Faits:
A.
Les produits d'assurance élaborés par Z._ SA sont placés auprès de la clientèle par des collaborateurs de la compagnie ou, principalement, de ses agents généraux. La compagnie pourvoit à la formation de ce personnel. La formation comprend des cours donnés par un formateur selon un programme détaillé fixé par la direction, en alternance avec des stages auprès des agences. Dès le 1er septembre 2007, X._ est entré au service de la compagnie en qualité de formateur, en contrepartie d'un salaire mensuel brut fixé à 8'450 fr., payable treize fois par an, et d'une indemnité mensuelle au montant de 150 francs.
L'employeuse l'a licencié le 12 janvier 2009 avec effet au 30 avril suivant et elle l'a libéré de l'obligation de travailler. X._ s'est opposé à son congé qu'il tenait pour abusif.
B.
Le 2 juin 2009, X._ a ouvert action contre Z._ SA devant le Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne. La défenderesse devait être condamnée à payer 54'925 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif et 8'738 fr.05 à titre d'indemnité de vacances, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er mai 2009; elle devait également être condamnée à remettre un certificat de travail.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action; par demande reconventionnelle, elle a réclamé le paiement de 5'000 fr. avec intérêts dès le 3 septembre 2009.
Le demandeur a conclu au rejet de l'action reconventionnelle.
Après audition de divers témoins, le tribunal s'est prononcé le 6 février 2012; il a rejeté l'action principale et l'action reconventionnelle.
La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a statué le 23 octobre 2012 sur l'appel du demandeur; elle a rejeté l'appel et confirmé le jugement. La Cour a également rejeté une requête d'assistance judiciaire jointe à l'appel.
C.
Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour d'appel en ce sens que la défenderesse soit condamnée à payer 36'615 fr.65 à titre d'indemnité pour licenciement abusif, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er mai 2009. L'arrêt doit également être réformé en ce sens que la demande d'assistance judiciaire jointe à l'appel soit admise.
Une demande d'assistance judiciaire est jointe au recours.
La défenderesse n'a pas été invitée à répondre au recours.
Considérant en droit:
1.
Le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF) et susceptible du recours en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF); le mémoire de recours a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et il satisfait aux exigences légales (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
En matière d'appréciation des preuves et de constatation des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle parvient à des constatations insoutenables (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 129 I 8 consid. 2.1).
2.
Il est constant que les parties se sont liées par un contrat de travail de durée indéterminée, résiliable par chacune d'elles conformément à l'art. 335 al. 1 CO.
3.
Le demandeur prétend à une indemnité pour licenciement abusif qu'il chiffre à 36'615 fr.65.
3.1. La résiliation ordinaire du contrat de travail est abusive lorsqu'elle intervient dans l'une des situations énumérées à l'art. 336 al. 1 CO, lesquelles se rapportent aux motifs de la partie qui résilie. Cette disposition restreint, pour chaque cocontractant, le droit de mettre unilatéralement fin au contrat (ATF 136 III 513 consid. 2.3 p. 514/515; 132 III 115 consid. 2.4 p. 118; 131 III 535 consid. 4.2 p. 539 in medio). L'énumération de l'art. 336 al. 1 CO n'est d'ailleurs pas exhaustive et un abus du droit de résiliation peut se révéler aussi dans d'autres situations qui apparaissent comparables, par leur gravité, aux hypothèses expressément visées (ATF 136 III 513 ibidem; 132 III 115 consid. 2 p. 116; 131 III 535 consid. 4 p. 537). Le motif de la résiliation relève du fait et il incombe en principe au travailleur d'apporter la preuve d'un motif abusif; le juge peut cependant présumer un abus lorsque le motif avancé par l'employeur semble mensonger et que celui-ci ne parvient pas à en apporter la confirmation (ATF 130 III 699 consid. 4.1 p. 702/703.
Lorsque l'une des parties a résilié abusivement le contrat, l'art. 336a al. 1 et 2 CO autorise l'autre partie à réclamer une indemnité dont le juge fixe librement le montant en tenant compte de toutes les circonstances; cette indemnité ne peut toutefois pas excéder l'équivalent de six mois de salaire.
3.2. Selon les allégués de sa demande en justice, le recourant avait pour tâche de donner des cours destinés principalement aux nouveaux collaborateurs des agents généraux. Il devait leur enseigner un système de vente des produits d'assurance entièrement conçu par la défenderesse, en appliquant des directives strictes et détaillées établies par elle. Il a reçu d'excellents échos écrits et oraux de toutes les personnes ayant participé à ses cours. Toutefois, certains des agents généraux étaient d'emblée opposés au système de vente imposé par la défenderesse, système qui ne répondait pas, à leur avis, à la réalité du terrain. Leurs collaborateurs étaient donc déstabilisés et peu motivés à apprendre une méthode de travail contestée par leurs supérieurs; ils se sont permis de manquer les cours ou de les quitter pour de simples prétextes, avec l'accord de l'agent général dont ils dépendaient, et ce manque de motivation et de discipline a pesé sur l'ambiance de certains cours. Le demandeur a signalé ces comportements à ses supérieurs et au responsable des agents généraux pour la Suisse romande; son chef lui a assuré qu'il le soutiendrait et renforcerait sa position face aux agents généraux. Or, la défenderesse n'est pas intervenue pour aplanir ces difficultés relationnelles; selon l'argumentation développée devant le Tribunal fédéral, elle a plutôt « sacrifié son formateur comme bouc émissaire » afin de « retrouver grâce auprès des agents généraux romands ». Le demandeur n'assumait pourtant aucune responsabilité dans un conflit portant exclusivement sur le contenu de la formation. Ses prestations d'enseignant étaient par ailleurs appréciées; son licenciement est donc abusif aux termes de l'art. 336 al. 1 CO.
La défenderesse procédait alors à une restructuration et elle avait adopté un plan social à l'intention des travailleurs dont elle se séparait. Selon le demandeur, son licenciement fallacieusement motivé par des prestations insatisfaisantes permettait à sa cocontractante de lui refuser le bénéfice de ce plan; ce licenciement est donc aussi abusif parce que destiné à empêcher la naissance de prétention découlant indirectement du contrat de travail.
3.3. Sur la base de son appréciation des preuves, la Cour d'appel retient que la défenderesse a effectivement licencié le demandeur au motif que les prestations reçues de lui ne répondaient plus aux attentes; en conséquence et selon la Cour, ce congé échappe à la censure de l'art. 336 CO.
3.4. Le demandeur se plaint d'une appréciation prétendument arbitraire des preuves. Avec pertinence, il fait valoir que trois témoins - un collègue formateur et deux collaborateurs qui avaient suivi les cours - ont entièrement confirmé les allégués de sa demande et, en particulier, accrédité sa thèse selon laquelle il a été licencié dans le but d'apaiser un conflit entre la compagnie d'assurances et ses agents généraux, relatif à la méthode de vente imposée par elle. De manière également pertinente, il fait valoir que les participants à ses cours étaient invités à remplir un questionnaire d'évaluation de son enseignement, et que plusieurs dizaines de ces évaluations, toutes entièrement favorables, sont présentes au dossier. Il est vrai, aussi, que ces témoignages et attestations ne sont guère mentionnés et moins encore discutés dans la décision de la Cour d'appel.
Il est incontesté que dès mai 2008, plusieurs agents généraux, directement ou par l'entremise de leur responsable pour la Suisse romande, se sont plaints au responsable de la formation « vente », soit au supérieur direct du demandeur. Il ressort des témoignages que leurs critiques portaient principalement sur le style de l'enseignement et sur l'attitude du demandeur envers eux. La manière d'enseigner était jugée particulièrement inadaptée dans la série de cours qui suivait les stages auprès des agences, où les collaborateurs n'étaient plus des débutants. Le demandeur manquait de compétences sociales, se posait systématiquement en victime et n'acceptait pas la critique. Plusieurs incidents sont survenus entre lui et l'un ou l'autre des agents généraux. Suite à leurs réclamations, le responsable de la formation a cherché remède aux difficultés; il a alors personnellement constaté que le demandeur s'écartait du programme fixé, ce qui nuisait aux objectifs du cours, et refusait de mettre son style en question. Par ailleurs, le demandeur se permettait de venir en retard aux réunions ou de les quitter sans excuse ni explication. Les agents généraux n'ont pas mis en doute l'aptitude des formateurs qui ont précédé le demandeur ou qui lui ont succédé, alors que, d'après l'une des dépositions, la pertinence de la méthode de vente imposée par la compagnie d'assurances était un sujet de controverse permanent.
Au regard des preuves administrées, les juges du fait peuvent retenir sans arbitraire que le demandeur a été licencié en raison de l'insatisfaction des agents généraux, ceux-ci lui reprochant essentiellement un style d'enseignement inadéquat et un manque de réceptivité aux critiques. Les agents généraux assument de toute évidence une responsabilité et une fonction d'encadrement très importantes dans le réseau de distribution des produits d'assurance mis en place par la défenderesse. Dans ce contexte, celle-ci peut légitimement faire valoir que les prestations du demandeur ne donnaient pas satisfaction, alors même que la méthode enseignée éveillait elle aussi certaines réticences. Le motif du licenciement se trouve ainsi confirmé et il n'est certainement pas abusif aux termes de l'art. 336 CO.
Le responsable de la formation semble n'avoir pas soutenu le demandeur, face à la direction et aux agents généraux, aussi énergiquement qu'il l'avait promis. Il apparaît aussi que l'un des participants aux cours a critiqué l'enseignement reçu alors même qu'il avait restitué un questionnaire d'évaluation entièrement positif. En dépit de ces circonstances, il n'apparaît pas que la défenderesse ait usé d'un comportement biaisé ou trompeur dans l'exercice de son droit de mettre fin au contrat, avec cette conséquence que le congé doive être jugé abusif à raison de ses modalités sinon de son motif (cf. ATF 132 III 115 consid. 2 p. 116; 131 III 535 consid. 4 p. 537). Il s'ensuit que la défenderesse n'est pas débitrice de l'indemnité prévue par l'art. 336a CO, ce qui conduit, sur ce chef des conclusions soumises au Tribunal fédéral, au rejet du recours.
4.
Aux termes de l'art. 117 let. a et b CPC, un plaideur a le droit d'obtenir l'assistance judiciaire s'il ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a) et que sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b). Le demandeur fait grief à la Cour d'appel d'avoir retenu à tort que son appel était « d'emblée dénué de chances de succès », et d'avoir donc rejeté sa demande d'assistance judiciaire en violation de cette seconde disposition.
4.1. Selon la jurisprudence, un procès est dénué de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre; il n'est en revanche pas dénué de chances de succès lorsque celles-ci et les risques d'échec sont à peu près égaux, ou lorsque les premières ne sont guère inférieures aux seconds. L'art. 117 let. b CPC n'exige pas que la personne indigente puisse engager, aux frais de la collectivité, des démarches vaines qu'une personne raisonnable n'entreprendrait pas si, disposant de moyens suffisants, elle devait les financer de ses propres deniers (ATF 138 III 217 consid. 2.2.4 p. 218). Le refus ou l'octroi de l'assistance judiciaire s'inscrit en principe dans les mesures nécessaires à la conduite du procès (FrankEmmel, in Kommentar ZPO, Thomas Sutter-Somm et al., éd., 2e éd., 2013, nos 1 et 14 ad art. 119 CPC); le tribunal saisi se prononce en procédure sommaire (art. 119 al. 3 CPC).
En l'occurrence, l'autorité précédente n'a pas pris de décision séparée sur la demande d'assistance judiciaire; elle a seulement dispensé le demandeur de l'avance des frais judiciaires d'appel exigible selon l'art. 98 CPC, puis elle s'est prononcée dans sa décision finale. Le code de procédure civile ne prévoit pas cette solution mais il ne l'exclut pas non plus; compte tenu que le Tribunal fédéral en use couramment pour les demandes d'assistance judiciaire qui lui sont soumises dans le cadre de l'art. 64 LTF, ladite solution est sans aucun doute admissible (voir aussi Emmel, loc. cit., n° 14). L'autorité d'appel n'en doit pas moins évaluer soigneusement - certes rétrospectivement - les chances de succès de l'appel, à l'aune de l'art. 117 let. b CPC, car la partie requérante ne doit subir aucun préjudice à raison de la procédure adoptée pour l'examen de sa requête. L'autorité ne peut donc pas refuser l'assistance judiciaire au seul motif qu'en définitive, à l'examen complet et détaillé de toutes les moyens de fait et de droit soulevés par la partie requérante, ses conclusions d'appel doivent être rejetées. Même jointe à la décision finale, la décision sur la requête d'assistance judiciaire doit être motivée conformément aux art. 238 let. g CPC et 112 al. 1 let. b LTF, surtout lorsque l'assistance est refusée.
4.2. La décision présentement attaquée indique sans plus de précision que l'appel était « d'emblée dénué de chances de succès ». Or, l'appel était formé notamment pour constatation inexacte des faits, comme le permettait l'art. 310 let. b CPC, et la Cour d'appel jouissait d'un pouvoir d'examen complet sur l'appréciation des preuves. Les témoignages recueillis par le Tribunal civil présentaient des divergences et certaines de ces dépositions accréditaient la version des faits avancée par le demandeur; une appréciation consciencieuse était donc effectivement indispensable. L'appréciation juridique des faits pouvait aussi prêter à discussion, en tant que les circonstances du licenciement pouvaient se révéler ambiguës. Dans ces conditions, il s'imposait à la Cour d'exposer de manière plus détaillée pourquoi les perspectives de succès de l'appel, à l'examen rétrospectif, lui paraissaient notablement inférieures au risque d'échec. En l'état, faute d'une motivation suffisamment développée, le Tribunal fédéral n'est pas en mesure de contrôler l'application de l'art. 117 let. b CPC par les précédents juges. Cela conduit à l'annulation de la décision sur la requête d'assistance judiciaire, conformément à l'art. 112 al. 3 LTF. La répartition des frais judiciaires d'appel, dépendant de cette décision, doit également être annulée.
5.
Compte tenu que le demandeur n'obtient gain de cause qu'au sujet de sa requête d'assistance judiciaire présentée en appel, la défenderesse ne doit acquitter ni émolument judiciaire ni dépens. Elle n'a pas été invitée à répondre au recours en matière civile et elle n'a donc pas non plus droit aux dépens. Le canton de Vaud ne doit acquitter aucun émolument judiciaire mais il est débiteur des dépens à allouer au demandeur. Celui-ci peut affecter cette prestation à la rémunération de son conseil, de sorte qu'il n'est pas nécessaire de statuer sur la demande d'assistance judiciaire jointe au recours en matière civile.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis.
2.
Les décisions de refus de l'assistance judiciaire et de répartition des frais judiciaires d'appel sont annulées.
3.
La cause est renvoyée à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal pour nouvelle décision sur ces objets.
4.
Le recours est rejeté pour le surplus.
5.
Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
6.
Le canton de Vaud versera une indemnité de 2'000 fr. au demandeur, à titre de dépens.
7.
Il n'est pas alloué de dépens à la défenderesse.
8.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 6 juin 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
Le greffier: Thélin