Sachverhalt:
A. A.a Der 1959 geborene K._ erlitt im Mai 1989 und März 1995 je einen Berufsunfall mit Beteiligung des rechten Kniegelenks. Am 6. Mai 1999 und 15. Februar 2002 wurden arthroskopische Eingriffe durchgeführt. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) kam für die gesundheitlichen und erwerblichen Unfallfolgen auf und richtete Taggelder aus, u.a. im Zeitraum vom 14. September 1989 bis 31. Juli 2000 und vom 7. Februar 2001 bis 11. August 2003 auf Grund einer Arbeitsunfähigkeit von 100 %. Die IV-Stelle Basel-Stadt, bei welcher sich K._ im April 2001 zum Rentenbezug angemeldet hatte, übernahm mit Verfügungen vom 6. August 2003 und 24. Februar 2004 die Umschulung zum Kaufmann mit Eidg. Fähigkeitszeugnis und Handelsdiplom VSH. Wegen unbegründeter Absenzen verfügte sie am 26. Oktober 2004 den sofortigen Abbruch der Massnahme, wogegen der Versicherte Einsprache erhob. Da vermehrt Beschwerden im rechten Knie bestanden, schlug der behandelnde Arzt Dr. med. F._ eine ausgedehnte Gelenkstoilette mit Osteophytenresektion am rechten Knie vor. Zu diesem Zweck sollte K._ am 9. Februar 2005 ins Spital Z._ eintreten. Der Kreisarzt der SUVA, Dr. med. I._, hielt zudem in seinem Bericht über die Untersuchung vom 24. November 2004 fest, es bestehe dringender Verdacht auf eine mediale Meniskusläsion am linken Kniegelenk. Er schlug bei Einwilligung des Versicherten eine arthroskopische Teilmeniskektomie links vor.
A.b Am 26. Januar 2005 verstarb K._. Sämtliche Erben, darunter die am 28. November 1990 geborene, bei ihrer Mutter lebende (ältere) Tochter S._, schlugen die Erbschaft aus. Am ... 2005 wurde über den Nachlass der Konkurs eröffnet. Am ... 2006 schloss das Konkursamt das summarisch durchgeführte Verfahren.
A.c Die IV-Stelle schrieb mit Entscheid vom 2. Juni 2005 die Einsprache des K._ sel. gegen den Abbruch der Umschulung zum Kaufmann als gegenstandslos geworden ab. Mit Verfügungen vom 27. Februar 2006 stellte sie fest, dass der verstorbene Versicherte für die Zeit vom 1. April bis 31. Juli 2000 und vom 1. Februar 2001 bis 31. März 2003 Anspruch auf eine ganze Invalidenrente sowie u.a. auf zwei Kinderrenten für die beiden Töchter gehabt habe und setzte die Leistungen fest. Die Rentenbetreffnisse von insgesamt Fr. 97'612.- zahlte die Ausgleichskasse Basel-Stadt an das Konkursamt, welches eine Nachverteilung vornahm. Nach Deckung aller Forderungen verblieb ein Überschuss von Fr. 29'289.85, welcher an das Erbschaftsamt zur Auszahlung an die Erben überwiesen wurde.
N._, die Mutter von S._, liess gegen die Verfügungen vom 27. Februar 2006 Einsprache erheben, welche die IV-Stelle mit Entscheid vom 22. August 2007 abwies.
B. Die Beschwerde der N._ wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt nach zweifachem Schriftenwechsel, Beizug der Pensionskasse X._ AG zum Verfahren und nach Einsichtnahme in die Unfallversicherungsakten mit Entscheid vom 3. Dezember 2008 ab.
C. N._ und S._ lassen gemeinsam Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, Gerichtsentscheid und Einspracheentscheid seien aufzuheben und die IV-Stelle sei zu verpflichten, vom 1. April 2000 bis 31. März 2003 eine ganze Rente und ab 1. April 2003 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung auszurichten, unter Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses und unter Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung.
IV-Stelle und kantonales Sozialversicherungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Der Instruktionsrichter hat beim Rechtsvertreter von N._ und S._ eine Beweisauskunft betreffend die konkursamtliche Liquidation der ausgeschlagenen Erbschaft des K._ sel. eingeholt.
Erwägungen:
1. Die Verfügungen vom 27. Februar 2006 und der Einspracheentscheid vom 22. August 2007 waren auch der Pensionskasse X._ AG eröffnet worden, bei welcher Firma der verstorbene Versicherte bis Ende September 1998 angestellt gewesen war. Die Vorinstanz hat diese Vorsorgeeinrichtung zum Verfahren beigeladen. Davon kann für das letztinstanzliche Verfahren abgesehen werden. Einschliesslich der Nachdeckungsfrist gemäss Art. 10 Abs. 3 BVG bestand längstens bis 31. Oktober 1998 Versicherungsdeckung im Rahmen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge bei der Pensionskasse X._ AG. Wegen verspäteter Anmeldung im April 2001 (mehr als zwei Jahre später) musste die IV-Stelle keine Feststellungen zum genauen Zeitpunkt der Entstehung des Rentenanspruchs resp. der Eröffnung der Wartezeit nach aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG treffen. Die Verfügungen, der Einspracheentscheid und auch der vorinstanzliche Entscheid enthalten somit in Bezug auf den berufsvorsorgerechtlich relevanten Eintritt der Arbeitsunfähigkeit nach aArt. 23 BVG (seit 1. Januar 2005: Art. 23 lit. a BVG) keine für die Vorsorgeeinrichtung verbindlichen Vorgaben. Diese wäre denn auch nicht berechtigt gewesen, gegen die Verfügungen vom 27. Februar 2006 Einsprache und gegen den Einspracheentscheid vom 22. August 2007 Beschwerde zu erheben (vgl. Urteile 9C_18/2009 vom 7. April 2009 E. 2.2, 8C_539/2008 vom 13. Januar 2009 und 9C_414/2007 vom 25. Juli 2008).
2. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen die formellen Gültigkeitserfordernisse auch des vorinstanzlichen Verfahrens. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben, wenn das kantonale Versicherungsgericht in der Sache entschieden hat, obschon es an einer Eintretensvoraussetzung fehlte (BGE 132 V 93 E. 1.2 S. 95 mit Hinweis; vgl. auch BGE 123 V 280 E. 1 S. 283).
2.1 Nach dem kraft Art. 2 ATSG und Art. 1 Abs. 1 IVG auch in Streitigkeiten betreffend eine Rente der Invalidenversicherung anwendbaren Art. 59 ATSG ist zur Beschwerde berechtigt, wer durch die angefochtene Verfügung oder den Einspracheentscheid berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat. Der Begriff des schutzwürdigen Interesses für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht ist gleich auszulegen wie derjenige nach Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG für das Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vor dem Bundesgericht (BGE 134 II 120 E. 2.1 S. 122; 133 II 400 E. 2.2 S. 404; SVR 2009 BVG Nr. 27 S. 97, 8C_539/2008 E. 2.1). Ein schutzwürdiges Interesse liegt somit vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des oder der Rechtsuchenden durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann. Dabei wird verlangt, dass die Beschwerde führende Person durch den angefochtenen Verwaltungsakt (Verfügung oder Einspracheentscheid) stärker als jedermann betroffen ist und in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache steht (BGE 133 V 239 E. 6.2 S. 242; 120 Ib 48 E. 2a S. 51 f.).
2.1.1 Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren war N._, die Mutter der damals noch unmündigen Tochter S._ des am 26. Januar 2005 verstorbenen Versicherten. Sie beantragte zur Hauptsache die Aufhebung des Einspracheentscheides vom 22. August 2007 und die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente rückwirkend per Anspruchsbeginn. Das kantonale Gericht hat die Beschwerdeberechtigung der Mutter von S._ als Inhaberin der elterlichen Sorge für die Tochter im Sinne einer Prozessstandschaft bejaht. Es hat erwogen, es gehe um deren Anspruch auf eine Kinderrente nach Art. 35 Abs. 1 IVG und eine Waisenrente nach Art. 20 BVG. Der Anspruch auf Hinterlassenenleistungen der beruflichen Vorsorge setze voraus, dass der verstorbene Vater von der Vorsorgeeinrichtung im Zeitpunkt des Todes eine Alters- oder Invalidenrente erhalten habe (Art. 18 lit. d BVG). S._ habe somit ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung des Einspracheentscheids, welcher für die Zeit vom 1. August 2000 bis 31. Januar 2001 und ab 1. April 2003 den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung verneine. In der Beschwerde war zudem ausgeführt worden, gemäss neuerer Praxis seien Erben legitimiert, wenn die Voraussetzungen nach Art. 103 lit. a OG erfüllt seien, was in casu zutreffe.
2.1.2 Der Anspruch auf Kinderrente nach Art. 35 Abs. 1 IVG steht dem rentenbeziehenden Elternteil zu und nicht dem Kind, für dessen Unterhalt die einzelnen Betreffnisse bestimmt sind (BGE 134 V 15 E. 2.3.3 und 2.3.4 S. 17; Urteil 5A_104/2009 vom 19. März 2009 E. 2.1). Ein zu Lebzeiten entstandener Rentenanspruch geht mit dem Tod des Berechtigten auf dessen Erben über (Art. 560 Abs. 2 ZGB; BGE 99 V 165 E. 2a S. 167; Urteil 8C_146/2008 vom 22. April 2008 E. 1.1; Hans Michael Riemer, Vererblichkeit und Unvererblichkeit von Rechten und Pflichten im Privatrecht und im öffentlichen Recht, in: recht 1/2006, S. 31). In BGE 99 V 58 entschied das Eidg. Versicherungsgericht, dass nicht nur die Erben gemeinsam zu gesamter Hand (Art. 602 Abs. 2 ZGB), sondern auch einzelne Mitglieder der Erbengemeinschaft zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde betreffend vermögensrechtliche Interessen des Nachlasses berechtigt sind, sofern sie die Bedingungen von Art. 103 lit. a OG erfüllen (ebenso ARV 1980 Nr. 30, C 90/79 E. 1 und AHI 1995 S. 92, I 147/92 E. 2). Zu den vermögensrechtlichen Interessen des Nachlasses gehören auch der Umfang des Anspruchs auf eine Kinderrente der Invalidenversicherung bis zum Tod des Versicherten sowie Höhe und Beginn der Leistung. Im Urteil U 201/98 vom 30. März 1999 liess das Eidg. Versicherungsgericht unter Hinweis auf das Urteil der I. Öffentlichrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts A.30/1986 vom 8. Juli 1987, publiziert in: ZBl 89/1988 S. 553, offen, ob an der Rechtsprechung, wonach einzelne Mitglieder einer Erbengemeinschaft zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde betreffend vermögensrechtlicher Interessen des Nachlasses berechtigt sind, sofern die Bedingungen von Art. 103 lit. a OG erfüllt sind, festzuhalten sei. Im Urteil 8C_146/2008 vom 22. April 2008, publiziert in: SVR 2008 UV Nr. 20 S. 74, hat die I. sozialrechtliche Abteilung entschieden, dass einzelne Mitglieder einer Erbengemeinschaft nach Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG selber berechtigt sind, in einer sozialversicherungsrechtlichen Leistungsstreitigkeit Beschwerde beim Bundesgericht zu erheben (vgl. auch Urteil 1C_73/2008 vom 1. Oktober 2008 E. 1.4, nicht publiziert in: BGE 134 II 308, aber in ZBl 109/2008 S. 593). Die Beschwerdelegitimation der kurz vor Erlass des angefochtenen Entscheids am 28. November 2008 mündig gewordenen S._ ist somit grundsätzlich zu bejahen.
2.2 Sämtliche (nächsten gesetzlichen) Erben des verstorbenen Versicherten, darunter auch S._, schlugen die Erbschaft aus. Der Nachlass wurde durch das Konkursamt liquidiert (Art. 573 Abs. 1 ZGB; Art. 193 Abs. 1 Ziff. 1 und Abs. 2 SchKG; SJ 2006 I S. 365, 4C.252/2005 E. 4). Dabei wurde das Verfahren nicht mangels Aktiven eingestellt (Art. 230a Abs. 1 SchKG). Ebenfalls hatte keiner der Erbberechtigten vor Schluss des Verfahrens den Antritt der Erbschaft erklärt und für die Bezahlung der Schulden hinreichende Sicherheit geleistet, was zur Einstellung der konkursamtlichen Liquidation geführt hätte (Art. 196 SchKG). Am 18. Januar 2006 schloss das zuständige Zivilgericht das Konkursverfahren. In diesem Zeitpunkt waren lediglich die in der 1. Klasse kollozierten Forderungen voll gedeckt. Die übrigen Forderungen blieben in der Höhe von insgesamt Fr. 68'322.15 ungedeckt. Gestützt auf die Verfügungen der IV-Stelle Basel-Stadt vom 27. Februar 2006 zahlte die kantonale Ausgleichskasse Fr. 97'612.- an das Konkursamt, was zu einer Nachverteilung unter den Gläubigern führte. Es verblieb ein Überschuss von Fr. 29'289.85, welcher an das Erbschaftsamt zur Verteilung unter den Erben überwiesen wurde (Art. 269 Abs. 1 SchKG).
2.2.1
2.2.1.1 Die Ausschlagung der Erbschaft hat den Verlust der Erbenstellung resp. der Erbenqualität zur Folge (Paul-Henri Steinauer, Le droit des successions, 2006, S. 462 ff. N. 951 und 982; Jean Nicolas Druey, Grundriss des Erbrechts, 5. Aufl. 2002, S. 222 N. 42). Ausschlagende Erben verzichten auf ihr Erbrecht (Arnold Escher, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1960, N. 9 zu Art. 573 ZGB). Ein zu Lebzeiten entstandener Anspruch der verstorbenen Person auf eine Rente der Invalidenversicherung geht mit deren Tod somit nicht - endgültig - auf ihre die Erbschaft ausschlagenden Erben über (resolutiv bedingter Erwerb; Escher, a.a.O., N. 6 f. Vorbemerkungen zu Art. 560 ZGB), sondern fällt in die Konkursmasse der ausgeschlagenen Erbschaft (BGE 119 V 165 E. 3c S. 168).
2.2.1.2 Gemäss Art. 573 Abs. 2 ZGB wird zwar ein allfälliger Überschuss in der Liquidation nach Deckung der Schulden den Berechtigten überlassen, wie wenn keine Ausschlagung stattgefunden hätte. Diese Vorschrift macht indessen eine rechtsgültige Ausschlagung mit Bezug auf bestimmte (nachträglich entdeckte) Aktiven des Nachlasses nicht wirkungslos (vgl. Escher, a.a.O., N. 14 in fine zu Art. 573 ZGB). Die Berechtigung am Liquidationserlös besteht nicht als (insoweit wieder eingesetzte) Erben (Tuor/Picenoni, Berner Kommentar, 2. Aufl. 1964, N. 9 zu Art. 573 ZGB). Vielmehr handelt es sich um einen Anspruch obligationenrechtlicher Natur gegen die ausgeschlagene Erbschaft, vergleichbar dem Anspruch des Vermächtnisnehmers gegen die Erben auf Herausgabe des Vermachten (Escher, a.a.O., N. 13 zu Art. 573 ZGB; Bernhard Schnyder und andere, Das Schweizerische Zivilgesetzbuch, 13. Aufl. 2009, N. 10 S. 615; diesbezüglich unklar Paul Piotet, Erbrecht, in: Schweizerisches Privatrecht, Bd. IV/2, S. 560). Aus einem Überschuss in der konkursamtlichen Liquidation des ausgeschlagenen Nachlasses werden denn auch zuerst die Vermächtnisse entrichtet (Escher und Tuor/Picenoni, a.a.O., je N. 8 zu Art. 573 ZGB; Schnyder und andere, a.a.O., N. 11 S. 722; Ivo Schwander, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch II, 3. Aufl. 2007, N. 6 zu Art. 573 ZGB).
2.2.2 Art. 573 Abs. 2 ZGB gibt den ausschlagenden Erben lediglich Anspruch auf das positive Ergebnis der Liquidation. Die Bestimmung kommt erst zur Anwendung, wenn alle Aktiven liquidiert und alle Nachlassschulden gedeckt sind. Die Rechte der Gläubiger des Erblassers gehen der Berechtigung der ausschlagenden Erben zur Geltendmachung von umstrittenen Rechtsansprüchen jedenfalls vor und dürfen nicht geschmälert oder gefährdet werden. Gestützt auf Art. 573 Abs. 2 ZGB können somit keine Liquidationshandlungen mehr durchgeführt werden.
2.2.2.1 Zur Liquidation gehört auch das Recht, einen umstrittenen Rechtsanspruch durchzusetzen. Handelt es sich bei diesem Aktivum um eine anfechtbare Rentenverfügung, sind - abgesehen von den in Art. 196 und 230a Abs. 1 SchKG geregelten Tatbeständen - die Gesamtheit der Gläubiger oder bei deren Verzicht die Abtretungsgläubiger nach Art. 260 Abs. 1 SchKG (vgl. dazu Kurt Amonn/ Fridolin Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8. Aufl. 2008, N. 32 S. 431) berechtigt, an Stelle des ausgeschlagenen Nachlasses in konkursamtlicher Liquidation eine höhere Rente auf gerichtlichem Wege zu erstreiten (BGE 122 III 488 E. 3b S. 489). Wird trotz hinreichender Kenntnis von der Existenz und Massezugehörigkeit eine Rentenverfügung nicht angefochten, ist zu vermuten, dass die Konkursverwaltung und die Konkursgläubiger bewusst darauf verzichtet haben, wodurch der Konkursbeschlag als entfallen und die Verfügungsmacht der Masse darüber als wieder auf den Gemeinschuldner übergegangen gilt (BGE 116 III 96 E. 2a S. 98; Nicolas Jeandin, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2008, N. 13 zu Art. 269 SchKG; vgl. auch BGE 27 I 552). Im Falle der Liquidation einer ausgeschlagenen Erbschaft verbleibt sie bei der Masse.
2.2.2.2 Ergeht die Verfügung, wie vorliegend, erst nach Abschluss des Konkurses, wird der damit bejahte oder verneinte Anspruch in einem Nachkonkurs liquidiert, sofern er als neu entdeckt im Sinne von Art. 269 Abs. 1 SchKG zu gelten hat (vgl. dazu BGE 116 III 96). Dabei findet Art. 260 SchKG entsprechende Anwendung (Art. 269 Abs. 3 SchKG; Jeandin, a.a.O., N. 4 zu Art. 269 SchKG). Der zweifelhafte Rechtsanspruch resp. das Anfechtungsrecht ist denjenigen Gläubigern, welche im Konkurs zu Verlust gekommen sind, zur Abtretung anzubieten (Matthias Staehelin, in: Basler Kommentar, SchKG III, 1998, N. 22 zu Art. 269 SchKG). Im Nachkonkurs ist Art. 573 Abs. 2 ZGB ebenfalls grundsätzlich anwendbar (Zustimmung der I. zivilrechtlichen und der I. sozialrechtlichen Abteilung im Verfahren nach Art. 23 Abs. 2 BGG). Es kann offenbleiben, ob dasselbe auch für Art. 196 SchKG gilt und ein Erbberechtigter vor Schluss des Verfahrens den Antritt der Erbschaft in Bezug auf einen neu entdeckten zweifelhaften Rechtsanspruch nach Art. 269 Abs. 3 SchKG erklären kann. Es bestehen keine Anhaltspunkte, dass die am Recht stehende ältere Tochter des Verstorbenen in diesem Sinne vorgegangen war.
Aus dem Vorstehenden ergibt sich, dass S._ weder erbrechtlich noch konkursrechtlich auf mehr als den Anteil am Überschuss in der Liquidation der ausgeschlagenen Erbschaft ihres verstorbenen Vaters Anspruch hat. Insbesondere hat sie kein eigenes Recht, die - im Original dem Erbschaftsamt eröffneten - Verfügungen vom 27. Februar 2006 anzufechten und allenfalls höhere Rentenleistungen zu erstreiten. Eine Beschwerdeführung "pro Adressat" (BGE 131 V 298 E. 4 S. 300) fällt schon deshalb ausser Betracht, weil die Forderungen der Gläubiger durch die zugesprochenen Rentenleistungen von Fr. 97'612.- vollumfänglich gedeckt wurden. Somit besteht im erb- und konkursrechtlichen Kontext auch kein schutzwürdiges Interesse im Sinne von Art. 48 VwVG, Art. 59 ATSG und Art. 89 Abs. 1 BGG der am Recht stehenden Tochter des verstorbenen Versicherten an der Geltendmachung einer höheren Rente in einem Einsprache- und verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren (Zustimmung der I. zivilrechtlichen und der I. sozialrechtlichen Abteilung im Verfahren nach Art. 23 Abs. 2 BGG).
2.3 Ob die Ausschlagung der Erbschaft durch S._ sinngemäss als nichtiger und daher unwirksamer Verzicht auf Versicherungsleistungen nach Art. 23 Abs. 1 ATSG aufzufassen ist mit der Folge, dass sie gleichwohl berechtigt ist, die Zusprechung lediglich einer befristeten Kinderrente zur Rente ihres verstorbenen Vaters anzufechten, kann offenbleiben. Selbst wenn dies zu bejahen wäre, ergäbe sich daraus nichts zu ihren Gunsten. Gemäss Verteilungsplan im Konkurs des Nachlasses des verstorbenen Versicherten vom 19. Oktober 2006 wurden alle eingegebenen und kollozierten Forderungen, insbesondere für unbezahlt gebliebene und von der Sozialhilfe bevorschusste Alimente, vollumfänglich gedeckt. Durch die Ausschlagung der Erbschaft wurden somit keine im Sinne von Art. 23 Abs. 2 ATSG schutzwürdigen Interessen von anderen Personen, von Versicherungen oder Fürsorgestellen beeinträchtigt (vgl. dazu Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 16 ff. zu Art. 23 ATSG und SVR 2006 AHV Nr. 2, H 234/04 E. 6.1 und 6.2).
2.4 Die Einsprache- und Beschwerdeberechtigung von S._, bis zur Mündigkeit ausgeübt durch ihre Mutter als gesetzliche Vertreterin, danach in eigenem Namen, ergibt sich auch nicht daraus, dass unter der Voraussetzung von Art. 18 lit. d BVG Anspruch auf eine Waisenrente der obligatorischen beruflichen Vorsorge nach Art. 20 BVG besteht. Ein erleichterten Voraussetzungen unterliegender reglementarischer Anspruch auf Hinterlassenenleistungen wird nicht geltend gemacht. Der Anspruch auf eine Waisenrente nach Art. 20 BVG fällt nicht in den Nachlass (BGE 129 III 305 E. 2.1 S. 307; vgl. auch BGE 134 V 15 E. 2.3.3 S. 17). Wie in E. 1 dargelegt, präjudiziert indessen der von der IV-Stelle festgesetzte Leistungsbeginn am 1. April 2000 den berufsvorsorgerechtlich relevanten Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (aArt. 23 BVG), nicht. Dasselbe gilt somit auch in Bezug auf die für eine Waisenrente massgebende Frage, ob der Verstorbene im Zeitpunkt des Todes Anspruch auf eine Invalidenrente der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge hatte. Darüber hat gegebenenfalls auf Klage hin das örtlich zuständige Berufsvorsorgegericht nach Art. 73 BVG zu entscheiden.
2.5 Schliesslich wird zu Recht nicht geltend gemacht, die Mutter von S._ sei zur Anfechtung der Verfügungen vom 27. Februar 2006 mit Einsprache und des Einspracheentscheides vom 22. August 2007 mit Beschwerde in eigenem Namen berechtigt gewesen. Selbst bei gegebenem Anspruch auf Drittauszahlung der Kinderrente (Art. 35 Abs. 4 IVG in Verbindung mit Art. 82 IVV und Art. 71ter AHVV; BGE 134 V 15 E. 2.3.4 S. 17) hatte sie keine über den Auszahlungsmodus hinausgehende, den Leistungsanspruch als solchen grundsätzlich und umfangmässig betreffende Beschwerdebefugnis (BGE 130 V 560 E. 4.2 S. 568; vgl. auch SVR 2002 IV Nr. 5 S. 11, I 245/01 E. 4b und BGE 135 V 2 E. 1.1 S. 4).
Als Ergebnis ist festzuhalten, dass die IV-Stelle nicht auf die Einsprache gegen die Verfügungen vom 27. Februar 2006 hätte eintreten dürfen und die Vorinstanz die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 22. August 2007 mit dieser Begründung hätte abweisen müssen (vgl. BGE 129 V 289). Von einer förmlichen Aufhebung der vorinstanzlichen Entscheide wird indessen abgesehen, auch aus prozessualen Gründen.
3. Bei diesem Prozessausgang ist das vom Rechtsvertreter der Beschwerdeführerinnen in eigenem Namen gestellte Begehren um Zusprechung einer Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren von Fr. 2'150.- zuzüglich Auslagen von Fr. 150.- und 7,6 % Mehrwertsteuer im Falle des Obsiegens obsolet. Hingegen muss die vorinstanzliche Kosten- und Entschädigungsregelung bestehen bleiben, weil ihre Aufhebung mit Art. 107 Abs. 1 BGG nicht vereinbar wäre.
4. Die Beschwerdeführerinnen als unterliegende Partei haben grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 BGG; BGE 125 V 201 E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden den Beschwerdeführerinnen auferlegt, indes einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
3. Advokat Jürg Tschopp wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerinnen bestellt und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'200.- ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, der Pensionskasse X._ AG und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Dezember 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler