Faits:
A. A.X._, ressortissante de Sierra Leone née en 1979, a épousé, en 2000 à Freetown (Sierra Leone), B.X._, qui possède la double nationalité française et suisse. En novembre 2000, les époux X._ se sont installés en France, à proximité de la frontière suisse, et l'épouse a donné naissance, en 2000 à St-Julien en Genevois, à un fils prénommé C._.
Les époux X._ se sont séparés durant l'été 2003. Le 7 novembre 2003, A.X._ et son fils se sont installés en Suisse. Par courriers des 25 septembre et 6 novembre 2003 adressés à l'Office de la population du canton de Genève, la prénommée a sollicité l'octroi d'une autorisation de séjour.
Par courrier du 22 décembre 2003, l'Office de la population du canton de Genève a informé A.X._ qu'il était disposé à lui octroyer une autorisation de séjour en vertu de l'art. 3 al. 1 lettre c de l'ordonnance fédérale du 6 octobre 1986 limitant le nombre des étrangers (OLE; RO 1986 1791 et les modifications ultérieures; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), sous réserve de l'approbation de l'Office fédéral de l'immigration, de l'intégration et de l'émigration - devenu entre-temps l'Office fédéral des migrations (ci-après: l'Office fédéral) -, auquel il a transmis le dossier.
Le 12 janvier 2004, l'Office fédéral a informé l'Office de la population que le règlement des conditions de séjour en Suisse de A.X._ ne pouvait intervenir sous l'angle de la disposition précitée.
Invitée à prendre position sur le courrier du 12 janvier 2004, A.X._ a indiqué à l'Office de la population que son fils, ressortissant suisse, était malade et nécessitait des soins constants.
Le 20 juin 2005, l'Office de la population a informé A.X._ qu'il était disposé à lui délivrer une autorisation de séjour et transmettait son dossier à l'Office fédéral, en donnant un préavis favorable à une exemption des mesures de limitation au sens de l'art. 13 lettre f OLE.
Le 28 juillet 2005, A.X._ a produit un rapport médical d'où il ressort que son fils C._ est atteint d'autisme infantile et que la gravité de son état nécessite un placement d'une durée indéterminée auprès de la fondation G._ à H._, avec retour au domicile maternel durant les week-ends.
Par décision du 28 septembre 2005, l'Office fédéral a refusé de mettre A.X._ au bénéfice d'une exemption des mesures de limitation.
Un recours a été interjeté à l'encontre de ce prononcé. Le 30 janvier 2006, l'Office fédéral a annulé sa décision du 28 septembre 2005, motif pris que la demande d'autorisation de séjour de A.X._ ne pouvait pas être examinée à la lumière de l'art. 13 lettre f OLE, mais devait l'être sous l'angle des art. 4, 7 et 16 de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007).
Le 15 mars 2006, l'Office de la population a soumis une nouvelle fois le dossier de A.X._ à l'Office fédéral, en donnant un préavis favorable à l'octroi d'une autorisation de séjour.
Par décision du 5 juillet 2006, l'Office fédéral a refusé d'approuver l'octroi d'une autorisation de séjour à A.X._ et a prononcé son renvoi de Suisse.
B. A l'encontre de cette décision, A.X._ a recouru au Département fédéral de justice et police - auquel a succédé le Tribunal administratif fédéral.
Dans le cadre de l'instruction du recours, A.X._ a produit un jugement du 20 mars 2006 par lequel le Tribunal de grande instance de Bourg-en-Bresse a prononcé le divorce des époux X._ et attribué l'autorité parentale sur C._ aux deux parents, en fixant la résidence habituelle de ce dernier au domicile de la mère.
Le 18 janvier 2009, A.X._ a donné naissance à Genève à un fils prénommé F._.
Par arrêt du 12 novembre 2009, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours. Procédant à une pesée des intérêts, il a considéré que le refus d'approuver l'octroi d'une autorisation de séjour à A.X._ n'était pas contraire à l'art. 8 CEDH. Ce faisant, il a pris en considération notamment le fait que sa présence en Suisse n'était pas une condition pour que son fils C._ puisse continuer à bénéficier d'un placement auprès de la fondation G._. Elle-même pouvait faire en sorte de maintenir les relations avec son fils - durant les week-ends et les vacances - en allant s'installer en France voisine, où elle disposait d'une carte de résident valable jusqu'au 11 octobre 2011. Elle était du reste venue en Suisse en se prévalant de la nationalité suisse de son fils et "en se gardant bien de préciser que celui-ci était également de nationalité française". Elle avait ainsi pu obtenir la prise en charge de celui-ci par les établissements hospitaliers du canton de Genève, puis son placement auprès de la fondation G._. Un tel comportement, "proche de l'abus de droit", pesait nettement en sa défaveur. En outre, durant ses six ans de présence en Suisse, A.X._ n'avait jamais exercé d'activité lucrative et avait toujours dépendu de l'assistance sociale. Le Tribunal administratif fédéral a par ailleurs confirmé le renvoi de Suisse de la prénommée.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 12 novembre 2009 et de renvoyer la cause à l'autorité inférieure afin que, statuant à nouveau, elle approuve l'octroi d'une autorisation de séjour en sa faveur. A titre préalable, elle requiert que son recours soit doté de l'effet suspensif. Elle se plaint d'une violation des art. 24 et 25 Cst., de l'art. 8 CEDH, de l'art. 3 de la convention relative aux droits de l'enfant du 2 novembre 1989 (CDE; RS 0.107), ainsi que de l'art. 12 al. 4 du pacte international relatif aux droits civils et politiques (RS 0.103.2).
L'Office fédéral propose le rejet du recours. L'autorité précédente renonce à se déterminer, tout en relevant que les faits nouvellement allégués par la recourante ne peuvent être pris en considération.
Par ordonnance présidentielle du 30 mars 2010, la requête d'effet suspensif a été admise.
Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'art. 83 let. c ch. 4 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable à l'encontre des décisions en matière de droit des étrangers qui concernent le renvoi.
L'arrêt attaqué porte aussi sur le renvoi de la recourante. Par conséquent, dans la mesure où il tend à son annulation sur ce point, le recours est irrecevable.
1.2 Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. La recourante est divorcée. C'est donc à juste titre qu'elle ne se prévaut d'aucun droit à une autorisation de séjour découlant de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113), applicable en vertu de l'art. 126 al. 1 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) aux demandes déposées avant le 1er janvier 2008, comme celle formée par la recourante. En revanche, dans la mesure où la recourante vit avec son fils âgé de neuf ans et demi, qui a la nationalité suisse et sur lequel elle exerce l'autorité parentale, cette relation familiale lui permet, en vertu de l'art. 8 CEDH, d'invoquer un droit à rester en Suisse. Son recours est donc recevable au regard de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.2 p. 146), étant précisé que le point de savoir si la recourante remplit les conditions pour obtenir une autorisation de séjour en vertu de l'art. 8 CEDH relève du fond et non de la recevabilité.
1.3 Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public (cf. art. 82 ss LTF) étant réunies, il convient d'entrer en matière sur le recours dans la mesure précitée.
2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que les faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant lui (art. 99 al. 1 LTF).
Les faits nouveaux allégués par la recourante - ayant trait notamment aux relations de C._ avec son grand-père paternel domicilié à Genève - ne peuvent par conséquent être pris en considération. Le Tribunal de céans s'en tiendra aux faits ressortant de l'arrêt attaqué.
3. 3.1 L'art. 8 CEDH ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un Etat déterminé. Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut toutefois entraver sa vie familiale et porter ainsi atteinte au droit au respect de la vie privée et familiale garanti par cette disposition (ATF 135 I 143 consid. 1.3.1 p. 145, 153 consid. 2.1 p. 154 s.). Il n'y a toutefois pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des membres de la famille qu'ils réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8 CEDH n'est pas a priori violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour (ATF 135 I 143 consid. 2.2 p. 147, 153 consid. 2.1 p. 155). En revanche, si le départ du membre de la famille pouvant rester en Suisse ne peut d'emblée être exigé sans autres difficultés, il convient de procéder à la pesée des intérêts prévue par l'art. 8 par. 2 CEDH. Celle-ci suppose de tenir compte de l'ensemble des circonstances et de mettre en balance l'intérêt privé à l'obtention d'un titre de séjour et l'intérêt public à son refus (ATF 135 I 153 consid. 2.1 p. 155).
3.2 S'agissant du droit de séjour en Suisse du parent étranger ayant la garde de son enfant suisse, fondé sur la protection de la relation parent/enfant garantie par l'art. 8 CEDH ("regroupement familial inversé", "umgekehrter Familiennachzug"), le Tribunal fédéral a récemment précisé les critères à prendre en considération, en soulignant la nécessité de tenir davantage compte des droits découlant de la nationalité suisse de l'enfant ainsi que de la convention relative aux droits de l'enfant (ATF 135 I 143 consid. 2.3 p. 148, 153 consid. 2.2.2 p. 156 s.; arrêt 2C_2/2009 du 23 avril 2009 consid. 3.2).
Pour que l'on puisse contraindre un enfant suisse à suivre son parent à l'étranger, il faut non seulement que son départ paraisse exigible, mais encore qu'il existe des motifs d'ordre et de sécurité publics, de nature à justifier les importantes conséquences d'un départ pour l'étranger. L'intérêt public à mener une politique migratoire restrictive n'est pas suffisant à cet égard. Si rien ne fait apparaître le parent étranger, exerçant l'autorité parentale, comme indésirable en Suisse et en l'absence d'indices d'un comportement abusif de sa part en vue d'obtenir une autorisation de séjour, il y a lieu d'admettre en général que l'on ne peut attendre de l'enfant suisse qu'il suive son parent à l'étranger et que, dans la pesée des intérêts selon l'art. 8 par. 2 CEDH, l'intérêt privé de l'enfant à demeurer en Suisse l'emporte sur l'intérêt public d'une politique migratoire restrictive (ATF 135 I 153 consid. 2.2.4 p. 158). Seule une atteinte d'une certaine gravité à l'ordre et à la sécurité publics peut l'emporter sur le droit de l'enfant suisse de pouvoir grandir dans sa patrie avec le parent qui a le droit de garde et l'autorité parentale sur lui (arrêt 2C_505/2009 du 29 mars 2010 destiné à la publication, consid. 5.2). Le fait que le parent étranger dépende de façon continue et dans une large mesure de l'aide sociale peut également constituer un motif conduisant à lui refuser une autorisation de séjour (arrêt 2C_697/2008 du 2 juin 2009 consid. 4.4 avec renvoi notamment à l'art. 51 al. 1 lettre b en relation avec les art. 42 et 63 al. 1 lettre c LEtr).
4. 4.1 En l'occurrence, on peut difficilement exiger de C._ qu'il suive sa mère à l'étranger. Selon les constatations de fait de l'autorité précédente, celui-ci souffre en effet d'autisme et bénéficie depuis 2005 d'un placement auprès de la fondation G._, à H._. Un changement d'institution n'irait pas sans de nombreuses difficultés, qui seraient encore accrues au vu du trouble du développement dont souffre C._ (cf. attestation de la doctoresse D._ du 22 mai 2008: "Tout changement dans [l']entourage [de C._] entraîne rapidement une péjoration de son état").
Après avoir sollicité l'avis du Service de l'enseignement spécialisé et de l'appui à la formation du canton de Vaud, l'autorité précédente a considéré que C._ pourrait continuer à bénéficier d'un placement auprès de cette fondation même si sa mère n'était plus domiciliée en Suisse. La recourante conteste ce point de vue, en faisant valoir que si elle transférait son domicile à l'étranger, C._ serait lui aussi domicilié à l'étranger en vertu des art. 25 al. 1 et 26 CC, de sorte qu'il ne pourrait plus bénéficier des prestations de l'assurance-invalidité, ni d'une prise en charge par le canton de Genève. En théorie, il resterait certes la possibilité, pour que C._ conserve un domicile en Suisse, de retirer l'autorité parentale à la recourante et de le mettre sous tutelle (cf. art. 25 al. 2 CC), mais cela ne serait guère réalisable en l'absence de motifs pertinents tirés du droit de la famille.
La question de savoir si C._ pourrait continuer de bénéficier d'un placement auprès de la fondation G._ dans le cas où la recourante ne serait plus domiciliée en Suisse peut demeurer indécise. Il est en effet constant que les relations qu'il entretient avec sa mère - durant les week-ends et les vacances - sont particulièrement importantes pour l'amélioration de son état de santé (cf. attestation médicale précitée et attestation de E._, directeur de la fondation G._, du 24 juillet 2008). L'autorité précédente a retenu que la recourante pourrait maintenir ses relations en s'établissant en France voisine, où elle dispose d'une carte de résident valable jusqu'au 11 octobre 2011. Or, il faut convenir avec la recourante que la carte de résident d'un étranger qui a quitté le territoire français et a résidé à l'étranger pendant une période de trois ans consécutifs est périmée (cf. art. L. 314-7 du code de l'entrée et du séjour des étrangers et du droit d'asile de la République française, en abrégé CESEDA). Du moment que, établie en Suisse depuis novembre 2003, elle a résidé hors de France durant plus de trois ans, il est douteux qu'elle puisse obtenir le renouvellement de sa carte de résident échéant en octobre 2011. C'est dire que si la recourante devait être renvoyée en France, son statut y serait précaire. La situation serait certes différente - comme la recourante l'admet elle-même - si elle s'y établissait avec son fils C._, qui possède la nationalité française. Cette hypothèse n'entre toutefois pas en ligne de compte, puisque, comme on l'a vu, il n'est pas question d'exiger de ce dernier qu'il quitte la fondation G._.
4.2 Dans la pesée des intérêts, le fait que la recourante ne puisse se prévaloir d'une bonne intégration socio-professionnelle et qu'elle dépende de façon continue et apparemment entièrement de l'aide sociale sont des motifs en défaveur de l'octroi d'une autorisation de séjour (cf. arrêt 2C_697/2008 précité), ce d'autant que rien n'indique que sa situation puisse évoluer dans le sens d'une plus grande autonomie financière. D'un autre côté, durant son séjour de plus de six ans, son comportement n'a pas donné lieu à des plaintes (le 8 décembre 2005, elle a certes été interpellée au poste-frontière de Meyrin en possession d'un téléphone portable volé, mais elle aurait été acquittée par jugement du Tribunal de police de Genève du 17 août 2006). En outre, on ne voit pas en quoi le fait que la recourante est venue s'installer avec son fils de nationalité suisse à Genève, où celui-ci a bénéficié d'une prise en charge par les établissements hospitaliers de ce canton, serait proche de l'abus de droit, comme l'a admis l'autorité précédente. En particulier, ce comportement n'apparaît pas comme abusif du seul fait que son fils possède aussi la nationalité française. L'existence de cette autre nationalité n'affecte en effet en rien les droits découlant de la première.
Conformément à la jurisprudence citée ci-dessus (arrêt 2C_697/2008), le fait que la recourante dépend durablement et dans une large mesure de l'aide sociale revêt une grande importance dans la pesée des intérêts. Le cas d'espèce présente toutefois un caractère exceptionnel au regard de la nature particulière du trouble dont souffre le fils de la recourante. Dès lors que cette maladie lui impose d'éviter tout changement d'environnement, il y a lieu d'admettre, au vu en particulier des art. 3, 23 et 28 de la Convention relative aux droits de l'enfant, que l'intérêt de celui-ci à pouvoir demeurer en Suisse, en bénéficiant d'un placement auprès de la fondation G._, et à la préservation de ses relations avec sa mère - ce qui suppose que celle-ci puisse également demeurer en Suisse, au vu de la précarité de son statut en France - l'emporte sur l'intérêt public à ce que la recourante quitte le pays.
En confirmant le refus d'octroyer une autorisation de séjour à la recourante, l'autorité précédente a donc violé l'art. 8 CEDH.
5. Vu ce qui précède, le recours doit être admis dans la mesure où il est recevable, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée à l'Office fédéral pour qu'il approuve l'octroi de l'autorisation de séjour.
Il n'y a pas lieu de percevoir de frais de justice (cf. art. 66 al. 4 LTF). Succombant, l'Office fédéral devra verser à la recourante une indemnité à titre de dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral ne fera pas usage de la faculté prévue aux art. 67 et 68 al. 5 LTF et renverra la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure accomplie devant elle.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis dans la mesure où il est recevable. L'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 12 novembre 2009 est annulé et la cause renvoyée à l'Office fédéral des migrations pour qu'il approuve l'octroi d'une autorisation de séjour à la recourante.
2. La cause est renvoyée au Tribunal administratif fédéral afin qu'il statue à nouveau sur le sort des frais et dépens de la procédure accomplie devant lui.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. L'Office fédéral des migrations versera à la recourante une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué au représentant de la recourante, à l'Office fédéral des migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 14 juin 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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