Faits :
A.
A._ s'est adressée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 15 décembre 2000. Au terme de l'instruction, l'administration a octroyé à l'assurée une rente entière pour la période limitée allant du 1er décembre 1999 au 28 février 2003 (décision sur opposition du 9 mai 2007).
L'intéressée a derechef requis des prestations de l'office AI le 28 juillet 2009. Sa nouvelle demande a été rejetée au motif que le degré d'invalidité résultant des affections somatiques et psychiatriques objectivées en cours de procédure ne donnaient pas droit à une rente (décision du 23 juillet 2013). L'administration s'est fondée sur les rapports d'expertises pluridisciplinaires réalisées par le Bureau romand d'expertises médicales (BREM devenu le Bureau d'expertises médicales [BEM]) et sur le calcul du taux d'invalidité effectué par son Service de réadaptation. Celui-ci a évalué la perte de gain à 37 %.
B.
A._ a déféré cette décision à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Elle a conclu à la reconnaissance de son droit à une rente entière depuis le 31 juillet 2009.
La juridiction cantonale a partiellement admis le recours et a accordé à l'assurée un quart de rente à compter du 1er janvier 2010 (jugement du 8 août 2014). Elle a substantiellement confirmé l'appréciation médicale du cas par l'office AI et a estimé qu'un abattement du revenu d'invalide de 15 % tenait mieux compte des circonstances personnelles et professionnelles dudit cas que la déduction de 10 % retenue dans la décision attaquée. Compte tenu de l'abattement de 15 %, la perte de gain s'élevait à 40,5 %.
C.
L'administration recourt contre ce jugement, dont elle requiert l'annulation, concluant à la confirmation de la décision du 23 juillet 2013.
L'intéressée a conclu au rejet du recours, reprenant substantiellement les mêmes arguments que les premiers juges. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (cf. art. 82 ss LTF) interjeté pour violation du droit fédéral (comprenant les droits fondamentaux) au sens de l'art. 95 let. a LTF, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue sur la base des faits retenus par la juridiction précédente (art. 105 al. 1 LTF) qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes et erreurs manifestes apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il n'examine en principe que les griefs allégués et motivés (art. 42 al. 2 LTF) surtout s'il portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant n'est habilité à critiquer la constatation des faits influant sur le sort du litige que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Est litigieux le droit à une rente d'invalidité dans le cadre d'une nouvelle demande de prestations ou, en d'autres termes, le point de savoir si - par analogie avec l'art. 17 LPGA (cf. art. 87 al. 3 RAI; voir également ATF 133 V 108 consid. 5 p. 110 ss; 130 V 343 consid. 3.5.2 p. 350 sv.; 130 V 71 consid. 3.2 p. 75 ss) - le degré d'invalidité de l'intimée a subi une modification significative depuis la décision du 9 mai 2007 et justifie désormais l'octroi d'une rente. Compte tenu des griefs soulevés par l'office recourant contre le jugement cantonal (sur le devoir d'allégation et de motivation, voir notamment Florence Aubry Girardin, in: Commentaire de la LTF, 2ème éd. 2014, n° 24 ad art. 42 LTF, ainsi que les arrêts cités), il s'agit singulièrement de déterminer si la juridiction cantonale a mésusé de son pouvoir d'appréciation en considérant qu'une réduction du revenu d'invalide de 15 % était plus appropriée qu'un abattement de 10 %.
3.
3.1. Divers éléments peuvent influencer le revenu d'une activité lucrative. Il s'agit de circonstances personnelles et professionnelles, exhaustivement énumérées par la jurisprudence (les limitations fonctionnelles liées au handicap, l'âge, les années de service, la nationalité/catégorie d'autorisation de séjour et le taux d'occupation), dont il y a lieu de tenir compte au moment de la détermination du revenu hypothétique d'invalide au moyen de salaires statistiques par une déduction globale maximale de 25 % (cf. ATF 126 V 75 consid. 5b/aa-cc p. 79 sv.).
3.2. Savoir s'il convient de procéder à un abattement sur le salaire statistique en raison des circonstances du cas particulier est une question de droit que le Tribunal fédéral peut revoir librement. L'étendue dudit abattement dans un cas particulier est en revanche une question relevant du pouvoir d'appréciation dont le Tribunal fédéral ne peut être saisi que si l'autorité judiciaire inférieure a exercé son pouvoir d'appréciation de manière contraire au droit, c'est-à-dire que si celle-ci a commis un excès positif ("Ermessensüberschreitung") ou un excès négatif ("Ermessensunterschreitung") de son pouvoir d'appréciation ou si elle a abusé ("Ermessensmissbrauch") de celui-ci (cf. p. ex. ATF 137 V 71 consid. 5.1 p. 72), notamment en retenant des critères inappropriés ou en omettant des critères objectifs et en ne tenant pas - ou pas entièrement - compte de circonstances pertinentes (cf. p. ex. ATF 130 III 176 consid. 1.2 p. 180).
Contrairement à celui du Tribunal fédéral, le pouvoir d'examen de l'autorité inférieure n'est pas limité à la violation du droit (y compris l'excès ou l'abus du pouvoir d'appréciation), mais s'étend également à l'opportunité de la décision administrative ("Angemessenheitskontrolle"). Cet examen porte sur le point de savoir si une autre solution que celle que l'autorité administrative a adoptée dans le respect de son pouvoir d'appréciation et des principes généraux du droit n'aurait pas été plus judicieuse quant à son résultat. Le juge ne peut toutefois substituer sans motif pertinent sa propre appréciation à celle de l'administration, mais doit s'appuyer sur des circonstances de nature à faire apparaître sa propre appréciation comme la mieux appropriée (cf. ATF 137 V 71 consid. 5.2 p. 73; 126 V 75 consid. 6 p. 81).
4.
4.1. L'office recourant reproche au tribunal cantonal d'avoir exercé son pouvoir d'appréciation d'une manière contraire au droit, en considérant qu'une déduction sur le revenu d'invalide de 15 % était plus appropriée que la déduction de 10 % retenue dans la décision litigieuse. Il soutient que celui-ci a pris en considération des facteurs d'abattement (l'âge, la formation et l'expérience professionnelle réduite, les capacités adaptatives et d'apprentissage, l'anhédonie et les fluctuations thymiques) qui, en l'espèce, ne devaient pas l'être.
4.2. Cette argumentation n'est pas fondée. Les premiers juges n'ont en l'occurrence nullement reproché à l'administration d'avoir excédé positivement ou négativement son pouvoir d'appréciation ou d'avoir abusé de celui-ci mais ont estimé que leur appréciation personnelle était plus judicieuse quant à son résultat ou la mieux appropriée, ce que la jurisprudence évoquée (cf. consid. 3.2) leur permet de soutenir pour autant qu'ils puissent se baser sur des circonstances pertinentes propres à le démontrer. Or, si les considérations de la juridiction cantonale peuvent paraître relativement peu pertinentes dans le sens où on peine effectivement à y déceler le caractère plus approprié de son appréciation par rapport à celle de l'office recourant, comme semble le suggérer ce dernier, elles révèlent toutefois un usage du pouvoir d'appréciation clairement contraire au droit de la part de l'administration.
A cet égard, il ressort des constatations du tribunal cantonal que les deux autorités mentionnées se sont référées à des circonstances personnelles ou professionnelles pouvant justifier une réduction du revenu d'invalide (en particulier, l'âge ou les limitations fonctionnelles liées au handicap en général) ou à des éléments qui peuvent presque tous (à l'exception de la formation professionnelle) y être rattachés (singulièrement l'expérience professionnelle réduite, que l'on peut mettre en relation avec les années de service, ou les faibles capacités adaptatives et d'apprentissage, l'anhédonie ainsi que les fluctuations thymiques, qui sont toutes des limitations fonctionnelles attestées médicalement résultant des troubles psychiques diagnostiqués) mais en ont fait une appréciation qui a abouti à des résultats différents. Si chacune de ces circonstances ou chacun de ces éléments, pris séparément, peut certes sembler en lui-même non-pertinent dans le contexte de la détermination du taux de réduction du revenu d'invalide, une analyse globale desdites circonstances ou desdits éléments à laquelle il convient légalement de procéder conduit à un tout autre résultat et démontre qu'une réintégration du marché du travail est rendue bien plus difficile pour l'intimée qui en cumule plusieurs, contrairement à ce qu'a retenu l'office recourant, que pour un assuré qui n'en présente pas ou qu'un seul. Ainsi, si l'intimée était âgée de 57 ans lorsqu'il a été constaté que l'exercice d'une activité adaptée était exigible du point de vue médical (cf. ATF 138 V 457 consid. 3 p. 459), ce qui était en soi relativement éloigné du seuil à partir duquel la jurisprudence considère qu'une méthode d'évaluation plus concrète est nécessaire (sur la limite d'âge, cf. p. ex. arrêt 9C_486/2013 du 2 décembre 2013 consid. 3.2.2 non publié dans l'ATF 139 V 600), il convient encore d'analyser cette circonstance en relation avec les limitations somatiques (qui restreignent l'éventail des activités adaptées et qui, en association avec les limitations psychiques, limitent la capacité résiduelle de travail à 60 % dans les activités déjà exercées et à 70 % dans les activités adaptées) et avec les limitations psychiques (susceptibles d'engendrer un absentéisme imprévisible empêchant une exploitation linéaire de la capacité résiduelle de travail ou d'assimiler de simples instructions caractéristiques déjà de toutes mises au courant initiales) qui ont certes déjà été prises en compte dans l'évaluation de la capacité de travail mais constituent néanmoins en l'espèce un désavantage important pour l'assurée vis-à-vis d'un postulant à un emploi qui n'en présente pas. Il apparaît dès lors que l'administration a excédé son pouvoir d'appréciation en ne tenant pas entièrement compte des circonstances pertinentes. L'examen global de ces dernières, auquel le Tribunal fédéral se doit de procéder dans la mesure où la juridiction cantonale n'a pas pris les conclusions qu'imposaient ses constatations et son raisonnement (cf. arrêt 9C_160/2014 du 30 juin 2014 consid. 5.3 et les références), permet toutefois de confirmer le résultat auquel celle-ci a abouti de sorte que, compte tenu des considérations qui précèdent, son jugement peut être confirmé.
5.
Etant donné l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par l'office recourant (art. 66 al. LTF). L'intimée - qui est en l'occurrence représentée par un cabinet de conseils dans les domaines juridique et fiscal - peut prétendre des dépens dans la mesure où elle obtient gain de cause (art. 68 al. 1 LTF et 9 du Règlement du 31 mars 2006 sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires arrêtés à 800 fr. sont mis à la charge de l'office recourant.
3.
L'office recourant versera à l'intimée la somme de 500 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 janvier 2015
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Cretton