Sachverhalt:
A. Die aus Serbien und Montenegro stammende X._ (geb. 6. August 1959) ist seit dem Jahr 2000 in der Schweiz vorläufig aufgenommen. Mit Verfügung vom 10. Oktober 2006 entsprach das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht des Kantons Graubünden dem von ihr eingereichten Gesuch um Erteilung einer Jahresaufenthaltsbewilligung aus humanitären Gründen. Dabei wurde die Bewilligung an die Bedingung geknüpft, dass innerhalb eines Jahres ein gültiges heimatliches Reisedokument vorliegen müsse, andernfalls die bestehende Bewilligung nicht verlängert werden könne. Diese Bedingung focht X._ am 1. November 2006 mit Verwaltungsbeschwerde beim Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden an.
Während hängigem Beschwerdeverfahren reichte X._ am 30. Oktober 2007 beim Departement einen von der United Nations Interim Administration Mission in Kosovo (UNMIK) am 27. Juli 2007 ausgestellten Reisepass ein, worauf das Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht, welches die Bedingung damit als erfüllt ansah, die Aufenthaltsbewilligung verlängerte. Mit Blick darauf schrieb das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit mit Verfügung vom 7. November 2007 die bei ihm erhobene Beschwerde infolge Gegenstandslosigkeit ab. Dabei auferlegte es X._ reduzierte Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 750.-- (Dispositiv Ziff. 2); eine Parteientschädigung wurde X._, welche bereits im Verfahren vor dem Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht anwaltlich vertreten war, nicht zugesprochen (Dispositiv Ziff. 3).
B. Mit Urteil vom 9. Mai 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 3. Kammer, die von X._ gegen die Abschreibungsverfügung im Kosten- und Entschädigungspunkt gerichtete Beschwerde ab.
C. Mit Eingabe vom 24. September 2008 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Beantragt wird, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 9. Mai 2008 aufzuheben, die Angelegenheit zur erneuten Entscheidung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen, eventualiter die Sache selber zu entscheiden und die Ziffern 2 und 3 des Dispositivs der Verfügung des Departements für Justiz, Sicherheit und Gesundheit vom 7. November 2007 aufzuheben und die Kosten für das Verfahren vor dem Departement dem Kanton Graubünden aufzuerlegen. Sodann sei X._ für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht und für jenes vor dem Departement vollumfänglich ausseramtlich zu entschädigen, eventualiter die Sache an das Verwaltungsgericht zur Festsetzung der ausseramtlichen Entschädigung zurückzuweisen.
D. Das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit des Kantons Graubünden und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde, das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden auf Abweisung, soweit darauf einzutreten ist.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin hat beim Bundesgericht sowohl Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als auch - eventualiter - subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit der bei ihm erhobenen Rechtsmittel von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 135 II 30 E. 1 S. 31, 22 E. 1 S. 24). Vorweg ist dabei die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 82 ff. BGG zu prüfen, welche gegenüber der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) das prinzipale Rechtsmittel darstellt.
1.2 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid über die Auferlegung von Verfahrenskosten und die Verweigerung einer Parteientschädigung im Rahmen eines unterinstanzlichen kantonalen Verwaltungsbeschwerdeverfahrens. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht in solchen prozessualen Fragen ist nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens nur dann zulässig, wenn dieses Rechtsmittel auch in der Sache selber offen steht (BGE 134 V 138 E. 3 S. 144).
Materiellrechtlicher Streitgegenstand im kantonalen Verfahren bildete die Erteilung einer fremdenpolizeilichen Aufenthaltsbewilligung.
1.3 Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht. Gemäss Art. 4 des früheren Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG), welches vorliegend noch Anwendung findet (vgl. Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG; SR 142.20]), entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Rechtsanspruch auf Erteilung oder Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts (einschliesslich Bundesverfassungsrecht) oder eines Staatsvertrages berufen (vgl. BGE 133 I 185 E. 2.3 S. 189; 130 II 281 E. 2 S. 284; 128 II 145 E. 1.1.1 S. 148, mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin hat um Erteilung einer Jahresaufenthaltsbewilligung in Anwendung der Härtefallklausel von Art. 13 lit. f der früheren Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (BVO; AS 1986 S. 1791) ersucht, und die Bewilligung wurde ihr schliesslich auch unter diesem Titel erteilt. Die Begrenzungsverordnung vermag nach der Rechtsprechung keine über das Gesetz hinausgehenden Bewilligungsansprüche zu begründen; die Erteilung entsprechender Aufenthaltsbewilligungen durch die kantonalen Behörden erfolgt - selbst wenn die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind - im Rahmen des fremdenpolizeilichen Ermessens (vgl. BGE 130 II 281 E. 2.2 S. 284 mit Hinweisen).
Inwieweit der Beschwerdeführerin das Vorhandensein von nahen Familienangehörigen mit (inzwischen) gefestigtem Anwesenheitsrecht in der Schweiz allenfalls einen Rechtsanspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs verschüfe, wie in der Beschwerdeschrift geltend gemacht wird, ist nicht näher zu prüfen, da die Erteilung einer solchen abgeleiteten Bewilligung nicht Verfahrensgegenstand bildete.
1.4 Fehlt es nach dem Gesagten an einem Rechtsanspruch auf die streitige fremdenpolizeiliche Bewilligung, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen. Zu prüfen ist damit die Zulässigkeit der subsidiären Verfassungsbeschwerde.
1.5 Mangels eines Rechtsanspruches auf die nachgesuchte Aufenthaltsbewilligung würde es vorliegend zur Anfechtung des Bewilligungsentscheids an einem für die Ergreifung der subsidiären Verfassungsbeschwerde erforderlichen rechtlich geschützten, legitimationsbegründenden Interesse im Sinne von Art. 115 lit. b BGG fehlen (BGE 133 I 185 E. 3-6 S. 190 ff.). Die Beschwerdeführerin erhebt jedoch keine Beschwerde in der Sache. Sie ficht einzig die vom Verwaltungsgericht bestätigte Auflage der Verfahrenskosten bzw. Verweigerung der Parteientschädigung im kantonalen Verfahren an. In dieser Hinsicht greift der angefochtene Entscheid in rechtlich geschützte Interessen der Beschwerdeführerin ein, weshalb sie insofern als zur Ergreifung der subsidiären Verfassungsbeschwerde legitimiert erscheint. Dabei bleibt die verfassungsrechtliche Kontrolle jedoch beschränkt auf den Kosten- und Entschädigungspunkt und kann nicht dazu führen, dass indirekt auch der Entscheid in der Sache überprüft wird (vgl. BGE 129 II 297 E. 2.2 S. 300; 109 Ia 90; 100 Ia 298).
1.6 Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Es gilt das Rügeprinzip (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG): Der Beschwerdeführer muss im Einzelnen darlegen, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern verletzt worden sein sollen. Das Bundesgericht untersucht nicht von Amtes wegen, ob der angefochtene Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.).
Die Beschwerdeschrift genügt diesen Anforderungen nur zum Teil.
2. In seiner Abschreibungsverfügung vom 7. November 2007 hat das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit die Auferlegung von (reduzierten) Verfahrenskosten damit begründet, dass die Beschwerdeführerin das Verwaltungsbeschwerdeverfahren in die Länge gezogen und damit ihre gesetzliche Mitwirkungspflicht verletzt habe, indem sie das am 27. Juli 2007 ausgestellte UNMIK-Dokument erst am 30. Oktober 2007 diesem habe zukommen lassen. Das Verwaltungsgericht schützt diese Kostenauflage im angefochtenen Entscheid. Es erwog, durch die erfolgreiche Beschaffung entsprechender Ausweispapiere am 27. Juli 2007 habe die Beschwerdeführerin selbst den Tatbeweis erbracht, dass die ursprüngliche Auflage in der Verfügung des Amts für Polizeiwesen und Zivilrecht erfüllbar und somit zulässig gewesen sei. Die Argumentation des Departements, wonach die Beschwerdeführerin durch ihr zögerliches Einreichen des UNMIK-Passes bei ihm zusätzlichen Abklärungs- und Kontrollaufwand verursacht und so das ganze Bewilligungsverfahren um drei Monate unnötig in die Länge gezogen habe, sei nachvollziehbar. Dieses sorglose, gegen die Mitwirkungspflicht gemäss Art. 11 des kantonalen Gesetzes vom 31. August 2006 über die Verwaltungsrechtspflege (im Folgenden: VRG/GR) verstossende Verhalten, habe bei den Verfahrenskosten der Abschreibungsverfügung angemessen berücksichtigt werden dürfen. Die Abschreibung sei im Übrigen nicht deswegen erfolgt, weil das Departement den Rechtsstandpunkt der Beschwerdeführerin anerkannt oder übernommen hätte, wonach das Erfordernis des Vorlegens eines heimatlichen Reisedokuments als Bedingung für die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung unzulässig sei. Das Departement habe auch zu Recht auf die Zusprechung einer Parteientschädigung verzichtet. Eine solche werde nach den einschlägigen Bestimmungen in erstinstanzlichen Verfahren grundsätzlich nicht zugesprochen; weiter werde dann keine Entschädigung gewährt, wenn eine Partei eine Verfügung durch Verletzung ihrer gesetzlichen Mitwirkungspflichten mitverursacht habe, was vorliegend der Fall sei.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV), welche sie darin erblickt, dass das Verwaltungsgericht ihren Einwand nicht behandelt habe, wonach die ihr auferlegten, in der Zeit vom 27. Juli 2007 bis zum 30. Oktober 2007 aufgelaufenen Verfahrenskosten gar nicht bei der Beschwerdeinstanz, sondern beim verfügenden Amt entstanden seien und damit keinen Zusammenhang mit dem Beschwerdeverfahren vor dem Departement hätten.
3.2 Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) folgt unter anderem die grundsätzliche Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Betroffene den Entscheid gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Die Begründung muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (BGE 133 III 439 E. 3.3 S. 445; 126 I 97 E. 2b S. 102 f. mit Hinweisen).
Diesen Anforderungen wird das angefochtene Urteil gerecht, indem es nachvollziehbar darlegt, aus welchen Überlegungen die Vorinstanz zu ihrem Entscheid gelangte. Dabei bedurfte es keiner näheren Begründung, dass durch das Tätigwerden des Departements auf Beschwerde hin ein entsprechender eigener Verfahrensaufwand im Zusammenhang mit der Beschwerdeinstruktion, einer allfälligen Sachverhaltsermittlung und im Hinblick auf die Entscheidfällung und -redaktion entstand, welcher tendenziell umso grösser wird, je länger das anhängig gemachte Verfahren andauert bzw. je weiter dieses fortgeschritten ist. Dass dem Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht, welches, nachdem ihm ein internationales Reisedokument vorgelegt wurde, die beantragte Aufenthaltsbewilligung während hängigem Beschwerdeverfahren erteilen konnte, im fraglichen Zeitraum seinerseits ein gewisser Aufwand entstand, mag zutreffen, ändert jedoch nichts an der Berechtigung der Beschwerdeinstanz, die eigenen Kosten zu verlegen. Die Anforderungen an die Begründungsdichte des angefochtenen Entscheids waren, was den konkreten abzugeltenden Aufwand im Beschwerdeverfahren anbetrifft, im Übrigen insoweit vermindert, als die sog. Staatsgebühr, welche den Hauptanteil der betreffenden Verfahrenskosten ausmacht, nach Massgabe der einschlägigen kantonalen Bestimmungen pauschal erhoben werden kann (vgl. Art. 3 der bündnerischen Verordnung vom 12. Dezember 2006 über die Kosten in Verwaltungsverfahren [im Folgenden: VKV/GR]), was eine gewisse Schematisierung erlaubt. Die Rüge der Gehörsverletzung vermag somit nicht durchzudringen.
3.3 Entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin entbehrt die Auferlegung der streitigen Verfahrenskosten auch nicht der erforderlichen gesetzlichen Grundlage. Gemäss Art. 72 Abs. 1 VRG/GR können den Parteien für Verfahren, die sie verlangt oder veranlasst haben, die Kosten auferlegt werden, soweit das Verfahren nicht aufgrund besonderer Vorschriften kostenlos ist. Die Verfahrenskosten bestehen u.a. aus einer Staatsgebühr, welche für die Beanspruchung der Behörde erhoben wird (Art. 75 Abs. 1 lit. a VRG/GR) und (abgesehen von aufwendigen Verfahren vor Verwaltungsgericht) höchstens Fr. 20'000.-- betragen darf (Art. 75 Abs. 2 VRG/GR). Gemäss Art. 4 Abs. 3 lit. a der gestützt auf die Delegationsnorm in Art. 75 Abs. 3 VRG/GR erlassenen Verordnung über die Kosten in Verwaltungsverfahren (VKV/GR) beträgt die Staatsgebühr bei Verwaltungsbeschwerden vor Departementen Fr. 200.-- bis Fr. 7'500.--. Dass diese Regelung den Anforderungen des Legalitätsprinzips im Abgaberecht im Allgemeinen nicht genügen soll (vgl. zur gebotenen Bestimmtheit der gesetzlichen Grundlage bei Kostenauflagen im Verwaltungsverfahren BGE 123 I 248), wird von der Beschwerdeführerin nicht behauptet. Vielmehr bringt sie vor, es fehle an einer besonderen gesetzlichen Grundlage, welche es dem Departement erlaube, den Aufwand einer unteren Verwaltungseinheit (hier dem Amt für Polizeiwesen und Zivilrecht) im Beschwerdeverfahren als Verfahrenskosten einzufordern. Dieser Einwand geht an der Sache vorbei. Das Verwaltungsgericht durfte - nach dem bereits weiter oben Ausgeführten - willkürfrei davon ausgehen, die erhobenen Verfahrenskosten entsprächen dem auf das Beschwerdeverfahren entfallenden Aufwand. Angesichts der rechtlichen Vorgabe, wonach die Staatsgebühr regelmässig pauschal für den gesamten Verfahrensaufwand einschliesslich Instruktion, Beweisverfahren und Entscheidredaktion erhoben wird (Art. 3 VKV/GR), musste der im Rahmen des Beschwerdeverfahrens effektiv betriebene Aufwand nicht im Einzelnen nachgewiesen werden. Die Gebührenbemessung hält sich an den von Art. 4 Abs. 3 lit. a VRV/GR vorgegebenen Rahmen. Das Verwaltungsgericht hat zudem auch in nicht zu beanstandender Weise dargelegt, aus welchem Grund die als "Kann-Vorschrift" ausgestaltete Bestimmung von Art. 5 Abs. 1 VKV/GR, wonach die Staatsgebühr bei Abschreibungsverfügungen unterhalb des Mindestbetrages festgesetzt oder erlassen werden kann, vorliegend nicht zur Anwendung gebracht werden musste. Die streitige Kostenauflage ist unter dem Gesichtswinkel der Willkür nicht zu beanstanden.
3.4 Von einem offensichtlichen Missverhältnis der erhobenen Gebühr zum objektiven Wert der Leistung im Sinne des auch bei Gerichts- und Verfahrenskosten zum Tragen kommenden Äquivalenzprinzips (vgl. BGE 120 Ia 171 E. 2a S. 174; 106 Ia 249 E. 3a S. 252 f.) kann bei einer für eine Abschreibungsverfügung erhobenen Abgabe in der Höhe von Fr. 750.-- nicht die Rede sein. Daran ändert auch nichts, dass sich die der Beschwerdeführerin auferlegten Verfahrenskosten im Wesentlichen an jenem Aufwand orientieren sollten, der der Beschwerdeinstanz durch die um drei Monate verzögerte Einreichung des UNMIK-Reisedokuments erwuchs. Dass das Vorhandensein entsprechender Reisepapiere - entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin - nicht nur für die (spätere) Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung, sondern erkennbar auch für den Ausgang des Beschwerdeverfahrens relevant sein würde, bei welchem es gerade um die Zulässigkeit der Verknüpfung der Aufenthaltsbewilligung mit dem Vorhandensein heimatlicher Reisedokumente ging, bedarf keiner näheren Ausführung. Wenn die Vorinstanz in der verzögerten Einreichung des betreffenden Dokuments eine Verletzung der gesetzlichen Mitwirkungspflicht erblickt, verfällt sie nicht in Willkür. Dies gilt unabhängig davon, dass die zur Bedingung gemachte Vorlage eines anerkannten und gültigen heimatlichen Ausweispapiers für die Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen regelmässig verlangt wird (vgl. BGE 123 II 145 E. 2b S. 150) und die Beschaffung solcher Dokumente von aus dem Kosovo stammenden Ausländern üblicherweise auch möglich ist (vgl. Urteil 2A.335/2006 vom 18. Oktober 2006).
3.5 Weitere Rügen, namentlich solche im Zusammenhang mit der verweigerten Parteientschädigung, werden von der Beschwerdeführerin nicht oder nicht in einer den Begründungsanforderungen entsprechenden Weise (oben E. 1.6) vorgebracht.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Entsprechend dem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Für eine Abänderung des angefochtenen Entscheids über die Kosten- und Entschädigungsfolgen im Verfahren vor Verwaltungsgericht (Art. 67 bzw. Art. 68 Abs. 5 BGG) besteht bei diesem Ausgang kein Anlass.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 3. Kammer, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juni 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Moser