Faits:
A.
A.a. P._, frontalière française née en 1961, a travaillé dans le secteur de la restauration jusqu'au 2 mai 2002. Elle a été victime ce jour-là d'un accident de la circulation routière et a subi de multiples contusions au côté droit. Arguant souffrir des séquelles totalement incapacitantes de la rupture du ligament du poignet droit survenue à l'occasion de l'accident, elle s'est annoncée à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après l'office AI) le 13 mars 2003.
Le dossier médical de l'assureur-accidents a été versé en cause au fur et à mesure de sa constitution.
L'administration a sollicité le docteur D._, spécialiste en chirurgie de la main; le praticien a fait état d'entorses des articulations radio-ulnaire inférieure et luno-triquétrale droite traitées par arthroscopie exploratrice avec toilette articulaire et réinsertion du ligament triangulaire prohibant la reprise de l'activité habituelle mais autorisant l'exercice de toute activité adaptée (rapport du 16 juillet 2003). Le centre d'observation professionnelle de l'office AI (ci-après le COPAI) chargé d'objectiver les activités adaptées mentionnées a conclu à l'impossibilité de réinsérer l'assurée dans le circuit économique normal (rapport du 26 mai 2004). L'administration a continué ses investigations. Elle a consulté le docteur B._, spécialiste en médecine physique et réadaptation; le médecin a complété la liste diagnostique en signalant l'existence d'une sub-luxation à l'épaule droite et d'une discopathie dégénérative C5/6/7 sans sténose foraminale (rapport du 2 septembre 2004). La réalisation d'une expertise rhumatologique destinée à définir les répercussions de ces nouvelles pathologies a été confiée à l'Hôpital V._; le docteur G._ a observé les séquelles d'une algodystrophie et une ankylose au poignet droit ainsi qu'un syndrome douloureux concernant le bras droit et la région paracervicale droite qui laissaient toutefois subsister une capacité résiduelle de travail dans une activité adaptée de 80% avec diminution de rendement probable au début (rapport du 3 mars 2005). L'appréciation du volet psychiatrique du cas a été confiée à l'Hôpital X._; les docteurs W._ et K._ ont constaté un syndrome douloureux somatoforme persistant et un état dépressif moyen sans influence sur la capacité de travail (rapport du 19 juillet 2006).
Se fondant sur les éléments rassemblés, l'office AI a averti l'intéressée qu'il envisageait de lui accorder un quart de rente à compter du 1er mai 2003 (projet de décision du 12 janvier 2007). Les objections formulées contre ce projet essentiellement sur la base de l'avis du COMAI et des observations du Service de rééducation de l'Hôpital X._, évoquant un taux maximal d'occupation de 50% (rapport du 16 janvier 2007), ont été écartées par l'administration. L'allocation d'un quart de rente a été entérinée par l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après l'office AI; décision du 10 mai 2007).
Le recours contre cette décision a été déclaré irrecevable par le Tribunal administratif fédéral, Cour III, à cause du paiement tardif de l'avance de frais (jugement du 18 décembre 2007). Le jugement a été confirmé par le Tribunal fédéral (arrêt 9C_159/2008 du 21 avril 2008).
A.b. P._ a déposé une demande de révision de son droit le 12 février 2010 en raison de l'apparition de nouvelles pathologies sous forme d'arthrose à l'épaule droite et au rachis cervical et de tendinopathie du sus-épineux. Elle s'appuyait sur un certificat établi le 19 janvier 2010 par le docteur B._.
Considérant qu'aucune péjoration de l'état de santé n'avait été démontrée, l'administration a averti l'assurée qu'elle allait rejeter sa demande (projet de décision du 25 octobre 2010). Compte tenu de la production d'un nouvel avis du docteur B._ (certificat du 23 novembre 2010), elle a toutefois mis en oeuvre une expertise rhumatologique, confiée au docteur T._; l'expert a fait état des status post-traumatique et opératoire du poignet droit connus et a évoqué des cervico-brachialgies droites chroniques, des troubles dégénératifs modérés du rachis cervical et des lombo-pseudo-sciatalgies chroniques permettant l'exercice de toute activité adaptée à 80% depuis le mois de novembre 2002 (rapport du 22 novembre 2011).
Sur cette base, l'office AI a confirmé le rejet de la demande de révision (décision du 3 juillet 2012).
B.
L'assurée a saisi le Tribunal administratif fédéral, Cour III, d'un recours contre cette décision. Elle a essayé de démontrer l'aggravation de son état de santé en s'appuyant sur les déclarations du Service de rééducation de l'Hôpital X._, qui n'entrevoyait aucune piste de reprise dans quelque domaine que ce soit (rapport du 9 novembre 2011), et un avis du docteur B._ (certificat du 27 juillet 2012). Elle a conclu à l'octroi d'une rente entière ou au renvoi de la cause à l'administration pour complément d'instruction et nouvelle décision. L'office AI a conclu au rejet du recours. Les conclusions et postions des parties ont été maintenues à l'issue d'un second échange d'écritures et d'une détermination supplémentaire de l'intéressée.
Le recours a été rejeté (jugement du 23 octobre 2013). Le Tribunal administratif fédéral a substantiellement estimé que l'expertise, probante, démontrait l'absence de détérioration de la situation et n'était pas mise en doute par les certificats du docteur B._.
C.
P._ recourt contre ce jugement. Elle en demande l'annulation et conclut au renvoi de la cause à l'administration pour qu'elle réalise une nouvelle expertise rhumatologique visant à déterminer les pathologies dont elle souffre et leur impact sur sa capacité de travail.
Considérant en droit:
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (cf. art. 82 ss LTF) interjeté pour violation du droit fédéral (comprenant les droits fondamentaux) au sens de l'art. 95 let. a LTF, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue sur la base des faits retenus par la juridiction précédente (art. 105 al. 1 LTF) qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes et erreurs manifestes apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il n'examine en principe que les griefs allégués et motivés (art. 42 al. 2 LTF) surtout s'il portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant n'est habilité à critiquer la constatation des faits influant sur le sort du litige que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité dans le cadre d'une procédure de révision selon l'art. 17 LPGA, plus particulièrement sur le point de savoir si l'état de santé de l'assurée s'est modifié notablement au point d'influer sur son taux d'invalidité et son droit aux prestations. Étant donné les considérants du jugement entrepris et son dispositif, les griefs soulevés par la recourante et ses conclusions, ainsi que les exigences de motivation et d'allégation prévues à l'art. 42 al. 2 LTF (ATF 133 III 545 consid. 2.2 p. 550; voir aussi Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 25 ad art. 42 LTF), il faut déterminer si la juridiction de première instance a violé le droit fédéral, fait montre d'arbitraire dans son appréciation des preuves ou omis d'établir les faits en se bornant à faire siennes les conclusions du docteur T._ et en écartant les avis médicaux du docteur B._ et du Service de rééducation de l'Hôpital X._ au lieu d'analyser concrètement s'il existait une aggravation de l'état de santé et, cas échéant, si cette détérioration avait un impact sur le droit aux prestations. L'acte attaqué expose correctement les normes et la jurisprudence indispensables à la solution du cas. Il suffit donc d'y renvoyer.
3.
3.1. L'autorité judiciaire inférieure a en l'occurrence comparé justement les circonstances qui existaient lors du rejet de la demande de révision le 3 juillet 2012 avec celles qui prévalaient lorsque la dernière décision se fondant sur un examen matériel complet du droit à la rente avait été prise le 10 mai 2007 (cf. ATF 133 V 108). Elle a déduit de la confrontation des rapports d'expertises de l'Hôpital V._ (toute activité sollicitant peu le bras droit était exigible à 80% ou sept heures par jour avec baisse de rendement de 20% au début, selon le docteur G._), de l'Hôpital X._ (l'assurée présentait une capacité totale de travail du point de vue psychiatrique, selon les docteurs W._ et K._) et du Centre Y._ (extraite du dossier produit par l'assureur-accidents et retenant aussi une pleine capacité de travail dans une activité adaptée) avec le rapport d'expertise du docteur T._ (pour qui les pathologies expressément citées autorisaient la pratique de toute activité adaptée précisément décrite à 80%, sans baisse de rendement) que le taux d'invalidité n'avait subi aucune modification, ni à la hausse, ni à la baisse. Elle a fait siennes les conclusions du docteur T._ qu'elle jugeait probantes. Elle a en outre estimé que celles-ci n'étaient pas remises valablement en question par les avis du docteur B._ et qu'il n'était pas nécessaire de compléter l'instruction.
3.2. La recourante fait en particulier grief au tribunal administratif fédéral de s'être borné à reprendre les conclusions du docteur T._ et écarter les avis du docteur B._ et du Service de rééducation de l'Hôpital X._. Elle soutient concrètement que l'autorité judiciaire inférieure aurait dû clairement examiner les nouvelles pathologies alléguées et déterminer si elles constituaient une péjoration de sa situation médicale au regard notamment des conclusions totalement contradictoires ressortant des documents mentionnés. Elle estime que le défaut d'analyse critique constitue une violation du droit fédéral, une appréciation arbitraire des preuves et une constatation manifestement inexacte des faits.
3.3. Cette argumentation est infondée. S'il est vrai que la motivation du jugement entrepris est succincte, on ne saurait soutenir que celle-ci se fonde sur une constatation manifestement inexacte des faits pertinents susceptibles d'établir l'existence, ou pas, d'une modification notable du taux d'invalidité au sens de l'art. 17 al. 1 LPGA. Le tribunal administratif fédéral a effectivement fait allusion à tous les documents utiles pour résoudre le cas. Il a mentionné la capacité résiduelle de travail de l'assurée telle que retenue par les experts de l'Hôpital V._, de l'Hôpital X._ et du Centre Y._ en 2007. Il n'a pas expressément cité les diagnostics retenus à l'époque mais ceux-ci étaient identifiables, pour autant que cela eût été nécessaire à la solution du litige, dans la mesure où les rapports dans lesquels ils figuraient étaient précisément désignés. Il a en outre fait état des affections observées par le docteur T._ en 2011 ainsi que de leur influence sur la capacité de travail de l'assurée. Il n'a en revanche pas explicitement mentionné le rapport d'observations émanant du Service de rééducation de l'Hôpital X._, dont on peut malgré tout déduire les conclusions du dernier certificat médical établi par le docteur B._, qui en a pour l'essentiel rappelé la teneur. Tous les faits pouvant influencer le sort du litige figurent donc d'une manière ou d'une autre dans l'acte attaqué.
On ne peut de surcroît faire grief à l'autorité judiciaire inférieure d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves (sur cette notion, cf. ATF 138 I 305 consid. 4.3 p. 319). Elle a en effet comparé les rapports médicaux, jugées probants, décrivant les moments pertinents du point de vue d'une révision du droit à une rente d'invalidité et a constaté que les limitations fonctionnelles de l'assurée ainsi que sa capacité résiduelle de travail n'avaient pas changé. Elle en a déduit que la recourante présentait toujours le même degré d'invalidité. Elle a par ailleurs considéré que les avis du docteur B._ ne permettaient pas d'arriver à une conclusion différente. S'il apparaît effectivement que l'analyse du tribunal administratif fédéral est brève, celle-ci n'en reste pas moins parfaitement compréhensible pour l'assurée et contrôlable par le Tribunal fédéral. Même si l'éviction de l'avis du docteur B._ a été traitée en une unique phrase, qui paraît au demeurant inachevée, ce procédé ne saurait mettre en évidence une appréciation arbitraire des preuves, du moins pas dans son résultat, dès lors que les nouveaux troubles affectant l'épaule ou le rachis cervical seulement signalés par ce praticien ont été examinés par l'expert. On relèvera aussi que l'absence d'analyse critique relative aux observations du Service de rééducation de l'Hôpital X._ n'est d'aucune utilité à la recourante puisque la position réservée de ce service quant à une éventuelle réinsertion professionnelle était déjà contraire aux avis unanimes des experts mandatés tant par l'office intimé que par l'assureur-accidents lors de la procédure initiale ayant abouti à l'octroi d'un quart de rente et que, si les informations récoltées durant un stage d'observation professionnelle peuvent effectivement être utiles pour apprécier la capacité résiduelle de travail d'un assuré, elles ne sont en fait qu'un complément aux données médicales et ne sauraient supplanter l'avis dûment motivé d'un médecin à qui il appartient en premier lieu de porter un jugement sur l'état de santé de l'assuré et d'indiquer dans quelle mesure et dans quel type d'activités celui-ci est capable de travailler (cf. p. ex. ATF 125 V 256 consid. 4 p. 261 sv.).
On ne saurait donc dans ces circonstances faire grief au tribunal administratif fédéral d'avoir contrevenu à l'art. 17 LPGA en refusant de réviser le droit à la rente sans compléter l'instruction. Le dossier constitué contenait suffisamment de documents pertinents établissant les pathologies dont souffrait l'assurée et leur impact sur sa capacité de travail.
4.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF) qui n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 28 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Cretton