Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führt ein Strafverfahren gegen A._ wegen des Verdachts der üblen Nachrede.
A._ erhob "verwaltungsgerichtliche Beschwerde" bzw. "Einsprache" gegen zwei seines Erachtens "rechtswidrige, alberne, illegale und unhöfliche" polizeiliche Vorladungen, denen er keine Folge leistete. Seine Eingaben wurden zuständigkeitshalber an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt weitergeleitet. Dessen Einzelrichterin behandelte diese als Beschwerde nach Art. 393 Abs. 1 lit. a StPO, wies sie ab und auferlegte A._ die Gerichtskosten von Fr. 500.--.
B.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem sinngemässen Antrag, der Entscheid der Einzelrichterin sei aufzuheben.
C.
Die Einzelrichterin beantragt unter Verzicht auf Gegenbemerkungen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Die Staatsanwaltschaft hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Beschwerde kostenfällig abzuweisen.
A._ hat dazu Stellung genommen.
Erwägungen:
1.
Eine öffentliche bundesgerichtliche Parteiverhandlung (Art. 57 und Art. 59 Abs. 1 BGG) findet nur ausnahmsweise statt. Die Parteien haben darauf grundsätzlich keinen Anspruch (Urteil 5A_880/2011 vom 20. Februar 2012 E. 1.5, publ. in: Pra 2012 Nr. 91 S. 606).
Die vorliegende Sache ist, wie sich aus den folgenden Erwägungen ergibt, spruchreif. Für eine Parteiverhandlung besteht kein Grund. Sofern der Beschwerdeführer eine solche beantragen sollte (Beschwerde S. 7 Ziff. 3), könnte dem nicht stattgegeben werden.
2.
2.1. Der vorinstanzliche Entscheid schliesst das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht ab. Er stellt einen Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG dar. Dagegen ist die Beschwerde gemäss Absatz 1 dieser Bestimmung zulässig: a. wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann; oder b. wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde.
Der Beschwerdeführer muss, wenn das nicht offensichtlich ist, im Einzelnen darlegen, inwiefern die Voraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sein sollen. Andernfalls genügt er seiner Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) nicht und kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (BGE 137 III 324 E. 1.1 S. 329 mit Hinweisen).
2.2. Die Variante nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG fällt hier ausser Betracht.
Nach der Rechtsprechung muss es sich im Bereich der Beschwerde in Strafsachen beim nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG um einen solchen rechtlicher Natur handeln. Ein derartiger Nachteil liegt vor, wenn er auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen späteren Entscheid nicht mehr behoben werden kann. Ein lediglich tatsächlicher Nachteil wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens genügt nicht (BGE 141 III 80 E. 1.2 S. 80; 139 IV 113 E. 1 S. 115; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern ihm der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur bewirken können soll. Dies ist auch nicht ohne Weiteres ersichtlich. Im Gegenteil ist davon auszugehen, dass ein dem Beschwerdeführer allenfalls entstandener Nachteil durch einen für ihn günstigen Endentscheid noch behoben werden könnte.
2.3. Auf die Beschwerde kann demnach nicht eingetreten werden.
3.
Der Beschwerdeführer hat eine Familie mit mehreren Kindern, ist arbeitslos und bezieht Sozialhilfe. In Anbetracht dessen wird auf die Erhebung von Kosten verzichtet (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nach Art. 64 BGG ist damit hinfällig.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelrichterin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri