Fatti:
A. R._ da ultimo alle dipendenze del Bar X._ in qualità di ragazzo office, in data 26 luglio 2002 ha presentato una domanda di prestazioni AI per adulti lamentando gli esiti di un infortunio alla spalla destra occorsogli nel luglio 1995.
Esperiti gli accertamenti del caso, l'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha assegnato all'assicurato una rendita intera dal 1° luglio 2002 al 31 dicembre 2002 (decisione del 13 giugno 2005). Statuendo su opposizione, l'amministrazione ha quindi ordinato l'allestimento di una perizia psichiatrica a cura del servizio di psichiatria dell'Ospedale Y._, che però, con referto del 24 gennaio 2006, ha rilevato l'assenza di una patologia psichiatrica invalidante. Per decisione su opposizione del 3 ottobre 2006, l'UAI, accertata l'assenza di una perdita di guadagno, ha confermato il rifiuto di ulteriori prestazioni.
B. Patrocinato dall'avv. Marco Cereghetti, R._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale ha annullato la decisione su opposizione e rinviato gli atti all'amministrazione per approfondire i postumi d'ordine somatico di un nuovo infortunio della circolazione avvenuto il 25 agosto 2005 (pronuncia del 15 ottobre 2007).
C. Sempre patrocinato dall'avv. Cereghetti, l'assicurato ha presentato ricorso al Tribunale federale, al quale chiede, in via principale, il riconoscimento di una rendita intera e, in via subordinata, il rinvio degli atti alla precedente istanza o comunque all'amministrazione per complemento istruttorio non solo in merito alla problematica infortunistica del 25 agosto 2005, come disposto dal Tribunale cantonale, ma per l'intera problematica.
L'UAI propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con pieno potere di cognizione la sua competenza (art. 29 cpv. 1 LTF), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (DTF 133 I 185 consid. 2 pag. 188 con riferimenti; 133 II 249 consid. 1.1 pag. 251).
1.1 Dal momento che non pone termine alla procedura e che non serve unicamente e semplicemente a dare esecuzione a quanto ordinato con la decisione di rinvio (cfr. consid. 1.1 non pubblicato in DTF 134 V 392), il giudizio impugnato non costituisce una decisione finale ai sensi dell'art. 90 LTF.
1.2 Né esso configura una decisione parziale ai sensi dell'art. 91 LTF. Per ammettere l'esistenza di una siffatta decisione occorrerebbe infatti conformemente alla sua lett. a che il giudizio concernesse talune conclusioni, se queste possono essere giudicate indipendentemente dalle altre. Questo non vale per gli aspetti parziali di una medesima conclusione, ma solo per le diverse conclusioni riferite a differenti e separati oggetti della lite (DTF 133 V 477 consid. 4.1.2-4.3 pag. 480 segg; 125 V 413). Nel caso di specie, la decisione di rinvio impugnata non ha statuito in via definitiva sull'(unico) oggetto della lite, ossia sul diritto alla rendita (compresa la sua estensione; cfr. per analogia sentenza 9C_275/2007 del 17 giugno 2008, consid. 2.2).
1.3 La decisione di rinvio va pertanto qualificata quale decisione incidentale ai sensi dell'art. 93 LTF (DTF 133 V 477 consid. 4.2 pag. 481). L'ammissibilità del ricorso presuppone di conseguenza - in via alternativa - che la pronuncia possa causare un pregiudizio irreparabile (cpv. 1 lett. a) oppure che l'accoglimento del ricorso comporterebbe immediatamente una decisione finale consentendo di evitare una procedura probatoria defatigante o dispendiosa (cpv. 1 lett. b).
1.4 Un pregiudizio irreparabile ai sensi dell'art. 93 cpv. 1 lett. a LTF è un danno di natura giuridica che non può essere riparato ulteriormente da un giudizio finale o da un'altra decisione favorevole al ricorrente (DTF 133 IV 139 consid. 4 pag. 141, 288 consid. 3.1 pag. 291). Per contro, un danno meramente fattuale, come può essere il prolungamento della procedura o un aumento delle sue spese, non può essere considerato irreparabile (DTF 133 I 57 consid. 1 pag. 59). Spetta al ricorrente spiegare in che misura la decisione incidentale in lite sia di natura tale da provocare un pregiudizio irreparabile ai sensi dell'art. 93 cpv. 1 lett. a LTF, oppure in che misura l'accoglimento del ricorso comporterebbe immediatamente una decisione finale consentendo di evitare una procedura probatoria defatigante o dispendiosa ai sensi dell'art. 93 cpv. 1 lett. b LTF. Se ciò non si verifica - e a meno che una di queste due condizioni non sia manifestamente data - , il Tribunale federale non entra nel merito del ricorso (cfr. DTF 133 III 629 consid. 2.3.1 pag. 632).
1.5 Orbene, il ricorrente non spiega minimamente in quale misura il giudizio impugnato gli provocherebbe un danno irreparabile né in che misura l'accoglimento del ricorso eviterebbe una procedura probatoria defatigante o dispendiosa. Ciò non risulta neppure chiaramente dagli atti. A tale considerazione si aggiunge poi che per giurisprudenza una decisione di rinvio non provoca di regola un danno irreparabile ai sensi dell'art. 93 cpv. 1 lett. a LTF poiché la parte interessata può sempre ancora impugnarla insieme alla decisione finale (cfr. art. 93 cpv. 3 LTF; consid. 1.2.1 non pubblicato in DTF 134 V 392). Ne segue che il Tribunale federale non può entrare nel merito del ricorso (cfr. per analogia pure sentenza 9C_533/2007 del 31 luglio 2008, consid. 2).
2. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono quindi poste a carico del ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è inammissibile.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.