Erwägungen:
1. X._ hatte seit Jahren psychische Probleme; es war gegen sie mehrmals fürsorgerischer Freiheitsentzug angeordnet worden. Der sie behandelnde Arzt, Dr. med. Z._, ersuchte am 28. Juni 2009 das Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau darum, ihn vom Berufsgeheimnis zu befreien, um die für Soziales und Gesundheit zuständige Gemeinderätin von Gachnang sowie den Externen Psychiatrischen Dienst der Spital Thurgau AG darüber informieren zu können, dass seine Patientin die Medikamente nicht mehr zu sich nehme, was früher jeweilen zu einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes und auch zu Gewaltbereitschaft geführt habe. Das Departement entsprach dem Gesuch am 1. Juli 2009.
Mit Entscheid vom 25. November 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die gegen die Departementsverfügung erhobene Beschwerde ab (Ziffer 1 des Entscheiddispositivs), wobei es die Kosten wegen (im verwaltungsgerichtlichen Verfahren geheilter) Gehörsverweigerung dem Kanton auferlegte und diesen zur Bezahlung einer Parteientschädigung an X._ verpflichtete (Ziffern 2 und 3 des Entscheiddispositivs).
Mit durch den ursprünglich von X._ mandatierten Rechtsanwalt verfasster Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. Januar 2010 wird dem Bundesgericht hauptsächlich beantragt, Ziffer 1 des Entscheids des Verwaltungsgerichts aufzuheben und das Gesuch von Dr. med. Z._ auf Entbindung vom Berufsgeheimnis abzulehnen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht wird um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Im Rahmen des Schriftenwechsels teilte der Beschwerdegegner am 28. Januar 2010 mit, dass die Beschwerdeführerin, seine Patientin, am 9. Oktober 2009 Selbstmord begangen habe, in ihre ehemalige Heimat Irak repatriiert und dort begraben worden sei. Auf diese Umstände wies auch die Vorinstanz in ihrer Stellungnahme hin. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wurde am 29. Januar 2010 aufgefordert, sich dazu sowie über den weiteren Verfahrensverlauf zu äussern. In seiner Stellungnahme vom 19. Februar 2010 erklärt dieser, dass ihm der Todesfall seitens der Behörde "auf Nachfrage" bestätigt worden sei; er sei zuvor "seitens der Behörde vom Todesfall nicht in Kenntnis gesetzt" worden; "ohne anderweitigen Bescheid von X._ habe (er) den abweisenden Entscheid des Verwaltungsgerichts ... mit der vorliegenden Beschwerde angefochten", auf die einzutreten und die gutzuheissen er dem Bundesgericht beantragt; zugleich wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege vervollständigt.
2. 2.1 Gemäss Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Die Beschwerdelegitimation setzt grundsätzlich ein aktuelles Rechtsschutzinteresse voraus, und das Bundesgericht sieht von diesem Erfordernis bloss unter einschränkenden Voraussetzungen ab (vgl. BGE 135 I 79 E. 1.1 S. 81; 131 II 670 E. 1.2 S. 673 f.).
2.2 Die Beschwerdeführerin war zum Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung durch ihren Rechtsvertreter schon seit gut dreieinhalb Monaten tot. Worin ihr Interesse (bzw. allenfalls ein Interesse ihrer Kinder als Erben) an der Behandlung der Beschwerde liegen könnte, ist schwer erkennbar; namentlich hat der Beschwerdegegner, der um Entbindung vom Berufsgeheimnis ersucht hatte, in Berücksichtigung der damit verfolgten Ziele keinen Anlass mehr, Informationen über den Gesundheitszustand seiner ehemaligen Patientin weiterzugeben. War die Beschwerdelegitimation nicht ohne Weiteres klar, hätte der Vertreter der Beschwerdeführerin angesichts der in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG statuierten Begründungspflicht, welcher grundsätzlich innerhalb der Beschwerdefrist nachzukommen ist, spezifisch darlegen müssen, warum bzw. inwiefern ein Interesse an der Behandlung der Beschwerde fortbesteht (BGE 133 II 249 E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356). Er hat dies unterlassen. Dieser prozessuale Mangel lässt sich nicht damit entschuldigen, dass er zum Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung um den Tod seiner Klientin nicht gewusst haben will:
Der Anwalt ist gehalten, die konkreten Interessen seiner Klienten wahrzunehmen, was eine Kontaktnahme mit der Klientschaft in einem den jeweiligen aktuellen Verhältnissen angepassten Mass erfordert. Vorliegend war für den Rechtsstreit gerade der wenig stabile Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin von Bedeutung, wovon ihr Vertreter - offensichtlich - selber ausgeht. Er hätte sich daher im Laufe des Verfahrens in geeigneter Weise zumindest rudimentär darüber ins Bild setzen und die aktuellen Bedürfnisse der Beschwerdeführerin eruieren müssen. Dass er nicht so vorgegangen ist, ergibt sich aus seiner abschliessenden Stellungnahme an das Verwaltungsgericht vom 12. November 2009, worin er, zwei Monate nach dem Tod der Beschwerdeführerin, darüber berichtete, dass es ihr "bis heute, November 2009, besser als je zuvor geht". Spätestens nach Zustellung des verwaltungsgerichtlichen Entscheids am 8. Dezember 2009 hätte er versuchen müssen, der Beschwerdeführerin dessen Inhalt zu erläutern und mit ihr die Notwendigkeit einer Weiterziehung ans Bundesgericht zu erörtern, wovon er in den weiteren fast sieben Wochen bis zur Beschwerdeerhebung am 25. Januar 2010 abgesehen hat. Das Wissen um den Tod seiner Klientin zum Zeitpunkt der Einreichung der vorliegenden Beschwerde ist ihm zuzurechnen.
Auf die Beschwerde kann somit schon darum nicht eingetreten werden, weil die Beschwerdeschrift hinsichtlich einer entscheidenden Eintretensvoraussetzung offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Ohnehin wären die Voraussetzungen, um ausnahmsweise vom Erfordernis des aktuellen Rechtsschutzinteresses abzusehen, vorliegend schon darum nicht erfüllt, weil es keine grundlegende Rechtsfrage zu beantworten gilt, die kaum je rechtzeitiger bundesgerichtlicher Prüfung zugeführt werden könnte (BGE 133 II 670 E. 1.2 S. 674). Die Beschwerde wäre denn auch offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG).
2.3 Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Mit diesem instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.4 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann unter den gegebenen Umständen schon wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Der diesbezügliche Entscheid obliegt dem Abteilungspräsidenten als Einzelrichter (vgl. Art. 64 Abs. 3 zweiter Satz BGG).
2.5 Gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG werden die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt. Weiter bestimmt Art. 66 Abs. 3 BGG, dass unnötige Kosten zu bezahlen hat, wer sie verursacht; diese Bestimmung bezweckt den Ausgleich der schuldhaften Verursachung unnötigen Aufwands, was im Interesse an einem geordneten Gang der Rechtspflege liegt (vgl. Urteil 2P.295/1999 vom 22. März 2000 E. 2 betreffend die Kostenauflage an einen Rechtsanwalt gestützt auf die ähnlich lautende Norm eines kantonalen Verfahrenserlasses).
Das Bundesgericht auferlegt die Gerichtskosten gestützt auf Art. 66 Abs. 3 BGG, gleich wie früher gestützt auf die gleichlautende Regel von Art. 156 Abs. 6 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (Bundesrechtspflegegesetz, OG), ausnahmsweise einem Parteivertreter, wenn dieser schon bei Beachtung minimalster beruflicher Sorgfalt von der erfolglosen Art der Prozessführung abgesehen hätte (vgl. Urteil 2C_758/2009 vom 18. November 2009 mit Hinweisen; BGE 129 IV 206 E. 2 S. 207 f. zu Art. 156 Abs. 6 OG).
Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass der Nichteintretensentscheid ausschliesslich auf das den Verhältnissen in keiner Weise angepasste Prozedere des Vertreters der Beschwerdeführerin zurückzuführen ist. Es rechtfertigt sich daher, die Gerichtskosten gestützt auf Art. 63 Abs. 3 BGG ihm aufzuerlegen.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden Rechtsanwalt Y._, auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. April 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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