Faits:
A. Par décision du 7 février 2001, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a rejeté une demande de prestations que A._ avait déposée en 1998. Le prénommé a présenté une nouvelle demande, le 1er juillet 2005, invoquant des douleurs cervicales et lombaires persistantes et une dépression.
L'office AI a recueilli les avis des docteurs N._, P._ et C._, et confié un mandat d'expertise rhumatologique et psychiatrique au SMR. Les docteurs S._ et V._, du SMR, ont exclu toute atteinte à la santé ayant une répercussion sur la capacité de travail, laquelle demeurait entière depuis toujours dans n'importe quelle activité (rapport du 3 septembre 2007).
Dans un projet de décision du 9 novembre 2007, l'office AI a fait savoir à A._ qu'il envisageait de rejeter la demande, au motif qu'il ne présentait aucune comorbidité psychiatrique ni aucune limitation fonctionnelle somatique. L'assuré a manifesté son opposition en se prévalant des appréciations des docteurs N._, P._ et C._, qui retenaient une capacité de travail partielle. Par décision du 6 août 2008, l'office AI a rejeté la demande.
B. A._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui : Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal) en concluant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité. Il a requis la mise en oeuvre d'une expertise médicale pluridisciplinaire, invoquant des divergences dans les avis médicaux.
La juridiction cantonale l'a débouté par jugement du 9 juin 2010.
C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire et nouveau jugement. Il produit un rapport médical du docteur C._, du 13 juillet 2010.
L'intimé et l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Pour l'essentiel, l'argumentaire du recourant consiste à reprocher au tribunal cantonal de s'être fondé sur les conclusions des médecins du SMR, au motif que les rapports de ces derniers seraient par essence plutôt favorables aux organes de l'assurance-invalidité puisqu'ils en dépendent économiquement. Ainsi, les premiers juges ne pouvaient pas statuer définitivement sur le droit litigieux à une rente d'invalidité sans violer le droit fédéral.
2. Les moyens du recourant sont, à la lumière des dispositions légales relatives au pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (art. 95, 105 al. 2 LTF), dénués de toute pertinence. D'une part, le recourant méconnaît totalement le statut juridique de l'office AI et du SMR dans la procédure administrative d'instruction de la demande (art. 43 al. 1 LPGA; art. 59 al. 2bis LAI et 49 RAI; arrêts 9C_400/2010 du 9 septembre 2010 destiné à la publication au Recueil officiel, et 9C_323/2009 du 14 juillet 2009 publié in SVR 2009 IV n° 56 p. 174, relatifs notamment à la valeur probante des expertises administratives réalisées par les Centres d'observation médicale de l'assurance-invalidité et des rapports médicaux du SMR). D'autre part, il ne démontre pas en quoi l'appréciation des preuves à laquelle la juridiction cantonale a procédé serait arbitraire, singulièrement par le seul fait d'avoir jugé la cause à la lumière du rapport du SMR du 3 septembre 2007.
Il convient encore de préciser que le rapport du docteur C._ du 13 juillet 2010, que le recourant verse au dossier à l'appui de ses conclusions, constitue un moyen de preuve nouveau qui est irrecevable (art. 99 al. 1 LTF). En outre, si les rapports du SMR selon l'art. 49 al. 2 RAI ne constituent pas des expertises au sens de l'art. 44 LPGA, leur valeur probante est cependant comparable à celles-ci, si elles satisfont aux exigences définies par la jurisprudence en matière d'expertise médicale (cf. ATF 135 V 254 consid. 3.3 et 3.4 p. 257 ss). Le recourant n'aborde pourtant ni le contenu de l'examen bidisciplinaire du SMR ni les considérants du jugement attaqué qui se rapportent à ce document, mais se borne à formuler de simples et vagues critiques d'ordre général.
Le recours, dont la motivation se situe à la limite de la recevabilité (art. 42 al. 2 LTF, première phrase), est infondé.
3. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 janvier 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud