Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 22. Juni 2006 schied das Amtsgericht X._ die am 16. Mai 1997 geschlossene Ehe der M._ und des A._, ordnete u.a. die hälftige Teilung der für die Ehedauer zu ermittelnden Austrittsleistung des Ehemannes bei der Pensionskasse der Coop-Gruppe an und hielt fest, die Akten würden nach Rechtskraft des Entscheides an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn gehen. Das Urteil trat hinsichtlich des Scheidungspunktes und der Teilung der Austrittsleistung am 7. Juli 2006 in Rechtskraft, während es in anderen Punkten an das Obergericht und schliesslich an das Bundesgericht weitergezogen wurde. In der Folge unterblieb eine Überweisung der Sache an das Versicherungsgericht. Auf den 31. Dezember 2008 trat A._ aus der CPV/CAP Coop Personalversicherung - Pensionskasse der Coop-Gruppe aus, und liess sich die Austrittsleistung auf die Freizügigkeitsstiftung 2. Säule Bank Coop AG überweisen. Diese zahlte A._ am 29. Oktober 2009 das Freizügigkeitsguthaben in Höhe von Fr. 226'581.15 infolge Aufnahme einer selbstständigen Erwerbstätigkeit bar aus.
B. Am 9. Oktober 2009 gelangte M._ an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und beantragte, es sei die Hälfte der von A._ während der Ehe angehäuften Austrittsleistung auf ihr Freizügigkeitskonto zu überweisen. Mit Entscheid vom 11. Juli 2011 verpflichtete das Versicherungsgericht A._, den Betrag von Fr. 126'536.- auf das Freizügigkeitskonto von M._ bei der Berner Kantonalbank zu überweisen zuzüglich Zins im Sinne der Erwägungen.
C. M._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Hauptantrag, der Kanton Solothurn sei zu verpflichten, ihr den Anteil des Freizügigkeitsguthabens in Höhe von Fr. 126'536.- zuzüglich der aufgelaufenen Zinsen auf ihr Freizügigkeitskonto zu überweisen.
Das kantonale Gericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf überhaupt eingetreten werden könne. A._ schliesst auf Nichteintreten auf die Beschwerde unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung. Die Freizügigkeitsstiftung 2. Säule der Bank Coop beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; 133 III 545 E. 2.2 S. 550; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (BGE 134 IV 36 E. 1.4.1 S. 39). Die entsprechende Rüge prüft das Bundesgericht nur insoweit, als sie in der Beschwerde explizit vorgebracht und substanziiert begründet worden ist.
2.1 2.1.1 Gehört ein Ehegatte oder gehören beide Ehegatten einer Einrichtung der beruflichen Vorsorge an und ist bei keinem Ehegatten ein Vorsorgefall eingetreten, so hat jeder Ehegatte Anspruch auf die Hälfte der nach dem Freizügigkeitsgesetz vom 17. Dezember 1993 für die Ehedauer zu ermittelnden Austrittsleistung des anderen Ehegatten (Art. 122 Abs. 1 ZGB sowie Art. 22 und 22a FZG).
2.1.2 Haben sich die Ehegatten über die Teilung der Austrittsleistungen sowie die Art der Durchführung der Teilung nicht geeinigt (oder kann die Bestätigung der Einrichtung der beruflichen Vorsorge über die Durchführbarkeit der getroffenen Regelung nicht beigebracht werden; BGE 132 V 337 E. 1.1 S. 340), so entscheidet das Scheidungsgericht über das Verhältnis, in welchem die Austrittsleistungen zu teilen sind. Sobald der Entscheid über das Teilungsverhältnis rechtskräftig ist, überweist das Gericht die Streitsache von Amtes wegen dem am Ort der Scheidung nach Artikel 73 Absatz 1 des BVG zuständigen Gericht (Art. 142 Abs. 1 und 2 ZGB in der bis Ende Dezember 2010 gültig gewesenen und hier anwendbaren Fassung sowie Art. 25a Abs. 1 FZG). Das Berufsvorsorgegericht ist an den im Scheidungsurteil festgelegten Teilungsschlüssel gebunden und hat die Teilung bloss zu vollziehen (BGE 132 III 401 E. 2.2 S. 404, 132 V 337 E. 2.2 S. 341).
2.2 Nach Art. 2 Abs. 1 FZG haben Versicherte, welche die Vorsorgeeinrichtung verlassen, bevor ein Vorsorgefall eintritt (Freizügigkeitsfall), Anspruch auf eine Austrittsleistung. Treten sie in eine neue Vorsorgeeinrichtung ein, so hat die frühere Vorsorgeeinrichtung die Austrittsleistung an die neue zu überweisen (Art. 3 Abs. 1 FZG). Versicherte, die nicht in eine neue Vorsorgeeinrichtung eintreten, haben nach Art. 4 Abs. 1 FZG ihrer Vorsorgeeinrichtung mitzuteilen, in welcher zulässigen Form sie den Vorsorgeschutz erhalten wollen. Bleibt diese Mitteilung aus, so hat die Vorsorgeeinrichtung spätestens zwei Jahre nach dem Freizügigkeitsfall die Austrittsleistung samt Verzugszins der Auffangeinrichtung nach Art. 60 BVG zu überweisen (Art. 4 Abs. 2 FZG). Nach Art. 5 Abs. 1 FZG kann die versicherte Person die Barauszahlung der Austrittsleistung u.a. verlangen, wenn sie eine selbstständige Erwerbstätigkeit aufnimmt und der obligatorischen beruflichen Vorsorge nicht mehr untersteht (lit. b). An verheiratete Anspruchsberechtigte ist die Barauszahlung gemäss Art. 5 Abs. 2 FZG nur zulässig, wenn der Ehegatte schriftlich zustimmt.
3. 3.1 Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid festgestellt, dass die Freizügigkeitsstiftung vor der Auszahlung den Zivilstand des Beschwerdegegners abgeklärt und sichergestellt hat, dass die Zustimmung des Ehegatten nicht länger erforderlich ist. Damit sei die Freizügigkeitsstiftung ihrer Prüfungspflicht in dieser Situation nachgekommen. Weitere Nachforschungen seien nicht erforderlich gewesen. Namentlich sei die Freizügigkeitsstiftung nicht gehalten gewesen, das Scheidungsurteil einzuholen und die Durchführung einer allfälligen Teilung zu überprüfen. Dies müsse umso mehr gelten, als der Beschwerdegegner das Freizügigkeitskonto erst eröffnet habe, als er bereits geschieden gewesen sei. Auch sonst seien keine konkreten Hinweise ersichtlich, welche auf eine Behinderung des Vorsorgeausgleichs durch die Barauszahlung hindeuteten und die Freizügigkeitsstiftung nach Treu und Glauben hätten veranlassen müssen, weitere Erkundigungen einzuziehen. Die Barauszahlung sei demnach gültig erfolgt und nicht zu beanstanden. Sei aber das gesamte Freizügigkeitsguthaben rechtmässig ausbezahlt worden, so könne die Freizügigkeitsstiftung zu keiner Ausgleichszahlung an die Beschwerdeführerin verpflichtet werden. Leistungspflichtig sei in dieser Situation vielmehr der Beschwerdegegner als Ehegatte.
3.2 Diese Erwägungen sind in tatsächlicher Hinsicht für das Bundesgericht (Art. 105 Abs. 1 BGG) verbindlich und stehen im Übrigen in Einklang mit der Aktenlage. Daraus geht hervor, dass das Urteil des Amtsgerichts X._ vom 22. Juni 2006 im Scheidungspunkt am 7. Juli 2006 in Rechtskraft getreten ist und der Beschwerdegegner Ende Dezember 2008 aus seiner Pensionskasse ausgetreten und erst zu diesem Zeitpunkt in die Freizügigkeitsstiftung eingetreten ist. Für die am 29. Oktober 2009 erfolgte Barauszahlung durch die Freizügigkeitsstiftung war die Unterschrift der Beschwerdeführerin wegen der bereits am 7. Juli 2006 rechtskräftig gewordenen Scheidung nicht mehr erforderlich. Zu Recht hat die Vorinstanz auch eine Verletzung der Sorgfaltspflicht durch die Freizügigkeitsstiftung verneint. Schliesslich wird in der Beschwerde nichts vorgebracht, was geeignet wäre, in gesetzlich geforderter Weise (Art. 42 Abs. 2 BGG) den angefochtenen Entscheid, namentlich auch in Bezug auf Rechtsbegehren Ziff. 2, soweit den vorinstanzlichen Kostenspruch betreffend, als bundesrechtswidrig (Art. 95 lit. a BGG) anzugreifen. Die Beschwerdeführerin übersieht mit ihrer Argumentation, dass im Scheidungsverfahren nicht die Freizügigkeitsstiftung, sondern die damalige Pensionskasse, die Coop Personalversicherung - Pensionskasse der Coop-Gruppe, involviert war. Deren allfälliges Wissen kann der rechtlich selbstständigen Freizügigkeitsstiftung nicht angerechnet werden.
4. Das kantonale Gericht hat den Beschwerdegegner persönlich zur Bezahlung der hälftigen Austrittsleistung verpflichtet, was der Rechtsprechung (BGE 135 V 324 E. 5.2.2 zweiter Absatz S. 331 f.) entspricht. Soweit die Beschwerdeführerin in diesem Punkt das kantonale Gerichtsurteil anzufechten scheint, ist sie nicht beschwert, sodass darauf und auf damit zusammenhängende Anträge (Ziff. 6 und 7) nicht einzutreten ist. Des weitern beantragt die Beschwerdeführerin, es sei der Kanton Solothurn zu verpflichten, ihren Anteil am Freizügigkeitsguthaben in Höhe von Fr. 126'536.- zu bezahlen, weil es das Amtsgericht X._ versäumt habe, die Akten an das Berufsvorsorgegericht zu überweisen. Eine allfällige Haftung des Kantons beschlägt nicht eine berufsvorsorgerechtliche Frage, weshalb die Berufsvorsorgegerichte nach Art. 73 BVG sachlich nicht zuständig sind, wie die Vorinstanz in der Vernehmlassung zutreffend ausführt. Auch in diesem Punkt ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Dem Prozessausgang entsprechend gehen die Gerichtskosten zu Lasten der Beschwerdeführerin (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie sind vorläufig auf die Gerichtskasse zu nehmen, da die Voraussetzungen für die Gewährung der beantragten unentgeltlichen Prozessführung (fehlende Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels, Bedürftigkeit der Gesuchstellerin, [Art. 64 Abs. 1 BGG; vgl. BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372]) erfüllt sind. Ferner hat der Beschwerdegegner, welcher seinerseits die Voraussetzungen für die unentgeltliche Verbeiständung erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG), Anspruch auf eine Parteientschädigung zulasten der Beschwerdeführerin (Art. 68 Abs. 1 BGG). Im Falle der Uneinbringlichkeit der zugesprochenen Entschädigung ist diese seiner Rechtsvertreterin aus der Gerichtskasse zu entrichten (Art. 64 Abs. 2 Satz 2 BGG; Urteile 1F_17/2009 vom 4. November 2009, 4A_423/2008 vom 12. November 2008 und 4A_122/2008 vom 16. Juli 2008). Die Beschwerdeführerin und der Beschwerdegegner werden indessen auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach sie als Begünstigte der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben werden, wenn sie später dazu in der Lage sind. Die Freizügigkeitsstiftung hat als Einrichtung der beruflichen Vorsorge keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Prozessführung wird gutgeheissen.
3. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Verbeiständung wird gutgeheissen und Fürsprecherin Cornelia Dippon Hänni wird als unentgeltliche Rechtsvertreterin ernannt.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, zufolge Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
5. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.- zu entschädigen. Bei Uneinbringlichkeit wird dieser Betrag Fürsprecherin Cornelia Dippon Hänni aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Januar 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Nussbaumer