Erwägungen:
1. 1.1 Der im Kanton Thurgau niedergelassenen X._ wurde die Niederlassungsbewilligung im Kanton St. Gallen verweigert (Ablehnung des Kantonswechsels). Gegen die ablehnende Verfügung des Ausländeramtes des Kantons St. Gallen vom 9. Oktober 2006 gelangte sie mit Rekurs an das Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen. Weil der Rekursentscheid ausblieb, erhob X._ am 1. März 2007 Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsbeschwerde, die der Regierung des Kantons St. Gallen zur Behandlung zugewiesen wurde. Da diese bis dahin nicht entschieden hatte, gelangte X._ am 9. August 2007 mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde wegen Rechtsverweigerung/Rechtsverzögerung ans Bundesgericht (Verfahren 2C_391/2007). Am 20. November 2007 wies die Regierung des Kantons St. Gallen die gegen das Departement erhobene Rechtsverweigerungsbeschwerde ab. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts schrieb daraufhin das Verfahren 2C_391/2007 zufolge Dahinfallens des Rechtsschutzinteresses ab.
1. 1.1 Der im Kanton Thurgau niedergelassenen X._ wurde die Niederlassungsbewilligung im Kanton St. Gallen verweigert (Ablehnung des Kantonswechsels). Gegen die ablehnende Verfügung des Ausländeramtes des Kantons St. Gallen vom 9. Oktober 2006 gelangte sie mit Rekurs an das Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen. Weil der Rekursentscheid ausblieb, erhob X._ am 1. März 2007 Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsbeschwerde, die der Regierung des Kantons St. Gallen zur Behandlung zugewiesen wurde. Da diese bis dahin nicht entschieden hatte, gelangte X._ am 9. August 2007 mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde wegen Rechtsverweigerung/Rechtsverzögerung ans Bundesgericht (Verfahren 2C_391/2007). Am 20. November 2007 wies die Regierung des Kantons St. Gallen die gegen das Departement erhobene Rechtsverweigerungsbeschwerde ab. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts schrieb daraufhin das Verfahren 2C_391/2007 zufolge Dahinfallens des Rechtsschutzinteresses ab.
1.2
1.3 Am 20. Dezember 2007 reichte X._ beim Bundesgericht eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Regierung vom 20. November 2007 ein.
Am 25. Januar 2008 kündigte des Ausländeramt des Kantons St. Gallen der Beschwerdeführerin an, dass sie gemäss neuem Recht (Art. 37 Abs. 3 AuG) Anspruch auf Kantonswechsel habe, weshalb es bereit sei, die Verfügung vom 9. Oktober 2006 wiedererwägungsweise aufzuheben und die Niederlassungsbewilligung für den Kanton St. Gallen zu erteilen. Die Bewilligung wurde am 31. Januar 2008 erteilt.
2. 2.1 Grundlage sämtlicher kantonaler Rechtsmittelverfahren und damit auch des Gegenstand der vorliegenden Beschwerde bildenden Entscheids der Regierung vom 20. November 2007 ist die Abweisung des Begehrens der Beschwerdeführerin, ihr im Kanton St. Gallen die Niederlassungsbewilligung zu erteilen. Mit der am 31. Januar 2008 verfügten Bewilligungserteilung ist jegliches Rechtsschutzinteresse an der Behandlung des Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsvorwurfs im die Bewilligungsverweigerung betreffenden Rechtsmittelverfahren dahingefallen, ist doch dieses gegenstandslos geworden.
Wird ein Rechtsstreit gegenstandslos oder entfällt das rechtliche Interesse an dessen Fortführung, so schreibt der Abteilungspräsident das Verfahren ab (Art 32 Abs. 1 und 2 BGG). Er entscheidet über die Prozesskosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (Art. 72 BZP in Verbindung mit Art. 71 BGG). Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Die Frage einer Parteientschädigung sodann stellt sich nicht: Für die kantonalen Behörden gilt Art. 68 Abs. 3 BGG, und der Beschwerdeführerin sind, da sie ohne Anwalt auftritt, insofern keine ihr zu ersetzenden Kosten entstanden (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Entsprechend entfällt die Notwendigkeit, das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu behandeln. Damit kann das bundesgerichtliche Verfahren ohne weitere Instruktionsmassnahmen abgeschrieben werden.
Demnach verfügt der Präsident:
1. Das Verfahren wird zufolge Dahinfallens des Rechtsschutzinteresses abgeschrieben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Diese Verfügung wird der Beschwerdeführerin, dem Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen und der Regierung des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller