Sachverhalt:
A. D._ (Beschwerdegegner) als Vermieter schloss per 16. Juni 2005 mit B.C._ als Mieterin einen Mietvertrag betreffend eine 5 1/2-Zimmer Gartenwohnung an der E._-Strasse in 8700 Küsnacht. Wegen Zahlungsrückstandes kündigte der Beschwerdegegner A.C._ und B.C._ diese Wohnung mit separat an sie gerichteten amtlichen Formularen vom 16. März 2007 auf den 30. Juni 2007. Nach Scheitern diverser Bemühungen, das Mietverhältnis zu retten, kündigte der Beschwerdegegner A.C._ und B.C._ nochmals am 13. November 2007 auf den 31. März 2008, wiederum mit zwei separaten amtlichen Formularen. Die Kündigung blieb unangefochten.
B. Am 16. Mai 2008 stellte der Beschwerdegegner gegen A.C._ und B.C._ beim Bezirksgericht Meilen ein Ausweisungsbegehren. Nach Durchführung einer Hauptverhandlung befahl die Einzelrichterin mit Verfügung vom 15. Juli 2008 A.C._ und B.C._, die gemieteten Räumlichkeiten bis spätestens 22. Juli 2008 zu räumen und dem Beschwerdegegner ordnungsgemäss zu übergeben, unter Androhung der Zwangsvollstreckung im Unterlassungsfall.
Gegen diese Verfügung rekurrierten A.C._ und B.C._ an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies den Rekurs mit Beschluss vom 24. Juli 2008 ab, bestätigte die angefochtene Verfügung und setzte die Frist zur Räumung auf den 11. August 2008 an.
A.C._ und B.C._ erhoben gegen den Beschluss des Obergerichts kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich. Dieses trat mit Zirkulationsbeschluss vom 30. September 2008 auf die Beschwerde nicht ein und setzte die Frist zur Räumung neu auf den 20. Oktober 2008 an.
C. A.C._ (Beschwerdeführer) erhob mit Eingabe vom 6. August 2008 gegen den Beschluss des Obergerichts auch Beschwerde an das Bundesgericht und ersuchte um aufschiebende Wirkung. Das bundesgerichtliche Verfahren wurde bis zum Entscheid des Kassationsgerichts sistiert.
Im Nachgang zum Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts reichte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht am 24. Oktober 2008 "Ergänzungen zur Beschwerde" gegen den Obergerichtsbeschluss ein.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen, die Kündigung als rechtsgültig zugestellt zu betrachten und dem Mieter zu befehlen, das Mietobjekt sofort zu verlassen und an den Vermieter zurückzugeben. Das Obergericht verzichtete auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung vom 13. Oktober 2008 erteilte der Präsident der I. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde superprovisorisch die aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 133 III 629 E. 2).
1.1 Die Beschwerdeschrift an das Bundesgericht hat die Rechtsbegehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Fehlen die Begehren und/oder die Begründung oder missachten diese die gesetzlichen Anforderungen, und ist die Beschwerdefrist abgelaufen, wird ohne weiteres auf die Beschwerde nicht eingetreten. Eine Nachfrist zur Verbesserung wird nicht gesetzt (BGE 133 III 489 E. 3.3; betreffend die Begründung: BGE 134 II 244; MERZ, Basler Kommentar, N. 22 zu Art. 42 BGG).
1.2 Vorliegend stellt der Beschwerdeführer zur Sache überhaupt keine Begehren, weder in seiner Beschwerdeschrift vom 6. August 2008 noch in seinem ergänzenden Schreiben vom 24. Oktober 2008. Seine Beschwerde erweist sich bereits aus diesem Grund als unzulässig und es kann nicht auf sie eingetreten werden.
1.3 Auch wären die Anforderungen an die Begründung nicht erfüllt, wird doch keine Rechtsverletzung aufgezeigt. Der Beschwerdeführer beharrt lediglich auf seinem Standpunkt, das an ihn gerichtete Kündigungsschreiben hätte nicht seiner - kranken - Ehefrau ausgehändigt werden dürfen. Er kritisiert die Erwägungen der Vorinstanz als "praxis- und realitätsfern". Dabei verkennt er, dass die Auffassung der Vorinstanz, wonach das an den Beschwerdeführer gerichtete Kündigungsschreiben seiner Ehefrau übergeben werden durfte und damit als rechtsgültig ihm zugestellt gilt, in Einklang mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung steht und nicht zu beanstanden ist (BGE 118 II 42). Im Übrigen leidet die Argumentation des Beschwerdeführers an einem offensichtlichen Widerspruch, wenn er auf der einen Seite geltend macht, es sei aufgrund der Erkrankung seiner Ehefrau naheliegend, dass sie nicht "geeignet" sei, die Kündigungserklärung des Beschwerdegegners in Empfang zu nehmen, und auf der anderen Seite dafür hält, er habe die "Entwicklung", d.h. die Nichtweiterleitung des an ihn adressierten Kündigungsschreibens an ihn durch seine Frau nicht voraussehen können. Die in den Ergänzungen zur Beschwerde vorgetragene Behauptung, die Ehefrau sei im Zeitpunkt der Entgegennahme der Kündigung nicht urteilsfähig gewesen, ist neu und wäre daher nicht zu hören (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. Mit dem heutigen Entscheid in der Hauptsache wird der Antrag auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos, und der superprovisorisch erteilte Suspensiveffekt fällt dahin. Damit wird die Ausweisung vollstreckbar.
3. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. November 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Corboz Widmer