Faits:
A. A.a G._, né en 1951, a travaillé en qualité de menuisier au service de la société X._ SA. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 27 octobre 1997, il a chuté d'une échelle. Le lendemain, il s'est rendu à la clinique Y._ où le docteur B._ a diagnostiqué une fracture du péroné droit. La CNA a pris en charge le cas.
Après un certain temps, G._ a commencé à ressentir des fourmillements dans l'extrémité des doigts et des pieds. Toutefois, il a repris le travail à plein temps à partir du 8 décembre 1997. Comme ces symptômes ont progressivement augmenté, il a consulté son médecin, le docteur O._, qui a constaté des paresthésies aux mains. Le docteur R._, chef de clinique au Service de neurochirurgie du Centre Hospitalier Z._, a posé le diagnostic de myélopathie cervicale sur canal cervical étroit et hernie discale cervicale d'origine probable post-traumatique. Le 29 janvier 1998, il a procédé à une discectomie C4-C5 et C5-C6 et spondylodèse par greffe autologue C4 à C6 selon Smith Robinson, ainsi qu'à une greffe autologue au niveau de la crête iliaque droite (rapport du 5 février 1998).
Par décision du 17 avril 1998, confirmée sur opposition le 5 novembre suivant, la CNA a refusé d'allouer ses prestations (indemnité journalière et traitement médical) pour les troubles ayant nécessité l'opération du 29 janvier 1998, au motif qu'ils n'étaient pas en relation de causalité avec l'accident survenu le 27 octobre 1997.
G._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, lequel a désigné en qualité d'expert le professeur F._, spécialiste en neurochirurgie et médecin adjoint au Service de neurochirurgie du Z._ (rapport du 17 mars 2000 et rapport complémentaire du 28 janvier 2001).
Par jugement du 20 juillet 2001, le Tribunal des assurances a admis le recours et annulé la décision sur opposition litigieuse de la CNA, à qui il a renvoyé la cause pour qu'elle statue sur l'étendue de ses prestations. En bref, la juridiction cantonale a considéré, en se fondant sur l'avis du professeur F._, que la myélopathie cervicale était en relation de causalité avec l'accident survenu le 27 octobre 1997.
Par arrêt du 22 juillet 2003 (U 389/01), le Tribunal fédéral des assurances a admis un recours de droit administratif formé par la CNA. Il a annulé le jugement attaqué et renvoyé la cause au tribunal cantonal afin qu'il fasse élucider le lien de causalité naturelle (contesté) entre l'accident du 27 octobre 1997 et l'affection de la colonne cervicale par un complément d'instruction sous la forme d'une surexpertise judiciaire en milieu universitaire. Il a considéré, en résumé, que le point de vue du docteur K._, spécialiste en chirurgie orthopédique et membre de l'équipe médicale de médecine des accidents de la CNA, était propre à mettre en doute les conclusions du professeur F._.
A.b La juridiction cantonale a alors confié un mandat d'expertise au docteur A._, spécialiste en neurochirurgie, lequel a accepté le mandat en attirant l'attention du tribunal sur le fait qu'il ne remplissait pas la condition du milieu universitaire (rapport du 21 janvier 2005).
Se fondant sur les conclusions du rapport d'expertise, auquel elle a reconnu force probante, la juridiction cantonale a admis le recours et condamné la CNA à allouer ses prestations pour les suites de l'atteinte neurologique (jugement du 3 juin 2005).
La CNA a interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant principalement à la confirmation de sa décision du 5 novembre 1998, subsidiairement au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour nouvelle expertise. Elle contestait le bien-fondé des conclusions de l'expert A._, en alléguant que son rapport était dépourvu de toute valeur probante.
Par arrêt du 14 décembre 2005 (U 374/05), le Tribunal fédéral des assurances a admis le recours en ce sens que le jugement attaqué a été annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale pour qu'elle mette en oeuvre le complément d'instruction ordonné par son arrêt du 22 juillet 2003 et rende un nouveau jugement. Il a considéré, en bref, que le rapport du docteur A._ du 21 janvier 2005 ne satisfait pas aux instructions contenues dans l'arrêt en cause, dans la mesure où le complément d'instruction aurait dû prendre la forme d'une surexpertise judiciaire en milieu universitaire.
B. La juridiction cantonale a alors confié une expertise au professeur M._, chef de la division de réadaptation neuropsychologique de l'Hôpital W._, lequel est un établissement universitaire. Dans son rapport du 15 septembre 2006, ce médecin a qualifié de possible le lien de causalité naturelle entre les troubles qui avaient nécessité l'opération du 29 janvier 1998 et l'accident survenu le 27 octobre 1997.
De son côté, l'assuré a produit un certificat du docteur S._, spécialiste en chirurgie orthopédique (du 16 octobre 2006).
Statuant le 8 juin 2007, la juridiction cantonale a rejeté le recours de l'assuré.
C. Celui-ci interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi des prestations de l'assurance-accidents, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouveau jugement. A l'appui de son recours, il produit des avis des professeurs de T._, chef du service de neurochirurgie de l'Hôpital V._ (du 23 août 2007) et D._, chef ad intérim du service de neurologie de Z._ (du 30 août 2007).
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. Le litige porte sur le point de savoir si le recourant a droit à des prestations d'assurance pour les troubles qui ont nécessité une intervention chirurgicale le 29 janvier 1998, ainsi qu'une interruption de son activité professionnelle dès le 12 janvier précédent.
La loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales du 6 octobre 2000 (LPGA) est entrée en vigueur le 1er janvier 2003, entraînant la modification de nombreuses dispositions légales dans le domaine de l'assurance-accidents. Cependant, comme le litige porte sur le droit éventuel à des prestations notamment pour une période antérieure au 1er janvier 2003, il convient, en vertu des principes généraux en matière de droit intertemporel, d'examiner la cause à la lumière de l'ancien droit en ce qui concerne la période précédant le 1er janvier 2003 et à l'aune de la LPGA et de ses dispositions d'exécution pour la période ultérieure (ATF 130 V 329, 445).
3. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire, en revanche, que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé; il faut et il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé physique ou psychique de l'assuré, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de celle-ci. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte à la santé sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait, que l'administration ou, le cas échéant, le juge examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale. Ainsi, lorsque l'existence d'un rapport de cause à effet entre l'accident et le dommage paraît possible, mais qu'elle ne peut pas être qualifiée de probable dans le cas particulier, le droit à des prestations fondées sur l'accident assuré doit être nié (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406, 119 V 335 consid. 1 p. 337, 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références).
4. 4.1 La juridiction cantonale a nié l'existence d'un lien de causalité naturelle entre les troubles en cause et l'accident survenu le 27 octobre 1997. Elle s'est fondée pour cela sur les conclusions du professeur M._, selon lesquelles l'existence d'un tel lien n'était que possible.
Dans son rapport du 15 septembre 2006, cet expert a indiqué que contrairement à ce qui avait été constaté à l'époque de l'apparition des troubles (cf. rapport du professeur de C._ du 19 janvier 1998), ceux-ci ne sont pas dus à une affection démyélinisante ni à une méningomyélite subaiguë, mais constitue une myélopathie cervicale due à une compression par une hernie discale. Toutefois, l'assuré présentait, avant l'accident, un canal cervical étroit d'origine mixte et une discopathie dégénérative, tous deux asymptomatiques. Selon le professeur M._, ces affections constituent des facteurs qui prédisposent à la formation d'une myélopathie cervicale en présence d'une hernie discale. Quant à cette dernière affection, elle n'est pas survenue lors de la chute mais s'est développée sur une période de plusieurs semaines, de sorte que d'après l'expert, l'existence d'un lien de causalité entre l'accident et les troubles qui ont nécessité l'opération est tout au plus possible. A l'appui de cette conclusion, le professeur M._ invoque l'absence de relation chronologique étroite entre l'accident et les symptômes, étant donné que ceux-ci ne sont apparus qu'à l'expiration d'une période de trois à quatre semaines après l'accident. En outre, il est d'avis qu'en raison de ses conséquences relativement peu importantes (fracture du péroné), la chute - à laquelle aucun témoin n'a assisté - n'était probablement pas de nature à provoquer une hernie discale cervicale.
4.2 Le recourant reproche à la juridiction cantonale de s'être fondée sur les conclusions du professeur M._, sans indiquer les motifs pour lesquels elle s'est écartée des avis des docteurs F._ (rapport d'expertise du 17 mars 2000 et rapport complémentaire du 28 janvier 2001) et A._ (rapport du 21 janvier 2005), avis auxquels elle avait d'ailleurs accordé pleine force probante dans ses jugements du 20 juillet 2001, respectivement du 3 juin 2005.
Le docteur F._ est d'avis qu'il existe un lien de causalité naturelle très probable entre les troubles qui ont nécessité l'opération au mois de janvier 1998 et l'accident. Pour justifier son point de vue, il a posé trois hypothèses anatomo-cliniques dont il a écarté les deux premières pour retenir la troisième comme la plus probable:
Soit l'assuré présentait une hernie discale asymptomatique déjà avant l'accident, celle-ci étant devenue progressivement symptomatique après cet événement (1); soit la hernie discale s'est produite après l'accident, en l'absence de toute relation avec celui-ci (2); soit, enfin, elle a été causée par l'accident (3). Pour écarter la première hypothèse, le docteur F._ indique qu'il est très peu logique qu'une hernie discale préexistante soit restée asymptomatique pendant et immédiatement après la chute et qu'elle soit devenue symptomatique peu de temps après, de manière spontanée sans influence de l'accident. La deuxième hypothèse est écartée au motif qu'elle supposerait la présence d'un processus dégénératif de fragilisation déjà très avancé au moment de la chute, de sorte que le disque n'aurait très vraisemblablement pas résisté à la chute relativement lourde.
Le docteur F._ prend en outre position sur le point de vue du docteur K._, spécialiste en chirurgie orthopédique et médecin à la division de médecine des assurances de la CNA, selon lequel la période qui s'est déroulée entre l'accident et l'apparition des symptômes est trop longue pour que l'on puisse admettre l'existence d'un lien de causalité naturelle entre la hernie discale et l'accident. Le docteur F._ réfute cet argument en indiquant que cette période de latence n'exclut pas une origine traumatique, du moment que l'accident était apte à entraîner la rupture de la capsule du disque qui est à l'origine de l'apparition progressive de la hernie discale et de ses symptômes.
De son côté, le docteur A._ partage le point de vue du docteur F._, selon lequel l'existence d'un lien de causalité naturelle entre les troubles en question et la chute doit être admise. En particulier, il estime que le critère de la période de latence n'est pas déterminant pour trancher la question du lien de causalité naturelle, dans la mesure où il ne tient pas compte du phénomène, bien connu et fréquemment rencontré, des hernies discales asymptomatiques, lesquelles peuvent soit se résorber progressivement, soit présenter secondairement des symptômes progressifs.
De son côté, le docteur A._ partage le point de vue du docteur F._, selon lequel l'existence d'un lien de causalité naturelle entre les troubles en question et la chute doit être admise. En particulier, il estime que le critère de la période de latence n'est pas déterminant pour trancher la question du lien de causalité naturelle, dans la mesure où il ne tient pas compte du phénomène, bien connu et fréquemment rencontré, des hernies discales asymptomatiques, lesquelles peuvent soit se résorber progressivement, soit présenter secondairement des symptômes progressifs.
4.3 4.3.1 Selon l'expérience médicale, pratiquement toutes les hernies discales s'insèrent dans un contexte d'altération des disques intervertébraux d'origine dégénérative, un événement accidentel n'apparaissant qu'exceptionnellement, et pour autant que certaines conditions particulières soient réalisées, comme la cause proprement dite d'une telle atteinte. Une hernie discale peut être considérée comme étant due principalement à un accident, lorsque celui-ci revêt une importance particulière, qu'il est de nature à entraîner une lésion du disque intervertébral et que les symptômes de la hernie discale (syndrome vertébral ou radiculaire) apparaissent immédiatement, entraînant aussitôt une incapacité de travail. Si la hernie discale est seulement déclenchée, mais pas provoquée par l'accident, l'assurance-accidents prend en charge le syndrome douloureux lié à l'événement accidentel. En revanche, les conséquences de rechutes éventuelles doivent être prises en charge seulement s'il existe des symptômes évidents attestant d'une relation de continuité entre l'événement accidentel et les rechutes (RAMA 2000 no U 378 p. 190 consid. 3, no U 379 p. 192 consid. 2a).
4.3.2 En l'espèce, les experts qui se sont exprimés sur le cas sont tous d'avis que la hernie discale est à l'origine non seulement d'un syndrome douloureux temporaire mais également d'un dommage permanent sous la forme d'une myélopathie cervicale accompagnée de séquelles neurologiques. Par ailleurs, il est constant que les symptômes de la hernie discale ne sont pas apparus immédiatement après l'accident, le professeur M._ faisant même état d'une période de latence de plusieurs semaines. En dépit de cette apparition tardive, le docteur F._ est d'avis qu'une origine traumatique ne doit pas être exclue, dès lors que fréquemment les hernies discales qui se manifestent après un accident ou un effort inhabituel n'entraînent pas des symptômes immédiats mais progressifs.
Le point de vue du docteur F._, partagé par le docteur A._, n'est toutefois pas de nature à mettre en cause les conclusions du professeur M._. En effet, si certains traumatismes peuvent provoquer des hernies discales initialement asymptomatiques, le docteur F._ n'indique pas les raisons pour lesquelles la chute survenue le 27 octobre 1997 ressortit en l'occurrence à ce type de traumatisme. D'ailleurs, le professeur M._ a souligné le fait que l'on ne sait pas comment s'est déroulé cet événement, du moment que le recourant ne s'en souvient pas et qu'aucun témoin n'était présent. Des incertitudes demeurent donc quant à l'importance de l'accident et à son aptitude à entraîner une lésion du disque intervertébral. Au demeurant, pour exclure l'hypothèse que la hernie discale se serait produite après la chute et en l'absence de toute relation avec celle-ci, le docteur F._ soutient qu'en raison du processus dégénératif de fragilisation déjà très avancé, la gravité de la chute ne pouvait que provoquer la rupture immédiate du disque cervical. En revanche, s'agissant de la relation chronologique entre l'accident et les symptômes, cet expert est d'avis que la chute n'était pas de nature à provoquer des symptômes immédiats, en relation avec la hernie discale.
Cela étant, les arguments invoqués par le docteur F._ - et repris par le docteur A._ - en faveur de la thèse, selon laquelle l'accident a provoqué la hernie discale sans que les symptômes se manifestent avant un certain temps, ne permettent pas de s'écarter des conclusions du professeur M._.
4.3.3 En instance fédérale, le recourant produit des avis des professeurs de T._ (du 23 août 2007) et D._ (du 30 août 2007). Ces appréciations sont toutefois trop générales et sommairement motivées pour mettre en cause le point de vue de l'expert M._, à supposer que ces nouveaux moyens de preuve soient admissibles dans une procédure où le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 et 99 al. 1 LTF; cf. Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, n. 4 ad art. 99; Ulrich Meyer, Bundesgerichtsgesetz [Basler Kommentar], Niggli/Uebersax/Wiprächtiger éd., n. 52 ad art. 99).
4.3.4 Vu ce qui précède, l'existence d'un lien de causalité naturelle entre les troubles en cause et l'accident n'apparaît que possible, ce qui est insuffisant pour établir l'existence d'un tel lien conformément à la règle du degré de vraisemblance prépondérante appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans la procédure en matière d'assurance sociale (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406, 119 V 335 consid. 1 p. 337, 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références).
Cela étant, l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 5 novembre 1998, à refuser d'allouer ses prestations pour les troubles ayant nécessité l'opération du 29 janvier 1998. Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 4 avril 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd