Faits:
A. G._, née en 1946, a travaillé en qualité d'infirmière au service de X._. A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accidents auprès d'Alpina, Compagnie d'assurances SA (ci-après : Alpina).
Le 1er février 2000, G._ a fait une chute à ski et s'est blessée au pouce gauche (entorse). Elle a d'abord été traitée par une immobilisation plâtrée. Souffrant de paresthésies et d'une enflure à la base du pouce, elle a consulté le docteur R._. Après une électroneuromyographie, ce médecin a constaté une rupture complète des structures capsulo-ligamentaires de l'articulation MP et pratiqué, le 23 mars 2000, une suture directe du ligament collatéral ulnaire ainsi qu'une décompression du nerf médian dans sa partie carpienne. Dans les suites opératoires, G._ a développé une algoneurodystrophie de la main gauche touchant surtout les 1er et 2ème doigts (rapport du 13 juillet 2000 de la Clinique de rééducation de l'Hôpital Y._; voir également le rapport du 25 juillet 2000 du docteur O._, neurologue). Malgré un traitement médicamenteux ciblé et des séances de physiothérapie passive, les douleurs ont persisté (rapport du 22 janvier 2001 du Centre de la douleur de l'Hôpital Y._). Suivie ensuite par la doctoresse E._, rhumatologue, G._ a fait l'objet de nombreuses investigations médicales (scintigraphies osseuses, échographie, radiographies, IRM).
Alpina a pris en charge le cas et demandé une expertise au docteur J._, spécialiste FMH en chirurgie de la main. Ce médecin a retenu une maladie de Südeck (algodystrophie) ayant évolué vers un syndrome épaule-main avec une capsulite rétractile. Il en était résulté une baisse importante de la fonction de tout le membre supérieur. Selon lui, ces séquelles étaient permanentes. Il a estimé l'atteinte à l'intégrité à 15 % et fait état d'une incapacité de travail totale dans la profession d'infirmière (rapport du 22 juin 2001). Egalement appelée à se prononcer sur le cas par l'assureur-accidents, la doctoresse B._, spécialiste FMH en chirurgie de la main, est parvenue aux mêmes conclusions que son confrère, tout en évaluant l'atteinte à l'intégrité entre 40 et 45 pour cent. Elle a exclu l'existence de facteurs étrangers à l'accident du 1er février 2000 (rapport du 21 mars 2003). Le 19 août 2003, une mobilisation de l'épaule gauche sous narcose réalisée par le professeur H._ a permis d'obtenir une abduction jusqu'à 130° et une rotation interne/externe jusqu'à 10°. Mais trois jours plus tard, la situation est revenue au stade antérieur. Dans l'intervalle, l'assurée a été mise au bénéfice d'une rente d'invalidité entière avec effet au 1er juin 2002 (décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 8 mai 2002).
En juin 2004, le portefeuille d'Alpina a été repris par Zurich, Compagnie d'assurances SA (ci-après : Zurich). Le nouvel assureur-accidents a décidé de confier une expertise au Centre Z._. Dans leur rapport du 9 mars 2005, les docteurs A._, U._ et R._, du Centre Z._, ont conclu à une impotence fonctionnelle du membre supérieur gauche d'origine psychogène (syndrome de conversion); il n'y avait pas de causalité naturelle avec l'accident, l'influence de facteurs étrangers («personnalité prémorbide») étant prédominante à 100 %.
Sur cette base, Zurich a mis un terme aux prestations d'assurance - prise en charge du traitement médical et versement des indemnités journalières - avec effet au 31 mars 2005 (décision du 20 mai 2005). L'assurée a formé opposition contre cette décision et produit plusieurs rapports médicaux.
Zurich a alors mandaté le professeur S._, de l'Hôpital V._, pour une nouvelle expertise (voir rapport du 30 novembre 2006). Ce médecin, assisté du professeur T._ et du docteur N._, psychiatre, a posé les diagnostics d'enraidissement des articulations du pouce gauche, d'algodystrophie ancienne du pouce gauche, d'enraidissement de l'épaule gauche d'origine non organique et de syndrome de conversion. Selon l'expert, l'ankylose du membre supérieur gauche n'était pas explicable au plan somatique et était influencée par des facteurs étrangers d'origine maladive (syndrome de conversion).
Après avoir pris connaissance de cette expertise, l'assurée a transmis d'autres pièces médicales, notamment un avis du professeur C._, spécialiste en maladies rhumatismales, qui a retenu une algodystrophie séquellaire et réfuté les conclusions des experts de l'Hôpital V._ (rapport du 18 décembre 2007). Il s'en est suivi un échange d'opinion entre les professeurs S._ et C._ (cf. compléments d'expertise des 31 janvier, 26 juin, 30 juin 2008 et 22 juillet 2009 pour le premier nommé; réponses des 4 mars 2008 et 26 janvier 2009 pour le second nommé).
Par décision sur opposition du 10 septembre 2009, Zurich a confirmé sa prise de position initiale en se référant aux expertises du Centre Z._ et de l'Hôpital V._.
B. Saisi d'un recours de l'assurée contre cette dernière décision, le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) l'a rejeté, par jugement du 1er juin 2010.
C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle conclut à ce que le droit à une rente d'invalidité entière lui soit reconnu par l'assureur-accidents dès le 1er avril 2005; subsidiairement, à ce que la cause soit renvoyée à l'autorité cantonale pour complément d'instruction sous la forme d'une expertise médicale.
Zurich conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. L'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable, contrairement à ce que soutient l'intimée.
2. 2.1 Il s'agit de déterminer si la Zurich était fondée à mettre fin à ses prestations d'assurance au 31 mars 2005, singulièrement s'il existe un rapport de causalité (naturelle et adéquate) entre les troubles de l'assurée subsistant après cette date et l'accident du 1er février 2000.
2.2 Lorsque le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (SVR 2011 UV n° 1 p. 1, 8C_584/2009 consid. 4).
3. 3.1 L'exigence d'un rapport de causalité naturelle entre un accident assuré et une atteinte à la santé est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans l'événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire, en revanche, que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé; il faut et il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé physique ou psychique de l'assuré, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de celle-ci (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références).
3.2 Si l'on peut admettre qu'un accident n'a fait que déclencher un processus qui serait de toute façon survenu sans cet événement, le lien de causalité naturelle entre les symptômes présentés par l'assuré et l'accident doit être nié lorsque l'état maladif antérieur est revenu au stade où il se trouvait avant l'accident (statu quo ante) ou s'il est parvenu au stade d'évolution qu'il aurait atteint sans l'accident (statu quo sine) (arrêt U 61/91 du 18 décembre 1991 consid. 4, in RAMA 1992 no U 142 p. 75; FRÉSARD/MOSER-SZELESS, L'assurance-accidents obligatoire, in Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, vol. XIV, 2ème éd., no 80 p. 865).
3.3 Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 177 consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
3.4 En présence d'une atteinte à la santé physique en relation de causalité naturelle avec l'accident, le problème de la causalité adéquate ne se pose guère car l'assureur répond aussi des atteintes qui ne se produisent habituellement pas selon l'expérience médicale (ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103 et les références).
3.5 En cas d'atteinte à la santé psychique, les règles applicables en matière de causalité adéquate sont différentes selon qu'il s'agit d'un événement accidentel ayant entraîné une affection psychique additionnelle à une atteinte à la santé physique (ATF 117 V 359 consid. 6 p. 366 ss et 369 consid. 4 p. 382 ss; 115 V 133 consid. 6 p. 138 ss et 403 consid. 5 p. 407 ss), d'un traumatisme psychique consécutif à un choc émotionnel (ATF 129 V 177 consid. 4.2. p. 184), ou encore d'un traumatisme de type «coup du lapin» à la colonne cervicale, d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou d'un traumatisme cranio-cérébral (ATF 134 V 109; 117 V 359).
4. 4.1 Après avoir constaté que les expertises du Centre Z._ et de l'Hôpital V._ répondaient aux exigences jurisprudentielles sur la valeur probante des rapports médicaux et qu'elles étaient concordantes sur l'absence de lien de causalité naturelle entre les troubles présentés par G._ au-delà de 2005 et l'accident assuré, les premiers juges ont examiné si d'autres avis médicaux versés au dossier faisaient état d'éléments objectifs dont les experts n'auraient pas tenu compte. A cet égard, ils ont retenu que seule l'opinion du professeur C._ entrait en considération dès lors que celui-ci s'était prononcé sur la question litigieuse au moment déterminant (en 2005), les autres avis se rapportant à la période antérieure. Toujours selon les premiers juges, les experts du Centre Z._ et de l'Hôpital V._ avaient écarté de manière convaincante - sur la base d'éléments objectifs péremptoires - les arguments avancés en faveur d'une algodystrophie séquellaire par le professeur C._. Aussi, l'assureur-accidents était-il fondé à nier l'existence d'un lien de causalité naturelle entre les plaintes persistants après le 31 mars 2005 et l'accident du 1er février 2000.
4.2 La recourante rappelle que jusqu'au rapport d'expertise du Centre Z._, aucun médecin n'avait émis un doute sur l'existence d'un lien de causalité naturelle entre ses troubles et l'accident dont elle avait été victime. Il n'était pas compréhensible, devant la complexité de la question médicale et des arguments médicaux invoqués, comment la juridiction cantonale était parvenue à donner la préférence aux médecins mandatés par l'assureur. Face à une divergence d'opinion aussi flagrante, il s'imposait à tout le moins de mettre en oeuvre une expertise neutre.
5. 5.1 D'un point de vue strictement formel, les expertises administratives (du Centre Z._ et de l'Hôpital V._) et l'expertise privée (du professeur C._) sont d'une valeur probante équivalente. Il est patent que leurs contenus respectifs sont inconciliables. Les experts administratifs et l'expert privé ne s'accordent en effet sur aucun point concernant la situation médicale de l'assurée si ce n'est sur le fait que celle-ci a souffert d'une entorse du pouce gauche marquée par l'apparition d'une algodystrophie dans les suites immédiates de l'opération qu'elle a subie en mars 2000.
5.2 Pour les médecins du Centre Z._ et le professeur S._, l'algodystrophie développée par l'assurée a été adéquatement traitée et il n'en restait plus de traces à la date de leur examen. D'une part, aucune déminéralisation osseuse - typique dans la phase subaiguë et chronique d'une algodystrophie de la main - n'était visible sur les clichés radiologiques. D'autre part, les doigts longs de l'assurée étaient parfaitement extensibles, ce qui ne correspondait pas à la description des séquelles d'une algodystrophie de la main dans la littérature médicale (rétraction en flexion des doigts longs). S'agissant de l'épaule gauche, l'existence d'un lien de causalité entre l'ankylose constatée et le traumatisme initial à la main était hautement improbable. L'évolution observée chez l'assurée sortait du cadre des cas connus de syndrome épaule-main. Dans ce cas de figure, les plaintes survenaient presque simultanément à la main et à l'épaule. Or, la mobilité de l'épaule gauche de l'assurée était encore normale en juillet 2000. Même si celle-ci avait développé une capsulite rétractile dans les suites lointaines du traumatisme initial, la persistance du blocage était totalement atypique. L'épaule aurait dû avoir récupéré sa mobilité après un intervalle de 24 mois au pire. En substance, une algodystrophie du membre supérieur gauche pouvait être écartée sur la base des quatre constatations suivantes : maintien d'une trophicité musculaire pratiquement normale à l'épaule gauche (cf. examen par IRM du docteur K._), aspect de la main (pas de rétraction des doigts), persistance d'un flexum irréductible du coude gauche avec maintien d'une pro-supination (alors que le coude est rarement atteint en cas de syndrome épaule-main), et absence de déminéralisation mouchetée sur les radiographies.
5.3 A l'inverse, le professeur C._ a retenu que l'assurée réunissait tous les éléments d'un syndrome d'algodystrophie (ou syndrome de l'épaule-main), à savoir des problèmes sensoriels douloureux accompagnés d'impotence fonctionnelle, des problèmes vaso-moteurs et des problèmes moteurs trophiques avec faiblesse, dystonie et atrophie. Le fait que la douleur et l'impotence à l'épaule gauche n'étaient pas survenues immédiatement n'était pas un élément décisif pour exclure ce diagnostic. Il en allait de même de l'absence de rétraction des doigts longs et de mouchetures sur les clichés radiologiques en 2005. L'évolution de l'atteinte - qui pouvait résulter d'un traumatisme même mineur - était susceptible de varier d'un individu à l'autre. Une classification par stade n'avait donc aucune utilité. D'un point de vue clinique, l'état du membre supérieur gauche de l'assurée était compatible avec la description d'un syndrome épaule-main dans la littérature rhumatologique où étaient répertoriés des cas pouvant s'écarter sur certains points du schéma classique rapporté par le professeur S._ (sans rétraction des doigts et avec des problèmes également au coude). Les auteurs étaient en outre unanimes à dire que si dans 80 % des cas, l'évolution était favorable, il restait 20 % de cas où la situation se révélait catastrophique avec une douleur et une impotence fonctionnelle permanentes. Quant aux mouchetures, elles constituaient un signe d'algodystrophie à ses débuts mais disparaissaient après un certain temps. Or, les scintigraphies réalisées chez l'assurée avaient montré des signes constants d'algodystrophie. Après huit ans d'évolution, il était normal de ne plus constater de déminéralisation osseuse. Par ailleurs, contrairement à l'interprétation que le professeur S._ faisait de l'examen par IRM, l'épaule lésée présentait une atrophie de grade 3 (voir le consilium du docteur I._ du 10 novembre 2008), ce qui pouvait être considéré comme relativement important. Enfin, le professeur C._ a noté que la mobilisation sous narcose avait donné un résultat médiocre (l'élévation du bras avait été possible jusqu'à 130° pour 180° normalement et la rotation interne/externe avait atteint 10° alors que la mobilité normale était de 95°), ce qui plaidait en défaveur d'une atteinte psychogène car le résultat, dans cette hypothèse, eût dû se révéler normal.
5.4 En ce qui concerne la première question à résoudre - celle de l'existence d'une atteinte organique d'origine accidentelle -, il y a lieu de constater qu'aucun de ces avis médicaux n'est entaché d'erreurs ou de contradictions ou d'autres défauts qui seraient, le cas échéant, reconnaissables pour le juge. Les arguments sont circonstanciés et bien documentés de part et d'autre. Contrairement aux premiers juges, on ne voit pas, au terme de la discussion à laquelle se livrent les professeurs S._ et C._, quels seraient les éléments objectifs indiscutables qui permettraient de départager leurs conclusions. Les observations cliniques, les résultats des examens effectués jusqu'alors, ainsi que les références à la littérature font l'objet d'une interprétation fondamentalement différente entre ces deux experts. Il paraît d'autant plus difficile de se faire une opinion qu'on ne saurait faire abstraction, comme l'ont fait les premiers juges, de tous les avis médicaux antérieurs, dont aucun n'a remis en cause la pertinence du diagnostic d'algodystrophie. On peut citer les docteurs J._ et B._ qui avaient abouti à la conclusion, respectivement en 2001 et en 2003, que l'état de l'assurée résultait de «séquelles permanentes» d'un syndrome épaule-main. En ce sens, les considérations du professeur C._ ne constituent pas un avis isolé. Enfin, on ajoutera que le diagnostic de syndrome de conversion retenu par le docteur R._ (du Centre Z._) et le professeur S._ (de l'Hôpital V._) est posé par défaut et sans explication véritable. Ces médecins attribuent de manière exclusive l'état de G._ à des facteurs étrangers, mais n'évoquent aucune circonstance qui permettrait de considérer que la «personnalité prémorbide» de celle-ci aurait tôt ou tard évolué, sans l'accident de ski du 1er février 2000, vers les symptômes présentés depuis lors (retour au statu quo sine ou au statu quo ante). On peut dès lors émettre des réserves quant au fait que l'accident n'aurait joué aucun rôle dans le développement de ce trouble, ne serait-ce que comme facteur déclenchant. De ce point de vue, les conclusions des experts administratifs semblent s'écarter de la notion de causalité naturelle (condition sine qua non) pour traiter de la question de la causalité adéquate (voir consid. 3.3 supra) qu'il revient non pas aux médecins, mais au juge de trancher.
5.5 En définitive, vu les contradictions trop importantes qui séparent les experts administratifs et privé sur la problématique médicale relativement complexe qui se pose en l'espèce, il se justifie d'ordonner une surexpertise qui devra revêtir une forme pluridisciplinaire (somatique/ psychiatrique) intégrant une discussion de synthèse entre les divers surexperts consultés lesquels auront accès à l'ensemble du dossier médical de l'assurée. Le jugement attaqué sera par conséquent annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale compétente pour qu'elle en complète l'instruction en ce sens, puis rende un nouveau jugement.
Dans cette mesure, le recours se révèle bien fondé.
6. Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires seront mis à charge de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). Celle-ci versera également à la recourante une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du 1er juin 2010 du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales est annulé, la cause étant renvoyée à la Cour de justice, Chambre des assurances sociales, pour instruction complémentaire au sens des motifs et nouveau jugement.
2. Les frais de justice, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 11 juillet 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung von Zwehl