Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1961 geborene K._ leidet an einem zerviko- und lumbovertebralen Syndrom; im Rahmen dieses Beschwerdekomplexes liegen im Einzelnen eine Wirbelsäulenfehlform und -fehlhaltung, mehrsegmentale Bandscheibendegenerationen mit entsprechenden Vorfällen, eine verminderte muskuläre Stabilisationsfähigkeit der Lenden- und Halswirbelsäule, eine Dekonditionierung mit Trainingsmangel, Zeichen der Hyperlaxität der Wirbelsegmente, Übergewicht sowie eine Erschöpfungsdepression vor. Von 1993 bis zur gesundheitsbedingten Kündigung durch den Arbeitgeber auf Ende Mai 2000 war K._ bei der Firma F._ als Raumpflegerin erwerbstätig. Nachdem sie sich am 29. Mai 2000 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet hatte, traf die IV-Stelle des Kantons Luzern erwerbliche und medizinische Abklärungen und verfügte am 25. Februar/26. März 2003, es werde der Versicherten mit Wirkung ab dem 1. August 2000 eine halbe Invalidenrente beruhend auf einem Invaliditätsgrad von 59 % zugesprochen. Diese Anordnung wurde mit Einspracheentscheid vom 8. Oktober 2003 bestätigt.
A. Die 1961 geborene K._ leidet an einem zerviko- und lumbovertebralen Syndrom; im Rahmen dieses Beschwerdekomplexes liegen im Einzelnen eine Wirbelsäulenfehlform und -fehlhaltung, mehrsegmentale Bandscheibendegenerationen mit entsprechenden Vorfällen, eine verminderte muskuläre Stabilisationsfähigkeit der Lenden- und Halswirbelsäule, eine Dekonditionierung mit Trainingsmangel, Zeichen der Hyperlaxität der Wirbelsegmente, Übergewicht sowie eine Erschöpfungsdepression vor. Von 1993 bis zur gesundheitsbedingten Kündigung durch den Arbeitgeber auf Ende Mai 2000 war K._ bei der Firma F._ als Raumpflegerin erwerbstätig. Nachdem sie sich am 29. Mai 2000 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet hatte, traf die IV-Stelle des Kantons Luzern erwerbliche und medizinische Abklärungen und verfügte am 25. Februar/26. März 2003, es werde der Versicherten mit Wirkung ab dem 1. August 2000 eine halbe Invalidenrente beruhend auf einem Invaliditätsgrad von 59 % zugesprochen. Diese Anordnung wurde mit Einspracheentscheid vom 8. Oktober 2003 bestätigt.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab (Entscheid vom 27. September 2004).
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ab (Entscheid vom 27. September 2004).
C. K._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit den Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung des kantonalen sowie des Einspracheentscheids, mit Wirkung ab dem 1. August 2000 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell seien "weitere Beweisvorkehren zur Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdeführerin aus medizinischer und eventuell aus beruflicher Sicht anzuordnen".
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Bei der Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente, der schon vor dem Inkrafttreten des ATSG am 1. Januar 2003 entstanden ist, wird das anwendbare Recht nach den allgemeinen intertemporalrechtlichen Regeln ermittelt. Danach sind grundsätzlich diejenigen Rechtssätze massgebend, die bei Verwirklichung des zu Rechtsfolgen führenden Sachverhalts galten. Demzufolge ist der Rentenanspruch für die Zeit bis zum 31. Dezember 2002 aufgrund der bisherigen und ab diesem Zeitpunkt nach den neuen Normen zu prüfen (BGE 130 V 445).
Die am 1. Januar 2004 - und somit nach dem Erlass des Einspracheentscheides vom 8. Oktober 2003 - in Kraft getretenen Änderungen des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung vom 21. März 2003 (4. IVG-Revision) und der Verordnung über die Invalidenversicherung vom 21. Mai 2003 finden keine Anwendung (vgl. BGE 129 V 4 Erw. 1.2 mit Hinweisen).
1.2 Das ATSG brachte hinsichtlich der Invaliditätsbemessung keine substantiellen Änderungen gegenüber der bis zum 31. Dezember 2002 gültigen Rechtslage (BGE 130 V 343), so dass die zur altrechtlichen Regelung ergangene Judikatur weiterhin massgebend ist. Auf die zutreffende Darstellung der Normen und Grundsätze durch die Vorinstanz kann verwiesen werden. Dies betrifft namentlich den Begriff der Invalidität (Art. 4 Abs. 1 IVG [sowohl in der bis Ende 2002 als auch in der ab 1. Januar 2003 geltenden Fassung]; Art. 8 Abs. 1 ATSG), den Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 [in der bis Ende 2003 gültig gewesenen Fassung]), die Bemessung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (Art. 28 Abs. 2 IVG [in der bis Ende 2002 gültig gewesenen Fassung]; Art. 16 ATSG), die Aufgabe des Arztes im Rahmen der Invaliditätsbemessung (BGE 115 V 134 Erw. 2 mit Hinweisen; AHI 2002 S. 70 Erw. 4b/cc) sowie die beweisrechtliche Würdigung von medizinischen Berichten (BGE 125 V 352 Erw. 3a).
1.2 Das ATSG brachte hinsichtlich der Invaliditätsbemessung keine substantiellen Änderungen gegenüber der bis zum 31. Dezember 2002 gültigen Rechtslage (BGE 130 V 343), so dass die zur altrechtlichen Regelung ergangene Judikatur weiterhin massgebend ist. Auf die zutreffende Darstellung der Normen und Grundsätze durch die Vorinstanz kann verwiesen werden. Dies betrifft namentlich den Begriff der Invalidität (Art. 4 Abs. 1 IVG [sowohl in der bis Ende 2002 als auch in der ab 1. Januar 2003 geltenden Fassung]; Art. 8 Abs. 1 ATSG), den Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 [in der bis Ende 2003 gültig gewesenen Fassung]), die Bemessung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (Art. 28 Abs. 2 IVG [in der bis Ende 2002 gültig gewesenen Fassung]; Art. 16 ATSG), die Aufgabe des Arztes im Rahmen der Invaliditätsbemessung (BGE 115 V 134 Erw. 2 mit Hinweisen; AHI 2002 S. 70 Erw. 4b/cc) sowie die beweisrechtliche Würdigung von medizinischen Berichten (BGE 125 V 352 Erw. 3a).
2. Letztinstanzlich strittig ist die Frage, in welchem Ausmass die Beschwerdeführerin im massgebenden Zeitraum bis zum Einspracheentscheid vom 8. Oktober 2003 (vgl. BGE 121 V 366 Erw. 1b, 116 V 248 Erw. 1a) noch arbeitsfähig war und welchen Einfluss die entsprechende Einschränkung auf den Invaliditätsgrad zeitigte.
2. Letztinstanzlich strittig ist die Frage, in welchem Ausmass die Beschwerdeführerin im massgebenden Zeitraum bis zum Einspracheentscheid vom 8. Oktober 2003 (vgl. BGE 121 V 366 Erw. 1b, 116 V 248 Erw. 1a) noch arbeitsfähig war und welchen Einfluss die entsprechende Einschränkung auf den Invaliditätsgrad zeitigte.
2.1 2.1.1 Anfangs des Jahres 2001 diagnostizierte Frau Dr. L._, Spezialärztin für Psychiatrie und Psychotherapie, eine undifferenzierte Somatisierungsstörung (ICD-10 Ziff. F 45.1) im Sinne eines Konversionsmechanismus, soweit die vielschichtige Symptomatik nicht einem organischen Substrat zugeordnet werden konnte. Die Arbeitsunfähigkeit betrage aus psychiatrischer Sicht - aufgrund der Konversion, einer Regression nach vorangegangener langdauernder Verausgabung, Zukunftsängsten und medikamentöser Beeinträchtigung - zwischen 30 und 50 % (Gutachten vom 28. Februar 2001). Aus somatischer (neurochirurgischer) Sicht bestand Mitte 2001 wegen der mehrsegmentalen zervikalen chronischen Diskopathie sowie einer degenerativen Spinalstenose eine hälftige Arbeitsfähigkeit (Bericht des Dr. S._ vom 11. Juni 2001).
Eine Begutachtung im Zentrum X._ vom 11. März 2002 ergab - gestützt auf eine Evaluation der arbeitsbezogenen funktionellen Leistungsfähigkeit (EFL) und bei guter Leistungsbereitschaft und Konsistenz - hinsichtlich der zuletzt ausgeübten Tätigkeit als Raumpflegerin keine verwertbare Arbeitsfähigkeit. Hingegen sei unter Berücksichtigung der schon anderweitig festgestellten psychiatrischen Einschränkung im Umfang von 30 bis 50 % und - zudem - einer Erschöpfungsdepression eine "vorwiegend sitzende bis körperlich knapp leichte Tätigkeit halbtags zumutbar". Eine erfolgreich verlaufende berufliche Reintegration könne allenfalls positiven Einfluss auf die psychische Befindlichkeit ausüben; damit einhergehend erscheine es möglich, die Arbeitsfähigkeit künftig zu steigern.
2.1.2 Es fragt sich, wie sich die erwähnten sektoriellen (psychiatrischen und organmedizinischen) Einschätzungen der Arbeitsunfähigkeit zueinander verhalten und ob die Gesamtbeurteilung durch das Zentrum X._ mit den übrigen Stellungnahmen vereinbar ist. Nachdem sowohl aus psychiatrischer wie somatischer Sicht jeweils eine Leistungseinbusse in der Grössenordnung von 50 % resultierte, gelangte das letztgenannte Institut in einer Gesamtschätzung ebenfalls zum Schluss, dass eine leidensangepasste Tätigkeit halbtags zumutbar sei. Die Vorinstanzen erachteten diese Bewertung als massgebend, während die Beschwerdeführerin die Auffassung vertritt, es sei nicht so, dass jede der beiden Einschränkungen in der jeweils anderen aufgehe. Die Frage, ob die betreffenden Erfordernisse psychischer und somatischer Natur deckungsgleich sind oder aber eine je eigenständige Entlastung bedingen, lässt sich nicht in allgemeiner Weise, sondern nur im Einzelfall beantworten. Vorliegend besteht eine funktionale Einschränkung aufgrund des Rückenleidens mit der Folge, dass die Versicherte auch eine leichte Tätigkeit nur halbtags ausüben kann. Da die psychogene Schmerzproblematik genau so wie die depressive Verstimmung einen massgebenden Zusammenhang mit dem während längerer Zeit aufgebauten Erschöpfungszustand aufweist, wird der aus organischen Gründen notwendige Schonungseffekt auch der psychischen Beeinträchtigung zuteil. Eine Addition der beiden bereichsspezifischen Arbeitsunfähigkeiten kommt somit nicht in Betracht. Die Gesamteinschätzung des Zentrums X._ erscheint als schlüssig.
2.2 Zu klären bleibt der Einfluss der gesundheitlichen Entwicklung nach der Begutachtung durch das Zentrum X._ vom März 2002 auf den Leistungsanspruch.
2.2.1 Aus dem Gutachten des Zentrums X._ ergibt sich, dass die Mehrfachbelastung (vollzeitige Erwerbstätigkeit als Raumpflegerin, Hauptlast bei der Bewältigung eines Haushalts mit mehreren Kindern und anderen betreuungsbedürftigen Familienmitgliedern, so des invaliden Ehemanns) namhaften Anteil an der Entstehung der psychischen Erkrankung hatte. Die ungefähr ab Sommer 1999 bestehende Erschöpfungsdepression klang nach der Trennung vom Ehemann zunächst ab, verschärfte sich jedoch später wegen der zunehmend komplexen psychosozialen Belastungssituation (Scheidung; neue Heirat des ehemaligen Ehemanns, welchem die Kinder zugesprochen wurden; Entfremdung der Kinder von ihrer Mutter; Tod der Schwiegermutter) wieder bis hin zur Suizidalität (Bericht der Psychiaterin Dr. S._ vom 29. Oktober 2003; vgl. auch den Schlussbericht des Rehabilitationszentrums B._ vom 28. Juli 2003). Der psychische Zustand der Beschwerdeführerin verschlechterte sich mithin in der Tendenz. Die vorinstanzliche Annahme, dass sich an der gesundheitlichen Situation seit der Begutachtung durch das Zentrum X._ bis zum Erlass des Einspracheentscheids im Oktober 2003 nichts Wesentliches geändert habe, erweist sich soweit zwar als zweifelhaft. Indes geht aus den fraglichen medizinischen Berichten nicht hervor, dass sich diese Entwicklung bereits im massgebenden Zeitraum auf den Grad der Arbeitsunfähigkeit ausgewirkt hätte. Insofern bleibt es bei der Einschätzung, wie sie das Zentrum X._ im März 2002 getroffen hatte.
2.2.2 Die sich jedenfalls seit der zweiten Jahreshälfte 2003 anbahnende gesundheitliche Verschlechterung hat nach dem Gesagten bis im Herbst 2003 noch keine gesicherte Ausweitung der Arbeitsunfähigkeit bewirkt. Ausser Acht bleiben muss die nach Beendigung des Verwaltungsverfahrens eingetretene Entwicklung des Gesundheitszustandes (vgl. den Bericht des Psychiaters Dr. M._ vom 28. Oktober 2004), die allenfalls im Rahmen eines Revisionsverfahrens zu berücksichtigen sein wird.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Ausgleichskasse Berner Arbeitgeber (AKBA), Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 14. Juli 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: