Faits:
Faits:
A. L._, né en 1969, a travaillé en qualité d'aide-charpentier jusqu'au 15 juin 1997, date à partir de laquelle il a subi une incapacité de travail entière.
Saisi d'une demande de prestations tendant à l'octroi de mesures de réadaptation sous la forme d'une orientation professionnelle et d'un reclassement dans une nouvelle profession, l'Office AI pour le canton de Vaud a recueilli divers avis médicaux. En particulier, il a confié une expertise au docteur S._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 19 janvier 2001).
Par un projet d'acceptation de rente du 27 avril 2001, l'office AI a informé l'assuré qu'il avait droit à une rente de l'assurance-invalidité basée sur un degré d'invalidité de 70 % pour la période du 1er juin 1998 au 31 décembre 1999.
L'assuré ayant contesté la suppression du droit à la rente à partir du 1er janvier 2000, l'office AI a rendu une décision, le 21 mai 2001, par laquelle il a rejeté la demande «concernant les prestations au-delà du 1er janvier 2000».
L'assuré ayant contesté la suppression du droit à la rente à partir du 1er janvier 2000, l'office AI a rendu une décision, le 21 mai 2001, par laquelle il a rejeté la demande «concernant les prestations au-delà du 1er janvier 2000».
B. L._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à l'octroi d'une rente entière (cause enregistrée sous le no AI 245/01).
B. L._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à l'octroi d'une rente entière (cause enregistrée sous le no AI 245/01).
C. Le 5 juin 2002, l'assuré a présenté à l'office AI une nouvelle demande tendant à l'octroi d'une rente d'invalidité. Il alléguait une aggravation de l'atteinte à la santé en se fondant sur des rapports des docteurs A._, spécialiste en médecine interne (du 7 mai 2002) et N._, chef de clinique au Service de psychiatrie adulte et de psychogériatrie, à Y._ (du 5 avril 2002).
Par décision du 10 juin 2002, l'office AI a «rejeté» cette demande, motif pris, en résumé, qu'en vertu de l'effet dévolutif du recours formé contre la décision du 21 mai 2001, il était dessaisi de l'affaire jusqu'à droit connu sur le sort dudit recours.
Par décision du 10 juin 2002, l'office AI a «rejeté» cette demande, motif pris, en résumé, qu'en vertu de l'effet dévolutif du recours formé contre la décision du 21 mai 2001, il était dessaisi de l'affaire jusqu'à droit connu sur le sort dudit recours.
D. L._ a recouru également contre cette décision, en concluant à ce que l'office AI se prononçât sur sa demande du 5 juin 2002 (cause enregistrée sous le no AI 239/02).
Après avoir joint les recours dans les causes AI 245/01 et AI 239/02, la juridiction cantonale les a rejetés et a transmis le dossier à l'office AI «afin qu'il en complète l'instruction, puis rende telle nouvelle décision que de droit» (jugement du 12 février 2003).
Après avoir joint les recours dans les causes AI 245/01 et AI 239/02, la juridiction cantonale les a rejetés et a transmis le dossier à l'office AI «afin qu'il en complète l'instruction, puis rende telle nouvelle décision que de droit» (jugement du 12 février 2003).
E. L._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement en concluant, sous suite de dépens, à l'octroi d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er janvier 2000 et à ce que l'office intimé statue sur sa demande du 5 juin 2002. En outre, il demande à bénéficier de l'assistance judiciaire gratuite. A l'appui de son recours, il produit un rapport d'expertise (du 28 mars 2003) établi sur sa demande par le docteur K._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie.
L'office intimé conclut au rejet du recours. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer sur celui-ci.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales du 6 octobre 2000 (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-invalidité. Cependant, le cas d'espèce reste régi par les dispositions de la LAI en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (ATF 127 V 467 consid. 1). En outre, le Tribunal fédéral des assurances apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment où la décision litigieuse a été rendue (ATF 121 V 366 consid. 1b).
Pour les mêmes motifs, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852) ne sont pas non plus applicables.
Pour les mêmes motifs, les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004 (RO 2003 3852) ne sont pas non plus applicables.
2. 2.1 Par sa décision du 21 mai 2001, l'office intimé a rejeté la demande «concernant les prestations au-delà du 1er janvier 2000». Compte tenu du projet d'acceptation de rente du 27 avril 2001, selon lequel l'assuré avait droit à une rente de l'AI basée sur un degré d'invalidité de 70 % pour la période du 1er juin 1998 au 31 décembre 1999, il y a lieu d'interpréter cette décision comme une décision d'octroi d'une rente d'invalidité temporaire. Le refus du droit à la rente à partir du 1er janvier 2000 constitue donc une suppression du droit à ladite prestation à partir de cette date et sa légalité doit être examinée à l'aune de l'art. 41 LAI (ATF 125 V 417 consid. 2d; VSI 2001 p. 275 consid. 1a; RCC 1983 p. 487).
Selon l'art. 41 LAI, si l'invalidité d'un bénéficiaire de rente se modifie de manière à influencer le droit à la rente, celle-ci est, pour l'avenir, augmentée, réduite ou supprimée. Tout changement important des circonstances, propre à influencer le degré d'invalidité, donc le droit à la rente, peut donner lieu à une révision de celle-ci (ATF 125 V 369 consid. 2 et la référence; voir également ATF 112 V 372 consid. 2b et 390 consid. 1b).
2.2 En l'occurrence, c'est essentiellement en raison d'une affection de nature psychique que l'office AI a alloué à l'assuré une rente entière d'invalidité pour la période du 1er juin 1998 au 31 décembre 1999. En effet, les médecins consultés ont attesté que les affections physiques (syndrome lombovertébral sur troubles statiques modérés du rachis dorso-lombaire et discopathie débutante L4-L5 et L5-S1) n'empêchaient pas l'assuré d'exercer une activité n'exigeant ni port de charges de plus de 15 kilos ni la position penchée et permettant de fréquents changements de position (cf. les rapports des docteurs A._, du 18 décembre 1998, et B._, médecin à la division médicale de l'Hôpital Z._, du 28 décembre 1999). En revanche, sur le plan psychique, le docteur S._ a attesté une incapacité de travail de 70 % jusqu'au 31 décembre 1999, en raison d'un trouble de l'adaptation avec humeur anxio-dépressive et un état dépressif majeur d'intensité moyenne (rapport d'expertise du 19 janvier 2001).
Pour supprimer le droit à la rente entière à partir du 1er janvier 2000, l'office AI s'est fondé également sur le rapport d'expertise du médecin prénommé. Selon cet expert, les troubles de nature psychique ci-dessus mentionnés étaient en rémission partielle grâce à un traitement antidépresseur, de sorte qu'ils n'entraînaient plus aucune incapacité de travail après le 31 décembre 1999.
2.3 De son côté, le recourant allègue que les conclusions du docteur S._ sont clairement contredites par les constatations médicales consignées au dossier. Selon l'intéressé, il n'est pas possible de soutenir que ses troubles psychiques ont été de nature invalidante seulement jusqu'au 31 décembre 1999, étant donné que les docteurs C._ et W._, médecins au Service de rhumatologie de l'Hôpital X._, ont fait état de troubles somatoformes douloureux et d'un syndrome anxio-dépressif marqué au mois de février 2000 (rapport du 11 février 2000). Surtout, le recourant se réfère au rapport d'expertise du docteur K._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (du 28 mars 2003). Ce médecin a posé le diagnostic d'état dépressif majeur d'intensité moyenne en rémission partielle (F 33.4) - «soit un état en soi peu invalidant» - et de processus d'invalidation évoluant depuis bientôt cinq ans, comprenant un trouble douloureux somatoforme persistant (F 45.4) et un trouble de la personnalité mixte (F 61.0), dans le sens d'une modification persistante de la personnalité ne faisant suite ni à un stress extrême ni à une maladie psychiatrique (F 62.8). Selon ce spécialiste, ces troubles entraînaient une incapacité de travail de 50 % au minimum du 1er janvier 2000 au 14 janvier 2002, date à partir de laquelle la «survenue de l'état dépressif» aurait empêché la poursuite de toute activité.
2.3 De son côté, le recourant allègue que les conclusions du docteur S._ sont clairement contredites par les constatations médicales consignées au dossier. Selon l'intéressé, il n'est pas possible de soutenir que ses troubles psychiques ont été de nature invalidante seulement jusqu'au 31 décembre 1999, étant donné que les docteurs C._ et W._, médecins au Service de rhumatologie de l'Hôpital X._, ont fait état de troubles somatoformes douloureux et d'un syndrome anxio-dépressif marqué au mois de février 2000 (rapport du 11 février 2000). Surtout, le recourant se réfère au rapport d'expertise du docteur K._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (du 28 mars 2003). Ce médecin a posé le diagnostic d'état dépressif majeur d'intensité moyenne en rémission partielle (F 33.4) - «soit un état en soi peu invalidant» - et de processus d'invalidation évoluant depuis bientôt cinq ans, comprenant un trouble douloureux somatoforme persistant (F 45.4) et un trouble de la personnalité mixte (F 61.0), dans le sens d'une modification persistante de la personnalité ne faisant suite ni à un stress extrême ni à une maladie psychiatrique (F 62.8). Selon ce spécialiste, ces troubles entraînaient une incapacité de travail de 50 % au minimum du 1er janvier 2000 au 14 janvier 2002, date à partir de laquelle la «survenue de l'état dépressif» aurait empêché la poursuite de toute activité.
2.4 2.4.1 D'après une jurisprudence constante, l'administration est tenue, au stade de la procédure administrative, de confier une expertise à un médecin indépendant, si une telle mesure se révèle nécessaire. Lorsque de telles expertises sont établies par des spécialistes reconnus, sur la base d'observations approfondies et d'investigations complètes, ainsi qu'en pleine connaissance du dossier, et que les experts aboutissent à des résultats convaincants, le juge ne saurait les écarter aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permet de douter de leur bien-fondé (ATF 125 V 353 consid. 3b/bb).
D'une manière générale, en présence d'avis médicaux contradictoires, le juge doit apprécier l'ensemble des preuves à disposition et indiquer les motifs pour lesquels il se fonde sur une appréciation plutôt que sur une autre. A cet égard, l'élément décisif pour apprécier la valeur probante d'une pièce médicale n'est en principe ni son origine, ni sa désignation sous la forme d'un rapport ou d'une expertise, mais bel et bien son contenu. Il importe, pour conférer pleine valeur probante à un rapport médical, que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées (ATF 125 V 352 consid. 3a et les références; VSI 2001 p. 108 consid. 3a).
2.4.2 En l'espèce, le point de vue du docteur K._ n'est pas de nature à mettre en cause les conclusions du docteur S._ en ce qui concerne l'état de santé du recourant à l'époque - déterminante en l'occurrence (cf. consid. 2.1) - où la rente entière a été supprimée. En effet, si, selon le docteur K._, le recourant présente un état dépressif majeur d'intensité moyenne en rémission partielle, soit un état qualifié de «peu invalidant», l'intéressé est atteint d'un processus d'invalidation évoluant «depuis bientôt cinq ans», comprenant un trouble somatoforme douloureux, et d'un trouble de la personnalité mixte. Or, le médecin prénommé indique que ce processus d'invalidation est d'abord apparu sous une forme réversible et il «croi(t) pouvoir affirmer avec certitude» qu'à partir du mois de janvier 2002, époque du séjour à l'Hôpital V._, l'assuré, même en faisant preuve de bonne volonté, n'aurait plus du tout été en mesure d'exercer une activité lucrative. Cela étant, le docteur K._ ne fait état d'aucune constatation objective qui n'ait été prise en compte par le docteur S._ et dont on pourrait inférer qu'à l'époque déterminante, le recourant n'était pas en mesure d'exercer une activité lucrative légère. Il n'y a donc pas d'indice concret permettant de mettre en doute les conclusions pleinement convaincantes de l'expert désigné par l'office intimé.
Sur le vu de ces conclusions, il y a lieu d'admettre que le recourant était de nouveau à même, en mettant à profit sa capacité de travail, de réaliser plus de 60 % du gain qu'il obtiendrait sans l'atteinte à la santé (ATF 104 V 136 consid. 2b), ce qui justifiait la suppression de son droit à la rente (art. 41 LAI).
Sur le vu de ces conclusions, il y a lieu d'admettre que le recourant était de nouveau à même, en mettant à profit sa capacité de travail, de réaliser plus de 60 % du gain qu'il obtiendrait sans l'atteinte à la santé (ATF 104 V 136 consid. 2b), ce qui justifiait la suppression de son droit à la rente (art. 41 LAI).
3. Le docteur S._ ayant fait état d'une capacité de travail entière à partir du 1er janvier 2000, l'office intimé a supprimé dès cette date le droit à la rente du recourant.
3.1 Ce mode de procéder n'est pas conforme à la loi. En cas d'allocation d'une rente dégressive ou temporaire, la date de la modification du droit (diminution ou suppression de la rente) doit être fixée conformément à l'art. 88a al. 1 RAI (ATF 125 V 417 consid. 2d; VSI 2001 p. 275 consid. 1a, et les références). En revanche, l'art. 88bis al. 2 let. a RAI n'est pas applicable dans cette éventualité, du moment que l'on n'est pas en présence d'une révision de la rente au sens strict (ATF 106 V 16; RCC 1983 p. 489 consid. 2b).
Selon l'art. 88a al. 1 RAI, si la capacité de gain d'un assuré s'améliore, il y a lieu de considérer que ce changement supprime, le cas échéant, tout ou partie de son droit aux prestations dès qu'on peut s'attendre à ce que l'amélioration constatée se maintienne durant une assez longue période; il en va de même lorsqu'un tel changement déterminant a duré trois mois déjà, sans interruption notable et sans qu'une complication prochaine soit à craindre.
3.2 En l'espèce, le changement déterminant étant survenu le 1er janvier 2000, l'office intimé ne pouvait pas supprimer le droit à la rente entière avant le 1er avril suivant. La décision litigieuse du 21 mai 2001 devra être réformée dans ce sens.
3.2 En l'espèce, le changement déterminant étant survenu le 1er janvier 2000, l'office intimé ne pouvait pas supprimer le droit à la rente entière avant le 1er avril suivant. La décision litigieuse du 21 mai 2001 devra être réformée dans ce sens.
4. 4.1 Par sa décision du 10 juin 2002, l'office intimé a «rejeté» la nouvelle demande tendant à l'octroi d'une rente d'invalidité formée le 5 juin précédent, motif pris qu'en raison du recours formé contre la décision du 21 mai 2001, l'effet dévolutif dudit recours avait dessaisi l'administration de l'affaire. Sur le vu de cette motivation, il y a lieu d'interpréter la décision du 10 juin 2002 comme un refus d'entrer en matière sur la nouvelle demande de rente.
4.2 Le recours devant la juridiction cantonale a un effet dévolutif. Lorsqu'il est valablement saisi d'un recours, le juge a la compétence exclusive de statuer sur les différents rapports juridiques tranchés par la décision attaquée. Aussi, l'administration n'est-elle pas habilitée, après le dépôt d'un recours, à rendre une nouvelle décision sur le même objet qui modifierait la situation de droit réglée par la décision attaquée (ATF 127 V 231 s. consid. 2b/aa; Grisel, Traité de droit administratif, p. 920; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2ème éd., p. 189 s.).
En l'espèce, le rapport juridique réglé par la décision du 21 mai 2001 est l'octroi d'une rente temporaire pour la période du 1er juin 1998 au 31 décembre 1999 (recte : 31 mars 2000 [cf. consid. 3.2]). Le recourant ayant présenté une nouvelle demande de rente le 5 juin 2002, rien n'empêchait l'office intimé de statuer sur cette requête si celle-ci établissait de manière plausible que l'invalidité de l'intéressé s'était, depuis lors, modifiée de manière à influencer ses droits (art. 87 al. 3 et 4 RAI; arrêt G. du 27 décembre 2001, I 254/01).
Dans cette mesure, la seconde conclusion du recours se révèle bien fondée.
Dans cette mesure, la seconde conclusion du recours se révèle bien fondée.
5. Le recourant, qui est représenté par un avocat, obtient gain de cause très partiellement sur sa conclusion concernant la décision d'octroi d'une rente temporaire et entièrement sur sa conclusion en relation avec sa nouvelle demande du 5 juin 2002. Il a droit à une indemnité de dépens réduite pour la procédure fédérale (art. 159 al. 1 et 3 en relation avec l'art. 135 OJ).
En outre, le recourant a demandé à bénéficier de l'assistance judiciaire. Dans la mesure où elle vise aussi la dispense de payer des frais de procédure, cette requête est sans objet au regard de l'art. 134 OJ. En revanche, les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire sont réalisées pour la part des honoraires d'avocat qui excèdent l'indemnité de dépens réduite. Toutefois, le recourant est rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient ultérieurement en mesure de le faire (art. 152 al. 3 OJ).
Le tribunal cantonal des assurances statuera à nouveau sur les dépens de l'instance cantonale conformément à l'art. 61 let. g LPGA, le jugement attaqué ayant été rendu après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2003, de cette disposition (ATF 129 V 115 consid. 2.2, 117 V 93 consid. 6b, 112 V 360 consid. 4a, et les références).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est partiellement admis;
- les chiffres I et II du dispositif du jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 12 février 2003 et la décision de l'Office AI pour le canton de Vaud du 21 mai 2001 sont réformés en ce sens que le recourant a droit à une rente entière d'invalidité pour la période du 1er juin 1998 au 31 mars 2000.
- les chiffres III et IV dudit jugement et la décision de l'Office AI pour le canton de Vaud du 10 juin 2002 sont annulés, la cause étant renvoyée audit office pour qu'il statue à nouveau sur la nouvelle demande de rente du 5 juin 2002 en procédant conformément aux considérants.
- les chiffres III et IV dudit jugement et la décision de l'Office AI pour le canton de Vaud du 10 juin 2002 sont annulés, la cause étant renvoyée audit office pour qu'il statue à nouveau sur la nouvelle demande de rente du 5 juin 2002 en procédant conformément aux considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. L'office intimé versera au recourant la somme de 1'500 fr. à titre de dépens pour l'instance fédérale.
3. L'office intimé versera au recourant la somme de 1'500 fr. à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. L'assistance judiciaire est accordée au recourant. Les honoraires de Me Guerry, non couverts par les dépens, sont fixés à 1'000 fr. pour la procédure fédérale et seront supportés par la caisse du tribunal.
4. L'assistance judiciaire est accordée au recourant. Les honoraires de Me Guerry, non couverts par les dépens, sont fixés à 1'000 fr. pour la procédure fédérale et seront supportés par la caisse du tribunal.
5. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud statuera sur les dépens de l'instance cantonale au regard de l'issue du procès.
5. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud statuera sur les dépens de l'instance cantonale au regard de l'issue du procès.
6. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 2 mars 2004
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IVe Chambre: Le Greffier: