Sachverhalt:
A. A.a Die 1954 geborene J._ meldete sich im September 2000 bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Nach Abklärungen des Gesundheitszustandes und der zumutbaren Arbeitsfähigkeit durch das medizinische Begutachtungsinstitut X._ (Expertise vom 8. April 2002) lehnte die IV-Stelle des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 13. Dezember 2002 das Leistungsbegehren ab. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn bestätigte auf Beschwerde hin mit Entscheid vom 14. April 2003 die ablehnende Betrachtungsweise der Verwaltung.
Am 3. September 2003 machte J._ eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes geltend. Die IV-Stelle liess sie in der Folge von Dr. med. K._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, untersuchen (Gutachten vom 22. März 2004). Mit Verfügung vom 29. April 2004, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 9. November 2004, lehnte die IV-Stelle das Leistungsbegehren ab. Die von J._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 12. Dezember 2005 ab, worauf die Versicherte mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht gelangte. Dieses hiess die Beschwerde mit Urteil vom 26. Mai 2006 in dem Sinne gut, dass es den vorinstanzlichen Entscheid vom 12. Dezember 2005 und den Einspracheentscheid vom 9. November 2004 aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Anspruch auf eine Invalidenrente neu verfüge (I 96/06).
A.b Die IV-Stelle holte daraufhin den Bericht des behandelnden Psychiaters Dr. med. R._ vom 26. August 2006 ein. Zudem ordnete sie eine erneute medizinische Abklärung durch Dr. med. K._ an. Eine gegen diese Anordnung erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 21. Februar 2007 ab. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid in der Hauptsache (ausser im Punkt der unentgeltlichen Rechtspflege) mit Urteil vom 20. August 2008 (8C_89/2007).
A.c Die IV-Stelle holte sodann das Gutachten des Dr. med. K._ vom 12. Februar 2009 ein. Überdies beauftragte sie das medizinische Begutachtungsinstitut X._ ein interdisziplinäres Gutachten zu erstatten. Dieses datiert vom 16. November 2009. Daraufhin reichte der Rechtsvertreter der Versicherten eine Stellungnahme des Dr. med. R._ vom 21. Dezember 2009 zum Gutachten des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ ein. Die IV-Stelle legte diese den Ärzten des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ vor, welche sich am 10. Mai 2010 äusserten. Mit Verfügung vom 25. November 2010 lehnte die IV-Stelle das Leistungsbegehren wiederum ab.
B. Die hiegegen von J._ beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn erhobene Beschwerde wies dieses mit Entscheid vom 5. August 2011 ab.
C. J._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Sache zur Vornahme ergänzender Abklärungen und neuer Begründung des Entscheids an das kantonale Gericht zurückzuweisen; eventuell seien vom Bundesgericht ergänzende Abklärungen in Auftrag zu geben. Zudem wird um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Tatsächlicher Natur und somit für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich sind insbesondere die Feststellungen zur Arbeits(un)fähigkeit, welche das kantonale Gericht gestützt auf medizinische Untersuchungen trifft (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 398). Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage; dazu gehören auch Folgerungen, die sich auf die medizinische Empirie stützen, zum Beispiel die Vermutung, dass eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung oder ein vergleichbarer äthiologisch unklarer syndromaler Zustand mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar sei (BGE 131 V 49 mit Hinweisen; SVR 2008 IV Nr. 8 S. 23, I 649/06 E. 3.2). Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung vorliegt, und, bejahendenfalls, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist dagegen, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (Urteil 9C_871/2010 vom 25. Februar 2011 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 137 V 64; SVR 2008 IV Nr. 23 S. 71, I 683/06 E. 2.2).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Invalidenrente.
Die für die Beurteilung des geltend gemachten Rentenanspruchs massgebenden gesetzlichen Bestimmungen und die von der Rechtsprechung weiter konkretisierten Grundsätze dazu sind im vorinstanzlichen Entscheid zutreffend dargelegt. Dies gilt insbesondere auch für die Rechtsprechung zur Aufgabe des Arztes oder der Ärztin bei der Invaliditätsbemessung (BGE 132 V 93 E. 4 S. 99 f. mit Hinweisen) sowie zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352). Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht gelangte in Würdigung des Gutachtens des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ vom 16. November 2009, aber auch der vorgängig eingeholten psychiatrischen Expertise des Dr. med. K._ vom 12. Februar 2009 zum Schluss, dass die Versicherte in der Lage sei, einer angepassten leichten und wechselstelligen Arbeit mit einer Leistung von 80 Prozent nachzugehen. Diese in erster Linie auf dem Gutachten des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ basierende Folgerung werde weder durch die formellen Einwendungen gegen die Expertise des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ noch die Kritik an der Beurteilung der Ärzte und deren Stellungnahme zur Leistungsfähigkeit der Versicherten oder die Berichte des die Beschwerdeführerin psychiatrisch behandelnden Dr. med. R._ vom 26. August 2006 und 21. Dezember 2009 ernsthaft in Frage gestellt.
4. 4.1 Soweit die Beschwerdeführerin rügt, die vorinstanzliche Beurteilung beruhe auf einer Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV), einschliesslich der daraus fliessenden Begründungspflicht, sowie einer Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 61 lit. c ATSG), kann dem nicht beigepflichtet werden. Das kantonale Gericht hat die rechtserhebliche medizinische Aktenlage vollständig und korrekt dargelegt und sich einlässlich und sachlich mit den formellen und materiellen Einwendungen der Beschwerdeführerin auseinandergesetzt. In Nachachtung seiner Pflicht zu umfassender, sorgfältiger, objektiver und inhaltsbezogener Beweiswürdigung (BGE 132 V 393 E. 4.1 S. 400) hat es willkürfrei dargelegt, weshalb das Gutachten des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ vom 16. November 2009, welches von einer somatoformen Schmerzstörung ausgeht, als voll beweiskräftig einzustufen ist und die Berichte des Dr. med. R._, welcher eine "double depression" (Dysthymie und rezidivierende depressive, gegenwärtig mittelgradig depressive Störung) diagnostizierte, keine objektiv feststellbaren Gesichtspunkte vorbringt, die geeignet wären, zu Zweifeln an den dortigen Schlussfolgerungen Anlass zu geben. Dabei hat es insbesondere festgehalten, gemäss Stellungnahme des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ vom 10. Mai 2010 sei eine depressive Störung nicht getrennt von einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung zu diagnostizieren, wenn diese nicht sehr deutlich, sondern, gemäss Ergebnis der psychiatrischen Untersuchung der Versicherten, leichtgradig ausgeprägt sei und nicht den Schweregrad einer leichten depressiven Episode erreiche. Der psychiatrische Teilgutachter des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ hat nach den Feststellungen der Vorinstanz überzeugend dargelegt, weshalb er eine Depression im Sinne eines eigenständigen Leidens ausschliesse und von einer depressiven Verstimmung als Begleiterscheinung der Schmerzproblematik ausgehe. Das kantonale Gericht hat schliesslich auch auf den einer psychiatrischen Exploration bei der Einschätzung des Schweregrades einer psychischen Symptomatik inhärenten Beurteilungs- und Ermessensspielraum hingewiesen (vgl. BGE 130 V 352 E. 2.2.4 S. 355). Eine Gehörsverletzung und eine Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes liegen damit nicht vor.
4.2 Des Weitern kritisiert die Beschwerdeführerin die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung, wonach Dr. med. R._ - ebenso wie Dr. med. K._ und die Gutachter des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ - von der Diagnose einer somatoformen Schmerzstörung ausgegangen sei, als aktenwidrig.
Damit vermag die Beschwerdeführerin nicht durchzudringen. Sowohl im Bericht vom 26. August 2006 wie auch in jenem vom 21. Dezember 2009 diagnostiziert Dr. med. R._ eine somatoforme Schmerzstörung, gewichtet diese jedoch anders, indem er eine "double depression" mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit in den Vordergrund stellt. Das kantonale Gericht hat willkürfrei dargetan, dass und inwiefern dessen Beurteilung nicht zu überzeugen vermag. Die Abgrenzung zwischen medizinisch objektivierbarem Leiden und aus invalidenversicherungsrechtlicher Sicht grundsätzlich unbeachtlichen, subjektiv empfundenen Beeinträchtigungen bedarf einer besonders sorgfältigen Begründung vor allem dann, wenn eine Objektivierung der Befunde schwierig ist. Nach den zutreffenden Feststellungen der Vorinstanz sind die Berichte des Dr. med. R._ hinsichtlich des objektiven klinischen Psychostatus nur summarisch begründet, während die Gutachter ihre Beurteilung nachvollziehbar darlegen und die Diskrepanz zum behandelnden Arzt erklären.
4.3 Weiter beanstandet die Beschwerdeführerin, dass sich die Vorinstanz nicht mit ihrem Einwand auseinandergesetzt habe, wonach nicht eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 : F45.4) sondern eine chronische Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10 : F45.41) zu diagnostizieren sei.
Das kantonale Gericht hat diesbezüglich die Ausführungen der Ärzte des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ in der Stellungnahme vom 10. Mai 2010 wiedergegeben, welche sich mit dieser Frage befasst haben und ist damit seiner Begründungspflicht nachgekommen.
Die von der Beschwerdeführerin erwähnte Diagnose weicht nicht wesentlich von derjenigen gemäss Expertise des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ ab. Die Versicherte legt auch nicht dar, dass die von ihr angeführte Diagnose geeignet wäre, eine andere Beurteilung der zumutbaren Arbeitsfähigkeit zu begründen. Wie das kantonale Gericht zutreffend erwogen hat, begründen die Ärzte des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ den Unterschied damit, dass in Deutschland neu die Diagnose einer chronischen Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren eingeführt worden sei. Dass körperlich begründbare Beschwerden vorlägen, werde von den Ärzten des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ nicht in Frage gestellt, doch lasse sich das Ausmass der geklagten Beschwerden und die subjektive Krankheitsüberzeugung nicht vollständig objektivieren, so dass eine psychische Überlagerung angenommen werden müsse.
4.4 Die Beschwerdeführerin hält weiter dafür, das kantonale Gericht habe sich nicht mit ihrer Kritik an der Beurteilung der rheumatologischen Beschwerden auseinandergesetzt.
Die Vorinstanz hat sich in somatischer Hinsicht auf die fachärztlichen Angaben des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ vom 16. November 2009 gestützt, wonach aufgrund der gestellten Diagnosen (Diskushernie C5/6 ohne Kompression neuraler Strukturen, allgemeine muskuläre Dekonditionierung, Wirbelsäulenfehlhaltung) für leichte wechselbelastende Tätigkeiten eine Arbeitsfähigkeit von 80 Prozent besteht. Inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung zu den somatischen Beschwerden offensichtlich unrichtig oder sonst wie bundesrechtswidrig wäre, legt die Beschwerdeführerin nicht dar.
4.5 Nach Ansicht der Beschwerdeführerin wurde weder von der Vorinstanz noch den Medizinern nachvollziehbar begründet, weshalb die Gutachter des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ bei praktisch gleichem Befund im Jahre 2002 eine Arbeitsunfähigkeit von 50 Prozent attestierten, während sie im Gutachten vom 16. November 2009 aus psychiatrischer Sicht eine Arbeitsunfähigkeit verneinten. Das Gutachten vom 8. April 2002 stellte die Diagnosen (mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit): anhaltende somatoforme Schmerzstörung, leichte depressive Episode und (ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit): Verdacht auf Dysthymie (differentialdiagnostisch: ängstlich vermeidende Persönlichkeitsstörung). Nach den vorinstanzlichen Erwägungen ist die veränderte Beurteilung auf die strengere Praxis zur Arbeitsunfähigkeit bei somatoformen Schmerzstörungen und vergleichbaren Leiden zurückzuführen.
In BGE 130 V 352 hat das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht die Voraussetzungen festgehalten, die bei diagnostizierter somatoformer Schmerzstörung ausnahmsweise eine zu einer Invalidität führende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit im Sinne von Art. 4 Abs. 1 IVG in Verbindung mit Art. 8 ATSG zu bewirken vermögen. Die mit diesem Urteil begründete Praxis gilt für alle zu jenem Zeitpunkt noch nicht rechtskräftig beurteilten Fälle. Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid einwandfrei anhand der medizinischen Unterlagen geprüft, ob eine psychische Komorbidität oder die weiteren von der Rechtsprechung entwickelten Kriterien gegeben sind, welche ausnahmsweise einer willentlichen Überwindbarkeit entgegenstehen. Dabei kam es zum Schluss, dass neben der fehlenden psychischen Komorbidität auch die übrigen Umstände für eine ausnahmsweise invalidisierende somatoforme Schmerzstörung nicht erfüllt seien (BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 354). Diese Betrachtungsweise wird von der Beschwerdeführerin grundsätzlich nicht beanstandet.
Eine leichte depressive Episode im Sinn des Diagnosecodes F32.0 nach ICD-10 gemäss Gutachten des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ vom 8. April 2002 stellt praxisgemäss keine Komorbidität von erheblicher Schwere und Ausprägung dar (Urteil 8C_420/2011 vom 26. September 2011 E. 2.5). Auch eine Dysthymie (ICD-10 : F34.1), welche nicht zusammen mit anderen Befunden - wie etwa einer ernsthaften Persönlichkeitsstörung - auftritt, ist regelmässig nicht invalidisierend (SVR 2011 IV Nr. 17 S. 44, 9C_98/2010 E. 2.2.2). Da es sich bei der Frage nach der zumutbaren Willensanstrengung mit der Erheblichkeit der psychischen Komorbidität und der Intensität der weiteren Kriterien um eine ausserhalb des Kompetenzbereiches des Arztes liegende Rechtsfrage handelt (vgl. E. 1.2), ist es durchaus möglich, dass die medizinische Beurteilung von einer anderen Arbeitsfähigkeit ausgeht als die juristische (vgl. BGE 130 V 352 E. 3.3.2 in fine S. 359). Indem der Psychiater des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ die somatoforme Schmerzstörung im Jahre 2009 nicht mehr den Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit zuordnete, kann deswegen nicht von einer rechtlichen, insoweit unzulässigen Beurteilung durch den medizinischen Sachverständigen gesprochen werden.
4.6 Die beantragte Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung erübrigt sich, da keine Verletzung der Begründungspflicht des angefochtenen Entscheids ausgewiesen ist. Die Argumente der Beschwerdeführerin wurden, soweit relevant, umfassend geprüft, weshalb auch kein Verstoss gegen das Recht auf ein faires Verfahren (Art. 6 Abs. 1 EMRK) auszumachen ist. Wenn das kantonale Gericht auf das Gutachten des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ vom 16. November 2009 abstellte, liegt darin weder eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung noch eine offensichtlich unrichtige (willkürliche) Beweiswürdigung begründet. Weiterungen gestützt auf das in BGE 137 V 210 publizierte Urteil 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011 gemäss Vorbringen in der Beschwerde sind nicht geboten, weil die gesundheitlichen Verhältnisse medizinisch gutachterlich umfassend abgeklärt worden sind. Zudem haben sich die Ärzte des medizinischen Begutachtungsinstituts X._ in ihrer Stellungnahme vom 10. Mai 2010 hinreichend mit dem Bericht des behandelnden Psychiaters vom 21. Dezember 2009 auseinandergesetzt.
4.7 Die Invaliditätsbemessung der Vorinstanz wird von der Beschwerdeführerin nicht angefochten. Es kann daher auf die diesbezüglichen Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden. Ein Rentenanspruch ist somit nicht ausgewiesen.
5. Die Beschwerde ist damit abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie den vorstehenden Ausführungen entnommen werden kann, konnte der Beschwerde von Beginn weg kein Erfolg beschieden sein, weshalb es an einer materiellen Voraussetzung für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mangelt und das Gesuch entsprechend abzuweisen ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn, der AHV-Ausgleichskasse Metzger, Bern, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. April 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Hofer