Faits:
A. Le 29 avril 2009, F._ a ouvert action devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, contre la Caisse de pensions Y._ (la caisse de pensions) et la Caisse de Prévoyance professionnelle de la Clinique X._ SA (la caisse de prévoyance). Elle concluait à ce que soit la première, dès le 1er septembre 2003, soit la seconde, dès le 1er septembre 2007, fût reconnue débitrice à son égard d'une rente entière d'invalidité.
Le 10 août 2009, la caisse de prévoyance a fait savoir à la juridiction cantonale que la demanderesse avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 1er septembre 2007, puis, le 12 novembre 2009, elle l'a informée que l'intéressée aurait droit à une rente entière d'invalidité de 1'719 fr. par mois dès le 24 septembre 2008.
Le 20 janvier 2010, F._ a modifié ses conclusions en ce sens que la caisse de prévoyance lui était débitrice d'une rente entière d'invalidité de 1'719 fr. par mois dès le 1er octobre 2008. Le 31 mai 2010, elle a d'une part retiré la demande introduite contre la caisse de pensions (ch. 1), d'autre part requis de la juridiction cantonale, s'agissant de la caisse de prévoyance, qu'elle rende une décision sur passé-expédient et dépens (ch. 2).
Le 6 juillet 2010, la caisse de prévoyance a informé la juridiction cantonale qu'elle versait à F._ une rente entière d'invalidité de 1'719 fr. depuis le 1er août 2009, le droit à la rente ayant été différé du 1er septembre 2007 au 23 septembre 2008, puis réduit pour cause de sur-assurance pour la période courant jusqu'au 31 juillet 2009.
B. Par décision du 14 juillet 2010, la juridiction cantonale a prononcé le dispositif suivant :
"I. Il est pris acte du passé-expédient de la demanderesse F._ sur les conclusions prises par les défenderesses Caisse de pensions Y._ et Caisse de pensions de la Clinique X._ SA, ce passé-expédient valant jugement exécutoire.
II. La cause est rayée du rôle.
III. Il n'est pas perçu de frais judiciaires ni alloué de dépens."
C. F._ interjette un recours en matière de droit public contre cette décision; sous suite de frais et dépens, elle conclut à son annulation et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle statue sur les dépens dus par la caisse de prévoyance.
Cette dernière, l'instance inférieure et l'Office fédéral des assurances sociales renoncent à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement par lequel l'autorité cantonale de recours a rayé l'affaire du rôle sans frais ni dépens. Il s'agit d'une décision au sens de l'art. 82 let. a LTF en liaison avec les art. 86 al. 1 let. d et 90 LTF contre laquelle la voie du recours en matière de droit public est ouverte.
2. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références). Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
3. La question du droit aux dépens en matière de prévoyance professionnelle, dans le cadre de litiges portés devant la juridiction cantonale (art. 73 LPP), ressortit au droit de procédure cantonal (ATF 126 V 143).
D'après l'art. 160 al. 1 du Code de procédure civile du canton de Vaud (CPC-VD), en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010, applicable par renvoi de l'art. 109 al. 2 de la Loi sur la procédure administrative du canton de Vaud, le passé-expédient est l'acte par lequel une partie adhère aux conclusions de son adversaire. Selon l'art. 162 al. 1 CPC-VD, la partie qui passe expédient sur toutes les conclusions de son adversaire est chargée des dépens, arrêtés d'office par le juge qui instruit la cause.
Sur la base des griefs fomulés dans le recours (art. 106 al. 2 LTF), le tribunal examine si les règles cantonales précitées ont été appliquées de manière arbitraire (cf. arrêt 9C_911/2007 du 23 juin 2008 consid. 2.2).
4. 4.1 Retenant que la demanderesse avait retiré sa demande après le dépôt des réponses des défenderesses, la juridiction cantonale a considéré que ce retrait valait passé-expédient de la demanderesse sur les conclusions des défenderesses, qu'il y avait lieu d'en prendre acte pour jugement exécutoire et de rayer la cause du rôle, sans frais ni dépens à charge de la demanderesse.
4.2 La recourante reproche essentiellement à la juridiction cantonale d'avoir établi un fait déterminant de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), ce qui l'avait amenée à appliquer le droit cantonal de manière arbitraire (art. 95 let. a, 106 al. 2 LTF).
4.3 A l'examen de la lettre que la recourante avait adressée à la juridiction cantonale, le 31 mai 2010, il est patent que la recourante n'a retiré sa demande qu'à l'égard de la caisse de pensions (ch. 1), mais qu'elle l'a maintenue à l'encontre de la caisse de prévoyance en requérant expressément une décision sur passé-expédient et dépens (ch. 2). Dans la mesure où la juridiction cantonale a retenu que la recourante avait retiré sa demande contre la caisse de prévoyance, elle a procédé de la sorte à un constat manifestement inexact des faits.
Cette constatation a amené la juridiction cantonale à considérer que la demanderesse avait elle-même passé expédient sur les conclusions de la caisse de prévoyance. Toutefois, en faisant abstraction de l'élément erroné retenu par la juridiction cantonale et en examinant l'ensemble des actes de procédure qui ont conduit à la décision attaquée, il apparaît clairement que c'est la caisse de prévoyance qui doit être considérée comme ayant passé expédient sur les conclusions de la demanderesse; aussi le résultat auquel la juridiction cantonale est parvenue se révèle-t-il arbitraire.
4.4 Il s'ensuit que la décision attaquée doit être annulée, et la cause renvoyée à la juridiction cantonale afin qu'elle fixe le montant des dépens dus à la recourante par l'intimée, en vertu de l'art. 162 al. 1 CPC-VD.
5. La caisse de prévoyance intimée, qui succombe, supportera les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF) et versera une indemnité de dépens à la recourante (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et la décision de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 14 juillet 2010 est annulée, la cause étant renvoyée à cette autorité afin qu'elle procède conformément au consid. 4.4.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera à la recourante la somme de 2'000 fr. à titre de dépens (y compris la TVA) pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 14 septembre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Berthoud