Sachverhalt:
A. Die X._ AG stellte am 13. Dezember 2007 bei der Gemeinde Vaz/Obervaz ein Gesuch um Bewilligung zur Erstellung eines Mehrfamilienhauses auf den Parzellen 943, 944 und 894. Die von Y._ gegen die Baueingabe erhobene Einsprache wies die Gemeinde mit Entscheid vom 21. Februar 2008 ab und erteilte darin der X._ AG die Baubewilligung unter diversen Auflagen.
In der Folge erhob Y._ gegen den Bewilligungsentscheid der Gemeinde Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Mit Urteil vom 26. August 2008 hiess dieses die Beschwerde gut und hob den angefochtenen Entscheid der Gemeinde Vaz/Obervaz auf. Das Verwaltungsgericht hielt sämtliche formellen Rügen der Baueinsprecherin für unbegründet, erwog jedoch, dass die hinsichtlich Gebäude- und Firsthöhe ermittelten Werte offensichtlich über der gemäss Bauordnung und Quartierplanbestimmungen in der Dorferweiterungszone 1 massgebenden maximal zulässigen Gebäude- und Firsthöhe lägen, weshalb die Beschwerde in diesem Punkt begründet sei.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die X._ AG beim Bundesgericht die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts und die Bestätigung der Baubewilligung der Gemeinde Vaz/Obervaz, eventuell die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur neuen Beurteilung, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen im kantonalen und im Verfahren vor Bundesgericht.
C. Das Verwaltungsgericht sowie Y._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Gemeinde Vaz/Obervaz beantragt Gutheissung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin und die Beschwerdegegnerin liessen sich nochmals vernehmen.
Erwägungen:
1. 1.1 Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (Art. 89 Abs. 1 BGG). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG), dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (Art. 89 Abs. 1 lit. b BGG) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG). Ein schutzwürdiges Interesse liegt vor, wenn die tatsächliche oder rechtliche Situation des Beschwerdeführers durch den Ausgang des Verfahrens beeinflusst werden kann (BGE 133 II 409 E. 1.3 S. 413 mit Hinweisen).
1.2 In ihrer Vernehmlassung vom 16. März 2009 bestritt die Beschwerdegegnerin vorweg das Rechtsschutzinteresse der Beschwerdeführerin an einem Entscheid des Bundesgerichts. Sie macht diesbezüglich geltend, die Beschwerdeführerin habe in der Zwischenzeit ein neues, als Projektänderung bezeichnetes Baugesuch eingereicht, welches die zulässige Gebäude- und Firsthöhe nach der Messweise gemäss dem angefochtenen Urteil des Verwaltungsgerichts einhalte.
Mit Eingabe vom 30. März 2009 teilte die Beschwerdegegnerin dem Bundesgericht mit, dass der Gemeindevorstand Vaz/Obervaz das geänderte Projekt am 12. März 2009 bewilligt und ihre diesbezügliche Einsprache abgewiesen habe.
In ihrer Vernehmlassung vom 14. April 2009 teilte die Beschwerdeführerin mit, dass die Bewilligung zum Bau des geänderten Projekts noch nicht rechtskräftig sei. Es sei damit zu rechnen, dass auch dieser Bauentscheid von der Beschwerdegegnerin beim Verwaltungsgericht angefochten werde. Im Übrigen sei die Projektänderung lediglich zum Zweck vorgenommen worden, das Baubewilligungsverfahren zu beschleunigen. Sie, die Beschwerdeführerin, habe nach wie vor ein schutzwürdiges Interesse daran, dass über ihre beim Bundesgericht erhobene Beschwerde entschieden werde, da sie im Falle einer Beschwerdegutheissung auf das ursprüngliche Projekt zurückkommen würde.
Am 18. Mai 2009 teilte die Beschwerdegegnerin mit, auf die Anfechtung der Bewilligung der Projektänderung verzichtet zu haben, weshalb diese rechtskräftig sei und die Beschwerdeführerin auf ihr ursprüngliches Projekt nicht mehr zurückkommen könne. Unter diesen Umständen sei nicht erkennbar, inwiefern die Beschwerdeführerin ein aktuelles und praktisches Interesse an der Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Entscheids haben sollte.
Mit Eingabe vom 3. Juni 2009 teilte die Beschwerdeführerin mit, dass mit dem Bau noch nicht begonnen worden sei und ein Interesse daran bestehe, die in der Projektänderung vorgesehenen Anpassungen an das verwaltungsgerichtliche Urteil im Fall des Obsiegens vor Bundesgericht mit einer weiteren Projektänderung rückgängig zu machen, um so eine für die Wohnungen bessere Gestaltung der Aussenräume zu erhalten.
1.3 Das ursprüngliche Baugesuch der Beschwerdeführerin vom 13. Dezember 2007, welches vom Gemeindevorstand unter Bedingungen und Auflagen am 21. Februar 2008 bewilligt worden war, wurde zwar nicht förmlich zurückgezogen, doch wurde es nach Massgabe der verwaltungsgerichtlichen Vorgaben geändert und als "Projektänderung" ausgeschrieben. Die Beschwerdeführerin brachte beim Einreichen des geänderten Projekts auch nicht etwa den Vorbehalt an, im Falle des Obsiegens vor Bundesgericht das ursprüngliche Projekt realisieren zu wollen. Abgesehen davon hätte sie damit rechnen müssen, dass die Gemeinde auf das neue Baugesuch nicht eingetreten wäre oder das Verfahren bis zum Entscheid des Bundesgerichts über das ursprüngliche Projekt sistiert hätte. Mit Einreichung des geänderten Projekts ist die Beschwerdeführerin auf das ursprüngliche Projekt zurückgekommen bzw. hat sie dieses durch das geänderte Projekt ersetzt, was einem konkludenten Rückzug des ursprünglichen Projekts gleichkommt. Das ursprüngliche Projekt steht nicht mehr zur Beurteilung. Infolge des rechtskräftigen Bauentscheids kann die tatsächliche und rechtliche Situation der Beschwerdeführerin durch den bundesgerichtlichen Verfahrensausgang nicht mehr beeinflusst werden. Damit besteht an einem Bundesgerichtsentscheid über die aufgeworfenen Rechtsfragen nicht nur kein schutzwürdiges Interesse mehr. Vielmehr ist das Verfahren gegenstandslos geworden und abzuschreiben (Art. 32 Abs. 2 BGG).
2. Bei Entfallen des Rechtsschutzinteresses bzw. Gegenstandslosigkeit des Verfahrens entscheidet das Bundesgericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 72 BZP). Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (vgl. BGE 125 V 373 E. 2a S. 374 zur Praxis zu Art. 135 des früheren Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege [OG] in Verbindung mit Art. 40 OG und Art. 72 BZP). Dabei wird in erster Linie jene Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben (Urteil des Bundesgerichts 2C_201/2008 vom 14. Juli 2008 E. 2.3 mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall trifft dies die Beschwerdeführerin.
Demnach verfügt der Instruktionsrichter:
1. Die Beschwerde wird abgeschrieben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Diese Verfügung wird den Parteien, der Gemeinde Vaz/Obervaz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Instruktionsrichter: Die Gerichtsschreiberin:
Raselli Schoder