Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1983) stammt aus dem Kosovo. Er heiratete in seiner Heimat im Mai 2005 eine in der Schweiz niedergelassene Landsfrau (geb. 1982) und reiste am 23. November 2005 in die Schweiz ein. A._ erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Gattin. Das Paar hat drei gemeinsame Kinder (geb. 2007, 2009 und 2011), die in die Niederlassungsbewilligung der Mutter einbezogen sind.
Im Juni 2006 bedrohte A._ seine damals als Teamleiterin für ein Textilunternehmen tätige Gattin am Arbeitsort mit einem Messer und verletzte sie dabei leicht, zuvor war es während Monaten im häuslichen Bereich mehrmals pro Woche zu Tätlichkeiten gekommen, sodass eine polizeiliche Wegweisung aus der gemeinsamen Wohnung gegen ihn ausgesprochen wurde. Aufgrund der Eifersucht von A._ gab seine Frau ihrelangjährige Arbeitstätigkeit auf und war seit August 2006 arbeitslos. A._ wurde am 9. Oktober 2006 wegen mehrfachen Tätlichkeiten und Bedrohungen zum Nachteil seiner Gattin sowie Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung zu vier Wochen Gefängnis, bedingt auf zwei Jahre Probezeit, und einer Busse von Fr. 600.-- verurteilt. Am 5. Dezember 2006 wurde er infolge des strafrechtlichen Vorfalls ausländerrechtlich verwarnt.
Im Jahr 2006 arbeitete A._ während weniger Tage bei einer Gartenbauunternehmung. Am 1. Mai 2007 trat er erneut eine Stelle bei einem Gartenbauunternehmen an. Nach einem Verkehrsunfall am 19. Juni 2007 war A._ arbeitsunfähig und beantragte eine IV-Rente.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies das Gesuch im August 2010 indessen ab. Es begründete dies mit einer Observation, anlässlich derer von medizinischen Fachpersonen eine "deutliche und offensichtliche Diskrepanz" zwischen den in den medizinischen Untersuchungen geltend gemachten Einschränkungen und dem tatsächlichen Funktionsniveau im Alltag festgestellt wurde, sodass eine Arbeitsunfähigkeit aus medizinischer Sicht nicht nachvollzogen werden konnte. Die Verfügung erwuchs in Rechtskraft. Unter Hinweis auf offene Verlustscheine (etwas mehr als Fr. 14'000.--) und einen Schuldsaldo beim Sozialamt (etwas mehr als Fr. 60'000.--) sowie aufgrund der "Verfälschung der medizinischen Abklärungen" bzw. einem "immer wieder anders dargestellten" Vorfall vom Juni 2007 im IV-Verfahren wurde A._ am 10. Januar 2011 erneut ausländerrechtlich verwarnt und angehalten, eine geregelte Erwerbstätigkeit aufzunehmen und seine Schulden abzubauen.
Im Juni und August 2011 unterzog sich A._ operativen Eingriffen, wobei der zweite Eingriff misslang. Der behandelnde Arzt schrieb ihn ab dem 16. August 2011 zu hundert Prozent arbeitsunfähig. Nach einem weiteren Eingriff im November 2011 verschlechterte sich nach der Darstellung seines Hausarztes sein Zustand. Der Hausarzt schätzte seine Arbeitsfähigkeit ab dem 1. März 2012 jedoch auf 30 Prozent. Ab dem 19. März 2012 begab sich A._ in tagesklinische Behandlung und war an einem geschützten Arbeitsplatz fünf Tage pro Woche beschäftigt.
B.
Am 1. März 2012 wies das Migrationsamt des Kantons St. Gallen das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ ab. Einen hiergegen gerichteten Rekurs lehnte das Sicherheits- und Justizdepartement am 24. Januar 2013 ab. Die dagegen erhobene Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen blieb erfolglos, soweit das Gericht darauf eintrat (Urteil vom 21. August 2013).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde beantragt A._ dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 21. August 2013 aufzuheben. Seine Aufenthaltsbewilligung sei, allenfalls unterBedingungen und Auflagen, zu verlängern. Eventualiter sei ihm eine Jahresaufenthaltsbewilligung zu erteilen. Subeventualiter sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen, das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 3. Oktober 2013 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Der mit einer in der Schweiz niedergelassenen Landsfrau verheiratete Beschwerdeführer macht in vertretbarer Weise einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung geltend. Auf die form- und fristgerecht (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 100 Abs. 1 BGG) erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten des durch den vorinstanzlichen Entscheid unmittelbar betroffenen Beschwerdeführers (Art. 89 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
1.2. Da mit der gleichzeitig erhobenen subsidiären Verfassungsbeschwerde keine weitergehenden relevanten Ansprüche geltend gemacht werden, als die sich bereits aus der materiellen Überprüfung des negativen Bewilligungsentscheids im Rahmen des ordentlichen Rechtsmittels ergebenden, kann auf sie nicht eingetreten werden (vgl. Art. 113 BGG e contrario; Urteile 2C_214/2013 vom 14. Februar 2014 E. 1.4; 2C_327/2013 vom 23. Oktober 2013 E. 3.2; 2C_900/2012 vom 25. Januar 2013 E. 4.3; 2C_3/2012 vom 15. August 2012 E. 6.3).
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. BGE 136 I 65 E. 1.3.1 S. 68; 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 138 I 274 E. 1.6 S. 280; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft, mit anderen Worten willkürlich, erscheint (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 139 II 404 E. 10.1 S. 445; 138 I 274 E. 1.6 S. 280 f.; 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62).
1.5. Neue tatsächliche Vorbringen und Beweismittel sind im bundesgerichtlichen Verfahren grundsätzlich unzulässig (Art. 99 BGG). Auf ein Urteil der Vizepräsidentin des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen (Aufhebung eines Nichteintretensentscheids der IV-Stelle), das nach dem vorinstanzlichen Urteil ergangen ist und das der Beschwerdeführer am 25. März 2014 ins Recht legt, kann nicht weiter eingegangen werden. Es handelt sich um ein unzulässiges Novum (vgl. BGE 139 III 120 E. 3.1.2 S. 123; 138 II 393 E. 3.5 S. 397; 135 I 221 E. 5.2.4 S. 229; 133 IV 342 E. 2.1 S. 343 f.; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, das Verwaltungsgericht sei zu Unrecht von einer zumindest partiellen Arbeitsfähigkeit ausgegangen. Damit habe es den Sachverhalt offensichtlich unrichtig (willkürlich) festgestellt und eine Rechtsverletzung begangen (Art. 97 BGG). Es sei dem Beschwerdeführer aufgrund des erlittenen Unfalls nicht zumutbar, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen, wie dies Arztzeugnisse aus dem Jahr 2008 belegen würden. Er gehe nur ungern alleine aus dem Haus, weil er unter Schwindel und Ohnmacht leide. Zu schaffen machten ihm zudem die Folgen zweier missglückter operativer Eingriffe (Dauerschmerzen).
2.2. Die Vorbringen des Beschwerdeführers sind nicht geeignet, die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz als offensichtlich unrichtig oder willkürlich erscheinen zu lassen: Mit Blick auf den Gesundheitszustand des Beschwerdeführers durfte sich das Verwaltungsgericht auf ein am 24. August 2010 rechtskräftig abgewiesenes Gesuch um IV-Rente stützen, welches dieser bei der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen eingereicht hatte. Darin wird Bezug nehmend auf eine Observation von medizinischen Fachpersonen eine "erhebliche Diskrepanz zwischen den geschilderten Beeinträchtigungen und dem Verhalten des Beschwerdeführers im Alltag" festgestellt, sodass aus polydisziplinärer medizinischer Sicht (Neurologie, Rheumatologie und Psychiatrie) eine (auch partielle) Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers nicht nachvollzogen werden konnte. Die Vorinstanz durfte gestützt auf die Feststellungen des unangefochten gebliebenen negativen Entscheids und entgegen einem ins Recht gelegten Arztzeugnis davon ausgehen, der Beschwerdeführer wäre in der Lage gewesen, einer regelmässigen Arbeit nachzugehen (vgl. etwa BGE 125 V 351 E. 3 b und cc S. 353; Urteile 1C_12/2014 vom 7. März 2014 E. 2.4; 2C_74/2010 vom 10. Juni 2010 E. 4.3).
Nach den beiden operativen Eingriffen im Jahr 2011 war der Beschwerdeführer gemäss den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ab dem 16. August 2011 zu 100 Prozent arbeitsunfähig geschrieben. Ab März 2012 bezeichnete der Hausarzt des Beschwerdeführers dessen Arbeitsfähigkeit allerdings wieder als zu 30 Prozent gegeben. Auch die teilweise Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers wird nicht - jedenfalls nicht substanziiert - bestritten. Die vorinstanzlichen Feststellungen, wonach der Beschwerdeführer mit Ausnahme des 16. August 2011 bis März 2012 als zumindest partiell arbeitsfähig zu gelten hat, sind demnach nicht offensichtlich unrichtig und für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 2 BGG; oben E. 1.4).
3.
Der Beschwerdeführer bringt vor, das Verwaltungsgericht habe zu Unrecht das Vorliegen von Widerrufsgründen im Sinne von Art. 62 AuG als gegeben erachtet und einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung verneint. Im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung der Nichtverlängerung habe es zudem Art. 8 EMRK verletzt.
3.1. Ausländische Ehegatten von Personen mit Niederlassungsbewilligung haben Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen (Art. 43 Abs. 1 AuG). Dieser Anspruch erlöscht unter anderem, wenn Widerrufsgründe nach Art. 62 AuG vorliegen (Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG). Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers stützt die Vorinstanz auf Art. 62 lit. c und e AuG.
3.1.1. Nach Art. 62 lit. e AuG kann die zuständige Behörde die Bewilligung widerrufen, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist (Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.1; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.1; je mit Hinweisen). Beim Widerruf bzw. der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung eines Ausländers wegen Bedürftigkeit geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Ob dies der Fall sein wird, ist allerdings nicht mit Sicherheit feststellbar. Es muss daher auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung beim Ausländer abgestellt werden. Nach der Rechtsprechung ist für die Bejahung dieses Widerrufsgrundes eine konkrete Gefahr der Sozialhilfeabhängigkeit erforderlich und es kann dafür nicht auf Hypothesen und pauschalierte Gründe abgestellt werden (vgl. Urteile 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 5.4; 2C_673/2011 vom 3. August 2012 E. 4.2.1; 2C_685/2010 vom 30. Mai 2011 E. 2.3.1 und 2.3.2). Neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen ist auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht abzuwägen. Ein Widerruf kommt in Betracht, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt sorgen wird (BGE 122 II 1 E. 3c S. 8; Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.1; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.3; vgl. 2C_74/2010 vom 10. Juni 2010 E. 3.4 mit Hinweisen). Allerdings ist auch im Rahmen von Art. 62 lit. e AuG der Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu beachten, wobei vor allem das Verschulden an der Situation und die bisherige Verweildauer im Lande zu berücksichtigen sind (Botschaft zum AuG, BBl 2002 3809 f.; Amtl. Bull 2004 N 1088 f.). Namentlich soll nicht schon Armut infolge einer Scheidung, sondern erst persönliches Verhalten zum Widerruf führen (Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.2; Botschaft zum AuG, a.a.O., 3809 f.). Zu beachten ist ferner, dass Sozialversicherungsleistungen keine Sozialhilfe darstellen (vgl. BGE 135 II 265 E. 3.7 S. 272 mit Hinweis; Urteil 2C_958/2011 vom 18. Februar 2013 E. 2.3), weshalb deren Bezug vom Tatbestand des Art. 62 lit. e AuG nicht erfasst wird (Urteile 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 5.4; 2C_958/2011 vom 18. Februar 2013 E. 2.3; je mit Hinweisen).
3.1.2. Art. 62 lit. c AuG erlaubt den Widerruf der Bewilligung, wenn die ausländische Person erheblich oder wiederholt gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz oder im Ausland verstossen hat oder diese gefährdet oder die innere oder die äussere Sicherheit gefährdet. Art. 80 Abs. 1 VZAE enthält eine nicht abschliessende Aufzählung von Handlungen, die einen Verstoss gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung darstellen. Dies ist der Fall bei einer Missachtung von gesetzlichen Vorschriften und behördlichen Verfügungen (Art. 80 Abs. 1 lit. a VZAE) und bei mutwilliger Nichterfüllung der öffentlich-rechtlichen oder privatrechtlichen Verpflichtungen (Art. 80 Abs. 1 lit. b VZAE; Urteile 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 3; 2C_117/2012 vom 11. Juni 2012 E. 4.4.2; 2C_793/2008 vom 27. März 2009 E. 2.1). Der Widerruf bzw. die Verweigerung der Bewilligung rechtfertigt sich jeweils nur, wenn die im Einzelfall vorzunehmende Interessenabwägung die entsprechende Massnahme als verhältnismässig erscheinen lässt (vgl. Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.4; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.2; BGE 125 II 521 E. 2a S. 523).
3.2. Die rechtliche Würdigung der Vorinstanz in Bezug auf den Widerrufsgrund von Art. 62 lit. e AuG ist - zumindest im Ergebnis - nicht zu beanstanden:
3.2.1. Seit Juli 2008 musste die Familie des Beschwerdeführers durchgehend von der Sozialhilfe unterstützt werden. Der Ausstand per 1. Dezember 2011 betrug rund Fr. 81'000.--, was nach der Rechtsprechung zu Art. 62 lit. e AuG einen beachtlichen Betrag darstellt (vgl. Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.3; vgl. 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.2; vgl. 2C_672/2008 vom 9. April 2009 E. 3.3; je mit Hinweisen). Dass sich der Beschwerdeführer im Rahmen der ihm möglichen Arbeitsfähigkeit um eine Erwerbstätigkeit bemüht hätte, ist weder vorinstanzlich festgestellt noch wird dies mit der Beschwerde geltend gemacht. Ob und gegebenenfalls in welcher Höhe der Beschwerdeführer seit dem März 2012 durch die Beschäftigung in einer psychiatrischen Tagesklinik zum Unterhalt der Familie beitragen kann bzw. inwiefern ihm diese Beschäftigung helfen könnte, inskünftig wieder berufstätig zu sein, wird von ihm nicht vorgebracht. Offenbar bemüht sich der Beschwerdeführer weiterhin um einen Rentenanspruch. Unter Berufung auf ein rechtskräftig abgewiesenes Gesuch um IV-Rente vom 24. August 2010 durfte das Verwaltungsgericht jedoch davon ausgehen, es könne aufgrund des bisherigen Verhaltens und des abgewiesenen Rentengesuchs nicht darauf geschlossen werden, dass der Beschwerdeführer die bestehende Lücke zum Bedarf der Familie mit Erwerbseinkommen oder einer Rente inskünftig decken würde.
Ob die Sozialhilfeabhängigkeit damit auch "dauerhaft und in erheblichem Masse" besteht, braucht entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht geprüft zu werden: Diese Differenzierung, die zu qualifizierten Voraussetzungen für den Widerruf bei der Niederlassungsbewilligung führt (Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG; Urteile 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.2; 2C_268/2011 vom 22. Juli 2011 E. 6.2.1; 2C_74/2010 vom 10. Juni 2010 E. 3.4), ist beabsichtigt (vgl. Botschaft zum AuG, a.a.O., 3809 f.; Marc Spescha, in: Spescha/Thür/Zünd, Migrationsrecht, 3. Aufl. 2012, N 11 zu Art. 63 AuG), auf den bloss aufenthaltsberechtigten Beschwerdeführer jedoch nicht anwendbar.
3.2.2. Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen ist auch die Gattin des Beschwerdeführers seit August 2006 arbeitslos. Die Arbeitslosenversicherung erbringt für sie keine weiteren Leistungen. Die Vorinstanz ging davon aus, es sei nach dem bisherigen Verhalten des Beschwerdeführers nicht damit zu rechnen, dass seine Gattin in absehbarer Zukunft wieder ungestört auswärts arbeiten und zum Familieneinkommen werde beitragen können. Dies erscheint fraglich, weil die Bedrohungen des Gatten zum Nachteil seiner Frau bereits einige Jahre zurückliegen (Verurteilung aus dem Jahr 2006) und er sich geändert bzw. mittlerweile mit den hiesigen Gegebenheiten zurecht gefunden haben könnte. Allerdings wird die diesbezügliche sachverhaltliche Feststellung der Vorinstanz weder substanziiert bestritten - der Beschwerdeführer legt keinen tief greifenden Persönlichkeitswandel dar - noch kann sie aufgrund des Benehmens des Beschwerdeführers, während seine Gattin noch arbeitstätig war, geradezu als willkürlich gelten. Wesentlicher ist jedoch, dass der Beschwerdeführer selbst vorbringt, eine Betreuung der noch kleinen Kinder durch ihn - was eine zumindest teilweise auswärtige Berufstätigkeit seiner Gattin ermöglichen könnte -, wäre ihm nicht zuzumuten. Vor diesem Hintergrund beging die Vorinstanz keine Rechtsverletzung, wenn sie erwog, die Aussichten, seine Gattin würde nicht in absehbarer Zeit wieder arbeiten können bzw. die Prognose, dass sich der Beschwerdeführer oder seine Familie von der Sozialhilfebedürftigkeit würden lösen können, seien ungünstig. Das Verwaltungsgericht durfte daher annehmen, der Widerrufsgrund von Art. 62 lit. e AuG sei hinsichtlich des Beschwerdeführers gegeben und es bestünden erhebliche öffentliche Interessen an der Beendigung seines Aufenthalts (vgl. BGE 139 I 330 E. 3.2 S. 339; Urteil 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.3 mit Hinweisen; Urteil des EGMR Hasanbasic gegen die Schweiz vom 11. Juni 2013 [Nr. 52166/09] § 59 mit zahlreichen Hinweisen; Palanci gegen die Schweiz vom 25. März 2014 [Nr. 2607/08] § 58). Offenbleiben kann damit, ob der Widerrufsgrund von Art. 62 lit. c AuG (in Verbindung mit Art. 80 Abs. 1 lit. a VZAE) ebenfalls erfüllt ist, wie dies die Vorinstanz annimmt.
Der Vollständigkeit anzumerken bleibt, dass der Widerrufsgrund gemäss Art. 62 lit. e AuG ausschliesslich für den Beschwerdeführer festgestellt wurde, nicht jedoch für seine Gattin (vgl. Art. 63 Abs. 2 AuG; vgl. ferner Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E.3.4.3; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2 und 5).
4.
4.1. Ein Widerruf der Aufenthaltsbewilligung rechtfertigt sich indessen nur, wenn die jeweils im Einzelfall vorzunehmende Interessenabwägung die entsprechende Massnahme auch als verhältnismässig erscheinen lässt (oben E. 3). Dabei sind die - bereits herausgearbeiteten - öffentlichen Interessen, andererseits die persönlichen Verhältnisse und der Grad der Integration der ausländischen Person zu berücksichtigen (vgl. Art. 96 Abs. 1 AuG; Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.4; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.2; oben E. 3.1.1).
4.2. Der Beschwerdeführer wirft dem Verwaltungsgericht vor, dieses habe die erforderliche Interessenabwägung nicht sorgfältig vorgenommen und dadurch Art. 8 EMRK verletzt. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz sei er ohne eigene Schuld von der Sozialhilfe abhängig geworden.
4.2.1. Während seines zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils rund 8-jährigen Aufenthalts in der Schweiz war der Beschwerdeführerlediglich (während weniger Tage) 2006 und etwas mehr als einen Monat 2007 sowie ab März 2012 vorübergehend an einem geschützten Arbeitsplatz in einer psychiatrischen Klinik berufstätig. Der Umfang und die Dauer der Arbeitstage in der Klinik sind von der Vorinstanz nicht näher festgestellt, und vom Beschwerdeführer im bundesrechtlichen Verfahren nicht dargelegt wird, inwiefern ihm diese Beschäftigung den Wiedereinstieg ins Berufsleben ermöglichen könnte. Der Beschwerdeführer hat, wie er selbst einräumt, in der Schweiz nur sehr kurze Zeit gearbeitet. Während des vorinstanzlichen Verfahrens hat er nach einem ablehnenden Entscheid einzig die weiteren Bemühungen um eine Berentung nachgewiesen. Demgegenüber hat er sich bis zu seinem 22. Lebensjahr in seiner Heimat aufgehalten und demnach den bisher grössten Teil seines Lebens dort verbracht. Er ist zweifellos mit den sozio-kulturellen Gegebenheiten seines Herkunftstaates vertraut. Eine Wiedereingliederung in sein Heimatland dürfte ihn vor keine spezifischen Probleme stellen. Er macht auch nicht geltend, er benötigte aufgrund gesundheitlicher Probleme Therapien oder Medikamente, die in seiner Heimat nicht verfügbar wären. Der Umstand, dass die wirtschaftliche Situation im Kosovo schwieriger ist als in der Schweiz, lässt die Rückkehr entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers praxisgemäss nicht als unverhältnismässig erscheinen (vgl. nebst BGE 138 II 229 E. 3.1 S. 232; 137 II 345 E. 3.2.3 S. 350 auch die Urteile 2C_1179/2013 vom 30. Dezember 2013 E. 3.2.1; 2C_489/2011 vom 16. Juni 2011 E. 2.2; 2C_216/2009 vom 20. August 2009 E. 3).
4.2.2. Daneben steht jedoch fest, dass der Beschwerdeführer mit einer in der Schweiz niederlassungsberechtigten Landsfrau verheiratet ist. Seine Gattin hält sich seit 1994 und damit seit ihrem zwölften Lebensjahr in der Schweiz auf. Gemeinsam haben sie drei 2007, 2009 und 2011 geborene und damit zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils im Vorschulalter befindliche Kinder. Sowohl die Gattin als auch die Kinder sind in der Schweiz niederlassungsberechtigt. Angesichts dieses Umstandes rügt der Beschwerdeführer zu Recht, dass seine privaten Interessen an einem Verbleib in der Schweiz deutlich ins Gewicht fallen (vgl. bereits Urteil 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.4.1). Die mit der Betreuung der Kleinkinder befasste Ehefrau stammt zwar ebenfalls aus dem Kosovo, sie lebt jedoch bereits seit ihrem 12. Lebensjahr in der Schweiz und war vor ihrer Ehe beruflich integriert. Es dürfte ihr entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht ohne Weiteres zuzumuten sein, in die gemeinsame Heimat auszureisen. Wenn die Vorinstanz demnach anführt, die privaten Interessen des Beschwerdeführers an einem weiteren Verbleib bestünden namentlich "darin, sich und seine Familie in der Schweiz mittels Sozialversicherungsleistungen wirtschaftlich abzusichern", verkennt sie, dass die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung mit der daran anknüpfenden Pflicht, die Schweiz zu verlassen, erhebliche Konsequenzen für das rechtlich geschützte Familienleben hat (Art. 8 EMRK; Art. 13 BV; vgl. Urteil 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 2.3).
4.2.3. Vorliegend bestehen allerdings gewichtige öffentliche Interessen an der Beendigung des Aufenthalts. So lassen sich vonseiten des Beschwerdeführers während seines gesamten Aufenthalts, auch nach einer zweiten ausländerrechtlichen Verwarnung wegen der Sozialhilfebezüge, die sich zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils auf knapp Fr. 81'000.-- beliefen und wegen Schulden in der Höhe von knapp Fr. 14'500.--, keine Bemühungen feststellen, den Unterhalt seiner Familie selbst (mit) zu bestreiten. Ein Gesuch um IV-Leistungen, um das sich der Beschwerdeführer bemühte, ist rechtskräftig abgewiesen worden. Die Vorinstanz durfte aufgrund der dortigen Sachverhaltsfeststellungen davon ausgehen, die gesundheitliche Beeinträchtigung des Beschwerdeführers wiege nicht derart schwer, dass ihm keinerlei Arbeit zuzumuten wäre. Festgestellt ist auch keinerlei Bemühung des Beschwerdeführers um (teilweise) Übernahme der Betreuung der Kinder, sodass seine Gattin entlastet und (teilweise) wieder eine Erwerbstätigkeit aufnehmen könnte. Die Beendigung des Aufenthalts des Beschwerdeführers würde vor diesem Hintergrund wohl nicht dazu führen, dass die Familie finanziell schlechtergestellt wäre (vgl. diesbezüglich etwa Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.4.2; 2C_273/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 3.3). Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer aufgrund der früheren auswärtigen Berufstätigkeit der Gattin zu ihrem Nachteil straffällig geworden ist, was sich für ihn in der Interessenabwägung ebenfalls negativ auswirkt (Tätlichkeiten, Bedrohung mit einem Messer an ihrem Arbeitsplatz; vgl. Urteil des EGMR Palanci gegen die Schweiz, a.a.O., § 57). Vor diesem Hintergrund ist einerseits - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - nicht davon auszugehen, er sei unverschuldet sozialhilfeabhängig geworden. Andererseits ist nicht ersichtlich, inwiefern sich seine Einkommenssituation demnächst dauerhaft verbessern könnte und er inskünftig zum Unterhalt der Familie beitragen würde. Auch wenn die privaten Interessen des Beschwerdeführers von einigem Gewicht sind, hat die Vorinstanz im Ergebnis kein Bundesrecht verletzt, wenn sie die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers als verhältnismässig erachtet hat.
5.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demnach unbegründet und abzuweisen. Da sie sich - auch aufgrund der Mängel im angefochtenen Entscheid - nicht als aussichtslos erweist und der Beschwerdeführer bedürftig ist, kann die beantragte unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Dem Beschwerdeführer wird Fürsprecher Daniel Küng als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben. Diesem wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni