Faits:
A. X._ s'est inscrite en décembre 2007 à l'Institut de hautes études internationales et du développement (ci-après IHEID) de l'Université de Genève pour suivre un programme de master en études internationales à partir de septembre 2008. Durant sa première année universitaire, X._ a échoué à l'examen de droit international privé qu'elle devait par conséquent repasser l'année suivante.
Le 29 avril 2009, X._ a sollicité du directeur des études de master un report d'une année de sa formation. Elle a produit à cet effet un certificat médical attestant de son état de santé. Selon la réponse de l'IHEID du 5 mai 2009, confirmée par le directeur des études de master le 2 février 2010, un semestre de prolongation à été accordé à X._.
Par courrier du 28 mai 2010, les étudiants ont été informés qu'un examen de droit international privé aurait lieu le 1er juin 2010. Le même jour, X._ a demandé quand aurait lieu la session de rattrapage puisqu'elle ne pouvait se présenter à la convocation. Le 31 mai 2010, l'IHEID lui a fait savoir qu'elle ne pourrait se présenter à la session de rattrapage qu'à condition d'avoir obtenu la note de 3.75 à l'examen ou d'avoir des raisons valables de ne pas effectuer l'examen le 1er juin 2010, telles qu'un certificat médical. X._ a alors écrit le 31 mai 2010 qu'elle ne pourrait pas obtenir la note requise à cet examen, faute d'avoir pu le préparer. Des changements de logement et de travail l'avaient affectée physiquement et empêchée de réviser et elle avait perdu les notes enregistrées dans son ordinateur. Le même jour, elle a été informée qu'au vu des explications fournies, elle devait se rendre à l'examen, à moins de présenter un certificat médical.
Par courrier recommandé du 30 juin 2010, le directeur de l'IHEID a notifié à X._ son élimination du programme de master en raison de son absence à l'examen de droit international privé.
B. Le 28 juillet 2010, X._ a formé opposition contre la décision qui l'éliminait du programme de master. Par décision du 16 août 2010, le directeur de l'IHEID a rejeté cette opposition.
Le 11 septembre 2010, X._ a recouru contre la décision sur opposition auprès du Tribunal administratif, devenu au 1er janvier 2011 la chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après la Cour de justice). Après un double échange d'écritures, la Cour de justice a rendu son arrêt le 17 janvier 2012 et rejeté le recours de X._.
C. Par acte du 20 février 2012, X._ interjette un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre l'arrêt de la Cour de justice du 17 janvier 2012. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt précité. Elle demande qu'il soit ordonné à l'IHEID de lui accorder le droit de se réinscrire à l'examen de droit international privé pour la deuxième fois et qu'une prolongation extraordinaire de la durée de ses études lui soit accordée. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à la Cour de justice. Elle demande en outre à bénéficier de l'assistance judiciaire.
Les instances cantonales ont été invitées à produire leurs dossiers sans échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (cf. art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (cf. ATF 136 II 101 consid. 1 p. 103).
1.1 Aux termes de l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession. Selon la jurisprudence, les décisions d'exmatriculation d'une université ou d'une haute école ou celles d'élimination d'une faculté ou d'un programme d'études peuvent tomber sous le coup de l'art. 83 let. t LTF. Encore faut-il, pour que la voie du recours en matière de droit public soit fermée, que la décision d'exmatriculation ou d'élimination soit en lien avec une évaluation des capacités de l'étudiant évincé (cf. arrêt 2C_579/2010 du 17 novembre 2010 consid. 1.1 et les références citées).
En l'espèce, le recours porte sur l'échec définitif à l'examen de droit international privé du programme de master en études internationales de l'IHEID en raison de l'absence de la recourante à la session d'examen du 1er juin 2010, ce qui entraînait au surplus son élimination du programme de master lui-même. Au regard de l'arrêt attaqué, il faut admettre que la décision d'élimination n'est pas directement liée aux capacités de l'étudiante et que le présent recours est donc recevable comme recours en matière de droit public (cf. arrêt 2C_577/2009 du 6 janvier 2010 consid. 1.1), ce qui exclut le recours constitutionnel subsidiaire mentionné comme voie de droit dans la décision attaquée et choisie par la recourante (cf. art. 113 LTF a contrario).
La qualification erronée du recours ne saurait toutefois nuire à la recourante, dans la mesure où son écriture respecte les conditions de recevabilité de la voie de droit ouverte (cf. ATF 133 II 396 consid. 3.1 p. 399).
1.2 Interjeté par la partie directement touchée par la décision attaquée (cf. art. 89 al. 1 let. a et b LTF), le recours en matière de droit public dirigé contre un jugement final (cf. art. 90 LTF) rendu par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) est recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai et la forme prévus par la loi (cf. art. 42 et 100 al. 1 LTF). Il convient partant d'entrer en matière.
2. La recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendu (cf. art. 29 al. 2 Cst. et art. 6 par. 1 CEDH), dès lors que la Cour de justice n'a pas donné suite à sa demande d'audition destinée à démontrer que, durant la période de l'examen en question, elle subissait des difficultés personnelles.
2.1 Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de nature formelle, dont la violation entraîne l'annulation de la décision attaquée sans égard aux chances de succès du recours sur le fond (ATF 135 I 279 consid. 2.6.1 p. 285). Ce moyen doit par conséquent être examiné en premier lieu (ATF 137 I 195 consid. 2.2 p. 197).
En matière de droit d'être entendu, le droit cantonal peut par ailleurs, selon les cas, offrir une protection plus étendue aux justiciables (cf. arrêt 2C_382/2011 du 16 novembre 2011 consid. 3.3.1). Or, la recourante ne fait état de la violation d'aucune disposition de droit cantonal, de sorte que le grief ne doit pas être examiné sous cet angle (art. 106 al. 2 LTF).
2.2 Selon la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme, reprise par le Tribunal fédéral, faute de l'existence d'une "contestation", l'art. 6 par. 1 CEDH est inapplicable aux procédures portant sur le résultat d'examens (cf. ATF 131 I 467 consid. 2.6 ss p. 470 ss et les références citées; arrêt de la CourEDH van Marle c. Pays-Bas du 26 juin 1986 § 34-37). L'art. 6 par. 1 CEDH n'est pas non plus applicable aux litiges portant sur l'admission ou l'exclusion d'établissements d'enseignement publics (cf. ATF 128 I 288 consid. 2.7 p. 294). La question de savoir si la présente affaire entre dans ces catégories peut cependant être laissée ouverte en l'espèce, dès lors que le grief échapperait de toute manière à l'examen de la Cour de céans pour les raisons suivantes.
Le droit à un procès équitable découlant de l'art. 6 par. 1 CEDH confère au justiciable le droit de présenter ses arguments oralement et publiquement. Or, la recourante ne reproche pas à la Cour de justice d'avoir renoncé à organiser des débats publics, elle se plaint seulement de ce que celle-ci a rejeté sa demande de comparution personnelle à titre de mesure probatoire. Dans ces conditions, faute de motivation suffisante (cf. art. 106 al. 2 LTF), point n'est besoin d'examiner si l'exigence de la publicité des débats découlant de l'art. 6 par. 1 CEDH est applicable en l'espèce.
2.3 Quant à l'art. 29 al. 2 Cst., il ne comprend en principe pas le droit d'être entendu oralement (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148). Le grief de violation constitutionnelle n'est ainsi pas fondé en l'espèce. La recourante soutient cependant que son audition était un moyen de preuve qui s'imposait et qu'en la refusant, la Cour de justice a procédé à une appréciation anticipée des preuves contraire à l'art. 29 al. 2 Cst.
Le droit de faire administrer des preuves suppose que le fait à prouver soit pertinent, que le moyen de preuve proposé soit nécessaire pour constater ce fait et que la demande soit présentée selon les formes et délais prescrits (cf. ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148). Par ailleurs, cette garantie constitutionnelle n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (cf. ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 429).
La recourante allègue que la preuve de la force majeure qui l'empêchait de se présenter à l'examen de droit international privé n'ayant pu être apportée par un autre moyen, seule son audition portant sur les détails de sa situation personnelle pouvait permettre de prouver l'existence de la force majeure. Or, selon l'art. 5 al. 4 du règlement de l'IHEID, en cours de cycle d'études, un congé ou une prolongation extraordinaire peut être octroyé par le directeur des études de master pour des raisons de force majeure (notamment maladie, accidents) ou de maternité dûment certifiées. Seule une attestation relative à un état de santé déficient pouvait ainsi amener l'instance cantonale à admettre le cas de force majeure. A la différence du témoignage d'un médecin, l'audition de la recourante ne pouvait remplir ce rôle dès lors qu'elle n'aurait pu consister qu'à répéter par oral ce qu'elle avait déjà allégué dans ses écritures. L'autorité cantonale pouvait ainsi sans arbitraire retenir que l'audition de la recourante s'avérait de la sorte sans pertinence pour la solution du litige et refuser ce moyen de preuve sans violer le droit d'être entendu.
2.4 Au vu de ce qui précède, le grief de violation du droit d'être entendu doit être rejeté.
3. La recourante se plaint par ailleurs d'une application arbitraire du règlement de l'IHEID, la Cour de justice ayant refusé d'admettre qu'elle se trouvait dans un cas de force majeure qui lui donnait le droit à une prolongation supplémentaire pour accomplir ses études.
3.1 Sous réserve de cas non réalisés en l'espèce (cf. art. 95 let. c et d LTF), le Tribunal fédéral ne revoit pas le droit cantonal en tant que tel, à moins que son application se révèle contraire au droit fédéral, qui comprend le droit constitutionnel (cf. art. 95 let. a LTF). Par conséquent, une application arbitraire du droit cantonal, contraire à l'art. 9 Cst., constitue un motif de recours pouvant être invoqué dans le cadre d'un recours en matière de droit public (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.2.1 p. 251 s.). Le Tribunal fédéral n'examine toutefois pas cette question d'office, mais uniquement si le grief est soulevé et dûment motivé par le recourant (cf. art. 106 al. 2 LTF).
3.2 Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. Il ne suffit pas que la motivation de la décision critiquée soit insoutenable; encore faut-il que celle-ci se révèle arbitraire dans son résultat. En outre, il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle adoptée par l'autorité intimée serait concevable, voire préférable (cf. ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités).
3.3 En l'espèce, la recourante fait valoir que la solution retenue par la Cour de justice s'écarte sans motif valable de l'art. 10 al. 4 du règlement de l'IHEID puisqu'en présence d'un cas de force majeure, elle a refusé d'octroyer une prolongation extraordinaire.
Conformément à l'art. 5 (et non 10 tel qu'invoqué à tort par la recourante) al. 4 du règlement de l'IHEID, en cours de cycle d'études, un congé ou une prolongation extraordinaire peut être octroyé par le directeur des études de master pour des raisons de force majeure (notamment maladie, accidents) ou de maternité dûment certifiées. Dans l'arrêt attaqué, la Cour de justice a relevé que la recourante avait déjà demandé, et obtenu, une prolongation d'un semestre au mois d'avril 2009. Lorsqu'elle a sollicité la deuxième prolongation en mai 2010, elle s'est prévalue des mêmes circonstances que celles invoquées précédemment, sans toutefois apporter aucun certificat médical à l'appui de sa requête. L'instance cantonale ajoute que la recourante n'a pas davantage fourni de telles preuves par la suite. Or, l'art. 5 al. 4 du règlement de l'IHEID prévoit que la raison de force majeure doit être attestée par un certificat. C'est par ailleurs ce que la recourante avait fait en avril 2009 lorsqu'elle avait sollicité - et obtenu - une première prolongation de ses études en produisant un certificat médical attestant de son état de santé. Dans ces conditions, et dès lors que la recourante n'a à aucun moment fourni la moindre attestation à l'appui de la requête litigieuse, on ne voit pas que la Cour de justice ait fait preuve d'arbitraire en jugeant que le directeur des études de master avait refusé à bon droit la prolongation sollicitée.
3.4 On peut ajouter que la Cour de justice a examiné au surplus si la recourante se trouvait dans une situation exceptionnelle, ce qui aurait permis, en application de l'art. 13 al. 2 du règlement de l'IHEID, de renoncer à son élimination du programme de master. Elle a nié l'existence d'une telle situation exceptionnelle. Or, la recourante n'invoque pas l'arbitraire sur ce point, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'entrer plus avant sur la question (cf. art. 106 al. 2 LTF).
4. Il résulte de ce qui précède que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable et le recours en matière de droit public mal fondé. Il doit donc être rejeté.
Dans la mesure où les conclusions de la recourante paraissaient d'emblée dénuées de chances de succès, le bénéfice de l'assistance judiciaire doit lui être refusé (art. 64 al. 1 LTF). Succombant, elle supporte les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF), qui seront toutefois fixés en tenant compte de sa situation financière, et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable. Le recours en matière de droit public est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à CHF 1'000.-, sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à l'Institut de hautes études internationales et du développement, à l'Université de Genève et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 2ème Section.
Lausanne, le 19 avril 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Beti