Faits:
A. A.a X._, né le *** 1962, et Dame X._, née le *** 1966, se sont mariés le *** 1994. Deux enfants sont issus de cette union: A._, né le *** 1997, et B._, née le *** 2000.
Le 8 octobre 2008, l'épouse a requis des mesures protectrices de l'union conjugale auprès du Tribunal de première instance du canton de Genève.
A.b Le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) a rendu un rapport d'évaluation sociale le 28 janvier 2009.
B. B.a Par jugement du 2 avril 2009, le Tribunal de première instance a, entre autres points, attribué à la mère la garde sur les deux enfants, réservé un droit de visite au père devant s'exercer chaque semaine, du mercredi matin au jeudi matin à la reprise des cours, un week-end sur deux ainsi que la moitié des vacances scolaires, et condamné l'époux à verser la somme de 3'500 fr. par mois à titre de contribution à l'entretien de la famille.
B.b L'époux a fait appel de ce jugement. Par arrêt préparatoire du 16 juillet 2009, la Cour de justice du canton de Genève a invité le SPMi à informer les mineurs du déroulement de la procédure d'appel, à recueillir leur avis et à les informer de leur droit d'être entendu par un juge. Par courrier du 28 août 2009, le SPMi a informé la Cour que la fille cadette n'avait pas souhaité s'exprimer et que le fils aîné avait demandé que le contenu de sa déclaration soit uniquement transmis au juge et pas aux parties.
Par arrêt du 13 novembre 2009, la Cour de justice du canton de Genève a admis l'appel formé par l'époux et réformé le jugement du 2 avril 2009, en ce sens la garde sur les enfants est attribuée à leur père, qu'un droit de visite est réservé à la mère chaque semaine du jeudi à la fin des cours au vendredi matin à la reprise des cours, un week-end sur deux ainsi que durant la moitié des vacances scolaires, et que l'époux est condamné à verser à l'épouse une somme de 1'000 fr. par mois à titre de contribution à son entretien.
C. L'épouse interjette le 18 décembre 2009 un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à sa réforme en ce sens que la garde sur les enfants lui est attribuée, qu'il lui est donné acte du fait qu'elle s'en remet à justice sur le droit de visite du père, et que l'époux est condamné à lui verser par mois et d'avance, allocations familiales non comprises, la somme de 3'500 fr. à titre de contribution à l'entretien de la famille; subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. La recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), de son droit à un procès équitable (art. 29 al. 1 Cst.) et du principe de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimé conclut au rejet du recours. La Cour de justice du canton de Genève persiste dans les termes de son arrêt.
Par ordonnance du 26 janvier 2010, la requête d'effet suspensif présentée par la recourante a été admise, afin de maintenir le statu quo durant la procédure fédérale.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 ss CC) est une décision en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF. Elle est finale selon l'art. 90 LTF, car elle tranche définitivement, dans une procédure séparée, des questions qui ne pourront plus être revues avec l'éventuelle décision sur le divorce et ses effets accessoires (ATF 133 III 393 consid. 4 p. 395 et les références citées). Le recours porte sur l'attribution de la garde de l'enfant, ainsi que sur les questions patrimoniales qui lui sont liées; la contestation est donc non pécuniaire dans son ensemble (arrêts 5A_220/2009 du 30 juin 2009 consid. 1; 5A_49/2008 du 19 août 2008 consid. 1). II a par ailleurs été déposé dans le délai légal (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision prise en dernière instance cantonale par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
1.2 Comme l'acte attaqué porte sur des mesures provisionnelles (ATF 133 III 393 consid. 5 p. 396, 585 consid. 3.3 p. 587), seule peut être invoquée la violation de droits constitutionnels (art. 98 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (principe d'allégation; ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 II 396 consid. 3 p. 399/400). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision est manifestement insoutenable (ATF 134 II 349 consid. 3 p. 352).
L'arbitraire prohibé par l'art. 9 Cst. ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de cette décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 133 II 257 consid. 5.1 p. 260; 133 III 462 consid. 4.4.1 p. 470).
1.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels par l'autorité cantonale. Les art. 95 et 97, ainsi que l'art. 105 al. 2 LTF ne s'appliquent donc pas directement puisqu'ils ne sont pas des droits constitutionnels (ATF 133 III 393 consid. 7.1 p. 398; 133 III 585 consid. 4.1 p. 588). Toutefois, l'application de l'art. 9 Cst. aboutit pratiquement au même résultat: le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires et ont une influence sur le résultat de la décision.
Dans le domaine de l'appréciation des preuves et la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40; 118 Ia 28 consid. 1b p. 30 et les arrêts cités). Il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait a abusé de ce pouvoir, en particulier lorsqu'il méconnaît des preuves pertinentes ou qu'il n'en tient arbitrairement pas compte, lorsque des constatations de fait sont manifestement fausses, ou enfin, lorsque l'appréciation des preuves est tout à fait insoutenable (ATF 128 I 81 consid. 2 p. 86; 127 I 38 consid. 2a p. 41; 124 I 208 consid. 4a p. 211). Il montre une retenue d'autant plus grande lorsque, comme en l'espèce en matière de mesures protectrices de l'union conjugale, le juge n'examine la cause que de manière sommaire, se contentant de la preuve de la vraisemblance des faits (ATF 127 III 373 consid. 2b/bb p. 478 et les références).
2. 2.1 La recourante se plaint tout d'abord d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), pour le motif qu'aucun compte rendu, écrit ou même oral, de l'audition du fils aîné n'a été transmis aux parties par les juges précédents, alors que celle-ci aurait, à son sens, manifestement influencé leur décision d'attribuer la garde des enfants à l'intimé. Elle y voit également une violation de son droit à un procès équitable (art. 29 al. 1 Cst.).
2.2 La recourante ne se plaignant pas de la violation de règles du droit cantonal de procédure régissant son droit d'être entendu, c'est à la lumière de l'art. 29 al. 2 Cst. qu'il convient d'examiner son grief (ATF 126 I 15 consid. 2a p. 16 et les arrêts cités).
Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuve pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 129 II 497 consid. 2.2 p. 504 s.; 127 I 54 consid. 2b p. 56; 124 I 48 consid. 3a p. 51 et les arrêts cités).
En ce qui concerne l'audition de l'enfant (art. 144 al. 2 CC; applicable également à la procédure de mesures protectrices de l'union conjugale; ATF 131 III 553 consid. 1.1), les parents ont le droit d'être renseignés sur les éléments essentiels du résultat de l'audition, dans la mesure où ceux-ci influencent la décision du juge (Schweighauser, in FamKomm Scheidung, Berne 2005, n° 15 ad art. 144 CC; Reusser, Die Stellung der Kinder im neuen Scheidungsrecht, in Von altem zum neuen Scheidungsrecht, Berne 1999, n° 4.86 p. 199; Breitschmid, in Basler Kommentar, n° 6 ad art. 144 CC). Le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de juger que, au regard de la Constitution, il suffit que les parents puissent se déterminer, avant la décision sur l'attribution des enfants, sur le compte rendu de l'entretien confidentiel que le juge a eu avec leur enfant; les détails de l'entretien n'ont pas à être communiqués aux parents (ATF 122 I 53 consid. 4a et 4c p. 55-56; arrêt 5C.210/2000 du 27 octobre 2000 consid. 2a, publié in FamPra.ch 2001 p. 606).
L'art. 387b al. 4 de la Loi de procédure civile genevoise du 10 avril 1987 (LPC/GE; RSG E 3 05) prévoit à cet égard que le juge consigne les déclarations de l'enfant ou un résumé de celles-ci dans un procès-verbal; au préalable, il doit informer l'enfant que ses parents pourront en prendre connaissance et qu'il n'y consignera aucune déclaration sans son accord.
2.3 En l'espèce, la recourante expose que la cour cantonale a, à la suite de l'audition des enfants par le SPMi le 18 août 2009, adressé le 7 décembre 2009 un courrier aux avocats des parties, à teneur duquel il est expliqué que sa fille n'a pas souhaité s'exprimer et que, conformément à la volonté de son fils, le compte rendu de son audition n'est pas transmis aux parents. La recourante n'établit pas, ni ne soutient d'ailleurs, qu'à réception de cette lettre, elle ait requis d'être renseignée, à tout le moins dans leur teneur essentielle, sur les déclarations de son enfant. En outre, dans ses conclusions motivées déposées le 17 décembre 2009, elle n'a pas fait grief aux juges précédents de ne pas lui avoir communiqué le résultat de l'audition de son fils, ni ne s'est plainte à cet égard d'une violation du droit d'être entendue. En attendant que la décision attaquée soit rendue pour s'en plaindre, pour le motif que cette audition pourrait avoir influencé la décision de la cour cantonale d'attribuer la garde des enfants à l'intimé plutôt qu'à elle, la recourante agit de manière contraire à la bonne foi (ATF 124 I 121 consid. 2 p. 122). La critique qu'elle soulève devant la cour de céans est tardive. Partant, son grief est irrecevable.
3. La recourante estime que la cour cantonale a versé dans l'arbitraire en attribuant la garde des enfants à l'intimé.
3.1 En vertu de l'art. 176 al. 3 CC, relatif à l'organisation de la vie séparée, lorsque les époux ont des enfants mineurs, le juge ordonne les mesures nécessaires, d'après les dispositions sur les effets de la filiation (cf. art. 273 ss CC); il peut notamment confier la garde des enfants à un seul des parents (art. 297 al. 2 CC). Les principes posés par la jurisprudence et la doctrine en matière de divorce sont applicables par analogie (BRÄM, Commentaire zurichois, n° 89 et 101 ad art. 176 CC). La règle fondamentale en ce domaine est l'intérêt de l'enfant, celui des parents étant relégué à l'arrière-plan. Au nombre des critères essentiels entrent en ligne de compte les relations entre parents et enfant, les capacités éducatives respectives des parents, leur aptitude à prendre soin de l'enfant et à s'en occuper personnellement ainsi qu'à favoriser les contacts avec l'autre parent; il faut choisir la solution qui, au regard des données de l'espèce, est la mieux à même d'assurer à l'enfant la stabilité des relations nécessaires à un développement harmonieux des points de vue affectif, psychique, moral et intellectuel; ce dernier critère revêt un poids particulier lorsque les capacités d'éducation et de soin sont similaires (ATF 117 II 353 consid. 3 p. 354/355; 115 II 206 consid. 4a p. 209 et 317 consid. 2 p. 219; 114 II 200 consid. 5 p. 203/204).
Le juge appelé à se prononcer sur le fond qui, par son expérience en la matière, connaît mieux les parties et le milieu dans lequel l'enfant est amené à vivre, dispose d'un large pouvoir d'appréciation. Le Tribunal fédéral n'intervient que lorsque le juge, sans aucun motif, a écarté des critères essentiels pour la décision sur l'attribution des enfants ou, à l'inverse, s'est fondé sur des éléments dépourvus d'importance au regard du bien de l'enfant ou contrevenant aux principes du droit fédéral (ATF 117 II 353 consid. 2 p. 355).
3.2 La cour cantonale a retenu que les capacités respectives des parents à assurer la garde des enfants sont reconnues par le SPMi. Sur le plan de leur stabilité affective ou psychique, malgré les reproches respectifs des parties, il n'existe pas non plus de critère distinctif. Quant à l'épisode ayant précédé le dépôt de la requête de mesures protectrices de l'union conjugale, il est isolé et n'a pas concerné directement les enfants; si des éclats de voix ou des écarts de langage ont été constatés entre les époux, il ne s'agit pas non plus de circonstances d'une gravité telle qu'elles empêcheraient l'un ou l'autre des parents d'exercer une garde sur les enfants. Enfin, les renseignements transmis par le psychiatre de l'appelant démontrent que celui-ci a été capable d'entreprendre un travail sur lui-même et que, au terme de plusieurs années, le résultat semble satisfaisant. Le SPMi, pour justifier l'attribution de la garde à la mère, a insisté sur le fait que celle-ci paraissait plus encline que le père à respecter une implication régulière des deux parents. Cette appréciation, reprise par le Tribunal de première instance, paraît trop générale selon la cour cantonale: le SPMi a lui-même constaté que les réticences du père étaient limitées aux aspects éducatifs alors qu'il ne remettait pas en cause le maintien d'une relation affective des deux parents. Cette seule assertion de l'appelant n'est pas suffisante pour privilégier la solution de la garde auprès de la mère. Le SPMi - et à sa suite le Tribunal de première instance - a également justifié l'attribution de la garde à la mère par le fait que celle-ci concevait un plus grand équilibre entre la vie intellectuelle des enfants et leur vie sociale et affective. Ce jugement de valeur repose sans doute sur le constat que le père encourage de nombreuses activités extra-scolaires, ce qui semble moins être le cas de la mère qui privilégie les temps de repos; or, en l'état de la procédure, il ne semble pas que ce choix du père soit préjudiciable aux enfants. D'ailleurs, à l'âge que les enfants atteignent, il faut partir du principe que ce choix est partagé par les intéressés. Dès lors, ces circonstances ne sont pas à ce point déterminantes pour justifier l'attribution de la garde à la mère.
La cour cantonale a ensuite pris en considération le fait que c'est le père qui, déjà du temps de la vie commune, a principalement assumé les tâches d'éducation auprès des enfants, élément important pour assurer une stabilité de ceux-ci sur le plan scolaire. C'est également le père qui dispose de l'emploi du temps le plus adapté pour assurer ces tâches ainsi que pour accompagner les enfants à leurs activités extra-scolaires. Sur ce point, s'il est exact que l'aîné des enfants peut certainement se rendre seul à certaines de celles-ci, en revanche, cela semble moins évident pour la cadette, âgée de neuf ans, surtout si ces activités, par exemple l'équitation, se déroulent à la campagne. En fonction de ces éléments objectifs, les juges précédents ont admis que l'attribution de la garde au père est susceptible d'offrir une meilleure stabilité pour les enfants.
La cour cantonale a ensuite pris en considération le fait que c'est le père qui, déjà du temps de la vie commune, a principalement assumé les tâches d'éducation auprès des enfants, élément important pour assurer une stabilité de ceux-ci sur le plan scolaire. C'est également le père qui dispose de l'emploi du temps le plus adapté pour assurer ces tâches ainsi que pour accompagner les enfants à leurs activités extra-scolaires. Sur ce point, s'il est exact que l'aîné des enfants peut certainement se rendre seul à certaines de celles-ci, en revanche, cela semble moins évident pour la cadette, âgée de neuf ans, surtout si ces activités, par exemple l'équitation, se déroulent à la campagne. En fonction de ces éléments objectifs, les juges précédents ont admis que l'attribution de la garde au père est susceptible d'offrir une meilleure stabilité pour les enfants.
3.3 3.3.1 La recourante reproche à la cour cantonale d'être tombée dans l'arbitraire en admettant que l'intimé présente la même stabilité affective et psychologique qu'elle-même. Elle fait valoir que son époux a suivi, depuis 2003, une thérapie auprès d'un psychiatre, qu'il a achevée en juillet 2008. Comme l'ont retenu les juges précédents, le résultat "semble" satisfaisant. En outre, son médecin a indiqué au SPMi que son patient "se sent" en mesure de gérer le contexte de la séparation, ce qui était impensable quelques années en arrière. Enfin, l'intimé a fait preuve de violence à l'égard de son épouse, épisode que celle-ci reproche aux juges précédents d'avoir banalisé en le qualifiant d'isolé et en mentionnant qu'il n'a pas concerné directement les enfants. Selon la recourante, il subsiste au vu des éléments qui précèdent des incertitudes importantes quant à la stabilité psychologique de l'intimé, de sorte qu'il serait arbitraire de conclure que celui-ci offre une meilleure stabilité aux enfants.
Par cette critique, en grande partie appellatoire, la recourante joue sur les mots et se borne, en réalité, à substituer sa propre appréciation des faits à celle de la cour cantonale, sans démontrer en quoi celle-ci serait arbitraire. Partant, elle est irrecevable (cf. supra, consid. 1.2). Pour le surplus, lorsqu'elle invoque que l'intimé aurait été dispensé d'accomplir l'armée pour le motif qu'il était dépressif, elle se fonde sur des faits que la décision attaquée ne constate pas, sans toutefois faire grief aux juges précédents de les avoir à tort omis alors qu'ils étaient prouvés. Son argumentation est par conséquent irrecevable (cf. supra, consid. 1.3).
3.3.2 La critique de la recourante est infondée lorsqu'elle tente de remettre en cause l'appréciation de la cour cantonale quant à l'aptitude de chacun des parents à favoriser les contacts avec l'autre. A cet égard, le rapport du SPMi retient que "en terme de reconnaissance du rôle parental de chacun, Dame X._ semble, en l'état, accorder une plus grande importance au maintien d'une implication régulière des deux parents, au vu de la complémentarité de leurs apports respectifs à l'égard des enfants; X._, pour sa part, sans remettre en question le maintien d'une relation affective de ces derniers avec chacun des parents, préconise, par rapport aux aspects éducatifs, le retrait du parent non gardien, au vu des divergences parentales sur ce plan". Dans cette mesure, on ne saurait retenir que la cour cantonale a versé dans l'arbitraire en jugeant que les réticences du père sont limitées aux aspects éducatifs, alors qu'il ne remet pas en cause le maintien d'une relation affective avec les deux parents.
En outre, en tant que la recourante fait grief à la cour cantonale d'avoir considéré que cela suffirait, a contrario, pour attribuer la garde au père, sans démontrer toutefois pour quelle raison, son argumentation est dénuée de pertinence; ce n'est pas, en effet, sur la base de ce seul élément que les juges précédents ont admis que l'attribution de la garde au père est susceptible d'offrir une meilleure stabilité aux enfants.
3.3.3 Enfin, la recourante fait grief à la cour cantonale d'avoir admis que l'intimé serait plus disponible qu'elle pour s'occuper personnellement des enfants. L'intimé est, en effet, enseignant à plein temps auprès du Département de l'instruction publique, alors qu'elle travaille à 60% comme éducatrice. Selon la recourante, ces constatations seraient en contradiction avec la conclusion des juges précédents, aux termes de laquelle c'est le père qui dispose de l'emploi du temps le plus adapté pour assurer les tâches d'éducation ainsi que pour accompagner les enfants à leurs activités extra-scolaires.
Cette critique est insuffisante pour démontrer l'arbitraire de l'appréciation juridique de l'autorité cantonale. S'il est établi que l'intimé travaille à plein temps comme enseignant - de sorte que son emploi du temps et ses vacances se calquent sur ceux des enfants -, la recourante, qui travaille à 60% dans une crèche située dans le canton de Vaud, réalise en outre une activité indépendante dans le domaine des consultations ayurvédiques et psychologiques, dans le cadre de laquelle elle admet réaliser un gain supplémentaire net de 700 fr. par mois. L'arrêt attaqué n'indique pas le nombre d'heures consacrées par l'intéressée à cette activité. Celle-ci implique cependant nécessairement que son occupation professionnelle dépasse le taux de 60%. Pour le surplus, la recourante ne s'en prend pas aux constatations de fait de la cour cantonale quant à l'emploi du temps respectif des parties et ne tente pas de démontrer qu'elle serait plus disponible que l'intimé pour s'occuper des enfants. Partant, la seule comparaison des taux d'activité des parties ne suffit pas à établir que la cour cantonale aurait fait preuve d'arbitraire. Enfin, la recourante se fonde sur des faits que l'arrêt cantonal ne constate pas lorsqu'elle fait valoir que sa fille se rendrait seule et à pied à l'équitation, dans la mesure où cette activité aurait lieu à seulement quelques mètres de son domicile, ou encore lorsqu'elle soutient que la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire en lui imposant un droit de visite le jeudi alors qu'elle travaillerait ce jour de la semaine, étant disponible les mardis et mercredis. Dans la mesure où la recourante ne démontre pas, ni ne soutient du reste, que les juges précédents auraient établi les faits de manière manifestement inexacte, son argumentation est irrecevable (cf. supra, consid. 1.3). Au demeurant, elle ne prend pas de conclusions subsidiaires tendant à la modification de son droit de visite, pour le cas où la cour de céans confirmerait l'attribution de la garde des enfants à l'intimé.
3.3.4 En définitive, la recourante n'établit pas en quoi la cour cantonale, qui dispose à cet égard d'un large pouvoir d'appréciation (cf. supra, consid. 3.1), aurait arbitrairement appliqué le droit fédéral pertinent et les principes jurisprudentiels y relatifs en attribuant la garde des enfants à leur père.
3.4 Dès lors que l'attribution de la garde des enfants au père doit être confirmée, il n'y a pas lieu d'examiner la question de la contribution que la recourante réclame pour l'entretien de la famille dans l'hypothèse où la garde lui serait confiée.
4. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 LTF). Le recours étant manifestement voué à l'échec, la requête d'assistance judiciaire est rejetée (art. 64 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Une indemnité de 3'000 fr., à payer à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 26 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Aguet