Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil vom 31. Mai 2010 des Richteramts Olten-Gösgen, das dem Beschwerdegegner gegenüber dem Beschwerdeführer die definitive Rechtsöffnung für Fr. 450.-- (nebst Zins und Kosten) erteilt hat,
in das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege,
in Erwägung,
dass gegen das in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangene Urteil des Richteramts Olten-Gösgen mangels Erreichens der Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss Art. 74 Abs. 2 BGG allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG sowie Art. 116 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG),
dass das Richteramt Olten-Gösgen im Urteil vom 31. Mai 2010 erwog, die Forderung (Gerichtskosten) beruhe auf einer rechtskräftigen Verfügung des Bezirksgerichts Schwyz vom 18. Dezember 2008 und damit auf einem definitiven Rechtsöffnungstitel im Sinne von Art. 80 Abs. 1 SchKG, gemäss dieser Verfügung habe der Beschwerdeführer die Hälfte der Gerichtskosten, d.h. Fr. 500.-- zu bezahlen, die vom Beschwerdeführer monierte Zahlung von Fr. 50.-- werde an diesen Betrag angerechnet, für das Rechtsöffnungsverfahren schulde sodann der Beschwerdeführer eine Parteientschädigung von Fr. 100.--, ausserdem habe er dem Beschwerdegegner vorgeschossene Verfahrenskosten von Fr. 150.-- zurückzuerstatten,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend macht,
dass er erst recht nicht nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert anhand der entscheidenden Erwägungen des Richteramts aufzeigt, inwiefern dessen Urteil vom 31. Mai 2010 verfassungswidrig sein soll,
dass der Beschwerdeführer ausserdem allein zum Zweck der Verzögerung der Zwangsvollstreckung und damit missbräuchlich prozessiert (Art. 42 Abs. 7 BGG),
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende und überdies missbräuchliche - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. Art 108 Abs. 1 lit. b und c BGG nicht einzutreten ist,
dass dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Verfassungsbeschwerde nicht gewährt werden kann (Art. 64 Abs. 1 BGG),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (Art. 66 Abs. 1 BGG),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und die Abteilungspräsidentin zuständig ist,
erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Richteramt Olten-Gösgen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juli 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann