Faits:
A. A.a M._ s'est annoncé à l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) en septembre 2003, arguant souffrir des conséquences totalement incapacitantes depuis août 2001 d'une hépatite C, de troubles psychiques et d'une toxico-dépendance.
Le rejet de sa demande de prestations au terme de la procédure administrative (décision du 1er novembre 2006) a été corroboré, sur recours de l'assuré, essentiellement sur la base d'une expertise judiciaire (rapport du 20 février 2008 établi par le docteur F._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) en premier lieu par le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (jugement du 29 avril 2008) puis par le Tribunal fédéral (arrêt 9C_461/2008 du 17 septembre 2008).
A.b L'intéressé s'est annoncé à l'office AI une seconde fois le 12 octobre 2010, évoquant des problèmes vertébraux et une perte de sensibilité à la main droite suite à la section traumatique d'un nerf en plus des troubles psychiques et de la toxico-dépendance déjà mentionnés.
Malgré l'avertissement de l'administration selon lequel il lui appartenait de rendre plausible une détérioration de son état de santé, l'imposition d'un délai de trente jours afin de transmettre les documents utiles sous peine d'irrecevabilité (courrier du 15 octobre 2010) et une prolongation tacite dudit délai (courrier du 10 novembre 2010), M._ ne s'est pas exécuté. Un projet de décision titré «refus d'entrer en matière» mais rejetant la demande de prestations lui a dès lors été notifié le 15 mars 2011. A titre d'observations, l'assuré a déposé l'avis de son médecin traitant (rapport établi en avril 2011 par le docteur V._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) que le service médical régional de l'office AI (SMR) a qualifié de plaidoyer contre l'expertise judiciaire et d'appréciation différente d'un même état de fait ne mettant en évidence aucune aggravation, ni nouvelle atteinte à la santé de l'intéressé (rapport établi le 8 juin 2011 par la doctoresse S._, médecin praticien). Sur cette base, l'administration a rejeté la nouvelle requête de prestations par décision du 2 septembre 2011 intitulée «refus de toutes prestations» et entérinant le projet identique notifié le 20 juin précédent.
B. M._ a saisi la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, contestant l'appréciation du rapport du docteur V._ faite par l'administration, déposant le certificat médical rédigé en novembre 2011 par le docteur D._, spécialiste FMH en médecine interne générale (qui signalait l'existence de limitations fonctionnelles liées à la section traumatique du nerf cubital et de ligaments inter-digitaux droits, à des lombalgies ainsi qu'à un alcoolisme) et concluant, outre à la réalisation préalable d'une expertise bidisciplinaire, à l'allocation d'une rente entière ou à la mise en ?uvre de mesures professionnelles (observation ou orientation). Il a demandé, le cas échéant, à être exempté des frais de justice. Même si des pathologies inconnues précédemment étaient invoquées, l'office AI a conclu au rejet du recours, dès lors que la présence de ces affections n'avait été rendue vraisemblable qu'au cours de la procédure cantonale de recours, et à la transmission du certificat médical produit pour examen de l'opportunité d'entrer en matière sur ce qui devait être qualifié de nouvelle requête.
Le tribunal cantonal a débouté l'assuré (jugement du 28 juin 2012). Il a estimé que, malgré sa formulation, la décision litigieuse était une décision de non-entrée en matière et que l'intéressé avait échoué à rendre plausible une détérioration de sa situation médicale à l'issue de la procédure administrative, le rapport du docteur D._ devant être qualifié de nouvelle demande. Il a mis un émolument de 200 fr. à la charge du recourant.
C. M._ recourt contre ce jugement dont il requiert l'annulation, concluant sous suite de frais et dépens au renvoi du dossier au tribunal cantonal pour complément d'instruction sous forme d'expertise pluridisciplinaire, examen de l'opportunité de mettre en ?uvre des mesures professionnelles et nouveau jugement. Il sollicite d'être exempté du paiement des frais judiciaires.
Le Tribunal fédéral a renoncé à procéder à un échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. En l'espèce, le litige porte sur le droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité dans le cadre d'une nouvelle requête de prestations, singulièrement, compte tenu des griefs invoqués, sur le point de savoir si les premiers juges pouvaient légitimement qualifier la décision administrative litigieuse du 2 septembre 2011 (et non du 20 juin, comme indiqué faussement dans certains considérants en droit du jugement entrepris) de «décision de non-entrée en matière» malgré la terminologie employée par l'office intimé et si l'assuré avait concrètement échoué à rendre plausible une détérioration de son état de santé. L'acte attaqué cite correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels nécessaires à la résolution du cas. Il suffit donc d'y renvoyer.
3. 3.1 Le recourant fait grief au tribunal cantonal d'avoir modifié la nature de la décision litigieuse par substitution de motifs (refus de prestations qualifié de refus d'entrer en matière), sans lui avoir donné la possibilité de s'exprimer sur ladite substitution, ni expliqué pourquoi le rapport du docteur V._ était insuffisant pour justifier une entrée en matière autrement qu'en reprenant les arguments du SMR alors que, selon lui, les dix-sept pages bien serrées de ce rapport rendaient plausible l'aggravation de sa situation. Il reproche aussi à la juridiction cantonale de ne pas avoir statué sur ses conclusions tendant à la mise en ?uvre d'une expertise bidisciplinaire ou de mesures d'ordre professionnel (observation ou orientation).
3.2 Contrairement à ce que soutient d'abord l'assuré, les premiers juges n'ont nullement modifié la nature de la décision administrative par substitution de motifs, mais en ont seulement interprété le dispositif en fonction de son contenu. Il apparaît effectivement que le principal fondement juridique de ladite décision est demeuré inchangé et que l'argumentation ayant conduit au rejet du recours est substantiellement restée identique à celle développée précédemment par l'administration; sur la base de l'art. 87 al. 3 RAI, qui exige de tout assuré déposant une nouvelle demande de prestations qu'il rende plausible que son invalidité s'est modifiée de manière à influencer ses droits, et des principes jurisprudentiels en découlant, le tribunal cantonal a ainsi écarté le rapport du docteur D._ de son appréciation, même si ce médecin faisait état de pathologies auparavant inconnues, dès lors que ce document n'avait été produit que pendant la procédure cantonale de recours. Il a en outre repris les considérations de la doctoresse S._ au sujet du rapport du docteur V._ - qualifiées d'investigations non pas approfondies mais sommaires visant seulement à déterminer si ledit rapport rendait plausible une aggravation de la situation du recourant - et estimé avec le médecin-conseil du SMR que le psychiatre traitant n'avait évoqué aucun élément suggérant une telle détérioration mais uniquement porté un regard différent sur un état de fait déjà connu. Les remarques concernant la concision des investigations du SMR ne sont pas des critiques du travail effectué par l'office intimé mais un argument démontrant que l'analyse du dossier était focalisée sur la question de la recevabilité de la demande et non sur celle de son bien-fondé.
3.3 Dans ces circonstances, l'interprétation de la décision litigieuse ne saurait être constitutive d'une violation du droit d'être entendu de l'assuré dans la mesure où les principes régissant la substitution de motifs (cf. notamment ATF 128 V 272 consid. 5b/bb p. 278 sv. et les références) n'avaient en l'occurrence pas lieu de s'appliquer. Par ailleurs, on ne peut reprocher à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire du rapport du docteur V._ (sur cette notion, cf. notamment ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62) dès lors que cette appréciation reprend pour l'essentiel les critiques émises par le SMR (plaidoyer contre l'expertise du docteur F._, absence d'éléments suggérant une aggravation de l'état de santé, appréciation différente d'une même situation). Relever certaines différences entre le rapport de l'expert judiciaire et celui du psychiatre traitant dans les seuls éléments subjectifs évoqués unilatéralement par l'assuré ne suffit pas à remettre en question ce qui précède. On ajoutera que, même s'il peut paraître regrettable que les premiers juges ne se soient pas expressément prononcés sur la réalisation d'une expertise ou de mesures d'ordre professionnel, cette omission ne constitue nullement un déni de justice (sur cette notion, cf. notamment ATF 117 Ia 116 consid. 3a p. 117 et les références) dans la mesure où le recourant oublie que, dans ce type de procédure selon l'art. 87 al. 3 RAI, il n'appartenait pas à l'office intimé ou au tribunal cantonal d'instruire le cas sur le fond, mais à lui de rendre vraisemblable une péjoration de son état de santé (cf. ATF 130 V 64), et qu'il lui était possible de se faire représenter s'il ne se sentait pas capable de faire valoir utilement ses droits pour des raisons de santé ou d'ignorance juridique.
4. 4.1 L'assuré fait encore grief à la juridiction cantonale d'avoir rejeté sa demande d'exemption des frais judiciaires, motivée par le fait qu'il était assisté par l'Hospice général, sans motivation.
4.2 En l'occurrence, il apparaît effectivement que les premiers juges ont condamné le recourant au paiement d'un émolument de 200 fr. au seul motif que son recours avait été rejeté. Ils n'ont fait aucune allusion à la requête d'exemption des frais de justice. Que ce procédé constitue un déni de justice formel (cf. ATF 117 Ia 116 déjà cité) ou un défaut de motivation (sur cette notion, cf. notamment ATF 129 I 232 consid. 3.2 p. 236 sv. et les références), il convient dans les deux cas d'annuler l'acte attaqué sur ce point et de renvoyer la cause au tribunal cantonal pour qu'il statue ou motive son jugement sur la question de l'exemption des frais judiciaires en procédure cantonale.
5. Il peut être renoncé à procéder à un échange d'écritures en raison de l'issue du litige qui repose essentiellement sur des motifs formels. La mise en ?uvre d'un droit de réponse au recours serait improductive et engendrerait uniquement des frais supplémentaires. C'est pourquoi un échange d'écritures n'est pas nécessaire pour des raisons d'économie de procédure (art. 102 al. 1 LTF; arrêts 9C_752/2012 du 27 décembre 2012 consid. 5; 9C_477/2012 du 21 septembre 2012 consid. 4).
6. Vu l'issue du litige, il convient de répartir les frais judiciaires de la procédure fédérale à raison de trois-quarts à charge de l'assuré et d'un quart à charge de l'administration (art. 66 al. 1 LTF). L'office intimé qui succombe partiellement versera une indemnité de dépens réduite au représentant du recourant (art. 68 al. 1 LTF). L'assuré, qui a en outre déposé une demande d'assistance judiciaire visant seulement à la dispense du paiement des frais judiciaires, en remplit les conditions dès lors qu'il dépend de l'aide sociale de son canton (art. 64 al. 1 LTF). Il est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal s'il retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le jugement du 28 juin 2012 de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, est annulé sur la question des frais judiciaires et la cause lui est renvoyée pour nouvelle décision sur les frais de la procédure antérieure. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. L'assistance judiciaire est accordée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont répartis à raison de trois-quarts à charge du recourant et d'un quart à charge de l'office intimé. La part des frais mise à la charge du recourant (375 fr.) est supportée provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. L'office intimé versera une indemnité de 700 fr. au représentant du recourant à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 29 janvier 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Cretton