Faits:
A.
Par contrat du 5 février 1997, la Commune Z._ (ci-après: la commune) a cédé à X._, moyennant paiement d'un loyer, l'usage de locaux commerciaux sis rue ... à Z._ (Vaud), destinés à l'exploitation d'un café-restaurant à l'enseigne " T._ ".
Le ch. 5.6 des dispositions particulières du contrat prévoit qu'il sera repris au locataire, à son départ de l'établissement, " les biens matériels (mobilier et matériel) dont il est propriétaire et se rattachant à l'exploitation normale du commerce, selon les règles fixées à l'art. 3 des dispositions complémentaires pour établissements publics ". Cet art. 3 des dispositions complémentaires prévoit que: " au départ du locataire, le bailleur s'engage, pour autant que ce ne soit pas contraire à ses intérêts légitimes, à faire reprendre pour le moins par le nouveau locataire, à dire d'experts, le mobilier et le matériel adaptés aux besoins normaux du commerce ".
Par courrier du 13 décembre 2005, le locataire a mis fin au contrat pour l'échéance du 28 février 2007.
Au mois de juillet 2006, la commune a mandaté V._ SA pour trouver un repreneur. Une mise au concours publiée dans la Feuille des avis officiels du canton de Vaud le 12 septembre 2006 indiquait que la reprise de l'équipement mobile selon taxation était une condition de la location. Le 14 septembre 2006, le Service romand d'estimation, par l'intermédiaire de C._, a établi un inventaire du matériel et du mobilier de l'auberge s'élevant à 102'913 fr.70.
Selon un courrier de la commune du 15 décembre 2006, cette dernière avait décidé de confier l'exploitation des locaux à A._ et B._. Il était indiqué que la commune avait pris note que les nouveaux locataires s'engageaient à reprendre l'inventaire à un prix de 100'000 fr. Un nouvel inventaire a toutefois été effectué le 1er mars 2007, les biens repris étant alors estimés à 19'869 fr.20 et les objets non repris à 59'794 fr.80. Le sort de la lingerie était encore indécis.
Le 2 avril 2007, la commune a conclu un contrat portant sur la location de l'auberge avec une société " W._ SA ", créée par A._ et B._ pour exploiter ce commerce. Le ch. 6.2 des dispositions particulières du contrat prévoyait que le " locataire s'engage à reprendre l'inventaire mobilier-matériel de son prédécesseur à dire d'experts ".
Par courrier du 14 mai 2007, X._ a exigé de la Commune Z._ qu'elle lui paie le montant évalué le 14 septembre 2006 par le Service romand d'estimation, à savoir 102'913 fr.70.
B.
Le 12 juillet 2007, X._ a déposé une requête au greffe de la Commission de conciliation en matière de baux et loyers. La cause n'ayant pas été conciliée, il a déposé une demande, le 22 novembre 2007, dirigée contre la Commune Z._ et concluant à ce que cette dernière soit condamnée à lui verser la somme de 102'913 fr.70 avec intérêts à 5% dès le 1er mars 2007, la somme de 120'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 1er mars 2002, ainsi qu'à libérer la garantie bancaire de 20'000 fr. qu'il avait fournie.
La Commune Z._ a pris des conclusions reconventionnelles, réclamant la somme de 99'256 fr. avec intérêts à 5% dès le 13 juillet 2007, la garantie bancaire de 20'000 fr. étant libérée pour payer cette somme à due concurrence; elle a demandé par ailleurs que X._, sous menace des peines prévues à l'art. 292 CP, retire du matériel déposé au local des pompiers, avec une astreinte de 800 fr. par mois dès le 1er mars 2007.
X._ s'est opposé à la demande reconventionnelle et a augmenté ses propres conclusions.
Une expertise judiciaire a été ordonnée et confiée à l'expert D._, diplômé de l'Ecole U._, pour apprécier la valeur des biens devant être pris en compte selon l'accord des parties. L'expert a rendu son rapport le 18 décembre 2009. Il a estimé la valeur du fonds de commerce à 21'079 fr.80 et la valeur du matériel repris à 12'625 fr.80. En particulier, il s'est étonné qu'il y ait trois caisses enregistreuses différentes fonctionnant avec des systèmes différents; il a relevé également qu'il y avait trois coffres-forts. Dans le matériel, il a considéré que " trop de choses [étaient] vieillies, démodées et détériorées ". Le linge provient de différents restaurants; " il est démodé et on ne peut plus l'utiliser dans un restaurant moderne ". Des centaines de plats " sont démodés, vieux ou pas assez grands ". S'agissant des machines et appareils, il a relevé qu'ils étaient " très anciens, démodés et ne sont plus utiles pour un restaurant de notre époque "; il les estime bon pour la déchetterie. Selon l'expert, il y a trop d'assiettes et les " dessins sont démodés et la grandeur des assiettes n'est plus en vogue ". Certains des services sont inutiles et démodés. Le matériel de cuisine " est trop important et les caquelons, par exemple, sont tous démodés ". Lors de sa visite des lieux, l'expert s'est même demandé si le locataire précédent n'était pas un collectionneur.
Le témoin C._, qui a réalisé les inventaires auxquels le demandeur se réfère, a expliqué qu'il avait fait l'estimation des machines en tenant compte de la valeur à neuf, puis qu'il l'avait réduite en fonction des barèmes d'amortissement; pour ce qui est de la vaisselle et des ustensiles de cuisine, il a tenu compte de leur état pour calculer l'amortissement; son inventaire ne tient pas compte de l'utilisation future du matériel par le nouveau locataire.
Par jugement du 13 octobre 2011, le Tribunal des baux et loyers, statuant par ailleurs sur les frais et dépens, a prononcé que X._ devait payer à la Commune Z._ les sommes de 3'392 fr.30 et de 6'563 fr.50 avec intérêts, tandis que la Commune Z._ doit payer à X._ la somme de 99'413 fr.70 avec intérêts. Les premiers juges se sont fondés sur les chiffres arrêtés par le Service romand d'estimation et ils ont écarté l'expertise judiciaire de D._. Ils ont arrêté le prix de la reprise à 102'913 fr.70, dont à déduire le montant de 3'500 fr. correspondant au prix d'un four à pizza repris par X._.
Statuant sur appel de la commune le 29 janvier 2013, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a réformé le jugement entrepris en ce sens que le montant dû par la Commune Z._ à X._ a été réduit de 99'413 fr.70 à 12'625 fr.80, les dépens de première instance étant compensés; la cour cantonale a par ailleurs statué sur les frais et dépens de la procédure d'appel. En substance, elle a retenu qu'il fallait suivre les conclusions de l'expert judiciaire D._.
C.
X._ exerce un recours au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 29 janvier 2013. Il l'intitule " recours en matière civile et recours constitutionnel subsidiaire ". Invoquant une fausse application du droit fédéral, une constatation manifestement inexacte des faits, une appréciation arbitraire des preuves, une violation du droit d'être entendu, une décision arbitraire, un état de fait manifestement incomplet et une violation du droit à la preuve, il conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que l'arrêt attaqué soit réformé et à ce que l'on en revienne à la décision de première instance, les frais et dépens de la deuxième instance étant à la charge de l'intimée; subsidiairement, il demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à la cour cantonale.
L'intimée conclut, sous suite de frais et dépens, à l'irrecevabilité du recours constitutionnel et au rejet du recours en matière civile; subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la cour cantonale pour complément d'instruction.
Les parties ont répliqué et dupliqué.
Considérant en droit:
1.
1.1. Le recourant, bien que qualifiant son acte de " recours en matière civile et recours constitutionnel subsidiaire ", a formé en réalité un seul recours contre l'arrêt cantonal (cf. les conclusions prises p. 18 de son mémoire); il distingue, dans sa motivation, entre les moyens inhérents au recours en matière civile (art. 72 ss LTF) et ceux relatifs au recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF).
Le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF). Il résulte des dernières conclusions prises par les parties devant la cour cantonale (art. 51 al. 1 let. a LTF) que la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. Il n'importe que l'on considère que la cause relève du droit du bail (art. 253 CO; art. 74 al. 1 let. a LTF) ou du droit du porte-fort (art. 111 CO; art. 74 al. 1 let. b LTF; sur cette question cf. arrêt 4A_719/2011 du 7 mars 2011 consid. 1.1), puisque la valeur litigieuse de 30'000 fr. est de toute manière atteinte.
1.2. Interjeté par la partie qui a succombé partiellement dans ses conclusions en paiement et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 LTF), dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 LTF), le recours en matière civile est recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.3. Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut donc aussi être formé pour violation d'un droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313), de sorte que la partie du mémoire intitulée " recours constitutionnel subsidiaire ", qui porte sur la transgression de droits constitutionnels, peut - sous réserve d'une motivation insuffisante des griefs formulés (art. 106 al. 2 LTF) - être examinée dans ce cadre (cf. ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382).
Probablement parce qu'il pensait devoir fournir une motivation distincte pour les " deux recours " - un recours en matière civile et un recours constitutionnel -, le recourant invoque de nombreux principes juridiques avec une argumentation qui semble se répéter ou se recouper. Dès lors que le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), il suffit d'analyser les questions pertinentes dans l'ordre logique, en laissant de côté les questions qui ne se posent pas. Le Tribunal fédéral ne peut cependant traiter une question constitutionnelle que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.4. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). La partie qui se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit motiver son grief d'une manière répondant aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.
2.1. Dans le cadre du contrat de bail (art. 253 CO) conclu entre les parties et portant sur la mise à disposition, moyennant un loyer, des locaux nécessaires à l'exploitation de l'auberge, les parties sont convenues que le locataire, arrivé à fin de bail, obtiendrait une indemnité du repreneur pour son matériel et son fonds de commerce. Dans leur interprétation du contrat, les deux parties admettent que la bailleresse s'est portée fort de cette prestation (art. 111 CO). La bailleresse s'est engagée à indemniser le bénéficiaire (le locataire) pour le cas où le repreneur ne paierait pas la somme prévue dans le porte-fort (cf. entre autres auteurs: Silvia Tevini, in Commentaire romand, Code des obligations I, n° 2 ad art. 111 CO). Les parties ayant ainsi déterminé de manière concordante l'objet de l'obligation, il n'y a pas lieu d'y revenir.
2.2. La première question litigieuse à résoudre est de savoir quelle est la prestation promise par la bailleresse. Il s'agit d'une question d'interprétation du contrat contenant la clause de porte-fort.
2.2.1. Confronté à l'interprétation d'une disposition contractuelle, le juge doit tout d'abord s'efforcer de déterminer la commune et réelle intention des parties, sans s'arrêter aux expressions ou dénominations inexactes dont elles ont pu se servir, soit par erreur, soit pour déguiser la nature véritable de la convention (art. 18 al. 1 CO). Déterminer ce qu'un cocontractant savait ou voulait au moment de conclure relève des constatations de fait. La recherche de la volonté réelle des parties est qualifiée d'interprétation subjective (ATF 131 III 606 consid. 4.1 p. 611). Si le juge parvient à établir la volonté réelle et concordante des parties, il s'agit d'une constatation de fait qui lie en principe le Tribunal fédéral conformément à l'art. 105 LTF (ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 412 s.).
Si la volonté réelle des parties ne peut pas être établie ou si leurs volontés intimes divergent, le juge doit interpréter les déclarations faites et les comportements selon la théorie de la confiance; il doit donc rechercher comment une déclaration ou une attitude pouvait être comprise de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances (on parle alors d'une interprétation objective). Le principe de la confiance permet ainsi d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même s'il ne correspond pas à sa volonté intime. L'application du principe de la confiance est une question de droit que le Tribunal fédéral peut examiner d'office (art. 106 al. 1 LTF). Cependant, pour trancher la question, il doit se fonder sur le contenu des manifestations de volonté et sur les circonstances, dont la constatation relève du fait (ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 412).
2.2.2. En l'espèce, une volonté réelle n'ayant pas été établie, la cour cantonale a analysé soigneusement le sens des termes employés dans le contrat.
Il résulte de l'arrêt cantonal que le bailleur s'engage à faire reprendre le mobilier et le matériel par le nouveau locataire, " à dire d'experts " (art. 3 des dispositions complémentaires). Il s'agit donc d'un prix calculé de manière indirecte (cf. arrêt 4A_361/2012 du 30 octobre 2012 consid. 3.2), sur la base d'un critère prévu par les parties (" biens se rattachant à l'exploitation normale du commerce "), des tierces personnes (experts) étant tenues de procéder à l'évaluation. Les dispositions contractuelles ne contiennent aucun élément qui pourraient laisser penser que les parties entendaient, au moment de la conclusion du contrat, convenir que le prix arrêté par le Service romand d'estimation avant tout litige s'imposerait définitivement aux parties (sur cette question: arrêt 4A_361/2012 déjà cité consid. 3.2).
Les dispositions particulières du bail prévoient une reprise des biens matériels " se rattachant à l'exploitation normale du commerce ", renvoyant sur ce point à l'art. 3 des dispositions complémentaires. Cette norme précise que le bailleur s'engage à faire reprendre " pour le moins par le nouveau locataire, à dire d'experts, le mobilier et le matériel adaptés aux besoins normaux du commerce ". L'objectif poursuivi par les parties étaient de permettre au locataire sortant de recouvrer les fonds investis dans le commerce. Les parties s'étant référées aux " besoins normaux du commerce ", il n'apparaît toutefois pas que le nouveau reprenant devait reprendre l'ensemble des objets mobiliers, sans aucune distinction. La cour cantonale en a déduit qu'il fallait, selon la convention des parties, déterminer ce qui, au moment de la reprise, pouvait décemment être utilisé par le repreneur. Aucun élément de preuve ne vient contredire sérieusement cette déduction.
2.3. Le recourant présente son argumentation sous deux angles différents (cf. acte de recours p. 17, pour un résumé). Il soutient d'une part qu'une administration des preuves exempte de tout arbitraire aurait dû conduire la cour cantonale à privilégier l'estimation de C._. D'autre part, il estime que, si l'expertise D._ n'est pas écartée, il conviendrait alors d'ordonner une seconde expertise.
A bien comprendre le recourant, celui-ci ne prétend pas que les conclusions de l'expertise D._ seraient entachées d'une erreur manifeste, qu'elles seraient contradictoires ou lacunaires (cf. ATF 109 II 304 consid. 3 p. 310; Fabienne Hohl, Procédure civile, Tome I, 2001, n. 1113 s. p. 214). Il soutient plutôt que la cour cantonale a entrepris une appréciation arbitraire des preuves (art. 9 Cst.) en se fondant sur l'expertise D._ plutôt que sur l'inventaire C._, celui-ci étant, selon lui, corroboré par d'autres moyens de preuve.
En matière d'appréciation des preuves, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
2.4. En l'espèce, la cour cantonale a donné la préférence à l'opinion de l'expert judiciaire. Il n'est en soi pas arbitraire de considérer comme plus objective l'opinion émise par un expert choisi en toute indépendance par l'autorité dans le seul but de renseigner la justice (cf. ATF 124 I 170 consid. 4 p. 175; 109 II 304 consid. 3 p. 310), la cour cantonale ayant au demeurant indiqué les motifs qui commandaient en l'espèce de s'écarter des conclusions prises par C._ dans ses inventaires (cf. ATF 120 III 79 consid. 2c p. 82).
Le choix de l'autorité précédente apparaît d'autant plus judicieux que l'expert n'a pas cherché à déterminer une valeur résiduelle - comme le rapport du Service romand d'estimation invoqué par le recourant -, mais qu'il s'est efforcé de déterminer, conformément à la clause contractuelle, quelle était la valeur, au moment de la reprise, du mobilier et du matériel " adaptés aux besoins normaux du commerce ". Il n'apparaît donc pas que le nouveau locataire devait reprendre l'ensemble, sans distinction (cf. supra consid. 2.2.2). Or, il ressort précisément de l'expertise qu'il y avait beaucoup de vieilleries, l'expert soulignant même qu'il avait l'impression que le " locataire était un collectionneur ". Il a notamment relevé la présence de trois coffres-forts et trois caisses enregistreuses qui n'étaient pas justifiés par l'exploitation du restaurant. Il parle également de " services inutiles et démodés ", de matériels " démodés et, d'un point de vue hygiénique, plus tolérables pour un bon service ", descriptions qui ne ressortent pas des inventaires des 14 septembre 2006 et 1er mars 2007.
L'expert judiciaire a également révélé, s'agissant des machines et appareils, que les services et les rapports des fournisseurs font défaut, et qu'il ne pouvait par conséquent pas accorder une valeur à ces biens; il s'est ainsi écarté de la manière de procéder du Service romand d'estimation qui a attribué une valeur aux machines et appareils, bien que reconnaissant que celle-ci ne peut être accordée que si l'appareil en question, en parfait état de fonctionnement, a fait l'objet d'un service d'entretien.
2.5. Motivées de façon disparates, les critiques adressées par le recourant à l'encontre de l'expert judiciaire ne permettent pas de constater qu'il était arbitraire de croire celui-ci.
Le recourant soutient que l'expert n'a pas tenu compte des achats effectués par le recourant pendant les dix années de son exploitation en vue de renouveler le fonds de commerce et l'améliorer. Ces points de fait ne ressortent toutefois pas de l'arrêt attaqué et le recourant ne cite avec précision aucune pièce produite d'où il ressortirait qu'il a fait régulièrement des investissements dans l'auberge; ce grief d'arbitraire n'est donc pas suffisamment motivé.
Comme il n'a pas été établi que le recourant aurait fait des investissements personnels, il n'était pas arbitraire de ne pas tenir compte de l'inventaire C._ qui présuppose que la valeur de l'inventaire (102'913 fr. 70 en date du 14 septembre 2007) se soit maintenue depuis l'achat du recourant (90'000 fr. en 1997 selon les allégations du recourant), voire même qu'elle ait augmenté.
Il résulte certes des déclarations de l'expert qu'il a " tenu compte des projets des nouveaux locataires ". A l'instar du recourant, on peut observer que, selon les projets envisagés, cette prise en compte aurait pu vider de son sens la clause contractuelle poursuivant l'objectif de permettre au locataire précédent de recouvrer les fonds investis dans le commerce (cf. supra consid. 2.2.2). Tel n'est toutefois pas le cas en l'espèce. Il ne ressort pas de l'arrêt cantonal que les nouveaux locataires auraient envisagé un projet fondamentalement différent de celui mené par le recourant (et celui-ci ne tente pas, sous l'angle de l'arbitraire, de démontrer le contraire); il résulte de l'arrêt cantonal que l'expert D._ a simplement tenu compte des besoins de la nouvelle exploitation pour parvenir à déterminer, parmi les multiples objets rassemblés par l'ancien locataire, ceux qui pouvaient décemment être repris par les nouveaux locataires (cf. arrêt entrepris consid. 5 p. 15).
Le recourant requiert une contre-expertise [recte: une seconde expertise selon la terminologie employée à l'époque par le droit cantonal de procédure] en soutenant que l'expertise judiciaire " a été établie presque trois ans après le départ du recourant " et qu'elle ne serait pas propre à établir la valeur du fonds de commerce au jour de la reprise. Comme l'observe l'intimée, le décalage temporel est propre à toute expertise judiciaire. L'expert D._ n'a toutefois pas été empêché d'établir la valeur de l'inventaire au 14 septembre 2006 (cf. arrêt entrepris p. 13). Un deuxième expert aurait d'ailleurs été confronté au même problème que le premier, de sorte qu'il n'était pas arbitraire de rejeter la seconde expertise du recourant, l'administration du moyen de preuve étant peu susceptible d'apporter quelque chose de plus à la résolution du litige (cf. arrêt 4A_183/2011 du 16 juin 2011 consid. 2).
En soutenant que le mobilier se trouvait à différents endroits, le recourant allègue un point de fait qui n'a pas été constaté dans l'arrêt cantonal. A défaut d'une motivation circonstanciée sur ce point, la critique n'est pas recevable.
Quant à l'affirmation selon laquelle " l'inventaire du recourant n'était plus complet ", elle n'est d'aucune aide au recourant. Elle n'est pas propre à démontrer une lacune dans les conclusions de l'expert, celui-ci expliquant dans son rapport qu'il n'avait pas trouvé certains biens pourtant énumérés dans l'inventaire du Service romand d'estimation. Signaler cela n'équivaut pas à démontrer qu'il était arbitraire de s'appuyer sur l'expertise D._ plutôt que sur l'inventaire C._.
S'agissant des périodes d'amortissement retenues par l'expert, le recourant ne précise pas en quoi ce point serait insoutenable; il se contente de relever qu'il existe d'autres méthodes de calcul. La critique soulevée à cet égard est sans consistance.
Que le recourant ait lui-même repris l'inventaire de son prédécesseur sur la base d'une estimation de V._ SA ne permet pas de déduire que la commune était liée par les estimations de cette société.
Le fait qu'un témoin (E._) ait dit que le fonds de commerce devait être repris ne permet pas de déduire de quelle manière sa valeur doit être calculée.
Quant au rapport entre la bailleresse et le ou les repreneurs, les faits invoqués par le recourant (en particulier le fait que l'intimée ait pris note que les nouveaux locataires s'engageaient à reprendre l'inventaire à un prix de 100'000 fr.) peuvent être longuement discutés. Ils ne suffisent toutefois pas à démontrer qu'il était insoutenable de donner la préférence à l'expertise D._. Selon le contrat conclu entre les parties, le mobilier et le matériel adaptés aux besoins normaux du commerce devaient être déterminés " à dire d'experts " et non en fonction des offres ou même des engagements pris par les éventuels reprenants. Aucune clause contractuelle n'obligeait les parties à se fonder sur l'inventaire entrepris hors litige (cf. supra consid. 2.2.2).
Cela étant, on ne saurait pas non plus considérer que l'intimée a adopté une attitude contradictoire (cf. art. 2 al. 2 CC) en remettant en question l'estimation effectuée par le Service romand d'estimation. Le recourant, s'il fait état de sa surprise au sujet des conclusions prises par l'expert D._ (expertise qu'il a au demeurant lui-même requise), n'allègue d'ailleurs pas que l'attitude adoptée initialement par l'intimée aurait suscité chez lui une attente légitime (sur l'exigence: Paul-Henri Steinauer, Le Titre préliminaire du Code civil, in TDPS II/1, 2009, n. 583 p. 218 s.).
Qu'un repreneur éventuel ait considéré le prix de 100'000 fr. comme adapté ne saurait, pour les mêmes raisons, l'emporter sur l'expertise judiciaire et lier la bailleresse.
Le recourant joue sur les mots lorsqu'il affirme que l'expert " s'est attaché à démontrer que l'inventaire [de ses biens] était démodé, alors qu'il s'agissait de savoir s'il était adapté aux besoins du commerce ". Il résulte de l'arrêt cantonal que l'expert, lorsqu'il parle de matériel démodé, a ajouté que celui-ci était également " détérioré ", " n'ayant plus de valeur ", était " vieux " ou " qu'on ne [pouvait] plus [l'] utiliser ". Il est ainsi patent que ce matériel n'était plus adapté aux besoins du commerce.
Qu'il y ait une divergence entre l'expert judiciaire et l'auteur du rapport de V._ SA a conduit à une décision, dont on vient de voir qu'elle ne peut pas être taxée d'arbitraire.
2.6. En estimant qu'elle était ainsi suffisamment renseignée, et en se fondant sur le rapport judiciaire, la cour cantonale n'a pas violé le droit à la preuve que le recourant peut déduire de l'art. 8 CC (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 129 III 18 consid. 2.6 p. 24; 127 III 519 consid. 2a p. 522). Le juge peut en effet mettre fin à l'administration des preuves lorsqu'il estime, sans arbitraire, qu'il est suffisamment renseigné et qu'une autre mesure probatoire ne pourrait plus ébranler sa conviction.
2.7. Le recourant mentionne également la violation de l'art. 29 al. 2 Cst. et de l'art. 6 CEDH. Pour autant qu'il ait voulu en faire un grief séparé de l'art. 9 Cst., son argumentation est irrecevable car elle ne répond à l'évidence pas aux exigences de motivation posée par l'art. 106 al. 2 LTF.
3.
Il résulte des considérations qui précèdent que le recours en matière civile doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 5'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 6 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Piaget