Sachverhalt:
A. Die gehörlose russische Staatsangehörige X._ (geb. 1967) reiste im Jahr 2000 erstmals illegal in die Schweiz ein und wurde in der Folge mit einer zweijährigen Einreisesperre belegt. Im Februar 2003 reiste sie erneut illegal ein und hielt sich zunächst ohne Bewilligung und Wissen der Schweizer Behörden im Land auf. Im Sommer 2005 lernte sie den ebenfalls gehörlosen Schweizer Bürger Y._ (geb. 1947) kennen und heiratete ihn am 19. Dezember 2005. Hierauf wurde ihr eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann in Basel erteilt. Am 19. Mai 2008 meldete sich X._ von der ehelichen Wohnung ab und zog zu einem Bekannten. Daher lehnte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt - aufgrund seiner am 2. Juni 2008 eingeleiteten Abklärungen - das Gesuch um Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung am 22. April 2009 ab. Das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie anschliessend das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht wiesen die dagegen erhobenen Rechtsmittel mit Entscheiden vom 3. März bzw. 15. Juni 2010 ab.
B. Am 18. August 2010 reichte X._ beim Bundesgericht eine am 16. August 2010 von einer Drittperson - A._ - verfasste Beschwerde ein. Diese ergänzte sie am 26. August 2010. Sie beantragt, das im Kanton zuletzt ergangene Urteil des Appellationsgerichts vom 15. Juni 2010 - zugestellt am 27. Juli 2010 - aufzuheben, ihr die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und von einer Wegweisung nach Art. 66 AuG (SR 142.20) abzusehen.
C. Das Bundesgericht hat das von der Beschwerdeführerin am 26. August 2010 gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mit Verfügung vom 7. September 2010 wegen Aussichtslosigkeit ihres Rechtsbegehrens abgewiesen.
Hierauf hat sich A._ mit Schreiben vom 16. September 2010 an das Bundesgericht gewandt.
D. Das kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement, das Appellationsgericht sowie das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde (Eingaben vom 27. September, 22. Oktober und 29. November 2010).
Am 18. Dezember 2010 hat sich X._ unaufgefordert in einer von ihr als "Replik" bezeichneten Eingabe ergänzend geäussert. Sie hält an ihren Anträgen fest.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht kann die Bewilligung des Aufenthaltes materiell nur beurteilen, soweit das Bundes- oder das Völkerrecht der Beschwerdeführerin einen entsprechenden Anspruch im Sinne von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG einräumt (vgl. BGE 133 I 185; Urteil des Bundesgerichts 2D_13/2007 vom 14. März 2007 E. 2.2 und 2.3.1). Die Beschwerdeführerin beruft sich mit entsprechendem Vorbringen auf Art. 49 und 50 AuG, die auch nach Trennung von Eheleuten einen Fortbestand des Bewilligungsanspruchs nach Art. 42 Abs. 1 AuG vorsehen. Insoweit ist auf die Beschwerde einzutreten (vgl. nicht publizierte E. 2 von BGE 136 II 1).
2. Vorab rügt die Beschwerdeführerin sinngemäss, das Appellationsgericht habe nicht abschliessend über ihren Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung für das bei ihm laufende Verfahren entschieden und damit gegen Art. 29 Abs. 3 BV verstossen. Sie übersieht allerdings, dass ihr der Präsident des Appellationsgerichts mit Schreiben vom 11. Mai 2010 seine Verfügung eröffnet hatte, mit welcher das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung abgewiesen wurde. Eine erneute Beurteilung behielt sich das Appellationsgericht nur für eine eventuelle Replik durch die Beschwerdeführerin vor, falls es eine Vernehmlassung ("Rekursantwort") bei den Vorinstanzen einholen sollte. Da es jedoch schliesslich auf die Einholung von Rekursantworten verzichtete, musste es nicht mehr darüber befinden, ob der Beschwerdeführerin für die Replik ein unentgeltlicher Beistand zu gewähren war. Die erwähnte Verfügung blieb im Übrigen unangefochten.
3. 3.1 Die Eheleute leben seit längerem in getrennten Wohnungen. Daher kommt die Erneuerung einer Bewilligung allein gestützt auf Art. 42 Abs. 1 AuG nicht in Betracht. Trotz getrennter Wohnorte ist die Bewilligung nach Art. 49 AuG zu verlängern, wenn hiefür wichtige Gründe vorliegen und die Familiengemeinschaft weiter besteht. Die Vorinstanz geht davon aus, dass Letzteres nicht mehr zutrifft. Die von ihr dafür angeführten Indizien lassen diesen Schluss ohne weiteres zu. Die Beschwerdeführerin behauptet vor Bundesgericht - anders als noch teilweise bei den Vorinstanzen - denn auch nicht mehr das Gegenteil. Demzufolge entfällt eine Weitergeltung des Bewilligungsanspruchs nach Art. 49 AuG bereits wegen fehlender Familiengemeinschaft. Daran ändert nichts, dass die Ehe bisher nicht geschieden wurde und die Eheleute auch noch keine entsprechenden Schritte unternommen haben (vgl. Urteile des Bundesgerichts 2C_590/2010 vom 29. November 2010 E. 2.1 sowie 2C_635/2009 vom 26. März 2010 E. 4 und 5.1).
3.2 Die Beschwerdeführerin beruft sich zusätzlich auf Art. 50 AuG. Danach besteht der Anspruch des Ehegatten auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gemäss Art. 42 Abs. 1 AuG nach Auflösung der Familien- oder Ehegemeinschaft weiter, wenn Letztere mindestens drei Jahre bestanden hat und der Ausländer erfolgreich integriert ist (Abs. 1 lit. a) oder wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Abs. 1 lit. b).
3.3 Der Zeitraum zwischen der Heirat und dem Auszug bzw. der Abmeldung der Beschwerdeführerin aus der gemeinsamen Wohnung im Mai 2008 beträgt genau zwei Jahre und fünf Monate. Wie die Vorinstanz richtig bemerkt und die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht daher zu Recht nicht mehr beanstandet, waren nach dem Auszug aus der Ehewohnung keine wichtigen Gründe nach Art. 49 AuG gegeben, die eine Ausnahme vom Erfordernis des Zusammenwohnens rechtfertigten. Deshalb kommt die Anrechnung entsprechender Zeiten des Getrenntlebens auf die Mindestdauer von drei Jahren im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG nicht in Betracht. Damit entfällt eine Weitergeltung des Bewilligungsanspruchs nach dieser Bestimmung schon mangels dreijährigen Bestandes der Ehegemeinschaft. Das Bundesgericht hat im Übrigen mehrfach festgehalten, dass die Mindestdauer von drei Jahren absolut gilt und es daher keine Rolle spielt, dass nur wenige Wochen fehlen (vgl. BGE 136 II 113 E. 3.2 und 3.4 S. 116 f. und 120; erwähntes Urteil 2C_635/2009 E. 5.2; Urteil 2C_711/2009 vom 30. April 2010 E. 2.3.1).
Nachdem das Migrationsamt im April 2009 die Erneuerung ihrer Aufenthaltsbewilligung verweigert hatte, machte die Beschwerdeführerin zwar gelegentlich geltend, die eheliche Beziehung sei seither wieder für "einige Monate" aufgenommen worden, weshalb die erwähnten drei Jahre knapp erreicht würden. Das Appellationsgericht hat indes in nicht zu beanstandender Weise dargelegt, dass und warum die Ehe nach der Trennung vom Mai 2008 nicht mehr gelebt wurde (vgl. E. 2.3 des angefochtenen Urteils). Die teils widersprüchlichen und teils nicht näher substanziierten Vorbringen der Beschwerdeführerin vermögen diesen Schluss nicht zu erschüttern. In manchen Eingaben hat die Beschwerdeführerin sogar eingestanden, dass die Trennung vom Mai 2008 definitiv war.
3.4 Zu beurteilen bleibt, ob die Bewilligung gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG aus wichtigen persönlichen Gründen zu erneuern ist. Solche Gründe können gemäss Art. 50 Abs. 2 AuG namentlich vorliegen, wenn der ausländische Ehepartner Opfer ehelicher Gewalt wurde und die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint.
Art. 50 AuG bezweckt die Vermeidung von schwerwiegenden Härtefällen bei der Auflösung der ehelichen Gemeinschaft. Ein weiterer Aufenthalt in der Schweiz kann sich etwa dann als gerechtfertigt erweisen, wenn der in der Schweiz lebende Ehepartner verstorben ist oder wenn aufgrund der gescheiterten Ehe die familiäre und soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark erschwert wird. Zu berücksichtigen sind auch die Umstände, die zur Auflösung der Gemeinschaft geführt haben. Steht fest, dass die im Familiennachzug zugelassene Person durch das Zusammenleben in ihrer Persönlichkeit ernstlich gefährdet ist und ihr eine Fortführung der ehelichen Beziehung nicht länger zugemutet werden kann, ist dies beim Entscheid besonders in Rechnung zu stellen. Demgegenüber ist eine Rückkehr zumutbar, wenn der Aufenthalt in der Schweiz nur kürzere Zeit gedauert hat, keine engen Beziehungen zur Schweiz geknüpft wurden und die erneute Integration in der Heimat keine besonderen Probleme stellt (Botschaft zum AuG, BBl 2002 3753 f. Ziff. 1.3.7.5 f.; vgl. zudem die Verhandlungen im Nationalrat, AB 2004 N 1060-1065). Sowohl die eheliche Gewalt als auch die starke Gefährdung der sozialen Wiedereingliederung im Herkunftsland können ihrem Ausmass und den Gesamtumständen entsprechend bei der Beurteilung je für sich allein bereits einen wichtigen persönlichen Grund darstellen (BGE 136 II 1 E. 5.3 S. 4). Art. 31 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) nennt diverse Kriterien, die bei der Beurteilung zu berücksichtigen sind, auch wenn sie einzeln betrachtet noch grundsätzlich keinen Härtefall zu begründen vermögen. Es handelt sich hierbei um den Grad der Integration, die Respektierung der Rechtsordnung, die Familienverhältnisse, die finanziellen Verhältnisse, die Dauer der Anwesenheit in der Schweiz und der Gesundheitszustand (BGE 2C_411/2010 vom 9. November 2010 E. 4.1).
3.5 Die Beschwerdeführerin macht geltend, ihre Reintegration in Russland würde auf besondere Probleme stossen. Sie beruft sich auf ihre Behinderung (Gehörlosigkeit) und behauptet, in ihrer Heimat erwarte sie deswegen ein tristes Dasein. Als Gehörlose sei es gleichsam aussichtslos, dort ohne wichtige Kontakte eine Arbeit zu bekommen. Sie sei in Russland "noch weniger" integriert als in der Schweiz. Dort habe sie nur noch ihre Tochter und eine Schwester.
3.6 Die Vorinstanz verneint das Vorliegen wichtiger persönlicher Gründe nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG. Sie hält dazu fest, dass die Beschwerdeführerin bereits 37 Jahre alt gewesen sei, als sie im Februar 2003 illegal in die Schweiz einreiste. Damit habe sie nicht nur die prägenden Jahre ihrer Kindheit und Jugend in ihrem Heimatland verbracht, sondern den Grossteil ihres bisherigen Erwachsenenlebens. Trotz ihres siebenjährigen Aufenthaltes in der Schweiz könne ihre berufliche und soziale Integration nicht als vertieft bezeichnet werden. Abgesehen von ihren illegalen Einreisen und dem rechtswidrigen Aufenthalt von Februar 2003 bis November 2005 habe sie sich strafrechtlich zwar nichts Schweres zuschulden kommen lassen. Sie sei auch nicht sozialhilfebedürftig. Das genüge jedoch nicht, um einen schwerwiegenden Härtefall zu begründen. Die Beschwerdeführerin sei noch relativ jung und die Ehe kinderlos geblieben. Ihre angeblichen beruflichen Schwierigkeiten in der Heimat habe sie in keiner Weise belegt. Offenbar sei es ihr bis zum Zeitpunkt ihrer Einreise in die Schweiz möglich gewesen, ihren Lebensunterhalt und denjenigen ihrer Tochter zu bestreiten. Eine allenfalls erleichtert mögliche Berufstätigkeit in der Schweiz stelle keinen Grund für das Vorliegen einer starken Gefährdung der sozialen Wiedereingliederung im Herkunftsland dar.
3.7 Die Beschwerdeführerin weist auf ihre frühere Tätigkeit als Verkäuferin von Souvenirs und Gebrauchsgegenständen für Reisende in russischen Zügen und auf dabei möglicherweise auftretende Probleme hin. Teilweise müssten dort Schutz- und Bestechungsgelder gezahlt werden. Auch wenn sie in der ganzen Schweiz bis in die Nacht reisen müsse, sei es ihr leichter, Feuerzeuge und ähnliche Gegenstände in Schweizer Restaurants zu verkaufen und damit ihren Lebensunterhalt und denjenigen ihrer Tochter zu bestreiten.
Bezüglich der Wiedereingliederung ist nicht entscheidend, ob es für den Ausländer einfacher ist, in der Schweiz zu leben. Vielmehr geht es darum, ob die Wiedereingliederung des Ausländers in seiner Heimat "stark gefährdet" erscheint (Urteil 2C_376/2010 vom 18. August 2010 E. 6.3.1; erwähntes Urteil 2C_590/2010 E. 2.4). Das ist hier nicht der Fall, da sie - wie die Vorinstanz richtig festhält - durchaus längere Zeit in ihrer Heimat ein entsprechendes Auskommen haben konnte. Dass sich daran seither etwas grundlegend geändert hätte, ist weder dargetan noch ersichtlich. Die von ihr erwähnten Probleme bestanden schon, als sie dort arbeitete.
Zudem hat die Beschwerdeführerin entgegen ihrer Behauptung in keiner Weise ausgeführt oder belegt, dass sie in der Schweiz überdurchschnittlich gut integriert sei. Wie die Vorinstanz zutreffend bemerkt, ist eine solche Integration nicht bereits aus der fehlenden Sozialhilfebedürftigkeit und aus ihrer erwähnten Tätigkeit abzuleiten. Sie hat auch nicht offen gelegt, dass sie zu in der Schweiz lebenden Personen engere Beziehungen geknüpft und sich hier sozial besonders engagiert oder integriert hätte. Sie hat im Gegenteil selber erklärt, sie habe von einheimischen Gehörlosengruppen Abstand genommen. Auch habe sie - aufgrund ihrer Gehörlosigkeit und der fehlenden Deutschkenntnisse - Mühe, sich in der Schweiz zu verständigen. In ihrer Heimat hat sie hingegen zumindest ihre Tochter und eine Schwester, bei welcher ihre Tochter lebt. Im Übrigen ist die überdurchschnittliche Integration, welche die Beschwerdeführerin als wichtigen Grund im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG anführt, von der erfolgreichen Integration im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG zu unterscheiden. An Letztere werden geringere Anforderungen gestellt (vgl. Art. 77 Abs. 4 VZAE); zur Begründung eines Anspruchs bedarf es insoweit aber - wie ausgeführt (E. 3.2 und 3.3 hievor) - zusätzlich mindestens einer dreijährigen Ehegemeinschaft in der Schweiz (vgl. BGE 136 II 113 E. 3.3 S. 117 ff.).
Die Beschwerdeführerin war darüber hinaus zunächst illegal in die Schweiz eingereist, ohne ihren künftigen Ehemann zu kennen. Diesen bewegte sie zur Heirat, indem sie von ihrem prekären Aufenthaltsstatus erzählte. Wohl ist insoweit nicht von einer Schein- oder Ausländerrechtsehe zu sprechen (vgl. BGE 121 II 97 E. 2b S. 102). Dennoch befindet sie sich in einer weniger schützenswerten Position als diejenige Person, die im Vertrauen auf eine dauerhafte Ehe ihre Heimat verlässt und unter anderem ihre dortige Tätigkeit und soziale Stellung aufgibt. In der Folge war es ausserdem ihr eigener Entscheid, sich von ihrem damals 61-jährigen Schweizer Ehemann zu trennen.
Auch wenn sie sich im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids seit rund sieben Jahren in der Schweiz aufhielt, war ihr rechtmässiger Aufenthalt von weitaus kürzerer Zeit. Auf den Bestand der Ehegemeinschaft entfallen nicht mehr als zwei Jahre und fünf Monate. Dem illegalen und dem aufgrund der aufschiebenden Wirkung eines Rechtsmittels bloss geduldeten Aufenthalt ist kein besonderes Gewicht beizumessen (vgl. BGE 130 II 39 E. 3 S. 42; erwähnter BGE 2C_411/2010 E. 4.3).
Demzufolge ist bei einer Gesamtwürdigung der Umstände davon auszugehen, dass bei der Beschwerdeführerin kein Härtefall im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG gegeben ist
4. Soweit die Beschwerdeführerin beantragt, von der Wegweisung nach Art. 66 AuG abzusehen, wäre nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zulässig (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 4 AuG). Sie macht diesbezüglich jedoch keine geeigneten Rügen geltend, so dass auf diesen Antrag nicht einzutreten ist. Im Übrigen ist nichts ersichtlich, das der Wegweisung entgegenstünde. Diese ist zudem die konsequente Folge der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung.
5. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Diesem Ausgang entsprechend hat die Beschwerdeführerin die - mit Blick auf ihre Einkommensverhältnisse reduzierten - Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 f. BGG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.--- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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