Faits:
A. A.a Par jugement rendu le 6 novembre 2006, le Tribunal d'arrondissement I de Moutier a prononcé le divorce de A._ d'avec dame B._, et condamné celui-ci à payer une contribution à l'entretien de leurs deux filles, nées respectivement le 18 décembre 2000 et le 9 décembre 2003, de 560 fr. par mois, allocations familiales en sus, ainsi qu'une pension de 400 fr. à son ex-femme. Cette pension a été supprimée par le remariage de l'ex-épouse.
A.b A._ s'est remarié le 16 mai 2007 avec une compatriote macédonienne; la formation de coiffeuse de celle-ci, acquise dans son pays d'origine, n'est pas reconnue en Suisse.
De cette nouvelle union sont issus des jumeaux, nés le 8 mai 2009.
A.c Par jugement du 16 décembre 2009, statuant sur demande du 15 mai 2009 de A._ en modification partielle du jugement de divorce du 6 novembre 2006, la juge civile du Tribunal de première instance a fixé dès le 1er mai 2009 la contribution d'entretien mensuelle due par A._ en faveur de chacune de ses deux filles à 250 fr., allocations familiales non comprises et acquises en plus à l'attributaire de la garde.
Ces montants se fondent sur un revenu et une fortune nuls de la mère, laquelle est assistée par l'aide sociale, et sur un revenu mensuel du père de 4'300 fr., sans fortune.
A.d Statuant sur appel du père et sur appel joint de la mère, par arrêt du 6 avril 2010, la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura a confirmé pour l'essentiel ce jugement, en particulier les contributions d'entretien dues en faveur des enfants, précisant que le revenu mensuel du père sur la base duquel elles ont été calculées s'élève à 4'600 fr.
B. Le père interjette le 7 mai 2010 un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à sa réforme en ce sens que la contribution d'entretien due en faveur de ses filles est supprimée. Il se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et d'une violation des art. 285 et 286 CC. Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimée conclut au rejet du recours et requiert également l'octroi de l'assistance judiciaire.
La cour cantonale conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 1 consid. 1.1 p. 3).
1.1 Le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale et sur recours par le tribunal supérieur du canton du Jura (art. 75 LTF) dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF) de nature pécuniaire (cf. ATF 116 II 493 consid. 2 p. 494; cf. également ATF 133 III 393 consid. 2 p. 395) dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (ATF 133 III 545 consid. 2.2 p. 550). Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 133 IV 150 consid. 1.2 p. 152).
1.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), à savoir que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'examine en effet la violation de l'interdiction de l'arbitraire que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (principe d'allégation; ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287).
2. La cour cantonale a considéré que le remariage de l'appelant et la naissance de jumeaux sont des circonstances propres à justifier une modification du jugement de divorce. L'appelant est au chômage technique partiel depuis plusieurs mois, de sorte qu'il ne touche pas la totalité de son salaire. Même si cette situation perdurera vraisemblablement encore quelques mois, elle n'est que passagère et l'appelant obtiendra à nouveau prochainement son plein salaire, d'autant qu'une indemnité en cas de réduction de l'horaire de travail ne peut être perçue que durant une période limitée. Il faut donc se baser sur son salaire mensuel perçu en temps ordinaire, c'est-à-dire 4'627 fr., dont à déduire 158 fr. pour l'abonnement de train, à savoir 4'469 fr. Sa nouvelle épouse, ressortissante macédonienne, a effectué dans son pays une formation de coiffeuse, qui n'est toutefois pas reconnue en Suisse; elle s'occupe en outre des jumeaux. Il n'y a donc pas lieu de tenir compte d'un revenu hypothétique. S'agissant des charges, et des impôts en particulier, les juges précédents ont relevé que l'appelant se voit retenir un montant mensuel de 502 fr. à titre d'impôt à la source; un tel montant est cependant excessif, compte tenu des déductions qu'il peut faire valoir en raison de ses charges familiales. Il lui appartient de demander au Service des contributions une restitution de l'excédent. En outre, d'ici quelques mois, il sera vraisemblablement mis au bénéfice d'une autorisation d'établissement et sera ainsi soumis à la taxation ordinaire, qui lui permettra de faire valoir un certain nombre de déductions supplémentaires. Il s'agit là d'un changement de circonstances prévisible dont il y a lieu de tenir compte. Dans cette mesure, il convient, selon la cour cantonale, de prendre en considération une charge fiscale de l'ordre de 130 fr. par mois (revenu annuel déterminant de 28'000 fr.). Enfin, les juges précédents ont rappelé que, lorsque plusieurs enfants ont droit à une contribution d'entretien, le principe de l'égalité de traitement doit être respecté. Il convient par conséquent de ne pas prendre en compte dans le calcul du minimum vital du débirentier les montants de base pour les deux enfants qui vivent avec lui; à défaut, cela reviendrait à favoriser les jumeaux qui vivent avec leur père, au détriment des deux premiers enfants.
3. Le recourant soutient que la cour cantonale a violé le droit fédéral en ne tenant pas compte d'une situation de chômage qui dure depuis plus d'une année, en ne prenant pas en considération l'entier de l'impôt à la source prélevé sur son salaire à titre de charge fiscale et en ne retenant pas dans le calcul de ses charges mensuelles le montant de base forfaitaire du droit des poursuites, de 400 fr. pour chacun de ses jumeaux. Il convient d'examiner successivement ces trois questions (cf. infra, consid. 4, 5 et 6).
4. 4.1 En ce qui concerne sa situation professionnelle, le recourant expose qu'il est au chômage partiel depuis le mois de mars 2009 et qu'il ressort des pièces au dossier qu'il a perçu en moyenne, treizième salaire compris et allocations familiales déduites, 4'201 fr. net par mois en 2008, 4'332 fr. 30 en 2009 et 4'184 fr. pour les quatre premiers mois de l'année 2010. Depuis plus d'une année, il affirme disposer ainsi d'un salaire mensuel net de 4'300 fr. et invoque que sa situation de chômage se prolonge. Une telle diminution de revenu sur une période supérieure à une année devrait, selon lui, impérativement être prise en compte, puisque l'on ne saurait considérer qu'il s'agit d'une modification de nature passagère.
4.2 Le recourant fonde sa critique sur des chiffres que l'arrêt attaqué ne constate pas - à savoir les salaires perçus en 2008, 2009 et début 2010, qu'il compare au revenu retenu par les juges précédents -, sans toutefois faire grief à la cour cantonale d'avoir établi les faits de manière manifestement inexacte ou incomplète. Partant, sa critique est irrecevable (cf. supra, consid. 1.3). A supposer qu'elle soit recevable, elle serait dans tous les cas infondée pour les raisons qui suivent.
4.3 Selon la jurisprudence, une période de chômage supérieure à quatre mois ne peut plus être considérée comme étant de courte durée; dans une telle situation, il convient en principe de tenir compte des indemnités de chômage effectivement perçues (arrêt 5P.445/2004 du 9 mars 2005 consid. 2.3 concernant la modification de mesures protectrices de l'union conjugale). Dans tous les cas, la question de savoir si la période de chômage est durable dépend des circonstances concrètes de chaque cas d'espèce, en particulier de la situation économique (arrêt précité, consid. 2.2). Le Tribunal fédéral a ainsi admis qu'une période de chômage qui s'est étendue sur une année et qui a induit une réduction de 16% des revenus du recourant par rapport à ce qu'il percevait au moment du divorce constitue un changement durable de circonstances (arrêt 5A_217/2009 du 30 octobre 2009 consid. 3.2.1).
4.4 La situation en l'espèce ne peut être comparée à celles décrites ci-dessus. En effet, le recourant n'est pas au chômage, mais au chômage partiel, la réduction du temps de travail se situant à 80% de l'activité normale. Son revenu mensuel net en subit, toujours selon les chiffres qu'il avance, une diminution de 300 fr. en chiffres ronds par mois, représentant une baisse de 6,5% par rapport au salaire "ordinaire" retenu par les juges précédents. Dans ces conditions, la question de savoir s'il s'agit d'un changement de circonstances durable au sens de la jurisprudence peut demeurer indécise, dans la mesure où l'on ne saurait considérer, dans tous les cas, qu'il est notable.
5. 5.1 S'agissant des impôts, le recourant reproche à la cour cantonale de n'avoir pas tenu compte du fait qu'il est imposé à la source et d'avoir estimé qu'il sera prochainement au bénéfice d'un permis d'établissement entraînant son imposition ordinaire. Il invoque qu'il a toujours été imposé à la source depuis qu'il a débuté son activité au service de son employeur et que rien ne permet d'affirmer qu'il pourra bénéficier d'un permis C à la fin de l'année 2010; ce serait tout au plus à la fin du premier semestre 2011 qu'il pourrait obtenir un tel permis. Les juges précédents ne sauraient s'écarter de cette situation de fait, valable pour les années 2009 et 2010. Le montant de l'impôt à la source prélevé chaque mois sur son salaire s'élève à 502 fr.; pour l'année 2009, la retenue annuelle s'est montée à 5'540 fr. 15, à savoir 461 fr. 70 par mois. Enfin, la jurisprudence selon laquelle, en cas de situation financière serrée du débirentier, il n'y a pas lieu de tenir compte de la charge fiscale, ne saurait selon lui s'appliquer lorsqu'on se trouve en présence d'un impôt prélevé à la source, auquel l'employé ne peut se soustraire.
5.2 Conformément à la jurisprudence, ce sont les constatations de fait et le pronostic effectués dans le jugement de divorce, d'une part, et les circonstances actuelles et futures prévisibles, d'autre part, qui servent de fondement pour décider si on est en présence d'une situation qui s'est modifiée de manière durable et essentielle. Un état de fait futur incertain et hypothétique ne constitue pas une cause de modification; l'évolution des circonstances telle que prévisible dans un futur proche peut en revanche être prise en considération afin d'éviter autant que possible une procédure ultérieure en modification de jugement (ATF 120 II 285 consid. 4b p. 292 et les références).
En l'espèce, la demande en modification du jugement de divorce a été déposée au mois de mai 2009 par le recourant et la réduction des contributions d'entretien a été admise par la cour cantonale dès cette date. Dans ces circonstances, c'est à tort que les juges précédents ont pris en considération la charge fiscale résultant de l'imposition ordinaire, hypothétique et future du recourant, laquelle n'est pas encore effective et ne pourra pas l'être, le cas échéant, avant plusieurs mois. Il y a lieu ainsi de s'en tenir à l'imposition actuelle, à la source, du recourant.
5.3 Conformément à la jurisprudence, si les moyens du débirentier sont insuffisants, il faut partir de son minimum vital, sans prendre en considération la charge fiscale (ATF 127 III 289 consid. 2a/bb p. 292; 126 III 353 consid. 1a/aa p. 356). Ceci ne saurait toutefois valoir lorsque le débirentier est imposé à la source, dès lors que le montant de cet impôt est déduit de son salaire sans qu'il puisse s'y opposer. Une telle solution s'impose dans la mesure où, en matière de droit des poursuites et de calcul du minimum vital selon l'art. 93 LP - lequel doit dans tous les cas être préservé (ATF 135 III 66) - le calcul du montant saisissable d'un débiteur imposé à la source doit tenir compte du salaire qu'il perçoit effectivement (cf. ch. III des Lignes directrices pour le calcul du minimum vital selon l'art. 93 LP; ATF 90 III 34; arrêt 7B.221/2003 du 17 novembre 2003 consid. 3.4).
Le recours doit donc être admis sur ce point. On ne peut toutefois retenir dans le calcul du minimum vital du recourant le montant actuellement prélevé sur son salaire, de 502 fr. par mois. La cour cantonale a en effet indiqué que cet impôt est surestimé compte tenu des charges familiales de l'intéressé. Elle n'a toutefois pas procédé d'office à l'estimation, sur la base du tarif jurassien de l'imposition à la source, du montant correct qui devrait être retenu. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'y remédier. La cause sera par conséquent renvoyée aux juges précédents pour qu'ils intègrent dans le calcul du minimum vital du recourant l'impôt à la source qui devrait être théoriquement prélevé sur son salaire compte tenu de sa situation familiale et de ses charges.
6. 6.1 Le recourant reproche ensuite à la cour cantonale de n'avoir pas pris en compte dans son minimum vital, au nom de l'égalité de traitement entre enfants, le montant forfaitaire de base au sens du droit des poursuites pour ses jumeaux, de 400 fr. par enfant. Dans la mesure où ceux-ci vivent avec lui et demandent, par conséquent, davantage d'efforts financiers que ses deux autres filles, on ne pourrait comparer leur situation avec celle de ses premiers enfants, qui vivent avec leur mère et dont le montant de base serait couvert par l'aide sociale allouée à celle-ci.
6. 6.1 Le recourant reproche ensuite à la cour cantonale de n'avoir pas pris en compte dans son minimum vital, au nom de l'égalité de traitement entre enfants, le montant forfaitaire de base au sens du droit des poursuites pour ses jumeaux, de 400 fr. par enfant. Dans la mesure où ceux-ci vivent avec lui et demandent, par conséquent, davantage d'efforts financiers que ses deux autres filles, on ne pourrait comparer leur situation avec celle de ses premiers enfants, qui vivent avec leur mère et dont le montant de base serait couvert par l'aide sociale allouée à celle-ci.
6.2 6.2.1 Conformément à la jurisprudence, lorsque plusieurs enfants ont droit à une contribution d'entretien, le principe de l'égalité de traitement doit être respecté (ATF 127 III 68 consid. 2c p. 70; 126 III 353 consid. 2b p. 357 et les arrêts cités). Ce principe vaut également lorsqu'un enfant naît d'un nouveau lit; celui-ci doit être financièrement traité de manière égale aux enfants d'un précédent lit au bénéfice de contributions d'entretien (arrêt 5P.114/2006 du 12 mars 2007 consid. 4.2, in FamPra.ch 2007 p. 690). Selon ce principe, les enfants d'un même débiteur doivent être financièrement traités de manière semblable, proportionnellement à leurs besoins objectifs; l'allocation de montants différents n'est donc pas exclue, mais doit avoir une justification particulière (ATF 126 III 353 consid. 2b p. 357 et les références).
Lorsque les capacités financières du débirentier sont modestes comparativement au nombre d'enfants créanciers d'aliments, il convient de prendre comme point de départ son minimum vital au sens du droit des poursuites - en principe sans prendre en considération la charge fiscale (cf. supra, consid. 5.3) -, duquel il faut retrancher les charges qui font partie du minimum vital des enfants (montants de base, part du loyer et primes d'assurance-maladie), ainsi que les contributions d'entretien dues à d'autres enfants en vertu d'un jugement de divorce (ATF 127 III 68 consid. 2c p. 70; arrêts 5A_62/2007 du 24 août 2007 consid. 6.2; 5C.127/2003 du 15 octobre 2003, consid. 4.1.4). Si son disponible ne suffit pas à couvrir les besoins de tous les enfants - besoins desquels doivent être soustraites les allocations familiales ou d'études, qui ne sont pas prises en compte dans le revenu du parent qui les perçoit, mais déduites du coût d'entretien de l'enfant (arrêt 5A_207/2009 du 21 octobre 2009 consid. 3.2 et les références; cf. également ATF 128 III 305 consid. 4b p. 310) -, la répartition du manco a lieu entre tous les enfants et les deux familles doivent donc en supporter les conséquences. S'il n'y a pas de disponible, aucune contribution d'entretien ne peut être allouée aux enfants, en raison du principe selon lequel le minimum vital du débirentier doit être, dans tous les cas, préservé (ATF 135 III 66).
6.2.2 Dans l'hypothèse où le disponible du débirentier, calculé selon les principes qui précèdent, ne suffit pas à couvrir le minimum vital des enfants selon le droit des poursuites, ou s'il n'y a aucun disponible, il convient encore d'examiner si et dans quelle mesure on peut exiger de l'épouse du débirentier, sur la base de son devoir d'assistance, une augmentation de sa contribution aux charges de sa propre famille, afin de permettre à son mari de verser une contribution à l'entretien des enfants issus d'une précédente union ou nés hors mariage. Il résulte, en effet, du devoir général d'assistance entre époux selon les art. 159 al. 3 et 278 al. 2 CC que les conjoints doivent en principe s'entraider financièrement pour l'éducation des enfants issus d'une précédente union ou nés hors mariage, bien que la responsabilité de l'entretien de ces enfants incombe au premier chef à leurs parents et non aux conjoints de ceux-ci. Lorsque les moyens dont dispose un époux ne sont pas suffisants pour qu'il assume, en sus des charges de l'union conjugale, sa part de l'entretien d'un enfant issu d'un précédent lit ou né hors mariage, une modification proportionnelle de la part de son conjoint aux charges du ménage est inévitable; dans cette mesure, les beaux-parents ont un devoir indirect d'assistance qui, dans certains cas exceptionnels, peut aussi avoir pour conséquence que le conjoint du débiteur de l'entretien doit prendre une activité lucrative ou augmenter celle qu'il exerce déjà (ATF 127 III 68 consid. 3 p. 71). Le devoir d'assistance du conjoint est toutefois limité de trois manières. Premièrement, il est subsidiaire, l'obligation d'entretien des parents envers leurs enfants étant prioritaire; par conséquent, la capacité financière de l'autre parent biologique doit être épuisée (ATF 120 II 285 consid. 2b p. 287; arrêt 5C.18/2000 consid. 2b, non publié in ATF 126 III 353). Deuxièmement, le nouveau conjoint ne doit l'assistance que dans la mesure où il dispose encore de moyens après couverture de son minimum vital et de celui de ses propres enfants (arrêts 5A_685/2008 du 18 décembre 2008 consid. 3.2.4; 5C.82/2004 du 14 juillet 2004 consid. 3.2.1, in FamPra.ch 2005 p. 172; 5P.186/2006 du 18 août 2006 consid. 4); en d'autres termes, le devoir d'assistance n'entre en ligne de compte que si le minimum vital de la nouvelle famille du débirentier est couvert, y compris celui des enfants. Troisièmement, la contribution d'entretien en faveur de l'enfant issu d'une précédente union ou né hors mariage ne saurait être arrêtée à un montant supérieur à ce qu'elle aurait été sans le mariage du débirentier (arrêt 5C.82/2004 du 24 juillet 2004 consid. 3.2.1, in FamPra.ch 2005 p. 172; ATF 78 III 121 consid. 1 p. 124; RSJ 1985 233 no 43).
S'il résulte un disponible de la prise en compte du revenu - cas échéant hypothétique - de l'épouse du débirentier, le minimum vital de sa nouvelle famille étant couvert, cet éventuel surplus sera réparti entre tous les enfants, conformément au principe d'égalité de traitement. S'il n'y a aucun disponible, les enfants issus d'une précédente union ou nés hors mariage ne recevront aucune contribution d'entretien, respectivement devront se contenter de leur part du disponible du débirentier.
6.3 En l'espèce, c'est ainsi à juste titre que la cour cantonale n'a pas pris en compte dans le calcul du minimum vital du recourant les montants forfaitaires de base au sens du droit des poursuites pour ses jumeaux. Il appartiendra aux juges précédents de procéder de la même manière, en déduisant toutefois l'impôt à la source estimé selon le tarif cantonal (cf. supra, consid. 5.3). Ils répartiront ensuite l'éventuel disponible entre tous les enfants selon le principe d'égalité de traitement, étant précisé qu'il a d'ores et déjà été tranché, sans que l'intimée n'ait recouru sur cette question, que la nouvelle épouse du recourant n'a aucune capacité de gain.
7. Vu ce qui précède, le recours doit être partiellement admis dans la mesure où il est recevable et la cause renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Compte tenu de l'indigence des parties, l'assistance judiciaire doit leur être accordée à toutes deux (art. 64 al. 1 LTF); Me Mathias Eusebio est désigné comme conseil d'office du recourant et Me Alain Schweingruber comme conseil d'office de l'intimée. Les frais judiciaires sont mis à la charge des parties à raison de la moitié chacune (art. 66 al. 1 LTF), étant précisé que l'émolument est supporté provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis dans la mesure où il est recevable et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est admise.
3. La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est admise.
4. Me Mathias Eusebio est désigné en tant qu'avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, supportée par la Caisse du Tribunal fédéral.
5. Me Alain Schweingruber est désigné en tant qu'avocat d'office de l'intimée et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, supportée par la Caisse du Tribunal fédéral.
6. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge des parties à raison de la moitié chacune, cet émolument étant provisoirement supporté par la Caisse du Tribunal fédéral.
7. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura.
Lausanne, le 29 octobre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Aguet