Fatti:
A. I._ è stata assunta dal 1° novembre 2007 dalla B._SA in qualità di assistente direzione e responsabile ristorazione presso l'albergo P._. Dal 3 dicembre 2007 l'albergo è stato gestito dalla A._ SA. I._ ne è stata membro del consiglio di amministrazione con firma collettiva a due dal 3 dicembre 2007 al 6 maggio 2008. Per fine marzo 2008 l'interessata ha cessato la propria attività presso l'albergo P._.
I._ non ha mai percepito il salario del marzo 2008. Per ottenerne il pagamento ha adito le vie esecutive. Il 26 giugno 2009, I._ ha poi presentato all'assicurazione disoccupazione una domanda di indennità per insolvenza facendo valere il credito salariale.
Per decisione 7 settembre 2009, sostanzialmente confermata il 12 ottobre seguente anche in seguito all'opposizione dell'interessata, la Cassa disoccupazione del Cantone Ticino ha disatteso la richiesta rimproverando all'assicurata una violazione dell'obbligo di ridurre il danno.
B. Assistita dal Centro per i diritti del cittadino, I._ si è aggravata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino.
Nella risposta la Cassa ha soggiunto che all'erogazione delle chieste prestazioni si opponeva pure il fatto che l'insorgente dal 3 dicembre 2007 al 6 maggio 2008 era membro del consiglio di amministrazione della A._ SA.
La Corte cantonale, statuendo per giudice unico, ha respinto il gravame (pronuncia dell'8 marzo 2010).
C. Sempre assistita dal Centro per i diritti del cittadino, l'assicurata ha interposto ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, al quale, protestate spese e ripetibili, ripropone la richiesta di indennità per insolvenza.
Invitata a fornire un anticipo delle spese giudiziarie, la ricorrente ha formulato una domanda di assistenza giudiziaria.
Non sono state chieste osservazioni al ricorso.
Diritto:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Per il resto, il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF) e vi si può scostare solo qualora questo accertamento sia avvenuto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF (art. 105 cpv. 2 LTF).
2. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, la Corte cantonale ha già esposto le norme e i principi giurisprudenziali disciplinanti la materia, ricordando in particolare le condizioni alle quali è subordinato il riconoscimento di indennità per insolvenza. A tale esposizione può essere fatto riferimento, non senza tuttavia ribadire che giusta l'art. 51 cpv. 2 LADI non hanno diritto alla prestazione in questione le persone che, in qualità di soci, di membri di un organo dirigente dell'azienda o finanziariamente partecipi della società, prendono parte alle decisioni del datore di lavoro o possono esercitarvi un influsso considerevole, nonché i loro coniugi che lavorano nell'azienda.
Adesione può inoltre essere prestata alla pronuncia cantonale pure nella misura in cui ha ricordato che la cerchia degli esclusi dal diritto alle prestazioni in caso d'insolvenza corrisponde a quella inerente all'indennità per orario di lavoro ridotto giusta l'art. 31 cpv. 3 lett. c LADI. La giurisprudenza riguardante quest'ultima disposizione è di conseguenza applicabile anche quando si tratta di valutare se un lavoratore sia da annoverare fra le persone cui fa menzione l'art. 51 cpv. 2 LADI.
Il primo giudice ha infine correttamente precisato che per stabilire se un impiegato possa esercitare un influsso considerevole ai sensi dell'art. 31 cpv. 3 lett. c LADI (e, quindi, dell'art. 51 cpv. 2 LADI), deve essere esaminato di quali poteri decisionali egli disponga concretamente sulla base della struttura aziendale interna, non essendo per contro determinanti i soli criteri formali. Segnatamente, non è ammissibile negare, in modo generico, il diritto alle indennità a lavoratori esercitanti mansioni dirigenziali per il solo fatto che essi detengono una procura o un altro mandato commerciale e sono iscritti nel registro di commercio. D'altro canto però, possono di principio vedersi rifiutare le prestazioni anche salariati che non fruiscono formalmente di un diritto di firma e non figurano a registro di commercio, ma che in realtà partecipano in modo decisivo alla formazione della volontà sociale (DTF 120 V 525 consid. 3b e riferimenti).
Da questa regola la giurisprudenza ha escluso solo i membri del consiglio d'amministrazione che collaborano nell'azienda, per il motivo che la legge conferisce a tale organo esecutivo attribuzioni, in parte inalienabili, che per definizione comportano la facoltà di influire in modo diretto sulle decisioni del datore di lavoro, foss'anche solo nella forma della suprema direzione o dell'alta vigilanza sugli incaricati della gestione (art. 716-716b CO). Di conseguenza, l'appartenenza di un salariato al consiglio d'amministrazione è una circostanza che lo esclude automaticamente, giusta l'art. 31 cpv. 3 lett. c LADI, dal diritto all'indennità per lavoro ridotto (e, quindi, anche d'insolvenza), senza che nemmeno occorra esperire ulteriori accertamenti ai sensi della dianzi citata giurisprudenza in DTF 120 V 525 con riferimento alla concreta posizione dell'interessato in seno all'azienda (DTF 122 V 273 consid. 3; DLA 2004 no. 21 pag. 198 consid. 3.2 [C 113/03]).
3. Come già rilevato dal primo giudice, nella fattispecie in esame è pacifico che la ricorrente ha ricoperto, dal 3 dicembre 2007 al 6 maggio 2008, la carica di membro del consiglio di amministrazione della A._ SA. Ne discende che deve essere esclusa, giusta l'art. 51 cpv. 2 LADI e la giurisprudenza menzionata, dalle chieste prestazioni, di modo che a ragione la precedente istanza ha confermato il provvedimento amministrativo di diniego.
In tali condizioni, a ragione la Corte cantonale poteva prescindere dall'esaminare se i tempi e le modalità in cui l'assicurata ha cercato di ottenere l'incasso della propria pretesa salariale relativa al mese di marzo 2008 configurasse una violazione dell'obbligo di ridurre il danno.
4. Ne segue che il ricorso dev'essere respinto in quanto manifestamente infondato (art. 109 cpv. 2 lett. a LTF). Le spese seguono la soccombenza e sono poste a carico del ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF). Quest'ultimo ha chiesto di poter essere dispensato dal pagamento di tali spese. Sennonché la domanda di assistenza giudiziaria va respinta dal momento che il gravame era manifestamente privo di probabilità di successo fin dall'inizio (art. 64 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è respinto.
2. La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3. Le spese giudiziarie di fr. 300.- sono poste a carico della ricorrente.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e alla Segreteria di Stato dell'economia.