Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Uri führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen Anstiftung zu Mord bzw. Mittäterschaft zu versuchtem Mord an seiner getrennt lebenden Ehefrau. Am 12. November 2010 wurde X._ festgenommen und in Untersuchungshaft versetzt; als amtlicher Verteidiger wurde Rechtsanwalt Peter Niggli, Luzern, bestellt. Dieser ersuchte die Staatsanwaltschaft am 4. August 2011 um Entbindung vom Mandat. Mit Verfügung vom 12. August 2011 entsprach die Staatsanwaltschaft diesem Begehren und ernannte Rechtsanwalt Heinz Holzinger, Schattdorf, zum amtlichen Verteidiger von X._.
B. Gegen diese Verfügung erhob X._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Uri. Er beantragte, mit seiner amtlichen Verteidigung sei Rechtsanwalt Linus Jaeggi, Luzern, zu beauftragen. Das Obergericht des Kantons Uri hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 4. Oktober 2011 teilweise gut; es bestimmte Rechtsanwalt Linus Jaeggi zum amtlichen Verteidiger von X._, soweit dieser nicht innert zehn Tagen seit unbenütztem Ablauf der Rechtsmittelfrist oder Eingang eines allfälligen bundesgerichtlichen Nichteintretensentscheids gegenüber der Staatsanwaltschaft erkläre, Rechtsanwalt Heinz Holzinger als amtlichen Verteidiger behalten zu wollen.
C. Mit Eingabe vom 3. November 2011 führt die Staatsanwaltschaft des Kantons Uri gegen diesen Entscheid Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht. Sie beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und Rechtsanwalt Heinz Holzinger als amtlichen Verteidiger zu belassen. Der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
X._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Uri hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die beteiligten Rechtsanwälte haben sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid betrifft eine Strafsache im Sinne von Art. 78 Abs. 1 BGG und wurde von einer letzten kantonalen Instanz gefällt (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). Er schliesst das Strafverfahren nicht ab. Es handelt sich somit um einen Zwischenentscheid.
Unter dem Vorbehalt der hier nicht gegebenen Fälle von Art. 92 BGG ist die Beschwerde gegen einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid nur zulässig, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder - was vorliegend ausser Betracht fällt - die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beschwerdeverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG sollen das Bundesgericht entlasten; dieses soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen müssen (BGE 135 II 30 E. 1.3.2 S. 34). Die Ausnahmevoraussetzungen sind deshalb strikt zu handhaben.
2. Von einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG wird gesprochen, wenn dieser auch durch ein nachfolgendes günstiges Urteil nicht oder nicht mehr vollständig behoben werden kann (BGE 135 I 261 E. 1.2 S. 263 mit Hinweisen). In Verfahren der Beschwerde in Strafsachen muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil nicht bloss tatsächlicher, sondern rechtlicher Natur sein (BGE 136 IV 92 E. 4 S. 95; 133 IV 139 E. 4 S. 141). Kein nicht wieder gutzumachender Nachteil gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ist nach der Praxis des Bundesgerichts anzunehmen, wenn es einer Partei bloss darum geht, eine Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens zu vermeiden (BGE 135 II 30 E. 1.3.4 S. 36). Die Rechtsprechung nimmt in Angelegenheiten um den Wechsel der amtlichen Verteidigung einen nicht wieder gutzumachenden rechtlichen Nachteil nur unter besonderen Umständen an; ist gewährleistet, dass dem Beschuldigten ein Verteidiger zur Seite steht, der die Waffengleichheit und damit ein faires Verfahren sicherstellt, sind regelmässig keine irreparablen Nachteile rechtlicher Natur zu befürchten (BGE 133 IV 335 E. 4 S. 339; 126 I 207 E. 2b S. 211; ebenso das im angefochtenen Entscheid zitierte Urteil 1B_74/2008 vom 18. Juni 2008 E. 1).
3. Die Staatsanwaltschaft macht geltend, die Einsetzung von Rechtsanwalt Linus Jaeggi, Luzern, sei nicht praktikabel. In Haftfällen führe die Einsetzung auswärtiger Rechtsanwälte zu einer unhaltbaren Verlängerung, Verteuerung und Erschwerung des Verfahrens. Die Auslegung von Art. 133 Abs. 2 StPO durch das Obergericht, wonach unter den gegebenen Verhältnissen dem Wunsch des Beschuldigten um Bestellung eines ausserkantonalen amtlichen Verteidigers zu entsprechen sei, gehe zu weit.
Die Befürchtungen der Staatsanwaltschaft betreffen ausschliesslich praktische Erschwernisse des Verkehrs mit auswärtigen Rechtsanwälten (Terminschwierigkeiten, Verzögerungen, Kosten) und damit tatsächliche Umstände. Nachteile rechtlicher Natur, die nicht wieder gutzumachen wären, sind nicht angesprochen. Die Beschwerde gegen den vorinstanzlichen Entschied erweist sich damit als unzulässig. Auf sie ist nicht einzutreten. Das Begehren um Gewährung der aufschiebenden Wirkung wird damit obsolet.
4. Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Parteientschädigungen sind nicht auszurichten, zumal der Beschwerdegegner im vorliegenden Verfahren nicht durch einen Rechtsanwalt vertreten ist (vgl. Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, den weiteren Beteiligten und dem Obergericht des Kantons Uri, Strafprozessuale Beschwerdeinstanz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. November 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle