Faits:
A. En septembre 1998, A._ a été engagé à 50% en qualité d'enseignant HES à l'école C._. En janvier 2005, cette école a été intégrée à l'école B._. Le contrat du prénommé a alors été reconduit, son taux d'activité passant à 86%.
Le 21 octobre 2005, A._ a écrit à la direction générale de B._ pour se plaindre de ses conditions de travail; il se prétendait victime de harcèlement et d'un "lynchage professionnel". Il a développé ses griefs dans un document daté du 28 novembre 2005, en demandant que son statut de victime de harcèlement soit reconnu et qu'il soit réintégré dans les fonctions et prérogatives qui étaient les siennes lors de la création de B._. La direction a demandé aux personnes mises en cause de faire valoir leur point de vue et le dossier a été transmis à la Commission de conciliation de B._ (ci-après: la commission de conciliation). A._ a déposé de nouvelles observations devant cette commission, qui a entendu plusieurs témoins le 10 mai 2006 et tenu une séance en août 2006, avant de conclure que la conciliation avait échoué. La cause a alors été transmise à la Commission de recours de B._ (ci-après: la commission de recours). Le 30 octobre 2006, la direction de B._ a réentendu les principaux protagonistes de cette affaire. Par décision du 18 janvier 2007, la commission de recours s'est déclarée incompétente et a renvoyé la cause à la direction générale de B._.
Par décision du 13 février 2007, la direction générale de B._ a résilié les rapports de travail de A._, avec effet au 31 mai 2007, libéré celui-ci avec effet immédiat de l'obligation de travailler et rejeté toutes ses prétentions. Elle a considéré en substance que les griefs de harcèlement n'étaient pas fondés et que les propos tenus par l'intéressé à l'encontre de ses collègues - notamment au cours de la procédure - avaient compromis définitivement toute collaboration entre l'école et lui.
B. Le 6 mars 2007, A._ a saisi la commission de conciliation, concluant notamment à l'annulation de la décision de licenciement, à sa réintégration et au versement d'une indemnité de 15'000 fr. pour tort moral et d'une indemnité de 10'000 fr. pour les honoraires de son avocat. L'échec de la conciliation ayant été constaté, la cause a été transmise à la commission de recours, qui a rejeté le recours par décision du 29 avril 2008.
A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif), qui a rejeté le recours par arrêt du 21 juillet 2008. En substance, cette autorité a considéré que l'intéressé avait certes souffert d'une mauvaise ambiance de travail et d'un "douloureux conflit dans les relations professionnelles", mais qu'il n'avait pas été victime d'un mobbing au sens de la jurisprudence. De plus, l'attitude de A._, surtout à compter de décembre 2005, avait manifestement perturbé le bon déroulement des activités de B._, de sorte que les conditions de l'art. 20 du Règlement sur le statut du personnel de B._ - relatif au licenciement ordinaire - étaient remplies.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et la décision de licenciement du 13 février 2007, de reconnaître qu'il a été victime de "harcèlement/mobbing" et de condamner B._ au versement d'une indemnité correspondant à six mois de salaire pour renvoi abusif, d'une indemnité de 15'000 fr. pour tort moral et d'une indemnité de 10'000 fr. pour ses frais d'avocat au niveau cantonal. Il se plaint d'une violation de l'art. 328 CO et des art. 20 et 36 du Règlement sur le statut du personnel de B._. Le Tribunal administratif se réfère aux considérants de son arrêt. B._ s'est déterminée; elle conclut au rejet du recours. Ces déterminations ont été communiquées à A._.
Considérant en droit:
1. La voie du recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF est en principe ouverte pour contester les décisions concernant les rapports de travail de droit public. La contestation étant de nature pécuniaire, le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. Dans la mesure où le recourant conclut notamment au paiement d'une indemnité de 15'000 fr. pour tort moral ainsi que d'une indemnité pour renvoi abusif correspondant à six mois de salaire, la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public (art. 85 al. 1 let. b LTF). Pour le surplus, l'intéressé a la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 let. b et c LTF) et le recours a été interjeté en temps utile, contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF), de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2. Le recourant estime que le Tribunal cantonal aurait dû constater qu'il avait été victime de mobbing au sens de la jurisprudence. Il se plaint d'une violation de l'art. 328 CO et des art. 20 et 36 du Règlement sur le statut du personnel de la HE-ARC.
2.1 Les motifs de recours au Tribunal fédéral sont énumérés aux art. 95 et 96 LTF. La violation du droit cantonal ne constitue en principe pas un motif de recours, sauf dans les cas prévus par l'art. 95 let. c à e LTF, qui n'entrent pas en considération en l'espèce. Par conséquent, une violation du droit cantonal ne peut être invoquée que si elle constitue également une atteinte au droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF ou au droit international au sens de l'art. 95 let. b LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.2.1 p. 251 s.)
L'atteinte au droit fédéral selon l'art. 95 let. a LTF peut notamment résulter du fait que le droit cantonal a été appliqué de façon arbitraire (art. 9 Cst.; pour une définition de l'arbitraire, cf. ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153). Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme sous cet angle, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (ATF 134 II 124 consid. 4.1 p. 133; 133 II 257 consid. 5.1 p. 260 s. et les arrêts cités).
2.2 En l'occurrence, une éventuelle violation du Règlement sur le statut du personnel de la HE-ARC ne constitue pas en elle-même un motif de recours au sens des normes précitées. Seule une application arbitraire de ce règlement pourrait dès lors faire l'objet d'un grief. Quant à l'art. 328 CO, il s'agit d'une disposition de droit privé et le recourant n'explique pas en vertu de quelles règles elle trouverait application en l'espèce. En principe, les dispositions du droit des obligations ne sont pas applicables comme telles aux contestations portant sur des rapports de travail de droit public, mais elles peuvent s'appliquer à titre subsidiaire et par analogie, comme droit cantonal supplétif (cf. ATF 118 II 213 consid. 4 et les références; arrêt 2A.770/2006 du 26 avril 2007 consid. 4.2). Dans la mesure où le recourant se borne à critiquer l'application de cette norme et du règlement précité, sans aucunement démontrer, ni même alléguer, que cette application serait arbitraire ou qu'elle porterait atteinte à ses droits constitutionnels, il est douteux que les griefs en question soient recevables. Cette question peut cependant demeurer indécise, dès lors que le recours ne traite pas à proprement parler de l'application ou de l'interprétation du règlement invoqué et de l'art. 328 CO, mais qu'il porte plutôt sur l'établissement et l'appréciation des faits.
3. Le recourant semble en effet contester certains faits retenus par le Tribunal administratif et il présente sa propre lecture du dossier ainsi qu'un exposé des événements qu'il tient pour déterminants, pour conclure que ces éléments auraient dû conduire à la constatation d'un mobbing.
3.1 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF. Le recourant ne peut pas se satisfaire de présenter un état de fait s'écartant des faits constatés dans l'arrêt attaqué, mais il doit démontrer en quoi ces constatations sont arbitraires (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
Un recours au Tribunal fédéral doit en effet respecter des exigences d'allégation et de motivation, conformément aux art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF. Selon cette dernière disposition, les griefs de violation du droit constitutionnel ne peuvent être examinés que s'ils sont invoqués et motivés; ils répondent en outre à des exigences de motivation accrues, correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254). Il appartient donc au recourant de démontrer dans quelle mesure la décision attaquée viole les droits fondamentaux invoqués. Le Tribunal fédéral n'examine que les griefs soulevés de manière claire et précise; il n'entre pas en matière sur les griefs insuffisamment motivés et sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 589 consid. 2 p. 591 et les références).
3.2 En l'espèce, le recourant développe longuement sa propre appréciation du dossier et il expose que celui-ci contenait suffisamment d'éléments pour retenir l'existence d'un mobbing. Il discute les constatations de fait, en perdant cependant de vue que le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente, sauf si ceux-ci sont manifestement inexacts ou s'il est démontré qu'ils ont été établis de façon arbitraire. Dès lors que le recours ne comporte pas une telle démonstration et dans la mesure où l'état de fait n'apparaît pas d'emblée manifestement inexact ou insoutenable, il n'y a pas lieu de prendre en considération d'autres faits que ceux retenus dans la décision attaquée. L'appréciation arbitraire de ces faits n'est pas davantage démontrée. Le recourant se limite en effet à présenter la définition du mobbing et à formuler des critiques de nature appellatoire; il conteste des faits et en énumère de nombreux autres, sans toutefois en tirer de conséquences juridiques concrètes. Le recourant agit donc comme si le Tribunal fédéral revoyait librement l'ensemble de la cause en fait et en droit indépendamment des griefs présentés, ce qui n'est pas le cas. Il lui appartenait au contraire d'invoquer l'interdiction de l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. et de proposer une démonstration à cet égard, en expliquant concrètement en quoi l'appréciation du Tribunal administratif était insoutenable et quels éléments précis n'auraient pas été pris en compte par cette autorité alors qu'ils étaient absolument déterminants.
Dans ces conditions, faute de griefs clairement présentés et démontrés, il y a lieu de constater que les exigences de motivation accrues mentionnées ci-dessus ne sont pas respectées. Le Tribunal fédéral ne peut dès lors pas entrer en matière sur ces critiques, qui doivent être déclarées irrecevables. Ces griefs ont du reste pour la plupart été examinés de manière détaillée par les précédentes instances et le recourant peut être renvoyé à cet égard aux considérants de l'arrêt attaqué, qui n'apparaissent au demeurant pas d'emblée arbitraires au sens de la jurisprudence susmentionnée.
4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lausanne, le 5 décembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener