Faits:
A. Le 18 mai 2009, à concurrence de 14'013 fr. plus intérêts au taux de 5% par an dès le 18 novembre 2008, le Juge de district de Sion a donné mainlevée provisoire de l'opposition à un commandement de payer que Y._ SA avait fait notifier à X._ Sàrl.
Le 17 juin suivant, devant le même magistrat et au nom de ._ Sàrl, A._ a ouvert action en libération de dette et en paiement contre Y._ SA. Le juge saisi devait prononcer que la demanderesse ne doit rien à la défenderesse, et celle-ci devait être condamnée à payer 14'073 fr.25 à titre de solde d'un prix de vente et 100'000 fr. à titre de dommages-intérêts. A._ est associé gérant de X._ Sàrl, avec droit de signature collective à deux.
Par lettre du 25 juin, le Juge de district a invité la demanderesse à déposer, dans un délai de huit jours et sous menace d'irrecevabilité de la demande, une écriture ampliative qui devrait remédier à divers défauts de l'acte introductif de l'action. En particulier, la demande devait être signée « par les organes habilités à représenter la société »; le Juge précisait que A._ n'est pas habilité à cette représentation.
Une écriture ampliative fut déposée; elle était accompagnée d'une procuration établie en faveur de A._, souscrite par B._ qui est aussi associée gérante et jouit du droit de signature individuelle au nom de X._ Sàrl.
Par une nouvelle lettre du 7 juillet 2009, « valant décision », le Juge de district a fait savoir qu'il n'entrait pas en matière sur la demande, au motif que seul un avocat peut recevoir le mandat de représenter ou d'assister une partie devant les tribunaux civils.
B. X._ Sàrl a contesté cette décision par la voie d'un pourvoi en nullité au Tribunal cantonal, lequel a statué par juge unique le 12 octobre 2009. Il a rejeté ce pourvoi, dans la mesure où celui-ci était recevable; l'adverse partie n'a pas été invitée à prendre position.
C. Agissant par la voie du recours constitutionnel, X._ Sàrl requiert le Tribunal fédéral d'annuler le jugement du Tribunal cantonal et de lui renvoyer la cause pour nouvelle décision.
L'intimée Y._ SA conclut à l'irrecevabilité ou au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Pour autant que la valeur litigieuse excède le minimum de 30'000 fr. prescrit par la loi (art. 74 al. 1 let. b LTF), ce jugement est susceptible du recours ordinaire en matière civile; dans la négative, il n'est susceptible que du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
La valeur litigieuse est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF); en l'occurrence, elles correspondent à celles de l'action, articulées le 17 juin 2009 devant le Juge de district (cf. Jean-Maurice Frésard, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 20 ad art. 51 LTF).
Le minimum de 30'000 fr. est donc dépassé car il faut aussi prendre en considération le montant des dommages-intérêts. Toutefois, la recourante se plaint seulement d'une violation de ses droits constitutionnels, ce qui est admissible aussi bien dans le cadre d'un recours ordinaire (art. 95 let. a et c LTF) que dans celui d'un recours subsidiaire (art. 116 LTF). Le recours ordinaire est recevable, le cas échéant, même s'il n'est pas intitulé correctement (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382). Pour le surplus, le recours a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF). Le Tribunal fédéral peut donc entrer en matière, dans la mesure où il est saisi de griefs soulevés et motivés de façon suffisamment détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 III 439 consid. 3.2 p. 444).
2. L'art. 32 al. 2 CPC val. concerne la capacité d'ester en justice et d'accomplir les actes du procès; il prévoit que les personnes morales ainsi que les sociétés en nom collectif ou en commandite agissent par leurs organes, lesquels doivent établir leur pouvoir de représentation. L'art. 33 CPC val. prévoit que sauf disposition contraire, la loi sur la profession d'avocat s'applique à la représentation des parties en justice. La décision du Juge de district est fondée sur l'art. 2 al. 1 de cette loi-ci (LPAv val.), du 6 février 2001, selon lequel, en règle générale, seul l'avocat inscrit au registre cantonal, ou au tableau public, peut recevoir mandat de représenter ou d'assister les parties devant les tribunaux civils et pénaux.
Il est indiscutable que A._, en dépit de sa qualité d'associé gérant de X._ Sàrl, n'a pas le pouvoir d'accomplir seul les actes d'un procès au nom de cette personne morale, car il ne jouit que d'un droit de signature collective à deux et son pouvoir de représentation est donc limité à une représentation commune aux termes de l'art. 718a al. 2 CO, applicable par le renvoi de l'art. 814 al. 4 CO.
La recourante fait état de la procuration souscrite en faveur de A._ par B._, qui est aussi une associée gérante et qui jouit, elle, du droit de signature individuelle. Il demeure que ce premier associé, de par sa propre qualité d'organe, n'a pas le pouvoir d'agir seul. La procuration a bien pour objet de lui conférer un pouvoir supplémentaire et individuel, mais elle ne constitue qu'une manifestation de volonté d'un autre organe de la société. Le juge saisi de la demande peut donc raisonnablement retenir que ce pouvoir supplémentaire ne relève pas de l'art. 32 al. 2 CPC val. relatif aux organes des personnes morales, et que la procuration se rapporte plutôt à une représentation soumise, par le renvoi de l'art. 33 CPC val., à l'art. 2 al. 1 LPAv val. instituant le monopole des avocats. En dépit de l'opinion contraire développée par la recourante, on ne voit pas que le Juge de district ait ainsi appliqué les textes déterminants d'une façon manifestement erronée. Certes, le Juge a autorisé A._ à procéder au nom de la recourante dans la procédure de mainlevée de l'opposition, mais cela ne suffit pas à révéler une erreur certaine dans sa décision postérieure du 7 juillet 2009.
Dans ces conditions, il n'apparaît pas que le Tribunal cantonal ait violé les droits constitutionnels de la recourante en rejetant son pourvoi en nullité. En particulier, le grief que celle-ci prétend tirer de l'art. 29 al. 1 et 2 Cst. se révèle privé de fondement.
3. A titre de partie qui succombe, la recourante doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral. Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée car celle-ci a procédé sans le concours d'un mandataire pratiquant à titre professionnel la représentation en justice.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La recourante acquittera un émolument judiciaire de 500 francs.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 22 février 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin