fürsorgerische Freiheitsentziehung, hat sich ergeben:
A.- A.S._, geboren 1990, wurde am 28. November 2001 vom Sozialdirektor der Stadt Luzern mit vorsorglicher fürsorgerischer Freiheitsentziehung zu ärztlicher Abklärung und Behandlung in das Kinderspital des Kantons Luzern eingewiesen.
Gleichzeitig wurde seiner Mutter, M.S._, die elterliche Obhut vorläufig entzogen.
Eine gegen diese Verfügung erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Urteil vom 7. Dezember 2001 ab.
B.- Gegen dieses Urteil hat M.S._ mit Eingabe vom 31. Januar 2002 eidgenössische Berufung eingereicht, verbunden mit dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern beantragt in seinen Gegenbemerkungen, die Berufung abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Die Berufung an das Bundesgericht ist sowohl zulässig im Fall der fürsorgerischen Freiheitsentziehung (Art. 44 lit. f OG) als auch im Fall der Entziehung der elterlichen Obhut (Art. 44 lit. d OG). Die Massnahmen wurden hier vorsorglich angeordnet, weshalb sich die Frage stellt, ob die Berufung zulässig ist; diese ist in der Regel erst gegen Endentscheide zu erheben (Art. 48 Abs. 1 OG). Die Verordnung vom 28. August 2001 des Kantons Luzern über die fürsorgerische Freiheitsentziehung sieht vor, dass die Regierungsstatthalterin oder der Regierungsstatthalter beziehungsweise der Gemeinderat eine vorsorgliche Anordnung nach unbenutztem Ablauf der Beschwerdefrist unverzüglich zu überprüfen hat (§ 2 Abs. 1 der Verordnung), während eine ausdrückliche Regelung für den Fall der Ergreifung des Rechtsmittels fehlt. Es ist denkbar, dass die Luzerner Behörden für diesen Fall davon ausgehen, dass der Entscheid des angerufenen Richters die Überprüfung durch die Vormundschaftsbehörde ersetzt, so dass das Urteil des Verwaltungsgerichts als Endentscheid bezüglich der fürsorgerischen Freiheitsentziehung gelten müsste, wohl aber nicht unter dem Gesichtspunkt des ebenfalls nur vorsorglich angeordneten Obhutsentzugs.
Der definitiven Klärung bedarf die Frage aber mit Blick auf die klare Rechtslage in materieller Hinsicht nicht (vgl. nachstehend E. 2).
b) Die Berufungsklägerin beantragt, Ziff. 1 des Urteils vom 7. Dezember 2001 (Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde) aufzuheben und festzustellen, dass dieses Urteil in Verletzung von Bundesrecht ergangen sei. Gemäss Art. 55 Abs. 1 lit. b OG muss die Berufungsschrift die genaue Angabe enthalten, welche Punkte des Entscheides angefochten und welche Abänderungen beantragt werden, wobei der blosse Hinweis auf im kantonalen Verfahren gestellte Anträge nicht genügt. Nach der Rechtsprechung ist diesen Anforderungen Genüge getan, wenn in Verbindung mit der Begründung oder dem angefochtenen Urteil ohne weiteres ersichtlich ist, in welchem Sinne das angefochtene Urteil nach dem Willen der Berufungsklägerin abgeändert werden soll (BGE 101 II 372; 110 II 74 E. 1). Ob das Berufungsbegehren noch als ausreichend qualifiziert werden kann, bleibt zwar fraglich, braucht aber wiederum mit Blick auf die klare materielle Rechtslage nicht entschieden zu werden.
2.- a) Unmündige Personen, die unter elterlicher Gewalt stehen, können nach Massgabe der Art. 310 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 314a Abs. 1 ZGB in einer Anstalt untergebracht werden. Gemäss Art. 310 Abs. 1 ZGB ist das Kind den Eltern wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen, wenn das Wohl des Kindes gefährdet ist, die Eltern nicht von sich aus für Abhilfe sorgen oder dazu ausserstande sind und wenn der Gefährdung nicht anders begegnet werden kann. Die Gefährdung des Kindes, die Anlass zur Wegnahme von den es betreuenden Eltern und im Besonderen zu seiner Unterbringung in einer Anstalt gibt, muss darin liegen, dass das Kind in der elterlichen Obhut nicht so geschützt und gefördert wird, wie es für seine körperliche, geistige und sittliche Entfaltung nötig wäre. Unerheblich ist, auf welche Ursachen die Gefährdung zurückzuführen ist: Sie können in den Anlagen oder in einem Fehlverhalten des Kindes, der Eltern oder der weiteren Umgebung liegen. Entscheidend ist - wie bei allen Kindesschutzmassnahmen -, dass die Vorkehr das richtige Mittel zur Verwirklichung des Ziels ist; das heisst, die Unterbringung in der Anstalt muss besser als jene beim bisherigen Obhutsinhaber Gewähr dafür bieten, dass das Kind in seiner Entfaltung geschützt und gefördert wird. Dabei soll die elterliche Sorge so wenig wie möglich aber so viel wie nötig eingeschränkt werden (vgl. Urteile 5C.84/2001 vom 7. Mai 2001, E. 2 sowie 5C.112/2001 vom 30. August 2001, E. 2a).
b) Die Vorinstanz ist von folgenden Tatsachen ausgegangen:
A.S._, 11 Jahre alt, ist massiv übergewichtig.
Er wiegt mehr als 90 kg bei einer Grösse von 1,47 m.
Allein im Verlaufe der letzten 1 1/2 Jahre hat er 17 kg zugenommen.
Die Berufungsklägerin ihrerseits empfindet es nicht als aussergewöhnlich, dass er bereits zum Frühstück Wurst mit Mayonnaise isst. Im Kinderspital war A.S._ erst nach entsprechender Anleitung in der Lage, aus einem Glas zu trinken, weil er zu Hause noch immer aus dem Schoppen trinkt.
Zusätzlich leidet A.S._ daran, dass er regelmässig einnässt und einkotet. Die Mutter-Sohn-Bindung wird als symbiotisch beschrieben.
c) Diese Feststellungen belegen zur Genüge, dass das Kind in seiner körperlichen und geistigen Entwicklung stark gefährdet ist. Ein Einschreiten der Behörden war daher ohne Zweifel notwendig. In der Berufungsschrift wird im Grunde nur eingewendet, die Unterbringung in einer Anstalt (Kinderspital) sei unverhältnismässig, weil aufgrund des Einwirkens des Rechtsvertreters auf die Berufungsklägerin bei dieser eine wohlwollende Kooperationsbereitschaft vorhanden sei. Zu Recht verweist das Verwaltungsgericht diesbezüglich darauf, dass die Gefährdung A.S._ gerade auch in der zu engen, gar symbiotischen Beziehung zur Mutter liegt, weshalb eine erfolgversprechende mildere Massnahme als die Anstaltsunterbringung nicht zur Verfügung stand.
Daran ändert die Bemerkung im angefochtenen Urteil nichts, das Verwaltungsgericht auferlege sich bei einer vorsorglichen Einweisung eine gewisse Zurückhaltung, denn auch ohne solche Zurückhaltung erscheint die getroffene Massnahme ohne weiteres als gerechtfertigt.
3.- Die Berufung ist demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann, und das Urteil des Verwaltungsgerichts ist zu bestätigen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind der Berufungsklägerin die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG), wobei die Gerichtsgebühr den wirtschaftlichen Verhältnissen der Berufungsklägerin entsprechend festgesetzt werden kann (Art. 153a Abs. 1 OG).
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist mangels Erfolgschancen der gestellten Begehren abzuweisen (Art. 152 Abs. 1 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, vom 7. Dezember 2001 wird bestätigt.
2.- Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 600.-- wird der Berufungsklägerin auferlegt.
4.- Dieses Urteil wird der Berufungsklägerin und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 3. April 2002
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Das präsidierende Mitglied:
Der Gerichtsschreiber: