Faits:
A. M. A.X._, né en 1978, et Mme B.X._, née en 1984, se sont mariés le 5 mars 2005. De cette union est né C._, le 8 août 2006.
Les conjoints se sont séparés au mois de juillet 2008. L'épouse est demeurée au domicile conjugal avec l'enfant. Celui-ci a vécu une semaine sur deux avec sa mère et l'autre semaine avec son père, jusqu'au mois de septembre 2011, date à laquelle l'époux s'est provisoirement installé en Grande-Bretagne pour étudier.
B. Le 27 septembre 2010, l'épouse a déposé une demande unilatérale en divorce devant le Tribunal de première instance. Cette requête de divorce a été convertie en une demande commune avec accord partiel sur les effets accessoires. Les époux ne sont pas parvenus à un accord s'agissant de l'attribution de l'autorité parentale et de la garde de l'enfant, que chacun d'eux revendiquait.
Le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) a établi un rapport d'évaluation au mois d'avril 2011, au terme duquel il préconisait l'exercice conjoint de l'autorité parentale et la garde alternée de l'enfant à raison d'une semaine sur deux et la moitié des vacances scolaires chez chacun des parents. L'époux a fait siennes les conclusions du SPMi; l'épouse s'y est opposée.
B.a Par jugement du 28 septembre 2011, le Tribunal de première instance a prononcé le divorce des époux X._. Statuant sur les effets accessoires, le Tribunal de première instance a laissé aux parties l'autorité parentale conjointe sur l'enfant, leur a attribué une garde alternée à raison d'une semaine sur deux chez chacun d'eux, dit que la résidence principale de l'enfant était chez la mère et condamné celle-ci à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement à son ex-époux d'une pension mensuelle, indexée annuellement à l'indice genevois des prix à la consommation, de 600 fr. jusqu'à ce que l'enfant ait atteint l'âge de 12 ans, de 650 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans et de 700 fr. jusqu'à sa majorité, voire au-delà en cas d'études ou de formation sérieuses et suivies mais jusqu'à 25 ans au plus tard.
L'épouse a formé appel contre ce jugement le 31 octobre 2011, concluant à l'attribution de l'autorité parentale et de la garde de l'enfant, sous réserve d'un droit de visite usuel du père, à ce que son ex-époux soit astreint à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement d'une pension mensuelle indexée de 750 fr. jusqu'à ce que l'enfant ait atteint l'âge de 12 ans, de 850 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans et de 1'000 fr. jusqu'à sa majorité, voire jusqu'à l'âge de 25 ans en cas d'études sérieuses et suivies.
L'époux a principalement conclu à la confirmation du jugement du 28 septembre 2011, subsidiairement à l'attribution de l'autorité parentale et de la garde de l'enfant, sous réserve d'un large droit de visite de la mère, et à ce que son ex-épouse soit condamnée à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement d'une pension mensuelle indexée de 1'200 fr. jusqu'à ce que l'enfant ait atteint l'âge de 12 ans, de 1'300 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans et de 1'400 fr. jusqu'à sa majorité, voire au-delà en cas d'études sérieuses et suivies. L'époux a en outre indiqué que son séjour à Londres prendrait fin le 28 mars 2012.
B.b Statuant par arrêt du 11 juillet 2012 notifié le 16 juillet 2012, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a réformé le jugement attaqué, attribué l'autorité parentale et la garde de l'enfant à l'épouse, réservé un large droit de visite à l'époux, s'exerçant, sauf accord contraire des parties, tous les mercredis, un week-end sur deux et la moitié des vacances scolaires, et renvoyé la cause au Tribunal de première instance pour instruction complémentaire et nouvelle décision en ce qui concerne la contribution d'entretien de l'enfant.
C. Par acte du 29 août 2012, l'époux interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut principalement au renvoi de la cause au Tribunal de première instance ou à la Cour de justice pour instructions complémentaires et nouvelle décision, et à ce qu'il soit ordonné à l'autorité de renvoi de procéder à toutes les mesures d'instruction nécessaires, notamment de requérir du SPMi un rapport d'évaluation sociale complémentaire et de procéder à l'audition de l'enfant, avant de se prononcer sur l'attribution de l'autorité parentale et de la garde de l'enfant, ainsi que sur le montant de la contribution d'entretien. Subsidiairement, l'époux conclut à l'attribution de l'autorité parentale et de la garde de l'enfant, sous réserve d'un large droit de visite de la mère, et à la condamnation de celle-ci à contribuer à l'entretien de l'enfant par le versement d'une pension mensuelle indexée de 1'200 fr. jusqu'à ce que l'enfant ait atteint l'âge de 12 ans, de 1'300 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans et de 1'400 fr. jusqu'à sa majorité, voire au-delà en cas d'études sérieuses et suivies. Plus subsidiairement encore, il conclut au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision au sens des considérants. Au préalable, l'époux sollicite l'octroi de l'effet suspensif et le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, l'épouse a conclu à son rejet et l'autorité précédente a déclaré s'en remettre à justice.
D. Par ordonnance du 20 septembre 2012, la Présidente de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a octroyé l'effet suspensif au recours.
Des réponses au fond n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. La recevabilité du recours en matière civile suppose que celui-ci soit dirigé contre une décision finale, à savoir une décision qui met fin à la procédure, que ce soit pour un motif tiré du droit matériel ou de la procédure (ATF 134 III 426 consid. 1 p. 428; 133 III 629 consid. 2.2 p. 631). Le recours est également recevable contre toute décision qui statue sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause ou qui met fin à la procédure à l'égard d'une partie des consorts (décision partielle; art. 91 let. a et b LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF); les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles sont susceptibles de causer un préjudice irréparable ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. a et b LTF). Si le recours n'est pas recevable, faute de remplir ces conditions, ou qu'il n'a pas été utilisé, la décision préjudicielle ou incidente peut être attaquée avec la décision finale dans la mesure où elle influe sur le contenu de celle-ci (art. 93 al. 3 LTF).
1.1 Sous le titre "Nature de la décision (article 90 LTF)", le recourant se contente d'indiquer - sans explications - que, dans le cas d'espèce, la Cour de justice "tranche définitivement la question de l'attribution de l'autorité parentale et de la garde mais décide de renvoyer la cause au Tribunal de première instance pour la question de la contribution d'entretien". Le recourant semble ainsi considérer que l'arrêt attaqué constitue une décision finale, à tout le moins partiellement.
1.2 Pour qualifier une décision cantonale prise en matière d'effets accessoires du divorce, il faut tenir compte des exigences découlant du principe de l'unité du jugement de divorce (art. 283 CPC; ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 428 s.).
1.2.1 En vertu du principe de l'unité du jugement de divorce, l'autorité de première instance, ou de recours, qui prononce le divorce, de même que l'autorité de recours appelée à régler certains effets accessoires alors que le principe du divorce n'est plus litigieux, ne peuvent pas mettre fin à la procédure sans avoir réglé tous les effets accessoires du divorce. La seule exception concerne la liquidation du régime matrimonial, qui peut être renvoyée à une procédure séparée pour de justes motifs (art. 283 al. 2 CPC). Le principe de l'unité du jugement de divorce n'interdit toutefois pas à une autorité de recours de statuer sur une partie seulement des questions litigieuses et de renvoyer la cause à la juridiction inférieure pour nouvelle décision sur les autres (ATF 130 III 537 consid. 5 p. 545), car, dans ce cas, le procès se poursuit et ne prendra fin qu'une fois réglés tous les effets accessoires du divorce (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 429 et les arrêts mentionnés).
Une décision qui prononce le divorce des parties et qui a été notifiée séparément constitue toutefois une décision partielle, qui peut et doit être immédiatement portée devant le Tribunal fédéral (ATF 137 III 421 consid. 1.1 p. 422 et la référence; arrêt 5A_177/2012 du 2 mai 2012 consid. 1.1). En revanche, sous réserve de l'application de l'art. 283 al. 2 CPC, une décision en matière d'effets accessoires du divorce ne peut pas statuer sur «un objet dont le sort est indépendant» au sens de l'art. 91 let. a LTF. La décision relative aux effets accessoires est finale lorsqu'elle tranche définitivement toutes les questions qui se posent, sans aucun renvoi à l'autorité précédente. Elle est au contraire préjudicielle ou incidente (art. 93 LTF) lorsque l'autorité de recours statue sur une partie seulement des effets accessoires encore litigieux et renvoie la cause aux juges précédents pour nouvelle décision sur les autres (ATF 134 III 426 précité; arrêts 5A_498/2012 du 14 septembre 2012 consid. 1.2.1, 5A_764/2011 du 30 mars 2012 consid. 1.2.2 in fine). Pour qualifier une décision au regard de l'art. 90 LTF, il faut la considérer comme un tout, car elle ne peut être finale au sens de cette disposition que si elle met fin à toute la procédure; elle ne peut pas être à la fois en partie finale, au sens de l'art. 90 LTF, et en partie préjudicielle ou incidente, au sens de l'art. 93 al. 1 LTF (arrêts 5A_498/2012 précité consid. 1.2.1 avec les références, 5A_226/2012 du 23 août 2012 consid. 1.2.1).
1.2.2 L'arrêt entrepris statue notamment sur l'attribution de l'autorité parentale et sur le droit de garde de l'enfant commun. Il renvoie cependant l'affaire à l'autorité judiciaire inférieure pour complément d'instruction et nouvelle décision s'agissant du montant de la contribution d'entretien en faveur de l'enfant. Il s'ensuit que la décision rendue par la Cour de justice ne met pas fin à toute la procédure et doit être considérée comme étant une «autre décision incidente» au sens de l'art. 93 LTF, et non comme une décision finale.
1.3 Le recourant ayant apparemment méconnu la nature de la décision dont est recours (cf. supra consid. 1.2.2), il n'a en conséquence pas démontré que les conditions de recevabilité posées par l'art. 93 al. 1 LTF étaient réalisées (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 429 et les références). Or, lorsque, comme en l'espèce, il n'est pas manifeste que l'une des conditions (alternatives) d'entrée en matière prévues à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF soit remplie, il appartient au recourant de le démontrer ou du moins de l'alléguer, faute de quoi le recours est déclaré irrecevable (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 429; 133 III 629 consid. 2.4.2 p. 633; arrêt 4A_144/2007 du 29 août 2007 consid. 2.3.1 et les références). Il n'y a donc pas lieu d'entrer en matière sur le recours (art. 42 al. 1 et 2 LTF; ATF 116 II 80 consid. 2c p. 84, arrêt 5A_125/2010 du 17 mars 2010 consid. 1.2).
1.4 A supposer que le recourant ait connu la nature incidente de la décision entreprise et évoqué les conditions d'entrée en matière de l'art. 93 al. 1 LTF, force est de constater en l'espèce que son recours doit de toute manière être déclaré irrecevable.
Une décision préjudicielle ou incidente peut être entreprise immédiatement si elle peut causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF; arrêt 5A_870/2011 du 23 février 2012 consid. 1.2).
1.4.1 Un préjudice ne peut être qualifié d'irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF que s'il cause un inconvénient de nature juridique; tel est le cas lorsqu'une décision finale même favorable à la partie recourante ne le ferait pas disparaître entièrement, en particulier lorsque la décision incidente contestée ne peut plus être attaquée avec la décision finale, rendant ainsi impossible le contrôle par le Tribunal fédéral (arrêts 5A_556/2012 du 11 septembre 2012 consid. 4.1, 5A_780/2011 du 23 février 2012 consid. 1.2). Le point de savoir si un préjudice irréparable existe s'apprécie par rapport aux effets de la décision incidente sur la cause principale, respectivement la procédure principale (ATF 137 III 380 consid. 1.1 p. 382). Par principe, l'éventualité prévue à l'art. 93 al. 1 let. a LTF ne saurait toutefois se réaliser en présence d'une décision sur le fond en matière de divorce et d'effets accessoires. Dans ce domaine, une décision préjudicielle ou incidente sur le fond pourra en effet être attaquée par un recours contre la décision finale, dans la mesure où elle influe sur le contenu de celle-ci, en vertu de l'art. 93 al. 3 LTF (ATF 134 III 426 consid. 1.3.1 p. 430, arrêts 5A_226/2012 du 23 août 2012 consid. 1.3.1, 5A_599/2008 du 9 décembre 2008 consid. 1.3.1).
En l'espèce, s'agissant d'une procédure de divorce au fond, le recourant pourra attaquer les points litigieux, objets de son recours, avec la décision finale, de sorte qu'aucun préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF n'est à relever.
1.4.2 Le recours au Tribunal fédéral contre une décision préjudicielle ou incidente peut également être ouvert en vertu de l'art. 93 al. 1 let. b LTF. Cette norme suppose que le Tribunal fédéral puisse rendre un jugement final au sens de l'art. 90 LTF en réformant la décision attaquée et que l'admission du recours permette d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (ATF 132 III 785 consid. 4.1 p. 791).
En concluant à titre principal au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour complément d'instruction au sujet de l'attribution de l'autorité parentale, du droit de garde et du montant de la contribution d'entretien de l'enfant, et en invoquant son droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., à savoir un grief de nature formelle (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437 s.), dont la violation entraîne l'annulation de la décision attaquée indépendamment des chances de succès du recours sur le fond (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437), le recourant admet implicitement que l'admission de son recours ne saurait conduire immédiatement à une décision finale. Par conséquent, une entrée en matière fondée sur l'art. 93 al. 1 let. b LTF est d'emblée exclue (arrêt 5A_556/2011 du 12 décembre 2011 consid. 2.2).
1.4.3 Il découle de ce qui précède que le présent recours contre une décision incidente ne satisfait pas aux conditions de recevabilité posées à l'art. 93 al. 1 LTF.
2. En définitive, le recours est irrecevable. Vu l'issue - d'emblée prévisible - du litige, la requête d'assistance judiciaire du recourant ne saurait être agréée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'octroyer une indemnité de dépens à l'intimée qui a succombé dans ses conclusions sur la requête d'effet suspensif et n'a pas été invitée à se déterminer sur le fond (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. La demande d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 20 novembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Carlin