Faits :
A. En 1997, X._ a contracté une assurance-vie auprès de Y._, Compagnie d'assurances sur la vie (ci-après: Y._). En 2003, l'assureur s'est départi du contrat en invoquant une réticence de l'assuré. Elle a proposé à X._ de lui rembourser 6'803 fr.80, montant correspondant à la valeur de rachat de la police.
B. Le 13 avril 2004, X._ a ouvert action contre Y._ en paiement de 13'412 fr.80, plus intérêts à 5% dès le 1er avril 2000. Le capital réclamé représente la totalité des primes payées par l'assuré.
Par jugement du 3 juillet 2006, le Juge II du district de Monthey a «donné acte à X._ que Y._ (...) accept[ait] de lui verser le montant de 6'803 fr.80 contre remise de l'original de la police d'assurance (...)»; il a rejeté l'action pour le surplus.
Par jugement du 3 janvier 2007, la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté le pourvoi en nullité interjeté par le demandeur, dans la mesure de sa recevabilité.
C. X._ dépose un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire. Il conclut, principalement, à ce que l'intimée soit condamnée à lui verser 13'412 fr.80 avec intérêts à 5% dès le 1er août 2000 et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouveau jugement.
Par décision du 14 février 2007, la cour de céans a rejeté la demande d'assistance judiciaire formée par le recourant, au motif que les recours paraissaient dépourvus de chances de succès. Par la suite, le recourant a effectué l'avance de frais requise.
L'intimée n'a pas été invitée à déposer de réponse.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. La décision attaquée a été rendue après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007, de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF). Par conséquent, le recours est régi par le nouveau droit de procédure.
2. 2.1 La valeur litigieuse s'élève à 6'609 fr., soit la différence entre le montant de 13'412 fr.80 réclamé par le recourant (total des primes payées) et le montant de 6'803 fr.80 reconnu par l'intimée (art. 51 al. 1 let. a LTF) en dernière instance cantonale (valeur de rachat). Elle est insuffisante pour ouvrir la voie du recours en matière civile (art. 74 al. 1 LTF).
2.2 Lorsque la valeur litigieuse minimale n'est pas atteinte, le recours en matière civile est tout de même ouvert notamment si la contestation soulève une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF), ce qu'il incombe au recourant de démontrer (art. 42 al. 2 LTF).
En l'espèce, le recourant soutient que l'affaire litigieuse soulève une question juridique de principe, car le jugement attaqué serait fondé sur un arrêt du Tribunal fédéral (ATF 92 II 342), ancien et isolé, lequel serait contesté par une doctrine quasi unanimement opposée à la solution retenue.
Il n'y a pas lieu de trancher la question de savoir si des avis de doctrine critiques envers une jurisprudence suffisent pour admettre l'existence d'une question juridique de principe. En effet, la contestation alléguée par le recourant n'existe pas.
Le jugement attaqué est fondé sur l'art. 25 al. 4 aLCA, qui était en vigueur jusqu'au 31 décembre 2005. Cette disposition prévoyait qu'en cas de résiliation - notamment à la suite d'une réticence - d'un contrat d'assurance sur la vie légalement susceptible de rachat, l'assureur était tenu de restituer «la prestation minimum prévue pour le rachat». Actuellement, l'art. 6 al. 4 LCA, relatif aux conséquences d'une réticence, formule le même principe. Dans le jugement attaqué, il est fait référence à l'arrêt publié aux ATF 92 II 342; cet arrêt précise simplement qu'en vertu de l'art. 25 al. 4 aLCA, aucune restitution n'est due en cas de résiliation d'une assurance sans valeur de rachat (consid. 6 p. 353).
Contrairement à ce que le recourant prétend, les divers auteurs qu'il cite ne contestent ni cette jurisprudence, ni le fait qu'en vertu du texte clair de la loi, seul le montant de la valeur de rachat doit être restitué. Ce sont d'autres aspects de la loi qui étaient critiqués en doctrine, en particulier le principe de l'indivisibilité de la prime alors consacré à l'art. 24 aLCA (cf. entre autres, Stephan Fuhrer, Basler Kommentar, n. 84 ss ad art. art. 25-27 aLCA).
Faute de soulever une question juridique de principe, le recours en matière civile est irrecevable.
3. Dans le recours constitutionnel subsidiaire, le recourant ne reprend pas, sous l'angle de l'arbitraire, les moyens relatifs à la LCA. Il critique la décision de la Cour de cassation de ne pas entrer en matière sur des griefs de procédure soulevés à l'encontre du juge de première instance.
3.1 Le recours constitutionnel subsidiaire est ouvert contre les décisions des autorités cantonales de dernière instance (art. 113 LTF). Le recourant doit avoir épuisé les voies de recours cantonales. Il ne peut pas soulever un grief sur lequel l'autorité cantonale de dernière instance ne s'est pas prononcée, sauf s'il résulte de la décision attaquée (art. 99 LTF; cf. art. 86 OJ avant le 1er janvier 2007).
Le recours ne peut être interjeté que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine que les griefs invoqués et suffisamment motivés par le recourant (art. 117 et 106 al. 2 LTF). Le recourant doit indiquer quel droit constitutionnel aurait été violé et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (cf. ATF 130 I 258 consid. 1.3).
S'il invoque la violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire en relation avec l'application du droit cantonal ou intercantonal, le recourant doit préciser quelles sont les normes de ce droit qui sont visées et, en partant de la décision attaquée, démontrer de façon circonstanciée, pour chacune d'elles, en quoi consiste la violation du principe constitutionnel (cf. ATF 128 III 50 consid. 1c; 110 Ia 1 consid. 2a). Le Tribunal fédéral n'a pas à déterminer quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement examiner si l'interprétation qui a été faite est défendable. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (cf. ATF 132 I 13 consid. 5.1).
3.2 Le recourant a révoqué le mandat de l'avocate qui le représentait à l'époque, juste avant l'audience finale devant le juge de première instance. Il reprochait à la mandataire son refus d'augmenter les conclusions de la demande en paiement à 70'000 fr., représentant le capital assuré par la police en cause; le recourant, qui ne contestait pas la résiliation du contrat d'assurance jusqu'alors, voulait désormais demander l'exécution de la convention. Le juge de première instance a refusé d'ajourner les débats et a laissé l'avocate plaider. Dans son pourvoi en nullité cantonal, le recourant a contesté cette manière de procéder. Sur cette question, la Cour de cassation a déclaré le recours irrecevable pour cause de tardiveté.
Dès lors que l'autorité cantonale ne s'est pas prononcée sur les griefs élevés à l'encontre de la procédure suivie par le juge de première instance, il n'y a pas épuisement des voies de recours cantonales sur ces questions. Dans la mesure où le recourant en discute dans le recours, celui-ci est irrecevable.
Le recourant peut uniquement contester la décision de ne pas entrer en matière prise par la Cour de cassation, pour cause d'application arbitraire des règles cantonales de procédure. Or, sur ce point, le recours ne suffit pas aux exigences légales en matière de motivation. Dans un exposé appellatoire, le recourant mêle les critiques contre la décision de la cour cantonale de ne pas entrer en matière et celles contre la procédure suivie par le juge de première instance; il invoque diverses dispositions cantonales sans même en donner la teneur. Ce faisant, il ne démontre pas le caractère arbitraire du refus d'entrer en matière.
Sur le vu de ce qui précède, le recours constitutionnel subsidiaire est également irrecevable.
4. Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à déposer de réponse.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est irrecevable.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge du recourant.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 23 mars 2007
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière: