Sachverhalt:
A. Die 1950 geborene S._ war Rezeptionistin bei der Firma C._ (Schweiz) AG und bei der Helsana Unfall AG (nachfolgend Helsana) obligatorisch unfallversichert. Am 9. Oktober 2007 stolperte sie zu Hause über ein Kabel und schlug mit dem rechten Knie auf dem Boden auf. Der erstbehandelnde Hausarzt Dr. med. F._, Allgemeine Medizin FMH, diagnostizierte am 30. Mai 2008 einen Status nach Kniekontusion und Meniskusverletzung rechts; initial habe eine Kontusion im rechten Kniegelenk mit Hämatobursa bestanden. Seit 14. Mai 2008 hatte die Versicherte nach normalem Gehen plötzliche Knieschmerzen rechts. Am 26. Mai 2008 erfolgte im Trauma-Zentrum I._ eine arthroskopische Teilmeniskektomie rechts mit folgender Diagnose: radiäer Meniskusriss im Hinterhorn medial rechts. Mit Verfügung vom 20. Juni 2008 verneinte die Helsana die Leistungspflicht für das seit Mai 2008 geklagte Knieleiden rechts, da es nicht Folge des Unfalls vom 9. Oktober 2007 sei; die Behandlung der Unfallfolgen sei seit Dezember 2007 abgeschlossen. An dieser Verfügung hielt sie mit Einspracheentscheid vom 20. August 2008 fest.
B. In Gutheissung der hiegegen von der Sanitas eingereichten Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich den Einspracheentscheid auf und stellte fest, die Helsana sei für die Folgekosten des Unfalls vom 9. Oktober 2007 leistungspflichtig (Entscheid vom 3. Juni 2010).
C. Mit Beschwerde beantragt die Helsana die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
Die Sanitas, Frau S._ und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (Art. 6 UVG) vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f.; zum Genügen der Teilursächlichkeit zur Bejahung der Kausalität siehe BGE 134 V 109 E. 9.5 S. 125 f.), den Rückfall und die Spätfolgen (Art. 11 UVV; BGE 118 V 293 E. 2c S. 296; SVR 2009 UV Nr. 62 S. 217 E. 3.4 [8C_91/2009]), den im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 134 V 109 E. 9.5 S. 125) und den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle spielt, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112).
3. Streitig ist die Frage, ob die bei der Versicherten im Mai 2008 aufgetretenen Kniebeschwerden rechts - welche die Operation vom 26. Mai 2008 nach sich zogen (Diagnose: radiäer Meniskusriss im Hinterhorn medial rechts) - überwiegend wahrscheinlich natürlich kausal auf den Unfall vom 9. Oktober 2007 (initial Kontusion im rechten Kniegelenk mit Hämatobursa) zurückzuführen sind.
3.1 Dr. med. D._, Spezialarzt Orthopädie/Traumatologie FMH, führte in den Berichten vom 13. August und 17. September 2008 aus, aufgrund der Anamnese, des lokalen intraoperativen Befundes, der MRI-Untersuchung vom 15. Mai 2008 und der Literatur sei der Knieschaden rechts direkte Folge des Unfalls vom Oktober 2007. Die Vorinstanz hat mit einlässlicher Begründung, auf die verwiesen wird, zu Recht hierauf abgestellt und die natürliche Kausalität bejaht. Diese Schlussfolgerung wird gestützt durch das bei der Helsana am 30. Mai 2008 eingegangene Arztzeugnis des Dr. med. M._, Facharzt FMH für Chirurgie Unfall- und Sportchirurgie, der die obige Knieoperation durchgeführt hatte; er gab in Berücksichtigung der Anamnese und des MRI des rechten Knies vom 15. Mai 2008 an, beim Heilungsverlauf spielten keine unfallfremden Faktoren mit. Auch der Hausarzt Dr. med. F._ legte im Bericht vom 30. Mai 2008 dar, es lägen ausschliesslich Unfallfolgen vor. Beizupflichten ist der Vorinstanz, dass es in diesem Lichte nicht massgebend ist, wenn Dr. med. F._ in der Rechnung vom 18. Mai 2008 betreffend die Konsultationen der Versicherten vom 18. Februar, 11. März, 8. April und 7. Mai 2008 als Behandlungsgrund "Krankheit" anführte.
3.2 Die Einwendungen der Helsana vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern.
Sie beruft sich auf den Bericht ihres beratenden Arztes, des Dr. med. R._, Facharzt FMH Innere Medizin, vom 11. Juni 2008, wonach die natürliche Kausalität zwischen dem Unfall vom 9. Oktober 2007 und den im Mai 2008 aufgetretenen Kniebeschwerden rechts der Versicherten bloss möglich sei. Die Vorinstanz hat richtig erwogen, dass diesem nicht gefolgt werden kann. Denn er führte aus, die unfallbedingten Beschwerden seien weitgehend abgeklungen gewesen und nicht mehr behandelt worden. Demgegenüber geht aus den Akten hervor, dass zwischen dem Unfall und den im Mai 2008 eingetretenen Kniebeschwerden überwiegend wahrscheinlich Brückensymptome bestanden: Dr. med. M._ legte im Bericht vom 16. Mai 2008 dar, im Anschluss an den Sturz im September (recte Oktober) 2007 hätten bei der Versicherten persistierende Kniegelenksschmerzen postomedial rechts auch mit Schwellungszuständen bestanden; in diesen letzten Monaten sei sie nie beschwerdefrei gewesen. Die Versicherte gab am 25. Mai 2008 im Fragebogen betreffend Unfallhergang an, seit dem Unfall habe sie immer wieder Schmerzen im rechten Knie gehabt und sei immer wieder bei ihrem Hausarzt in Behandlung gewesen, letztmals am 7. Mai 2008. Der Hausarzt Dr. med. F._ legte im Bericht vom 30. Mai 2008 dar, nach dem Unfall vom 9. Oktober 2007 seien nach anfänglicher Besserung im weiteren Verlauf Schmerzen im rechten Kniegelenk aufgetreten, die teils blockierend gewesen seien, weshalb eine Beurteilung in der Klinik I._ erfolgt sei.
Auch wenn ein Meniskusriss sowohl traumatisch wie degenerativ bedingt sein kann (Urteil 8C_816/2009 vom 21. Mai 2010 E. 5.3; ALFRED M. DEBRUNNER, Orthopädie/Orthopädische Chirurgie, 4. Aufl. 2002, S. 1056), hat die Vorinstanz richtig erkannt, dass Dr. med. R._ die aus seiner Sicht für die im Mai 2008 festgestellte Meniskusschädigung verantwortliche Degeneration nicht genau umschrieb. Die Helsana räumt denn auch selber ein, dass ihr beratender Arzt nicht über das gleiche Fachwissen wie Dr. med. D._ verfüge und dessen Beurteilung den rechtlichen Anforderungen an einen medizinischen Bericht besser genüge.
Wenig ergiebig sind die theoretischen Ausführungen der Helsana zum Verletzungsmechanismus und zu den sich daraus ergebenden Folgen; solche Feststellungen und Fragen sind - wie vorliegend geschehen - von Ärzten zu treffen und zu beantworten. Soweit sich die Helsana zur Stützung ihrer Position neu auf allgemein zugängliche, medizinische Abhandlungen beruft - was im Lichte von Art. 99 Abs. 1 BGG zulässig ist (SVR 2009 KV Nr. 1 S. 1 E. 3.4 [9C_56/2008]) -, ist es dem Gericht auch unter der Geltung des Grundsatzes der freien Beweiswürdigung verwehrt, von den fallbezogen begründeten ärztlichen Schlussfolgerungen abzuweichen (vgl. Urteil 8C_837/2008 vom 26. Juni 2009 E. 8.2). Hievon abgesehen kommen - entgegen der Auffassung der Helsana - Meniskusläsionen bzw. -risse im weiteren Verlauf nicht nur nach Distorsionen, sondern auch nach Kontusionen des Kniegelenks vor (vgl. Urteile U 214/04 vom 15. März 2005 E. 2.2.1 und U 189/98 vom 1. Juni 1999 E. 2b; E. Wallenböck, Typische Sportverletzungen am Kniegelenk, Unfallkrankenhaus Graz, Österreichische Gesellschaft für Unfallchirurgie, abrufbar im Internet: www.unfallchirurgen.at).
Zusätzliche medizinische Abklärungen sind nicht durchzuführen, da hiervon keine neuen entscheidwesentlichen Erkenntnisse zu erwarten sind (antizipierte Beweiswürdigung; BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148).
4. Die unterliegende Helsana trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 133 V 642). Die obsiegende Sanitas hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG; SVR 2009 UV Nr. 11 S. 45 E. 11 [Urteil 8C_606/2007]).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, S._, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. November 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar