Sachverhalt:
A. Am 30. August 2010 leitete Rechtsanwalt X._ im eigenen Namen und als Bevollmächtigter der Z._ AG beim Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt für Fr. 293'074.90 nebst Zins zu fünf Prozent seit 14. Februar 2006 gegen den Kanton Luzern die Betreibung ein. Der Amtsgerichtspräsident setzte X._ mit Verfügung vom 1. September 2010 eine Frist, um seine Vertretungsberechtigung mittels einer aktuellen schriftlichen Vollmacht nachzuweisen; andernfalls gehe er davon aus, es bestehe keine Vertretungsbefugnis, und führe auf dem Zahlungsbefehl nur X._ als Gläubiger auf.
B. In eigenem Namen und im Namen der Z._ AG erhob X._ darauf Beschwerde beim Obergericht des Kantons Luzern. Er beantragte, die Verfügung des Amtsgerichtspräsidenten vom 1. September 2010 betreffend Nachreichung der Vollmacht aufzuheben und den Zahlungsbefehl gemäss Betreibungsbegehren zuzustellen. Weiter wies er darauf hin, er habe die Beschwerde auch dem Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt zugestellt, und bat das Obergericht um einen Vorentscheid betreffend die sachliche Zuständigkeit. In prozessualer Hinsicht verlangte X._ unter anderem, die Namen der am Beschwerdeentscheid mitwirkenden Richter seien ihm mitzuteilen (Eingabe vom 13. September 2010). Am 4. Oktober 2010 teilte Oberrichter Y._ X._ mit, die Beschwerde werde von der Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts als oberer Beschwerdeinstanz beurteilt werden, und gab ihm die Zusammensetzung des Spruchkörpers bekannt. X._ erhielt Gelegenheit zur Stellungnahme. Er liess sich aber nicht vernehmen. Der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Stadt erklärte die bei ihm in gleicher Sache hängige Beschwerde am 20. Oktober 2010 als erledigt. Die Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts wies die Beschwerde von X._mit Entscheid vom 23. November 2010 ab.
C. C.a Hierauf gelangte X._ - diesmal ausschliesslich in eigenem Namen - mit Beschwerde an das Bundesgericht (Eingabe vom 12. Januar 2011). In Ziff. 1 seiner Anträge stellte er das Begehren, den Entscheid des Obergerichts vom 23. September 2010, dessen Verfügung vom 4. Oktober 2010 sowie die Verfügung des Amtsgerichtspräsidenten III von Luzern-Stadt vom 1. September 2010 aufzuheben; eventuell sei zusätzlich die Nichtigkeit dieser drei Verfügungen festzustellen. In neun weiteren Ziffern stellte X._ eine Reihe zusätzlicher Anträge. Diese betrafen zum einen verschiedene Modalitäten des Verfahrens, die das Bundesgericht seiner Ansicht nach einzuhalten hatte. Zum andern bezogen sie sich auf den Inhalt des Entscheides, den das Bundesgericht in Gutheissung seiner Beschwerde fällen sollte.
C.b Das Bundesgericht trat auf die Beschwerde von X._ nicht ein. Es erwog, beim angefochtenen Entscheid des Obergerichts betreffend die Nachreichung einer Vollmacht handle es sich um einen Zwischenentscheid über eine formelle Voraussetzung im Verfahren der Ausstellung des Zahlungsbefehls für die Z._ AG. Das Bundesgericht kam zum Schluss, X._ habe nicht dargetan, dass dieser selbständig eröffnete Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG anfechtbar wäre. Entsprechend dem Verfahrensausgang auferlegte es X._ die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- (Urteil 5A_28/2011 vom 21. März 2011).
D. D.a Mit als "Gesuch um Revision und Kostenbefreiung" bezeichneter Eingabe vom 29. April 2011 beantragt X._ (fortan "Gesuchsteller"), das bundesgerichtliche Urteil vom 21. März 2011 aufzuheben und das Revisionsgesuch gutzuheissen (Begehren Ziff. 1); von einer zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts sei ein neues Urteil zu fällen, das sämtliche Anträge der Beschwerde vom 12. Januar 2011 behandelt (Begehren Ziff. 2). In prozessualer Hinsicht stellt der Gesuchsteller folgende Anträge: Erstens sei aufgrund der besonderen Umstände im Sinne von Art. 66 Abs. 1 BGG auf die Erhebung von Kosten sowohl für das vorliegende Revisionsverfahren als auch für das Beschwerdeverfahren 5A_28/2011 zu verzichten (Begehren Ziff. 3). Weiter sei dem Revisionsgesuch die aufschiebende Wirkung zu erteilen, das heisst im Sinne einer vorsorglichen Massnahme gemäss Art. 126 BGG sei die Bundesgerichtskasse anzuweisen, das Inkasso der im Beschwerdeentscheid verfügten Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- einstweilen auszusetzen. Ferner sei das neu seit 1. Januar 2011 gemäss § 5 des luzernischen Einführungsgesetzes zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs vom 22. Oktober 1996 (SRL 290; EG SchKG/LU) zuständige Konkursamt Luzern anzuweisen, den Zahlungsbefehl an den betriebenen Schuldner Kanton Luzern zuzustellen oder die Zustellung einstweilen auszusetzen, analog der bundesgerichtlichen vorsorglichen Massnahme vom 1. Februar 2011 im Verfahren 5A_28/2011 (Begehren Ziff. 4). Der Gesuchsteller beantragt überdies, diejenigen Bundesrichter bekanntzugeben, die das Revisionsgesuch behandeln, und einen andern Instruktionsrichter einzusetzen (Begehren Ziff. 5). Schliesslich habe das Bundesgericht das Revisionsgesuch und die Beschwerde gemäss Art. 102 BGG den anderen Verfahrensbeteiligten sowie dem Bundesamt für Justiz zuzustellen, damit der Bund so die Einhaltung des Bundesrechts überwachen könne (Begehren Ziff. 6).
D.b Mit Verfügung vom 2. Mai 2011 wies die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um Kostenerlass (Begehren Ziff. 3) ab und setzte dem Gesuchsteller eine Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.--. Ebenso wies sie das Gesuch um aufschiebende Wirkung (Begehren Ziff. 4) ab. Was die Zusammensetzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts anbelangt (Begehren Ziff. 5), verwies die Präsidentin den Gesuchsteller auf den Staatskalender.
D.c Mit Schreiben vom 11. Mai 2011 ersuchte der Gesuchsteller das Bundesgericht darum, auch über die in Begehren Ziff. 4 beantragte vorsorgliche Massnahme zu befinden, wonach vorläufig keinerlei Amtshandlungen vorzunehmen seien.
D.d Mit Verfügung vom 13. Mai 2011 wies das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen ab.
Erwägungen:
1. Die Revision eines Bundesgerichtsurteils kann unter anderem verlangt werden, wenn das Bundesgericht einzelne Anträge nicht beurteilt oder in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (Art. 121 lit. c und d BGG). Findet das Bundesgericht, dass ein Revisionsgrund zutrifft, so hebt es den früheren Entscheid auf und entscheidet neu (Art. 128 Abs. 1 BGG). Revisionsbegehren gestützt auf Art. 121 lit. c und d BGG betreffen eine "Verletzung anderer Verfahrensvorschriften" im Sinne von Art. 124 Abs. 1 lit. b BGG, für deren Geltendmachung das Revisionsgesuch binnen dreissig Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des Entscheids beim Bundesgericht eingereicht werden muss (Urteil 2F_9/2008 vom 20. Februar 2009 E. 1.1). Mit der vorliegenden Eingabe hat der Gesuchsteller diese Frist gewahrt. Der Gesuchsteller ist im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren mit seinen Anträgen unterlegen, zumal das Bundesgericht auf seine Beschwerde gar nicht erst eingetreten ist. Er ist deshalb zum Revisionsgesuch legitimiert. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Eingabe ist demnach einzutreten.
2. Der Gesuchsteller beruft sich insbesondere auf den Revisionsgrund nach Art. 121 lit. c BGG. Er macht geltend, das Bundesgericht habe im Beschwerdeverfahren 5A_28/2011 etliche seiner Anträge unbeurteilt gelassen. Dies trifft nicht zu. Indem das Bundesgericht auf die Beschwerde insgesamt nicht eingetreten ist, hat es offensichtlich über die Gesamtheit der Rechtsbegehren entschieden, die ihm der Gesuchsteller in seiner Beschwerde vom 12. Januar 2011 zur Beurteilung unterbreitet hatte (Urteil 1F_16/2008 vom 11. August 2008 E. 3, in: SJ 2008 I S. 466). Soweit sich der Gesuchsteller auf Art. 121 lit. c BGG stützt, erweist sich sein Revisionsgesuch von vornherein als unbegründet.
3. Zu prüfen bleibt, ob das Urteil 5A_28/2011 vom 21. März 2011 gestützt auf Art. 121 lit. d BGG wegen versehentlicher Nichtberücksichtigung von Tatsachen zu revidieren sei, wie dies der Gesuchsteller in seinem Schriftsatz geltend macht.
3.1 Gestützt auf Art. 121 lit. d BGG kann die Revision verlangt werden, wenn das Bundesgericht eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen hat (BGE 115 II 399 E. 2a S. 399 f.). Die fragliche Aktenstelle muss für die Entscheidfindung überdies erheblich gewesen sein (BGE 122 II 17 E. 3 S. 19). Zu den in den Akten liegenden Tatsachen im Sinne von Art. 121 lit. d BGG gehören auch Rechtsschriften und deren Inhalt. Unkenntnis des Inhalts eines bei den Akten liegenden Schriftstücks kann Anlass zur Revision geben. Daher könnte auch die Feststellung des Bundesgerichts, etwas sei unbestritten geblieben, während es tatsächlich bestritten war, als Revisionsgrund gelten (Urteil 2F_5/2009 vom 3.7.2009 E. 3.3 mit Hinweisen). Demgegenüber ist der Revisionsgrund nicht gegeben, wenn das Bundesgericht die fraglichen Aktenstellen und Vorbringen zwar durchaus berücksichtigt, aber nicht so gewürdigt und beurteilt hat, wie der Gesuchsteller dies wünscht und im Beschwerdeverfahren beantragt hat. Ebenso wenig besteht Anlass zur Aufhebung des Urteils, wenn das Bundesgericht Umstände, die sich aus den Akten ergaben, deshalb nicht ausdrücklich erwähnte, weil sie gar nicht entscheiderheblich waren (vgl. BGE 127 V 353 E. 5b S. 358; 122 II 17 E. 3 S. 18 f., je mit Hinweisen). Vor allem aber dient die Revision auch nicht dazu, allfällige Versäumnisse im vorinstanzlichen Verfahren oder bei der Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht nachträglich zu beheben (Urteil 5F_6/2007 vom 7. April 2008 E. 2.2.; 2F_11/2007 vom 22. November 2007 E. 3.1).
3.1 Gestützt auf Art. 121 lit. d BGG kann die Revision verlangt werden, wenn das Bundesgericht eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen hat (BGE 115 II 399 E. 2a S. 399 f.). Die fragliche Aktenstelle muss für die Entscheidfindung überdies erheblich gewesen sein (BGE 122 II 17 E. 3 S. 19). Zu den in den Akten liegenden Tatsachen im Sinne von Art. 121 lit. d BGG gehören auch Rechtsschriften und deren Inhalt. Unkenntnis des Inhalts eines bei den Akten liegenden Schriftstücks kann Anlass zur Revision geben. Daher könnte auch die Feststellung des Bundesgerichts, etwas sei unbestritten geblieben, während es tatsächlich bestritten war, als Revisionsgrund gelten (Urteil 2F_5/2009 vom 3.7.2009 E. 3.3 mit Hinweisen). Demgegenüber ist der Revisionsgrund nicht gegeben, wenn das Bundesgericht die fraglichen Aktenstellen und Vorbringen zwar durchaus berücksichtigt, aber nicht so gewürdigt und beurteilt hat, wie der Gesuchsteller dies wünscht und im Beschwerdeverfahren beantragt hat. Ebenso wenig besteht Anlass zur Aufhebung des Urteils, wenn das Bundesgericht Umstände, die sich aus den Akten ergaben, deshalb nicht ausdrücklich erwähnte, weil sie gar nicht entscheiderheblich waren (vgl. BGE 127 V 353 E. 5b S. 358; 122 II 17 E. 3 S. 18 f., je mit Hinweisen). Vor allem aber dient die Revision auch nicht dazu, allfällige Versäumnisse im vorinstanzlichen Verfahren oder bei der Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht nachträglich zu beheben (Urteil 5F_6/2007 vom 7. April 2008 E. 2.2.; 2F_11/2007 vom 22. November 2007 E. 3.1).
3.2 3.2.1 Der Gesuchsteller macht zunächst geltend, als Tatsache im Sinne von Art. 121 lit. d BGG habe das Bundesgericht den Umstand übersehen, dass der Entscheid der Schuldbetreibungs- und Konkurskommission des Obergerichts des Kantons Luzern vom 23. November 2010 ein Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG sei. Aus dem Rubrum, der Rechtsmittelbelehrung und dem Inhalt des angefochtenen kantonalen Entscheids sei "klar ersichtlich", dass es sich um einen Endentscheid handle, der das Verfahren abschliesse. Der Gesuchsteller argumentiert, das Bundesgericht habe "den eindeutig als Endentscheid formulierten Obergerichtsentscheid" übersehen, "obwohl der Entscheid in den Akten lag"; so sei aus Versehen "ein fiktiver Zwischenentscheid beurteilt worden".
All diese Vorbringen gehen fehl. Die Frage, ob der angefochtene Entscheid vom 23. November 2010 ein Endentscheid gemäss Art. 90 BGG oder ein Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG sei, betrifft offensichtlich keine Tatsache, sondern die Rechtsnatur des angefochtenen Entscheides und damit eine Rechtsfrage, die das Bundesgericht im Hinblick auf die Zulässigkeit der Beschwerde zu prüfen hat. Das Revisionsgesuch erweist sich in dieser Hinsicht als unbegründet.
3.2.2 Für den Eventualfall, dass der angefochtene Entscheid vom 23. November 2010 ein Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG gewesen wäre, wirft der Gesuchsteller dem Bundesgericht vor, es habe übersehen, dass er sowohl in seiner Eingabe vom 13. September 2010 an das Obergericht als auch in seiner Beschwerdeschrift vom 12. Januar 2011 an das Bundesgericht die nicht wieder gutzumachenden Nachteile im Sinne von Art. 93 BGG aufgelistet habe.
Wohl zählen zu den Tatsachen im Sinn von Art. 121 lit. d BGG auch Rechtsschriften und deren Inhalt (E. 3.1). Mit dem nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG steht allerdings eine Eintretensvoraussetzung im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren in Frage. Ein im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht wieder gutzumachender Nachteil muss nach der von sämtlichen Abteilungen des Bundesgerichts befolgten Rechtsprechung rechtlicher Natur sein; er darf somit auch mit einem für die Beschwerde führende Partei günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behoben werden können (BGE 136 II 165 E. 1.2.1 S. 170; 133 III 629 E. 2.3.1 S. 632). Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (BGE 133 III 629 E. 2.3.1 S. 632). Schliesslich ist es auch nicht nötig, dass sich der Nachteil schon im kantonalen Verfahren durch einen günstigen Endentscheid beheben lässt; es reicht aus, wenn er in einem anschliessenden bundesgerichtlichen Verfahren beseitigt werden kann (BGE 134 III 188 E. 2.1 S. 191).
In seiner Beschwerdeschrift an das Bundesgericht vom 12. Januar 2011 trägt der Beschwerdeführer nichts vor, woraus im Falle des Nichteintretens auf seine Beschwerde ein nicht wieder gutzumachender Nachteil rechtlicher Natur drohen würde. In den Abschnitten seiner Beschwerdeschrift, auf die er sich im Revisionsgesuch beruft, zieht er unter anderem die Verfassungsmässigkeit von § 27 Abs. 3 EG SchKG/LU in Zweifel. Überdies rügt er die Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK, ruft verschiedene Ausstandsgründe nach Art. 10 Abs. 1 SchKG an und macht eine Verletzung von Art. 67 SchKG geltend. Mit diesen Ausführungen legt er keinen drohenden, nicht wieder gutzumachenden Nachteil dar. Soweit der Gesuchsteller behauptet, das Bundesgericht habe seine bereits vor Obergericht vorgetragenen Einwendungen übersehen, ist dies unbeachtlich, denn die Begründung der an das Bundesgericht gerichteten Beschwerde muss in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein; selbst ein Verweis auf die den Vorinstanzen eingereichten Rechtsschriften oder die Erklärung, die bisherigen Rechtsschriften bildeten einen integrierenden Bestandteil der Beschwerde, genügen den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG nicht (BGE 133 II 396 E. 3.2 S. 400; Urteil 5A_386/2008 vom 6. April 2009 E. 1). Dass das Bundesgericht eine Tatsache im Sinn von Art. 121 lit. d BGG übersehen hätte, trifft mithin nicht zu. Das Revisionsgesuch erweist sich auch in dieser Hinsicht als unbegründet.
3.2.3 Schliesslich beanstandet der Gesuchsteller, das Bundesgericht habe die Verfügung der Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung vom 1. Februar 2011 übersehen. Darin habe "das Bundesgericht den Verzicht auf Erhebung von Bundesgerichtskosten bestätigt". Diese Kostenbefreiung sei gestützt auf Art. 66 Abs. 1 BGG und Art. 61 Abs. 2 lit. a GebV SchKG (SR 281.35) erfolgt. Wie sich jedoch aus dem klaren Wortlaut sowohl der Erwägungen als auch des Dispositivs der erwähnten Verfügung ergibt, hat das Bundesgericht nicht (im Sinne von Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG) auf die Erhebung von Gerichtskosten, sondern lediglich auf die Erhebung eines Kostenvorschusses verzichtet (Art. 62 Abs. 1 Satz 2 BGG). Der Gesuchsteller irrt sich mit anderen Worten schon in der Tatsache, die das Bundesgericht seiner Meinung nach übersehen haben soll. Damit ist auch diesem Revisionsgrund der Boden entzogen.
4. Schliesslich stellt der Gesuchsteller den Antrag, das Bundesgericht habe sowohl das Revisionsgesuch als auch die Beschwerde den anderen Verfahrensbeteiligten sowie dem Bundesamt für Justiz zuzustellen. Entgegen der Ansicht des Gesuchstellers ist das Bundesgericht weder im Beschwerde- noch im Revisionsverfahren gesetzlich dazu verpflichtet, einen Schriftenwechsel durchzuführen und Vernehmlassungen einzuholen. Der Vorinstanz sowie den anderen Parteien, Beteiligten oder zur Beschwerde berechtigten Behörden ist ein Revisionsgesuch vielmehr nur dann zuzustellen, wenn das Bundesgericht das Gesuch nicht als unzulässig oder unbegründet befindet (Art. 127 BGG). Gerade Letzteres ist vorliegend aber offensichtlich der Fall. Deshalb ist der Antrag abzuweisen.
5. Nach dem Gesagten ist das Gesuch um Revision des Urteils 5A_28/2011 vom 21.März 2011 abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Gesuchsteller. Er hat für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Dem Gesuchsgegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, Schuldbetreibungs- und Konkurskommission, als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, und dem Amtsgericht Luzern-Stadt, Präsident III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn