Sachverhalt:
A. A.a Am 15. Oktober 2001 wurde D._ Opfer eines Tötungsdelikts. Das Geschworenengericht des Kantons Zürich sprach den Täter mit Urteil vom 6. Februar 2004 unter anderem der vorsätzlichen Tötung für schuldig und bestrafte ihn mit 14 Jahren und 9 Monaten Zuchthaus sowie mit einem Landesverweis von 15 Jahren. Ausserdem verpflichtete es den Täter, dem Vater des Opfers, B._, eine Genugtuung von Fr. 25'000.-- nebst Zins sowie Schadenersatz von Fr. 11'952.70, der Mutter des Opfers, A._, eine Genugtuung von Fr. 25'000.-- nebst Zins sowie Schadenersatz von Fr. 3'029.20 und dem Bruder des Opfers, C._, eine Genugtuung von Fr. 10'000.-- nebst Zins zu bezahlen.
Dieses Urteil des Geschworenengerichts ist rechtskräftig.
A.b Am 27. November 2003 stellten die Eltern des Opfers bei der Opferhilfestelle des Kantons Zürich ein Gesuch um Ausrichtung einer Entschädigung und einer Genugtuung. Am 18. Dezember 2003 substanziierten die Eltern ihre Gesuche um finanzielle Opferhilfe. Gleichzeitig stellte der Bruder des Opfers ein Gesuch um finanzielle Opferhilfe. Mit Verfügung vom 7. März 2008 wies die kantonale Opferhilfestelle sämtliche Gesuche ab.
Gegen die Verfügung der Opferhilfestelle beschwerten sich die Eltern und der Bruder des Opfers beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Es wurde beantragt, dass den Eltern je eine Genugtuung von Fr. 25'000.-- zuzüglich Zins und eine Entschädigung von insgesamt Fr. 14'929.90 zuzüglich Zins und dem Bruder eine Genugtuung von Fr. 10'000.-- zuzüglich Zins auszurichten seien.
Mit Urteil vom 20. Oktober 2009 wies das Sozialversicherungsgericht die Beschwerde ab. Es begründete seinen Entscheid damit, dass die Eltern das Opferhilfegesuch nicht rechtzeitig innerhalb der gesetzlich vorgesehenen zweijährigen Verwirkungsfrist gestellt hätten, obwohl sie von den Behörden auf die Verwirkungsfrist hingewiesen worden seien. Bezüglich des Bruders liess das Gericht die Frage offen, ob ihm die Verwirkungsfrist entgegengehalten werden könne, da er mangels einer engen Beziehung zum Verstorbenen ohnehin keine finanzielle Opferhilfe beanspruchen könne.
B. A._, B._ und C._ haben gegen das Urteil des Sozialversicherungsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Sie beantragen, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und "die Klage der Beschwerdeführer 1-3 nach Massgabe des Bundesrechts in billiger und fairer Weise zu beurteilen und gutzuheissen". Eventualiter sei das Urteil aufzuheben und die Akten an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen neu entscheiden könne. Ferner ersuchen die Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren.
C. Das Sozialversicherungsgericht und die kantonale Opferhilfestelle verzichten auf Vernehmlassung. Das Bundesamt für Justiz als beschwerdeberechtigte Bundesverwaltungsbehörde verzichtet ebenfalls auf Stellungnahme.
Erwägungen:
1. Der angefochtene, kantonal letztinstanzliche Entscheid betrifft die Abweisung eines Gesuchs um finanzielle Leistung aufgrund des Opferhilfegesetzes. Dagegen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) grundsätzlich zulässig (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1C_45/2007 vom 30. November 2007 E. 1, nicht publ. in: BGE 134 II 33). Die Beschwerdeführer haben keinen präzisen Hauptantrag gestellt. Aus dem Eventualbegehren und der Beschwerdeschrift ergibt sich aber sinngemäss, dass sie die Zusprechung finanzieller Opferhilfe beantragen und deshalb die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung der Sache zur materiellen Beurteilung ihrer Begehren verlangen. Da die Beschwerdeführer die Zusprechung einer Genugtuung anbegehren und es sich dabei um eine Ermessensfrage handelt, könnte das Bundesgericht nicht reformatorisch entscheiden, sondern müsste die Sache im Falle einer Gutheissung der Beschwerde dem Eventualantrag entsprechend an die Vorinstanz zurückweisen. Die Sachurteilsvoraussetzungen sind insgesamt erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2. Am 1. Januar 2009 ist das neue Bundesgesetz vom 23. März 2007 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (Opferhilfegesetz, OHG; SR 312.5) in Kraft getreten. Nach dessen Übergangsbestimmung gilt das bisherige Recht für Ansprüche auf Entschädigung oder Genugtuung für Straftaten, die vor Inkrafttreten dieses Gesetzes verübt worden sind, wobei für Ansprüche aus Straftaten, die weniger als zwei Jahre vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes verübt worden sind, die Fristen nach Art. 25 gelten (Art. 48 lit. a OHG).
Im vorliegenden Fall erfolgte die Straftat am 15. Oktober 2001 und liegt damit länger als zwei Jahre vor Inkrafttreten des neuen OHG am 1. Januar 2009 zurück. Zur Beurteilung der Voraussetzungen der Entschädigungs- und Genugtuungsansprüche ist demzufolge das alte Opferhilfegesetz vom 4. Oktober 1991 in der bis zum 31. Dezember 2008 geltenden Fassung (aOHG) massgebend. Dies gilt auch bezüglich der Vorschrift über die Verwirkungsfrist (Art. 16 Abs. 3 aOHG).
3. 3.1 Die Beschwerdeführer 1 und 2 rügen als Erstes die Sachverhaltsermittlung im angefochtenen Urteil. Sie machen geltend, entgegen den tatsächlichen Feststellungen des Sozialversicherungsgerichts treffe nicht zu, dass sie über die finanzielle Opferhilfe und die Verwirkungsfrist zur Anmeldung der Ansprüche rechtzeitig informiert worden seien.
3.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt oder vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht. Eine Sachverhaltsrüge kann zudem nur vorgebracht werden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.3 Gemäss den Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Urteil nahmen die Beschwerdeführer am 18. Oktober 2001 Kenntnis vom Tod des Opfers. Aus den Akten sei nicht ersichtlich, ob die Kantonspolizei den Beschwerdeführer 2 (Vater des Opfers) bei der Einvernahme vom 19. Oktober 2001 über die Opferhilfe-Beratungsstellen orientiert habe. Jedoch ergebe sich daraus, dass die Bezirksanwaltschaft die Beschwerdeführer 1 und 2 (Eltern des Opfers) mit Schreiben vom 27. Februar 2003 auf ihre Rechte hinwies und ihnen verschiedene Formulare und Merkblätter, insbesondere Formulare zu den Zivilansprüchen, "OHG-Formulare" und ein "Merkblatt zur Opferhilfe" zugestellt habe. Es sei davon auszugehen, dass es sich bei dem im Schreiben vom 27. Februar 2003 erwähnten "Merkblatt zur Opferhilfe" um das im Kanton Zürich üblicherweise verwendete Formular der kantonalen Opferhilfestelle in der im Jahr 2003 geltenden Fassung gehandelt habe. Darin seien unter dem Titel "finanzielle Leistungen" die Voraussetzungen des Anspruchs auf Entschädigung und Genugtuung kurz erwähnt und insbesondere auf die Verwirkungsfrist für die Geltendmachung dieser Ansprüche hingewiesen worden. Der Erhalt des Formulars "Merkblatt zur Opferhilfe" werde von den Beschwerdeführern 1 und 2 nicht bestritten. In Würdigung der gesamten Umstände sei daher davon auszugehen, dass die Beschwerdeführer 1 und 2 mit dem Schreiben der Bezirksanwaltschaft vom 27. Februar 2003 das Formular "Merkblatt zur Opferhilfe" der kantonalen Opferhilfestelle erhalten hätten. Die Beschwerdeführer 1 und 2 seien somit rechtzeitig vor Ablauf der Verwirkungsfrist am 15. Oktober 2003 über ihre opferhilferechtlichen Ansprüche aufmerksam gemacht worden, weshalb ihnen die Verwirkungsfrist entgegengehalten werden könne.
Hinzu komme, dass die Beschwerdeführer 1 und 2 ab dem 11. April 2003 im strafrechtlichen Untersuchungsverfahren und anschliessend im geschworenengerichtlichen Verfahren durch eine in Belgrad ansässige Rechtsanwältin vertreten worden seien. Auf deren Ersuchen hin sei den Beschwerdeführern 1 und 2 für das Verfahren vor dem Geschworenengericht am 28. Oktober 2003 ein in der Schweiz ansässiger unentgeltlicher Rechtsvertreter bestellt worden. In der Zeitspanne vom 11. April bis zum 15. Oktober 2003 seien die Beschwerdeführer 1 und 2 bereits anwaltlich vertreten gewesen. Nach der Rechtsprechung könne die Vermutung der Unkenntnis des Gesetzes, welche den behördlichen Informationspflichten zugrunde liege, bei einem anwaltlich vertretenen Opfer nicht spielen. Dies müsse auch bei einer im Ausland ansässigen Rechtsanwältin gelten. Auch aus diesem Grund könnten die Beschwerdeführer 1 und 2 aus der Unkenntnis der Verwirkungsfrist nichts zu ihren Gunsten ableiten.
Die genannte Rechtsanwältin habe am 11. April 2003 ein Schreiben gesandt. Darin habe sie mitgeteilt, dass ihre Mandanten sich der Strafverfolgung des Täters anschliessen, einen Schadenersatzantrag stellen und über das Verfahren informiert werden wollten. Gleichzeitig habe sie ein von den Beschwerdeführern 1 und 2 ausgefülltes Formular betreffend Beteiligungsrechte im Strafverfahren und ein von diesen unterzeichnetes Antragsformular für Zivilansprüche eingereicht. Das im Schreiben der Rechtsanwältin enthaltene Begehren um Schadenersatz sei im Zusammenhang mit den eingereichten Formularen betreffend die Beteiligungsrechte im Strafverfahren und betreffend Zivilansprüche auszulegen. Es handle sich demnach um ein Begehren um Ausrichtung von Schadenersatz im Sinne des Haftpflichtrechts. Ein Antrag auf Ausrichtung einer opferhilferechtlichen Entschädigung könne darin nicht erblickt werden. Es fehle ein Hinweis auf das Opferhilfegesetz oder auf die Opferhilferechte.
3.4 Die Beschwerdeführer wenden ein, das im Urteil erwähnte Merkblatt über Opferhilfe könne in der im Jahr 2003 geltenden Fassung nicht mehr ausfindig gemacht werden. Es könne deshalb nicht mit Sicherheit eruiert werden, ob die Beschwerdeführer 1 und 2 ausreichend über ihre Opferrechte und die Verwirkungsfrist gemäss Art. 16 Abs. 3 aOHG informiert worden seien. Auch sei nicht erwiesen, dass die Beschwerdeführer das Merkblatt tatsächlich erhalten hätten. Zudem sei unerklärlich, weshalb den Beschwerdeführern 1 und 2 mit den Formularen betreffend das Strafverfahren nicht zugleich das Gesuchsformular der kantonalen Opferhilfestelle ("Gesuch um finanzielle Leistungen") zugestellt worden sei.
3.5 Diese Vorbringen der Beschwerdeführer reichen nicht aus, um die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz als offensichtlich falsch (Art. 97 Abs. 1 BGG) erscheinen zu lassen. Die Feststellung der Vorinstanz, dass die Bezirksanwaltschaft die Beschwerdeführer rund 8 Monate vor Ablauf der Verwirkungsfrist auf die Opferhilfe hinwies und ihnen diesbezüglich Formulare und ein Merkblatt zustellte, ergibt sich aus dem Beilagenverzeichnis im Schreiben der Bezirksanwaltschaft vom 27. Februar 2003. Es ist jedenfalls nicht offensichtlich falsch, wenn die Vorinstanz daraus schliesst, dass die Beschwerdeführer 1 und 2 die entsprechenden Formulare erhielten. Zudem stellten die Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren nicht in Abrede, die erwähnten Formulare und das Merkblatt über die Opferhilfe erhalten zu haben. Die Sachverhaltsrüge geht damit ins Leere.
4. 4.1 Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung der im Opferhilferecht vorgesehenen Informationspflichten der Behörden. Sie sind der Auffassung, dass ihnen zur wirksamen Wahrnehmung ihrer opferhilferechtlichen Ansprüche vor Ablauf der Verwirkungsfrist ein in der Schweiz ansässiger Rechtsvertreter hätte bestellt werden sollen und dass sie nicht nur schriftlich, sondern auch mündlich über ihre Rechte hätten aufgeklärt werden müssen. Dies habe sich aufgedrängt, weil sie im Ausland wohnten und weder sie noch ihre in Serbien bestellte Rechtsanwältin der deutschen Sprache mächtig seien. In Anbetracht der fehlenden Vertrautheit der Rechtsanwältin mit dem Schweizer Recht hätte bereits das Gesuch um Schadenersatz als Antrag um finanzielle Opferhilfe interpretiert werden müssen.
4.2 Gemäss Art. 16 Abs. 3 aOHG muss das Opfer die Gesuche um Entschädigung und Genugtuung innert zwei Jahren nach der Straftat bei der Behörde einreichen; andernfalls verwirkt es seine Ansprüche. Nach der Rechtsprechung dürfen an die Substanziierung des Gesuchs um finanzielle Opferhilfe keine hohen Anforderungen gestellt werden (BGE 126 II 97 E. 2e S. 101 f.). Zumindest muss daraus aber erkennbar sein, dass Opferhilfe beantragt wird.
Das Gesetz sieht besondere Mitteilungs- und Beratungspflichten der Behörden vor. Diese sind in Art. 6 aOHG geregelt. Danach informiert die Polizei das Opfer bei der ersten Einvernahme über die Beratungsstellen (Abs. 1). Sie übermittelt Name und Adresse des Opfers einer Beratungsstelle, sofern das Opfer die Übermittlung nicht ablehnt (Abs. 2). Die Beratungsstelle informiert sodann über die Hilfe an Opfer (Art. 3 Abs. 2 lit. b aOHG), zu der auch die Möglichkeit zählt, Entschädigungs- und Genugtuungsansprüche zu stellen (BGE 123 II 241 E. 3e S. 244). Zur Beratung gehört des Weitern ein Hinweis auf die Verwirkungsfrist von Art. 16 Abs. 3 aOHG (BGE 126 II 348 E. 5a S. 354). Eine Verletzung der behördlichen Informations- und Beratungspflichten kann Ausnahmen von den Verwirkungsfolgen rechtfertigen (BGE 129 II 409 E. 2 S. 410 f.). Wie das Sozialversicherungsgericht aber zutreffend ausführte, ergibt sich aus der Informationspflicht der Behörden nur, dass das Opfer aus einem unverschuldeten Informationsmangel keine Nachteile erleiden soll. Eigene Kenntnisse sowie Kenntnisse eines bevollmächtigten Rechtsanwalts hat sich das Opfer gemäss den Grundsätzen des Stellvertretungsrechts anrechnen zu lassen. Dasselbe gilt für eine Säumnis des Rechtsanwalts. Daran ändert auch die Unterlassung der behördlichen Informationspflichten nichts (Urteil des Bundesgerichts 1A.114/2006 vom 7. März 2007 E. 6.2).
4.3 Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführer lässt sich aus den genannten Vorschriften über die behördlichen Informationspflichten kein Recht auf mündliche Orientierung über Ansprüche auf finanzielle Opferhilfe oder auf Bestellung eines in der Schweiz tätigen Rechtsanwalts ableiten. Die Beschwerdeführer 1 und 2 wurden von der Bezirksanwaltschaft Ende Februar 2003 auf ihre opferhilferechtlichen Anspüche aufmerksam gemacht. Das Sozialversicherungsgericht hat weder Art. 6 Ziff. 1 EMRK oder Art. 29 Abs. 1 BV noch Vorschriften des Opferhilfegesetzes verletzt, wenn es den Beschwerdeführern 1 und 2 die Verwirkungsfrist entgegenhält.
5. 5.1 Der Beschwerdeführer 3 rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör, weil er zur Frage seiner Anspruchsberechtigung vor der Urteilsfällung nicht habe Stellung nehmen können.
5.2 Der Gehörsanspruch (Art. 29 Abs. 2 BV) gibt dem Rechtsunterworfenen grundsätzlich keinen Anspruch, zur rechtlichen Begründung des Entscheids Stellung zu nehmen. Eine Ausnahme besteht dann, wenn das Gericht beabsichtigt, das Urteil auf juristische Argumente abzustützen, welche im vorangehenden Verfahren weder erwähnt noch von einer der beteiligten Parteien geltend gemacht wurden und mit deren Heranziehung sie auch nicht rechnen mussten (BGE 126 I 19 E. 2d/bb S. 24; 116 V 182 E. 1a S. 185 zu Art. 4 aBV).
5.3 Letztere Voraussetzung trifft nicht zu. Der Beschwerdeführer 3 machte einen Genugtuungsanspruch gerichtlich geltend, weshalb er damit rechnen musste, dass das Gericht nicht nur die Frage der Verwirkungsfrist, sondern auch die vom Beschwerdeführer zu substanziierende Berechtigung in der Sache thematisierte. Im Übrigen kann sich der Beschwerdeführer 3 im Verfahren vor Bundesgericht zur Sache äussern.
6. 6.1 Schliesslich macht der Beschwerdeführer 3 Ausführungen zu seiner Berechtigung auf finanzielle Opferhilfe. Das Sozialversicherungsgericht habe seinen Anspruch unter Verletzung von Bundesrecht verneint.
6.2 Im Urteil 1C_286/2008 vom 1. April 2009 (E. 5) legte das Bundesgericht die Grundsätze zur Berechtigung auf eine opferhilferechtliche Genugtuung der Geschwister dar. Danach ist für die Frage, ob und in welcher Höhe im Falle einer Tötung gestützt auf Art. 47 OR eine Genugtuung zugesprochen wird, nicht allein der Verwandtschaftsgrad, sondern vor allem die Intensität der Beziehung zwischen der getöteten Person und deren Angehörigen massgeblich. Bei Geschwistern sind Lehre und Rechtsprechung bezüglich der Anerkennung eines Genugtuungsanspruchs eher zurückhaltend. In der Regel wird der Anspruch auf Genugtuung nur dann geschützt, wenn das Geschwister mit dem Getöteten noch im gleichen Haushalt lebte. Wurde der gemeinsame Haushalt schon vor dem Schadenereignis aufgegeben, besteht ein Genugtuungsanspruch nur unter der Bedingung, dass sehr enge Kontakte zueinander bestanden und der Verlust des Geschwisterteils einen aussergewöhnlichen seelischen Schmerz verursacht.
Das Sozialversicherungsgericht legte diese Grundsätze im angefochtenen Urteil zutreffend dar. Ebenso hielt es bundesrechtskonform fest, dass die Opferhilfebehörden bei der Prüfung der Angemessenheit einer Genugtuung nicht an die Beurteilung durch das Strafgericht gebunden sind, da sie sonst in ihrer freien Rechtsanwendung beschränkt würden (Urteil des Bundesgerichts 1C_45/2007 vom 30. November 2007 E. 4.3, nicht publ. in: BGE 134 II 33). Die Unabhängigkeit vom Erkenntnis der Strafbehörde folgt hier auch aus der unterschiedlichen Zwecksetzung der von der Opferhilfebehörden anzuwendenden Normen (BGE 103 Ib 101 E. 2c S. 106 mit Hinweisen).
6.3 Nach den tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Urteil lebte der Getötete seit Mai/Juni 1999 in der Schweiz und betrieb hier Drogenhandel. Er habe zwar regelmässig zu Hause angerufen, jedoch habe ihn seine Familie nicht erreichen können, da er entweder kein eigenes Telefon gehabt habe oder seine Telefonnummer nicht habe bekannt geben wollen. Daraus sei ersichtlich, dass sich die Beziehung des Beschwerdeführers 3 zu seinem getöteten Bruder im Wesentlichen auf gelegentliche Telefonanrufe beschränkt habe. Unter diesen Umständen könne von einer intensiven Beziehung unter Geschwistern im Sinne der Rechtsprechung nicht die Rede sein, weshalb ein opferhilferechtlicher Genugtuungsanspruch des Beschwerdeführers 3 zu verneinen sei.
Der Beschwerdeführer 3 bringt weder in tatsächlicher noch in rechtlicher Hinsicht Einwände vor, welche diese Erwägungen des Sozialversicherungsgerichts als bundesrechtswidrig erscheinen lassen könnten. Das Argument, im serbischen Kulturkreis habe die Familie eine zentrale Stellung, ist zu allgemein, als dass der Beschwerdeführer 3 daraus etwas zu seinen Gunsten ableiten könnte. Damit erübrigt sich die Prüfung der Frage, ob dem Beschwerdeführer 3 die Verwirkungsfrist nach Art. 16 Abs. 3 aOHG entgegen gehalten werden könnte.
7. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist dementsprechend abzuweisen. Die vorliegende Beschwerde wurde am 15. Dezember 2009 beim Bundesgericht hängig gemacht. Somit kommt in verfahrensrechtlichen Belangen das revidierte Opferhilfegesetz vom 23. März 2007 zur Anwendung (Urteil des Bundesgerichts 1C_286/2008 vom 1. April 2009 E. 6 e contrario). Nach dessen Art. 30 Abs. 1 erheben die Gerichtsbehörden für Verfahren betreffend Opferhilfeleistungen vom Opfer und seinen Angehörigen keine Kosten. Dem Wortlaut nach gilt die Kostenlosigkeit auch im Rechtsmittelverfahren (ebenso BGE 122 II 211 E. 4b S. 218 f. zu Art. 16 Abs. 1 aOHG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren kann entsprochen werden (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Rechtsanwalt Jiri Mischa Mensik wird zum unentgetlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Kanton Zürich und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, sowie dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. März 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Schoder