Erwägungen:
1. Gemäss dem vom Gemeinderat Wollerau erlassenen Reglement "Förderung des Musikunterrichts durch die Gemeinde Wollerau" leistet die Gemeinde Wollerau Beiträge an die Kosten des Musikunterrichts von Kindern. Nach Ziff. 1.3. des Reglements beträgt der Gemeindeanteil an den effektiven Unterrichtskosten 30 % für jeden Musikschüler bzw. für ein Kind pro Familie sowie 40 % für jedes weitere Kind einer Familie bei gleichzeitigem Unterricht. Ziff. 1.4 des Reglements sieht vor, dass die Musikbeitragskommission auf begründeten Antrag "Familien mit niedrigem Einkommen" einen Gemeindeanteil von max. 50 % gewähren "kann".
Mit Beschluss vom 1. Dezember 2008 sprach die Musikbeitragskommission der Gemeinde Wollerau fünf Kindern von X._ und Y._ für das Jahr 2008 Musikunterrichtsbeiträge gemäss Ziff. 1.3 des Reglements von insgesamt Fr. 4'264.00 zu (für ein Kind 30 %, für die vier anderen Kinder 40 % der Unterrichts-kosten); das Gesuch um Erhöhung der Beiträge auf 50 % der effektiven Kosten lehnte sie ab. Der Gemeinderat Wollerau wies das erneute Begehren um Erhöhung der Beträge am 9. Januar 2009 ab und erhob eine Einsprachegebühr von Fr. 100.--.
Der Regierungsrat des Kantons Schwyz hiess die gegen den Entscheid des Gemeinderats erhobene Beschwerde am 11. August 2009 insofern teilweise gut, als der Beitrag an den Musikunterricht einer der Töchter um Fr. 144.-- erhöht wurde; im Übrigen wies er die Beschwerde ab.
Mit Entscheid vom 22. Dezember 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die gegen den regierungsrätlichen Beschluss erhobene Beschwerde ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 8. Feb-ruar 2010 (Datum der Rechtsschrift und Postaufgabe) beantragen X._ und Y._ dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Gemeinde Wollerau zu verpflichten, ihnen 50 % an Musikunterrichtsbeiträgen für das Kalenderjahr 2008 zuzüglich Zins zu 5 % seit 31. Dezember 2008 als Schadenersatz zu bezahlen; zudem sei die Gemeinde zu verpflichten, Fr. 3'000.-- als Genugtuung zu bezahlen. Am 9. Februar 2010 (Postaufgabe) haben die Beschwerdeführer eine korrigierte Fassung der Beschwerde nachgereicht.
2. 2.1 Rechtsschriften haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Gerügt werden kann die Verletzung von schweizerischem Recht (Art. 95 BGG). Dazu gehören namentlich Bundesrecht (einschliesslich verfassungsmässige Rechte), Völkerrecht, kantonale verfassungsmässige Rechte und interkantonales Recht, nicht aber kantonales oder kommunales Gesetzes- oder Verordnungsrecht. Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem oder kommunalem Recht, kann im Wesentlichen bloss gerügt werden, dessen Auslegung und Anwendung verstosse gegen verfassungsmässige Rechte; entsprechende Rügen bedürfen besonderer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, es werde gerügt, die Sachverhaltsermittlung sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG, was vom Beschwerdeführer spezifisch aufgezeigt werden muss (Art. 105 Abs. 2 und 97 Abs. 1 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.).
Eine den geschilderten Begründungsanforderungen genügende Beschwerdeschrift muss innert der gesetzlichen, nicht erstreckbaren Beschwerdefrist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1 und 47 Abs. 1 BGG) eingereicht werden. Der angefochtene Entscheid ist den Beschwerdeführern am 8. Januar 2010 eröffnet worden. Die Beschwerdefrist begann am 9. Januar 2010 zu laufen und endete am Montag, den 8. Februar 2010 (Art. 45 Abs. 1 BGG). Die erst am 9. Februar 2010 zur Post gegebene korrigierte Fassung der Beschwerdeschrift bzw. allenfalls darin angebrachte Verbesserungen können mithin nicht berücksichtigt werden.
2.2 Das Verwaltungsgericht hat sich mit den anwendbaren kommunal-rechtlichen Bestimmungen befasst und dargelegt, wie Ziff. 1.3 und 1.4 des Reglements zu verstehen sind, insbesondere wie die Kann-Vorschrift von Ziff. 1.4 zu interpretieren ist. Es hat namentlich darauf hingewiesen, dass eine Familie mit einem gewissen Vermögen nicht als Familie mit niedrigem Einkommen im Sinne von Ziff. 1.4 des Reglements gelten könne; erforderlich sei die Bedürftigkeit der Familie. Sodann hat es sich mit den konkreten Einkommens- und Vermögensverhältnissen der Beschwerdeführer befasst und deren Bedürftigkeit im Rechtssinne verneint.
Die Beschwerdeführer machen eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts geltend und rügen die Verletzung der Menschenwürde gemäss Art. 7 BV; sie berufen sich auf Art. 35 und 41 Abs. 1 BV und halten fest, die Musikbeitragskommission habe ihr Ermessen willkürlich, rechtsungleich unterschritten; es seien nicht alle Unterlagen zur Ermittlung der finanziellen Verhältnisse beigezogen worden; erwähnt wird der Umstand, dass der Familien Krankenkassenprämien-Verbilligungen gewährt worden sind. Diese Ausführungen sind in keiner Weise geeignet, aufzuzeigen, dass bzw. inwiefern die prak-tizierte Auslegung des Musikförderungsreglements verfassungsmässige Rechte der Beschwerdeführer verletze und beispielsweise gegen das Willkürverbot verstosse und inwiefern die Ermittlung des rechtserheblichen, d.h. des im Hinblick auf diese Auslegung des Reglements entscheidenden Sachverhalts im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG qualifiziert unkorrekt sei. Von vornherein jeglicher Grundlage entbehrt sodann das Begehren um Bezahlung einer Genugtuungssumme.
2.3 Nach dem Gesagten fehlt es offensichtlich an einer hinreichenden Beschwerdebegründung (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), und auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.4 Da sich die Beschwerde als offensichtlich aussichtslos erweist, ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG).
Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG), dem Verfahrensausgang entsprechend, den Beschwerdeführern, zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung, aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 und Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller