A.- Le 27 septembre 2000, B._ a déposé devant la juridiction des prud'hommes du canton de Genève une demande en paiement dirigée contre A._, réclamant à ce dernier la somme de 214 191 fr.20 avec intérêts à 5% l'an dès le 1er mai 1997.
Par jugement du 18 septembre 2001, le Tribunal des prud'hommes a condamné A._ à payer à B._ la somme de 82 721 fr.85 avec intérêts au taux de 5% l'an dès le 1er mai 1997.
B.- A._ a appelé de ce jugement, concluant au rejet de la demande formée par sa partie adverse.
Par lettre recommandée du 6 novembre 2001, la juridiction des prud'hommes l'a astreint à verser, avant le jeudi 6 décembre 2001, un émolument de mise au rôle de 800 fr. au moyen du bulletin de versement annexé, avec l'avertissement:
"A défaut, l'appel sera déclaré irrecevable".
Constatant que le versement exigé n'avait pas été effectué dans le délai imparti, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève, par arrêt présidentiel du 1er février 2002, a déclaré l'appel irrecevable.
C.- A._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant l'interdiction de l'arbitraire, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué. Il a sollicité la suspension de l'exécution du jugement de première instance, laquelle lui a été refusée par décision présidentielle du 19 avril 2002. En substance, le recourant fait valoir que son avocat a déposé un chèque de 1000 fr. à la caisse du Palais de justice le 3 décembre 2001, que l'émolument de mise au rôle aurait dû être prélevé sur le compte de l'avocat auprès de la caisse et que celle-ci aurait dû l'informer si le montant en compte était insuffisant. Il ressort des pièces produites par le recourant que le compte de l'avocat n'était pas suffisamment provisionné à la date déterminante.
L'intimée conclut au rejet du recours et sollicite l'assistance judiciaire.
Le Président de la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes dépose des observations.
Considérant en droit :
1.- a) Le recours de droit public au Tribunal fédéral est ouvert contre une décision cantonale pour violation des droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ).
La décision attaquée, fondée sur le droit cantonal, revêt un caractère final et n'est susceptible d'aucun autre moyen de droit sur le plan fédéral ou cantonal, de sorte que la règle de la subsidiarité du recours de droit public est respectée (art. 84 al. 2 et 86 al. 1 OJ). Toutefois, si le recourant soulève une question relevant de la bonne application du droit fédéral, le grief n'est pas recevable, parce qu'il pouvait faire l'objet d'un recours en réforme (art. 43 al. 1 et 84 al. 2 OJ).
Le recourant est personnellement touché par la décision attaquée, qui déclare irrecevable son appel contre un jugement le condamnant à paiement, de sorte qu'il a un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que cette décision n'ait pas été prise en violation de ses droits constitutionnels; en conséquence, il a qualité pour recourir (art. 88 OJ).
Interjeté en temps utile (art. 89 al. 1 OJ), dans la forme prévue par la loi (art. 90 al. 1 OJ), le recours est en principe recevable.
Vu la nature cassatoire du recours de droit public, toute conclusion qui va au-delà de la demande d'annulation de la décision attaquée est irrecevable, sauf exceptions non réalisées en l'espèce (ATF 127 III 279 consid. 1b p. 282 et les arrêts cités).
b) Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours(art. 90 al. 1 let. b OJ; ATF 127 I 38 consid. 3c; 127 III 279 consid. 1c; 126 III 524 consid. 1c, 534 consid. 1b).
2.- a) Le recourant n'invoque qu'un seul grief constitutionnel: l'interdiction de l'arbitraire prévue par l'art. 9 Cst.
b) Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 127 I 54 consid. 2b; 126 I 168 consid. 3a; 125 I 166 consid. 2a; 125 II 10 consid. 3a, 129 consid. 5b).
Lorsqu'un recourant invoque l'arbitraire dans l'application du droit cantonal, il doit indiquer quelle est la disposition cantonale qui aurait été violée et expliquer en quoi consiste l'arbitraire; le Tribunal fédéral limite son examen à la disposition citée par le recourant (ATF 110 Ia 1 consid. 2a).
S'il se plaint de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, l'arbitraire n'est réalisé que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables. Dans ce cas également, il incombe au recourant d'exposer en quoi consiste l'arbitraire (art. 90 al. 1 let. b OJ).
c) En l'espèce, le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé arbitrairement l'art. 3 al. 1 du Règlement cantonal fixant le tarif des greffes en matière civile, du 9 avril 1997 (E 3 05.10).
Selon cette disposition, l'émolument de mise au rôle et les sûretés destinées à garantir le paiement de l'émolument complémentaire ou de décision sont perçus auprès de la partie demanderesse sous peine d'irrecevabilité de la demande.
Il résulte de l'art. 60 al. 1 de la loi genevoise sur la juridiction des prud'hommes du 25 février 1999 (E 3 10) et de l'art. 42 du Règlement déjà cité qu'un émolument de mise au rôle (au sens du Règlement) est dû dans le cas d'un appel en matière prud'homale. On ne voit dès lors pas en quoi - et le recourant ne le dit pas non plus - l'autorité cantonale aurait statué arbitrairement en considérant que l'art. 3 al. 1 précité était applicable en l'occurrence.
Compte tenu du montant de la prétention de la travailleuse à l'ouverture de l'action (cf. ATF 115 II 30 consid. 5b), la procédure n'est pas gratuite en vertu du droit fédéral (art. 343 al. 2 et 3 CO) et l'exigence du versement préalable d'un émolument de mise au rôle ne viole donc pas le principe de la force dérogatoire du droit fédéral. Au demeurant, le recourant n'a pas invoqué la garantie de l'art. 49 al. 1 Cst. et cette question, qui concerne la bonne application du droit fédéral, n'aurait pu être examinée que par la voie d'un recours en réforme (ATF 122 I 81 consid. 1; 122 III 101 consid. 1; 120 II 28 consid. 3).
On cherche en vain où résiderait l'arbitraire à exiger d'une partie qui saisit la justice de verser une avance des frais, sous peine d'irrecevabilité (ATF 104 Ia 105 consid. 4b). Le recourant n'invoque d'ailleurs pas une violation de l'art. 29 al. 1 et al. 3 Cst. , de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner la question sous l'angle du droit d'accès à la justice et du droit à l'assistance judiciaire.
Il est vrai que la disposition citée mentionne la partie demanderesse, et non pas la partie appelante. Il n'est cependant pas arbitraire de considérer comme partie demanderesse, au sens de cette disposition, celle qui demande que la cause soit réexaminée en appel. Le recourant ne soutient d'ailleurs pas le contraire.
Le recourant a été clairement informé qu'il devait verser un émolument de mise au rôle de 800 fr. dans un délai déterminé, faute de quoi son appel serait déclaré irrecevable.
Dès lors que l'autorité cantonale a constaté, sous l'angle des faits, que le recourant n'avait pas versé cette somme dans le délai fixé, elle n'a assurément pas violé l'art. 3 al. 1 du Règlement en tirant les conséquences que celui-ci prévoit, à savoir l'irrecevabilité de la demande d'appel. Il n'y a donc pas trace d'une violation arbitraire de cette disposition.
L'autorité cantonale a certes imputé au recourant le comportement de l'avocat qu'il s'est substitué en qualité d'auxiliaire, mais ce raisonnement juridique est conforme à la jurisprudence (cf. ATF 114 Ib 67 consid. 2c) et ne saurait être taxé d'arbitraire.
d) Il faut ensuite se demander si l'autorité cantonale a retenu arbitrairement que le recourant n'avait pas versé la somme exigée dans le délai imparti. Il s'agit ici d'examiner s'il y a eu arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits.
Le recourant fait valoir que son avocat a déposé un chèque de 1000 fr. à la caisse du Palais de justice. Les pièces produites par le recourant montrent cependant que ce chèque a été remis sans aucune mention indiquant que cette somme devait être affectée au paiement de l'émolument de mise au rôle dans l'affaire en cause. On ne voit d'ailleurs pas pourquoi l'avocat aurait payé 1000 fr., alors que l'émolument était de 800 fr. Il ressort de l'extrait de compte produit que le compte de l'avocat était déficitaire et on doit plutôt supposer qu'il a effectué ce versement pour le remettre à flots. Comme le recourant n'a pas prouvé avoir donné des instructions spéciales, l'administration n'a pas procédé de manière arbitraire en considérant que le versement opéré par l'avocat était destiné à éteindre sa propre dette.
Il en résulte que le compte de l'avocat n'était pas suffisamment provisionné pour permettre le prélèvement d'une somme de 800 fr. à l'expiration du délai fixé. En considérant dans ces circonstances que le versement exigé n'avait pas été effectué dans le délai imparti, l'autorité cantonale n'a pas apprécié les preuves et établi les faits d'une manière insoutenable.
e) Le recourant soutient que le montant exigé devait être débité automatiquement du compte de l'avocat auprès du Palais de justice, sans qu'il soit nécessaire de donner des instructions dans ce sens. Il n'invoque toutefois aucune disposition du droit cantonal qui le prescrive; il ne démontre pas davantage avoir reçu des assurances dans ce sens.
L'intimée a d'ailleurs produit une circulaire qui semble plutôt montrer le contraire. Il n'est toutefois pas nécessaire de trancher cette question.
En effet, même si la somme devait être automatiquement prélevée sur le compte de l'avocat à l'échéance, il n'en demeure pas moins - selon l'extrait produit par le recourant lui-même - que le montant en compte était insuffisant pour permettre un prélèvement de 800 fr. à la date fixée. Il en résulte - ce qui est décisif - que le recourant n'a pas mis la somme à disposition en temps utile.
Le recourant ne saurait sérieusement soutenir que le canton de Genève devait lui avancer la somme. Il ne peut citer aucune disposition du droit cantonal dans ce sens et ne démontre pas avoir reçu la moindre assurance à ce sujet.
L'octroi automatique d'un tel prêt paraîtrait d'ailleurs en contradiction avec le droit cantonal, qui prévoit que les frais de justice doivent être avancés à l'Etat (art. 3 al. 1 du Règlement susmentionné).
Le recourant prétend que l'administration aurait dû aviser son avocat que le compte de celui-ci n'était plus suffisamment provisionné. Il ne peut cependant citer aucune disposition du droit cantonal qui contienne une telle règle. Il ne démontre pas avoir reçu des assurances dans ce sens. On pourrait d'ailleurs se demander s'il a invoqué de manière suffisamment précise le principe de la bonne foi due par l'administration, qui constitue une garantie distincte (cf.
ATF 127 I 31 consid. 3a; 125 I 209 consid. 9c, 267 consid. 4c; 122 II 113 consid. 3b/cc). Dès lors que le compte de l'avocat n'était plus à découvert, l'administration n'avait pas de raison d'intervenir auprès de lui dans l'intérêt de l'Etat. L'injonction de verser l'émolument de mise au rôle était claire et n'avait pas à être répétée. Il incombait au recourant (respectivement à son auxiliaire) de prendre les mesures nécessaires pour mettre la somme exigée à disposition de l'autorité dans le délai imparti. Si l'avocat avait des doutes sur la position de son compte, il lui appartenait de se renseigner auprès de la caisse.
La manière de procéder dans le cas d'espèce ne saurait être qualifié d'arbitraire, de sorte que le recours doit être rejeté.
3.- Les frais et dépens doivent être mis à la charge du recourant qui succombe (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ). Compte tenu de la prétention litigieuse à l'ouverture de l'action (cf. ATF 115 II 30 consid. 5b), la procédure n'est en effet pas gratuite (art. 343 al. 2 et 3 CO).
L'intimée sera mise au bénéfice de l'assistance judiciaire, Me Jean-Pierre Garbade étant désigné comme conseil d'office (art. 152 al. 1 OJ). Si les dépens mis à la charge du recourant ne pouvaient être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera à l'avocat précité une indemnité d'honoraires de 3500 fr. (art. 152 al. 2 OJ).
Par ces motifs,
le Tribunal fédéral :
1. Rejette le recours;
2. Met un émolument judiciaire de 3000 fr. à la charge du recourant;
3. Dit que le recourant versera à l'intimée une indemnité de 3500 fr. à titre de dépens;
4. Admet la demande d'assistance judiciaire de l'intimée, Me Jean-Pierre Garbade, avocat à Genève, étant désigné comme avocat d'office. Dit qu'au cas où les dépens ne pourraient pas être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera à cet avocat une indemnité d'honoraires de 3500 fr.;
5. Communique le présent arrêt en copie aux mandataires des parties et au Président de la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
_
Lausanne, le 30 avril 2002 ECH
Au nom de la Ie Cour civile
du TRIBUNAL FEDERAL SUISSE:
Le Président, Le Greffier,