Erwägungen:
1. X._ (geb. 1980) stammt vermutlich von der Elfenbeinküste. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 23. Juli 2008 in Ausschaffungshaft, welche der Haftrichter 4 am Haftgericht Bern-Mittelland am 25. Juli 2008 prüfte und bis zum 22. Oktober 2008 genehmigte. Am 20. Oktober 2008 bewilligt er die Verlängerung der Haft bis zum 22. April 2009. X._ ist hiergegen mit dem Antrag an das Bundesgericht gelangt, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. 2.1 Auf seine Eingabe ist mangels rechtsgenügender Begründung nicht einzutreten: Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten; dabei muss in gedrängter Form dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen im angefochtenen Entscheid auseinandersetzt (BGE 134 II 244 E. 2.1). Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht; die Ausführungen des Beschwerderführers erschöpfen sich in der Erklärung, mit der Haftverlängerung nicht einverstanden und nicht bereit zu sein, in seine Heimat zurückzukehren; er legt auch nicht ansatzweise dar, inwiefern der angefochtene Entscheid Bundes(verfassungs)recht verletzen könnte.
2.2 In der Sache selber wäre seine Eingabe unbegründet: Das Bundesamt für Migration ist am 22. Mai 2008 gestützt auf Art. 32 Abs. 2 lit. a AsylG (SR 142.31) auf sein Asylgesuch nicht eingetreten (Nichtabgabe von Papieren ohne entschuldbaren Grund bei fehlenden Anzeichen des Bestehens einer Flüchtlingseigenschaft). Hiergegen ist der Beschwerdeführer erfolglos an das Bundesverwaltungsgericht gelangt (Urteil vom 9. Juni 2008). Er erfüllt damit den Haftgrund von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 AuG (SR 142.20). Überdies ist er hier im Besitz von 5 Kugeln Kokain angehalten worden und hat er zudem wiederholt erklärt, auf keinen Fall bereit zu sein, freiwillig in seine Heimat zurückzukehren oder bei der Papierbeschaffung hierfür mitzuhelfen. Gestützt auf dieses Verhalten kann nicht davon ausgegangen werden, dass er sich ohne die Haft bzw. deren Verlängerung den Behörden freiwillig zur Verfügung halten wird, zumal er bereits einmal in der Schweiz untergetaucht ist (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG; BGE 130 II 56 E. 3.1 S. 58 f. mit Hinweisen). Die Behörden bemühen sich darum, seine Vorführung bei der Vertretung der Elfenbeinküste zu organisieren; die damit verbundenen Verzögerungen hat der Beschwerdeführer wegen seines renitenten Verhaltens selber zu verantworten. Die Asyl- und Bewilligungsfrage bildet grundsätzlich nicht (mehr) Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens (BGE 128 II 193 E. 2.2 S. 197 ff.; 125 II 217 E. 2 S. 220). Der Beschwerdeführer kann seine Haft verkürzen, indem er bei der Beschaffung seiner Papiere mitwirkt. Nur falls solche vorliegen, kann allenfalls geprüft werden, ob er - wie von ihm gewünscht - auch in einen Drittstaat ausgeschafft werden könnte (vgl. Art. 69 Abs. 2 AuG). Erscheint dies nicht möglich, ist nur sein Heimatstaat verpflichtet, ihm die Einreise zu erlauben (vgl. BGE 133 II 97 E. 4.2.2). Den geltend gemachten gesundheitlichen Problemen kann im Rahmen des Haftvollzugs Rechnung getragen werden.
2.3 Es sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 4, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar