Faits:
A. Ressortissant ivoirien né le 28 mai 1967, X._ est arrivé en Suisse le 5 décembre 2000, au bénéfice d'un visa, afin d'effectuer un stage de doctorat en pharmacognosie et en phytochimie; il s'est alors vu octroyer une autorisation de séjour pour études. En 2001, il a été autorisé à poursuivre son séjour en Suisse afin d'entreprendre un doctorat en phytochimie, diplôme qu'il a obtenu le 12 avril 2006.
B. Le 16 septembre 2006, X._ a épousé en Côte d'Ivoire une compatriote bénéficiant d'une autorisation d'établissement en Suisse. Le 23 octobre 2006, il s'est annoncé au Bureau des étrangers de la commune de Y._ et a demandé une autorisation de séjour au titre du regroupement familial. Le 5 janvier 2007, il a indiqué qu'il vivait séparé de sa femme depuis le 20 décembre 2006. Quant à celle-ci, elle a fait savoir, le 8 juillet 2007, que leur mariage n'avait pas été inscrit dans les registres suisses d'état civil et qu'elle désirait divorcer en Côte d'Ivoire.
Le 10 août 2007, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a refusé l'autorisation de séjour sollicitée.
C. Par arrêt du 30 avril 2008, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours de X._ contre la décision du Service cantonal du 10 août 2007 qu'il a confirmée. Il a notamment considéré que l'intéressé ne pouvait pas se prévaloir de son mariage pour revendiquer le droit à une autorisation de séjour au titre du regroupement familial.
Le 8 mai 2008, le Service cantonal a imparti à X._ un délai de départ échéant le 30 juin 2008.
D. Le 2 juin 2008, X._ a déposé au Tribunal fédéral un recours en matière de droit public contre l'arrêt du Tribunal cantonal du 30 avril 2008. Il conclut, sous suite de frais et dépens, principalement, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que l'autorisation de séjour qu'il a sollicitée lui soit accordée et, subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt entrepris ainsi qu'à celle de la décision du Service cantonal du 10 août 2007, la cause étant renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il fait essentiellement valoir qu'il se trouve dans une situation d'extrême rigueur permettant de délivrer une autorisation de séjour après la dissolution de la communauté conjugale.
Le Tribunal fédéral n'a pas ordonné d'échange d'écritures. Le Tribunal cantonal et le Service cantonal ont produit leurs dossiers respectifs dans le délai imparti à cet effet.
E. Par ordonnance du 10 juin 2008, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif contenue dans le recours.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 p. 113) a été abrogée par l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20; cf. ch. I de l'annexe à l'art. 125 LEtr). Selon l'art. 126 al. 1 LEtr, les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la nouvelle loi sont régies par l'ancien droit. La demande qui est à la base du présent litige est antérieure au 1er janvier 2008. Il y a donc lieu d'appliquer l'ancien droit en l'espèce.
2. Selon l'art. 83 lettre c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
2.1 L'art. 17 al. 2 1ère phrase LSEE dispose que le conjoint d'un étranger possédant l'autorisation d'établissement a droit à l'autorisation de séjour aussi longtemps que les époux vivent ensemble. Après un séjour régulier et ininterrompu de cinq ans, le conjoint a lui aussi droit à l'autorisation d'établissement (art. 17 al. 2 2ème phrase LSEE).
Le mariage du recourant n'a pas été reconnu en Suisse. Il n'a en effet pas été transcrit dans un registre suisse d'état civil (cf. Stephen V. Berti/Robert K. Däppen, Commentaire bâlois, n. 2 ad art. 32 LDIP; Andreas Bucher/Andrea Bonomi, Droit international privé, 2e éd., Bâle 2004, nos 307 et 572; Andreas Bucher, L'application de la LDIP à l'état civil, in REC 1993 p. 342 ss, p. 348; voir aussi 5A.697/2007 du 3 juillet 2008, consid. 2.2, au sujet d'un divorce). Dès lors se pose la question de savoir si un tel mariage peut être invoqué dans le cadre de l'art. 17 al. 2 LSEE. Il n'est cependant pas nécessaire d'y répondre, car le recours est de toute façon irrecevable à cet égard pour d'autres raisons.
Le recourant et sa femme ne vivent plus ensemble; ils se sont, en effet, séparés le 20 décembre 2006, soit trois mois environ après leur mariage, et n'ont jamais repris la vie commune. De plus, l'intéressé n'a pas effectué un séjour régulier (cf., au sujet de cette notion, ATF 120 Ib 360 consid. 3b p. 367) et ininterrompu de cinq ans au sens de l'art. 17 al. 2 2ème phrase LSEE, puisqu'il a vécu moins de deux mois auprès de sa femme en Suisse. Dès lors, les dispositions de l'art. 17 al. 2 LSEE rappelées ci-dessus ne sont pas applicables en l'espèce. Le présent recours n'est donc pas recevable sous cet angle au regard de l'art. 83 lettre c ch. 2 LTF.
2.2 Le recourant invoque l'art. 8 par. 1 CEDH, qui garantit le respect de la vie privée et familiale, en raison de la relation qu'il entretient avec sa soeur titulaire d'une autorisation de séjour depuis son mariage avec un Suisse, le 4 avril 2008.
Le recourant avance ainsi un fait nouveau, qu'il étaye avec des pièces nouvelles; ces moyens nouveaux sont irrecevables au regard de l'art. 99 al. 1 LTF.
Au demeurant, le moyen que le recourant tire de l'art. 8 par. 1 CEDH est aussi irrecevable à un autre titre. Pour qu'il puisse invoquer la protection de la vie familiale découlant de cette disposition, l'étranger doit entretenir une relation étroite et effective (ATF 129 II 193 consid. 5.3.1 p. 211) avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse (cf. ATF 130 II 281 consid. 3.1 p. 285). D'après la jurisprudence, les relations familiales qui peuvent fonder, en vertu de l'art. 8 par. 1 CEDH, un droit à une autorisation de police des étrangers sont avant tout les rapports entre époux ainsi qu'entre parents et enfants mineurs vivant ensemble (ATF 127 II 60 consid. 1d/aa p. 65; au sujet des relations entre frères et soeurs, cf. arrêts 2A.564/2006 du 10 janvier 2007, consid. 2.4, et 2A.105/2001 du 26 juin 2001, consid. 4b). Un étranger majeur ne peut se prévaloir de cette disposition que s'il se trouve dans un état de dépendance particulier par rapport à des membres de sa famille résidant en Suisse en raison, par exemple, d'un handicap ou d'une maladie grave (ATF 120 Ib 257 consid. 1d et 1e p. 261; 115 Ib 1 consid. 2c et 2d p. 5/6). Or, le recourant ne prétend pas que tel soit le cas.
2.3 Dans la mesure où l'intéressé demande une autorisation de séjour dans le cadre de la libre appréciation de l'autorité cantonale (art. 4 LSEE), son recours est irrecevable (art. 83 lettre c ch. 2 LTF).
2.4 De façon générale, le recourant ne peut invoquer aucune disposition du droit fédéral ou du droit international lui conférant le droit à une autorisation de séjour. En particulier, un tel droit ne découle pas de l'ordonnance du 6 octobre 1986 limitant le nombre des étrangers (OLE; RO 1986 p. 1791; abrogée depuis l'entrée en vigueur du nouveau droit des étrangers, cf. consid. 1 ci-dessus), notamment de l'art. 8 OLE. Cette ordonnance ne crée en effet aucun droit à l'obtention d'une autorisation de séjour, sans quoi elle ne serait pas compatible avec l'art. 4 LSEE.
2.5 Ainsi, le présent recours est irrecevable comme recours en matière de droit public.
3. Traité comme recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF), le présent recours ne remplit pas les exigences de motivation requises par la loi, dans la mesure où le recourant n'expose pas en quoi l'arrêt attaqué constituerait une violation de ses droits constitutionnels (cf. art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF en relation avec les art. 116 et 117 LTF). En outre, pour autant que l'intéressé entende se plaindre de la violation de l'interdiction générale de l'arbitraire découlant de l'art. 9 Cst., son grief n'est pas non plus recevable du fait qu'il n'a pas droit à une autorisation de séjour et donc qu'il n'a pas un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée au sens de l'art. 115 lettre b LTF (ATF 133 I 185 consid. 6.1 et 6.3 p. 197/198 et 200). Enfin, le recourant ne soulève aucune violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel, soit des moyens pouvant être séparés du fond (ATF 133 I 185 consid. 6.2 p. 198/199; cf. aussi ATF 129 II 297 consid. 2.3 p. 301). L'acte du recourant n'est par conséquent pas davantage recevable comme recours constitutionnel subsidiaire.
4. Au vu de ce qui précède, le présent recours doit être déclaré irrecevable. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 19 août 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Merkli Dupraz