Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Die Beschwerde richtet sich dagegen, dass der Beschwerdeführer auf den 11. Februar 2008 zum Vollzug zweier Freiheitsstrafen von 45 Tagen bzw. 16 Monaten Gefängnis aufgefordert und im angefochtenen Entscheid ein dagegen gerichteter Rekurs abgewiesen wurden. Der Beschwerdeführer wiederholt indessen vor Bundesgericht nur, was er schon vor der Vorinstanz vorbrachte. Diese stellt dazu in massgebender Weise fest, dass auf die geschäftliche Situation des Beschwerdeführers bereits bisher in grosszügiger Weise Rücksicht genommen worden sei, womit ihm - der zudem seit bald drei Jahren vom bevorstehenden Vollzug der Freiheitsstrafe gewusst habe - mehr als genug Zeit verblieben sei, um sich auf den Strafvollzug vorzubereiten und die nötigen Vorkehrungen zu treffen. Ein weiterer Aufschub des bereits mehrmals aufgeschobenen Termins könne nicht in Frage kommen (angefochtener Entscheid S. 2 E. 2.2). Mit diesen Überlegungen der Vorinstanz befasst sich der Beschwerdeführer nicht. Die Beschwerde genügt folglich den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG nicht. Darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn