Faits:
A. X._, né en 1946, et dame X._, née en 1970, se sont mariés le 30 novembre 2001 à Carouge (GE). Deux enfants sont issus de cette union: A._, née en 2002, et B._, né en 2003.
B. Le 17 mai 2006, l'épouse a déposé devant le Tribunal de première instance de Genève une requête de mesures protectrices de l'union conjugale.
Par jugement du 20 juillet 2007, le Tribunal de première instance a autorisé les époux à vivre séparés, attribué à l'épouse la jouissance exclusive du domicile conjugal en ordonnant au mari de le quitter dans le délai d'un mois dès le prononcé du jugement. Il a accordé la garde des enfants à la mère et réglé le droit de visite du père à raison d'un week-end sur deux, du samedi 12 heures au dimanche 18 heures, les mercredis après-midi et la moitié des vacances scolaires. Le mari a été condamné à verser des contributions mensuelles de 1'700 fr. pour l'entretien de son épouse et de 800 fr. pour l'entretien de chacun des enfants.
Sur appel de X._, la Chambre civile de la Cour de Justice a partiellement réformé le jugement de première instance en prolongeant au 30 juin 2008 le délai pour quitter le domicile conjugal. En ce qui concerne les contributions d'entretien, elle a reformulé le dispositif en ce sens qu'elle a condamné l'époux à verser un montant de 3'300 fr. pour l'entretien de la famille.
C. Le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral en concluant à l'annulation de cet arrêt. Il demande l'attribution du domicile conjugal et que le droit de visite soit fixé à un week-end sur deux, du vendredi soir au lundi matin, chaque semaine du mardi soir au jeudi matin et la moitié des vacances scolaires. En ce qui concerne l'entretien de la famille, il donne acte de son engagement à verser 800 fr. par mois pour chacun des enfants mais demande à être libéré de toute contribution en faveur de l'épouse.
D. Le recourant demande l'effet suspensif en ce qui concerne son obligation de quitter le domicile conjugal. Par ordonnance du 12 juin 2008, le président de la cour de céans a admis la requête.
L'intimée a requis l'octroi de l'assistance judiciaire.
Des déterminations sur le fond n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 ss CC) est une décision en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF. Elle est finale selon l'art. 90 LTF, car elle tranche définitivement, dans une procédure séparée, des questions qui ne pourront plus être revues avec l'éventuelle décision sur le divorce et ses effets accessoires (ATF 133 III 393 consid. 4 et les références citées). Le recours a pour objet une décision rendue dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, 74 al. 1 let. b LTF). II a par ailleurs été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes (art. 42 LTF) prévus par la loi, contre une décision prise en dernière instance cantonale par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 LTF). Il y a donc lieu, en principe, d'entrer en matière.
1.2 Comme l'acte attaqué porte sur des mesures provisionnelles (ATF 133 III 393 consid. 5, 585 consid. 3.3 et la jurisprudence citée), seule peut être invoquée la violation de droits constitutionnels (art. 98 LTF). En principe, le Tribunal fédéral n'examine que si la décision attaquée viole l'interdiction de l'arbitraire prévue à l'art. 9 Cst., soit parce qu'elle applique le droit civil matériel de manière insoutenable, soit parce qu'elle repose sur des constatations de fait établies de façon manifestement inexacte (FF 2001 p. 4135). II ne sanctionne la violation de droits fondamentaux - notion qui englobe les droits constitutionnels en général (ATF 133 III 638 consid. 2) - que si un tel moyen est invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), les exigences de motivation de l'acte de recours correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (ATF 133 III 393 consid. 6, 638 consid. 2; 133 II 249 consid. 1.4.2).
Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables. Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (cf. ATF 133 III 585 consid. 4.1; 130 I 258 consid. 1.3 et les arrêts cités). Il ne suffit pas qu'une solution différente apparaisse concevable, voire préférable; la décision attaquée n'est, de surcroît, annulée que si elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (ATF 133 I 149 consid. 3.1; 132 III 209 consid. 2.1 et les arrêts cités).
1.3 Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 LTF; ATF 133 III 393 consid. 3).
Sont dès lors irrecevables les faits nouveaux et les pièces nouvelles annexées au recours et au courrier adressé par le recourant à la cour de céans le 16 septembre 2008.
2. Le recourant estime que l'attribution du domicile conjugal à l'épouse viole l'interdiction de l'arbitraire .
Bien qu'il se réfère également aux art. 8 CEDH et 13 Cst., il n'expose pas en quoi consisterait la violation de ces dispositions. Sa critique n'apparaît donc pas suffisamment motivée (art. 106 al. 2 LTF). Pour le reste, en ce qui concerne le grief d'arbitraire, le recourant se fonde sur des faits nouveaux. Ainsi, il allègue qu'il est déraisonnable d'attribuer un logement à l'intimée, alors que celle-ci vient d'en trouver un nouveau. Or, la cour cantonale n'a rien constaté au sujet d'un nouveau logement de l'intimée et des enfants, si ce n'est qu'ils se trouvent depuis mai 2006 dans une situation inconfortable. Le recourant soutient encore qu'il était intolérable de lui demander de quitter son domicile, alors qu'il était sous chimiothérapie et que, pendant le délai durant lequel il aurait dû déménager, il séjournait dans une clinique. S'agissant de sa santé, les juges précédents lui ont fixé un délai au 30 juin 2008 pour quitter le domicile conjugal après avoir retenu que, selon le certificat médical du 9 novembre 2007, son traitement prenait fin en décembre 2007. Il apparaît ainsi que son argumentation est entièrement fondée sur des faits qui s'écartent de ceux retenus dans l'arrêt attaqué. Par conséquent, il n'y a pas lieu d'examiner le grief plus avant.
3. En ce qui concerne le droit aux relations personnelles, le recourant se plaint d'une violation des art. 8 CEDH, 13 Cst. et 9 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (RS 0.107). Il demande que le droit de visite soit fixé à un week-end sur deux, du vendredi soir au lundi matin, chaque semaine du mardi soir au jeudi matin et la moitié des vacances scolaires.
3.1 La cour cantonale a observé que le recourant s'était vu octroyer en première instance un large droit de visite d'un week-end sur deux, les mercredis après-midi et la moitié des vacances scolaires. Cette solution, qui correspondait à celle préconisée par le Service de protection des mineurs, était conforme à l'intérêt de jeunes enfants de moins de six ans. Elle apparaissait également adaptée du fait que le recourant ne disposait pas encore de son logement et devait faire face aux suites d'un lourd traitement médical. L'autorité précédente a encore relevé que les parties étaient libres de convenir d'élargir ce droit de visite au gré de l'évolution de la situation.
3.2 En l'occurrence, la cour cantonale lui a accordé un droit de visite plus large que celui qui est usuel dans le canton de Genève (soit un week-end sur deux et la moitié des vacances scolaires). Le recourant y oppose une argumentation purement appellatoire; il prétend que, comme le Service de protection des mineurs a indiqué que les deux parents étaient attachés aux enfants, le droit de visite qu'il sollicite doit lui être accordé. Selon lui, aucun intérêt ne s'y oppose car la réglementation proposée n'empiète pas sur les relations des enfants avec leur mère. Par ces affirmations, le recourant ne démontre nullement en quoi la solution arrêtée par les juges cantonaux serait contraire aux dispositions conventionnelle ou constitutionnelles qu'il invoque (art. 106 al. 2 LTF). Partant, sa critique est irrecevable faute de motivation suffisante.
4. Le recourant conteste le principe du versement d'une contribution à l'entretien de son épouse. Selon lui, l'autorité précédente a versé dans l'arbitraire en écartant les critères prévus par l'art. 125 al. 2 CC, dont l'application aurait dû la conduire à refuser toute contribution.
4.1 Il y a lieu d'apprécier la situation d'un couple séparé totalement désuni en s'inspirant des principes régissant l'hypothèse du divorce et, en particulier, en tenant compte de l'obligation pour l'époux créancier de reprendre une activité professionnelle ou d'en augmenter le taux (ATF 128 III 65 consid. 4a), il n'en demeure pas moins que, tant que dure le mariage, c'est l'art. 163 al. 1 CC qui constitue la cause de l'obligation d'entretien. Si l'épouse déploie déjà sa pleine capacité de gain, il n'est donc pas arbitraire d'appliquer la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent par moitié, pour autant qu'elle n'ait pas pour effet de faire bénéficier l'intéressée d'un niveau de vie supérieur à celui mené par le couple durant la vie commune (arrêts 5P.253/2006 du 8 janvier 2007, consid. 3.2; 5P.52/2005 du 10 mai 2005, consid. 3.2).
4.2 En l'occurrence, pour fixer le principe et le montant de la contribution d'entretien à la famille, la Cour de justice a retenu que le mari réalisait un revenu mensuel de 8'318 fr. et que ses charges étaient de 3'286 fr. S'agissant de l'épouse, l'autorité cantonale a constaté que, depuis le jugement de première instance, elle avait trouvé un emploi à plein temps, ce qui lui permet d'obtenir un revenu de 3'561 fr. Dans ses charges, qu'elle a arrêtées à 4'878 fr., elle a inclus le montant de base pour une personne seule avec charge de soutien (1'250 fr.), le montant de base pour chacun des enfants (250 fr. par enfant de moins de six ans), le loyer (2'402 fr.), les cotisations d'assurance-maladie (401 fr. + 133 fr. + 122 fr.) et les frais de transport (70 fr.).
Sur la base de ces chiffres, la Cour de justice a appliqué la méthode du minimum vital. Elle a constaté qu'après couverture de leurs charges respectives, les parties disposent encore d'un solde de 3'715 fr. [(3'561 fr. + 8'318 fr.) - (4'878 fr. + 3'286 fr.)]. Quant à l'intimée, elle présente un déficit de 1'317 fr. par mois pour couvrir ses charges (4'878 fr. - 3'561 fr.). L'autorité cantonale a relevé qu'une répartition du surplus de 3'715 fr. à raison d'un tiers en faveur du recourant (1'238 fr.) et de deux tiers en faveur de l'intimée et des enfants (2'477 fr.) aboutirait à une contribution mensuelle à l'entretien de la famille de 3'794 fr. (1'317 fr. + 2'477 fr.). Elle a ensuite constaté que la contribution de 3'300 fr. arrêtée en première instance était plutôt proche d'une répartition du surplus par moitié entre les parties (1'317 fr. + 1'857 fr. 50 = contribution de 3'174 fr. 50) et que, par conséquent, il ne se justifiait pas de la réduire, comme le demandait le recourant. La contribution de 3'300 fr. laissait au recourant un disponible de 1'732 fr. et de 1'983 fr. à l'intimée et ses deux enfants (3'561 fr. + 3'300 fr. - 4'878 fr.), ce qui lui permet d'assumer les frais de garde supplémentaires qu'entraînera l'augmentation de son activité professionnelle et l'augmentation des charges de l'aînée (montant de base passant à 350 fr. dès l'âge de six ans et frais de transport supplémentaires de 45 fr. par mois).
4.3 Ce résultat n'apparaît pas arbitraire. Le recourant, qui ne précise pas lequel des critères de l'art. 125 al. 2 CC la cour cantonale aurait écarté, ne démontre pas que tel serait le cas. II procède à son propre calcul des charges de l'intimée sans expliquer les raisons pour lesquelles il s'écarte des postes retenus par les juges précédents; un tel procédé est inadmissible eu égard aux exigences de motivation applicables (art. 106 al. 2 LTF); il n'y a donc pas lieu de revenir sur le calcul des charges de l'épouse qui présente un déficit de 1'317 fr. Quant à la méthode du minimum vital dont le recourant conteste l'application, comme l'intimée déploie déjà sa pleine capacité de gain, il n'était pas arbitraire d'appliquer cette méthode, pour autant qu'elle n'ait pas pour effet de faire bénéficier l'intéressée d'un niveau de vie supérieur à celui mené par le couple durant la vie commune (arrêts 5P.253/2006 du 8 janvier 2007, consid. 3.2; 5P.52/2005 du 10 mai 2005, consid. 3.2). En l'occurrence, le recourant ne prétend pas et rien n'indique que la contribution de 3'300 fr. aurait pour résultat de faire bénéficier l'intimée d'une situation plus confortable que celle qui était la sienne avant la séparation. Il n'apparaît ainsi nullement que l'application de la méthode du minimum vital conduise à un résultat arbitraire.
5. En conclusion, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., seront supportés par le recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, dès lors qu'elle n'a pas été invitée à se déterminer sur le fond et qu'elle a conclu au rejet de la requête d'effet suspensif qui a été admise (art. 68 al. 1 LTF). S'agissant de sa requête d'assistance judiciaire, dans la mesure où elle n'est pas sans objet vu l'absence de détermination au fond et le résultat du recours, elle doit être rejetée, les conclusions de l'intimée sur la demande d'effet suspensif étant d'emblée vouées à l'échec (art. 64 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est rejetée, dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 3 novembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Rey-Mermet