Sachverhalt:
A. Der 1989 geborene P._ nahm ab 7. November 2005 an einem Jugendprogramm (JUP) des Vereins S._ teil, wo im Auftrag des Amtes für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Solothurn ein gleichnamiges Motivationssemester für nach der obligatorischen Schulzeit lehrstellenlose Jugendliche durchgeführt wurde. Dieses für ihn spätestens bis 6. November 2006 dauernde Jugendprogramm wurde auf den 31. Juli 2006 aufgelöst, da er im Nachgang zu einer vom 29. Mai bis 2. Juni 2006 dauernden Schnupperlehre bei der Firma V._ AG am 6. Juli 2006 einen Lehrvertrag mit Beginn ab 1. August 2006 unterzeichnet hatte. Noch während der Dauer des Jugendprogramms, aber vor Lehrantritt, erlitt P._ am 23. Juli 2006 einen Verkehrsunfall, bei dem er verletzt wurde. Mit Verfügung vom 9. Juli 2007 eröffnete ihm die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), dass er als Teilnehmer des Jugendprogramms JUP ohne Taggeldberechtigung der Arbeitslosenkasse nicht zum Kreis der SUVA-versicherten Personen gehöre; eine SUVA-Versicherungsdeckung lasse sich auch nicht aus dem Schnuppereinsatz vom 2. Juni 2006 ableiten, da sich der Unfall nach Ablauf der 30-tägigen Nachdeckungsfrist zugetragen habe. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 13. September 2007 ab.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 13. Januar 2009 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt P._, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die SUVA zu verpflichten, ihm die gesetzlichen Leistungen zu erbringen; eventuell sei die Sache an das kantonale Gericht zur weiteren Sachverhaltsabklärung unter Feststellung der grundsätzlichen Leistungspflicht zurückzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt er die Beiladung der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn (nachfolgend Arbeitslosenkasse) und die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels.
Die Vorinstanz, die SUVA und das Bundesamt für Gesundheit (BAG) schliessen auf Beschwerdeabweisung, wobei die beiden Ersteren von einer einlässlichen Vernehmlassung absehen. Die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn verzichtet auf Vernehmlassung. Das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) äussert sich vernehmlassungsweise zur Gesetzmässigkeit von Art. 2 UVAL.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (nicht publ. E. 1.1 des Urteils BGE 8C_784/2008 vom 11. September 2009). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
1.2 Im Streit, ob für ein Unfallereignis Versicherungsdeckung besteht, kommt die Ausnahmeregelung des Art. 105 Abs. 3 (in Verbindung mit Art. 97 Abs. 2) BGG ungeachtet dessen, dass von der Beurteilung der Streitfrage auch Ansprüche auf Geldleistungen der obligatorischen Unfallversicherung abhängen können, nicht zur Anwendung. Das Bundesgericht kann somit die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nur im Rahmen von Art. 105 Abs. 1 und 2 (in Verbindung mit Art. 97 Abs. 1) BGG überprüfen (BGE 8C_784/2008 E. 1.2). Demnach legt es seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dies ist auf Grund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen (nicht. publ. E. 1 des Urteils BGE 135 V 306).
2. Soweit der Beschwerdeführer die Beiladung der Arbeitslosenkasse verlangt, ist festzuhalten, dass diese auf eine Vernehmlassung verzichtet hat.
3. Der Beschwerdeführer beantragt, es sei ein zweiter Schriftenwechsel zu bewilligen.
Gehen in einem Gerichtsverfahren Vernehmlassungen und Stellungnahmen von Parteien und Behörden ein, so werden diese den übrigen Verfahrensbeteiligten im Allgemeinen zur Kenntnisnahme zugestellt. Diese Zustellung kann verbunden werden mit der Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels. Ein solcher wird jedoch nur ausnahmsweise durchgeführt (Art. 102 Abs. 3 BGG; BGE 133 I 98 E. 2.2 S. 99 f.). Eine Ausnahme ist unter dem Aspekt des Anspruchs auf rechtliches Gehör geboten, wenn die Beschwerdeantwort neue rechtliche oder tatsächliche Begründungselemente enthält, die zulässig sind und mit welchen nicht gerechnet werden musste (nicht publ. E. 2b des Urteils BGE 121 V 5, veröffentlicht in SVR 1995 AHV Nr. 65 S. 195 [H 152/94]; Urteil 8C_141/2009 vom 2. Juli 2009 E. 3 mit Hinweis). Diese Voraussetzungen sind in casu nicht gegeben.
4. Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer im Zeitpunkt seines Unfalls vom 23. Juli 2006 bei der SUVA obligatorisch unfallversichert war.
4.1 Die Vorinstanz hat die rechtlichen Grundlagen über den massgebenden Lohn (Art. 10 ATSG) und die Leistungspflicht der obligatorischen Unfallversicherung, insbesondere auch bei Schnupperlehrlingen (Art. 1a Abs. 1 und Abs. 2 Satz 1, Art. 3 Abs. 1 und 2 sowie Art. 59 Abs. 1 UVG; Art. 1a Abs. 1 UVV; BGE 124 V 301), zutreffend dargelegt. Richtig wiedergegeben hat sie auch Art. 2 Satz 1 und Art. 10 Abs. 3 UVAL. Darauf wird verwiesen.
4.2 Zu ergänzen ist, dass Art. 22a Abs. 4 AVIG Folgendes statuiert: Ferner zieht die Kasse höchstens zwei Drittel der Prämie für die obligatorische Versicherung der Nichtberufsunfälle von der Entschädigung ab und entrichtet sie zusammen mit dem von ihr zu übernehmenden Drittel der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt. Für Einstell- und Wartetage werden keine Prämien erhoben. Der Bundesrat regelt die Einzelheiten und das Verfahren.
Die Versicherung nach Art. 2 UVAL ist eine Nichtberufsunfallversicherung (vgl. Art. 22a Abs. 4 AVIG sowie Art. 6 Abs. 2 und Art. 10 Abs. 2 UVAL; BGE 131 V 161 E. 2.2.1 S. 164).
5. 5.1 Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, das vom Beschwerdeführer vom 7. November 2005 bis 31. Juli 2006 absolvierte Motivationssemester sei eine arbeitsmarktliche Massnahme im Sinne des AVIG gewesen. Die Arbeitslosenversicherung (ALV) unterscheide zwischen Versicherten und nicht versicherten, von Arbeitslosigkeit bedrohten Personen (Art. 59 Abs. 1 AVIG). Sie richte Taggelder an Versicherte aus für Tage, an denen sie aufgrund eines Entscheides der zuständigen Amtsstelle an einer Bildungs- oder Beschäftigungsmassnahme teilnähmen oder sich der Planung einer selbstständigen Erwerbstätigkeit widmeten (Art. 59b Abs. 1 AVIG). Demgegenüber würden an Nichtversicherte grundsätzlich keine Taggelder ausgerichtet. Als Beschäftigungsmassnahme gälten unter anderem vorübergehende Beschäftigungen im Rahmen von Motivationssemestern für Versicherte, die nach Abschluss der schweizerischen obligatorischen Schulpflicht einen Ausbildungsplatz suchten (Art. 64a Abs. 1 lit. c AVIG), wobei für diese Teilnahme Art. 59d Abs. 1 AVIG sinngemäss zur Anwendung gelange (vgl. Art. 64a Abs. 4 AVIG). Art. 59d Abs. 1 AVIG besage, dass Personen, die weder die Beitragszeit erfüllten noch von der Erfüllung der Beitragszeit befreit seien, innerhalb einer zweijährigen Frist während längstens 260 Tagen Leistungen nach Artikel 62 Absatz 2 beanspruchen könnten, wenn sie aufgrund eines Entscheides der zuständigen Amtsstelle an einer Bildungs- oder Beschäftigungsmassnahme teilnähmen, die sie zur Aufnahme einer Erwerbstätigkeit als Arbeitnehmer befähige. Gemäss Art. 62 Abs. 2 AVIG erstatte die ALV dem Teilnehmer die ausgewiesenen notwendigen Auslagen für die Teilnahme an der Bildungsmassnahme. Taggelder würden nicht aufgeführt und nicht geleistet. Dies stimme mit Art. 59b Abs. 2 AVIG überein, der Beschäftigte in Motivationssemestern gemäss Art. 64a Abs. 1 lit. c AVIG ausdrücklich von der Berechtigung zu Mindesttaggeldern ausschliesse. Der Gesetzgeber habe damit einen bewussten und gewollten Entscheid gegen Taggelder für Personen, die weder die Beitragszeit erfüllten noch von deren Erfüllung befreit seien, getroffen. Die Öffentliche Arbeitslosenkasse habe beim Beschwerdeführer keinen versicherten Verdienst angenommen und ihm keine Taggelder ausgerichtet. Dies sei nach dem Gesagten nicht zu beanstanden. Mangels massgebendem Lohn sei er - soweit allein auf die Teilnahme am Motivationssemester abgestellt werde - nicht als Arbeitnehmer tätig gewesen; damit fehle die Grundvoraussetzung für die Unterstellung unter die obligatorische Unfallversicherung. Es treffe zu, dass nach Art. 10 Abs. 3 UVAL die Ausgleichsstelle der Arbeitslosenversicherung die Prämien für das Unfallrisiko an die SUVA entrichte für diejenigen arbeitslosen Personen, die an Programmen zur vorübergehenden Beschäftigung, Berufspraktika oder Bildungsmassnahmen teilnähmen. Art. 2 UVAL definiere jedoch, dass nur arbeitslose Personen, welche die Anspruchsvoraussetzungen nach Art. 8 AVIG erfüllten oder Entschädigungen nach Art. 29 AVIG bezögen, bei der SUVA obligatorisch gegen Unfälle versichert seien. Da der Beschwerdeführer die Beitragszeit (Art. 8 Abs. 1 lit. e in Verbindung mit Art. 9 Abs. 3 und Art. 13 Abs. 1 AVIG) nicht erfüllt habe, werde er von der UVAL nicht erfasst. Weiter stehe aufgrund der Akten fest, dass er vom 29. Mai bis 2. Juni 2006 eine Schnupperlehre bei der Firma V._ AG absolviert habe; seine andere Schnupperlehre bei der Firma O._ AG habe vorher stattgefunden. Gegenteiliges werde nicht behauptet und sei auch nicht erstellt. Demnach habe sich der Unfall vom 23. Juli 2006 mehr als 30 Tage nach Beendigung der Schnupperlehre ereignet, weshalb der Beschwerdeführer nicht mehr obligatorisch bei der SUVA unfallversichert gewesen sei und auch in diesem Lichte keinen Leistungsanspruch habe.
5.2 Das BAG führte in der Vernehmlassung vom 12. Juni 2009 aus, es schliesse sich dem vorinstanzlichen Entscheid an. Ferner verweise es auf die Veröffentlichung der SUVA im Internet, die seine Auslegung zum Versicherungsschutz wie folgt bestätige: "Die Versicherung beginnt an dem Tag, an dem die arbeitslose Person alle Anspruchsvoraussetzungen für den Bezug von Arbeitslosenentschädigung erfüllt. Ohne diesen Anspruch ist die Unfallversicherung für Arbeitslose bei der SUVA nicht wirksam, auch nicht bei Teilnahme an arbeitsmarktlichen Massnahmen". Weiter brachte das BAG vor, Art. 22a Abs. 4 AVIG bilde noch immer die gesetzliche Grundlage der UVAL. Mit der Kompetenz zur Regelung der Unfallversicherung arbeitsloser Personen habe der Bundesrat selbstverständlich auch die Kompetenz erhalten, den Kreis der versicherten Personen in Art. 2 UVAL zu umschreiben. Er habe dies getan, indem er sowohl die arbeitslosen Personen, welche die Anspruchsvoraussetzungen für eine Arbeitslo-senentschädigung erfüllten (Art. 8 AVIG), als auch die Personen, die eine solche bei begründeten Zweifeln über die Ansprüche aus Arbeitsvertrag erhielten (Art. 29 AVIG), in den Unfallversicherungsschutz einbezogen habe.
5.3 Das seco legte in der Vernehmlassung vom 10. Juli 2009 dar, dem Bundesrat sei für die Regelung der UVAL, bei der es sich im Verhältnis zu Art. 22a Abs. 4 AVIG um eine gesetzesvollziehende und im Hinblick auf das UVG um eine gesetzesvertretende Verordnung handle, ein weiter Gestaltungsspielraum eingeräumt worden (vgl. BGE 127 V 458 E. 3c S. 463). Art. 22a Abs. 4 AVIG besage, dass nach AVIG Versicherte bei der SUVA gegen Unfälle obligatorisch versichert seien. Der Bundesrat habe im Rahmen dieser Delegationsnorm in Art. 2 UVAL den Kreis der versicherten Personen auf arbeitslose Personen, welche die Anspruchsvoraussetzungen nach Artikel 8 AVIG erfüllten oder Entschädigungen nach Artikel 29 AVIG bezögen, beschränkt. Hingegen habe er den Versicherungsschutz nicht ausgedehnt auf Personen, die an einer Massnahme gemäss Art. 59d AVIG - also ohne Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung (Taggelder) - teilnähmen. Diese Beschränkung des Versicherungsschutzes auf Personen mit Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung falle weder offensichtlich aus dem Rahmen der dem Bundesrat im Gesetz (Art. 22a Abs. 4 Satz 3 AVIG) delegierten Kompetenzen heraus noch sei sie aus anderen Gründen verfassungs- oder gesetzwidrig. Die Grundsätze für die Teilnahme an arbeitsmarktlichen Massnahmen seien in Art. 59 AVIG geregelt. Nach dessen Abs. 3 müssten die Anspruchsvoraussetzungen nach Art. 8 AVIG, soweit nichts anderes bestimmt sei (lit. a), und die spezifischen Voraussetzungen für die betreffende Massnahme (lit. b) erfüllt sein. Erfülle eine arbeitslose Person die Beitragszeit nicht und sei sie von deren Erfüllung nicht befreit - erfülle sie also die Anspruchsvoraussetzungen nach Art. 8 Abs. 1 lit. e AVIG nicht -, habe sie keinen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung. Sie könne jedoch über Art. 59d AVIG dennoch an einer Bildungs- und Beschäftigungsmassnahme teilnehmen und erhalte lediglich Auslagenersatz, jedoch keine Taggelder. Aktenkundig sei, dass der Beschwerdeführer an einem Motivationssemester (Beschäftigungsmassnahme) nach Art. 59d AVIG teilgenommen habe, und ihm lediglich Auslagenersatz, jedoch kein Taggeld ausbezahlt worden sei. Dieser Sachverhalt impliziere, dass er die Voraussetzungen von Art. 8 AVIG offenbar nicht erfüllt habe, ansonsten das Motivationssemester gestützt auf Art. 59 AVIG verfügt worden wäre. Damit sei aber auch gesagt, dass er im Sinne der UVAL während des Motivationssemesters bei der SUVA nicht obligatorisch gegen Unfall versichert gewesen sei. Überdies bestehe ohne die Beschäftigung als Arbeitnehmer auch keine Versicherungsdeckung nach UVG, da keine Versicherungsprämien nach UVAL oder nach UVG erhoben würden.
6. Soweit der Beschwerdeführer letztinstanzlich auf die Begründung in der Einsprache und in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift verweist, ist dies nicht zulässig (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 134 II 244; Urteil 8C_10/2009 vom 3. August 2009 E. 8.2 mit Hinweis).
7. Dass der Beschwerdeführer nach dem 2. Juni 2006 eine weitere Schnupperlehre durchgeführt hat, ist - wie die Vorinstanz zu Recht erkannt hat (E. 5.1 hievor) - aufgrund der Akten nicht erstellt. Diese vorinstanzliche Feststellung ist im Rahmen der sachverhaltsmässig eingeschränkten bundesgerichtlichen Kognition (E. 1.2 hievor) nicht zu beanstanden. Den Beschwerdeführer trifft für seinen hiervon abweichenden Standpunkt entgegen seiner Auffassung die Beweislast (BGE 117 V 261 E. 3b S. 264). Er ist indessen nicht einmal in der Lage anzugeben, bei welcher Firma dies hätte sein sollen. Weitere Abklärungen dazu erübrigen sich daher in antizipierter Beweiswürdigung (hiezu vgl. BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148; SVR 2009 UV Nr. 3 S. 9 E. 8.3 [8C_354/2007]).
8. 8.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, der Versicherungsschutz für Nichtberufsunfälle gemäss Art. 22 Abs. 4 AVIG gelte für alle Versicherten, auch für die beitragsbefreiten Personen. Der Beschwerdeführer sei Versicherter. Für Einstell- und Wartetage würden keine Prämien erhoben (Art. 22a Abs. 4 Satz 2 AVIG), der Versicherungsschutz bleibe aber bestehen. Das Bundesgericht habe in BGE 131 V 161 E. 4.1 S. 165 Folgendes ausgeführt: "Die auch hier zum Zuge kommende Regelung, wonach bei Arbeitslosigkeit grundsätzlich die SUVA für den Versicherungsschutz zuständig sei, sei im Übrigen sinnvoll und zweckmässig. Sie garantiere eine eindeutige, klare und transparente Situation im Hinblick auf die Versicherungsverhältnisse und die Rechtssicherheit." Zielsetzung sei es also, Arbeitslosen einen umfassenden Versicherungsschutz bei Nichtberufsunfällen zu gewähren. Eine teleologische Auslegung von Art. 22 Abs. 4 AVIG ergebe, dass es im Sinne des Gesetzgebers sei, versicherten Personen der Arbeitslosenversicherung einen umfassenden Schutz gegen die Risiken von Nichtberufsunfällen zu gewähren. Indem der Bundesrat in Art. 2 UVAL den Kreis der versicherten Personen enger fasse, als es Art. 22 Abs. 4 AVIG intendiere, handle er gesetzwidrig. Daraus folge, dass alle Versicherten bei Leistungen der Arbeitslosenversicherung, unter bewusster Durchbrechung des Äquivalenzprinzips, der obligatorischen Versicherung gegen die Risiken von Nichtberufsunfällen unterstünden.
8.2 Nach der Rechtsprechung kann das Bundesgericht Verordnungen des Bundesrates grundsätzlich, von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen abgesehen, auf ihre Rechtmässigkeit hin überprüfen. Bei unselbstständigen Verordnungen, die sich auf eine gesetzliche Delegation stützen, geht es in erster Linie darum, zu beurteilen, ob sie sich im Rahmen der Delegationsnorm halten. Besteht ein sehr weiter Spielraum des Ermessens für die Regelung auf Verordnungsebene, muss sich das Gericht auf die Prüfung beschränken, ob die umstrittenen Vorschriften offensichtlich aus dem Rahmen der im Gesetz delegierten Kompetenzen herausfallen oder aus andern Gründen verfassungs- oder gesetzwidrig sind (vgl. Art. 191 BV). Es kann sein eigenes Ermessen nicht an die Stelle desjenigen des Bundesrates setzen, und es hat auch nicht die Zweckmässigkeit zu untersuchen (BGE 131 V 9 E. 3.4.1 S. 14, 131 II 562 E. 3.2 S. 566, 735 E. 4.1 S. 740). Die vom Bundesrat verordnete Regelung verstösst allerdings dann gegen das Willkürverbot oder das Gebot der rechtsgleichen Behandlung (Art. 9 und Art. 8 Abs. 1 BV), wenn sie sich nicht auf ernsthafte Gründe stützen lässt, wenn sie sinn- oder zwecklos ist oder wenn sie rechtliche Unterscheidungen trifft, für die sich ein vernünftiger Grund nicht finden lässt. Gleiches gilt, wenn die Verordnung es unterlässt, Unterscheidungen zu treffen, die richtigerweise hätten berücksichtigt werden sollen (BGE 131 II 162 E. 2.3 S. 165, 271 E. 4 S. 275, 131 V 263 E. 5.1 S. 266, 130 V 472 E. 6.1 S. 473, 130 I 26 E. 2.2.1 S. 32, 129 II 160 E. 2.3 S. 164, 129 V 267 E. 4.1.1 S. 271, 327 E. 4.1 S. 329, je mit Hinweisen; vgl. auch BGE 130 V 39 E. 4.3 S. 45).
9. 9.1 Gemäss den bei den Akten liegenden Abrechnungen (zuletzt für Juli 2006) des Amtes für Wirtschaft und Arbeit, Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn (nachfolgend Arbeitslosenkasse), hatte der Beschwerdeführer im Rahmen der Absolvierung des in Frage stehenden, bis Ende Juli 2006 dauernden Jugendprogramms bloss Anspruch auf Verpflegungs-, nicht aber auf Arbeitslosenentschädigung. Er beanstandete diese Abrechnungen nicht, obwohl darin vermerkt war, er könne innert 90 Tagen schriftlich eine Verfügung verlangen, wenn er damit nicht einverstanden sei. Diese Abrechnungen erlangten mithin Rechtsbeständigkeit (vgl. SVR 2007 ALV Nr. 24 S. 75 E. 3.2 [C 119/06]), weshalb sie in casu nicht mehr in Frage gestellt werden können.
9.2 Der Beschwerdeführer bestreitet denn auch nicht, dass er keinen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung hatte und die Anspruchsvoraussetzungen nach Art. 8 AVIG nicht erfüllte. Dies setzt aber Art. 2 UVAL alternativ voraus, um als arbeitslose Person bei der SUVA obligatorisch gegen Unfälle versichert zu sein. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist Art. 2 UVAL verfassungs- und gesetzeskonform. Diesbezüglich ist festzuhalten, dass dem Bundesrat für die Regelung der UVAL, bei welcher es sich im Verhältnis zu Art. 22a Abs. 4 AVIG um eine gesetzesvollziehende und im Hinblick auf das UVG um eine gesetzesvertretende Verordnung handelt, ein weiter Gestaltungsspielraum eingeräumt wurde. Zu prüfen ist demnach, ob die umstrittene Vorschrift des Art. 2 Satz 1 UVAL offensichtlich aus dem Rahmen der dem Bundesrat im Gesetz (Art. 22a Abs. 4 Satz 3 AVIG) delegierten Kompetenz herausfällt oder aus anderen Gründen gesetz- oder verfassungswidrig ist (BGE 127 V 458 E. 3c S. 463 ff.); dies ist zu verneinen, wie auch das BAG und das seco ausgeführt haben (vgl. E. 5.2 f. hievor).
Bereits aus dem Wortlaut der Delegationsnorm (Art. 22a Abs. 4 AVIG) geht klar hervor, dass Versicherte nur Personen sind, die Arbeitslosenentschädigung beziehen, wird doch davon die Prämie in Abzug gebracht. Einer Person, die keine Entschädigung erhält, kann nichts abgezogen werden. Zahlt sie keine Prämien, ist sie auch nicht versichert. Art. 2 UVAL schränkt mit anderen Worten den Kreis der Anspruchsberechtigten gegenüber der Delegationsnorm nicht ein. Vielmehr verhält es sich so, dass Art. 59d AVIG den Anspruch auf arbeitsmarktliche Massnahmen eben auf Personen ausdehnt, die an sich gar keinen Anspruch auf Leistungen der Arbeitslosenversicherung hätten. Dies ändert aber nichts daran, dass sie weder die Anspruchsvoraussetzungen nach Art. 8 AVIG erfüllen noch Arbeitslosenentschädigung beziehen. Sie sind auch nicht versicherte Personen im Sinne des AVIG (in Abs. 1 von Art. 59d AVIG ist denn auch nicht von den versicherten Personen, sondern nur von Personen die Rede).
9.3 Sämtliche in der Beschwerde erhobenen Einwendungen vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern.
Soweit sich der Beschwerdeführer auf BGE 133 V 161 E. 4.1 S. 165 beruft (E. 8.1 hievor), ist dies unbehelflich. Denn in dieser Erwägung wurde lediglich die Argumentation des Eidgenössischen Departements des Innern wiedergegeben. In diesem Urteil führte das Eidgenössische Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007 Bundesgericht) vielmehr aus, eine arbeitslose Person sei nach Art. 2 UVAL bei der SUVA obligatorisch versichert, wenn sie die Anspruchsvoraussetzungen nach Art. 8 AVIG erfülle und Taggelder der Arbeitslosenversicherung beziehe (BGE 133 V 161 E. 3 S. 165 und E. 5.1 S. 166). Dies trifft vorliegend unbestrittenermassen nicht zu, wie auch die Vorinstanz, das seco und das BAG zutreffend dargelegt haben (E. 5 und 9.1 hievor).
Unbehelflich ist demnach auch der Einwand des Beschwerdeführers, für Einstell- und Wartetage würden keine Prämien erhoben (Art. 22a Abs. 4 Satz 2 AVIG). Denn Einstell- und Wartetage können nur eine arbeitslose Person betreffen, die grundsätzlich Anspruch auf Arbeitslosentaggeld hat, was hier nicht der Fall ist.
9.4 Zusammenfassend war der Beschwerdeführer im Zeitpunkt seines Unfalls vom 23. Juli 2006 nicht bei der SUVA obligatorisch unfallversichert.
10.
10.1 Der Beschwerdeführer beruft sich weiter auf Vertrauensschutz und macht geltend, aufgrund der Homepage der SUVA und der Abrechnungen des Amtes für Wirtschaft und Arbeit habe er davon ausgehen können, dass er bei der SUVA obligatorisch unfallversichert sei.
10.2 Abgeleitet aus dem Grundsatz von Treu und Glauben, welcher den Bürger in seinem berechtigten Vertrauen auf behördliches Verhalten schützt, können falsche Auskünfte oder Entscheide von Verwaltungsbehörden unter bestimmten Voraussetzungen eine vom materiellen Recht abweichende Behandlung des Rechtsuchenden gebieten. Gemäss Rechtsprechung und Doktrin ist dies der Fall, 1. wenn die Behörde in einer konkreten Situation mit Bezug auf bestimmte Personen gehandelt hat; 2. wenn sie für die Erteilung der betreffenden Auskunft zuständig war oder wenn die rechtsuchende Person die Behörde aus zureichenden Gründen als zuständig betrachten durfte; 3. wenn die Person die Unrichtigkeit der Auskunft nicht ohne Weiteres erkennen konnte; 4. wenn sie im Vertrauen auf die Richtigkeit der Auskunft Dispositionen getroffen hat, die nicht ohne Nachteil rückgängig gemacht werden können und 5. wenn die gesetzliche Ordnung seit der Auskunftserteilung keine Änderung erfahren hat. Der unrichtigen Auskunft gleichgestellt ist die Unterlassung einer behördlichen Auskunft, welche gesetzlich vorgeschrieben oder nach den im Einzelfall gegebenen Umständen geboten war (vgl. Art. 27 ATSG). Die dritte Voraussetzung lautet diesfalls: wenn die Person den Inhalt der unterbliebenen Auskunft nicht kannte oder deren Inhalt so selbstverständlich war, dass sie mit einer anderen Auskunft nicht hätte rechnen müssen (nicht publ. E. 5.2 des Urteils BGE 8C_784/2008, nicht publ. E. 8.3 f des Urteils BGE 135 V 339, BGE 131 V 472 E. 5 S. 480 f.).
11. Unbehelflich ist - wie auch die Vorinstanz richtig erkannt hat - die Berufung des Beschwerdeführers auf die Homepage der SUVA aus dem Jahre 2006, wonach Personen, die an einem Programm zur vorübergehenden Beschäftigung, an einem Motivationssemester oder an Arbeiten in Übungsfirmen teilnähmen, durch die SUVA versichert seien, sofern sie einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung hätten. Da der Beschwerdeführer diesen Anspruch eben nicht hatte, war diese Homepage-Aussage gar nicht geeignet, bei ihm ein berechtigtes Vertrauen auf eine Versicherungsdeckung seitens der SUVA auszulösen.
12. 12.1
12.1.1 Die Abrechnungen (zuletzt für Juli 2006) der Arbeitslosenkasse betreffend das vom Beschwerdeführer bis Ende Juli 2006 absolvierte Jugendprogramm (vgl. auch E. 9.1 hievor) enthielten folgenden Passus: "Unfallschutz: Bei Beendigung oder Unterbrechung der Arbeitslosigkeit bitte bei der Krankenkasse melden! (Art. 10 KVG)".
Art. 10 Abs. 1 KVG lautet wie folgt: Der Arbeitgeber informiert eine aus dem Arbeitsverhältnis oder aus der Nichtberufsunfallversicherung nach dem UVG ausscheidende Person schriftlich darüber, dass sie dies ihrem Versicherer nach diesem Gesetz zu melden hat. Die gleiche Pflicht trifft die Arbeitslosenversicherung, wenn der Anspruch auf Leistungen ihr gegenüber erlischt und die betreffende Person kein neues Arbeitsverhältnis eingeht.
12.1.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, hieraus folge, dass selbst die Arbeitslosenkasse von einem Versicherungsschutz gegen die Risiken von Nichtberufsunfällen ausgegangen sei. Es habe sich um eine Zusicherung über einen faktisch bestehenden Versicherungsschutz gehandelt verbunden mit der Handlungsanweisung an den Beschwerdeführer, bei dessen Wegfallen selbst darum besorgt zu sein. Aufgrund dieser Abrechnungen habe er es unterlassen, eine private Unfallversicherung abzuschliessen, weil er im Glauben gewesen sei, er sei durch die Arbeitslosenversicherung gegen die Unfallrisiken versichert. Das Kriterium der nachteiligen Disposition, die nicht rückgängig gemacht werden könne, sei damit erfüllt.
12.2
12.2.1 Die Vorinstanz hat erwogen, allfällige gegenteilige Darlegungen der Arbeitslosenkasse, auf die sich der Beschwerdeführer berufe, könnten an der Feststellung, dass er bei der SUVA nicht obligatorisch unfallversichert gewesen sei, nichts ändern. Denn die Arbeitslosenkasse könne weder die gesetzliche Ordnung derogieren noch in Bereichen anderer Sozialversicherungszweige Entscheidungen treffen. Eine Berufung auf den Vertrauensschutz scheitere daran, dass die Arbeitslosenversicherung für den Unfallversicherungsschutz nicht zuständig sei. Die Frage, ob die Arbeitslosenkasse den Beschwerdeführer auf seine fehlende Unfallversicherung hätte hinweisen und ihm damit hätte ermöglichen müssen, selber für eine Versicherungsdeckung besorgt zu sein, sei vorliegend nicht zu beantworten, da dies nicht Streitgegenstand sei.
12.2.2 Dieser vorinstanzlichen Auffassung kann nicht gefolgt werden. Nach ständiger Rechtsprechung betreffend die Abredeversicherung einer arbeitslosen Person gemäss Art. 3 Abs. 3 UVG und Art. 8 UVV in Verbindung mit Art. 2 und 3 UVAL trifft die Informationspflicht nach Art. 72 UVV grundsätzlich die Organe der Arbeitslosenversicherung, welche in diesem Regelungszusammenhang als Organe der Unfallversicherungsdurchführung tätig sind. Verletzen demnach die Organe der Arbeitslosenversicherung ihre Pflicht, eine versicherte Person über die Möglichkeit einer Verlängerung des Unfallversicherungsschutzes durch Abschluss einer Abredeversicherung zu orientieren, hat dies unter bestimmten Voraussetzungen eine Leistungspflicht der SUVA zur Folge (BGE 121 V 28 E. 2c S. 34; RKUV 2004 Nr. U 499 S. 167 E. 1.2 [U 263/02], 2000 Nr. U 387 S. 272 E. 3c [U 340/99], Urteil U 600/06 vom 22. November 2007 E. 3.2, je mit Hinweisen).
Diese Rechtsprechung ist entsprechend auch anwendbar, wenn die Organe der Arbeitslosenversicherung bezüglich der Frage des Bestehens oder Nichtbestehens der Versicherungsdeckung der arbeitslosen Person bei der SUVA die Informationspflicht verletzen oder eine falsche Auskunft erteilen. Falls diesbezüglich die Voraussetzungen des Vertrauensschutzes erfüllt sind (vgl. E. 10.2 hievor), hat dies demnach eine Leistungspflicht der SUVA zur Folge. Die Sache ist somit an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie den Leistungsanspruch des Beschwerdeführers in diesem Lichte prüfe.
13. Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu erneutem Entscheid (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als volles Obsiegen des Beschwerdeführers im Sinne von Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG (BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_346/2009 vom 3. Juli 2009 E. 6). Demnach hat die SUVA die Gerichtskosten zu tragen (BGE 133 V 642) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 13. Januar 2009 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen über die Beschwerde neu entscheide. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. November 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar