Faits:
A. Le 20 mai 2011, l'Office du Registre du commerce a informé le Tribunal de première instance du canton de Genève que la société X._ Sàrl était dépourvue de réviseur agréé. Le tribunal était requis de prendre les mesures nécessaires pour remédier à cette carence.
La société n'avait pas d'adresse connue, celle figurant au Registre du commerce ne permettant plus de l'atteindre. De même, l'unique associé gérant, prétendument domicilié à Genève, ne disposait d'aucune nouvelle adresse connue dans le canton.
Par annonce insérée dans la Feuille d'avis officielle du 17 juillet 2012, le tribunal a cité la société à comparaître à l'audience fixée le 16 août 2012 et l'a en outre sommée, sous peine d'une éventuelle dissolution, de rétablir une situation conforme au droit dans un délai échéant le 14 août 2012, soit en procédant à l'élection de l'organe manquant, soit en versant une avance de 2'000 fr. pour couvrir les frais du réviseur désigné par le tribunal.
Les deux parties ont fait défaut à l'audience du 16 août 2012. Statuant le jour même par voie de procédure sommaire, le tribunal a rendu un dispositif de jugement ordonnant la dissolution de la société et sa liquidation selon les dispositions applicables à la faillite. Le dispositif a été publié dans la FAO du 28 août 2012.
B. L'associé gérant a interjeté appel par acte déposé le 5 septembre 2012, en déclarant que la société était solvable. Le tribunal a adressé aux parties une motivation de sa décision en date du 12 octobre 2012.
Le 25 octobre 2012, la société a déclaré faire appel contre le jugement motivé. L'Office du Registre du commerce a indiqué ne pas être en possession des documents permettant d'inscrire un organe de révision ou un "opting out".
Par arrêt du 30 novembre 2012, la Chambre civile de la Cour de justice a confirmé la dissolution de la société au motif qu'aucune pièce n'attestait d'un rétablissement de la situation.
La décision de dissolution a été inscrite au Journal du Registre du commerce le 5 décembre 2012 et publiée dans la Feuille officielle suisse du commerce le 10 décembre 2012.
C. La société a saisi le Tribunal fédéral d'un "recours en matière civile, subsidiairement recours constitutionnel", concluant formellement à l'annulation de l'arrêt rendu par la Cour de justice le 30 novembre 2012. La société invoque des faits survenus le 1er décembre 2012 et produit des pièces destinées à les corroborer.
Le Registre du commerce conclut au rejet du recours. L'autorité précédente soutient que la procédure a été régulière et qu'aucune violation de droit ne peut être reprochée aux autorités cantonales.
L'effet suspensif a été accordé à titre superprovisoire par ordonnance présidentielle du 7 janvier 2013.
D. Parallèlement, la recourante a invité la Cour de justice à reconsidérer sa décision. Cette requête a été déclarée irrecevable par arrêt du 22 février 2013, en raison du défaut de paiement de l'avance de frais.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours vise une décision ordonnant la dissolution d'une société à responsabilité limitée. Au regard des conséquences économiques que peut entraîner une telle mesure, il est généralement admis que la valeur litigieuse de 30'000 fr. exigée par l'art. 74 al. 1 let. b LTF est atteinte, sauf indices contraires (arrêts 4A_425/2011 du 12 décembre 2011 consid. 1.2, in JdT 2012 II 421; 4A_578/2010 du 11 avril 2011 consid. 1.1; cf. aussi BERGER/RÜETSCHI/ZIHLER, Die Behebung von Organisationsmängeln [...], REPRAX 2012 p. 15 ch. 5). La voie du recours en matière civile est donc ouverte. Il en découle l'irrecevabilité du recours constitutionnel déposé à titre subsidiaire (cf. art. 113 LTF).
1.2 Le recours en matière civile étant une voie de réforme (cf. art. 107 al. 2 LTF), le justiciable doit en principe formuler des conclusions tendant à modifier sur le fond l'acte attaqué, sous peine d'irrecevabilité (ATF 137 II 313 consid. 1.3).
En l'occurrence, la recourante fait comprendre dans son argumentation qu'elle attend une mesure moins incisive que la dissolution de la société, ce qui suffit au regard de la maxime d'office régissant ce type de litige (cf. infra consid. 3.2). Le recours est donc recevable sans égard aux conclusions formelles purement cassatoires.
1.3 L'art. 99 al. 1 LTF interdit de présenter des faits nouveaux ou preuves nouvelles, à moins qu'ils ne résultent de la décision attaquée. Sont en particulier prohibés les nova proprement dits, soit les faits survenus après la décision attaquée (ATF 133 IV 342 consid. 2.1).
Il s'ensuit que la recourante n'est pas habilitée à faire des allégations et produire des pièces concernant un événement survenu le lendemain de la décision attaquée; ces éléments ne sauraient être pris en compte par la Cour de céans dans son contrôle de la décision attaquée.
2. Le Tribunal fédéral applique la loi d'office, à l'exception des droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il apprécie librement la portée juridique des faits, sans être lié par l'argumentation des parties, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente. Dans les limites des conclusions prises (art. 107 al. 1 LTF), il peut donc admettre le recours pour d'autres motifs que ceux invoqués par la partie recourante, ou rejeter le recours en adoptant un autre raisonnement que celui retenu dans l'arrêt attaqué. Eu égard, toutefois, à l'exigence de motivation qu'impose l'art. 42 al. 2 LTF sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine d'ordinaire que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 II 384 consid. 2.2.1; 134 III 102 consid. 1.1; 133 II 249 consid. 1.4.1).
3. 3.1 La recourante invoque principalement une violation des art. 316 CPC et 731b CO. A son sens, la cour d'appel aurait dû lui impartir un nouveau délai pour procéder à la désignation de l'organe de révision ou renoncer au contrôle restreint. Elle aurait aussi pu fixer une audience et lui permettre ainsi de s'exprimer, ce qu'elle n'avait pas pu faire en première instance. En ordonnant d'emblée la mesure la plus incisive, la cour aurait enfreint le principe de proportionnalité.
3.2 Les sociétés à responsabilité limitée doivent soumettre leurs comptes annuels au contrôle ordinaire ou restreint d'un organe de révision (art. 727 et 727a CO en liaison avec l'art. 818 CO). Avec le consentement de tous les associés, la société peut renoncer au contrôle restreint ("opting out") lorsque son effectif ne dépasse pas dix emplois à plein temps en moyenne annuelle (art. 727a al. 2 et art. 818 CO).
Si le préposé au registre du commerce constate que la société ne respecte pas des règles d'organisation impératives, il est tenu de saisir le juge, qui prendra les mesures nécessaires (art. 941a CO et art. 154 al. 3 ORC). Le préposé annonce spontanément au juge les éventuels changements survenant après le dépôt de sa requête (arrêt 4A_560/2012 du 1er mars 2013 consid. 2.4).
L'art. 731b CO, applicable par renvoi de l'art. 819 CO, contient un catalogue non exhaustif des mesures envisageables en cas de carence dans l'organisation de la société: le juge peut notamment fixer un délai pour rétablir la situation légale, sous peine de dissolution (al. 1 ch. 1), nommer l'organe qui fait défaut ou un commissaire (al. 1 ch. 2), ou encore prononcer la dissolution de la société et ordonner sa liquidation selon les dispositions applicables à la faillite (al. 1 ch. 3).
Le juge dispose ainsi d'une liberté d'action suffisante, qui lui permet de prendre la mesure adéquate en fonction des circonstances concrètes. Il n'est pas lié par les conclusions des parties et peut ordonner une autre mesure que celle requise. La procédure est soumise à la maxime d'office (art. 58 al. 2 CPC); les parties ne peuvent pas disposer librement de l'objet du litige (ATF 138 III 294 consid. 3.1.3).
La liberté du juge n'est toutefois pas illimitée, en ce sens qu'il doit respecter le principe de proportionnalité. La dissolution prévue au chiffre 3 de l'art. 731b al. 1 CO constitue l'ultima ratio; elle ne peut être prononcée que si les mesures moins sévères énoncées aux deux chiffres précédents - octroi d'un délai ou nomination de l'organe par le juge - ne suffisent pas, ou sont restées sans succès (ATF 138 III 407 consid. 2.4; 138 III 294 consid. 3.1.4). Tel est en particulier le cas lorsque des décisions ne peuvent être notifiées ou que la société ne se fait entendre d'aucune façon (ATF 138 III 407 consid. 2.4; 138 III 294 consid. 3.1.4; BÜRGE/GUT, Richterliche Behebung von Organisationsmängeln der AG und der GmbH, RSJ 2009 p. 160). Si l'organe de révision fait défaut et que la société ne rétablit pas la situation dans le délai fixé, le juge doit en principe opter pour la mesure plus clémente consistant à désigner l'organe manquant, plutôt que d'ordonner la dissolution. Tel est du reste ce que prévoyait l'ancien droit, qui n'offrait pas la possibilité de dissoudre la société (art. 727f aCO). Le juge peut imposer à la société de faire l'avance des frais du réviseur dans un certain délai, sous peine de dissolution (cf. art. 731b al. 2 CO; ATF 138 III 294 consid. 3.3.1).
3.3 En l'occurrence, le Tribunal de première instance a sommé la société par voie édictale de remédier à la situation, puis a directement ordonné sa dissolution en constatant que ni la personne morale, ni son associé gérant n'étaient atteignables. Le tribunal en a déduit que la société n'avait plus d'activité ni d'intérêt à poursuivre une quelconque activité, et qu'elle ne disposait certainement pas des moyens de financer l'activité d'un organe désigné par le tribunal.
Suite à cette décision, l'associé gérant s'est manifesté; il a fait appel en précisant que la société était solvable. La situation comportait un élément nouveau, en ce sens que la Cour de justice n'était plus confrontée à un cas d'absence autorisant à présumer que la société ne réagirait pas et que toute mesure serait vaine. Se posait ainsi la question de savoir si la société avait ou non une activité, si elle avait ou non eu connaissance effective de la sommation par voie édictale, respectivement si l'on pouvait espérer qu'une nouvelle sommation conduise la société à nommer un réviseur ou faire une déclaration de renonciation. La question d'une nomination judiciaire de l'organe de révision aux frais de la société se trouvait également réactualisée. Dans un tel cas de figure, la cour cantonale ne pouvait se contenter de laisser s'écouler un délai raisonnable, en maintenant l'appelante dans l'incertitude complète quant à la conduite de la procédure, pour finalement confirmer sans autre instruction la décision de dissolution, en reprochant à l'appelante, qui n'était pas assistée d'un avocat, de ne pas avoir profité du temps écoulé pour remédier à la situation.
En confirmant dans ces circonstances la dissolution, la cour d'appel a enfreint l'art. 731b CO.
3.4 Au vu de ce qui précède, l'arrêt attaqué doit être annulé et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle rende une nouvelle décision.
3.5 La demande d'effet suspensif, qui avait été admise provisoirement dans l'ordonnance présidentielle du 7 janvier 2013, est privée d'objet.
4. La recourante obtient gain de cause. En vertu de l'art. 66 al. 4 LTF, le canton de Genève, dont dépend l'office intimé, ne peut se voir imposer de frais judiciaires. Aussi convient-il de renoncer à en percevoir. Cela étant, le canton de Genève versera à la recourante une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière civile est partiellement admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le canton de Genève versera à la recourante une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties ainsi qu'à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève et, pour information, à l'office des faillites concerné.
Lausanne, le 13 mai 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti