Erwägungen:
1. X._ erhob gegen einen Rekursentscheid des Departements Sicherheit und Justiz des Kantons Appenzell A.Rh. vom 9. Juli 2010 Beschwerde. Nach Eingang der Beschwerde forderte ihn das Verwaltungsgericht des Kantons Appenzell A.Rh. zur Leistung eines Kostenvorschusses auf, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Nachdem der Kostenvorschuss nicht geleistet wurde, trat das Verwaltungsgericht mit Entscheid vom 30. August 2010 auf die Beschwerde nicht ein.
2. X._ führt mit Eingabe vom 5. September 2010 (Postaufgabe 8. September 2010) Beschwerde beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer, der keinen Beschwerdegrund nennt, setzt sich mit den Ausführungen des Verwaltungsgerichts, die zum Nichteintreten auf seine Beschwerde führten, nicht auseinander und legt nicht dar, inwiefern das Verwaltungsgericht dabei Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt haben sollte. Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Entscheids darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Departement Sicherheit und Justiz und dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. September 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli