Sachverhalt:
A. Die Korporationsgemeinde Horw ist eine sog. gemischte Korporation. Sie ist zur Hauptsache eine Personalkorporation. Vereinzelt beruhen die Bürgerrechte auf Realrechten. Die Korporation erliess am 14. November 2000 ein total revidiertes Korporationsreglement; der Regierungsrat des Kantons Luzern genehmigte das Reglement am 18. Dezember 2001. Gestützt auf das neue Reglement von 2000/2001 stellte der Korporationsrat am 2. April 2002 fest, der frühere Hof A._ bestehe nicht mehr und das zugehörige Realrecht sei erloschen. Mit Eingabe vom 30. März 2005 beantragte X._ beim Korporationsrat, den Hof A._ wieder in das Verzeichnis der Korporationsbürgerrechte aufzunehmen. Der Korporationsrat wies das Gesuch mit Entscheid vom 4. September 2006 ab. Diesen Entscheid bestätigte der Korporationsrat am 7. November 2006 auf Einsprache von X._ hin.
B. X._ focht den kommunalen Einspracheentscheid mit Verwaltungsbeschwerde beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (im Folgenden: JSD) an. Mit Beschluss vom 26. August 2008 nahm der Regierungsrat die Eingabe als Stimmrechtsbeschwerde entgegen und wies sie ab.
C. Gegen den Entscheid des Regierungsrats erhebt X._ mit Eingabe vom 29. September 2008 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an das JSD. Eventualiter sei vom Bundesgericht direkt über den Bestand des streitigen Realrechts und über die Eintragung im Verzeichnis der Bürgerrechte zu entscheiden.
Die Korporation Horw stellt den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei diese an die zuständige Instanz zu überweisen; im Eintretensfall sei die Beschwerde abzuweisen. Das JSD ersucht namens des Regierungsrats um Abweisung der Beschwerde; ebenso sei der Eventualantrag der Korporation Horw abzuweisen. X._ lässt sich mit Eingabe vom 28. Januar 2009 zu den Eingaben von Korporation und JSD vernehmen; dabei hält sie an ihren Anträgen fest. Die eingegangenen Stellungnahmen sind den Verfahrensbeteiligten gegenseitig zur Kenntnisnahme zugestellt worden.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen (vgl. Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 134 II 137 E. 1 S. 138).
1.1 Anlass zu der Beschwerde gab die Auseinandersetzung über ein Bürgerrecht in der Korporationsgemeinde Horw. Diese Korporation ist eine öffentlich-rechtliche Körperschaft. Im Kanton Luzern sind die traditionellen Körperschaften im Sinne von Art. 59 Abs. 3 ZGB dem kantonalen öffentlichen Recht unterworfen (vgl. DENIS PIOTET, in: Schweizerisches Privatrecht, Bd. I/2 [Ergänzendes kantonales Recht], 2001, N. 291). § 7 des kantonalen Stimmrechtsgesetzes vom 25. Oktober 1988 (StRG/LU; SRL Nr. 10) unterscheidet Personal-, Real- und gemischte Korporationsgemeinden. Hier geht es um eine gemischte Korporation.
In BGE 134 I 257 hatte das Bundesgericht eine Streitigkeit über den Bestand eines Bürgerrechts in einer Korporation im Kanton Schwyz zu beurteilen. Dort ging es um die Frage, ob das Bürgerrecht durch Abstammung vermittelt worden war; es standen familienrechtliche Fragestellungen im Vordergrund. Wegen des engen Bezugs der Auseinandersetzung zum Zivilrecht behandelte das Bundesgericht das Rechtsmittel als Beschwerde in Zivilsachen.
Im vorliegenden Fall leitet die Beschwerdeführerin ihr Bürgerrecht aus einem Hofrecht ab. Es ist eine Frage des kantonalen öffentlichen Rechts, inwiefern mit einem solchen Realrecht ein Bürgerrecht in einer Korporationsgemeinde verbunden ist. Mithin handelt es sich vorliegend um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 BGG. Der Regierungsrat als Vorinstanz hat die Auseinandersetzung als Stimmrechtssache behandelt; auch hiergegen richtet sich die Beschwerde an das Bundesgericht. Die Beschwerdeführerin macht keine Verletzung politischer Rechte im Sinne von Art. 82 lit. c BGG geltend. Insgesamt ist das Rechtsmittel als Beschwerde im Sinne von Art. 82 lit. a BGG entgegenzunehmen.
1.2 Es liegt kein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG vor; insbesondere lässt sich der vorliegende Fall nicht einem Entscheid über eine ordentliche Einbürgerung im Sinne von Art. 83 lit. b BGG gleichstellen. Die Beschwerdeführerin ist Adressatin des angefochtenen Entscheids; sie ist als Eigentümerin der streitbetroffenen Liegenschaften zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.3 Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Die Kantone haben zwar gemäss Art. 86 Abs. 2 BGG obere Gerichte als unmittelbare Vorinstanzen des Bundesgerichts einzusetzen. Diese Bestimmung kommt aber im vorliegenden Verfahren nicht zum Tragen, weil Art. 130 Abs. 3 BGG den Kantonen in dieser Hinsicht eine Übergangsfrist bis Ende 2008 einräumt. Der angefochtene Entscheid wurde vor Ablauf dieser Frist gefällt.
1.4 Die Beschwerdegegnerin bringt vor, die Beschwerdeschrift leide unter einem wesentlichen Formmangel. Die von der Beschwerdeführerin ohne Vertretung eingereichte Beschwerde sei nicht rechtsgültig unterzeichnet. Statt einer Unterschrift finde sich am Ende der Eingabe nur ein Handzeichen. Überdies sei über die betagte und gebrechliche Beschwerdeführerin eine Beistandschaft errichtet worden. Es ist richtig, dass bei ihr eine kombinierte Vertretungs- und Verwaltungsbeistandschaft angeordnet worden ist; das Bundesgericht hat die Ergreifung dieser vormundschaftlichen Massnahme geschützt (Urteil 5A_588/2008 vom 17. November 2008 E. 3.3.2). Die Beschwerdeführerin hat eingeräumt, dass sie die Beschwerde an das Bundesgericht im vorliegenden Verfahren durch ihren Sohn verfassen liess; dieser ist nicht ihr Beistand. Es liegen jedoch keine Anhaltspunkte vor, dass die Prozessfähigkeit der Beschwerdeführerin im vorliegenden Zusammenhang zu bezweifeln wäre. Insbesondere belegt der Umstand, dass sich die Beschwerdeführerin eines Handzeichens statt einer Unterschrift bedient, in keiner Weise, dass sie nicht mehr in der Lage wäre, ihre Sachen selbst zu führen. Im Übrigen bestreitet die Beschwerdegegnerin weder die Echtheit des Handzeichens noch die Identität der damit unterzeichnenden Person. Unter diesen Umständen vermag es der Beschwerdeführerin nicht zu schaden, dass eine öffentliche Beglaubigung des Zeichens, die für dessen Authentizität bürgt, fehlt. Die Eingabe gilt als rechtsgültig unterzeichnet. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2. Nach der Beschwerdeführerin war der Regierungsrat weder zuständig, den angefochtenen Entscheid zu fällen, noch hat er dabei im richtigen Rechtsmittelverfahren entschieden.
2.1 Zunächst ist eine Übersicht über die einschlägigen Vorschriften des Korporationsreglements von 2000/2001 (KR) zu geben. Gemäss § 30 KR ersetzt dieser Erlass ein Korporationsreglement von 1991. Nach dem angefochtenen Entscheid erkannte die frühere Regelung dem Hof A._ wie auch weiteren Höfen ausdrücklich Realhofrechte zu. Mit der Vorlage eines Rechtsmittelentscheids des Luzerner Regierungsrats vom 28. April 1992 hat die Beschwerdeführerin glaubhaft gemacht, dass sich die Anerkennung eines Realrechts in der Korporation Horw zugunsten des Hofs A._ bis ins 19. Jahrhundert zurückverfolgen lässt. Anstelle einer Aufzählung von realberechtigten Höfen in den altrechtlichen Korporationsreglementen ist nun in § 10 KR eine allgemein gehaltene Definition des Begriffs "Hof" verankert; diese Bestimmung soll als neue Grundlage für die Erfassung der realberechtigten Höfe dienen. § 12 KR bestimmt, dass der Korporationsrat förmlich festzustellen hat, wenn ein berechtigter Hof die Hofeigenschaft verliert (Abs. 1 und 2); sofern die fehlende Hofeigenschaft binnen der reglementarisch festgelegten Frist nicht wieder hergestellt ist, so hat der Korporationsrat das Realrecht als erloschen zu erklären (Abs. 3). § 13 KR regelt das Verzeichnis der Korporationsbürgerrechte, das der Korporationsrat zu erstellen und nachzuführen hat. § 14 KR sieht ein Verfahren zur Bereinigung dieses Verzeichnisses vor.
2.2 Der Regierungsrat hat erläutert, das fragliche Realrecht bilde hier als solches gar nicht Streitgegenstand. Darüber habe der Korporationsrat im Einspracheentscheid nicht befunden. Ob das Realrecht bestehe, sei lediglich als Vorfrage im Hinblick auf die Eintragung in das Bürgerrechtsverzeichnis zu entscheiden gewesen. Bei diesem Verzeichnis handle es sich um das Stimmregister der Korporation. Entscheide über die Eintragung im Stimmregister unterlägen gemäss § 12 in Verbindung mit § 159 StRG/LU der kantonalen Stimmrechtsbeschwerde. Beschwerdeinstanz sei der Regierungsrat (vgl. § 158 StRG/LU). Somit stamme der angefochtene Entscheid von der zuständigen Instanz und sei im gesetzlich vorgesehenen Beschwerdeverfahren gefällt worden.
2.3 Beide Parteien halten - insoweit übereinstimmend - die verfahrensrechtliche Sichtweise des Regierungsrats für verfehlt. Ihrer Meinung nach beschlägt die Angelegenheit zur Hauptsache die Frage, ob das Realrecht erloschen sei. Die Verweigerung des Eintrags im Bürgerrechtsverzeichnis sei nur die Folge davon. Die Beschwerdeführerin beansprucht, ihre Auseinandersetzung mit der Beschwerdegegnerin sei auf kantonaler Ebene als ordentliche Verwaltungsstreitsache zu behandeln. Die Beschwerdegegnerin zieht einen Vergleich zur Anfechtung von Entscheiden über den Verlust des Bürgerrechts in einer Personalkorporation. Bei den letztgenannten Entscheiden stehe gestützt auf § 30 Abs. 1 lit. c in Verbindung mit § 35 Abs. 1 des kantonalen Bürgerrechtsgesetzes in der bis Ende 2008 geltenden Fassung die Verwaltungsbeschwerde gemäss der Verwaltungsrechtspflegegesetzgebung zur Verfügung. Zwar enthalte das kantonale Bürgerrechtsgesetz keine Vorschriften für Realkorporationen bzw. Realrechte. Es sei jedoch nicht einzusehen, weshalb diesbezüglich etwas anderes gelten solle. Daher sei die Rechtsmittelbelehrung des Korporationsrats korrekt gewesen; diese wies auf die Möglichkeit einer Verwaltungsbeschwerde an das JSD hin.
2.4 Bei diesem Rügenkomplex wirft die Beschwerdeführerin dem Regierungsrat eine willkürliche Rechtsanwendung vor. Sie ruft dabei Art. 5 BV und § 2 der Luzerner Kantonsverfassung vom 17. Juni 2007 (KV/LU; SR 131.213) an. Das Willkürverbot ist in Art. 9 und nicht in Art. 5 BV verankert (vgl. allgemein zum Verbot willkürlicher Rechtsanwendung gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 148, 263 E. 3.1 S. 265 f.; je mit Hinweisen). Die unrichtige Bezeichnung der Bundesverfassungsbestimmung gereicht der Beschwerdeführerin nicht zum Nachteil. Gemäss § 2 KV/LU ist das Recht Grundlage und Schranke staatlichen Handelns (Abs. 1); staatliches Handeln muss im öffentlichen Interesse liegen und verhältnismässig sein (Abs. 2); staatliche Organe und Private haben nach Treu und Glauben zu handeln (Abs. 3). Es kann offen bleiben, inwiefern es sich bei den in § 2 KV/LU verankerten Rechtssätzen um verfassungsmässige Rechte handelt. Die Beschwerdeführerin tut nicht dar, dass § 2 KV/LU im vorliegenden Zusammenhang eine weitergehende Bedeutung als das Willkürverbot gemäss Art. 9 BV aufweist.
2.5 Der Regierungsrat hat den Einspracheentscheid des Korporationsrats als Entscheidung über die Eintragung in das Bürgerrechtsverzeichnis im Sinne von § 14 KR verstanden. Folgerichtig hat er diesen erstinstanzlichen Entscheid einem Entscheid über die Eintragung ins Stimmregister im Sinne von § 12 und § 159 StRG/LU gleichgestellt. Hingegen ergibt sich aus dem Dispositiv des Einspracheentscheids Folgendes: Der Korporationsrat verweigerte nicht nur den Eintrag in das fragliche Verzeichnis. Er stellte ausserdem förmlich fest, dass der frühere Hof A._ nicht mehr bestehe und das zugehörige Realrecht vor Inkrafttreten des neuen Korporationsreglements erloschen sei. Einen entsprechenden Feststellungsentscheid über das Erlöschen des Realrechts hatte der Korporationsrat bereits am 2. April 2002 getroffen; darauf wird in den Erwägungen des Einspracheentscheids hingewiesen. Dennoch hat der Korporationsrat die Angelegenheit im Einspracheentscheid ohne Einschränkungen erneut inhaltlich geprüft. Auch wenn in den Erwägungen dieses Einspracheentscheids keine ausdrückliche Zuordnung zu den §§ 12 und 14 KR erfolgte, lässt sich das Dispositiv nicht anders deuten, als dass dieser Entscheid auf einer Kombination beider Bestimmungen beruhte. Insbesondere wurde dort in einem Atemzug der Verlust der Hofeigenschaft und das Erlöschen des Realrechts im Sinne von § 12 Abs. 2 und 3 KR festgehalten. Der Streit um den Bestand des Realrechts bildet allerdings nicht nur einen eigenständigen Teilpunkt neben dem Registereintrag. Richtig betrachtet handelt es sich beim Fortbestand des Realrechts um die Hauptfrage, die im kantonalen Rechtsmittelverfahren zu beurteilen war. Es ist demzufolge willkürlich, dass der Regierungsrat die Angelegenheit bloss als Stimmrechtssache eingestuft hat. Es hilft dem Regierungsrat nichts, wenn er zu seiner Rechtfertigung in diesem Punkt eine rechtswissenschaftliche Dissertation ins Feld führt (JUDITH PETERMANN, Die luzernischen Korporationsgemeinden, 1994, S. 331 ff.). Die zitierte Literaturstelle enthält keine konkreten Äusserungen zu der hier betroffenen Problematik.
2.6 Hinzu kommt Folgendes: Bei den Nutzungsrechten, die mit einem Realrecht im Sinne des kantonalen Rechts verbunden sind, handelt es sich um ehehafte bzw. wohlerworbene Rechte (vgl. PETERMANN, a.a.O., S. 178 f.; vgl. allgemein zu den verfassungsrechtlichen Schutzgarantien für wohlerworbene Rechte BGE 128 II 112 E. 10a S. 125). Das JSD namens des Regierungsrats wirft vor Bundesgericht ein, mit dem Entscheid des Korporationsrats sei der Beschwerdeführerin kein wohlerworbenes Recht entzogen worden. Das Realrecht des Hofs A._ sei bereits vorgängig erloschen; der Korporationsrat habe bloss den Untergang des Realrechts festgestellt. Dies ändert nichts daran, dass ein Entscheid über den Verlust eines behaupteten, wohlerworbenen Rechts im Streit liegt. Bei einem Eingriff in wohlerworbene Rechte geht es um eine Zivilrechtsstreitigkeit im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (vgl. BGE 119 Ia 154 E. 5c S. 162 mit Hinweisen). Folglich besitzt die Beschwerdeführerin im vorliegenden Zusammenhang einen Anspruch auf gerichtliche Beurteilung im Sinne von Art. 30 Abs. 1 BV. Zu Recht beanstandet sie - wenn auch beiläufig -, dass dieser Anspruch mit der behördlichen Umdeutung der Angelegenheit in eine Stimmrechtssache verletzt worden ist. Denn § 166 Abs. 2 StRG/LU in der bis Ende 2008 geltenden Fassung schloss die kantonale Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen Rechtsmittelentscheide über Stimmrechtsbeschwerden aus.
2.7 Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, als erste Gerichtsinstanz über den Bestand des umstrittenen Realrechts zu befinden. Dies führt zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Um Weiterungen zu vermeiden, ist der kantonale Rechtsmittelweg im vorliegenden Verfahren festzulegen. Gestützt auf Art. 107 Abs. 2 BGG ist das Bundesgericht im Rahmen einer Rückweisung befugt, die Sache direkt der zuständigen Instanz zuzuweisen (vgl. Urteil 4A_237/2007 vom 28. September 2007 E. 6, nicht publ. in BGE 133 III 645).
2.8 Beim gegenwärtigen Stand des kantonalen Verfahrens erweist sich einzig die kantonale Verwaltungsbeschwerde als das richtige Rechtsmittel. So sieht auch § 12 Abs. 4 KR vor, dass der Einspracheentscheid des Korporationsrats betreffend den Verlust eines Realrechts mit Verwaltungsbeschwerde anfechtbar ist. Diese Reglementsbestimmung ist mit § 6 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit § 142 Abs. 1 lit. b des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 3. Juli 1972 (VRG/LU; SRL Nr. 40) vereinbar. § 14 Abs. 3 KR enthält ebenfalls eine Vorschrift über den Rechtsmittelzug; nach dieser allgemein gehaltenen Bestimmung ist der diesbezügliche Einspracheentscheid mit den Rechtsmitteln des kantonalen Rechts anfechtbar. § 14 KR steht somit im vorliegenden Zusammenhang nicht entgegen, dass der in § 12 Abs. 4 KR aufgeführten Beschwerdemöglichkeit zum Durchbruch verholfen wird. Der Rechtsmittelzug geht daher vom Korporationsrat an das JSD als das sachlich zuständige Departement. Gemäss § 148 lit. c VRG/LU unterliegt der Beschwerdeentscheid der kantonalen Verwaltungsgerichtsbeschwerde.
Zwar behalten § 7 Abs. 2, § 142 Abs. 2 und § 148 lit. c VRG/LU abweichende kantonale Spezialregelungen vor. Das Vorliegen derartiger Regelungen ist aber nicht ersichtlich. Wie gezeigt, fällt vorliegend insbesondere die kantonale Stimmrechtsbeschwerde ausser Betracht. Was das kantonale Bürgerrechtsgesetz betrifft, hat der Regierungsrat vor Bundesgericht bestätigt, dass dieser Erlass im vorliegenden Zusammenhang nicht direkt anwendbar ist.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Es ist festzuhalten, dass das JSD beim gegenwärtigen Stand des zwischen den Parteien hängigen Verfahrens zur Behandlung der Streitsache (Verwaltungsbeschwerde) zuständig ist. An diese Instanz ist das Verfahren zurückzuweisen.
Der unterliegenden Beschwerdegegnerin sind keine Verfahrenskosten aufzuerlegen, weil sie keine Vermögensinteressen verfolgt (Art. 66 Abs. 4 BGG). Die obsiegende Beschwerdeführerin ist nicht anwaltlich vertreten. Sie macht keine besonderen persönlichen Aufwendungen für das bundesgerichtliche Verfahren geltend. Praxisgemäss ist ihr deshalb keine Entschädigung zuzusprechen (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 4 S. 446).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Regierungsrats des Kantons Luzern vom 26. August 2008 wird aufgehoben.
2. Es wird festgestellt, dass das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern beim gegenwärtigen Stand des zwischen den Parteien hängigen Verfahrens zur Behandlung der Streitsache (Verwaltungsbeschwerde) zuständig ist.
3. Die Sache wird zur Durchführung des Verwaltungsbeschwerdeverfahrens an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern zurückgewiesen.
4. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Regierungsrat sowie dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet