Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Da es um eine Strafsache geht, ist die "national wirksame Beschwerde" als Beschwerde gemäss Art. 78 ff. BGG entgegenzunehmen.
2. Das Bundesgericht ist zur Entgegennahme von Strafanzeigen nicht zuständig. Auf die Anträge 16 und 21 ist nicht einzutreten.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdefrist eingehalten. Sein Gesuch, die Frist zu erstrecken, ist gegenstandslos.
4. Eine Verhandlung ist nicht notwendig (vgl. Art. 58 BGG). Das Gesuch um eine mündliche Hauptverhandlung ist abzuweisen.
5. Im vorliegenden Verfahren kann es nur um die beiden Urteile des Obergerichts des Kantons Zürich vom 21. Dezember 2009 gehen. Soweit sich die Beschwerde gegen andere Entscheide richtet, ist darauf nicht einzutreten.
6. In einer Beschwerde ist anzugeben, inwieweit der angefochtene Akt das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Soweit sich der Beschwerdeführer nicht auf die beiden angefochtenen Urteile bezieht, ist darauf nicht einzutreten.
7. In den angefochtenen Urteilen wurde der Beschwerdeführer wegen Widerhandlungen gegen das SVG zu zwei Bussen von Fr. 340.-- und Fr. 400.-- bzw. zu zwei Ersatzfreiheitsstrafen von je vier Tagen verurteilt.
Was der Beschwerdeführer zur Sache vorbringt, genügt, soweit es überhaupt verständlich ist, den minimalen Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG nicht. Soweit er zum Beispiel geltend macht, das Statthalteramt des Bezirkes Zürich sei für seinen Fall nicht zuständig gewesen (Beschwerde S. 7 und 8 Ziff. 9 - 11), ergibt sich daraus nicht, inwieweit die entsprechende Erwägung der Vorinstanz (angefochtene Urteile je S. 5 E. 2.5.) gegen das schweizerische Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte. Zu seiner Täterschaft macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz stütze sich auf "absolut nichtssagende Photos eines Personenwagens" (Beschwerde S. 9/10 Ziff. 20 - 27). Damit vermag er nicht darzutun, dass die entsprechende Erwägung der Vorinstanz (angefochtene Urteile je S. 6/7 E. 3) offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV wäre.
8. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Bei deren Höhe ist zu berücksichtigen, dass sich die Beschwerde gegen zwei angefochtene Urteile richtet.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Infolge der rechtsmissbräuchlichen Art der Prozessführung kommt eine Herabsetzung der Gerichtsgebühr nicht in Betracht (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Das Gesuch um Durchführung einer mündlichen Verhandlung wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn