Faits:
A.
Depuis le 1er janvier 1988, X._ est locataire d'un appartement de "3 pièces et salle de bains" au 2 ème étage d'un immeuble situé 7, rue ..., à Genève. Le contrat est renouvelable tacitement d'année en année, le terme de congé étant le 31 décembre. Depuis le 1er janvier 2008, le loyer est de 5'820 fr. par an (485 fr. par mois), charges non comprises. Ce montant résulte d'un jugement rendu le 7 octobre 2008 par le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève, lequel a limité à 7 % la majoration de 80 % qu'avait notifiée la bailleresse d'alors après avoir effectué des travaux dans l'immeuble.
L'immeuble a été racheté le 28 janvier 2010 par la société anonyme Z._.
Par avis du 18 janvier 2012, la nouvelle bailleresse a résilié le contrat pour le 30 avril 2012. Le 26 janvier 2012, le locataire a demandé le motif du congé.
B.
B.a. Le 2 février 2012, le locataire a saisi l'autorité genevoise de conciliation d'une requête en annulation de congé.
Le 5 avril 2012, le mandataire de la bailleresse a indiqué que le congé était dû au fait que l'appartement devait être entièrement rénové. Il a précisé qu'une demande d'autorisation de construire était en voie d'être déposée.
De fait, la bailleresse a déposé le 10 avril 2012 en procédure accélérée une demande d'autorisation de travaux auprès du département compétent. Le descriptif des travaux impliquait la rénovation complète de l'appartement pour un coût de 91'692 fr.; le futur loyer devait s'élever à 10'215 fr. par an. Alors que le formulaire topique demandait si l'appartement était loué et pour quel montant, la bailleresse n'a pas répondu à la première question; elle a toutefois indiqué un loyer actuel de 5'820 fr. par an. Elle n'a pas non plus joint une copie de la lettre d'information aux locataires prévue par l'art. 43 de la loi genevoise sur les démolitions, transformations et rénovations de maisons d'habitation (LDTR/GE; RSG L 5 20). Selon cette disposition, le propriétaire qui a l'intention d'exécuter des travaux au sens de la LDTR est tenu d'en informer au préalable et par écrit les locataires, et de les consulter en dehors de toute résiliation de bail (al. 1). En cas de non-respect de cette règle, le département peut refuser la délivrance de l'autorisation requise (al. 3).
Par courriers des 7 et 11 mai 2012, le mandataire du locataire a invité la bailleresse à retirer le congé, en précisant que l'intéressé était prêt à libérer son logement pendant toute la durée des travaux, respectivement à accepter une majoration de loyer sans préavis dès sa réintégration dans l'appartement; il entendait toutefois réserver ses droits en cas d'augmentation abusive.
Le 12 juin 2012, le conseil de la bailleresse a répondu que celle-ci ne souhaitait pas prendre d'engagement au sujet d'un éventuel contrat de bail à l'issue des travaux. Il était ajouté que l'insistance du locataire à proposer une solution de réintégration dans les locaux était doublée d'une formule peu incitative, annonçant d'ores et déjà des procédures intempestives.
La conciliation n'ayant pas abouti, le locataire a porté l'action devant le Tribunal des baux et loyers le 8 juin 2012. Il a conclu principalement à l'annulation du congé, subsidiairement à un report de ses effets au 31 décembre 2012 et à une prolongation de bail de quatre ans échéant le 31 décembre 2016, avec possibilité de se départir du contrat en tout temps, moyennant un préavis de 15 jours. Le locataire a produit des justificatifs attestant du fait qu'entre le 22 février et le 1er juin 2012, il avait recherché auprès de 14 régies des appartements de 3 pièces pour un loyer compris entre 600 fr. et 1'000 fr.
Par jugement du 16 novembre 2012, le Tribunal a déclaré valable le congé notifié le 18 janvier 2012, dont il a toutefois reporté les effets au terme contractuel pertinent, soit le 31 décembre 2012 (art. 266a al. 2 CO). Il a accordé au locataire une unique prolongation de bail de 16 mois échéant le 30 avril 2014, avec faculté de se départir du contrat moyennant un préavis de 15 jours pour le 15 du mois ou la fin d'un mois. Il a débouté les parties de toutes autres conclusions.
B.b. Le locataire a déféré cette décision auprès de la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice. Celle-ci a partiellement admis l'appel, par arrêt du 30 août 2013. Elle a accordé une unique prolongation de bail de 2 ans au lieu de 16 mois, confirmant le jugement pour le surplus.
Les considérants de l'arrêt peuvent succinctement se résumer comme il suit: le motif donné à l'appui du congé, soit la rénovation complète de l'appartement, est véridique. Le locataire a proposé de quitter les locaux sans condition pendant les travaux et d'accepter un loyer plus élevé lors de sa réintégration. La bailleresse ne saurait maintenir le congé au motif que le locataire réserve ses droits en cas de hausse abusive. Cela étant, le locataire est partiellement revenu sur son engagement de quitter les locaux; lors de son audition par le Tribunal des baux, il n'a pas confirmé le caractère inconditionnel d'un tel départ. Or, la bailleresse n'a pas à supporter les conditions posées par le locataire. Quant au non-respect de l'art. 43 LDTR/GE, il ne suffit pas à affirmer que la bailleresse s'exposera de façon certaine à un refus de la part du département compétent. En bref, le congé ne contrevient pas aux règles de la bonne foi (art. 271 CO). S'agissant de la prolongation de bail, le premier juge a ignoré certains éléments, soit la durée exacte des recherches effectuées pour se reloger, la durée des relations contractuelles et le fait que la bailleresse n'a pas démontré la nécessité d'effectuer les travaux, ni leur caractère urgent. Cela justifie d'augmenter la prolongation de bail à 2 ans.
C.
Le locataire, qui agit personnellement, saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile, dans lequel il conclut à l'annulation du congé, subsidiairement à l'octroi d'une prolongation de quatre ans échéant le 31 décembre 2016, avec possibilité de se départir du bail en tout temps, moyennant un préavis de 15 jours pour le 15 du mois ou la fin d'un mois.
La bailleresse conclut au rejet du recours. Elle produit des pièces nouvelles. L'autorité précédente se réfère à son arrêt.
Considérant en droit:
1.
La valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. requise pour les conflits en matière de bail à loyer est atteinte (art. 74 al. 1 let. a LTF). Cette conclusion s'impose déjà au regard du loyer annuel (5'820 fr., charges non comprises) et de la protection triennale dont jouirait le locataire si le congé devait être annulé (cf. art. 271a al. 1 let. e CO et ATF 137 III 389 consid. 1.1). Les autres conditions de recevabilité sont également réalisées.
2.
L'art. 99 al. 1 LTF prohibe la présentation de faits nouveaux ou de preuves nouvelles, à moins qu'ils ne résultent de la décision de l'autorité précédente. L'exception vise les faits qui sont rendus pertinents pour la première fois par la décision attaquée. Il peut notamment s'agir de faits concernant le déroulement de la procédure devant l'instance précédente, lorsqu'il s'agit d'émettre une critique quant à sa régularité (ATF 139 III 120 consid. 3.1.2 p. 123). Le Message du Conseil fédéral évoque un autre cas de figure: lorsque l'autorité précédente a adopté un nouvel argument juridique auquel les parties n'avaient pas été confrontées précédemment, le recourant peut, aux conditions de l'actuel art. 97 al. 1 LTF (art. 92 du projet), invoquer les faits nouveaux destinés à montrer que le raisonnement contrevient au droit (Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4137, cité notamment à l'ATF 136 III 123 consid. 4.4.3 p. 129). Certains auteurs s'interrogent sur la portée d'une telle affirmation, soulignant que l'application d'une nouvelle règle de droit peut tout au plus impliquer que les parties soient entendues à ce sujet (Yves Donzallaz, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, p. 1476 n° 4059; Bernard Corboz, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 25 ad art. 99 LTF).
En l'occurrence, l'intimée plaide que la Cour de justice a évoqué une violation de l'art. 43 LDTR/GE, ce qui l'autoriserait à produire la correspondance qu'elle a eue à ce sujet avec le Département de l'urbanisme. Il s'avère toutefois que la cour cantonale a statué sur le grief soulevé en appel par le locataire, et que l'intimée cherche en réalité à introduire de vrais novas, soit des preuves postérieures à l'arrêt attaqué, ce que prohibe l'art. 99 LTF (ATF 139 III 120 consid. 3.1.2 p. 123). Les pièces produites sont ainsi irrecevables.
3.
Dans une partie intitulée "Faits", le recourant critique certaines constatations.
3.1. Tout d'abord, il observe que la bailleresse a certes produit un extrait "SADCONSULT" (suivi administratif des dossiers d'autorisation de construire, disponible sur le site Internet du Département de l'urbanisme) qui atteste de l'ouverture d'une procédure; toutefois, celle-ci se rapporterait à un autre objet, soit un appartement situé place... 7, et non pas rue... 7. Quant à la demande d'autorisation du 10 avril 2012, elle ne comporte aucun tampon de réception apposé par le département.
Le recourant ne prétend pas que la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire en retenant qu'une demande d'autorisation de travaux a été déposée le 10 avril 2012. Cela exclut toute discussion à ce sujet. Au demeurant, l'intimée a invoqué une erreur du département en précisant que l'extrait SADCONSULT, tout comme la demande du 10 avril 2012, se réfère à la parcelle xxx, qui correspond bien à l'immeuble litigieux situé 7, rue.... Le recourant n'a pas contesté ces explications dans le délai de réplique qui lui a été imparti.
3.2. Le recourant reproche ensuite à la Cour de justice d'avoir interprété arbitrairement les propos qu'il a tenus en audience. Il conteste être revenu sur sa proposition de quitter l'appartement sans condition pendant la durée des travaux, admettant tout au plus avoir dit que les choses s'étaient passées différemment pour un de ses voisins.
La recevabilité du grief, peu étayé, peut rester indécise dans la mesure où il doit de toute façon être rejeté. Il est constant que dans un courrier du 7 mai 2012, le locataire s'est dit prêt à libérer son logement pendant toute la durée des travaux, de sorte que la bailleresse était invitée à retirer son congé. Par ailleurs, le procès-verbal de l'audience tenue le 15 octobre 2012, qui est du reste résumé dans l'arrêt attaqué, révèle que le locataire et l'avocate de l'ASLOCA qui l'assistait ont plaidé l'existence d'un congé-représailles consécutif à une précédente procédure judiciaire, en soulignant que la bailleresse, pour d'autres appartements de l'immeuble, avait trouvé des arrangements avec les locataires sans résilier leurs baux. Ils ont cité le nom d'un locataire ayant pu être relogé dans l'immeuble pendant la durée des travaux. L'avocate a par la suite souligné que son client ne s'opposait pas aux travaux, mais soutenait que s'ils devaient être faits hors sa présence, il pouvait être "relogé ailleurs, durant les travaux, comme cela se fai[sai]t couramment, aux frais du bailleur".
Sur la base de ces éléments, il n'était pas insoutenable de déduire que le locataire était partiellement revenu sur le contenu des correspondances échangées avec la bailleresse, respectivement qu'il avait lié son consentement de libérer les lieux à son relogement dans un autre appartement aux frais du bailleur (arrêt attaqué, p. 12).
4.
4.1. En droit, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir enfreint les art. 271 et 271a al. 1 let. a CO en refusant d'admettre que le congé est contraire aux règles de la bonne foi. Il souligne que la résiliation est intervenue trois mois après l'expiration du délai de protection contre les congés (art. 271a al. 1 let. e CO). Le motif invoqué ne serait selon lui qu'un prétexte. Il en veut pour preuve que la bailleresse a refusé sa proposition d'évacuer les locaux pendant les travaux et d'accepter une augmentation de loyer non abusive. Son courrier du 12 juin 2012 démontrerait qu'elle a pour seul intérêt le montant du futur loyer, qui ne saurait en aucun cas être contesté. De surcroît, la bailleresse n'a pas démontré la nécessité des travaux, ni leur caractère urgent. Enfin, elle s'est abstenue de le consulter avant la résiliation, au mépris de l'art. 43 LDTR/GE, ce qui aurait permis au recourant d'émettre la proposition de déménager pendant la durée des travaux.
4.2. Déterminer le motif réel du congé est une question de fait (ATF 136 III 190 consid. 2 p. 192). Dire si le congé contrevient aux règles de la bonne foi, au sens de l'art. 271 al. 1 CO, relève du droit.
Selon la jurisprudence, le congé est contraire à la bonne foi lorsqu'il ne répond à aucun intérêt objectif, sérieux et digne de protection, procède d'un pur esprit de chicane, est fondé sur un motif ne constituant manifestement qu'un prétexte, ou consacre une disproportion grossière des intérêts en présence (ATF 138 III 59 consid. 2.1 p. 62; 136 III 190 consid. 2 p. 192; 135 III 112 consid. 4.1. p. 119).
La résiliation du bail en vue de vastes travaux d'assainissement de l'objet loué ne contrevient pas aux règles de la bonne foi, du moment que ces travaux limitent considérablement la possibilité d'utiliser les locaux loués et que le bailleur se trouve dans la nécessité de faire évacuer les lieux. Si le maintien du locataire pendant les travaux est en soi possible, mais que sa présence entraînera des retards ou complications, le bailleur est en droit de résilier le contrat. La décision sur la nature et l'étendue de la rénovation est en principe l'affaire exclusive du propriétaire (ATF 135 III 112 consid. 4.2).
Un congé peut être abusif si le bailleur a résilié le contrat alors qu'il avait la garantie que le locataire irait se loger ailleurs pendant les travaux. Toutefois, le locataire doit avoir pris un tel engagement avant la résiliation; un engagement ultérieur ne saurait a posteriori transformer un congé licite en un congé abusif. Par ailleurs, l'engagement doit être sérieux; on ne saurait exiger du bailleur qu'il renonce à mettre fin au contrat de bail sur la base de vagues promesses du locataire (arrêt 4A_126/2012 du 3 août 2012 consid. 4.2).
Le congé est abusif si le projet de construction ou de transformation est objectivement impossible, notamment s'il est certain qu'il se heurtera à un refus d'autorisation de la part des autorités administratives compétentes, ce qu'il incombe au locataire de prouver (arrêt 4A_518/2010 du 16 décembre 2010 consid. 2.4, traduit in MRA 2011 p. 59; 4P.274/2004 du 24 mars 2005 consid. 3.3, traduit in mp 2005 p. 172 et rés. in DB 2006 p. 40).
4.3. L'argumentation du recourant est centrée sur une question de fait, soit le motif du congé. La Cour de justice a constaté que le motif invoqué, soit la volonté de rénover entièrement l'appartement, est véridique. L'autorité de céans est liée par cette constatation, dont le recourant ne prétend pas qu'elle soit entachée d'arbitraire, ou établie en violation d'une règle de droit telle que l'art. 8 CC. Par ailleurs, le recourant ne conteste plus le fait que la rénovation projetée nécessite son départ pendant une partie au moins des travaux. Il est ainsi acquis que le congé est dû à des travaux de rénovation importants impliquant le départ du locataire.
Le recourant ne discute pas l'analyse juridique de la cour selon laquelle la demande de permis de construire n'est pas vouée de façon certaine à l'échec. Ce point est donc également acquis.
Quant à la violation du droit public cantonal (art. 43 LDTR/GE), le recourant y voit un indice de ce que le motif invoqué n'est qu'un prétexte; il n'y a toutefois pas à revenir sur le motif retenu par la cour cantonale. A juste titre, il ne plaide pas que la consultation préalable du locataire serait une condition de validité du congé motivé par des travaux de rénovation, cette question étant régie par le droit civil fédéral. Les règles de la bonne foi sont seules déterminantes à cet égard (art. 271 al. 1 CO). Or, celles-ci ne commandent pas d'annoncer à l'avance un congé au locataire, ni ensuite d'attendre que celui-ci ait pu trouver une solution pour se reloger. Au demeurant, le locataire n'était pas prêt à accepter un engagement inconditionnel de quitter les locaux pendant les travaux (cf. supra, consid. 3.2), ce qui clôt toute discussion.
Le propriétaire n'est pas tenu d'attendre que les travaux de rénovation deviennent indispensables et urgents pour agir. La volonté déclarée d'entreprendre des travaux qui ne sont objectivement pas nécessaires peut éventuellement être l'un des indices que le motif invoqué n'est pas le vrai motif. Mais il appartient alors au locataire de l'alléguer et de le démontrer - cas échéant avec la collaboration du bailleur. Sous cet angle, le recourant reproche à tort à la bailleresse de n'avoir pas établi la nécessité et l'urgence des travaux. En revanche, comme l'a souligné la cour cantonale, il revient au bailleur de prouver que les travaux sont urgents dans la mesure où il entend s'opposer à une demande de prolongation.
En bref, sur la base des constatations de fait qui lient la cour de céans, l'on ne saurait reprocher à l'autorité précédente d'avoir enfreint l'art. 271 al. 1 CO. Quant à l'art. 271a al. 1 let. a CO, il n'entre pas en considération, dans la mesure où il n'est pas retenu que le congé a été donné parce que le locataire avait émis de bonne foi une prétention.
5.
Le recourant se plaint enfin de ne pas avoir obtenu une prolongation de bail pour la durée maximale de quatre ans.
5.1. Aux termes des art. 272 al. 1 et 272b al. 1 CO, le locataire peut demander la prolongation d'un bail d'habitation pour une durée maximale de quatre ans, lorsque la fin du contrat aurait pour lui des conséquences pénibles sans que les intérêts du bailleur ne le justifient. Dans cette limite de temps, le juge peut accorder une ou deux prolongations.
Le juge apprécie librement, selon les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC), s'il y a lieu de prolonger le bail et pour quelle durée (ATF 135 III 121 consid. 2.1). Il doit procéder à une pesée d'intérêts, en considérant notamment la durée du bail, la situation personnelle, familiale et financière des parties et la situation sur le marché local du logement (cf. art. 272 al. 2 CO). Le but de la prolongation est d'accorder au locataire plus de temps qu'il n'en aurait, selon le délai de résiliation ordinaire, pour chercher de nouveaux locaux (ATF 116 II 446 consid. 3b p. 448).
Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque celle-ci conduit à un résultat manifestement injuste, s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération (ATF 135 III 121 consid. 2.1).
5.2. En l'occurrence, le locataire ne prétend pas que la cour cantonale se serait fondée sur des critères erronés ou qu'elle aurait méconnu des éléments. Il lui reproche uniquement son appréciation quant à la durée fixée, soit deux ans à partir de l'échéance contractuelle du 31 décembre 2012. La cour n'aurait pas accordé suffisamment d'importance à la pénurie notoire sévissant à Genève, aux recherches sérieuses qu'il a effectuées, à l'ancienneté du bail (25 ans) et au fait que la bailleresse n'a pas démontré l'urgence et la nécessité d'effectuer les travaux.
L'on ne saurait considérer la prolongation de deux ans comme manifestement injuste. Il existe certes une pénurie notoire pour les locaux d'habitation à Genève, mais le locataire n'a pas établi se trouver dans des circonstances personnelles particulièrement difficiles. Le recourant relève encore qu'au moment de l'envoi du recours (9 octobre 2013), la bailleresse n'avait toujours pas obtenu de permis. L'intéressée ne conteste pas ce point. Quoi qu'il en soit, la demande de permis a été déposée le 10 avril 2012 en procédure accélérée, et le recourant ne soutient pas que la décision ne pourra certainement pas être rendue aux alentours du 31 décembre 2014 et que la bailleresse n'aura ainsi aucun intérêt à récupérer les locaux à ce moment-là.
Il s'ensuit le rejet du grief.
6.
En définitive, le recourant succombe. En conséquence, il supportera les frais et dépens de la présente procédure (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 5 mars 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti