Erwägungen:
1.
Der 1974 geborene türkische Staatsangehörige A._ heiratete Ende 1991 in der Türkei eine in der Schweiz niedergelassene Landsfrau und reiste im März 1992 zu ihr in die Schweiz ein, worauf er - im Kanton Thurgau - eine Aufenthaltsbewilligung erhielt; das Ehepaar hat zwei Kinder, geb. 1993 und April 1997. Beide Kinder sind heute volljährig; sie haben gleich wie ihre Mutter die Niederlassungsbewilligung. Am 13. Februar 2002 lehnte die zuständige Thurgauer Behörde namentlich wegen Straffälligkeit und Nichtbewährung auf dem Arbeitsmarkt eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ ab und wies ihn für fünf Jahre aus der Schweiz aus, wogegen dieser erfolglos den Rechtsmittelweg beschritt (s. Urteil des Bundesgerichts 2A.411/2002 vom 29. November 2002).
Nach im Mai 2003 in der Türkei ausgesprochener Scheidung heiratete A._ in seiner Heimat im Sommer 2003 eine Schweizer Bürgerin, mit welcher zusammen er eine 2004 geborene Schweizer Tochter hat.
Am 27. Juli 2008 reiste A._ wieder in die Schweiz ein; es wurde ihm bis 26. Juli 2009 der Aufenthalt im Kanton St. Gallen bewilligt. Die Ehegemeinschaft wurde indessen nicht aufgenommen, und das Migrationsamt des Kantons St. Gallen widerrief am 26. Juni 2009 die (kurz darauf ohnehin auslaufende) Aufenthaltsbewilligung. Die Ehe wurde am 26. November 2009 geschieden. Am 22. Januar 2010 heiratete A._ wiederum seine erste Ehefrau und am 10. Juni 2010 wurde ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. Mit Verfügung vom 29. Oktober 2012 lehnte das Migrationsamt des Kantons St. Gallen eine nochmalige Bewilligungsverlängerung ab und setzte eine Ausreisefrist an (Wegweisung). Der dagegen erhobene Rekurs an das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen blieb erfolglos, und mit Entscheid vom 24. März 2015 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die gegen den Rekursentscheid vom 6. November 2013 erhobene Beschwerde ab.
Mit als "Rekurs zum Entscheid vom 24. März 2015" betitelter, als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegengenommener Eingabe vom 23. April 2015, erklärt A._ dem Bundesgericht, dem Inhalt des verwaltungsgerichtlichen Entscheids vehement widersprechen zu wollen. Am 2. Mai 2015 hat er aufforderungsgemäss den angefochtenen Entscheid nachgereicht; im Begleitschreiben äussert er sich ergänzend zu seiner persönlichen Situation und beantragt sinngemäss die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um vorsorgliche Aufenthaltsgestattung (aufschiebende Wirkung) gegenstandslos.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht (schweizerisches Recht, vgl. Art. 95 BGG) verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Besonderes gilt hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Diese sind für das Bundesgericht verbindlich, es sei denn, die Partei zeige auf, dass sie qualifiziert falsch oder in Verletzung von Verfahrensvorschriften getroffen worden sind; entsprechende Mängel sind spezifisch geltend zu machen und zu begründen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und Art. 97 Abs. 1 BGG; dazu BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266; 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen), sofern sie nicht ins Auge springen (vgl. Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.2. Das Verwaltungsgericht begründet die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers damit, dass sein grundsätzlicher Bewilligungsanspruch nach Art. 43 AuG wegen Vorliegens von Widerrufsgründen nach Art. 62 AuG gemäss Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG erloschen sei. Es legt unter Schilderung der persönlichen Umstände des Beschwerdeführers (und seiner Familie) dar, dass und inwiefern er die Widerrufsgründe von Art. 62 lit. a AuG (E. 3.1), Art. 62 lit. e AuG (E. 3.3) und Art. 62 lit. c AuG (E. 3.3) gesetzt habe. In E. 4 geht es der Frage der Verhältnismässigkeit der Bewilligungsverweigerung nach, wobei es sich insbesondere mit Art. 8 EMRK (E. 4.3) befasst und dabei die familiären Hintergründe ausleuchtet. Das Ergebnis der Verhältnismässigkeitsprüfung fasst es in E. 4.4 und 4.5 zusammen.
Die Eingaben des Beschwerdeführers vom 23. April und 2. Mai 2015 lassen eine gezielte Auseinandersetzung mit diesen Erwägungen vermissen. Es wird auch nicht ansatzweise aufgezeigt, in welcher Hinsicht das Verwaltungsgericht von einem unzutreffenden Sachverhalt ausgegangen wäre und bei dessen rechtlicher Beurteilung schweizerisches Recht verletzt habe. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.3. Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Mai 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller