Faits:
A. Ressortissant d'ex-Yougoslavie (Kosovo) né en 1971, A.X._ est arrivé en Suisse en décembre 1991 et y a déposé une demande d'asile. Il a épousé une Suissesse, B._, le 27 février 1997, et s'est par conséquent vu octroyer, à partir de cette date, une autorisation de séjour à l'année. En mai 2002, il a été mis au bénéfice d'une autorisation d'établissement avec effet rétroactif au 27 février 2002. Les époux X._ ont cessé la vie commune à la mi-août 2002 et déposé, deux mois plus tard, une requête commune de divorce. Celui-ci a été prononcé le 3 juillet 2003.
En décembre 2003, A.X._ a épousé, au Kosovo, une compatriote, Y._. En février 2004, cette dernière a demandé, au titre du regroupement familial, une autorisation d'entrée et de séjour pour elle et pour les deux enfants qu'elle avait eus avec A.X._ et qui étaient nés le 12 avril 2001 respectivement le 13 mai 2003. Interrogé sur la relation qu'il avait avec sa femme et ses enfants (date de la rencontre, nature durable de la relation, contacts et fréquence de ceux-ci), A.X._ a répondu le 15 juin 2004 au Service des étrangers, actuellement le Service des migrations, du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal):
"J'ai rencontré mon épouse, Y._, en août 2000 pendant les vacances. Je suis retourné en Suisse à la fin des vacances. Je la contactais toutes les deux semaines pour prendre de ses nouvelles. Je suis retourné au pays pour les fêtes de fin d'année et quand on s'est retrouvé, j'ai réalisé que c'était la femme de ma vie. Depuis ce moment-là, je n'ai cessé d'avoir des contacts avec elle par téléphone."
Il a aussi précisé qu'à partir de Noël 2000, il était retourné régulièrement au Kosovo pour les fêtes de fin d'année, à Pâques, aux vacances horlogères et une semaine en automne.
B. Le 10 février 2005, le Service cantonal a révoqué l'autorisation d'établissement de A.X._, en lui impartissant un délai échéant le 29 avril 2005 pour quitter le territoire neuchâtelois; il a en outre refusé les autorisations sollicitées par sa femme (autorisations d'entrée et de séjour pour elle et autorisations d'entrée et d'établissement pour ses enfants). Il a considéré que A.X._ avait obtenu le renouvellement de son autorisation de séjour et la délivrance de son autorisation d'établissement alors que son mariage n'existait plus que formellement. Il avait commis un abus de droit, en taisant qu'il n'allait pas poursuivre la vie commune, compte tenu de la relation qu'il entretenait avec une compatriote, qui lui avait donné deux enfants pendant son mariage avec une Suissesse. En cachant sa situation familiale réelle, il avait dissimulé des faits essentiels aux autorités.
Contestant ses déclarations du 15 juin 2004, A.X._ a recouru contre la décision précitée du 10 février 2005. Le Département de l'économie du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département cantonal) l'a débouté par décision du 16 octobre 2006. Il a repris, en la développant, l'argumentation du Service cantonal.
C. Par arrêt du 10 octobre 2008, la Cour de droit public du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours de A.X._ contre la décision du Département cantonal du 16 octobre 2006. Les juges cantonaux ont considéré en substance qu'à la suite des déclarations du 15 juin 2004, le Département cantonal pouvait retenir, comme le Service cantonal, que l'intéressé avait obtenu une autorisation d'établissement sur la base d'indications fausses. La position du recourant, qui avait réfuté ultérieurement les explications fournies le 15 juin 2004, affirmant qu'il ignorait tout de sa première paternité pendant son mariage avec B.X._ et qu'il n'aurait reconnu son enfant et décidé d'entamer une relation conjugale avec Y._ qu'une fois son mariage dissous et après l'obtention de son autorisation d'établissement, n'a pas été jugée crédible.
D. Le 13 novembre 2008, A.X._ a formé un recours en matière de droit public contre l'arrêt du Tribunal administratif du 10 octobre 2008. Il demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, d'annuler l'arrêt attaqué en tant qu'il confirme la révocation de son autorisation d'établissement et de constater qu'il a droit au maintien de cette autorisation. A titre subsidiaire, il conclut à la constatation que le Tribunal administratif a commis une violation du droit d'être entendu et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour que cette violation soit réparée et qu'une nouvelle décision soit rendue.
Le Tribunal administratif conclut au rejet du recours. Le Département cantonal demande au Tribunal fédéral de rejeter le recours, sous suite de frais. Le Service cantonal conclut, sous suite de frais, au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.
L'Office fédéral des migrations propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113) a été abrogée par l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20; cf. ch. I de l'annexe à l'art. 125 LEtr). En l'espèce, l'ancien droit était applicable lorsque le Service cantonal a révoqué l'autorisation d'établissement du recourant, de sorte que la cause doit être examinée en application de la LSEE (cf. art. 126 al. 1 LEtr par analogie).
2. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 V 443 consid. 1 p. 444).
2.1 D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Par conséquent, il est recevable contre la révocation d'une autorisation d'établissement qui ne tombe pas sous le coup de l'exception précitée et déploierait encore ses effets s'il n'y avait pas eu de révocation (cf. ATF 135 II 1 consid. 1.2.1 p. 4).
En l'espèce, le recourant a obtenu, sur la base de l'art. 7 al. 1 LSEE, une autorisation d'établissement, en raison de son mariage avec une ressortissante suisse et d'un séjour régulier et ininterrompu de cinq ans en Suisse. Dès lors que le litige porte sur la révocation de cette autorisation qui, sans cela, déploierait encore des effets, le présent recours est recevable au regard de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF.
2.2 Au surplus, dirigé contre une décision rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui
a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Il convient donc d'entrer en matière.
3. L'art. 99 al. 1 LTF dispose qu'aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Le recourant produit pour la première fois devant l'Autorité de céans deux documents datant respectivement des 18 et 20 septembre 2007. Il s'agit de pièces nouvelles que l'intéressé aurait pu déposer devant le Tribunal administratif, d'autant qu'elles visent à répondre à un argument qui avait déjà été avancé par le Département cantonal dans sa décision du 16 octobre 2006. Ces pièces ne sont donc pas recevables.
4. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). Le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4 p. 254 s.; 133 IV 286 consid. 6.2 p. 288).
Le recourant reproche en substance au Tribunal administratif d'avoir établi les faits de manière erronée. Il conteste avoir entretenu une relation durable avec Y._ au moment où il a demandé une autorisation d'établissement et nie ainsi avoir caché volontairement des informations susceptibles de constituer un obstacle à l'octroi de ladite autorisation. Le recourant se limite toutefois à critiquer les constatations cantonales de manière appellatoire, en présentant sa propre version des événements, mais sans mentionner d'éléments pertinents dont les autorités auraient dû tenir compte. On peut donc douter que de telles critiques satisfassent aux exigences de motivation précitées. Au demeurant, la version soutenue par le recourant n'est à l'évidence pas de nature à faire apparaître comme manifestement inexactes ou arbitraires les constatations de fait relatives à ses relations avec Y._ figurant dans l'arrêt attaqué. Au contraire, la chronologie des événements, en particulier le fait qu'après avoir eu un premier enfant en avril 2001, le recourant et Y._ ont conçu un second enfant à l'époque de la séparation de celui-là avec son épouse suisse rend indéfendable, comme l'ont dit les juges cantonaux, la position du recourant qui prétend n'avoir pas entretenu de relation durable avec Y._ pendant son mariage avec une Suissesse et avoir même ignoré alors être le père de son premier enfant. Il n'y a donc pas lieu de s'écarter des faits ressortant de l'arrêt entrepris.
5. Devant les autorités cantonales de recours, l'intéressé a requis sans succès l'audition de C._, qui aurait lui-même rédigé pour le recourant la lettre susmentionnée du 15 juin 2004 (cf. lettre A, ci-dessus). Il fait valoir que cette audition était essentielle pour prouver que les déclarations qu'il avait signées le 15 juin 2004 et dans lesquelles il affirmait entretenir une relation suivie avec Y._, la femme de sa vie, depuis août 2000, ne reflétaient pas la réalité. Dès lors, il reproche au Tribunal administratif d'avoir doublement violé son droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. et par les art. 29 ss PA, d'une part, en confirmant le rejet de cette offre de preuve par le Département cantonal et, d'autre part, en l'écartant lui-même dans le cadre de sa propre instruction.
5.1 On ne voit pas pourquoi le recourant invoque les art. 29 ss PA qui n'étaient pas applicables à la procédure de recours cantonal devant le Tribunal administratif. Il convient donc d'examiner le grief soulevé uniquement au regard de l'art. 29 al. 2 Cst, dont le Tribunal fédéral vérifie librement le respect (ATF 127 III 193 consid. 3 p. 194). Le droit d'être entendu garanti constitutionnellement comprend notamment le droit pour l'intéressé de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou, à tout le moins, de s'exprimer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 124 II 132 consid. 2b p. 137 et la jurisprudence citée). A lui seul, l'art. 29 al. 2 Cst. ne confère pas le droit d'être entendu oralement, ni celui d'obtenir l'audition de témoins (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428 s.). Au surplus, la jurisprudence admet que le droit d'être entendu n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 130 II 425 consid. 2.1 p. 429).
5.2 Le Tribunal administratif a rappelé, à juste titre, que les autorités neuchâteloises avaient fondé leurs décisions respectives sur les faits tels qu'ils ressortaient du dossier. En particulier le moment de la naissance des enfants du recourant avec Y._ démontrait à l'évidence que celui-ci avait entretenu une relation durable avec cette femme pendant son mariage, puisqu'il avait eu un premier enfant avec elle en avril 2001 et que le second enfant avait été conçu à l'époque de la séparation du recourant d'avec son épouse suisse. Compte tenu de ces éléments incontestables, les juges cantonaux pouvaient, par une appréciation anticipée des preuves échappant à tout arbitraire, estimer que l'audition requise, destinée à remettre en cause les premières déclarations du recourant du 15 juin 2004, n'était pas de nature à modifier leur position. Ainsi, c'est avec raison que le Tribunal administratif a considéré que le Département cantonal n'avait pas violé le droit d'être entendu du recourant. C'est également sans enfreindre l'art. 29 al. 2 Cst. que le Tribunal administratif a lui-même écarté la demande d'audition que lui avait présentée l'intéressé.
6. Le recourant fait valoir que le Tribunal administratif a fait une application arbitraire des art. 7 et 9 al. 4 LSEE. Les juges cantonaux auraient considéré à tort qu'il avait demandé une autorisation d'établissement en invoquant un mariage qui n'existait plus que formellement et en cachant volontairement des informations susceptibles de constituer un obstacle à l'octroi de ladite autorisation.
6.1 Le recourant se plaint d'arbitraire dans l'application de la LSEE. Ce faisant, il perd de vue que, s'agissant de droit fédéral, le Tribunal fédéral examine d'office son application dans le cadre d'un recours en matière de droit public, sans que sa cognition soit limitée à l'arbitraire (cf. art. 106 al. 1 LTF).
6.2 D'après l'art. 7 LSEE, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi et à la prolongation de l'autorisation de séjour (al. 1 1ère phrase) et, après un séjour régulier et ininterrompu de cinq ans, il a droit à l'autorisation d'établissement (al. 1 2ème phrase), à moins que le mariage n'ait été contracté dans le but d'éluder les dispositions sur le séjour et l'établissement des étrangers (al. 2), sous réserve au surplus d'un abus de droit. Il y a abus de droit lorsque le conjoint étranger invoque un mariage n'existant plus que formellement dans le seul but d'obtenir une autorisation de police des étrangers, car cet objectif n'est pas protégé par l'art. 7 al. 1 LSEE (ATF 131 II 265 consid. 4.2 p. 267 et la jurisprudence citée).
Selon l'art. 9 al. 4 let. a LSEE, l'autorisation d'établissement peut être révoquée lorsque l'étranger l'a obtenue par surprise, en faisant de fausses déclarations ou en dissimulant des faits essentiels. L'étranger est tenu de renseigner exactement l'autorité sur tout ce qui est de nature à déterminer sa décision (art. 3 al. 2 LSEE). Sont essentiels non seulement les faits au sujet desquels l'autorité administrative pose expressément des questions au requérant, mais encore ceux dont il doit savoir qu'ils sont déterminants pour l'octroi de l'autorisation (cf. ATF 135 II 1 consid. 4.1 p. 9). Il importe peu que l'autorité eût pu découvrir de tels faits par elle-même si elle avait fait preuve de diligence. L'étranger doit en particulier indiquer si la communauté conjugale n'est plus effectivement vécue (arrêt 2A.199/2005 du 13 avril 2005, consid. 2.1). Même lorsque ces conditions sont remplies, l'autorité n'est pas tenue de prononcer la révocation; elle doit examiner les circonstances du cas particulier et dispose d'une certaine marge d'appréciation (cf. ATF 135 II 1 consid. 4.1 p. 9).
6.3 Il ressort des faits constatés dans l'arrêt attaqué, qui lient le Tribunal fédéral (cf. supra consid. 4), que le recourant entretenait une relation durable avec Y._, une compatriote, pendant son mariage avec B.X._ une ressortissante suisse. Le recourant a du reste eu avec sa compatriote un premier enfant au cours de son mariage avec B.X._, avant d'avoir été mis au bénéfice d'une autorisation d'établissement. Quant au second enfant, il a été conçu à la fin de l'été 2002, soit au moment où le couple X._ se séparait, et est né le 13 mai 2003, soit avant que le divorce de ce couple ne soit prononcé. Ainsi, le recourant avait tu la relation qui le rattachait depuis l'été 2000 à sa compatriote Y._ et, alors qu'il avait déjà un enfant avec cette dernière, il s'était prévalu de son mariage avec une ressortissante suisse pour obtenir une autorisation d'établissement.
Sur la base de ces éléments, le Tribunal administratif ne pouvait faire grief aux autorités cantonales d'avoir considéré que l'obtention par le recourant d'une autorisation d'établissement fondée sur l'art. 7 LSEE résultait d'un abus de droit et de lui avoir reproché d'avoir induit en erreur les autorités compétentes sur la réalité de son union matrimoniale à partir de l'été 2000, alors qu'il lui incombait de leur faire savoir que la communauté conjugale qu'il avait créée avec B.X._ n'existait plus effectivement. Le recourant a donc obtenu une autorisation d'établissement en dissimulant des faits essentiels au sens de l'art. 9 al. 4 let. a LSEE.
6.4 Reste à examiner si la révocation de l'autorisation d'établissement du recourant respecte le principe de la proportionnalité.
Le recourant soutient qu'en confirmant cette révocation, le Tribunal administratif n'a pas pris en compte la durée extraordinairement longue de son séjour en Suisse ni sa parfaite intégration dans ce pays, si bien qu'il a violé le principe de la proportionnalité.
En été 2000, le recourant a rencontré Y._, qui a accouché de leur premier enfant en avril 2001. En se prévalant, parallèlement de son mariage avec une Suissesse pour obtenir le renouvellement de son autorisation de séjour, puis l'octroi d'une autorisation d'établissement (art. 7 LSEE), le recourant a agi abusivement. Il ne saurait donc se prévaloir de ces années qu'il a passées légalement en Suisse grâce à un abus de droit. Dans l'examen de la proportionnalité de la mesure contestée, il convient par conséquent de relativiser la durée du séjour de l'intéressé en Suisse. Quant à son intégration, elle n'est pas manifeste. En effet, le recourant prétend qu'il n'a pas réussi à répondre seul à deux questions simples qui lui ont été posées en juin 2004, ce qui montre ses lacunes en français. En outre, il a signé le 15 juin 2004 une lettre dont il prétend qu'elle tendait à "embellir la situation" pour "obtenir plus rapidement des autorisations d'entrée en Suisse et de séjour" (recours, ch. 13 p. 4) pour sa femme et leurs enfants; il admet donc lui-même avoir essayé de tromper les autorités, comme il les avait déjà abusées depuis l'été 2000 pour obtenir une autorisation d'établissement. C'est donc à tort qu'il soutient s'être accoutumé au mode de vie et aux usages de la Suisse, se prévalant même d'un comportement irréprochable. Par ailleurs, le recourant a des liens spécialement intenses avec le Kosovo, puisqu'il n'est arrivé qu'à 20 ans en Suisse et que, depuis l'an 2000, il retourne régulièrement dans son pays. C'est en outre dans sa patrie que vit la famille qu'il a créée avec Y._. Compte tenu de l'ensemble de ces éléments, on ne saurait considérer que les liens que le recourant a avec la Suisse sont prépondérants au point que la révocation de son autorisation d'établissement viole le principe de la proportionnalité.
7. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service des migrations, au Département de l'économie et à la Cour de droit public du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 12 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Müller Dupraz