Erwägungen:
1.
1.1. Die kenianische Staatsangehörige A._ (geb. 1985) heiratete am 1. Juni 2010 den Schweizer Bürger B._ (geb. 1988). Aufgrund der Heirat erhielt sie eine Aufenthaltsbewilligung, die letztmals bis zum 1. Juni 2013 verlängert wurde. Seit dem 10. August 2012 leben die Eheleute getrennt.
1.2. Mit Verfügung vom 1. Mai 2014 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern nach Gewährung des rechtlichen Gehörs das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ ab und wies diese aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Luzern vom 2. September 2014 bzw. Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 23. Januar 2015).
1.3. Mit Beschwerde vom 2. März 2015 beantragt A._, das angefochtene Urteil des Kantonsgerichts Luzern sei aufzuheben und ihr die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
1.4. Mit Verfügung vom 3. März 2015 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde hinsichtlich der mit dem angefochtenen Urteil verbundenen Ausreiseverpflichtung die aufschiebende Wirkung erteilt. Auf die Anordnung eines Schriftenwechsels wurde verzichtet.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin beruft sich in vertretbarer Weise (vgl. BGE 136 II 177 E. 1.1 S. 179) auf einen Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 50 AuG (SR 142.20), so dass insoweit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Ob der geltend gemachte Anspruch tatsächlich besteht, ist Sache der materiellen Beurteilung.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine solche Rüge ist rechtsgenüglich vorzutragen (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 II 304 E. 2.4/2.5 S. 313 f.).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt ("unechte" Noven gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG). Unzulässig sind hingegen neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (Urteil 2C_170/2013 vom 20. Juni 2013 E. 1.3). Die neu eingereichten Lohnausweise der Schwester der Beschwerdeführerin vom Oktober und November 2014 sind daher unbeachtlich.
3.
3.1. Der ursprünglich aus der Ehe mit einem Schweizer Bürger abgeleitete Anspruch auf Aufenthaltsbewilligung gemäss Art. 42 AuG ist mit dem Ende des ehelichen Zusammenlebens entfallen. Gemäss Art. 50 Abs. 1 AuG besteht aber nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft der Anspruch des Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Artikel 42 weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht (lit. a) oder wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (lit. b). Die Vorinstanz hat die diesbezüglichen gesetzlichen Vorgaben sowie die bundesgerichtliche Rechtsprechung dazu korrekt dargelegt, es kann darauf verwiesen werden (vgl. Art. 109 Abs. 3 BGG).
3.2. Wie die Vorinstanz im Zusammenhang mit Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG treffend ausführt, hat das eheliche Zusammenleben (Heirat am 1. Juni 2010 und Trennung am 10. August 2012) weniger als drei Jahre gedauert, was sich sowohl aus den Befragungen der Eheleute wie auch aus der Mutationsmeldung der Gemeinde U._ ergibt. Sodann liegen hier entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin keine wichtigen Gründe im Sinne von Art. 49 AuG für getrennte Wohnorte vor, da weder berufliche Verpflichtungen noch erhebliche familiäre Probleme ersichtlich sind (vgl. Art. 76 VZAE [SR 142.201]). Selbst wenn die Beschwerdeführerin mit ihrem Ehemann an den Wochenenden freundschaftliche Kontakte gepflegt oder die Ehe zumindest teilweise im Sinne eines Living-apart-together gelebt hätte, genügt dies praxisgemäss nicht, um anzunehmen, es liege ein wichtiger Grund im Sinne 0von Art. 49 AuG vor (Urteil 2C_930/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 3.2).
Ist schon die nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG erforderliche zeitliche Dauer der Ehegemeinschaft und damit die erste Voraussetzung für die Bewilligungsverlängerung nicht gegeben, erübrigt es sich, zu prüfen, ob die Beschwerdeführerin in der Schweiz integriert ist.
3.3. Sodann hat die Vorinstanz zu Recht festgestellt, es lägen keine wichtigen persönlichen Gründe für einen nachehelichen Härtefall im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG vor: Der blosse Umstand, dass die Sicherheits- oder Wirtschaftslage in der Schweiz besser ist als im Heimatstaat, bildet keine solchen, auch wenn die Betroffene hier integriert erscheint und nicht straffällig geworden ist.
Die Beschwerdeführerin ist in Kenia aufgewachsen und erst im Alter von 23 Jahren erstmals in die Schweiz eingereist. Es darf somit davon ausgegangen werden, dass ihr eine soziale Wiedereingliederung in der Heimat möglich sein wird, zumal sie dort neben ihrer Familie auch noch Freunde hat. Was die Beschwerdeführerin einwendet, vermag den vorinstanzlichen Schluss, es bestünden keine wichtigen persönlichen Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG (vgl. BGE 138 II 229 E. 3.1 S. 231 f.; 137 II 345 E. 3.2.3 S. 350; Urteil 2C_873/2013 vom 25. März 2014 E. 4.1, nicht publiziert in: BGE 140 II 289), die den weiteren Aufenthalt der Beschwerdeführerin erforderlich machten, nicht zu erschüttern. Insbesondere ist dabei nicht entscheidend, ob die Schwester der Beschwerdeführerin diese in ihrem Heimatland weiterhin finanziell unterstützen kann.
4.
4.1. Die Beschwerde erweist sich damit als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen. Zur Begründung wird ergänzend auf die Erwägungen im angefochtenen Urteil verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
4.2. Da die Gewinnaussichten der Prozessbegehren von Anfang an beträchtlich geringer waren als die Verlustgefahren, erweist sich die Beschwerde als aussichtslos und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG; BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135 f. mit Hinweisen). Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juni 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger