Faits:
A. A._ est propriétaire des parcelles adjacentes n° 12471 et 12547 du registre foncier de la commune de Sion. Ces biens-fonds sont colloqués en "zone de centre III", au sens du règlement de construction et de zones adopté par le Conseil communal de Sion le 21 juin 1988 et homologué par le Conseil d'Etat du canton du Valais le 28 juin 1989 (RCCZ). Ces parcelles, destinées à l'habitat collectif, sont sises entre l'avenue de France, au sud, et le chemin du Vieux-Canal, au nord.
Le 9 juillet 2007, A._ a requis l'autorisation de construire un immeuble d'habitation comprenant 18 logements avec un parking souterrain. Les plans décrivent un rez-de chaussée, trois étages ainsi qu'un attique pourvu, en façade sud, d'un oriel et de deux pergolas. Cet attique serait surmonté d'une corniche qui culminerait à une hauteur de 14 mètres comptée à partir du terrain couvrant la dalle du sous-sol enterré, pour les façades autres que la façade est où ce point est coté 0,20 mètre plus bas. La corniche supporterait directement le toit, sauf en façade sud où elle serait surmontée, en retrait du solde de cette façade, d'un parapet plein de 31,7 mètres de long et d'un mètre de haut, lequel borderait les terrasses des logements à construire dans le niveau appelé "combles".
Soumis à l'enquête publique par publication dans le Bulletin officiel du canton du Valais du 20 juillet 2007, ce projet a notamment suscité l'opposition des propriétaires voisins, B._ et D._ ainsi que C._, qui ont fait valoir, entre autres griefs, l'absence d'étude géologique et d'étude d'impact sur le bruit. Par décision du 26 juin 2008, le Conseil communal de Sion a levé les oppositions et octroyé le permis de construire, à condition que toutes les mesures constructives soient prises afin d'assurer assez de dégagement à la sortie du parking pour permettre une bonne circulation des véhicules sur le chemin du Vieux-Canal, et de produire un plan de circulation conforme aux normes VSS de l'Union suisse des professionnels de la route, avant le début des travaux. Une dérogation à l'alignement en vigueur sur l'avenue de France était accordée sur la base d'un préavis favorable du Service cantonal des routes et des cours d'eau.
B. Le 24 juin 2009, le Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) a rejeté les recours formés par les opposants à l'encontre de cette décision. B._ et C._ ont recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 21 décembre 2009, celle-ci a admis le recours, au motif que le projet dépassait la hauteur maximale de la façade prescrite par le règlement communal.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer l'affaire au Tribunal cantonal pour nouvelle décision au sens des considérants. Il se plaint notamment d'une application arbitraire du RCCZ.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer. Le Conseil d'Etat et la Ville de Sion concluent à l'admission du recours et les intimés à son rejet.
Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 lit. d LTF) dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions (art. 82 lit. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. Le recourant a pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. Il est particulièrement touché par l'arrêt attaqué qui annule l'autorisation de construire que le Conseil communal de Sion lui avait délivrée: il peut ainsi se prévaloir d'un intérêt digne de protection à ce que cette décision soit annulée. Il a donc qualité pour agir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont réunies, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière sur le fond.
2. Le recourant invoque la protection contre l'arbitraire dans l'application faite par l'autorité cantonale des dispositions en matière d'autorisation de construire. La question litigieuse est uniquement celle de savoir si le parapet d'une longueur de 31,7 mètres et d'une hauteur d'un mètre, doit ou non être pris en compte dans le calcul de la hauteur de la façade.
Le Tribunal cantonal a retenu en substance que, situé en retrait ou non, le garde-corps est une partie intégrante de la façade et il ne saurait être considéré comme un élément de la toiture lorsqu'il en est séparé par un volume d'air libre. Ajoutant ainsi la hauteur du parapet (1 m) à celle des étages inférieurs (14 m), il en conclut que la hauteur de la façade est de 15 m, ce qui contrevient à l'art. 95 RCCZ. Pour le recourant au contraire, le parapet litigieux est construit en retrait de la ligne de façade et s'inscrit totalement dans le volume défini par la ligne de toiture et son prolongement jusqu'à l'intersection avec la ligne de façade.
2.1 L'art. 95 RCCZ définit les différents types de zones à bâtir. Il prévoit que la hauteur des façades dans la "zone de centre III" ne doit pas dépasser 14 m. Quant à l'art. 78 let. a RCCZ, relatif à la hauteur des façades, il prévoit que dans les zones de centre, "la hauteur d'un bâtiment est mesurée au milieu de la façade principale la plus haute et se mesure, sur une verticale, du point le plus bas du sol naturel (ou du sol aménagé, s'il est plus bas), jusqu'à l'intersection de la façade avec la ligne supérieure de la toiture".
Le règlement communal ne prévoit cependant pas le cas où la ligne de façade et la ligne de toiture ne se croisent pas réellement; il ne contient pas non plus des normes particulières pour le calcul de la hauteur des façades lorsque des logements sont aménagés dans la toiture des bâtiments.
2.2 Appelé à revoir l'application faite d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou encore si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4; 134 II 124 consid. 4.1 p. 133; 133 II 257 consid. 5.1 p. 260), ce que les recourants doivent démontrer en vertu de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 134 I 263 consid. 3.1 p. 265; 133 II 396 consid. 3.2 p. 400).
2.3 Pour arriver à la conclusion qu'il fallait prendre en compte la hauteur du parapet dans le calcul de la hauteur de la façade, le Tribunal cantonal s'est fondé sur un précédent ayant donné lieu à l'arrêt du Tribunal fédéral 1P.211/1992 du 16 juillet 1992. Dans cette cause, le litige portait également sur le calcul de la hauteur de la façade d'un bâtiment sis en "zone de centre III" en ville de Sion. Cet immeuble présentait une première partie composée du sous-sol, du rez-de-chaussée et de trois étages: sur cette première partie se superposaient des combles et des "surcombles" dont les façades étaient en retrait par rapport à la façade de la première partie. La surface à l'air libre ainsi dégagée dans les combles était limitée par un parapet, élément toutefois construit dans le prolongement de la façade de la première partie du bâtiment. La hauteur de la façade, y compris le parapet, était de 14 m.
Le Tribunal cantonal a retenu que, dans la logique de l'ATF précité, "le point de croisement théorique entre la ligne de toiture et la ligne de façade doit, lorsqu'il faut calculer la hauteur médiane maximale de façade en zone de centre III pour un projet comprenant un corps de bâtiment surmonté de combles pourvus de terrasses, être pris au sommet du garde-corps des terrasses". Il a considéré que le garde-corps faisait partie intégrante de la façade, et n'était pas un élément des combles. De plus, pour l'instance précédente, "ramener ce point de croisement théorique au sommet de la façade du volume que surmontent les combles et les terrasses serait méconnaître la distinction de l'art. 78 let. a RCCZ entre deux composants externes du bâtiment: les façades qui enveloppent le corps de construction et la toiture qui le coiffe". Enfin, le Tribunal cantonal a relevé que certes en l'espèce, le garde-corps était en retrait par rapport à la façade et qu'il ne la prolongeait pas, et qu'il pourrait être considéré comme un ouvrage contribuant à l'utilisation des combles installés dans le volume de la toiture, sans que la hauteur de cet ouvrage soit à inclure dans celle de la façade. Cependant, pour lui, ce raisonnement serait contraire à la définition des combles, donnée par le glossaire de l'ordonnance cantonale sur les constructions du 2 octobre 1996 (OC; RSVS 705.100). Définis comme le "niveau situé dans le volume d'une toiture en pente", les combles pourraient comporter des murs et des ouvertures dans ceux-ci, mais ils ne pourraient englober un parapet dont ils seraient séparés de fait par un volume d'air libre. Le fait que le parapet plein d'un mètre de haut s'insère, non pas dans le volume construit des combles, mais dans un volume extérieur à ceux-ci n'est pas un motif de dissocier sa hauteur d'un mètre des 14 mètres de hauteur de la façade.
2.4 L'interprétation que fait le Tribunal cantonal de l'arrêt 1P.211/1992 est erronée. En effet, il ne ressort pas de cet arrêt que le point de croisement théorique entre la ligne de toiture et la ligne de façade se trouve au sommet du garde-corps des terrasses. La méthode appliquée par le Tribunal fédéral dans cet arrêt pour déterminer le point de référence pour mesurer la hauteur de la façade est de prolonger la ligne de toiture jusqu'au point de croisement théorique de la ligne de façade. Ce sont donc ces deux lignes qui déterminent le point qui servira à calculer la hauteur de la façade. Si la hauteur du garde-corps avait été prise en compte dans l'arrêt précité, c'était uniquement parce que cet élément s'inscrivait dans le prolongement direct de la façade et qu'il en faisait ainsi partie. En l'espèce, la hauteur du parapet ne doit pas être additionnée, car elle est comprise dans le prolongement théorique de la pente du toit.
De plus, la méthode de calcul de la hauteur de la façade, choisie par le Tribunal cantonal, ne s'impose nullement au regard du texte de l'art. 78 lit. a RCCZ et de la définition des combles prévue par l'OC. S'il est vrai qu'elle n'empêche pas l'aménagement de logements dans le volume réglementaire de la toiture, elle a pour conséquence de permettre uniquement la construction de fenêtres dans le toit, soit par le biais de lucarnes, soit par le biais de "balcons-baignoires"; c'est une restriction déraisonnable que le législateur communal ne peut pas avoir voulue en adoptant cette disposition. En effet, un toit peut ne pas s'étendre depuis son faîte jusqu'à son intersection avec la ligne de façade. Ce qui importe c'est que tout aménagement de combles s'inscrive dans le volume de la toiture en pente. La solution retenue par le Tribunal cantonal ne répond donc à aucun critère objectif et repose sur une interprétation insoutenable du règlement communal.
Ainsi, à l'instar de la Ville de Sion et du Conseil d'Etat, il faut admettre que le parapet séparé de fait des combles, construit en retrait de la façade, mais situé dans le volume admissible de la toiture, ne doit pas être pris en compte dans le calcul de la hauteur de la façade.
3. Il s'ensuit que le recours est admis et l'arrêt attaqué annulé. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal afin qu'il examine les autres griefs soulevés par les intimés et qu'il prenne une nouvelle décision au sens des considérants. Les intimés, qui succombent, devront supporter les frais de la présente procédure (art. 65 al. 1 et 66 LTF). Ils verseront en outre une indemnité à titre de dépens au recourant, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis; l'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à la Cour de droit public du Tribunal cantonal, pour nouvelle décision au sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 francs, sont mis à la charge de B._ et C._, solidairement entre eux.
3. Une indemnité de 2'000 francs est allouée au recourant, à titre de dépens, à charge de B._ et C._, solidairement entre eux.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant et des intimés, à la Commune de Sion, au Conseil d'Etat ainsi qu'à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 8 avril 2010
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Tornay Schaller