Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1967) und Y._ (geb. 1980) sind die Eltern von Z._ (geb. 2005). Z._ lebte bei ihrer Mutter. Die Eltern sind nicht miteinander verheiratet. Das Kind erhielt einen Beistand zur Regelung des Besuchsrechts. Dieser kümmerte sich zunächst um die Unterhaltspflichten des Vaters. Später überwachte er auch den persönlichen Verkehr. Am 1. Mai 2012 errichtete die Vormundschaftsbehörde der Stadt S._ ausserdem eine Erziehungsbeistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 1 ZGB. Damit betraute sie den Besuchsrechtsbeistand C._. Überdies ordnete die Behörde eine aufsuchende Familienbegleitung (AFB) an.
B.
Am 4. Juni 2012 erschien Y._ mit Z._ auf dem Vormundschaftsbehörde der Stadt S._. Er erklärte, das Kind werde von der Mutter geschlagen und vernachlässigt. Er habe X._ angezeigt. Seine Tochter werde er bis zur Klärung der Sache bei sich behalten. In der Folge ersuchte die Staatsanwaltschaft Zug die Vormundschaftsbehörde, für Z._ zusätzlich eine Vertretungsbeistandschaft zu errichten, da gegen die Mutter ein Verfahren eröffnet worden sei. Gestützt auf einen Antrag des bisherigen Beistands C._ entzog die Vormundschaftsbehörde X._ am 6. Juli 2012 vorübergehend die Obhut und teilte diese Y._ zu. Die Behörde ordnete an, dass über den endgültigen Aufenthalt des Kindes nach dem Vorliegen eines Erziehungsfähigkeitsgutachtens entschieden werde, und setzte eine Rechtsanwältin als Prozessbeiständin ein.
C.
Am 10. September 2012 lag das Erziehungsfähigkeitsgutachten des Zentrums für Psychologie und Verhaltenstherapie (T._) vor. Der Rechtsvertreter von X._ äusserte Bedenken gegen den Inhalt des Gutachtens und forderte die Einholung eines Zweitgutachtens. In der Folge erhielt der Anwalt Gelegenheit, der Vormundschaftsbehörde Ergänzungsfragen einzureichen. Am 28. Januar 2013 lieferte das Zentrum für Psychologie und Verhaltenstherapie (T._) sein Ergänzungsgutachten ab. Mit Entscheid vom 26. März 2013 stellte die neu zuständige Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Kantons Zug Z._ endgültig unter die Obhut des Vaters und traf weitere Anordnungen betreffend die Eltern. In Ziffer 6 ihres Rechtspruchs entzog sie einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Am 16. April 2013 ernannte die KESB A._ zur neuen Beiständin im Sinne von Art. 308 Abs. 1 i.V.m. Art. 310 ZGB; am 7. Mai 2013 setzte sie mit Rechtsanwältin B._ für Z._ wiederum eine Prozessbeiständin ein.
D.
D.a. Mit Beschwerde vom 19. April 2013 gelangte X._ an die Fürsorgerechtliche Kammer des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug. In der Sache beantragte sie, ihr die Obhut über Z._ "schnellstmöglich wieder anzuvertrauen". Weiter stellte sie das Begehren, die aufschiebende Wirkung der Beschwerde wiederherzustellen und Z._ für die Dauer des Beschwerdeverfahrens unter ihre Obhut zu stellen. Das Verwaltungsgericht holte bei den Verfahrensbeteiligten Vernehmlassungen ein.
D.b. Mit Verfügung vom 16. Juli 2013 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab und gab dem Rechtsvertreter von X._ Gelegenheit zur Replik auf die Beschwerde. X._ focht diese Verfügung vor Bundesgericht an. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil 5A_569/2013 vom 18. November 2013 ab.
D.c. Nach etlichen weiteren Eingaben verschiedener Verfahrensbeteiligter wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde vom 19. April 2013 (s. Bst. D.a) mit Urteil vom 13. März 2014 ab, soweit es darauf eintrat.
E.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. April 2014 wendet sich X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie stellt das Begehren, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 13. März 2014 aufzuheben und ihr die Obhut über ihre Tochter zuzuteilen; eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin wehrt sich gegen den Endentscheid (Art. 90 BGG), mit dem das Verwaltungsgericht als letzte kantonale Instanz (Art. 75 BGG) in einem Verfahren auf dem Gebiet des Kindesschutzes über die Zuteilung der elterlichen Obhut entschieden hat. Das ist eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) und keiner Streitwertgrenze (Art. 74 BGG) unterliegt. Auf die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerin will, dass ihr die elterliche Obhut über die gemeinsame Tochter Z._ "rückübertragen" wird. Wie das Verwaltungsgericht richtig festhält, entscheidet im Wesentlichen das Kindeswohl darüber, wem die elterliche Obhut zugeteilt wird. Kann der Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden, so hat die Kindesschutzbehörde es den Eltern oder, wenn es sich bei Dritten befindet, diesen wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen (Art. 310 Abs. 1 ZGB). Die Gefährdung des Kindeswohls liegt darin, dass das Kind in der elterlichen Obhut nicht in der für seine körperliche, geistige und sittliche Entwicklung nötigen Weise geschützt und gefördert wird. Ob die Eltern ein Verschulden an der Gefährdung des Kindes trifft, ist unerheblich. An die Würdigung der Umstände ist ein strenger Massstab zu legen. Die Entziehung ist nur zulässig, wenn andere Massnahmen ohne Erfolg geblieben sind oder von vornherein als ungenügend erscheinen (Urteil 5C.132/2006 vom 18. September 2006 E. 3.1 mit Hinweis).
Mit Blick auf die Frage, ob das Kind dem einen oder dem anderen Elternteil in Obhut zu geben ist, gelten bei unverheirateten Eltern die gleichen Kriterien wie im Scheidungsfall. Nach der familienrechtlichen Praxis ist als Erstes die Erziehungsfähigkeit der Eltern zu klären. Ist sie bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die für eine harmonische Entfaltung notwendige Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Unter Umständen kann die Möglichkeit der persönlichen Betreuung auch dahinter zurücktreten (Urteil 5C.212/2005 vom 25. Januar 2006 E. 4.2 und 4.4.1, in: FamPra.ch 2006 S. 753 ff.). Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich weitere Gesichtspunkte zuordnen, namentlich die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, oder die Forderung, dass die Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (s. BGE 115 II 206 E. 4a S. 209; 115 II 317 E. 2 und 3 S. 319 ff.; 117 II 353 E. 3 S. 354 f.; 136 I 178 E. 5.3 S. 180 f.).
Bei der Überprüfung des kantonalen Obhutsentscheids ist das Bundesgericht grundsätzlich an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann nur eingewendet werden, sie seien offensichtlich unrichtig oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen, insbesondere auf einer Verletzung des verfassungsmässigen Willkürverbotes (vgl. zum Begriff der Willkür BGE 134 V 53 E. 4.3 S. 62). Um mit diesem Vorwurf vor Bundesgericht durchzudringen, genügt es nicht, einen vom angefochtenen Entscheid abweichenden Sachverhalt zu behaupten und Gründe aufzuzählen, weshalb die Vorinstanz in tatsächlicher Hinsicht zu anderen Schlüssen hätte gelangen sollen (vgl. Urteile 5A_78/2012 vom 15. Mai 2012 E. 3.3; 5A_326/2012 vom 26. Juli 2012 E. 3.4). Darzutun ist auch und vor allem, weshalb der angefochtene Entscheid selbst, so wie ihn die kantonale Instanz gefällt hat, an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22).
Stützt sich das Gericht auf sachverständige Personen, um sich das für den Entscheid erforderliche Fachwissen zu verschaffen, so würdigt es die von diesen Fachpersonen angefertigten Gutachten grundsätzlich frei. Darauf kann das Bundesgericht nur unter den oben beschriebenen Voraussetzungen zurückkommen. Allerdings darf ein Gericht in Fachfragen nur aus triftigen Gründen von einem Gutachten abweichen. Es hat zu prüfen, ob sich aufgrund der übrigen Beweismittel und der Vorbringen der Parteien ernsthafte Einwände gegen die Schlüssigkeit der gutachterlichen Darlegungen aufdrängen. Erscheint ihm die Schlüssigkeit eines Gutachtens in wesentlichen Punkten zweifelhaft, hat das Gericht nötigenfalls ergänzende Beweise zur Klärung dieser Zweifel zu erheben (BGE 138 III 193 E. 4.3.1 S. 198 f.; 136 II 539 E. 3.2 S. 548; 133 II 384 E. 4.2.3 S. 391). Dazu ist es namentlich dann verpflichtet, wenn gewichtige, zuverlässig begründete Tatsachen oder Indizien die Überzeugungskraft des Gutachtens ernstlich erschüttern (BGE 130 I 337 E. 5.4.2 S. 346; 129 I 49 E. 4 S. 57 f.; 128 I 81 E. 2 S. 86). Stützt das Gericht sein Urteil auf eine nicht schlüssige Expertise oder verzichtet es auf gebotene zusätzliche Beweiserhebungen, läuft es Gefahr, gegen das Verbot der willkürlichen Beweiswürdigung zu verstossen (BGE 138 III 193 E. 4.3.1 S. 199 mit Hinweis).
3.
Das Verwaltungsgericht prüft die Erziehungsfähigkeit beider Eltern. Es stützt sich im Wesentlichen auf die Akten der Zuger Strafverfolgungsbehörden, auf das aussagepsychologische Gutachten des Forensischen Instituts D._ vom 2. April 2013, auf das Erziehungsfähigkeitsgutachten des Zentrums für Psychologie und Verhaltenstherapie (T._) vom 10. September 2012 bzw. 28. Januar 2013 (Ergänzungsgutachten) und auf einen Abklärungsbericht der Unterstützenden Dienste des Amtes für Kindes- und Erwachsenenschutz vom 29. November 2012. Mit Bezug auf die Mutter hält das Verwaltungsgericht zusammenfassend fest, die von Z._ beschriebenen tätlichen Übergriffe der Mutter hätten mit grosser Wahrscheinlichkeit tatsächlich stattgefunden und seien dem Kind nicht von Dritten bzw. von ihrem Vater eingetrichtert worden. Die Mutter sei derzeit nicht in der Lage, ihre Tochter altersadäquat zu fördern. Z._ sei es momentan nicht möglich, sich im Haushalt ihrer Mutter emotional und geistig ihrem Alter entsprechend zu entwickeln. Des Weiteren habe die Art des Alkoholkonsums der Beschwerdeführerin zwar nicht abschliessend geklärt werden können. Es gebe jedoch verschiedene ernstzunehmende Hinweise auf einen problematischen Umgang mit Alkohol. In Würdigung der gesamten Umstände müsse der Mutter derzeit die Erziehungsfähigkeit abgesprochen werden. Was die Erziehungsfähigkeit des Vaters angeht, kommt das Verwaltungsgericht zum Schluss, es gehe dem Mädchen bei seinem Vater psychisch und physisch gut. Der Vater sei in der Lage, seine Tochter im alltäglichen Rahmen zu unterstützen, ihre Grundbedürfnisse sicherzustellen und sie altersadäquat zu fördern. Der Beschwerdegegner biete Z._ eine geordnete Wohnsituation, eine geregelte Tagesstruktur und einen kurzen Schulweg. Des Weiteren organisiere er eine lückenlose Betreuung. Ein Drogenkonsum habe mit einer ärztlich kontrollierten Abstinenzkontrolle ausgeschlossen werden können. Die Erziehungsfähigkeit des Vaters sei somit zu bejahen, weshalb sich Ausführungen zu einer allfälligen Fremdplatzierung des Kindes erübrigen würden. In Übereinstimmung mit der Vertretungsbeiständin sei somit festzuhalten, dass das Kindeswohl eine Obhutszuteilung an den Beschwerdegegner nahelege. Die KESB Zug habe jedoch in regelmässigen Abständen zu überprüfen, ob sich die Verhältnisse verändert haben.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin findet, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV festgestellt. Sie bestreitet die angeblichen Übergriffe auf ihr Kind vehement und beruft sich auf die "Richtigstellungen", die Z._ am 13. September 2012 vor der damaligen Vormundschaftsbehörde mündlich gemacht habe. Den Behörden wirft sie vor, darüber hinweggesehen zu haben. Damit stehe fest, dass das Gutachten vom 10. September 2012 auf "Falschanschuldigungen" beruhe, weshalb die darin getroffenen Annahmen der Experten unrichtig und unverwertbar seien. Im Ergänzungsgutachten vom 28. Januar 2013 hätten es die Gutachter an einer ganzheitlichen aussagepsychologischen Untersuchung fehlen lassen, indem sie davon absahen, das Kind mit seinen widersprüchlichen Aussagen direkt zu konfrontieren. Auch das Gutachten des Forensischen Instituts D._ vom 2. April 2013 hält die Beschwerdeführerin für "nicht schlüssig", weil die Gutachter das Kind nicht selbst angehört, sondern nur die Akten konsultiert hätten. Was die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang im Einzelnen vorbringt, vermag die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht als offensichtlich unrichtig auszuweisen:
4.2. Von vornherein abwegig ist der Vorwurf, die Sachverständigen hätten in ihren Gutachten gewisse Aussagen von Z._ nicht berücksichtigt, die diese erst nach der Ablieferung der fraglichen Expertisen gemacht hat. Wie sich aus dem angefochtenen Entscheid ergibt, ist sich das Verwaltungsgericht durchaus im Klaren darüber, dass Z._ zu verschiedenen Zeitpunkten sich widersprechende Aussagen machte. Auch wenn die Beschwerdeführerin gebetsmühlenartig auf dem Gegenteil beharrt, folgt allein aus diesen Widersprüchen nicht, dass die zeitlich früheren Aussagen einfach "falsch" und die späteren "richtig" sind. Ebenso wenig kann daraus gefolgert werden, dass ein Sachverständiger, dem einzig die früheren Aussagen vorlagen, ein unschlüssiges und unverwertbares Gutachten erstellt hat. Weiter beruft sich die Beschwerdeführerin auf den Bericht von Dr. phil. E._ vom 29. Januar 2013, aus dem hervorgehe, dass an Z._s erster Darstellung erhebliche Zweifel bestehen und ihre Aussagen vom 13. September 2013 mit höherer Wahrscheinlichkeit zutreffend seien. Bezüglich dieses Berichts hält das Verwaltungsgericht fest, auch Dr. phil. E._ weise darauf hin, dass es "riskant und nicht ratsam" sei, auf inhaltliche Aussagen von Z._ abzustellen; im Übrigen äussere sich der Bericht weder zu einer allfälligen Gefährdung des Kindeswohls bei der Mutter noch zu deren Erziehungsfähigkeit. Die Beschwerdeführerin stellt diese Erkenntnisse nicht in Abrede, noch erklärt sie, weshalb dieser Bericht bei der Beurteilung der Obhutsfrage trotzdem eine Rolle spielen müsste. Ins Leere läuft auch der Einwand, das Erziehungsfähigkeitsgutachten vom 10. September 2013 stelle völlig unkritisch auf die falschen Darstellungen und Behauptungen des Beschwerdegegners ab und ziehe nicht einmal ansatzweise in Betracht, dass Z._ durch ihren Vater hätte unter Druck gesetzt und instrumentalisiert worden sein können. Das Verwaltungsgericht selbst hält fest, dass beide Elternteile Z._ beeinflussen und für ihre Zwecke instrumentalisieren, wodurch das Kind zu widersprüchlichen Aussagen gedrängt werde.
4.3. Gegen den "Vorwurf des Alkoholmissbrauchs" wehrt sich die Beschwerdeführerin mit dem Hinweis auf ihre Alkoholabstinenz im Jahre 2008, auf den Beschluss des Stadtrates von S._ vom 16. August 2011, wonach ihre Laborwerte einwandfrei seien, und auf die Arztberichte von Dr. med. F._ vom 30. November 2012 und von Dr. med. G._ vom 6. März 2013, wonach wiederum alle Werte im Normbereich seien. Auch damit vermag die Beschwerdeführerin nichts auszurichten. Denn sie übersieht, dass auch das Verwaltungsgericht ihre früheren Abstinenzbemühungen zur Kenntnis nimmt, mit Bezug auf die aktuelle Situation aber festhält, sie habe die Kontaktaufnahme zu ihrem Hausarzt Dr. med. G._ verweigert und ein ärztliches Zeugnis von Dr. med. F._ eingereicht, das jedoch keinen Rückschluss über den Abstinenzzeitraum erlaubte. Überdies hält die Vorinstanz fest, dass die Untersuchungen, welche die Beschwerdeführerin selbst gewünscht habe, an ihr vorab bekannten Terminen stattgefunden haben, so dass kein spontanes ärztliches Aufbieten erfolgt sei. Mit alledem setzt sich die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht auseinander.
4.4. Die Beschwerdeführerin erachtet auch das Ergänzungsgutachten vom 28. Januar 2013 "schlechterdings als unvollständig und unbrauchbar". Die inhaltliche Kritik der Beschwerdeführerin konzentriert sich hier auf den wiederholten Vorwurf, dass die Gutachter es pflichtwidrig unterlassen hätten, Z._ mit ihren widersprüchlichen Aussagen zu konfrontieren, obwohl sie allen Anlass dazu gehabt hätten. Die Gutachter würden sich damit begnügen, die "Variante" der Mutter und diejenige des Vaters einander gegenüberzustellen, um sich dann "kurzerhand" derjenigen des Vaters anzuschliessen. Die Vorwürfe sind unbegründet. Das Verwaltungsgericht hält ausdrücklich fest, dass die Gutachter ihre Beurteilung nicht auf den Inhalt der früheren Aussagen des Kindes gestützt, sondern auf eine psychologische Interpretation der gesamten Datengrundlage abgestellt hätten. Die Gutachter hätten explizit darauf hingewiesen, dass Z._ und somit auch ihre Aussagen von beiden Elternteilen beeinflusst würden; das Kind habe seine bisher gemachten Aussagen am 13. August 2012 relativiert, weil es der Konfliktsituation bzw. einem Entscheid zwischen Vater und Mutter habe entfliehen wollen. Dagegen vermag die Beschwerdeführerin nicht aufzukommen, wenn sie die Darstellung der Gutachter als "nachweislich falsch" geisselt und sich hierzu auf Aussagen beruft, die das Kind mehrere Monate nach Erstellung des Ergänzungsgutachtens gemacht haben soll. Im Übrigen kommt es nicht nur auf den Inhalt des Gutachtens, sondern auch auf dessen Würdigung durch die Vorinstanz an. Das Verwaltungsgericht selbst hält in diesem Zusammenhang fest, das tatsächliche Ausmass der körperlichen und/oder psychischen Gewalt könne "weder genau abgeschätzt noch effektiv bewiesen werden". Weiterungen zu dieser Thematik würden sich aber erübrigen, da die Frage der Obhutszuteilung ohnehin im Rahmen einer Gesamtwürdigung zu beantworten sei und nicht von einzelnen Aussagen Z._s abhänge. Inwiefern das Verwaltungsgericht seinen Entscheid trotzdem allein gestützt auf die Aussagen des Kindes gefällt und sich damit in offensichtliche Widersprüche verstrickt hätte, tut die Beschwerdeführerin nicht dar.
4.5. Auch das aussagenpsychologische Gutachten des Forensischen Instituts D._ vom 2. April 2013 will die Beschwerdeführerin nicht gelten lassen. Insbesondere unterstellt sie den Gutachtern, die Entstehungs- und Entwicklungsgeschichte der kindlichen Aussagen (die so genannte Aussagegenese) nicht berücksichtigt zu haben. Bei genauer Betrachtung laufen ihre weitschweifigen Ausführungen aber wiederum darauf hinaus, dass sie auch dem Forensischen Institut vorwirft, Z._ mit der Widersprüchlichkeit ihrer Aussagen nicht konfrontiert zu haben. Insofern kann auf das bereits Gesagte verwiesen werden (E. 4.4). Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint, kann die Analyse der Entstehung und Entwicklung einer kindlichen Aussage auch nicht darin bestehen, dass man dem befragten Kind Gelegenheit bietet, seine Aussagen "in aller Form zu bestätigen". Schliesslich weist die Beschwerdeführerin darauf hin, Z._ habe anlässlich der polizeilichen Befragung vom 19. Juni 2012 nur gewusst, dass der Vater sie im Nebenraum beobachten konnte, von der Anwesenheit der Mutter jedoch keine Kenntnis gehabt. Die Beschwerdeführerin zieht daraus den Schluss, der Vater habe Z._ vor der Anhörung "ultimativ zu verstehen gegeben, was sie in etwa auszusagen hätte", und wirft den Gutachtern des Forensischen Instituts vor, von der "einseitigen und effektiv stattgefundenen Beeinflussung durch den Kindsvater keine Kenntnis" gehabt bzw. diese "aussageverfälschenden motivationalen Aspekte" nicht erkannt zu haben. Allein mit solchen Gegenbehauptungen sind keine zuverlässig begründeten Tatsachen oder Indizien darzutun, welche die Überzeugungskraft des Gutachtens ernstlich erschüttern (s. oben E. 2).
4.6. Schliesslich beanstandet die Beschwerdeführerin die Art und Weise, wie sich die Vertretungsbeiständin des Kindes im Verfahren zur Obhutsfrage geäussert hat. Sie wirft der Rechtsbeiständin vor, sich mit ihrem Abweisungsantrag in Widerspruch zum "klaren und mehrfach geäusserten Wunsch" von Z._ gesetzt zu haben. Diese Vorwürfe scheitern schon daran, dass die Beschwerdeführerin in keiner Weise aufzeigt, inwiefern die Vorkehren und Eingaben der Beiständin in die Entscheidfindung des Verwaltungsgerichts konkret Eingang gefunden hätten. Darauf ist nicht einzutreten.
4.7. Zusammenfassend meint die Beschwerdeführerin, es könnte "mit Fug und Recht" behauptet werden, dass ein Zweitgutachten zu einem "gänzlich anderen Resultat gelangen würde". Sowohl eine "Nichtberücksichtigung" der vorhandenen Erziehungsfähigkeitsgutachten als auch eine eventuelle Neubegutachtung würden "zweifellos" dazu führen, dass ihr die Obhut über Z._ wieder anvertraut werden müsse. Allein darauf kommt es aber gar nicht an. Wie oben ausgeführt, kann von Willkür nur und erst dann die Rede sein, wenn der angefochtene Entscheid selbst, so wie ihn die Vorinstanz gefällt hat, offensichtlich unhaltbar ist (E. 2). Die Beschwerdeführerin müsste demnach aufzeigen, warum das vorinstanzliche Beweisergebnis auch im Ergebnis willkürlich wäre. Das aber tut sie nicht. Die Erziehungsfähigkeit des Vaters stellt die Beschwerdeführerin mit keinem Wort in Frage. Sie äussert sich weder zu den vorinstanzlichen Feststellungen betreffend die Wohnsituation des Kindes, noch zieht sie die Erkenntnisse in Zweifel, zu denen das Verwaltungsgericht mit Bezug auf die Tagesstruktur und die Betreuung des Kindes beim Vater gelangt. Auch an der Feststellung, wonach beim Beschwerdegegner ein Drogenkonsum ausgeschlossen werden konnte, hat die Beschwerdeführerin nichts auszusetzen.
5.
In prozessualer Hinsicht stört sich die Beschwerdeführerin daran, dass Z._ als "betroffenes Kind" im verwaltungsgerichtlichen Verfahren nicht persönlich angehört worden sei. Damit habe die Vorinstanz den Untersuchungsgrundsatz missachtet, den in Art. 314a ZGB statuierten Gehörsanspruch verletzt und Art. 12 des Übereinkommens über die Rechte des Kindes vom 20. November 1989 (SR 0.107) verletzt.
5.1. Die Beschwerdeführerin beruft sich zum einen auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zur Anhörung des Kindes im Scheidungsverfahren. Dort halte das Bundesgericht fest, dass jedes Kind im Streit seiner Eltern einem mehr oder weniger belastenden, latenten oder offenen Loyalitätskonflikt ausgesetzt sei, weshalb die Belastungssituation den Verzicht auf eine beantragte Anhörung nur dann rechtfertige, wenn - nebst anderen Gründen - eine eigentliche Beeinträchtigung der physischen oder psychischen Gesundheit des Kindes befürchtet werden muss (BGE 131 III 553 E. 1.3.3 S. 558 f.). Mit Bezug auf Z._s Situation stellt das Verwaltungsgericht fest, eine Anhörung bzw. Befragung durch das Gericht würde das Kind "erneut unter massiven Druck setzen", weshalb darauf zu verzichten sei. Dass darin eine Feststellung zu erblicken ist, die im beschriebenen Sinne eine aussergewöhnliche Belastung befürchten lässt, bestreitet die Beschwerdeführerin zumindest sinngemäss. Wie es sich damit verhält, kann aber offenbleiben. Das zeigen die nachfolgenden Erwägungen.
5.2. Das Verwaltungsgericht verweist nämlich darauf, dass Z._ von der Vormundschaftsbehörde der Stadt S._, von der KESB Zug und von der Zuger Polizei teilweise mehrfach angehört worden sei und auch die Vertretungsbeiständin zwei Gespräche mit Z._ geführt habe. Die Aussagen des Kindes seien "äusserst detailliert dokumentiert". Insbesondere sei ihm, dem Verwaltungsgericht, auch bekannt, dass Z._ am 13. September 2012 ausgesagt hat, sie möchte lieber bei ihrer Mutter leben, und dass das Kind seither an diesem Wunsch festhält. Das anerkennt ausdrücklich auch die Beschwerdeführerin. Wie sich aus ihren Ausführungen ergibt, erachtet sie eine Anhörung des Kindes durch das Verwaltungsgericht nur deshalb als unverzichtbar, weil die "Falschanschuldigungen" von Z._ ihr gegenüber in keiner der bisherigen Befragungen - rückwirkend bis September 2012 - thematisiert worden seien. Mithin will die Beschwerdeführerin auch mit den erwähnten prozessualen Rügen offensichtlich nichts anderes erreichen, als dass die Behörden das neunjährige Kind mit seinen eigenen früheren Aussagen "konfrontieren" sollen, um ihm eine klare Aussage zugunsten der Mutter zu entlocken. Dass der Entscheid über die Obhutsfrage nicht von Kindeswillen bzw. von den (widersprüchlichen) Aussagen des Kindes allein abhängt, hält das Verwaltungsgericht der Beschwerdeführerin auch in diesem Zusammenhang zu Recht entgegen (vgl. auch E. 4.4 und 4.5 ).
5.3. An alledem ändert sich auch nichts, wenn die Beschwerdeführerin zusätzlich Art. 12 der UNO-Kinderrechtskonvention anruft, bei dem es sich nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung um einen "direkt anwendbaren Rechtssatz" handle, dessen Verletzung beim Bundesgericht angefochten werden könne. Ob Art. 12 der UNO-Kinderrechtskonvention einem Elternteil überhaupt einen selbständigen, das heisst in eigenem Namen einklagbaren Anspruch auf Anhörung seines Kindes vermittelt, kann offenbleiben. Denn so oder anders gewährt die zitierte Vorschrift dem Kind ein Meinungsäusserungsrecht nur unter der Voraussetzung, dass es fähig ist, sich eine eigene Meinung zu bilden, was nach der Rechtsprechung mit der Urteilsfähigkeit im Sinne von Art. 16 ZGB gleichzusetzen ist (BGE 131 III 553 E. 1.1 S. 554). Dass die neunjährige Z._ mit Bezug auf die Frage der Obhutszuteilung urteilsfähig wäre, behauptet die Beschwerdeführerin aber nicht und ist nach der Lebenserfahrung auch nicht anzunehmen (s. Urteil 5A_92/2009 vom 22. April 2009 E. 5.1.2; vgl. auch BGE 133 III 146 E. 2.4 S. 150). Entsprechend ist Art. 12 der UNO-Kinderrechtskonvention von vornherein nicht anwendbar.
6.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Die Beschwerdeführerin unterliegt. Sie hat für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet. Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Kantons Zug, A._, B._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Fürsorgerechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn