Sachverhalt:
A. A.X._ (geb. 1984) und B.X._ (geb. 1980) heirateten am xxxx 2008. Sie sind die Eltern der am xxxx 2008 geborenen Tochter C._. A.X._ ist zudem die Mutter der aus einer früheren Ehe stammenden Tochter D._ (geb. xxxx 2003), die im gemeinsamen Haushalt des Ehepaars X._ lebte. Im März 2010 zog der Ehemann aus der ehelichen Wohnung aus. Die Tochter, die bei ihrer Mutter und Halbschwester geblieben war, wurde in der Folge nicht nur von ihrer Mutter, sondern auch von ihrer Grossmutter mütterlicherseits und später in einem Tagesheim zeitweise fremdbetreut. Auch B.X._ kümmerte sich nach seiner Trennung von Frau und Kind weiterhin intensiv um C._ und pflegte mit ihr einen regen und engen Kontakt. Seine Betreuungsleistungen gingen über die Besuchsrechtsregelung hinaus, die das Bezirksgericht Arlesheim in der Folge getroffen hatte (dazu sogleich Bst. B).
B. Mit Gesuch vom 7. April 2010 gelangte die Ehefrau an das Bezirksgericht Arlesheim und ersuchte um Anordnung von Eheschutzmassnahmen. Nach einer ersten Anhörung der Parteien am 7. Juli 2010 stellte die Gerichtspräsidentin die Tochter vorläufig unter die Obhut der Mutter und erbat die Vormundschaftsbehörde Z._ um einen Bericht betreffend die Obhutszuteilung sowie die Regelung und Ausgestaltung des Besuchs- und Ferienrechts. Die letztlich damit beauftragten Sozialen Beratungsdienste Z._ erstatteten ihren Bericht am 15. September 2010. Im Ergebnis empfahlen sie die Zuteilung der Obhut an die Mutter. Eine zweite Gerichtsverhandlung fand am 30. März 2011 statt. Gleichentags stellte die Gerichtspräsidentin des Bezirksgerichts Arlesheim die Tochter definitiv unter die Obhut der Mutter, ordnete eine Erziehungsbeistandschaft zur Unterstützung derselben an, regelte das Besuchsrecht des Vaters, verpflichtete diesen, monatlich Fr. 400.-- an den Unterhalt der Tochter zu bezahlen, und behielt sich eine spätere Rückwirkung und Abänderung der Unterhaltsbeiträge vor.
C. Dagegen erhob der Vater Berufung. Mit Entscheid vom 12. Juli 2011 änderte das Kantonsgericht Basel-Landschaft das angefochtene Urteil dahingehend ab, dass es die Tochter per 1. September 2011 unter die Obhut des Vaters stellte, die Erziehungsbeistandschaft zum Zweck der Überwachung der Ausübung des Besuchs- und Ferienrechts sowie der Hinwirkung auf eine alternierende Obhut anordnete, der Mutter ein Besuchsrecht einräumte und von einem Unterhaltsbeitrag der Mutter vorerst absah.
D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. September 2011 gelangt A.X._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht mit den Begehren, die Tochter C._ unter ihre Obhut zu stellen, eine Erziehungsbeistandschaft anzuordnen sowie das Besuchsrecht des Vaters zu regeln. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor Bundesgericht.
Mit Verfügung vom 16. September 2011 hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.
Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Eheschutzentscheid, der hauptsächlich die Obhutszuteilung beschlägt; die Beschwerde in Zivilsachen steht mithin unabhängig von einem Mindeststreitwert offen (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 2 und Art. 90 BGG).
Weil Eheschutzentscheide der in Art. 98 BGG enthaltenen Vorschrift unterstehen (BGE 133 III 393 E. 5.1 und 5.2 S. 397 f.), kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Sach- oder Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder zutreffender scheint oder sogar vorzuziehen wäre, genügt nicht (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133).
2. Umstritten ist die Obhut über die Tochter C._.
2.1 Das Kantonsgericht attestiert beiden Eltern die Erziehungsfähigkeit. Sodann stellt es fest, beide Eltern könnten das Kind in ungefähr gleichem Umfang persönlich betreuen, und die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse sei für die Zukunft bei beiden Eltern in gleichem Masse gewährleistet. Des Weiteren sei nicht erwiesen, dass ein Elternteil die Zusammenarbeit in Kinderbelangen verweigere oder erheblich erschwere. Ebenso müsse die Tatsache berücksichtigt werden, dass eine Halbschwester von C._ bei der Mutter wohne; eine Trennung der Halbgeschwister liesse sich indes rechtfertigen, sofern gewichtigere Kriterien für eine Obhutszuteilung an den Vater sprächen. Das Kantonsgericht hat die Zuteilung der Obhut an den Vater schliesslich damit begründet, dass C._ durch ihr Verhalten unbestrittenermassen und über längere Zeit den Wunsch zum Ausdruck gebracht habe, sich beim Vater aufhalten zu wollen, was auf eine besonders enge und persönliche Beziehung zum Vater schliessen lasse. Beide Eltern anerkennten den starken Vaterbezug, indem für beide feststehe, dass C._ ein "Papi-Kind" sei. Das Kriterium der besonders engen Beziehung sei hier das entscheidende und falle mehr ins Gewicht als die Vermeidung der Trennung der Halbgeschwister.
2.2 Die Mutter wirft dem Kantonsgericht zunächst vor, nicht begründet zu haben, weshalb die enge Beziehung des Kindes zum Vater wichtiger sein soll als die unbestrittenermassen gute und enge Beziehung des Kindes zu seiner Schwester.
Die Rechtsprechung hat zahlreiche Kriterien entwickelt, welche bei der Beurteilung der Obhutsfrage zu berücksichtigen sind. Danach hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen. In erster Linie ist die Erziehungsfähigkeit zu klären. Ist diese bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und dazu bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich weitere Gesichtspunkte zuordnen, so die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (vgl. BGE 115 II 206 E. 4a S. 209; 115 II 317 E. 2 und 3 S. 319 ff.; 117 II 353 E. 3 S. 354 f.; BGE 136 I 178 E. 5.3 S. 180 f.). Eine eigentliche Hierarchie gibt es unter diesen weiteren Gesichtspunkten nicht; vielmehr ist im Einzelfall zu beurteilen, welchem Kriterium eine besondere Bedeutung zukommt. Das Gericht genügt den Begründungsanforderungen, wenn es - wie hier (E. 2.1) - erklärt, welche Gesichtspunkte es für seinen Entscheid berücksichtigt hat und aus welchen Überlegungen es zu seinem Schluss gekommen ist; eine Verpflichtung, die Gewichtung der in Erwägung gezogenen Gesichtspunkte im Detail zu begründen, besteht nicht. Von einer Verletzung der Begründungspflicht kann keine Rede sein.
2.3 Sodann beanstandet die Mutter, der Umstand, dass die Tochter im Alter von zweieinhalb Jahren nach einem Ferienaufenthalt beim Vater stärker nach diesem verlangt habe, könne nicht ausschlaggebend sein. Indem das Kantonsgericht die Obhutszuteilung lediglich mit einem singulären Verhalten des Kindes begründe, weiche es in willkürlicher Weise von den in Rechtsprechung und Lehre anerkannten Grundsätzen ab.
Davon, dass das Kantonsgericht von einem einmaligen Verhalten der Tochter Schlüsse für die Obhutszuteilung gezogen hätte, kann keine Rede sein. Unrichtig ist auch die Unterstellung, das Kantonsgericht habe den Wunsch des knapp dreijährigen Kindes berücksichtigt. Vielmehr erwog das Kantonsgericht, "aus dem unbestrittenen und über längere Zeit konkludent geäusserten Wunsch" der Tochter, beim Vater zu sein, sei auf eine "besonders enge und persönliche Beziehung" zum Vater zu schliessen. Die Beschwerdeführerin kritisiert diese Feststellung nicht, noch behauptet sie, dass die - willkürfrei festgestellte - besonders enge und persönliche Beziehung der Tochter zum Vater kein Zuteilungskriterium sein könne.
2.4 Ausserdem weist die Mutter darauf hin, sie habe seit dem Wegzug des Vaters im März 2010 die Obhut über die Tochter innegehabt. Der Entscheid des Kantonsgerichts komme deshalb einem Obhutsentzug gleich. Indes sei nie eine Gefährdung des Kindeswohls geltend gemacht worden und das Kantonsgericht hätte begründen müssen, weshalb der lange dauernden Betreuungszeit der Tochter durch die Mutter kein Stellenwert zukomme. Dies habe es jedoch nicht getan.
Soweit die Beschwerdeführerin sinngemäss verlangt, das Kantonsgericht hätte im Grunde genommen die Kriterien für einen Obhutsentzug anwenden sollen, ist sie nicht zu hören, denn es geht hier um die erstmalige Zuteilung der Obhut und für diese gelten die in Rechtsprechung und Lehre anerkannten, vom Kantonsgericht korrekt wiedergegebenen Grundsätze. Freilich waren die bisherigen Umstände unter dem Gesichtspunkt der Stabilität der Verhältnisse zu beachten. Damit hat sich das Kantonsgericht ausführlich auseinandergesetzt (E. 3.4 des angefochtenen Urteils). Es stellte fest, aufgrund der in den vergangenen Monaten ständig wechselnden Umgebung und abwechselnden Personen bestehe keine Beziehungs- und Erlebniskontinuität. Die Mutter lebe nicht mehr in der ehelichen Wohnung; die Tochter werde zufolge der Erwerbstätigkeit der Mutter hauptsächlich fremdbetreut. Der Vater habe sich über seine Besuchszeiten hinweg um C._ gekümmert (s. auch Bst. A). Diese tatbeständlichen Feststellungen beanstandet die Beschwerdeführerin nicht, und die vom Kantonsgericht daraus gezogenen Schlussfolgerungen erweisen sich nicht als willkürlich.
2.5 Zumindest sinngemäss wirft die Mutter dem Kantonsgericht schliesslich vor, ohne Begründung von den Empfehlungen der Vormundschaftsbehörden abgewichen zu sein.
Dieser Vorwurf geht fehl. Das Kantonsgericht erwog, der Bericht der Sozialen Beratungsdienste Z._ stelle die erzieherischen Fähigkeiten des Vaters nicht infrage, thematisiere nicht, inwiefern die Mutter geeigneter sein soll als der Vater, und enthalte auch sonst keine Begründung, weshalb die Mutter dem Vater vorzuziehen sei; deshalb seien weitere Tatsachen zu berücksichtigen. Mithin hat das Kantonsgericht sehr wohl begründet, weshalb es von den Empfehlungen der Vormundschaftsbehörden abgewichen ist. Die Gründe sind einfach, nachvollziehbar und nicht zu beanstanden. Auch diese Rüge erweist sich als unbegründet.
2.6 Nach dem Gesagten ist das Kantonsgericht nicht in Willkür verfallen, indem es die Tochter C._ unter die Obhut des Vaters gestellt hat. Damit ist den restlichen Begehren die Grundlage entzogen, weshalb nicht näher darauf einzugehen ist.
3. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde in Zivilsachen abzuweisen ist. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss die Beschwerde sodann als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (Art. 64 Abs. 1 BGG) und das entsprechende Gesuch abzuweisen ist. Die Gerichtskosten sind mithin der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da der Beschwerdegegner sich gegen die Erteilung der aufschiebenden Wirkung gewehrt hat, in diesem Punkt unterlegen ist und sich zur Hauptsache nicht zu vernehmen hatte, ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivilrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. November 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn