Erwägungen:
1. Das Kantonale Sozialamt Graubünden wies mit Verfügung vom 8. Januar 2008 ein Gesuch von X._ um Ausrichtung einer Entschädigung und Genugtuung nach Opferhilfegesetz ab. Dagegen erhob X._ am 30. Januar 2008 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden.
Der Instruktionsrichter des Verwaltungsgerichts wies mit Verfügung vom 21. Februar 2008 ein von X._ gestelltes Sistierungsgesuch ab. Eine dagegen von X._ erhobene Prozessbeschwerde wies das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 8. April 2008 ab.
Gleichentags wies das Verwaltungsgericht mit separatem Urteil auch die gegen die Verfügung des Kantonalen Sozialamtes Graubünden vom 8. Januar 2008 erhobene Beschwerde ab. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass die persönlichen, wirtschaftlichen und gesundheitlichen Probleme des Beschwerdeführers in keinem adäquaten Zusammenhang mit der Straftat stehen würden. Für die Ausrichtung einer Genugtuung fehle es ausserdem an den kumulativ verlangten Voraussetzungen der schweren Betroffenheit und der besonderen Umstände.
2. X._ führt mit Eingabe vom 9. Mai 2008 (Postaufgabe 13. Mai 2008) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) gegen die beiden Urteile des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 8. April 2008. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennt die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen des Verwaltungsgerichts, mit denen die Abweisung seiner beiden Beschwerden begründet wurden, nicht auseinander. Er beruft sich auch auf keinen Beschwerdegrund, wie etwa die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten oder die Verletzung von Bestimmungen des Opferhilfegesetzes, und legt somit nicht dar, inwiefern das Verwaltungsgericht mit der Abweisung seiner beiden Beschwerden Recht verletzt haben sollte. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Angesichts der offensichtlichen Aussichtslosigkeit der vorliegenden Beschwerde kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung eines Rechtsanwalts nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Kantonalen Sozialamt Graubünden und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Mai 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli