Sachverhalt:
A. Die 1957 geborene P._ war ab 1994 als Briefsortiererin tätig. Ab November 2002 war sie wiederholt arbeitsunfähig, weshalb die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf Ende Juni 2005 kündigte. Zwischenzeitlich hatte sich P._ im Januar 2004 bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug angemeldet. Die IV-Stelle Basel-Stadt traf erwerbliche und medizinische Abklärungen. Ihre ersten Verfügungen vom 24. Oktober/30. November 2006 und 28. Oktober 2009 wurden jeweils vom Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt aufgehoben. Mit Verfügung vom 8. August 2011 sprach die IV-Stelle der Versicherten rückwirkend ab 1. November 2003 bei einem Invaliditätsgrad von 48 % eine Viertelsrente zu.
B. Beschwerdeweise beantragte P._, in Aufhebung der Verfügung vom 8. August 2011 sei eine Invalidenrente nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von 68 % zuzusprechen, eventuell sei der Sachverhalt weiter abzuklären. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt gewährte ihr die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 15. Oktober 2012 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt P._ die Aufhebung der Verfügung vom 8. August 2011 sowie des kantonalen Entscheides beantragen und ihr vorinstanzliches Rentenbegehren erneuern. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 137 II 313 E. 1.4 S. 317 f. mit Hinweis). Trotzdem obliegt es der Beschwerde führenden Partei, sich in ihrer Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389; vgl. auch BGE 137 III 580 E. 1.3 S. 584; je mit Hinweisen).
2. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zum nach dem Grad der Invalidität abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente, zur Bestimmung des Invaliditätsgrades mittels Einkommensvergleich, zur Aufgabe von Arzt und Ärztin bei der Invaliditätsbemessung sowie zu den Anforderungen an beweiswertige ärztliche Berichte und Gutachten zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, die Beschwerdeführerin sei in einer leichten Verweistätigkeit (Gewichtslimite 5 kg) ohne Arbeiten auf oder über der Schulterhorizontalen sowie repetitive Belastungen der Schultern, bei einer wegen vermehrten Pausenbedarfs um 20 % reduzierten Leistungsfähigkeit, ganztags arbeitsfähig.
Diese Beurteilung beruht auf einer einlässlichen Auseinandersetzung mit den medizinischen Akten. Das kantonale Gericht hat dabei eingehend dargelegt, weshalb es die von der Verwaltung eingeholten Gutachten des Rheumatologen Dr. med. W._ vom 7. November 2008 und des Psychiaters Dr. med. A._ vom 20. August 2009 als verlässliche Entscheidsgrundlagen betrachtet und sich durch die übrigen Arztberichte, soweit davon abweichend, zu keiner anderen Betrachtungsweise veranlasst sieht.
3.2 Ein erster Einwand der Versicherten geht dahin, sie nehme seit mehr als fünf Jahren zur Schmerzbekämpfung Morphin-Präparate ein. Ob sie an einer Medikamentenabhängigkeit mit invalidisierendem Charakter leide, sei aber nicht ausreichend geklärt.
Die Vorinstanz hat sich mit diesem Gesichtspunkt auseinandergesetzt und gestützt auf eine Würdigung der medizinischen Akten dargelegt, weshalb sie sich nicht veranlasst sieht, wegen des Morphinkonsums auf eine höhere Arbeitsunfähigkeit zu schliessen. Diese Beurteilung ist weder offensichtlich unrichtig noch in anderer Weise rechtswidrig. Auch der Einwand der ungenügenden Sachverhaltsabklärung geht fehl. Die Vorinstanz hat in nicht zu beanstandender antizipierter Beweiswürdigung erkannt, dass kein Bedarf für weitere Abklärungen besteht. Der in der Beschwerde erwähnte Bericht des Inselspitals Bern vom 3. Dezember 2010 rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise.
3.3 Geltend gemacht wird weiter, das kantonale Gericht habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig und unvollständig festgestellt, indem es sich auf die Expertisen W._ sowie A._ abgestützt und den Verlauf in der Zeit zwischen diesen Begutachtungen und der Verwaltungsverfügung vom 8. August 2011 nicht berücksichtigt habe. Das gelte insbesondere für die Folgen der im Mai 2009 und April 2010 durchgeführten Operationen an linker Hüfte resp. linker Schulter. Sodann habe die Vorinstanz im Zusammenhang mit dem Gutachten W._ den Grundsatz der freien Beweiswürdigung verletzt.
Diese Vorbringen sind ebenfalls unbegründet. Das kantonale Gericht hat einlässlich dargelegt, weshalb es auch unter Berücksichtigung der übrigen Arztberichte die Expertisen W._ und A._ für beweiswertig erachtet und zudem eine seit deren Begutachtungen eingetretene wesentliche Verschlechterung ausschliesst. Diese Beurteilung ist weder offensichtlich unrichtig noch in anderer Weise rechtswidrig. Das gilt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung auch für die Würdigung der somatisch/psychischen Zusammenhänge und der fachärztlichen Beurteilung der Beschwerden an Hüfte und Schultern. Hervorzuheben ist, dass die Auffassung beider Gutachter nicht nur in verschiedenen RAD-Berichten geteilt wird. Vielmehr hat auch Dr. med. N._, welcher die Versicherte seit Jahren als Hausarzt betreut, mit Berichten vom 9. und 15. März 2011, mithin nach den erfolgten Operationen, eine weiterhin bestehende Restarbeitsfähigkeit in dem von den Gutachtern W._ und A._ angenommenen Rahmen bestätigt. Dass der behandelnde Rheumatologe demgegenüber - als einziger - eine höhere Arbeitsfähigkeit bestätigt, rechtfertigt kein anderes Ergebnis. Es kann auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
4. 4.1 Ausgehend von der festgestellten Restarbeitsfähigkeit in angepassten Tätigkeiten hat die Verwaltung einen Einkommensvergleich nach Massgabe der Verhältnisse im Jahr 2003 vorgenommen. Sie setzte das ohne gesundheitliche Beeinträchtigung mutmasslich erzielte Einkommen (Valideneinkommen) gestützt auf die Angaben der ehemaligen Arbeitgeberin auf Fr. 67'609.- im Jahr fest. Das trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung zumutbarerweise noch erzielbare Einkommen bestimmte die IV-Stelle mittels Tabellenlöhnen gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) 2002. Sie ging vom statistischen Lohn gemäss Tabelle TA1, Total Frauen, Anforderungsniveau 4, aus, und passte ihn hinsichtlich Lohnentwicklung und betriebsüblicher Wochenarbeitszeit an. Vom resultierenden Jahreseinkommen von Fr. 48'579.- zog sie nach Massgabe der ärztlich bestätigten Leistungsbeschränkung 20 % ab. Sodann nahm sie aufgrund des gesundheitsbedingt eingeschränkten Leistungsprofils einen leidensbedingten Abzug von 10 % vor. Die Gegenüberstellung des resultierenden Invalideneinkommens von Fr. 34'977.- mit dem Valideneinkommen von Fr. 67'609.- ergab eine gesundheitsbedingte Erwerbseinbusse von Fr. 32'632.-, was einem Invaliditätsgrad von 48 % entspricht. Das kantonale Gericht hat dies in allen Punkten bestätigt.
4.2 Die Einwände der Versicherten betreffen das Invalideneinkommen. Dieses hätte wegen der weitgehenden qualitativen Einschränkungen ihres Leistungsvermögens nicht aufgrund der LSE bestimmt werden dürfen. Vielmehr hätte die Verwaltung unter diesen Umständen konkret mögliche Verweistätigkeiten aufzeigen müssen. Sodann müsse bei Verwendung von Tabellenlöhnen der leidensbedingte Abzug aufgrund der gesundheitsbedingten Einschränkungen und der deswegen gegenüber den statistischen Einkommen zu erwartenden Lohneinbusse auf 25 % angesetzt werden.
4.3 Das kantonale Gericht hat erkannt, unter Berücksichtigung des medizinisch zumutbaren Tätigkeitsprofils sowie der von der Versicherten - im Ursprungsland Kolumbien - absolvierten Ausbildungen zur Sekretärin, Buchhalterin und Ingenieurin für Computersysteme stehe ihr auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt ein breiter Fächer an leichten, nicht schulterbelastenden Arbeitsmöglichkeiten, wie Sekretariats- oder Administrativdienste, offen. Die IV-Stelle habe daher ohne nähere Konkretisierung von Arbeitsstellen auf die statistischen Lohnverhältnisse gemäss der LSE abstellen dürfen. Sodann sei der von der Verwaltung festgesetzte leidensbedingte Abzug von 10 % aufgrund des noch gegebenen Leistungsprofils sowie des Umstandes, dass dabei bereits eine Einschränkung von 20 % berücksichtigt worden sei, als grosszügig zu betrachten und jedenfalls nicht zu niedrig ausgefallen.
Diese Beurteilung ist in allen Teilen richtig. Das gilt auch für die - vom Bundesgericht ohnehin nur im Hinblick auf Ermessensüberschreitung oder -missbrauch als Formen rechtsfehlerhafter Ermessensbetätigung überprüfbare (BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399) - Höhe des leidensbedingten Abzugs.
4.4 Die vorgenommene Invaliditätsbemessung ist im Übrigen nicht umstritten und gibt keinen Anlass für weitere Bemerkungen. Der Invaliditätsgrad wurde demnach zu Recht auf 48 % festgesetzt, womit es beim Anspruch auf eine Viertelsrente bleibt.
5. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
6. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt, der Ausgleichskasse Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. März 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz