Sachverhalt:
A. A._ und dessen Kinder B._ und C._ (Beschwerdeführer) erhoben am 2. Dezember 2009 beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Klage gegen die X._ AG (Beschwerdegegnerin). Sie machen diese für den Tod der Mutter von B._ und C._ und Ehefrau von A._ verantwortlich. Diese sei am 9. Juni 2008 notfallmässig vom Kantonsspital Aarau wegen Suizidalität bei psychotischem Zustandsbild in die X._, Psychiatrische Dienste, eingewiesen worden unter schriftlicher Erwähnung der bereits bekannten Diagnose, akute schizophrenieforme psychotische Störung, DD wahnhafte Störung. Ohne weitere Abklärung habe die Patientin am Nachmittag des nächsten Tages einen unbegleiteten Spaziergang unternehmen dürfen, von dem sie nicht zurückgekehrt sei. Am 17. Juni 2008 sei sie tot aufgefunden und als Todesursache Suizid durch Ertrinken festgestellt worden. Die Beschwerdeführer verlangten Schadenersatz und Genugtuung im Gesamtbetrag von Fr. 1'294'773.-- gestützt auf § 2 des Gesetzes über die Haftung des Staates, der Gemeinden, der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten und Arbeiter vom 26. Juni 1966 (Verantwortlichkeitsgesetz; BGS/SO 124.21) in Verbindung mit § 19 Abs. 1 des Spitalgesetzes vom 12. Mai 2004 (SpiG; BGS/SO 817.11).
B. Die Beschwerdeführer suchten beim Verwaltungsgericht um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung nach, welche ihnen mit Verfügung vom 2. Juni 2010 verweigert wurde. Das Bundesgericht hob diese Verfügung mit Urteil 4A_416/2010 vom 9. September 2010 wegen mangelnder Begründung auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück.
C. Mit Verfügung vom 15. November 2010 wies der Vizepräsident des Verwaltungsgerichts das Gesuch der Beschwerdeführer um unentgeltliche Prozessführung erneut ab und setzte den Beschwerdeführern eine Frist bis zum 17. Dezember 2010, um einen vorläufigen Kostenvorschuss von Fr. 4'000.-- (ohne allfällige Gutachterkosten) zu bezahlen, unter der Androhung des Nichteintretens bei Säumnis.
D. Die Beschwerdeführer haben auch diesen Entscheid mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten. Sie beantragen, die Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 15. November 2010 aufzuheben und ihnen für das verwaltungsrechtliche Klageverfahren den Kostenerlass und die unentgeltliche Verbeiständung zu bewilligen. Eventuell sei die Sache zu erneuter Sachverhaltsabklärung und Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersuchen sie auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Die Beschwerdegegnerin verzichtet auf Teilnahme am Beschwerdeverfahren. Der Beschwerde wurde mit Präsidialverfügung vom 21. Dezember 2010 die aufschiebende Wirkung erteilt. Die Vorinstanz beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Sie verzichtet im Übrigen auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Verfügung, mit der das Gesuch um Bewilligung des Kostenerlasses abgewiesen wurde, ist ein letztinstanzlicher kantonaler Zwischenentscheid, der den Hauptprozess nicht abschliesst. Gegen diesen Zwischenentscheid ist nach Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG die Beschwerde zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Zwischenentscheide, mit denen die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wird, haben in der Regel einen solchen Nachteil zur Folge (BGE 129 I 129 E. 1.1 S. 131; 126 I 207 E. 2a S. 210 mit Hinweisen). Dies trifft auch im vorliegenden Fall zu. Gegenstand des angefochtenen Entscheids sind Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital nach dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht. Da solche Entscheide in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, ist dagegen nach Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (BGE 135 III 329 E. 1.1 S. 331; 133 III 462 E. 2.1 S. 465; vgl. Art. 30 Abs. 1 lit. c Ziff. 1 und Art. 31 Abs. 1 lit. d BGerR).
2. Die Beschwerdeführer machen geltend, die Vorinstanz habe mit der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege Art. 29 Abs. 3 BV verletzt und kantonales Recht willkürlich angewendet.
2.1 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird, solange die Schweizerische Zivilprozessordnung nicht zur Anwendung kommt, in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt. Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch unmittelbar aufgrund von Art. 29 Abs. 3 BV. Da die Beschwerdeführer nicht geltend machen, das kantonale Recht gewähre einen darüber hinaus gehenden Anspruch, ist die Rüge ausschliesslich im Lichte von Art. 29 Abs. 3 BV zu prüfen.
2.2 Art. 29 Abs. 3 BV verschafft einer bedürftigen Partei in einem für sie nicht aussichtslosen Verfahren Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und auf Ernennung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes, sofern sie eines solchen zur gehörigen Wahrung ihrer Interessen bedarf. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Praxis Prozessbegehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese (BGE 133 III 614 E. 5 S. 616). Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Wie es sich damit verhält, prüft das Bundesgericht in tatsächlicher Hinsicht unter dem Blickwinkel der Willkür, in rechtlicher Hinsicht grundsätzlich mit freier Kognition (BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 136 mit Hinweisen). Dabei ist Rechtsfrage, welche Umstände bei der Beurteilung der Prozessaussichten in Betracht fallen und ob sie für oder gegen eine hinreichende Erfolgsaussicht sprechen, Tatfrage hingegen, ob und wieweit einzelne Tatumstände erstellt sind (BGE 124 I 304 E. 2c S. 307).
2.3 Die Vorinstanz hielt fest, der aufnehmende Arzt habe notiert: "Suizidideen im Laufe des Tages aufgetreten, aktuell kann sich die Patientin klar distanzieren und gibt an, sich bei erneutem Auftreten suizidaler Impulse melden zu können." Die bereits im Ambulatorium Olten angeordnete und verabreichte Medikation sei fortgeführt worden. Am Tag nach der Aufnahme habe ein weiteres Gespräch mit der Patientin stattgefunden. Diesbezüglich habe Dr. D._ festgehalten: "Von Suizidgedanken kann sie sich klar distanzieren. Möchte in der Klinik zur Ruhe kommen." Zusätzlich verwies die Vorinstanz pauschal auf die beigezogenen Akten der Staatsanwaltschaft, die Krankengeschichte sowie auf die Standpunkte der Parteien anlässlich der Verhandlung vom 19. April 2010.
2.4 Auf dieser Grundlage kam die Vorinstanz zum Ergebnis, es dürfte sehr schwierig werden, eine Verletzung der ärztlichen Sorgfaltspflicht nachzuweisen, darin bestehend, dass der Suizidalität nicht die nötige Aufmerksamkeit geschenkt worden bzw. dass diese nicht erkannt worden sei. Auch Fachärzte könnten die Suizidalität kaum zuverlässig einschätzen. Es gebe Leute, die ständig von Suizid sprächen, aber nicht im Traum daran dächten, sich umzubringen, während sich Leute umbrächten, bei denen nicht die geringsten Anzeichen dafür vorlägen und denen man niemals einen Suizid zutrauen würde. Diese Tatsachen seien allgemein bekannt, weshalb es nicht sinnvoll wäre, darüber ein Gutachten erstellen zu lassen, dessen Beweiswert angesichts der Notorietät des Expertisegegenstandes fraglich wäre. Es erscheine praktisch ausgeschlossen, dass ein Experte anhand der Krankengeschichte, der Diagnose, der Einweisungsumstände etc. nach zwei Jahren noch sagen könne, ob am 9./10. Juni 2008 bei der Patientin eine ernst zu nehmende Suizidalität vorhanden und erkennbar gewesen sei. Zudem hätte nach Auffassung der Vorinstanz die Beschwerdegegnerin auch die richtige und effektive Behandlung verordnen müssen, um die Suizidalität zu verhindern, was praktisch unmöglich sei. Wer sich wirklich umbringen wolle, der tue das auch. Es gebe Beispiele von Selbsttötungen in Gefängnissen oder sogar in geschlossenen Anstalten resp. sogenannten Gummizellen. Damit sei die Kausalität eines allfälligen widerrechtlichen Verhaltens der Beschwerdegegnerin kaum nachzuweisen. Auch angesichts des zeitlichen Ablaufs wäre der Kausalzusammenhang schwer zu beweisen. Nach dem Entweichen der Verstorbenen aus der Klinik vom 10. Juni 2008 sei diese polizeilich gesucht worden. Über deren möglichen Verbleib zwischen dem 10. Juni 2008 und dem Zeitpunkt des "Gangs in die Aare", möglicherweise am 12. Juni 2008, wisse man nichts. Was zwischen dem 10. Juni 2008 und dem Entschluss, sich umzubringen, geschehen sei, sei unbekannt.
2.5 Nach Auffassung der Beschwerdeführer gehen diese Ausführungen an der Sache vorbei. Es stelle sich die Frage, ob bei der Patientin am Tag nach ihrer Einlieferung Zeichen akuter Selbstgefährdung vorhanden waren und die Suizidhandlung voraussehbar war. Diesfalls hätte ihr der Oberarzt den unbegleiteten Ausgang nicht gewähren dürfen. Die Beantwortung dieser Frage erfordere medizinisches Fachwissen. In der psychiatrischen Lehre sei anerkannt, dass es durchaus diagnostische Anzeichen gebe, welche auf Suizid hindeuten können und Anlass zu erhöhter Vorsicht und zu Sicherungsmassnahmen geben. Zudem bestünden klare Anhaltspunkte für eine ungenügende Abklärung der psychischen Verfassung.
2.6 Der Arzt hat Kranke stets fachgerecht zu behandeln, zum Schutze ihres Lebens oder ihrer Gesundheit insbesondere die nach den Umständen gebotene und zumutbare Sorgfalt zu beachten und grundsätzlich folglich für jede Pflichtverletzung einzustehen (BGE 120 Ib 411 E. 4a S. 413). Eine die Widerrechtlichkeit begründende Pflichtverletzung liegt vor, wo eine Diagnose, eine Therapie oder ein sonstiges ärztliches Vorgehen nach dem allgemeinen fachlichen Wissensstand nicht mehr als vertretbar erscheint und damit ausserhalb der objektivierten ärztlichen Kunst steht. Der Arzt hat für eine unrichtige Beurteilung einzustehen, wenn diese unvertretbar ist oder auf objektiv ungenügender Untersuchung beruht, nicht aber für objektive Fehleinschätzungen, die bei einem so vielgestaltigen und verschiedenartigen Auffassungen Raum bietenden Beruf in gewissem Umfang als unvermeidbar erscheinen (BGE 66 II 34, 64 II 200 E. 4a S. 205). Das Bundesgericht geht in seiner Rechtsprechung von einer strengen Haftung der Anstaltsträger für Patienten aus, die wegen ihrer Selbstgefährdung zu behandeln sind und welche die Klinik vor einer Selbstschädigung zu bewahren hat. Einen psychiatrischen Behandlungsfehler begeht insbesondere, wer eine konkret erkennbare Suizidgefährdung oder die Gefahr des Entweichens nicht erkennt, sie fehlerhaft einschätzt oder sie schlicht nicht beachtet. Je grösser die konkrete, aktuelle Suizidgefahr ist, desto intensiver müssen die erforderlichen Vorsichtsmassnahmen sein (BGE 120 Ib 411 E. 4 S. 412 ff. mit Hinweisen). Zu prüfen ist, ob der behandelnde Arzt mit der nach medizinischen Gesichtspunkten unter den konkreten Umständen gebotenen Sorgfalt vorgegangen ist (FELLMANN, Berner Kommentar, N. 383 f. zu Art. 398 OR mit Hinweisen).
2.7 Bereits dieser kurze Einblick in Rechtsprechung und Lehre zeigt, dass die allgemeine Lebenserfahrung nicht ausreicht, um darüber zu urteilen, ob der behandelnde Arzt aufgrund der Krankengeschichte der Patientin, des Überweisungsbefundes, des Aufnahmebefundes und des mit der Patientin geführten Gesprächs annehmen durfte, die akute Suizidgefahr sei so weit gebannt, dass ein unbegleiteter Spaziergang am Tag nach der Aufnahme zu verantworten sei. Namentlich ist für den Laien nicht erkennbar, ob die Gespräche mit der Patientin fachgerecht durchgeführt wurden und eine hinreichende Grundlage boten, um den unbegleiteten Spaziergang verantworten zu können. Die Beschwerdeführer monieren zutreffend, dass hierüber einzig ein psychiatrisches Gutachten hinreichend Auskunft geben kann. Dabei wird sich der Gutachter auf die vorhandene Dokumentation stützen können. Inwiefern diese für die Abgabe einer sachdienlichen fachlichen Einschätzung ungenügend sein soll, geht aus dem angefochtenen Entscheid nicht hervor und ist nicht ersichtlich. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz ist nicht massgebend, mit welcher Zuverlässigkeit die Suizidalität von Personen allgemein beurteilt werden kann, sondern ob es mit Blick auf die Suizidalität aufgrund der zur Verfügung stehenden Informationen und Unterlagen nach dem damaligen allgemeinen fachlichen Wissensstand unvertretbar erschien, einen unbegleiteten Spaziergang zu gestatten. Ob die vorhandenen Unterlagen ausreichen, um gestützt darauf eine fachliche Beurteilung abzugeben, lässt sich ohne das nötige Fachwissen nicht beurteilen, weshalb es nicht Sache des Gerichts ist, im jetzigen Stadium des Verfahrens darüber zu entscheiden. Sich hierüber klar zu werden, wird vielmehr erste Aufgabe des zu ernennenden Gutachters sein. Seine Schlussfolgerungen können entgegen der Meinung der Vorinstanz nicht unter Rückgriff auf die allgemeine Lebenserfahrung vorweggenommen werden.
2.8 Ein natürlicher Kausalzusammenhang ist gegeben, wenn das schadenstiftende Verhalten eine notwendige Bedingung (conditio sine qua non) für den eingetretenen Schaden ist (BGE 132 III 715 E. 2.2 S. 718; 128 III 180 E. 2d S. 184 mit Hinweisen), d.h. das fragliche Verhalten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch der eingetretene Erfolg entfiele bzw. nicht als in gleicher Weise bzw. zur gleichen Zeit als eingetreten gedacht werden könnte (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen). Gesetzt den Fall, die Expertise kommt überzeugend zum Ergebnis, es habe einen Verstoss gegen die ärztliche Sorgfaltspflicht bedeutet, der Patientin den unbegleiteten Spaziergang zu erlauben, wird somit auch der natürliche Kausalzusammenhang zwischen der Pflichtverletzung und dem Selbstmord mutmasslich gegeben sein, gerade weil über den Verbleib der Patientin seit ihrem Verschwinden nichts bekannt ist und somit einstweilen keine den Kausalzusammenhang unterbrechenden Umstände ersichtlich sind. Wie die Beschwerdeführer zudem mit Blick auf die nach ständiger Rechtsprechung geltende Umschreibung der natürlichen Kausalität zutreffend vorbringen, spielt keine Rolle, ob die Patientin sich früher oder später ohnehin das Leben genommen hätte. Andernfalls wäre mit Blick auf die Sterblichkeit aller Menschen nie eine ärztliche Pflichtverletzung relevant, die zum Tode führt.
3. Bevor ein psychiatrisches Gutachten über die Frage der behaupteten Pflichtverletzungen vorliegt, kann keine Rede davon sein, die Klage sei aussichtslos. Vielmehr halten sich Gewinnaussichten und Verlustgefahr einstweilen etwa die Waage, so dass mit Blick auf die Prozessaussichten die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung gegeben sind. Die Vorinstanz hat dies verkannt und auf die Prüfung der Bedürftigkeit der Beschwerdeführer verzichtet.
3.1 In ihrer wegen mangelnder Begründung vom Bundesgericht aufgehobenen Verfügung vom 2. Juni 2010 hatte die Vorinstanz noch eingeräumt, dass die Beschwerdeführer wohl bedürftig sein mögen, dies in der Vernehmlassung zur damaligen Beschwerde dagegen wieder in Zweifel gezogen. Das Bundesgericht erachtete die Bedürftigkeit der Beschwerdeführer im zit. Urteil 4A_416/2010 E. 3 angesichts der zusätzlich eingereichten Belege zwar für ausgewiesen, allerdings betraf diese Einschätzung das Verfahren vor Bundesgericht, so dass dem damaligen Urteil keine Bindungswirkung für die Frage der Bedürftigkeit als Voraussetzung der unentgeltlichen Prozessführung im kantonalen Verfahren zukommt.
3.2 Nach ständiger Rechtsprechung ist eine Person bedürftig, wenn sie nicht in der Lage ist, für die Prozesskosten aufzukommen, ohne dass sie Mittel beanspruchen müsste, die zur Deckung des Grundbedarfs für sie und ihre Familie notwendig sind (BGE 135 I 221 E. 5.1 S. 223; 128 I 225 E. 2.5.1 S. 232). Dafür ist neben dem Einkommen auch allfälliges Vermögen zu berücksichtigen (BGE 124 I 1 E. 2a S. 2 mit Hinweisen).
3.3 Zu den Vermögenswerten der Beschwerdeführer zählt eine Liegenschaft. Das Reineinkommen gemäss definitiver Steuerveranlagung für das Jahr 2008 betrug indessen gemäss Angabe der Gemeinde vor den Sozialabzügen nur Fr. 19'634.--. Vor diesem Hintergrund erscheint höchst unwahrscheinlich, dass eine Erhöhung der die Liegenschaft belastenden Hypothek möglich wäre, könnte die angefragte Bank bei einem derart tiefen Einkommen doch kaum mit der regelmässigen Zahlung der erhöhten Hypothekarzinsen rechnen. Die Beschwerdeführer weisen zwar noch andere Vermögenswerte aus. Ihr Einkommen reicht aber offensichtlich nicht aus, um ihren Unterhalt daraus zu bestreiten. Wie sich aus einer vor Bundesgericht eingereichten Verfügung der Ausgleichskasse ergibt, erhalten die Beschwerdeführer denn auch Ergänzungsleistungen. Insgesamt ist nicht davon auszugehen, die Beschwerdeführer könnten aus ihrem Vermögen die Prozesskosten aufbringen, ohne dass sie Mittel beanspruchen müssten, die zur Deckung ihres Grundbedarfs notwendig sind, zumal neben den Gerichtskosten die Anwaltskosten zu berücksichtigen sind und sich überdies die Annahme der Vorinstanz, auf die Anordnung eines Gutachtens könne verzichtet werden, als unzutreffend erwiesen hat, so dass nicht der in der angefochtenen Verfügung genannte, reduzierte Kostenvorschuss zu leisten wäre, sondern der ursprünglich verlangte Betrag von Fr. 10'000.--. Damit ist die Bedürftigkeit der Beschwerdeführer gegeben. Die Vorinstanz hat mit der Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung Art. 29 Abs. 3 BV verletzt.
4. Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und den Beschwerdeführern die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Verfahren unter Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes in der Person von Advokat Simon Rosenthaler zu gewähren. Dass die Beschwerdeführer auf rechtskundigen Beistand angewiesen sind, bedarf keiner näheren Erörterung. Die Beschwerdegegnerin, die sich der Beschwerde nicht widersetzt und den angefochtenen Entscheid nicht bewirkt hat, kann nicht als unterliegende Partei betrachtet werden, und dem Kanton dürfen in der Regel, von der abzuweichen kein Anlass besteht, keine Gerichtskosten auferlegt werden (Art. 66 Abs. 4 BGG). Solche sind daher nicht zu erheben. Praxisgemäss hat aber der Kanton in derartigen Fällen die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG; GEISER, in: Basler Kommentar, 2008, N. 22 zu Art. 68 BGG). Da beim Kanton Solothurn nicht mit der Uneinbringlichkeit der Entschädigung zu rechnen ist, wird das Gesuch um unentgeltlichen Rechtsbeistand für das Verfahren vor Bundesgericht obsolet.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird die Verfügung des Vizepräsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 15. November 2010 aufgehoben, und den Beschwerdeführern wird für das beim Verwaltungsgericht hängige Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Simon Rosenthaler als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigeordnet.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Solothurn hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak