Erwägungen:
1. Der aus dem Kosovo stammende X._, geboren 1964, kam Ende 1997 in der Schweiz. Sein Asylgesuch wurde unter Anordnung der Wegweisung abgewiesen, und er reiste Ende Oktober 1999 in seine Heimat aus. Dort heiratete er am 10. Januar 2000 eine Schweizer Bürgerin, und er erhielt gestützt auf diese Ehe eine Aufenthaltsbewilligung vorerst im Kanton Jura; anfangs 2001 zogen die Ehegatten in den Kanton Basel-Landschaft. Seit August 2001 lebten sie getrennt. In der Folge erhielt X._ im Kanton Solothurn, in welchen er übersiedelt hatte, eine Aufenthaltsbewilligung.
Am 8. Februar 2004 wurde X._ in Untersuchungshaft genommen. Mit Urteil vom 1. Juni 2006 erkannte ihn das Bezirksgericht Aarau unter anderem des bandenmässigen Raubs, der strafbaren Vorbereitungshandlungen zum Raub, des bandenmässigen Diebstahls, der Widerhandlung gegen das Waffengesetz sowie der mehrfachen Beihilfe zu betrügerischem Missbrauch einer Datenverarbeitungsanlage schuldig; es verurteilte ihn zu einer Zuchthausstrafe von drei Jahren. Mit Strafbefehl vom 3. Juli 2007 sodann verurteilte ihn das Einzelrichteramt des Kantons Zug im Sinne einer Zusatzstrafe zu einer bedingten Geldstrafe von 120 Tagessätzen à Fr. 40.-- wegen vollendeten und versuchten Diebstahls, vollendeten und betrügerischen Missbrauchs einer Datenverarbeitungsanlage sowie Sachbeschädigung und Hausfriedensbruchs.
Mit Verfügung vom 21. Juni 2006 wurde X._ per 30. Juni 2006 bedingt aus dem Strafvollzug entlassen. Er zog vorerst in die Wohnung seiner Ehefrau im Kanton Basel-Landschaft, wo ihm am 17. August 2006 die Aufenthaltsbewilligung verweigert wurde. Am 1. September 2006 nahm er wieder Wohnsitz im Kanton Solothurn und ersuchte dort um erneute Erteilung bzw. Verlängerung der früheren Aufenthaltsbewilligung. Nachdem das Bezirksgericht Aarau die Ehe von X._ mit Urteil vom 7. Mai 2008 geschieden hatte, lehnte das Departement des Innern des Kantons Solothurn dessen Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung mit Verfügung vom 11. Juni 2008 ab. Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 22. Juli 2008 ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 28. August 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn sei aufzuheben, in Gutheissung der Beschwerde sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und es sei festzustellen, dass er die Schweiz nicht verlassen und sich auf der Einwohnergemeinde Solothurn nicht abmelden müsse.
Die kantonalen Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht angeordnet worden.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist auf dem Gebiet des Ausländerrechts gemäss Art. 83 lit. c BGG unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), und betreffend Wegweisung (Ziff. 4).
Der Beschwerdeführer war mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet. Zwar ist die Ehe heute geschieden; da er jedoch mehr als fünf Jahre verheiratet war, hat er gemäss Art. 7 Abs. 1 Satz 2 des Bundesgesetzes vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG), der nach Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20 bzw. AS 2007 5437) vorliegend noch zur Anwendung kommt, einen (bedingten) Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung erworben, der durch die Scheidung nicht untergegangen ist. Ob ein den Anspruch erlöschen lassender Ausweisungsgrund vorliegt (vgl. Art. 7 Abs. 1 Satz 3 ANAG), ist eine Frage der materiellen Beschwerdebeurteilung, nicht Eintretensfrage. Auf die Beschwerde ist in Bezug auf die Frage der Bewilligungsverweigerung einzutreten.
2.2 Art. 7 Abs. 1 Satz 3 ANAG spricht Art. 10 ANAG an. Nach dessen Absatz 1 kann der Ausländer aus der Schweiz (oder aus einem Kanton) ausgewiesen werden, wenn er wegen eines Verbrechens oder Vergehens gerichtlich bestraft wurde (lit. a). Gegen den Beschwerdeführer sind zwei Straferkenntnisse ergangen, und es liegt gegen ihn ein Ausweisungsgrund vor. Die Ausweisung (bzw. die Verweigerung einer Bewilligungsverlängerung im Sinne von Art. 7 Abs. 1 Satz 3 ANAG) soll gemäss Art. 11 Abs. 3 ANAG nur verfügt werden, wenn sie nach den gesamten Umständen angemessen erscheint. Für die Beurteilung der Angemessenheit, d.h. der Verhältnismässigkeit (vgl. BGE 125 II 521 E. 2a S. 523) einer solchen Massnahme erklärt Art. 16 Abs. 3 der Vollziehungsverordnung vom 1. März 1949 zum ANAG (ANAV) namentlich als wichtig die Schwere des Verschuldens des Ausländers, die Dauer seiner Anwesenheit in der Schweiz sowie die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile. Da bei der vorzunehmenden Interessenabwägung die persönlichen und familiären Verhältnisse zu berücksichtigen sind, hält eine im Sinne von Art. 11 Abs. 3 ANAG verhältnismässige Ausweisung bzw. Bewilligungsverweigerung grundsätzlich auch vor Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens) stand.
2.3 Ausgangspunkt der Interessenabwägung gemäss Art. 11 Abs. 3 ANAG ist das Verschulden des Ausländers; dieses findet vorab im vom Strafrichter verhängten Strafmass seinen Ausdruck (BGE 129 II 215 E. 3.1 S. 216). Der Beschwerdeführer ist in schwerwiegender Weise straffällig geworden, wobei die Straftaten im Zeitraum 2003/2004 begangen wurden, zeitlich mithin nicht weit zurückliegen. Er hat sich unter anderem des bandenmässigen, unter Einsatz von geladenen Schusswaffen begangenen Raubs schuldig gemacht. Das Verwaltungsgericht hat sein Verschulden zu Recht als schwer eingestuft; es kann hierfür auf sein Urteil (E. 3 S. 6 Mitte) verwiesen werden (vgl. Art. 109 Abs. 3 BGG). Die Bewilligungsverweigerung erwiese sich damit bloss dann als unverhältnismässig, wenn ganz besondere, in seinen persönlichen Verhältnissen gründende Umstände für einen weiteren Verbleib des Beschwerdeführers im Land sprechen würden.
Dem Beschwerdeführer wurde eine Aufenthaltsbewilligung grundsätzlich allein zwecks Zusammenlebens mit seiner schweizerischen Ehefrau erteilt. Angesichts der Schwere der - während des Bestehens der Ehe - begangenen Straftaten wäre eine Bewilligungsverlängerung selbst bei fortdauernder Ehe wohl nicht in Frage gekommen. Nach der Scheidung kann sich nun der Beschwerdeführer nicht mehr unter dem Gesichtswinkel des Rechts auf Achtung des Familienlebens auf Art. 8 EMRK berufen. Ferner entfällt vorliegend von vornherein die Möglichkeit, sich im ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahren unter dem Aspekt des Rechts auf Achtung des Privatlebens auf Art. 8 EMRK zu berufen (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.2 S. 286 f.): Das Verwaltungsgericht hat für das Bundesgericht verbindlich festgestellt (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 105 Abs. 2 und 97 Abs. 1 BGG), dass der Beschwerdeführer mit den Verhältnissen im Kosovo vertraut ist und dort auch familiäre Beziehungen aufrechterhalten hat. Umgekehrt erlaubt seine bisherige Anwesenheit in der Schweiz die Annahme einer vertieften Integration schon angesichts seiner Straffälligkeit offensichtlich nicht; insbesondere muss sein Wohlverhalten seit der bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug während der Probezeit als selbstverständlich erachtet werden. Bei den der Beschwerdeschrift beigelegten Schreiben verschiedener Personen, die dem Beschwerdeführer ihre Sympathie bekunden, handelt es sich um neue Beweismittel (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG), die bei der Interessenabwägung nicht berücksichtigt werden können und ohnehin nicht ausschlaggebend wären. Ebenso stellt die Absichtserklärung des Beschwerdeführers, kurze Zeit nach der Scheidung von seiner schweizerischen Ehefrau eine hier niedergelassene Frau zu heiraten, ein gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG unzulässiges neues Sachvorbringen dar.
Es liegt nichts vor, was auch nur annähernd das grosse öffentliche Interesse an einer Fernhaltung des Beschwerdeführers von der Schweiz aufzuwiegen vermöchte. Indem das Verwaltungsgericht die Bewilligungsverweigerung bestätigte, hat es nicht schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletzt; die Beschwerde ist insofern offensichtlich unbegründet (Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG).
2.4 Ordentliche Folge der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung ist die Wegweisung (Art. 12 Abs. 3 ANAG; s. auch Art. 66 Abs. 1 AuG). Der Antrag des Beschwerdeführers, es sei festzustellen, dass er die Schweiz nicht verlassen und er sich auf der Einwohnergemeinde Olten nicht abmelden müsse, beschlägt die Frage der Wegweisung; diesbezüglich ist seine Beschwerde unzulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG).
2.5 Soweit auf die Beschwerde eingetreten werden kann, ist sie im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG abzuweisen.
Mit diesem Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.6 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller