Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Mit Entscheid vom 25. Februar 2002 entzog der Regierungsrat des Kantons Solothurn dem als freiberuflicher Notar tätigen A._ gestützt auf den Umstand, dass gegen ihn 18 definitive Verlustscheine im Gesamtbetrag von rund Fr. 59'000.-- (im Wesentlichen Forderungen der öffentlichen Hand) ausgestellt werden mussten, mit sofortiger Wirkung die Bewilligung zur Berufsausübung als Notar. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies eine dagegen erhobene Beschwerde am 8. Mai 2003 ab.
1.2 Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 16. Juni 2003 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Streitsache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen; überdies ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn stellt für den Regierungsrat den Antrag, das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie die Beschwerde seien abzuweisen.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn stellt für den Regierungsrat den Antrag, das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie die Beschwerde seien abzuweisen.
2. 2.1 Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen letztinstanzlichen Endentscheid, der sich ausschliesslich auf kantonales Recht stützt. Da die behauptete Rechtsverletzung nicht sonstwie durch Klage oder Rechtsmittel beim Bundesgericht oder einer anderen Bundesbehörde gerügt werden kann und der Beschwerdeführer als direkter Adressat des angefochtenen Entscheids davon in rechtlich geschützten Interessen berührt und damit zur Beschwerdeerhebung berechtigt ist, erweist sich die staatsrechtliche Beschwerde grundsätzlich als zulässig (vgl. insbes. Art. 84, 86 und 88 OG).
2.2 Die staatsrechtliche Beschwerde ist von hier nicht zutreffenden Ausnahmen abgesehen rein kassatorischer Natur (BGE 127 II 1 E. 2c S. 5, mit Hinweis). Auf den Antrag auf Rückweisung der Sache an das Verwaltungsgericht ist somit nicht einzutreten.
3. 3.1 Wie der Beschwerdeführer selber einräumt, kann er sich für seine Tätigkeit als freiberuflicher Notar nicht auf die Wirtschaftsfreiheit nach Art. 27 BV berufen (vgl. BGE 128 I 280 E. 3 S. 281 f., mit Hinweisen). Er macht demgegenüber ein "Grundrecht auf individuelle Selbstbestimmung" geltend, ohne ausdrücklich eine bestimmte Norm der Bundesverfassung oder der Verfassung des Kantons Solothurn vom 8. Juni 1986 (KV) anzurufen.
3.2 Weder in der Bundesverfassung noch in der Verfassung des Kantons Solothurn findet sich denn auch ein als "Grundrecht auf individuelle Selbstbestimmung" bezeichnetes verfassungsmässiges Recht. Mit dem Verwaltungsgericht ist daher davon auszugehen, dass sich der Beschwerdeführer auf das Grundrecht der persönlichen Freiheit gemäss Art. 10 Abs. 2 BV bzw. Art. 8 Abs. 1 KV, eventuell auf das Grundrecht auf Schutz der Privatsphäre nach Art. 13 Abs. 1 BV bzw. Art. 8 Abs. 2 KV beruft. Diese Grundrechte können ihm aber nicht einen Schutz auf Ausübung einer Erwerbstätigkeit vermitteln, wo der Schutz der Wirtschaftsfreiheit versagt. Die persönliche Freiheit garantiert zwar elementare Persönlichkeitsentfaltungen, namentlich wo der Schutz anderer Grundrechte nicht greift, sie ersetzt aber nicht die Wirtschaftsfreiheit, wo diese gerade nicht gilt, weil es sich wie vorliegend bei der fraglichen Berufsausübung um eine hoheitliche Tätigkeit handelt. Analoges gilt für den Schutz der Privatsphäre: Die Zulassung zur fraglichen Erwerbstätigkeit fällt nicht unter den entsprechenden Schutzbereich.
3.2 Weder in der Bundesverfassung noch in der Verfassung des Kantons Solothurn findet sich denn auch ein als "Grundrecht auf individuelle Selbstbestimmung" bezeichnetes verfassungsmässiges Recht. Mit dem Verwaltungsgericht ist daher davon auszugehen, dass sich der Beschwerdeführer auf das Grundrecht der persönlichen Freiheit gemäss Art. 10 Abs. 2 BV bzw. Art. 8 Abs. 1 KV, eventuell auf das Grundrecht auf Schutz der Privatsphäre nach Art. 13 Abs. 1 BV bzw. Art. 8 Abs. 2 KV beruft. Diese Grundrechte können ihm aber nicht einen Schutz auf Ausübung einer Erwerbstätigkeit vermitteln, wo der Schutz der Wirtschaftsfreiheit versagt. Die persönliche Freiheit garantiert zwar elementare Persönlichkeitsentfaltungen, namentlich wo der Schutz anderer Grundrechte nicht greift, sie ersetzt aber nicht die Wirtschaftsfreiheit, wo diese gerade nicht gilt, weil es sich wie vorliegend bei der fraglichen Berufsausübung um eine hoheitliche Tätigkeit handelt. Analoges gilt für den Schutz der Privatsphäre: Die Zulassung zur fraglichen Erwerbstätigkeit fällt nicht unter den entsprechenden Schutzbereich.
4. 4.1 Steht der Beschwerdeführer nicht unter dem Schutz eines Grundrechts, gelten auch nicht die strengen Voraussetzungen für Grundrechtseingriffe gemäss Art. 36 BV. Insbesondere kommt es nicht darauf an, ob allenfalls ein schwerer Eingriff vorliegt, der in einem (formellen) Gesetz vorgesehen sein müsste.
4.2 Das ändert freilich nichts daran, dass der verfügte Bewilligungsentzug nach der allgemeinen Vorschrift von Art. 5 Abs. 1 BV auf einer genügenden rechtlichen Grundlage beruhen muss. Dafür kann aber eine solche im Verordnungsrecht genügen, deren Auslegung und Anwendung das Bundesgericht im vorliegenden Zusammenhang lediglich auf Willkür überprüft. Der angefochtene Entscheid beruht auf der solothurnischen Notariatsverordnung vom 21. August 1959, insbesondere auf deren Art. 4 Abs. 2 Bst. b, wonach die vom Regierungsrat zu erteilende Bewilligung zur Ausübung des Berufs als Notar unter anderem voraussetzt, dass der Bewerber nicht zahlungsunfähig ist. Ist dies Bedingung zur Erteilung der Bewilligung, erscheint es vertretbar, darin auch eine Grundlage für den Entzug der Bewilligung zu sehen, wenn die Zahlungsunfähigkeit nachträglich eintritt. Die Notariatsverordnung beruht im Übrigen auf einer entsprechenden Delegation in § 11 des solothurnischen Gesetzes vom 4. April 1954 über die Einführung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches. Dabei handelt es sich zwar um eine eher weit gefasste Delegationsnorm; der Beschwerdeführer macht aber nicht geltend, die Verordnung sei gemessen an der kantonalen Zuständigkeitsordnung kompetenzwidrig ergangen bzw. verstosse gegen den Grundsatz der Gewaltenteilung, weshalb dies vom Bundesgericht nicht zu prüfen ist.
4.2 Das ändert freilich nichts daran, dass der verfügte Bewilligungsentzug nach der allgemeinen Vorschrift von Art. 5 Abs. 1 BV auf einer genügenden rechtlichen Grundlage beruhen muss. Dafür kann aber eine solche im Verordnungsrecht genügen, deren Auslegung und Anwendung das Bundesgericht im vorliegenden Zusammenhang lediglich auf Willkür überprüft. Der angefochtene Entscheid beruht auf der solothurnischen Notariatsverordnung vom 21. August 1959, insbesondere auf deren Art. 4 Abs. 2 Bst. b, wonach die vom Regierungsrat zu erteilende Bewilligung zur Ausübung des Berufs als Notar unter anderem voraussetzt, dass der Bewerber nicht zahlungsunfähig ist. Ist dies Bedingung zur Erteilung der Bewilligung, erscheint es vertretbar, darin auch eine Grundlage für den Entzug der Bewilligung zu sehen, wenn die Zahlungsunfähigkeit nachträglich eintritt. Die Notariatsverordnung beruht im Übrigen auf einer entsprechenden Delegation in § 11 des solothurnischen Gesetzes vom 4. April 1954 über die Einführung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches. Dabei handelt es sich zwar um eine eher weit gefasste Delegationsnorm; der Beschwerdeführer macht aber nicht geltend, die Verordnung sei gemessen an der kantonalen Zuständigkeitsordnung kompetenzwidrig ergangen bzw. verstosse gegen den Grundsatz der Gewaltenteilung, weshalb dies vom Bundesgericht nicht zu prüfen ist.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung des Diskriminierungsverbots. Nach § 9 Abs. 2 der Notariatsverordnung hätten die Betreibungs- und Konkursämter dem Justiz-Departement Meldung zu erstatten, wenn Verlustscheine gegen Notare ausgestellt würden. Als im Kanton Solothurn wohnhafter Notar sei er davon betroffen gewesen, wohingegen die gleiche gesetzliche Anordnung bei freiberuflichen Notaren mit Geschäftsdomizil im Kanton Solothurn, aber Wohnsitz (und Betreibungsdomizil) ausserhalb des Kantons nicht greife.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung des Diskriminierungsverbots. Nach § 9 Abs. 2 der Notariatsverordnung hätten die Betreibungs- und Konkursämter dem Justiz-Departement Meldung zu erstatten, wenn Verlustscheine gegen Notare ausgestellt würden. Als im Kanton Solothurn wohnhafter Notar sei er davon betroffen gewesen, wohingegen die gleiche gesetzliche Anordnung bei freiberuflichen Notaren mit Geschäftsdomizil im Kanton Solothurn, aber Wohnsitz (und Betreibungsdomizil) ausserhalb des Kantons nicht greife.
5.2 Es trifft zu, dass die Meldepflicht wegen des Territorialitätsprinzips nur für die Konkurs- und Betreibungsämter des Kantons Solothurn gilt. Die entsprechende unterschiedliche Behandlung stellt jedoch offensichtlich keine herabwürdigende Verhaltensweise dar, die unter den Schutz des Diskriminierungsverbots nach Art. 8 Abs. 2 BV fällt. Aber auch unter dem Gesichtspunkt des allgemeinen Rechtsgleichheitsgebots nach Art. 8 Abs. 1 BV handelt es sich nicht um eine unzulässige Ungleichbehandlung, liegt deren Ursache vorliegend doch in der föderalistischen Struktur der Schweiz und dem damit verbundenen Territorialitätsprinzip. Die gerügte Ungleichbehandlung beruht mithin auf ernsthaften sachlichen Gründen.
5.2 Es trifft zu, dass die Meldepflicht wegen des Territorialitätsprinzips nur für die Konkurs- und Betreibungsämter des Kantons Solothurn gilt. Die entsprechende unterschiedliche Behandlung stellt jedoch offensichtlich keine herabwürdigende Verhaltensweise dar, die unter den Schutz des Diskriminierungsverbots nach Art. 8 Abs. 2 BV fällt. Aber auch unter dem Gesichtspunkt des allgemeinen Rechtsgleichheitsgebots nach Art. 8 Abs. 1 BV handelt es sich nicht um eine unzulässige Ungleichbehandlung, liegt deren Ursache vorliegend doch in der föderalistischen Struktur der Schweiz und dem damit verbundenen Territorialitätsprinzip. Die gerügte Ungleichbehandlung beruht mithin auf ernsthaften sachlichen Gründen.
5.3 Schliesslich macht der Beschwerdeführer sinngemäss eine Verletzung des Willkürverbots nach Art. 9 BV geltend. Der angefochtene Entscheid erweist sich indes nicht als unhaltbar. Zwar wird nicht verkannt, dass eine mögliche Ursache der Verschuldung in tragischen Zusammenhängen, namentlich im frühen Tod der Ehefrau und der damit verbundenen Mehrbelastung des Beschwerdeführers als Vater von fünf Kindern liegt. Angesichts der erheblichen Verschuldung und des Umstands, dass dem Beschwerdeführer zunächst eine mehrmonatige und später noch erstreckte Frist eingeräumt worden ist, um seine Finanzen in Ordnung zu bringen, ist der Bewilligungsentzug aber verhältnismässig. Die öffentlichen Interessen am Schutz der Klienten sind erheblich und überwiegen die privaten Interessen des Beschwerdeführers. Nur der Ergänzung halber sei darauf hingewiesen, dass sich seine Finanzlage inzwischen weiter verschlechtert zu haben scheint und gegen ihn nunmehr offenbar auch Verlustscheine für Forderungen von Privatpersonen ausgestellt werden mussten.
5.3 Schliesslich macht der Beschwerdeführer sinngemäss eine Verletzung des Willkürverbots nach Art. 9 BV geltend. Der angefochtene Entscheid erweist sich indes nicht als unhaltbar. Zwar wird nicht verkannt, dass eine mögliche Ursache der Verschuldung in tragischen Zusammenhängen, namentlich im frühen Tod der Ehefrau und der damit verbundenen Mehrbelastung des Beschwerdeführers als Vater von fünf Kindern liegt. Angesichts der erheblichen Verschuldung und des Umstands, dass dem Beschwerdeführer zunächst eine mehrmonatige und später noch erstreckte Frist eingeräumt worden ist, um seine Finanzen in Ordnung zu bringen, ist der Bewilligungsentzug aber verhältnismässig. Die öffentlichen Interessen am Schutz der Klienten sind erheblich und überwiegen die privaten Interessen des Beschwerdeführers. Nur der Ergänzung halber sei darauf hingewiesen, dass sich seine Finanzlage inzwischen weiter verschlechtert zu haben scheint und gegen ihn nunmehr offenbar auch Verlustscheine für Forderungen von Privatpersonen ausgestellt werden mussten.
6. 6.1 Die staatsrechtliche Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 36a OG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1, Art. 153 und 153a OG).
6.2 Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. August 2003
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: