Faits:
A. Le 19 novembre 2008, X._ a obtenu le bénéfice de l'assistance juridique civile complète, avec effet au 18 novembre 2008, pour la procédure de divorce l'opposant à son épouse. L'octroi était limité à la première instance. Me Jean-Luc Marsano a été nommé pour défendre ses intérêts; Me Romain Jordan lui a succédé par décision du Vice-président du Tribunal de première instance de Genève du 22 avril 2009.
Par jugement sur mesures provisoires rendu le 26 mars 2009, le Tribunal de première instance a notamment retiré à X._ la garde de sa fille, A._, née en 1998, et ordonné le placement de celle-ci au Foyer B._. Il a réservé au père un droit de visite s'exerçant, sous la surveillance d'un curateur, un week-end sur deux du vendredi soir au lundi matin et durant la moitié des vacances scolaires; provisoirement, il a restreint ce droit à quelques heures en milieu protégé, en précisant qu'en cas d'évolution positive, le curateur pourrait progressivement étendre l'exercice du droit de visite dans les limites prévues ci-dessus.
Pour prendre sa décision, le Tribunal de première instance s'est fondé, en particulier, sur des éléments parvenus à sa connaissance postérieurement à la clôture de l'instruction, ordonnée le 26 février 2009, qui font état de problèmes d'alcoolisation du père, à savoir un rapport du Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) du 27 février 2009 et un rapport d'experts du 17 mars 2009, au sujet desquels l'intéressé n'a pas été entendu. Le Tribunal n'a, en outre, pas procédé à l'audition de l'enfant.
B. Le 6 mai 2009, X._ a sollicité une extension de l'aide étatique pour appeler de ce jugement.
Par décision du 26 mai 2009, le Vice-président du Tribunal de première instance a rejeté cette requête en estimant que les chances de succès de l'appel apparaissaient manifestement moindres que les risques pour le recourant de succomber.
Le 16 juillet 2009, le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours formé contre cette décision par X._, qui entendait en particulier soulever dans son appel à l'encontre du jugement du Tribunal de première instance les griefs de violation de son droit d'être entendu et de défaut d'audition de l'enfant.
C. Contre la décision du 16 juillet 2009, X._ a interjeté, le 28 juillet 2009, un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant à son annulation et à l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours cantonale. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
Le recourant sollicite par ailleurs l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
Le Vice-président de la Cour de justice se réfère aux considérants de la décision attaquée.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le refus de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente en tant qu'elle est l'accessoire de la demande principale (art. 93 al. 1 LTF; arrêt 5A_468/2007 du 15 septembre 2007, consid. 2). De jurisprudence constante, une telle décision est susceptible de causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF; ATF 129 I 281 consid. 1.1 p. 283, 129 consid. 1.1 p. 131; 126 I 207 consid. 2a p. 210 ss).
1.2 Le recours contre une décision préjudicielle ou incidente est soumis à la même voie de droit que celle qui est ouverte contre la décision principale (arrêt 5A_491/2007 du 15 novembre 2007, consid. 1.2). Dès lors que la cause pour laquelle l'assistance judiciaire est requise se rapporte à une procédure de mesures provisoires selon l'art. 137 al. 2 CC, à savoir une décision en matière civile (art. 72 al. 1 LTF), portant sur des droits de nature non pécuniaire (retrait de la garde d'un enfant et droit aux relations personnelles), le présent recours en matière civile est recevable, indépendamment de la valeur litigieuse (ATF 116 II 493 consid. 2b p. 495 et les références), pour violation des droits constitutionnels (art. 98 LTF). Le recourant a qualité pour recourir, car il a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF). Le recours a par ailleurs été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme requise (art. 42 LTF) contre une décision prise par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF).
1.3 Le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu garanti tant par l'art. 29 al. 2 Cst. que par le droit de procédure cantonal ainsi que d'une violation de son droit à l'assistance judiciaire découlant de l'art. 29 al. 3 Cst.
Le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si le recourant a invoqué et motivé son grief conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, à savoir s'il l'a expressément soulevé et exposé d'une manière claire et détaillée (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88 et les arrêts cités). En particulier, lorsque le recourant dénonce une application arbitraire du droit cantonal (art. 9 Cst.), il ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait dans une procédure d'appel, où l'autorité de recours revoit librement l'application du droit; il doit démontrer en quoi cette décision est arbitraire (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 255 et la jurisprudence citée).
2. Le Vice-président de la Cour de justice a refusé l'assistance judiciaire au motif que les chances de succès de l'appel étaient faibles. S'agissant de l'audition de l'enfant, il a retenu que, «dans ces circonstances particulières, au vu des épisodes successifs d'alcoolisation du recourant, le Tribunal pouvait ne pas entendre l'enfant». Concernant la critique de violation du droit d'être entendu du recourant sur des faits portés à la connaissance du Tribunal après la clôture de l'instruction, le Vice-président a exposé que cette violation pouvait être considérée comme guérie, dans la mesure où la Cour de justice disposait du même pouvoir de cognition que le Tribunal de première instance. En outre, le jugement attaqué était une décision sur mesures provisoires, de sorte que le droit d'être entendu du recourant serait ultérieurement respecté dans la procédure au fond. Ce n'était pas pour autant qu'il obtiendrait gain de cause en appel, la limitation du droit de visite à quelques heures par semaine en milieu protégé étant dans l'intérêt de l'enfant. Il incombait au recourant de faire des efforts pour éviter qu'un nouvel épisode d'alcoolisation ne se produise. Avant de prendre sa décision, le Vice-président de la Cour de justice n'a pas procédé à l'audition du recourant, considérant que le dossier contenait suffisamment d'éléments pour statuer.
Se plaignant d'une application insoutenable de l'art. 143A al. 3 LOJ/GE, le recourant reproche au juge cantonal d'avoir violé son droit d'être entendu en ne l'entendant pas oralement avant de se prononcer. Il fait valoir, en substance, que le Vice-président de la Cour de justice est tombé dans l'arbitraire en estimant pouvoir déroger à cette disposition au motif qu'il possédait suffisamment d'éléments pour apprécier les chances de succès de son recours, alors même que dans celui-ci, il invoquait un grave vice de procédure à l'encontre du jugement de première instance, en particulier le fait de n'avoir pas pu se déterminer sur les accusations d'épisodes successifs d'alcoolisation dénoncés par le SPMi et par le rapport des experts, accusations qui ont conduit le Tribunal de première instance à lui retirer la garde de l'enfant et à restreindre son droit de visite.
2.1 Le droit d'être entendu est déterminé en premier lieu par le droit cantonal, dont le Tribunal fédéral examine l'application sous l'angle restreint de l'arbitraire; les principes de l'art. 29 al. 2 Cst. constituent une garantie minimale et subsidiaire (ATF 126 I 15 consid. 2a p. 16).
Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas de ce qu'une autre solution serait concevable, voire préférable. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision cantonale que si celle-ci est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou heurte de façon choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas que la motivation de cette décision soit insoutenable, encore faut-il que celle-ci soit arbitraire dans son résultat (ATF 131 I 467 consid. 3.1 p. 473/474).
L'art. 143A al. 3 LOJ/GE prévoit que, en cas de refus ou de retrait de l'assistance juridique, la personne qui l'a sollicitée peut recourir par écrit dans les 30 jours dès la notification de la décision auprès du président de la Cour de justice (1ère phrase); en règle générale, le recourant est entendu (2ème phrase). Le Tribunal fédéral a jugé que cette disposition va plus loin que le droit constitutionnel fédéral (art. 29 al. 2 Cst.) en permettant au recourant de faire valoir ses allégués et ses moyens non seulement par écrit, mais aussi oralement. L'audition de l'intéressé est donc la règle et ne peut être refusée que dans des circonstances particulières. Par ailleurs, elle ne dépend pas d'une requête expresse du recourant, l'absence d'une telle demande n'établissant pas encore une renonciation à ce droit, laquelle doit être établie de manière non équivoque et être entourée d'un minimum de garanties (arrêt 1P.537/2004 du 2 novembre 2004, consid. 2.2, publié in RDAF 2005 I p. 55; arrêt 4P.195/2002 du 13 novembre 2002, consid. 2.3). Dans ce dernier arrêt, le Tribunal fédéral a ainsi considéré que la magistrate intimée avait appliqué l'art. 143A al. 3 LOJ/GE de manière arbitraire, en n'indiquant ni dans sa décision, ni dans ses observations les motifs de refus de l'audition, alors même qu'aucune raison ne paraissait justifier, par exception au principe général, que l'intéressé soit privé de sa faculté de s'exprimer oralement. Dans l'arrêt paru à la RDAF, il a annulé la décision attaquée pour violation du droit d'être entendu parce que l'autorité cantonale, qui n'invoquait aucune circonstance particulière à l'appui de son refus de l'audition, ne s'était pas assurée que le recourant n'entendait pas user de son droit de s'exprimer oralement en l'interpellant à ce propos, alors qu'il lui était précisément reproché de n'avoir pas respecté son devoir de participer à l'établissement de sa situation financière.
2.2 En l'espèce, bien que la procédure genevoise prévoie que l'audition est la règle, et non pas l'exception, et qu'il ne peut y être dérogé que dans des circonstances particulières (cf. supra, consid. 2.1), ni la décision querellée, ni les observations du Vice-président de la Cour de justice sur le présent recours n'exposent les circonstances particulières qui permettraient de renoncer à une telle audition. A cet égard, la seule affirmation, figurant dans la décision attaquée, que le dossier contient suffisamment d'éléments pour statuer, qui n'est étayée par aucune considération concrète, ne suffit pas à justifier une dérogation à l'art. 143A al. 3 LOJ/GE.
L'audition du recourant s'imposait d'autant plus que le juge cantonal a confirmé le refus de l'assistance judiciaire en invoquant l'absence de chances de succès de l'appel (art. 29 al. 3 Cst.), ce qui nécessitait une appréciation anticipée et sommaire des faits et des preuves (ATF 88 I 144 s.; cf. aussi ATF 124 I 304 consid. 4a p. 308/309). Or, s'agissant des rapports du SPMi et des experts, le Vice-président de la cour cantonale a expressément admis que le droit d'être entendu du recourant avait été enfreint. Sauf à tomber dans l'arbitraire, il ne pouvait dès lors affirmer que le dossier contenait suffisamment d'éléments pour statuer et apprécier les chances de succès de l'appel sur la base de ces mêmes éléments, après avoir par ailleurs retenu que ceux-ci n'avaient pas été portés à la connaissance de l'intéressé. Il appartenait ainsi au magistrat cantonal de procéder à l'audition du recourant ou de s'assurer qu'il n'entendait pas faire usage de sa prérogative de s'exprimer oralement devant lui en l'interpellant à ce propos.
Au surplus, le Vice-président de la Cour de justice ne pouvait fonder son appréciation des chances de succès de l'appel interjeté contre le jugement de mesures provisoires sur des éléments qui n'avaient pas été soumis au recourant, lequel se trouve sanctionné à double titre: en premier lieu, pour ne pas avoir été entendu en première instance sur des faits qui ont conduit à un retrait de garde et à une sévère limitation de son droit de visite; en second lieu, parce qu'il se voit privé, en raison de l'absence de chances de succès de son appel, du soutien étatique pour entreprendre une décision dont le juge précédent a pourtant reconnu qu'elle avait été rendue au mépris de son droit d'être entendu. A cet égard, la décision de mesures provisoires au sens de l'art. 137 al. 2 CC tranche dans une procédure distincte des questions qui ne pourront plus être revues dans le contexte de la procédure de divorce (ATF 134 III 426 consid. 2.2 p. 432). Il est ainsi arbitraire d'affirmer qu'une violation du droit d'être entendu commise dans le cadre de la procédure de mesures provisionnelles pourra être réparée dans la procédure au fond, soit la procédure de divorce (cf. aussi ATF 126 III 110 consid. 1b p. 112, d'après lequel une violation du droit d'être entendu dans la procédure sommaire de recevabilité de l'opposition [art. 265a al. 1 LP] ne peut pas être réparée dans le cadre de l'action en constatation du retour à meilleure fortune [art. 265a al. 4 LP]).
En statuant sans avoir donné au recourant la faculté de s'exprimer oralement, le Vice-président de la Cour de justice a manifestement violé l'art. 143A al. 3 LOJ/GE. Vu la nature formelle de cette garantie (arrêt 1P.573/2004 précité, consid. 2.2), l'admission du grief entraîne l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès de la requête (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437).
3. En conclusion, le recours doit être admis, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour audition du recourant et nouvelle décision. Les frais judiciaires ne peuvent pas être imposés au canton en vertu de l'art. 66 al. 4 LTF; il y a donc lieu de statuer sans frais. En revanche, le canton de Genève versera des dépens au recourant qui l'emporte et qui a procédé avec l'assistance d'un mandataire professionnel (art. 68 al. 1 et 2 LTF), ce qui rend sans objet sa requête d'assistance judiciaire (ATF 109 Ia 5 consid. 5 p. 11; arrêt 5A_65/2008 du 15 décembre 2008, consid. 4).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, la décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Une indemnité de 2'000 fr., à payer au recourant à titre de dépens, est mise à la charge du canton de Genève.
5. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant et au Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 21 octobre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot