Sachverhalt:
A. A.a In einem Eheschutzverfahren, das zwischen den Eheleuten X._ und Y._ hängig war, verfügte die Einzelrichterin im summarischen Verfahren des Bezirks Z._ am 17. Mai 2005 unter anderem, dass Y._ an den Unterhalt der beiden Kinder A._ und B._ Beiträge von monatlich je Fr. 2'200.-- und an denjenigen von X._ solche von monatlich Fr. 10'990.-- zu zahlen habe. Im Scheidungsverfahren, das X._ während der Hängigkeit des Eheschutzverfahrens eingeleitet hatte, stellte Y._ das Begehren, die ihr zustehenden Unterhaltsbeiträge seien im Rahmen der anzuordnenden vorsorglichen Massnahmen herabzusetzen. Zufolge Rückzugs der Scheidungsklage wurde das Verfahren jedoch abgeschrieben.
A.b Mit Eingabe vom 11. Februar 2006 reichte X._ beim Einzelrichter im ordentlichen Verfahren des Bezirks Z._ eine neue Scheidungsklage ein. Am 20. Januar 2006 ersuchte Y._ um Anordnung vorsorglicher Massnahmen für die Dauer des Scheidungsprozesses (Art. 137 Abs. 2 ZGB) mit dem Antrag, die in der eheschutzrichterlichen Verfügung vom 17. Mai 2005 für den Unterhalt der Ehefrau und der beiden Kinder festgelegten Beiträge rückwirkend ab 24. August 2005 "angemessen auf Fr. 7'000.--" je Monat zu reduzieren.
In Abänderung der eheschutzrichterlichen Verfügung vom 17. Mai 2005 setzte der Einzelrichter am 7. Mai 2007 die X._ zugesprochenen Unterhaltsbeiträge auf Fr. 10'975.-- herab.
B. Y._ rekurrierte an das Obergericht des Kantons Zürich und beantragte, die X._ persönlich zugesprochenen Unterhaltsbeiträge rückwirkend ab 24. August 2005 auf monatlich Fr. 2'600.-- zu reduzieren.
Mit Beschluss vom 29. Februar 2008 hiess das Obergericht (I. Zivilkammer) den Rekurs teilweise gut und setzte die strittigen Unterhaltsbeiträge mit Wirkung ab 20. Januar 2006 und mit zeitlicher Staffelung (bei einem obersten Betrag von Fr. 6'550.--) neu fest (Dispositiv-Ziffer 1).
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. April 2008 verlangt X._, Dispositiv-Ziffer 1, gegebenenfalls auch die Dispositiv-Ziffern 2 - 4 (Kosten- und Entschädigungsfolgen) des Beschlusses vom 29. Februar 2008 aufzuheben und die Sache hinsichtlich der strittigen Punkte zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Gegenstand der Beschwerde ist eine Zivilsache vermögensrechtlicher Natur, zumal einzig die der Beschwerdeführerin zugesprochenen Unterhaltsbeiträge zur Diskussion stehen. Der für die Zulassung der Beschwerde in Fällen der vorliegenden Art erforderliche Streitwert von 30'000 Franken (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) ist bei einer Kapitalisierung der Unterhaltsbeiträge, die aufgrund der Angaben der Vorinstanz im kantonalen Verfahren strittig geblieben waren, offensichtlich erreicht (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4 BGG). Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich sodann um einen Endentscheid der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG; vgl. § 284 Ziff. 7 der Zürcher Zivilprozessordnung [ZPO]). Auf die von der unterlegenen Partei (Art. 76 Abs. 1 BGG) rechtzeitig eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 BGG) ist aus der Sicht der angeführten formellen Kriterien mithin ohne weiteres einzutreten.
2. 2.1 Unter der Herrschaft des Bundesrechtspflegegesetzes (OG) war bei Berufungen mit Begehren auf Leistung einer Geldsumme und bei Beschwerden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen mit auf einen Geldbetrag lautenden Rechtsbegehren die Summe in der Rechtsschrift genau anzugeben (Art. 55 Abs. 1 lit. b bzw. Art. 79 Abs. 1 OG); auf nicht bezifferte Anträge wurde immerhin dann eingetreten, wenn sich aus der Begründung des Rechtsmittels, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, der zuzusprechende Betrag ohne weiteres ergab (dazu BGE 134 III 235 E. 2 S. 236 mit Hinweisen). Nach Art. 42 Abs. 1 BGG hat eine Beschwerde an das Bundesgericht unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Bei der Revision der Bundesrechtspflege ging es nicht etwa darum, die an den Inhalt eines Rechtsmittels gestellten Anforderungen zu mildern; vielmehr sollte an die einschlägigen Bestimmungen des früheren Rechts angeknüpft werden (BGE 134 III 235 E. 2 S. 236 f.; Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4294). Eine Bezifferung der Anträge über Geldforderungen ist denn auch aus der Sicht der möglichen reformatorischen Wirkung der neurechtlichen Beschwerde (Art. 107 Abs. 2 BGG) notwendig.
2.2 Die Beschwerdeführerin begnügt sich mit dem Rechtsbegehren, den angefochtenen Beschluss in einzelnen Punkten aufzuheben. In der Beschwerdebegründung wird jedoch beanstandet, dass bei der Festsetzung der ihr zustehenden Unterhaltsbeiträge der Betrag von Fr. 7'000.-- unterschritten wurde. Die Beschwerdeführerin beansprucht mit anderen Worten Beiträge in dieser Höhe. Ihr Beschwerdebegehren genügt damit den Anforderungen von Art. 42 Abs. 1 BGG.
3. Die Anordnungen vorsorglicher Massnahmen nach Art. 137 Abs. 2 ZGB gelten, wie grundsätzlich auch die ihnen vorangegangenen Eheschutzentscheide, als Entscheide über vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Nach dieser Bestimmung kann mit Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen). Bei der Willkürrüge ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (BGE 133 I 149 E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
4. 4.1 Dem Vorbringen der Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegner habe sein Massnahmenbegehren in unzulässiger Weise abgeändert, hält das Obergericht entgegen, Rechtsbegehren seien nach dem Grundsatz von Treu und Glauben auszulegen, massgeblich sei nicht allein der Wortlaut des Begehrens selbst. Der Beschwerdegegner habe in dem - später abgeschriebenen - Scheidungsverfahren mit Eingaben vom 24. August 2005 bzw. 10. Oktober 2005 beantragt, die Unterhaltsbeiträge für die Beschwerdeführerin persönlich seien auf monatlich Fr. 7'000.-- zu reduzieren. Aus der Begründung des Abänderungsbegehrens habe sich jedoch ohne weiteres ergeben, dass der Betrag von Fr. 7'000.-- als Summe der der Beschwerdeführerin und den Kindern zuzusprechenden Unterhaltsbeiträge zu verstehen gewesen sei. So habe der Beschwerdegegner in seiner Berechnung zunächst den behaupteten Bedarf der Parteien, einschliesslich Kindergrundbeträge, aufgeführt und dieser Summe die behaupteten Einkommenszahlen der Parteien gegenübergestellt. Damit habe die Berechnung die gesamte finanzielle Situation der Familie umfasst, wie sie nach Ansicht des Beschwerdegegners vorgelegen habe. Dieser sei somit bereit und nach seiner Auffassung in der Lage gewesen, insgesamt den Betrag von Fr. 7'000.-- zu zahlen. Da von einer Reduktion der Kinderunterhaltsbeiträge weder im Antrag noch in der Begründung die Rede gewesen sei, sei das Begehren so zu verstehen gewesen, dass zwecks Reduktion der Summe der Unterhaltsbeiträge auf Fr. 7'000.-- einzig die Ehegattenunterhaltsbeiträge herabzusetzen seien. Der Beschwerdegegner habe denn auch im neuen Scheidungsverfahren der ersten Instanz gegenüber erklärt, beim Antrag, die Unterhaltsbeiträge für die Beschwerdeführerin und die Kinder auf Fr. 7'000.-- zu reduzieren, habe es sich insofern um ein Versehen gehandelt, als es ihm einzig um die Herabsetzung der Unterhaltsbeiträge an die Beschwerdeführerin persönlich gehe. Da die den Kindern zugesprochenen Beiträge von je Fr. 2'200.-- unverändert bleiben sollten, ergebe sich der Antrag des Beschwerdegegners, die Unterhaltsbeiträge für die Beschwerdeführerin auf Fr. 2'600.-- herabzusetzen. Dies habe der Beschwerdegegner auch in seinem Rekurs verlangt, so dass von einer Klageänderung nicht die Rede sein könne und deshalb auch kein Anlass bestanden habe, der Beschwerdeführerin Gelegenheit zu einer Ergänzung der Massnahmenantwort einzuräumen.
4.2 Die Beschwerdeführerin rügt, dass das Obergericht, das an die formellen Parteianträge gebunden gewesen sei, das Begehren des Beschwerdegegners zu den Unterhaltsbeiträgen ausgelegt und eine nachträgliche Änderung zu ihren Lasten zugelassen habe, statt vom Antrag auf Herabsetzung des ihr zustehenden Unterhaltsbeitrags auf monatlich Fr. 7'000.-- auszugehen.
4.2.1 Soweit die Beschwerdeführerin sich mit dem bezirksgerichtlichen Verfahren befasst und Unterlassungen des erstinstanzlichen Richters beanstandet, sind ihre Ausführungen von vornherein nicht zu hören: Gegenstand der Beschwerde kann einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz sein (Art. 90 BGG).
4.2.2 Die Beschwerdeführerin wirft (auch) dem Obergericht eine Missachtung von § 54 Abs. 2 ZPO vor, wonach das Gericht einer Partei weder mehr noch anderes zusprechen darf, als sie selbst verlangt, noch weniger, als der Gegner anerkannt hat. Was sie zur Begründung ausführt, ist indessen nicht darzutun geeignet, dass die Vorinstanz in einer verfassungsmässige Rechte des Bundes, insbesondere etwa das Willkürverbot verletzenden Weise gegen die genannte kantonalrechtliche Bestimmung verstossen hätte. Auch in diesem Punkt ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten. Im Übrigen stossen die Vorbringen der Beschwerdeführerin ohnehin ins Leere: Die mit dem Hinweis auf § 54 Abs. 2 ZPO herangezogene Dispositionsmaxime hat mit der beanstandeten Auslegung der Anträge des Beschwerdegegners nichts zu tun, und die von der Beschwerdeführerin angerufenen Autoren (Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Auflage, Zürich 1997, N. 16 zu § 54 und N. 15 zu § 100) äussern sich an den erwähnten Stellen zu den Grundsätzen, nach denen ein Rechtsbegehren auszulegen bzw. die Natur einer Klage zu ermitteln ist.
5. Mit dem Hinweis, es sei ihr keine Gelegenheit gegeben worden, sich zu den in der Eingabe des Beschwerdegegners vom 21. Januar 2008 enthaltenen neuen Vorbringen (Fehlen von Einkünften aus den von ihm neu gegründeten Aktiengesellschaften), die die Vorinstanz in ihren Entscheid habe einfliessen lassen, Stellung zu nehmen, rügt die Beschwerdeführerin sodann eine Missachtung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör.
5.1 Der Anspruch einer Partei, im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu replizieren, bildet einen Teilgehalt des von der Beschwerdeführerin angerufenen verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Es ist den Gerichten nicht gestattet, einer Partei das Äusserungsrecht bezüglich eingegangener Stellungnahmen bzw. Vernehmlassungen der übrigen Verfahrensparteien, unteren Instanzen und weiteren Stellen abzuschneiden. Die Partei ist vom Gericht nicht nur über den Eingang solcher Eingaben zu orientieren; es muss ihr ausserdem die Möglichkeit zur Replik eingeräumt werden (BGE 133 I 98 E. 2.1 S. 99 mit Hinweisen). Ein weiterer Schriftenwechsel ist indessen nicht unbedingt anzuordnen: Es genügt, neu eingegangene Eingaben den übrigen Verfahrensbeteiligten zur Kenntnisnahme zuzustellen. Wünscht einer von ihnen, sich dazu zu äussern, hat er es ohne Verzug zu tun oder zumindest umgehend um die Ansetzung einer entsprechenden Frist nachzusuchen; unterlässt er dies, ist davon auszugehen, er verzichte auf weitere Äusserungen (BGE 133 I 98 E. 2.2 S. 99 f.).
5.2 Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin hatte das Obergericht sie nach dem Gesagten nicht von sich aus (ausdrücklich) einzuladen, eine Stellungnahme zu den von ihr angesprochenen Vorbringen des Beschwerdegegners einzureichen. Dass ihr dessen Eingabe gar nicht zur Kenntnis gebracht worden sei, bringt die Beschwerdeführerin nicht vor. Ebenso wenig erklärt sie, unaufgefordert im Sinne der dargelegten Grundsätze reagiert und sich etwa unverzüglich um eine Fristansetzung bemüht zu haben. Von einem Verstoss gegen Art. 29 Abs. 2 BV in der von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Form kann mithin keine Rede sein.
6. Das Obergericht räumt ein, die den Umsatzeinbruch bei der C._ GmbH verursachenden Tatsachen seien zumindest teilweise bereits vor Erlass des Eheschutzentscheids eingetreten, doch müsse dem Be-schwerdegegner zugute gehalten werden, dass die Tragweite der Entwicklung im Hinblick auf das Erreichen des von ihm geschätzten durchschnittlichen Jahreseinkommens zu jenem Zeitpunkt noch nicht abzusehen gewesen sei; die Abänderung des Eheschutzentscheids könne daher nicht mit der Begründung verweigert werden, die entsprechenden veränderten Umstände hätten noch vor dem Eheschutzrichter vorgebracht werden können.
Die Beschwerdeführerin bezeichnet die vorinstanzliche Annahme als willkürlich, weil D._ bereits anfangs November 2004 gekündigt worden und deshalb vorauszusehen gewesen sei, dass der Beschwerdegegner eine Einkommenseinbusse werde hinnehmen müssen; der Beschwerdegegner hätte daher einen Rekurs gegen den Eheschutzentscheid, und nicht ein Abänderungsbegehren, einzureichen gehabt. Diese Ausführungen - denen übrigens nicht zu entnehmen ist, inwiefern zwischen der Kündigung des Arbeitsverhältnisses D._s und dem Umsatzrückgang bei der C._ GmbH ein Zusammenhang bestehen soll - sind rein appellatorischer Natur und nicht geeignet, den Vorwurf der Willkür als begründet erscheinen zu lassen. Eine Begründung, die den für die vorliegende Beschwerde geltenden gesetzlichen Anforderungen (s. oben E. 3) genügen würde, fehlt sodann auch insofern, als die Beschwerdeführerin unter Hinweis auf ein Vermögen des Beschwerdegegners von Fr. 400'000.-- beanstandet, dass die Vorinstanz die Rechtsprechung ausser Acht gelassen habe, wonach im Falle einer Unterdeckung vorübergehend auch das Vermögen des Unterhaltspflichtigen angezehrt werden müsse.
7. Soweit auf die Beschwerde einzutreten ist, ist sie nach dem Gesagten abzuweisen. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt worden und dem Beschwerdegegner somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (I. Zivilkammer) des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juli 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel