Sachverhalt:
A. X._ und Y._ sind die Kinder von W._ sel. (15. November 1912 - 21. Februar 2007). Mit Beschluss des Stadtrates Baden vom 3. Februar 2006 war über die Mutter eine Verwaltungsbeiratschaft im Sinne von Art. 395 Abs. 2 ZGB errichtet worden. Am 12. April 2006 hatte W._ in ihrer Wohnung in Baden unter Mitwirkung von Notar Dr. Fridolin S._ eine öffentliche letztwillige Verfügung errichtet, unter Widerruf zweier früherer Testamente vom 16. September 1993 und vom 2. Juli 1998.
B. Am 26. November 2007 ersuchte X._ das Friedensrichteramt des Kreises Baden um Vermittlung im Streit um die Gültigkeit der letztwilligen Verfügung vom 12. April 2006. Gestützt auf den Weisungsschein vom 13. April 2008 erhob sie am 25. Juni 2008 Klage beim Bezirksgericht Baden und stellte das Begehren, die letztwillige Verfügung vom 12. April 2006 im Sinne von Art. 519 ZGB für ungültig zu erklären. Das Bezirksgericht Baden wies die Klage mit Urteil vom 9. November 2010 ab; das begründete Urteil wurde der Klägerin am 20. Juli 2011 zugestellt.
C. Hierauf wandte sich X._ an das Obergericht des Kantons Aargau und beantragte in der Sache, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Klage gutzuheissen. Soweit vor Bundesgericht noch relevant, wies das Obergericht die Appellation ab (Entscheid vom 24. April 2012).
D. Mit Beschwerde vom 8. Juni 2012 gelangt X._ ("Beschwerdeführerin") an das Bundesgericht, dem sie beantragt, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Klage gegen Y._ ("Beschwerdegegner") gutzuheissen.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid in einer vermögensrechtlichen Zivilsache, deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt. Auf die rechtzeitig eingereichte Beschwerde ist einzutreten (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1, Art. 90 und 100 BGG).
1.2 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft behauptete Rechtsverletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) mit freier Kognition. Hingegen legt es seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann nur eingewendet werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. BGE 134 V 53 E. 4.3 S. 62; 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1), insbesondere auf der Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift (BGE 133 II 249, E. 1.4.3 S. 255). Überdies ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22).
2. Umstritten ist die Frage, wie es zur Zeit der Errichtung der öffentlichen letztwilligen Verfügung um die Verfügungsfähigkeit von W._ ("Erblasserin") bestellt war.
Letztwillig über sein Vermögen verfügen kann gemäss Art. 467 ZGB nur, wer urteilsfähig ist. Urteilsfähig im Sinne dieses Gesetzes ist ein jeder, dem nicht wegen seines Kindesalters oder infolge von Geisteskrankheit, Geistesschwäche, Trunkenheit oder ähnlichen Zuständen die Fähigkeit mangelt, vernunftgemäss zu handeln (Art. 16 ZGB). Der Begriff der Urteilsfähigkeit enthält zwei Elemente: Die intellektuelle Komponente besteht in der Fähigkeit, Sinn, Zweckmässigkeit und Wirkungen einer bestimmten Handlung zu erkennen; das Willens- bzw. Charakterelement im Vermögen, gemäss der vernünftigen Erkenntnis nach seinem freien Willen zu handeln und allfälliger fremder Willensbeeinflussung in normaler Weise Widerstand zu leisten (BGE 124 III 5 E. 1a S. 7 f. mit Hinweisen). Die Urteilsfähigkeit ist die Regel. Sie wird vermutet. Folglich hat derjenige, der ihr Nichtvorhandensein behauptet, die Tatsachen zu beweisen, aus denen auf Urteilsunfähigkeit zu schliessen ist. Die Vermutung der Urteilsfähigkeit ist dann umgestossen, wenn die betreffende Person ihrer allgemeinen Verfassung nach aufgrund der Lebenserfahrung im Normalfall und mit überwiegender Wahrscheinlichkeit als urteilsunfähig gelten muss, wie dies bei bestimmten Geisteskrankheiten oder auch dann der Fall sein kann, wenn sich der Erblasser in einem dauernden Zustand alters- und krankheitsbedingten geistigen Abbaus befindet. Der Gegenpartei steht in diesem Fall der Gegenbeweis offen, dass die betreffende Person trotz ihrer grundsätzlichen Urteilsunfähigkeit im massgeblichen Zeitpunkt in einem luziden Intervall gehandelt hat (vgl. BGE 124 III 5 E. 1b S. 8 f.). Gelangt das Sachgericht auf der Basis von willkürfrei festgestellten Tatsachen zur Erkenntnis, dass der Erblasser im Zeitpunkt der Testamentserrichtung urteilsfähig war, werden die hiervor dargelegten Vermutungen jedoch allesamt hinfällig.
3. Die Feststellungen über den geistigen Zustand einer Person, über die Art und Tragweite möglicher Störungen und betreffend die Frage, ob und inwieweit die betroffene Person zur Beurteilung der Folgen ihres Handelns und zur Leistung von Widerstand gegenüber Versuchen der Willensbeeinflussung befähigt war, sind tatsächlicher Natur (BGE 124 III 5 E. 4 S. 13).
3.1 Als Ergebnis seiner Beweiswürdigung hielt das Obergericht fest, es dürfe "ohne Weiteres davon ausgegangen werden, dass die Erblasserin trotz ihrer kognitiven Störungen grundsätzlich wusste und auch wollte", was in dem vom Notar vorbereiteten öffentlichen Testament geschrieben stand.
Das Obergericht stützte sich hierbei namentlich auf das alterspsychiatrische Gutachten der Psychiatrischen Dienste Aargau vom 16. Juni 2010 ("Gutachten"), das die erste Instanz zur Klärung der Frage der Verfügungsfähigkeit eingeholt hatte. Diesem Gutachten zufolge habe die Erblasserin im Zeitpunkt der Errichtung des streitigen Testaments an einer mittelschweren Demenz im Sinn der 10. Fassung der "International Classification of Diseases ("ICD-10") gelitten. Daneben berücksichtigte das Obergericht auch die im erstinstanzlichen Verfahren erhobenen Zeugenaussagen der Spitex-Pflegerinnen, welche die Erblasserin über längere Zeit betreut hatten. Diese hätten eine Vergesslichkeit (allerdings nur das Kurzzeitgedächtnis betreffend) bzw. eine gewisse Verwirrtheit beobachtet, ferner, dass die Erblasserin manchmal die Namen der Pflegerinnen verwechselt habe, nicht aber einen praktisch vollständigen Zusammenbruch der Gedächtnis- und anderer kognitiver Funktionen in dem Sinne, dass der Erblasserin nur Fragmente von früher Gelerntem verblieben oder ihre Gedankengänge praktisch nicht mehr nachvollziehbar gewesen wären, oder dass sie nicht einmal mehr enge Verwandte erkannt hätte. Derartige Symptome, so die Erwägung des Obergerichts, wären auch einer psychiatrisch nicht geschulten Person kaum verborgen geblieben. Laut Aussagen der Pflegerin V._ habe die Erblasserin jeweils Zeitung gelesen; der Notar habe zu Protokoll gegeben, bei der Testamentserrichtung jeden einzelnen Punkt mit ihr durchgegangen zu sein. Auch der Hausarzt Dr. U._ könne sich vorstellen, dass der Notar mit der Erblasserin "ca. zwei Stunden lang konzentriert" gesprochen habe. Das Obergericht kam zum Schluss, dies alles wäre bei einer schweren Demenz im Sinne von ICD-10 nicht mehr möglich gewesen. Weiter sei "nicht einmal absolut klar", ob bzw. inwieweit die beschriebenen kognitiven Beeinträchtigungen und die Hilfsbedürftigkeit tatsächlich auf die Demenz zurückzuführen oder zumindest teilweise auch den multiplen körperlichen Gebrechen der Erblasserin zuzuschreiben waren. So habe die Spitex-Pflegerin V._ ausgesagt, es sei der Erblasserin, wenn sie körperlich "gesund" gewesen sei, auch geistig besser gegangen. Gestützt auf all diese Ausführungen hielt es das Obergericht für überzeugend, wenn im Gutachten der Erblasserin keine schwere Demenz im Sinne von ICD-10 attestiert worden ist.
3.2 Die Beschwerdeführerin erachtet die obergerichtliche Beweiswürdigung in verschiedener Hinsicht für willkürlich. Ihren Einwänden ist jedoch kein Erfolg beschieden:
3.2.1 Unbegründet ist zunächst der Vorwurf, das Obergericht habe der Gerichtsgutachterin Dr. T._, welche die Erblasserin nie gesehen habe und deren Aussagen daher von vornherein "nur bedingt aussagekräftig" seien, entscheidend mehr Gewicht beigemessen als dem behandelnden Hausarzt Dr. U._, der die Erblasserin über längere Zeit betreut habe, über umfangreiche praktische Erfahrung im Zusammenhang mit fürsorgerischen Freiheitsentziehungen verfüge und zudem eine auf Geriatrie spezialisierte Praxis führe. Allein dadurch, dass es sich im angefochtenen Entscheid nicht zu allen Rügen und Einwänden der Beschwerdeführerin äusserte, setzte sich das Obergericht weder dem Vorwurf der willkürlichen Beweiswürdigung noch demjenigen der Rechtsverweigerung aus. Auch aus der behördlichen Begründungspflicht folgt nicht, dass sich das Obergericht mit allen Parteistandpunkten auseinandersetzen und jedes Vorbringen der Beschwerdeführerin widerlegen musste. Vielmehr konnte es sich auf diejenigen Gesichtspunkte beschränken, die für den Entscheid wesentlich sind (vgl. zum Ganzen BGE 133 III 439 E. 3.3 S. 445; 130 II 530 E. 4.3 S. 540; 129 I 232 E. 3.2 S. 236; 126 I 97 E. 2b S. 102 f., je mit Hinweisen). Wie die Ausführungen in Erwägung 3.1 zeigen, kann auch nicht gesagt werden, dass sich das Obergericht über die Aussagen des Hausarztes Dr. U._ hinweggesetzt und sich einzig auf das Ergebnis des Gerichtsgutachtens gestützt hätte. Was schliesslich die Schweregradeinteilung der Demenzerkrankung nach ICD-10 angeht, die der Beurteilung des Gerichtsgutachtens zugrunde liegt, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend, dass die gemäss ICD-10 massgeblichen Kriterien, namentlich der Grad der Beeinträchtigung des Gedächtnisses und anderer intellektueller Leistungen, in geradezu stossender Weise nicht geeignet wären, die geistigen Fähigkeiten einer Person zur Errichtung eines Testaments zu beurteilen, und dass es einzig auf das Ausmass der Betreuungsbedürftigkeit ankäme, auf das Dr. U._ abgestellt hatte.
3.2.2 Vergeblich greift die Beschwerdeführerin auch die vorinstanzliche Würdigung des Zeugen Dr. S._ an. Zum Nachweis eines qualifizierten Fehlers in der Beweiswürdigung genügt es nicht, wenn die Beschwerdeführerin Gründe aufzählt, warum Dr. S._ als beurkundeter Notar und eingesetzter Willensvollstrecker befangen oder nicht geeignet sein soll. Vielmehr müsste sie aufzeigen, dass sich die Nichtberücksichtigung dieser Umstände auf das Ergebnis ausgewirkt hat, das Obergericht, wenn es zur behaupteten Befangenheit und fehlenden Eignung des Zeugen Stellung genommen hätte, also zum Schluss hätte kommen müssen, dass die Erblasserin zumindest im Zeitpunkt der Testamentserrichtung urteilsunfähig war. Denn das Bundesgericht schreitet nur ein, wenn der angefochtene Entscheid auch im Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls in Frage käme, genügt nicht (vgl. BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133). Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin unterstellt, trifft es auch nicht zu, dass das Obergericht "ausdrücklich" auf die Urteilsfähigkeit der Erblasserin schliesst, "weil" diese auf den Notar diesen Eindruck gemacht habe. Vielmehr stützt das Obergericht seine Erkenntnis zur Hauptsache auf das Gutachten und bedient sich Dr. S._s Aussagen lediglich ergänzend (s. E. 3.1). Davon, dass das Obergericht den Aussagen des Notars in willkürlicher Weise ein übermässig hohes Gewicht beigemessen hätte, kann also keine Rede sein.
3.2.3 Unbehelflich sind auch die weiteren Einwände, mit denen die Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Beweiswürdigung zu erschüttern sucht. Dies gilt vorab für die Behauptung, es fehle an einer Auseinandersetzung mit dem Inhalt des Testaments vom 12. April 2006 bzw. den intellektuellen Herausforderungen, die der Erblasserin daraus erwachsen waren. Nicht nur führt das Obergericht zum Grundstück in Prilly aus, es sei "ohne Weiteres nachvollziehbar", dass die Erblasserin eine Teilungsordnung erlassen habe, und verweist dazu auf die einschlägigen Ziffern der letztwilligen Verfügung vom 12. April 2006. Ebenso stellt es fest, das angefochtene Testament liege "grundsätzlich auf der Linie des von der Erblasserin im Jahre 1998 eigenhändig erstellten" und modifiziere dieses "grundsätzlich zulasten" der Beschwerdeführerin. Und drittens weist das Obergericht darauf hin, der Umfang der Schlechterstellung lasse sich mangels entsprechender substanziierter Behauptungen der Beschwerdeführerin im Behauptungsverfahren sowie mangels Parteiofferten nicht bestimmen. Unter diesen Umständen kann die Beschwerdeführerin mit der Rüge, die Erblasserin habe die mit der Abänderung des eigenhändigen Testaments verbundenen "intellektuellen Vorgänge" nicht mehr bewältigen können, vor Bundesgericht nicht mehr gehört werden. In ähnlicher Weise ist auch die Rüge zum Scheitern verurteilt, das Obergericht habe bei der Beurteilung der Urteilsfähigkeit der Erblasserin neben der per 3. Februar 2006 errichteten Verwaltungsbeiratschaft auch die Motive für deren Errichtung - leichte Manipulierbarkeit und kognitive Probleme der Erblasserin im Umgang mit Vermögenswerten - nicht berücksichtigt. Denn das Obergericht hält in diesem Zusammenhang fest, was die Beschwerdeführerin im erstinstanzlichen Behauptungsverfahren zu einem tatsächlichen Beeinflussungsversuch durch den Beschwerdegegner ausgeführt habe, sei äusserst vage geblieben, so dass ein solcher Versuch nicht mit der notwendigen beweisrechtlichen Intensität als höchst wahrscheinlich erstellt sei. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, einen tatsächlichen Beeinflussungsversuch, wie ihn das Obergericht unter Hinweis auf BGE 77 II 97 E. 2 S. 100 zu Recht fordert, rechtsgenüglich dargetan zu haben. Blosse Mutmassungen über die Manipulierbarkeit und Beeinflussung seitens des Beschwerdegegners genügen hierzu jedenfalls nicht.
4. Von den tatsächlichen Feststellungen über den Geisteszustand der Erblasserin ist die Rechtsfrage zu unterscheiden, ob von diesem geistigen Gesundheitszustand auf die Urteilsfähigkeit zu schliessen ist, soweit dieser Schluss vom Begriff der Urteilsfähigkeit selbst bzw. von der allgemeinen Lebenserfahrung oder vom hohen Grad der Wahrscheinlichkeit abhängt, der für den Ausschluss der Urteilsfähigkeit erforderlich ist (BGE 124 III 5 E. 4 S. 13; 117 II 231 E. 2c S. 235 mit Hinweisen).
4.1 Die beschriebene Unterscheidung ist namentlich bei der Auswertung von Aussagen sachverständiger Personen zu beachten. Zieht das Gericht im Hinblick auf die Beurteilung der Urteilsfähigkeit - sei es als Zeugen, sei zur Erstellung eines Gutachtens - einen medizinischen Sachverständigen bei, so hat sich dieser darauf zu beschränken, den Geisteszustand der untersuchten Person möglichst genau zu beschreiben und aufzuzeigen, ob und in welchem Mass ihr geistiges Vermögen versagt bzw. versagte. Welche rechtlichen Schlüsse aus dem Ergebnis der medizinischen Beurteilung zu ziehen sind, namentlich ob vom beschriebenen geistigen Gesundheitszustand auf die Urteilsfähigkeit zu schliessen sei oder nicht, hat als Rechtsfrage allein der Richter zu beurteilen (Urteil 7B.121/2001 vom 25. Juni 2006 E. 4a; allgemein Urteil 5A.21/1994 vom 31. Mai 1995 E. 4a, in: BIAR 1997 S. 188, nicht veröffentlicht in BGE 121 III 274, mit Hinweis auf BGE 118 Ia 144). Es ist deshalb in keiner Weise zu beanstanden, wenn das Obergericht nicht näher auf die Einschätzung des Hausarztes Dr. U._ eingeht, der zufolge die Erblasserin im April 2006 nicht mehr urteilsfähig gewesen sein soll, um das streitige Testament zu unterschreiben. Ebenso wenig kommt es darauf an, wie das Gutachten aufgrund der darin enthaltenen Beschreibung der mittelgradigen Demenz zum - nach den Worten der Beschwerdeführerin - "diametral umgekehrten" Schluss kommen konnte, die Erblasserin sei im Frühjahr 2006 in Bezug auf das fragliche Testament "mit grosser Wahrscheinlichkeit" urteilsfähig gewesen.
4.2 Nach dem in Erwägung 3.2 Ausgeführten hat das Obergericht willkürfrei festgestellt, es sei ohne Weiteres davon auszugehen, dass die Erblasserin trotz ihrer kognitiven Störungen grundsätzlich wusste und auch wollte, was in dem vom Notar vorbereiteten öffentlichen Testament geschrieben stand (E. 3.1). Diese tatsächliche Erkenntnis lässt in rechtlicher Hinsicht keinen anderen Schluss zu, als dass die Erblasserin im Zeitpunkt der Errichtung der öffentlichen letztwilligen Verfügung im Sinne von Art. 16 ZGB über die Fähigkeit verfügte, vernunftgemäss zu handeln, also urteilsfähig war. Angesichts dieser Erkenntnis erübrigt es sich zu erörtern, ob der Beschwerdeführerin der Beweis gelungen ist, dass ihre Mutter zum fraglichen Zeitpunkt schon seit längerer Zeit dauernd urteilsunfähig war, oder ob die Erblasserin an einer Geistesstörung litt, wegen der sie mit grosser Wahrscheinlichkeit ihrer allgemeinen Verfassung nach im Normalfall urteilsunfähig war (E. 2).
5. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist demnach abzuweisen. Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, denn dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn