Sachverhalt:
A. Der 1969 geborene türkische Staatsangehörige X._ reiste 1978 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein und erhielt hier die Niederlassungsbewilligung. Nachdem er Mitte der Neunzigerjahre psychisch erkrankt war, reiste er in die Türkei aus, wo er 1996 eine Landsfrau heiratete, mit welcher er inzwischen drei gemeinsame Kinder (geb. 1997, 2003 und 2008) hat. Am 1. November 2009 ersuchte X._ das Migrationsamt des Kantons Thurgau um Verlängerung der Kontrollfrist seiner Niederlassungsbewilligung. Mit Verfügung vom 28. Juni 2010 lehnte das Migrationsamt das Gesuch ab: Es ging davon aus, dass X._ seit Jahren ununterbrochen in der Türkei lebe und die Niederlassungsbewilligung wegen seines Auslandsaufenthaltes erloschen sei. Als Folge davon meldete das Migrationsamt X._ rückwirkend per 15. November 2009 ins Ausland ab. Sodann verneinte das Migrationsamt das Vorliegen eines Härtefalls und lehnte deshalb auch die Erteilung einer entsprechenden Aufenthaltsbewilligung ab.
B. Gegen die Verfügung des Migrationsamtes vom 28. Juni 2010 rekurrierte X._ beim Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau. Dieses wies den Rekurs am 7. September 2010 vollumfänglich ab.
Gegen den abschlägigen Rekursentscheid beschwerte sich X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, welches die Beschwerde abwies, soweit es darauf überhaupt eintrat: Auf die Beschwerde eingetreten ist das Verwaltungsgericht lediglich in Bezug auf die Frage, ob seine Vorinstanzen zu Recht von einem Erlöschen der Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers ausgegangen sind. Soweit X._ dagegen die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zufolge eines Härtefalls beantragte, trat das Verwaltungsgericht auf sein Rechtsmittel nicht ein.
C. Mit Eingabe vom 18. Februar 2011 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen, es sei festzustellen, dass seine Niederlassungsbewilligung nicht erloschen sei. Eventualiter sei seine Situation als Härtefall einzustufen und ihm deshalb eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Das Verwaltungsgericht, das Departement für Justiz und Sicherheit und das Migrationsamt des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 23. Februar 2011 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zu.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Zulässigkeit eines Rechtsmittels von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 135 III 1 E. 1.1 S. 3).
Nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
Soweit es vorliegend um die Frage geht, ob die an sich unbefristete Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers erloschen ist, erscheint die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ohne Weiteres als zulässig, weil grundsätzlich ein Anspruch auf das Fortbestehen dieser Bewilligung gegeben ist (BGE 135 II 1 E. 1.2.1 S. 4; Urteil 2C_853/2010 vom 22. März 2011 E. 2.1 mit Hinweisen). Diesbezüglich ist der Beschwerdeführer als Adressat des angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Urteils (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG) zur Beschwerdeführung legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG), so dass in diesem Umfang auf das im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Rechtsmittel (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) einzutreten ist.
Nicht zulässig ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten dagegen insoweit, als der Beschwerdeführer vor Bundesgericht eventualiter die Erteilung einer Härtefallbewilligung beantragt, zumal auf deren Erteilung kein Rechtsanspruch besteht. Betreffend des Eventualantrags kommt nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Frage, mit welcher ausschliesslich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (Art. 116 BGG). Wegen des nicht vorgesehenen Rechtsanspruchs auf Erteilung der Härtefallbewilligung ist der Beschwerdeführer zwar grundsätzlich auch zur Führung einer subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht legitimiert, da ihm das erforderliche rechtlich geschützte Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids fehlt (Art. 115 lit. b BGG). Indes ist es trotz fehlender Legitimation in der Sache gegebenenfalls zulässig, mit diesem Rechtsmittel die Verletzung von Parteirechten zu rügen, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft ("Star-Praxis"; vgl. BGE 137 I 128 E. 3.1 S. 130 f.; 133 I 185 E. 6.2 S. 198). Im vorliegenden Fall wird eine solche Rüge erhoben, zumal der Beschwerdeführer geltend macht, das Verwaltungsgericht sei zu Unrecht nicht auf den gestellten Antrag auf Erteilung einer Härtefallbewilligung eingetreten (vgl. E. 3 hiernach). Nach dem Ausgeführten erweist sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in diesem Umfang grundsätzlich als zulässig. Da die Vorinstanz diesbezüglich noch nicht materiell entschieden hat, kann der Beschwerdeführer vor Bundesgericht aber nur einen Antrag auf Rückweisung an das Verwaltungsgericht zur materiellen Beurteilung stellen. Unmassgeblich ist, dass der Beschwerdeführer seine Eingabe im vorliegenden Fall ausschliesslich als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bezeichnet hat: Die falsche Bezeichnung schadet nicht und das Rechtsmittel ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen, soweit die dafür geltenden Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall würde die subsidiäre Verfassungsbeschwerde allerdings gegenstandslos, wenn die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzgl. des Erlöschens der Niederlassungsbewilligung gutgeheissen würde, was daher vorweg zu prüfen ist (E. 2 hiernach).
2. 2.1 Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, erlischt die Niederlassungsbewilligung entweder mit der Abmeldung ins Ausland, oder nach sechs Monaten Auslandsaufenthalt, wenn der Ausländer die Schweiz verlässt, ohne sich abzumelden (Art. 61 Abs. 1 lit. a und Art. 61 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [Ausländergesetz, AuG; SR 142.20]). Der bloss vorübergehende Besuchs-, Tourismus- oder Geschäftsaufenthalt in der Schweiz unterbricht diese sechsmonatige Frist nicht (Art. 79 Abs. 1 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]). Massgebend ist diesfalls der Lebensmittelpunkt des Ausländers (Urteil 2C_853/2010 vom 22. März 2011 E. 5.1 mit Hinweisen).
2.2 Das Verwaltungsgericht hat in diesem Zusammenhang auf die Passkopien des Beschwerdeführers verwiesen. Diesen könne entnommen werden, dass er sich seit Jahren fast ausschliesslich in der Türkei aufhalte: Am 9. Mai 2007 sei der Beschwerdeführer etwa aus der Türkei ausgereist und bereits nach drei Tagen, am 12. Mai 2007, wieder zurückgekehrt. Ebenso habe er die Türkei am 22. Oktober 2007 nur gerade für zwei Tage verlassen (Rückkehr am 24. Oktober 2007). Sodann sei er am 26. März 2008 aus- und am 29. März 2008 wieder zurückgereist. Im Herbst 2008 habe er die Türkei schliesslich zwischen dem 14. September und dem 17. September verlassen. In den Jahren 2007 und 2008 habe sich der Beschwerdeführer somit lediglich während fünf resp. sechs Tagen in der Schweiz aufgehalten. Es sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer diese Besuchsaufenthalte allenfalls für Arzttermine und Behördengänge genutzt habe. Der Umstand, dass sich der Beschwerdeführer in den Jahren 2007 und 2008 während 360 bzw. 359 Tagen bei seiner Frau und seinen drei Kindern in der Türkei aufgehalten habe, lasse keinen anderen Schluss zu, als dass sich der Lebensmittelpunkt des Beschwerdeführers in der Türkei befinde. Aus diesen Gründen vermöchten seine tageweisen Aufenthalte in der Schweiz nichts daran zu ändern, dass die Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers erloschen sei.
2.3 Was der Beschwerdeführer hiergegen vorbringt, vermag nicht durchzudringen:
Er behauptet, dass die türkischen Ein- und Ausreisestempel in seinem Reisepass nicht vollständig seien, zumal für den 17. September 2008, den 1. März 2009 und den 16. August 2009 zwar Einreisestempel vorhanden seien, wogegen die Ausreisestempel für die besagte Periode fehlten. Dieser Einwand geht schon deshalb ins Leere, weil bereits der Zeitraum von Mai 2007 bis September 2008, für welchen jeweils korrespondierende Ein- und Ausreisestempel vorhanden sind, eine nur durch kurze Besuche in der Schweiz unterbrochene Landesabwesenheit von mehr als sechs Monaten belegt. Auf den in der Beschwerde thematisierten Zeitraum ab September 2008 kommt es mithin gar nicht mehr an. Im Übrigen sprechen aber nebst den Passstempeln noch weitere Indizien dafür, dass der Beschwerdeführer seinen Lebensmittelpunkt in der Türkei hat und nur für kurze Besuche in die Schweiz reiste; hervorzuheben ist namentlich der unbestrittene Umstand, dass die Ehefrau und die drei Kinder des Beschwerdeführers in der Türkei leben.
Unbehelflich sind auch die Ausführungen des Beschwerdeführers zu seinem psychischen Gesundheitszustand: Sie ändern nichts an der massgeblichen Tatsache, dass er die Schweiz verlassen hat. Indem der Beschwerdeführer geltend macht, dass er nicht gültig und verbindlich auf die Niederlassungsbewilligung habe verzichten können, verkennt er, dass ein solcher Verzicht gar nicht notwendig ist, sondern die Bewilligung nach der hierfür vorgesehenen Frist ipso iure erlischt. Im Übrigen behauptet er selber nicht, dass er bevormundet bzw. entmündigt sei. Er durfte und konnte daher seinen Wohnsitz frei wählen.
2.4 Bei dieser Sachlage ist es nicht zu beanstanden, wenn das Verwaltungsgericht ohne weitere Beweiserhebungen zum Schluss gelangte, dass die Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers erloschen ist. Die diesbezügliche Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit als unbegründet abzuweisen.
3. 3.1 Wie bereits aufgezeigt, trat die Vorinstanz auf den (Eventual-) Antrag des Beschwerdeführers, ihm als Folge eines eingetretenen Härtefalls eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, nicht ein. Das Verwaltungsgericht führte in diesem Zusammenhang aus, der Beschwerdeführer hätte hierfür bei der zuständigen Stelle ein entsprechendes Gesuch einreichen müssen (E. 2 des angefochtenen Entscheids). Der Beschwerdeführer bringt dagegen vor, er habe ein solches Gesuch eventualiter bereits in seiner an das Migrationsamt gerichteten Eingabe vom 15. Mai 2010 gestellt. Das Migrationsamt habe das Gesuch in der Folge in seinem Entscheid vom 28. Juni 2010 materiell behandelt und abgelehnt. Auch im anschliessenden Rechtsmittelverfahren vor dem Departement sei das Eventualbegehren um Erteilung einer Härtefallbewilligung einlässlich behandelt und mit Rekursentscheid vom 7. September 2010 materiell abgelehnt worden. Vor diesem Hintergrund stelle der Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts eine Verletzung des Willkürverbotes und des rechtlichen Gehörs dar.
3.2 Diese Vorbringen des Beschwerdeführers treffen zu: Die implizite Annahme der Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer noch kein Härtefallgesuch gestellt habe, ist aktenwidrig und damit willkürlich. Daran vermögen auch die Ausführungen des Verwaltungsgerichts in dessen Vernehmlassung vom 15. März 2011 nichts zu ändern: Dass ein Gesuch um Härtefallbewilligung erst dann gestellt werden könne, wenn das Erlöschen der Niederlassungsbewilligung rechtskräftig feststehe, überzeugt nicht; es ist grundsätzlich jederzeit möglich, ein Eventualbegehren zu stellen für den Fall, dass das Hauptbegehren abgewiesen wird. Nicht massgeblich ist sodann, dass für die Erteilung einer Härtefallbewilligung die Zustimmung des Bundesamtes für Migration erforderlich gewesen wäre (Art. 40 Abs. 1 und Art. 99 AuG, Art. 85 f. VZAE), wie dies die Vorinstanz an sich richtig darlegt: Das Erfordernis der Zustimmung des Bundesamtes hebt die Parteistellung des Beschwerdeführers in Bezug auf den kantonalen Bewilligungsentscheid nicht auf; das kantonale Bewilligungsverfahren mit entsprechendem Rechtsmittelweg einerseits und das Zustimmungsverfahren vor dem Bundesamt andererseits sind voneinander zu unterscheiden (vgl. Urteil 2C_774/2008 vom 15. Januar 2009 E. 4.2). So trifft es zwar zu, dass die betroffene Person nicht selber ein Zustimmungsgesuch an das Bundesamt stellen kann, wenn der Kanton keine Bewilligung erteilt. Ungeachtet dessen kommt dem Ausländer aber im kantonalen Bewilligungsverfahren Parteistellung zu und es muss ihm auch dann ein kantonales Rechtsmittel an ein Gericht offen stehen, wenn kein Rechtsanspruch auf die Erteilung der Bewilligung besteht (Art. 29a BV, Art. 86 Abs. 2 i.V.m. Art. 114 BGG).
3.3 Nach dem Ausgeführten erweist sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als begründet. Die Angelegenheit ist mithin zur materiellen Prüfung des Eventualantrags auf Erteilung einer Härtefallbewilligung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten anteilsmässig - im Umfang seines Unterliegens - zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Kanton Thurgau, welcher in seinem amtlichen Wirkungskreis und ohne Vermögensinteresse handelte, sind keine Gerichtskosten zu auferlegen (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Thurgau hat dem Beschwerdeführer indes eine reduzierte Parteientschädigung für das Verfahren vor Bundesgericht zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens hat das Verwaltungsgericht neu zu befinden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Bezug auf das Erlöschen der Niederlassungsbewilligung wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen und gutgeheissen, soweit sie sich gegen das Nichteintreten auf den Antrag um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung richtet. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 26. Januar 2011 wird in diesem Umfang aufgehoben und die Sache zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3. Die reduzierten Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Der Kanton Thurgau hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zu entrichten.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt und dem Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. September 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler