Faits:
A. SWICA Assurance-maladie SA (ci-après: la caisse-maladie) a partiellement pris en charge les frais afférents à l'hospitalisation de H._ auprès des l'Hôpitaux X._ (décision du 18 mars 2009 confirmée sur opposition le 31 juillet suivant). Ces derniers avaient réclamé 16'000 fr. à l'assuré (facture du 5 juin 2008).
B. L'intéressé a saisi le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui: la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) d'un recours. La procédure subséquente a notamment nécessité trois audiences destinées à entendre les parties (procès-verbal du 10 décembre 2009), à informer ces dernières de la suspension de la procédure tant que la compétence ratione materiae du tribunal cantonal n'avait pas été tranchée (procès-verbal du 11 mars 2010) et à auditionner des témoins (procès-verbaux du 6 septembre 2011). Les premiers juges ont également pris contact avec les Hôpitaux X._ pour obtenir une copie de la facture du 5 juin 2008 que les parties n'avaient pu produire à l'issue de la première audience. Au terme de la procédure d'instruction, la caisse-maladie a annoncé qu'elle acceptait à bien plaire de prendre en charge l'intégralité des frais d'hospitalisation (courrier du 7 octobre 2010).
Compte tenu de ces éléments, le tribunal cantonal a annulé la décision litigieuse, a déclaré le recours sans objet et a condamné l'assureur à verser à H._ une indemnité réduite de 800 fr. à titre de participation à ses frais et dépens (jugement du 20 octobre 2011).
C. L'assuré recourt contre ce jugement en tant qu'il lui octroie des dépens réduit (ch. 5 du dispositif). Il conclut à l'allocation de 2'000 fr. de dépens pour la procédure cantonale.
La caisse-maladie et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le tribunal cantonal conclut préalablement à l'irrecevabilité du recours faute d'épuisement des voies de droit cantonal. Il invoque l'art. 87 al. 4 de la Loi genevoise de procédure administrative (LPA; RSG E 5 10) selon lequel les frais de procédure, émoluments et indemnités arrêtés par la juridiction administrative peuvent faire l'objet d'une réclamation auprès de l'autorité qui a statué.
1.2 Ce grief est mal fondé dans la mesure où les cantons ne peuvent instaurer plusieurs instances de recours en matière d'assurances sociales (art. 57 LPGA) et contrevenir ainsi au principe de célérité (art. 61 let. a LPGA), notamment en ce qui concerne les litiges portant sur les dépens de la procédure cantonale (ATF 110 V 54 consid. 4b p. 61 sv.; arrêt 9C_590/2009 du 26 mars 2010 consid. 1.2; FF 1999 IV 4268; KIESER, ATSG Kommentar, 2e éd., 2009, ch. 6 ss ad art. 57 LPGA).
2. Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
3. Le litige porte en l'espèce sur la fixation des dépens alloués au recourant par le tribunal cantonal, singulièrement sur la réduction de ceux-ci.
4. 4.1 La Cour de justice a octroyé à l'assuré des dépens réduits fixés à 800 fr. au motif que son comportement avait engendré la tenue d'audiences inutiles et divers échanges entre le tribunal cantonal et les Hôpitaux X._ afin d'obtenir la production de la facture du 5 juin 2008 qu'il aurait dû être en mesure de produire.
4.2 Le recourant conteste d'une manière générale les motifs qui ont conduit les premiers juges à réduire ses dépens.
4.3 S'il est vrai que le principe général du droit, selon lequel les frais inutiles doivent être supportés par celui qui les a occasionnés, peut conduire une autorité judiciaire à renoncer à allouer des dépens à la partie qui a obtenu gain de cause ou à en réduire le montant (arrêt P 29/87 du 16 décembre 1988 consid. 3; RCC 1989 p. 290 consid. 3), on ne saurait retenir que le comportement de l'assuré justifie en l'occurrence l'application d'un tel principe. Il apparaît effectivement que l'assuré n'est nullement responsable du nombre d'audiences mais que celles-ci étaient uniquement motivées par le déroulement normal du procès. On constatera également que les échanges entre la juridiction cantonale et les Hôpitaux X._ suscités par le défaut de production de la facture du 5 juin 2008 n'ont consisté qu'en un courrier, un rappel et une conversation téléphonique, dus d'ailleurs avant tout à une erreur dans la désignation du destinataire des communications écrites puisque le service compétent de l'hôpital ne les avait jamais reçues. Dans ces circonstances, on ne saurait prétendre que le comportement du recourant ait engendré des frais excessifs ou inutiles.
5. Aux termes de l'art. 61 let. g LPGA, le recourant qui obtient gain de cause a droit au remboursement de ses frais et dépens dans la mesure fixée par le tribunal; leur montant est déterminé sans égard à la valeur litigieuse d'après l'importance et la complexité du litige. Le point de savoir si et à quelles conditions une partie a droit à des dépens en instance cantonale de recours lorsqu'elle obtient gain de cause relève du droit fédéral, alors que la fixation du montant de l'indemnité de dépens ressortit au droit cantonal (arrêt 8C_274/2009 du 3 décembre 2009 consid. 8). La Cour de justice a en l'occurrence arrêté le montant des dépens sans aucune référence à l'importance et à la complexité du litige ni indication relative à la proportion de la réduction. Le défaut de motivation de l'acte attaqué sur ce point ne permet donc pas au Tribunal fédéral d'exercer son contrôle. Le ch. 5 du dispositif du jugement du 20 octobre 2011 doit par conséquent être annulé et la cause être renvoyée au tribunal cantonal afin qu'il reprenne l'examen du montant de l'indemnité accordée au titre de dépens et rende une nouvelle décision motivée à cet égard.
6. Vu l'issue du litige, les frais de justice sont mis à la charge de la caisse-maladie (art. 66 al. 1 LTF) qui versera une indemnité de dépens au recourant (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le chiffre 5 du dispositif du jugement de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève du 20 octobre 2011 est annulé, la cause étant renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour qu'elle statue à nouveau conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 600 fr., sont mis à la charge de l'assureur.
3. L'assureur versera au recourant la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 13 juin 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Cretton