Fatti:
A. P._, nata nel 1945, è stata degente dal 29 marzo al 2 aprile 2004 presso la Clinica X._ per sottoporsi a un terzo intervento di rinoplastica, dopo che due precedenti operazioni effettuate in Ticino non avevano prodotto gli effetti sperati. Ricevuta la fattura di fr. 12'967.50 relativa al terzo intervento, l'interessata ha provveduto a girarla a Helsana Assicurazioni SA presso la quale era assicurata per le cure medico-sanitarie. Da parte sua, Helsana Assicurazioni SA, interpellato il proprio medico di fiducia, con comunicazione del 18 maggio 2004 ha rifiutato il pagamento della fattura poiché ha qualificato l'intervento di carattere estetico e, quindi, non a carico dell'assicurazione malattia obbligatoria.
Al termine della azione civile promossa da P._ nei confronti del dott. B._ - che aveva effettuato le due precedenti operazioni - a titolo di risarcimento danni per grave violazione delle regole dell'arte e conclusasi l'11 settembre 2008 con un nulla di fatto (cfr. decreto di stralcio della Pretura Y._), l'interessata ha di nuovo formulato agli inizi del 2009 una richiesta di assunzione dei costi delle spese mediche e di degenza - nel marzo/aprile 2004 - presso la Clinica X._ per un totale di fr. 19'867.50 che Helsana Assicurazioni SA ha però nuovamente rifiutato, sostanzialmente per le considerazioni già esposte nel maggio 2004 (decisione del 20 luglio 2009 e decisione su opposizione del 31 agosto 2009).
B. P._ si è aggravata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale, statuendo per giudice unico, ne ha respinto il ricorso (pronuncia del 13 aprile 2010).
C. L'interessata ha presentato ricorso al Tribunale federale, al quale ribadisce la richiesta di rimborso - a carico dell'assicurazione malattia obbligatoria (per quanto concerne invece la parallela richiesta fondata sulla assicurazione malattia complementare LCA cfr. la sentenza di irricevibilità 4D_78/2010 dell'8 luglio 2010) - delle spese per l'intervento chirurgico e il relativo ricovero presso la Clinica X._ per un totale di fr. 19'867.50.
Non sono state chieste osservazioni al gravame.
Diritto:
1. Con il ricorso in materia di diritto pubblico può in particolare venir censurata la violazione del diritto federale (art. 95 lett. a LTF). Tenuto conto dell'esigenza di motivazione di cui all'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, sotto pena d'inammissibilità (art. 108 cpv. 1 lett. b LTF), il Tribunale federale esamina in linea di principio solo le censure sollevate. Il ricorrente deve motivare il ricorso (art. 42 cpv. 1 LTF) spiegando in modo conciso perché l'atto impugnato viola il diritto (art. 42 cpv. 2 LTF). Inoltre, l'accertamento dei fatti può venir censurato solo entro limiti ristretti, ovvero se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 e 105 cpv. 1 e 2 LTF). Occorre quindi, in particolare, che la valutazione delle prove risulti arbitraria (v. DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62). La parte ricorrente che intende scostarsi dai fatti stabiliti dall'autorità precedente deve spiegare in maniera circostanziata per quali motivi ritiene che le condizioni di una delle eccezioni previste dall'art. 105 cpv. 2 LTF sarebbero realizzate. In caso contrario, a meno di lacune manifeste da rettificare d'ufficio, non si può tener conto di uno stato di fatto diverso da quello posto a fondamento della decisione impugnata (DTF 133 II 249 consid. 1.4.3 pag. 254).
2. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha correttamente esposto le norme e i principi disciplinanti l'obbligo di prestazione dell'assicuratore malattia (art. 25 cpv. 1 LAMal, art. 32 cpv. 1 in relazione con gli art. 25-31 LAMal) e la nozione di malattia (art. 3 LPGA). A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione, non senza tuttavia ricordare che un difetto estetico non configura di per sé un rischio (di malattia) assicurato dalla LAMal (DTF 111 V 231 consid. 1a con riferimenti). Nondimeno, se un simile difetto provoca disturbi di valore patologico, il trattamento medico - e con esso la rimozione del difetto estetico quale causa della malattia - messo in atto per la cura di queste conseguenze patologiche costituisce una prestazione obbligatoria (RAMI 1992 n. K 903 pag. 231 consid. 2c, 1991 n. K 876 pag. 247 consid. 2b con riferimenti; sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni K 87/02 del 24 dicembre 2002 consid. 1.2). Similmente, l'assicuratore malattia è chiamato ad assumersi, a determinate condizioni, i costi di un intervento chirurgico eseguito per il trattamento di un difetto estetico secondario, dovuto a una malattia o a un infortunio (DTF 121 V 119 consid. 1 pag. 121; cfr. pure sentenza 9C_126/2008 del 30 ottobre 2008 consid. 4.1).
3. Il primo giudice ha accertato che l'intervento di rinoplastica effettuato presso la Clinica X._ era di carattere prettamente estetico. Richiamando in particolare il rapporto operatorio del dott. R._ del 29 marzo 2004 ha osservato come il chirurgo in parola non avesse mai evidenziato di avere affrontato anche un problema medico e come l'indicazione per l'intervento fosse una "Residuelle Nasendeformität bei Status nach 2x Rhinoplastik". Il giudice cantonale ha quindi escluso l'esistenza di un motivo di ordine medico che giustificasse il terzo intervento di rinoplastica, per di più realizzato, senza che ve ne fossero i motivi, presso un fornitore di prestazioni fuori dal Cantone di domicilio. Se poi questa operazione ha anche eliminato (implicitamente) problemi di respirazione, secrezione della faringe (unico disturbo diagnosticato anche dal dott. H._ dell'Ospedale Z._) e sanguinameno lamentati dall'interessata, ciò non deponeva ancora, a mente della Corte cantonale, per l'esistenza di patologie che necessitavano di un intervento chirurgico in ambito stazionario. Di conseguenza, in assenza di una malattia ai sensi dell'art. 3 LPGA, ha avallato l'operato della Cassa malati opponente che a buon diritto poteva rifiutare il rimborso dei costi di degenza presso la Clinica X._.
4. 4.1 Venendo in buona parte meno al proprio obbligo di motivazione (art. 42 cpv. 2 LTF), la ricorrente non si confronta adeguatamente con la pronuncia impugnata e non spiega in quale misura le considerazioni ivi formulate poggerebbero su un accertamento dei fatti manifestamente inesatto o comunque contrario al diritto. È vero, anche in sede federale la ricorrente cerca di giustificare la necessità di intervento fuori Cantone con il fatto, comunque non comprovato, che nessun medico sarebbe stato disposto a curarla in Ticino dopo i due precedenti tentativi. Tuttavia ciò non basta manifestamente a ritenere arbitrario l'apprezzamento delle prove compiuto dal primo giudice (cfr. DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62 con riferimenti). Inoltre, la ricorrente nemmeno si china sull'indicazione (estetica e non terapeutica) dell'operazione formulata dal dott. R._ nel rapporto del 29 marzo 2009 e peraltro, quantomeno inizialmente, riconosciuta dall'assicurata che non aveva reagito al primo rifiuto, del 18 maggio 2004, di assunzione dei costi da parte della opponente e che nel "questionario sinistri advocare" sottoscritto il 29 gennaio 2003, ossia in epoca non sospetta, rimproverava sostanzialmente al dott. B._ di non avere corretto in modo estetico il naso ("ora il naso è più brutto di prima"). Né - soprattutto - ella cerca di spiegare in quale misura gli asseriti disturbi (in particolare le epistassi) assumessero valenza patologica necessitante un intervento chirurgico in ambito stazionario (fuori Cantone).
4.2 Anche nell'atto complementare del 17 maggio 2010 - presentato entro il termine di ricorso e dopo che la Corte giudicante l'aveva resa attenta sul fatto che le condizioni di motivazione del memoriale del 30 aprile 2010 non sembravano essere soddisfatte - la ricorrente incentra piuttosto la propria motivazione sulla pretesa contraddittorietà della Cassa opponente, che prima avrebbe dato incarico all'avv. F._ di tutelare i suoi interessi nei confronti del dott. B._ nell'eventualità di una responsabilità contrattuale di quest'ultimo per grave violazione delle regole dell'arte (v. estratti, solo parziali, della petizione 5 ottobre 2005 versata agli atti), e poi, una volta venuta a cadere questa ipotesi, avrebbe contestato l'esistenza di un problema medico. Sennonché l'insorgente non si avvede che la questione della eventuale responsabilità civile del chirurgo per eventuale errore medico non significa ancora che l'intervento non potesse necessariamente essere di natura estetica. Va infatti da sé che la base legale (art. 398 CO) per una eventuale responsabilità contrattuale (diretta) di un chirurgo è la stessa che si tratti di un intervento di natura estetica oppure di natura terapeutica, ossia finalizzata al trattamento di una malattia. Per contro, per quanto accennato al consid. 2, la finalità (estetica o terapeutica) gioca un ruolo decisivo per l'assunzione dell'intervento sotto il profilo della LAMal.
4.3 Manifestamente irricevibile, già solo per mancanza di competenza di questa Corte, è infine la richiesta - formulata scaduto il termine ricorsuale - di risarcimento danni e torto morale per le affermazioni espresse dal patrocinatore del dott. B._ nell'ambito della procedura promossa dinanzi alla Commissione cantonale di vigilanza sanitaria e archiviata con avviso.
5. Ne segue che il ricorso dev'essere respinto nei limiti della sua ammissibilità. Le spese seguono la soccombenza e sono pertanto a carico della ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico della ricorrente.
3. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.