Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ (Nigerianer; 1976) heiratete am 19. Januar 2004 in Lagos/Nigeria eine Schweizer Bürgerin. 2004 kamen Zwillinge und 2006 das dritte Kind zur Welt. Am 2. Februar 2005 reiste A.A._ illegal in die Schweiz; am 23. September 2005 wurde ihm im Rahmen des Familiennachzugs die Aufenthaltsbewilligung erteilt. Die Ehe wurde am 31. August 2010 geschieden.
Am 11. August 2011 wurde A.A._ wegen einfacher und qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren verurteilt. Am 9. Juli 2012 lehnte das Departement des Innern des Kantons Solothurn (Departement) sein Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und verfügte zugleich dessen Wegweisung auf den Zeitpunkt der Entlassung aus dem Strafvollzug. Die Beschwerde dagegen wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 2. November 2012 ab. Das Bundesgericht trat am 17. Dezember 2012 auf die Beschwerde nicht ein (Urteil 2C_1247/2012).
1.2. Am 18. Oktober 2013 stellte A.A._ zusammen mit seinen drei Kindern und seiner Ex-Ehefrau ein "Wiedererwägungsgesuch"; er beantragte die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zwecks Ausübung seines Rechts auf Familienleben. Das Departement wies sein Gesuch am 21. November 2013 ab. Die Beschwerde dagegen war vor dem Verwaltungsgericht erfolglos.
1.3. Mit verbesserter Beschwerde vom 28. April 2014 beantragen A.A._, B.A._, C.A._, D.A._, E.A._, die Verfügung vom 21. November 2013 aufzuheben, das Wiedererwägungsgesuch vom 18. Oktober 2013 gutzuheissen, A.A._ die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. das Departement anzuweisen, eine solche auszustellen, eventualiter die Ausweisung bzw. Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung anzudrohen. Zudem beantragen sie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Implizit beantragen sie die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids vom 13. März 2014.
Mit Verfügung vom 16. April 2014 wies das Bundesgericht das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen ab. Das Bundesgericht hat keine Akten beigezogen; ein Schriftenwechsel ist nicht durchgeführt worden.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren unter Verweisung auf den angefochtenen Entscheid nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abgewiesen wird, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
2.1. Die Beschwerdeführer machen gestützt u.a. auf Art. 8 und 14 EMRK einen Rechtsanspruch in vertretbarer Weise geltend (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG; BGE 136 II 177 E. 1.1 S. 179). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher grundsätzlich zulässig. Nicht einzutreten ist aber insoweit, als sich die Beschwerde auch gegen die Verfügung des Departements richtet, bildet doch nach dem Devolutiveffekt das angefochtene Urteil alleiniger Anfechtungsgegenstand (vgl. Art. 86 BGG; BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144). Streitgegenstand ist lediglich das Nichteintreten auf ein Gesuch um eine Aufenthaltsbewilligung.
2.2. Die Beschwerdeführer beantragen eine Parteiverhandlung nach Art. 57 BGG, um diejenige vor der Vorinstanz beantragte, aber nicht durchgeführte nachzuholen. Sie sind der Auffassung, dass Art. 6 Ziff. 1 EMRK anwendbar sei: es handle sich einerseits um ein Zivil- (Besuchsrechte) und andererseits um ein Strafverfahren (Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung = Strafe).
Weder werden im strittigen Verfahren Besuchsrechte geregelt, noch die Aufenthaltsbewilligung nicht verlängert, sondern es ist zu beurteilen, ob einem Gesuch um eine Aufenthaltsbewilligung stattgegeben werden muss. Abgesehen davon handelt es sich bei Entscheiden um Ausländerfragen nach ständiger Rechtsprechung des EGMR weder um eine zivilrechtliche noch eine strafrechtliche Angelegenheit i.S. von Art. 6 EMRK (Urteil des EGMR i.S. Maaouia v. France vom 5. Oktober 2000 [Nr. 39652/98], Ziff. 40; bestätigt im Nichteintretensentscheid des EGMR Dalea c. France vom 2. Februar 2010 [Nr. 964/07]). Es ist deshalb keine öffentliche Verhandlung notwendig - wie die Vorinstanz zu Recht ausgeführt hat - und auch vor dem Bundesgericht keine solche durchzuführen (vgl. Urteil 2C_347/2012 / 2C_357/2012 vom 28. März 2013 E. 3.1, nicht publ. in BGE 139 II 185). Inwiefern Art. 30 Abs. 3 BV anwendbar wäre, unterlassen die Beschwerdeführer entsprechend Art. 106 Abs. 2 BGG genügend begründet darzulegen, weshalb nicht näher darauf einzugehen ist.
2.3.
2.3.1. Das in der Sache ergangene Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. November 2012 ist rechtskräftig; auf die an das Bundesgericht erhobene Beschwerde ist dieses nicht eingetreten. Damit steht rechtskräftig fest, dass die Aufenthaltsbewilligung nicht verlängert worden ist. Dieser Entscheid könnte nur durch eine Revision des verwaltungsgerichtlichen Urteils aufgehoben werden; ein solches Gesuch wurde nicht gestellt.
Die Nichtverlängerung einer Aufenthaltsbewilligung wirkt pro futuro; ab der Rechtskraft des Entscheids ist der Aufenthalt in der Schweiz grundsätzlich nicht mehr zulässig. In der Folge kann indes jederzeit ein neues Bewilligungsgesuch eingereicht werden. Wird dieses bewilligt, so handelt es sich nicht um ein Aufleben der nicht verlängerten Aufenthaltsbewilligung, sondern um eine neue Bewilligung. Das Stellen eines neuen Gesuchs darf jedoch nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder infrage zu stellen; die Verwaltungsbehörde ist von Bundesverfassungs wegen nur verpflichtet, auf ein neues Gesuch einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert haben oder wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand (BGE 136 II 177 E. 2.1 S. 181). Insofern ist zu unterscheiden zwischen der Frage, ob auf die Sache überhaupt eingetreten werden kann, und bei deren Bejahung, ob dem Antrag auf eine Aufenthaltsbewilligung entsprochen werden kann. Nur im Rahmen der zweiten Frage ist der Fall materiell zu beurteilen; zunächst ist indes die erste Frage zu beantworten. Basis für die Beurteilung der Frage, ob sich die Umstände massgeblich geändert haben, ist das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 2. November 2012.
2.3.2. Bereits im Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 2. November 2012 waren die Beziehungen zwischen dem Beschwerdeführer 1 und seinen Kindern Thema. Schon damals hat das Verwaltungsgericht festgehalten, dass der Beschwerdeführer 1 von seiner Familie regelmässig Besuche, Fotos und Souvenirs erhalte, er täglich mit seinen Kindern telefoniere und sie sich gegenseitig Briefe schreiben würden. Im Urteil vom 13. März 2014 ist das Verwaltungsgericht zu Recht nicht von veränderten Umständen gegenüber dem 2. November 2012 ausgegangen. Gleiches gilt auch in Bezug auf die gesundheitliche Situation der Ex-Frau des Beschwerdeführers 1. Die Beschwerdeführer wiederholen diese Umstände vor Bundesgericht, unterlassen es allerdings dazulegen, inwiefern die Ausführungen der Vorinstanz falsch sind und sich die Umstände wesentlich geändert hätten.
Die Beschwerdeführer sind zudem der Auffassung, dass der Fall Udeh Anlass für eine Neubeurteilung darstelle. Das Urteil des EGMR vom 16. April 2013 i.S. Udeh gegen Schweiz [Nr. 12020/09] bildet indes keinen Anlass für ein Eintreten auf den Gesuchsantrag: Dieser Entscheid ist nicht eine Rechtsprechungsänderung, sondern ein spezifischer Anwendungsfall der bisherigen Praxis (BGE 139 I 325 E. 2.4 S. 327 ff.; Urteil 2C_757/2013 vom 23. Februar 2014 E. 4.5).
Die Beschwerdeführer erheben auch die Rüge, dass der rechtserhebliche Sachverhalt nicht richtig festgestellt worden sei. Sie beziehen sich dabei allerdings auf die materielle Frage, weshalb entsprechend den gemachten Ausführungen auf die Rüge nicht näher einzugehen ist.
3.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Parteientschädigungen sind keine geschuldet.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Errass