Sachverhalt:
A. Der nach der Ständeratswahl vom 23. Oktober 2011 im Kanton Schwyz erforderliche zweite Wahlgang für den zweiten Sitz wurde auf den 27. November 2011 angesetzt. Neu bewarb sich dafür Nationalrat Peter Föhn, der an der Wahl vom 27. November 2011 die meisten Stimmen erzielte.
Anton (Toni) Reichmuth stellte am 28. Oktober 2011 fest, dass der Wahlvorschlag für Peter Föhn von Stimmberechtigten unterzeichnet war, deren Unterschriften von den Gemeinden (vorerst) nicht beglaubigt waren. Am 4. November 2011 wandte er sich mit diversen Fragen an die Staatskanzlei des Kantons Schwyz, erhielt darauf indes keine aktenkundige Antwort. Am 26. November 2011 erhob er beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz Beschwerde. Dieses trat mit Entscheid vom 2. Dezember 2011 auf die Beschwerde nicht ein, weil es nicht zuständig und die Beschwerde verspätet sei. Es überwies die Beschwerde an den Kantonsrat Schwyz. Auf eine gegen diesen Entscheid gerichtete Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 1C_549/2011 vom 8. Dezember 2011 nicht ein.
B. Mit einer weiteren Beschwerde vom 12. Dezember 2011 gelangte Anton (Toni) Reichmuth an den Kantonsrat Schwyz. Er beantragte im Wesentlichen, die Wahl von Peter Föhn sei aufzuheben und der zweite Wahlgang der Ständeratswahl sei zu wiederholen.
C. Der Kantonsrat Schwyz trat mit Beschluss vom 12./14. Dezember 2011 auf die vom Verwaltungsgericht weitergeleitete Beschwerde vom 26. November 2011 nicht ein und wies die Beschwerde vom 12. Dezember 2011 ab. Mit demselben Beschluss erwahrte der Kantonsrat die Wahl von Peter Föhn als Mitglied des Ständerats für die Amtsdauer 2011-2015.
D. Gegen diesen Entscheid des Kantonsrats hat Anton (Toni) Reichmuth beim Bundesgericht am 30. Januar 2012 Beschwerde erhoben. Er beantragt, die Sache sei in Anwendung der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) einem kantonalen Gericht zum Entscheid zu übertragen und es sei eine angemessene Normenkontrolle betreffend die Ausgestaltung der Rechtsweggarantie durchzuführen. Eventualiter verlangt er, die Liste von Peter Föhn für den zweiten Wahlgang vom 27. November 2011 nicht zuzulassen, die Wahl aufzuheben und einen neuen Wahlgang anzusetzen. Überdies stellt er den Antrag, die im kantonalen Verfahren vorgebrachten Argumente seien als Bestandteile seiner Beschwerde ans Bundesgericht anzuerkennen.
E. Der Kantonsrat Schwyz beantragt die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Verwaltungsgericht verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Peter Föhn stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. In einer weiteren Vernehmlassung hält der Beschwerdeführer an seinen Standpunkten fest.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht behandelt Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von Art. 82 lit. c BGG, die sich gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide im Zusammenhang mit der Wahl von Ständeräten richten (Art. 88 BGG). Die Beschwerdebefugnis steht den in der betreffenden Angelegenheit stimm- und wahlberechtigten Personen zu (Art. 89 Abs. 3 BGG). In der Beschwerdebegründung ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG); die Verletzung von Grundrechten ist zu rügen und zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Begründung muss in der Beschwerdeschrift enthalten sein. Eine pauschale Verweisung auf die Eingaben im kantonalen Verfahren genügt den Begründungserfordernissen nicht (BGE 134 I 303 E. 1.3 S. 306 mit Hinweisen).
2. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Sache sei gestützt auf die Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) an ein kantonales Gericht zu überweisen, ergibt sich, dass sich diese Frage bereits im bundesgerichtlichen Verfahren 1C_549/2011 stellte, welches das Bundesgericht mit Urteil vom 8. Dezember 2011 beurteilte. Danach konnte das Bundesgericht auf den Antrag nicht eintreten, weil die Beschwerde den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht entsprach. Auf den wiederum nicht hinreichend substanziierten Antrag, die Sache sei einem kantonalen Gericht zum Entscheid zu übertragen und es sei eine angemessene Normenkontrolle betreffend die Ausgestaltung der Rechtsweggarantie durchzuführen, kann auch im vorliegenden Verfahren nicht eingetreten werden.
3. Der Kantonsrat ist auf die Beschwerde vom 26. November 2011 nicht eingetreten, weil die Beschwerde mit dem Antrag, der Wahlvorschlag für Peter Föhn sei nicht zuzulassen, verspätet eingereicht worden sei. Aus den Akten ergibt sich, dass der Beschwerdeführer am 28. Oktober 2011 bei der Staatskanzlei Einsicht in die Wahlvorschläge nahm und dabei feststellte, dass die Beglaubigungen fehlten. Die Beschwerdefrist für die Anfechtung von Unregelmässigkeiten bei der Vorbereitung von Volkswahlen in den Bezirken und Gemeinden beträgt nach dem einschlägigen kantonalen Recht 10 Tage seit Entdeckung des Beschwerdegrundes (§ 53a Abs. 2 des kantonalen Gesetzes über Abstimmungen und Wahlen; WAG/SZ; SRSZ 120.100). Diese Frist wurde mit der Beschwerdeeinreichung am 26. November 2011 nicht eingehalten, weshalb der Nichteintretensentscheid des Kantonsrats nicht zu beanstanden ist. Dass zur Beanstandung von Vorbereitungshandlungen bei Ständeratswahlen eine längere Beschwerdefrist gelten sollte, legt der Beschwerdeführer nicht substanziiert dar (Art. 42 Abs. 2 BGG).
4. Der Kantonsrat hat die Abweisung der Beschwerde vom 12. Dezember 2011 damit begründet, dass die erst nachträgliche Beglaubigung der Wahlvorschläge für Peter Föhn wegen einer falschen Auskunft der Staatskanzlei an Vertreter der SVP gerechtfertigt gewesen sei. Diese Begründung wird durch die Vorbringen des Beschwerdeführers - soweit sie überhaupt den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG entsprechen - nicht entkräftet. Es erscheint vor dem Hintergrund der Rechtsgleichheit (Art. 8 BV) und von Treu und Glauben (Art. 9 BV) vertretbar, dass die ohne Beglaubigung eingereichten Wahlvorschläge als gültig akzeptiert wurden, nachdem die Staatskanzlei gegenüber Vertretern der SVP eine unzutreffende Auskunft erteilt hatte. Zudem legt der Kantonsrat im angefochtenen Entscheid dar, es sei sofort erkennbar gewesen, dass 50 der 117 Wahlvorschläge von im Kanton stimmberechtigten Personen stammten. Keiner anderen Gruppierung sei in ähnlicher Weise eine falsche Auskunft erteilt worden, auf die sie sich nach Treu und Glauben stützen könne.
Die Beschwerde enthält keine Hinweise, die an der Darstellung des Kantonsrats Zweifel aufkommen lassen würden. Auch legt der Beschwerdeführer nicht substanziiert dar, inwiefern die erst nachträgliche Beglaubigung der Wahlvorschläge die Wahlfreiheit beeinträchtigt haben könnte. Eine solche Beeinträchtigung ist denn auch nicht ersichtlich.
5. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem im bundesgerichtlichen Verfahren nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsrat, dem Regierungsrat, der Staatskanzlei und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, sowie der Bundeskanzlei und den Parlamentsdiensten, Generalsekretariat und Rechtsdienst, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. März 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Haag