Sachverhalt:
A.
A.a. Die Steuerverwaltung des Kantons Zug meldete der Ausgleichskasse des Kantons Zug (nachfolgend: Ausgleichskasse) am 10. Januar 2012 ein für G._ für das Geschäftsjahr 2008 definitiv veranlagtes Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit in Höhe von Fr. 9'934.-. Die im Meldeformular aufgeführte Frage, ob davon die persönlichen AHV/IV/EO-Beiträge abgezogen worden seien, wurde verneint. Aufgrund dieser Meldung nahm die Ausgleichskasse am 9. Februar 2012 zunächst schriftlich mit G._ Kontakt auf und bat um die im Hinblick auf den Anschluss an die Kasse als Selbstständigerwerbender erforderlichen Angaben. Mit Beitragsverfügung vom 24. April 2012 setzte sie für G._ den AHV/IV/EO-Beitrag für selbstständige Erwerbstätigkeit (inkl. Verwaltungskosten) für das Jahr 2008 auf Fr. 526.80 fest. Sie rechnete bei der Beitragsbemessung persönliche Beiträge von Fr. 534.- auf.
A.b. Auch in der Steuermeldung vom 7. August 2012 für das Geschäftsjahr 2009 wurde die Frage verneint, ob die persönlichen AHV/IV/EO-Beiträge vom Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit abgezogen worden seien. Mit Beitragsverfügung vom 14. August 2012 rechnete die Ausgleichskasse dem Versicherten persönliche Beiträge in der Höhe von Fr. 8'192.- auf. Sie verpflichtete ihn, für das Beitragsjahr 2009 AHV/IV/EO-Beiträge in der Höhe von Fr. 8'376.60 (inkl. Verwaltungskosten) zu bezahlen. Die von G._ hiegegen erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 7. November 2012 ab.
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug hiess die von G._ dagegen eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 31. Januar 2013 insoweit gut, als es feststellte, die Aufrechnung der persönlichen AHV/IV/EO-Beiträge durch die Ausgleichskasse sei nicht gerechtfertigt. Es wies die Sache zur Neufestlegung der Beiträge im Sinne der Erwägungen an die Verwaltung zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
C.a. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (nachfolgend: BSV) erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt die Aufhebung des kantonalen Entscheides und Bestätigung des Einspracheentscheides. Eventualiter sei der Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache an die Ausgleichskasse zurückzuweisen, damit sie das Einspracheverfahren sistiere, bis ihr die Steuerbehörde den Entscheid über die eventuelle nachträgliche Berücksichtigung der persönlichen AHV/IV/EO-Beiträge in der Steuerveranlagung mitgeteilt haben werde.
G._ beantragt insoweit die Gutheissung der Beschwerde, als der Einspracheentscheid aufzuheben sei; die Sache sei mit der Massgabe an die Ausgleichskasse zurückzuweisen, dass die in Deutschland entrichteten Sozialbeiträge bei der Berechnung mitzuberücksichtigen sind. Im Weiteren sei die Beschwerde abzuweisen.
Die Vorinstanz beantragt die Abweisung, die Ausgleichskasse die Gutheissung der Beschwerde.
C.b. Mit Schreiben vom 2. Oktober 2013 beantwortet die Steuerverwaltung des Kantons Zug nach Rückfrage bei dem für G._ zuständigen Bücherexperten die ihr vom Bundesgericht mit Schreiben des Instruktionsrichters vom 24. September 2013 unterbreiteten nachstehenden Fragen wie folgt ( Antworten kursiv ) :
1. Trifft die in Ihrer Meldung vom 7. August 2012 gemachte Angabe ("nein") zu, dass vom Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit in Höhe von Fr. 82'237.- die persönlichen AHV/IV/EO-Beiträge nicht abgezogen worden waren?
Ja; zumindest ist aus der Jahresrechnung nichts anderes ersichtlich (kein Aufwandkonto "Sozialversicherungsbeiträge").
2. Bei Bejahung von Frage Ziff. 1: Was ist der Grund für den fehlenden Abzug der Selbstständigenbeiträge im steuerlichen Veranlagungsverfahren?
Ein solcher Abzug wurde weder deklariert noch beantragt.
2.1 Bestand der Grund darin, dass der Steuerpflichtige keine solchen Beiträge deklariert hatte?
Ja, der Steuerpflichtige hatte keine solchen Beiträge deklariert.
2.2 Bestand der Grund darin, dass die Selbstständigenbeiträge vonseiten Ihrer Behörde nicht als abzugsfähig anerkannt worden sind?
Nein.
2.3 Waren eventuell im Zeitpunkt der Meldung vom 7. August 2012 die auch für die Meldung früherer Jahre erforderlichen Verfahrens- oder Formularanpassungen noch nicht umgesetzt?
Nein.
2.4 Andere Gründe?
Keine.
3. Falls das der Ausgleichskasse gemeldete Einkommen tatsächlich im Rahmen der Steuerveranlagung abzugsfähige, aber effektiv nicht abgezogene AHV/IV/EO-Beiträge umfasste: Wie hoch war deren Betrag?
Wird von der AHV aufgrund unserer Meldung berechnet. Unsererseits ist dieser Betrag nicht feststellbar.
4. Hat der Steuerpflichtige gegen die ihm am 22. Mai 2012 eröffnete Steuer-Hauptveranlagung, auf die sich Ihre Meldung vom 7. August 2012 stützte, Einsprache erhoben? Wenn dies der Fall ist, bitten wir Sie um Informationen zum Stand und Ausgang des Verfahrens.
Nein, er hat dagegen keine Einsprache bzw. keinen Rekurs erhoben. Es handelt sich hier um einen Einspracheentscheid. Dieser ist mittlerweile in Rechtskraft erwachsen.
5. Haben Sie aus Ihrer Sicht Bemerkungen zu machen?
Nein, keine Bemerkungen.
C.c. Im Rahmen des zweiten Schriftenwechsels hält das BSV an den gestellten Rechtsbegehren fest; die Vorinstanz verzichtet auf eine weitere Stellungnahme; G._ hält in einer nach Ablauf der gesetzten Frist am 30. Oktober 2013 (Poststempel) durch eine nicht bevollmächtigte Person in seinem Auftrag unterzeichneten Stellungnahme sinngemäss an den gestellten Anträgen (C.a) fest.
D.
Das Bundesgericht hat am 13. Dezember 2013 eine publikumsöffentliche Beratung durchgeführt.
Erwägungen:
1.
Auf den in der Beschwerdeantwort gestellten Antrag des Beschwerdegegners, die Sache mit der Massgabe an die Ausgleichskasse zurückzuweisen, dass die in Deutschland entrichteten Sozialbeiträge bei der Berechnung mitzuberücksichtigen sind, ist nicht einzutreten, weil das Bundesgerichtsgesetz die Anschlussbeschwerde nicht vorsieht (Art. 90 ff. BGG; BGE 134 III 332 E. 2.5 S. 335; MEYER/DORMANN, in: Basler Kommentar zum BGG, Basel 2011, N. 4 zu Art. 102 BGG). Das Bundesgericht darf nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (Art. 107 Abs. 1 BGG), wobei Ausgangspunkt der Bindungswirkung das Rechtsbegehren der beschwerdeführenden Partei, nicht jenes des Beschwerdegegners ist ( MEYER/DORMANN, a.a.O., N. 2 zu Art. 107 BGG). Dessen Vorbringen sind im Rahmen der Prüfung der Anträge des BSV zu berücksichtigen.
2.
2.1. Vom Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit werden Beiträge erhoben (Art. 3 f. und 8 f. AHVG; Art. 2 und 3 IVG; Art. 26 und 27 EOG). Das Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit und das im Betrieb eingesetzte eigene Kapital werden von den kantonalen Steuerbehörden ermittelt und den Ausgleichskassen gemeldet (Art. 9 Abs. 3 AHVG). Die Angaben der kantonalen Steuerbehörden sind für die Ausgleichskassen verbindlich (Art. 23 Abs. 4 AHVV). Die Ausgleichskassen verlangen für die ihnen angeschlossenen Selbstständigerwerbenden von den kantonalen Steuerbehörden die für die Berechnung der Beiträge erforderlichen Angaben. Das Bundesamt erlässt Weisungen über die erforderlichen Angaben und das Meldeverfahren (Art. 27 Abs. 1 AHVV).
2.2. Aufgrund der Änderung des Bundesgesetzes über die Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHVG) (Verbesserung der Durchführung) vom 17. Juni 2011 (AS 2011 4745; BBl 2011 543) trat am 1. Januar 2012 Art. 9 Abs. 4 AHVG in Kraft, welcher regelt, dass die steuerrechtlich zulässigen Abzüge der Beiträge von den Ausgleichskassen zum von den Steuerbehörden gemeldeten Einkommen hinzuzurechnen sind. Das gemeldete Einkommen ist dabei nach Massgabe der geltenden Beitragssätze auf 100 Prozent aufzurechnen. Unter dem Titel "Aufrechnung steuerrechtlich zulässiger Abzüge" sieht die diesbezügliche Übergangsbestimmung des AHVG vor, dass Art. 9 Abs. 4 AHVG für alle Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit gilt, die nach dem Inkrafttreten dieser Änderung von den Steuerbehörden gemeldet werden.
2.3. Das BSV hat die Ausgleichskassen in Rz. 1095 der Wegleitung über die Beiträge der Selbstständigerwerbenden und Nichterwerbstätigen in der AHV, IV und EO (WSN; gültig ab 1. Januar 2012) angewiesen, die für die Bestimmung des steuerbaren Einkommens in Abzug gebrachten persönlichen AHV/IV/EO-Beiträge aufzurechnen. Sie haben gemäss Rz. 1169 WSN die von den Steuerbehörden gemeldeten Einkommen als Nettoeinkommen zu betrachten. Entsprechend wiederholt Rz. 1170 WSN, dass die Kassen die AHV/IV/EO-Beiträge zum gemeldeten Einkommen hinzuzurechnen haben. Nach Rz. 1170.2 (eingefügt auf den 1. Januar 2013) haben sie die Beiträge selbst dann aufzurechnen, wenn steuerrechtlich keine Abzüge gewährt wurden oder die steuerrechtlichen Abzüge höher oder tiefer waren als die von der Ausgleichskasse zugelassenen.
3.
Letztinstanzlich ist nur mehr strittig, ob die Ausgleichskasse bei der Bemessung der für das Jahr 2009 zu entrichtenden AHV/IV/EO-Beiträge des Beschwerdegegners auf dem von der Steuerbehörde gemeldeten Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit persönliche Beiträge aufrechnen durfte.
3.1. Die Vorinstanz erwog, es lasse sich aus der am 7. August 2012 ergangenen Meldung der Steuerbehörde unschwer schliessen, dass es sich bei dem angegebenen Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit nicht um ein Netto-, sondern um ein Bruttoeinkommen handelte. Die Ausgleichskasse habe es trotzdem aufgerechnet, weil die Weisungen des BSV für sie verbindlich und vorbehaltlos anzuwenden seien. Diese seien jedoch für das Gericht nicht verbindlich; es dürfe jedenfalls dann davon abweichen, wenn ihre Anwendung mit dem Gesetz nicht vereinbar sei bzw. zu einem falschen Ergebnis führe. Da sich in casu aus dem Hinweis in der Meldung der Steuerbehörde unmissverständlich ergebe, dass diese vorliegend einen Bruttolohn meldete bzw. melden wollte, vermöchten die neuen Rz. 1169 ff. WSN (E. 2.3) eine Aufrechnung der persönlichen Beiträge ohne weitere Abklärungen nicht zu rechtfertigen. Sie wies die Sache zur Abklärung des Nettoeinkommens aus selbstständiger Erwerbstätigkeit und zur Neubestimmung der AHV/IV/EO-Beiträge an die Ausgleichskasse zurück.
3.2. Das BSV hält dagegen, die Beitragsaufrechnungspflicht nach Art. 9 Abs. 4 AHVG sei den Ausgleichskassen gesetzlich auferlegt. Nach der Übergangsbestimmung gelte sie explizit für alle Einkommen, die nach dem 1. Januar 2012 gemeldet würden. Diese Einkommen gälten als Nettoeinkommen, und zwar unbekümmert darum, ob die von den Steuerbehörden tatsächlich berücksichtigten persönlichen AHV/IV/EO-Beiträge höher oder tiefer waren als die von der Ausgleichskasse bei der Aufrechnung des gemeldeten Einkommens ermittelten. Dies sei auch dann der Fall, wenn steuerseitig überhaupt kein Abzug berücksichtigt worden sei. Nach den Intentionen des Gesetzgebers solle diese Festlegung jegliche Diskussionen um die zutreffende Höhe der Beitragsrechnung ausschliessen und die Durchführung erleichtern. Art. 9 Abs. 4 AHVG stelle eine gesetzliche Fiktion auf, die nicht widerlegt werden könne. Jede andere Betrachtungsweise würde dazu führen, dass die Ausgleichskassen die Richtigkeit der Steuermeldungen in jedem Fall anhand der Steuerveranlagungen überprüfen müssten. Gerade dem habe der Gesetzgeber jedoch mit der Regelung in Art. 9 Abs. 4 AHVG vorbeugen wollen. Die Bindungswirkung von Art. 9 Abs. 4 AHVG ergänze die in Art. 23 Abs. 4 AHVV statuierte Verbindlichkeit der Steuermeldungen. Als gesetzliche Fiktion sei sie von den Gerichten zu beachten.
4.
4.1. Wie zur damaligen Rechtslage bereits in BGE 111 V 289 f. festgehalten wurde, besteht der Zweck der Beitragsaufrechnung darin, die unterschiedliche Behandlung der persönlichen Beiträge in Bundessteuer- und AHV-Recht dadurch auszugleichen, dass das von der Steuerbehörde gemeldete Nach-Abzugseinkommen um den steuerlich anerkannten Beitragsabzug erhöht, d.h. eine steuerlich zulässige Operation rückgängig gemacht wird. Aufgerechnet werden durfte von der Ausgleichskasse darum nur, was vorher abgezogen werden konnte (E. 4e). Vermerkte die Steuerbehörde in ihrer Meldung, dass in der Steuererklärung keine Beiträge abgezogen wurden, oder erbrachte der Versicherte den Nachweis dafür, hatte eine Aufrechnung zu unterbleiben (E. 4g).
4.2. Die Beitragsaufrechnung, die früher primär Aufgabe der Ausgleichskassen war, wurde vom Bundesrat mit einer am 1. März 2000 beschlossenen und auf den 1. Januar 2001 in Kraft getretenen Änderung des Art. 27 Abs. 1 AHVV (AS 2000 1441) auf die Steuerbehörden übertragen: Die Ausgleichskassen verlangten für die ihnen angeschlossenen Selbstständigerwerbenden von den kantonalen Steuerbehörden die für die Berechnung der Beiträge erforderlichen Angaben. In Abzug gebrachte Beiträge an die AHV sowie an die EO waren von den Steuerbehörden wieder aufzurechnen (siehe dazu auch Urteil H 185/04 vom 24. August 2005 E. 2.2, 3.2 und 3.3).
4.3. Wie die Botschaft vom 3. Dezember 2010 zur Änderung des AHVG (Verbesserung der Durchführung; BBl 2011 543) ausführt, haben sich nach der Einführungsphase der neuen Kompetenzverteilung rasch Durchführungsschwierigkeiten gezeigt. Die Ausgleichskassen mussten daher in vielen Fällen die Beitragsaufrechnung gestützt auf ihre eigenen Daten vornehmen. Mit der im Rahmen der erwähnten Botschaft vorgelegten Änderung sollte nach den Ausführungen des Bundesrates die bisherige Aufrechnungsregelung zwar materiell unverändert in den neuen Abs. 4 von Art. 9 AHVG überführt werden. Im Interesse der Rechtsgleichheit und Praxistauglichkeit waren jedoch die kantonalen Steuerbehörden von der Beitragsaufrechnung und vom entsprechenden Meldeverkehr zu entlasten. Die Aufrechnung werde den Ausgleichskassen im Bewusstsein übertragen, dass die auf Steuerseite tatsächlich abgezogenen Beiträge nicht zwingend mit den auf AHV-Seite aufgerechneten übereinstimmten. Denn die Ausgleichskassen würden den steuerlichen Abzug nicht kennen und er werde ihnen auch nicht mehr gemeldet. Um Diskussionen bezüglich der nicht übereinstimmenden Beträge auf Steuer- und AHV-Seite im Einzelfall vorzubeugen, sei die neue Lösung auf Gesetzesstufe zu verankern. Die im neuen Art. 9 Abs. 4 AHVG vorgeschlagene prozentuale Beitragsaufrechnung gehe davon aus, dass es sich bei dem von den Steuerbehörden gemeldeten Einkommen um ein Nettoeinkommen handle, die AHV/IV/EO-Beiträge also in Abzug gebracht worden seien (BBl 2011 551 ff.).
5.
Nachdem der bis zur Änderung auf den 1. Januar 2001 herrschende Rechtszustand (Aufrechnung durch die Ausgleichskassen; E. 4.1) in der Praxis nicht befriedigte und die vorübergehende Kompetenzumverteilung (Aufrechnung durch die Steuerbehörden; E. 4.2) durch die Anpassung des AHVG vom 17. Juni 2011 wegen Durchführungsschwierigkeiten wieder rückgängig gemacht wurde (E. 4.3), stellt sich die Frage, wie es sich mit der Beitragsaufrechnung durch die Ausgleichskassen unter der neuen Regelung verhält.
5.1. Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der ratio legis. Dabei befolgt das Bundesgericht einen pragmatischen Methodenpluralismus und lehnt es namentlich ab, die einzelnen Auslegungselemente einer hierarchischen Ordnung zu unterstellen. Die Gesetzesmaterialien können beigezogen werden, wenn sie auf die streitige Frage eine klare Antwort geben (BGE 136 III 23 E. 6.6.2.1 S. 37; 136 V 195 E. 7.1 S. 203; 135 V 50 E. 5.1 S. 53; 134 II 308 E. 5.2 S. 311). Verordnungsrecht ist gesetzeskonform auszulegen. Es sind die gesetzgeberischen Anordnungen, Wertungen und der in der Delegationsnorm eröffnete Gestaltungsspielraum mit seinen Grenzen zu berücksichtigen (BGE 137 V 167 E. 3.3 S. 170 f. mit Hinweisen).
5.2. Wie in E. 2.1-2.3 dargelegt, werden nach dem Wortlaut von Art. 9 Abs. 3 AHVG das Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit und das im Betrieb eingesetzte eigene Kapital von den kantonalen Steuerbehörden ermittelt und den Ausgleichskassen gemeldet. Gemäss dem auf den 1. Januar 2012 in Kraft getretenen Art. 9 Abs. 4 AHVG sind von den Ausgleichskassen die steuerrechtlich zulässigen Abzüge der Beiträge nach Art. 8 AHVG sowie nach Art. 3 Abs. 1 IVG und Art. 27 Abs. 2 EOG zum von den Steuerbehörden gemeldeten Einkommen hinzuzurechnen. Das gemeldete Einkommen ist dabei nach Massgabe der geltenden Beitragssätze auf 100 Prozent aufzurechnen.
5.3. Der Wortlaut der gesetzlichen Regelung ist insofern klar, als es sich bei dem von der Steuerbehörde zu meldenden Einkommen um das um die steuerrechtlich zulässigen AHV/IV/EO-Beitragsabzüge gekürzte Nettoeinkommen handeln soll. Es ist durch die Ausgleichskasse auf 100 Prozent aufzurechnen. Hierzu wird - auf Verordnungsstufe (Art. 23 Abs. 4 AHVV) - geregelt, dass die Angaben der Steuerbehörden für die Ausgleichskassen verbindlich sind.
5.4. Sinn und Zweck der Neuregelung ergibt sich aus der bundesrätlichen Botschaft zur Verbesserung der Durchführung des AHVG (oben E. 4.3) mit aller Deutlichkeit. Im Sinne einer administrativen Vereinfachung und einheitlichen Gesetzesanwendung sollen die Steuerbehörden von der Beitragsaufrechnung und vom entsprechenden Meldeverkehr entlastet werden. Diese Gesetz gewordene legislatorische Absicht nimmt bewusst in Kauf, dass die auf Steuerseite abgezogenen Beiträge nicht zwingend mit den auf AHV-Seite aufgerechneten übereinstimmen, da der steuerliche Abzug der Ausgleichskasse nicht gemeldet wird. Der klare Sinn und Zweck der Bundesrechtsanpassung besteht in der Vereinfachung der Arbeitsabläufe auf Seiten der Steuerbehörden und Ausgleichskassen.
5.5. Nach Wortlaut, Sinn und Zweck der neuen Regelung liegt somit die ratio legis der Änderung darin, dass die Ausgleichskasse sich in Abweichung zur alten Praxis (BGE 111 V 289) gerade nicht mehr darum kümmern muss und soll, ob und was die Steuerbehörde vom gemeldeten Einkommen abgezogen hat. Sie hat davon auszugehen, dass das gemeldete Einkommen beitragsrechtlich ein Nettoeinkommen ist, und hat die AHV/IV/EO-Beiträge auf dieses aufzurechnen. In diesem Sinn trifft die Umschreibung des BSV, Abs. 4 von Art. 9 AHVG stelle eine nicht zu widerlegende gesetzliche Fiktion auf, den Rechtssinn der Neuregelung. Es ist darin nicht eine stossende Beitragserhebung zu erblicken; der Versicherte deklariert im Steuerveranlagungsverfahren die Sozialversicherungsbeiträge und kann steuerrechtlich Einsprache erheben, wenn er feststellt, dass der Abzug nicht ordnungsgemäss vorgenommen wurde. Es gilt auch in diesem Kontext der seit jeher beachtete Grundsatz, dass der Steuerpflichtige seine Rechte bezüglich des Ausmasses der Beitragspflicht im steuerrechtlichen Veranlagungs- und Rechtsmittelverfahren zu wahren hat (BGE 110 V 369 E. 2a S. 370 mit Hinweisen). Sieht er davon ab, bleibt es grundsätzlich bei der Steuermeldung.
6.
Davon ist indes abzuweichen, wenn - wie hier - durch die Steuermeldung klar, ausdrücklich und vorbehaltlos bestätigt wird, dass kein Abzug vorgenommen worden ist. In der Steuermeldung für das Geschäftsjahr 2009 ist gegenüber der Ausgleichskasse die Frage, ob die persönlichen AHV/IV/EO-Beiträge vom Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit abgezogen worden seien, verneint worden (A.b). Wie die Nachfrage des Bundesgerichts bei der kantonalen Steuerverwaltung (C.b) ergeben hat, wurde das der Ausgleichskasse gemeldete Einkommen ohne Abzug von AHV/IV/EO-Beiträgen veranlagt, weil der Beschwerdegegner einen solchen nicht deklariert oder beantragt hatte. Wenn jedoch bei der Steuerveranlagung erklärtermassen keine Abzüge gemacht worden sind und für die Ausgleichskasse unmissverständlich ein Bruttoeinkommen gemeldet wird, hat eine prozentuale Aufrechnung im Sinne von Art. 9 Abs. 4 AHVG nicht zu erfolgen. Denn gemäss Botschaft zur Verbesserung der Durchführung der AHV (E. 4.3 hievor) hatte der Gesetzgeber klarerweise das Bild vor Augen, dass auf der Steuerseite tatsächlich Beiträge abgezogen werden. Damit ist der vorinstanzliche Entscheid im Ergebnis richtig, weshalb die Verwaltung die strittigen Beiträge neu festzulegen hat.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Ausgleichskasse des Kantons Zug und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Dezember 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Schmutz