Sachverhalt:
A. X._ (Ehemann, geb. 1962; mit US-amerikanischem Bürgerrecht) und Z._ (Ehefrau, geb. 1980, ukrainische Staatsangehörige) haben am xxxx 2007 geheiratet. Der Ehe entspross der Sohn Y._ (geb. 2008). Seit dem 1. Januar 2009 leben die Eheleute getrennt. Am 17. April 2009 genehmigte der Amtsgerichtspräsident II von Luzern-Stadt eine Vereinbarung der Eheleute betreffend die Regelung des Getrenntlebens. X._ verpflichtete sich unter anderem, an den Unterhalt seines Sohnes rückwirkend ab 1. Januar 2009 monatlich Fr. 1'500.-- und an denjenigen seiner Ehefrau Fr. 3'500.-- zu bezahlen.
B. Mit Abänderungsentscheid vom 4. Mai 2010 stellte der Amtsgerichtspräsident Y._ unter die elterliche Obhut der Mutter und räumte dem Vater ein begleitetes Besuchsrecht ein. Im Übrigen verbot er X._, sich seiner Ehefrau und seinem Sohn näher als bis zu 50 Meter zu nähern oder mit ihnen in Kontakt zu treten. Bezüglich Unterhalt bestätigte er den Entscheid vom 17. April 2009. Den dagegen erhobenen Rekurs hiess das Obergericht des Kantons Luzern teilweise gut. Es bejahte den Eintritt einer wesentlichen und dauernden Änderung der finanziellen Verhältnisse, hob die Unterhaltspflicht gegenüber der Ehefrau per Ende Mai 2009 auf und reduzierte die Unterhaltsbeiträge für den Sohn rückwirkend ab 1. Juni 2009 auf Fr. 850.-- (Ziffer 1 des Entscheids vom 7. Juli 2010). X._ gelangte hierauf an das Bundesgericht. Dieses wies seine Beschwerde jedoch ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 5A_564/2010 vom 4. Oktober 2010).
C. Mit Eingabe vom 20. Juli 2010 ersuchte X._ um Abänderung des Rekursentscheids des Obergerichts vom 7. Juli 2010. Soweit vor Bundesgericht noch relevant, beantragte er, Z._ sei zu verpflichten, ihm rückwirkend vom 1. Dezember 2009 bis 30. April 2010 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 4'500.--, eventuell Fr. 3'500.--, und vom 1. Juni 2009 bis zum 30. November 2009 sowie ab dem 1. Mai 2010 einen solchen von Fr. 3'500.--, eventuell Fr. 2'500.-- zu bezahlen. Die Pflicht zur Bezahlung von Kinderunterhaltsbeiträgen ab 1. Juni 2009 sei rückwirkend aufzuheben. Ebenso sei das Kontakt- und Annäherungsverbot gegenüber seiner Frau und seinem Sohn aufzuheben, und es soll ihm erlaubt werden, seinen Sohn in der Kinderkrippe sehen zu können; zu diesem Zweck habe ihm die Mutter den Ort der Kinderkrippe bekannt zu geben. Weiter stellte X._ den Antrag, seine Frau habe ihm das Fahrzeug Mercedes SL 450 nach Kontrolle durch eine lizenzierte Mercedes-Garage unverzüglich herauszugeben. Der Einzelrichter der 2. Abteilung des Bezirksgerichts Luzern wies mit Entscheid vom 11. November 2011 sämtliche Begehren ab, desgleichen das Obergericht des Kantons Luzern in seinem Urteil vom 27. Dezember 2011, soweit es auf X._s Berufung vom 28. November 2011 überhaupt eintrat.
D. D.a Mit Beschwerde vom 13. Februar 2012 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt festzustellen, dass Ziffer 1 des Urteils des Obergerichts des Kantons Luzern vom 7. Juli 2010 (s. Bst. B) nichtig sei, soweit das Urteil Z._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) und dem Sohn Y._ vom 1. Januar bis zum 31. Mai 2009 rückwirkend Unterhaltsbeiträge zuspreche. Weiter stellt er das Begehren, die Beschwerdegegnerin rückwirkend zu verpflichten, ihm ab 1. Juni 2009, eventuell ab 21. Juli 2010 respektive ab 1. August 2010 Unterhaltsbeiträge von Fr. 2'500.--, eventuell Fr. 1'800.-- zu bezahlen. Schliesslich beharrt er auf der Herausgabe des Fahrzeugs (s. Bst. C). In formeller Hinsicht ersucht er für das Verfahren vor Bundesgericht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
D.b In einem Schreiben, das er am 18. Februar 2012 der Post aufgegeben hat, stellt der Beschwerdeführer das weitere Rechtsbegehren, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm Fr. 33'850.-- plus Zins zu 5 % ab 28. April 2010 zu bezahlen bzw. zurückzuerstatten; eventuell sei festzustellen, dass er diese Summe der Beschwerdegegnerin an verschiedenen Tagen im Jahr 2009 bezahlt hat .
D.c Mit Schreiben vom 26. März 2012 lässt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht ausrichten, die gegen ihn erlassene Einreisesperre in die Schweiz sei aufgehoben worden.
D.d Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1 S. 216; 134 III 115 E. 1 S. 117, je mit Hinweisen).
1.2 Rechtzeitig ficht der Beschwerdeführer mit seiner Eingabe vom 13. Februar 2012 den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Zivilsache an, deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 72 Abs. 1, 74 Abs. 1 lit. b, 75 Abs. 1, 90 und 100 BGG). An sich wäre die Beschwerde in Zivilsachen also zulässig.
1.3 Nicht einzutreten ist indessen auf die neuen Rechtsbegehren, die der Beschwerdeführer erst am 18. Februar 2012 (Bst. D.b) gestellt hat. Die gesetzliche Beschwerdefrist endete am 13. Februar 2012 (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 44 Abs. 1 und 45 Abs. 1 BGG); nach diesem Zeitpunkt gestellte Anträge sind unbeachtlich und werden aus den Akten gewiesen.
1.4 Eheschutzentscheide unterstehen der in Art. 98 BGG enthaltenen Vorschrift (BGE 133 III 393 E. 5.1 und 5.2 S. 397 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es demnach nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur dann als willkürlich auf, wenn er nicht bloss in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder zutreffender scheint oder sogar vorzuziehen wäre, genügt nicht (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133).
1.5 Neue Sachverhaltsvorbringen oder Beweismittel sind unzulässig, soweit nicht erst der Entscheid der letzten kantonalen Instanz dazu Anlass gegeben hat (Art. 99 Abs. 1 BGG). Mit einem neuen Arztzeugnis will der Beschwerdeführer dartun, dass er immer noch an einer Depression leide und zu 80 % arbeitsunfähig sei. Das Zeugnis wurde am 20. Januar 2012 erstellt; der behandelnde Mediziner schätzt darin die "aktuelle" Arbeitsunfähigkeit mit 80 % ein. Mithin äussert sich das Attest lediglich zur Arbeitsfähigkeit in einem Zeitpunkt nach dem angefochtenen Entscheid. Damit ist bereits begrifflich ausgeschlossen, dass erst der vorinstanzliche Entscheid zu diesem Vorbringen Anlass gegeben hat; dieses ist neu und damit unzulässig. Das Gleiche gilt sinngemäss für die Mitteilung, der Beschwerdeführer sei wieder zur Einreise in die Schweiz berechtigt. Auch dieser Umstand muss unbeachtlich bleiben, umso mehr als sich der Beschwerdeführer mit keinem Wort zur Voraussetzung von Art. 99 Abs. 1 BGG äussert.
2. Der Beschwerdeführer beharrt auf seinen Unterhaltsforderungen gegen die Beschwerdegegnerin. Er bestreitet weiterhin, eine Erwerbstätigkeit aufnehmen zu können, und wirft dem Obergericht vor, es rechne ihm eilfertig einen hypothetischen Lohn an.
2.1 Bezüglich der Forderungen für die Zeit vom 1. Juni 2009 bis zum 20. Juli 2010 hält die Vorinstanz unter Hinweis auf den erstinstanzlichen Entscheid fest, der Beschwerdeführer habe nicht dargetan, weshalb die verlangte Abänderung ausnahmsweise schon rückwirkend für die Zeit vor der Einreichung des Gesuchs zuzulassen sei. Weder könne er sich darauf berufen, im ersten Abänderungsverfahren von der Arbeitslosenentschädigung der Beschwerdegegnerin nichts gewusst zu haben, noch reiche es aus, einen Anspruch auf Teilhabe an der hohen Leistungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin geltend zu machen. Dass das Obergericht damit das Recht willkürlich angewendet oder sonst wie ein verfassungsmässiges Recht verletzt hätte, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Wenn er stattdessen einfach die vor Obergericht vorgetragenen Argumente wiederholt und sich zusätzlich auf seine Depression beruft, ist darauf nicht einzutreten.
2.2 Die Unterhaltsforderungen für die Zeit ab 21. Juli 2010 wies das Obergericht ab. Es befand, der Beschwerdeführer sei in der Lage, seinen Bedarf bei genügenden Anstrengungen aus eigenen Kräften zu decken; was er an Bemühungen geltend mache, reiche nicht aus. Der Einwand, dass er aus seiner Finanzmäklertätigkeit überhaupt kein Einkommen erzielen könne, sei nicht plausibel, und auch eine eingeschränkte Arbeitsfähigkeit habe er nicht glaubhaft gemacht. Schliesslich erwog das Obergericht, die behaupteten Schwierigkeiten, ein Erwerbseinkommen zu erzielen, stünden nicht im Zusammenhang mit seiner Ehe; daher habe er gegenüber der Beschwerdegegnerin keinen Anspruch auf Unterhalt, auch wenn diese in der fraglichen Zeit ein geregeltes Erwerbseinkommen von monatlich Fr. 5'700.-- erziele. Ohnehin seien die beanspruchten Unterhaltsbeiträge von Fr. 3'500.--, eventuell Fr. 2'500.-- ungenügend substanziiert. Diesen Erwägungen vermag der Beschwerdeführer nichts Substanzielles entgegenzusetzen:
2.2.1 In Widersprüche verfängt sich der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit dem Vorhalt, er betätige sich lediglich in seinem angestammten Bereich als Hedge-Fund-Manager, obwohl ihm dies nach eigener Darstellung wegen strafrechtlicher Verurteilungen in ganz Europa und in den USA verwehrt sei und die Marktbedingungen äusserst schlecht sein sollen. So argumentiert er einerseits, seine wirtschaftlichen Aussichten seien in der Schweiz besser als in den USA. Anderseits bestreitet er nicht, dass ihm die Einreise in den Schengenraum nach wie vor verwehrt ist, und räumt selbst ein, er habe gar keinen Wohnsitz in der Schweiz. Weiter beruft er sich auf Art. 10 Abs. 2 BV; dieses verfassungsmässige Recht beinhalte auch die freie Entscheidung, einer Arbeit nachzugehen und die Freizeit nach eigenem Gutdünken zu gestalten. Wie es sich damit verhält, kann offenbleiben. Denn dass der angefochtene Entscheid die zitierte Vorschrift verletzen würde, macht der Beschwerdeführer gar nicht geltend.
2.2.2 Erfolglos wehrt sich der Beschwerdeführer auch gegen die vorinstanzliche Beurteilung, er pflege einen relativ hohen Lebensstandard und beschäftige einen Angestellten. Das Obergericht weist darauf hin, dies stehe im Widerspruch zum behaupteten desolaten Geschäftsgang, und auch die Unterstützung durch einen Verwandten sei nicht belegt. Wenn er als Selbständigerwerbender seiner Mitwirkungspflicht nicht nachkomme und es unterlasse, seine Geschäftsbuchhaltung aufzulegen, könne dies zu seinen Ungunsten gewürdigt werden. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, es sei nachvollziehbar, dass er keine Buchhaltung eingereicht habe, denn er habe "bis heute keinen Gewinn generieren können" und es würde "ohnehin ein Minus resultieren". Mit derartigen Ausführungen lässt sich keine Willkür dartun.
2.2.3 An der Sache vorbei geht ferner der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe einen Zusammenhang zwischen seiner finanziellen Situation und seiner Ehe verneint. Solcherlei lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen. Vielmehr hat das Obergericht erwogen, die behaupteten Schwierigkeiten des Beschwerdeführers, ein angemessenes Erwerbseinkommen zu erzielen, stünden in keinem Zusammenhang mit der Ehe.
2.2.4 Was die angeblich eingeschränkte Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers angeht, bleibt es bei der vorinstanzlichen Erkenntnis, dass diese nicht glaubhaft gemacht ist, denn das neu eingereichte Arztzeugnis ist unzulässig (s. E. 1.5).
2.2.5 Soweit der Beschwerdeführer zur Begründung seiner Unterhaltsforderungen auf dem Grundsatz der Solidarität zwischen den Ehegatten beharrt, missversteht er die bundesgerichtliche Rechtsprechung. In BGE 137 III 385, auf den sich der Beschwerdeführer beruft, hat das Bundesgericht festgehalten, im Falle einer Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes ergebe sich aus dem Zweck von Art. 163 ZGB, dass jeder Ehegatte sich nach seinen Kräften an den durch das Getrenntleben bedingten zusätzlichen Kosten zu beteiligen hat. Deshalb müsse der Richter die ausdrückliche oder stillschweigende Vereinbarung, welche die Ehegatten für den gemeinsamen Haushalt getroffen hatten, gegebenenfalls abändern und an die veränderten Umstände anpassen (BGE a.a.O., E. 3.1 S. 387). Entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, folgt aus dieser Rechtsprechung also gerade nicht, dass er sich zur Begründung seines behaupteten Unterhaltsanspruches in irgendeiner Weise auf die Verhältnisse vor der Trennung berufen könnte - erst recht nicht, wenn das Scheidungsverfahren, wie hier, bereits hängig, mit einer Wiederaufnahme des gemeinsamen Haushaltes also nicht mehr zu rechnen ist.
3. Der Beschwerdeführer verlangt weiter die Herausgabe des Fahrzeugs Mercedes SL 450, ehemalige Kontrollnummer LU xxx. Das Obergericht trat auf die Vorbringen des Beschwerdeführers nicht ein, soweit dieser seinen Herausgabeanspruch mit den gleichen Umständen begründete wie im ersten Abänderungsverfahren. Ebenso verwarf es die neu vorgetragenen Argumente, die Beschwerdegegnerin habe das Fahrzeug weder eingelöst noch versichert und das Kind Y._ werde von ihrem Partner zur Krippe gebracht. Zwar würden diese Tatsachenbehauptungen zutreffen. Angesichts des andauernden Streits um den Besitz des Fahrzeugs sei jedoch nachvollziehbar, dass die Beschwerdegegnerin mit der Registrierung und Versicherung so lange zuwarten wolle, bis sie sicher sei, das Auto behalten zu können.
Der Beschwerdeführer tut nicht dar, inwiefern das Obergericht damit die Verfassung verletzt hätte. Jedenfalls reicht es nicht aus, die vorinstanzliche Argumentation einfach als "sonderbar" zu bezeichnen. Unbehelflich ist auch der Einwand, die Beschwerdegegnerin hätte für das Fahrzeug eine unterjährige Versicherung abschliessen können. Denn dass eine andere Lösung ebenfalls in Frage käme oder gar vorzuziehen wäre, genügt für den Nachweis von Willkür nicht (E. 1.4).
4. Das Gesagte gilt sinngemäss, soweit der Beschwerdeführer die Kostenverteilung in den kantonalen Verfahren beanstandet. Seine Ausführungen erschöpfen sich in appellatorischer Kritik und vermögen eine Verfassungswidrigkeit nicht aufzuzeigen. Darauf ist nicht einzutreten.
5. Wie die vorstehenden Ausführungen zeigen, setzt sich der Beschwerdeführer mit dem angefochtenen Entscheid nicht hinreichend auseinander. Er gibt sich damit zufrieden, den Sachverhalt oder die Rechtslage aus seiner eigenen Sicht dar- oder blosse Behauptungen aufzustellen. Seine weitschweifigen Ausführungen lassen jedoch nicht erkennen, welches verfassungsmässige Recht aus welchem konkreten Grund im Einzelnen verletzt sein soll. Soweit er die Begründung seiner Beschwerde auf Eingaben stützt, die er in anderen Verfahren oder vor unteren Instanzen eingereicht hat, ist er von vornherein nicht zu hören. Denn solch verwiesene Ausführungen können sich zwangsläufig gar nicht auf den angefochtenen Entscheid beziehen, den allein der Beschwerdeführer als verfassungswidrig ausweisen müsste. Was er dem Bundesgericht in wenig kohärenter Weise auftischt, vermag den geschilderten formellen Anforderungen (E. 1.4) im Ergebnis nicht zu genügen. Auf die Beschwerde ist insgesamt nicht einzutreten.
6. Erstmals im vorliegenden Abänderungsprozess stellt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht schliesslich das Begehren, die teilweise Nichtigkeit des früheren obergerichtlichen Entscheides vom 7. Juli 2010 festzustellen, das heisst eines Entscheides, der gar nicht Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens ist (Bst. D). Zwar trifft es zu, dass die Nichtigkeit eines Entscheides jederzeit von sämtlichen rechtsanwendenden Behörden von Amtes wegen zu beachten ist (BGE 133 II 366 E. 3.1 S. 367). Steht aber - wie hier - die Nichtigkeit eines anderen als des angefochtenen Entscheides in Frage, so kann sich das Bundesgericht mit dieser Frage nur dann auseinandersetzen, wenn es auch sonst in der Sache mit einem bestimmten Verfahren befasst ist und sich die allfällige Nichtigkeit des anderen Entscheides auf die Beschwerdesache auswirken würde. Diese Voraussetzungen sind hier nicht erfüllt: Nach dem Gesagten gelingt es dem Beschwerdeführer nicht, das Bundesgericht mit der Überprüfung des Urteils des Obergerichts des Kantons Luzern vom 27. Dezember 2011 materiell zu befassen (E. 5). Bleibt ihm der Zugang zur rechtsanwendenden Behörde in diesem Sinne aber gänzlich verschlossen, so kann er ihr losgelöst von seiner samt und sonders unzulässigen Beschwerde auch das erwähnte Feststellungsbegehren nicht zu einer Beurteilung von Amtes wegen unterbreiten. Denn was der Beschwerdeführer am Entscheid vom 7. Juli 2010 als nichtig rügt, betrifft die Zeit vom 1. Januar bis zum 31. Mai 2009 und hätte somit keinerlei Einfluss auf die Beurteilung der Begehren, mit denen er das hier angefochtene Urteil vom 27. Dezember 2011 abgeändert haben will (s. Bst. D.a). Auch darauf ist nicht einzutreten.
7. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, da der Beschwerdegegnerin kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. März 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn