Sachverhalt:
A. Der damals 61-jährige Y._ heiratete im Oktober 2005 eine aus Tansania stammende, 36 Jahre jüngere Frau. In der Folge kam es zwischen den Eheleuten zu Spannungen mit wechselseitigen Strafanzeigen.
Am 11. Oktober 2007 verurteilte das Strafgericht Basel-Stadt Y._ wegen mehrfacher einfacher Körperverletzung, mehrfacher Tätlichkeiten und versuchter Nötigung zu einer bedingten Geldstrafe von 240 Tagessätzen zu je Fr. 60.-- und Fr. 1'000.-- Busse. Auf Appellation von Y._ hin bestätigte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 27. Mai 2009 das strafgerichtliche Urteil.
Y._ verstarb am 25. März 2010.
Mit Eingaben an die basel-städtischen Behörden machte sein Bruder, X._, geltend, die Urteile des Straf- und Appellationsgerichts seien "durch betrügerische Mitwirkung der Untersuchungsbehörden" zustande gekommen. X._ warf diesen insbesondere vor, durch "Manipulation der SMS" wichtige Informationen unterdrückt zu haben. Im Weiteren machte X._ geltend, sein Bruder sei "nach längerem psychischem und physischem Leiden an den Folgen der grausamen ungerechten Anschuldigungen und Verurteilungen gestorben".
B. Mit Beschluss vom 31. August 2010 ernannte der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt Stephan Gutzwiler, alt Strafgerichtspräsident, zur Behandlung der Strafanzeigen von X._ gegen Angehörige der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt zum ausserordentlichen Staatsanwalt.
C. Am 31. Januar 2011 verweigerte der ausserordentliche Staatsanwalt X._ die Akteneinsicht. Dagegen erhob Letzterer Beschwerde beim Appellationsgericht.
D. Mit Verfügung vom 9. Februar 2011 stellte der ausserordentliche Staatsanwalt das Strafverfahren gegen Mitarbeiter der Staatsanwaltschaft betreffend Datenbeschädigung ein und nahm das Verfahren betreffend Tötung nicht an die Hand, da kein strafrechtliches relevantes Verhalten vorliege.
Auch dagegen erhob X._ Beschwerde beim Appellationsgericht.
E. Am 19. August 2011 vereinigte der ausserordentliche Appellationsgerichtspräsident die beiden Beschwerdeverfahren und wies die Beschwerden ab, soweit er darauf eintrat.
F. Mit von ihm selbst verfasster Eingabe erhebt X._ beim Bundesgericht "Rekurs" mit dem Hauptantrag, das Urteil des ausserordentlichen Appellationsgerichtspräsidenten vom 19. August 2011 sei aufzuheben, und weiteren Anträgen.
G. Der ausserordentliche Appellationsgerichtspräsident beantragt unter Verzicht auf Gegenbemerkungen die Abweisung der Beschwerde.
Die Staatsanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2 Gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde berechtigt, wer a) vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (...) und b) ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die Privatklägerschaft, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Ziff. 5).
Die Beschwerde muss auch hinsichtlich der Prozessvoraussetzungen hinreichend begründet werden (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer muss - wenn das nicht offensichtlich ist - insbesondere darlegen, inwiefern die Legitimationsvoraussetzungen gegeben sein sollen (BGE 134 II 120 E. 1 S. 121; 133 II 400 E. 2 S. 404; je mit Hinweisen).
Ein Eintreten kommt hier gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG in Betracht. Nach der Rechtsprechung muss der Beschwerdeführer insoweit darlegen, welche Zivilansprüche er geltend machen will und inwiefern sich der angefochtene Entscheid auf deren Beurteilung auswirken soll (BGE 127 IV 185 E. 1a S. 187 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer bringt (S. 1) zur Legitimation lediglich vor, als Bruder des Verstorbenen habe er "die Tragödie als teilnehmender Beobachter und Berater von Anfang an miterlebt und mit gelitten". Er sei damit in seinen Interessen berührt und zur Beschwerde legitimiert.
Er legt somit nicht dar, welche Zivilansprüche er geltend machen will und genügt daher seiner Begründungspflicht nicht.
Inwiefern ihm Zivilansprüche zustehen sollen, ist auch nicht offensichtlich. Im Gegenteil ist davon auszugehen, dass er keine solchen hat. Wie sich aus der Einstellungsverfügung vom 9. Februar 2011 ergibt, führte der ausserordentliche Staatsanwalt das Strafverfahren gegen Mitarbeiter der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt. Gegen diese stehen dem Beschwerdeführer keine Zivilansprüche zu. Gemäss § 3 des Gesetzes vom 17. November 1999 des Kantons Basel-Stadt über die Haftung des Staates und seines Personals (SG 161.100) haftet der Staat (...) für den Schaden, den sein Personal in Ausübung seiner amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich zufügt (Abs. 1). Gegenüber dem fehlbaren Personal steht der geschädigten Person kein Anspruch zu (Abs. 2). Der Beschwerdeführer hat somit allenfalls einen Anspruch gegen den Kanton aus Staatshaftung. Dabei handelt es sich um einen Anspruch öffentlich-rechtlicher Natur und keinen Zivilanspruch nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (BGE 128 IV 188 E. 2.2 S. 191; Urteil 6B_380/2007 vom 13. November 2007 E. 1; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeberechtigung des Beschwerdeführers ergibt sich auch nicht aus dem prozessualen Teilgehalt von Art. 2 oder 3 EMRK (dazu BGE 131 I 455 E. 1.2.5 f. S. 462 ff. mit Hinweisen); denn er bringt nicht in vertretbarer Weise vor, dass Mitarbeiter der Staatsanwaltschaft seinen Bruder erniedrigend behandelt oder gar zu Tode gebracht haben sollen. Dafür fehlen ernsthafte Anhaltspunkte.
Auf die Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden.
2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, a.o. Appellationsgerichtspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri