Faits:
A. A.a Dame A._, née en 1970, de nationalité espagnole, et A._, né en 1966, ressortissant danois, se sont mariés le 18 septembre 1999 en Espagne, sans conclure de contrat de mariage. Un enfant est issu de cette union: B._, né le 21 février 2006 à Genève.
A la suite de difficultés conjugales, les époux vivent séparés depuis le mois de septembre 2007.
Par jugement rendu sur mesures protectrices de l'union conjugale le 5 novembre 2007, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, notamment, attribué la garde de l'enfant à la mère, sous réserve d'un droit de visite du père devant s'exercer à raison d'un week-end sur deux, du jeudi en fin de journée au mardi matin ainsi que durant la moitié des vacances scolaires, donné acte au mari de son engagement de verser à l'épouse, pour toute la durée de la séparation, une contribution à l'entretien de la famille d'un montant de 1'400 fr. par mois, allocations familiales non comprises, et prononcé la séparation de biens.
Le 1er avril 2009, le mari a requis de nouvelles mesures protectrices de l'union conjugale en invoquant la perte de son emploi. Par jugement du 10 juin 2009, le Tribunal de première instance, homologuant l'accord passé entre les parties, a donné acte à l'épouse de ce qu'elle acceptait, dès le 1er mars 2009, une contribution réduite à 250 fr. par mois jusqu'à droit jugé dans la procédure de divorce qu'elle se proposait d'introduire dès la fin du mois d'août 2009.
A.b Le 25 septembre 2009, l'épouse a déposé une demande unilatérale en divorce, assortie d'une requête de mesures provisoires.
Par jugement sur mesures provisoires du 10 juin 2010, le Tribunal de première instance a, entre autres points, attribué à la mère la garde et l'autorité parentale sur l'enfant, et accordé au père un droit de visite à raison d'un week-end sur deux, du jeudi à 15 heures 30 à la sortie de l'école, au lundi matin, à charge pour lui de ramener l'enfant à l'école pour 9 heures, ainsi que durant la moitié des vacances scolaires. La Cour de justice du canton de Genève a confirmé ces modalités par arrêt du 19 novembre 2010. Les parties n'ayant pas sollicité la modification de la contribution mensuelle à l'entretien de la famille, fixée à 250 fr. par le jugement sur mesures protectrices de l'union conjugale du 10 juin 2009, celle-ci a été maintenue. Toutefois, tant le Tribunal de première instance que la Cour de justice ont averti le mari qu'il lui appartenait de prendre les mesures nécessaires pour pouvoir, dans un futur proche, contribuer de manière plus significative à l'entretien de son fils.
A.c Par jugement du 26 mai 2011, le Tribunal de première instance a prononcé le divorce des époux (ch. 1), confié l'autorité parentale et la garde de l'enfant à la mère (ch. 2), réservé au père un droit de visite s'exerçant, sauf accord contraire des parties, un week-end sur deux du vendredi soir à la sortie de l'école au lundi matin au début des cours [...] ainsi que pendant la moitié des vacances scolaires (ch. 3), donné acte au père de son engagement de ne pas se rendre à l'étranger avec l'enfant sans le consentement écrit de la mère (ch. 4), en l'y condamnant en tant que de besoin (ch. 5), et condamné le mari à verser mensuellement en faveur de l'enfant, allocations familiales en sus, une contribution d'entretien, indexée (ch. 7), d'un montant de 900 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans, puis de 1'100 fr. jusqu'à la majorité, voire au-delà, mais au plus tard jusqu'à 25 ans, en cas d'études sérieuses et régulières ou de formation professionnelle suivie (ch. 6).
Le Tribunal a par ailleurs condamné l'épouse à payer au mari la somme de 9'188 fr. 50 au titre de la liquidation du régime matrimonial (ch. 8) - étant précisé qu'il n'a, dans le cadre de son raisonnement, pas examiné le bien-fondé de la créance de 4'090 fr. dont se prévalait l'épouse -, constaté que le partage des avoirs de prévoyance professionnelle des parties n'était pas possible (ch. 9) et dit qu'aucune indemnité n'était due par l'un des époux à l'autre à titre de compensation des expectatives de prévoyance professionnelle (ch. 10).
B. Par arrêt du 10 février 2012, la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le chiffre 6 (contribution d'entretien) du dispositif du jugement de première instance et annulé les chiffres 3 (droit de visite), 8 (liquidation du régime matrimonial) et 10 (partage de la prévoyance professionnelle) de celui-ci. Statuant à nouveau sur ces trois derniers points, l'autorité cantonale a réservé au père un droit de visite s'exerçant, sauf accord contraire des parties, une semaine sur deux du jeudi soir à la sortie de l'école au lundi matin au début des cours [...] ainsi que pendant la moitié des vacances scolaires, et a renvoyé la cause au Tribunal de première instance pour complément d'instruction au sens des considérants et nouvelle décision sur les questions de la liquidation du régime matrimonial et du partage des avoirs de prévoyance professionnelle des époux.
C. Le mari exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 10 février 2012. A titre principal, il conclut, d'une part, à ce que la contribution d'entretien soit fixée à 250 fr., respectivement 350 fr. par mois; d'autre part, à ce que l'intimée soit condamnée à lui verser la somme de 96'404 fr. 45 au titre de la liquidation du régime matrimonial et à lui restituer ses effets personnels, ainsi que la moitié des effets communs énumérés aux pièces 1 et 2 du bordereau du 27 juin 2011. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause au Tribunal de première instance pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 III 115 consid. 1 et les références).
1.1 La recevabilité du recours en matière civile suppose que celui-ci soit dirigé contre une décision finale, à savoir une décision qui met fin à la procédure, que ce soit pour un motif tiré du droit matériel ou de la procédure (ATF 134 III 426 consid. 1; 133 III 629 consid. 2.2). Le recours est également recevable contre toute décision qui statue sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause ou qui met fin à la procédure à l'égard d'une partie des consorts (décision partielle; art. 91 let. a et b LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF); les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles sont susceptibles de causer un préjudice irréparable ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. a et b LTF). Si le recours n'est pas recevable, faute de remplir ces conditions, ou qu'il n'a pas été utilisé, la décision préjudicielle ou incidente peut être attaquée avec la décision finale dans la mesure où elle influe sur le contenu de celle-ci (art. 93 al. 3 LTF).
1.2 Le recourant ne s'exprime pas sur le point de savoir si la décision entreprise est une décision finale, partielle ou encore préjudicielle ou incidente. Pour qualifier une décision cantonale prise en matière de divorce, il faut tenir compte des exigences découlant du principe de l'unité du divorce (ATF 134 III 426 consid. 1.2), désormais ancré à l'art. 283 CPC.
1.2.1 En vertu de ce principe, l'autorité de première instance, ou de recours, qui prononce le divorce, de même que l'autorité de recours appelée à régler certains effets accessoires alors que le principe du divorce n'est plus litigieux, ne peuvent pas mettre fin à la procédure sans avoir réglé tous les effets accessoires du divorce. La seule exception concerne la liquidation du régime matrimonial, qui peut être renvoyée à une procédure séparée pour de justes motifs (art. 283 al. 2 CPC). Le principe de l'unité du jugement de divorce n'interdit toutefois pas à une autorité de recours de statuer sur une partie seulement des questions litigieuses et de renvoyer la cause à la juridiction inférieure pour nouvelle décision sur les autres (ATF 130 III 537 consid. 5), car, dans ce cas, le procès se poursuit et ne prendra fin qu'une fois réglés tous les effets accessoires du divorce (ATF 134 III 426 consid. 1.2 et les arrêts mentionnés).
Il en résulte qu'une décision qui prononce le divorce des parties et qui a été notifiée séparément constitue une décision partielle, qui peut et doit être immédiatement portée devant le Tribunal fédéral (ATF 137 III 421 consid. 1.1 et la référence; cf. aussi arrêt 5A_177/2012 du 2 mai 2012 consid. 1.1). En revanche, sous réserve de l'application de l'art. 283 al. 2 CPC, une décision en matière d'effets accessoires du divorce ne peut pas statuer sur «un objet dont le sort est indépendant» au sens de l'art. 91 let. a LTF. La décision relative aux effets accessoires est finale lorsqu'elle tranche définitivement toutes les questions qui se posent, sans aucun renvoi à l'autorité précédente. Elle est au contraire préjudicielle ou incidente lorsque l'autorité de recours statue sur une partie seulement des effets accessoires encore litigieux et renvoie la cause aux juges précédents pour nouvelle décision sur les autres (ATF 134 III 426 précité; arrêt 5A_764/2011 du 30 mars 2012 consid. 1.2.2 in fine). Pour qualifier une décision au regard de l'art. 90 LTF, il faut la considérer comme un tout, car elle ne peut être finale au sens de cette disposition que si elle met fin à toute la procédure; elle ne peut pas être à la fois en partie finale, au sens de l'art. 90 LTF, et en partie préjudicielle ou incidente, au sens de l'art. 93 al. 1 LTF (cf. à propos de l'ancienne loi d'organisation judiciaire fédérale [OJ]: arrêt 5C.48/2005 du 8 avril 2005 consid. 2.2.1.3).
1.2.2 L'arrêt attaqué statue notamment sur la contribution d'entretien ainsi que sur les modalités d'exercice du droit de visite. Il renvoie cependant l'affaire à l'autorité judiciaire inférieure s'agissant de la liquidation du régime matrimonial et du partage des avoirs de prévoyance professionnelle des époux. Il s'ensuit que la décision rendue par la Cour de justice - qui ne porte par ailleurs ni sur la compétence, ni sur une demande de récusation (art. 92 LTF) - doit être considérée comme étant une «autre décision incidente» au sens de l'art. 93 LTF et non comme une décision finale.
1.3 Le recourant ayant apparemment méconnu la nature de la décision dont est recours, il n'a en conséquence pas démontré que les conditions de recevabilité posées par l'art. 93 al. 1 LTF étaient réalisées (ATF 134 III 426 consid. 1.2 et les références citées). Il est au demeurant manifeste que celles-ci ne sont pas remplies en l'espèce.
1.3.1 Par préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, on entend le dommage juridique qu'une décision finale, même favorable au recourant, ne ferait pas disparaître complètement (ATF 134 III 426 consid. 1.3.1; 133 III 629 consid. 2.3.1). Par principe, l'éventualité prévue à l'art. 93 al. 1 let. a LTF ne saurait toutefois se réaliser en présence d'une décision sur le fond en matière de divorce et d'effets accessoires. Dans ce domaine, une décision préjudicielle ou incidente sur le fond pourra en effet être attaquée par un recours contre la décision finale, dans la mesure où elle influe sur le contenu de celle-ci, en vertu de l'art. 93 al. 3 LTF (ATF 134 III 426 consid. 1.3.1). Le recourant pourra en l'espèce attaquer les points litigieux, portant sur des questions patrimoniales objets de son recours, avec la décision finale, de sorte qu'aucun préjudice irréparable n'est à relever.
1.3.2 L'art. 93 al. 1 let. b LTF suppose d'abord que le Tribunal fédéral soit en mesure de rendre lui-même un jugement final en réformant la décision préjudicielle ou incidente attaquée, ce qui n'est pas le cas s'il apparaît que, en cas d'admission du recours, il devra de toute manière annuler la décision attaquée et renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision (cf. ATF 134 III 426 consid. 1.3.2; 133 III 629 consid. 2.4.1 et la jurisprudence citée). L'admission du recours doit ensuite permettre d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse.
Si la cour de céans devait admettre le recours interjeté par l'intéressé, la question de la liquidation du régime matrimonial et celle du partage de la prévoyance professionnelle demeureraient incertaines, le recourant n'ayant au demeurant formulé aucun grief sur ce dernier point. Le Tribunal fédéral ne serait ainsi pas en mesure de rendre lui-même une décision finale, de sorte qu'une entrée en matière fondée sur l'art. 93 al. 1 let. b LTF apparaît exclue pour cette raison déjà.
2. Vu ce qui précède, le recours est irrecevable. Les frais sont mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à répondre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 23 août 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Mairot