Sachverhalt:
A. Der aus Bosnien stammende, in der Schweiz wohnhafte X._ (geb. 1973) ist seit dem 2. Februar 2006 mit seiner Landsfrau Y._ (geb. 1976) verheiratet, die von ihm zwei vorehelich gezeugte Kinder hat (A._, geb. 1993, sowie B._, geb. 2001) und zusammen mit diesen im Heimatland lebt.
Zuvor - am 2. September 2000 - hatte X._ seine Landsfrau Z._ (geb. 1974) geheiratet, welche 1990 im Rahmen des Familiennachzuges in die Schweiz gekommen war und über eine Niederlassungsbewilligung verfügt. Am 9. Oktober 2000 reiste er zu ihr in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung. Am 26. Juli 2004 wurde Z._ Mutter einer ausserehelich gezeugten Tochter namens C._. In der Folge trennten sich die Eheleute; ihre Ehe wurde am 5. Januar 2006 geschieden. Einen knappen Monat später heiratete X._ die Mutter seiner beiden in den Jahren 1993 und 2001 geborenen Kinder. Am 12. Februar 2006 stellte er ein Gesuch um Familiennachzug für seine neue Ehefrau und die beiden gemeinsamen Kinder.
B. Im Oktober 2006 leitete das Ausländeramt des Kantons St. Gallen gegen X._ Ermittlungen wegen des Verdachts einer mit Z._ geführten Scheinehe ein. Mit Verfügung vom 18. April 2007 wies das Amt das von X._ gestellte Gesuch um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab. Ein hiegegen erhobener Rekurs beim kantonalen Justiz- und Polizeidepartement blieb erfolglos (Entscheid vom 17. August 2007). Das Departement verweigerte die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung mit einer doppelten Begründung: Einerseits sei die Ehe mit Z._ als blosse Scheinehe einzustufen, und zum anderen habe X._ nicht während fünf Jahren mit seiner Gattin in ehelicher Gemeinschaft zusammengelebt.
C. X._ erhob gegen diesen Entscheid durch seinen Rechtsvertreter Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Er bestritt vorab, mit Z._ eine Scheinehe geführt zu haben. Sodann erhob er zahlreiche Verfahrensrügen und machte insbesondere eine Gehörsverletzung durch Nichtabnahme relevanter Beweise geltend, deren Abnahme er erneut offerierte, und verlangte, die "unterlassenen Befragungen" (der ehemaligen Eheleute, der heutigen Ehefrau sowie von "Verwandten und Kollegen") seien nachzuholen.
Mit Entscheid vom 27. November 2007 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde teilweise gut und korrigierte den Kostenspruch des Rekursentscheides vom 17. August 2007; im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
D. Mit Eingabe vom 22. Dezember 2007 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und - "ergänzend" - subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 27. November 2007 (mit Ausnahme des von diesem gutgeheissenen Teilpunktes) aufzuheben. Aufzuheben seien ebenfalls die Rekursentscheide des Justiz- und Polizeidepartementes vom 17. August 2007 und die Verfügung des Ausländeramtes vom 18. April 2007, und es sei dem Beschwerdeführer der weitere Aufenthalt in der Schweiz zu bewilligen.
Das Ausländeramt hat sich nicht vernehmen lassen. Das zuständige Departement beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Denselben Antrag stellen das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Migration.
E. Mit Verfügung vom 9. Januar 2008 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
1.2 Zwar ist am 1. Januar 2008 das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG, SR 142.20) in Kraft getreten, doch bestimmt dessen Art. 126 Abs. 1, dass auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes eingereicht worden sind, noch das bisherige Recht anwendbar bleibt. Das streitige Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung wurde vor Inkrafttreten des Ausländergesetzes gestellt (vgl. vorne "B.-") und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen; für eine vorgezogene Anwendung von Art. 50 AuG besteht entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kein Raum. Nicht (mehr) Streitgegenstand ist vorliegend das von ihm gestellte Gesuch um Familiennachzug (vgl. E. 1 des angefochtenen Urteils).
1.3 Der Beschwerdeführer verfügte über eine Aufenthaltsbewilligung. Er hat nach erfolgter Scheidung von Z._ keinen Anspruch mehr auf deren Verlängerung (BGE 119 Ib 91 E. 1d S. 95). Weil die Ehe mit der in der Schweiz niederlassungsberechtigten Ausländerin aber länger als fünf Jahre gedauert hat, besitzt der Beschwerdeführer aufgrund von Art. 17 Abs. 2 Satz 2 ANAG ("Nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren hat der Ehegatte ebenfalls Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung") einen potentiellen Rechtsanspruch auf die betreffende Bewilligung. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist insoweit zulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario) und der Beschwerdeführer ist hierzu legitimiert (Art. 89 BGG).
1.4 Mit dem genannten Rechtsmittel kann einzig der kantonal letztinstanzliche Entscheid angefochten werden (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Soweit vorliegend auch die Aufhebung des Rekursentscheides des Departementes vom 17. August 2007 und der Verfügung des Ausländeramtes vom 18. April 2007 verlangt wird, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.5 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht - inklusive Bundesverfassungsrecht -, Völkerrecht sowie kantonale verfassungsmässige Rechte (Art. 95 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt oder vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Gemäss Art. 7 Abs. 2 ANAG hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers keinen Anspruch auf Erteilung der ihm nach Absatz 1 grundsätzlich zustehenden Bewilligung, wenn die Ehe eingegangen worden ist, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung von Ausländern und namentlich jene über die Begrenzung der Zahl der Ausländer zu umgehen. Erfasst wird davon die sog. Scheinehe bzw. Ausländerrechtsehe, bei der die Ehegatten von vornherein keine echte eheliche Gemeinschaft beabsichtigen (BGE 128 II 145 E. 2.1 S. 151; 127 II 49 E. 4a S. 55, mit Hinweisen). Auch wenn die Ehe nicht bloss zum Schein eingegangen worden ist, heisst dies nicht zwingend, dass dem ausländischen Ehepartner der Aufenthalt bzw. die Niederlassung ungeachtet der weiteren Entwicklung gestattet werden muss. Zu prüfen ist diesfalls, ob sich die Berufung auf die Ehe nicht anderweitig als rechtsmissbräuchlich erweist (BGE 127 II 49 E. 5a S. 56, mit Hinweisen).
Als Konkretisierung des Rechtsmissbrauchsverbots im Bereich ausländerrechtlicher Bewilligungen ist diese Regel über den Geltungsbereich von Art. 7 ANAG hinaus auch in Bezug auf die Ansprüche gemäss Art. 17 Abs. 2 ANAG in gleicher Weise anwendbar (BGE 121 II 5 E. 3a; 130 II 113 E. 4.2 S. 117).
2.2 Der Anspruch auf eine Niederlassungsbewilligung gestützt auf Art. 17 Abs. 2 Satz 2 ANAG entsteht erst nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren, wobei auch das Erfordernis des Zusammenlebens der Ehegatten für diesen Zeitraum erfüllt sein muss (Urteil 2A.88/2005 vom 29. Juni 2005, E. 2.2 mit Hinweisen).
3. 3.1 Das Verwaltungsgericht erachtete vorliegend vorab den zweiten vom Departement angeführten Hinderungsgrund für die Geltendmachung eines Aufenthaltsrechts als gegeben (kein fünfjähriges Zusammenleben mit der Ehegattin, vgl. E. 3.1 des angefochtenen Urteils). Das Gericht hielt darüber hinaus auch die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Ermessens nach Art. 4 ANAG für zulässig, weil es die genannte Ehe - gleich wie das Departement - ebenfalls als Scheinehe einstufte. Es verzichtete jedoch auf die beantragten Beweiserhebungen hiezu, da schon die erforderliche objektive Voraussetzung für ein Anwesenheitsrecht (fünfjähriges Zusammenwohnen im Sinne einer ehelichen Gemeinschaft) nicht erfüllt sei.
3.2 Der Beschwerdeführer erhebt in seiner weitschweifigen Beschwerdeschrift gegen die Argumentation des Verwaltungsgerichts und gegen dessen prozessuales Vorgehen zahlreiche Einwände. Er bestreitet vorab, dass die Voraussetzung des fünfjährigen Zusammenlebens nicht erfüllt sei, und rügt in diesem Zusammenhang eine qualifiziert unrichtige Sachverhaltsfeststellung und eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör.
3.3 Die kantonalen Rechtsmittelinstanzen haben sich mit diesem zentralen Punkt ausreichend auseinandergesetzt (angefochtenes Urteil E. 3.1 S. 7-9, Entscheid des Departements S. 7-9; vgl. zur Begründungspflicht ausführlich [statt vieler] BGE 134 I 83 E. 4.1 mit Hinweisen): Der Beschwerdeführer ist am 9. Oktober 2000 in die Schweiz eingereist. Er musste alsdann mindestens bis zum 9. Oktober 2005 mit seiner damaligen Ehefrau in ehelicher Gemeinschaft zusammenwohnen, um den Niederlassungsanspruch zu erwerben (vgl. vorne E. 2.2). Das Verwaltungsgericht stellte in diesem Punkt im Wesentlichen auf die Angaben der Ehefrau ab, aus welchen zulässigerweise geschlossen werden konnte, der Ehemann habe die gemeinsame Wohnung nach der Geburt des nicht von ihm stammenden Kindes im Juli 2004 "verlassen", die "Beziehung" sei damals "auseinandergegangen" und der Beschwerdeführer sei danach nur noch "ab und zu nach Hause" gekommen (vgl. Befragungsprotokoll der Kantonspolizei St. Gallen vom 8. November 2006, S. 5 und 6). Der Beschwerdeführer behauptet demgegenüber, er habe weiterhin bei der Ehefrau gewohnt und mit ihr auch nach dem behaupteten Trennungstermin noch intimen Verkehr gehabt; er beruft sich zum Beweis hiefür insbesondere auf den Umstand, dass seine Post - so etwa die Lohnabrechnungen des Arbeitgebers - bis im Januar 2006 an die bisherige Adresse gesandt worden sei. Dies reicht jedoch nicht aus, um die gegenteilige Feststellung im angefochtenen Urteil als offensichtlich falsch (Art. 97 BGG, vgl. vorne E. 1.5) erscheinen zu lassen.
3.4 Das Verwaltungsgericht durfte darüber hinaus zulässigerweise annehmen, dass der Entstehung des Niederlassungsanspruchs auch das Rechtsmissbrauchsverbot (vorne E. 2.1) entgegenstand: Unabhängig davon, ob der Beschwerdeführer - im Sinne einer eigentlichen Scheinehe - schon von Anfang an geplant hatte, sich von der in der Schweiz lebenden Ehefrau Z._ nach Erhalt der Niederlassungsbewilligung scheiden zu lassen, um mit der Mutter seiner (zum Teil während der Ehe mit der anderen Frau gezeugten) Kinder eine Familie zu gründen, oder ob er sich erst später - nach der Geburt des ausserehelich gezeugten Kindes seiner Ehefrau im Juli 2004 - zu diesem Schritt veranlasst sah, lassen die gesamten Umstände doch darauf schliessen, dass der Beschwerdeführer jedenfalls noch vor dem 9. Oktober 2005, d.h. vor dem Ablauf der Fünfjahresfrist gemäss Art. 17 Abs. 2 ANAG, bereits die Absicht der Gründung einer neuen Ehe mit seiner früheren Partnerin (und Mutter seiner Kinder) hatte, welche er denn auch kurz nach der am 5. Januar 2006 erfolgten Scheidung von Z._ (nämlich bereits am 2. Februar 2006) heiratete. Dass ihm das Ergebnis des von ihm verlangten Vaterschaftstests erst im November 2006 mitgeteilt wurde, steht dem nicht entgegen, zumal er schon im Juli 2004 seitens der Ehefrau über die aussereheliche Vaterschaft ins Bild gesetzt worden war; der Vaterschaftstest diente lediglich noch der Abwehr von Alimentenforderungen.
Der Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Niederlassungsbewilligung ist damit nie entstanden; es entfällt daher ein Anwesenheitsrecht aus Art. 17 ANAG, ohne dass es auf die Verhältnismässigkeit der damit verbundenen Konsequenzen noch ankäme (davon abgesehen ist dem Beschwerdeführer die Rückkehr in sein Heimatland, wo er mit seiner jetzigen Partnerin eine Art "Parallelehe" geführt hat, nicht unzumutbar).
3.5 Die Argumentation des Verwaltungsgerichts im angefochtenen Entscheid erweist sich damit als bundesrechtskonform, ohne dass auf die zahlreichen sonstigen Einwendungen des Beschwerdeführers noch im Einzelnen eingegangen werden müsste. Das gilt insbesondere für die unzulässigen Vorbringen im Zusammenhang mit der Handhabung des Ermessens für eine Bewilligung im Rahmen von Art. 4 ANAG (Art. 83 lit. c Ziff. 5 BGG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4. Auf die miterhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist von Vornherein insoweit nicht einzutreten, als es um die Handhabung des Ermessens gemäss Art. 4 ANAG geht, zumal der Beschwerdeführer diesbezüglich in der Sache mangels eines Rechtsanspruches nicht legitmiert ist (BGE 133 I 185). Die Schutzbereiche der Garantien der persönlichen Freiheit (Art. 10 BV) und der Menschenwürde (Art. 7 BV) sind durch die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht berührt.
Trotz fehlender Legitimation in der Sache selber ist der Beschwerdeführer berechtigt, die Verletzung von Parteirechten zu rügen, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft (vgl. BGE 133 I 185 E. 6.2). Nicht zu hören sind aber Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des Bewilligungsentscheids abzielen, wie die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei oder sich nicht mit sämtlichen von der Partei vorgetragenen Argumenten auseinandersetze oder dass die Parteivorbringen willkürlich gewürdigt worden seien. Ebenso wenig ist der Vorwurf zu hören, der Sachverhalt sei unvollständig oder sonstwie willkürlich ermittelt worden. Unzulässig ist auch die Rüge, Beweisanträge seien wegen willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt worden (vgl. BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313; 126 I 81 E. 7b S. 94; 118 Ia 232 E. 1c S. 236; 117 Ia 90 E. 4a S. 95).
Da der Beschwerdeführer im Sinne dieser Rechtsprechung bloss unzulässige formelle Rügen erhebt, ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde auch insoweit nicht einzutreten.
5. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 und 66 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein