Faits:
A. Le 1er octobre 2003, X._ a obtenu une patente pour l'exploitation du restaurant Y._ à Z._.
Le 10 juin 2005, le Département cantonal de l'Economie, de la Coopération et des Communes (ci-après: le Département cantonal) a averti l'intéressé que s'il ne réglait pas jusqu'au 8 juillet 2005 les impôts ayant donné lieu à des saisies ou s'il ne trouvait pas un arrangement avec la Recette et Administration de district de Delémont à ce sujet, sa patente lui serait retirée.
Par décision du 13 septembre 2005, le Département cantonal a retiré la patente de l'intéressé, au motif qu'il ne remplissait plus les conditions personnelles prévues par la loi du 18 mars 1998 sur l'hôtellerie, la restauration et le commerce de boissons alcooliques (LAub; Loi sur les auberges; RSJU 935.11), en particulier parce qu'il avait fait l'objet d'une saisie infructueuse. Estimant un assainissement possible, le Département cantonal a fixé la date de la fermeture de l'établissement au 30 avril 2006, une révocation de la décision pouvant être prononcée en cas de paiement des dettes publiques dans ce délai. Sur présentation par l'intéressé le 26 avril 2006 de pièces attestant d'arrangements trouvés avec les créanciers, le Service cantonal des arts et métiers et du travail a implicitement renoncé à l'exécution de la décision du 13 septembre 2005.
Le 12 décembre 2007, le même Service a demandé à l'intéressé de justifier de sa situation financière, afin de s'assurer de son assainissement.
Par décision du 4 avril 2008, la situation financière de X._ s'étant encore dégradée, le Département a retiré la patente de restaurateur de l'intéressé pour l'exploitation Y._ à Z._ et fixé la date de fermeture au 31 mai 2008.
L'intéressé a contesté en vain cette décision par la voie de l'opposition. Par mémoire de recours adressé au Tribunal cantonal, il a demandé l'annulation de la décision sur opposition. Il soutenait que les problèmes financiers provenaient d'une mauvaise gestion antérieure à l'exploitation du restaurant, que la décision du 13 septembre 2005 avait été révoquée et ne pouvait fonder un retrait définitif, qui, au surplus, était dénué d'intérêt public, puisque les problèmes financiers seraient résorbés en fin 2009.
B. Par arrêt du 4 février 2009, le Tribunal cantonal a rejeté le recours. La décision de retrait reposait sur une base légale et un intérêt public suffisants. Précédée par la décision de retrait de patente du 13 septembre 2005 qui pouvait être assimilée à un retrait de patente conditionnel, la décision d'ordonner un retrait définitif de la patente prononcée le 4 avril 2008 par le Département était légitime. Non seulement les dettes de l'intéressé s'étaient encore aggravées, mais s'y s'ajoutaient les nouvelles dettes contractées par la société A._ Sàrl qui exploitait le restaurant depuis 2007, de sorte que le retrait définitif était également jugé proportionnel. La fermeture de l'établissement était nouvellement fixée au 30 avril 2009.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler, sous suite de frais et dépens, l'arrêt rendu le 4 février 2009 par le Tribunal cantonal ainsi que la décision du 9 juin 2008. Invoquant les art. 8, 27 et 36 Cst., il se plaint de l'absence d'intérêt public ainsi que de la violation du droit à l'égalité et du principe de proportionnalité.
Le Tribunal cantonal et le Département cantonal concluent au rejet du recours, sous suite de frais et dépens.
D. Par ordonnance du 1er avril 2009, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif déposée par l'intéressé.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est dirigé contre un jugement final (cf. art. 90 LTF) rendu dans une cause de droit public (cf. art. 82 lettre a LTF) par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (cf. art. 86 al. 1 lettre d et al. 2 LTF), sans que l'on se trouve dans l'un des cas d'exceptions mentionnés par l'art. 83 LTF. Le recours a en outre été déposé dans le délai (cf. art. 100 al. 1 LTF) et, sous réserve des considérations ci-après, en la forme (cf. art. 42 LTF) prévus par la loi. Le recourant étant destinataire de l'arrêt attaqué et remplissant les exigences de l'art. 89 LTF, il a qualité pour recourir.
1.2 La conclusion tendant à l'annulation de la décision rendue le 9 juin 2008 par le Département cantonal est toutefois irrecevable, en raison de l'effet dévolutif du recours déposé auprès du Tribunal cantonal (cf. art. 133 de la loi jurassienne du 30 novembre 1978 de procédure et de juridiction administrative et constitutionnelle [CPA; RSJU 175.1]).
2. 2.1 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). La notion de "manifestement inexacte" de l'art. 97 LTF correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 III 393 consid. 7.1 p. 398). Enfin, selon l'art. 99 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente.
2.2 En l'espèce, le Tribunal cantonal a retenu qu'en octobre 2004, le recourant faisait l'objet de saisies se rapportant à des dettes contractées dans l'exercice de sa profession ou des dettes fiscales pour un montant de plus de 30'000 fr. En 2006, il avait bénéficié d'un prêt bancaire de 100'000 fr. avec lequel il avait réglé quelques dettes. L'extrait du registre des poursuites établi le 16 novembre 2007 faisait état de poursuites, au stade de la commination de faillite ou de saisies de salaire pour un montant de 87'654 fr. 20 ainsi que d'actes de défaut de biens pour un montant de 45'270 fr. Dix mois plus tard, soit le 26 septembre 2008, le registre des poursuites faisait état de poursuites au stade de la commination de faillite et de la saisie pour un montant de 65'000 fr. et d'actes de défaut de biens pour un montant de 69'697 fr. 15 auxquels s'ajoutaient les dettes de la société A._ Sàrl pour plus de 24'000 fr.
S'appuyant sur des courriers de 2007 produits devant le Tribunal cantonal, qui font état d'arrangements avec certains créanciers, le recourant reproche au Tribunal cantonal de n'avoir pas tenu compte des dettes réglées à ce jour en particulier celles payées à Gastrosocial en octobre 2007. Il ne démontre toutefois pas en quoi les chiffres qui ressortent du registre des poursuites dans son état au 26 septembre 2008 seraient erronés ni en quoi, conformément aux exigences de l'art. 97 al. 1 LTF, la correction des vices qu'il dénonce dans l'état de fait serait susceptible d'influer sur le sort du recours. Ce grief est rejeté dans la mesure où il est recevable. Il n'est par conséquent pas possible de retenir un état de fait différent de celui qui a été établi par le Tribunal cantonal dans l'arrêt attaqué.
3. Le litige a pour objet le retrait de la patente de restaurateur du recourant en application de la loi sur les auberges du canton du Jura. Il relève donc du droit cantonal.
Sous réserve d'exceptions (cf. art. 95 lettres c et d LTF) non réalisées en l'espèce, le Tribunal fédéral ne contrôle pas l'application du droit cantonal en tant que tel, mais examine uniquement si celle-ci viole le droit fédéral au sens de l'art. 95 lettre a LTF, qui comprend les droits constitutionnels des citoyens. Lorsque, comme en l'occurrence, il est question de la violation de droits fondamentaux ainsi que de dispositions de droit cantonal, le Tribunal fédéral n'examine pas le droit d'office, mais se prononce uniquement sur les griefs invoqués et motivés de façon suffisante par le recourant (cf. art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 20 consid. 5.2 p. 30 s.; 133 II 249 consid. 1.4 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397 et la jurisprudence citée).
4. 4.1 Dans le canton du Jura, d'après l'art. 16 LAub, celui qui veut tenir un établissement soumis à patente doit offrir pleine garantie quant à une exploitation correcte de l'établissement; il doit en particulier: a) avoir l'exercice des droits civils et jouir d'une bonne réputation; b) posséder un certificat de capacité de responsable d'établissement public; c) être inscrit au registre du commerce; d) ne pas présenter de motifs d'exclusion au sens de l'article 15.
D'après l'art. 15 LAub, les personnes qui, au cours des dix dernières années, ont été condamnées pour des infractions graves ou des infractions répétées en rapport avec l'exercice de la profession d'hôtelier-restaurateur ou le commerce de boissons alcooliques, ne peuvent, en règle générale, être titulaires d'une patente ou d'un permis (al. 1). Ne peuvent en particulier être titulaires d'une patente ou d'un permis, sauf circonstances exceptionnelles, les faillis et les personnes ayant fait l'objet d'une saisie infructueuse dans le cadre de la profession au sens de la loi sur les auberges, pour autant que la faillite ou la saisie infructueuse remonte à moins de dix ans, les personnes qui, par leur faute, n'ont pas acquitté leurs contributions publiques ou celles qu'elles sont légalement tenues de payer et ceux qui sont sous le coup d'une mesure de retrait au sens de l'article 42 LAub (al. 2).
Selon cette dernière disposition, le Département de l'Economie retire la patente ou le permis notamment lorsque le tenancier ne possède plus les qualités personnelles requises (lettre b) ou lorsque le tenancier enfreint gravement les dispositions de la loi sur les auberges ou viole, à réitérées reprises, les dispositions impératives régissant les rapports et les conditions de travail (lettre c).
D'après l'art. 43 LAub, le retrait est conditionnel et assorti d'un délai d'épreuve allant jusqu'à deux ans lorsque l'autorité est fondée à admettre qu'il incitera le titulaire à respecter les dispositions de la loi. L'art. 44 LAub prévoit que la durée du retrait est proportionnelle à la gravité de la faute, compte tenu des antécédents et de la situation personnelle du tenancier; elle ne peut excéder deux ans (al. 1). Le retrait est définitif s'il a été précédé d'une décision de retrait conditionnel ou de durée déterminée, ou lorsque l'autorité est fondée à admettre que seule cette mesure est appropriée (al. 2).
4.2 En application de ces dispositions légales, le Tribunal cantonal a confirmé la décision du Département cantonal de retirer de manière définitive la patente du recourant. Ce dernier avait fait l'objet en 2005 d'une première décision prononçant un retrait, dont l'exécution avait été soumise à un délai pour permettre le règlement des dettes. Un nouvel examen en décembre 2007 avait démontré que le recourant n'avait pas assaini sa situation financière, qu'il avait donné lieu à des saisies infructueuses dans l'exercice de sa profession et ne s'était pas acquitté durant de nombreuses années de la TVA ni des autres impôts. Il réalisait ainsi deux des motifs d'exclusion de l'art. 15 al. 2 LAub.
5. 5.1 Invoquant le droit à l'égalité, le recourant fait référence à une affaire neuchâteloise dans laquelle le Tribunal fédéral avait confirmé le retrait durant 18 mois d'une patente de restaurateur pour sanctionner l'emploi de travailleurs au noir (arrêt 2P.77/2005 du 26 août 2005). Il se plaint d'être sanctionné plus lourdement que ce restaurateur neuchâtelois. Il soutient également qu'un retrait définitif pour des questions de dettes serait disproportionné par rapport à la situation qui prévaut dans le canton de Neuchâtel ou dans le canton de Fribourg et ne lui laisserait aucune chance de retrouver sa place dans le monde de la
gastronomie. Dans le canton de Neuchâtel, le retrait pour le même motif durerait aussi longtemps que la personne n'a pas désintéressé ses créanciers tandis que, dans le canton de Fribourg, il ne serait que de 3 à 5 ans.
5.2 Ces griefs sont infondés. En effet, le droit à l'égalité ne peut être soulevé que si des cas semblables sont traités de manière inégale par une seule et même autorité, mais non pour dénoncer des solutions différentes entre cantons, la structure fédérale de la Suisse autorisant les cantons à légiférer de manière différente sur des matières identiques (ATF 125 I 173 consid. 6d p. 179 et les références citées ainsi que consid. 6.1 non publié de l'ATF 134 II 265).
Dans la mesure où le recourant entendait en outre se plaindre de la violation du principe de proportionnalité, son grief sera examiné ci-dessous.
6. Le recourant considère que le retrait de sa patente de restaurateur confirmée par le Tribunal cantonal viole la liberté économique.
6.1 Selon l'art. 27 al. 1 Cst., la liberté économique est garantie. Elle comprend notamment le libre choix de la profession, le libre accès à une activité économique lucrative privée et son libre exercice (art. 27 al. 2 Cst.). Cette liberté protège toute activité économique privée, exercée à titre professionnel et tendant à la production d'un gain ou d'un revenu (ATF 128 I 19 consid. 4c/aa p. 29). Elle peut être invoquée tant par les personnes physiques que par les personnes morales (ATF 131 I 223 consid. 4.1 p. 230 s.).
6.2 Conformément à l'art. 36 al. 1 Cst., toute restriction d'un droit fondamental doit être fondée sur une base légale; les restrictions graves doivent être prévues par une loi; les cas de danger sérieux, direct et imminent sont réservés. Toute restriction d'un droit fondamental doit être justifiée par un intérêt public ou par la protection d'un droit fondamental d'autrui (art. 36 al. 2 Cst.) et proportionnée au but visé (art. 36 al. 3 Cst.). Sont autorisées les mesures de police, de politique sociale ainsi que celles dictées par la réalisation d'autres intérêts publics (ATF 131 I 223 consid. 4.2 p. 231 s. et les références citées). Sont en revanche prohibées les mesures de politique économique ou de protection d'une profession qui entravent la libre concurrence en vue de favoriser certaines branches professionnelles ou certaines formes d'exploitation (ATF 131 I 223 consid. 4.2 p. 231 s. et les références citées).
6.3 Le Tribunal fédéral revoit librement l'interprétation et l'application du droit cantonal effectuées par les autorités cantonales lorsque l'atteinte à une liberté constitutionnelle est grave. De même, il examine librement si une mesure répond à un intérêt public suffisant et satisfait au principe de la proportionnalité (ATF 130 I 65 consid. 3.3 p. 68 et les références citées, ainsi que l'ATF 134 I 153 consid. 4 p. 156 ss, qui précise le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral en la matière).
En tant qu'elle empêche le recourant d'exploiter le restaurant Y._, la sanction prononcée constitue une atteinte grave à la liberté économique garantie par l'art. 27 Cst. Par conséquent, l'art. 36 Cst. exige qu'elle repose sur une base légale formelle, qu'elle soit justifiée par un intérêt public, ou par la protection d'un droit fondamental d'autrui, et proportionnée au but visé.
7. 7.1 Le recourant ne se plaint, à juste titre, pas de l'absence de base légale formelle. Le retrait de sa patente a en effet été prononcé en application des art. 16, 42 et 44 LAub.
7.2 Il soutient en revanche que la sanction qui a été prononcée contre lui ne correspond pas à une mesure de police et ne répond pas à l'intérêt public.
D'après son art. 1, la loi sur les auberges a pour but de réglementer l'exploitation des établissements de l'hôtellerie, de la restauration et de divertissement, ainsi que le commerce des boissons alcooliques, afin de sauvegarder l'ordre, la moralité et le bien publics. Le Département cantonal expose qu'en prévoyant qu'une patente de restaurateur peut être retirée à une personne qui a subi des poursuites infructueuses et n'acquitte pas ses contributions publiques ou celles qu'elle est légalement tenue de payer, le législateur cantonal accorde une importance de premier plan au respect de la solidarité sociale et fiscale. Il s'agit bien d'une mesure de police répondant à un intérêt public. C'est d'ailleurs ce que le Tribunal fédéral a déjà jugé dans une affaire similaire qui concernait le canton de Zurich. Il a considéré que le retrait de la patente d'un restaurateur zurichois qui se trouvait dans de mauvaises conditions financières et n'arrivait pas à honorer ses dettes en particulier en matière d'assurances sociales répondait à un intérêt public (arrêt 2P.50/1988 du 10 juin 1988, consid. 3d). Ce dernier l'emporte sur l'intérêt privé du recourant, dont le montant des dettes va en s'aggravant selon les constatations de fait du Tribunal cantonal (cf. consid. 2.2 ci-dessus). Mal fondé, ce grief doit être rejeté.
8. Le recourant tient le retrait définitif de sa patente pour disproportionné.
8.1 Il soutient en premier lieu que sa situation financière n'est pas aussi catastrophique que ne l'a présentée le Tribunal cantonal (mémoire, p. 7 s.). Ce grief est irrecevable du moment qu'il s'écarte des faits qui ont été retenus par le Tribunal cantonal, d'une manière qui lie le Tribunal fédéral (cf. consid. 2 ci-dessus). Au demeurant, le recourant n'a pas fait usage du délai qui lui avait été imparti en 2005 pour s'acquitter de ses dettes. Sa situation financière s'étant aggravée, le Tribunal cantonal pouvait sans violer le principe de proportionnalité considérer que le retrait était la seule solution pour assainir la situation sans porter plus longtemps préjudice au fisc et aux créanciers sociaux.
8.2 Le recourant estime qu'un retrait définitif est trop long et l'écarte définitivement du monde de la gastronomie, dans lequel il est reconnu.
Il est vrai que l'arrêt attaqué confirme le retrait définitif de la patente du recourant, ce qui pourrait être compris comme un retrait d'une dizaine d'années. Le Département cantonal expose toutefois dans ses observations sur recours (p. 2) la pratique cantonale prévalant dans ce domaine: le motif d'exclusion disparaît dès le moment où le débiteur a racheté ses actes de défaut de biens, le rachat de ces derniers étant en effet considéré comme une "circonstance exceptionnelle" au sens de l'art. 15 al. 2 LAub, qui permet d'accorder une patente au tenancier sous le coup d'une faillite ou d'actes de défaut de bien. En d'autres termes, la durée du retrait dépend essentiellement de la diligence du recourant à assainir sa situation financière. Une fois la situation assainie, il appartiendra aux autorités jurassiennes compétentes d'examiner dans quelle mesure, au vu de l'ensemble des circonstances, le recourant peut être mis au bénéfice de cette pratique, en application de l'art. 15 al. 2 LAub. Ce point ne fait toutefois pas l'objet du présent litige. Il suffit ici de constater que la durée de la sanction n'est sous cet angle pas non plus contraire au principe de proportionnalité.
Dès lors qu'il dispose d'une formation et d'expérience en matière de gastronomie, le recourant est apte à travailler pour un autre établissement. Il n'est pas non plus d'emblée exclu qu'il puisse tenter sa chance dans d'autres cantons. Il n'est ainsi pas privé de tout débouché professionnel. Pour le surplus, si, comme il semble le souhaiter, le recourant veut exploiter en son nom un restaurant dans le canton du Jura, il doit faire ses preuves en matière de gestion financière de son établissement avant d'obtenir une nouvelle patente. Mal fondé sur ce point, le grief du recourant doit également être rejeté.
9. Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Succombant, le recourant doit supporter un émolument judiciaire (art. 65 et 66 LTF). Il n'a pas droit à des dépens (art. 68 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Département de l'Economie, de la Coopération et des Communes et à la Chambre administrative du Tribunal cantonal du canton du Jura.
Lausanne, le 4 mai 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Müller Dubey