Faits:
A. Par jugement du 9 octobre 2008, le Tribunal de première instance de Genève a, notamment, dissous par le divorce le mariage contracté le 22 juin 1996 par les époux X._ (ch. 1), attribué à la mère l'autorité parentale et la garde des enfants A._, née en 1991, et B._, née en 1999 (ch. 2), et réservé au père un très large droit de visite s'exerçant, sauf accord contraire entre les parents, à raison de deux soirs par semaine les mardis et jeudis, d'un week-end sur deux du vendredi soir au lundi matin et de la moitié des vacances scolaires (ch. 3).
La mère a appelé de ce jugement, sollicitant, entre autres chefs de conclusions, que le droit de visite du père se limite à un week-end sur deux, du vendredi à 18 heures au dimanche à 18 heures, aux jeudis soirs et à la moitié des vacances scolaires.
Par arrêt du 20 mars 2009, la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement querellé s'agissant des modalités du droit de visite. Dans ses considérants, l'autorité cantonale a observé ce qui suit:
« (...) Les arguments avancés par l'appelante à l'appui de ses conclusions ne sont pas convaincants dans la mesure où le SPMi, service spécialisé dans la prise en charge de l'enfant et dont elle ne conteste pas le rapport, a relevé le besoin des enfants de voir leur père pendant la semaine en sus des modalités usuelles d'un week-end sur deux et la moitié des vacances scolaires. La situation scolaire de A._, qui a été préoccupante puisqu'elle a redoublé sa première année au Collège et arrivait en retard ou manquait les cours le mercredi matin, s'est améliorée - de l'avis conjoint des parties et du SPMi - puisque la jeune fille, suivie par le SPMi, se concentre désormais davantage sur son travail scolaire. Au demeurant, A._ est sur le point d'accéder à la majorité (le 19 mai 2009) et pourra décider librement de la fréquence de ses relations avec son père. Rien ne s'oppose en conséquence à la confirmation des modalités du droit de visite prévues par le premier juge entre la jeune fille et l'intimé.
Les modalités du droit de visite entre B._ et son père peuvent également être confirmées. En effet, le SPMi n'a pas indiqué de motifs qui s'opposeraient à ce que B._ voie son père selon les mêmes modalités que A._, relevant au contraire qu'elle ne semblait pas perturbée par la fréquence des passages entre ses parents.
L'appelante relève certes, en appel, qu'il est mauvais pour l'enfant, âgée de 9 ans, d'aller se coucher au-delà de 20h. Elle n'établit toutefois pas que l'intimé ne la ramènerait pas en temps utile, la proximité de leurs domiciles (1 km) lui permettant aisément de respecter le besoin avéré de repos de B._. Rien ne s'oppose donc à ce que B._ rencontre son père également le mardi soir. Pour le surplus, les parties restent libres de convenir de modalités plus étendues, notamment en prévoyant que B._ dorme chez l'intimé le mardi soir et qu'il l'emmène à ses activités parascolaires du mercredi matin, ce qu'elles semblent avoir déjà mis en place à la suite du prononcé du jugement entrepris (...) ».
B. Le 27 avril 2009, le père a formé une demande en interprétation de l'arrêt du 20 mars 2009 en tant qu'il confirmait le chiffre 3 du jugement de première instance, considérant que la notion de «soir» était ambiguë. Selon lui, cela impliquait que B._ passât la nuit des soirs en question à son domicile, soit les nuits des mardis et jeudis.
Dans sa réponse du 29 mai 2009, la mère a conclu à l'irrecevabilité de la demande, subsidiairement à son rejet, considérant que l'arrêt de la Cour de justice ne présentait aucune ambiguïté et que le soir n'incluait pas la nuit.
Statuant le 3 septembre 2009, la Cour de justice a rejeté la demande d'interprétation et débouté les parties de toutes autres conclusions. Selon cette autorité, la motivation de l'arrêt du 20 mars 2009 signifiait sans ambiguïté que la nuit n'était pas incluse dans le droit de visite des mardis et jeudis, la possibilité étant toutefois laissée aux parties d'en convenir autrement.
C. Le père exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 3 septembre 2009. Il conclut à l'annulation de celui-ci et à ce qu'il soit dit que son droit de visite des mardis et jeudis inclut la nuit. Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimée n'a pas été invitée à répondre.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision attaquée est une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF) dans une contestation de nature non pécuniaire. Le recours a en outre été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Le recourant a qualité pour recourir car il a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF).
1.2 Vu l'objet de l'arrêt attaqué, le seul grief concevable est celui d'une application contraire au droit fédéral - y compris le droit constitutionnel fédéral (art. 95 let. a LTF; cf. ATF 133 II 249 consid. 1.2.1 p. 252; 133 III 446 consid. 3.1 p. 447) - des normes pertinentes pour l'interprétation d'une décision cantonale. En d'autres termes, une partie à la procédure peut en pareil cas se plaindre devant le Tribunal fédéral d'une violation des garanties formelles du droit constitutionnel fédéral (par exemple du droit d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst.) ou d'une application arbitraire (art. 9 Cst.) du droit cantonal concernant l'interprétation des jugements. S'agissant des griefs de violation des droits fondamentaux, l'art. 106 al. 2 LTF prévoit des exigences de motivation qualifiées. Le Tribunal fédéral, qui n'est pas une juridiction d'appel, n'examine pas d'office si la décision attaquée retient les faits pertinents ni si elle est conforme aux règles de droit applicables; il incombe au recourant d'expliquer de manière claire et précise en quoi cette décision pourrait être contraire aux garanties de la Constitution (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397, 439 consid. 3.2 p. 444 et les références citées).
2. Dans un premier grief, le recourant se réfère certes à un prétendu établissement manifestement inexact des faits, au sens de l'art. 97 al. 1 LTF. Il découle toutefois de son argumentation qu'il fonde en réalité son recours sur la violation arbitraire des règles du droit cantonal en matière d'interprétation. En effet, invoquant un rapport du Service de protection des mineurs (SPMi) du 27 mai 2008, une convention des parties du 1er janvier 2002, un message électronique de l'intimée du 20 octobre 2008 et le mémoire d'appel de celle-ci du 10 novembre 2008, il soutient que la Cour de justice s'est mise en contradiction évidente avec les pièces du dossier, en estimant que l'arrêt sur appel du 20 mars 2009 ne contenait aucune ambiguïté et que la notion de «soir» n'incluait pas la nuit.
2.1 L'arrêt attaqué considère que, selon l'art. 153 LPC/GE, il y a lieu à interprétation d'un jugement si le dispositif contient ambiguïté ou obscurité dans les expressions ou dans les dispositions. La jurisprudence cantonale a étendu les cas d'interprétation à ceux dans lesquels l'obscurité ou l'ambiguïté se trouve bien dans le dispositif, mais ne se révèle qu'à la lecture de la motivation (SJ 2000 I 315). L'interprétation ne doit pas permettre à la partie recourante d'obtenir, à la manière d'un appel déguisé, la modification de la décision attaquée; le juge doit ainsi donner les éclaircissements propres à dissiper le manque de clarté de la décision sans changer le fond du jugement (BERTOSSA/GAILLARD/GUYET/SCHMIDT, Commentaire de la loi de procédure civile genevoise, vol. II, n. 4 ad art. 153 LPC/GE). En l'occurrence, l'arrêt du 20 mars 2009, faisant l'objet d'une demande d'interprétation, indiquait ce qui suit:
«L'appelante relève certes, en appel, qu'il est mauvais pour l'enfant, âgée de 9 ans, d'aller se coucher au-delà de 20h. Elle n'établit toutefois pas que l'intimé ne la ramènerait pas en temps utile, la proximité de leurs domiciles (1 km) lui permettant aisément de respecter le besoin avéré de repos de B._. Rien ne s'oppose donc à ce que B._ rencontre son père également le mardi soir. Pour le surplus, les parties restent libres de convenir de modalités plus étendues, notamment en prévoyant que B._ dorme chez l'intimé le mardi soir et qu'il l'emmène à ses activités parascolaires du mercredi matin, ce qu'elles semblent avoir déjà mis en place à la suite du prononcé du jugement entrepris».
Il résultait ainsi clairement de cette motivation que l'arrêt sur appel, du 20 mars 2009, ne contenait aucune ambiguïté et que la nuit n'était pas incluse dans le droit de visite des mardis et jeudis, la possibilité étant toutefois laissée aux parties d'en convenir autrement, selon l'évolution des circonstances.
2.2 Le recourant ne conteste pas que, saisie d'une demande en interprétation, la Cour de justice devait se borner à examiner si le dispositif de la décision concernée se révélait ambigu ou obscur, le cas échéant à la lecture de la motivation de la décision. Il ne critique pas non plus les constatations de l'autorité cantonale, en particulier les passages de l'arrêt du 20 mars 2009 reproduits dans l'arrêt attaqué. Il reproche en revanche aux juges précédents d'avoir omis de prendre en considération certaines pièces du dossier pour forger son opinion quant à l'interprétation du mot «soir». Dans cette mesure, il n'avance aucun argument tendant à faire admettre que l'autorité cantonale aurait enfreint les règles pertinentes en matière d'interprétation; il n'indique du reste pas quelle disposition cantonale aurait été à cet égard violée.
Pour le surplus, son argumentation ne permet pas de retenir que la Cour de justice aurait, à la suite d'une appréciation arbitraire des faits, retenu à tort que le mot «soir» ne voulait pas dire «nuit» s'agissant du droit de visite des mardis et jeudis.
A cet égard, il convient d'abord de relever que sa fille aînée étant devenue majeure le 19 mai 2009, le recourant n'a plus d'intérêt à faire interpréter les modalités du droit de visite à l'égard de celle-ci. Il en découle que la situation doit être examinée uniquement en relation avec sa fille cadette, les considérations relatives à la manière dont le droit de visite s'est exercé envers l'aînée n'étant a priori pas déterminantes.
En outre, les pièces qu'il invoque à l'appui de son grief ne sont pas concluantes. S'il résulte de l'extrait du rapport du SPMi du 27 mai 2008 cité par le recourant que la mère avait, à l'époque, accepté que l'aînée, voire la cadette, dorment parfois en semaine chez leur père, on ne saurait en déduire que les parties entendaient ainsi se conformer à la réglementation du droit de visite relatives aux mardis et jeudis «soirs». Le passage en question signifie bien plutôt qu'elles étaient convenues d'étendre dans les faits le droit de visite minimal garanti au recourant par le jugement de divorce, dont le libellé est à cet égard le suivant: «réserve [au père] un très large droit de visite lequel s'exercera, 'sauf accord contraire entre les parents', à raison de deux soirs par semaine les mardis et jeudis [...].» L'acceptation antérieure de la mère d'un droit de visite plus large que celui fixé judiciairement ne contredit donc pas de manière insoutenable les constatations de fait de l'arrêt attaqué.
L'allégation du recourant, selon laquelle la convention conclue entre les parties en janvier 2002 prévoyait que les enfants dorment un soir par semaine chez leur père, n'est pas non plus décisive: outre que cet accord est antérieur au jugement de divorce, rendu le 9 octobre 2008, il se limite également à traduire l'entente qui existait alors entre les parents concernant les modalités du droit de visite, sans démontrer d'arbitraire dans l'établissement des faits.
Il en va de même du message électronique de la mère du 20 octobre 2008, demandant au père de l'informer des modalités de prise en charge de la cadette le mardi, son cours de piano du mercredi matin commençant à 10 h. 15 précises, dès lors qu'il en ressort seulement que la mère était apparemment d'accord pour que l'enfant dorme cette nuit-là chez son père.
Enfin, il importe peu que la mère, dans son écriture d'appel, ait mentionné que l'exercice du droit de visite sur l'aînée le mardi soir entraînait des arrivées tardives de celle-ci le mercredi matin, cette allégation, qui ne concerne du reste pas la cadette, ne contenant aucune indication relative à la réglementation prévue en cas de désaccord des parties.
3. Le recourant se plaint en outre d'une violation de l'art. 133 al. 2 CC, qui prévoit que lorsqu'il attribue l'autorité parentale et règle les relations personnelles, le juge tient compte de toutes les circonstances importantes pour le bien de l'enfant.
Cette disposition ne régit pas la question de l'interprétation des jugements. Au demeurant, la voie de la demande d'interprétation ne permet pas de provoquer une discussion d'ensemble sur une décision entrée en force, concernant, par exemple, sa conformité au droit ou sa pertinence. Dès lors qu'il n'appartenait pas à l'autorité cantonale de revoir le bien-fondé de la réglementation du droit de visite, mais uniquement de donner, en application de l'art. 153 LPC/GE, les éclaircissements propres à dissiper le manque de clarté éventuel du chiffre du dispositif en cause (cf. supra, consid. 2.1), le grief est irrecevable.
4. Il résulte de ce qui précède que le recours ne peut qu'être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Ses conclusions étant apparues d'emblée vouées à l'échec, la demande d'assistance judiciaire sera rejetée (art. 64 al. 1 LTF) et le recourant condamné aux frais (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à répondre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 2 février 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot