Faits:
A. Le 2 février 2009, X._, ressortissant suisse domicilié à Los Angeles (Etats-Unis d'Amérique), a assigné Y._ SA, entreprise jurassienne spécialisée dans les produits de luxe, devant la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura en vue d'obtenir le paiement de 10'950'216 fr. 20, avec intérêts à 5% dès le 15 janvier 2008, ainsi que la mainlevée définitive de l'opposition formée par ladite société au commandement de payer qu'il lui avait fait notifier. Le montant en question équivaut au dommage que le demandeur allègue avoir subi du fait de la résiliation abusive du contrat le liant à la défenderesse pour la distribution de montres de luxe dans tous les pays de l'ex-Europe de l'Est, de même qu'en Espagne et au Portugal.
Dans le délai de réponse, la défenderesse a déposé une demande de sûretés pour les dépens. Elle a réclamé, à ce titre, le dépôt, par le demandeur, de 500'000 fr., dont 430'000 fr. pour les honoraires, vacations et autres frais liés à l'activité de son mandataire, les 70'000 fr. restants correspondant à l'avance de frais judiciaires exigée d'elle.
Le demandeur a conclu au rejet de la requête à fins de sûretés et, subsidiairement, à ce que le montant de celles-ci soit fixé à 40'000 fr. au maximum.
Par arrêt du 7 mai 2009, le juge instructeur de la Cour civile du Tribunal cantonal jurassien a astreint le demandeur à verser, dans les 20 jours, sur le compte de chèques postaux du Tribunal cantonal, la somme de 500'000 fr. à titre de sûretés.
B. Le 28 mai 2009, le demandeur a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il a conclu à l'annulation de l'arrêt cantonal et à la fixation du montant des sûretés à 40'000 fr. au maximum.
Dans ses observations du 5 juin 2009, le magistrat cantonal déclare confirmer son arrêt et les faits retenus. Quant à la défenderesse et intimée, elle a déposé une réponse, le 22 juin 2009, en concluant principalement à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, au rejet de celui-ci.
Par ordonnance présidentielle du 30 juin 2009, l'effet suspensif a été accordé au recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 L'arrêt attaqué est une décision incidente prise en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF; art. 73 al. 2 du Code de procédure civile du canton du Jura [CPC/JU; RSJU 271.1]). Sans doute a-t-il été rendu en instance unique, ce qui est contraire à l'art. 75 al. 2 LTF; cette manière de faire reste néanmoins admissible jusqu'à l'expiration du délai fixé aux cantons pour adapter leur législation au nouveau droit de procédure fédéral (cf. art. 130 al. 2 LTF).
En tant que décision incidente n'entrant pas dans les prévisions de l'art. 92 LTF, l'arrêt entrepris ne peut toutefois faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral que s'il est susceptible de causer un dommage irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF). Selon la jurisprudence, la décision incidente exigeant d'une partie la fourniture de sûretés en garantie des dépens, sous peine d'irrecevabilité de sa demande ou de son recours, est susceptible de causer un préjudice irréparable (arrêt 5A_55/2008 du 22 avril 2008 consid. 1 et les arrêts cités). Tel est le cas en l'espèce, quoi qu'en dise l'intimée, eu égard à l'ampleur des sûretés à verser par le recourant (500'000 fr.), s'il entend éviter le renvoi de sa demande (cf. art. 75 al. 1 CPC/JU), et au délai, relativement bref et non prolongeable (20 jours; cf. art. 74 CPC/JU), qui lui a été imparti pour les fournir.
La voie de recours à emprunter pour déférer une décision incidente au Tribunal fédéral est déterminée par celle qui sera ouverte, le cas échéant, contre la décision prise ultérieurement sur le fond (arrêt cité, ibid.). En l'occurrence, l'arrêt cantonal a été rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) dans le cadre d'une affaire pécuniaire portant sur une valeur litigieuse supérieure au seuil de 30'000 fr. fixé à l'art. 74 al. 1 let. b LTF. L'éventuelle décision au fond à venir pourra ainsi faire l'objet d'un recours en matière civile (art. 72 ss LTF). Partant, la décision incidente portée à la connaissance de la Cour de céans pouvait être attaquée par ce moyen de droit.
Exercé par une personne qui avait qualité pour le former (art. 76 al. 1 LTF), le présent recours a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 al. 1 LTF) prévus par la loi. Il y a lieu, dès lors, d'entrer en matière.
1.2 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer ceux-ci que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 134 V 53 consid. 4.3) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 97 al. 1 LTF), ce qu'il lui appartient d'exposer et de démontrer de manière claire et circonstanciée. La correction du vice doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision attaquée. Toutefois, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), il n'examine en principe que les griefs invoqués. Au demeurant, il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
2. 2.1 En vertu de l'art. 69 al. 1 ch. 1 CPC/JU, le demandeur est tenu, à la requête de la partie adverse, de lui fournir des sûretés pour les dépens lorsqu'il n'a pas de domicile en Suisse. Le juge instructeur fixe dans chaque cas particulier la sûreté à fournir et il peut ordonner de la parfaire, au cours du procès, si elle s'avère insuffisante pour couvrir les frais (art. 70 CPC/JU). Lorsque l'obligation de fournir les sûretés est contestée par le demandeur, le juge instructeur statue; s'il admet cette obligation, il fixe en même temps le montant à verser (art. 73 al. 1 CPC/JU).
Les sûretés doivent être déposées en espèces, au greffe, dans les 20 jours de la communication de la décision (art. 74 CPC/JU).
L'omission de fournir sûreté entraîne le renvoi de la demande et la condamnation aux frais (art. 75 al. 1 CPC/JU). Toutefois, lorsque la sûreté est fournie ultérieurement et que les frais faits jusque-là sont payés, le demandeur peut exiger la reprise de l'instance (art. 75 al. 3 CPC/JU).
2.2 Statuant dans ce cadre procédural, le juge instructeur de la Cour civile, après avoir rappelé, à titre liminaire, le but assigné à l'institution de la cautio judicatum solvi, a examiné, dans un premier temps, le principe même de l'obligation du demandeur de fournir les sûretés réclamées par la défenderesse. Il a conclu à l'existence d'une telle obligation en exposant pourquoi le demandeur, domicilié à l'étranger, ne pouvait s'y soustraire, nonobstant sa nationalité suisse.
En second lieu, le magistrat intimé a fixé le montant des sûretés à verser par le demandeur. Les dépens, a-t-il rappelé, comprennent notamment l'avance de frais réclamée à chaque partie ainsi que les honoraires d'avocat. Celle-là ayant déjà été fixée à 70'000 fr., le juge instructeur s'est employé à évaluer le montant prévisible de ceux-ci en se basant, pour ce faire, sur l'ordonnance du Gouvernement du canton du Jura du 19 avril 2005 fixant le tarif des honoraires d'avocat (RSJU 188.61; ci-après: l'ordonnance). L'art. 11 de l'ordonnance pose le principe selon lequel les honoraires dus par la partie qui succombe à la partie adverse sont fixés en fonction de la valeur litigieuse. Lorsque celle-ci est supérieure à 2'000'000 fr., le barème figurant à l'art. 13 de l'ordonnance permet d'allouer des honoraires pouvant aller jusqu'à 3,8% du montant en litige. Selon le juge instructeur, l'application de ce barème donne en l'espèce un montant arrondi de 416'000 fr. (3,8% de 10'950'000 fr.), auquel il convient encore d'ajouter les débours et vacations, ainsi que la TVA qui, à elle seule, représente 31'616 fr. pour un tel montant.
Le magistrat intimé relève, par ailleurs, que l'art. 13 al. 2 de l'ordonnance énonce une série de motifs permettant de majorer les honoraires ordinaires, en particulier le fait qu'une partie importante du dossier ou de l'échange de correspondance se déroule dans une autre langue que la langue judiciaire, ou encore lorsque le procès exige essentiellement des calculs ou comporte des examens de comptabilité. A son avis, il n'est pas possible de déterminer, à ce stade de la procédure, l'importance que prendra cette affaire, mais il n'est pas exclu qu'elle acquière une certaine ampleur et que des moyens de preuve soient difficiles ou longs à recueillir ou à ordonner. Le demandeur requiert, en effet, l'audition de cinq témoins, dont deux résident en Espagne et un en France. Il a versé au dossier deux fascicules de pièces justificatives et a requis qu'une expertise soit ordonnée afin d'établir son gain manqué après que la défenderesse aura produit toutes les factures concernant la vente de montres dans de nombreux pays "du 27 octobre 2007 à ce jour". Enfin, un autre volet du litige, relatif à un second contrat ayant lié les mêmes parties, est pendant devant un arbitre unique, ce qui implique à tout le moins que le mandataire de la défenderesse en prenne connaissance, étant précisé que cette dernière est représentée par un autre avocat dans la procédure arbitrale.
Le juge instructeur souligne, en outre, que le demandeur n'a fourni aucune explication au sujet du montant de 40'000 fr. auquel les sûretés requises par la défenderesse devraient être plafonnées. Ainsi, selon lui, cette dernière ne paraît pas avoir excédé ce qu'elle pourrait être en droit de réclamer à son adverse partie in fine litis au titre des dépens en fixant les honoraires prévisibles de son mandataire à 430'000 fr., somme incluant les débours, vacations, TVA et autres frais liés à l'activité de l'avocat. Et le magistrat cantonal de se référer à l'arrêt publié aux ATF 132 I 134 dans lequel le Tribunal fédéral aurait admis qu'un montant de 400'000 fr., réclamé à titre de sûretés pour les dépens dans une affaire portant sur une valeur litigieuse de 5'250'000 fr. lors de la fixation des sûretés, ne violait pas le principe de la proportionnalité.
Dès lors, le juge instructeur a fixé à 500'000 fr. - 430'000 fr. pour les honoraires supputés du mandataire de la défenderesse et 70'000 fr. pour l'avance de frais judiciaires requise de cette partie - le montant des sûretés à déposer par le demandeur au greffe du Tribunal cantonal dans les 20 jours dès la communication de sa décision.
2.3 Dans un premier groupe de moyens, le recourant impute au magistrat cantonal une violation de l'art. 6 CEDH ainsi que des art. 29 et 30 Cst. Il cherche ensuite à démontrer le caractère arbitraire de la décision attaquée.
La Cour de céans traitera les griefs formulés par le recourant dans l'ordre inverse de leur présentation. Il paraît, en effet, plus logique de commencer par s'assurer que la décision entreprise ne viole pas l'art. 9 Cst. avant d'examiner, le cas échéant, si cette décision non arbitraire porte atteinte aux autres garanties constitutionnelles invoquées par le recourant.
3. 3.1 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire, au sens de l'art. 9 Cst., lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et reconnu, ou encore heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que dans la mesure où celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain. Il n'y a pas arbitraire du fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou serait même préférable (ATF 133 I 149 consid. 3.1; 132 III 209 consid. 2.1).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité verse dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsqu'elle tire des conclusions insoutenables à partir des éléments recueillis (ATF 134 V 53 consid. 4.3; 129 I 8 consid. 2.1).
3.2 Bien qu'il rappelle correctement la définition jurisprudentielle de l'arbitraire dans son mémoire, le recourant ne s'y tient pas lorsqu'il l'applique au cas particulier. Son argumentation revêt, en effet, un caractère essentiellement appellatoire et n'est donc pas de nature à démontrer la violation de l'art. 9 Cst. imputée au juge instructeur. Les quelques remarques suivantes peuvent, dès lors, être faites au sujet des arguments développés par lui.
3.2 Bien qu'il rappelle correctement la définition jurisprudentielle de l'arbitraire dans son mémoire, le recourant ne s'y tient pas lorsqu'il l'applique au cas particulier. Son argumentation revêt, en effet, un caractère essentiellement appellatoire et n'est donc pas de nature à démontrer la violation de l'art. 9 Cst. imputée au juge instructeur. Les quelques remarques suivantes peuvent, dès lors, être faites au sujet des arguments développés par lui.
3.3 3.3.1 En premier lieu, le recourant reproche au juge instructeur de s'être fondé sur des hypothèses et des suppositions pour fixer le montant des sûretés et pour admettre l'éventualité d'une majoration des honoraires conformément à l'art. 13 al. 2 de l'ordonnance. Selon lui, aucun élément du dossier ne permet d'envisager que l'affaire puisse prendre une ampleur telle qu'elle justifie une majoration importante des honoraires. En particulier, les preuves à administrer ne sortent pas de l'ordinaire. Quant à la procédure arbitrale conduite parallèlement, elle porte sur les mêmes faits que la procédure pendante devant le Tribunal cantonal jurassien, si bien qu'elle ne saurait occasionner un surcroît de travail à l'avocat de l'intimée, d'autant que les mandataires des parties sont les mêmes dans ces deux procédures. A suivre le recourant, les pièces du dossier exigeaient donc que les honoraires fussent calculés dans le respect du maximum fixé à l'art. 13 al. 1 de l'ordonnance.
3.3.2 Les arguments avancés par le recourant ne permettent pas de retenir que le magistrat intimé aurait constaté les faits de manière insoutenable ou méconnu gravement les dispositions topiques de l'ordonnance.
Que le juge instructeur procédât par hypothèses et suppositions était dans l'ordre normal des choses, puisqu'il devait estimer, sur le vu de la seule demande écrite, le montant des honoraires à payer par la partie qui succomberait à la fin du procès. En tant que telle, pareille démarche était donc exempte d'arbitraire.
Le seul élément constant dont le magistrat cantonal disposait était la valeur litigieuse du différend soumis à la Cour civile, à savoir 10'950'000 fr. en chiffres ronds. Il s'agit, en l'occurrence, du critère décisif pour fixer les honoraires dus par la partie qui succombe à la partie adverse (cf. art. 11 de l'ordonnance). Or, selon le barème figurant à l'art. 13 al. 1 let. a de l'ordonnance, cette valeur litigieuse peut donner droit à un montant maximum de 416'000 fr. au titre des honoraires non majorés. Si l'on ajoute à ce montant celui de la TVA (31'616 fr.) ainsi que ceux des débours et vacations prévisibles, il en résulte un montant supérieur à celui qui a été réclamé par l'intimée et retenu dans la décision attaquée, soit 430'000 fr., lequel comprend les honoraires, la TVA, les débours, les vacations et les autres frais liés à l'activité du mandataire de cette partie. D'où il suit que le magistrat cantonal ne peut pas se voir reprocher d'avoir fait une application arbitraire de l'ordonnance en entérinant le montant proposé par l'intimée, quelle que soit la valeur des explications fournies par lui au sujet de l'art. 11 al. 2 de l'ordonnance.
Au demeurant, il n'apparaît pas que ces explications soient dénuées de tout fondement et, partant, arbitraires. En lisant la demande écrite et en prenant connaissance des moyens de preuve qui y sont mentionnés ainsi que des pièces versées au dossier cantonal, il n'est effectivement pas possible d'exclure, à ce stade de la procédure, que la présente affaire prenne une certaine ampleur et que l'une ou l'autre des hypothèses visées par l'art. 11 al. 2 de l'ordonnance, relatif à la possibilité de majorer les honoraires de base, puisse entrer en ligne de compte. Dans ce contexte, il sied d'observer que, selon le magistrat intimé, qui rappelle la chose dans ses observations sur le recours, la défenderesse n'est pas assistée par le même avocat dans la procédure arbitrale et dans la procédure judiciaire. L'affirmation inverse, faite sous ch. 67 du mémoire de recours, ne suffit pas à démontrer en quoi la constatation du magistrat cantonal serait arbitraire, d'autant moins que le nom de l'avocat de la défenderesse indiqué dans le rubrum de la demande d'arbitrage versée au dossier cantonal ne correspond pas à celui de l'avocat qui défend les intérêts de cette partie dans la procédure judiciaire. Il resterait d'ailleurs à démontrer que la conduite en parallèle de deux procédures ayant par hypothèse le même objet est de nature à simplifier le travail des avocats des parties.
3.4 Sous ch. 68 à 72 de son mémoire, le recourant expose qu'en droit international privé, le rattachement au domicile est de plus en plus remplacé par celui de la résidence habituelle. Il fait grief, à ce propos, au juge instructeur de n'avoir pas tenu compte, dans l'appréciation globale du cas, des éléments pertinents, mentionnés dans sa réponse à la demande de sûretés, quant à sa situation professionnelle, au centre de ses intérêts ainsi qu'au lieu où se trouvent ses avoirs bancaires et ceux de ses sociétés.
Tel qu'il est présenté, le moyen est irrecevable à un double titre: d'une part, le recourant n'indique pas quelle disposition du droit cantonal jurassien le juge instructeur aurait violée en ne prenant pas en considération les éléments invoqués par lui; d'autre part, il ne précise pas à quelle autre solution le magistrat cantonal aurait dû aboutir s'il avait inclus ces éléments-là dans son analyse de la situation.
En tout état de cause, il n'est en rien démontré que le juge instructeur ait fait une application arbitraire de l'art. 69 al. 1 ch. 1 CPC/JU, lequel ne parle que d'absence de "domicile" en Suisse, en n'admettant pas qu'une éventuelle "résidence habituelle" du recourant dans ce pays suffisait à le soustraire à l'obligation de fournir des sûretés pour les dépens de son adverse partie.
4. 4.1 Le recourant se plaint, par ailleurs, d'une violation de l'art. 6 par. 1 CEDH ainsi que des art. 29, 30 et 36 Cst. A son avis, l'obligation qui lui a été faite de verser la somme de 500'000 fr. en espèces dans les 20 jours a pour conséquence de le priver de son droit de saisir la justice. En effet, le montant en question serait totalement disproportionné par rapport aux honoraires que l'intervention du mandataire de l'intimée engendrera et le délai qui lui a été fixé pour le verser en espèces particulièrement court. Le recourant reproche, en outre, au juge instructeur de n'avoir pas procédé à un examen prima facie des chances de succès de sa demande en paiement, examen qui s'imposait, même s'il n'est pas prévu par le code de procédure civile jurassien. La situation serait d'autant plus intolérable, selon lui, que le présent litige a été engendré par le comportement fautif de l'intimée, laquelle a résilié abusivement le contrat de distribution qui les liait, et que ce comportement est à l'origine de ses difficultés financières.
4.2 Dans l'arrêt 4P.8/2006 du 4 mai 2006 publié aux ATF 132 I 134 -la décision attaquée y fait référence, mais le recourant omet curieusement de le citer -, auquel il peut être renvoyé ici, le Tribunal fédéral a posé que la garantie du droit d'accès aux tribunaux, qui découle de la norme conventionnelle et des dispositions constitutionnelles invoquées par le recourant, n'exclut pas d'exiger des sûretés destinées à couvrir les dépens de la partie défenderesse, à condition notamment que le montant de ceux-ci respecte le principe de la proportionnalité.
En l'espèce, le recourant ne démontre nullement en quoi le montant de 500'000 fr., que le juge instructeur a fixé en appliquant de manière non arbitraire les dispositions pertinentes du droit jurassien (cf. consid. 3.3 ci-dessus), porterait atteinte à ce principe. Alléguer la chose ne saurait remplacer la motivation requise par l'art. 106 al. 2 LTF. Encore qu'il ne faille pas accorder une importance excessive au procédé de la comparaison, du fait que les circonstances caractérisant les situations à comparer ne sont jamais identiques, il sied néanmoins de relever que, dans son arrêt publié susmentionné, le Tribunal fédéral n'a pas jugé disproportionnée la fixation du montant des sûretés à 400'000 fr. dans une cause portant sur une valeur litigieuse de 5'250'000 fr. Toutes choses étant égales par ailleurs, l'application mathématique de cette fraction aux données de la présente espèce donnerait un montant supérieur à 830'000 fr. au titre des sûretés. Ainsi, même en ayant égard aux spécificités de ce précédent, le montant de 500'000 fr., certes élevé, fixé par le magistrat intimé, ne paraît pas excessif sous l'angle du principe de la proportionnalité. Et si le recourant n'était réellement pas en mesure de le verser sans tomber dans l'indigence, il pourrait se faire libérer de l'obligation de payer des sûretés (art. 76 al. 5 CPC/JU) en réclamant le bénéfice de l'assistance judiciaire aux conditions de l'art. 76 al. 1 CPC/JU.
Par ailleurs, le recourant n'indique pas de quelle norme conventionnelle ou constitutionnelle, ou de quel principe du même rang, il déduit l'obligation pour le juge instructeur jurassien d'effectuer un examen liminaire des chances de succès de la demande avant de fixer le montant des sûretés pour les dépens. Il paraît irréaliste, au demeurant, de formuler une telle exigence dans la mesure où le magistrat cantonal doit statuer sur la demande de sûretés avant d'avoir pu prendre connaissance des arguments au fond que la partie défenderesse présentera, le cas échéant, dans sa réponse à la demande (cf. art. 69 al. 3 CPC/JU). Il est tout aussi utopique d'espérer pouvoir pronostiquer, dès le dépôt de la demande, que les conclusions qui y ont été prises devront sans doute être admises dans leur totalité ou en grande partie. De surcroît, si l'on peut encore s'accommoder de ce que la collectivité publique prenne en charge les frais de procédure d'un indigent dont les chances de succès ont été reconnues à tort, il serait sans doute moins justifiable qu'une partie défenderesse ne puisse pas recouvrer ses frais parce que sa demande de sûretés a été rejetée sur la base d'une appréciation erronée des chances de succès du demandeur.
Pour ce qui est des modalités de la fourniture des sûretés, le recourant n'explique pas en quoi le versement en espèces - seule possibilité prévue par le code de procédure civile jurassien - l'aurait empêché de faire valoir son droit d'accéder aux tribunaux. Il ne soutient pas, à cet égard, qu'il aurait été en mesure de fournir les 500'000 fr. de sûretés d'une autre manière, notamment sous la forme d'une garantie bancaire.
S'agissant enfin du délai de 20 jours qui a été fixé au recourant pour s'exécuter, en application de l'art. 74 CPC/JU, il faut bien voir que l'intéressé, qui n'est pas domicilié en Suisse et qui s'apprêtait à introduire dans ce pays une action pécuniaire de grande ampleur, devait s'attendre à être requis de fournir des sûretés d'un montant non négligeable à brève échéance, sur simple demande de son adverse partie. Il lui appartenait donc de prendre à temps les dispositions nécessaires à l'exécution de cette obligation procédurale plus que prévisible. Il a d'ailleurs bénéficié d'un certain laps de temps pour le faire, puisque plusieurs semaines se sont écoulées entre le dépôt de la requête de sûretés (12 mars 2009) et le moment où le prononcé y relatif lui a été notifié (13 mai 2009). Quoi qu'il en soit, sur ce point aussi, la motivation du recours se révèle lacunaire.
5. Cela étant, il y a lieu de rejeter le présent recours dans la mesure où il est recevable. Par conséquent, le recourant, qui succombe, devra payer les frais judiciaires afférents à la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF) et verser des dépens à l'intimée (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au juge instructeur de la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura.
Lausanne, le 14 juillet 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo