Fatti:
A. Con risoluzione del 7 ottobre 2009, dando seguito all'istanza 18 luglio 2008 dei Municipi di Lugano, Bogno, Certara, Cimadera e Valcolla, il Consiglio di Stato del Cantone Ticino ha dato avvio allo studio di aggregazione di questi Comuni, decidendo d'ufficio d'estenderlo anche a quelli di Cadro e Sonvico. Il Governo ha quindi istituito una Commissione composta dei rappresentanti dei singoli comuni interessati, incaricata di presentare una proposta di fusione.
B. Il 19 ottobre 2009 il Municipio di Cadro, quale rappresentante in detta Commissione, ha designato il sindaco. Appresa questa decisione dalla stampa, G.A._, E._, D._, F._, B._, H._ e I._, cittadini di Cadro, l'hanno impugnata dinanzi al Tribunale cantonale amministrativo. Sostenevano che nella votazione consultiva del 30 settembre 2007 i cittadini di Cadro si erano già espressi contro un'eventuale fusione con Lugano, per cui la nuova procedura aggregativa, non rispettosa di tale volontà, doveva essere annullata. Per quanto qui interessa, con giudizio del 3 settembre 2010, la Corte cantonale ha respinto, in quanto ricevibile, il gravame.
C. Avverso questa decisione A.A._, B._, C._, D._, E._ e F._ presentano un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Chiedono segnatamente di essere posti al beneficio dell'assistenza giudiziaria, di concedere l'effetto sospensivo al gravame, di annullare la decisione impugnata e che sia rispettata la volontà popolare di non procedere a un'aggregazione con Lugano.
Non sono state chieste osservazioni.
Diritto:
1. 1.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio se e in che misura un ricorso può essere esaminato nel merito (DTF 136 II 101 consid. 1).
1.2 I ricorrenti formulano numerose richieste formali. La domanda di ricusa del giudice federale ticinese a causa di legami di amicizia, per nulla precisati e neppure asseritamente stretti (vedi art. 34 cpv. 1 lett. e LTF), nonché per la sua appartenenza allo stesso partito del Consigliere di Stato competente per le aggregazioni, dev'essere respinta poiché priva di ogni riscontro oggettivo e quindi di consistenza (DTF 136 I 207 consid. 3.1; 134 I 20 consid. 4.2 e 4.3.2). Neppure la circostanza ch'egli ha già deciso in un procedimento a sfavore di una parte (vedi sentenza 1C_45/2008 del 19 marzo 2008 concernente un ricorrente) non è di per sé sufficiente per ammettere un motivo di prevenzione (DTF 131 I 113 consid. 3.7; 114 Ia 278 consid. 1).
1.3 In concreto nemmeno v'è motivo di scostarsi dalla regola secondo cui le corti giudicano nella composizione di tre e non di cinque giudici, come richiesto dai ricorrenti (art. 20 cpv. 1 e 2 LTF). Né occorre indire una deliberazione, la causa potendo essere decisa mediante circolazione degli atti (art. 58 LTF).
1.4 I ricorrenti, richiamando l'art. 129 LTF, chiedono di poter fornire in anticipo un'interpretazione della sentenza. La domanda, formulata prima dell'emanazione della stessa, è chiaramente improponibile.
2. La legittimazione a ricorrere, quesito sul quale i ricorrenti, contrariamente al loro obbligo (DTF 133 II 353 consid. 1), non si esprimono, dev'essere chiaramente negata a A.A._ e C._, che non hanno partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore (art. 89 cpv. 1 lett. a LTF). I ricorrenti non sostengono d'essere particolarmente toccati dalla decisione impugnata (lett. b) o che avrebbero un interesse degno di protezione al suo annullamento (lett. c). L'art. 89 cpv. 1 LTF riconferma infatti il principio dell'esclusione dell'azione popolare, quindi di ricorsi interposti, come quello in esame, soltanto nell'interesse della collettività (DTF 133 II 249 consid. 1.3.1 e 1.3.2; sentenza 2C_913/2008 del 18 settembre 2009 consid. 3.1 in RtiD 2010 I n. 35), riservate le censure per violazione di norme di procedura comportanti un diniego di giustizia formale (DTF 135 II 430 consid. 1.2 e 3; 133 I 185 consid. 6.2).
3. 3.1 I ricorrenti richiamano, in maniera del tutto generica, la protezione dall'arbitrio e la tutela della buona fede (art. 9 Cost.), l'equità di tratta-mento e il diritto d'essere sentito (art. 29 Cost.), l'attuazione dei diritti fondamentali (art. 35 Cost.), l'autonomia comunale (art. 50 Cost.), la sua garanzia (art. 16 Cost./TI) e, in particolare, la garanzia dei diritti politici (art. 34 Cost.). Il ricorso è infatti incentrato sull'assunto secondo cui, dopo l'esito negativo della votazione del 2007, non si potrebbe più avviare un nuovo progetto aggregativo, né imporre al Comune di Cadro di parteciparvi, anche perché il Municipio ha appoggiato i loro gravami. Al riguardo richiamano le sentenze 1C_91/2009 del 10 novembre 2009 relativa al nuovo Comune Monteceneri e 1C_181/2007 del 9 agosto 2007 concernente la votazione consultiva nel quadro della procedura di aggregazione dei Comuni di Lugano e Cadro (RtiD 2010 I n. 3 e 2008 I n 3).
3.2 Con questa argomentazione i ricorrenti disattendono che la criticata decisione municipale non tocca il diritto di voto dei cittadini ai sensi dell'art. 82 lett. c LTF. È per di più dubbio ch'essi sarebbero legittimati a impugnare, come cittadini, un'eventuale aggregazione coatta del loro Comune (sentenza 1P.242/2005 del 18 aprile 2006 consid. 1.3-1.4.1, in RtiD 2006 II n. 1; sentenza 1C_45/2008 citata): essi non dovrebbero poterlo essere quindi, a maggior ragione, per criticare l'avvio di una procedura aggregativa.
Un ricorso concernente il diritto di voto è infatti prematuro, ritenuto che i ricorrenti, e più in generale gli aventi diritto di voto, a dipendenza dell'esito dello studio, potranno esprimersi sul nuovo progetto di aggregazione nel quadro di una votazione consultiva (art. 6 della legge sulle aggregazioni e separazioni dei Comuni del 16 dicembre 2003, LASC). In effetti, proprio le sentenze invocate dai ricorrenti concernono ricorsi presentati nel quadro di siffatte votazioni. In tali circostanze nemmeno è ravvisabile un interesse pratico e attuale al ricorso (DTF 135 I 79 consid. 1.1; 123 II 285 consid. 4). Sotto il profilo dell'autonomia comunale, il Municipio potrà semmai ricorrere contro un'eventuale decisione di aggregazione coatta, ritenuto che al momento l'esito della procedura è ancora aperto. In siffatte evenienze, l'asserita nullità delle decisioni adottate dopo la votazione del 2007 non regge. Il fatto che i cittadini debbano se del caso esprimersi su un nuovo progetto aggregativo non costituisce un pregiudizio irreparabile, per cui è pure dubbio se si sia in presenza di una decisione finale e non solo incidentale, non impugnabile (art. 90 e 93 LTF).
3.3 Del resto, sulla portata dall'art. 20 Cost./TI e dalla LASC, in particolare sulla garanzia dell'esistenza del Comune nell'ambito di una fusione, fosse anche coatta, il Tribunale federale si è già pronunciato: contrariamente alla richiesta ricorsuale, non occorre quindi chiarire, in assenza di un progetto definitivo, questi punti (sentenze 1C_415/2008 del 24 agosto 2009 nella causa Comune di San Nazzaro e 1C_41/2008 del 26 maggio 2009 nella causa Comune di Muggio, in RtiD 2010 I n. 1 e n. 2, alle quali, per brevità si rinvia).
4. 4.1 Nell'ottica della legge organica comunale del 10 marzo 1987 (LOC), il Tribunale cantonale amministrativo ha stabilito che nella misura in cui i ricorrenti criticano la risoluzione governativa del 7 ottobre 2009, che ha dato avvio alla procedura di aggregazione litigiosa, il gravame è improponibile, poiché essa è cresciuta incontestata in giudicato. I ricorrenti non censurano questa conclusione, per cui anche per questo motivo le richieste di dichiarare nulle tutte le decisioni contrarie al voto del 2007 sono irricevibili.
4.2 In tale ambito la Corte cantonale ha poi ritenuto che nella risoluzione municipale litigiosa non è ravvisabile alcuna decisione intesa a sostenere o condividere il nuovo progetto aggregativo promosso dal Cantone, poiché la designazione di un rappresentante del Comune è del tutto neutra, né determina, in un senso o nell'altro, la sua posizione in merito a un'eventuale fusione. Ha inoltre stabilito che il rifiuto espresso nel 2007 dal Comune di Cadro non è sufficiente per impedire ch'esso possa essere chiamato a partecipare a un nuovo studio aggregativo, ritenuto che la decisione municipale, anche riguardo alla persona delegata, è conforme alla LOC.
4.3 I ricorrenti, richiamando semplicemente l'art. 212 LOC, relativo ai motivi di annullabilità delle decisioni degli organi comunali, non dimostrano affatto l'insostenibilità e quindi l'arbitrarietà di queste conclusioni (DTF 134 II 124 consid. 4.1). Le esigenze di motivazione sono infatti accresciute laddove il ricorrente lamenta, come in concreto, la violazione di diritti fondamentali e di disposizioni del diritto cantonale (art. 42 e 106 cpv. 2 LTF; DTF 136 I 229 consid. 4.1). Nella fattispecie, le argomentazioni appellatorie e i rinvii agli atti cantonali sono inammissibili.
4.4 Infine, i ricorrenti richiamando altri loro ricorsi, criticano l'agire del Consiglio di Stato. Queste censure, peraltro meramente appellatorie, esulano dall'oggetto del presente litigio e sono quindi irricevibili.
5. 5.1 Il ricorso, in quanto ammissibile, dev'essere pertanto respinto. Le spese seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 5 LTF), la domanda di assistenza giudiziaria, non presentata nella sede cantonale, dovendo essere respinta già per il fatto che le conclusioni del ricorso erano chiaramente prive di probabilità di successo (art. 64 cpv. 1 LTF). Il fatto che uno solo dei ricorrenti abbia tentato di dimostrare la propria indigenza, non è quindi decisivo.
5.2 L'emanazione della presente decisione rende priva di oggetto la domanda di effetto sospensivo.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 1'200.-- sono poste a carico dei ricorrenti.
3. Comunicazione a A.A._, al Municipio di Cadro, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.