Faits:
A. S._ est assuré auprès de Helsana par l'intermédiaire de son employeur, X._ AG, pour une indemnité journalière relevant de la LAMal couvrant le 80 % de son salaire à compter du 31e jour.
Le 3 avril 2008, l'assuré a été victime d'une atteinte accidentelle au coude droit. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a pris les suites de cet événement à sa charge. Par décision du 19 mai 2009, confirmée sur opposition le 13 août 2009, la CNA a mis un terme au versement de ses prestations au 30 juin 2009, au motif que les troubles dont l'assuré se plaignait n'étaient pas suffisamment démontrables d'un point de vue organique; l'assureur-accidents a aussi nié l'existence d'un lien de causalité adéquate. La décision du 13 août 2009 a été attaquée devant le tribunal cantonal des assurances (dossier AA 103/2009).
L'assurance-invalidité a mis en oeuvre des mesures d'ordre professionnel, sous la forme d'un stage qui a débuté le 4 mai 2009. A partir du 8 mai 2009, l'assuré a été déclaré en incapacité de travail en raison de l'état de son coude. Helsana Assurances SA (Helsana), en sa qualité d'assureur-maladie, a accepté de verser des indemnités journalières dès le 1er juillet 2009, sur la base d'une incapacité totale de travail pour cause de maladie.
Helsana a confié un mandat d'expertise à l'institut Y._ AG. A la lumière du rapport du 5 janvier 2010, Helsana a fait savoir à l'assuré, par décision du 19 février 2010 confirmée sur opposition le 22 juillet 2010, qu'il était apte à travailler à 75 % dans une activité appropriée. Les indemnités journalières ont ainsi été réduites à hauteur de 34 % de son gain assuré à compter du 1er mai 2010, soit après une période d'adaptation de trois mois.
B. Contestant la capacité résiduelle de travail de 75 %, S._ a déféré la décision d'Helsana du 22 juillet 2010 au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, en concluant à son annulation et à la poursuite du versement des indemnités journalières entières au-delà du 30 avril 2010 (dossier Amal 87/2010).
La procédure de recours Amal 87/2010 a été suspendue jusqu'à droit connu dans la procédure AA 103/2009. Le 20 septembre 2010, la CNA a acquiescé au recours, en ce sens qu'elle a annulé ses décisions des 19 mai et 13 août 2009 et accepté de reprendre l'instruction du cas. Dans ses explications, la CNA s'est référée à l'appréciation du docteur P._, de son service médical (rapport du 10 septembre 2010). Ce médecin indiquait que les examens pratiqués avaient permis de reconnaître une origine organique au moins partielle aux plaintes de l'assuré, que la liquidation du cas au 30 juin 2009 était prématurée et que d'autres interventions médicales devraient encore être prises en charge par la CNA. Par décision du 23 septembre 2010, le tribunal cantonal a rayé la cause AA 103/2009 du rôle et alloué une indemnité de dépens de 2'313 fr. 40 à l'assuré à charge de la CNA.
Par lettre du 23 août 2011, l'assuré a fait savoir au tribunal que la procédure dirigée contre Helsana était désormais sans objet. Il a conclu à l'allocation de dépens à charge de cet assureur, au motif que son appréciation de l'incapacité de travail s'était avérée erronée au regard de celle de la CNA. Subsidiairement, l'assuré a conclu au versement d'une indemnité de dépens à charge de l'Etat, par équité.
Constatant que la procédure Amal 87/2010 était devenue sans objet en raison de la reprise du versement des indemnités journalières par la CNA, la juridiction cantonale a condamné Helsana à verser à l'assuré une indemnité de dépens de 6'054 fr. 55, débours et TVA compris (correspondant à la note d'honoraires de Me Beuret du 23 août 2011), par décision du 9 septembre 2011.
C. Helsana interjette un recours en matière de droit public ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire contre cette décision. A titre principal, elle conclut à son annulation dans la mesure où elle est condamnée aux dépens; subsidiairement, elle demande que les dépens soient fixés à nouveau.
Avec suite de frais et dépens, l'intimé conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet pour le cas où il serait recevable.
L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre une décision par laquelle l'autorité cantonale de recours a rayé l'affaire du rôle, en allouant une indemnité de dépens de 6'054 fr. 55 à l'intimé, à charge de la recourante.
Rendu dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), sans que l'on se trouve dans l'un des cas d'exception mentionnés à l'art. 83 LTF, le jugement entrepris est une décision finale (art. 90 LTF; arrêt 9C_726/2010 du 14 septembre 2011 consid. 1). Le recours en matière de droit public est dès lors recevable, si bien que la voie du recours constitutionnel subsidiaire n'est pas ouverte.
2. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140).
3. Le litige porte sur le principe de l'octroi d'une indemnité de dépens (le cas échéant sur le montant de celle-ci) à l'assuré intimé pour la procédure cantonale de recours, à charge de l'assureur-maladie recourant, dès lors que cette procédure est devenue sans objet et la cause radiée du rôle.
4. Le droit aux dépens dans la procédure devant le tribunal cantonal des assurances est réglé par l'art. 61 let. g LPGA. Cette disposition vaut pour tous les litiges portés devant le tribunal cantonal des assurances (art. 57 et 58 LPGA), comme c'est le cas en l'espèce, dès lors que la juridiction cantonale était appelée à statuer en instance unique sur le recours de l'assuré dans un domaine des assurances sociales.
En vertu de l'art. 61 let. g LPGA, le recourant qui obtient gain de cause a droit au remboursement de ses frais et dépens dans la mesure fixée par le tribunal; leur montant est déterminé sans égard à la valeur litigieuse d'après l'importance et la complexité du litige. Le point de savoir si et à quelles conditions une partie a droit à des dépens en instance cantonale de recours lorsqu'elle obtient gain de cause relève du droit fédéral et dépend, d'une part, de l'issue du litige et, d'autre part, de la personne de l'ayant droit (cf. ATF 135 V 473 consid. 3.2 p. 478, 129 V 113 consid. 2.2 p. 115 et les arrêts cités). La fixation du montant de l'indemnité de dépens ressortit en revanche au droit cantonal et échappe, en principe, à la compétence du Tribunal fédéral (cf. ATF 133 III 462 consid. 2.3 p. 466; 133 II 249 consid. 1.2.1 p. 251).
Selon la jurisprudence applicable dans le cadre de l'art. 61 let. g LPGA, lorsque la cause est devenue sans objet, les dépens sont répartis en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige et de l'issue probable de celui-ci (arrêt C 56/03 du 20 août 2003 consid. 3.1, in SVR 2004 ALV Nr. 8 p. 22; ATF 110 V 54 consid. 3a p. 57, 109 V 70 p. 71 s. consid. 1 p. 71 s., 108 V 270 consid. 1 p. 271). Cette règle est d'ailleurs expressément prévue à l'art. 72 PCF. Le principe de causalité s'applique également en ce qui concerne les frais et dépens (arrêt I 83/06 du 24 juillet 2006 consid. 2.2). En conséquence, les frais et dépens sont supportés en premier lieu par la partie qui a provoqué la procédure devenue sans objet ou chez qui sont intervenues les causes qui ont conduit à ce que cette procédure devienne sans objet (ATF 118 Ia 488 consid. 4a p. 494; 125 V 373; arrêt H 223/82 du 6 février 1984 consid. 5, non publié in ATF 110 V 132).
5. Le tribunal cantonal a constaté que le litige est devenu sans objet à partir du moment où la CNA a accepté de reprendre le versement des indemnités journalières entières, calculées sur la base d'une incapacité de travail totale, rétroactivement à compter du 30 juin 2009 (cf. acquiescement du 20 septembre 2010). Compte tenu de la position de la CNA, la juridiction cantonale de recours a déduit que l'intimé se trouvait toujours en incapacité de travail à 100 % depuis le 1er mai 2010, si bien que l'assureur-maladie avait fixé à tort la capacité de travail à 75 % dans une activité adaptée dès ce moment-là. Le tribunal a ajouté qu'il incombait à l'assureur-maladie de verser, à tout le moins provisoirement, les indemnités journalières conformément à l'art. 70 al. 2 let. a LPGA, dès lors qu'il pouvait exister un doute sur l'assureur social débiteur de ces prestations (l'assureur-maladie ou l'assureur-accidents). Dans ces conditions, le tribunal cantonal a admis que l'assuré aurait probablement eu gain de cause dans le procès qui l'opposait à l'assureur-maladie, dans une mesure justifiant l'allocation de dépens.
6. L'assureur-maladie recourant fait grief à la juridiction cantonale d'avoir arbitrairement considéré que l'assuré intimé avait obtenu gain de cause dans le litige qui les opposait, du simple fait que l'assureur-accidents avait admis de prolonger son obligation de verser les indemnités journalières. Selon le recourant, cette conclusion lui impose de fait l'appréciation de la situation émanant de l'assureur-accidents, en violation du libre pouvoir de décision de chaque assureur social dans son propre domaine de compétences. A cet égard, le recourant rappelle que lorsqu'un assuré est en mesure d'exercer une activité adaptée, il peut restreindre ou supprimer l'indemnité journalière LAMal en vertu des règles relatives à l'obligation de réduire le dommage, lorsque l'assuré est capable de travailler dans une autre profession. Dans le cas d'espèce, le recourant fait observer que la procédure de recours cantonale n'a pas permis de constater que l'intimé aurait pu obtenir davantage de prestations de sa part, à compter du 1er mai 2010, que celles qu'il avait accepté de lui verser.
7. En l'espèce, l'octroi de dépens à l'intimé à charge du recourant, au titre d'une procédure devenue sans objet selon la juridiction cantonale en raison de la reconnaissance par un tiers de son obligation de prester, viole le droit fédéral.
D'une part, il est douteux que le litige opposant, pour une incapacité de travail déterminée, un assuré à un assureur d'une indemnité journalière en cas de maladie puisse être considéré comme étant devenu sans objet en raison de la reconnaissance de l'obligation de prester de l'assureur-accidents pour la même incapacité de travail. Non contesté par le recourant, ce point peut souffrir de rester indécis.
D'autre part et surtout, en retenant au regard de la position de la CNA que l'intimé présentait une incapacité de travail totale au 1er mai 2010, qui l'amenait à considérer qu'il aurait obtenu gain de cause dans le litige qui l'opposait au recourant, la juridiction cantonale s'est arrêtée à mi-chemin dans l'examen des chances de succès des parties agissant devant elle. En effet, la reconnaissance de l'assureur-accidents quant à son obligation de prester au titre de l'incapacité de travail présentée par l'intimé au-delà du 30 juin 2009 et du 1er mai 2010 ôtait toute justification à un versement de prestations de la part du recourant à l'intimé pour la même incapacité de travail et pour la même période; le recours dirigé contre la décision de la recourante du 22 juillet 2010 était ainsi privé de toutes chances de succès.
8. Vu ce qui précède, le recours sera admis et la décision de classement attaquée, en tant qu'elle alloue des dépens à charge de la recourante, sera annulée.
Dans son écriture du 23 août 2011, l'assuré intimé avait conclu à titre subsidiaire au versement en sa faveur d'une indemnité de dépens par l'Etat. Dès lors que sa conclusion principale est désormais rejetée, il sied de renvoyer la cause à la juridiction cantonale afin qu'elle statue sur cette conclusion subsidiaire.
9. L'intimé, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est admis. La décision du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, du 9 septembre 2011, est réformée en ce sens que l'allocation de dépens à charge d'Helsana Assurances SA est supprimée. La cause est renvoyée au tribunal cantonal afin qu'il procède conformément au consid. 8.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 900 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 30 juillet 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Berthoud