Sachverhalt:
A. In der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zürich 6 gegen X._ ersuchte Z._ mit Eingabe vom 29. Juni 2011 den Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirksgerichts Zürich um definitive Rechtsöffnung.
B. Mit Schreiben vom 4. Juli 2011 lud das Bezirksgericht Zürich, Einzelgericht Audienz, X._ zwecks mündlicher Stellungnahme zum Rechtsöffnungsgesuch auf den 9. August 2011 zu einer Verhandlung vor. Am 29. Juli 2011 überbrachte X._ dem Bezirksgericht ein Gesuch um Verschiebung des Termins vom 9. August 2011. Das Bezirksgericht wies dieses Gesuch gleichentags ab. Dagegen erhob X._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich (Eingabe vom 15. September 2011).
C. In Abwesenheit von X._ erteilte das Bezirksgericht Z._ in der Betreibung ... des Betreibungsamts Zürich 6 für Fr. 53'766.-- nebst Zins zu 5 % seit 27. August 2010 die definitive Rechtsöffnung; X._s Armenrechtsgesuch wies es ab (Verfügung und Urteil vom 9. August 2011). X._ nahm diese Entscheide am 19. September 2011 in Empfang und erhob dagegen mit Eingabe vom 29. September 2011 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich.
D. Das Obergericht trat auf die Beschwerde vom 15. September 2011 (Bst. B) nicht ein und wies diejenige vom 29. September 2011 (Bst. C) ab; desgleichen X._s Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren (Urteil vom 17. November 2011).
E. Mit Eingabe vom 1. Februar 2012 wendet sich X._ ("Beschwerdeführer") an das Bundesgericht. Er beantragt, die Vorladung des Bezirksgerichts Zürich vom 4. Juli 2011 "abzunehmen, die Fristen wiederherzustellen und zur Hauptverhandlung neu vorzuladen". Die Verfügung des Bezirksgerichts vom 29. Juli 2011 und dessen Entscheide vom 9. August 2011 seien "ex tunc nichtig zu erklären" und aufzuheben; ebenso das Urteil des Obergerichts vom 17. November 2011. Weiter ersucht der Beschwerdeführer darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Schliesslich stellt er das Begehren, eine öffentliche Hauptverhandlung durchzuführen und "die Namen der untersuchenden, beratenden, beurteilenden & verkündenden Personen selbstverständlich bekannt zu geben".
Den zuletzt wiedergegebenen Antrag wies das Bundesgericht mit Mitteilung vom 6. Februar 2012 ab. Indes erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde mit Verfügung vom 24. Februar 2012 die aufschiebende Wirkung zu.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, in der Sache jedoch keine Vernehmlassung eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1 S. 216; 134 III 115 E. 1 S. 117, je mit Hinweisen).
1.2 Die rechtzeitig eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer vermögensrechtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurssache, deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 100 BGG). Soweit das Obergericht die kantonale Beschwerde gegen das Urteil und die Verfügung des Bezirksgerichts vom 9. August 2011 (s. Sachverhalt Bst. C) abweist, ist sein Urteil ein Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG. Dagegen ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
1.3 Das Obergericht hat auch die Beschwerde gegen die Verfügung vom 29. Juli 2011 (s. Sachverhalt Bst. B) beurteilt, mit der das Bezirksgericht das Gesuch des Beschwerdeführers um Verschiebung der auf den 9. August 2011 anberaumten Rechtsöffnungsverhandlung abgelehnt hatte. Nachdem die Verhandlung am 9. August 2011 aber stattgefunden und das Bezirksgericht Z._ ("Beschwerdegegnerin") die Rechtsöffnung gleichentags erteilt hat, kommt dem Streit um die Verschiebung der Verhandlung allein keine selbständige Bedeutung mehr zu; die in diesem Zusammenhang erhobenen Vorwürfe prüft das Bundesgericht im Rahmen der Beurteilung der Beschwerde gegen den Endentscheid (E. 1.2).
1.4 Soweit der Beschwerdeführer beantragt, die erstinstanzlichen Entscheide des Bezirksgerichts aufzuheben bzw. nichtig zu erklären, ist auf seine Beschwerde nicht einzutreten, denn vor Bundesgericht ist nur der Entscheid der letzten kantonalen Instanz anfechtbar (Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.5 Der Beschwerdeführer verlangt, es sei ein Verfahren gemäss Art. 6 Ziff. 1-3 i.Vm. Art. 13 EMRK "[mit] dem gesetzlich zuständigen Richter gemäss Art. 265a SchKG mit öffentlicher Hauptverhandlung unverzüglich durchzuführen". Was er damit genau meint, bleibt unklar. Soweit er die Durchführung einer mündlichen Parteiverhandlung vor Bundesgericht (Art. 57 BGG) verlangt, begründet er seinen Antrag nicht näher, so dass darauf nicht eingetreten werden könnte. Bezieht sich das Begehren hingegen auf die neue Hauptverhandlung, die gemäss Ziffer 1 seiner Anträge anberaumt werden soll, so käme dem Antrag keine eigenständige Bedeutung zu.
1.6 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (BGE 134 III 102 E. 1.1 S. 104 f.; s. auch Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. BGE 121 III 397 E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Allgemein gehaltene Einwände, die er ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorbringt, genügen nicht (BGE 116 II 745 E. 3 S. 749).
Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt überdies das Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Bei alledem ist das Bundesgericht an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann der Beschwerdeführer lediglich einwenden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (BGE 133 II 249 E. 1.2.2. S. 252, mit Hinweisen), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1), was wiederum präzise geltend zu machen ist (Rügeprinzip; Art. 106 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, gemäss Art. 56 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 SchKG dürfen Betreibungshandlungen nicht während der Betreibungsferien, nämlich vom 15. Juli bis und mit dem 15. August vorgenommen werden. Die "Terminierung einer betreibungsrechtlichen Verhandlung auf den 09.08.2011 während der Betreibungsferien [sei] bereits gesetzeswidrig erfolgt" und erfülle den "Tatbestand der unrichtigen Rechtsanwendung".
2.2 Soweit der Beschwerdeführer damit behauptet, die Rechtsöffnungsverhandlung sei auf einen Termin in den Betreibungsferien gelegt worden, verkennt er, dass diese gemäss der gegenwärtig massgeblichen Fassung von Art. 56 Ziff. 2 SchKG vom 15. Juli bis zum 31. Juli dauern. Zwar bestimmt die Schweizerische Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008 (ZPO; SR 272) in Anhang 1 Ziffer II 17, dass Art. 56 SchKG abgeändert wird. Gemäss dieser neuen, in Art. 56 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 SchKG enthaltenen und auch vom Beschwerdeführer zitierten Fassung dauern die Betreibungsferien vom 15. Juli bis zum 15. August. In seinem Beschluss zur Inkraftsetzung der ZPO vom 31. März 2010 hat der Bundesrat den erwähnten Artikel 56 SchKG allerdings nicht in Kraft gesetzt (AS 2010 1836), womit die alte Fassung von Art. 56 SchKG weiterhin gilt und die Betreibungsferien am 31. Juli enden. Nachdem der Beschwerdeführer dieses Vorgehen nicht in Frage stellt, erübrigen sich diesbezügliche Weiterungen.
3. Zu prüfen ist weiter, wie es um die Zustellung der Vorladung zur Gerichtsverhandlung vom 9. August 2011 bestellt ist, denn der Beschwerdeführer beruft sich auch darauf, diese sei ihm während der Betreibungsferien am 28. Juli 2011 zugestellt worden.
3.1 Die bezirksgerichtliche Vorladung zur Rechtsöffnungsverhandlung datiert vom 4. Juli 2011. Der Versand am selben Tag erfolgte - auch unter Berücksichtigung der vom 15. bis 31. Juli dauernden Betreibungsferien - rechtzeitig im Sinne von Art. 134 ZPO, das heisst mehr als zehn Tage vor dem Erscheinungstermin vom 9. August 2011. Wann die Vorladung dem Beschwerdeführer zugestellt wurde, lässt sich dem angefochtenen Entscheid allerdings nicht entnehmen. Weil der Beschwerdeführer mit einem Rechtsöffnungsverfahren bzw. mit der Zustellung richterlichen Verfügungen nicht rechnen musste, kann die Zustellung der Vorladung jedenfalls nicht gestützt auf Art. 138 Abs. 3 lit. a ZPO als am siebten Tag nach dem erfolglosen Zustellungsversuch erfolgt gelten (vgl. daz Urteil 5D_130/2011 vom 22. September 2011 E. 2.1). Abzustellen ist demnach auf den Tag des 28. Juli 2011, an dem der Beschwerdeführer die Vorladung seinen eigenen Angaben zufolge entgegengenommen hat. Die Zustellung der Vorladung vom 4. Juli 2011 ist also während der Betreibungsferien erfolgt.
3.2 Damit stellt sich die Frage, ob die Zustellung der Vorladung zu einer mündlichen Rechtsöffnungsverhandlung überhaupt eine Betreibungshandlung im Sinne von Art. 56 Ziff. 2 SchKG ist. Diese Frage ist in der Lehre nicht unumstritten (bejahend etwa THOMAS BAUER, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs I, 2. Aufl. 2010, N 29a zu Art. 56 SchKG; kritisch demgegenüber PIERRE-ROBERT GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et faillite, 1999, Artikel 1-88, N 31 zu Art. 56 SchKG). Der kantonalen Rechtsprechung lässt sich entnehmen, dass die Verfügung, mit welcher der Richter dem Schuldner eine Frist zur schriftlichen Stellungnahme zum Rechtsöffnungsgesuch setzt, als Betreibungshandlung im Sinne von Art. 56 SchKG qualifiziert wurde (Urteil des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 4. April 1997, in: BlSchK 1997 S. 193). Das Bundesgericht hat sich zur Thematik bis anhin nicht abschliessend geäussert, sondern lediglich erkannt, dass die Erteilung der Rechtsöffnung selbst als Betreibungshandlung anzusehen ist und deshalb während der Betreibungsferien weder eine mündliche Rechtsöffnungsverhandlung abgehalten noch die Rechtsöffnung ausgesprochen werden darf (BGE 115 III 91 E. 3a S. 93 mit Hinweisen). Welche Bewandtnis es mit der blossen Zustellung der Vorladung zu einer Rechtsöffnungsverhandlung hat, kann im vorliegenden Fall jedoch offenbleiben, und zwar aus folgendem Grund:
3.3 Selbst wenn der streitige prozessuale Akt als Betreibungshandlung im Sinne von Art. 56 Ziff. 2 SchKG anzusehen wäre, hätte dies jedenfalls nicht zur Folge, dass die Zustellung der Vorladung im Sinne von Art. 22 SchKG nichtig wäre. Vielmehr würde die Zustellung ihre Rechtswirkungen einfach am ersten Tag nach Ablauf der Betreibungsferien entfalten (BGE 121 III 284 E. 2b S. 285 mit Hinweisen) - in diesem Fall erst am 2. August 2011, denn der 1. August 2011 ist ein staatlich anerkannter Feiertag im Sinne von Art. 56 Ziff. 1 SchKG (Art. 1 Abs. 1 der Verordnung vom 30. Mai 1994 über den Bundesfeiertag; SR 116). Der Beschwerdeführer müsste sich durch die Zustellung der Vorladung also nicht vor Ablauf der Betreibungsferien stören lassen. Nachdem er aber nicht bestreitet, die Vorladung tatsächlich entgegengenommen zu haben, würde sich - falls von einer Betreibungshandlung auszugehen wäre - nur mehr die Frage stellen, ob ihm trotz der bis zum 2. August 2011 aufgeschobenen Rechtswirksamkeit der Zustellung noch genügend Zeit verblieben wäre, um sich auf die Rechtsöffnungsverhandlung vom 9. August 2011 vorzubereiten. In Anbetracht der Tatsache, dass der Rechtsöffnungsprozess im summarischen Verfahren durchzuführen ist (Art. 251 lit. a ZPO) und sogar die Konkursverhandlung nur drei Tage vorher angezeigt werden muss (Art. 168 SchKG), erscheint der Zeitraum von sieben Tagen nicht als zu kurz. Dass er damit nicht genügend Zeit gehabt hätte, seinen verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör wahrzunehmen, eine (formelle) Rechtsverweigerung mithin aus diesem Grund vorläge, macht der Beschwerdeführer jedenfalls nicht in einer Weise gelten, die den Anforderungen des Rügeprinzips (E. 1.6) genügen würde.
3.4 Soweit der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid mit dem Argument umzustossen versucht, die Vorladung zur Rechtsöffnungsverhandlung sei ihm in gesetzeswidriger Weise während der Betreibungsferien zugestellt worden, und daraus deren Nichtigkeit ableitet, erweist sich seine Beschwerde also als unbegründet.
4. Weiter wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht vor, es schütze die Verfügung vom 29. Juli 2011, mit der das Bezirksgericht seinen Antrag um Verschiebung abgewiesen hatte. Er stellt sich auf den Standpunkt, diese Verfügung vom 29. Juli 2011 sei nichtig. Die Nichtigkeit eines Entscheids ist jederzeit von sämtlichen rechtsanwendenden Behörden von Amtes wegen zu beachten (BGE 133 II 366 E. 3.1 S. 367). Im vorliegenden Fall hätte sie zur Folge, dass die Abweisung des Verschiebungsgesuchs als nicht erfolgt zu gelten hätte, die Rechtsöffnungsverhandlung demnach zu Unrecht in Abwesenheit des Beschwerdeführers durchgeführt worden wäre.
4.1 Der Beschwerdeführer erblickt den Nichtigkeitsgrund zunächst darin, dass die besagte Verfügung in Verletzung von Art. 238 lit. f ZPO, Art. 18 Abs. 2 der Verfassung des Kantons Zürich vom 27. Mai 2005 (KV/ZH), der Bundesverfassung, der EMRK und des Internationalen Paktes über bürgerliche und politische Rechte vom 16. Dezember 1966 (SR 0.103.2) keine Rechtsmittelbelehrung enthalte; darin liege auch eine Verletzung seines Anspruchs "auf formelles und materielles Gehör". Darüber hinaus will der Beschwerdeführer weitere Eröffnungsmängel ausgemacht haben, die einer Verletzung von Art. 238 ZPO gleichkommen: In der Verfügung sei keine Zusammensetzung des Gerichts und auch kein namentlich genannter Richter aufgeführt (Art. 238 lit. a ZPO); die Parteien würden nur mangelhaft und Vertreter überhaupt nicht genannt (Art. 238 lit. c ZPO). "In totaler Geheimjustiz" würden weder die Personen noch die Behörden genannt, denen die Verfügung mitzuteilen ist (Art. 238 lit. e ZPO). Ebenso fehle die Unterschrift des Gerichts im Sinne von Art. 238 lit. h ZPO, weil die unterzeichnende Kanzleisekretärin Y._ kein Gericht sei.
Nach der Rechtsprechung ist nicht jede mangelhafte Eröffnung, insbesondere auch nicht die Eröffnung ohne Rechtsmittelbelehrung, schlechthin nichtig. Aus dem Grundsatz, dass einer Partei aus einer mangelhaften Eröffnung keine Nachteile erwachsen dürfen, folgt vielmehr, dass dem beabsichtigten Rechtsschutz auch dann Genüge getan ist, wenn eine objektiv mangelhafte Eröffnung trotz des Mangels ihren Zweck erreicht. Das bedeutet nichts anderes, als dass im konkreten Einzelfall zu prüfen ist, ob die betroffene Partei durch den gerügten Eröffnungsmangel tatsächlich irregeführt und dadurch benachteiligt worden ist. In diesem Sinne findet die Berufung auf Formmängel ihre Grenzen am Grundsatz von Treu und Glauben, der auch in diesem prozessualen Bereich gilt (BGE 106 V 93 E. 2a S. 97). Im vorliegenden Fall war der - nach den Feststellungen des Obergerichts prozesserfahrene - Beschwerdeführer offensichtlich in der Lage, gegen die Verfügung vom 29. Juli 2011 rechtzeitig und gesetzeskonform ein Rechtsmittel zu ergreifen. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern dem Beschwerdeführer ein Nachteil daraus erwachsen ist, dass die angefochtene Verfügung keine Rechtsmittelbelehrung enthielt. Von einer Nichtigkeit kann keine Rede sein, ebenso wenig von einer Gehörsverletzung oder von einer Verletzung der in Art. 18 Abs. 2 KV/ZH enthaltenen Vorschrift, wonach die Parteien Anspruch auf einen begründeten Entscheid mit Rechtsmittelbelehrung haben. Denn auch auf Art. 18 Abs. 2 KV/ZH kann sich nur berufen, wem aus der Unterlassung der Rechtsmittelbelehrung ein Nachteil erwachsen ist (vgl. BGE 132 I 92 E. 1.6 S. 96). Soweit sich der Beschwerdeführer auf die Bundesverfassung, die EMRK und den Internationalen Pakt beruft, zeigt er nicht auf, welche Bestimmungen verletzt sein sollen; darauf ist nicht einzutreten.
Hinsichtlich der weiteren geltend gemachten Eröffnungsmängel erscheint fraglich, ob Art. 238 ZPO auf prozessleitende Verfügungen von der Art der hier streitigen überhaupt Anwendung findet. Denn gemäss ihrer systematischen Einordnung im Gesetz bezieht sich diese Vorschrift auf End- und auf Zwischenentscheide im Sinne von Art. 236 und 237 ZPO. Die Frage kann aber offenbleiben, denn auch die übrigen vorgetragenen Eröffnungsmängel hätten jedenfalls nicht die Nichtigkeit der Verfügung vom 29. Juli 2011 zur Folge, da keinerlei Anhaltspunkte dafür bestehen, dass der Beschwerdeführer dadurch irregeführt oder benachteiligt wurde.
4.2 Der Beschwerdeführer hält die Verfügung vom 29. Juli 2011 auch für nichtig im Sinne von Art. 22 SchKG. Es liege nicht im öffentlichen Interesse, wenn die Kanzleisekretärin Y._, die "ohne jegliche richterliche oder amtliche Kognitionsbefugnis den Tatbestand der Amtsanmassung" erfülle, die von ihm "unbestritten und unwiderlegt" eingereichten Beweismittel unterdrücke und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletze. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, welche Beweismittel im Einzelnen unterdrückt worden sein sollen. Ebenso wenig ist mit solch undifferenzierten Anwürfen an die Adresse der ersten Instanz eine Gehörsverletzung darzutun. Die erhobenen Vorwürfe entbehren mithin schon in tatsächlicher Hinsicht jeglicher Grundlage.
5. Schliesslich beharrt der Beschwerdeführer darauf, dass sein Gesuch vom 29. Juli 2011 um Verschiebung der Rechtsöffnungsverhandlung vom 9. August 2011 hätte gutgeheissen werden müssen.
5.1 Erneut beruft sich der Beschwerdeführer auf die Email vom 3. Mai 2011 betreffend seine Einschreibung für einen Kurs an der Harvard Medical School, die er seinem Verschiebungsgesuch beigelegt hatte, und auf die im Beschwerdeverfahren eingereichten Kopien von Boarding Pass-Abschnitten, die seine Flugreisen zwischen dem 29. Juli und 15. August 2011 aufzeigen. Mit der vorinstanzlichen Feststellung, dass die besagte Email keinen Aufschluss darüber gebe, ob er tatsächlich zum Kurs zugelassen wurde, setzt sich der Beschwerdeführer aber nicht auseinander. Die Boarding Pass-Abschnitte hat das Obergericht als echte Noven gestützt auf Art. 326 ZPO aus dem Recht gewiesen. Auch darauf geht der Beschwerdeführer mit keinem Wort ein. Stattdessen prangert er die Oberrichter als "absolut bösgläubig und realitätsfern" an und besteht darauf, dass "während der allgemeinen Ferienzeit nach gesundem Menschenverstand keine Flüge kurzfristig nach Wunsch zu erschwinglichen Preisen gebucht werden können"; wenn die Vorinstanz den Flugplan der Fluggesellschaft Swiss wiedergebe, garantiere dies "nach menschlichem Ermessen keinesfalls [...] die ohne Beweismittel behauptete Verfügbarkeit irgend eines freien Platzes". Weiter versucht er sich damit zu rechtfertigen, er habe bei den Anfang Mai 2011 erfolgten Buchungen über keinerlei Mitsprache verfügt und hätte sich ein kurzfristiges Flugticket gar nicht leisten können; auch hätten ihm die Vorinstanzen ausserplanmässig anfallende Kostenbeteiligungen nicht in Aussicht gestellt, obwohl die Reisedaten und seine Mittellosigkeit bekannt gewesen seien.
Allein mit derlei appellatorischen Vorbringen vermag der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid jedoch nicht zu erschüttern. Das Obergericht hielt fest, so lange ein Gericht ein Verschiebungsgesuch nicht beantwortet habe, müsse von der Gültigkeit der Vorladung ausgegangen werden; eine Partei könne einen gerichtlichen Termin nicht einfach mit der Begründung platzen lassen, sie sei nicht über die Ablehnung des Verschiebungsgesuchs orientiert worden. Daher habe sich der Beschwerdeführer selbst zuzuschreiben, wenn er es nach seiner am 29. Juli 2011 erfolgten Abreise in die USA unterliess, sich beim Gericht nach seinem Verschiebungsgesuch zu erkundigen. Dem hat der Beschwerdeführer nichts Substanzielles entgegenzusetzen. Insbesondere macht er auch nicht geltend, dass er nicht in der Lage gewesen wäre, während seiner Reise beim Bezirksgericht den Stand der Dinge in Erfahrung zu bringen.
5.2 Der Beschwerdeführer rügt auch eine Verletzung von Art. 135 lit. b ZPO, wonach das Gericht den Erscheinungstermin aus zureichenden Gründen verschieben kann, wenn es vor dem Termin darum ersucht wird. Weder in der ZPO "noch im entsprechenden Kommentar" sei eine Bedingung enthalten, wonach eine zu bevollmächtigende Drittperson als Vertretung bestimmt werden müsse. Eine solche Bedingung verletze auch Art. 6 Ziff. 3 EMRK, wonach er als Beschwerdeführer das Recht habe, sich selbst zu vertreten oder durch einen Anwalt seiner Wahl vertreten zu lassen; dazu gehöre auch der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Wenn es ihm entgegen dem im Verschiebungsgesuch gestellten Antrag keinen unentgeltlichen Rechtsbeistand bestelle, solle das Gericht es selbst verantworten müssen, dass er sich nicht habe vertreten lassen können.
Dass dem Beschwerdeführer die Verschiebung mit der Begründung verweigert worden wäre, er habe für die Rechtsöffnungsverhandlung vom 9. August 2011 keinen (Prozess-)Vertreter bestimmt, lässt sich weder dem angefochtenen Entscheid des Obergerichts noch der bezirksgerichtlichen Verfügung vom 29. Juli 2011 entnehmen. Der Grund für die - vom Obergericht bestätigte - Abweisung seines Verschiebungsgesuchs war, dass der Beschwerdeführer seine Abwesenheit am Verhandlungstermin nicht belegt hatte. Fehlte es aber an diesem Nachweis, so durfte das Bezirksgericht das Verschiebungsgesuch schon aus diesem Grund abweisen, und es kann offenbleiben, ob der Beschwerdeführer seine Rechte an der Verhandlung allenfalls durch eine andere Person hätte wahrnehmen können bzw. müssen. Im Übrigen vermöchte der Beschwerdeführer seine Abwesenheit am anberaumten Verhandlungstermin auch nicht damit zu entschuldigen, dass er um unentgeltliche Verbeiständung ersucht habe, diese aber nicht gewährt worden sei. Denn entgegen dem, was der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, folgt allein aus der Verweigerung einer verlangten Terminverschiebung keine Pflicht zur Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung.
6. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. In der Hauptsache bleibt es somit dabei, dass der Beschwerdegegnerin in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Zürich 6 für Fr. 53'766.-- nebst Zins zu 5 % seit 27. August 2010 die definitive Rechtsöffnung erteilt wird (s. Sachverhalt Bst. C). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen. Die Gerichtskosten sind deshalb dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerdegegnerin auf eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet hat und sich zur Hauptsache nicht zu vernehmen hatte, ist ihr keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn