Faits:
A. W._ a travaillé en qualité de secrétaire à raison de 60 % d'un horaire complet au service de la société X._ SA jusqu'au 30 septembre 2007, date à laquelle elle a été licenciée par son employeur. Elle a requis l'octroi d'une indemnité de chômage dès le 29 octobre 2007 et bénéficié de prestations jusqu'à la fin du mois de mai 2008.
Par courrier du 1er juillet 2008, l'Office régional de placement de Lausanne (ORP) a informé la Caisse cantonale de chômage du canton de Vaud (ci-après: la caisse) que l'assurée était inscrite au registre du commerce, depuis le mois de juillet 2000, en qualité d'administratrice de la société X._ SA, avec droit de signature individuelle. Invitée à se déterminer, l'intéressée a indiqué qu'elle n'avait jamais eu une fonction dirigeante dans la société et que son inscription au registre du commerce avait seulement pour but de lui permettre de signer certains documents en l'absence de sa supérieure hiérarchique S._, administratrice avec droit de signature individuelle. Par ailleurs, elle n'avait pas indiqué l'existence de cette inscription dans sa demande d'indemnité de chômage car son ex-employeur lui avait promis de requérir la radiation au registre du commerce.
Par deux décisions du 12 août 2008, confirmées sur opposition le 17 novembre suivant, la caisse a nié le droit de l'assurée à une indemnité de chômage à partir du 29 octobre 2007 et lui a réclamé la restitution d'un montant de 16'723 fr. 10 représentant les prestations indûment perçues du 29 octobre 2007 au 31 mai 2008. Elle a considéré, en résumé, que l'intéressée, inscrite au registre du commerce en qualité d'administratrice de la société, avait conservé le pouvoir d'influencer les décisions de son ancien employeur. En revanche, elle était disposée à réexaminer la situation à partir du 24 octobre 2008, date à laquelle l'inscription au registre du commerce avait été radiée.
B. W._ a recouru contre la décision sur opposition devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Par jugement du 1er décembre 2009, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours. Elle a annulé la décision sur opposition attaquée en tant qu'elle nie le droit de l'assurée à l'indemnité de chômage à partir du 9 octobre 2008, date à laquelle elle a démissionné du conseil d'administration de la société, et elle a renvoyé la cause à la caisse pour qu'elle statue sur le droit de l'intéressée à l'indemnité de chômage dès cette date, la décision entreprise étant confirmée pour le surplus.
C. W._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande la réforme en ce sens qu'elle a droit à l'indemnité de chômage dès le 1er octobre 2007 et que la décision de restitution des prestations perçues est annulée. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation du jugement et au renvoi de la cause au tribunal cantonal ou à la caisse pour nouvelle décision au sens des considérants, le tout sous suite de dépens. En outre, elle demande l'effet suspensif au recours et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire, ainsi que la désignation de Me Heim en qualité d'avocat d'office.
La caisse intimée s'en remet à justice en ce qui concerne tant les conclusions du recours que l'octroi de l'effet suspensif. La juridiction cantonale se réfère purement et simplement à son jugement, tandis que le Secrétariat d'Etat à l'économie a renoncé à présenter des déterminations.
D. Par ordonnance du 2 juin 2010, le juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
Dans un arrêt ATF 133 V 477, le Tribunal fédéral a précisé les notions de décisions finales, partielles, préjudicielles et incidentes au sens des art. 90 à 93 LTF. Il a considéré qu'un jugement de renvoi ne met pas fin à la procédure, de sorte qu'il ne constitue pas une décision finale au sens de la LTF. Les jugements de renvoi qui tranchent une question de droit matériel ne sont pas non plus des décisions partielles au sens de l'art. 91 let. a LTF car il ne s'agit pas de décisions qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause. Ils constituent bien plutôt des décisions incidentes qui peuvent être attaquées séparément aux conditions prévues à l'art. 93 al. 1 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.2 p. 481 et les références). En outre, le Tribunal fédéral a considéré que l'assureur auquel la cause a été renvoyée par la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision ne subit pas un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Enfin, la règle prévue à l'art. 93 al. 1 let. b LTF - dont les conditions peuvent être examinées librement par l'autorité de dernière instance - ne justifie en principe pas non plus que l'on entre en matière sur des recours dirigés contre des jugements de renvoi par lesquels la juridiction cantonale a ordonné uniquement un complément d'instruction. En effet, les parties ne perdent pas un droit même si elles n'attaquent pas un jugement incident, dès lors qu'il leur reste la possibilité de recourir contre la décision finale dans la mesure où le jugement en question influe sur le contenu de celle-ci (art. 93 al. 3 LTF). Aussi, le recours séparé contre une décision incidente pour des motifs d'économie de procédure reste-t-il une exception qui doit être appliquée de manière restrictive (arrêts 8C_969/2008 du 2 mars 2009 consid. 1.2 et 9C_446/2007 du 5 décembre 2007 consid. 3; sur ces questions, cf. HANSJÖRG SEILER, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Schaffhauser/Schlauri [éd.], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, St-Gall 2009, p. 9 ss).
Dans un arrêt ATF 133 V 477, le Tribunal fédéral a précisé les notions de décisions finales, partielles, préjudicielles et incidentes au sens des art. 90 à 93 LTF. Il a considéré qu'un jugement de renvoi ne met pas fin à la procédure, de sorte qu'il ne constitue pas une décision finale au sens de la LTF. Les jugements de renvoi qui tranchent une question de droit matériel ne sont pas non plus des décisions partielles au sens de l'art. 91 let. a LTF car il ne s'agit pas de décisions qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause. Ils constituent bien plutôt des décisions incidentes qui peuvent être attaquées séparément aux conditions prévues à l'art. 93 al. 1 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.2 p. 481 et les références). En outre, le Tribunal fédéral a considéré que l'assureur auquel la cause a été renvoyée par la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision ne subit pas un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Enfin, la règle prévue à l'art. 93 al. 1 let. b LTF - dont les conditions peuvent être examinées librement par l'autorité de dernière instance - ne justifie en principe pas non plus que l'on entre en matière sur des recours dirigés contre des jugements de renvoi par lesquels la juridiction cantonale a ordonné uniquement un complément d'instruction. En effet, les parties ne perdent pas un droit même si elles n'attaquent pas un jugement incident, dès lors qu'il leur reste la possibilité de recourir contre la décision finale dans la mesure où le jugement en question influe sur le contenu de celle-ci (art. 93 al. 3 LTF). Aussi, le recours séparé contre une décision incidente pour des motifs d'économie de procédure reste-t-il une exception qui doit être appliquée de manière restrictive (arrêts 8C_969/2008 du 2 mars 2009 consid. 1.2 et 9C_446/2007 du 5 décembre 2007 consid. 3; sur ces questions, cf. HANSJÖRG SEILER, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Schaffhauser/Schlauri [éd.], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, St-Gall 2009, p. 9 ss).
1.2 1.2.1 L'assurée a perçu des indemnités de chômage durant la période du 29 octobre 2007 au 31 mai 2008, dans un délai-cadre d'indemnisation allant jusqu'au 28 octobre 2009. Par ses décisions du 12 août 2008, confirmées sur opposition le 17 novembre suivant, la caisse a nié son droit à ces indemnités du 29 octobre 2007 au 24 octobre 2008, date à laquelle ses pouvoirs ont été radiés au registre du commerce, et elle a réclamé la restitution des prestations perçues.
Par le jugement attaqué, la juridiction cantonale a confirmé l'absence de droit à une indemnité de chômage à partir du 29 octobre 2007, ainsi que l'obligation de l'assurée de restituer les prestations, et elle a renvoyé la cause à la caisse pour qu'elle statue sur le droit de l'intéressée à une indemnité de chômage dès le 9 octobre 2008, jour suivant la démission effective de sa fonction d'administratrice de la société X._ SA.
Cela étant, en ce qui concerne le droit éventuel de la recourante à une indemnité de chômage à partir du 9 octobre 2008, le jugement attaqué est une décision incidente car la juridiction cantonale renvoie la cause à l'administration pour nouvelle décision. En revanche, en ce qui concerne la période du 29 octobre 2007 au 8 octobre 2008, la juridiction cantonale a rendu une décision matérielle en niant le droit de l'intéressée à l'indemnité de chômage. Il convient dès lors d'examiner si, sur ce point, le jugement attaqué est une décision partielle séparément attaquable au sens de l'art. 91 let. a LTF.
1.2.2 Dans un arrêt ATF 135 V 141, le Tribunal fédéral a jugé que lorsqu'une autorité de première instance tranche définitivement le droit à une rente de l'assurance-invalidité relativement à une période déterminée et renvoie la cause à l'administration pour nouvelle décision concernant la période postérieure, la partie de la décision qui se rapporte à la question définitivement tranchée constitue une décision partielle susceptible d'être attaquée séparément et qui, en cas de non-contestation, entre en force de façon indépendante et ne peut plus être attaquée par la suite. Il a considéré que lorsqu'une prestation durable est l'objet d'un litige sur une assez longue période et que la juridiction précédente n'a statué matériellement que sur une partie de cette période, le jugement rendu est une décision partielle susceptible d'être attaquée séparément, à défaut de quoi il entre en force (ATF 135 V 141 consid. 1.4.4-1.4.6 p. 146 ss).
En l'espèce, l'administration a statué sur le droit de l'assurée - qu'elle a nié - pour la période du 29 octobre 2007 au 24 octobre 2008. De son côté, la juridiction cantonale s'est prononcée matériellement seulement sur la période du 29 octobre 2007 au 8 octobre 2008. Conformément à la jurisprudence ci-dessus exposée - qu'il y a lieu d'appliquer par analogie à la présente cause -, le jugement attaqué doit être qualifié de décision partielle en tant qu'il concerne la période en cause. Il est dès lors séparément attaquable devant le Tribunal fédéral (art. 91 let. a LTF) et le recours en matière de droit public est admissible dans la mesure où il concerne le droit éventuel de la recourante à l'indemnité de chômage durant ladite période. En revanche, il est irrecevable en tant qu'il se rapporte à la période à compter du 9 octobre 2008, les conditions de l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF n'étant en l'occurrence pas réalisées.
2. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF.
3. Le litige porte sur le droit de la recourante à l'indemnité de chômage durant la période du 29 octobre 2007 au 8 octobre 2008 et sur son obligation de restituer à la caisse intimée les prestations perçues durant la période du 29 octobre 2007 au 31 mai 2008.
4. 4.1 La caisse intimée et la juridiction cantonale ont nié le droit de la recourante à une indemnité de chômage, motif pris que l'intéressée, tant qu'elle était inscrite au registre du commerce en qualité d'administratrice de la société X._ SA ou, à tout le moins, tant qu'elle n'avait pas démissionné du conseil d'administration de cette société, avait conservé un pouvoir d'influencer considérablement les décisions de l'employeur. Elles ont appliqué par analogie l'art. 31 al. 3 let. c LACI.
4.2 D'après la jurisprudence (ATF 123 V 234), un travailleur qui jouit d'une situation professionnelle comparable à celle d'un employeur n'a pas droit à l'indemnité de chômage lorsque, bien que licencié formellement par une entreprise, il continue de fixer les décisions de l'employeur ou à influencer celles-ci de manière déterminante. Dans le cas contraire, en effet, on détournerait par le biais d'une disposition sur l'indemnité de chômage la réglementation en matière d'indemnités en cas de réduction de l'horaire de travail, en particulier l'art. 31 al. 3 let. c LACI. Selon cette disposition légale, n'ont pas droit à l'indemnité en cas de réduction de l'horaire de travail les personnes qui fixent les décisions que prend l'employeur - ou peuvent les influencer considérablement - en qualité d'associé, de membre d'un organe dirigeant de l'entreprise ou encore de détenteur d'une participation financière à l'entreprise; cela vaut aussi pour les conjoints de ces personnes qui sont occupés dans l'entreprise. Dans ce sens, il existe un étroit parallélisme entre l'indemnité en cas de réduction de l'horaire de travail et le droit à l'indemnité de chômage. La situation est en revanche différente quand le salarié, se trouvant dans une position assimilable à celle de l'employeur, quitte définitivement l'entreprise en raison de la fermeture de celle-ci. Il en va de même lorsque l'entreprise continue d'exister mais que le salarié, par suite de la résiliation de son contrat, rompt définitivement tout lien avec la société. Dans un cas comme dans l'autre, l'intéressé peut en principe prétendre des indemnités de chômage (voir plus particulièrement ATF 123 V 234 consid. 7b/bb p. 238; voir aussi DTA 2004 p. 259, C 65/04, consid. 2; SVR 2001 ALV no 14 p. 41 s., C 279/00, consid. 2a et DTA 2000 no 14 p. 70, C 208/99, consid. 2).
Lorsqu'il s'agit de déterminer quelle est la possibilité effective d'un dirigeant d'influencer le processus de décision de l'entreprise, il convient de prendre en compte les rapports internes existant dans l'entreprise. On établira l'étendue du pouvoir de décision en fonction des circonstances concrètes (DTA 1996/1997 no 41 p. 227 s. consid. 1b et 2; SVR 1997 ALV no 101 p. 311 consid. 5c). La seule exception à ce principe concerne les membres des conseils d'administration car ils disposent ex lege (art. 716 à 716b CO) d'un pouvoir déterminant au sens de l'art. 31 al. 3 let. c LACI (DTA 1996/1997 no 41 p. 226 consid. 1b et les références). Pour les membres du conseil d'administration, le droit aux prestations peut dès lors être exclu sans qu'il soit nécessaire de déterminer plus concrètement les responsabilités qu'ils exercent au sein de la société (ATF 122 V 270 consid. 3 p. 273; DTA 2004 no 21 p. 196 consid. 3.2, C 113/03). Il en va de même, dans une société à responsabilité limitée, des associés, respectivement des associés-gérants lorsqu'il en a été désigné, lesquels occupent collectivement une position comparable à celle du conseil d'administration d'une société anonyme (arrêts C 37/02 du 22 novembre 2002, consid. 4, et C 71/01 du 30 août 2001).
Lorsqu'il s'agit de déterminer quelle est la possibilité effective d'un dirigeant d'influencer le processus de décision de l'entreprise, il convient de prendre en compte les rapports internes existant dans l'entreprise. On établira l'étendue du pouvoir de décision en fonction des circonstances concrètes (DTA 1996/1997 no 41 p. 227 s. consid. 1b et 2; SVR 1997 ALV no 101 p. 311 consid. 5c). La seule exception à ce principe concerne les membres des conseils d'administration car ils disposent ex lege (art. 716 à 716b CO) d'un pouvoir déterminant au sens de l'art. 31 al. 3 let. c LACI (DTA 1996/1997 no 41 p. 226 consid. 1b et les références). Pour les membres du conseil d'administration, le droit aux prestations peut dès lors être exclu sans qu'il soit nécessaire de déterminer plus concrètement les responsabilités qu'ils exercent au sein de la société (ATF 122 V 270 consid. 3 p. 273; DTA 2004 no 21 p. 196 consid. 3.2, C 113/03). Il en va de même, dans une société à responsabilité limitée, des associés, respectivement des associés-gérants lorsqu'il en a été désigné, lesquels occupent collectivement une position comparable à celle du conseil d'administration d'une société anonyme (arrêts C 37/02 du 22 novembre 2002, consid. 4, et C 71/01 du 30 août 2001).
4.3 4.3.1 Invoquant le grief de violation du droit fédéral, la recourante reproche premièrement à la juridiction cantonale d'avoir méconnu la règle jurisprudentielle selon laquelle le salarié, qui se trouve dans une position assimilable à celle de l'employeur, peut en principe prétendre des indemnités de chômage lorsqu'il rompt définitivement tout lien avec la société ensuite de la résiliation de son contrat de travail. Comme la juridiction cantonale n'a pas examiné ce point, tous les faits déterminants n'ont pas été établis et l'intéressée propose de compléter l'état de fait en faisant valoir que les rapports de travail ont été résiliés avec effet au 30 septembre 2007 mais qu'elle a été dispensée de son obligation de travailler dès le 1er août précédent. A cet égard, le mandataire de la société X._ SA a confirmé, le 11 décembre 2008, qu'elle n'avait plus exercé quelque fonction que ce soit pour la société dès la fin des rapports de travail. La recourante infère de cela qu'elle a rompu tout lien avec la société dès son licenciement et que, même si précédemment elle avait disposé ex lege du pouvoir d'influer sur les décisions de la société, ce pouvoir a pris fin au moment du licenciement, de sorte qu'elle a droit à une indemnité de chômage.
4.3.2 Le parallélisme établi par la jurisprudence entre l'indemnité en cas de réduction de l'horaire de travail et le droit à l'indemnité de chômage repose sur le fait qu'un travailleur licencié disposant d'un pouvoir d'influer sur les décisions de la société peut, à tout moment, décider de son propre réengagement, de sorte que la perte de travail est comparable à une réduction de l'horaire de travail avec cessation momentanée d'activité. La jurisprudence en cause a pour but d'écarter un risque d'abus consistant notamment, de la part d'un assuré jouissant d'une situation comparable à un employeur, à décider à la fois de son licenciement et de son réengagement, ou à fixer le salaire déterminant le gain assuré (ATF 123 V 234 consid. 7b/bb p. 238; cf. BORIS RUBIN, Assurance-chômage, 2ème éd., 2006, p. 122). C'est parce qu'elle considère que ce risque d'abus est d'emblée réalisé en ce qui concerne les membres des conseils d'administration disposant ex lege d'un pouvoir déterminant au sens de l'art. 31 al. 3 let. c LACI que la jurisprudence exclut leur droit à prestations sans qu'il soit nécessaire de déterminer plus concrètement les responsabilités qu'ils exercent au sein de la société. Aussi, n'y a-t-il pas lieu de considérer que le risque d'abus est écarté du simple fait que le contrat de travail a été résilié et que le membre du conseil d'administration n'exerce plus une activité salariée au service de la société. On doit bien plutôt admettre que, malgré son licenciement formel, l'intéressé est toujours en mesure de fixer les décisions de l'employeur ou, du moins, de les influencer de manière déterminante en sa qualité de membre du conseil d'administration.
En l'espèce, tant que cette qualité n'a pas pris fin, la recourante ne peut dès lors déduire aucune prétention du fait qu'elle a été licenciée avec effet au 30 septembre 2007 et dispensée de son obligation de travailler dès le 1er août précédent.
En l'espèce, tant que cette qualité n'a pas pris fin, la recourante ne peut dès lors déduire aucune prétention du fait qu'elle a été licenciée avec effet au 30 septembre 2007 et dispensée de son obligation de travailler dès le 1er août précédent.
4.4 4.4.1 Par un moyen subsidiaire, la recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir nié l'existence d'une démission du conseil d'administration de la société en se fondant sur les seules circonstances que l'intéressée n'avait produit aucune lettre de démission, qu'un tel document n'avait pas été adressé à S._ avant le 2 juillet 2008 et qu'il n'était pas établi qu'une telle pièce ait été communiquée au registre du commerce. La recourante fait valoir qu'en exigeant ainsi la forme écrite comme preuve de la démission, la juridiction cantonale a violé le droit fédéral qui ne soumet à aucune forme la déclaration de volonté de démissionner du conseil d'administration. En l'occurrence, dans un courrier électronique adressé le 2 juillet 2008 à S._, elle s'est référée à sa "dernière demande du mois de février", ce qui veut dire qu'il y avait eu des demandes auparavant, la prénommée n'ayant pas contesté ce fait dans sa réponse, Par ailleurs, le mandataire de la société a indiqué que W._ avait été remplacée au conseil d'administration le 1er janvier 2008 et lors de l'assemblée générale du 9 octobre 2008, la société a pris acte de la démission avec effet rétroactif au 1er janvier 2008. La recourante déduit de ces allégations que sa démission a été donnée au début de l'année 2008, époque à laquelle il faut situer la fin de sa qualité d'administratrice de la société. Subsidiairement, la fonction d'administratrice doit être considérée comme ayant pris fin le 2 juillet 2008, date à laquelle S._ a accusé réception du courrier électronique de l'intéressée.
4.4.2 Pour fixer le moment de la sortie du conseil d'administration d'une société anonyme, il y a lieu de prendre en considération, par analogie avec la jurisprudence concernant l'art. 52 LAVS, non pas la date de la radiation de l'inscription au registre du commerce ou celle de la publication dans la Feuille officielle suisse du commerce, mais le moment de la démission effective du conseil d'administration (ATF 126 V 134 consid. 5b p. 137). La démission est une déclaration de volonté unilatérale sujette à réception (PETER BÖCKLI, Schweizer Aktienrecht, 4ème éd., 2009, p. 1562 n. 57a). Elle n'est soumise à aucune forme particulière, encore qu'un document écrit soit mieux susceptible d'établir la démission effective (ROLAND MÜLLER/LORENZ LIPP/ADRIAN PLÜSS, Der Verwaltungsrat, 3ème éd., 2007, p. 135).
En l'occurrence, contrairement à ce qu'allègue la recourante, la juridiction cantonale ne fait pas dépendre la validité de la démission de la forme écrite mais elle a constaté qu'en l'absence de tout élément concret susceptible d'établir la communication d'une démission effective auparavant, celle-ci a eu lieu seulement le 8 octobre 2008, date à laquelle l'assemblée générale de la société a nommé une nouvelle administratrice en remplacement de la recourante.
4.4.3 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références). Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
En l'espèce le recours ne contient toutefois aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait du jugement attaqué. En effet, la recourante n'expose pas en quoi l'appréciation des preuves par le tribunal cantonal quant au moment de la démission effective est manifestement insoutenable. Son argumentation tend plutôt à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente.
Sur le vu des faits établis par la juridiction cantonale, on doit admettre que la qualité de membre du conseil d'administration de la société X._ SA a pris fin seulement le 8 octobre 2008, de sorte que la recourante n'avait pas droit à l'indemnité de chômage durant la période du 29 octobre 2007 au 8 octobre 2008.
5. La juridiction cantonale a confirmé la décision sur opposition de la caisse en tant qu'elle réclame la restitution des indemnités de chômage perçues par l'assurée durant la période du 29 octobre 2007 au 31 mai 2008. Toutefois, elle ne s'est pas prononcé sur ce point dans les considérants en droit du jugement attaqué. Il est vrai que dans son recours adressé à la juridiction cantonale, l'intéressée contestait son obligation de restituer en faisant valoir uniquement qu'elle avait droit aux prestations réclamées, ce que les premiers juges ont précisément nié. En revanche, elle n'a pas mis en cause la réalisation des autres conditions mises à l'obligation de restituer des prestations accordées sur la base d'une décision passée en force, à savoir l'erreur manifeste et l'importance notable de la rectification (art. 95 al. 1 LACI en relation avec les art. 25 al. 1 et 53 al. 2 LPGA; cf. ATF 122 V 367 consid. 3 p. 368; 110 V 176 consid. 2a p. 179 et les références).
Dans la mesure où, dans son recours en matière de droit public, la recourante se contente également de faire valoir qu'elle avait droit aux prestations réclamées, il n'y a pas lieu de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle examine si les autres conditions de la restitution desdites prestations étaient réalisées. Il apparaît, en effet, que la caisse intimée a commis une erreur manifeste en allouant une indemnité de chômage, alors que l'intéressée était inscrite au registre du commerce en qualité d'administratrice de la société X._ SA et que la rectification des décisions matérielles d'octroi des prestations indues revêt une importance notable.
6. Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé, dans la mesure où il est recevable.
7. La recourante sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire, ainsi que la désignation de son mandataire en qualité d'avocat d'office.
Selon l'art. 64 al. 1 LTF, une partie a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas de ressources suffisantes et si ses conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec. En outre, le Tribunal fédéral attribue un avocat à cette partie si la sauvegarde de ses droits le requiert (art. 64 al. 2 LTF). Selon la jurisprudence, une personne ne dispose pas de ressources suffisantes si elle ne peut assumer les frais du procès sans entamer les moyens nécessaires à son entretien et à celui de sa famille (ATF 128 I 225 consid. 2.5.1 p. 232, 127 I 202 consid. 3b p. 205, 125 IV 161 consid. 4a p. 164). Pour examiner si cette condition est réalisée, il y a lieu de prendre en considération la situation financière au moment de la décision sur l'assistance judiciaire (ATF 108 V 265 consid. 4 p. 269) et, si la partie requérante est mariée, les revenus des deux époux (ATF 115 Ia 193 consid. 3a p. 195, 108 Ia 9 consid. 3 p. 10, 103 Ia 99 p. 101 et les références).
En l'occurrence, on ne peut inférer des pièces produites à l'appui de la requête d'assistance judiciaire que les ressources de la recourante et de son mari (soit un salaire mensuel de 8'429 fr.réalisé par le mari) sont insuffisantes pour assumer les frais du procès. En particulier, on ne saurait porter en déduction les importantes charges mensuelles d'entretien de la maison invoquées par les intéressés pour l'année 2009 (4'080 fr. 30). En effet, à supposer qu'elles subsistent encore actuellement, ces obligations ne constituent pas des charges d'entretien auxquelles les intéressés ne peuvent plus échapper (cf. Bernard Corboz, In Commentaire de la LTF, 2009, n° 26 ad art. 64 LTF), dans la mesure où on peut exiger d'eux qu'ils étalent ces dépenses dans le temps afin de soutenir le procès. Par ailleurs, le montant de la déduction alléguée au titre des frais mensuels médicaux des époux (4'250 fr.) correspond bien plutôt aux dépenses annuelles. Enfin, étant donné les frais judiciaires et le montant probable des honoraires du mandataire pour la procédure fédérale (compte tenu notamment du fait que le recours en matière de droit public reprend en partie l'argumentation du recours déposé devant la juridiction cantonale), le coût prévisible de la procédure n'apparaît pas de nature à mettre en péril les moyens nécessaires aux intéressés pour subvenir à leurs besoins.
Cela étant, la condition relative à l'absence de ressources suffisantes n'est pas réalisée et la demande d'assistance doit être rejetée. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 12 octobre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Le Greffier:
Leuzinger Beauverd