Faits:
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A. La société anonyme X._ SA (ci-après: X._ SA ou la société intimée) est propriétaire de la parcelle n° 957 du registre foncier de la commune de Montreux. Ce bien-fonds de 1'338 mètres carrés est classé en zone urbaine au sens des art. 7 et suivants du règlement communal sur le plan d'affectation et la police des constructions du 15 décembre 1972 (RPA); il est soumis aux règles de l'ordre non contigu sur sa limite nord avec l'avenue Mayor-Vautier et aux règles de l'ordre contigu sur ses limites est et ouest avec l'avenue Rousseau et la rue du Grammont, en vertu d'un plan d'alignement approuvé par le Département cantonal des travaux publics le 2 novembre 1928. Les distances entre les limites des constructions qui définissent l'alignement des immeubles construits sont respectivement de 16 mètres le long de l'avenue Mayor-Vautier et de 12 mètres le long de l'avenue Rousseau et de la rue du Grammont.
Le 17 juillet 2000, X._ SA a requis l'autorisation de construire sur la parcelle n° 957 un immeuble de sept étages comprenant 37 logements et des locaux commerciaux, avec un parking souterrain de 69 places, après démolition des bâtiments existants. Le bâtiment projeté prendrait place le long des alignements et présenterait une hauteur à la corniche de 19 mètres.
A._, les hoirs de feu Z._, à savoir B._ et C._, ainsi que D._, propriétaires des immeubles sis de l'autre côté de l'avenue Mayor-Vautier (ci-après: les opposants ou A._ et consorts), ont notamment fait opposition à ce projet au motif qu'il ne respecterait pas les prescriptions du règlement communal relatives à la hauteur à la corniche des bâtiments sur l'avenue Rousseau et la rue du Grammont. La Municipalité de Montreux a délivré le permis de construire le 6 novembre 2000 et levé les oppositions par décisions du 14 novembre 2000. Constatant que la façade principale de l'immeuble s'implantait le long de l'avenue Mayor-Vautier, elle a estimé qu'il convenait d'appliquer les règles de l'ordre non contigu à l'ensemble du bâtiment et, partant, de définir la hauteur à la corniche en référence à cette artère.
A._ et consorts ont recouru contre la décision communale levant leur opposition auprès du Tribunal administratif du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal administratif ou la cour cantonale) en dénonçant l'interprétation faite du règlement communal qui irait à l'encontre du but de la norme consistant à assurer aux voisins un ensoleillement minimum en permettant d'ériger le long de l'avenue Rousseau et de la rue du Grammont un immeuble plus haut que celui auquel la constructrice pourrait en principe prétendre.
Le Tribunal administratif a tenu une séance le 6 septembre 2001 à Montreux et a procédé à une inspection locale en présence des parties et d'un représentant de la Municipalité. Le 11 septembre 2001, le Juge instructeur a communiqué une copie du compte-rendu et du procès-verbal de l'audience pour information aux parties. X._ SA a complété le compte-rendu sur les points qu'elle considérait comme lacunaires dans un courrier du 18 octobre 2001, dont les opposants ont demandé vainement le retranchement du dossier.
Le Tribunal administratif a rendu son arrêt le 12 mars 2002; après avoir constaté que le droit communal ne réglait pas expressément la situation des immeubles implantés en ordre non contigu à l'angle de deux voies d'inégales largeurs, il a confirmé la solution préconisée par la Municipalité de Montreux et la société constructrice en se référant à un arrêt de la Commission cantonale de recours en matière de constructions paru à la RDAF 1945 p. 198, qui déclarait applicables, en pareil cas, les normes valables pour la face principale aux autres façades du bâtiment, même si celui-ci se trouve à cheval sur deux zones pour lesquelles le règlement fixe des hauteurs différentes; il a rejeté les autres griefs soulevés.
Le Tribunal administratif a rendu son arrêt le 12 mars 2002; après avoir constaté que le droit communal ne réglait pas expressément la situation des immeubles implantés en ordre non contigu à l'angle de deux voies d'inégales largeurs, il a confirmé la solution préconisée par la Municipalité de Montreux et la société constructrice en se référant à un arrêt de la Commission cantonale de recours en matière de constructions paru à la RDAF 1945 p. 198, qui déclarait applicables, en pareil cas, les normes valables pour la face principale aux autres façades du bâtiment, même si celui-ci se trouve à cheval sur deux zones pour lesquelles le règlement fixe des hauteurs différentes; il a rejeté les autres griefs soulevés.
B. Agissant par la voie du recours de droit public, A._ et consorts demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause au Tribunal administratif pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Sur le plan formel, ils voient une violation de leur droit d'être entendus garanti à l'art. 29 al. 2 Cst. dans le fait que la cour cantonale s'est fondée sur les références et les explications complémentaires fournies par la société intimée après la clôture des débats pour écarter leur grief tiré d'une application erronée de l'art. 8 al. 1 RPA. Sur le plan matériel, ils prétendent que le raisonnement consistant à définir la hauteur possible d'un bâtiment longeant des voies de circulation de largeurs différentes par rapport uniquement à la largeur la plus importante ne permettrait pas d'atteindre le but de protection des voisins visé par la norme et serait arbitraire; ils dénoncent également une atteinte indirecte à leur droit de propriété consacré à l'art. 26 al. 1 Cst.
Le Tribunal administratif, X._ SA et la Municipalité de Montreux concluent au rejet du recours, cette dernière dans la mesure où il est recevable. Le Département de la sécurité et de l'environnement du canton de Vaud a renoncé à déposer des observations.
Le Tribunal administratif, X._ SA et la Municipalité de Montreux concluent au rejet du recours, cette dernière dans la mesure où il est recevable. Le Département de la sécurité et de l'environnement du canton de Vaud a renoncé à déposer des observations.
C. Par ordonnance du 16 mai 2002, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif présentée par les recourants.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 128 I 46 consid. 1a p. 48; 128 II 13 consid. 1a p. 16, 46 consid. 2a p. 47 et les arrêts cités).
1.1 En vertu de l'art. 34 al. 1 et 3 de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700), seule la voie du recours de droit public est ouverte contre l'octroi d'un permis de construire en zone à bâtir, dans la mesure où les recourants font essentiellement valoir des griefs tirés d'une application arbitraire de règles communales de police des constructions et de la violation de leur droit d'être entendus garanti par le droit constitutionnel fédéral (cf. ATF 123 II 88 consid. 1a/cc p. 92 et les arrêts cités).
1.2 En tant que parties à la procédure, les recourants sont habilités à dénoncer la violation de leur droit d'être entendus, indépendamment de leur qualité pour agir sur le fond (ATF 126 I 81 consid. 7b p. 94; 125 II 86 consid. 3b p. 94 et la jurisprudence citée).
Les recourants se plaignent également d'une application arbitraire des normes du règlement communal ayant trait à la hauteur des bâtiments à la corniche en zone urbaine. Selon la jurisprudence, les règles relatives aux distances, aux dimensions des bâtiments et à la densité des constructions sont des règles mixtes qui tendent à protéger tant l'intérêt public que l'intérêt des voisins (cf. ATF 118 Ia 232 consid. 1b p. 235; 117 Ia 18 consid. 3b p. 20; 115 Ib 456 consid. 1e p. 462 et les arrêts cités). Les recourants se trouvent donc en principe dans le champ de protection des dispositions dont ils allèguent la violation; on peut en revanche se demander s'ils sont directement touchés par les effets prétendument illicites de la construction ou de l'installation litigieuse (cf. ATF 121 I 267 consid. 2 p. 268 et les arrêts cités), dès lors qu'ils invoquent une violation de l'art. 8 al. 1 RPA en relation non pas avec leurs propres immeubles, mais avec les bâtiments érigés de l'autre côté de l'avenue Rousseau et de la rue du Grammont; cependant, dans la mesure où, suivant leur interprétation du règlement communal, la façade de l'immeuble donnant sur l'avenue Mayor-Vautier devrait de toute manière être réduite, si ce n'est en hauteur, du moins en largeur, on peut admettre qu'ils sont effectivement touchés par les atteintes alléguées au règlement communal.
1.3 La conclusion tendant au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants est superfétatoire (cf. ATF 112 Ia 353 consid. 3c/bb p. 354); sous cette réserve, il y a lieu d'entrer en matière sur le fond du recours qui répond au surplus aux autres conditions des art. 84 ss OJ.
1.3 La conclusion tendant au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants est superfétatoire (cf. ATF 112 Ia 353 consid. 3c/bb p. 354); sous cette réserve, il y a lieu d'entrer en matière sur le fond du recours qui répond au surplus aux autres conditions des art. 84 ss OJ.
2. Les recourants reprochent en premier lieu au Tribunal administratif d'avoir violé leur droit d'être entendus garanti à l'art. 29 al. 2 Cst. en se fondant sur les explications complémentaires fournies par le conseil de la société intimée après la clôture des débats pour écarter leur grief tiré de la violation de l'art. 8 al. 1 RPA.
2.1 En tant que garantie générale de procédure, le droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. accorde au justiciable le droit de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur la décision, d'avoir accès au dossier, de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (ATF 127 I 54 consid. 2b p. 56; cf. pour la jurisprudence rendue sous l'empire de l'art. 4 aCst., ATF 126 I 15 consid. 2a/aa p. 16; 124 I 49 consid. 3a p. 51, 241 consid. 2 p. 242 et les arrêts cités). L'autorité qui verse au dossier de nouvelles pièces dont elle entend se prévaloir dans son jugement est tenue d'en aviser les parties et de leur donner l'occasion de se déterminer à leur sujet (ATF 124 II 132 consid. 2b p. 137 et les arrêts cités). Il en va de même lorsqu'elle entend retenir une argumentation juridique inédite dont les parties ne pouvaient guère discerner la pertinence en l'espèce (ATF 126 I 19 consid. 2d/bb p. 24, 97 consid. 2b p. 102/103 et les arrêts cités).
2.2 La société intimée a effectivement versé à la procédure un courrier du 18 octobre 2001, après la clôture des débats; elle entendait préciser certains points qu'elle prétendait avoir évoqués lors de la séance du 6 septembre 2001 et qui ne ressortaient pas du compte-rendu d'audience, concernant notamment les références à l'arrêt publié à la RDAF 1945 p. 198 et à la volonté exprimée par le législateur communal, notamment par le biais du plan directeur, de préserver et de développer les fronts de construction le long des principales voies de circulation, en particulier dans le secteur en cause. La Municipalité de Montreux avait cependant déjà fait état de cette jurisprudence dans sa réponse au recours cantonal des opposants du 5 février 2001 en relation avec le grief tiré d'une application arbitraire de l'art. 8 al. 1 RPA. De même, la société intimée avait également insisté sur la parfaite harmonie de la solution retenue avec le plan directeur communal, dans son mémoire de réponse du 5 février 2001. L'écriture du 18 octobre 2001 ne contenait ainsi aucun élément nouveau en rapport avec la question litigieuse, au sujet duquel les recourants n'auraient pas eu l'occasion de se déterminer au cours de la procédure de recours et dont le Tribunal administratif ne pouvait prendre en considération sans porter atteinte à leur droit d'être entendus.
Le grief tiré de la violation de l'art. 29 al. 2 Cst. est ainsi manifestement mal fondé et doit être rejeté.
Le grief tiré de la violation de l'art. 29 al. 2 Cst. est ainsi manifestement mal fondé et doit être rejeté.
3. Les recourants dénoncent une interprétation arbitraire des dispositions du règlement communal relatives à la hauteur des bâtiments à la corniche.
3.1 Saisi d'un recours de droit public pour arbitraire, le Tribunal fédéral n'a pas à examiner quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement dire si l'interprétation qui a été faite est défendable. En effet, une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; à cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables; encore faut-il que cette décision soit arbitraire dans son résultat (ATF 127 I 54 consid. 2b p. 56, 60 consid. 5b p. 70 et les arrêts cités).
3.2 La parcelle sur laquelle prendrait place le bâtiment de la société intimée est classée en zone urbaine. Les règles applicables aux constructions érigées dans cette zone sont fixées aux art. 7 et suivants RPA. L'art. 8 RPA, relatif à la zone urbaine soumise à l'ordre non contigu, prévoit que la hauteur sur la corniche des bâtiments construits sur la limite des constructions, mesurée conformément à l'art. 66, ne peut être supérieure à 1,25 fois la distance entre limites des constructions (al. 1). Pour les bâtiments construits en retrait de la limite des constructions, cette hauteur est augmentée de la longueur du retrait mesurée au point de la façade le plus proche de la limite des constructions (al. 2). La hauteur maximale sur la corniche ne peut excéder 19 mètres (al. 3). L'art. 14 RPA, régissant la zone urbaine soumise à l'ordre contigu, dispose que la hauteur sur la corniche des bâtiments, mesurée conformément à l'art. 67, ne peut être supérieure à 1,25 fois la distance entre limites des constructions (al. 1). La hauteur maximale sur la corniche ne peut excéder 22 mètres (al. 2). L'art. 15 al. 1 RPA précise que pour tout bâtiment situé à l'angle de deux voies d'inégales largeurs ou de niveaux différents, la façade donnant sur la voie la plus étroite ou la plus basse peut être élevée à la même hauteur que celle donnant sur la voie la plus large ou la plus haute et cela dans une zone de 16 mètres de profondeur. L'art. 16 RPA prévoit que pour les bâtiments qui occupent tout l'espace compris entre deux voies d'inégales largeurs ou de niveaux différents, la façade sur la voie la moins large ou la plus basse peut être élevée à la hauteur de la façade sur la voie la plus large ou la plus haute, lorsque la grande distance entre les deux voies n'excède pas 16 mètres (al. 1). Toutefois, la hauteur ainsi obtenue ne peut dépasser la hauteur réglementaire sur la voie la moins large ou la plus basse de plus de la moitié de la différence entre les deux hauteurs (al. 2).
3.3 Les recourants admettent que la hauteur à la corniche du bâtiment litigieux soit déterminée selon les dispositions du règlement communal relatives à l'ordre non contigu. L'application de l'art. 8 al. 1 RPA permettrait en l'occurrence la réalisation d'un immeuble de 19 mètres en façade nord et de 15 mètres en façade est et ouest, en raison de la largeur différente des artères qui le bordent. L'art. 15 al. 1 RPA, relatif à la zone urbaine de l'ordre contigu, prévoit en pareille situation que la façade donnant sur la voie la plus étroite peut être élevée à la même hauteur que celle donnant sur la voie la plus large et cela dans une zone de 16 mètres de profondeur. Le règlement communal ne renferme en revanche aucune disposition analogue pour les immeubles implantés en zone urbaine de l'ordre non contigu à l'angle de deux voies d'inégales largeurs. Pour les raisons exposées par la société intimée dans ses observations, le Tribunal administratif pouvait sans arbitraire voir dans l'absence de règle expresse sur ce point l'existence d'une lacune (cf. art. 36a al. 3 OJ).
La cour cantonale a estimé que la hauteur maximale à la corniche devait être calculée d'après les règles applicables à la façade principale du bâtiment, le long de l'avenue Mayor-Vautier; elle s'est basée sur un arrêt de la Commission cantonale de recours en matière de constructions résumé à la RDAF 1945 p. 198, suivant lequel les normes valables pour la face principale font règle pour les autres, même si le bâtiment se trouve à cheval sur deux zones pour lesquelles le règlement fixe des hauteurs différentes. La solution attaquée peut donc s'appuyer sur une jurisprudence certes ancienne, mais non remise en cause. En outre, le recours au critère de la façade principale pour définir les règles applicables à la hauteur d'un bâtiment situé à l'angle de deux voies d'inégales largeurs permet d'assurer une certaine unité entre les immeubles bordant les principaux axes de circulation, qui s'inscrit dans l'objectif du plan directeur communal consistant à préserver et à développer les fronts de construction le long des principales voies de circulation. La solution retenue va également dans le sens manifesté par le législateur communal aux art. 15 al. 1 et 16 al. 1 RPA d'adapter la hauteur des façades des immeubles soumis à l'ordre contigu, qui sont situés à l'angle de deux voies d'inégales largeurs ou qui s'implantent entre deux voies d'inégales largeurs, à celle de la façade donnant sur la voie la plus large. Les objections tirées d'une application contraire au but de protection des voisins poursuivi par l'art. 8 al. 1 RPA ne sont à cet égard pas décisives. Les règles relatives à la hauteur des bâtiments n'ont en effet pas pour fonction unique ou principale de protéger les voisins contre une perte d'ensoleillement ou une perte de vue, mais elles poursuivent aussi des buts d'urbanisme et d'esthétique, que l'autorité communale, puis le Tribunal administratif pouvaient en l'espèce sans arbitraire privilégier, dans la mesure où ils répondent à la volonté du législateur exprimée dans d'autres dispositions du règlement et dans son plan directeur (cf. Jean-Luc Marti, Distances, coefficients et volumétrie des constructions en droit vaudois, thèse Lausanne 1988, p. 171). On observera au demeurant que la solution retenue peut aussi se révéler favorable aux voisins lorsque la largeur de la voie sur laquelle donne la façade principale du bâtiment est inférieure à celle sur laquelle s'implante les façades secondaires.
Dans ces conditions, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en considérant que la hauteur à la corniche du bâtiment projeté par la société intimée devait être déterminée en fonction de la distance séparant la façade principale donnant sur l'avenue Mayor-Vautier. Enfin, pour autant que l'art. 15 al. 1 RPA soit applicable dans le cas particulier, fût-ce par analogie, les recourants ne sont pas habilités à invoquer la non-conformité de la construction projetée à cette disposition, dans la mesure où l'irrégularité qu'ils dénoncent ne les touche pas directement (cf. consid. 1.2 ci-dessus).
3.4 L'interprétation retenue échappant au grief d'arbitraire, une atteinte au droit de propriété des recourants n'entre pas en considération. Pour autant qu'il soit invoqué de manière conforme aux exigences de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, le grief tiré de la violation de l'art. 26 al. 1 Cst. est mal fondé.
3.4 L'interprétation retenue échappant au grief d'arbitraire, une atteinte au droit de propriété des recourants n'entre pas en considération. Pour autant qu'il soit invoqué de manière conforme aux exigences de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, le grief tiré de la violation de l'art. 26 al. 1 Cst. est mal fondé.
4. Le recours doit par conséquent être rejeté, dans la mesure où il est recevable, aux frais des recourants qui succombent (art. 156 al. 1 OJ). Ces derniers verseront en outre une indemnité de dépens à la société intimée, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un homme de loi (art. 159 al. 1 OJ). Il n'y a en revanche pas lieu d'allouer des dépens en faveur de la Commune de Montreux, qui est censée disposer de moyens suffisants pour assumer la défense de ses intérêts sans le concours d'un mandataire extérieur.
Par ces motifs, vu l'art. 36a OJ, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument de 3'000 fr. est mis à la charge des recourants.
2. Un émolument de 3'000 fr. est mis à la charge des recourants.
3. Une indemnité de 1'500 fr. est allouée à la société anonyme X._ SA à titre de dépens, à la charge des recourants, solidairement entre eux.
3. Une indemnité de 1'500 fr. est allouée à la société anonyme X._ SA à titre de dépens, à la charge des recourants, solidairement entre eux.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties, à la Municipalité de Montreux, au Département de la sécurité et de l'environnement et au Tribunal administratif du canton de Vaud.
Lausanne, le 20 juin 2002
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: