Fatti:
A. Lamentando problemi psichici, C._, nata nel 1967, già attiva professionalmente nella gestione di un esercizio pubblico (di proprietà del marito), in data 15 novembre 2006 ha presentato una domanda di prestazioni dell'assicurazione invalidità. L'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) - esperiti gli accertamenti medici e preso atto del rapporto del Centro peritale per le assicurazioni sociali allestito il 18 ottobre 2007 - con decisione 24 giugno 2008 ha riconosciuto il diritto a una rendita intera, con un grado di invalidità dell'80%, a partire dal 1° agosto 2006.
B. La GastroSocial Cassa pensione si è aggravata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, chiedendo in particolare l'allestimento di una nuova perizia che tenesse conto non solo delle indicazioni della psichiatra curante, ma anche delle residue capacità lavorative dell'interessata, in considerazione del fatto che un disturbo depressivo recidivo di medio grado non condurrebbe ad un'inabilità totale ma tutt'al più del 50%.
Con giudizio 13 luglio 2009 la Corte cantonale, statuendo per giudice unico, ha respinto il ricorso di GastroSocial Cassa pensione contro la decisione dell'UAI.
C. La GastroSocial Cassa pensione è insorta al Tribunale federale, al quale chiede l'annullamento del giudizio cantonale e l'allestimento di una nuova perizia psichiatrica che valuti, tra l'altro, la possibilità di misure di integrazione come pure la residua capacità lavorativa dell'assicurata.
L'UAI e C._ hanno proposto la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. Oggetto del contendere è il grado di invalidità, e in particolare il diritto alla rendita (intera) AI, di C._.
2. Già solo per gli effetti esplicati dalle decisioni degli organi dell'AI (art. 49 cpv. 4 LPGA; DTF 132 V 1), l'istituto di previdenza è senz'altro legittimato a ricorrere contro il giudizio cantonale (art. 89 LTF; SVR 2008 IV n. 11 pag. 32 consid. 2.2 con riferimenti [I 687/06] e n. 60 pag. 195 consid. 2 [9C_337/2007]; cfr. pure DTF 130 V 270 consid. 3.1 pag. 273 con riferimento).
3. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Costituisce una violazione del diritto federale in particolare anche l'accertamento incompleto dei fatti determinanti (v. HANSJÖRG SEILER/NICOLAS VON WERDT/ANDREAS GÜNGERICH, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2007, no. 24 all'art. 97). Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (art. 106 cpv. 1 LTF; cfr. tuttavia l'eccezione del cpv. 2) e non è pertanto vincolato né dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità precedente. Per il resto, fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF) e può scostarsi da questo accertamento solo qualora esso sia avvenuto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF (art. 105 cpv. 2 LTF).
4. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, il primo giudice ha correttamente esposto le norme e i principi disciplinanti la materia, rammentando in particolare il concetto d'invalidità (art. 8 LPGA e art. 4 LAI), i presupposti e l'estensione del diritto alla rendita (art. 28 LAI), il sistema di confronto dei redditi e il momento determinante per l'accertamento del grado d'invalidità di assicurati esercitanti un'attività lucrativa (art. 16 LPGA; DTF 129 V 222; 128 V 174), i compiti del medico nell'ambito di questa valutazione e il valore probatorio generalmente riconosciuto ai referti medici fatti allestire da un tribunale o dall'amministrazione conformemente alle regole di procedura applicabili (DTF 125 V 256 consid. 4 pag. 261, 351 consid. 3b/ee pag. 353).
A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione non senza tuttavia ribadire che non sono considerati effetti di un danno alla salute psichica, e dunque non costituiscono turbe a carico dell'assicurazione per l'invalidità, le limitazioni della capacità al guadagno cui la persona assicurata potrebbe ovviare dando prova di buona volontà, atteso che un danno alla salute psichica produce una incapacità al guadagno (art. 7 LPGA) solo nella misura in cui è lecito ammettere che l'impiego della capacità lavorativa (art. 6 LPGA) non possa più essere pretesa dalla persona assicurata dal profilo pratico sociale oppure risulti insostenibile per la società (DTF 102 V 165; cfr. anche DTF 127 V 294 consid. 4c pag. 298).
5. 5.1 L'istanza giudiziaria cantonale ha sostanzialmente fondato la propria pronuncia sulle risultanze della perizia 18 ottobre 2007 del Centro peritale per le assicurazioni sociali. L'accertamento peritale - fondatosi sui documenti medici messi a disposizione e sul colloquio 4 settembre 2007 avuto dall'assicurata con la dott.ssa Z._ - ha messo in evidenza la diagnosi di "sindrome depressiva ricorrente, episodio attuale di media gravità (ICD-10: F 33.1)" e attestato una inabilità al lavoro dell'80% dal 20 marzo 2006 in qualsiasi attività lucrativa come pure una "compromissione fisica e psichica nello svolgimento dell'attività casalinga, effettuabile solo per 2-3 ore al giorno al massimo intercalate da frequenti pause a causa di una facile esauribilità delle energie". Dalla perizia si evince inoltre che "non sono attualmente in corso né sono previsti provvedimenti di integrazione".
5.2 Da parte sua la ricorrente - riferendosi al rapporto 3 giugno 2008 del proprio psichiatra fiduciario, dott. S._ - contesta questa valutazione e osserva che la perizia del Centro peritale per le assicurazioni sociali sarebbe inattendibile oltre che incompleta perché si richiamerebbe unicamente alle indicazioni della psichiatra curante e si baserebbe su di esse e non su considerazioni medico-teoriche, come sarebbe stato necessario sotto un punto di vista attuariale. Per la Cassa pensione ricorrente tali considerazioni si baserebbero sull'attività effettiva svolta nel bar del marito, senza considerare il lavoro ragionevolmente esigibile in base al grado del disturbo psichico. Ritiene inoltre che l'UAI avrebbe elargito una rendita molto in fretta, benché i provvedimenti d'integrazione non fossero stati esaminati in modo serio o magari neanche effettuati, e sostiene che l'attività nel bar del marito, con il quale sussistono problemi di relazione che causano disturbi psichici, non sarebbe adatta. In tali circostanze, avendo valutato il grado d'invalidità in relazione ad un posto di lavoro non adatto, l'UAI e l'autorità giudiziaria cantonale avrebbero commesso un errore di diritto. Per l'insorgente, fintanto che non viene presa in considerazione un'attività adatta - e per fare ciò si deve esaminare se l'assicurata, al di fuori dell'influenza di suo marito, è maggiormente abile al lavoro - non si può correttamente determinare il grado d'invalidità.
6. 6.1 Nel caso di specie, la scrivente Corte ritiene che l'istruttoria sia stata svolta in maniera incompleta e che pertanto l'autorità giudiziaria cantonale sia incorsa in una violazione del diritto federale.
6.2 Mentre non vi è dubbio che l'assicurata soffra di una sindrome depressiva di media gravità (ICD-10: F 33.1), vi è incertezza sul grado di invalidità. L'incertezza si appalesa nella qualità del rapporto del Centro peritale per le assicurazioni sociali che sembra avere dato per scontato, senza la necessaria verifica, quanto affermato dall'assicurata e dal marito.
In particolare, l'assicurata e il marito hanno sostenuto che essa si strapperebbe le unghie delle mani e dei piedi fino a farle sanguinare, si morsicherebbe gli arti superiori, segnatamente i polsi, e ogni tanto, si gratterebbe, recentemente anche con l'ausilio di un coltellino, fino a sanguinare indistintamente in tutto il corpo. Stando a quanto riferito, ciò le provocherebbe dolore con iniziale piacere e successiva sofferenza. A fronte di siffatte asserzioni - facilmente controllabili anche perché, per quanto segnalato dalla coppia, riferite a episodi verificatisi recentemente -, la perizia si è limitata a riprendere quanto riportato e a concludere che, insieme allo stato depressivo e al grave ritiro sociale, la quota d'ansia elevata e la sintomatologia compulsiva nonché autolesionistica contribuirebbero a compromettere le risorse energetiche e il funzionamento globale dell'assicurata, senza però indicare di avere verificato la presenza delle invocate lesioni. Di tutta evidenza un referto siffatto non consente di trarre conclusioni affidabili.
6.3 Già solo per questo motivo e considerata la patologia psichica di media gravità che affligge l'interessata - soggetto giovane, ritenuto che ha solo 43 anni -, si giustifica di rinviare la causa all'amministrazione affinché completi l'istruttoria con una nuova approfondita perizia psichiatrica e chiarisca in particolare gli atteggiamenti compulsivi e autolesionistici descritti sia dall'interessata che da suo marito. Dovranno inoltre essere accertati in termini affidabili la capacità dell'assicurata di svolgere un'attività lavorativa, eventualmente ridotta e non più alle dipendenze del marito, come pure la resistenza alla fatica in ambito domestico e l'applicabilità di eventuali provvedimenti d'integrazione professionale. A seconda dell'esito, l'autorità amministrativa effettuerà la rituale indagine comparativa dei redditi.
7. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono pertanto poste a carico dell'opponente (art. 66 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è accolto nel senso che, annullati il giudizio 13 luglio 2009 del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e la decisione 24 giugno 2008 dell'Ufficio AI del Cantone Ticino, gli atti sono rinviati all'amministrazione perché proceda conformemente ai considerandi e renda una nuova decisione.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.-- sono poste a carico dell'opponente.
3. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.