Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Mit Eingaben vom 17. und 18. April 2007 reichte der Beschwerdeführer Strafklage gegen verschiedene Mitarbeiter der Staatsanwaltschaft St. Gallen ein u.a. wegen Amtsmissbrauchs und "Verletzung der Person/Persönlichkeitsrechte" (6B_275/2008, 6B_276/2008). Mit Eingabe vom 15. Mai 2007 erhob er eine Strafklage gegen die "Direktion/Geschäftsleitung, Sachbearbeiter und allfällig weitere Beteiligte SAV-Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen, AHV-Zweigstelle Stadt St. Gallen sowie Steuerverwaltung Kanton und Stadt St. Gallen" (6B_278/2008). Mit Eingabe vom 7. Dezember 2007 erhob er sodann Strafklage wegen "offensichtlichen Amtsmissbrauchs, so auch mit Verfolgung mit BLAU-Fahrt..., Verletzung der Person so auch im Sinne von Art. 173 ff. StGB..." gegen zwei Beamte der Stadtpolizei St. Gallen, die "Kontrollorgane der STAPO St. Gallen Polizei-Kdo und StV (sowie) Politische Gemeinde der Stadt St. Gallen Hr. Stadtrat S._" (6B_279/2008). In allen vier Fällen entschied die Anklagekammer des Kantons St. Gallen, kein Strafverfahren (bzw. kein Disziplinarverfahren) zu eröffnen. Dagegen wendet sich der Beschwerdeführer in seiner u.a. als "Sammelklage" bezeichneten Eingabe an das Bundesgericht.
2. Die Eingabe des Beschwerdeführers ist als Beschwerde in Strafsachen gemäss Art. 78 ff. BGG entgegenzunehmen.
3. Ein Geschädigter, der nicht Privatstrafkläger oder Opfer im Sinne des Opferhilfegesetzes (OHG) ist, ist zur Beschwerde in Strafsachen nicht legitimiert (BGE 133 IV 288). Der Beschwerdeführer ist nicht Privatstrafkläger, weil auch die Staatsanwaltschaft, der die angefochtenen Entscheide zugestellt wurden, zur Beschwerde ans Bundesgericht befugt gewesen wäre. Und er ist nicht Opfer, weil er durch das Verhalten der angezeigten Beamten oder Behördenmitglieder nicht in seiner körperlichen, sexuellen oder psychischen Integrität unmittelbar im Sinne eines traumatischen Ereignisses beeinträchtigt wurde (Art. 2 Abs. 1 OHG). Er ist demnach zur Beschwerde in Strafsachen nicht legitimiert.
Unabhängig von der Legitimation in der Sache kann eine Verfahrenspartei die Verletzung jener Parteirechte rügen, die ihr nach dem kantonalen Verfahrensrecht oder unmittelbar aufgrund der Bundesverfassung zustehen (vgl. BGE 128 I 218 E. 1.1 S. 220). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer macht zwar die Verletzung von Verfahrensrechten geltend, so zum Beispiel eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, und beruft sich namentlich auf die BV, die EMRK und die UNO-Charta. Dass und inwiefern er in den vorliegenden Verfahren eine formelle Rechtsverweigerung erlitten haben sollte, legt er in seiner Beschwerde jedoch nicht einmal ansatzweise dar. Damit genügt er den minimalen Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. 106 Abs. 2 BGG nicht. Auf die Beschwerde ist deshalb im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Eine mündliche Parteiverhandlung gemäss Art. 57 BGG, wie sie der Beschwerdeführer verlangt, ist nicht erforderlich.
4. Die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung müssen in Anwendung von Art. 64 BGG abgewiesen werden, weil die Rechtsbegehren von vornherein keine Aussicht auf Erfolg hatten. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist durch eine herabgesetzte Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerden (6B_275/2008, 6B_276/2008, 6B_278/2008, 6B_279/2008) wird nicht eingetreten.
2. Die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung werden abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Schneider Arquint Hill