Sachverhalt:
A. Der 1972 geborene G._ war als selbstständig erwerbender Bodenleger bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen Unfallfolgen versichert, als er am 31. Mai 2005 bei der Arbeit einen Unfall erlitt. Ein Zementsack fiel beim Abladen aus einer Höhe von drei Paletten herunter und prallte gegen die rechte Seite des Kopfes - nach anderer Darstellung in den Akten auch gegen die rechte Schulter-/Nackenpartie - des Versicherten. Der Kopf wurde dadurch nach links gekippt. G._ verlor das Gleichgewicht, knickte in den Knien ein resp. fiel auf diese. Der gleichentags aufgesuchte Hausarzt erhob die Befunde einer starken Druckdolenz der Halswirbelsäule (HWS), rechtsseitig betont, allseits schmerzhaft bewegungseingeschränkt, mit lumbalen Schmerzen ins rechte Bein ausstrahlend, ohne Hinweise auf radikuläre Symptome. Er diagnostizierte eine Distorsion von HWS und Lendenwirbelsäule (LWS) und bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit (Bericht vom 22. Juni 2005). Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Am 22. November 2005 teilte sie G._ mit, sie werde aufgrund der bezüglich Unfallfolgen wieder gegebenen vollen Arbeitsfähigkeit ab 1. April 2006 kein Taggeld mehr leisten. Daran hielt sie mit Schreiben vom 29. Mai 2006 fest. Mit Verfügung vom 22. Oktober 2008 eröffnete die SUVA dem Versicherten, sämtliche Versicherungsleistungen würden mit sofortiger Wirkung eingestellt. Sie verneinte überdies einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung führte sie aus, die noch bestehenden Beschwerde an der LWS seien nicht mehr unfallbedingt, sondern ausschliesslich krankhafter Natur. Bezüglich der noch geklagten Beschwerden im Bereich des Kopfes und des Nackens fehle es an einer organisch nachweisbaren Unfallfolge; die Adäquanzprüfung ergebe, dass dem Unfall vom 31. Mai 2005 keine rechtserhebliche Bedeutung für diese Beschwerden zukomme. Die von G._ hiegegen erhobene Einsprache wies die SUVA mit Entscheid vom 27. Januar 2010 ab.
B. G._ führte Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des Einspracheentscheides seien die UVG-Leistungen auch ab dem 22. Oktober 2008 zuzusprechen. Replicando beantragte er überdies, die SUVA sei zur Bezahlung der Kosten eines von ihm eingeholten und im kantonalen Verfahren aufgelegten medizinischen Gutachtens zu verpflichten. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. November 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ die Aufhebung des kantonalen Entscheides beantragen und sein vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254; Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Das Bundesgericht darf nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (Art. 107 Abs. 1 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Der vorinstanzliche Entscheid ist nicht angefochten, soweit der Anspruch des Beschwerdeführers auf Übernahme der Kosten des von ihm eingereichten Gutachtens verneint wurde.
3. Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 31. Mai 2005 über den 22. Oktober 2008 hinaus Anspruch auf UVG-Leistungen besteht. Dabei steht gemäss Beschwerdebegründung nurmehr ein Leistungsanspruch aufgrund von HWS-bezogenen Beschwerden zur Diskussion.
Das kantonale Gericht hat namentlich die zu beachtenden kausal- und beweisrechtlichen Grundsätze zutreffend dargelegt. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181). Dabei spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier bedarf es einer besonderen Adäquanzbeurteilung. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Gemäss der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis (BGE 115 V 133) werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen anwendbaren sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
4. Umstritten ist zunächst, ob die noch geklagten Beschwerden mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Schädigung als Folge des Unfalls vom 31. Mai 2005 zu erklären sind. Die SUVA und das kantonale Gericht verneinen eine solche Schädigung, der Beschwerdeführer bejaht sie.
4.1 Ob eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vorliegt, beurteilt sich nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181; Urteil 8C_749/2010 vom 6. Januar 2011 E. 4.1, auch zum Folgenden). Dabei gilt es zu beachten, dass beispielsweise das Thoracic-outlet-Syndrom oder myofasziale und tendinotische bzw. myotendinotische Befunde für sich allein nicht als organisch hinreichend nachweisbare Unfallfolgen zu betrachten sind. Auch Verhärtungen und Verspannungen der Muskulatur, Druckdolenzen im Nacken sowie Einschränkungen der HWS-Beweglichkeit können für sich allein nicht als klar ausgewiesenes organisches Substrat der Beschwerden qualifiziert werden. Gleiches gilt für Nackenverspannungen bei Streckhaltung der HWS mit Retrohaltung (SVR 2009 UV Nr. 18 S. 69, 8C_744/2007 E. 4.5). Rechtsprechungsgemäss kann von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (Urteil 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 2 mit Hinweis, nicht publ. in: BGE 135 V 465, aber in: SVR 2010 UV Nr. 6 S. 25).
4.2 Vorab ist festzuhalten, dass die nach dem Unfall durchgeführten Untersuchungen mittels Röntgen und (konventionellem) MRI keine Hinweise für eine unfallbedingte strukturelle Schädigung im HWS-Bereich ergaben (u.a. Berichte des Hausarztes vom 14. Juli 2005 und der Radiologie B._ vom 26. Juli 2005). Sodann wurde zwar aufgrund einer Abklärung mittels funktioneller Magnetresonanztomographie (fMRT; fmri) auf eine Verletzung der ligamenta alaria geschlossen (Bericht fmri-Zentrum X._ vom 26. Juni 2006 mit Nachtrag vom 18. September 2006). Diese Diagnose wurde aber, wie das kantonale Gericht in nicht zu beanstandender Würdigung der medizinischen Akten erkannt hat, in weiteren fachärztlichen Berichten verlässlich widerlegt. Das ist letztinstanzlich nicht mehr umstritten. Die Vorinstanz hat überdies zutreffend auf die Rechtsprechung gemäss BGE 134 V 231 verwiesen. Danach kommt den mittels fmri/fMRT erhobenen Befunden für die Beurteilung der Unfallkausalität von Beschwerden nach Schleudertraumen der HWS und äquivalenten Unfallmechanismen nach dem aktuellen Stand der medizinischen Wissenschaft kein Beweiswert zu (BGE 134 V 231).
4.3 Der Beschwerdeführer beruft sich auf den Bericht des Dr. med. habil. F._, Radiologiezentrum Z._, vom 17. März 2009 sowie auf die Gutachten des Prof. Dr. med. K._, Zentrum für Chirurgie, Klinik für Unfallchirurgie, Hand-, Plastische und Wiederherstellungschirurgie, Klinik U._, vom 27. April 2009 (mit ergänzender Stellungnahme vom 25. September 2010) und des Prof. Dr. med. G._, Facharzt für Neurochirurgie FMH, vom 10. Mai 2010 (mit ergänzender Stellungnahme vom 26. August 2010). Auf diese medizinischen Akten und deren Beurteilung durch die Vorinstanz ist nachfolgend einzugehen.
4.4 Gemäss dem angefochtenen Entscheid stützt der Bericht des Dr. med. habil. F._ vom 17. März 2009 den Schluss auf eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge nicht. Diese Beurteilung ist richtig und wird vom Beschwerdeführer auch nicht begründet in Frage gestellt. Der Radiologe führt in erster Linie aus, weshalb gemäss den von ihm durchgeführten Untersuchungen, entgegen der vorangegangenen, fmri-gestützten Diagnosestellung, keine Verletzung der ligamenta alaria vorliege. Er beschreibt sodann Bewegungseinschränkungen an der HWS, hält aber zugleich - zutreffend - fest, der radiologische Nachweis von Funktionsstörungen alleine stelle noch keinen Beweis hinsichtlich einer haftungsausfüllenden Kausalität einer HWS-Beschleunigungsverletzung und der posttraumatisch entstandenen Beschwerden dar.
4.5 Prof. Dr. med. K._ bejaht die Unfallkausalität der noch geklagten Beschwerden im Bereich der HWS. Er begründet dies zum einen mit der Geeignetheit der unfallbedingten Krafteinwirkung, eine Verletzung der HWS zu verursachen, mit den festgestellten Bewegungseinschränkungen der HWS und mit dem Umstand, dass im engsten zeitlichen Zusammenhang mit dem Ereignis erstmals Beschwerden an der HWS aufgetreten seien. Zum anderen habe die kinesiologische EMG-Untersuchung willentlich nicht beeinflussbare pathologische Muskelaktivitäten im Nackenbereich ergeben. Sodann lägen keine Erkrankungen vor, die alternativ zum erlittenen Trauma die Beschwerden erklären könnten.
Es geht hier darum, ob die noch bestehenden Beschwerden mit überwiegender Wahrscheinlichkeit mit einer organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge erklärt werden können, mithin mit einem unfallbedingten organischen Substrat im Sinne einer bildgebend oder sonst wie klar nachweisbaren strukturellen Veränderung (SVR 2009 UV Nr. 49 S. 173, 8C_957/2008 E. 3.1; Urteil 8C_711/2010 vom 14. Januar 2011 E. 5.2; E. 3 hievor). Eine Aussage des Inhalts, dass hier eine solche strukturelle Veränderung besteht, findet sich weder im Gutachten vom 27. April 2009 noch in der ergänzenden Stellungnahme vom 25. September 2010 des Prof. Dr. med. K._. Dieser begründet den Schluss auf natürliche Unfallkausalität der Beschwerden mit anderen Gesichtspunkten.
Der Beschwerdeführer schliesst dennoch aus den zitierten Feststellungen des Experten auf eine solche Läsion im Bereich der HWS. Das bedarf daher näherer Betrachtung.
4.5.1 Alleine die grundsätzliche Geeignetheit eines Ereignisses, zu einer Verletzung zu führen, reicht nicht, um diese als organisch objektiv ausgewiesen zu betrachten. Gleiches gilt für den Umstand, dass unmittelbar nach dem Ereignis erstmals Beschwerden im betreffenden Bereich auftreten, zumal dies auf einen beweisrechtlich unzulässigen "post hoc ergo propter hoc"-Schluss hinausliefe (BGE 119 V 335 E. 2b/bb S. 341 f.; SVR 2010 UV Nr. 10 S. 40, 8C_626/2009 E. 3.2; 2009 UV Nr. 13 S. 52, 8C_590/2007 E. 7.2.4; 2008 UV Nr. 11 S. 34, U 290/06 E. 4.2.3). Dass Bewegungseinschränkungen ohne bildgebenden/apparativen Nachweis einer strukturellen Verletzung ebenfalls nicht genügen, wurde bereits festgehalten (E. 3 hievor). Auch der mangelnde Nachweis einer anderweitigen Ursache der Beschwerden genügt nicht, um auf eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge als Ursache schliessen zu können.
Die entsprechenden Ausführungen des Prof. Dr. med. K._ gestatten daher nicht, eine unfallbedingte Schädigung als organisch objektiv ausgewiesen zu betrachten.
4.5.2 Zu prüfen bleibt die Bedeutung des mittels kinesiologischem EMG erhobenen Befundes.
Das kantonale Gericht hat den Beweiswert des Befundes unter anderem mit der Begründung verneint, diese Untersuchungsmethode sei wissenschaftlich nicht anerkannt. Ob das so generell formuliert zutrifft, kann offen bleiben, da das kinesiologische EMG jedenfalls schon von seiner inhaltlichen Zielsetzung und Aussagekraft her nicht geeignet ist, den hier streitigen Nachweis einer strukturellen Veränderung zu erbringen. Gemäss Gutachten des Prof. Dr. med. K._ vom 27. April 2009 dient dieses Untersuchungsverfahren dem Nachweis funktioneller muskulärer Störungen, wobei der Experte funktionelle Störungen als schmerzhafte Bewegungseinschränkungen umschreibt (vgl. auch: MICHAEL KRAMER, Kinesiologisches Fine-Wire EMG des M. semispinalis capitis zur Darstellung muskulärer Dysfunktionen nach HWS-Beschleunigungsverletzungen QTF II°, in: Graf/Grill/Wedig [Hrsg.], Beschleunigungsverletzung der Halswirbelsäule - "HWS-Schleudertrauma", 2009; S. 121 ff., S. 121 und 124; DERSELBE, Kinesiologisches Fine-Wire EMG des M. semispinalis capitis zur Darstellung muskulärer Dysfunktionen nach HWS-Beschleunigungsverletzungen II°, Habilitationsschrift 2004, u.a. S. 15, 16, 90 und 92, [abgerufen am 24. August 2011 über:
http://www.uniklinikulm.de/fileadmin/Kliniken/Chirurgische_Klinik/chirurgie3/Habilitation_M._Kramer.pdf]; PFEIFER/VOGT/BANZER, Kinesiologische Elektromyographie [EMG], in: Deutsche Zeitschrift für Sportmedizin, Heft 11/2003, S. 331 f., S. 331 [abgerufen am 24. August 2011 über:
http://www.zeitschriftsportmedizin.de/fileadmin/externe_websites/ext.dzsm/content/archiv2003/heft11/stint_11_03.pdf]). Das kinesiologische EMG dient also, wie die Vorinstanz richtig erkannt hat, gerade nicht dem Nachweis struktureller, sondern bloss funktioneller Defizite. Aus solchen funktionellen Beeinträchtigungen, wie Bewegungseinschränkungen oder Auffälligkeiten im Muskelverhalten, kann aber noch nicht geschlossen werden, es liege eine hiefür ursächliche strukturelle Schädigung aus Unfall vor (vgl. E. 3 hievor).
4.6 Prof. Dr. med. G._ führt im Gutachten vom 10. Mai 2010 namentlich aus, die neurologische Befundung habe am rechten Auge eine Verengung der Lidspalten im Sinne einer Ptosis und an der rechten Stirnseite eine verminderte Schweisssekretion im Sinne einer Anhidrosis ergeben. Es sei somit ein neurologischer Ausfall diagnostiziert, der auf einer Läsion des Symphatikus-Grenzstranges im Hals beruhe. Das bestehende Schmerzsyndrom werde durch diesen Nachweis einer organischen Verletzung als sympathisch unterhaltener Schmerz verständlich und sei direkte Folge des schweren Traumas. Die bei den vorangegangenen Abklärungen erhobenen objektiven Untersuchungsergebnisse der Störung der Halsbeweglichkeit und des muskulären Systems durch kinesiologisches EMG wiesen sodann die Störung des muskuloskelettalen Systems objektiv nach. Zusammenfassend führt der Gutachter aus, durch den Arbeitsunfall vom 31. Mai 2005 sei überwiegend wahrscheinlich eine schwere Kontusion des Halses mit neurologischen Ausfällen und anhaltenden Störungen des muskuloskelettalen Systems aufgetreten. Darüber hinaus sei es bei diesem Unfall mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zu einem dauernd beeinträchtigenden, schweren, durch Interaktion zwischen dem sympathischen und nozizeptiven System, durch sympathisch afferente Kupplung verursachten regionalen Schmerzsyndrom gekommen.
4.6.1 Es gilt nochmals zu betonen, dass es an dieser Stelle (noch) nicht darum geht, die Unfallkausalität der bestehenden Beschwerden abschliessend zu bejahen oder zu verneinen. Zu prüfen ist vorerst nur, ob mit überwiegender Wahrscheinlichkeit eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vorliegt, welche die Beschwerden zu erklären vermag. Dass sich aus den vorangegangenen Untersuchungen, auch mittels kinesiologischem EMG, und den damit erhobenen Befunden bezüglich HWS-Beweglichkeit und Muskelverhalten keine solche Verletzung ergibt, wurde bereits festgehalten. Prof. Dr. med. G._ diagnostiziert nun neu eine Läsion des Sympathikus-Grenzstranges im Hals. Er leitet dies aus den von ihm erhobenen Befunden einer Lidspaltenverengung am rechten Auge und einer verminderten Schweisssekretion an der rechten Stirnseite sowie aus den in medizinischen Vorakten erwähnten Bewegungseinschränkungen und Muskelaktivitäten im HWS-Bereich ab.
4.6.2 Zum Gutachten des Prof. Dr. med. G._ hat sich Dr. med. A._, Facharzt für Neurologie FMH, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, von der Abteilung Versicherungsmedizin der SUVA in der neurologischen Beurteilung vom 30. Juli 2010 geäussert. Der Versicherungsmediziner vermag aufgrund des von Prof. Dr. med. G._ aufgelegten Fotomaterials keine signifikante Differenz der Lidspalten im Seitenvergleich erkennen und opponiert der Diagnose einer unfallbedingten Ptosis auch aus anderen Gründen, wie etwa dem Umstand, dass entsprechende Symptome in den vorangegangenen medizinischen Akten nicht erwähnt worden seien. Das Vorliegen einer verminderten Schweisssekretion an der rechten Stirnseite erachtet Dr. med. A._ gestützt auf den von Prof. Dr. med. G._ aufgelegten Papierabdruck nach Ninhydrintest höchstens für möglich.
4.6.3 Ob nun eine Lidspaltenverengung und eine Schweisssekretionsminderung vorliegen oder nicht, ist für die hier zu beantworte Frage nicht entscheidend. Es muss daher nicht auf die entsprechenden Einwände, welche Prof. Dr. med. G._ in der ergänzenden Stellungnahme vom 26. Oktober 2010 gegenüber der neurologischen Beurteilung des Dr. med. A._ erhebt, eingegangen werden. Das gilt namentlich auch für die Kritik des Gutachters, der Versicherungsmediziner habe sich seine Meinung ohne eigene Untersuchung des Versicherten gebildet. Massgebend ist vielmehr, ob eine unfallbedingte Schädigung, welche solche (und/oder andere) Beschwerden zu erklären vermöchte, bildgebend/apparativ und damit organisch objektiv nachgewiesen wurde. Auch Prof. Dr. med. G._ vermag sich bei seiner Beurteilung, wonach die von ihm erhobenen Befunde und weitere Beschwerden organischer Natur seien, nicht auf einen solchen Nachweis zu stützen. Er leitet den Schluss auf eine organische Unfallfolge im Halsbereich vielmehr aus den von ihm festgestellten Symptomen an Auge und Stirn und anderen, nach dem Gesagten ebenfalls nicht organisch nachgewiesenen ärztlichen Feststellungen ab. Das genügt nicht, um auf eine solche unfallbedingte Schädigung schliessen zu können.
5. 5.1 Eine organische objektiv ausgewiesene Unfallfolge, welche die noch bestehenden Beschwerden zu erklären vermöchte, liegt nach dem Gesagten nicht vor. Das schliesst zwar - entgegen dem vorinstanzlichen Entscheid - noch nicht aus, dass die Beschwerden natürlich unfallkausal sind (vgl. Urteile 8C_605/2010 vom 9. November 2010 E. 6 Ingress und 8C_585/2010 vom 5. November 2010 E. 6 Ingress). Anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat kann der zusätzlich zum natürlichen erforderliche adäquate Kausalzusammenhang aber nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (E. 3 hievor). Ergibt sich dabei, dass es an der Adäquanz fehlt, erübrigen sich auch Weiterungen zur natürlichen Kausalität (BGE 135 V 465 E. 5.1 S. 472).
5.2 Die SUVA hat den adäquaten Kausalzusammenhang nach der Schleudertrauma-Praxis geprüft und verneint. Das kantonale Gericht hat dies bestätigt. Der Beschwerdeführer wendet einzig ein, es handle sich hier nicht um einen Schleudertrauma-Fall. Damit postuliert er offensichtlich nicht die Anwendung der Psycho-Praxis, welche denn auch kein für ihn günstigeres Ergebnis erwarten liesse. Dem Beschwerdeführer geht es vielmehr darum, die Unfalladäquanz ohne besondere Prüfung zu bejahen, da eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vorliege. Letzteres trifft, wie vorstehend dargelegt wurde, nicht zu. Damit geht der Einwand fehl.
Die vorgenommene Adäquanzbeurteilung entspricht im Übrigen Gesetz und Praxis, was der Beschwerdeführer denn auch nicht in Frage stellt. Die Verneinung eines weiteren Leistungsanspruchs erfolgte demnach zu Recht.
6. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. September 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz