Faits:
Faits:
A. A.a S._ est née en 1963 aux Etats-Unis d'Amérique. Elle a les nationalités péruvienne et américaine. Fille de fonctionnaire international, elle est arrivée avec ses parents le 10 mars 1966 en Suisse.
Au début des années quatre-vingt, S._ s'est inscrite à la Faculté de médecine de l'Université de X._. Au cours de l'année 1987, alors qu'elle était en sixième année de ses études de médecine et qu'elle effectuait un stage à la Clinique de pédiatrie, elle a présenté des troubles qui ont amené le professeur F._ à signaler son comportement au doyen de la Faculté de médecine. Une expertise psychiatrique a été confiée au docteur P._, médecin-associé de la Policlinique psychiatrique Y._. Cet expert a déposé ses conclusions dans un rapport du 16 novembre 1988, où il a posé le diagnostic de troubles schizophréniques, type désorganisés. Par la suite, une nouvelle expertise a été confiée au professeur H._ de l'Institut universitaire de médecine légale de X._. Dans un rapport du 21 septembre 1994, le professeur H._ a conclu que S._ présentait une affection psychiatrique chronique et grave. Il indiquait qu'elle n'était pas apte à exercer la profession médicale.
Le 13 juin 1996, S._ a déposé devant l'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève une demande de prestations de l'assurance-invalidité.
Dans un rapport médical du 20 novembre 1996, le docteur J._, médecin de la Permanence Z._, a posé le diagnostic d'affection psychiatrique chronique de type psychotique. Il indiquait que la patiente présentait des troubles psychotiques déjà en 1988 et qu'elle était totalement incapable de travailler entre 1988 et juillet 1995 et dès septembre 1995.
L'office AI a confié une expertise psychiatrique à la doctoresse C._, spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie. Dans un rapport du 2 septembre 1997, cette praticienne a posé le diagnostic de schizophrénie. Elle indiquait qu'une prise en charge pluridisciplinaire, alliant psychothérapie, thérapie de famille, traitement médicamenteux et socio-thérapie serait sans doute une aide pour la patiente. En soi, la schizophrénie n'était pas incompatible avec une activité professionnelle; actuellement, la capacité de gain de S._ lui paraissait nulle et ne devrait pas grandement se modifier en l'absence de prise en charge. On se trouvait dans une impasse : une prise en charge améliorerait certainement la capacité de gain ou permettrait une (ré-)insertion professionnelle, mais elle ne pouvait se faire sans la collaboration de la patiente; cependant, en raison de ses troubles précisément, S._ ne voyait pas la nécessité d'un traitement.
Dans une communication du 26 mai 1998, l'office AI a avisé S._ qu'au vu de l'atteinte à sa santé, seul le versement d'une rente extraordinaire - soumise à limites de revenu - était envisageable, et à partir du 1er janvier 1997 l'octroi de prestations complémentaires. Selon les renseignements médicaux en sa possession, la survenance de l'invalidité remontait à 1985. Le droit éventuel à la rente extraordinaire, voire à des prestations complémentaires, prenant naissance au plus tôt le premier jour du mois au cours duquel la condition relative à la durée minimale de séjour était remplie, il ressortait des renseignements recueillis dans le cadre de l'instruction du dossier qu'elle était domiciliée en Suisse depuis le 5 novembre 1993. Dès lors, si les conditions étaient remplies, elle pourrait prétendre au versement de prestations complémentaires à partir du 1er novembre 1998, la durée minimale de résidence en Suisse prévue par la Convention de sécurité sociale entre la Confédération suisse et les Etats-Unis d'Amérique étant de cinq ans, de sorte que son dossier était transmis à l'Office cantonal des personnes âgées du canton de Genève pour qu'il statue sur son droit éventuel à une telle prestation.
A.b Par lettre du 26 juillet 2000, S._ a requis de l'office AI qu'il reconsidère sa communication du 26 mai 1998. Elle demandait l'octroi d'une rente ordinaire pour une invalidité de 100 % survenue en 1988.
Saisi d'une plainte pour déni de justice, l'Office fédéral des assurances sociales, par décision du 30 août 2001, a invité l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève à rendre une décision sur la demande de reconsidération dans les meilleurs délais, afin que S._ puisse faire valoir ses droits par les voies de recours.
Par décision du 12 décembre 2001, l'office AI a rejeté la demande de reconsidération de sa communication du 26 mai 1998. Il a nié que S._ ait droit à une rente ordinaire d'invalidité, étant donné qu'elle ne comptait pas une année entière au moins de cotisations en 1985, date à laquelle remontait la survenance de son invalidité.
Par décision du 12 décembre 2001, l'office AI a rejeté la demande de reconsidération de sa communication du 26 mai 1998. Il a nié que S._ ait droit à une rente ordinaire d'invalidité, étant donné qu'elle ne comptait pas une année entière au moins de cotisations en 1985, date à laquelle remontait la survenance de son invalidité.
B. Dans un mémoire du 28 janvier 2002, S._ a formé recours contre cette décision devant la Commission cantonale de recours en matière d'AVS/AI du canton de Genève, en concluant, sous suite de dépens, à l'allocation d'une rente entière d'invalidité à compter du 23 juin 1991. A titre subsidiaire, elle invitait la juridiction cantonale à ordonner la mise en oeuvre d'une expertise pour fixer le début du droit à la rente et le degré d'invalidité dans le passé.
Le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, entré en fonction le 1er août 2003, a repris les compétences exercées jusque-là par la Commission de recours. Par jugement du 14 octobre 2003, la 1ère Chambre de ce Tribunal, composée de la présidente et de deux juges assesseurs, a admis le recours, dit que S._ avait droit à une rente ordinaire d'invalidité dès le 1er juin 1995 et lui a alloué la somme de 1'500 fr. à titre de participation à ses frais et dépens, ainsi qu'à ceux de son mandataire.
Le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, entré en fonction le 1er août 2003, a repris les compétences exercées jusque-là par la Commission de recours. Par jugement du 14 octobre 2003, la 1ère Chambre de ce Tribunal, composée de la présidente et de deux juges assesseurs, a admis le recours, dit que S._ avait droit à une rente ordinaire d'invalidité dès le 1er juin 1995 et lui a alloué la somme de 1'500 fr. à titre de participation à ses frais et dépens, ainsi qu'à ceux de son mandataire.
C. S._ a interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement, dont elle demandait qu'il soit réformé en ce sens qu'elle avait droit à une rente ordinaire d'invalidité dès le 1er octobre 1988, assortie de deux rentes pour enfants dès leur naissance le 19 septembre 2003, tout en sollicitant le versement des prestations en mains propres.
Par arrêt du 27 janvier 2004, publié aux ATF 130 I 106, le Tribunal fédéral a admis un recours de droit public et annulé l'élection des seize juges assesseurs au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, du 26 juin 2003.
Par arrêt du 15 mars 2004 (I 688/03, voir SVR 2005 IV n° 32 p. 119), le Tribunal fédéral des assurances a considéré que les jugements de cette autorité, auxquels avait participé un juge assesseur dont l'élection a été invalidée, étaient annulables pour ce motif. Par arrêt du 1er avril 2004, il a admis le recours formé par S._ en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 14 octobre 2003 était annulé, la cause lui étant renvoyée pour qu'il statue à nouveau conformément aux considérants.
Par arrêt du 15 mars 2004 (I 688/03, voir SVR 2005 IV n° 32 p. 119), le Tribunal fédéral des assurances a considéré que les jugements de cette autorité, auxquels avait participé un juge assesseur dont l'élection a été invalidée, étaient annulables pour ce motif. Par arrêt du 1er avril 2004, il a admis le recours formé par S._ en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 14 octobre 2003 était annulé, la cause lui étant renvoyée pour qu'il statue à nouveau conformément aux considérants.
D. Par jugement du 28 septembre 2004, la 1ère Chambre du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, composée de la présidente et de deux juges, a admis le recours formé par S._ contre la décision de l'office AI du 12 décembre 2001, dit que celle-ci a droit à une rente ordinaire d'invalidité dès le 1er juin 1995 et condamné l'office AI à verser à S._ la somme de 1'500 fr. à titre de participation à ses frais et dépens, ainsi qu'à ceux de son mandataire. Elle a considéré que la survenance de l'invalidité devait être fixée en septembre 1987 et que les conditions d'assurance étaient réalisées, S._ ayant cotisé à l'AVS deux mois en 1982 et 9 mois en 1987 (jusqu'en septembre).
D. Par jugement du 28 septembre 2004, la 1ère Chambre du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, composée de la présidente et de deux juges, a admis le recours formé par S._ contre la décision de l'office AI du 12 décembre 2001, dit que celle-ci a droit à une rente ordinaire d'invalidité dès le 1er juin 1995 et condamné l'office AI à verser à S._ la somme de 1'500 fr. à titre de participation à ses frais et dépens, ainsi qu'à ceux de son mandataire. Elle a considéré que la survenance de l'invalidité devait être fixée en septembre 1987 et que les conditions d'assurance étaient réalisées, S._ ayant cotisé à l'AVS deux mois en 1982 et 9 mois en 1987 (jusqu'en septembre).
E. S._ interjette un recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à la réforme de celui-ci en ce sens qu'elle a droit à une rente ordinaire d'invalidité dès le 1er octobre 1988 - incluant les arriérés de 1988 à ce jour, sans déduction des prestations complémentaires versées par l'Office cantonal des personnes âgées entre 1996 et 2001 -, assortie de deux rentes pour enfants dès leur naissance le 19 septembre 2003, tout en sollicitant le versement des prestations en mains propres. Elle fait valoir notamment que la survenance de son invalidité remonte à octobre 1988.
L'Office cantonal de l'assurance-invalidité de Genève s'en remet à justice en ce qui concerne la date de la survenance de l'invalidité ainsi que le droit de S._ à une rente ordinaire. L'Office fédéral des assurances sociales n'a pas déposé d'observations.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. 1.1 La contestation, dont l'objet est déterminé par la décision administrative litigieuse du 12 décembre 2001, concerne le droit de la recourante à une rente ordinaire d'invalidité. Le litige porte sur le point de savoir si, comme l'ont décidé les premiers juges, celle-ci a droit à une rente ordinaire dès le 1er juin 1995. Dans la mesure où les conclusions que la recourante a prises s'étendent à son droit à des prestations pour enfants et à son droit aux prestations complémentaires versées par l'Office cantonal des personnes âgées et qu'elles tendent au versement des prestations en mains propres, celles-ci sortent de l'objet de la contestation et sont dès lors irrecevables.
1.2 Dans ses déterminations du 13 décembre 2004, l'intimé a déclaré qu'il s'en remettait à justice en ce qui concerne la date de la survenance de l'invalidité ainsi que le droit de la recourante à une rente ordinaire. Selon l'office AI, la date de la survenance de l'invalidité devrait être fixée en 1985, soit à une époque où la condition de la durée minimale de cotisations, ouvrant le droit à une rente ordinaire de l'assurance-invalidité, n'était pas remplie. Une telle conclusion revient à nier tout droit de la recourante à une rente ordinaire et constitue une demande reconventionnelle, assimilable à un recours joint. Or, l'institution du recours joint au recours de droit administratif est inconnue. La partie qui, comme en l'espèce, n'a pas interjeté recours de droit administratif dans le délai légal ne peut que proposer l'irrecevabilité ou le rejet du recours formé par la partie adverse. Elle n'a plus la faculté de prendre des conclusions indépendantes (ATF 124 V 155 consid. 1, 114 V 245 consid. 4 et les références).
Comme la procédure du recours de droit administratif ne connaît pas la voie du recours joint, les requêtes de la partie opposée sont en principe sans influence sur l'objet du litige. En procédure d'octroi ou de refus de prestations d'assurance (art. 132 let. c OJ), dans la mesure où il s'agit de violation du droit fédéral ou de constatation inexacte ou incomplète des faits (art. 104 let. a et b et 105 al. 2 OJ), le Tribunal fédéral des assurances n'est cependant pas lié par les conclusions des parties et peut prendre en considération de telles requêtes (ATF 106 V 247).
Comme la procédure du recours de droit administratif ne connaît pas la voie du recours joint, les requêtes de la partie opposée sont en principe sans influence sur l'objet du litige. En procédure d'octroi ou de refus de prestations d'assurance (art. 132 let. c OJ), dans la mesure où il s'agit de violation du droit fédéral ou de constatation inexacte ou incomplète des faits (art. 104 let. a et b et 105 al. 2 OJ), le Tribunal fédéral des assurances n'est cependant pas lié par les conclusions des parties et peut prendre en considération de telles requêtes (ATF 106 V 247).
2. 2.1 La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales du 6 octobre 2000 (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-invalidité. Cependant, sur le plan matériel, le cas d'espèce reste régi par les dispositions de la LAI en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (ATF 127 V 467 consid. 1). En outre, le Tribunal fédéral des assurances apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue (ATF 121 V 366 consid. 1b).
Pour les mêmes motifs, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852) ne sont pas non plus applicables.
2.2 Toutefois, sur le plan de la procédure, les nouvelles dispositions y relatives sont applicables, sauf dispositions transitoires contraires, à tous les cas en cours, dès l'entrée en vigueur du nouveau droit (ATF 129 V 115 consid. 2.2, 117 V 93 consid. 6b, 112 V 360 consid. 4a, et les références; cf. aussi Petra Fleischanderl, in : Aktuell aus dem Bundesgericht, RJB 140/2004 p. 752).
Parmi les dispositions transitoires contenues dans la LPGA, seul l'art. 82 al. 2 LPGA a trait à la procédure. Il prévoit que les cantons doivent adapter leur législation à la LPGA dans un délai de cinq ans à partir de son entrée en vigueur; dans l'intervalle, les dispositions cantonales en vigueur restent applicables. Cette disposition ne contient aucune règle allant à l'encontre du principe selon lequel les nouvelles dispositions de procédure sont applicables à tous les cas en cours, dès l'entrée en vigueur du nouveau droit. Aussi, le jugement attaqué ayant été rendu après le 1er janvier 2003, les conditions de l'art. 61 LPGA sont-elles applicables ratione temporis à la procédure devant le tribunal cantonal des assurances sociales (arrêt N. du 21 juillet 2005 [I 453/04]).
Parmi les dispositions transitoires contenues dans la LPGA, seul l'art. 82 al. 2 LPGA a trait à la procédure. Il prévoit que les cantons doivent adapter leur législation à la LPGA dans un délai de cinq ans à partir de son entrée en vigueur; dans l'intervalle, les dispositions cantonales en vigueur restent applicables. Cette disposition ne contient aucune règle allant à l'encontre du principe selon lequel les nouvelles dispositions de procédure sont applicables à tous les cas en cours, dès l'entrée en vigueur du nouveau droit. Aussi, le jugement attaqué ayant été rendu après le 1er janvier 2003, les conditions de l'art. 61 LPGA sont-elles applicables ratione temporis à la procédure devant le tribunal cantonal des assurances sociales (arrêt N. du 21 juillet 2005 [I 453/04]).
3. 3.1 Invoquant un déni de justice, la recourante reproche à la juridiction cantonale de recours d'avoir violé le principe de célérité de la procédure.
3.2 Dans la mesure où la recourante invoque des faits qui ne concernent pas la contestation - dont l'objet est déterminé par la décision administrative litigieuse du 12 décembre 2001 - et qui sont étrangers à la procédure devant la juridiction cantonale ayant conduit au jugement attaqué du 28 septembre 2004, ceux-ci échappent au pouvoir d'examen de la Cour de céans.
3.3 L'art. 29 al. 1 Cst. - qui a succédé à l'art. 4 al. 1 aCst. depuis le 1er janvier 2000 - dispose que toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. A l'instar de l'art. 6 par. 1 CEDH - qui n'offre, à cet égard, pas une protection plus étendue (RCC 1978 p. 325 consid. 2) -, cette disposition consacre le principe de la célérité, autrement dit prohibe le retard injustifié à statuer. L'autorité viole cette garantie constitutionnelle lorsqu'elle ne rend pas la décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire ainsi que toutes les autres circonstances font apparaître comme raisonnable (ATF 124 I 142 consid. 2c, 119 Ib 323 s. consid. 5; Jörg Paul Müller, Grundrechte in der Schweiz, Berne 1999, p. 505 s.; Georg Müller, Commentaire de la Constitution fédérale, n. 93 ad art. 4 aCst.; Haefliger/Schürmann, Die Europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz, Berne 1999, p. 200 s.).
En droit des assurances sociales, la procédure de première instance est gouvernée par le principe de célérité. Pour les recours en matière d'AVS/AI, ce principe figurait à l'art. 85 al. 2 let. a LAVS (en corrélation avec l'art. 69 LAI), dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002 (ATF 127 V 467 consid. 1, 121 V 366 consid. 1b). Ce principe est désormais consacré à l'art. 61 let. a LPGA, en vigueur depuis le 1er janvier 2003. Il exige des cantons que la procédure soit simple et rapide et constitue l'expression d'un principe général du droit des assurances sociales (ATF 110 V 61 consid. 4b; Ueli Kieser, Das einfache und rasche Verfahren, insbesondere im Sozialversicherungsrecht, in : RSAS 1992 p. 272 ainsi que la note n° 28, et p. 278 s.; Rüedi, Allgemeine Rechtsgrundsätze des Sozialversicherungsprozesses, in : Recht, Staat und Politik am Ende des zweiten Jahrtausends, Festschrift zum 60. Geburtstag von Bundesrat Arnold Koller, Berne 1993, p. 460 s. et les arrêts cités). La procédure judiciaire de première instance est ainsi soumise au principe de célérité, que ce soit devant une autorité cantonale ou devant une autorité fédérale.
Celui qui recourt contre une décision a droit à ce que sa cause soit jugée dans un délai raisonnable (art. 29 al. 1 Cst.). En conséquence, l'autorité de recours doit se conformer au principe de célérité, avec les exigences que cela comporte en ce qui concerne les parties au procès (ATF 129 V 416 consid. 1.2, 126 V 249 consid. 4a et les références).
3.4 Le caractère raisonnable de la durée de la procédure s'apprécie en fonction des circonstances particulières de la cause, lesquelles commandent généralement une évaluation globale. Entre autres critères sont notamment déterminants le degré de complexité de l'affaire, l'enjeu que revêt le litige pour l'intéressé ainsi que le comportement de ce dernier et celui des autorités compétentes (ATF 124 I 142 consid. 2c, 119 Ib 325 consid. 5b et les références). A cet égard, il appartient au justiciable d'entreprendre ce qui est en son pouvoir pour que l'autorité fasse diligence, que ce soit en l'invitant à accélérer la procédure ou en recourant, le cas échéant, pour retard injustifié (ATF 107 Ib 158 s. consid. 2b et c). Cette obligation s'apprécie toutefois avec moins de rigueur en procédure pénale et administrative (Haefliger/Schürmann, op. cit., p. 203-204; Auer/Malinverni/Hottelier, Droit constitutionnel suisse, vol. II, n. 1243). On ne saurait par ailleurs reprocher à une autorité quelques temps morts; ceux-ci sont inévitables dans une procédure (ATF 124 et 119 cités ci-dessus). Une organisation déficiente ou une surcharge structurelle ne peuvent cependant justifier la lenteur excessive d'une procédure (ATF 122 IV 103 consid. I/4 p. 111; 107 Ib 165 consid. 3c); il appartient en effet à l'Etat d'organiser ses juridictions de manière à garantir aux citoyens une administration de la justice conforme aux règles (ATF 119 III 3 consid. 3; Jörg Paul Müller, op. cit., p. 506 s.; Haefliger/Schürmann, op. cit., p. 204 s.; Auer/Malinverni/Hottelier, op cit., n° 1244 s.).
3.5 Dans le cas d'espèce, la recourante a déposé son recours cantonal le 28 janvier 2002. L'intimé a répondu par mémoire du 2 avril 2002, qui a été communiqué à la recourante le 5 avril 2002. Celle-ci a déposé ses observations le 6 mai 2002. L'office AI en a fait de même dans ses déterminations du 27 mai 2002. Le 15 novembre 2002, la Commission cantonale de recours en matière d'AVS/AI a transmis au mandataire de la recourante les observations de l'intimé du 27 mai 2002 et l'a invité à lui faire parvenir copie des expertises des docteurs P._ et H._. Dans sa réponse du 20 novembre 2002, l'avocat de la recourante a déclaré que l'instruction de la cause était manifestement contraire à l'exigence de célérité de la procédure, étant donné que la Commission cantonale de recours n'était pas fondée à ordonner sans fin des échanges d'écritures pour retarder la clôture de l'instruction. Par lettre du 25 novembre 2002, la Commission cantonale de recours, tout en renouvelant sa requête tendant à la production des expertises précitées, a informé le mandataire de la recourante que le dossier était en cours d'instruction et qu'elle ne manquerait pas de le tenir au courant du suivi. Dans un courrier du 17 décembre 2002, l'avocat de la recourante a produit copie de l'expertise du docteur P._ du 16 novembre 1988 et de l'expertise du professeur H._ du 21 septembre 1994. Par lettre du 5 mai 2003, le mandataire de la recourante a relancé la Commission cantonale de recours, au motif que l'exigence de célérité de la procédure n'était pas respectée, et l'invitait à statuer sans délai, à défaut de quoi il agirait pour retard injustifié. Par acte du 10 juin 2003, la Commission cantonale de recours a avisé l'avocat de la recourante qu'elle avait besoin de savoir quelles avaient été les activités de S._ depuis l'année 1988 et elle l'invitait à lui transmettre les pièces concernant la réussite ou l'échec d'examens. Le même jour, elle a requis du docteur G._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, des renseignements médicaux complémentaires. Dans sa réponse du 16 juin 2003, le mandataire de la recourante a communiqué à la juridiction cantonale les informations requises, tout en affirmant qu'il était inadmissible que l'autorité attende près de 18 mois pour les solliciter et qu'à défaut de décision d'ici au 30 juin 2003, il agirait pour déni de justice. De son côté, le docteur G._ a produit sa réponse dans un document daté du 22 juin 2003. Par courrier du 27 juin 2003, la Commission cantonale de recours a communiqué à l'avocat de la recourante sa lettre au docteur G._ du 10 juin 2003 et la réponse de ce médecin du 22 juin 2003.
L'instruction de l'affaire requérait non seulement un examen consciencieux de plusieurs avis médicaux, parmi lesquels figuraient les expertises du docteur P._ du 16 novembre 1988 et du Professeur H._ du 21 septembre 1994, mais elle revêtait une certaine complexité en raison de la pathologie présentée par la recourante. En rendant son jugement le 14 octobre 2003, soit près de 20 mois après le dépôt du recours, alors que la cause se trouvait en état d'être jugée par la Commission cantonale de recours depuis fin décembre 2002, le Tribunal cantonal des assurances sociales, qui est entré en fonction le 1er août 2003, n'a pas fait preuve d'un retard injustifié dans le traitement de l'affaire (cf. arrêt B. du 29 novembre 2005 [I 473/04]).
A la suite de l'annulation de son jugement du 14 octobre 2003 par le Tribunal fédéral des assurances, le Tribunal cantonal des assurances sociales a statué sur le recours cantonal par jugement du 28 septembre 2004, soit près de six mois après l'arrêt rendu par la Cour de céans le 1er avril 2004. Là non plus, la juridiction cantonale n'a pas fait preuve d'un retard injustifié dans le traitement de l'affaire.
Le grief de la recourante est dès lors mal fondé.
Le grief de la recourante est dès lors mal fondé.
4. 4.1 Aux termes de l'art. 36 al. 1 LAI, ont droit aux rentes ordinaires les assurés qui, lors de la survenance de l'invalidité, comptent une année entière au moins de cotisations.
Selon l'art. 4 al. 2 LAI, l'invalidité est réputée survenue dès qu'elle est, par sa nature et sa gravité, propre à ouvrir droit aux prestations entrant en considération. Ce moment doit être déterminé objectivement, d'après l'état de santé; des facteurs externes fortuits n'ont pas d'importance. Il ne dépend en particulier ni de la date à laquelle une demande a été présentée, ni de celle à partir de laquelle une prestation a été requise, et ne coïncide pas non plus nécessairement avec le moment où l'assuré apprend, pour la première fois, que l'atteinte à sa santé peut ouvrir droit à des prestations d'assurance (ATF 126 V 9 consid. 2b, 160 consid. 3a, 118 V 82 consid. 3a et les références). Dans le cas d'une rente, la survenance de l'invalidité se situe au moment où le droit à la rente prend naissance, conformément à l'art. 29 al. 1 LAI (applicable en l'espèce dans sa version en vigueur du 1er janvier 1988 au 31 décembre 2002; ATF 126 V 9 consid. 2b), soit au plus tôt à la date dès laquelle l'assuré présente une incapacité de gain durable de 40 pour cent au moins (let. a) ou dès laquelle il a présenté, en moyenne, une incapacité de travail de 40 pour cent au moins pendant une année sans interruption notable (let. b; ATF 129 V 418 consid. 2.1, 126 V 9 consid. 2b, 119 V 102 consid. 4a).
4.2 Les premiers juges, à la différence de l'office intimé, n'ont pas constaté que la recourante présentait depuis 1985 une atteinte à la santé. Ils ont retenu qu'elle avait été suivie par un psychiatre depuis cette date et qu'en 1988 les médecins avaient diagnostiqué un trouble schizophrénique désorganisé. Ainsi qu'ils l'ont indiqué dans le jugement attaqué, il résulte de l'expertise du docteur P._ du 16 novembre 1988 qu'elle ne présentait pas les aptitudes professionnelles pour devenir médecin. La Cour de céans n'a aucune raison de s'écarter de ces constatations, attestées par les pièces du dossier.
Dans son préavis du 2 avril 2002, l'intimé avait relevé que le docteur L._, médecin de l'office AI, était de l'avis que vu les prises en charge prolongées depuis 1985, on pouvait admettre que c'est au moins depuis cette date que la capacité de travail avait diminué d'au moins 20 % (et certainement déjà à un taux bien supérieur) autant pour les études que pour exercer sa profession. Toutefois, au regard de l'art. 29 al. 1 LAI, cela ne suffit pas pour déterminer la survenance de l'invalidité. Or, on ne trouve au dossier aucune pièce permettant de conclure que la recourante présentait déjà en 1985 une incapacité de gain durable de 40 % au moins.
4.3 Se référant à l'expertise du docteur P._ du 16 novembre 1988, la recourante fait valoir que la survenance de son invalidité remonte à octobre 1988.
4.4 Les premiers juges ont retenu que lors d'un stage effectué en pédiatrie en septembre 1987, le professeur F._ avait considéré qu'avec un handicap pareil, une telle personne ne devrait pas être autorisée à devenir médecin. Son comportement s'était révélé si inadéquat que le professeur F._ avait refusé de la reprendre. A l'issue d'un stage en maternité effectué le mois suivant, il était apparu au médecin responsable qu'une évaluation psychiatrique approfondie lui semblait indispensable.
Ces constatations de fait sont attestées par les pièces du dossier. Elles ne sont du reste pas remises en cause.
Avec les premiers juges, il se justifie d'admettre que la capacité de travail de la recourante s'est amenuisée rapidement jusqu'à devenir nulle en raison du trouble - soit du handicap constaté par le professeur F._ en septembre 1987 - qui n'a pu être diagnostiqué clairement qu'en novembre 1988. En effet, le handicap constaté par le professeur F._ et l'affection diagnostiquée par le docteur P._ constituent le même trouble, lequel permet de retenir que la recourante présentait dès septembre 1987 dans l'exercice de la médecine une incapacité de gain durable de 40 pour cent au moins (art. 29 al. 1 let. a LAI; ATF 126 V 9 s. consid. 2b et c).
L'existence d'une incapacité de gain durable ne dépend pas des décisions prises par la Faculté de médecine à la suite du handicap constaté par le professeur F._. Les arguments de la recourante, qui se réfère au professeur A._, doyen de la Faculté, et à la communication du 7 janvier 1988 du docteur E._, responsable de l'année à option, sont dénués de pertinence.
La survenance de l'invalidité de la recourante remonte donc à septembre 1987. Sur ce point, le recours est mal fondé.
4.5 Le cas d'assurance étant survenu en septembre 1987, il est antérieur à l'entrée en vigueur, le 1er janvier 1997, des dispositions modifiées par la 10ème révision de l'AVS. C'est pourquoi la réglementation en vigueur jusqu'au 31 décembre 1996 est applicable dans le cas particulier, s'agissant de la notion de l'année entière de cotisations (arrêt B. du 2 août 2005 [I 668/04 et I 694/04]).
L'art. 50 RAVS (teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 1996), en corrélation avec l'art. 32 RAI (teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 1996), disposait qu'une année de cotisations est entière lorsque l'assuré a été soumis pendant plus de onze mois au total à l'obligation de payer des cotisations et que les cotisations correspondantes ont été payées.
Il est constant que la recourante a cotisé à l'AVS pendant les mois de juillet et août 1982 et durant toute l'année 1987. Si l'on additionne ces périodes de cotisations (ATF 107 V 14 s. consid. 3a), la recourante justifiait lors de la survenance de son invalidité en septembre 1987 de onze mois de cotisations. Sur cette base, les premiers juges ont admis que la condition de la durée minimale de cotisations était remplie. L'office intimé n'avance aucun argument qui permettrait de conclure que, sur ce point, la juridiction cantonale a violé le droit fédéral.
Il est constant que la recourante a cotisé à l'AVS pendant les mois de juillet et août 1982 et durant toute l'année 1987. Si l'on additionne ces périodes de cotisations (ATF 107 V 14 s. consid. 3a), la recourante justifiait lors de la survenance de son invalidité en septembre 1987 de onze mois de cotisations. Sur cette base, les premiers juges ont admis que la condition de la durée minimale de cotisations était remplie. L'office intimé n'avance aucun argument qui permettrait de conclure que, sur ce point, la juridiction cantonale a violé le droit fédéral.
5. Il convient d'examiner si la recourante peut prétendre une rente ordinaire d'invalidité pour une période antérieure aux douze mois précédant le dépôt de la demande (art. 48 al. 2 LAI), dans la limite du délai de péremption (ATF 121 V 202) de cinq ans prévu à l'art. 48 al. 1 LAI.
5.1 En vertu de l'art. 48 al. 2 LAI (applicable en l'espèce dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002), si l'assuré présente sa demande plus de douze mois après la naissance du droit, les prestations ne sont allouées que pour les douze mois précédant le dépôt de la demande. Elles sont allouées pour une période antérieure si l'assuré ne pouvait pas connaître les faits ouvrant droit à prestations et qu'il présente sa demande dans les douze mois dès le moment où il en a eu connaissance.
Par « faits ouvrant droit à prestations », il faut entendre, à la lumière des art. 4 et 5 LAI, l'atteinte à la santé physique et mentale qui entraîne une incapacité de gain présumée permanente ou de longue durée ou qui gêne l'assuré dans l'accomplissement de ses travaux habituels s'il n'exerce pas d'activité lucrative. L'expression « connaître les faits ouvrant droit à prestations » ne signifie pas la faculté subjective de l'assuré de se faire une idée sur son état. Selon le texte de l'art. 48 al. 2 deuxième phrase LAI, il s'agit au contraire de savoir si les faits ouvrant droit à prestations peuvent objectivement être constatés ou non (ATF 100 V 120 consid. 2c; RCC 1984 p. 420 s. consid. 1, 1975 p. 137 consid. 2c).
Les conditions ouvrant droit au versement de la rente pour une période antérieure aux douze mois précédant le dépôt de la demande sont également réalisées lorsque l'atteinte à la santé empêche l'assuré de connaître les faits ouvrant droit à prestations alors que les conditions d'un tel droit sont déjà réalisées (ATF 108 V 228 s. consid. 4).
5.2 La recourante déclare qu'elle a présenté en juillet 1989 une première demande de rente d'invalidité. Se référant à l'art. 19 paragraphe 2 de la Convention de sécurité sociale entre la Confédération suisse et les Etats-Unis d'Amérique, elle fait valoir qu'elle a déposé cette demande auprès de l'Administration de la Sécurité Sociale des Etats-Unis.
5.3 Aux termes de l'art. 18 paragraphe 1 de la Convention de sécurité sociale entre la Confédération suisse et les Etats-Unis d'Amérique du 18 juillet 1979, une demande écrite de prestations déposée auprès d'un organisme de l'un des Etats contractants permet de sauvegarder les droits des requérants sous la législation de l'autre Etat contractant si (a) l'intéressé requiert que sa demande soit considérée comme une demande de prestations selon la législation de l'autre Etat contractant ou (b) à défaut d'une requête visant à ce que la demande ne soit pas considérée dans ce sens, si les renseignements contenus dans la demande indiquent que des périodes d'assurance selon la législation de l'autre Etat contractant ont été accomplies par la personne qui ouvre droit à une prestation.
Selon l'art. 19 paragraphe 2 de cette Convention de sécurité sociale, les demandes, déclarations ou recours qui doivent être déposés dans un certain délai auprès d'un organisme de l'un des Etats contractants sont considérés comme recevables s'ils sont déposés dans le même délai auprès d'un organisme correspondant de l'autre Etat contractant. Dans ce cas, l'organisme auprès duquel la demande, déclaration ou recours est déposé indique la date de réception du document sur ce document et le transmet sans retard à l'organisme de liaison de l'autre Etat contractant.
5.4 L'affirmation de la recourante, selon laquelle elle a présenté en juillet 1989 une première demande de rente d'invalidité, n'est pas prouvée. Aucun des documents produits par elle ne constituent une demande auprès de l'Administration de la Sécurité Sociale des Etats-Unis au sens de l'art. 18 paragraphe 1 de la Convention de Sécurité Sociale entre la Confédération suisse et les Etats-Unis d'Amérique. Le dépôt d'une demande au sens de cette disposition n'étant pas prouvé ni rendu vraisemblable, l'art. 19 paragraphe 2 de la Convention n'entre donc pas en considération.
5.5 Il est établi que la recourante a déposé le 13 juin 1996 devant l'office intimé une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Il y a lieu d'examiner l'application de l'art. 48 al. 2 LAI par rapport à cette demande.
A partir du moment où la recourante a eu connaissance des conclusions du docteur P._ dans son rapport d'expertise du 16 novembre 1988 et où une nouvelle expertise a été confiée au professeur H._, elle ne pouvait ignorer le trouble dont elle était atteinte. Après qu'elle eut pris connaissance des conclusions du professeur H._ dans son expertise du 21 septembre 1994, la recourante ne pouvait ignorer les conséquences de ce trouble sur son aptitude à exercer la profession médicale. Même si elle ne voyait pas la nécessité d'un traitement (expertise psychiatrique du 2 septembre 1997), il ne ressort ni du rapport médical du docteur J._ du 20 novembre 1996 ni du rapport de la doctoresse C._ du 2 septembre 1997 que le trouble dont elle était atteinte l'ait empêché de connaître son état de santé et les conséquences sur sa capacité de gain. Aussi doit-on admettre qu'elle connaissait les faits ouvrant droit à prestations. Cela étant, du moment que la recourante a présenté sa demande le 13 juin 1996, soit postérieurement à l'expiration du délai de douze mois dès la connaissance des faits, elle ne peut prétendre une prestation pour la période antérieure au 1er juin 1995. Le recours est ainsi mal fondé.
A partir du moment où la recourante a eu connaissance des conclusions du docteur P._ dans son rapport d'expertise du 16 novembre 1988 et où une nouvelle expertise a été confiée au professeur H._, elle ne pouvait ignorer le trouble dont elle était atteinte. Après qu'elle eut pris connaissance des conclusions du professeur H._ dans son expertise du 21 septembre 1994, la recourante ne pouvait ignorer les conséquences de ce trouble sur son aptitude à exercer la profession médicale. Même si elle ne voyait pas la nécessité d'un traitement (expertise psychiatrique du 2 septembre 1997), il ne ressort ni du rapport médical du docteur J._ du 20 novembre 1996 ni du rapport de la doctoresse C._ du 2 septembre 1997 que le trouble dont elle était atteinte l'ait empêché de connaître son état de santé et les conséquences sur sa capacité de gain. Aussi doit-on admettre qu'elle connaissait les faits ouvrant droit à prestations. Cela étant, du moment que la recourante a présenté sa demande le 13 juin 1996, soit postérieurement à l'expiration du délai de douze mois dès la connaissance des faits, elle ne peut prétendre une prestation pour la période antérieure au 1er juin 1995. Le recours est ainsi mal fondé.
6. Le litige ayant pour objet l'octroi ou le refus de prestations, la procédure est gratuite (art. 134 OJ). La recourante, qui n'obtient pas gain de cause, ne saurait prétendre une indemnité de dépens (art. 159 al. 1 en corrélation avec l'art. 135 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Dans la mesure où il est recevable, le recours est rejeté.
1. Dans la mesure où il est recevable, le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 janvier 2006
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIIe Chambre: Le Greffier: