Faits:
A. C._, née en 1966, travaille au service de X._. A ce titre, elle est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Compagnie d'Assurances Nationale Suisse SA (ci-après: la Nationale).
Le 10 novembre 2008, son employeur a rempli une déclaration d'accident-bagatelle, dans laquelle il indiquait que l'assurée avait ressenti une vive douleur au genou lors d'un mouvement de torsion, le 27 octobre 2008.
Le docteur O._, spécialiste en radiologie, a pratiqué une IRM du genou droit le 12 novembre 2008. En raison d'une persistance des douleurs au niveau du compartiment interne du genou droit, le docteur G._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a procédé à une arthroscopie et une résection plica synoviale le 10 février 2009.
Par décision du 1er avril 2009, confirmée sur opposition le 24 août suivant, la Nationale a refusé de prendre en charge le traitement relatif aux suites de l'événement du 27 octobre 2008, motif pris de l'absence d'une déchirure du ménisque.
B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) a tenu, le 18 janvier 2010, une audience de comparution personnelle et d'enquête, au cours de laquelle il a entendu le docteur G._. En outre, il a requis des renseignements complémentaires auprès du docteur B._ qui avait prodigué les premiers soins. Celui-ci s'est déterminé le 27 janvier 2010.
Par jugement du 19 avril 2010, la juridiction cantonale a annulé la décision sur opposition attaquée et condamné la Nationale à prendre en charge, en sa qualité d'assureur LAA, les frais découlant de l'événement du 27 octobre 2008.
C. La Nationale interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision sur opposition du 24 août 2009. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Le litige porte sur le droit éventuel de l'intimée à la prise en charge par la recourante des frais de traitement pour les suites de l'événement du 27 octobre 2008 au titre des prestations en cas de lésions corporelles assimilées à un accident au sens de l'art. 9 al. 2 let. c OLAA (déchirures du ménisque).
Le jugement attaqué ne concernant pas l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents (art. 105 al. 3 LTF), le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF.
3. 3.1 La recourante invoque une violation de son droit d'être entendue garanti à l'art. 29 al. 2 Cst. Elle fait valoir qu'elle n'a pas été informée du fait que la juridiction cantonale avait requis l'avis du docteur B._ après l'audience du 18 janvier 2010, que ni les questions du tribunal ni les réponses du médecin prénommé ne lui ont été communiquées et que partant, elle n'a pas pu prendre position sur cet avis médical.
3.2 Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit entraîner l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recourant sur le fond (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437; 126 V 130 consid. 2b p. 132 et les arrêts cités). Ce moyen doit par conséquent être examiné en premier lieu (ATF 124 I 49 consid. 1 p. 50) et avec un plein pouvoir d'examen (ATF 127 III 193 consid. 3 p. 194 et les références). La jurisprudence, rendue sous l'empire de l'art. 4 aCst. et qui s'applique également à l'art. 29 al. 2 Cst. (ATF 129 II 497 consid. 2.2 p. 504; 127 I 54 consid. 2b p. 56; 127 III 576 consid. 2c p. 578; 126 V 130 consid. 2a), a déduit du droit d'être entendu, notamment, le droit pour le justiciable d'avoir accès au dossier, celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (ATF 135 I 279 consid. 2.3 p. 282; 133 I 270 consid. 3.1 p. 277 et les références).
3.3 Dans sa demande de renseignements adressée au docteur B._ le 19 janvier 2010, la juridiction cantonale s'est référée à un rapport de ce médecin du 27 novembre 2008, relatif à une consultation du 27 octobre précédent, dans lequel ce médecin avait indiqué que l'assurée était connue pour des douleurs occasionnelles de la face antérieure du genou, découlant de la pratique de l'équitation. La juridiction cantonale désirait obtenir des précisions sur cette indication, étant donné que l'intéressée niait l'existence d'une consultation pour des douleurs au genou droit avant le 27 octobre 2009 (recte: 2008).
Dans sa réponse du 21 janvier 2010, le docteur B._ a indiqué qu'avant le 27 octobre 2008, l'assurée ne l'avait jamais consulté pour des douleurs au genou droit. Son indication relative à des douleurs occasionnelles de la face antérieure du genou, découlant de la pratique de l'équitation, reposait sur les déclarations de l'assurée. D'après le médecin prénommé, les douleurs occasionnelles décrites par l'intéressée, d'origine musculaire, étaient tout à fait différentes de la symptomatologie qui avait motivé la consultation du 27 octobre 2008.
Dans le jugement attaqué, la juridiction cantonale s'est référée à la réponse du docteur B._ pour nier l'existence, avant l'événement du 27 octobre 2008, de douleurs au genou droit identiques à celles qui étaient attribuées audit événement.
Dans le jugement attaqué, la juridiction cantonale s'est référée à la réponse du docteur B._ pour nier l'existence, avant l'événement du 27 octobre 2008, de douleurs au genou droit identiques à celles qui étaient attribuées audit événement.
3.4 3.4.1 L'intimée conteste l'existence d'une violation du droit d'être entendue de la recourante. Elle fait valoir que les informations complémentaires du docteur B._ n'avaient pas le caractère d'une preuve essentielle, de sorte qu'une prise de position de la recourante sur ces précisions n'était pas de nature à influer sur la décision à prendre. Selon l'intimée, la Nationale n'a jamais contesté, ni au stade de l'opposition ni lors de l'audience du 18 janvier 2010, la position de l'assurée, selon laquelle les douleurs n'existaient pas avant le 27 octobre 2008.
3.4.2 Compris comme l'un des aspects de la notion générale de procès équitable au sens des art. 29 Cst. et 6 CEDH, le droit d'être entendu garantit notamment le droit pour une partie à un procès de prendre connaissance de toute argumentation présentée au tribunal et de se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement susceptible d'influer sur le jugement à rendre. Selon la jurisprudence, il appartient aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Ce droit à la réplique vaut pour toutes les procédures judiciaires. Toute prise de position ou pièce nouvelle versée au dossier doit dès lors être communiquée aux parties pour leur permettre de décider si elles veulent ou non faire usage de leur faculté de se déterminer (ATF 133 I 100 consid. 4.5; 133 I 98 consid. 2.2; 132 I 42 consid. 3.3.2-3.3.4; arrêts 5A_791/2010 du 23 mars 2011 consid. 2.3.1; 5D_8/2011 du 8 mars 2011 consid. 2.1; 4D_110/2010 du 19 janvier 2011 consid. 2.1; cf. en outre les arrêts de la Cour européenne des droits de l'homme dans les causes Schaller-Bossert contre Suisse du 28 octobre 2010 § 39 s. et Nideröst-Huber contre Suisse du 18 février 1997, Recueil CourEDH 1997-I p. 101 § 24).
En l'espèce, le fait qu'avant l'échange de correspondance entre la juridiction cantonale et le docteur B._, elle n'a pas pris position sur les circonstances visées par cette correspondance ne permet pas d'inférer que la recourante a renoncé d'emblée à faire usage de sa faculté de se déterminer sur toute nouvelle pièce versée au dossier en relation avec ces circonstances. Par ailleurs, il est indéniable que la juridiction cantonale s'est fondée sur le complément d'information du docteur B._ pour rendre le jugement attaqué. Elle était dès lors tenue de communiquer ladite correspondance à l'intéressée pour lui permettre de décider si elle voulait se déterminer à son sujet. Il convient donc d'examiner si les pièces en question ont été effectivement communiquées à la recourante.
3.5 Le dossier de la juridiction cantonale contient les copies de deux lettres adressées à la Nationale (les 19 janvier et 8 février 2010), par lesquelles elle indiquait lui communiquer en annexe des copies de la demande de renseignements adressée au docteur B._ le 19 janvier 2010, ainsi que de la réponse de celui-ci, du 27 janvier suivant.
Ces deux copies versées au dossier ne permettent toutefois pas de conclure que la demande de renseignements, ainsi que la réponse du docteur B._ ont été effectivement communiquées à la recourante, soit qu'elles sont entrées dans sa sphère de puissance (sur ce point, cf. ATF 122 III 316 consid. 4b p. 320; 113 Ib 296 consid. 2a p. 297 et les références). On ne connaît d'ailleurs pas le point de vue de la juridiction cantonale à ce sujet, du moment qu'invitée par le Tribunal fédéral à produire le dossier de la cause conformément à l'art. 102 al. 2 LTF, elle a indiqué qu'elle renonçait d'emblée à se déterminer sur le recours en matière de droit public.
3.6 Le point de savoir si la recourante a effectivement reçu copies de la correspondance échangée entre la juridiction cantonale et le docteur B._ peut toutefois rester indécis, le moyen tiré de la violation du droit d'être entendu devant être admis pour un autre motif.
3.6.1 En relation avec son obligation de communiquer toute pièce nouvelle versée au dossier (cf. consid. 3.4.2), le tribunal a la possibilité d'ordonner un second échange d'écritures, ce qu'il fait cependant exceptionnellement (cf. en ce sens l'art. 102 al. 3 LTF) ou lorsque les circonstances le justifient (cf. art. 225 CPC). S'il y renonce, il doit néanmoins transmettre la prise de position ou pièce nouvelle à l'autre ou aux autres parties. Au vu de la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme, en particulier des récents arrêts Schaller-Bossert contre Suisse du 28 octobre 2010 § 39 ss et Ellès et autres contre Suisse du 16 décembre 2010 § 26 ss, il convient, afin de respecter le droit d'être entendu, que l'autorité judiciaire transmette la prise de position ou pièce nouvelle pour information et impartisse un délai pour le dépôt d'observations éventuelles (cf. arrêt 5A_779/2010 du 1er avril 2011 consid. 2.2).
3.6.2 En l'espèce, les lettres (des 19 janvier et 8 février 2010) par lesquelles la juridiction cantonale a indiqué communiquer à la recourante des copies de sa correspondance avec le docteur B._ ne lui impartissaient pas un délai pour déposer ses observations éventuelles. Ainsi, même si ladite correspondance devait lui avoir été effectivement communiquée, c'est à bon droit, sur le vu de la jurisprudence susmentionnée, que la recourante invoque une violation de son droit d'être entendue.
Le recours doit donc être admis pour ce motif, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs soulevés par la recourante. La décision attaquée doit par conséquent être annulée et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le respect des principes ci-dessus exposés.
4. L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
La recourante n'a pas droit à des dépens en sa qualité d'organisation chargée de tâches de droit public (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 19 avril 2010 est annulé et la cause renvoyée à Chambre des assurances de la Cour de justice pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 juin 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd