Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wendet sich dagegen, dass er unter anderem wegen Motorfahrens in angetrunkenem Zustand unter Einbezug einer vollziehbar erklärten früheren Strafe zu einer Gesamtgeldstrafe von 60 Tagessätzen zu Fr. 50.-- sowie zu einer Busse von Fr. 200.-- bzw. zwei Tagen Ersatzfreiheitsstrafe verurteilt wurde. Er macht vor Bundesgericht geltend, die Beschuldigungen seien zu Unrecht gegen ihn erhoben worden. Der Sachverhalt kann im vorliegenden Beschwerdeverfahren indessen mit Erfolg nur bemängelt werden, wenn er durch die kantonalen Richter offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV festgestellt wurde. Willkürlich ist eine Feststellung, wenn die kantonalen Richter von einem Sacherhalt ausgehen, der mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (BGE 135 V 2 E. 1.3). Die Rüge der Willkür muss vor Bundesgericht präzise vorgebracht und begründet werden, ansonsten darauf nicht eingetreten wird (Art. 106 Abs. 2 BGG). Dieser Voraussetzung genügt die vorliegende Beschwerde nicht, da sie sich auf unzulässige appellatorische Kritik beschränkt. Der Beschwerdeführer macht geltend, er spreche schlecht Deutsch und sein Gehör sei nicht mehr so gut, was eine Ursache dafür sein könnte, dass er sich mit den Polizisten nicht gut habe verständigen können. Der angefochtene Entscheid beruht indessen zur Hauptsache auf den Beobachtungen der Polizisten und auf zwei Gutachten (Urteil Strafgericht vom 13. März 2009 S. 3/4). Folglich vermögen die Behauptungen des Beschwerdeführers zu seinen Sprachkenntnissen und zu seinem Gehör von vornherein nicht darzutun, dass und inwieweit die kantonalen Richter in Willkür im oben umschriebenen Sinn verfallen sein könnten. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das nachträglich gestellte sinngemässe Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn