Erwägungen:
Am 1. Mai 2011 stellte X._ das Gesuch, das mit Präsidialentscheid des Obergerichts Appenzell Ausserrhoden abgeschlossene Verfahren betreffend Staatshaftung sei wieder aufzunehmen. Am 10. Mai 2011 wurde er vom Obergericht aufgefordert, einen Kostenvorschuss von Fr. 1'200.-- zu bezahlen, unter Hinweis darauf, dass bei unbenütztem Ablauf der Zahlungsfrist auf das Gesuch nicht eingetreten werde. Da bis dahin der Vorschuss nicht geleistet worden war, trat das Obergericht mit Entscheid des Einzelrichters auf das Wiederaufnahmegesuch nicht ein. Dagegen beschwert sich X._ mit Eingabe vom 6. Juli (Postaufgabe 7. Juli) 2011.
Rechtsschriften haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form dazulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein; der Beschwerdeführer hat sich mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen auseinanderzusetzen. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er den ihm vom Obergericht mit Verfügung vom 10. Mai 2011 auferlegten Vorschuss weder innert der angesetzten Frist von zehn Tagen noch später bezahlt hat. Er führt aus, er sei nicht in der Lage bzw. nicht bereit, einen Vorschuss zu bezahlen. Dass er nach Erhalt der Kostenvorschussverfügung im Kanton um Zahlungsaufschub oder um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht hätte, macht er nicht geltend. Seine Ausführungen sind nicht geeignet darzutun, inwiefern der angefochtene Entscheid schweizerisches Recht (s. Art. 95 BGG) verletze. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Die Umstände rechtfertigen es, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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