Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 25. Mai 2011 lehnte das Bundesamt für Migration ein Gesuch von X._ um erleichterte Einbürgerung ab. Die Gesuchstellerin gelangte gegen diese Verfügung am 22. Juli 2011 an das Bundesverwaltungsgericht, das mit Urteil vom 29. Juli 2011 auf die Beschwerde wegen verspäteter Einreichung nicht eintrat.
B. Mit Beschwerde an das Bundesgericht vom 14. September 2011 beantragt X._ die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 29. Juli 2011. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Sie macht geltend, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Treu und Glauben sowie das Willkürverbot (Art. 9 BV). Zudem beanstandet sie eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 1 BV).
Das Bundesamt für Migration verzichtet auf eine Stellungnahme. Das Bundesverwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin hat auf die Stellungnahme des Bundesverwaltungsgerichts repliziert.
Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil ist ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren über die Verweigerung einer erleichterten Einbürgerung und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss Art. 83 lit. b BGG erstreckt sich nicht auf die erleichtere Einbürgerung. Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2. 2.1 Das Bundesamt für Migration hat seine Verfügung vom 25. Mai 2011 am selben Tag der Schweizerischen Post übergeben. Sie wurde der Beschwerdeführerin am 26. Mai 2011 zur Abholung gemeldet. Am 7. Juni 2011 retournierte die Post die Sendung mit dem Vermerk "nicht abgeholt". Daraufhin versandte das Bundesamt die Verfügung erneut an die Beschwerdeführerin, welche die Sendung am 22. Juni 2011 entgegen nahm.
Das Bundesverwaltungsgericht geht im angefochtenen Entscheid davon aus, dass die Verfügung des Bundesamts vom 25. Mai 2011 am siebten Tag nach dem ersten erfolglosen Zustellversuch, das heisst am 2. Juni 2011, als eröffnet zu betrachten sei (Art. 20 Abs. 2bis VwVG). Demnach sei die 30-tägige Beschwerdefrist am 4. Juli 2011 abgelaufen (Art. 50 VwVG). Die erst am 22. Juli 2011 eingereichte Beschwerde sei somit verspätet. Daran ändere die zweite Zustellung der angefochtenen Verfügung nichts, zumal das Bundesamt in ihrem Begleitschreiben auf die Zusendung vom 26. Mai 2011 aufmerksam gemacht habe. Der Beschwerdeführerin sei nach Kenntnis des Inhalts der angefochtenen Verfügung genügend Zeit verblieben, innert der 30-tägigen Rechtsmittelfrist zu reagieren und zumindest eine summarisch begründete Beschwerde einzureichen. Ein Grund für die Wiederherstellung der Frist nach Art. 24 Abs. 1 VwVG liege nicht vor.
2.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie habe sich nach Erhalt der Verfügung des Bundesamts beim Gerichtsschreiber des Bundesverwaltungsgerichts telefonisch über den Fristenlauf erkundigt und die Auskunft erhalten, die Beschwerdefrist beginne mit der tatsächlichen Zustellung. Aus diesem Grund habe sie ihre Beschwerde erst am 22. Juli 2011 eingereicht.
Das Bundesverwaltungsgericht legt dar, die von der Beschwerdeführerin behauptete Auskunft sei nicht erteilt worden. Auf telefonische Anfrage hin würden generell keine verbindlichen Rechtsauskünfte im Zusammenhang mit einem konkreten Fall erteilt, weshalb auch keine Telefonnotiz erstellt worden sei. Auch habe die Beschwerdeführerin die in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht nun behauptete Krankheit im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht nicht erwähnt. Es habe somit kein Grund für eine Gehörswahrung zu einer allfälligen Fristwiederherstellung bestanden.
2.3 Der in Art. 9 BV verankerte Grundsatz von Treu und Glauben verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in unrichtige Zusicherungen, Auskünfte, Mitteilungen oder Empfehlungen einer Behörde, wenn die Behörde in einer konkreten Situation mit Bezug auf bestimmte Personen gehandelt hat, die Behörde für die Erteilung der betreffenden Auskunft zuständig war, der Bürger die Unrichtigkeit der Auskunft nicht ohne Weiteres erkennen konnte, er im Vertrauen auf die Richtigkeit der Auskunft Dispositionen getroffen hat, die nicht ohne Nachteil rückgängig gemacht werden können, und die gesetzliche Ordnung seit der Auskunftserteilung keine Änderung erfahren hat (BGE 131 II 627 E. 6.1 S. 636 f.; Urteil 1C_242/2007 vom 11. Juni 2008 E. 3.3.1 S. 637).
Es liegen keine Anhaltspunkte vor, dass der Gerichtsschreiber des Bundesverwaltungsgerichts die von der Beschwerdeführerin behauptete Auskunft in Bezug auf die Fristwahrung in der geltend gemachten Form erteilt hat (vgl. Urteil des Bundesgerichts 2C_830/2008 vom 11. November 2009 E. 5). Insbesondere erwähnt die Beschwerdeführerin in ihrer Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht die angebliche Auskunft des Gerichtsschreibers mit keinem Wort. Es ist somit nicht zu beanstanden, dass das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde als verspätet bezeichnete. Die Rüge der Missachtung des rechtlichen Gehörsanspruchs erweist sich ebenfalls als unbegründet, da die Beschwerdeführerin vor Bundesverwaltungsgericht nicht einmal ansatzweise Gründe für eine Fristwiederherstellung im Sinne von Art. 24 Abs. 1 VwVG nannte. Zudem blieb ihr nach Erhalt der Verfügung des Bundesamts am 22. Juni 2011 noch genügend Zeit, ihre Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht bis zum 4. Juli 2011 zumindest summarisch begründet einzureichen.
3. Es ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist.
Da die Beschwerde als aussichtslos bezeichnet werden muss, kann dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Es erscheint jedoch gerechtfertigt, ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Den in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegenden Behörden steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Haag