Erwägungen:
1. Mit Eingabe vom 7. November 2008 meldete der Gesuchsteller/Beschwerdeführer beim Friedensrichteramt Schaffhausen gegen den Gesuchsgegner/Beschwerdegegner eine Ehrverletzungsklage an. Die Sühneverhandlung vom 10. Dezember 2008 führte zu keiner Einigung. Am 21. Januar 2009 stellte die Friedensrichterin die Weisung an das Kantonsgericht Schaffhausen aus. Dieses sprach den Gesuchsgegner/Beschwerdegegner am 26. März 2009 von Schuld und Strafe frei. Die dagegen erhobene Berufung des Gesuchstellers/Beschwerdeführers wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen am 29. Januar 2010 ab. Das Urteil wurde dem Gesuchsteller/Beschwerdeführer am 9. Februar 2010 zugestellt. Eine Beschwerde ans Bundesgericht hätte bis zum 11. März 2010 eingereicht werden müssen (Art. 100 Abs. 1 BGG).
Mit Eingabe vom 11. März 2010 beantragte der Gesuchsteller/Beschwerdeführer, der Gesuchsgegner/Beschwerdegegner sei wegen Ehrverletzung zu verurteilen und angemessen zu bestrafen. Für die Begründung der Beschwerde ersuchte er aus Krankheitsgründen um die Einräumung einer Nachfrist.
Mit Schreiben vom 15. März 2010 wies das Bundesgericht den Gesuchsteller/Beschwerdeführer auf Art. 50 BGG hin.
Mit Eingabe vom 25. Juni 2010 teilte der Gesuchsteller/Beschwerdeführer mit, er sei jetzt in der Lage, den Fall weiter zu bearbeiten. Er beantrage deshalb die Fristwiederherstellung zur Beschwerdebegründung. Er werde diese dem Bundesgericht bis spätestens den 15. Juli 2010 zukommen lassen.
2. 2.1 Eine Wiederherstellung der Beschwerdefrist kommt nur in Betracht, sofern die Partei oder ihr Vertreter bzw. ihre Vertreterin unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt (Art. 50 Abs. 1 BGG).
2.2 Auf Wiederherstellung der Frist ist nur zu erkennen, wenn die Säumnis auf ein "unverschuldetes Hindernis", also auf die Unmöglichkeit, rechtzeitig zu handeln, zurückzuführen ist. Waren der Gesuchsteller bzw. sein Vertreter wegen eines von ihrem Willen unabhängigen Umstandes verhindert, zeitgerecht zu handeln, liegt objektive Unmöglichkeit vor. Subjektive Unmöglichkeit wird angenommen, wenn zwar die Vornahme einer Handlung objektiv betrachtet möglich gewesen wäre, der Betroffene aber durch besondere Umstände, die er nicht zu verantworten hat, am Handeln gehindert worden ist. Die Wiederherstellung ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nur bei klarer Schuldlosigkeit des Gesuchstellers und seines Vertreters zu gewähren. Ein Krankheitszustand bildet, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht, ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis. Doch muss die Erkrankung derart sein, dass der Rechtsuchende durch sie davon abgehalten wird, selber innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen. Dass es sich so verhält, muss mit einschlägigen Arztzeugnissen belegt werden, wobei die blosse Bestätigung eines Krankheitszustandes und regelmässig selbst einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit zur Anerkennung eines Hindernisses im Sinne von Art. 50 Abs. 1 BGG nicht genügt (vgl. die Urteile 2C_444/2010 vom 10. Juni 2010 E. 2., 6B_198/2007 vom 12. November 2007 E. 1 sowie 6S.54/2006 vom 2. November 2006 E. 2.2).
2.3 Der Gesuchsteller/Beschwerdeführer litt bzw. leidet seinen eigenen Angaben zufolge an einem Bandscheibenvorfall. Gemäss dem eingereichten Arztbericht vom 21. Mai 2010 von Dr. med. B._ war er vom 10. März bis zum 24. Mai 2010 vollständig arbeitsunfähig. Seit dem 25. Mai 2010 ist er laut dem ärztlichen Bericht wieder zu 50% arbeitsfähig. Fraglich ist bereits, inwiefern die geltend gemachte Erkrankung bzw. die bescheinigte Arbeitsunfähigkeit von 100% vom 10. März bis 24. Mai 2010 den Gesuchsteller/Beschwerdeführer davon abgehalten haben soll, eine Beschwerdebegründung abzufassen bzw. einen Dritten mit dieser Aufgabe zu betrauen. Diese Frage kann indessen offen bleiben, zumal die Erkrankung des Gesuchstellers/Beschwerdeführers jedenfalls seit dem 25. Mai 2010 mit einer bescheinigten Arbeitsunfähigkeit von 50% offensichtlich nicht mehr derart ist, dass sie der Abfassung der Beschwerdebegründung entgegengestanden hätte. Der Gesuchsteller/Beschwerdeführer hätte folglich binnen 30 Tagen das Fristwiederherstellungsgesuch einreichen und gleichzeitig die versäumte Rechtshandlung (Beschwerdebegründung) vornehmen müssen. Das hat er nicht getan. Auf sein nach Fristablauf gestelltes Fristwiederherstellungsgesuch ist folglich nicht einzutreten. Auf die Beschwerde kann mangels Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) ebenfalls nicht eingetreten werden.
3. Die Gerichtskosten sind dem Gesuchsteller/Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Fristwiederherstellungsgesuch und die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Gesuchsteller/Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juli 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Die Gerichtsschreiberin:
Schneider Arquint Hill