Faits:
A. A.a G._, était assurée en 2006 et 2007 auprès de La Caisse Vaudoise (ci-après: la caisse) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie ainsi que pour les assurances complémentaires HC (assurance combinée d'hospitalisation), RS (assurance pour risques spéciaux) et SA (assurance de soins complémentaires de médecine alternative).
Au mois de septembre 2006 a été posé chez l'assurée le diagnostic de mésothéliome péritonéal. Elle a subi le 12 septembre 2006 une omentectomie, suivie d'une chimiothérapie à base de cisplatine et de pemetrexed.
Le 13 novembre 2006, la doctoresse H._, spécialiste en oncologie médicale et en médecine interne générale, médecin traitant de l'assurée, s'est adressée au médecin-conseil de la caisse pour lui demander la prise en charge d'un traitement combiné de chirurgie cytoréductive (CRS) et de chimiothérapie hyperthermique intrapéritonéale (HIPEC) effectué par le docteur E._ à l'Institut national des tumeurs de Milan, en Italie. Elle a expliqué que cette technique n'était pas proposée en Suisse et que la procédure était adéquate eu égard au pronostic qu'il convenait de poser en regard du traitement actuellement proposé.
Par courrier du 4 décembre 2006, la caisse a informé l'assurée que ni l'assurance obligatoire des soins ni les assurances complémentaires ne prenaient en charge un traitement volontaire effectué à l'étranger et a, par conséquent, refusé d'allouer des prestations d'assurance pour l'intervention projetée.
L'assurée a été opérée le 11 décembre 2006 par le docteur E._. Les frais de l'intervention et de l'hospitalisation jusqu'au 28 décembre 2006 se sont élevés à 78'033,81 euros (facture du 28 décembre 2006).
Après avoir été relancée par l'assurée, la caisse a, par décision du 7 février 2007, confirmée sur opposition le 27 juillet suivant, refusé la prise en charge du traitement, au motif que celui-ci ne répondait pas à une nécessité médicale, la maladie de l'assurée pouvant être traitée en Suisse dans le respect des principes d'efficacité, d'adéquation et d'économicité.
A.b Le 13 septembre 2007, G._ a déféré la décision sur opposition au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant au remboursement de tous les frais liés à l'intervention effectuée à l'Institut national des tumeurs de Milan, soit, au cours du jour, un montant de 130'323 fr. 65. Dans le cadre de l'instruction, il est apparu que l'Hôpital universitaire de Bâle et l'Hôpital cantonal de Saint-Gall offraient depuis 2006 le traitement combiné CRS/HIPEC. Par jugement du 18 février 2009, le Tribunal cantonal des assurances a admis le recours de l'assurée, annulé la décision du 27 juillet 2007 et condamné la caisse à prendre en charge, « aux conditions de la LAMal », le traitement effectué au mois de décembre 2006 et faisant l'objet de la facture du 28 décembre 2006. Il a estimé que la caisse avait violé son devoir de renseigner en n'informant pas l'assurée que le traitement dont la prise en charge était requise était disponible en Suisse à l'époque de sa requête. Dans la mesure où l'assurée, informée de ce fait, aurait selon toute vraisemblance entrepris en Suisse ce traitement - lequel était efficace, adéquat et économique -, la caisse était tenue de rembourser les coûts liés à ce traitement aux conditions de la LAMal.
A.c Le 4 mai 2009, la caisse a retiré le recours qu'elle avait déposé auprès du Tribunal fédéral contre le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 18 février 2009 (cause 9C_283/2009).
A.d Par décision du 23 juillet 2009, confirmée sur opposition le 23 octobre suivant, la caisse a informé l'assurée qu'elle acceptait de prendre en charge les frais du traitement effectué à l'étranger jusqu'à concurrence du double du montant qui aurait été payé si le traitement avait eu lieu en Suisse. Le forfait journalier d'hospitalisation applicable en division commune aux Hôpitaux Universitaires de Genève, s'élevait au moment déterminant des faits à 524 fr., ce qui, compte tenu d'une hospitalisation de 18 jours, donnait un montant à rembourser de 18'864 fr. Dans l'intervalle, l'assuré avait fait notifier à la caisse un commandement de payer la somme de 130'323 fr. 65, sous déduction d'un montant de 18'864 fr. ; la caisse a formé opposition totale.
B. Le 25 novembre 2009, G._ a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales d'un recours contre le décision du 23 octobre 2009 ainsi que d'une demande en paiement (fondée sur les assurances complémentaires qu'elle avait souscrites). Au cours de l'instruction, la juridiction cantonale a interpellé le professeur L._, médecin spécialisé en chirurgie viscérale auprès de l'Hôpital universitaire de Bâle, afin de connaître le coût de l'intervention litigieuse au sein de son établissement. Par jugement du 16 mars 2011, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a, d'une part, rejeté la demande en paiement pour cause de prescription et, d'autre part, partiellement admis le recours, annulé la décision du 23 octobre 2009, condamné la caisse à rembourser à l'assurée les sommes de 100'436 fr. (avec intérêts à 5 % dès le 28 décembre 2008) et 529 fr. 70, et levé l'opposition au commandement de payer à concurrence de la somme de 100'965 fr. 70, avec intérêts à 5 % dès le 28 décembre 2008 sur la somme de 100'436 fr.
C. La caisse interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement, dont elle demande, en substance, la réforme dans le sens des motifs et moyens qu'elle développe.
G._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. La décision attaquée ayant été rendue dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) et dans une matière - le droit fédéral des assurances sociales - où aucune des clauses d'exception de l'art. 83 LTF ne s'applique, la voie du recours en matière de droit public est ouverte. Partant, il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur le recours constitutionnel subsidiaire interjeté par la recourante.
2. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3. 3.1 Par jugement du 18 février 2009, le Tribunal cantonal des assurances sociales a considéré que les conditions légales posées pour la prise en charge d'un traitement effectué à l'étranger (art. 36 OAMal) n'étaient pas remplies, aux motifs que la condition du cas d'urgence n'était pas réalisée et que le traitement litigieux était disponible en Suisse. La juridiction cantonale a par ailleurs estimé que la caisse avait violé son devoir de renseignement au sens de l'art. 27 LPGA, ce qui avait conduit l'assurée à commettre un acte préjudiciable à ses intérêts. L'assurée devait dès lors être replacée dans la situation financière dans laquelle elle aurait été si elle avait pu réagir par rapport à des renseignements corrects et complets, à savoir si elle s'était soumise au traitement en cause en Suisse. Dans la mesure où le traitement litigieux répondait par ailleurs aux critères d'efficacité, d'adéquation et d'économicité, la caisse était tenue de rembourser le traitement « aux conditions de la LAMal ».
3.2 Dans le jugement rendu le 16 mars 2011, la Cour de justice de la République et canton de Genève a constaté que les parties étaient en désaccord sur le sens à donner à l'expression « aux conditions de la LAMal ». Elle a considéré que par « conditions de la LAMal », il fallait entendre, « d'une part, la franchise et la quote-part de participation à la charge de l'assurée et, d'autre part, les conditions de remboursement d'un traitement subi à l'étranger figurant à l'art. 36 al. 3 [recte : 4] OAMal, à l'exception de la condition de l'absence de disponibilité du traitement en Suisse ». Sur la base des renseignements fournis par le docteur L._, la juridiction cantonale a estimé que le traitement litigieux aurait coûté en Suisse environ 59'650 fr. C'est par conséquent un montant de 119'300 fr. que la caisse était tenue de rembourser à l'assurée, étant précisé qu'il n'y avait pas lieu de déduire de ce montant une franchise et une quote-part de participation.
3.3 La recourante reproche à la juridiction cantonale de s'être écartée des termes clairs de son jugement du 18 février 2009. Dans le cas d'espèce, la question litigieuse n'était plus d'établir les conditions de prise en charge d'un traitement subi à l'étranger, l'application de l'art. 36 OAMal ayant été exclue, mais bien plutôt de déterminer les conditions et l'étendue de la prise en charge par l'assurance obligatoire des soins d'un traitement hospitalier en Suisse. Le calcul effectué par la juridiction cantonale s'avérait par conséquent contraire au droit fédéral. En réalité, il convenait, conformément aux art. 41 et 49 LAMal, de se référer au tarif hospitalier applicable dans le canton de résidence de l'assurée, à savoir celui du canton de Genève, voire éventuellement celui du canton de Bâle-Ville si le cas d'une hospitalisation hors canton était reconnu. Si, par hypothèse, le Tribunal fédéral devait néanmoins admettre une application au cas d'espèce de l'art. 36 OAMal, il conviendrait également de retenir comme base de calcul le tarif hospitalier du canton de Genève ou celui du canton de Bâle-Ville.
4. 4.1 D'après un principe applicable dans la procédure administrative en général, lorsque une autorité de recours statue, explicitement ou implicitement - comme en l'espèce -, par une décision de renvoi, l'autorité à laquelle la cause est renvoyée, de même que celle qui a rendu la décision sur recours sont tenues de se conformer aux instructions du jugement de renvoi. Ainsi, l'autorité inférieure doit fonder sa nouvelle décision sur les considérants de droit du jugement de renvoi. L'autorité inférieure voit donc sa latitude de jugement limitée par les motifs du jugement de renvoi, en ce sens qu'elle est liée par ce qui a été déjà définitivement tranché par l'autorité de recours, laquelle ne saurait, de son côté, revenir sur sa décision à l'occasion d'un recours subséquent (arrêt 9C_522/2007 du 17 juin 2008 consid. 3.1 ; voir également arrêt 8C_775/2010 du 14 avril 2011 consid. 4.1.1).
4.2 En l'espèce, il convient d'admettre que la juridiction cantonale est revenue sur le contenu de son premier jugement. Si elle n'a pas fixé le montant dû au titre de l'assurance obligatoire des soins et, partant, n'a pas tranché définitivement le litige, il n'en demeure pas moins qu'elle a reconnu l'obligation de prester de la recourante et, dans ce contexte, opéré plusieurs appréciations et qualifications juridiques qui, faute d'avoir été attaquées, ne pouvaient plus être remises en cause par la recourante ou par la juridiction cantonale dans la suite de la procédure. A cet égard, il importe peu que le dispositif du premier jugement n'ait contenu aucun renvoi aux considérants. Concrètement, la juridiction cantonale a nié dans son premier jugement que l'art. 36 OAMal fût applicable au cas d'espèce ; dans son second jugement, elle s'est référée à cette disposition pour fonder le droit au remboursement de l'assurée et, partant, a adopté une motivation contradictoire par rapport à ce qu'elle avait retenu précédemment. Ce procédé ne saurait, au regard des exigences de la sécurité du droit, être admis.
4.3 De manière plus générale, on remarquera que la manière de procéder de la juridiction cantonale est, d'un point de vue juridique, pour le moins insolite. En considérant que l'art. 36 OAMal était applicable, pour autant que l'on fasse abstraction de la condition relative à l'absence de traitement disponible en Suisse, la juridiction cantonale a étendu les effets des cette disposition à une situation qui n'a pas été envisagée par le législateur. Comme rien ne permet de penser que l'on est en présence d'une lacune de la loi, susceptible d'être comblée par le juge (art. 1 al. 2 CC), un tel procédé est tout simplement inadmissible.
5. La question de la prise en charge du traitement litigieux doit être examinée, conformément à la teneur du premier jugement rendu par la juridiction cantonale, comme si le traitement avait eu lieu en Suisse.
5.1 La prise en charge des coûts dans le cadre de l'assurance obligatoire des soins en cas de traitement hospitalier ou semi-hospitalier est réglé à l'art. 41 LAMal (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2008). L'assuré a le libre choix entre les fournisseurs de prestations admis et aptes à traiter sa maladie. L'assureur prend en charge les coûts jusqu'à concurrence du tarif applicable dans le canton où réside l'assuré (al. 1, 3ème phrase). Si, pour des raisons médicales, l'assuré recourt à un autre fournisseur de prestations, l'assureur prend en charge les coûts d'après le tarif applicable à cet autre fournisseur de prestations (al. 2). Sont réputés raisons médicales le cas d'urgence et le cas où les prestations nécessaires ne peuvent être fournies dans le canton où réside l'assuré ou dans un hôpital en dehors de ce canton qui figure sur la liste dressée par le canton où réside l'assuré, en application de l'art. 39 al. 1 let. e LAMal (al. 2 let. b). Si pour des raisons médicales, l'assuré recourt aux services d'un hôpital public ou subventionné par le pouvoirs publics situé hors de son canton de résidence, ce canton prend en charge la différence entre les coûts facturés et les tarifs que l'hôpital applique aux résidents du canton (al. 3 ; ATF 133 V 123 consid. 3.1 p. 125).
5.2 En l'espèce, il n'est pas contesté ni contestable que le traitement combiné CRS/HIPEC - étant admis qu'il répond aux critères d'efficacité, d'adéquation et d'économicité (cf. supra consid. 3.1) - n'était disponible, au moment des faits, qu'à l'Hôpital universitaire de Bâle et à l'Hôpital cantonal de Saint-Gall. Faute d'être proposé par un établissement hospitalier de la République et canton de Genève admis à fournir des prestations à charge de l'assurance obligatoire des soins, l'application du tarif hospitalier genevois ne pouvait entrer en ligne de compte. En revanche, dans la mesure où ce traitement était proposé dans le canton de Bâle-Ville et qu'il est raisonnablement permis de supposer que l'intimée se serait rendu dans ce canton plutôt que dans le canton de Saint-Gall pour suivre ce traitement, il apparaît judicieux d'appliquer le tarif hospitalier de ce canton (Basler Spitalvertrag 2004 et les modifications des annexes I, III et X, en vigueur depuis le 1er janvier 2006). Compte tenu de son pouvoir d'examen limité, il n'appartient toutefois pas au Tribunal fédéral de déterminer le montant qui doit être mis à la charge de la recourante au titre de l'assurance obligatoire des soins. Il convient bien plutôt d'annuler le jugement attaqué et de renvoyer la cause à la recourante pour qu'elle fixe le montant à sa charge dans une décision formelle.
5.3 Afin d'être exhaustif, il convient d'ajouter que la différence entre le montant pris en charge par la recourante et les coûts effectifs facturés par l'Hôpital universitaire de Bâle pour le traitement litigieux devra être prise en charge par la République et canton de Genève, conformément à l'art. 41 al. 3 OAMal.
6. Le recours se révèle bien fondé. Vu l'issue du litige, les frais de justice seront supportés par l'intimée qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). La recourante, qui a conclu à l'octroi de dépens, ne saurait toutefois en prétendre, aucuns dépens n'étant alloués en règle générale aux organisations chargées de tâches de droit public (art. 68 al. 3 LTF ; ATF 134 V 340 consid. 7 p. 351).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est admis en ce sens que le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 16 mars 2011 et la décision sur opposition de la Caisse Vaudoise du 23 octobre 2009 sont annulés, la cause étant renvoyée à l'assureur pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 janvier 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Piguet