Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdegegner) wurde von der X._ AG (Beschwerdeführerin) mit Anstellungsvertrag vom 15. April 2005 als Leiter des Finanz-, Rechnungs- und Personalwesens zu einem monatlichen Gehalt von Fr. 8'000.-- zuzüglich einer Gratifikation von einem Monatslohn angestellt. Der Stellenantritt erfolgte am 17. Mai 2005. Ab diesem Datum verlängerte sich der Vertrag jeweils automatisch um ein Jahr und war mit einer Kündigungsfrist von sechs Monaten kündbar.
Die durch den Geschäftsführer B._ handelnde Beschwerdeführerin löste am 3. Mai 2006 das Arbeitsverhältnis mit dem Beschwerdegegner mündlich per sofort auf. Auf Wunsch des Beschwerdegegners wurde diese Kündigung mit Schreiben vom 8. Mai 2006 begründet.
B. Mit Klage vom 6. November 2006 belangte der Beschwerdegegner die Beschwerdeführerin aufgrund des fristlos beendeten Arbeitsvertragsverhältnisses auf Bezahlung von Lohn- und Lohnersatzansprüchen im Betrag von Fr. 108'699.20, Strafzahlungsanspruch gemäss Art. 337c Abs. 3 OR im Betrag von Fr. 32'260.-- sowie auf Bezahlung von Verzugszinsen zu 5 % seit 3. Mai 2006 auf Fr. 140'959.20. Zudem sei die Beschwerdeführerin zu verpflichten, die auf seinen Lohn- und Lohnersatzansprüchen geschuldeten Sozialversicherungsbeiträge (Arbeitnehmer- und Arbeitgeberbeiträge) mit den zuständigen Kassen abzurechnen.
Die Beschwerdeführerin machte widerklageweise Schadenersatz in der Höhe von Fr. 200'000.-- nebst 5 % Zins seit dem 3. Mai 2006 geltend, unter Vorbehalt des Nachklagerechts. Eventuell sei die Schadenersatzforderung nach Ermessen des Gerichts festzulegen.
Das Amtsgericht Willisau verpflichtete am 27. November 2009 die Beschwerdeführerin, dem Beschwerdegegner als Lohn bzw. Lohnersatz im Sinne von Art. 337c Abs. 1 und 2 OR Fr. 23'392.35 zuzüglich 5 % Zins seit 3. Mai 2006 sowie eine Entschädigung nach Art. 337c Abs. 3 OR von Fr. 16'130.-- zuzüglich 5 % Zins seit 3. Mai 2006 zu bezahlen. Weiter verpflichtete es die Beschwerdeführerin, die geschuldeten Sozialversicherungsbeiträge mit den zuständigen Kassen abzurechnen. Die Widerklage wies es ab.
Gegen das Urteil des Amtsgerichts vom 27. November 2009 appellierte die Beschwerdeführerin an das Obergericht des Kantons Luzern. Sie beantragte die Abweisung der Klage. Das Obergericht des Kantons Luzern, 1. Kammer als Appellationsinstanz, bestätigte das Urteil des Amtsgerichts am 8. Juli 2010.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts vom 8. Juli 2010 aufzuheben. Die Klage sei vollumfänglich abzuweisen. Eventuell sei das Verfahren an das Obergericht zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner begehrt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz schliesst ebenfalls auf Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie eingetreten werden könne.
D. Mit Präsidialverfügung vom 1. Oktober 2010 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen, abgewiesen. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Wiedererwägung dieser Verfügung wurde mit Präsidialverfügung vom 9. November 2010 ebenfalls abgewiesen. Mit Eingabe vom 16. Dezember 2010 hat die Beschwerdeführerin ein erneutes Wiedererwägungsgesuch gestellt.
Erwägungen:
1. Mit dem heutigen Entscheid in der Sache wird das erneute Wiedererwägungsgesuch der Beschwerdeführerin, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen, gegenstandslos.
2. Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Der Streitwert übersteigt die Grenze von Fr. 15'000.-- nach Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung der erhobenen Rügen (Art. 42 Abs. 1 und 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - auf die Beschwerde einzutreten.
3. 3.1 Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 65 E. 1.3.1; 134 II 244 E. 2.2; 133 III 439 E. 3.2). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 134 V 138 E. 2.1; 133 II 396 E. 3.1 S. 399).
3.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 135 III 397 E. 1.5).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, kann sich nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 134 III 570; 4A_470/2009 vom 18. Februar 2010 E. 1.2). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE 133 II 249 E. 1.4.3).
Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt abweicht oder diesen erweitert, ohne rechtsgenügliche Sachverhaltsrügen zu erheben, ist sie damit nicht zu hören.
4. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen den Schluss der Vorinstanz, dass die fristlose Entlassung des Beschwerdegegners zu Unrecht erfolgt sei und sie das Vorliegen eines die fristlose Entlassung rechtfertigenden Grundes nicht schlüssig vorgetragen habe. Die Vorinstanz habe es unterlassen, die substanziiert vorgebrachten Gründe zu würdigen, und habe das Urteil zum Teil im Widerspruch zu den Akten sowie aufgrund einer widersprüchlichen Sachverhaltsdarstellung gefällt.
4.1 Nach Art. 337 OR kann der Arbeitgeber wie der Arbeitnehmer das Arbeitsverhältnis aus wichtigen Gründen jederzeit fristlos auflösen (Abs. 1). Als wichtiger Grund gilt jeder Umstand, bei dessen Vorhandensein dem Kündigenden nach Treu und Glauben die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht mehr zugemutet werden darf (Abs. 2). Über das Vorhandensein solcher Umstände entscheidet das Gericht nach seinem Ermessen (Art. 337 Abs. 3 OR). Derartige Ermessensentscheide überprüft das Bundesgericht grundsätzlich frei. Es übt dabei aber Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die zwingend hätten beachtet werden müssen. Es greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 135 III 121 E. 2 S. 123 f.; 130 III 28 E. 4.1 S. 32, 213 E. 3.1 S. 220; 129 III 380 E. 2 S. 382; je mit Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung zu Art. 337 OR ist eine fristlose Entlassung nur bei besonders schweren Verfehlungen des Arbeitnehmers gerechtfertigt. Diese müssen einerseits objektiv geeignet sein, die für das Arbeitsverhältnis wesentliche Vertrauensgrundlage zu zerstören oder zumindest so tiefgreifend zu erschüttern, dass dem Arbeitgeber die Fortsetzung des Vertrags nicht mehr zuzumuten ist, und anderseits auch tatsächlich zu einer derartigen Zerstörung oder Erschütterung des gegenseitigen Vertrauens geführt haben. Sind die Verfehlungen weniger schwerwiegend, so müssen sie trotz Verwarnung wiederholt vorgekommen sein (BGE 130 III 213 E. 3.1 S. 220 f.; 129 III 380 E. 2.1 mit Hinweisen). Ob die dem Arbeitnehmer vorgeworfene Pflichtverletzung die erforderliche Schwere erreicht, lässt sich nicht allgemein sagen, sondern hängt von den konkreten Umständen des Einzelfalles ab (BGE 127 III 153 E. 1a S. 155; 116 II 145 E. 6a S. 150).
4.2 Die Beschwerdeführerin bringt insbesondere vor, die Vorinstanz habe die von ihr monierte Bekanntgabe eines falschen Passworts für den Computer aktenwidrig als unbeachtlich betrachtet. Der Beschwerdegegner habe das falsche Passwort nicht erst nach, sondern bereits vor bzw. während des Vorgangs der fristlosen Entlassung mitgeteilt. Es sei durch die Akten nicht erstellt, dass die Bekanntgabe des falschen Passworts erst nach der fristlosen Entlassung erfolgt sei.
Die Vorinstanz erachtete die Bekanntgabe eines angeblich falschen Passworts für den Computer als Umstand, der nach der fristlosen Entlassung eingetreten ist. Somit komme er als wichtigen Grund im Sinne von Art. 337 OR nicht in Betracht. Sie verwies bei der entsprechenden Erwägung auf die Ziffern 11 und 12 der Appellationsbegründung der Beschwerdeführerin.
Die Beschwerdeführerin vermag mit ihrem Vorbringen, aus den Ziffern 11 und 12 ihrer Appellationsbegründung lasse sich der Schluss der Vorinstanz nicht ziehen, keine aktenwidrige oder widersprüchliche Sachverhaltsermittlung darzutun. Die Beschwerdeführerin führte in ihrer Appellationsbegründung aus, B._ sei am 3. Mai 2006 am frühen Nachmittag zum Beschwerdegegner ins Büro gegangen, habe ihm sämtliche Umstände erklärt und auf die Verwarnungen hingewiesen sowie ihn gebeten, den Arbeitsplatz fristlos zu verlassen. Noch im Büro des Beschwerdegegners habe B._ ihn gebeten, das Passwort seines Computers, das sich nachträglich als falsch herausgestellt habe, aufzuschreiben. Aus den entsprechenden Ausführungen der Beschwerdeführerin in der Appellationsbegründung ergibt sich nicht, dass die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz offensichtlich unrichtig wäre. Die Ausführungen stützen vielmehr gerade die Darstellung der Vorinstanz, wonach die Bekanntgabe des Passworts erst nach der Entlassung erfolgte. Demnach bleibt es beim vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt. Die Vorinstanz hat dem Umstand der Passwortbekanntgabe somit zu Recht keine Beachtung geschenkt, da nach der fristlosen Entlassung eingetretene Tatsachen bei der Frage der Rechtmässigkeit einer fristlosen Kündigung nicht berücksichtigt werden können (BGE 127 III 310 E. 4a mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin rügt im Zusammenhang mit der Passwortbekanntgabe weiter, die Vorinstanz habe es unterlassen, zu berücksichtigen, dass der Beschwerdegegner eine 12-monatige Kündigungsfrist gehabt und es sich bei ihm um einen Kaderangehörigen gehandelt habe. So sei die Angabe eines falschen Passworts eine schwere Verfehlung, die insbesondere bei einem Kaderangehörigen sehr ins Gewicht falle. Dieses Vorbringen stösst ins Leere, da - wie soeben ausgeführt - die Bekanntgabe des Passworts als Grund, der erst nach der Aussprechung der fristlosen Kündigung eingetreten ist, bei der Frage der Rechtmässigkeit der fristlosen Entlassung zu Recht nicht berücksichtigt wurde. Die Beschwerdeführerin ist damit nicht zu hören.
4.3 Die Beschwerdeführerin wendet sich weiter gegen die Ausführungen der Vorinstanz zur von ihr behaupteten beruflichen Unfähigkeit und zur unzumutbaren Arbeitsweise des Beschwerdegegners. Sie rügt mehrere unrichtige bzw. widersprüchliche Sachverhaltsdarstellungen.
Die Vorinstanz erwog, eine blosse Schlechterfüllung des Arbeitsvertrags berechtige grundsätzlich nur zur ordentlichen Kündigung und könne nur dann zum wichtigen Grund im Sinne von Art. 337 OR werden, wenn sie trotz Verwarnung wiederholt werde. Eine diesbezügliche Abmahnung sei nicht rechtsgenüglich behauptet worden. Eine ungenügende Arbeitsleistung rechtfertige eine fristlose Kündigung nur, wenn entweder völliges berufliches Versagen vorliege oder die schlechte Leistung auf ein grobes Verschulden zurückzuführen sei. Sie kam zum Schluss, dass ein völliges berufliches Versagen des Beschwerdeführers ausgeschlossen werden könne.
4.3.1 Die Beschwerdeführerin rügt den Schluss der Vorinstanz, dass aufgrund des dem Beschwerdegegner ausgestellten Zwischenzeugnisses ein völliges berufliches Versagen ausgeschlossen werden könne. Das Zwischenzeugnis sei am 26. Februar 2006 und somit vor der Entlassung von den damaligen Verantwortlichen des Beschwerdegegners kurz vor Übernahme des Unternehmens ausgestellt worden, jedoch in Unkenntnis der Tatsachen, die erst nach der fristlosen Entlassung des Beschwerdegegners anfangs Mai 2006 zu Tage getreten seien.
Die Beschwerdeführerin vermag weder mit dem Umstand, dass das Zwischenzeugnis nicht von den heutigen, sondern von den damaligen Verantwortlichen ausgestellt wurde, noch mit der Tatsache, dass es ungefähr zweieinhalb Monate vor der Entlassung des Beschwerdegegners verfasst wurde, eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung darzulegen. Sie zeigt insbesondere nicht auf, inwiefern die früheren Verantwortlichen objektiv unrichtige Aussagen zum Arbeitsverhalten des Beschwerdegegners hätten gemacht haben sollen. Die Beschwerdeführerin verkennt zudem, dass die Vorinstanz nicht bloss aufgrund dieses Zwischenzeugnisses ein völliges berufliches Versagen des Beschwerdegegners verneinte, sondern aufgrund der Würdigung mehrerer Umstände.
So führte die Vorinstanz zwar aus, den Behauptungen der Beschwerdeführerin - der Beschwerdegegner habe "das Problem mit der Mehrwertsteuer" nicht im Griff gehabt, die Buchhaltung sei nicht nachgeführt worden, die nötigen Hauptbuchungen vom Geschäftsjahr 2006 seien nicht vorhanden gewesen, der Beschwerdegegner habe die an ihn gestellten Anforderungen im Bereich Fachkompetenz nicht erfüllt, er habe das Debitorenwesen vernachlässigt und in seiner ganzen Anstellungszeit nur zwei Debitoren gemahnt und betrieben, er habe das Personalwesen vernachlässigt - stehe das von ihr selber ausgestellte Zwischenzeugnis vom 26. Februar 2006 gegenüber. Darin würden dem Beschwerdegegner grosse Fachkompetenz, Fleiss, Einsatz und Durchhaltewillen sowie die Leistung eines wesentlichen Beitrags zum Fortbestand der Firma bescheinigt. Aufgrund dieses Zwischenzeugnisses könne ein völliges berufliches Versagen des Beschwerdegegners ausgeschlossen werden. Die Vorinstanz erwog im Folgenden weiter, es gelte zudem zu berücksichtigen, dass der Beschwerdegegner seine Tätigkeit im Umfeld einer wirtschaftlich angeschlagenen Firma zu leisten gehabt habe. Gemäss eigener Darstellung der Beschwerdeführerin habe sie im Oktober 2005 - also rund fünf Monate nach Arbeitsbeginn des Beschwerdegegners - mit enormen Liquiditätsproblemen zu kämpfen gehabt, die kaum von heute auf morgen eingetreten sein dürften. Woraus sich ergeben solle, dass die Beschwerdeführerin für das Jahr 2005 einen Debitorenverlust von beinahe Fr. 1'300'000.-- verzeichnet habe, werde von der Beschwerdeführerin nicht schlüssig vorgetragen. Fehlende tatsächliche Behauptungen könnten nicht durch Beweisanträge ersetzt werden. Zu dem von der Beschwerdeführerin auch im Zusammenhang mit der Widerklage geltend gemachten Debitorenverlust habe der Beschwerdegegner dahingehend Stellung genommen, es hätte sich dabei um Rückstellungen gehandelt, die auf das ungenügende Qualitätsmanagement zurückzuführen gewesen seien, da die nicht zahlenden Kunden sich stets auf nicht behobene Garantiemängel berufen hätten. Zudem weise der Beschwerdegegner in der Appellationsantwort darauf hin, dass unter seiner Leitung der Debitorenbestand um ca. 40 % habe verringert werden können, was er mit dem Finanzbericht der Beschwerdeführerin vom Dezember 2005 belegt habe. An schlüssigen Vorbringen der Beschwerdeführerin fehle es auch, soweit sie geltend mache, der Beschwerdegegner habe seine persönlichen Daten vor der fristlosen Entlassung gelöscht und damit in böswilliger Manier beabsichtigt, ihr einen Schaden zu verursachen. Auch hier gelte, dass fehlende tatsächliche Behauptungen nicht durch Beweisanträge ersetzt werden könnten. Soweit die Beschwerdeführerin sich in Bezug auf die behauptete fachliche Unfähigkeit des Beschwerdegegners auf das Schreiben der Revisionsstelle der Beschwerdegegnerin vom 10. Januar 2007 beziehe, handle es sich um eine unzulässige Zeugenbescheinigung, die unbeachtlich bleibe.
Die Beschwerdeführerin bringt vor Bundesgericht insbesondere nichts gegen die Erwägungen der Vorinstanz betreffend den wirtschaftlichen Zustand des Unternehmens und die Verringerung des Debitorenbestands vor. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass es ihr nicht gelungen ist, die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, wonach kein völliges berufliches Versagen des Beschwerdegegners vorliegt, als offensichtlich unrichtig auszuweisen.
4.3.2 Weiter rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe es unterlassen, ihre Vorbringen zu überprüfen, dass der Beschwerdegegner die Buchhaltung nicht nachgeführt und falsch zugesichert habe, die "Mehrwertsteuerproblematik" im Griff zu haben. Auch ihren Vorwurf, der Beschwerdegegner habe der Geschäftsleitung eine drohende Pfändungsandrohung nicht offenbart, sei von der Vorinstanz einzig mit dem Hinweis auf ein zeitlich vorangehendes Zwischenzeugnis "weggewischt" worden. Die Vorinstanz habe die entsprechende Sachverhaltsdarstellung, die genügend substanziiert worden sei, nicht überprüft und gewertet.
Die Beschwerdeführerin verkennt, dass die Vorinstanz die Vorbringen der "Mehrwertsteuerproblematik", der drohenden Pfändungsandrohung sowie der Nichtnachführung der Buchhaltung nicht unberücksichtigt gelassen hat. Sie hat indessen die von der Beschwerdegegnerin angebotenen Beweise nicht abgenommen, da sie diese Umstände als nicht rechtserheblich erachtete.
Ein Gericht kann die Beweisbegehren insbesondere dann ablehnen, wenn der Sachverhalt, den eine Partei beweisen will, nicht rechtserheblich ist, wenn bereits Feststehendes bewiesen werden soll oder wenn von vornherein anzunehmen ist, dass der angebotene Beweis keine Klarstellungen herbeizuführen vermag. Kommt der Richter bei pflichtgemässer Beweiswürdigung zur Überzeugung, der angebotene Beweis vermöge keine Klärung herbeizuführen, kann auf ein beantragtes Beweismittel verzichtet werden. In der damit verbundenen antizipierten Beweiswürdigung kann keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör liegen. Ob die kantonalen Instanzen diese Grundsätze verletzt haben, prüft das Bundesgericht nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür, da insoweit nicht der Umfang des bundesrechtlichen Anspruchs auf rechtliches Gehör, sondern lediglich eine Frage der Beweiswürdigung zu beurteilen ist (Urteil 4P.288/2006 vom 9. Mai 2007 E. 3.1; vgl. auch BGE 136 I 229 E. 5.3; 134 I 140 E. 5.3; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend und zeigt nicht auf, inwiefern eine willkürliche Beweiswürdigung vorliegen würde.
4.4 Der Beschwerdeführerin ist es nicht gelungen aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz das Vorliegen eines wichtigen Grundes im Sinne von Art. 337 OR zu Unrecht verneint hätte. Die fristlose Entlassung des Beschwerdegegners wurde demnach zu Recht als unrechtmässig erkannt.
5. Die Beschwerdeführerin wendet sich sodann gegen die Zusprechung eines Lohnersatzanspruchs für die Monate Mai bis Juli 2006.
5.1 Entlässt der Arbeitgeber den Arbeitnehmer fristlos ohne wichtigen Grund, so hat dieser Anspruch auf Ersatz dessen, was er verdient hätte, wenn das Arbeitsverhältnis unter Einhaltung der Kündigungsfrist oder durch Ablauf der bestimmten Vertragszeit beendigt worden wäre (Art. 337c Abs. 1 OR). Der Arbeitnehmer muss sich daran anrechnen lassen, was er infolge der Beendigung des Arbeitsverhältnisses erspart hat und was er durch anderweitige Arbeit verdient oder zu verdienen absichtlich unterlassen hat (Art. 337c Abs. 2 OR).
5.2 Nach den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz war im Zeitpunkt der fristlosen Entlassung am 3. Mai 2006 das Arbeitsverhältnis unter Berücksichtigung einer Kündigungsfrist von 6 Monaten frühstens auf den 16. Mai 2007 kündbar. Die Vorinstanz schützte die Auffassung des Amtsgerichts und sprach dem Beschwerdegegner nur für die Monate Mai bis Juli 2006 Lohnersatzansprüche zu. Sie verneinte eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit des Beschwerdegegners und kam zum Schluss, dieser sei seiner Schadenminderungspflicht nicht nachgekommen. Zudem erwog die Vorinstanz, die Beschwerdeführerin habe nicht behauptet, der Beschwerdegegner sei krank gewesen. Es bleibe daher kein Raum für die Anrechnung nicht bezogener Krankentaggelder.
Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin hat die Vorinstanz die Beweislast nicht falsch auferlegt. Da die Beschwerdeführerin einen Betrag für vom Beschwerdegegner angeblich zu Unrecht nicht bezogene Krankentaggelder nach Art. 337c Abs. 2 OR von den Lohnersatzansprüchen abziehen wollte, wurde ihr zutreffend die Substanziierung und der Beweis dafür auferlegt, dass der Beschwerdegegner krank gewesen sei. Denn die Beweispflicht für die abzuziehenden Beträge nach Art. 337c Abs. 2 OR liegt grundsätzlich beim Arbeitgeber (BGE 96 II 52 E. 3 S. 57; 78 II 441 E. 6c S. 444).
Die Beschwerdeführerin vermag mit ihrem pauschalen Vorbringen ohne Nennung von Aktenstellen nicht zu belegen, dass sie im kantonalen Verfahren rechtsgenüglich behauptet hätte, der Beschwerdegegner sei krank gewesen. Sie legt zudem nicht dar, inwiefern die Vorinstanz willkürlich zum Schluss gekommen wäre, die Einschränkung der Arbeitsfähigkeit des Beschwerdegegners sei nicht bewiesen. Mit dem Umstand, dass der Beschwerdegegner ausführte, er habe sich bei der Arbeitslosenstelle nicht gemeldet, da er nicht vermittlungsfähig sei, vermag sie keine Willkür aufzuzeigen. Von der Aussage der mangelnden Vermittlungsfähigkeit kann nicht automatisch darauf geschlossen werden, der Beschwerdegegner sei krank gewesen. Die Aussage kann genauso gut damit erklärt werden, dass der Beschwerdegegner behauptete, er habe versucht, in den Bereichen der Versicherungsberatung und -vermittlung selbständig tätig zu sein und sei daher durch das RAV nicht vermittlungsfähig gewesen.
Inwiefern die Vorinstanz Art. 337c Abs. 1 und 2 OR durch die Zusprechung eines Lohnersatzanspruchs für die Monate Mai bis Juli 2006 verletzt hätte, tut die Beschwerdeführerin nicht dar und ist nicht ersichtlich.
6. Die Beschwerdeführerin wendet sich schliesslich gegen die Zusprechung einer Entschädigung nach Art. 337c Abs. 3 OR.
6.1 Art. 337c Abs. 3 OR sieht als Sanktion bei ungerechtfertigter fristloser Kündigung durch den Arbeitgeber eine Entschädigung von maximal sechs Monatslöhnen vor. Diese hat sowohl Strafcharakter als auch Genugtuungsfunktion und soll die durch die ungerechtfertigte fristlose Kündigung erlittene Persönlichkeitsverletzung des Arbeitnehmers abgelten (BGE 135 III 405 E. 3.1; 123 III 391 E. 3c S. 394; 121 III 64 E. 3c S. 68; je mit Hinweisen). Sie hat sich entscheidend nach der Strafwürdigkeit des Verhaltens des Arbeitgebers, der Schwere der Persönlichkeitsverletzung, dem Mass der Widerrechtlichkeit der fristlosen Entlassung, der finanziellen Situation der Parteien und der Schwere eines Mitverschuldens des Arbeitnehmers zu richten (BGE 123 III 246 E. 6a S. 255, 391 E. 3c S. 394; je mit Hinweisen). In aller Regel ist eine Entschädigung geschuldet. Nur wenn ausserordentliche Umstände vorliegen, die trotz ungerechtfertigter fristloser Kündigung keine Strafzahlung zu Lasten des Arbeitgebers rechtfertigen, kann sie verweigert werden (BGE 120 II 243 E. 3e S. 247). Die Entschädigung nach Art. 337c Abs. 3 OR wird vom Sachgericht nach pflichtgemässem Ermessen aufgrund der Umstände des Einzelfalls festgesetzt (BGE 123 III 246 E. 6a S. 255, 391 E. 3c S. 394; zum Ganzen Urteil 4C.67/2003 vom 5. Mai 2003 E. 4.3, nicht publ. in: BGE 129 III 380; siehe zur Kognition des Bundesgerichts betreffend Ermessensentscheide vorangehende Erwägung 4.1).
6.2 Die Vorinstanz erwog, der Nachweis, dass die Gründe der Auflösung des Arbeitsverhältnisses einzig beim Beschwerdegegner gelegen seien, sei der Beschwerdeführerin nicht gelungen. Da von einer Strafzahlung nur unter ganz aussergewöhnlichen Umständen gänzlich abgesehen werden könne und solche Umstände vorliegend nicht ersichtlich seien, habe es bei der vom Amtsgericht zugesprochenen Strafzahlung von zwei Monatslöhnen sein Bewenden.
6.3 Die Beschwerdeführerin beharrt auf dem Standpunkt, der Beschwerdegegner habe alleine den Grund gesetzt, dass das Arbeitsverhältnis fristlos aufgelöst worden sei. Sie habe verschiedenste Handlungsweisen, die vor der Aussprache der fristlosen Kündigung eingetreten seien, substanziiert vorgebracht. Trotz diesen substanziierten Vorbringen habe es die Vorinstanz unterlassen, diese genügend zu überprüfen und das entsprechende Beweisverfahren durchzuführen.
Die Beschwerdeführerin zeigt jedoch nicht auf, welche substanziierten Vorbringen sie meint. Mit ihren pauschalen Vorwürfen und ohne Hinweis auf Aktenstellen vermag sie den Begründungsanforderungen nicht zu genügen (vgl. Erwägung 3). Weder eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) ist damit rechtsgenüglich begründet, noch ist eine von ihr behauptete bundesrechtswidrige Verletzung der Beweislast nach Art. 8 ZGB ersichtlich.
Die Beschwerdeführerin vermag auch die Zusprechung der Strafzahlung nach Art. 337c Abs. 3 OR nicht als bundesrechtswidrig auszuweisen, wenn sie behauptet, es seien wichtige Gründe für die fristlose Entlassung gegeben, wie auch wichtige Gründe vorhanden, um von einer Strafzahlung gemäss Art. 337c Abs. 3 OR abzusehen. Mit ihren Vorbringen, der Beschwerdegegner habe es als für die Buchhaltung verantwortlicher Kaderangehöriger unterlassen, die Vorgesetzten von einer drohenden Pfändungsankündigung der Steuerbehörde zu unterrichten, obwohl er nachgefragt worden sei, und er habe seinen Computer "geleert" sowie die Vorgesetzten mit einem falschen Passwort bedient, erweitert sie wiederum den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt, ohne rechtsgenüglich begründete Sachverhaltsrügen vorzubringen. Mit den entsprechenden Ausführungen kann sie nicht gehört werden (vgl. Erwägung 3).
Gemäss der Vorinstanz ist der Beschwerdeführerin der Nachweis nicht gelungen, dass die Gründe für die Auflösung des Arbeitsverhältnisses einzig beim Beschwerdegegner lagen. Da die fristlose Kündigung zu Unrecht erfolgte, ist eine Strafzahlung nach Art. 337c Abs. 3 OR grundsätzlich geschuldet. Inwiefern die Vorinstanz mit der Festlegung der Entschädigung auf zwei Monatslöhne ihr Ermessen missbraucht hätte, legt die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich dar. Für das Bundesgericht besteht daher kein Anlass, in das Ermessen einzugreifen.
6.4 Demzufolge bleibt es bei der vorinstanzlich festgelegten Entschädigung nach Art. 337c Abs. 3 OR in der Höhe zweier Monatsgehälter.
7. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Wiedererwägungsgesuch der Beschwerdeführerin vom 16. Dezember 2010 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit einem Betrag von Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer als Appellationsinstanz, schriftlich mitgeteilt; dem Beschwerdegegner und dem Obergericht mit Kopie des Wiedererwägungsgesuchs der Beschwerdeführerin vom 16. Dezember 2010.
Lausanne, 22. Dezember 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Klett Sommer