Faits:
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A. A.a P._, née en 1965, a requis des prestations de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après : l'office AI) le 15 juin 1999. Elle souffrait d'une maladie de la glande thyroïde.
L'office AI a notamment recueilli l'avis du docteur G._, médecin traitant. Se fondant sur les rapports de plusieurs spécialistes, le praticien a fait état d'une maladie de Basedow découverte en 1981, d'une thyroïdectomie partielle réalisée en 1987, d'une rechute d'hyperthyroïdie rapidement maîtrisée en 1992, de lombalgies soulagées par manipulations la même année, de troubles digestifs dus à une lithiase vésiculaire en 1998, d'une rhino-conjonctivite saisonnière et d'une allergie aux chats; ces affections auraient influencé la capacité de travail de l'assurée à partir de 1992 (rapport du 9 juillet 1999).
Sur la base de ces informations, l'administration a estimé que l'intéressée, qui n'était en rien gênée dans ses activités ménagères et travaillerait à 60 % sans atteinte à la santé, présentait un taux d'invalidité de 54 % lui donnant droit à une demi-rente dès le 1er juin 1998 (décision du 30 août 2001).
A.b Par la suite, l'office AI n'est pas entré en matière sur la première demande de révision présentée par P._ (décision du 20 mars 2002), dès lors que l'aggravation alléguée ne consistait qu'en une rechute d'hyperthyroïdie dont les effets devaient disparaître dans un délai de deux mois, d'après le médecin traitant (rapport du 11 février 2002).
Il a également rejeté la deuxième demande (décision du 16 septembre 2003 entrée en force au moment du retrait de l'opposition le 25 mai de l'année suivante) justifiée par les séquelles d'un accident survenu le 31 janvier 2001. En plus de la maladie de Basedow, le docteur G._ a diagnostiqué un état vertigineux, dû à un hydrops vestibulaire selon un oto-rhino-laryngologue consulté ou à un état dépressivo-anxieux selon lui, lequel permettait au moins de justifier le degré d'invalidité reconnu à l'assurée (rapport du 12 mai 2003). Soupçonnant l'interaction d'éléments psychopathologiques, l'administration a mandaté l'un de ses centres d'observation médicale (COMAI) pour la réalisation d'une expertise pluridisciplinaire. Intégrant les observations et conclusions de plusieurs médecins intervenus à la demande de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), les docteurs B._, rhumatologue, S._, psychiatre, et M._, neurologue, ont retenu un discret syndrome vestibulaire, une maladie de Ménière, un déconditionnement physique, des symptômes subjectifs multiples sans substrat organique, des troubles neurovégétatifs, une majoration des symptômes pour raisons psychologiques et une hypothyroïdie substituée n'ayant aucune répercussion sur la capacité de travail (rapport d'expertise du 28 avril 2004).
Malgré une demande expresse de l'intéressée, l'office AI a refusé à cette dernière le bénéfice de mesures d'ordre professionnel (orientation et soutien dans les recherches d'emploi; décision du 28 octobre 2004) étant donné son attitude durant le premier entretien de réadaptation.
A.c A l'issue de la troisième procédure de révision, l'administration a d'office supprimé la rente servie jusque-là (décision du 27 janvier 2005 confirmée sur opposition le 20 janvier 2006). Se référant notamment à la décision de l'assureur-accidents du 6 décembre 2004, confirmée sur opposition le 15 avril 2005, par laquelle celui-ci reconnaissait sa responsabilité pour les troubles oto-rhino-laryngologiques uniquement et octroyait à P._ une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 23 %, elle a d'abord souligné l'insuffisance du taux en question pour maintenir le droit à une rente, puis a indiqué que les informations médicales en sa possession lui permettaient de toute façon de conclure à un degré d'invalidité inférieur à celui retenu par la CNA.
A.c A l'issue de la troisième procédure de révision, l'administration a d'office supprimé la rente servie jusque-là (décision du 27 janvier 2005 confirmée sur opposition le 20 janvier 2006). Se référant notamment à la décision de l'assureur-accidents du 6 décembre 2004, confirmée sur opposition le 15 avril 2005, par laquelle celui-ci reconnaissait sa responsabilité pour les troubles oto-rhino-laryngologiques uniquement et octroyait à P._ une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 23 %, elle a d'abord souligné l'insuffisance du taux en question pour maintenir le droit à une rente, puis a indiqué que les informations médicales en sa possession lui permettaient de toute façon de conclure à un degré d'invalidité inférieur à celui retenu par la CNA.
B. L'assurée a déféré la décision sur opposition au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel concluant à la mise en oeuvre d'actes d'instruction supplémentaires quant à l'évolution de la maladie de Basedow et à ses conséquences sur la capacité de travail. Elle considérait en substance que l'office AI ne pouvait supprimer la rente en se référant uniquement à la décision de l'assureur-accidents qui ne tenait compte que des séquelles des événements du 31 janvier 2001 ou en omettant de consulter les médecins traitants qui auraient pu attester la péjoration de la maladie de Basedow que les experts avaient ignorée. Elle a été déboutée de ses conclusions par jugement du 7 juillet 2006.
B. L'assurée a déféré la décision sur opposition au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel concluant à la mise en oeuvre d'actes d'instruction supplémentaires quant à l'évolution de la maladie de Basedow et à ses conséquences sur la capacité de travail. Elle considérait en substance que l'office AI ne pouvait supprimer la rente en se référant uniquement à la décision de l'assureur-accidents qui ne tenait compte que des séquelles des événements du 31 janvier 2001 ou en omettant de consulter les médecins traitants qui auraient pu attester la péjoration de la maladie de Basedow que les experts avaient ignorée. Elle a été déboutée de ses conclusions par jugement du 7 juillet 2006.
C. L'intéressée a interjeté un recours de droit administratif à l'encontre de ce jugement dont elle a requis l'annulation. Elle a, sous suite de frais et dépens, développé les mêmes arguments et repris les mêmes conclusions qu'en première instance.
L'administration a conclu au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. L'acte attaqué a été rendu avant l'entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2005 1205, 1242) de la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), de sorte que la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
1. L'acte attaqué a été rendu avant l'entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2005 1205, 1242) de la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), de sorte que la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
2. L'acte attaqué porte sur des prestations de l'assurance-invalidité. Aux termes de l'art. 132 al. 2 OJ (dans sa teneur selon le ch. III de la loi fédérale du 16 décembre 2005 modifiant la LAI, en vigueur depuis le 1er juillet 2006), en relation avec les art. 104 let. a et b, ainsi que 105 al. 2 OJ, le Tribunal fédéral n'examine que si l'autorité cantonale de recours a violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou l'abus de son pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou encore s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure. Cette réglementation s'applique à tous les recours déposés après le 30 juin 2006 (ch. II let. c de la loi du 16 décembre 2005 modifiant la LAI).
2. L'acte attaqué porte sur des prestations de l'assurance-invalidité. Aux termes de l'art. 132 al. 2 OJ (dans sa teneur selon le ch. III de la loi fédérale du 16 décembre 2005 modifiant la LAI, en vigueur depuis le 1er juillet 2006), en relation avec les art. 104 let. a et b, ainsi que 105 al. 2 OJ, le Tribunal fédéral n'examine que si l'autorité cantonale de recours a violé le droit fédéral, y compris par l'excès ou l'abus de son pouvoir d'appréciation, ou si les faits pertinents ont été constatés d'une manière manifestement inexacte ou incomplète, ou encore s'ils ont été établis au mépris de règles essentielles de procédure. Cette réglementation s'applique à tous les recours déposés après le 30 juin 2006 (ch. II let. c de la loi du 16 décembre 2005 modifiant la LAI).
3. Le litige porte sur la suppression du droit de la recourante à une demi-rente d'invalidité dès le 1er mars 2005, singulièrement sur le point de savoir si le dossier médical permettait à l'office intimé d'aboutir à une telle conclusion. A cet égard, le jugement entrepris énonce correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la révision de la rente d'invalidité (art. 17 LPGA), à l'uniformité de cette notion et au rôle des médecins en matière d'assurances sociales, ainsi qu'à la valeur probante des rapports médicaux, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer. Il y a cependant lieu de préciser que c'est la dernière décision entrée en force qui repose sur un examen matériel du droit à la rente avec une constatation des faits pertinents, une appréciation des preuves et une comparaison des revenus conformes au droit qui constitue le point de départ temporel pour l'examen d'une modification du degré d'invalidité lors d'une révision de la rente, et non, comme l'indiquent les premiers juges, la décision initiale de rente (ATF 133 V 108).
3. Le litige porte sur la suppression du droit de la recourante à une demi-rente d'invalidité dès le 1er mars 2005, singulièrement sur le point de savoir si le dossier médical permettait à l'office intimé d'aboutir à une telle conclusion. A cet égard, le jugement entrepris énonce correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la révision de la rente d'invalidité (art. 17 LPGA), à l'uniformité de cette notion et au rôle des médecins en matière d'assurances sociales, ainsi qu'à la valeur probante des rapports médicaux, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer. Il y a cependant lieu de préciser que c'est la dernière décision entrée en force qui repose sur un examen matériel du droit à la rente avec une constatation des faits pertinents, une appréciation des preuves et une comparaison des revenus conformes au droit qui constitue le point de départ temporel pour l'examen d'une modification du degré d'invalidité lors d'une révision de la rente, et non, comme l'indiquent les premiers juges, la décision initiale de rente (ATF 133 V 108).
4. L'intéressée reproche d'abord aux premiers juges d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves en s'appuyant sur un dossier médical incomplet pour statuer sur son cas. Il s'agit dès lors d'une question de fait que le Tribunal fédéral revoit avec un pouvoir d'examen restreint.
4.1 Contrairement aux allégations de la recourante, l'office intimé ne s'est pas uniquement fondé sur la décision de la CNA pour asseoir sa conviction. Outre le fait qu'il s'agit d'un grief déjà invoqué en première instance, repris céans sans éléments ampliatifs et auquel la juridiction cantonale a répondu de manière convaincante, on notera que l'administration a effectivement cité la décision de l'assureur-accidents. Elle n'y a cependant fait allusion que pour satisfaire au principe d'uniformité de la notion d'invalidité en matière d'assurances sociales en attirant l'attention sur le fait qu'un taux de 23 % ne donnait pas droit à une rente dans le domaine de l'assurance-invalidité. Elle a en outre précisé que ses propres constatations lui permettaient de toute façon de conclure à un degré d'invalidité inférieur. Ainsi, les experts ont estimé que l'hypothyroïdie, traitée comme elle l'était, ainsi que les autres affections diagnostiquées, n'influençaient plus la capacité de travail et que seule la maladie de Ménière pouvait éventuellement avoir une légère interaction, ce qui rejoignait l'évaluation de la CNA. L'argumentation de l'intéressée sur ce point tombe dès lors à faux.
On ajoutera que l'administration ou le juge sont libres d'apprécier les preuves comme ils l'entendent dans la mesure où ils justifient de manière adéquate pourquoi ils retiennent une opinion plutôt qu'une autre (sur le principe de la libre appréciation des preuves, cf. ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352). En l'occurrence, la motivation des décisions de l'office intimé peut certes paraître brève. Elle permet néanmoins de comprendre parfaitement quels éléments ont été retenus et pourquoi ils l'ont été. Les pièces prises en considération sont ainsi toutes celles déposées au dossier (y compris les rapports déposés auprès de la CNA, les avis des médecins-conseil et l'expertise COMAI qui synthétise tous ces documents) au moment de la décision sur opposition litigieuse qui fixe la limite temporelle déterminant l'état de fait pertinent pour la résolution du cas (cf. ATF 129 V 1 consid. 1.2 p. 4 et les références).
4.2 La recourante déclare également souffrir non seulement d'hypothyroïdie, mais aussi d'hyperthyroïdie, ce dont il n'aurait pas été tenu compte. Cet élément est corroboré par le dossier. Il y est effectivement fait mention de deux crises, l'une en 1992 rapidement maîtrisée et l'autre en 2002 qui devait être surmontée en deux mois. L'intéressée ne produit aucun document médical qui attesterait d'autres crises.
4.3 La recourante doute encore que les experts aient été mandatés pour examiner les répercussions découlant des affections de la glande thyroïde dans la mesure où leur intervention a été requise dans le cadre de l'accident de 2001 et qu'aucun examen concret ne semble avoir été effectué sur ce point. A cet égard, on précisera qu'une expertise ne repose pas nécessairement sur des observations directes, mais qu'elle peut inférer des conclusions de pièces du dossier pour autant que celui-ci contienne suffisamment d'appréciations médicales établies sur la base d'un examen personnel de l'assuré (cf. RAMA 2001 n° U 438 p. 345). Tel est le cas en l'occurrence. Or, les éléments à disposition semblent indiquer que les affections thyroïdiennes dont souffre l'intéressée peuvent avoir des effets incapacitants lors des crises, mais qu'il y en a eu très peu, la dernière remontant à 2002, et que celles-ci ont toujours été rapidement maîtrisées. De surcroît, aucun praticien, pas même le médecin traitant, ne fait allusion à des limitations fonctionnelles en découlant. La recourante ne fournit pas plus d'éléments pouvant attester l'aggravation de l'hypothyroïdie qu'elle allègue.
Au regard de ce qui précède, il apparaît que l'argumentation de l'intéressée ne met en évidence aucune irrégularité qu'aurait commise la juridiction cantonale lors de la constatation des faits, de sorte que le recours est mal fondé sur ce point.
Au regard de ce qui précède, il apparaît que l'argumentation de l'intéressée ne met en évidence aucune irrégularité qu'aurait commise la juridiction cantonale lors de la constatation des faits, de sorte que le recours est mal fondé sur ce point.
5. En concluant à la mise en oeuvre d'actes d'instruction complémentaires visant à constater l'amélioration ou la péjoration de son état de santé, la recourante reproche encore implicitement aux premiers juges d'avoir violé l'art. 17 LPGA relatif à la révision des rentes. Il s'agit cette fois d'une question de droit que la Cour de céans revoit librement.
Comme l'a relevé à juste titre l'autorité cantonale de recours, la révision d'une rente d'invalidité se justifie lorsque l'état de fait qui a conduit à l'octroi de la rente initiale subit un changement notable; le point de savoir si un tel changement s'est produit doit être tranché en comparant les faits tels qu'ils se présentaient au moment de la dernière décision de révision de rente dans le sens indiqué au consid. 3 et les circonstances régnant à l'époque de la décision litigieuse.
Or, comme on l'a vu (cf. consid. 4), on peut admettre que l'autorité de recours n'a commis aucune des irrégularités reprochées en constatant les faits, ce qui lui a permis de poser des conclusions relatives aux circonstances régnant à l'époque de la décision litigieuse. Il apparaît par contre qu'elle n'a formulé aucune considération quant aux affections ayant justifié l'octroi de la demi-rente, voire la confirmation du droit à une telle prestation, et qu'elle n'a pas procédé à la comparaison des situations médicales déterminantes dans une procédure de révision, de sorte que l'on ignore quels sont les changements intervenus qui ont justifié la suppression de la rente servie jusque-là. Il convient dès lors de renvoyer la cause aux premiers juges pour qu'ils statuent sur ce point.
Or, comme on l'a vu (cf. consid. 4), on peut admettre que l'autorité de recours n'a commis aucune des irrégularités reprochées en constatant les faits, ce qui lui a permis de poser des conclusions relatives aux circonstances régnant à l'époque de la décision litigieuse. Il apparaît par contre qu'elle n'a formulé aucune considération quant aux affections ayant justifié l'octroi de la demi-rente, voire la confirmation du droit à une telle prestation, et qu'elle n'a pas procédé à la comparaison des situations médicales déterminantes dans une procédure de révision, de sorte que l'on ignore quels sont les changements intervenus qui ont justifié la suppression de la rente servie jusque-là. Il convient dès lors de renvoyer la cause aux premiers juges pour qu'ils statuent sur ce point.
6. La procédure est onéreuse (art. 132 OJ dans sa teneur en vigueur dès le 1er juillet 2006). Représentée par un avocat, l'intéressée qui obtient gain de cause a droit à des dépens (art. 159 al. 1 en relation avec l'art. 135 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du 7 juillet 2006 du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel est annulé, la cause étant renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour qu'elle statue à nouveau en procédant conformément aux considérants.
1. Le recours est admis et le jugement du 7 juillet 2006 du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel est annulé, la cause étant renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour qu'elle statue à nouveau en procédant conformément aux considérants.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de l'office intimé.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de l'office intimé.
3. L'avance de frais versée par la recourante, d'un montant de 500 fr., lui est restituée.
3. L'avance de frais versée par la recourante, d'un montant de 500 fr., lui est restituée.
4. L'office intimé versera à la recourante la somme de 2'500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. L'office intimé versera à la recourante la somme de 2'500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
5. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 septembre 2007
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant p. le Greffier: