Faits:
A. A._ et B._ sont parties à une procédure de divorce, initiée en 2006 devant le Tribunal de première instance de Genève. L'une et l'autre partie revendiquent l'autorité parentale et la garde sur leurs deux enfants communs.
Le 14 décembre 2007, suite au rapport du Service de protection des mineurs et d'entente avec les parties, le Tribunal de première instance a ordonné une expertise familiale. A titre d'experts psychiatres, l'autorité cantonale a désigné le Dr X._, en collaboration avec le Dr Y._, et défini en onze points la mission confiée aux experts.
B. Le 7 avril 2008, A._ a déposé une requête de récusation à l'encontre des deux experts, invoquant la cause de récusation prévue à l'art. 91 let. i LOJ/GE (loi sur l'organisation judiciaire genevoise). En substance, A._ reprochait à ceux-ci de ne pas respecter la procédure d'expertise telle qu'elle était définie par le Tribunal de première instance, favorisant ainsi la mère des enfants, méprisant leur bien-être et l'autorité parentale qu'il exerçait sur ceux-ci.
Par observations signées du Dr X._ et datées du 18 avril 2008, les experts ont expliqué les raisons qui les avaient menés à choisir la procédure finalement adoptée, tout en précisant que, malgré les difficultés rencontrées jusqu'alors, il leur était tout à fait possible de poursuivre l'expertise pour aboutir à un travail de qualité en bonne et due forme, la protection des enfants restant prioritaire.
A._ a persisté dans ses conclusions par écriture du 30 avril 2008, sollicitant la récusation des experts sur la base des art. 91 let. a, e, h et i LOJ/GE, 258 LPC/GE (loi sur la procédure civile genevoise), 29 Cst. et 6 CEDH et requérant préalablement leur audition.
Le Tribunal de première instance a rejeté la requête de récusation par jugement du 22 mai 2008, sans procéder à l'audition des experts.
C. Agissant par la voie d'un recours en matière de droit public - traité comme recours en matière civile - A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cette dernière décision. Le recourant soutient que la décision cantonale est arbitraire et se plaint d'une violation du principe de la bonne foi, d'une application arbitraire de l'art. 91 let. e et i LOJ/GE ainsi que d'une violation des art. 6 § 1 CEDH, 29 al. 1 et 30 al. 1 Cst.
Après déterminations de l'intimée et du Tribunal de première instance, le Président de la Cour de céans a accordé l'effet suspensif au recours le 16 juillet 2008.
L'intimée n'a pas été invitée à présenter d'observations sur le fond.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 132 III 747 consid. 4).
1.1 La décision attaquée, qui déboute le recourant d'une requête de récusation, a été prise en dernière instance cantonale (art. 99 al. 4 LOJ/GE), dans le cadre d'un divorce portant notamment sur l'attribution du droit de garde et de l'autorité parentale sur les deux enfants mineurs des parties. Le recours en matière de droit public de l'intéressé doit dès lors être traité comme recours en matière civile (art. 72 al. 1 LTF, art. 75 al. 1 et 76 al. 1 LTF). Celui-ci est immédiatement ouvert (art. 92 LTF) et permet notamment de soulever la violation du droit fédéral, y compris les droits constitutionnels (art. 95 let. a LTF). Le recours a par ailleurs été déposé dans le délai prévu par la loi (art. 100 al. 1 LTF), de sorte qu'il est en principe recevable.
1.2 Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié par les moyens invoqués. Il n'examine cependant pas toutes les questions juridiques qui pourraient se poser, mais uniquement celles qui sont soulevées devant lui (ATF 133 III 545 consid. 2.2.; 133 IV 150 consid. 1.2; 133 V 515 consid. 1.3). Pour les griefs de violation des droits constitutionnels, les exigences de motivation sont accrues. Conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, ceux-ci ne peuvent être examinés que s'ils sont invoqués et motivés par le recourant. Pour de tels griefs, l'exigence de motivation correspond à celle qui résultait de l'art. 90 al. 1 let. b OJ pour le recours de droit public (ATF 133 III 393 consid. 6; 639 consid. 2; 133 IV 286 consid. 1.4). En particulier, le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables. Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (cf. ATF 133 III 585 consid. 4.1; 130 I 258 consid. 1.3 et les arrêts cités). Il ne suffit pas qu'une solution différente apparaisse concevable, voire préférable; la décision attaquée n'est, de surcroît, annulée que si elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (ATF 133 I 149 consid. 3.1; 132 III 209 consid. 2.1 et les arrêts cités).
2. Le recourant tient la décision sur récusation pour arbitraire à deux égards.
2.1 L'autorité cantonale aurait avant tout statué de manière arbitraire en retenant que les observations datées du 18 avril 2008 émanaient des deux experts, alors qu'elles étaient signées de la seule main du Dr X._. Le Tribunal de première instance a en effet considéré que rien ne permettait de retenir que le Dr Y._ n'aurait pas consenti à ces observations, bien qu'absente lors de la signature.
Le recourant se limite à opposer qu'aucun élément du dossier n'indiquerait que cette dernière experte aurait accepté le contenu des observations, sous-entendant sans fondement qu'elle aurait même peut-être refusé de les signer. Dans la mesure où ses critiques ne satisfont pas aux exigences décrites ci-dessus (consid. 1.2), elles doivent être déclarées irrecevables.
2.2 Le tribunal cantonal aurait également versé dans l'arbitraire en considérant que l'ordonnance du 14 décembre 2007 n'imposait aucunement aux experts la manière d'organiser leur mission et en refusant par conséquent d'invalider la procédure qu'ils auraient finalement choisi d'adopter.
Le recourant soutient en effet que l'ordonnance du 14 décembre 2007 imposait aux experts une procédure chronologique bien définie, que ceux-ci avaient initialement l'intention de respecter, mais qu'ils auraient ensuite modifiée après s'être entretenus avec son épouse, psychiatre de profession. Le recourant se contente donc, ici encore, d'opposer sa propre interprétation de l'ordonnance du 14 décembre 2007, ce qui ne suffit pas à démontrer le caractère insoutenable de la décision querellée.
3. Le recourant prétend ensuite que la décision querellée violerait le principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 et 9 Cst.). Contrairement à ce que prétend le Tribunal, les parties auraient été assurées, à la lecture de l'ordonnance du Tribunal de première instance, que les experts devaient réaliser leur expertise selon un cadre chronologique bien précis. En jugeant qu'au contraire, les experts étaient libres d'organiser leur expertise comme ils l'entendaient, l'autorité cantonale aurait privé le recourant d'une voie de droit. Celui-ci n'aurait en effet jamais accepté une ordonnance d'un tel contenu sans former, à l'époque déjà, un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral.
Le principe de la bonne foi, exprimé aux art. 5 al. 3 et 9 Cst., vaut pour l'ensemble de l'activité étatique; il donne au citoyen le droit d'exiger que l'autorité se conforme aux promesses ou assurances qu'elle lui a faites et ne trompe pas la confiance qu'à juste titre il a placée dans ces promesses et assurances (ATF 131 II 627 consid. 6.1 p. 636 s. et les références citées).
En l'occurrence, force est d'admettre que l'ordonnance datée du 14 décembre 2007 n'assurait pas au recourant une expertise dont la procédure devait suivre une certaine chronologie ou des étapes bien définies, dont les experts ne pouvaient pas s'écarter. Si priorité semblait être donnée à la prise de connaissance de l'intégralité de la procédure (point 1), la définition du cadre de l'expertise laissait ensuite aux experts une grande marge de manoeuvre: ceux-ci pouvaient ainsi entendre les parents ensemble ou séparément selon leur propre choix et la procédure qu'ils jugeraient la plus adéquate (point 2), ils pouvaient ensuite s'entourer de tous renseignements utiles (point 3), déterminer par les tests adéquats ou tout autre moyen qu'ils choisiraient, l'état psychologique des parties et de leurs enfants (point 4) et enfin, faire toutes autres observations, conclusions ou observations utiles en vue de la détermination de l'intérêt bien compris des enfants (point 9). Le cadre rigide, déduit de l'interprétation du recourant, ne leur était donc pas imposé. Dans cette mesure, le grief du recourant doit être rejeté.
Au demeurant, et conformément à l'art. 295 al. 2 LPC/GE, l'appel des ordonnances n'est recevable qu'avec celui des jugements au fond, à moins que lesdites ordonnances n'admettent une espèce de preuve ou d'instruction dans un cas où la loi l'a interdite. Aucune voie de droit n'était donc ouverte au recourant, de sorte qu'il ne peut reprocher à l'autorité cantonale de l'avoir empêché de déposer un recours qui ne lui était pas ouvert.
4. Le recourant affirme aussi que les experts seraient partiaux du point de vue des art. 91 let. e et i LOJ/GE, 29 al. 1 et 30 al. 1 Cst. et 6 § 1 CEDH.
4.1 Saisi du grief de la violation du droit à un expert indépendant et impartial, le Tribunal fédéral n'examine l'application et l'interprétation du droit cantonal que sous l'angle de l'arbitraire. Il apprécie en revanche librement la compatibilité de la procédure suivie en l'espèce avec les garanties offertes par les art. 29 al. 1 et 30 al. 1 Cst. ainsi que 6 § 1 CEDH.
Dans le cas présent, en disposant que les causes de récusation des experts sont les mêmes que celles des juges, l'art. 258 al. 1 LPC/GE renvoie aux art. 84 ss LOJ/GE. L'art. 91 LOJ/GE prévoit ainsi la récusation du juge s'il a manifesté son avis avant le temps d'émettre son opinion pour le jugement (let. e) ou s'il a, de toute autre manière, témoigné haine ou faveur pour l'une des parties (let. i). Cette disposition n'offre donc pas de garanties procédurales plus étendues que l'art. 29 al. 1 Cst., de sorte qu'il convient de traiter la cause sous l'angle de cette disposition constitutionnelle.
La récusation de l'expert ne s'examine pas au regard de l'art. 30 al. 1 Cst. - car l'expert ne fait pas partie du tribunal - mais sous l'angle des art. 29 al. 1 Cst. et 6 § 1 CEDH garantissant l'équité du procès (ATF 125 II 541 consid. 4a et les arrêts cités). S'agissant des exigences d'impartialité et d'indépendance, l'art. 29 al. 1 Cst. assure au justiciable une protection équivalente à celle de l'art. 30 al. 1 Cst. (ATF 127 I 196 consid. 2b), à l'égard de laquelle l'art. 6 § 1 CEDH n'a pas de portée propre (ATF 129 V 196 consid. 4.1; 128 V 82 consid. 2a; 127 I 196 consid. 2b).
La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par l'art. 6 § 1 CEDH, à l'instar de la protection instituée par l'art. 30 al. 1 Cst., permet au plaideur d'exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à faire naître un doute sur son impartialité; elle tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du juge est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (ATF 126 I 68 consid. 3a, 168 consid. 2a et les arrêts cités).
4.2 Le recourant affirme que la partialité des experts ressortirait de la modification de la procédure initialement prévue pour mener l'expertise. Ce revirement de procédure avantagerait outrageusement la mère des enfants puisqu'elle permettrait l'audition de la mère à trois reprises, dont deux fois avec les enfants, alors que le père ne serait entendu qu'une fois, sans les enfants. Le déroulement de la procédure choisie par les experts aurait par ailleurs été caché au recourant, ce qui démontrerait la volonté des experts de conduire une procédure non contradictoire et, partant, soulignerait leur partialité. Le recourant n'aurait en outre pas été informé de l'audition de ses enfants alors que celle-ci aurait dû se dérouler durant les jours où il en avait la garde, circonstance soulignant à nouveau le manque d'impartialité des experts.
Ainsi que l'a souligné l'autorité cantonale et comme cela a été expliqué ci-dessus (cf. consid. 3), l'ordonnance décrivait en différents points la mission que le Tribunal de première instance confiait aux experts, mais sans pour autant leur imposer un mode de procéder. Les experts étaient donc libres d'aménager l'expertise comme ils l'entendaient. Que ceux-ci aient modifié la procédure envisagée initialement pour en adopter une autre, qui déplaît au recourant, mais qui, tout en demeurant dans le cadre de l'objectif fixé, leur paraît plus adaptée à celui-ci, ne permet pas de démontrer leur partialité. Si un manque de communication entre les experts et le recourant peut certes être regretté, il ne suffit pas non plus à retenir un manque d'impartialité de leur part. Comme l'a relevé à juste titre le Tribunal de première instance, il n'est pas établi que les enfants ne devaient pas être entendus en présence de leur père: dans leurs observations du 18 avril 2008, les experts soulignent en effet la nécessité de voir les enfants à plusieurs reprises, dans différentes constellations. Une audition des enfants avec leur père n'était donc pas exclue, contrairement à ce que prétend le recourant.
4.3 Selon le recourant, le Dr X._ aurait par ailleurs manifesté son parti pris, en soutenant que le recourant avait essayé d'influencer la mission de l'expertise et d'obtenir certaines informations. En se prétendant investi d'une mission quasi-thérapeutique dont le Tribunal de première instance ne l'aurait pas investi, l'expert confirmerait également son manque d'impartialité. A nouveau, un comportement partial de l'expert ne peut être retenu. Celui-ci n'a fait que rapporter la conversation téléphonique du recourant avec le Dr Y._, sans émettre de jugement particulier, et l'on peine à comprendre en quoi le fait d'évoquer une démarche quasi-thérapeutique dénoterait un manque de partialité. Le grief du recourant doit dès lors être rejeté à cet égard également.
5. Le recourant soutient enfin que la décision querellée violerait son droit d'être entendu dans la mesure où elle ne répondrait pas précisément aux griefs invoqués et refuserait l'audition des experts.
Le recourant ne précise pas les griefs sur lesquels l'autorité cantonale ne se serait pas prononcée. Dans la mesure où ce grief n'est pas motivé (cf. consid. 1.2), il doit être déclaré irrecevable.
Pour autant qu'on le considère comme étant suffisamment motivé, le grief de la violation du droit d'être entendu en relation avec le refus d'auditionner les experts doit être écarté. La garantie du droit d'être entendu inclut certes le droit à l'administration des preuves valablement offertes, à moins que le fait à prouver ne soit dépourvu de pertinence ou que la preuve apparaisse manifestement inapte à la révélation de la vérité. Le juge est néanmoins autorisé à effectuer une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles et, s'il peut admettre de façon exempte d'arbitraire qu'une preuve supplémentaire offerte par une partie serait impropre à ébranler sa conviction, refuser d'administrer cette preuve (cf. ATF 131 I 153 consid. 3; 130 II 425 consid. 2.1).
Aux termes de l'art. 258 al. 3 LPC/GE, le juge statue après avoir entendu les parties et, s'il l'estime utile, l'expert dont la récusation est demandée. En l'espèce, l'autorité cantonale a considéré que les deux experts avaient pu s'exprimer par leurs observations du 18 avril 2008, et ce, même si le Dr Y._ ne les avait pas formellement signées. Dès lors, il ne se justifiait pas de les convoquer en audience pour les auditionner. En tant que le recourant ne parvient pas à démontrer l'arbitraire d'une telle appréciation anticipée des preuves (cf. consid. 2 ci-dessus), il faut considérer que son droit à la preuve a été respecté.
6. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté aux frais de son auteur (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à répondre sur le fond, étant précisé qu'elle a conclu au rejet de l'effet suspensif alors que celui-ci a été accordé.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal de première instance du canton de Genève, 15ème Chambre.
Lausanne, le 17 octobre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli de Poret