Faits:
A.
P._, née en 1955, travaillait en qualité d'assistante dans un cabinet dentaire à N._ et était, à ce titre, assurée contre le risque d'accidents auprès de La Suisse Assurances (ci-après: la Suisse), devenue ensuite Helsana Accidents SA (ci-après: Helsana).
Le 20 mars 2003, P._, circulait dans sa voiture sur la voie gauche du quai de C._ en direction de V._, quand un véhicule, qui se trouvait sur le bord du trottoir tout à droite, s'est engagé sur la chaussée pour bifurquer à gauche et rejoindre la voie de circulation en sens inverse (direction de N._). En raison du trafic, ce véhicule a dû s'immobiliser sur la voie de gauche coupant la route à la voiture conduite par P._ qui, malgré un freinage, n'a pas pu éviter la collision. La prénommée a été transportée à l'Hôpital X._ où les médecins ont posé le diagnostic de contusion cervicale et d'entorse au genou gauche, sans lésion osseuse. Elle a été déclarée incapable de travailler. La Suisse a pris en charge le cas.
Dans les suites immédiates de l'accident, l'assurée s'est plainte de son genou, de douleurs cervicales irradiant vers le scalp et les épaules, ainsi que de sensations vertigineuses (rapport du docteur O._ du 21 juillet 2003). Elle a été suivie par son médecin traitant, le docteur T._ qui a fait pratiquer des examens IRM. Ceux-ci ont mis en évidence: au niveau cervical, une discopathie C5-C6 avec une hernie discale médiane para-médiane gauche pouvant créer un conflit avec le rameau ventral de la racine C6 à gauche, ainsi qu'une sténose modérée du canal radiculaire à gauche en C3-C4 sur l'arthrose postérieure et uncarthrose; au niveau lombaire: une scoliose lombaire, une spondylose ébauchée ainsi que des discopathies dégénératives pluri-étagées. P._ a repris son travail à 25 % dès le 15 juin 2003, puis à 50 % à partir du 28 août 2003. Mandaté par l'assureur-accidents, le docteur M._, neurologue, a déclaré que le status objectif était sans particularité hormis un syndrome de tunnel carpien sans lien avec l'accident. Il subsistait des contractures musculaires diffuses. Les plaintes initiales avaient une relation de causalité certaine avec l'accident, mais au jour de l'examen, elles étaient plutôt à rattacher à une mauvaise gestion du stress dans un contexte de syndrome post-traumatique subjectif. Une reprise de travail complète était à prévoir dès janvier 2004 (rapport du 27 novembre 2003). Le 7 juillet 2004, le docteur T._ a indiqué à l'assureur-accidents que sa patiente avait repris le travail à 100 % depuis le 9 février 2004 bien qu'elle se plaignît encore de cervico-brachialgies importantes. P._ a encore subi diverses périodes d'incapacité de travail à partir d'août 2004 avant d'arrêter définitivement de travailler en septembre 2005; son contrat de travail a été résilié pour le 31 août 2007. Dans un rapport du 8 mars 2007, le docteur D._ a posé le diagnostic d'une instabilité C5-C6 post-traumatique.
Se fondant sur l'avis de son médecin-conseil, Helsana a refusé de verser des prestations au-delà du 9 février 2004, retenant que les plaintes de l'assurée n'étaient plus en relation de causalité avec l'accident de circulation mais résultaient de troubles dégénératifs préexistants (décision du 27 mars 2007).
L'assurée a formé opposition à cette décision. Helsana a confié une nouvelle expertise au docteur M._ (rapport du 11 avril 2008, complété le 27 mai 2008). Après que P._ eut exprimé son désaccord avec les conclusions de cette expertise, Helsana a encore demandé aux docteurs H._, neurologue, et S._, psychiatre, de se prononcer sur le cas (voir leurs rapports respectifs des 12 décembre 2008 et 12 février 2009). Dans une nouvelle décision du 24 novembre 2011, l'assureur-accidents a partiellement admis l'opposition. Il a accepté de prendre en charge les troubles et l'incapacité de travail en résultant du 20 mars 2003 jusqu'au 28 novembre 2008, date à laquelle il a considéré que le statu quo sine vel ante était atteint.
Entre-temps, P._, qui avait déposé une demande de prestations à l'assurance-invalidité (AI), s'est vue allouer par l'Office AI pour les assurés résidant à l'étranger une demi-rente d'invalidité avec effet au 1er septembre 2005. La décision de rente, du 29 mars 2011, prenait appui sur les conclusions d'un rapport du Centre Y._ du 4 juin 2010.
B.
Saisie d'un recours contre la décision sur opposition de Helsana du 24 novembre 2011, la Chambre des assurances sociales de la Cour de Justice du canton de Genève l'a rejeté (jugement du 27 septembre 2012).
C.
P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle requiert l'annulation. Sous suite de frais et dépens, elle conclut à la prise en charge, par Helsana, de son traitement médical, ainsi qu'au versement d'une rente d'invalidité et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité; subsidiairement, au renvoi de la cause à l'assureur-accidents pour qu'il statue sur ces prestations.
Helsana conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1.
Le litige porte uniquement sur le point de savoir si Helsana était fondée, par sa décision sur opposition du 24 novembre 2011, à supprimer le droit de la recourante à la prise en charge du traitement médical et à l'octroi de l'indemnité journalière à compter du 28 novembre 2008. Il s'agit plus particulièrement d'examiner l'existence d'un lien de causalité entre les troubles persistant au-delà de cette date et l'accident assuré. Les conclusions et les griefs de la recourante qui excèdent cet objet de la contestation sont irrecevables (ATF 125 V 413 consid. 1a p. 414).
2.
Lorsque le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents comme c'est le cas ici, le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen étendu en ce qui concerne les faits communs aux deux types de prestations (voir arrêt 8C_584/2009 du 2 juillet 2010 consid. 4).
3.
Il convient de rappeler les principes applicables au présent litige.
3.1. Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références).
3.2. Si l'on peut admettre qu'un accident n'a fait que déclencher un processus qui serait de toute façon survenu sans cet événement, le lien de causalité naturelle entre les symptômes présentés par l'assuré et l'accident doit être nié lorsque l'état maladif antérieur est revenu au stade où il se trouvait avant l'accident (statu quo ante) ou s'il est parvenu au stade d'évolution qu'il aurait atteint sans l'accident (statu quo sine) (SVR 2009 UV n° 3 p. 9, arrêt 8C_354/2007 du 4 août 2008 consid. 2.2).
3.3. En matière de lésions du rachis cervical par accident de type «coup du lapin», de traumatisme analogue ou de traumatisme cranio-cérébral sans preuve d'un déficit fonctionnel organique, l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident et l'incapacité de travail ou de gain doit en principe être reconnue en présence d'un tableau clinique typique présentant de multiples plaintes (maux de têtes diffus, vertiges, troubles de la concentration et de la mémoire, nausées, fatigabilité, troubles de la vue, irritabilité, dépression, modification du caractère, etc.). Encore faut-il que l'existence d'un tel traumatisme et de ses suites soit dûment attestée par des renseignements médicaux fiables (ATF 134 V 109 consid. 9 p. 122 ss).
3.4. Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 177 consid. 3.2 p. 181, 402 consid. 2.2 p. 405; 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
3.5. En tant que principe répondant à la nécessité de fixer une limite raisonnable à la responsabilité de l'assureur-accidents social, la causalité adéquate n'a pratiquement aucune incidence en présence d'une atteinte à la santé physique en relation de causalité naturelle avec l'accident, du moment que dans ce cas l'assureur répond aussi des atteintes qui ne se produisent habituellement pas selon l'expérience médicale (ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103 et les références).
Il en va autrement lorsque des symptômes, bien qu'apparaissant en relation de causalité naturelle avec un événement accidentel, ne sont pas objectivables du point de vue organique. Dans ce cas, il y a lieu d'examiner le caractère adéquat du lien de causalité en se fondant sur le déroulement de l'événement accidentel, compte tenu, selon les circonstances, de certains critères en relation avec cet événement (ATF 117 V 359 consid. 6 p. 366 ss et 369 consid. 4 p. 382 ss; 115 V 133 consid. 6 p. 138 ss et 403 consid. 5 p. 407 ss). En présence de troubles psychiques apparus après un accident, on examine les critères de la causalité adéquate en excluant les aspects psychiques (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409), tandis qu'en présence d'un traumatisme de type «coup du lapin» à la colonne cervicale (ATF 117 V 359 consid. 6a p. 367), d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale (SVR 1995 UV n o 23 p. 67 consid. 2) ou d'un traumatisme cranio-cérébral (ATF 117 V 369 consid. 4b p. 383), on peut renoncer à distinguer les éléments physiques des éléments psychiques (sur l'ensemble de la question, cf. ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103 et SVR 2007 UV n o 8 p. 27 consid. 2 ss, U 277/04, et les références).
Nonobstant ce qui précède, il convient d'appliquer la jurisprudence en matière de troubles psychiques (ATF 115 V 133 et 403), en particulier en distinguant entre atteintes d'origine psychique et atteintes organiques, même en cas de traumatisme de type «coup du lapin», de traumatisme analogue ou de traumatisme cranio-cérébral, lorsque les troubles psychiques apparus après l'accident constituent clairement une atteinte à la santé distincte et indépendante du tableau clinique consécutif à un traumatisme de ce type (RAMA 2001 n o U 412 p. 79 consid. 2b [U 96/00]; cf. également ATF 134 V 109 consid. 9.5 p. 125 sv.; arrêts 8C_957/2008 du 1er mai 2009 consid. 4.2, 8C_124/2007 du 20 mai 2008 consid. 3.2, et 8C_591/2007 du 14 mai 2008 consid. 3.1).
4.
4.1. L'assurée a fait l'objet de plusieurs expertises médicales qu'on peut résumer comme suit:
4.1.1. Le docteur M._ a examiné la recourante à deux reprises, en novembre 2003 et en avril 2008. Il a constaté que dans cet intervalle, le tableau initial d'un syndrome post-traumatique subjectif secondaire à un traumatisme cervical s'était aggravé tant du point de vue de l'intensité que de la localisation des douleurs. Or, initialement, il n'avait pas été mis en évidence de lésion traumatique objective, de fracture ou de luxation cervicale (le docteur M._ a écarté l'hypothèse d'une instabilité post-traumatique en C5-C6 évoquée par le docteur D._ en procédant à un nouvel examen IRM cervical). D'autres facteurs non traumatiques s'étaient surajoutés pour expliquer l'évolution actuelle. Il existait également une accentuation des atteintes dégénératives entre les clichés réalisés après l'accident de 2003 et ceux de 2007, qui correspondait à une évolution naturelle.
4.1.2. Le docteur H._ a retenu que l'assurée avait développé dans les suites de l'accident le tableau clinique typique d'un syndrome post-distorsion cervicale (apparition de cervico-céphalalgies, de brachialgies, de sensations vertigineuses, de troubles de la mémoire et de la concentration, d'une adynamie et d'une fatigabilité). A l'instar de son confrère, il a observé que les troubles, au lieu de s'amenuiser avec le temps, se sont au contraire progressivement aggravés avec une extension des symptômes (dorso-lombalgies et douleurs au niveau des deux coudes). Selon lui, cette évolution correspondait au "passage d'une somatogenèse à une psychogenèse des troubles" en raison d'une impossibilité pour l'assurée de faire face à ses douleurs et aux répercussions de celles-ci au niveau personnel et professionnel, ce qui avait généré un cercle vicieux aboutissant à une chronicisation et à une invalidation. Le docteur H._ a également relevé que les troubles statiques et dégénératifs préexistants à l'accident auraient pu rester asymptomatiques sans cet événement.
4.1.3. De son côté, le docteur S._, a posé les diagnostics d'état dépressif majeur de gravité légère, de trouble somatoforme indifférencié et de personnalité avec des traits histrioniques décompensée dans le cadre d'une "névrose post-traumatique". Le tableau clinique était dominé par une symptomatologie somato-psychique mal systématisable. L'assurée, auparavant hyperactive et hypersociale, avait probablement surinvesti son activité professionnelle et son statut social qui servait d'écran entre elle et la réalité. L'accident était venu briser ce mécanisme de défense et avait provoqué une "dépression narcissique" induisant à la fois une régression (dépendance à son entourage) et des revendications de considération et de réparation.
4.1.4. Quant aux médecins du Centre Y._, ils ont fait état d'un syndrome cervical important associé à une réelle détresse psychique avec une fixation sur les douleurs. Il existait des troubles objectifs observables sur les radiographies et IRM, mais l'importance des plaintes douloureuses ne correspondaient toutefois pas aux atteintes organiques constatées, ce qui amenait ces médecins à conclure à une majoration des symptômes physiques pour des raisons psychologiques compliquée par une réaction anxieuse et dépressive.
4.2. Sur la base des considérations médicales qui précèdent, on ne peut pas admettre une évolution vers le statu quo sine ou le statu quo ante à la date déterminante du 28 novembre 2008 comme l'a retenu l'intimée. Aucun médecin ne s'est d'ailleurs exprimé dans ce sens. Selon le docteur H._, l'accident a rendu manifeste les troubles dégénératifs préexistants de la recourante lesquels auraient pu rester asymptomatiques sans cet événement. Il existe donc un rapport de causalité naturelle entre le syndrome douloureux lié à ces troubles et l'accident du 20 mars 2003. En revanche, il y a lieu de constater que l'évolution des symptômes depuis lors ne peut pas être expliquée par le seul traumatisme cervical initial, et que l'état douloureux a été maintenu et amplifié par une décompensation psychique - même si l'assurée ne le reconnaît pas - qui constitue clairement une atteinte à la santé indépendante d'éventuelles séquelles d'un tel traumatisme (voir en particulier les considérations du docteur S._). En outre, il est établi que hormis les atteintes dégénératives qui ne sont pas d'origine accidentelle, la recourante ne présente pas d'autre atteinte à la santé physique objectivable consécutive à l'accident.
5.
5.1. Compte tenu de cette décompensation psychique, de son caractère indépendant du traumatisme cervical subi lors de l'accident assuré et de son influence déterminante sur l'état de santé de la recourante au moment de la suppression des prestations, il convient d'examiner la question de la causalité adéquate en appliquant la jurisprudence en matière de troubles psychiques, ce qui implique d'opérer une distinction entre les composantes physiques et psychiques de l'atteinte à la santé (ATF 115 V 133 et 403).
5.2. La jurisprudence a tout d'abord classé les accidents en trois catégories, en fonction de leur déroulement: les accidents insignifiants ou de peu de gravité, les accidents de gravité moyenne et les accidents graves. Pour procéder à cette classification, il convient non pas de s'attacher à la manière dont l'assuré a ressenti et assumé le choc traumatique, mais bien plutôt de se fonder, d'un point de vue objectif, sur l'événement accidentel lui-même. Sont déterminantes les forces générées par l'accident et non pas les conséquences qui en résultent (arrêts 8C_398/2012 du 6 novembre 2012 consid. 5.2 in SVR 2013 UV n o 3 p. 8 et 8C_435/2011 du 13 février 2012 consid. 4.2 in SVR 2012 UV n o 23 p. 84).
En présence d'un accident de gravité moyenne, il faut prendre en considération un certain nombre de critères, dont les plus importants sont les suivants:
- les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident;
- la gravité ou la nature particulière des lésions physiques compte tenu notamment du fait qu'elles sont propres, selon l'expérience, à entraîner des troubles psychiques;
- la durée anormalement longue du traitement médical;
- les douleurs physiques persistantes;
- les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident;
- les difficultés apparues au cours de la guérison et des complications importantes;
- le degré et la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques.
Tous ces critères ne doivent pas être réunis pour que la causalité adéquate soit admise. Un seul d'entre eux peut être suffisant, notamment si l'on se trouve à la limite de la catégorie des accidents graves. Inversement, en présence d'un accident se situant à la limite des accidents de peu de gravité, les circonstances à prendre en considération doivent se cumuler ou revêtir une intensité particulière pour que le caractère adéquat du lien de causalité soit admis (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140, 403 consid. 5c/aa p. 409).
5.3.
5.3.1. La juridiction cantonale a classé l'accident de circulation du 20 mars 2003 à la limite inférieure des accidents de gravité moyenne. La recourante fait valoir qu'il s'est agi d'un accident à la limite des cas graves. En effet, la collision s'était produite alors qu'elle roulait à une vitesse élevée (80 km/h) contre un véhicule qui avait surgi de manière inattendue devant elle.
5.3.2. Le rapport de la gendarmerie du 22 avril 2003 fait mention de la prise de photographies et d'un croquis de la position des véhicules accidentés. Bien que l'on puisse regretter l'absence de ces pièces au dossier, le document de la brigade routière contient néanmoins suffisamment d'informations permettant d'écarter le caractère grave de l'accident en cause. Il en ressort en effet que la recourante a effectué un freinage avant la collision (cf. page 8 du rapport). On peut donc douter qu'elle a percuté le véhicule qui lui coupait la route à une vitesse de 80 km/h. Pour étayer ses allégations d'un impact "particulièrement violent", la recourante se réfère également à un certificat médical du docteur F._, selon lequel la passagère qui se trouvait dans sa voiture [G._] "présente une épilepsie secondaire à un AVP [accident de la voie publique] en 2003". En raison du caractère sommaire d'une telle indication, on ne saurait y voir un élément pertinent pour situer l'événement à la limite des accidents graves. Cela étant, le fait que les conducteurs impliqués ont été transportés à l'hôpital pour un contrôle et que leur véhicule respectif a été déplacé au moyen d'une dépanneuse - la voiture de l'assurée a eu tout l'avant endommagé (pare-chocs, éclairage, capot, calandre et les deux ailes) - montre qu'il ne s'est pas agi d'un choc de faible intensité. L'ensemble de ces circonstances justifie de ranger l'événement tout au plus parmi les accidents de gravité moyenne.
5.4. En ce qui concerne les critères déterminants, on peut nier, quoi qu'en dise la recourante, des circonstances particulièrement dramatiques ou impressionnantes entourant l'accident. Les personnes impliquées ont pu sortir des véhicules accidentés par leurs propres moyens et ne présentaient pas de blessures graves. L'assurée a par ailleurs quitté l'hôpital le même jour sans qu'une atteinte neurologique ou ostéo-articulaire n'ait été mise en évidence (sauf des contusions). Depuis lors, elle s'est plainte de douleurs à la nuque qui se sont étendues et aggravées avec le temps au point d'avoir mis définitivement en échec la reprise de son activité professionnelle au sein du cabinet dentaire même à un poste plus adapté à ses problèmes cervicaux (téléphoniste). Cette situation résulte toutefois de l'apparition de troubles psychiques qui ont progressivement dominé le tableau clinique. En novembre 2003 déjà, le docteur M._ évoquait un risque d'évolution défavorable, malgré l'absence de troubles objectivables autres que des atteintes dégénératives préexistantes, en raison d'un état tensionnel chronique lié à la personnalité de l'assurée (à tendance hyperactive et survoltée), et décompensé par l'accident. Cette évolution s'est trouvée confirmée par les expertises ultérieures dont il ressort que l'ampleur des douleurs et des limitations décrites par l'assurée vont nettement au-delà des effets du traumatisme physique initial pour des motifs psychologiques. Les critères du degré et de la durée de l'incapacité de travail et du traitement médical liés aux lésions physiques, ainsi que celui de l'intensité des douleurs physiques, ne peuvent donc pas être retenus. Enfin, la recourante n'a pas été victime d'une erreur médicale, ni de complications.
Par conséquent, l'existence d'un rapport de causalité adéquate entre les troubles persistant après le 28 novembre 2008 et l'accident ne peut pas être admise.
5.5. Il s'ensuit que Helsana était fondée de mettre fin à ses prestations après le 28 novembre 2008 et le jugement entrepris n'est pas critiquable dans son résultat.
6.
Vu l'issue du litige, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 15 novembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Ursprung
La Greffière: von Zwehl