Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Obergericht des Kantons Bern erklärte den Beschwerdeführer mit Urteil vom 16. April 2010 des Fahrens trotz entzogenen Führerausweises schuldig, mehrfach begangen in der Zeit vom 17. März 2006 bis 8. Februar 2008 in Thun und anderswo, und verurteilte ihn zu 360 Stunden gemeinnütziger Arbeit, teilweise als Zusatzstrafe zu einer früheren Verurteilung vom 15. März 2007.
In einer Beschwerde ans Bundesgericht muss dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Akt das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzt. Die meisten Teile der Beschwerde befassen sich nicht mit dem angefochtenen Entscheid. So macht der Beschwerdeführer zum Beispiel geltend, dass es gegen die Verfassung verstiesse, wenn er - hypothetisch - verhaftet würde (Beschwerde S. 2). Auf solche Vorbringen, die mit dem angefochtenen Entscheid nichts zu tun haben, ist nicht einzutreten.
Sinngemäss wirft der Beschwerdeführer den Oberrichtern Befangenheit vor, denn sie seien zusammen mit den Richtern der ersten Instanz "Bestandteil der Gegenpartei" (Beschwerde S. 4). Der Umstand, dass Richter immer Mitglieder des Justizapparates sind, vermag indessen für sich nicht den Anschein der Befangenheit zu begründen.
Der Beschwerdeführer beruft sich auf die Art. 54 und 52 StGB (Beschwerde S. 2/3). Es ist fraglich, ob es sich bei diesem Vorbringen nicht um ein unzulässiges Novum handelt. Aber die Umstände, dass der Beschwerdeführer Aufträge und Arbeitseinsätze verliert, dass seine Weiterbildung eingeschränkt ist und dass er nach einer Verurteilung einen schlechteren Leumund hat, stellen keine Gründe dafür dar, in Anwendung von Art. 54 StGB von einer Strafe abzusehen. Sein Verschulden ist auch nicht derart geringfügig, dass ein Anwendungsfall von Art. 52 StGB vorläge.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das nachträglich gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn