Faits:
A. S._, né en 1943, de nationalité française, domicilié en France, a travaillé en qualité de soudeur à partir du 1er janvier 1995 auprès de l'entreprise X._ SA, à M._. Dès le 1er septembre 2004, il s'est trouvé en arrêt maladie. L'employeur a résilié les rapports de travail pour le 31 août 2005.
Le 23 août 2005, S._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 30 août 2005, le docteur W._, rhumatologue, a posé les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail d'ostéoporose rachidienne et costale fracturaire, d'arthrose postérieure lombaire inférieure responsable de lombalgie chronique et de capsulite rétractile de l'épaule gauche. Il relevait que l'état de santé du patient était stationnaire et que l'incapacité de travail était totale depuis le 1er septembre 2004. Dans une expertise bidisciplinaire du 16 juin 2006, les docteurs Z._, spécialiste FMH en médecine générale, et G._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie, ont posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de syndrome pan-vertébral lombaire accentué (mauvaise position et insuffisance musculaire abdominale, malformation du sacrum en pointe, hernie discale médiale L4/L5 et dans une moindre mesure L5/S1), de possible périarthropathie huméro-scapulaire gauche (vraisemblablement tendinose du muscle supraspinal et du sous-scapulaire) et de tassement vertébral en D7 et L5. Ils indiquaient que l'assuré présentait une incapacité de travail de 50 % depuis septembre 2004 et de 100 % depuis mars 2005 dans son ancienne activité de soudeur et une pleine capacité de travail dans une activité légère à moyennement lourde sans position fixe. Dans un rapport complémentaire du 5 octobre 2006, ils ont considéré comme adaptées les activités satisfaisant à la problématique de l'épaule, ce qui excluait les travaux effectués dans des activités exercées de manière durable avec les bras à l'horizontale ou au-dessus. Relevant que le docteur W._ parlait uniquement de travail de force mais qu'il ne s'exprimait pas sur la capacité de travail du patient dans une activité adaptée, ils ont précisé que l'incapacité de travail de 100 % dans l'ancienne activité de soudeur en raison des problèmes d'épaule et des atteintes dégénératives touchant l'axe du squelette était durable et qu'une capacité de travail de 100 % était exigible dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles mentionnées ci-dessus.
Par décision du 20 mars 2007, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Bâle-Campagne, rejetant la demande, a refusé d'allouer à S._ une rente d'invalidité, au motif qu'il présentait une invalidité de 26 %, taux ne donnant pas droit à une rente. Celui-ci ayant formé recours contre cette décision, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Bâle-Campagne, par jugement du 21 décembre 2007, l'a partiellement admis en ce sens qu'il a annulé la décision du 20 mars 2007 et transmis la cause à l'Office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: OAIE) pour nouvelle décision.
Par décision du 16 mai 2008, l'OAIE, rejetant la demande, a refusé d'allouer à S._ une rente d'invalidité, au motif qu'il présentait une invalidité de 26 %, taux ne conférant aucun droit à une rente.
B. Le 16 juin 2008, S._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif fédéral. Il produisait un certificat du docteur W._ du 26 mars 2007 indiquant que son état correspondait à un taux d'incapacité permanente supérieur à 40 %.
Par arrêt du 8 mars 2010, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours.
C. Par écritures des 12 et 22 avril 2010, S._ a interjeté un recours contre cet arrêt. Alléguant que les diagnostics posés par les médecins français ne sauraient être sérieusement mis en doute par les médecins suisses, il requiert l'indemnisation financière de la perte de revenus pendant la période allant du début de son congé maladie jusqu'à sa mise à la retraite et demande que les années de travail durant cette période-là soient prises en compte dans l'évaluation de son invalidité. Il sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
1.2 Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
Au regard de l'art. 99 al. 1 LTF, les documents médicaux que le recourant produit devant la Cour de céans ne sont pas admissibles. Par rapport aux dernières conclusions prises devant l'autorité précédente tendant à l'annulation de la décision du 16 mai 2008 et à l'octroi d'une rente d'invalidité, la conclusion prise par le recourant dans son écriture du 22 avril 2010 demandant l'indemnisation financière de la perte de revenus pendant la période allant du début de son congé maladie jusqu'à sa mise à la retraite est nouvelle (BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, N. 30, 31 et 32 ad Art. 99 LTF). Cette conclusion est dès lors irrecevable.
1.3 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 s. (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application du droit par cette dernière (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité - dans la mesure où elle dépend d'une évaluation de la personne concrète, de son état de santé et de ses capacités fonctionnelles - relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398).
2. Le litige, relatif au droit du recourant à une rente d'invalidité, porte sur l'atteinte à la santé et son incidence sur la capacité de travail et de gain, singulièrement sur le degré d'invalidité fondant le droit à la prestation.
2.1 Le degré d'invalidité d'un assuré qui prétend une rente de l'assurance-invalidité suisse se détermine exclusivement d'après le droit suisse (ATF 130 V 253 consid. 2.4 p. 257). Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales relatives aux notions d'incapacité de gain (art. 7 LPGA jusqu'au 31 décembre 2007; art. 7 al. 1 et 2 LPGA depuis le 1er janvier 2008) et d'invalidité (art. 4 al. 1 LAI et art. 8 al. 1 LPGA), ainsi que les règles régissant l'évaluation de l'invalidité des assurés exerçant une activité lucrative (art. 16 LPGA en corrélation avec l'art. 28 al. 2 LAI jusqu'au 31 décembre 2007 et avec l'art. 28a al. 1 LAI depuis le 1er janvier 2008) et les principes jurisprudentiels y relatifs, lesquels continuent à s'appliquer après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la novelle du 6 octobre 2006 [5e révision de l'AI] (arrêt 8C_373/2008 du 28 août 2008, consid. 2.1). On peut ainsi y renvoyer.
2.2 En cas de divergence d'opinion entre experts et médecins traitants, il n'est pas, de manière générale, nécessaire de mettre en oeuvre une nouvelle expertise. La valeur probante des rapports médicaux des uns et des autres doit bien plutôt s'apprécier au regard des critères jurisprudentiels (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352) qui permettent de leur reconnaître pleine valeur probante. A cet égard, il convient de rappeler qu'au vu de la divergence consacrée par la jurisprudence entre un mandat thérapeutique et un mandat d'expertise (ATF 124 I 170 consid. 4 p. 175; arrêt I 514/06 du 25 mai 2007 consid. 2.2.1, in SVR 2008 IV Nr. 15 p. 43), on ne saurait remettre en cause une expertise ordonnée par l'administration ou le juge et procéder à de nouvelles investigations du seul fait qu'un ou plusieurs médecins traitants ont une opinion contradictoire. Il n'en va différemment que si ces médecins traitants font état d'éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l'expertise et qui sont suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions de l'expert.
3. Les premiers juges ont retenu que le recourant souffrait essentiellement d'un syndrome pan-vertébral accentué au niveau lombaire avec une insuffisance musculaire abdominale, un sacrum acutum et une hernie discale en L4/L5, dans une moindre mesure L5/S1, d'une possible périarthopathie huméro-scapulaire gauche, ainsi que d'un tassement vertébral en D7 et L5 avec hyperfixation scintigraphique. Faisant leurs les appréciations des docteurs Z._ et G._, dont ils ont admis qu'elles remplissaient toutes les conditions qui permettent de reconnaître à un rapport médical pleine valeur probante (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352), ils ont constaté qu'il présentait une pleine capacité de travail exigible dans une activité de substitution légère ou moyennement lourde sans mouvements horizontaux fréquents des bras ni risque de chute important.
3.1 Le recourant met en doute l'impartialité des docteurs Z._ et G._. Toutefois, le moyen tiré de l'apparence de prévention doit en tout état de cause être considéré comme tardif, étant donné que le recourant invoque un motif de récusation qu'il aurait pu faire valoir en procédure administrative et qu'il ne peut plus s'en prévaloir de bonne foi devant une instance judiciaire.
3.2 Le docteur N._, spécialiste en médecine générale, dans son attestation du 30 janvier 2007 et le docteur W._, spécialiste en rhumatologie, dans son rapport du 30 août 2005 et ses certificats des 2 janvier 2006 et 26 mars 2007 n'ont fait état d'aucun élément objectivement vérifiable qui aurait été ignoré par les docteurs Z._ et G._ dans leur expertise du 16 juin 2006 et leur rapport complémentaire du 5 octobre 2006 et qui soit suffisamment pertinent pour remettre en cause leurs conclusions (supra, consid. 2.2). A la différence des experts qui ont relevé qu'une capacité de travail de 100 % était exigible dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles, ce qui est décisif sous l'angle de l'exigibilité (art. 16 LPGA; ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398), les médecins traitants de l'assuré ne se sont pas exprimés sur la capacité de travail exigible.
Sur le vu de l'expertise bidisciplinaire du 16 juin 2006 (y compris l'expertise rhumatologique préliminaire du 6 juin 2006) et du rapport complémentaire du 5 octobre 2006 (y compris l'appréciation de la doctoresse G._ du 20 septembre 2006), les affirmations du recourant en ce qui concerne les troubles dont il est atteint et leur incidence sur sa capacité de travail ne permettent pas de considérer que les premiers juges, en retenant qu'il présentait une pleine capacité de travail exigible dans une activité de substitution légère ou moyennement lourde sans mouvements horizontaux fréquents des bras ni risque de chute important, aient établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit (supra, consid. 1.1 et 1.3). En ce qui concerne l'ostéoporose, ils ont relevé que de l'avis des experts, cette affection n'était susceptible d'entraîner une limitation de la capacité de travail que dans le cadre de travaux s'effectuant en hauteur et présentant un risque de chute important. Quant aux affections secondaires, soit l'obstruction pulmonaire après abus prolongé de nicotine et exposition à diverses vapeurs dans le cadre de la profession de soudeur et l'apnée du sommeil (soupçon), elles n'étaient pas invalidantes. Cela n'est pas discuté par le recourant.
3.3 Les premiers juges, se fondant sur l'enquête suisse sur la structure des salaires (ESS), ont calculé le revenu d'invalide sur la base du salaire auquel peuvent prétendre - en 2005 - les hommes effectuant des activités simples et légères (tableau TA1, niveau de qualification 4), et compte tenu d'un abattement de 20 %. Il résultait de la comparaison des revenus une invalidité de 27 %, taux qui ne confère aucun droit à une rente d'invalidité. Le recourant ne conteste ni les paramètres dans l'ESS sur lesquels se sont fondés les premiers juges, ni les chiffres qu'ils ont retenus. Les conclusions tirées de la comparaison des revenus, à savoir que le recourant n'a pas droit à une rente d'invalidité, sont conformes au droit fédéral (art. 28 al. 2 LAI, teneur en vigueur depuis le 1er janvier 2008). Le recours est dès lors mal fondé.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 octobre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner