Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 2. September 2010 erteilte das Richteramt Olten-Gösgen dem Staat Solothurn, Amt für öffentliche Sicherheit in der Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamtes Olten-Gösgen definitive Rechtsöffnung für Fr. 100.-- nebst Zins zu 4% seit 26. September 2009 sowie für die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 17.-- und verurteilte den Beschwerdeführer zu den Kosten des Verfahrens von Fr. 150.-- und zu einer Parteientschädigung an den Beschwerdegegner von Fr. 100.--. Der Beschwerdeführer hat mit einer am 1. Oktober 2010 der Post übergebenen Eingabe vom 30. September 2010 gegen dieses Urteil Verfassungsbeschwerde erhoben mit den Begehren, die Korrektheit der Beschwerde und der eingeleiteten Schritte des Amtes zu prüfen und die Angelegenheit unter Berücksichtigung der eingereichten Beweisstücke zu überprüfen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
2. 2.1 In der Verfassungsbeschwerde ist die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG sowie Art. 116 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399).
2.2 Die Amtsgerichtspräsidentin hat erwogen, die Forderung von Fr. 100.-- beruhe auf einer rechtskräftigen Verfügung des Amtes für öffentliche Sicherheit vom 25. August 2009 und damit auf einem definitiven Rechtsöffnungstitel (Art. 80 Abs. 1 SchKG i.V.m. § 85 des Gesetzes über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen [Verwaltungsrechtspflegegesetz]). Der Beschwerdeführer habe nicht durch Urkunden bewiesen, dass die Schuld seit Erlass der Verfügung getilgt oder gestundet worden sei, und habe auch nicht die Verjährung angerufen.
2.3 Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Beschwerde mit der entscheidenden Erwägung der Aufsichtsbehörde nicht auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern die Amtsgerichtspräsidentin seine verfassungsmässigen Rechte verletzt haben könnte. Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) durch die Präsidentin der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer nicht einzutreten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
3. Die Beschwerde hat sich als von Anfang an aussichtslos erwiesen, weshalb das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Richteramt Olten-Gösgen, Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Oktober 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden