Faits:
A. A._, né en 1963, a travaillé en qualité de chauffeur de poids lourds au service de la société H._ SA. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Compagnie d'assurances Zurich (ci-après: la Zurich).
L'assuré a été victime d'un accident le 23 juillet 1990: alors qu'il était occupé à réaménager une piste de ski, il a chuté du tracteur sur lequel il travaillait. Il a séjourné du 23 au 27 juillet 1990 à l'Hôpital d'arrondissement de S._, où les médecins ont diagnostiqué une fracture des apophyses transverses gauches des première, deuxième et troisième vertèbres lombaires (rapport du 31 juillet 1990). La Zurich a pris en charge le cas. Après avoir subi diverses périodes d'incapacité de travail, l'assuré a exercé, depuis le 1er janvier 1992, une activité de chauffeur de car à 100 %.
Le 26 juillet 2002, A._ a annoncé, par l'intermédiaire de son employeur, une rechute de l'accident du 23 juillet 1990. La Zurich a pris en charge cette rechute en se fondant sur les conclusions d'une expertise confiée au docteur P._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie (rapport du 15 mars 2001).
Après avoir confié une expertise au professeur M._, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapport du 25 novembre 2004), la Zurich a rendu une décision le 3 février 2005, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assuré à des prestations d'assurance à partir du 1er juin 2003, motif pris de l'absence d'un lien de causalité entre l'accident et les troubles annoncés comme une rechute.
Saisie d'une opposition, elle l'a rejetée par décision du 24 janvier 2006, après avoir requis l'avis du professeur M._ (rapport du 16 janvier 2006).
B. A._ a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui : Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud) en concluant au maintien de son droit à des prestations d'assurance au-delà du 31 mai 2003. A l'appui de son recours, il a produit un rapport du docteur de G._, médecin associé au service de rhumatologie, médecine physique et réhabilitation du Centre hospitalier Y._, adressé à l'Office AI pour le canton de Vaud le 27 mai 2002. Avec l'accord des parties, la juridiction cantonale a suspendu la procédure jusqu'à la fin des mesures de réadaptation ordonnées par l'assurance-invalidité (ordonnance du 14 mars 2008). Celles-ci ont pris fin le 1er octobre 2009, date à laquelle l'assuré a obtenu un certificat fédéral de capacité d'employé de commerce.
La juridiction cantonale a rejeté le recours par jugement du 14 juillet 2010.
C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande la réforme, en ce sens qu'il a droit à une rente fondée sur une incapacité de gain de 100 % jusqu'au 30 septembre 2009 (date de la fin des mesures de réadaptation de l'assurance-invalidité), sous déduction des prestations allouées par les autres assureurs sociaux, à une rente fondée sur un taux de 32 % à partir du 1er octobre 2009, à la prise en charge de tous les frais médicaux dus à l'accident, ainsi qu'à une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux à préciser à dire d'expert, mais d'au moins 15 %. Subsidiairement, le recourant conclut à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement au sens des considérants, le tout sous suite de dépens.
L'intimée conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. La juridiction cantonale se réfère purement et simplement à son jugement, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Par sa décision sur opposition du 24 janvier 2006, l'intimée a supprimé le droit du recourant à des prestations d'assurance à partir du 1er juin 2003. Elle a considéré qu'il n'existait pas de lien de causalité entre l'accident du 23 juillet 1990 et les troubles annoncés comme une rechute, à savoir une discopathie L2-L3 et une affection de nature psychique sous la forme d'un état anxieux. Ce faisant, l'assureur-accidents a mis fin avec effet ex nunc et pro futuro à son obligation d'allouer des prestations, qu'il avait initialement reconnue en versant des indemnités journalières et en prenant en charge les frais de traitement, renonçant ainsi à faire valoir un motif de révocation (reconsidération ou révision procédurale). Dans la mesure où le recourant conclut à l'octroi de prestations (rente d'invalidité, prise en charge des frais médicaux, indemnité pour atteinte à l'intégrité) pour la période postérieure au 31 mai 2003, il y a lieu d'examiner si l'intimée était fondée à nier son obligation de prendre en charge la rechute, singulièrement, s'il existe un lien de causalité naturelle et adéquate entre celle-ci et l'accident.
Lorsque le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (arrêts 8C_39/2010 du 7 septembre 2010 consid. 2; 8C_584/2009 du 2 juillet 2010 consid. 4).
3. 3.1 En ce qui concerne la discopathie, les premiers juges se sont fondés sur les conclusions du professeur M._ (rapport d'expertise du 25 novembre 2004), selon lesquelles l'existence d'une relation de causalité avec l'accident n'était que possible. D'après les premiers juges, l'opinion de cet expert est corroborée par les examens médicaux effectués immédiatement après l'accident, lesquels n'ont pas révélé l'existence d'une discopathie post-traumatique. En outre, la juridiction cantonale considère que les conclusions de l'expert prénommé ne sont pas remises en cause par celles du docteur P._, selon lesquelles il existerait vraisemblablement un lien de causalité entre l'accident et la discopathie (rapport d'expertise du 15 mars 2001). Les premiers juges relèvent, en effet, que les conclusions de cet expert reposent sur la simple hypothèse que l'accident a "peut-être aussi" entraîné une lésion du disque L2-L3 et qu'en outre, cette appréciation est fondée sur le fait que l'assuré n'a jamais souffert du dos avant l'accident, ce qui n'est pas, selon la jurisprudence, un motif suffisant pour admettre l'existence d'un lien de causalité naturelle.
Le recourant reproche aux premiers juges d'avoir écarté les conclusions de l'expert P._ au profit de celles de l'expert M._. En particulier, il relève que le jugement attaqué concerne sur plus de quinze lignes l'appréciation du docteur P._ et qu'il expose largement les motifs pour lesquels la juridiction cantonale ne l'a pas suivie, alors qu'il ne contient que trois lignes au sujet du rapport du professeur M._. En outre, l'intéressé conteste le point de vue de ce médecin, selon lequel le lien de causalité avec l'accident n'est que possible, parce qu'une discopathie L2-L3 isolée est rare et que cette lésion n'a été objectivée pour la première fois que le 13 décembre 1990.
3.2 En présence d'avis médicaux contradictoires, le juge doit apprécier l'ensemble des preuves à disposition et indiquer les motifs pour lesquels il se fonde sur une appréciation plutôt que sur une autre. A cet égard, l'élément décisif pour apprécier la valeur probante d'une pièce médicale n'est en principe ni son origine, ni sa désignation sous la forme d'un rapport ou d'une expertise, mais bel et bien son contenu. Il importe, pour conférer pleine valeur probante à un rapport médical, que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soit claire et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352 et les références; VSI 2001 p. 106, I 128/98 consid. 3a).
En l'espèce, la juridiction cantonale a clairement exposé les motifs pour lesquels elle s'est fondée sur les conclusions du professeur M._ plutôt que sur l'appréciation du docteur P._. D'une part, en effet, celle-ci repose sur une simple hypothèse, à savoir que l'accident a peut-être entraîné une lésion du disque L2-L3. D'autre part, le docteur P._ admet l'existence d'un lien de causalité entre l'accident et les lombalgies, au seul motif que l'assuré ne souffrait pas d'une telle affection avant ledit événement. En l'occurrence, il n'y a pas de raison de mettre en doute les motifs pour lesquels les premiers juges ont écarté les conclusions du docteur P._, du moment que cet expert ne fait état d'aucun élément objectif qui n'ait été pris en compte par le professeur M._. En particulier, celui-ci a eu également connaissance des radiographies réalisées le 13 décembre 1990 à l'Hôpital cantonal de Z._, lesquelles révèlent une discopathie L2-L3. En outre, on ne saurait admettre l'existence d'un lien de causalité naturelle au seul motif que les lombalgies sont apparues après l'accident. Cela reviendrait en effet à se fonder sur l'adage "post hoc ergo propter hoc", lequel ne permet pas, selon la jurisprudence, d'établir l'existence d'un tel lien (ATF 119 V 335 consid. 2b/bb p. 341 s.). Par ailleurs, les moyens invoqués par le recourant ne sont pas de nature à mettre en doute la pleine valeur probante de l'avis du professeur M._, du moment que l'intéressé se contente de substituer sa propre appréciation à celle de l'expert prénommé.
Vu ce qui précède, il n'y a pas de raison de s'écarter du point de vue des premiers juges, selon lequel il n'existe pas de lien de causalité entre l'accident et la discopathie L2-L3.
4. 4.1 En ce qui concerne l'état anxieux, la juridiction cantonale a nié la causalité adéquate avec l'accident, au motif qu'aucun des critères objectifs développés par la jurisprudence (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409) pour examiner le caractère adéquat du lien de causalité entre un accident - qu'elle a situé dans la catégorie des accidents de gravité moyenne - et une atteinte à la santé psychique n'était en l'occurrence réalisé.
De son côté, le recourant allègue que trois de ces critères sont réalisés, à savoir le caractère particulièrement impressionnant de l'accident, la durée anormalement longue du traitement consistant en des séances de physiothérapie pendant plus de dix ans, ainsi que les douleurs physiques persistantes dans la région lombaire. Par ailleurs, l'intéressé reproche aux premiers juges d'avoir refusé de mettre en oeuvre une expertise psychiatrique qui aurait permis de faire la lumière sur les conséquences psychologiques de l'accident.
4.2 En l'espèce, le docteur P._ a indiqué que l'accident avait entraîné une réaction psychologique apparentée à un état de stress post-traumatique qui avait favorisé la persistance d'un syndrome douloureux difficile à gérer. La présence d'un état d'anxiété chez le patient a été relevée pour la première fois par le docteur H._, spécialiste en médecine interne, dans un rapport du 10 mars 1998.
Etant donné le temps écoulé entre le moment de l'accident et l'apparition du trouble en question, on peut sérieusement douter de l'existence d'un lien de causalité naturelle. La jurisprudence considère, en effet, que plus le temps écoulé entre un accident et la manifestation de l'affection est long, plus les exigences quant à la preuve, au degré de la vraisemblance prépondérante, du rapport de causalité naturelle doivent être sévères (RAMA 1997 no U 275 p. 191 consid. 1c, U 93/96 du 5 février 1997; arrêt 8C_39/2010 du 7 septembre 2010 consid. 3). Or, en l'espèce, le docteur P._ justifie l'existence d'un lien de causalité en indiquant que l'événement du 23 juillet 1990 - tel que l'a décrit l'assuré - avait peut-être induit, certes de manière modérée, un état de stress post-traumatique. Il apparaît dès lors hautement douteux que cette seule hypothèse suffise pour établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, l'existence d'un lien de causalité naturelle entre un accident et un trouble de nature psychique apparu près de huit ans après.
Quoi qu'il en soit, il n'y a pas de motif de s'écarter du point de vue des premiers juges, selon lequel le lien de causalité adéquate doit être nié. Contrairement au point de vue du recourant, les critères de la durée anormalement longue du traitement médical et des douleurs persistantes ne sont pas réalisés en l'espèce, du moment que l'évolution de la lésion des apophyses transverses a été rapidement favorable (cf. rapport des docteurs J._ et G._, médecins au service de chirurgie de l'Hôpital d'arrondissement de S._ [du 31 juillet 1990]) et que la continuation du traitement et la persistance des douleurs sont dues essentiellement à la discopathie L2-L3, laquelle n'est pas en relation de causalité naturelle avec l'accident. Par ailleurs, pour démontrer que le critère du caractère impressionnant de l'accident est réalisé, le recourant se réfère aux anamnèses contenues dans les rapports des experts M._ et P._, lesquels se sont fondés exclusivement sur les déclarations de l'intéressé. Comme l'indique le professeur M._, les circonstances exactes de l'accident ne sont toutefois pas connues. Peu importe cependant, car même en admettant que le critère en question soit réalisé, on ne saurait admettre, sur le vu des circonstances du cas particulier, que l'accident ait eu une importance déterminante dans le déclenchement de troubles de nature psychique huit ans après.
Cela étant, la juridiction cantonale était fondée à nier le lien de causalité entre ces troubles et l'accident, et il n'est pas nécessaire de mettre en oeuvre une expertise psychiatrique, comme le demande le recourant.
5. Vu ce qui précède, le jugement entrepris n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 11 novembre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd