Fatti:
A. Il 9 novembre 2000 B._ ha rilevato il 45 % della ditta individuale X._ di A._, al prezzo di fr. 120'000.--.
Asserendo che dal novembre 2001 A._ svolgeva un'attività concorrenziale tramite la ditta Y._, il 28 febbraio (recte: marzo) 2002 B._ ha disdetto il rapporto societario con effetto al successivo 10 ottobre 2002.
Dal 5 giugno 2002 egli ha a sua volta avviato una propria attività commerciale tramite la ditta Z._.
B. Il 30 dicembre 2002 B._ ha convenuto A._ dinanzi alla Pretura del Distretto di Lugano onde ottenere il pagamento di fr. 204'456.20, oltre interessi, quale liquidazione del rapporto societario a suo dire per finire sciolto di comune accordo il 30 aprile 2002 e il rigetto definitivo dell'opposizione interposta al PE n. 920224 dell'UE di Lugano. La somma richiesta era così composta: fr. 120'000.--, a titolo di restituzione della quota conferita; fr. 16'956.20, pari al 45 % dell'utile conseguito dalla ditta al 30 aprile 2002 meno l'acconto di fr. 30'000.-- già incassato; fr. 45'000.--, pari al 45 % del valore dell'inventario netto al 30 aprile 2002; fr. 22'500.--, a titolo di risarcimento del danno cagionato dall'attività concorrenziale di Y._ (poi ridotto a fr. 9'209.95).
Avversata la petizione, in via riconvenzionale A._ ha chiesto la condanna di B._ alla restituzione dell'importo di fr. 30'000.-- da lui indebitamente prelevato dai fondi societari e al versamento di fr. 7'573.90 a titolo di risarcimento del danno cagionato dall'attività concorrenziale di Z._.
Statuendo il 7 aprile 2008 la Pretora ha respinto sia l'azione principale che quella riconvenzionale. Premesso che fra le parti era venuta in essere una società in nome collettivo che è stata concordemente sciolta tra maggio e giugno 2002, la giudice di primo grado è giunta in definitiva alla conclusione che nessuna di esse è riuscita a provare il buon fondamento e l'entità delle sue pretese.
C. Adita da entrambe le parti, con sentenza del 19 ottobre 2009 la II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto l'appello di A._ e parzialmente accolto quello introdotto da B._, riformando la pronunzia di prima istanza nel senso della condanna di A._ al pagamento di fr. 61'438.65, oltre interessi.
La Corte cantonale ha innanzitutto stabilito che, nonostante l'avvenuto scioglimento con effetto al 30 aprile 2002, la società in nome collettivo non è entrata in liquidazione, siccome le parti ne hanno implicitamente accettato la continuazione ad opera del solo A._ (art. 579 CO). Ciò significa che a B._ spetta il 45 % del patrimonio sociale esistente al momento dello scioglimento. Sulla base delle risultanze istruttorie i giudici della massima istanza cantonale hanno stabilito che al 30 aprile 2002 la società disponeva di liquidità per almeno fr. 103'197.06 e di merce per un valore di almeno fr. 100'000.--; in riforma del giudizio di primo grado hanno quindi riconosciuto a B._ fr. 16'438.65 (fr. 103'197.06 : 100 x 45 ./. fr. 30'000.-- già percepiti) per la liquidità e fr. 45'000.-- per la merce, per un totale di fr. 61'438.65.
D. Prevalendosi della violazione di varie disposizioni del diritto federale disciplinanti lo scioglimento e la liquidazione della società in nome collettivo, dell'art. 8 CC nonché della violazione del divieto dell'arbitrio sancito dall'art. 9 Cost., il 24 novembre 2009 A._ è insorto dinanzi al Tribunale federale con un ricorso in materia civile volto a ottenere la modifica della predetta sentenza nel senso della reiezione integrale dell'appello di B._ e del parziale accoglimento del suo, con conseguente condanna di controparte alla restituzione dell'importo indebitamente percepito di fr. 30'000.--, rispettivamente del 55 % dello stesso, pari a fr. 16'500.--.
Con risposta del 28 gennaio 2010 B._ ha proposto l'integrale reiezione del gravame, mentre l'autorità cantonale non ha formulato osservazioni.
Diritto:
1. Con il ricorso in materia civile può essere fatta valere la violazione del diritto federale (art. 95 lett. a LTF) che include anche i diritti costituzionali dei cittadini (DTF 133 III 446 consid. 3.1, 462 consid. 2.3).
Le censure sollevate nel gravame, la cui ricevibilità dal punto di vista formale non pone per il resto nessun problema, sono pertanto proponibili.
2. Nonostante il richiamo ai disposti del diritto federale sullo scioglimento e sulla liquidazione della società in nome collettivo (art. 545 segg. e art. 574 segg. CO) e sulla ripartizione dell'onere della prova (art. 8 CC), gli argomenti ricorsuali vertono interamente sull'apprezzamento delle prove e l'accertamento dei fatti operati dalla Corte cantonale, che il ricorrente definisce arbitrari.
2.1 Giovi allora ricordare che, per giurisprudenza invalsa, l'arbitrio - vietato dall'art. 9 Cost. - non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura migliore rispetto a quella contestata; il Tribunale federale annulla la pronunzia criticata per violazione del divieto dell'arbitrio solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella sua motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (DTF 135 V 2 consid. 1.3 pag. 4 seg. con rinvii).
Per quanto concerne più in particolare l'apprezzamento delle prove e l'accertamento dei fatti, il giudice - il quale in questo ambito dispone di un ampio margine di apprezzamento - incorre nell'arbitrio se misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62; 129 I 8 consid. 2.1).
2.2 Spetta alla parte che se ne prevale, l'onere di sostanziare adeguatamente la censura di arbitrio.
Il Tribunale federale esamina infatti la censura relativa alla violazione di diritti fondamentali - inclusa la violazione del divieto dell'arbitrio nell'applicazione del diritto cantonale rispettivamente nella valutazione delle prove e dell'accertamento dei fatti - solo se la parte ricorrente l'ha debitamente sollevata e motivata (art. 106 cpv. 2 LTF). Nell'atto di ricorso è necessario menzionare i fatti essenziali ed esporre in modo conciso le ragioni per le quali si ritiene che la decisione impugnata abbia leso dei diritti fondamentali, indicando precisamente quali. Solo le censure sollevate in maniera chiara e dettagliata vengono esaminate; censure di carattere appellatorio sono inammissibili. In particolare, il ricorrente che lamenta una violazione del divieto d'arbitrio (art. 9 Cost.) non può limitarsi a criticare la decisione impugnata come in una procedura d'appello, dove l'autorità di ricorso gode di cognizione libera, opponendo semplicemente la propria opinione a quella dell'autorità cantonale, bensì deve confrontarsi criticamente con le considerazioni contestate e indicare in maniera chiara e dettagliata per quale motivo esse risultano arbitrarie (DTF 134 II 244 consid. 2.2 pag. 246).
2.3 Se l'asserito accertamento arbitrario dei fatti - così come il suo influsso sull'esito del giudizio (art. 97 cpv. 1 LTF) - non viene dimostrato, il Tribunale federale fonda il proprio ragionamento giuridico sui fatti così come accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF). Nuovi fatti e nuovi mezzi di prova possono essere addotti soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore (art. 99 cpv. 1 LTF).
3. Dinanzi al Tribunale federale il ricorrente contesta in primo luogo l'accertamento secondo il quale le parti hanno sciolto il rapporto societario con effetto al 30 aprile 2002.
3.1 Pur ammettendo che agli atti non vi è una prova diretta dell'esistenza di un simile accordo, i giudici cantonali hanno ritenuto che vi sono vari indizi concordanti in tal senso. A partire da quella data, infatti, l'opponente ha cessato di lavorare nel negozio e il ricorrente lo ha invitato a non ripresentarsi, giungendo a impedirgli l'accesso mediante la sostituzione dei cilindri. L'avvenuto scioglimento della società al 30 aprile 2002 trova conforto anche nel comportamento dello stesso ricorrente, il quale dapprima nella propria contabilità ha dichiarato che l'opponente aveva abbandonato l'attività dal 1° maggio 2002 e successivamente, davanti all'ispettorato fiscale ha affermato che l'opponente aveva lasciato la ditta nell'aprile 2002. Inoltre egli si è fatto rilasciare dalla banca due estratti conto relativi all'attività di X._: il primo fino al 30 aprile 2002, su cui ha apposto l'aggiunta "con B._", e il secondo dal 1° maggio 2002, con l'aggiunta "B._ ha abbandonato l'attività in società e ha avviato attività concorrenziale".
3.2 A queste considerazioni il ricorrente contrappone diffusamente la propria lettura del materiale probatorio, dal quale risulterebbe unicamente, a suo modo di vedere, un disinteresse dell'opponente per l'attività della società dopo il 30 aprile 2002 rispettivamente una sua volontà unilaterale di recedere dal rapporto societario ma non un accordo retroattivo sullo scioglimento della società.
La censura è formulata in maniera appellatoria. A prescindere dalla questione dell'ammissibilità degli argomenti ricorsuali sotto il profilo della motivazione (art. 106 cpv. 2 LTF), il ricorrente non è comunque in grado di proporre nessun argomento suscettibile di far ritenere che l'autorità cantonale sia incorsa in un apprezzamento arbitrario delle prove e abbia pronunciato un giudizio manifestamente insostenibile, nel senso descritto al consid. 2.1.
3.3 La reiezione della censura relativa alla violazione del divieto dell'arbitrio rende inconferente quella concernente la violazione dell'art. 8 CC.
Secondo costante giurisprudenza, infatti, quando, sulla base dell'apprezzamento delle prove, il giudice raggiunge il convincimento della veridicità del fatto allegato, la questione della ripartizione dell'onore della prova non si pone più e la censura fondata sulla violazione dell'art. 8 CC diviene senza oggetto (DTF 134 II 235 consid. 4.3.4 pag. 241).
3.4 Anche la critica mossa contro l'applicazione delle norme sullo scioglimento della società perde di consistenza, dato che, contrariamente a quanto preteso nel gravame, il Tribunale d'appello non ha riconosciuto all'opponente la facoltà di recedere unilateralmente dalla società.
4. Le stesse considerazioni valgono per le obiezioni che il ricorrente muove contro l'accertamento secondo il quale lo scioglimento della società non ne ha comportato la liquidazione, perché le parti hanno implicitamente accettato ch'egli continuasse da solo l'attività.
4.1 È vero che, una volta sciolta, in linea di principio la società semplice (così come quella in nome collettivo) entra nella fase di liquidazione. Qualora - come è il caso nella fattispecie - vi siano soltanto due soci, l'art. 579 CO prevede tuttavia la possibilità che l'impresa venga continuata da uno solo di essi, a patto ch'egli rimborsi all'altro quanto gli spetta nel patrimonio sociale. In una simile evenienza la società non entra in liquidazione e il patrimonio sociale passa in quello del socio che prosegue l'attività (DTF 101 Ib 456 consid. 2c pag. 460). I soci possono pattuire tale possibilità già nel contratto societario oppure successivamente (DTF 75 I 273 pag. 274 seg.), anche tacitamente. In concreto, come detto, i giudici cantonali hanno costatato il realizzarsi di questa seconda eventualità.
4.2 Il ricorrente contesta l'esistenza di un simile accordo, ma ancora una volta gli argomenti da lui addotti - appellatori - non fanno apparire arbitraria la valutazione della Corte ticinese. A maggior ragione se si considera il fatto ch'egli non nega di aver proseguito da solo l'attività della società in nome collettivo, ritornando in pratica alla situazione in cui si trovava prima di unirsi all'opponente, il quale non risulta aver formulato alcuna obiezione al riguardo.
5. Ammesso, dunque, che la società in nome collettivo costituita dalle parti è stata sciolta per il 30 aprile 2002 e che la sua attività è stata continuata dal solo ricorrente, i giudici ticinesi si sono chinati sulla questione di sapere se l'istruttoria di causa ha permesso di stabilire quale fosse la situazione patrimoniale della società a quel momento.
5.1 "Nonostante sia vero che il perito giudiziario, soprattutto in assenza di documentazione contabile attendibile, non è stato in grado di rispondere ai quesiti peritali volti a determinare l'utile sociale e il valore della società a quella data" - hanno osservato i giudici d'appello - "ciò non significa [...] che le richieste dell'attore debbano [...] essere semplicemente respinte, essendo incontestabile che a quella data la società, oltre a non avere debiti disponesse comunque di liquidità e di beni patrimoniali propri, che sarebbe iniquo non considerare."
I giudici cantonali hanno quindi tenuto conto del fatto che nella sua contabilità - "che pur essendo tenuta in modo discutibile è pur sempre stata prodotta e considerata dall'autorità fiscale" - il ricorrente ha confermato che al 30 aprile 2002 la società disponeva di liquidità (cassa-banca-posta) per almeno fr. 73'197.06, da cui era già stato dedotto l'importo di fr. 30'000.-- prelevato dall'opponente. Essi hanno pure tenuto in considerazione la lista di merce del valore di oltre fr. 100'000.-- versata agli atti dall'opponente, "che a detta dei dipendenti della società corrispondeva all'inventario della merce allora presente nel negozio.[...] Confermata la valenza e l'autenticità del documento" - hanno concluso i giudici - non vi è motivo di mettere in discussione gli importi ivi menzionati, che sono stati apposti originariamente e non aggiunti in seguito." Sulla base di questi importi essi hanno per finire calcolato il credito dell'opponente.
5.2 Dinanzi al Tribunale federale il ricorrente contesta la valenza probatoria della lista di merce prodotta dalla controparte, che i giudici hanno ritenuto di poter considerare quale inventario ai fini della presente causa. In questo documento, ch'egli afferma di non aver mai visto prima della procedura giudiziaria, non è a suo modo di vedere riscontrabile nessun elemento atto a determinare il valore degli oggetti confusamente elencati dall'opponente.
Gli argomenti che il ricorrente adduce per contrastare la valutazione operata dai giudici ticinesi sono esposti in maniera chiara e articolata, ma non fanno apparire l'apprezzamento probatorio effettuato nella sentenza impugnata arbitrario nel senso descritto al consid. 2.1. Sia il teste C._ sia il teste D._, che avevano lavorato presso il negozio all'epoca della società in nome collettivo, in sede di audizione testimoniale hanno infatti riconosciuto il documento prodotto dall'opponente e hanno confermato che si trattava dell'elenco della merce contenuta nel negozio, che veniva aggiornato dopo ogni vendita. Il teste E._ ha inoltre riferito che in occasione di una sua visita al negozio nell'estate del 2002 ha visto che le parti stavano spuntando questa lista.
In simili circostanze, la decisione della Corte cantonale di riferirsi al documento prodotto dalla controparte non può dirsi manifestamente insostenibile.
5.3 Con riferimento all'importo di fr. 16'438.65 riconosciuto all'opponente a titolo di liquidità, il ricorrente rimprovera invece ai giudici ticinesi di non aver tenuto conto degli argomenti da lui addotti per ottenere la riduzione di questa somma.
Ora, dalla lettura della sentenza impugnata si evince che tali argomenti non sono stati esaminati siccome motivati con un semplice richiamo a quanto esposto nelle conclusioni di causa, in contrasto con quanto prescritto dal diritto processuale, giusta il quale i motivi dell'appello, rispettivamente - per analogia - delle osservazioni, vanno indicati in tale allegato e il rinvio ad allegazioni espresse in altri atti non è ammissibile (cfr. art. 309 cpv. 2 lett. f e cpv. 5 CPC/TI).
Dinanzi al Tribunale federale il ricorrente contesta genericamente l'assunto dell'ultima istanza cantonale ed espone ancora una volta i motivi di riduzione, precisando di averli già allegati in sede di duplica. Egli non formula tuttavia alcuna censura in merito all'applicazione arbitraria del diritto processuale cantonale da parte del Tribunale d'appello, di modo che su questo punto il ricorso dev'essere dichiarato inammissibile per carente motivazione (cfr. consid. 2).
6. Da tutto quanto esposto discende che la decisione della Corte ticinese di riconoscere all'opponente fr. 61'438.65 (fr. 16'438.65 per la liquidità e fr. 45'000.-- per la merce) resiste alla censura di arbitrio e non lede il diritto federale.
Il ricorso deve pertanto venire respinto nella misura in cui è ammissibile.
Le spese giudiziarie e le ripetibili della sede federale vengono integralmente poste a carico del ricorrente, soccombente (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 e 2 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 4'500.-- sono poste a carico del ricorrente, il quale rifonderà all'opponente fr. 5'500.-- per ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.