Faits:
A.
A.a. Ressortissant turc né en 1973, A._ est arrivé en Suisse le 26 mars 2010 au bénéfice d'une autorisation de séjour pour regroupement familial à la suite de son mariage avec une ressortissante suisse.
A._ a été précédemment marié à une compatriote résidant en Turquie, dont il a divorcé le 22 octobre 1998. Trois enfants sont issus de cette union : B._, né en 1994, C._, né en 1998, et D._, née en 2005, soit sept ans après le divorce de ses parents.
A.b. Le 26 août 2010, B._ et C._ avaient déposé auprès du Consulat général de Suisse, à Istanbul, une demande d'entrée et de séjour en Suisse pour vivre auprès de leur père. Le 16 mai 2011, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après : le Service de la population) avait refusé de leur délivrer des autorisations d'entrée et de séjour. A._ avait formé recours contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après : le Tribunal cantonal), qui l'avait rejeté par arrêt du 1 er décembre 2011 au motif que le regroupement familial était manifestement contraire aux intérêts des enfants. Ces derniers, élevés par leur grand-mère paternelle, avaient toujours vécu en Turquie. Le déracinement qu'aurait constitué leur départ pour la Suisse, pays dont il n'était pas établi qu'ils maîtrisaient une des langues, apparaissait en effet plus néfaste à leur développement que la poursuite de leur séjour dans leur pays d'origine entourés, exception faite de leur père, de toute leur famille proche. Le recourant ne soutenait pas que ses fils n'entretenaient pas de rapports avec leur mère ou leur petite soeur D._. Une mesure de regroupement familial était susceptible de s'accompagner de grandes difficultés d'intégration, qui étaient d'autant plus probables et potentiellement importantes vu l'âge relativement avancé des deux garçons. Le recourant n'alléguait de surcroît aucun changement significatif dans leurs conditions de vie propres à péjorer leur bien-être, ni que leur mère ne pourrait pas s'en occuper, comme elle le faisait pour D._, si leur grand-mère paternelle ne devait plus être en mesure de le faire à plus ou moins brève échéance. Il apparaissait finalement que la demande de regroupement familial était motivée par le souhait d'offrir aux deux fils de A._ un meilleur avenir, ce qui n'était pas le but d'une telle mesure.
L'arrêt du 1 er décembre 2011 du Tribunal cantonal est devenu définitif et exécutoire.
A.c. Le 9 novembre 2012, A._ a demandé au Service de la population de procéder à un réexamen de sa décision du 16 mai 2011, sollicitant désormais également une autorisation de séjour pour regroupement familial en faveur de sa fille D._. Le 26 février 2013, cette autorité a déclaré irrecevable, subsidiairement a rejeté la demande de A._. Le Service de la population a retenu que les arguments à l'appui de la nouvelle requête avaient déjà été examinés au cours de la première procédure, le seul élément nouveau, portant sur la demande de regroupement familial en faveur de D._, n'étant pas propre à modifier son appréciation, d'autant moins qu'aucune demande de visa n'avait été déposée en faveur de cette dernière et qu'il n'était pas établi que A._ ait obtenu la garde sur celle-ci, comme il l'alléguait.
B.
Le 30 mars 2013, A._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal cantonal, concluant à son annulation et à l'octroi d'une autorisation d'entrée, respectivement de séjour, pour regroupement familial en faveur de B._, C._ et D._. Il a indiqué avoir obtenu le droit de garde sur D._ et allégué qu'il existait un intérêt manifeste pour ses trois enfants à vivre à ses côtés.
Par arrêt du 25 juillet 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de A._ et confirmé la décision du Service de la population du 26 février 2013.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral de constater que les conditions du regroupement familial sont réunies pour ses trois enfants, de délivrer à ces derniers une autorisation d'entrée et de séjour et d'annuler l'arrêt du 25 juillet 2013 du Tribunal cantonal.
Le Service de la population renonce à se déterminer sur le recours. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de l'arrêt attaqué et renonce à déposer une réponse. L'Office fédéral des migrations propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 139 V 42 consid. 1 p. 44).
1.1. Le recourant a simplement déclaré former un " recours " auprès du Tribunal fédéral. Cette désignation imprécise ne saurait lui nuire, à condition que le recours remplisse les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (cf. ATF 138 I 367 consid. 1.1 p. 370; 136 II 489 consid. 2.1 p. 491).
1.2. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
1.2.1. Sous l'angle du droit interne, le regroupement familial est régi par les art. 42 ss de la loi fédérale sur les étrangers (LEtr, RS 142.20). Bien que le recourant soit marié à une ressortissante suisse, le droit au regroupement familial sur la base de l'art. 42 al. 1 LEtr, comme l'a envisagé l'arrêt attaqué, n'entre pas en considération, cette disposition n'étant pas applicable aux beaux-enfants d'un conjoint suisse (ATF 137 I 284 consid. 1.2 p. 286 s.; arrêt 2C_793/2011 du 22 février 2012 consid. 1.1).
Le recourant possède une autorisation de séjour, de sorte que le regroupement familial avec ses enfants mineurs doit être envisagé sous l'angle de l'art. 44 LEtr (arrêt 2C_305/2012 du 1 er octobre 2012 consid. 1.2 et les références citées). Or, cette disposition ne confère pas de droit à une autorisation de séjour au sens de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, l'octroi d'une telle autorisation étant laissé à l'appréciation de l'autorité (cf. ATF 137 I 284 consid. 1.2 p. 287; arrêt 2C_639/2012 du 13 février 2013 consid. 1.2.1).
Il s'ensuit qu'en vertu de la législation interne, le recourant ne peut se prévaloir d'un droit au regroupement familial lui permettant de former un recours en matière de droit public.
1.2.2. Sous l'angle du droit international, le recourant invoque l'art. 8 CEDH. Selon la jurisprudence, un étranger peut se prévaloir de la protection de la vie familiale découlant de l'art. 8 CEDH à condition qu'il entretienne une relation étroite et effective avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse (cf. ATF 137 I 284 consid. 1.3 p. 287; 136 II 177 consid. 1.2 p. 180).
En tant que conjoint d'une ressortissante suisse, le recourant a en principe un droit au renouvellement de son autorisation de séjour en Suisse, pour autant qu'il fasse ménage commun avec elle (art. 42 al. 1 LEtr). L'arrêt attaqué ne retient pas que le recourant vivrait séparé de son épouse, de sorte qu'il doit être tenu pour établi qu'il a un droit de résider durablement en Suisse. Quant à l'existence d'une relation étroite et effective avec ses enfants, elle ne ressort pas explicitement de l'arrêt attaqué, de sorte que cet élément n'est pas établi. On peut donc se demander si le recourant peut prétendre à un droit sous l'angle de l'art. 8 CEDH. Vu l'issue du recours, ce point peut toutefois rester incertain.
1.2.3. La recevabilité du recours en matière de droit public contre une décision rendue en matière de regroupement familial dépend également de l'âge des enfants pour lesquels cette mesure est requise. En effet, l'art. 8 CEDH protège avant tout les relations entre les parents et leurs enfants mineurs (cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.2 p. 146; 127 II 60 consid. 1d/aa p. 65; arrêt 2C_710/2013 du 10 février 2014 consid. 1.1). A cet égard, le Tribunal fédéral se fonde sur l'âge de l'enfant au moment du dépôt de la demande lorsque le regroupement est fondé sur droit interne; sous l'angle de l'art. 8 CEDH toutefois, c'est l'âge atteint au moment où le Tribunal fédéral statue qui est déterminant (ATF 136 II 497 consid. 3.2 p. 500).
Le recours formé en faveur de B._, qui a eu 18 ans le 15 mai 2012, est en conséquence irrecevable.
1.2.4. Il découle de ce qui précède que le recours n'est admissible sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF qu'en relation avec la demande de regroupement familial en faveur de C._ et de D._.
1.3. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (cf. art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Il a été déposé en temps utile (cf. art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (cf. art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Il convient donc d'entrer en matière.
2.
2.1. La demande de regroupement familial formulée sur le plan cantonal en faveur des fils du recourant s'inscrit dans le contexte d'une requête de réexamen d'un premier refus; en revanche, c'est la première fois que le recourant formule une telle demande en faveur de sa fille D._. Le dispositif de la décision du Service de la population du 26 février 2013 est à cet égard ambigu en tant qu'il prévoit que la " demande de reconsidération " du recourant est irrecevable, subsidiairement rejetée, sans opérer de distinction entre la situation procédurale différente des fils et de la fille du recourant. Il ressort toutefois de la motivation tant de la décision 26 février 2013 que de l'arrêt attaqué qui la confirme que c'est bien d'un refus d'entrer en matière du Service de la population dont il s'agit pour B._ et C._, les autorités cantonales ayant estimé qu'il n'existait pas de fait nouveau justifiant un réexamen de la demande de regroupement familial en faveur des deux garçons, alors que pour D._, la demande de regroupement familial a été rejetée, le recourant n'ayant pas établi avoir la garde sur cette dernière et les motifs ayant fondé le refus du regroupement familial en faveur de ses frères lui étant également opposables.
3.
Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus par l'art. 105 al. 2 LTF. Il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). S'il entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergeant de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3.1. Le recourant présente sa propre version des événements et se réfère à des faits non constatés dans l'arrêt attaqué, sans indiquer ni a fortiori démontrer en quoi cet acte serait manifestement inexact ou arbitraire. Partant, la Cour de céans se fondera exclusivement sur les faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué et sans prendre en considération la pièce produite par le recourant relative à sa fille D._, celle-ci étant nouvelle.
4.
Le recours peut être formé pour violation du droit tel qu'il est délimité à l'art. 95 LTF, soit en particulier le droit fédéral (let. a), y compris le droit constitutionnel et le droit international (let. b). Le recourant invoque en l'espèce l'art. 8 CEDH.
4.1. Dans la mesure où l'arrêt attaqué confirme la décision d'irrecevabilité du Service de la population concernant C._, le recourant ne peut que contester le refus d'entrer en matière sur la demande de réexamen, mais non invoquer le fond, à savoir l'existence des conditions justifiant l'octroi d'une autorisation de séjour (ATF 126 II 377 consid. 8d p. 395; arrêts 2C_172/2013 du 21 juin 2013 consid. 1.4; 2C_504/2013 du 5 juin 2013 consid. 3)
Le recourant perd de vue ces principes, dès lors que son argumentation, concernant C._, porte exclusivement sur l'existence des conditions justifiant le regroupement familial et non sur le refus d'entrer en matière motivé par l'absence de fait nouveau de la seconde demande par rapport à la première décision rendue le 16 mai 2011. De telles critiques ne sont pas admissibles, de sorte que le recours est irrecevable en ce qui concerne le regroupement familial relatif à C._.
4.2. Concernant D._, la demande de regroupement familial formulée est un cas de regroupement familial partiel (sur cette notion, voir notamment ATF 137 I 284 consid. 2.3.1 p. 290 s. et les arrêts cités), qui suppose notamment que le parent le faisant valoir bénéficie de l'autorité parentale ou au moins du droit de garde sur l'enfant (sur les conditions du droit au regroupement familial partiel fondé sur l'art. 44 LEtr, cf. arrêt 2C_793/2011 du 22 février 2012 consid. 2.4).
4.2.1. Pour rejeter la demande de regroupement familial, l'arrêt attaqué a retenu, hormis l'absence de demande de visa, qu'il n'était pas établi que le recourant ait obtenu la garde sur sa fille, le document produit à cet effet n'étant pas probant, s'agissant d'une traduction libre d'un acte judiciaire dont l'original n'avait pas été transmis et sur lequel aucune identité de personnes ne figurait. Au demeurant, il apparaissait que le regroupement familial n'était de toute manière à première vue pas dans l'intérêt de D._ qui, âgée de presque huit ans, avait toujours vécu en Turquie auprès de sa mère, dont le recourant n'allléguait pas qu'elle s'en occupe mal, et qui n'avait probablement jamais vécu avec son père.
4.2.2. Le recourant ne conteste pas cette appréciation sous l'angle de l'arbitraire, pas plus qu'il n'affirme qu'elle serait manifestement inexacte. Il produit en revanche, pour la première fois devant le Tribunal fédéral, une pièce censée établir un droit de garde sur sa fille D._. Cette pièce, nouvelle, n'est pas recevable (art. 99 al. 1 LTF; cf. supra consid. 3.2). En effet, la tâche du Tribunal fédéral est de déterminer si l'autorité précédente a ou non violé le droit sur la base de la situation existant au moment où elle a rendu sa décision ( BERNARD CORBOZ, in Commentaire LTF 2009, n° 26 ad art. 99). Un nouveau moyen de preuve produit après coup peut, à la rigueur, donner lieu à une demande de réexamen, mais ne peut être pris en compte par le Tribunal fédéral comme une autorité de première instance le ferait. Le recourant conserve ainsi la possibilité de formuler une nouvelle demande de regroupement familial en faveur de D._ dans le délai de l'art. 47 al. 1 et 3 let. b LEtr.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF). Le canton n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 4 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Seiler
La Greffière: Vuadens