Sachverhalt:
A. Mit Entscheid vom 11. Juli 2012 trat das Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, auf eine Beschwerde von X._ gegen die Schlussverfügung vom 29. Mai 2012 der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn (betreffend rechtshilfeweise Herausgabe des Protokolls einer Zeugeneinvernahme des Beschwerdeführers vom 5. Oktober 2011 an die tschechischen Behörden) nicht ein.
B. X._ ficht den Entscheid des Bundesstrafgerichts mit Beschwerde vom 23. Juli 2012 beim Bundesgericht an und beantragt, der Entscheid sei aufzuheben und an das Bundesstrafgericht (zur materiellen Behandlung) zurückzuweisen. Zur Stellungnahme des Bundesamtes für Justiz vom 6. August 2012 ging innert Frist keine Replik beim Bundesgericht ein.
Erwägungen:
1. Gemäss Art. 84 BGG ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, wenn er eine Auslieferung, eine Beschlagnahme, eine Herausgabe von Gegenständen oder Vermögenswerten oder eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
2. Nach Art. 109 BGG entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf eine Beschwerde, wenn kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet (Abs. 3; zum vereinfachten Verfahren nach Art. 109 i.V.m. Art. 84 und Art. 107 Abs. 3 BGG vgl. näher BGE 133 IV 125 ff.).
3. Es kann offen bleiben, ob die Beschwerde bereits unter dem Gesichtspunkt des Sachgegenstands der Schlussverfügung unzulässig erscheint bzw. ob es sich bei der rechtshilfeweisen Herausgabe eines Zeugenprotokolls um die Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich im Sinne des Gesetzes handeln würde. Das Bundesstrafgericht ist auf die Beschwerde nicht eingetreten, weil der Beschwerdeführer es versäumt hat, innert angesetzter Frist den gesetzlichen Kostenvorschuss zu bezahlen. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er nach Einreichung seiner Beschwerde an das Bundesstrafgericht am 15. Juni 2012 ins Ausland abgereist ist, ohne sich um seine gesetzlichen Verfahrensobliegenheiten zu kümmern bzw. ohne die zu erwartende prozessuale Korrespondenz an seine Adresse im Ausland weiterleiten zu lassen. Ebenso wenig bestreitet er, dass die Post am 20. Juni 2012 erfolglos versuchte, ihm die Kostenvorschussverfügung (mit der Androhung der gesetzlichen Säumnisfolgen) an die von ihm genannte Schweizer Adresse zuzustellen, und dass diese Verfügung von der Post am 28. Juni 2012 mit dem Vermerk "nicht abgeholt" retourniert wurde. Die Kostenvorschussobliegenheit (mangels Gesuches um unentgeltliche Prozessführung) und die Folgen der Fristversäumnis ergeben sich, wie die Vorinstanz zutreffend darlegt, aus dem Gesetz. Aus den Akten sind in diesem Zusammenhang keine Anhaltspunkte für eine Verletzung von elementaren Verfahrensgrundsätzen ersichtlich. Auch in übriger Hinsicht ist der Fall nicht als besonders bedeutend im Sinne von Art. 84 BGG einzustufen, weshalb sich die Beschwerde als unzulässig erweist.
4. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Zwar erweist sich die Beschwerde als zum Vornherein unzulässig und erscheint das Gesuch zudem nicht ausreichend substanziiert (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). Auf die Erhebung von Gerichtskosten kann aber im vorliegenden Fall ausnahmsweise verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. August 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Forster