Erwägungen:
1.
1.1. Vor dem Bezirksgericht Zürich sind Klagen von X._ gegen die Stadt Zürich aus Staatshaftung hängig. Am 12. September 2012 bewilligte die 6. Abteilung des Bezirksgerichts Zürich das von ihm eingereichte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, soweit die Klage Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche zufolge (angeblicher) Entsorgung bzw. Entwendung seines Hausrats und seiner Wertgegenstände bei der Exmission vom 7. Juli 2009 durch das Personal der Stadt Zürich zum Gegenstand hat. Darüber hinaus wies es das Gesuch ab. Am 20. März 2013 setzte das Bezirksgericht ihm Frist, um für die mutmasslichen Gerichtskosten des Klageanteils, für den sein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung abgewiesen worden war, einen Kostenvorschuss von Fr. 13'100.-- zu leisten, wogegen X._ erfolglos bis an das Bundesgericht gelangte (Urteil 2C_562/2013 vom 20. Juni 2013).
1.2. Mit Verfügung vom 18. September 2013 setzte die 6. Abteilung des Bezirksgerichts Zürich X._ eine Nachfrist zur Leistung der einverlangten Fr. 13'100.--. X._ beschwerte sich hiergegen erfolglos beim Obergericht des Kantons Zürich. Gegen dessen Entscheid vom 22. Oktober 2013 ist X._ mit zahlreichen Anträgen und Ausführungen an das Bundesgericht gelangt.
2.
2.1. Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Mit der Beschwerde vor Bundesgericht kann keine Verletzung von einfachem kantonalen Recht geltend gemacht werden (vgl. Art. 95 BGG; MARKUS SCHOTT, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger [Hrsg.], BSK Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 55 zu Art. 95 BGG; BERNARD CORBOZ, in: Corboz et al. [Hrsg.], Commentaire de la LTF, 2009, N. 21 zu Art. 95 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht nur insofern, als eine entsprechende Rüge vorgebracht wird. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, insbesondere des Willkürverbots, gilt dabei eine qualifizierte Begründungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 136 I 229 E. 4.1 S. 235 mit Hinweisen). Diese setzt voraus, dass die beschwerdeführende Person in ihrer Eingabe dartut, welche verfassungsmässigen Rechte durch den angefochtenen Akt inwiefern verletzt worden sein sollen. Das Bundesgericht untersucht nicht von Amtes wegen, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft diesbezüglich nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255; 133 IV 286 E. 1.4).
2.2. Gegenstand des obergerichtlichen Urteils bildete die Ansetzung einer Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses für jenen Teil der Klage, für welchen dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege verweigert worden war. Die Berechtigung und Festsetzung des Vorschusses ist mit dem Urteil des Bundesgerichts vom 20. Juni 2013 rechtskräftig geworden. Der Beschwerdeführer setzt sich in den vorliegenden Unterlagen einmal mehr mit der Haftungsfrage selber auseinander, legt aber nicht dar, inwiefern die Nachfristansetzung zur Leistung des Kostenvorschusses Bundes (verfassungs) recht verletzen würde.
3.
Auf die Beschwerde ist durch den Präsidenten als Einzelrichter im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG), womit ein allfälliges Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos würde. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Dezember 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar