Sachverhalt:
A. A.a X._, aus Nigeria stammend, gelangte im Juni 1995 in die Schweiz. Nach Abweisung seines Asylgesuchs am 5. Dezember 1996 tauchte er unter und heiratete am 15. August 1997 in Dietikon/ZH die Schweizer Bürgerin Y._. Aus dieser Beziehung ging die Tochter Z._ hervor.
In der Folge wurde dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Zürich erteilt.
A.b Am 9. Mai 2000 ersuchte X._ als Ehemann einer Schweizer Bürgerin um erleichterte Einbürgerung. Die Eheleute unterzeichneten am 27. Januar 2003 eine gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Die Ehegatten nahmen ferner unterschriftlich zur Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich ist, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt hat oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr besteht, und dass die Verheimlichung dieser Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung nach Art. 41 BüG führen kann.
Am 12. Februar 2003 wurde X._ erleichtert eingebürgert. Nebst dem Schweizer Bürgerrecht erwarb er die Bürgerrechte des Kantons Thurgau und der Gemeinde Aadorf.
A.c Am 31. März 2003 reichte die Ehefrau von X._ beim zuständigen Eheschutzrichter ein Begehren um Bewilligung des Getrenntlebens auf unbestimmte Zeit ein. Diesem Gesuch wurde mit Verfügung vom 25. April 2003 entsprochen. In der gleichen Anordnung wurde davon Vormerk genommen, dass die Ehegatten seit dem 2. April 2003 getrennt leben. Seit dem 13. November 2007 sind die Ehegatten rechtskräftig geschieden.
A.d Nach Kenntnisnahme dieser Umstände teilte das Bundesamt für Migration X._ am 8. März 2005 mit, dass gegen ihn ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung eröffnet werde. Am 12. September 2006 erteilte der Kanton Thurgau als Heimatkanton seine Zustimmung zur Nichtigerklärung. Mit Verfügung vom 22. September 2006 erklärte das Bundesamt für Migration die Einbürgerung von X._ für nichtig.
X._ focht diese Verfügung an. Mit Urteil vom 15. Juni 2009 wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab. Es ging von der tatsächlichen Vermutung aus, dass im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs um erleichterte Einbürgerung bzw. im Zeitpunkt der Einbürgerung keine stabile und auf Zukunft ausgerichtete eheliche Gemeinschaft mehr bestanden habe und die erleichterte Einbürgerung erschlichen worden sei, und hielt dafür, dass der Beschwerdeführer diese Vermutung nicht umgestossen habe.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._, es sei das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben, und "es sei dem Beschwerdeführer die am 12. Februar 2003 erfolgte erleichterte Einbürgerung nach wie vor als gültig anzuerkennen". Ferner ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege.
C. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration liess sich nicht vernehmen.
Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG), betrifft eine Nichtigerklärung einer gestützt auf Art. 27 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0) gewährten erleichterten Einbürgerung, somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss Art. 83 lit. b BGG erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2. 2.1 Gemäss Art. 27 Abs. 1 BüG kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizer Bürgerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizer Bürgerin lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist (BGE 130 II 169 E. 2.3.1 S. 172). Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin oder eines Schweizer Bürgers die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (BGE 135 II 161 E. 2 S. 165.; 130 II 482 E. 2 S. 484).
2.2 Nach Art. 41 Abs. 1 BüG kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt daher nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (BGE 132 II 113 E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (BGE 135 II 161 E. 2 S. 165; 132 II 113 E. 3.1 S. 115).
Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (BGE 130 II 482 E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (BGE 135 II 161 E. 2 S. 166; 130 II 482 E. 3.2 S. 486).
2.3 Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehr der Beweislast. Der Betroffene muss nicht den Beweis des Gegenteils erbringen (BGE 130 II 482 E. 3.2 S. 486). Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung. Dem Gesagten zufolge liegt die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr besteht, bei der Verwaltung. Es genügt deshalb, dass der Betroffene einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit der Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder der Betroffene kann darlegen, aus welchem Grund er die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als er die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit der Schweizer Ehepartnerin auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (vgl. zum Ganzen BGE 135 II 161 E. 2 S. 166 mit Hinweisen).
2.4 Im angefochtenen Urteil sind die Voraussetzungen der Nichtigerklärung der Einbürgerung bundesrechtskonform dargestellt.
3. 3.1 Das Bundesverwaltungsgericht hat (in E. 6) auf die Umstände hingewiesen, unter denen der Beschwerdeführer zu einer erleichterten Einbürgerung gelangte: Abgabe der gemeinsamen Erklärung über das Bestehen einer stabilen, auf Zukunft gerichteten Ehe (27. Januar 2003); erleichterte Einbürgerung (12. Februar 2003); Gesuch der Ehefrau um gerichtliche Bewilligung des Getrenntlebens auf unbestimmte Zeit (31. März 2003); Bewilligung des Gesuchs (25. April 2003), wobei der Eheschutzrichter davon Vormerk genommen habe, dass die Ehegatten bereits seit dem 2. April 2003 getrennt lebten. Nach Auffassung des Bundesverwaltungsgerichts sei der ausserordentlich rasche Zerfall der ehelichen Beziehung ohne Weiteres geeignet, die natürliche Vermutung zu begründen, dass die Ehe zum Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung und der Einbürgerung nicht mehr intakt gewesen sei.
Dem Beschwerdeführer sei es nicht gelungen, die natürliche Vermutung umzustossen. Im Gegenteil sei seine Behauptung, die Ehe sei bis im Frühling 2003 intakt gewesen, nachweislich falsch. Wie sich aus den Eheschutzakten ergebe, habe sich die Ehefrau bereits im Sommer 2001 an den Eheschutzrichter gewandt. Damals sei es um finanzielle Belange gegangen. Ein Jahr später, im Sommer 2002, sei sie ein zweites Mal an den Eheschutzrichter gelangt und habe um Bewilligung des Getrenntlebens ersucht. Dieses Gesuch habe sie zurückgezogen, da der Beschwerdeführer Besserung gelobt habe. Den Eheschutzakten sei weiter zu entnehmen, dass Ende August 2002 wegen eines handgreiflichen Streits zwischen den Ehegatten die Polizei habe ausrücken müssen. In Anbetracht der polizeilichen Interventionen und der wiederholten Anrufung des Eheschutzrichters könne der Beschwerdeführer nicht glaubhaft machen, der schlechte Zustand der Ehe sei ihm verborgen geblieben. Auch verkenne er, dass es nicht darauf ankommt, ob er oder seine Ex-Ehefrau für das Scheitern der Ehe verantwortlich gewesen sei.
Indem der Beschwerdeführer in der gemeinsamen Erklärung den Bestand einer intakten Ehe versichert bzw. eine Änderung des Sachverhalts nicht angezeigt habe, habe er die Einbürgerungsbehörde über eine wesentliche Tatsache getäuscht und die erleichterte Einbürgerung erschlichen.
3.2 Der Beschwerdeführer bringt im Einzelnen vor, er und seine Schweizer Ex-Ehefrau hätten im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung über den Zustand der Ehe (27. Januar 2003) und der erleichterten Einbürgerung (12. Februar 2003) an das Weiterbestehen ihrer Ehe geglaubt. Die Begründung des nach der Einbürgerung seitens seiner Ex-Ehefrau eingeleiteten Eheschutzverfahrens sei sehr dürftig gewesen. Es sei für sie sicherlich nicht einfach gewesen, mit einem dunkelhäutigen Mann zu leben. Letztlich sei es ihr aber auch darum gegangen, die eheliche Wohnung zu behalten. Nach der Trennung habe er zu seiner Familie regelmässige Kontakte unterhalten, da er die gemeinsame Tochter zu sich auf Besuch genommen habe. Die Ehe sei erst vier Jahre später geschieden worden. Daraus sei ersichtlich, dass zu Beginn des Jahres 2003 die Ehe noch intakt gewesen sei. Mit diesen Ausführungen beschränkt sich der Beschwerdeführer über weite Strecken darauf, seine Auffassung den beweismässigen Schlussfolgerungen der Vorinstanz über den Zustand der Ehe im massgeblichen Zeitpunkt gegenüber zu stellen. Das Bundesgericht ist an die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz gebunden, es sei denn, diese wären offensichtlich falsch (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Letzteres zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist nicht ersichtlich.
Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, er unterhalte zu seinem ursprünglichen Heimatstaat Nigeria keine Beziehungen mehr und besitze auch keinen nigerianischen Pass. Das Bundesgericht hat sich im Urteil 5A.18/2003 vom 19. November 2003 (in: ZBl 105/2004 S. 454) mit der Frage einer allfälligen Staatenlosigkeit infolge Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung eingehend auseinandergesetzt. Es stellte fest, dass der direkte Adressat der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung eine allfällige Staatenlosigkeit hinzunehmen habe. Für seine Familienmitglieder, die an der Erschleichung unbeteiligt seien, müsse die drohende Staatenlosigkeit zwar die Ausnahme sein. Für ihn selbst jedoch, der den Verlust des Schweizer Bürgerrechts zu verantworten habe, treffe dies nicht zu. Andernfalls wären potentiell Staatenlose vor einer Nichtigerklärung absolut geschützt (E. 3.3; bestätigt im Urteil des Bundesgerichts 1C_340/2008 vom 18. November 2008 E. 3). Von dieser Rechtsprechung abzuweichen besteht kein Grund. Der Beschwerdeführer muss eine allfällige Staatenlosigkeit demzufolge hinnehmen.
Seine weiteren gegen die Nichtigerklärung der Einbürgerung vorgebrachten Argumente helfen dem Beschwerdeführer ebenfalls nicht weiter. Der Beschwerdeführer befürchtet den Verlust seiner Arbeitsstelle, wenn auskommt, dass er nicht mehr Schweizer sei. Damit sei die ökonomische Grundlage seiner zweiten Familie sowie die Unterhaltszahlungen für die Tochter aus erster Ehe gefährdet. Dem ist entgegenzuhalten, dass ein allfälliger Verlust des Arbeitsplatzes keine direkte Folge der Nichtigerklärung der Einbürgerung wäre. Zudem handelt es sich um ein Risiko, das nicht nur den Beschwerdeführer, sondern jede Person trifft, der das Schweizer Bürgerrecht aberkannt wird.
Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, dass er bereits im März 2011 die zeitlichen Voraussetzungen erfüllt, um aufgrund der zweiten, mit einer Schweizerin eingegangenen Ehe ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung zu stellen. Seiner Auffassung nach wäre es daher unverhältnismässig, die aufgrund der ersten Ehe erfolgte Einbürgerung rückgängig zu machen. Der Beschwerdeführer verkennt, dass die Frage, ob die Voraussetzungen der erleichterten Einbürgerung aufgrund der zweiten Ehe erfüllt sind, im vorliegenden Verfahren nicht geprüft werden können und somit keine Bedeutung hat.
3.3 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Vorinstanz davon ausgehen durfte, dass die Ehe bereits während des Einbürgerungsverfahrens zerrüttet war und der Beschwerdeführer die Einbürgerung im Sinne der Rechtsprechung erschlichen hat. Auch hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, wenn sie die Nichtigerklärung der Einbürgerung im vorliegenden Fall als verhältnismässig betrachtet.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege vor Bundesgericht. Diesem Antrag kann entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird bewilligt:
2.1 Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2 Rechtsanwältin Dr. Barbara Wyler wird zur unentgeltlichen Rechtsbeiständin ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit einem Honorar von Fr. 2'000.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder