Erwägungen:
Im Zusammenhang mit einem Klageverfahren betreffend Staatshaftung beschwerte sich X._ beim Kantonsgericht Basel-Landschaft unter anderem mit Beschwerde bzw. Verfassungsbeschwerde vom 26. Oktober 2009 über eine Präsidialverfügung des Bezirksgerichts Arlesheim vom 13. Oktober 2009. Er ergänzte die Beschwerde am 19. März 2010. Mit Urteil ihrer Präsidentin vom 1. Juni 2010 trat die Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht des Kantonsgerichts Basel-Landschaft auf die Beschwerde nicht ein. Am 2. Juli 2010 reichte X._ gegen dieses Urteil beim Bundesgericht ein als Appellation bezeichnetes Rechtsmittel ein. Auf das als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu betrachtende Rechtsmittel ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten:
Das Kantonsgericht hat unter Hinweis auf die im einzelnen wiedergegebenen und interpretierten einschlägigen kantonalrechtlichen Verfahrensbestimmungen erläutert, warum auf die Beschwerde vom 26. Oktober 2009 gegen die Präsidialverfügung des Bezirksgerichts Arlesheim vom 13. Oktober 2009 unter keinem Titel eingetreten werden könne. Mit seinen Ausführungen in der Rechtsschrift vom 2. Juli 2010 geht der Beschwerdeführer auf die detaillierten Erwägungen des Kantonsgerichts nicht näher ein, und er vermag auch im Ansatz nicht darzulegen, inwiefern diese Erwägungen bzw. das Urteil der Vorinstanz im Ergebnis schweizerisches Recht verletzten. Die Beschwerde, die nach Ablauf der Beschwerdefrist nicht mehr verbessert werden kann, entbehrt damit offensichtlich einer den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), weshalb darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
Soweit die Aufhebung anderer Entscheidungen beantragt wird (Anträge Ziff. 10 und 11), ist auf die Beschwerde - zusätzlich - darum nicht einzutreten, weil sie insofern verspätet wäre (Art. 100 Abs. 1 BGG) bzw. sich nicht gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid richtete (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG).
Eine Überweisung der Angelegenheit an eine andere Instanz, wie dies der Beschwerdeführer unter Hinweis auf Art. 30 Abs. 2 BGG anregt, fällt ausser Betracht: Dass auf die vorliegende Beschwerde mangels formgültiger Begründung nicht eingetreten wird, ändert nichts daran, dass das Bundesgericht zu deren Behandlung grundsätzlich zuständig ist.
Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Dem steht das Gesuch um Erlass des Kostenvorschusses nicht entgegen; selbst wenn damit sinngemäss um unentgeltliche Rechtspflege ersucht würde, könnte dem Gesuch schon wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Arlesheim und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. August 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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