Faits:
A. A.X._ (ci-après: l'intéressé), avocat à La Chaux-de-Fonds, est administrateur de l'immeuble constitué en propriété par étages sis rue Y._, à La Chaux-de-Fonds, depuis le 4 juillet 2000. Lui-même et d'autres membres de sa famille sont également propriétaires de plusieurs unités d'étage. Depuis de nombreuses années, la vie au sein de cette copropriété a été émaillée de multiples litiges, dont toute une série s'est terminée devant les tribunaux. En particulier, le comportement de Z._, également propriétaire d'une unité d'étage, a été la source de plusieurs différends. En 2003, une procédure pénale a même été menée à l'encontre de cette dernière devant le Tribunal de police au motif notamment qu'elle s'exposait nue sur son balcon. A cette occasion, Z._ avait pris l'engagement de mettre un terme à ce comportement.
En sa qualité d'administrateur de la propriété par étage, l'intéressé a, depuis son entrée en fonction, à de multiples reprises, interpellé en vain Z._ afin qu'elle cesse ses bains de soleil totalement ou partiellement dénudée. Dans l'optique de mettre en route une procédure d'exclusion de la propriété par étage, les parents de l'intéressé, occupant un appartement situé au-dessus de celui de Z._, l'ont photographiée lors de l'un de ses bains de soleil. Ces clichés, remis à l'administrateur, ont été transmis aux autres copropriétaires de l'immeuble, afin de les persuader de la nécessité qu'il y avait à prononcer l'exclusion de Z._.
B. Ayant appris qu'elle avait été photographiée, Z._ a intenté une procédure pénale à l'encontre de l'intéressé et de ses parents ainsi qu'une procédure civile fondée sur les règles protectrices de la personnalité. Le sort de la première de ces procédures est inconnu. En revanche, par jugement du 4 mai 2009, le Tribunal civil du district de La Chaux-de-Fonds a entièrement débouté Z._. Le 13 novembre 2009, la Cour de cassation civile a confirmé le premier prononcé.
C. Outre les procédures civile et pénale, Z._ a dénoncé A.X._ auprès de l'Autorité de surveillance des avocates et des avocats du canton de Neuchâtel (ci-après: l'Autorité de surveillance). Par décision du 18 août 2009, l'Autorité de surveillance a prononcé un avertissement à l'encontre de l'intéressé, pour contravention à certaines des obligations régissant sa profession d'avocat, notamment à l'art. 12 lit. a de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (loi sur les avocats, LLCA; RS 935.61).
Le 20 octobre 2008, A.X._ a recouru contre ce prononcé auprès de l'Autorité de recours des avocates, des avocats et du notariat du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal).
D. Par arrêt du 16 février 2010, le Tribunal cantonal a rejeté le recours. En sa qualité d'avocat, l'intéressé aurait dû faire preuve d'une retenue particulière et ne pas communiquer, sans nécessité absolue, même au cercle restreint des copropriétaires, des photographies de Z._ dénudée.
E. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, A.X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt rendu le 16 février 2010. En substance, il fait valoir que la loi sur les avocats ne s'appliquait pas à son activité d'administrateur de propriété par étage et que la prise de photographies et leur diffusion ultérieure au sein des copropriétaires était nécessaire dans l'optique de l'introduction d'une procédure en exclusion de la propriété par étage. Il fait aussi valoir une violation des art. 8, 9 et 29 Cst.
Invité à se déterminer sur le recours, le Tribunal cantonal s'est référé à son arrêt. Le Président du Tribunal civil du district de Neuchâtel a renoncé à formuler des observations.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recourant forme simultanément un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire, quand bien même on pourrait attendre de la part d'un mandataire professionnel une juste désignation de la voie de droit adéquate, dès lors que la loi sur le Tribunal fédéral est entrée en vigueur depuis plusieurs années. Toutefois, la qualification imprécise du recours ne saurait nuire au recourant dans la mesure où son écriture respecte les conditions de recevabilité de la voie de droit ouverte.
1.2 L'objet du litige concerne une sanction disciplinaire infligée à un avocat fondée sur l'art. 12 let. a LLCA. Il relève donc du droit public au sens de l'art. 82 let. a LTF et ne tombe pas sous le coup des exceptions prévues à l'art. 83 LTF. Par conséquent, interjeté par une partie directement touchée par la décision attaquée (cf. art. 89 al. 1 let. a et b LTF), le recours en matière de droit public dirigé contre un jugement final (cf. art. 90 LTF) rendu par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai et la forme prévus par la loi (cf. art. 42 et 100 al. 1 LTF). Le recours constitutionnel subsidiaire est par conséquent irrecevable (art. 113 LTF).
2. 2.1 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter les faits constatés de façon manifestement inexacte (soit arbitraire; ATF 133 III 393 consid. 7.1 p. 398) ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). Le recourant peut soulever de tels vices relatifs à la constatation des faits si leur correction est susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. art. 97 al. 2 LTF); toutefois, dans la mesure où il se plaint d'arbitraire dans la constatation des faits ou d'application inconstitutionnelle de règles de procédure cantonale, il est tenu de se conformer aux exigences de motivation prévues à l'art. 106 al. 2 LTF, soit d'exposer d'une manière circonstanciée ses griefs (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 ss). En effet, aux termes de l'art. 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. Lorsqu'il est saisi d'un recours, le Tribunal fédéral n'a donc pas à vérifier de lui-même si l'arrêt entrepris est en tous points conforme au droit et à l'équité. Il n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (ATF 134 I 20 consid. 5.2 p. 30 s.; 133 II 249 consid. 1.4 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397 et la jurisprudence citée).
Le recourant se plaint de la violation des art. 8, 9 et 29 Cst. sans exposer de motivation. Ne répondant aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF, ces griefs sont irrecevables.
2.2 Pour le reste, le Tribunal fédéral applique d'office le droit fédéral et international (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par les arguments des parties ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut ainsi admettre un recours pour un autre motif que ceux invoqués devant lui ou rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de l'autorité attaquée (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254; 132 II 257 consid. 2.5 p. 262; 130 III 136 consid. 1.4 p. 140).
3. Le recourant conteste être soumis à la loi sur les avocats s'agissant de son activité d'administrateur de la propriété par étage.
3.1 La loi sur les avocats s'applique aux titulaires d'un brevet d'avocat qui pratiquent, dans le cadre d'un monopole, la représentation en justice en Suisse (art. 2 al. 1 LLCA). Elle régit l'ensemble de leur activité professionnelle, que celle-ci relève de la représentation ou du conseil (FRANÇOIS BOHNET, Droit des professions judiciaires [cité: Professions judiciaires], 2008, n° 16). Les avocats y sont également soumis lorsqu'ils agissent dans le cadre d'un contrat de fiducie, comme exécuteurs testamentaires, gérants de fortune ou mandataires à l'encaissement ou encore comme membres d'un conseil d'administration (WALTER FELLMANN, in Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2005, n° 6 ad art. 12 LLCA; BOHNET/MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, n° 1119).
Encore faut-il, en principe, que cette activité soit en lien direct avec la profession d'avocat. Le caractère onéreux de la prestation est à cet égard un indice de la nature professionnelle du service rendu. Selon certains auteurs, l'usage du titre d'avocat constitue également un critère (BOHNET/MARTENET, op. cit., n° 1116, 1119). D'après un autre auteur, l'avocat agit dans l'exercice de sa profession lorsqu'il est fait appel à lui en vue d'accéder au droit (critère du "Zugang zum Recht": KASPAR SCHILLER, Schweizerisches Anwaltsrecht, 2009, n° 330 ss). De manière très générale, l'activité extra-professionnelle des avocats n'est pas soumise à la loi sur les avocats. Il en va ainsi non seulement des comportements qui relèvent de leur vie privée, mais aussi des activités politiques et associatives ainsi que de la participation à des organismes poursuivant un but économique, lorsque l'intéressé n'en fait pas partie en sa qualité d'avocat et cherche à promouvoir des intérêts étrangers à sa profession. Les comportements relevant de ce champ d'activités ne tombent sous le coup de la loi sur les avocats que s'ils donnent lieu à des condamnations pénales incompatibles avec la profession d'avocat ou si, en raison d'une telle activité, l'intéressé fait l'objet d'un acte de défaut de biens (cf. art. 8 al. 1 let. b et c LLCA et FELLMANN, op. cit., n° 53 ad art. 12 LLCA; BOHNET/MARTENET, op. cit., n° 1117).
3.2 L'arrêt entrepris retient que le recourant est copropriétaire et administrateur de la propriété par étage rue de Y._. Au moment des faits, survenus en 2008, il exerçait cette fonction depuis huit ans puisqu'il a débuté son activité d'administrateur le 4 juillet 2000. L'immeuble dont il est ainsi administrateur appartient en partie - mais dans une proportion indéterminée par l'arrêt entrepris - à sa famille, dans la mesure où B.X._ et C.X._ vivent dans un appartement de leur fille (2e étage est), que le recourant, également fils des deux premiers nommés, vit dans l'appartement du 3e étage, propriété de B.X._, tout en étant simultanément propriétaire de l'appartement du deuxième étage. Le seul motif pour lequel le Tribunal cantonal a estimé que le recourant avait agi en qualité d'avocat tient en ce qu'il a transmis les clichés litigieux aux autres propriétaires en annexes à des lettres rédigées sur papier à en-tête de son étude, qui a également servi à la correspondance échangée ultérieurement avec le mandataire de Z._.
Le recourant n'a certes pas agi dans le cadre strict du monopole concédé aux avocats; il s'agit plutôt d'une activité de gestion qui peut être exercée par tout un chacun, comme cela peut être le cas du contrat de fiducie, de celui d'exécuteur testamentaire, de gérant de fortune, de mandataire à l'encaissement ou encore comme membre d'un conseil d'administration. Comme de telles activités ne sont pas, de par leur nature, soustraites à l'exercice de la profession d'avocat, elles peuvent entraîner la responsabilité disciplinaire de la personne mise en cause lorsqu'elle a fonctionné en sa qualité d'avocat.
3.3 En l'espèce, le recourant a agi en tant qu'avocat. Il a fait usage de son papier professionnel pour transmettre les clichés. Il a aussi utilisé son papier-en-tête professionnel dans ses relations avec les autres copropriétaires. Quoi qu'en pense le recourant, ces seuls indices sont suffisants pour soumettre l'activité litigieuse à la surveillance instituée par la loi sur les avocats. La jurisprudence retient en effet une définition très large du concept d'exercice de la profession d'avocat en matière disciplinaire, afin de protéger le public et de préserver la réputation et la dignité de la profession et a notamment jugé que l'administration de patrimoines, notamment immobiliers, était bien soumise au régime de la surveillance (arrêt 4P.275/2004 du 22 décembre 2004, consid. 3, avec références à la doctrine).
Par conséquent, la solution du Tribunal cantonal, que le Tribunal fédéral revoit librement dans la mesure où il s'agit de vérifier le champ d'application d'une loi fédérale, est conforme au droit fédéral.
4. Le recourant conteste avoir violé une règle professionnelle. A cet égard, il reproche au Tribunal cantonal de n'avoir pas suffisamment pris en compte la décision définitive et exécutoire du 4 mai 2009 rendue par le Tribunal civil de La Chaux-de-Fonds, qui constatait l'usage conforme au droit privé des photographies en cause.
4.1 Un même fait peut se trouver soumis à plusieurs règles et faire par conséquent l'objet de compétences parallèles donnant lieu, le cas échéant, à plusieurs mesures; pour chacune d'elles, les règles applicables se fondent sur le même état de fait voire également sur des concepts juridiques analogues. Cependant, lorsque les buts poursuivis par les normes applicables sont différents, les deux compétences s'exercent indépendamment l'une de l'autre, de sorte que, sous réserve d'exceptions qui n'ont pas d'application en l'espèce, aucune des deux autorités n'est liée par la qualification juridique de l'autre (cf. PIERRE MOOR, Droit administratif, Berne 1994, vol. I, p. 275 et 276 ainsi que les références citées).
4.2 En l'espèce, le juge civil a appliqué les règles de droit privé destinées à protéger la personnalité de Z._ (art. 28 CC), tandis que, dans l'arrêt attaqué, le Tribunal cantonal s'est attaché à vérifier la correcte application de l'art. 12 let. a LLCA par l'autorité de surveillance de première instance destiné à garantir la confiance et la considération dont doit jouir la profession d'avocat. Les art. 12 let. a LLCA et 28 CC ne poursuivant pas les mêmes buts, le Tribunal cantonal a jugé à bon droit qu'il n'était pas lié par la décision du juge civil.
5. Le recourant se plaint de la violation de l'art. 12 let. a LLCA. Selon lui, il était nécessaire de divulguer les clichés de Z._ dénudée.
5.1 Selon l'art. 12 let. a LLCA, l'avocat doit exercer sa profession avec soin et diligence. L'art. 17 al. 1 let. a LLCA prévoit qu'en cas de violation d'une règle professionnelle, l'autorité de surveillance (cantonale) peut prononcer à l'encontre d'un avocat, entre autres mesures disciplinaires, un avertissement. L'art. 20 al. 1 LLCA précise que l'avertissement est radié du registre cantonal des avocats cinq ans après son prononcé.
Le Tribunal fédéral revoit librement le point de savoir s'il y a eu violation des règles professionnelles (arrêt 2P.156/2006 du 8 novembre 2006, consid. 4.3, Pra 2007 n° 87 p. 587; arrêt 2C_344/2007 du 22 mai 2008, consid. 5; arrêt 2C_783/2008 du 4 mai 2009, consid. 3.1) en fonction du comportement concret de la personne mise en cause au regard de la situation qui se présentait à elle au moment des faits.
5.2 Selon le Tribunal cantonal, il n'était pas nécessaire que le recourant fasse parvenir les clichés de Z._ dénudée à tous les copropriétaires pour les convaincre que cette dernière persistait dans le comportement qui lui était reproché. Il aurait dû attendre la prise de position de celle-ci durant l'assemblée générale des copropriétaires et indiquer, le cas échéant, qu'il détenait des preuves qu'il pouvait produire. En communicant sans nécessité les clichés, le recourant n'avait pas fait preuve de la retenue particulière imposée par le droit fédéral à l'avocat. Il en a conclu que le recourant avait transgressé l'art. 12 let. a LLCA (arrêt attaqué, consid. 5).
C'est à juste titre que le Tribunal cantonal a examiné le comportement du recourant ainsi que la nécessité de distribuer les clichés en cause. En revanche, le moyen moins incisif qu'il propose pour atteindre le résultat recherché fait encore référence aux clichés de Z._ dénudée. Sur ce point, il convient toutefois de substituer la motivation du Tribunal cantonal par les considérations suivantes: Il existait d'autres moyens d'établir le comportement de Z._ que d'en divulguer les photographies. Le recourant aurait pu et dû requérir l'établissement de constats par la police ou par un notaire. Un tel document, le cas échéant complété par le témoignage ultérieur en justice de son auteur, aurait permis d'établir les faits litigieux et aurait constitué une preuve suffisante pour convaincre les copropriétaires d'ouvrir la procédure d'exclusion ou pour documenter la procédure judiciaire ultérieure. En tant qu'avocat, le recourant devait envisager ces autres moyens de preuves préférables. Il était tenu de se comporter correctement et dignement non seulement à l'égard de ses clients, mais aussi envers le public et par conséquent de s'abstenir de faire usage d'un moyen de preuve d'une légalité douteuse au profit de procédés plus respectueux. Dans ces conditions, divulguer les photographies en cause aux copropriétaires revenait à violer l'art. 12 let. a LLCA.
En jugeant que le recourant a transgressé l'art. 12 lit. a LLCA en distribuant les clichés de Z._ aux copropriétaires, le Tribunal cantonal a par conséquent correctement appliqué le droit fédéral.
6. Il appartient en premier lieu à l'autorité de surveillance compétente de déterminer les mesures disciplinaires à prendre. Si le Tribunal fédéral revoit librement l'application des règles professionnelles, il s'impose en revanche une certaine retenue lors de l'examen de la sanction disciplinaire prononcée. Il n'intervient que lorsque l'autorité de surveillance a excédé les limites de son pouvoir d'appréciation, au point que la sanction apparaît clairement disproportionnée et confine à l'arbitraire (arrêt 2P.156/2006 du 8 novembre 2006, consid. 4.3 in Pra 2007 n° 87 p. 587; arrêt 2C_344/2007 du 22 mai 2008, consid. 5; arrêt 2C_783/2008 du 4 mai 2009, consid. 3.1).
En l'espèce, le recourant a été sanctionné par un simple avertissement, ce qui était proportionné aux circonstances.
7. Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours en matière de droit public dans la mesure où il est recevable et à l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire.
Succombant, le recourant supporte les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et à l'Autorité de recours des avocates, des avocats et du notariat du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 23 août 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Zünd Dubey