Fatti:
A. N._, al momento dei fatti disoccupata e, come tale, assicurata d'obbligo contro gli infortuni presso l'Istituto nazionale svizzero di assicurazione contro gli infortuni (INSAI), in data 7 dicembre 2005, a seguito di una scivolata su una lastra di ghiaccio, ha battuto il gomito sinistro, riportando la frattura articolare del capitello radiale sinistro. Il 14 dicembre 2005 è stata sottoposta ad un intervento chirurgico di osteosintesi presso l'Ospedale X._. Il caso è stato assunto dall'assicuratore infortuni, che ha corrisposto le prestazioni di legge.
Dopo aver esperito alcuni accertamenti ed avere sottoposto il caso ai propri medici di circondario nonché al PD dott. J._, specialista in ortopedia (in particolare gomito e spalla) presso la clinica W._ con decisione del 14 maggio 2009, confermata il 9 giugno 2009 in seguito all'opposizione presentata dall'interessata, l'INSAI, tenuto conto dei soli postumi infortunistici oggettivabili, ha dichiarato l'assicurata abile al lavoro in misura completa e non più bisognosa di ulteriori cure mediche, segnatamente dell'intervento di asportazione del materiale osteosintetico (cosiddetta AMO), a decorrere dal 1° gennaio 2009.
B. N._ si è aggravata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, chiedendo la condanna dell'assicuratore infortuni al versamento di ulteriori prestazioni dopo il 31 dicembre 2008. L'assicurata ha in particolare precisato di essersi sottoposta, in data 30 giugno 2009, ad un'operazione tendente alla mobilizzazione del gomito in narcosi eseguita dal dott. S._, capoclinica in ortopedia presso l'Ospedale X._, trattamento che ha contribuito ad una netta riduzione dei dolori e ad una piena ripresa della capacità di svolgere le proprie attività quotidiane.
Per giudizio del 18 novembre 2009 il presidente del Tribunale cantonale delle assicurazioni, dopo aver chiesto ulteriori chiarimenti al dott. J._, ha respinto il gravame.
C. Contro la pronuncia cantonale N._ interpone ricorso al Tribunale federale, chiedendone l'accoglimento e meglio l'attribuzione delle prestazioni assicurative per incapacità lavorativa al 100 % dal 1° gennaio al 1° febbraio 2009 e dal 24 febbraio al 3 settembre 2009 e al 50 % dal 2 al 23 febbraio nonché dal 4 settembre al 29 novembre 2009. Chiede inoltre di porre a carico dell'INSAI tutte le spese mediche da lei sostenute in relazione all'intervento di mobilizzazione in narcosi avvenuto il 30 giugno 2009. Dei motivi si dirà, se necessario, nei considerandi.
Chiamati a pronunciarsi sul gravame, l'istituto assicuratore ne ha proposto la reiezione, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. 1.1 Nella procedura di ricorso in materia amministrativa sono di massima esaminabili e giudicabili solo i rapporti giuridici sui quali la competente autorità amministrativa si è precedentemente, e in maniera vincolante, determinata con una decisione. Di conseguenza, se non è (ancora) stata emessa una decisione (o una decisione su opposizione), manca l'oggetto impugnato e quindi un presupposto processuale (DTF 131 V 164 consid. 2.1 pag. 164 e seg.; 125 V 413 consid. 1a pag. 414 con riferimenti; cfr. pure sentenza 8C_549/2007 del 30 maggio 2008 consid. 4).
1.2 L'oggetto impugnato è il rapporto giuridico determinato dalla pronunzia cantonale, che, in seguito all'effetto devolutivo del ricorso, sostituisce la decisione amministrativa impugnata in prima istanza (DTF 117 V 294 consid. 2a pag. 295). Secondo costante giurisprudenza, l'oggetto impugnato è rappresentato, dal profilo formale, da una decisione, mentre, da quello sostanziale, dai rapporti giuridici in essa regolati (cfr. DTF 125 V 413 consid. 2a pag. 415; 124 V 19 consid. 1 pag. 20 e i riferimenti ivi citati; cfr. pure DTF 110 V 48). L'oggetto litigioso configura per contro il rapporto giuridico che, sulla base delle conclusioni ricorsuali, viene effettivamente impugnato e portato, quale tema processuale, dinanzi al giudice (di prima o seconda istanza; DTF 125 V 413 consid. 2a pag. 415 con riferimenti). Stando a tale definizione, l'oggetto impugnato come pure quello litigioso si riferiscono ad uno (ad es.: diritto alla rendita) o più rapporti giuridici (ad es.: diritto alla rendita e diritto all'integrazione). Se pertanto il ricorso è diretto solo contro alcuni dei rapporti giuridici disciplinati dalla decisione querelata, gli altri fanno sì parte dell'oggetto impugnato, ma non di quello litigioso (in questo senso anche DTF 118 V 311 consid. 3b pag. 313 seg.; inoltre vedasi DTF 119 V 347 consid. 1b pag. 350 come pure Meyer, Die Rechtspflege in der Sozialversicherung, in BJM 1989 pag. 25). L'oggetto della lite viene quindi definito alla luce delle censure sollevate con il ricorso (Locher, Grundriss des Sozialversicherungsrechts, Berna 2003, pag. 482), le quali vengono considerate validamente presentate se dal tenore o perlomeno dal senso di quest'ultimo risultano con sufficiente chiarezza (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni H 101/85 del 23 ottobre 1985, in RCC 1986 pag. 317 consid. 4a).
1.3 Irrilevanti per la definizione concettuale dell'oggetto litigioso e per la sua distinzione dall'oggetto impugnato sono gli elementi costitutivi (aspetti parziali: cfr. DTF 110 V 48 consid. 3c pag. 51 e 122 V 242 consid. 2a pag. 244) del rapporto giuridico regolato dal provvedimento amministrativo. Aspetti parziali di un rapporto giuridico definito per via di decisione servono di norma soltanto alla motivazione del provvedimento e sono di conseguenza sottratti di principio ad un'impugnazione autonoma (DTF 125 V 413 consid. 2b pag. 416; 106 V 91 consid. 1 pag. 92). Essi sono pertanto di principio esclusi dall'esame giudiziario soltanto se l'oggetto litigioso è cresciuto in giudicato (DTF 125 V 413 consid. 2b pag. 416).
1.4 La definizione di oggetto impugnato in procedura cantonale corrisponde a quella in vigore in procedura federale e, in tale ambito, questa Corte esamina d'ufficio se i principi sono stati applicati correttamente dal Tribunale di prime cure (sentenze del Tribunale federale delle assicurazioni C 251/03 del 18 marzo 2005 consid. 3.1 e K 117/92 del 21 aprile 1993 consid. 2a).
2. 2.1 Oggetto del contendere è il diritto dell'assicurata a prestazioni di corta durata dell'assicurazione infortuni dopo il 1° gennaio 2009.
2.2 Dal giudizio impugnato emerge che il presidente del Tribunale cantonale si è in particolare pronunciato, così come richiesto dall'assicurata nel proprio gravame, sull'obbligo dell'INSAI di assumere i costi relativi all'intervento chirurgico di mobilizzazione in narcosi del gomito eseguito presso l'Ospedale X._ dal dott. S._ in data 30 giugno 2009 (tramite il quale, dopo una serie di manovre, si è giunti all'estensione completa dell'articolazione interessata e secondo l'assicurata ad una netta riduzione dei dolori), negandolo. Dopo aver sottoposto alcuni quesiti al dott. J._, che si era già espresso sul caso in sede amministrativa, il presidente del Tribunale adito ha concluso che la ricorrente era stata dichiarata abile al lavoro indipendentemente dalla presenza del deficit di estensione del gomito sinistro, motivo per cui l'intervento di mobilizzazione in narcosi non aveva alcun influsso sulla sua capacità lavorativa. Lo stato di salute andava quindi ritenuto stabilizzato indipendentemente dall'operazione in questione.
Dagli atti amministrativi emerge tuttavia che il dott. C._, medico di circondario, che aveva visitato l'assicurata in data 31 marzo 2009, non si è (mai) espresso sulla cura proposta dal dott. S._ in data 26 febbraio 2009, limitandosi ad osservare che l'assicurata non necessitava l'asportazione del materiale di osteosintesi (cosiddetta AMO, intervento che nulla aveva a che fare con quanto espressamente proposto dal medico dell'Ospedale X._).
Del resto neppure l'assicuratore infortuni ha mai preso posizione, tramite decisione formale, sull'assunzione dei costi del citato intervento di mobilizzazione. Nella decisione formale del 14 maggio 2009, infatti, l'INSAI ha unicamente sospeso genericamente l'assegnazione di prestazioni di corta durata dal 1° gennaio 2009, ritenendo l'assicurata abile al lavoro al 100 % quale impiegata d'ufficio rispettivamente di commercio.
Tramite il provvedimento su opposizione poi, in seguito al nuovo rapporto del dott. C._, l'INSAI si è pronunciata in generale sulla correttezza della sospensione delle prestazioni di corta durata ed in particolare (unicamente) sull'inadeguatezza dell'AMO, richiesta dall'assicurata in sede di opposizione (forse perché telefonicamente l'INSAI aveva respinto la richiesta di assumere i costi dell'intervento di mobilizzazione), ma mai prospettata dal dott. S._, contrariamente a quanto sostenuto dall'assicuratore infortuni.
2.3 Da quanto sopra esposto emerge pertanto che l'amministrazione non si è mai espressa, tramite decisione formale vincolante, sul diritto dell'assicurata all'assunzione, da parte dell'INSAI, dei costi relativi all'intervento di mobilizzazione del gomito tramite narcosi e della successiva fisioterapia, rispettivamente inabilità lavorativa, bensì unicamente sul diritto al rimborso dei costi per un'eventuale operazione di asportazione delle viti (AMO), mai avvenuta in concreto.
Ne consegue che, mancando l'oggetto impugnato, il Tribunale cantonale non poteva esprimersi nel merito del rapporto giuridico contestato. La Corte adita avrebbe quindi dovuto dichiarare irricevibile il gravame e rinviare gli atti per competenza all'INSAI affinché si pronunciasse sull'eventuale obbligo di assumere i costi relativi all'intervento di mobilizzazione.
2.4 Secondo la giurisprudenza, per motivi di economia processuale la procedura giudiziaria amministrativa può essere estesa ad una questione che va oltre il rapporto giuridico oggetto della decisione e su cui è possibile statuire, nella misura in cui detto tema è così strettamente legato all'oggetto iniziale che ci si trova confrontati con uno stato di fatto comune e a condizione che l'amministrazione si sia espressa perlomeno tramite un atto processuale (DTF 130 V 501 consid. 1.2 pag. 503; 122 V 34 consid. 2a pag. 36 con riferimenti).
2.5 Nel caso concreto un'eventuale estensione dell'oggetto litigioso non può essere ammessa. In primo luogo la fattispecie non è stata accertata in maniera completa. In effetti il dott. S._ ha proposto l'intervento di mobilizzazione in narcosi, senza motivarne l'indicazione e senza aver avuto la possibilità di farlo. Inoltre egli non è stato posto a conoscenza, per eventuale presa di posizione, del parere contrario del PD dott. J._. L'INSAI, poi, non ha mai preso posizione sul tema né in sede amministrativa, se non telefonicamente e senza addurre alcuna motivazione, né in sede processuale. Nella risposta presentata in sede cantonale l'avv. F._ si è infatti limitato a prendere atto che l'intervento tendente all'estrazione delle viti non era più richiesto, esaminandone comunque l'indicazione. Egli non si è tuttavia pronunciato sull'indicazione dell'intervento di mobilizzazione. Lo stesso è avvenuto in sede federale. In simili circostanze può restare indecisa la questione se i due rapporti giuridici siano sufficientemente connessi da un punto di vista dei fatti.
3. In siffatte condizioni, anche se per altri motivi, il ricorso presentato da N._ va accolto ed il giudizio cantonale annullato, mentre il gravame inoltrato dall'interessata in sede cantonale va dichiarato irricevibile. L'incarto è quindi trasmesso all'INSAI affinché si pronunci sul diritto dell'assicurata all'eventuale assunzione da parte sua dei costi relativi all'intervento di mobilizzazione in narcosi, tramite decisione impugnabile, in particolare verificando presso il dott. S._, a cui verranno trasmessi i referti del dott. J._, i motivi per cui l'intervento, che sembra aver raggiunto il suo scopo, sarebbe (stato) indicato ai sensi degli art. 10 e 19 LAINF.
4. Visto l'esito della procedura, le spese giudiziarie vanno poste a carico dell'INSAI, soccombente (art. 66 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. In accoglimento del ricorso, il giudizio impugnato del 18 novembre 2009 è annullato. Il ricorso presentato da N._ in data 7 luglio 2009 presso il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino è irricevibile, mentre l'incarto viene trasmesso all'INSAI affinché si pronunci sul diritto dell'assicurata al rimborso dei costi relativi all'intervento di mobilizzazione del gomito in narcosi e al versamento di eventuali indennità giornaliere conformemente a quanto indicato al consid. 3.
2. Le spese giudiziarie di fr. 750.- sono poste a carico dell'INSAI.
3. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.