Erwägungen:
1. 1.1 Der türkische Staatsangehörige X._ (geb. 1957) lebt seit September 1994 mit einer Aufenthalts- und seit August 1999 mit einer Niederlassungsbewilligung im Kanton Bern aufgrund einer mit einer Schweizer Bürgerin geschlossenen Ehe. Nach der Scheidung ehelichte er im März 2005 seine Landsfrau Y._ (geb. 1966), mit welcher er bereits einmal verheiratet gewesen war und vier gemeinsame Kinder hatte. Im Februar 2006 reisten Y._ und die beiden damals noch minderjährigen Kinder A._ und B._ (geb. 1988 und 1989) im Familiennachzug in die Schweiz ein.
Am 3. Juli 2009 widerrief das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern die Niederlassungsbewilligung von X._ und die Aufenthaltsbewilligung von Y._ und forderte sie auf, die Schweiz innert angesetzter Frist zu verlassen. Die von ihnen dagegen im Kanton erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos.
1.2 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 31. März 2011 beantragen X._ und Y._ dem Bundesgericht, das kantonal zuletzt ergangene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 24. Februar 2011 aufzuheben, dem Ehemann die Niederlassungsbewilligung zu belassen und der Ehefrau die Aufenthaltsbewilligung zu erneuern.
Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, das Verwaltungsgericht sowie - mit Postaufgabe vom 31. Mai 2011 und deshalb verspätet und unbeachtlich - das Bundesamt für Migration beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Amt für Migration und Personenstand hat auf das Urteil des Verwaltungsgerichts verwiesen, ohne einen Antrag zu stellen.
1.3 Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde am 5. April 2011 antragsgemäss die aufschiebenden Wirkung hinsichtlich der Ausreiseverpflichtung zuerkannt.
2. 2.1 Das Verwaltungsgericht stützt den Widerruf der Niederlassungsbewilligung des Ehemannes und damit auch die Nichterneuerung der Aufenthaltsbewilligung der Ehefrau auf Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG (SR 142.20). Die Beschwerdeführer seien dauerhaft und in erheblichem Mass auf Sozialhilfe angewiesen. Bis zum Juli 2010 hätten sich die entsprechenden Leistungen auf über Fr. 150'000.-- belaufen. Die Beschwerdeführer rügen, zum einen sei der erwähnte Widerrufsgrund nicht erfüllt, zum anderen sei keine Verwarnung vorangegangen und die Massnahme sei unverhältnismässig.
2.2 In Bezug auf den Widerrufsgrund machen die Beschwerdeführer eine offensichtlich falsche Sachverhaltsfeststellung geltend (dazu Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Verwaltungsgericht habe drei - undatierte und abgesehen von der Beschäftigungsart (Reinigungsmitarbeiter, Hilfsarbeiter und Hilfskoch) völlig gleichlautende - Bestätigungen von potenziellen Arbeitgebern nicht in seinen Entscheid einbezogen. Damit sei es zu Unrecht davon ausgegangen, sie würden auch in Zukunft auf Sozialhilfe angewiesen sein.
Der Widerruf nach der erwähnten Bestimmung setzt in der Tat voraus, dass nicht nur in der Vergangenheit hohe finanzielle Unterstützungsleistungen bezogen wurden. Vielmehr muss zusätzlich damit zu rechnen sein, dass die betreffenden Personen auch in Zukunft auf Sozialhilfe angewiesen sein werden (vgl. Urteil 2C_74/2010 vom 10. Juni 2010 E. 3.4 mit Hinweisen; noch zum früheren ANAG [BS 1 121]: BGE 119 Ib 1 E. 3 S. 6 f.). Davon geht das Verwaltungsgericht aus. Dabei hat es entgegen der Meinung der Beschwerdeführer auch die angeblich in Aussicht stehenden Arbeitsstellen berücksichtigt. Es hält aber fest, der Ehemann verfüge seit dem 15. Januar 2010 über eine Bescheinigung der Behörden, dass er vorerst berechtigt sei, in der Schweiz zu arbeiten. Trotzdem habe er auch über ein Jahr danach keine Arbeitsstelle angetreten. Schon vor dem Widerruf der Bewilligung im Juli 2009 habe er keine konkreten Arbeitsbemühungen dargetan, obwohl er seit Ende Januar 2007 wusste, dass er ab März 2007 seine damalige Arbeitsstelle verlieren würde. Letztlich sei keine Motivation des Ehemannes erkennbar, wieder erwerbstätig zu werden. Zudem hatte schon das kantonale Amt für Migration in der ursprünglichen Verfügung vom 3. Juli 2009 festgehalten, sogar die Sozialhilfegelder wären mangels Kooperation der Beschwerdeführer fast bis auf das Minimum gekürzt worden. Der Einwand der Beschwerdeführer, die Anstellung des Ehemannes sei den potenziellen Arbeitgebern - den Bestätigungen zufolge - "zu riskant" gewesen, solange dieser nicht (wieder) seine Niederlassungsbewilligung habe, erscheint insoweit unbehelflich. Sie legten denn auch erst im Mai 2010 die entsprechenden Bestätigungen vor, nachdem die Polizei- und Militärdirektion ihr dort eingelegtes Rechtsmittel abgewiesen hatte. Im Übrigen handelt es sich bei den in den Bestätigungen angegebenen Tätigkeiten um solche, die - entgegen den Andeutungen der Beschwerdeführer - keine langen Einarbeitungszeiten erfordern, weshalb nicht einleuchtet, warum die zumindest vorübergehende Anstellung des Ehemannes "zu riskant" gewesen wäre. Schliesslich ergibt sich aus den Bestätigungen nicht, ob der Beschäftigungsgrad derart gewesen wäre, dass ein weiterer Sozialhilfebezug dahingefallen wäre. Demnach ist die Vorinstanz zu Recht davon ausgegangen, dass nicht damit gerechnet werden kann, die Beschwerdeführer würden in Zukunft selber für ihren Lebensunterhalt aufkommen. Somit ist der Widerrufsgrund des Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG erfüllt.
2.3 Die Beschwerdeführer rügen, es sei treuwidrig, die Niederlassungsbewilligung nach einem ununterbrochenen und ordnungsgemässen Aufenthalt von 14 Jahren und 10 Monaten ohne vorherige Verwarnung zu widerrufen. Wären sie im Übrigen korrekterweise verwarnt worden, hätte der auf Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG gestützte Widerruf nicht mehr innert der 15 Jahre nach Art. 63 Abs. 2 AuG verfügt werden können und wäre damit ausgeschlossen gewesen.
Gemäss Art. 96 Abs. 2 AuG können Ausländer unter Androhung einer Massnahme verwarnt werden, wenn diese begründet, aber nach den Umständen nicht angemessen ist. Die Vorinstanz bemerkt zu Recht, das bedeute nicht, eine Verwarnung müsse einem Bewilligungswiderruf immer vorangehen. Das hängt von den jeweiligen Umständen des Einzelfalles ab. Wohl ist bei einem langfristigen Aufenthalt und wenn es nicht um schwere Delinquenz geht, eher zu verlangen, dass der Ausländer vorab verwarnt wird (vgl. Urteil 2C_319/2008 vom 10. Juni 2008 E. 2 in fine; Benjamin Schindler, Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, 2010, Caroni/Gächter/Thurnherr [Hrsg.], N. 19 zu Art. 96 AuG). Die Beschwerdeführer übersehen indes, dass ihnen das Amt für Migration und Personenstand - wie es in seiner Verfügung vom 3. Juli 2009 festgehalten hat - am 12. September 2006 bereits schriftlich die Ausweisung namentlich wegen ihrer Fürsorgeabhängigkeit in Aussicht gestellt hatte. Mithin musste vorliegend auf jeden Fall nicht mehr eine zusätzliche Verwarnung nach Art. 96 Abs. 2 AuG ergehen, bevor die Niederlassungsbewilligung widerrufen wurde. Deshalb konnte der Widerruf auch noch vor Ablauf der Frist nach Art. 63 Abs. 2 AuG stattfinden; die Aufenthaltsdauer der Beschwerdeführer spielt mithin nur im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung eine Rolle.
2.4 Bei der Frage, ob der Widerruf verhältnismässig ist, ist namentlich zu berücksichtigen, ob die Sozialhilfeabhängigkeit verschuldet ist (vgl. erwähntes Urteil 2C_74/2010 E. 3.4 in fine mit Hinweisen). Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführer haben die Vorinstanzen nicht eingeräumt, Erstere treffe an ihrer aktuellen Situation kein Verschulden. Wohl verlor der Ehemann seine letzte Arbeitsstelle Anfang 2007 ohne eigenes Verschulden, weshalb er zunächst fürsorgebedürftig wurde. Er hat danach jedoch ohne berechtigten Grund nichts getan, um baldmöglichst wieder ins Erwerbsleben zurückzukehren. Deshalb trifft die Beschwerdeführer sehr wohl ein Verschulden an der erheblichen und fortdauernden Fürsorgeabhängigkeit. Im Übrigen hat das Verwaltungsgericht sämtliche nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu berücksichtigenden Umstände korrekt gegeneinander abgewogen. Dabei ist es unter anderem davon ausgegangen, dass sich der Ehemann schon lange in der Schweiz aufhält, jedoch weder beruflich noch sozial besonders stark integriert ist, seine Ehefrau erst im Jahr 2006 in die Schweiz eingereist ist und kaum Deutsch spricht. Abgesehen von der inzwischen volljährigen Tochter A._, zu der kein Abhängigkeitsverhältnis besteht, leben alle Kinder der Beschwerdeführer in der Türkei. Der Ehemann ist in der Schweiz strafrechtlich - wenn auch in geringfügigen Masse - mehrfach belangt worden. Dass es sich bei ihm nicht "um den klassischen Fall eines Aggressors" handelt, ist nicht entscheidend, zumal ihm nicht die Widerrufsgründe der Art. 63 Abs. 1 lit. a und b bzw. Art. 62 lit. b AuG vorgeworfen werden. Auch hat er nicht erst seit seiner Arbeitslosigkeit erhebliche Schulden angehäuft. Ebenso wenig hat er sich jemals um deren Tilgung bemüht (141 offene Verlustscheine im Gesamtbetrag von über Fr. 157'000.-- per 11. Februar 2010). Nach dem Dargelegten kann keinesfalls davon die Rede sein, der Beschwerdeführer sei "gut an die Schweizerischen Gegebenheiten und Verhältnisse assimiliert". Ergänzend wird auf die zutreffenden und umfassenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen. Danach hat die Vorinstanz in bundesrechtmässiger Weise geschlossen, der Widerruf der Niederlassungsbewilligung des Ehemannes sei verhältnismässig und die Aufenthaltsbewilligung der Ehefrau sei damit gemäss Art. 43 AuG auch nicht mehr zu verlängern.
3. Demzufolge erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG behandelt und abgewiesen werden kann. Diesem Ausgang entsprechend hätten die Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen. Mit Blick auf ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse wird jedoch von der Erhebung dieser Kosten ausnahmsweise abgesehen (vgl. Art. 65 f. BGG). Mangels Erfolgsaussichten ist jedoch ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (vgl. Art. 64 BGG), soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Parteientschädigungen werden nicht zugesprochen (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juli 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Merz