Faits:
A. A.a Le 1er novembre 2002, A.X._ a conclu un contrat d'assurance protection juridique « privée familiale » avec Y._ SA (ci-après: Y._ ou l'assurance), qui prenait effet le jour même pour se terminer le 31 octobre 2007; après ce terme était prévue une clause de tacite reconduction d'année en année, sauf avis de résiliation donné trois mois avant l'échéance contractuelle.
A teneur de l'art. 21 ch. 8 des conditions générales d'assurance 1997 (CGA 1997) de Y._, la couverture, décrite comme en particulier « la défense de l'assuré en cas de litige relatif à la non-exécution ou à l'exécution incomplète d'un contrat par le cocontractant », était accordée pour des contrats précisément énumérés, liste dont faisait partie le « mandat proprement dit ».
A.b Au début de l'année 2004, A.X._ a inscrit son fils B.X._, alors âgé de 14 ans, à la Fondation V._ (ci-après: l'école) pour l'année scolaire 2004/2005.
Par lettre du 21 avril 2005, l'école a informé A.X._ de certains agissements de son fils en relation avec la tenue d'un journal personnel en ligne (blog ou weblog), nécessitant la prise de sanctions à l'encontre de ce dernier.
Par courrier du 29 avril 2005, l'école a annoncé à A.X._ les sanctions qu'elle prenait à l'endroit de son fils, consistant notamment en l'exclusion d'un cours informatique. Il a été constaté que le prénommé s'était rendu le même jour dans les locaux de l'école pour contester les sanctions et qu'il lui fut répondu que le conseil de fondation prendrait position le 2 mai 2005 sur les suites à donner à sa requête.
Par courrier du 2 mai 2005, l'école n'est pas entrée en matière sur les moyens soulevés par A.X._ le 29 avril 2005, tout en lui fixant un délai au 9 mai 2005 pour qu'il signifie par écrit son acceptation des sanctions contestées, sans qu'il puisse y avoir de déduction sur les frais d'écolage relatifs au cours d'informatique dont B.X._ devait être exclu; l'école a spécifié à A.X._ qu'un refus de sa part entraînerait le renvoi avec effet immédiat de son fils, le trimestre en cours demeurant dû.
A.X._ a répondu à ce pli le 4 mai 2005 en contestant les sanctions prononcées, trop sévères selon lui.
Toujours le 2 mai 2005, A.X._ a téléphoné à l'assurance pour lui faire part du conflit qui l'opposait à l'école. Il résulte d'une note interne rédigée par une employée de Y._ que le précité a été immédiatement averti que ce type de litige ne serait pas couvert par la police souscrite.
Par une écriture du 10 mai 2005, l'école a prononcé que B.X._ était renvoyé de l'école, avec effet au 13 mai 2005.
Le 13 mai 2005, A.X._ a fait part à l'avocat W._ de sa volonté de le consulter en raison de l'exclusion de son fils.
A.X._ a alors pris langue avec Y._, laquelle a finalement, par lettre du 30 septembre 2005, confirmé au précité que le litige l'opposant à l'école ne saurait bénéficier d'aucune couverture de l'assurance, car le rapport juridique qui liait le fils de l'assuré à l'école ne faisait pas partie de la liste exhaustive des contrats énumérés à l'art. 21 ch. 8 des CGA 1997; l'assurance spécifiait conséquemment qu'elle ne pouvait entrer en matière pour la prise en charge des frais et honoraires de l'avocat mandaté par A.X._.
A.c Le 30 novembre 2005, A.X._ a ouvert action contre l'école, requérant le remboursement des frais d'écolage, le paiement des frais de défense ainsi que le versement d'une indemnité pour le dommage et le tort moral engendrés par le renvoi de B.X._. Le Tribunal d'arrondissement de l'Est vaudois, par jugement du 26 septembre 2006 resté sans recours, a entièrement débouté le demandeur, reconnu ce dernier débiteur de l'école de 2'662 fr. en capital, mis les frais de justice, par 3'670 fr., à la charge du demandeur et déclaré ce dernier ainsi que son fils B.X._ solidairement débiteurs de l'école de la somme de 8'870 fr. à titre de pleins dépens.
A.d Par lettres des 26 janvier et 5 février 2007, Y._ a réitéré à A.X._ que le litige qui l'opposait à l'école n'était pas couvert par la protection juridique qu'il avait conclue.
B. Il a été retenu que, le 10 mai 2007, A.X._ a introduit une réquisition de poursuite contre Y._ pour le montant de 21'833 fr. en capital auprès d'un office des poursuites incompétent en raison du lieu, lequel l'a retournée au poursuivant le 14 mai 2007.
Le 22 mai 2007, A.X._ a adressé une nouvelle réquisition de poursuite contre l'assurance à l'office compétent ratione loci, qui a notifié le 20 juin 2007 à l'assurance un commandement de payer la somme de 21'833 fr. en capital, poursuite qui a été frappée d'opposition.
Par demande du 19 juin 2008, A.X._ a ouvert action contre Y._ devant les autorités vaudoises, lui réclamant la somme de 23'013 fr.20 plus intérêts à 5% l'an dès le 13 avril 2007, l'opposition à la poursuite étant levée à concurrence de 21'833 fr., le tout avec suite de frais et dépens.
L'assurance a conclu à sa libération. Lors de l'audience de jugement tenue le 30 juin 2009, elle a excipé de la prescription au sens de l'art. 46 al. 1 de la loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1).
Par jugement du 8 juillet 2009, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a admis partiellement les conclusions du demandeur en ce sens que l'assurance a été condamnée à lui verser la somme de 17'223 fr.10 avec intérêts à 5% l'an dès le 10 mai 2007, l'opposition à la poursuite étant définitivement levée à due concurrence. Le premier juge a admis que la couverture d'assurance conclue s'étendait au contrat d'enseignement passé par le demandeur avec l'école, lequel était soumis au moins principalement aux règles du mandat. Il a en outre considéré que le dies a quo du délai de prescription de l'art. 46 al. 1 LCA était le 10 mai 2005, de sorte que la réquisition de poursuite du 10 mai 2007 avait valablement interrompu la prescription biennale.
Statuant sur le recours de l'assurance, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 16 juin 2010, l'a admis. Réformant le jugement du 8 juillet 2009, la cour cantonale a ainsi rejeté entièrement les conclusions du demandeur. A l'instar du premier juge, elle a retenu que le contrat d'enseignement litigieux était bien compris dans la couverture d'assurance. La Chambre des recours a toutefois jugé que le délai de prescription ayant commencé à courir au plus tard le 2 mai 2005, celle-ci a été acquise le 2 mai 2007, si bien que la réquisition de poursuite du 10 mai 2007 était tardive. En conséquence, elle a accueilli l'exception de prescription.
C. A.X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Il conclut à ce que le jugement rendu le 8 juillet 2009 par le Président du Tribunal d'arrondissement soit confirmé.
Le recourant a formé une demande d'assistance judiciaire, qui a été rejetée par ordonnance du 7 janvier 2011.
L'intimée n'a pas été invitée à déposer une réponse.
Considérant en droit:
1. S'agissant d'une affaire pécuniaire qui ne porte ni sur le droit du travail ni sur le droit du bail à loyer, le recours en matière civile n'est recevable que si la valeur litigieuse - déterminée selon le capital réclamé dans les dernières conclusions prises devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a et al. 3 LTF) - s'élève au moins à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF).
Le recourant ne disconvient pas que la valeur litigieuse, qui est de 23'013 fr.20, n'atteint pas le seuil fixé à l'art. 74 al. 1 let. b LTF. Il soutient que le recours en matière civile est néanmoins recevable, en raison de l'exception formulée à l'art. 74 al. 2 let. a LTF, la contestation soulevant une question juridique de principe.
1.1 La contestation soulève une question juridique de principe au sens de l'art. 74 al. 2 let. a LTF s'il est nécessaire, pour résoudre le cas d'espèce, de trancher une question juridique qui donne lieu à une incertitude caractérisée, laquelle appelle de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral, en tant qu'autorité judiciaire suprême chargée de dégager une interprétation uniforme du droit fédéral (ATF 135 III 397 consid. 1.2 p. 399). Il incombe au recourant qui se prévaut de cette disposition d'expliquer de manière précise en quoi la contestation soulèverait une question juridique de principe (art. 42 al. 2 2ème phrase LTF; ATF 133 III 439 consid. 2.2.2.1). La notion de question juridique de principe doit être interprétée de manière restrictive (ATF 135 III 397 consid. 1.2 p. 399; 134 III 115 consid. 1.2 p. 117).
1.1 La contestation soulève une question juridique de principe au sens de l'art. 74 al. 2 let. a LTF s'il est nécessaire, pour résoudre le cas d'espèce, de trancher une question juridique qui donne lieu à une incertitude caractérisée, laquelle appelle de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral, en tant qu'autorité judiciaire suprême chargée de dégager une interprétation uniforme du droit fédéral (ATF 135 III 397 consid. 1.2 p. 399). Il incombe au recourant qui se prévaut de cette disposition d'expliquer de manière précise en quoi la contestation soulèverait une question juridique de principe (art. 42 al. 2 2ème phrase LTF; ATF 133 III 439 consid. 2.2.2.1). La notion de question juridique de principe doit être interprétée de manière restrictive (ATF 135 III 397 consid. 1.2 p. 399; 134 III 115 consid. 1.2 p. 117).
1.2 1.2.1 Le recourant soutient que déterminer le dies a quo de la prescription des prétentions de l'assuré dans l'assurance de protection juridique constitue une question juridique de principe. Il fait valoir que cette question n'a pas encore reçu de réponse claire dans la loi, la jurisprudence et la doctrine.
Il n'en est rien.
A teneur de l'art. 46 al. 1, 1e phrase, LCA, les créances qui dérivent du contrat d'assurance se prescrivent par deux ans à dater du fait d'où naît l'obligation
Selon la jurisprudence constante, le point de départ du délai légal de prescription susmentionné, en matière d'assurance de protection juridique, est la réalisation du risque, qui correspond à l'apparition du besoin d'assistance juridique (ATF 126 III 278 consid. 7a p. 280; 119 II 468 consid. 2c p. 470).
On voit donc que le problème de droit évoqué fait l'objet d'une jurisprudence fermement établie.
Le recourant expose certes que pour certains auteurs (MAURER, Schweizerisches Privatversicherungsrecht, 2e éd. 1986 p. 379; BREHM, Le contrat d'assurance de responsabilité civile, 1983, nos 785 ss; THALMANN, Die Verjährung im Privatversicherungsrecht, thèse Zurich 1940, p. 202 et 208) la prescription court seulement dès que le litige est liquidé, par jugement définitif ou transaction. Il se réfère encore à d'autres auteurs (ROELLI/KELLER, Kommentar zum Schweizerischen Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, vol I, Berne 1968, p. 668; VIRET, Droit des assurances privées, 3e éd., 1991 p. 135; PETERMANN, La prescription des actions, RSA 1959/60, p. 399/400) qui ont émis l'avis que la prescription court dès le commencement du litige avec celui qui est appelé à devenir la partie adverse au procès.
Mais ces opinions doctrinales sont toutes largement antérieures à la jurisprudence résultant de l'arrêt du 9 mars 2000 publié aux ATF 126 III 278. Et le recourant ne cite aucun auteur qui aurait critiqué depuis lors ce dernier précédent.
En définitive, il n'appert nullement que l'on se trouve en présence d'un point de droit qui nécessite de manière urgente d'être clarifié par le Tribunal fédéral.
1.2.2 Le recourant prétend que savoir à partir de quel moment il convient d'admettre que le besoin d'assistance juridique survient est une autre question juridique de principe.
Il n'y a derechef aucune question juridique de principe, qui exigerait clarification dans l'intérêt général. Il s'agit seulement d'appliquer la jurisprudence constante aux circonstances factuelles du cas particulier. Or procéder à la subsomption de la jurisprudence n'a rien à voir avec la résolution d'un problème juridique de principe.
1.2.3 Il suit de là que le présent recours ne pose en rien une question juridique de principe au sens de l'art. 74 al. 2 let. a LTF, en sorte que le recours en matière civile doit être déclaré irrecevable, à défaut d'atteindre la valeur litigieuse exigée par l'art. 74 al. 1 let. b LTF.
2. Le Tribunal fédéral n'est pas lié par la dénomination d'un recours, dans la mesure où l'écriture déposée remplit les conditions de recevabilité d'un des recours prévus par la loi sur le Tribunal fédéral. Le recours ordinaire en matière civile étant irrecevable, il convient ainsi d'examiner si le recours peut être converti en recours constitutionnel subsidiaire (sur le mécanisme de conversion, ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382).
2.1 Dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF applicable par renvoi de l'art. 117 LTF) rendu par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF par renvoi de l'art. 114 LTF), le présent recours a été déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par une partie à la procédure cantonale disposant d'un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de cette décision (art. 115 LTF). Il est donc en principe recevable comme recours constitutionnel.
Le recours constitutionnel subsidiaire peut être formé pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine toutefois la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, applicable par renvoi de l'art. 117 LTF, c'est-à-dire selon le principe d'allégation (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254). En application de ce principe, la partie recourante ne peut, singulièrement dans un recours pour arbitraire fondé sur l'art. 9 Cst., se contenter de critiquer l'arrêt attaqué comme elle le ferait dans une procédure d'appel où l'autorité de recours peut revoir librement l'application du droit; elle doit au contraire préciser en quoi cet arrêt serait arbitraire (cf. ATF 134 I 263 consid. 3.1 p. 265 s.; 133 II 396 consid. 3.1 p. 399 s. et la jurisprudence citée).
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente si les faits on été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 LTF en relation avec l'art. 116 LTF), ce que la partie recourante doit démontrer d'une manière circonstanciée et précise, conformément aux exigences de motivation posées à l'art. 106 al. 2 LTF (applicable par renvoi de l'art. 117 LTF; cf. ATF 133 III 439 consid. 3.2. p. 444 s.).
En vertu de l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (cf. ATF 133 IV 342 consid. 2.1 p. 343).
2.2 En l'espèce, le recours n'invoque pas la violation d'un quelconque droit fondamental. En particulier, il est dénué de toute démonstration d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (norme qui n'est du reste même pas citée), que ce soit dans l'application du droit fédéral ou dans l'appréciation des preuves. Ipso facto, le recours constitutionnel est irrecevable faute de motivation (art. 117 LTF et 106 al. 2 LTF).
De toute manière, en fixant, pour ce qui est de l'assurance de protection juridique, le dies a quo du délai de prescription découlant de l'art. 46 al. 1 LCA au jour où le besoin d'assistance est apparu, la cour cantonale n'a fait que se conformer à la jurisprudence constante de la juridiction fédérale. Cette démarche n'est évidemment pas insoutenable.
De même, on cherche en vain ce qu'il y avait d'indéfendable à admettre que le besoin de protection juridique est apparu au plus tard le 2 mai 2005. En effet, à cette date, l'école a clairement indiqué au recourant qu'elle allait prendre des sanctions contre son fils en raison de la tenue d'un blog et que si le demandeur n'avait pas déclaré par écrit jusqu'au 9 mai 2005 les accepter, son fils B.X._ serait renvoyé de l'établissement avec effet immédiat. A cela s'ajoute que le recourant a démontré avec éclat qu'il avait besoin d'une assistance juridique le 2 mai 2005, du moment qu'il a téléphoné le jour en question à l'assurance pour lui dire qu'il était en conflit avec l'école.
3. Il suit de là que le recours, examiné comme recours constitutionnel subsidiaire, est irrecevable.
Les frais doivent être mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à procéder.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours, examiné comme recours constitutionnel subsidiaire, est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 7 février 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet