Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich erliess am 28. März 2013 einen Strafbefehl gegen X._, welcher dagegen mit Schreiben vom 9. Mai 2013 Einsprache erhob. Die Staatsanwaltschaft lud in der Folge X._ auf den 30. Mai 2013 bzw. 20. Juni 2013 zu einer Einvernahme vor. Beide Vorladungen konnten jedoch nicht zugestellt werden. Nach einer neuen Vorladung auf den 9. Juli 2013 teilte X._ der Staatsanwaltschaft mit Schreiben vom 5. Juli 2013 mit, er sei vom 5. Juli 2013 bis zum 20. Juli 2013 ferienabwesend. Die Staatsanwaltschaft nahm daraufhin X._ die Vorladung auf den 9. Juli 2013 ab und lud ihn neu auf den 25. Juli 2013 vor.
2.
Nachdem X._ zur Einvernahme vom 25. Juli 2013 ohne Entschuldigung nicht erschienen war, trat die Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 25. Juli 2013 auf die Einsprache nicht ein und verfügte gegen X._ eine Ordnungsbusse. Dagegen erhob X._ Beschwerde und verlangte dabei den Ausstand des untersuchungsführenden Staatsanwaltes. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich wies mit Beschluss vom 20. Dezember 2013 das Ausstandsbegehren gegen den fallführenden Staatsanwalt ab, hiess die Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid und gegen die Ordnungsbusse gut und hob die Verfügung vom 25. Juli 2013 auf. Die Gerichtsgebühr auferlegte es ausgangsgemäss zu einem Drittel X._. Zur Begründung führte die Strafkammer zusammenfassend aus, dass X._ zur Befragung vom 25. Juli 2013 nicht gültig vorgeladen worden sei, weshalb ihn an seiner Säumnis kein Verschulden treffe. Bei der gerügten fehlerhaften Vorladung handle es sich um einen prozessualen Fehler. Solche singulären Prozessfehler könnten im Rechtsmittelverfahren korrigiert werden und würden solange keinen Anschein der Befangenheit begründen, als sie nicht besonders krass sind und wiederholt auftreten. Dies sei vorliegend nicht der Fall, weshalb das Ausstandsbegehren abzuweisen sei.
3.
X._ führt mit Eingabe vom 25. Januar 2014 (Postaufgabe 31. Januar 2014) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Die III. Strafkammer hat die Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid und die Ordnungsbusse gutgeheissen und die Verfügung vom 25. Juli 2013 aufgehoben. Soweit der Beschwerdeführer die Begründung der Strafkammer, die zur Gutheissung der Beschwerde führte, beanstandet, kann von vornherein mangels Rechtsschutzinteresse auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
5.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
Die Strafkammer stellte in ihrem Beschluss fest, dass die Gelegenheit zur Replik unbenutzt blieb, da der Beschwerdeführer die entsprechende Einladung auf der Post nicht angeholt habe. Der Beschwerdeführer beanstandet, dass die Strafkammer vor der Urteilsfindung keinen weiteren Zustellungsversuch unternommen habe. Inwiefern die Strafkammer indessen zu einem solchen Verhalten aufgrund des Anspruchs auf rechtliches Gehör oder sonst wie verpflichtet gewesen sein sollte, legt er nicht in einer den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Weise dar. Gleich verhält es sich, soweit der Beschwerdeführer die Abweisung des Ausstandsbegehrens und die Auferlegung der Gerichtsgebühr zu einem Drittel beanstandet. Aus seiner Beschwerde ergibt sich nicht, inwiefern die entsprechende Begründung der Strafkammer bzw. deren Beschluss selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
6.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das vom Beschwerdeführer sinngemäss gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 BGG) abzuweisen ist. Auf eine Kostenauflage ist indessen zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli