Erwägungen:
1. X._, 1979 geborener nigerianischer Staatsangehöriger, der zuvor erfolglos ein Asylverfahren in der Schweiz durchlaufen hatte, reiste im Juli 2003 aufgrund der Heirat mit einer hier niedergelassenen kroatischen Staatsangehörigen wieder in die Schweiz ein; er erhielt eine zuletzt bis am 10. Juni 2006 verlängerte Aufenthaltsbewilligung. Im Februar 2006 wurde er in Zürich verhaftet. Mit Urteil vom 10. April 2008 erkannte ihn das Obergericht des Kantons Zürich in zweiter Instanz der mehrfachen qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und der mehrfachen Geldwäscherei schuldig und verurteilte ihn unter anderem zu einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren und neun Monaten.
Mit Verfügung vom 17. April 2009 lehnte es das Amt für Migration des Kantons Schwyz ab, die Aufenthaltsbewilligung von X._ zu verlängern; zugleich verfügte es seine Wegweisung, verbunden mit der Anordnung, dass er die Schweiz am Tage der Haftentlassung zu verlassen habe. Die gegen diese Verfügung am 8. Mai 2009 beim Regierungsrat des Kantons Schwyz eingereichte Beschwerde zog X._ am 9. Juni 2009 wieder zurück, woraufhin das Verwaltungsbeschwerdeverfahren mit Verfügung vom 12. Juni 2009 abgeschrieben wurde.
Am 20. Dezember 2009 reichte X._ beim Amt für Migration ein als "Revision/Wiedererwägung Aufenthaltsbewilligung" bezeichnetes Gesuch ein mit den Begehren, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen und von einer Wegweisung abzusehen. Das Migrationsamt trat darauf mit Verfügung vom 28. Januar 2010 nicht ein. Die gegen diese Nichteintretensverfügung erhobene Beschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Schwyz am 7. April 2010 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies die Beschwerde gegen den regierungsrätlichen Entscheid am 9. Juni 2010 im Sinne der Erwägungen ab, soweit es darauf eintrat.
X._ hat sich am 16. Juli 2010 mit einem als "Rekurs gegen den Entscheid vom 09.06.2010" bezeichneten, vom 12. Juli 2010 datierten Schreiben an das Bundesverwaltungsgericht gewandt, welches die Eingabe am 20. Juli 2010 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weitergeleitet hat.
Die Eingabe ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegengenommen worden. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletze. Besonderer Geltendmachung und Begründung bedarf die behauptete Verletzung von Grundrechten (Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Begründung muss in den Grundzügen in der Rechtsschrift selber enthalten sein; der blosse, umfassende Verweis auf bei den Vorinstanzen eingereichte Rechtsschriften genügt nicht, würde doch auch mit einer wortwörtlichen Wiedergabe der beim Verwaltungsgericht eingereichten Beschwerdeschrift den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht Genüge getan (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.3 S. 246 f.). Die Beschwerde entbehrt offensichtlich einer hinreichenden Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.2 Ergänzend ist darauf hinzuweisen, dass im Lichte der Erwägungen der Vorinstanz und der übrigen Aktenstücke (einschliesslich der bei dieser eingereichten Beschwerdeschrift vom 2. Mai 2010) nicht erkennbar ist, in welcher Hinsicht der Entscheid des Verwaltungsgerichts erfolgreich angefochten werden könnte: Der Beschwerdeführer hatte seinen Rekurs vom 8. Mai 2009 gegen die ihm die Bewilligungsverlängerung verweigernde und die Wegweisung anordnende Verfügung vom 17. April 2009 am 9. Juni 2009 zurückgezogen. Unter diesen Umständen hätte nur unter den vom Verwaltungsgericht erwähnten einschränkenden Voraussetzungen auf die in Rechtskraft erwachsenen Anordnungen zurückgekommen werden müssen. Im angefochtenen Entscheid wird einleuchtend aufgezeigt, warum diese Voraussetzungen nicht erfüllt seien, namentlich warum keine gegenüber dem Zeitpunkt der Verfügung des Migrationsamtes bzw. des Rekursrückzugs - massgeblich - veränderte Umstände vorliegen würden (dazu insbesondere E. 3.4).
2.3 Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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