Sachverhalt:
A. Der 1968 geborene S._ ist Geschäftsführer und einziger Gesellschafter der Firma X._ GmbH, einem in der Transportbranche tätigen Einmannbetrieb, und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) u.a. gegen die Folgen von Nichtberufsunfällen versichert. Nachdem er sich am 10. Oktober 2006 eine Handgelenksdistorsion rechts zugezogen hatte, meldete er am 20. Mai 2008 zwei weitere Unfallereignisse vom 24. und 25. April 2008, welche er im Rahmen eines - krankheitsbedingten - Aufenthaltes im Spital Niederbipp erlitten habe. Die SUVA nahm in der Folge Abklärungen vor und kam mit Verfügung vom 1. September 2008, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 19. November 2008, zum Schluss, dass die angezeigten Ereignisse keine Versicherungsleistungen auslösende Verletzungen bewirkt hätten.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt nach Durchführung einer Parteiverhandlung ab (Entscheid vom 3. September 2009).
C. S._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt im Wesentlichen, es seien ihm Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen zu erbringen; ferner seien ihm eine auf einer vollständigen Erwerbsunfähigkeit beruhende Invalidenrente und eine "volle" Integritätsentschädigung zuzusprechen. Des Weitern ersucht er um Durchführung einer Parteiverhandlung und um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung.
Erwägungen:
1. Der prozessuale Antrag des Beschwerdeführers auf mündliche Parteiverhandlung ist nicht näher begründet. Überdies besteht darauf nur ausnahmsweise ein Rechtsanspruch (siehe die zu Art. 112 OG und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ergangene, unter der Herrschaft von Art. 57 BGG fortzuführende Rechtsprechung: statt vieler BGE 125 V 37 E. 3 S. 39; Urteile 8C_201/2009 vom 11. September 2009 E. 3 und 4A.5/2002 vom 22. Januar 2003 E. 2; siehe sodann Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001, BBl 2001 4302). Auch ist nicht einsichtig, inwiefern eine solche zur Klärung der im vorliegenden Verfahren sich stellenden Rechtsfragen dienen könnte, weshalb auf deren Durchführung verzichtet wird.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Im angefochtenen Entscheid wurden die für die vorliegende Streitsache relevanten Bestimmungen und Grundsätze über den Anspruch auf Leistungen der Unfallversicherung im Allgemeinen (Art. 6 Abs. 1 UVG in Verbindung mit Art. 4 ATSG) und den im Sozialversicherungsrecht massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 114 V 298 E. 5b S. 305 f.; vgl. auch BGE 119 V 335 E. 1 S. 338) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Das kantonale Gericht hat die vorgelegten Beweise umfassend und pflichtgemäss gewürdigt, sich ausführlich mit den medizinischen Berichten sowie Stellungnahmen auseinandergesetzt und sie rechtsprechungskonform beurteilt. Es ist dabei zum überzeugenden Ergebnis gelangt, dass sich der Beschwerdeführer anlässlich der von ihm rapportierten Vorfälle (24. April 2008: Sturz von einer Sanitätsbahre; 25. April 2008: Sturz beim morgendlichen Gang vom Spitalbett zur Toilette) nicht zu Versicherungsleistungen führende Verletzungen zugezogen hat, wobei auf Grund der ärztlichen Unterlagen namentlich Anzeichen für dabei erlittene Läsionen an den beiden Handgelenken bzw. am linken Daumensattelgelenk fehlen.
4.2 Die vor dem Bundesgericht erhobenen Einwendungen, die zur Hauptsache in einer Wiederholung der bereits im vorinstanzlichen Verfahren vorgebrachten Rügen bestehen, vermögen diese Betrachtungsweise nicht in Zweifel zu ziehen. Insbesondere sind sie, soweit überhaupt als sachbezogen im Sinne des Art. 42 Abs. 1 BGG zu qualifizieren, nicht geeignet, die Sachverhaltsdarlegungen des Beschwerdeführers als im Lichte des erforderlichen Beweisgrades der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt anzusehen. Bezüglich der Anträge des Versicherten, es seien ihm eine "Genugtuungssumme im richterlichen Masse" sowie eine "richterliche Abfindung" wegen einer verspäteten Eingabe der Beschwerdegegnerin im kantonalen Beschwerdeprozess zuzusprechen, wie auch der geltend gemachten Übernahme von Reise- und Transportkosten kann sodann auf das im Parallelverfahren 8C_970/2009 ergangene Urteil verwiesen werden.
5. 5.1 Die offensichtlich unbegründete Beschwerde wird im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Ab. 2 lit. a BGG - ohne Durchführung des Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den kantonalen Entscheid (Art. 102 Abs. 1 und Art. 109 Abs. 3 BGG) - erledigt.
5.2 Dem Prozessausgang entsprechend würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 4 lit. a und Art. 66 Abs. 1 BGG); indessen rechtfertigen es die Umstände, auf die Erhebung von Gerichtskosten ausnahmsweise zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung erweist sich vor diesem Hintergrund als obsolet.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Dezember 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Fleischanderl