Sachverhalt:
A. Der serbische Staatsangehörige X._, geb. 1969, heiratete im Jahr 2006 in seiner Heimat die Schweizer Bürgerin Y._, geb. 1952. Am 8. Oktober 2006 reiste er in die Schweiz ein, wo ihm im Rahmen des Familiennachzugs die Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde.
Am 17. März 2008 ersuchte er um Familiennachzug für seine aus einer ausserehelichen Beziehung stammende, ebenfalls über die serbische Staatsangehörigkeit verfügende Tochter Z._, geb. 1995, zwecks "Ausbildung/Schule". Im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung bestand der Verdacht, dass die Eheleute X._ und Y._ eine Scheinehe geschlossen haben könnten. Ein Verfahren betreffend Widerruf bzw. Nichterneuerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ wurde indessen in der Folge eingestellt.
Am 20. April 2009 hiess das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen eine Rechtsverweigerungsbeschwerde von X._ betreffend das Gesuch um Nachzug seiner Tochter gut, soweit es darauf eintrat, und lud das kantonale Ausländeramt (heute: Migrationsamt des Kantons St. Gallen) ein, über das Gesuch zu befinden.
B. Am 6. Juli 2009 wies das Ausländeramt das Gesuch ab mit der Begründung, es fehle X._ am elterlichen Sorgerecht; zudem habe Z._ ihr bisheriges Leben in der Heimat verbracht und unterhalte zu ihrer Mutter, mit welcher der Gesuchsteller nie verheiratet war, eine engere Beziehung als zum Vater.
Dagegen rekurrierte X._ an das kantonale Sicherheits- und Justizdepartement, wobei er unter anderem auf ein serbisches Zivilgerichtsurteil vom 31. Juli 2009 Bezug nahm, wonach die elterliche Sorge an den Vater zugewiesen worden sei. Die Kindsmutter habe zudem der Übersiedlung der Tochter zum Vater zugestimmt. Erstere habe aus gesundheitlichen Gründen die Fähigkeit verloren, ihre Tochter zu erziehen, und die Beziehung zwischen dieser und ihr habe in den letzten zwei Jahren stark gelitten. Auch habe sich die Ehefrau von X._ bereit erklärt, Z._ bei sich aufzunehmen.
Mit Entscheid vom 19. Oktober 2009 wies das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen den Rekurs ab.
C. Mit Urteil vom 15. April 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die von X._ hiegegen erhobene Beschwerde ab.
D. Mit Eingabe vom 25. Mai 2010 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und das Ausländeramt des Kantons St. Gallen anzuweisen, Z._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Das Sicherheits- und Justizdepartement und das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wie auch das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Der Beschwerdeführer will seine aus einer ausserehelichen Beziehung stammende, ausländische Tochter nachziehen lassen. Er selber verfügt bloss über eine Aufenthaltsbewilligung, weshalb er sich in diesem Zusammenhang landesrechtlich lediglich auf Art. 44 des vorliegend anwendbaren Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) berufen kann. Anders als die auf den Nachzug ausländischer Familienangehöriger von Schweizern und Niedergelassenen anwendbaren Nachzugsbestimmungen (Art. 42 und 43 AuG) begründet Art. 44 AuG keine Rechtsansprüche zugunsten von Personen mit blosser Aufenthaltsbewilligung. Vielmehr bleibt hier die Bewilligungserteilung - auch wenn die diesbezüglichen Voraussetzungen erfüllt sind - im fremdenpolizeilichen Ermessen. Daran ändert auch nichts, wenn die Aufenthaltsbewilligung des in der Schweiz anwesenden Angehörigen - wie vorliegend beim Beschwerdeführer - ihrerseits auf einem Rechtsanspruch im Sinne von Art. 42 oder 43 AuG beruht. Entsprechend bleibt die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Anwendungsbereich von Art. 44 AuG ausgeschlossen (vgl. BGE 2C_711/2010 vom 1. April 2011 E. 1.2; Urteile 2C_508/2009 vom 20. Mai 2010 E. 2.1; 2C_537/2009 vom 31. März 2010 E. 2.2.2; 2C_345/2009 vom 22. Oktober 2009 E. 2.2.1).
1.3 Der Beschwerdeführer beruft sich im Weiteren auf das in Art. 8 EMRK garantierte Recht auf Achtung des Familienlebens. Gestützt darauf ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten des um die fremdenpolizeiliche Bewilligung ersuchenden Ausländers oder seiner hier anwesenden nahen Verwandten zulässig, wenn diese über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz verfügen und die familiäre Beziehung tatsächlich gelebt wird (vgl. BGE 135 I 143 E. 1.3.1 S. 145 f.; 130 II 281 E. 3.1 S. 285 mit Hinweisen).
Als Ehegatte einer Schweizer Bürgerin hat der Beschwerdeführer grundsätzlich Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung solange er mit dieser zusammenwohnt (Art. 42 Abs. 1 AuG). Dass letztgenannte Voraussetzung vorliegend nicht (mehr) erfüllt wäre, lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen. Demgemäss hat der Beschwerdeführer gestützt auf Art. 42 Abs. 1 AuG einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung und verfügt somit über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht. Da seine nachzuziehende Tochter im Zeitpunkt der Urteilsfällung, auf welchen es für die Eintretensfrage in diesem Zusammenhang ankommt (vgl. BGE 129 II 11 E. 2 S. 13 f. mit Hinweis), noch nicht 18 Jahre alt und nach den Feststellungen im angefochtenen Entscheid von einer im Wesentlichen intakten und tatsächlich gelebten Beziehung zwischen Vater und Kind auszugehen ist, steht dem Beschwerdeführer gestützt auf Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 Abs. 1 BV) ein grundsätzlicher Anspruch auf den anbegehrten Nachzug zu (vgl. BGE 2C_711/2010 vom 1. April 2011 E. 1.3; Urteile 2C_508/2009 vom 20. Mai 2010 E. 2.2; 2C_537/2009 vom 31. März 2010 E. 2.2.3; 2C_345/2009 vom 22. Oktober 2009 E. 2.2.2).
Auf die Beschwerde ist demzufolge einzutreten.
2. 2.1 Geht es - wie vorliegend - um Fälle von Nachzug der Kinder eines aufenthaltsberechtigten Ausländers mit einem gefestigten Aufenthaltsrecht ist ein Anspruch gestützt auf Art. 8 EMRK und Art. 13 BV nach neuerer bundesgerichtlicher Rechtsprechung gegeben, wenn (1) dieser mit seinen Kindern zusammenleben will (vgl. Art. 44 lit. a AuG), (2) eine bedarfsgerechte Wohnung vorhanden ist (Art. 44 lit. b AuG), (3) die Familie nicht auf Sozialhilfe angewiesen ist (Art. 44 lit. c AuG), (4) der Nachzug bei Kindern über zwölf Jahren innerhalb von zwölf Monaten bzw. bei Kindern unter zwölf Jahren innerhalb von fünf Jahren geltend gemacht wird (Art. 47 Abs. 1 und 3 AuG bzw. Art. 73 VZAE [SR 142.201]) und (5) der Nachzug nicht in klarer Missachtung des Wohls sowie der familiären Bindungen des Kindes erfolgen soll, wobei auch die bisherige Beziehung zwischen den nachziehenden Eltern und den Kindern sowie die Betreuungsmöglichkeiten in der Schweiz zu berücksichtigen sind. Schliesslich darf (6) die Wahrnehmung des Anspruchs nicht rechtsmissbräuchlich erscheinen (vgl. BGE 136 II 497 E. 4 S. 506 f.; Urteile 2C_606/2009 vom 17. März 2010 E. 2.4 und 2C_181/2010 vom 1. Oktober 2010 E. 5.3) und (7) kein Widerrufsgrund nach Art. 62 AuG vorliegen (vgl. Art. 51 Abs. 2 lit. a und b AuG zum Nachzug durch Niederlassungsberechtigte; vgl. hiezu auch das Urteil des Bundesgerichts 2C_847/2009 vom 21. Juli 2010 E. 3). Bei einem Nachzug ausserhalb der in Art. 47 Abs. 1 AuG und Art. 73 Abs. 1 VZAE angegebenen Fristen müssen zudem wichtige familiäre Gründe geltend gemacht werden (vgl. zum Ganzen: BGE 2C_711/2010 vom 1. April 2011 E. 2, insbesondere E. 2.7; Urteile 2C_537/2009 vom 31. März 2010 E. 3 mit Hinweisen u.a. auf BGE 136 II 78 E. 4.8; 2C_508/2009 vom 20. Mai 2010 E. 4.2).
Nicht mehr unterschieden werden darf nach der Rechtsprechung zudem zwischen nachträglichem Gesamt- und nachträglichem Teilfamiliennachzug. Allerdings muss aus familienrechtlichen Gründen der nachziehende Elternteil immerhin über das Sorge- bzw. Obhutsrecht verfügen (BGE 136 II 78 E. 4.7 und 4.8 S. 85 ff.; Urteil 2C_44/2010 vom 26. August 2010 E. 2.1.2 und 2.1.3; im Zusammenhang mit Art. 44 AuG und Art. 8 EMRK: Urteil 2C_537/2009 vom 31. März 2010 E. 3).
2.2 Die Vorinstanz nahm im angefochtenen Entscheid auf die in BGE 136 II 78 begründete Praxisänderung im Bereich des partiellen Familiennachzugs Bezug, erachtete diese indessen nur in Fällen für einschlägig, in denen sich aus Art. 42 und 43 AuG ein landesrechtlicher Rechtsanspruch auf den anbegehrten Nachzug ergibt. Demgegenüber prüfte es in der vorliegenden Konstellation, in welcher das Ausländergesetz die Bewilligung des Nachzugs ins fremdenpolizeiliche Ermessen stellt (Art. 44 AuG) und sich ein Anspruch - zufolge eines gefestigten Anwesenheitsrechts des Nachziehenden - lediglich aus Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 Abs. 1 BV) ergibt, noch nach Massgabe der Kriterien, wie sie zu Art. 8 EMRK unter der früheren gesetzlichen Rechtslage (Art. 17 Abs. 2 ANAG) entwickelt worden sind (zuletzt: BGE 133 II 6 E. 3.1 S. 10 mit Hinweisen). Entsprechend untersuchte es, ob vorliegend stichhaltige familiäre Gründe bzw. eine Änderung der Betreuungssituation den anbegehrten nachträglichen Familiennachzug gebieten würden, was es verneinte. Wie ausgeführt, hat das Bundesgericht die unter dem Geltungsbereich des neuen Ausländergesetzes veränderten Kriterien zum partiellen Familiennachzug auch auf Fälle - wie den vorliegenden - im Geltungsbereich von Art. 44 AuG bzw. Art. 8 EMRK angewandt (BGE 2C_711/2010 vom 1. April 2011 E. 2 sowie die weiteren erwähnten Urteile 2C_537/2009 vom 31. März 2010 E. 3 sowie 2C_508/2009 vom 20. Mai 2010 E. 4.2). Da das Bundesgericht nicht an die Begründung im angefochtenen Entscheid gebunden ist (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254), bleibt zu prüfen, ob dieser, unter Berücksichtigung der darin enthaltenen, grundsätzlich verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen, nach Massgabe der neuen Rechtsprechung als bundes- und konventionsrechtskonform erscheint.
2.3 Zunächst ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer mit Blick auf die Übergangsfrist von Art. 126 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 47 Abs. 1 AuG fristgerecht um Nachzug seiner Tochter ersucht hat und ihm insofern kein Rechtsmissbrauch vorgeworfen werden kann (vgl. Urteile 2C_606/2009 vom 17. März 2010 E. 2.3 und 2.4 und 2C_44/2010 vom 26. August 2010 E. 2.2). Sodann liegt unstreitig sowohl ein Schreiben (datierend vom 27. Juli 2009) vor, in welchem sich die Kindsmutter mit einer Übersiedelung der vormals unter gemeinsamem Sorgerecht stehenden Tochter zum Vater in die Schweiz einverstanden erklärt, wie auch ein serbisches Zivilgerichtsurteil vom 31. Juli 2009, welches die elterliche Sorge (in Abänderung der bisherigen Regelung) auf den Beschwerdeführer überträgt. Zu beurteilen bleibt mithin, ob der beabsichtigte Nachzug in klarer Missachtung des Kindeswohls und der familiären Bindungen des Nachzuziehenden in seinem Heimatstaat erfolgen würde. Dabei ist zu berücksichtigen, dass es nach der Rechtsprechung in erster Linie an den Eltern ist, unter sachgerechter Berücksichtigung der Interessen der Kinder zu befinden, in welchem Familienverband diese aufwachsen sollen. Den ausländerrechtlichen Bewilligungsbehörden steht diesbezüglich nur eine beschränkte Überprüfungsbefugnis zu. Sie dürfen den neurechtlichen Familiennachzug bloss dann verweigern, wenn die gewählte Lösung offensichtlich und eindeutig gegen das Kindesinteresse verstösst und in diesem Sinn ein überwiegendes öffentliches Interesse gegen den Familiennachzug spricht (BGE 136 II 78 E. 4.8 S. 86 ff.; Urteil 2C_537/2009 vom 31. März 2010 E. 3 mit Hinweisen).
2.4 Dass die vom Beschwerdeführer und der Kindsmutter angestrebte Lösung einer Übersiedelung der Tochter zum Vater den Kindesinteressen offensichtlich widerspricht, erscheint aufgrund der Feststellungen im angefochtenen Entscheid nicht als eindeutig erwiesen: Allein der Umstand, dass die Behauptung des Beschwerdeführers, wonach die das Kind in seiner Heimat bis anhin betreuende Kindsmutter schwerwiegend psychisch erkrankt sei und zwischenzeitlich auch stationär habe behandelt werden müssen, durch kein ärztliches Attest belegt worden sei, lässt einen solchen Schluss noch nicht zu, da für einen nachträglichen Nachzug nicht mehr zwingend von einem Ungenügen der bisherigen Betreuungsverhältnisse im Heimatland ausgegangen werden muss. Auch spielt für sich allein keine ausschlaggebende Rolle, dass sowohl im Schreiben der Kindsmutter vom 27. Juli 2009, in welchem sie dem Umzug der Tochter zum Vater zustimmt, als auch im Gerichtsurteil vom 31. Juli 2009 gesundheitliche Probleme oder Schwierigkeiten in der Betreuung des Kindes nicht zur Sprache kommen, sondern zur Begründung im Wesentlichen auf die besseren Lebensbedingungen und Ausbildungsmöglichkeiten und einen entsprechend gelagerten Wunsch des Kindes, beim Vater in der Schweiz leben zu können, verwiesen wird. Demgegenüber ist nicht zu übersehen, dass bei einem Herausreissen aus der gewohnten Umgebung und einem Nachzug im Alter von 15 bzw. heute 16 Jahren unweigerlich mit ernsthaften Integrationsschwierigkeiten in sprachlicher und als Folge davon auch in ausbildnerischer wie auch in beruflicher Hinsicht zu rechnen ist, was die theoretisch besseren wirtschaftlichen Perspektiven unter Umständen erheblich zu relativieren vermöchte. Freilich darf aber dem Beschwerdeführer aufgrund einer (nicht von ihm zu verantwortenden) längeren Dauer des Verfahrens grundsätzlich kein Rechtsnachteil erwachsen, hat er doch bereits um Nachzug für seine Tochter ersucht, als diese 13-jährig war, in welchem Alter jedenfalls noch keine unüberwindbaren Integrationshürden bestehen sollten. Dem angefochtenen Entscheid der Vorinstanz lässt sich nichts Näheres dazu entnehmen, in welcher Weise der Beschwerdeführer die Beziehung zu seiner Tochter bis anhin gepflegt hat und ob er, als Erwerbstätiger, oder allfällige weitere in der Schweiz lebende Angehörige überhaupt in der Lage wären, seine Tochter hierzulande altersgerecht zu betreuen. Auch ist nichts darüber bekannt, ob die Tochter die Schweiz bereits von früheren Besuchsaufenthalten her kennt oder ihr der hiesige Kulturkreis gänzlich fremd ist. In diesen für das Kindesinteresse wesentlichen Punkten ist der Sachverhalt aufgrund der Darlegungen der Vorinstanz - infolge der sinngemässen Übernahme der altrechtlichen Rechtsprechung - nicht weiter ermittelt worden. Es sind somit in dieser Hinsicht noch zusätzliche Abklärungen durch die Bewilligungsbehörden erforderlich. Gleiches gilt für die weiteren Voraussetzungen gemäss Art. 44 AuG: Es finden sich keine Feststellungen dazu, ob es die Einkommenssituation des Beschwerdeführers zulässt, für den hiesigen Lebensunterhalt seiner Tochter aufzukommen, und ob eine bedarfsgerechte Wohnung vorhanden ist.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gutzuheissen, der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen zurückzuweisen.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind keine Gerichtskosten geschuldet (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton St. Gallen hat den obsiegenden Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 15. April 2010 wird aufgehoben; die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton St. Gallen hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt, dem Sicherheits- und Justizdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Moser