Faits:
A. P._ a travaillé en qualité d'aide-soignante à temps partiel (80 %). Souffrant de douleurs à l'épaule droite d'origine traumatique, elle s'est annoncée à l'assurance-invalidité.
L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a recueilli l'avis du docteur O._, spécialiste en chirurgie orthopédique. Ce médecin a attesté que la capacité de travail de l'assurée était de 50 % dans son ancienne activité d'aide-soignante, mais qu'elle serait en mesure de fournir un rendement professionnel de 100 % dans une activité adaptée sans efforts d'élévation du membre supérieur droit (rapports des 5 octobre 2006 et 8 février 2007). Par ailleurs l'office AI a procédé à une enquête économique sur le ménage qui a mis en évidence un degré d'invalidité de 11,85 % en tant que ménagère (rapport du 18 avril 2006).
Par décision du 28 janvier 2008, faisant suite à un projet de décision du 24 juillet 2007, l'office AI a rejeté la demande de rente et de mesures d'ordre professionnel, dès lors que le degré d'invalidité s'élevait à 6,37 % (2 % pour l'activité ménagère exercée à 20 %; 4 % pour l'activité lucrative accomplie à 80 %).
B. P._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud en concluant à l'octroi d'une rente temporaire ou d'indemnités journalières, de mesures de réadaptation, à défaut au versement d'une rente. Elle a par ailleurs requis d'être exemptée des frais de procédure et a sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Par jugement du 11 juin 2008, la juridiction cantonale a rejeté le recours et confirmé la décision attaquée (ch. I et II dispositif), mettant en outre les frais de justice (400 fr.) à charge de la recourante (ch. III du dispositif). Le tribunal n'a pas statué sur la demande d'assistance judiciaire.
C. P._ interjette un recours en matière de droit public ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement dont elle demande l'annulation, avec suite de dépens. A titre principal, elle conclut au renvoi de la cause au tribunal cantonal afin qu'il statue sur sa demande d'assistance judiciaire, puis rende un nouveau jugement sur le droit à des mesures de réadaptation, à une rente temporaire ainsi qu'à des indemnités journalières; subsidiairement, elle conclut au versement d'une rente. La recourante demande l'assistance judiciaire gratuite totale pour la procédure fédérale.
L'intimé conclut au rejet du recours, tandis que le tribunal cantonal et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.
Le 16 décembre 2008, la recourante a produit un arrêt de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 28 novembre 2008, dans une affaire qui l'oppose à la Municipalité de X._.
Considérant en droit:
1. En premier lieu, la recourante reproche aux premiers juges de n'avoir pas statué sur la requête d'assistance judiciaire qu'elle avait formée dans son recours cantonal.
Ce grief est bien fondé, si bien que la cause sera renvoyée au tribunal cantonal afin qu'il donne suite à cette conclusion.
2. 2.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
En ce qui concerne plus particulièrement l'évaluation de l'invalidité, les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 ss (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint. Dans la mesure cependant où il en va de l'évaluation de l'exigibilité d'une activité professionnelle au regard de l'expérience générale de la vie, il s'agit d'une question de droit qui peut être examinée librement en instance fédérale (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398 et les arrêts cités).
Les modifications de la LAI du 6 octobre 2006 (5ème révision de la LAI), entrées en vigueur le 1er janvier 2008, n'ont pas à être prises en considération dans le présent litige, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment de la réalisation de l'état de fait dont les conséquences juridiques font l'objet de la décision (ATF 129 V 1 consid. 1.2 p. 4 et les arrêts cités).
2.2 Le litige porte sur le droit de la recourante à des prestations de l'assurance-invalidité.
Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige, si bien qu'il suffit de renvoyer au jugement attaqué.
2.3 La recourante ne remet pas vraiment en question le bien-fondé des constatations du tribunal cantonal qui a retenu, sur la base des conclusions du docteur O._, que sa capacité de travail est entière dans une activité adaptée à son handicap. Elle soutient toutefois que le fait de décréter de façon apodictique, dans le cabinet de consultation d'un médecin ou dans un bureau de l'office AI, qu'une autre activité « adaptée » serait possible et exigible, viderait la loi de sa substance. Comme l'atteinte à la santé ne lui permet d'exercer son activité d'aide-soignante plus qu'à 50 %, la recourante en déduit qu'elle a droit à des mesures de réadaptation d'ordre professionnel afin de pouvoir se reconvertir dans un autre secteur du marché de l'emploi.
2.4 On ne saurait suivre le raisonnement de la recourante. En effet, cela reviendrait à autoriser un assuré ou son mandataire à décider eux-mêmes de l'activité lucrative et (a fortiori) du revenu d'invalide qui devraient être pris en considération pour évaluer l'invalidité. Ce procédé serait ainsi non seulement étranger à ce que prévoit l'art. 16 LPGA, mais il serait incompatible avec l'obligation de l'assuré de réduire le dommage. Enfin, on ferait fi de la lettre et de l'esprit de l'art. 17 LAI, car des mesures d'ordre professionnel ne peuvent être allouées que si elles sont nécessaires au maintien ou à l'amélioration de la capacité de gain.
Dans le cas d'espèce, il est constant (art. 105 al. 1 LTF) que la recourante peut exercer une activité lucrative adaptée à son état de santé et continuer à accomplir ses tâches ménagères, dans une mesure excluant non seulement le droit à une rente (art. 28 al. 2 LAI) mais également tout droit à des mesures d'ordre professionnel dès lors que son degré d'invalidité s'élève à 6 % (ATF 124 V 108 consid. 2b pp. 110-111 et les références). A cet égard, le jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 28 novembre 2008, que la recourante a produit le 16 décembre 2008 à titre d'illustration de sa capacité résiduelle de travail, constitue un moyen de preuve irrecevable (art. 99 al. 1 LTF).
Sur la question du droit aux prestations de l'AI, l'intimé et les premiers juges ont appliqué correctement les dispositions précitées de la LAI et de la LPGA, si bien que le recours en matière de droit public se révèle mal fondé.
3. Quant au recours constitutionnel subsidiaire (art. 116 LTF), il est irrecevable, car le grief que la recourante a soulevé à titre subsidiaire (l'interprétation arbitraire de la LAI et de la LPGA) a pu être examiné (et écarté) dans le cadre de son recours en matière de droit public (art. 95 let. a LTF).
4. 4.1 En l'espèce, la juridiction cantonale a commis un déni de justice en omettant de statuer sur la requête d'assistance judiciaire et sur la dispense des frais dont elle était saisie (consid. 1 supra), ce qui a occasionné des frais à la recourante. Cette dernière peut dès lors prétendre une indemnité de dépens à charge du canton de Vaud en vertu de l'art. 68 al. 4 LTF (voir notamment ATF 129 V 335 consid. 4 p. 342, et l'arrêt I 711/04 du 6 mars 2006 consid. 4), si bien que sa demande d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale devient, dans cette mesure, sans objet.
En revanche, les moyens que la recourante a soulevés devant le Tribunal fédéral pour revendiquer des prestations de l'AI sont manifestement contraires aux règles de droit. Sur ce point, le recours était voué à l'échec (cf. ATF 129 I 129 consid. 2.3.1 p. 135), de sorte que les conditions du droit à l'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 LTF) ne sont pas réalisées.
4.2 Compte tenu du déni de justice, il y a lieu de répartir les frais judiciaires entre le canton de Vaud, en application de l'art. 66 al. 3 LTF (voir aussi l'arrêt 9C_902/2007 du 29 février 2008, ainsi que Thomas Geiser, Bundesgerichtsgesetz, Commentaire bâlois, n. 25 ad art. 66), et la recourante qui succombe en partie (art. 66 al. 1 LTF), cela à parts égales sans solidarité entre eux.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le ch. III du dispositif du jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 11 juin 2008 est annulé, cette autorité étant invitée à statuer sur la requête d'assistance judiciaire et la demande de dispense des frais. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à charge de la recourante et du canton de Vaud, à parts égales.
4. La requête d'assistance judiciaire de la recourante pour la procédure fédérale est rejetée.
5. Le canton de Vaud versera à la recourante la somme de 1'400 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud, à l'Etat de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 mai 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud