Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1989) stammt aus Sri Lanka. Das Bundesamt für Migration wies am 18. Januar 2012 sein Asylgesuch ab; eine Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht hiergegen blieb am 7. November 2012 ohne Erfolg. X._ verliess trotz entsprechender Aufforderungen die Schweiz nicht, worauf am 10. Dezember 2012 das Verfahren eingeleitet wurde, um für ihn ein Ersatzreisepapier zu beschaffen.
B. Am 26. Dezember 2012 teilte sein neuer Anwalt dem Migrationsamt Appenzell Ausserrhoden mit, dass er für seinen Mandanten ein neues Asylgesuch einreichen werde, weshalb mit Vollzugsmassnahmen noch zuzuwarten sei. X._ sprach am 4. Januar 2013 auf dem Migrationsamt Appenzell Ausserrhoden vor, wo er um 15.30 Uhr in Ausschaffungshaft genommen wurde. Die entsprechende Verfügung ist am 7. Januar 2013 begründet worden. Am 7. bzw. 14. Januar 2013 setzte die Instruktionsrichterin im Rahmen des Revisionsverfahrens gegen das bundesverwaltungsgerichtliche Urteil vom 7. November 2012 den Vollzug der Wegweisung von X._ aus. Der Einzelrichter am Obergericht Appenzell Ausserrhoden prüfte die Haft am 8. Januar 2013 und genehmigte sie bis zum 3. Juli 2013.
C. X._ beantragt vor Bundesgericht, den Entscheid des Obergerichts Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, aufzuheben; er sei aus der Ausschaffungshaft zu entlassen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung und für die ausgestandene Haft eine Entschädigung zu gewähren.
Das Amt für Migration und das Obergericht Appenzell Ausserrhoden beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Migration weist daraufhin, dass ein zwangsweiser Wegweisungsvollzug nach Sri Lanka grundsätzlich möglich sei und durchgeführt werde. X._ hat an seinen Anträgen und Ausführungen festgehalten.
Erwägungen:
1. 1.1 Der Betroffene kann gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid betreffend Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gelangen (Art. 82 i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 89 Abs. 1 BGG; Urteil 2C_1089/20012 vom 22. November 2012 E. 1). Dieses wendet das Recht in seinem Verfahren grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der Begründungspflicht des Betroffenen, nur die vorgebrachten Rügen, es sei denn die rechtlichen Mängel erschienen geradezu offensichtlich. Das Bundesgericht ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr problematisiert werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1). Die beschwerdeführende Person muss sich im Bezug auf den Verfahrensgegenstandes in rechtlicher wie sachverhaltsmässiger Hinsicht sachbezogen mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid auseinandersetzen und darlegen, dass und inwiefern die Vorinstanz des Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt bzw. willkürlich gewürdigt oder anderweitig Bundesrecht verletzt hat (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.3; 133 III 350 E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4).
1.2 Der Beschwerdeführer ersucht erstmals vor Bundesgericht darum, ihm bei einer Gutheissung der Beschwerde eine Entschädigung für die bisherige unzulässige Ausschaffungshaft in der Höhe von Fr. 200.-- pro Hafttag zuzusprechen. Dieser Antrag geht über den Verfahrensgegenstand hinaus, bildet ein unzulässiges neues rechtliches Begehren (vgl. Art. 99 Abs. 2 BGG) und wird vom Beschwerdeführer nicht rechtsgenügend begründet. Entsprechende Ansprüche sind regelmässig staatshaftungsrechtlich geltend zu machen (vgl. Art. 21 Abs. 5 bzw. 70 KV/AR [bGWS111.1]). Sie bilden nicht bereits wegen Art. 5 Ziff. 5 EMRK Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens (vgl. das EGMR-Urteile Jusic gegen Schweiz vom 2. Dezember 2010 [Nr. 4691/06] §§ 103 ff. und Steel gegen Vereinigtes Königreich vom 23. September 1998, Recueil CourEDH 1998-VII S. 2919 § 83; BGE 129 I 139 E. 3). In diesem ist darüber zu befinden, ob das Vorliegen der jeweiligen ausländerrechtlichen Voraussetzungen für die Anordnung der umstrittenen Zwangsmassnahme zu Unrecht bejaht wurde und der Betroffene aus der Festhaltung zu entlassen ist. Ein Entlassungsentscheid bedeutet im Übrigen nicht zwangsläufig, dass die Festhaltung von allem Anfang an widerrechtlich war; nur soweit die Feststellung der Widerrechtlichkeit der Haft im Freilassungsentscheid reicht, ist dieser für die Beurteilung des Entschädigungsanspruchs verbindlich (vgl. THOMAS HUGI YAR, § 10 Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser (Hrsg.), Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, N. 10.162 f.). Bezüglich eines allfälligen Entschädigungsbegehrens kann die mit dem Rekurs befasste kantonale Instanz entweder aus verfahrensökonomischen Gründen selber entscheiden oder aber die Beurteilung der für Staatshaftungsfragen zuständigen Behörde überlassen (vgl. BGE 137 I 296 E. 6 S. 303 f.; 136 I 274 E. 2.3 S. 278; Urteil 2C_11/2012 vom 25. April 2012 E. 1.3). Das Bundesgericht als oberste Rechtsprüfungsbehörde prüft seinerseits nicht erstinstanzlich, ob und in welchem Umfang allenfalls eine Entschädigung geschuldet ist.
1.2 Der Beschwerdeführer ersucht erstmals vor Bundesgericht darum, ihm bei einer Gutheissung der Beschwerde eine Entschädigung für die bisherige unzulässige Ausschaffungshaft in der Höhe von Fr. 200.-- pro Hafttag zuzusprechen. Dieser Antrag geht über den Verfahrensgegenstand hinaus, bildet ein unzulässiges neues rechtliches Begehren (vgl. Art. 99 Abs. 2 BGG) und wird vom Beschwerdeführer nicht rechtsgenügend begründet. Entsprechende Ansprüche sind regelmässig staatshaftungsrechtlich geltend zu machen (vgl. Art. 21 Abs. 5 bzw. 70 KV/AR [bGWS111.1]). Sie bilden nicht bereits wegen Art. 5 Ziff. 5 EMRK Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens (vgl. das EGMR-Urteile Jusic gegen Schweiz vom 2. Dezember 2010 [Nr. 4691/06] §§ 103 ff. und Steel gegen Vereinigtes Königreich vom 23. September 1998, Recueil CourEDH 1998-VII S. 2919 § 83; BGE 129 I 139 E. 3). In diesem ist darüber zu befinden, ob das Vorliegen der jeweiligen ausländerrechtlichen Voraussetzungen für die Anordnung der umstrittenen Zwangsmassnahme zu Unrecht bejaht wurde und der Betroffene aus der Festhaltung zu entlassen ist. Ein Entlassungsentscheid bedeutet im Übrigen nicht zwangsläufig, dass die Festhaltung von allem Anfang an widerrechtlich war; nur soweit die Feststellung der Widerrechtlichkeit der Haft im Freilassungsentscheid reicht, ist dieser für die Beurteilung des Entschädigungsanspruchs verbindlich (vgl. THOMAS HUGI YAR, § 10 Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser (Hrsg.), Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, N. 10.162 f.). Bezüglich eines allfälligen Entschädigungsbegehrens kann die mit dem Rekurs befasste kantonale Instanz entweder aus verfahrensökonomischen Gründen selber entscheiden oder aber die Beurteilung der für Staatshaftungsfragen zuständigen Behörde überlassen (vgl. BGE 137 I 296 E. 6 S. 303 f.; 136 I 274 E. 2.3 S. 278; Urteil 2C_11/2012 vom 25. April 2012 E. 1.3). Das Bundesgericht als oberste Rechtsprüfungsbehörde prüft seinerseits nicht erstinstanzlich, ob und in welchem Umfang allenfalls eine Entschädigung geschuldet ist.
1.3 1.3.1 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, in seiner Heimat wegen der Beziehungen zur LTTE ("Liberation Tigers of Tamil Eeleam") verfolgt zu sein und bei einer Ausschaffung mit einer unmenschlichen Behandlung oder Folter rechnen zu müssen, bildet diese Frage nur beschränkt Gegenstand des Verfahrens: Die Haftprüfung dient praxisgemäss nicht der Kontrolle des Wegweisungsentscheids oder von anderen den Ausländer zur Ausreise verpflichtenden Anordnungen. Der Haftrichter hat sich grundsätzlich nur zu vergewissern, ob (überhaupt) ein Weg- oder Ausweisungsentscheid vorliegt. Einwände mit Bezug auf dessen Rechtmässigkeit sind im Asyl-, Bewilligungs- oder Wegweisungsverfahren durch die jeweils zuständigen Behörden zu prüfen, nicht (erstinstanzlich) durch den Haftrichter (vgl. die Urteile 2C_749/2012 vom 28. August 2012 E. 2.1; 2C_304/2012 vom 1. Mai 2012 E. 2.1 und 2C_455/2009 vom 5. August 2009 E. 2.3). Der Inhaftierte muss sich in diesen Punkten nötigenfalls mit einem Wiedererwägungsgesuch an das Bundesamt oder die zuständige kantonale Ausländerbehörde wenden und hernach den entsprechenden Rechtsweg beschreiten (vgl. BGE 125 II 217 E. 2; TARKAN GÖKSU, in: Caroni/ Gächter/Thurnherr [Hrsg.], Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG], 2010, N. 14 zu Art. 80; ANDREAS ZÜND, in: Spescha/Thür/Zünd/Bolzli, Migrationsrecht, 3. Aufl. 2012, N. 6 f. zu Art. 80 AuG [e contrario]; HUGI YAR, a.a.O., N. 10.28). Nur wenn der Wegweisungsentscheid offensichtlich unzulässig, d.h. praktisch geradezu willkürlich bzw. nichtig erscheint, darf bzw. muss die Haftgenehmigung verweigert werden, da der Vollzug einer in diesem Sinn rechtswidrigen Anordnung nicht mit einer ausländerrechtlichen Zwangsmassnahme sichergestellt werden darf (BGE 128 II 193 E. 2.2.2 S. 198 mit Hinweisen; 121 II 59 E. 2c; 130 II 56 E. 2 S. 58).
1.3.2 Das Bundesamt für Migration hat das Asylgesuch des Beschwerdeführers am 18. Januar 2012 abgelehnt und ihn aus der Schweiz weggewiesen. Das Bundesverwaltungsgericht bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin am 7. November 2012. Es liegt somit gegen den Beschwerdeführer ein Wegweisungsentscheid vor. Zur Anordnung der Ausschaffungshaft muss ein solcher - anders als dies hier der Fall ist - an sich (noch) nicht rechtskräftig sein; es genügt, dass sein Vollzug (z.B. wegen fehlender Papiere) noch nicht möglich, jedoch absehbar erscheint (Urteil 2C_749/2012 vom 28. August 2012 E. 1). Zwar ist der Beschwerdeführer mit einem neuen Asyl- bzw. Revisionsgesuch an das Bundesverwaltungsgericht gelangt, doch lässt dies den Wegweisungsentscheid für sich allein nicht dahinfallen. Es wird in diesem Verfahren definitiv darüber entschieden werden, ob sich der Vollzug der Weg- oder Ausweisung aus flüchtlings- oder asylrechtlichen oder tatsächlichen Gründen (vgl. Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG) als undurchführbar erweist oder nicht. Die entsprechende Prüfung oblag, nachdem ein rechtskräftiger Entscheid der zuständigen Behörde vorlag, nicht dem Haftrichter.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht in verfahrensrechtlicher Hinsicht geltend, die Haftprüfung sei verspätet erfolgt, zudem habe sein Rechtsvertreter an der Haftverhandlung nicht teilnehmen können. Der Haftrichter habe nicht begründet, weshalb die Dauer von sechs Monaten den Umständen "angemessen" sei; auch habe sein Anwalt keine vollständige Akteneinsicht nehmen können. Insgesamt lägen damit schwere Verletzungen von verfahrensrechtlichen Vorschriften vor, welche zur Haftentlassung führen müssten.
2.2 Die Rechtmässigkeit und die Angemessenheit der Ausschaffungshaft sind spätestens nach 96 Stunden durch eine richterliche Behörde aufgrund einer mündlichen Verhandlung zu überprüfen (Art. 80 Abs. 2 AuG). Die Frist von 96 Stunden läuft nicht erst ab der Haftanordnung, sondern bemisst sich ab dem Zeitpunkt, in dem der Betroffene aus ausländerrechtlichen Gründen tatsächlich festgehalten wird (BGE 127 II 174 E. 2b/aa; ZÜND, a.a.O., N. 2 zu Art. 80 AuG). Der inhaftierte Ausländer hat Anspruch darauf, mit dem von ihm bezeichneten Rechtsvertreter mündlich und schriftlich zu verkehren (Art. 81 Abs. 1 AuG). Ist er im Verfahren vor dem Haftrichter nicht vertreten, weil die Behörden nichts unternommen haben, um ihm den Kontakt zu ermöglichen, bzw. weil sie seinen Anwalt nicht über die Festhaltung oder den Hafttermin informiert haben, verletzt dies seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (so die Urteile 2A.236/2002 vom 27. Mai 2002 E. 2 und 3, publ. in: Pra 2002 Nr. 142 S. 769 ff.; 2A.346/2006 vom 4. Juli 2006 E. 4.1; 2C_334/2008 vom 30. Mai 2008 E. 4; THOMAS HUGI YAR, a.a.O., N. 10.40). Eine wirksame Vertretung setzt voraus, dass der Rechtsvertreter auch die Möglichkeit erhält, die Verhandlung vorzubereiten, was nur möglich erscheint, wenn ein entsprechendes Akteneinsichtsgesuch prioritär geprüft und die Unterlagen dem Rechtsvertreter möglichst umgehend zur Verfügung gestellt werden. Dieser muss rechtzeitig zumindest in diejenigen Akten Einsicht nehmen können, welche als Grundlage des Entscheids dienen sollen (vgl. die Urteile 2C_756/2009 vom 15. Dezember 2009 E. 1.2 und 2A.294/2002 vom 3. Juli 2002 E. 2). Es ist im Verfahren der Haftprüfung trotz Zeitdrucks Aufgabe des Haftrichters, sicherzustellen, dass die Rechte des Inhaftierten gewahrt bleiben (vgl. HUGI YAR, a.a.O., N. 10.24 und 10.25 S. 435).
2.3 Entgegen den Rügen in der Beschwerdeschrift wurden die entsprechenden Rechte vorliegend eingehalten: Der Beschwerdeführer ist am Freitag, dem 4. Januar 2013, um 15.30 Uhr in Ausschaffungshaft genommen worden. Die Haftrichterverhandlung zu deren Genehmigung begann am Dienstag 8. Januar um 14.30 Uhr, d.h. nach 95 Stunden, und endete um 15.10 Uhr. Wann der Beschwerdeführer auf dem Amt vorgesprochen hat, ist nicht bekannt; er legt dies in seiner Eingabe entgegen seiner Begründungspflicht (vgl. oben E. 1.1) auch nicht dar; vermutlich dürfte dies aber gegen 14.00 Uhr der Fall gewesen sein (Öffnungszeiten des Migrationsamts: 14.00 bis 17.00 Uhr). In der Folge war abzuklären, wie die Situation des Beschwerdeführers weiter zu behandeln war. Wenn er 15.30 Uhr im Gefängnis angekommen ist, wie er geltend macht, dürfte die Abfahrt aus dem Migrationsamt gegen 15.10 Uhr erfolgt sein (Trogen-Niederteufen 11 Km; im Auto 20 Minuten nach Google-Maps). Die Haftverhandlung hat damit vor Ablauf der 96 Stunden begonnen und wurde rechtzeitig beendet. Der Anwalt des Beschwerdeführers ist nach seiner Darstellung (Schreiben vom 5. Januar 2013) am 4. Januar 2013 um 17.00 Uhr über die Inhaftierung seines Klienten informiert worden. Am 7. Januar 2013 wurden ihm die wichtigsten Aktenstücke in Kopie übermittelt und ihm seitens des Obergerichts die Haftverhandlung angezeigt unter Hinweis darauf, dass er bis 11.00 Uhr auch eine schriftliche Stellungnahme einreichen könne, was er in der Folge getan hat. In die wesentlichen Aktenstücke konnte er mit Blick auf die Frist von 96 Stunden, innert welcher die Haft genehmigt werden musste, in angemessener Weise Einblick nehmen. Zwar wurde die Haft gleich für 6 Monate bewilligt, doch trug der Haftrichter dabei - wie sich hinreichend aus der Begründung des Haftentscheids ergibt - der potenziellen Dauer des hängigen Verfahrens vor dem Bundesverwaltungsgericht Rechnung.
3. 3.1 Die Ausschaffungshaft soll den Vollzug der Entfernungsmassnahme sicherstellen und muss ernsthaft geeignet sein, diesen Zweck zu erreichen, was nicht (mehr) der Fall ist, wenn die Weg- oder Ausweisung trotz der behördlichen Bemühungen nicht in einem dem konkreten Fall angemessenen Zeitraum vollzogen werden kann. Die Festhaltung hat, weil unverhältnismässig, dann als unzulässig zu gelten, wenn triftige Gründe für solche Verzögerungen sprechen oder praktisch feststeht, dass sich der Vollzug kaum innert vernünftiger Frist wird realisieren lassen (BGE 130 II 56 E. 4.1.3 S. 61 mit Hinweisen). Die Ausschaffungshaft muss verhältnismässig und zweckbezogen auf die Sicherung des Wegweisungsverfahrens ausgerichtet sein; es muss jeweils aufgrund sämtlicher Umstände geklärt werden, ob sie (noch) geeignet bzw. erforderlich erscheint und nicht gegen das Übermassverbot, d.h. das sachgerechte und zumutbare Verhältnis von Mittel und Zweck, verstösst (zur Ausschaffungshaft: BGE 133 II 1 E. 5.1 S. 5 und unpublizierte E. 7; BGE 126 II 439 ff.; zur Durchsetzungshaft: BGE 134 I 92 E. 2.3.2 S. 97; 133 II 97 E. 2.2 S. 100).
3.2 Die entsprechenden Anforderungen an die ausländerrechtliche Festhaltung ergeben sich aus dem Haftzweck, aus Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK und dem Verhältnismässigkeitsgrundsatz (Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 i.V.m. Art. 10 Abs. 2 BV), aber auch aus der für die Schweiz im Rahmen des Schengen-Besitzstands relevanten sog. "Rückführungsrichtlinie" (Richtlinie 2008/115/EG des Europäischen Parlaments und des Rats vom 16. Dezember 2008 über gemeinsame Normen und Verfahren in den Mitgliedstaaten zur Rückführung illegal aufhältiger Drittstaatsangehöriger, ABl. L 348 vom 24. Dezember 2008 S. 98 ff; vgl. ANDRÉ EQUEY, Änderungen im Bereich der Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht aufgrund der Übernahme der EG-Rückführungsrichtlinie durch die Schweiz, AJP 2011 S. 924 ff., dort S. 934): Diese geht grundsätzlich vom Vorrang der freiwilligen Ausreise aus (vgl. Art. 7 RL 2008/115/EG). Machen die Mitgliedstaaten - als "letztes Mittel" - von Zwangsmassnahmen zur Durchführung der Abschiebung von Widerstand leistenden Drittstaatsangehörigen Gebrauch, so müssen diese Massnahmen verhältnismässig sein und dürfen nicht über die Grenzen des Erforderlichen hinausgehen. Sie müssen nach dem einzelstaatlichen Recht im Einklang mit den Grundrechten und unter gebührender Berücksichtigung der Menschenwürde und körperlichen Unversehrtheit der betroffenen Personen erfolgen (Art. 8 Abs. 4 RL 2008/115/EG). Drittstaatsangehörige, gegen die ein Rückkehrverfahren hängig ist, können nur in Haft genommen werden, wenn im konkreten Fall keine anderen, milderen Zwangsmassnahmen wirksam erscheinen (vgl. EQUEY, a.a.O., S. 936); die Haftdauer hat so kurz wie möglich zu sein; sie darf sich nur auf die Dauer der laufenden Abschiebungsvorkehrungen erstrecken, soweit diese mit der gebotenen Sorgfalt vorangetrieben werden (vgl. Art. 15 Abs. 1 RL 2008/115/EG).
3.2 Die entsprechenden Anforderungen an die ausländerrechtliche Festhaltung ergeben sich aus dem Haftzweck, aus Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK und dem Verhältnismässigkeitsgrundsatz (Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 i.V.m. Art. 10 Abs. 2 BV), aber auch aus der für die Schweiz im Rahmen des Schengen-Besitzstands relevanten sog. "Rückführungsrichtlinie" (Richtlinie 2008/115/EG des Europäischen Parlaments und des Rats vom 16. Dezember 2008 über gemeinsame Normen und Verfahren in den Mitgliedstaaten zur Rückführung illegal aufhältiger Drittstaatsangehöriger, ABl. L 348 vom 24. Dezember 2008 S. 98 ff; vgl. ANDRÉ EQUEY, Änderungen im Bereich der Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht aufgrund der Übernahme der EG-Rückführungsrichtlinie durch die Schweiz, AJP 2011 S. 924 ff., dort S. 934): Diese geht grundsätzlich vom Vorrang der freiwilligen Ausreise aus (vgl. Art. 7 RL 2008/115/EG). Machen die Mitgliedstaaten - als "letztes Mittel" - von Zwangsmassnahmen zur Durchführung der Abschiebung von Widerstand leistenden Drittstaatsangehörigen Gebrauch, so müssen diese Massnahmen verhältnismässig sein und dürfen nicht über die Grenzen des Erforderlichen hinausgehen. Sie müssen nach dem einzelstaatlichen Recht im Einklang mit den Grundrechten und unter gebührender Berücksichtigung der Menschenwürde und körperlichen Unversehrtheit der betroffenen Personen erfolgen (Art. 8 Abs. 4 RL 2008/115/EG). Drittstaatsangehörige, gegen die ein Rückkehrverfahren hängig ist, können nur in Haft genommen werden, wenn im konkreten Fall keine anderen, milderen Zwangsmassnahmen wirksam erscheinen (vgl. EQUEY, a.a.O., S. 936); die Haftdauer hat so kurz wie möglich zu sein; sie darf sich nur auf die Dauer der laufenden Abschiebungsvorkehrungen erstrecken, soweit diese mit der gebotenen Sorgfalt vorangetrieben werden (vgl. Art. 15 Abs. 1 RL 2008/115/EG).
3.3 3.3.1 Bei Berücksichtigung sämtlicher Umstände erscheint die Aufrechterhaltung der Ausschaffungshaft im vorliegenden Fall als unverhältnismässig: Zwar stellt der Beschwerdeführer den Haftgrund als solchen (Verletzung der Mitwirkungspflichten) nicht infrage (vgl. oben E. 1.1), doch ist nicht zu verkennen, dass er sich am 4. Januar 2013 selber freiwillig bei den Migrationsbehörden gemeldet hat. Aus den Akten ergibt sich, dass das Migrationsamt am 26. November 2012 vom damaligen Vertreter des Beschwerdeführers darüber informiert worden war, dass er eingeladen worden sei, das Urteil vom 7. November 2012 zu prüfen, weshalb darum ersucht werde, das auf den 29. November 2012 angesetzte Ausreisegespräch auf einen späteren Zeitpunkt zu verschieben, was das Migrationsamt unter Hinweis auf die auf den 13. Dezember 2012 festgesetzte Ausreisefrist ablehnte. Am 26. Dezember 2012 teilte der heutige Rechtsvertreter dem Migrationsamt mit, dass er wegen der nach wie vor bestehenden Gefahr unmenschlicher Behandlung und aufgrund neuer Beweismittel mit einer zusätzlichen Eingabe an die Asylbehörden gelangen werde, was er am 6. Januar 2013 tat, nachdem der Beschwerdeführer sich am 4. Januar 2013 beim Migrationsamt gemeldet hatte. Zwar ist dieser seinen Mitwirkungspflichten (Ausreise, Papierbeschaffung usw.) nicht nachgekommen; seine Rechtsvertreter sind aber immer mit den Migrationsbehörden in Kontakt geblieben, sodass nicht gesagt werden kann, dass er sich jenen entzogen hätte, was unter Verhältnismässigkeitsgesichtspunkten zu berücksichtigen ist.
3.3.2 Die Instruktionsrichterin am Bundesverwaltungsgericht hat mit Zwischenverfügung vom 14. Januar 2013 den Vollzug der Wegweisung für die Dauer des Revisionsverfahrens "definitiv" ausgesetzt und dem Gesuchsteller erlaubt, den Ausgang des Verfahrens in der Schweiz abzuwarten ("Vorläufiges Bleiberecht des Gesuchstellers in der Schweiz"). Unter diesen Umständen rechtfertigte es sich - entgegen der Auffassung des Migrationsamts - nicht (mehr), ihn in Haft zu nehmen bzw. zu belassen. Eine mildere Massnahme ist gestützt auf das bisherige Verhalten des Beschwerdeführers ebenso geeignet, den Vollzug einer allfälligen künftigen Wegweisung sicherzustellen, zumal aufgrund der Anordnungen des Bundesverwaltungsgerichts das Papierbeschaffungsverfahren bis auf Weiteres ebenfalls eingestellt werden musste (Fax vom 16. Januar 2013). Der Beschwerdeführer verfügt in der Schweiz über zwei Onkel, bei denen er sich bis zum definitiven Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts über sein Revisionsgesuch allenfalls aufhalten kann bzw. bereits aufgehalten hat; nötigenfalls können ihn die Behörden auch an einem anderen Ort unterbringen. Es ist nicht ersichtlich, weshalb die beabsichtigte Sicherstellung des Wegweisungsentscheids nicht mit milderen Massnahmen (Ein- oder Ausgrenzung [Art. 74 AuG], Meldepflicht [Art. 64e AuG] usw.) ebenso wirksam, aber für den Betroffenen weniger einschneidend, möglich wäre.
4. 4.1 Die Beschwerde ist gutzuheissen, soweit darauf eingetreten wird, der Entscheid des Obergerichts Appenzell Ausserrhoden vom 8. Januar 2013 aufzuheben und der Beschwerdeführer unverzüglich aus der Haft zu entlassen. Es bleibt den kantonalen Behörden unbenommen, diesem eine Meldepflicht aufzuerlegen oder ihn auf ein bestimmtes Gebiet einzugrenzen (vgl. Art. 74 Abs. 1 lit. b AuG). Eine allfällige Missachtung der Ein- oder Ausgrenzung könnte für den Beschwerdeführer eine Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder eine Geldstrafe zur Folge haben (Art. 119 AuG; Urteil 2C_1089/2102 vom 22. November 2012 E. 5).
4.2 Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Mit der Gutheissung der Beschwerde wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos. Der Kanton Appenzell Ausserrhoden hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen. Das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden hat über die kantonale Kosten- und Entschädigungsfrage neu zu befinden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, vom 8. Januar 2013 wird aufgehoben. Der Beschwerdeführer ist unverzüglich aus der Haft zu entlassen.
2. 2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Der Kanton Appenzell Ausserrhoden hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'400-- zu entschädigen.
2.3 Das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden hat über die kantonale Kosten- und Entschädigungsfrage neu zu befinden.
2.4 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar