Faits:
A. Le 11 octobre 2006, F._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, que l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a rejetée par décision du 12 novembre 2007. Sur recours successifs de l'assurée devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui, Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), puis le Tribunal fédéral (arrêt 9C_866/2009 du 23 février 2010), cette décision a été annulée et la cause renvoyée à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision (jugement cantonal du 29 avril 2010).
L'office AI a complété l'instruction en recueillant de nouveaux avis médicaux et en confiant une expertise psychiatrique au docteur E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Celui-ci a diagnostiqué un trouble douloureux associé à la fois à des facteurs psychologiques et une affection médicale chronique qui n'entraînait pas d'incapacité de travail (rapport du 13 mai 2011). Dans un projet de décision du 13 juillet 2011, l'office AI a informé l'assurée qu'il comptait rejeter sa demande. En réponse, le 6 septembre 2011, F._ a requis la mise en oeuvre d'une expertise rhumatologique. Après avoir sollicité l'avis du docteur O._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin auprès de son Service médical régional, l'office AI a rendu une décision, le 16 novembre 2011, par laquelle il a rejeté la demande de prestations de l'assurée.
B. Statuant le 8 mars 2012 sur le recours formé par l'assurée contre cette décision, la Cour de justice genevoise, Chambre des assurances sociales, l'a rejeté.
C. F._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que soit ordonnée une expertise rhumatologique, ou que la cause soit renvoyée à la juridiction cantonale pour nouvelle décision "dans le sens demandé par la recourante".
Considérant en droit:
1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF).
2. 2.1 Sans expliquer concrètement quelles règles de droit auraient été, selon elle, transgressées par la juridiction cantonale, la recourante lui reproche d'avoir rendu un jugement sur le fond du litige - qui porte sur le droit de l'assurée à des prestations de l'assurance-invalidité -, "avant même que la première instance cantonale ne prenne sa décision !". A son avis, l'intimé aurait pris seulement une décision (le 16 novembre 2011) rejetant sa demande d'expertise rhumatologique, alors que "la décision sur le fond [serait] en suspens" depuis le projet de décision du 13 juillet 2011.
Le grief de la recourante relève d'une lecture erronée de la teneur du projet de décision du 13 juillet 2011 et de celle de la décision subséquente du 16 novembre 2011. Conformément à l'art. 57a al. 1 LAI, l'office AI a, par préavis du 13 juillet 2011, communiqué à la recourante qu'elle entendait rejeter sa demande de prestations, dès lors qu'elle ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante au sens de la LAI. Après que la recourante lui a fait part de son étonnement quant à la teneur de son projet de décision (courrier du 22 juillet 2011), puis a requis formellement qu'un expert rhumatologue se prononce sur son cas (lettre du 6 septembre 2011), l'office AI a, par décision du 16 novembre 2011 (intitulée "Décision (...) Pas de droit à des prestations de l'AI"), rejeté la demande de prestations. Dans son prononcé, il a expressément pris position quant à la demande d'expertise, en considérant qu'une telle mesure d'instruction n'était pas nécessaire puisque le dossier médical était complet. Il a également retenu que l'assurée ne présentait pas d'atteinte à la santé ayant des répercussions sur sa capacité de travail, respectivement de gain ("invalidante"), et disposait d'une pleine capacité de travail dans n'importe quelle activité lucrative, le taux d'invalidité devant être considéré comme nul.
Contrairement à ce qu'allègue la recourante, la décision de l'office AI du 16 novembre 2011 n'avait donc pas pour seul objet le rejet de la demande d'expertise, mais a porté expressément sur le droit à des prestations de l'assurance-invalidité que l'intimé a nié en l'occurrence. En examinant et en statuant sur le fond du litige le 8 mars 2012, les premiers juges n'ont dès lors pas violé le droit.
2.2 Pour le surplus, la recourante expose "persister à demander l'expertise en question" en renvoyant aux motifs invoqués dans ses écritures précédentes et soutient se trouver "dans une incapacité totale de travail depuis le 1er janvier 2007".
Compte tenu de son pouvoir d'examen restreint, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées par l'instance inférieure, mais à la partie recourante d'établir en quoi celle opérée par l'autorité cantonale serait manifestement inexacte ou incomplète, ou en quoi les faits constatés auraient été établis au mépris de règles essentielles de procédure. Or, en se limitant à renvoyer à ses écritures antérieures et à affirmer être incapable de travailler, la recourante n'établit nullement, au moyen d'une argumentation précise et étayée, que les constatations des premiers juges sur la capacité de travail entière dans l'activité habituelle seraient manifestement inexactes, ni que leur raisonnement ayant conduit au rejet du recours serait insoutenable ou contraire au droit. Le Tribunal fédéral n'a donc pas à s'écarter des considérations du jugement entrepris.
3. Mal fondé, le présent recours doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'art. 109 al. 2 let. a LTF, sans qu'il y ait lieu d'ordonner un échange d'écritures.
Compte tenu de l'issue du recours, les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF) qui ne peut prétendre des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 août 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
La Greffière: Moser-Szeless