Erwägungen:
1.
Mit Verfügungen vom 4. Juni 2013 trat die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich auf von C._ gegen die UBS AG und die Credit Suisse AG erhobene Strafanzeigen nicht ein. Vom Anzeiger bzw. von A._ und B._ hiergegen erhobene Rechtsmittel blieben erfolglos (s. bundesgerichtliche Urteile 1B_276+278_2013 vom 27. August 2013 und 6B_997/2013 vom 27. Januar 2014).
Anderseits läuft gegen B._, p.A. C._, eine Strafuntersuchung wegen Urkundenfälschung und versuchten Betrugs. Insoweit kam es zu Untersuchungshandlungen im Kanton Bern. Von B._ diesbezüglich geführte Rechtsmittel blieben ebenfalls erfolglos (bundesgerichtliche Urteile 1B_83+84/2014 vom 27. Februar 2014 und 1B_164/2014 vom 6. Mai 2014).
In diesem Zusammenhang stellten C._ und B._ ein "Anzeige-Begehren wegen offensichtlichem staatsrechtlichem Missbrauch" gegen verschiedene Zürcher Ober- und Bezirksrichter sowie Staatsanwälte. Sie werfen den angezeigten Personen Verbrechen und Vergehen vor, so insbesondere auch Amtsmissbrauch, und verlangen ihre Bestrafung. Durch deren Fehlverhalten sei ihnen ein Schaden in Milliardenhöhe entstanden (s. etwa Urteil vom 6. Mai 2014, wo von einer Summe von USD 97'000'000'000.00 die Rede ist; anderseits ihre im vorliegenden Verfahren eingereichte Beschwerde vom 25./27. März 2014, wo u.a. die Beträge von "179'000'000'000.00 Milliarden Schweizer Franken", S. 4, bzw. "USD 790'000'000'000.00" genannt werden, S. 7).
Mit Verfügung vom 21. Januar 2014 sind die Anzeiger unter Hinweis auf § 148 GOG/ZH und die bundesgerichtliche Rechtsprechung (BGE 137 IV 269) in Bezug auf das Wesen eines Ermächtigungsverfahrens informiert worden; dabei ist ihnen die Gelegenheit eingeräumt worden, sich zur Frage zu äussern, ob der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zu erteilen sei, eine Strafuntersuchung anhand zu nehmen, d.h. zu prüfen, ob eine Strafuntersuchung zu eröffnen sei oder nicht. Von dieser Möglichkeit machten sie in der Folge Gebrauch.
Mit Beschluss vom 19. Februar 2014 hat die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. die Nichtanhandnahme des Verfahrens gegen die angezeigten Mitglieder der Staatsanwaltschaft nicht erteilt (Geschäfts-Nr.: TB130241-O/U/BUT). Zur Begründung hat das Obergericht im Wesentlichen erwogen, die in Frage stehenden Strafanzeigen stünden im Zusammenhang mit der von C._ und B._ wiederholt vorgetragenen Behauptung, es sei zum Nachteil eines A._ in der Schweiz zu Vermögensdelikten im dreistelligen Milliardenbetrag gekommen. Diese Behauptung sei nunmehr schon viele Male von Schweizer Strafbehörden geprüft worden und habe seither nichts von ihrer Absurdität verloren. Es erscheine als Rechtsmissbrauch, wenn C._ und B._ die Strafbehörden immer wieder aufs Neue mit langfädigen und unverständlichen Eingaben eindeckten. Solcher Missbrauch geniesse keinen Rechtsschutz. Aus den Anzeigen ergebe sich jedenfalls nicht, weshalb sich die angezeigten Mitglieder der Staatsanwaltschaft eines Verbrechens oder Vergehens schuldig gemacht haben könnten. Die vorgetragenen Vorwürfe, soweit solche überhaupt ersichtlich seien, seien offensichtlich haltlos und absurd, weshalb die Ermächtigung gemäss § 148 GOG/ZH nicht zu erteilen sei.
2.
Mit Eingabe vom 25. März (Postaufgabe: 27. März) 2014 führen A._, vertreten durch C._, und B._, p.A. C._, staatsrechtliche Beschwerde bzw. Nichtigkeitsbeschwerde ans Bundesgericht mit dem Hauptbegehren, die zwei obergerichtlichen Entscheide vom 21. Januar 2014 und 19. Februar 2014 seien aufzuheben.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen einzuholen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unab-hängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch Art. 106 Abs. 2 BGG; zudem BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53 und 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Die Beschwerdeführer üben im Wesentlichen appellatorische Kritik an den beanstandeten Entscheiden des Obergerichts bzw. an der gesamten mit ihren Strafanzeigen befassten Zürcher Strafjustiz, indem sie ihre Sicht der Dinge vorbringen. Dabei setzen sie sich aber nicht mit den obergerichtlichen Erwägungen auseinander und legen sie nicht im Einzelnen dar, inwiefern dadurch bzw. durch die Entscheide selbst im Ergebnis Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt worden sein soll.
Auf die Beschwerde ist daher schon aus diesem Grund nicht einzutreten, weshalb es sich erübrigt, auch noch die weiteren Eintretensvoraussetzungen zu erörtern.
Mit dem vorliegenden Entscheid ist das Gesuch um Anordnung vorsorglicher Massnahmen gegenstandslos geworden.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Den Beschwerdegegnern ist durch das vorliegende Verfahren kein Aufwand entstanden, so dass ihnen keine Parteientschädigung zuzusprechen ist.
Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp