Faits:
A. A.a Dame A._, née en 1969 à Entroncamento (Portugal), de nationalité portugaise, et A._, né en 1967 à Montpellier (France), de nationalité suisse, se sont mariés le 12 mars 1992 à Genève.
Deux enfants sont issus de cette union: B._, née en 1991, aujourd'hui majeure et C._, né en 1995.
Le 1er juillet 2008, l'époux s'est constitué un domicile séparé, l'épouse étant demeurée avec les enfants dans l'appartement familial.
A.b Par jugement du 12 janvier 2010, le Tribunal de première instance du canton de Genève a statué sur la requête de mesures protectrices de l'union conjugale formée par l'épouse. Il a notamment attribué le domicile conjugal et la garde sur l'enfant C._ au père, réservant un droit de visite usuel en faveur de la mère. Le tribunal a également condamné l'époux à contribuer à l'entretien de la famille par le versement mensuel d'une somme de 1'960 fr., du 1er juillet 2008 à fin février 2009, et de 1'590 fr., de mars 2009 à l'entrée en force du jugement, ainsi que l'épouse par le versement d'une somme de 440 fr., de l'entrée en force du jugement jusqu'en juillet 2010 puis de 270 fr., dès août 2010.
A.c Statuant sur l'appel formé par l'épouse, la Cour de justice du canton de Genève a partiellement réformé ce jugement, par arrêt du 28 mai 2010, en ce sens qu'elle a attribué le domicile conjugal à la mère et a étendu son droit de visite sur l'enfant à un soir par semaine de 19.00 heures à 21.30 heures, en plus d'un week-end sur deux et de la moitié des vacances scolaires. Elle a en outre condamné le mari à contribuer à l'entretien de la famille par le versement mensuel en mains de son épouse d'une somme de 1'960 fr., du 1er juillet 2008 au 28 février 2009, de 1'590 fr., du 1er mars 2009 au 28 février 2010, de 1'500 fr., du 1er mars 2010 au 31 juillet 2010 et de 500 fr., dès le 1er août 2010.
B. B.a Par demande unilatérale du 18 octobre 2010, A._ a ouvert une action en divorce devant le Tribunal de première instance du canton de Genève.
Au titre de mesures provisionnelles, il a requis l'attribution du domicile conjugal et, pour le surplus, le maintien des mesures protectrices ordonnées. Reconventionnellement, dame A._ a demandé la garde sur son fils, un droit de visite s'exerçant deux soirs par semaine jusqu'à 21.30 heures, un week-end sur deux, ainsi que la moitié des vacances scolaires étant réservé en faveur du père, et que celui-ci soit astreint à contribuer à l'entretien de la famille par le versement d'une pension mensuelle de 2'700 fr., tant qu'elle fera l'objet d'une saisie de salaire, puis de 2'200 fr. Par jugement du 16 février 2011, le tribunal a débouté les parties de leurs conclusions sur mesures provisionnelles.
B.b Statuant sur appel de chacune des parties, la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 13 juillet 2011, déclaré irrecevable celui formé par l'époux et a partiellement admis celui de l'épouse en ce sens qu'elle lui a attribué la garde sur C._, réservant un droit de visite en faveur du père à raison de deux soirs par semaine, un week-end sur deux, ainsi que la moitié des vacances scolaires, et a condamné ce dernier à contribuer à l'entretien de la famille par le versement d'une pension mensuelle de 2'075 fr, du 1er décembre 2010 au 31 janvier 2011 et de 1'720 fr. dès le 1er février 2011.
C. Le 15 août 2011, A._ exerce un recours en matière civile contre cet arrêt auprès du Tribunal fédéral. Il conclut à ce que son appel formé devant la Cour de justice soit déclaré recevable, que la jouissance exclusive du domicile conjugal et la garde sur son fils lui soient attribuées, un droit de visite s'exerçant un soir par semaine de 19.00 à 21.30 heures, un week-end sur deux et la moitié des vacances scolaires étant réservé en faveur de la mère, et qu'il lui soit donné acte de son engagement à s'acquitter d'une somme de 500 fr. au titre de contribution à l'entretien de la famille. Il se plaint de violations des art. 238 let. f et 317 al. 1 let. a et b CPC ainsi que de l'art. 137 al. 2 aCC.
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision de mesures provisoires selon l'art. 137 al. 2 aCC est une décision en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF. Bien qu'elle soit prise alors qu'une procédure (principale) de divorce est pendante, elle est finale selon l'art. 90 LTF, car son objet est différent de celui de la procédure au fond et elle met fin à l'instance sous l'angle procédural (ATF 134 III 426 consid. 2.2 et les références citées). Comme les questions soumises au Tribunal fédéral - droit de garde et contribution d'entretien - ne sont pas exclusivement de nature pécuniaire, le recours est ouvert indépendamment de la valeur litigieuse (arrêt 5D_41/2007 du 27 novembre 2007 consid. 2.3, 5A_366/2010 du 4 janvier 2011 consid. 1.1). Il a par ailleurs été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF), contre une décision prise en dernière instance cantonale par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 LTF) et par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à la modification de l'arrêt attaqué (art. 76 al. 1 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
1.2 Comme l'arrêt attaqué porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5, 585 consid. 3.3), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 133 IV 286 consid. 1.4). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 589 consid. 2). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi manifestement insoutenable (ATF 134 II 349 consid. 3 et les références citées).
1.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels par l'autorité cantonale (ATF 133 III 585 consid. 4.1). Les faits et moyens de preuve nouveaux sont prohibés, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. 2.1 Le recourant se plaint d'une violation du droit fédéral à plusieurs titres: En premier lieu, la cour cantonale a déclaré à tort son recours irrecevable dès lors que le jugement de première instance ne contenait pas d'indication des voies de droit - comme l'exige l'art. 238 let. f CPC - et que le nouveau délai de recours de dix jours n'était en vigueur que depuis deux mois. En outre, la juridiction précédente a violé l'art. 317 al. 1 let. a et b CPC en considérant que l'attestation de son employeur concernant la diminution de son taux d'activité constituait un nouveau moyen de preuve prohibé. Enfin, elle a contrevenu à l'art. 137 al. 2 aCC en jugeant que la situation s'était modifiée au point qu'il faille attribuer la garde de l'enfant à l'intimée.
2.2 Seule la violation de droits constitutionnels pouvant être dénoncée dans un recours en matière civile dirigé contre le prononcé de mesures provisionnelles, il incombe au recourant de respecter le principe d'allégation (cf. supra, consid. 1.2).
En l'occurrence, le recourant expose, s'agissant de l'art. 317 al. 1 let. a et b CPC, qu'une diminution de son taux d'activité a été alléguée en première instance et que, n'ayant reçu l'attestation de son employeur que tardivement, il ne lui avait pas été possible de la produire auparavant, précisant encore que celle-ci avait manifestement été antidatée du 21 octobre 2010. Quant à la prétendue violation de l'art. 137 al. 2 aCC, il invoque que le motif retenu pour justifier la modification des mesures protectrices de l'union conjugale ordonnées en mai 2010, à savoir le fait que l'enfant vivait en réalité toujours avec sa mère malgré l'attribution de la garde au père, résultait d'une erreur d'appréciation des faits de la Cour de justice dans son arrêt du 28 mai 2010 - contre lequel il n'a pourtant pas recouru - en tant qu'elle avait estimé que le logement qu'il s'était constitué présentait des conditions de vie semblables au domicile conjugal. Par de telles critiques, le recourant se limite à présenter sa propre appréciation de la cause ainsi que son interprétation personnelle des normes prétendument violées mais ne démontre pas en quoi les motifs retenus par la cour cantonale seraient arbitraires (cf. supra, consid. 1.2). Il s'ensuit que, faute d'être motivés conformément aux exigences légales, les griefs se référant à la violation de ces dispositions légales sont irrecevables.
3. En relation avec la violation de l'art. 238 let. f CPC, le recourant se plaint d'arbitraire et de formalisme excessif dans la mesure où la cour cantonale a considéré que son appel était tardif, le délai de recours étant de dix jours depuis l'entrée en vigueur du CPC au 1er janvier 2011. À cet égard, il précise que la nouvelle procédure civile était entrée en vigueur depuis moins de deux mois lors du prononcé du jugement de sorte qu'il ne saurait lui être reproché d'avoir ignoré le nouveau délai de recours en l'absence d'indication des voies de droit, comme l'exige l'art. 238 let. f CPC.
3.1 La question des conséquences de l'omission d'indiquer les voies de droit peut rester indécise en l'espèce, le recours devant de toute manière être rejeté.
3.2 Si la cour cantonale n'a pas formellement statué sur l'appel formé par le recourant, elle s'est indirectement prononcée sur la question de l'attribution du domicile conjugal - seul point du jugement de première instance entrepris par celui-ci - lorsqu'elle a examiné l'appel de l'intimée concernant la garde de l'enfant. En effet, la juridiction a constaté que, depuis la séparation des parties en juillet 2008, celui-ci vivait avec sa mère dans l'appartement familial et voyait son père, auprès duquel il n'avait jamais vraiment habité excepté quelques week-ends, durant les vacances de sa mère et trois soirs par semaine. S'agissant de son comportement, elle a relevé qu'il avait évolué positivement et qu'il n'avait plus rien à voir avec celui qui était le sien lors du prononcé de l'arrêt du 28 mai 2010. Elle a également noté que l'enfant avait clairement exprimé sa volonté de ne pas changer de lieu de vie et de conserver ses habitudes actuelles en vivant auprès de sa mère, tout en voyant régulièrement son père. Elle en a déduit que, eu égard au désir clairement exprimé de l'adolescent de seize ans, il y avait lieu de modifier l'attribution de la garde en faveur de la mère. Ainsi, la cour cantonale s'est également - indirectement - déterminée sur les griefs contenus dans l'appel du recourant puisque c'est précisément pour remédier à la situation invoquée par celui-ci à l'appui de sa requête de mesures provisionnelles, à savoir que, sans disposer de l'appartement familial, il n'était pas en mesure d'exercer la garde qui lui avait été confiée, qu'elle a décidé d'attribuer au même parent la jouissance du domicile conjugal et la garde de l'enfant; elle n'a cependant pas suivi le point de vue du recourant sur ce point pour le motif que l'adolescent voulait maintenir ses habitudes actuelles, c'est-à-dire vivre avec sa mère dans le logement familial. Il suit de là, que la cour cantonale a, de facto, rejeté la conclusion du recourant tendant à l'attribution du domicile conjugal.
3.3 Il reste à examiner si la solution cantonale résiste au grief de l'arbitraire soulevé par le recourant.
3.3.1 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (ATF 137 I 1 consid. 2.4; 136 I 316 consid. 2.2.2 et les références citées).
3.3.2 En l'espèce, on ne voit pas en quoi la décision cantonale de maintenir le statu quo dans l'intérêt de l'enfant, qui, âgé de seize ans, a fermement manifesté son désir de ne pas changer de lieu de vie et de conserver ses habitudes actuelles, à savoir vivre avec sa mère tout en voyant régulièrement son père, serait arbitraire. Dans son argumentation - aussi bien en appel que devant le Tribunal fédéral en relation avec la garde - le recourant ne remet pas en cause cet élément. Il se limite à opposer que la situation actuelle est la conséquence d'une erreur d'appréciation de la cour cantonale dans son arrêt du 28 mai 2010 - en tant qu'elle a estimé que le logement qu'il s'était constitué présentait des conditions de vie semblables au domicile conjugal -, que c'est lui qui a contribué pour beaucoup à l'évolution positive de l'enfant sur le plan scolaire et que celui-ci pourrait continuer à vivre selon ses habitudes si l'appartement familial lui était attribué. De telles critiques ne parviennent cependant pas à faire apparaître insoutenable la décision cantonale.
3.4 Il s'ensuit que, dans son résultat, la solution cantonale de ne pas donner suite à la demande du recourant tendant à l'attribution du domicile conjugal n'est pas arbitraire. Pour les mêmes motifs, l'attribution de la garde sur C._ à la mère n'est pas non plus insoutenable, les deux questions étant étroitement liées. Mal fondé, le recours doit donc être rejeté sur ce point.
4. En définitive, le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les conclusions du recourant étant dépourvues de toutes chances de succès, sa requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF) et les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., mis à sa charge (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée qui n'a pas été invitée à se déterminer (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 4 novembre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
Le Greffier: Richard