Faits:
A. Dès le 1er février 2005, X._ est entrée au service de Z._ en qualité de gérante d'un magasin de meubles récemment ouvert à Peseux. Le salaire mensuel, payable douze fois par an, était fixé à 4'500 fr.; la gérante aurait en outre droit à 3% de la part du chiffre d'affaires qui excéderait 540'000 fr. par année. La durée des vacances annuelles était fixée à cinq semaines.
Le 28 août 2007, l'employeur a résilié le contrat de travail avec effet au 30 novembre suivant, au motif que l'exploitation du magasin était déficitaire et serait prochainement interrompue. La gérante ayant subi une longue maladie après la résiliation, le contrat s'est prolongé jusqu'au 31 janvier 2008.
L'établissement principal de Z._ se trouvait à La Chaux-de-Fonds, où il exploitait aussi un magasin de meubles. A._ y était employé à diverses tâches; il travaillait à temps partiel.
L'épouse de Z._ collaborait à l'entreprise; elle se rendait au magasin de Peseux et elle y donnait des instructions à la gérante.
B. Le 24 juillet 2008, X._ a ouvert action contre Z._ devant le Tribunal des prud'hommes du district de Boudry. Le défendeur devait être condamné à payer 39'999 fr. à titre d'arriéré de salaire, indemnité pour licenciement abusif et indemnité de réparation morale; il devait aussi être condamné à établir et remettre un certificat de travail. Parmi d'autres griefs, la demanderesse se plaignait d'avoir subi un harcèlement psychologique et de n'avoir pas reçu un salaire conforme à la garantie de l'égalité salariale entre femmes et hommes.
Le défendeur a conclu au rejet de l'action.
Le tribunal s'est prononcé le 28 mai 2009. Il a condamné le défendeur à établir et remettre un certificat de travail; pour le surplus, il a rejeté l'action.
La Cour de cassation civile du Tribunal cantonal a statué le 11 janvier 2011 sur le recours de la demanderesse; elle a rejeté ce recours.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, la demanderesse requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de cassation civile et de renvoyer la cause à cette autorité pour complément d'instruction et nouvelle décision, l'instruction devant comprendre une expertise qui portera sur l'évaluation des tâches respectives de la demanderesse et de A._ dans l'entreprise du défendeur.
Des conclusions subsidiaires tendent au paiement de 6'585 fr. à titre de salaire soumis aux déductions sociales, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er avril 2007, et de 5'000 fr. à titre de réparation morale avec intérêts au même taux dès le 28 août 2007.
La demanderesse introduit simultanément un recours constitutionnel pour le cas où le recours en matière civile se révélerait irrecevable à raison de la valeur litigieuse.
Le défendeur conclut principalement à l'irrecevabilité des deux recours et subsidiairement à leur rejet.
Considérant en droit:
1. Les recours sont dirigés contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Leur auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse - soit le total de toutes les sommes demandées devant le Tribunal de prud'hommes, restées litigieuses devant la Cour de cassation civile - excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF). Le mémoire de recours a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et il répond aux exigences légales (art. 42 al. 1 à 3 LTF). En conséquence, le recours en matière civile est en principe recevable, de sorte que le recours constitutionnel, subsidiaire (art. 113 LTF), est exclu.
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Cette partie ne peut toutefois pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; elle doit plutôt indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, et une critique qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; voir aussi ATF 136 II 489 consid. 2.8 p. 494; 130 I 258 consid. 1.3 p. 261/262).
2. En instance fédérale, la demanderesse ne soutient plus que la résiliation du contrat de travail, par le défendeur, fût abusive aux termes des art. 336 et 336a CO, et elle renonce donc à réclamer l'indemnité prévue par cette disposition-ci.
3. La demanderesse dit avoir été victime d'un harcèlement psychologique qu'elle impute à l'épouse du défendeur, et elle réclame de ce chef, sur la base des art. 49 al. 1 et 328 CO, une réparation morale au montant de 5'000 francs.
L'art. 328 al. 1 CO impose à l'employeur de protéger et respecter la personnalité du travailleur. Le harcèlement psychologique, ou mobbing, est une violation de cette obligation; il se définit comme un enchaînement de propos ou d'agissements hostiles, répétés fréquemment pendant une période assez longue, par lesquels un ou plusieurs individus cherchent à isoler, à marginaliser, voire à exclure une personne sur son lieu de travail. La victime est souvent placée dans une situation où chaque acte pris individuellement, auquel un témoin a pu assister, peut éventuellement être considéré comme supportable alors que l'ensemble des agissements constitue une déstabilisation de la personnalité, poussée jusqu'à l'élimination professionnelle de la personne visée.
Il n'y a toutefois pas harcèlement psychologique du seul fait qu'un conflit existe dans les relations professionnelles, ni d'une mauvaise ambiance de travail, ni du fait qu'un membre du personnel serait invité - même de façon pressante, répétée, au besoin sous la menace de sanctions disciplinaires ou d'une procédure de licenciement - à se conformer à ses obligations résultant du rapport de travail, ou encore du fait qu'un supérieur hiérarchique n'aurait pas satisfait pleinement et toujours aux devoirs qui lui incombent à l'égard de ses collaboratrices et collaborateurs. Il résulte des particularités du harcèlement que celui-ci est généralement difficile à prouver, si bien qu'il faut éventuellement admettre son existence sur la base d'un faisceau d'indices convergents. Il faut cependant aussi garder à l'esprit que le harcèlement peut n'être qu'imaginaire, sinon même être allégué abusivement pour tenter de se protéger contre des remarques ou mesures pourtant justifiées (arrêts 4A_128/2007 du 9 juillet 2007, consid. 2.1; 4C.404/2005 du 10 mars 2006, consid. 3.2).
Le travailleur victime de harcèlement peut réclamer à l'employeur une indemnité de réparation morale sur la base de l'art. 49 al. 1 CO, lorsque la gravité de l'atteinte à sa personnalité le justifie; cela suppose, d'un point de vue objectif, que le travailleur ait subi une humiliation extraordinairement sévère (ATF 125 III 70 consid. 3a p. 74/75; voir aussi ATF 130 III 699 consid. 5.1 p. 704).
4. Le Tribunal des prud'hommes a interrogé l'épouse du défendeur en qualité de témoin. Celle-ci a admis que la demanderesse avait pu se sentir rabaissée par certaines de ses remarques mais elle a catégoriquement contesté avoir adopté intentionnellement des attitudes vexatoires. En particulier, elle a admis avoir dit à la demanderesse, lors d'une exposition, que la couleur grise de ses vêtements n'était pas « commerciale ». Elle a contesté les accusations que la demanderesse élevait contre elle.
Selon l'une de ces accusations, la demanderesse devait déplacer plusieurs fois par jour de lourds canapés. La vendeuse d'un magasin voisin, aussi entendue en qualité de témoin, a déclaré qu'elle avait plusieurs fois vu la demanderesse tirer de gros canapés en dépit de douleurs lombaires. Ce témoin l'avait aussi vue plusieurs fois pleurer et trembler, notamment après le passage de l'épouse du défendeur. Selon les autres accusations, la demanderesse a subi des leçons d'écriture où l'épouse se plaçait derrière elle et lui frappait l'épaule lorsqu'une faute survenait; elle a aussi dû, plusieurs fois par jour, nettoyer le lavabo des toilettes sous la surveillance attentive de l'épouse.
La demanderesse se plaint d'une constatation lacunaire des faits, résultant d'une appréciation prétendument arbitraire des preuves, mais ses dires ont été contestés et elle n'a apporté aucun commencement de preuve autre que le témoignage de la vendeuse voisine. A l'appui du grief d'arbitraire, elle se borne à répéter sa propre version des faits, ce qui est inapte à révéler avec certitude, de la part de l'épouse du défendeur, un comportement délibéré et systématique qui fût destiné à déstabiliser la demanderesse, suffisamment grave pour justifier une demande d'indemnité. Cette motivation ne satisfait pas aux exigences de l'art. 97 al. 1 LTF, d'où il résulte que le grief d'arbitraire est irrecevable. Pour le surplus, le harcèlement n'étant pas établi, il s'imposait de rejeter la prétention fondée sur les art. 49 al. 1 et 328 CO. Sur ce point, la décision attaquée est donc conforme au droit fédéral.
5. La demanderesse prétend au paiement de 6'585 fr. sur la base de la loi fédérale sur l'égalité entre femmes et hommes (LEg; RS 151.1), selon laquelle il est interdit de discriminer les travailleurs à raison du sexe, soit directement, soit indirectement (art. 3 al. 1 LEg). Cette interdiction s'applique notamment dans les rapports de travail soumis au code des obligations (art. 2 LEg) et elle vise, parmi d'autres thèmes, la rémunération des travailleurs (art. 3 al. 2 LEg). Celui qui a subi une discrimination dans la rémunération a le droit de réclamer en justice le paiement du salaire dû (art. 5 al. 1 let. d LEg), c'est-à-dire de la différence entre le salaire effectivement convenu et celui que l'employeur aurait accordé sans la discrimination (Gabriela Riemer-Kafka et Jakob Ueberschlag, in Kommentar zum Gleichstellungsgesetz, Claudia Kaufmann (éd.), 2009, n° 22 ad art. 5 LEg).
5.1 La discrimination est présumée si le travailleur qui s'en prévaut la rend vraisemblable (art. 6 LEg). Par rapport à la répartition ordinaire du fardeau de la preuve en droit civil fédéral (art. 8 CC), cette disposition facilite la preuve d'une discrimination à raison du sexe, en ce sens qu'il suffit à la partie demanderesse de rendre vraisemblable l'existence d'une pareille discrimination. La preuve au degré de la simple vraisemblance ne nécessite pas que le juge soit convaincu par les éléments qu'apporte la partie demanderesse; les faits allégués doivent simplement présenter une certaine vraisemblance au regard d'indices objectifs. Par exemple, la vraisemblance d'une discrimination salariale a été admise dans le cas d'une travailleuse dont le salaire, comparé à celui d'un collègue qui accomplissait le même travail, était inférieur de 15 % à 25 % (ATF 130 III 145 consid. 4.2 p. 161/162; 125 III 368 consid. 4 p. 373). Le cas échéant, la comparaison du salaire de la travailleuse avec la rémunération d'un seul collègue exerçant la même activité suffit à rendre la discrimination vraisemblable (arrêt 4A_449/2008 du 25 février 2009, consid. 3; Susy Stauber-Moser, Egalité des salaires et jurisprudence du Tribunal fédéral, PJA 2006 p. 1367; Florence Aubry Girardin, Egalité salariale et décisions judiciaires: questions pratiques du point de vue de la justice, PJA 2005 p. 1067; Kathrin Klett, Richterliche Prüfungsplicht und Beweiserleichterung, PJA 2001 p. 1296).
Si la discrimination liée au sexe a été rendue vraisemblable, le fardeau de la preuve est renversé; il appartient alors à l'employeur de démontrer l'inexistence de la discrimination, en rapportant la preuve stricte que la différence de traitement repose sur des facteurs objectifs. Constituent des facteurs objectifs ceux qui peuvent influencer la valeur même du travail, comme la formation, l'ancienneté, la qualification, l'expérience, le domaine concret d'activité, les prestations effectuées, les risques encourus, le cahier des charges. Des disparités salariales peuvent également se justifier pour des motifs qui ne se rapportent pas immédiatement à l'activité en cause, mais qui découlent de préoccupations sociales, comme les charges familiales ou l'âge (ATF 130 III 145 consid. 5.2 p. 164; 127 III 207 consid. 3b p. 213 et consid. 3c p. 214; 125 III 368 consid. 4 p. 372 et consid. 5 p. 373).
Des facteurs objectifs ne justifient généralement une différence de rémunération que dans la mesure où ils influent sur la prestation de travail et sa rémunération par l'employeur. Pour qu'une différence de traitement soit justifiée, il ne suffit pas que l'employeur invoque n'importe quel motif; il doit au contraire démontrer que la différence poursuit un but objectif répondant à un véritable besoin de l'entreprise, et que les mesures discriminatoires adoptées sont propres à atteindre le but recherché, sous l'angle du principe de la proportionnalité (ATF 130 III 145 consid. 5.2 p. 165 et les références). En particulier, si la partie défenderesse apporte la preuve d'un facteur objectif justifiant une différence de traitement, l'ampleur de cette différence doit encore respecter le principe de la proportionnalité et ne pas apparaître inéquitable (STAUBER-MOSER, op. cit., p. 1374; MARGRITH BIGLER-EGGENBERGER, Et si la justice ôtait son bandeau ?, 2003, p. 299 n° 579; ELISABETH FREIVOGEL, in Kommentar zum Gleichstellungsgesetz, précité, n° 96 ad art. 3 LEg). Le Tribunal fédéral a jugé ainsi qu'une différence de rémunération de 8 à 9 % touchant deux logopédistes ne violait pas le principe de l'égalité salariale, dans la mesure où elle était motivée par une formation préalable différente (maturité d'une part, diplôme d'instituteur d'autre part; ATF 123 I 1 consid. 6e p. 9/10).
5.2 Le principe de l'égalité salariale entre l'homme et la femme repose sur la notion du travail de valeur égale. Dans les contestations civiles en matière d'égalité salariale, quelle que soit la valeur litigieuse, la loi impose au juge de constater d'office l'ensemble des faits pertinents (art. 12 al. 2 LEg et 343 al. 4 CO jusqu'au 31 décembre 2010; art. 243 al. 1 let. a et 247 al. 2 let. a CPC depuis le 1er janvier 2011). Si, à l'intérieur d'une entreprise, l'équivalence des diverses fonctions n'est pas immédiatement évidente ou n'est pas établie par d'autres moyens de preuve, le juge doit ordonner les expertises nécessaires. Les experts doivent alors évaluer si ces fonctions sont comparables entre elles et déterminer les critères propres à mettre en évidence un cas de discrimination. Un refus d'ordonner l'expertise demandée par une partie constitue une violation de l'art. 12 al. 2 LEg ou, dorénavant, de l'art. 247 al. 2 let. a CPC, à moins que l'expertise n'apparaisse d'emblée inutile parce que, par exemple, le juge dispose lui-même des connaissances scientifiques nécessaires pour élucider une éventuelle discrimination liée au sexe (ATF 133 III 545 consid. 4.2 p. 551).
Une expertise peut être demandée soit par la partie demanderesse, afin de rendre la discrimination vraisemblable, soit par la partie défenderesse, afin d'apporter la preuve contraire qui lui incombe (Freivogel, op. cit., n° 106 ad art. 3 LEg).
Dans la présente affaire, la demanderesse reproche précisément aux autorités précédentes de n'avoir pas ordonné d'expertise pour comparer ses propres tâches, au service du défendeur, avec celles de A._.
6. La décision attaquée ne contient aucune description, même sommaire, des tâches et responsabilités respectivement et concrètement assumées par A._ et par la demanderesse au sein de l'entreprise. En particulier, il n'est pas constaté que l'un et l'autre fussent chargés du même travail. La Cour de cassation civile compare seulement les deux salaires, à l'issue de quelques calculs; elle parvient à une différence de 460 fr. par mois en faveur de A._, soit « moins de 10% ». Elle estime que cette différence peut s'expliquer par « la différence de situation » entre les deux magasins du défendeur, l'un principal, à La Chaux-de-Fonds, qui a subsisté, et l'autre, secondaire, à Peseux, qui s'est révélé déficitaire. De toute manière, selon la Cour, cette différence est « modeste » et s'inscrit dans la « marge de négociation que l'on doit reconnaître aux [parties] à un contrat de travail ». La Cour avance aussi quelques conjectures au sujet des motifs qui ont pu conduire le défendeur à régler de manière dissemblable, dans les deux contrats, la participation aux chiffres d'affaires des magasins concernés. En définitive, une discrimination à raison du sexe n'est pas jugée vraisemblable, de sorte qu'une expertise serait « véritablement dénuée de toute pertinence ».
Dans ses calculs, la Cour a pris en considération que la demanderesse jouissait de vacances annuelles plus longues que celles de A._. Contrairement à l'opinion développée à l'appui du recours en matière civile, cette correction arithmétique est justifiée car une semaine de vacances supplémentaire constitue un réel avantage pécuniaire; même s'il faut admettre, selon cette même opinion, que cette semaine supplémentaire se justifie par l'âge et les responsabilités particulières de la travailleuse concernée, cela ne peut jouer aucun rôle à ce stade de l'examen.
Dans la «différence de situation » entre les deux magasins, la Cour voit un facteur justificatif d'une différence de salaire. Cette appréciation n'est pas compatible avec l'art. 3 al. 1 LEg car la discrimination pouvait précisément consister dans l'engagement d'une femme, aux prétentions salariales moins élevées, pour le magasin dont les perspectives de rendement étaient incertaines. La différence de salaire pouvait se justifier si le marché du travail se présentait de façon sensiblement différente à La Chaux-de-Fonds et à Peseux, mais les autorités précédentes n'ont rien constaté à ce sujet.
Surtout, s'il n'est pas établi que tous les travailleurs concernés assument la même fonction, une simple comparaison des salaires ne permet pas d'apprécier la vraisemblance d'une discrimination à raison du sexe. S'il se révélait que la valeur intrinsèque du travail confié à la demanderesse fût supérieure à celle de celui attendu de A._, une différence de salaire en faveur de ce dernier, même de « moins de 10% », serait l'indice objectif d'une discrimination. Il est donc indispensable de constater les occupations et les responsabilités des travailleurs dont on compare les situations, puis de les évaluer si elles comportent des différences. En l'espèce, cette comparaison et cette évaluation ont été omises et, en principe, elles nécessitent une expertise. On ne peut toutefois pas exclure d'emblée que le Tribunal des prud'hommes soit en mesure de constater et d'évaluer lui-même, sans le concours d'experts, les tâches de deux employés d'un commerce de meubles; il appartiendra donc à la Cour de cassation civile, ou à ce tribunal, de décider si une expertise est effectivement indispensable. Quoi qu'il en soit, en l'état de la cause, les faits déterminants ne sont pas constatés conformément aux art. 12 al. 2 LEg et 343 al. 4 CO, de sorte que la décision attaquée doit être annulée pour violation de ces dispositions.
7. Aucune des parties n'obtient entièrement ni définitivement gain de cause; il se justifie donc de répartir l'émolument judiciaire par moitié et de compenser les dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable; la décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée à la Cour de cassation civile pour nouvelle décision.
2. Le recours constitutionnel est irrecevable.
3. Les parties acquitteront un émolument judiciaire de 600 fr., à raison de 300 fr. à la charge de la demanderesse et de 300 fr. à la charge du défendeur.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 28 avril 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin