Sachverhalt:
A. Der nigerianische Staatsangehörige X._ (geb. 1977) reiste am 20. Juli 2002 in die Schweiz ein und heiratete hier am 7. August 2002 die Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1980). Die beiden haben einen gemeinsamen Sohn Z._ (geb. 2002). Aufgrund der Eheschliessung erhielt X._ eine Aufenthaltsbewilligung. Am 1. Januar 2006 wurde der gemeinsame Haushalt der Eheleute aufgehoben. X._ wurde am 23. Februar 2006 aufgrund einer Verurteilung zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 18 Monaten wegen Widerhandlungen gegen die Betäubungsmittelgesetzgebung (Urteil vom 17. Januar 2006 des Kreisgerichtes IV Aarwangen-Wangen) fremdenpolizeilich verwarnt. Am 1. Februar 2007 verurteilte ihn das Strafeinzelgericht des Gerichtskreises IV zudem wegen Missbrauchs von Ausweisen und Schildern, Fahrens ohne Fahrzeugausweis oder Kontrollschilder und Fahrens ohne Haftpflichtversicherung zu einer bedingten Geldstrafe von fünf Tagessätzen zu Fr. 70.-- (bei einer Probezeit von zwei Jahren) und zu einer Busse von Fr. 250.--.
Mit Urteil vom 7. Januar 2009 des Gerichtspräsidenten des Gerichtskreises IV wurde die Ehe zwischen X._ und Y._ geschieden. Das Kind Z._ wurde - unter Beibehaltung der errichteten Beistandschaft - unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt.
B. Mit Verfügung vom 19. Juni 2009 wies das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern das Gesuch von X._ vom 15. Mai 2008 um Erteilung der Niederlassungsbewilligung ab, lehnte die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies ihn per 31. August 2009 aus der Schweiz weg. Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern mit Entscheid vom 17. November 2009 ab und setzte ihm eine neue Ausreisefrist bis 31. Dezember 2009. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 8. September 2010 und setzte die Ausreisefrist neu auf den 20. Oktober 2010 fest.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 13. Oktober 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, das angefochtene Urteil vom 8. September 2010 sei aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern bzw. das Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern zurückzuweisen.
Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern und das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Eingabe vom 9. Februar 2011 reicht der Beschwerdeführer unaufgefordert ein Gutachten des Instituts für forensische Kinder- und Jugendpsychologie, -psychiatrie und -beratung, Bern, betreffend das Kind Z._ nach.
D. Mit Verfügung vom 18. Oktober 2010 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
E. Nach Aufforderung zur Bezahlung des Kostenvorschusses reichte der Beschwerdeführer am 29. Oktober 2010 ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ein.
F. Am 9. Juni 2011 teilt die Fremdenpolizei der Stadt Bern dem Bundesgericht mit, dass sich X._ am 1. Juni 2011 mit der Schweizer Bürgerin A._ (geb. 1959) verheiratet hat.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) hat auf den 1. Januar 2008 das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer abgelöst (ANAG; BS 1 121 und Änderungen gemäss der Fussnote zu Ziff. I von Anhang 2 zum AuG). Da im vorliegenden Fall eine Bewilligungsverlängerung bzw. -erteilung nach Inkrafttreten des neuen Rechts zur Diskussion steht, ist dieses anwendbar (Art. 126 Abs. 1 AuG). Keine Rolle spielt, dass sich der bisherige Aufenthalt auf eine Ehe stützt, die noch unter dem ANAG eingegangen wurde, und sich die Ehepartner vor dem 1. Januar 2008 getrennt haben (vgl. Urteile 2C_781/2010 vom 16. Februar 2011 E. 1.1; 2C_411/2010 vom 9. November 2010 E. 1, nicht publ. in: BGE 137 II 1).
1.2 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt, ausgeschlossen. Ausländische Ehegatten von Schweizerinnen haben gemäss Art. 42 Abs. 1 AuG Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Der Beschwerdeführer war zwar mit einer Schweizerin verheiratet; infolge Ehescheidung kann er sich indes nicht mehr auf die Ehe berufen. Er stützt sich denn auch auf Art. 50 AuG und macht entsprechende Ausführungen. Nach Art. 50 AuG besteht der erwähnte Anspruch auch nach Auflösung der Ehe fort, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und eine erfolgreiche Integration besteht (Abs. 1 lit. a) oder wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Abs. 1 lit. b). Somit kann der Beschwerdeführer einen grundsätzlichen Bewilligungsanspruch geltend machen. Ob die entsprechenden Voraussetzungen tatsächlich erfüllt sind, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (Urteil 2C_781/2010 vom 16. Februar 2011 E. 1.2 mit Hinweisen). Auf die fristgerecht erhobene Beschwerde ist demnach einzutreten.
Die Verfassungsbeschwerde ist im Verhältnis zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten subsidiär (Art. 113 BGG). Da hier die Letztere zur Verfügung steht, ist die vom Beschwerdeführer gleichzeitig erhobene Verfassungsbeschwerde nicht zulässig, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann.
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Mit einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können diese nur dann gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252; 133 III 393 E. 7.1 S. 398) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Zudem ist vom Beschwerdeführer aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
1.4 Die Beschwerdeschrift hat gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt (BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insoweit, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Soweit die Beschwerdeschrift auf Ausführungen und Akten vor der Vorinstanz verweist (vgl. insbesondere Beschwerdeschrift Ziff. 5), tritt das Bundesgericht praxisgemäss nicht darauf ein. Die erhobenen Rügen müssen in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG); der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 400 mit Hinweisen).
1.5 Aus dem Umstand, dass das Bundesgericht auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt abstellt und Noven unzulässig sind (vgl. E. 1.3 hiervor), ergibt sich, dass Streitgegenstand vor Bundesgericht nur sein kann, was bereits Gegenstand der vorinstanzlichen Beurteilung gebildet hat; das Bundesgericht prüft nur, ob der vorinstanzliche Entscheid rechtmässig ist, kann aber seitherige Entwicklungen des Sachverhalts nicht berücksichtigen (Urteil 2C_538/2010 vom 19. Juli 2010 E. 3.3). In casu ist somit nur Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens, ob die Vorinstanz mit Recht die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung bestätigt hat. Die während der Rechtshängigkeit des Verfahrens vor Bundesgericht erfolgte neuerliche Eheschliessung ist vom Bundesgericht nicht zu thematisieren, sondern kann allenfalls im Rahmen eines erneuten Gesuchs berücksichtigt werden.
2. 2.1 Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid erwogen, die Verweigerung der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers sei nicht zu beanstanden, da dieser keine erfolgreiche Integration im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG vorweisen könne (vgl. angefochtener Entscheid E. 4.1.2). Weiter hat die Vorinstanz einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf wichtige persönliche Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG verneint und ausgeführt, Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV vermöchten mangels einer besonders engen Vater-Sohn-Beziehung keinen Anspruch zu Gunsten des Beschwerdeführers zu begründen. Die Vorinstanz hielt in diesem Zusammenhang fest, es bestehe kein Anlass, das Kind Z._ persönlich anzuhören (vgl. angefochtener Entscheid E. 4.2.2). Sodann hat die Vorinstanz einen Anspruch auf Niederlassungsbewilligung (vgl. angefochtener Entscheid E. 5) verneint bzw. die Verweigerung einer ermessensweisen Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (vgl. angefochtener Entscheid E. 6) geschützt.
2.2 Der Beschwerdeführer beschränkt sich im vorliegenden Verfahren im Wesentlichen auf zwei Rügen (vgl. Beschwerdeschrift S. 2): Erstens habe die Vorinstanz zu Unrecht einen wichtigen persönlichen Grund für die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG verneint. Zweitens nehme die Vorinstanz zu Unrecht an, der Anspruch des Sohnes auf Äusserung im Sinne von Art. 5 KRK (recte: Art. 12 KRK) sei gewahrt.
3. Was der Beschwerdeführer vorbringt, lässt weder die Feststellungen der Vorinstanz als offensichtlich unrichtig noch deren rechtlichen Folgerungen als bundesrechtswidrig erscheinen:
3.1 Zunächst beruft sich der Beschwerdeführer zu Recht nicht mehr auf einen Rechtsanspruch gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG. Die Vorinstanz durfte denn auch ohne Weiteres schliessen, dass der Beschwerdeführer das Kriterium der "erfolgreichen Integration" nicht erfüllt: Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen - namentlich zu seiner Straffälligkeit, seinem beruflichen Werdegang mit wiederholter längerer Erwerbslosigkeit und zu seinen Sprachkenntnissen - kann von einer erfolgreichen Integration keine Rede sein (vgl. auch Art. 77 Abs. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]). Daran vermögen auch die behaupteten, aber nicht näher belegten, freundschaftlichen Beziehungen zu diversen Nachbarn sowie die neu erstmals ins Recht gelegte Arbeitsbestätigung vom 20. September 2010 bzw. das Zwischenzeugnis vom 7. Oktober 2010 nichts zu ändern, soweit es sich dabei ohnehin nicht um unzulässige echte Noven handelt (BGE 133 IV 342 E. 2.1 S. 344 mit Hinweisen; vgl. auch E. 1.3 hiervor).
3.2 Sodann beruft sich der Beschwerdeführer auf Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG, wonach der Anspruch des Ehepartners auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung auch nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft weiterbesteht, wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen. Diese Bestimmung bezweckt die Vermeidung schwer wiegender Härtefälle bei der Auflösung der ehelichen Gemeinschaft. Wichtige persönliche Gründe können namentlich vorliegen, wenn der erwähnte Ehepartner Opfer ehelicher Gewalt wurde und die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (Abs. 2). Der Verbleib in der Schweiz kann sich in diesem Sinn auch als erforderlich erweisen, wenn gemeinsame Kinder vorhanden sind, zu denen eine enge Beziehung besteht und die in der Schweiz gut integriert sind. Zu berücksichtigen sind stets auch die Umstände, die zur Auflösung der Gemeinschaft geführt haben (Urteil 2C_635/2009 vom 26. März 2010 E. 5.3.1).
3.2.1 Der Beschwerdeführer will einen wichtigen persönlichen Grund im Verhältnis zu seinem heute neunjährigen Sohn Z._ erblicken. Zwar ist dem Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK und Art. 13 BV im Rahmen von Art. 50 AuG Rechnung zu tragen. Nach der ständigen Praxis zu den erwähnten Verfassungs- und Konventionsbestimmungen hätte der Beschwerdeführer indes nur einen Anwesenheitsanspruch, wenn zwischen ihm und seinem Sohn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung bestünde, die wegen der Distanz zu seinem Heimatland praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte, und wenn zusätzlich das bisherige Verhalten des Ausländers zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat (Urteil 2C_195/2010 vom 23. Juni 2010 E. 6.6 mit Hinweisen).
3.2.2 Die Vorinstanz hat hierzu festgestellt, die Beziehung des Beschwerdeführers zu seinem Kind gehe nicht über das hinaus, was im Falle von getrennt lebenden Eltern üblich sei. Auch in wirtschaftlicher Hinsicht bestehe keine besonders enge Beziehung (vgl. angefochtener Entscheid E. 4.2.2). Diese Ausführungen sind nicht zu beanstanden: Der Umstand, dass er Z._ jedes zweite Wochenende zu sich auf Besuch sowie jährlich zwei Wochen zu sich in die Ferien nimmt, ist entgegen seiner Auffassung keineswegs geeignet darzutun, dass eine (besonders) enge Beziehung zu seinem Sohn besteht (vgl. Urteil 2C_335/2009 vom 12. Februar 2010 E. 2.2.3). Aus dem vom Beschwerdeführer nachträglich eingereichten Gutachten des Instituts für forensische Kinder- und Jugendpsychologie, -psychiatrie und -beratung vom 30. November 2010 betreffend Z._ vermag dieser nichts zu seinen Gunsten abzuleiten: Soweit es sich hier ohnehin nicht um ein unzulässiges Novum handelt, spricht die vorgenommene Beurteilung (eingeschränkte Erziehungsfähigkeit des Beschwerdeführers, mangelnde Kontinuität und Stabilität in der Beziehung zu Z._, mangelnde Kooperationsfähigkeit und -bereitschaft gegenüber Frau Y._ sowie sprachliche Probleme des Beschwerdeführers) offensichtlich nicht dafür, dass ein grosszügig ausgestaltetes Besuchsrecht kontinuierlich, spontan und reibungslos ausgeübt wird (vgl. Urteil 2C_171/2009 vom 3. August 2009 E. 2.2 mit Hinweisen). Zudem hat das Verhalten des Beschwerdeführers namentlich angesichts seiner nicht unbedeutenden strafrechtlichen Verurteilungen (vgl. Sachverhalt lit. A: Verurteilung zu einer Gefängnisstrafe von 18 Monaten wegen Widerhandlungen gegen die Betäubungsmittelgesetzgebung) zu erheblichen Klagen Anlass gegeben.
3.3 Im Weiteren ist zwar ebenfalls das Wohl des Kindes zu berücksichtigen, wie sich namentlich aus Art. 3 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (UNO-KRK; SR 0.107) ergibt (vgl. BGE 136 II 78 E. 4.8 S. 87). Über Art. 8 EMRK hinausgehende Ansprüche auf Bewilligung ergeben sich hier aus der Kinderrechtskonvention - angesichts des Fehlens einer besonders engen Beziehung zum Sohn - jedoch nicht (vgl. BGE 124 II 361 E. 3b S. 367). Insbesondere ist hier - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - der Schluss der Vorinstanz, der sich aus Art. 12 UNO-KRK ergebende Anspruch des Sohnes auf Äusserung verlange nicht, dass das Kind persönlich (mündlich) anzuhören ist, nicht zu beanstanden (BGE 124 II 361 E. 3c S. 368).
3.4 Was schliesslich die Erteilung der Niederlassungsbewilligung betrifft, kann vollumfänglich auf die zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz (vgl. angefochtener Entscheid E. 5) verwiesen werden. Der Beschwerdeführer beantragt zwar, das Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung sei gutzuheissen. In der Beschwerdebegründung geht er jedoch mit keinem Wort auf die Thematik ein; in diesem Zusammenhang vermag die Beschwerde den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 1 BGG nicht zu genügen, weshalb nicht näher darauf einzugehen ist (vgl. E. 1.4 hiervor).
4. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demnach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten. Angesichts der ausführlichen Begründung im angefochtenen Entscheid, die umfassend auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung Bezug nimmt, erwiesen sich die Rechtsbegehren als von vornherein aussichtslos, weshalb dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden kann (Art. 64 Abs. 1 BGG). Bei diesem Ausgang hat demzufolge der Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und Personenstand, der Polizei- und Militärdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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