Considérant en fait et en droit :
1.
1.1. Par arrêt du 27 février 2014 (cause 4D_16/2014), la Présidente de la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral, appliquant la procédure simplifiée prévue à l'art. 108 al. 1 LTF, n'est pas entrée en matière sur le recours formé par X._ contre l'arrêt rendu le 10 décembre 2013 par la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud dans la cause divisant le recourant d'avec l'Etat de Vaud, intimé au recours.
1.2. Le 18 mars 2014, X._ (ci-après: le requérant) a adressé au Tribunal fédéral une demande de révision dans laquelle il le prie d'annuler ledit arrêt. Dans une lettre séparée du 23 juin 2014, il a requis le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite.
L'Etat de Vaud, intimé à la requête, et la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois n'ont pas été invités à se déterminer sur la demande de révision.
2.
La demande de révision soumise à l'examen de la Cour de céans ne satisfait en rien aux exigences de motivation résultant de l'art. 42 LTF et des art. 121 ss LTF.
Certes, le requérant invoque, en plus d'autres dispositions d'emblée inapplicables (art. 51 CPC, art. 57 et 60 al. 1 CPP, art. 312 CP), l'art. 121 let. d LTF en liaison avec l'art. 38 al. 3 LTF. Cependant, il se lance ensuite dans des explications incompréhensibles. C'est ainsi qu'il fait valoir que la Juge fédérale Klett, qui a rendu l'arrêt présidentiel incriminé le 27 février 2014, aurait dû se récuser, puisque lui-même avait déposé, le 18 février 2014, une demande de révision de l'arrêt présidentiel rendu le 27 janvier 2014 par la Juge fédérale Klett dans la cause 4A_576/2013, X._ c. Z._ SA. Or, outre que ladite demande a été déclarée irrecevable par arrêt de la Ire Cour de droit civil du 25 mars 2014 (cause 4F_4/2014), le requérant ne démontre nullement en quoi le fait pour la Juge fédérale Klett d'avoir rendu, le 27 janvier 2014, dans une autre cause (4A_576/2013), un arrêt qui lui a donné tort aurait dû conduire la magistrate incriminée à se récuser dans la cause 4D_16/2014. Pour le surplus, le requérant avance un argument comportant un vice logique lorsqu'il fait valoir que la Juge fédérale Klett, qui a rendu l'arrêt présidentiel incriminé en date du 27 février 2014, aurait dû se récuser au motif que l'arrêt en question violerait gravement le droit et contredirait d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité.
Quant aux conclusions prises par le requérant à la fin de son écriture, elles sont tout aussi incompréhensibles que les motifs censés les étayer. En particulier, on ne voit pas où l'intéressé veut en venir par celle, ainsi formulée, qui porte le n° 2: "La décision rendue le 27 janvier 2014 (4A_576/2013/A) et reçue le 15.3.2014 respecte le délai de 05 jours".
Cela étant, la présente demande de révision apparaît manifestement irrecevable.
3.
Comme les conclusions du requérant étaient vouées à l'échec, l'une des deux conditions cumulatives posées à l'art. 64 al. 1 LTF pour l'octroi du bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite n'est pas réalisée en l'espèce. Par conséquent, le requérant sera condamné à payer les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). En revanche, il n'aura pas à verser de dépens à l'intimé puisque cette partie n'a pas été invitée à déposer une réponse.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
La demande de révision est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du requérant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 25 juillet 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Kolly
Le Greffier: Carruzzo