Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachts der vorsätzlichen Tötung und weiterer Delikte. Mit Eingabe an die Staatsanwaltschaft vom 2. August 2011 beantragte der Beschuldigte, diverse Dokumente (insbesondere Einvernahmeprotokolle) wegen angeblicher Unverwertbarkeit aus den Akten zu entfernen bzw. unkenntlich zu machen. Mit Verfügung vom 19. August 2011 gab die Staatsanwaltschaft dem Verfahrensantrag keine Folge. Die Eingabe vom 2. August 2011 wurde (zuhanden des erkennenden Sachrichters) zu den Untersuchungsakten genommen.
B. Gegen die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 19. August 2011 erhob der Beschuldigte am 1. September 2011 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Dabei stellte er (im Sinne einer vorsorglichen Massnahme) den prozessleitenden Antrag, die Staatsanwaltschaft sei vom Obergericht unverzüglich anzuweisen, mit der Überweisung der fraglichen Akten an das erstinstanzliche Strafgericht bis zum definitiven Beschwerdeentscheid (über die beantragte Entfernung von Beweismitteln aus den Akten) zuzuwarten. Mit verfahrensleitender Verfügung vom 13. September 2011 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen, Vizepräsident, die beantragte vorsorgliche Massnahme ab. Gleichzeitig setzte es den Privatklägern und der Staatsanwaltschaft Fristen an, um zur hängigen Beschwerde Stellung zu nehmen.
C. Gegen die verfahrensleitende Verfügung vom 13. September 2011 des Obergerichtes gelangte X._ mit Beschwerde vom 14. Oktober 2011 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides.
Die Staatsanwaltschaft beantragt mit Stellungnahme vom 7. November 2011 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das Obergericht liess sich am 31. Oktober 2011 vernehmen. Der Beschwerdeführer replizierte am 18. November 2011.
Erwägungen:
1. Die streitige erstinstanzliche Verfügung datiert vom 19. August 2011, der angefochtene verfahrensleitende Entscheid vom 13. September 2011. Damit ist hier die am 1. Januar 2011 in Kraft getretene Schweizerische StPO anwendbar (Art. 454 Abs. 1 StPO).
2. In der Beschwerdeschrift ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG). Zu den gesetzlichen Substanzierungserfordernissen gehört, dass der Beschwerdeführer sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides inhaltlich auseinandersetzt und nicht bloss auf frühere Rechtsschriften verweist oder diese integral in die Beschwerdeschrift kopiert (BGE 134 I 303 E. 1.3 S. 306 mit Hinweisen; vgl. Laurent Merz, Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl., Basel 2011, Art. 42 N. 52 f., 56 f., mit Hinweisen auf die bundesgerichtliche Praxis).
Die Beschwerdeschrift genügt diesen Anforderungen grossteils nicht. Sie enthält über weite Strecken (S. 9-22) wörtlich identische Vorbringen, die schon der Vorinstanz unterbreitet worden waren. Diesbezüglich setzt sich der Beschwerdeführer mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides nicht substanziiert auseinander.
3. Soweit die wesentlichen Sachurteilsvoraussetzungen (von Art. 78 ff BGG) nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich werden, obliegt es dem Beschwerdeführer grundsätzlich auch darzulegen, inwiefern sie erfüllt sind (vgl. BGE 136 IV 92 E. 4 S. 95, E. 4.2 S. 96; 133 II 249 E. 1.1 S. 251; 353 E. 1 S. 356). Es kann offen bleiben, ob die Beschwerdeschrift diesen Anforderungen genügt.
3.1 Als oberste rechtsprechende Behörde des Bundes soll sich das Bundesgericht in der Regel nur einmal mit der gleichen Streitsache befassen müssen. Nach ständiger Praxis zu Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ist ein Vor- oder Zwischenentscheid daher nur ausnahmsweise anfechtbar, sofern ein konkreter rechtlicher Nachteil droht, der auch durch einen (für die rechtsuchende Partei günstigen) Endentscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte (BGE 136 IV 92 E. 4 S. 95; 135 I 261 E. 1.2 S. 263; je mit Hinweisen). Zwischenentscheide sind grundsätzlich mit Beschwerde gegen den Endentscheid anzufechten, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken (Art. 93 Abs. 3 BGG).
3.2 In der angefochtenen prozessleitenden Verfügung hat die Vorinstanz den Antrag des Beschwerdeführers abgewiesen, es seien (im Vorverfahren bzw. vorsorglich im Rahmen des hängigen kantonalen Beschwerdeverfahrens) Beweismittel aus den Akten zu entfernen, bzw. es sei die Staatsanwaltschaft anzuweisen, mit der Überweisung der fraglichen Akten an das erstinstanzliche Strafgericht bis zum definitiven Beschwerdeentscheid des Obergerichtes zuzuwarten. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers liegt im blossen Umstand, dass der Sachrichter von angeblich unverwertbaren Beweismitteln Kenntnis nehmen könnte, kein Rechtsnachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG. Vielmehr kann es gerade die Aufgabe des erkennenden Gerichtes sein, geltend gemachte Beweisverwertungsverbote zu prüfen. Vor der rechtskräftigen Beurteilung sieht das Gesetz denn auch keine definitive Entfernung oder Unkenntlichmachung von Beweismitteln vor, deren Verwertbarkeit bloss streitig ist (vgl. Art. 141 Abs. 5 StPO). Die vom Beschwerdeführer verlangte "Bereinigung" der Akten im Untersuchungsverfahren käme erst dann in Frage, wenn das Obergericht die Unverwertbarkeit von Beweismitteln feststellt. Die in diesem Zusammenhang aufgeworfenen strafprozessualen Fragen sind nicht schon im jetzigen Verfahrensstadium durch das Bundesgericht zu beurteilen (vgl. BGE 136 IV 92 E. 4.1 S. 95 f. mit Hinweis). Die erhobenen Einwände gegen die Verwertbarkeit von Beweismitteln bilden Gegenstand des hängigen kantonalen Beschwerdeverfahrens. Im Falle einer Anklageerhebung stünde es dem Beschwerdeführer zudem frei, seine Argumente (nötigenfalls) nochmals dem Sachrichter vorzulegen.
4. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Mit diesem Entscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde hinfällig.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Er befindet sich seit längerer Zeit in Untersuchungshaft und ist amtlich verteidigt. Seine finanzielle Bedürftigkeit erscheint ausreichend dargetan. Das Gesuch kann bewilligt werden (Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen:
2.1 Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2 Dem amtlichen Verteidiger des Beschwerdeführers, Roger Gebhard, wird für das Verfahren vor Bundesgericht aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, Vizepräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Dezember 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster