Erwägungen:
1. Der aus dem Libanon stammende X._ (geb. 1984) reiste am 25. Dezember 2007 unter dem Namen "Y._" als Asylbewerber in die Schweiz ein; das Bundesamt für Migration lehnte sein Asylgesuch am 15. Februar 2008 ab und wies ihn, unter Ansetzung einer Ausreisefrist, aus der Schweiz weg. Mit Urteil vom 7. Mai 2008 wies das Bundesverwaltungsgericht die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde ab. Der Migrationsdienst verfügte am 25. Juni 2008 gegen ihn Ausschaffungshaft; gestützt auf diese Anordnung wurde er am 7. Juli 2008 in Haft genommen. Mit Entscheid vom 8. Juli 2008 bestätigte der Haftrichter 1 des Haftgerichts III Bern-Mittelland die Ausschaffungshaft für drei Monate bis zum 6. Oktober 2008. Die hiegegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wies das Bundesgericht am 22. Juli 2008 ab (Verfahren 2C_540/2008).
Bereits am 9. Juli 2008 war X._ (alias Y._) der libanesischen Botschaft zugeführt worden. Dort verhielt er sich unkooperativ und blieb bei seinen bisherigen Angaben zur Identität. Dennoch wurde das von den Migrationsbehörden gestellte Gesuch um Ausstellung eines Laissez-Passer vom libanesischen Konsul nach Beirut weitergeleitet.
In der Administrativhaft beschaffte sich X._ in der Folge einen Reisepass. Seinen Aussagen zufolge sollte dieser nun die richtigen Angaben zur Identität enthalten (vgl. Protokoll der Haftrichterverhandlung vom 2. Oktober 2008, S. 2); er war aber abgelaufen (Gültigkeit bis zum 19. April 2008), weswegen die Migrationsbehörden wiederum um die Ausstellung eines Laissez-passer ersuchten. Dieses Dokument sollte innert "einem Zeitplan von 1 bis 3 Monaten" erhältlich gemacht werden können (vgl. Protokoll der Haftrichterverhandlung vom 2. Oktober 2008, S. 1).
Mit Entscheid vom 2. Oktober 2008 bestätigte der Haftrichter 8 des Haftgerichts III Bern-Mittelland die vom Migrationsdienst gegenüber X._ verfügte Verlängerung der Ausschaffungshaft bis zum 6. April 2009, also für die Dauer von sechs Monaten.
2. Die von X._ gegen diesen Entscheid beim Bundesgericht erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Eingabe vom 10. Oktober 2008) erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann im Verfahren nach Art. 109 BGG (Verzicht auf Schriftenwechsel, summarische Begründung) erledigt werden:
Beim Beschwerdeführer, der nur zögerlich bei der Papierbeschaffung mitwirkt, besteht schon mit Blick auf die widersprüchlichen Angaben zu seiner Identität nach wie vor der Haftgrund der Untertauchensgefahr (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 AuG) im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. BGE 130 II 56 E. 3.1 S. 58 f., mit Hinweisen). Zudem gab er bis vor kurzem unmissverständlich an, nicht in seine Heimat zurückkehren zu wollen (vgl. etwa Protokoll des Ausreisegespräches vom 6. Juni 2008). Zwar macht er nun geltend, er habe "kein Problem damit, in den Libanon zurückzukehren"; doch ist damit angesichts seines bisherigen Verhaltens die Untertauchensgefahr noch nicht beseitigt. Soweit er verlangt, seinen "Asylfall genauer anzuschauen", verkennt er, dass hierüber im Asylverfahren rechtskräftig entschieden wurde und er diese Frage im Haftprüfungsverfahren nicht mehr aufwerfen kann (vgl. BGE 128 II 193 E. 2.2 S. 197 ff.). Die Haftgenehmigung ist nur zu verweigern, wenn sich der zu sichernde Wegweisungsentscheid als offensichtlich unzulässig erweist (BGE 125 II 217 E. 2 S. 220), was hier nicht zutrifft. Unbehelflich ist der in diesem Zusammenhang erhobene - im kantonalen Verfahren unterlassene und damit hier an sich unzulässige (Art. 99 BGG) - Einwand des Beschwerdeführers, er habe "eine Schweizerin geheiratet" und "Kinder mit dieser Frau": Aus den vom Beschwerdeführer dem Migrationsdienst übermittelten Dokumenten geht lediglich hervor, dass dieser - bereits im Jahre 2004 und damit längst vor Einleitung des Asylverfahrens in der Schweiz, in welchem er sich übrigens ausdrücklich als "ledig" bezeichnet hatte - im Libanon mit der Schweizerin Z._ (geb. 1984) eine "religiöse Ehe" eingegangen war, welche 2005 von einem Scharia-Gericht "rechtlich autorisiert" wurde. Ob diese Ehe in der Schweiz anerkannt werden könnte, ist zumindest ungewiss, und es ist auch völlig offen, ob die erwähnte Partnerin des Beschwerdeführers heute überhaupt gewillt wäre, mit diesem in der Schweiz eine Ehe zu führen, was Voraussetzung für ein Aufenthaltsrecht desselben wäre; dass ein diesbezügliches Gesuch hängig sei, wird nicht behauptet. Diese genannten Dokumente genügen daher nicht, um den Vollzug einer Wegweisung und die damit verbundene Haft allenfalls als unverhältnismässig erscheinen zu lassen.
Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind - insbesondere nicht gesagt werden kann, dass der Beschwerdeführer nicht in absehbarer Zeit ausgeschafft werden könnte bzw. die Behörden sich nicht zielstrebig hierum bemühen würden -, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht. Die Haftverlängerung direkt um sechs Monate liegt zwar an der oberen Grenze des Zulässigen (BGE 126 II 439 ff.), ist im vorliegenden Fall indessen nicht zu beanstanden, zumal sich der Beschwerdeführer die inzwischen eingetretenen Verzögerungen selber zuzurechnen hat. Er kann die Dauer seiner ausländerrechtlich begründeten Festhaltung verkürzen, indem er nunmehr bei der Organisierung seiner Heimkehr mit den Behörden zusammenarbeitet. Den geltend gemachten gesundheitlichen Problemen kann im Rahmen des Haftvollzugs Rechnung getragen werden.
3. Die Beschwerde ist damit abzuweisen. Aufgrund der besonderen Umstände (Bedürftigkeit, Wegweisungsvollzug) sind keine Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 8, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein