Sachverhalt:
A. Nachdem die IV-Stelle Appenzell Ausserrhoden u.a. ein Rentenbegehren des 1953 geborenen C._ mit Verfügung vom 30. Mai 2006 und Einspracheentscheid vom 8. November 2006 abgelehnt hatte, hiess das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden eine dagegen erhobene Beschwerde teilweise gut und wies die Sache zur ergänzenden Abklärung des Gesundheitszustandes an die Verwaltung zurück (Entscheid vom 22. August 2007). Die IV-Stelle holte in der Folge zwei Gutachten (Dr. med. A._ vom 25. April 2008; Dr. med. B._ vom 24. November 2008) ein und verneinte mit Verfügung vom 6. Mai 2009 einen Rentenanspruch, da der Invaliditätsgrad nur 36 % betrage und damit kein rentenbegründendes Mass erreiche.
B. Eine dagegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden ab (Entscheid vom 16. Dezember 2009).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt C._, der vorinstanzliche Entscheid und die Verfügung der IV-Stelle vom 6. Mai 2009 seien aufzuheben; der Einkommensvergleich für die Bemessung des Invaliditätsgrades sei auf der Basis eines ihm gesundheitlich zumutbaren 50%-Pensums zu ermitteln; es sei ihm mindestens eine halbe Invalidenrente zuzusprechen; ferner sei er von der vorinstanzlich auferlegten Kostenpflicht zu entbinden und ihm der Kostenvorschuss zurückzuerstatten; schliesslich beantragt er für das bundesgerichtliche Verfahren die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung. - Am 6. und 28. Januar 2010 ist der Versicherte mit ergänzenden Eingaben an das Bundesgericht gelangt.
Die IV-Stelle beantragt unter Verzicht auf eine Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Der Beschwerdeführer macht vorab geltend, er habe auf die am 24. April 2009 angeordnete berufliche Abklärung bei der X._ in seiner Replik an das kantonale Gericht vom 20. August 2009 ausdrücklich hingewiesen; die im Rahmen dieser Abklärung erzielten Ergebnisse - keine Leistungsfähigkeit von 70 %, sondern nur eine solche von 50 % - und deren Auswirkungen seien von der Vorinstanz nicht einmal erwähnt und auch in keiner Weise berücksichtigt worden.
Damit rügt der Versicherte sinngemäss eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Dieser formellrechtliche Einwand ist vorweg zu prüfen.
2.1 Gemäss Art. 29 Abs. 2 BV haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, welcher in die Rechtsstellung einer Person eingreift. Dazu gehört insbesondere deren Recht, sich vor Erlass des in ihre Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (BGE 132 V 368 E. 3.1 S. 370 mit Hinweisen).
Das Recht, angehört zu werden, ist formeller Natur. Die Verletzung des rechtlichen Gehörs führt ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst zur Aufhebung der angefochtenen Verfügung. Es kommt mit anderen Worten nicht darauf an, ob die Anhörung im konkreten Fall für den Ausgang der materiellen Streitentscheidung von Bedeutung ist, d.h. die Behörde zu einer Änderung ihres Entscheides veranlasst wird oder nicht (BGE 132 V 387 E. 5.1 S. 390; 127 V 431 E. 3d/aa S. 437).
Nach der Rechtsprechung kann eine - nicht besonders schwerwiegende - Verletzung des rechtlichen Gehörs ausnahmsweise als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Beschwerdeinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie die Rechtslage frei überprüfen kann (BGE 127 V 431 E. 3d/aa S. 437). Die Heilung eines - allfälligen - Mangels soll aber die Ausnahme bleiben (BGE 124 V 180 E. 4a S. 183 mit Hinweisen).
2.2 Die Vorinstanz hat die vom Beschwerdeführer in der Replik genannten Unterlagen zur beruflichen Abklärung mit keinem Wort erwähnt. Damit hat sie den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt, dessen Bestandteil auch die Begründungspflicht bildet (BGE 124 V 180 E. 1a S. 181 mit Hinweisen). Eine Heilung dieser Gehörsverletzung fällt vor Bundesgericht allein schon wegen der im letztinstanzlichen Verfahren geltenden engen Kognition (vgl. E. 1 hievor) ausser Betracht.
2.3 Der kantonale Entscheid ist daher bereits aus formellen Gründen aufzuheben, so dass sich das Bundesgericht - entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers - nicht zu den materiellen Ausführungen in der Beschwerde äussert. Die Sache ist unter Aufhebung des Entscheids vom 16. Dezember 2009 an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie unter Berücksichtigung aller Unterlagen und Beweisergebnisse sowie nach Durchführung allfällig notwendiger weiterer Beweisvorkehren über die Beschwerde vom 25. Mai 2009 neu entscheide.
3. 3.1 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden IV-Stelle aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung ist damit gegenstandlos.
3.2 Die Vorinstanz wird im Rahmen ihres erneuten Entscheids die Kostenfolgen des bisherigen kantonalen Beschwerdeverfahrens dem Ausgang des bundesgerichtlichen Prozesses entsprechend neu zu regeln und dabei auch über die vom Beschwerdeführer letztinstanzlich beantragte Rückerstattung des Kostenvorschusses zu befinden haben.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts von Appenzell Ausserrhoden vom 16. Dezember 2009 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Beschwerde gegen die Verfügung vom 6. Mai 2009 neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle Appenzell Ausserrhoden auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. März 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz