Sachverhalt:
A. Der 1961 geborene X._ heiratete am 13. Dezember 1986 P._ (geb. 1963). Von Mai 1993 bis Oktober 1995 war er bei der Firma D._ angestellt und bei deren Pensionskasse vorsorgeversichert. Von den eingebrachten Freizügigkeitsleistungen in der Höhe von Fr. 28'004.55 wurde der Betrag von Fr. 18'964.50 für den Einkauf in die Pensionskasse der Firma D._ verwendet und der Betrag von Fr. 9'040.05 einem separaten Konto zugeführt. Am 30. September 1994 wurde das separate Konto aufgelöst und das Guthaben (Fr. 9'520.15) auf das Freizügigkeitskonto Nr. ... bei der Bank S._ überwiesen. Am 19. Oktober 1994 liess sich X._ das auf dem Freizügigkeitskonto liegende Kapital (Fr. 9'530.20) ausbezahlen. Des Weitern erfolgte nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses bei der Firma D._ am 15. Dezember 1995 eine Barauszahlung in der Höhe von Fr. 44'029.90 aufgrund der AHV-Beitragsverfügung für Selbständigerwerbende.
Im Rahmen seines bis anhin letzten Arbeitsverhältnisses in der Schweiz, bei der Bank T._ war X._ für die obligatorische berufliche Vorsorge bei der Personalfürsorgestiftung seiner Arbeitgeberin versichert (1. Januar 1997 bis 30. April 1999). Diese unterhielt eine Rückversicherung bei der Z._. Die Bank T._ wurde 1999 von der Bank A._ übernommen. Da X._ nicht weiterbeschäftigt wurde, wurden die von ihm erworbenen Freizügigkeitsleistungen zunächst auf eine Freizügigkeitspolice überwiesen. Am 20. Juli 1999 wurde diese aufgelöst und der Betrag von Fr. 45'618.90 aufgrund selbständiger Tätigkeit bar ausbezahlt.
Mit Urteil des Kantonsgerichts Schaffhausen vom 21. August 2006 (in Rechtskraft erwachsen am 11. September 2006) wurde die Ehe zwischen X._ und P._ geschieden und gleichzeitig bestimmt, dass die während der Ehe aufgelaufenen Guthaben aus der beruflichen Vorsorge hälftig zu teilen sind. Mit Verfügung vom 25. September 2006 überwies das Kantonsgericht die Sache dem Obergericht des Kantons Schaffhausen zwecks Teilung der Austrittsleistungen.
B. Mit Entscheid vom 28. November 2008 hiess das Obergericht des Kantons Schaffhausen das Gesuch um hälftige Teilung der Guthaben des X._ in dem Sinne teilweise gut, dass es die Pensionskasse der Hewlett-Packard Gesellschaften in der Schweiz (Rechtsnachfolgerin der Pensionskasse der O._ AG, diese Rechtsnachfolgerin der Pensionskasse der Firma D._) verpflichtete, P._ den Betrag von Fr. 22'014.95 nebst Zinsen ab 15. Dezember 1995 auf ein noch zu bezeichnendes Vorsorge- bzw. Freizügigkeitskonto zu überweisen.
C. Die Pensionskasse der Hewlett-Packard Gesellschaften in der Schweiz erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 28. November 2008 sei aufzuheben, ohne Kostenfolgen zu ihren Lasten.
P._ und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) lassen auf Abweisung der Beschwerde schliessen. X._ verzichtet auf eine Stellungnahme.
D. Am 29. Oktober 2009 hat die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts eine publikumsöffentliche Beratung durchgeführt.
Erwägungen:
1. Der kantonale Entscheid wird nur insoweit angefochten, als die Pensionskasse der Hewlett-Packard Gesellschaften in der Schweiz darin verpflichtet wird, der Beschwerdegegnerin die Hälfte des X._ am 15. Dezember 1995 bar ausbezahlten Betrages von Fr. 44'029.90 - mithin Fr. 22'014.95 - zu überweisen.
2. 2.1 Gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c).
2.2 Nach den verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid (Art. 105 Abs. 2 BGG) ist die Pensionskasse der Hewlett-Packard Gesellschaften in der Schweiz zwar von der Vorinstanz zur Vernehmlassung eingeladen worden, hat aber von der ihr eingeräumten Gelegenheit zur Stellungnahme keinen Gebrauch gemacht. Die Beschwerdeführerin bestreitet denn auch nicht, dass sie am vorinstanzlichen Verfahren nicht teilgenommen hat. Zu Recht macht sie auch nicht etwa geltend, im kantonalen Verfahren keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten zu haben, weil das Obergericht die Aufforderung zur Vernehmlassung vom 23. Juni 2008 nicht an sie, sondern an die Arbeitgeberin B._ "...", gerichtet hat. Denn mit diesem Einwand würde die Pensionskasse schon deshalb nicht durchdringen, weil sie als Domizil selbst "..." angibt, es sich bei B._ um den Geschäftsführer der Vorsorgeeinrichtung handelt und im Schreiben vom 23. Juni 2008 ausdrücklich "die Pensionskasse der Hewlett-Packard GmbH" als betroffener Versicherungsträger zur Vernehmlassung aufgefordert worden ist, so dass sich die Pensionskasse - trotz der formell nicht korrekten Anschrift - der Teilnahmemöglichkeit gewahr sein musste.
Bei dieser Sachlage erfüllt die Beschwerdeführerin die Eintretensvoraussetzung der formellen Beschwer gemäss Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG nicht, weshalb auf ihr Rechtsmittel nicht eingetreten werden kann.
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die Pensionskasse der Hewlett-Packard Gesellschaften in der Schweiz die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Ausnahmeregelung von Art. 66 Abs. 4 BGG ist nicht anwendbar, da die Vorsorgeeinrichtung in ihrem Vermögensinteresse handelt (vgl. Urteil 8C_67/2007 vom 25. September 2007 E. 6, 9C_101/2007 vom 12. Juni 2007 E. 4; vgl. auch BGE 133 V 640 E. 4.5 S. 641 f.). Der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin steht eine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Oktober 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann