Sachverhalt:
A.
Am 26. September 2011 reichten E._, F._ und G._, Gesellschafter der einfachen Gesellschaft Z._, ein Gesuch zum Abbruch der bestehenden Bauten auf den Grundstücken Nrn. 239 und 745 in Römerswil und für den Neubau eines Mehrfamilienhauses mit sieben Wohnungen ein. Das Neubauprojekt beansprucht eine Ausnützungsübertragung von insgesamt 261 m2 von den südlich angrenzenden Grundstücken Nrn. 881 (141 m2) und 933 (120 m2). Gegen das Vorhaben reichten die Eigentümer und Bewohner der angrenzenden Liegenschaften Nrn. 12 (A.X._ und B.X._) und 777 (C.W._ und D.W._) Einsprache ein. Am 28. März 2012 erteilte der Gemeinderat die nachgesuchte Baubewilligung unter verschiedenen Bedingungen und Auflagen und wies die Einsprachen ab.
B.
Gegen den Bauentscheid reichten die Einsprecher Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern ein. Sie bemängelten insbesondere den durch das Vorhaben beanspruchten Ausnützungstransfer. Im Verlaufe des Verfahrens ging das Grundstück Nr. 777 auf die Y._ AG über, die in die prozessuale Rechtsstellung der Voreigentümer eintrat. Mit Urteil vom 21. März 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Beschwerde ab.
C.
Mit Eingabe vom 6. Mai 2013 erheben A.X._ und B.X._ und die Y._ AG Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Baubewilligung zu verweigern, eventuell die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Im weiteren ersuchen Sie, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizulegen.
E._, F._ und G._ haben sich nicht vernehmen lassen. Der Gemeinderat von Römerswil stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdeführer haben abschliessend an ihren Anträgen festgehalten.
Mit Verfügung vom 3. Juni 2013 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und 100 Abs. 1 BGG; zur Beschwerdebefugnis von benachbarten Eigentümern BGE 133 II 249 E. 1.3 S. 252 ff.). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eingetreten werden.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann laut Art. 95 lit. a BGG die Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich Bundesverfassungsrecht, geltend gemacht werden. Diesbezügliche Rügen prüft das Bundesgericht frei. Rügen betreffend die Verletzung von kantonalem Recht prüft es ausschliesslich anhand des Verfassungsrechts und insbesondere des Willkürverbots gemäss Art. 9 BV. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht weicht vom Entscheid der kantonalen Vorinstanz nur ab, wenn dieser offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 138 I 49 E. 7.1 S. 51; 137 I 1 E. 2.4 S. 5; 136 I 316 E. 2.2.2 S. 318 f., mit Hinweisen).
1.3. Ergänzend zu den Rügen, die sich auf Art. 95 BGG stützen, sind unter den Voraussetzungen von Art. 97 Abs. 1 BGG auch Vorbringen gegen die Sachverhaltsfeststellung zulässig. Ein solcher Einwand kann nach dieser Vorschrift nur erhoben werden, wenn die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252). Im Übrigen ist das Bundesgericht an die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Hinsichtlich des durch die Vorinstanz festgestellten Sachverhalts rügen die Beschwerdeführer, die Lärmschutzwand sei weder im Bauentscheid noch in den genehmigten Plänen eingezeichnet, weshalb eine Verpflichtung zu ihrer Erstellung fehle. Dies bedeute einen Verstoss gegen das umweltrechtliche Vorsorgeprinzip. Nach den Feststellungen des Verwaltungsgerichts (E. 8 d/bb) ist die Lärmschutzwand jedoch in den genehmigten Plänen (Plan "Schnitt" 1:100 vom 21. September 2011, revidiert am 11. Februar 2012; Beleg 5 der Baubewilligungsakten) eingezeichnet und sind dem Plan auch ihre Masse zu entnehmen (vgl. im Übrigen auch die Pläne "Umgebung" und "Fassaden", Beleg 6, mit gleichem Datum). Die Beschwerdeführer legen nicht dar, inwiefern diese Feststellungen der Vorinstanz willkürlich sein sollen (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG). Auf die Rüge ist daher nicht einzutreten. Damit ist auch auf den Vorwurf der Verletzung lärmschutzrechtlicher Vorschriften nicht weiter einzugehen.
2.2. Nach Auffassung der Beschwerdeführer hat sich das Verwaltungsgericht formelle Rechtsverweigerungen im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV zuschulden kommen lassen und gegen die bundesrechtliche Vorgabe an den Rechtsschutz in Bau- und Planungsangelegenheiten (Art. 33 Abs. 3 lit. b RPG [SR 700]) verstossen, weil es die Kriterien der Wahrung des Zonencharakters und der Eingliederung des Neubaukörpers nicht geprüft bzw. in diesem Zusammenhang seine Kognition in unzulässiger Weise beschränkt habe.
Das Verwaltungsgericht hat das Kriterium der Wahrung des Zonencharakters in allgemeiner Form in Erwägung 3c und projektbezogen in Erwägung 4e/dd des angefochtenen Urteils geprüft. Zur Eingliederung der Neubaute hat es sich in der zuletzt genannten Erwägung sowie in Erwägung 5a seines Entscheids geäussert. Von einer formellen Rechtsverweigerung kann unter diesen Umständen nicht die Rede sein; ob seine Schlüsse der bundesgerichtlichen Willkürkontrolle standhalten, ist eine Frage der materiellen Prüfung (vgl. E. 5 hiernach).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung verstösst die kantonale Beschwerdeinstanz zudem nicht gegen Art. 33 Abs. 3 lit. b RPG, wenn sie bei der Beurteilung von Fragen mit lokalem Bezug oder im Autonomiebereich der Gemeinde eine gewisse Zurückhaltung wahren lässt (Urteile 1C_52/2013 vom 27. Juni 2013 E. 3.2; 1C_156/2011 vom 15. Juli 2011 E. 2.3, mit Hinweisen; AEMISEGGER/HAAG, Praxiskommentar zum Rechtsschutz in der Raumplanung, 2010, N. 73 und 77 zu Art. 33 RPG, mit Verweisungen). Nichts anderes hat die Vorinstanz im Zusammenhang mit der Überprüfung der ästhetischen Frage der Eingliederung des Neubauvorhabens und der Einhaltung von Art. 6 des kommunalen Bau- und Zonenreglements vom 23. Januar 2009 (BZR) in ihrer Erwägung 5a getan. Sie hat damit nicht gegen Bundesrecht verstossen.
3.
3.1. Die beiden Baugrundstücke liegen an der Strasse T._, einer Ausfallstrasse, und gehören zur Dorfzone Do, in der die Ausnützungsziffer (AZ) 0.65 beträgt und maximal 3 Vollgeschosse sowie eine Gebäudelänge von 30 m zulässig sind (Art. 6 Abs. 3 BZR). Die Dorfzone bezweckt die Erhaltung, die Ergänzung und die Erweiterung des Dorfes, die Förderung von Kleingewerbe und Ladengeschäften sowie eine gute Eingliederung von Neu- und Umbauten in das bestehende Ortsbild (Art. 6 Abs. 1 BZR). Gestattet sind Wohnungen, höchstens mässig störende Betriebe, Büros, Gaststätten sowie Bauten und Anlagen für öffentliche Zwecke (Art. 6 Abs. 2 BZR). Bei Um- und Ersatzbauten darf das bestehende Bauvolumen erhalten oder geringfügig erweitert werden, auch wenn die zulässige AZ überschritten wird (Art. 6 Abs. 3 BZR).
3.2. Die beiden Spender-Grundstücke grenzen südlich an die Baugrundstücke an. Sie liegen im Perimeter des Gestaltungsplans U._. Dessen Ziel ist eine teilweise verdichtete (entlang der Strasse T._) und teilweise lose Wohnsiedlung (rückwärtige Parzellen) mit einem hohen Wohnwert und einer modernen, zum Ortsbild passenden, qualitativ hochstehenden Architektur (Reglement zum Gestaltungsplan [Reglement], Kapitel 2: Erläuternder Bericht, Ziff. 2). Er regelt die Erschliessung, Parzellierung und Überbauung eines in der Dorfzone gelegenen Gebiets von ca. 10'000 m2 mit zwölf Einfamilienhäusern und einem rechtwinklig geformten Mehrfamilienhaus, das mit seiner Nordfront an die Strasse T._ und auf der Westseite an die Baugrundstücke der Beschwerdegegner angrenzt. Die Grundfläche der Einfamilienhäuser ist auf 125 m2 beschränkt, ihre anrechenbare Geschossfläche auf 220 m2 (Reglement, Kapitel 1: Verbindliche Unterlagen und Bauvorschriften, Ziff. 3.2a). Wie das Verwaltungsgericht festgestellt hat, entspricht dies einer AZ von knapp 0.4, welche die beiden Spender-Grundstücke allerdings nicht einmal beanspruchen. Auch die übrigen überbauten Einfamilienhausparzellen sind in diesem Sinne unternutzt. Selbst das Mehrfamilienhaus benötigt nach den Feststellungen des Verwaltungsgerichts keine Mehrnutzung; seine AZ beträgt ungefähr 0.65 der zugeteilten Landfläche. Der Gemeinderat von Römerswil hat in seinem Genehmigungsbeschluss vom 30. Oktober 2000 (Ziff. 2.8) festgehalten, das Kapitel 3 des Reglements (Anhang und Berechnungen) berücksichtige nicht, dass für das gesamte, in der Dorfzone liegende Gebiet neu eine Ausnützungsziffer von 0.65 gelte und sei in diesem Punkt zu ändern.
4.
4.1. Die Beschwerdeführer erachten die bewilligte Ausnützungsübertragung aus verschiedenen Gründen als willkürlich. Zunächst verfügten die abgebenden Grundstücke Nrn. 881 und 933, für die der Gestaltungsplan U._ die zonengemäss erlaubte Ausnützung stark einschränke, gar nicht im erforderlichen Umfang über Ausnützungsreserven. Es sei widersprüchlich, für diese Grundstücke von der zonengemässen Ausnützung (0.65) auszugehen. Ohnehin dürfe von Grundstücken im Gestaltungsplangebiet keine Ausnützung auf Grundstücke ausserhalb des Gestaltungsplans übertragen werden. Zudem enthalte § 14 Abs. 3 der Planungs- und Bauverordnung des Kantons Luzern vom 27. November 2001 (PBV/LU) für Nutzungsübertragungen bei Bebauungs- und Gestaltungsplänen eine abschliessende Ordnung. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung setze eine Ausnützungsverschiebung voraus, dass die beteiligten Grundstücke der gleichen Zone angehörten und für sie gleiche Nutzungsvorschriften gälten; diese Voraussetzungen seien nicht erfüllt. Angesichts des Ausmasses der beabsichtigten Nutzungsübertragung (ca. 35 %) und der resultierenden Ausnützungsziffer für die Baugrundstücke (0.88) könne auch nicht gesagt werden, der Zonencharakter werde gewahrt. Schliesslich könne auch von einer guten Eingliederung des Neubaus in das bestehende Ortsbild nicht die Rede sein.
4.2. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, Abs. 3 von § 14 PBV/LU enthalte eine Lockerung der allgemeinen Voraussetzungen von Abs. 1 für Ausnützungsverschiebungen in Gebieten mit Gestaltungs- oder Bebauungsplan. Daraus könne aber nicht abgeleitet werden, dass diese Regelung abschliessend sei; dies müsste aus dem Wortlaut hervorgehen, was nicht der Fall sei. Gestaltungspläne hätten sich grundsätzlich an den Zonenplan und das Baureglement zu halten. Abweichungen davon seien nur unter den engen Voraussetzungen von § 75 des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Luzern vom 7. März 1989 (PBG/LU) zulässig. Danach sei eine generelle Herabsetzung der AZ nicht erlaubt, sondern nur eine allfällige Erhöhung um maximal 15 %. Der Gemeinderat habe in seinem Genehmigungsbeschluss klargestellt, dass von einer AZ von 0.65 auszugehen sei. Mithin könnten von Grundstücken in Gestaltungsplangebieten nach den allgemeinen Voraussetzungen von § 14 Abs. 1 PBV/LU Ausnützungsreserven auf Grundstücke ausserhalb des Perimeters übertragen werden. Das Reglement zum Gestaltungsplan verbiete solche Verschiebungen nicht, sondern nur Ausnützungsübertragungen innerhalb des Perimeters. Kritischer sei das Mass der Ausnützungsübertragung (gut 35 %) und damit die Vereinbarkeit mit dem Zonencharakter. Hierfür sei auf die konkreten Umstände abzustellen. Das Neubauvorhaben entspreche den Zielen des Gestaltungsplans U._, welcher entlang der Strasse T._ eine teilweise verdichtete Bauweise und auch ein Mehrfamilienhaus vorsehe. Bezogen auf die an der Nutzungsumlagerung beteiligten Grundstücke ergebe sich eine durchschnittliche AZ von 0.6, womit der Zonencharakter gewahrt bleibe. Bezogen auf die lokalen Verhältnisse (Situation mit angestrebter dichter Nutzung an der Strasse T._ einerseits und atypischer teilweiser Unternutzung im benachbarten Gestaltungsplangebiet andererseits) erscheine die Ausnützungsübertragung als mit den Vorschriften vereinbar. Entlang der Strasse T._ fänden sich auf beiden Seiten Bauten mit ähnlichen Abmessungen, und das Projekt halte die weiteren Bauvorschriften ein. Da unterschiedliche Formen und Farben anzutreffen seien, erscheine unter dem Gesichtswinkel des Eingliederungsgebots auch die etwas dunklere Erscheinung des Neubaus nicht zwingend als Fremdkörper und bestehe kein Anlass, von der ästhetischen Beurteilung durch den Gemeinderat abzuweichen.
5.
5.1. Nach § 14 Abs. 1 PBV/LU kann das Recht auf die nicht beanspruchte Ausnützung auf ein anderes Baugrundstück übertragen werden, wenn die beiden Grundstücke benachbart sind, in der gleichen Bauzone liegen und der Zonencharakter gewahrt bleibt. Bei Bebauungs- und Gestaltungsplänen kann laut § 14 Abs. 3 PBV/LU nicht konsumierte Ausnützung übertragen werden, auch wenn die Grundstücke nicht in der gleichen Bauzone liegen, sofern die örtlichen Verhältnisse dies zulassen (lit. a), und wenn die Grundstücke nicht benachbart, aber nicht weiter als 100 m (von Grenze zu Grenze gemessen) voneinander entfernt sind (lit. b).
5.2. Gestaltungspläne sind Spezialbauordnungen zum Zweck der siedlungsgerechten, architektonisch und erschliessungsmässig guten, der Umgebung angepassten Überbauung eines zusammenhängenden Gebiets, wobei der Wohnhygiene und -qualität in besonderem Masse Rechnung zu tragen ist (§ 72 Abs. 1 PBG/LU). Sie können die bauliche Grundordnung in verschiedener Hinsicht verfeinern (vgl. § 73 PBG/LU) und im Interesse einer hohen Qualität und zur Berücksichtigung der besonderen Verhältnisse auch in bestimmtem Umfang vom Zonenplan und Baureglement abweichen (§ 75 und 73 Abs. 4 PBG/LU). Sie müssen aber stets den Zonencharakter wahren (§ 75 Abs. 1 PBG/LU). Auch für Gestaltungsplangebiete gilt, soweit keine besondere Detailregelung festgelegt ist, die bauliche Grundordnung für die betreffende Zone. Es ist deshalb nachvollziehbar und nicht willkürlich, wenn das Verwaltungsgericht eine Ausnützungsübertragung von Grundstücken innerhalb eines Gestaltungsplanperimeters auf Grundstücke ausserhalb, die der gleichen Zone angehören, nicht von vornherein ausschliesst. § 14 Abs. 3 PBV/LU muss weder vom Wortlaut noch von der Zielsetzung her zwingend als abschliessende Regelung für Nutzungsübertragungen unter Einbezug von Grundstücken in Bebauungs- oder Gestaltungsplangebieten verstanden werden. Die Vorschrift erleichtert Nutzungsverschiebungen innerhalb derartiger Perimeter im Interesse gesamtheitlicher und qualitätsvoller Lösungen. Es kann aber ohne Willkür davon ausgegangen werden, dass solche Grundstücke unter den allgemeinen Voraussetzungen von § 14 Abs. 1 PBV/LU auch an Ausnützungsübertragungen unter Einbezug von Grundstücken ohne Gestaltungsplanpflicht beteiligt werden können, jedenfalls solange nicht die in Gestaltungsplangebieten zulässige Überschreitung der maximalen Ausnützung um 15 % (§ 75 Abs. 2 Satz 3 PBG/LU) auf Grundstücke ausserhalb des Perimeters übertragen werden soll. Der bundesgerichtlichen Rechtsprechung widerspricht eine solche Betrachtungsweise nicht von vornherein. Diese stellt mit den Voraussetzungen gleicher Zonenzugehörigkeit und gleicher Nutzungsvorschriften (vgl. Urteil 1P.256/2006 vom 18. Juli 2006, in: ZBl 108/2007 S. 446 ff.; Urteil 1P.193 und 1P.195/1997 vom 5. September 1997, in: ZBl 100/1999 S. 218 ff.; BGE 119 Ia 113 E. 3c S. 118; 109 Ia 188 E. 3 S. 190 f.) auf vergleichbare bzw. gleich interpretierbare Kriterien ab wie § 14 Abs. 1 PBV/LU (benachbarte Grundstücke in der gleichen Bauzone und Wahrung des Zonencharakters).
5.3. Die an der Ausnützungsverschiebung beteiligten Grundstücke sind benachbart und liegen in der gleichen Bauzone (Dorfzone). Der Gemeinderat hat in seinem Entscheid über den Gestaltungsplan U._ vom 30. Oktober 2000 zwar die vorgesehene Nutzungsbeschränkungen für die Einfamilienhäuser genehmigt, zugleich aber festgehalten, dass für das Gebiet die zonengemässe AZ von 0.65 gilt und eine entsprechende Anpassung des Reglements verlangt (vgl. E. 3.2 hiervor). Auch wenn diese bisher unterblieben ist, hat der Gemeinderat damit klargestellt, dass die erwähnten Nutzungsbeschränkungen keine generelle Herabsetzung der Ausnützungsziffer für das speziell beplante Gebiet bedeuten. Dass das Reglement zum Gestaltungsplan andere von der baulichen Grundordnung wesentlich abweichende Vorschriften enthalte, wird nicht geltend gemacht. Unter diesen Voraussetzungen durfte das Verwaltungsgericht ohne Willkür davon ausgehen, dass die erforderliche Ausnützungsreserve von insgesamt 261 m2 auf den Parzellen Nrn. 881 und 933 vorhanden sei und auf die Baugrundstücke Nrn. 745 und 239 übertragen werden darf, wenn der Zonencharakter und das Einordnungsgebot gewahrt bleibt.
5.4. Der Neubau ist wie erwähnt in der Dorfzone geplant, in der dichte, vielfältige und auch mässig störende Nutzungen zugelassen sind (vgl. E. 3.1 hiervor). Er hält die Vorschriften über die Abmessungen und die Geschosszahl ein. Nach den Feststellungen der kommunalen Behörden und der Vorinstanz liegen auf beiden Seiten der Strasse T._ und in unmittelbarer Nachbarschaft mehrere Gebäude mit ähnlichen Volumen. Deren Baustil sei unterschiedlich und die Farb- und Formgebung vielfältig. Unter diesen Umständen und mit Blick auf den Zweck der Dorfzone sowie die zentrumsnahe Lage des Baugrundstücks längs einer Ausfallstrasse konnte das Verwaltungsgericht einen Baukörper wie den geplanten als mit dem Charakter der Dorfzone grundsätzlich verträglich und hinreichend gut in das Strassenbild der Strasse T._ eingeordnet erachten, ohne in Willkür zu verfallen.
Problematisch erscheint allerdings die Verträglichkeit mit den rückwärtig an die Baugrundstücke anschliessenden Einfamilienhausbauten im Perimeter des Gestaltungsplans U._. Diese liegen zwar ebenfalls in der Dorfzone, weisen jedoch eine tiefe Nutzung auf und profitieren auch kaum von den vielfältigen Nutzungsmöglichkeiten, welche die Zone eröffnet. Man könnte die Frage aufwerfen, ob für solche Bauten nicht besser eine reine Wohn- oder sogar Einfamilienhauszone hätte festgelegt werden sollen; die Frage eines Nutzungstransfers auf die Baugrundstücke hätte sich damit nicht gestellt. Der Gemeinderat hat die - nach den Feststellungen des Verwaltungsgerichts - atypisch tiefe Nutzung bzw. Unternutzung der Bauten indessen ebenfalls als mit dem Zonencharakter der Dorfzone verträglich erachtet und genehmigt (§ 75 Abs. 1 PBG/LU). Die resultierende niedrige AZ von ca. 0.4 für die Einfamilienhausparzellen weicht praktisch im selben Ausmass (um über 35 %) nach unten ab wie die AZ des Bauterrains nach oben (AZ ca. 0,88). Die kommunalen Behörden legen damit den Begriff der Zonenverträglichkeit für die Dorfzone ausserordentlich elastisch aus. Sie haben im Bauentscheid dazu ausgeführt, die Dorfzone sei bewusst geschaffen worden, um eine möglichst vielfältige Nutzungs- und Gestaltungsfreiheit zu gewähren. Das Bau- und Zonenreglement enthalte keine weitergehenden oder einschneidenden Bestimmungen bezüglich Form, Farbe und Aussehen der Bauten, woraus sich zwangsläufig eine gewisse Vielfalt ergebe. Am so umschriebenen Massstab ist auch das umstrittene Neubauvorhaben zu messen. Da der Gestaltungsplan selber als eines seiner Ziele entlang der Strasse T._ - im Gegensatz zu den rückwärtigen Parzellen - eine verdichtete Wohnnutzung vorsieht (vgl. oben E. 3.2), die beiden am stärksten von der hohen Ausnützung der Baugrundstücke betroffenen Eigentümer von Einfamilienhäusern unmittelbar südlich des Baugrundstücks freiwillig Ausnützungsreserven an diese abgeben und demnach mit der hohen Nutzung der angrenzenden Parzellen einverstanden sind, und weil die Einfamilienhäuser im Perimeter des Gestaltungsplans allesamt im Süden des Baugrundstücks liegen und vom Neubauprojekt, das sie gewissermassen von der Ausfallstrasse im Norden abschirmt, nicht gestört zu werden scheinen, kann dem Verwaltungsgericht auch hinsichtlich des bewilligten grossen Ausmasses der beanspruchten Nutzungsverschiebung und der Beurteilung der Verträglichkeit des Neubaus mit dem Baubestand im Gestaltungsplanperimeter nicht geradezu Willkür vorgeworfen werden. Gewiss liessen sich planerisch und ästhetisch bessere Lösungen als die im Streit liegende vorstellen. Derartige Überlegungen hätten sich allerdings bereits im Zusammenhang mit der Genehmigung des Gestaltungsplans gerechtfertigt. Auch ein insgesamt wenig überzeugendes Ergebnis bedeutet zudem nicht, dass die Schwelle zur Willkür überschritten ist (vgl. E. 1.2 hiervor). Unter dem Blickwinkel des verfassungsrechtlichen Willkürverbots hält das angefochtene Urteil der bundesgerichtlichen Kontrolle stand. Die Beschwerde erweist sich daher als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig. Sie haben die Gerichtskosten für das Beschwerdeverfahren vor dem Bundesgericht unter solidarischer Haftbarkeit zu übernehmen (Art. 65 und 66 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Römerswil sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. August 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle