Sachverhalt:
A. Die 1965 geborene J._ leidet an chronischen Kopfschmerzen, an einem chronischen zerviko- und lumbospondylogenen Syndrom sowie an einer Anpassungsstörung mit depressiver Reaktion (Gutachten der Zentrum X._ AG vom 14. November 2007 sowie der Klinik T._ [psychiatrisches Konsilium] vom 17. März 2008). Mit Verfügung vom 24. September 2009 stellte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen einen nicht rentenbegründenden Invaliditätsgrad von 16 Prozent fest.
B. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies die hiergegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 5. Dezember 2011).
C. J._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids, eine halbe Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt mit Bezug auf die Frage der Arbeitsfähigkeit offensichtlich unrichtig, unvollständig sowie unter Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 61 lit. c ATSG) festgestellt.
2.1 Zuhanden der Krankentaggeldversicherung ging das Begutachtungsinstitut X._ AG gestützt auf eine rheumatologische Untersuchung, eine Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit (EFL) und eine psychiatrische Beurteilung zunächst davon aus, die Beschwerdeführerin sei aus psychiatrischen Gründen zu 50 Prozent arbeitsfähig (ganztägige Arbeit bei einer Leistungsminderung von 50 Prozent). Die psychiatrische Einschätzung floss über eine Konsensbesprechung vom 25. September 2007 in die gutachtlichen Schlussfolgerungen ein. Die schriftliche psychiatrische Teilexpertise, auf welche im Hauptgutachten vom 14. November 2007 vorab Bezug genommen worden war, folgte am 17. März 2008. Darin wird eine somatoforme Schmerzstörung als eher unwahrscheinlich angesehen, weil die Schmerzen nicht, wie in ICD-10 Ziff. F45.4 gefordert, dauernd im Fokus der Aufmerksamkeit der Explorandin ständen. "Am ehesten" sei von einer Schmerzverarbeitungsstörung und -ausweitung (mit längerer depressiver Reaktion) auszugehen. Es sollte der Versicherten "gelingen, konzentriert, ordentlich und ausdauernd, mit zufriedenstellendem Tempo und Mass ausreichend genau zu arbeiten"; lediglich die affektive Belastbarkeit und Motivation wirkten leicht beeinträchtigt. Aus psychiatrischer Sicht bestehe daher in allen (den körperlichen Beeinträchtigungen angepassten) Tätigkeiten eine Arbeitsunfähigkeit von höchstens 20 Prozent.
Mit Schreiben vom 14. April 2008 teilten die Gutachter der X._ AG der Auftraggeberin ihre definitive Einschätzung mit. Für eine angepasste Tätigkeit "gemäss Beschreibung in der Evaluation der arbeitsbezogenen Leistungsfähigkeit (= bis knapp mittelschwer, wechselpositioniert, nicht hoch repetitiv und keine Zwangshaltungen mit dem Nacken)" bestehe aus rein rheumatologischer Sicht keine Einschränkung. Aus psychiatrischer Sicht sei die Arbeitsfähigkeit aufgrund einer Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion (ICD-10: F43.21) um 20 Prozent eingeschränkt. Eine solchermassen angepasste Tätigkeit sei "theoretisch ganztags mit zusätzlicher Leistungsminderung von 20 % zumutbar".
Mit Schreiben vom 14. April 2008 teilten die Gutachter der X._ AG der Auftraggeberin ihre definitive Einschätzung mit. Für eine angepasste Tätigkeit "gemäss Beschreibung in der Evaluation der arbeitsbezogenen Leistungsfähigkeit (= bis knapp mittelschwer, wechselpositioniert, nicht hoch repetitiv und keine Zwangshaltungen mit dem Nacken)" bestehe aus rein rheumatologischer Sicht keine Einschränkung. Aus psychiatrischer Sicht sei die Arbeitsfähigkeit aufgrund einer Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion (ICD-10: F43.21) um 20 Prozent eingeschränkt. Eine solchermassen angepasste Tätigkeit sei "theoretisch ganztags mit zusätzlicher Leistungsminderung von 20 % zumutbar".
2.2 2.2.1 Die Beschwerdeführerin macht zunächst geltend, die Vorinstanz habe erkannt, angesichts dieses Hergangs der Begutachtung könne nicht ohne Weiteres darauf abgestellt werden. Dennoch habe sie das Gutachten der X._ AG faktisch zur Grundlage ihres Entscheids gemacht, indem sie ausgeführt habe, im gesamten medizinischen Dossier fänden sich keine Hinweise für eine (weitergehende) psychische Störung. Diese Beweiswürdigung verletze den Untersuchungsgrundsatz: Werde mit Bezug auf die Arbeitsunfähigkeit in psychiatrischer Hinsicht nicht auf die Expertise der X._ AG abgestellt, so sei diesbezüglich keine hinreichende Abklärung gegeben.
2.2.2 Dieser Betrachtungsweise kann nicht gefolgt werden. Der Umstand, dass die Vorinstanz trotz ihres auf das Zustandekommen der Expertise zurückzuführenden Vorbehalts auf deren Ergebnisse abgestellt hat, ist nicht zu beanstanden. Die vom kantonalen Gericht festgestellte Einschränkung des Beweiswerts wäre nur bedeutsam geworden, wenn sich in den Akten Hinweise fänden, dass es sich anders als im Gutachten dargestellt verhalten könnte. Soweit dies nicht der Fall ist, kann der Mangel des Gutachtens als geheilt gelten, zumal das psychiatrische Konsilium vom 17. März 2008 die psychischen Verhältnisse umfassend darstellt und gut nachvollziehbare funktionelle Folgerungen enthält. Die weiteren medizinischen Stellungnahmen geben keine Anhaltspunkte für eine erhebliche psychische Störung. Der Umstand, dass die betreffenden Schriftstücke kurz ausgefallen sind (Schreiben der behandelnden Psychiaterin Dr. S._ vom 15. Juni 2009) oder fachfremd und bereits relativ älteren Datums sind (Bericht des Neurologen Dr. B._ vom 18. September 2007), schmälert daher nicht die Begründetheit der Schlussfolgerung, es bestehe keine schwerer wiegende psychische Problematik. Des Weiteren ist auch nicht ersichtlich, dass das nach dem Gutachten vom 14. November 2007 erstattete psychiatrische Konsilium vom 17. März 2008 in der Zwischenzeit sachfremd beeinflusst worden sein könnte. Vielmehr war der psychiatrische Aspekt im Zeitpunkt der Konsensbesprechung vom 25. September 2007 noch nicht abschliessend behandelt gewesen (vgl. Schreiben der X._ AG vom 14. April 2008).
Schliesslich ist die nirgends in Frage gestellte Diagnose der Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion (nebst einem sekundären schädlichen Gebrauch von opiathaltigen Schmerzmitteln) besser mit einer Einschränkung um 20 Prozent (so das Konsilium vom 17. März 2008) vereinbar als mit der - offenbar noch unbesehen der Gesamtakten erfolgten und somit vorläufigen - Einschätzung, die Leistungsfähigkeit der Beschwerdeführerin sei um die Hälfte reduziert (Gutachten vom 14. November 2007). Eine Anpassungsstörung wird diagnostiziert, sofern selbst die Diagnose einer leichten depressiven Episode nicht möglich ist (SVR 2008 IV Nr. 15 S. 43, I 514/06 E. 2.2.2.2 mit Hinweis). Auch der von der Beschwerdeführerin angerufene Bericht der Klinik für Neurologie im Spital Y._ vom 12. August 2009 ("depressive Verstimmung") deutet nicht auf einen schwerer wiegenden Befund hin. Die im Bericht des Allgemeinmediziners Dr. M._ vom 14. September 2009 erwähnte Arbeitsfähigkeit von 50 Prozent gibt letztlich nur eine im Arbeitsversuch tatsächlich erzielte Leistung wieder; indes berücksichtigt diese Einschätzung nicht die versicherungsmedizinisch wesentlichen Aspekte der Zuordnung zum versicherten Gesundheitsschaden (Art. 4 Abs. 1 IVG) sowie der Zumutbarkeit (BGE 132 V 393 S. 398).
2.3 Was die körperliche Beeinträchtigung angeht, so kann die Beschwerdeführerin aus der Feststellung im Gutachten vom 14. November 2007, die effektive Leistungsfähigkeit sei nicht abschliessend beurteilbar, nicht ableiten, der Sachverhalt sei ungenügend abgeklärt. Einmal geht aus der zitierten Stelle (Ziff. 3.2/3 S. 3) hervor, dass eine "teilweise Selbstlimitierung" der Beschwerdeführerin bei der EFL zu dieser Ungewissheit geführt hat. Ausschlaggebend ist, dass sämtliche ärztlichen Einschätzungen aus rheumatologischer oder neurologischer Sicht eine uneingeschränkte Leistung in angepassten Tätigkeiten ausweisen. Die Aussage im Austrittsbericht der Klinik V._ vom 20. April 2009, gemäss welcher nach einem stationären Aufenthalt (vom 4. bis 24. März 2009) eine Arbeitsfähigkeit von bloss 50 Prozent bestehe, ist im Zusammenhang mit der Festlegung der längerfristigen Arbeitsfähigkeit nicht einschlägig: Wie das kantonale Gericht treffend festgestellt hat, hatte dieses Attest seinem Zweck entsprechend nur die unmittelbare Folgezeit im Blick, während welcher die ambulante Rehabilitation fortzuführen war.
2.4 Schliesslich ist die Rüge der Beschwerdeführerin, die ihr überlassenen Akten seien unvollständig, weshalb ihr rechtliches Gehör verletzt sei, unbegründet. Der von der Verwaltung auf Seite 4 unten des (eingescannten) Gutachtens der X._ AG vom 14. November 2007 angebrachte Vermerk, in welchem von einem "Schreiben X._ vom 14.03.2008" die Rede ist, beruht offensichtlich auf einem Versehen in der Datumsnennung; tatsächlich kann sich der Hinweis nur auf das aktenkundige Schreiben der Gutachterstelle vom 14. April 2008 beziehen (vgl. oben E. 2.1).
2.5 Nach dem Gesagten ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz den Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin unvollständig oder offensichtlich unrichtig festgestellt oder die getroffenen Feststellungen nicht auf hinreichende Abklärungen abgestützt haben sollte (vgl. oben E. 1).
3. Mit Bezug auf die Invaliditätsbemessung erkannte das kantonale Gericht, für Validen- und Invalideneinkommen gelte der gleiche Ausgangswert, so dass der Invaliditätsgrad dem - allenfalls um einen Abzug vom Tabellenlohn korrigierten - Arbeitsunfähigkeitsgrad entspreche (vgl. Art. 16 ATSG). Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei beim Invalideneinkommen ein erheblicher Abzug vorzunehmen. Andere Parameter der Invaliditätsbemessung sind nicht strittig.
Die Vorinstanz hielt fest, es lägen keine besonderen Umstände vor, die einen nennenswerten Abzug vom Tabellenlohn rechtfertigten; ohnehin resultierte nur bei Anwendung des maximalen Abzugs von 25 Prozent ein rentenbegründender Invaliditätsgrad. Damit hat die Vorinstanz im Ergebnis kein Bundesrecht verletzt. Bei einer vollzeitlichen Tätigkeit mit eingeschränkter Leistungsfähigkeit (vgl. E. 2.1 in fine) verbietet es sich rechtsprechungsgemäss, einen darüber hinausgehenden Abzug zu berücksichtigen (zuletzt bestätigt in Ur- teil 8C_20/2012 vom 4. April 2012 E. 3.3).
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Juni 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub