Faits:
A. Par une communication du 17 juillet 2009 rendue sous la forme d'une décision, le Service de l'assurance-maladie du canton de Neuchâtel (ci-après : le service) a informé R._ que la Caisse-maladie Mutuel Assurances lui avait cédé une créance de primes d'un montant de 865 fr. 65 portant sur la période du 1er octobre au 30 novembre 2006. R._ a formé opposition contre cette décision. Le service l'a écartée dans une nouvelle décision du 17 août 2009.
R._ a déféré cette dernière décision au Département de la santé et des affaires sociales du canton de Neuchâtel. Par décision du 19 mars 2010, le département a déclaré le recours irrecevable, au motif que l'acte attaqué ne constituait pas une décision au sens de l'art. 3 de la loi cantonale neuchâteloise sur la procédure et la juridiction administratives du 27 juin 1979 (LPJA; RSN 153.130).
B. Par jugement du 19 août 2010, la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé par l'intéressé contre la décision sur opposition du 19 mars 2010.
C. Par acte du 27 août 2010, R._ a recouru contre ce jugement cantonal devant le Tribunal administratif fédéral, qui a transmis le recours au Tribunal fédéral comme objet de sa compétence.
D. Par lettre du 1er septembre 2010, la chancellerie du Tribunal fédéral a rappelé au recourant les conditions de recevabilité d'un recours en matière de droit public et l'a rendu attentif au fait que son écriture du 27 août 2010 ne satisfaisait pas aux exigences requises.
Le 7 septembre suivant, le recourant a fait parvenir au Tribunal fédéral une écriture complémentaire.
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 108 al. 1 LTF, le président de la cour décide en procédure simplifiée de ne pas entrer en matière sur les recours manifestement irrecevables (let. a) et sur ceux dont la motivation est manifestement insuffisante (art. 42 al. 2 LTF; let. b). Il peut confier cette tâche à un autre juge (art. 108 al. 2 LTF).
2. En vertu de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, le recours doit indiquer, entre autres exigences, les conclusions, les motifs et les moyens de preuve; les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit.
3. Le Tribunal fédéral ne peut revoir les questions de droit cantonal que sous l'angle restreint de l'arbitraire (sur cette notion : ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9), dans le cadre d'un moyen pris de la violation d'un droit constitutionnel (cf. art. 95 et 96 LTF, a contrario), expressément soulevé et développé conformément aux exigences de motivation accrues prévues à l'art. 106 al. 2 LTF. Celles-ci imposent au recourant d'expliquer de manière claire et précise en quoi le droit constitutionnel aurait été violé (cf. ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287).
4. Le jugement attaqué repose le droit cantonal, singulièrement sur la loi neuchâteloise d'introduction de la loi fédérale sur l'assurance-maladie du 4 octobre 1995 (LILAMal; RSN 821.10) et de son règlement d'ap-plication du 31 janvier 1996 (RALILAMal; RSN 821.101).
En bref, les premiers juges ont retenu que les art. 32 al. 1er LILAMal, 60 et 61 RALILAMal prévoyaient une cession légale à l'Etat du montant des primes que celui-ci avait payées à l'assureur-maladie conventionné en cas de défaut de l'assuré. C'était donc à tort que le service avait rendu une décision à ce sujet à l'encontre de R._. Cela étant, bien que ce dernier ne puisse s'opposer à la cession, il lui était loisible d'opposer au cessionnaire les exceptions qu'il aurait pu faire valoir à l'encontre du cédant.
5. En l'occurrence, tant le recours du 27 août 2010 que l'écriture complémentaire de R._ sont difficilement compréhensibles. Le recourant y cite pêle-mêle diverses dispositions légales, notamment du code des obligations, sans exposer leur pertinence. Il ne tente pas non plus d'expliquer en quoi les premiers juges auraient constaté les faits ou appliqué le droit cantonal de manière arbitraire. Une telle motivation ne répond manifestement pas aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF. Partant, le recours n'est pas recevable.
6. Il est renoncé à la perception d'un émolument judiciaire (art. 66 al. 1, 2ème phrase, LTF).
Par ces motifs, le Juge unique prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 30 septembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge unique: La Greffière:
Frésard von Zwehl