Faits:
A. A.a Lors d'une délibération du 31 mars 1992, le Conseil municipal de la commune de X._ (ci-après: la commune) a ouvert un crédit de 250'000 fr. en vue de l'aménagement d'une crèche à X._. Le Conseil d'Etat de la République et canton de Genève a approuvé cette délibération par arrêté du 4 mai 1992.
Par lettre du 9 juin 1992, le conseil administratif de la commune de X._ (ci-après: le conseil administratif) a engagé R._ en qualité de directrice de la future crèche. L'association appelée à gérer la crèche n'était pas encore créée et le Service de la Petite Enfance devait donner son approbation à l'engagement. Une prise de fonctions provisoire était proposée à l'intéressée à partir du 10 juin 1992, soit avant l'ouverture de la crèche prévue le 24 août 1992. Dans un premier temps, le traitement horaire brut était de 32 fr. 45. Dès que l'engagement deviendrait définitif, le salaire mensuel et toutes les modalités concernant les charges sociales seraient communiquées à l'intéressée.
A.b L'association initialement prévue par le Conseil administratif pour gérer la crèche n'a jamais vu le jour. En revanche, la commune de X._ a décidé, par délibération du 29 septembre 1992, de créer une fondation de droit privé, la "Fondation Y._", dont le but était de "développer toutes activités de la Commune de X._ en faveur de la jeunesse, notamment par la création de crèches, jardins et garderies d'enfants, colonies de vacances et restaurants scolaires". Cette fondation, constituée le 22 décembre 1992, était chargée de surveiller la gestion de la crèche, laquelle était quant à elle dirigée par R._, avec l'appui du comité de soutien de la crèche.
L'engagement de R._ a fait l'objet de plusieurs discussions entre 1993 et 1995, lors des séances du Conseil de Fondation. Le cahier des charges de la directrice de la crèche, établi lors des séances des 16 janvier et 13 février 1995 et signé par R._ le 30 mars 1995, prévoyait qu'elle était engagée par le Conseil de Fondation et dépendait administrativement du comité de gestion.
A.c Le 12 novembre 1996, le Service de protection de la jeunesse a autorisé R._ à diriger la crèche "V._". Postérieurement à la délivrance de cette autorisation, un contrat de travail d'une durée indéterminée a été conclu entre la crèche, représentée par le conseiller administratif P._, et R._. Dactylographié sur du papier à en-tête de la commune, ce contrat était daté du 1er septembre 1992. P._ a expliqué par la suite que cette date avait été apposée afin de régulariser la situation de R._, dont l'engagement effectif remontait au 9 juin 1992.
A.d Par décision du conseil de fondation du 6 mai 1998, la crèche a été "sortie" du champ d'activités de la fondation et sa gestion a été confiée à un comité de gestion mandaté par le conseil administratif.
A.e Le 27 mars 2001, le Service de protection de la jeunesse a suspendu l'autorisation de diriger la crèche délivrée à R._.
A.f La commune a résilié le contrat de travail de R._ le 26 juin 2002 pour le 30 septembre suivant. R._ a recouru contre son licenciement devant le Tribunal administratif du canton de Genève (procédure A/716/2002). Au cours de cette procédure, elle a été reconnue invalide à 100 % par l'Office cantonal de l'assurance-invalidité, de sorte que le Tribunal administratif a considéré qu'elle n'avait plus d'intérêt actuel à recourir.
B. B.a Le 2 janvier 2008, R._ a déposé devant le Tribunal administratif (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative) une demande en paiement dirigée contre la commune de X._, lui réclamant la somme de 21'000 fr. avec intérêts à 5 % dès le 30 mars 2002 ainsi que diverses sommes représentant le 13ème salaire pour les années 1992 à 2002. Préalablement, elle a conclu à ce qu'il soit constaté que ses rapports de travail avec la commune de X._ soient soumis au droit public. En outre, elle a demandé à ce qu'il soit ordonné à la commune de procéder à son intégration dans la Caisse d'assurance du personnel de la Ville de Genève (CAP), avec effet rétroactif au 10 juin 1992, respectivement de réserver ses droits, dans l'hypothèse où cette intégration n'était pas possible, sur la différence entre les prestations que lui aurait versé la CAP et celles qu'elle touchait de Z._ à laquelle elle avait été affiliée. A l'appui de sa demande, R._ a produit les avis de droit du Professeur A._, du 30 novembre 1999, et de Maîtres M._ et S._, du 14 février 2001, relatif au statut des crèches dans la commune de X._, un rapport d'audit financier de la crèche "V._", du 7 novembre 2001, ainsi qu'un rapport du 20 décembre 2002 relatif à la crèche adressé au Conseil d'Etat par l'inspection cantonale des finances.
La commune s'est opposée à la demande. Les parties ont répliqué et dupliqué.
B.b Le 5 mai 2008, les parties ont été informées que l'apport de la procédure A/716/2002 avait été ordonné par le tribunal.
La juridiction cantonale a entendu R._ et G._, secrétaire général de la commune de X._, en audience de comparution personnelle le 25 septembre 2008. Elle a en outre tenu une audience d'enquêtes en présence des parties, au cours de laquelle elle a entendu P._ (le 22 janvier 2009).
Le 27 février 2009, la commune a produit les procès-verbaux des séances du Conseil administratif du 1er novembre 1996 au 30 juin 1997, conformément à ce qui avait été décidé lors de l'audience d'enquêtes. Etant donné les nombreuses informations étrangères à la procédure qui n'avaient pas à être portées à la connaissance de R._, elle sollicitait que seuls certains extraits soient mis à la disposition de cette dernière. Par ailleurs, elle requérait l'audition de J._ et C._, conseillers administratifs de la commune à l'époque des faits. Le 8 décembre 2009, le tribunal a informé R._ qu'après examen des procès-verbaux précités, seuls les extraits mentionnant la crèche seraient versés au dossier.
Après avoir donné aux parties la possibilité de se déterminer sur les compte-rendus d'audience et d'enquêtes, le Tribunal administratif a déclaré irrecevable la demande déposée par R._, par arrêt du 1er juin 2010, au motif que ses rapports de travail avec la commune étaient soumis au droit privé.
C. R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Sous suite de dépens, elle conclut à ce qu'il soit constaté que ses rapports de travail avec la commune de X._ étaient soumis au droit public et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur ses prétentions pécuniaires.
La commune de X._ a conclu principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (art. 29 al. 1 LTF; ATF 136 I 42 consid. 1 p. 43; 135 III 329 consid. 1 p. 331).
1.1 Selon l'art. 82 let. a LTF, le Tribunal fédéral connaît des recours contre les décisions rendues dans des causes de droit public. D'après la jurisprudence, la question de savoir si l'on se trouve en présence d'une contestation relevant du droit civil ou du droit public se détermine d'après l'objet du litige. Il est décisif sous cet angle de déterminer si les parties, à considérer leurs allégués, moyens et conclusions, ont élevé des prétentions fondées sur le droit civil ou le droit public et si de telles prétentions sont objectivement litigieuses (ATF 120 II 412 consid. 1b p. 414). Le Tribunal administratif a considéré que les prétentions de la recourante - demanderesse en instance cantonale - étaient fondées sur le droit privé, raison pour laquelle il a nié sa compétence à raison de la matière pour connaître du litige au fond, ce que conteste la recourante. Dans la mesure où elle demandait qu'il fût constaté que ses rapports de travail avec la commune de X._ fussent soumis au droit public, le litige relève, sur le fond, de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. La recourante ayant également conclu au versement, par l'intimée, d'une somme d'argent de plusieurs dizaines de milliers de francs, il y a lieu de considérer qu'il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La valeur litigieuse dépasse en outre largement le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF).
1.2 Pour le reste, interjeté par une partie directement touchée par la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), le recours est dirigé contre une décision finale d'irrecevabilité prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 lettre d et al. 2 et 90 LTF). Déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, il est en principe recevable.
2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Aux termes de cet alinéa, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. En ces matières, l'acte de recours doit, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits ou principes constitutionnels violés et préciser en quoi consiste la violation (ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397).
3. 3.1 La recourante soutient pour l'essentiel que le Tribunal administratif a conclu de manière arbitraire que ses rapports de travail avec la commune de X._ étaient soumis au droit privé. A l'appui de son argumentation, elle fait valoir que selon les statuts du personnel communal de la commune de X._ (ci-après: statuts), le conseil administratif ne pouvait engager sur la base d'un contrat de droit privé que des employés en qualité d'auxiliaires pour une durée indéterminée, en vue d'exercer une fonction permanente, et des employés en qualité de temporaires pour une durée limitée, en vue de travaux particuliers ou saisonniers (cf. art. 2 des statuts). Dès lors qu'elle avait exercé la fonction de cadre supérieur de manière indépendante pendant plus de onze ans, elle ne pouvait pas avoir été engagée sur la base du droit privé. Le fait qu'elle n'avait pas la nationalité suisse au moment de son engagement n'était pas déterminant puisque l'art. 5 § 2 des statuts permettait exceptionnellement au conseil administratif de conférer la qualité de fonctionnaire à une personne de nationalité étrangère. La recourante prétend par ailleurs qu'elle n'avait jamais été informée qu'elle était employée par la fondation ou par la commune sous contrat de droit privé, son contrat prévoyant l'application des statuts. Enfin, et à supposer que le Tribunal fédéral ne retienne pas l'arbitraire de la décision attaquée en ce qui concerne ses rapports de travail entre 1992 et 1998, il est indéniable que le 6 mai 1998 au plus tard, lorsque la crèche a été sortie du champ d'activités de la fondation et confiée à un comité de gestion, lui-même soumis au conseil administratif, la recourante ait été employée par la commune.
3.2 Une décision est arbitraire, donc contraire à l'art. 9 Cst., lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.).
4. On peut se demander si, comme l'affirme l'intimée, l'argumentation de la recourante satisfait aux exigences de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF. Cette question peut toutefois rester indécise car le recours est de toute façon mal fondé.
4. On peut se demander si, comme l'affirme l'intimée, l'argumentation de la recourante satisfait aux exigences de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF. Cette question peut toutefois rester indécise car le recours est de toute façon mal fondé.
4.1 4.1.1 La recourante a été engagée par la commune en qualité de directrice de la crèche le 9 juin 1992. Cependant, il est constant qu'il s'agissait d'une prise de fonction à titre provisoire dans l'attente de la création de la crèche. La situation de la directrice devait être régularisée lors de la constitution de l'association appelée à gérer l'institution et de l'obtention de l'approbation du SPJ. Dès lors que cet engagement avait un caractère limité dans le temps et que la recourante n'avait pas encore acquis la nationalité suisse, les premiers juges pouvaient donc, sans arbitraire, conclure que l'intéressée ne remplissait pas les conditions pour être engagée sous contrat de droit public (cf. art. 1 § 2 et 5 § 1 des statuts). Quant à l'art. 5 § 2 des statuts, invoqué par la recourante, il ne lui est d'aucun secours puisqu'à aucun moment elle n'a été nommée en qualité de fonctionnaire pour exercer une fonction permanente au service de la commune, comme le requiert l'art. 1 § 2 des statuts. La recourante ne démontre pas non plus avoir reçu de la commune de X._ une quelconque assurance quant à une nomination comme fonctionnaire. Quant à l'acquisition de la nationalité suisse en 1999, elle n'a pas eu pour effet de soumettre automatiquement la recourante au droit public.
4.1.2 Après l'obtention de l'autorisation du SPJ en 1996, un contrat de travail, antidaté au 1er septembre 1992, a été conclu entre la recourante et la crèche. Que le contrat ait été signé par le conseiller administratif P._ en tant que représentant de la crèche, sur du papier à en-tête de la commune, ne suffit pas à démontrer que la recourante était employée par la commune. Il ressort en effet de l'avis de droit du 14 février 2001 que les employés de la crèche ont été engagés par des contrats de travail conclus sous diverses formes, parfois au nom de la crèche représentée par le conseiller administratif ou sous l'indication "Commune de X._", parfois au nom de la fondation et parfois au nom de la crèche, sans autre référence à la commune que l'écusson municipal. Dans la présente cause, les conditions d'engagement de la recourante ont été réglées de manière quasi-exhaustive par le contrat de travail précité. Or, ces conditions différaient de celles prévues par les statuts du personnel communal, notamment en ce qui concerne la résiliation des rapports de travail. La recourante n'a pas non plus été colloquée dans une classe de traitement de la fonction publique. Le contrat ne renvoyait par ailleurs pas aux statuts, contrairement à ce que prétend la recourante, mais déclarait applicable, pour le surplus, le cahier des charges de la fonction, le code des obligations du personnel de la petite enfance, ainsi que le règlement interne et le projet pédagogique de l'institution. Ce contrat de droit privé trouvait du reste sa justification dans le fait que la recourante était engagée par une fondation de droit privé, comme cela ressort du cahier des charges de la fonction (cf. art. 2), signé par la recourante le 30 mars 1995. Compte tenu de ce qui précède, et en dépit du fait que la recourante ait pu faire une certaine confusion dans le statut de la crèche, notamment parce que P._ n'avait pas clairement marqué la différence entre son rôle de conseiller administratif et celui de président de la fondation, il n'est pas arbitraire de considérer que durant la période où la crèche était gérée par la fondation, les rapports de travail de la recourante étaient soumis au droit privé.
4.2 Pour la période postérieure au 6 mai 1998, les premiers juges ont constaté que la crèche avait été sortie du champ d'activités de la fondation et confiée à un comité de gestion, dont le règlement adopté par le conseil administratif prévoit que celui-ci nomme les membres du comité et exerce une surveillance sur l'activité déployée. S'il est vrai que cela a eu pour conséquence une intervention plus directe du conseil administratif dans la gestion de la crèche qu'auparavant, la recourante est cependant restée soumise au même contrat de travail, la commune n'ayant procédé à aucune modification de ce dernier. On peut se demander si, à ce stade, la commune n'aurait pas dû soumettre la recourante au statut de fonctionnaire. La question peut demeurer indécise. La recourante ne cite en effet aucune disposition légale qui lui permettrait d'obtenir rétroactivement un changement de statut, de surcroît plusieurs années après la cessation de ses rapports de service. Dès lors, c'est sans arbitraire que le Tribunal administratif a considéré que les rapports de travail de la recourante étaient soumis au droit privé après le 6 mai 1998 également. Il pouvait par conséquent se déclarer incompétent pour se prononcer sur le bien-fondé de l'action en paiement intentée par la recourante à l'encontre de la commune de X._.
5. Mal fondé, le recours doit être rejeté. Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF). Bien qu'elle obtienne gain de cause, la commune n'a pas non plus droit aux dépens qu'elle prétend (ATF 134 II 117 consid. 7 p. 118).
Le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lucerne, le 14 juillet 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung Fretz Perrin