Erwägungen:
1. X._ reichte beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen die Stadt Zürich (Staatshaftung) ein. Das Bezirksgericht lehnte am 20. August 2012 sein Gesuch, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wegen Aussichtslosigkeit der Klage ab. Dieser Entscheid ist rechtskräftig (Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. Dezember 2012; Nichteintretensurteil des Bundesgerichts 2C_47/2013 vom 18. Januar 2013). Am 30. Januar 2013 setzte das Bezirksgericht X._ eine Frist von zehn Tagen zur Zahlung eines Gerichtskostenvorschusses von Fr. 3'550.--. Mit Beschluss und Urteil vom 27. Februar 2013 wies das Obergericht des Kantons Zürich das auch für das dortige Beschwerdeverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und wies die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat; die Entscheidgebühr von Fr. 500.-- wurde X._ auferlegt.
Dieser gelangte am 8. April 2013 (Postaufgabe) mit einer - einschliesslich Beilagen - 104 Seiten umfassenden vom 5. April 2013 datierten Rechtsschrift (Beschwerde sowie zusätzlich subsidiäre Verfassungsbeschwerde) an das Bundesgericht.
2. Rechtsschriften haben gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht (schweizerisches Recht, Art. 95 BGG) verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei muss sich mit dem Prozessgegenstand und dabei gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids der Vorinstanz massgeblichen Erwägungen auseinandersetzen. Spezifischer Geltendmachung und Begründung bedarf die Rüge, verfassungsmässige Rechte seien verletzt worden (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Der Beschwerdeführer äussert sich weitschweifig zu den Hintergründen des von ihm im Kanton angestrebten Staatshaftungsverfahrens. Einziger Gegenstand des angefochtenen Urteils und damit der vorliegenden Beschwerde ist indessen die vom Obergericht bestätigte Kostenvorschussverfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 30. Januar 2013. Der Beschwerdeführer müsste aufzeigen, inwiefern die Erhebung eines Kostenvorschusses schweizerisches Recht verletze. Dabei ist auf die von ihm breit diskutierte Frage der unentgeltlichen Rechtspflege nicht einzugehen, ist doch über die Abweisung des entsprechenden Gesuchs rechtskräftig entschieden worden. Inwiefern die Erhebung eines Kostenvorschusses nach Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege generell oder spezifisch in einem Staatshaftungsverfahren rechtsverletzend sei, lässt sich der Rechtsschrift vom 5. April 2013 nicht entnehmen. Die Beschwerde ermangelt offensichtlich einer hinreichenden Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Da die vorliegende Beschwerde aussichtslos erschien, kann dem auch für das Verfahren vor Bundesgericht gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG), wobei bei der Bemessung der Gerichtsgebühr der Art der Prozessführung Rechnung zu tragen ist (Art. 65 Abs. 2 BGG). Anlass bzw. Handhabe für eine "sofortige definitive Abschreibung allfällig anfallender Kostenlasten" besteht nicht.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. April 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller