Faits:
A.
A._, ressortissante portugaise née le *** 1969, est entrée en Suisse le 8 janvier 2009 pour y travailler en tant que barmaid à plein temps. A cette fin, elle a obtenu une autorisation de séjour CE/AELE valable cinq ans, soit du 1er mars 2009 au 28 février 2014.
A._ a exercé cette activité à 100% du 1er au 31 mars, puis a conclu, avec la même société, un contrat pour une activité à 50% dès le 1er avril 2009. Elle a été licenciée pour restructuration le 28 février 2010.
L'intéressée a alors perçu des indemnités de l'assurance-chômage du 1er mars 2010 au 31 mars 2011; puis, son droit à ces indemnités étant épuisé, elle a bénéficié des prestations de l'aide sociale dès le 1er avril 2011.
Par la suite, A._ a occupé un emploi temporaire d'insertion, fourni par un office régional de placement, en qualité d'opératrice auprès de l'administration du 18 octobre 2010 au 17 avril 2011; elle a alors été en arrêt de travail pour cause de maladie du 18 au 21 novembre 2010, du 13 au 24 janvier 2011, du 7 au 8 février et du 15 au 28 février 2011. Dans le cadre du programme d'insertion en qualité de bénéficiaire de l'aide sociale, A._ s'est encore vu attribuer une activité du 1er octobre au 31 décembre 2011 dans l'intendance de B._; son salaire brut mensuel s'élevait à 2'700 fr.; elle a quitté cet emploi le 5 décembre 2011.
Par lettre du 8 mai 2012, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population) a informé A._ de son intention de révoquer l'autorisation de séjour de l'intéressée, compte tenu du fait que celle-ci ne pouvait plus se prévaloir de la qualité de travailleur communautaire.
Le 24 mai 2012, l'Office régional de placement a clôturé le dossier de l'intéressée.
A la même date, A._ a été engagée à 80% auprès de la société C._ SA dans le cadre d'un contrat de mission de trois mois, soit du 24 mai au 24 août 2012. Elle a été en incapacité de travail totale du 8 au 22 juin 2012 et du 26 juin au 10 juillet 2012, puis en incapacité partielle (50%) du 11 au 23 juillet 2012 pour se retrouver à nouveau en incapacité totale du 24 juillet au 7 août 2012.
Le 17 septembre 2012, le Service de la population a révoqué l'autorisation de séjour CE/AELE de A._, et a prononcé son renvoi de Suisse dans un délai de trois mois. Il a retenu que le faible nombre d'heures de travail hebdomadaire effectuées par l'intéressée ne lui permettait plus de se prévaloir de la qualité de travailleur communautaire; en outre, celle-ci ne disposait que d'un très faible revenu aléatoire qui n'assurait pas son autonomie financière, si bien qu'elle percevait des prestations de l'aide sociale; elle ne remplissait dès lors pas les conditions lui permettant de séjourner en Suisse sans exercer une activité lucrative. Enfin, sa situation ne constituait pas un cas de rigueur.
B.
Par arrêt du 21 mars 2013, le Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a admis le recours de A._. Il a retenu en substance que l'intimée avait obtenu, à son arrivée en Suisse, une autorisation de séjour CE/AELE (actuellement UE/AELE) avec activité lucrative valable cinq ans; celle-ci avait exercé une première activité lucrative, en qualité de barmaid, du 1er mars 2009 au 28 février 2010. Dès lors que A._ avait effectivement occupé durant un an un emploi qui portait sur une activité économique réelle et effective, il apparaissait qu'elle avait acquis la qualité de travailleuse salariée communautaire au sens de l'art. 6 annexe I de I'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ci-après: ALCP ou l'Accord; RS 0.142.112.681). Il en découlait que son titre de séjour en cours de validité ne pouvait lui être retiré du seul fait qu'elle n'occupait plus d'emploi. En effet, toujours selon le Tribunal cantonal, au regard de l'art. 6 par. 6 annexe I ALCP seule une situation de chômage volontaire pouvait justifier la révocation de l'autorisation de séjour CE/AELE de l'intimée; or, le Service de la population ne prétendait pas que A._ était dans une telle situation et aucun élément allant dans ce sens ne ressortait du dossier. Enfin, le fait que l'intéressée soit tombée à la charge de l'assistance publique ne constituait pas un motif de révocation de l'autorisation de séjour CE/AELE au sens de l'art. 5 annexe I ALCP.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais, d'annuler l'arrêt du 21 mars 2013.
A._ conclut au rejet du recours. Le Service de la population se rallie aux considérations de l'Office fédéral et demande l'admission du recours. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de l'arrêt attaqué.
Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 136 I 43 consid. 1 p. 43).
1.1. Selon la jurisprudence, la voie du recours en matière de droit public est ouverte à l'Office fédéral qui fait valoir que l'autorité cantonale aurait reconnu l'existence d'un droit à une autorisation en matière de droit des étrangers en violation du droit fédéral (ATF 130 II 137 consid. 1.2 p. 140 s.). La présente cause ne tombe ainsi pas sous le coup de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF.
1.2. Au surplus, le présent recours remplit les conditions des art. 42 et 82 ss LTF et est, par conséquent, recevable.
1.3. Le recourant conclut uniquement à l'annulation de l'arrêt attaqué. Des conclusions purement cassatoires ne sont en principe pas suffisantes (art. 107 al. 2 LTF). Dès lors que l'on comprend sans peine qu'en demandant l'annulation de l'arrêt attaqué le recourant conclut implicitement au rétablissement de la décision 17 septembre 2012 du Service de la population et, partant, à la révocation de l'autorisation de séjour CE/AELE de l'intimée, il convient de ne pas se montrer trop formaliste (ATF 133 Il 409 consid. 1.4 p. 414 s.).
1.4. Le 21 juin 2013, le Service de la population a fait parvenir au Tribunal fédéral une pièce nouvelle datant du 14 juin 2013, soit postérieure à l'arrêt attaqué, et qui est donc irrecevable (art. 99 al. 1 LTF).
2.
Le recourant estime, au contraire du Tribunal cantonal (cf. partie "Faits" let. B.), que le comportement professionnel de l'intimée relève de l'abus de droit; il met en avant le fait que la durée de la première activité lucrative de celle-ci en Suisse lui a permis d'obtenir "au jour près" le droit aux indemnités de l'assurance-chômage; il ajoute que l'intéressée, qui séjourne dans notre pays depuis plus de quatre ans, n'y a travaillé qu'environ quatorze mois (sous déduction des emplois temporaires d'insertion). De plus, au regard de son attitude, l'intimée démontrerait ne pas vouloir se procurer un emploi, de telle sorte qu'elle se trouverait depuis de nombreux mois dans une situation de chômage volontaire ne lui conférant plus la qualité de travailleuse au sens de l'art. 6 annexe I ALCP.
3.
3.1. L'art. 6 par. 1 annexe I ALCP prévoit que le travailleur salarié ressortissant d'une partie contractante (ci-après: le travailleur salarié) qui occupe un emploi d'une durée égale ou supérieure à un an au service d'un employeur de l'Etat d'accueil reçoit un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins à dater de sa délivrance. Celui-ci est automatiquement prolongé pour une durée de cinq ans au moins. Lors du premier renouvellement, sa durée de validité peut être limitée, sans pouvoir être inférieure à un an, lorsque son détenteur se trouve dans une situation de chômage involontaire depuis plus de douze mois consécutifs; selon l'art. 6 par. 6 annexe I ALCP, le titre de séjour en cours de validité ne peut être retiré au travailleur salarié du seul fait qu'il n'occupe plus d'emploi, soit que l'intéressé ait été frappé d'une incapacité temporaire de travail résultant d'une maladie ou d'un accident, soit qu'il se trouve en situation de chômage involontaire dûment constatée par le bureau de main-d'oeuvre compétent.
Aux termes de l'art. 16 par. 2 ALCP, dans la mesure où l'application de l'Accord implique des notions de droit communautaire, il sera tenu compte de la jurisprudence pertinente de la Cour de justice des Communautés européennes (actuellement: Cour de justice de l'Union européenne; ci-après: la Cour de justice ou CJCE) antérieure à la date de sa signature. La jurisprudence postérieure à la date de la signature de l'Accord est cependant prise en compte par le Tribunal fédéral pour assurer le parallélisme du système qui existait au moment de la signature de l'Accord et tenir compte de l'évolution de la jurisprudence de l'Union européenne (ATF 136 II 5 consid. 3.4 p. 12 et les références citées, 65 consid. 3.1 p. 70).
La Cour de justice estime que la notion de travailleur, qui délimite le champ d'application du principe de la libre circulation des travailleurs, doit être interprétée de façon extensive, tandis que les exceptions et dérogations à cette liberté fondamentale doivent, au contraire, faire l'objet d'une interprétation stricte (ATF 131 II 339 consid. 3.2 p. 345 et les références aux arrêts de la CJCE Kempf du 3 juin 1986 139/85, Rec. 1986 p. 1741 point 13 et Levin du 23 mars 1982 53/1981, Rec. 1982 p. 1035 point 13, voir aussi Conclusions de l'avocat général du 5 juillet 2007 C-291/05, Rec. 2007 I-10719 point 73). Doit ainsi être considérée comme un "travailleur" la personne qui accomplit, pendant un certain temps, en faveur d'une autre personne et sous la direction de celle-ci, des prestations en contrepartie desquelles elle touche une rémunération (arrêts Brian Francis Collins du 23 mars 2004 C-138/02, Rec. 2004 I-2703 point 26 et Lawrie-Blum du 3 juillet 1986 66/85, Rec. 1986 p. 2121 points 16 et 17). Cela suppose l'exercice d'activités réelles et effectives, à l'exclusion d'activités tellement réduites qu'elles se présentent comme purement marginales et accessoires (arrêt Petersen du 28 février 2013 C-544/11, destiné à la publication, point 30). Une fois que la relation de travail a pris fin, l'intéressé perd en principe la qualité de travailleur, étant entendu cependant que, d'une part, cette qualité peut produire certains effets après la cessation de la relation de travail et que, d'autre part, une personne à la recherche réelle d'un emploi doit être qualifiée de travailleur (arrêts Caves Krier Frères Sàrl du 13 décembre 2012 C-379/11, destiné à la publication, point 26 et Martinez Sala du 12 mai 1998 C-85/96, Rec. 1998 p. I-2719 point 32). La recherche réelle d'un emploi suppose que l'intéressé apporte la preuve qu'il continue à en chercher un et qu'il a des chances véritables d'être engagé, sinon il n'est pas exclu qu'il soit contraint de quitter le pays d'accueil après six mois (arrêts Brian Francis Collins, précité, point 37, Commission CE du 20 février 1997 C-344/95, Rec. 1997 I-1035 point 17 et Antonissen du 26 février 1991 C-292/89, Rec. 1991 p. I-779 point 22). A ce propos, le Tribunal fédéral considère que, sous réserve d'une situation d'abus de droit où un ressortissant communautaire se rendrait dans un autre Etat membre pour y exercer un travail fictif ou d'une durée extrêmement limitée dans le but de bénéficier de certaines aides (ATF 131 II 339 consid. 3.4 p. 347), les intentions ou le comportement de l'intéressé avant ou après sa période d'emploi ne sont pas déterminants pour examiner sa qualité de travailleur salarié. Seuls comptent les critères objectifs énoncés par la jurisprudence (ATF 131 II 339 consid. 4.3 p. 349).
En vertu de l'art. 23 al. 1 de l'ordonnance fédérale du 22 mai 2002 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, l'Union européenne et ses Etats membres, ainsi qu'entre les Etats membres de l'Association européenne de libre-échange (ordonnance sur l'introduction de la libre circulation des personnes, OLCP; RS 142.203), les autorisations de séjour de courte durée, de séjour et frontalières UE/AELE peuvent être révoquées ou ne pas être prolongées, si les conditions requises pour leur délivrance ne sont plus remplies.
3.2. Comme cela ressort des dispositions et de la jurisprudence susmentionnées, bien qu'octroyée pour une durée initiale de cinq ans, une autorisation de séjour CE/AELE peut être révoquée. Elle peut l'être lorsque les conditions requises pour sa délivrance ne sont plus remplies (cf. art. 6 par. 6 annexe I ALCP en relation avec l'art. 23 al. 1 OLCP). Cela ne signifie cependant pas que ces conditions initiales doivent rester remplies sur le long terme; ainsi, une personne qui a obtenu une autorisation de séjour CE/AELE au regard de sa qualité de travailleur, puis qui tombe au chômage involontaire ou se trouve en incapacité temporaire de travail due à une maladie ou à un accident continue à bénéficier de son autorisation et celle-ci peut même, à certaines conditions, être prolongée ( ANDREAS ZÜND/LADINA ARQUINT HILL, §8 Beendigung der Anwesenheit, Entfernung und Fernhaltung, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [éditeurs], Ausländerrecht, 2e éd. no 8.37 p. 333; cf. aussi MARCEL DIETRICH, Die Freizügigkeit der Arbeitnehmer in der Europäischen Union, 1995, p. 293; KAY HAILBRONNER, Ausländerrecht, Kommentar, 1994 ss, état septembre 2013, vol. 4, D 1, no 79 ad § 2 Freizügigkeitsgesetz/EU p. 37). En revanche, une personne qui serait au chômage volontaire ou qui se comporterait de façon abusive (p. e. en se rendant dans un autre Etat membre pour y exercer un travail fictif ou d'une durée extrêmement limitée dans la seule intention de bénéficier de certaines aides, telles que des prestations sociales meilleures que dans son Etat d'origine) peut se voir retirer son autorisation (cf. supra consid. 3.1) (ATF 131 II 339 consid. 3.4 p. 347).
4.
4.1. En l'espèce, l'intimée, est au bénéfice d'une autorisation de séjour CE/AELE valable cinq ans pour exercer une activité lucrative à temps complet dans toute la Suisse. Après avoir travaillé un mois à temps plein à son arrivée en Suisse, soit du 1er au 31 mars 2009, elle a conclu un nouveau contrat de travail avec la même société pour une activité à 50%; puis elle a été licenciée pour cause de restructuration le 28 février 2010, soit une année après le début de son activité lucrative dans notre pays. A ce moment-là, l'intimée devait être considérée comme travailleuse salariée au sens de l'art. 6 par. 1 annexe I ALCP puisqu'elle remplissait les conditions définies par la jurisprudence (cf. supra consid. 3.1) et qu'elle était au chômage involontaire (art. 6 par. 6 annexe I ALCP; cf. aussi art. 7 par. 3 let. b de la directive 2004/38/CE du 29 avril 2004 du Parlement européen et du Conseil relative au droit des citoyens de l'Union et des membres de leurs familles de circuler et de séjourner librement sur le territoire des Etats membres). Cela impliquait que, étant au chômage depuis le 1er mars 2010, elle bénéficie des mêmes droits que les nationaux en matière de prestations sociales (cf. Alvaro Borghi, La libre circulation des personnes entre la Suisse et l'UE, 2010, § 144 p. 71 et § 359 p. 171). Tel a été le cas, l'intimée ayant perçu, dans un premier temps, les indemnités de l'assurance-chômage puis, dans un second temps, des prestations de l'aide sociale.
Il s'agit maintenant de déterminer si, compte tenu de l'évolution de la situation, l'intéressée a gardé son statut de travailleur salarié ou si, au contraire, elle l'a perdu. Il faut se pencher sur cette question avant d'examiner si son comportement relève de l'abus de droit, comme le soutient le recourant, puisque si l'on devait constater que l'intimée ne peut plus être qualifiée de travailleuse, elle n'aurait plus de droit au séjour en Suisse (compte tenu de sa situation financière défavorable) et, partant, ne pourrait commettre d'abus de droit.
4.2. Après son licenciement, l'intimée a été huit mois au chômage. Puis elle a occupé un emploi temporaire d'insertion, fourni par un office régional de placement, d'une durée de six mois, soit du 18 octobre 2010 au 17 avril 2011, auprès de l'administration.
Les emplois temporaires d'insertion sont destinés aux personnes au chômage et consistent dans des postes de durée déterminée. Bien que dénommés "emplois", ils s'en distinguent par deux caractéristiques principales: premièrement, la personne concernée, soit l'assuré au chômage, ne conclut pas de contrat de travail: une "mesure d'emploi" lui est assignée et il ne peut pas la refuser, sous peine de sanction (cf. art. 30 al. 1 let. d, 59 al. 1-1bis et 64a al. 1 LACI); deuxièmement, aucun salaire ne lui est versé (il peut s'agir d'emplois subventionnés [cf. art. 59c et 59cbis LACI; ATF 133 V 536 consid. 4.1 p. 540]); la personne concernée continue en principe à toucher les prestations de l'assurance-chômage auxquelles elle a droit. Compte tenu notamment de ces deux éléments, soit l'absence de contrat de travail et de rémunération (cf. supra consid. 2.1; cf. aussi sur les conditions à remplir pour être considéré comme un travailleur en droit communautaire: Marcel Dietrich, op. cit., no 3 p. 271 ss), un tel emploi ne confère pas la qualité de travailleur à la personne qui l'exerce.
4.3. Ce travail temporaire d'insertion a été suivi d'une nouvelle période d'inactivité de six mois de mi-avril 2011 à fin septembre 2011; en outre, depuis la fin mars 2011, l'intimée n'avait plus droit aux prestations de l'assurance-chômage et elle a alors bénéficié de l'aide sociale.
Le Tribunal fédéral n'a jamais eu à déterminer à partir de quel moment exactement un étranger perd la qualité de travailleur une fois au chômage involontaire; il a en revanche déjà jugé que le détenteur d'une autorisation de séjour CE/AELE au chômage involontaire pendant dix-huit mois - mois durant lesquels la personne était restée inactive et avait touché des indemnités de chômage puis des prestations d'assistance - perdait le statut de travailleur (RtiD 2012 I p. 152 consid. 4.3, 2C_967/2010). On peut ajouter que, selon la jurisprudence allemande, la qualité de travailleur s'éteint lorsque le placement du ressortissant de l'UE au chômage, sans être toutefois durablement en incapacité de travail, est définitivement exclu et qu'il n'a plus droit aux indemnités de chômage; il en va de même de celui qui n'a pas sérieusement l'intention de trouver un travail (Bertold Huber, Aufenthaltsgesetz - AufenthG - mit Freizügigkeitsgesetz/EU, ARB 1/80 und Qualifikationsrichtlinie, Kommentar, 2010, n. 46 p. 917). Dès lors, dans le cas présent, bien que l'intéressée se soit trouvée dans une situation de chômage involontaire - ce qui lui permettait de garder initialement la qualité de travailleuse -, il faut considérer qu'au plus tard à la fin septembre 2011, celle-ci ne pouvait plus être qualifiée de travailleur au sens de l'ALCP. En effet, à ce moment-là, elle était au chômage depuis dix-huit mois; elle avait épuisé son droit aux indemnités de chômage et émargeait à l'aide sociale; de plus, elle ne semblait pas être en mesure de trouver un emploi durable au regard notamment des dix-huit mois passés sans activité lucrative (hormis l'emploi d'insertion), de ses très nombreux arrêts maladie et de son manque de qualification professionnelle. En conséquence, les conditions requises pour la délivrance de l'autorisation de séjour n'étant plus réalisées à fin septembre 2011 et l'intimée n'étant plus dans une des situations permettant le séjour malgré l'absence de ces conditions, l'autorisation de séjour CE/AELE aurait pu alors être révoquée (art. 23 al. 1 OLCP en relation avec l'art. 6 par. 6 Annexe I ALCP).
4.4. Il faut maintenant examiner si les deux autres postes occupés ensuite par l'intimée lui ont fait retrouver sa qualité de travailleur. Le premier (auprès de B._) devait durer trois mois, soit du 1er octobre au 31 décembre 2011, mais l'intéressée l'a quitté après deux mois; cette activité était un emploi d'insertion, obtenu en qualité de bénéficiaire de l'aide sociale, avec, contrairement à celui obtenu en tant que bénéficiaire des indemnités de chômage, un salaire mensuel brut de 2'700.- fr. Puis, après une nouvelle période d'inactivité de six mois, l'intimée a signé un contrat d'une durée de trois mois maximum, soit du 24 mai au 24 août 2012, avec la société C._ SA. Pour cet emploi de "pickeur", exercé à 80%, l'intimée a touché une rémunération d'un montant total de 6'541 fr.
Le recourant prétend qu'avec l'emploi d'insertion auprès de B._ l'intimée ne retrouvait pas la qualité de travailleur car il s'agissait d'un travail social qui avait pour but la rééducation et la réinsertion (cf. arrêt de la CJCE Bettray du 31 mai 1989 344/87, Rec. 1989 1621).
Il est vrai que cet emploi d'insertion a des caractéristiques et des buts similaires à celui assigné à l'intimée auprès de l'administration (cf. consid. 4.2) si ce n'est qu'il était rémunéré. Quoi qu'il en soit ni l'emploi d'insertion à B._ ni celui auprès de C._ SA n'ont permis à l'intimée de réactiver son statut de travailleuse, compte tenu de leur brièveté (deux mois pour l'un, trois pour l'autre), du fait qu'ils suivaient de longues périodes de chômage et qu'ils ont été séparés par plus de six mois d'inactivité, soit du 5 décembre 2011 au 24 mai 2012, et qu'au surplus l'intimée touchait des prestations sociales (chômage puis revenu d'insertion) depuis le 28 février 2010. Dans l'arrêt précité 2C_967/2010, le Tribunal fédéral a en effet estimé qu'une personne qui avait perçu des indemnités de chômage puis des prestations d'assistance et qui, après une période d'inactivité de plus d'un an et demi, retrouvait un emploi qui n'avait duré que trois mois ne pouvait se voir à nouveau qualifiée de travailleur au sens de l'Accord (cf. sur la durée des rapports de travail en droit communautaire: Marcel Dietrich, op. cit., let. bbb. p. 278 et les arrêts cités). Il résulte de ce qui précède que, compte tenu de l'évolution de sa situation, l'intimée a perdu la qualité de travailleur.
5.
5.1. Il n'en demeure pas moins qu'avec le contrat de travail conclu avec C._ SA (d'une durée inférieure à un an), l'intéressée a acquis le droit de rester au moins six mois en Suisse, à la fin de cette activité, afin d'y chercher un nouvel emploi (cf. RtiD 2012 I p. 152 consid. 4.3, 2C_967/2010).
5.2. Ce droit est octroyé par l'art. 2 par. 1 al. 2 annexe I ALCP pour permettre aux ressortissants d'un Etat membre de prendre connaissance des offres d'emplois correspondant à leurs qualifications professionnelles et d'effectuer, le cas échéant, les démarches nécessaires aux fins d'être engagés. Cette règle conventionnelle est concrétisée à l'art. 18 OLCP (ATF 130 II 388 consid. 3.3 p. 393). Après les six premiers mois de recherche d'emploi (art. 18 al. 2 OLCP), l'autorisation accordée peut être prolongée jusqu'à une année au plus pour autant que la personne concernée soit en mesure de prouver les efforts déployés à cet effet et qu'il existe une réelle perspective d'engagement (art. 18 al. 3 OLCP).
5.3. L'intimée n'a produit, durant la procédure, aucune proposition d'embauche de la part d'un employeur ni aucune offre qu'elle aurait formulée à de potentiels employeurs, soit en réponse à une annonce, soit spontanément. En outre, alors qu'elle est au chômage depuis le 28 février 2010, elle n'a été capable de trouver qu'un seul travail, soit celui de trois mois auprès de la société C._ SA en été 2012; il est d'ailleurs révélateur de constater que ce contrat de travail a été conclu le 24 mai 2012, soit quelques jours après que le Service de la population l'eut informée de son intention de révoquer l'autorisation de séjour en cause. De plus, les trois activités exercées (dont deux ont été fournies par les services publics compétents) ont été entrecoupées par de très nombreuses absences pour cause de maladie sans que l'intéressée ne prétende souffrir d'une maladie particulière qui expliquerait ces absences. Il faut encore retenir que celle-ci n'a plus droit aux indemnités de chômage et qu'elle touche l'aide sociale depuis le 1er avril 2011. Finalement, l'office régional de placement a clos le dossier de l'intimée le 24 mai 2012 et elle ne peut donc plus compter sur cette aide pour trouver du travail. Les éléments qui précèdent démontrent que l'intimée n'a pas fourni d'effort pour trouver un emploi et qu'il n'existe aucune réelle perspective d'engagement.
5.4. Les six mois prévus pour la recherche d'un emploi par les art. 2 par. 1 al. 2 Annexe I ALCP et 18 al. 3 OLCP sont arrivés à échéance le 24 février 2013. L'intimée n'ayant démontré ni les efforts déployés à cet effet ni qu'il existe une réelle perspective d'engagement, elle ne peut plus séjourner en Suisse; dès lors, son autorisation de séjour CE/AELE peut être révoquée.
6.
L'intimée ne remplit pas non plus les conditions qui lui permettraient de continuer à séjourner dans notre pays en qualité de personne n'exerçant pas d'activité économique au sens de l'art. 24 annexe I ALCP, dès lors qu'elle ne dispose pas de moyens suffisants d'existence (cf. arrêt 2C_471/2012 du 18 janvier 2013 consid. 4.4 in fine).
7.
L'intimée n'ayant plus de droit à séjourner en Suisse, il ne peut dès lors pas être question d'abus de droit, argument soutenu par le recourant. On peut néanmoins ajouter qu'au regard du dossier il est douteux que l'intimée ait eu la volonté de trouver du travail dans notre pays après son licenciement et que son comportement trahit l'intention d'utiliser la libre circulation à des fins abusives. Cet abus aurait suffi à révoquer l'autorisation de séjour de l'intéressée, si l'on était arrivé à la conclusion que celle-ci bénéficiait encore d'un droit à une autorisation de séjour (cf. consid. 3.1).
8.
Compte tenu des éléments qui précèdent, le recours est admis et l'arrêt attaqué annulé. La décision du 17 septembre 2012 du Service de la population de révoquer l'autorisation de séjour de l'intimée est rétablie.
Succombant, l'intimée supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Agissant dans l'exercice de ses attributions officielles, l'Office fédéral des migrations ne peut se voir octroyer des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis, l'arrêt du 21 mars 2013 du Tribunal cantonal du canton de Vaud annulé et la décision du 17 septembre 2012 du Service de la population du canton de Vaud révoquant l'autorisation de séjour de l'intimée rétablie.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr.-, sont mis à la charge de l'intimée.
3.
Le présent arrêt est communiqué à l'Office fédéral des migrations et au représentant de l'intimée, ainsi qu'au Service de la population et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 10 avril 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Jolidon