Faits:
A. A._, citoyenne turque née en 1971, a épousé le 6 août 2004 son cousin B._, citoyen turc au bénéfice d'une autorisation de séjour en Suisse. A la suite de ce mariage, une autorisation de séjour a été délivrée à A._. Les époux ont eu deux enfants, C._, né le *** 2005, et D._, née le *** 2006.
Par jugement du 10 septembre 2007, B._ a été condamné à trois ans d'emprisonnement pour lésions corporelles graves, mise en danger de la vie d'autrui, lésions corporelles simples et rixe.
B. Le 30 novembre 2009, le Service valaisan de la population et des migrations (ci-après le Service cantonal) a informé les époux A.B._ qu'il avait l'intention de ne pas prolonger leur autorisation de séjour et de prononcer leur renvoi de Suisse.
Par décision du 18 mars 2010, le Service cantonal a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de A._ et de ses enfants. Le recours interjeté par l'intéressée devant le Conseil d'État du canton du Valais a été rejeté le 17 août 2011.
A._ a recouru au Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après le Tribunal cantonal) contre la décision précitée. Par arrêt du 20 janvier 2012, ce recours a été rejeté. Les juges cantonaux ont retenu, en substance, que l'autorisation de séjour de A._ et de ses enfants était dérivée de celle de leur mari et père, qui n'avait pas été renouvelée. Ils ont examiné également si la recourante disposait d'un droit propre à l'obtention d'une autorisation de séjour et résolu cette question par la négative en application de toutes les dispositions légales invoquées. Les juges cantonaux ont en particulier relevé que l'intéressée n'était pas particulièrement bien intégrée en Suisse, exerçait une activité lucrative seulement depuis peu de temps et ne maîtrisait que peu le français. Il a en outre été retenu que la famille avait une dette sociale s'élevant à CHF 177'000.- en septembre 2009, et que l'intégration de A._ et de ses enfants en Turquie pourrait se faire sans difficultés particulières.
C. Par acte du 22 février 2012, A._ dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de la décision rendue par le Service cantonal et à la prolongation de son autorisation de séjour. Subsidiairement, elle requiert le renvoi de la cause au Service cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Conseil d'État du canton du Valais, le Tribunal cantonal et le Service cantonal ont renoncé à se déterminer. De son côté, l'Office fédéral des migrations a proposé le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (art. 29 al. 1 LTF; cf. ATF 136 II 470 consid. 1 p. 472 et les arrêts cités).
1.1 D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions dans le domaine du droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
1.2 La recourante fonde son recours exclusivement sur l'art. 34 al. 4 LEtr (RS 142.20) selon lequel une autorisation d'établissement peut être octroyée au terme d'un séjour ininterrompu de cinq ans au titre d'une autorisation de séjour lorsque l'étranger s'est bien intégré en Suisse, en particulier lorsqu'il a de bonnes connaissances d'une langue nationale. Or, cette disposition est de nature potestative (Kann-Vorschrift), de sorte que l'octroi de l'autorisation de séjour est laissé à l'appréciation de l'autorité compétente. Dans ces conditions, le recours en matière de droit public fondé sur l'art. 34 al. 4 LEtr est irrecevable en application de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. ATF 133 I 185 consid. 2.3 p. 189 s., arrêts 2C_500/2011 du 20 décembre 2011 consid. 2.6; 2C_950/210 du 19 décembre 2010 consid. 4).
1.3 Il en va de même en ce qui concerne l'autorisation de séjour fondée sur l'art. 44 LEtr. En effet, il s'agit également d'une disposition de nature potestative aux termes de laquelle l'autorité peut octroyer une autorisation de séjour au conjoint étranger et aux enfants du titulaire d'une autorisation de séjour. Dans ces conditions, le sort de la procédure de recours intentée par le mari de la recourante à l'encontre du non-renouvellement de son autorisation de séjour (cause 2C_184/2012) importe peu puisque, même si cette autorisation de séjour devait être renouvelée, elle n'en donnerait pas pour autant à la recourante le droit d'obtenir également une autorisation de séjour. Le recours en matière de droit public fondé sur l'art. 44 LEtr est par conséquent également irrecevable en application de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. ATF 137 I 284 consid. 1.2 p. 286 s.; arrêt 2C_439/2012 du 15 mai 2012 consid. 3).
1.4 Le droit à la protection de la vie familiale tel que prévu à l'art. 8 CEDH est potentiellement de nature à conférer à la recourante un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour. Un étranger peut se prévaloir de la protection de la vie familiale découlant de l'art. 8 CEDH à condition qu'il entretienne une relation étroite et effective (cf. ATF 131 II 265 consid. 5 p. 269) avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse, ce qui suppose que cette personne ait la nationalité suisse, une autorisation d'établissement en Suisse ou un droit certain à une autorisation de séjour en Suisse (cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.1 p. 145 s.). Les relations familiales qui peuvent fonder, en vertu de l'art. 8 par. 1 CEDH, un droit à une autorisation de séjour sont avant tout les rapports entre époux ainsi qu'entre parents et enfants mineurs vivant ensemble (ATF 127 II 60 consid. 1d/aa p. 65).
Par arrêt du 15 décembre 2012 (cause 2C_184/2012), la Cour de céans a confirmé le bien-fondé du non-renouvellement de l'autorisation de séjour du mari de la recourante. Partant, celle-ci ne peut plus se prévaloir d'un droit découlant du séjour en Suisse de son mari. Le recours en matière de droit public fondé sur l'art. 8 CEDH est par conséquent également irrecevable en application de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF.
2. Il reste donc à examiner si le recours est recevable en tant que recours constitutionnel subsidiaire. D'après l'art. 113 LTF, le Tribunal fédéral connaît des recours constitutionnels contre les décisions des autorités cantonales de dernière instance qui ne peuvent, comme en l'espèce, faire l'objet d'aucun recours selon les art. 72 à 89 LTF. Le recours constitutionnel subsidiaire ne peut cependant être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). En vertu de l'art. 106 al. 2 LTF applicable par renvoi de l'art. 117 LTF, les griefs y relatifs doivent être invoqués et motivés de façon détaillée, sous peine d'irrecevabilité (ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254). La qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire suppose par ailleurs un "intérêt juridique" à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 115 let. b LTF), à défaut de quoi le recours est irrecevable (cf. ATF 133 I 185 consid. 6.3 p. 200).
En l'espèce, la recourante se plaint de la mauvaise application de l'art. 34 al. 4 LEtr par l'instance précédente, mais n'invoque aucun droit de nature constitutionnelle à l'appui de son recours. En outre, la recourante ne peut se prévaloir d'aucune norme du droit fédéral ou du droit international lui accordant un droit à une autorisation de séjour en Suisse (cf. supra consid. 1). Elle n'a par conséquent pas une position juridique protégée lui conférant la qualité pour agir sous l'angle de l'art. 115 let. b LTF (cf. ATF 137 II 305 consid. 2 p. 308; arrêts 2C_439/2012 du 15 mai 2012 consid. 4; 2C_950/2010 du 19 décembre 2010 consid. 5), étant rappelé que l'interdiction de l'arbitraire ou le principe de la proportionnalité ne confèrent pas à eux seuls une position juridique protégée au sens de cette disposition (arrêt 2D_43/2012 du 7 août 2012 consid. 2). Même si elle n'a pas qualité pour agir sur le fond, la recourante pourrait par ailleurs se plaindre par la voie du recours constitutionnel subsidiaire de la violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel (arrêt 2D_43/2012 du 7 août 2012 consid. 3), ce qu'elle ne fait pas. Son recours ne remplit ainsi pas non plus les conditions de recevabilité d'un recours constitutionnel subsidiaire.
3. Le recours, envisagé comme un recours en matière de droit public ou un recours constitutionnel subsidiaire, est ainsi irrecevable.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 66 aI. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à CHF 1'500.-, sont mis à la charge de la recourante.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service de la population et des migrations du canton du Valais, au Conseil d'État du canton du Valais, au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 17 décembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Beti