Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Die Beschwerdeführerin, ihr Ehemann und zwei Bekannte erstatteten am 17. Februar 2012 Strafanzeige gegen zahlreiche Personen wegen diverser Delikte. Unter anderem hätten die Beschwerdegegner 2-4 den zehnjährigen Sohn der Beschwerdeführerin bei seiner Schwester (Beschwerdegegnerin 3) und deren Mitbewohnerin (Beschwerdegegnerin 2) übernachten lassen und damit die Tatbestände der Entziehung von Unmündigen und Kindesentführung erfüllt. Die Beschwerdegegnerin 1 nahm die Strafsache am 27. Februar 2013 nicht an die Hand. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 5. August 2013 ab.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt die Beschwerdeführerin, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und die Sache zur neuen Kostenverteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin 1 sei anzuweisen, das Strafverfahren gegen die Beschwerdegegner 2-4 unverzüglich an die Hand zu nehmen und unter Gewährung aller Teilnahmerechte formell zu eröffnen.
2.
2.1. Die Privatklägerschaft ist nach Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 5 BGG zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wenn sie vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat und wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann. Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG hat die Beschwerdeführerin darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind (BGE 133 II 353 E. 1). Bei Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht (BGE 137 IV 246 E. 1.3.1 S. 248). Selbst wenn dies der Fall wäre (siehe Art. 119 Abs. 2 lit. b StPO), würde die Staatsanwaltschaft, welche das Verfahren nicht an die Hand nimmt oder einstellt, die Zivilklage nicht behandeln (vgl. Art. 320 Abs. 3 StPO). In jedem Fall hat die Privatklägerschaft im Verfahren vor Bundesgericht zu erläutern, welche Zivilansprüche sie gegen die beschuldigte Person stellen möchte, sofern dies - etwa aufgrund der Natur der untersuchten Straftat - nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich ist (BGE 138 IV 186 E. 1.4.1; 137 IV 219 E. 2.4 S. 223; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin hat sich im kantonalen Verfahren als Privatklägerin konstituiert, jedoch keine Zivilansprüche geltend gemacht. Vor Bundesgericht führt sie aus, der angefochtene Entscheid wirke sich auf ihre Zivilansprüche aus. Durch den Entzug der Obhut habe sie einen Schock erlitten, der bei ihr ein nerven-indiziertes Augenleiden hervorgerufen habe. Sie sei mittlerweile in Abklärung einer IV-Rente. Ihren Beruf könne sie nur noch sehr beschränkt ausüben und ihre Ehe sei an diesem Verfahren zerbrochen. Die Beschwerdeführerin gibt nicht an, welche Zivilansprüche sie konkret geltend machen will. Ebenso wenig belegt sie ihre Ausführungen. Sie legt nicht dar, dass bzw. inwiefern die Voraussetzungen für die Leistung einer Genugtuung erfüllt sind (vgl. BGE 131 III 26 E. 12.1; Urteil 6B_16/2014 vom 8. Mai 2014 E. 1.1). Ferner begründet sie nicht, welchen Nachteil sie dadurch erlitt, dass ihr Sohn in ihrem Wissen einige Nächte bei ihrer Tochter übernachtete. Die Beschwerde genügt den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 1 BGG nicht. Da sich die möglichen Zivilansprüche auch nicht aus den Umständen des Falles ergeben, sind die Voraussetzungen von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG nicht erfüllt.
2.2. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, ihr Strafantragsrecht als solches sei beeinträchtigt worden. Somit kann sie auch aus Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 6 BGG nichts für ihre Beschwerdebefugnis ableiten.
2.3. Ebenso wenig ist sie nach der "Star-Praxis" zur Beschwerde legitimiert, da sie keine Verletzung von Verfahrensrechten rügt. Ihre Vorbringen zielen auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids (vgl. BGE 136 IV 41 E. 1.4; 135 II 430 E. 3.2; je mit Hinweisen).
2.4. Die Beschwerdeführerin argumentiert, sie habe gestützt auf Art. 3 und 8 EMRK Anspruch auf eine wirksame und vertiefte amtliche Untersuchung, da sie von einer staatlichen Behörde in ihrer Menschenwürde verletzt worden sei (vgl. BGE 138 IV 86 E. 3.1.1; 131 I 455 E. 1.2.5 f.; Urteil 1B_355/2012 vom 12. Oktober 2012 E. 1.2.2 mit Hinweis). Dabei verkennt sie, dass das Strafverfahren gegen die von ihr ebenfalls angezeigten Angestellten der damals für ihren Fall zuständigen Vormundschaftsbehörde nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids ist.
3.
Die Voraussetzungen von Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG sind nicht erfüllt, weshalb auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Andres