Faits:
A.
A.a. Depuis le 1 er mars 2009, E._ a été engagée à titre provisoire en qualité de secrétaire-comptable à temps partiel auprès de X._. Informée par le Service des ressources humaines de l'Etat de Neuchâtel qu'une résiliation des rapports de travail pendant la période provisoire était envisagée (courrier du 18 janvier 2011), elle lui a indiqué être enceinte de quatorze semaines, si bien qu'un éventuel congé serait entaché de nullité (lettre du 1er février 2011). Par décision du 14 février 2011, le Service des ressources humaines de l'Etat de Neuchâtel a résilié l'engagement provisoire de E._ au 30 avril 2011, en raison de l'insuffisance de ses prestations; il a considéré que l'intéressée ne bénéficiait d'aucune protection particulière excluant une résiliation durant la grossesse.
A.b. Saisi d'un recours de l'intéressée contre cette décision, le Département de la justice, de la sécurité et des finances du canton de Neuchâtel l'a rejeté, le 9 août 2011.
B.
E._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, qui l'a déboutée par jugement du 16 mars 2012.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, E._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de dépens, d'annuler le jugement cantonal, ainsi que les décisions administratives des 9 août et 14 février 2011.
Le Service des ressources humaines de l'Etat neuchâtelois conclut au rejet du recours.
D.
La Ire Cour de droit social a tenu une délibération publique le 18 janvier 2013.
Considérant en droit:
1.
Le jugement entrepris a été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Dans la mesure où la contestation porte sur l'annulation d'une décision de résiliation des rapports de travail, il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (voir par exemple les arrêts 8C_907/2010 du 8 juillet 2011 consid. 1 et 8C_170/2009 du 25 août 2009 consid. 1.1). La valeur litigieuse, qui porte sur plusieurs mois de salaire, atteint par ailleurs le seuil de 15'000 fr. (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF). La voie du recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF est donc ouverte pour contester la décision attaquée.
2.
2.1. Par un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, la recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue pour défaut de motivation du jugement entrepris. Selon elle, tant l'autorité de recours administrative que judiciaire ont manqué d'examiner son argumentation relative à la comparaison entre la protection en cas de résiliation accordée par le droit privé et celle prévue par le droit public cantonal, de sorte qu'elles n'ont pas satisfait à leur devoir minimum d'examiner les problèmes pertinents.
2.2. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et exercer son droit de recours à bon escient. Pour répondre à ces exigences, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties (ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88 et les arrêts cités). Il n'y a violation du droit d'être entendu que si l'autorité ne satisfait pas à son devoir minimum d'examiner les problèmes pertinents (cf. arrêt 2A.783/2006 du 23 janvier 2008 consid. 4.1).
On ne saurait, en l'espèce, reprocher à la juridiction cantonale de ne pas s'être penchée sur les points pertinents du litige. En tant qu'elle a suivi une argumentation différente de celle préconisée par la recourante, et admis que la législation cantonale ne comportait pas de lacune appelant l'intervention du juge, elle n'avait pas à se déterminer sur l'examen comparatif invoqué dans le recours cantonal. Le grief tiré de la violation du droit d'être entendu n'est dès lors pas fondé.
3.
Sur le fond, invoquant tour à tour une violation de la loi cantonale neuchâteloise sur le statut de la fonction publique du 28 juin 1995 (LSt; RSN 152.510), de l'interdiction de l'arbitraire et une inégalité de traitement, la recourante reproche aux premiers juges d'avoir nié l'existence d'une lacune dans le droit cantonal. Elle soutient que le législateur a omis de régler la situation du congé donné en temps inopportun à une femme qui, engagée provisoirement au sens de l'art. 12 al. 1 LSt, est enceinte au moment où l'employeur entend résilier les rapports de service. Compte tenu de l'importance de la réglementation relative à la protection contre les congés, le législateur ne pouvait, si ce n'est par une omission que le juge se doit de corriger en appliquant l'art. 336c al. 1 let. c CO, renoncer à protéger une employée enceinte pendant la période probatoire.
4.
4.1. Sous le titre «Engagement provisoire», l'art. 12 LSt prévoit ceci:
1 La nomination est précédée d'un engagement provisoire d'une durée de deux ans qui constitue la période probatoire.
2 La période probatoire peut être abrégée ou supprimée lorsque l'autorité de nomination estime qu'elle ne se justifie pas.
3 Durant la période probatoire, chaque partie peut signifier son congé à l'autre moyennant un avertissement donné par écrit au moins deux mois à l'avance pour la fin d'un mois. Le congé ne doit pas être abusif, au sens de l'article 336 du Code des obligations.
4 La durée de l'engagement provisoire peut être prolongée à cinq ans pour le personnel enseignant dont l'activité est partielle; le Conseil d'Etat fixe les modalités.
5 Sont réservées les dispositions spéciales prévues par d'autres lois.
4.2. Aux termes de l'art. 336c al. 1 let. c CO, après le temps d'essai, l'employeur ne peut pas résilier le contrat pendant la grossesse et au cours des seize semaines qui suivent l'accouchement.
La protection en cas de maternité assurée par l'interdiction pour l'employeur de licencier une travailleuse enceinte prévue par l'art. 336c al. 1 let. c CO trouve sa justification dans le fait qu'une femme enceinte ne jouit pas, et ce pour une période s'étendant à seize semaines suivant l'accouchement, d'une capacité concurrentielle intacte sur le marché de l'emploi. Un engagement par un nouvel employeur à la fin du délai de congé ordinaire paraît en effet improbable en raison de son état (cf. Denis Weber, La protection des travailleurs contre les licenciements en temps inopportun, thèse 1992, p. 121; voir aussi Gabriela Riemer-Kafka, Der neurechtliche Kündigungsschutz bei Schwangerschaft und Niederkunft [Art. 336c Abs. 1 lit. c OR], RSJ 85/1989 p. 57).
Cette protection est limitée à la période postérieure au temps d'essai (art. 336c, première phrase, CO). Le temps d'essai prévu par le CO, qui ne peut pas dépasser trois mois (art. 335b al. 2 CO), est aménagé afin de permettre aux parties de préparer l'établissement de rapports de travail destinés à durer, en leur donnant l'occasion d'éprouver leurs relations de confiance, de déterminer si elles se conviennent mutuellement et de réfléchir avant de s'engager pour une plus longue période. Si les rapports contractuels qu'elles ont noués ne répondent pas à leur attente, les parties doivent pouvoir s'en libérer rapidement (ATF 136 III 562 consid. 3 p. 563).
5.
5.1. Les rapports de travail de droit public ne sont en principe pas soumis aux dispositions du Code des obligations, à l'exception des art. 331 al. 5 et 331a à 331e CO, relatifs aux rapports juridiques avec l'institution de prévoyance (art. 342 al. 1 let. a CO). Aussi bien le statut de la fonction publique peut-il être librement organisé par les cantons (arrêts 2P.219/2006 du 23 novembre 2006 consid. 2.2; 1P.37/2000 du 17 mai 2000 consid. 2b). Ce statut, qui, pour être en général globalement plus favorable, peut comporter par rapport au Code des obligations des contraintes plus sévères sur certains points (arrêts 2P.121/2005 du 19 juillet 2005 consid. 4.2; 2P.82/1994 du 19 août 1994 consid. 3d, 2P.336/1992 du 31 août 1993 consid. 3c). Les règles relatives au contrat de travail sont seulement applicables à titre subsidiaire, en cas de lacunes dans la réglementation ou si celle-ci le prévoit (ATF 138 I 232 consid. 6.1 p. 238 et les références). Le droit fédéral n'oblige donc pas les cantons à régler la résiliation en temps inopportun pendant la grossesse de la même manière que l'art. 336c al. 1 let. c CO. Pour que cette disposition soit applicable, il faudrait que la loi cantonale présente une lacune qu'il conviendrait de combler en l'appliquant à titre de droit cantonal supplétif. Par ailleurs, l'application du droit privé à titre de droit cantonal supplétif n'oblige en principe pas le juge administratif à interpréter les normes concernées comme elles le sont en droit privé; il peut tenir compte des spécificités du droit public (ATF 138 I 232 consid. 6.1 p. 238 et arrêt 2C_860/2008 du 20 novembre 2009 consid. 3.2).
5.2. L'interprétation de la loi peut conduire à la constatation d'une lacune. Une lacune proprement dite suppose que le législateur s'est abstenu de régler un point qu'il aurait dû régler et qu'aucune solution ne se dégage du texte ou de l'interprétation de la loi. Une telle lacune peut être occulte. Tel est le cas lorsque le législateur a omis d'adjoindre, à une règle conçue de façon générale, la restriction ou la précision que le sens et le but de la règle considérée ou une autre règle légale imposent dans certains cas (ATF 135 IV 113 consid. 2.4 p. 116). En d'autres termes, il y a lacune occulte lorsque le silence de la loi est contraire à son économie (ATF 117 II 494 consid. 6a p. 499 et la référence citée). En revanche, si le législateur a renoncé volontairement à codifier une situation qui n'appelait pas nécessairement une intervention de sa part, son inaction équivaut à un silence qualifié. Quant à la lacune improprement dite, elle se caractérise par le fait que la loi offre certes une réponse, mais que celle-ci est insatisfaisante. D'après la jurisprudence, seule l'existence d'une lacune proprement dite (apparente ou occulte) appelle l'intervention du juge, tandis qu'il lui est en principe interdit, selon la conception traditionnelle qui découle notamment du principe de la séparation des pouvoirs, de corriger les lacunes improprement dites, à moins que le fait d'invoquer le sens réputé déterminé de la norme ne constitue un abus de droit ou ne viole la Constitution (ATF 131 II 562 consid. 3.5 p. 367 et les arrêts cités).
Selon la jurisprudence (arrêt 2C_818/2009 du 9 juillet 2010 consid. 4.6), savoir si l'on est en présence d'une lacune proprement dite occulte, que le juge peut et doit combler en raison de l'économie de la loi, ou d'une lacune improprement dite relevant de considérations de politique législative qui sortent du champ de compétence du pouvoir judiciaire, est une question d'interprétation parfois délicate, car la frontière entre ces deux notions peut se révéler relativement ténue. Lorsqu'il est saisi d'une telle question d'interprétation dans une affaire où, comme en l'espèce, son pouvoir d'examen est limité à l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance, selon la formule consacrée par la jurisprudence, que si la décision attaquée apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
6.
6.1. Les premiers juges ont nié l'existence d'une lacune proprement dite, en retenant que le législateur cantonal avait, le 28 juin 1995, consciemment fait le choix de protéger tant le fonctionnaire engagé provisoirement (art. 12 LSt) que le fonctionnaire nommé (art. 45 LSt) d'une résiliation abusive au sens de l'art. 336 CO, mais pas d'une résiliation en temps inopportun au sens de l'art. 336c CO, dont il ne pouvait ignorer l'existence, cette disposition ayant été introduite dans le CO en 1971. Se fondant sur la jurisprudence cantonale (RJN 1998 p. 204) et fédérale (ATF 124 II 53), ils ont considéré que l'art. 336c al. 1 let. c CO ne s'appliquait qu'au contrat de droit privé et que les rapports de service de droit public pouvaient renoncer à instituer des périodes de protection contre la résiliation en temps inopportun.
6.2. Le jugement entrepris repose en l'occurrence sur une interprétation de la loi cantonale qui ne peut être considérée comme arbitraire. L'absence de référence, dans la LSt, à la protection contre la résiliation en temps inopportun en raison de la grossesse d'une employée de l'Etat engagée à titre provisoire ne relève en effet pas d'une lacune proprement dite, comme il résulte de ce qui suit.
6.2.1. En ce qui concerne le congé donné durant la période probatoire, l'art. 12 al. 3 LSt se réfère aux règles du CO en renvoyant uniquement à l'art. 336 CO sur la protection contre les congés abusifs. Constitue ainsi un congé abusif la résiliation qui serait prononcée à l'égard d'une employée de l'Etat engagée à titre probatoire, parce qu'elle aurait annoncé être enceinte (art. 12 al. 3 LSt en relation avec l'art. 336 let. c CO).
Il ressort des travaux préparatoires que la protection contre les congés abusifs a été mentionnée par le Conseil d'Etat neuchâtelois, sans qu'elle ait prêté à discussion lors des débats parlementaires, tandis que la protection contre la résiliation en temps inopportun n'a pas du tout été évoquée (Rapport du Conseil d'Etat au Grand Conseil du 3 mai 1995 relatif à la politique du personnel de l'Etat et à l'appui d'un projet de loi sur le statut de la fonction publique, BO/NE 1995-1996, Tome I, séance du 27 juin 1995, p. 814 s. et séance du 28 juin 1995, p. 894 ss). Malgré l'absence de mention de la protection contre les congés sous l'angle temporel, on peut partir de l'idée, comme l'ont admis les premiers juges, que le législateur neuchâtelois avait également envisagé cette possibilité, mais qu'il a sciemment renoncé à introduire une disposition y relative dans le droit cantonal de la fonction publique. Au regard de la systématique du CO (III. Protection contre les congés, 1. Résiliation abusive [a. Principe: art. 336, b. Sanction: art. 336a, c. Procédure: art. 336b], 2. Résiliation en temps inopportun: art. 336c), selon laquelle la protection contre les congés est accordée dans deux cas de figure (résiliation abusive et en temps inopportun), il n'est en effet guère concevable que le législateur neuchâtelois ait pris en considération et intégré l'une des éventualités, sans avoir envisagé la seconde.
6.2.2. S'ajoute à cela que la LSt comporte plusieurs dispositions par lesquelles le législateur cantonal a tenu compte de la protection particulière dont ont besoin les titulaires de fonction publique (au sens de la LSt, soit toute personne faisant l'objet d'un engagement provisoire ou d'une nomination à temps complet ou à temps partiel; cf. art. 8 LSt) de sexe féminin en cas de maternité (qui comprend la grossesse et l'accouchement, ainsi que la convalescence qui s'ensuit pour la mère; cf. art. 5 LPGA). A son art. 74 al. 1, la LSt prévoit qu'en cas de grossesse, un congé de quatre mois est accordé à la mère avec maintien du traitement. L'art. 75b LSt porte sur le temps consacré par la mère à l'allaitement: le temps consacré à l'allaitement par la mère sur son lieu de travail est réputé temps de travail (al. 1), tandis que si elle quitte son lieu de travail pour allaiter son enfant, la moitié du temps consacré à l'allaitement est réputé temps de travail (al. 2). Les normes d'exécution précisent la durée du congé de maternité (art. 32 du Règlement général, du 9 mars 2005, d'application de la loi sur le statut de la fonction publique [RSt; RSN 152.511]) et prévoient la possibilité pour le chef de service de la future mère de lui accorder, durant les derniers mois de la grossesse, un assouplissement de l'horaire ou la possibilité d'effectuer une tâche différente (art. 15 RSt).
Ces différentes règles montrent que le législateur cantonal a accordé une importance particulière à la maternité et à sa protection. On peut aussi en déduire qu'il a examiné de manière complète les différents aspects de cette protection et qu'il s'est consciemment abstenu d'édicter des règles sur la protection sociale de la maternité, singulièrement une norme prévoyant l'impossibilité de résilier les rapports de service pendant la grossesse, pour privilégier les aspects relatifs à la protection de la santé de la mère et de l'enfant (à naître).
6.2.3. On précisera encore qu'il peut apparaître contradictoire, de la part du législateur neuchâtelois, de régler les effets de la maternité en faveur de la titulaire de fonction publique de manière détaillée (droit à un congé de quatre mois et maintien du traitement, temps consacré à l'allaitement, assouplissement de l'horaire ou possibilité d'effectuer une tâche différente), sans lui assurer aussi une protection contre une résiliation pendant la grossesse et une période déterminée suivant l'accouchement. Une protection étendue de la maternité ne semble en effet pouvoir être mise en oeuvre de manière complète que si elle comporte également la garantie pour l'intéressée de maintenir son emploi durant une certaine période qualifiée d'inopportune (cf. Message du 17 novembre 1982 sur l'initiative populaire "pour une protection efficace de la maternité", FF 1982 III 805 ch. 426 p. 826).
Une telle contradiction ne suffit cependant pas à retenir que la solution adoptée par l'organe législatif neuchâtelois est insoutenable. Ni le droit fédéral - on peut penser ici aux art. 8 al. 3, 10 al. 2, 41 ou 116 Cst. -, ni le droit cantonal n'imposent en effet à celui-ci de codifier la situation en cause en prévoyant une règle semblable à l'art. 336c al. 1 let. c CO ou en renvoyant à cette disposition, comme le voudrait la recourante. Le seul fait que l'option choisie par le législateur cantonal - absence de règle du droit de la fonction publique sur le licenciement en cas de grossesse - est insatisfaisante au regard de l'importance de la protection de la maternité ne justifie pas une intervention du juge ( supra consid. 5.2). Seul le législateur cantonal pourrait remédier à cette situation.
7.
C'est en vain, enfin, que la recourante se réfère au principe de l'égalité de traitement, ainsi qu'à un avis de la doctrine (Hans-Jakob Mosimann, Arbeitsrechtliche Minimal Standards für die öffentliche Hand -, ZBl, 1998 p. 449 ss). Outre le fait que l'argumentation du recours sur ce point ne semble pas réaliser les exigences de motivation prévues par l'art. 106 al. 2 LTF en cas de violation invoquée de droits fondamentaux, le droit de la fonction publique peut, comme on l'a vu, comporter des contraintes plus sévères sur certains points que le droit privé ( supra consid. 5.1).
8.
Il résulte de ce qui précède que le recours est en tous points mal fondé, ce qui conduit à son rejet.
9.
Vu l'issue du litige, la recourante, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF). L'intimé n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lucerne, le 18 janvier 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: Moser-Szeless