Sachverhalt:
A. Mit Beschluss vom 5. Mai 2008 trat die Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn auf die Appellation von X._ (Beschwerdeführer) betreffend elterliche Sorge nicht ein und auferlegte ihm Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 500.--, da ihm am 6. November 2007 die unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit rechtskräftig entzogen wurde. Infolge Verrechnung mit einer Forderung von X._ von Fr. 100.-- gegen den Staat reduzierte sich die Gebühr auf Fr. 400.--.
B. Mit Schreiben vom 7. August 2008 an die Zentrale Gerichtskasse ersuchte der Beschwerdeführer um Erlass der Gerichtsgebühren aus dem genannten Zivilverfahren. Der Obergerichtsschreiber wies das Gesuch am 27. August 2008 und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die dagegen erhobene Beschwerde am 15. Oktober 2008 ab.
C. Der Beschwerdeführer erhebt dagegen Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG und eventuell zusätzlich Beschwerde gemäss Art. 72 ff. BGG. Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung erteilte der Verfassungsbeschwerde am 10. Dezember 2008 die aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1. Dem vorliegenden Rechtsstreit liegt eine Urteilsgebühr in einer Zivilsache zu Grunde. Der Beschwerdeführer verlangt, dass ihm diese Gebühr erlassen werde, was ihm kantonal letztinstanzlich vom Verwaltungsgericht verweigert worden ist. Es handelt sich dabei um einen öffentlich-rechtlichen Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG). Allerdings beträgt der Streitwert Fr. 400.--, so dass die Streitwertgrenze von Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG (Fr. 30'000.--) nicht erreicht ist. Da der Beschwerdeführer weder geltend macht, noch begründet, dass eine Voraussetzung von Art. 74 Abs. 2 BGG erfüllt ist, ist die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig. Zulässig ist dagegen grundsätzlich die Verfassungsbeschwerde im Sinne von Art. 113 BGG.
2. Zur Verfassungsbeschwerde ist berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 BGG). Gemäss § 14 des Solothurnischen Gebührentarifs (GT, BSG 615.11) können Gebühren ganz oder teilweise erlassen werden, wenn der Gebührenpflichtige durch besondere Verhältnisse, wie Naturereignisse, Todesfall, Unglück, Krankheit, Arbeitslosigkeit, geschäftliche Rückschläge und dergleichen in seiner Zahlungsfähigkeit stark beeinträchtigt ist oder sich sonst in einer Lage befindet, in der die Bezahlung der geschuldeten Beträge zur grossen Härte würde. Nach Auslegung von § 14 Abs. 1 GT durch das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn gibt diese Bestimmung den Behörden die Möglichkeit, in Ausnahmefällen Gebühren ganz oder teilweise zu erlassen. Die Kann-Bestimmung und die Verwendung unbestimmter Gesetzesbegriffe belässt der beurteilenden Behörde einen grossen Ermessens- und Beurteilungsspielraum und zwar sowohl auf der Rechtsfolge- wie auf der Tatbestandsseite. Nach Meinung des Verwaltungsgerichts und nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zum gleich lautenden § 182 Abs. 1 Steuergesetz des Kantons Solothurn (Urteil des Bundesgerichts 2D_133/2007 vom 26. Februar 2008) besteht im Kanton Solothurn kein Rechtsanspruch auf Abgabeerlass (vgl. auch BGE 122 I 373 E. 1 S. 374 f., mit Hinweisen). Nach dem Gesagten fehlt es dem Beschwerdeführer an der Legitimation zur subsidiären Verfassungsbeschwerde, weshalb auf seine Eingabe nicht einzutreten ist.
3. Soweit der Beschwerdeführer verschiedene Bundesrichter ablehnt, ist sein Ablehnungsbegehren gegenstandslos, weil diese Richter am vorliegenden Entscheid nicht mitwirken.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG), wobei seinen schwierigen finanziellen Verhältnissen bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen ist (Art. 65 Abs. 2 BGG). Soweit er für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege beantragt hat, kann diesem Gesuch wegen Aussichtslosigkeit seiner Begehren nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung (vgl. Art. 68 BGG) oder gar eine Genugtuung ist nicht auszurichten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Januar 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett