Erwägungen:
1. Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern verfügte am 26. September 2008 gegen X._ eine Verwarnung. Es ging davon aus, dass X._ am 29. August 2008 in Oberburg durch mangelnde Aufmerksamkeit im Strassenverkehr einen Verkehrsunfall verursacht hat. Wegen dieses Vorfalls wurde X._ mit in Rechtskraft erwachsenem Strafmandat vom 26. September 2008 durch den zuständigen Untersuchungsrichter des Untersuchungsrichteramtes Emmental-Oberaargau der mangelnden Aufmerksamkeit für schuldig befunden und gestützt auf Art. 90 Ziffer 1 SVG zu einer Busse von Fr. 300.-- verurteilt.
Mit Einspracheentscheid vom 27. Januar 2010 wies das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt eine von X._ gegen die Verfügung vom 26. September 2008 erhobene Einsprache ab. Gegen diesen Entscheid reichte X._ Beschwerde bei der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführern ein. Die Rekurskommission kam mit Entscheid vom 31. März 2010 zum Schluss, dass die Sache auch unter dem rechtlichen Aspekt eines mittelschweren Falles zu prüfen sei. Ausserdem sei zu prüfen, ob gegen den Beschwerdeführer eine Fahreignungsuntersuchung anzuordnen sei. Die Rekurskommission ersuchte X._ ihr mitzuteilen, ob er an seiner Beschwerde festhalten wolle. Mit Schreiben vom 9. April 2010 teilte X._ der Rekurskommission mit, er halte an seiner Beschwerde fest.
Die Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführern wies mit Entscheid vom 21. April 2010 die Beschwerde ab, hob den Einspracheentscheid vom 27. Januar 2010 auf und wies die Sache an das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern mit der Weisung zurück, die Fahreignung des Beschwerdeführers aus charakterlichen sowie aus medizinisch-psychiatrischen Gründen abklären zu lassen.
2. X._ führt mit Eingabe vom 5. Mai 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den ihm erst im Urteilsdispositiv mitgeteilten Entscheid der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführern. Das Bundesgericht teilte ihm mit Schreiben vom 21. Mai 2010 mit, dass er nach Erhalt des begründeten Entscheids seine Beschwerde innert 30 Tagen mit der notwendigen Begründung versehen könne. X._ ergänzte in der Folge seine Beschwerdebegründung mit Eingaben vom 28. Juni 2010 sowie 18. und 23. Juli 2010.
Die Rekurskommission und das Bundesamt für Strassen beantragen Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdeführer reichte am 7. Oktober 2010 unaufgefordert eine Replik ein.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, setzt sich mit den Ausführungen der Rekurskommission, die zur Abweisung der Beschwerde und zur Rückweisung der Sachen an das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt führten, nicht rechtsgenüglich auseinander und legt nicht dar, inwiefern die Rekurskommission dabei Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt haben sollte. Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Entscheids darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
Somit kann offen bleiben, ob es sich beim angefochtenen Entscheid überhaupt um einen anfechtbaren Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG handelt.
4. Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern, der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführern und dem Bundesamt für Strassen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli