Sachverhalt:
A. A._ war beim Kanton Wallis angestellt. Nach einer internen Reorganisation im Jahr 2008 kam es zu einer Zerrüttung des Vertrauensverhältnisses, was dazu führte, dass der Staatsrat des Kantons Wallis, nach vorgängiger Anhörung, an der Sitzung vom ... beschloss, das Dienstverhältnis für die Verwaltungsperiode 2010 bis 2013 nicht mehr zu erneuern.
Mit Schreiben an den Staatsrat vom 31. August 2009 kündigte A._ das Arbeitsverhältnis fristlos. Am 11. November 2009 verfügte dieser die Annahme der Kündigung per 31. August 2009 (Ziffer 1). Die im Kündigungsschreiben erhobenen Vorwürfe und Anschuldigungen wies er unter Hinweis auf den rechtskräftigen Staatsratsentscheid vom ... zurück (Ziffer 2). Einen ergänzenden Entscheid über allfällige administrative Nebenfragen (Regelung des Gleitzeitsaldos, des Ferienguthabens, der Überzeit usw.) wurde ausdrücklich vorbehalten (Ziffer 3). Dem Gesuch um Zustellung der Akten zum Staatsratsentscheid vom ... wurde nicht entsprochen (Ziffer 4). Das Departement X._ wurde eingeladen, ein Arbeitszeugnis auszustellen (Ziffer 5). Des Weitern enthielt die Verfügung eine Rechtsmittelbelehrung (Ziffer 6) und den Hinweis auf die Berechtigung des zuständigen Departements, die Stelle neu zu besetzen (Ziffer 7).
B. A._ beschwerte sich gegen die Verfügung vom 11. November 2009 beim Kantonsgericht Wallis. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 12. Mai 2010 ab, soweit es darauf eintrat.
C. A._ lässt dem Bundesgericht mit als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneter Eingabe beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, und die Sache sei an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Zudem sei von einer Publikation des Entscheids abzusehen.
Das Bundesgericht hat auf die Einholung von Vernehmlassungen verzichtet.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Art und Zulässigkeit des bei ihm eingereichten Rechtsmittels von Amtes wegen mit freier Kognition (BGE 8C_1065/2009 vom 31. August 2010 E. 1 mit Hinweisen).
2. 2.1 Angefochten ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), der ein öffentlich-rechtliches Dienstverhältnis und somit eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts im Sinne von Art. 82 lit. a BGG betrifft. Damit steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, sofern keiner der gesetzlichen Ausschlussgründe (Art. 83 BGG) vorliegt.
2.2 Gemäss Art. 83 lit. g BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse, wenn sie eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit, nicht aber die - vorliegend nicht zur Diskussion stehende - Gleichstellung der Geschlechter betreffen. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse ist sie nur dann zulässig, wenn der Streitwert nicht weniger als Fr. 15'000.- beträgt (Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG) oder wenn sich eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 85 Abs. 2 BGG). Letzteres hätte die Beschwerdeführerin darlegen müssen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Da sie dies unterliess, entscheidet sich die Zulässigkeit der Beschwerde danach, ob sie vermögensrechtlicher Natur ist und bejahendenfalls an der Streitwertgrenze. Der Streitwert bemisst sich bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, soweit darauf eingetreten werden konnte, wie sie vor Vorinstanz noch streitig waren (Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 8C_1065/2009 vom 31. August 2010 E. 1.3.1 mit Hinweisen).
2.2 Gemäss Art. 83 lit. g BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse, wenn sie eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit, nicht aber die - vorliegend nicht zur Diskussion stehende - Gleichstellung der Geschlechter betreffen. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet der öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisse ist sie nur dann zulässig, wenn der Streitwert nicht weniger als Fr. 15'000.- beträgt (Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG) oder wenn sich eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 85 Abs. 2 BGG). Letzteres hätte die Beschwerdeführerin darlegen müssen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Da sie dies unterliess, entscheidet sich die Zulässigkeit der Beschwerde danach, ob sie vermögensrechtlicher Natur ist und bejahendenfalls an der Streitwertgrenze. Der Streitwert bemisst sich bei Beschwerden gegen Endentscheide nach den Begehren, soweit darauf eingetreten werden konnte, wie sie vor Vorinstanz noch streitig waren (Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 8C_1065/2009 vom 31. August 2010 E. 1.3.1 mit Hinweisen).
2.3 2.3.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Streitsache sei zumindest in den wichtigsten Teilaspekten vermögensrechtlicher Natur, nachdem sie vor Vorinstanz beantragt habe, es sei die Pflicht des Staates zur Leistung von Schadenersatz und Genugtuung aufgrund des Fehlverhaltens seiner Organe festzustellen. In unmittelbarem Bezug dazu stünden die Anträge auf Feststellung der durch das unhaltbare und gesetzwidrige Verhalten der vorgesetzten Stelle verursachten Kündigung, der Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 2 und 4 des Entscheids des Staatsrats vom 11. November 2009 sowie das Begehren um Akteneinsicht.
2.3.2 Das kantonale Gericht ist auf den Antrag auf Feststellung, dass der Staat "aufgrund des Fehlverhaltens seiner Organe" zur Leistung von Schadenersatz und Genugtuung zu verpflichten sei, deren Höhe in einem separaten Verfahren noch zu beziffern sei, mangels sachlicher Zuständigkeit nicht eingetreten und hat die Beschwerdeführerin diesbezüglich auf den Zivilweg verwiesen. Entschädigungsfolgen bildeten nicht Gegenstand der dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegenden Verfügung des Staatsrats vom 11. November 2009. Das vorinstanzliche Nichteintreten wird von der Beschwerdeführerin in diesem Punkt zu Recht nicht bestritten.
2.3.3 Ebenfalls nicht eingetreten ist das Kantonsgericht auf das Rechtsbegehren, es sei zu erkennen, dass die fristlose Kündigung vom 31. August 2009 durch das "unhaltbare gesetzeswidrige Verhalten der Vorgesetztenstellen" verursacht worden sei. Seiner Auffassung nach ist nicht ersichtlich, inwiefern die Beurteilung dieses Feststellungsbegehrens die rechtliche oder tatsächliche Situation der Beschwerdeführerin unmittelbar zu ändern vermag. Eine Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV) oder Beschneidung der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) kann in diesem Vorgehen nicht erblickt werden. Gegenstand der Verfügung vom 11. November 2009 bildete die Annahme der fristlosen Kündigung der Beschwerdeführerin durch den Staatsrat sowie damit in Zusammenhang stehende Nebenpunkte (administrative Fragen, Akteneinsicht, Arbeitszeugnis, Neubesetzung der Stelle). Auf die im Schreiben vom 31. August 2009 erhobenen Einwände gegen seine unangefochten gebliebene Kündigung vom ... ging der Staatsrat unter Hinweis auf deren Rechtskraft nicht näher ein. Aus demselben Grund hatte sich auch das Kantonsgericht damit nicht zu befassen.
2.3.4 Mangels schutzwürdigen Interesses ist das Kantonsgericht sodann auch auf den Antrag nicht eingetreten, das Arbeitszeugnis sei aufgrund eines Interessenkonfliktes weder vom letzten Vorgesetzten noch vom Departementsvorsteher auszustellen. In der Verfügung vom 11. November 2009 wurde dispositivmässig lediglich das zuständige Departement eingeladen, der Beschwerdeführerin ein Arbeitszeugnis auszustellen. Die Beschwerdeführerin legt weder dar noch ist ersichtlich, inwiefern das vorinstanzliche Nichteintreten als rechtswidrig zu betrachten wäre.
2.3.5 Auf den Antrag auf Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 4 der Verfügung des Staatsrats vom 11. November 2009 (Ablehnung des Gesuchs um Zustellung der Akten zum Staatsratsentscheid vom ...) ist das kantonale Gericht mangels eines aktuellen Rechtsschutzinteresses nicht eingetreten, nachdem der Beschwerdeführerin die fraglichen Akten im erstinstanzlichen Gerichtsverfahren zugestellt worden waren. Soweit das Gesuch um Akteneinsicht somit Bezug zu einer vermögensrechtlichen Angelegenheit hatte, ist diesem entsprochen worden.
2.4 Somit verbleiben keine Anträge vermögensrechtlicher Natur, welche das Kantonsgericht hätte behandeln können. Mangels eines ausgewiesenen Streitwerts ist daher auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten.
3. 3.1 Es ist weiter zu prüfen, ob die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG entgegenzunehmen ist. Gemäss Art. 119 BGG kann dieses Rechtsmittel in der gleichen Rechtsschrift eingereicht werden wie die ordentliche Beschwerde, und es ist vom Bundesgericht im gleichen Verfahren zu behandeln.
3.2 Einziger Beschwerdegrund bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 115 ff. BGG) ist die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur, wenn diese gemäss den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG ausdrücklich vorgebracht und klar und detailliert begründet wird (BGE 134 V 138 E. 2.1 S. 143; 133 III 439 E. 3.2 S. 444).
3.3 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Anspruchs auf persönliche Freiheit (Art. 10 BV) und der Privatsphäre (Art. 13 BV, Art. 8 EMRK) sowie auf gerechte Behandlung im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV), wie auch eine Verletzung der Rechtsweggarantie (Art. 29a Abs. 2 BV) und des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV).
3.3.1 Das kantonale Gericht hat den Antrag auf ein generelles Publikationsverbot seines Entscheids unter Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (BGE 133 I 106) abgewiesen. Es hat jedoch zugesichert, dass der Entscheid vor einer allfälligen Publikation in angemessener Weise anonymisiert würde. Dass sich das Kantonsgericht nicht an diese Vorgaben gehalten hätte, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend. Soweit nicht ohnehin gegenstandslos geworden, erweist sich der Einwand daher als unbehelflich. Soweit die Beschwerdeführerin verlangt, die Publikation des bundesgerichtlichen Entscheids sei zu unterlassen, wird dem Persönlichkeitsschutz mittels Anonymisierung des Urteils auch im letztinstanzlichen Verfahren hinreichend Rechnung getragen.
3.3.2 Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, die Vorinstanz habe in Verletzung von Art. 10 Abs. 2 BV verkannt bzw. nicht berücksichtigt, dass die Verfügung des Staatsrats vom 11. November 2009 in ihren Erwägungen ehrverletzende Äusserungen enthalte, kann sie nicht gehört werden. Das Kantonsgericht ist auf sämtliche gegen die streitige Verfügung gerichteten materiellrechtlichen Begehren nicht eingetreten und hatte demzufolge keinen Anlass, diese auf die beanstandeten Äusserungen hin zu überprüfen. Mit Bezug auf das vorinstanzliche Nichteintreten trägt die Beschwerdeführerin unter dem Titel subsidiäre Verfassungsbeschwerde keine rechtsgenüglichen Verfassungsrügen vor. Insoweit ist dem Bundesgericht daher eine Überprüfung des angefochtenen Entscheids verwehrt.
3.3.3 Die Rüge der Verletzung des aus Art. 29 Abs. 1 BV abgeleiteten Anspruchs auf Beurteilung durch eine unbefangene und sachkundige Behörde bezieht sich auf die Ausstellung des Arbeitszeugnisses. Wie bereits erwähnt, ist das Kantonsgericht mangels schutzwürdigen Interesses auf die Beschwerde nicht eingetreten, soweit sie das Arbeitszeugnis betraf. Auch bezüglich dieses vorinstanzlichen Vorgehens fehlt es an einer Verfassungsrüge. Auf die gegen die Ausstellung des Arbeitszeugnisses gerichteten Einwände ist daher nicht weiter einzugehen.
3.3.4 Unter dem Titel Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BV beanstandet die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe entschieden, ohne die Replik abzuwarten. Das kantonale Gericht ging gemäss den Erwägungen des angefochtenen Entscheids davon aus, die Beschwerdeführerin habe ihr Recht auf Replik verwirkt. Nach Meinung der Beschwerdeführerin beruht diese Schlussfolgerung auf der falschen Annahme, sie habe das Schreiben vom 15. April 2010, mit welchem ihr die Frist zur Einreichung der Replik letztmals bis am 22. April 2010 erstreckt worden sei, vor diesem Datum erhalten. Sie unterlässt es jedoch, ihre von der Vorinstanz abweichende Sachverhaltsdarstellung mittels geeigneten Beweismitteln zu untermauern. Sie hätte zudem darlegen müssen, weshalb sie nicht in der Lage war, eine Drittperson mit ihrer Interessenwahrung zu beauftragen, nachdem sie aufgrund des hängigen Verfahrens mit Fristansetzungen des Kantonsgerichts hatte rechnen müssen. Das Arztzeugnis vom 23. April 2010 reicht dafür jedenfalls nicht aus. Weil somit nicht von einer in Verletzung verfassungsmässiger Rechte ergangenen Sachverhaltsfeststellung durch das kantonale Gericht ausgegangen werden kann (Art. 118 Abs. 2 BGG), erweist sich auch der Einwand der Verletzung des rechtlichen Gehörs als unbegründet.
3.3.5 Das rechtliche Gehör sieht die Beschwerdeführerin auch deshalb verletzt, weil ihr der Staatsrat die Akten zum Entscheid vom ... nicht zugestellt hatte. Ein aktuelles Interesse an dieser Rüge ist nicht ersichtlich, nachdem das kantonale Gericht Einsicht in die Akten gewährt und eine allfällige Verletzung des rechtlichen Gehörs somit geheilt hat.
4. Nach dem Ausgeführten ist auf die Eingabe als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten. Als subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist sie abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. Oktober 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Die Gerichtsschreiberin:
Leuzinger Hofer