Erwägungen:
1. Die Vorsteherin des Polizeidepartements der Stadt Zürich verfügte am 6. Dezember 2007 temporäre Verkehrsanordnungen zur Durchführung der EURO 08. Gegen diese Verfügungen erhoben 18 Personen bzw. Geschäftsinhaber am 11. Januar 2008 Einsprache beim Stadtrat von Zürich. Mit Beschluss vom 5. März 2008 wies der Stadtrat von Zürich die Einsprache ab, soweit er darauf eintrat, und entzog einem allfälligen Rekurs die aufschiebende Wirkung. Gegen den die Einsprache abweisenden Stadtratsbeschluss erhoben die Einsprechenden am 7. April 2008 Rekurs beim Statthalteramt des Bezirkes Zürich. Das Statthalteramt hiess den Rekurs mit Verfügung vom 8. Mai 2008 gut, soweit es darauf darauf eintrat. Der Stadtratsbeschluss vom 5. März 2008 und die Verfügung der Vorsteherin des Polizeidepartements vom 6. Dezember 2007 bezüglich der verfügten temporären Verkehrsanordnungen wurden aufgehoben. Gleichzeitig wurde einer allfälligen Beschwerde gegen diese Verfügung die aufschiebende Wirkung entzogen. Die Stadt Zürich focht diese Verfügung mit Beschwerde vom 14. Mai 2008 beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich an und beantragte die Aufhebung der Verfügung des Statthalteramts vom 8. Mai 2008 sowie die Bestätigung des Stadtratsbeschlusses vom 5. März 2008 und der Verfügung der Vorsteherin des Polizeidepartements vom 6. Dezember 2007. Für den Fall, dass ein materieller Entscheid vor Beginn des Grossanlasses am 6. Juni 2008 nicht möglich sei, sei im Sinne einer vorsorglichen Massnahme die Umsetzung des von der Stadt erarbeiteten Verkehrskonzepts anzuordnen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich befand mit Beschluss vom 26. Mai 2008 im Rahmen eines Zwischenentscheids über die beantragte vorsorgliche Massnahme, hiess diese teilweise gut und ermächtigte im Sinne einer vorsorglichen Massnahme die Stadt Zürich, die Verfügung des Polizeidepartements der Stadt Zürich vom 6. Dezember 2007 mit gewissen Anpassungen umzusetzen.
2. Gegen den Beschluss des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 26. Mai 2008 erhoben die X._ AG und 17 Mitbeteiligte am 5. Juni 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und ersuchten um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Mit Verfügung vom 17. Juni 2008 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
Die Stadt Zürich stellt in ihrer Vernehmlassung den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Das Verwaltungsgericht beantragt Abweisung der Beschwerde. In einem weiteren Schriftenwechsel stellen die Beschwerdeführer den Eventualantrag, das Verfahren sei als erledigt abzuschreiben. Die Stadt Zürich stellt den Antrag, falls das Beschwerdeverfahren infolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben werde, seien die Verfahrenskosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen.
3. Mit Beschluss vom 21. August 2008 entschied das Verwaltungsgericht über die Beschwerde der Stadt Zürich. Es schrieb das Beschwerdeverfahren als gegenstandslos geworden ab und auferlegte den Beschwerdegegnern die Gerichtskosten.
4. Die EURO 08, derentwegen die umstrittenen temporären Verkehrsanordnungen erlassen worden sind, ist am 29. Juni 2008 zu Ende gegangen. Dadurch - jedenfalls spätestens mit dem Beschwerdeentscheid des Verwaltungsgerichts vom 21. August 2008 - ist die vorliegende Beschwerde gegenstandslos geworden.
4.1 Wird ein Rechtsstreit gegenstandslos oder fällt er mangels rechtlichen Interesses dahin, entscheidet das Bundesgericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrunds (Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 72 BZP). Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu vertiefen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen; vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Es soll auf dem Weg über den Kostenentscheid nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden. Lässt sich der mutmassliche Ausgang eines Verfahrens im konkreten Fall nicht ohne weiteres bestimmen, gehen die Kosten zu Lasten jener Partei, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst hat oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Prozesses geführt haben (BGE 118 Ia 488 E. 4a S. 494).
4.2 Gemäss Art. 98 BGG kann mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen - um einen solchen Entscheid handelt es sich vorliegend - nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Die Beschwerdeführer haben daher darzulegen, inwiefern der beanstandete Entscheid gegen verfassungsmässige Rechte verstossen soll. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 134 I 313 E. 2 S. 315; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254 ).
4.3 Wie obenstehend bereits dargelegt, geht es bei der vorliegend vorzunehmenden Prüfung der Prozessaussichten nicht darum, auf dem Weg über den Kostenentscheid ein materielles Urteil zu fällen und unter Umständen den Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage zu präjudizieren. Bei der bloss summarischen Prüfung, die das Bundesgericht vorliegend vorzunehmen hat, ist die im angefochtenen Zwischenbeschluss vom 26. Mai 2008 getroffene Beurteilung der Verkehrsanordnungen bzw. der angeordneten vorsorglichen Massnahme, die mit Beschwerdeentscheid des Verwaltungsgerichts vom 21. August 2008 bestätigt wurde, verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden. Die von den Beschwerdeführern geltend gemachten Grundrechtsverletzungen sind nicht ersichtlich. Die Beschwerde hätte deshalb wohl nicht gutgeheissen werden können. Es rechtfertigt sich somit, den Beschwerdeführern die Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind bei diesem Ausgang keine zuzusprechen.
Demnach verfügt der Präsident:
1. Die Beschwerde wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Diese Verfügung wird den Beschwerdeführern, der Stadt Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. April 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli