Faits:
A. W._, né en 1975, était chef de rang auprès de la Brasserie X._. A ce titre il était assuré auprès de SWICA Organisation de santé (SWICA) par le biais d'un contrat collectif pour une indemnité journalière en cas de maladie selon la Loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA).
Depuis le 8 avril 2008, l'assuré a été en incapacité de travail totale pour cause de maladie. Le 24 octobre 2008, le docteur V._, médecin-conseil de SWICA, a attesté qu'une reprise du travail à 50 % était possible à compter du 1er août 2008 et à plein temps dès le 15 septembre 2008. Par lettre du 24 octobre 2008, SWICA a fait savoir à son assuré qu'elle cesserait le versement de ses prestations le 31 octobre 2008, car une capacité totale de travail devait être reconnue dès le 1er novembre 2008.
B. Le 29 janvier 2009, W._ a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève d'une demande en paiement dirigée contre SWICA en concluant au versement des indemnités journalières au-delà du 31 octobre 2008.
Par jugement du 12 mai 2010, la juridiction cantonale a admis partiellement la demande et condamné la défenderesse à payer au demandeur les indemnités journalières pour une incapacité de travail entière jusqu'au 31 janvier 2009.
C. Par mémoires séparés postés le 21 juin 2010, de contenus quasi identiques, W._ interjette un recours en matière de droit public ainsi qu'un recours en matière civile contre le jugement du 12 mai 2010; les causes ont été enregistrées respectivement sous les références 9C_541/2010 et 4A_373/2010. Avec suite de frais et dépens, le recourant conclut à ce que SWICA soit condamnée à lui verser des indemnités journalières pour une incapacité de travail entière jusqu'au 16 avril 2009 inclus. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal cantonal des assurances sociales a constaté, à l'examen des Conditions générales d'assurances (CGA) de la défenderesse (art. I, ch. 1 let. b), que l'assurance en cause dans le présent litige est régie par la LCA (consid. 2 du jugement attaqué). Par ailleurs, c'est uniquement à la lumière de ces règles de droit privé que le litige a été tranché.
Certes, la juridiction cantonale s'est-elle référée au principe de la maxime inquisitoire sociale (voir notamment les art. 61 let. a et c LPGA) qui prévaut devant le juge des assurances en matière de contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale au sens de la LAMal, mais le seul énoncé de ces règles de procédure ne saurait modifier la nature du procès (à propos des voies de droit ouvertes contre des décisions rendues en matière civile, notamment en assurance-maladie complémentaire, voir aussi Alain Würzburger, Commentaire de la LTF, n. 75 ad art. 82).
2. On ne saurait suivre le recourant lorsqu'il soutient que la voie du recours en matière droit public (art. 82 let. a LTF) serait ouverte contre le jugement du 12 mai 2010, en invoquant l'ancienne OJ. Dans la mesure où il forme simultanément un recours en matière de droit public et un recours en matière civile, le recourant perd de vue que la loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110), entrée en vigueur le 1er janvier 2007, a introduit un recours unifié. Suivant l'objet de la cause au fond, le recourant doit donc interjeter l'un ou l'autre des recours prévus aux art. 72 ss, 78 ss ou 82 ss LTF (recours en matière civile, recours en matière pénale ou recours en matière de droit public), non pas les cumuler (arrêt 6B_71/2007 du 31 mai 2007 consid. 1; Alain Würzburger, op. cit., n. 9 ad art. 82).
En l'espèce, le jugement attaqué n'a pas été rendu dans une cause de droit public. Le dépôt d'un recours en matière de droit public, en plus d'un recours en matière civile, n'a donc aucun sens, d'autant que les mémoires sont presque identiques (à l'exception des titres et de l'énoncé des dispositions de la LTF relatives à la qualité pour recourir). Sans objet, la cause 9C_541/2010 sera dès lors radiée du rôle, en application de l'art. 32 al. 2 LTF.
3. La présente ordonnance sera rendue sans frais (art. 66 al. 1 LTF).
Quant au sort de la requête d'assistance judiciaire, il sera réglé dans la procédure 4A_373/2010.
Par ces motifs, le Président ordonne:
1. La cause 9C_541/2010 est radiée du rôle.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. La présente ordonnance est communiquée aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, Chambre 4, à l'Office fédéral de la santé publique et à la Ie Cour civile du Tribunal fédéral.
Lucerne, le 16 juillet 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud