Faits:
A. A.a Par contrat de travail du 29 septembre 1987, A._ a engagé sa nièce X._ pour qu'elle s'occupe, à raison de cinq après-midi par semaine dès le 1er décembre 1987, de son fils, Y._, infirme moteur cérébral. Les parties ont convenu d'une contre-prestation versée sous la forme de treize salaires d'un montant mensuel de 2'000 fr. ainsi que de leur indexation au coût de la vie au début de chaque année, la première fois le premier janvier 1989. La rémunération annuelle de X._ s'est chiffrée à 34'978 fr. en 1999 et à 35'389 fr. de 2000 à 2003.
Par testament public instrumenté le 3 juin 1988, A._ a pris des dispositions testamentaires. Elle a ainsi désigné un conseil de famille, dont elle a précisé la composition, et énuméré, dans un ordre de priorité précis, les personnes à même de s'occuper de Y._.
Le 9 avril 1997, A._ et Y._ ont été mis sous tutelle. Le tuteur du fils a été désigné en la personne de B._. Le 15 juin 2001, A._ est décédée.
A.b Le 6 novembre 2003, la chambre pupillaire de la commune de ... a demandé au tuteur de revoir à la baisse les salaires des personnes s'occupant de Y._, estimant que ces salaires étaient trop élevés au regard des prestations fournies.
Le 24 décembre 2003, B._ a mis fin au contrat de travail liant le pupille à X._, avec effet au 29 février 2004. Les relations contractuelles se sont prolongées au-delà de cette date, pour un salaire de 1'900 fr. par mois; la différence entre ce montant et le salaire perçu mensuellement jusqu'à la fin du mois de février 2004 a été versée ultérieurement.
Le 26 octobre 2005, le tuteur a une nouvelle fois résilié le contrat de travail, avec effet au 31 janvier 2006. Les raisons de la résiliation résidaient notamment dans le fait que le contrat n'était plus adapté à la situation.
B. Le 23 novembre 2005, X._ a saisi le Tribunal du travail du canton du Valais d'une requête de conciliation dans le litige l'opposant à Y._. Par jugement du 26 septembre 2006, la demande a été admise; le tribunal a décidé que la résiliation du contrat de travail n'est pas abusive, mais nulle, et que les conditions du contrat de travail signé par A._ et X._ sont maintenues.
Le pupille, représenté par son tuteur, a formé appel contre ce jugement. Statuant le 11 avril 2008, la Cour civile II du Tribunal cantonal valaisan a admis l'appel et réformé le jugement en ce sens que la résiliation du contrat de travail pour le 31 janvier 2006 est valable. Aucun frais de justice n'a été perçu et la demanderesse a été condamnée à verser au défendeur une indemnité de 1'200 fr. à titre de dépens pour la procédure d'appel.
La Cour civile a nié l'existence d'une charge successorale grevant le défendeur en le contraignant à maintenir le contrat de travail le liant à la demanderesse. L'autorité cantonale a de même considéré qu'aucune charge ne pouvait grever la demanderesse en l'obligeant à prendre soin du défendeur au décès de la mère de celui-ci. Estimant que la testatrice a exprimé sa volonté sous la forme d'un souhait et non d'une charge, la juridiction cantonale a arrêté que le contrat a été valablement résilié pour le 31 janvier 2006.
C. La demanderesse exerce un recours constitutionnel subsidiaire et un « recours en réforme » contre le jugement du 11 avril 2008. Elle conclut à ce que le jugement entrepris soit cassé concernant la constatation de faits inexacts, à l'admission du « recours en réforme » et à la nullité du congé donné par B._, tuteur du défendeur.
Le défendeur conclut à l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire et au rejet du « recours en réforme ». L'autorité cantonale se réfère aux considérants de son jugement.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 III 115 consid. 1; 133 I 206 consid. 2; 133 II 249 consid. 1.1, 629 consid. 2 et les références).
Le jugement attaqué a été rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par l'autorité judiciaire cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). La valeur litigieuse, qui correspond au montant encore litigieux devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF), est de 16'333 fr.40. Partant, la voie du recours en matière civile est ouverte (art. 74 al. 1 let. a LTF), si bien que celle du recours constitutionnel subsidiaire choisie par la recourante est fermée (art. 113 LTF).
Sous le titre « recours constitutionnel subsidiaire », la recourante soulève exclusivement des griefs de rang constitutionnel, réservant la critique du droit fédéral au « recours en réforme » déposé dans la même écriture. La recourante a manifestement confondu le recours constitutionnel subsidiaire prévu par la LTF avec l'ancien recours de droit public relevant de l'aOJ. C'est le lieu de préciser que le nouveau droit de procédure permet de se plaindre, dans le recours (ordinaire) en matière civile, d'une violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 133 III 446 consid. 3.1, 462 consid. 2.3).
La conversion des recours est possible en l'occurrence, puisque les conditions de recevabilité du recours en matière civile qui aurait dû être interjeté sont réunies (cf. ATF 131 I 291 consid. 1.3; 126 II 506 consid. 1b). Il convient donc de traiter l'acte déposé par la recourante comme un recours en matière civile.
2. 2.1 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 134 III 102 consid. 1.1). Il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
2.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3. La recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir constaté, de manière arbitraire, qu'elle était âgée de 64 ans - et non pas de 55 ans - au moment de l'établissement du testament, d'une part, et qu'elle n'était pas une héritière légale de la défunte A._, d'autre part.
3.1 Dans l'examen d'une éventuelle charge successorale grevant la recourante en l'obligeant à prendre soin du pupille au décès de la mère de celui-ci, l'autorité cantonale a analysé la teneur du chiffre 7 du testament, qui prévoyait la garantie d'un revenu à la recourante jusqu'à ce qu'elle atteigne 62 ans, et estimé que, par cette disposition, la testatrice avait expressément prévu une donation en faveur de la recourante. Les juges ont ensuite retenu que la recourante était âgée de 64 ans au moment de l'établissement du testament et qu'ainsi l'âge prévu de 62 ans était dépassé. Ayant constaté l'absence de legs au bénéfice de l'employée, ils ont exclu toute volonté de la testatrice d'assurer à la recourante le versement de son salaire sous forme de rente viagère.
Les magistrats ont encore noté que la volonté de la testatrice d'attribuer un legs à la recourante ne pouvait pas être déduite des termes « comme elle le fait actuellement », pas plus du reste du testament ou des éléments extrinsèques à celui-ci. En l'absence de tout legs au bénéfice de la recourante, la juridiction cantonale a arrêté que la disposition successorale ne répondait pas aux conditions posées par la jurisprudence en matière de charge dépendante. La cour civile a en définitive retenu que la volonté de la testatrice a été exprimée sous la forme d'un souhait - et non d'une charge.
3.2 S'il est vrai qu'au moment de l'instrumentation du testament public, le 3 juin 1988, la recourante, née le 7 janvier 1933, était âgée de 55 ans, et non pas - comme retenu à tort - de 64 ans, cet élément de fait est dénué de pertinence pour la solution du litige. Au moment du décès de la testatrice, le 15 juin 2001, la recourante était âgée de plus de 62 ans; elle ne pouvait donc plus prétendre à la donation prévue en sa faveur.
Dans le même grief, la recourante prétend être héritière légale de la défunte. Dire si une personne déterminée, en l'occurrence la nièce de la défunte dont le fils survivant est incapable de discernement, est une héritière légale de la défunte est une question de droit et non pas de fait. Dès lors que la recourante ne dénonce aucune violation du droit applicable en la matière, le grief est irrecevable. Au demeurant, la recourante semble perdre de vue que, comme tout héritier, le pupille acquiert en principe de plein droit la succession, sans même qu'une acceptation des autorités tutélaires compétentes ne soit nécessaire (cf. art. 560 CC).
La recourante s'en prend encore à la constatation selon laquelle la volonté clairement exprimée de la testatrice d'attribuer un legs à la recourante ne saurait être déduite des termes « comme elle le fait actuellement », ni résulter du testament ou des éléments extrinsèques à celui-ci. À la lire, cette constatation est contraire aux pièces du dossier, plus particulièrement au procès-verbal no 4 de la séance du conseil de famille tenue le 5 novembre 2003, qui précise notamment que « la mère de Y._ a[yant] insisté pour que soient maintenues les conditions de vie qui étaient celles de son fils de son vivant... ». Selon la recourante, il en découle que la testatrice voulait que les conditions telles qu'elles avaient été conclues de son vivant soient maintenues après son décès.
La tentative de démonstration de la recourante est vaine. On ne voit en effet pas en quoi la teneur du procès-verbal, telle que résumée, permettrait d'établir la volonté de la défunte d'attribuer un legs à la recourante. L'extrait cité ne contredit en rien l'analyse de la cour, selon laquelle les termes du testament « (...) puisse continuer à s'occuper (...) » et « (...) comme elle le fait actuellement (...) », qui se rapportent précisément à la recourante, ne traduisent pas la volonté d'attribuer un legs, mais sont l'expression d'un souhait. Le grief est d'autant plus infondé que le titre, sur lequel la recourante fonde l'entier de son argumentation, a été rédigé, postérieurement au décès de A._, par les membres du conseil de famille, qui ne font que relater un point de vue général.
4. Aux termes de l'art. 14 CPC/VS, le juge examine d'office sa compétence à raison de la matière.
La recourante fait grief à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement appliqué l'art. 14 CPC/VS, en n'ayant pas déclaré irrecevable l'appel interjeté par la partie adverse, compte tenu de la valeur litigieuse inférieure à 8'000 francs. Elle avance n'avoir pas, en qualité d'appelée, contesté le jugement rendu par le Tribunal du travail et soutient que, par conséquent, seule était litigieuse la résiliation du contrat de travail par B._.
Dans la mesure où l'autorité cantonale a examiné, de manière précise et détaillée, si elle était compétente pour trancher, en appel, le litige et qu'elle est arrivée à la conclusion que la valeur litigieuse, arrêtée à six mois de salaire, soit à 16'333 fr.40 (35'389 / 13 x 6), fondait sa compétence, cette autorité n'a pas fait une application arbitraire de la disposition incriminée. Il convient enfin de relever que la recourante ne dénonce pas une application insoutenable de l'art. 15 al. 5 CPC/VS, qui traite précisément du calcul de la valeur litigieuse déterminante pour la recevabilité des moyens de recours. Il n'y a donc pas lieu d'entrer en matière sur une éventuelle violation de cette disposition (cf. art. 106 al. 2 LTF).
Le grief est infondé.
5. La recourante reproche, en dernier lieu, à la cour cantonale d'avoir enfreint l'art. 482 CC, qui mentionne que les dispositions peuvent être grevées de charges et de conditions, dont tout intéressé a le droit de requérir l'exécution dès que les dispositions elles-mêmes ont déployé leurs effets (al. 1).
Sous le couvert d'une violation de l'art. 482 CC, qui n'est nullement démontrée, la recourante se livre en réalité à une nouvelle interprétation de ce qu'était la volonté de la testatrice, en se fondant sur des faits qui ne ressortent pas du jugement entrepris ou qui sont dénués de toute pertinence, comme cela a été relevé ci-dessus. Dès lors que la recourante s'écarte des constatations de fait, qui ont permis d'établir la volonté interne de la testatrice (cf. ATF 133 III 106 consid. 2 et les références) - dont il a été retenu qu'elle était exprimée sous la forme d'un souhait et non d'une charge -, le grief tombe manifestement à faux.
6. Sur le vu des considérants qui précèdent, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
7. Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires et dépens sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours, traité comme un recours en matière civile, est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 3 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Corboz Crittin