Sachverhalt:
A. Die aus Mazedonien stammende X._, geb. 1982, lebt seit 1996 in der Schweiz und verfügt über eine Niederlassungsbewilligung. Am 25. Dezember 2005 heiratete sie in Skopje den Landsmann Y._ (geb. 1975). Dieser hatte bereits 2004 in der Schweiz die Aufenthaltsbewilligung besessen, welche jedoch am 2. August 2004 widerrufen worden war.
B. Am 28. Februar 2006 reichte X._ ein Gesuch um Bewilligung des Aufenthalts für ihren Ehemann Y._ ein, welches vom Ausländeramt des Kantons Schaffhausen mit Verfügung vom 7. Juni 2006 abgewiesen wurde. Ein Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Schaffhausen blieb erfolglos (Beschluss vom 12. September 2006). Die kantonalen Behörden waren übereinstimmend zum Ergebnis gelangt, dass die Ehe nicht in erster Linie eingegangen worden sei, um eine Lebensgemeinschaft zu begründen, sondern um dem Ehemann in der Schweiz ein Anwesenheitsrecht zu verschaffen, was eine Umgehung der ausländerrechtlichen Vorschriften darstelle. Die von X._ dagegen erhobene (kantonale) Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 27. Juli 2007 ab.
C. Mit Eingabe vom 29. August 2007 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, der Entscheid des Obergerichts vom 27. Juli 2007 sei aufzuheben und dem Ehemann Y._ "der Familiennachzug zu gewähren".
Der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Schaffhausen verzichtet auf eine Stellungnahme unter Verweis auf die Begründung im angefochtenen Entscheid.
Erwägungen:
1. 1.1 Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Zwar ist am 1. Januar 2008 das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG, SR 142.20) in Kraft getreten, doch bestimmt dessen Art. 126 Abs. 1, dass auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes eingereicht worden sind, noch das bisherige Recht anwendbar bleibt. Das streitige Gesuch wurde vor Inkrafttreten des Ausländergesetzes gestellt und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen.
1.3 Gemäss Art. 17 Abs. 2 Satz 1 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990) hat der ausländische Ehegatte eines niedergelassenen Ausländers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange die Ehegatten zusammen wohnen.
Als niedergelassener Ausländerin steht der Beschwerdeführerin gestützt auf die erwähnte Bestimmung im Grundsatz ein Anspruch auf Nachzug ihres Ehegatten zu, mit welchem gerade bezweckt wird, die rechtlichen Voraussetzungen für ein eheliches Zusammenleben in der Schweiz zu schaffen. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich damit als zulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Die Frage, ob die Bewilligung verweigert werden durfte, weil ein Fall von Rechtsmissbrauch bzw. insbesondere eine Schein- oder Ausländerrechtsehe vorliegt, betrifft nicht das Eintreten, sondern bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. BGE 126 II 265 E. 1b S. 266 mit Hinweisen).
1.4 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht - inklusive Bundesverfassungsrecht -, Völkerrecht sowie kantonale verfassungsmässige Rechte (Art. 95 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels sich für den Ausgang des Verfahrens als entscheidend erweist (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Nach Art. 7 Abs. 2 ANAG hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers dann keinen Anspruch auf die ihm nach Abs. 1 dieser Bestimmung grundsätzlich zustehende Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn die Ehe eingegangen worden ist, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung von Ausländern und namentlich jene über die Begrenzung der Zahl der Ausländer zu umgehen. Als Konkretisierung des Rechtsmissbrauchsverbots im Bereich ausländerrechtlicher Bewilligungen ist diese Regel über den Geltungsbereich von Art. 7 ANAG hinaus auch in Bezug auf die Ansprüche gemäss Art. 17 Abs. 2 ANAG in gleicher Weise anwendbar (BGE 121 II 5 E. 3a; 130 II 113 E. 4.2 S. 117). Art. 7 Abs. 2 ANAG bzw. der darin zum Ausdruck kommende Vorbehalt des Rechtsmissbrauchs bezieht sich auf die so genannte Scheinehe bzw. Ausländerrechtsehe. Ein Bewilligungsanspruch soll dann nicht bestehen, wenn zum Vornherein nie der Wille bestand, eine dauerhafte Gemeinschaft zu begründen, und der einzige Zweck der Heirat darin besteht, dem Ausländer zu einer fremdenpolizeilichen Bewilligung zu verhelfen (vgl. BGE 127 II 49 E. 4a S. 55 mit Hinweisen).
2.2 Feststellungen des kantonalen Richters über diesbezügliche Indizien können äussere Gegebenheiten, aber auch innere psychische Vorgänge betreffen (Wille der Ehegatten). In beiden Fällen handelt es sich um tatsächliche Feststellungen (BGE 98 II 1 E. 2a S. 6; vgl. auch BGE 119 IV 242 E. 2c S. 248), welche für das Bundesgericht verbindlich sind (oben E. 1.4). Frei zu prüfen ist dagegen die Rechtsfrage, ob die festgestellten Tatsachen (Indizien) darauf schliessen lassen, die Berufung auf die Ehe sei rechtsmissbräuchlich oder bezwecke die Umgehung fremdenpolizeilicher Vorschriften (BGE 128 II 145 E. 2.3 S. 152).
Erforderlich sind konkrete Hinweise darauf, dass die Ehegatten nicht eine eigentliche Lebensgemeinschaft führen wollen, sondern die Ehe nur aus fremdenpolizeilichen Überlegungen eingegangen wurde (vgl. BGE 127 II 49 E. 5a S. 57). Diesbezügliche Indizien lassen sich u.a. darin erblicken, dass dem Ausländer die Wegweisung drohte, etwa weil er ohne Heirat keine Aufenthaltsbewilligung erhalten hätte oder sie ihm nicht verlängert worden wäre. Für das Vorliegen einer Ausländerrechtsehe können sodann die Umstände und die kurze Dauer der Bekanntschaft sprechen sowie insbesondere die Tatsache, dass die Ehegatten eine Wohngemeinschaft gar nie aufgenommen haben. Dasselbe gilt, wenn für die Heirat eine Bezahlung vereinbart wurde. Dass die Begründung einer wirklichen Lebensgemeinschaft gewollt war, kann umgekehrt nicht schon daraus abgeleitet werden, dass die Ehegatten während einer gewissen Zeit zusammenlebten und intime Beziehungen unterhielten; ein derartiges Verhalten kann auch nur vorgespielt sein, um die Behörden zu täuschen (BGE 122 II 289 E. 2b S. 295 mit Hinweisen). Eine Scheinehe liegt demgegenüber nicht bereits dann vor, wenn ausländerrechtliche Motive für den Eheschluss mitentscheidend waren. Erforderlich ist zusätzlich, dass der Wille zur Führung einer Lebensgemeinschaft - zumindest bei einem der Ehepartner - von Anfang an nicht gegeben ist.
Die Frage der Scheinehe stellt sich im Allgemeinen erst im Nachhinein, nachdem der betreffende Ausländer - mit oder ohne Bewilligung - eine Zeitlang mit seinem hier anwesenheitsberechtigten Ehepartner zusammen gelebt hat bzw. hätte zusammen leben können. Vorliegend hat der ausländische Ehemann noch gar keine Gelegenheit erhalten, die Absicht der Begründung einer Lebensgemeinschaft durch Zusammenleben mit der Ehefrau unter Beweis zu stellen. Dies schliesst jedoch nicht aus, dass - bei entsprechender Indizienlage - bereits im Zeitpunkt der erstmaligen Gesuchseinreichung auf eine Scheinehe geschlossen werden darf und die Erteilung einer fremdenpolizeilichen Nachzugsbewilligung von Anbeginn weg zu verweigern ist.
2.3 Das angefochtene Urteil geht an sich zutreffend von diesen rechtlichen Vorgaben aus. Als Indizien für das Vorliegen einer Scheinehe führen die kantonalen Behörden vorab die Interessenlage und das bisherige Vorgehen des Ehemannes, die Umstände des Kennenlernens der Ehefrau bzw. die kurze Dauer der Bekanntschaft ins Feld. Nach den grundsätzlich verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz ergibt sich diesbezüglich folgendes Bild: Nachdem dem (nachmaligen) Ehemann der Beschwerdeführerin 1999 ein Visum für einen Besuchsaufenthalt in der Schweiz verweigert worden war, hatte er im Dezember 2002 eine hier niedergelassene Landsmännin geheiratet, worauf ihm im März 2004 eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Diese Bewilligung wurde am 2. August 2004 widerrufen, nachdem seine damalige Ehefrau - bereits einen Monat nach seiner Einreise - eheschutzrichterliche Massnahmen beantragt hatte. Einen gegen den Widerruf erhobenen Rekurs zog der Ehemann zurück und verliess die Schweiz im Dezember 2004. Im selben Monat lernte er in Mazedonien die Beschwerdeführerin kennen und verlobte sich mit ihr. Am 2. Dezember 2005 wurde seine frühere Ehe geschieden, worauf er zwanzig Tage später die Beschwerdeführerin heiratete. Zwischenzeitlich hatten sich die Beschwerdeführerin und ihr künftiger Ehemann nur einmal, im September 2005, für einige Tage in Mazedonien gesehen. Die kurze Dauer der Bekanntschaft der Partner, die kurze Zeit zwischen Scheidung und Wiederverheiratung, die mangelnden Kontakte sowie die, wie sich anlässlich von fremdenpolizeilichen Befragungen beider Ehegatten im Mai 2006 herausstellte, fehlenden Kenntnisse des Lebenslaufes des Partners und die teilweise widersprüchlichen Angaben etwa zu den Umständen des Kennenlernens und zum Entschluss zur Heirat stellen gewichtige objektive Indizien dafür dar, dass der Eheschluss vorab dazu diente, dem Ehemann der Beschwerdeführerin den Aufenthalt in der Schweiz zu ermöglichen. Demgegenüber sprechen der Umstand, dass die Ehegatten dem gleichen Kulturkreis angehören, sowie der geringe Altersunterschied gegen diesen Schluss. Dass offenbar sowohl die erste wie nun auch die zweite Ehe des Ehemannes entsprechend den Gepflogenheiten im (gemeinsamen) Heimatland durch Vermittlung bzw. unter Mitwirkung der beteiligten Familien zustande gekommen war, rechtfertigt noch nicht die Annahme, dass seitens der Eheleute jeweils keine Absicht der Führung einer Lebensgemeinschaft vorlag und der Eheschluss mangels einer Liebesbeziehung nur gerade der Erwirkung eines Aufenthaltsrechtes in der Schweiz dienen sollte. Auffällig ist andererseits die Raschheit des Entschlusses des Ehemannes, mit der jetzigen Gattin eine neue Ehe einzugehen. Die Verlobung erfolgte offenbar kurz nachdem er die Beschwerdeführerin kennengelernt hatte noch im Dezember 2004. Eine gewisse zeitliche Dringlichkeit konnte sich immerhin daraus ergeben, dass die Beschwerdeführerin, welche hierzulande einer Beschäftigung nachgeht, nach ihrem Aufenthalt in Mazedonien im Dezember 2004 wieder in die Schweiz zurückkehren musste. Ihr berufliches Engagement lässt es auch bis zu einem gewissen Grad als plausibel erscheinen, dass die Beschwerdeführerin ihren Verlobten im Heimatland nicht öfter oder über längere Zeit aufsuchen konnte. Was das zeitliche Zusammenfallen der Heirat mit der Scheidung des Ehemannes anbetrifft, ist zu berücksichtigen, dass seine frühere Ehe bereits im Frühjahr 2004 als definitiv gescheitert gegolten haben dürfte, der Eheschluss mithin über anderthalb Jahre später erfolgte. Auch wenn eine Reihe von Indizien in die gegenteilige Richtung weisen, lässt sich bei der gegebenen Sachlage eine lebendige Beziehung zwischen den Eheleuten und die Absicht der Führung einer Lebensgemeinschaft, deren Tragfähigkeit bis anhin noch nicht unter Beweis gestellt werden konnte, nicht zum Vornherein ausschliessen. Es bedürfte deutlicherer Anhaltspunkte, um vorliegend auf eine Ausländerrechtsehe zu schliessen und den Ehegattennachzug von allem Anfang an verweigern zu können. In einem solchen Fall muss die Aufenthaltsbewilligung vielmehr erteilt werden, auf das Risiko hin, dass sich die Ehe aufgrund späteren Verhaltens der Beteiligten (z.B. fehlendes eheliches Zusammenleben in der Schweiz) als Scheinehe herausstellt und die Aufenthaltsbewilligung gestützt auf die dannzumaligen Erkenntnisse widerrufen werden muss bzw. nicht mehr zu verlängern ist.
Bei der gegebenen Sachlage steht die Verweigerung des anbegehrten Ehegattennachzugs somit im Widerspruch zu Bundesrecht (Art. 17 Abs. 2 Satz 1 bzw. Art. 7 Abs. 2 ANAG).
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gutzuheissen und das Urteil des Obergerichts aufzuheben. Es rechtfertigt sich unter diesen Umständen, die Sache an das kantonale Ausländeramt (als in erster Instanz entscheidende Behörde) zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG), verbunden mit der Anweisung, dem Ehemann der Beschwerdeführerin die nachgesuchte Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs zu erteilen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Schaffhausen hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Es wird Sache des Obergerichts sein, über die Kosten- und Entschädigungsfolgen der kantonalen Rechtsmittelverfahren neu zu entscheiden (vgl. Art. 67 sowie Art. 68 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 27. Juli 2007 aufgehoben. Das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen wird angewiesen, dem Ehemann der Beschwerdeführerin, Y._ (geb. 1975), die Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs zu erteilen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Schaffhausen hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Ausländeramt, dem Regierungsrat und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Moser