Erwägungen:
1. X._, 1983 geborener Türke, reiste am 20. Oktober 2001 in die Schweiz ein, um nach Absolvierung eines Intensivsprachkurses Deutsch an einer technischen Fachhochschule zu studieren. Er erhielt eine Aufenthaltsbewilligung als Student, die letztmals bis zum 19. Oktober 2009 verlängert wurde. Ab Oktober 2002 bis Dezember 2005 studierte er Maschinentechnik an der Fachhochschule in A._, von Oktober 2006 bis September 2009 Produktionstechnik an der Höheren Fachschule in B._, je ohne Studienabschluss. Seit Frühjahr 2010 schliesslich absolvierte er ein Studium in Maschinenbau an der Technikerschule in C._, dessen Abschluss - offenbar bei teilweiser Anrechnung bisheriger Ausbildungsgänge - per Februar 2012 vorgesehen war.
Am 17. August 2010 lehnte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu Studienzwecken ab, weil auch nach acht Jahren kein Abschluss vorgewiesen werden konnte; zugleich verfügte es die Wegweisung. Eine Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern blieb erfolglos. Die gegen den Entscheid der Polizei- und Militärdirektion vom 18. März 2011 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 14. November 2011 ab; es setzte die Ausreisefrist neu auf den 29. Dezember 2011 an.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 9. Dezember 2011 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und es sei ihm der Aufenthalt in der Schweiz zu bewilligen; eventuell sei ihm eine bis zum 24. Februar 2012 befristete Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern stellte den Antrag auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde; das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit sie nicht als gegenstandslos geworden abzuschreiben sei.
Mit Verfügung vom 19. Dezember 2011 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung auf entsprechendes Gesuch des Beschwerdeführers hin der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer gelangt mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht. Streitgegenstand ist eine Aufenthaltsbewilligung zu Studienzwecken nach Art. 27 AuG, auf deren Erteilung bzw. Verlängerung kein Rechtsanspruch besteht. Damit ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG) und steht an sich in der Tat - höchstens - die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zur Verfügung. Mangels Bewilligungsanspruchs fehlt dem Beschwerdeführer das nach Art. 115 lit. b BGG erforderliche rechtlich geschützte Interesse an der Aufhebung oder Änderung des verwaltungsgerichtlichen Urteils, soweit er Rügen in der Sache selbst (materielle Bewilligungsfrage) erhebt; er ist insofern zur subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht legitimiert (vgl. BGE 133 I 185). Dies gilt namentlich in Bezug auf die Willkürrüge. Beim ebenfalls angerufenen Verhältnismässigkeitsgrundsatz sodann handelt es sich bloss um ein verfassungsmässiges Prinzip, nicht aber um ein mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde selbstständig anrufbares verfassungsmässiges Recht im Sinne von Art. 116 BGG (BGE 134 I 153 E. 4.1 S. 156 f.).
2.2 Der Beschwerdeführer rügt allerdings zusätzlich die Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben gemäss Art. 9 BV. Im ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahren kann vor Bundesgericht eine solche Rüge gegebenenfalls auch bei Fehlen eines auf Gesetz oder Staatsvertrag gestützten Anspruchs erhoben werden, da sich aus dem Vertrauensgrundsatz unter gewissen Voraussetzungen ein Bewilligungsanspruch ergeben könnte und mithin ein rechtlich geschütztes Interesse resultierte, wobei sich insofern gar die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als zulässig erweisen würde (vgl. BGE 126 II 377 E. 3 S. 387 f.; Urteil 2D_43/2011 vom 29. August 2011 E. 2.3.1). Die Anforderungen an die Geltendmachung eines derartigen Anspruchs sind in materiell- wie verfahrensrechtlicher Hinsicht indessen hoch (s. dazu Urteil 2P.245/2006 vom 6. November 2006 E. 2.2. und 2.3); die Vorbringen des Beschwerdeführers (Ziff. IV.2 der Beschwerdeschrift) genügen ihnen, u.a. etwa im Lichte von E. 7.2 des angefochtenen Urteils, nicht.
2.3 Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), und es ist darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Damit kann offen bleiben, ob bzw. in welchem Masse ein Rechtsschutzinteresse an der Behandlung der Beschwerde fortbesteht, nachdem der Beschwerdeführer mittlerweile sein Studium mit Erfolg abgeschlossen hat, und ob das Verfahren allenfalls abgeschrieben werden könnte, worauf das Verwaltungsgericht in seiner Vernehmlassung hinweist.
2.4 Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller