Sachverhalt:
A. A.a Am 8. September 2005 erhob A._ Scheidungsklage gegen ihren Ehemann, X._. Mit Entscheid betreffend vorsorgliche Massnahmen im Sinn von Art. 137 ZGB vom 7. April 2006 gewährte der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises Z._ X._ das Recht, seinen Sohn einmal im Monat im Rahmen der vom Erwachsenen- und Jugendschutz der Stadt C._ angebotenen begleiteten Besuchssonntage zu sehen.
A.b Am 25. August 2006 beantragte X._ eine Abänderung der am 7. April 2006 erlassenen Massnahme und ersuchte darum, seinen Sohn jedes zweites Wochenende von Freitagabend bis Sonntagabend besuchen zu dürfen, welchem Gesuch der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises Z._ mit Entscheid vom 12. Dezember 2006 nicht entsprach. Auf Appellation von X._ wies der Appellationshof des Kantons Bern das Gesuch um Abänderung der vorsorglichen Massnahmen mit Entscheid vom 27. Februar 2007 ab.
A.c Mit Urteil vom 18. Dezember 2006 stellte der Gerichtspräsident 1 des Gerichtskreises Z._ in teilweiser Gutheissung eines Gesuchs der Ehefrau den Sohn superprovisorisch unter deren Obhut und hob das X._ mit Entscheid vom 7. April 2006 eingeräumte Besuchsrecht mit sofortiger Wirkung auf. Diese Massnahmen bestätigte er mit ordentlichem Entscheid vom 8. Januar 2007. Auf Appellation von X._ bestätigte der Appellationshof des Kantons Bern mit Urteil vom 26. Februar 2007 die mit Urteil des Gerichtspräsidenten vom 18. Dezember 2006 angeordneten Massnahmen.
B. B.a Mit Schreiben vom 28. Januar 2008 gelangte X._ an den Gerichtspräsidenten 1 und warf ihm vor, sich ihm gegenüber nicht neutral zu verhalten und seine Rechte, insbesondere das Recht den Sohn zu sehen, nicht respektiert zu haben, und ersuchte um Aufhebung der auf den 26. Februar 2008 anberaumten Scheidungsverhandlung. Ferner warf er ihm Rechtsverweigerung vor. Nachdem der Gerichtspräsident 1 eine Absetzung des Gerichtstermins abgelehnt hatte, beantragte X._ am 11. Februar 2008 ausdrücklich den Ausstand des Magistraten.
B.b Das Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, nahm die beiden Schreiben von X._ als Beschwerde wegen Rechtsverweigerung und als Ablehnungsgesuch entgegen und wies sowohl die Beschwerde als auch das Ablehnungsgesuch mit Entscheid vom 3. März 2008 ab.
C. X._ gelangt mit einer in französischer Sprache verfassten Beschwerde in Zivilsachen vom 31. März 2008 an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 3. März 2008 aufzuheben. Ferner verlangt er, das Bundesgericht habe über die Scheidungsklage zu befinden oder sie an ein türkisches Gericht oder an einen anderen französischsprachigen Kanton der Schweiz zu überweisen. Ferner ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren und um eine Belehrung über die Rechtsmittel an die supranationalen Organisationen gegen das bundesgerichtliche Urteil.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
D. Mit Eingabe vom 13. Mai 2008 hat der Beschwerdeführer seine Beschwerde ergänzt.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid (Art. 75 Abs. 1 BGG), mit dem eine Rechtsverweigerungsbeschwerde sowie das gegen den Gerichtspräsidenten 1 des Gerichtskreises Z._ gestellte Ablehnungsbegehren abgewiesen worden sind.
1.1 Mit Bezug auf die Abweisung der Rechtsverweigerungsbeschwerde handelt es sich um einen Endentscheid (Art. 90 BGG); dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen, da die behauptete Rechtsverweigerung im Zusammenhang mit einem Scheidungsverfahren, also mit einer Zivilsache im Sinn von Art. 72 Abs. 1 BGG, steht. Da es sich hierbei um eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache handelt (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007. E. 1.2), ist die Beschwerde in Zivilsachen ohne weiteres gegeben.
1.2 Die Abweisung des Ablehnungsbegehrens gilt als Zwischenentscheid im Sinn von Art. 92 Abs. 1 BGG, gegen den die Beschwerde ohne weitere Voraussetzungen ergriffen werden kann. Da die Hauptsache eine Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Art darstellt (E. 1.1) und somit in der Hauptsache die Beschwerde in Zivilsachen ohne weiteres gegeben ist, kann auch der vorliegende Zwischenentscheid mit diesem Rechtsmittel angefochten werden.
1.3 Die Anträge des Beschwerdeführers, das Bundesgericht habe über die Scheidungsklage zu befinden oder sie sei an ein türkisches Gericht bzw. an einen anderen französischsprachigen Kanton der Schweiz zu überweisen, sind neu und damit unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG). Den Begehren könnte denn auch gar nicht stattgegeben werden. Was die Scheidung in der Türkei anbelangt, behauptet der Beschwerdeführer nicht einmal, dort eine Scheidungsklage angehoben zu haben, abgesehen davon, dass er sich am 29. September 2006 auf die im Kanton Bern angehobene Scheidungsklage eingelassen, ja zur Scheidung ausdrücklich seine Zustimmung gegeben hat.
1.4 Der angefochtene Entscheid ist in deutscher Sprache ergangen. Das vorliegende Verfahren wird daher in dieser Amtssprache geführt (Art. 54 Abs. 1 BGG).
1.5 Der angefochtene Entscheid ist dem Anwalt des Beschwerdeführers am 7. März 2008 zugestellt worden. Die Rechtsmittefrist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1 BGG) ist damit infolge der vom Sonntag 16. März 2008 bis Sonntag 30. März 2008 dauernden Oster-Gerichtsferien (Art. 46 Abs. 1 lit. a BGG) am Montag, 21. April 2008 abgelaufen. Die ergänzende Eingabe vom 13. Mai 2008 ist damit verspätet und unbeachtlich.
2. 2.1 Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann eine Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 BGG). Das Bundesgericht überprüft die behauptete Verletzung dieses Rechts mit freier Kognition, währenddem es seinem Beschwerdeentscheid den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu Grunde zu legen hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn die für den Verfahrensausgang entscheidenden Feststellungen offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (Art. 9 BV) sind (BGE 133 II 249 E. 1.2.2) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann.
2.2 Die Beschwerde nach Art. 72 ff. BGG hat nebst einem Antrag eine Begründung zu enthalten, in welcher in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Das bedeutet, dass in der Beschwerdeschrift entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen des Art. 55 Abs. 1 lit. c OG (Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001, Ziff. 4.1.2.4, BBl. 2001, S. 4294) auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen zu zeigen ist, inwiefern der angefochtene Entscheid Bundesrecht verletzt. Die Gesetzesartikel brauchen allerdings nicht ausdrücklich genannt zu werden, falls aus den Vorbringen hervorgeht, gegen welche Regeln des Bundesrechts die Vorinstanz verstossen haben soll (BGE 116 II 745 E. 3 S. 749).
2.3 Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) zustande gekommen ist (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255). In der Beschwerde in Zivilsachen dürfen überdies keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (Art. 99 BV). Wird ein Novum vorgetragen, ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern die erwähnte Voraussetzung erfüllt ist (BGE 133 III 393 E. 3). Wie unter der Herrschaft des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) müssen die erhobenen Rügen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 133 II 396 E. 3.1 und 3.2).
3. Mit Bezug auf die Rechtsverweigerungsbeschwerde hat das Obergericht erwogen, den Eingaben des Beschwerdeführers könne nicht entnommen werden, inwiefern der Gerichtspräsident 1 eine Rechtsverweigerung begangen hätte, und aus den Akten sei nichts dergleichen ersichtlich. Insbesondere könne darin keine Rechtsverweigerung erblickt werden, dass der Gerichtspräsident einige, nicht den Vorstellungen des Beschwerdeführers entsprechende Entscheide gefällt habe.
Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Beschwerde nicht mit dieser Argumentation des Obergerichts auseinander und zeigt nicht den Begründungsanforderungen entsprechend auf (E. 2.2), inwiefern das Obergericht mit seinem Entscheid Bundesrecht verletzt hat. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4.1 4.1.1 Nach Art. 30 Abs. 1 BV hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter beurteilt wird. Es soll garantiert werden, dass keine sachfremden Umstände, welche ausserhalb des Prozesses liegen, in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei auf das Urteil einwirken. Art. 30 Abs. 1 BV soll zu der für einen korrekten und fairen Prozess erforderlichen Offenheit des Verfahrens im Einzelfall beitragen und damit ein gerechtes Urteil ermöglichen (BGE 114 Ia 50 E. 3c S. 55). Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (BGE 114 Ia 50 E. 3b und 3c S. 53, 131 I 24 E. 1.1 S. 25, 131 I 113 E. 3.4 S. 116, mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit in diesem Sinn werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn sich im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Gegebenheiten Umstände ergeben, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken (BGE 128 V 80 E. 2a S. 84, 127 I 196 E. 2b S. 198, 126 I 68 E. 3a S. 73, 125 I 119 E. 3a S. 122, 124 I 255 E. 4a S. 261, mit Hinweisen).
4.1.2 Richterliche Verfahrensfehler können ausnahmsweise die Unabhängigkeit bzw. Unbefangenheit einer Gerichtsperson in Frage stellen. Dabei müssen objektiv gerechtfertigte Gründe zur Annahme bestehen, dass sich in Rechtsfehlern gleichzeitig eine Haltung manifestiert, die auf fehlende Distanz und Neutralität beruht. Es muss sich um besonders krasse Fehler oder wiederholte Irrtümer handeln, die eine schwere Verletzung der Richterpflichten darstellen (BGE 125 I 119 E. 3e S. 124, 116 Ia 135 E. 31 S. 138, 116 Ia 14 S.20, 115 Ia 400 E.3b S. 404, 114 Ia 153 E. bb S. 158).
4.2 Das Obergericht hat dafürgehalten, auch wenn der Gerichtspräsident 1 seit September 2005 mit der familienrechtlichen Angelegenheit des Beschwerdeführers befasst gewesen sei, sei keine Befangenheit ersichtlich. Der Beschwerdeführer mache lediglich ein subjektives Empfinden geltend, dass der Magistrat seine Ehefrau unterstütze, ohne jedoch dafür konkrete Anhaltspunkte zu nennen. Insbesondere lasse sich aus der Verfügung, mit welcher der Magistrat eine Absetzung des Gerichtstermins abgelehnt habe, sowie aus dem Umstand, dass einige seiner Entscheide nicht im Sinn des Beschwerdeführers ausgefallen seien, keine Befangenheit erkennen. Dem Beschwerdeführer sei es unbenommen, ihm nicht genehme Entscheide mit den einschlägigen Rechtsmitteln anzufechten.
4.3 Der Beschwerdeführer setzt sich über weite Strecken nicht mit dieser Argumentation auseinander, sondern begnügt sich damit, einen im angefochtenen Entscheid nicht erwähnten Sachverhalt darzulegen, was den Begründungsanforderungen nicht genügt (E. 2.2 und 2.3) und damit unzulässig ist.
Ferner beklagt er sich darüber, dass der Gerichtspräsident 1 auf fünf Schreiben seines Anwalts betreffend das Besuchsrecht nicht reagiert habe, und erhebt damit den Vorwurf der Prozessverschleppung. Den Akten ist zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer am 25. August 2006 ein Gesuch um Abänderung der vorsorglichen Massnahmen hinsichtlich des am 7. April 2006 gewährten Besuchsrechts gestellt hat. Am 4. September 2006 setzte der Gerichtspräsident 1 der Beschwerdegegnerin Frist zur Vernehmlassung, worauf der Beschwerdeführer am 8. September 2006 dem Gerichtspräsidenten weitere Akten übermittelte. Am 12. September 2006 schrieb der Beschwerdeführer dem Gerichtspräsidenten 1, schilderte die Zusammenkunft mit seinem Kind und bat um eine Entscheidung "dans les meilleurs délais". Am 15. September 2006 ersuchte die Beschwerdegegnerin um Fristerstreckung, die ihr bis zum 25. September 2006 bewilligt wurde. Daraufhin erfolgte eine weitere ersuchte Fristerstreckung bis zum 5. Oktober 2006. Am 3./4. Oktober 2006 übermittelte der Beschwerdeführer dem Gerichtspräsidenten weitere Belege, worauf die Beschwerdegegnerin am 25. Oktober 2006 ihre Stellungnahme einreichte. Am 12. Dezember 2006 fällte der Gerichtspräsident seinen Entscheid. Aufgrund der massgebenden Prozessgeschichte lassen sich dem Gerichtspräsidenten 1 weder Prozessverschleppung noch Voreingenommenheit vorwerfen.
Im Übrigen wurde der Entscheid des Gerichtspräsidenten 1 vom 12. Dezember 2006 betreffend Abweisung des Gesuchs des Beschwerdeführers um Abänderung des Besuchsrechts angefochten, wobei der Appellation kein Erfolg beschieden war, zumal der Appellationshof die Abweisung des Gesuchs mit Entscheid vom 27. Februar 2007 bestätigte.
Sodann hat der Gerichtspräsident mit superprovisorischem Urteil vom 18. Dezember 2006 in teilweiser Gutheissung des Gesuchs der Ehefrau das Kind unter deren Obhut gestellt und das Besuchsrecht des Beschwerdeführers aufgehoben. Dieses Urteil wurde am 8. Januar 2007 bestätigt. Eine dagegen erhobene Appellation wies das Obergericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 26. Februar 2007 ab.
4.4 Zusammenfassend ergibt sich, dass dem Gerichtspräsidenten 1 weder eine Prozessverschleppung noch sonstige Fehler in der Verfahrensführung vorgeworfen werden können, die auf fehlende Distanz und Neutralität und damit auf Voreingenommenheit des mit der Sache befassten Magistraten schliessen liessen. Mit dem Appellationshof ist davon auszugehen, dass der Vorwurf der Befangenheit nicht objektiv begründet ist. Diesbezüglich ist die Beschwerde abzuweisen, soweit sie den Begründungsanforderungen (E. 2.2) entspricht.
5. Insgesamt ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
6. Da sich die Beschwerde von Anfang an als aussichtslos erwiesen hat, kann dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG).
7. Mit dem vorliegenden Entscheid des Bundesgerichts ist der innerstaatliche Rechtsweg ausgeschöpft. Das Bundesgericht ist nicht verpflichtet, den Beschwerdeführer über Anfechtungsmöglichkeiten bei supranationalen Organisationen zu belehren.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden