Sachverhalt:
A. Der 1959 geborene A._ war bis Ende Januar 2003 als Chef de Service im Grillrestaurant C._ tätig. Am 11. März 2004 meldete er sich unter Hinweis auf eine Depression und Magenfunktionsstörungen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach getätigten medizinischen und beruflichen Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens, in dem die Berufsvorsorgeversicherung von A._, die GastroSocial Pensionskasse (nachfolgend Pensionskasse), verschiedene Einwendungen erhob, sprach die IV-Stelle Basel-Stadt A._ mit Verfügung vom 21. November 2006 basierend auf einem Invaliditätsgrad von 100 % ab 1. Januar 2004 eine ganze Rente zu.
B. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wies die von der Pensionskasse hiegegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 9. Oktober 2007 ab.
C. Die Pensionskasse führt Beschwerde mit den Anträgen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, es sei ein Obergutachten mit neuropsychologischem Teilgutachten durchzuführen und der Invaliditätsgrad sowie der Wartezeitbeginn seien neu festzulegen.
IV-Stelle und A._ beantragen Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann nach Art. 95 lit. a BGG die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob der Versicherte Anspruch auf eine ganze Rente der Invalidenversicherung hat. Das kantonale Gericht hat die zur Beurteilung dieses Anspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Als erstes ist die Frage zu prüfen, in welchem Ausmass der Versicherte noch arbeitsfähig ist.
3.1.1 Die Vorinstanz hat in einlässlicher Würdigung der medizinischen Akten, insbesondere des bidisziplinären Gutachtens vom 19. Mai 2006 der Dres. med. J._, Facharzt FMH für Rheumatologie sowie für Innere Medizin, und S._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, festgestellt, dass der Versicherte in somatischer Hinsicht nicht eingeschränkt, aufgrund der diagnostizierten schwergradigen depressiven Episode mit psychotischen Symptomen (ICD-10: F32.3) indessen im freien Arbeitsmarkt ab Januar 2003 vollständig arbeitsunfähig sei. Was die Pensionskasse dagegen vorbringt, vermag diese Entscheidung über eine Tatfrage (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397) als weder offensichtlich unrichtig noch sonstwie bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen:
3.1.2 Dass das genannte Gutachten die von der Rechtsprechung aufgestellten Anforderungen an eine beweistaugliche und beweiskräftige Expertise (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) erfüllt, wird auch von der Beschwerdeführerin nicht in Abrede gestellt. Sie bringt vielmehr gestützt auf die vom Versicherten anlässlich der psychiatrischen Untersuchung bei Dr. med. S._ gemachten Aussagen vor, aufgrund der angegebenen Belastungssituation innerhalb der Familie mit Trennung von der Freundin müsse davon ausgegangen werden, dass erhebliche invaliditätsfremde soziale Probleme bestünden, die bei der Invaliditätsbemessung nicht ausgesondert worden seien. Im Gutachten werde auch keine Differenzierung zwischen sozialen und gesundheitlich bedingten Einschränkungen vorgenommen. Schliesslich wird von der Beschwerdeführerin auch die gestellte Diagnose in Zweifel gezogen und die Depression höchstens als mittelgradig dargestellt. Diese Kritik vermag die auf das Gutachten gestützten vorinstanzlichen Feststellungen nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen zu lassen. So setzt sich RAD-Arzt prakt. med. K._ in der Stellungnahme vom 21. März 2007, auf die sich die Beschwerdeführerin im Wesentlichen stützt, nicht mit dem Gutachten auseinander, sondern weist einzig auf dort angeblich enthaltene Inkonsistenzen hin, allerdings ohne näher auszuführen, worin diese bestehen sollen. Weder stellt er eine vom Gutachten abweichende Diagnose, noch nimmt er zur Arbeitsfähigkeit des Versicherten Stellung. Für die Annahme der Beschwerdeführerin, invaliditätsfremde Gründe stünden im Vordergrund, finden sich schliesslich keine hinreichenden Anhaltspunkte in den Akten. Die auf das Gutachten gestützte Feststellung der Vorinstanz, der Versicherte könne aufgrund der psychischen Beschwerden keine berufliche Tätigkeiten mehr ausüben, bleibt daher für das Bundesgericht verbindlich (E.1).
3.2 Steht fest, dass der Versicherte ab Januar 2003 zu 100 % arbeitsunfähig ist, ist die Zusprechung einer ganzen Rente ab Januar 2004 bundesrechtskonform. Dies gilt insbesondere auch hinsichtlich der Wartezeit. Aus den Akten geht hervor, dass der Versicherte zwar in der Tat von Ende Juni bis Mitte September 2000 während insgesamt 74 Tagen krank geschrieben war. In der Folge war er aber wieder voll leistungsfähig, insbesondere auch bei seiner am 1. Mai 2002 angetretenen Arbeitsstelle. Vor Januar 2003 war er jedenfalls weder zu 40 % bleibend erwerbsunfähig noch während eines Jahres ohne wesentliche Unterbrechung durchschnittlich mindestens zu 40 % arbeitsunfähig (Art. 29 Abs. 1 lit. a und b IVG), weshalb entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin vor Januar 2004 noch kein Rentenanspruch entstehen konnte.
3.3 Soweit schliesslich die Beschwerdeführerin mit der Kritik, die im Gutachten erwähnten Akten seien ihr nicht zugestellt worden, eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör rügen will, legt sie nicht dar, inwiefern die Behebung dieses Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG), so dass darauf nicht weiter einzugehen ist.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 133 V 642 E. 5). Da sich zwei Versicherer gegenüberstehen, gilt für die Gerichtsgebühr der ordentliche Rahmen nach Art. 65 Abs. 3 BGG, während Art. 65 Abs. 4 lit. a BGG keine Anwendung findet (Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, S. 223, Art. 65 N 28; Thomas Geiser, Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, S. 575, Art. 65 N 20; vgl. BGE 126 V 183 E. 6 S. 192). Der obsiegende Versicherte hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Versicherten für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. April 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
i.V. Kernen Maillard