Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1970), britischer Staatsangehöriger, erhielt 1998 aufgrund einer mit einer Schweizerin geschlossenen Ehe eine Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz. Die Ehe wurde 2001 geschieden. In der Folge heiratete X._ eine in der Schweiz niedergelassene mazedonische Staatsangehörige, mit der er seit Oktober 2000 einen gemeinsamen Sohn hat.
Wegen diverser strafrechtlicher Verurteilungen verweigerte die Migrationsbehörde des Kantons Bern X._ am 15. Juli 2009 die Erneuerung seiner letztmals bis 24. Februar 2007 verlängerten Aufenthaltsbewilligung und wies ihn aus der Schweiz weg. Dieser Entscheid wurde letztinstanzlich vom Bundesgericht mit Urteil 2C_680/2010 vom 18. Januar 2011 bestätigt. Am 28. Februar 2011 setzte X._ die Migrationsbehörde darüber in Kenntnis, dass er am 24. Februar 2011 die Schweiz verlassen habe und nach Grossbritannien gereist sei.
B. Am 28. April 2011 erliess das Bundesamt für Migration gegenüber X._ ein bis zum 10. April 2016 befristetes Einreiseverbot für die Schweiz und Liechtenstein. Eine dagegen erhobene Beschwerde wurde vom Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 18. November 2011 abgewiesen.
C. Mit Eingabe vom 22. Dezember 2011 erhebt X._ Beschwerde beim Bundesgericht. Er stellt im Wesentlichen den Antrag, die Einreisesperre für die Schweiz und Liechtenstein sei aufzuheben. Das Bundesamt für Migration beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 27. Januar 2012 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
Erwägungen:
1. 1.1 Nach Art. 83 lit. c Ziff. 1 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend die Einreise. Dies gilt grundsätzlich auch für Entscheide betreffend ein Einreiseverbot (Urteil 2C_236/2011 vom 2. September 2011 E. 1.4). Auf den Beschwerdeführer als britischen Staatsbürger kommt freilich das Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedern andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) zur Anwendung. Nach dessen Art. 11 Abs. 3 erhalten die unter dieses Abkommen fallenden Personen die Möglichkeit, gegen die Entscheidungen über Beschwerden oder das Nichtergehen einer Entscheidung innerhalb einer angemessenen Frist bei dem zuständigen nationalen Gericht Berufung einzulegen. Gestützt darauf ist Art. 83 lit. c Ziff. 1 BGG auf Personen, welche sich auf das FZA berufen können, nicht anwendbar (Urteile 2C_378/2007 vom 14. Januar 2008 E. 2.1; 2C_375/2007 vom 8. November 2007 E. 2.2.2; zur Rechtslage unter der Herrschaft des nicht mehr in Kraft stehenden Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege [Bundesrechtspflegegesetz, OG] vgl. BGE 131 II 352 E. 1 S. 353 ff.). Auf die Beschwerde ist somit grundsätzlich einzutreten.
1.2 Der Beschwerdeführer stellt in Ziff. 4 seines Rechtsbegehrens den Antrag, die Verfahrenssicherheit zur Einhaltung völkerrechtlicher Verträge sei wieder herzustellen. Es ist unklar, was damit gemeint ist; mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann ohne Weiteres die Verletzung von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. b BGG; vgl. E. 2 und E. 3 hiernach), sodass keine besondere Herstellung der Verfahrenssicherheit erforderlich ist. Auf das entsprechende Begehren ist daher nicht einzutreten.
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht (mit Einschluss des Völkerrechts) von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtsmängel. Eine besondere Rügepflicht gilt für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2. Der Beschwerdeführer wendet sich grundsätzlich gegen die Einreisesperre und erblickt darin eine Verletzung von Art. 13 BV und Art. 8 EMRK.
2.1 Nach Art. 67 Abs. 2 lit. a des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20; in der hier anwendbaren Fassung vom 18. Juni 2010, in Kraft seit 1. Januar 2011 [AS 2010 5925, 5929]), worauf sich die Vorinstanz stützt, kann das Bundesamt für Migration Einreiseverbote gegenüber Ausländerinnen und Ausländern verfügen, die gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz oder im Ausland verstossen haben oder diese gefährden. Das Einreiseverbot wird für eine Dauer von höchstens fünf Jahren verfügt. Es kann für eine längere Dauer verfügt werden, wenn die betroffene Person eine schwerwiegende Gefahr für die öffentliche Sicherheit und Ordnung darstellt (Art. 67 Abs. 3 AuG). Bei der Ermessensausübung berücksichtigen die zuständigen Behörden die öffentlichen Interessen und die persönlichen Verhältnisse sowie den Grad der Integration der Ausländerinnen und Ausländer (Art. 96 Abs. 1 AuG). Für Angehörige der EU ist zusätzlich das FZA massgebend (Art. 2 Abs. 2 AuG); nach dessen Anhang I Art. 1 Abs. 1 gestatten die Vertragsparteien den Staatsangehörigen der anderen Vertragspartei die Einreise in ihr Hoheitsgebiet. Dieses Recht darf nur durch Massnahmen, die aus Gründen der öffentlichen Ordnung, Sicherheit und Gesundheit gerechtfertigt sind, eingeschränkt werden (Art. 5 Abs. 1 Anhang I FZA). Nach der Rechtsprechung, welche sich an der (gemäss Art. 5 Abs. 2 Anhang I FZA hiefür massgeblich erklärten) gemeinschaftsrechtlichen Richtlinie 64/221/EWG vom 25. Februar 1964 und der diesbezüglichen Praxis des Gerichtshofes der Europäischen Gemeinschaften (EuGH) orientiert, setzen Entfernungs- oder Fernhaltemassnahmen eine hinreichend schwere und gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung durch den betreffenden Ausländer voraus. Eine strafrechtliche Verurteilung darf dabei nur insofern zum Anlass für eine derartige Massnahme genommen werden, als die ihr zugrunde liegenden Umstände ein persönliches Verhalten erkennen lassen, das eine gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung darstellt. Art. 5 Anhang I FZA steht somit Massnahmen entgegen, die (allein) aus generalpräventiven Gründen verfügt werden (Urteil 2C_903/2010 vom 6. Juni 2011 E. 4.3, nicht publ. in BGE 137 II 233; BGE 136 II 5 E. 4.2 S. 20; 130 II 176 E. 3.4 S. 182 ff.; 129 II 215 E. 7 S. 221 ff., je mit Hinweisen).
2.2 Die Vorinstanz hat festgestellt, dass der Beschwerdeführer seit seiner Jugendzeit bis in die jüngste Vergangenheit immer wieder straffällig geworden ist (mehrheitlich Vermögens-, Urkundenfälschungs-, Strassenverkehrs- und Ausländerrechtsdelikte) und allein seit seinem Zuzug in die Schweiz, d.h. seit 1998, hier zahlreiche Verurteilungen mit einer Gesamtfreiheitsstrafe von fünf Jahren und einer Gesamtdeliktssumme von mehreren hunderttausend Franken erwirkt habe. Die deliktische Tätigkeit habe sich über Jahre erstreckt, wobei er sich immer schwerere Taten habe zu Schulden kommen lassen. Bei den zuletzt abgeurteilten Straftaten sei eine grosse Zahl von Opfern betroffen gewesen. Der Beschwerdeführer habe sich gezielt Personen ausgesucht, die ihm unterlegen gewesen seien, und er habe deren Notlage und Abhängigkeit aus ausschliesslich finanziellen Gründen schamlos ausgenützt. Zudem habe er durch Vorspiegelung einer Krebserkrankung und Vorlage gefälschter Arztzeugnisse die Ausrichtung von Fürsorgeleistungen erwirkt und dabei seine Einkünfte verschwiegen. Von diesem Lebenswandel habe er sich weder durch Strafermittlungen, Verurteilungen, Strafvollzug, Probezeiten oder ausländerrechtliche Verwarnungen noch mit Blick auf seine familiäre Situation abbringen lassen. Diverse Gutachten und Berichte würden beim Beschwerdeführer eine schwer behandelbare kombinierte Persönlichkeitsstörung mit histrionischen, narzisstischen und dissozialen Zügen diagnostizieren und eine Rückfallgefahr klar bejahen. Er habe sich nach der bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug erst seit rund anderthalb Jahren wohlverhalten. Zudem sei er in der Schweiz schlecht integriert und habe trotz verschiedener Anläufe nicht beruflich Fuss fassen können, sondern habe zusammen mit Frau und Kind jahrelang von der Sozialhilfe gelebt und in beträchtlichem Umfang Schulden angehäuft. Er verfüge über kein nennenswertes Beziehungsnetz in der Schweiz.
2.3 Diese Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz werden vom Beschwerdeführer nicht substantiiert in Frage gestellt und sind für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 1.3 hiervor). Namentlich wird auch die Feststellung, der Beschwerdeführer sei schlecht integriert, nicht dadurch offensichtlich unrichtig, dass - wie er vorbringt - seine Frau und sein Sohn hier gut integriert seien. Die vom Beschwerdeführer beantragte Einholung eines weiteren Gutachtens erübrigt sich.
2.4 Bei dieser Sachlage sind die Voraussetzungen für eine Einreisesperre nach Art. 67 Abs. 2 lit. a AuG klarerweise erfüllt und ebenso diejenigen nach Art. 5 Anhang I FZA: Namentlich hat die Vorinstanz nicht auf rein generalpräventive Gründe abgestellt, sondern auf das persönliche Verhalten des Beschwerdeführers und die damit verbundene Gefährdung der öffentlichen Ordnung. Wenn sich der Beschwerdeführer seit Jahren durch mehrmalige Strafverfahren und Verurteilungen nicht von wiederholter Delinquenz abhalten liess, besteht - auch in Berücksichtigung seiner Persönlichkeitszüge - eine erhebliche Wahrscheinlichkeit, dass er mit diesem Lebenswandel in Zukunft fortfahren wird. Die Art von Delikten, die er bisher verübt hat, könnte er auch im Rahmen kürzerer Aufenthalte ausüben, weshalb nicht bloss die - bereits rechtskräftig entschiedene - Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung, sondern auch die Einreisesperre berechtigt ist. In Bezug auf die Verhältnismässigkeitsprüfung ist zu beachten, dass der Beschwerdeführer aufgrund des rechtskräftigen Entscheids über die Aufenthaltsbewilligung ohnehin nicht zusammen mit seiner Familie in der Schweiz wohnen kann. Die zusätzliche Konsequenz der Einreisesperre besteht darin, dass er auch nicht besuchsweise zu seiner Familie in die Schweiz einreisen kann (Art. 5 Abs. 1 lit. d AuG), es sei denn, dass das Bundesamt das Einreiseverbot vorübergehend aufhebt (Art. 67 Abs. 5 AuG). Hingegen ist nicht ersichtlich, inwiefern es nicht umgekehrt der Frau und dem Sohn möglich sein sollte, den Beschwerdeführer in Grossbritannien zu besuchen und in diesem Rahmen das Familienleben aufrechtzuerhalten. Die zusätzlichen Erschwernisse, die sich daraus allenfalls ergeben mögen, hat sich der Beschwerdeführer durch sein eigenes Verhalten selber zuzurechnen. Damit sind auch die Voraussetzungen für einen Eingriff in das Familienleben gemäss Art. 8 Ziff. 2 EMRK gegeben.
2.5 Soweit der Beschwerdeführer rügt, die Einreisesperre verstosse gegen den für die Schweiz verbindlichen Schengen-Besitzstand (Abkommen vom 26. Oktober 2004 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft, der Europäischen Union und der Europäischen Gemeinschaft über die Assoziierung dieses Staates bei der Umsetzung, Anwendung und Entwicklung des Schengen-Besitzstands [SR 0.362.31]), ist dies offensichtlich unbegründet: Der Schengen-Besitzstand ist zwar nicht selber Rechtsgrundlage für die verfügte Einreisesperre gegen einen EU-Angehörigen, schliesst aber nicht aus, dass gestützt auf andere Rechtsgrundlagen eine solche ergeht. Eine derartige Rechtsgrundlage findet sich wie dargelegt (E. 2.1 und 2.4 hiervor) im Ausländergesetz in Verbindung mit dem Freizügigkeitsabkommen. Es ist nicht ersichtlich, gegen welche Bestimmung des Schengen-Besitzstandes die Einreisesperre verstossen soll. Namentlich schliesst die Abschaffung der Grenzkontrollen an den Binnengrenzen gemäss Schengener Grenzkodex (vgl. Art. 2 Abs. 1 der Verordnung vom 22. Oktober 2008 über die Einreise und die Visumerteilung [VEV; SR 142.204]) ausländerrechtliche Fernhaltemassnahmen nicht aus.
2.6 Die Einreisesperre erweist sich damit grundsätzlich und in Bezug auf die Schweiz als rechtmässig.
3. Der Beschwerdeführer beanstandet sodann die Ausdehnung der Einreisesperre auf das Gebiet des Fürstentums Liechtenstein.
3.1 Die Vorinstanz hat sich dafür in E. 4.2 ihres Entscheids auf Art. 3 der Vereinbarung vom 6. November 1963 zwischen der Schweiz und dem Fürstentum Liechtenstein über die Handhabung der Fremdenpolizei für Drittausländer im Fürstentum Liechtenstein und über die fremdenpolizeiliche Zusammenarbeit (AS 1964 5) berufen, wonach die für das ganze Gebiet der Schweiz geltenden Einreisesperren auch für das Gebiet des Fürstentums Liechtenstein Geltung haben (vgl. dazu Urteil 2A.433/2006 vom 15. September 2006). Diese Vereinbarung ist inzwischen ersetzt worden durch den am 3. Dezember 2008 abgeschlossenen Rahmenvertrag zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein über die Zusammenarbeit im Bereich des Visumverfahrens, der Einreise und des Aufenthalts sowie über die polizeiliche Zusammenarbeit im Grenzraum (SR 0.360.514.2). Das Rahmenabkommen trat jedoch erst auf den 19. Dezember 2011 in Kraft (AS 2009 977; LGBl. 2011 Nr. 566). Die Vorinstanz, deren Urteil vom 18. November 2011 datiert, hat daher zu Recht noch die Vereinbarung vom 6. November 1963 angewendet.
3.2 Die Einwendungen des Beschwerdeführers erweisen sich indes unabhängig davon als unzutreffend, ob die Vereinbarung von 1963 oder das Rahmenabkommen von 2008 anwendbar ist, da dieses - soweit hier von Interesse - mit jener inhaltlich übereinstimmt: Nach Art. 10 des Rahmenabkommens gelten die von den Behörden der Vertragsparteien verfügten nationalen Einreiseverbote, Ausweisungen sowie Wegweisungen auch für das Staatsgebiet der anderen Vertragspartei, sofern die Behörden der Vertragsparteien in Einzelfällen keine Ausnahmen von diesem Grundsatz vereinbart haben. Gemäss Art. 20 des Rahmenabkommens bleiben staatsvertragliche Verpflichtungen, welche die Vertragsparteien mit anderen Staaten eingegangen sind, vorbehalten, insbesondere das Abkommen vom 2. Mai 1992 über den Europäischen Wirtschaftsraum (EWRA) sowie das Freizügigkeitsabkommen. Sowohl nach Art. 3 der Vereinbarung von 1963 als auch nach Art. 10 des Rahmenabkommens von 2008 hat das Bundesamt grundsätzlich mit Recht die Einreisesperre auch auf das Gebiet des Fürstentums Liechtenstein erstreckt.
3.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Einreisesperre für Liechtenstein verstosse gegen die Richtlinie 2004/38/EG des Europäischen Parlaments und des Rates vom 29. April 2004 über das Recht der Unionsbürger und ihrer Familienangehörigen, sich im Hoheitsgebiet der Mitgliedstaaten frei zu bewegen und aufzuhalten (Unionsbürgerrechtsrichtlinie; ABl. L 229/35 vom 29. Juni 2004). Diese Richtlinie, die für Liechtenstein aufgrund des EWRA verbindlich ist (Kundmachung vom 20. Januar 2009 des Beschlusses Nr. 158/2007 des Gemeinsamen EWR-Ausschusses vom 7. Dezember 2007, LGBl. 2009 Nr. 13, LR 0.110.035.94), gewährleistet zwar in ihrem Art. 5 den Berechtigten (d.h. den Unionsbürgern bzw. den Angehörigen der EWR-Mitgliedstaaten) ein Recht auf Einreise in die Mitgliedstaaten, doch erlaubt Art. 27 den Mitgliedstaaten, die Freizügigkeit oder das Aufenthaltsrechts aus Gründen der öffentlichen Ordnung, Sicherheit und Gesundheit zu beschränken; diese Gründe dürfen nicht zu wirtschaftlichen Zwecken geltend gemacht werden (Abs. 1). Bei Massnahmen aus Gründen der öffentlichen Ordnung oder Sicherheit ist der Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu wahren und darf ausschliesslich das persönliche Verhalten des Betroffenen ausschlaggebend sein. Strafrechtliche Verurteilungen allein können ohne Weiteres diese Massnahmen nicht begründen. Das persönliche Verhalten muss eine tatsächliche, gegenwärtige und erhebliche Gefahr darstellen, die ein Grundinteresse der Gesellschaft berührt. Vom Einzelfall losgelöste oder auf Generalprävention verweisende Begründungen sind nicht zulässig (Abs. 2). Diese Voraussetzungen entsprechen denjenigen, die auch in der Schweiz aufgrund des Freizügigkeitsabkommens gelten (vgl. E. 2.1 hiervor). Da diese im vorliegenden Fall erfüllt sind (vgl. E. 2.4 hiervor), sind auch die Voraussetzungen der Unionsbürgerrechtsrichtlinie nicht verletzt. Ebenso sind die Verfahrensanforderungen gemäss den Art. 30 und 31 dieser Richtlinie durch den in der Schweiz vorgesehenen Rechtsmittelweg ohne Weiteres erfüllt; das Bundesverwaltungsgericht konnte namentlich uneingeschränkt den Sachverhalt überprüfen und würdigen (Art. 49 lit. b VwVG), und zwar bis zum Zeitpunkt seiner Entscheidung (ZIBUNG/HOFSTETTER, Praxiskommentar zum VwVG, 2009, N 36 und N 50 zu Art. 49; BENJAMIN SCHINDLER, Kommentar VwVG, 2008, N 30 zu Art. 49), und hat das im angefochtenen Urteil (E. 2 und E. 5.2.3) getan. Damit sind auch die Anforderungen des vom Beschwerdeführer zitierten Urteils des EuGH C-482/01 und C-493/01 vom 29. April 2004 i.S. Orfanopoulos und Oliveri erfüllt.
4. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. April 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler