Faits:
A. A.a Le 5 juin 2001, le Tribunal de première instance du canton de Genève, a dissous par le divorce le mariage contracté le 13 septembre 1996 entre X._, ressortissant italien, et dame X._, de nationalité suisse. Il a entre autres maintenu l'autorité parentale conjointe sur les enfants A._, née en 1994, et B._, née en 1996; attribué le droit de garde à la mère, réservé un droit de visite conventionnel en faveur du père; et donné acte à ce dernier de son engagement de verser, à la mère, à titre de contribution d'entretien de chacun des deux enfants, 500 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, 600 fr. jusqu'à l'âge de 15 ans et 700 fr. jusqu'à la majorité.
A.b Par jugement du 16 janvier 2007, le Juge aux affaires familiales du Tribunal de Grande Instance de Thonon-les-Bains a ramené la contribution de X._ à 200 euros par mois et par enfant.
A.c Par ordonnance du 16 septembre 2008, le Tribunal de Grande Instance de Thonon-les-Bains, entérinant l'accord des parents, a notamment constaté que l'autorité parentale sur A._ et B._ était exercée conjointement par les père et mère et que la résidence de B._ était au domicile maternel; fixé la résidence de A._ chez le père et le droit de visite et d'hébergement des parents; supprimé la contribution de X._ en faveur de A._ à compter du 1er août 2008; et dit qu'il n'y avait pas lieu à pension alimentaire chacun des parents ayant un enfant à charge.
A.d Le 15 octobre 2009, le Tribunal tutélaire du canton de Genève, considérant les graves problèmes survenus entre A._ et son père, a nommé un curateur à celle-ci aux fins d'agir en modification de l'ordonnance du 16 septembre 2008.
B. B.a Par assignation déposée le 12 novembre 2009, A._, représentée par son curateur, Me Alain de Mitri, a agi en modification de l'ordonnance précitée auprès du Tribunal de première instance du canton de Genève et conclu à ce que l'autorité parentale soit attribuée exclusivement à la mère, que la garde soit retirée au père et qu'une curatelle soit instaurée en faveur du Service de la protection des mineurs (SPMi) aux fins notamment de faire valoir sa créance alimentaire.
Par jugement du 10 juin 2011, ledit tribunal a modifié l'ordonnance du 16 septembre 2008 du Tribunal de Grande Instance de Thonon-les-Bains notamment en ce sens qu'il a attribué l'autorité parentale et la garde de A._ à la mère, réservé un large droit de visite au père devant s'exercer d'entente avec sa fille mais au minimum un week-end sur deux le samedi ou le dimanche de 14h00 à 18h00 et condamné ce dernier à contribuer à l'entretien de sa fille par le versement, en mains de la mère, d'une pension mensuelle de 1'300 fr. jusqu'à la majorité voire au-delà mais jusqu'à 25 ans au plus en cas d'études sérieuses et régulières.
B.b Statuant sur l'appel du père, la Cour de justice du canton de Genève l'a partiellement admis en ce sens qu'elle a ramené le montant de la contribution d'entretien mensuelle en faveur de A._ à 900 fr., par arrêt du 21 octobre 2011.
C. Le 1er décembre 2011, X._ exerce un recours en matière civile contre cet arrêt auprès du Tribunal fédéral. Il conclut à sa réforme en ce sens qu'il soit dit qu'aucune contribution d'entretien n'est due à A._. Subsidiairement, il demande l'annulation de l'arrêt entrepris et le renvoi de la cause en instance cantonale. Son recours est doublé d'une requête d'assistance judiciaire. Il se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits.
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. Le recours a été interjeté dans le délai légal (art. 100 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF), prise en dernière instance cantonale et sur recours par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 al. 1 LTF), dans une affaire civile qui a pour objet la modification du jugement de divorce en ce qui concerne la contribution à l'entretien de l'enfant par le parent non gardien (art. 72 al. 1 LTF) et dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a par ailleurs pris part à la procédure devant l'autorité précédente et démontre un intérêt digne de protection à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF), de sorte que le recours en matière civile est en principe recevable.
2. La cause présente un caractère d'extranéité compte tenu de la nationalité italienne du recourant et du transfert de la résidence habituelle de A._ en France. Le Tribunal fédéral doit donc examiner la question du droit applicable (ATF 136 III 142 consid. 3.2; 135 III 562 consid. 3.2; 131 III 153 consid. 3). En vertu de l'art. 4 al. 2 de la Convention de La Haye du 2 octobre 1973 sur la loi applicable aux obligations alimentaires (RS 0.211.213.01), par le renvoi de l'art. 83 al. 1 LDIP, le droit français est applicable en l'espèce, la dérogation de l'art. 8 de ladite convention ne s'appliquant qu'aux obligations alimentaires entre époux. Cela étant, les parties n'ont nullement remis en cause l'application du droit suisse ni n'ont prétendu que, selon le droit français, l'établissement des charges du débiteur en vue de la fixation de la contribution d'entretien, seul élément encore litigieux, s'apprécierait d'une manière différente qu'en droit suisse.
3. 3.1 Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il ne connaît cependant de la violation des droits fondamentaux ou du droit cantonal que si ce grief a été soulevé et motivé (art. 106 al. 2 LTF ; ATF 134 I 83 consid. 3.2 ; 133 II 249 consid. 1.4.2). Si le recourant se plaint de la violation de tels droits, il doit ainsi satisfaire au principe d'allégation (Rügeprinzip, principio dell'allegazione), en indiquant précisément quelle disposition constitutionnelle ou légale a été violée et en démontrant, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 ; 133 II 249 consid. 1.4.2).
3.2 Le Tribunal fédéral ne peut s'écarter des faits établis par l'autorité précédente que si ceux-ci l'ont été de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF) et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (consid. 3.1).
Dans le domaine de l'appréciation des preuves et de la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (ATF 120 Ia 31 consid. 4b; 118 Ia 28 consid. 1b et les références citées). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
4. En substance, la cour cantonale a considéré que le fait que A._ n'est plus sous la garde de son père mais vit avec sa mère, justifie d'adapter l'ordonnance du 16 octobre 2008 du Tribunal de Grande instance de Thonon-les-Bains qui avait supprimé toute contribution en faveur de l'enfant. Elle a ensuite retenu que le recourant, qui présente une incapacité de travail de 50 %, réalise un revenu net mensuel de 3'500 fr. pour une activité à 50 % et assume des charges à hauteur de 1'658 fr. 40. Sur ce dernier point, elle n'a pas pris en compte le loyer allégué, considérant qu'il ressort des pièces produites que celui-ci est payé par la société C._ SA, dont la nouvelle épouse du recourant est administratrice. Elle en déduit que le disponible de X._ s'élevant à 1'841 fr. 60 permet à celui-ci de combler le déficit de sa seconde épouse par 940 fr. (calculé sans loyer pour le motif susmentionné) et de servir une contribution d'entretien à sa fille, A._, à hauteur de 900 fr., étant précisé que le budget de la mère de celle-ci présente un déficit de 256 fr.
5. Le recourant ne s'en prend à l'arrêt entrepris qu'en tant que la cour cantonale a considéré que le loyer allégué par lui et son épouse était acquitté par C._ SA, bailleresse.
Dès lors que la capacité contributive doit être appréciée en fonction des charges effectives du débirentier, étant précisé que seuls les montants réellement acquittés peuvent être pris en compte (ATF 121 III 20 consid. 3a; arrêt 5A_277/2009 du 6 juillet 2009 consid. 4.4.2), l'appréciation des preuves de l'instance cantonale n'est pas arbitraire. En effet, la mère de l'enfant ayant formellement contesté que le recourant s'acquittait du loyer allégué en instance cantonale et remis en cause la valeur probante des pièces produites, il appartenait à celui-ci de prouver le paiement effectif et mensuel de ses loyers, par exemple au moyen d'un extrait de débit de compte ou d'une quittance. Or, les pièces produites n'établissent pas formellement que ce sont les époux X._ qui s'acquittent réellement des loyers. La critique du recourant, qui prétend que l'on pourrait déduire de l'expérience générale de la vie qu'une facture est déclarée payée par celui à qui elle est acquittée, ne permet en tous les cas pas de qualifier d'insoutenable l'appréciation de la cour cantonale, selon laquelle ces pièces, signées de la main de la seconde épouse du recourant, attestaient le paiement du loyer par la société bailleresse, dont celle-ci est l'administratrice. La critique du recourant est donc infondée.
6. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté. Les conclusions du recourant étant dépourvues de toutes chances de succès, sa requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF) et les frais judiciaires mis à sa charge (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens aux intimées qui n'ont pas été invitées à répondre (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 12 mars 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
Le Greffier: Richard