Sachverhalt:
A. A._, geboren 1965, ist Staatsangehörige Kroatiens und lebt seit 1995 in der Schweiz. Sie ist Mutter von zwei Kindern (geboren 1989 und 1999) und seit Oktober 2007 von ihrem Ehegatten gerichtlich getrennt. Sie arbeitete bei verschiedenen Arbeitgebern als Raumpflegerin mit unterschiedlichen Teilpensen, als sie sich am 9. März 2007 bei einem Treppensturz eine Trimalleolar-Luxationsfraktur am linken Fuss zuzog. Hiefür erbrachte die Schweizerische Mobiliar Versicherungsgesellschaft AG (nachfolgend: Mobiliar) die gesetzlichen Leistungen nach UVG. Mit Verfügung vom 19. Mai 2009, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 20. Juli 2009, hat die Mobiliar der Versicherten gestützt auf die polydisziplinäre Expertise des Zentrums X._ für die ihr dauerhaft verbleibenden Unfallfolgen eine Invalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 10% sowie eine Integritätsentschädigung basierend auf einer Integritätseinbusse von 10% zugesprochen.
Am 2. Oktober 2007 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Gemäss Bericht des Spitals C._ vom 23. Mai 2007 litt sie nicht nur an Unfallrestfolgen, sondern zusätzlich auch an einer Depression sowie an Fibromyalgie. Nach erwerblichen und medizinischen Abklärungen sowie insbesondere nach einer bidisziplinären, rheumatologisch psychiatrischen Begutachtung der Dres. med. B._ und D._ vom 10. Dezember 2008 (nachfolgend: bidisziplinäres Gutachten) verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt bei einem ermittelten Invaliditätsgrad von 30% den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 6. November 2009).
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der A._ hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 12. April 2010 insoweit gut, als es die Verfügung der IV-Stelle vom 6. November 2009 aufhob und die Invalidenversicherung verpflichtete, der Versicherten ab März 2008 eine Viertelsrente auszurichten.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der angefochtene Gerichtsentscheid sei aufzuheben und die Verfügung der IV-Stelle Basel vom 6. November 2009 zu bestätigen; gleichzeitig ersucht sie darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Während A._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht, beantragt das Bundesamt für Sozialversicherungen Gutheissung der Beschwerde.
D. Mit Verfügung vom 27. August 2010 hat der Präsident der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen; 133 III 545 E. 2.2 S. 550; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.3 Ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung oder ein vergleichbarer pathogenetisch (ätiologisch) unklarer syndromaler Zustand vorliegt und bejahendenfalls, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern, betrifft den Sachverhalt. Rechtsfrage ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine im Hinblick auf eine erwerbliche Tätigkeit nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf deren invalidisierenden Charakter zu gestatten (SVR 2008 IV Nr. 23 S. 71 E. 2.2 [I 683/06]). Rechtsverletzungen sind die unvollständige (gerichtliche) Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen, die Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes als einer wesentlichen Verfahrensvorschrift (Art. 43 Abs. 1 und Art. 61 lit. c ATSG; BGE 130 V 6 E. 5.2.5 S. 68 f.) sowie die Missachtung der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232). Die konkrete Beweiswürdigung betrifft Tatfragen (nicht publ. E. 1 des Urteils BGE 135 V 306; Urteile 8C_945/2009 vom 23. September 2010 E. 1.2 und 8C_908/2009 vom 17. Dezember 2009 E. 1.2).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat dem bidisziplinären Gutachten volle Beweiskraft zuerkannt und gestützt darauf eine Arbeitsfähigkeit von 60% in einer leidensangepassten, körperlich leichten bis mittelschweren Tätigkeit festgestellt. Im Rahmen der ausschlaggebenden Konsensbeurteilung (vgl. Urteile 9C_274/2009 vom 18. Juni 2009 E. 4.2, I 551/06 vom 2. April 2007 E. 4.2 und I 352/05 vom 2. November 2005 E. 3.1 i.f.) gemäss bidisziplinärem Gutachten (S. 20 ff.) nannten die explorierenden Fachärzte als Diagnosen mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit an erster Stelle ausdrücklich eine "anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4)", an zweiter Stelle eine "leichte bis mittelschwere depressive Episode (ICD-10 F32.1)" und abschliessend an dritter Stelle ein "chronisches Schmerzsyndrom oberes Sprunggelenk links bei Status nach Trimalleolar-Luxationsfraktur am 09.03.2007 (ICD-10 S82.9)". Bei der Feststellung der Arbeitsunfähigkeit hat das kantonale Gericht in Verkennung der Rechtslage den praxisgemäss geltenden Voraussetzungen für die Annahme einer invalidisierenden Einschränkungen der Leistungsfähigkeit im Sinne der mehrfach bestätigten Rechtsprechung zu den anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen (BGE 130 V 352) und zu den vergleichbaren pathogenetisch (ätiologisch) unklaren syndromalen Zuständen (vgl. BGE 136 V 279 E. 3.2.1 S. 282 mit Hinweisen) keine Beachtung geschenkt. In Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (vgl. E. 1.3 hievor) und somit bundesrechtswidrig hat es zu den massgebenden Kriterien (BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 354 f.), welche bei einer diagnostizierten anhaltenden somatoformen Schmerzstörung oder einem vergleichbaren Schmerzsyndrom nur ausnahmsweise auf die Nichtüberwindbarkeit der schmerzbedingten Beeinträchtigungen schliessen lassen, keine Tatsachenfeststellungen getroffen. Der an einem offensichtlichen Rechtsmangel leidende (vgl. hievor E. 1.2 i.f.) angefochtene Entscheid ist daher aufzuheben.
2.2 Weder im Aufgabenbereich Haushalt noch im erwerblichen Bereich war unter den gegebenen Umständen von der ärztlich attestierten Arbeitsunfähigkeit gemäss bidisziplinärem Gutachten unbesehen auf eine entsprechende, invalidenversicherungsrechtlich relevante Einschränkung der trotz der geklagten Beschwerden zumutbaren Leistungsfähigkeit zu schliessen. Denn im Falle der hier zu beurteilenden Gesundheitsstörung ist praxisgemäss (BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 354 f.) nur bei einer mitwirkenden, psychisch ausgewiesenen Komorbidität von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer oder aber bei Vorhandensein anderer qualifizierter, mit gewisser Intensität und Konstanz erfüllter Kriterien von einer ausnahmsweise anzunehmenden Unzumutbarkeit der willentlichen Schmerzüberwindung auszugehen. In rechtlicher Hinsicht ist mit Blick auf die Begleitdiagnose einer "leichten bis mittelschweren depressiven Episode nach ICD-10 F32.1" klarzustellen, dass diese Diagnose die nach der Rechtsprechung für die Annahme der Nichtüberwindbarkeit einer Schmerzstörung vorausgesetzten Anforderungen an eine massgebliche, psychisch ausgewiesene Komorbidität nicht erfüllt, da die hier diagnostizierte depressive Störung als Begleiterscheinung der somatoformen Schmerzstörung gilt (Urteil 8C_945/2009 vom E. 10.1 mit Hinweisen) und jedenfalls - selbst wenn eine Komorbidität zu bejahen wäre - die geforderte Erheblichkeit nicht erreicht (Urteil 8C_144/2010 vom 4. August 2010 E. 3.5 mit Hinweisen). Ob - und gegebenenfalls welche - alternative Kriterien für eine allfällige Unzumutbarkeit der willentlichen Schmerzüberwindung sprechen, wird die Vorinstanz nach Feststellung der hiefür rechtserheblichen Tatsachen zu den weiteren Kriterien im Sinne von BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 354 f. zu klären haben. Hernach wird das kantonale Gericht über die - allenfalls invalidisierenden - Auswirkungen der gesundheitlichen Beeinträchtigungen und damit über den strittigen Rentenanspruch neu entscheiden.
3. Ist der angefochtene Entscheid ohnehin aufzuheben, kann die Frage, ob die Versicherte als Gesunde, wie von der Vorinstanz festgestellt, zu 100% oder gemäss IV-Stelle nur zu 70% erwerbstätig gewesen wäre, offen bleiben.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts Basel-Stadt vom 12. April 2010 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde neu entscheide.
2. Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Advokatin Raffaella Biaggi, Basel, wird als unentgeltliche Rechtsvertreterin der Beschwerdegegnerin bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'000.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Hochuli