Faits:
A. V._ a travaillé en qualité de juriste au service de la Compagnie d'Assurances X._. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de X._.
Elle a été victime de quatre accidents à des intervalles rapprochés.
Le 23 février 2002, elle a perdu le contrôle de sa voiture qui a percuté une grosse pierre après avoir glissé sur une plaque de glace. Consulté deux jours plus tard, le docteur H._ a fait état d'un traumatisme cranio-cérébral et attesté une incapacité de travail de 100 % du 23 février au 4 mars 2002 et de 50 % du 5 au 25 mars 2002.
Le 28 juin 2002, l'assurée s'est cogné la tête et l'épaule droite en tombant d'un tabouret. Le docteur H._ a indiqué une incapacité de travail de 100 % du 28 au 30 juin et de 50% du 1er au 22 juillet 2002.
Le 10 juillet 2003, l'intéressée a été victime d'un accident de la circulation: alors qu'elle était arrêtée à un feu rouge au volant de sa voiture, celle-ci a été percutée à l'arrière par un autre véhicule. Consultée deux jours plus tard, la doctoresse C._ a fait état d'une cervicalgie sur entorse cervicale. Le docteur H._ a attesté une incapacité de travail de 100 % à partir du 17 juillet 2003.
Le 9 août 2003, l'assurée a été victime d'une contusion de la nuque (coup du lapin) dans des circonstances semblables à celles de l'évènement du 10 juillet précédent. Cet accident n'a pas nécessité de traitement médical.
X._ a requis différents renseignements médicaux. En particulier, elle a confié une expertise pluridisciplinaire aux médecins du Centre Z._ (rapport du 2 juin 2006).
Se fondant sur l'avis des experts, X._ a rendu une décision, le 3 mai 2007, par laquelle elle a supprimé, dès le 31 janvier 2004, le droit à la prise en charge des frais de traitement et à l'indemnité journalière.
Saisie d'une opposition de l'assurée qui avait produit notamment un rapport d'expertise des médecins du Service de neurologie de l' Hôpital Y._; du 10 juillet 2007, X._ a confié une expertise complémentaire aux médecins du Centre Z._ (rapport du 21 octobre 2008). Elle a rejeté l'opposition par décision du 17 décembre 2008.
B. L'assurée a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), lequel a rejeté le recours par jugement du 28 mai 2010.
C. V._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant à la reprise, depuis le 1er juillet 2006, du paiement de l'indemnité journalière fondée sur une incapacité de travail de 50 %, à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur l'incapacité de gain retenue à la date de l'ouverture du droit, ainsi qu'à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 20 % et à la prise en charge d'un suivi psychologique, neuropsychologique et physiothérapeutique, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Bien qu'elle ait supprimé le droit de la recourante à des prestations d'assurance à partir du 31 janvier 2004, la recourante a continué d'allouer une indemnité journalière jusqu'au 30 juin 2006 et l'intéressée ne requiert la reprise du versement des prestations qu'à partir du 1er juillet suivant. Le litige porte donc sur le maintien éventuel du droit de l'intéressée à des prestations de l'assurance-accidents obligatoire au-delà du 30 juin 2006.
Lorsque le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (SVR 2011 UV n°1 p. 1, 8C_584/2009 consid. 4).
3. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 177 consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
4. Se fondant sur les conclusions des médecins du Centre Z._ (rapport d'expertise du 2 juin 2006 et rapport complémentaire du 21 octobre 2008), la juridiction cantonale a constaté que les investigations mises en oeuvre n'avaient pas révélé un substrat organique aux troubles subsistant au-delà du 31 janvier 2004 (cervicalgies irradiant dans le membre supérieur gauche, l'omoplate et la région dorso-lombaire, fatigabilité à l'effort, troubles de la concentration et de l'attention), mais qu'il existait une affection psychique sous la forme d'un trouble de la personnalité limite de type borderline. En outre, les premiers juges ont nié l'existence d'un lien de causalité naturelle entre cette affection psychique et les accidents. Par ailleurs, considérant que l'évolution de cette affection était indépendante du traumatisme cranio-cérébral et des traumatismes de type "coup du lapin" et que son influence sur l'état de santé de l'assurée était déterminante, ils ont nié l'existence d'un lien de causalité adéquate entre cette affection et les accidents en se fondant sur les critères objectifs définis par la jurisprudence pour examiner le caractère adéquat du lien de causalité entre une atteinte à la santé psychique et un accident de gravité moyenne (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409).
5. 5.1 Par un premier moyen, la recourante conteste le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel il n'existait plus, après le 31 janvier 2004, un déficit organique objectivable en relation avec les accidents et de nature à expliquer les plaintes subsistant après cette date.
Les arguments invoqués dans le recours ne sont toutefois pas de nature à mettre en cause les conclusions des médecins du Centre Z._, auxquelles s'est référé la juridiction cantonale. D'une part, en effet, la recourante invoque des rapports médicaux qui concernent la période antérieure au 31 janvier 2004 et qui, au surplus, n'établissent pas de lien entre les éléments constatés et la persistance des troubles après cette date. D'autre part, elle allègue des troubles de nature dégénérative sans relation avec les accidents.
Les arguments invoqués dans le recours ne sont toutefois pas de nature à mettre en cause les conclusions des médecins du Centre Z._, auxquelles s'est référé la juridiction cantonale. D'une part, en effet, la recourante invoque des rapports médicaux qui concernent la période antérieure au 31 janvier 2004 et qui, au surplus, n'établissent pas de lien entre les éléments constatés et la persistance des troubles après cette date. D'autre part, elle allègue des troubles de nature dégénérative sans relation avec les accidents.
5.2 5.2.1 Par un deuxième moyen, la recourante contredit l'opinion des premiers juges d'après laquelle il n'existe pas de lien de causalité adéquate entre les troubles sans substrat organique existant après le 31 janvier 2004 et les accidents. Elle reproche au Tribunal cantonal de s'être fondé sur les critères jurisprudentiels objectifs déterminants en cas d'atteinte à la santé psychique (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409) au lieu des critères applicables en présence d'un traumatisme de type "coup du lapin" à la colonne cervicale, d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou d'un traumatisme cranio-cérébral (ATF 134 V 109 consid. 10.3 p. 130; 117 V 359 consid. 6a p. 367 et 369 consid. 4b p. 383).
Selon la jurisprudence, il y a lieu de se fonder sur les critères applicables en cas de troubles psychiques consécutifs à un accident lorsque l'état de santé de l'assuré a été de manière précoce et durablement affecté par des troubles psychiques qui constituent une atteinte à la santé distincte et indépendante du tableau clinique caractéristique habituellement associé à un traumatisme de type "coup du lapin" à la colonne cervicale, un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou un traumatisme cranio-cérébral (cf. ATF 134 V 109 consid. 9.5 p. 125 s.). En l'occurrence, il n'y a pas de motif - et la recourante n'en invoque pas - de s'écarter du point de vue de la juridiction cantonale selon lequel le caractère distinct et indépendant de l'affection psychique exige que l'on applique les critères jurisprudentiels exposés aux arrêts ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p.409.
5.2.2 La juridiction cantonale était fondée à qualifier les accidents dont a été victime la recourante d'accidents de gravité moyenne, à la limite des accidents de peu de gravité, et les arguments de l'intéressée tendant à démontrer que l'accident de la circulation du 23 février 2002 se situe au milieu de l'échelle de la gravité moyenne ne sont pas pertinents (arrêts 8C 361/2009 du 3 mars 2010 consid. 4.3; 8C 406/2009 du 9 avril 2010 consid. 4.2.3).
Par ailleurs, il n'y a pas de raison de mettre en cause le point de vue de la juridiction précédente, selon lequel les critères objectifs déterminants pour examiner le lien de causalité entre le trouble psychique persistant après le 31 janvier 2004 et les accidents ne sont pas réalisés. En particulier, et contrairement à ce que soutient la recourante, la durée du traitement médical - qui a consisté en séances de physiothérapie et d'acupuncture - n'apparaît pas anormalement longue, étant donné que des troubles psychiques ont exercé assez tôt une influence prépondérante sur l'évolution de l'état de santé de l'intéressée (cf. le rapport du docteur H._ du 3 juillet 2003). Pour ce même motif, le critère de la gravité et de la nature particulière des lésions physiques, ainsi que celui du degré et de la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques n'apparaissent pas non plus réalisés.
Cela étant, l'existence d'un lien de causalité adéquate entre le trouble psychique persistant après le 31 janvier 2004 et les accidents doit être niée.
Vu ce qui précède, il n'est pas nécessaire de se prononcer sur les arguments de la recourante au sujet de la causalité naturelle, dont l'existence a été niée par la juridiction précédente.
Vu ce qui précède, il n'est pas nécessaire de se prononcer sur les arguments de la recourante au sujet de la causalité naturelle, dont l'existence a été niée par la juridiction précédente.
5.3 La juridiction cantonale était dès lors fondée à nier le droit de la recourante à des prestations de l'assurance-accidents obligatoire au-delà du 30 juin 2006. Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 juin 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd