Considérant en fait et en droit:
1. Par un arrêté du 18 janvier 2006, le Conseil d'Etat de la République et canton de Genève a licencié avec effet immédiat A._, employée à l'office des poursuites. L'intéressée a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif cantonal. Son recours a été rejeté par un arrêt rendu le 26 août 2008. Dans cette procédure, A._ était représentée par Me Yves Nidegger, avocat à Genève.
L'arrêt du Tribunal administratif a été envoyé par la poste et remis à l'avocat susnommé le 8 septembre 2008.
2. A._, toujours représentée par Me Nidegger, a envoyé le 9 octobre 2008 au Tribunal fédéral un mémoire de recours (recours en matière de droit public), avec une demande d'assistance judiciaire. Sur le fond, elle conclut à l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif et au renvoi de l'affaire pour nouvelle décision à cette juridiction.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
3. Le 13 octobre 2008, le Président de la Ire Cour de droit public a invité l'avocat de la recourante à se déterminer à propos de l'observation du délai de recours.
Le 24 octobre 2008, A._, par l'intermédiaire de Me Nidegger, a déposé une requête de restitution du délai de recours, en invoquant une incapacité non fautive pour des raisons de maladie. Une attestation du Dr B._, spécialiste FMH en médecine interne, à Plan-les-Ouates, était jointe à cette requête.
La recourante a été invitée à produire des certificats médicaux complémentaires. Elle a déposé, le 12 novembre 2008, une attestation du 5 novembre 2008 du Dr C._, chef de clinique au département de psychiatrie des Hôpitaux Universitaires de Genève, ainsi qu'un nouveau certificat médical du Dr B._, du 11 novembre 2008.
4. En l'espèce, le délai de recours est de 30 jours, dès la notification de l'expédition complète de la décision attaquée (art. 100 al. 1 LTF). Ce délai courait dès le 9 septembre 2008 (le lendemain de la date de notification - art. 44 al. 1 LTF). Il est arrivé à échéance le mercredi 8 octobre 2008. Un recours remis le jour suivant à La Poste Suisse, à l'attention du Tribunal fédéral (cf. art. 48 al. 1 LTF), est donc tardif et, partant, en principe irrecevable.
La recourante ne conteste pas avoir déposé son recours après l'expiration du délai légal. Elle demande la restitution de ce délai.
5. En vertu de l'art. 50 al. 1 LTF, si, pour un autre motif qu'une notification irrégulière, la partie ou son mandataire a été empêché d'agir dans le délai fixé sans avoir commis de faute, le délai est restitué pour autant que la partie en fasse la demande, avec indication du motif, dans les 30 jours à compter de celui où l'empêchement a cessé; l'acte omis doit être exécuté dans ce délai.
5.1 Dans le cas particulier, le mémoire de recours ne contient pas de demande de restitution du délai de recours, ni d'explication au sujet du caractère tardif de celui-ci. La demande de restitution a été déposée le 24 octobre 2008. L'avocat de la recourante y fait valoir que sa cliente souffre d'importants troubles dans sa santé psychique et physique, et qu'elle s'est trouvée dès le 8 septembre 2008 pour une longue période dans l'incapacité de se déterminer quant à l'opportunité d'un recours. Selon cette écriture, la recourante souffrait d'une ambivalence maladive jusqu'au 9 octobre 2008 au matin. A partir de ce moment-là, elle a été en mesure de donner des instructions claires à son avocat, qui l'a reçue à son étude.
Selon la thèse de la recourante, l'empêchement a donc cessé le 9 octobre 2008. De ce point de vue, la demande de restitution du délai n'est pas tardive.
5.2 Il ressort des attestations médicales produites par la recourante qu'elle a "longtemps hésité avant de faire recours au Tribunal" et que "la plupart du temps troublée, hésitante sinon ambivalente quant à cette décision, elle [était] devenue incapable de discernement en raison même de sa pathologie dépressive" (première attestation du Dr B._). Elle a été hospitalisée en clinique de psychiatrie le 12 octobre 2008 en présentant à son admission un épisode dépressif sévère, et "il est probable que l'affection [...] ait été présente durant la période ayant précédé l'hospitalisation et qu'elle ait pu interférer sur [sa] capacité à mener à bien ses démarches notamment administratives" (attestation du Dr C._). La recourante "a présenté une dégradation de son état mental depuis mi-septembre 2008 environ, de façon progressive" et elle n'avait plus "la capacité de discernement suffisante pour agir dans la défense de ses intérêts" (seconde attestation du Dr B._).
Il incombe à la partie qui invoque un empêchement, afin d'obtenir la restitution d'un délai, de prouver les faits pertinents (conformément au principe général exprimé notamment à l'art. 8 CC). Sur la base des pièces produites, il n'est pas établi que durant le délai de recours - soit durant les trente jours suivant la notification de l'arrêt attaqué -, la recourante était constamment incapable de discernement. Il faut admettre au contraire qu'au moins à certains moments de cette période, elle était en mesure de discuter de cette question avec son avocat.
Cet avocat n'a pas prétendu que son mandat avait été résilié après l'arrêt du 26 août 2008. Il a certes affirmé que la recourante avait fait reprendre son dossier à l'étude, le 16 septembre 2008, mais il n'en a déduit aucune conséquence au plan contractuel. Le mémoire de recours, du 9 octobre 2008, ne mentionne aucune particularité à ce propos; il faut en déduire que l'on se trouve dans la situation ordinaire où la partie qui a constitué un avocat dans un procès, maintient le mandat en tout cas jusqu'à l'échéance du délai de recours.
5.3 Cela étant, pour qu'un délai soit restitué à la partie assistée d'un avocat, il faut que le mandataire lui-même puisse se prévaloir d'un empêchement non fautif. Il suffit que en effet l'empêchement de la partie ou du mandataire soit fautif pour que la restitution soit refusée. Sur ce point, la réglementation de l'art. 50 al. 1 LTF correspond à celle de l'art. 35 de l'ancienne loi d'organisation judiciaire (OJ - cf. arrêts non publiés 2C_98/2008 du 12 mars 2008, consid. 3, et 1C_110/2008 du 19 mai 2008, consid. 3.1). La restitution de délai est subordonnée à l'absence de toute faute quelconque (cf. JEAN-FRANÇOIS POUDRET/SUZETTE SANDOZ-MONOD, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. I, Berne 1990, n. 2.3 ad art. 35 p. 240). On peut exiger du mandataire professionnel, surtout de l'avocat, un devoir de diligence accru (POUDRET/SANDOZ-MONOD, ibid.). Dans ce contexte, une faute peut être imputée à l'avocat qui ne s'assure pas que son client renonce effectivement à recourir (ATF 106 II 173), et qui n'examine pas la possibilité de déposer le cas échéant en temps utile un recours de sa propre initiative (ATF 114 II 181). Dans les circonstances de l'espèce, le mandataire de la recourante n'est pas parvenu à établir qu'il avait lui-même été empêché sans sa faute d'agir avant l'échéance du délai de recours. La demande de restitution de ce délai doit donc être rejetée.
6. Il s'ensuit que le recours en matière de droit public doit être déclaré irrecevable (cf. supra, consid. 4).
La demande d'assistance judiciaire doit être rejetée, en vertu de l'art. 64 al. 1 LTF, car les conclusions de la recourante ainsi que sa demande de restitution de délai paraissaient d'emblée vouées à l'échec. La recourante, qui succombe, doit donc supporter les frais judiciaires (art. 65 al. 1 et art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande de restitution du délai de recours est rejetée.
2. Le recours est irrecevable.
3. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
5. Il n'est pas alloué de dépens.
6. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Conseil d'Etat et au Tribunal administratif de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 25 novembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Jomini