Faits:
A. C._, née en 2004, est la fille née hors mariage de A._ et B._. Les parents s'opposent depuis 2005 quant au droit de visite du père sur son enfant.
Par ordonnance de mesures provisionnelles du 27 avril 2006, le Juge de paix du district d'Oron a dit que le droit de visite du père sur sa fille s'exercera au Point Rencontre Lausanne à raison d'une fois par mois pour une durée d'une heure à l'intérieur des locaux exclusivement et en la présence obligatoire d'un assistant du Point Rencontre. Le 22 mars 2007, ledit magistrat a renouvelé cette ordonnance.
Par arrêt du 8 janvier 2009, la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud a confirmé le droit du père à exercer son droit de visite selon les modalités prévues par l'ordonnance du 27 avril 2006, renouvelée le 22 mars 2007.
B. Par requête de mesures provisionnelles d'extrême urgence du 1er mai 2009, la mère a requis la suspension de l'exercice du droit de visite.
Statuant le 4 juin 2009, la Justice de paix du district de Lavaux-Oron a pris acte de l'accord intervenu entre les parties de suspendre l'instruction de la requête de mesures provisionnelles, suspendu l'instruction de la cause pour une durée de trois mois, imparti un délai de trois mois au Service de protection de la Jeunesse (SPJ) pour mettre en place les modalités d'exercice du droit de visite du père - accompagné d'une prise en charge thérapeutique - et invité le SPJ à fournir dans le même délai un rapport faisant état de l'évolution de la situation.
Dans son rapport du 22 mars 2010, l'assistant social du SPJ a informé la Justice de paix que le SPJ ne pouvait pas remplir le mandat qui lui avait été confié, la mère ne s'étant pas présentée aux rendez-vous fixés et ayant quitté la Suisse le 15 février 2010 sans laisser d'adresse.
Agissant par voie de mesures provisionnelles le 29 avril 2010, le père a requis qu'il soit ordonné à la mère de se présenter au SPPEA sans délai en vue de la fixation des modalités de son droit de visite, sous la commination de la peine prévue par l'art. 292 CP; en outre, il a sollicité l'ouverture d'une procédure en retrait de l'autorité parentale.
Dans sa réponse du 21 juin 2010, la mère a confirmé son établissement définitif en Italie avec sa fille et excipé de l'incompétence des autorités suisses.
C. Par décision du 28 octobre 2010, la Justice de paix a admis sa compétence ratione loci (I), constaté l'existence du droit de visite surveillé du père tel que résultant de l'ordonnance du juge de paix du 27 avril 2006, renouvelé par ordonnance du 22 mars 2007 et confirmé par arrêt de la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal du 8 janvier 2009, lequel s'exercera au Point Rencontre Lausanne à raison d'une fois par mois pour une durée d'une heure à l'intérieur des locaux exclusivement et en la présence obligatoire d'un assistant du Point Rencontre conformément au calendrier et au règlement du Point Rencontre (II), ordonné à la mère de se soumettre à cette décision et de présenter sa fille au prochain rendez-vous qui lui sera fixé par le Point Rencontre, sous la menace de la peine prévue par l'art. 292 CP (III) et laissé les frais de la décision à la charge de l'Etat (IV).
Par arrêt du 8 avril 2011, la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal vaudois a admis le recours de la mère (I) et réformé la décision attaquée en ce sens que la Justice de paix du district de Lavaux-Oron n'est pas compétente pour statuer sur la présente procédure en fixation de l'exercice du droit de visite du père sur sa fille (II/I), l'affaire étant ainsi rayée du rôle (II/II).
D. Par acte du 27 juin 2011, le père exerce un recours en matière civile, subsidiairement un recours constitutionnel, au Tribunal fédéral; il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à la confirmation de la décision prise le 28 octobre 2010 par la Justice de paix.
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recourant a interjeté, dans la même écriture (art. 119 al. 1 LTF), un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire, ce dernier étant consacré aux griefs d'ordre constitutionnel (art. 8 CEDH et art. 13 et 14 Cst.). Cette manière de procéder est erronée: la présente affaire étant de nature non pécuniaire, le recours en matière civile est par principe ouvert (arrêt 5A_365/2010 du 5 août 2010 consid. 1.1); en outre, l'art. 95 let. a LTF comprend les droits constitutionnels, de sorte que leur violation peut être dénoncée à l'appui d'un recours en matière civile (ATF 133 I 201 consid. 1). Cela étant, l'ensemble des moyens du recourant doit être examiné dans le cadre du recours en matière civile (arrêts 2C_118/2009 du 15 septembre 2009 consid. 1.2; 5A_410/2008 du 9 septembre 2008 consid. 1.2, avec les citations), autant que celui-ci est par ailleurs recevable.
1.2 Le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF; ATF 135 V 153 consid. 1.3) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 LTF). Le recourant a qualité pour contester la décision d'incompétence de l'autorité précédente (art. 76 al. 1 LTF; arrêt 5A_607/2008 du 2 mars 2009 consid. 1.1).
1.3 Il ne ressort pas (du moins clairement) de la décision de première instance, ni de l'arrêt entrepris, que le litige opposant les parties quant à l'exercice du droit de visite n'aurait été tranché qu'à titre provisoire, à savoir jusqu'à droit connu sur une ultérieure décision au fond, et après un examen sommaire des faits et du droit; la décision attaquée n'a donc pas été prise dans une procédure de mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (cf. sur cette notion: ATF 137 III 193 consid. 1.2, avec les références).
2. En l'espèce, l'autorité précédente a rappelé que la mère avait produit spontanément divers documents en première instance; cependant, la justice de paix avait estimé que, si ces documents pouvaient constituer des indices de la présence de l'intéressée et de sa fille en Italie, ils ne démontraient pas de manière suffisamment probante un établissement durable dans ce pays. C'est pourquoi cette juridiction avait sollicité la production "de toutes pièces propres à établir que B._ et sa fille C._ résident à D._"; comme la mère n'a que "très partiellement" déféré à cette requête, les premiers juges ont retenu que le changement de résidence était insuffisamment prouvé et, partant, admis leur compétence ratione loci.
A l'appui de son recours cantonal, l'intéressée a produit des nouvelles pièces, sur la base desquelles la juridiction précédente a admis que la mère et sa fille vivaient désormais en Italie:
- L'avis de départ de la commune de E._ mentionne un départ au 16 juin 2010 et une nouvelle adresse en Italie; ce document n'est pas daté, mais il est selon toute vraisemblance postérieur aux attestations d'établissement du 22 juin 2010 produites par le père; ce départ est au surplus confirmé par les certificats de résidence du 24 juin 2010 de la commune de D._ concernant la mère et sa fille, que celle-là avait produits en première instance.
- L'enfant est inscrite à l'école en Italie pour l'année scolaire 2010-2011 dans une classe de primaire, comme l'atteste une déclaration de l'office scolaire régional concerné du 18 novembre 2010; ce fait est également confirmé par une attestation de la Direction des écoles de F._ du 18 février 2011, qui indique que l'enfant a été scolarisée dans son établissement durant l'année scolaire 2009-2010 au cycle initial du 24 août 2009 au 15 février 2010. En outre, la mère a produit en première instance un document faisant état de l'inscription de sa fille à des cours de danse à D._ dès le mois de mars 2010; dans une lettre adressée le 21 février 2011 à la justice de paix, une dénommée X._ a affirmé avoir assisté à ces cours. Enfin, le livret de vaccination italien de G._ (dernier enfant de l'intimée) établit que plusieurs vaccins ont été administrés à celle-ci le 27 octobre 2010.
- S'agissant des paiements opérés par la mère en Italie, il est vrai que le relevé de sa carte de crédit ne porte que sur une période restreinte (15 décembre 2010 au 17 janvier 2011) et a été envoyé à son adresse en Suisse; toutefois, il ressort du dossier que l'intéressée a procédé à divers achats, notamment des objets importants comme des meubles, et ce tout au long de l'année 2010; elle a produit un reçu relatif au loyer de l'appartement de D._ et une quittance de paiement du mazout du 30 décembre 2010 d'un montant de près de 1'000 euros. D'autres éléments du dossier démontrent l'existence de charges concernant un logement en Italie: une somme de 219,23 euros a été débitée de son compte auprès de la Banca Popolare Pugliese, laquelle correspond à celle qu'atteste un récépissé postal relatif à une facture d'électricité du 2 juin 2010; une pièce du 15 octobre 2010 se réfère à la vidange de la fosse septique de l'appartement situé à D._.
En définitive, s'il est exact que la mère n'a pas produit suffisamment de preuves devant la justice de paix et que certaines pièces paraissent "discutables sur plusieurs points", les éléments énumérés ci-dessus, pris dans leur ensemble, accréditent la thèse que l'intéressée et sa fille résident désormais en Italie, à tout le moins depuis le début de l'année scolaire 2010-2011. En conséquence, seules les juridictions italiennes sont compétentes pour statuer sur le droit de visite du père.
2.1 Contrairement à l'avis de l'autorité précédente, la Convention de La Haye du 19 octobre 1996 concernant la compétence, la loi applicable, la reconnaissance, l'exécution et la coopération en matière de responsabilité parentale et de mesures de protection des enfants (CLaH 96; RS 0.211.231.011) n'est pas applicable en l'occurrence. Certes, l'art. 85 al. 1 LDIP renvoie à ce traité, mais celui-ci ne remplace la Convention de La Haye du 5 octobre 1961 concernant la compétence des autorités et la loi applicable en matière de protection des mineurs (CLaH 61; RS 0.211.231.01) que dans les rapports entre les Etats contractants (art. 51 CLaH 96); en d'autres termes, "la CLaH 61 continuera de s'appliquer en matière de protection des enfants dans le cadre des relations avec les Etats qui n'ont pas ratifié la CLaH 96" (FF 2007 p. 2470; BUCHER, in: Commentaire romand, LDIP - CL, 2011, n° 112 ad art. 85 LDIP; arrêt 5A_427/2009 du 27 juillet 2009 consid. 4.5.1; cf. pour de plus amples détails: F. Guillaume, La LDIP et les conventions de droit international privé, in: La loi fédérale de droit international privé: vingt ans après, 2009, p. 178/179), ici l'Italie (Dutoit, Commentaire de la loi fédérale du 18 décembre 1987, Supplément, 2011, n° 3 ad art. 85 LDIP; cf. sur les Etats parties: RO 2009, 2965 et 3104). Cette erreur est toutefois sans incidence, dès lors que la réglementation du droit de visite constitue une mesure de protection de l'enfant quel que soit le texte considéré (pour la CLaH 96: art. 3 let. b; Bucher, ibidem, n° 3; pour la CLaH 61: ATF 132 III 586 consid. 2.2.1, avec les références; pour l'inapplication du principe de la perpetuatio fori: arrêts 5A_622/2010 du 27 juin 2011 consid. 3; 5A_131/2011 du 31 mars 2011 consid. 3.3.1).
2.2 La notion de "résidence habituelle", que la CLaH 61 ne définit pas, doit être interprétée conformément au but et à l'esprit du traité; on peut s'inspirer de l'art. 20 al. 1 let. b LDIP, dont la définition correspond en règle générale au rôle attribué à la résidence habituelle dans le cadre de la convention. La notion de résidence habituelle est basée sur une situation de fait et implique la présence physique dans un lieu donné; la résidence habituelle de l'enfant se détermine ainsi d'après le centre effectif de sa propre vie et ne peut pas être simplement déduite de la situation du parent investi de la garde ou de l'autorité parentale (arrêt 5A_607/2008 du 2 mars 2009 consid. 4.4); il n'en demeure pas moins que la résidence habituelle d'un jeune enfant coïncide le plus souvent avec le centre de vie du parent qui en a la charge (arrêt 5A_427/2009 précité consid. 3.2, avec les références). Un séjour de six mois crée en principe une résidence habituelle, mais celle-ci peut exister également sitôt après le changement du lieu de séjour, si elle est destinée à être durable et à remplacer le précédent centre d'intérêts (arrêt 5A_665/2010 du 2 décembre 2010 consid. 4.1, avec les citations); pour déterminer l'existence d'une résidence habituelle, ce n'est donc pas la durée de la présence dans un endroit donné qui est décisive, mais la perspective d'une telle durée (arrêt 5A_607/2008 précité consid. 4.4).
2.2.1 A l'appui de son grief d'arbitraire "dans l'appréciation des faits et des preuves" (art. 9 Cst.), le recourant expose sa propre interprétation - émaillée, par surcroît, de nombreux faits qui ne ressortent pas de la décision entreprise (art. 99 al. 1 et 105 al. 1 LTF) - des éléments sur lesquels s'est fondée l'autorité cantonale pour admettre le changement de résidence habituelle de l'enfant; clairement appellatoire, le recours est irrecevable dans cette mesure (ATF 134 II 349 consid. 3; 133 III 589 consid. 2 et la jurisprudence citée). Au demeurant, ces critiques sont dénuées de pertinence en tant qu'elles portent sur la période février-été 2010, la cour cantonale ayant retenu, sur le vu d'une attestation établie le 18 novembre 2010 par le "Ministère de l'éducation de la Commune de D._", que la mère et sa fille résidaient en Italie "tout au moins depuis le début de l'année scolaire 2010-2011".
2.2.2 Dénonçant une violation des "articles 5 CLaH, 20 et 85 LDIP", le recourant fait valoir en substance qu'aucun élément objectif ne permet d'établir la "volonté" de la mère et de l'enfant de "résider durablement" en Italie; au surplus, on ne saurait dire que celles-ci auraient transféré de "manière durable" le centre de leurs intérêts dans ce pays.
Il convient de préciser d'emblée que la volonté (ou l'intention), en tant que processus d'ordre psychique, relève du fait et non du droit (ATF 90 II 213 consid. 3; 91 II 321 consid. 4 [pour le domicile]). Pour le surplus, l'argumentation du recourant part d'une fausse prémisse. Comme on l'a vu (cf. supra, consid. 2.2), en matière de protection des mineurs, la notion de résidence habituelle repose sur une situation de fait (cf. pour l'enlèvement international d'enfants: ATF 125 III 301 consid. 2b/bb et la doctrine citée), d'autant que l'on "ne peut pas toujours établir si un enfant mineur possède le discernement nécessaire à fonder son propre domicile" (FF 1983 I 310 ch. 215.3 in fine). En outre, il se justifie de localiser la résidence habituelle à l'endroit où la protection est la mieux garantie en raison de la présence du mineur (arrêt 5A_607/2008 précité consid. 4.4). Enfin, sous réserve d'un éventuel abus de droit (cf. infra, consid. 2.3), la résidence habituelle ne suppose pas une "attache" ou une "affinité particulière" avec le nouveau pays de séjour. S'agissant du caractère durable du changement de résidence, le critère pertinent est celui de la perspective d'une certaine durée dans le nouveau pays (cf. supra, consid. 2.2); sur le vu des faits établis de manière exempte d'arbitraire par la juridiction précédente (cf. supra, consid. 2), il y a lieu d'admettre que la résidence habituelle de l'enfant se trouve désormais en Italie (cf. arrêt 5A_432/2009 du 23 décembre 2009 consid. 5.3.2 et 5.4.2 [résidence habituelle créée "dès le jour" de l'arrivée des enfants dans le canton de Berne]).
2.3 Le recourant soutient ensuite que, à supposer que la mère se soit réellement installée en Italie, un tel changement de résidence constitue un abus de droit, car il vise exclusivement à l'empêcher de voir sa fille et donc à faire échec au droit de visite.
Il convient de rappeler que l'intimée, en qualité de titulaire exclusive de l'autorité parentale et du droit de garde (art. 298 al. 1 CC), jouit de la prérogative de déterminer le lieu de résidence de l'enfant (ATF 128 III 9 consid. 4a; cf. aussi: ATF 101 II 200 consid. 2 [au sujet de l'attribution de l'autorité parentale après divorce]), même si cet endroit se trouve à l'étranger (ATF 136 III 353 consid. 3.3; cf. déjà: ATF 95 II 385 consid. 3 et 5). Certes, ce droit trouve ses limites dans l'interdiction de l'abus de droit au sens de l'art. 2 al. 2 CC (cf. ATF 133 III précité, qui envisage le cas où le déménagement est uniquement destiné à compromettre les relations personnelles entre l'enfant et l'autre parent); les circonstances qui pourraient corroborer pareille attitude dans le cas présent résultent cependant des seules allégations du recourant, qui procède à nouveau de façon appellatoire; il n'y a dès lors pas lieu d'en tenir compte (art. 99 al. 1 et 105 al. 1 LTF).
Au demeurant, le Tribunal fédéral a précisé que le parent titulaire du droit de garde ne peut se voir interdire d'emmener l'enfant à l'étranger que si le bien du mineur est gravement menacé par ce déménagement (ATF 133 III précité); hormis les affirmations péremptoires du recourant, rien ne permet de l'affirmer. En outre, le simple fait de s'établir dans un pays à l'égard duquel le titulaire du droit de garde n'entretenait aucune "attache" n'est pas révélateur d'un comportement abusif.
2.4 Le recourant se plaint de la violation de son droit "au respect de sa vie familiale", garanti par les art. 13 et 14 Cst. et 8 CEDH.
Le recourant n'expose pas en quoi l'art. 14 Cst., consacré au "droit au mariage et à la famille", aurait vocation à s'appliquer dans la présente cause (art. 106 al. 2 LTF); le recours est d'emblée irrecevable sur ce point. Il ne démontre pas davantage que l'art. 8 CEDH lui accorderait une protection plus étendue que l'art. 13 al. 1 Cst. (cf. ATF 126 II 377 consid. 7; 129 II 215 consid. 4.2), de sorte que le mérite du grief doit être examiné sous l'angle de cette dernière norme.
Sur le fond, le grief doit être rejeté. La cour cantonale ne s'est nullement prononcée sur le droit de visite du recourant; elle ne s'est exprimée que sur la compétence (internationale) pour régler ce point. Même s'il est vrai que l'exercice du droit de visite est rendu plus difficile en raison de la distance qui sépare les intéressés, il s'agit là d'une difficulté pratique, et non juridique, qui doit être résolue par un aménagement approprié du droit de visite (ATF 136 III précité et la jurisprudence citée).
2.5 Enfin, le recourant affirme qu'il est "choquant d'attendre plus d'une année avant d'obtenir une décision (audience du 4 juin 2009 et décision du 28 octobre 2010)" et d'accorder "d'innombrables prolongations de délai" aux intervenants sociaux et à l'intimée.
Dans la mesure où le moyen pris d'un retard injustifié à statuer (art. 29 al. 1 Cst. et art. 6 § 1 CEDH) s'adresse aux premiers juges, le recours est irrecevable, car seul l'arrêt de l'autorité précédente peut faire l'objet du recours (art. 75 al. 1 LTF). Il ne ressort pas de la décision attaquée que de telles prolongations de délai auraient été octroyées en instance de recours (art. 105 al. 1 LTF, applicable aux faits de procédure: arrêt 4A_210/2009 du 7 avril 2010 consid. 2 et les citations); le grief s'avère donc irrecevable pour le surplus (art. 99 al. 1 LTF). Au demeurant, le recourant n'expose pas quelles conséquences il entend tirer de ce grief pour la présente procédure.
3. En conclusion, le recours constitutionnel subsidiaire doit être déclaré irrecevable et le recours en matière civile rejeté dans la (faible) mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires incombent au recourant (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à présenter des observations.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal vaudois.
Lausanne, le 25 octobre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
Le Greffier: Braconi