Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Nachdem X._ seine Freundin in Basel in den Rhein gestossen und danach an ihr gegen ihren Willen den Geschlechtsverkehr vollzogen hatte, wurde er am 15. Januar 2010 wegen Gefährdung des Lebens und Vergewaltigung zu einer teilbedingten Freiheitsstrafe von 27 Monaten verurteilt. Der Entscheid ist rechtskräftig.
Da X._ nicht sein Verhalten, sondern seine Freundin als Ursache seiner Probleme ansah, hegte er gegen sie einen enormen Groll. Seinem Psychiater gegenüber offenbarte er immer wieder Rachegelüste. Am 12. November 2010 erklärte er im Rahmen einer weiteren Sitzung, dass er sich an seiner Freundin, welche ihn falsch angeschuldigt habe, rächen werde. Er werde sie suchen, vergewaltigen und umbringen. Es sei ihm egal, dass dies dann alle wissen würden und er eine weitere Strafe von mehreren Jahren zu gewärtigen hätte. Schliesslich verabschiedete er sich von seinem Psychiater, indem er ihm im Unterschied zu früher beide Hände schüttelte. Er lehnte einen weiteren Termin ab, bedankte sich "für alles" und teilte mit, dass er "das jetzt erledigen" müsse.
Der Psychiater, der die Äusserungen äusserst ernst nahm, liess sich vom Arztgeheimnis entbinden und erstattete Meldung bei der Polizei.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt verurteilte X._ am 17. Februar 2011 wegen Drohung im Sinne von Art. 180 Abs. 1 StGB zu 12 Monaten Freiheitsstrafe. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte den Entscheid am 28. November 2011.
X._ beantragt mit Beschwerde beim Bundesgericht, das Urteil vom 28. November 2011 sei aufzuheben, und er sei freizusprechen.
2. Die kantonalen Richter erachteten den in der Anklage skizzierten Sachverhalt als erstellt (vgl. angefochtenen Entscheid S. 2/3 E. 2 mit Hinweis auf das Urteil des Strafgerichts, insbesondere S. 9 oben). Diese Feststellung kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV ist. Die Rüge ist in der Beschwerde präzise vorzubringen und zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG). Soweit der Beschwerdeführer im Text seiner Eingabe an verschiedenen Stellen einfach das in Klammern gesetzte Wort "bestritten" einfügt, genügt die Eingabe den Anforderungen nicht. Darauf ist nicht einzutreten.
3. Gemäss Art. 180 Abs. 1 StGB macht sich strafbar, wer eine andere Person durch schwere Drohung vorsätzlich in Schrecken oder Angst versetzt. Im vorliegenden Fall hat der Beschwerdeführer nicht direkt seiner Freundin gegenüber gedroht, sondern diese wurde nach der Anzeige des Psychiaters erst durch die Polizei auf die Drohung aufmerksam. Wie vor der Vorinstanz macht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht geltend, der subjektive Tatbestand der Drohung sei nicht erfüllt, denn er habe nicht voraussehen können, dass sich der dem Berufsgeheimnis unterstehende Psychiater vom Geheimnis entbinden lassen und die Drohungen der Polizei melden würde. Seiner Ansicht nach ist die Vorstellung, dass ein Psychiater so vorgehen würde, "in jeder Hinsicht abwegig" (Beschwerde S. 2 Ziff. 4).
In Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG kann auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. angefochtenen Entscheid S. 3-5 E. 3). Ob dem Beschwerdeführer eine Durchbrechung der ärztlichen Schweigepflicht sogar erwünscht gewesen sein könnte, kann offen bleiben. Jedenfalls kann davon, dass er einfach seine aggressiven Gefühle der Freundin gegenüber mit dem Psychiater aufrichtig und der Sache angemessen besprochen hätte (Beschwerde S. 2 Ziff. 5), nicht die Rede sein. Angesichts der Vorgeschichte und seines auffälligen Verhaltens an der Therapiesitzung und insbesondere an deren Ende musste der Psychiater, wie die Vorinstanz zu Recht feststellt, davon ausgehen, der Beschwerdeführer sei entschlossen, die angedrohte Straftat der Freundin gegenüber zu begehen. Unter den gegebenen Umständen war zu erwarten, dass der Psychiater den Schutz der Freundin des Beschwerdeführers höher als seine Pflicht zur Verschwiegenheit, von der er sich entbinden lassen konnte, einstufen würde. Dies musste auch dem Beschwerdeführer klar sein. Das Vorbringen, dem Psychiater sei ein Fehlverhalten vorzuwerfen (Beschwerde S. 4 Ziff. 13), ist abwegig. Folglich nahm der Beschwerdeführer mindestens in Kauf, dass seine Freundin von seiner Drohung erfahren könnte. Der Schuldspruch wegen eventualvorsätzlicher Drohung ist nicht zu beanstanden.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
4. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2012
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: C. Monn