Sachverhalt:
A. Für eine Steuerforderung über Fr. 6'198.40 nebst Zins (Staats- und Gemeindesteuer 2007) leiteten der Staat Zürich und die Gemeinde G._ (Beschwerdeführer) gegen S._ (Beschwerdegegner) die Betreibung ein. Das Betreibungsamt B._ (Kanton St. Gallen) stellte den Zahlungsbefehl am 24. April 2009 an die Adresse des Beschwerdegegners in A._ zu. Der Zahlungsbefehl wurde dem Beschwerdegegner am 14. Mai 2009 rechtshilfeweise durch das Betreibungsamt G._ (Bezirk Uster im Kanton Zürich) übermittelt. Der Beschwerdegegner erhob am 20. Mai 2009 Rechtsvorschlag.
B. Die Beschwerdeführer ersuchten am 14. September 2009 das Bezirksgericht Uster um definitive Rechtsöffnung für Fr. 6'198.40 nebst Zins und für die Betreibungs- und Rechtsöffnungskosten. Das Bezirksgericht trat auf das Rechtsöffnungsbegehren in der Betreibung Nr. xxxxxxxx des Betreibungsamtes B._ nicht ein. Es verneinte seine Zuständigkeit mit der Begründung, auch bei nachträglicher - seit Zustellung des Zahlungsbefehls erfolgter - Wohnsitzverlegung durch den Schuldner bleibe das Gericht am bisherigen Betreibungsort für die Rechtsöffnung zuständig (Verfügung vom 16. September 2009). Die Beschwerdeführer erhoben dagegen Nichtigkeitsbeschwerde. Das Obergericht des Kantons Zürich verneinte eine Verletzung klaren materiellen Rechts und wies die Nichtigkeitsbeschwerde ab (Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 21. Dezember 2009).
C. Die Beschwerdeführer haben dem Bundesgericht eine Beschwerde in Zivilsachen und (eventualiter) eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde eingereicht und beantragen, den obergerichtlichen Beschluss aufzuheben und die Sache zur Durchführung des Rechtsöffnungsverfahrens und zur neuen Entscheidung an das Bezirksgericht Uster, eventualiter an das Obergericht zurückzuweisen. Das Obergericht hat die kantonalen Akten zugestellt, auf eine Beschwerdeantwort aber verzichtet. Der Beschwerdegegner wiederum hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen auch Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Beim vorliegenden Entscheid über die definitive Rechtsöffnung handelt es sich um einen solchen Entscheid (BGE 133 III 399 E. 1.2). Über das Rechtsöffnungsgesuch ist noch nicht entschieden, da das Bezirksgericht seine örtliche Zuständigkeit abgelehnt und das Obergericht die dagegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde abgewiesen hat. Sollte sich die Verneinung der Zuständigkeit als bundesrechtswidrig erweisen, könnte das Bundesgericht in der Sache nicht selber entscheiden. Es genügt deshalb der blosse Rückweisungsantrag der Beschwerdeführer (Art. 107 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 135 II 38 E. 1.2 S. 41).
1.2 Neben der Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses beantragen die Beschwerdeführer zur Hauptsache die Rückweisung an das Bezirksgericht, das das Rechtsöffnungsbegehren an die Hand nehmen und entscheiden solle (S. 5 Ziff. 6b). Sie rügen zwar den obergerichtlichen Beschluss als unhaltbar und bundesrechtswidrig (S. 7 Ziff. 9), doch steht nicht die Willkürrüge im Vordergrund, sondern die bezirksgerichtliche Auslegung der Zuständigkeitsbestimmungen (S. 7 ff. Ziff. 10-15). Es wird insbesondere geltend gemacht, das Bezirksgericht habe Bundesrecht verletzt, indem es seine Zuständigkeit verneint habe und auf das Rechtsöffnungsbegehren nicht eingetreten sei (S. 10 Ziff. 16 der Beschwerdeschrift). Auf Grund der Beschwerdeanträge im Lichte der Beschwerdebegründung (BGE 135 I 119 E. 4 S. 122) hat die bezirksgerichtliche Verfügung als mitangefochten zu gelten (für einen vergleichbaren Fall: BGE 133 III 687 E. 1.3 S. 690), wie das bei Beschwerden gegen zürcherische Rechtsöffnungsentscheide zulässig und in der Sache notwendig ist, prüft doch das Obergericht als zweite kantonale Instanz die Anwendung von Bundesrecht mit einer engeren Kognition (§ 281 Ziff. 3 ZPO/ZH: Verletzung klaren materiellen Rechts) als das Bundesgericht im Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 95 lit. a BGG; vgl. BGE 134 III 141 E. 2 S. 143 f. und 267 E. 1.1 S. 269). Der Entscheid des Bezirksgerichts ist bezüglich der Rüge der Bundesrechtsverletzung letztinstanzlich. Er kann aber gestützt auf Art. 100 Abs. 6 BGG mit dem Entscheid des Obergerichts angefochten werden.
1.3 Rechtsöffnungssachen sind vermögensrechtlicher Natur (BGE 133 III 399 E. 1.3). Da der Streitwert mit Fr. 6'198.40 den gesetzlichen Mindestbetrag nicht erreicht (Art. 74 Abs. 1 BGG), ist die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG). Die Zulässigkeit begründen die Beschwerdeführer damit, dass in der kantonalen Praxis und in der Lehre unterschiedliche Meinungen bestünden, welches Gericht für den Entscheid über das Gesuch um Rechtsöffnung zuständig sei, wenn der Schuldner nach Zustellung des Zahlungsbefehls seinen Wohnsitz verlege, und dass am Entscheid des Bundesgerichts über die Zuständigkeit ein erhebliches Interesse bestehe (S. 3 f. Ziff. 3 der Beschwerdeschrift). Die Zuständigkeitsfrage ist, wie auch das Obergericht hervorgehoben hat (E. 2 S. 3 f. mit Hinweisen), streitig, kann aber auf kantonaler Ebene auf Grund der beschränkten Rechtsmittel- und Überprüfungsmöglichkeiten nicht geklärt werden (E. 2 S. 4 des angefochtenen Beschlusses). Den Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung legt das Bundesgericht restriktiv aus (BGE 135 III 1 E. 1.3 S. 4 und 397 E. 1.2 S. 399). Es bejaht jedoch im Falle streitiger Zuständigkeiten ein besonderes Bedürfnis nach einer möglichst baldigen Klärung der Rechtslage, damit die Rechtsunsicherheit rasch beseitigt werden kann und der Rechtsuchende Klarheit darüber erhält, bei welcher Instanz er den Rechtsweg einzuschlagen hat (BGE 133 III 645 E. 2.4 S. 649). Diese Voraussetzung ist hier erfüllt, so dass eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ausnahmsweise angenommen und auf die Beschwerde in Zivilsachen eingetreten werden kann. Die in der gleichen Rechtsschrift erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird hinfällig (Art. 113 BGG; BGE 135 III 397 E. 1.2 S. 400).
1.4 Die Beschwerdeführer haben am kantonalen Verfahren teilgenommen und sind bei der Vollstreckung rechtskräftig festgesetzter öffentlichrechtlicher Ansprüche wie Steuerforderungen durch die Verweigerung der definitiven Rechtsöffnung gleich wie ein Privater betroffen, da sie solche Ansprüche nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes über Schuldbetreibung und Konkurs durchsetzen müssen und diesbezüglich keine Vollstreckungsprivilegien geniessen (Art. 43 SchKG). Ihre Beschwerdeberechtigung ist gegeben (Art. 76 Abs. 1 BGG; vgl. Urteile 5P.330/2004 vom 22. Dezember 2004 E. 1.2 und 5P.14/2003 vom 27. März 2003 E. 1.1, in: Praxis 93/2004 Nr. 29 S. 143 f.).
1.5 Die kantonal letztinstanzliche Verneinung der örtlichen Zuständigkeit schliesst das Verfahren ab und ist Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG; vgl. BGE 135 V 153 E. 1.3 S. 156). Auf die - im Weiteren fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 und 6 BGG) erhobene - Beschwerde kann eingetreten werden.
2. In tatsächlicher Hinsicht steht verbindlich und unangefochten fest, dass der Beschwerdegegner seit Zustellung des Zahlungsbefehls seinen Wohnsitz verlegt hat. In Kenntnis des Wohnsitzwechsels haben die Beschwerdeführer am neuen Wohnsitz des Beschwerdegegners und Betreibungsschuldners das Gesuch um definitive Rechtsöffnung gestellt. Auf Grund des Sachverhalts stellt sich folgende Streitfrage:
2.1 Für natürliche Personen wie den Beschwerdegegner gilt als ordentlicher Betreibungsort der Wohnsitz (Art. 46 Abs. 1 SchKG). Verändert der Schuldner seinen Wohnsitz, nachdem ihm die Pfändung angekündigt oder nachdem ihm die Konkursandrohung oder der Zahlungsbefehl zur Wechselbetreibung zugestellt worden ist, so wird gemäss Art. 53 SchKG die Betreibung am bisherigen Orte fortgesetzt. Die Bestimmung erlaubt den Gegenschluss, dass vor den im Gesetz genannten Zeitpunkten der ordentliche Betreibungsort dem jeweiligen Wohnsitz des Schuldners folgt und die am alten Wohnsitz angehobene Betreibung am neuen Wohnsitz weiterzuführen ist. Das Bundesgericht hat die Veränderlichkeit des ordentlichen Betreibungsortes zufolge Wohnsitzwechsels auch mit Bezug auf das Rechtsöffnungsverfahren anerkannt und dabei Regeln aufgestellt, die sich wie folgt zusammenfassen lassen: (1.) Das Rechtsöffnungsgesuch ist dem Gericht am Betreibungsort zu stellen, und zwar selbst dann, wenn die Betreibung nicht am gesetzmässigen Betreibungsort angehoben wurde, der Schuldner aber seinerzeit darauf verzichtet hat, den Zahlungsbefehl wegen örtlicher Unzuständigkeit mit Beschwerde gemäss Art. 17 ff. SchKG anzufechten. (2.) Hat der Schuldner seit der Zustellung des Zahlungsbefehls seinen Wohnsitz verlegt, muss das Gesuch um Rechtsöffnung dem Gericht am neuen Wohnsitz des Schuldners gestellt werden. (3.) Trotz Wohnsitzwechsels seit der Zustellung des Zahlungsbefehls kann der Schuldner am alten Wohnsitz auf Rechtsöffnung belangt werden, wenn er dem Gläubiger die Wohnsitzverlegung nicht angezeigt hat und der Gläubiger auch nicht sonstwie nachweislich davon erfahren hat oder wenn der Schuldner im Rechtsöffnungsverfahren keine Einrede der Unzuständigkeit erhebt (BGE 76 I 45 E. 3 S. 48 ff.; 112 III 9 E. 2 S. 11 ff. mit einer Präzisierung der Rechtsprechung; BGE 115 III 28 E. 2 S. 30). Dass Art. 53 SchKG über den Betreibungsort bei Wohnsitzwechsel unmittelbar nur auf den vom Wohnsitz - und analog vom Sitz - des Schuldners abhängigen ordentlichen Betreibungsort (Art. 46 SchKG), nicht hingegen auf die besonderen Betreibungsorte (Art. 48 - 52 SchKG) anwendbar ist, ergibt sich aus dem Gesetzestext (BGE 115 III 28 E. 2 S. 31 mit Hinweis).
2.2 Die Rechtsprechung ist vor Inkrafttreten der Änderung des SchKG vom 16. Dezember 1994 am 1. Januar 1997 ergangen. Die Revision von 1994/97 hat Art. 46 Abs. 1 und Art. 53 SchKG nicht erfasst, hingegen einen neuen Art. 84 Abs. 1 SchKG geschaffen. Danach entscheidet das Gericht des Betreibungsortes über Gesuche um Rechtsöffnung. Ein Teil der Lehre und ihr folgend der kantonalen Praxis vertritt gestützt darauf die Ansicht, Art. 53 SchKG komme bei der Rechtsöffnung nicht mehr oder nur mehr in wenigen Ausnahmefällen zur Anwendung, der ursprüngliche Betreibungsort sei auch bei Wohnsitzwechsel massgebend und die gegenteiligen Entscheidungen des Bundesgerichts seien gegenstandslos geworden (JAEGER/WALDER/KULL/ Kottmann, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 4. Aufl. 1997, Entscheidungen des Bundesgerichts zu Art. 84 SchKG, S. 378; Bolliger/Jeanneret, in: Kurzkommentar SchKG, Basel 2009, N. 10 zu Art. 53 SchKG; z.B. Kantonsgericht Schwyz, Beschluss vom 14. November 2005, in: EGVSZ 2005 S. 77 und SJZ 102/2006 S. 66 f.). Nach der anderen Meinung in der Lehre und der ihr folgenden kantonalen Praxis hat die Einführung von Art. 84 Abs. 1 SchKG nichts geändert, weil die Zuständigkeit des Gerichts weiterhin an den Betreibungsort knüpfe, der jedoch gemäss Art. 53 SchKG bei der Verlegung des Wohnsitzes wechsle (D. STAEHELIN, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 1998, N. 22 zu Art. 84 SchKG; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. I, 1999, N. 25 zu Art. 84 SchKG; SCHÜPBACH, in: Commentaire romand, 2005, N. 20 zu Art. 53 SchKG; VOCK, in: Kurzkommentar SchKG, Basel 2009, N. 8 zu Art. 84 SchKG, u.v.a.m.; z.B. Obergericht des Kantons Thurgau, Urteil vom 21. September 1998, in: RBOG 1998 S. 105 ff.; Kanton Graubünden, Urteil vom 18. Oktober 2000, in: PKG 2000 S. 80 f.).
2.3 Das Bundesgericht hat sich zur Streitfrage bisher nicht geäussert. Die Gesetzesauslegung hat deshalb die Frage zu beantworten, ob und wie sich ein Wohnsitzwechsel des Schuldners auf die örtliche Zuständigkeit des Rechtsöffnungsgerichts auswirkt. Ausgangspunkt jeder Auslegung bildet der Wortlaut der Bestimmung. Ist der Text nicht klar und sind verschiedene Interpretationen möglich, so muss nach seiner wahren Tragweite gesucht werden unter Berücksichtigung aller Auslegungselemente, namentlich des Zwecks, des Sinnes und der dem Text zu Grunde liegenden Wertungen. Wichtig ist ebenfalls der Sinn, der einer Norm im Kontext zukommt. Vom klaren, d.h. eindeutigen und unmissverständlichen Wortlaut darf nur ausnahmsweise abgewichen werden, wenn triftige Gründe dafür vorliegen, dass der Wortlaut nicht den wahren Sinn der Bestimmung wiedergibt. Solche Gründe können sich aus der Entstehungsgeschichte der Bestimmung, aus ihrem Grund und Zweck oder aus dem Zusammenhang mit andern Vorschriften ergeben (BGE 135 III 640 E. 2.3.1 S. 644; 135 V 249 E. 4.1 S. 252). Die Auslegungsgrundsätze gelten auch im Bereich des Vollstreckungsrechts (BGE 129 III 559 E. 3.1 S. 565).
3. Die Auslegung von Art. 84 Abs. 1 SchKG ergibt folgendes Ergebnis:
3.1 Nach dem Gesetzeswortlaut entscheidet das Gericht "des Betreibungsortes" ("du for de la poursuite"; "del luogo d'esecuzione") über Gesuche um Rechtsöffnung. Eine nähere Bestimmung des Betreibungsortes enthält Art. 84 Abs. 1 SchKG genauso wenig wie eine Vielzahl gleichlautender Zuständigkeitsvorschriften im Gesetz (z.B. Art. 77 Abs. 2, Art. 79 Abs. 2, Art. 83 Abs. 2, Art. 85, Art. 85a Abs. 1, Art. 86 Abs. 2 SchKG u.v.a.m.). Sie findet sich in den Art. 46-55 SchKG unter der Überschrift "Ort der Betreibung" ("Du for de la poursuite"; "Del luogo dell'esecuzione").
3.2 Eine den Wortlaut einschränkende Auslegung von Art. 84 Abs. 1 SchKG drängt sich auf Grund der Entstehungsgeschichte nicht auf. Die Bestimmung wurde in der parlamentarischen Beratung - nach Diskussionen über einen Anpassungsbedarf an das Lugano-Übereinkommen - unverändert gemäss dem bundesrätlichen Entwurf angenommen (AB 1993 N 19 und S 645 sowie 1994 S 730-732 und N 1405-1407). Laut Botschaft über die Änderung des Bundesgesetzes über Schuldbetreibung und Konkurs (SchKG) vom 8. Mai 1991 (BBl 1991 III 1) will die Revision Systemwidrigkeiten beseitigen und Lücken schliessen (S. 8). Gemäss dem Vorentwurf der Expertenkommission von Ende 1981 wird neben weiteren bundesrechtlichen Gerichtsständen (S. 10 f.) für die Rechtsöffnung neu der Gerichtsstand am Ort der Betreibung gesetzlich festgelegt (S. 67 der Botschaft). Hauptgegenstand der Beratungen in der Expertenkommission war nicht der Gerichtsstand der Rechtsöffnung, sondern die Ausgestaltung des Rechtsöffnungsverfahrens, wie es heute in Art. 84 Abs. 2 SchKG geregelt ist. Die Formulierung von Art. 84 Abs. 1 SchKG geht auf die Redaktionskommission des Vorentwurfs zurück. Eine inhaltliche Änderung gegenüber der bisherigen Rechtslage war insoweit nicht beabsichtigt und lässt sich nicht feststellen. Ein Mitglied der damaligen Experten- und Redaktionskommission hat in diesem Sinne auch festgehalten, dass Art. 53 SchKG über den Wohnsitzwechsel nach eingeleiteter Betreibung keine Änderungen erfahren hat und im Normalfall das Rechtsöffnungsverfahren am neuen Wohnort durchgeführt werden muss, wenn der Schuldner seit der Zustellung des Zahlungsbefehls seinen Wohnsitz gewechselt hat, sich der Schuldner aber auf ein Rechtsöffnungsverfahren am ursprünglichen Betreibungsort einlassen muss, wenn er dem Gläubiger seinen Wohnsitzwechsel nicht angezeigt und der Gläubiger davon auch nicht sonstwie sichere Kenntnis erhalten hat oder wenn der Schuldner es unterlässt, vor dem Rechtsöffnungsgericht dessen örtliche Zuständigkeit zu bestreiten (vgl. Rolf Raschein, Der Betreibungsort, BlSchK 51/1987 S. 201 ff., S. 208 Ziff. 6, mit Hinweis auf BGE 112 III 11).
3.3 Die Regelung des Betreibungsortes ist vor dem Hintergrund der Eigenart des schweizerischen Zwangsvollstreckungsrechts zu sehen. Danach beruht der Zahlungsbefehl ausschliesslich auf den Behauptungen des Gläubigers im Betreibungsbegehren, der darin einseitig geltend macht, ihm stehe ein materiellrechtlicher, erzwingbarer und vollstreckbarer Anspruch gegen den Schuldner zu (vgl. BGE 118 III 10 E. 3a S. 11; 132 III 140 E. 4.1.1 S. 141). Ein derartiges System macht den Schutz des Schuldners unabdingbar. In Übereinstimmung mit der Gerichtsstandsgarantie in Art. 59 Abs. 1 aBV bzw. Art. 30 Abs. 2 BV ist der Schuldner deshalb ordentlich an seinem Wohnsitz zu betreiben. Schuldbetreibung greift indessen über ein blosses Zweiparteienverfahren zwischen dem Betreibungsschuldner und dem Betreibungsgläubiger hinaus. Denn eine gegen einen bestimmten Schuldner durchgeführte Pfändung eröffnet die Anschlussmöglichkeit für andere Gläubiger und der über einen bestimmten Schuldner ausgesprochene Konkurs zieht sämtliche Gläubiger in ein einheitliches Verfahren. Die Rücksichtnahme auf die unbekannte Zahl allenfalls beteiligter Dritter erfordert insofern eine Beschränkung des Schuldnerschutzes, als der ordentliche Betreibungsort nicht während des ganzen Verfahrens dem jeweiligen Wohnsitz des Schuldners folgen kann. In diesem Sinne fixiert Art. 53 SchKG den Betreibungsort am Wohnsitz des Schuldners, nachdem ihm die Pfändung angekündigt oder nachdem ihm die Konkursandrohung oder der Zahlungsbefehl zur Wechselbetreibung zugestellt worden ist. Ab diesem Zeitpunkt sind Veränderungen des Wohnsitzes unbeachtlich und wird die Betreibung am bisherigen Orte fortgesetzt. Auf Grund der geschilderten Interessenlage lässt sich die hier streitige Fixierung des Betreibungsortes auf einen früheren Zeitpunkt nicht begründen. Das Einleitungsverfahren mit Einschluss des Rechtsöffnungsverfahrens ist ein Verfahren ausschliesslich zwischen dem Betreibungsgläubiger und dem Betreibungsschuldner, so dass der Schutz des Schuldners im Vordergrund steht und mögliche Drittgläubiger keiner Rücksichtnahme bedürfen. Die Veränderlichkeit des Gerichtsstandes der Rechtsöffnung bei Wohnsitzwechsel des Schuldners auszuschliessen, lässt sich deshalb weder mit dem Zweck der Regelung noch mit den gesetzgeberischen Wertungen rechtfertigen (vgl. zur Grundidee des Betreibungsortes am Wohnsitz des Schuldners: BGE 26 I 211 E. 5 S. 214; Fritzsche/Walder, Schuldbetreibung und Konkurs nach schweizerischem Recht, Bd. I, 3. Aufl. 1984, § 11 Rz. 2 S. 104).
3.4 Der Vergleich mit übereinstimmenden Gerichtsstandsvorschriften lässt keine einschränkende Berücksichtigung des Wohnsitzwechsels erkennen, soweit es um Verfahren geht, die vor den in Art. 53 SchKG festgelegten Zeitpunkten einzuleiten sind. So ist z.B. anerkannt, dass die Aberkennungsklage (Art. 83 Abs. 2 SchKG) am neuen Wohnsitz als dem gemäss Art. 53 SchKG massgebenden Betreibungsort zu erheben ist, wenn der Schuldner nach dem Rechtsöffnungsgesuch seinen Wohnsitz ändert (FRITZSCHE/WALDER, a.a.O., § 21 Rz. 5 S. 270; D. STAEHELIN, a.a.O., N. 36 zu Art. 83 SchKG).
3.5 Als Auslegungsergebnis kann festgehalten werden, dass die Gesetzesrevision von 1994/97 mit dem neu geschaffenen Art. 84 Abs. 1 SchKG die bisherige Rechtsprechung zum Gerichtsstand der Rechtsöffnung, namentlich zu dessen Veränderlichkeit bei Wohnsitzwechsel des Schuldners gemäss Art. 53 SchKG, nicht gegenstandslos gemacht hat. Hat der Schuldner - wie hier - den Wohnsitz seit der Zustellung des Zahlungsbefehls verlegt, ist das Gesuch um Rechtsöffnung beim Gericht des neuen Wohnsitzes zu stellen, sofern der Schuldner dem Gläubiger die Wohnsitzverlegung angezeigt hat oder der Gläubiger - wie hier - sonstwie davon erfahren hat. Die abweichende Ansicht, wonach das Gesuch um Rechtsöffnung trotz Wohnsitzwechsels des Schuldners an dessen bisherigem Wohnsitz zu stellen sei, kann nicht geteilt werden. Der angefochtene Unzuständigkeitsentscheid erweist sich als bundesrechtswidrig. Die Beschwerde muss in diesem Punkt gutgeheissen werden.
4. Dem Obergericht werfen die Beschwerdeführer vor, es sei unhaltbar, den Nichtigkeitsgrund der Verletzung klaren materiellen Rechts (§ 281 Ziff. 3 ZPO/ZH) zu verneinen.
4.1 Die Verletzung klaren materiellen Rechts im Sinne von § 281 Ziff. 3 ZPO/ZH entspricht im Wesentlichen der Rüge der Verletzung des Willkürverbots (BGE 133 III 585 E. 3.4 S. 588). Ist die Kognition der letzten kantonalen Instanz auf die Verletzung klaren Rechts beschränkt, prüft das Bundesgericht frei, ob die kantonale Instanz Willkür zu Unrecht bejaht oder verneint hat (BGE 116 III 70 E. 2 S. 71 f.; Urteil 4A_137/2007 vom 20. Juli 2007 E. 7.1).
4.2 Willkürlich ist eine Rechtsanwendung nicht schon dann, wenn sie falsch ist. Willkür setzt vielmehr voraus, dass eine Rechtsnorm qualifiziert unrichtig angewendet worden ist (Art. 9 BV). Diese Voraussetzung haben die Beschwerdeführer in ihrer Rechtsschrift zu begründen und nicht bloss zu behaupten (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 110 Ia 1 E. 2a S. 3 f.; 133 III 462 E. 4.4.1 S. 470). Den formellen Anforderungen genügt die Beschwerdeschrift nicht. Die Beschwerdeführer machen zwar einleitend geltend, die obergerichtliche Verneinung eines Nichtigkeitsgrundes sei unhaltbar, beschränken ihre weiteren Ausführungen anschliessend aber darauf, eine Verletzung von Bundesrecht so zu begründen, wie es in einem appellatorischen Verfahren, wo dem Gericht freie Prüfungsbefugnis zusteht, genügte, nicht hingegen in einem auf die Beurteilung von Willkürrügen beschränkten Verfahren (BGE 134 II 349 E. 3 S. 352).
4.3 Soweit sie sich gegen den obergerichtlichen Beschluss richtet, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
5. Die Beschwerde in Zivilsachen muss gutgeheissen werden, soweit darauf einzutreten ist. Das Bezirksgericht wird über das Gesuch um Rechtsöffnung zu entscheiden haben. Die Beschwerdeführer unterliegen in einem Nebenpunkt (E. 4) und obsiegen in der Zuständigkeitsfrage (E. 3). Sie haben weder Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) noch ist ihnen eine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG). Auf eine Kostenerhebung beim Beschwerdegegner kann ausnahmsweise verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Verfügung des Bezirksgerichts Uster, Einzelrichter im summarischen Verfahren, vom 16. September 2009 wird aufgehoben. Die Sache wird an das Bezirksgericht Uster, Einzelrichter im summarischen Verfahren, zur Beurteilung des Rechtsöffnungsgesuchs zurückgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, sowie dem Bezirksgericht Uster, Einzelrichter im summarischen Verfahren, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl von Roten