Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 8. Mai 2008 verpflichtete das Arbeitsgericht Koblenz die Z._, Deutschland, zur Bezahlung einer Bruttoarbeitsvergütung von insgesamt EUR 8'411.13 nebst Zins an X._, Deutschland (EUR 12'500.-- für den Zeitraum September 2007 bis Januar 2008 nebst Zins zu 5% über dem jeweiligen Basiszinssatz seit 17. April 2008, abzüglich je EUR 1'636.29 Insolvenzgeld für die Monate Oktober, November und Dezember 2007 und EUR 970.-- Arbeitslosengeld für Januar 2008 [Ziff. 2], zuzüglich EUR 2'500.-- für Februar 2008 nebst Zins zu 5% über jeweiligen Basiszinssatz seit dem 20. Februar 2008, EUR 2'500.-- für März 2008 nebst Zins zu 5% über dem jeweiligen Basiszinssatz seit 20. März 2008, und EUR 2'500.-- für April 2008 nebst Zins zu 5% über dem jeweiligen Basiszinssatz seit 20. April 2008, abzüglich EUR 970 Arbeitslosengeld für Februar 2008, EUR 2'370.-- anderweitiger Verdienst im März 2008 und EUR 2'370.-- anderweitiger Verdienst im April 2008 [Ziff. 3].
Mit Begehren vom 22. Mai 2009 betrieb X._ die Z._ AG mit Sitz an der A._strasse in B._ für eine Forderung von Fr. 21'368.66 (EUR 14'053.71 zum Kurs vom 22. Mai 2009 von 1.5205) nebst aufgelaufenem Zins von Fr. 2'676.47 (EUR 1'759.60 zum Kurs vom 22. Mai 2009 von 1.5205) und laufendem Zins sowie für Fr. 3'538.20 (Ziff. 5 des Entscheids; EUR 2'327.-- zum Kurs vom 22. Mai 2009 von 1.5205; Betreibung-Nr. 125925 des Betreibungsamts B._).
Nachdem die Z._ AG Rechtsvorschlag erhoben hatte, erteilte der Einzelrichter im summarischen Verfahren des Bezirks Zürich X._ mit Verfügung vom 18. August 2009 definitive Rechtsöffnung für Fr. 12'789.12 (EUR 8'411.13 zum Kurs vom 22. Mai 2009 von 1.5205) samt laufendem Zins sowie aufgelaufenem Zins von Fr. 2'675.47 (EUR 1'759.60 zum Kurs vom 22. Mai 2009 von 1.5205). Im Mehrbetrag wies er das Rechtsöffnungsbegehren ab.
B. Mit Beschluss vom 21. Januar 2010 wies das Obergericht des Kantons Zürich auf Rekurs der Z._ AG das Rechtsöffnungsbegehren ab. Das Obergericht hielt im Wesentlichen dafür, die ordnungsgemässe Zustellung des als Rechtsöffnungstitel dienenden deutschen Urteils könne nicht nachgewiesen werden, da auf dem Zustellungszeugnis wesentliche Angaben fehlten.
C. Gegen diesen ihr am 27. Januar 2010 zugestellten Entscheid hat X._ (Beschwerdeführerin) mit einer am 24. Februar 2010 der Post aufgegebenen Eingabe beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen eingereicht. Sie beantragt, ihr sei in der Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes B._ für den Betrag von Fr. 21'368.66 (EUR 14'053.71) als Hauptforderung nebst Zins zu 6.62% seit dem 1. Juni 2009, Fr. 2'675.37 (EUR 1'759.60) an aufgerechnetem Zins bis 31. Mai 2009, Fr. 3'538.20 (EUR 2'327.--) als weitere Hauptforderung ohne Zinsen und die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 100.-- definitive Rechtsöffnung zu gewähren.
Die Beschwerdeführerin hat ihre Beschwerde mit Eingabe vom 31. Mai 2010 ergänzt.
Das Obergericht hat sich am 28. Juni 2010 vernehmen lassen. Die Z._ AG (Beschwerdegegnerin) beantragt in ihrer Eingabe vom 6. Juli 2010 zur Hauptsache, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventuell sei die Beschwerde abzuweisen.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein Rekursentscheid des Obergerichts des Kantons Zürich betreffend definitive Rechtsöffnung, mit dem vorfrageweise über die Anerkennung eines ausländischen Urteils befunden worden ist. Damit liegt ein Endentscheid über eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache im Sinn von Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG vor (Art. 90 BGG; Urteil 5A_840/2009 vom 30. April 2010 E. 1). Obwohl das Betreibungsverfahren aufgrund des Entscheides des Arbeitsgerichts Koblenz über eine arbeitsrechtliche Forderung eingeleitet worden ist, liegt keine vermögensrechtliche Streitigkeit im Sinn von Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG mit einem Streitwerterfordernis von Fr. 15'000.-- vor (BGE 135 III 470 E. 1.2 S. 472 f.; Urteil 5D_155/2009 vom 9. Dezember 2009, die definitive Rechtsöffnung über eine arbeitsrechtliche Forderung betreffend). Vor Obergericht waren Fr. 27'581.-- und somit weniger als Fr. 30'000.-- streitig (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist folglich nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), was die Beschwerdeführerin zwar behauptet, aber nicht den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG entsprechend begründet (zur Begründungspflicht: BGE 133 III 645 E. 2.4 S. 648). Auf die Beschwerde ist somit im Verfahren nach Art. 109 Abs. 1 BGG nicht einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern die Vorinstanz solche Rechte verletzt haben soll. Da die vorliegende Eingabe somit die qualifizierten Begründungsanforderungen nicht erfüllt (Art. 106 BGG), die an die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gestellt werden, kann sie auch nicht als solche entgegengenommen werden (BGE 133 II 396 E. 3.1 und 3.2).
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden