Faits:
A. S._, né en 1932, est au bénéfice d'une rente de vieillesse depuis décembre 1997. Par décision du 3 août 2004, la Caisse cantonale genevoise de compensation lui a alloué une rente de vieillesse de 836 fr. par mois avec effet au 1er septembre 2004. Elle l'informait que si sa situation matérielle ne couvrait pas ses besoins vitaux, il pouvait déposer une demande de prestations complémentaires auprès de l'Office cantonal des personnes âgées (OCPA) de Genève.
Le 7 septembre 2004, S._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Il avisait l'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève qu'il effectuait cette démarche à l'instigation de l'OCPA et que son incapacité de travail avait été entière d'août 1996 à août 1997 et de 50 % de septembre 1997 jusqu'à sa retraite. Il indiquait que le montant des prestations complémentaires augmentait s'il était au bénéfice de prestations de l'assurance-invalidité au moment de l'âge de la retraite et du début du droit à une rente de l'assurance-vieillesse et survivants.
L'office AI s'est renseigné auprès de l'OCPA à propos du droit à des prestations complémentaires. Dans une note du 27 septembre 2004, il a retenu qu'en ce qui concerne le droit à des prestations complémentaires fédérales, les conditions étaient identiques pour l'assuré, qu'il soit à l'assurance-invalidité ou non au moment où il percevait des prestations AVS. Il en allait autrement en ce qui concerne le droit à des prestations complémentaires cantonales, qui étaient plus élevées pour un invalide dont le droit était acquis lors du passage à l'AVS.
Le 14 décembre 2004, l'office AI a rendu une décision de constatation, dans laquelle il a admis une incapacité de travail de 100 % dès le mois d'août 1996 et de 50 % du mois d'août 1997 à fin novembre 1997 et nié pour cause de péremption tout droit de S._ à des prestations de l'assurance-invalidité.
Le 26 janvier 2005, S._ a formé opposition contre cette décision, en faisant valoir que son incapacité de travail était également de 100 % d'août à décembre 1997, les certificats médicaux attestant une incapacité de travail de 50 % pendant cette période ne reflétant pas vraiment la réalité.
Par décision datée du 10 janvier 1997 (recte: 2006), l'office AI a rejeté l'opposition.
B. S._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en déclarant qu'il n'avait plus pu travailler depuis 1996 en raison de son état de santé. Le motif invoqué était que l'OCPA lui reconnaisse un degré d'invalidité de 70 % lors de son entrée en 1997.
Interpellé par la juridiction cantonale, le docteur O._, spécialiste FMH en cardiologie et en médecine interne à Genève et médecin traitant de S._, a estimé à 100 % l'incapacité de travail pour la période d'août à décembre 1997 (réponse du 21 septembre 2006).
Dans un avis médical du 24 octobre 2006, le docteur L._, médecin de l'office AI, a conclu qu'une activité de type sédentaire (bureau par exemple) pouvait être encore compatible à mi-temps en 1997.
Par jugement du 13 décembre 2006, le Tribunal cantonal des assurances sociales a rejeté le recours.
C. Le 30 janvier 2007, S._ a interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celui-ci. Il invitait le Tribunal fédéral à dire et constater qu'il présentait une incapacité de travail et de gain de 100 % entre août et décembre 1997. A titre subsidiaire, il demandait que la cause soit renvoyée à l'instance cantonale afin qu'elle procède à l'audition du docteur O._. Par lettre du 16 février 2007, il a produit un document du docteur O._ du 29 janvier 2007.
Le 7 mars 2007, le juge cantonal suppléant s'est déterminé sur le recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 La loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
1.2 Selon la jurisprudence (ATF 127 V 353), on ne peut produire de pièces nouvelles après l'échéance du délai de recours, sauf dans le cadre d'un deuxième échange d'écritures. Il convient toutefois de réserver le cas où de telles pièces constituent des faits nouveaux importants ou des preuves concluantes au sens de l'art. 137 let. b OJ et pourraient dès lors justifier la révision de l'arrêt du tribunal.
L'écriture du recourant du 16 février 2007 a été produite après l'échéance du délai de recours et ne répond pas aux conditions prévues par la jurisprudence pour être cependant retenue.
2. Le Tribunal fédéral examine d'office les conditions dont dépend la qualité pour recourir et les conditions formelles de validité et de régularité de la procédure précédente, soit en particulier le point de savoir si c'est à juste titre que la juridiction cantonale est entrée en matière sur le recours. Aussi, lorsque l'autorité de première instance a ignoré qu'une condition mise à l'examen du fond du litige par le juge faisait défaut et a statué sur le fond, c'est un motif pour le tribunal, saisi de l'affaire, d'annuler d'office le jugement en question (ATF 132 V 93 consid. 1.2 p. 95, 128 V 89 consid. 2a, 125 V 345 consid. 1a p. 347, 122 V 320 consid. 1 p. 322).
2.1 A qualité pour recourir quiconque est touché par la décision ou la décision sur opposition et a un intérêt digne d'être protégé à ce qu'elle soit annulée ou modifiée (art. 59 LPGA). L'intérêt digne de protection déterminant la qualité pour recourir devant la juridiction cantonale doit être examiné selon les principes découlant de l'art. 103 let. a OJ (ATF 130 V 388 consid. 2.2 p. 390 s. et les références de jurisprudence et de doctrine).
Selon la jurisprudence, une autorité ne peut rendre une décision de constatation (art. 49 al. 2 LPGA; cf. aussi l'art. 25 al. 2 en liaison avec l'art. 5 al. 1 let. b PA) que lorsque la constatation immédiate de l'existence ou de l'inexistence d'un rapport de droit est commandée par un intérêt digne de protection, à savoir un intérêt actuel de droit ou de fait, auquel ne s'opposent pas de notables intérêts publics ou privés, et à condition que cet intérêt digne de protection ne puisse pas être préservé au moyen d'une décision formatrice, c'est-à-dire constitutive de droits ou d'obligations (ATF 129 V 289 consid. 2.1 p. 290, 126 II 300 consid. 2c p. 303 et les références). L'exigence d'un intérêt digne de protection vaut également lorsque l'autorité rend une décision de constatation non pas sur requête d'un administré mais d'office (art. 25 al. 1 PA; ATF 130 V 388 consid. 2.4 p. 391 s.).
2.2 Les premiers juges ont admis que le recourant avait un intérêt digne de protection à faire constater par la juridiction cantonale que le degré de son invalidité, au moment d'atteindre l'âge de sa retraite (novembre 1997), était supérieur au taux de 50 % retenu par l'office AI dans la décision sur opposition du 10 janvier 2006, plus particulièrement qu'il était de 70 % au moins. En effet, en matière de prestations cantonales complémentaires, auxquelles ont droit notamment les personnes qui sont au bénéfice d'une rente de l'assurance-invalidité (art. 2 al. 1 let. b LPCC) ou qui ont droit à des prestations complémentaires fédérales sans être au bénéfice d'une rente de l'assurance-invalidité (art. 2 al. 1 let. c LPCC), le degré de l'incapacité de gain fixé par l'assurance-invalidité lie l'OCPA (art. 32 LPCC). Selon les premiers juges, c'est à juste titre que l'intimé est entré en matière sur la demande de prestations du recourant tendant à faire constater le degré d'une invalidité éventuelle.
2.3 La compétence d'une autorité administrative ou d'un tribunal de se prononcer à titre préliminaire sur une question qui sort de son domaine, tant que l'autorité compétente à titre principal n'a pas rendu de décision à ce sujet, est généralement admise. Aussi longtemps que la compétence existe pour un examen et une décision en ce qui concerne la question préliminaire, il n'y a pas de place pour une décision de constatation sur la question préliminaire (Ulrich Meyer, Über die Zulässigkeit von Feststellungsverfügungen in der Sozialversicherungspraxis, in: Sozialversicherungsrechtstagung 2007, Universität St. Gallen, p. 49 ch. 4a et les références).
2.4 En l'espèce, la question préliminaire du degré d'invalidité peut être tranchée par l'OCPA dans une décision relative au droit du recourant à des prestations complémentaires. En effet, celui-ci est au bénéfice d'une rente de vieillesse depuis décembre 1997. Lorsqu'il a atteint l'âge lui permettant d'obtenir une prestation de personne âgée, il n'existait aucune décision de l'office AI sur son droit éventuel à une rente d'invalidité. Dès lors, il n'y a pas de place pour une décision de constatation portant sur le taux d'invalidité, attendu que la question du degré de l'incapacité de gain peut être tranchée à titre préliminaire par l'OCPA dans une décision relative au droit à des prestations complémentaires. Il n'y a donc aucun intérêt actuel à la constatation immédiate du taux d'invalidité du recourant.
Il s'ensuit que la décision sur opposition du 10 janvier 2006 ne satisfaisait pas à l'exigence de l'intérêt digne de protection et que l'autorité judiciaire de première instance ne devait pas entrer en matière sur le recours.
3. La procédure est onéreuse (art. 134 OJ dans sa teneur en vigueur dès le 1er juillet 2006). Le recourant, dont les conclusions portent sur le fond de la contestation, n'obtient pas gain de cause et supportera ainsi les frais judiciaires (art. 156 al. 1 en corrélation avec l'art. 135 OJ). Représenté par un avocat, il ne saurait non plus prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 159 al. 1 en liaison avec l'art. 135 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Dans la mesure où il est recevable, le recours de droit administratif est rejeté.
2. Le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, du 13 décembre 2006, et la décision sur opposition de l'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève du 10 janvier 2006 sont annulés.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., seront supportés par le recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et Canton de Genève, à la Caisse cantonale genevoise de compensation et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 février 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner