Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1943) wurde am 28. September 2011 auf Anordnung zweier Ärzte des Psychiatriezentrums A._ gestützt auf Art. 397a Abs. 1 ZGB in das Gerontopsychiatrische Zentrum Y._ eingewiesen. Mit Schreiben vom 7. Oktober 2011 ersuchte Rechtsanwalt B._ im Namen und mit Vollmacht von X._ um seine Entlassung. Der Betroffene wurde am 11. Oktober 2011 ohne Beisein seines Anwalts angehört. Des weiteren erstattete der beauftragte Arzt ein mündliches psychiatrisches Gutachten. Mit Urteil vom gleichen Tag wies die Einzelrichterin das Entlassungsgesuch des Betroffenen ab und verfügte überdies, dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege werde nicht stattgegeben, da es am Nachweis der Bedürftigkeit fehle.
B. Der inzwischen nicht mehr anwaltlich verbeiständete X._ erhob am 17. Oktober 2011 beim Obergericht des Kantons Zürich "Beschwerde" gegen "Urteil und Verfügung" vom 11. Oktober 2011 und beantragte: "1. unentgeltliche Prozessführung; 2. unentgeltliche Rechtspflege; 3. Genugtuung und Schmerzensgeld.". Mit Fax vom 3. November 2011 teilte das Gerontopsychiatrische Zentrum Y._ dem Obergericht mit, die Voraussetzungen für eine fürsorgerische Freiheitsentziehung seien weggefallen, und ersuchte um Entlassung des Betroffenen. Mit Beschluss und Urteil vom 14. November 2011 hob das Obergericht die fürsorgerische Freiheitsentziehung auf und wies die Beschwerde gegen den erstinstanzlichen Entscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege ab. Nicht entsprochen wurde sodann dem Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren. Auf den Antrag auf "Genugtuung und Schmerzensgeld" trat das Obergericht nicht ein.
C. X._ hat am 14. Dezember 2011 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt sinngemäss, in Abänderung des obergerichtlichen Beschlusses sei ihm für beide kantonalen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wobei der Staat das Honorar für Rechtsanwalt B._ zu übernehmen habe. Des weiteren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht. Schliesslich stellt er erneut einen Antrag auf Genugtuung und Schmerzensgeld. In der Beschwerde selbst richtet er sich gegen die fürsorgerische Freiheitsentziehung.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht einen Antrag auf Zusprechung von Schmerzensgeld bzw. Genugtuung stellt. Entsprechende Anträge sind im Verfahren nach Art. 429a ZGB vor den dafür zuständigen kantonalen Instanzen geltend zu machen (vgl. BGE 136 III 497 E. 2.4).
1.2 Auf die Beschwerde ist ferner nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer darin das obergerichtliche Urteil betreffend fürsorgerische Freiheitsentziehung anficht. Das Obergericht hat im angefochtenen Urteil die Entlassung des Beschwerdeführers angeordnet, womit er über kein aktuelles schützenswertes Interesse an der Überprüfung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung mehr verfügt (BGE 136 III 497 E. 2.1).
1.3 Angefochten ist im Übrigen ein letztinstanzlicher Entscheid (Art. 75 Abs. 1 BGG) betreffend unentgeltliche Rechtspflege. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 129 I 129 E. 1.1), dessen ungeachtet, ob er während des Hauptverfahrens, zusammen mit dessen Endentscheid oder nach diesem ergangen ist (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2).
Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Diese betrifft ein Verfahren betreffend fürsorgerische Freiheitsentziehung, dessen letztinstanzliche kantonalen Entscheide dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen unterbreitet werden können (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Ist die Beschwerde gegen die Hauptsache zulässig, kann sie auch gegen den angefochtenen Zwischenentscheid erhoben werden (BGE 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.).
2. 2.1 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird in erster Linie durch das anwendbare Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon besteht ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege unmittelbar aufgrund von Art. 29 Abs. 3 BV. In der Hauptsache geht es um eine fürsorgerische Freiheitsentziehung. Diese stellt ihrer Natur nach eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in engem Zusammenhang mit dem Zivilrecht dar (sogenanntes formelles Bundeszivilrecht: Urteil 5A_582/2011 vom 3. November 2011 E. 3.2, in FamPra.ch 2012 S. 242 E. 3). Nach Art. 397e ZGB wird das Verfahren der fürsorgerischen Freiheitsentziehung mit Ausnahme der in den Ziffern 1-5 genannten, hier nicht relevanten Regeln vom kantonalen Recht beherrscht. Soweit das einschlägige kantonale Recht (§ 176 und § 184 GOG/ZH) die Verfahrensbestimmungen der ZPO für anwendbar erklärt, stellen diese kantonales Recht dar (Urteil 4A_375/2008 vom 18. November 2008 E. 2, in: SJ 2009 I p. 241), dessen Anwendung das Bundesgericht nur auf Willkür hin prüfen kann. Mit Bezug auf Art. 29 Abs. 3 BV prüft das Bundesgericht dagegen frei, ob die Kriterien zur Bestimmung der Bedürftigkeit zutreffend gewählt worden sind (BGE 120 Ia 179 E. 3a S. 181); lediglich in tatsächlicher Hinsicht ist seine Kognition beschränkt, indem es seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde legt, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dagegen kann der Beschwerdeführer nur einwenden, die Feststellung des Sachverhalts sei offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG und die Behebung des Mangels sei für den Ausgang des Verfahrens entscheidend (Art. 97 Abs. 1 BGG; vgl. zum Ganzen und zum Begriff der Willkür in der Beweiswürdigung: BGE 134 V 53 E. 4.3 S. 62). Unter den gegebenen Voraussetzungen ist die Beschwerde unter dem Aspekt von Art. 29 Abs. 3 BV zu prüfen (vgl. Urteil 5A_193/2008 vom 13. Mai 2008 E. 3.1 eine vorsorgliche Massnahme betreffend, wo die Verletzung von Art. 8 ZGB nur unter dem Gesichtspunkt der Willkür überprüft wird, während die Rüge der Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV der freien Prüfung durch das Bundesgericht unterliegt).
2.2 Danach hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, um die Kosten eines Prozesses aufzubringen, ohne die Mittel anzugreifen, deren sie zur Deckung des notwendigen Lebensunterhalts für sich und ihre Familie bedarf, und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege.
2.3 Gegen einen erstinstanzlichen, die unentgeltliche Rechtspflege ganz oder teilweise verweigernden Entscheid steht im vorliegenden Fall (s. E. 2.1) auf kantonaler Ebene aufgrund des kantonalen Rechts (§ 176 und § 184 GOG/ZH) die Beschwerde nach Art. 319 ff. ZPO zur Verfügung (Art. 121 ZPO). Darin können einerseits die unrichtige Rechtsanwendung (hier: Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV) und andererseits die offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung geltend gemacht werden (Art. 320 ZPO); offensichtlich unrichtig heisst willkürlich (Art. 9 BV). Ausserdem sind neue Tatsachen und Beweismittel unzulässig (Art. 326 ZPO). In erster Linie prüft die obere kantonale Instanz die erstinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen auf Willkür hin. Eigene Feststellungen trifft sie nur dann, wenn die erstinstanzlichen offensichtlich unrichtig waren. Verneint die Rechtsmittelinstanz Willkür in der Sachverhaltsfeststellung, bilden daher im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht nicht die oberinstanzlichen, sondern die erstinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen Anfechtungsobjekt, was in der Beschwerdebegründung zu berücksichtigen ist. Das Bundesgericht seinerseits beurteilt praxisgemäss frei, ob Willkür zu Recht bejaht oder verneint worden ist (BGE 116 III 70 E. b S. 71/72 mit Hinweisen). Dies setzt allerdings voraus, dass der Beschwerdeführer dem oberen kantonalen Gericht diesbezügliche Rügen vorgetragen hat, ansonsten das Bundesgericht auf seine Beschwerde mangels Erschöpfung des kantonalen Instanzenzugs nicht eintritt (vgl. Art. 75 Abs. 1 BGG; BGE 134 III 524 E. 1.3 S. 527; 135 III 1 E. 1.2 S. 3; s. auch Urteil 5A_316/2009 E. 2).
3. Wie bereits vor Obergericht bestreitet der Beschwerdeführer die Richtigkeit seiner vor der ersten Instanz gemachten Aussagen bezüglich seines Einkommens und der Fr. 15'000.--, die nicht ihm gehören sollen, und legt seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse anders dar. Zudem macht er - jedenfalls sinngemäss - geltend, im Zustand der Urteilsunfähigkeit über seine finanziellen Verhältnisse ausgesagt zu haben. Letzteres trägt der Beschwerdeführer erstmals vor Bundesgericht vor; dieses Tatsachenvorbringen ist neu und daher unzulässig, zumal in keiner Weise erklärt wird bzw. ersichtlich ist, inwiefern erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gegeben hat (Art. 99 Abs. 1 BGG) bzw. weshalb er nicht in der Lage gewesen sein soll, diesen Einwand bereits vor Obergericht anzubringen; jedenfalls behauptet der Beschwerdeführer nicht, dass er auch im vorinstanzlichen Verfahren urteilsunfähig gewesen wäre.
Seine übrigen Ausführungen beschränken sich im wesentlichen darauf, das Gegenteil dessen zu behaupten, wovon die erste Instanz ausgegangen ist. Damit vermag er keine Willkür in den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz darzutun.
Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die erstinstanzliche Richterin damit von einem vorhandenen Barvermögen von nicht weniger als Fr. 19'000.-- (Fr. 15'000.-- der Ehefrau übergeben und Fr. 4'000.-- während des Klinikaufenthaltes von der Bank abgehoben) ausgehen konnte, durfte das Obergericht in Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers verneinen und die Beschwerde gegen die erstinstanzliche Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege abweisen, ohne die Verfassung zu verletzen.
4. Wegen mangelnder Bedürftigkeit hat das Obergericht sodann das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren abgewiesen.
Die Beschwerdeschrift enthält keine eigenständige Begründung, weshalb das Obergericht mit dieser Schlussfolgerung den verfassungsmässigen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege verletzt haben soll. Immerhin wird darin auf die bereits im oberinstanzlichen Verfahren behaupteten und belegten Einkommens- und Vermögensverhältnisse des Beschwerdeführers verwiesen, nämlich monatliche Einnahmen von Fr. 3'248.-- (AHV-Rente Fr. 2'320.--, Hilflosenentschädigung Fr. 928.--) und ein Vermögen von wenigen Hundert Franken. Schliesslich steht geschrieben: "Mehr brauche ich dazu nicht zu sagen." Der Beschwerdeführer irrt. Namentlich bleibt er auch vor Bundesgericht eine den strengen Begründungsanforderungen genügende Rüge schuldig, um darzutun, dass die Feststellung, wonach er über die Beträge von Fr. 15'000.-- bzw. die während des Klinikaufenthalts abgehobenen Fr. 4'000.-- verfüge, willkürlich ist. Beide Beträge stellen Vermögen dar und sind je einzeln hoch genug, um die ihm auferlegte zweitinstanzliche Entscheidgebühr von Fr. 350.-- zu bezahlen, und zwar selbst dann, wenn er einen Teil davon seinem ehemaligen Anwalt als Vorschuss übergeben hat. Nach dem Gesagten hält der Entscheid des Obergerichts, mit welchem dieses die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers und den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren verneint hat, vor der Verfassung stand.
5. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
6. Nach dem Gesagten hat sich die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gerontopsychiatrischen Zentrum Y._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammerschriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Februar 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden