Faits:
A. C._ était l'un des deux associés gérants, avec une part sociale de 10'000 fr., de la société X._ Sàrl, depuis sa fondation le 20 avril 2005. Cette société avait pour but l'exploitation d'établissements publics ainsi que toutes les activités et prestations dans le domaine de la restauration et des loisirs. Dès le 1er novembre 2005, il a été employé de cette société en qualité de gérant. Le 21 janvier 2008, il a vendu sa part sociale avec effet au 31 mars 2008. Le contrat de vente prévoyait que les acheteurs mettraient fin aux rapports de travail au plus tard pour le 31 mars 2008.
Dans l'intervalle, le 14 février 2008, en tant que représentant de la société Y._ Sàrl en formation, C._ a signé un contrat de bail à loyer portant sur des locaux commerciaux destinés à l'exploitation d'un bar-discothèque. Il était prévu que le bail commencerait le 1er mai 2008 pour se terminer le 31 mars 2018 et que le locataire fournirait des sûretés constituées par une garantie de trois mois de loyer, payable en trois acomptes de 10'000 fr., échelonnés entre le 31 mai 2008 et le 31 décembre 2008. Les parties au contrat de bail à loyer ont, à la même date, également signé une convention par laquelle elles subordonnaient les effets dudit contrat aux conditions cumulatives que la demande d'autorisation d'exploitation de type discothèque soit déposée auprès des autorités compétentes au plus tard le 17 mars 2008 et que la patente pour l'exploitation d'un tel établissement public soit effectivement délivrée par le service du commerce et des patentes.
Peu avant l'échéance de son contrat de travail (31 mars 2008), C._ s'est inscrit à l'assurance-chômage auprès de sa commune de domicile et a requis l'indemnité de chômage à partir du 1er avril 2008.
Le 22 juillet 2008, la société Y._ Sàrl a été inscrite au registre du commerce. C._ y figure depuis la même date, en tant qu'associé gérant, avec 200 parts sociales de 100 francs et signature individuelle (publication dans la FOSC le 28 juillet 2008).
La caisse de chômage Unia a invité la direction juridique du service de l'emploi (ci-après: DJSE) à statuer sur l'aptitude au placement de l'intéressé. Par décision du 20 octobre 2008, confirmée sur opposition le 21 janvier 2009, la DJSE a nié l'aptitude au placement de l'assuré à partir du 1er avril 2008. Entre-temps, le 29 octobre 2008, C._ a reçu les autorisations nécessaires pour exploiter l'établissement public et commencé à payer le loyer du contrat de bail du 14 février 2008.
B. C._ a interjeté recours contre cette décision devant le Tribunal administratif (Cour des assurances sociales) de la République et canton de Neuchâtel en demandant qu'il soit déclaré apte au placement du 1er avril au 28 octobre 2008.
Par jugement du 5 janvier 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant, à titre principal, à ce que soit reconnue son aptitude au placement du 1er avril au 28 octobre 2008. A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement au sens des considérants. En outre, il expose que la société Y._ Sàrl a été déclarée en faillite en janvier 2010 et demande que son aptitude au placement soit réexaminée à compter de cette date.
Le Département de l'économie du canton de Neuchâtel (office juridique de surveillance) expose qu'il n'a pas d'observations à formuler et conclut au rejet du recours. Le Secrétariat d'Etat à l'économie a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus par l'art. 105 al. 2 LTF. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits, susceptibles d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure, que si ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (art. 97 al. 1 LTF; ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62).
2. Le litige porte sur l'aptitude au placement du recourant pour la période du 1er avril 2008 au 28 octobre 2008.
3. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et la jurisprudence applicables en l'espèce. Il convient d'y renvoyer.
4. 4.1 Le recourant fait grief aux premiers juges d'avoir retenu qu'il n'avait pas l'intention de prendre un nouvel emploi salarié durant la période en cause et se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des faits. Il leur reproche en particulier d'avoir omis de prendre en considération ses nombreuses recherches d'emploi. Par ailleurs, il soutient qu'il s'est lancé dans le projet d'exploiter un bar-discothèque en réaction au chômage auquel il allait être confronté compte tenu de son licenciement.
4.2 En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; 127 I 38 consid. 2a p. 41). Par ailleurs, la question de savoir si un assuré est disposé à abandonner son activité indépendante au profit d'un emploi est une question de fait (cf. BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, Berne 2009, n. 30 ad. art. 105 LTF).
4.3 Les premiers juges ont accordé, à juste titre, plus de poids à un certain nombre de faits objectifs (accomplissement dès février 2008 des démarches nécessaires à la création de la société Y._ Sàrl destinée à exploiter un bar-discothèque, signature d'un contrat de bail prévoyant un loyer mensuel de 10'000 fr., inscription au registre du commerce en qualité d'associé gérant avec signature individuelle, investissement important de l'ordre de 50'000 fr. pour la mise sur pied d'une étude acoustique et pour des frais d'architecte ainsi que de 20'000 fr. pour les parts sociales) qu'aux simples déclarations contraires de l'assuré. Peu importe à cet égard que les effets du contrat de bail aient été soumis à des conditions cumulatives (dépôt de la demande d'autorisation d'exploitation de type discothèque dans un certain délai, obtention de la patente pour l'exploitation d'un tel établissement public). Sur la base de ces faits qui lient le Tribunal fédéral, les premiers juges pouvaient admettre que l'assuré n'était pas prêt à abandonner ses projets d'activité indépendante au profit d'un emploi salarié.
Ainsi, le grief du recourant lié à une appréciation arbitraire des faits est infondé.
5. Il reste à examiner si l'aptitude au placement du recourant peut être reconnue pour la période se situant entre la fin de son activité dépendante et la prise de son activité indépendante (du 1er avril au 28 octobre 2008).
5.1 L'appréciation de l'aptitude au placement d'un assuré dont la disponibilité est restreinte dans le temps doit se baser à la fois sur le genre d'activité qu'il convoite et ses chances réelles d'être engagé dans la branche économique où il effectue ses recherches d'emploi. Il peut en effet se présenter des cas dans lesquels certaines entreprises s'efforcent précisément de trouver en priorité des employés disposés à travailler durant une brève période. Plus la demande est forte sur le marché de l'emploi à prendre en considération, plus les exigences relatives à la disponibilité dans le temps sont réduites. Les circonstances locales peuvent également jouer un rôle à cet égard. Dans certaines régions en effet, les possibilités d'être engagé durant une brève période sont assez nombreuses, spécialement en période de haute saison (BORIS RUBIN, Assurance-chômage, 2ème édition, no 3.9.8.9.2, p. 232).
5.2 En l'espèce, il ressort des constatations du jugement attaqué que l'assuré a limité ses recherches d'emploi à des postes de gérant d'établissements publics. Cette limitation rendait illusoires pour ne pas dire nulles, ses chances d'être engagé en cette qualité par un employeur pour une période de sept mois au maximum. Les chances d'un engagement étaient d'autant plus réduites que c'est la durée de disponibilité prévisible au moment de la demande de prestations qui est déterminante (BORIS RUBIN, op. cit., no 3.9.8.9.5, p. 236). Or, dans le présent cas, le recourant était dans l'attente d'une autorisation d'exploiter son établissement public, de sorte que la durée prévisible du chômage n'était pas déterminable d'emblée. Cette incertitude était de nature à dissuader un employeur potentiel à engager le recourant pour faire le pont entre la fin de son dernier emploi et le début de son activité indépendante. Comme l'ont retenu les premiers juges, l'aptitude au placement du recourant doit également être niée sous l'angle de la prise d'un emploi temporaire.
6. 6.1 Compte tenu du fait de la faillite de la société Y._ Sàrl prononcée le 18 janvier 2010, le recourant demande au Tribunal fédéral de réexaminer son aptitude au placement à la lumière de ces éléments ou, à tout le moins, de ne pas préjuger de son aptitude au placement depuis cette date.
6.2 Cette conclusion vise à la reconnaissance de l'aptitude au placement et à l'octroi d'indemnités pour une période postérieure à la date de la décision sur opposition litigieuse et est ainsi fondée sur des faits qui se sont produits après cette décision. Elle est donc irrecevable (ATF 131 V 9 consid. 1 p. 11; 121 V 362 consid. 1b p. 366) étant précisé que le recourant a la possibilité de présenter une nouvelle demande de prestations.
7. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Dans la mesure où il est recevable, le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 20 septembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung Berset