Sachverhalt:
A. Der 1966 geborene M._ war zuletzt als Koch im Restaurant Z._ erwerbstätig gewesen, als er sich am 20. April 2009 bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Leistungsbezug anmeldete. Nach Vornahme medizinischer Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 19. Oktober 2010 einen Rentenanspruch des Versicherten.
B. Die von M._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 6. Juni 2011 in dem Sinne teilweise gut, als es die Sache zur Zusprechung einer Invalidenrente basierend auf einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit für die Zeit von Oktober 2009 bis Mai 2010 an die IV-Stelle zurückwies. Gleichzeitig verneinte das kantonale Gericht einen Rentenanspruch ab Juni 2010.
C. Mit Beschwerde beantragt M._, es sei unter Aufhebung der Verfügung und Anpassung des kantonalen Gerichtsentscheides auch für die Zeit ab Juni 2010 eine ganze Rente - eventuell befristet bis August 2010 - auszurichten.
Die IV-Stelle Basel-Stadt und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Formell handelt es sich beim vorinstanzlichen Entscheid um einen Rückweisungsentscheid. Rückweisungsentscheide sind grundsätzlich Zwischenentscheide, welche nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 BGG beim Bundesgericht anfechtbar sind, auch wenn damit über materielle Teilaspekte der Streitsache entschieden wird (BGE 133 V 477 E. 4.2 und 4.3 S. 481 f.; 132 III 785 E. 3.2 S. 790 f.; 129 I 313 E. 3.2 S. 316 f.). Wenn jedoch der unteren Instanz, an welche zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, handelt es sich in Wirklichkeit um einen Endentscheid nach Art. 90 BGG (Urteil 8C_322/2011 vom 21. Juli 2011 E. 1.1 mit weiteren Hinweisen).
1.2 Das kantonale Gericht hat in seinen Erwägungen, auf welche im Entscheiddispositiv verwiesen wird, festgehalten, dass der Versicherte für die Zeit von Oktober 2009 bis Mai 2010 Anspruch auf eine Invalidenrente basierend auf einer vollständigen Arbeits- und Erwerbsfähigkeit (recte: Erwerbsunfähigkeit) hat. Die Rückweisung dient nur noch der frankenmässigen Berechnung des Rentenbetrags. Dabei geht es in aller Regel nurmehr um die Behandlung rein rechnerischer Fragen, bei denen kein Entscheidungsspielraum des Versicherungsträgers verbleibt. Trotz der insofern missverständlichen Formulierung des Dispositivs ist der Entscheid als Endentscheid zu qualifizieren. Wenn sich ausnahmsweise in der Folge die frankenmässige Berechnung als umstritten erweisen sollte, bleibt es den Betroffenen unbenommen, diesbezüglich die spätere Verfügung anzufechten (vgl. Urteil 9C_684/2007 vom 27. Dezember 2007 E. 1.1 mit Hinweisen, in: SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die Beweiswürdigung durch das kantonale Gericht verletzt namentlich dann Bundesrecht, wenn es den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9; Urteil 8C_727/2009 vom 19. November 2009 E. 1.2).
3. 3.1 Der Anspruch auf Leistungen der Invalidenversicherung setzt unter anderem voraus, dass die versicherte Person invalid oder von Invalidität unmittelbar bedroht ist. Invalidität ist gemäss Art. 8 Abs. 1 ATSG die voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde ganze oder teilweise Erwerbsunfähigkeit.
3.2 Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.). Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG Rechtsfrage (BGE 132 V 393 E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 3.2).
3.3 Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz dadurch gegen Bundesrecht verstossen hat, dass sie einen Rentenanspruch des Versicherten in der Zeit ab Juni 2010 verneint hat.
4. Das kantonale Gericht hat in umfassender Würdigung der medizinischen Akten für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich festgestellt, dass der Beschwerdeführer in der Zeit zwischen September 2008 und Mai 2010 aus medizinischen Gründen nicht im Stande war, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Diese Feststellung ist im bundesgerichtlichen Verfahren unbestritten geblieben. Insbesondere gestützt auf das Gutachten des medizinischen Instituts X._ vom 8. Juni 2010 hat die Vorinstanz weiter festgestellt, der Versicherte sei nunmehr in der Lage eine körperlich leichte bis gelegentlich mittelschwere, wechselbelastende Tätigkeit, ohne Besteigen von Leitern und Gerüsten, vollzeitlich und ohne Einschränkungen in der Leistungsfähigkeit auszuüben. Was der Beschwerdeführer gegen diese Feststellung vorbringt, vermag sie nicht als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. Betreffend der entscheidenden Frage der Schwere der Depression liegen zwar unterschiedliche Einschätzungen verschiedener medizinischer Fachpersonen vor, allerdings enthalten diese Berichte keine hinreichend konkreten Indizien, welche gegen die Zuverlässigkeit des Gutachtens des medizinischen Instituts X._ sprechen. Die Diagnose einer mittelschweren bis schweren neuropsychologischen Störung, welche das Spital Y._ im Bericht vom 10. Januar 2011 gestellt wurde, beruht auf Testresultaten zweifelhafter Validität. Zudem gehen diese Ärzte im Widerspruch zum Gutachten des medizinischen Instituts X._ und ohne nachvollziehbare Begründung von einer schweren depressiven Episode aus. Die Vorinstanz durfte daher, ohne in Willkür zu verfallen, dem Gutachten des medizinischen Instituts X._ höheren Beweiswert als dem Bericht des Spitals Y._ zuerkennen. Somit ist nicht zu beanstanden dass sie den Anspruch des Beschwerdeführers auf eine unbefristete Invalidenrente verneint hat.
5. Zu prüfen ist in einem zweiten Schritt, ob der Versicherte im Sinne seines Eventualantrages noch drei Monate über den Begutachtungszeitpunkt hinaus Anspruch auf eine Rente hat.
5.1 Nach der Rechtsprechung ist bei rückwirkender Zusprechung einer abgestuften oder befristeten Invalidenrente nebst der Revisionsbestimmung des Art. 17 Abs. 1 ATSG die Bestimmung über die Änderung des Leistungsanspruchs bei einer Verbesserung der Erwerbsfähigkeit (Art. 88a Abs. 1 IVV) analog anzuwenden, weil noch vor Erlass der ersten Rentenverfügung eine anspruchsbeeinflussende Änderung eingetreten ist mit der Folge, dass diese mitberücksichtigt wird (Urteil 9C_996/2010 vom 5. Mai 2011 E. 8 mit weiteren Hinweisen). Bei einer Verbesserung der Erwerbsfähigkeit oder der Fähigkeit, sich im Aufgabenbereich zu betätigen, oder bei einer Verminderung der Hilflosigkeit oder des invaliditätsbedingten Betreuungsaufwandes ist die anspruchsbeeinflussende Änderung für die Herabsetzung oder Aufhebung der Leistung von dem Zeitpunkt an zu berücksichtigen, in dem angenommen werden kann, dass sie voraussichtlich längere Zeit dauern wird (Art. 88 Abs. 1 Satz 1 IVV). Sie ist in jedem Fall zu berücksichtigen, nachdem sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate angedauert hat und voraussichtlich weiterhin andauern wird (Art. 88 Abs. 1 Satz 2 IVV). Das Bundesgericht wendet in solchen Fällen in der Regel den zweiten Satz dieser Vorschrift an und gewährt oder bestätigt eine höhere Rente drei Monate über die Veränderung des Gesundheitszustandes hinaus (vgl. etwa Urteile 9C_491/2008 vom 21. April 2009 E. 2; 8C_871/2008 vom 24. März 2009 E. 3.1 oder 9C_389/2009 vom 21. Januar 2009 E. 3.1). Ist aufgrund eines Gutachtens überwiegend wahrscheinlich, dass sich der Gesundheitszustand verbessert hat, nicht aber ersichtlich, in welchem Zeitpunkt diese Besserung stattgefunden hat, so kann es sich jedoch rechtfertigen, die Rente bereits auf den Zeitpunkt des Gutachtens hin herabzusetzen oder aufzuheben (so etwa in den Urteilen 9C_810/2010 vom 16. September 2011 E. 4 und 9C_603/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 4).
5.2 Das kantonale Gericht hat festgestellt, der Gesundheitszustand des Versicherten habe sich in der Zeit vor der Begutachtung verbessert. Allerdings ist aus dem Gutachten des medizinischen Instituts X._ nicht klar ersichtlich, in welchem Zeitpunkt diese Besserung eingetreten ist. Bei einer solchen Ausgangslage ist es nach der in E. 5.1 dargestellten Rechtsprechung nicht bundesrechtswidrig, die Rente bereits auf den Zeitpunkt des Gutachtens hin aufzuheben. Somit ist auch der Eventualantrag des Beschwerdeführers abzuweisen.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist stattzugeben, da die entsprechenden gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Advokatin Natalie Matiaska wird als unentgeltliche Anwältin des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, der Ausgleichskasse Gastrosuisse und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Februar 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Holzer