Sachverhalt:
A. Die 1973 geborene T._ war ab Mai 1989 als Aufmacherei-Mitarbeiterin in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Das Arbeitsverhältnis endete am 4. August 1998. Noch innerhalb der Nachdeckungsfrist erlitt T._ am 24. August 1998 einen Verkehrsunfall. Ein nachfolgender Renault 19 prallte ins Heck des von ihr gelenkten, innerorts verkehrsbedingt angehaltenen Nissan 200SX. Dies führte bei T._ zu einer Distorsion der Halswirbelsäule (HWS). Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Sie traf sodann Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt (u.a. Einholung des Gutachtens des Dr. med. O._, Spezialarzt FMH für Neurologie, vom 16. November 1999). Ab Dezember 1999 wurde wieder von einer vollen Arbeitsfähigkeit ausgegangen und das Taggeld entsprechend eingestellt. Am 2. März 2000 bestätigte die Versicherte der SUVA, dass - offenbar seit November 1999 - keine medizinische Behandlung mehr stattfinde. Ab Juni 2000 war T._ als Packereivorarbeiterin in der Firma Y._ AG tätig. Anfang 2005 suchte sie wegen gesundheitlichen Beschwerden erneut einen Arzt auf, welcher eine Arbeitsunfähigkeit bestätigte. Dies wurde der SUVA im Januar 2005 als Folge des Unfalls vom 24. August 1998 gemeldet. Der Unfallversicherer erbrachte zunächst wiederum die gesetzlichen Leistungen. Darauf kam er nach medizinischen Abklärungen (u.a. Einholung eines neuen neurologischen Gutachten des Dr. med. O._ vom 9. Oktober 2006, mit Nachtrag vom 21. Januar 2008; ärztliche Beurteilung vom 29. Oktober 2008 durch Dr. med. K._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie FMH, Abteilung Versicherungsmedizin der SUVA) zurück und verneinte mit Verfügung vom 6. November 2008 einen Leistungsanspruch für die erneut gemeldeten Beschwerden. Zur Begründung wurde ausgeführt, es bestehe kein Kausalzusammenhang zwischen diesen und dem Unfall vom 24. August 1998. Die vom Krankenpflegeversicherer der T._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache der Versicherten wies die SUVA mit Entscheid vom 12. März 2009 ab.
B. T._ erhob Beschwerde, welche das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 3. Juni 2010 abwies.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt T._ beantragen, in Aufhebung von Einsprache- und kantonalem Entscheid sei die SUVA zu verpflichten, weiterhin UVG-Leistungen (Heilbehandlung sowie eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 25 %) zu gewähren; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese eine wirbelsäulenorthopädische-neurologische Begutachtung veranlasse und anschliessend über die Leistungsansprüche neu befinde; subeventuell sei die Sache für diese Abklärung und zur anschliessenden neuen Verfügung an die SUVA zurückzuweisen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. In der Beschwerde wird geltend gemacht, das kantonale Gericht habe in mehrfacher Hinsicht Verfahrensrecht verletzt. Diese formellen Rügen sind vorab zu prüfen.
2.1 Vorgebracht wird zunächst, die Vorinstanz habe gegen Art. 53 Abs. 1 lit. b des st. gallischen Gerichtsgesetzes i.V. mit Art. 10 Abs. 1 des st. gallischen Reglements über den Geschäftsgang des Versicherungsgerichts sowie gegen Art. 30 Abs. 1 (recte wohl: Abs. 3) BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verstossen, indem es die Streitsache ohne vorgängige Durchführung einer öffentlichen Verhandlung auf dem Zirkulationsweg entschied.
Mit dem kantonalen Verfahrensrecht hat sich das Bundesgericht grundsätzlich nicht zu befassen. Seine Überprüfungsbefugnis ist gemäss Art. 95 BGG, soweit hier interessierend, auf die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten beschränkt. Dabei fällt praktisch vor allem eine Prüfung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte und Grundsätze in Betracht (BGE 133 V 196 E. 1.1 S. 197 mit Hinweisen).
Zur geltend gemachten Verletzung der BV und der EMRK ist festzuhalten, dass der hiedurch gewährleistete Anspruch auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung einen klaren und unmissverständlichen Parteiantrag voraussetzt (BGE 130 II 425 E. 2.4 S. 431 mit Hinweisen; SVR 2009 IV Nr. 22 S. 62, 9C_599/2008 E. 1.2; aus jüngster Zeit: Urteil 9C_240/2010 vom 3. September 2010 E. 1.2). Es wird weder geltend gemacht noch ist ersichtlich, dass im kantonalen Verfahren die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung beantragt wurde. Die Beschwerde ist somit diesbezüglich unbegründet.
2.2 Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, das kantonale Gericht haben ihren Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV und auf ein ordentlich zusammengesetztes Gericht nach Art. 30 Abs. 1 BV und zudem Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt, indem es ihrem Gesuch um Einsichtnahme in den Zirkulationsbeschluss der Vorinstanz nicht stattgegeben habe. Dadurch habe die Beschwerdeführerin nicht überprüfen können, ob das kantonale Gericht ihr Rechtsmittel tatsächlich in gesetzmässiger Besetzung "und in der nachträglich geltend gemachten Besetzung Rutishauser, Gallati Schneider und Lendfers einstimmig" entschieden habe.
Das kantonale Gericht hat in der ersten, den Verfahrensparteien zugestellten Fassung seines Beschwerdeentscheides bei einer der beteiligten Richterpersonen versehentlich lediglich den Vornamen "Miriam" angegeben. Auf die entsprechende Beanstandung der Versicherten hin stellte es den Parteien ein neues Entscheidsexemplar zu mit der Angabe nunmehr auch des Familiennamens "Lendfers" der betreffenden Richterin. Damit war dem Anspruch auf Bekanntgabe der mitwirkenden Richterpersonen genüge getan, wird doch weder begründet geltend gemacht noch ist sonstwie ersichtlich, inwiefern die ergänzte Angabe der Gerichtszusammensetzung falsch oder unvollständig gewesen sein soll. Eine Verletzung der von der Versicherten angerufenen Bestimmungen der Bundesverfassung und der EMRK liegt somit nicht vor.
Es kann offen bleiben, ob - zumindest einigermassen - erhärtete Zweifel an der ordnungsgemässen Gerichtszusammensetzung einen Anspruch auf Einblick in den gerichtsinternen Zirkulationsbeschluss zu begründen vermöchten.
2.3 Soweit die Versicherte unter Berufung auf das in Art. 30 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK statuierte Öffentlichkeitsprinzip vorbringt, das kantonale Gericht hätte in (partei- oder publikums-)öffentlicher Sitzung über ihre Streitsache beraten müssen, kann ihr ebenfalls nicht gefolgt werden. Das Öffentlichkeitsprinzip gilt nicht für die Beratung des Gerichts. Diese kann unter Ausschluss der Öffentlichkeit geführt werden (BGE 122 V 47 E. 2c S. 51 f. mit Hinweisen; Urteil 2A.48/2006 vom 3. November 2006 E. 2, nicht publ. in: BGE 133 I 58; ZBl 2005 S. 305, 1A.120/2004 E. 2.3 mit Hinweisen).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 24. August 1998 ein Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung für die im Januar 2005 gemeldeten Beschwerden besteht.
Die Bestimmungen und Grundsätze über den Leistungsanspruch im Grundfall sowie bei Rückfällen und Spätfolgen und über die sich stellenden kausal- und beweisrechtlichen Fragen sind im Einspracheentscheid, auf welchen die Vorinstanz verweist, und in deren hier angefochtenem Entscheid zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181). Dabei spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Nach der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen anwendbaren sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
4. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, dass sich die im Januar 2005 gemeldeten Beschwerden nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls vom 24. August 1998 erklären lassen. Die Versicherte vertritt die Auffassung, die Beschwerden seien auf eine als unfallbedingt zu betrachtende Hypermobilität/Instabilität auf Höhe C4/5 zurückzuführen.
4.1 Rechtsprechungsgemäss kann von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (Urteil 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 2 mit Hinweis, nicht publ. in: BGE 135 V 465, aber in: SVR 2010 UV Nr. 6 S. 25). Ob eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vorliegt, beurteilt sich nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181).
4.2 Der vorinstanzliche Entscheid stützt sich namentlich auf die ärztliche Beurteilung des Dr. med. K._ vom 29. Oktober 2008. Darin wird dargelegt, dass bei bestehenden degenerativen Veränderungen die Knickbildung auf Höhe C4/5, die als mögliches Zeichen einer Instabilität interpretiert worden sei, eine unfallfremde anatomische Grundlage habe. Eine unfallbedingte Schädigung lasse sich nicht nachweisen.
Die Versicherte erachtet die Beurteilung des Dr. med. K._ aus verschiedenen Gründen als nicht beweiskräftig.
4.3 Das Bundesrecht schreibt nicht vor, wie die einzelnen Beweismittel zu würdigen sind. Für das gesamte Verwaltungs- und Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren gilt der Grundsatz der freien Beweiswürdigung. Danach haben Versicherungsträger und Sozialversicherungsgericht die Beweise frei, d.h. ohne Bindung an förmliche Beweisregeln, sowie umfassend und pflichtgemäss zu würdigen. Für das Beschwerdeverfahren bedeutet dies, dass das Sozialversicherungsgericht alle Beweismittel, unabhängig davon, von wem sie stammen, objektiv zu prüfen und danach zu entscheiden hat, ob die verfügbaren Unterlagen eine zuverlässige Beurteilung des streitigen Rechtsanspruches gestatten. Insbesondere darf es bei einander widersprechenden medizinischen Berichten den Prozess nicht erledigen, ohne das gesamte Beweismaterial zu würdigen und die Gründe anzugeben, warum es auf die eine und nicht auf die andere medizinische These abstellt. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist also entscheidend, ob der Bericht für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind. Ausschlaggebend für den Beweiswert ist grundsätzlich somit weder die Herkunft eines Beweismittels noch die Bezeichnung der eingereichten oder in Auftrag gegebenen Stellungnahme als Bericht oder Gutachten (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352).
4.3.1 Die Versicherte wendet zunächst ein, dass es sich bei Dr. med. K._ um einen SUVA-Arzt handelt.
Dies schliesst den Beweiswert von dessen Ausführungen indessen nicht aus. Praxisgemäss kommt auch den Berichten und Gutachten versicherungsinterner Ärzte Beweiswert zu, sofern sie als schlüssig erscheinen, nachvollziehbar begründet sowie in sich widerspruchsfrei sind und keine Indizien gegen ihre Zuverlässigkeit bestehen. Die Tatsache allein, dass der befragte Arzt in einem Anstellungsverhältnis zum Versicherungsträger steht, lässt nicht schon auf mangelnde Objektivität und auf Befangenheit schliessen. Es bedarf vielmehr besonderer Umstände, welche das Misstrauen in die Unparteilichkeit der Beurteilung objektiv als begründet erscheinen lassen. Im Hinblick auf die erhebliche Bedeutung, welche den Arztberichten im Sozialversicherungsrecht zukommt, ist an die Unparteilichkeit des Gutachters allerdings ein strenger Massstab anzulegen (BGE 125 V 351 3b/ee S. 353 f.).
Es bestehen keine Anhaltspunkte dafür, dass sich Dr. med. K._ nicht in unparteilicher Weise geäussert hätte. Der Beweiswert seiner Ausführungen lässt sich daher mit diesem Vorbringen nicht entkräften.
4.3.2 Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, es bestünden ungeklärte Widersprüche zwischen der Beurteilung des Dr. med. K._ und den weiteren Arztberichten, unter anderem des von der SUVA beauftragten unabhängigen Facharztes Dr. med. O._. Dies bedürfe weiterer fachärztlicher Abklärungen.
Vorab ist auf die Rechtsprechung hinzuweisen, wonach ein Aktenbericht eines versicherungsinternen medizinischen Sachverständigen zumindest ein interdisziplinäres externes Gutachten nicht zu entkräften vermag (Urteil 8C_756/2008 E. 5.4).
Aus den medizinischen Akten ergibt sich Folgendes: Bereits in den Berichten des Dr. med. E._, Arzt für Allgemeine Medizin FMH, vom 16. April 1999 und des Kreisarzt-Stellvertreters vom 1. September 1999 sowie im neurologischen Gutachten des Dr. med. O._ vom 16. November 1999 wurde gestützt auf bildgebende Untersuchungen eine leicht vermehrte Inklination C4/5 beschrieben. Dr. med. O._ erwähnte überdies, von chiropraktischer Seite sei eine Läsion bei C4/5 nach cervicalem Hyperextensionstrauma erwähnt worden. Gemäss Bericht des Röntgeninstituts A._ vom 17. Mai 2005 ergab sich bei der MRI-Untersuchung vom 12. Mai 2005 bei C4/5 eine minimale Stufenbildung in der Inklinationsaufnahme mit diskreter Ventralisation C4 gegenüber C5. Dies präsentiere sich in den aktuellen Aufnahmen diskret prominenter als in den Voraufnahmen. Weiter wurde ein Verdacht auf Gefügelockerung geäussert und festgehalten, es bestünden keine wesentlichen degenerativen Veränderungen. Diese Feststellungen wurden im kreisärztlichen Untersuchungsbericht vom 6. Juni 2005 übernommen. Im Gutachten vom 9. Oktober 2006 führte Dr. med. O._ aus, bezüglich des bestehenden cervikospondylogenen Syndroms fokussiere sich deutlicher als bei der ersten Begutachtung eine mögliche Instabilität C4/5, weshalb eingehendere Abklärungen angezeigt seien. Der Experte hielt es sodann mindestens für möglich, dass der Unfall eine richtunggebende Verschlimmerung an der HWS bewirkt habe. Vor Spekulationen über einen solchen Sachverhalt sei aber die Untersuchung bezüglich möglicher Instabilität C4/5 abzuwarten. Die SUVA beauftragte hierauf das Zentrum Z._, mit einer Funktionsuntersuchung der HWS. Die entsprechende Untersuchung ergab gemäss Bericht des Zentrums Z._ vom 5. Dezember 2007 den Verdacht auf eine monosegmentale Hypermobilität im Segment C4/5. Dr. med. O._ äusserte sich im Gutachtensnachtrag vom 21. Januar 2008 dahingehend, unter Berücksichtigung der aktuellsten Untersuchungsergebnisse sei von einer Hypermobilität C4/5 auszugehen, welche ohne Unfallereignis nicht denkbar sei. Diese Bewegungsstörung beeinträchtige zur Hauptsache die Arbeitsfähigkeit der Versicherten. In der kreisärztlichen Beurteilung vom 15. Mai 2008 wurde ausgeführt, die am Zentrum Z._ vorgenommene Funktionsaufnahme der HWS in Inklination dokumentiere eine Knickbildung im Segment C4/5, vereinbar mit einer Hypermobilität. Der Kreisarzt, FMH für Chirurgie, hielt sodann fest, er könne sich mangels Kompetenz nicht zur Frage äussern, ob diese Hypermobilität C4/5 zumindest in einem teilkausalen Zusammenhang zum Unfallereignis vom 24. August 1998 stehe.
Aus dem Gesagten erhellt, dass von verschiedener Ärzten Anzeichen für eine Hypermobilität C4/5 festgestellt wurden und der neurologische Gutachter Dr. med. O._ eine solche nunmehr sogar ausdrücklich bestätigt und als unfallkausal beurteilt. Demgegenüber verneint Dr. med. K._ eine - gegebenenfalls unfallkausale - Instabilität C4/5 gänzlich. Welche dieser widersprüchlichen Auffassungen zutrifft, lässt sich aufgrund der vorhandenen medizinischen Akten nicht verlässlich beurteilen. Für beide Sichtweisen werden Gründe vorgebracht, welche von der jeweils anderen Seite nicht schlüssig entkräftet werden. Es kommt hinzu, dass sich bezüglich der unterschiedlichen Auffassungen auf der einen Seite hauptsächlich ein Neurologe und auf der anderen Seite ein orthopädischer Chirurg gegenüberstehen. Unter diesen Umständen ist eine ergänzende medizinische Abklärung, welche eine gesamthafte Beurteilung über die Fachgebiete hinweg gewährleistet, angezeigt. Die Sache wird daher an das kantonale Gericht zurückgewiesen, damit es zur Frage einer organisch nachweisbaren Unfallfolge im Bereich C4/5, und den allfälligen Auswirkungen auf Behandlungsbedarf, Arbeitsfähigkeit und Integrität, ein - versicherungsexternes - neurologisch-orthopädisches Gutachten einhole und gestützt auf die Ergebnisse dieser Abklärung über die Beschwerde neu entscheide.
5. Sollte die ergänzende medizinische Abklärung nicht den Nachweis einer organischen Unfallfolge ergeben, liesse sich der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch bestehenden Beschwerden nicht ohne besondere Prüfung bejahen (E. 3 in fine hievor). Für diesen Fall gilt Folgendes:
5.1 Das kantonale Gericht hat erwogen, die Frage der natürlichen Unfallkausalität der geklagten, organisch nicht erklärbaren Beschwerden müsse nicht abschliessend beantwortet werden, da ohnehin der adäquate Kausalzusammenhang zwischen diesen und dem Unfall vom 24. August 1998 zu verneinen sei. Dieses Vorgehen ist nicht zu beanstanden, wenn es in der Tat an der Adäquanz fehlt (BGE 135 V 465 E. 5.1 S. 472). Das ist nachfolgend zu prüfen.
Ergibt sich, dass es am adäquaten Kausalzusammenhang fehlt, kann auch die ebenfalls umstrittene Frage offen bleiben, ob die im Januar 2005 gemeldeten Beschwerden nun als Rückfall zum Unfall vom 24. August 1998 zu betrachten oder aber dem Grundfall zuzurechnen wären.
5.2 Das kantonale Gericht ist nach der Schleudertrauma-Praxis vorgegangen mit der Begründung, die Adäquanz sei auch nach deren Regeln, welche für die Versicherte günstiger seien als die der Psycho-Praxis, zu verneinen. Gegen dieses Vorgehen werden keine Einwände erhoben.
Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, das Unfallereignis vom 24. August 1998 sei höchstens als mittelschwer im Grenzbereich zu den leichten Unfällen zu qualifizieren. Von den bei mittelschweren Unfällen in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehenden Kriterien sei keines erfüllt.
Diese Beurteilung ist überzeugend begründet und entspricht in allen Teilen Gesetz und Praxis (BGE 134 V 109). Das stellt die Beschwerdeführerin auch nicht in Frage. Demnach fehlt es am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 24. August 1998 und den im Januar 2005 gemeldeten Beschwerden, soweit sich diese nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge erklären lassen.
6. Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu weiterer Abklärung und neuem Entscheid (mit noch offenem Ausgang) gilt praxisgemäss für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Zusprechung einer Parteientschädigung als Obsiegen der Beschwerde führenden Partei gemäss Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG (BGE 8C_78/2009 vom 31. August 2010 E. 12.1 mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 3. Juni 2010 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Oktober 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz