Sachverhalt:
A. Die 1949 geborene B._ meldete sich im Februar 2006 unter Hinweis auf seit 1998 bestehende Rückenprobleme bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Mit Verfügungen vom 23. Juli 2008 sprach ihr die IV-Stelle Basel-Landschaft für die Zeit vom 1. Mai 2006 bis 30. November 2007 eine ganze Invalidenrente zu. Die hiegegen erhobene Beschwerde der B._ hiess das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, mit Entscheid vom 25. März 2009 insoweit gut, als es feststellte, dass ab 1. Dezember 2007 Anspruch auf eine Viertelsrente bestehe. In Gutheissung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten der IV-Stelle hob das Bundesgericht dieses Erkenntnis (mit Ausnahme der Gerichtskosten und der Parteientschädigung) und die Verfügung vom 23. Juli 2008 auf und wies die Sache an die Verwaltung zurück, damit diese nach Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Anspruch der Versicherten auf eine Rente der Invalidenversicherung ab 1. Dezember 2007 neu verfüge (Urteil 9C_515/2009 vom 14.September 2009).
Nach weiteren beruflichen Abklärungen bestätigte die IV-Stelle Basel-Landschaft mit Verfügung vom 22. Juli 2010 den Anspruch auf eine befristete ganze Rente für die Zeit vom 1. Mai 2006 bis 30. November 2007.
B. Auf Beschwerde hin sprach das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, B._ eine Viertelsrente ab 1. Dezember 2007 zu (Entscheid vom 14. April 2011).
C. Die IV-Stelle Basel-Landschaft führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid des Kantonsgerichts vom 14. April 2011 sei aufzuheben.
B._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Mit Verfügung vom 22. August 2011 ist der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat in Anwendung der gemischten Methode (Art. 28a Abs. 3 IVG und BGE 125 V 146) bei einem Anteil der Erwerbstätigkeit von 0,6 für die Zeit ab 9. August 2007 (mit Wirkung ab 1. Dezember 2007; Art. 88a Abs. 1 IVV) einen Invaliditätsgrad von 40 % (0,6 x 42,44% + 0,4 x 36,8%; zum Runden BGE 130 V 121) ermittelt, was Anspruch auf eine Viertelsrente gibt (Art. 28 Abs. 2 [bis 31. Dezember 2007: Abs. 1] IVG).
Das einzig umstrittene Invalideneinkommen für die Bemessung der Invalidität im erwerblichen Bereich durch Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG in Verbindung mit Art. 28a Abs. 1 IVG) hat die Vorinstanz wie schon im ersten Entscheid vom 25. März 2009 (vgl. Urteil 9C_515/ 2009 vom 14. September 2009 E. 2) auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2006 des Bundesamtes für Statistik (LSE 06), ausgehend vom durchschnittlichen monatlichen Bruttolohn von Frauen für einfache und repetitive Tätigkeiten (Anforderungsniveau des Arbeitsplatzes 4) im privaten Sektor («Total»; Fr. 4019.-; LSE 06 S. 25), bestimmt (vgl. BGE 129 V 472 E. 4.2.1 S. 476). Unter der Annahme eines im Gesundheitsfall geleisteten Arbeitspensums von 60 % in einer leidensangepassten Tätigkeit, wobei der Versicherten gemäss Einschätzung der Gutachter der Klinik Rehabilitation/Akutgeriatrie des Spitals X._ lediglich administrative (Hilfs-) Tätigkeiten zumutbar seien, und einer betriebsüblichen Arbeitszeit von 41,7 Wochenstunden ergab sich in Berücksichtigung der Nominallohnentwicklung 2006/07 und eines Abzugs vom Tabellenlohn nach BGE 126 V 75 von 10 % ein Invalideneinkommen von Fr. 27'557.20.
2. Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung und daraus gezogene willkürliche rechtliche Schlüsse in Bezug auf das Anforderungsniveau des Arbeitsplatzes und den Abzug vom Tabellenlohn durch die Vorinstanz (Art. 95 lit. a und Art. 97 Abs. 1 BGG). Offensichtlich unrichtig sei namentlich, wenn die Vorinstanz davon ausgehe, die vorgeschlagenen Stellenprofile würden dem von den Gutachtern des Spitals X._ umschriebenen Belastungsprofil nur ungenügend Rechnung tragen; zumutbar sei lediglich eine sitzende Tätigkeit an einem Schreibtisch, bei welcher lediglich Dokumente abgelegt oder Korrespondenzen geführt werden müssten.
3. 3.1 Die Vorinstanz ist in Würdigung der Akten (Gutachten des Spitals X._, Klinik Rehabilitation/Akutgeriatrie, vom 13. August 2007 samt ergänzendem Bericht vom 9. Oktober 2008 und Stellungnahme zu den von der IV-Stelle eingeholten konkreten Stellenbeschrieben vom 11. Januar 2010) zum Ergebnis gelangt, bereits die Mehrzahl der von der IV-Stelle vorgelegten Tätigkeiten als Sozialpädagogin sei mit dem medizinischen Belastungsprofil der Versicherten aus grundsätzlichen Überlegungen nicht vereinbar. Unter Berücksichtigung der gesamten objektiven und subjektiven Gegebenheiten des vorliegenden Einzelfalles sei der Tätigkeit als Sozialpädagogin stets eine gewisse physische Beanspruchung inhärent. Daraus hat die Vorinstanz geschlossen, auf dem ausgeglichenen Arbeitsmarkt seien keine zumutbaren Verweisungstätigkeiten als Sozialpädagogin vorhanden, welche es der Versicherten ermöglichten, ein Einkommen in vergleichbarer Höhe des zuletzt erzielten Verdienstes zu erzielen.
3.2 Die IV-Stelle bringt insoweit richtig vor, dass die Gutachter des Spitals X._ in ihrem Bericht vom 11. Januar 2010 bis auf eine sämtliche Stellen mit dem Anforderungs- und Belastungsprofil als grundsätzlich vereinbar resp. diesem relativ gut entsprechend beurteilten. Sie legt jedoch lediglich in Bezug auf drei Stellen dar, weshalb diese entgegen der Auffassung der Vorinstanz zumutbar wären, was im Rahmen der Kognition des Bundesgerichts in tatsächlicher Hinsicht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) nicht genügt, um daraus irgendwelche Schlüsse tatsächlicher oder rechtlicher Natur zu ziehen.
Im Weitern rügt die IV-Stelle zu Recht, dass die Wahl des Anforderungsniveaus 4 auf der offensichtlich unrichtigen Feststellung beruht, gemäss dem Gutachten vom 13. August 2007 sei der Versicherten lediglich eine sitzende Tätigkeit an einem Schreibtisch, bei welcher einzig Dokumente abgelegt oder Korrespondenzen geführt werden müssten, zumutbar. Aus der Antwort der Ärzte des Spitals X._ vom 9. Oktober 2008 ergibt sich, dass darunter grundsätzlich auch eine eher sitzende Tätigkeit an einem Schreibtisch zu verstehen ist, was unzweifelhaft über das blosse Ablegen von Dokumenten und das Führen von Korrespondenzen hinausgeht. Damit stellt sich aber die Frage, ob nicht vom Anforderungsniveau 3 (Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt) auszugehen ist, zumal wenn berücksichtigt wird, dass die Beschwerdegegnerin das Gymnasium besucht, danach eine Ausbildung zur Heilpädagogin absolviert und drei Jahre auf diesem Beruf gearbeitet hatte sowie nach rund zehn Jahren familienbedingter Abwesenheit vom Arbeitsmarkt während rund zwölf Jahren bis 2005 als Sozialpädagogin in einer Beschäftigungsstätte und Wohnheim tätig gewesen war. In diesem Zusammenhang verweist die IV-Stelle auf das Urteil 9C_235/2007 vom 8. Mai 2008 E. 3.4.1, wo ausgeführt wurde, das Anforderungsniveau 3 setze nicht qualifiziertes und selbständiges Arbeiten voraus, wie es die - von der damals am Recht gestandenen Versicherten ausgeübte - bisherige Pflegefachfrautätigkeit verlangte, was grundsätzlich auch auf Heilpädagogen und Sozialpädagoginnen zutrifft. Wie es sich damit verhält, kann indessen offenbleiben.
4. 4.1 Wird das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebungen des Bundesamtes für Statistik ermittelt, ist der entsprechende Ausgangswert (Tabellenlohn) allenfalls zu kürzen. Damit soll der Tatsache Rechnung getragen werden, dass persönliche und berufliche Merkmale, wie Art und Ausmass der Behinderung, Lebensalter, Dienstjahre, Nationalität oder Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad (vgl. LSE 94 S. 51) Auswirkungen auf die Lohnhöhe haben können (BGE 124 V 321 E. 3b/aa S. 323) und je nach Ausprägung die versicherte Person deswegen die verbliebene Arbeitsfähigkeit auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwerten kann (BGE 126 V 75 E. 5b/aa in fine S. 80). Der Abzug ist unter Würdigung der Umstände im Einzelfall nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen. Er darf 25 % nicht übersteigen (BGE 126 V 75 E. 5b/bb-cc S. 80; Urteil 9C_721/2010 vom 15. November 2010 E. 4.2).
Ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Abzug vom Tabellenlohn vorzunehmen ist, stellt eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage dar (Urteil 8C_652/2008 vom 8. Mai 2009 E. 4 in fine, nicht publiziert in BGE 135 V 297). Dagegen ist die Höhe des (im konkreten Fall grundsätzlich angezeigten) Abzuges eine Ermessensfrage und daher letztinstanzlich nur bei Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung korrigierbar (BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 39; Urteil 9C_40/2011 vom 1. April 2011 E. 2.1).
4.2 Die Vorinstanz hat unter Würdigung des Gewichtslimits und der zeitlichen Beschränkung insbesondere einer ununterbrochenen Sitzdauer gemäss dem ergänzenden Bericht des Spitals X._ vom 9. Oktober 2008 zum Gutachten vom 13. August 2007 einen Abzug vom Tabellenlohn von 10% vorgenommen (E. 7.5 des angefochtenen Entscheids). In gewissem Widerspruch dazu hat sie an derselben Stelle festgehalten, dass den gesundheitlichen Einschränkungen bereits im Rahmen des medizinisch noch zumutbaren Anforderungsprofils Rechnung getragen werde.
4.2 Die Vorinstanz hat unter Würdigung des Gewichtslimits und der zeitlichen Beschränkung insbesondere einer ununterbrochenen Sitzdauer gemäss dem ergänzenden Bericht des Spitals X._ vom 9. Oktober 2008 zum Gutachten vom 13. August 2007 einen Abzug vom Tabellenlohn von 10% vorgenommen (E. 7.5 des angefochtenen Entscheids). In gewissem Widerspruch dazu hat sie an derselben Stelle festgehalten, dass den gesundheitlichen Einschränkungen bereits im Rahmen des medizinisch noch zumutbaren Anforderungsprofils Rechnung getragen werde.
4.3 4.3.1 Die IV-Stelle verweist in ihrer Begründung, weshalb ein Abzug vom Tabellenlohn nicht gerechtfertigt ist, im Wesentlichen auf das Urteil 9C_40/2011 vom 1. April 2011 E. 2.3.1. Danach bestimmen Anforderungs- und Belastungsprofil, wie das Einnehmen wechselnder Positionen, Vermeiden von Zwangshaltungen der Wirbelsäule sowie Hebe- und Traglimiten, das Spektrum der erwerblichen Tätigkeiten, welche unter Berücksichtigung der Fähigkeiten, Ausbildung und Berufserfahrung der versicherten Person realistischerweise noch in Frage kommen (Urteil 9C_624/2009 vom 7. Oktober 2009 E. 4.1.1). Davon zu unterscheiden ist die Frage, ob mit Bezug auf eine konkret in Betracht fallende Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage verglichen mit einem gesunden Mitbewerber nur bei Inkaufnahme einer Lohneinbusse reale Chancen für eine Anstellung bestehen.
4.3.2 Besteht somit - auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt (zu diesem Begriff BGE 110 V 273 E. 4b S. 276), was entscheidend ist - auch unter Berücksichtigung des Anforderungs- und Belastungsprofils ein genügend breites Spektrum an zumutbaren Verweisungstätigkeiten, rechtfertigen die betreffenden Einschränkungen grundsätzlich keinen (zusätzlichen) Abzug vom Tabellenlohn. Vorliegend ist insbesondere in Anbetracht der Ausbildung sowie der jahrelangen heil- und sozialpädagogischen Tätigkeit davon auszugehen, dass der Beschwerdegegnerin auch ohne berufliche Eingliederungsmassnahmen eine hinreichend grosse Palette (einfacher und repetitiver) Tätigkeiten vom Anforderungsniveau 4 zumutbar sind, was die Vorinstanz zwar nicht ausdrücklich so festgestellt, jedoch implizit angenommen hat. Die Beschwerdegegnerin bringt nichts vor, was zu einer anderen Betrachtungsweise führen könnte. Insbesondere rechtfertigt der Umstand allein, dass ihr gemäss dem Gutachten vom 13. August 2007 lediglich Tätigkeiten im zeitlichen Umfang von zwei Mal drei Stunden täglich zumutbar sind, keinen Abzug vom Tabellenlohn (unter dem Titel Beschäftigungsgrad; Urteil 9C_382/2007 vom 13. November 2007 E. 6.2 sowie Urteile des Eidg. Versicherungsgerichts U 454/05 vom 6. September 2006 E. 6.6.2 und I 704/03 vom 28. Dezember 2004 E. 4.1.2).
4.4 Ohne Abzug vom Tabellenlohn ergibt die vorinstanzliche Invaliditätsbemessung nach der gemischten Methode einen Invaliditätsgrad von 36 % (0,6 x 36,05 % + 0,4 x 36,8% = 36,35 %; vgl. vorne E. 1), was für den Anspruch auf eine Invalidenrente nicht ausreicht (Art. 28 Abs.2 IVG). Zum selben Ergebnis würde führen, wenn auf das Anforderungsniveau 3 abgestellt und ein Abzug vom Tabellenlohn von 10 % vorgenommen würde. Die Beschwerde ist somit begründet.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, vom 14. April 2011 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. September 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler