Erwägungen:
1.
Zwischen Y._ und X._ kam es am Morgen des 28. Mai 2012 in einem Männerwohnheim in Basel zu einer gewalttätigen Auseinandersetzung, anlässlich welcher X._ multiple Stichverletzungen am rechten Oberarm, an der linken Hand sowie im Bereich des Halses resp. Schlüsselbeins links erlitt. In der Folge wurde gegen Y._ ein Strafverfahren wegen Körperverletzung mit einem gefährlichen Gegenstand und gegen X._ ein Verfahren wegen Tätlichkeit und Körperverletzung eröffnet.
Am 9. August 2012 teilte die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt den Parteien mit, dass sie gedenke, im Rahmen des Strafverfahrens gegen Y._ eine Konfrontationseinvernahme mit X._ durchzuführen. Dieser liess mit Stellungnahme vom 20. August 2012 beantragen, die betreffende Einvernahme sei zu verschieben und Y._ sei psychiatrisch zu begutachten; evtl. sei dieser im Falle einer Einvernahme von X._ von der Teilnahme an dieser Einvernahme auszuschliessen. Mit Verfügung vom 21. August 2012 wies die Staatsanwaltschaft diese Anträge ab.
In der Folge gelangte X._ mit einer Beschwerde ans Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dessen Präsident ist mit Entscheid vom 29. Mai 2013 mangels aktuellen Rechtsschutzinteresses auf die Beschwerde nicht eingetreten und hat die auf Fr. 500.-- bestimmten Verfahrenskosten dem Beschwerdeführer auferlegt.
2.
Mit Eingabe vom 19. Juli 2013 führt X._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht mit dem Hauptbegehren, der Entscheid vom 29. Mai 2013 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung sowie zur Neuregelung der Kosten an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat darauf verzichtet, Vernehmlassungen zur Beschwerde einzuholen.
3.
3.1. Beim angefochtenen appellationsgerichtlichen Entscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der das in Frage stehende Strafverfahren nicht abschliesst.
3.2. Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (s. dazu Art. 92 BGG), ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss der Bestimmung des Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder - was indes hier von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
3.3. Dabei ist es Sache des Beschwerdeführers, die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG darzulegen. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, von Amtes wegen Nachforschungen anzustellen, inwiefern ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG gegeben sein sollte (BGE 134 III 426 E. 1.2; 133 III 629 E. 2.3.1).
Der Beschwerdeführer bringt in diesem Zusammenhang im Wesentlichen bloss vor, bei der vorliegend gerügten ungerechtfertigten Verweigerung der indirekten Konfrontation handle es sich um eine Rechtsverweigerung bzw. Missachtung seiner Verfahrensrechte, die für ihn einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bedeute. Dasselbe treffe in Bezug auf die ihm auferlegten Kosten des Beschwerdeverfahrens zu; nachdem die Sache inzwischen an den Kanton Thurgau abgetreten worden sei, wäre es ihm, dem Beschwerdeführer, dort verwehrt, den Kostenpunkt noch einer gerichtlichen Überprüfung zuführen zu können.
Diese Auffassung ist indes nicht stichhaltig. Auch wenn die Sache inzwischen offenbar an den Kanton Thurgau abgetreten worden ist, wird es dem Beschwerdeführer unbenommen sein, sowohl die Frage der Konfrontationseinvernahme als auch die beanstandete Kostenauferlage gegebenenfalls im Rahmen des Hauptverfahrens vor dem Sachrichter bzw. jedenfalls in einem den Sachrichterentscheid betreffenden bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren einer Überprüfung zuführen zu lassen.
Es ist somit nicht dargetan und auch nicht ersichtlich, inwiefern der angefochtene Entscheid für den Beschwerdeführer einen Nachteil gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bewirken könnte. Die blosse Verzögerung oder Verteuerung eines Verfahrens genügt generell nicht, um einen sofortigen Entscheid des Bundesgerichts zu erwirken (BGE 136 II 165 E. 1.2.1 S. 170; s. etwa auch Urteile 1B_233/2012 und 1B_381/2012 vom 21. August 2012). Dieses soll sich nach Möglichkeit nur einmal mit einer Sache befassen müssen.
Auf die Beschwerde ist somit nicht einzutreten. Da diese in Bezug auf die Erfordernisse gemäss Art. 93 BGG offensichtlich mangelhaft ist, kann über sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden.
4.
Da die Beschwerde nach dem Gesagten offensichtlich aussichtslos ist, ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abzuweisen (Art. 64 BGG). Bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt es sich indes, von einer Kostenauflage abzusehen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist durch das vorliegende Verfahren kein Aufwand entstanden, so dass ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen ist.
Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bzw. amtlichen Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp