Faits:
A. Un différend en matière de droit du travail oppose X._ à son ancien employeur, la Société d'analyse, de gestion et de courtage, Y._ Sàrl (ci-après: Y._), à Genève.
Par jugement du 18 décembre 2009, le Tribunal des prud'hommes du canton de Genève a condamné Y._, défenderesse, à payer à X._, demandeur, la somme de 23'850 fr., plus intérêts, à divers titres.
Statuant par arrêt du 22 juillet 2010, sur appel de la défenderesse, qui concluait à sa libération totale des fins de la demande, et sur appel incident du demandeur, qui réclamait le paiement de 26'500 fr., intérêts en sus, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève, après avoir annulé les chiffres topiques du dispositif du jugement de première instance, a condamné la défenderesse à payer au demandeur la somme nette de 2'712 fr. 80 avec intérêts à 5% l'an dès le 14 mai 2009.
B. Contre cet arrêt, qui lui a été notifié le 27 juillet 2010, X._ a interjeté un recours en matière civile par mémoire déposé à un office de poste suisse le 15 septembre 2010. Dans sa lettre d'accompagnement du même jour, il a précisé que si le Tribunal fédéral devait modifier sa jurisprudence concernant la computation du délai de recours pour les actes judiciaires notifiés durant les féries, il demanderait alors la restitution du délai de recours en raison de l'empêchement non fautif de son avocat, "incapable de travailler pour raison de santé, attestée médicalement le 14 septembre 2010 (certificat du Dr A._) au sens de l'art. 50 LTF". Le 16 septembre 2010, X._ a déposé une nouvelle version de son recours, dans laquelle il a intégré les explications relatives à l'empêchement de son mandataire.
Par arrêt du 5 octobre 2010, la Présidente de la Ire Cour de droit civil (ci-après: la Présidente), statuant selon la procédure simplifiée de l'art. 108 LTF, n'est pas entrée en matière sur le recours, déposé hors délai, et a déclaré la demande de restitution de délai irrecevable (cause 4A_534/2010).
Au sujet de la demande de restitution de délai, la Présidente, après avoir rappelé le texte de l'art. 50 al. 1 LTF ainsi que les conditions auxquelles la maladie ou l'accident peuvent justifier une restitution, a formulé les remarques suivantes (consid. 3.2):
"En l'espèce, le recourant a produit un certificat médical signé, établi à Genève, le 14 septembre 2010, par le Dr A._, médecin généraliste, sur une formule à en-tête de "sos médecins". Ce médecin certifiait avoir examiné l'avocat du recourant dont l'état de santé nécessitait un arrêt de travail de 100% pour cas de maladie du 14 septembre 2010 au 15 septembre 2010, le travail pouvant être repris à 100% dès le 16 septembre 2010. Dans la seconde version de son mémoire de recours (p. 6 n° 39), le recourant allègue que son avocat, chargé par lui le 10 septembre 2010 de recourir contre l'arrêt précité, a été empêché de procéder les 14 et 15 septembre 2010 pour "sérieuse raison de santé", comme l'atteste le certificat médical en question.
Telle qu'elle est formulée, la présente demande de restitution de délai conditionnelle n'est pas suffisamment motivée pour que l'on puisse admettre sa recevabilité. Sans doute son auteur a-t-il produit un certificat médical faisant état d'une incapacité totale de travailler qui aurait affecté l'avocat ... les 14 et 15 septembre 2010. Mais sa démonstration s'arrête là. A suivre le recourant, son avocat aurait été empêché de "procéder" durant ces deux jours. Toutefois, l'intéressé est muet au sujet de la nature de la maladie subite de son mandataire et il n'explique pas davantage ce qu'il faut entendre par le terme mis entre guillemets. Il est douteux qu'il s'agisse de la rédaction du mémoire de recours, puisque les deux versions de ce mémoire qui ont été adressées au Tribunal fédéral portent la date du 13 septembre 2010, à l'instar du reste du bordereau de pièces produit à l'appui de la demande d'assistance judiciaire. Et s'il ne s'était agi que de la remise à un bureau de poste suisse du mémoire établi un jour plus tôt, on ne voit pas pourquoi l'avocat n'aurait pas été en mesure, sinon d'accomplir lui-même cette démarche, du moins d'en confier le soin à un tiers, notamment à un employé de son étude, voire au recourant en personne. Au demeurant, il y a de quoi s'étonner que ledit avocat ait été en mesure de remettre ou de faire remettre le mémoire de recours à un office postal le 15 septembre 2009, comme l'atteste le récépissé de La Poste Suisse, alors qu'il était censé ne pas pouvoir travailler du tout à cette date d'après le certificat médical établi la veille.
Ainsi, sur le vu de ce certificat médical et des explications fournies par le conseil du recourant, il n'y a pas d'éléments suffisamment concrets justifiant d'entrer en matière sur la demande de restitution de délai."
C. Par mémoire du 10 novembre 2010, X._, invoquant l'art. 123 al. 2 let. a LTF, a demandé la révision de l'arrêt présidentiel du 5 octobre 2010. Il a requis, en substance, l'annulation de cet arrêt, la restitution du délai de recours et l'admission des conclusions prises dans celui-ci. Le requérant a sollicité, en outre, le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite.
La demande de révision n'a pas été communiquée à l'intimée.
Considérant en droit:
1. Déposée en temps utile (art. 124 al. 1 let. d LTF) et dûment motivée, la demande de révision est recevable. Elle ne vise pas, à proprement parler, l'arrêt d'irrecevabilité prononcé par la Présidente, pour cause de dépôt tardif du recours en matière civile (consid. 2 de l'arrêt du 5 octobre 2010), mais la déclaration d'irrecevabilité de la demande de restitution du délai dans lequel ce recours aurait dû être interjeté (consid. 3, précité, du même arrêt). Seule cette déclaration fera donc l'objet du présent examen à la lumière du motif de révision invoqué par le requérant.
2. A l'appui de sa demande de révision, le requérant expose, en fait, que Me ..., son mandataire, avait commencé à rédiger le recours le 10 septembre 2010, en le datant du 13 du même mois, date à laquelle il pensait l'envoyer au Tribunal fédéral. Cependant, le week-end des 11 et 12 septembre 2010, cet avocat avait souffert de coliques néphrétiques provoquées par des calculs rénaux, épisodes douloureux qu'il subit périodiquement. Le 13 septembre 2010, éprouvant des douleurs intenses, Me ... n'avait pas pu terminer la rédaction du recours, espérant pouvoir le faire le lendemain, et avait alors contacté le Dr B._, son médecin traitant, pour l'informer de son état. Mais les douleurs avaient persisté, le 14 septembre 2010, empêchant l'avocat d'achever son travail. Aussi, le même jour, Me ... avait-il fait appel à SOS Médecins qui avait envoyé le Dr A._ au domicile de l'avocat. C'est là que ce médecin avait établi le certificat attestant une incapacité de travail pour les 14 et 15 septembre 2010. A cette dernière date, les douleurs avaient diminué, ce qui avait amené l'avocat, bien qu'étant toujours en incapacité de travailler, par conscience professionnelle, à terminer le recours et à l'expédier au Tribunal fédéral. Me ... n'avait pas jugé utile de changer la date du 13 septembre 2010 apposée sur l'acte de recours, puisque seule la date d'expédition est déterminante. Diminué, il n'avait pas pu développer les circonstances de sa maladie douloureuse et de son impossibilité de terminer la rédaction du recours avant l'échéance du délai de recours. Le 1er octobre, il avait reçu du Dr B._ un certificat faisant état d'une incapacité de travail du 11 au 15 septembre 2010 en raison d'une affection médicale aiguë (passage d'une lithiase urinaire). Enfin, le 11 octobre 2010, il avait pris connaissance de l'arrêt fédéral formant l'objet de la présente demande de révision.
Pour étayer ses dires, le requérant a produit, outre l'accusé de réception dudit arrêt, un certificat médical standard établi le 1er octobre 2010 par le Dr B._, ainsi qu'un autre certificat rédigé à la même date par le même médecin, dont le texte est le suivant:
"Je soussigné, certifie avoir ordonné au patient susmentionné un arrêt de travail à 100%, du 11 au 15 septembre 2010 inclus, pour une affection médicale aiguë (passage d'une lithiase urinaire)."
En droit, le requérant fait valoir que la maladie imprévisible de son mandataire - des coliques néphrétiques (calculs rénaux), qui sont notoirement douloureuses et empêchent objectivement de travailler - a empêché celui-ci de rédiger et de déposer à temps le recours en matière civile, alors qu'il était déjà trop tard pour mandater un autre avocat et que lui-même n'était pas en mesure d'effectuer seul un tel travail. Il ajoute que le certificat médical du Dr B._, qui constitue un moyen de preuve concluant, au sens de l'art. 123 al. 2 let. a LTF, n'a pu être joint à la requête de restitution de délai du 15 septembre 2010, car il n'a pu être établi que le 1er octobre 2010. Pour terminer, le requérant souligne que ce serait faire preuve d'un formalisme excessif et disproportionné que de le priver d'un degré de juridiction du simple fait que le délai de recours a été dépassé d'un jour pour une raison indépendante de sa volonté.
3. 3.1 En vertu de l'art. 123 al. 2 let. a LTF, la révision peut être demandée, notamment, si le requérant découvre après coup des moyens de preuve concluants qu'il n'avait pas pu invoquer dans la procédure précédente, à l'exclusion des moyens de preuve postérieurs à l'arrêt.
La disposition reprend les règles contenues à l'art. 137 OJ. Selon la jurisprudence rendue au sujet de cette disposition, les preuves doivent servir à prouver soit les faits nouveaux importants qui motivent la révision, soit des faits qui étaient certes connus lors de la procédure précédente, mais qui n'avaient pas pu être prouvés, au détriment du requérant. Si les nouveaux moyens sont destinés à prouver des faits allégués antérieurement, le requérant doit aussi démontrer qu'il ne pouvait pas les invoquer dans la procédure précédente. Une preuve est considérée comme concluante lorsqu'il faut admettre qu'elle aurait conduit le juge à statuer autrement s'il en avait eu connaissance dans la procédure principale. Ce qui est décisif, c'est que le moyen de preuve ne serve pas à l'appréciation des faits seulement, mais à l'établissement de ces derniers (ATF 127 V 353 consid. 5b p. 358 et les arrêts cités).
En revanche, la voie de la révision ne permet pas de rediscuter l'argumentation juridique contenue dans l'arrêt dont la révision est demandée (arrêt 4F_7/2007 du 28 septembre 2007 consid. 3).
3.2 Appliqués au cas particulier, ces principes jurisprudentiels ne permettent pas d'admettre la demande de révision.
Dans son arrêt du 5 octobre 2010, la Présidente n'a pas rejeté la demande de restitution de délai présentée par le recourant, mais elle a déclaré cette demande irrecevable parce que son auteur ne l'avait pas suffisamment motivée, s'agissant tant des faits allégués à son appui que du moyen de preuve censé établir ces faits. Or, la procédure de révision ne constitue pas un moyen de réparer le défaut de motivation d'une requête antérieure, à moins que ce vice ne puisse être imputé à faute à l'auteur de celle-ci. Tel n'est pas le cas en l'espèce. On ne voit pas, en effet, que le requérant ait été empêché de révéler d'emblée la nature de l'affection dont souffrait son mandataire et de préciser, au moins brièvement, en quoi elle empêchait absolument celui-ci de terminer la rédaction du recours et de remettre ou faire remettre le mémoire à un bureau de poste. A cet égard, le conseil du requérant n'est pas crédible lorsqu'il soutient que, ses douleurs ayant diminué, il avait pu terminer la rédaction du recours, l'après-midi du 15 septembre 2010, mais sans pouvoir toutefois "développer les circonstances de sa maladie douloureuse" (demande de révision, n. 13). Aussi bien, l'intéressé avait fait état de ses ennuis de santé dans sa lettre d'accompagnement du 15 septembre 2010 et il ne tenait qu'à lui d'en signaler la nature en quelques lignes.
De même, la demande de restitution de délai était muette sur le fait que Me ... avait pris contact, le 13 septembre 2010, avec son médecin traitant, le Dr B._, et elle ne réservait pas non plus le dépôt ultérieur d'un certificat de ce praticien, qui viendrait préciser la nature des maux dont l'avocat avait souffert depuis le 11 septembre 2010. Il est également curieux que ce dernier n'ait pas adressé spontanément au Tribunal fédéral une copie de ce certificat, daté du 1er octobre 2010, avant de recevoir l'arrêt présidentiel, le 11 du même mois.
Au demeurant, à s'en tenir à la relation chronologique des événements proposée par le requérant (demande de révision, n. 4 à 6), son mandataire aurait informé le Dr B._ de son affection le lundi 13 septembre 2010. Si tel est le cas, il peut paraître surprenant que ce médecin ait pu confirmer, dans le certificat précité du 1er octobre 2010, qu'il avait "ordonné" au patient un arrêt de travail à 100% à partir du 11 septembre 2010 déjà.
La force probante des deux certificats médicaux produits est du reste pour le moins sujette à caution dans la mesure où l'auteur de ceux-ci y procède à des confirmations rétroactives sur l'état d'un patient qui ne l'avait pas consulté à l'époque, mais simplement contacté pour l'informer de son état (demande de révision, n. 6). On ne saurait donc y voir des moyens de preuve concluants, au sens de l'art. 123 al. 2 let. a LTF, tel qu'interprété par la jurisprudence susmentionnée.
4. La demande de révision doit ainsi être rejetée. Il en va de même de la demande d'assistance judiciaire dont elle était assortie (art. 64 al. 1 LTF). Toutefois, étant donné les circonstances, il sera renoncé à la perception de frais judiciaires (art. 66 al. 1 in fine LTF). L'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer sur la demande de révision, n'a pas droit à des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande de révision formée par X._ est rejetée.
2. Il n'est pas perçu de frais.
3. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 16 novembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo