Sachverhalt:
A. A.a Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich richtete der 1962 geborenen H._ ab 1. Mai 2010 Ergänzungsleistungen (EL) aus (Verfügungen vom 22. Oktober und 18. Dezember 2010). Diese ersuchte mit Schreiben vom 9. und 12. Februar 2011 um Vergütung von Krankheitskosten für die Monate Mai bis Dezember 2010 und Anrechnung von Alimentenzahlungen für ihre beiden Kinder. Sie wies zudem darauf hin, dass sie aus gesundheitlichen Gründen den Wohnsitz in X._ per 1. März 2011 aufgebe. Der neue Wohnsitz sei Y._. Mit Verfügung vom 16. Februar 2011 stellte das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich ihre Leistungen per 28. Februar 2011 ein, da ab März der neue Wohnsitzkanton Aargau zuständig sei. Am selben Tag erliess die Amtsstelle eine zweite Verfügung, mit der sie für 2010 Krankheits- und Behinderungskosten in der Höhe von Fr. 216.- vergütete.
A.b Am 14. März 2011 erhob H._ Einsprache gegen die Verfügung betreffend Einstellung der Zusatzleistungen zur AHV/IV. Mit Schreiben vom 17. März 2011 nahm das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich zu den offenen Fragen Stellung. Es ersuchte H._, noch stichhaltige Begründungen nachzureichen, um die Eingabe vom 14. März als Einsprache akzeptieren zu können. Diese antwortete mit Schreiben vom 1. April 2011. Mit Entscheid vom 19. April 2011 wies die Amtsstelle die Einsprache ab.
B. H._ reichte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde ein, welches das Rechtsmittel zuständigkeitshalber dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau zur Behandlung überwies. Lite pendente setzte die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Aargau, Ausgleichskasse, mit Verfügung vom 12. August 2011 die Ergänzungsleistung ab 1. März 2011 auf Fr. 2'289.- im Monat fest. Mit Entscheid vom 6. Dezember 2011 schrieb das Versicherungsgericht des Kantons Aargau das Beschwerdeverfahren, soweit Ergänzungsleistungsansprüche für den Monat März 2011 geltend gemacht wurden, als gegenstandslos geworden von der Kontrolle ab (Dispositiv-Ziffer 1.1); im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit darauf einzutreten war (Dispositiv-Ziffer 1.2).
C. H._ hat Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 6. Dezember 2012 sei dahingehend abzuändern, dass alle in den Verfügungen vom 19. Februar 2011 und im Einspracheentscheid vom 19. April 2011 behandelten Punkte als Streitgegenstand geprüft werden.
Das Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Vorinstanz hat als Streitgegenstand die vom Beschwerdegegner am 15. Februar 2011 verfügte Einstellung der EL auf Ende Monat infolge Verlegung des Wohnsitzes in einen anderen Kanton betrachtet (vgl. Art. 21 Abs. 1 ELG). Die zuständige Stelle des neuen Wohnsitzkantons habe der Beschwerdeführerin lite pendente mit Verfügung vom 12. August 2011 EL von monatlich Fr. 2'289.- ab 1. März 2011 zugesprochen. Damit sei das nach Art. 59 ATSG erforderliche aktuelle Rechtsschutzinteresse an der Beurteilung der Streitfrage weggefallen, zumal ihr auch nach Abzug der neu angerechneten Unterhaltsbeiträge für die Kinder ein höherer Betrag für den Monat März 2011 ausgerichtet worden sei.
2. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern die Verneinung des Rechtsschutzinteresses in Bezug auf die Frage der Leistungseinstellung auf Ende Februar 2011 durch den Beschwerdegegner Recht verletzt. Insbesondere macht sie nicht geltend, sie habe die Verfügung vom 12. August 2011 angefochten. Insoweit genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen nicht (Art. 41 Abs. 1 und 2 BGG), und es ist darauf nicht einzutreten.
3. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Streitgegenstand zu eng gefasst.
3.1 Die Rüge ist unbegründet, soweit sie bis Ende Februar 2011 nicht angerechnete Kinderalimente betrifft. Die Verfügungen vom 22. Oktober und 18. Dezember 2010, womit der EL-Anspruch für die Monate Mai bis Dezember 2010 sowie ab 1. Januar 2011 festgesetzt wurde, sind unangefochten geblieben, wie auch die Vorinstanz unter Hinweis auf den Einspracheentscheid vom 19. April 2011 festgestellt hat. Ein gerichtlich durchsetzbarer Anspruch auf Wiedererwägung einer rechtskräftigen Verfügung besteht nicht (Art. 53 Abs. 2 ATSG; BGE 133 V 50 E. 4.1 S. 52; Urteil 9C_908/2011 vom 2. März 2012 E. 2.1).
3.2 Anders verhält es sich in Bezug auf die Krankheits- und Behinderungskosten für 2010 (Art. 3 Abs. 1 lit. b und Art. 14 ff. ELG). Darüber war entgegen der Auffassung der Vorinstanz bei Einreichung der Beschwerde noch nicht rechtskräftig entschieden worden.
3.2.1 Die Beschwerdeführerin ersuchte am 9. und 12. Februar 2011 um Erstattung von Krankheitskosten in der Höhe von Fr. 607.55. Mit Verfügung vom 16. Februar 2011 - unter derselben Reg.-Nr. 856886 wie die Einstellungsverfügung vom selben Tag - sprach der Beschwerdegegner eine Vergütung von Fr. 216.- zu.
3.2.2 Dagegen erhob die Beschwerdeführerin am 14. März 2011 Einsprache, wobei sie geltend machte, sie verstehe nicht, "warum nicht alle Krankenkosten aus Jahr 2010 erstattet worden sind. Es waren alles ärztliche Verordnungen". Diese Begründung war genügend (Art. 10 Abs. 1 ATSV); andernfalls hätte der Beschwerdegegner eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels ansetzen müssen verbunden mit der Androhung, dass sonst auf die Einsprache nicht eingetreten werde (Art. 10 Abs. 5 ATSV; SVR 2009 IV Nr. 19 S. 49, I 898/06). Das hat er indessen nicht gemacht. Im Schreiben vom 17. März 2011 verlangte er lediglich in Bezug auf die Einstellung der EL per Ende Februar 2011 "die Nachreichung stichhaltiger Begründungen, um Ihren Brief vom 14. März 2011 als Einsprache akzeptieren zu können".
3.2.3 Im Schreiben vom 17. März 2011 hatte der Beschwerdegegner zwar dargelegt, weshalb unter dem Titel Krankheits- und Behinderungskosten nicht mehr als die zugesprochenen Fr. 216.- vergütet werden könnten. Um jedoch den Anforderungen gemäss Art. 10 Abs. 5 ATSV zu genügen, hätte er - nach Treu und Glauben - die Beschwerdeführerin ausdrücklich anfragen müssen, ob sie die Einsprache insoweit zurückziehe oder daran festhalte. Die Verfügung vom 16. Februar 2011 betreffend Krankheits- und Behinderungskosten 2010 war somit entgegen den Feststellungen im Einspracheentscheid vom 19. April 2011 nicht in Rechtskraft erwachsen. Die Vorinstanz hätte daher auf das sinngemässe Begehren in der Beschwerde, darüber sei noch zu entscheiden, eintreten und feststellen müssen, dass der Beschwerdegegner darüber im Einspracheentscheid nicht befunden hatte. Insoweit verletzt das angefochtene Erkenntnis Bundesrecht.
3.3 Die Sache geht daher zurück an den Beschwerdegegner zum Entscheid über die Einsprache vom 14. März 2011, soweit sie die Vergütung von Krankheits- und Behinderungskosten für 2010 betrifft.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den Parteien nach Massgabe ihres Unterliegens aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 6. Dezember 2011 und der Einspracheentscheid des Amtes für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich vom 19. April 2011 werden aufgehoben, soweit es um die Vergütung von Krankheits- und Behinderungskosten für 2010 geht. Die Sache wird an den Beschwerdegegner zurückgewiesen, damit er im Sinne von E. 3.3 verfahre. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin Fr. 300.- und dem Beschwerdegegner Fr. 200.- auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. April 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler