Erwägungen:
1.
1.1. Das Migrationsamt des Kantons Thurgau lehnte es am 4. Juli 2013 ab, die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA des aus Deutschland stammenden X._ zu verlängern (geb. 1978), da er in der Schweiz straffällig geworden war (unbedingte Freiheitsstrafe von 30 Monaten und Busse von Fr. 300.-- wegen Verstössen gegen das Betäubungsmittelgesetz); gleichzeitig wies es ihn weg.
1.2. Der Rekurs von X._ an das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons blieb ohne Erfolg (Entscheid vom 20. September 2013). Am 21. Oktober 2013 setzte der Präsident des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau X._ eine Frist von vierzehn Tagen, um für das verwaltungsgerichtliche Verfahren einen Kostenvorschuss von Fr. 1'000.-- zu leisten. Dieser wurde nicht fristgerecht, sondern erst am 11. November 2014 bezahlt, weshalb das Verwaltungsgericht am 22. Januar 2014 auf seine Beschwerde nicht eintrat.
1.3. X._ beantragt vor Bundesgericht, den Nichteintretensentscheid aufzuheben und die Vorinstanz anzuhalten, in der Sache selber zu entscheiden. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um aufschiebende Wirkung und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
2.
2.1. Die Beschwerde kann ohne Weiterungen im Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden: Es entspricht - wie die Vorinstanz zutreffend dargelegt hat - der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, dass keine Verfassungsverletzung vorliegt (Art. 29 BV), wenn auf eine Beschwerde nicht eingetreten wird, falls die Frist für die Leistung des Kostenvorschusses nicht eingehalten wurde und die beschwerdeführende Person keine Gründe für eine Fristwiederherstellung vorbringen kann. Die Kostenvorschussverfügung muss dem Betroffenen rechtsgültig eröffnet worden sein und es muss ihm möglich gewesen sein, von der Höhe des Vorschusses, der Zahlungsfrist und der Säumnisfolgen Kenntnis zu nehmen (vgl. das Urteil 2C_509/2010 vom 4. November 2010 E. 2 u. 3). Die Kostenvorschussverfügung ist dem Beschwerdeführer am 22. Oktober 2013 zugestellt worden, die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses lief am 5. November 2013 ab. Der Beschwerdeführer hat diesen erst am 11. November 2013 entrichtet, womit seine Zahlung verspätet erfolgt ist.
2.2. Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Soweit er eine falsche Anwendung bzw. Auslegung von § 79 des Thurgauer Gesetzes vom 23. Februar 1981 über die Verwaltungsrechtspflege rügt, verkennt er, dass das Bundesgericht die Missachtung von kantonalem Gesetzesrecht nicht prüfen kann, sondern nur die Verletzung von Bundesrecht (Art. 95 BGG). Beruht ein Entscheid - wie hier - auf kantonalen Vorgaben, kann im Wesentlichen bloss geltend gemacht werden, dessen Anwendung verstosse gegen verfassungsmässige Rechte, wobei die entsprechenden Rügen qualifiziert zu begründen sind (BGE 135 III 513 E. 4.3 S. 521 f.; 134 I 153 E. 4.2.2 S. 158). Das hat der Beschwerdeführer nicht getan. Es wird von ihm nicht dargelegt, dass und inwiefern die Anwendung von § 79 VRG in seinem Fall offensichtlich unhaltbar wäre, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stünde, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen würde (BGE 137 I 1 E. 2.4 S. 5).
2.3. Dies ist auch nicht ersichtlich: Zwar war die Leistung des Kostenvorschusses bereits im Verfahren vor dem Departement für Justiz und Sicherheit umstritten, doch ergab sich daraus - auch für den Beschwerdeführer als Laien - nach Treu und Glauben nicht, dass ein entsprechendes Gesuch für das weitere Beschwerdeverfahren ebenfalls gelten sollte, zumal ihm ausdrücklich eine Kostenvorschussverfügung zugestellt worden war. Es wäre an ihm gewesen, die Zahlungsfrist einzuhalten oder sich mit einem ausdrücklichen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege an das Gericht zu wenden. Diese wird nicht von Amtes wegen, sondern nur auf Gesuch hin gewährt (vgl. § 81 VRG/TG). Die Vorinstanz war nicht verpflichtet, gestützt auf das Gesuch vor der Vorinstanz ihrerseits weitere Abklärungen vorzunehmen. Das Verwaltungsgericht durfte gestützt auf die Präsidialverfügung vom 21. Oktober 2013 davon ausgehen, der Beschwerdeführer würde sich melden, falls er auch vor dem Verwaltungsgericht eine prozessuale Bedürftigkeit geltend machen wollte.
2.4. Zwar hat er in seiner Beschwerdeschrift vom 19. Oktober 2013 auf Art. 29 BV verwiesen, was als Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege hätte verstanden werden können, doch hätte er nach dem (allenfalls) versehentlichen Erhalt der Verfügung bezüglich des Kostenvorschusses sofort handeln müssen. Die entsprechende Verfügung hielt fest, dass er ohne Kostenvorschuss damit rechnen müsse, dass das Gericht einen "kostenpflichtigen Nichteintretensentscheid" fällen würde. Hiermit wurde ihm klar dargestellt, was die Folgen sein könnten, sollte er auf die Verfügung nicht reagieren. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern unter diesen Umständen gegen das in Art. 5 Abs. 2 BV statuierte Prinzip der Verhältnismässigkeit staatlichen Handelns verstossen worden wäre, auch wenn der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss schliesslich am 11. November 2013 dennoch bezahlt hat. Es wäre an ihm gewesen, in diesem Moment ein Fristwiederherstellungsgesuch zu stellen und zu begründen, was er nicht getan hat (vgl. § 26 VRG/TG).
3.
3.1. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
3.2. Die Beschwerde hatte als aussichtslos zu gelten, weshalb dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden kann (vgl. Art. 64 BGG). Es rechtfertigt sich indessen dennoch, von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2.2. Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. März 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar