Fatti:
A. Sposatosi in patria il 2 giugno 2001 con una connazionale titolare di un permesso di domicilio in Svizzera, il cittadino serbo A.A._ (1971) è giunto in Svizzera il 27 gennaio 2002. Per vivere assieme alla moglie ha dapprima ottenuto un permesso di dimora annuale, che è poi stato regolarmente rinnovato finché, il 27 gennaio 2007, gli è stata rilasciata un'autorizzazione di domicilio. Il 19 giugno 2007 il matrimonio è stato sciolto per divorzio da un tribunale serbo. Interrogati in seguito dalla polizia ticinese, gli interessati hanno dichiarato che la relazione coniugale si era deteriorata già nel 2003 e che essi vivevano separati dal febbraio del 2004. L'ex-marito ha pure ammesso di aver sottaciuto la separazione al fine di ottenere il permesso di domicilio.
B. Sulla base di questi accertamenti, con decisione del 27 novembre 2007 la Sezione dei permessi e dell'immigrazione del Cantone Ticino ha revocato il permesso di domicilio a A.A._. Su ricorso, la revoca è stata confermata dapprima dal Consiglio di Stato, il 4 marzo 2008, e quindi dal Tribunale cantonale amministrativo, con sentenza del 28 maggio 2008.
C. Il 4 luglio 2008 A.A._ si è aggravato dinanzi al Tribunale federale mediante un atto denominato ricorso in materia di diritto pubblico e in materia di diritto costituzionale, con cui chiede di annullare la pronuncia della Corte cantonale.
Non sono state chieste osservazioni sul gravame.
Diritto:
1. Presentato in tempo utile dal destinatario della decisione impugnata, il gravame è pacificamente ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico ai sensi degli art. 82 segg. LTF, in quanto concerne la revoca di un'autorizzazione che, essendo di durata illimitata, continuerebbe altrimenti a produrre effetti giuridici (cfr. art. 83 lett. c n. 2 LTF e sentenza 2C_21/2007 del 16 aprile 2007, consid. 1.2). Con tale rimedio possono venir sollevate tutte le censure proposte, in particolare anche la violazione dei diritti costituzionali dei cittadini, che costituisce una violazione del diritto federale (cfr. art. 95 lett. a LTF; DTF 133 III 346 consid. 3.1). Il ricorso in materia costituzionale, di natura sussidiaria (art. 113 LTF), è quindi irricevibile.
2. Il 1° gennaio 2008 è entrata in vigore la legge federale sugli stranieri, del 16 dicembre 2005 (LStr; RS 142.20), che ha abrogato la legge federale concernente la dimora ed il domicilio degli stranieri, del 26 marzo 1931 (LDDS; cfr. la cifra I dell'Allegato alla LStr). Secondo l'art. 126 cpv. 1 LStr, il diritto previgente rimane comunque applicabile alle domande presentate prima dell'entrata in vigore della nuova legge. Per analogia detta regola vale anche per le procedure di revoca di permessi o di espulsione, malgrado queste non traggano origine da un'istanza di parte (sentenza 2C_492/2007 dell'11 febbraio 2008, consid. 1.2; sentenza 2C_457/2007 del 7 febbraio 2008, consid. 1). Considerato che nella fattispecie il provvedimento contestato è stato pronunciato, in prima istanza, il 27 novembre 2007, l'esame del caso dev'essere pertanto svolto in funzione del pregresso ordinamento, segnatamente dell'art. 9 cpv. 4 lett. a LDDS. D'altronde, nonostante il ricorrente pretenda che la legge sugli stranieri risulterebbe per lui più favorevole, la disposizione menzionata è stata ripresa praticamente immutata nel nuovo regime (cfr. art. 63 cpv. 1 lett. a e art. 62 lett. a LStr).
3. 3.1 In virtù dell'art. 9 cpv. 4 lett. a LDDS, il permesso di domicilio può essere revocato quando lo straniero l'abbia ottenuto dando indicazioni false o tacendo scientemente fatti d'importanza essenziale. Lo straniero è peraltro tenuto ad informare esattamente l'autorità di tutte le circostanze che hanno importanza decisiva per la concessione del permesso (art. 3 cpv. 2 LDDS) e non è liberato da tale obbligo nemmeno nel caso in cui gli organi preposti, dando prova della necessaria diligenza, avrebbero potuto accertare essi stessi i fatti determinanti. Importanti non sono soltanto i fatti su cui l'interessato è espressamente interrogato, ma anche quelli di cui deve conoscere la rilevanza ai fini della decisione. Tra questi figura senz'altro l'intenzione di por fine ad una relazione coniugale (sentenza 2A.346/2004 del 10 dicembre 2004, in: Pra 2005 n. 100 pag. 716, consid. 2.2; sentenza 2A.511/2001 del 10 giugno 2002, in: Pra 2002 pag. 874, consid. 3.2).
3.2 Secondo i vincolanti ed incontestati accertamenti della Corte cantonale (art. 105 cpv. 1 LTF), i coniugi A._ hanno costituito domicili separati dopo soli due anni e mezzo di matrimonio e dopo due anni dall'arrivo in Svizzera del marito. La relazione coniugale era peraltro entrata in crisi già in precedenza. Ciononostante, prima del divorzio, pronunciato dopo sei anni di matrimonio, il ricorrente non ha mai notificato alle autorità di polizia degli stranieri la separazione dalla moglie. Anzi, in vari formulari, tra cui quello per il rilascio del permesso di domicilio, nonché nel corso dell'audizione svolta prima di concedergli tale autorizzazione, egli ha indicato espressamente di vivere in comunione domestica. Durante l'interrogatorio esperito dopo la segnalazione del cambiamento dello stato civile, ha poi ammesso di aver dichiarato il falso e di averlo fatto in maniera deliberata, consapevole che altrimenti non avrebbe ottenuto il permesso di domicilio.
3.3 In queste circostanze, l'adempimento del motivo di revoca dell'art. 9 cpv. 4 lett. a LDDS non può che essere confermato. Diversamente da quanto sostenuto nel gravame, non è peraltro decisivo stabilire se la moglie abbia tempestivamente comunicato il proprio cambiamento d'indirizzo oppure se l'Ufficio regionale degli stranieri sia stato messo al corrente di tale circostanza dalle autorità comunali preposte al controllo degli abitanti. In effetti, anche se eventuali segnalazioni di questo genere fossero state trascurate, l'omissione intenzionale del ricorrente, durante svariati anni, nel fornire egli stesso informazioni essenziali per il rilascio del permesso rimarrebbe comunque un comportamento suscettibile di determinare la revoca del permesso stesso.
Al di là della sussistenza di un motivo di revoca, per adottare tale provvedimento occorre poi ponderare le particolari circostanze di ogni singolo caso. Nella fattispecie, il ricorrente risiede da soli sei anni in Svizzera, dove è giunto già trentenne, e non vi ha legami familiari, segnatamente dei figli. Il rientro in patria è quindi senz'altro esigibile. Di conseguenza, la misura non lede il principio di proporzionalità.
4. 4.1 L'insorgente invoca pure il Trattato di domicilio e consolare tra la Svizzera e la Serbia, del 16 febbraio 1888 (RS 0.142.118.181). È vero che simili accordi internazionali trovano applicazione agli stranieri che, analogamente all'insorgente, beneficiano di per sé di un permesso di domicilio (DTF 132 II 65 consid. 2.3). Tuttavia la rettifica di decisioni irregolari sin dalla loro emanazione per motivi riconducibili al destinatario, come nel caso dell'art. 9 cpv. 4 lett. a LDDS, produce di regola effetti ex tunc. La situazione in esame va pertanto considerata come se il ricorrente non avesse mai ricevuto il permesso di domicilio e non rientrasse quindi tra le persone che possono prevalersi del citato trattato (sentenza 2A.420/2006 del 29 novembre 2006, consid. 2.3).
4.2 Da ultimo il ricorrente ravvisa una disparità di trattamento per rapporto ad altri due cittadini stranieri autorizzati a rimanere in Svizzera benché separati dai coniugi con permesso di domicilio già prima dei cinque anni di matrimonio. Sennonché il diritto costituzionale all'uguaglianza giuridica (art. 8 Cost.) non può fondare un diritto all'ottenimento di un permesso di soggiorno. Il rilascio di un'autorizzazione nelle circostanze evocate rientra inoltre nel potere d'apprezzamento delle autorità cantonali, per cui un eventuale diniego non può essere sottoposto all'esame del Tribunale federale (DTF 128 II 145 consid. 3.5). Infine, già la descrizione fornita nell'atto ricorsuale e la lettura della sentenza cantonale indicatavi rivelano che la situazione dell'insorgente si differenzia in misura rilevante dai casi assunti a paragone. Lo stesso vale ovviamente anche per le altre decisioni menzionate, relative a persone colpite da condanne penali. Tali situazioni non permettono quindi di dimostrare un'inammissibile disparità di trattamento (cfr. DTF 131 I 394 consid. 4.2, 1 consid. 4.2).
5. Ne discende che, mentre il ricorso sussidiario in materia costituzionale risulta inammissibile (consid. 1), il ricorso in materia di diritto pubblico si avvera manifestamente infondato. L'impugnativa può peraltro essere evasa secondo la procedura semplificata dell'art. 109 LTF, limitandosi alle considerazioni esposte e rinviando per il resto alle pertinenti argomentazioni del giudizio impugnato (art. 109 cpv. 3 LTF). Con l'emanazione della presente sentenza la domanda di concessione dell'effetto sospensivo diviene priva d'oggetto.
Le spese giudiziarie vanno poste a carico del ricorrente, secondo soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 65 LTF). Non si assegnano ripetibili ad autorità vincenti (art. 68 cpv. 3 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico è respinto.
2. Il ricorso sussidiario in materia costituzionale è inammissibile.
3. Le spese giudiziarie di fr. 1'500.-- sono poste a carico del ricorrente.
4. Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Sezione dei permessi e dell'immigrazione, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché all'Ufficio federale della migrazione.