Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1967) stammt aus dem Irak. Er ersuchte in der Schweiz erfolglos um Asyl, indessen wurde er am 2. Dezember 1999 vorläufig aufgenommen, da der Vollzug der Wegweisung in den Irak nicht möglich erschien. A._ heiratete per Stellvertreter seine Landsfrau B._ (geb. 1985), welche am 18. Januar 2004 in die Schweiz einreiste und ebenfalls vorläufig aufgenommen wurde. Am 3. April 2009 erteilte das Amt für Migration des Kantons Luzern den beiden eine Härtefallbewilligung. Aus der Beziehung sind drei Kinder hervorgegangen (geb. 2005, 2008 und 2011).
1.2. Am 15. Mai 2013 lehnte das Amt für Migration es ab, die Aufenthaltsbewilligungen des Ehepaars A._-B._ zu verlängern, da die Familie fortgesetzt von der öffentlichen Hand unterstützt werden musste (seit 1998 mit Fr. 330'000.--; die aktuelle monatliche Unterstützung beträgt rund Fr. 4'000.--). Das kantonale Verwaltungsgericht schützte den entsprechenden Entscheid, hielt das Migrationsamt indessen an, beim Bundesamt für Migration zu beantragen, ein Verfahren um vorläufige Aufnahme einzuleiten.
2.
2.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen gegen Entscheide, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Die Beschwerdeführenden müssen das entsprechende Recht in vertretbarer Weise dartun und rechtsgenügend begründen, andernfalls tritt das Bundesgericht auf ihre Eingabe nicht ein (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.1-2.3). Die Beschwerdeführer legen nicht dar, dass und inwiefern sie einen Anspruch auf die beantragten Bewilligungen hätten; bereits vor der Vorinstanz haben sie sich nicht mehr auf die Garantien von Art. 8 EMRK berufen, da keines der Familienmitglieder in der Schweiz über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügt. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann nicht eingetreten werden.
2.2. Die Beschwerdeführer schildern im Übrigen ihre Situation und weisen darauf hin, dass es schwierig sei, eine Arbeit zu finden; mit der Darlegung der Vorinstanz, dass die Familie fortgesetzt und erheblich von der Sozialhilfe abhänge, die Gatten sich nicht ernsthaft nach Arbeit über die von ihnen gewünschten Bereiche hinaus bemüht hätten und keine Besserung der Situation absehbar erscheine, weshalb ein Widerrufsgrund vorliege, setzen sie sich nicht sachbezogen auseinander; sie legen nicht dar, inwiefern die Ausführungen des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern Bundes (verfassungs) recht verletzen würden. Die Beschwerdeführer begründen schliesslich auch nicht rechtsgenügend, inwiefern im Wegweisungspunkt, der nach dem angefochtenen Entscheid vom Bundesamt für Migration zu prüfen sein wird, Bundesrecht verletzt würde.
2.3. Der vorliegende Nichteintretensentscheid kann ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Instruktionsrichter im Verfahren nach Art. 108 BGG ergehen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit der Begehren abzuweisen (Art. 64 BGG). Es wird jedoch mit Blick auf die finanzielle Situation der Beschwerdeführer von der Erhebung von Kosten abgesehen (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2.2. Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar