Fatti:
A. Con messaggio dell'11 febbraio 2008 il Municipio di Bellinzona ha sottoposto al Consiglio comunale la richiesta di approvazione del progetto definitivo, della relazione tecnica e del preventivo di spesa per la costruzione di una nuova casa per anziani, con relativo credito di fr. 21'400'000.-- e un credito aggiuntivo di fr. 200'000.-- per l'acquisto di beni mobili. Il messaggio è stato esaminato da due commissioni del legislativo comunale. La commissione edilizia, che ha aderito alla proposta municipale, e la commissione della gestione, che ha preavvisato favorevolmente l'accoglimento del messaggio e proposto due emendamenti: la riduzione del credito di costruzione a fr. 20'395'000.-- e l'approvazione di un credito supplementare di fr. 494'000.--, tendente all'ottenimento della certificazione dell'opera secondo il cosiddetto standard Minergie. Preso atto dei due emendamenti, il Municipio si è riconfermato nella sua proposta originaria.
B. Nella seduta del 9 aprile 2008 il Consiglio comunale, respinta una proposta volta al rinvio della trattanda, ha approvato il messaggio municipale con i menzionati emendamenti. Contro questa risoluzione A.A._ e B.A._, C.C._ e D.C._, nonché E.C._ e F.C._ sono insorti al Consiglio di Stato, facendo valere che il legislativo comunale, approvando gli emendamenti proposti dalla commissione della gestione, avrebbe apportato una modifica sostanziale e non solo marginale al progetto: l'oggetto della deliberazione, mancando anche l'approvazione del Municipio, avrebbe dovuto essere rinviato all'Esecutivo comunale affinché licenziasse un nuovo messaggio. Con decisione del 24 giugno 2008, il Governo cantonale, ritenute marginali le citate modifiche, ha respinto il ricorso. Adito dagli insorgenti, con giudizio del 18 dicembre 2008, anche il Tribunale cantonale amministrativo ne ha respinto il gravame.
C. Avverso questa sentenza A.A._ e B.A._, C.C._ e D.C._, come pure E.C._ e F.C._ presentano un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Chiedono di concedere l'effetto sospensivo al gravame, di annullare la decisione impugnata e di rinviare gli atti alla Corte cantonale per nuovo giudizio, subordinatamente di riformarla nel senso che gli oggetti emendati dal Consiglio comunale siano rinviati al Municipio di Bellinzona, ai fini del licenziamento di un nuovo messaggio.
Non sono state chieste osservazioni al gravame.
Diritto:
1. 1.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio se e in che misura un ricorso può essere esaminato nel merito (DTF 133 II 400 consid. 2).
1.2 Riguardo all'ammissibilità del rimedio esperito, i ricorrenti si limitano a rilevare ch'esso si fonda sugli art. 95 e 97 LTF e che si è in presenza di una decisione dell'autorità cantonale di ultima istanza (art. 86 cpv. 1 lett. d LTF). Circa la loro legittimazione rilevano d'essere destinatari della decisione impugnata e di avere un interesse degno di protezione pratico, concreto e attuale - tuttavia per nulla precisato - all'annullamento del criticato giudizio, in quanto cittadini di Bellinzona e confinanti diretti della progettata struttura che verrà edificata dinanzi alle loro abitazioni e per la quale occorre dunque una "procedura perlomeno corretta e non inficiata da vizi". Vista la riduzione del credito di un milione, essi si chiedono inoltre se l'opera sia veramente fattibile, poiché dopo il postulato rinvio non si potrebbe escludere la reiezione del progetto. Con questi semplici accenni i ricorrenti disattendono chiaramente il loro obbligo di dimostrare la loro legittimazione (DTF 133 II 400 consid. 2).
1.3 In effetti, rilevando semplicemente di ricorrere quali cittadini di Bellinzona, essi parrebbero avvalersi, implicitamente, della possibilità di presentare un ricorso in materia di diritto pubblico contro decisioni concernenti il diritto di voto dei cittadini nonché contro le votazioni popolari secondo l'art. 82 lett. c LTF, norma da loro nemmeno invocata. L'oggetto del litigio non concerne infatti il rilascio di una licenza edilizia, ma le competenze del Municipio e del Legislativo comunale a esprimersi su proposte di emendamenti.
1.3.1 Il gravame è infatti incentrato sull'asserita violazione dell'art. 13 lett. g della legge organica comunale del 10 marzo 1987 (LOC), secondo cui il Consiglio comunale (che in concreto esercita gli attributi dell'assemblea comunale in virtù dell'art. 42 cpv. 2 LOC) decide l'esecuzione delle opere pubbliche sulla base di preventivi e di progetti definitivi e accorda i crediti necessari. Criticata è pure l'applicazione dell'art. 38 LOC, secondo il quale nessuna proposta di emendamento può essere esaminata dall'assemblea senza il preavviso municipale (cpv. 1): è tuttavia possibile presentare proposte di emendamento relative a un oggetto all'ordine del giorno, le proposte marginali potendo essere decise seduta stante e quelle sostanziali, se contenute in un rapporto di una commissione del consiglio incaricata dell'esame del messaggio municipale, soltanto se condivise dal Municipio. Negli altri casi l'oggetto dev'essere rinviato in Municipio, affinché licenzi un messaggio in merito nel termine di sei mesi (cpv. 2).
1.3.2 I ricorrenti sostengono che gli emendamenti formulati dalla commissione della gestione costituirebbero proposte a carattere sostanziale, per cui, se approvate dal Consiglio comunale, comportano il rinvio dell'oggetto al Municipio. Inoltre, il credito supplementare di circa mezzo milione per la certificazione secondo lo standard Minergie costituirebbe, al loro dire, una proposta nuova, da approfondire da parte del Municipio chiamato a realizzare l'identico progetto con un milione in meno. Un oggetto non approfondito non potrebbe quindi essere posto in votazione sulla base dell'art. 13 cpv. 1 lett. g LOC. Decisiva sarebbe la circostanza che il progetto segua questa procedura in maniera corretta, visto che in seguito al postulato rinvio non si potrebbe escludere ch'esso non venga più approvato.
1.3.3 È tuttavia manifesto che i ricorrenti non possono prevalersi della loro qualità di cittadini per impugnare l'approvazione, con i criticati emendamenti, del progetto in esame. La decisione infatti non è stata presa dall'Assemblea comunale, alla quale avrebbero potuto partecipare quali cittadini (art. 11 LOC), ma dal Consiglio comunale.
Ora, secondo la costante giurisprudenza, con la quale i ricorrenti non si confrontano del tutto, nell'ambito di votazioni indirette, vale a dire che si svolgono in seno a un organo rappresentativo come può essere un parlamento cantonale o un consiglio comunale, il diritto di voto dei cittadini non può essere violato. Il ricorso per violazione del diritto di voto non è dato nemmeno per contestare la maniera con la quale un organo rappresentativo approva i rapporti di determinate commissioni (DTF 123 I 41 consid. 6b; 112 Ia 174 consid. 2; 131 I 366 consid. 2.1; sentenze 1P.31/2004 del 17 marzo 2005 consid. 1.6.2 e 1P.248/2005 del 27 aprile 2005 consid. 2.3.2 in RtiD 2005 II n. 33 pag. 170 rispettivamente n. 34 pag. 175). Questa prassi è applicabile anche sotto l'egida della LTF, ritenuto che in materia di diritti politici la facoltà di ricorrere spetta a chiunque abbia diritto di voto nell'affare in causa (art. 89 cpv. 3 LTF); detta condizione non è tuttavia adempiuta dai ricorrenti, visto che non si tratta dell'esercizio diretto dei loro diritti politici (STEINMANN, in Bundesgerichtsgesetz (BGG), 2007, n. 82 all'art. 82). In tale ambito giova pure rilevare che i ricorrenti, riguardo alla contestata risoluzione del Consiglio comunale, non fanno valere una lesione del diritto di referendum (art. 75 cpv. 1 LOC). Infine, pure un'eventuale censura riferita alla separazione dei poteri, principio non invocato dai ricorrenti, sarebbe inammissibile per carenza di legittimazione (art. 42 cpv. 2 LPT).
2. 2.1 Sempre riguardo alla legittimazione a ricorrere, gli insorgenti rilevano d'essere confinanti della progettata struttura: sottolineano tuttavia, che i criticati emendamenti non comportano una modifica del progetto nei suoi contenuti, essendo stata modificata soltanto la proposta del Municipio riguardo al preventivo di spesa.
2.2 Certo, sotto il profilo del diritto pianificatorio ed edilizio, i vicini sono di massima legittimati a presentare un ricorso in materia di diritto pubblico (art. 82 segg. LTF; DTF 133 II 409 consid. 1.1).
2.3 Un siffatto gravame sarebbe comunque prematuro, ritenuto che in concreto non è stata ancora rilasciata alcuna licenza edilizia. Inoltre, poiché i ricorrenti nemmeno sostengono che il criticato progetto disattenderebbe determinate norme del diritto pianificatorio o edilizio, un ricorso sarebbe inammissibile per manifesta carenza di motivazione (DTF 133 II 249 consid. 1.4.1).
2.3.1 Per di più, il semplice assunto d'essere toccato dal rilascio di una licenza edilizia non è di massima sufficiente per fondare la legittimazione a ricorrere. Deve piuttosto risultare verosimile che sulla base delle circostanze concrete l'interessato, che ha partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore (art. 89 cpv. 1 lett. a), sia particolarmente toccato dalla decisione impugnata (lett. b) e abbia un interesse degno di protezione al suo annullamento o alla sua modifica (lett. c): ciò allo scopo di escludere un'inammissibile azione popolare (DTF 133 II 249 consid. 1.3.1, 468 consid. 1).
2.3.2 Invero, in concreto parrebbe sussistere un legame spaziale sufficientemente stretto con l'oggetto del litigio, ma i ricorrenti né sostengono di avere in relazione al progetto edilizio un interesse personale che si distingua dall'interesse generale degli altri membri della collettività né di avere un vantaggio pratico all'annullamento dell'impugnato giudizio (sull'obbligo di dimostrare la legittimazione quali vicini vedi DTF 133 II 353 consid. 1, 3 e 3.1, 400 consid 2.2, 409 consid. 1.3; sentenza 1C_457/2007 del 27 gennaio 2009 consid. 1.3).
2.3.3 I ricorrenti non si esprimono del tutto su questa questione, adducendo semplicemente il loro desiderio di una procedura giusta e corretta. Essi non indicano alcun vantaggio pratico e attuale all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata. Certo, un eventuale annullamento potrebbe comportare un ritardo nell'approvazione del progetto edilizio in esame e quindi, se del caso, una realizzazione più tardiva della casa per anziani o addirittura il suo abbandono. Tuttavia, limitandosi a rilevare l'asserito mancato rispetto delle competenze degli organi comunali, i ricorrenti accennano soltanto all'esigenza di una corretta applicazione del diritto, unico scopo perseguito con il gravame, volto a tutelare le prerogative delle autorità comunali. Ora, il ricorso di cittadini tendente a perseguire unicamente l'interesse generale all'applicazione corretta del diritto, o inoltrato nell'interesse di terzi, è inammissibile (DTF 133 II 468 consid. 1). Né i ricorrenti fanno valere una violazione dei loro diritti di parte costitutiva di un diniego di giustizia formale (DTF 133 II 249 consid. 1.3.2).
3. 3.1 Ne segue, che il ricorso è inammissibile. Le spese seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF).
3.2 L'emanazione del presente giudizio rende priva di oggetto la domanda di effetto sospensivo.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è inammissibile.
2. Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico dei ricorrenti.
3. Comunicazione al patrocinatore dei ricorrenti, al Municipio e al Consiglio comunale di Bellinzona, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.