Sachverhalt:
A. Der 1963 geborene, zuletzt als Verkäufer angestellt gewesene E._ war in einem Programm der Arbeitslosenversicherung zur vorübergehenden Beschäftigung tätig und bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 14. Februar 2004 erlitt er einen Verkehrsunfall. Er wollte mit dem von ihm gelenkten Toyota Corolla auf einer Kreuzung nach links abbiegen. Die Lenkerin eines auf der Spur rechts neben ihm fahrenden Opel Corsa übersah bei einem Wendemanöver den Toyota, worauf dieser mit der rechten vorderen Ecke in die linke Seite des Opels stiess. Wegen danach aufgetretener Beschwerden suchte E._ am 17. Februar 2004 Dr. med. C._, Facharzt FMH für Innere Medizin, Manuelle Medizin SMM, auf, welcher eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) bei - mittels MRI vom 26. Februar 2004 festgestellten - multisegmentalen Diskushernien auf Höhen C4/5 und C5/6 sowie bei radikulärer Symptomatik auf Höhe C8/Th1 links diagnostizierte und eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigte (Arztbericht vom 29. März 2004). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie dem Versicherten mit Verfügung vom 6. April 2005, die Leistungen würden mit dem 11. April 2005 eingestellt. Zugleich verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden seien nicht mit einem unfallkausalen Gesundheitsschaden zu erklären. Daran hielt die SUVA auf die von E._ und dessen Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 21. Juni 2006).
B. Die von E._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau nach Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung mit Entscheid vom 7. November 2007 ab.
C. E._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung von kantonalem Beschwerdeentscheid und Einspracheentscheid sei die SUVA zu verpflichten, ab 12. April 2005 weiterhin Leistungen zu erbringen; eventuell sei ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten einzuholen oder die Sache hiefür an die Vorinstanz oder an den Unfallversicherer zurückzuweisen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 3. resp. 7. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer aus dem Unfall vom 14. Februar 2004 über den 11. April 2005 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, richtig dargelegt. Es betrifft dies insbesondere den für einen Leistungsanspruch erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden, namentlich auch bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden nach Unfall und bei Diskushernien, mit den sich stellenden Beweisfragen. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der sog. Schleudertrauma-Praxis, welche bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen zur Anwendung gelangt, auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen). Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die Schleudertrauma-Praxis präzisiert hat (BGE 134 V 109). Die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze (BGE 115 V 133) liess es hingegen unverändert bestehen (vgl. BGE 134 V 109 E. 6.1 S. 116).
2. Es besteht zunächst Uneinigkeit in der Beantwortung der Frage, ob die noch bestehenden Beschwerden mit einem natürlich unfallkausalen, organisch objektiv ausgewiesenen Gesundheitsschaden zu erklären sind.
2.1 Das kantonale Gericht hat dies verneint. Die mit bildgebenden Verfahren festgestellten cervicalen Diskushernien seien nicht durch den Unfall verursacht worden. Für die radikuläre Symptomatik C8 mit Parästhesien bzw. Hinweise für eine Reizung der Wurzel C8 bestehe kein organisches Korrelat. Gleiches gelte für den bestehenden Schulterhochstand und die dadurch hervorgerufene Muskelverkürzung. Sodann sei mit den beschriebenen Druckdolenzen und Verspannungen (markanter Muskelhartspann der linken Schultergürtelmuskulatur) sowie Bewegungsdefiziten der HWS, welche Befunde die Belastbarkeit ohnehin nicht wesentlich einschränkten, keine organisch ausgewiesene Unfallfolge dargetan.
2.2 Die vorinstanzliche Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Auseinandersetzung mit den medizinischen Akten und einer überzeugend begründeten rechtlichen Würdigung.
Was der Versicherte vorträgt, führt zu keinem anderen Ergebnis. Dass die festgestellten Pathologien an der HWS (insbes. multisegmentale Diskushernien zwischen C4 und C7) ihre Ursache nicht im Unfall vom 14. Februar 2004 haben, hat das kantonale Gericht einlässlich und in Nachachtung der Rechtsprechung zur Unfallkausalität von derartigen Bandscheibenschäden dargelegt. Danach entspricht es im Bereich des Unfallversicherungsrechts einer medizinischen Erfahrungstatsache, dass praktisch alle Diskushernien bei Vorliegen degenerativer Bandscheibenveränderungen entstehen und ein Unfallereignis nur ausnahmsweise, unter besonderen Voraussetzungen, als eigentliche Ursache in Betracht fällt (RKUV 2000 Nr. U 379 S. 192, U 138/99, E. 2a, und Nr. U 378 S. 190, U 149/99, E. 3, je mit Hinweisen; aus jüngster Zeit etwa: Urteile 8C_637/2007 vom 11. August 2008, E. 2.2, 8C_239/2007 vom 7. August 2008, E. 5.3, und 8C_614/2007 vom 10. Juli 2008, E. 4.1.1). Diese Voraussetzungen hat das kantonale Gericht hier zu Recht verneint. Es hat dabei namentlich nachvollziehbar begründet, weshalb auf die Aussagen im Untersuchungsbericht des Dr. med. M._, Spezialarzt FMH für Neurologie, vom 10. März 2005, welche auch gemäss Bericht des Dr. med. T._, Facharzt für Physikalische Medizin und Rehabilitation, Rheumatologie, Medizinisches Zentrum X._, vom 16. März 2005 und kreisärztlicher Stellungnahme vom 16. März 2005 überzeugend sind, abzustellen ist. Danach ist eine unfallbedingte Verursachung, aber auch Verschlimmerung eines pathologischen Befunds im HWS-Bereich organisch nicht ausgewiesen. Dass der Versicherte, wie er geltend macht, im Unfallzeitpunkt erst 40 Jahre zählte, ändert hieran nichts und schliesst namentlich auch nicht aus, dass die bildgebend festgestellten Veränderungen an der HWS als degenerativ und vorbestehend, somit unfallfremd, zu betrachten sind. Es kann im Übrigen auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
Von weiteren medizinischen Abklärungen ist kein entscheidrelevanter neuer Aufschluss zu erwarten. Die Vorinstanz hat daher zu Recht davon abgesehen. Dies gilt insbesondere auch, was die geklagte radikuläre Symptomatik resp. Reizsymptomatik auf Höhe C8 betrifft. Mit dem kantonalen Gericht ist als unwahrscheinlich zu betrachten, dass die beantragte zusätzliche Untersuchung der HWS mittels MRI einen organischen Befund ausweisen würde, welcher noch bestehende Beschwerden erklären und zuverlässig auf den Unfall vom 14. Februar 2004 zurückgeführt werden könnte.
3. Nach dem Gesagten liegt keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vor. Das schliesst zwar die natürliche Unfallkausalität der bestehenden Beschwerden nicht aus. Anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat kann der adäquate Kausalzusammenhang aber nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (E. 1 hievor; vgl. auch Urteil 8C_637/2007 vom 11. August 2008, E. 2.3). Eine solche Adäquanzprüfung haben Unfallversicherer und Vorinstanz vorgenommen.
3.1 Der Beschwerdeführer wendet zunächst, wie schon im kantonalen Verfahren, ein, die Adäquanz sei zu früh beurteilt worden. Es hätte hiefür der Abschluss des normalen, unfallbedingt erforderlichen Heilungsprozesses abgewartet werden müssen.
Das kantonale Gericht hat diese Argumentation zutreffenderweise verworfen. Zu fragen ist nicht danach, in welchem Zeitpunkt der adäquate Kausalzusammenhang zu prüfen ist, sondern wann der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat. Dies hat gestützt auf Art. 19 Abs. 1 UVG in dem Zeitpunkt zu geschehen, in welchem von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind (BGE 134 V 109 E. 3 und 4 S. 112 ff.).
Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung stehen nicht zur Diskussion. Wie das kantonale Gericht sodann in zutreffender Würdigung der medizinischen Akten erkannt hat, hatten verschiedene ambulante und stationäre Behandlungen keine Besserung des Zustandsbildes bewirkt und liess eine Weiterführung medizinischer Massnahmen über den 11. April 2005 nicht zuverlässig relevante Fortschritte erwarten. Wenn die SUVA den Fall abgeschlossen hat, ist dies daher nicht zu beanstanden. Der "medizinische Endzustand" musste hiefür entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung nicht erreicht sein. Auch erübrigt sich aufgrund antizipierter Beweiswürdigung das hiezu beantragte polydisziplinäre medizinische Gutachten.
3.2 Das kantonale Gericht hat sodann erwogen, es erscheine fraglich, ob die persistierenden Beschwerden mit einer natürlich unfallkausalen Verletzung im Sinne der Schleudertrauma-Praxis zu erklären seien. Abschliessend müsse dies aber nicht beantwortet werden. Denn der adäquate Kausalzusammenhang - und damit eine weitere Leistungspflicht des Unfallversicherers - sei auch bei einer Prüfung nach der besagten Praxis zu verneinen.
Gegen dieses Vorgehen ist nichts einzuwenden, wenn es tatsächlich im Sinne der vorinstanzlichen Erwägungen an der Adäquanz fehlt. Darauf wird im Folgenden eingegangen.
3.2.1 Für die Adäquanzprüfung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126; E. 1 hievor). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07, E. 5.2 und 5.3.1; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat die Kollision vom 14. Februar 2004 als mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen eingestuft. Die Begründung hiefür im angefochtenen Entscheid überzeugt: Die kollisionsbedingte Geschwindigkeitsänderung lag gemäss biomechanischer Kurzbeurteilung vom 16. November 2004 unterhalb eines Bereichs von 20 - 30 km/h. Mit der Vorinstanz ist dem Umstand Rechnung zu tragen, dass es sich um eine hauptsächlich frontale Kollision handelte, welche in der Regel die HWS weniger belastet als ein Heckauffahrunfall. Gegen erhebliche Krafteinwirkungen beim Unfall spricht sodann, dass der Versicherte sein Fahrzeug noch an den Strassenrand lenken, die erforderlichen Formalitäten mit der Polizei regeln sowie anschliessend mit dem Auto nach Hause fahren konnte und dass er zudem erst drei Tage später ärztliche Behandlung beanspruchen musste. Richtig ist auch, dass die Beschädigungen am Fahrzeug des Versicherten bei Reparaturkosten von rund Fr. 3000.- nicht den Schluss auf höhere Krafteinwirkungen gestatten, zumal das Auto nach dem Unfall noch fahrtauglich war und sich die Beschädigungen im Wesentlichen auf ein beschädigtes rechtes Blinklicht, eine leicht verschobene Motorhaube und eine zwischen dem rechten Vorderrad und dem rechten Scheinwerfer eingedrückte Karosserie beschränkten. Den Eindruck von recht geringen Beschädigungen vermitteln denn auch die Fotos der beiden Unfallautos.
Was der Versicherte vorbringt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Nebst den auf den delta-v-Wert und die Fahrzeugbeschädigungen bezogenen Vorbringen, welche die Vorinstanz mit den erwähnten Erwägungen zutreffend entkräftet hat, wird einzig geltend gemacht, es habe eine seitliche Kollisionskomponente vorgelegen und der Versicherte habe den Kopf nicht gerade gehalten. Dies genügt nicht, um die vorinstanzliche Einstufung der Unfallschwere in Frage zu stellen. Aufgrund der vorgenannten Gesichtspunkte wäre im Übrigen sogar eine Einreihung bei den leichten Unfällen vorstellbar. Weiterungen dazu erübrigen sich aber, da die Adäquanz auch bei der vom kantonalen Gericht angenommenen Unfallschwere zu verneinen ist, wie die folgenden Erwägungen zeigen.
3.2.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6 S. 367 f.).
Die massgeblichen Kriterien wurden teilweise durch BGE 134 V 109 modifiziert. Das kantonale Gericht hat sie noch in ihrer früheren Fassung geprüft und ist zum Ergebnis gelangt, es seien lediglich zwei (Dauerbeschwerden; Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit) in nicht besonders ausgeprägter Weise erfüllt. Der Beschwerdeführer macht geltend, von den Kriterien gemäss der präzisierten Rechtsprechung seien deren fünf, teilweise in ausgeprägter Weise, gegeben.
3.2.3 Zu Recht nicht geltend gemacht werden die (durch BGE 134 V 109 nicht geänderten) Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls sowie der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert.
Nach Lage der Akten unterzog sich der Beschwerdeführer einer ambulanten Physiotherapie und im August/September 2004 einem knapp einmonatigen stationären Rehabilitationsaufenthalt. Zudem fanden hausärztliche Kontrollen statt. Dies genügt selbst dann nicht für die Annahme einer fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung (frühere Umschreibung des Kriteriums: Dauer der ärztlichen Behandlung), wenn, wie vom Versicherten geltend gemacht, die daneben eingenommenen Medikamente und deren Nebenwirkungen (in erster Linie Müdigkeit und Darmprobleme) sowie eine im Juni 2006 erfolgte epidurale Infiltration mitberücksichtigt werden. Es kann daher offen bleiben, ob der besagte Eingriff nicht ohnehin erst nach dem - die zeitliche Grenze der gerichtlichen Überprüfungsbefugnis bildenden (BGE 130 V 445 E. 1.2 S. 446 mit Hinweisen) - Erlass des Einspracheentscheides vom 21. Juni 2006 erfolgt ist und ob er überhaupt Unfallfolgen galt.
Das (unveränderte) Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen liegt ebenfalls nicht vor. Die gesundheitliche Entwicklung nach dem Unfall unterscheidet sich nicht wesentlich von dem bei HWS-Schleudertraumen und vergleichbaren Verletzungen Üblichen. Der geltend gemachte Umstand, dass sich die ungünstige gesundheitliche Entwicklung nicht erklären lasse, genügt nicht für die Bejahung des Kriteriums.
Das frühere Kriterium des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit lautet neu: erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen. Von einer erheblichen Arbeitsunfähigkeit kann grundsätzlich ausgegangen werden, auch wenn hauptsächlich der Hausarzt eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigte, während etwa im Austrittsbericht der Klinik Y._ vom 6. September 2004 davon ausgegangen wurde, eine Wiederaufnahme der angestammten Tätigkeit zu therapeutischen Zwecken an 4 Stunden pro Tag sei in etwa 4 - 6 Wochen vorstellbar. Es fehlt aber an überzeugenden Hinweisen, dass der Versicherte ernsthafte Anstrengungen unternommen hat, die Arbeitsunfähigkeit zu überwinden. Konkret müsste sein Wille erkennbar sein, sich durch aktive Mitwirkung raschmöglichst wieder optimal in den Arbeitsprozess einzugliedern. Dies gebietet schon der allgemeine sozialversicherungsrechtliche Grundsatz der Schadenminderungspflicht (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.2.7 S. 129). Entsprechendes kann dem Versicherten nicht zugute gehalten werden. Zwar hat er an der ambulanten Physiotherapie regelmässig teilgenommen. Der von ärztlicher Seite ausdrücklich empfohlenen stationären Rehabilitation unterzog er sich aber erst, nachdem ihm die SUVA für den Verweigerungsfall die Einstellung der Leistungen angedroht und dies auch bereits mit einer - später, nach doch noch erfolgtem Eintritt in die Klinik Y._, zurückgenommenen - Verfügung vom 22. Juli 2004 umgesetzt hatte. Auch wenn nach Lage der Akten bei der anfänglichen Weigerung des Versicherten soziokulturelle Gründe mitgespielt haben mögen, kann sein Verhalten nicht als aktive Mitwirkung im Rahmen der Schadenminderungspflicht betrachtet werden. Es fehlt überdies an jeglichen Arbeitsversuchen nach dem Unfall, ob nun im angestammten oder in anderen Erwerbsbereichen. Die Angabe des Versicherten vom 22. Oktober 2004, wonach er zuerst gesund werden wolle, bevor von einer Arbeitsaufnahme zu sprechen sei, lässt im Übrigen ebenfalls nicht auf den ernsthaften Willen schliessen, beruflich raschmöglichst auch nur teilweise wieder eingegliedert zu werden. Das Kriterium ist daher nicht erfüllt.
Von erheblichen Beschwerden (frühere Fassung des Kriteriums: Dauerbeschwerden) hingegen kann mit Blick auf die glaubhaft geklagten Schmerzen und die dadurch bewirkte Einschränkung im Lebensalltag (vgl. BGE 134 V 109 E. 102.4 S. 128) ausgegangen werden. Entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung übersteigen die Beschwerden das bei Schleudertrauma-Verletzungen übliche Mass aber nicht derart, dass das Kriterium in besonders ausgeprägter Weise bejaht werden könnte.
Damit verbleibt das (unveränderte) Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen. Selbst wenn dieses bejaht würde, wie der Versicherte geltend macht, läge es jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise vor.
3.2.4 Zusammenfassend sind demnach höchstens zwei der adäquanzrelevanten Kriterien erfüllt, womit diese nicht gehäuft vorliegen. Da zudem kein Kriterium in besonders ausgeprägter Weise gegeben ist, hat die Vorinstanz den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 14. Februar 2004 und den noch bestehenden Beschwerden und damit die Leistungspflicht des Unfallversicherers zu Recht verneint. An diesem Ergebnis vermögen sämtliche weiteren Vorbringen des Versicherten nichts zu ändern.
4. Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Dr. Peter Stadler, Zürich, wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Oktober 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz