Sachverhalt:
A. S._ war bei der Firma E._ AG angestellt und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 5. Mai 2003 meldete die Arbeitgeberin der SUVA, der Versicherte habe am 23. (richtig: 22.) Dezember 2002 einen Autounfall erlitten. Die SUVA traf entsprechende Abklärungen. Am 30. Juni 2003 erklärte der Versicherte telefonisch, er ziehe die Unfallmeldung zurück. Dies wurde durch die SUVA gleichentags schriftlich bestätigt.
Am 2. Juli 2004 wandte sich Dr. med. G._, Allgemeinmedizin FMH schriftlich an die SUVA. Er bat, den Fall wieder zu eröffnen, und erklärte, die Schulterbeschwerden links seien wahrscheinlich doch eine Folge des Unfalls vom 22. Dezember 2002. Die SUVA verneinte jedoch mit Verfügung vom 12. November 2004 ihre Leistungspflicht. Der Versicherte liess Einsprache erheben. Die SUVA nahm ein der IV-Stelle des Kantons Appenzell Ausserrhoden erstattetes Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 10. Mai 2005 (mit psychiatrischem Konsiliargutachten von Dr. med. K._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH vom 8. April 2005 sowie mit ergänzenden Angaben vom 27. Juni 2005) sowie Berichte des Kantonalen Spitals X._, Abteilung Chirurgie, vom 8. September, 5. Oktober und 25. Oktober 2005 zu den Akten. Ausserdem holte sie Stellungnahmen des Kreisarztes Dr. med. C._ vom 14. Oktober 2005 und des Dr. med. Speck, Chirurgie FMH, SUVA Versicherungsmedizin, vom 14. November 2005 ein. Der Versicherte liess seinerseits eine medizinische Beurteilung von Dr. med. U._, Innere Medizin, FMH, speziell Rheumakrankheiten, vom 12. Dezember 2005 (mit Schreiben des Röntgeninstituts Dr. med. A._ vom 7. Dezember 2005) und ein Schreiben desselben Arztes vom 23. Dezember 2005 einreichen. Anschliessend hielt die SUVA - nach Einholung einer weiteren Stellungnahme von Dr. med. C._ vom 9. Januar 2006 - mit Einspracheentscheid vom 26. Januar 2006 an ihrem Standpunkt fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden ab (Entscheid vom 19. März 2008). Das Verfahren war zwischenzeitlich mit Blick auf einen vor Bundesgericht hängigen Prozess zwischen dem Versicherten und der Eidgenössischen Invalidenversicherung (vgl. Urteil vom 16. Oktober 2007, I 921/06) sistiert worden.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei die Beschwerdegegnerin "zu verpflichten, dem Beschwerdeführer für alle Folgen des Unfalls vom 23.12.2002 die gesetzlich vorgeschriebenen Leistungen - Pflegeleistungen und Kostenvergütungen sowie Geldleistungen: Taggelder, Rente, Integritätsentschädigung usw. - zu erbringen, rückwirkend und weiterhin, eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen." In formeller Hinsicht wird beantragt, das Verfahren sei zu vereinigen mit dem Parallelverfahren (Unfall vom 13.6.1987) und beide Verfahren seien zu sistieren "bis zur Erledigung des noch bei der Vorinstanz hängigen dritten Verfahrens durch jene (Ereignis vom 5.8.2005 = Spätfolge des Unfalls vom 13.6.1987)".
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer beantragt, das vorliegende Verfahren sei mit dem Verfahren 8C_401/2008 zu vereinigen. Ob die vorliegend zur Diskussion stehenden Schulterbeschwerden eine Folge (im Sinne des natürlichen Kausalzusammenhangs) des Ereignisses vom 22. Dezember 2002 darstellen, kann jedoch unabhängig vom Verfahren 8C_401/2008 geprüft werden, denn dieses betrifft ein anderes Unfallereignis und einen anderen Gesundheitsschaden. Deshalb besteht auch kein Anlass für eine Sistierung mit Blick auf eine weiteres hängiges Verfahren, wie sie der Beschwerdeführer überdies verlangt.
2. 2.1 Die Leistungspflicht eines Unfallversicherers gemäss UVG setzt zunächst voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht. Ursachen im Sinne des natürlichen Kausalzusammenhangs sind alle Umstände, ohne deren Vorhandensein der eingetretene Erfolg nicht als eingetreten oder nicht als in der gleichen Weise bzw. nicht zur gleichen Zeit eingetreten gedacht werden kann. Entsprechend dieser Umschreibung ist für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht erforderlich, dass ein Unfall die alleinige oder unmittelbare Ursache gesundheitlicher Störungen ist; es genügt, dass das schädigende Ereignis zusammen mit anderen Bedingungen die körperliche oder geistige Integrität der versicherten Person beeinträchtigt hat, der Unfall mit andern Worten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch die eingetretene gesundheitliche Störung entfiele (BGE 129 V 181 Erw. 3.1, 406 Erw. 4.3.1, 119 V 337 Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweisen).
Ob zwischen einem schädigenden Ereignis und einer gesundheitlichen Störung ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht, ist eine Tatfrage, worüber die Verwaltung bzw. im Beschwerdefall das Gericht im Rahmen der ihm obliegenden Beweiswürdigung nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu befinden hat. Die blosse Möglichkeit eines Zusammenhangs genügt für die Begründung eines Leistungsanspruches nicht (BGE 129 V 181 Erw. 3.1, 119 V 338 Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweisen).
2.2 Die Folgen einer allfälligen Beweislosigkeit in Bezug auf das Unfallereignis als solches (RKUV 2002 Nr. U 469 E. 3a S. 528, 1996 Nr. U 247 S. 171 E. 2a, 1988 Nr. U 55 S. 362 E. 1b) wie auch hinsichtlich der Unfallkausalität des Gesundheitsschadens (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 E. 3b) sind in dem Sinne vom Leistungsansprecher zu tragen, als der Entscheid diesfalls zu seinen Ungunsten ausfallen muss.
2.3 Im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungs- und Verwaltungsgerichtsverfahren gilt der Grundsatz der freien Beweiswürdigung (vgl. Art. 61 lit. c ATSG). Danach haben Versicherungsträger und Gerichte die Beweise frei, das heisst ohne Bindung an förmliche Beweisregeln, sowie umfassend und pflichtgemäss zu würdigen. Für den Beweiswert eines Arztberichtes ist insbesondere entscheidend, ob er in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Darlegung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet sowie ob die Schlussfolgerungen begründet sind (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352 mit Hinweis).
3. Strittig ist, ob die SUVA aufgrund des Unfalls vom 22. Dezember 2002 für die vom Beschwerdeführer geklagten Schulterbeschwerden leistungspflichtig ist. Die SUVA hat dies verneint mit der Begründung, der natürliche Kausalzusammenhang sei nicht erstellt.
3.1 Zum Hergang des Unfalls ist den Akten zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer in der Gegend von Y._ (Bosnien/Herzegowina) als Lenker eines Personenwagens in eine Kollision mit einem anderen Auto verwickelt war. Die linke Vorderseite des anderen Fahrzeugs prallte in die linke hintere Türe des Wagens des Versicherten.
3.2 Am 11. Februar 2003 wandte sich der Versicherte wegen der Schulterbeschwerden an Dr. med. G._. Am 29. April 2003 wurde er wegen einer Impingementsymptomatik der linken Schulter bei Supraspinatussehnenpartialruptur im Kantonalen Spital X._, Chirurgische Abteilung, operiert. Laut dem Austrittsbericht der Klinik vom 14. Mai 2003 bestanden seit ca. 6 Monaten (Beginn ohne Trauma) Bewegungs- und Ruheschmerzen im Bereich der linken Schulter. Der Versicherte zog die Anfang Mai 2003 erstattete Unfallmeldung Ende Juni 2003 telefonisch zurück mit der Bemerkung, Dr. med. Baudenbacher, Chefarzt der Chirurgischen Klinik am Kantonalen Spital X._, habe ihm gesagt, die Schulterbeschwerden stellten keine Unfallfolge dar. Dr. med. G._ erklärte am 2. Juli 2004, die Schulterbeschwerden links, welche zur Operation führten, seien wahrscheinlich doch Folge eines Unfalls. Der Versicherte habe sich am 23. Dezember 2002 nach dem Unfall wegen Schulterbeschwerden bei einem Arzt im Spital in Bosnien gemeldet. Im MEDAS-Gutachten vom 10. Mai 2005 wird erklärt, die Aussage, wonach die Schulterbeschwerden - u.a. Supraspinatussehnenruptur links und Supraspinatussehnenruptur rechts - eine Folge des Unfalls vom 23. Dezember 2002 darstellten, sei medizinisch nicht haltbar. Zur Begründung führen die Gutachter unter anderem aus, der im Operationsbericht vom 29. April 2003 beschriebene intraoperative Befund sei keineswegs als klarer posttraumatischer Zustand zu interpretieren, sondern vielmehr als degenerativ. Zudem spreche der zeitliche Ablauf gegen das Bestehen eines Kausalzusammenhangs. Im gleichen Sinn bezeichnet Dr. med. Speck in seiner Stellungnahme vom 14. November 2005 eine Unfallkausalität der ab 11. Februar 2003 behandelten Schulter-Beschwerden als unwahrscheinlich. Dr. med. U._ geht dagegen in seinem Gutachten vom 12. Dezember 2005 von einem Status nach Schulterkontusion und -distorsion im Dezember 2002 mit wahrscheinlicher Supraspinatussehnenruptur aus, wobei als Folge des Unfalls ein persistierendes Impingement und eine Bewegungseinschränkung der linken Schulter vorliege.
3.3 Mit Blick auf die dargelegte Aktenlage haben Vorinstanz und SUVA zu Recht erkannt, der natürliche Kausalzusammenhang zwischen den Beschwerden an der linken Schulter und dem Verkehrsunfall vom 22. Dezember 2002 sei nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt. Insbesondere die überzeugenden Ausführungen im - der IV-Stelle erstatteten - MEDAS-Gutachten vom 10. Mai 2005 stehen der Annahme eines entsprechenden Beweises entgegen. Die anders lautenden Meinungsäusserungen von Dr. med. G._ und Dr. med. U._ sind nicht näher begründet und lassen eine Auseinandersetzung mit der Gegenansicht vermissen. Da weitere Abklärungen keine zusätzlichen Erkenntnisse versprechen, muss die Anspruchsbeurteilung zu Ungunsten des Beschwerdeführers ausfallen (E. 2.2 hiervor). Die Beschwerde ist dementsprechend abzuweisen.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Anträge auf Verfahrensvereinigung und Verfahrenssistierung werden abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden, 1. Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Oktober 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger