Faits:
A. En novembre 1992, X._, avocat, a été mandaté par Y._ Holding (ci-après: Y._) pour la défense des intérêts, sur le plan civil et pénal, de sociétés suisses du groupe en raison de la responsabilité encourue en qualité d'organe de revision de la société A._, mise en faillite en octobre 1992. Vu son importance et sa complexité, cette affaire était suivie au sein de Y._ par un groupe de pilotage présidé par B._. Pour remplir ce mandat, qui s'est étendu de novembre 1992 à septembre 2002 et a représenté 12'519 heures de travail non contestées, l'avocat a constitué en son étude une équipe formée de lui-même et de deux, puis trois collaborateurs qualifiés.
Le 18 juin 1993, X._ a présenté à Y._ un document intitulé «forecast of legal cost», fixant à 5'987'500 fr. les frais et honoraires estimés pour la défense de Y._, sur la base d'un tarif horaire de 500 fr. Ce document comportait une réserve relative aux «success fees» qui n'étaient pas inclus dans l'estimation et qui devaient être déduits des dépens alloués par le tribunal et payés par la partie qui succombait. Ce document, qui avait pour but d'annoncer aux assureurs un budget prévisionnel, a été accepté par Y._, d'après le procès-verbal de la réunion du 18 juin 1993 signé par B._ le 31 août 1993. Un des collaborateurs de X._ a commenté cette estimation en expliquant les critères de tarification des honoraires d'avocat applicables à Genève, notamment la complexité de l'affaire et le résultat obtenu.
Un montant total de 5'066'410 fr. a été payé à X._ sur la base de notes d'honoraires, non contestées, qui ne mentionnaient aucune facturation supplémentaire ultérieure au vu du résultat qui serait obtenu. La première note d'honoraires du 19 février 1993 distinguait le temps consacré par chaque avocat, avec un tarif horaire différencié, ce qui n'a plus été le cas par la suite, les factures se fondant désormais sur un tarif moyen de 400 fr. l'heure.
Le 28 janvier 2002, X._ a annoncé à Y._ son intention de demander des honoraires complémentaires. A la requête de B._, il a précisé les raisons de cette prétention dans un courrier du 10 juin 2002. B._ a indiqué à ses collègues de Londres qu'il considérait les honoraires déjà versés à X._ comme modestes, de sorte qu'il n'apparaissait pas comme déraisonnable qu'il veuille faire valoir une note d'honoraires complémentaire.
Dans une note d'honoraires du 15 novembre 2002 qualifiée de «finale», X._ a réclamé à Y._ le paiement d'une somme complémentaire de 6'491'599 fr. à titre d'ajustement tenant compte du résultat et de la complexité de l'affaire; selon ce document, les honoraires globaux, avant déduction des montants déjà versés, s'élevaient à 11'560'000 fr., représentant 2 % d'une valeur litigieuse de 578 millions de francs. Quand bien même le montant exigé dépassait ses prévisions, B._ a proposé à ses collègues de Londres d'acquitter la note complémentaire, ce que ceux-ci ont refusé.
B. Le 29 janvier 2004, X._ a saisi la Commission de taxation des honoraires d'avocat du canton de Genève (ci-après: la commission) d'une demande de taxation de sa note d'honoraires. Y._ a nié que X._ puisse obtenir des honoraires complémentaires.
Par décision du 2 août 2005, la commission a fixé à 1'251'900 fr. les honoraires encore dus par Y._ à X._, en vertu de la note d'honoraires du 15 novembre 2002. Elle a jugé que des honoraires de 500 fr. par heure avaient été clairement prévus dans le «forecast of legal cost» de sorte qu'il convenait d'adapter la facturation sur la base de ce tarif horaire, à la place de celui de 400 fr. appliqué dans les notes d'honoraires intermédiaires; pour les 12'519 heures de travail accomplies, le complément de 100 fr. par heure aboutissait au résultat susmentionné de 1'251'900 fr.
Contre cette décision, X._ a interjeté un recours de droit public, que le Tribunal fédéral a admis par arrêt du 18 janvier 2006 (cause 4P.256/2005). En substance, la cour de céans a jugé que la commission avait commis un déni de justice formel en retenant l'existence d'un accord portant sur un tarif horaire moyen de 500 fr. et en se retranchant derrière cette convention pour s'abstenir d'examiner les différents critères énoncés à l'art. 34 de la loi genevoise sur la profession d'avocat (LPAv/GE), en particulier celui du résultat obtenu, lequel motivait précisément la majoration réclamée par l'avocat.
La commission a rendu une nouvelle décision en date du 22 juin 2007. Elle a retenu que X._ s'était occupé de «quatre volets s'agissant des procédures diligentées en Suisse», puis elle a examiné le résultat attribuable à l'avocat dans chacun d'entre eux. Elle a également relevé que l'avocat n'avait pas directement participé à la mise en oeuvre de l'accord global, qui a eu pour conséquence le retrait de toutes les procédures civiles et pénales en Suisse et à l'étranger; sur la base de cette transaction, Y._ a déboursé 107 millions USD, dont 47 millions USD en rapport avec les actions de la masse en faillite de A._ (ci-après: la masse) introduites en Suisse. En définitive, la commission a estimé qu'une majoration de 150 % des honoraires était adéquate; elle a fixé les honoraires totaux de X._ à 7'599'615 fr. (5'066'410 x 150 %), le complément d'honoraires étant ainsi arrêté à 2'533'205 fr. (7'599'615 - 5'066'410). Il convient de préciser à ce sujet que la majoration appliquée réellement par la commission n'est pas de 150 %, mais bien de 50 %.
C. X._ interjette un recours qu'il intitule «recours constitutionnel subsidiaire». Il conclut à l'annulation de la décision du 22 juin 2007 et demande au Tribunal fédéral de dire que sa note d'honoraires du 15 novembre 2002 est conforme au droit et aux usages et, partant, de confirmer le solde dû de 6'491'599 fr.
Y._ propose le rejet du recours.
Pour sa part, la commission se réfère aux considérants de sa décision.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF; arrêt 4D_17/2007 du 31 juillet 2007, consid. 1) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF; art. 38 al. 2 LPAv/GE). La contestation porte sur une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Il s'ensuit que le recours en matière civile est ouvert.
1.2 Le recourant a déposé un «recours constitutionnel subsidiaire», voie qui n'est pas ouverte en l'espèce (art. 113 LTF).
L'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies (cf. ATF 131 I 291 consid. 1.3 p. 296; 126 II 506 consid. 1b p. 509 et les arrêts cités).
En l'espèce, l'auteur du recours, qui soulève exclusivement des griefs de rang constitutionnel, a manifestement confondu le recours constitutionnel subsidiaire prévu par la LTF avec l'ancien recours de droit public relevant de l'OJ. C'est le lieu de préciser que le nouveau droit de procédure permet de se plaindre, dans le recours (ordinaire) en matière civile, d'une violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 133 III 446 consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2.3 p. 466). La conversion du recours est possible en l'occurrence. Rien ne s'oppose dès lors à traiter l'acte déposé par le recourant comme un recours en matière civile.
1.3 Le recourant a qualité pour recourir dès lors qu'il n'a pas obtenu entièrement gain de cause (art. 76 al. 1 LTF). Au surplus, le recours est en principe recevable, puisqu'il a été interjeté dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.4 Le Tribunal fédéral n'examine s'il y a violation d'un droit constitutionnel, comme l'interdiction de l'arbitraire, que lorsque le recourant a invoqué et motivé ce grief (art. 106 al. 2 LTF). Les exigences en matière de motivation correspondent à celles qui étaient prévues à l'art. 90 al. 1 let. b OJ pour le recours de droit public (Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, in FF 2001, p. 4142; ATF 133 IV 286 consid. 1.4). L'acte de recours doit donc contenir, sous peine d'irrecevabilité, un exposé succinct des droits constitutionnels violés, précisant en quoi consiste la violation. Seuls les griefs expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée sont examinés; en particulier, il n'est pas entré en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. ATF 130 I 258 consid. 1.3; 123 II 552 consid. 4d).
2. 2.1 Invoquant l'art. 9 Cst., le recourant reproche à la commission d'avoir appliqué arbitrairement l'art. 34 LPAv/GE en n'examinant pas tous les critères prévus par cette disposition. A lire le recours, l'autorité cantonale ne pouvait réduire l'injonction du Tribunal fédéral à l'examen du seul critère du résultat obtenu; elle devait vérifier si les honoraires réclamés demeuraient dans un rapport raisonnable avec la prestation fournie à la lumière de tous les critères énumérés à l'art. 34 LPAv/GE, qui comprennent également la complexité et l'importance de l'affaire, la responsabilité assumée et la situation du client. En particulier, le refus de prendre en considération la valeur litigieuse, qui est pourtant l'un des critères déterminants selon le droit cantonal, serait arbitraire. A l'inverse, la commission aurait tenu compte de manière insoutenable de plusieurs éléments en défaveur de l'avocat, ainsi la durée du mandat, l'absence d'un tarif différencié entre les membres de l'équipe mise sur pied par le recourant, l'omission de rappeler la faculté de réclamer des honoraires complémentaires sur les factures intermédiaires et le fait d'avoir dissuadé l'intimée de mandater une seconde étude d'avocats. La commission aurait également omis, en violation de l'art. 9 Cst., de constater deux faits pertinents dûment offerts en preuve, soit le paiement par l'intimée, dans l'affaire C._, d'une note d'honoraires basée sur un tarif horaire comparable à celui pratiqué dans la note litigieuse et le paiement à D._, associé de l'intimée à la retraite, d'honoraires fondés sur un tarif horaire de 350 fr.
Par ailleurs, s'agissant du critère du résultat, le recourant est d'avis que la cour cantonale a apprécié arbitrairement les preuves à sa disposition, notamment en constatant faussement, dans la procédure pénale, que le recours de la masse avait été retiré à la suite de l'accord global et, dans l'une des procédures civiles, que E._ n'avait pas interjeté appel du jugement de première instance, toutes circonstances qui avaient amené la commission à relativiser les succès de l'avocat.
Le recourant fait valoir enfin qu'au regard de la responsabilité assumée pendant environ dix ans, de la complexité et de l'importance exceptionnelle de l'affaire, de la valeur litigieuse en jeu ainsi que du résultat obtenu, la rémunération horaire d'environ 600 fr. retenue par la commission se révèle arbitrairement basse et ne couvre pas raisonnablement les prestations qu'il a effectuées dans le cas particulier.
2.2 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire même préférable (ATF 132 III 209 consid. 2.1 p. 211; 131 I 57 consid. 2, 217 consid. 2.1; 129 I 8 consid. 2.1). Dans le domaine voisin de l'indemnisation du défenseur d'office, le Tribunal fédéral a ainsi posé que l'appréciation erronée d'un poste de l'état de frais ou la prise en compte d'un argument déraisonnable ne suffisait pas en soi pour admettre l'arbitraire, mais que l'annulation de la décision cantonale ne se justifiait que si le montant global alloué au défenseur apparaissait comme ayant été fixé de manière arbitraire (ATF 109 Ia 107 consid. 3d p. 112).
Quant à la façon dont le droit cantonal a été appliqué, il ne faut pas confondre arbitraire et violation de la loi; une violation doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être considérée comme arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à examiner quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement dire si l'interprétation qui en a été faite est défendable (ATF 132 I 13 consid. 5.1; 131 I 217 consid. 2.1).
Les principes applicables à la taxation des honoraires d'avocat, en particulier en droit genevois, ont été exposés dans l'arrêt que le Tribunal fédéral a déjà rendu dans cette affaire (consid. 3.3 avec les références) auquel il est renvoyé. Il convient de rappeler néanmoins qu'en l'absence d'un tarif, l'autorité de modération jouit d'un très large pouvoir d'appréciation et que le Tribunal fédéral n'intervient que si l'instance cantonale en a abusé ou l'a excédé (cf. ATF 118 Ia 133 consid. 2b p. 134; 109 Ia 107 consid. 2c p. 109).
2.3 Dans la décision attaquée, la commission a relevé que les critères concernant la complexité de l'affaire, l'importance de la responsabilité encourue et la situation de la cliente n'étaient pas remis en cause par l'intimée. L'importance et la complexité de l'affaire avaient du reste déjà été mises en exergue dans l'état de fait de la décision entreprise. Dans l'arrêt du 18 janvier 2006, le Tribunal fédéral lui-même avait noté qu'il s'agissait d'une cause complexe (consid. 3.5, dernier §).
Par la suite, l'autorité de modération a essentiellement examiné le critère du résultat avant de conclure, «au vu de tous ces éléments», qu'une majoration de 150 % (recte: 50 %) des honoraires déjà facturés était adéquate. Contrairement à ce que le recourant affirme, l'autorité cantonale n'a pas écarté purement et simplement certains critères posés à l'art. 34 LPAv/GE, mais a insisté sur le critère du résultat obtenu, ce qui, dans les circonstances de l'espèce, ne constitue pas une application arbitraire du droit cantonal. En effet, le recourant lui-même ne critique pas la constatation figurant dans la décision attaquée, selon laquelle la note d'honoraires litigieuse du 15 novembre 2002 portait sur une somme complémentaire de 6'491'599 fr. destinée à «tenir compte du résultat et de la complexité de l'affaire». Ce fait figurait déjà dans le premier jugement de la commission. Dans son arrêt du 18 janvier 2006, le Tribunal fédéral relevait également que la majoration demandée était motivée par le résultat obtenu (consid. 3.5, 1er § 3ème ligne et 2ème § in fine). Certes, le recourant s'en prend à l'interprétation de la lettre du 28 janvier 2002 dans laquelle, selon la commission, il aurait annoncé vouloir réclamer des «honoraires de résultat». Mais cette critique tombe à faux dans la mesure où le recourant ne remet pas en cause la seule constatation pertinente, celle par laquelle la commission établit que la majoration d'honoraires présentée après coup tendait à la prise en compte de la complexité de l'affaire et du résultat obtenu par l'avocat.
Dans ces conditions, l'autorité cantonale ne peut se voir reprocher une application arbitraire de l'art. 34 LPAv/GE pour s'être bornée à mentionner brièvement les critères non contestés et pour avoir mis l'accent sur le critère du résultat, comme le Tribunal fédéral le lui prescrivait du reste dans son arrêt sur le recours de droit public.
2.4 La commission a fixé la majoration adéquate à 50 % des honoraires déjà facturés pendant dix ans sur la base d'un tarif horaire de 400 fr., alors que le recourant s'était fondé sur un pourcentage de la valeur litigieuse pour calculer ses honoraires globaux avant de déduire les montants déjà payés.
Les circulaires et décisions relatives aux us et coutumes de l'ordre des avocats genevois (www.odage.ch) mentionnent que le calcul des honoraires peut se faire en prenant en compte uniquement un taux de 2 à 10 % de la valeur litigieuse (p. 122). Il ne s'agit là toutefois que d'une possibilité. Et on ne saurait manifestement admettre une application arbitraire de l'art. 34 LPAv/GE, citant l'importance de l'affaire comme l'un des critères applicables, lorsque, comme en l'espèce, l'autorité de modération choisit une autre méthode d'appréciation des honoraires que celle fondée sur une proportion de la valeur litigieuse. Là aussi, le moyen tiré d'une application du droit cantonal contraire à l'art. 9 Cst. est mal fondé.
2.5 Il convient d'examiner à présent si la majoration de 50 % destinée à prendre en compte la complexité de la cause et le résultat obtenu résiste au grief d'arbitraire.
2.5.1 Au préalable, il est à relever que les deux faits que l'autorité cantonale aurait omis de constater de manière arbitraire selon le recourant, sont dénués de toute pertinence en l'espèce. En effet, les cas cités ont tous deux trait à l'attitude adoptée par l'intimée dans d'autres circonstances. Or, en l'occurrence, il n'appartenait pas à l'autorité de modération de constater la volonté réelle de l'intimée ou de rechercher une éventuelle acceptation tacite de la mandante selon le principe de la confiance, mais bien de taxer les honoraires du recourant sur la base des principes rappelés plus haut (consid. 2.2).
2.5.2 Le recourant ne conteste pas que, dans l'affaire C._, la procédure a été menée par le conseil vaudois de l'intimée, de sorte qu'il ne saurait se prévaloir d'un succès. Il reste ainsi trois procédures dont la commission a apprécié le résultat obtenu par le recourant.
La première concerne la procédure pénale ouverte à Genève en octobre 1992; à la fin de l'instruction, en février 1995, l'affaire a été communiquée au parquet sans qu'aucun réviseur de l'intimée n'ait été inculpé. La masse a recouru contre la décision de soit-communiqué, avant de retirer son recours. Selon la commission, le retrait est intervenu à la suite de l'arrangement global passé en juillet 2002. Le recourant fait valoir qu'il avait simplement allégué que le recours avait été retiré «par la suite»; il produit à présent une pièce attestant que le retrait du recours a été effectué le 19 mai 1995 déjà. Sur la base des éléments dont elle disposait, la commission ne pouvait effectivement pas, sauf à verser dans l'arbitraire, retenir que la masse avait retiré son recours à la Chambre d'accusation sept ans plus tard en raison de la conclusion de l'accord global et, pour ce motif, relativiser le succès obtenu par l'avocat dans la procédure pénale. Cela ne signifie pas encore que la décision attaquée soit arbitraire dans son résultat. Conformément à la jurisprudence citée ci-dessus, ce n'est que si, sur la base de tous les éléments à prendre en compte, la mesure de l'augmentation ou le montant alloué à titre d'honoraires apparaissent arbitrairement bas que la décision cantonale sera annulée.
La deuxième procédure a trait à l'action en paiement engagée par E._ contre l'intimée. La commission a constaté qu'il n'y avait pas eu d'appel de la demanderesse contre le jugement de première instance du 21 décembre 2001 la déboutant entièrement de ses conclusions. L'absence d'appel a conduit l'autorité de modération à relativiser légèrement le succès obtenu par le recourant. Ce dernier observe qu'aucune partie n'a jamais allégué l'absence d'appel et pour cause, puisque E._ a bel et bien formé un appel qu'elle a retiré à la suite de l'accord global. Là aussi, la commission n'avait pas à constater un fait - l'absence d'appel - qui n'était étayé d'aucune manière. Cela étant, cet élément ne permet pas non plus à lui seul de conclure que la commission a abouti à un résultat arbitraire.
La troisième procédure est celle ouverte en avril 1998 par la masse, qui réclamait à l'intimée 300 millions de francs sous réserve d'amplification. Le recourant avait fait valoir le défaut de légitimation passive de l'intimée, puis l'irrecevabilité des conclusions nouvelles prises à l'encontre d'une société du groupe. Par jugement incident du 10 mai 2001, le Tribunal de première instance a rejeté les moyens soulevés par l'avocat. Selon les faits relatés dans la décision attaquée, l'appel formé par l'intimée a été retiré à la suite de la transaction globale. C'est donc à tort que le recourant reproche à la commission d'avoir arbitrairement omis de constater le dépôt de ce recours. Pour le surplus, il fait grief à l'autorité cantonale d'avoir considéré de manière insoutenable que la procédure civile ayant opposé la masse à l'intimée avait été pour l'essentiel un échec pour l'avocat. A son avis, il n'est pas exclu que l'appel eût été couronné de succès s'il avait été maintenu. Il explique également que les deux incidents soulevés avaient notamment pour but d'exercer une pression sur la masse dans l'optique d'une négociation au stade initial de la procédure. Le recourant soutient enfin que le résultat obtenu n'a pas à être remis en cause en raison du montant faisant l'objet de l'accord global, jugé trop élevé par l'avocat.
Par définition, le résultat obtenu par l'avocat se détermine sur la base de la procédure telle qu'elle s'est déroulée, et non à partir des hypothèses qui auraient pu se réaliser. Les raisons pour lesquelles les incidents ont été soulevés n'apparaissent pas non plus déterminantes pour juger de l'issue d'un procès. Dès l'instant où l'intimée, sans la participation du recourant, a conclu une transaction qui a conduit au retrait du recours contre le jugement incident, ce dernier demeure et l'avocat ne saurait se prévaloir d'un succès ni dans la procédure incidente, ni, surtout, dans le procès au fond.
Le recourant reproche enfin à la commission d'avoir violé l'art. 9 Cst. en ne prenant pas en considération, dans l'appréciation des résultats obtenus, l'issue favorable des deux procédures en contestation des émoluments d'appel en cause engagées dans les deux procès civils susmentionnés, lesquelles ont été conduites jusque devant le Tribunal fédéral. A cet égard, la commission devait chercher à établir dans quelle mesure l'intervention de l'avocat avait conduit à un succès dans la procédure au fond. Dans cette perspective, il n'est nullement arbitraire de ne pas tenir compte de procédures annexes portant sur le montant des émoluments.
2.5.3 Les résultats obtenus par le recourant peuvent se résumer ainsi. Dans la procédure pénale, aucun réviseur de l'intimée n'a été inculpé. Le procès civil intenté par E._ a donné lieu à un jugement de première instance rejetant entièrement les conclusions de la demanderesse. Mais le recourant lui-même affirme que le recours interjeté par E._ a été retiré à la suite de l'arrangement global auquel il n'a pas participé. Quant au procès civil engagé par la masse, il n'a donné lieu qu'à un jugement incident rejetant les moyens soulevés par le recourant; le recours déposé contre cette décision a été retiré à la suite de la transaction.
Si l'absence d'inculpation des réviseurs de l'intimée doit être mise au crédit du recourant, l'intervention de ce dernier dans les deux procès civils ne peut en revanche être qualifiée de plein succès. En effet, c'est la transaction globale, à laquelle le recourant n'a pas pris part, qui a en définitive mis un terme aux procédures. Dans le procès E._, on doit toutefois tenir compte du fait que le jugement de première instance, dont le résultat favorable peut être attribué au recourant, est intervenu à un moment propice aux intérêts de l'intimée dans le cadre des pourparlers transactionnels.
Au regard de la complexité, reconnue, des affaires confiées à l'avocat et des résultats obtenus tels que décrits ci-dessus, une augmentation limitée à la moitié des honoraires alors payés par l'intimée n'apparaît déjà pas arbitraire, indépendamment des autres critères pris en compte par la commission pour restreindre l'ampleur de la majoration et critiqués en vain par le recourant.
Par ailleurs, la solution adoptée par l'autorité cantonale correspond à un tarif horaire d'un peu plus de 600 fr. Ce montant dépasse d'environ 200 fr. le tarif horaire de 400 fr. suggéré par l'ordre des avocats genevois (circulaires et décisions relatives aux us et coutumes, p. 126). Le montant total des honoraires fixé par la commission ne consacre ainsi aucun abus ou excès du très large pouvoir d'appréciation attribué à l'autorité de modération.
3. En dernier lieu, le recourant soutient qu'en passant sous silence les critères cités à l'art. 34 LPAv/GE hormis le résultat obtenu, la commission n'a pas respecté les exigences de motivation déduites du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. Un défaut de motivation résiderait également dans la simple citation de différents éléments pris en compte par l'autorité de modération, comme l'absence de tarif différencié ou l'omission de rappeler, sur les notes intermédiaires, la possibilité de réclamer des honoraires complémentaires.
3.1 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, l'attaquer utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Le juge n'est pas tenu d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties; il peut se limiter à retranscrire ceux qui, sans arbitraire, apparaissent pertinents. Il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision (arrêt 4A_221/2007 destiné à la publication, consid. 4.1; ATF 133 III 439 consid. 3.3; 130 II 530 consid. 4.3 p. 540).
3.2 En principe, la nature formelle de cette garantie constitutionnelle amène le juge à examiner le moyen fondé sur l'art. 29 al. 2 Cst. en priorité (ATF 124 I 49 consid. 1). En l'espèce, cet ordre d'examen ne se justifie pas. En effet, sous le couvert du droit d'être entendu, le recourant reprend dans une large mesure les griefs qu'il a déjà développés sous l'angle de l'art. 9 Cst. Dans cette mesure, le recours est irrecevable.
Pour le reste, la commission a mentionné d'une manière conforme à l'art. 29 al. 2 Cst. les éléments qui l'ont guidée dans son appréciation de l'augmentation des honoraires à laquelle l'avocat pouvait prétendre. Du reste, le recourant lui-même a saisi la motivation de la décision attaquée, qu'il critique longuement. Le moyen est dès lors mal fondé.
4. Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours, traité comme un recours en matière civile, est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 22'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 24'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Commission de taxation des honoraires d'avocat du canton de Genève.
Lausanne, le 23 janvier 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Corboz Godat Zimmermann