Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wurde mit Urteil des Amtsgerichtspräsidenten von Solothurn-Lebern vom 30. November 2009 der mehrfachen Übertretung des Transportgesetzes für schuldig befunden. Von einer Bestrafung wurde Umgang genommen. Dem Beschwerdeführer wurden indessen die Verfahrenskosten von Fr. 380.-- auferlegt. Das Urteil wurde ihm am 19. März 2010 angezeigt. Nebst einem fristgerechten Kostenrekurs vom 22. März 2010 reichte der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 21. April 2010 eine weitere Eingabe ein, die von der Vorinstanz gemäss deren Schreiben vom 5. Mai 2010 als Kassationsbeschwerde entgegengenommen wurde. Auf diese Kassationsbeschwerde trat die Vorinstanz mit Beschluss vom 17. Mai 2010 nicht ein, weil das Rechtsmittel verspätet war. Die Kosten des Kassationsbeschwerdeverfahrens von Fr. 100.-- wurden dem Beschwerdeführer auferlegt. Dieser wendet sich mit Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss vom 17. Mai 2010 ans Bundesgericht.
Soweit sich der Beschwerdeführer mit der Kostenauflage des Amtsgerichtspräsidenten in Höhe von Fr. 380.-- befasst, ist darauf nicht einzutreten, weil das kantonale Rekursverfahren durch den angefochtenen Entscheid nicht abgeschlossen wurde und noch hängig ist.
Inwieweit die Vorinstanz bei der Erledigung des Kassationsbeschwerdeverfahrens und insbesondere bei der Auferlegung der Kosten von Fr. 100.-- gegen das schweizerische Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen haben könnte, ergibt sich aus der Beschwerde nicht. Der Hinweis auf "BV-Recht, Ordnung, Freiheit und Wohlergehen ... (Art. 2)" genügt zur Begründung einer Beschwerde in Strafsachen nicht. Dasselbe gilt für die Rüge, er habe die "Offerte" erhalten, eine Kassationsbeschwerde einzureichen. Es ist nicht einmal ersichtlich, von wem diese "Offerte" ausgegangen sein soll.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn