Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt sprach X._ am 28. September 2011 der groben Verletzung der Verkehrsregeln (unvorsichtiges Abbiegen nach links mit Gefährdung der Strassenbahn) sowie der Übertretung des Gesetzes über den Betrieb von Taxis schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von fünf Tagessätzen zu Fr. 30.--, mit bedingtem Vollzug bei einer Probezeit von zwei Jahren, sowie zu einer Busse von Fr. 500.-- bzw. einer Ersatzfreiheitsstrafe von fünf Tagen. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte das Urteil am 6. November 2012.
X._ beantragt dem Bundesgericht sinngemäss, das Urteil vom 6. November 2012 aufzuheben, ihn vom Vorwurf der groben Verletzung der Verkehrsregeln freizusprechen und die Strafe herabzusetzen.
2. Die tatsächlichen Feststellungen und die Beweiswürdigung können vor Bundesgericht gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV sind. Willkürlich sind sie, wenn sie offensichtlich unhaltbar sind oder mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen. Dass eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint, genügt nicht (BGE 137 I 1 E. 2.4). Die angebliche Willkür ist in der Beschwerde präzise zu rügen, und die Rüge ist zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG).
In Bezug auf die Verletzung der Verkehrsregeln stützte sich die Vorinstanz auf einen Mitarbeiter der Kantonspolizei, der das Geschehen beobachtet hatte, und auf die beteiligte Lenkerin der Strassenbahn, die als Zeugin unter Wahrheitspflicht mit Strafdrohung ausgesagt hatte (vgl. angefochtenen Entscheid S. 5 E. 3.1). Der Beschwerdeführer bemängelt, dass ein von ihm genannter Zeuge, der seine Angaben bestätigen könnte, nicht einvernommen wurde. Die Vorinstanz kommt indessen zum Schluss, dass sich an der Glaubwürdigkeit der Aussagen der Zeugin, welche sich mit den Angaben der Polizei decken, nichts ändern würde, wenn der beantragte Zeuge die Aussagen des Beschwerdeführers stützte (angefochtener Entscheid S. 4 E. 1.3.2). Diese Folgerung ist unter dem Gesichtswinkel der Willkür nicht zu beanstanden.
3. In Bezug auf die Strafe rügt der Beschwerdeführer unter Hinweis auf seine finanziellen Verhältnisse, dass er eine Busse von Fr. 500.-- bezahlen muss. Die Vorinstanz hat sich dazu geäussert, worauf hier verwiesen werden kann (vgl. angefochtenen Entscheid S. 6/7 E. 4). Auch wenn dem Beschwerdeführer nicht viel Geld zur freien Verfügung bleibt, ist nicht ersichtlich, dass die Höhe der Busse seinen Verhältnissen nicht angemessen wäre. Eine Verletzung von Art. 106 Abs. 3 StGB liegt jedenfalls nicht vor.
4. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen. Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Januar 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn