Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführerin) begab sich am 5. Februar 1987 zur Abklärung gesundheitlicher Beschwerden in die Klinik der Stiftung X._ (Beschwerdegegnerin). Nach verschiedenen therapeutischen Behandlungen löste eine am 27. Februar 1987 vom Chefarzt für Rheumatologie und Rehabilitation der Klinik vorgenommene "Mobilisation mit Impuls", d.h. eine Drehung des Kopfes mit einer Hand unter manueller Fixierung eines Halswirbels mit der anderen Hand (im Folgenden: "Manipulation"), starke Schmerzen aus. Seither leidet die Beschwerdeführerin unter verschiedenen gesundheitlichen Beeinträchtigungen. Die Beschwerdegegnerin bestritt einen Kausalzusammenhang zwischen den geltend gemachten gesundheitlichen Beeinträchtigungen und der Manipulation.
B. Am 6. Februar 1992 erhob die Beschwerdeführerin beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen die Beschwerdegegnerin, die sie im Verfahrensverlauf bezifferte, indem sie die Zusprechung von Fr. 2.4 Mio. als Schadenersatz zuzüglich Zins und von Fr. 100'000.-- als Genugtuung forderte. Das Bezirksgericht wies die Klage mit Urteil vom 20. Dezember 2002 ab.
Die Beschwerdeführerin gelangte daraufhin mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich, mit der sie die Aufhebung dieses Urteils und die Zusprechung von Fr. 2.5 Mio. als Schadenersatz und Genugtuung nebst Zins verlangte. Das Obergericht hiess die Klage am 8. Dezember 2006 teilweise gut, d.h. im Umfang von insgesamt Fr. 179'870.90 (verschiedene Schadenersatzbeträge und Fr. 8'000.-- als Genugtuung) zuzüglich Zinsen. Im Übrigen wies es die Begehren ab. Es kam gestützt auf ein gerichtlich angeordnetes Gutachten von Dr. B._ und mehrere Ergänzungsgutachten desselben zum Schluss, dass die Beschwerdegegnerin den Behandlungsvertrag nicht sorgfältig erfüllt habe. So sei trotz erkennbarer Anzeichen für eine vorhandene Anomalie (im Bereich der Wirbelsäule) auf die erforderliche genaue radiologische Abklärung vor der Manipulation verzichtet worden, aufgrund welcher der behandelnde Arzt hätte erkennen können, dass die Manipulation nicht angezeigt war. Die Behandlung habe allerdings bloss zu einer vorübergehenden Beeinträchtigung der Gesundheit der Beschwerdeführerin geführt.
C. Gegen das Urteil des Obergerichts legte die Beschwerdeführerin eidgenössische Berufung und kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ein. Die Berufung zog sie mit Schreiben vom 5. März 2007 zurück, worauf das entsprechende Verfahren (4C.65/2007) vom Präsidenten der I. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts am 7. März 2007 als erledigt abgeschrieben wurde. Die Nichtigkeitsbeschwerde wurde vom Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Zirkulationsbeschluss vom 14. November 2007 abgewiesen, soweit es darauf eintrat.
D. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, den Beschluss des Kassationsgerichts aufzuheben und die Klage vollumfänglich gutzuheissen.
Die Beschwerdegegnerin stellt den Antrag, auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell diese abzuweisen. Das Kassationsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
Erwägungen:
1. Die vorliegende Beschwerde richtet sich einzig gegen den Beschluss des Kassationsgerichts vom 14. November 2007. Die Aufhebung des vorangehenden Urteils des Obergerichts vom 8. Dezember 2006 hat die Beschwerdeführerin nicht beantragt.
Das Kassationsgericht konnte im angefochtenen Beschluss nur prüfen, ob das Obergericht in seinem Urteil einen Nichtigkeitsgrund zum Nachteil der Beschwerdeführerin im Sinne von § 281 ZPO/ZH gesetzt hat, namentlich unter anderem ob es das Willkürverbot (Art. 9 BV), den Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) oder Art. 6 EMRK verletzt hat (§ 285 Abs. 2 Satz 2 ZPO/ZH). Ob eine unrichtige Anwendung von Bundeszivilrecht vorliege, entzog sich der Kognition des Kassationsgerichts, da dies vom Bundesgericht beim gegebenen Streitwert von über Fr. 30'000.-- im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen frei überprüft werden könnte (§ 285 Abs. 2 Satz 1 ZPO/ZH). In Anbetracht des Gegenstands des Beschlusses des Kassationsgerichts rügt die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde gegen denselben zu Recht keine Verletzung von Bundeszivilrecht und macht einzig geltend, das Kassationsgericht habe verfassungsmässige Rechte verletzt, namentlich das Willkürverbot sowie den Gehörsanspruch und den Anspruch auf ein faires Verfahren. Diese Rügen sind gegen den kantonal letztinstanzlichen Beschluss des Kassationsgerichts (Art. 75 Abs. 1 BGG) grundsätzlich zulässig.
2. Die Beschwerdeführerin beantragt in ihrer Beschwerde, den angefochtenen Entscheid des Kassationsgerichts aufzuheben und die Klage vollumfänglich gutzuheissen. Die Beschwerdegegnerin ist der Auffassung, dieses Rechtsbegehren sei mangelhaft.
Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 107 Abs. 2 BGG), darf sich der Beschwerdeführer grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Gleich wie nach der Praxis zur Berufung gemäss aOG, muss der Beschwerdeführer demnach angeben, welche Punkte des Entscheids angefochten und welche Abänderungen beantragt werden (BGE 133 III 489 E. 3.1). Nach konstanter Rechtsprechung wird grundsätzlich verlangt, dass Geldforderungen beziffert werden. Doch liess es die Praxis schon unter dem aOG genügen, wenn sich aus der Berufungsbegründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, ohne weiteres ergab, welchen Geldbetrag der Berufungskläger von der Gegenpartei verlangte (BGE 133 III 409 E. 1.4.2 mit Hinweis auf BGE 125 III 412 E. 1b S. 414; Urteil 4A_43/2008 vom 4. März 2008 E. 2.2).
Im angefochtenen Entscheid wird festgestellt, die Beschwerdeführerin habe ihre Klage vor Obergericht auf Fr. 2.5 Mio. zuzüglich Zins beziffert und im vorinstanzlichen Verfahren weiterhin die Gutheissung dieser Klage verlangt. Aus dem vorliegend gestellten Antrag auf Klagegutheissung ergibt sich in Verbindung damit ohne weiteres, dass die Beschwerdeführerin vorliegend nach wie vor die Zusprechung eines Kapitals von Fr. 2.5 Mio. verlangt. Jedenfalls insoweit steht einem Eintreten auf die Beschwerde nichts entgegen.
Aus den genannten Feststellungen im angefochtenen Entscheid ergibt sich hingegen in Verbindung mit dem hier gestellten Rechtsbegehren nicht, in welcher Höhe und ab welchem Verfalldatum die Beschwerdeführerin Zinsen fordert. Um die Zinsforderung zu präzisieren müsste auf das obergerichtliche Urteil zurückgegriffen werden. Mit Blick auf den Verfahrensausgang kann allerdings offen bleiben, ob der gestellte Antrag auch insoweit den Anforderungen an die Bestimmtheit genügt.
3. 3.1 Nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG; vgl. dazu BGE 133 IV 286 E. 1.4). Die Verletzung von Grundrechten kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 III 393 E. 6, 439 E. 3.2). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399). Macht der Beschwerdeführer beispielsweise eine Verletzung von Art. 9 BV geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (BGE 133 I 1 E. 5.5 S. 5; 130 I 258 E. 1.3 S. 262; 110 Ia 1 E. 2a S. 3 f.).
Richtet sich die Beschwerde wie hier gegen den Entscheid einer ausserordentlichen Rechtsmittelinstanz, der dieselben Rügen unterbreitet werden konnten wie dem Bundesgericht im vorliegenden Verfahren, so ist unter Auseinandersetzung mit deren Erwägungen aufzuzeigen, inwiefern diese Instanz die gerügte Verfassungsverletzung durch das vorher entscheidende Gericht, vorliegend das Obergericht, zu Unrecht verneint haben soll. Das Gebot, den kantonalen Instanzenzug auszuschöpfen (Art. 75 Abs. 1 BGG; vgl. dazu auch BGE 133 III 638 E. 2 S. 640 und die vorstehende Erwägung 1), hätte wenig Sinn, wenn das Bundesgericht die selben Rügen, die bereits im kantonalen Rechtsmittelverfahren geprüft worden sind, einfach nochmals behandeln würde, ohne dass die Begründung des letztinstanzlichen kantonalen Entscheides in der Beschwerde substanziiert gerügt wird (BGE 125 I 492 E. 1a/cc und E. 1b S. 494 ff.; 111 Ia 353 E. 1b S. 354).
3.2 Das Gebot der Ausschöpfung des Instanzenzugs verbietet namentlich auch, dass Verfassungsrügen direkt gegen das Urteil des Obergerichts erhoben werden, die dem Kassationsgericht hätten unterbreitet werden können, jedoch nicht unterbreitet wurden. D.h. es verlangt, soweit es um die Wahrung von verfassungsmässigen Rechten geht, hinsichtlich der, wie dargelegt, keine Rechtsanwendung von Amtes wegen, sondern das Rügeprinzip gilt (Art. 106 Abs. 2 BGG), entsprechend der Praxis zur staatsrechtlichen Beschwerde, dass der Instanzenzug nicht nur prozessual durchlaufen, sondern auch materiell erschöpft worden sein muss (vgl. BGE 133 III 638 E. 2 S. 640).
3.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substantiiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss Art. 105 Abs. 2 BGG gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre; andernfalls kann ein Sachverhalt, der vom im angefochtenen Entscheid festgestellten abweicht, nicht berücksichtigt werden.
Im bundesgerichtlichen Verfahren dürfen dabei neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt, was in der Beschwerde ebenfalls näher darzulegen ist (Art. 99 Abs. 1 BGG). Zu den Tatsachen, die vorzubringen und für die Beweis anzubieten erst der angefochtene Entscheid Anlass gibt, zählen insbesondere alle Umstände, die für die Anfechtung des Entscheids von Bedeutung sind (Eröffnung, Zustellung, Fristwahrung etc.), ferner Tatsachen zur Begründung gewisser formellrechtlicher Mängel (Verletzung des rechtlichen Gehörs, unrichtige Besetzung der Richterbank), mit denen nicht zu rechnen war, und schliesslich tatsächliche Vorbringen, die erst aufgrund einer neuen überraschenden rechtlichen Argumentation der Vorinstanz Rechtserheblichkeit erlangt haben (Ulrich Meyer, Basler Kommentar, N. 45-47 zu Art. 99 BGG; Seiler/von Werdt/Güngerich, N. 6 zu Art. 99 BGG). Nicht zu den Tatsachen und Beweismitteln, die vorzubringen bzw. anzurufen erst der angefochtene Entscheid Anlass gibt, sind solche zu zählen, auf die sich der Beschwerdeführer bei der Behandlung des Prozessthemas im kantonalen Verfahren zu berufen unterlassen hat, und die deshalb von der Vorinstanz auch nicht berücksichtigt werden konnten. Der Beschwerdeführer kann nicht mit neuen tatsächlichen Vorbringen und Beweismitteln, die er schon vor der Vorinstanz hätte vorbringen bzw. anbieten können und müssen, nachzuweisen versuchen, dass die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig oder die Beweiswürdigung willkürlich sei. Soweit die Beschwerdeführerin solche neuen Tatsachenbehauptungen vorträgt oder sich auf solche neuen Beweismittel beruft, ist sie demnach nicht zu hören (vgl. Urteil 4A_36/2008 vom 18. Februar 2008 E. 4.1).
3.4 Den vorstehend umschriebenen Anforderungen genügt die vorliegende Beschwerdeschrift, wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, in weiten Teilen nicht.
4. Das Obergericht hatte gestützt auf das Gutachten von Dr. B._ festgestellt, dass eine durch die Manipulation vom 27. Februar 1987 hervorgerufene strukturelle Schädigung auszuschliessen sei. Zwar habe sich die Arthrose des Gelenkes C1/C2 bei der Beschwerdeführerin in den letzten Jahren verschlimmert. Dies sei aber auf eine vorbestandene Rotationsfehlstellung bzw. Kippstellung zurückzuführen und habe mit der Manipulation nichts zu tun. Durch die Manipulation sei (nur) eine vorübergehende, nicht aber eine dauernde Schädigung der Gesundheit durch eine Dehnung der Gelenkkapselstrukturen des Gelenkes C1/C2 erfolgt.
Gegen diese Feststellungen erhob die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren zahlreiche Rügen, die von der Vorinstanz allesamt mit einer umfassenden, einlässlichen und sorgfältigen Begründung abgewiesen wurden.
Mit der vorliegenden Beschwerde wendet sich die Beschwerdeführerin wiederum gegen die genannten Feststellungen des Obergerichts und des Gutachters, dass die Rotationsfehlstellung der Halswirbel C1/C2 vorbestehend gewesen und dass eine strukturelle Schädigung durch die Manipulation auszuschliessen sei. Sie behauptet, es sei bewiesen, dass die Rotationsfehlstellung auf die Manipulation vom 27. Februar 1987 zurückzuführen sei und dass sie mithin durch die Manipulation eine dauernde, nicht nur vorübergehende Schädigung ihrer Gesundheit mit 100 %-iger Arbeitsunfähigkeit erlitten habe. Sie setzt sich dabei aber durchwegs nicht rechtsgenüglich mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinander, in denen diese die gegen die angefochtenen Feststellungen des Obergerichts erhobenen Einwendungen verworfen hatte, soweit darauf einzutreten war, und legt nicht dar, inwiefern das Kassationsgericht damit die geltend gemachten Verfassungsverletzungen durch das Obergericht zu Unrecht verneint haben soll. Vielmehr stellt sie den angefochtenen Feststellungen unter rein appellatorischer Kritik bloss ihre eigene Sicht der Dinge gegenüber und behauptet, die abweichenden Schlüsse des Obergerichts und des Gutachters, Dr. B._, seien willkürlich, wobei sie sich zum schon im kantonalen Verfahren wiederholt erhobenen Vorwurf versteigert, Dr. B._ habe wissentlich ein falsches Gutachten im Sinne von Art. 307 StGB erstellt, obwohl dieser Vorwurf bereits von den Vorinstanzen mit eingehender Begründung, auf welche die Beschwerdeführerin nicht eingeht, zurückgewiesen und als verleumderisch bezeichnet wurde. Die Beschwerdeführerin stützt sich dabei im Wesentlichen auf Ausführungen ihres behandelnden Arztes und Privatgutachters, Prof. C._, welche jedoch die Vorinstanzen willkürfrei als (blosse) Parteibehauptungen und nicht als Beweismittel (Gutachten) bezeichnet (vgl. BGE 132 III 89 E. 3.6), allerdings als solche eingehend gewürdigt haben. Die entsprechenden Vorbringen genügen den vorstehend beschriebenen Begründungsanforderungen an die Beschwerdeschrift nicht, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
Nicht zu hören ist die Beschwerdeführerin auch, soweit sie sich zur Erhärtung ihres Vorwurfs, die Feststellung des Vorbestehens der Rotationsfehlstellung als Anomalie sei willkürlich, als Beweismittel auf die Internationale statistische Klassifikation der Krankheiten und verwandter Gesundheitsprobleme aus dem Jahre 1995 beruft. Auf dieses Beweismittel hatte sie sich im kantonalen Verfahren nicht berufen und sie macht weder geltend noch ist ersichtlich, dass erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gegeben hätte und dass sie sich nicht schon vorher darauf hätte berufen können. Es handelt sich daher dabei um ein unzulässiges Novum (vorstehende Erwägung 3.3).
5. Soweit nach dem Gesagten überhaupt auf einzelne Rügen der Beschwerdeführerin eingegangen werden kann, ist Folgendes auszuführen:
5.1 Die Beschwerdeführerin rügt, die Beschwerdegegnerin habe nach Einleitung des Prozesses als Entlastungsbeweis eine an wesentlicher und prozessentscheidender Stelle abgeänderte (gefälschte) Krankengeschichte eingereicht, um das Vorbestehen einer Rechtsrotation C2 nachzuweisen. Das Gericht habe es versäumt, diese gefälschte Krankengeschichte ausdrücklich als solche zu qualifizieren und aus dem Recht zu weisen, und dementsprechend sei diese gefälschte Krankengeschichte auch als Grundlage für die späteren Gutachten verwendet worden. Dies habe zur überaus langen Prozessdauer von beinahe 20 Jahren beigetragen, indem sie aufgrund von Zweifeln an der Richtigkeit der Schlussfolgerungen des gerichtlichen Gutachters Dr. B._ gezwungen gewesen sei, beim international anerkannten Experten, Prof. C._, mehrere Stellungnahmen einzuholen. Weil die Vorinstanzen nicht resolut gegen diese unlauteren Machenschaften der Beschwerdegegnerin eingeschritten seien und diese nicht untersucht hätten, liege ein Verstoss gegen den Anspruch auf gerechte Behandlung und Beurteilung des Falles innert angemessener Frist nach Art. 29 BV und Art. 6 Abs. 1 EMRK vor.
Die Rüge ist unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Vorinstanz legte dar, der gerichtliche Experte Dr. B._, und mit ihm das Obergericht, habe nicht auf die von der Beschwerdeführerin kritisierte Krankengeschichte abgestellt. Er habe überdies sogar bestätigt, dass am 5. Februar 1987 (d.h. vor der Manipulation) radiologisch eine Rechtsrotation des Wirbels C2 nicht nachgewiesen worden sei. Die obergerichtliche, auf das Gutachten gestützte Feststellung, dass eine durch die Manipulation hervorgerufene strukturelle Schädigung auszuschliessen sei, beruhe in keiner Weise auf dem von der Beschwerdeführerin beanstandeten Eintrag in der Krankengeschichte. Auf diese Begründung geht die Beschwerdeführerin nicht ein und legt nicht dar, weshalb die beanstandete Krankengeschichte trotzdem geeignet gewesen sein soll, bei ihr Zweifel an der Richtigkeit des gerichtlichen Gutachtens zu wecken und sie zum Einholen einer Gegenstellungnahme zu veranlassen. Insbesondere geht sie fehl, wenn sie ihre Zweifel damit begründen will, dass Dr. B._ festgehalten habe, am 5. Februar 1987 sei eine Rechtsrotation C2 nicht radiologisch festgehalten worden, aber dennoch eine solche als vor der Manipulation vorbestehend angenommen habe. Denn Dr. B._ hat den vorinstanzlichen Feststellungen gemäss mit eingehender Begründung, mit der sich die Beschwerdeführerin nicht auseinandergesetzt habe (und auf die sie auch vorliegend nicht eingeht), dargelegt, weshalb er auch ohne das Vorhandensein einer radiologischen Aufnahme, die das Vorbestehen einer Fehlstellung belege, zur Aussage gelangt sei, dass die Rotationsfehlstellung C1/C2 mit grösster Wahrscheinlichkeit vorbestehend gewesen sei.
5.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe vor der Vorinstanz gerügt, dass das Obergericht zur Begründung seiner Feststellung, eine durch die Manipulation hervorgerufene strukturelle Schädigung sei auszuschliessen, auf zwei Erwägungen verwiesen habe, die sich jedoch mit der betreffenden Frage gar nicht befassten. Die Vorinstanz habe die Richtigkeit der Rüge bestätigt, dann aber trotzdem festgehalten, dass sie fehl gehe, womit sie in Willkür verfallen sei. Die bestrittene Feststellung sei vom Obergericht falsch begründet worden, worin eine Verletzung des aus dem rechtlichen Gehör fliessenden Anspruchs auf Begründung liege.
Die Vorinstanz hat in der kritisierten Erwägung zwar den von der Beschwerdeführerin gerügten Fehler in der Begründung der angefochtenen Feststellung des Obergerichts anerkannt, weil sich die angefochtene Feststellung nicht auf die Erwägungen stützen lasse, auf welche die gerügte Verweisung ziele. Sie hat die Feststellung aber dennoch als nicht willkürlich beurteilt, weil diese sich mit einer ganzen Reihe weiterer vom Obergericht zitierter gutachterlicher Äusserungen begründen lasse.
Dass die Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren gerügt hätte, es liege eine Verletzung der Begründungspflicht durch das Obergericht vor, lässt sich den verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid nicht entnehmen, weshalb auf die hier erhobene entsprechende Rüge mangels Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs nicht eingetreten werden kann (vgl. Erwägung 3.2 vorne). Diese erwiese sich ohnehin als offensichtlich unbegründet: So verkennt die Beschwerdeführerin, dass ein Fehler in der Begründung einer Feststellung allenfalls auf die Unrichtigkeit der Feststellung hindeuten kann, jedoch nicht zur Begründung des Vorwurfs taugt, das Gericht habe seiner Begründungspflicht nicht Genüge getan, da die grundrechtliche Gehörsgarantie, aus der diese abgeleitet wird, keinen Anspruch auf einen sachlich richtigen Entscheid verleiht (vgl. BGE 133 III 439 E. 3.3; 129 I 232 E. 3.2; 126 I 97 E. 2b, je mit Hinweisen); die materielle Richtigkeit der Begründung und des darauf gestützten Entscheids ist Gegenstand der materiellen Beurteilung und keine Frage, ob der Entscheid den formellen Anforderungen an die Begründung genügt, wenn diese auch darauf ausgelegt sind, die Basis für einen inhaltlich richtigen Entscheid zu legen (vgl. BGE 130 II 530 E. 4.3 S. 540; 114 Ia 233 E. 2d in fine S. 242; Michele Albertini, Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör im Verwaltungsverfahren des modernen Staates, Diss. Bern 2000, S. 360 und 405).
5.3 Die Beschwerdeführerin rügt wiederholt, der Experte und mit ihm die kantonalen Gerichte seien in Willkür verfallen und hätten Art. 29 BV verletzt, indem sie ohne jeglichen Beweis auf das Vorbestehen der Rotationsfehlstellung C1/C2 geschlossen hätten, obwohl der Experte das Fehlen eines direkten Beweises, konkret einer für einen solchen erforderlichen radiologischen Aufnahme durch den offenen Mund vor der Manipulation, eingeräumt habe, und es damit an einer "tatsächlichen Feststellungsgrundlage" fehle.
5.3.1 Wie bereits ausgeführt, hielt die Vorinstanz fest, Dr. B._ habe mit eingehender Begründung dargelegt, weshalb er auch ohne das Vorhandensein einer vor der Manipulation erstellten radiologischen Aufnahme, die das Vorbestehen einer Fehlstellung belege, zur Aussage gelangt sei, dass die Rotationsfehlstellung C1/C2 mit grösster Wahrscheinlichkeit vorbestehend gewesen sei. Sie erwog dazu, gerade eine solche Beurteilung ohne andere "direkte Beweismittel" sei eigentliche Expertenaufgabe. Beim Fehlen eines "direkten Beweises" mittels bildgebender Dokumentation sei nicht bereits zwingend davon auszugehen, dass die Rotationsfehlstellung nicht vorbestehend gewesen, sondern durch die Manipulation verursacht worden sei, was eben gutachterlich zu prüfen gewesen sei. Die entsprechenden Darlegungen von Dr. B._ seien nachvollziehbar begründet und setzten sich mit den Einwendungen der Beschwerdeführerin und ihres Gutachters auseinander und widerlegten diese plausibel, soweit diese eine andere Möglichkeit behaupteten. Wenn die Beschwerdeführerin behaupte, es liege kein direkter Beweis für eine vorbestandene Rotationsfehlstellung vor, so missachte sie, dass die Expertise von Dr. B._ selber Beweismittel sei und für die strittigen vorinstanzlichen Feststellungen Beweisgrundlage bilde.
5.3.2 Die Beschwerdeführerin bringt dazu zunächst zutreffend vor, Aufgabe des Gutachters sei die Feststellung von Tatsachen auf Grund seiner Sachkunde (vgl. Vogel/Spühler, Grundriss des Zivilprozessrechts, 8. Aufl., Bern 2006, S. 284). Sie macht dann aber in einer nicht leicht verständlichen Rüge geltend, die Vorinstanz habe den Begriff des Experten willkürlich interpretiert, da sich die Beurteilung nur auf die vom Experten festgestellten Tatsachen stützen dürfte und eigentliche Expertenaufgabe die Beurteilung von Tatsachen sei, die er vorher habe feststellen können. Indem der Gutachter vorliegend trotz Fehlen einer bildgebenden Darstellung vor der Manipulation lediglich aufgrund von Mutmassungen eine prozessentscheidende Beurteilung der oberen Halswirbelsäule vorgenommen habe, sei er in Willkür verfallen und mit ihm die kantonalen Instanzen, welche die nicht schlüssigen und unwahren Mutmassungen des Experten als vollen Beweis akzeptierten und die Gegenargumente der Beschwerdeführerin mit den gewichtigen und beweisgebenden Aussagen des anerkannten Experten Prof. C._ ins Leere laufen liessen.
5.3.3 Die Rüge ist unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. Nach den Feststellungen im angefochtenen Entscheid standen dem Gutachter Dr. B._ alle vorhandenen medizinischen Unterlagen zur Verfügung und legte er nachvollziehbar und umfassend dar, wie er zu seinen Schlussfolgerungen gelangte. Wie die Vorinstanz willkürfrei festgehalten hat, war es vorliegend gerade die Aufgabe des Gutachters, eine aus den medizinischen Unterlagen erkennbare Schädigung der Wirbelsäule aufgrund seiner Sachkunde zu beurteilen. Nachdem der Experte seine Schlüsse nach den nicht widerlegten vorinstanzlichen Feststellungen nachvollziehbar und umfassend begründet hat, geht die Beschwerdeführerin fehl und vermag keine Willkür darzutun, wenn sie diese Schlüsse einfach als willkürliche Mutmassungen hinzustellen versucht, weil sie der tatsächlichen Grundlage entbehrten.
Ihre Rüge unter Berufung auf die Gegenmeinung von Prof. C._ ist im Übrigen umso weniger verständlich, als die Beschwerdeführerin die Mitwirkung bei einer vom gerichtlichen Gutachter, Dr. B._, angeordneten MRI-Untersuchung (Magnetresonanztomografie) ungerechtfertigt verweigert hat, mit der im Sinne der Gehörswahrung die Richtigkeit der von Prof. C._ ohne Nachweis vertretenen, vom Gutachter aber als sehr unwahrscheinlich gehaltenen These hätte abgeklärt werden sollen, wonach bei der Manipulation das linke Ligamentum alare zerrissen sei und dies zu einer Dauerschädigung geführt habe, mit der angedrohten Folge, dass das Obergericht in freier Würdigung zu Lasten der Beschwerdeführerin annahm, die These sei unzutreffend.
5.3.4 Ohne weiteres als unbegründet erweist sich auch die Rüge, das Obergericht und die Vorinstanz hätten den Anspruch auf Begründung des Urteils verletzt (Art. 29 BV), weil sie sich auf das nicht schlüssige, falsche und unwahre Gutachten von Dr. B._ gestützt hätten. Es kann dazu auf das in vorstehender Erwägung 5.2 in fine Ausgeführte verwiesen werden.
6. Zusammenfassend erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 15'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 17'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Mai 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Corboz Widmer