Sachverhalt:
A. Die Y._ (Beschwerdegegnerin) ist ein Unternehmen mit Sitz in Deutschland, das sich auf den Vertrieb eines Reinigungs- und Poliersteins spezialisiert hat, der unter der Bezeichnung A._ in einer dunkelgrünen Dose mit einem hellgrünen, aufschraubbaren Deckel angeboten wird und in Form einer Wort- und Bildmarke geschützt ist. Die X._ GmbH (Beschwerdeführerin), ebenfalls ein deutsches Unternehmen, vertrieb in der Schweiz selber und bis zum 5. Februar 2002 über eine Zweigniederlassung ein in Form und Farbe ähnliches Reinigungsmittel (B._), und zwar durch einen Angestellten und eine selbständige Verkäuferin. Ein von der Beschwerdegegnerin erwirktes vorsorgliches Vertriebs- und Reklameverbot musste gerichtlich durchgesetzt und geahndet werden, zuletzt im Mai 2002, als die Beschlagnahme von Werbe- und Bestellmaterial angeordnet wurde.
B. Binnen der vom Bezirksgericht Brig angesetzten Frist reichte die Beschwerdegegnerin Klage ein und verlangte nach Verbesserung der Klage im Wesentlichen von der Beschwerdeführerin, deren einziger Gesellschafterin, den für die Zweigniederlassung Zeichnungsberechtigten sowie dem Angestellten und der selbständigen Verkäuferin, die das Produkt der Beschwerdeführerin in der Schweiz vertrieben, den Verkauf des Produktes in der beanstandeten Aufmachung umgehend einzustellen und ihr Fr. 100'000.-- nebst Zins zu bezahlen, entsprechend dem durch den Verkauf des strittigen Produktes in der Schweiz erzielten Gewinn. Der Bezirksrichter sandte die Akten an das Kantonsgericht, welches die Klage am 24. Oktober 2006 bezüglich des Unterlassungsanspruchs vollumfänglich schützte, nicht jedoch bezüglich des Beseitigungsanspruchs, da dieser nur zu Beginn des Verfahrens bis zum Mai 2002 bestanden habe. Die Beschwerdegegnerin habe den Nachweis nicht erbracht, dass das Produkt der Beschwerdeführerin nach diesem Zeitpunkt noch in der beanstandeten Aufmachung vertrieben wurde. Im Übrigen verpflichtete das Kantonsgericht die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin Fr. 53'125.-- nebst Zins zu bezahlen und wies die Klage im Übrigen ab.
C. Gegen dieses Urteil hat die Beschwerdeführerin sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch eidgenössische Berufung erhoben, während die übrigen am Verfahren beteiligten Personen kein Rechtsmittel ergriffen haben. Mit der Beschwerde beantragt sie dem Bundesgericht, das angefochtene Urteil mit Bezug auf die Gewinnherausgabe aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht (SR 173.110; BGG) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Nach Art. 132 BGG ist dieses Gesetz auf die nach seinem Inkrafttreten eingeleiteten Verfahren des Bundesgerichts anwendbar, auf ein Beschwerdeverfahren jedoch nur dann, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ergangen ist. Da der angefochtene Entscheid vor dem 1. Januar 2007 erging, richtet sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation des Bundesgerichts (Bundesrechtspflegegesetz [OG]).
1.2 Die vorliegende Beschwerde und die parallel erhobene Berufung werden weitgehend identisch begründet. In Bezug auf die geltend gemachten Beanstandungen ist daher im Einzelnen zu prüfen, ob die jeweiligen Rügen im Beschwerde- oder Berufungsverfahren hätten erhoben werden müssen (BGE 116 II 745 E. 2b S. 748).
2. Vor Bundesgericht ist einzig die Forderung der Beschwerdegegnerin betreffend die Einziehung des mit dem Vertrieb des Produktes B._ erzielten Gewinns streitig.
2.1 Die Beschwerdeführerin hat diesbezüglich die Erfolgsrechnung für das Jahr 2001, welche bei einem Umsatz von Fr. 285'554.60 einen Verlust von Fr. 5'015.28 ausweist, und diejenige für das Jahr 2002, die bei einem Umsatz von Fr. 89'242.15 einen Verlust von Fr. 13'891.19 ausweist, eingereicht. Damit leistete sie dem richterlich bestätigten Editionsantrag über den Verkauf des Produktes B._ in den Jahren 2000 - 2004 nach Auffassung des Kantonsgerichts nur beschränkt Folge. Aus den eingereichten Abrechnungen gehe nicht hervor, wer sie erstellt habe, da sie nicht unterzeichnet seien. Die Erfolgsrechnungen seien drei, respektive vier Jahre nach Geschäftsabschluss erstellt worden. Die Buchungsbelege sowie die Details zu den einzelnen Konti lägen nicht vor. Zudem widerspreche insbesondere die Erfolgsrechnung 2002 der Aussage eines Zeichnungsberechtigten der Zweigniederlassung, welcher erklärt habe, inzwischen läge der Umsatz in der Schweiz bei etwa Fr. 250'000.-- bis Fr. 300'000.--. Der Umsatz habe sich kaum verändert, er sei eher gestiegen, seit die neue Dose verwendet werde. Aus diesen Gründen kam das Kantonsgericht zum Schluss, die eingereichten Erfolgsrechnungen könnten nicht Basis einer Berechnung eines allfälligen Gewinns sein. Daher schätzte das Gericht den Gewinn ex aequo et bono. Es ging von einem durchschnittlichen Umsatz von Fr. 250'000.-- aus und nahm unter Berücksichtigung von Angaben der Beschwerdegegnerin an, der Gewinn hätte etwa 15 % des Umsatzes ausgemacht. Gestützt darauf sprach das Kantonsgericht der Beschwerdegegnerin für das Jahr 2001 Fr. 37'500.-- zu und für die ersten 5 Monate des Jahres 2002 Fr. 15'625.--.
2.2 Nach Auffassung der Beschwerdeführerin ist diese Berechnung willkürlich. Seit dem Verbot durch den Bezirksrichter sei das Produkt nicht mehr in der beanstandeten Aufmachung vertrieben worden. Die Klägerpartei hätte denn auch Akten hinterlegt, aus denen hervorgehe, dass im Mai 2002 keine Produkte mehr in entsprechenden Dosen verkauft worden seien.
2.2.1 Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Rechtsprechung nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür vielmehr nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dabei genügt es nicht, wenn sich nur die Begründung des angefochtenen Entscheides als unhaltbar erweist. Eine Aufhebung rechtfertigt sich nur dann, wenn der Entscheid auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (BGE 132 III 209 E. 2.1 S. 211 mit Hinweisen). Zudem ist die staatsrechtliche Beschwerde den formellen Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG entsprechend zu begründen. Es ist darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte oder unbestrittenen Rechtsgrundsätze inwiefern verletzt worden sein sollen (BGE 130 I 26 E. 2.1 S. 31 mit Hinweisen). Denn das Bundesgericht prüft im staatsrechtlichen Beschwerdeverfahren nur klar und detailliert erhobene Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 161 f. mit Hinweisen).
2.2.2 Blosse, im Widerspruch zum angefochtenen Entscheid stehende Behauptungen der Beschwerdeführerin reichen nach dem Gesagten nicht aus, um einen Willkürvorwurf zu begründen. Die Beschwerdeführerin legt aber nicht im Einzelnen dar, aus welchen Akten sich ergeben sollte, dass die strittige Verpackung nicht bis zu dem vom Kantonsgericht angenommenen Zeitpunkt verwendet wurde. Angesichts der Tatsache, dass auch im Mai 2002 nochmals eine gerichtliche Durchsetzung des richterlichen Verbotes erfolgte, erweist sich der Willkürvorwurf als unbegründet, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
2.3 Weiter ist die Beschwerdeführerin der Auffassung, sie sei der Aufforderung zur Angabe von Umsatz und Gewinn bis zum 5. Februar 2002 umfassend nachgekommen. Von den befragten Personen werde übereinstimmend ein tieferer Umsatz angegeben als vom Kantonsgericht angenommen. Der Umsatz von Fr. 250'000.-- bis Fr. 300'000.--, auf den das Kantonsgericht abgestellt habe, beziehe sich auf die neuen Dosen. Überdies seien die Grundlagen, welche das Kantonsgericht herangezogen habe, nicht genauer als die eingereichten Erfolgsrechnungen.
2.3.1 Die vom Kantonsgericht aufgeführten Umsatzzahlen von Fr. 250'000.-- bis Fr. 300'000.-- betreffen in der Tat den Umsatz im Zeitpunkt der Einvernahme, als bereits seit mehreren Jahren die neuen Dosen verwendet wurden. Die Frage, ob sich die neue Dose auf den Umsatz ausgewirkt habe, wird indessen in der gleichen Aussage dahingehend beantwortet, dass der Umsatz sich kaum verändert habe und eher gestiegen sei. Wenn das Kantonsgericht unter diesen Umständen auf den tieferen der in der Aussage genannten Werte abstellt, verfällt es damit nicht in Willkür, da nach der Aussage durch den Dosenwechsel gerade keine wesentliche Veränderung des Umsatzes eingetreten war.
2.3.2 Die Beschwerdeführerin bringt nichts vor, was die Annahme, die eingereichten Erfolgsrechnungen entsprächen nicht den Tatsachen, als willkürlich ausweisen würde. Damit ist verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, wenn das Kantonsgericht dies zu Lasten der Beschwerdeführerin würdigte. Dass es sich bei der Schätzung auf unzuverlässige Dokumente stützen musste, hat die Beschwerdeführerin selbst zu verantworten, die es unterlassen hat, detaillierte Abrechnungen einzureichen, um der Beschwerdegegnerin eine genaue Bezifferung ihres Anspruchs zu erlauben und dem Gericht eine detaillierte Kontrolle des errechneten Betrages zu ermöglichen. Eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist auch diesbezüglich weder dargetan noch ersichtlich.
3. Insgesamt erweist sich die staatsrechtliche Beschwerde als unbegründet, soweit überhaupt darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'500.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Wallis, Zivilgerichtshof I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. März 2007
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: