Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die Staatsanwaltschaft Emmen bestrafte X._ mit Strafbefehl vom 16. Oktober 2012 wegen rechtswidrigen Aufenthalts in der Schweiz mit einer unbedingten Freiheitsstrafe von 50 Tagen und auferlegte ihm die Gebühren von Fr. 460.--. Dagegen erhob X._ am 20. November 2012 Einsprache. Am 22. November 2012 trat die Staatsanwaltschaft auf das Rechtsmittel nicht ein. Sie stellte fest, da X._ den Strafbefehl am 16. Oktober 2012 erhalten habe, sei die Einsprache verspätet. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Luzern am 4. Februar 2013 ab.
X._ beantragt mit Beschwerde beim Bundesgericht, der Beschluss vom 4. Februar 2013 sei aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die gegen den Strafbefehl am 30. (recte 20.) November 2012 erhobene Einsprache fristgerecht erfolgt sei.
2. Die Vorinstanz stellt fest, der Beschwerdeführer habe in der von ihr in Anwendung von Art. 385 Abs. 2 StPO verlangten verbesserten Beschwerde vom 1. Januar 2013 zur Einhaltung der Einsprachefrist keine, sondern nur irrelevante Ausführungen gemacht (Beschluss S. 3 E. 4.2). Nach Auffassung des Beschwerdeführers verkennt sie damit, dass er in der ursprünglichen und angeblich der Verbesserung bedürftigen Beschwerde vom 30. November 2012 detailliert dargelegt habe, weshalb seines Erachtens die Einsprachefrist eingehalten wurde (Beschwerde S. 4 Ziff. 2.1).
Zunächst trifft zu, dass die verbesserte Eingabe vom 1. Januar 2013 keine Ausführungen zur Einhaltung der Einsprachefrist enthält. Da die erste Eingabe nach Auffassung der Vorinstanz unverständlich war (vgl. Rückweisungsverfügung vom 21. Dezember 2012), hätte sich der Beschwerdeführer in der verbesserten Eingabe zu allen relevanten Fragen und insbesondere zur Einhaltung der Einsprachefrist äussern müssen. Allerdings kann man, wenn auch nur mit erheblicher Mühe, aus der Eingabe vom 30. November 2012 herauslesen, was der Beschwerdeführer in Bezug auf die Einhaltung der Einsprachefrist geltend machen wollte. Ob die Vorinstanz auf eine Rückweisung hätte verzichten und sich stattdessen mit den Ausführungen in der Eingabe vom 30. November 2012 befassen müssen, kann offen bleiben, weil die Vorbringen in der ersten Eingabe ohnehin offensichtlich unbegründet sind.
3. Unbestrittenermassen händigten zwei Polizisten dem Beschwerdeführer am 16. Oktober 2012 ein amtliches Dokument aus. Die Vorinstanz geht davon aus, dass es sich dabei um den Strafbefehl handelte, der aus Zeitgründen praxisgemäss noch am Tag seines Erlasses für die Übergabe an den Beschwerdeführer der Luzerner Polizei gefaxt wurde. Da der Beschwerdeführer die Unterschrift auf dem Empfangsschein verweigerte, bestätigten die beiden Polizisten die Zustellung vom 16. Oktober 2012 auf dem Schein schriftlich (Beschluss S. 3 Ziff. 4.2).
Der Beschwerdeführer machte in seiner Eingabe vom 30. November 2012 zusammengefasst geltend, am 17. Oktober 2012 habe er beim Öffnen des ihm von den Polizisten am Tag zuvor ausgehändigten Schreibens festgestellt, dass es sich um einen Strafbefehl handelte, der indessen an eine andere Person als ihn gerichtet gewesen sei. Als er anschliessend bei der Polizei auf den Fehler habe aufmerksam machen wollen, sei er unverrichteter Dinge wieder weggeschickt worden (ebenso Beschwerde S. 4 Ziff. 2.2).
Diese Darstellung überzeugt nicht. Zunächst ist es unwahrscheinlich, dass die Polizisten dem Beschwerdeführer statt des für ihn bestimmten Strafbefehls einen solchen aushändigten, der für eine andere Person bestimmt war, zumal sie ihn nach seinen eigenen Angaben ausdrücklich auf die Gebühren von Fr. 460.-- aufmerksam machten. Aber selbst wenn dem so gewesen wäre, ist die Vorstellung abwegig, dass die Polizei, nachdem sie am folgenden Tag auf ihr sorgfaltswidriges Verhalten aufmerksam gemacht wurde, den Beschwerdeführer ohne Weiteres weggeschickt und sich nicht mehr um die Angelegenheit gekümmert haben könnte. Viel eher ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass die Polizisten dem Beschwerdeführer am 16. Oktober 2012 den für ihn bestimmten Strafbefehl ausgehändigt haben.
4. Am Rande rügt der Beschwerdeführer, dass im kantonalen Verfahren kein Dolmetscher zur Verfügung stand, obwohl er der deutschen Sprache nicht mächtig sei (Beschwerde S. 4 Ziff. 2.3). Das Vorbringen ist schon deshalb unbegründet, weil er anlässlich einer Einvernahme vor dem Amt für Migration vom 18. September 2012 bestätigte, dass er der auf Deutsch geführten Befragung gut folgen könne (Akten Staatsanwaltschaft act. 2/32).
5. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn