Sachverhalt:
A. Der kroatische Staatsangehörige X._ (geb. 1977) heiratete am 6. September 2003 in seiner Heimat die mit einer Niederlassungsbewilligung in der Schweiz lebende Landsfrau Y._ (geb. 1983) und reiste am 19. Oktober 2003 im Rahmen des Familiennachzugs hier ein. Am 31. Oktober 2003 erteilte ihm das Migrationsamt des Kantons Aargau eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau. Diese Aufenthaltsbewilligung wurde mehrfach verlängert, zuletzt bis zum 31. Oktober 2007.
B. Nachdem sich die Eheleute am 1. Oktober 2006 getrennt hatten, widerrief das Migrationsamt des Kantons Aargau unter vorheriger Gewährung des rechtlichen Gehörs die bis zum 31. Oktober 2007 geltende Aufenthaltsbewilligung von X._ und wies diesen aus der Schweiz weg.
Eine gegen diese Verfügung erhobene Einsprache beim Migrationsamt blieb erfolglos, und am 10. August 2007 wies das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau die gegen den Einspracheentscheid vom 15. Mai 2007 gerichtete Beschwerde ebenfalls ab. Das Rekursgericht erwog im Wesentlichen, da X._ die Aufenthaltsbewilligung unter der Auflage des Zusammenlebens in ehelicher Gemeinschaft erteilt worden sei und er diese Auflage nicht mehr erfülle, sei der Widerruf der Bewilligung "nach Art. 9 Abs. 1 lit. b ANAG" (recte: Art. 9 Abs. 2 lit. b ANAG) "grundsätzlich zulässig". Das Gericht prüfte eine allfällige Erneuerung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung sodann unter den Härtefallkriterien der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (BVO). Es erwog in diesem Zusammenhang, die kurze Aufenthaltsdauer von X._ in der Schweiz sei für sich genommen nicht geeignet, dessen Beziehung zur Schweiz als derart eng erscheinen zu lassen, dass sich bei Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung eine besondere Härte ergebe. Sodann sei die knapp drei Jahre dauernde Ehe des Beschwerdeführers kinderlos geblieben, und es sei weder ersichtlich noch dargetan, inwiefern X._ bei einer Wegweisung aus einem besonders intensiven Beziehungsumfeld herausgerissen würde. Ein Härtefall im Sinne der Rechtsprechung liege damit nicht vor.
C. Mit Eingabe vom 14. September 2007 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Rekursgerichts im Ausländerrecht des Kantons Aargau vom 10. August 2007 sowie die vorangegangenen Verfügungen und die "Wegweisung aus der Schweiz" aufzuheben.
Das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Denselben Antrag stellt das Bundesamt für Migration.
D. Mit Verfügung vom 20. September 2007 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.
E. Mit unaufgefordert eingereichter Eingabe vom 12. November 2007 reichte X._ dem Bundesgericht ein Empfehlungsschreiben seiner Arbeitgeberin sowie ein Zwischenzeugnis ein und beantragte, diese Unterlagen zu den Akten zu nehmen.
Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2008 ist das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG, SR 142.20) in Kraft getreten. Dessen Art. 126 Abs. 1 bestimmt, dass "auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes eingereicht worden sind, (...) das bisherige Recht anwendbar" bleibt. Entsprechendes muss gelten für die Überprüfung des vorliegend angefochtenen Entscheides über den Widerruf bzw. die Nichtverlängerung einer Aufenthaltsbewilligung (Art. 126 Abs. 1 AuG analog). Massgebend für die hier zu beurteilende Streitsache ist damit noch das inzwischen aufgehobene Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seine Ausführungserlasse. Das Verfahren richtet sich dagegen nach dem neuen Recht (Art. 126 Abs. 2 AuG).
2. 2.1 Kantonal letztinstanzliche Verfügungen über den Widerruf von Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligungen können mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario), sofern die widerrufene Bewilligung im Zeitpunkt der Anfechtung noch Rechtswirkungen entfalten würde.
2.2 Der Beschwerdeführer war demnach befugt, gegen den kantonalen Rechtsmittelentscheid des Rekursgerichts über den Widerruf seiner Aufenthaltsbewilligung Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu führen. Die widerrufene Aufenthaltsbewilligung wäre jedoch am 31. Oktober 2007 so oder so abgelaufen (vgl. vorne "A". und Art. 5 Abs. 1 ANAG), womit sein diesbezügliches Begehren gegenstandslos geworden ist. Es kann heute nur noch um die allfällige Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung ab 1. November 2007 gehen, worüber die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid ebenfalls befunden hat (vgl. vorne "B".). Im Begehren des Beschwerdeführers, auf die angeordnete Wegweisung zu verzichten, könnte allenfalls sinngemäss ein Antrag auf Erneuerung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung erblickt werden.
2.3 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Gemäss Art. 4 des hier noch anwendbaren Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Damit besteht kein Anspruch auf Erteilung einer Bewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich hierfür auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags berufen (BGE 130 II 388 E. 1.1 S. 389 f. mit Hinweisen).
3. 3.1 Gemäss Art. 17 Abs. 2 ANAG hat der ausländische Ehegatte eines niedergelassenen Ausländers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange die Ehegatten zusammen wohnen. Ein analoger Anspruch besteht zudem aufgrund von Art. 8 EMRK: Diese Konventionsbestimmung garantiert den Schutz des (Privat- und) Familienlebens, wenn nahe Angehörige über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz verfügen und die familiäre Beziehung tatsächlich gelebt wird und intakt ist (statt vieler: BGE 130 II 281 E. 3.1 S. 285 f.).
3.2 Art. 17 Abs. 2 ANAG gewährt nach dem Gesagten dem ausländischen Ehegatten einen Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung nur dann, wenn er mit dem hier niedergelassenen Ehepartner zusammen wohnt, was hier unbestrittenermassen nicht (mehr) der Fall ist. Bei dieser Sachlage (keine gelebte Beziehung) entfällt auch der Anspruch aus Art. 8 EMRK. Auf die Einwendungen des Beschwerdeführers bezüglich der Handhabung des Ermessens der kantonalen Behörden im Rahmen von Art. 4 ANAG ist nicht einzugehen: Seine Darlegungen, wonach u.a. die Umstände der ehelichen Trennung sowie sein Integrationsgrad in der Schweiz nicht genügend abgeklärt bzw. berücksichtigt worden sei(en), vermögen am Fehlen eines Rechtsanspruches auf Zulassung des weiteren Aufenthaltes in der Schweiz nichts zu ändern. Ein solcher Rechtsanspruch ergibt sich im Übrigen auch nicht aus der von der Vorinstanz herangezogenen Begrenzungsverordnung (BVO), vgl. BGE 130 II 281 E. 2.2 S. 284.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher, was die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung anbelangt, unzulässig.
4. Nach dem Gesagten kann auf die vorliegende Beschwerde, soweit sie nicht als gegenstandslos geworden abzuschreiben ist, nicht eingetreten werden.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird, soweit sie nicht als gegenstandslos geworden abzuschreiben ist, nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt sowie dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein