Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Am 31 Januar 2013 bezichtigte der Beschwerdeführer seine von ihm getrennt lebende Ehefrau der Urkundenfälschung, des Betrugs und der Drohung. Mit Schreiben vom 13. März 2014 zog er sämtliche Belastungen zurück. Gleichzeitig erstattete er Selbstanzeige wegen falscher Anschuldigung. Die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt stellte mit Verfügung vom 15. Juli 2014 das Verfahren gegen die Ehefrau ein. Die Verfahrenskosten wurden dem Beschwerdeführer auferlegt.
Der Beschwerdeführer erhob gegen die Verfügung am 29. Juli bzw. 2. August 2014 Beschwerde. In der Replik vom 2. Oktober 2014 zur Stellungnahme der Staatsanwaltschaft präzisierte er, dass sich die Beschwerde ausschliesslich gegen die Kostenauflage richte. In einer weiteren Eingabe vom 4. November 2014 beantragte er im Widerspruch zur Replik, die Einstellungsverfügung sei insgesamt aufzuheben und das Strafverfahren gegen die Ehefrau weiterzuführen. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies die Beschwerde am 13. November 2014 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer wendet sich mit einer Eingabe vom 12. Januar 2015 (act. 4) fristgerecht ans Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts vom 23. November 2014 (recte 13. November 2014) sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft anzuweisen, das Strafverfahren gegen seine Ehefrau weiterzuführen.
2.
In Bezug auf das Strafverfahren gegen die Ehefrau stellt die Vorinstanz fest, der Beschwerdeführer habe mit seiner Präzisierung, die Beschwerde richte sich nur gegen die Kostenauflage, das Rechtsmittel zurückgezogen, soweit es die Einstellung betreffe. Darauf könne er gemäss Art. 386 Abs. 3 StPO nicht mehr zurückkommen (Entscheid S. 2/3 E. 1.1). In Bezug auf die Kostenauflage führt die Vorinstanz aus, gemäss Art. 420 lit. a StPO könne der Staat für die grundsätzlich von ihm zu tragenden Kosten einer Einstellung auf Personen Rückgriff nehmen, die wie der Beschwerdeführer durch eine falsche Anschuldigung vorsätzlich die Einleitung des Verfahren bewirkt haben (Entscheid S. 3/4 E. 2.2).
Unter diesen Umständen kann sich das Bundesgericht nur mit der Anwendung von Art. 386 Abs. 3 StPO (Rückzug der Beschwerde) und Art. 420 lit. a StPO (Kostenauflage wegen falscher Anschuldigung) befassen. Soweit sich der Beschwerdeführer nicht zu diesen beiden Punkten äussert, sind die Vorbringen unzulässig.
Zum teilweisen Rückzug der Beschwerde macht der Beschwerdeführer nur geltend, das Schreiben vom 2. Oktober 2014 sei "verwirrt", weshalb die Vorinstanz darauf nicht hätte abstellen dürfen. Davon kann nicht die Rede sein. Das Schreiben ist betitelt mit "Rückzug der Beschwerde", und in der "Einleitung" stellt der Beschwerdeführer ausdrücklich fest, er sei "total einverstanden" mit der Einstellung, zumal er "die Anzeige schon am 7. März 2013 (anlässlich) ein (er) Einvernahme zurückgezogen habe". Aus welchem Grund die Vorinstanz angesichts dieser klaren Feststellung des Beschwerdeführers nicht von einem teilweisen Rückzug der Beschwerde hätte ausgehen dürfen, vermag er vor Bundesgericht nicht darzutun.
Mit der Anwendung von Art. 420 lit. a StPO und der Kostenauflage befasst sich der Beschwerdeführer in seiner Eingabe vor Bundesgericht nicht. Auf die Beschwerde ist mangels einer tauglichen Begründung im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdegegnerin 2 ist keine Entschädigung auszurichten, weil sie vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn