Erwägungen:
1.
1.1. Der aus Pakistan stammende A.A._ (geb. 1966) reiste am 8. August 2000 in die Schweiz ein, wo er erfolglos ein Asylverfahren durchlief. Rund zwei Monate nach dem rechtskräftigen Wegweisungsentscheid liess sich A.A._ am 15. Juli 2005 von seiner in Pakistan lebenden Ehefrau scheiden; aus der Ehe waren zwei Söhne (B.A._, geb. 1995 bzw. C.A._, geb. 1998) hervorgegangen. Am 24. Mai 2006 heiratete A.A._ die Schweizer Bürgerin D._ (geb. 1954). Die Ehe wurde am 7. September 2010 geschieden. Noch zuvor war am 27. März 2010 seine erleichterte Einbürgerung erfolgt.
1.2. Am 23. Februar 2012 ersuchte A.A._ um den Nachzug seiner beiden in Pakistan lebenden Söhne aus erster Ehe. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt wies das Familiennachzugsgesuch am 24. September 2012 ab. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Basel-Stadt vom 2. Oktober 2013 bzw. Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht vom 20. Oktober 2014).
1.3. Mit Schreiben vom 18. Mai 2015 ersuchte A.A._ vor dem Bundesgericht um Wiederherstellung der Beschwerdefrist, da er aufgrund eines krankheitsbedingten Auslandsaufenthalts die Beschwerdefrist nicht habe einhalten können. Am 29. Mai 2015 hat A.A._ aufforderungsgemäss eine begründete Beschwerdeschrift eingereicht. Er beantragt, der Entscheid der Vorinstanz vom 20. Oktober 2014 sei vollumfänglich aufzuheben und das Gesuch um Familiennachzug für B.A._ und C.A._ Roqus zu bewilligen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem beantragt er die unentgeltliche Prozessführung. Mit Schreiben vom 11. Juni 2015 reicht A.A._ noch diverse Unterlagen (Fotos, Presseartikel, etc.) nach.
Auf die Anordnung eines Schriftenwechsels wurde verzichtet.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG mit summarischer Begründung und Verweis auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu erledigen ist. Bei diesem Ergebnis kann somit offen gelassen werden, ob die Voraussetzungen für eine Fristwiederherstellung im Sinne von Art. 50 BGG hier überhaupt erfüllt sind.
3.
3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig ist oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt wurde (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft, mit anderen Worten willkürlich, erscheint (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.).
3.2. Willkür liegt nicht bereits dann vor, wenn eine andere Sicht ebenfalls vertretbar oder sogar zutreffender erscheint, sondern nur, wenn sich die vorinstanzliche Beurteilung als offensichtlich unhaltbar erweist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt bzw. in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung geht das Bundesgericht nicht weiter ein (BGE 136 II 101 E. 3 S. 104 f.).
3.3. Der Beschwerdeführer muss sich entgegenhalten lassen, dass sich die Beschwerdebegründung teilweise mit der schon vor der Vorinstanz eingereichten deckt. Die Beschwerdeschrift setzt sich damit nicht mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinander und legt nicht dar, inwiefern diese Bundesrecht verletzen sollen. Insoweit genügt die Beschwerdeschrift praxisgemäss den Mindestanforderungen gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG nicht (BGE 134 II 244 E. 2.3 S. 247; Urteil 2C_411/2012 vom 3. Dezember 2012 E. 2.1) und ist auf diese Ausführungen nicht einzutreten.
3.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen sodann nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt ("unechte" Noven gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG). Unzulässig sind hingegen neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (Urteil 2C_170/2013 vom 20. Juni 2013 E. 1.3). Die diversen vor Bundesgericht erstmals eingereichten Beweismittel (Zeitschriften, Medienberichte, Fotos) sind daher unbeachtlich.
4.
4.1. Ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Schweizer Bürgern haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Art. 42 Abs. 1 AuG [SR 142.20]). Der Anspruch ist bei Kindern über 12 Jahren innerhalb von zwölf Monaten nach deren Einreise oder der Entstehung des Familienverhältnisses geltend zu machen (Art. 47 Abs. 1 AuG). Bestand das Familienverhältnis - wie hier - bereits vor dem Inkrafttreten des Gesetzes, hat die entsprechende Frist ab dem 1. Januar 2008 zu laufen begonnen (vgl. Art. 126 Abs. 3 AuG).
4.2. Hier wurde das Gesuch unbestrittenermassen nicht fristgerecht eingereicht; in diesen Fällen wird ein "nachträglicher" Familiennachzug bewilligt, wenn "wichtige familiäre Gründe" vorliegen, wobei Kinder über 14 Jahre anzuhören sind, "sofern dies erforderlich" erscheint (Art. 47 Abs. 4 AuG). Entsprechende Gründe liegen unter anderem dann vor, wenn das Kindeswohl schwergewichtig nur durch einen Nachzug in die Schweiz sachgerecht gewahrt werden kann (vgl. Art. 75 VZAE [SR 142.201]). Entgegen dem Wortlaut dieser Verordnungsbestimmung ist dabei nach der Rechtsprechung jedoch nicht ausschliesslich auf das Kindeswohl abzustellen; es bedarf vielmehr einer Gesamtschau unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente im Einzelfall. Dabei ist dem Sinn und Zweck der Fristenregelung Rechnung zu tragen, welche die Integration der Kinder erleichtern will, indem diese durch einen frühzeitigen Nachzug unter anderem auch eine möglichst umfassende Schulbildung in der Schweiz geniessen sollen. Zudem geht es darum, Nachzugsgesuchen entgegenzuwirken, die rechtsmissbräuchlich erst kurz vor Erreichen des erwerbstätigen Alters gestellt werden, wobei die erleichterte Zulassung zur Erwerbstätigkeit und nicht (mehr) die Bildung einer echten Familiengemeinschaft im Vordergrund steht (BBl 2002 3754 f. Ziff. 1.3.7.7). Die Bewilligung des Nachzugs nach Ablauf der Fristen hat nach dem Willen des Gesetzgebers die Ausnahme zu bleiben; dabei ist Art. 47 Abs. 4 Satz 1 AuG jeweils aber dennoch so zu handhaben, dass der Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV nicht verletzt wird (Urteile 2C_765/2011 vom 28. November 2011 E. 2.1; 2C_205/2011 vom 10. Oktober 2011 E. 4.2; 2C_709/2010 vom 25. Februar 2011 E. 5.1.1).
4.3. Wenn die kantonalen Behörden nun einen "nachträglichen" Familiennachzug im Rahmen von Art. 47 Abs. 4 AuG abgelehnt haben, ist dies nicht zu beanstanden: Die beiden heute 17- bzw. 20-jährigen Söhne des Beschwerdeführers haben ihre Sozialisierung und Ausbildung in Pakistan durchlaufen. Der Beschwerdeführer hat sie jahrelang dort bei ihrer Mutter zurückgelassen und damit akzeptiert, die entsprechenden familiären Beziehungen nur besuchsweise und damit eingeschränkt leben zu können. Wie die Vorinstanz richtig erkannt hat, ist hier keine wesentliche Änderung der Verhältnisse im Herkunftsland ersichtlich, wie etwa der Tod oder eine Erkrankung des betreuenden Elternteils oder eine dramatische Verschlechterung der politischen oder Sicherheitslage (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.3). Die Söhne sind sodann bereits in einem Alter, das es ihnen erlaubt, mit der finanziellen Hilfe des Vaters aus der Schweiz, allenfalls unter punktueller Betreuung durch in der Heimat lebende Familienmitglieder oder durch Dritte, selbständig zu leben. Es mutet - wie die Vorinstanz zu Recht festgestellt hat - erstaunlich an, dass sämtliche in Pakistan lebenden Verwandten des Beschwerdeführers nicht in der Lage sein sollen, die beiden Söhne bis zur (nunmehr bereits eingetretenen oder unmittelbar bevorstehenden) Volljährigkeit altersgerecht zu betreuen. Die beiden Söhne haben keinerlei Beziehungen zur Schweiz und sprechen keine Landessprache, weshalb ihnen die Integration in den hiesigen Verhältnissen schwerfallen dürfte. Es sind keine stichhaltigen Gründe ersichtlich, weshalb die Söhne des Beschwerdeführers kurz vor bzw. bereits nach ihrer Volljährigkeit und damit im Wesentlichen mit Blick auf den Zugang zum Arbeitsmarkt noch in die Schweiz sollten nachgezogen werden können, nachdem ihr Vater sich während Jahren nicht hierum bemüht hat, obwohl er über einen entsprechenden Rechtsanspruch verfügte (vgl. Urteile 2C_506/2012 vom 12. Juni 2012 E. 2 und 2C_888/2011 vom 20. Juni 2012 E. 3.2). Unter diesen Umständen ist auch nicht ersichtlich, inwiefern eine Verletzung von Art. 8 EMRK vorliegen soll.
4.4. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich rügt, seine beiden Söhne wären gemäss Art. 47 Abs. 4 Satz 2 AuG anzuhören gewesen, hat die Vorinstanz alles Wesentliche ausgeführt (vgl. angefochtener Entscheid E. 3), worauf verwiesen werden kann (Art. 109 Abs. 3 BGG). Damit liegt hier weder ein Verstoss gegen Art. 6 EMRK noch gegen Art. 29 BV vor.
5.
Im vorliegenden Fall war die Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt angesichts der gefestigten Rechtsprechung aussichtslos, da die Gewinnaussichten der Prozessbegehren von Anfang an beträchtlich geringer waren als die Verlustgefahren. Die Vorinstanz hat das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung daher im Ergebnis zu Recht abgewiesen. Aus demselben Grund ist auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu verweigern (Art. 64 Abs. 1 BGG; BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135 f. mit Hinweisen). Der unterliegende Beschwerdeführer hat für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. August 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Winiger