Der Präsident zieht Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wurde in Anwendung von Art. 42 Abs. 3 und 5 BGG mit Verfügung vom 14. April 2010 aufgefordert, dem Bundesgericht bis am 26. April 2010 den angefochtenen Entscheid nachzureichen, ansonsten die Rechtsschrift unbeachtet bleibe. Er hat sich nicht mehr gemeldet. Androhungsgemäss ist auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Ausnahmsweise kann auf eine Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Mai 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn