Faits:
A. Par décision du 3 avril 2009, l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a alloué à C._ une rente entière d'invalidité du 1er mars au 31 août 2007.
B. Statuant le 15 décembre 2009 sur le recours formé par l'assuré contre cette décision, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève l'a admis: annulant la décision du 3 avril 2009 (ch. 2 du dispositif), il a mis C._ au bénéfice d'une rente entière d'invalidité "jusqu'à la fin du mois de janvier 2008 en tout cas" (ch. 3 du dispositif) et renvoyé la cause à l'office AI afin qu'il procède à une nouvelle instruction pour la période postérieure à janvier 2008 (ch. 4 du dispositif).
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, l'office AI demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal et de lui renvoyer la cause pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Il sollicite également l'octroi de l'effet suspensif à son recours, ce à quoi s'oppose C._.
Considérant en droit:
1. Avec l'arrêt entrepris, la juridiction cantonale a mis C._ au bénéfice d'une rente entière d'invalidité du 1er mars 2007 (consid. 6 du jugement cantonal) au 31 janvier 2008 et renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire et nouvelle décision en ce qui concerne la période postérieure à cette date. Ce faisant, elle a tranché définitivement le droit de l'assuré à la rente en ce qui concerne la période déterminée, en rendant - pour cette partie du prononcé - une décision partielle au sens de l'art. 91 LTF (cf. ATF 135 V 141). D'autre part, en tant qu'elle a renvoyé la cause au recourant pour instruction complémentaire et nouvelle décision sur le droit à la rente pour la période postérieure à fin janvier 2008, elle a rendu une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF (cf. ATF 133 V 477 consid. 4.2 p. 481 s.).
2. 2.1 Eu égard aux conclusions et motifs de son recours, l'office AI ne s'en prend pas à la reconnaissance, par la juridiction cantonale, du droit de l'assuré à une rente entière d'invalidité du 1er mars 2007 au 31 janvier 2008, soit à la partie du jugement attaqué qui constitue une décision partielle. Il conteste exclusivement, dans le cadre du renvoi de la cause pour instruction complémentaire, la constatation de la juridiction cantonale selon laquelle la profession exercée par C._ avant l'atteinte à la santé n'est pas une activité adaptée dans laquelle sa capacité de travail est entière à partir du mois de novembre 2007.
2.2 Dès lors que le recours ne porte que sur la partie du jugement cantonal qui correspond à une décision incidente, il convient d'examiner s'il est recevable au regard des conditions posées par l'art. 93 al. 1 let. a LTF, aux termes duquel les décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable - les exigences de la let. b de cette disposition n'étant d'emblée pas réalisées.
2.2.1 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF est un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (ATF 134 III 188 consid. 2.1 p. 190; 133 V 645 consid. 2.1 p. 647). Un jugement de renvoi n'entraîne en règle générale pas un préjudice irréparable, parce que les parties pourront par la suite le contester par un recours contre la décision finale (cf. art. 93 al. 3 LTF). Une décision de renvoi, par laquelle la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour instruction complémentaire et nouvelle décision, ne provoque pas un tel préjudice, puisqu'elle conduit, tout au plus, à une prolongation de la procédure. Il en va différemment, en revanche, si le jugement de renvoi comporte des instructions sur la manière dont cette autorité devra trancher certains aspects du rapport juridique litigieux, restreignant ainsi de manière importante sa latitude de jugement. Dans une telle situation, en effet, l'administration devrait rendre une nouvelle décision - qu'elle juge contraire au droit - en respectant les instructions figurant dans le jugement de renvoi, sans pouvoir ensuite recourir contre sa propre décision. Elle se trouverait ainsi dépourvue de tout moyen de soumettre au Tribunal fédéral la question tranchée incidemment dans le jugement de renvoi (ATF 133 V 477 consid. 5.2 p. 483).
2.2.2 En principe, seul le dispositif d'une décision peut être attaqué par un recours, et non pas ses motifs. Lorsque le dispositif se réfère aux motifs, ceux-ci en deviennent partie intégrante et acquièrent force matérielle, dans la mesure où ils font partie de l'objet du litige. Par conséquent, en l'absence de recours, les motifs auxquels renvoie le dispositif deviennent contraignants pour l'autorité à laquelle la cause est retournée. S'ils se rapportent à l'objet du litige, les considérants auxquels il est renvoyé peuvent également être contestés (ATF 113 V 159). Ces principes restent valables sous l'empire de la LTF, même si les conditions auxquelles les décisions incidentes peuvent être attaquées ont été nouvellement réglées (arrêts 9C_703/2009 du 30 octobre 2009 consid. 2.2 et 9C_1005/2008 du 5 mars 2009). Le caractère obligatoire, pour l'administration, de la décision qui se réfère aux motifs signifie, à l'inverse, que les considérants du jugement de renvoi, dont le dispositif ne renvoie précisément pas à ses motifs, n'est pas contraignant pour l'administration (arrêt 9C_703/2009 du 30 octobre 2009 consid. 2.2).
2.2.3 Le dispositif du jugement entrepris - en particulier son chiffre 4 ("Invite l'OAI à procéder à une nouvelle instruction pour la période postérieure à janvier 2008") - ne renvoie pas aux motifs de l'arrêt. Ceux-ci ne font dès lors pas partie du dispositif. Contrairement à ce que semble croire le recourant, il ne sera dès lors pas tenu, en raison du dispositif attaqué, de suivre l'appréciation de la juridiction cantonale selon laquelle l'activité habituelle de l'assuré - enseignant dans une école professionnelle - ne constitue pas une activité adaptée aux limitations fonctionnelles de celui-ci. Aussi, ne sera-t-il pas obligé, à la suite du jugement de renvoi entrepris, de rendre une décision qu'il trouve contraire au droit et ne subit-il pas, par conséquent, un préjudice irréparable.
2.3 Il résulte de ce qui précède que les conditions de l'art. 93 al. 1 let. a LTF ne sont pas réalisées, dès lors que le recourant ne peut se prévaloir d'un préjudice irréparable. Son recours est, partant, irrecevable.
3. Vu l'issue de la procédure, les frais de justice y afférents doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). La demande d'effet suspensif qu'il a présentée est par ailleurs sans objet compte tenu du présent arrêt.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 15 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: La Greffière:
Borella Moser-Szeless