Sachverhalt:
A. X._ ersuchte am 29. Juni 2000 bei der Baukommission der Einwohnergemeinde Deitingen um Bewilligung für den "Abbruch Schweinestall sowie Neubau Schweinestall (Mutterschweine) nach den Richtlinien von Coop-Natura-Plan/Hühnerhaus dito" auf Grundstück Nr. 314 in Deitingen. Die Parzelle lag in der Bauernhofzone (heute Landwirtschaftszone). Unter der Beschreibung des Betriebs war vermerkt: "Es ist keine Mehrbelastung zu erwarten". Das Gesuch wurde publiziert, ohne dass Einsprachen eingingen.
Nach Ablauf der Einsprachefrist leitete die Baukommission Deitingen das Gesuch mit dem offiziellen Begleitformular für Bauvorhaben mit kantonalem Bewilligungserfordernis an das kantonale Amt für Landwirtschaft weiter. Dieses teilte der Bauverwaltung Deitingen mit Schreiben vom 7. August 2000 mit, entgegen der ursprünglichen Annahme könne auf ein Zirkulationsverfahren innerhalb der Kantonsverwaltung verzichtet werden. Der Schweinestall entspreche den Anforderungen der Tierschutzgesetzgebung, grundsätzlich auch der Hühnerstall. Da kein Gesamtkonzept für den Betrieb vorliege, könnten die Anforderungen bezüglich Gewässerschutz nicht geprüft werden, weshalb allfällige Auflagen seitens der zuständigen Stelle im Amt für Umweltschutz vorbehalten würden.
Die Baukommission Deitingen erteilte am 30. August 2000 die Baubewilligung unter Vorbehalt allfälliger Auflagen des Amtes für Umweltschutz bezüglich Gewässerschutz. In der Folge wurde der neue Schweinestall errichtet und in Betrieb genommen.
B. Verschiedene Nachbarn, namentlich Y._ und Z._, beklagten sich in der Folge über untragbare Geruchsimmissionen durch den Betrieb des Schweinestalls. Sie verlangten die Herstellung des rechtmässigen Zustands, was das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 30. Oktober 2003 ablehnte. Es stellte fest, die erstellte Baute sei formell rechtswidrig, weil die erforderliche Verfügung zur Einhaltung der Luftreinhalteverordnung nicht vorliege, und sie sei materiell rechtswidrig, da die Mindestabstände zu Zonen mit Wohnnutzung verletzt würden. Im Hinblick auf einen allfälligen Widerruf der Bewilligung sei jedoch zu berücksichtigen, dass die Baubewilligung in einem ordentlichen Verfahren erteilt worden sei, in welchem die Nachbarn Gelegenheit gehabt hätten, sich gegen das Vorhaben zu wehren, was sie jedoch unterlassen hätten. Weiter habe der Bauherr gestützt auf die Baubewilligung eine erhebliche Investition (über Fr. 900'000.--) vorgenommen.
C. Y._ und Z._ erhoben dagegen am 12. November 2003 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und beantragten den Widerruf der Baubewilligung.
Das Verwaltungsgericht hiess die Beschwerde am 6. April 2004 gut und hob die Verfügung des Bau- und Justizdepartements vom 30. Oktober 2003 auf. Es stellte fest, dass die erstellte Baute von der erteilten Baubewilligung abweiche, indem die Anlage in einer Art genutzt werde, die im Baubewilligungsverfahren nicht beurteilt worden sei. Die Baukommission der Einwohnergemeinde Deitingen wurde angewiesen, ein nachträgliches Baubewilligungsverfahren mit Publikation durchzuführen und über die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands zu entscheiden.
D. Eine gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 6. April 2004 gerichtete Verwaltungsgerichtsbeschwerde von X._ hiess das Bundesgericht mit Urteil 1A.108/2004 vom 17. November 2004 gut (publiziert in URP 2005 S. 243 ff. und Hinweis in ZBl 107/2006 S. 284). Es hob den angefochtenen Entscheid auf und wies die Sache zur Fortführung des Verfahrens im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück.
In den Erwägungen seines Urteils führt das Bundesgericht unter anderem aus, im Baubewilligungsverfahren sei zu Unrecht nicht geprüft worden, ob mit dem Stallbetrieb, wie er aufgrund der Gesuchseingabe zu erwarten gewesen sei, übermässige Immissionen verursacht würden. Aufgrund der eingereichten Unterlagen wäre für eine Umweltfachstelle ohne weiteres erkennbar gewesen, dass die Mindestabstände zu bewohnten Zonen gemäss den FAT-Richtlinien erheblich unterschritten seien (vgl. Anhang 2 Ziff. 512 Abs. 1 LRV; BGE 126 II 43 E. 4a S. 45; s. auch BGE 133 II 370 E. 6). Offenbar infolge eines Missverständnisses innerhalb der kantonalen Verwaltung sei diese umweltrechtliche Frage dort nicht weiter abgeklärt worden. Das Versäumnis habe dazu geführt, dass für die materiell rechtswidrige Baute eine nunmehr formell rechtskräftige Baubewilligung vorliege. Eine solche Baubewilligung sei nicht unvollständig, sondern allenfalls zu Unrecht erteilt worden. Der Stall müsse somit in der Art und Weise, wie er heute betrieben werde, als bewilligt, wenn auch materiell rechtswidrig, gelten. Das Departement habe deshalb den Streitfall mit Recht als Frage des Widerrufs formell rechtskräftiger, aber materiell rechtswidriger Verfügungen behandelt. Aufgrund dieser Sachlage hätte das Verwaltungsgericht die Interessenabwägung des Departements überprüfen müssen, anstatt die Sache zur Durchführung eines nachträglichen Baubewilligungsverfahrens an die Gemeinde zurückzuweisen (Urteil 1A.108/2004 vom 17. November 2004, publ. in: URP 2005 S. 243, E. 3.3.3-3.4 S. 251 f. und Hinweis in: ZBl 107/2006 S. 284).
E. Im Rahmen der weiteren Behandlung der Angelegenheit hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde von Y._ und Z._ mit Urteil vom 5. Januar 2007 gut und widerrief die für die Schweinezucht am 30. August 2000 erteilte kommunale Baubewilligung. Weiter ordnete es an, X._ habe die Schweinezucht auf Grundbuch Deitingen Nr. 314 bis am 29. Juni 2007 aufzugeben und deren Betrieb einzustellen.
F. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. Februar 2007 beantragt der Kanton Solothurn, vertreten durch das Bau- und Justizdepartement, die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts. Er rügt die offensichtlich unrichtige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts sowie die Missachtung von Treu und Glauben und des Willkürverbots (Art. 9 BV).
G. Das Verwaltungsgericht beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Eventuell sei sie unter Kostenfolge abzuweisen. Die Baukommission Deitingen verzichtet auf die Anfechtung des Urteils des Verwaltungsgerichts. Zur Beschwerde des Kantons Solothurn bemerkt sie, diese sei sowohl bezüglich Feststellung des Sachverhalts als auch in der rechtlichen Würdigung nicht zu beanstanden. X._ unterstützt in seiner Stellungnahme die Beschwerde des Kantons Solothurn. Die Beschwerdegegner Y._ und Z._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) äussert sich in seiner Stellungnahme zu den umweltschutzrechtlichen Rügen der Beschwerde und gelangt zum Schluss, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts sei mit dem Umweltschutzrecht des Bundes vereinbar.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz [BGG; SR 173.110]) in Kraft getreten. Der angefochtene Entscheid erging nach dem 1. Januar 2007. Gemäss Art. 132 Abs. 1 BGG ist hier das Bundesgerichtsgesetz anwendbar.
2. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG). Es untersucht deshalb grundsätzlich von Amtes wegen, ob und inwiefern auf eine Beschwerde eingetreten werden kann. Immerhin ist die Beschwerde gemäss Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG hinreichend zu begründen. Der Beschwerdeführer hat darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind. Soweit diese nicht ohne weiteres ersichtlich sind, ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, anhand der Akten oder weiterer, noch beizuziehender Unterlagen nachzuforschen, ob und inwiefern der Beschwerdeführer zur Beschwerde zuzulassen ist (BGE 133 II 249 E. 1.1 S. 251).
2.1 Gestützt auf Art. 82 lit. a BGG beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht auch auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu keinen Ausschlussgrund. Gemäss Art. 34 Abs. 1 des Bundesgesetzes über die Raumplanung (RPG; SR 700) in der Fassung nach Ziff. 64 des Anhangs zum Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht (VGG; SR 173.32; vgl. AS 2006 2261) gelten für die Rechtsmittel an die Bundesbehörden die allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege (BGE 133 II 249 E. 1.2 S. 251).
2.2 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (Art. 89 Abs. 1 BGG). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG), dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (Art. 89 Abs. 1 lit. b BGG) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG). Die Nähe der Beziehung zum Streitgegenstand muss bei Bauprojekten insbesondere in räumlicher Hinsicht gegeben sein. Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann (vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4236). Die Voraussetzungen von Art. 89 Abs. 1 lit. b und lit. c BGG hängen eng zusammen; insgesamt kann insoweit an die Grundsätze, die zur Legitimationspraxis bei der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach Art. 103 lit. a des früheren Organisationsgesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) entwickelt worden sind (vgl. BGE 120 Ib 48 E. 2a S. 51 f., 379 E. 4b S. 386 f.), angeknüpft werden (BGE 133 II 249 E. 1.3 S. 252 f., 353 E. 3).
2.3 Der Kanton Solothurn macht geltend, ein Gemeinwesen sei nach der Praxis des Bundesgerichts zu Art. 103 lit. a OG zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert, soweit es gleich oder ähnlich wie ein Privater betroffen sei. Als Folge des angefochtenen Urteils habe X._ mit Brief vom 18. Januar 2007 vom Kanton Solothurn für die Stilllegung des Betriebs eine Entschädigung von Fr. 760'000.-- verlangt. Das Urteil des Verwaltungsgerichts könne somit für den Kanton Solothurn finanzielle Auswirkungen haben. Zudem habe der Kanton im Verfahren vor der Vorinstanz Parteistellung gehabt. Dies zeige sich in den ergangenen Verfügungen der Vorinstanz, welche jeweils von den "Parteien" sprächen. Das Bau- und Justizdepartement habe in seiner Eingabe vom 11. Februar 2004 ausdrücklich erwähnt, dass ihm Parteistellung zukomme. Der Kanton Solothurn sei somit als materieller Verfügungsadressat in seinen vermögensrechtlichen Interessen betroffen und deshalb zur Beschwerdeerhebung berechtigt.
2.3 Der Kanton Solothurn macht geltend, ein Gemeinwesen sei nach der Praxis des Bundesgerichts zu Art. 103 lit. a OG zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert, soweit es gleich oder ähnlich wie ein Privater betroffen sei. Als Folge des angefochtenen Urteils habe X._ mit Brief vom 18. Januar 2007 vom Kanton Solothurn für die Stilllegung des Betriebs eine Entschädigung von Fr. 760'000.-- verlangt. Das Urteil des Verwaltungsgerichts könne somit für den Kanton Solothurn finanzielle Auswirkungen haben. Zudem habe der Kanton im Verfahren vor der Vorinstanz Parteistellung gehabt. Dies zeige sich in den ergangenen Verfügungen der Vorinstanz, welche jeweils von den "Parteien" sprächen. Das Bau- und Justizdepartement habe in seiner Eingabe vom 11. Februar 2004 ausdrücklich erwähnt, dass ihm Parteistellung zukomme. Der Kanton Solothurn sei somit als materieller Verfügungsadressat in seinen vermögensrechtlichen Interessen betroffen und deshalb zur Beschwerdeerhebung berechtigt.
2.4 2.4.1 Personen, Organisationen und Behörden können nach Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG gestützt auf ein anderes Gesetz zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert sein. Art. 34 Abs. 2 RPG (in der Fassung gemäss Ziff. 64 Anhang VGG, s. vorne E. 2.1) erklärt Kantone und Gemeinden zur Beschwerde berechtigt gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen über Entschädigungen als Folge von Eigentumsbeschränkungen (Art. 5), über die Zonenkonformität von Bauten und Anlagen ausserhalb der Bauzonen sowie über Bewilligungen im Sinne der Art. 24-24d RPG. Nach der letzten Änderung des RPG erstreckt sich dieses Beschwerderecht ausdrücklich auch auf Bewilligungen gemäss Art. 37a RPG (s. Art. 34 Abs. 2 RPG in der Fassung vom 23. März 2007, AS 2007 3639, in Kraft seit 1. September 2007). Im vorliegenden Fall ist nicht ein in Art. 34 Abs. 2 RPG genannter Entscheid angefochten. Die Voraussetzungen der besonderen Rechtsmittelberechtigung der Kantone nach Art. 34 Abs. 2 RPG in Verbindung mit Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG sind somit nicht erfüllt.
Die Beschwerdeberechtigung des Kantons Solothurn ergibt sich auch nicht aus Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG. Danach sind Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften beschwerdebefugt, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt. Der Kanton Solothurn kann sich in Bezug auf einen kantonalen Hoheitsakt seines eigenen Verwaltungsgerichts nicht auf solche Garantien berufen. Zu prüfen ist deshalb einzig, ob ihm die Beschwerdeberechtigung in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG zusteht. Diese Vorschrift lehnt sich eng an den bisherigen Art. 103 lit. a OG an, weshalb zur Beantwortung der Frage, ob der Kanton Solothurn im vorliegenden Fall beschwerdeberechtigt ist, die Rechtsprechung zu dieser Bestimmung des OG beigezogen werden kann (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.3.1 S. 253).
2.4.2 In Anwendung von Art. 103 lit. a OG war zur Erhebung einer Verwaltungsgerichtsbeschwerde befugt, wer durch die angefochtene Verfügung berührt war und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hatte. Dieses Interesse konnte rechtlicher oder auch bloss tatsächlicher Natur sein; verlangt wurde nach ständiger Praxis, dass der Beschwerdeführer durch den angefochtenen Entscheid stärker als jedermann betroffen sei und in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache stehe (BGE 121 II 171 E. 2b S. 174; 120 Ib 379 E. 4b S. 386 f., je mit Hinweisen). Dieses allgemeine Beschwerderecht, das heute wie erwähnt in Art. 89 Abs. 1 BGG geregelt ist, ist grundsätzlich auf Privatpersonen zugeschnitten. Gemeinwesen können es für sich in Anspruch nehmen, wenn sie durch die angefochtene Verfügung gleich oder ähnlich wie Private betroffen sind (vgl. BGE 123 II 425 E. 3 S. 427 ff.; 122 II 33 E. 1b S. 36; 118 Ib 614 E. 1b S. 616; 112 Ib 128 E. 2 S. 130; 112 Ia 59 E. 1b S. 62, je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung kann jedoch ein Gemeinwesen auch zur Beschwerde legitimiert sein, wenn es durch die fragliche Verfügung in seinen hoheitlichen Befugnissen und Aufgaben berührt wird. Die Gemeinden sind mithin zur Anfechtung der Bewilligung für ein mit Immissionen verbundenes Werk befugt, wenn sie als Grundeigentümerinnen gleich wie Private immissionsbelastet sind oder wenn sie als Gebietskorporationen öffentliche Anliegen wie den Schutz der Einwohner zu vertreten haben und insofern durch Einwirkungen, welche von Bauten und Anlagen ausgehen, in hoheitlichen Befugnissen betroffen werden (vgl. BGE 131 II 58 E. 1.3 S. 61 ff., 753 E. 4.3.3 S. 759 f.; 124 II 293 E. 3b S. 304; 123 II 371 E. 2c S. 374 f., mit zahlreichen Hinweisen).
Im vorliegenden Fall ist der Kanton Solothurn vom angefochtenen Urteil seines Verwaltungsgerichts in materieller Hinsicht nicht, jedenfalls nicht direkt betroffen. Direkt betroffen ist der Baugesuchsteller X._, da ihm gegenüber die für die Schweinezucht auf Grundbuch Deitingen Nr. 314 am 30. August 2000 erteilte kommunale Baubewilligung widerrufen wird. Ferner wird ihm befohlen, die Schweinezucht auf dem genannten Grundstück einzustellen. Schliesslich werden ihm für das kantonale Verfahren Gerichts- und Parteikosten auferlegt. Der Kanton Solothurn wird zwar in Ziff. 5 des Dispositivs des angefochtenen Entscheids zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 1'600.-- verpflichtet. Daraus lässt sich jedoch für die Legitimation zur Anfechtung der materiellen Streitsache nichts ableiten (BGE 120 Ia 95 E. 1c/aa S. 98). Ob der Kanton Solothurn in Zukunft dazu verpflichtet wird, im Rahmen der Staatshaftung den ihm von X._ in Rechnung gestellten Betrag von Fr. 760'000.-- zu bezahlen und ob diese Forderung überhaupt rechtlich begründet ist, ist zurzeit ungewiss und insbesondere nicht Gegenstand der vorliegenden Streitsache. Der Kanton Solothurn führt anstelle von X._ und ohne dessen Auftrag Beschwerde gegen den Widerruf der Baubewilligung. Er will sich damit gegen eine allfällige, zurzeit nicht liquide Staatshaftungsforderung von X._ rechtlich absichern. Für ein solches Vorgehen kann sich der Kanton Solothurn nicht auf Art. 89 Abs. 1 BGG berufen. In diesem Sinne hat denn auch das Bundesgericht entschieden, ein Kanton sei nicht berechtigt, den Entscheid seines Verwaltungsgerichts über die Bewilligung einer Baute innerhalb der Bauzone mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde wegen Verletzung von Bundesumweltschutzrecht beim Bundesgericht anzufechten (BGE 129 II 225 E. 1.4 S. 231 mit Hinweisen). Ebenso hat das Bundesgericht in BGE 123 II 425 ff. entschieden, ein Kanton sei nicht zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen einen kantonalen Entscheid legitimiert, der sich auf das Opferhilfegesetz des Bundes vom 4. Oktober 1991 (OHG; SR 312.5) stütze und ihn zur Zahlung einer Entschädigung an das Opfer einer Straftat verpflichte, da er sich lediglich auf ein generelles Finanzinteresse berufe, welches Bestandteil der Ausübung jeder staatlichen Hoheitskompetenz sei. Der Kanton sei daher in diesen Fällen von kantonalen Entscheiden nicht wie ein Privater betroffen.
2.4.3 In Art. 84 lit. d des Vorentwurfs des Bundesrats zum BGG (BBl 2001 4502) wurden die Kantonsregierungen in allgemeiner Form für beschwerdeberechtigt erklärt, wenn der Entscheid einer richterlichen letzten kantonalen Instanz oder die Beachtung desselben in gleichartigen Fällen für den Kanton bedeutende Mehrausgaben oder einen erheblichen Verlust an Einnahmen zur Folge hat. In der Botschaft erklärte der Bundesrat hierzu, die Kantonsregierungen seien grundsätzlich nicht zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert, sofern die angefochtene Verfügung den Kanton nicht in gleicher oder ähnlicher Weise wie eine Privatperson treffe. Diese Rechtslage sei unbefriedigend (Botschaft des Bundesrats zum BGG, BBl 2001 4330 f.). Der Ständerat hat diese Bestimmung auf Antrag seiner Rechtskommission gestrichen (AB 2003 S 909). Das Parlament ist diesem Beschluss diskussionslos gefolgt (AB 2004 N 1607).
Diese Vorgeschichte des heutigen Art. 89 BGG zeigt, dass mit dem Bundesgerichtsgesetz die Legitimation der Kantone im Vergleich zur bisherigen Rechtslage grundsätzlich weder eingeschränkt noch ausgeweitet worden ist (vgl. Hansjörg Seiler, in Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, Art. 89 N. 37). Eine Beschwerdeberechtigung der Kantone, wie sie der Kanton Solothurn im vorliegenden Verfahren fordert, würde nach den vorstehenden Darlegungen eine Ergänzung des Bundesgerichtsgesetzes voraussetzen.
3. Zusammenfassend ergibt sich, dass auf die Beschwerde des Kantons Solothurn nicht eingetreten werden kann.
Die vom Verwaltungsgericht eingeräumte Frist zur Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands ist während des bundesgerichtlichen Verfahrens abgelaufen. X._ weist in seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht darauf hin, dass er ab dem Zeitpunkt eines definitiven Entscheids mindestens 6 Monate benötige, um den Betrieb ordnungsgemäss einzustellen. Eine Frist von 6 Monaten entspricht dem vom Verwaltungsgericht angeordneten, am 29. Juni 2007 abgelaufenen Wiederherstellungstermin. Nachdem das Bundesgericht auf die vorliegende Beschwerde nicht eintreten kann, ist es Sache des Verwaltungsgerichts, eine neue Frist für die Herstellung des rechtmässigen Zustands festzulegen. In diesem Sinne wird die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückgewiesen.
4. Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend hat der Kanton Solothurn die privaten Beschwerdegegner Y._ und Z._ für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen. Von der Erhebung von Gerichtskosten ist angesichts der besonderen Umstände des vorliegenden Falls, insbesondere der Unklarheit der Rechtslage, ausnahmsweise abzusehen, obwohl der Kanton Solothurn mit seiner Beschwerde Vermögensinteressen verfolgt (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Sache wird zur Festlegung einer neuen Frist zur Herstellung des rechtmässigen Zustands an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Kanton Solothurn hat den privaten Beschwerdegegnern Y._ und Z._ für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von insgesamt Fr. 1'200.-- zu bezahlen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Deitingen und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Oktober 2007
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber: