Sachverhalt:
A. Die 1977 geborene M._ meldete sich am 25. Mai 2009 wegen Migräne, Akne inversa sowie psychischen Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Basel-Stadt tätigte diverse Abklärungen und holte beim Begutachtungszentrum Y._ ein polydisziplinäres Gutachten vom 7. September 2011 ein. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte sie mit Verfügung vom 30. November 2011 einen Rentenanspruch der Versicherten.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 23. April 2012 gut, hob die Verfügung vom 30. November 2011 auf und verpflichtete die IV-Stelle der Versicherten ab November 2009 bis Januar 2010 eine halbe Rente und ab Februar 2010 eine Viertelsrente auszurichten.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei ein Anspruch der Versicherten auf eine Viertelsrente anzuerkennen. Zudem ersucht sie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde.
Die Versicherte lässt Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um aufschiebende Wirkung, soweit nicht die Monate November 2009 bis Februar 2010 betreffend, beantragen. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Das Bundesamt für Sozialversicherungen schliesst auf Gutheissung der Beschwerde der IV-Stelle und beantragt die Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides, soweit der Versicherten von November 2009 bis Januar 2010 mehr als eine Viertelsrente zugesprochen wurde.
D. Mit Verfügung vom 11. Januar 2011 hat das Bundesgericht der Beschwerde der IV-Stelle die aufschiebende Wirkung für die Zeit vom 1. November 2009 bis 31. Januar 2010 zuerkannt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2. 2.1 Streitig und zu prüfen ist vorliegend einzig die Frage, ob der Versicherten für die Zeit von November 2009 bis Januar 2010 zu Recht eine halbe Rente zugesprochen wurde.
2.2 Die für die Beurteilung der Streitsache massgebenden Rechtsgrundlagen sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Zu betonen bleibt, dass gemäss Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG Versicherte, die während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens 40 Prozent arbeitsunfähig (Art. 6 ATSG) gewesen und nach Ablauf dieses Jahres zu mindestens 40 Prozent invalid (Art. 8 ATSG) sind, Anspruch auf eine Rente haben. Gemäss Art. 29 Abs. 1 IVG entsteht der Rentenanspruch frühestens nach Ablauf von sechs Monaten nach Geltendmachung des Leistungsanspruchs nach Art. 29 Abs. 1 ATSG.
3. 3.1 Nach Würdigung der medizinischen Akten gelangte die Vorinstanz gestützt auf das Gutachten des Begutachtungszentrums Y._ vom 7. September 2011 zum Schluss, dass die Versicherte vom 26. Oktober 2008 bis 26. Januar 2009 zu 100 % und vom 27. Januar 2009 bis 31. Oktober 2009 zu 50 % arbeitsunfähig war sowie ab November 2009 eine Restarbeitsfähigkeit von 70 % besteht. Zudem stellte sie fest, dass das Wartejahr gemäss Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG jedenfalls Ende Oktober 2009 abgelaufen ist. Bei der Bestimmung des Invaliditätsgrades ging sie von einer Restarbeitsfähigkeit von 50 % aus und berechnete mittels Einkommensvergleich einen unbestrittenen Invaliditätsgrad von 57 %, woraus ein Anspruch auf eine halbe Rente resultierte. Da sich die Versicherte im Mai 2009 zum Leistungsbezug angemeldet hatte, erkannte sie ab November 2009 einen Anspruch auf eine halbe Rente. Weiter erwog die Vorinstanz, dass die gemäss Gutachten ab November 2009 eingetretene Verbesserung des Gesundheitszustandes der Versicherten (bei Annahme einer Restarbeitsfähigkeit von 70 %) in Anwendung von Art. 88a Abs. 1 IVV ab Februar 2010 zu berücksichtigen sei und errechnete mittels ebenfalls unbestrittenem Einkommensvergleich einen IV-Grad von 40 %, was zu einer Viertelsrente berechtigte. Vor diesem Hintergrund sprach sie der Versicherten von November 2009 bis Januar 2010 eine halbe Rente und ab Februar 2010 eine Viertelsrente zu.
3.2 Aufgrund der medizinischen Ausgangslage steht fest und ist unbestritten, dass das Wartejahr gemäss Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG Ende Oktober 2009 abgelaufen ist. Fest steht zudem, dass die Anmeldung zum Leistungsbezug im Mai 2009 erfolgte, womit der Rentenanspruch in Anwendung von Art. 29 Abs. 1 IVG frühestens ab November 2009 entstehen konnte. Wie die Beschwerdeführerin zu Recht vorbringt, galt die aufgrund des Gutachtens ausgewiesene Arbeitsfähigkeit von 50 % entgegen der rechtsfehlerhaften Feststellung der Vorinstanz, woran das Bundesgericht nicht gebunden ist, allerdings nur bis 31. Oktober 2009. Der Einkommensvergleich hat damit auf der Basis der im Zeitpunkt des Rentenbeginns (November 2009) gutachterlich ausgewiesenen Restarbeitsfähigkeit von 70 % zu erfolgen, womit, wie die Beschwerdeführerin zu Recht vorträgt, für eine Rentenabstufung kein Raum mehr bleibt. Mithin ist lediglich der zweite von der Vorinstanz durchgeführte Einkommensvergleich zu berücksichtigen, der zu einem unbestrittenen IV-Grad von 40 % führte. Die Versicherte hat damit Anspruch auf eine Viertelsrente ab November 2009. Entgegen der Vorinstanz setzt die Anwendung von Art. 88a Abs. 2 IVV voraus, dass bei Eintritt der anspruchsbeeinflussenden Änderung bereits ein Rentenanspruch bestand. Art. 88a Abs. 1 IVV kommt bei der erstmaligen Rentenfestsetzung grundsätzlich nicht zur Anwendung, sondern nur wenn sich die bei Rentenbeginn zugesprochene Rente ändert (vgl. BGE 109 V 125 sowie ULRICH MEYER, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum IVG, 2. Aufl. 2010, S. 363; Urteil 8C_271/2009 vom 1. Oktober 2009 E. 5.3). Die Beschwerde ist mithin gutzuheissen und der Versicherten auch für die Zeit von November 2009 bis Januar 2010 eine Viertelsrente auszurichten.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 BGG; BGE 125 V 201 E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 23. April 2012 wird insoweit abgeändert, als die Beschwerdegegnerin ab November 2009 Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung hat.
2. Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gewährt und Advokatin Raffaella Biaggi, Basel, wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Der Anwältin der Beschwerdegegnerin wird für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. März 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Weber Peter