Sachverhalt:
A. Der irakische Staatsangehörige X._ (geb. 1971) reiste im Januar 1998 als Asylbewerber in die Schweiz ein. Am 27. Januar 2000 wurde ihm Asyl gewährt. Er und seine in der Folge ebenfalls aus dem Irak nachgereiste Ehefrau Y._ (geb. 1980) sowie ihre Kinder S._ (geb. 1994), T._ (geb. 1995), U._ (geb. 1997) und V._ (geb. 2001) erhielten im Januar 2003 die Niederlassungsbewilligung. Im Juni 2007 wurde die gemeinsame Tochter W._ geboren. Das Strafgericht des Kantons Genf verurteilte X._ am 3. März 2004 wegen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 18 Monaten. Deswegen widerrief das damalige Bundesamt für Flüchtlinge am 31. August 2004 das ihm gewährte Asyl, was von der Schweizerischen Asylrekurskommission mit Urteil vom 16. August 2005 bestätigt wurde. Das Kreisgericht St. Gallen verurteilte X._ am 13. März 2008 namentlich wegen Veruntreuung, mehrfachen Betrugs, mehrfacher Nötigung und mehrfacher Urkundenfälschung sowie wegen Irreführung der Rechtspflege und einfacher Körperverletzung während der Ehe zu einer Freiheitsstrafe von drei Jahren. Das Kantonsgericht St. Gallen schob mit Entscheid vom 11. Februar 2009 den Vollzug bezüglich der Hälfte der Freiheitsstrafe auf, bestätigte im Übrigen aber den Schuldspruch des Kreisgerichts. Auf diese Verurteilungen hin widerrief das örtlich zuständige Migrationsamt des Kantons Thurgau am 15. April 2009 die Niederlassungsbewilligung von X._. Seine dagegen im Kanton erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten - hilfsweise subsidiärer Verfassungsbeschwerde - vom 14. Mai 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, den in dieser Sache im Kanton zuletzt ergangenen Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 17. März 2010 aufzuheben. Dieses sei anzuweisen, den Widerruf der Niederlassungsbewilligung und die Wegweisung aufzuheben. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht oder an das Migrationsamt zurückzuweisen. Subeventualiter seien die Vorinstanzen anzuweisen, "gestützt auf Art. 83 Abs. 6 AuG beim Bundesamt für Migration eine vorläufige Aufnahme wegen Unzumutbarkeit der Wegweisung zu beantragen" oder die Ausreisefrist zu verlängern.
Das kantonale Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration stellen Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten sei.
Mit Rechtsschrift vom 14. Mai 2010 - Postaufgabe 16. Juni 2010 - hat sich X._ ergänzend geäussert und Unterlagen nachgereicht. Ausserdem wird beantragt, die Ehefrau und die fünf gemeinsamen Kinder als Beschwerdeführer in das Verfahren einzubeziehen.
C. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 21. Mai 2010 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. Die Ehefrau und die Kinder können nicht als Beschwerdeführer im Verfahren vor Bundesgericht auftreten, da sie nicht bereits als Parteien am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen haben. Selbst nach dem Hinweis des Bundesgerichts vom 21. Juni 2010 haben sie nicht dargelegt, dass sie bei der Vorinstanz keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hätten (vgl. Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 133 II 181 E. 3.2 S. 187 mit Hinweis). Ungeachtet dessen würde ihr Einbezug in die Beschwerde nichts am Ergebnis ändern.
2. Der Beschwerdeführer (X._) rügt eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV), weil seine Ehefrau von der Vorinstanz nicht nochmals persönlich angehört wurde. Die Vorinstanz führt substantiiert aus, warum sie darauf in antizipierter Beweiswürdigung verzichtet hat (vgl. hiezu allgemein BGE 130 II 425 E. 2.1 S. 429 mit Hinweisen). Damit setzt sich der Beschwerdeführer trotz der Rüge- und Begründungsanforderungen nach Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG nicht auseinander. Er behauptet zwar, die Vorinstanz habe frühere Aussagen der Ehefrau als relevant erachtet, obwohl diese von ihr hernach ausdrücklich und wiederholt bestritten worden seien. Worum es sich dabei handeln soll, erklärt er jedoch nicht. Dass die Ehefrau "in jedem Fall mit den Kindern in der Schweiz bleiben" will, ist den Vorinstanzen klar gewesen. Deswegen musste die Ehefrau nicht nochmals angehört werden.
3. 3.1 Die Vorinstanzen stützen den Widerruf der Niederlassungsbewilligung auf Art. 63 Abs. 1 lit. a, b und c des hier anwendbaren Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20; vgl. zum Übergangsrecht Urteil des Bundesgerichts 2C_745/2009 vom 24. Februar 2009 E. 1.2). Es spricht viel dafür, dass die Widerrufsgründe der Art. 63 lit. b und c AuG - Verstoss gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung sowie dauerhafte und erhebliche Fürsorgeabhängigkeit - erfüllt sind, auch wenn der Beschwerdeführer das teilweise bezweifelt. Wie es sich damit definitiv verhält, kann indes offen bleiben. Denn der Widerrufsgrund der Verurteilung zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe nach Art. 63 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit Art. 62 lit. b AuG ist auf jeden Fall gegeben (vgl. dazu BGE 135 II 377 E. 4.2 und 4.5 S. 379 ff.). Das räumt auch der Beschwerdeführer ein. Fraglich ist insoweit nur, ob der Widerruf verhältnismässig ist (vgl. Art. 96 AuG).
3.2 Der Beschwerdeführer verweist auf drei Führungsberichte der Haftanstalten aus den Jahren 2007/2008 und auf ebenso viele Arbeitszeugnisse aus den Jahren 2002 bis 2005, welche ihn allesamt positiv beurteilen würden. Ausserdem macht er geltend, dass er aus freien Stücken aus dem Irak, wohin er aus Angst vor einer Strafverfolgung in der Schweiz zunächst geflohen sei, zurückkehrte und sich den hiesigen Behörden stellte. Er lebe seit seiner Entlassung aus dem Strafvollzug wieder bei der Ehefrau und den Kindern und gehe einer Arbeit nach, wobei er in kleinen monatlichen Raten seine Schulden abbezahle. Er sei damals denn auch wegen der Familie in die Schweiz zurückgekommen, obwohl ihn hier eine Gefängnisstrafe erwartete.
3.3 Die Vorinstanz hat unter Berücksichtigung der bundesgerichtlichen Praxis alle relevanten Umstände, die für und gegen einen weiteren Verbleib des Beschwerdeführers in der Schweiz sprechen, gegeneinander abgewogen. Sie kam dabei zum Schluss, dass der Widerruf verhältnismässig sei, auch wenn es seiner Ehefrau und den Kindern nicht zumutbar sein sollte, dem Beschwerdeführer ins Heimatland zu folgen. Im Übrigen sei nicht unbedingt davon auszugehen, dass diese ihm nachfolgen müssten. Der Beschwerdeführer habe seine "zweite Chance" nach der Verurteilung durch das Genfer Gericht und dem Widerruf des Asyls ohne Rücksicht auf seine Familie und die öffentliche Ordnung verspielt.
3.4 Ausgangspunkt für die fremdenpolizeiliche Abwägung ist die strafrechtliche Verurteilung. Zunächst wurde der Beschwerdeführer im Jahr 2004 in Genf wegen des Transports von rund einem halben Kilogramm Heroin verurteilt. Trotz einer Bewährungsstrafe wurde er danach wieder über einen längeren Zeitraum - von insgesamt zweieinhalb Jahren - in verschiedener Hinsicht deliktisch tätig, weswegen er zu einer dreijährigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde. Das Verschulden des Beschwerdeführers wiegt sehr schwer. Durch sein Verhalten hat er zudem Uneinsichtigkeit und Gleichgültigkeit gegenüber der Rechtsordnung erkennen lassen, wodurch ein erhebliches Interesse an seiner Fernhaltung begründet wird. Die Vorinstanz wie auch das Amt für Strafvollzug St. Gallen in seiner Verfügung vom 26. Mai 2009 gehen zu Recht davon aus, dass dem Beschwerdeführer keine günstige Prognose gestellt werden kann. Trotz rechtskräftigem zweitinstanzlichen Strafurteil bestreitet dieser im ausländerrechtlichen Verfahren noch immer einzelne Verurteilungen (in Bezug auf seine Ehefrau). Mithin kann ebenso wenig von einer ernsthaften Reue die Rede sein. Reue war entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers auch nicht das Motiv für die Rückkehr in die Schweiz nach der Flucht in den Irak. Seinem übrigen Vorbringen zufolge waren dafür andere Motive ausschlaggebend.
Das Bundesgericht hat wiederholt festgehalten, dass korrektem Verhalten im Strafvollzug und damit den Führungsberichten der Haftanstalten in fremdenpolizeilicher Hinsicht bloss untergeordnete Bedeutung zukommt (vgl. BGE 114 Ib 1 E. 3b S. 4 f.; Urteil 2A.51/2006 vom 8. Mai 2006 E. 4.2.3). Da die erwähnten Arbeitszeugnisse aus der Zeit vor und während des deliktischen Verhaltens des Beschwerdeführers stammen, kommt ihnen ebenfalls nur eine beschränkte Aussagekraft zu. Ausserdem blieb der Beschwerdeführer danach längere Zeit ohne Arbeit.
3.5 Der Beschwerdeführer erklärt, seine Familie sei auf ihn angewiesen. Dem ist allerdings entgegenzuhalten, dass der Beschwerdeführer bisher kaum für seine Familie gesorgt hat. Bis Ende 2009 wurden Fürsorgeleistungen in Höhe von über Fr. 320'000.-- erbracht. Trotz der Arbeitstätigkeit des Beschwerdeführers seit seiner Haftentlassung besteht noch immer Sozialhilfeabhängigkeit. Ausserdem musste die Familie bereits während seiner Haft - von Oktober 2006 bis August 2009 - ohne ihn auskommen. Sie war von ihm aber auch schon vorher sowohl persönlich als auch finanziell im Stich gelassen worden. Teils führte der Beschwerdeführer eine aussereheliche Beziehung, teils hielt er sich längere Zeit im Irak auf. Seiner Aufforderung, ihm in den Irak zu folgen, kam die Ehefrau nicht nach. Aus einem vom Beschwerdeführer eingereichten Bericht vom 23. Dezember 2008 ergibt sich, dass die Ehefrau sich mehr und mehr in ihrer Lebenssituation als allein erziehende Mutter zurecht findet. Der Beschwerdeführer spricht in diesem Zusammenhang selber von der Fähigkeit seiner Ehefrau zur Selbständigkeit.
3.6 Nach der von der Vorinstanz sorgfältig durchgeführten Interessenabwägung erweist sich der Widerruf der Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers insgesamt als verhältnismässig. Das öffentliche Fernhalteinteresse überwiegt vorliegend die persönlichen Interessen am Zusammenleben des Beschwerdeführers mit seinen Angehörigen in der Schweiz. Insoweit ist auch der Eingriff in das nach Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV geschützte Familienleben zulässig. Ergänzend wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen.
3.7 Der Beschwerdeführer macht zusätzlich eigene gesundheitliche bzw. psychische Probleme sowie die Furcht vor Repressalien in seiner Heimat geltend. Wie er selber einräumt, beruft er sich auf diese Umstände im vorliegenden Verfahren erstmals vor Bundesgericht. Er meint aber unter Hinweis auf Art. 99 Abs. 1 BGG, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben.
Soweit es sich hier teilweise um Tatsachen und Beweismittel handelt, die sich nach Ergehen des angefochtenen Entscheids ereignet haben oder entstanden sind (sog. echte Noven) kommt die Anwendung von Art. 99 Abs. 1 BGG jedoch nicht in Betracht. Das Bundesgericht hat diese Vorbringen und Beweismittel vielmehr von vornherein aus dem Recht zu weisen (vgl. Art. 105 BGG; BGE 133 IV 342 E. 2.1 S. 343 f.; 134 IV 97 E. 5.1.3 S. 103).
Soweit sich der Beschwerdeführer auf vorbestehende Tatsachen und Beweismittel (d.h. unechte Noven) beruft, ist Folgendes zu bemerken: Es geht vorliegend um Umstände aus der Sphäre des Beschwerdeführers, die den Behörden nicht bekannt sein mussten und die der Beschwerdeführer daher aufgrund seiner Mitwirkungspflicht (vgl. Art. 90 AuG) bereits bei den Vorinstanzen hätte vorbringen müssen. Dass das vorinstanzliche Verfahren nicht entsprechend den Erwartungen des Beschwerdeführers ausgegangen ist, bildet für sich allein keinen hinreichenden Anlass im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG (BGE 133 IV 342 E. 2.2 S. 344; 134 V 223 E. 2.2.1 S. 226 f.). Der Beschwerdeführer tut diesbezüglich nichts weiteres dar. Im Übrigen wurde ihm mit rechtskräftigem Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 15. Oktober 2008 die Flüchtlingseigenschaft gestützt auf Art. 1 C Ziff. 1 des Abkommens vom 28. Juli 1951 über die Rechtsstellung der Flüchtlinge (SR 0.142.30) aberkannt, nachdem er sich mehrfach freiwillig in den Irak begeben hatte.
4. Soweit sich der Beschwerdeführer auch gegen die Wegweisung - mitsamt der damit verbundenen Ausreisefrist nach Art. 66 Abs. 2 AuG - wendet und eine vorläufige Aufnahme anstrebt, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 83 lit. c Ziff. 3-5 BGG ausgeschlossen. Der Beschwerdeführer hat aber eventualiter auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG erhoben.
Gemäss Art. 66 Abs. 1 AuG verfügen die zuständigen Behörden die Wegweisung, wenn einem Ausländer die Bewilligung verweigert, widerrufen oder nicht verlängert wird. Die vorläufige Aufnahme wird nach Art. 83 AuG angeordnet, wenn der Vollzug der Wegweisung nicht möglich, nicht zulässig oder nicht zumutbar ist. Im vorinstanzlichen Verfahren ging es jedoch nicht um die vorläufige Aufnahme. Daher liegt diesbezüglich ein neues Begehren im Sinne von Art. 99 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 117 BGG vor, weshalb hierauf schon aus diesem Grunde nicht einzutreten ist. Im Rahmen der Beschwerde gegen die Wegweisung können keine Rügen geltend gemacht werden, die bereits Gegenstand des Entscheids über den Widerruf der Bewilligung waren. Somit entfällt vorliegend die Anrufung von Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV (vgl. Urteil des Bundesgerichts 2D_67/2009 vom 4. Februar 2010 E. 2.4 und E. 5). Im Übrigen macht der Beschwerdeführer keine rechtsgenüglichen Rügen nach Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG geltend. Zwar beruft er sich auf Art. 3 EMRK. Das allenfalls dazu passende Vorbringen zu seiner gesundheitlichen Situation und zum angeblichen Risiko von Repressalien in der Heimat ist indes schon aufgrund der Ausführungen in der vorangehenden Erwägung 3.7 ausgeschlossen.
5. Nach dem Dargelegten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet, soweit auf sie einzutreten ist. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten.
Diesem Ausgang entsprechend würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig. Mit Blick auf die Einkommens- und Vermögensverhältnisse der Familie wird auf die Erhebung von Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren verzichtet (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Damit wird der Antrag auf unentgeltliche Prozessführung der vor Bundesgericht nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird, soweit den Beschwerdeführer X._ betreffend, abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist, und auf seine subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten. Auf die Beschwerde der Ehefrau und der Kinder wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. August 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Merz