Faits:
A. Après que S._ a présenté, le 16 janvier 2004, une demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant à l'octroi d'une rente, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a recueilli des renseignements économiques et médicaux. Dans un rapport du 11 février 2004, le docteur L._, spécialiste en médecine interne, a diagnostiqué une infection VIH stade A 2 sous antirétroviraux (diagnostiquée en 1996), un état anxio-dépressif récurrent depuis 1996 et une fibromyalgie depuis 1997; il a attesté d'une incapacité totale de travail de l'assurée dans son activité de vendeuse depuis le 28 novembre 2001 (date à laquelle elle avait cessé de travailler). Chargé par l'office AI d'une expertise, le docteur M._, psychiatre, a posé les mêmes diagnostics et conclu à une capacité de travail nulle dans toute activité depuis le 28 novembre 2001 (rapport du 29 octobre 2004). L'assurée a également été examinée par la doctoresse E._, psychiatre auprès du Service médical régional Suisse romande (SMR), qui a en revanche fait état d'une capacité de travail entière depuis toujours dans toute activité lucrative (rapport du 7 octobre 2005). Fort de ces conclusions, l'office AI a, par décision du 16 février 2006, rejeté la demande de rente. L'assurée s'étant opposée à ce prononcé en versant à la procédure de nouveaux rapports du docteur L._, il a demandé l'avis du SMR, puis maintenu sa position par décision sur opposition du 28 octobre 2009.
B. Statuant le 31 mars 2010 sur le recours formé par S._ contre cette décision, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (depuis le 1er janvier 2011: Chambre des assurances sociales de la Cour de Justice de la République et canton de Genève) l'a partiellement admis. Annulant en partie la décision du 28 octobre 2009, il a mis l'assurée au bénéfice d'une rente entière d'invalidité de janvier 2003 à décembre 2005.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, l'office AI demande au Tribunal fédéral d'annuler ce jugement et de confirmer sa décision sur opposition. Il a également requis l'octroi de l'effet suspensif à son recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 9 juillet 2010.
S._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. Au regard du dispositif du jugement entrepris, ainsi que des conclusions et motifs du recours, le litige porte sur le point de savoir si la juridiction cantonale était en droit d'allouer à l'intimée une rente entière d'invalidité du 1er janvier 2003 au 31 décembre 2005. A cet égard, son jugement expose les règles légales et la jurisprudence applicables en l'espèce, de sorte qu'on peut y renvoyer.
3. Se fondant sur les conclusions du docteur M._, dont le rapport répondait aux exigences posées par la jurisprudence en matière de valeur probante, la juridiction cantonale a constaté que l'intimée souffrait d'un trouble dépressif d'intensité moyenne à sévère et présentait, de ce fait, une incapacité totale de travail depuis le mois de novembre 2001. Au moment où l'assurée avait été examinée par la psychiatre du SMR, en septembre 2005, son état de santé psychique s'était en revanche amélioré, de sorte qu'elle ne présentait plus d'incapacité de travail pour des raisons psychiques. En particulier, les premiers juges ont constaté que l'intimée ne souffrait alors pas d'une comorbidité psychiatrique grave et que les autres critères posés par la jurisprudence pour admettre le caractère invalidant d'une fibromyalgie n'étaient pas réalisés. Aussi, ont-ils retenu qu'une incapacité de travail totale ne pouvait être admise que de novembre 2001 à septembre 2005 et que l'intimée ne devait, en conséquence, bénéficier d'une rente entière d'invalidité que pendant une durée limitée, qu'ils ont fixée de janvier 2003 à décembre 2005.
4. Se plaignant d'une appréciation arbitraire et contraire au droit des preuves, le recourant reproche en substance aux premiers juges d'avoir suivi l'avis du docteur M._ auquel ils auraient dû nier toute valeur probante, au lieu de l'appréciation de la doctoresse E._ du SMR.
4.1 Rien ne justifie, en l'occurrence, de s'écarter des constatations des premiers juges, dont il ressort qu'ils ont admis en se fondant avant tout sur les conclusions du docteur M._ que l'assurée souffrait, pour la période courant de novembre 2001 à septembre 2005, d'un trouble dépressif (sans lien avec la fibromyalgie) suffisamment grave pour justifier une incapacité entière de travail. Les motifs évoqués par la juridiction cantonale pour reconnaître pleine valeur probante à l'appréciation du psychiatre et en faire siennes les conclusions ne peuvent être qualifiés d'arbitraires. Comme elle l'a justement expliqué, il n'y a pas d'"incohérence" à poser le diagnostic de trouble dépressif récurrent depuis 1996 et à reconnaître une incapacité de travail seulement à partir de novembre 2001, compte tenu du caractère fluctuant de cette pathologie. Contrairement à ce que prétend par ailleurs le recourant, le docteur M._, qui a fait état du manque de ressources de l'assurée, a justifié l'incapacité de travail en cause par les troubles psychiques, ne se référant aux éléments relatifs à la situation professionnelle et sociale de l'assurée que pour indiquer qu'ils constituaient des facteurs négatifs supplémentaires. Au regard des observations du docteur L._ (du 11 février 2004), selon lesquelles sa patiente souffrait des effets secondaires des traitements anti-rétroviraux, les constatations du psychiatre qui vont dans le même sens ne sont en outre nullement "manifestement erronée[s]".
L'autorité cantonale de recours a par ailleurs indiqué les raisons pour lesquelles elle avait choisi de suivre l'avis du docteur M._ plutôt que celui de la doctoresse E._, toujours pour la période courant jusqu'à septembre 2005. Son choix n'apparaît pas arbitraire, pour le motif déjà que le médecin du SMR explique la divergence de conclusions d'avec son confrère en faisant valoir à tort, comme on l'a vu, qu'il avait justifié l'incapacité de travail par des facteurs étrangers à l'assurance-invalidité.
4.2 En ce qui concerne la période subséquente, le recourant ne remet pas en cause les constatations de fait relatives à une amélioration de l'état de santé de l'intimée à partir de septembre 2005 et à l'absence de toute incapacité de travail qui s'en est suivie. Dès lors que ces constatations n'apparaissent par ailleurs pas manifestement inexactes, elles lient le Tribunal fédéral (consid. 1 supra), qui n'a pas à s'écarter du résultat de l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale. On précisera cependant, à la suite du recourant, que les considérations des premiers juges sur d'hypothétiques limitations que présenterait l'intimée en raison de la fibromyalgie, apparaissent manifestement erronées puisqu'ils ont précisément nié, à juste titre, le caractère invalidant de cette atteinte. On ne saurait, d'une part, admettre que la fibromyalgie n'entraîne aucune restriction sur le plan de la capacité de travail et, d'autre part, retenir - et ce du reste en l'absence de toute constatation médicale sur ce point - d'éventuelles limitations nécessitant un changement de profession. Ces constatations n'influencent cependant pas le résultat de l'appréciation des preuves qui a conduit l'autorité cantonale de recours à nier le droit de l'intimée à une rente au-delà du 31 décembre 2005, ni, partant, le dispositif du jugement entrepris.
4.3 Il résulte de ce qui précède que le recours est mal fondé.
5. Compte tenu de l'issue de la procédure, le recourant en supportera les frais (art. 66 al. 1 LTF), de même que les dépens auxquels a droit l'intimée (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de Justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 14 février 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless