Erwägungen:
1. X._ erhob am 2. Juni 2008 Abstimmungsbeschwerde betreffend die eidgenössische Volksabstimmung vom 1. Juni 2008 über die Volksinitiative vom 11. August 2004 "Volkssouveränität statt Behördenpropaganda". Der Regierungsrat des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 11. Juni 2008 auf die Beschwerde nicht ein. Er kam zusammenfassend zum Schluss, dass die Beschwerde verspätet sei, soweit mit ihr die Vorbereitung der Abstimmung bemängelt werde. Ausserdem würden Erläuterungen des Bundesrates nicht der Beschwerde unterliegen.
2. X._ führt mit Eingabe vom 24. Juni 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) gegen den Entscheid des Regierungsrats des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennt die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Die Beschwerdeführerin setzt sich mit der Begründung des Regierungsrats, die zum Nichteintreten auf die Abstimmungsbeschwerde führte, nicht rechtsgenüglich auseinander. Die Beschwerdeführerin bestreitet, verspätet Beschwerde erhoben zu haben und macht geltend, dass sie sich in dieser Sache "seit dem 8.4.08 bemühe". Sie vermag indessen nicht darzulegen, dass sie bereits vor dem 2. Juni 2008 eine Beschwerde bzw. eine beschwerdeähnliche Eingabe eingereicht hätte. Sie legt nicht dar, inwiefern der regierungsrätliche Nichteintretensentscheid Recht im obgenannten Sinne verletzten sollte. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG ist somit auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 86 Abs. 2 BPR in Verbindung mit Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 400.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Schweizerischen Bundeskanzlei und dem Regierungsrat des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli