Sachverhalt:
A. Im Amtsblatt Nr. 33 vom 18. August 2006 schrieb der Vorsteher des Departements für Volkswirtschaft und Raumentwicklung des Kantons Wallis für jede Gemeinde der Bezirke Goms sowie Östlich-Raron den Unterhalt und die Nachführung der amtlichen Vermessung für die Dauer von fünf Jahren (1. Januar 2007 - 31. Dezember 2011) im offenen Verfahren zur Bewerbung aus. Die Ausschreibungsunterlagen, welche bei der Vergabebehörde bezogen werden konnten, enthielten u.a. einen Leistungsbeschrieb, das Pflichtenheft sowie die Zuschlagskriterien.
B. An seiner Sitzung vom 15. November vergab der Staatsrat des Kantons Wallis die ausgeschriebenen Arbeiten in den Gemeinden Fiesch, Bellwald und Betten an die Y._ AG. Diesen Entscheid gab er am 22. November 2006 der übergangenen Bewerberin X._ AG bekannt. Auf deren Nachfrage hin begründete der Kantonsgeometer den staatsrätlichen Entscheid mit Schreiben vom 27. November 2006 im Einzelnen.
Hiegegen erhob die X._ AG drei Beschwerden (je eine betreffend jede Gemeinde) beim Kantonsgericht des Kantons Wallis. Dessen öffentlich-rechtliche Abteilung vereinigte die entsprechenden Verfahren und wies die Beschwerden mit Urteil vom 4. April 2007 ab.
C. Mit Eingabe vom 16. Mai 2007 führt die X._ AG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Kantonsgerichts des Kantons Wallis vom 4. April 2007 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um Gewährung der aufschiebenden Wirkung ersucht.
Die Y._ AG beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten bzw. sie abzuweisen. Das für den Staatsrat handelnde Departement für Volkswirtschaft und Raumentwicklung hat sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung vernehmen lassen. Das Kantonsgericht beantragt Abweisung der Beschwerde. Die Gemeinden Fiesch und Betten haben auf Vernehmlassung verzichtet. Die Gemeinde Bellwald hat zur Beschwerde Stellung genommen, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen.
D. Mit Verfügung vom 19. Juni 2007 wies der Abteilungspräsident das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das angefochtene Urteil ist am 4. April 2007, d.h. nach Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG; SR 173.110) ergangen, weshalb für das vorliegende Verfahren die Vorschriften des neuen Gesetzes massgebend sind (vgl. Art. 132 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Art. 83 lit. f BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide auf dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen aus, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrages den massgebenden Schwellenwert des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1994 über das öffentliche Beschaffungswesen (BoeB; SR 172.056.1) oder des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Gemeinschaft über bestimmte Aspekte des öffentlichen Beschaffungswesens (SR 0.172.052.68) nicht erreicht (Ziff. 1) sowie wenn sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Ziff. 2). Nach grammatikalischer und systematischer Auslegung von Art. 83 lit. f BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten damit bereits dann ausgeschlossen, wenn einer der beiden Ausschlussgründe gegeben ist: Die Zulässigkeit des Rechtsmittels setzt voraus, dass die erwähnten Schwellenwerte erreicht sind und sich zugleich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt. Diese Auslegung entspricht, wie in der Lehre heute (nahezu) einhellig angenommen wird, auch dem Sinn der Gesetzesbestimmung (Heinz Aemisegger, Der Beschwerdegang in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, in: Bernhard Ehrenzeller/Rainer J. Schweizer (Hrsg.), Die Reorganisation der Bundesrechtspflege - Neuerungen und Auswirkungen auf die Praxis, St. Gallen 2006, S. 138; Peter Karlen, Das neue Bundesgerichtsgesetz, 2006, S. 50; Robert Wolf, Die neue Rechtsmittelordnung im Bund, in: Baurecht, Sonderheft 06 "Vergaberecht Droit des Marchés publics", S. 13; Jean-Baptiste Zufferey, Les nouvelles voies de recours au niveau fédéral en matière de marchés publics, a.a.O., S. 17; Matthias Suter, Der neue Rechtsschutz in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vor dem Bundesgericht, Diss. St. Gallen 2007, S. 177; Hansjörg Seiler, in Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, N. 50 zu Art. 83 BGG, mit Hinweis auf das Protokoll der Kommission für Rechtsfragen des Nationalrates vom 1./2. Juli 2004, S. 47; contra: François Bellanger, Le recours en matière de droit public, in: François Bellanger et Thierry Tanquerel (Hrsg.), Les nouveaux recours fédéraux en droit public, 2006, S. 54).
2.2 Ob im vorliegenden Fall die erforderliche Auftragssumme bei Dienstleistungen (gegenwärtig Fr. 248'950.--, vgl. Art. 6 Abs. 1 lit. b BoeB in Verbindung mit Art. 1 lit. b der Verordnung des EVD vom 30. November 2006 über die Anpassung der Schwellenwerte im öffentlichen Beschaffungswesen für das Jahr 2007) erreicht ist, bedarf keiner weiteren Prüfung. Es fehlt jedenfalls am Erfordernis, dass eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (dazu Andreas Güngerich, in Seiler/von Werdt/Güngerich, a.a.O., N. 8 f. zu Art. 74 BGG) streitig sein muss. Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG obliegt es dem Beschwerdeführer, die Erfüllung dieser Voraussetzung darzutun. Die vorliegende Beschwerde enthält keine Ausführungen hiezu. Das Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich daher gemäss Art. 83 lit. f BGG als unzulässig.
3. 3.1 Da es sich um den Submissionsentscheid einer kantonalen Behörde bzw. einen diesbezüglichen letztinstanzlichen kantonalen Rechtsmittelentscheid handelt, ist indes zu prüfen, ob die vorliegende Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG entgegenzunehmen ist. Gemäss Art. 119 BGG kann dieses Rechtsmittel in der gleichen Rechtsschrift eingereicht werden wie die ordentlichen Rechtsmittel, und es ist vom Bundesgericht im gleichen Verfahren zu behandeln. Die falsche Bezeichnung des Rechtsmittels schadet dem Beschwerdeführer nicht, sofern bezüglich des jeweils statthaften Rechtsmittels sämtliche Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (vgl. BGE 131 I 291 E. 1.3 S. 296).
3.2 Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Dies wirkt sich auf die Anforderungen aus, denen die Beschwerdeschrift genügen muss. Es gilt das so genannte Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG, vgl. BBl 2001 4344). Dieses verlangt, dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe dartut, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Eine Überprüfung von Amtes wegen, wie sie dem Bundesgericht hinsichtlich des Gesetzes- und Verordnungsrechts des Bundes zusteht (vgl. Art. 106 Abs. 1 BGG), findet nicht statt. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. die Rechtsprechung zur staatsrechtlichen Beschwerde, statt vieler BGE 110 Ia 1 E. 2 S. 3 f.; 119 Ia 197 E. 1d S. 201). Wie unter der Herrschaft des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) müssen die erhobenen Rügen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (vgl. BGE 129 I 113 E. 2.1 S. 120; 115 Ia 27 E. 4a S. 30, je mit Hinweisen).
3.3 Mit der vorliegenden Eingabe wird zwar eine Verletzung von Art. 9 BV (Verstösse gegen das Willkürverbot und gegen den Grundsatz von Treu und Glauben) gerügt; ihre Begründung vermag aber nicht den qualifizierten Anforderungen zu genügen, welche Art. 106 BGG (in Verbindung mit Art. 119 BGG) für die Geltendmachung von Grundrechtsverletzungen stellt. Dies gilt insbesondere für die Anrufung des Willkürverbots. Der Beschwerdeführer muss, wie schon im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde, dartun, dass und inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 133 III 393 E. 6 S. 397).
Die vorliegende Beschwerdeschrift erschöpft sich, zum Teil unter unzulässigen Verweisen auf Rechtsschriften des kantonalen Verfahrens, in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid und am Vorgehen der Submissionsbehörde, ohne dass in klarer Weise dargelegt wird, worin die offensichtliche, in die Augen springende Unhaltbarkeit der angefochtenen Entscheidung bestehen soll. Die Eingabe erfüllt damit auch nicht die Formvorschriften für eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde, weshalb sie nicht als solche entgegengenommen werden kann.
4. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese hat die anwaltlich vertretene Y._ AG (Beschwerdegegnerin) für das bundesgerichtliche Verfahren ausserdem angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Weitere Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Y._ AG für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Staatsrat des Kantons Wallis, den Gemeinden Fiesch, Bellwald und Betten sowie dem Kantonsgericht Wallis (öffentlich-rechtliche Abteilung) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. September 2007
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: