Erwägungen:
1. Mit Verfügung vom 22. Februar 2008 hiess das Vizegerichtspräsidium Frauenfeld als untere Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs eine Beschwerde von X._ gegen den am 12. Dezember 2007/17. Januar 2008 vorgenommenen Pfändungsvollzug teilweise gut, wies die Angelegenheit zu weiteren Abklärungen und zur Neubeurteilung an das Betreibungsamt Z._ zurück und stellte fest, dass der zu berücksichtigende Grundbetrag des im Konkubinat lebenden Schuldners Fr. 775.-- betrage. Der Schuldner gelangte dagegen an das Obergericht des Kantons Thurgau als kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs und verlangte, der Grundbetrag sei anhand der SKOS-Richtlinien zu ermitteln und daher für ihn als alleinstehenden Schuldner auf Fr. 1'550.-- festzusetzen. Das Obergericht wies die Beschwerde mit Beschluss vom 25. März 2008 ab, da es die SKOS-Richtlinien für nicht anwendbar erachtete. Gemäss den anwendbaren Richtlinien für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz vom 24. November 2000 betrage der Grundbetrag für ein Ehepaar oder zwei in einer dauernden Hausgemeinschaft lebende erwachsene Personen Fr. 1'550.--. Die Lebenspartnerin des Beschwerdeführers sei auch erwerbstätig und habe deshalb für die Hälfte des Grundbetrages aufzukommen.
Der Schuldner gelangt mit rechtzeitiger Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht mit dem Antrag, den angefochtenen Beschluss aufzuheben und den Grundbetrag auf Fr. 1'550.-- festzusetzen. Zudem seien die Verfahrenskosten zu stornieren. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
2. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen letztinstanzlichen Zwischenentscheid (Art. 75 Abs. 1 BGG), zumal das Betreibungsamt nunmehr das Existenzminimum nach Vorgaben neu berechnen muss. Der hier einzig strittige persönliche Grundbetrag des Beschwerdeführers ist indes verbindlich festgelegt. Damit ist gegen den vorliegenden Zwischenentscheid die in der Hauptsache zulässige Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG) ohne weiteres gegeben (Urteil 5A_334/2007 vom 29. Januar 2008, E. 1.2).
3. Soweit der Beschwerdeführer behauptet, seine Partnerin verdiene nicht so viel, dass sie für seinen Unterhalt aufkommen könne, zeigt er nicht auf, dass er dies im kantonalen Verfahren bereits geltend gemacht hat. Es gilt daher als neu und unzulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG). Kein letztinstanzlicher Entscheid (Art. 75 Abs. 1 BGG) liegt vor, soweit der Beschwerdeführer behauptet, das Betreibungsamt habe die Auslagen für die Kinder, die er jedes zweite Wochenende betreue, nicht in die Berechnung aufgenommen. Gegenstand vor der zweiten kantonalen Aufsichtsbehörde war einzig die Frage, wie der persönliche Grundbetrag des Beschwerdeführers zu berechnen ist. Unzulässig ist schliesslich die Beschwerde, soweit damit die Stornierung der im kantonalen Verfahren auferlegten Kosten verlangt wird. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern das Obergericht mit der Auferlegung von Kosten im Fall des Unterliegens Bundesrecht verletzt hat (Art. 42 Abs. 2 BGG). In diesen Punkten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, für die Bemessung des betreibungsrechtlichen Grundbetrages seien die Richtlinien der Schweizerischen Konferenz für Sozialhilfe (SKOS) anwendbar, wonach der Grundbetrag für einen alleinstehenden Schuldner Fr. 1'550.-- betrage.
4.2 Das Erwerbseinkommen des Schuldners kann nur soweit gepfändet werden, als es nach dem Ermessen des Betreibungsbeamten für den Schuldner und seine Familie nicht unbedingt notwendig ist (Art. 93 Abs. 1 SchKG). Entgegen der sinngemässen Behauptung des Beschwerdeführers schreibt somit die einschlägige Gesetzesbestimmung die Anwendung der SKOS-Richtlinien nicht vor. Anlässlich der Revision des Bundesgesetzes über Schuldbetreibung und Konkurs vom Jahre 1994 wurde zwar im Nationalrat der Antrag gestellt, den Begriff des "sozialen Existenzminimums" und einen Antrag an den Bundesrat zum Erlass einheitlicher Richtlinien über dessen Berechnung in das Gesetz aufzunehmen. Beides wurde aber abgelehnt und damit die generelle Festlegung des Existenzminimums in der Zwangsvollstreckung wie bisher der kantonalen Aufsichtsbehörde bzw. dem Bundesrat als oberster Aufsichtsbehörde überlassen (vgl. dazu: Vonder Mühll, Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, SchKG II, N. 21 zu Art. 93 SchKG; Art. 15 SchKG in der Fassung gemäss Ziff 6 des Bundesgerichtsgesetzes vom 17. Juni 2005, in Kraft seit 1. Januar 2007; SR 173.110). Die kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs hat die Richtlinien für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums der Konferenz der Betreibungs- und Konkursbeamten der Schweiz vom 24. November 2000 übernommen (RBOG 2001 S. 13). Dass die Anwendung dieser Richtlinien im konkreten Fall zu einer Überschreitung des dem Betreibungsbeamten eingeräumten Ermessens und damit zu einer Verletzung von Art. 93 Abs. 1 SchKG führe (vgl. BGE 86 III 11 Nr. 7), wird nicht substanziiert behauptet.
5. 5.1 Nach Ansicht des Beschwerdeführers ist in seinem Fall der Grundbetrag des mit einer Person im dauernder Hausgemeinschaft lebenden erwachsenen Schuldners von Fr. 1'550.-- anzuwenden.
5.2 Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass seine mit ihm unter dem gleichen Dach wohnende Lebenspartnerin erwerbstätig ist. Sodann wird nicht behauptet, dass aus dieser Gemeinschaft Kinder hervorgegangen sind. Damit aber ist nicht zu beanstanden, dass dem Schuldner lediglich die Hälfte des einschlägigen Grundbetrages, d.h. Fr. 775.-- angerechnet worden ist, zumal die Lebenspartnerin in der Regel für die Hälfte des Grundbetrages aufzukommen hat (BGE 130 III 765 E. 2).
6. Soweit überhaupt zulässig, ist die Beschwerde offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
7. Da sich die Beschwerde aufgrund der klaren Rechtslage als von Anfang an aussichtslos erwiesen hat, kann dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau, als kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Mai 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden