Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1967) stammt aus Kroatien und reiste anfangs 1997 im Familiennachzug zu seiner Gattin (geb. 1965) in die Schweiz ein. Aus der Ehe gingen zwei Kinder hervor (geb. 1997 bzw. 2000). Am 16. Juli 2008 wurde seine Ehe geschieden und die Kinder wurden unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt.
B. Am 4. Dezember 2009 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern es ab, die am 20. Juni 2008 ausgelaufene Aufenthaltsbewilligung von X._ zu verlängern. Dieser gelangte hiergegen erfolglos an das Justiz- und Sicherheitsdepartement sowie an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Die kantonalen Behörden gingen davon aus, dass X._ in der Schweiz über keinen Bewilligungsanspruch verfüge, da seine Kinder, zu denen er ein Besuchsrecht wahrnehme, nur Aufenthaltsbewilligungen hätten. Er habe hier erheblich und wiederholt gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung verstossen; was seine finanzielle Situation angehe, zeige sich ein "düsteres Bild". Es lägen deshalb Widerrufsgründe im Sinne von Art. 62 des Ausländergesetzes (AuG; SR 142.20) vor.
C. X._ hat hiergegen am 12. Mai 2011 beim Bundesgericht subsidiäre Verfassungsbeschwerde eingereicht. Er beantragt das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 4. April 2011 aufzuheben und das Sicherheits- und Justizdepartement anzuweisen, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Er macht geltend, dass er über seine "spontanen und regelmässigen Besuche" bei seinen Kindern hier ein intensives Familienleben pflege; die Kinder seien auf ihn angewiesen. Seine finanzielle Situation werde sich in absehbarer Zeit "massiv" verbessern. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen ausgeschlossen, auf deren Erteilung weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Rechtsanspruch einräumen. Der Beschwerdeführer beruft sich für sein Anwesenheitsrecht auf Art. 8 EMRK (Schutz des Privat- und Familienlebens) und die Beziehungen zu seinen Kindern.
1.2 Die Europäische Menschenrechtskonvention garantiert grundsätzlich keinen Anspruch auf Aufenthalt in einem Konventionsstaat (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.1 S. 285 f.). Es kann diese indessen verletzen, wenn einem Ausländer, dessen Familienangehörige sich hier aufhalten, die Anwesenheit untersagt und dadurch das durch Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 Abs. 1 BV) geschützte Familienleben vereitelt wird. Das sich in der Schweiz aufhaltende Familienmitglied muss hierfür seinerseits aber über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügen, was praxisgemäss nur der Fall ist, wenn es das Schweizer Bürgerrecht besitzt, ihm die Niederlassung gewährt wurde oder es eine Aufenthaltsbewilligung besitzt, die ihrerseits auf einem gefestigten Rechtsanspruch beruht (BGE 130 II 281 E. 3.1 S. 285 f.; vgl. das Urteil 2C_426/2010 vom 16. Dezember 2010 E. 4.2).
1.3 Die Kinder des Beschwerdeführers verfügen lediglich über Aufenthaltsbewilligungen; ihre sorgeberechtigte Mutter hat ebenfalls nur eine solche; diese beruht ihrerseits nicht auf einem gefestigten Rechtsanspruch. Der Beschwerdeführer kann sich mit Blick auf die Beziehungen zu seinen Kindern deshalb nicht auf Art. 8 EMRK berufen. Aus dem Schutz des Privatlebens ergibt sich ein Recht auf Verbleib im Land nur bei besonders intensiven privaten Beziehungen beruflicher oder gesellschaftlicher Natur (BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286); solche sind hier weder ersichtlich noch dargetan (vgl. das Urteil 2C_426/2010 vom 16. Dezember 2010 E. 3). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist im vorliegenden Fall somit ausgeschlossen.
1.4 Der Beschwerdeführer macht mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde sinngemäss - was den Begründungsanforderungen von Art. 106 BGG nicht genügt - auch eine Verletzung des Willkürverbots geltend: Gemäss Art. 115 lit. b BGG ist zur Verfassungsbeschwerde nur legitimiert, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Das Willkürverbot vermag ein solches nicht zu begründen (BGE 133 I 185 ff.). Der Ausländer, der über keinen Rechtsanspruch auf eine ausländerrechtliche Bewilligung verfügt, kann den die Aufenthaltsbewilligung verweigernden Entscheid in der Sache deshalb nicht mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde anfechten. Eine Verletzung von Verfahrensgarantien, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellen würde und die er trotz fehlender Legitimation in der Sache rügen könnte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend (Art. 42 i.V.m. Art. 116 BGG; BGE 133 I 185 E. 6.2). Auf die Eingabe ist somit auch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
2. 2.1 Die vorliegende Eingabe erweist sich mangels Bewilligungsanspruchs und hinreichender Beschwerdebegründung als offensichtlich unzulässig; es ist darauf im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.2 Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Entschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Mai 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Hugi Yar