Faits:
A. L._, né en 1966, travaille en qualité d'intendant social au service de l'Hospice X._. A ce titre, il est assuré contre les accidents auprès d'AXA Winterthur (ci-après: AXA). Le 20 novembre 2006, il a été victime d'un accident sur son lieu de travail. Par déclaration d'accident-bagatelle LAA du même jour, l'employeur a annoncé le cas à AXA en ces termes: «Notre collaborateur qui transportait des lits en ferrailles a basculé en avant et tapé l'épaule sur la bordure du lit». Le docteur K._, médecin traitant, a prodigué les premiers soins le 21 novembre 2006 et diagnostiqué, dans un premier temps, un status après sub-luxation acromio-claviculaire droite; à la suite d'une échographie pratiquée par le docteur Gautard le 8 février 2007, il a établi un diagnostic définitif de désinsertion partielle du labrum avec sub-luxation antérieure du biceps (rapport du 31 mai 2007). L._ a ensuite été adressé par son médecin traitant au docteur M._, spécialiste en chirurgie orthopédique. Sur la base d'une arthroscopie IRM (pratiquée le 29 mars 2007 par le docteur N._), ce médecin a diagnostiqué une désinsertion partielle du labrum de type SLAP II avec sub-luxation du long chef du biceps (LCB; rapport du 13 juin 2007).
Par déclaration d'accident LAA du 3 avril 2007, L._ a annoncé une nouvelle fois l'événement du 20 novembre 2006 en reprenant sa formulation précédente sans mentionner toutefois qu'il avait tapé l'épaule sur la bordure du lit. Le 7 mai 2007, le docteur M._ a procédé à une arthroscopie de l'épaule droite au cours de laquelle il a réalisé une ténotomie du biceps avec ténodèse du long chef du biceps ou LCB (compte-rendu opératoire du 7 mai 2007).
A la demande d'AXA, L._ a été examiné par le docteur O._, spécialiste en chirurgie orthopédique FMH. Dans son rapport du 13 septembre 2007, l'expert a diagnostiqué un status 10 mois après contusion antérieure bénigne de l'épaule droite et contusion bénigne de l'hémi-face droite, une tendinopathie de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite (sus-épineux, sous-scapulaire et LCB) et un status 4 mois après ténotomie/ténodèse du LCB et débridement labral antéro-supérieur de l'épaule droite. Après étude du dossier et examen de l'assuré, l'expert a nié l'existence d'une relation de causalité naturelle entre l'événement du 20 novembre 2006 et la pathologie objectivée au niveau de la coiffe des rotateurs et du labrum de l'épaule droite, pathologie ayant conduit à l'intervention chirurgicale du 7 mai 2007. Pour l'expert, l'événement en question a révélé un état pathologique sous-jacent d'ordre dégénératif. Pour les seules suites de la lésion de l'épaule droite, le status quo sine vel ante devait être atteint après une période d'un mois. Dans un rapport du 15 janvier 2008 adressé au mandataire de l'assuré, le docteur M._ a affirmé qu'il existait clairement des éléments objectifs à l'IRM démontrant la nature traumatique de la sub-luxation du biceps. Cette prise de position du docteur M._ a conduit l'assureur-accidents à demander un complément d'expertise au docteur O._, qui a confirmé son expertise en contestant les conclusions que le docteur M._ avait tirées de certaines constatations (complément d'expertise du 20 juin 2008).
Par décision du 25 juillet 2008, AXA a mis L._ au bénéfice des prestations de l'assurance-accidents jusqu'au 31 décembre 2006 et refusé de prester au-delà de cette date, le traitement prodigué et l'éventuelle incapacité de travail étant à rattacher exclusivement à un état maladif préexistant.
Suite à l'opposition de l'assuré, AXA a demandé un avis médical au docteur P._, spécialiste FMH en chirurgie et médecin-conseil de l'assureur, qui, dans un rapport du 30 septembre 2008, a confirmé que l'atteinte accidentelle avait provoqué une contusion pour laquelle l'état quo sine avait été atteint environ un mois après la blessure.
Pour sa part, L._ a produit au cours de la procédure d'opposition une expertise qu'il avait demandée aux docteurs Q._ et R._, tous deux médecins au service de chirurgie orthopédique et de traumatologie de l'appareil moteur. Dans un rapport du 8 mai 2009, ces deux experts ont diagnostiqué une arthroscopie de l'épaule droite avec ténotomie/ténodèse du long chef du biceps le 7 mai 2007, une tendinopathie du tendon sus-épineux, une sub-luxation antérieure avec tendinopathie du LCB, une lésion de la partie haute du sous-scapulaire, une lésion labiale antéro-inférieure droite, une arthrose acromio-claviculaire droite et une septoplastie nasale en 1987. Ils ont admis que «l'événement du 20 novembre 2006 qui correspond à un accident violent, a été tout à fait apte à générer une lésion de la partie haute du sous-scapulaire, une sub-luxation du long chef du biceps et un décollement labial. Il existe [existait] clairement... une action vulnérante susceptible d'engendrer les lésions retrouvées chez L._». Sur cette base, ils ont retenu que les lésions diagnostiquées étaient vraisemblablement en relation de causalité naturelle avec l'accident du 20 novembre 2006.
L'expertise des docteurs Q._ et R._ a été soumise à l'expert O._, lequel, dans un deuxième complément d'expertise du 27 juin 2009, a contesté que l'assuré ait subi un choc violent en l'absence de chute sur l'épaule ou sur le coude avec réception au sol. De plus, il n'existait pas de rupture transfixante de la coiffe des rotateurs à laquelle faisaient allusion les docteurs Q._ et R._. Partant, l'expert O._ a confirmé son appréciation et précisé qu'aucun élément nouveau ne lui permettait de changer d'avis.
Par décision du 17 octobre 2008, AXA a rejeté l'opposition de l'assuré.
B. L._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de Justice, Chambre des assurances sociales), qui a tenu trois audiences au cours desquelles les parties et les docteurs O._ et M._ ont été entendus. La juridiction cantonale a ordonné, par décision du 3 février 2010, l'appel en cause de Swiss Life Prévoyance et Santé en sa qualité d'assureur-maladie. Par jugement du 3 mai 2011, elle a rejeté le recours.
C. L._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut, sous suite de frais et dépens, principalement, à la condamnation d'AXA au paiement de frais de traitement, par 19'507 fr 40 plus intérêts. Subsidiairement, il demande le renvoi à la juridiction cantonale pour nouvelle décision.
L'intimée demande la confirmation du jugement cantonal. L'appelée en cause et l'Office fédéral de la Santé publique ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 97 al. 2 LTF, si la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire, le recours peut porter sur toute constatation incomplète ou erronée des faits (voir également l'art. 105 al. 3 LTF). Il en va différemment lorsque le litige porte, comme en l'espèce, sur des prestations en nature de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire. Dans ce cas, le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est défini par les art. 97 al. 1, 105 al. 1 et 105 al. 2 LTF, d'après lesquels le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait des premiers juges et ne peut s'en écarter qu'en cas de constatation des faits manifestement inexacte ou effectuée en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF.
2. Est seule litigieuse la question de l'obligation de prester de l'intimée au-delà du 31 décembre 2006 en raison de l'accident du recourant survenu le 20 novembre 2006. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence sur les notions d'accident et de lésions corporelles assimilées à un accident, la relation de causalité naturelle et la valeur probante des rapports médicaux. Il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 La juridiction cantonale a d'abord constaté que les atteintes subies par le recourant lors de son accident du 20 novembre 2006 ne constituaient pas des lésions corporelles assimilées à un accident. Elle a ensuite nié l'existence d'un rapport de causalité naturelle entre cet accident et les soins donnés au recourant après le 31 décembre 2006, en se fondant essentiellement sur l'expertise du docteur O._.
3.2 Le recourant fait grief aux premiers juges d'avoir retenu de façon arbitraire qu'il n'avait subi qu'un choc bénin à l'épaule droite le 20 novembre 2006 et qu'il avait exercé une activité professionnelle particulièrement lourde ayant pu occasionner, déjà à son âge, des lésions dégénératives telles que celles opérées par le docteur M._ le 7 mai 2007. Pour le recourant, les conclusions de l'expertise des docteurs Q._ et R._ emportent la conviction contrairement à celles du docteur O._. Le recourant fait en particulier valoir que la lésion subie doit être examinée au regard des règles découlant de l'art. 9 al. 2 OLAA.
4. 4.1 S'agissant du déroulement de l'accident, il y a lieu de constater que le recourant en a fait une description quasiment identique aux docteurs O._, Q._ et R._. Il a expliqué avoir été déséquilibré lors de la manutention d'un lit, ce qui a eu pour effet d'entraîner son corps vers l'avant. Dans ce mouvement, son épaule droite et son visage ont percuté d'autres lits. Il a ressenti un craquement au niveau de l'épaule. Cette version des faits est reprise dans les deux déclarations d'accident LAA que le recourant a contresignées. La notion de chute sur le bras droit est apparue pour la première fois dans le rapport médical établi par le docteur K._ le 31 mai 2007. Le docteur M._ a, pour sa part, fait état d'un «violent choc» de l'épaule droite contre une serrure de lit.
Au vu de ces éléments, on doit admettre que la juridiction cantonale n'a pas fait preuve d'arbitraire en retenant que le recourant n'avait pas fait une chute sur le sol au cours de laquelle le poids du corps aurait appuyé sur l'épaule ou le bras droit. Au contraire, en se fondant sur les premières déclarations de l'assuré, la juridiction cantonale s'est conformée à la jurisprudence applicable en la matière (cf. ATF 121 V 45 consid. 2a p. 47 et les références; SVR 2007 UV no 32 p. 110 consid. 3.3; RAMA 2004 no U 515 p. 420 consid. 1.2, VSI 2000 p. 201 consid. 2d; cf. aussi arrêt 8C_568/2011 du 4 mai 2012 consid. 4).
4.2 En ce concerne la détermination de la nature de l'activité du recourant et la possibilité que celui-ci souffre d'une atteinte dégénérative de la coiffe des rotateurs survenue lorsqu'il était âgé de 41 ans, cette contestation, étroitement liée à la question de la relation de causalité naturelle, sera examinée en même temps que celle-ci.
5. 5.1 Compte tenu des critiques du recourant, il y a lieu d'examiner si la juridiction cantonale a violé le droit fédéral en admettant, sur la base de l'expertise du docteur O._, l'absence de relation de causalité naturelle entre l'accident du 20 novembre 2006 et les soins dont le recourant demande le remboursement. Il s'agit donc de déterminer si les premiers juges ont retenu les faits de manière manifestement inexacte ou en violation du droit fédéral (art. 97 al. 1 LTF).
Lorsque l'autorité cantonale juge une expertise concluante et fait sienne l'appréciation de ses auteurs, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'appréciation arbitraire que si l'expert n'a pas répondu aux questions posées, si ses conclusions sont contradictoires ou si, d'une quelconque autre façon, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même sans connaissances spécifiques, que le juge ne pouvait tout simplement pas les ignorer. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de vérifier si toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire ; sa tâche se limite bien plutôt à examiner si l'autorité de première instance pouvait, sans arbitraire, se rallier au résultat de l'expertise (arrêts 9C_88/2009 du 8 juillet 2009 consid. 5.3 et 9C_395/2007 du 15 avril 2008 consid. 4.1).
5.2 En l'espèce, la juridiction cantonale a accordé pleine valeur probante à l'expertise du docteur O._ du 13 septembre 2007, ainsi qu'à ses compléments des 20 juin 2008 et 27 juin 2009, dans lesquels l'expert a répondu aux critiques émises tant par le docteur M._ que par les experts Q._ et R._. Elle a indiqué les motifs pour lesquels elle s'était ralliée à la manière de voir de l'expert O._, d'une part, et exposé les raisons pour lesquelles les avis des docteurs Q._, R._ et M._ ne permettaient pas de mettre en doute l'appréciation du docteur O._, d'autre part. Le recourant a critiqué l'expertise O._ et a proposé de retenir les avis des docteurs Q._, R._ et M._, en invoquant des divergences entre l'expertise du docteur O._ et celle des docteurs Q._ et R._.
On doit admettre que l'appréciation du bilan radiologique et des photographies, à laquelle se sont livrés les docteurs Q._ et De Coulon, rejoint globalement celle du docteur O._. Il en va de même des diagnostics qui sont identiques aux dires mêmes des docteurs Q._ et R._. Le point de divergence se situe au niveau du rapport de causalité naturelle. Les docteurs Q._ et R._ ont estimé que les lésions diagnostiquées «ont pu avoir une origine traumatique». Par ailleurs, ces médecins se sont appuyés sur diverses études relatives à l'articulation acromio-claviculaire selon lesquelles l'immense majorité de la population ne présentait pas à 41 ans de lésions de la coiffe antérieure des rotateurs et que si néanmoins de telles lésions se produisaient, il s'agissait généralement de tendinopathies et non pas de ruptures transfixantes, celles-ci résultant dans 95% des cas d'un traumatisme. C'est essentiellement sur cette base statistique que les docteurs Q._ et R._ ont attribué l'atteinte à une origine traumatique et non dégénérative. Ces deux chirurgiens ont retenu que l'accident avait été violent et qu'il constituait une «action vulnérante susceptible d'engendrer les lésions» trouvées chez le recourant. Finalement, ils font état, pour la première fois, de la vraisemblance de la relation de causalité dans les réponses qu'ils ont données aux questions posées par le mandataire du recourant.
Il y a lieu d'admettre, ainsi que l'a retenu sans arbitraire la juridiction cantonale, que le choc n'a pas eu le caractère violent d'une chute et qu'aucun diagnostic n'a fait état d'une rupture transfixante. Par ailleurs, comme l'expert O._ l'a expliqué, motifs à l'appui, lors de son audition par la juridiction cantonale le 1er juillet 2010, une atteinte dégénérative de la coiffe des rotateurs pouvait exister chez le recourant. On doit considérer que l'expertise des docteurs Q._ et R._ n'est pas de nature à mettre en doute celle du docteur O._ en ce qui concerne la relation de causalité. Les conclusions de cette expertise ne sont d'ailleurs pas non plus mises en doute par les appréciations du docteur M._ (rapports des 13 juin 2007 et 15 janvier 2008), qui sont fondées sur une prémisse erronée soit l'existence d'un choc violent. De plus, le docteur O._, qui a eu l'occasion de prendre position sur tous les avis médicaux de ses confrères et qui a été entendu en audience, a fourni des réponses convaincantes. Il n'est dès lors pas établi que c'est de façon manifestement erronée que les premiers juges ont nié l'existence d'un rapport de causalité naturelle entre l'accident du 20 novembre 2006 et les soins dont le recourant réclame le paiement.
6. 6.1 La juridiction cantonale a retenu qu'il n'existait pas de déchirure de tendons ou de la coiffe des rotateurs et donc pas d'application possible de l'art. 9 al. 2 OLAA.
6.2 Le recourant ne conteste pas formellement l'absence de déchirure. Il se limite à dire qu'il a souffert «en partie à tout le moins» de lésions du type de celles visées par l'art. 9 al. 2 OLAA.
6.3 La contestation du recourant n'est pas motivée. Il ne précise en particulier pas en quoi le fait de nier la présence d'une déchirure de tendons est arbitraire. Il n'explique pas non plus quels éléments établissent l'existence d'une déchirure de tendons ou de la coiffe des rotateurs.
Cet argument doit donc également être écarté.
7. Le recours doit ainsi être rejeté.
8. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al.1 LTF). Il n'a pas droit à des dépens (art. 68 al.1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, fixés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 29 mai 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
La Greffière: Berset