Faits:
A. Ressortissante de la République démocratique du Congo (ci-après: le Congo) née en 1978, X._ est entrée illégalement en Suisse le 14 janvier 2001 et a déposé une demande d'asile qui a été rejetée le 8 mars 2001. Le renvoi prononcé à son encontre est entré en force en mai 2001.
B. X._ a fait l'objet de différentes condamnations.
- Le 27 août 2003, elle a été condamnée dans le canton de Bâle-Ville à 15 jours de prison et 500 fr. d'amende pour entrée illégale en Suisse, sans visa ni documents de voyage valables et malgré un renvoi entré en force.
- En septembre 2005, elle a été condamnée en France à 3 mois de prison après être entrée dans ce pays sous une fausse identité pour y déposer une demande d'asile.
- A deux reprises, les 2 novembre 2006 et 29 juin 2007, elle a été condamnée dans le canton de Soleure pour avoir circulé sans titre de transport valable.
C. Le 31 mai 2007, X._ a donné naissance à un fils, Y._, qui a été reconnu, le 3 décembre 2007, par Z._, ressortissant suisse d'origine congolaise, de sorte que cet enfant a acquis la nationalité suisse. Le 29 janvier 2008, les parents de Y._ ont signé une convention d'entretien prévoyant que le droit de garde et l'autorité parentale soient attribués à la mère et que le père verse une contribution mensuelle d'entretien de 357 fr. à quoi s'ajouteraient les allocations pour enfant. Le 16 février 2009, ils ont signé une convention réglant le droit de visite du père.
D. Le 11 décembre 2007, X._ a requis l'octroi d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial.
Par décision du 27 mars 2008, le Service des migrations du canton de Berne (ci-après: le Service cantonal) a rejeté la demande.
Le 15 janvier 2009, la Direction de la police et des affaires militaires du canton de Berne (ci-après: la Direction cantonale) a rejeté le recours de X._ contre la décision précitée du 27 mars 2008.
E. X._ a alors porté sa cause devant la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne (ci-après: le Tribunal administratif), qui a rejeté le recours par jugement du 10 juin 2009. Dans le cadre de la pesée des intérêts en présence, le Tribunal administratif a notamment retenu que l'enfant Y._ et son père n'entretenaient pas une relation particulièrement forte sur les plans affectif et économique. Il a aussi considéré que le comportement de X._ était loin d'être irréprochable.
F. A l'encontre du jugement du Tribunal administratif du 10 juin 2009, X._ a déposé au Tribunal fédéral un recours en matière de droit public, subsidiairement un recours constitutionnel subsidiaire. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation du jugement attaqué, à l'exception de l'assistance judiciaire qui lui a été accordée. Elle conclut aussi à l'octroi en sa faveur d'une autorisation de séjour en Suisse (permis B), subsidiairement, au renvoi du dossier "à l'autorité cantonale" pour nouvelle décision lui accordant une autorisation de séjour en Suisse (permis B) et, plus subsidiairement, au renvoi du dossier au Tribunal administratif pour complément d'instruction. La recourante se plaint de violation de son droit d'être entendue et d'arbitraire; elle invoque le droit au respect de sa vie privée et familiale. Elle requiert l'assistance judiciaire complète, son mandataire étant désigné comme avocat d'office.
Le Tribunal administratif se réfère au jugement entrepris. La Direction cantonale conclut au rejet du recours, sous suite de frais. Le Service cantonal a indiqué qu'il rejoignait la prise de position de la Direction cantonale. L'Office fédéral des migrations propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
La recourante est célibataire. Le père de son enfant est lui-même marié à une autre femme. C'est donc à juste titre que la recourante ne se prévaut d'aucun droit à une autorisation de séjour découlant de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113), applicable en vertu de l'art. 126 al. 1 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) aux demandes déposées avant le 1er janvier 2008, ce qui est le cas de la demande de régularisation de séjour formée par la recourante.
En revanche, dans la mesure où la recourante vit avec son fils âgé d'un peu moins de 3 ans, qui a la nationalité suisse et sur lequel elle a un droit de garde et exerce seule l'autorité parentale, elle entretient une relation familiale qui lui permet, en vertu de l'art. 8 CEDH, d'invoquer un droit à rester en Suisse. Son recours est donc recevable au regard de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. arrêt 2C_353/2008 du 27 mars 2009 consid. 1.1.3, non publié in ATF 135 I 153), étant précisé que le point de savoir si la recourante remplit les conditions pour obtenir une autorisation de séjour en application de l'art. 8 CEDH relève du fond et non de la recevabilité.
1.2 Au surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) et a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. b LTF) ainsi que dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par la destinataire du jugement attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Par conséquent, le recours en matière de droit public est recevable, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), alors qu'il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant conformément au principe d'allégation (art. 106 al. 2 LTF). Ainsi, lorsque le grief d'arbitraire est soulevé, il appartient au recourant d'expliquer clairement en quoi consiste l'arbitraire (cf. ATF 134 I 263 consid. 3.1 p. 265 s.; 134 II 124 consid. 4.1 p. 133). En outre, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut cependant rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF; cf. aussi art. 97 al. 1 LTF). Par ailleurs, l'art. 99 al. 1 LTF dispose qu'aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente.
La recourante produit pour la première fois devant l'Autorité de céans différentes pièces, dont l'une est d'ailleurs postérieure au jugement attaqué. Il s'agit de pièces nouvelles qui sont irrecevables au regard de l'art. 99 al. 1 LTF.
3. La recourante se plaint de différentes violations de son droit d'être entendue (cf. art. 29 al. 2 Cst.) et d'arbitraire (cf. art. 9 Cst.). Il convient de définir ces notions.
3.1 Le droit d'être entendu garanti constitutionnellement comprend notamment le droit pour l'intéressé de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou, à tout le moins, de s'exprimer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 133 I 270 consid. 3.1 p. 277 et la jurisprudence citée). A lui seul, l'art. 29 al. 2 Cst. ne confère pas le droit d'être entendu oralement (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428). Au surplus, la jurisprudence admet que le droit d'être entendu n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 130 II 425 consid. 2.1 p. 429). En particulier, écarter de la sorte une requête d'audition de témoin ne viole pas l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 428 s.).
Par ailleurs, le droit d'être entendu implique pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision. Il ne lui impose cependant pas d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties; l'autorité peut, au contraire, se limiter à ceux qui lui paraissent pertinents pour fonder sa décision (ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88; 133 III 439 consid. 3.3 p. 445 et la jurisprudence citée). Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée (arrêt 2C_223/2009 du 19 octobre 2009 consid. 4.2). La motivation peut pour le reste être implicite et résulter des différents considérants de la décision (arrêt 2C_23/2009 du 25 mai 2009 consid. 3.1). En revanche, une autorité se rend coupable d'un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 2 Cst. si elle omet de se prononcer sur des griefs qui présentent une certaine pertinence ou de prendre en considération des allégués et arguments importants pour la décision à rendre (cf. ATF 133 III 235 consid. 5.2 p. 248 s.; 126 I 97 consid. 2b p. 102 s.; 125 III 440 consid. 2a p. 441).
3.2 Une décision est arbitraire lorsqu'elle contredit clairement la situation de fait, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle heurte d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. A cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si elle apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif ou en violation d'un droit certain. De plus, il ne suffit pas que les motifs de la décision attaquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat. Il n'y a en outre pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle de l'autorité intimée paraît concevable, voire préférable (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.).
Il n'y a arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a effectué des déductions insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; cf. aussi arrêt 4A_9/2009 du 7 avril 2009 consid. 2.1, non publié in ATF 135 III 410).
4. 4.1 La recourante se plaint que les instances cantonales n'aient pas procédé à l'audition de Z._, qu'elle avait demandée, et reproche aussi au Tribunal administratif d'être par là-même tombé dans l'arbitraire, dans la mesure où il a mis en doute les déclarations de l'intéressée sur la façon dont le prénommé exerce son droit de visite et contribue à l'entretien de son fils, sans l'avoir interrogé.
4.1.1 En tant que la recourante s'en prend à la procédure devant la Direction cantonale et, par conséquent, à sa décision du 15 janvier 2009, son recours est irrecevable en raison de l'effet dévolutif complet du recours déposé auprès du Tribunal administratif (cf. arrêt 2C_345/2009 du 22 octobre 2009 consid. 4.1).
4.1.2 En ce qui concerne l'exercice du droit de visite, le Tribunal administratif a certes émis quelques doutes à propos des affirmations de la recourante, mais il a examiné l'hypothèse où ce droit s'exercerait réellement dans la mesure alléguée et où se seraient créés entre père et fils des liens qui ne seraient pas feints pour les besoins de la cause. A cet égard, l'audition de Z._ n'aurait rien pu apporter de plus.
Pour ce qui est d'un éventuel soutien financier fourni par Z._ à la recourante avant la signature de la convention d'entretien du 29 janvier 2008, le Tribunal administratif a simplement constaté qu'un tel soutien n'avait pas été avéré ni allégué. Il s'agit d'un obiter dictum et non pas d'un élément déterminant pour estimer les liens économiques unissant le fils de la recourante à son père, que le Tribunal administratif a évalués en tenant compte de l'ensemble des circonstances, résultant notamment des pièces versées au dossier. De ce point de vue également l'audition de Z._ n'aurait rien changé.
Au regard de la jurisprudence rappelée ci-dessus, le Tribunal administratif pouvait, dans cette situation, ne pas donner suite à la réquisition d'instruction de la recourante, sans violer son droit d'être entendue ou l'interdiction de l'arbitraire.
4.2 La recourante reproche au Tribunal administratif d'avoir également violé son droit d'être entendue, respectivement l'interdiction de l'arbitraire, en n'ordonnant pas la production des dossiers pénaux ayant abouti à ses condamnations des 2 novembre 2006 et 29 juin 2007 pour infractions à la loi fédérale du 4 octobre 1985 sur les transports publics en vigueur jusqu'au 31 décembre 2009 (LTP; RO 1986 1974). L'intéressée avait en effet requis cette mesure d'instruction pour vérifier si ces ordonnances lui avaient été notifiées. Elle prétendait qu'elle n'avait pas la certitude d'avoir reçu la première de ces ordonnances de condamnation et qu'elle n'avait aucun souvenir de la seconde ni de l'infraction sanctionnée par elle.
Pour le Tribunal administratif, ce qui était important ce n'était pas la notification des ordonnances en question, mais la commission des infractions à la LTP. Or, ces ordonnances avaient été communiquées aux autorités de police des étrangers, comme elles devaient l'être en principe une fois qu'elles étaient devenues exécutoires. La recourante ne pouvait pas contester devant le Tribunal administratif le bien-fondé desdites ordonnances rendues par une autorité pénale soleuroise. La réquisition d'instruction de la recourante n'était donc pas pertinente, de sorte que le Tribunal administratif a pu l'écarter sans violer le droit d'être entendue de l'intéressée ni l'interdiction de l'arbitraire.
4.3 La recourante fait grief au Tribunal administratif de n'avoir pas ordonné la production de son dossier pénal bâlois ayant débouché sur la condamnation du 27 août 2003 pour infraction à la LSEE. Elle lui reproche aussi d'être tombé dans l'arbitraire dès lors qu'il a relevé la réalisation de cette infraction, sans tenir compte des circonstances dans lesquelles elle était intervenue.
Ce qui présentait de l'intérêt pour le Tribunal administratif, c'était de savoir que la recourante avait été sanctionnée pour infraction à la LSEE. En outre, la peine infligée tenait compte des circonstances de l'espèce de sorte que la production du dossier pénal bâlois n'était pas pertinente. Ainsi, le Tribunal administratif n'a pas violé le droit d'être entendu ni l'interdiction de l'arbitraire en n'ordonnant pas la production dudit dossier.
4.4 Peu importe que le Tribunal administratif n'ait pas statué formellement sur les réquisitions d'instruction présentées par l'intéressée, dès lors que, comme on vient de le voir, elles portaient sur des éléments sans pertinence, ce qui ressort clairement des considérants du jugement attaqué.
5. La recourante invoque le droit au respect de sa vie privée et familiale en se référant aux art. 13 al. 1 Cst., 8 CEDH et 17 du pacte international du 16 décembre 1966 relatif aux droits civils et politiques (RS 0.103.2; ci-après: le Pacte ONU II). Elle fait valoir que les relations unissant l'enfant Y._ à son père sont particulièrement fortes du point de vue tant affectif qu'économique. Elle prétend qu'on ne peut pas exiger d'elle une attitude irréprochable et soutient qu'elle n'a pas eu des agissements qui la rendraient indésirable ni un comportement abusif en relation avec l'octroi d'une autorisation de séjour.
5.1 L'art. 8 CEDH consacre le droit au respect de la vie privée et familiale (par. 1), tout en admettant qu'il puisse y avoir une ingérence dans son exercice à certaines conditions précises (par. 2). La Convention européenne des droits de l'homme ne garantit toutefois pas le droit de séjourner dans un Etat partie à ladite convention. Elle ne confère pas le droit d'entrer ou de séjourner dans un Etat déterminé ni le droit de choisir le lieu apparemment le plus adéquat pour la vie familiale (ATF 135 I 153 consid. 2.1 p. 154 s; 130 II 281 consid. 3.1 p. 285). Le droit au respect de la vie familiale consacré à l'art. 8 par. 1 CEDH ne peut être invoqué que si une mesure étatique d'éloignement aboutit à la séparation des membres d'une famille (ATF 135 I 153 consid. 2.1 p. 155; cf. aussi ATF 130 II 281 consid. 3.1 p. 286). Il n'y a pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des membres de la famille qu'ils réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8 par. 1 CEDH n'est pas a priori violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour (ATF 135 I 153 consid. 2.1 p. 155; 122 II 289 consid. 3b p. 297). En revanche, si le départ du membre de la famille pouvant rester en Suisse ne peut d'emblée être exigé sans autres, il convient de procéder à la pesée des intérêts prévue par l'art. 8 par. 2 CEDH (ATF 135 I 153 consid. 2.1 p. 155; cf. aussi arrêt 2A.212/2004 du 10 décembre 2004 consid. 3.2). Celle-ci suppose de tenir compte de l'ensemble des circonstances et de mettre en balance l'intérêt privé à l'obtention d'un titre de séjour et l'intérêt public à son refus (ATF 125 II 633 consid. 2e p. 639; arrêt 2C_2/2009 du 23 avril 2009 consid. 3.1).
La protection de la vie privée et familiale garantie par l'art. 13 al. 1 Cst. correspond à celle qui est consacrée par l'art. 8 par. 1 CEDH (ATF 129 II 215 consid. 4.2 p. 218 s. et la jurisprudence citée). Quant à l'art. 17 al. 1 du Pacte ONU II, il prévoit que nul ne sera l'objet d'immixtions arbitraires ou illégales dans sa vie privée, sa famille, son domicile ou sa correspondance, ni d'atteintes illégales à son honneur et à sa réputation. Comme il ne confère pas une protection plus étendue que celle que garantit l'art. 8 par. 1 CEDH (arrêts 2A.494/2003 du 24 août 2004 consid. 8 et 2A.49/1998 du 17 novembre 1998 consid. 1b/aa et les références), il suffit d'examiner les griefs de la recourante à la lumière de cette dernière disposition.
5.2 Le Tribunal fédéral s'est déjà prononcé sur le droit de séjour en Suisse du parent étranger fondé sur la protection de la relation parent/enfant garantie par l'art. 8 CEDH, lorsque ce parent a le droit de garde ou l'autorité parentale sur son enfant suisse (cf. ATF 135 I 143 consid. 2.2 et 2.3 p. 147 s., 153 consid. 2.2.1 p. 156 et la jurisprudence citée). Il a récemment précisé les critères à prendre en considération, en soulignant la nécessité de tenir davantage compte à l'avenir des droits découlant de la nationalité suisse de l'enfant et de la convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (RS 0.107; ATF 135 I 153 consid. 2.2.2 p. 156 s.). Le Tribunal fédéral a cependant rappelé que l'on ne pouvait déduire de ces dispositions une prétention directe à l'obtention d'une autorisation de séjour, mais que celles-ci devaient être prises en compte lors de la pesée des intérêts découlant de l'art. 8 par. 2 CEDH (ATF 135 I 153 consid. 2.2.2 in fine p. 157 et la jurisprudence citée).
Pour déterminer si l'on peut contraindre un enfant suisse à suivre son parent à l'étranger, il faut tenir compte non seulement du caractère admissible de son départ, mais aussi de motifs d'ordre et de sécurité publics qui peuvent justifier cette conséquence. Ainsi, lors de la pesée des intérêts au sens de l'art. 8 par. 2 CEDH, le fait que le parent étranger qui cherche à obtenir une autorisation de séjour a adopté un comportement illégal est à prendre en compte dans les motifs d'intérêt public incitant à refuser l'autorisation requise (arrêt 2C_697/2008 du 2 juin 2009 consid. 4.1; cf. aussi ATF 135 I 153 consid. 2.2.4 p. 158). Cependant, seule une atteinte d'une certaine gravité à l'ordre et à la sécurité publics peut l'emporter sur le droit de l'enfant suisse de pouvoir grandir dans sa patrie avec le parent qui a le droit de garde et l'autorité parentale sur lui.
5.3 En l'occurrence, la recourante est arrivée en Suisse en janvier 2001, après avoir quitté son pays à plus de 22 ans; même si elle craint des difficultés de réinsertion sociale, elle a des racines dans sa patrie où elle a vécu l'essentiel de sa vie. Quant à l'enfant Y._, il est encore très jeune, à un âge (un peu plus de 2 ans quand le jugement attaqué est intervenu) où il peut facilement s'adapter (cf. arrêts 2C_2/2009 du 23 avril 2009 consid. 3.3.1 et 2C_372/2008 du 25 septembre 2008 consid. 3.3). Comme le Tribunal administratif l'a relevé, le fait que les conditions de vie et d'éducation soient meilleures en Suisse ne suffit pas pour empêcher Y._ de suivre à l'étranger sa mère qui détient le droit de garde et l'autorité parentale sur lui, même s'il s'agit d'éléments importants dans la pesée des intérêts (cf. arrêt 2C_2/2009 du 23 avril 2009 consid. 3.3.1).
Le départ de l'enfant Y._ aurait des répercussions sur les liens l'unissant à son père, relation qu'il convient d'examiner. Sur le plan économique, il ressort du jugement attaqué que Z._ a signé une convention d'entretien le 29 janvier 2008 seulement, soit quelque 8 mois après la naissance de son fils. En outre, il a été constaté que Z._ n'avait pas tenu ses engagements financiers en ce qui concernait aussi bien le versement de la pension alimentaire que celui des allocations familiales. Sur le plan affectif, le Tribunal administratif a retenu que Y._ n'avait jamais vécu avec son père et qu'il n'avait jamais été envisagé qu'ils cohabitent, puisque Z._ vivait avec sa femme et leur fille. D'ailleurs le droit de visite du père sur son fils n'avait été réglé que tardivement, par une convention du 16 février 2009, date du dépôt du recours de X._ au Tribunal administratif. Au demeurant la relation établie entre le père et son très jeune fils, à raison d'une douzaine d'heures par semaine, n'avait rien d'extraordinaire. Au regard de ces éléments, c'est à juste titre que le Tribunal administratif a considéré que Z._ n'avait pas tissé des liens économiques et affectifs particulièrement forts avec l'enfant Y._. Toutefois, un éventuel départ de cet enfant pour suivre sa mère au Congo affecterait sensiblement l'exercice du droit de visite du père, ce qui serait regrettable pour Y._.
Pour ce qui est de la recourante, on soulignera qu'elle est entrée illégalement en Suisse et que la décision de renvoi la concernant est définitive depuis le mois de mai 2001. Hormis quelques infractions mineures à la LTP, l'intéressée a enfreint la LSEE, ce qui lui a valu une condamnation à 15 jours de prison et 500 fr. d'amende. En France, elle a été condamnée à une peine de prison pour être entrée dans ce pays sous une fausse identité afin de déposer une demande d'asile. Force est cependant de constater que, si la recourante a eu une attitude répréhensible à plusieurs reprises, elle n'a pas commis d'infractions portant gravement atteinte à l'ordre et à la sécurité suisses. Pour l'essentiel, le comportement délictueux de l'intéressée est en relation étroite avec l'illégalité de son séjour en Suisse et tombe sous le coup de dispositions pénales du droit des étrangers, soit de droit pénal administratif. Les infractions commises en l'espèce n'atteignent pas le degré de gravité qui, selon la jurisprudence (ATF 135 I 153 consid. 2.2.4 p. 158), fait primer l'intérêt public au respect de l'ordre et de la sécurité sur l'intérêt privé de l'enfant suisse à pouvoir vivre dans son pays avec le parent qui s'occupe de lui. Il apparaît dès lors que, dans la pesée qu'il a faite des intérêts en présence, le Tribunal administratif a violé le principe de la proportionnalité et, par conséquent, l'art. 8 CEDH. C'est donc à tort qu'il a confirmé le refus d'autorisation de séjour prononcé à l'endroit de la recourante.
6. Au vu de ce qui précède, le recours en matière de droit public doit être admis dans la mesure où il est recevable et le jugement attaqué doit être annulé. La cause doit être renvoyée au Service cantonal pour qu'il délivre à la recourante l'autorisation de séjour appropriée. Elle doit également être renvoyée au Tribunal administratif - c'est-à-dire à l'autorité précédente au sens de l'art. 86 LTF - pour qu'il statue sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
Dans ces circonstances, la demande d'assistance judiciaire de la recourante est devenue sans objet.
Bien qu'il succombe, le canton de Berne n'a pas à supporter de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF); en revanche, il convient de mettre à sa charge les dépens alloués à la recourante qui obtient gain de cause (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est admis dans la mesure où il est recevable et le jugement de la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne du 10 juin 2009 est annulé. La cause est renvoyée au Service des migrations du canton de Berne pour qu'il délivre à la recourante l'autorisation de séjour appropriée et à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. La demande d'assistance judiciaire est sans objet.
4. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5. Le canton de Berne versera à la recourante une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
6. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service des migrations, à la Direction de la police et des affaires militaires et à la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 29 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Müller Dupraz