Sachverhalt:
A. X._ und Z._ (beide Jahrgang 1964) heirateten am xxxx 1998. Sie wählten den Güterstand der Gütertrennung. Der Ehe entsprossen die Kinder S._ (geb. 1999) und T._ (geb. 2001). Seit dem 1. August 2006 leben die Parteien voneinander getrennt.
B. Mit Verfügung vom 26. Juni 2007 regelte der Einzelrichter des Bezirksgerichts Einsiedeln das Getrenntleben. Unter anderem verurteilte er X._ dazu, seiner Ehefrau vom 1. August 2006 bis zum 31. März 2007 Fr. 2'000.-- und vom 1. April 2007 an Fr. 2'600.-- an ihren Unterhalt zu bezahlen. Am 24. Dezember 2007 legte die 1. Rekurskammer des Kantonsgerichts Schwyz den Ehegattenunterhalt neu fest. Sie verpflichtete den Ehemann, Z._ vom 1. August 2006 bis zum 31. März 2007 Fr. 1'055.--, vom 1. April 2007 bis zum 6. Juli 2007 Fr. 2'600.-- und ab 7. Juli 2007 Fr. 840.-- an monatlichen Unterhaltsbeiträgen zu bezahlen.
C. C.a Am 31. Juli 2008 klagte X._ beim Einzelrichter des Bezirks Einsiedeln auf Scheidung. Im Rahmen dieses Verfahrens ersuchte Z._ mit Eingabe vom 20. August 2009 um Erlass vorsorglicher Massnahmen und beantragte, den Unterhaltsbeitrag für sie selbst in Abänderung der bisherigen Eheschutzmassnahmen auf Fr. 5'121.-- zu erhöhen, und zwar rückwirkend ab 20. August 2008.
C.b Entgegen dem Abweisungsantrag des Ehemannes hiess der Einzelrichter des Bezirks Einsiedeln das Massnahmegesuch teilweise gut und verpflichtete X._, seiner Ehefrau mit Wirkung ab 20. August 2008 monatlich Fr. 4'200.-- zu bezahlen (Entscheid vom 7. Dezember 2009).
C.c Den dagegen erhobenen Rekurs des Ehemannes hiess das Kantonsgericht Schwyz mit Beschluss vom 29. Juli 2010 teilweise gut. Es setzte den von X._ monatlich zu bezahlenden Unterhaltsbeitrag wie folgt fest: Fr. 4'100.-- vom 20. August 2008 bis 31. Dezember 2008, Fr. 3'900.-- vom 1. Januar 2009 bis 14. Januar 2010, Fr. 3'870.-- vom 15. Januar 2010 bis 31. März 2010 sowie Fr. 840.-- ab 1. April 2010.
D. D.a Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. September 2010 gelangt X._ (fortan "Beschwerdeführer") an das Bundesgericht. Er beantragt, das Massnahmebegehren von Z._ (fortan "Beschwerdegegnerin") sei für die Zeit vom 20. August 2008 bis zum 19. August 2009 abzuweisen und er sei zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin vom 20. August 2009 bis zum 31. März 2010 an deren Unterhalt Fr. 2'346.-- pro Monat zu bezahlen; eventualiter sei der Unterhaltsbeitrag für die Zeit vom 20. August 2009 bis zum 14. Januar 2010 auf Fr. 2'818.50 und für die Zeit vom 15. Januar 2010 bis 31. März 2010 auf Fr. 2'743.50 festzusetzen. Weiter stellt er den Eventualantrag, die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D. D.a Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. September 2010 gelangt X._ (fortan "Beschwerdeführer") an das Bundesgericht. Er beantragt, das Massnahmebegehren von Z._ (fortan "Beschwerdegegnerin") sei für die Zeit vom 20. August 2008 bis zum 19. August 2009 abzuweisen und er sei zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin vom 20. August 2009 bis zum 31. März 2010 an deren Unterhalt Fr. 2'346.-- pro Monat zu bezahlen; eventualiter sei der Unterhaltsbeitrag für die Zeit vom 20. August 2009 bis zum 14. Januar 2010 auf Fr. 2'818.50 und für die Zeit vom 15. Januar 2010 bis 31. März 2010 auf Fr. 2'743.50 festzusetzen. Weiter stellt er den Eventualantrag, die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D.b Am 28. Januar 2011 reichte die Beschwerdegegnerin dem Bundesgericht unaufgefordert das Scheidungsurteil ein, das der Einzelrichter des Bezirks Einsiedeln am 3. November 2010 gefällt hatte, und wies auf Ziff. 11 des Urteilsspruchs hin. Diese lautet wie folgt:
"Im Übrigen werden die Rechtsbegehren des Klägers und diejenigen der Beklagten abgewiesen, soweit überhaupt darauf einzutreten war, und die Parteien werden per Saldo aller ehe- und güterrechtlichen Ansprüche auseinandergesetzt erklärt, exklusive der vorsorgerechtlichen Ansprüche, die noch zu beurteilen sind."
Mit Eingabe vom 2. Februar 2011 stellte die Beschwerdegegnerin das Begehren, in Anbetracht von Ziff. 11 des Scheidungsurteils sei das bundesgerichtliche Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben; gegebenenfalls sei ihr zur Vernehmlassung erneut Frist anzusetzen.
Der Beschwerdeführer widersetzt sich diesem Abschreibungsantrag und hält an seinen Anträgen fest (Eingabe vom 21. Februar 2011).
In seiner Vernehmlassung vom 10. Februar 2011 beantragt das Kantonsgericht Schwyz, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Hinsichtlich der Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 2. Februar 2011 wies das Kantonsgericht darauf hin, das Scheidungsurteil sei am 25. November 2010 in Rechtskraft erwachsen, und verzichtete im Übrigen auf eine Stellungnahme. Zur Vernehmlassung des Kantonsgerichts nahm der Beschwerdeführer unaufgefordert mit einer weiteren Eingabe vom 28. Februar 2011 Stellung.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1 S. 216; 134 III 115 E. 1 S. 117, je mit Hinweisen). Immerhin muss die Eingabe auch bezüglich der Eintretensvoraussetzungen hinreichend begründet sein (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 134 II 120 E. 1 S. 121).
2. Die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde richtet sich zur Hauptsache gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) über die Anordnung vorsorglicher Massnahmen während des Scheidungsverfahrens nach Art. 137 Abs. 2 ZGB (in der bis zum 31. Dezember 2010 gültigen Fassung). Diese zivilrechtliche Streitigkeit (Art. 72 Abs. 1 BGG) betrifft einzig die Festsetzung der Unterhaltsbeiträge für die Beschwerdegegnerin. Es liegt mithin eine vermögensrechtliche Angelegenheit vor, deren Streitwert allein im Zusammenhang mit der Frage der rückwirkenden Abänderung der Unterhaltsbeiträge vom 20. August 2008 bis zum 19. August 2009 Fr. 30'000.-- überschreitet (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
3. 3.1 Nach Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG (in der bis zum 31. Dezember 2010 gültigen Fassung) ist zur Beschwerde in Zivilsachen nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (vgl. BGE 131 I 153 E. 1.2 S. 157). Am Erfordernis des praktischen Interesses fehlt es insbesondere dann, wenn der Rechtsstreit gegenstandslos geworden ist. Liegt das praktische Interesse im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung vor, fällt es aber nachträglich weg, ist der Rechtsstreit gemäss Art. 72 BZP (SR 273) in Verbindung mit Art. 71 BGG als erledigt abzuschreiben.
3.2 Die Beschwerdegegnerin legt vor Bundesgericht das Scheidungsurteil des Einzelrichters Einsiedeln vom 3. November 2010 ins Recht. Dieses rechtskräftige Urteil erklärt die Parteien in Ziff. 11 des Urteilsspruches "per Saldo aller ehe- und güterrechtlichen Ansprüche auseinandergesetzt" (s. Bst. D.b). Mit diesem Scheidungsurteil bringt die Beschwerdegegnerin eine Tatsache vor, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid zugetragen hat. Solch echte Noven berücksichtigt das Bundesgericht, wenn sie einen Einfluss auf die Beschwerdebefugnis haben oder zur Gegenstandslosigkeit der Beschwerde führen können. Dies ist vorliegend der Fall. In Anbetracht des erwähnten Urteilsspruches im Scheidungsurteil stellt sich nämlich die Frage, ob der Beschwerdeführer noch ein praktisches Rechtsschutzinteresse daran hat, dass das Bundesgericht seine Rügen prüft.
3.2.1 Wählen die Ehegatten den Güterstand der Gütertrennung, so fehlt es an ehelichen Gütern; entsprechend entfällt auch die güterrechtliche Auseinandersetzung (BGE 109 Ia 53 E. 2 S. 54). Freilich können zwischen den Ehegatten anlässlich der Ehescheidung trotzdem Streitigkeiten vermögensrechtlicher Natur entstehen, zum Beispiel weil die Ehegatten ihre Güter tatsächlich nicht getrennt gehalten haben, wie dies im vorliegenden Fall der Einzelrichter Einsiedeln in Ziff. 25 des Scheidungsurteils vom 3. November 2010 festgestellt hat. Auch bei der Beendigung der Gütertrennung kann es sich daher als unumgänglich erweisen, dass die Ehegatten zur notwendigen Entflechtung ihrer Vermögen ihre jeweiligen Vermögenswerte zurücknehmen und ihrer gegenseitigen Schulden regeln (Hausheer/Reusser/Geiser, Berner Kommentar, 1996, Vorbemerkungen zu Art. 247 ff. ZGB, N 14; Deschenaux/Steinauer/Baddeley, Les effets du mariage, 2. Aufl. 2009, S. 760). Mit Blick auf diese Entflechtung sind die in Art. 205 Abs. 1 und 3 ZGB enthaltenen Vorschriften betreffend die Auflösung des ordentlichen Güterstandes mithin sinngemäss anwendbar. Zu den gegenseitigen Schulden im Sinne von Art. 205 Abs. 3 ZGB zählen ohne Rücksicht auf ihren Rechtsgrund alle im Zeitpunkt der Auflösung des Güterstandes bestehenden Verbindlichkeiten, neben solchen aus Obligationenrecht namentlich auch diejenigen aus Unterhaltsanspruch nach Art. 163 f. ZGB und aus Ausgleich für ausserordentliche Beiträge an den Unterhalt der Familie nach Art. 165 ZGB (vgl. Urteil 5A_803/2010 vom 3. Dezember 2010 E. 3.2.1 mit Hinweisen). Gerade die zuletzt erwähnten Schulden sind auch im Falle einer Beendigung des Güterstandes der Gütertrennung zu regeln. Sie ergeben sich nämlich aus den in Art. 163 ff. ZGB enthaltenen vermögensrechtlichen Vorschriften über die Wirkungen der Ehe im allgemeinen, die unabhängig vom Güterstand gelten (Hausheer/Reusser/Geiser, a.a.O., Vorbemerkungen zu Art. 247 ff. ZGB, N 8; Piller, in: Commentaire romand, Code civil, 2010, Einleitung zu Art. 247-251 ZGB, N 2). Art. 163 ZGB ist auch die rechtliche Grundlage für die Unterhaltsbeiträge, die das Gericht während des Scheidungsverfahrens im Sinne einer vorsorglichen Massnahme gestützt auf Art. 137 Abs. 2 ZGB festlegt (vgl. BGE 119 II 314 E. 4b/aa S. 318).
3.2.2 Nach dem Gesagten stellen eherechtliche Unterhaltsleistungen, die gestützt auf Art. 137 Abs. 2 ZGB zugesprochen worden waren, im Zeitpunkt der Auflösung des Güterstandes aber noch unbezahlt und - wie im vorliegenden Fall - bestritten waren, ebenfalls Schulden dar, über die anlässlich der Beendigung des Güterstandes abgerechnet werden muss. Als Ergebnis dieser Abrechnung steht im vorliegenden Fall gemäss Ziff. 11 des Dispositives des rechtskräftigen Scheidungsurteils fest, dass die Parteien "per Saldo aller ehe- und güterrechtlichen Ansprüche auseinandergesetzt" sind. Nach dem allgemeinen Verständnis dieses Urteilsspruches bedeutet dies nichts anderes, als dass - vorbehaltlich vorsorgerechtlicher Ansprüche (s. Bst. D.b) - eine umfassende Abrechnung stattgefunden hat und demzufolge keine Partei von der anderen mehr etwas fordern kann (s. Urteil 5A_803/2010 vom 3. Dezember 2010 E. 3.3). Mithin liegt eine rechtskräftige gerichtliche Saldoklausel vor, die jegliche weitere Auseinandersetzung über ehe- und güterrechtliche Ansprüche ausschliesst (vgl. 5P.107/2006 vom 16. Juni 2007 E. 2.2). Daraus aber folgt, dass auch der vor Bundesgericht hängige Rechtsstreit, in welchem der Beschwerdeführer für bestimmte Zeitabschnitte die Abweisung des Massnahmebegehrens der Beschwerdegegnerin bzw. die Herabsetzung der Unterhaltsbeiträge verlangt (s. Bst. D.a), als erledigt anzusehen ist und sich eine Entscheidung über die vorliegende Beschwerde in Zivilsachen erübrigt.
3.2.3 Im Ergebnis ist aufgrund der Feststellung in Ziff. 11 des rechtskräftigen Scheidungsurteils vom 3. November 2010 das rechtlich geschützte Interesse des Beschwerdeführers an der Überprüfung des kantonsgerichtlichen Beschlusses vom 29. Juli 2010 nach Eingang der Beschwerde in Zivilsachen dahingefallen. Dementsprechend ist der vor Bundesgericht hängige Rechtsstreit entsprechend dem Antrag der Beschwerdegegnerin als gegenstandslos abzuschreiben (E. 3.1; vgl. 5P.107/2006 vom 16. Juni 2007 E. 2.2).
4. 4.1 Bei diesem Ausgang des Verfahrens richtet sich der Entscheid über die Prozesskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens nach Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 72 BZP. Dieser Vorschrift zufolge entscheidet das Gericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes. Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen. Lässt sich dieser im konkreten Fall nicht feststellen, so sind allgemeine prozessrechtliche Kriterien heranzuziehen: Danach wird diejenige Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst hat oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Prozesses geführt haben (BGE 118 Ia 488 E. 4a S. 494).
4. 4.1 Bei diesem Ausgang des Verfahrens richtet sich der Entscheid über die Prozesskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens nach Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 72 BZP. Dieser Vorschrift zufolge entscheidet das Gericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes. Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen. Lässt sich dieser im konkreten Fall nicht feststellen, so sind allgemeine prozessrechtliche Kriterien heranzuziehen: Danach wird diejenige Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst hat oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Prozesses geführt haben (BGE 118 Ia 488 E. 4a S. 494).
4.2 4.2.1 Soweit der Beschwerdeführer dem Kantonsgericht Schwyz vorwirft, es habe die Abänderung der Unterhaltsbeiträge der Beschwerdegegnerin in Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) über den Zeitpunkt des Abänderungsgesuches hinaus auf den 20. August 2008 zurückbezogen, würde er mit seinem Rechtsbegehren vor Bundesgericht voraussichtlich durchdringen. Zu Recht beruft sich der Beschwerdeführer auf die einschlägige bundesgerichtliche Rechtsprechung. Danach wirkt der gestützt auf Art. 137 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 179 Abs. 1 ZGB getroffene Entscheid über die Anpassung einer vorsorglichen Massnahme grundsätzlich nur für die Zukunft, das heisst ab Eintritt der Rechtskraft des Abänderungsentscheides. Das Gericht kann im Einzelfall in Ausübung seines Ermessens zwar von diesem Grundsatz abweichen. Die Abänderung der vorsorglichen Massnahme vermag jedoch nicht über den Zeitpunkt der Gesuchseinreichung hinaus zurückzuwirken. Vorbehalten bleiben lediglich ganz besondere Gründe, zum Beispiel unbekannter Aufenthalt oder Landesabwesenheit des Unterhaltspflichtigen, treuwidriges Verhalten einer Partei, schwere Krankheit des Berechtigten, usw. (BGE 111 II 103 E. 4 S. 107 f., zuletzt bestätigt in Urteil 5A_271/2009 vom 29. Juni 2009 E. 8). Ein solcher Ausnahmefall lag offensichtlich nicht vor. Im Übrigen machte der Beschwerdeführer schon vor Kantonsgericht geltend, die Rückwirkung sei entgegen den Erwägungen der ersten Instanz nicht voraussetzungslos zulässig. Daher müsste das Bundesgericht auf die Rüge der willkürlichen Anwendung von Art. 137 Abs. 2 ZGB eintreten. Mutmasslich käme es zur Erkenntnis, dass die Beschwerde hinsichtlich der Frage der Rückwirkung des angefochtenen Abänderungsentscheides begründet ist.
4.2.2 Seinen weiteren Antrag, der Unterhaltsbeitrag sei für die Zeit vom 20. August 2009 bis zum 31. März 2010 auf Fr. 2'346.-- festzusetzen, begründet der Beschwerdeführer damit, das Kantonsgericht habe bei der Berechnung der Unterhaltsbeiträge nach der Methode des betreibungsrechtlichen Existenzminimums mit Überschussverteilung den errechneten Einkommensüberschuss in Verletzung seiner Begründungspflicht (Art. 29 Abs. 2 BV) anstatt zur Hälfte zu zwei Dritteln der Ehefrau zugesprochen. Als Folge davon stünde der Beschwerdegegnerin (unter Berücksichtigung der Kinderbeiträge) mit Fr. 9'545.-- (vom 20. August 2009 bis 14. Januar 2010) bzw. Fr. 9'515.-- (vom 15. Januar 2010 bis 31. März 2010) ein Geldbetrag zur Verfügung, der den im ersten Eheschutzverfahren festgestellten "gebührenden Unterhalt" von Fr. 8'000.-- um Fr. 1'545.-- bzw. 1'515.-- übersteige und es der Beschwerdegegnerin erlaube, Vermögen zu bilden. Darin erblickt der Beschwerdeführer eine willkürliche Anwendung von Art. 163 ZGB.
Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz nicht gerügt, mit der bereits in erster Instanz getroffenen Überschussverteilung sei der Beschwerdegegnerin in willkürlicher Anwendung von Art. 163 ZGB ein Unterhaltsbeitrag zugesprochen worden, der ihren gebührenden Unterhalt in rechtswidriger Weise übersteige. Auf diese Verfassungsrüge könnte das Bundesgericht im Anwendungsbereich des Rügeprinzips (Art. 98 i.V.m. 106 Abs. 2 BGG) mangels materieller Erschöpfung des Instanzenzuges nicht eintreten (BGE 133 III 638 E. 2 S. 640 mit Hinweisen).
Die Rüge der Verletzung der Begründungspflicht als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör erwiese sich als unbegründet. Nach Art. 29 Abs. 2 BV ist ein Entscheid so abzufassen, dass sich die betroffene Person über dessen Tragweite Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. Daher muss eine Rechtsmittelinstanz wenigstens kurz die Überlegungen nennen, von denen sie sich hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 133 III 439 E. 3.3 S. 445; 130 II 530 E. 4.3 S. 540; 129 I 232 E. 3.2 S. 236; 126 I 97 E. 2b S. 102 f., je mit Hinweisen). Wie seine Rügen bzw. Ausführungen vor Bundesgericht zeigen, war der Beschwerdeführer ohne weiteres in der Lage, das Urteil des Kantonsgerichts umfassend und sachgerecht anzufechten. Daher ist nicht ersichtlich, weshalb die Vorinstanz die Begründungspflicht verletzt hätte (vgl. Urteil 5A_206/2009 vom 23. April 2009 E. 2.2).
4.2.3 Nach dem Gesagten würde das Bundesgericht die Beschwerde voraussichtlich teilweise gutheissen, wenn es die Sache nicht als gegenstandslos abschreiben müsste. Bei diesem mutmasslichen Verfahrensausgang rechtfertigt es sich, die Gerichtsgebühr vor Bundesgericht den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und die Parteikosten wettzuschlagen, so dass jede Partei die eigenen Parteikosten für das bundesgerichtliche Verfahren selbst trägt (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).
5. Hinsichtlich der kantonalen Kostenverlegung macht der Beschwerdeführer geltend, er habe an deren Änderung noch immer ein rechtlich geschütztes Interesse; aus diesem Grund halte er an seinen Anträgen fest. Allein das Interesse einer Partei an der Kostenverteilung rechtfertigt die Fortsetzung eines gegenstandslos gewordenen Rechtsstreits indessen nicht. Wie auch der Beschwerdeführer feststellt, kann das Bundesgericht gemäss Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorangegangenen Verfahrens nur modifizieren, wenn es auch den angefochtenen Entscheid ändert. Dies ist bei einer Abschreibung zufolge Gegenstandslosigkeit des Rechtsstreits gerade nicht der Fall (BGE 91 II 146 E. 3 S. 150; Urteil 5A_657/2010 vom 17. März 2011 E. 3.5). Allerdings ist aufgrund von Ziff. 11 des Dispositivs des rechtskräftigen Scheidungsurteils des Einzelrichters Einsiedeln vom 3. November 2010 nicht nur der vor Bundesgericht hängige Rechtsstreit, sondern auch der vorinstanzliche Entscheid gegenstandslos geworden. In einer derartigen Konstellation ist die Sache zur Neuregelung der Kostenfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zu übermitteln. Diese wird zu prüfen haben, ob die Kosten- und Entschädigungsregelung des dem bundesgerichtlichen vorangegangenen kantonalen Verfahrens mit Blick auf die inzwischen eingetretene Gegenstandslosigkeit des Rechtsstreits zu bestätigen oder allenfalls zu ändern sei (vgl. Urteil 5A_657/2010 vom 17. März 2011 E. 3.2 und 1C_130/2008 vom 30. Mai 2008 E. 3.2, je mit Hinweis auf BGE 91 II 146 E. 3 S. 150).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3. Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
4. Die Sache wird zur Überprüfung der Kosten- und Entschädigungsregelung für das kantonale Verfahren dem Kantonsgericht Schwyz übermittelt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, 1. Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. April 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn