Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Mit Beschwerde in Strafsachen gemäss Art. 78 ff. BGG kann grundsätzlich jede Rechtsverletzung geltend gemacht werden, die bei der Anwendung von materiellem Strafrecht oder Strafprozessrecht begangen wird (BGE 134 I 36 E. 1.4.3). Dies gilt auch für die Verletzung von Verfassungsrecht (Art. 95 BGG). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist somit ausgeschlossen (Art. 113 BGG). Soweit der Beschwerdeführer dieses Rechtsmittel erheben will, ist die Eingabe als Beschwerde in Strafsachen entgegenzunehmen.
2. Der Beschwerdeführer wendet sich dagegen, dass die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn ein Strafverfahren gegen die Beschwerdegegnerin 2 wegen Betrugs, Urkundenfälschung, Steuerbetrugs und Verleumdung einstellte und die Vorinstanz eine dagegen gerichtete Beschwerde im angefochtenen Entscheid abwies.
Als Geschädigter, der nicht Opfer ist, ist der Beschwerdeführer zur Beschwerde grundsätzlich nicht legitimiert. Er kann nur die Verletzung von Rechten rügen, die ihm als am Verfahren beteiligte Partei nach dem massgebenden Prozessrecht oder unmittelbar aufgrund der BV oder der EMRK zustehen (BGE 136 IV 29). Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache selber getrennt werden können. Denn auf eine solche Prüfung in der Sache haben nicht Legitimierte keinen Anspruch. Sie können sich nicht zum Beispiel auf dem Umweg über die Behauptung einer Verletzung des rechtlichen Gehörs die Beschwerdelegitimation in der Sache selber verschaffen (BGE 120 Ia 101 E. 3B; 119 Ib 205 E. 3).
Der Begründung der Beschwerde ist zu entnehmen, dass alle Vorbringen eine Prüfung der Sache selbst erfordern würden. So macht der Beschwerdeführer zum Beispiel als Rechtsverweigerung geltend, beim Tatbestand der Verleumdung spreche die Vorinstanz zu Unrecht von einer massiv zerrütteten Beziehung. Überhaupt nicht geprüft worden sei der Tatbestand der üblen Nachrede (Beschwerde S. 5/6). Zur angeblichen Verletzung von § 97 Abs. 1 der Strafprozessordnung des Kantons Solothurn führt der Beschwerdeführer aus, es sei nach Judikatur und Praxis bei der Frage der Urkundenqualität der Jahresrechnungen der Beschwerdegegnerin 2 nicht offensichtlich, dass keine Strafnorm verletzt worden sei (Beschwerde S. 8).
Ohne dass sich das Bundesgericht zu allen ähnlichen Vorbringen des Beschwerdeführers ausdrücklich äussern müsste, ist auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
3. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin 2 ist keine Entschädigung auszurichten, weil sie vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn