Faits:
A. A.a X._, né en 1956, et dame X._, née en 1966, se sont mariés le 8 mars 1997 à Soral (GE); une enfant est issue de leur union: Y._, née le 6 avril 1997.
A.b L'épouse a sollicité des mesures protectrices de l'union conjugale le 4 mai 2009.
Statuant "par voie préprovisoire" lors de l'audience du 20 juillet 2009, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne a attribué au père la garde de l'enfant; il a confirmé cette décision par prononcé du 28 juillet suivant, sous réserve d'un "libre et large" droit de visite de la mère.
A.c La mère a interjeté appel de ce prononcé, concluant notamment à ce que la garde de l'enfant lui soit confiée; le père a pris le même chef de conclusions en sa faveur, ajoutant que "le domicile légal de l'enfant Y._ se situera auprès [de lui] à Vienne, en Autriche [...]".
En raison du bref laps de temps entre l'audience d'appel et la reprise des classes, les parties ont accepté que le tribunal se prononce par un simple dispositif d'abord sur les questions du droit de garde et du droit de visite, puis sur celle de l'entretien, l'arrêt motivé étant communiqué ultérieurement.
B. Par dispositif partiel du 28 août 2009, le Tribunal d'arrondissement de Lausanne a réformé la décision entreprise en ce sens qu'il a attribué à la mère la garde de l'enfant et accordé au père un libre droit de visite à exercer d'entente avec la mère, dans la mesure compatible avec son activité professionnelle et la scolarité de l'enfant, sous réserve de la faculté pour chacun des parents d'exiger que ce droit soit réglementé plus précisément. Le 3 septembre 2009, le Président du tribunal civil a communiqué au mandataire du père une «motivation sommaire» qui est censée «tenir lieu de détermination anticipée à l'intention de l'autorité de recours». La décision motivée a été finalement notifiée le 7 janvier 2010 aux conseils des parties.
La contribution à l'entretien de la famille a été réglée, quant à elle, dans un second dispositif du 12 octobre 2009.
C. Par acte du 4 septembre 2009, le père interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral à l'encontre de l'arrêt du 28 août 2009 (rendu sous forme de dispositif); il conclut, en substance, à la confirmation du prononcé de mesures protectrices du 28 juillet 2009.
L'intimée propose le rejet du recours.
D. Par ordonnance du 7 septembre 2009, la Présidente de la IIe Cour de droit civil a octroyé à titre superprovisoire l'effet suspensif au recours.
Par ordonnance du 8 septembre 2009, la Juge présidant la IIe Cour de droit civil a retiré l'effet suspensif accordé à titre superprovisoire.
Par ordonnance du 18 septembre 2009, la Présidente de la IIe Cour de droit civil a refusé l'effet suspensif au recours et fait interdiction au recourant, sous la commination des peines de l'art. 292 CP, de prendre l'enfant sous sa garde jusqu'à l'arrêt du Tribunal fédéral.
Par ordonnance du 5 octobre 2009, la Juge instructeur de la IIe Cour de droit civil a déclaré irrecevable la requête du recourant tendant à la désignation d'un curateur à l'enfant.
E. Par ordonnance du 9 septembre 2010, le Juge instructeur de la IIe Cour de droit civil a invité le recourant - qui n'était plus représenté devant le Tribunal fédéral - à se déterminer quant au maintien du recours et à indiquer une adresse de notification en Suisse.
Par courrier du 14 septembre 2010, Me Adrian Schneider a informé le Tribunal fédéral qu'il succédait à Me Pascal Rytz et que le recours était maintenu.
Considérant en droit:
1. 1.1 Bien qu'elle ait été prise en deux "étapes", la décision attaquée ne constitue pas une décision partielle au sens de l'art. 91 LTF (sur cette notion: ATF 135 V 141 consid. 1.4.1); les questions tranchées dans les "dispositifs partiels" des 28 août et 12 octobre 2009 ont fait l'objet d'un seul arrêt motivé, daté du 7 janvier 2010 (i.e. jour de la notification aux conseils des parties). L'arrêt attaqué, qui met un terme à la procédure cantonale, est une décision finale (art. 90 LTF).
1.2 En l'espèce, le recourant critique uniquement la réglementation du droit de garde dans une procédure de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 176 al. 3 CC). Son recours est ainsi dirigé à l'encontre d'une décision rendue dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF; ATF 133 III 393 consid. 2) de nature non pécuniaire. Comme l'intéressé se plaint d'arbitraire à cet égard (art. 9 Cst.), la décision entreprise émane bien de la dernière autorité cantonale (art. 75 al. 1 LTF; arrêts 246/2009 du 22 mars 2010 consid. 1.1; 5A_732/2007 du 4 avril 2008 consid. 1.2 et la jurisprudence citée).
1.3 Selon la jurisprudence, la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5 et 585 consid. 3.3), en sorte que le recourant ne peut se plaindre que de la violation de ses droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine un tel grief que s'il a été dûment invoqué et motivé (art. 106 al. 2 LTF), à savoir exposé de manière claire et détaillé (ATF 134 I 83 consid. 3.2 et les arrêts cités). Lorsque, comme en l'occurrence, le recourant se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.), il ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours dispose d'une libre cognition; il ne saurait se contenter d'opposer son opinion à celle de la juridiction précédente, mais doit démontrer par une argumentation précise que cette décision se fonde sur une application du droit ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables (ATF 134 II 349 consid. 3 et les arrêts cités; cf. aussi, en relation avec l'appréciation des preuves: ATF 134 V 53 consid. 4.3); les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 III 589 consid. 2).
1.4 Le recours a été interjeté bien avant la notification de l'expédition complète (art. 100 al. 1 LTF); dès la communication de l'arrêt motivé, le recourant avait ainsi la possibilité de compléter la motivation de son mémoire du 4 septembre 2009, ce qu'il n'a pas fait. Certes, un recours prématuré est recevable (arrêt 2P.306/2006 du 4 décembre 2006 et la jurisprudence citée), mais la constitutionnalité de l'arrêt déféré ne sera examinée qu'à la lumière de l'argumentation figurant dans l'écriture en question (arrêt 1C_351/2009 du 26 novembre 2009).
1.5 Les pièces produites par le nouveau mandataire du recourant (qui concernent l'inscription de l'enfant au Lycée français de Vienne) sont postérieures à l'arrêt attaqué; partant, elles sont d'emblée irrecevables (ATF 134 IV 342 consid. 2.1).
2. La décision motivée ayant été notifiée le 7 janvier 2010, le moyen pris d'une violation de l'art. 112 LTF n'a plus d'objet.
3. Après avoir rappelé les principes applicables à l'attribution du droit de garde (art. 176 al. 3 CC), l'autorité précédente a estimé qu'il n'y avait pas en l'état d'incapacité parentale avérée, en particulier chez la mère, quand bien même certains de ses écrits pouvaient apparaître comme déconcertants; d'ailleurs, si l'intéressée avait de grandes carences en tant que mère, on comprend mal que le père lui ait laissé la garde de fait de l'enfant dès l'été 2008. En outre, c'est la mère qui s'est occupée de l'enfant de manière suivie et prépondérante depuis sa naissance, ce qui n'est pas contredit par le fait qu'elle a inscrit l'enfant dans une crèche pour la sieste et l'après-midi, alors qu'elle travaillait à mi-temps, puis à l'accueil et au repas de midi dans une cantine scolaire, ou qu'elle a recouru à des proches pour participer à la prise en charge de sa fille; au surplus, elle dispose de plus de temps pour s'occuper personnellement de l'enfant. La stabilité du "cadre socio-affectif et la continuité de l'action éducative", nécessaires à un développement harmonieux de la mineure, plaident en faveur de l'attribution de la garde à sa mère, après une année passée auprès de celle-ci dans un environnement local et social, notamment scolaire, favorable, qui ne doit pas être modifié sans nécessité. Certes, l'enfant a exprimé le désir de vivre avec son père à Vienne et d'y fréquenter le Lycée français. A 12 ans, elle est toutefois influençable et suggestible, comme en témoignent ses lettres; à cela s'ajoute qu'elle présente une certaine ambivalence, avec une préférence actuelle pour son père, mais sans rejet de sa mère, ce qui trahit un important conflit de loyauté. Les raisons de cette préférence ne sont d'ailleurs pas forcément saines ni pertinentes: elle en veut à sa mère, qu'elle rend responsable de la séparation; elle voit son père souffrir de la séparation et souhaite l'aider; le père est plus "chouette"; les "profs" sont plus "rigolos" à Vienne qu'à Lausanne. Or, il faut éviter de placer l'enfant en position de décideur, en lui faisant porter le poids d'un choix qui ne lui appartient pas. Le déménagement de la mère de Vienne à Lausanne avec sa fille dénote une désunion du couple, c'est-à-dire un conflit entre les père et mère, mais non la volonté de celle-ci de vouloir perturber les relations de l'enfant avec celui-là; du reste, le père ne s'est pas plaint, au cours de l'année scolaire 2008/2009, d'être entravé dans ses contacts avec l'enfant, au-delà des limitations qui résultent inévitablement de l'éloignement géographique. En définitive, la plupart des critères utilisables et déterminants en l'état de l'instruction justifient l'attribution du droit de garde à la mère.
3.1 D'emblée, il convient d'écarter les allégations du recourant qui ne trouvent aucun appui dans la décision attaquée - notamment celles qui concernent les circonstances dans lesquelles l'enfant s'est installée à Lausanne (p. 9) et le "cadre de vie" de la mère (p. 11) - sans qu'il soit démontré, conformément aux exigences légales (art. 106 al. 2 LTF), en quoi ces compléments seraient admissibles (ATF 133 III 393 consid. 7.1 et les citations).
Pour le surplus, le moyen apparaît largement appellatoire. Le recourant insiste essentiellement sur le désir - exprimé à plusieurs reprises - de sa fille de vivre auprès de lui. L'autorité précédente ne l'a toutefois pas méconnu, mais a estimé qu'il ne pouvait dicter à lui seul l'attribution du droit de garde au père. Or, l'intéressé, qui n'a pas complété son acte de recours alors qu'il en avait la possibilité (cf. supra, consid. 1.4), ne réfute aucunement les arguments de l'autorité précédente et, dès lors, ne démontre pas en quoi ils seraient arbitraires.
Pour le surplus, le moyen apparaît largement appellatoire. Le recourant insiste essentiellement sur le désir - exprimé à plusieurs reprises - de sa fille de vivre auprès de lui. L'autorité précédente ne l'a toutefois pas méconnu, mais a estimé qu'il ne pouvait dicter à lui seul l'attribution du droit de garde au père. Or, l'intéressé, qui n'a pas complété son acte de recours alors qu'il en avait la possibilité (cf. supra, consid. 1.4), ne réfute aucunement les arguments de l'autorité précédente et, dès lors, ne démontre pas en quoi ils seraient arbitraires.
3.2 3.2.1 Le recourant reproche aussi à la juridiction précédente de n'avoir pas entendu l'enfant.
Selon l'art. 144 al. 2 CC, le juge ou un tiers nommé à cet effet entend les enfants personnellement, de manière appropriée, pour autant que leur âge ou d'autres motifs importants ne s'opposent à l'audition. Cette norme s'applique à toutes les procédures judiciaires portant sur le sort des enfants, donc également à la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale (ATF 131 III 553 consid. 1.1).
Comme l'admet expressément le recourant, l'enfant a été entendue par le premier juge et par un assistant social du Service de protection de la jeunesse (SPJ). La juridiction précédente disposait, de surcroît, des témoignages recueillis à l'audience (arrêt attaqué, p. 38 ss). Dans ces circonstances, une audition supplémentaire - que le recourant n'avait d'ailleurs pas requise (arrêt attaqué, p. 33) - par les magistrats d'appel ne s'imposait pas (arrêt 5P.507/2006 du 5 avril 2007 consid. 4.4 et la jurisprudence citée). La décision attaquée n'est donc pas arbitraire sur ce point.
3.2.2 Partant de la prémisse - non constatée dans l'arrêt déféré - que la mère «souffre d'une grave instabilité psychologique», le recourant estime que les magistrats précédents auraient dû inviter le Service de protection de la jeunesse à procéder à une «évaluation familiale».
Les mesures protectrices de l'union conjugale sont ordonnées à l'issue d'une instruction sommaire (cf. art. 271 let. a CPC en vigueur dès le 1er janvier 2011 [RO 2010 1739, 1802]), laquelle implique un examen des faits sous l'angle de la vraisemblance et une limitation des moyens de preuve (ATF 127 III 474 consid. 2b/bb et les références). L'autorité précédente, qui a appliqué ces principes en renonçant à ordonner une expertise visant à évaluer "la présence d'une pathologie psychiatrique chez le père ou la mère", n'est dès lors pas tombée dans l'arbitraire, à plus forte raison vu le "laps de temps très bref entre l'audience d'appel et la reprise des classes".
4. En conclusion, le recours doit être rejeté dans la (faible) mesure de sa recevabilité, avec suite de frais et dépens à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne.
Lausanne, le 29 septembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Le Greffier:
Escher Braconi