247 E. 4.2.1 und 4.2.2 S. 250 f.; Urteile 2C_578/2011 vom 1. Dezember 2011 E. 3.4.3; 2C_711/2010 vom 1. April 2011 E. 2.3.1; 137 I 247 E. 4.2.1 und 4.2.2 S. 250 f.; 135 I 153 E. 2.2.4 S. 158; Urteile 2C_173/2011 vom 24. Juni 2011 E. 4 und 5; 2C_234/2010 vom 11. Juli 2011 E. 2.4). Der nicht sorge- bzw. obhutsberechtigte Ausländer kann die familiäre Beziehung mit seinen Kindern schon aus zivilrechtlichen Gründen von vornherein nur in einem beschränkten Rahmen leben, nämlich durch Ausübung des ihm eingeräumten Besuchsrechts. Hierzu ist grundsätzlich nicht erforderlich, dass er dauernd im gleichen Land wie das Kind lebt und dort über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt. Ein Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ist ausnahmsweise dann zu bejahen, wenn zwischen dem Ausländer und dessen Kindern in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht, die - würde eine Bewilligung verweigert - wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Land, in welches der Ausländer vermutlich auszureisen hätte, praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte. Zudem muss sich der Ausländer tadellos verhalten haben. Nur unter diesen Voraussetzungen kann das private Interesse am Verbleib im Land gestützt auf ein Besuchsrecht ausnahmsweise das öffentliche Interesse an einer einschränkenden nationalen Einwanderungspolitik im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK überwiegen (BGE 137 I 284 E. 2.3.1 S. 290; 136 II 497 E. 4.3 S. 506 f., 120 Ib 1 und 22; Urteile 2C_925/2011 22. Juni 2012 E. 5.1; 2C_578/2011 vom 1. Dezember 2011 E. 3.4.3; 2C_364/2010 vom 23. September 2010 E. 2.2.4; 2C_335/2009 vom 12. Februar 2010 E. 2.2.2; 2C_372/2008 vom 25. September 2008 E. 3.2.1; 2A.563/2002 vom 23. Mai 2003 E. 2.2, in: FamPra.ch 2003 S. 633; 2A.465/1997 vom 30. April 1998 E. 2b; Urteil des EGMR Rodrigues da Silva gegen Niederlande vom 31. Januar 2006 [50435/99], § 42 f., in: EuGRZ 2006 S. 562).
3.3 Vorliegend pflegte der Beschwerdeführer nach der Geburt seiner Tochter kaum Kontakte zu dieser: Er ist aus der Schweiz weggereist, als seine Tochter weniger als ein Jahr alt war, und hat in ihren ersten beiden Lebensjahren nur wenige Monate mit ihr zusammen verbracht. Seit der gerichtlichen Trennung, die während der Abwesenheit des Beschwerdeführers mit unbekanntem Aufenthaltsort erfolgte, steht das Sorgerecht der Mutter zu; diese hatte gemäss den Feststellungen der Vorinstanz im Jahr 2009 mehrfach ihrer Hoffnung Ausdruck verliehen, der Beschwerdeführer möge sich darum bemühen, die Beziehung zu seiner Tochter zu normalisieren. Aktuell besucht der Beschwerdeführer seine Tochter einmal wöchentlich in der Kindertagesstätte, auch fänden, "wenn jeweils möglich", Treffen an einem Wochenendtag statt. Entsprechende Besuche ohne Aufsicht sind gemäss den Feststellungen der Vorinstanz jedoch nach wie vor ausgeschlossen.
Vor diesem Hintergrund sind die Vorbringen des Beschwerdeführers, im Falle der Nichterteilung der Aufenthaltsbewilligung würde die Beziehung zu seiner Tochter erheblich beeinträchtigt, stark zu relativieren: Die Beziehung zu seinem Kind wurde anfangs durch den Beschwerdeführer kaum gelebt; seit seiner Rückkehr spätestens ab 2009 konnte sie aufgrund des ihm zustehenden Besuchsrechts nur in einem sehr beschränkten zeitlichen Rahmen und nur in Begleitung wahrgenommen werden. Eine Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung erschwert die Besuche des Beschwerdeführers zu seiner Tochter zweifelsohne erheblich; in Würdigung der relevanten Umstände ist die Vorinstanz jedoch zurecht davon ausgegangen, dass nie eine intakte, den Bedürfnissen des Kindes nach einer väterlichen Bezugsperson entsprechende, d.h. sachgerecht gelebte Beziehung des Beschwerdeführers zu seiner Tochter bestanden hatte. Vor diesem Hintergrund relativiert sich auch das Argument des Beschwerdeführers wesentlich, seine Präsenz sei wichtig für die geistige Entwicklung des Kindes, da die Mutter gehörlos sei. Eine in wirtschaftlicher Hinsicht besonders enge Beziehung liegt ebenfalls nicht vor: Der Beschwerdeführer wurde gerichtlich verpflichtet, Unterhaltsbeiträge für die Tochter in der Höhe von Fr. 500.-- pro Monat zu bezahlen. Obwohl er seine Stelle bereits viel früher angetreten hatte, wurden die Beiträge gemäss den Feststellungen der Vorinstanz erst ab April 2011 bezahlt.
3.4 Der Beschwerdeführer ist mehrfach strafrechtlich in Erscheinung getreten. Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz ist er am 25. Februar 2004 und am 12. Januar 2005 vom Strafbefehlsrichter Basel-Stadt wegen eines geringfügigen Vermögensdelikts zu vier Tagen Haft und wegen der Missachtung einer Zwangsmassnahme im Ausländerrecht zu 14 Tagen Gefängnis verurteilt worden. Am 12. Mai 2006 verurteilte ihn der Strafgerichtspräsident Basel-Stadt wegen Vergehen und Übertretungen gegen das Betäubungsmittelgesetz sowie eines geringfügigen Vermögensdelikts zu 72 Tagen Gefängnis. Mit Verfügung vom 14. Dezember 2009 verurteilte ihn der Stadtrichter Zürich zu einer Busse von Fr. 370.--, als er bei einer Lernfahrt ohne berechtigte Begleitperson infolge mangelnder Aufmerksamkeit eine Kollision verursacht hatte. Mit Urteil vom 22. März 2010 wurde er von der Strafgerichtspräsidentin Basel-Stadt der einfachen Körperverletzung mit einem gefährlichen Gegenstand, des geringfügigen Diebstahls, des mehrfachen Konsums von Betäubungsmitteln sowie der Widerhandlung gegen das Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) schuldig gesprochen und zu einer Geldstrafe von 125 Tagessätzen zu Fr. 90.-- und zu einer Busse von Fr. 500.-- verurteilt. Am 4. November 2010 verurteilte ihn das Bezirksstatthalteramt Arlesheim schliesslich wegen Diebstahls, Sachbeschädigung und Hausfriedensbruchs zu einer Geldstrafe von 90 Tagessätzen zu Fr. 20.--. Zurecht hat die Vorinstanz daher festgestellt, dass sich der Beschwerdeführer angesichts seiner wiederholten strafbaren Taten keineswegs tadellos verhalten hat und dass die Straffälligkeit des Beschwerdeführers nicht als lange zurückliegend resp. abgeschlossen gelten könne.
3.5 In den Fällen, in denen der EGMR eine Verletzung der EMRK bejahte, wenn dem geschiedenen oder nicht sorgeberechtigten ausländischen Elternteil eines aufenthaltsberechtigten Kindes das Aufenthaltsrecht entzogen wurde, handelte es sich durchwegs um Konstellationen, in denen der ausländische Elternteil mehrere Jahre im betreffenden Land gewohnt und dort eine Familie gegründet hatte (Urteile Nunez gegen Norwegen vom 28. Juni 2011 [55597/09], Ziff. 79 ff.; Rodrigues da Silva gegen Niederlande vom 31. Januar 2006 [50435/99], in: EuGRZ 2006 S. 562; Ciliz gegen Niederlande vom 11. Juli 2000 [29192/95]; Berrehab gegen Niederlande vom 21. Juni 1988 [10730/84]). Das trifft auf den Beschwerdeführer nicht zu: Der Eheschluss erfolgte während eines Aufenthalts der Ehefrau in Russland und der Beschwerdeführer war kurz nach der Geburt seines Kindes bereits wieder über längere Zeit abwesend. So beruft sich der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang zu Unrecht auf das soeben angesprochene Urteil Berrehab: Der dortige Beschwerdeführer hatte seine Tochter regelmässig und häufig, mindestens viermal pro Woche mehrere Stunden besucht. Dies trifft vorliegend nicht zu; der Beschwerdeführer hatte von Beginn weg kaum je eine eigene Beziehung zu seiner Tochter und verfügt über ein gegenüber dem angerufenen Urteil wesentlich eingeschränktes Besuchsrecht (vgl. oben E. 3.3).
4. Nach dem Gesagten gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, eine in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht besonders enge Beziehung zu seiner Tochter darzutun, zudem kann er sich durch die zahlreichen Verurteilungen keineswegs auf ein klagloses Verhalten berufen; die behauptete enge und stabile Beziehung zu seiner Tochter wird von ihm auch nicht weiter substanziiert. Die Vorinstanz hat den Verhältnismässigkeitsgrundsatz im Rahmen der Prüfung einer allfälligen Verletzung von Art. 8 EMRK resp. Art. 13 Abs. 1 BV im Hinblick auf einen allfälligen Bewilligungsanspruch demnach nicht missachtet. Indem sie sich vertieft mit der Frage auseinandergesetzt hat, ob eine tatsächlich gelebte, enge Beziehung zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Tochter besteht, ist sie auch ihrer Begründungspflicht hinreichend nachgekommen. Das Vorliegen eines Härtefalls im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG wurde durch die Vorinstanz somit ohne Verletzung von Schweizerischem Recht (Art. 95 BGG) verneint.
5. Der Beschwerdeführer ficht unabhängig vom Ergebnis des Entscheides über den Aufenthaltsanspruch die Wegweisung an. In dieser Hinsicht ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Die Eingabe kann auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden, da der Beschwerdeführer keine genügend substanziierten zulässigen Verfassungsrügen mit Bezug auf die Wegweisung erhebt (vgl. Art. 116 und 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254, 396 E. 3.1 S. 399; Urteil 2C_236/2011 vom 2. September 2011 E. 1.4).
6. 6.1 Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
6.2 Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni