Faits:
A. C._ travaillait comme encadreur d'art à titre indépendant. Le 3 mars 2004, il a subi une hémicolectomie gauche, puis suivi une chimiothérapie d'avril à juillet 2004 à cause d'un cancer. Le 18 juin 2004, il a présenté une requête de prestations de l'assurance-invalidité.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: OAI) a recueilli deux rapports des 13 juillet 2004 et 4 avril 2005 de la doctoresse M._, médecin traitant de l'assuré, selon lesquels C._ était incapable de travailler depuis le 1er mars 2004. Dans un rapport du 24 mai 2005, la doctoresse S._, médecin adjoint de l'Hôpital X._, a diagnostiqué un adénocarcinome moyennement différencié du côlon gauche avec métastases ganglionnaires et métastase hépathique unique, ainsi qu'un état dépressif réactionnel. Elle a exclu la reprise de l'activité d'encadreur, ce travail nécessitant de la force et de la précision, ce qui était en contradiction avec la neuropathie de l'assuré. A la demande de l'OAI, le docteur E._, spécialiste en médecine interne, a examiné l'assuré et conclu à l'absence de toute limitation significative, ainsi qu'à une capacité entière de travail comme encadreur dès le 1er novembre 2004, avec une possible diminution de rendement ne dépassant pas 20 % (rapport du 6 décembre 2006). Se fondant sur cette appréciation, l'OAI a rejeté la demande de l'assuré par décision du 7 avril 2006. C._ s'étant opposé à cette décision, l'administration a maintenu sa position par décision sur opposition du 25 juin 2007.
B. Saisi d'un recours formé par l'intéressé, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel l'a rejeté par jugement du 26 juin 2009.
C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. En substance, il conclut à titre principal à l'octroi d'une rente entière d'invalidité et, subsidiairement, au renvoi de la cause au Tribunal administratif neuchâtelois pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise médicale. Il sollicite, par ailleurs, le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'Office fédéral des assurances sociales et l'OAI ont tous deux renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
1.2 La constatation de l'atteinte à la santé (diagnostic, pronostic, etc.) et l'évaluation de la capacité de travail (résiduelle) sont en principe des questions de fait (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 397). Il en est de même de l'appréciation concrète des preuves. En revanche, l'application du principe inquisitoire et des règles sur l'appréciation des preuves au sens de l'art. 61 let. c LPGA relève du droit (ATF 132 V 393 consid. 3.2 et 4 p. 397 ss).
2. Le litige porte sur le point de savoir si le recourant a droit à une rente de l'assurance-invalidité. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence sur la notion d'invalidité et son évaluation ainsi que les principes jurisprudentiels relatifs à l'appréciation des preuves et à la valeur probante des rapports médicaux. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. Sur le plan formel, le recourant fait grief à la juridiction cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) en ce qu'elle n'a pas procédé à une instruction complémentaire malgré les conclusions contradictoires du docteur E._, d'une part, et des docteurs M._ et S._, de l'autre.
La violation du droit d'être entendu (sur cette notion en corrélation avec l'administration des preuves, cf. ATF 132 V 368 consid. 3.1 p. 370 et les références) dans le sens invoqué en premier lieu par le recourant est une question qui n'a pas de portée propre par rapport au grief tiré d'une mauvaise appréciation des preuves. Le juge peut en effet renoncer à accomplir certains actes d'instruction sans que cela entraîne une violation du droit d'être entendu (arrêt I 363/99 du 8 février 2000 consid. 4, in SVR 2001 IV n° 10 p. 28) s'il est convaincu, en se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves (cf. ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352), que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation (sur l'appréciation anticipée des preuves: ATF 124 V 90 consid. 4b p. 94; 122 V 157 consid. 1d p. 162). Il s'agit-là d'un grief qu'il convient d'examiner avec le fond du litige.
4. Sur le fond, invoquant l'arbitraire dans la constatation des faits et l'appréciation des preuves, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir écarté les avis des doctoresses M._ et S._ et suivi l'expertise du docteur E._, alors que les conclusions de celui-ci relatives à son état psychique n'étaient pas motivées et peu convaincantes.
4.1 La juridiction cantonale a considéré que l'appréciation du docteur E._ remplissait tous les réquisits jurisprudentiels pour lui reconnaître pleine valeur probante et emportait sa conviction. Sur le plan somatique, le médecin n'avait retenu aucune limitation résultant de l'affection (cancer du côlon); en particulier, il avait expliqué que la très discrète neuropathie des doigts, dont l'évolution était favorable, ne pouvait être tenue pour responsable d'une limitation significative dans l'activité d'encadreur d'art. Sur le plan psychique, le docteur E._ avait fait état de troubles anxieux et d'une tristesse sans claire répercussion sur la capacité de travail; en raison des pensées récurrentes d'incapacité, de fatigue ou de faiblesses présentées par l'intéressé, une diminution de rendement de 20 % au maximum pouvait être possible. Selon les premiers juges, les conclusions du docteur E._ n'étaient remises en cause ni par l'opinion des médecins traitants, ni par celle de la psycho-oncologue H._ que le recourant avait consultée la première fois le 10 janvier 2006. En substance, dès lors que les rapports de ceux-là n'avaient fait état d'aucun élément clinique ou diagnostic dont le docteur E._ n'aurait tenu compte, la juridiction cantonale n'avait pas de raison suffisante pour s'écarter de l'avis de l'expert. Aussi a-t-elle jugé superflue la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise.
4.2 A la lecture du jugement entrepris, on constate que les premiers juges ont procédé à une appréciation consciencieuse des preuves, qui n'apparaît nullement arbitraire. Ils ont pris en considération les pièces médicales déterminantes au dossier, les ont appréciées de manière circonstanciée et ont expliqué les raisons qui les portaient à suivre l'avis du docteur E._ plutôt que celui des doctoresses M._ et S._, ou encore de la psycho-oncologue H._.
4.2.1 En particulier, loin de "discréditer" - comme le soutient le recourant - les avis des médecins traitants, la juridiction cantonale a motivé de façon convaincante les raisons pour lesquelles, en plus de la jurisprudence relative à la divergence entre un mandat thérapeutique et un mandat d'expertise, leurs conclusions quant à l'incapacité totale de travail au-delà de la fin du mois de novembre 2004 n'emportaient pas la conviction. Ainsi, et à la suite des premiers juges, on retiendra que ces conclusions sont insuffisamment motivées. La doctoresse M._ mentionne, pour toute motivation, qu'il est important d'éviter le stress professionnel et d'assurer une vie sereine, sans faire état d'éléments objectifs permettant d'expliquer en quoi la capacité de travail du recourant serait diminuée. De son côté, tout en indiquant que son patient est en rémission complète au dernier contrôle et qu'il n'y a pas de déficit de la force en relation avec la neuropathie, la doctoresse S._ atteste d'une incapacité de travail de 100 % dans l'activité d'encadreur en raison de la neuropathie, ce qui est contradictoire. A ce sujet, l'expert E._ a dûment examiné la problématique neurologique; il a fait état d'une discrète atteinte neuropathique des doigts et des orteils et précisé qu'elle n'entraînait pas de perte de force ni, comme l'avait reconnu le recourant, de limitation fonctionnelle. On ajoutera que le pronostic réservé posé par la doctoresse S._ ne suffit pas en soi à justifier une incapacité de travail, puisqu'il relève de projections statistiques et non pas de constatations concrètes chez un patient qui se trouvait en rémission complète au moment de l'examen.
4.2.2 Quant aux critiques du recourant à l'égard de l'appréciation du docteur E._ sur son état de santé psychique, elles sont également infondées. C'est en vain qu'il tente de mettre en doute les compétences de l'expert, parce que celui-ci, après avoir fait état de "troubles anxieux et d'une tristesse, sans claire répercussion sur la capacité de travail", a mentionné qu'"une appréciation précise dépasse le cadre de compétence du présent examen". Il apparaît en effet, au regard de l'ensemble de l'analyse effectuée par le docteur E._ ("appréciation du cas et pronostic", p. 9 du rapport du 16 novembre 2005), que celui-ci a procédé à un examen convaincant de la situation du recourant sur le plan psychique. En fonction de son entretien avec l'assuré, les plaintes de celui-ci et un test (échelle de dépression de Hamilton), l'expert a mis en évidence les différents éléments qui lui permettaient d'exclure un état dépressif majeur, voire léger, tout en admettant qu'en raison d'indices subdépressifs, un soutien par le médecin traitant lui semblait nécessaire. L'expert s'est également prononcé sur la répercussion de la thymie du recourant sur sa capacité de travail et admis qu'une diminution de rendement de 20 % était possible en raison de pensées récurrentes d'incapacité, de fatigue ou de faiblesse. Compte tenu de cette analyse détaillée et de l'absence au dossier de pièces médicales susceptibles de semer le doute sur les conclusions du docteur E._, la juridiction cantonale n'avait pas de motif de s'en écarter ni, partant, d'ordonner une expertise médicale.
5. Le recourant soutient encore que le "taux de la diminution du revenu" correspondrait à 84 %. Dès lors que ce résultat est fondé sur une incapacité de travail entière (dans la vente et la confection de cadres), laquelle ne peut être admise au vu des constatations de la juridiction cantonale dont le Tribunal fédéral n'a pas, on l'a vu, à s'écarter, il n'y a pas lieu de se pencher plus avant sur le calcul du recourant. Le recours se révèle donc également mal fondé sur ce point.
6. Le recourant, qui satisfait aux conditions de l'art. 64 al. 1 LTF, est dispensé de l'obligation de payer les frais judiciaires. Quant aux conditions auxquelles l'art. 64 al. 2 LTF subordonne la désignation d'un avocat d'office, elles sont également réalisées. L'attention du recourant est toutefois attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois provisoirement supportés par la caisse du Tribunal.
4. Une indemnité de 2'800 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à Maître Marino Montini, à titre d'honoraires.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 9 décembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless