Sachverhalt:
A. Der 1955 geborene B._ ist seit 1982 als selbständigerwerbender Spengler und Dachdecker tätig. Unter Hinweis auf Morbus Dupuytren an beiden Händen meldete er sich im Januar 2002 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle des Kantons Freiburg mit Verfügung vom 23. Mai 2007 einen Rentenanspruch.
B. Dagegen liess B._ Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, unter Aufhebung der angefochtenen Verfügung sei ihm eine Rente auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 100 % zu gewähren. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragte er u.a., es sei eine öffentliche Verhandlung durchzuführen und er sei persönlich zu seiner funktionellen Arbeitsfähigkeit einzuvernehmen. Mit Entscheid vom 16. Oktober 2009 wies das Kantonsgericht Freiburg die Beschwerde ab, ohne eine öffentliche Verhandlung durchgeführt zu haben.
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und die Aufhebung des Entscheids vom 16. Oktober 2009 verlangen sowie den Antrag auf Zusprechung einer Invalidenrente erneuern.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Stellungnahme verzichten.
Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer verlangt die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels. Die IV-Stelle hat in der Beschwerdeantwort lediglich auf den angefochtenen Entscheid und die Verfügung vom 23. Mai 2007 verwiesen und sich jeglicher materiellen Bemerkungen enthalten. Unter diesen Umständen besteht keine Veranlassung zu einem zweiten Schriftenwechsel (Art. 102 Abs. 3 BGG; vgl. Urteil 9C_274/2009 vom 18. Juni 2009 E. 3.3 mit Hinweisen).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt in formeller Hinsicht eine Verletzung des in Art. 6 Abs. 1 EMRK verankerten Öffentlichkeitsprinzips, weil das kantonale Gericht trotz entsprechenden Antrags keine öffentliche Verhandlung durchgeführt hat, obwohl eine persönliche Anhörung als geeignete Grundlage für die Einschätzung der gesundheitlichen Einschränkungen zu betrachten sei. Die Vorinstanz hat das Gesuch um Durchführung einer öffentlichen Verhandlung unter Hinweis auf die Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte (EGMR) sowie des Bundesgerichts resp. des Eidg. Versicherungsgerichts abgewiesen mit der Begründung, von der Anhörung seien keine weiteren Erkenntnisse zu erwarten.
2.2 Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich und innerhalb einer angemessenen Frist von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, das über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen oder über die Stichhaltigkeit der gegen ihn erhobenen strafrechtlichen Anklage zu entscheiden hat (Satz 1).
Das kantonale Gericht, welchem es primär obliegt, die Öffentlichkeit der Verhandlung zu gewährleisten (BGE 122 V 47 E. 3 S. 54), hat bei Vorliegen eines klaren und unmissverständlichen Parteiantrages grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung durchzuführen (BGE 122 V 47 E. 3a und b S. 55 f.). Von einer ausdrücklich beantragten öffentlichen Verhandlung kann abgesehen werden, wenn der Antrag der Partei als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwider läuft oder sogar rechtsmissbräuchlich ist. Gleiches gilt, wenn sich ohne öffentliche Verhandlung mit hinreichender Zuverlässigkeit erkennen lässt, dass eine Beschwerde offensichtlich unbegründet oder unzulässig ist (BGE 122 V 47 E. 3b cc und dd S. 56). Als weiteres Motiv für die Verweigerung einer beantragten öffentlichen Verhandlung fällt die hohe Technizität der zur Diskussion stehenden Materie in Betracht, was etwa auf rein rechnerische, versicherungsmathematische oder buchhalterische Probleme zutrifft, wogegen andere dem Sozialversicherungsrecht inhärente Fragestellungen materiell- oder verfahrensrechtlicher Natur wie die Würdigung medizinischer Gutachten in der Regel nicht darunter fallen. Schliesslich kann das kantonale Gericht von einer öffentlichen Verhandlung absehen, wenn es auch ohne eine solche allein aufgrund der Akten zum Schluss gelangt, dass dem materiellen Rechtsbegehren der bezüglich der Verhandlung antragstellenden Partei zu entsprechen ist (BGE 122 V 47 E. 3b ee und ff S. 57 f.).
2.3 Beim vorliegenden Prozess über eine Rente der Invalidenversicherung handelt es sich um eine Streitigkeit über einen zivilrechtlichen Anspruch im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (BGE 125 V 499 E. 2a S. 501, 122 V 47 E. 2a S. 50 mit Hinweisen; SVR 2006 IV Nr. 1 E. 3.3). Ferner liegt auch ein rechtzeitig gestellter, unmissverständlicher Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung vor (BGE 122 V 47 E. 3b/bb S. 56).
2.4 Das Bundesgericht hat sich im (zur Publikation in der amtlichen Sammlung vorgesehenen) Urteil 9C_870/2009 vom heutigen Tag eingehend mit der - als nicht einheitlich erkannten - Rechtsprechung sowohl des EGMR als auch des Bundesgerichts zum Verzicht auf eine beantragte öffentliche Verhandlung im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren betreffend sozialversicherungsrechtliche Ansprüche auseinandergesetzt. Es hat entschieden, dass in Verfahren mit hauptsächlich medizinischer Fragestellung eine bessere Eignung des schriftlichen Verfahrens nicht erkennbar sei, auch wenn Gegenstand in einer allfälligen Verhandlung einzig die Auseinandersetzung mit den vorhandenen Stellungnahmen von Ärztinnen und Ärzten zu Gesundheitsschaden und Grad der Arbeitsunfähigkeit bildet. Es handle sich bei der Würdigung solcher medizinischen Berichte und der Beurteilung der Beweiskraft einander widersprechender ärztlicher Aussagen um eine auf dem Gebiet des Sozialversicherungsrechts alltägliche und damit nicht um eine "hochtechnische" Thematik im Sinne der Rechtsprechung.
2.4 Das Bundesgericht hat sich im (zur Publikation in der amtlichen Sammlung vorgesehenen) Urteil 9C_870/2009 vom heutigen Tag eingehend mit der - als nicht einheitlich erkannten - Rechtsprechung sowohl des EGMR als auch des Bundesgerichts zum Verzicht auf eine beantragte öffentliche Verhandlung im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren betreffend sozialversicherungsrechtliche Ansprüche auseinandergesetzt. Es hat entschieden, dass in Verfahren mit hauptsächlich medizinischer Fragestellung eine bessere Eignung des schriftlichen Verfahrens nicht erkennbar sei, auch wenn Gegenstand in einer allfälligen Verhandlung einzig die Auseinandersetzung mit den vorhandenen Stellungnahmen von Ärztinnen und Ärzten zu Gesundheitsschaden und Grad der Arbeitsunfähigkeit bildet. Es handle sich bei der Würdigung solcher medizinischen Berichte und der Beurteilung der Beweiskraft einander widersprechender ärztlicher Aussagen um eine auf dem Gebiet des Sozialversicherungsrechts alltägliche und damit nicht um eine "hochtechnische" Thematik im Sinne der Rechtsprechung.
2.5 Im Lichte dieses Entscheides sind die Voraussetzungen für einen Verzicht auf die vom Versicherten in der Beschwerde an die Vorinstanz ausdrücklich beantragte Durchführung einer öffentlichen Verhandlung nicht gegeben. Weder ist der Antrag schikanös, noch läuft er dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwider. Sodann kann das Rechtsmittel nicht als offensichtlich unbegründet oder unzulässig bezeichnet werden, was denn auch seitens des Kantonsgerichts nicht angenommen wurde. Von hoher Technizität kann im vorliegenden Fall ebenfalls nicht gesprochen werden: Streitig ist insbesondere, inwieweit ein seit 1992 bestehendes Handleiden die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers auch in angepassten Tätigkeiten beeinträchtigt. Damit liegt ein Streit um den Arbeitsunfähigkeitsgrad vor, der keine Ausnahme von der Pflicht, eine öffentliche Verhandlung durchzuführen, begründet. Schliesslich war dem materiellen Rechtsbegehren des Versicherten allein auf Grund der Akten nicht ohne weiteres zu entsprechen.
2.6 Indem die Vorinstanz unter diesen Umständen von der beantragten öffentlichen Verhandlung abgesehen hat, wurde dieser in Art. 6 Ziff. 1 EMRK gewährleisteten Verfahrensgarantie nicht Rechnung getragen. Es ist daher unumgänglich, die Sache an das Kantonsgericht zurückzuweisen, damit dieses den Verfahrensmangel behebt und die vom Beschwerdeführer verlangte öffentliche Verhandlung durchführt. Hernach wird es über die Beschwerde materiell neu befinden.
3. Dem Prozessausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden IV-Stelle aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese hat dem Beschwerdeführer überdies eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, als der angefochtene Entscheid vom 16. Oktober 2009 aufgehoben wird. Die Sache wird an das Kantonsgericht Freiburg zurückgewiesen, damit es im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Freiburg, Sozialversicherungsgerichtshof, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Juni 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Dormann