Erwägungen:
1. X._ macht die Stadt Zürich verantwortlich für Schäden, die ihm namentlich im Bereich Sozialhilfewesen verursacht worden sein sollen. Im diesbezüglichen vor dem Bezirksgericht Zürich hängigen Staatshaftungsverfahren wurde ihm mit Einzelrichterverfügung vom 20. August 2012 die unentgeltliche Prozessführung mit der Begründung verweigert, dass die Klage als aussichtslos erscheine. Gegen diese Verfügung gelangte X._ mit Eingabe vom 5. September 2012 an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses setzte ihm mit Verfügung vom 5. November 2012 Frist, um die sowohl übermässig weitschweifige (62 Seiten) als auch inhaltlich ungebührliche Beschwerdeschrift zu verbessern. Am 27. November 2012 legte X._ dem Obergericht eine korrigierte Beschwerdeschrift im Umfang von 41 Seiten vor. Dieses erachtete sie auch in diesem Umfang nach wie vor als - angesichts des nicht komplizierten Sachverhalts - übermässig weitschweifig und als ungebührlich. Es stellte daher fest, dass die Eingabe vom 5. September 2012 im Sinne von Art. 132 Abs. 1 und 2 ZPO als nicht erfolgt gelte; entsprechend schrieb es das Verfahren ab. Ergänzend hielt es im Abschreibungsbeschluss vom 5. Dezember 2012 unter Hinweis auf das Prinzip der Einmaligkeit des Rechtsschutzes fest, dass nicht auf dem Umweg über ein Staatshaftungsverfahren eine Feststellung über angebliches rechtswidriges Verhalten von Behörden erwirkt werden könne, gegen das seinerzeit nicht auf dem Wege der Verwaltungsrechtspflege vorgegangen worden sei.
Am 10. Januar (Postaufgabe 14. Januar) 2013 erhob X._ Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht.
Die Eingabe wird als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegengenommen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; ist ein Abschreibungsbeschluss angefochten, muss der Beschwerdeführer darlegen, inwiefern die dieses Ergebnis rechtfertigenden Erwägungen rechtsverletzend sind.
Das Obergericht hat die bei ihm eingereichten Rechtsschriften als - gemessen am Verfahrensgegenstand (Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch das Bezirksgericht) - unnötig weitschweifig und ungebührlich gewertet, wobei es namentlich Letzteres mit Auszügen aus besagten Rechtsschriften untermauerte. Der Beschwerdeführer nimmt in seinen übermässig langen und mit Wiederholungen gespickten Ausführungen weder zu den vom Obergericht herangezogenen verfahrensrechtlichen Normen (Art. 132 Abs. 1 und 2 ZPO) noch zu deren konkreten Anwendung im angefochtenen Beschluss gezielt Stellung.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
Dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Die Umstände rechtfertigen es nicht, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten. Diese sind dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Bei der Bemessung der Gerichtsgebühr ist der an Rechtsmissbrauch grenzenden Art der Prozessführung Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Stadt Zürich, dem Bezirksgericht Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Januar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller