Faits:
A. X._ est immatriculé à la faculté des sciences économiques et sociales de l'Université de Genève (ci-après: la faculté) depuis octobre 2001.
Selon le procès-verbal d'examens du 21 octobre 2005 relatif à la session d'automne 2005, l'intéressé a été exclu de la faculté en raison d'un échec après deux inscriptions à un enseignement. Cette décision d'exclusion a cependant été annulée.
L'intéressé a présenté des examens en mars, juillet et octobre 2006 pour la licence en sciences politiques. A teneur du règlement, il devait terminer sa licence en octobre 2006. Toutefois, selon le procès-verbal d'examens du 20 octobre 2006, son exclusion de la faculté a été prononcée au motif qu'il était en situation d'échec après deux inscriptions à un enseignement. Le 1er décembre 2006, le doyen de la faculté a levé la décision d'exclusion et accordé à l'intéressé un délai supplémentaire venant à expiration au terme du semestre d'hiver 2006/2007 pour achever sa licence en sciences politiques.
Au terme de la session de mars 2007, X._ a réussi son dernier examen mais n'a pas présenté son mémoire de licence. Le délai de réussite réglementaire étant échu, il a été une nouvelle fois exclu de la faculté, selon le procès-verbal du 9 mars 2007. Cette décision n'a pas été attaquée.
B. Par courrier du 24 mai 2007, l'intéressé a informé le doyen que, d'un commun accord avec le professeur L., le travail de mémoire de licence serait présenté en juin. Ce mémoire a été soutenu le 12 juillet 2007 devant le professeur en question et un juré. Sur le procès-verbal de l'évaluation du mémoire, le professeur L. a ajouté, à côté de la note, "sous condition que tout est en ordre".
Le 23 juillet 2007, l'intéressé a écrit au doyen pour demander son admission au master de sciences politiques. Le 16 août 2007, il a indiqué avoir présenté son mémoire de licence au-delà du délai qui lui avait été consenti pour le faire.
Le 10 septembre 2007, le doyen a répondu à X._ que sa demande d'admission au programme de la maîtrise universitaire n'avait pas été retenu ensuite de son exclusion de la faculté prononcée le 9 mars 2007 et contre laquelle il n'avait pas formé opposition. Le 14 septembre 2007, il a précisé que l'intéressé avait déjà été exclu en octobre 2006, qu'une prolongation de délai lui avait été octroyée jusqu'en mars 2007 et qu'il n'était pas possible de prendre en considération le travail de mémoire de licence présenté après cette date, alors qu'il était exclu de la faculté depuis plusieurs mois.
Par courrier du 18 septembre 2007, X._ a relevé que l'année 2006/2007 avait été particulièrement mauvaise pour lui, notamment en raison du décès de son père. Le 16 novembre 2007, le doyen a confirmé sa réponse du 14 septembre 2007.
Le 11 décembre 2007, l'intéressé a demandé sa réadmission au sein de la faculté pour terminer sa licence. Etait annexée une attestation du professeur L., datée du 3 décembre 2007. Le professeur ignorait que l'étudiant avait été exclu de la faculté en mars 2007 et se disait convaincu que celui-ci était capable de finir sa licence si la possibilité lui en était donnée. Le 21 décembre 2007, le doyen a réitéré sa position.
C. Le 19 mars 2008, assisté d'un avocat, l'intéressé a adressé au doyen une opposition, concluant à ce qu'il soit protégé dans sa bonne foi. En effet, en étant autorisé à présenter son mémoire de licence en juillet 2007, il pensait qu'il était toujours étudiant. Il devait être admis qu'il avait cette qualité jusqu'à la fin du semestre d'été 2007 et qu'il avait obtenu le grade de licencié en sciences économiques et sociales.
Le 31 mars 2008, le doyen a indiqué à l'intéressé que son opposition était tardive, puisqu'il avait été exclu de la faculté le 9 mars 2007. Ce courrier ne comportait pas de voie de droit.
X._ a porté sa cause devant la Commission de recours de l'Université de Genève (ci-après: la Commission de recours).
D. Par décision du 1er juillet 2008, la Commission de recours a déclaré irrecevable le recours de l'intéressé "contre le courrier du doyen de la faculté des sciences économiques et sociales du 31 mars 2008". Elle a considéré pour l'essentiel que le courrier en question n'était pas une décision sur opposition. Il ne comportait en effet pas cette mention, n'était pas assorti des voie et délai de recours et n'avait pas été précédé d'une instruction. L'élimination de l'intéressé prononcée le 9 mars 2007 n'avait pas été frappée d'opposition et était devenue définitive. Ainsi, l'envoi du courrier du 31 mars 2008 ne pouvait avoir pour effet de faire courir un délai d'opposition ou de recours. Au demeurant, l'intéressé ne pouvait, sans contrevenir à l'interdiction générale de l'abus de droit, se prévaloir du principe de la bonne foi. Quant aux motifs allégués au sujet du décès de son père, l'intéressé aurait dû les faire valoir dans le cadre d'une opposition dans les trente jours dès réception du procès-verbal du 9 mars 2007. Tel n'avait pas été le cas et son courrier du 19 mars 2008, intitulé opposition, était largement tardif.
E. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler la décision de la Commission de recours du 1er juillet 2008, de dire qu'il était étudiant à l'université de Genève durant le semestre d'été 2007, que la note de 5,25 attribuée à son mémoire de licence l'a été valablement et qu'il remplit les conditions pour l'obtention du grade de licencié ès sciences économiques et sociales. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité intimée pour qu'il soit procédé à l'audition du professeur L. Il demande en outre l'assistance judiciaire. Il fait valoir que la lettre du doyen du 31 mars 2008 était bien une décision sur opposition contre laquelle la voie du recours était ouverte. Au surplus, il se plaint de la violation de son droit d'être entendu et du principe de la bonne foi de l'administration. A l'appui de ses griefs, il invoque les art. 5 al. 3, 9 et 29a Cst.
La Commission de recours s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Université de Genève s'en remet également à justice quant à la recevabilité du recours et conclut à son rejet.
Considérant en droit:
1. En vertu de l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités. En l'occurrence, la décision à l'origine du litige est une décision d'exclusion de la faculté, prise ensuite d'échecs aux examens. Le recourant ne s'en prend toutefois pas à l'évaluation de ses capacités ni à l'attribution des notes, mais conteste le principe de son élimination. Son recours ne tombe ainsi pas sous le coup de l'exception précitée et la voie du recours en matière de droit public est ouverte (cf. arrêt 2C_428/2007 du 4 septembre 2007 consid. 2).
Au surplus, le mémoire ayant été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et, sous réserve des questions de motivation, dans les formes prescrites par la loi (art. 42 LTF), le recours est en principe recevable.
Toutefois, les conclusions du recourant tendant à dire qu'il était étudiant à l'université de Genève durant le semestre d'été 2007, que la note de 5,25 attribuée à son mémoire de licence l'a été valablement et qu'il remplit les conditions pour l'obtention du grade de licencié ès sciences économiques et sociales sortent du cadre de l'objet du litige, délimité par la décision d'exclusion de la faculté du 9 mars 2007. Partant, elles sont irrecevables.
2. Selon l'art. 95 LTF, le recours (ordinaire) au Tribunal fédéral peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (let. a), qui comprend les droits constitutionnels des citoyens. En revanche, sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c à e LTF), la mauvaise application des dispositions cantonales ne peut pas être attaquée directement comme telle devant le Tribunal fédéral (art. 95 LTF a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que leur mise en oeuvre consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels (cf. ATF 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiées prévues à l'art. 106 al. 2 LTF, qui valent en particulier pour le grief d'arbitraire (cf. ATF 133 III 639 consid. 2 p. 639 s.; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254).
Par conséquent, dans la mesure où le recourant se plaint d'arbitraire dans l'application du droit cantonal, il lui appartient de démontrer par une argumentation circonstanciée et précise en quoi la décision attaquée consacrerait - dans son résultat et pas seulement dans sa motivation - une solution insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, méconnaîtrait gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurterait de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité (cf. ATF 134 II 244 consid. 2.2 et 2.3 p. 246 s.; 130 I 258 consid. 1.3 p. 261 s.; 129 I 113 consid. 2.1 p. 120 et les arrêts cités).
3. Tout d'abord, le recourant soutient qu'en refusant d'ordonner l'audition du professeur L., la Commission de recours a violé son droit d'être entendu et "de faire valoir les preuves utiles à la défense de sa cause". Comme il n'invoque aucune disposition de droit cantonal à l'appui de son grief, celui-ci doit être examiné exclusivement à la lumière des principes déduits directement de l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. ATF 126 I 15 consid. 2a p. 16 et les arrêts cités).
3.1 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment pour le justiciable le droit d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes (ATF 126 I 15 consid. 2a/aa p. 16 et les arrêts cités). Le juge peut cependant renoncer à l'administration de certaines preuves, notamment lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction (ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 429; 125 I 127 consid. 6c/cc p. 135, 417 consid. 7b p. 430 et les arrêts cités). Ce refus d'instruire ne viole le droit d'être entendu que si l'appréciation anticipée de la pertinence du moyen de preuve offert, à laquelle le juge a ainsi procédé, est entachée d'arbitraire (ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157 et les arrêts cités).
3.2 En l'espèce, la Commission de recours a renoncé à l'audition du professeur L. au motif que celui-ci avait fourni une attestation écrite explicite, dans laquelle il avait clairement indiqué avoir ignoré que son étudiant avait été éliminé de la faculté plusieurs mois auparavant. Le recourant estime toutefois l'audition du professeur indispensable pour démontrer "qu'il était de bonne foi totale et qu'il ne lui a caché aucun élément de sa situation" (recours p. 6). Il ressort cependant également de l'attestation que le professeur était au courant qu'il y avait un "problème avec une prolongation et des délais" (attestation du 3 décembre 2007); c'est d'ailleurs pour cette raison qu'il avait émis, sur le procès-verbal de l'évaluation du mémoire du 12 juillet 2007, la réserve que "tout [soit] en ordre". La Commission de recours pouvait donc à juste titre s'estimer suffisamment renseignée par l'attestation écrite du professeur L. et ainsi renoncer, sans arbitraire, à ordonner son audition. Partant, le grief de la violation du droit d'être entendu s'avère mal fondé.
4. En vertu de l'art. 97 al. 1 LTF, le recourant peut critiquer les constatations de fait à la double condition que ceux-ci aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause.
Le recourant s'en rapporte aux faits de la décision attaquée, sous réserve de "deux compléments". Il ne se plaint cependant pas que l'autorité intimée aurait constaté les faits de façon arbitraire ou en violation d'un autre droit constitutionnel. Il ne fait pas non plus valoir qu'une modification de l'état de fait aurait permis d'arriver à un résultat différent. Son grief est donc irrecevable.
5. 5.1 La décision attaquée est une décision d'irrecevabilité, la Commission de recours ayant estimé que le courrier du doyen du 31 mars 2008 n'était pas une décision susceptible de recours. L'autorité intimée a en effet relevé que le courrier litigieux ne comprenait pas la mention selon laquelle il s'agissait d'une décision sur opposition et il n'était pas assorti des voie et délai de recours, comme le requiert l'art. 46 de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (ci-après: LPA/GE; RSG E 5 10). De plus, il émanait du doyen seul et n'avait pas été précédé d'une commission des oppositions ou d'un collège de professeurs. Par voie de conséquence, il ne pouvait constituer une décision au sens de l'art. 4 LPA/GE.
5.2 Selon le recourant, le raisonnement de la Commission de recours est "problématique". A son avis, le courrier litigieux est une décision sur opposition, par laquelle le doyen refuse d'entrer en matière sur ses arguments, et le recours doit être ouvert contre une telle décision d'irrecevabilité. Le recourant n'allègue toutefois pas que l'autorité intimée aurait procédé à une application arbitraire du droit cantonal ni que la solution retenue serait insoutenable dans sa motivation et dans son résultat. Pour contester la décision d'irrecevabilité qui lui a été opposée, l'intéressé fait valoir une violation de l'art. 29a Cst., objectant que l'interprétation de l'autorité intimée "met à néant la garantie d'accès au juge" (mémoire de recours p. 5). Il ne précise cependant pas en quoi cette disposition trouverait application dans le cas d'espèce, ni en quoi elle n'aurait pas été respectée. La motivation du recourant est dès lors irrecevable au regard de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. consid. 2 ci-dessus). De toute façon, son grief serait infondé. En effet, l'art. 29a Cst., selon lequel toute personne a droit à ce que sa cause soit jugée par une autorité judiciaire, ne garantit pas forcément que l'autorité judiciaire saisie entre en matière indépendamment des règles de procédure.
Le recours étant insuffisamment motivé, l'autorité de céans n'est pas tenue d'examiner plus avant le bien-fondé de la décision litigieuse (cf. consid. 2 ci-dessus).
6. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Les conclusions du recourant étaient dénuées de toute chance de succès, de sorte qu'il convient de lui refuser l'assistance judiciaire (art. 64 LTF). Succombant, celui-ci doit supporter les frais judiciaires, qui seront fixés compte tenu de sa situation financière (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la Faculté des Sciences Economiques et sociales de l'Université de Genève, à l'Université de Genève et à la Commission de recours de l'Université de Genève.
Lausanne, le 7 novembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Merkli Mabillard