Faits:
A. A._, né hors mariage en 2008, est le fils de Y._ et de X._. L'autorité parentale et la garde sont exercées par la mère.
B. Par décision du 15 avril 2009, l'Autorité tutélaire du district de Neuchâtel a institué une mesure de curatelle de surveillance du droit de visite en faveur de l'enfant et a désigné B._, assistante sociale, en qualité de curatrice.
Le 4 avril 2011, l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte des Montagnes et du Val-de-Ruz (ci-après: autorité intimée) a accepté le transfert du dossier de curatelle en raison du changement de domicile de la mère et de l'enfant et a confirmé le mandat de la curatrice.
Le père a recouru contre cette décision, concluant au remplacement de la curatrice désignée, qu'il juge inexpérimentée et partiale.
Statuant le 10 avril 2012 - après avoir entendu le père et la curatrice en audience, puis pris connaissance du rapport de l'autorité intimée confirmant sa décision et du fait que le père persistait dans sa conclusion -, la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: Cour des mesures de protection) a rejeté le recours du père.
C. Par acte du 10 mai 2012, le père interjette un recours au Tribunal fédéral. Le recourant se plaint, en substance, des difficultés rencontrées avec la curatrice, lesquelles ont été constatées de manière manifestement inexacte et dénonce l'inexpérience, de celle-ci en sorte qu'il qualifie une bonne collaboration ultérieure avec la curatrice comme "insoutenable" et "inconciliable avec les règles des droits humains et de l'équité de traitements".
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Considérant en droit:
1. 1.1 Le présent recours est dirigé contre un arrêt confirmant la curatrice dans ses fonctions, à savoir une décision finale (art. 90 LTF) prise en application de normes de droit public dans une matière connexe au droit civil (art. 72 al. 2 let. b ch. 7 LTF) et rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Le recours est en outre interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et ayant un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'arrêt entrepris; le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions précitées.
1.2 L'art. 99 al. 2 LTF déclare irrecevable toute conclusion nouvelle, c'est-à-dire toute conclusion qui n'aurait pas été soumise à l'autorité précédente et qui tend, par conséquent, à élargir l'objet du litige. Il est ainsi exclu de demander davantage ou autre chose que ce qui figure dans les dernières conclusions prises devant l'autorité précédente. Il n'est donc pas possible d'augmenter les conclusions, de les modifier ou d'en ajouter de nouvelles (arrêt 9C_172/2011 du 22 août 2011 consid. 2.1 et les références).
En l'espèce, il ressort du recours que le père, sans prendre de conclusions formelles, demande "le changement de curatrice", l'octroi de la "garde alternée" et "à titre de dédommagement, que les nuitées de son fils chez lui, soient rétablies au plus vite, hebdomadairement et sans conditions". La décision attaquée statue cependant uniquement sur le renouvellement du mandat de surveillance du droit de visite confié à la curatrice de l'enfant, conformément à la conclusion prise en appel par le père, tendant à ce que "la curatelle soit prise en charge par une personne de la Chaux-de-Fonds, de sexe masculin". En tant que le recourant requiert pour la première fois devant la Cour de céans une modification des modalités du droit de garde et de l'étendue du droit de visite, ses deux conclusions sont nouvelles, partant irrecevables. En revanche, sa conclusion réduite, visant à ce que le mandat de curatelle de surveillance soit confié à une autre personne, sans précision quant aux qualités de cette personne comme requis en instance cantonale, est recevable.
2. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF; ATF 133 III 545 consid. 2.2. p. 550). Compte tenu de l'exigence de motivation posée, sous peine d'irrecevabilité, à l'art. 42 al. 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui peuvent se poser, lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été dûment invoqué et motivé par le recourant conformément au principe d'allégation ("Rügeprinzip", art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (ATF 134 II 349 consid. 3 p. 352 et les arrêts cités).
3. Le recours a pour objet l'opposition à la confirmation de la désignation de la curatrice, dans le cadre du transfert du dossier de curatelle à l'autorité nouvellement compétente à raison du lieu, à la suite du changement de domicile de la mère et de l'enfant.
La Cour des mesures de protection a d'abord rappelé que, selon l'art. 388 al. 2 CC auquel renvoie l'art. 397 al. 1 CC, tout intéressé, dont le père de l'enfant, peut former opposition contre une nomination illégale. La cour cantonale a ensuite tenu compte du rapport de l'autorité intimée, duquel il ressort que les décisions prises par la curatrice dans le cadre de son mandat étaient liées au comportement du père face aux conditions posées à l'exercice de son droit de visite. Les juges cantonaux ont également retenu, sur la base du rapport de l'autorité intimée, que le père semblait oublier la gravité de ses agissements et perdait de vue le besoin de sécurité de l'enfant, rendant nécessaires des restrictions apportées au droit de visite. La Cour des mesures de protection a donc constaté que les décisions prises par la curatrice de restreindre le droit de visite étaient justifiées par l'attitude du père qui ne respectait pas les consignes et horaires fixés dans le cadre du point-rencontre. A titre exemplatif, elle a rappelé que le père n'avait pas remis l'enfant à la mère au terme d'un droit de visite le 19 décembre 2010 et l'avait gardé cinq jours supplémentaires, ce qui lui avait valu une condamnation pour enlèvement de mineur par ordonnance pénale. La Cour des mesures de protection a également relevé que la curatrice avait pris conseil auprès de son supérieur hiérarchique, vu la difficulté du mandat. Enfin, elle a constaté que la curatrice actuelle veille et agit conformément aux intérêts de l'enfant, précisant que toute autre personne rencontrerait rapidement les mêmes difficultés que celle-ci. En définitive, elle a jugé qu'aucun motif ne justifiait le changement requis et ainsi rejeté le recours.
4. Le recourant expose que la Cour des mesures de protection "ne tient pas compte de tous les paramètres" et critique les "constatations apportées [qui] sont donc manifestement inexactes". Il soutient que les motifs invoqués pour lui retirer les nuitées étaient des prétextes et expose qu'il a été contraint de ramener son fils au point-rencontre avec une heure de retard en mars 2010, afin de provoquer une décision sur la question des nuitées. Il explique aussi que les suspensions d'heures imposées par la curatrice en juillet 2009 n'étaient pas justifiées, ayant le "droit" de se rendre chez la mère de l'enfant afin de vérifier la santé de son fils, à la suite de l'annulation du droit de visite en raison de la maladie de celui-ci. Le recourant considère donc que le caractère exagérément drastique des mesures prises par la curatrice à l'encontre du père, pour des "broutilles", n'ont pas été prises en compte.
4.1 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte - à savoir arbitraire selon l'art. 9 Cst. (ATF 135 II 145 consid. 8.1 p. 153; 135 III 127 consid. 1.5 p. 129 s., 397 consid. 1.5 p. 401; 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), à savoir arbitraire (art. 9 Cst.; ATF 134 IV 36 consid. 1.4.1 p. 39; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252), doit exposer de façon circonstanciée en quoi les exceptions prévues par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi on ne saurait tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui figure dans la décision attaquée (principe d'allégation, cf. supra consid. 2, art. 106 al. 2 LTF; ATF 133 III 462 consid. 2.4 p. 466-467, 589 consid. 2 p. 591-592). Les faits et moyens de preuve nouveaux sont prohibés, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatations de fait et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux autorités cantonales (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40; 104 Ia 381 consid. 9 p. 399 et les arrêts cités). Il n'intervient que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou s'il a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
4.2 Le recourant, qui reproche aux juges précédents la non-prise en considération de certains événements et justifie ses agissements, se se réfère à plusieurs épisodes problématiques de l'exercice du droit de visite qui ne figurent pas dans l'arrêt attaqué et qu'il ne tente pas de démontrer. Or, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente, les faits nouveaux sont prohibés (art. 99 al. 1 LTF; cf. supra consid. 4.1) et l'examen de la cour de céans se fonde sur les faits constatés par l'autorité cantonale (art. 105 al. 1 LTF; cf. supra consid. 4.1). Pour le surplus, le recourant se limite à substituer sa propre version des faits à celle retenue par les juges cantonaux. Il en est ainsi lorsqu'il affirme que son non-respect des consignes et horaires du droit de visite constituent des "broutilles" qui ne devaient pas être sanctionnées, alors qu'il ressort de l'arrêt entrepris que le recourant oublie la gravité de ses agissements au regard du besoin de sécurité de l'enfant et a été condamné pénalement en septembre 2011 pour enlèvement de mineur, après avoir refusé de ramener son fils pendant cinq jours au terme du droit de visite. Il s'ensuit que, insuffisamment motivé au regard du principe d'allégation (art. 42 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2) et se fondant sur des faits nouveaux prohibés au sens de l'art. 99 al. 1 LTF, le grief d'établissement inexact et de constatation erronée des faits est irrecevable.
5. Autant que l'on comprenne son mémoire, le recourant fait également grief à la Cour des mesures de protection d'avoir violé le droit fédéral en matière de nomination du curateur, transgression qui confinerait à l'arbitraire. Il soutient que la curatrice n'a pas agi dans l'intérêt supérieur de l'enfant en prenant des mesures exagérées à l'encontre du père. Le recourant expose qu'une autre personne ayant davantage d'expérience "ne serait pas rentrée dans le jeu calomnieux" de la mère de l'enfant et "n'aurait pas pris parti". Il estime en définitive qu'il n'existe plus de lien de confiance avec la curatrice et qu'une "bonne collaboration ultérieure" avec celle-ci est difficile, voire insoutenable.
5.1 L'art. 397 al. 1 CC, qui traite de la nomination du curateur, renvoie aux art. 379 ss CC relatifs à la procédure de désignation d'un tuteur (ATF 89 I 1 p. 5; DESCHENAUX/STEINAUER, Personnes physiques et tutelle, 4ème éd., 2001, n° 1132, p.423).
L'art. 379 al. 1 CC exige que la personne désignée en qualité de tuteur soit une personne physique majeure et apte à remplir ces fonctions. La seconde condition s'apprécie au regard du critère du bien du pupille (DESCHENAUX/STEINAUER, op. cit., n° 918 p. 357; SCHNYDER/MURER, Berner Kommentar, n° 31 ad art. 379 CC). L'aptitude à remplir ces fonctions doit être examinée dans chaque cas d'après la mission que se voit confier le tuteur/curateur (DESCHENEAUX/STEINAUER, op. cit., n° 926, p. 359; HÄFELI, Basler Kommentar, ZGB I, 4ème éd., 2010, n° 15 ad art. 379 CC; DISCHLER, Die Wahl des geeigneten Vormunds, 1984, n° 104 p. 45 s.). Celui qui s'oppose à la nomination d'un tuteur/curateur peut se prévaloir de l'inaptitude relative de la personne désignée au sens de l'art. 379 al. 1 CC, en particulier lorsque l'assistance personnelle du pupille requiert des qualifications particulières de la part de la personne désignée pour exercer ces fonctions, ou lorsque les relations personnelles entre la personne désignée et le pupille se révèlent difficiles ou que le tuteur/curateur n'a plus l'indépendance nécessaire pour exercer le mandat qui lui a été confié (HÄFELI, op. cit., n° 15 ss ad art. 379 CC; DISCHLER, op. cit., n° 258 ss p. 100 s.). Par ailleurs, il ressort de l'art. 384 CC que les personnes qui sont elles-mêmes sous tutelle (ch. 1), celles qui sont privées de leurs droits civiques ou qui se sont déshonorées par leur inconduite (ch. 2), celles qui ont de sérieux conflits d'intérêts avec l'incapable ou qui vivent en état d'inimitié personnelle avec lui (ch. 3), ainsi que les membres des autorités tutélaires, s'il existe d'autres personnes capables de remplir la fonction de tuteur (ch. 4), ne peuvent pas être désignées en qualité de tuteur/curateur; il s'agit de causes d'inaptitude absolue.
5.2 En l'occurrence, les reproches soulevés par le recourant à l'égard de la curatrice ne réalisent manifestement aucune des causes de dispense prévues par la loi, autrement dit des causes d'inaptitude absolue.
S'agissant de l'aptitude relative de la personne désignée à remplir le mandat de surveillance du droit de visite qui lui a été confié au sens de l'art. 379 al. 1 CC, il apparaît que, de par sa profession d'assistante sociale, la curatrice est habituellement confrontée à des situations familiales tendues et dispose du temps nécessaire à l'exécution de son mandat dans le cadre de son emploi. Le maintien de la désignation de la curatrice procure en outre à l'enfant une certaine stabilité favorable à son bien-être durant une période de changements (changement domicile, changements réguliers des modalités du droit de visite en raison du comportement du père). Quant aux qualifications particulières requises dans cette situation et à l'indépendance de la personne désignée, la cour cantonale a considéré que toute autre personne à la place de la curatrice rencontrerait rapidement les mêmes difficultés que celle-ci, laquelle a au demeurant pris conseil auprès de son supérieur hiérarchique. Il ressort ainsi des faits que la curatrice requiert l'aide de personnes plus expérimentées qu'elle lorsque cela s'avère nécessaire à la bonne exécution de son mandat. Quoi qu'il en soit, le recourant se limite à remettre en cause les décisions de la curatrice et à demander la nomination d'une autre personne, sans discuter les constatations de l'autorité précédente, ni démontrer que les restrictions apportées à son droit aux relations personnelles seraient contraires au bien de l'enfant et prises sans motifs pertinents, faute de qualification et d'indépendance nécessaires à l'exécution de ce mandat, à savoir constitutives d'une inaptitude relative de la personne désignée à exercer les fonctions de curatrice.
Les allégations du recourant, qui ne reposent sur aucun élément de preuve tendant à établir l'inaptitude relative ou absolue de la curatrice, ne permettent donc pas de considérer que les juges cantonaux auraient violé le droit fédéral en matière de désignation d'un tuteur/curateur, ni a fortiori de taxer d'arbitraire le raisonnement de l'autorité précédente. Les intérêts de l'enfant ne sont pas mis en péril par le maintien de la désignation de la curatrice désignée, laquelle dispose des qualifications et de la disponibilité nécessaire à la bonne exécution du mandat de surveillance du droit aux relations personnelles. Le grief, autant qu'il est recevable (art. 42 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2), est ainsi mal fondé.
6. Le recourant évoque finalement l'"équité de traitement", en se référant à l'ensemble de son recours.
L'inégalité de traitement (art. 8 al. 1 Cst.) apparaît comme une forme particulière d'arbitraire, consistant à traiter de manière inégale ce qui devrait l'être de manière semblable ou inversement (ATF 137 I 167 consid. 3.5 p. 175; 129 I 346 consid. 6 p. 357). Tel que ce grief est formulé, sans être clairement exposé ni étayé, l'on ne comprend pas - même en rapprochant ce grief de l'ensemble de l'écriture du recourant - en quoi l'autorité précédente aurait violé l'égalité de traitement. Quoi qu'il en soit, sa critique, qui n'est pas développée et tient en une ligne, n'est pas conforme à l'exigence de motivation ancrée à l'art. 106 al. 2 LTF pour les griefs se rapportant à des droits fondamentaux (cf. supra consid. 2). Cette critique est donc d'emblée irrecevable.
7. Vu ce qui précède, le recours est mal fondé et doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). L'autorité intimée, qui n'a d'ailleurs pas été invitée à déposer des observations, n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 2 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'Autorité de protection de l'enfant et de l'adulte des Montagnes et du Val-de-Ruz et à la Cour des mesures de protection de l'enfant et de l'adulte Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 23 juillet 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Carlin