Faits:
A. A._ a formé recours devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud contre une décision du 17 mars 2009 de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud lui allouant une rente entière d'invalidité pour la période courant du 1er mars au 30 novembre 2007.
Par lettre du 30 avril 2009, l'assurée s'est vue impartir un délai échéant le 2 juin 2009 pour verser une avance de frais de 400 fr., avec l'avertissement qu'à défaut, il ne serait pas entré en matière sur le recours. L'ordonnance précisait que le délai pouvait être prolongé sur requête et l'assistance judiciaire accordée à certaines conditions, la demande devant être présentée au Bureau de l'assistance judiciaire du canton de Vaud.
Par décision du 18 juin 2009, le Bureau de l'assistance judiciaire a mis l'assurée au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure en cours avec effet au 15 mai 2009 et désigné Me Cerottini en qualité d'avocat d'office. Le 23 juin 2009, Me Cerottini a informé la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal de sa nomination, déclaré partir du principe que la décision d'assistance judiciaire libérait sa cliente du paiement de l'avance de frais et sollicité, à toutes fins utiles, la restitution du délai pour le dépôt de l'avance de frais.
Par jugement du 3 août 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal a déclaré le recours irrecevable, aux motifs que l'assurée n'avait pas versé l'avance de frais dans le délai imparti ni requis de prolongation de délai pour ce faire, et que les conditions d'une restitution de délai n'étaient pas remplies.
B. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. A titre principal, elle conclut à la restitution du délai pour le dépôt de l'avance de frais et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour décision sur le fond. A titre subsidiaire, elle demande l'annulation du jugement et le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
L'office AI et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Par exception à ce principe, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
1.2 Sous réserve des droits constitutionnels cantonaux (art. 95 let. c LTF), des dispositions cantonales sur le droit de vote des citoyens ainsi que sur les élections et votations populaires (art. 95 let. d LTF) et du droit intercantonal (art. 95 let. e LTF), la violation du droit cantonal ne constitue pas un motif de recours; le recourant peut uniquement se plaindre de ce que l'application du droit cantonal par l'autorité précédente consacre une violation du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF - notamment de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) - ou du droit international au sens de l'art. 95 let. b LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.2.1 p. 252).
2. 2.1 En dérogation à l'art. 61 let. a LPGA - qui consacre le principe de la gratuité du contentieux des assurances sociales au niveau cantonal -, l'art. 69 al. 1bis LAI (introduit par la modification de la LAI du 16 décembre 2005, entrée en vigueur le 1er juillet 2006 [RO 2006 2003, 2006]) pose le principe que la procédure de recours en matière de contestations portant sur l'octroi ou le refus de prestations de l'AI devant le tribunal cantonal des assurances est soumise à des frais de justice. Le montant des frais est fixé en fonction de la charge liée à la procédure, indépendamment de la valeur litigieuse, et doit se situer entre 200 et 1'000 francs.
2.2 Selon l'art. 47 al. 2 de la loi sur la procédure administrative du 28 octobre 2008 (LPA-VD; RSV 173.36), la partie recourante est en principe tenue de fournir une avance de frais en procédure de recours administratif et de recours de droit administratif (1ère phrase). L'autorité peut y renoncer si des circonstances particulières l'exigent (2e phrase).
2.3 Le canton de Vaud a confié au Bureau de l'assistance judiciaire le soin de statuer sur les demandes d'assistance judiciaire pour les procédures de recours devant le Tribunal cantonal (art. 18 al. 4 LPA-VD), notamment dans le domaine des assurances sociales (art. 2 al. 1 let. c LPA-VD). Selon l'art. 8 de la loi sur l'assistance judiciaire en matière civile du 24 novembre 1981 (LAJ-VD; RSV 173.81), applicable en vertu du renvoi de l'art. 18 al. 5 LPA-VD, lorsque la sauvegarde des intérêts en jeu ne souffre aucun retard et qu'il n'est pas possible d'obtenir en temps utile une décision du Bureau, une partie peut demander au juge compétent le bénéfice de l'assistance judiciaire pour les premières opérations du procès ou pour une opération déterminée. Elle doit rendre plausible que ses moyens ne lui permettent pas de procéder à ses frais, qu'il y a urgence et que sa cause est bien fondée (al. 1). En portant sa décision à la connaissance de la partie, le juge lui impartit un délai, qui peut être prolongé en cas de nécessité, pour requérir une décision du Bureau (al. 2).
3. La Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal a estimé que la recourante n'avait fait valoir en l'espèce aucune cause d'empêchement (impossibilité, force majeure ou erreur excusable) qui aurait justifié la restitution du délai de paiement de l'avance de frais. Qui plus est, elle avait été informée des conséquences du défaut et de la possibilité de demander une prolongation de délai. Si elle entendait obtenir l'assistance judiciaire, il lui appartenait de déposer la décision du Bureau de l'assistance judiciaire dans le délai imparti ou de demander la prolongation de ce délai si elle n'avait pas encore reçu cette décision. Le caractère rétroactif de la décision d'octroi de l'assistance judiciaire était par ailleurs sans incidence, dès lors que la restitution du délai fixé par l'autorité judiciaire ne relevait pas de la compétence de l'autorité administrative.
4. Parmi les griefs soulevés, la recourante reproche notamment à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal d'avoir fait preuve de formalisme excessif constitutif d'un déni de justice, en ne tenant pas compte de la décision du Bureau de l'assistance judiciaire du 18 juin 2009 qui prenait effet rétroactivement le 15 mai 2009.
4. Parmi les griefs soulevés, la recourante reproche notamment à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal d'avoir fait preuve de formalisme excessif constitutif d'un déni de justice, en ne tenant pas compte de la décision du Bureau de l'assistance judiciaire du 18 juin 2009 qui prenait effet rétroactivement le 15 mai 2009.
4.1 4.1.1 Selon la jurisprudence, il y a formalisme excessif, constitutif d'un déni de justice formel prohibé par les art. 29 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH, lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi et complique de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux. L'excès de formalisme peut résider soit dans la règle de comportement imposée au justiciable par le droit cantonal, soit dans la sanction qui lui est attachée (ATF 134 II 244 consid. 2.4.2 p. 248; 130 V 177 consid. 5.4.1 p. 183; 128 II 139 consid. 2a p. 142 et les références citées; voir également CHRISTOPH GRABENWARTER, Europäische Menschenrechtskonvention, 4e éd. 2009, n. 51 p. 357; arrêts Golder contre Royaume-Uni du 21 février 1975, série A n° 18, par. 35; Société Anonyme "Sotiris et Nikos Koutras ATTEE" contre Grèce du 16 novembre 2000, Recueil 2000-XII, par. 20 ss). De manière générale, la sanction du non-respect d'un délai de procédure n'est pas constitutive de formalisme excessif, une stricte application des règles relatives aux délais étant justifiée par des motifs d'égalité de traitement et par un intérêt public lié à une bonne administration de la justice et à la sécurité du droit (cf. ATF 104 Ia 4 consid. 3 p. 5; arrêt 1C_85/2007 du 6 septembre 2007 consid. 3.2).
4.1.2 Selon l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit à l'assistance judiciaire gratuite, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toutes chances de succès; elle a droit aussi à l'assistance gratuite d'un défenseur, dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert. L'assistance judiciaire consiste à rendre possible également à la personne indigente l'accès aux tribunaux et la défense convenable de ses droits de partie (ATF 131 I 350 consid. 3.1 p. 355, 120 Ia 14 consid. 3d p. 16; STEFAN MEICHSSNER, Das Grundrecht auf unentgeltliche Rechtspflege [Art. 29 Abs. 3 BV], 2008, p. 5). L'art. 29 al. 3 Cst. ne vise qu'à assurer que chacun puisse, indépendamment de sa situation financière, faire juger par un tribunal des litiges non dénués de chance de succès, et se faire représenter au procès par un avocat pour autant que cela soit matériellement nécessaire. Le droit constitutionnel à l'assistance judiciaire doit donner à la partie indigente les moyens de mener son procès, mais non pas l'aider à améliorer de manière générale sa situation financière (ATF 122 I 203 consid. 2e p. 207). Dans le domaine des assurances sociales (cf. art. 2 LPGA), le droit à l'assistance judiciaire en procédure cantonale est expressément inscrit à l'art. 61 let. f LPGA.
4.1.3 Selon la jurisprudence, l'assistance judiciaire déploie ses effets à partir de la présentation de la requête déposée en même temps que la demande au fond, sans égard à la date de la décision portant octroi de l'assistance (ATF 120 Ia 14 consid. 3f p. 17; 122 I 203 consid. 2c p. 205 et 322 consid. 3b p. 326; voir également art. 4 al. 1 LAJ/VD).
4.2 Le droit vaudois de procédure est particulier, en ce sens qu'il a confié au Bureau de l'assistance judiciaire, une autorité administrative indépendante de l'autorité judiciaire, le soin de statuer sur les demandes d'assistance judiciaire déposées dans le cadre d'une procédure de recours devant le Tribunal cantonal. Curieusement, le droit cantonal ne prévoit aucune coordination des procédures de fond et en matière d'assistance judiciaire (cf. art. 8 LAJ/VD). Pourtant, la question de l'assistance judiciaire est intrinsèquement liée à la procédure au fond, puisque son octroi dépend de l'appréciation des chances de succès du procès par rapport à la situation juridique concrète (art. 18 al. 1 LPA/VD et 1 al. 2 let. b LAJ/VD; sur la notion de chances de succès, ATF 133 III 614 consid. 5 p. 616; 129 I 129 consid. 2.3.1 p. 135). Cela étant, il n'est pas nécessaire d'examiner si le fait de confier à une autorité administrative indépendante de l'autorité judiciaire le soin de statuer sur les demandes d'assistance judiciaire est, dans son principe, conforme au droit fédéral.
4.3 Comme on l'a déjà vu, le droit à l'assistance judiciaire doit permettre de garantir l'accès effectif à la justice pour tous. Dans ces conditions, le juge du fond ne peut faire abstraction du dépôt d'une demande d'assistance judiciaire et des effets d'une décision en la matière, au motif que le traitement de celle-ci relèverait de la compétence d'une autorité administrative. Dans la mesure où une telle requête a pour but de permettre à une partie dans le besoin d'agir en justice et de sauvegarder ses droits de manière appropriée, le droit cantonal ne saurait imposer des obstacles de nature procédurale à la réalisation de ce droit. Si la requête a été déposée en temps utile, soit dans le délai fixé pour procéder à l'avance de frais, et que les conditions légales du droit à l'assistance judiciaire sont remplies, le requérant doit être autorisé à poursuivre la procédure au fond. Le fait d'exiger de celui-ci, dans l'attente de la décision du Bureau de l'assistance judiciaire, qu'il dépose préalablement une requête d'assistance judiciaire devant le juge du fond (art. 8 al. 1 LAJ/VD) ou qu'il forme devant ce juge une requête formelle de prolongation du délai de paiement de l'avance de frais (art. 21 al. 2 LPA/VD) constitue un formalisme excessif qui entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux des personnes indigentes et qui n'est justifié par aucun intérêt digne de protection (voir également Christian Favre, L'assistance judiciaire gratuite en droit suisse, 1989, p. 76). Il suit de là que la péremption du droit de recourir, faute d'avoir obtenu l'assistance judiciaire à temps ou d'avoir requis une prolongation de délai dans l'attente de celle-ci, n'est pas compatible avec les art. 6 par. 1 CEDH et 29 al. 1 et 3 Cst.
4.4 Ce nonobstant, la recourante aurait dû en tout état de cause bénéficier de la protection de sa bonne foi (cf. ATF 131 II 627 consid. 6.1 p. 636 et les références). L'invitation à procéder à l'avance de frais du 30 avril 2009 contenait les indications suivantes:
Le délai d'avance de frais peut être prolongé sur requête. L'assistance judiciaire peut être accordée à certaines conditions; la demande doit être présentée au Bureau de l'assistance judiciaire, case postale, 1014 Lausanne.
La Cour des assurances sociales ne saurait être suivie lorsqu'elle estime que la recourante a été informée des conséquences du défaut de paiement de l'avance de frais imparti et de la possibilité de demander une prolongation de délai. La possibilité de déposer une demande d'assistance judiciaire pouvait raisonnablement être comprise comme une alternative à une demande de prolongation de délai. Comme le relève la recourante, rien ne permettait alors de penser que le dépôt d'une telle demande n'entraînait pas la suspension du délai pour procéder au paiement de l'avance de frais. Dans la mesure où la demande d'assistance judiciaire tendait également à la prise en charge des frais de procédure, un tel raisonnement n'avait rien d'insolite. Il convient d'ajouter au préjudice de la Cour des assurances sociales que son courrier du 30 avril 2009 ne précisait pas que le dépôt d'une requête d'assistance judiciaire n'emportait pas d'effet suspensif ou qu'une demande d'assistance judiciaire provisoire devait être déposée à titre préventif devant le juge compétent.
4.5 Par décision du Bureau de l'assistance judiciaire du 18 juin 2009, la recourante s'est vue accorder à compter du 15 mai 2009 l'assistance judiciaire pour la procédure en cours devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal. Dans la mesure où cette décision déployait ses effets avant l'échéance du délai de paiement de l'avance de frais fixé au 2 juin 2009, la recourante aurait dû être libérée dudit paiement. Dans ces conditions, le recours doit être admis et le jugement attaqué annulé, sans qu'il ne soit nécessaire d'examiner les autres griefs soulevés par la recourante portant sur l'application arbitraire du droit cantonal de procédure. La cause doit être renvoyée à la juridiction cantonale pour qu'elle statue sur le fond du litige.
5. Le présent arrêt sera rendu sans frais (art. 66 al. 1 et 4 LTF). La recourante, représentée par un avocat, a été contrainte de recourir au Tribunal fédéral en raison de la carence de l'autorité cantonale. Dans ces circonstances, il sied de lui allouer des dépens à la charge du canton de Vaud (ATF 129 V 335 consid. 4 p. 342).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement rendu le 3 août 2009 par la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud est annulée. La cause est renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour décision sur le fond.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le canton de Vaud versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 10 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Piguet