Sachverhalt:
A. X._ und Y._ (beide Jahrgang 1974) haben am 2. Juni 2006 geheiratet. Am 27. September 2008 hoben sie den gemeinsamen Haushalt in Zufikon auf. X._ zog mit der gemeinsamen Tochter A._ (geb. 31. Oktober 2006) zu seinen Eltern nach Schoppernau (Österreich). Y._ blieb zunächst in Zufikon. Am 1. Mai 2009 zog sie zu ihrem Vater nach Wohlen (Aargau). Seit 1. Juli 2010 wohnt sie mit ihrem neuen Partner in Arni.
B. Die Parteien streiten im Rahmen ihres Eheschutzverfahrens über die Zuteilung der elterlichen Obhut. Zu diesem Zweck führten sie bereits einen Prozess über alle nationalen Instanzen:
B.a Auf das Eheschutzbegehren der Ehefrau hin hatte das Gerichtspräsidium Bremgarten die Tochter mit Urteil vom 29. September 2009 unter die Obhut des Vaters gestellt und der Mutter ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt.
B.b Gegen das erstinstanzliche Urteil hatte Y._ am 30. Oktober 2009 mit Bezug auf die Frage der Obhutszuteilung Beschwerde erhoben. Mit Urteil vom 14. Dezember 2009 hatte das Obergericht des Kantons Aargau die Beschwerde teilweise gutgeheissen und die Tochter unter die Obhut der Mutter gestellt. Dem Vater hatte das Obergericht ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt; ausserdem hatte es ihn dazu verurteilt, seiner Tochter einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 600.-- pro Monat zu bezahlen.
B.c Mit Beschwerde in Zivilsachen war X._ am 8. Januar 2010 ans Bundesgericht gelangt. Er hatte beantragt, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und den erstinstanzlichen Entscheid zu bestätigen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Bundesgericht war zum Schluss gekommen, das Obergericht sei bei der Prüfung der für die Obhutszuteilung massgeblichen Kriterien in Willkür verfallen. Es hatte das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 14. Dezember 2009 aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückgewiesen (Urteil 5A_22/2010 vom 7. Juni 2010).
C. Das Obergericht des Kantons Aargau kam bei der erneuten Beurteilung zum gleichen Schluss wie in seinem Urteil vom 14. Dezember 2009. Mit Urteil vom 9. August 2010 stellte es A._ wiederum unter die Obhut von Y._, räumte X._ ein Besuchs- und Ferienrecht ein und verurteilte ihn zur Bezahlung monatlicher Unterhaltsbeiträge.
D. D.a X._ (fortan "Beschwerdeführer") setzt sich gegen das obergerichtliche Urteil erneut zur Wehr. Mit Eingabe vom 26. August 2010 beantragt er dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 9. August 2010 aufzuheben und das Urteil des Bezirksgerichts Bremgarten vom 29. September 2009 zu bestätigen; eventuell sei die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung, insbesondere zur Einholung eines Gutachtens, und zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Der Beschwerdeführer ersucht weiter um Erteilung der aufschiebenden Wirkung; eventuell sei die Verfügung des Bezirksgerichtspräsidenten vom 6. Oktober 2009 bzw. Ziff. 4 des Urteils vom 29. September 2009 vorsorglich zu bestätigen. Mit Schreiben vom 1. September 2010 reichte er ergänzende Unterlagen ein.
D.b Am 13. September 2010 liess Y._ (fortan "Beschwerdegegnerin") die Abweisung sowohl der Beschwerde als auch des Gesuchs um aufschiebende Wirkung beantragen. In ihrer Vernehmlassung teilt die Beschwerdegegnerin mit, dass ihre Tochter seit Mitte August 2010 wieder bei ihr lebe.
Das Obergericht des Kantons Aargau verzichtete auf eine Vernehmlassung.
D.c Mit Präsidialverfügung vom 14. September 2010 wies das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
D.d Mit Eingaben vom 23. September und 5. Oktober 2010 reichte der Beschwerdeführer weitere Unterlagen ein und ersuchte das Bundesgericht, die Verfügung vom 14. September 2010 zu überprüfen.
In ihrer als "Gesuch um Erlass einer superprovisorischen Verfügung" bezeichneten Eingabe vom 5. Oktober 2010 hielt die Beschwerdegegnerin an ihrem Abweisungsantrag fest. Sie wies darauf hin, sie habe gleichentags Antrag auf Rückführung des Kindes gestellt, da der Beschwerdeführer die nunmehr unter ihrer Obhut stehende Tochter nicht zurückgebracht habe, und beantragte dem Bundesgericht, dem Beschwerdeführer sei superprovisorisch und unter Strafandrohung nach Art. 292 StGB zu befehlen, die Tochter binnen 24 Stunden zurückzubringen.
D.e Mit Verfügung vom 7. Oktober 2010 wies die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um Wiedererwägung ihrer Verfügung vom 14. September 2010 ab.
D.f Mit Schreiben vom 9. Februar 2011 teilte die Beschwerdegegnerin dem Bundesgericht mit, A._ befinde sich seit 31. Januar 2011 wieder bei ihr. Sie reichte die österreichischen Entscheide ein, denen zufolge die Rückführung des Kindes in die Schweiz angeordnet worden und der Beschwerdeführer erfolglos bis an den Obersten Gerichtshof der Republik Österreich gelangt sei.
In seiner "Richtigstellung" vom 10. Februar 2011 verwies der Beschwerdeführer insbesondere auf das Schreiben der Staatsanwaltschaft Feldkirch vom 19. November 2010, wonach das gegen ihn eröffnete Ermittlungsverfahren mangels Vorliegens einer strafbaren Handlung eingestellt werde. Mit Schreiben vom 21. Februar 2011 liess der Beschwerdeführer dem Bundesgericht ein Schreiben der Bezirkshauptmannschaft Bregenz vom 11. Februar 2011 zukommen, woraus hervorgehe, dass er seine Tochter freiwillig zur Beschwerdegegnerin zurückgebracht habe.
Erwägungen:
1. 1.1 Die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) über die Anordnung von Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (Art. 172 ff. ZGB). Diese zivilrechtliche Streitigkeit (Art. 72 Abs. 1 BGG) betrifft zur Hauptsache die Zuteilung der elterlichen Obhut über das gemeinsame Kind. Sie ist somit nicht vermögensrechtlicher Natur. Daran ändert die damit verknüpfte Auseinandersetzung über Unterhaltsbeiträge nichts. Die Regelung der finanziellen Nebenfolgen der Obhutszuweisung ist notwendiger Bestandteil des Entscheides über die nicht vermögensrechtliche Streitigkeit (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2).
1.2 Eheschutzentscheide gelten nach der Rechtsprechung als vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.), so dass in der Beschwerde nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Art. 95 und Art. 97 BGG und auch Art. 105 Abs. 2 BGG gelangen deshalb nicht zur Anwendung. Die hier gegebenen Verhältnisse entsprechen mithin denjenigen bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG). Wie dort (Art. 118 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 116 BGG) kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen auch hier nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588).
1.3 Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip. Die rechtssuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (Rügeprinzip; BGE 133 III 439, E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.).
Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) berufen will, kann sich daher nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 117 Ia 10 E. 4b S. 11 f.). Dies ist nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts der Fall, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur dann als willkürlich auf, wenn er nicht bloss in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
Die Beschwerde vermag den geschilderten Rügeanforderungen über weite Strecken nicht zu genügen. Der Beschwerdeführer begnügt sich grösstenteils damit, den Sachverhalt oder die Rechtslage aus eigener Sicht darzustellen oder blosse Behauptungen aufzustellen. Dies ist zur Begründung von Verfassungsrügen unzureichend, wobei jeweils im Sachzusammenhang darauf zurückzukommen sein wird.
2. Der Beschwerdeführer beanstandet zunächst, das Obergericht des Kantons Aargau sei ohne weitere Abklärungen zur neuen Beurteilung der Obhutsfrage geschritten. Es habe einzig aufgrund der bestehenden Akten entschieden und weder die Parteien angehört noch einen Gutachter beigezogen.
2.1 Soweit der Beschwerdeführer sich mit der Behauptung begnügt, die Vorinstanz habe "klar das rechtliche Gehör verletzt", kommt er seiner Begründungs- und Rügepflicht nicht nach. Er nennt keine konkrete Verfassungsvorschrift, die verletzt sein soll. Ebenso wenig tut er dar, gestützt auf welche Rechtsnorm die Vorinstanz verpflichtet gewesen wäre, die Parteien von sich aus zur nochmaligen Vernehmlassung aufzufordern, nachdem das Bundesgericht die Sache zu neuer Beurteilung zurückgewiesen hatte. Schliesslich behauptet der Beschwerdeführer auch nicht, dass er selbst seinen Anspruch auf rechtliches Gehör gegenüber dem Obergericht geltend gemacht, dieses sich aber geweigert hätte, ihn anzuhören oder seine Stellungnahme entgegenzunehmen.
2.2 An der Sache vorbei geht auch der Vorwurf, die Vorinstanz habe es in Verletzung der Offizialmaxime unterlassen, einen Gutachter beizuziehen. Der Offizialgrundsatz besagt, dass das Gericht nicht an die Anträge der Parteien gebunden ist (vgl. BGE 120 II 229 E. 1c S. 231). Damit hat die Frage, ob mit Blick auf die Zuteilung der elterlichen Obhut ein Gutachten erforderlich ist, nichts zu tun, denn diese Frage betrifft allein die Feststellung der prozessrelevanten Tatsachen. Dass das Obergericht hierbei durch den Verzicht auf eine Begutachtung gegen ein verfassungsmässiges Recht verstossen hätte, macht der Beschwerdeführer indes nicht geltend.
3. In seinem Urteil 5A_22/2010 vom 7. Juni 2010 kam das Bundesgericht zum Schluss, das Obergericht des Kantons Aargau sei bei der Zuteilung der Obhut über A._ in zweierlei Hinsicht in Willkür verfallen: Mit Bezug auf das Kriterium der Betreuungsbereitschaft erkannte das Bundesgericht in Erwägung 6 dieses Urteils, das Obergericht habe willkürlich gehandelt, soweit es die nicht wahrgenommenen Besuchsmöglichkeiten nicht mitberücksichtigt und die Erklärungen der Beschwerdegegnerin, wonach dies durch die Arbeitsbelastung bedingt gewesen sei, nicht näher überprüft habe. Hinsichtlich des Kriteriums der Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse warf das Bundesgericht dem Obergericht vor, es habe dem Umstand, dass die Obhut in jüngster Zeit schwergewichtig durch den Beschwerdeführer ausgeübt wurde, keine Beachtung geschenkt (Urteil 5A_22/2010 vom 7. Juni 2010 E. 7).
Der Beschwerdeführer bemängelt das Urteil, welches das Obergericht des Kantons Aargau unter Berücksichtigung dieser bundesgerichtlichen Erwägungen zu fällen hatte, in verschiedener Hinsicht:
3.1 Zunächst wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, sie habe die Zeit zwischen A._s Übersiedlung nach Österreich Ende September 2008 und der Unterzeichnung der Scheidungskonvention Anfang März 2009 "völlig ausser Acht gelassen". Dieser Vorwurf ist unbegründet. Das Obergericht hat sich im angefochtenen Entscheid ausführlich mit den Besuchskontakten auseinandergesetzt, die in diesem Zeitabschnitt zwischen A._ und der Beschwerdegegnerin stattgefunden haben. Es hat auch die Äusserungen der Beschwerdegegnerin und die Aufzeichnungen über ihre Arbeitszeiten berücksichtigt und ist zur Erkenntnis gelangt, die Bereitschaft der Klägerin zur persönlichen Betreuung des Kindes sei zeitweise lediglich in eingeschränktem Umfang vorhanden gewesen.
3.2 Als "völlig falsche Darstellung der Situation" bezeichnet der Beschwerdeführer des Weiteren die Feststellung der Vorinstanz, die Beschwerdegegnerin sei bei ihm nach dem Rückzug ihres Scheidungsbegehrens mit ihren Besuchswünschen auf Widerstand gestossen. Zur Begründung dieses Vorwurfs beruft sich der Beschwerdeführer darauf, er habe am 11. Mai 2009 sogar selbst per Email bei der Beschwerdegegnerin nachgefragt, wann sie denn wieder mal kommen würde. Die betreffende Korrespondenz dreht sich allerdings um die Übergabe eines Wohnungsschlüssels; vom Kontakt zwischen Mutter und Kind ist darin nicht die Rede. Allein damit vermag der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Feststellung betreffend seinen Widerstand gegen die Besuchswünsche der Mutter nicht als verfassungswidrig auszuweisen.
3.3 Auch mit der Rüge, das Obergericht habe die Frage der Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse in seinem neuen Urteil erneut nicht abgeklärt, sondern sich wiederum auf willkürliche Annahmen gestützt, dringt der Beschwerdeführer nicht durch. Wie sich aus den Erwägungen des angefochtenen Entscheids ergibt, hat sich das Obergericht mit dem Umstand, dass die Obhut in jüngster Zeit schwergewichtig durch den Beschwerdeführer in Österreich ausgeübt wurde, sehr wohl auseinandergesetzt. Das Obergericht kommt zum Ergebnis, dem Stabilitätskriterium bzw. der Aufrechterhaltung der bisherigen Betreuungssituation beim Beschwerdeführer komme aufgrund des jungen Alters des Kindes geringeres Gewicht zu als den mit Blick auf die Zukunft besseren Betreuungsmöglichkeiten der Beschwerdegegnerin. Aus diesem Grund rechtfertige es sich, die Obhut der Mutter zuzuweisen. Dass die Vorinstanz das Kriterium der Stabilität im Verhältnis zu demjenigen der Betreuungsmöglichkeiten nicht richtig gewichtet und damit das Recht falsch angewendet hätte, macht der Beschwerdeführer indessen nicht geltend.
3.4 Willkürlich ist nach der Ansicht des Beschwerdeführers sodann die Feststellung der Vorinstanz, es seien keine Anhaltspunkte dafür ersichtlich, dass bei einer Zuweisung der Obhut an die Klägerin die Stabilität der Betreuungs- und Umgebungssituation nicht gewährleistet wäre. Einen solchen Anhaltspunkt erblickt der Beschwerdeführer im Umstand, dass die Beschwerdegegnerin in der Zwischenzeit nach Arni umgezogen und bei der Raiffeisenbank Mutschellen tätig sei. Er wirft der Vorinstanz vor, die persönlichen Verhältnisse der Beschwerdegegnerin und die örtlichen Umstände wie Kindergarten und Kontakt zu gleichaltrigen Kindern am neuen Wohnort nicht abgeklärt zu haben. Allein aus dem Wortlaut des angefochtenen Entscheids geht zwar nicht hervor, dass die Vorinstanz den per 1. Juli 2010 erfolgten Wohnortwechsel berücksichtigt hat. Allein mit der Behauptung, die Vorinstanz habe diesen Umstand und dessen Konsequenzen für die Stabilität der Verhältnisse nicht berücksichtigt und die ursprüngliche Lebenssituation der Beschwerdegegnerin sei nicht mehr vorhanden, vermag der Beschwerdeführer jedoch nicht darzutun, dass die Beurteilung des Stabilitätskriteriums, wie die Vorinstanz sie vorgenommen hat, auch im Ergebnis willkürlich ist.
3.5 Zur Illustration seiner Verhältnisse legt der Beschwerdeführer ein Schreiben des Bürgermeisters seines österreichischen Wohnorts Schoppernau sowie ein Schreiben des zuständigen Hausarztes ins Recht. Beide Schriftstücke datieren vom 18. August 2010. Sie stellen somit Tatsachen dar, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid zugetragen haben und daher nicht berücksichtigt werden können (Art. 99 Abs. 1 BGG; vgl. BGE 133 IV 342 E. 2.1 S. 344). Das Gleiche gilt für die im Rahmen des Schriftenwechsels von beiden Parteien eingereichten weiteren schriftlichen Bezeugungen, in denen verschiedene Drittpersonen ihre persönliche Wahrnehmung der Situation beim Beschwerdeführer bzw. bei der Beschwerdegegnerin bekunden. Auch diese Schriftstücke stammen allesamt aus der Zeit nach dem angefochtenen Entscheid. Die darin enthaltenen Aussagen können naturgemäss nicht zum Sachverhalt gehören, den die Vorinstanz festgestellt hat; sie müssen ebenfalls unberücksichtigt bleiben.
3.6 Im Ergebnis zeigt der Beschwerdeführer in seinem Schriftsatz nicht auf, dass das Obergericht die erwähnten beiden Zuteilungskriterien der Betreuungsbereitschaft und der Stabilität der Verhältnisse erneut in einem Ausmass unrichtig beurteilt hat, das den angefochtenen Entscheid als verfassungswidrig erscheinen lässt. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
4. In ihrer Eingabe vom 5. Oktober 2010 macht die Beschwerdegegnerin geltend, der Beschwerdeführer habe A._ am Wochenende vom 2./3. Oktober 2010 rechtswidrig nicht aus Österreich zu ihr zurückgebracht. Die superprovisorischen Anträge, die sie in diesem Zusammenhang stellt (s. Bst. D.d), beziehen sich lediglich auf die Vollstreckung des formell bereits rechtskräftigen obergerichtlichen Urteils vom 9. August 2010. Sie haben mit der im vorliegenden Prozess zu klärenden Frage, ob der Beschwerdeführer den vorinstanzlichen Obhutsentscheid als verfassungswidrig ausweist, nichts zu tun. Daher kann das Bundesgericht nicht auf diese Anträge eintreten. Ohnehin hat die Beschwerdegegnerin in der Zwischenzeit erfolgreich ein Rückführungsverfahren gegen den Beschwerdeführer angestrengt und dem Bundesgericht mitgeteilt, das Kind befinde sich seit dem 31. Januar 2011 wieder bei ihr (Bst. D.f). Dieser Sachverhalt hat sich zwar erst nach Erlass des angefochtenen Entscheides ereignet, weshalb er an sich unter das Novenverbot gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG fällt. Die neuen Tatsachen führen indessen zur Gegenstandslosigkeit der superprovisorischen Anträge und sind aus diesem Grund zu berücksichtigen.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in Zivilsachen abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt und wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat die Beschwerdegegnerin, die sich zum Ausgang des Verfahrens hat vernehmen lassen und mit ihren Anträgen sowohl in der Hauptsache als auch im Verfahren um Erteilung der aufschiebenden Wirkung durchgedrungen ist, zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG). Hinsichtlich des Gesuchs um Erlass einer superprovisorischen Verfügung, auf welches das Bundesgericht nicht eingetreten ist (E. 4), werden keine Kosten ausgeschieden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn