Fatti:
A. A.a Il 24 giugno 1999 il Municipio X._ ha nominato T._ quale direttrice delle locali scuole comunali. Con decisione del 30 giugno 2008 il Municipio, fondandosi su un rapporto peritale del prof. S._, ha risolto di non confermare l'interessata nella sua funzione di direttrice per il quadriennio 2008-2012 e precisato che il rapporto d'impiego avrebbe preso fine il 20 ottobre 2008. Il 4 luglio 2008 il Municipio ha inoltre deciso l'apertura di un'inchiesta disciplinare nei confronti di T._ alla quale ha rimproverato gravi violazioni dei doveri di servizio, in particolare per avere rilasciato dichiarazioni gravemente lesive dell'onore e dell'immagine dei membri dell'Esecutivo e dell'amministrazione, per avere organizzato un'azione di volantinaggio contro il datore di lavoro, per avere diramato comunicati stampa senza la necessaria autorizzazione e più in generale per avere agito contro l'interesse del Comune. Nel contempo ha decretato nei confronti dell'interessata l'immediata sospensione dalla carica con garanzia però dello stipendio fino al 20 ottobre 2008.
A.b Adito dall'interessata, il Consiglio di Stato del Cantone Ticino, per risoluzione del 2 dicembre 2008, ha confermato nel merito le decisioni municipali del 30 giugno (mancata conferma) e del 4 luglio 2008 (sospensione immediata). T._ è insorta al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, chiedendo l'annullamento della risoluzione governativa e delle decisioni municipali. Il Tribunale amministrativo ha respinto il ricorso per giudizio del 23 febbraio 2009.
A.c Contro il giudizio cantonale T._ ha interposto un ricorso in materia di diritto pubblico e un ricorso sussidiario in materia costituzionale. Statuendo il 9 settembre 2009, il Tribunale federale ha dichiarato inammissibile il ricorso sussidiario in materia costituzionale. Nella misura della sua ammissibilità, la Corte ha accolto il ricorso in materia di diritto pubblico. Lo ha dichiarato inammissibile in quanto diretto contro la misura di sospensione provvisionale, facendo difetto il presupposto del pregiudizio irreparabile. Lo ha per contro accolto in quanto diretto contro la decisione di mancata conferma in carica. Senza pronunciarsi sul merito del litigio, la Corte ha accertato che il Municipio aveva leso il diritto di essere sentita dell'interessata e che tale vizio - considerata la sua gravità - non poteva essere sanato nell'ambito della procedura dinanzi al tribunale amministrativo. Ha pertanto rinviato la causa all'autorità precedente affinché statuisse sulle conseguenze di tale violazione (sentenza 8C_322/2009).
A.d A seguito di questa sentenza, il Tribunale amministrativo ha reso un nuovo giudizio, il 7 ottobre 2009; esso ha annullato la decisione del 30 giugno 2008, con la quale il Municipio X._ aveva risolto di non confermare T._ nella sua funzione di direttrice, nonché la risoluzione del Consiglio di Stato del 2 dicembre 2008, nella misura in cui si riferiva allo stesso oggetto.
B. B.a Fallito un tentativo di componimento amichevole della vertenza, il Municipio X._ ha notificato a T._ una decisione del 29 dicembre 2009, con la quale le segnalava la riattivazione dell'inchiesta amministrativa aperta il 4 luglio 2008 nonché l'apertura di una nuova, ulteriore inchiesta in merito a fatti intervenuti nei giorni immediatamente precedenti e dopo il 4 luglio 2008. Secondo il Municipio, gli addebiti che avevano dato luogo all'avvio di questa seconda inchiesta erano i seguenti:
«a. ripetuta e grave denigrazione, di fronte ad Autorità amministrative e giudiziarie, come pure tramite la stampa, del Municipio X._, particolarmente del Sindaco, del Segretario comunale e del consulente del Municipio, prof. S._;
b. presentazione, nei confronti del Sindaco e del consulente prof. S._, di una denuncia penale per tentata coazione, abuso di autorità e lesioni corporali gravi (assolutamente inveritiera);
c. asportazione di materiale e documentazione varia dagli uffici della direzione delle scuole.»
Quali provvedimenti cautelari, il Municipio ha inoltre disposto la sospensione immediata dalla carica e dal diritto allo stipendio dell'interessata.
B.b T._ ha deferito la decisione municipale al Consiglio di Stato, il quale per risoluzione del 9 marzo 2010 ha parzialmente accolto il ricorso, confermando la sospensione dalla carica dell'insorgente, ma annullando quella riferita al versamento dello stipendio.
C. Avverso la risoluzione governativa sia il Municipio X._ che T._ hanno interposto ricorso al Tribunale amministrativo. Statuendo il 14 giugno 2010, l'autorità giudiziaria adita ha accolto il ricorso del Comune X._, nel senso che ha ristabilito la sospensione immediata dal diritto allo stipendio. Il gravame di T._ è stato per contro respinto.
D. T._ ha interposto un ricorso in materia di diritto pubblico e un ricorso sussidiario in materia costituzionale postulando l'annullamento del giudizio impugnato e delle decisioni del Consiglio di Stato (dispositivi n. 1 e 2) e del Municipio. Con il gravame l'insorgente ha in via cautelare chiesto il conferimento dell'effetto sospensivo al proprio ricorso per quanto concerne il diritto allo stipendio.
Il Municipio si è opposto al conferimento dell'effetto sospensivo. Ha chiesto di dichiarare i gravami irricevibili, in via subordinata di respingerli.
E. Con decreto del 24 settembre 2010 è stata respinta la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo formulata dalla ricorrente.
Diritto:
1.
Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con pieno potere di cognizione la sua competenza (art. 29 cpv. 1 LTF), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (DTF 134 III 115 consid. 1 pag. 117).
2. Giusta l'art. 83 lett. g LTF, in materia di rapporti di lavoro di diritto pubblico, nella misura in cui, come nel caso di specie, non è in discussione la questione della parità dei sessi, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni che concernono una controversia non patrimoniale. Perché il ricorso sia ammissibile occorre ancora, di massima, che il valore litigioso raggiunga i fr. 15'000.- (art. 85 cpv. 1 lett. b LTF). La ricorrente chiede l'annullamento della decisione di sospensione preventiva senza retribuzione. La sua richiesta persegue pertanto, perlomeno parzialmente, uno scopo economico e nella misura in cui il suo oggetto può essere valutato in denaro, la controversia assume natura patrimoniale (cfr. sentenza 1C_459/2008 del 13 gennaio 2009 consid. 1.1). Il motivo di esclusione dell'art. 83 lett. g LTF non entra in considerazione. Il diritto allo stipendio si estende in ogni caso a diversi mesi, sicché il valore litigioso evidentemente raggiunge l'importo minimo di fr. 15'000.- prescritto dall'art. 85 cpv. 1 lett. b LTF per ammettere in questo ambito un ricorso in materia di diritto pubblico.
3. 3.1 La decisione querelata del 29 dicembre 2009 dispone la sospensione dalla carica e dal diritto allo stipendio della ricorrente fino al termine dell'inchiesta amministrativa. Il provvedimento si fonda sull'art. 134 della Legge organica comunale del 10 marzo 1987 (LOC; RL/TI 2.1.1.2) nonché sulle corrispondenti disposizioni del Regolamento organico dei dipendenti del comune X._ e delle sue aziende municipalizzate (ROD; in vigore dal 1° gennaio 1992). L'art. 134 LOC (nel suo tenore in vigore dal 1° gennaio 2009) dispone sotto il titolo «Provvedimenti disciplinari»:
1 La violazione di doveri d'ufficio da parte dei dipendenti comunali, la trascuranza e la negligenza nell'adempimento delle mansioni loro assegnate, sono punite dal municipio con i seguenti provvedimenti disciplinari, riservata l'azione penale:
a) l'ammonimento;
b) la multa fino a fr. 500.-;
c) il collocamento temporaneo in situazione provvisoria;
d) il trasferimento ad altra funzione;
e) la sospensione dall'impiego con privazione totale o parziale dello stipendio per un periodo massimo di tre mesi;
f) la sospensione per un tempo determinato dell'assegnazione degli aumenti ordinari di stipendio;
g) l'assegnazione temporanea a una classe inferiore dell'organico;
h) la destituzione.
2 Tali misure sono applicabili anche nei casi dell'art. 133.
3 L'applicazione delle sanzioni disciplinari è preceduta da un'inchiesta. Al dipendente viene data conoscenza dell'accusa mossagli e dei risultati dell'inchiesta. Egli può farsi assistere da un procuratore. Le sanzioni sono motivate e comunicate per scritto all'interessato con l'indicazione dei mezzi e dei termini di ricorso.
4 Il Municipio può sospendere anche immediatamente dalla carica e privare totalmente o parzialmente dello stipendio, oppure trasferire provvisoriamente ad altra funzione, il dipendente nei confronti del quale è stata aperta un'inchiesta disciplinare. La decisione provvisionale, debitamente motivata e con l'indicazione dei mezzi e dei termini di ricorso, è notificata immediatamente all'interessato. Contro la decisione è data facoltà di ricorso entro quindici giorni al Consiglio di Stato, la cui decisione è impugnabile dinnanzi al Tribunale cantonale amministrativo. I ricorsi non hanno effetto sospensivo.
3.2 La sospensione preventiva è una misura di sicurezza adottata nell'interesse del buon funzionamento dell'amministrazione in vista di una eventuale misura definitiva. Si tratta di una misura cautelare volta ad eliminare le disfunzioni dell'amministrazione nel caso in cui la situazione esiga una soluzione immediata. Fondata su un apprezzamento prima facie dei fatti, la sospensione preventiva non pregiudica l'esito di una eventuale procedura di licenziamento per giustificati motivi. La sospensione provvisionale può essere accompagnata da una sospensione dal diritto allo stipendio, come lo prevedono diverse legislazioni cantonali (cfr. Peter Hänni, Rechtsschutz gegen kantonale Entscheide, in: Peter Helbling/Tomas Poledna [editori], Personalrecht des öffentli-chen Dienstes, Berna 1999, pag. 572 seg.; vedi pure Guido Corti, Illecito penale, procedimento disciplinare e sospensione provvisionale del dipendente durante l'inchiesta [art. 36-38 LORD], RDAT II 1998 pag. 453 segg.).
3.3 Anche se può essere ordinata prima - o durante - lo svolgimento della procedura di licenziamento per giustificati motivi, la sospensione preventiva, con o senza privazione dello stipendio, non possiede carattere autonomo e rappresenta di per sé una tappa nell'ambito di una simile procedura (sentenze 1C_459/2008 del 13 gennaio 2009 consid. 1.2, 2P.177/2001 del 9 luglio 2002 consid. 1.2 e 1P.613/1999 del 24 gennaio 2000 consid. 2b). Dal momento che questa decisione non pone fine al procedimento (art. 90 LTF) e che non concerne soltanto alcune conclusioni che possono essere giudicate indipendentemente dalle altre (art. 91 LTF), essa costituisce una decisione incidentale ai sensi dell'art. 93 LTF (vedi pure sentenza resa fra le parti il 9 settembre 2009, consid. 1.4.2 non pubblicato in DTF 135 I 279).
4. 4.1 Secondo l'art. 93 cpv. 1 LTF il ricorso contro una decisione incidentale è ammissibile se può causare un pregiudizio irreparabile (lett. a) o se l'accoglimento del ricorso comporterebbe immediatamente una decisione finale consentendo di evitare una procedura probatoria defatigante o dispendiosa (lett. b). L'adempimento di quest'ultima condizione non è ravvisabile in concreto. Conviene quindi esaminare se la decisione impugnata è suscettibile di causare un pregiudizio irreparabile.
4.2 Con la nozione di pregiudizio irreparabile la giurisprudenza intende un pregiudizio di natura giuridica a cui non possa venir posto rimedio successivamente, in particolare con una decisione finale favorevole alla parte ricorrente (DTF 136 II 165 consid. 1.2.1 pag. 170; 134 III 188 consid. 2.1 pag. 190 con riferimenti). Inconvenienti meramente fattuali, come ad esempio l'allungamento dei tempi della procedura o l'aumento dei costi legati alla causa, non sono per contro considerati danni irreparabili (DTF 135 II 30 consid. 1.3.4 pag. 36; 134 III 188 consid. 2.1 pag. 190). A meno che l'esistenza di un pregiudizio irreparabile non dia manifestamente adito a dubbi, incombe alla parte ricorrente illustrare e dimostrare perché e in che misura tale presupposto processuale risulta adempiuto (DTF 134 III 426 consid. 1.2 pag. 429; 133 III 629 consid. 2.3.1 pag. 632; Hansjörg Seiler, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Schaffhauser/Schlauri [editori], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, San Gallo 2009, pag. 19 segg.).
4.3 In concreto la ricorrente non si esprime sull'ammissibilità del proprio gravame sotto il profilo dell'art. 93 cpv. 1 LTF. D'altra parte, l'esistenza di un pregiudizio irreparabile non appare evidente. Misure provvisionali sono suscettibili di causare un pregiudizio irreparabile quando comportano il divieto di un comportamento determinato i cui effetti non si possono rimuovere in un secondo tempo. Ciò è il caso, ad esempio, per la revoca della licenza di condurre a titolo preventivo (sentenza 1C_420/2007 del 18 marzo 2008 consid. 1 [pubblicato in JdT 2008 I 466]) o laddove le misure impongono un divieto di compiere certi atti (cfr. sentenze 4D_71/2007 del 7 febbraio 2008 consid. 1.1, 5A_202/2007 del 13 giugno 2007 consid. 1.1 [divieto di una pubblicazione]). Per contro, la sospensione o la revoca provvisoria di prestazioni finanziarie non è di natura tale, di regola, da provocare un pregiudizio irreparabile (sentenze 9C_45/2010 del 12 aprile 2010 consid. 1.2 e 8C_473/2009 del 3 agosto 2009 consid. 4.3 [pubblicato in SJ 2010 I 37]). Ciò vale, in particolare, per quanto concerne la sospensione provvisoria di una rendita d'invalidità (sentenza 9C_45/2010, precitata, consid. 1.2). In materia di rapporti di servizio, la sospensione dallo stipendio può, a seconda delle circostanze, essere di natura tale da causare un pregiudizio irreparabile quando il ricorrente non è in grado di provvedere da solo al proprio fabbisogno senza far capo all'aiuto finanziario di terzi o alle prestazioni dell'assistenza sociale (cfr. Felix Uhlmann/Simone Wälle-Bär, in: Waldmann/Weissenberger [editori], VwVG, Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, n. 14 ad art. 46).
4.4 Nella presente fattispecie, la decisione municipale in lite è fondata sugli stessi motivi suscettibili di condurre a una sanzione disciplinare, in particolare a un licenziamento definitivo. Tutte le censure ricorsuali di merito (prescrizione dell'azione disciplinare, violazione del diritto a un'autorità imparziale e indipendente, violazione della libertà d'espressione) potranno essere esaminate in occasione della procedura princi-pale. Non è del resto dato di vedere come la misura di sospensione adottata nei confronti della ricorrente possa limitarla in una maniera qualsiasi nella tutela dei propri interessi di merito. Inoltre, risulta difficile immaginare che la ricorrente possa essere reintegrata nella sua precedente funzione di direttrice delle locali scuole comunali dal momento che, apparentemente, la carica è nel frattempo occupata da un'altra persona, come ammette d'altronde la stessa insorgente. In realtà, sono le conseguenze economiche della decisione municipale del 30 giugno 2008 che sembrano essere in primo piano nella fattispecie. È vero che la sospensione preventiva è accompagnata da una soppressione dello stipendio. Però, la ricorrente, secondo le sue stesse affermazioni, ha ritrovato un impiego, certo - sempre a suo dire - nettamente meno rimunerato del precedente. Ciò nondimeno il pregiudizio patrimoniale che essa subisce durante la procedura risulta in gran parte compensato. Una decisione finale favorevole alla ricorrente eliminerebbe tuttavia ogni pregiudizio patrimoniale nel senso che verrebbe ripristinato con effetto retroattivo il diritto allo stipendio dell'interessata, la decisione facendo inoltre cessare il pregiudizio subito attualmente. L'opponente - che nega nella sua risposta al gravame l'esistenza di un pregiudizio irreparabile - lo riconosce del resto in modo esplicito. Sia come sia, dal momento che non appare evidente che la decisione incidentale impugnata le causa un pregiudizio irreparabile, toccava alla ricorrente, come già si è visto, dimostrarne l'esistenza.
4.5 A ciò nulla modifica il fatto che la ricorrente censura la mancata ricusazione dell'autorità comunale. In effetti, per stabilire se la decisione incidentale concerne una domanda di ricusazione ai sensi dell'art. 92 LTF, occorre tener conto dell'oggetto di detta decisione e non già delle conclusioni dell'insorgente (sentenze 1C_459/2008 del 13 gennaio 2009 consid. 1.5 e 2C_507/2008 del 14 luglio 2009 consid. 2.2; cfr. pure Bernard Corboz, in: Commentaire de la LTF, 2009, n. 14 ad art. 92 LTF). Nella presente fattispecie, il Municipio non ha reso alcuna decisione in tema di ricusazione, né appare, del resto, che gli sia stata presentata una domanda in tal senso. Inoltre, l'art. 92 LTF autorizza un ricorso immediato contro decisioni concernenti la competenza o domande di ricusazione solo a condizione che siano notificate separatamente. Ciò stante, le censure ricorsuali su questo punto potranno essere proposte al Tribunale federale unitamente alla decisione finale, qualora la lite fosse sottoposta a questa Corte. In queste condizioni, non si giustifica di entrare nel merito del ricorso dal profilo dell'art. 92 LTF.
5. Dato quanto precede, il ricorso in materia di diritto pubblico dev'essere dichiarato inammissibile. Lo stesso vale per il ricorso sussidiario in materia costituzionale, al quale l'art. 93 LTF è pure applicabile in ragione del rinvio dell'art. 117 LTF.
6. Le spese seguono la soccombenza e sono pertanto poste a carico della ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF). L'opponente non ha diritto al rimborso di spese ripetibili (art. 68 cpv. 3 LTF; sentenza 8C_151/2010 del 31 agosto 2010 consid. 6.2).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico e il ricorso sussidiario in materia costituzionale sono inammissibili.
2. Le spese giudiziarie di fr. 1'000.- sono poste a carico della ricorrente.
3. Non si assegnano ripetibili.
4. Comunicazione alle parti e al Tribunale cantonale amministrativo.