Faits:
A. A.a Fondée en 1959, Y._ SA (ci-après: la société), de siège social à ..., est une société immobilière d'actionnaires-locataires propriétaire d'un immeuble dans la station valaisanne de .... Le capital de la société est divisé en un certain nombre d'actions nominatives de même valeur, numérotées et inscrites au registre ad hoc. Les actions, dont le transfert doit être approuvé par le conseil d'administration, sont représentées par des certificats portant la signature de deux administrateurs; l'art. 6 des statuts dispose que ces certificats sont indivisibles à l'égard de la société, qui ne reconnaît qu'un titulaire par certificat. La propriété d'un nombre déterminé d'actions, réunies dans un certificat, confère à l'actionnaire le droit de louer une partie délimitée de l'immeuble. Le conseil d'administration décide, à l'origine, de l'attribution des locaux aux différents certificats. Toute modification ultérieure ne peut intervenir sans l'accord unanime des actionnaires intéressés (art. 11 des statuts).
L'actionnaire doit conclure un contrat de bail avec la société. S'il ne veut pas utiliser pour son usage personnel les locaux qui lui sont attribués, il peut les sous-louer ou charger la société de le faire pour lui au mieux de ses intérêts (art. 12 des statuts). En cas d'aliénation des actions pour quelque cause que ce soit, le bail est réputé résilié de plein droit (art. 13 des statuts).
A.b En 1960, A._ a acquis 42 actions de la société, regroupées dans le certificat n° 21, auxquelles était lié le droit de louer deux espaces distincts: un magasin sis à l'entresol nord de l'immeuble précité ainsi qu'un petit local se trouvant sous la terrasse de l'entrée est du magasin. Il a conclu avec la société un bail unique portant sur ces deux locaux. A son décès, en 1986, le certificat d'actions n° 21 est devenu la propriété de ses héritiers qui l'ont vendu, le 15 avril 1994, à C._, belle-fille du défunt.
A.c Le certificat n° 12, regroupant 55 actions de la société, confère à son propriétaire le droit de louer un local, situé au rez-de-chaussée inférieur de l'immeuble, qui abrite un dancing. X._ en a acquis la propriété des mains des époux B._, le 27 mars 1990. Il sous-loue le local à une société dont il est l'administrateur unique et qui le sous-loue à son tour aux exploitants du dancing.
En 1966, les époux B._, qui exploitaient le dancing, ont dû y aménager une sortie de secours pour satisfaire à de nouvelles prescriptions administratives. Ils l'ont fait en abattant le mur séparant le dancing du local de 17 m2 attenant à celui-ci, rattaché au certificat n° 21 de A._. Ce local, auquel on accède directement depuis l'extérieur, a été transformé en bar (ci-après: le petit bar). Depuis lors, il fait partie de l'établissement public et les propriétaires du certificat n° 12 l'ont utilisé paisiblement pendant plus de trente ans. Par contrat du 19 janvier 1979, intitulé "Convention et reconnaissance de dettes", A._ a cédé à sieur B._, contre paiement d'un solde de 35'000 fr., tous les droits et obligations y afférents, en précisant que le cessionnaire devenait "à partir de ce jour le légitime propriétaire du dit local". Cependant, aucune modification n'a été apportée aux certificats concernés et le conseil d'administration de la société n'a pas été informé de cette cession. Quant aux charges concernant ce local, elles ont été facturées au titulaire du certificat n° 21 jusqu'au 18 juillet 1986. A cette date, l'assemblée générale de la société a entériné une nouvelle répartition des frais en vertu de laquelle les charges du petit bar ont été rattachées à celles du dancing.
A.d Dans les années 1960 et 1970, A._ a été autorisé, contre paiement d'une indemnité, à aménager un petit local d'exposition (ci-après: la boutique) d'environ 28 m2 dans l'espace libre situé devant le dancing et utilisé comme dépotoir. Ce local, qui constitue l'une des parties communes de l'immeuble, n'est rattaché à aucun certificat et ne fait pas l'objet d'un contrat de bail.
Après avoir acquis la titularité du certificat n° 21, C._ a cédé l'usage de la boutique à divers locataires successifs.
A.e A partir de 1995, X._ s'est enquis, auprès du conseil d'administration, du fondement de la possession de dame C._ sur cette boutique.
En avril 1998, à la demande de X._, dame B._ a signé un document, intitulé "convention", confirmant que A._ avait cédé, à l'époque, à sieur B._ l'usage du local transformé par la suite en petit bar, moyennant paiement de 20'000 fr. Le document invitait, de ce fait, la société à régulariser la transaction par le rattachement dudit local au certificat n° 12. Egalement approchée par X._, C._ a refusé de signer ce document; depuis lors, elle a fait valoir ses droits sur le petit bar. A sa demande, le conseil d'administration a modifié, le 1er février 2000, le certificat n° 21 en le divisant en deux certificats: d'une part, le certificat n° 21, qui regroupe 36 actions et accorde à son titulaire le droit de louer le magasin à l'entresol; d'autre part, le certificat n° 21a, constitué de 6 actions, auquel est lié le droit de louer le petit bar. Il a également établi de nouveaux contrats de bail.
Le différend entre C._ et X._ au sujet du statut juridique du petit bar et de la boutique a donné lieu à diverses démarches judiciaires sur lesquelles il n'est pas nécessaire de s'arrêter ici.
A.f Le 30 septembre 2002, l'assemblée générale de la société a décidé, notamment, de maintenir C._ dans ses prérogatives sur la boutique (point 4 de l'ordre du jour). Elle a, en outre, confirmé que l'intéressée est la titulaire du certificat n° 21a et que celui-ci est valable (point 5 de l'ordre du jour).
B. Le 30 octobre 2002, X._ (ci-après: le demandeur) a ouvert action contre la société (ci-après: la défenderesse) en vue d'obtenir l'annulation des deux décisions susmentionnées (cf. let. A.f) et, subsidiairement, la constatation de leur nullité.
Suspendue dans un premier temps, la procédure a ensuite été reprise et a donné lieu, le 18 mars 2005, suite au défaut de la défenderesse, à jugement contumacial admettant l'action en annulation du demandeur. Elle s'est poursuivie après que la défenderesse eut obtenu le relief de ce jugement.
Le 11 février 2009, le demandeur a conclu deux conventions avec C._. Par la première, relative au petit bar, celle-ci lui cédait le certificat n° 21a contre paiement de 40'000 fr. Par la seconde, elle lui abandonnait toutes ses prérogatives sur la boutique, moyennant paiement de 60'000 fr.
A la suite de la signature de ces accords, le demandeur a renoncé à l'annulation de la décision concernant le point 4 de l'ordre du jour prise par l'assemblée générale du 30 septembre 2002. Il n'a cependant pas requis l'enregistrement de la cession du certificat n° 21a par le conseil d'administration. De son côté, la défenderesse a soulevé un incident, lors du débat du 9 décembre 2009, en vue de faire constater que la cause était devenue sans objet en raison de la convention précitée, relative au petit bar. Sur le fond, elle a conclu au rejet de la demande.
Par jugement du 5 janvier 2010, la Cour civile II du Tribunal cantonal valaisan a écarté l'incident, pris acte du désistement partiel du demandeur et rejeté la demande dans la mesure où elle tendait à l'annulation, voire à la constatation de la nullité, de la décision prise au sujet du point 5 de l'ordre du jour par l'assemblée générale du 30 septembre 2002.
C. Le 8 février 2010, le demandeur a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à la réforme du jugement attaqué en ce sens que la décision prise sous point 5 de l'ordre du jour par l'assemblée générale du 30 septembre 2002 est annulée. Le recourant requiert, en outre, que tous les frais et dépens de l'instance cantonale et de la procédure de recours soient mis à la charge de l'intimée. A titre subsidiaire, pour le cas où son recours serait rejeté sur le fond, il invite le Tribunal fédéral à partager par moitié les frais des deux instances et à compenser les dépens.
Dans sa réponse du 26 mars 2010, l'intimée propose le rejet du recours, dont elle conteste également la recevabilité.
Par lettre du 21 avril 2010, le recourant a informé le Tribunal fédéral qu'il avait déposé une demande de révision dudit jugement. Pour cette raison, la présente procédure de recours a été suspendue, par ordonnance présidentielle du 26 avril 2010, jusqu'à droit connu sur cette demande. Elle a été reprise après que la cour cantonale eut communiqué au Tribunal fédéral une copie de sa décision du 28 septembre 2010 portant rejet de la demande de révision.
En date du 27 décembre 2010, le recourant a avisé le Tribunal fédéral du dépôt d'une nouvelle demande de révision du jugement cantonal. De ce fait, la procédure de recours a été suspendue jusqu'à droit jugé sur cette demande par ordonnance présidentielle du 3 janvier 2011; cette ordonnance a été confirmée le 8 février 2011, après rejet d'une demande de reconsidération présentée par l'intimée. Par décision du 3 mars 2011, le président de la Cour civile II du Tribunal cantonal valaisan a déclaré la demande de révision irrecevable. Le lendemain, le conseil de l'intimée a adressé une copie de cette décision au Tribunal fédéral en le priant de reprendre la procédure suspendue. Un recours en matière civile interjeté le 18 mars 2011 par le recourant contre ladite décision a été déclaré irrecevable par arrêt présidentiel de ce jour (cause 4A_181/2011).
Considérant en droit:
1. 1.1 Le jugement attaqué a été rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF), par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF), dans le cadre d'une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse, calculée correctement par les juges cantonaux, atteint le seuil de 30'000 fr. fixé à l'art. 74 al. 1 let. b LTF pour la recevabilité du recours en matière civile. Déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le présent recours est, en principe, recevable.
1.2 L'intimée fait valoir que le recourant ne dispose plus d'un intérêt juridique suffisant, actuel et personnel à obtenir l'annulation de la décision entreprise par lui, dès lors que la conclusion de l'accord du 11 février 2009 relatif au petit bar a rendu le procès au fond sans objet.
Aux termes de l'art. 76 al. 1 LTF, dans sa version antérieure à la modification entrée en vigueur le 1er janvier 2011, la qualité pour former un recours en matière civile appartient notamment à celui qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente (let. a) et qui a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b). La mention expresse de l'intérêt juridique à l'art. 76 al. 1 let. b LTF n'a pas modifié fondamentalement les règles jurisprudentielles posées sous l'ancien droit de procédure fédéral. Ainsi, selon la jurisprudence, cette condition vise surtout les affaires de droit public qui sont susceptibles du recours en matière civile en vertu de l'art. 72 al. 2 let. b LTF; dans les affaires civiles proprement dites, tel le cas présent, il suffit que le recourant ait pris part à l'instance précédente et qu'il ait succombé dans ses conclusions (ATF 133 III 421 consid. 1.1; arrêt 4A_205/2008 du 19 août 2008 consid. 1.2).
Ces deux conditions cumulatives sont réalisées en l'espèce, d'autant que, en plus de ses critiques visant la solution au fond retenue par les juges précédents, le recourant reproche également à ceux-ci d'avoir violé une règle de droit fédéral régissant le sort des frais de procédure, à savoir l'art. 706a al. 3 CO. Partant, le demandeur a qualité pour recourir.
Autre chose est de savoir si, au moment où le jugement attaqué a été rendu, le recourant avait encore un intérêt juridique personnel et actuel à l'annulation de la décision prise sous point 5 de l'ordre du jour par l'assemblée générale du 30 septembre 2002. Il s'agit là d'une question qui relève du droit matériel fédéral, plus précisément des conditions d'application de l'art. 706 CO et dont il y a lieu de réserver l'examen (cf., ci-dessous, consid. 2.2).
1.3 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente. Compte tenu de l'exigence de motivation posée à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui.
Dans sa réponse, l'intimée conteste la recevabilité du recours au motif que l'auteur de celui-ci, en se plaignant exclusivement de la violation de deux dispositions des statuts de la société, ne dénoncerait pas une violation du droit fédéral, au sens de l'art. 95 let. a LTF, semblables dispositions ne relevant pas de ce droit puisqu'elles ont été adoptées par une société anonyme. Pareil argument, de nature purement formelle, ne convainc pas. Il néglige le fait que, dans un préambule, le recourant a précisé, avec toute la clarté voulue, le fondement juridique de son action - à savoir l'art. 706 CO - avant d'exposer plus loin en quoi, selon lui, la décision attaquée violerait les deux dispositions des statuts qu'il invoque. D'où il suit que le présent recours a bel et bien été formé pour violation du droit fédéral et, plus précisément, de l'art. 706 al. 1 CO en tant qu'il permet à chaque actionnaire d'attaquer une décision de l'assemblée générale violant les statuts. Aussi est-ce à tort que l'intimée en conteste la recevabilité sous cet angle.
2. 2.1 Selon l'art. 706 CO, chaque actionnaire peut attaquer en justice les décisions de l'assemblée générale qui violent la loi ou les statuts (al. 1). Sont en particulier annulables les décisions qui suppriment ou limitent les droits des actionnaires en violation de la loi ou des statuts (al. 2 ch. 1), suppriment ou limitent les droits des actionnaires d'une manière non fondée (al. 2 ch. 2) ou entraînent pour les actionnaires une inégalité de traitement ou un préjudice non justifiés par le but de la société (al. 2 ch. 3). L'action formatrice prévue par cette disposition tend à l'annulation rétroactive de la décision de l'assemblée générale qui est attaquée et le jugement qui l'admet est opposable à tous les actionnaires, chacun d'eux pouvant s'en prévaloir (art. 706 al. 5 CO; ATF 122 III 279 consid. 2 p. 281).
Ladite action est ouverte, notamment, aux actionnaires de la société; elle est dirigée contre celle-ci (art. 706 al. 1 CO). Celui qui l'intente doit posséder un intérêt juridique personnel à l'annulation de la décision litigieuse, en ce sens que la constatation ou la modification demandée doit lui être utile. Cependant, la jurisprudence donne une définition large d'un tel intérêt, puisqu'elle considère comme suffisante, sauf abus de droit, l'intention de préserver les intérêts de la société. Il n'en demeure pas moins nécessaire, dans ce cas aussi, que la situation juridique de l'actionnaire demandeur soit effectivement modifiée par un jugement qui admettrait son action (ATF 122 III 279 consid. 3a).
2.2 Dans sa réponse, l'intimée fait valoir que la condition de l'intérêt juridique, ainsi défini, ne serait pas réalisée en l'espèce. Selon elle, le recourant n'aurait aucun intérêt à obtenir l'annulation de la décision de l'assemblée générale entérinant la division du certificat n° 21 en deux certificats distincts et constatant que C._ est la titulaire du certificat n° 21a. En effet, le 11 février 2009, il a conclu avec cette dernière un accord transactionnel par lequel celle-ci lui transférait, contre paiement immédiat de la somme de 40'000 fr., la propriété du certificat en question, issu de cette division, et renonçait à toute prétention sur le petit bar. Aussi serait-il contradictoire de chercher à annuler la décision qui a avalisé la création du titre formant l'objet de cet accord transactionnel.
2.2 Dans sa réponse, l'intimée fait valoir que la condition de l'intérêt juridique, ainsi défini, ne serait pas réalisée en l'espèce. Selon elle, le recourant n'aurait aucun intérêt à obtenir l'annulation de la décision de l'assemblée générale entérinant la division du certificat n° 21 en deux certificats distincts et constatant que C._ est la titulaire du certificat n° 21a. En effet, le 11 février 2009, il a conclu avec cette dernière un accord transactionnel par lequel celle-ci lui transférait, contre paiement immédiat de la somme de 40'000 fr., la propriété du certificat en question, issu de cette division, et renonçait à toute prétention sur le petit bar. Aussi serait-il contradictoire de chercher à annuler la décision qui a avalisé la création du titre formant l'objet de cet accord transactionnel.
2.3 2.3.1 Selon l'art. 2 al. 2 CC, l'abus manifeste d'un droit n'est pas protégé par la loi. Savoir s'il y a un tel abus dépend de l'analyse des circonstances du cas concret (ATF 129 III 493 consid. 5.1; 121 III 60 consid. 3d), au regard des catégories typiques d'abus de droit développées par la jurisprudence et la doctrine (ATF 129 III 493 consid. 5.1; 125 III 257 consid. 2a; 120 II 105 consid. 3a), telles que l'absence d'intérêt à l'exercice d'un droit (ATF 129 III 493 consid. 5.1; 123 III 200 consid. 2b; 115 III 18), l'utilisation contraire à son but d'une institution juridique (ATF 128 II 145 consid. 2.2; 122 III 321 consid. 4a) ou encore la disproportion grossière des intérêts en présence (ATF 132 III 115 consid. 2.4; 129 III 493 consid. 5.1).
Selon la jurisprudence, la loi ne protège pas l'attitude contradictoire (venire contra factum proprium) lorsque le comportement antérieur d'une partie a inspiré une confiance légitime chez l'autre partie et déterminé celle-ci à des actes qui se révèlent préjudiciables à ses intérêts une fois que la situation a changé (ATF 129 III 493 consid. 5.1; 125 III 257 consid. 2a; 121 III 350 consid. 5b; 115 II 331 consid. 5a; 110 II 494 consid. 4 p. 498, 106 II 320 consid. 3a).
2.3.2 Qu'il y ait une contradiction évidente à vouloir obtenir l'annulation d'une décision ayant permis la création d'une chose que l'on a acquise par contrat est indéniable. Tel est bien le cas de figure qui se présente en l'espèce. Par convention écrite du 11 février 2009, C._ a vendu au recourant le certificat n° 21a, avec tous les droits et obligations y afférents, contre paiement immédiat de la somme de 40'000 fr. En se portant acquéreur de ce certificat, le recourant a accompli un acte concluant par lequel il a démontré qu'il admettait à la fois que la venderesse était titulaire de ce titre et que les actions regroupées dans celui-ci conféraient à leur propriétaire le droit de prendre à bail le petit bar. Il était donc tout à fait contradictoire, de sa part, de continuer ultérieurement un procès visant à faire annuler la décision, prise le 30 septembre 2002 par l'assemblée générale de l'intimée, qui entérinait la création du certificat n° 21a et constatait que C._ en était la légitime titulaire.
La cour cantonale relève, certes, que la susdite convention ne lie pas les parties à la présente procédure. En soi, pareille remarque est exacte puisque ce n'est pas l'intimée, mais C._, qui a signé cet accord; elle n'est cependant pas propre à exclure le comportement contradictoire du recourant. En effet, comme la cour cantonale le souligne par ailleurs, "le litige se rapporte en réalité à la querelle qu'entretient [le recourant] avec dame C._", l'intimée n'ayant aucun intérêt propre à le voir tranché dans un sens ou dans l'autre (jugement, p. 24, consid. 19.2). Or, en concluant la convention du 11 février 2009, le recourant a inspiré à cette personne une confiance légitime quant au respect de sa signature et il l'a déterminée à lui céder le certificat n° 21a; il a donc amené sa cocontractante à faire un acte qui se révélerait préjudiciable à ses intérêts, a posteriori, puisqu'il cherche aujourd'hui à obtenir une décision judiciaire de nature à rendre indirectement caduc l'acte en question. Il s'agit là d'un venire contra factum proprium tombant sous le coup de l'art. 2 al. 2 CC.
Les premiers juges soulignent, en outre, que le transfert du certificat n° 21a n'a pas encore été approuvé par le conseil d'administration de l'intimée, contrairement aux prescriptions de l'art. 6 al. 4 des statuts, de sorte que C._ demeure seule titulaire de ce certificat. Toutefois, le recourant ne saurait rien déduire en sa faveur de cet état de choses. Comme le constate la cour cantonale, il n'a pas requis du conseil d'administration de l'intimée qu'il enregistrât la cession du certificat n° 21a. Aussi l'intéressé ne peut-il pas tirer argument de sa propre incurie. On verrait mal, au demeurant, comment le conseil d'administration de l'intimée pourrait refuser d'approuver le transfert des actions regroupées dans ce certificat, plus de onze ans après la création de ce titre, sans violer par là même les règles de la bonne foi, étant donné que c'est lui qui a autorisé, en février 2000, la création du certificat n° 21a, entérinée depuis lors par l'assemblée générale du 30 septembre 2002, que ledit transfert a été voulu par les deux actionnaires susceptibles de faire valoir des droits sur le petit bar et qu'il vise, en définitive, à donner une assise juridique à une situation de fait établie au milieu des années 1960. Pour le surplus, ce n'est pas le lieu d'examiner les moyens dont disposerait le recourant pour contester un hypothétique refus du conseil d'administration d'approuver le transfert du certificat n° 21a.
Enfin, la possibilité pour le recourant, évoquée par la cour cantonale, de réclamer à C._ le remboursement des 40'000 fr. qu'il lui a versés pour l'acquisition du certificat n° 21a, au cas où l'action en annulation pendante serait admise, apparaît bien aléatoire. Quoi qu'il en soit, comme il n'est pas établi que le recourant ait été contraint de conclure la convention du 11 février 2009 sous la pression des événements, sa tentative de remettre en cause aujourd'hui l'engagement souscrit par lui à l'époque, qui est de nature à décevoir la confiance légitime inspirée alors par lui à sa cocontractante, se révèle abusive (venire contra factum proprium), comme on l'a déjà relevé plus haut.
Par conséquent, faute d'un intérêt juridique digne de protection de son auteur à l'annulation de la décision litigieuse, l'action en annulation introduite par le recourant doit être rejetée. Le jugement entrepris, qui aboutit lui aussi à cette conclusion tout en admettant l'existence d'un tel intérêt, peut ainsi être confirmé par substitution de motifs.
Le premier moyen soulevé par le recourant apparaît mal fondé pour une raison qui dispense la Cour de céans d'examiner les considérations émises par les premiers juges au sujet de l'interprétation des statuts de l'intimée.
3. A titre subsidiaire, le recourant conteste la mise à sa charge, par le jugement attaqué, des frais de la procédure cantonale. Il y perçoit une violation de l'art. 706a al. 3 CO.
3.1 La disposition citée prévoit qu'en cas de rejet de la demande, le juge répartit librement les frais entre la société et le demandeur. Selon la jurisprudence, elle n'oblige pas le juge à s'écarter dans tous les cas du principe voulant que les frais de la procédure soient mis à la charge de la partie déboutée (arrêt 4A_205/2008 du 19 août 2008 consid. 5; consid. 5 non publié de l'ATF 128 III 142, reproduit in SJ 2002 I p. 373 ss, 378).
3.2 Les juges précédents ont estimé que les circonstances particulières du cas ne justifiaient pas de s'écarter des règles ordinaires en la matière, nonobstant l'art. 706a al. 3 CO. En effet, le litige se résumait, en réalité, à une querelle entre le demandeur et dame C._, sans que la défenderesse y eût un intérêt propre. Le demandeur, en remettant en cause le droit exclusif de la prénommée sur la boutique, avait fait naître le différend qui s'en était suivi; il avait repoussé plusieurs offres transactionnelles, retiré une partie de ses conclusions pendente lite et succombé relativement à sa prétention résiduelle. Il se justifiait, dès lors, de lui faire supporter les frais de la procédure.
Eu égard au large pouvoir d'appréciation que la loi confère au juge cantonal en ce domaine, le fait pour l'autorité précédente d'avoir dérogé à la règle générale de l'art. 706a al. 3 CO n'apparaît en rien critiquable sur le vu des motifs avancés pour justifier cette solution.
Le recourant n'invoque pas d'argument de nature à établir une violation du droit fédéral du fait qu'il n'a pas été exonéré d'une partie des frais. En particulier, il allègue péremptoirement que l'intimée a favorisé inutilement un actionnaire par rapport à un autre, mettant l'actionnaire minoritaire au pied du mur et ne lui laissant pas d'autre choix que de procéder. L'intéressé relève aussi que s'il a refusé la transaction qui lui était proposée, c'est parce que la majorité des actionnaires voulait lui faire payer la somme de 40'000 fr. pour les frais de procédure. La première affirmation ne consiste qu'en un avis exprimé par le recourant et qui ne correspond à aucune constatation des juges cantonaux. La seconde va au-delà de la constatation topique, qui ne mentionne aucun montant; de toute façon, même avérée, elle ne suffirait pas à faire apparaître la solution retenue par la cour cantonale comme contraire au droit fédéral.
4. Le recourant, qui succombe, devra payer les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF) et indemniser l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 21 mars 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo