wird festgestellt und in Erwägung gezogen:
1.- A._, jugoslawischer Staatsangehöriger montenegrinischer Herkunft, hält sich seit dem 20. September 1999 in der Schweiz auf. Das Bundesamt für Flüchtlinge lehnte sein Asylgesuch am 16. Mai 2001 ab und ordnete die Wegweisung an. Eine gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies die Schweizerische Asylrekurskommission am 5. Juli 2001 ab.
A._ hat die im Anschluss daran ergangene Anordnung, die Schweiz bis zum 31. Oktober 2001 zu verlassen, bis heute nicht befolgt. Seit dem 13. November 2001 galt er als untergetaucht; im Durchgangszentrum für Asylbewerber in S._ war er nicht mehr anzutreffen. Aus diesem Grund wurde er im Fahndungssystem RIPOL zwecks Ausschaffung ausgeschrieben.
Am 3. Januar 2002 wurde A._ polizeilich angehalten, dem Migrationsdienst des Kantons Bern zugeführt und von diesem gleichentags in Ausschaffungshaft genommen.
Die Haftrichterin 6 am Haftgericht III Bern-Mittelland prüfte und bestätigte die Haft am 7. Januar 2002. Ihren begründeten Entscheid eröffnete sie am 10. Januar 2002.
Hiergegen wandte sich A._ mit handschriftlicher, in serbokroatischer Sprache verfasster Eingabe vom 12. Januar 2002 an das Bundesgericht. Die Eingabe wurde von Amtes wegen übersetzt. A._ macht geltend, er könne nicht nach Jugoslawien zurück, weil er hier in der Schweiz eine Verlobte habe und weil er "vom Militär geflüchtet" sei, was bedeute, dass er sein "Land verraten" habe. Vor einem Transport nach Jugoslawien habe er Angst. Deshalb habe er "zwei Mal im Gefängnis einen Selbstmord versucht".
Die Haftrichterin 6 am Haftgericht III Bern-Mittelland sowie der Migrationsdienst des Kantons Bern schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Ausländerfragen hat sich innert Frist nicht geäussert. A._ hat von der Möglichkeit, sich ergänzend vernehmen zu lassen, nicht Gebrauch gemacht.
2.- Gegenstand des Entscheids der Haftrichterin ist einzig die Rechtmässigkeit und Angemessenheit der Haftanordnung (vgl. Art. 13c Abs. 2 ANAG). Vor dem Bundesgericht stellt sich damit lediglich die Frage der Rechtmässigkeit der Haft (vgl. Art. 104 lit. a und c OG). Namentlich ist das Bundesgericht nicht (auch nicht als Beschwerdeinstanz) zuständig, Asylbegehren zu beurteilen (vgl. insbesondere Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 OG). Auch den Wegweisungsentscheid kann es nur dann überprüfen, wenn er offensichtlich rechtswidrig ist (BGE 121 II 59 E. 2c).
Der Beschwerdeführer gelangt in erster Linie mit Anliegen (vgl. vorne Ziff. 1) an das Bundesgericht, welche die Asyl- und Wegweisungsfrage betreffen. Da es keine Anhaltspunkte für eine offensichtliche Rechtswidrigkeit des Wegweisungsentscheides gibt, kann nach dem Gesagten insoweit auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
3.-a) Die zuständige Behörde kann einen Ausländer in Ausschaffungshaft nehmen, sofern die Voraussetzungen von Art. 13b ANAG erfüllt sind. Danach ist im Einzelnen unter anderem erforderlich, dass ein erstinstanzlicher, nicht notwendigerweise auch rechtskräftiger Weg- oder Ausweisungsentscheid vorliegt (vgl. BGE 121 II 59 E. 2 S. 61; 125 II 369 E. 3a S. 374; 122 II 148 E. 1 S. 150), dessen Vollzug (z.B.
wegen fehlender Reisepapiere) noch nicht möglich, jedoch absehbar ist (BGE 125 II 369 E. 3a S. 374, 377 E. 2a S. 379).
Sodann muss einer der in Art. 13b Abs. 1 ANAG genannten Haftgründe bestehen (BGE 125 II 369 E. 3a S. 374, 377 E. 3a S. 381; 124 II 1 E. 1 S. 3) und die Ausschaffung rechtlich und tatsächlich möglich sein (vgl. Art. 13c Abs. 5 lit. a ANAG; dazu BGE 125 II 217 E. 2 S. 220, 377 E. 5 S. 384). Auf Seiten der Behörden sind die für den Vollzug der Wegweisung notwendigen Vorkehrungen (wie Identitäts- und Herkunftsabklärungen, Papierbeschaffung) umgehend zu treffen (Art. 13b Abs. 3 ANAG, Beschleunigungsgebot; vgl. BGE 124 II 49 ff.).
b) Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren weggewiesen worden. Die gegen ihn angeordnete Ausschaffungshaft dient der Sicherstellung des Wegweisungsvollzugs und damit dem vom Gesetz vorgesehenen Zweck. Wiewohl die für eine Rückreise nach Jugoslawien notwendigen Dokumente noch nicht vorliegen, erscheint die Heimreise tatsächlich möglich, und es stehen dem Wegweisungsvollzug auch keine rechtlichen Hindernisse entgegen. Sodann lässt sich den schweizerischen Behörden nicht vorwerfen, sie hätten es unterlassen, die für den Vollzug der Wegweisung notwendigen Vorkehrungen zu treffen.
Der Beschwerdeführer, dessen Reisepass angeblich von den italienischen Behörden zurückbehalten werden soll, hat sich an der Haftrichterverhandlung vom 7. Januar 2002 ausdrücklich damit einverstanden erklärt, dass die Fremdenpolizei Bern mit der Questura von B._ - wo sich der Reisepass befinden soll - Kontakt aufnimmt. Unter diesen Voraussetzungen ist das Beschleunigungsgebot nicht verletzt (vgl. dazu BGE 124 II 49 E. 3a S. 50 f.).
Es ist nachfolgend noch zu prüfen, ob die Haft sich auf einen der gesetzlichen Haftgründe stützen lässt.
c) Die Haftrichterin stützt die Haft auf den Haftgrund von Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG. Danach ist Ausschaffungshaft dann zulässig, wenn konkrete Anzeichen befürchten lassen, dass der Ausländer sich der Ausschaffung entziehen will, insbesondere weil sein bisheriges Verhalten darauf schliessen lässt, dass er sich behördlichen Anordnungen widersetzt (Untertauchensgefahr). Dabei muss der Vollzug der Wegweisung erheblich gefährdet erscheinen. Dies trifft namentlich zu, wenn der Ausländer bereits einmal untergetaucht ist, behördlichen Anordnungen keine Folge leistet oder durch erkennbar unglaubwürdige und widersprüchliche Angaben die Vollzugsbemühungen der Behörden erschwert (vgl. BGE 122 II 49 E. 2a; 119 Ib 193 E. 2b S. 198).
Der Beschwerdeführer bemühte sich - wiewohl er die Schweiz bis zum 31. Oktober 2001 hätte verlassen müssen - nicht um die notwendigen Reisepapiere. Im Gegenteil machte er gegenüber den Behörden - und auch in der Beschwerde an das Bundesgericht - geltend, nicht in sein Heimatland zurückkehren zu wollen. Vielmehr beabsichtigt er, bei seiner Freundin in der Schweiz zu leben, zu welcher er nach seinem Untertauchen offenbar gezogen ist (vgl. Festnahmerapport vom 3. Januar 2002). Hier ist der Beschwerdeführer überdies straffällig geworden: Am 8. Januar 2001 verurteilte ihn das Bezirksamt Zofingen wegen Verletzung von Verkehrsregeln und wegen Fälschens des Führerausweises zu zehn Tagen Gefängnis.
Im Kanton Zürich wurde A._ zu weiteren Bussen wegen Verstössen gegen das Strassenverkehrsgesetz und gegen das Betäubungsmittelgesetz verurteilt. Er unterliess es jedoch, diese Bussen zu bezahlen, weshalb er bereits zum Strafantritt (54 Tage Haft) vorgeladen worden ist. An der Haftrichterverhandlung vom 7. Januar 2002 erklärte der Beschwerdeführer jedoch, er sei nicht bereit, diese Strafe "abzusitzen".
Zu weiteren drei Monaten Gefängnis (bedingt) wurde A._ schliesslich am 31. Juli 2001 verurteilt, weil er u.a. ein Fahrzeug entwendet hatte.
Somit sind - angesichts des gesamten bisherigen Verhaltens des Beschwerdeführers - die von der Rechtsprechung zum einzigen von der Haftrichterin ausdrücklich angerufenen Haftgrund von Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG entwickelten Kriterien erfüllt (vgl. BGE 122 II 49 E. 2a S. 50 f.).
d) Der Beschwerdeführer ist möglicherweise psychisch angeschlagen (vgl. Beschwerde Ziff. 2 sowie Disziplinarverfügung der Gefängnisleitung vom 6. Januar 2002, woraus hervorgeht, dass A._ bereits dem Gefängnispsychiater vorgeführt worden ist).
Einen psychisch Kranken im ordentlichen Haftregime zu belassen, kann gegen das Gebot verstossen, wonach die Haft in geeigneten Räumlichkeiten zu vollziehen ist (unveröffentlichtes Urteil vom 15. Januar 2002 i.S. C., E. 3d).
Dies hat die Haftrichterin aber nicht ausser Acht gelassen und festgestellt, die allenfalls drohende Suizidgefährdung könne durch Inanspruchnahme des Gefängnis-Pflegedienstes bzw. mittels einer Verlegung in die Anstalt Witzwil wirksam gebannt werden. Es gibt keinen Grund, an dieser Beurteilung zu zweifeln.
e) Die Anordnung der Ausschaffungshaft erweist sich daher als mit dem Bundesrecht vereinbar. Dass deren Dauer in der Urteilsformel des angefochtenen Entscheids nicht festgehalten ist, ändert nichts. Es ist davon auszugehen, dass die Haftrichterin sie stillschweigend auf die in der ersten Phase zulässige Höchstdauer von drei Monaten (vgl. Art. 13b Abs. 2 ANAG) festgesetzt hat, was im konkreten Fall als angemessen erscheint.
4.- a) Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 36a OG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
b) Bei diesem Verfahrensausgang würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Es rechtfertigt sich jedoch mit Blick auf seine offensichtliche Mittellosigkeit, von der Erhebung einer Gerichtsgebühr abzusehen (Art. 153a Abs. 1 OG).
c) Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, sicherzustellen, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1.-Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.-Es werden keine Kosten erhoben.
3.-Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland sowie dem Bundesamt für Ausländerfragen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Januar 2002
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: