Faits:
A. Dans la nuit du 1er au 2 juillet 2002, deux avions commerciaux, à savoir un Tupolev TU154M de Bashkirian Airlines qui reliait Moscou à Barcelone (vol BTC2937) et un Boeing B757-200PF de la compagnie DHL (vol DHX611), lequel reliait Bahrein à Bruxelles via Bergame, sont entrés en collision au-dessus d'Überlingen (Allemagne), près du Lac de Constance. Les septante et une personnes, passagers et membres d'équipage, qui se trouvaient à bord des appareils ont perdu la vie. Le contrôle du trafic aérien sur la portion du territoire du sud de l'Allemagne où les deux avions se trouvaient lors de la collision incombait à la société Skyguide, Société Anonyme Suisse pour les Services de la Navigation Aérienne civils et militaires (ci-après: Skyguide). Parmi les passagers du vol de Bashkirian Airlines, décédés lors de cette collision, se trouvaient B.X._, C.X._ et D.X._, nés respectivement le *** 1964, le *** 1987 et le *** 1989.
Par requête unique et conjointe du 19 mai 2005, cent vingt-trois proches de passagers du Tupolev, victimes du crash aérien, se sont adressés à Skyguide afin d'être dédommagés. Parmi ceux-ci figuraient plusieurs membres de la famille des victimes précitées, à savoir leur époux et père, leurs parents et grands-parents, la grand-mère de C.X._ et de D.X._, le demi-frère des prénommés, issu d'un précédent mariage de A.X._, ainsi que les frère et soeur de B.X._. Leur époux et père, A.X._, qui seul est encore partie à la procédure devant le Tribunal de céans, a conclu au versement de 820'785 fr. 60 à titre de réparation du dommage - consistant en la perte de soutien et les frais, dont ceux d'inhumation, de voyage et d'autres coûts - et du tort moral subi, avec intérêts à 5% à compter du 1er juillet 2002. Il a en outre conclu à ce que les décisions de Skyguide soient rendues sans frais et à l'octroi d'une "équitable indemnité" valant participation aux honoraires de son conseil.
Par décision incidente du 26 juillet 2005, Skyguide a disjoint les procédures relatives aux cent vingt-trois demandes.
Le 31 mars 2006, les requérants ont sollicité le versement à chacun d'un montant complémentaire de 1'000 fr., à titre d'indemnité pour les frais résultant de la procédure (frais de traduction, de légalisation et d'apostille, de port, etc.).
Par décision du 11 décembre 2006, Skyguide a octroyé à A.X._, à titre de réparation du tort moral, une somme de 120'000 fr. avec intérêts à 5 % l'an depuis le 1er juillet 2002. En sus, Skyguide lui a accordé un montant de 1'000 fr. à titre de dommages-intérêts, avec intérêts à 5 % l'an depuis le 31 mars 2006. Skyguide a rejeté sa requête pour le surplus, en particulier s'agissant de la perte de soutien.
B. Le 29 janvier 2007, un certain nombre de proches des victimes de l'accident aérien ont recouru au Tribunal administratif fédéral. Parmi ceux-ci figurait A.X._. Sur le fond, il a pris des conclusions tendant à ce que Skyguide soit condamnée à lui verser 101'985 fr. à titre d'indemnisation de la perte de soutien, en sus du montant accordé par décision du 11 décembre 2006. Il a en outre conclu à ce qu'il lui soit alloué 6'000 fr. "à titre de dépens, comprenant les frais d'expertise et une participation aux honoraires de [son] conseil suisse".
Le 18 mars 2007, les proches des victimes ont requis la suspension de la procédure jusqu'à droit connu dans la procédure pénale ouverte contre des employés de Skyguide devant le Tribunal de district de Bülach.
Par décision incidente du 3 mai 2007, le Tribunal administratif fédéral a suspendu les procédures dans l'attente de la notification des jugements du Tribunal précité.
Le 5 septembre 2007, le Tribunal de district de Bülach a transmis au Tribunal administratif fédéral les jugements en matière pénale rendus le 21 août 2007 à l'encontre de huit employés de Skyguide. Quatre d'entre eux ont été reconnus coupables d'homicide par négligence au sens de l'art. 117 CP. Ils ont été condamnés respectivement, pour trois d'entre eux, à une peine de 12 mois d'emprisonnement avec sursis durant deux ans et, pour le quatrième, à une peine de 90 jours amende à 150 fr. Les autres employés ont été acquittés.
Le 23 octobre 2007, le Tribunal administratif fédéral a ordonné la reprise de la procédure. Il a en outre autorisé la consultation par les parties de l'essentiel des documents pénaux, leur a imparti un délai pour motiver leur requête d'assistance judiciaire en décrivant la situation financière dans laquelle elles se trouvaient dans leur pays et leur a permis de déposer un mémoire complémentaire.
Le délai imparti aux proches des victimes pour établir leur situation financière et produire un mémoire complémentaire a été prolongé, à leur demande, à de multiples reprises. Le 14 mars 2008, au terme de l'ultime prolongation, les proches des victimes ont déposé un mémoire complémentaire contenant certains éléments relatifs à leur situation personnelle et patrimoniale et étayé leur demande d'assistance judiciaire à l'aide de pièces. Par ailleurs, ils ont pris des conclusions additionnelles tendant à l'allocation d'indemnités à titre de réparation du tort moral supérieures à celles octroyées par Skyguide. Ils ont en outre amplifié les conclusions initiales tendant à l'allocation d'indemnités pour la perte de soutien. A.X._ demandait dorénavant 120'000 fr. supplémentaires pour le tort moral et 360'000 fr., mais au moins 180'000 fr., pour la perte de soutien. Il concluait en outre à l'allocation de 6'000 fr. à titre de dépens, montant comprenant les frais d'expertise et une participation aux honoraires du conseil suisse.
Dans sa réponse du 29 octobre 2008, Skyguide a conclu préalablement à ce que le mémoire complémentaire du 14 mars 2008 soit déclaré irrecevable dans la mesure où il contenait des conclusions nouvelles ou amplifiées.
Par arrêt du 17 février 2010, le Tribunal administratif fédéral a partiellement admis le recours de A.X._, dans la mesure de sa recevabilité. Il lui a adjugé, au titre de l'indemnisation de la perte de soutien, un montant supplémentaire de 6'032 fr. 80 avec intérêts à 5% l'an depuis le 1er juillet 2002. En substance, pour ce qui intéresse encore la cause telle qu'elle se présente devant le Tribunal de céans, le Tribunal administratif fédéral a retenu que les conclusions nouvelles prises au titre de la réparation du tort moral, comme celles amplifiées concernant la perte de soutien, avaient été adoptées tardivement, n'ayant été formulées que dans le mémoire complémentaire du 14 mars 2008. Elles étaient par conséquent irrecevables.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral, principalement, de condamner Skyguide à lui verser 120'000 fr. supplémentaires à titre de réparation du tort moral et, subsidiairement, de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants, le tout sous suite de frais et dépens. Il requiert aussi la dispense de l'avance des frais de procédure et la désignation de son mandataire en qualité d'avocat d'office.
L'autorité précédente a renoncé à se déterminer sur le recours, alors que l'intimée a conclu à son irrecevabilité, subsidiairement à son rejet, le tout sous suite de frais et dépens.
Considérant en droit:
1. 1.1 Dirigé contre un jugement final (cf. art. 90 LTF) rendu dans une cause de droit public (cf. art. 82 let. a LTF) par le Tribunal administratif fédéral (cf. art. 86 al. 1 let. a LTF), le présent recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public. Interjeté par une partie directement touchée par la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (cf. art. 89 al. 1 LTF), il a, en effet, été déposé dans le délai (cf. art. 100 al. 1 LTF) et la forme (cf. art. 42 LTF) prévus par la loi et ne tombe sous aucun des cas d'exceptions mentionnés à l'art. 83 LTF.
1.2 Selon l'art. 85 al. 1 let. a LTF, s'agissant de contestations pécuniaires, le recours est irrecevable en matière de responsabilité étatique si la valeur litigieuse est inférieure à 30'000 fr. Aux termes de l'art. 51 al. 1 let. a LTF, lorsque le recours est dirigé contre une décision finale, la valeur litigieuse est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente. Selon une jurisprudence établie sous l'ancienne loi fédérale d'organisation judiciaire du 16 décembre 1943 (OJ; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2006), qui demeure valable sous la LTF, les chefs de conclusions qui ne sont plus litigieux devant le Tribunal fédéral ne sont pris en considération pour le calcul de la valeur litigieuse que s'ils présentent un lien de connexité avec ceux qui le sont encore (ATF 134 III 237 consid. 1.2 p. 239).
En l'occurrence, devant l'autorité précédente, le recourant a conclu (dans son mémoire complémentaire du 14 mars 2008) à ce qu'un montant de 120'000 fr. lui soit alloué à titre de réparation du tort moral. Cette conclusion est reprise dans le présent recours. Devant le Tribunal administratif fédéral, le recourant avait en outre fait valoir des prétentions en indemnisation de la perte de soutien, auxquelles il a renoncé dans la présente procédure. Les conclusions prises au titre de la réparation du tort moral atteignent à elles seules la limite de valeur litigieuse de 30'000 fr. Il convient par conséquent d'admettre que cette condition de recevabilité est également remplie, sans qu'il soit besoin de se prononcer sur la prise en considération des conclusions formulées devant l'autorité précédente au titre de l'indemnisation de la perte de soutien.
1.3 Lorsqu'il conclut à titre principal à l'allocation d'un montant supplémentaire à titre de réparation du tort moral, le recourant perd de vue que la question du tort moral n'a pas été traitée sur le fond par l'autorité précédente, le Tribunal administratif fédéral ayant estimé que les conclusions y relatives contenues dans le mémoire complémentaire étaient tardives et donc irrecevables. Dans de telles circonstances, le procès devant le Tribunal fédéral ne peut porter que sur la recevabilité desdites conclusions devant l'instance précédente, nullement sur le point de savoir si une somme aurait dû être adjugée de ce chef au recourant. La Haute Cour ne saurait en effet se prononcer comme première et unique instance sur des conclusions qui n'ont pas été examinées au fond par l'autorité précédente. En conséquence, la conclusion principale du recourant tendant à l'adjudication de montants à titre de réparation du tort moral est irrecevable.
1.3 Lorsqu'il conclut à titre principal à l'allocation d'un montant supplémentaire à titre de réparation du tort moral, le recourant perd de vue que la question du tort moral n'a pas été traitée sur le fond par l'autorité précédente, le Tribunal administratif fédéral ayant estimé que les conclusions y relatives contenues dans le mémoire complémentaire étaient tardives et donc irrecevables. Dans de telles circonstances, le procès devant le Tribunal fédéral ne peut porter que sur la recevabilité desdites conclusions devant l'instance précédente, nullement sur le point de savoir si une somme aurait dû être adjugée de ce chef au recourant. La Haute Cour ne saurait en effet se prononcer comme première et unique instance sur des conclusions qui n'ont pas été examinées au fond par l'autorité précédente. En conséquence, la conclusion principale du recourant tendant à l'adjudication de montants à titre de réparation du tort moral est irrecevable.
1.4 1.4.1 Quant à la conclusion subsidiaire tendant au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants, il n'est pas exclu de l'interpréter en ce sens qu'elle se rapporte à la recevabilité devant le Tribunal administratif fédéral des conclusions nouvelles contenues dans le mémoire complémentaire du 14 mars 2008. Les conclusions doivent en effet être interprétées à la lumière de la motivation du recours. Or, en l'occurrence, le recours en matière de droit public contient une argumentation selon laquelle les conclusions pouvaient être étendues après l'échéance du délai de recours au Tribunal administratif fédéral. Cette argumentation étant de toutes manières mal fondée (cf. consid. 1.4.2 ci-après), la question du sens et de la recevabilité de ladite conclusion subsidiaire peut demeurer indécise. Il convient toutefois de relever encore une fois que toutes les considérations relatives au fond de l'affaire, c'est-à-dire à l'importance de la somme allouée à titre de réparation du tort moral, ne trouvent pas place dans le débat devant le Tribunal de céans, qui se limite à la question de la recevabilité devant le Tribunal administratif fédéral des conclusions nouvelles adoptées au-delà du délai de recours.
1.4.2 A cet égard, force est d'approuver la solution retenue par l'autorité précédente. En effet, selon la loi fédérale du 20 décembre 1968 sur la procédure administrative (PA; RS 172.021), qui régit la procédure devant elle (cf. art. 37 de la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal administratif fédéral [LTAF; RS 173.32]), le mémoire de recours doit être déposé dans les trente jours suivant la notification de la décision attaquée (art. 50 al. 1 PA) et doit contenir notamment les conclusions (art. 52 al. 1 1ère phrase PA; voir toutefois art. 52 al. 2 PA). Telles qu'elles sont formulées dans le mémoire de recours déposé conformément à ces dispositions, les conclusions définissent l'objet du litige, qui ne peut en principe plus être étendu ultérieurement par les parties (ATF 136 II 165 consid. 4 p. 173 et consid. 5 p. 174 et la référence à l'ATF 133 II 30 consid. 2 p. 32). Le délai destiné à compléter la motivation, que l'autorité de recours peut accorder en vertu de l'art. 53 PA, ne saurait avoir pour effet de prolonger le délai légal de recours. Par conséquent, si les conclusions adoptées dans le délai légal peuvent faire l'objet ultérieurement d'une motivation complémentaire, elles ne sauraient en revanche être modifiées, en tout cas pas dans le sens d'une extension. Ce principe, justement exposé par le Tribunal administratif fédéral au consid. 4.1 de l'arrêt entrepris, auquel il peut être renvoyé pour le surplus, n'a d'ailleurs rien d'exceptionnel. Pour ce qui est par exemple de la procédure devant le Tribunal fédéral, les conclusions exigées par l'art. 42 al. 1 LTF doivent être présentées dans le délai de recours; le fait qu'un second échange d'écritures soit exceptionnellement ordonné (cf. art. 102 al. 3 LTF a contrario) ne permet pas d'en formuler de nouvelles (cf. Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, no 19 ad art. 42, avec référence à l'ATF 134 IV 156 consid. 1.7 p. 162). De même, l'art. 43 let. b LTF autorise le Tribunal fédéral à octroyer un délai supplémentaire pour compléter la motivation d'un recours en matière d'entraide pénale internationale; seule la motivation peut toutefois être complétée, à l'exclusion des conclusions qui doivent être formulées dans le délai légal de recours, sous peine d'irrecevabilité (cf. Aubry Girardin, op. cit., no 6 ad art. 43, avec référence à l'ATF 134 précité).
Selon le recourant qui dénonce une violation de l'art. 52 PA, il se justifierait, au vu des éléments nouveaux qui sont ressortis de la procédure pénale devant le Tribunal de Bülach, de faire une exception à la règle ci-dessus et d'admettre les conclusions nouvelles contenues dans le mémoire complémentaire du 14 mars 2008.
La question de savoir si la règle en question connaît des exceptions n'a pas à être tranchée en l'espèce (de telles exceptions ne sont pas évoquées par André Moser, in Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2008, no 4 ad art. 52; le même, in Prozessieren vor dem Bundesverwaltungsgericht, 2008, ch. 2.215; elles sont expressément exclues par Seethaler/Bochsler, in Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2009, no 41 ad art. 52). Il suffit de relever qu'à supposer que cela soit possible, il n'y aurait pas lieu en l'espèce de déroger à la règle, les éléments ressortant du jugement du Tribunal de Bülach n'étant pas de nature à éclairer la cause d'un jour entièrement nouveau et à justifier ainsi que l'on autorise le recourant à prendre de nouvelles conclusions, qu'il n'aurait pas été en mesure de formuler auparavant.
Il s'ensuit qu'en tant qu'elle est recevable, la conclusion subsidiaire doit être rejetée.
2. Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire est rejetée (cf. art. 64 al. 1 LTF).
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (cf. art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'a pas droit à des dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF).
Conformément à la règle de l'art. 68 al. 3 LTF (cf. aussi ATF 134 II 117 consid. 7 p. 119; arrêt 2C_212/2007 du 11 décembre 2007 consid. 5), l'intimée n'a pas droit à des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal administratif fédéral, Cour I.
Lausanne, le 28 avril 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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