Faits:
A.
A._, ressortissant du Cameroun né en 1963, s'est marié le 8 octobre 2005 avec une ressortissante française titulaire d'une autorisation d'établissement en Suisse. Il a obtenu une autorisation de séjour en raison de son mariage. Le couple s'est séparé le 30 avril 2007 et le divorce a été prononcé le 10 juin 2008. Il est père de deux enfants de nationalité suisse nés en 1990 et 1991 qui vivent auprès de leur mère en Suisse, ainsi que de trois enfants qui vivent au Cameroun. En mars et juin 2009, le Service des migrations du canton de Neuchâtel l'a avisé qu'il entendait refuser de renouveler son autorisation de séjour en Suisse.
Par décision du 23 avril 2012, le Service des migrations du canton de Neuchâtel a refusé la prolongation de l'autorisation de séjour et imparti à l'intéressé un délai pour quitter la Suisse.
Par décision du 7 septembre 2012, le Département de l'économie du canton de Neuchâtel a rejeté le recours que l'intéressé a déposé contre la décision du 23 avril 2012 écartant notamment l'argument selon lequel le mariage aurait pris fin en raison de violences conjugales. L'intéressé a interjeté recours auprès du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
B.
Par arrêt du 18 septembre 2013, le Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté le recours. Les violences conjugales alléguées n'étaient pas démontrées et la réintégration de l'intéressé au Cameroun n'était pas fortement compromise. Il ne pouvait se prévaloir de ses relations avec ses enfants majeurs, aucune dépendance particulière n'étant établie à leur égard. Enfin, le renvoi n'était pas impossible.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt rendu le 18 septembre 2013 et de prolonger son autorisation de séjour. Il demande l'effet suspensif. Il se plaint de la violation de l'interdiction de l'arbitraire.
Ni le Tribunal cantonal ni le Département de l'économie n'ont déposé d'observations. L'Office fédéral des migrations conclut au rejet du recours.
Par ordonnance du 18 octobre 2013, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.
Considérant en droit:
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 et ch. 4 in fine LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit ainsi que contre celles qui concernent le renvoi. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179).
En l'occurrence, le recourant se prévaut de manière soutenable des art. 50 al. 1 let. b LEtr et 8 CEDH sous l'angle du droit au respect de sa vie privée. Son recours échappe au motif d'irrecevabilité de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte. Elle est en revanche fermée s'agissant de la décision de renvoi.
1.2. Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Toutefois, il n'examine que les griefs soulevés, sauf en présence de violations de droit évidentes (ATF 138 I 274 consid. 1.6 p. 280). En outre, le Tribunal fédéral ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief motivé de façon détaillée conformément aux exigences accrues de l'art. 106 al. 2 LTF. Le recourant doit énoncer le droit ou principe constitutionnel violé et exposer de manière claire et circonstanciée en quoi consiste la violation (cf. ATF 138 I 171 consid. 1.4 p. 176).
1.3. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 LTF). Il s'ensuit que le courrier du 16 octobre 2013 annexé au recours ainsi que la demande tendant à procéder à l'audition de l'ex-épouse sont irrecevables.
2.
Le mémoire de recours comprend une motivation en fait (p. 4 à 8) puis une motivation relative à l'arbitraire dans l'établissement des faits (p. 9 à 20, en particulier p. 11 ch. 4 )
2.1. Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours peut critiquer les constatations de fait à la double condition que les faits aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause, ce que la partie recourante doit rendre vraisemblable par une argumentation répondant aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. ATF 136 II 508 consid. 1.2 p. 511). Comme la notion de " manifestement inexacte " figurant à l'art. 97 al. 1 LTF correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 III 226 consid. 4.2 p. 234), il appartient à la partie recourante de motiver la violation de l'interdiction de l'arbitraire en respectant les exigences de motivation de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. consid. 1.2 ci-dessus) également dans ce contexte.
2.2. En l'espèce, ni la motivation en fait qui figure dans le mémoire de recours (p. 4 à 8 ) ni le chapitre relatif à l'arbitraire dans l'établissement des faits (p. 9 à 20), qui comprend également des allusions au déni de justice et à la violation du droit d'être entendu n'exposent concrètement et de façon conforme aux exigences de motivation accrues de l'art. 106 al. 2 LTF en quoi les droits fondamentaux du recourant auraient été violés par l'instance précédente ni ne rendent vraisemblable en quoi la correction des vices allégués serait susceptible d'influer sur le sort de la cause, cette dernière condition n'étant du reste pas même évoquée. Les conditions de l'art. 97 al. 1 LTF n'étant pas réunies en l'espèce, il n'est pas possible de retenir un état de fait différent de celui qui figure dans l'arrêt attaqué.
3.
Le recourant se plaint de la violation de l'art. 59 ( recte 50) LEtr ainsi que des art. 31 et 77 OASA.
3.1. L'art. 50 al. 1 let. b LEtr permet au conjoint étranger de demeurer en Suisse après la dissolution de l'union conjugale, lorsque la poursuite de son séjour s'impose pour des raisons personnelles majeures. L'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr vise à régler les situations qui échappent aux dispositions de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, soit parce que le séjour en Suisse durant le mariage n'a pas duré trois ans, soit parce que l'intégration n'est pas suffisamment accomplie, ou encore parce que ces deux aspects font défaut mais que - eu égard à l'ensemble des circonstances - l'étranger se trouve dans un cas de rigueur après la dissolution de la famille (cf. ATF 137 II 345 consid. 3.2.1 p. 348 s.). A cet égard, c'est la situation personnelle de l'intéressé qui est décisive et non l'intérêt public que revêt une politique migratoire restrictive. Il s'agit par conséquent uniquement de décider du contenu de la notion juridique indéterminée " raisons personnelles majeures " et de l'appliquer au cas d'espèce, en gardant à l'esprit que l'art. 50 al. 1 let. b LEtr confère un droit à la poursuite du séjour en Suisse. Comme il s'agit de cas de rigueur survenant à la suite de la dissolution de la famille, en relation avec l'autorisation de séjour découlant du mariage, les raisons qui ont conduit à sa dissolution revêtent de l'importance. L'admission d'un cas de rigueur personnel survenant après la dissolution de la communauté conjugale suppose que, sur la base des circonstances d'espèce, les conséquences de la perte de séjour pour la vie privée et familiale de la personne étrangère soient d'une intensité considérable (cf. ATF 138 II 393 consid. 3.1 p. 394 s.). Le Tribunal fédéral a mis en lumière un certain nombre de situations dans lesquelles la poursuite du séjour en Suisse peut s'imposer, qui ne sont toutefois pas exhaustives. Parmi celles-ci figurent notamment les violences conjugales et/ou la réintégration fortement compromise dans le pays d'origine (cf. ATF 138 II 393 consid. 3 p. 394 ss et les références citées). Les critères énumérés par l'art. 31 al. 1 OASA peuvent également entrer en ligne de compte, même si, considérés individuellement, ils ne suffisent pas à fonder un cas de rigueur (ATF 137 II 345 consid. 3.2.3 p. 349; THOMAS HUGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten, Annuaire du droit de la migration 2012/2013, p. 78 s.).
S'agissant de la violence conjugale, la personne admise dans le cadre du regroupement familial doit établir qu'on ne peut plus exiger d'elle qu'elle poursuive l'union conjugale, parce que cette situation risque de la perturber gravement. La violence conjugale doit par conséquent revêtir une certaine intensité (ATF 138 II 393 consid. 3.1 p. 395). La notion de violence conjugale inclut également la violence psychologique. A l'instar de violences physiques, seuls des actes de violence psychique d'une intensité particulière peuvent justifier l'application de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr (ATF 138 II 229 consid. 3 p. 232 ss).
Quant à la réintégration sociale dans le pays de provenance, l'art. 50 al. 2 LEtr exige qu'elle semble fortement compromise. La question n'est donc pas de savoir s'il est plus facile pour la personne concernée de vivre en Suisse, mais uniquement d'examiner si, en cas de retour dans le pays d'origine, les conditions de sa réintégration sociale, au regard de sa situation personnelle, professionnelle et familiale, seraient gravement compromises (ATF 137 II 345 consid. 3.2.2 p. 349). Le simple fait que l'étranger doive retrouver des conditions de vie qui sont usuelles dans son pays de provenance ne constitue pas une raison personnelle majeure au sens de l'art. 50 LEtr, même si ces conditions de vie sont moins avantageuses que celles dont cette personne bénéficie en Suisse (cf. arrêt 2C_1188/2012 du 17 avril 2013 consid. 4.1).
3.2. En l'espèce, l'instance précédente retient que le recourant avait fait mention d'un seul épisode de violence au cours duquel sa femme l'aurait blessé à une dent en lui lançant un cendrier au visage, ce qui était établi par un témoin direct de la scène mais pas par certificat médical attestant de la blessure et de son origine. Elle constate ensuite que, malgré les affirmations du recourant à propos d'interventions policières provoquées par les violences exercées par son ex-femme entre 2005 et 2007, les recherches faites auprès de la police et des archives du Ministère public n'avaient pas permis de retrouver de dossiers de procédures dirigées contre l'ex-épouse pour violences conjugales. Elle constate enfin que ce n'était pas le recourant qui avait mis fin à la vie commune mais bien l'ex-épouse. Au vu des faits retenus par l'arrêt attaqué et en l'absence de preuves, notamment médicales, c'est à bon droit que l'instance précédente a jugé que l'intensité des violences conjugales exercées à l'encontre du recourant n'était pas suffisante pour que la poursuite de son séjour s'impose en application de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
3.3. L'instance précédente a ensuite nié, à bon droit également, que la réintégration du recourant dans son pays d'origine était fortement compromise. Elle a rappelé à cet effet que le recourant avait passé les quarante-deux premières années de sa vie dans son pays d'origine et qu'il y était retourné régulièrement entre 2008 et 2012 pour visiter trois de ses enfants qui y vivent encore. Le recourant objecte en vain qu'il est bien intégré en Suisse (mémoire de recours, p. 15 et 16), qu'il n'a jamais fait l'objet d'acte de poursuite ni de condamnation pénale et qu'il n'a jamais été aidé par l'assistance publique. En effet, la question de l'intégration du recourant en Suisse, sur laquelle l'instance précédente s'est penchée inutilement en l'espèce, n'est pas déterminante au regard des conditions de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr. Cette disposition ne s'attache qu'à celle - qui doit être fortement compromise - qui aura lieu dans le pays d'origine. Le recourant fait aussi valoir en vain qu'il ne pourra pas obtenir de travail dans son domaine d'activité au Cameroun, puisque la réintégration dans le pays d'origine n'est pas déjà fortement compromise parce que l'étranger n'y retrouvera pas de travail dans le domaine d'activité qui était le sien en Suisse.
Enfin, c'est aussi en vain que le recourant objecte, en citant les avertissements du 10 octobre 2013 du Département des affaires étrangères relatifs au Cameroun, que sa réintégration dans le pays d'origine est fortement compromise et son renvoi impossible et illicite (cf. sur la recevabilité de ce grief: ATF 137 II 345) en raison de la situation de la région notamment, en raison du risque d'attentats et d'enlèvements par des groupes terroristes et en raison des conditions de vie de la population locale qui pourraient donner lieu à de violents heurts avec les forces de l'ordre (cf. mémoire de recours p. 19 et 26). Les avertissements du Département des affaires étrangères s'adressent aux ressortissants helvétiques en voyage comme l'indique le titre du document " Conseil aux voyageurs " et ne fournissent que de manière abstraite des renseignements sur les risques que peuvent encourir les ressortissants de la région concernée. En cela, la situation décrite par de tels conseils ne permet pas encore de conclure à une réintégration fortement compromise du recourant dans son pays d'origine.
3.4. En jugeant qu'il n'y avait aucune raison personnelle majeure qui imposait la poursuite du séjour du recourant en Suisse, l'instance précédente a correctement appliqué le droit fédéral. Le recours est rejeté sur ce point.
4.
Le recourant se prévaut de sa relation avec ses enfants de nationalité suisse.
4.1. Selon la jurisprudence, un étranger peut se prévaloir de la protection de la vie familiale découlant de l'art. 8 CEDH (et de l'art. 13 Cst.) pour s'opposer à une éventuelle séparation de sa famille, à condition qu'il entretienne une relation étroite et effective avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse (cf. ATF 137 I 284 consid. 1.3 p. 287; 136 II 177 consid. 1.2 p. 180; arrêt 2C_639/2012 du 13 février 2013 consid. 1.2.2). Les relations visées par l'art. 8 CEDH sont avant tout celles qui existent entre époux, ainsi que les relations entre parents et enfants mineurs vivant en ménage commun (cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.2 p. 146; 127 II 60 consid. 1d/aa p. 65; arrêt 2C_40/2012 du 15 octobre 2012 consid. 8). Un étranger majeur ne peut se prévaloir de cette disposition que s'il se trouve dans un état de dépendance particulier par rapport à des membres de sa famille résidant en Suisse en raison, par exemple, d'un handicap (physique ou mental) ou d'une maladie grave (cf. ATF 129 II 11 consid. 2 p. 13 s.; 120 Ib 257 consid. 1d p. 261; arrêt 2C_432/2011 du 13 octobre 2011 consid. 3.2). On peut en effet généralement présumer qu'à partir de dix-huit ans, un jeune adulte est en mesure de vivre de manière indépendante, sauf circonstances particulières telles qu'un handicap physique ou mental, ou une maladie grave (cf. ATF 137 I 154 consid. 3.4.2 p. 159; 120 Ib 257 consid. 1e p. 261 s.; arrêt 2C_508/2009 du 20 mai 2010 consid. 2.2).
4.2. C'est à bon droit que l'instance précédente a constaté que les enfants du recourant sont majeurs, l'étaient déjà en mars 2009 lorsque le Service des migrations a avisé le recourant de son intention de ne pas renouveler son permis de séjour et qu'hormis de bonnes relations affectives et la prise en charge de certains frais d'études par le recourant, ce dernier ne peut se prévaloir d'aucune relation de dépendance particulière avec ses enfants au sens de la jurisprudence qui justifierait la prolongation de son permis de séjour en Suisse fondée sur les garanties de l'art. 8 CEDH.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Succombant, le recourant doit supporter les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais de justice, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service des migrations du canton de Neuchâtel, au Département de l'économie du canton de Neuchâtel, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 11 avril 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Seiler
Le Greffier: Dubey