Sachverhalt:
A. A.a Der 1970 geborene L._ meldete sich am 6. Mai 2009 beim Gemeindearbeitsamt M._ zur Arbeitsvermittlung an und stellte bei der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Aargau (nachfolgend: Arbeitslosenkasse) den Antrag auf Ausrichtung von Arbeitslosenentschädigung. Mit Verfügung vom 24. Juli 2009 und Einspracheentscheid vom 19. Oktober 2009 verneinte diese den Leistungsanspruch. Zur Begründung hielt sie fest, der Versicherte habe die Mindestbeitragszeit von zwölf Monaten nicht erfüllt, und er sei in der massgeblichen Rahmenfrist für die Beitragszeit auch nicht wegen einer krankheitsbedingten Arbeitsunfähigkeit von insgesamt mehr als zwölf Monaten von der Erfüllung der Beitragszeit befreit gewesen. Die von L._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 10. August 2010 gut und wies die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück, damit diese die übrigen Anspruchsvoraussetzungen prüfe. In den Erwägungen führte das kantonale Gericht aus, die von der Invalidenversicherung für die Dauer vom 18. Februar bis 16. November 2008 veranlassten beruflichen Massnahmen stellten keine beitragspflichtige Beschäftigung dar. Da der Versicherte während insgesamt 18.848 Monaten krankheitsbedingt nicht in einem Arbeitsverhältnis gestanden habe, sei er von der Erfüllung der Beitragszeit befreit.
A.b Gestützt auf den kantonalen Gerichtsentscheid vom 10. August 2010 hiess die Arbeitslosenkasse den ab 8. Mai 2009 geltend gemachten Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung mit Verfügung vom 28. September 2010 gut. Die vom Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) dagegen erhobene Einsprache wies die Arbeitslosenkasse mit Einspracheentscheid vom 1. November 2010 ab.
B. Gegen den Einspracheentscheid vom 1. November 2010 reichte das SECO beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau Beschwerde ein, welches diese mit Entscheid vom 5. April 2011 abwies (Dispositiv-Ziffer 1). L._ wurde eine Parteientschädigung zu Lasten des SECO zugesprochen (Dispositiv-Ziffer 3).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt das SECO, der Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung des L._ sei zu verneinen. Die dem SECO auferlegten Kosten seien von L._ selber zu tragen.
Die Arbeitslosenkasse und das Versicherungsgericht verzichten unter Hinweis auf den vorinstanzlichen Entscheid auf eine Vernehmlassung. L._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Erwägungen:
1. Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Gemäss Art. 8 Abs. 1 lit. e AVIG hat Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung, wer die Beitragszeit erfüllt hat (Art. 13 AVIG) oder von der Erfüllung der Beitragszeit befreit ist (Art. 14 AVIG). Die Beitragszeit hat laut Art. 13 Abs. 1 AVIG erfüllt, wer innerhalb der dafür vorgesehenen Rahmenfrist für die Beitragszeit während mindestens zwölf Monaten eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt hat. Von der Erfüllung der Beitragszeit ist gemäss Art. 14 Abs. 1 AVIG u.a. befreit, wer innerhalb der Rahmenfrist während insgesamt mehr als zwölf Monaten wegen Krankheit (lit. b) nicht in einem Arbeitsverhältnis stand und deshalb die Beitragszeit nicht erfüllen konnte. Zwischen der Nichterfüllung der Beitragszeit und dem geltend gemachten Befreiungstatbestand muss ein Kausalzusammenhang vorliegen, wobei das Hindernis während mehr als zwölf Monaten bestanden haben muss (BGE 131 V 279 E. 1.2 S. 280).
2.2 Die Befreiungstatbestände von Art. 14 Abs. 1 AVIG sind als Ausnahmeklausel grundsätzlich restriktiv auszulegen und im Verhältnis zur Beitragszeit subsidiär. Sie gelangen daher nur zur Anwendung, wenn die in Art. 13 Abs. 1 AVIG verlangte Erfüllung der Mindestbeitragszeit aus den in Art. 14 Abs. 1 AVIG genannten Gründen nicht möglich ist (THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2007, S. 2248 Rz. 233). Die Beitragszeit hat selbst dann den Vorrang, wenn diese Lösung in bestimmten Einzelfällen (vgl. Höhe des versicherten Verdienstes [Art. 23 AVIG] und Pauschalansätze [Art. 41 AVIV] ungünstiger sein sollte (GERHARD GERHARDS, Kommentar zum Arbeitslosenversicherungsgesetz [AVIG], Bd. I, 1987, N. 8 zu Art. 14 AVIG).
2.3 Art. 13 Abs. 1 AVIG setzt lediglich voraus, dass die versicherte Person effektiv eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt hat. Was darunter zu verstehen ist, folgt aus Art. 2 Abs. 1 lit. a AVIG. Danach ist für die Arbeitslosenversicherung beitragspflichtig, wer nach dem AHVG obligatorisch versichert und für Einkommen aus unselbstständiger Tätigkeit beitragspflichtig ist, d.h. massgebenden Lohn im Sinne von Art. 5 Abs. 2 AHVG bezieht. Nach Art. 5 Abs. 4 AHVG in Verbindung mit Art. 6 Abs. 2 AHVV gehören Taggelder der Invalidenversicherung zum Erwerbseinkommen. Auf diesen müssen laut Art. 25 Abs. 1 lit. d IVG (in der seit 1. Januar 2004 in Kraft stehenden Fassung) gegebenenfalls Beiträge an die Arbeitslosenversicherung bezahlt werden. Art. 81bis Abs. 1 IVV (in der seit 1. Januar 2006 in Kraft stehenden Fassung) in Verbindung mit Art. 25 Abs. 3 IVG verweist bezüglich der Erfassung der IV-Taggelder als Erwerbseinkommen im Sinne der AHV und ihre Eintragung in das individuelle Konto der versicherten Person auf Art. 37 f. EOV. Nach Art. 37 Abs. 4 EOV zieht die Ausgleichskasse von den Entschädigungen, welche sie der arbeitnehmenden Person direkt ausbezahlt, die Arbeitnehmerbeiträge für die AHV, die Invalidenversicherung, den Erwerbsersatz und die Arbeitslosenversicherung ab. Der Bezug eines IV-Taggeldes eines zuvor als Arbeitnehmer tätig gewesenen Versicherten gilt daher als beitragspflichtige Beschäftigung (BGE 123 V 223 E. 4e/bb S. 229; NUSSBAUMER, a.a.O., S. 2240 Rz. 207).
2.4 In diesem Sinne sieht auch Rz. A26 des Kreisschreibens des SECO über die Arbeitslosenentschädigung (KS ALE), gültig ab Januar 2007, vor, dass Taggelder der Invalidenversicherung ALV-beitragspflichtig sind, wenn die betroffene Person vor dem Leistungsbezug Arbeitnehmer oder Arbeitnehmerin war. Auf Taggeldern an Selbstständigerwerbende oder Nichterwerbstätige werden hingegen nur AHV/IV/EO-Beiträge erhoben (ebenso Rz. 4001 des Kreisschreibens des Bundesamtes für Sozialversicherungen [BSV] über die Taggelder der Invalidenversicherung [KSTI], gültig ab 1. Januar 2008). Bei Arbeitnehmenden werden diese Leistungen damit wie ein Bestandteil des massgebenden Lohnes behandelt (vgl. auch Rz. 2075 der Wegleitung des BSV über den massgebenden Lohn [WML] in der AHV, IV und EO, gültig ab 1. Januar 2008).
3. 3.1 Nach den unbestrittenen Feststellungen des kantonalen Gerichts attestierte Dr. med. R._ dem Versicherten gemäss Arztzeugnis vom 13. Juli 2009 für den Zeitraum vom 19. Januar 2006 bis 30. November 2008 eine vollständige Arbeitsunfähigkeit. Die gesundheitlichen Probleme des Versicherten hatten seinen Arbeitgeber veranlasst, das Arbeitsverhältnis auf Ende Oktober 2006 aufzulösen. Anschliessend ging der Versicherte keiner Erwerbstätigkeit mehr nach und meldete sich am 1. Februar 2007 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Aargau ordnete die Durchführung von beruflichen Massnahmen an, welche in der Genossenschaft X._ vom 18. Februar bis 16. Mai 2008 in Form einer Grundabklärung und vom 17. Mai bis 16. November 2008 als Arbeitstraining durchgeführt wurden. Während dieser Zeit erhielt der Versicherte ein Taggeld der Invalidenversicherung. Anschliessend war er vom 4. März bis 7. Mai 2009 als Mechaniker in einem Privatbetrieb angestellt.
3.2 Weiter hielt das Verwaltungsgericht fest, gemäss den Angaben der Ausgleichskasse des Kantons Aargau sei der Versicherte am 6. April 2009 rückwirkend auf den 1. Januar 2007 als Nichterwerbstätiger qualifiziert worden und habe entsprechende Beiträge bezahlt. Von Februar bis November 2008 habe er über die Ausgleichskasse Grosshandel + Transithandel ein IV-Taggeld bezogen. Mit diesem beitragspflichtigen Einkommen sei er laut Ausgleichskasse während der Bezugsdauer des Taggeldes von der Beitragspflicht als Nichterwerbstätiger befreit worden. Aus dem Umstand, dass der Versicherte vor Antritt der Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung AHV-rechtlich den Status eines Nichterwerbstätigen hatte, schloss das kantonale Gericht, das IV-Taggeld könne nicht dem massgebenden Einkommen gleichgestellt und als beitragspflichtige Beschäftigung qualifiziert werden. Der Zeitraum vom 18. Februar bis 16. November 2008 und somit von 8.934 Monaten sei daher nicht als Beitragszeit, sondern im Rahmen der Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit nach Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG zu berücksichtigen. In der massgeblichen Rahmenfrist für die Beitragszeit (8. Mai 2007 bis 7. Mai 2009) habe der Versicherte somit während 18.848 Monaten (8. Mai 2007 bis 30. November 2008) und damit während mehr als zwölf Monaten nicht in einem Arbeitsverhältnis gestanden und die Beitragszeit wegen Krankheit nicht erfüllen können.
4. Das Beschwerde führende SECO macht demgegenüber geltend, indem die Vorinstanz den rund neunmonatigen Bezug von IV-Taggeldern als Befreiungszeit im Sinne von Art. 14 AVIG anerkenne, verletze sie Bundesrecht. Zur Begründung führt dieses an, während des Bezugs der IV-Taggelder vom 18. Februar bis 16. November 2008 habe für den Versicherten der Status eines unselbstständig Erwerbenden gegolten. Auf den ausgerichteten IV-Taggeldern seien Sozialversicherungsbeiträge, einschliesslich ALV-Beiträge, abgerechnet worden. Ausserhalb dieses rund neunmonatigen Bezugs von IV-Taggeldern sei innerhalb der Rahmenfrist für die Beitragszeit ein Zeitraum von rund sechs Monaten vollständiger Arbeitsfähigkeit verblieben (1. Dezember 2008 bis 7. Mai 2009). Dem Versicherten wäre es laut SECO daher möglich gewesen, innerhalb der Rahmenfrist eine Beitragszeit von rund 15 Monaten zu erzielen. Die Krankheit sei nur während rund neun Monaten (8. Mai 2007 bis 17. Februar 2008; 17. November bis 30. November 2008) kausal für das Fehlen einer beitragspflichtigen Beschäftigung gewesen.
5. 5.1 Da der Versicherte nach der Auflösung seiner letzten Arbeitsstelle bis zum Antritt der beruflichen Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung am 18. Februar 2008 aus gesundheitlichen Gründen keiner Erwerbstätigkeit nachging, erfasste ihn die Ausgleichskasse rückwirkend ab 1. Januar 2007 als Nichterwerbstätigen. Für die Dauer der beruflichen Eingliederungsmassnahmen wurden ihm gemäss Verfügung der IV-Stelle vom 17. Januar 2008 vom 18. Februar bis 18. Mai 2008 und gemäss Verfügung vom 16. Mai 2008 für die Zeit vom 19. Mai bis 16. November 2008 Taggelder von jeweils Fr. 133.60 ausgerichtet. Dies entspricht Art. 22 Abs. 1 IVG in Verbindung mit Art. 20sexies IVV (vgl. auch Rz. 1003 KSTI). Danach haben Anspruch auf ein Taggeld der Invalidenversicherung versicherte Personen, die unmittelbar vor ihrer Arbeitsunfähigkeit erwerbstätig waren. Als erwerbstätig in diesem Sinne gilt, wer unmittelbar vor Beginn der Arbeitsunfähigkeit ein der AHV-Beitragspflicht unterstelltes Erwerbseinkommen erzielte oder glaubhaft macht, dass er nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit eine Erwerbstätigkeit von längerer Dauer aufgenommen hätte (Art. 20sexies Abs. 1 lit. a und lit. b IVV). Den erwerbstätigen Versicherten gleichgestellt sind Personen, die bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit arbeitslos sind und Anspruch auf Leistungen der Arbeitslosenversicherung haben, oder die ihre Erwerbstätigkeit einzig aus gesundheitlichen Gründen aufgeben mussten (Art. 20sexies Abs. 2 lit. a und lit. b IVV).
5.2 Gemäss den bei den Akten liegenden Taggeldabrechnungen wurden auf dem IV-Taggeld jeweils ALV-Beiträge erhoben. Die Ausgleichskasse setzte den Versicherten somit für die Zeit vom 18. Februar bis 16. November 2008 einem unselbstständig Erwerbstätigen gleich und behandelte das bezogene IV-Taggeld wie massgebenden Lohn. Der Bezug der IV-Taggelder stellt demnach beitragspflichtiges Einkommen im Sinne von Art. 13 Abs. 1 AVIG dar (vgl. E. 2.3 hievor). Damit erfüllte der Versicherte während rund neun Monaten die Beitragszeit. Zusammen mit der vom 4. März bis 7. Mai 2009 ausgeübten unselbstständigen Erwerbstätigkeit (2.166 Monate) ergab dies eine Beitragszeit von insgesamt lediglich 11.1 Monaten (vgl. Verfügung der Arbeitslosenkasse vom 24. Juli 2009).
5.3 Ausserhalb des neunmonatigen Taggeldbezugs verblieb innerhalb der Rahmenfrist für die Beitragszeit ein Zeitraum von über fünf Monaten (1. Dezember 2008 bis 7. Mai 2009), während dem der Versicherte vollständig arbeitsfähig war. Die Krankheit war demgegenüber nur während etwas über neun Monaten kausal für das Fehlen einer beitragspflichtigen Beschäftigung (8. Mai 2007 bis 17. Februar 2008 = 9.447 Monate; 17. bis 30. November 2008 = 0.467 Monate). Es wäre dem Versicherten daher möglich gewesen, eine Beitragszeit von mehr als 12 Monaten zu erzielen. Der Befreiungstatbestand von Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG kommt daher nicht zur Anwendung. Indem das kantonale Gericht von einer Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit vom 8. Mai 2007 bis 30. November 2008 und damit während mehr als zwölf Monaten ausging, erweist sich dies als bundesrechtswidrig.
6. Die Beschwerde ist somit gutzuheissen. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Dem Ausgang des Prozesses entsprechend hat der Beschwerdegegner grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit Art. 66 Abs. 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 5. April 2011 und der Einspracheentscheid der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Aargau vom 1. November 2010 werden aufgehoben. Es wird festgestellt, dass L._ ab 8. Mai 2009 keinen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung hat.
2. Dem Beschwerdegegner 1 wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner 1 auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt lic. iur. Stefan Galligani, Schöftland, wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdegegners bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2000.- ausgerichtet.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und Festsetzung der Entschädigung der unentgeltlichen Rechtspflege im vorinstanzlichen Verfahren an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Oktober 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Hofer