Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 8. Mai 2007 schied das Kantonsgericht Schaffhausen die Ehe von Z._ (Ehefrau) und X._ (Ehemann). Es teilte die elterliche Sorge über die gemeinsame Tochter Y._, geboren 2000, der Mutter zu, unter Einräumung eines Besuchsrechts für den Vater am ersten und dritten Wochenende jedes Monats und eines Ferienrechts von drei Wochen pro Jahr. Zudem errichtete es eine Beistandstandschaft zur Überwachung des persönlichen Verkehrs von Vater und Tochter. X._ wurde zu abgestuften Unterhaltsbeiträgen für das Kind verpflichtet. Z._ wurde kein nachehelicher Unterhalt zugesprochen. Über die weiteren Folgen der Scheidung einigten sich die Parteien, welche Konvention das Kantonsgericht genehmigte.
B. Gegen dieses Urteil gelangten beide Parteien mit Berufung an das Obergericht. Z._ verlangte eine Einschränkung des väterlichen Besuchsrechts auf den ersten und dritten Samstag des Monates sowie den Verzicht auf das Ferienrecht. Sie stellte ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. X._ seinerseits verlangte die Zuteilung der elterlichen Sorge über das Kind samt entsprechender Abänderung des Besuchs- und Ferienrechts sowie der Unterhaltsregelung. Zudem sei festzustellen, dass er vorsorglich keinen Kinderunterhalt hätte leisten müssen, eventualiter sei ein solcher Beitrag ab 1. Juli 2007 auf Fr. 190.-- zuzüglich Kinderzulagen festzulegen. Er ersuchte ebenfalls um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das Berufungsverfahren.
C. Mit Verfügung vom 12. Juni 2008 wies das Obergericht das Gesuch beider Parteien um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung wegen Aussichtslosigkeit ihrer Begehren ab. Z._ (nachfolgend: Beschwerdeführerin) hat die Verfügung mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. Juli 2008 beim Bundesgericht angefochten. Sie verlangt die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das kantonale Berufungsverfahren, eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht sie ebenfalls um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Es sind keine Antworten eingeholt worden.
Mit Urteil vom 29. September 2008 ist das Bundesgericht auf die von X._ gegen die obergerichtliche Verfügung eingereichte Beschwerde in Zivilsachen nicht eingetreten (5A_541/2008).
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid betreffend die unentgeltliche Rechtspflege (Art. 75 Abs. 1 BGG). Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007; zum bisherigen Recht: BGE 129 I 129 E. 1.1). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. Diese beschlägt die Regelung des persönlichen Verkehrs von Vater und Tochter für die Zeit nach der Scheidung und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde in der Hauptsache gegeben ist, ist sie auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid gegeben.
1.2 Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (Art. 95 BGG). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Nicht zulässig sind neue tatsächliche Vorbringen, soweit sie nicht durch den angefochtenen Entscheid veranlasst werden (Art. 99 Abs. 1 BGG). Echte tatsächliche Noven werden in keinem Fall berücksichtigt (BGE 133 IV 342 E. 2.1).
2. Jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, hat nach Art. 29 Abs. 3 BV Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Antrag nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Wer einen Prozess auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, soll ihn nicht deshalb anstrengen können, weil er ihn nichts kostet. Wie es sich damit verhält, prüft das Bundesgericht mit freier Kognition. Massgebend sind die Verhältnisse, wie sie sich bei Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege darstellen (BGE 133 III 614. E. 5; 129 I 129 E. 2.3.1).
3. Die Vorinstanz kam aufgrund summarischer Prüfung des angefochtenen Entscheides zum Schluss, dass die nunmehr bemängelte Regelung des Besuchs- und Ferienrechts gegenüber dem Kind Y._ vertretbar sei. Nach anfänglichen Schwierigkeiten bei der Ausübung des Besuchsrechts hätten sich die Eltern im Verfahren vor der Erstinstanz darauf geeinigt, dieses auf den ersten Samstag des Monats zu beschränken unter gleichzeitiger Errichtung einer Beistandschaft. Der Beiständin sei indes die Befugnis eingeräumt worden, das Besuchsrecht in Absprache mit dem Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienst (KJPD) auf die gerichtsüblichen zwei Wochenende pro Monat auszudehnen. Aus dem Bericht der Vormundschaftsbehörde vom 27. Oktober 2007 gehe hervor, dass der persönliche Verkehr von Vater und Tochter inzwischen besser funktioniere und daher einer Ausdehnung des Besuchsrechts auf zwei Wochenende pro Monat und des Ferienrechts auf drei Wochen im Jahr grundsätzlich nichts mehr im Wege stehe. Es werde indes empfohlen, die Ausübung des Besuchsrechts weiterhin zu überwachen und den Eltern in der Sorge um ihr Kind mit Rat und Tat zur Seite zu stehen. Y._ gehe im Allgemeinen gerne zu ihrem Vater und dessen Partnerin auf Besuch. Zudem hätten sich beide Parteien, also auch die Mutter, im erstinstanzlichen Verfahren mit einer Ausdehnung des Besuchsrechts im Sinne der Empfehlungen der Vormundschaftsbehörde einverstanden erklärt. Die Aussichten der Beschwerdeführerin mit ihrem Berufungsantrag auf erneute Einschränkung des persönlichen Verkehrs von Vater und Tochter durchzudringen, sei demzufolge erheblich geringer als deren Gewinnchancen.
4. 4.1 Damit hat sich die Vorinstanz auf die ihr im Zeitpunkt des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege vorgelegenen Unterlagen gestützt. Zwischen dem Gesuch und dem erstinstanzlichen Urteilsspruch liegt fast ein Jahr, welcher Zeitraum für eine Beurteilung der Prozesschancen indes durchaus noch realistisch sein dürfte. Aus diesem Grunde musste die Vorinstanz im Hinblick auf die Prüfung der Prozessaussichten für die Regelung des persönlichen Verkehrs die Beschwerdeführerin nicht bereits anhören.
4.2 Aufgrund der Berufungserklärung ist nicht erkennbar, inwiefern die Beschwerdeführerin vor Obergericht neue Tatsachen und Beweise anbringen will. Dies ist gemäss kantonalem Recht im Scheidungsverfahren zulässig und hat anlässlich der Begründung und Beantwortung der Berufung oder Anschlussberufung zu erfolgen (Art. 349 Abs. 3 ZPO/SH). Gemäss Aktenlage war dies bisher nicht der Fall und eine Verhandlung hat ebenfalls noch nicht stattgefunden (Art. 350 Abs. 1 ZPO/SH). Damit fehlen jegliche Angaben über die Einwände der Beschwerdeführerin gegen die erstinstanzliche Regelung des persönlichen Verkehrs. Die Prozessaussichten sind daher im Rahmen der nunmehr erhobenen Rügen und anhand des angefochtenen Sachentscheides sowie der kantonalen Akten zu beurteilen. Dass ihr das kantonale Verfahrensrecht einen Anspruch auf vorgängige Anhörung zu den Prozessaussichten einräumt, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend. Sie bringt indes vor, dass die Vorinstanz bis anhin die Praxis gepflegt habe, dem Gesuchsteller bei unklaren Prozessaussichten Gelegenheit zur Stellungnahme einzuräumen. Indem sie im konkreten Fall nicht so vorgegangen sei, habe diese ihr rechtliches Gehörs verletzt. Der Hinweis auf die kantonale Gerichtspraxis wird von der Beschwerdeführerin in keiner Weise belegt, so dass offen bleiben kann, ob ihr in einem solchen Fall ein Recht auf Stellungnahme zu den Prozessaussichten zugestanden hätte.
4.3 Die Beschwerdeführerin führt aus, in der Zwischenzeit habe sich die Beziehung zwischen Vater und Tochter massiv verschlechtert. Y._ sei nicht mehr zu bewegen, den Vater zu besuchen. Auch die Beiständin habe keine Lösung des Problems herbeiführen können. Damit könne sie nichts zur Durchsetzung der an sich gutgemeinten und sinnvollen Besuchsrechtsregelung beitragen. Bei diesem Vorbringen handelt es sich um ein echtes Novum, das im vorliegenden Verfahren nicht berücksichtigt werden kann (E. 1.2). Die Vorinstanz hat die Aussichtslosigkeit des Begehrens um eine Einschränkung des persönlichen Verkehrs mit dem Hinweis auf den Bericht der Vormundschaftsbehörde, dem Einverständnis der Eltern sowie der Verantwortung der Beiständin begründet (E. 3). Dazu lässt sich die Beschwerdeführerin mit keinem Wort vernehmen. Die Beschwerde erschöpft sich damit in unzulässigen und ungenügend begründeten Vorbringen.
5. Auf die Beschwerde kann nach dem Gesagten insgesamt nicht eingetreten werden. Sie erwies sich von vornherein als aussichtslos, womit das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 Abs. 1 BGG). Ausgangsgemäss sind ihr die Verfahrenskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Präsidenten des Obergerichts des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett