Sachverhalt:
A. X._ ist Landwirt und Eigentümer der Parzellen Nr. 202, 788, 789 und 790 in Gonten. Im Oktober 2000 legte der Bezirksrat Gonten den Fuss- und Wanderweg-Netzplan öffentlich auf. Darin waren auf den Parzellen Nr. 202 und 790 Wege eingezeichnet. X._ erhob gegen den Plan Einsprache beim Bezirksrat Gonten. Das folgende Rechtsmittelverfahren wurde mit dem Entscheid der Standeskommission des Kantons Appenzell Innerrhoden rechtskräftig abgeschlossen.
Im September 2006 publizierte der Bezirksrat Gonten die Öffentlicherklärung des Fuss- und Wanderweg-Netzplans. X._ erhob wiederum Einsprache und gelangte in der Folge mit Rekurs an die Standeskommission des Kantons Appenzell Innerrhoden und danach mit Beschwerde an das Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden. Das Kantonsgericht erwog, im vorangehenden Planungsverfahren sei über den Grundsatz der Belastung der Parzellen Nr. 202 und 790 mit einem Wanderweg zwischen Neffenmoosbrücke und Hüttenbergstrasse rechtskräftig entschieden worden. Im Verfahren der Öffentlicherklärung gehe es nur noch um die Linienführung. Strittig geblieben sei die Öffentlicherklärung des Teilstücks zwischen den Gebäulichkeiten Wees, der Weidlibrücke und der Hüttenbergstrasse. Im Resultat entschied das Kantonsgericht, dass die dem Entscheid der Standeskommission zu Grunde liegende Linienführung nicht zu einem unverhältnismässigen Eingriff in das Eigentum von X._ führe und wies dessen Beschwerde ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 22. September 2008 beantragt X._, der Entscheid des Kantonsgerichts sei aufzuheben und die Sache sei zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Bezirksrat Gonten, das Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden und das Bundesamt für Strassen (ASTRA) beantragen in ihrer jeweiligen Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Die Standeskommission des Kantons Appenzell Innerrhoden liess sich nicht vernehmen. Der Beschwerdeführer hält in seiner Stellungnahme an seinen Anträgen und Rechtsauffassungen fest.
Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid betrifft die Öffentlicherklärung eines Weges gemäss Art. 5 des Einführungsgesetzes des Kantons Appenzell Innerrhoden vom 28. April 1996 zum Bundesgesetz über Fuss- und Wanderwege (EG FWG; Nr. 725.300). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zur Verfügung (Art. 82 lit. a BGG). Ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG besteht nicht. Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen. Als Eigentümer der betroffenen Grundstücke ist er durch den Entscheid der Vorinstanz besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung (Art. 89 Abs. 1 BGG).
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Genügt die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht, so ist darauf nicht einzutreten (BGE 134 II 244 E. 2.1 und 2.2 S. 245 f. mit Hinweisen).
Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Unter dem Vorbehalt genügend begründeter Rügen ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör, weil die Vorinstanz ihm das Protokoll des Augenscheins vor ihrem Entscheid nicht zugestellt habe (Art. 29 Abs. 2 BV).
2.2 Aus den Verfahrensakten und der Vernehmlassung der Vorinstanz ergibt sich bezüglich des Verfahrensablaufs Folgendes: Am 1. Juli 2008 nahm das Kantonsgericht im Beisein des Beschwerdeführers einen Augenschein vor und fällte am gleichen Tag das Urteil. Das Urteilsdispositiv wurde dem Beschwerdeführer vorerst noch ohne Begründung zugestellt. Im Nachgang dazu wurde - offenbar gestützt auf während des Augenscheins angefertigte handschriftliche Notizen - ein Protokoll verfasst. Das begründete Urteil, welches auf das Protokoll Bezug nimmt, ging dem Beschwerdeführer am 21. August 2008 zu. Auf dessen Anfrage hin wurde ihm sodann auch das Protokoll zugestellt.
2.2 Aus den Verfahrensakten und der Vernehmlassung der Vorinstanz ergibt sich bezüglich des Verfahrensablaufs Folgendes: Am 1. Juli 2008 nahm das Kantonsgericht im Beisein des Beschwerdeführers einen Augenschein vor und fällte am gleichen Tag das Urteil. Das Urteilsdispositiv wurde dem Beschwerdeführer vorerst noch ohne Begründung zugestellt. Im Nachgang dazu wurde - offenbar gestützt auf während des Augenscheins angefertigte handschriftliche Notizen - ein Protokoll verfasst. Das begründete Urteil, welches auf das Protokoll Bezug nimmt, ging dem Beschwerdeführer am 21. August 2008 zu. Auf dessen Anfrage hin wurde ihm sodann auch das Protokoll zugestellt.
2.3 2.3.1 Es entspricht einem aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör abgeleiteten allgemeinen Verfahrensgrundsatz, dass entscheidrelevante Tatsachen und Ergebnisse schriftlich festzuhalten sind. Dazu gehört auch die Pflicht zur Protokollführung über entscheidwesentliche Abklärungen, Zeugeneinvernahmen und Verhandlungen im Rechtsmittelverfahren. In welchem Umfang und in welcher Weise Protokoll zu führen ist, hängt von der Verfahrensart und den konkreten Umständen des Einzelfalls ab (BGE 130 II 473 E. 4 S. 477 ff. mit Hinweisen; 126 I 213 E. 2 S. 217; 106 Ia 73 E. 2a S. 74 f. mit Hinweisen).
2.3.2 Die Mitwirkung an der Beweiserhebung als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör geschieht in erster Linie durch Rede und Gegenrede am Augenschein selber. Auf die Protokollierung eines Augenscheins kann deshalb gemäss der in E. 2.3.1 hiervor zitierten Rechtsprechung verzichtet werden, sofern die Äusserungen der Parteien im Urteil hinlänglich wiedergegeben werden. Dies erfordert, dass das Gericht die Äusserungen der Parteien, soweit sie entscheidwesentlich sind, im Urteil wiedergibt und würdigt (vgl. BGE 124 V 389 E. 4a S. 390 f. mit Hinweisen).
Kann unter diesen Voraussetzungen auf ein Protokoll gänzlich verzichtet werden, so liegt umso weniger eine Gehörsverletzung vor, wenn im Nachgang zur Urteilsfällung gestützt auf handschriftliche Notizen noch ein Augenscheinsprotokoll erstellt und zu den Akten gelegt wird. Die Entscheidfällung gleich im Anschluss an einen Augenschein hat den Vorteil, dass die Behörde im Sinne des Unmittelbarkeitsprinzips ihre noch frische Erinnerung an den Augenschein in den Entscheid einfliessen lassen kann.
2.3.3 Wird ein Augenscheinsprotokoll verfasst, so haben die Parteien ein Recht auf Einsicht und Stellungnahme. Wird die Redaktion in zulässiger Weise (vgl. E. 2.3.2 hiervor) erst nach der Urteilsfällung vorgenommen, so ist dieses Recht im Rahmen des Beschwerdeverfahrens auszuüben, wie dies auch im vorliegenden Fall geschehen ist.
2.3.4 Erweist sich das Verfassen des Augenscheinsprotokolls im Nachgang zur Urteilsfällung als grundsätzlich zulässig, so bleibt zu prüfen, ob die Äusserungen der am Augenschein Beteiligten im Urteil vom 1. Juli 2008 hinlänglich wiedergegeben wurden. Dies ist zu bejahen. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid die wesentlichen Äusserungen erwähnt und gewürdigt und ist damit der ihr obliegenden Begründungspflicht nachgekommen. Der Beschwerdeführer macht deshalb zu Recht nicht geltend, dass die Begründungspflicht verletzt worden sei. Die Rügen, seine Äusserungen seien falsch protokolliert worden und zwischen dem Protokoll und dem angefochtenen Urteil bestehe ein Widerspruch, sind in diesem Zusammenhang nicht zu berücksichtigen (vgl. dazu E. 3 hiernach).
Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz den Anspruch auf rechtliches Gehör nicht verletzt, indem sie das Protokoll des Augenscheins vor ihrem Entscheid dem Beschwerdeführer nicht zugestellt hat. Seine Rüge erweist sich als unbegründet.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer hält die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz in zweifacher Hinsicht für offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die Behebung des Mangels muss für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substanziiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss Art. 97 Abs. 1 bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG gegeben sind. Er kann sich dabei nicht damit begnügen, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Vielmehr hat er klar und substanziiert aufzuzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE 133 III 462 E. 2.4 S. 466 f. mit Hinweis).
3.2 Gemäss dem angefochtenen Entscheid hat am Augenschein der Beschwerdeführer selbst zugestehen müssen, dass schon zu Zeiten seines Vaters die strittige Wegstrecke von den Einheimischen häufig benützt worden ist. Das Aufstellen einer Sitzbank durch den Vater sei ein deutliches Indiz dafür, dass der Weg schon früher bestanden habe und im Einverständnis des Grundeigentümers benützt worden sei. Der Beschwerdeführer rügt diese Feststellungen als aktenwidrig. Aus dem Augenscheinsprotokoll ergebe sich zwar, dass die Einheimischen häufig zur Sitzbank gekommen, nicht aber, dass sie von dort häufig weiter Richtung Hüttenbergstrasse gegangen seien.
Der Aussage des Beschwerdeführers gemäss Augenscheinsprotokoll ist zu entnehmen, dass die Einheimischen häufig zur besagten Sitzbank gegangen sein sollen. Die Leute würden von diesem Punkt zu zwei anderen Sitzbänken wandern, welche direkt an der Hüttenbergstrasse stünden. Einheimische benützten den strittigen Weg nicht sehr oft und machten auch keine Probleme, weil sie keinen Abfall hinterliessen. Es seien Touristen und Schulklassen, welche dem Beschwerdeführer Probleme bereiteten.
Dem Beschwerdeführer ist zuzustimmen, dass die Urteilsbegründung insofern ungenau ist, als sie nicht - wie dies der Beschwerdeführer am Augenschein getan hat - zwischen Einheimischen und Touristen bzw. Schulklassen unterscheidet. Dies ist jedoch letztlich nicht von Bedeutung. Die unrichtige Feststellung des Sachverhalts kann wie bereits erwähnt nur dann gerügt werden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist. Die wesentliche Aussage der kritisierten Urteilspassage besteht darin, dass der betreffende Weg schon früher häufig benutzt worden sein soll. Welchen Anteil daran Einheimische und welchen Touristen und Schulklassen hatten, ist im Ergebnis nicht von Bedeutung. Die Rüge der Aktenwidrigkeit erweist sich damit als unbegründet.
3.3 Der Beschwerdeführer gibt sodann sinngemäss wieder, was er am Augenschein tatsächlich gesagt habe. Die Erwägung des Kantonsgerichts, dass der Weg "schon immer bestanden" habe und durch Einheimische mit Duldung des Eigentümers "häufig benutzt worden" sei, treffe nicht zu. Wie er in Wirklichkeit argumentiert habe, ergebe sich teilweise aus den protokollierten Reaktionen der Behördenvertreter und aus der abwehrenden Argumentation in der Urteilsbegründung. Schliesslich seien seine Ausführungen zu weiteren Wegvarianten nicht ins Protokoll aufgenommen worden.
Mit seinen Ausführungen zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, inwiefern die von ihm kritisierte Feststellung der Vorinstanz offensichtlich falsch sein soll (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 97 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer beschränkt sich vielmehr weitgehend darauf, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen. Im Übrigen ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich aus den Reaktionen der Behördenvertreter am Augenschein und der Urteilsbegründung ergeben soll, wie er tatsächlich argumentiert habe. Auf die Rüge ist nicht einzutreten.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe bei der Wahl der Wegvariante ihr Ermessen missbraucht. Ermessensmissbrauch ist gegeben, wenn die Behörde zwar im Rahmen des ihr eingeräumten Ermessens bleibt, sich aber von unsachlichen, dem Zweck der massgebenden Vorschriften fremden Erwägungen leiten lässt oder allgemeine Rechtsprinzipien, wie das Verbot von Willkür und von rechtsungleicher Behandlung, das Gebot von Treu und Glauben sowie den Grundsatz der Verhältnismässigkeit verletzt (BGE 130 III 611 E. 1.2 S. 615; 123 V 150 E. 2 S. 152; je mit Hinweisen).
4.2 Die Vorinstanz stellte fest, der Beschwerdeführer habe im Rahmen der Planungsphase eine Belastung der Parzellen Nr. 202 und 790 durch einen Wanderweg zwischen Neffenmoosbrücke und Hüttenbergstrasse im Grundsatz akzeptiert. Im vorliegenden Verfahren sei deshalb nur noch die genaue Linienführung zu prüfen. Die Vorinstanz diskutierte im angefochtenen Entscheid fünf verschiedene Wegvarianten, welche die Neffenmoosbrücke und die Hüttenbergstrasse verbinden, darunter zwei vom Beschwerdeführer vorgeschlagene.
Der Beschwerdeführer argumentiert einerseits, für die Bewohner von Gonten bestehe kein besonderes Bedürfnis für einen zusätzlichen Weg über sein Grundeigentum in Richtung Scheidegg und Kronberg. Damit macht er sinngemäss geltend, die Vorinstanz habe sich von unsachlichen Erwägungen leiten lassen. Indessen übersieht er, dass gemäss den insofern nicht beanstandeten Ausführungen der Vorinstanz die Wegverbindung zwischen Neffenmoosbrücke und Hüttenbergstrasse im Grundsatz bereits rechtskräftig festgelegt wurde und damit nicht mehr zur Diskussion steht. Auch übersieht er, dass die Vorinstanz nicht ausschliesslich das öffentliche Interesse an einer direkten Verbindung von Gonten über die Hüttenbergstrasse zur Scheidegg und zum Kronberg erwähnt, sondern auch, dass das Wegnetz im Gebiet um die Parzellen des Beschwerdeführers allgemein nicht sehr dicht sei.
Andererseits macht der Beschwerdeführer geltend, eine Verkürzung der Wegstrecke auf dem Hartbelag der Hüttenbergstrasse ergebe sich einzig für den Dorfteil Loretto und dies auch nur für jene Wanderer, die südwärts weiter ins Gebiet Scheidegg-Kronberg wollten. Indem die Vorinstanz nicht berücksichtigt habe, dass für andere Strecken die von ihm vorgeschlagene Linienführung dem Schwarzbach entlang zu einer kürzeren Wegstrecke auf dem Hartbelag der Hüttenbergstrasse führe, habe sie ihr Ermessen missbraucht. Auch diese Argumentation geht an der Sache vorbei. Die Vorinstanz verwarf nämlich die vom Beschwerdeführer vorgeschlagenen Varianten dem Bach entlang wegen der Gefahr der Erosion des Weges und weil Personen in den Bach fallen könnten.
4.3 Die weiteren Ausführungen des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit den von der Vorinstanz diskutierten Wegvarianten beschränken sich auf die Frage der Angemessenheit. Bezüglich des behaupteten Ermessensmissbrauchs setzt sich der Beschwerdeführer dagegen nicht in genügender Weise mit den Entscheidkriterien auseinander, welche die Vorinstanz auf die fünf Wegvarianten anwendete (Art. 42 Abs. 2 BGG). Soweit er darauf eingeht, lässt er wie gesehen entscheidwesentliche Punkte ausser Acht. Auf die Rüge ist deshalb nicht einzutreten.
5. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksrat Gonten, der Standeskommission und dem Kantonsgericht Appenzell Innerrhoden, Abteilung Verwaltungsgericht, sowie dem Bundesamt für Strassen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. April 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold