Sachverhalt:
A. Der 1962 geborene B._ meldete sich am 25. Oktober 2006 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Glarus klärte den medizinischen und erwerblichen Sachverhalt ab, zog dabei insbesondere Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) hinzu, welche B._ aus obligatorischer Unfallversicherung für die Folgen verschiedener Unfälle eine Invalidenrente aufgrund einer Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit von 34 Prozent sowie eine Integritätsentschädigung für eine Einbusse um 10 Prozent zugesprochen hatte (durch Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Glarus vom 12. November 2008 bestätigter Einspracheentscheid der Suva vom 27. Juli 2007). Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 25. April 2008 - unter Annahme eines Invaliditätsgrades von 27 Prozent - den Anspruch auf eine Invalidenrente, teilte dem Versicherten gleichzeitig aber mit, die Voraussetzungen für Berufsberatung und Abklärung der beruflichen Eingliederungsmöglichkeiten seien gegeben. Am 24. Juli 2008 hielt die Berufsberaterin der IV-Stelle fest, die Voraussetzungen für erfolgreiche berufliche Massnahmen und für eine anschliessende berufliche Integration in den Arbeitsprozess seien nicht gegeben.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus wies die gegen die Verfügung vom 25. April 2008 erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 24. Juni 2009).
C. B._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragt für beide Rechtsmittel, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache "im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen".
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 132 V 393 zur auch unter der Herrschaft des BGG gültigen Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen im Bereich der Invaliditätsbemessung [Art. 16 ATSG]).
1.2 Soweit der Beschwerdeführer seine Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichnet und auch verstanden haben will, ist darauf nicht einzutreten. Dieses Rechtsmittel ist gemäss Art. 113 BGG nur zulässig, soweit keine Beschwerde nach den Artikeln 72 bis 89 BGG zulässig ist. Da im vorliegenden Fall Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 82 ff. BGG erhoben werden kann, ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten (vgl. Urteil 9C_519/2009 vom 25. August 2009 E. 1.2).
2. Strittig ist der Anspruch auf eine Invalidenrente. Der angefochtene Entscheid beruht auf der Schlussfolgerung, es bestehe ein nicht rentenbegründender Invaliditätsgrad von 23 Prozent. Die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen und die dazu ergangene Rechtsprechung hat die Vorinstanz zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Die vorinstanzlichen Feststellungen hinsichtlich der Arbeitsunfähigkeit betreffen Tatfragen, soweit sie auf der Würdigung konkreter Umstände beruhen; sie sind daher lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar (oben E. 1.1; BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397).
3.1 Der Beschwerdeführer rügt, die Verwaltung habe ihre Abklärungspflicht verletzt, indem sie auf Erhebungen der Suva abgestellt und keine neue und umfassende eigene Abklärung veranlasst habe. Der Unfallversicherer habe Ende Mai 2007, die IV-Stelle Ende April 2008 verfügt. Die gesundheitlichen Beschwerden hätten sich innert dieses Jahres dauernd und wesentlich verändern können. Es spricht jedoch nichts dafür, dass deswegen der vom kantonalen Gericht anhand der Dossiers der IV-Stelle und der Suva sowie der eigenen Verfahrensakten umfassend festgestellte Sachverhalt nicht mehr den aktuellen Verhältnissen entsprechen könnte und damit offensichtlich unrichtig wäre (vgl. oben E. 1.1); das zeitliche Intervall zwischen der dokumentierten gesundheitlichen Entwicklung und der über den zeitlich massgebenden Sachverhalt (BGE 132 V 215 E. 3.1.1 S. 220) bestimmenden Verfügung vom 25. April 2008 ist ohnehin kürzer als der Beschwerdeführer meint: Es liegt ein Arztbericht des Allgemeinmediziners Dr. U._ vom 17. September 2007 bei den Akten, der auf einer Untersuchung vom 28. August 2007 beruht und den Gesundheitszustand ausdrücklich als stationär bezeichnet. Demnach ist auch nicht ersichtlich, inwiefern der Grundsatz des rechtlichen Gehörs es geboten hätte, dem Beschwerdeführer Gelegenheit zu geben, "die seit dem Urteil in der SUVA-Angelegenheit eingetretene Verschlechterung zu beweisen". Im Übrigen ist die IV-Stelle entgegen der vertretenen Rechtsauffassung genauso wenig an die Invaliditätsschätzung durch den obligatorischen Unfallversicherer gebunden (BGE 133 V 549), als dies umgekehrt der Fall ist (BGE 131 V 362).
3.2 Der Versicherte lässt geltend machen, der Bericht des Rheumatologen Dr. O._ vom 9. März 2009 weise ein sich kontinuierlich verschlechterndes pathologisches Geschehen aus. Der Bericht stützt sich auf eine vom 5. März 2009, also deutlich nach Abschluss des Verwaltungsverfahrens (Verfügung vom 25. April 2008) datierende Untersuchung. Ein ärztlicher Bericht, der nicht mehr den zeitlich massgebenden Sachverhalt betrifft, sondern eine nachträgliche Entwicklung des Gesundheitszustandes anzeigt, kann im Rahmen dieses Verfahrens nicht berücksichtigt werden. Eine Verschlimmerung des Gesundheitszustands nach Abschluss des Verwaltungsverfahrens bildete allenfalls Gegenstand eines neuen Verfahrens.
3.3 Insgesamt ist die eingehend begründete vorinstanzliche Schlussfolgerung nicht zu beanstanden, leichte Tätigkeiten zu einem vollen Pensum seien - unter Vorbehalt der im Rahmen einer Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit (Dezember 2006) ermittelten spezifischen Einschränkungen - mit dem Gesundheitsschaden (persistierender Rückenschmerz, Beeinträchtigung des linken Ellbogens und rechten Handgelenks; vgl. Bericht des Regionalen Ärztlichen Dienstes [RAD] der Invalidenversicherung vom 19. Oktober 2007) vereinbar.
4. 4.1 Im Hinblick auf die Festlegung der Vergleichseinkommen zur Invaliditätsbemessung (Art. 16 ATSG) bringt der Versicherte vor, der ausgeglichene Arbeitsmarkt offeriere ihm, der nur noch gewisse leichte Arbeiten ausführen könne, keine Verweisungstätigkeiten, mit denen ein Invalideneinkommen im vorinstanzlich angerechneten Ausmass (Fr. 60'023.-) zu erzielen sei. Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben: Selbst wenn dem vorinstanzlich angenommenen Valideneinkommen von Fr. 77'623.- im Einkommensvergleich das von der Suva (anhand tatsächlich existierender leidensangepasster Arbeitsplätze) ermittelte Invalideneinkommen von Fr. 52'226.- gegenübergestellt würde, ergäbe dies einen nicht rentenbegründenden Invaliditätsgrad von 33 Prozent.
4.2 Ebenfalls im Zusammenhang mit der Bestimmung des Invalideneinkommens fordert der Beschwerdeführer eine Erhöhung des leidensbedingten Abzuges auf 25 Prozent. Die Vorinstanz ging davon aus, die diesbezüglichen Voraussetzungen seien nicht gegeben; in einer Eventualüberlegung erwog sie eine entsprechende Korrektur um 10 Prozent. Die Frage, ob ein leidensbedingter Abzug gemäss BGE 126 V 75 vorzunehmen sei, ist rechtlicher Natur, die Bestimmung des Ausmasses eines solchen Abzuges dagegen letztinstanzlich nicht überprüfbare Ermessensfrage (Art. 95 BGG). Vor Bundesgericht gerügt werden kann die Höhe des Abzuges nur im Hinblick auf Ermessensüber- oder -unterschreitung oder auf Ermessensmissbrauch, alles Formen rechtsfehlerhafter Ermessensbetätigung (BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399). Die Einzelfallumstände im Sinne der Rechtsprechung sind hier indessen nicht so beschaffen, dass eine Verweigerung des Abzugs bundesrechtswidrig erscheinen müsste. Im Übrigen fällt die Bestimmung der Höhe des Abzugs in das als solches nicht überprüfbare Ermessen der Vorinstanzen. Eine rechtsfehlerhafte Ausübung des Ermessens wird zu Recht nicht geltend gemacht.
5. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich eine Verletzung von Art. 9 BV (Schutz vor Willkür) geltend macht, ist darauf infolge fehlender substantiierter Begründung nicht einzugehen (Art. 106 Abs. 2 BGG).
6. Die Beschwerde hatte keine Aussicht auf Erfolg, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG, soweit zulässig, ohne Durchführung des Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den vorinstanzlichen Entscheid erledigt wird (Art. 102 Abs. 1 und Art. 109 Abs. 3 BGG).
7. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. September 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub