Sachverhalt:
A. Die 1957 geborene, zuletzt als Montagemitarbeiterin bei der Firma X._ AG tätig gewesene B._ meldete sich im Juni 2004 unter Hinweis auf gesundheitliche Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau holte, nebst weiteren Sachverhaltsabklärungen, ein polydisziplinäres MEDAS-Gutachten vom 27. April 2006 ein. Darin wurde aus psychiatrischer Sicht eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Mit Verfügung vom 26. Februar 2007 verneinte die Verwaltung einen Anspruch auf eine Invalidenrente mangels eines genügenden Invaliditätsgrades. Die AHV/IV-Rekurskommission des Kantons Thurgau (heute: Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau) hob diese Verfügung mit Beschwerdeentscheid vom 16. Mai 2007 auf und stellte fest, ab 1. Mai 2004 bestehe aus psychischen Gründen bei einem Invaliditätsgrad von 53 % Anspruch auf eine halbe Invalidenrente. Am 25. September und 24. Oktober 2007 erliess die IV-Stelle die entsprechenden Rentenverfügungen.
Im Oktober 2010 leitete die Verwaltung ein Rentenrevisionsverfahren ein. Die Versicherte machte geltend, an einer gesundheitlichen Verschlechterung im Sinne einer Niereninsuffizienz zu leiden. Die IV-Stelle holte nebst weiteren Arztberichten ein psychiatrisches Gutachten des Dr. med. L._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 22. Juni 2011 ein. Mit Verfügung vom 30. September 2011 eröffnete sie der Versicherten, die laufende Rente werde auf das Ende des der Verfügungszustellung folgenden Monats revisionsweise eingestellt. Zur Begründung wurde ausgeführt, die Niereninsuffizienz beeinträchtige die Arbeitsfähigkeit nicht. In psychischer Hinsicht bestehe gemäss dem Gutachten L._ ein uneingeschränktes Leistungsvermögen. Damit sei keine Invalidität mehr gegeben.
B. Beschwerdeweise beantragte B._, in Aufhebung der Verfügung vom 30. September 2011 sei festzustellen, dass sie weiterhin Anspruch auf eine halbe Rente habe. In der Folge ersuchte sie überdies um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau holte eine Stellungnahme des Dr. med. L._ vom 1. Februar 2012 ein, zu welcher sich die Parteien äussern konnten. Mit Entscheid vom 18. April 2012 wies das Gericht die Beschwerde und, mangels ausgewiesener Bedürftigkeit, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und feststellen, dass sie weiterhin Anspruch auf eine halbe Rente habe; eventuell sei die Sache für weitere Abklärungen an das kantonale Gericht resp. an die Verwaltung zurückzuweisen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen; Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die seit Mai 2004 ausgerichtete halbe Invalidenrente zu Recht revisionsweise aufgehoben wurde.
Wie das kantonale Gericht zutreffend dargelegt hat, wird die Rente bei einer erheblichen Änderung des Invaliditätsgrades von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (Art. 17 Abs. 1 ATSG). Anlass zu einer solchen Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen, etwa hinsichtlich des Gesundheitszustandes, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen (BGE 130 V 343 E. 3.5 S. 349; siehe auch BGE 133 V 545).
3. Die Vorinstanz hat erkannt, die Rekurskommission habe im Entscheid vom 16. Mai 2007 bei der Bejahung des Anspruchs auf eine halbe Invalidenrente und der damit verbundenen Aufhebung der Verwaltungsverfügung vom 26. Februar 2007 auf den bis zu deren Erlass eingetretenen Sachverhalt abgestellt. Zu prüfen sei daher, ob seit diesem Zeitpunkt eine revisionsbegründende Änderung der tatsächlichen Verhältnisse eingetreten sei.
Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden, zumal keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass die Verwaltung in den Rentenverfügungen vom 25. September und 24. Oktober 2007 zwischenzeitlich eingetretene Sachverhaltsänderungen berücksichtigt hat. Die Versicherte erhebt denn auch keine Einwände.
4. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, der psychische Gesundheitszustand habe sich seit dem besagten Zeitpunkt gebessert, so dass sich daraus keine Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit (und dementsprechend der Erwerbsfähigkeit) mehr ergebe. Es stützt sich dabei auf das psychiatrische Gutachten vom 22. Juni 2011 und die Stellungnahme vom 1. Februar 2012 des Dr. med. L._. Die Versicherte macht geltend, eine revisionsbegründende Verbesserung hinsichtlich Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit sei damit nicht ausgewiesen.
4.1 Die Rekurskommission ist im Entscheid vom 16. Mai 2007 bei der Bejahung des Rentenanspruchs davon ausgegangen, die Arbeitsfähigkeit sei (ausschliesslich) aus psychiatrischer Sicht eingeschränkt, und zwar durch eine "Entwicklung körperlicher Symptome aus psychischen Gründen (ICD-10: F68.0)". Sie stützte sich bezüglich Diagnose und Einschätzung der Arbeitsfähigkeit auf die MEDAS-Expertise vom 27. April 2006 und das dieser zugrunde liegende Konsiliargutachten des Dr. med. E._, Eidg. Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 2. März 2006. Auf dieser Beurteilung der Rekurskommission beruhten die in der Folge ergangenen Rentenverfügungen vom 25. September und 24. Oktober 2007.
Streitig und zu prüfen ist, ob sich Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit in revisionsrechtlich relevantem Sinn geändert haben.
4.2 Die Vorinstanz hat dies gestützt auf die Aussagen des Dr. med. L._ bejaht. Die Versicherte wendet ein, dessen fachärztliche Einschätzung und damit auch der vorinstanzliche Entscheid beruhten lediglich auf einer anderen Beurteilung des gleich gebliebenen Gesundheitszustandes.
4.2.1 Die abweichende medizinische oder rechtliche Einschätzung von im Wesentlichen unveränderten tatsächlichen Verhältnissen führt nicht zu einer materiellen Revision. Bloss auf einer anderen Wertung beruhende, revisionsrechtlich unerhebliche Differenzen sind daher von revisionsbegründenden tatsächlichen Veränderungen abzugrenzen. Eine ärztliche Schlussfolgerung, die von der früheren abweicht, obwohl sich der beurteilte Gesundheitszustand effektiv nicht verändert hat, ist meist auf eine unterschiedliche Ausübung des medizinischen Ermessens zurückzuführen. Auch eine Veränderung von versicherungsmedizinischen Beurteilungsparametern kann zu einer abweichenden ärztlichen Schlussfolgerung hinsichtlich eines tatsächlich gleich gebliebenen Zustandes führen. Eine neue medizinische Beurteilung etwa, die mit der Entwicklung der Rechtspraxis zur Invalidität bei psychosomatischen Leiden (BGE 131 V 49; 130 V 352; vgl. auch BGE 136 V 279 und 132 V 65) begründet wird, kann weder unter dem Gesichtspunkt von Art. 17 ATSG noch unter einem anderen Anpassungstitel eine neue Beurteilung des Anspruchs veranlassen (BGE 135 V 201 und 215). Eine zwischenzeitlich veränderte Rechtspraxis darf erst im Rahmen einer festgestellten erheblichen Tatsachenänderung berücksichtigt werden (zum Ganzen: SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 4.1; vgl. auch dortige E. 3.1 zu Schlussbestimmung a Abs. 1 der hier noch nicht anwendbaren Änderung des IVG vom 18. März 2011 [6. IV-Revision, erstes Massnahmenpaket]).
4.2.2 Im Gutachten L._ vom 22. Juni 2011 werden die Diagnosen "Entwicklung körperlicher Symptome aus psychischen Gründen (ICD-10: F68.0)" sowie "Dysthymia (ICD-10: F34.1)" gestellt. Dies zeigt keine seit der Rentenzusprechung eingetretene gesundheitliche Verbesserung an. Vielmehr ist mit der Dysthymia eine weitere Diagnose zu der unveränderten ersten hinzugekommen.
Abweichend vom der Rentenzusprechung zugrunde gelegenen MEDAS-Gutachten vom 27. April 2006 gelangt die Expertise L._ vom 22. Juni 2011 hingegen zum Ergebnis, es liege keine Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit vor. Die Versicherte macht geltend, diese Einschätzung beruhe nicht auf einer revisionsrechtlich relevanten Änderung. Vielmehr beurteile Dr. med. L._ lediglich die Auswirkungen des gleich gebliebenen Gesundheitszustandes anders als der MEDAS-Psychiater.
Dieser Einwand ist begründet. Dr. med. L._ verneint im Gutachten vom 22. Juni 2011 nicht nur eine aktuell bestehende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit aus psychischen Gründen. Er führt vielmehr weiter ausdrücklich aus, es fänden sich auch keine Hinweise darauf, dass dies zu einem früheren Zeitpunkt anders gewesen wäre. MEDAS-Gutachter Dr. med. E._ habe zwar mit der Diagnose "Entwicklung körperlicher Symptome aus psychischen Gründen" eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit begründet. Er, Dr. med. L._, "gehe jedoch nicht davon aus, dass es sich bei dieser Diagnose um ein psychisches Leiden von Krankheitswert im IV-rechtlichen Sinne" handle. Eine andere psychiatrische Diagnose sei nie gestellt worden.
Aus diesen Ausführungen ergibt sich, dass Dr. med. L._ von keiner wesentlichen Änderung des Gesundheitszustandes ausgeht. Vielmehr zeigt sich, auch aus dem restlichen Inhalt des Gutachtens vom 22. Juni 2011, dass der Psychiater bei grundsätzlich gleicher Diagnosestellung keine Arbeitsunfähigkeit bestätigt, weil er ein vom Vorgutachter abweichendes Krankheitsverständnis vertritt. Das genügt nicht, um eine rentenrevisionsrelevante Änderung zu begründen.
4.2.3 Die Vorinstanz sah sich denn auch gehalten, eine ergänzende Stellungnahme des Experten einzuholen. Sie forderte Dr. med. L._ mit Verfügung vom 20. Januar 2012 auf, begründet zu beantworten, "ob im psychiatrischen Fachbereich seit der Erstellung des Gutachtens der MEDAS vom 27. April 2006 bis zum Zeitpunkt der Erstellung Ihres Gutachtens vom 22. Juni 2011 eine Veränderung des Gesundheitszustandes der Beschwerdeführerin eingetreten ist".
Dr. med. L._ antwortete mit Stellungnahme vom 1. Februar 2012. Er führte im Wesentlichen aus, bezüglich der Diagnose "Entwicklung körperlicher Symptome aus psychischen Gründen" habe sich wenig geändert, abgesehen davon, dass eine Niereninsuffizienz hinzukommen sei. Hingegen sei bezüglich der damaligen depressiven Symptomatik eine deutliche Besserung eingetreten. Die Kriterien für das Vorliegen einer eigentlichen depressiven Episode seien nicht mehr erfüllt. Es sei vielmehr von einer Dysthymie ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit auszugehen.
Dr. med. L._ geht mithin (einzig) hinsichtlich der depressiven Symptomatik von einer Änderung aus. Die Versicherte wendet ein, dieser Symptomatik sei in der Teilexpertise des Dr. med. E._ vom 2. März 2006 kein Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit zugebilligt worden. Dr. med. L._ bestätige damit keine revisionsrelevante Änderung des Gesundheitszustandes.
Auch dieser Einwand ist berechtigt. Dr. med. E._, und ihm folgend das MEDAS-Hauptgutachten vom 27. April 2006, welches der Rentenzusprechung zugrunde lag, hat in der Teilexpertise vom 2. März 2006 festgehalten, seines Erachtens sei die Beschwerdeführerin trotz ihrer Schilderung massivster depressiver Symptome als nicht depressiv anzusehen. Der Experte legte die geklagten Symptome denn auch nicht seiner Bestätigung einer Arbeitsunfähigkeit zugrunde. Wenn Dr. med. L._ nun ausführt, es hätte aufgrund der damals geklagten Symptome eine Diagnose aus dem Kreis der depressiven Störungen diagnostiziert werden müssen, stellt dies lediglich eine abweichende ärztliche Beurteilung des damaligen Gesundheitszustandes dar. Hinzu kommt, dass Dr. med. L._ im Gutachten vom 22. Juni 2011 ausführt, bereits im Zeitpunkt der Begutachtung durch Dr. med. E._ hätte aus psychiatrischer Sicht überhaupt, d.h. auch hinsichtlich depressiver Symptome, keine Arbeitsunfähigkeit bestätigt werden dürfen. Von dieser Aussage ist der Psychiater in der Stellungnahme vom 1. Februar 2012 nicht abgewichen. Auch diese Stellungnahme vermag mithin keine revisionsbegründende Änderung hinsichtlich Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit darzutun.
Die weiteren Aussagen in der Stellungnahme vom 1. Februar 2012 rechtfertigen keine andere Betrachtungsweise. Dr. med. L._ führt namentlich aus, es sei nicht plausibel, dass Dr. med. E._ offensichtlich die von der Explorandin beklagte und von ihm gut dokumentierte starke depressive Verstimmung mit der Diagnose "Entwicklung körperlicher Symptome aus psychischen Gründen" miterfasst und mit dieser Diagnose eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit begründet habe. Noch weniger verstehe er, Dr. med. L._, weshalb Dr. med. E._ die von ihm beschriebene und von der Explorantin beklagte, doch gravierende depressive Symptomatik diagnostisch nicht erfasst habe. Auch bei diesen Aussagen des Dr. med. L._ handelt es sich lediglich um eine abweichende Einschätzung des damaligen Gesundheitszustandes und seiner Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit. Das genügt nicht für die revisionsweise Aufhebung der Invalidenrente. Die Verwaltungsverfügung vom 30. September 2011 und der sie bestätigende vorinstanzliche Entscheid sind mithin bundesrechtswidrig, was zu ihrer Aufhebung führt.
5. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdegegnerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese hat der Beschwerdeführerin überdies eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 18. April 2012 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Thurgau vom 30. September 2011 werden aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. November 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz