Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Nach Auflösung seines Arbeitsverhältnisses mit der Firma M._AG (Ende Juli 2002) bewarb sich H._ bei der Firma X._ AG. In den Vorstellungsgesprächen mit der Personalverantwortlichen ergab sich, dass eine Stelle, wie sie dem Beschwerdeführer - insbesondere auch lohnmässig - vorschwebte, erst zu einem späteren Zeitpunkt, anfangs 2003, frei würde. Die Firma X._ AG bot ihm jedoch eine Stelle in einer anderen Abteilung (junges Wohnen), ebenfalls im Verkauf, an, allerdings mit geringerem Lohn. Nach Rücksprache mit der Verwaltung erklärte sich H._ mit einem befristeten Vertrag unter Zusicherung des Wechsels in die gewünschte Abteilung einverstanden und trat das Arbeitsverhältnis am 2. Oktober 2002 an. Nachdem er sich erneut angemeldet hatte, stellte ihn die Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern mit Verfügung vom 18. Dezember 2002 wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit für 21 Tage ab 4. Oktober 2002 in der Anspruchsberechtigung auf Taggelder ein und bestätigte dies mit Einspracheentscheid vom 5. Februar 2003. Sie stützte sich dabei auf die Auskunft der letzten Arbeitgeberin, wonach der Versicherte den Arbeitsplatz nach zwei Tagen auf eigenen Wunsch verlassen habe.
A. Nach Auflösung seines Arbeitsverhältnisses mit der Firma M._AG (Ende Juli 2002) bewarb sich H._ bei der Firma X._ AG. In den Vorstellungsgesprächen mit der Personalverantwortlichen ergab sich, dass eine Stelle, wie sie dem Beschwerdeführer - insbesondere auch lohnmässig - vorschwebte, erst zu einem späteren Zeitpunkt, anfangs 2003, frei würde. Die Firma X._ AG bot ihm jedoch eine Stelle in einer anderen Abteilung (junges Wohnen), ebenfalls im Verkauf, an, allerdings mit geringerem Lohn. Nach Rücksprache mit der Verwaltung erklärte sich H._ mit einem befristeten Vertrag unter Zusicherung des Wechsels in die gewünschte Abteilung einverstanden und trat das Arbeitsverhältnis am 2. Oktober 2002 an. Nachdem er sich erneut angemeldet hatte, stellte ihn die Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern mit Verfügung vom 18. Dezember 2002 wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit für 21 Tage ab 4. Oktober 2002 in der Anspruchsberechtigung auf Taggelder ein und bestätigte dies mit Einspracheentscheid vom 5. Februar 2003. Sie stützte sich dabei auf die Auskunft der letzten Arbeitgeberin, wonach der Versicherte den Arbeitsplatz nach zwei Tagen auf eigenen Wunsch verlassen habe.
B. Vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern beantragte H._ beschwerdeweise die Aufhebung der Einstellungsverfügung und machte sinngemäss geltend, er habe sich auf die Auskunft der zuständigen Mitarbeiterin des RAV, Frau B._, verlassen. Diese habe ihm zugesichert, dass er mit keinen Sanktionen zu rechnen habe, falls er die angebotene Stelle nicht annehmen würde. Das Gericht erwog demgegenüber, indem der Versicherte die Stelle angetreten habe, habe er gerade nicht auf die Auskunft der Arbeitslosenkasse vertraut, weshalb er sich nicht auf den Vertrauensschutz berufen könne. Weil er jedoch den Arbeitsplatz verlassen habe, obwohl es ihm zumutbar gewesen wäre, mit der Kündigung des Arbeitsverhältnisses zuzuwarten, bis er eine neue Stelle gefunden hätte, habe er einen Einstellungstatbestand erfüllt. Daher wies das kantonale Gericht die Beschwerde mit Entscheid vom 11. Juli 2003 ab.
B. Vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern beantragte H._ beschwerdeweise die Aufhebung der Einstellungsverfügung und machte sinngemäss geltend, er habe sich auf die Auskunft der zuständigen Mitarbeiterin des RAV, Frau B._, verlassen. Diese habe ihm zugesichert, dass er mit keinen Sanktionen zu rechnen habe, falls er die angebotene Stelle nicht annehmen würde. Das Gericht erwog demgegenüber, indem der Versicherte die Stelle angetreten habe, habe er gerade nicht auf die Auskunft der Arbeitslosenkasse vertraut, weshalb er sich nicht auf den Vertrauensschutz berufen könne. Weil er jedoch den Arbeitsplatz verlassen habe, obwohl es ihm zumutbar gewesen wäre, mit der Kündigung des Arbeitsverhältnisses zuzuwarten, bis er eine neue Stelle gefunden hätte, habe er einen Einstellungstatbestand erfüllt. Daher wies das kantonale Gericht die Beschwerde mit Entscheid vom 11. Juli 2003 ab.
C. H._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde und beantragt sinngemäss die Aufhebung der vorinstanzlich bestätigten Einstellung in der Anspruchsberechtigung.
Während die Arbeitslosenkasse auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliesst, verzichtet das Staatssekretariat für Wirtschaft auf eine Vernehmlassung.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Das kantonale Gericht hat die Gesetzesbestimmungen über die Einstellung in der Anspruchsberechtigung bei selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit, insbesondere Aufgabe einer Stelle ohne Zusicherung einer anderen (Art. 30 Abs. 1 lit. a AVIG und Art. 44 Abs. 1 lit. b AVIV) und über die verschuldensabhängige Dauer der Einstellung (Art. 30 Abs. 3 AVIG und Art. 45 Abs. 2 AVIV) sowie die Rechtsprechung zur Unzumutbarkeit des Verbleibens am Arbeitsplatz (BGE 124 V 63 Erw. 3b; ARV 1998 Nr. 9 S. 44 Erw. 2b; ARV 1989 Nr. 7 S. 89 Erw. 1a mit Hinweisen; vgl. auch Urteil S. vom 20. April 2001, C 155/00; Gerhards, Kommentar zum AVIG, Bd. I, N 13 zu Art. 30; Jacqueline Chopard, Die Einstellung in der Anspruchsberechtigung, Diss. Zürich 1998, S. 116 f.) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 materiell nicht anwendbar ist.
1. Das kantonale Gericht hat die Gesetzesbestimmungen über die Einstellung in der Anspruchsberechtigung bei selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit, insbesondere Aufgabe einer Stelle ohne Zusicherung einer anderen (Art. 30 Abs. 1 lit. a AVIG und Art. 44 Abs. 1 lit. b AVIV) und über die verschuldensabhängige Dauer der Einstellung (Art. 30 Abs. 3 AVIG und Art. 45 Abs. 2 AVIV) sowie die Rechtsprechung zur Unzumutbarkeit des Verbleibens am Arbeitsplatz (BGE 124 V 63 Erw. 3b; ARV 1998 Nr. 9 S. 44 Erw. 2b; ARV 1989 Nr. 7 S. 89 Erw. 1a mit Hinweisen; vgl. auch Urteil S. vom 20. April 2001, C 155/00; Gerhards, Kommentar zum AVIG, Bd. I, N 13 zu Art. 30; Jacqueline Chopard, Die Einstellung in der Anspruchsberechtigung, Diss. Zürich 1998, S. 116 f.) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2000 materiell nicht anwendbar ist.
2. Der Beschwerdeführer hat im Verwaltungsverfahren geltend gemacht, er habe mit der Personalverantwortlichen der Firma X._ AG zwei Vorstellungsgespräche geführt. Offenbar konnte sie ihm eine Stelle nach seinen Wünschen anbieten. Beim zweiten Gespräch war auch die zuständige Abteilungsleiterin anwesend. In einem weiteren Gespräch habe man ihm hingegen eine Stelle in einer anderen Abteilung (junges Wohnen) mit tieferem Lohn offeriert und es sei ihm mitgeteilt worden, ein Wechsel in die zuerst vorgesehene Abteilung sei eventuell im Februar 2003 möglich. Nach Rücksprache mit der für ihn zuständigen Person beim RAV habe er der Firma X._ AG zugesagt, ein befristetes Arbeitsverhältnis einzugehen, bis in der von ihm gewünschten Abteilung im Februar 2003 eine Stelle frei werde und ein Wechsel dorthin möglich sei. Die Personalverantwortliche bei Firma X._ AG, welche er dann telefonisch kontaktiert habe, sei damit einverstanden gewesen. Am 2. Oktober 2002 habe er die Stelle angetreten, ohne schon einen schriftlichen Arbeitsvertrag erhalten zu haben oder ihn am Arbeitsplatz vorzufinden. Die Personalverantwortliche sei in den Ferien, der Abteilungsleiter ebenfalls abwesend gewesen, und auch sonst habe niemand etwas vom Vertrag gewusst. Am nächsten Tag habe er das Gespräch mit dem Abteilungsleiter gesucht und mit ihm abgemacht, dass die Personalverantwortliche nach ihrer Rückkehr mit ihm in Kontakt treten würde. Ein solches Telefonat hat offenbar stattgefunden, wobei dessen genauer Inhalt nicht bekannt ist. Mit Brief vom 8. Oktober 2002 nimmt der Versicherte darauf Bezug und bedauert gegenüber der Personalverantwortlichen, dass ein Zusammenarbeiten nicht zustande gekommen sei. Sie selber teilt in einem Schreiben vom 11. November 2002 an die Arbeitslosenkasse mit, dass der Versicherte nur zwei Tage bei ihnen geblieben sei und die Firma auf eigenen Wunsch verlassen habe.
2. Der Beschwerdeführer hat im Verwaltungsverfahren geltend gemacht, er habe mit der Personalverantwortlichen der Firma X._ AG zwei Vorstellungsgespräche geführt. Offenbar konnte sie ihm eine Stelle nach seinen Wünschen anbieten. Beim zweiten Gespräch war auch die zuständige Abteilungsleiterin anwesend. In einem weiteren Gespräch habe man ihm hingegen eine Stelle in einer anderen Abteilung (junges Wohnen) mit tieferem Lohn offeriert und es sei ihm mitgeteilt worden, ein Wechsel in die zuerst vorgesehene Abteilung sei eventuell im Februar 2003 möglich. Nach Rücksprache mit der für ihn zuständigen Person beim RAV habe er der Firma X._ AG zugesagt, ein befristetes Arbeitsverhältnis einzugehen, bis in der von ihm gewünschten Abteilung im Februar 2003 eine Stelle frei werde und ein Wechsel dorthin möglich sei. Die Personalverantwortliche bei Firma X._ AG, welche er dann telefonisch kontaktiert habe, sei damit einverstanden gewesen. Am 2. Oktober 2002 habe er die Stelle angetreten, ohne schon einen schriftlichen Arbeitsvertrag erhalten zu haben oder ihn am Arbeitsplatz vorzufinden. Die Personalverantwortliche sei in den Ferien, der Abteilungsleiter ebenfalls abwesend gewesen, und auch sonst habe niemand etwas vom Vertrag gewusst. Am nächsten Tag habe er das Gespräch mit dem Abteilungsleiter gesucht und mit ihm abgemacht, dass die Personalverantwortliche nach ihrer Rückkehr mit ihm in Kontakt treten würde. Ein solches Telefonat hat offenbar stattgefunden, wobei dessen genauer Inhalt nicht bekannt ist. Mit Brief vom 8. Oktober 2002 nimmt der Versicherte darauf Bezug und bedauert gegenüber der Personalverantwortlichen, dass ein Zusammenarbeiten nicht zustande gekommen sei. Sie selber teilt in einem Schreiben vom 11. November 2002 an die Arbeitslosenkasse mit, dass der Versicherte nur zwei Tage bei ihnen geblieben sei und die Firma auf eigenen Wunsch verlassen habe.
3. Der Beschwerdeführer beruft sich im Wesentlichen darauf, er habe auf die Auskunft einer Mitarbeiterin des RAV vertraut. Sie habe ihm mitgeteilt, er hätte mit keinen Sanktionen zu rechnen, falls er die befristete Stelle nicht annehmen würde. Ob dies zutrifft oder nicht, lässt sich den Akten nicht entnehmen. Die betreffende Beraterin gibt dazu in einer internen Aktennotiz vom 4. Dezember 2002 nur an: "Vielleicht habe ich es ihm (d.h. dem Beschwerdeführer) nicht richtig erklärt." Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben. Wesentlich ist die unbestrittene Tatsache, dass der Versicherte seine - effektiv angetretene - Arbeitsstelle am 3. Oktober 2002 verlassen hat und ab dem 4. Oktober 2002 dort nicht mehr erschienen ist. Damit hat er das eben begonnene Arbeitsverhältnis faktisch beendet, auch wenn keine Kündigung im Sinne von Art. 335 ff. OR ausgesprochen worden ist. Darauf ist nach der Rechtsprechung abzustellen; denn für den Eintritt der Arbeitslosigkeit ist die tatsächliche definitive Arbeitsbeendigung massgebend, und nicht die rechtliche Beendigung des Arbeitsverhältnisses (BGE 119 V 157 Erw. 2a mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat demnach seine Arbeitslosigkeit selber herbeigeführt, ohne dass es dafür einen Grund gibt, der arbeitslosenversicherungsrechtlich - oder vertrauensschutzrechtlich - von Bedeutung wäre. Wie das kantonale Gericht insbesondere richtig erwogen hat, begründete der Umstand, dass am ersten Arbeitstag noch kein schriftlicher Arbeitsvertrag vorlag, keine Unzumutbarkeit, am Arbeitsplatz zu verbleiben. Das tiefere Einkommen hat die Arbeitslosenkasse als Zwischenverdienst angerechnet.
3. Der Beschwerdeführer beruft sich im Wesentlichen darauf, er habe auf die Auskunft einer Mitarbeiterin des RAV vertraut. Sie habe ihm mitgeteilt, er hätte mit keinen Sanktionen zu rechnen, falls er die befristete Stelle nicht annehmen würde. Ob dies zutrifft oder nicht, lässt sich den Akten nicht entnehmen. Die betreffende Beraterin gibt dazu in einer internen Aktennotiz vom 4. Dezember 2002 nur an: "Vielleicht habe ich es ihm (d.h. dem Beschwerdeführer) nicht richtig erklärt." Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben. Wesentlich ist die unbestrittene Tatsache, dass der Versicherte seine - effektiv angetretene - Arbeitsstelle am 3. Oktober 2002 verlassen hat und ab dem 4. Oktober 2002 dort nicht mehr erschienen ist. Damit hat er das eben begonnene Arbeitsverhältnis faktisch beendet, auch wenn keine Kündigung im Sinne von Art. 335 ff. OR ausgesprochen worden ist. Darauf ist nach der Rechtsprechung abzustellen; denn für den Eintritt der Arbeitslosigkeit ist die tatsächliche definitive Arbeitsbeendigung massgebend, und nicht die rechtliche Beendigung des Arbeitsverhältnisses (BGE 119 V 157 Erw. 2a mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat demnach seine Arbeitslosigkeit selber herbeigeführt, ohne dass es dafür einen Grund gibt, der arbeitslosenversicherungsrechtlich - oder vertrauensschutzrechtlich - von Bedeutung wäre. Wie das kantonale Gericht insbesondere richtig erwogen hat, begründete der Umstand, dass am ersten Arbeitstag noch kein schriftlicher Arbeitsvertrag vorlag, keine Unzumutbarkeit, am Arbeitsplatz zu verbleiben. Das tiefere Einkommen hat die Arbeitslosenkasse als Zwischenverdienst angerechnet.
4. Dauer und masslicher Vollzug der Einstellung werden nicht gerügt und sind nach Lage der Akten nicht zu beanstanden (BGE 110 V 53). Das kantonale Gericht hat auch dazu das Nötige gesagt.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 11. Oktober 2004
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der IV. Kammer: Die Gerichtsschreiberin: