Faits:
A. B._, né en 1943, est employé par la société X._. A ce titre, il est assuré contre le risque d'accidents par la Helsana Assurances SA (ci-après : la Helsana). Le 23 février 2005, un accrochage s'est produit entre la moto qu'il conduisait et un fourgon qui effectuait une marche arrière.
Selon les indications contenues dans la déclaration d'accident remplie par l'employeur, B._ a été blessé au pied et au genou gauches, ainsi qu'à l'épaule droite. Le prénommé a immédiatement ressenti une limitation de la mobilité de cette épaule, ce qui a donné lieu à un premier examen par IRM le 4 mars 2005. Une déchirure complète de l'insertion distale du tendon du muscle sus-épineux a été mise à jour (rupture de la coiffe des rotateurs). Le 15 mars suivant, un deuxième examen par IRM a été réalisé pour des douleurs au genou droit, qui a révélé une lésion méniscale (déchirure de grade III de la corne postérieure du ménisque interne). L'assuré s'est fait opérer de l'épaule et du genou droits par le docteur S._ le 20 avril 2005. B._ s'est trouvé incapable de travailler à 100% du 23 février 2005 au 30 septembre 2005, à 75% du 1er au 30 octobre et à 50% à partir du 31 octobre 2005. Il a repris son activité professionnelle en plein le 1er février 2006.
Après avoir confié une expertise au docteur D._, qui a nié un lien de causalité probable entre les troubles constatés à l'épaule et au genou droit et l'événement accidentel, la Helsana a mis un terme à ses prestations pour l'épaule droite à partir du 1er avril 2005, et refusé de prendre en charge les troubles au genou droit (décision du 15 février 2006). Saisie d'une opposition, elle l'a écartée dans une nouvelle décision du 7 juin 2006.
B. Par jugement du 30 mai 2007, le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition du 7 juin 2006.
C. B._ interjette un recours en matière de droit public dans lequel il conclut, sous suite de frais et dépens, principalement, à ce que le jugement cantonal soit annulé et à ce que la Helsana reconnaisse l'origine accidentelle de ses troubles et, subsidiairement, à ce que la cause soit renvoyée au tribunal cantonal pour instruction complémentaire et nouveau jugement.
La Helsana conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. La procédure porte sur l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, de sorte que le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (art. 97 al. 2 et art. 105 al. 3 LTF).
2. Les déchirures du ménisque et les ruptures de la coiffe des rotateurs figurent dans la liste exhaustive des lésions corporelles assimilées à un accident de l'art. 9 al. 2 OLAA (cf. let. c [déchirure du ménisque] et let. f [déchirures du tendon]; ATF 123 V 43). Selon l'al. 1er de cette disposition, pour autant qu'elles ne soient pas manifestement imputables à une maladie ou à des phénomènes dégénératifs, les lésions [mentionnées aux let. a à h] sont assimilées à un accident, même si elles ne sont pas causées par un facteur extérieur de caractère extraordinaire.
La notion de lésion assimilée à un accident a pour but d'éviter, au profit de l'assuré, la distinction souvent difficile entre maladie et accident. Aussi les assureurs-accidents LAA doivent-ils assumer un risque qui, en raison de la distinction précitée, devrait en principe être couvert par l'assurance-maladie. Les lésions mentionnées à l'art. 9 al. 2 OLAA sont assimilées à un accident même si elles ont, pour l'essentiel, une origine vraisemblablement maladive ou dégénérative, pour autant qu'une cause extérieure ait, au moins, déclenché les symptômes dont souffre l'assuré (ATF 129 V 466, 123 V 43 consid. 2b p. 44, 116 V 145 consid. 2c p. 147, 114 V 298 consid. 3c p. 301). Si, par contre, une telle lésion est survenue sans avoir été déclenchée par un facteur extérieur soudain et involontaire, elle est manifestement imputable à une maladie ou à des phénomènes dégénératifs et il appartient à l'assurance-maladie d'en prendre en charge les suites. On précisera que dans le cadre de l'art. 9 OLAA, on ne peut admettre qu'une lésion assimilée - malgré son origine en grande partie dégénérative - a fait place à l'état de santé dans lequel l'assuré se serait trouvé sans l'accident (retour au statu quo sine), tant que le caractère désormais exclusivement maladif ou dégénératif de l'atteinte à la santé n'est pas clairement établi. A défaut, en effet, on se trouverait à nouveau confronté, immédiatement après avoir admis l'existence d'une lésion assimilée à un accident, à la difficulté de distinguer entre l'origine dégénérative ou accidentelle de cette lésion (cf. arrêt du Tribunal fédéral des assurances U 220/02 du 6 août 2003 consid. 2; voir également, sur cette problématique, Jean-Michel Duc, La jurisprudence du TFA concernant les lésions tendineuses, RSAS 2000, pp. 529 ss, plus spécialement 534 sv.).
3. 3.1 En l'espèce, les premiers juges ont exclu l'application de l'art. 9 OLAA et de la jurisprudence y relative, statuant sur la question litigieuse de la causalité (naturelle et adéquate) des lésions constatées chez le recourant uniquement en fonction de la règle de la vraisemblance prépondérante (sur cette notion voir ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181). Pour eux, le fait que l'événement du 23 février 2005 constituait un accident au sens de l'art. 4 LPGA, vu notamment son caractère extraordinaire, était en quelque sorte inconciliable avec la disposition réglementaire sur les lésions corporelles assimilées à un accident.
3.2 Ce point de vue n'est pas fondé. Si l'influence d'un facteur extérieur, soudain, et involontaire suffit à fonder l'obligation de prester de l'assureur-accidents pour les suites d'une lésion mentionnée à l'art. 9 al. 2 OLAA, on ne voit pas, a fortiori, que cette réglementation spécifique ne doive pas trouver application dans l'hypothèse où il existe également un facteur extraordinaire. Il faut cependant que la lésion (assimilée) puisse être rattachée à l'accident en cause car à défaut d'un événement particulier à l'origine de l'atteinte à la santé, il y a lieu de conclure à une lésion exclusivement maladive ou dégénérative. La question du lien de causalité des affections diagnostiquées chez le recourant doit dès lors être examinée à l'aune de l'art. 9 OLAA.
4. L'expert mandaté par la Helsana, le docteur D._, a constaté des atteintes dégénératives aussi bien à l'épaule droite qu'au genou droit du recourant (arthrose acromio-claviculaire; gonarthrose interne débutante). En ce qui concerne l'épaule droite, il a retenu que B._ avait subi, au cours de son accident de moto, une contusion/entorse bénigne de l'épaule droite (par rotation interne du bras sans choc direct ou mouvement extrême). En effet, le prénommé s'était immédiatement plaint de douleurs à cette épaule ainsi que d'une limitation fonctionnelle significative. Habituellement, un tel traumatisme était de nature à provoquer des douleurs et parfois une impotence fonctionnelle partielle, mais seulement durant une courte période (de 4 à 6 semaines). Il ne pouvait engendrer une lésion "déterminante" de la coiffe des rotateurs. Au-delà de cette période et en l'absence d'un "événement traumatique ayant une responsabilité déterminante dans l'évolution [du cas]", le docteur D._ était d'avis qu'une relation causale entre l'événement du 23 février 2005 et l'état de l'épaule droite de B._ ne pouvait être reconnue. Toujours selon ce médecin, pour le genou droit, le lien de causalité avec l'événement accidentel relevait tout au plus du domaine du possible, voire était même exclu. D'une part, l'articulation avait été indolore dans les suites immédiates de l'accident, les gonalgies du côté droit étant apparues que quelques jours plus tard. L'hypothèse que le traitement antalgique administré à l'assuré avait en quelque sorte masqué ses douleurs au genou droit était peu plausible car le membre inférieur droit avait tout de suite été mis à contribution en raison de gonalgies gauches. D'autre part, les images IRM montraient des infiltrations graisseuses, signe d'une dégénérescence méniscale assez étendue, et non pas une lésion linéaire franche comme dans les cas habituels d'une déchirure traumatique. En définitive, il était "possible" que l'accident ait entraîné une entorse bénigne du genou (vu l'absence de symptomatologie immédiate); la surcharge transitoire du membre inférieur droit avait "révélé et non pas causé" les troubles dégénératifs constatés (rapport d'expertise du 8 novembre 2005).
5. Au regard de ces considérations médicales, le caractère dégénératif marqué des lésions en cause n'apparaît pas douteux. A cet égard, on ne saurait suivre le recourant lorsqu'il soutient, en se référant à l'opinion du docteur S._, que ces lésions se sont produites en dehors de tout contexte dégénératif. L'affirmation dans ce sens du chirurgien sont contredites par les résultats de l'imagerie et ne concordent pas avec les observations qu'il a lui-même transcrites à l'issue de ses interventions (voir son compte-rendu opératoire du 20 avril 2005 et son rapport opératoire du 21 avril 2005). Cela étant, cette seule constatation n'est pas suffisante pour conduire à la négation des prestations car la question n'est pas de savoir si les déchirures revêtent une origine dégénérative mais exclusivement dégénérative. On doit le nier s'agissant de la rupture de la coiffe des rotateurs à l'épaule droite. En effet, même si le docteur D._ a considéré que le mouvement de rotation du membre supérieur droit effectué par B._ au cours de l'accrochage du 23 février 2005 était à lui seul insuffisant pour avoir causé l'atteinte, il n'en a pas moins reconnu que ce facteur extérieur l'avait déclenchée, de sorte qu'on ne peut pas l'attribuer exclusivement à la maladie. Par ailleurs, l'expert ne fait état d'aucun élément qui pourrait fonder un retour au statu quo 4 à 6 semaines après l'accident (par exemple une dégénérescence similaire à l'épaule gauche), de sorte que le lien de causalité persiste au-delà du 1er avril 2005. On ne peut, en revanche, aboutir à la même conclusion pour le genou droit. Selon les explications convaincantes du docteur D._, il est en effet douteux que les manifestations douloureuses du genou droit se rattachent à l'accident, ce qui permet de conclure ici à une lésion exclusivement maladive (voir également les déclarations de ce médecin devant la juridiction cantonale sur la distinction entre une déchirure aïgue du ménisque et une déchirure due à des lésions dégénératives, lésions qu'il avait pu, au demeurant, constater dans les deux genoux de l'assuré; procès-verbal d'audience du 24 avril 2007). Sur ce point seulement, il y a lieu de confirmer la position de l'intimée.
6. En définitive, le recours doit être partiellement admis en ce sens que la Helsana doit prendre en charge les suites de l'atteinte à l'épaule droite au-delà du 1er avril 2005; il est rejeté pour le surplus. Compte tenu de l'issue de la procédure, il se justifie de répartir les frais par moitié entre le parties (art. 66 al. 1er LTF). Par ailleurs, le recourant a droit à des dépens réduits (art. 68 al. 1er LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis et le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 30 mai 2007 est réformé en ce sens que le recourant a droit aux prestations légales de l'assurance-accidents pour les suites de son atteinte à l'épaule droite (lésion de la coiffe des rotateurs) au-delà du 1er avril 2005.
2. Les frais de justice, arrêtés à 500 fr., sont mis pour moitié à la charge du recourant et pour moitié à la charge de l'intimée.
3. La Helsana versera au recourant un montant de 1'250 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 31 janvier 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung von Zwehl