Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Zum Vollzug einer Verurteilung des Beschwerdeführers aus dem Jahre 2005 setzte das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich mit Verfügung vom 15. Januar 2009 den Strafantritt auf den 8. April 2009 fest. Dagegen erhob der Beschwerdeführer erfolglos Beschwerde bei der Justizdirektion bzw. beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Am 19. November 2009 lud das Amt für Justizvollzug ihn auf den 22. Februar 2010 in den Strafvollzug vor. Nachdem er in diesem Zusammenhang Beschwerde beim Bundesgericht erhoben hatte, verzichtete das Amt einstweilen auf die Vollstreckung der Vorladung. Mit Urteil vom 25. März 2010 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein (Verfahren 6B_110/2010).
Am 13. April 2010 setzte das Amt für Justizvollzug dem Beschwerdeführer eine Frist bis zum 23. April 2010, um die Strafe anzutreten. Am 19. April 2010 ersuchte er das Amt um Verschiebung des Strafantrittstermins um mindestens vier Wochen. Am 21. April 2010 bewilligte das Amt eine Verschiebung des Strafantrittstermins bis zum 19. Mai 2010. Am 23. April 2010 stellte es fest, dass sämtliche Einwände bereits rechtskräftig beurteilt worden seien, weshalb keine Veranlassung bestehe, eine neue Verfügung zu erlassen. Einen dagegen gerichteten Rekurs wies die Justizdirektion des Kantons Zürich am 7. Mai 2010 ab. Sie wies darauf hin, dass der Strafantrittstermin vom 19. Mai 2010 bestehen bleibe. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 17. Mai 2010 ab.
Der Beschwerdeführer wendet sich mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht.
2. Was der Beschwerdeführer vor Bundesgericht geltend macht, hat er bereits vor der Vorinstanz vorgebracht. Diese hat die Rügen behandelt (vgl. angefochtenen Entscheid S. 8).
Die Vorinstanz stellt fest, soweit der Beschwerdeführer ausführe, es sei eine Beschwerde am Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte hängig und es müsse ein Zweitgutachten über seine Hafterstehungsfähigkeit eingeholt werden, seien diese Gründe bereits im Verfahren VB.2009.00283 als unzureichend beurteilt worden. Der Beschwerdeführer bringe nichts vor, was heute eine andere Beurteilung erfordern würde (a.a.O.). Dass er vor der Vorinstanz im Gegensatz zu deren Darstellung etwas substanziell Neues vorgebracht hätte, behauptet der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht.
Die Vorinstanz stellt fest, soweit der Beschwerdeführer rüge, bei dem gegen ihn erlassenen Strafurteil handle es sich um ein Fehlurteil, sei dieses rechtskräftig, und eine Überprüfung des Urteils im vorliegenden Verfahren sei nicht statthaft (a.a.O.). Mit der Frage der Überprüfbarkeit des seinerzeitigen Strafurteils durch die Vorinstanz befasst sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht.
Die Vorinstanz stellt fest, die vom Beschwerdeführer ins Feld geführte Strafklage, die er bei der Bundesanwaltschaft eingereicht habe, bilde keinen Grund für eine erneute Verschiebung des Strafantritts (a.a.O.). Inwieweit sich aus der Strafklage eine Notwendigkeit für eine Verschiebung des Strafantritts ergeben könnte, wird in der Beschwerde vor Bundesgericht nicht dargelegt.
Gesamthaft gesehen ergibt sich aus der Beschwerde nicht, dass und inwieweit der angefochtene Entscheid gegen das schweizerische Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG nicht. Darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
3. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Die mutwillige Art der Prozessführung ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr zu berücksichtigen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juni 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn