Sachverhalt:
A. Auf sein eigenes Begehren wurde X._ mit Beschluss vom 30. November 2010 vom Bezirksrat Horgen entmündigt und unter Vormundschaft gestellt. Das Amt des Vormundes hat die Behörde A._ vom Zweckverband B._ übertragen.
B. Schon bei Errichtung der Vormundschaft war zwischen X._ und seinen Geschwistern C._ und D._ am Bezirksgericht Horgen ein Prozess betreffend die Teilung des elterlichen Nachlasses hängig. Dieser setzt sich aus der Liegenschaft E._strasse xx in Y._ im Schätzwert von Fr. 800'000.-- und einem Wertschriftenkonto mit Kontostand Fr. 685.97 per 31. Mai 2011 zusammen. In der Folge führten der Vormund, C._ und D._ erfolglos Vergleichsverhandlungen. Schliesslich beauftragten sie Rechtsanwalt F._, einen Vergleich auszuarbeiten. Dieser Anwalt hatte C._ und D._ im Erbteilungsprozess vor dem Bezirksgericht Horgen vertreten, war im Zeitpunkt der Vormundschaftserrichtung aber nicht mehr deren Vertreter. Am 31. August, 2. und 6. September 2011 unterzeichneten der Vormund für X._ und die beiden Geschwister einen Erbteilungsvertrag. Auf Antrag des Vormundes stimmte die Sozialbehörde Y._ dem Vertrag mit Beschluss vom 25. Oktober 2011 zu. Gestützt auf diese Vereinbarung wurde der Erbteilungsprozess abgeschrieben.
C. Am 9. November 2011 liess X._ beim Bezirksrat Horgen Beschwerde führen. Er beantragte, den Beschluss vom 25. Oktober 2011 aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Sozialbehörde Y._ zurückzuweisen, eventuell die Zustimmung zum Erbteilungsvertrag zu verweigern. Der Bezirksrat wies die Beschwerde ab, soweit er darauf eintrat (Beschluss vom 13. April 2012). Ohne Erfolg legte X._ hierauf Berufung ein. Das Obergericht des Kantons Zürich wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 14. August 2012 ab.
D. Mit Eingabe vom 12. September 2012 (Datum der Postaufgabe) gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil vom 14. August 2012 aufzuheben und zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter ersucht er darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Am 28. September 2012 (Datum der Postaufgabe) sandte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht eine zusätzliche Eingabe; mit Schreiben vom 6. Dezember 2012 reichte er weitere Unterlagen ein.
Das Bundesgericht hat keine Vernehmlassungen, aber die vorinstanzlichen Akten eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1 S. 216; 134 III 115 E. 1 S. 117, je mit Hinweisen).
1.2 Das Urteil des Obergerichts hat die Zustimmung der Vormundschaftsbehörde zu einem Erbteilungsvertrag zum Gegenstand. Es ist im Rahmen einer vormundschaftlichen Massnahme ergangen. Angefochten ist also ein öffentlich-rechtlicher Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht und gegen den die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG; Urteil 5A_817/2011 vom 23. Januar 2012 E. 1), zumal das Obergericht als letzte kantonale Instanz einen Endentscheid gefällt und der Beschwerdeführer das Rechtsmittel rechtzeitig ergriffen hat (Art. 75 Abs. 1, 90 und 100 BGG). Ob es sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit handelt, kann offenbleiben, da die gesetzliche Streitwertgrenze ohnehin überschritten wäre.
2. Der Beschwerdeführer ist entmündigt. Er ist somit grundsätzlich handlungs- und vor Bundesgericht prozessunfähig (Art. 17 ZGB; Art. 71 BGG i.V.m. Art. 14 BZP).
2.1 Soweit eine bevormundete Person - wie vorliegend - urteilsfähig ist, vermag sie ohne Zustimmung ihres gesetzlichen Vertreters immerhin Vorteile zu erlangen, die unentgeltlich sind, und Rechte auszuüben, die ihr um ihrer Persönlichkeit willen zustehen (Art. 19 Abs. 2 ZGB). Im Rahmen dieser beschränkten Handlungsunfähigkeit ist ein Mündel auch imstande, selbständig einen Prozess zu führen (Urteil 5A_145/2010 vom 7. April 2010 E. 1.2). Als höchstpersönliches Recht im Sinne von Art. 19 Abs. 2 ZGB gilt nach der Rechtsprechung auch das in Art. 420 ZGB verankerte Recht des urteilsfähigen Mündels, gegen die Handlungen des Vormundes und gegen die Beschlüsse der Vormundschaftsbehörde Beschwerde zu führen (Urteil 5P.408/2003 vom 22. Dezember 2003 E. 1.3.1, publ. in: SJ 2004 I S. 458). Auch zur Einreichung anderer Rechtsmittel muss der urteilsfähige Entmündigte befugt sein, wenn gerade seine eigene Handlungs- und Prozessfähigkeit in Frage stehen, ansonst er sich gar nicht wirksam gegen die Verneinung seiner Handlungs- und Prozessfähigkeit zur Wehr setzen könnte (BGE 118 Ia 236 E. 3a S. 239 f.; 99 III 4 E. 5 S. 8; Urteil 5P.214/1996 vom 28. Juni 1996 E. 2, publ. in: Rep. 1996 S. 4 f.). Demgegenüber gilt die Wahrnehmung vermögensrechtlicher Interessen nicht als Ausübung höchstpersönlicher Rechte (Urteil 5P.408/2003 vom 22. Dezember 2003 E. 1.3.1, publ. in: SJ 2004 I S. 458). Will der urteilsfähige Entmündigte in einem Prozess seine eigenen Vermögensinteressen durchsetzen, bedarf es daher der Zustimmung seines gesetzlichen Vertreters (Art. 19 Abs. 1 ZGB) oder - im Falle eines Interessenkonfliktes zwischen Mündel und Vormund - der Ernennung eines Beistandes nach Art. 392 Ziff. 2 ZGB (Urteil 5A_884/2010 vom 7. Januar 2011 E. 2.1).
2.2 In der Sache will der Beschwerdeführer den Erbteilungsvertrag zu Fall bringen, den sein Vormund für ihn ausgehandelt und unterzeichnet hat (s. Sachverhalt Bst. B). Der Abschluss eines solchen Vertrages ist kein höchstpersönliches Recht, das der urteilsfähige Bevormundete ohne Zustimmung seines gesetzlichen Vertreters auszuüben vermöchte. Dies ergibt sich schon daraus, dass der Erbteilungsvertrag die Zustimmung der Vormundschaftsbehörde erfordert (Art. 421 Ziff. 9 ZGB), und zwar gerade weil er für das Mündel von besonderer - vermögensrechtlicher - Tragweite ist. Der Abschluss des Erbteilungsvertrages folgt somit den üblichen Regeln über die Geschäftsfähigkeit (EUGEN BUCHER, Berner Kommentar, 3. Aufl. 1976, N 18 zu Art. 19 ZGB). Gleiches muss gelten, wenn sich das Mündel - wie hier - gegen einen vom Vormund abgeschlossenen Erbteilungsvertrag wehrt.
Will der Beschwerdeführer im vorliegenden Streit einen Prozess vor Bundesgericht führen, so kann er dies nach dem Gesagten nur mit Zustimmung seines gesetzlichen Vertreters (Art. 19 Abs. 1 ZGB) tun. Weil seine Interessen in dieser Angelegenheit denjenigen seines Vormundes offensichtlich widersprechen, kommt als gesetzlicher Vertreter lediglich ein Beistand im Sinne von Art. 392 Ziff. 2 ZGB in Frage. Dass ein solcher Beistand ernannt worden wäre und der Einreichung der vorliegenden Beschwerde zugestimmt hätte, wird weder behauptet noch ergibt sich dies aus den Akten. Soweit sich der Beschwerdeführer gegen den Erbteilungsvertrag bzw. gegen dessen Genehmigung durch die Vormundschaftsbehörde zur Wehr setzt, kann das Bundesgericht auf die Beschwerde wegen der fehlenden Prozessfähigkeit des Beschwerdeführers nicht eintreten.
2.3 Neben seinen Vorbringen in der Sache macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht habe ihm das rechtliche Gehör verweigert.
2.3.1 Zwar lässt sich der bundesgerichtlichen Rechtsprechung entnehmen, das urteilsfähige Mündel könne vor Bundesgericht Beschwerde führen, soweit es um die Durchsetzung von Ansprüchen kämpfe, die mit seinem höchstpersönlichen Beschwerderecht (vgl. E. 2.1) verknüpft sind; dies sei zum Beispiel der Fall, wenn das Mündel eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör rüge (Urteile 5A_884/2010 vom 7. Januar 2011 E. 2.2 und 5P.408/2003 vom 22. Dezember 2003 E. 1.3.1 und 1.3.2). Daraus folgt jedoch nicht, dass das urteilsfähige Mündel, sei es unter Anrufung der Bundesverfassung, sei es gestützt auf das Zivilprozessrecht, vor Bundesgericht einen Prozess um eine behauptete Gehörsverletzung selbst dann führen kann, wenn es in der Hauptsache gar nicht prozessfähig ist, weil - wie hier (E. 2.2) - einzig seine vermögensrechtlichen Interessen im Streite stehen. Zu den Rechten, die dem urteilsfähigen, mindestens 16 Jahre alten Mündel um seiner Persönlichkeit willen zustehen, zählt das in Art. 409 Abs. 1 ZGB vorgesehene Recht, bei wichtigen Angelegenheiten - und dazu zählt auch der Abschluss eines Erbteilungsvertrages - vor der Entscheidung um seine Ansicht befragt zu werden. Diesen, und nur diesen im materiellen Bundesrecht verankerten Gehörsanspruch kann das Mündel auf dem Rechtsweg bis vor Bundesgericht durchsetzen.
2.3.2 Wie es um die Wahrung des besagten Anspruchs im Falle des Beschwerdeführers bestellt ist, prüft das Obergericht in Erwägung 4.3 des angefochtenen Entscheids. Es stellt fest, der Beschwerdeführer habe an der Erbenbesprechung vom 9. Juni 2011 teilnehmen und seinen Standpunkt einbringen können. Überdies habe er nach der Unterzeichnung des Erbteilungsvertrages und vor dessen Genehmigung durch die Sozialbehörde Y._ Gelegenheit erhalten, zusammen mit seinem Rechtsvertreter seine Einwendungen vorzubringen; diese seien in der Folge auch teilweise berücksichtigt worden. Im Ergebnis sei nicht ersichtlich, dass das Anhörungsrecht gemäss Art. 409 ZGB verletzt worden wäre. Mit diesen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Er bestreitet nicht, in der beschriebenen Art und Weise in das Zustandekommen des Erbteilungsvertrages mit einbezogen worden zu sein. Unter dem Titel der Gehörsverletzung beruft er sich einzig auf sein Schreiben vom 4. Mai 2012, in welchem er einen Antrag habe stellen lassen, dass er eine mündliche Verhandlung und eine Anhörung im Berufungsverfahren wünsche. Das Obergericht habe auf dieses Schreiben nie reagiert und ihm damit das "beantragte rechtliche Gehör" ohne jegliche Begründung "einfach klanglos verweigert". Allein diese Vorwürfe betreffen einzig prozessrechtliche Aspekte des Verfahrens vor dem Obergericht. Mit dem Anhörungsrecht nach Art. 409 ZGB haben sie nichts zu tun. Deshalb ist der Beschwerdeführer nach dem in Erwägung 2.3.1 Ausgeführten mit Bezug auf die geltend gemachten Gehörsverletzungen vor Bundesgericht auch nicht prozessfähig.
3. Im Ergebnis betrifft der Streit vor Bundesgericht weder die Ausübung oder Durchsetzung eines höchstpersönlichen Rechts des entmündigten urteilsfähigen Beschwerdeführers, noch handelt dieser durch seinen gesetzlichen Vertreter oder mit dessen Zustimmung. Mithin fehlt es dem Beschwerdeführer an der vom Gesetz verlangten Prozessfähigkeit (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 14 BZP), so dass das Bundesgericht auf seine Beschwerde gar nicht erst eintreten kann. In Anbetracht der besonderen Umstände verzichtet das Bundesgericht darauf, dem unterliegenden Beschwerdeführer Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Sozialbehörde Y._ ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG). Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Sozialbehörde Y._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn