Erwägungen:
1. Der aus dem Kosovo stammende, 1971 geborene X._ reiste 1991 als Asylbewerber in die Schweiz ein; nach Abweisung des Asylgesuchs wurde er 1993 im Rahmen der damaligen Sonderregelung für Refraktäre und Deserteure aus Jugoslawien vorläufig aufgenommen. Am 16. Februar 1995 heiratete er eine in der Schweiz niedergelassene italienische Staatsangehörige, und er erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleibs bei der Ehefrau. Nachdem er mehrere strafrechtliche Verurteilungen erwirkt hatte, lehnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau am 7. Juli 2009 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA ab; zugleich verfügte es die Wegweisung. Den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau am 4. Januar 2010 ab. Im Rahmen des diesbezüglichen Beschwerdeverfahrens vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wurde X._ am 28. Januar 2010 aufgefordert, innert 14 Tagen ab Zustellung des entsprechenden Schreibens einen Kostenvorschuss von Fr. 700.-- zu leisten, unter Androhung des Nichteintretens bei unterbliebener Vorschussleistung. Er ersuchte um Erstreckung der Zahlungsfrist bzw. um die Einräumung der Möglichkeit, den Kostenvorschuss in zwei Raten begleichen zu können. Seinem Begehren wurde mit Schreiben vom 3. Februar 2010 insofern entsprochen, als er zur Bezahlung des Vorschusses in zwei Raten à Fr. 350.-- (Frist bis 15. bzw. 28. Februar 2010) ermächtigt wurde, unter erneutem Hinweis darauf, dass er mit einem kostenfälligen Nichteintretensentscheid zu rechnen habe, falls er die Fristen nicht einhalte. Am 25. Februar 2010 bezahlte X._ einen Betrag von Fr. 350.-- ein. Ein Schreiben des Präsidenten des Verwaltungsgerichts vom 12. März 2010, womit er bzw. sein Vertreter auf die Nichteinhaltung der Zahlungsvereinbarung hingewiesen wurde, blieb unbeantwortet. Die zweite Rate von Fr. 350.-- wurde am 29. März 2010 bezahlt, ohne dass ein Fristwiederherstellungsgesuch gestellt worden wäre.
Mit Entscheid vom 28. April 2010 trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde wegen Fehlens der Prozessvoraussetzung der rechtzeitigen Leistung des Kostenvorschusses nicht ein. Zudem hielt es in einer Eventualbegründung fest, dass die Beschwerde im Eintretensfall in materieller Hinsicht abzuweisen wäre.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 7. Juni 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, der Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung sei, unter Einbezug von aktuellen Informationen über seine Situation, neu zu überprüfen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss Art. 42 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Abs. 1). Dabei ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (Abs. 2). Es muss sich dabei um schweizerisches Recht handeln (Art. 95 BGG). Soweit der Entscheid auf kantonalem (Verfahrens-)Recht beruht, fällt praktisch nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte in Betracht (vgl. BGE 134 I 153 E. 4.2.2 S. 158; 134 II 349 E. 3 S. 351; 134 III 379 E. 1.2 S. 382 f.), welche spezifischer Geltendmachung und Begründung bedarf (Art. 106 Abs. 2 BGG); namentlich genügt appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht. Erforderlich ist eine sachbezogene Begründung, das heisst eine Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids ausschlaggebenden Erwägungen der Vorinstanz.
2.2 Das Verwaltungsgericht hat in E. 2 des angefochtenen Entscheids unter Hinweis auf die einschlägigen Bestimmungen des kantonalen Verfahrensrechts und die Rechtsprechung dargelegt, warum bei der gegebenen Sachlage ein Nichteintretensentscheid gerechtfertigt bzw. geboten war. Was der Beschwerdeführer dazu ausführt (insbesondere Ziff. 2 und 3 der Beschwerdebegründung), genügt in keiner Weise um aufzuzeigen, inwiefern das Verwaltungsgericht mit dem Nichteintretensentscheid bzw. mit seinen dieses Ergebnis rechtfertigenden Erwägungen schweizerisches Recht, namentlich verfassungsmässige Rechte verletzt haben könnte. Damit aber kommt es nicht mehr darauf an, wie es sich mit der materiellen Eventualbegründung des angefochtenen Entscheids verhält (zur Anfechtung von Entscheiden, die mehrere voneinander unabhängige Begründungen enthalten, s. BGE 133 III 221 E. 7 S. 228; 133 IV 119 E. 6.3 S. 120; 132 I 13 E. 6 S. 20). Ohnehin wären die Ausführungen des Beschwerdeführers nicht geeignet, in einer den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Weise aufzuzeigen, inwiefern die entsprechenden Erwägungen des Verwaltungsgerichts schweizerisches Recht verletzten. Schliesslich vermag der Beschwerdeführer mit seinen weiteren Andeutungen nicht aufzuzeigen, welche Rechtsnorm oder welcher Rechtsgrundsatz das Verwaltungsgericht daran gehindert hätte, ergänzend materielle Erwägungen anzustellen. Ebenso wenig wird dargelegt, inwiefern die Festsetzung einer Verfahrensgebühr rechtsverletzend sei.
2.3 Auf die Beschwerde ist mithin wegen offensichtlichen Fehlens einer hinreichenden Beschwerdebegründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 und 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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