Faits:
A. Le 24 mai 2004, R._ a ouvert action contre la Caisse de retraite et de prévoyance du personnel enseignant du canton du Valais devant le Tribunal cantonal du canton du Valais - qui a transmis l'affaire au Tribunal cantonal des assurances comme objet de sa compétence -, en demandant qu'ordre soit donné aux organes de la caisse de lui verser une rente mensuelle de 6'244 fr., avec effet au 1er avril 2004.
Par jugement du 1er juillet 2008, le Tribunal cantonal des assurances a prononcé que l'action était rejetée, dans la mesure où elle était recevable. Retenant que R._ devait répondre du dommage qu'il avait causé à la caisse dans le cadre de l'affaire X._, il a considéré que celle-ci était en droit de compenser, chaque mois, la rente mensuelle de retraite anticipée de 6'244 fr. à laquelle il avait droit dès le 1er avril 2004 avec sa créance en réparation du dommage, jusqu'à concurrence du montant en capital de 939'465 fr. (réserve mathématique de la rente) correspondant à une partie du dommage subi par elle. Par arrêt du 16 décembre 2009 (9C_697/2008), le Tribunal fédéral a rejeté le recours formé par R._ contre ce jugement.
B. Par requête du 12 mars 2010, R._ a demandé la révision de cet arrêt. Il concluait, sous suite de dépens, à l'annulation du jugement du 1er juillet 2008 du Tribunal cantonal des assurances du canton du Valais, la Caisse de retraite et de prévoyance du personnel enseignant du canton du Valais étant condamnée à lui verser une rente mensuelle de 6'244 fr. avec effet rétroactif au 1er avril 2004, avec intérêts à 5 % dès cette date. Il produisait copie d'une déclaration de la CRPE signée par lui-même et V._ datée du 27 mai 1999, conforme à l'originale selon attestation du notaire D._ du 26 février 2010, dont la teneur était la suivante: «La CRPE n'investit plus dans la société X._, au vu des résultats et de l'ensemble des affaires confiées en gestion à G._. La CRPE autorise en conséquence le rachat par son président R._, 1945, de M._, des options X._ propriété de G._, le cas échéant».
Par requête du 2 avril 2010, R._ a complété sa demande de révision. Il produisait copie d'une déclaration de la CRPE signée par lui-même et V._ datée du 27 mai 1999, conforme à l'originale selon attestation du notaire D._ du 8 janvier 2010, dont la teneur était la suivante: «La CRPE n'investit plus dans la société X._, au vu des résultats et de l'ensemble des affaires confiées à G._. La CRPE autorise en conséquence le rachat par son président R._, 1945, de M._, des options X._ propriété de G._, le cas échéant». Il produisait également copie d'une attestation de la CRPE signée par lui-même et F._ datée du 27 mai 1999, conforme à l'originale selon attestation du notaire D._ du 9 février 2010, dont la teneur était la suivante: «La CRPE n'investit plus dans la société X._ vu les résultats de cet investissement et ceux de l'ensemble des affaires confiées en gestion à G._. En conséquence, la CRPE autorise quiconque à racheter les options détenues par G._ sur X._ auprès de la Caisse elle-même. Elle autorise donc aussi le rachat des options par tout membre des comités de la CRPE et par son président R._, 1945, le cas échéant. Cette attestation complète le document du même jour signée par V._ et R._».
Par arrêt du 27 mai 2010 (9F_2/2010), le Tribunal fédéral a rejeté la demande de révision dans la mesure où elle était recevable.
C. Par écriture du 13 août 2010, R._ demande la révision de l'arrêt du 16 décembre 2009 (9C_697/2008), en prenant les mêmes conclusions que celles prises dans la procédure de révision précédente. Il produit copie d'une déclaration de la CRPE signée par V._ et F._ datée du 27 mai 1999, conforme à l'originale selon attestations du notaire D._ des 28 mai et 14 juin 2010, dont la teneur est la suivante: «La CRPE n'investit plus dans la société X._ vu les résultats de cet investissement et ceux de l'ensemble des affaires confiées en gestion à G._. En conséquence, la CRPE autorise quiconque à racheter les options détenues par G._ sur X._ auprès de la Caisse elle-même. Elle autorise donc aussi le rachat des options par tout membre des Comités de la CRPE et par son Président, R._, 1945, le cas échéant. Cette déclaration - attestation complète les documents du même jour signés par V._, F._ et R._. Elle est établie selon les décisions prises et selon l'appel téléphonique de V._ du 24 mai dernier». R._ produit une lettre non oblitérée datée du 25 mai 2010, signée "Un ami" et qui lui remet la déclaration ci-dessus de la CRPE, lettre que son épouse A._ certifie dans une écriture du 15 juin 2010 avoir trouvée au courrier le 26 mai 2010.
Considérant en droit:
1. 1.1 Les arrêts qui peuvent faire l'objet d'une demande de révision sont ceux auxquels l'art. 61 LTF attribue force de chose jugée dès leur prononcé. Les arrêts rendus sur révision ont force de chose jugée et ne peuvent à leur tour être remis en cause que pour les motifs qui touchent la décision prise précédemment au sujet de la révision et non l'arrêt principal (JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Commentaire de la LTF, 2009, ad art. 61 LTF n° 3 p. 423 et la référence à l'arrêt U 536/06 du 7 mars 2007 consid. 2).
1.2 Quelle que soit la procédure en cause, la jurisprudence a déduit de l'art. 29 al. 1 Cst. le droit de demander la modification d'un jugement par le moyen extraordinaire de la révision pour des faits et moyens de preuve pertinents qui n'étaient pas connus du requérant dans la procédure précédente ou qu'il ne pouvait ou n'avait aucune raison de faire valoir à l'époque pour des motifs juridiques ou de fait (ATF 127 I 133 consid. 6 p. 137/138). Il est généralement admis qu'une révision ne doit pas servir à remettre sans cesse en cause une décision entrée en force, à détourner les dispositions légales sur les délais de recours ou celles sur la restitution desdits délais, voire à introduire des faits non présentés dans le premier procès en raison d'une négligence procédurale (ATF 127 I 133 consid. 6 in fine p. 138, 125 IV 298 consid. 2b in fine p. 302; cf. aussi NIKLAUS SCHMID, Strafprozessrecht, Zurich 2004, 4e éd., n. 1134 ainsi que la note de bas de page 600). L'interdiction de l'abus de droit s'étend à l'ensemble des domaines du droit. L'abus de droit consiste à utiliser une institution juridique à des fins étrangères au but même de la disposition légale qui la consacre, de telle sorte que l'écart entre le droit exercé et l'intérêt qu'il est censé protéger soit manifeste (ATF 130 IV 72 consid. 2.2 p. 74, 125 IV 79 consid. 1b p. 81).
2. Dans l'arrêt rendu sur révision du 27 mai 2010 (9F_2/2010), le Tribunal fédéral a relevé que le requérant ne démontrait pas qu'il se soit trouvé dans l'impossibilité non fautive d'avoir eu connaissance des déclarations et attestation datées du 27 mai 1999 pour pouvoir les invoquer à temps dans la procédure précédente. Il a retenu que la découverte des déclarations et attestation datées du 27 mai 1999 était le fruit de recherches qui auraient pu et dû être effectuées plus tôt, si le requérant avait fait preuve de la diligence que l'on pouvait exiger de lui devant l'autorité précédente en ouvrant action le 24 mai 2004 contre la Caisse de retraite et de prévoyance du personnel enseignant du canton du Valais.
Par son écriture du 13 août 2010, le requérant entend démontrer le contraire. Il affirme qu'il s'est trouvé dans l'impossibilité non fautive d'avoir eu connaissance des déclarations et attestations datées du 27 mai 1999 qui lui ont été transmises le 25 mai 2010, dont la découverte ne pouvait être le fruit de recherches qui auraient pu et dû être effectuées plus tôt, puisqu'elles ne se trouvaient pas chez lui avant le 25 mai 2010.
Il est toutefois contraire à l'interdiction de l'abus de droit que le requérant se fonde à nouveau sur les déclarations et attestations datées du 27 mai 1999, dont le Tribunal fédéral a pourtant dit dans l'arrêt sur révision du 27 mai 2010 (9F_2/2010) que leur découverte était le fruit de recherches qui auraient pu et dû être effectuées plus tôt. Il est étonnant qu'il existe une déclaration datée du 27 mai 1999 dont le contenu corresponde aux déclarations et attestations datées du 27 mai 1999 et que le requérant, en produisant cette nouvelle pièce, adapte son écriture du 13 août 2010 à ce que la Cour de céans dans l'arrêt sur révision du 27 mai 2010 a considéré comme lacunaire dans ses écritures des 12 mars et 2 avril 2010. Il est encore plus surprenant que la nouvelle pièce ait été produite déjà le 28 mai 2010, soit avant la notification de l'arrêt sur révision du 27 mai 2010. En définitive, le fait qu'une déclaration du 27 mai 1999 non signée par le requérant se présente ne permet pas de faire table rase du fait que celui-ci, sur la base des documents contresignés par lui-même le même jour (27 mai 1999), de même contenu pour l'essentiel, disposait objectivement des connaissances matérielles, ce qui en soi déjà s'oppose à ce qu'un nouveau moyen de preuve soit invoqué comme motif de révision. La demande de révision est dès lors irrecevable.
3. Le requérant, qui succombe, supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1, 1ère phrase, LTF), pour laquelle il ne saurait prétendre une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 LTF). En ce qui concerne l'intimée, qui n'a pas été invitée à répondre, l'octroi de dépens ne se pose pas (art. 68 al. 3 LTF; ATF 134 V 340 consid. 7 p. 351).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande de révision est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du requérant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 novembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner