Faits :
A. La recourante Association RHINO est une association au sens des art. 60 ss CC, non inscrite au registre du commerce et dont les buts statutaires sont les suivants:
"L'Association a pour vocation de loger ses membres de façon économique et communautaire selon les modalités du bail associatif défini par le projet RHINO (cf. annexe). Elle favorise notamment une gestion fondée sur des solutions économiques et écologiques.
L'Association s'efforce de soustraire les immeubles qu'elle occupe du marché immobilier et de la spéculation.
L'Association a également pour but la promotion du logement associatif; elle établit les contacts nécessaires afin d'informer et d'encourager d'autres projets de type associatif.
L'Association favorise l'ouverture et le maintien dans ces locaux de lieux ouverts à caractère social ou culturel".
L'annexe aux statuts énonce en substance que l'association a pour but de développer et de pérenniser l'habitat associatif bon marché dans les immeubles situés au boulevard de la Tour 12-14 et au boulevard des Philosophes 24, à Genève. Selon les statuts, la qualité de membre de l'association - dont l'acronyme RHINO signifie à la fois "Retour des Habitants dans les Immeubles Non Occupés" et "Restons Habitants dans les Immeubles que Nous Occupons" - est réservée aux personnes qui habitent dans les immeubles en question et se perd avec leur déménagement.
Les intimées SI Boulevard de la Tour 14 SA et Vergell Casa SA sont les actuelles propriétaires des immeubles précités.
B. Après avoir vainement tenté de nombreuses négociations et engagé des procédures d'évacuation des immeubles, les propriétaires ont, par demande du 4 avril 2005, sollicité la dissolution de l'association au motif que son but était illicite (art. 78 CC).
Par jugement du 9 février 2006, le Tribunal de première instance du canton de Genève a prononcé la dissolution de l'association ex nunc, soit dès l'entrée en force du jugement.
Saisie d'un appel de l'association et d'un appel incident des propriétaires, la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 15 décembre 2006, rejeté l'appel de l'association et admis l'appel incident des propriétaires, prononcé la dissolution de l'association ex tunc, c'est-à-dire à partir du jour de sa création, et renvoyé la cause au premier juge pour désignation du liquidateur et de la corporation publique bénéficiaire de la fortune de l'association.
C. Par acte déposé le 29 janvier 2007, l'association a formé un recours de droit public auprès du Tribunal fédéral, concluant à l'annulation de l'arrêt de la Cour de justice.
Une réponse n'a pas été requise.
D. L'association a également interjeté un recours en réforme contre l'arrêt de la Cour de justice (5C.36/2007).
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. La décision attaquée ayant été rendue avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007 (RO 2006 1242), de la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), l'ancienne loi d'organisation judiciaire (OJ) est applicable à la présente cause (art. 132 al. 1 LTF).
2. Selon l'art. 57 al. 5 OJ, il est sursis en règle générale à l'arrêt sur le recours en réforme jusqu'à droit connu sur le recours de droit public. Il n'y a aucune raison, en l'espèce, de déroger à cette règle, de sorte que le recours de droit public doit être examiné en premier lieu.
3. En vertu de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, l'acte de recours doit contenir, sous peine d'irrecevabilité (cf. ATF 123 II 552 consid. 4d p. 558), un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés, précisant en quoi consiste la violation. Dans le cadre d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs expressément soulevés, et exposés de façon claire et détaillée (ATF 130 I 26 consid. 2.1 p. 31, 258 consid. 1.3), ce qui suppose une désignation précise des passages du jugement qu'il vise et des pièces du dossier sur lesquelles repose sa critique (ATF 130 I 258 consid. 1.3 p. 261/262; 125 I 71 consid. 1c). Le principe jura novit curia est inapplicable (ATF 127 I 38 consid. 3c p. 43; 125 I 71 consid. 1c p. 76 et arrêts cités). Le justiciable qui exerce un recours de droit public pour arbitraire ne peut dès lors se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition, le Tribunal fédéral n'entrant pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 130 I 258 consid. 1.3 p. 261/262; 125 I 492 consid. 1b p. 495). Le recourant ne peut, en particulier, se contenter d'opposer son opinion à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que la décision attaquée est manifestement insoutenable, parce que reposant par exemple sur une appréciation des preuves manifestement insoutenable, qu'elle méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou qu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (ATF 131 I 57 consid. 2 p. 61; 129 I 113 consid. 2.1 p. 120; 128 I 273 consid. 2.1, 295 consid. 7a p. 312; 125 I 492 consid. 1b p. 495), étant précisé qu'il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable (ATF 129 I 8 consid. 2.1; 126 III 438 consid. 3 p. 440).
4. La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir établi et apprécié plusieurs faits en violation de l'art. 6 [recte: 9] Cst.
4.1 Ainsi en irait-il de la constatation, faite en passant, selon laquelle la recourante n'a pas contesté que l'occupation d'un immeuble implique par essence une violation de la propriété privée. La recourante se réfère à cet égard aux explications qu'elle avait fournies et selon lesquelles son objectif était l'occupation au bénéfice d'un contrat de confiance, de bail associatif. Ce faisant, elle ne démontre aucun arbitraire de la part de la cour cantonale, dont la constatation se rapporte à la seule question de principe (occupation), alors que les explications de la recourante portaient sur son objectif particulier (contrat).
4.2 La recourante s'en prend également à la motivation qui a conduit la cour cantonale à constater que la contrepartie financière offerte dans le cadre des négociations n'était pas pertinente pour justifier l'obtention d'un droit sur les immeubles. La cour cantonale a toutefois donné plusieurs motifs, dont le refus de ladite contrepartie financière par les propriétaires, motif que la recourante ne critique pas. Sur ce point, le recours est donc irrecevable.
4.3 La recourante remet en cause aussi la constatation de l'arrêt attaqué selon laquelle elle n'a pas contesté l'illicéité de son comportement (occupation). En réalité, elle n'aurait admis que l'occupation, alors que la cour cantonale aurait toujours déduit de cet aveu une occupation illicite. Elle conteste du reste l'illicéité de l'occupation. La recourante n'apporte toutefois aucun élément probant à l'appui de sa contestation, de sorte que, sur ce point, le grief d'arbitraire est irrecevable. Au demeurant, la question de l'illicéité de l'occupation dépend directement de celle de l'illicéité du but de l'association (art. 78 CC) et son examen relève donc du recours en réforme.
4.4 Selon la recourante, l'arrêt attaqué retiendrait de manière erronée qu'elle a admis le contenu des statuts produits par les intimées. Ce grief est infondé dans la mesure où il porte uniquement sur l'existence des membres passifs (c'est-à-dire n'habitant pas les immeubles en cause). La cour cantonale s'est d'ailleurs fondée, au considérant visé, sur les propres déclarations de la recourante.
4.5 Le grief selon lequel la cour cantonale aurait fait une fausse constatation concernant la représentation des membres par la recourante est irrecevable, faute d'indication d'un élément topique permettant de le vérifier.
4.6 La recourante critique la constatation de l'arrêt attaqué selon laquelle elle ne conteste pas que son but statutaire de sortir les immeubles qu'elle occupe du marché immobilier est son but prédominant; ce caractère prédominant n'aurait été allégué par aucune partie et n'aurait donc pas pu être contesté. Comme le relève la recourante elle-même, il s'agit là moins d'un fait que d'une appréciation de droit (interprétation des statuts). Il n'était de toute façon pas arbitraire de la part de la cour cantonale de relever, en passant, qu'un point de vue contraire de la recourante ne ressortait pas du dossier.
4.7 Un autre grief de la recourante concerne une appréciation anticipée de preuve par la cour cantonale (preuve de la possibilité pour des personnes n'habitant pas les immeubles en cause d'être membres de l'association). La recourante se contente de revendiquer son droit à la contre-preuve; ce faisant, elle n'établit nullement que l'appréciation anticipée de preuve en question serait arbitraire.
4.8 La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir tenu pour avéré le fait qu'elle occupait les lieux et refusait de les libérer, alors que ce fait n'avait jamais été allégué et qu'ainsi l'occasion ne lui avait pas été donnée de fournir de contre-preuve. La cour cantonale n'a pas opéré une véritable constatation de fait à ce sujet, mais plutôt une comparaison de principe entre la façon de procéder d'une coopérative d'habitation et celle de la recourante, comparaison que celle-ci ne qualifie pas d'arbitraire en soi.
4.9 La recourante allègue l'inexactitude partielle d'un fait (brève allusion à une initiative populaire ayant un lien matériel avec la présente procédure) sur lequel les parties n'ont pu se prononcer. Il ressort toutefois de ses explications que l'inexactitude en question n'a guère d'importance, de sorte qu'on ne saurait parler d'arbitraire ou de violation du droit d'être entendu de la part de la cour cantonale.
4.10 Il résulte de l'ensemble de ce qui précède que, en ce qui concerne la violation de l'art. 9 Cst., le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
5. La recourante invoque la violation des art. 23 Cst. (liberté d'association) et 36 Cst. (restriction des droits fondamentaux). Dans la mesure toutefois où elle se plaint d'une mauvaise application du droit fédéral - l'art. 78 CC en l'occurrence - qu'elle estime violer aussi l'un ou l'autre de ses droits constitutionnels, la recourante invoque en réalité la violation du droit fédéral et ses griefs doivent donc être examinés dans le cadre du recours en réforme (cf. ATF 115 II 129; 111 II 245 consid. 4b p. 255 ss; Messmer/Imboden, Die eidgenössischen Rechtsmittel in Zivilsachen, Zurich 1992, n. 73 et les références; Fabienne Hohl, Procédure civile, tome II 2002, p. 298 n. 3237). Le recours de droit public est donc irrecevable sur ce point en vertu de l'art. 84 al. 2 OJ.
6. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante (art. 156 al. 1 OJ). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens, le dépôt d'une réponse n'ayant pas été requis.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 2'000 fr. est mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 10 mai 2007
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: