Fatti:
A. Dopo vicissitudini che non occorre ora evocare (cfr. sentenza 2A.431/2001 del 15 gennaio 2002), A._, cittadino bosniaco, è entrato in Svizzera nel settembre 2002 ove gli è stato rilasciato un permesso di dimora valido fino al 3 settembre 2005 per vivere con la moglie B._, titolare di un permesso di domicilio. Il 19 maggio 2006 la Sezione dei permessi e dell'immigrazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha respinto l'istanza di proroga dell'autorizzazione di soggiorno presentatale il 30 gennaio 2006, perché A._ non conviveva più con la consorte. La decisione, confermata il 29 agosto 2006 dal Consiglio di Stato e il 27 ottobre successivo dal Tribunale cantonale amministrativo, è stata annullata dal Tribunale federale svizzero con sentenza del 10 luglio 2007 (causa 2A.747/2006). La causa è stata quindi rinviata alla Corte cantonale, la quale l'ha trasmessa al Consiglio di Stato il 18 settembre 2007 che, a sua volta, l'ha trasferita all'autorità di prime cure l'11 dicembre successivo, affinché statuisse nuovamente sulla domanda del 30 gennaio 2006 previo completamento dell'istruttoria.
B. Il 22 luglio 2008 la Sezione dei permessi e dell'immigrazione ha deciso di non rinnovare il permesso di dimora di A._ e gli ha fissato un termine al 30 settembre 2008 per lasciare il Cantone. Riferendosi alla notifica di cambiamento d'indirizzo inviatale dall'interessato e richiamando la decisione governativa dell'11 dicembre 2007, l'autorità ha osservato in sostanza che la coppia aveva divorziato il 24 luglio 2007 e che il marito si era trovato un nuovo appartamento a fare tempo da inizio aprile 2007.
La decisione è stata confermata su ricorso dapprima dal Consiglio di Stato il 21 dicembre 2008, il quale ha evaso la pratica in virtù della nuova legge federale sugli stranieri del 16 dicembre 2005 (LStr; RS 142.20) e poi dal Tribunale cantonale amministrativo il 29 gennaio 2009, che ha invece applicato la previgente legge federale del 26 marzo 1931 concernente la dimora e il domicilio degli stranieri (LDDS).
C. Il 4 marzo 2009 A._ ha presentato dinanzi al Tribunale federale un ricorso di diritto pubblico in cui chiede che il giudizio cantonale sia annullato e che gli venga rilasciato un permesso di domicilio, rispettivamente un permesso di dimora. Sostiene, in sintesi, che la sentenza cantonale è sproporzionata ed inficiata d'arbitrio e che sono stati disattesi gli art. 43 e 50 LStr.
Chiamati ad esprimersi il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nelle motivazioni e conclusioni del proprio giudizio, mentre il Consiglio di Stato ha proposto che il gravame, in quanto ammissibile, sia respinto. La Sezione dei permessi e dell'immigrazione ribadisce e rinvia alle osservazioni formulate in sede cantonale, mentre l'Ufficio federale della migrazione dichiara di allinearsi alle considerazioni delle autorità ticinesi.
Diritto:
1. 1.1 Come accennato, il gravame è intitolato "ricorso di diritto pubblico". Il ricorrente dimentica tuttavia che la legge federale sull'organizzazione giudiziaria del 16 dicembre 1943, che disciplina detto rimedio, è stata abrogata dalla legge sul Tribunale federale del 17 giugno 2005 (LTF), entrata in vigore il 1° gennaio 2007. Siccome la decisione impugnata è stata emanata dopo questa data, la presente vertenza è retta dalla nuova normativa (art. 132 cpv. 1 LTF). L'errata denominazione di un rimedio giuridico non comporta comunque alcun pregiudizio per la parte ricorrente, se il suo allegato adempie le esigenze formali del tipo di ricorso effettivamente esperibile (DTF 133 I 300 consid. 1.2 con rinvii).
1.2 Contro le decisioni cantonali di ultima istanza in cause di diritto pubblico è di principio dato ricorso in materia di diritto pubblico dinanzi al Tribunale federale (art. 82 lett. a e 86 cpv. 1 lett. d LTF). In virtù dell'art. 83 lett. c n. 2 LTF, in ambito di polizia degli stranieri tale rimedio è tuttavia escluso contro decisioni concernenti permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto.
2. 2.1 Il ricorrente non pretende trarre un simile diritto da un trattato bilaterale concluso con la Bosnia-Erzegovina, ma lo deduce dalla nuova legge federale sugli stranieri, segnatamente dagli art. 43 e 50 LStr.
A suo avviso la tesi della Corte cantonale, secondo cui la causa inizierebbe dalla domanda presentata nel maggio 2006, motivo per cui si applicherebbe la previgente normativa, sarebbe pretestuosa, contraria alla buona fede, implicherebbe formalismo eccessivo nonché un abuso di diritto. Al riguardo osserva che in seguito alla sentenza emanata da questa Corte il 10 luglio 2007, le autorità cantonali non avrebbero effettuato alcun accertamento e una decisione sarebbe stata presa solo dopo sua espressa sollecitazione. Motivo per cui la domanda all'origine dell'attuale vertenza non potrebbe riferirsi ad un permesso scaduto dal settembre 2005, ma potrebbe essere solo la richiesta di rilascio di un permesso di dimora da lui presentata il 9/16 maggio 2008 e formalmente respinta dalla Sezione dei permessi e dell'immigrazione il 22 luglio 2008. In proposito precisa che non si tratterebbe di una semplice domanda di modifica dell'indirizzo come tenterebbe di far credere l'autorità, bensì di una richiesta vera e propria di rilascio di un'autorizzazione di soggiorno. Infatti una modifica d'indirizzo supporrebbe che vi sia un valido permesso di dimora, ciò che non era il suo caso. In queste condizioni tornerebbe pertanto applicabile la LStr, entrata in vigore il 1° gennaio 2008.
2.2 L'argomentazione è pretestuosa e volta all'insuccesso. Come emerge dagli atti di causa, il ricorrente ha chiesto il 30 gennaio 2006 il rinnovo del proprio permesso di dimora scaduto il 3 settembre 2005, domanda respinta da tutte le istanze cantonali. Il 10 luglio 2007 il Tribunale federale ha invece accolto il suo ricorso e rinviato la causa all'autorità cantonale, giudicando che gli accertamenti erano insufficienti per pronunciarsi sul rinnovo richiesto. In seguito a ciò il Tribunale cantonale amministrativo ha rinviato la causa al Consiglio di Stato il 18 settembre 2007 il quale, a sua volta, l'ha trasmessa alla Sezione dei permessi e dell'immigrazione, l'11 dicembre successivo. Anche se l'autorità di prime cure non si è immediatamente pronunciata, la stessa ha tuttavia posto l'interessato al beneficio di un'autorizzazione di corte durata (questi ne aveva già fruito durante il suo precedente procedimento dinanzi a questa Corte) sulla quale era espressamente indicato che era in corso una domanda di proroga del permesso di dimora. È poi chiaro, malgrado le vane denegazioni del ricorrente, che il formulario compilato il 9 maggio 2008 e vistato dall'autorità il 16 successivo concerne unicamente il cambiamento di domicilio, come confermato dai documenti ivi allegati, cioè il nuovo contratto di locazione e la lettera di un'amico che dichiara di aver preso l'appartamento a nome suo perché al ricorrente, in fallimento, non sarebbe stato attribuito. Non va poi tralasciato che la decisione della Sezione dei permessi e dell'immigrazione del 22 luglio 2008, se si riferisce alla notifica di cambiamento di domicilio, richiama comunque espressamente la decisione dell'11 dicembre 2007 del Consiglio di Stato che le rinviava la causa iniziata dall'istanza del 30 gennaio 2006. In queste condizioni è quindi a ragione che il Tribunale cantonale amministrativo ha applicato alla fattispecie la LDDS. Da quel che precede discende che il ricorrente non può dedurre alcun diritto al rilascio, rispettivamente alla proroga di un'autorizzazione di soggiorno dagli art. 43 e 50 Lstr, disposti inapplicabili in concreto. In proposito il ricorso è di conseguenza inammissibile.
2.3 Rimane pertanto da appurare se un diritto alla proroga del permesso di dimora o al rilascio del permesso di domicilio possa essere dedotto dalla LDDS. Sennonché il ricorrente nulla adduce in proposito, segnatamente non formula alcuna censura né contesta la sentenza impugnata che, valutando la fattispecie segnatamente dal profilo dell'art. 17 cpv. 2 LDDS, gli nega un simile diritto. Il quesito non va pertanto ridiscusso e ci si limita a rinviare ai pertinenti considerandi, qui condivisi, del giudizio querelato (cfr. decisione cantonale, pag. 6 segg., consid. 3 e 4). Anche su questo punto il ricorso sfugge pertanto a un esame di merito.
2.4 Infine, in quanto adduce che sua (ex) moglie è diventata cittadina svizzera si può considerare che il ricorrente si richiama all'art. 8 CEDU. Sennonché oltre al fatto che l'interessato non fornisce alcuna indicazione precisa in proposito (art. 42 e 106 cpv. 2 LTF), va osservato che questo elemento non risulta dagli atti di causa e che nell'ultimo gravame esperito in sede cantonale l'11 novembre 2008 egli non ne fa menzione, richiamandosi (ancora) alle norme che disciplinano la situazione del coniuge di un cittadino straniero. Motivo per cui se la sua (ex) moglie è diventata cittadina svizzera dopo il loro divorzio, pronunciato il 24 luglio 2007, ciò è del tutto ininfluente ai fini del presente giudizio. Anche su questo punto il gravame si rivela pertanto inammissibile.
2.5 Da quanto precede discende che il ricorrente non può vantare un diritto a soggiornare in Svizzera né in virtù della legislazione interna né in base ad un accordo internazionale. La via del ricorso in materia di diritto pubblico non è quindi data.
3. 3.1 Rimane da appurare se il ricorso sussidiario in materia costituzionale sia ricevibile (art. 113 LTF).
3.2 Giusta l'art. 115 lett. b LTF può proporre questo rimedio di diritto chi ha un interesse legittimo all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata. In concreto il ricorrente non può prevalersi di una situazione giuridica tutelata dalla legge (su questa nozione, cfr. DTF 133 I 185) che gli concederebbe un diritto al rilascio di un'autorizzazione di soggiorno. Come già spiegato da questa Corte, il divieto generale dell'arbitrio sgorgante dall'art. 9 Cost. non conferisce, di per sé, un interesse legittimo ai sensi dell'art. 115 lett. b LTF quando, come in concreto, viene censurata un'errata applicazione del diritto (cfr. DTF 133 I 185 consid. 6.1 e 6.3). Osservato poi che il ricorrente non fa valere la disattenzione dei suoi diritti di parte, la cui violazione costituirebbe un diniego di giustizia formale (DTF 133 I 185 consid. 6.2), anche trattato quale ricorso sussidiario in materia costituzionale, il gravame è inammissibile.
4. Per i motivi illustrati, il gravame si avvera pertanto manifestamente inammissibile (art. 108 cpv. 1 lett. a LTF) e va deciso secondo la procedura semplificata dell'art. 108 LTF. Le spese seguono la soccombenza (art. 65 e 66 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Presidente pronuncia:
1. Il ricorso è inammissibile.
2. Le spese giudiziarie di fr. 1'500.-- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Sezione dei permessi e dell'immigrazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e Tribunale amministrativo del Cantone Ticino del Cantone Ticino, nonché all'Ufficio federale della migrazione.