Fatti:
A. Il 25 aprile 2005 la Cassa di compensazione del Cantone Ticino ha emesso il conguaglio (fr. 923.85, quale differenza tra l'importo totale [fr. 2'046.85] e gli acconti versati [1'123.-]) dei contributi personali dovuti dall'avv. P._ in qualità di indipendente per l'anno 2001. Allo stesso modo, la Cassa ha proceduto il 28 giugno 2005 a fissare in fr. 9'062.35 i contributi personali e le spese per il 2002. Da questo importo ha poi dedotto l'acconto di fr. 1'123.- e chiesto all'interessato il pagamento del saldo di fr. 7'939.35.
Il 5 dicembre 2006 la Cassa ha inoltre emesso due distinte decisioni con le quali ha fissato gli interessi di mora che l'assicurato doveva sui predetti contributi personali. Più precisamente, ha stabilito in fr. 113.55 (interessi di mora per i contributi del 2001) e in fr. 616.40 (interessi di mora per i contributi del 2002) gli importi da versare entro 30 giorni dalla data della decisione.
Dopo avere effettuato il pagamento di fr. 729.95, pervenuto all'amministrazione il 18 dicembre 2006, l'assicurato ha presentato, in data 28 dicembre 2006, opposizione contro le decisioni del 5 dicembre 2006. Mediante decisione su opposizione del 25 giugno 2007, la Cassa ha statuito che a seguito dell'avvenuto pagamento la causa doveva essere stralciata dai ruoli in quanto divenuta priva di oggetto. In via abbondanziale ha comunque esaminato il merito della vertenza respingendo l'opposizione dell'assicurato.
B. Patrocinato dal padre, avv. S._, P._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino.
Con pronuncia del 25 ottobre 2007, facendo notare come il pagamento degli interessi richiesti fosse avvenuto incondizionatamente e fosse da considerare quale accettazione manifesta delle decisioni della Cassa, la Corte cantonale ha respinto il ricorso senza esaminare il merito della causa.
C. Sempre patrocinato dal padre, l'avv. S._ ha presentato ricorso al Tribunale federale, al quale, protestate spese e ripetibili, chiede di annullare il giudizio cantonale e di rinviare gli atti alla precedente istanza perché statuisca sul merito della causa. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
La Cassa propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. 1.1 Interposto da una parte particolarmente toccata dalla decisione e avente un interesse degno di protezione al suo annullamento o alla sua modifica (art. 89 cpv. 1 LTF), il ricorso, diretto contro una decisione finale (art. 90 LTF) pronunciata in una causa di diritto pubblico (art. 82 lett. a LTF) da un'autorità cantonale di ultima istanza (art. 86 cpv. 1 lett. d LTF), è di massima ricevibile essendo stato depositato entro il termine (art. 100 cpv. 1 LTF) e nella forma (art. 42 LTF) di legge senza che si realizzi un'eccezione ai sensi dall'art. 83 LTF.
1.2 Il ricorso in materia di diritto pubblico (art. 82 LTF) può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Il Tribunale federale statuisce di principio sulla base dei fatti accertati dall'autorità precedente (cfr. art. 105 cpv. 1 LTF), riservati i casi previsti dall'art. 105 cpv. 2 LTF. Questa disposizione gli conferisce la possibilità di rettificare o completare d'ufficio l'accertamento dei fatti della decisione impugnata nella misura in cui lacune o errori dovessero apparire d'acchito come manifesti (DTF 133 IV 286 consid. 6.2). Il ricorrente può quindi contestare l'accertamento dei fatti determinanti per il giudizio solo se siano stati stabiliti in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in maniera manifestamente inesatta (art. 97 cpv. 1 LTF), vale a dire arbitraria, ciò che deve dimostrare con una motivazione conforme alle esigenze poste dall'art. 106 cpv. 2 LTF.
2. Nel ritenere priva di oggetto l'opposizione interposta dall'assicurato e di conseguenza infondata l'impugnativa contro la decisione su opposizione, il giudice cantonale si è fra le altre cose richiamato alle considerazioni espresse dal Tribunale federale delle assicurazioni nella sentenza H 321/02 del 20 agosto 2003. In quella occasione si era trattato di esaminare la ricevibilità e la fondatezza del gravame di una società contro una decisione di multa che le era stata inflitta dalla cassa di compensazione e che era stata confermata in primo grado dall'autorità giudiziaria cantonale. In sede federale la cassa aveva censurato la ricevibilità del ricorso per il fatto che la ricorrente, nelle more istruttorie, aveva effettuato il pagamento della multa. Orbene, pur domandandosi, con riferimento a precedenti sentenze (DTF 99 V 78 consid. 1b pag. 80; sentenza inedita H 205/00 del 5 febbraio 2001), se la società potesse ancora fare valere un interesse pratico e attuale all'annullamento della decisione in esame, il Tribunale federale delle assicurazioni aveva ritenuto di potere lasciare indecisa la questione poiché ad ogni modo l'impugnativa era infondata e andava respinta.
3. Il ricorrente osserva come la presente fattispecie differisca sostanzialmente da quella esaminata nella sentenza H 321/02, non fosse altro perché il pagamento sarebbe avvenuto prima dell'impugnativa e comunque quando il termine per l'opposizione non era ancora scaduto. In tali condizioni, esclude che da tale comportamento si possa inferire un'acquiescenza o desistenza giustificante lo stralcio della causa. Ricorda del resto come - per evitare che gli vengano addebitati oneri supplementari - egli abbia l'abitudine di pagare i tributi pubblici non appena gli vengono notificati. Di conseguenza, il pagamento effettuato prima della crescita in giudicato della decisione amministrativa non potrebbe in alcun modo essere interpretato quale rinuncia esplicita e incondizionata a prevalersi dei rimedi giuridici disponibili e non ancora utilizzati. E anche qualora si intendesse, per denegata ipotesi, ravvisare nel pagamento un indizio di acquiescenza, la presentazione dell'impugnativa prima della decorrenza del termine smentirebbe chiaramente siffatta ipotesi.
4. 4.1 Durante la procedura amministrativa, la lite verteva sull'obbligo di versamento di interessi di mora, conformemente a quanto statuito con le decisioni del 5 dicembre 2006.
Dal momento che un'eventuale opposizione contro tali provvedimenti, poi effettivamente intrapresa, avrebbe comunque - in assenza di una decisione contraria da parte dell'amministrazione (art. 97 LAVS) - esplicato effetto sospensivo, l'assicurato avrebbe potuto anche non versare (subito) gli interessi moratori reclamati. Agendo in tal modo, egli si sarebbe tuttavia assunto il rischio di dovere pagare degli interessi supplementari, qualora l'esito dell'impugnativa gli si fosse rivelato sfavorevole. Ed è proprio quanto il ricorrente, pagando l'importo richiesto e poi contestato nei termini di legge (art. 52 cpv. 1 LPGA), voleva evitare che si realizzasse (v. sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni H 252/00 del 14 febbraio 2001, consid. 1a).
4.2 In quest'ultima sentenza (H 252/00), dovendo statuire sul ricorso di un'assicurata che, dopo avere versato, pendente lite (dopo la presentazione del gravame), l'importo richiestole dall'amministrazione a titolo di interessi moratori su contributi arretrati, si era vista stralciare, per ragioni analoghe a quelle addotte dal Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino nella presente vertenza, la causa dall'autorità giudiziaria di prima istanza, il Tribunale federale delle assicurazioni, dando ragione all'interessata, ha precisato che un ricorso non può essere ritirato tacitamente, un ritiro necessitando di una dichiarazione esplicita e incondizionata (DTF 119 V 36 consid. 1b pag. 38; 111 V 156 consid. 3b pag. 158).
4.3 Similmente, lo stesso Tribunale, pur ammettendo la possibilità di rinunciare a prevalersi di un rimedio giuridico nella misura in cui una simile dichiarazione venga espressa esplicitamente e durante il termine di impugnazione (una rinuncia non può per contro essere validamente espressa prima che si abbia conoscenza della decisione impugnabile: RAMI 2003 no. U 474 pag. 53 consid. 2.3 con riferimenti [U 139/02]; cfr. pure sentenza A.203/1985 del 1° ottobre 1985, pubblicata in ASA 59 pag. 204, consid. 2), ha escluso che una rinuncia a ricorrere possa essere espressa tacitamente (sentenza inedita C 2/95 del 26 luglio 1995, consid. 1). In quest'ultima occasione, il Tribunale federale delle assicurazioni ha in particolare avuto modo di stabilire che il pagamento dell'indennità di parte dovuta alla controparte a seguito della soccombenza nella procedura cantonale non osta alla ricevibilità di un ricorso all'istanza superiore.
4.4 Stante quanto precede, non potendo considerare il pagamento effettuato dal ricorrente in data 18 dicembre 2006 alla stregua di una rinuncia esplicita (e incondizionata) a fare valere il diritto all'impugnazione - diritto peraltro poi esercitato nei termini di legge - delle decisioni amministrative del 5 dicembre 2006, il giudizio impugnato dev'essere annullato. Gli atti vanno di conseguenza rinviati al Tribunale cantonale affinché statuisca sul merito della causa.
5. 5.1 Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono pertanto poste a carico della Cassa opponente (art. 66 cpv. 1 LTF).
5.2 Il ricorrente, vincente in lite e patrocinato dal padre (anch'egli avvocato), chiede che gli venga riconosciuto il diritto a ripetibili.
Per giurisprudenza, un legame di parentela tra la persona assicurata e l'avvocato che la rappresenta in giudizio non esclude di per sé l'assegnazione di un'indennità di parte, a meno che il rappresentante legale non abbia lui stesso un interesse proprio all'esito del processo, segnatamente in virtù di un obbligo di assistenza, coniugale (art. 159 cpv. 3 CC; v. RCC 1984 pag. 287, consid. 4), parentale (art. 296 segg. CC; DTF 129 V 113 consid. 4.1 pag. 116) o altrimenti familiare (art. 328 CC; DTF 129 V 113 consid. 4.1 pag. 116 con riferimenti).
Benché tale principio sia stato (principalmente) elaborato per la rappresentanza in giudizio di una persona che non dispone di conoscenze giuridiche particolari, non vi è serio motivo per non applicarlo, per analogia, anche all'avvocato che rappresenta in giudizio un collega suo parente. In effetti, in assenza di un interesse proprio del patrocinatore all'esito del processo nel senso suesposto e in mancanza di un chiaro tentativo di elusione della prassi che solo eccezionalmente - in presenza di un dispendio particolare - riconosce all'avvocato agente in causa propria il diritto a ripetibili (v. DTF 129 II 297 consid. 5 pag. 304), non si giustifica di trattare differentemente l'avvocato patrocinato da un collega suo parente da chi invece, nella stessa situazione, si fa rappresentare da un collega con il quale non intrattiene legami di (stretta) parentela. Tenuto conto del fatto che in quest'ultima evenienza, la prassi riconosce normalmente alla parte vincente in lite il diritto a ripetibili (v. ad es. consid. 3b non pubblicato in DTF 126 I 228; cfr. inoltre sentenza 2P.163/2003 del 30 gennaio 2004, consid. 5.2), lo stesso diritto, per motivi di parità di trattamento, non può essere negato al qui ricorrente (in questo senso, sebbene senza motivazione particolare, cfr. il consid. 4.2 non pubblicato in DTF 130 II 270, e la sentenza 2A.18/2004 del 13 agosto 2004, consid. 10).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è accolto. Il giudizio del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 25 ottobre 2007 è annullato. Gli atti sono rinviati all'istanza di primo grado perché entri nel merito della causa.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico dell'opponente.
3. L'opponente verserà al ricorrente la somma di fr. 2'000.- a titolo di indennità di parte per la procedura federale.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.