Faits:
A. Née en 1949, A._ a travaillé comme secrétaire à mi-temps au service d'une étude d'agents d'affaires brevetés du 15 août 1993 au 31 décembre 2000. Mise en arrêt de travail à partir du 1er janvier 2001 (cf. rapport du docteur R._, médecin traitant, du 30 avril 2003), elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 20 mars 2003.
Après avoir effectué une enquête économique sur le ménage auprès de l'assurée (rapport du 10 mars 2004), l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a chargé le docteur S._, psychiatre et psychothérapeute, d'une expertise. Dans son rapport du 29 juin 2005, le médecin a fait état d'une dysthymie et de traits de personnalité histrionique; il a conclu à une incapacité de travail de 50% au plus entre 2001 et décembre 2003 (liée à un état dépressif majeur ayant évolué de manière favorable jusqu'à cette date), puis de 30% à partir du 1er janvier 2004 dans l'activité de secrétaire (et dans toute activité adaptée aux limitations somatiques objectives à déterminer par un spécialiste). L'assurée a également été examinée par les docteurs R._, spécialiste en médecine physique et rééducation, et B._, psychiatre et psychothérapeute, du Service médical régional AI (SMR). Se prononçant le 24 avril 2006, ces médecins n'ont retenu aucune pathologie au titre de diagnostic ayant des répercussions sur la capacité de travail de l'intéressée, mais indiqué que l'assurée présentait divers troubles (dont une fibromyalgie, un diabète de type 2 et une dysthymie) sans influence sur la capacité de travail.
Par décision du 9 novembre 2006, l'office AI a nié le droit de l'assurée à une rente de l'assurance-invalidité. En bref, en application de la méthode mixte d'évaluation de l'invalidité (empêchement dans la tenue du ménage [prise en compte à 50%] de 41,6% [invalidité de 20,8%]; incapacité de travail de 50% du 1er janvier 2002 au 31 décembre 2003, puis de 0% dès le 1er janvier 2004 [invalidité de 0%]), il a fixé à 21% le degré d'invalidité, ce qui était insuffisant pour ouvrir le droit à une rente.
B. Saisi d'un recours de l'assurée contre cette décision, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a requis des renseignements complémentaires auprès du docteur S._ (avis du 4 octobre 2007). Statuant le 25 juin 2008, il a rejeté le recours de l'intéressée.
C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande la réforme en ce sens qu'une rente d'invalidité lui soit allouée. A titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à l'office AI pour instruction complémentaire afin de déterminer "sa capacité de travail puis son invalidité dans la part active de son activité professionnelle".
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
La constatation de l'atteinte à la santé (diagnostic, pronostic, etc.) et l'évaluation de la capacité de travail (résiduelle) sont en principe des questions de fait (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 397). Il en est de même de l'appréciation concrète des preuves. En revanche, l'application du principe inquisitoire et des règles sur la libre appréciation des preuves au sens de l'art. 61 let. c LPGA relève du droit (ATF 132 V 393 consid. 3.2 et 4 p. 397 ss).
2. Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et jurisprudentielles sur la notion d'invalidité et son évaluation, sur la libre appréciation des preuves et la valeur probante des rapports médicaux, ainsi que la jurisprudence en matière de troubles somatoformes douloureux et fibromyalgie. Il suffit d'y renvoyer.
On précisera que la décision litigieuse a été rendue le 9 novembre 2006, si bien que les modifications de la LAI du 6 octobre 2006 (5ème révision de la LAI), entrées en vigueur le 1er janvier 2008, ne sont pas applicables en l'espèce (ATF 129 V 1 consid. 1.2 p. 4 et les arrêts cités).
3. 3.1 Se fondant sur les conclusions du docteur S._ (des 29 juin 2005 et 4 octobre 2007), la juridiction cantonale a constaté que la recourante présentait une dysthymie et une personnalité avec traits histrioniques. Ces troubles avaient entraîné une incapacité de travail de 50% du 1er janvier au 31 décembre 2003, puis de 30% jusqu'au 9 février 2006, date à partir de laquelle l'assurée avait retrouvé une pleine capacité de travail. Analysant les critères dégagés par la jurisprudence en matière de troubles somatoformes douloureux, applicables par analogie en cas de fibromyalgie, les premiers juges ont par ailleurs retenu que ce diagnostic posé par les médecins du SMR ne présentait pas de caractère invalidant et qu'on pouvait exiger de la recourante qu'elle mette en valeur sa capacité de travail (résiduelle). Celle-ci était entière sur le plan physique. Une nouvelle expertise n'apparaissait en outre pas nécessaire puisque le dossier était suffisamment documenté pour permettre au Tribunal de statuer en pleine connaissance de cause.
3. 3.1 Se fondant sur les conclusions du docteur S._ (des 29 juin 2005 et 4 octobre 2007), la juridiction cantonale a constaté que la recourante présentait une dysthymie et une personnalité avec traits histrioniques. Ces troubles avaient entraîné une incapacité de travail de 50% du 1er janvier au 31 décembre 2003, puis de 30% jusqu'au 9 février 2006, date à partir de laquelle l'assurée avait retrouvé une pleine capacité de travail. Analysant les critères dégagés par la jurisprudence en matière de troubles somatoformes douloureux, applicables par analogie en cas de fibromyalgie, les premiers juges ont par ailleurs retenu que ce diagnostic posé par les médecins du SMR ne présentait pas de caractère invalidant et qu'on pouvait exiger de la recourante qu'elle mette en valeur sa capacité de travail (résiduelle). Celle-ci était entière sur le plan physique. Une nouvelle expertise n'apparaissait en outre pas nécessaire puisque le dossier était suffisamment documenté pour permettre au Tribunal de statuer en pleine connaissance de cause.
3.2 3.2.1 La recourante conteste tout d'abord la valeur probante du rapport des médecins du SMR, parce qu'il "passe entièrement sous silence les diagnostics de trait de personnalité histrionique et de difficultés professionnelles" que le docteur S._ avait mis en évidence dans son expertise du 26 septembre 2005. A ses yeux, la juridiction cantonale ne pouvait sans arbitraire se fonder sur l'avis du SMR pour nier le caractère invalidant de la fibromyalgie dont elle souffrait.
3.2.2 Dans la mesure où la recourante entend se prévaloir du défaut de valeur probante du rapport du SMR pour remettre en cause la constatation des premiers juges selon laquelle la fibromyalgie dont elle est atteinte n'est assortie d'aucune comorbidité (significative), son argumentation n'est pas pertinente. La juridiction cantonale a en effet retenu que la recourante présentait une dysthymie et une personnalité à traits histrioniques - diagnostic posé par le docteur S._ et expressément rejeté par les docteurs R._ et B._ -, mais considéré que ces troubles ne pouvaient être qualifiés de comorbidité psychiatrique importante. Il n'y a pas lieu de s'écarter d'une telle appréciation, puisque ni la dysthymie, ni les traits de la personnalité relevés par le docteur S._ ne présentaient un caractère de gravité tel qu'ils devaient être assimilés à de véritables atteintes à la santé psychique. Le psychiatre a indiqué que seul persistait "tout au plus un très léger fond dysthymique sub-clinique", tandis que les traits de personnalité histrionique "décompensé" relevaient non pas d'un grave trouble de la personnalité hystérique, mais d'un "aménagement assez réussi" permettant à l'intéressée "de fonctionner".
Pour le surplus, à la lumière des avis des docteurs S._ et R._ et B._, les premiers juges ont examiné de manière circonstanciée la présence des critères jurisprudentiels qui, par leur intensité et leur constance, rendent la personne concernée incapable de fournir l'effort de volonté raisonnablement exigible pour surmonter la fibromyalgie et ses effets, et en ont exclu la réunion. La critique de la recourante tirée du prétendu défaut de valeur probante du rapport du SMR ne suffit pas pour remettre en cause l'appréciation des premiers juges. Le fait que les médecins du SMR ont exprimé un avis différent de celui du docteur S._ quant au diagnostic de traits de personnalité histrionique ne justifie pas de nier la valeur probante de leur appréciation, qui remplit les exigences y relatives posées par la jurisprudence (cf. ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352).
Pour le surplus, à la lumière des avis des docteurs S._ et R._ et B._, les premiers juges ont examiné de manière circonstanciée la présence des critères jurisprudentiels qui, par leur intensité et leur constance, rendent la personne concernée incapable de fournir l'effort de volonté raisonnablement exigible pour surmonter la fibromyalgie et ses effets, et en ont exclu la réunion. La critique de la recourante tirée du prétendu défaut de valeur probante du rapport du SMR ne suffit pas pour remettre en cause l'appréciation des premiers juges. Le fait que les médecins du SMR ont exprimé un avis différent de celui du docteur S._ quant au diagnostic de traits de personnalité histrionique ne justifie pas de nier la valeur probante de leur appréciation, qui remplit les exigences y relatives posées par la jurisprudence (cf. ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352).
3.3 3.3.1 La recourante s'en prend ensuite à la constatation de la juridiction cantonale selon laquelle elle disposait d'une capacité de travail entière à partir du 9 février 2006, que les premiers juges avaient déduite de l'avis du docteur S._ du 4 octobre 2007. Dès lors que celui-ci n'avait pas revu l'assurée, il ne pouvait pas, selon elle, attester d'une pleine capacité de travail depuis la date de l'examen au SMR, dont il ne partageait pas les conclusions.
3.3.2 Contrairement à ce que prétend la recourante, le docteur S._ a, dans ses réponses au Tribunal des assurances du canton de Vaud, clairement indiqué qu'il rejoignait les conclusions des médecins du SMR selon lesquelles l'état psychique de l'assurée au 9 février 2006 était compatible avec une capacité de travail de 100%. Comme il l'avait préconisé dans son expertise du 26 septembre 2005, le traitement de la recourante avait en effet été adapté depuis cette date, ce qui avait eu un effet favorable sur son aptitude au travail (et confirmait le pronostic favorable posé par le psychiatre). Dès lors que le docteur S._ s'est prononcé en se fondant sur les observations des docteurs R._ et B._, qui ont eux-mêmes effectué un nouvel examen clinique et psychiatrique de l'assurée, les conclusions du psychiatre ont, quoi qu'en dise la recourante, une pleine valeur probante. La constatation qu'en a tirée la juridiction cantonale n'apparaît dès lors ni manifestement inexacte, ni contraire au droit (consid. 1 supra). On ne saurait par ailleurs lui reprocher, compte tenu des deux expertises au dossier, d'avoir renoncé à compléter l'instruction du point de vue médical (sur l'appréciation anticipée des preuves, voir ATF 124 V 90 consid. 4b p. 94).
En tout état de cause, même s'il y avait lieu de retenir que la capacité de travail de la recourante était toujours limitée à 70 % en février 2006, en fonction des conclusions initiales du docteur S._ du 26 septembre 2005 - celui-ci faisait état d'une incapacité de travail de 30% dès le 1er janvier 2004 [et non pas d'une capacité de travail de 30% comme le prétend à tort la recourante] -, l'issue du litige n'en serait nullement modifiée comme il résulte des considérations suivantes.
4. 4.1 Pour déterminer le degré d'invalidité, la juridiction cantonale a considéré que la recourante subissait une invalidité de 20,8% dans l'activité ménagère (prise en compte à 50%), telle que cela ressortait de l'enquête économique sur le ménage du 10 mars 2004. En ce qui concernait la partie relative à l'activité lucrative, la capacité de travail de la recourante avait toujours été de 50% au moins. L'assurée avait donc été en mesure d'accomplir l'entier de son taux de travail habituel et ne présentait pas d'invalidité pour cette partie. Le degré d'invalidité était par conséquent de 20,8%, ce qui était insuffisant pour ouvrir le droit à une rente.
4.2 4.2.1 Sans contester ni la répartition des champs d'activité entre activité lucrative et accomplissement des travaux habituels, ni l'évaluation de ses empêchements dans la part consacrée à ses travaux habituels (invalidité de 20,8%), la recourante soutient que le degré d'invalidité pour l'activité lucrative s'élevait à 25% du 1er janvier au 31 décembre 2003 ("30% x 50%", recte 50% x 50 %), puis à 15% à partir de cette date ("50% x 30%"). Son argumentation - dont il ressort que le taux d'invalidité (46%, respectivement 36%) atteindrait la limite déterminante de 40% (art. 28 al. 1 LAI) seulement pour la période du 1er janvier au 31 décembre 2003 -, résulte d'une compréhension erronée de la méthode mixte d'évaluation de l'invalidité.
4.2.2 Lorsqu'il y a lieu d'appliquer la méthode mixte d'évaluation, l'invalidité des assurés pour la part qu'ils consacrent à leur activité lucrative doit être évaluée selon la méthode ordinaire de comparaison des revenus (art. 28 al. 2ter LAI en corrélation avec les art. 27bis RAI et 16 LPGA). Concrètement, lorsque l'assuré ne peut plus exercer (ou plus dans une mesure suffisante) l'activité qu'il effectuait à temps partiel avant la survenance de l'atteinte à la santé, le revenu qu'il aurait pu obtenir effectivement dans cette activité (revenu sans invalidité) est comparé au revenu qu'il pourrait raisonnablement obtenir en dépit de son atteinte à la santé (revenu avec invalidité). Autrement dit, le dernier salaire que l'assuré aurait pu obtenir compte tenu de l'évolution vraisemblable de la situation jusqu'au prononcé de la décision litigieuse - et non celui qu'il aurait pu réaliser s'il avait pleinement utilisé ses possibilités de gain (ATF 125 V 146 consid. 5c/bb p. 157) - est comparé au gain hypothétique qu'il pourrait obtenir sur un marché équilibré du travail en mettant pleinement à profit sa capacité résiduelle dans un emploi adapté à son handicap (ATF 125 V 146 consid. 5a p. 154). Lorsque la personne assurée continue à bénéficier d'une capacité de travail dans l'activité lucrative qu'elle exerçait à temps partiel avant la survenance de l'atteinte à la santé, elle ne subit pas d'incapacité de gain tant que sa capacité résiduelle de travail est plus étendue ou égale au taux d'activité qu'elle exercerait sans atteinte à la santé.
Tel est précisément le cas de la recourante, puisque sa capacité de travail a toujours été de 50% au moins dans sa profession, ce qui correspondait au taux d'activité exercé avant l'atteinte à la santé. Elle n'a donc pas subi d'incapacité de gain pour la part consacrée à l'exercice d'une activité lucrative. Il s'ensuit que l'évaluation de l'invalidité (à 20,8%, soit 21%; ATF 130 V 121) à laquelle a procédé l'autorité cantonale de recours à la suite de l'intimé, est conforme à la loi.
Le recours est, partant, mal fondé.
5. Compte tenu de l'issue du litige, la recourante doit supporter les frais de procédure (art. 66 al. 1 LTF en relation avec l'art. 65 al. 4 let. a LTF) et ne peut, par ailleurs, prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 février 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless