Faits:
A. W._, née en 1956, a travaillé en qualité d'ouvrière en horlogerie, de vendeuse, d'aide de bureau puis de consultante en parfumerie. Elle a requis des prestations de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) le 19 juillet 2002.
Selon le docteur M._, généraliste traitant, l'assurée souffrait d'une tendinopathie chronique à l'épaule droite, d'une arthrose/-ite de l'articulation sterno-claviculaire droite, de surdité sur otosclérose, d'éthylisme chronique ainsi que d'un état dépressivo-anxieux à l'origine d'une incapacité totale de travail depuis le 1er juillet 2001 (rapport du 8 août 2002 basé sur les avis de spécialistes en rhumatologie et oto-rhino-laryngologie). Suivant l'avis de son médecin-conseil, l'administration a confié la réalisation d'une expertise médicale au docteur B._, rhumatologue (rapport du 31 janvier 2003). Celui-ci ne mentionnait pas les problèmes auditifs de l'intéressée mais rejoignait pour l'essentiel le médecin traitant en ce qui concernait les autres diagnostics retenus (tendinopathie chronique de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite, arthrose acromio-claviculaire droite, trouble de la personnalité non spécifié et abus d'alcool). Selon l'expert, la capacité de travail de W._ était réduite de moitié dans l'activité lucrative exercée jusqu'en 2001. Se basant sur les conclusions de l'expertise, l'office AI a reconnu le droit de l'assurée à une demi-rente dès le 1er juillet 2002 (décision du 23 mai 2003).
A la suite de l'opposition de l'intéressée portant notamment sur le défaut de prise en considération de ses problèmes auditifs et du dépôt d'une nouvelle demande de prestations visant à l'octroi de moyens auxiliaires (appareillage acoustique), l'office AI a repris l'instruction et requis l'avis du docteur P._, spécialiste FMH en oto-rhino-laryngologie. Celui-ci a exposé que l'assurée souffrait d'une baisse de son acuité auditive bilatérale en relation avec une mauvaise transmission des sons au niveau de l'oreille interne, à quoi s'ajoutait un acouphène (rapport du 24 janvier 2005). Se conformant ensuite à l'avis de son Service médical régional (SMR), l'administration a sollicité les docteurs M._ et P._. Outre ce qui apparaissait déjà dans son rapport médical de 2002, le premier a mentionné des acouphènes, des douleurs du membre inférieur droit après crossectomie et des lombosciatalgies musculo-ligamentaires chroniques. Il a indiqué une incapacité totale de travail dès le 1er juillet 2001 dans la dernière activité exercée mais a suggéré une éventuelle capacité de travail de 50 % avec diminution de rendement dans une activité adaptée (rapport du 23 avril 2008). D'un point de vue strictement oto-rhino-laryngologique, le second a diagnostiqué une hypoacousie bilatérale prédominant du côté droit et un status post stapédectomie droite engendrant une capacité de travail amoindrie en raison de la baisse de la capacité auditive et d'acouphènes (rapport du 30 avril 2008). Suivant les recommandations du SMR, l'office AI a alors confié la réalisation d'une expertise pluridisciplinaire à la Clinique X._. Les conclusions des docteurs D._, spécialiste FMH en médecine interne générale, O._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, C._, spécialiste FMH en rhumatologie et médecine interne générale et A._, spécialiste FMH en oto-rhino-laryngologie (rapport du 14 janvier 2009) ne diffèrent de celles des docteurs P._ et M._ que sur l'évaluation de la capacité de travail de l'assurée. Pour des diagnostics essentiellement identiques (surdité mixte bilatérale de degré léger à moyen à gauche, moyen à sévère à droite sur otosclérose, acouphène chronique non compensé, douleurs chroniques de l'épaule droite dans le cadre d'une tendinopathie chronique et d'une arthrose acromio-claviculaire droite, trouble de la personnalité dépendante, syndrome de dépendance à l'alcool utilisation continue) les experts ont estimé que l'intéressée était capable de travailler à mi-temps en tant que vendeuse ou aide de bureau, à condition qu'elle bénéficie d'une réhabilitation auditive avec un système plus performant. Le SMR constatant alors que la capacité de travail n'avait selon les experts de X._ pas varié depuis l'expertise du docteur B._, l'office AI a rejeté l'opposition de W._ et confirmé sa décision du 23 mai 2003 (décision du 24 avril 2009).
B. L'assurée a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, concluant à l'allocation d'une rente entière ou au renvoi du dossier à l'administration pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision. Elle soutenait en substance que c'était à tort que l'office AI avait favorisé l'expertise de X._, lacunaire et comportant de nombreuses incohérences, au détriment du rapport du docteur P._ en dépit du fait que l'état de santé de l'intéressée s'était péjoré depuis l'expertise effectuée par le docteur B._. Elle a également sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire. L'administration a proposé le rejet du recours. En cours de procédure, la doctoresse F._, spécialiste FMH en médecine interne générale et nouveau médecin-traitant de l'assurée, a encore attesté une aggravation de la situation médicale (état dépressif sévère et baisse de force dans les deux bras; rapport du 5 juin 2011).
W._ a été déboutée dans ses conclusions (jugement du 28 juin 2011). Le tribunal cantonal a substantiellement considéré qu'il n'y avait pas lieu de mettre en doute la valeur probante de l'expertise de X._ et la pertinence de ses conclusions.
C. L'intéressée interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle en requiert l'annulation et conclut sous suite de frais et dépens à l'octroi d'une rente entière depuis le 1er juillet 2002 ou au renvoi du dossier au tribunal cantonal pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement. Elle sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire.
L'office AI et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. Le litige porte en l'espèce sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité, singulièrement sur l'évaluation de son incapacité de travail. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables à la solution du cas de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 Le tribunal de première instance a confirmé l'octroi d'une demi-rente d'invalidité à la recourante en se fondant sur l'expertise de X._ à laquelle il a conféré pleine valeur probante. Il a essentiellement estimé que le rapport d'expertise n'était pas mis en doute par les avis des docteurs P._ et M._, ces derniers évaluant de façon insuffisament précise les conséquences des atteintes à la santé sur la capacité de travail de l'assurée.
3.2 D'une manière générale, la recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir apprécié les preuves d'une façon manifestement insoutenable. Elle estime en substance que les conclusions du rapport d'expertise de X._ ne pouvaient être suivies dès lors que ledit rapport était en contradiction avec les avis d'autres médecins, en particulier ceux des docteurs P._ et M._, et qu'il comportait des incohérences et lacunes tendant à mettre en doute sa valeur probante. Elle reproche en outre aux premiers juges de n'avoir pas exposé de manière suffisante pour quelles raisons ils ont privilégié les conclusions de l'expertise pluridisciplinaire au détriment de celles des médecins traitants, violant ainsi son devoir de motiver le jugement.
3.3 Les arguments de la recourante ne sont cependant pas de nature à remettre en cause l'acte attaqué.
3.3.1 S'agissant du grief consistant à dire que l'expertise de X._ présente des contradictions avec les autres rapports figurant au dossier, on constatera préalablement que les diagnostics posés par l'ensemble des médecins ayant examiné l'assurée sont foncièrement identiques mais qu'il existe des divergences quant à l'appréciation de la capacité résiduelle de travail. Tous les arguments de l'assurée tendant à démontrer l'existence de différences fondamentales ou le défaut de prise en compte des avis des docteurs P._ et M._ tombent dès lors à faux. On relèvera par ailleurs que les conclusions de ces deux médecins relatives à l'incapacité de travail de la recourante ne remettent aucunement en cause l'appréciation des preuves par la juridiction cantonale dans la mesures où elles sont imprécises. En effet, le docteur M._ estime que l'on ne peut exiger de l'assurée qu'elle travaille dans son occupation habituelle mais envisage tout de même la possibilité d'une activité de secrétariat simple à mi-temps et le docteur P._ se contente de faire état d'une capacité de travail amoindrie du point de vue oto-rhino-laryngologique sans la définir précisément.
3.3.2 En ce qui concerne ensuite les soi-disant incohérences et lacunes qui entacheraient l'expertise de X._ et en diminueraient la valeur probante, on ne peut faire grief aux experts de X._ de ne pas avoir tenu compte de tous les aspects de la situation de l'assurée contrairement à ce que soutient cette dernière. En particulier, la problématique oto-rhino-laryngologique n'a aucunement été négligée. En effet, outre un diagnostic foncièrement identique à celui du docteur P._ sur ce point, le rapport d'expertise expose de manière complète les tests entrepris en relation avec les problèmes d'ouïe de la recourante et les mesures nécessaires devant lui permettre l'exercice d'une activité de vendeuse. De plus, le fait que la capacité de travail retenue par les experts de X._ soit similaire à celle retenue par la docteur B._ n'implique pas que les premiers aient fait preuve d'incohérence. En effet, la prise en compte d'une atteinte à la santé supplémentaire, en l'occurrence les problèmes auditifs, n'engendre pas automatiquement une diminution de la capacité de travail, les incapacités de travail découlant de plusieurs diagnostics différents ne se cumulant pas obligatoirement. Par ailleurs, la récente jurisprudence en matière d'expertises effectuées par des Centres d'observation médicale de l'assurance-invalidité (COMAI) ne change rien à ce qui précède, la valeur probante d'une expertise COMAI recueillie selon les anciens principes de procédure n'étant pas a priori amoindrie (ATF 137 V 210 consid. 6 p. 266). L'assurée, qui se contente de citer l'arrêt, n'apporte aucun élément apte à mettre en doute la valeur probante de l'expertise de X._. Ainsi, vu ce qui précède, il ne peut être reproché aux juges cantonaux d'avoir apprécié les preuves de manière arbitraire.
3.3.3 Pour ce qui est du prétendu défaut de motivation du jugement cantonal, on relèvera préalablement que le fait que le tribunal de première instance n'ait pas répondu exhaustivement aux griefs soulevés par la recourante n'implique pas forcément une violation du droit d'être entendu dans la mesure où l'autorité n'a pas l'obligation de s'exprimer sur tous les moyens des parties mais peut se limiter aux questions décisives (ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88 sv.). En l'occurrence, contrairement à ce que soutient l'assurée, le jugement entrepris permet de comprendre ce qui a amené les juges cantonaux à privilégier les conclusions du rapport d'expertise. Ceux-ci ont ainsi exposé qu'il n'existait aucun élément au dossier qui serait de nature à mettre en doute les conclusions de l'expertise de X._ et à diminuer la valeur probante de cette dernière, que les conclusions des docteurs P._ et M._ en ce qui concerne la capacité de travail de la recourante sont peu précises de sorte qu'il n'était pas possible de se baser sur celles-ci pour évaluer l'invalidité de l'assurée et que le fait pour les experts de X._ de conclure à une capacité de travail résiduelle de 50 % dans une activité de vendeuse alors que le docteur P._ avait exposé le contraire tenait à une évaluation différente de la même situation et non pas à des contradictions entre les avis des médecins en question. Partant, la recourante pouvait parfaitement comprendre ce qui a amené le tribunal de première instance à donner la préséance à l'expertise de X._. Elle a du reste pu interjeter utilement un recours contre le jugement cantonal.
4. 4.1 L'assurée reproche encore aux premiers juges d'avoir violé l'art. 29 al. 3 Cst dans la mesure où ils ont rejeté sa requête d'assistance judiciaire au motif qu'elle disposait de ressources suffisantes pour payer les frais de la procédure.
4.2 En l'occurrence, le tribunal cantonal a estimé que la recourante disposait d'un solde disponible de 206 fr. 60, supérieur au supplément de procédure de 200 fr. habituellement retenu par la jurisprudence neuchâteloise.
4.3 L'assurée soutient que le montant disponible retenu par le tribunal de première instance est de 6 fr. 60 et que de cette manière c'est quatre ans et demi qui lui seraient nécessaires pour rembourser les frais de justice uniquement. Elle méconnaît cependant le fait que le solde disponible retenu est de 206 fr. 60. Un tel montant semble devoir permettre à la recourante de payer les frais judiciaires et d'avocat dans le laps de temps retenu par la jurisprudence fédérale correctement citée par la juridiction cantonale, ce qu'elle ne conteste d'ailleurs pas. Le fait que le montant des prestations complémentaires ait été réduit ne change rien à ce qui précède dans la mesures où un revenu hypothétique a été pris en compte, la recourante étant capable de travailler à mi-temps. La diminution des prestations complémentaires est ainsi compensé par le revenu que l'assurée doit pouvoir obtenir en exerçant une activité lucrative. Pour le surplus, la recourante ne conteste pas les éléments pris en compte par le tribunal de première instance dans son calcul de sorte que ses arguments ne sont pas de nature à remettre en cause la décision cantonale sur ce point.
5. Vu l'issu du litige, les frais sont mis à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF) qui ne saurait prétendre à des dépens (art. 68 LTF). L'assistance judiciaire lui est octroyée dès lors que les conditions auxquelles l'art. 64 al. 1 et 2 LTF subordonne son attribution sont réalisées. L'assurée est rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée à la recourante, Me Bise est désigné comme avocat d'office.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Une indemnité de 2'800 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à Me Bise à titre d'honoraires.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 mars 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Cretton