Faits:
A. Au bénéfice d'une rente de l'assurance-invalidité depuis le 1er juin 1998, K._ a déposé le 29 décembre 2007 une demande de prestations complémentaires. Par décision sur opposition du 27 novembre 2008, remplaçant et annulant une décision du 29 juillet précédent, le Service des prestations complémentaires du canton de Genève (ci-après: SPC) a nié le droit de K._ à des prestations complémentaires, au motif que les revenus déterminants dépassaient les dépenses à prendre en considération pour la période courant à partir du 1er décembre 2007.
B. Agissant à la fois en son nom et en celui de son épouse G._, dont il vivait séparé, K._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève. Les intéressés reprochaient notamment au SPC d'avoir ignoré la demande de prestations de G._ datée du 28 décembre 2007. Au cours de la procédure, K._ a retiré son recours, tandis que sa femme a déclaré maintenir le sien. Par jugement du 6 octobre 2009, le Tribunal a rejeté le recours de l'intéressée.
C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation. En substance, elle conclut à ce que soit reconnu son droit à des prestations complémentaires fédérales et cantonales, et qu'il soit constaté que sa demande du 28 décembre 2007 a été écartée à tort.
Le SPC a conclu au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Invoquant le fait qu'elle n'a reçu aucune décision et qu'elle percevait une rente complémentaire pour épouse de l'assurance-invalidité, la recourante demande que lui soient versées des prestations complémentaires à partir du 1er décembre 2007.
1.2 Il convient d'examiner en premier lieu si la juridiction cantonale était en droit d'entrer en matière sur le recours de l'intéressée. Au demeurant, le Tribunal fédéral examine d'office les conditions formelles de validité et de régularité de la procédure précédente (ATF 9C_194/2009 du 15 décembre 2009 consid. 2 et les arrêts cités).
2. 2.1 Dans la procédure juridictionnelle administrative, ne peuvent être examinés et jugés, en principe, que les rapports juridiques à propos desquels l'autorité administrative compétente s'est prononcée préalablement d'une manière qui la lie, sous la forme d'une décision. Dans cette mesure, la décision détermine l'objet de la contestation qui peut être déféré en justice par voie de recours. En revanche, dans la mesure où aucune décision n'a été rendue, la contestation n'a pas d'objet, et un jugement sur le fond ne peut pas être prononcé (ATF 131 V 164 consid. 2.1; 125 V 413 consid. 1a p. 414; 119 Ib 33 consid. 1b p. 36 et les références citées; sur la notion d'objet de la contestation, cf. Meyer/von Zwehl, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, in Mélanges Pierre Moor, 2005, p. 437 ss).
2.2 Les premiers juges ont considéré que le litige portait sur le point de savoir si les revenus et dépenses de la recourante devaient être pris en considération dans le calcul des prestations dues à son époux. Ce faisant, ils ne se sont pas prononcés sur le grief de la recourante concernant sa propre demande de prestations complémentaires et n'ont pas non plus établi les faits déterminants y relatifs.
En application de l'art. 105 al. 2 LTF, il convient en l'espèce de compléter d'office les faits déterminants constatés par la juridiction cantonale. Il ressort ainsi des pièces au dossier qu'en parallèle avec son époux, la recourante a présenté une demande de prestations complémentaires par lettre datée du 28 décembre 2007. On constate également que l'intimé n'a répondu qu'à la demande de K._ et n'a jamais donné suite ni rendu de décision à l'égard de celle de la recourante. Par conséquent, la contestation devant l'autorité judiciaire de première instance n'avait pas d'objet et un jugement sur le fond ne pouvait être prononcé. C'est donc à tort que les premiers juges sont entrés en matière sur le recours formé par l'intéressée.
3. Il découle de ce qui précède que le jugement entrepris doit être modifié en ce sens que le recours interjeté le 19 janvier 2009 par la recourante aurait dû être déclaré irrecevable. Dans cette mesure, son recours doit être admis. En revanche, en tant que ses conclusions portent sur la décision rendue à l'égard de son époux, qui est entrée en force, elles sont irrecevables.
Il convient par ailleurs de transmettre le dossier à l'intimé, afin qu'il examine la demande de la recourante - le cas échéant, au regard des dispositions de la LPC en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007 - et rende une décision à ce sujet.
4. La procédure est en principe onéreuse (art. 66 al. 1 en relation avec l'art. 65 al. 4 let. a LTF). Compte tenu des circonstances, il y a toutefois lieu de renoncer à percevoir des frais de justice (art. 66 al. 1, 2ème phrase, LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Dans la mesure où il est recevable, le recours est admis; le jugement du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales du 6 octobre 2009 est réformé en ce sens que le recours interjeté par G._ est irrecevable. Il est rejeté pour le surplus.
2. Le dossier est transmis au Service des prestations complémentaires du canton de Genève pour qu'il procède conformément aux considérants.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 28 avril 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless