Sachverhalt:
A. Der 1972 geborene C._, dipl. Psychiatriepfleger, ist in der Klinik P._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 5. November 2001 meldete er dem Versicherer, er habe sich am 24. September 2001 bei der Arbeit an den Bandscheiben im cervicalen Bereich verletzt. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht und erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Am 17. Dezember 2001 konnte die Arbeit wieder vollumfänglich aufgenommen werden. Die Heilbehandlung wurde Ende Januar 2002 abgeschlossen. Am 9. Mai 2005 liess C._ am 29. April 2005 aufgetretene cervicale Bandscheibenprobleme, welche vom 2. Mai 2005 bis 10. Juli 2005 eine Arbeitsunfähigkeit begründeten, als Rückfall zum Ereignis vom 24. September 2001 melden. Nach Einholung von Arztberichten verneinte die SUVA mit Verfügung vom 26. September 2005 ihre Leistungspflicht für die neu gemeldeten Beschwerden. Daran hielt sie auf Einsprache des Versicherten hin fest. Sie führte dabei neu auch aus, schon das Ereignis vom 24. September 2001 habe bei richtiger Betrachtung keinen Unfall dargestellt. Auf eine Rückforderung der damals demnach zu Unrecht erbrachten Leistungen werde aber verzichtet (Einspracheentscheid vom 31. März 2006).
B. Die von C._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 14. Dezember 2006 ab.
C. C._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids sei die SUVA zu verpflichten, ab 29. April 2005 Versicherungsleistungen aus Rückfall zum Ereignis vom 24. September 2001 zu erbringen; eventuell sei die Sache zur Anordnung medizinischer Abklärungen und zum neuen Entscheid über die Leistungsberechtigung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (Art. 132 Abs. 1 BGG; BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aufgrund der am 9. Mai 2005 gemeldeten Rücken-/Schulterprobleme. Dabei besteht, nach Lage der medizinischen Akten zu Recht, Einigkeit darüber, dass diese Beschwerden in denselben cervicalen Diskushernien begründet liegen wie schon die früheren, ab 24. September 2001 aufgetretenen Beschwerden.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Es betrifft dies namentlich die Bestimmungen über den Unfallbegriff (Art. 4 ATSG in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 UVG) und die Leistungspflicht des Unfallversicherers im Grundfall sowie bei Rückfällen und Spätfolgen (Art. 6 Abs. 1 UVG; Art. 11 UVV) mit der dazu ergangenen Rechtsprechung, insbesondere auch zu den sich stellenden kausalen und beweisrechtlichen Fragen und unter besonderer Berücksichtigung der bei Diskushernien geltenden Grundsätze. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, die festgestellten Diskushernien seien (krankheitsbedingter) degenerativer Natur und nicht durch das Ereignis vom 24. September 2001 verursacht worden. Dieses habe lediglich vorübergehende Beschwerden aus den Bandscheibenschäden ausgelöst. Der Beschwerdeschub sei mit der Beendigung der Heilbehandlung Ende Januar 2002 abgeschlossen gewesen. Dass die am 9. Mai 2005 gemeldeten Beschwerden in einem kausalen Zusammenhang zum Ereignis vom 24. September 2001 stünden, sei nicht überwiegend wahrscheinlich, zumal in den dazwischen liegenden rund drei Jahren keine mit der Bandscheibenproblematik begründete Arbeitsunfähigkeit mehr bestanden habe.
3.2 Diese Beurteilung ist nach Lage der medizinischen Akten und im Lichte der Rechtsprechung zur Leistungspflicht des Unfallversicherers bei Beschwerden aus Diskushernien nicht zu beanstanden. Danach entspricht es im Bereich des Unfallversicherungsrechts einer medizinischen Erfahrungstatsache, dass praktisch alle Diskushernien bei Vorliegen degenerativer Bandscheibenveränderungen entstehen und ein Unfallereignis nur ausnahmsweise, unter besonderen Voraussetzungen, als eigentliche Ursache in Betracht fällt. Wird die Diskushernie durch den Unfall lediglich ausgelöst, nicht aber verursacht, übernimmt die Unfallversicherung den durch das Unfallereignis ausgelösten Beschwerdeschub, spätere Rezidive dagegen nur, wenn eindeutige Brückensymptome gegeben sind (RKUV 2000 Nr. U 379 S. 192 und Nr. U 378 S. 190; vgl. auch RKUV 2000 Nr. U 363 S. 45).
Soweit in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde geltend gemacht wird, das Ereignis vom 24. September 2001 habe die Diskushernien verursacht, kann ihr nicht gefolgt werden. Dies gilt namentlich auch, soweit sich der Versicherte auf die Aussagen des behandelnden Rheumatologen bezieht. Denn dieser bestätigte im Bericht vom 21. November 2001 ausdrücklich, dass die Degeneration der Bandscheiben sicher schon längere Zeit bestehe und es durch die abrupte Belastung (am 24. September 2001) zur Auslösung von Beschwerden gekommen sei. Das Ereignis vom 24. September 2001, welches als Auftreten eines plötzlichen Schmerzes beim Versuch, einen Patienten zu halten resp. vor einem Sturz zu bewahren, beschrieben wurde, erscheint im Übrigen auch objektiv nicht von genügender Schwere, um einen solchen Bandscheibenschaden herbeiführen zu können (vgl. RKUV 2000 Nr. U 379 S. 190; in AJP 2006 S. 877 zusammengefasstes und kommentiertes Urteil U 163/05 vom 3. Oktober 2005, E. 3.1 mit Hinweisen). Dass das weitere Ereignis vom 29. April 2005 die Diskushernien verursacht haben solle, wird - zu Recht - nicht geltend gemacht.
Entgegen der in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vertretenen Auffassung sind auch keine Brückensymptome ausgewiesen, welche gestatten würden, die ab 29. April 2006 aufgetretenen Beschwerden als Rezidiv des früheren Beschwerdeschubs zu betrachten. Dies ergibt sich schon daraus, dass die Diskushernienproblematik ab Dezember 2001 (Aufnahme der vollen Arbeitstätigkeit) resp. Januar 2002 (Abschluss Heilbehandlung) bis Ende April/Anfang Mai 2005 weder eine ärztlich bestätigte Arbeitsunfähigkeit noch die Notwendigkeit ärztlicher Behandlung begründete. Von den beantragten ergänzenden medizinischen Abklärungen ist mangels eines zu erwartenden entscheidrelevanten neuen Aufschlusses abzusehen.
4. Das kantonale Gericht hat sodann offen gelassen, ob das Ereignis vom 24. September 2001 überhaupt als Unfall im Rechtssinne zu betrachten wäre, und erwogen, unabhängig von der Beantwortung dieser Fragen seien die ab Ende April 2005 aufgetretenen Beschwerden nicht als Rückfall zum früheren Ereignis zu betrachten.
Das ist richtig. Die Annahme eines Rückfalls oder einer Spätfolge setzt voraus, dass ein früherer versicherter Unfall einen Gesundheitsschaden entweder verursacht oder richtunggebend verschlimmert hat und dies zumindest teilursächlich ist für die später erneut (Rückfall) oder neu (Spätfolge) auftretenden Beschwerden. Dies trifft hier nicht zu, bestand doch bereits der Grundfall lediglich in einem vorübergehenden Beschwerdeschub, ohne dass der diesem zugrunde liegende Gesundheitsschaden durch das damalige Ereignis verursacht oder richtunggebend beeinflusst wurde. Wiederholte vorübergehende Verschlimmerungen desselben unveränderten Grundleidens stellen nun aber zueinander keine Rückfälle oder Spätfolgen dar. Was in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde vorgetragen wird, führt zu keinem anderen Ergebnis. Namentlich muss die Verwendung des Begriffes Rückfall von ärztlicher Seite nicht bedeuten, dass es sich tatsächlich um einen Rückfall im Rechtssinne handelt.
5. Liegt nach dem Gesagten weder ein Rückfall noch eine Spätfolge zu einem früheren versicherten Unfall vor, kann sich eine Leistungspflicht der SUVA für den Ende April 2005 eingetretenen Beschwerdeschub nur ergeben, wenn dieser mit einem neuen, versicherten Unfallereignis zu erklären ist. Dabei gehen die Meinungen in der Beantwortung der Frage auseinander, ob das Ereignis vom 29. April 2005 einen Unfall im Rechtssinne darstellt. Eine - an teilweise abweichende begriffliche Voraussetzungen gebundene - unfallähnliche Körperverletzung (vgl. Art. 9 Abs. 2 UVV) steht zu Recht nicht zur Diskussion.
5.1 Unfall ist die plötzliche, nicht beabsichtigte schädigende Einwirkung eines ungewöhnlichen äusseren Faktors auf den menschlichen Körper, die eine Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit zur Folge hat (Art. 4 ATSG in der seit 1. Januar 2004 geltenden Fassung).
Das kantonale Gericht verneint den ungewöhnlichen äusseren Faktor. Es geht dabei davon aus, dass der Beschwerdeschub vom 29. April 2005 durch das Anheben einer Matratze ausgelöst wurde. Der Versicherte wendet ein, der Vorgang habe sich nicht so ereignet.
Das alleinige Anheben einer Matratze stellt in der Tat namentlich für eine in der Krankenpflege tätige Person einen alltäglichen, nicht ungewöhnlichen Vorgang dar, welcher den Unfallbegriff nicht erfüllt (vgl. BGE 116 V 136 E. 3b und c S. 139; Urteil U 533/06 vom 27. August 2007, E. 3.2). Es gilt zu prüfen, ob sich das Ereignis vom 29. April 2005, wie vom Beschwerdeführer geltend gemacht, anders abgespielt hat.
5.2 Aus den Akten ergibt sich Folgendes:
Eine erste Beschreibung des Vorgangs findet sich im Arztzeugnis des behandelnden Rheumatologen vom 17. Juni 2005. Darin ist vom Anheben einer Matratze die Rede. Die nächste Erwähnung findet sich im Zwischenbericht desselben Arztes vom 4. August 2005, wonach der Beschwerdeschub durch ein Verheben ausgelöst wurde. Damit wäre noch kein ungewöhnlicher äusserer Faktor dargetan.
Ein möglicher anderer Ablauf wird erstmals in der Einsprache des Versicherten gegen die Verfügung der SUVA vom 26. September 2005 erwähnt. Darin wird ausgeführt, der erneute Beschwerdeschub sei "auf ein ungeschicktes Anheben einer Matratze zurückzuführen. Dieses Anheben muss nicht dem normalen, üblichen Bewegungsablauf entsprochen haben, sondern ist auf eine 'unkoordinierte Bewegung' des Einsprechers zurückzuführen. Wäre dem nicht so, hätte er bereits früher die nun von ihm beschriebenen und medizinisch bestätigten Schulter- und Nackenschmerzen verspürt".
Diese Ausführungen zeigen, dass der Versicherte sich nicht an eine unkoordinierte Bewegung erinnern konnte. Seine Annahme, eine solche habe sich ereignet, beruht lediglich auf Vermutungen und einer Folgerung aufgrund der eingetretenen Beschwerden. Dies genügt nicht, um einen solchen Geschehensablauf als wahrscheinlich betrachten zu können, zumal auch keine anderweitigen Indizien hiefür vorliegen.
Im kantonalen Gerichtsverfahren ging der Beschwerdeführer dann vorbehaltlos davon aus, es habe eine unkontrollierte Bewegung stattgefunden. Daran hält er auch letztinstanzlich fest. Überzeugende Anhaltspunkte dafür, dass sich der Vorfall tatsächlich und nicht nur vermutungs- oder möglicherweise so zugetragen hat, werden aber nach wie vor nicht beigebracht. Unter diesen Umständen ist ein Unfallcharakter aufweisender Ereignisablauf mit der Vorinstanz als nicht wahrscheinlich anzusehen. Diese hat eine Leistungspflicht der SUVA für die ab 29. April 2005 aufgetretenen Beschwerden somit zu Recht verneint. Weiterungen zu der in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde einlässlich diskutierten, indessen nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildenden Leistungspflicht der SUVA aus dem Unfall vom 24. September 2001 erübrigen sich.
6. 6.1 Das Verfahren ist kostenfrei (Art. 134 OG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten ist daher gegenstandslos.
6.2 Die weiter beantragte Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung setzt voraus, dass der Prozess nicht aussichtslos erscheint, die Partei bedürftig und die anwaltliche Verbeiständung notwendig oder doch geboten ist (Art. 152 in Verbindung mit Art. 132 OG; BGE 125 V 201 E. 4a S. und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen). Bedürftig im Sinne von Art. 152 OG ist eine Person, wenn sie ohne Beeinträchtigung des für sie und ihre Familie nötigen Lebensunterhaltes nicht in der Lage ist, die Prozesskosten zu bestreiten (BGE 128 I 225 E. 2.5.1 S. 232, 127 I 202 E. 3b S. 205, 125 IV 161 E. 4a S. 164).
Der Versicherte lebt seit Jahren mit seiner Freundin zusammen. Es kann daher - mit Blick auf die Höhe des Grundbetrages - von einer gefestigten Haushaltsgemeinschaft ausgegangen werden. Auf der Ausgabenseite lässt er seinen Anteil am Mietzins von Fr. 896.- sowie Krankenkassenprämien von Fr. 380.50 und Steuern von Fr. 1020.- geltend machen. Wird der Grundbetrag von Fr. 775.- (Hälfte des Grundbetrages von gefestigten Haushaltsgemeinschaften) hinzugerechnet, resultiert ein Gesamtbetrag von Fr. 3071.50. Dem steht auf der Einnahmeseite der Monatslohn des Beschwerdeführers von durchschnittlich Fr. 5000.- gegenüber. Abzuzahlende Schulden werden keine geltend gemacht. Der monatliche Überschuss von demnach gut Fr. 1900.- genügt, um die Anwaltskosten decken zu können. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist daher, ohne dass die weiteren Voraussetzungen für deren Gewährung noch geprüft werden müssten, abzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
i.V. Widmer Lanz