Sachverhalt:
A. X._ ist Willensvollstrecker im Nachlass von Z._, die am 19. September 2011 in Zürich starb. Am 17. Februar 2012 erhoben die Erbinnen vor dem Einzelgericht-Aufsicht des Bezirksgerichts Zürich eine Beschwerde gegen X._. Mit Urteil vom 30. April 2012 setzte das Einzelgericht X._ als Willensvollstrecker ab. Das begründete Urteil wurde X._ am 7. Juni 2012 zugestellt.
B. B.a Gegen diesen Entscheid legte X._ am 15. Juni 2012 beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde ein. Mit Verfügung vom 21. Juni 2012 setzte ihm Oberrichter S._ unter Mitwirkung von Gerichtsschreiberin T._ eine Frist von zehn Tagen, um für die Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens einen Vorschuss von Fr. 6'000.-- zu leisten.
B.b Hierauf machte X._ geltend, Oberrichter S._ und Gerichtsschreiberin T._ seien beim Erlass der Verfügung vom 21. Juni 2012 "schwer befangen" gewesen; sie dürften daher im Beschwerdeverfahren nicht mehr tätig werden. Zudem sei der Gerichtskostenvorschuss auf Fr. 4'000.-- zu reduzieren (Eingabe vom 9. Juli 2012).
B.c Ohne Mitwirkung der abgelehnten Gerichtspersonen entschied die II. Zivilkammer des Obergerichts mit Beschluss vom 13. Juli 2012, auf das Ablehnungsbegehren nicht einzutreten. Sie setzte X._ eine einmalige Nachfrist von fünf Tagen, um den am 21. Juni 2012 verfügten Kostenvorschuss von Fr. 6'000.-- zu leisten, und drohte ihm für den Fall der Nichtleistung an, auf seine Beschwerde vom 15. Juni 2012 nicht einzutreten.
B.d Mit Schreiben vom 30. Juli 2012 teilte X._ dem Obergericht mit, dass er an der Befangenheit von Oberrichter S._ und Gerichtsschreiberin T._ festhalte; ausserdem seien auch sämtliche am Beschluss vom 13. Juli 2012 mitwirkenden Personen "schwer befangen". Überdies stellte er in Aussicht, dass er an das Bundesgericht gelangen werde.
B.e Am 7. August 2012 stellte die II. Zivilkammer des Obergerichts fest, dass bis zum Ablauf der fünftägigen Nachfrist (Bst. B.d) kein Kostenvorschuss geleistet wurde, und beschloss, auf die Beschwerde vom 15. Juni 2012 (Bst. B.a) nicht einzutreten. An diesem Entscheid wirkten die Oberrichter S._ (Vorsitz), U._ und V._ sowie Gerichtsschreiberin T._ mit.
C. Mit als "Verfassungsbeschwerde + Beschwerde in Zivilsachen" bezeichneter Eingabe vom 21. August 2012 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung vom 21. Juni 2012 (Bst. B.a) sowie die Beschlüsse vom 13. Juli 2012 (Bst. B.c) und vom 7. August 2012 (Bst. B.e) aufzuheben. Das Bundesgericht hat für jeden der drei angefochtenen Entscheide ein separates Verfahren eröffnet (5A_599/2012, 5A_600/2012 und 5A_601/ 2012. Im vorliegenden Verfahren 5A_600/ 2012 ist einzig zu beurteilen, ob das Obergericht am 13. Juli 2012 zu Recht nicht auf das Ablehnungsbegehren eingetreten ist. Was den Streit um die Höhe des am 21. Juni 2012 verfügten Gerichtskostenvorschusses angeht, kommt dem Beschluss vom 13. Juli 2012 keine eigenständige Bedeutung zu, denn das Obergericht räumt dem Beschwerdeführer darin lediglich eine Nachfrist zur Bezahlung des verfügten Vorschusses ein.
Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Am 9. November 2012 hat der Beschwerdeführer am Bundesgericht Einsicht in die Akten genommen.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist binnen Frist der selbständig eröffnete Zwischenentscheid über den Ausstand von Gerichtspersonen (Art. 92 Abs. 1, 100 Abs. 1 i.V.m. 46 Abs. 1 lit. b BGG. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 382). Hier betrifft das Hauptsacheverfahren einen Entscheid aus dem Gebiet der Aufsicht über die Willensvollstrecker, der gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 BGG der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt. Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit, deren Streitwert den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) übersteigt (s. Urteil 5A_601/2012 vom 16. November 2012 E. 1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher auch gegen den Beschluss des Obergerichts vom 13. Juli 2012 zulässig.
1.2 Zwar hat das Obergericht in der Hauptsache am 7. August 2012 bereits einen Nichteintretens- und damit einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG gefällt. Allerdings war zu diesem Zeitpunkt die Frist für eine Beschwerde gegen den Beschluss vom 13. Juli 2012 noch nicht abgelaufen (E. 1.1). Gerade wegen der vorzeitigen Erledigung des Hauptsacheverfahrens hat der Beschwerdeführer nach wie vor ein aktuelles schutzwürdiges Interesse (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG) an der Aufhebung des Beschlusses vom 13. Juli 2012. Sollte sich seine Beschwerde nämlich als begründet erweisen, wäre damit auch der Bestand des - unter Mitwirkung der abgelehnten Gerichtspersonen zustande gekommenen - Beschlusses vom 7. August 2012 in Frage gestellt (s. Urteil 5A_601/2012 vom 16. November 2012 E. 5.2).
1.3 Nach dem Gesagten steht die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich offen. Soweit der Beschwerdeführer daneben noch Verfassungsbeschwerde erhebt, erweist sich diese als unzulässig (Art. 113 BGG); darauf ist nicht einzutreten (Urteil 5A_176/2009 vom 5. Juni 2009 E. 1.1).
2. 2.1 Streitig ist vor Bundesgericht, ob im vorinstanzlichen Rechtsmittelverfahren gegen Oberrichter S._ und Gerichtsschreiberin T._ ein Ausstandsgrund vorliegt. Soweit der Beschwerdeführer daran festhält, auch die am angefochtenen Beschluss vom 13. Juli 2012 mitwirkenden Gerichtspersonen abzulehnen, kann darauf nicht eingetreten werden, denn die Befangenheit dieser Personen ist nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids (vgl. dazu Urteil 5A_601/2012 vom 16. November 2012 E. 5.2).
2.2 Das Obergericht kommt zum Schluss, aus der Eingabe vom 9. Juli 2012 (s. Sachverhalt Bst. B.b) ergäben sich insgesamt keine Anzeichen für das Vorliegen eines Ausstandsgrundes nach Art. 47 ZPO, der den Beschwerdeführer zur Ablehnung von Oberrichter S._ und Gerichtsschreiberin T._ berechtigen würde. Es fehle bereits an einem konkret zur Diskussion gestellten Sachverhalt, der auf die Befangenheit schliessen lassen könnte und zu welchem sich die beiden Personen äussern könnten. Das Ablehnungsbegehren erweise sich daher als "vollständig unbegründet", und es erübrige sich, die abgelehnten Gerichtspersonen nach Art. 49 Abs. 2 ZPO Stellung nehmen zu lassen. Vielmehr sei auf das Begehren "ohne Weiterungen" nicht einzutreten.
2.3 Der Beschwerdeführer bestreitet, dass es an einem Ausstandsgrund fehle. Als "anderen Grund" im Sinne von Art. 47 Abs. 1 lit. f ZPO macht er geltend, dass die abgelehnten Gerichtspersonen dem "Vorurteil" verhaftet seien, er wolle sich als Willensvollstrecker mit seinem Honorar am Nachlass "bereichern". Der Beschwerdeführer weist darauf hin, dass die Zürcher Gerichte es als Aufsichtsbehörden ja selbst in der Hand hätten, ein übersetztes Honorar zu kürzen; sie würfen ihm demnach ihre eigene Unfähigkeit vor.
Anlass zu diesem Vorwurf gibt die Erwägung in der Kostenvorschussverfügung vom 21. Juni 2012, in der das Obergericht mit Blick auf die Festsetzung des Streitwerts des Absetzungsbegehrens festhielt, hinter den Anträgen auf Absetzung des Willensvollstreckers könnten "wie vorliegend" auch weitergehende ökonomische Interessen stehen, die ebenfalls zu berücksichtigen seien. Nun stellt das Obergericht in seinem Beschluss vom 13. Juli 2012 aber in aller Deutlichkeit klar, dass in der besagten Verfügung nicht das ökonomische Interesse des Beschwerdeführers, sondern dasjenige der Erbinnen an seiner Absetzung in Erwägung gezogen wurde, das heisst das Interesse, das der ursprünglichen Aufsichtsbeschwerde der Erbinnen zugrunde lag. Ebenso weist es darauf hin, dass die neue Verteilung der Parteirollen im aufsichtsrechtlichen Rechtsmittelverfahren nichts daran ändere, dass auch vor zweiter Instanz dieses ökonomische Interesse der Erbinnen Gegenstand des Verfahrens sei. Auf diese Erwägungen geht der Beschwerdeführer nicht ansatzweise ein. Stattdessen gibt er sich damit zufrieden, den betroffenen Gerichtspersonen wiederum ein "Vorurteil der Bereicherung" zu unterstellen. Soweit er damit überhaupt den Anforderungen an die Begründung der Beschwerde gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG zu genügen vermag (vgl. Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1), laufen seine Vorbringen nach dem Gesagten jedenfalls ins Leere. Dass das Obergericht in anderer Hinsicht einen Ausstandsgrund verkannt hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Auch die Vorgehensweise des Obergerichts, unter den gegebenen Umständen ohne Konsultation der abgelehnten Gerichtspersonen auf das Ablehnungsbegehren gar nicht erst einzutreten, ist nicht zu beanstanden.
3. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, kann von einer Voreingenommenheit in dem Sinne, dass die abgelehnten Gerichtspersonen dem Beschwerdeführer ein wirtschaftliches Interesse an seinem Mandat unterstellt hätten, keine Rede sein. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Obergericht des Kantons Zürich ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn