Erwägungen:
1. Das Veterinäramt des Kantons Thurgau sprach am 13. Februar 2012 gegen X._ ein Tierhalteverbot (Kaninchenhaltung) aus, wogegen diese mehrere Rechtsmittel ergriff. Am 19. Oktober 2012 beantragte X._ dem Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau, es seien ihr die Kosten von Fr. 600.-- aus dem Verfahren zu erlassen, welches zum Urteil des Verwaltungsgerichts vom 11. Juli 2012 geführt habe (VG.2012.87/E betreffend Kostenvorschuss/unentgeltliche Prozessführung für das Rekursverfahren). Das Departement entsprach diesem Antrag am 16. November 2012 nicht. Auf die hiergegen gerichtete Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, weil verspätet, am 23. Januar 2013 nicht ein. Die mit der Eingabe verbundenen Gesuche um Wiederherstellung der Beschwerdefrist bzw. um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung wies das Verwaltungsgericht ab. X._ beantragt vor Bundesgericht unter anderem, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihr Fristwiederherstellungsgesuch zu akzeptieren. Es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
2. 2.1 Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist dabei in gezielter Form auf die für das Ergebnis massgeblichen Ausführungen der Vorinstanz einzugehen (BGE 134 II 244 E. 2.1-2.3). Beruht ein Entscheid, wie hier, auf kantonalem (Verfahrens-)Recht, kann im Wesentlichen bloss gerügt werden, dessen Anwendung verstosse gegen verfassungsmässige Rechte; entsprechende Rügen müssen gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG speziell geltend gemacht und begründet werden (BGE 135 III 513 E. 4.3 S. 521 f.; 134 I 153 E. 4.2.2 S. 158; 134 II 349 E. 3 S. 351 f.; 133 III 462 E. 2.3 S. 466).
2.2 Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht: Verfahrensgegenstand bildet ausschliesslich die Frage, ob das Verwaltungsgericht zu Recht auf die Eingabe nicht eingetreten ist. Mit der entsprechenden Problematik bzw. den diesbezüglichen Ausführungen setzt sich die Beschwerdeführerin nur am Rande auseinander. Sie beschränkt sich im Wesentlichen darauf, ihre Erklärungen aus dem kantonalen Verfahren zu wiederholen und auf ihre finanziell schwierige Situation hinzuweisen; mit den Darlegungen des Verwaltungsgerichts, warum die Beschwerdefrist nicht wieder hergestellt werden könne, setzt sie sich nicht in einer den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügenden Weise auseinander. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid ihre verfassungsmässigen Rechte verletzen würde (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.3 Eine entsprechende Rechtswidrigkeit ist aufgrund der Darlegungen und der plausiblen Begründung im angefochtenen Entscheid auch nicht ersichtlich: Zwar hatte die Beschwerdeführerin Probleme mit dem relativ starken Schneefall anfangs Dezember 2012, der dazu führte, dass ihr Carport einstürzte und sie ihr Auto zum Teil nicht gebrauchen konnte, doch hätte sie dennoch die Möglichkeit gehabt, sich so zu organisieren, dass die Beschwerde rechtzeitig der Post hätte übergeben werden können: Nach ihren eigenen Angaben bestand das Problem mit dem Carport am 1./2. Dezember 2012 und damit deutlich vor Ablauf der Beschwerdefrist. Im Übrigen wäre es ihr zumutbar gewesen, nötigenfalls mit dem öffentlichen Verkehrsmittel bis zur nächsten Post zu fahren, nachdem eine Haltestelle in unmittelbarer Nähe ihres Wohnorts liegt. Der Weg von diesem zur Post beträgt unbestrittenermassen lediglich rund 1,8 Kilometer, womit die Beschwerdeführerin auch zu Fuss zur Post hätte gelangen können, um ihre Beschwerde rechtzeitig - und nicht vier Tage verspätet - aufzugeben.
3. Auf die Beschwerde ist mangels rechtsgenügender Begründung nicht einzutreten, was durch den Präsidenten im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG geschehen kann. Obwohl das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen ist (vgl. Art. 64 BGG), rechtfertigt es sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. 2.1 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2 Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. März 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar