Sachverhalt:
A. Die 1967 geborene Z._ arbeitete seit Juli 2001 bei der Firma X._ und war damit bei den Alpina Versicherungen (nunmehr Zürich Versicherungsgesellschaft) obligatorisch unfallversichert. Am 24. Dezember 2001 hielt sie mit ihrem Wagen vor einem Lichtsignal an, worauf sie von einem andern Fahrzeug gerammt und auf den vor ihr stehenden Personenwagen geschoben wurde. Dabei zog sie sich namentlich ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) zu. Der Unfallversicherer erbrachte in der Folge die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Nach Vornahme verschiedener Abklärungen stellte die Zürich Versicherungsgesellschaft mit Verfügung vom 12. Februar 2007 die Taggeldleistungen ab 1. Oktober 2003 und die Heilkostenleistungen ab 31. Januar 2007 ein. Die dagegen erhobene Einsprache wurde teilweise gutgeheissen und der Taggeldanspruch erst auf den 31. Dezember 2003 eingestellt; im Übrigen wurde die Einsprache abgewiesen (Einspracheentscheid vom 13. Juni 2007).
B. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen wies eine hiegegen eingereichte Beschwerde ab (Entscheid vom 12. September 2008).
C. Mit Beschwerde beantragt Z._, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei die Sache an die Vorinstanz bzw. an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen, damit die ihr zustehenden Leistungen festgesetzt würden. Auf die Begründung wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen.
Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung im Allgemeinen (Art. 6 Abs. 1 UVG), über den Anspruch auf Heilbehandlung (Art. 10 Abs. 1 UVG), auf Taggeld (Art. 16 Abs. 1 UVG), auf eine Invalidenrente (Art. 18 Abs. 1 UVG) und auf eine Integritätsentschädigung (Art. 24 Abs. 1 UVG) im Besonderen sowie die Grundsätze zu dem für eine Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen), zum im Sozialversicherungsrecht geltenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) und zum Beweiswert sowie zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (vgl. auch BGE 125 V 351 E. 3a S. 352 mit Hinweis) richtig wiedergegeben. Ebenfalls zutreffend dargelegt ist die Rechtsprechung über den zusätzlich zum natürlichen Kausalzusammenhang erforderlichen adäquaten Kausalzusammenhang (BGE 129 V 177 E. 3.2 S. 181 mit Hinweis), namentlich auch bei Schleudertraumen der HWS (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f. mit Hinweisen).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat nach eingehender Würdigung der medizinischen Akten mit zutreffender Begründung einlässlich erwogen, dass die adäquate Kausalität zwischen dem Unfall vom 24. Dezember 2001 und den bestehenden Beschwerden der Versicherten in Anwendung der Rechtsprechung zu verneinen ist, weshalb die Beschwerdegegnerin zu Recht die Leistungen ab 31. Dezember 2003 (Taggelder) bzw. 31. Januar 2007 (Heilkosten) eingestellt und den Anspruch auf Invalidenrente sowie Integritätsentschädigung verneint hat. Es wird auf die entsprechenden vorinstanzlichen Erwägungen verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
2.2 Die Einwendungen in der letztinstanzlichen Beschwerde der Versicherten vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern. Bei allem Verständnis für die Lage der Beschwerdeführerin muss doch festgehalten werden, dass die von der Rechtsprechung für die Bejahung der adäquaten Kausalität statuierten Voraussetzungen eindeutig nicht gegeben sind. Selbst wenn im Übrigen die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Arbeitsunfähigkeit von "rund 30 % - 40 %" als erheblich im Sinne der Rechtsprechung (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.2.7 S. 129 f. und dortige Hinweise) qualifiziert würde, wäre dennoch der adäquate Kausalzusammenhang angesichts des im mittleren Bereich - im Grenzbereich zu den leichten Unfällen - einzuordnenden Schadensereignisses und dem nicht in besonders ausgeprägter Weise erfüllten Kriterium zu verneinen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. mit weiteren Hinweisen). Ohne dass es weiterer Abklärungen im Sinne der von der Beschwerdeführerin verlangten Rückweisung der Sache bedürfte, muss es daher bei der Feststellung sein Bewenden haben, dass ein Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung über die im vorinstanzlichen Entscheid genannten Zeiträume hinaus zu Recht verneint worden ist.
3. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde wird im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG - ohne Durchführung des Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den kantonalen Entscheid (Art. 102 Abs. 1 und 109 Abs. 3 BGG) - erledigt.
4. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Dezember 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz