Faits:
A. Par décision du 13 juin 2008, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève a nié le droit de A._ à une rente d'invalidité (demande de prestations du 5 avril 2004). En bref, l'administration a retenu que la prénommée, d'origine étrangère, ne remplissait pas la condition d'assurance, savoir une année de cotisation ou dix ans de résidence ininterrompue en Suisse au moment de la survenance du cas d'assurance. De plus, l'office AI a précisé que la requérante ne présentait aucune atteinte à la santé ayant un caractère invalidant au sens de la loi.
B. A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant à ce que son invalidité totale fût reconnue.
La juridiction de recours l'a déboutée par jugement du 24 mars 2009.
C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle requiert l'annulation, avec suite de dépens. Elle invite le Tribunal fédéral à constater que son degré d'invalidité s'élève à 100 % et qu'elle remplit les conditions d'assurance.
Considérant en droit:
1. La recourante a demandé l'octroi d'un court délai afin de compléter ses moyens de fait et de droit.
Cette requête ne concilie pas avec la loi (art. 47 al. 1 LTF) et doit donc être rejetée.
2. Le litige porte implicitement sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité, singulièrement sur le point de savoir si elle remplit la condition d'assurance (art. 6 al. 2 LAI).
Le jugement attaqué expose correctement les règles légales applicables, si bien qu'il suffit d'y renvoyer.
3. A l'appui de ses conclusions, la recourante soutient que le jugement attaqué prête le flanc à la critique, car son droit aux prestations a été nié en raison du défaut de versement de cotisations à l'AVS/AI. Elle estime que pareil constat pourrait uniquement justifier une dette de cotisations à l'égard de la caisse de compensation compétente.
La recourante reproche aux premiers juges de n'avoir pas eu l'occasion de s'exprimer sur le moyen tiré du défaut de paiement des cotisations à l'AVS/AI. Elle ajoute que son mandataire et elle-même n'ont aucune certitude quant à la réalité du versement de ces cotisations.
4. La décision administrative du 13 juin 2008 portant refus d'une rente d'invalidité procède en premier lieu du défaut de la condition d'assurance (art. 6 al. 2 LAI), savoir l'absence d'une année de cotisations à l'AVS/AI ou de dix ans de résidence ininterrompue en Suisse au moment de la survenance du cas d'assurance. La recourante est toutefois restée muette sur cette question dans le recours qu'elle a formé devant le tribunal cantonal des assurances, où elle n'a abordé que l'aspect médical (incidence de la fibromyalgie) de son cas. Il s'ensuit qu'elle se plaint maintenant à tort de n'avoir pas pu faire valoir ses arguments et de n'avoir pas été entendue par la juridiction cantonale de recours.
Par ailleurs, on peine à saisir la pertinence des propos de la recourante quant à l'absence de certitude au sujet du versement des cotisations. A supposer qu'il s'agisse d'une critique des constatations de fait du tribunal cantonal (art. 97 al. 1 LTF), celle-ci serait dépourvue de toute substance et devrait être écartée.
Vu ce qui précède, la recourante n'a ni démontré ni rendu vraisemblable ou même plausible que les premiers juges auraient violé le droit fédéral en admettant, avec l'intimé, que les conditions d'assurance (art. 6 al. 2 LAI) n'étaient pas réalisées.
5. La juridiction cantonale a constaté que la recourante présente une atteinte à la santé qui avait pu être incapacitante à partir d'octobre 1995 et justifier une invalidité, au plus tôt, dès le mois d'octobre 1996 (consid. 9 p. 11 du jugement).
Ce constat de fait doit toutefois être complété (art. 105 al. 2 LTF) pour la période déterminante au sens de l'art. 48 LAI, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007 (la demande de prestations a été introduite en avril 2004). En effet, comme cela ressort de l'état de fait du jugement attaqué (ch. 8), la doctoresse E._ a attesté que l'état de santé de la recourante s'était amélioré progressivement entre 2002 et 2004 et que la capacité de travail actuelle était entière selon les collègues spécialistes dans leur domaine respectif (rapport d'expertise interdisciplinaire du Centre d'expertise médicale, du 30 juin 2006).
6. La recourante, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 novembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud