Sachverhalt:
A. Am 17. März 2008 erstattete X._ Anzeige gegen Y._ wegen Tierquälerei. Mit Eingabe vom 20. Mai 2008 stellte er zudem Strafantrag wegen Drohung und mehrfacher übler Nachrede. Mit Strafbefehl vom 11. Mai 2009 verurteilte das Bezirksamt Baden Y._ wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Tierschutzgesetz, mehrfacher Drohung und mehrfacher übler Nachrede. Mit Schreiben vom 15. Mai 2009 ersuchte X._ das Bezirksamt Baden um Zustellung der seit dem 26. November 2008 eingegangenen Verfahrensakten. Diese wurden ihm in der Folge zugesandt. Mit Schreiben vom 3. Juni 2009 machte er das Bezirksamt Baden darauf aufmerksam, dass die "Verteisdigerakten von Y._ (RA P. Conrad)" fehlten und ersuchte um deren Nachsendung. Mit Schreiben vom 30. Juli 2009 teilte das Bezirksamt Baden X._ mit, dass die erbetenen Akten nicht mehr auffindbar seien.
Mit Beschwerde vom 25. September 2009 an das Obergericht des Kantons Aargau beantragte X._, das Bezirksamt Baden sei anzuweisen, die Verteidigerakten von Y._ nachzureichen. Der Präsident der Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts retournierte die Eingabe mit dem Hinweis, auf die Beschwerde könne voraussichtlich nicht eingetreten werden. Für eine allfällige Rechtsverweigerungsanzeige sei das Departement Volkswirtschaft und Inneres, Abteilung Strafrecht, als Aufsichtsinstanz zuständig. Mit Eingabe vom 13. Oktober 2009 reichte X._ erneut Beschwerde ein. Das Obergericht trat in der Folge mit Entscheid vom 2. Dezember 2009 auf das Rechtsmittel nicht ein.
B. Mit Eingabe vom 16. Dezember 2009 an das Bundesgericht erhebt X._ Beschwerde in Strafsachen und eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und das Bezirksamt Baden sei anzuweisen, die Verteidigerakten von Y._ nachzureichen.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bezirksamt Baden führt in seiner Stellungnahme aus, das fragliche Dossier mit den Verteidigerakten sei gemäss internen Abklärungen dem Beschwerdeführer zugestellt worden, jedoch nicht per Einschreiben. Es habe nicht geklärt werden können, ob das Dossier wieder zurückgesendet worden sei. In seiner Stellungnahme dazu hält der Beschwerdeführer daran fest, dass er das Dossier nie erhalten habe.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid geht auf ein Gesuch des Beschwerdeführers um Akteneinsicht zurück. Das Strafverfahren, auf welches sich das Gesuch bezieht, ist abgeschlossen. Beim Nichteintretensentscheid des Obergerichts handelt es sich deshalb nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung um einen Justizverwaltungsakt, der mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anzufechten ist (Art. 82 lit. a BGG; vgl. zur Publ. bestimmtes Urteil 1C_444/2009 vom 14. Januar 2010 E. 1.1 und dort zitierte Entscheide). Die unrichtige Bezeichnung des Rechtsmittels schadet dem Beschwerdeführer indessen nicht (BGE 134 III 379 E. 1.2 S. 382; 133 II 396 E. 3.1 S. 399; je mit Hinweisen).
1.2 Mit seinem Entscheid vom 2. Dezember 2009 hat das Obergericht die Beschwerde gemäss § 213 des Gesetzes des Kantons Aargau vom 11. November 1958 über die Strafrechtspflege (StPO/AG; SAR 251.100) als das unzutreffende Rechtsmittel bezeichnet und den Beschwerdeführer auf die Möglichkeit einer Aufsichtsanzeige an das Departement Volkswirtschaft und Inneres, Abteilung Strafrecht, hingewiesen. Es hat die Angelegenheit jedoch nicht an das Departement überwiesen, sondern ist auf die Beschwerde nicht eingetreten. Damit wurde das kantonale Verfahren abgeschlossen (Art. 90 BGG).
1.3 Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und macht geltend, das Obergericht habe durch den Nichteintretensentscheid den Anspruch auf gerichtliche Beurteilung verletzt. Zu dieser Rüge ist er im bundesgerichtlichen Verfahren ungeachtet seiner Legitimation in der Sache berechtigt (Art. 89 Abs. 1 BGG, vgl. BGE 129 II 297 E. 2.3 S. 301; 127 II 161 E. 3b S. 167). Der Streitgegenstand ist jedoch auf diese Frage beschränkt (Urteil 1C_405/2008 vom 18. März 2009 E. 1). Deshalb kann insofern nicht auf die Beschwerde eingetreten werden, als der Beschwerdeführer geltend macht, das Bezirksamt Baden habe das rechtliche Gehör verletzt, indem es ihm nicht die vollständigen Akten zugestellt habe.
1.4 Ebenfalls nicht einzutreten ist auf die Beschwerde sodann insoweit, als der Beschwerdeführer kritisiert, es verletze das Gewaltenteilungsprinzip, wenn eine Verwaltungsbehörde als Rechtsmittelinstanz in einem Strafverfahren auftrete. Auch diese Rüge bezieht sich nicht auf die Frage, ob die Vorinstanz zu Unrecht nicht auf das Rechtsmittel eingetreten ist. Im Übrigen ergibt sich in erster Linie aus dem kantonalen Staatsrecht, welche Behörde wofür zuständig ist (BGE 130 I 1 E. 3.1 S. 5) und es erscheint nicht als unzulässig, wenn wie vorliegend nach Abschluss eines Strafverfahrens zunächst eine Verwaltungsbehörde über das Akteneinsichtsrecht entscheidet.
2. Der Beschwerdeführer rügt, der Verweis auf ein verwaltungsinternes Aufsichtsverfahren verletze die Rechtsweggarantie. Er beruft sich dabei auf Art. 6 EMRK sowie Art. 29a BV. Indessen behauptet er nicht, dass er den Entscheid des Departements nicht an ein kantonales Gericht weiterziehen könnte, welches die Anforderungen der von ihm angerufenen Verfahrensgarantien erfüllt. Auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde hat er indessen gemäss Art. 29a BV in Verbindung mit Art. 130 Abs. 3 BGG Anspruch (vgl. Urteil 2C_64/2007 vom 29. März 2007 E. 3, in: Pra 2007 Nr. 134 S. 920 mit Hinweisen). Die Rüge der Verletzung der Rechtsweggarantie erweist sich damit als unbegründet.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksamt Baden und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. März 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold