Fatti:
A. Il cittadino nigeriano A._ si è sposato con la cittadina elvetica B._ il 20 aprile 2007, a Y._ (Spagna). Il 3 giugno 2007, dal loro matrimonio è nata la figlia C._, data in affidamento a terzi nell'agosto seguente.
Privo del necessario visto, A._ è entrato illegalmente in Svizzera il 21 giugno 2008. Arrestato tre giorni più tardi, è rimasto in carcere fino al 15 settembre di quell'anno. Nel frattempo, il 10 luglio 2008, B._, già sotto curatela amministrativa a causa della sua dipendenza dall'alcool e da sostanze stupefacenti, è stata collocata presso una comunità per tossicodipendenti.
Interrogato dalla Polizia cantonale, il 25 settembre 2008 A._ ha dichiarato di avere vissuto a X._ con la moglie dal luglio al dicembre 2006, di essersi trasferito a Y._ ed essere infine rientrato in Ticino ai primi di maggio 2007, per risiedere con la moglie presso la suocera. Egli ha tuttavia specificato di non aver più vissuto insieme alla moglie già dal giugno 2007, per motivi economici.
B. Il 16 ottobre 2008, A._ ha inoltrato alla Sezione dei permessi e dell'immigrazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino un'istanza volta al rilascio di un permesso di dimora per ricongiungersi con la moglie in Svizzera. Detta domanda è stata respinta il 16 dicembre 2008 a causa delle condanne penali pronunciate a carico del richiedente in Svizzera e all'estero. Ad A._ è stato quindi assegnato un termine scadente il 31 gennaio 2009 per lasciare il territorio elvetico.
Tale decisione è stata confermata su ricorso dal Consiglio di Stato il 1° aprile 2009 e, in seguito, dal Tribunale cantonale amministrativo, con sentenza del 17 agosto 2009.
C. Il 22 settembre 2009, A._ ha inoltrato un ricorso al Tribunale federale. Con tale atto, oltre alla concessione dell'effetto sospensivo e dell'assistenza giudiziaria, chiede l'annullamento della sentenza cantonale e il rilascio del permesso di dimora o, in subordine, il rinvio degli atti all'autorità inferiore per un nuovo esame.
Con decreto presidenziale del 25 settembre 2009, è stato concesso l'effetto sospensivo al gravame.
Chiamato ad esprimersi, il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. Ad essa ha fatto rinvio anche la Sezione dei permessi e dell'immigrazione e l'Ufficio federale della migrazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte.
Diritto:
1. 1.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (art. 29 cpv. 1 LTF), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (DTF 134 IV 36 consid. 1; 133 II 249 consid. 1.1 con rinvii).
1.2 Il ricorrente ha omesso di precisare per quale via di diritto intendeva procedere. Tale imprecisione non comporta comunque alcun pregiudizio per lui, nella misura in cui il suo allegato adempie alle esigenze formali del tipo di ricorso effettivamente esperibile (DTF 134 III 379 consid. 1.2; 133 I 300 consid. 1.2 con rinvii).
1.3 L'impugnativa è stata presentata contro una decisione di ultima istanza cantonale in una causa di diritto pubblico; occorre quindi esaminare se la stessa sia ricevibile quale ricorso in materia di diritto pubblico.
2. 2.1 Giusta l'art. 83 lett. c n. 2 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni in materia di diritto degli stranieri concernenti i permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto (DTF 133 I 185 consid. 2.3; 131 II 339 consid. 1).
2.2 Secondo l'art. 42 cpv. 1 della legge federale sugli stranieri del 16 dicembre 2005 (LStr; RS 142.20), i coniugi stranieri di cittadini svizzeri hanno di principio diritto al rilascio e alla proroga del permesso di dimora. Il ricorrente, sposato con una cittadina svizzera dal 2007, può quindi invocare detta norma. Dal profilo della ricevibilità, la questione a sapere se i coniugi coabitino, oppure se sussistano gli estremi di cui agli art. 49 e 50 LStr, non è invece determinante (DTF 2C_460/2009 del 4 novembre 2009 consid. 2.1.2; sentenza del Tribunale federale 2C_388/2009 del 9 dicembre 2009 consid. 1).
2.3 La moglie e la figlia del ricorrente, cittadine svizzere, hanno il diritto di risiedere stabilmente in Svizzera: egli può pertanto richiamarsi anche al diritto al ricongiungimento familiare garantito dall'art. 8 CEDU. Dal profilo dell'ammissibilità del gravame, non occorre verificare se esso esista effettivamente (sentenze 2D_138/2008 del 10 giugno 2009 consid. 2.2 e 2D_98/2008 del 12 dicembre 2008 consid. 1.2).
La via di ricorso è aperta anche in virtù di questa norma, concretamente richiamata dal ricorrente.
2.4 Tempestivo (art. 100 cpv. 1 LTF) e presentato da persona legittimata ad agire (art. 89 cpv. 1 LTF), il ricorso è quindi di principio ricevibile.
2.5 Giusta l'art. 42 cpv. 1 LTF, il ricorso deve contenere le conclusioni, i motivi e l'indicazione dei mezzi di prova. Nel caso concreto, l'adempimento delle citate esigenze di motivazione è per lo meno dubbio. Dato che l'impugnativa risulta infondata anche nel merito, la questione della sua ammissibilità in relazione a questo aspetto può tuttavia rimanere irrisolta.
3. 3.1 Il rilascio o la proroga del permesso di dimora giusta l'art. 42 cpv. 1 LStr a coniugi stranieri di cittadini svizzeri presuppone la coabitazione. L'art. 49 LStr prevede una deroga all'esigenza della coabitazione se possono essere invocati motivi gravi che giustificano il mantenimento di residenze separate e se la comunità familiare continua a sussistere.
Nel caso concreto, il ricorrente non convive più con la moglie dal mese di giugno 2007; inoltre, non sostiene né prova che la comunità familiare sia stata mantenuta. Egli non può pertanto pretendere il rilascio del permesso di dimora sulla base dei disposti citati.
3.2 Conformemente all'art. 50 cpv. 1 LStr, dopo lo scioglimento della comunità familiare, il diritto del coniuge al rilascio e alla proroga del permesso di dimora giusta l'art. 42 LStr continua a sussistere se l'unione coniugale è durata almeno 3 anni e l'integrazione è avvenuta con successo (lett. a) o se gravi motivi personali rendono necessario il prosieguo del soggiorno in Svizzera (lett. b).
Come emerge dagli atti di causa, l'unione coniugale del ricorrente non è durata 3 anni, per cui egli non può dedurre nessun diritto dall'art. 50 cpv. 1 lett. a LStr. Il ricorrente non sostiene neppure che gravi motivi personali ai sensi dell'art. 50 cpv. 1 lett. b LStr rendano necessario il prosieguo del suo soggiorno in Svizzera (in proposito cfr. Messaggio dell'8 marzo 2002 relativo alla legge federale sugli stranieri in: FF 2002 3327 segg., n. 1.3.7.6 pag. 3370 seg.). Al fine di ottenere il rilascio del permesso richiesto, il ricorrente non può quindi neanche riferirsi all'art. 50 cpv. 1 LStr.
4. 4.1 Dal profilo del diritto convenzionale, a ragione il ricorrente non sostiene l'esistenza tra lui e la moglie di una relazione protetta dall'art. 8 CEDU in quanto essi, per sua stessa ammissione, non convivono più dal giugno del 2007 e non hanno relazioni strette ed effettive (DTF 130 II 281 consid. 3.1 pag. 285; 129 II 193 consid. 5.3.1 pag. 211). Quand'anche si volesse ammettere che egli può appellarsi all'art. 8 CEDU, ci si limita in merito a rinviare ai pertinenti considerandi della sentenza cantonale, che il ricorrente non rimette d'altronde in discussione (cfr. giudizio impugnato, consid. 4.2 pag. 8).
4. 4.1 Dal profilo del diritto convenzionale, a ragione il ricorrente non sostiene l'esistenza tra lui e la moglie di una relazione protetta dall'art. 8 CEDU in quanto essi, per sua stessa ammissione, non convivono più dal giugno del 2007 e non hanno relazioni strette ed effettive (DTF 130 II 281 consid. 3.1 pag. 285; 129 II 193 consid. 5.3.1 pag. 211). Quand'anche si volesse ammettere che egli può appellarsi all'art. 8 CEDU, ci si limita in merito a rinviare ai pertinenti considerandi della sentenza cantonale, che il ricorrente non rimette d'altronde in discussione (cfr. giudizio impugnato, consid. 4.2 pag. 8).
4.2 4.2.1 Per quanto invece concerne il rapporto con la figlia va ricordato che, per consolidata prassi, il cittadino straniero che non ha la custodia dei figli può già di per sé vivere soltanto in misura limitata le relazioni con la prole, ossia unicamente nel quadro dell'esercizio del diritto di visita riconosciutogli. A questo scopo non è indispensabile che egli viva stabilmente nello stesso paese del figlio e che disponga di un'autorizzazione di soggiorno in detto Stato. Di principio, il diritto di visita non implica quindi un diritto di presenza costante in Svizzera per il genitore straniero di un figlio che vi risiede in maniera regolare e durevole; le esigenze dell'art. 8 CEDU risultano rispettate già se il diritto di visita può venir esercitato nell'ambito di soggiorni brevi, adattandone se del caso le modalità (durata e frequenza). Un diritto all'ottenimento di un permesso di dimora può semmai sussistere solo se i rapporti con i figli sono particolarmente intensi dal profilo economico ed affettivo, se questi rapporti non potrebbero venir mantenuti a causa della distanza del paese d'origine del genitore e se il comportamento tenuto da quest'ultimo in Svizzera è stato irreprensibile (sentenze 2C_171/2009 del 3 agosto 2009 consid. 2.2; 2C_870/2008 del 26 maggio 2009 consid. 2.2; 2C_272/2008 del 15 gennaio 2009 consid. 2.2).
4.2.2 Nella fattispecie, la Corte cantonale ha rilevato in maniera vincolante anche per questo Tribunale (art. 105 cpv.1 LTF) che il ricorrente - come del resto sua moglie - è stato privato della custodia parentale sulla figlia e che la bambina è stata collocata presso una famiglia affidataria fin dalla più tenera età. Egli dispone di un diritto di visita che non va al di là dell'usuale, che al momento attuale gli viene per altro concesso soltanto in misura ridotta rispettivamente sorvegliata, e non dimostra né pretende di poter far fronte al mantenimento della figlia. Un legame particolarmente intenso dal profilo economico ed affettivo, così come richiesto dalla prassi, non è quindi dato.
4.2.3 A ciò si aggiunge che il ricorrente ha tenuto un comportamento tutt'altro che irreprensibile. Sempre in base a quanto rilevato dalla Corte cantonale, egli è stato più volte condannato sia all'estero sia in Svizzera: (1) il 24.01.1997, ad una pena pecuniaria di 45 aliquote giornaliere da 10 DM inflittagli a Steinfurt (DE); (2) il 01.10.1997, ad una pena di 5 mesi di detenzione, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 2 anni, per traffico illegale di sostanze stupefacenti e resistenza a pubblico ufficiale inflittagli a Düsseldorf (DE); (3) il 20.04.1998, ad una pena di 11 mesi di detenzione, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 2 anni, per traffico illegale di sostanze stupefacenti e resistenza a pubblico ufficiale inflittagli a Düsseldorf (DE); (4) il 05.09.2001, ad una pena di 4 anni di detenzione per grave traffico illegale di sostanze stupefacenti inflittagli a Traunstein (DE); (5) il 28.06.2006, ad una pena di 20 giorni di detenzione, sospesa condizionalmente con un periodo di prova di 3 anni, per infrazione alla legge federale sugli stupefacenti e sulle sostanze psicotrope inflittagli dal Ministero pubblico del Canton Ginevra insieme al divieto di entrata nel territorio di quel Cantone per una durata di 6 mesi; (6) il 3.12.2008, ad una pena di 83 giorni di detenzione per infrazione alla legge federale sugli stupefacenti e sulle sostanze psicotrope, alla LDDS e alla LStr inflittagli dal Ministero pubblico del Canton Ticino per fatti avvenuto tra la fine del 2006 e il gennaio del 2008.
Da tale elenco emerge che i fatti rimproverati al ricorrente sono almeno in parte gravi e che, come tali, sono pure stati pesantemente sanzionati. Come correttamente osservato dalla Corte cantonale, con il suo comportamento il ricorrente ha infatti più volte attentato a beni giuridici rilevanti quali la salute e la sicurezza pubblica, alla cui protezione la giurisprudenza accorda particolare importanza (DTF 125 II 521 consid. 4 e 5 pag. 527 segg.; sentenza del Tribunale federale 2C_171/2009 del 3 agosto 2009 consid. 2.3).
4.2.4 Per quanto precede, neppure le condizioni per il riconoscimento di un diritto all'ottenimento di un permesso di dimora giusta l'art. 8 CEDU da parte del ricorrente, per poter esercitare il suo diritto di visita, sono in concreto date.
Anche se la sua partenza dalla Svizzera costituirà senza dubbio un ostacolo nella gestione dei rapporti con la figlia, essa non li rende comunque impossibili ed è pertanto sostenibile: la relazione familiare potrà essere mantenuta mediante contatti telefonici e, più tardi, anche scritti nonché nell'ambito di soggiorni turistici da organizzare, se del caso, con l'aiuto del curatore educativo che ha il compito di occuparsi delle relazioni padre-figlia e che saprà regolare al meglio tale diritto.
5. 5.1 Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso va pertanto respinto poiché infondato.
5.2 L'istanza di assistenza giudiziaria non può trovare accoglimento in quanto il gravame appariva sin dall'inizio privo di probabilità di successo (art. 64 cpv. 1 LTF). Nell'addossare le spese giudiziarie al ricorrente soccombente (art. 65 e 66 cpv. 1 LTF) si considera la sua situazione finanziaria (art. 65 cpv. 2 LTF), fissando un importo ridotto. Non si assegnano ripetibili ad autorità vincenti (art. 68 cpv. 3 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3. Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
4. Comunicazione al ricorrente, alla Sezione dei permessi e dell'immigrazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino nonché all'Ufficio federale della migrazione.