Faits:
A. A.a A._, née le 12 septembre 1967, originaire de Genève, est la mère d'une fille née hors mariage le 6 juin 2002. La garde lui en a été retirée et l'enfant a été placé dans un foyer.
Selon un rapport du Centre universitaire romand de médecine légale du 18 janvier 2010, relatif à la relation mère-enfant, A._ présente un trouble mixte de la personnalité (traits de personnalité antisociaux, histrioniques, borderline, anxieux et évitants), un syndrome de dépendance chronique aux benzodiazépines, un trouble du rythme sommeil-veille et un déficit d'attention avec hyperactivité.
Entendue en qualité de témoin, la Dresse B._ a précisé que les diagnostics posés étaient «consécutifs d'une maladie mentale». L'expertisée avait une conscience partielle de son état mental et était incapable de la moindre alliance thérapeutique avec un psychiatre. Or, elle avait besoin d'un suivi au long cours, sous forme d'une thérapie associée à un traitement médicamenteux.
A.b Le Tribunal tutélaire de Genève a désigné un mandataire d'office à A._ en la personne de Me Laura Santonino, avocate à Genève. Lors de sa comparution personnelle du 15 avril 2010, A._ s'est opposée à toute mesure de protection tutélaire. Une expertise psychiatrique a été ordonnée le 14 septembre 2010.
Le rapport d'expertise du Centre universitaire romand de médecine légale du 21 avril 2011 a confirmé que l'intéressée présentait un grave trouble de la personnalité et un trouble du déficit de l'attention avec hyperactivité, assimilables à une maladie mentale. En raison de ces pathologies, elle était incapable de gérer ses affaires et de se passer de soins et de secours permanents. Elle ne prenait pas la mesure de ses troubles psychiatriques et refusait toute aide proposée, tant médicale que sociale. Elle devait toutefois bénéficier d'une mesure tutélaire puisqu'elle ne pouvait pas collaborer de façon valable, comme elle l'avait démontré lors des tentatives de suivi effectuées par les services sociaux. En août 2009, elle avait d'ailleurs interrompu un suivi médical à la consultation des Eaux-Vives commencé en janvier 2007.
Lors de son audition du 31 mai 2011, la Dresse C._, en charge de l'expertise, a confirmé son rapport du 21 avril 2011.
A._ a demandé l'audition de la Dresse D._. Entendue en qualité de témoin le 23 juin 2011, celle-ci a déclaré que l'intéressée présentait une dépendance aux benzodiazépines, dont le sevrage nécessitait une prise en charge spécifique pour éviter les effets secondaires graves (crises d'épilepsie) en résultant. Selon ce médecin, la patiente avait besoin d'un suivi thérapeutique institutionnel qui supposait l'intervention d'une assistante sociale et d'un médecin proche de son domicile.
Dans ses conclusions motivées après enquête, A._ s'est opposée au prononcé d'une interdiction. Elle a en revanche accepté l'instauration d'une curatelle de gestion de biens, subsidiairement d'une curatelle volontaire.
B. Par ordonnance du 22 septembre 2011, communiquée le 26 septembre suivant, puis une nouvelle fois le 5 octobre 2011 ensuite d'une erreur matérielle, le Tribunal tutélaire a prononcé l'interdiction de la prénommée et a désigné X._, cheffe de section auprès du Service des tutelles d'adultes, en tant que tutrice.
A._ a formé appel de cette décision, concluant à son annulation et à l'instauration en sa faveur d'une curatelle combinée de représentation (art. 392 ch. 1 CC) et de gestion de biens (art. 393 ch. 2 CC), subsidiairement d'une curatelle volontaire (art. 394 CC). Elle a exposé qu'avec l'appui de la Dresse D._, qui ne pouvait la suivre médicalement en raison de la distance entre son domicile et le cabinet de celle-ci, elle avait été reçue par un médecin du Département de médecine communautaire, de premier recours et des urgences des Hôpitaux universitaires de Genève (HUG). Compte tenu de cette prise en charge, l'interdiction, qui la privait de l'exercice de ses droits civils, constituait une mesure trop sévère.
Par décision du 21 novembre 2011, la Chambre de surveillance du Tribunal tutélaire de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté l'appel et confirmé l'ordonnance de première instance.
C. Par acte du 6 janvier 2012, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision du 21 novembre 2011. Elle conclut, principalement, à ce qu'il soit dit qu'il n'y a pas lieu d'instaurer une mesure d'interdiction à son égard et requiert, en lieu et place, l'instauration d'une curatelle combinée au sens des art. 392 ch. 1 et 393 ch. 2 CC, voire d'une curatelle volontaire au sens de l'art. 394 CC. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
La recourante sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des réponses n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. 1.1 Déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. c, 100 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en application de normes de droit public dans une affaire connexe au droit civil (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF), par une autorité cantonale de dernière instance (art. 126 al. 3 de la loi d'organisation judiciaire genevoise [LOJ]; art. 75 al. 1 LTF), le recours en matière civile est recevable au regard de ces dispositions. La recourante a par ailleurs qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF; arrêt 5A_17/2011 du 20 juillet 2011 consid. 1 et les références).
1.2 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié ni par les motifs de la juridiction précédente, ni par les moyens des parties (ATF 133 III 545 consid. 2.2.). Compte tenu de l'exigence de motivation posée, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), à l'art. 42 al. 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui peuvent se poser, lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4). Il ne connaît de la violation de droits fondamentaux ou du droit cantonal que si ce grief a été dûment invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (ATF 134 II 349 consid. 3 et les arrêts cités).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par la juridiction précédente (art. 105 al. 1 LTF); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte - à savoir arbitraire (ATF 135 II 145 consid. 8.1; 135 III 127 consid. 1.5 et 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'écarter des constatations de l'autorité cantonale doit exposer de façon circonstanciée en quoi les exceptions prévues par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi on ne saurait tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui figure dans la décision attaquée (ATF 133 III 462 consid. 2.4; 133 IV 150 consid. 1.3). Les faits nouveaux et les preuves nouvelles sont exclus, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. La recourante se plaint de constatation manifestement arbitraire des faits. Elle reproche à l'autorité cantonale d'avoir retenu à tort qu'elle s'était opposée à toute mesure de protection tutélaire, qu'elle ne pouvait pas collaborer de façon valable avec les services sociaux et qu'elle n'avait pas pris conscience de l'importance de ses troubles. Les juges précédents n'auraient pas tenu compte de son évolution, qui lui a permis de créer un lien avec un thérapeute - la Dresse D._ puis la Dresse E._ des HUG - et d'entreprendre des démarches pour assurer son suivi médical.
2.1 De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux autorités cantonales (ATF 120 Ia 31 consid. 4b; 104 Ia 381 consid. 9 et les arrêts cités). Il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou s'il a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3; 133 II 249 consid. 1.4.3; 129 I 8 consid. 2.1).
2.2 Autant qu'elle soit pertinente, la critique est en l'occurrence infondée. D'une part, s'il est exact que la Chambre de surveillance a admis que la pupille s'était, dans un premier temps, opposée à toute mesure de protection tutélaire, elle a également constaté que celle-ci ne contestait plus, désormais, avoir besoin d'une telle protection, s'en prenant uniquement à la nature de la mesure ordonnée. D'autre part, si les juges précédents ont certes retenu qu'il résultait de l'expertise psychiatrique que l'intéressée ne pouvait pas collaborer de façon valable, cette constatation n'a pas été déterminante dans leur raisonnement. La recourante conteste en outre l'affirmation selon laquelle elle ne prendrait pas la juste mesure de ses troubles psychiatriques. A l'appui de ce grief, elle fait valoir que, selon les déclarations de la Dresse D._, elle a développé avec ce médecin une «certaine alliance thérapeutique», et soutient qu'elle est désormais suivie dans le cadre des HUG: ces allégations ne suffisent pas à démontrer que l'affirmation incriminée serait insoutenable (art. 9 Cst.), d'autant que les rendez-vous des 21 novembre et 19 décembre 2011 avec la Dresse E._, notamment invoqués par la recourante, constituent des faits nouveaux, partant irrecevables. Contrairement à ce que prétend la recourante, la Chambre de surveillance ne s'est du reste pas fondée sur ce seul motif pour statuer, comme il sera exposé ci-après.
3. La recourante soutient aussi que l'autorité cantonale a violé le principe de la proportionnalité en confirmant son interdiction (art. 369 CC) au motif, erroné, qu'elle n'aurait pas pris conscience de l'importance de ses troubles. Elle estime qu'une curatelle combinée fondée sur les art. 392 ch. 1 et 393 ch. 2 CC ou, à défaut, une curatelle volontaire selon l'art. 394 CC aurait dû être prononcée puisqu'elle ne souffre pas de prodigalité, ne contracte pas d'engagements déraisonnables et est prête à collaborer avec un curateur. Bien que non prévue par la loi, la curatelle combinée trouverait, au demeurant, largement application en pratique même lorsque l'assistance personnelle fournie est durable.
3.1 Aux termes de l'art. 369 al. 1 CC, sera pourvu d'un tuteur tout majeur qui, pour cause de maladie mentale ou de faiblesse d'esprit, est incapable de gérer ses affaires, ne peut se passer de soins et de secours permanents ou menace la sécurité d'autrui. Il suffit que le malade mental ou le faible d'esprit remplisse l'une de ces trois conditions pour être interdit.
Pour respecter les principes de subsidiarité et de proportionnalité, la mesure tutélaire doit avoir l'efficacité recherchée tout en sauvegardant au maximum la sphère de liberté de l'intéressé. Son but est de protéger le faible contre lui-même et contre l'exploitation par des tiers. Une mesure est disproportionnée si elle est trop radicale ou trop légère pour parvenir à cette fin (arrêts 5A_541/2010 du 1er octobre 2010 consid. 3.1; 5A_55/2010 du 9 mars 2010 consid. 5.1 et les références citées). Dans l'hypothèse où, compte tenu des conditions légales, plusieurs mesures paraissent propres à atteindre le but visé, il y a lieu de choisir celle qui empiète le moins sur la sphère de liberté de l'intéressé (SCHNYDER/MURER, Commentaire bernois, 3e éd., 1984, n° 32-36 ad art. 367 CC). Le principe de subsidiarité n'implique toutefois pas que les mesures les plus graves ne puissent être ordonnées qu'après l'application, l'épuisement et l'échec des mesures plus légères (STETTLER, L'impact du principe de proportionnalité sur la gradation et le champ d'application des mesures tutélaires, RDT 39/1984 p. 41 ss, 45). La mesure tutélaire doit en tout état de cause être aussi légère que possible et aussi efficace que nécessaire (ATF 108 II 92 consid. 4; CLAUDE MAGET, Le choix de la mesure tutélaire adéquate dans les cas des articles 369 à 372 CC: Essai sur l'application du droit de tutelle suisse, 1956, p. 136).
Tant l'interdiction que le conseil légal sont des mesures qui permettent, outre la sauvegarde des intérêts matériels de la personne à protéger, une certaine assistance personnelle (arrêt 5A_82/2011 du 8 avril 2011 consid. 3.1). Cependant, en matière de conseil légal, l'assistance personnelle ne joue qu'un rôle accessoire (ATF 103 II 81 p. 83). La nomination d'un curateur, dont la mission peut également englober une certaine assistance personnelle dans le domaine qui fait l'objet de la curatelle (art. 392 ch. 1 CC; arrêt 5A_568/2007 du 4 février 2008 consid. 2.3 et les références), implique de la part de la personne concernée une collaboration avec le curateur, celle-ci étant indispensable au succès d'une telle mesure (arrêt 5A_541/2010 du 1er octobre 2010 consid. 3.3). Le curateur ne peut cependant pas garantir une protection suffisante lorsqu'une surveillance et une aide personnelles durables sont nécessaires (art. 393 ch. 2 CC); seul le tuteur a les moyens de mettre en oeuvre une protection étendue (ATF 97 II 302 consid. 2; arrêts 5A_389/2007 du 19 septembre 2007 consid. 4.2; 5C.17/2005 du 8 avril 2005 consid. 5.3; 5C.74/2003 du 3 juillet 2003 consid. 4.3.1). Il résulte de ce qui précède que la mesure adaptée, nécessaire et suffisante qui doit être prononcée en faveur d'une personne faible d'esprit ou atteinte de maladie mentale ayant besoin de façon durable de surveillance, est une mesure d'interdiction (STETTLER, Droit civil I, Représentation et protection de l'adulte, 4e éd., n. 84 p. 46/47 avec les références jurisprudentielles; MAGET, op. cit., p. 125).
3.2 En l'espèce, l'autorité cantonale considère qu'une curatelle, même «combinée» (soit de représentation et de gestion), n'est pas concevable. Se fondant notamment sur le rapport d'expertise du 18 janvier 2010 et sur celui, requis par l'art. 374 al. 2 CC, du 21 avril 2011, les juges précédents retiennent en effet que l'intéressée présente de graves troubles psychiatriques, assimilables à une maladie mentale, et qu'elle a besoin d'être soignée, cas échéant contre son gré car elle ne prend pas la juste mesure de ses troubles psychiatriques. La Chambre de surveillance relève par ailleurs qu'une curatelle de représentation se caractérise par le fait que l'assistance fournie n'a qu'une portée limitée et qu'elle n'est en principe que passagère; de plus, la curatelle de gestion et la curatelle volontaire doivent être levées sur simple requête de la personne concernée, l'autorité saisie pouvant tout au plus se demander s'il y a lieu d'ordonner une autre mesure tutélaire. Selon l'autorité précédente, l'instauration d'un conseil légal doit également être écartée, cette mesure ne comprenant pas une assistance personnelle aussi étendue que la tutelle; or l'intéressée, qui présente un grave trouble de la personnalité, requiert précisément une assistance personnelle, qui doit être considérée comme essentielle et non secondaire.
Cette argumentation résiste à l'examen. Compte tenu des circonstances, la Chambre de surveillance pouvait en effet estimer que seule une mesure d'interdiction apparaissait adéquate pour apporter à la recourante un niveau de protection suffisant et une assistance personnelle durable, non seulement sur le plan patrimonial - l'arrêt attaqué retenant que sa situation financière est fortement obérée - mais, surtout, sur le plan personnel (ATF 103 II 18; 97 III 302). Une mesure moins contraignante, comme la curatelle, centrée sur la gestion et la protection de ses intérêts matériels, serait insuffisante et inefficace. Une telle mesure est en outre peu adaptée lorsque, comme ici, la personne concernée nécessite d'être aidée de façon durable (cf. supra, consid. 3.1 in fine). Dans le cas particulier, il importe peu qu'en pratique, la curatelle combinée (ou mixte) semble trouver un large champ d'application, en particulier dans le cas de personnes âgées, même lorsqu'une assistance personnelle durable ou permanente est nécessaire, et ce bien que de sérieuses réserves puissent être émises quant à cette solution (cf. DESCHENAUX/STEINAUER, Personnes physiques et tutelles, 4e éd., 2001, n. 1092 p. 410 et la note 3 en bas de page; STETTLER, in RDT 39/1984 p. 49 et Droit civil I, n. 253 p. 128). L'autorité cantonale a en effet retenu que la recourante ne prenait pas la juste mesure de ses troubles psychiatriques, sans que celle-ci ne démontre d'arbitraire à ce sujet (cf. supra, consid. 2.2). Partant, il n'est pas établi qu'elle soit à l'abri de toute démarche susceptible de nuire à ses intérêts. Le grief de violation du principe de proportionnalité, respectivement de subsidiarité, est ainsi infondé.
4. Le recours doit par conséquent être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Vu cette issue - prévisible - de la procédure, la requête d'assistance judiciaire de la recourante ne saurait être agréée (art. 64 LTF). Celle-ci supportera par conséquent les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et à la Chambre de surveillance du Tribunal tutélaire de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 20 mars 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Mairot