Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. G._ war vom 1. März 2001 bis 30. September 2003 bei der Firma G._ GmbH angestellt gewesen. Vom 18. August 2004 bis 31. Dezember 2006 bezog sie von der Öffentlichen Arbeitslosenkasse (ÖAK) Basel-Landschaft Arbeitslosentaggelder. Nachdem G._ auf den 1. Januar 2006 ihren Wohnsitz nach B._ verlegte, meldete sie sich bei der ÖAK Basel-Stadt an. Mit Verfügung vom 3. Februar 2006 verneinte diese einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung wegen fehlender Beitragszeit. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 7. März 2006 fest.
A. G._ war vom 1. März 2001 bis 30. September 2003 bei der Firma G._ GmbH angestellt gewesen. Vom 18. August 2004 bis 31. Dezember 2006 bezog sie von der Öffentlichen Arbeitslosenkasse (ÖAK) Basel-Landschaft Arbeitslosentaggelder. Nachdem G._ auf den 1. Januar 2006 ihren Wohnsitz nach B._ verlegte, meldete sie sich bei der ÖAK Basel-Stadt an. Mit Verfügung vom 3. Februar 2006 verneinte diese einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung wegen fehlender Beitragszeit. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 7. März 2006 fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt ab (Entscheid vom 31. Oktober 2006).
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt ab (Entscheid vom 31. Oktober 2006).
C. G._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es seien ihr unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids ab 1. Januar 2006 Arbeitslosentaggelder auszurichten; ferner sei ihr die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren.
Die kantonale Amtsstelle für Arbeitslosenversicherung schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Staatssekretariat für Wirtschaft auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Damit wurden das Eidg. Versicherungsgericht und das Bundesgericht in Lausanne zu einem einheitlichen Bundesgericht (an zwei Standorten) zusammengefügt (Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, S. 10 Rz. 75) und es wurde die Organisation und das Verfahren des obersten Gerichts umfassend neu geregelt. Dieses Gesetz ist auf die nach seinem Inkrafttreten eingeleiteten Verfahren des Bundesgerichts anwendbar, auf ein Beschwerdeverfahren jedoch nur dann, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ergangen ist (Art. 132 Abs. 1 BGG). Da der kantonale Entscheid am 31. Oktober 2006 und somit vor dem 1. Januar 2007 erlassen wurde, richtet sich das Verfahren nach dem bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) vom 16. Dezember 1943 (vgl. BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395).
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Damit wurden das Eidg. Versicherungsgericht und das Bundesgericht in Lausanne zu einem einheitlichen Bundesgericht (an zwei Standorten) zusammengefügt (Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, S. 10 Rz. 75) und es wurde die Organisation und das Verfahren des obersten Gerichts umfassend neu geregelt. Dieses Gesetz ist auf die nach seinem Inkrafttreten eingeleiteten Verfahren des Bundesgerichts anwendbar, auf ein Beschwerdeverfahren jedoch nur dann, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ergangen ist (Art. 132 Abs. 1 BGG). Da der kantonale Entscheid am 31. Oktober 2006 und somit vor dem 1. Januar 2007 erlassen wurde, richtet sich das Verfahren nach dem bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) vom 16. Dezember 1943 (vgl. BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395).
2. 2.1 Das kantonale Sozialversicherungsgericht hat die gesetzlichen Voraussetzungen für den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung (Art. 8 ff. AVIG) und auf Kurzarbeitsentschädigung (Art. 31 ff. AVIG) sowie die Rechtsprechung zum Ausschluss von Personen in arbeitgeberähnlicher Stellung vom Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung bei missbräuchlicher Umgehung der Vorschriften über die Kurzarbeitsentschädigung (BGE 123 V 234 E. 7 S. 237) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Zu ergänzen ist die analoge Anwendung dieser Regelung auf Ehegatten arbeitgeberähnlicher Personen, welche Arbeitslosenentschädigung verlangen (BGE 123 V 234 E. 7 S. 237).
2.2 Gemäss einem allgemeinen Grundsatz des Sozialversicherungsrechts kann die Verwaltung eine formell rechtskräftige Verfügung, welche nicht Gegenstand materieller richterlicher Beurteilung gebildet hat, in Wiedererwägung ziehen, wenn sie zweifellos unrichtig und ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (BGE 127 V E. 2c S. 469) und zwar unabhängig davon, ob die erbrachten Leistungen förmlich oder formlos verfügt worden sind (BGE 129 V 110 E. 1.1 S.110).
Die für die Wiedererwägung rechtskräftiger Verfügungen vorausgesetzte zweifellose Unrichtigkeit liegt praxisgemäss vor, wenn kein vernünftiger Zweifel daran möglich ist, dass die Verfügung unrichtig war. Es ist nur ein einziger Schluss - derjenige auf die Unrichtigkeit der Verfügung - möglich.
Von der Wiedererwägung ist die prozessuale Revision von Verwaltungsverfügungen zu unterscheiden. Danach ist die Verwaltung verpflichtet, auf eine formell rechtskräftige Verfügung zurückzukommen, wenn neue Tatsachen oder neue Beweismittel entdeckt werden, die geeignet sind, zu einer anderen rechtlichen Beurteilung zu führen (BGE 127 V 466 E. 2c S. 469).
Von der Wiedererwägung ist die prozessuale Revision von Verwaltungsverfügungen zu unterscheiden. Danach ist die Verwaltung verpflichtet, auf eine formell rechtskräftige Verfügung zurückzukommen, wenn neue Tatsachen oder neue Beweismittel entdeckt werden, die geeignet sind, zu einer anderen rechtlichen Beurteilung zu führen (BGE 127 V 466 E. 2c S. 469).
3. Unbestrittenermassen war die Beschwerdeführerin vom 1. März 2001 bis 30. September 2003 bei der X._ Restaurants GmbH angestellt. Nach einem am 16. September 2001 erlittenen Unfall bezog sie bei einer 100%igen Arbeitsunfähigkeit Unfalltaggelder bis 30. September 2003. Mit Verfügung vom 28. April 2005 sprach die IV-Stelle Basel-Landschaft der Beschwerdeführerin eine ganze Rente vom 1. September 2002 bis 31. Januar 2003 und eine halbe Rente vom 1. Februar 2003 bis 31. Mai 2004 zu. Danach wurde eine Arbeitsfähigkeit bei leichter und mittelschwerer Arbeit von 100 % angenommen. Im Antrag auf Arbeitslosenentschädigung vom 26. August 2004 gab die Versicherte an, bereit und in der Lage zu sein, im Umfang von 70 % einer Tätigkeit nachzugehen. Parallel war die Beschwerdeführerin seit 29. Januar 2001 im Handelsregister als Einzelzeichnungsberechtigte der Firma X._ Restaurants GmbH eingetragen. Ihr Ehemann war im Handelsregister als Gesellschafter und Geschäftsführer mit Einzelunterschrift vom 28. Juni 1998 bis zur Auflösung der Firma am 22. September 2005 eingetragen. Nach erfolgtem Kassenwechsel verneinte die ÖAK Basel-Stadt mit Verfügung vom 3. Februar 2006 einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung mit der Begründung, dass auf Grund der arbeitgeberähnlichen Stellung am 18. August 2004 keine Rahmenfrist hätte eröffnet werden dürfen. Die arbeitgeberähnliche Stellung sei erst nach Auflösung der Firma am 22. September 2005 aufgegeben worden. Jedoch erfülle die Versicherte ab diesem Zeitpunkt nicht mehr die erforderliche Mindestbeitragszeit, weshalb auch ab 1. Januar 2006 kein Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung bestehe.
3.1 Im vorliegenden Fall ist hinsichtlich der formlosen Verfügung, mit welcher der Versicherten ab 18. August 2004 Taggelder der Arbeitslosenversicherung ausgerichtet worden sind, keine die prozessuale Revision der Verfügung begründende neue Tatsache eingetreten. Hingegen ist zu prüfen, ob die ÖAK Basel-Stadt mit Verfügung vom 3. Februar 2006 die erfolgte Zusprechung von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung ab dem 18. August 2004 durch die ÖAK Basel-Landschaft in Wiedererwägung ziehen durfte.
Grundsätzlich ist der ÖAK Basel-Stadt darin beizupflichten, dass die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Eröffnung der Rahmenfrist Ehegattin einer arbeitgeberähnlichen Person war, was zu einer näheren Prüfung der Anspruchsvoraussetzungen hätte Anlass geben sollen. Zwischen der Aufgabe der Tätigkeit bei der X._ Restaurants GmbH und der Anmeldung bei der Arbeitslosenversicherung vergingen jedoch fast drei Jahre. Die Versicherte war vom 18. September 2001 bis 31. Januar 2003 zu 100 % arbeitsunfähig und bezog in der Folge noch bis 31. Mai 2004 eine halbe Invalidenrente. Gestützt auf diesen Sachverhalt ist eine rechtsmissbräuchliche Umgehung der Vorschriften über die Kurzarbeitsentschädigung zumindest fraglich. Diese besonderen Umstände bewirken, dass die Eröffnung der Rahmenfrist ab 18. August 2004 nicht als offensichtlich unrichtig qualifiziert werden kann, weshalb die ÖAK Basel-Stadt diese nicht in Wiedererwägung ziehen durfte.
3.2 Zu prüfen bleibt, ob die Versicherte in der laufenden Rahmenfrist vom 18. August 2004 bis 17. August 2006 ab 1. Januar 2006 Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung hat. Wie in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde richtig dargelegt ist, kann der Vorinstanz nicht gefolgt werden, dass die Beschwerdeführerin selber eine arbeitgeberähnliche Stellung inne hatte. Dem Handelsregister-Auszug ist zu entnehmen, dass sie einzelzeichnungsberechtigt war und die Firma am 22. September 2005 aufgelöst wurde. Zu keinem Zeitpunkt war sie Gesellschafterin, Geschäftsführerin oder Liquidatorin, weshalb die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück geht, damit sie die übrigen Voraussetzungen für die Ausrichtung von Arbeitslosenentschädigung prüft.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Präsidenten des Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt vom 31. Oktober 2006 aufgehoben wird und die Sache an die Arbeitslosenkasse Basel-Stadt zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Präsidenten des Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt vom 31. Oktober 2006 aufgehoben wird und die Sache an die Arbeitslosenkasse Basel-Stadt zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Arbeitslosenkasse Basel-Stadt hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.- (einschliesslich Mehrwertssteuer) zu bezahlen.
3. Die Arbeitslosenkasse Basel-Stadt hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.- (einschliesslich Mehrwertssteuer) zu bezahlen.
4. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wird über eine Parteientschädigung für das letztinstanzliche Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses zu befinden haben.
4. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wird über eine Parteientschädigung für das letztinstanzliche Verfahren entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses zu befinden haben.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 24. Juli 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: