Faits:
A. Le 6 janvier 2012, A._ a été arrêté dans le cadre d'une instruction ouverte contre lui pour trois cambriolages. Par ordonnance du même jour, le Ministère public du canton de Genève (ci-après: le Ministère public) a désigné Me B._ en qualité de défenseur d'office. Le 7 février 2012, Me C._ a informé le Ministère public du fait que A._ l'avait consultée pour la défense de ses intérêts. Le Ministère public a alors interpellé l'intéressé en lui rappelant qu'il était pourvu d'un défenseur d'office et en lui impartissant un délai pour indiquer les motifs qui justifieraient un changement d'avocat. A._ n'a pas répondu sur ce point, mais il a déposé une demande d'assistance judiciaire le 1er mai 2012.
B. Par décision du 23 mai 2012, le Ministère public a refusé de relever Me B._ de sa mission, considérant en substance qu'il n'existait aucun motif justifiant un changement d'avocat d'office. A._ a recouru contre cette décision auprès de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice). Il a été remis en liberté le 26 juin 2012, date à laquelle il a été condamné par ordonnance pénale à une peine privative de liberté de six mois assortie du sursis avec un délai d'épreuve de trois ans.
Par arrêt du 9 juillet 2012, la Cour de justice a rejeté le recours dirigé contre la décision du Ministère public du 23 mai 2012. Elle a considéré que le recourant avait décidé sciemment de garder son avocat de choix alors qu'il savait que son avocat d'office n'était pas relevé de son mandat. Sa requête d'assistance judiciaire visait ainsi à obtenir un changement d'avocat d'office, alors qu'aucune raison ne justifiait une telle mesure.
C. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision. Il requiert en outre l'octroi de l'assistance judiciaire pour la présente procédure de recours. Le Ministère public conclut au rejet du recours, en se référant à l'arrêt attaqué. La Cour de justice a renoncé à formuler des observations.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 136 I 42 consid. 1 p. 43; 135 III 329 consid. 1 p. 331 et les arrêts cités).
1.1 La décision par laquelle le juge refuse un changement de défenseur d'office constitue une décision incidente, qui ne met pas fin à la procédure (ATF 126 I 207 consid. 1a p. 209; 111 Ia 276 consid. 2b p. 278 s.). Une telle décision ne peut faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral que si elle peut causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF). Cette dernière hypothèse n'entre pas en considération en l'espèce (cf. ATF 133 IV 288 consid. 3.2 p. 292). Quant à l'art. 93 al. 1 let. a LTF, il suppose, en matière pénale, que la partie recourante soit exposée à un dommage de nature juridique, qui ne puisse pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision qui lui serait favorable (ATF 136 IV 92 consid. 4 p. 95; 134 I 83 consid. 3.1 p. 86 s.; 133 IV 335 consid. 4 p. 338, 139 consid. 4 p. 141). Il incombe au recourant de démontrer l'existence d'un tel préjudice lorsque celui-ci n'est pas d'emblée évident (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 429; 133 II 353 consid. 1 p. 356 et les références).
Selon la jurisprudence, le refus de désigner un avocat d'office au prévenu est susceptible de lui causer un dommage irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (ATF 133 IV 335 consid. 4 p. 338; 129 I 281 consid. 1.1 p. 283; 129 I 129 consid. 1.1 p. 131). En revanche, la décision ayant pour objet de refuser un changement de défenseur d'office n'entraîne en principe aucun préjudice juridique, car le prévenu continue d'être assisté par le défenseur désigné et l'atteinte à la relation de confiance n'empêche en règle générale pas dans une telle situation une défense efficace (ATF 133 IV 335 consid. 4 p. 339). L'existence d'un tel dommage ne peut être admise que dans des circonstances particulières faisant craindre que l'avocat d'office désigné ne puisse pas défendre efficacement les intérêts du prévenu, par exemple en cas de conflit d'intérêts ou de carences manifestes de l'avocat désigné (ATF 135 I 261 consid. 1.2 p. 263), ou encore lorsque l'autorité refuse arbitrairement de tenir compte des v?ux émis par la partie assistée (arrêts 1B_74/2008 du 18 juin 2008 consid. 2; 1B_245/2008 du 11 novembre 2008 consid. 2). Le simple fait que la partie assistée n'a pas confiance dans son conseil d'office ne lui donne pas le droit d'en demander le remplacement lorsque cette perte de confiance repose sur des motifs purement subjectifs et qu'il n'apparaît pas de manière patente que l'attitude de l'avocat d'office est gravement préjudiciable aux intérêts de la partie (ATF 114 Ia 101 consid. 3 p. 104; arrêt 6B_770/2011 du 12 juillet 2012 consid. 2.4 destiné à la publication).
1.2 En l'occurrence, le recourant n'invoque aucun motif qui justifierait un changement d'avocat d'office. Il prétend en revanche qu'il y a eu "révocation de facto de la nomination d'office de Me B._" à compter du moment où les actes de procédure ont été notifiés à sa nouvelle avocate de choix. Certes, le Ministère public a pris acte de la décision du recourant de mandater une avocate de choix et d'élire domicile chez cette dernière. Il n'en demeure pas moins que le mandat de l'avocat d'office n'a jamais été révoqué et que le Ministère public n'a pas laissé entendre qu'il le serait. Au contraire, par courrier du 10 février 2012, il a rendu le recourant attentif au fait que son défenseur d'office était Me B._ et que tout changement d'avocat d'office devait être fondé sur de justes motifs, que le recourant était invité à préciser. Aucune réponse n'a été donnée à ce courrier, qui a pourtant été notifié aux deux avocats concernés. Dans ces conditions, le recourant ne saurait s'étonner du refus d'accorder l'assistance judiciaire pour rémunérer son avocate de choix, alors même qu'un avocat d'office lui avait été désigné et que le mandat de celui-ci n'avait pas été remis en cause. Quoi qu'il en soit, cette décision n'a en tout cas pas eu pour effet de priver le recourant de l'assistance effective d'un avocat, de sorte qu'elle ne lui cause pas de préjudice irréparable au sens de la jurisprudence susmentionnée.
2. Il s'ensuit que le recours doit être déclaré irrecevable. Il n'y a pas lieu d'accorder l'assistance judiciaire, dès lors que les conclusions du recours apparaissaient d'emblée vouées à l'échec (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant étant dans le besoin, il se justifie néanmoins de statuer sans frais (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Ministère public et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 29 novembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Rittener