Erwägungen:
1. Mit Entscheid vom 2. Mai 2008 erteilte der Gerichtspräsident des Gerichtskreises A._ dem Beschwerdegegner in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes B._ definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 500.-- nebst Zins zu 3.5% seit dem 4. Dezember 2007 und die Mahngebühr von Fr. 50.--. Als Rechtsöffnungstitel diente ein rechtskräftiger Entscheid des Regierungsstatthalters von A._ vom 13. Februar 2007, welcher dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten von Fr. 500.-- auferlegte. Der Beschwerdeführer erhob dagegen Nichtigkeitsklage, welche der Appellationshof des Kantons Bern mit Entscheid vom 11. Juni 2008 abwies. Mit Eingaben vom 24. Juni 2008 und 16. Juli 2008 erhebt der Beschwerdeführer Verfassungsbeschwerde gegen den Entscheid des Appellationshofs mit dem sinngemässen Begehren um Aufhebung des Entscheids und Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens.
2. 2.1 Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 113 i.V.m. Art. 116 BV). Es gilt das sogenannte Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer hat in der Beschwerdeschrift darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (vgl. die Rechtsprechung zur staatsrechtlichen Beschwerde, statt vieler BGE 110 Ia 1 E. 2 S. 3 f.; 119 Ia 197 E. 1d S. 201). Wie unter der Herrschaft des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) müssen die erhobenen Rügen zudem in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein; der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 133 II 396 E. 3.1).
2.2 Der Appellationshof hat erwogen, der Entscheid des Regierungsstatthalters vom 12. Februar 2007 stelle einen definitiven Rechtsöffnungstitel für den Betrag der Verfahrenskosten von Fr. 500.-- dar; der Beschwerdeführer mache nicht geltend, die Forderung sei getilgt, gestundet bzw. verjährt; der Einwand der Menschenrechtsverletzung sei unzulässig und hätte im Verfahren vor dem Regierungsstatthalter bzw. mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde geltend gemacht werden müssen. Der Beschwerdeführer mache zudem nicht geltend, die Mahngebühr von Fr. 50.-- dürfe nicht erhoben werden und behaupte auch nicht, der Verzugszins sei falsch berechnet worden. Der Einwand der Menschenrechtsverletzung könne im vorliegenden Verfahren nicht erhoben werden.
2.3 Der Beschwerdeführer setzt sich in seinen Eingaben nicht den genannten Anforderungen entsprechend mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern dieser Verfassungsrecht verletzt. Auf die offensichtlich unzulässige Verfassungsbeschwerde ist daher in Anwendung von Art. 117 BGG i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit b BGG nicht einzutreten.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Zbinden