Faits:
A.
A.a. C._ sans formation, a travaillé comme responsable dans une menuiserie jusqu'en janvier 2002. Le 6 mars suivant, il s'est annoncé auprès de l'office AI Berne (l'office AI), invoquant des hernies discales. Par décision sur opposition du 28 avril 2004, confirmée le 15 octobre suivant par le Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue françaises, l'administration lui a dénié le droit à une rente.
A.b. Le 3 novembre 2004, l'assuré a déposé une nouvelle demande auprès de l'office AI. Dans le cadre de l'instruction de celle-ci, l'administration a confié la réalisation d'une expertise bidisciplinaire aux docteurs H._, spécialiste FMH en psychiatrie, et psychothérapie et M._, spécialiste FMH en neurologie. Ces médecins ont considéré au terme d'un consilium que la capacité résiduelle de travail était de 70 % (rapports des 21 et 24 juin 2005). Par décision sur opposition du 20 septembre 2006, l'office AI a octroyé à l'assuré un quart de rente à partir du 1er octobre 2005. Le 3 avril 2007, le Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, a rejeté le recours formé par l'intéressé contre cette décision.
A.c. L'administration a initié en décembre 2008 une procédure de révision du droit à la rente. Il a notamment recueilli l'avis du docteur L._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie et médecin traitant (rapport du 16 janvier 2009), et chargé les docteurs H._ et M._ de la réalisation d'une nouvelle expertise. Ceux-ci ont estimé que la capacité de travail était du point de vue somatique entière dans une activité légère permettant l'alternance des positions debout et assise mais réduite à 50 % en raison des troubles psychiques de l'assuré (rapport du 20 décembre 2010). L'office AI a supprimé par décision du 1er mars 2013 le droit au quart de rente à partir du premier jour du deuxième mois suivant la notification de la décision, au motif que C._ était capable de surmonter les répercussions de son atteinte à la santé psychique et, partant, présentait une capacité de travail entière.
B.
Par jugement du 28 octobre 2013, le Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, a partiellement admis le recours formé par C._ contre cette décision et lui a reconnu le droit à une demi-rente à partir du 1er mars 2011.
C.
C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à l'octroi d'un trois quarts de rente à compter du 1er mars 2011, éventuellement au renvoi de la cause au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, pour mise en oeuvre d'une instruction complémentaire puis nouveau jugement.
Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'examine en principe que les griefs invoqués (art. 42 al. 2 LTF) et fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF auquel cas il peut les rectifier ou les compléter d'office (art. 105 al. 2 LTF).
2.
2.1. Le litige porte sur le droit du recourant à un trois quarts de rente de l'assurance-invalidité, au lieu d'une demi-rente, à partir du 1er mars 2011 dans le contexte d'une procédure de révision. Étant donné les considérants du jugement entrepris et son dispositif, les griefs soulevés par le recourant et ses conclusions, ainsi que les exigences de motivation et d'allégation prévues à l'art. 42 al. 2 LTF (ATF 133 III 545 consid. 2.2 p. 550; voir aussi Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 25 ad art. 42 LTF), pour résoudre le litige il faut examiner le revenu d'invalide et plus particulièrement l'étendue de l'abattement à opérer sur les valeurs statistiques issues de l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ESS).
2.2. Le jugement entrepris expose correctement la norme sur la révision (art. 17 LPGA) et la jurisprudence y relative, de sorte qu'on peut y renvoyer.
3.
3.1. La juridiction cantonale a considéré en se fondant sur le rapport des docteurs H._ et M._ du 20 décembre 2010 que la symptomatique dépressive du recourant s'était aggravée et induisait depuis le 16 décembre de cette année une incapacité de travail de 50 %. L'état de santé de l'intéressé s'était ainsi modifié pendant la période déterminante dans une mesure susceptible d'influencer son droit à la rente, si bien qu'il existait un motif de révision. Étant donné que le recourant n'avait pas repris d'activité professionnelle, le revenu d'invalide devait être établi sur la base des valeurs statistiques issues de l'ESS. Il fallait en outre tenir compte d'un abattement qui vu les circonstances ne pouvait pas dépasser 10 %. En effet, si l'intéressé avait atteint la cinquantaine et ne disposait plus que d'une capacité de travail partielle dans un emploi non qualifié, il avait toujours vécu et travaillé dans la même région et n'était donc pas confronté à des problèmes de langue ou d'intégration susceptibles de faire obstacle à l'exercice d'une activité dans un autre domaine que la menuiserie. De la comparaison entre le revenu ainsi obtenu et le revenu sans invalidité résultait un taux d'invalidité (arrondi) de 57 %, ouvrant le droit à une demi-rente.
3.2. Se plaignant d'un excès ou d'un abus du pouvoir d'appréciation, le recourant soutient que les premiers juges devaient, compte tenu de ses atteintes à la santé et de son long éloignement du marché du travail, opérer un abattement de 25 % sur les salaires statistiques, dont découlerait un degré d'invalidité lui ouvrant le droit à un trois quarts de rente. Il serait incompréhensible que la juridiction cantonale n'ait pas retenu ce taux, étant donné qu'elle l'aurait fait dans ses jugements des 15 octobre 2004 et 3 avril 2007 et que les éléments en faveur d'un tel abattement auraient alors été présents de manière moins marquée qu'au moment où a été rendu le jugement entrepris.
4.
4.1. Il est notoire que les personnes atteintes dans leur santé, qui présentent des limitations même pour accomplir des activités légères, sont désavantagées sur le plan de la rémunération par rapport aux travailleurs jouissant d'une pleine capacité de travail et pouvant être engagés comme tels; ces personnes doivent généralement compter sur des salaires inférieurs à la moyenne (ATF 124 V 321 consid. 3b/bb p. 323). La mesure dans laquelle les salaires ressortant des statistiques doivent par conséquent être réduits dépend de l'ensemble des circonstances personnelles et professionnelles du cas particulier (limitations liées au handicap, âge, années de service, nationalité/catégorie d'autorisation de séjour et taux d'occupation). Une déduction globale maximale de 25 % sur le salaire statistique permet de tenir compte des différents éléments qui peuvent influencer le revenu d'une activité lucrative (ATF 126 V 75 consid. 5b/aa-cc p. 79).
4.2. L'étendue de la réduction du salaire statistique dans un cas concret est une question relevant du pouvoir d'appréciation qui ne doit être réexaminée par le Tribunal fédéral que si l'autorité judiciaire précédente a exercé son pouvoir d'appréciation de manière contraire au droit (ATF 137 V 71 consid. 5.1 p. 72 sv.)
4.3. On ne voit pas, à la lumière de l'argumentaire du recourant, que l'une ou l'autre circonstance pertinente pour la fixation de l'abattement sur les valeurs statistiques aurait été mésestimée ou, à tout le moins, appréciée de manière manifestement insoutenable par les premiers juges. Les difficultés éprouvées par l'intéressé pour marcher ainsi que la nécessité d'alterner les positions assise et debout ne représentent pas des limitations fonctionnelles particulièrement importantes et l'impossibilité de porter de lourdes charges ne joue en l'espèce aucun rôle vu le type d'activité exigible (simple et légère) pris en compte par les premiers juges. En outre, dès lors que le recourant n'invoque aucune pièce médicale à l'appui de son affirmation selon laquelle le trouble du sommeil et la concentration réduite dont a fait état le docteur L._ engendreraient une diminution de rendement, celle-ci n'a pas à être prise en considération. Quant à l'absence du marché du travail pendant une longue période, elle ne constitue pas un critère pertinent dans le présent contexte (cf. arrêt 9C_892/2012 du 30 avril 2013 consid. 5.4). L'argumentation du recourant tirée des jugements des 15 octobre 2004 et 3 avril 2007 tombe enfin à faux puisque la juridiction cantonale y a laissé ouverte la question du taux d'abattement, laquelle était dans les deux cas sans influence sur l'issue du litige (cf. respectivement consid. 5.3.2 p. 15 et consid. 4.2.2 p. 12 s.).
5.
Sur le vu de ce qui précède, le recours est mal fondé. Compte tenu de l'issue de la procédure, les frais judiciaires sont à la charge du recourant, qui ne peut prétendre de dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). Il a cependant sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite pour l'instance fédérale. Dès lors que les conditions en sont réalisées (art. 64 al. 1 LTF), le recourant est dispensé du paiement des frais judiciaires et les honoraires de son avocat seront pris en charge par la caisse du Tribunal fédéral. L'attention du recourant est attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF). L'intimé, en sa qualité d'institution chargée de tâches de droit public, ne peut pas prétendre de dépens bien qu'il obtienne gain de cause (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise. Maître Claude Brügger est désigné comme avocat d'office du recourant.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
Une indemnité de 2'800 fr. est allouée à l'avocat du recourant à titre d'honoraires à payer par la caisse du Tribunal.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Bouverat