Erwägungen:
1. X._ absolvierte an der Juristischen Fakultät der Universität Basel das Grundstudium des Studienganges Bachelor of Law. Am 28. September 2009 gelangte er mit Rekurs gegen ein Prüfungszeugnis an die Rekurskommission der Universität Basel. Das fragliche Zeugnis vom 7. September 2009 mit lauter ungenügenden Noten in den Fächern Öffentliches Recht I, Privatrecht I, Rechtsgeschichte und Strafrecht I reichte er am 16. Oktober 2009 nachträglich ein. Nachdem er sich zuvor nochmals geäussert hatte und die Juristische Fakultät sich hatte vernehmen lassen, legte X._ am 26. November 2009 ein weiteres, mit dem Datum 7. September 2009 versehenes Zeugnis vor, in welchem nunmehr ausschliesslich genügende Noten aufgeführt waren. In einer weiteren Stellungnahme beantragte die Fakultät, dieses neu vorgelegte Zeugnis für nichtig zu erklären, da sie ein solches nie ausgestellt habe. Die Rekurskommission machte das am 26. November 2009 eingereichte genügende Zeugnis zum Gegen-stand eines separaten Verfahrens. In Bezug auf das ungenügende Zeugnis schloss sie das Verfahren mit Entscheid vom 21. Dezember 2009 ab, wobei sie den Rekurs abwies.
X._ hat am 27. Mai 2010 beim Bundesgericht eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht; er beantragt, den Entscheid der Rekurskommission aufzuheben, damit seine Grundrechte geheilt werden könnten. Auf Aufforderung hin hat er am 3. Juni 2010 eine Kopie des angefochtenen Entscheids eingereicht; sodann hat er sich am 16. Juni 2010 über die Adresse der Juristischen Fakultät der Universität Basel geäussert. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Der angefochtene Entscheid hat ein Zeugnis und mithin das Ergebnis einer Prüfung bzw. eine Fähigkeitsbewertung zum Gegenstand. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 83 lit. t BGG unzulässig. Sein Rechtsmittel kann höchstens als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) entgegengenommen werden, womit allein die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden kann (Art. 116 BGG). Ohnehin hätte selbst im Falle der Zulässigkeit des ordentlichen Rechtsmittels weitgehend nur die Verletzung solcher Rechte gerügt werden können, gehört doch das kantonale Recht, auf welchem der angefochtene Entscheid beruht, nicht zum "schweizerischen Recht" im Sinne von Art. 95 BGG. Die Rechtsschrift muss eine Begründung enthalten (Art. 42 Abs. 2 BGG), wobei die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte spezifischer Begründung bedarf (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.2 Die Rekurskommission hat sich mit den materiellen Einwendungen des Beschwerdeführers gegen die Notengebung in den einzelnen Fächern befasst (E. 2a-d) und eine Gesamtbeurteilung seiner Leistungen vorgenommen (E. 2e). Inwiefern die Vorinstanz dabei die vom Beschwerdeführer erwähnten verfassungsmässigen Rechte, namentlich Art. 29, 29a, 30 und 61a ff. BV, verletzt haben könnte, lässt sich seinen Ausführungen auch im Ansatz nicht entnehmen; dies gilt namentlich auch hinsichtlich seines Hinweises auf das zweite Zeugnis, das genügende Noten enthalten soll, wobei der angefochtene Entscheid diesbezüglich ohnehin auf ein separates Verfahren verweist und der Beschwerdeführer zu dieser Verfahrensaufspaltung keine substantiierte Rüge erhebt. Was sodann die behauptete Verletzung von Art. 13 BV durch eine unkorrekte Schreibweise des Namens des Beschwerdeführers betrifft, bleibt unerfindlich, inwiefern sich ein solches Versehen auf die Beurteilung des Zeugnisses ausgewirkt hätte; die entsprechende Rüge ist schon aus dem Grunde nicht zu hören.
2.3 Die vorliegende Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende, den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. 106 Abs. 2 BGG genügende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), weshalb darauf im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten ist. Es kann damit offen bleiben, wann die am 6. April 2010 ausgefertigte Endfassung des Entscheids vom 21. Dezember 2009 dem Beschwerdeführer eröffnet wurde und ob er mit der Beschwerde vom 27. Mai 2010 die Beschwerdefrist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1 BGG) gewahrt hat.
Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und der Rekurskommission der Universität Basel schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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