Faits:
A. Z._ est au bénéfice d'un délai-cadre d'indemnisation de l'assurance-chômage depuis le 30 janvier 2009.
Par lettre du 10 novembre 2009, l'Office régional de placement de Genève (ORP) a constaté que l'assuré ne lui avait pas fait parvenir ses recherches personnelles d'emploi du mois d'octobre 2009; il lui a fixé un délai supplémentaire échéant le 17 novembre 2009.
Par décision du 20 novembre 2009, l'Office cantonal de l'emploi (OCE) a suspendu, pour une durée de cinq jours, le droit de Z._ à l'indemnité de chômage.
Le 17 décembre 2009, Z._ a formé opposition en faisant valoir qu'il avait déposé, le 12 novembre 2009, la formule de recherches d'emploi dans la boîte aux lettres de l'OCE.
Par décision du 23 décembre 2009, l'OCE a confirmé sa décision du 20 novembre précédent, au motif que la formule de recherches d'emploi relative au mois d'octobre 2009 avait été reçue le 23 novembre 2009, selon le timbre apposé sur le document, soit après l'échéance du délai.
B. Z._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève.
Le 30 mars 2010, au cours d'une comparution personnelle des parties, l'assuré a répété qu'il avait déposé la formule de recherches d'emploi dans la boîte aux lettres de l'OCE, le 12 novembre 2009. Selon lui, la différence de dates ne pouvait s'expliquer que par le fait que le timbre avait été apposé tardivement par l'administration.
Par jugement du 20 avril 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. Z._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes.
Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'OCE était fondé, par sa décision sur opposition du 23 décembre 2009, à suspendre le droit du recourant à l'indemnité de chômage pour une durée de cinq jours, motif pris qu'il n'avait pas remis en temps utile les justificatifs de recherches d'emploi pour le mois d'octobre 2009.
3. Le jugement entrepris expose de manière correcte les dispositions légales relatives à la suspension du droit aux indemnités de chômage et à l'obligation des assurés d'apporter la preuve en temps voulu de leurs efforts en vue de retrouver un emploi. Il convient d'y renvoyer.
4. Constatant que le timbre de réception apposé sur la formule de recherches d'emploi du mois d'octobre 2009 portait la date du 23 novembre 2009, les premiers juges ont écarté l'hypothèse, peu vraisemblable à leurs yeux, que ce document aurait été déposé le 12 novembre 2009 et qu'il aurait été égaré puis tamponné « après coup ». Ils ont conclu que l'assuré n'avait pas apporté la preuve, ni même rendu vraisemblable, qu'il avait déposé la formule de recherches d'emploi avant le 17 novembre 2009.
5. 5.1 En matière d'indemnités de chômage, l'assuré supporte les conséquences de l'absence de preuve en ce qui concerne la remise de cartes de contrôle (DTA 1998 no 48 p. 281; arrêt C 360/97 du 14 décembre 1998 consid. 2b) ce qui vaut aussi pour d'autres pièces nécessaires pour faire valoir le droit à l'indemnité, notamment la liste de recherches d'emploi (art. 26 al. 2bis OACI; cf. arrêt C 294/99 du 14 décembre 1999 consid. 2a in: DTA 2000 no 25 p. 122; cf. aussi arrêt C 181/05 du 25 octobre 2005 consid. 3.2). Par ailleurs, en l'absence d'indices contraires, l'inscription par l'administration d'une date de réception laisse présumer que l'envoi lui est parvenu le même jour, voire un jour plus tard, s'il est déposé dans la boîte aux lettres de son destinataire (arrêts C 360/97 précité, consid. 2a et C 289/96 du 29 janvier 1997).
5.2 En l'espèce, la version du recourant repose sur ses seules allégations. Il n'y a aucun indice qui permettrait d'admettre que l'administration a enregistré tardivement la formule de recherches d'emploi. Par conséquent, on doit considérer que l'assuré n'a pas fourni en temps utile la preuve de ses recherches d'emploi pour le mois d'octobre 2009. Dans ces conditions, la décision de suspension du droit à l'indemnité de chômage était bien fondée.
Par ailleurs, la durée de la suspension du droit à l'indemnité de chômage n'apparaît pas critiquable (art. 45 al. 2 let. a OACI).
6. Manifestement infondé (art. 109 al. 2 let. a LTF), le recours doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'art. 109 LTF. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1 1ère phrase LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 300 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 25 août 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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