Faits:
A.
X._, né en 1966, était jusqu'en 2011 danseur au .... En raison de fortes douleurs au niveau de la hanche droite, il est ensuite devenu répétiteur au sein de cette compagnie. Le 31 janvier 2012, il a été procédé à la pose d'une prothèse totale de la hanche. L'intervention chirurgicale a été effectuée aux Hôpitaux Universitaires de Genève (HUG) par le professeur A._ et la doctoresse B._.
Quelques mois plus tard, le patient a constaté que ses membres inférieurs étaient de longueur inégale, ce qui compromettait selon lui la reprise de son activité professionnelle. Des examens médicaux ultérieurs ont mis en évidence une légère différence de longueur entre les deux membres ainsi qu'une discrète bascule du bassin.
B.
B.a. Le 28 janvier 2013, X._ a adressé une requête de preuve à futur au Juge de paix du district de l'Ouest lausannois (VD). Il requérait la mise en oeuvre hors procès d'une expertise visant à établir une éventuelle violation des règles de l'art lors de l'intervention chirurgicale.
Par décision du 21 mars 2013, la Juge de paix a admis la requête, désigné deux experts et formulé le questionnaire. Elle a tenu en substance le raisonnement suivant: les HUG sont un établissement de droit public doté de la personnalité juridique (art. 5 al. 1 LEPM/GE; loi genevoise du 19 septembre 1980 sur les établissements publics médicaux, RSG K 2 05). La responsabilité pour les actes commis par leurs employés est régie par la loi genevoise du 24 février 1989 sur la responsabilité de l'État et des communes (LREC/GE; RSG A 2 40). L'art. 7 al. 2 de cette loi contient un renvoi exprès au CPC en ce qui concerne la procédure, et donc également en ce qui concerne la détermination du for. En vertu de l'art. 36 CPC, le juge du domicile du lésé est compétent pour statuer sur l'action fondée sur un acte illicite. A ce titre, le juge saisi est compétent pour la procédure de preuve à futur (art. 13 let. a CPC).
B.b. Les HUG ont interjeté un appel auprès du Tribunal cantonal vaudois. Par arrêt du 10 juin 2013, la Juge déléguée de la Cour d'appel civile a annulé la décision attaquée et déclaré la requête de preuve à futur irrecevable, pour cause d'incompétence du juge saisi. Elle a jugé que l'art. 7 al. 1 LREC/GE, en désignant une autorité civile genevoise pour statuer sur les demandes en responsabilité, réglait aussi la compétence ratione loci; au demeurant, il paraissait douteux que le législateur genevois ait voulu conférer à d'autres cantons la faculté de contrôler l'application du droit public genevois. En d'autres termes, la Juge déléguée a admis que les autorités vaudoises ne pouvaient pas connaître de l'action au fond, et que la juge de paix saisie ne pouvait dès lors pas déduire sa compétence de l'art. 13 let. a CPC; cette autorité ne pouvait pas non plus se prévaloir de l'art. 13 let. b CPC, dans la mesure où le lieu d'exécution de la mesure requise était en l'occurrence le lieu de travail habituel de l'expert désigné, et non pas le lieu de domicile du requérant.
C.
X._ (recourant) saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile et d'un recours constitutionnel subsidiaire. Il conclut principalement à ce que sa requête de preuve à futur soit déclarée recevable. Les HUG (intimés) s'en remettent à justice quant à la recevabilité du recours et concluent sur le fond à la confirmation de l'arrêt attaqué. L'autorité précédente se réfère à son arrêt.
Considérant en droit:
1.
Les décisions portant sur l'administration de preuves à futur sont des mesures provisionnelles au sens de la LTF. Elles donnent lieu à une décision finale lorsqu'elles sont rendues dans une procédure indépendante d'une procédure principale et qu'elles y mettent un terme. Devant le Tribunal fédéral, seule la violation de droits constitutionnels peut être invoquée, y compris lorsque le recours vise une décision sur la compétence de prendre de telles mesures; cette limitation vaut tant pour le recours en matière civile que pour le recours constitutionnel subsidiaire (art. 98 et 116 LTF; cf. art. 158 al. 2 CPC; ATF 138 III 555 consid. 1; 138 III 46 consid. 1.1). Les griefs d'ordre constitutionnel doivent être expressément invoqués et précisément motivés; il n'y a pas d'examen d'office. L'acte de recours doit contenir un exposé succinct des droits ou principes constitutionnels violés et exposer de manière claire et circonstanciée en quoi consiste leur violation (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 232 consid. 1.2; 134 II 244 consid. 2.2).
2.
Le recourant a subdivisé sa motivation en deux parties: la première a trait aux "moyens relevant du recours en matière civile", la seconde aux "moyens relevant du recours constitutionnel subsidiaire". Ces derniers consistent en deux phrases: le recourant précise que pour le cas où le recours en matière civile serait déclaré irrecevable ou rejeté, il entreprend l'arrêt attaqué sous l'angle du recours constitutionnel subsidiaire, singulièrement de la violation du droit d'être entendu; "dans un esprit de synthèse et de clarté", il renvoie intégralement à l'argumentation développée dans la première partie. Un tel procédé ne satisfait manifestement pas aux exigences de motivation s'appliquant aux griefs constitutionnels.
3.
Dans la première partie de sa motivation, le recourant se plaint d'une interprétation imparfaite de l'art. 13 CPC. L'on ne trouve toutefois aucune allusion à une violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire, ni a fortiori une tentative de démontrer concrètement une telle violation. Le recourant parle tout au plus d'interprétation incorrecte ou prêtant le flanc à la critique, mais pas d'interprétation insoutenable.
Le recourant paraît aussi critiquer l'interprétation de l'art. 7 LREC/GE. En rapport, semble-t-il, avec cette disposition, il dénonce une violation arbitraire du droit cantonal. Toutefois, il se limite à soutenir qu'une interprétation différente ne saurait être exclue et que celle opérée par le premier juge devrait prévaloir, ce qui ne démontre pas encore que la solution retenue par l'autorité précédente est insoutenable (sur la notion d'arbitraire, cf. par ex. ATF 137 I 1 consid. 2.4).
4.
Le recourant se plaint aussi d'une interprétation lacunaire de l'art. 13 CPC. Sous ce titre, il dénonce en réalité une violation du droit d'être entendu. L'arrêt attaqué serait insuffisamment motivé, car laissant sans réponse des interrogations fondamentales pour la résolution de la cause. Les problèmes principaux ne seraient pas abordés. D'une part, l'argumentation afférente à la lecture, notamment historique, de l'art. 7 LREC/GE serait lacunaire; d'autre part, les problématiques de l'art. 13 CPC seraient passées sous silence, notamment celles du lien entre les lettres a et b de cette disposition, du critère de choix entre les deux fors, ou encore de l'arbitrage entre l'art. 13 CPC et l'art. 7 LREC/GE.
Le droit d'être entendu implique l'obligation de motiver les décisions. Il suffit toutefois que le juge mentionne brièvement les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Le juge n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties; il peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (ATF 133 III 439 consid. 3.3).
L'arrêt attaqué fait clairement ressortir que le juge vaudois ne peut pas fonder sa compétence sur l'art. 13 let. a CPC, dans la mesure où l'art. 7 al. 1 LREC/GE confère à une autorité genevoise la compétence de statuer sur l'action principale; que par ailleurs, le lieu où la preuve doit être administrée au sens de l'art. 13 let. b CPC est en l'occurrence le lieu où l'expert travaille ordinairement, et où il va probablement examiner le recourant et établir son rapport. Les motifs sont clairs et parfaitement reconnaissables pour le lecteur de l'arrêt. Le recourant ne dit pas, ni a fortiori ne démontre qu'il aurait été dans l'impossibilité de les saisir et de les attaquer. Le grief est irrecevable faute de motivation suffisante.
5.
Le recourant succombe. Il supporte les frais et dépens de la procédure (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Les recours sont irrecevables.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera aux intimés une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Juge déléguée de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 27 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti