Faits :
A.
A.X._, ressortissante dominicaine née en 1955, est entrée en Suisse le 3 septembre 2000 au bénéfice d'un visa touristique. Elle n'a pas quitté la Suisse après l'échéance de celui-ci.
Le 30 juillet 2007, A.X._ a déposé une demande d'autorisation de séjour indiquant qu'elle avait l'intention d'épouser B.X._, ressortissant suisse né en 1947. Le mariage a été célébré le 6 novembre 2009 et l'épouse s'est vue délivrer une autorisation de séjour, laquelle a été régulièrement renouvelée.
B.X._ est décédé le 29 avril 2011. Aucun enfant n'est issu de cette union.
B.
B.a. Le 9 décembre 2011, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a révoqué l'autorisation de séjour de A.X._ et prononcé son renvoi de Suisse. Le recours de l'intéressée contre la décision du Service cantonal a été déclaré irrecevable par la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: le Tribunal cantonal) pour défaut de paiement de l'avance de frais.
Par décision du 1er juin 2012, le Service cantonal n'est pas entré en matière sur la demande de réexamen déposée par A.X._. Par arrêt du 13 décembre 2012, le Tribunal cantonal a admis le recours formé par l'intéressée et renvoyé la cause au Service cantonal, afin qu'il examine si, en vertu de la nouvelle jurisprudence du Tribunal fédéral, le décès du conjoint de l'intéressée constituait une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr (RS 142.20) imposant la poursuite du séjour de celle-ci en Suisse.
Par courrier du 8 février 2013, le Service cantonal a informé A.X._ qu'il était disposé à lui délivrer un titre de séjour et qu'il transmettait le dossier à l'Office fédéral des migrations (devenu le Secrétariat d'Etat aux migrations depuis le 1er janvier 2015; ci-après: le Secrétariat d'Etat) pour approbation.
B.b. Le 25 février 2013, le Secrétariat d'Etat a informé l'intéressée qu'il envisageait de refuser d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour et lui a imparti un délai pour se déterminer. Par décision du 27 juin 2013, le Secrétariat d'Etat a refusé de donner son approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour de A.X._ et prononcé son renvoi de Suisse.
Par arrêt du 23 mars 2015, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours de l'intéressée contre la décision précitée.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'effet suspensif, de réformer l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 23 mars 2015 en ce sens que l'approbation à la prolongation de séjour est accordée. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Par ordonnance du 13 mai 2015, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif.
Le Secrétariat d'Etat conclut au rejet du recours. Le Tribunal administratif fédéral renonce à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 140 IV 57 consid. 2 p. 60).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
En l'espèce, la vie conjugale ayant pris fin moins de trois ans après le début de la vie commune en Suisse du couple (cf. ATF 136 II 113 consid. 3.3 p. 117 s.), ce qui n'est pas contesté, la recourante ne peut déduire un droit à une autorisation de séjour ni de l'art. 42 al. 1 LEtr, ni de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr. Dans la mesure où la recourante reproche de manière défendable à l'instance précédente de ne pas avoir retenu de circonstances propres à lui conférer un droit de demeurer en Suisse au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, il convient d'admettre un droit, sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, lui permettant de former un recours en matière de droit public. Le point de savoir si les conditions posées par la loi sont effectivement réunies relève en effet de l'examen au fond (cf. ATF 139 I 330 consid. 1.1 p. 332; 136 II 177 consid. 1.1 p. 179; arrêt 2C_165/2014 du 18 juillet 2014 consid. 1.1).
Pour le surplus, dirigé contre un arrêt final (cf. art. 90 LTF) rendu par le Tribunal administratif fédéral (cf. art. 86 al. 1 let. a LTF), le recours a été déposé dans les formes et le délai prescrits par la loi (cf. art. 42 et 100 al. 1 LTF) par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Il est par conséquent recevable.
1.2. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il examine en principe librement l'application du droit fédéral. Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 134 III 102 consid. 1.1 p. 104; arrêt 2C_634/2014 du 24 avril 2015 consid. 1.2).
2.
2.1. En vertu de l'art. 40 LEtr, les autorisations prévues aux art. 32 à 35 et 37 à 39 LEtr sont octroyées par les cantons. Les compétences de la Confédération sont réservées notamment en matière de procédure d'approbation (art. 99). La loi ne règle pas elle-même la procédure d'approbation, mais autorise, en vertu de l'art. 99 LEtr, le Conseil fédéral à déterminer "les cas dans lesquels les autorisations de courte durée, de séjour ou d'établissement, ainsi que les décisions préalables des autorités cantonales du marché du travail sont soumises à l'approbation du SEM", qui peut refuser son approbation ou limiter la portée de la décision cantonale. Dans sa version en vigueur jusqu'au 31 août 2015, l'art. 85 al. 1 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201) prévoyait:
"Le SEM a la compétence d'approuver l'octroi et le renouvellement des autorisations de séjour et de courte durée, ainsi que l'octroi de l'établissement, lorsque
a. il estime qu'une procédure d'approbation est nécessaire pour certaines catégories de personnes afin d'assurer une pratique uniforme de la loi;
b. il exige que l'approbation lui soit soumise dans un cas d'espèce;
c. l'octroi préalable de l'autorisation d'établissement doit avoir lieu conformément à l'art. 34, al. 3 et 4, LEtr;
d. l'autorisation d'exercer une activité lucrative est octroyée pour quatre mois au maximum au sens de l'art. 19, al. 4, let. a".
Dans un arrêt publié récent (ATF 141 II 169; cf. également l'arrêt 2C_634/2014 précité), le Tribunal fédéral a jugé que, dans l'exercice de son pouvoir de surveillance, le Secrétariat d'Etat pouvait émettre des directives administratives aux fins de concrétiser les dispositions de la LEtr et de fixer à l'attention des autorités d'exécution cantonales les cas à lui soumettre pour approbation (ATF 141 II 169consid. 4.3). Toutefois, lorsque l'octroi d'une autorisation de séjour reposait sur la décision d'une autorité judiciaire cantonale, la réglementation de l'art. 85 al. 1 let. a et b OASA ne répondait pas aux principes applicables en matière de délégation législative. En effet, les cas qui nécessitaient l'approbation n'étaient pas suffisamment décrits aux lettres a et b de cette disposition; le Conseil fédéral avait ainsi procédé à une sous-délégation que la loi ne prévoyait pas (cf. art. 48 al. 2 de la loi du 21 mars 1997 sur l'organisation du gouvernement et de l'administration [LOGA; RS 172.010]). Le procédé était inadmissible, dès lors qu'il laissait au Secrétariat d'Etat le soin de définir les cas dans lesquels une procédure d'approbation était nécessaire (ATF 141 II 169 consid. 4.4).
Par ailleurs, afin d'exclure que le Secrétariat d'Etat puisse, par le biais de la procédure d'approbation, court-circuiter une procédure judiciaire en refusant une approbation contrairement à une décision rendue par une autorité de recours cantonale contre laquelle il pouvait recourir directement jusqu'au Tribunal fédéral, il a également été jugé que lorsqu'un titre de séjour avait été octroyé sur recours et que cette décision pouvait être portée jusqu'au Tribunal fédéral au moyen d'un recours en matière de droit public, c'est cette voie de droit qui devait être utilisée par le Secrétariat d'Etat et non pas la procédure d'approbation (cf. art. 89 al. 2 et 111 LTF; ATF 141 II 169 consid. 4.4.3 p. 177; arrêts 2C_967/2014 du 25 a vril 2015 consid. 3.2 et 2C_634/2014 précité, consid. 3.2).
2.2. En l'espèce, l'arrêt du Tribunal cantonal du 13 décembre 2012 a admis le recours interjeté par la recourante contre la décision du Service cantonal du 1er juin 2012 pour un motif purement formel. Il a renvoyé la cause au Service cantonal afin qu'il examine s'il se justifiait d'entrer en matière sur la demande de réexamen de la recourante en application de l'art. 64 de la loi sur la procédure administrative vaudoise du 28 octobre 2008 (LPA/VD; RSV 173.36). Ce cas de figure doit être distingué des cas dans lesquels la procédure d'approbation par le Secrétariat d'Etat fait suite à une décision prise sur recours par une instance cantonale (généralement une autorité judiciaire) qui admet le principe de l'octroi, respectivement la prolongation, d'un titre de séjour (cf. arrêt 2C_634/2014 précité, consid. 3.2) ou des cas dans lesquels l'autorité judiciaire cantonale se prononce sur le fond mais renvoie la cause au Service cantonal (cf. arrêt 2C_968/2014 du 25 avril 2015). Dans ces deux derniers cas de figure, la décision de l'instance judiciaire cantonale est une décision se prononçant sur le fond qui pourrait s'avérer en contradiction avec un refus ultérieur d'approbation du Secrétariat d'Etat, de sorte qu'il a été jugé que, dans de tels cas, le Secrétariat d'Etat, qui en avait la possibilité, devait recourir contre le jugement du Tribunal cantonal, respectivement la décision du Service cantonal, octroyant l'autorisation de séjour (cf. art. 89 al. 2 et 111 al. 2 LTF). En revanche, la jurisprudence précitée (consid. 2.1) ne s'applique pas lorsque la décision émanant de l'instance de recours consiste en un renvoi à l'autorité administrative cantonale et que ce renvoi ne traite pas matériellement de la nouvelle décision au fond que le service cantonal compétent doit rendre.
2.3. Dans le cas présent, aucune décision judiciaire cantonale n'a été prise sur le fond, le Tribunal cantonal s'étant contenté de renvoyer la cause au Service cantonal pour examiner s'il convenait d'entrer en matière. La jurisprudence précitée (supra consid. 2.1) n'étant pas applicable, le Service cantonal pouvait soumettre le dossier au Secrétariat d'Etat pour approbation en application de l'art. 85 al. 3 OASA.
3.
La recourante reproche au Tribunal administratif fédéral d'avoir nié l'existence de raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
3.1. Selon la jurisprudence, il est présumé que le décès du conjoint suisse constitue une raison personnelle grave qui impose la poursuite du séjour en Suisse du conjoint étranger survivant, pour autant qu'aucune circonstance particulière ne permette de douter du bien-fondé du mariage ni de l'intensité des liens entre les conjoints (ATF 138 II 393 consid. 3.1 et 3.2 p. 394 et 396; cf. aussi ATF 137 II 345 consid. 3.2.2 p. 349; arrêt 2C_944/2014 du 14 avril 2015 consid. 4). En effet, le décès du conjoint constitue l'un des événements majeurs de la vie de l'autre conjoint, d'autant plus grave et considérable qu'il a lieu dans un contexte migratoire. C'est la raison pour laquelle la jurisprudence a été précisée en ce sens que, lorsqu'aucune circonstance particulière ne permet de douter du bien-fondé du mariage ni de l'intensité des liens entre les conjoints, il est présumé que le décès du conjoint suisse constitue une raison personnelle grave qui impose la poursuite du séjour en Suisse du conjoint étranger survivant au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, sans qu'il soit nécessaire d'examiner encore le caractère fortement compromis de la réintégration de ce dernier dans le pays de provenance (ATF 138 II 393 consid. 3.3 p. 396).
Cette présomption n'est pas irréfragable. Les autorités de police des étrangers peuvent démontrer l'existence de circonstances particulières permettant de douter de la réalité des liens qui unissaient les époux. Parmi celles-ci figurent notamment le cas d'un étranger qui aurait épousé en connaissance de cause un ressortissant suisse gravement atteint dans sa santé et dont l'espérance de vie était fortement réduite, afin de se prévaloir abusivement des conséquences du décès, le cas d'un étranger qui aurait entamé une procédure de séparation ou de divorce peu avant le décès, ou encore, celui d'un étranger qui aurait mis fin à la vie commune avant le décès de son conjoint suisse, démontrant qu'au moment du décès la communauté conjugale était rompue (ATF 138 II 393 consid. 3.3 p. 396).
3.2. Dans son arrêt, le Tribunal administratif fédéral a considéré qu'il existait, en l'espèce, des circonstances particulières qui permettaient de renverser la présomption selon laquelle le décès du conjoint de la recourante constituait une raison personnelle grave qui imposait la poursuite du séjour de la recourante en Suisse au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr. Il a jugé que - contrairement aux dires de la recourante - au moment du mariage, son conjoint était "déjà atteint dans sa santé, au point que son espérance de vie était fortement réduite" (arrêt attaqué, consid. 8.2). Il a par ailleurs estimé qu'il était peu probable que la recourante n'ait pas été consciente des problèmes de santé de son époux au moment du mariage. Il en a dès lors conclu que la recourante ne pouvait pas se prévaloir des conséquences du décès de son époux sans commettre un abus de droit au sens de la jurisprudence (arrêt attaqué, consid. 8.4).
3.3. La recourante soutient que le raisonnement de l'autorité précédente viole la jurisprudence du Tribunal fédéral (ATF 138 II 393) et estime que rien ne démontre qu'elle aurait épousé son mari suisse atteint dans sa santé, afin de se prévaloir abusivement des conséquences du décès de ce dernier.
3.4. En l'espèce, le raisonnement de l'instance précédente et la conclusion à laquelle elle aboutit selon laquelle la recourante ne peut pas se prévaloir des conséquences du décès de son époux sans commettre un abus de droit ne peuvent être suivies, dans la mesure où ils ne sont pas conformes à la jurisprudence précitée ni aux faits retenus dans l'arrêt attaqué. En effet, le Tribunal administratif fédéral semble se fonder essentiellement sur un certificat médical - établi par le médecin traitant de l'époux à la demande de l'instance précédente - pour conclure qu'au moment du mariage en novembre 2009, celui-ci "était déjà gravement atteint dans sa santé, au point que son espérance de vie était fortement réduite" (arrêt attaqué, consid. 8.1 et 8.2). Force est cependant de constater qu'il ne ressort pas de la lecture du certificat médical en question - dans lequel le médecin précise d'ailleurs que sa prise en charge de l'intéressé a commencé en janvier 2010 - que l'espérance de vie du conjoint était fortement réduite et encore moins que la recourante aurait su que l'espérance de vie de son conjoint était "fortement réduite". A cet égard, le fait "qu'il était peu probable que [la recourante] n'ait pas été consciente des problèmes de santé de son époux au moment du mariage" - ce qui au demeurant n'est pas démontré - ne signifie pas encore que celle-ci savait que "l'espérance de vie de son conjoint était fortement réduite" et encore moins qu'elle l'aurait épousé "afin de se prévaloir abusivement des conséquences de son décès" au sens de la jurisprudence précitée. Il ressort au contraire du dossier qu'au moment du décès du conjoint, les époux étaient mariés depuis un an et demi et vivaient ensemble depuis plusieurs années. En outre, selon les dires de six témoins, l'épouse est restée aux côtés de son conjoint jusqu'à sa mort, ce qui n'est d'ailleurs pas remis en question par le Tribunal administratif fédéral dans l'arrêt attaqué.
C'est donc à tort que le Tribunal administratif fédéral a jugé que le décès du conjoint de la recourante ne constituait pas une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
4.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être admis et l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 23 mars 2015 annulé. La cause sera renvoyée au Secrétariat d'Etat pour qu'il approuve l'octroi d'une autorisation de séjour à la recourante.
Ayant obtenu gain de cause avec l'aide d'un mandataire professionnel, la recourante a droit à une équitable indemnité de partie (art. 68 al. 1 LTF) à charge du Secrétariat d'Etat. La cause est renvoyée au Tribunal administratif fédéral pour qu'il procède à une nouvelle répartition des frais et dépens de la procédure qui s'est déroulée devant lui (art. 67 LTF). Il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 1 et 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt rendu le 23 mars 2015 par le Tribunal administratif fédéral est annulé.
2.
La cause est renvoyée au Secrétariat d'Etat aux migrations pour qu'il approuve l'octroi d'une autorisation de séjour à la recourante.
3.
La cause est renvoyée au Tribunal administratif fédéral pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure devant lui.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Le Secrétariat d'Etat aux migrations versera à la recourante une indemnité de CHF 2'500.-- à titre de dépens.
6.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Secrétariat d'Etat aux migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III, ainsi qu'au Service de la population et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 12 novembre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : Thalmann