Sachverhalt:
A.
A.a. A._ gelangte mit als Verwaltungsbeschwerde bezeichnetem Schreiben vom 2. September 2013 an das Departement Finanzen und Gesundheit (DFG). Er beantragte, es sei festzustellen, dass Dr. med. B._ am 30. August 2013, Dr. med. C._ am 31. August 2013 und Dr. med. D._ am 1. September 2013 gegen die ihnen gemäss dem kantonalen Gesundheitsgesetz obliegenden Berufspflichten verstossen und ihm gegenüber den Notfalldienst verweigert hätten. Das DFG werde ersucht, dafür zu sorgen, dass die drei Ärzte den Notfalldienst ihm gegenüber wieder verfassungskonform leisten würden. Es sei festzustellen, dass er ungleich behandelt und diskriminiert werde, indem die genannten Ärzte ihn nicht als Hausarzt oder en passant und in Notfällen nur vereinzelt behandeln sowie ihm keine Medikamente mehr abgeben würden. Aus denselben Gründen sei festzustellen, dass die ambulante Gesundheitsversorgung für alle Bürger gleich sichergestellt werde. Ferner sei als vorsorgliche Massnahme eine Institution oder Person in der Gemeinde Glarus zu bezeichnen, die seine ärztliche Betreuung einstweilig sicherstelle.
A.b. Am 24. September 2013 führte A._ Rechtsverweigerungsbeschwerde beim Regierungsrat und beantragte insbesondere, es sei dem DFG anzuordnen, umgehend über die beantragten vorsorglichen Massnahmen zu entscheiden. Der Regierungsrat wies die Rechtsverweigerungsbeschwerde am 9. Oktober 2013 ab.
A.c. Das DFG trat am 24. Oktober 2013 auf die Verwaltungsbeschwerde nicht ein und leitete kein aufsichtsrechtliches Verfahren ein.
B.
B.a. A._ erhob am 7. November 2013 gegen den Entscheid des DFG Beschwerde beim Regierungsrat. Er beantragte, der Entscheid des Departements sei aufzuheben, und brachte seine vor dem DFG gestellten Anträge erneut vor, darunter auch das Begehren, es sei im Sinne einer vorsorglichen Massnahme eine Institution oder Person in der Gemeinde Glarus zu bezeichnen, welche seine ärztliche Betreuung einstweilen sicherstelle. Das instruierende Mitglied des Regierungsrates wies das Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Massnahme am 10. Dezember 2013 ab. Auf eine dagegen beim Verwaltungsgericht geführte Beschwerde trat dieses mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2014 nicht ein. Am 10. Juni 2014 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab.
B.b. Hiergegen gelangte A._ mit Beschwerde vom 30. Juni 2014 ans Verwaltungsgericht. Er beantragte sinngemäss, die Entscheide des DFG vom 24. Oktober 2013 und des Regierungsrats vom 10. Juni 2014 seien aufzuheben. Mit Schreiben vom 5. September 2014 beantragte A._ dem Verwaltungsgericht sodann, das Verfahren sei aufgrund seines schlechten allgemeinen Gesundheitszustandes zu sistieren. Dieses teilte A._ am 8. September 2014 mit, dass mit Blick auf den fortgeschrittenen Verfahrensstand keine hinreichenden Gründe für eine Sistierung vorlägen. Hingegen wurde ihm Gelegenheit eingeräumt, innert - aufgrund des Gesundheitszustands erstreckbarer - Frist zu den inzwischen eingegangenen Beschwerdeantworten des DFG und des Regierungsrates Stellung zu nehmen. Am 9. September 2014 teilte A._ telefonisch mit, dass er auf eine Stellungnahme verzichte.
B.c. Mit Entscheid vom 2. Oktober 2014 trat das Verwaltungsgericht auf die Eingabe A._s vom 30. Juni 2014 nicht ein und erhob für seinen Entscheid eine pauschale Gerichtsgebühr von Fr. 800.--.
C.
Mit "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Rechtsverweigerungsbeschwerde" vom 20. Oktober 2014 beantragt A._ dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 2. Oktober 2014 aufzuheben (Ziff. 1). Es sei im Rahmen einer Rückweisung an die Vorinstanz zu neuem Entscheid festzustellen, dass "Dr. med. B._ (V._) am 30.8.2013, Herr Dr. med. C._ (V._) am 31.8.2013 und Frau Dr. med. D._ (W._) am 1.9.2013 rechtswidrig und schuldhaft gegen ihre Berufspflichten (Art. 34 Abs. 1 Gesundheitsgesetz GL) verstossen haben und gegenüber [dem Beschwerdeführer] den Notfalldienst verweigerten" (Ziff. 2); das Departement habe dafür zu sorgen, dass die drei genannten Ärztinnen und Ärzte den Notfalldienst inskünftig wieder gesetzeskonform leisteten (Ziff. 3). Weiter sei festzustellen, dass die genannten Ärztinnen und Ärzte den Beschwerdeführer nicht als Hausarzt oder en passant Patient sowie in Notfällen nur vereinzelt behandelten und ihm keine Medikamente mehr abgeben würden (Ziff. 4). Sodann sei festzustellen, dass die ambulante Gesundheitsversorgung ihm gegenüber nicht mehr sichergestellt sei (Ziff. 5). Neben weiteren Begehren ersucht der Beschwerdeführer auch darum, es sei dafür zu sorgen, dass die genannten Ärztinnen und Ärzte ihre Berufstätigkeit so ausführen würden, dass die Gesundheitsversorgung für alle Bürger wieder sichergestellt werde (Ziff. 7).
Das Departement Finanzen und Gesundheit beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen "bzw. auf diese sei nicht einzutreten"; das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts, der nicht unter den Ausnahmekatalog von Art. 83 BGG fällt, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen steht (Art. 82 lit. a BGG). Das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus ist zudem eine letzte kantonale Instanz im Sinne von Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG, dessen Urteil nicht beim Bundesverwaltungsgericht angefochten werden kann (vgl. Urteil 2C_698/2011 vom 5. Oktober 2012 E. 1.3.1, nicht publ. in: BGE 138 I 435 ff.; Urteil 2C_740/2009 vom 4. Juli 2011 E. 1.1 et 1.2, nicht publ. in: BGE 137 I 257 ff.; Urteil 2C_454/2013 vom 4. September 2013 E. 1.1).
1.2. Der Beschwerdeführer ist durch den vorinstanzlichen Entscheid besonders berührt (Art. 89 Abs. 1 BGG) und damit zu dessen Anfechtung beim Bundesgericht befugt. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist vorbehältlich der nachstehenden Ausführungen einzutreten: Angefochten ist ein Nichteintretensentscheid bzw. ein Entscheid, der ein Nichteintreten zum Gegenstand hat. Diesfalls kann grundsätzlich mittels Beschwerde bloss erreicht werden, dass die zuständige kantonale Behörde angewiesen wird, die Streitsache materiell zu beurteilen (vgl. bereits Urteil 2C_454/2013 vom 4. September 2013 1.2). Damit ist auf die Anträge 2 bis 5 und 7, welche auf eine materielle Beurteilung der medizinischen Versorgungslage bzw. von vorgebrachten ärztlichen Pflichtverstössen durch das Bundesgericht abzielen, nicht einzutreten.
1.3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Der vorinstanzliche Entscheid stützt sich auf kantonales Prozessrecht. Als Beschwerdegrund kommt im Wesentlichen die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten der Bundesverfassung infrage (Art. 95 BGG). Die richtige Anwendung des kantonalen Rechts als solches bildet nicht Beschwerdegrund und es kann nur überprüft werden, ob der angefochtene Entscheid auf willkürlicher Gesetzesanwendung beruht oder ob das Gesetz oder seine Anwendung auf andere Weise gegen übergeordnetes Recht verstösst (vgl. BGE 138 I 227 E. 3.1 S. 227 f.; 137 V 57 E. 1.3 S. 60 f.; 133 II 249 E. 1.2.1 S. 251 f.).
1.4. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 140 III 16 S. 17 f.; 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62; 136 I 184 E. 1.2 S. 187 mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 137 IV 1 E. 4.2.3; 136 II 489 E. 2.8; 130 I 258 E. 1.3 S. 262, je mit Hinweisen; Urteil 8C_65/2012 vom 21. August 2012 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 138 V 310 ff.).
2.
2.1. Die Vorinstanz ist auf die bei ihr anhängig gemachte Beschwerde nicht eingetreten, weil sie sich für deren Behandlung als nicht zuständig erachtete. Sie verstand die Eingabe des Beschwerdeführers vom 2. September 2013 an das Departement Finanzen und Gesundheit als Aufsichtsanzeige; auch soweit dieser eine Feststellung beantragt habe, beträfen seine Anliegen typische aufsichtsrechtliche Belange. Werde eine Aufsichtsbeschwerde abschlägig beantwortet, stehe dem Anzeiger bloss eine Aufsichtsanzeige an die obere Instanz zur Verfügung, aber kein Rechtsmittel. Die Voraussetzungen für einen Feststellungsentscheid nach Art. 73 des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 4. Mai 1986 (VRG/GL) seien ebenfalls nicht gegeben, weil der Beschwerdeführer kein schutzwürdiges Interesse substanziiere, die behaupteten Verstösse der kritisierten Ärzte gegen ihre Berufspflichten disziplinarisch ahnden zu lassen.
2.2. Die Beschwerde konzentriert sich zunächst auf den Vorwurf, die Vorinstanz habe Art. 73 VRG/GL in willkürlicher Weise angewandt, indem sie auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers mangels Legitimation nicht eingetreten sei. Durch diesen Forumsverschluss erachtet der Beschwerdeführer aber auch die Bestimmungen von Art. 29 Abs. 1 und 2 BV, sowie Art. 29a BV als missachtet, und sieht darin Willkür, Rechtsverweigerung und überspitzten Formalismus. Die Vorbringen zum kantonalen Verfahrensrecht zeigen dabei jedoch keine über diese verfassungsmässigen Rechte hinaus gehenden Garantien auf; es kommt ihnen insofern keine selbstständige Bedeutung zu (vgl. Urteile 8C_647/2014 vom 19. März 2015 E. 2.4; 1C_471/2014 vom 23. September 2014 E. 3.3; 1B_78/2010 vom 31. August 2010 E. 3). Gerügt wird sodann eine Rechtsverweigerung mit Bezug auf die Gewährleistung der eigenen ambulanten medizinischen Notfallversorgung (Art. 29 Abs. 1 BV; vgl. oben Sachverhalt Ziff. C) und in diesem Zusammenhang auch eine Gehörsverletzung hinsichtlich der Vorbringen zu einem schutzwürdigen Interesse (Art. 29 Abs. 2 BV).
2.3. Im Folgenden ist somit zu prüfen, ob die Vorinstanz das Willkür- oder das Rechtsverweigerungsverbot bzw. den Anspruch auf rechtliches Gehör des Beschwerdeführers verletzt hat, indem sie dessen Eingabe vom 2. September 2013 an das Departement für Finanzen und Gesundheit als blosse Aufsichtsanzeige interpretiert und einen Anspruch auf förmliche Behandlung verneint hat.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer, der bei einer Aufsichtsbehörde eine Anzeige erstattet oder ein aufsichtsrechtliches Vorgehen gegen einen Dritten verlangt, erwirbt dadurch noch keine Parteistellung (BGE 139 II 279 E. 2.3 S. 283; 135 II 145 E. 6.1 S. 151; 133 II 468 E. 2 S. 471). Der Beschwerdeführer muss durch den angefochtenen bzw. den zu erlassenden Entscheid stärker als ein beliebiger Dritter betroffen sein und in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache stehen. Dass er infolge einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache stärker als die Allgemeinheit betroffen ist, genügt für sich allein ebenfalls nicht; zusätzlich ist ein schutzwürdiges Interesse erforderlich (Art. 89 Abs. 1 lit. c in Verbindung mit Art. 111 BGG; BGE 135 II 145 E. 6.1 S. 151, 135 II 172 E. 2.1 S. 174 f.; 134 II 120 E. 2.1 S. 122; vgl. auch 48 Abs. 1 lit. c VwVG), also ein aus der Sicht der Rechtspflege gewürdigt ausreichender Anlass dafür, dass die Organe der Verwaltungsrechtspflege sich mit der Sache befassen (vgl. Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 153; vgl. auch Moor/Poltier, Droit administratif, vol. II, 3. Aufl. 2011, S. 618 f.). Es gibt keine rechtslogisch stringente, sondern nur eine praktisch vernünftige Abgrenzung zur Popularbeschwerde oder zur Aufsichtsbeschwerde, die dem Anzeiger keine Parteistellung verschaffen (vgl. Art. 71 Abs. 2 VwVG); wo diese Grenze verläuft, ist für jedes Rechtsgebiet gesondert zu beurteilen (BGE 139 II 279 E. 2.3 S. 283; 123 II 376 E. 5b/bb S. 383 mit Hinweisen). Wegleitend dafür sind namentlich einerseits die Möglichkeit für die Interessierten, den angestrebten Erfolg auf anderem - z.B. zivil- oder strafrechtlichem - Weg zu erreichen (vgl. BGE 132 II 250 E. 4.4 S. 255), und andererseits das Anliegen, die Verwaltungstätigkeit nicht übermässig zu erschweren (BGE 139 II 279 E. 2.3 S. 283; 135 II 145 E. 6.1 S. 150 f.; 133 II 468 E. 2 S. 471 f.; 133 II 249 E. 1.3.3 S. 253; 132 II 250 E. 4.2 S. 254; 129 II 297 E. 3.1 S. 302 f.; Urteil 2C_73/2014 vom 28. Januar 2015 E. 2.1; vgl. für den Bereich der Ärzteaufsicht bereits Urteil 2C_260/2007 vom 26. November 2007 E. 1.2).
3.2. In seiner als Verwaltungsbeschwerde bezeichneten Eingabe vom 2. September 2013 an das Departement für Finanzen und Gesundheit hat der Beschwerdeführer zunächst beantragt, es sei festzustellen, dass Dr. med. B._, Dr. med. C._ und Dr. med. D._ gegen ihre Berufspflichten, die sich aus § 34 des Gesetzes über das Gesundheitswesen des Kantons Glarus vom 6. Mai 2007 (GesG/GL; VIII A/1/1) ergeben würden, verstossen und ihm gegenüber den Notfalldienst verweigert hätten. Das DFG werde ersucht, dafür zu sorgen, dass die drei Ärzte den Notfalldienst ihm gegenüber wieder verfassungskonform leisten würden. Es sei festzustellen, dass er ungleich behandelt und diskriminiert werde, indem die genannten Ärzte ihn nicht als Hausarzt oder en passant und in Notfällen nur vereinzelt behandeln sowie ihm keine Medikamente mehr abgeben würden. Aus denselben Gründen sei festzustellen, dass die ambulante Gesundheitsversorgung für alle Bürger gleich sichergestellt werde (vgl. hiervor Sachverhalt Ziff. A.a).
3.3. Die vom Beschwerdeführer beantragten Vorkehren beinhalten, wie dies die Vorinstanz ausführt, und trotz der Betitelung der Eingabe als "Verwaltungsbeschwerde", zunächst typisch aufsichtsrechtliche Forderungen, die nicht auf die Begründung eines Rechtsverhältnisses mit dem Beschwerdeführer abzielen. Dazu gehören seine Begehren, die allgemeine ambulante medizinische Notfallversorgung sei sicherzustellen und die diese nicht einhaltenden Ärzte seien zu sanktionieren. Soweit der Beschwerdeführer demnach ein Feststellungsbegehren um eine ohnehin gesetzlich bestehende Pflicht ersucht, trägt sein Begehren typische aufsichtsrechtliche Züge, und die kantonalen Instanzen durften auf dieses nicht eintreten. Eine willkürliche Anwendung des kantonalen Verfahrensrecht kann darin nicht gesehen werden (vgl. bereits Urteil 2C_454/2013 vom 4. September 2013 E. 3.3.1 f.; BGE 138 I 305 E. 4.3 S. 319; 137 I 1 E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
3.4. Es stellt sich allerdings die Frage, ob sich die Eingabe auf aufsichtsrechtliche Inhalte beschränkt. Anders als im dem Urteil 2C_454/2013 zugrunde liegenden Sachverhalt beanstandet der Beschwerdeführer nicht die Ablehnung der Behandlung durch einen Notarzt, der für seinen Wohnbezirk ohnehin nicht zuständig war (Urteil 2C_454/2013 vom 4. September 2013 Sachverhalt Ziff. A). Vielmehr macht er geltend, Ärzte, die an seinem Wohnort Glarus Mitte grundsätzlich Notfalldienst leisteten (§ 34 Abs. 1 GesG/GL), weigerten sich, ihn zu behandeln. So bringt der Beschwerdeführer unter dem Titel der Rechtsverweigerung und der Gehörsverletzung gegen die Vorinstanz vor, er sehe eine ambulante Versorgung der für seinen Kreis zuständigen Notfallärzte gegenüber ihm selbst nicht mehr gewährleistet. Aufgrund seiner prekären gesundheitlichen Lage sei er darauf angewiesen, von einem möglichst unweit von seinem Wohnort tätigen Notarzt ambulant versorgt zu werden.
3.4.1. Der Beschwerdeführer rügt, er habe ein schützenswertes Interesse an der Behandlung seiner Eingabe. Er sei invalide und habe erhebliche Probleme durch Schmerzzustände aufgrund einer Skoliose, die zeitweilig nur mit Methadon und Morphin zu behandeln seien. Aufgrund dieser Schmerzen habe sich sein Gesundheitszustand erheblich verschlechtert; er sei stark abgemagert, wegen dieser und weiterer orthopädischer Probleme nur eingeschränkt mobil und daher auf eine zuverlässige ärztliche Betreuung und insbesondere die Notfallversorgung in Glarus Mitte angewiesen. Hinweise, dass der Beschwerdeführer wie vorgebracht immer wieder an akuten Schmerzzuständen leidet, ergeben sich zudem aus den Akten und einem Arztzeugnis. Eine operative Behebung des Leidens fällt nach Letzterem aufgrund des zu hohen Operationstodesfallrisikos bei ihm ausser Betracht. Der Beschwerdeführer bezieht nach den Feststellungen des Regierungsrats sodann eine Vollinvalidenrente, was ebenfalls nahelegt, dass er auf eine regelmässige medizinische Versorgung angewiesen ist. Aus den vorinstanzlichen Feststellungen ergeben sich demgegenüber keine weiteren Hinweise zu Umständen, weswegen die Behandlungen bzw. Notfallaufnahme im August und September 2013 verweigert worden sein sollen, wie dies der Beschwerdeführer rügt. Die betroffenen Ärzte wurden hierzu offenbar nicht befragt, und es fehlen - mit Ausnahme eines Falles einer telefonischen Sprechstunde, die im Protokoll des Regierungsrates festgehalten ist - Hinweise auf allfällige Abklärungen über die Sachverhaltsumstände bei den behaupteten Konsultationsverweigerungen der betroffenen Ärzte.
3.4.2. Soweit die Vorinstanz vor diesem Hintergrund feststellt, der Beschwerdeführer lege nicht dar, weshalb er ein schutzwürdiges Interesse an der Feststellung des Bestands öffentlich-rechtlicher Rechte und Pflichten habe und worin diesen bestünden, kann ihr nicht gefolgt werden: Dieses ergibt sich zum einen aus seinem stark beeinträchtigten Gesundheitszustand, den er geltend macht (vgl. E. 3.4.1); spezifische und ausführliche Vorbringen zum schutzwürdigen Interesse finden sich sodann in seiner Eingabe an den Regierungsrat als Vorinstanz des Verwaltungsgerichts (S. 5 f. der Eingabe an den Regierungsrat). Insoweit greift die Argumentation des Verwaltungsgerichts zu kurz, der Beschwerdeführer habe "nicht ansatzweise dar[gelegt], weshalb er ein schutzwürdiges Interesse an der Feststellung des Bestands öffentlich-rechtlicher Rechte und Pflichten hat und worin diese bestehen" (vorinstanzliches Urteil S. 6).
3.4.3. Der Beschwerdeführer hatte für die vorliegende Konstellation bloss ausreichend glaubhaft zu machen, dass seine Rechte konkret in Gefahr oder verletzt worden seien und er insofern ein schutzwürdiges Interesse habe, dass über die verlangten Massnahmen befunden werde (vgl. hiervor E. 3.1; BGE 139 II 279 E. 2.3 S. 283; 132 II 250 E. 4.2 S. 254; 120 Ib 351 E. 3b S. 355). Dies hat er vorliegend getan: Träfen seine Schilderungen zu, so könnte sein Anspruch auf medizinische Versorgung verletzt sein (vgl. Art. 40 lit. g Medizinalberufegesetz [SR 811.11]), was eine Prüfung der hierfür zuständigen Behörde erforderte. Angesichts seiner vorgebrachten schwierigen gesundheitlichen Situation (und des Fehlens jeglichen Hinweises auf Sachverhaltsabklärungen durch die Aufsichtsbehörde) liegt ein Fall vor, wo er ein konkretes schutzwürdiges Interesse hatte, dass die Aufsichtsbehörde sich mit der Sache befasst. Ein Nichteintretensentscheid, der nicht erkennen lässt, dass diesem Anliegen des Beschwerdeführers die notwendige Beachtung geschenkt wurde, stellt eine Rechtsverweigerung dar. Vor dem Hintergrund, dass er ein solches Interesse im kantonalen Verfahren nachweislich vorgebracht hatte, verletzt der Nichteintretensentscheid auch seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Da die Beschwerde gutzuheissen ist, erübrigt es sich demgegenüber zu prüfen, ob auch die verweigerte Sistierung im vorinstanzlichen Verfahren verfassungsmässige Rechte verletzte, wie der Beschwerdeführer dies vorbringt.
4.
4.1. Zusammenfassend ergibt sich, dass der Beschwerdeführer aufgrund der Vorbringen, wonach drei an seinem Wohnsitz Glarus Mitte tätige Hausärzte seine ambulante notfallmedizinische Versorgung verweigerten, ein spezifisches Interesse daran glaubhaft macht, dass die behauptete Verweigerung näher abgeklärt wird. Er hat damit einen Anspruch auf förmliche Behandlung seiner Eingabe durch das Departement Finanzen und Gesundheit des Kantons Glarus (Art. 89 Abs. 1 lit. c in Verbindung mit Art. 111 BGG).
4.2. Der angefochtene Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts vom 2. Oktober 2014 wie auch der Entscheid des Regierungsrats vom 10. Juni 2014 sind demnach aufzuheben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen an das Departement Finanzen und Gesundheit des Kantons Glarus zurückgewiesen. Dabei versteht sich von selbst, dass die Untersuchung der vom Beschwerdeführer behaupteten Verweigerung des Notfalldienstes eine Entbindung der involvieren Ärztinnen und Ärzte vom Berufsgeheimnis voraussetzt.
4.3. Dem Beschwerdeführer sind keine anwaltlichen Vertretungskosten entstanden; es ist ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen. Gerichtskosten sind keine zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 2. Oktober 2014 wie auch der Entscheid des Regierungsrats vom 10. Juni 2014 werden aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen an das Departement Finanzen und Gesundheit des Kantons Glarus zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, I. Kammer, sowie zur Kenntnisnahme den weiteren Interessierten Dr. med. B._, Dr. med. C._, beide V._, und Dr. med. D._ , W._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. April 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni