Faits:
A.
A.a. A.X._, née le 22 janvier 1944, est la fille de C.X._, décédé en 1973, et de D.X._, née le 12 juillet 1920 et décédée le 21 mars 2007. Elle avait une soeur, E.X._, née le 23 mai 1951 et décédée en 1996.
A.b. A une date indéterminée, au milieu des années 90, A.X._ a requis des mesures tutélaires en faveur de sa mère auprès de la Justice de Paix. Après diverses expertises et auditions, un conseil légal a été désigné à D.X._.
A.c. B._ est entrée au service de D.X._ en 1997 et y est restée jusqu'au décès de celle-ci. En qualité d'employée de maison, de gouvernante et d'aide-soignante, elle aidait D.X._ dans les actes de la vie quotidienne, s'occupait du ménage et effectuait ses paiements.
En 2000, D.X._ s'est cassé le col du fémur. Cet accident a réduit sa mobilité. Elle a alors octroyé à B._ un bail portant sur un appartement de deux pièces dans le même immeuble qu'elle, dont elle était usufruitière à raison des 3/4 et propriétaire à raison de 1/4, pour un loyer mensuel de 400 fr., inférieur à celui qu'elle aurait pu en retirer en le louant à un tiers.
A la même époque, H._, administrateur de la société gérant des immeubles sur lesquels D.X._ bénéficiait d'un usufruit, s'est occupé de l'administration et de la gestion des affaires de celle-ci. Les dépenses quotidiennes étaient toutefois réglées par le biais du disponible de 8'000 fr., laissé mensuellement à D.X._.
A.d. Le 20 février 2002, D.X._ a rédigé le testament olographe suivant:
" (...)
La soussignée, D.X._, ..., à Y._ déclare disposer comme il suit de mes biens après mon décès:
1. Je lègue la totalité de mes biens à
Madame B._, ..., à Y._
2. Je renvoie à sa réserve ma fille A.X._, à Z._.
Je révoque toutes dispositions successorales antérieures au présent acte, et notamment mon testament du 9 novembre 2000.
(...) "
A.e. Au mois de mars 2002, D.X._ s'est à nouveau cassé le col du fémur. Elle a alors eu besoin de plus de soins suite à la péjoration de son état physique et de la diminution de sa mobilité. Pour cette raison, B._ a presque essentiellement habité dans l'appartement de D.X._, tout en continuant toutefois à s'acquitter du loyer de son logement.
A.f. Les 18 et 20 septembre 2002, D.X._ et sa fille ont signé une convention, dont il ressort notamment ce qui suit:
" (...)
- En avril 2000, A.X._ a saisi la Justice de paix de Lausanne d'une demande de mise sous tutelle de D.X._.
- Par jugement du 23 septembre 1992, le Président du Tribunal de district de Lausanne a condamné D.X._ à contribuer à l'entretien de A.X._ par une pension alimentaire de 1'200 fr. par mois (...). Après indexation à l'ISPC, la pension alimentaire est actuellement de 1'330 francs.
***
Cela exposé, il est convenu ce qui suit:
1. En échange de la renonciation par A.X._ à la pension alimentaire avec effet au 30 septembre 2002, D.X._ abandonne, également avec effet au 30 septembre 2002 son usufruit, sur les trois-quarts de l'immeuble ... à F._.
(...)
8. Les parties se donnent réciproquement et définitivement quittance pour solde de tout compte et de toute prétention en relation avec les impôts liés à la succession de E.X._ et D.X._ retire immédiatement la poursuite n° xxxx de l'Office des poursuites de Lavaux.
9. A.X._ retire immédiatement sa requête déposée en avril 2000 devant la Justice de paix de Lausanne et s'engage à ne pas entreprendre dans le futur toute démarche contraignante visant à mettre sous tutelle D.X._.
(...) "
A.g. Le 27 mars 2007, le Juge de paix du district de Lausanne a homologué le testament de D.X._.
B.
B.a. Par demande du 24 mai 2007 déposée devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois, A.X._ a conclu, principalement, à ce que le testament signé par D.X._ et daté du 20 février 2002 soit de nul effet et, subsidiairement, à ce que ce testament soit annulé.
Par ordonnance du 17 mars 2009, le juge instructeur de la cour a refusé les offres de preuves (expertise et audition de témoin) de la demanderesse tendant à établir l'utilisation des prélèvements effectués par la défenderesse sur les comptes de la défunte et les dépenses de celle-ci durant les dernières années de sa vie.
En revanche, par ordonnance du 28 août 2009, il a ordonné une expertise portant sur la santé mentale de la de cujus à l'époque où celle-ci a rédigé son testament, qu'il a confiée au Professeur I._ du Département des Neurosciences cliniques des Hôpitaux Universitaires de Genève. L'expert, avec la Doctoresse J._, a déposé son rapport le 27 janvier 2010. Suite à l'ordonnance du juge instructeur du 15 juillet 2010, il a encore déposé un complément d'expertise le 6 avril 2011, cette fois en collaboration avec le Docteur K._. Le contenu de ces expertises sera discuté ci-après en tant que de besoin.
Par jugement du 2 mai 2012, dont les considérants ont été communiqués aux parties le 21 décembre 2012, la Cour civile a rejeté les conclusions de A.X._.
B.b. Par acte du 29 janvier 2013, A.X._ a formé un appel contre ce jugement devant la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois. Elle a conclu, principalement, à sa réforme en ce sens que le testament signé par D.X._ est de nul effet, subsidiairement, à sa réforme en ce sens que ce testament est annulé, et, encore plus subsidiairement, à l'annulation de ce jugement.
Par arrêt du 19 avril 2013, la cour a rejeté l'appel.
C.
Par acte posté le 4 juillet 2013, A.X._ interjette un recours en matière civile devant le Tribunal fédéral contre cet arrêt. Elle conclut, principalement, à sa réforme, en ce sens que le testament du 20 février 2002 soit de nul effet, subsidiairement, à sa réforme, en ce sens que le testament du 20 février 2002 soit annulé, et, encore plus subsidiairement, à son annulation. En substance, elle se plaint de la violation des art. 9 Cst. dans l'établissement des faits et dans l'application de l'ancien droit cantonal de procédure, 29 al. 2 Cst., 16 aCC, 8, 467 et 519 CC.
Invitées à déposer leurs observations, l'intimée a conclut au rejet du recours alors que l'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
D.
Par ordonnance du 25 juillet 2013, la requête d'effet suspensif de la recourante a été admise, afin de maintenir les choses en l'état durant la procédure fédérale.
Considérant en droit:
1.
Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) ainsi que dans les formes légales (art. 42 al. 1 et 2 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF), par une recourante qui a succombé en dernière instance cantonale et sur recours (art. 76 al. 1 LTF et art. 75 al. 1 LTF), dans une affaire successorale (art. 72 al. 1 LTF) dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours en matière civile est en principe recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (ATF 133 III 545 consid. 2.2). Toutefois, compte tenu de l'obligation de motiver qui incombe au recourant en vertu de l'art. 42 al. 2 LTF, il n'examine pas toutes les questions juridiques qui peuvent se poser, mais seulement celles qui sont soulevées devant lui (ATF 134 III 102 consid. 1.1; 133 III 545 consid. 2.2; 131 III 26 consid. 12.3 et les références).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2; 137 II 353 consid. 5.1) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatations de fait et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en ce domaine aux autorités cantonales (ATF 120 Ia 31 consid. 4b; 104 Ia 381 consid. 9 et les références). Il n'intervient que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou s'il a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2; 134 V 53 consid. 4.3 ; 133 II 249 consid. 1.4.3; 129 I 8 consid. 2.1).
3.
A titre liminaire, il faut préciser que la procédure en annulation du testament a été introduite en 2007; le premier juge a rendu et communiqué sa décision aux parties après le 1 er janvier 2011. Aussi, comme l'a correctement relevé l'autorité cantonale, la procédure de première instance était soumise à l'ancien droit cantonal de procédure (art. 404 al. 1 CPC); en revanche, la procédure d'appel est régie par le CPC (art. 405 al. 1 CPC).
L'art. 16 CC a été modifié avec le nouveau droit de protection de l'adulte, entré en vigueur le 1 er janvier 2013. Jusqu'au 31 décembre 2012, sa teneur était que "[t]oute personne qui n'est pas dépourvue de la faculté d'agir raisonnablement à cause de son jeune âge, ou qui n'en est pas privée par suite de maladie mentale, de faiblesse d'esprit, d'ivresse ou d'autres causes semblables, est capable de discernement dans le sens de la présente loi". Dans sa version actuelle, cet article dispose que "[t]oute personne qui n'est pas privée de la faculté d'agir raisonnablement en raison de son jeune âge, de déficience mentale, de troubles psychiques, d'ivresse ou d'autres causes semblables est capable de discernement au sens de la présente loi".
Bien qu'ayant tranché la cause en 2013, l'autorité cantonale a jugé des questions relatives à la capacité de discernement de la de cujusen se référant à l'ancienne teneur de l'art. 16 CC, sans aucune motivation sur le droit transitoire. Néanmoins, même à supposer que les deux versions différeraient quant à leur contenu matériel, les parties ne soulèvent aucun grief à ce sujet (art. 42 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.1); il n'y a dès lors pas lieu d'examiner si c'est à raison que la cour s'est fondée sur l'ancien droit.
4.
Se plaignant de la violation des art. 8 CC et 29 al. 2 Cst. ainsi que de l'application arbitraire des art. 5 et 163 aCPC-VD, la recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir refusé son offre de preuve tendant à faire exécuter une expertise et à entendre des témoins sur l'utilisation des prélèvements effectués par l'intimée sur les comptes de la défunte et les dépenses de celle-ci durant les dernières années de sa vie.
4.1.
4.1.1. L'autorité cantonale a laissé ouverte la question de savoir si la recourante aurait dû requérir avant ou pendant les débats l'administration des preuves que le juge instructeur avait précédemment écartées par ordonnance du 17 mars 2009. Elle a considéré que les faits que la recourante cherchait à démontrer n'étaient pas pertinents pour établir l'incapacité de la défunte à opposer sa propre volonté aux personnes la côtoyant; en particulier, selon les juges, la recourante n'avait pas cherché à démontrer que d'éventuels retraits étaient révélateurs de l'influence exercée par l'intimée sur la défunte, de sorte que le premier juge n'avait pas violé son droit à la preuve en refusant cette offre.
4.1.2. La recourante allègue que des montants de l'ordre de 10'000 fr. ont régulièrement été prélevés sur les comptes de la défunte alors que l'intimée gérait les avoirs de celle-ci, que les montants précités ont été remis à l'intimée qui en a probablement profité et que les dépenses quotidiennes de la défunte ont augmenté dès le moment où l'intimée s'est vue délivrer une procuration. Elle affirme que ces faits sont susceptibles de confirmer l'incapacité de la testatrice à opposer sa propre volonté aux personnes la côtoyant, notamment l'intimée, et permettent d'apprécier l'influence que celle-ci exerçait sur la défunte. Elle ajoute qu'aucune règle de l'aCPC-VD n'oblige une partie dont les offres de preuve ont été refusées à requérir un complément d'instruction avant ou pendant les débats; il s'agit d'une simple possibilité qui leur est offerte.
4.2.
4.2.1. Un droit à la preuve et à la contre-preuve est déduit de l'art. 8 CC. Ainsi, le juge enfreint l'art. 8 CC s'il refuse d'administrer une preuve régulièrement offerte, dans les formes et les délais prévus par la loi de procédure, et portant sur un fait pertinent pour l'appréciation juridique de la cause (ATF 133 III 189 consid. 5.2.2; 129 III 18 consid. 2.6 et les références). Si des moyens de preuve sont invoqués en relation avec un droit subjectif privé découlant d'une norme de droit matériel fédéral, le recourant doit donc se plaindre, sauf exception qui n'entre pas en considération ici, de la violation de l'art. 8 CC, et non de celle de son droit d'être entendu au sens de l'art. 29 al. 2 Cst. (arrêt 5A_726/2009 du 30 avril 2010 consid. 3.1, non publié in ATF 136 III 365).
4.2.2. Par son argumentation, la recourante n'expose pas en quoi ses offres de preuve permettraient de démontrer l'utilisation des montants supposément retirés ainsi que le rôle qu'aurait joué l'intimée dans cette utilisation. Elle se contente de prétendre que la preuve porte sur les retraits remis à l'intimée. C'est donc à raison que l'autorité cantonale a jugé que les offres de preuve portaient sur des faits qui n'étaient pas pertinents.
Les griefs de la recourante doivent donc être rejetés.
5.
La recourante se plaint pour plusieurs motifs de la violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.).
En réalité, la recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir mal apprécié la portée de certains éléments de preuve pour juger de la capacité de discernement de la de cujus (expertise, conclusion d'un acte notarié). Ce grief n'a pas de portée propre par rapport à celui de la violation de l'art. 9 Cst. dans l'établissement de faits relatifs à la capacité de discernement de la de cujus, grief qui sera examiné ci-après (cf. infra consid. 6).
Pour autant que recevable, le grief de la violation de l'art. 29 al. 2 Cst. doit donc être rejeté.
6.
Le litige porte sur la question de savoir si l'autorité cantonale a retenu de manière arbitraire, sur la base des preuves, notamment des rapports d'expertise, que, compte tenu de son état de santé générale, la de cujus était présumée capable de discernement.
6.1. Pour disposer valablement par testament, il faut être capable de discernement (art. 467 CC), c'est-à-dire ne pas être privé de la faculté d'agir raisonnablement par suite, notamment, de maladie mentale ou de faiblesse d'esprit (art. 16 aCC; cf. supra consid. 3). Les dispositions pour cause de mort faites par une personne incapable de disposer au moment de l'acte peuvent être annulées (art. 519 al. 1 ch. 1 CC).
6.1.1. La capacité de discernement ne doit pas être appréciée abstraitement mais en rapport avec un acte déterminé, selon la difficulté et la portée de cet acte. On peut donc imaginer qu'une personne dont la capacité de discernement est généralement réduite puisse tout de même exercer certaines tâches quotidiennes et soit capable de discernement pour les actes qui s'y rapportent; pour des affaires plus complexes, en revanche, on pourra dénier sa capacité de discernement. Contrairement aux petits achats et aux affaires quotidiennes, la rédaction d'un testament compte parmi les actes les plus exigeants, surtout s'il s'agit de dispositions compliquées (ATF 124 III 5 consid. 1a et les références citées; arrêt 5C.282/2006 du 2 juillet 2007 consid. 2.1; arrêt 5A_723/2008 du 19 janvier 2009 consid. 2.1). Pour juger de la capacité de discernement, il ne faut cependant pas se demander si les dispositions prises sont sages, justifiées au vu des circonstances, ou simplement équitables; une disposition absurde peut tout au plus être tenue pour un indice d'un défaut de discernement (ATF 117 II 231 consid. 2a; 124 III 5 consid. 4c/cc).
6.1.2. La capacité de discernement est la règle en vertu de l'art. a16 CC. En matière de capacité de disposer à cause de mort, la jurisprudence en a déduit que, s'agissant d'adultes, la capacité de discernement doit être présumée, car selon l'expérience générale de la vie, ils ont généralement le discernement; celui qui prétend que le disposant était incapable de disposer au moment de l'acte doit le prouver et, parce que la nature même des choses rend impossible la preuve absolue de l'état mental d'une personne décédée, le degré de la preuve requis est abaissé à la vraisemblance prépondérante. En revanche, lorsqu'une personne est atteinte de maladie mentale ou de faiblesse d'esprit, l'incapacité de discernement est présumée, car cette personne doit généralement être considérée, d'après l'expérience générale de la vie, comme étant selon une vraisemblance prépondérante, dépourvue, en principe, de discernement; c'est alors à celui qui se prévaut de la validité du testament d'établir que la personne concernée a accompli l'acte litigieux dans un moment de lucidité; la contre-preuve que celle-ci a agi dans un intervalle lucide étant difficile à rapporter, la jurisprudence facilite la preuve: il suffit de prouver que la personne concernée, malgré une incapacité générale de discernement au vu de son état de santé, était au moment déterminant capable de discernement avec une vraisemblance prépondérante (ATF 124 III 5 consid. 1b; arrêts 5A_191/2012 du 12 octobre 2012 consid. 4.1.2; 5A_204/2007 du 16 octobre 2007 consid. 5.2, publié in RNRF 2011 (92) p. 30).
Il ressort de la jurisprudence que toute atteinte à la santé mentale ne permet pas de présumer l'incapacité de discernement. Il faut que cette atteinte crée une dégradation durable et importante des facultés de l'esprit (cf. les exemples cités in arrêt 5A_191/2012 précité).
6.1.3. Une expertise judiciaire sur l'état mental du de cujus ordonnée durant la procédure en annulation du testament constitue un élément de preuve servant à déterminer quelle présomption relative au discernement de celui-ci doit prévaloir; la contre-preuve reste possible à apporter.
6.1.3.1. L'expertise médicale ordonnée durant une procédure fournit au juge les connaissances professionnelles dont celui-ci a besoin pour saisir certains faits juridiquement pertinents et/ou pour pouvoir juger. En matière successorale, l'expertise ordonnée doit donc contenir en particulier un avis sur l'état de santé mentale de la personne intéressée ainsi que sur les effets que d'éventuels troubles de la santé mentale pourraient avoir sur la capacité intellectuelle et volontaire de celle-ci de gérer son patrimoine. Sur la base de l'expertise, le juge doit être à même de répondre aux questions juridiques découlant de l'art. 16 aCC et 467 CC, notamment dire si la personne souffre d'une maladie mentale ou d'une cause semblable la rendant dépourvue de la faculté d'agir raisonnablement dans la disposition de ses biens par testament.
On ne peut soumettre à un expert que des questions de fait, non des questions de droit, dont la réponse incombe impérativement au juge, qui ne peut pas déléguer cet examen à un tiers. Il s'ensuit que celui-ci ne saurait se fonder sur l'opinion exprimée par un expert lorsqu'elle répond à une question de droit (ATF 130 I 337 consid. 5.4.1).
6.1.3.2. Le juge apprécie librement la force probante d'une expertise. Dans le domaine des connaissances professionnelles particulières, il ne peut toutefois s'écarter de l'opinion de l'expert que pour des motifs importants qu'il lui incombe d'indiquer, par exemple lorsque le rapport d'expertise présente des contradictions ou attribue un sens ou une portée inexacts aux documents et déclarations auxquels il se réfère. Il doit donc examiner, si, sur la base des autres preuves et des observations formulées par les parties, des objections sérieuses viennent ébranler le caractère concluant des constatations de l'expertise. Il est même tenu, pour dissiper ses doutes, de recueillir des preuves complémentaires lorsque les conclusions de l'expertise judiciaire se révèlent douteuses sur des points essentiels. En se fondant sur une expertise non concluante ou en renonçant à procéder aux enquêtes complémentaires requises, le juge pourrait commettre une appréciation arbitraire des preuves et violer l'art. 9 Cst. (ATF 138 III 193 consid. 4.3.1; 136 II 539 consid. 3.2; 130 I 337 consid. 5.4.2; arrêts 5A_478/2013 du 6 novembre 2013 consid. 4.1; 5A_714/2012 du 29 mai 2013 consid. 4.2.2).
6.1.4. Les constatations relatives à l'état de santé mentale d'une personne, la nature et l'importance d'éventuels troubles de l'activité de l'esprit, le fait que la personne concernée pouvait se rendre compte des conséquences de ses actes et pouvait opposer sa propre volonté aux personnes cherchant à l'influencer relèvent de l'établissement des faits. En revanche, la conclusion que le juge en a tirée quant à la capacité, ou non, de tester relève du droit et le Tribunal fédéral la revoit librement (ATF 124 III 5 consid. 4; 117 II 231 consid. 2c; arrêt 5A_191/2012 précité consid. 4.1.3).
6.2.
6.2.1. L'autorité cantonale a considéré, à la suite du premier juge, que plusieurs contradictions apparaissaient entre le rapport d'expertise principal et le rapport d'expertise complémentaire. Selon elle, si, dans le premier rapport, les experts avaient affirmé que la de cujus souffrait d'une atteinte cognitive telle que celle-ci la rendait incapable de disposer au moment de la rédaction du testament, ils avaient, en revanche, relevé dans la seconde que la de cujus avait une compréhension limite lors de la rédaction de son testament, que son état cognitif était fluctuant, que sa condition neuropsychologique n'était pas connue à ce moment-là, qu'elle était au niveau seuil de MMS pour avoir la capacité de nommer un curateur, qu'il n'était pas décrit de troubles de l'état de conscience au stade d'évolution de la pathologie neurodégénérative dont elle souffrait, qu'il pouvait exister des fluctuations de l'attention, mais sans retentissement sur l'état de conscience, et qu'il n'y avait pas eu d'évaluation formelle de sa capacité de discernement pour les aspects financiers au moment où elle avait testé. Par ailleurs, la cour a relevé que si, dans l'expertise complémentaire, les experts avaient considéré que la capacité de raisonnement de la de cujus face à une influence externe au moment de la rédaction du testament pouvait être en partie limitée, ils avaient cependant noté que, selon le médecin traitant de la défunte, les troubles cognitifs de celle-ci n'étaient pas suffisamment importants pour lui ôter toute capacité de jugement et qu'elle avait bien récupéré sur le plan cognitif après sa fracture du col du fémur de mars 2002, lui permettant de rédiger des actes avec son notaire sans que sa capacité de jugement ne fût mise en doute. Enfin, la cour a mis en exergue que, si les experts avaient relevé qu'il était probable que la défunte n'avait pas exercé entièrement sa propre volonté au moment de la rédaction du testament, ils avaient aussi retenu que les troubles cognitifs constatés lors de l'évaluation du 7 mars 2002 étaient en partie imputables à des éléments indépendants du trouble démentiel évolutif.
S'agissant des autres éléments probatoires que le premier juge avait pris en considération pour apprécier l'expertise, la cour a relevé qu'il ressortait des témoignages du gérant des immeubles de la famille de la de cujuset du médecin traitant de celle-ci que la de cujus n'avait connu une période de désorientation que lors de sa seconde fracture du fémur en mars 2002, soit après la rédaction du testament litigieux, épisode qui était dû, selon le médecin traitant, aux médicaments et à l'anesthésie. La cour a également relevé que la défunte avait signé un acte notarié en septembre 2002 plus complexe que le testament litigieux.
Sur la base de ces éléments, l'autorité cantonale a conclu que l'appréciation des premiers juges selon laquelle, au moment de la rédaction du testament, la de cujus ne souffrait pas d'une maladie mentale suffisamment grave pour justifier le renversement de la présomption de la capacité de discernement ne prêtait pas flanc à la critique.
A cela, l'autorité cantonale a encore ajouté qu'une nouvelle expertise, que la recourante n'avait au demeurant pas requise dans le délai prévu par l'art. 237 aCPC-VD, ne s'imposait pas, que le testament litigieux était simple et dénué d'absurdité, et que, si les experts avaient certes relevé que la capacité de raisonnement de la défunte pouvait être limitée au moment où elle a rédigé le testament litigieux, la recourante n'avait pas démontré que l'intimée avait abusé de cet état pour que la de cujus teste en sa faveur.
6.2.2. Se plaignant d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'appréciation des preuves et dans la violation du droit (not. art. 16 aCC et 497 CC), la recourante affirme en substance que, sur la base des expertises, l'autorité cantonale aurait dû retenir que la de cujus était présumée incapable de discernement et qu'il appartenait à l'intimée de renverser cette présomption en démontrant un épisode de lucidité lors de la rédaction du testament.
La recourante met d'abord en exergue plusieurs passages, tant de l'expertise principale que de l'expertise complémentaire, d'où il ressort que la de cujus souffrait d'atteintes à sa santé mentale susceptibles d'affaiblir sa capacité intellectuelle ou volontaire, notamment une probable maladie d'Alzheimer ainsi que d'un abus d'alcool chronique, et qu'elle présentait un MMS de 18/30 en juillet 2000 puis de 13/30 en avril 2002. Précisant que les conclusions de l'expertise complémentaire ne modifient pas celles de l'expertise principale, elle affirme qu'il en ressort clairement que la testatrice n'était pas capable de disposer en février 2002, de sorte que l'autorité cantonale ne pouvait pas s'écarter de ces expertises sans recueillir de preuves complémentaires, notamment une expertise médicale. Elle ajoute qu'elle n'avait pas à requérir elle-même cette nouvelle expertise étant donné qu'elle " ne pouvait évidemment pas deviner que les juges de première instance allaient s'écarter des conclusions de l'expertise ".
Ensuite, la recourante reproche à l'autorité cantonale de n'avoir pas tenu compte dans son appréciation de la dépendance à l'alcool dont souffrait la défunte, qui ressort tant des expertises que du témoignage du médecin traitant, alors qu'il est notoire qu'une telle dépendance est de nature à altérer la capacité de discernement.
Elle reproche également à cette autorité d'avoir considéré que la conclusion d'un acte notarié en septembre 2002 était un élément permettant de retenir que la de cujus était capable de discernement. Elle considère que la situation n'est pas comparable à celle de la rédaction du testament, étant donné que le notaire et le gérant de l'immeuble également présents ont pu expliquer à la défunte la portée de l'acte notarié.
La recourante expose enfin que le testament n'avait rien de simple et qu'une personne âgée non juriste et en mauvaise santé ne peut ni avoir connaissance ni comprendre la notion de " réserve successorale ", de sorte que l'intervention d'un tiers dans la rédaction de cet acte est vraisemblable et que c'est à tort que l'autorité cantonale a retenu qu'il n'est pas établi que l'intimée aurait influencé la testatrice
La recourante conclut sur la base de ces éléments que la présomption de la capacité de discernement de la de cujusest renversée et que l'intimée n'a pas démontré d'épisode de lucidité lors de la rédaction du testament, de sorte que celui-ci doit être annulé.
6.2.3. En l'espèce, la recourante ne parvient pas à démontrer l'arbitraire dans l'établissement des faits.
Contrairement à ce que la recourante prétend, l'autorité cantonale a admis, sur la base des rapports d'expertise, que la de cujus souffrait d'une atteinte à ses capacités mentales, probablement de la maladie d'Alzheimer. L'autorité cantonale a par contre considéré que, s'agissant de la question de savoir si, à l'époque où la de cujus a rédigé le testament litigieux, cette maladie était (ou non) d'une gravité suffisante pour qu'on puisse présumer que la de cujus était incapable de discernement, les conclusions de l'expert étaient contradictoires. Cette constatation est exempte d'arbitraire: dans son rapport d'expertise principale du 7 janvier 2010, l'expert a retenu que "[ la de cujus ] souffrait d'une atteinte cognitive telle à la rendre incapable de disposer au moment de la rédaction du testament " (p. 4), que " [ la de cujus ] souffrait probablement de la maladie d'Alzheimer et n'avait donc pas le discernement nécessaire lors de la rédaction de son testament " (p. 5); en revanche, dans son expertise complémentaire du 6 avril 2011, l'expert a relevé sur ce point que l'état cognitif de la de cujus était " fluctuant ", qu'" on ne [savait] pas dans quelle condition neuropsychologique [elle se trouvait] lors de la rédaction du testament ", qu'" au stade de l'évolution de la pathologie neurodégénérative dont [elle] souffrait, il n'[était] pas décrit de troubles de l'état de conscience " et qu'"il était probable que [la de cujus ] n'exerçait pas entièrement sa propre volonté au moment de la rédaction du testament". C'est donc à raison que l'autorité cantonale a examiné les autres moyens de preuves pour dissiper ses doutes sur ce point, notamment le témoignage du médecin traitant de la de cujus que l'expert a lui-même tenu pour pertinent dans son examen et l'acte notarié plus complexe que le testament litigieux que la de cujus avait conclu en septembre 2002 avec la recourante elle-même, sans que celle-ci ne mette en doute la capacité de discernement de sa mère. Contrairement à ce que la recourante soutient, l'autorité cantonale n'était pas tenue de requérir une nouvelle expertise médicale si elle estimait que les autres moyens de preuves lui permettaient de lever ses doutes sur les éléments de fait sur lesquels les conclusions de l'expert étaient contradictoires.
Pour le reste, dans la mesure où l'expert a tenu compte, dans son rapport, d'une dépendance à l'alcool dont souffrait la de cujus pour établir l'état mental de celle-ci, l'autorité cantonale n'avait pas à pondérer une nouvelle fois cet élément de fait dans son appréciation des preuves sur cette question. Ensuite, le fait que la de cujus ait reçu des explications sur les tenants et aboutissants de l'acte notarié de septembre 2002 n'infirme en rien la force probante de cet élément: que la de cujus ait pu comprendre les explications sur un acte complexe et se déterminer librement sur la base de cette compréhension est précisément un indice des capacités suffisantes de la défunte pour conclure un testament. Enfin, la critique de la recourante selon laquelle la notion de "réserve successorale" est forcément inconnue d'une personne âgée et amoindrie dans sa santé, sans exclure pourtant que la de cujus fût en mesure de se renseigner sur cette question, est appellatoire.
La recourante n'étant pas parvenue à démontrer l'arbitraire dans l'établissement des faits, c'est à juste titre que la cour cantonale a conclu que la de cujus était présumée capable de discernement et que le testament du 20 février 2002 n'avait pas à être annulé.
6.3. Les griefs de droit de la recourante deviennent sans objet, celle-ci reprenant dans son argumentation, les faits dont elle vient d'échouer à démontrer l'établissement arbitraire.
7.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté. Les frais judiciaires, arrêtés à 10'000 fr., sont mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Celle-ci versera en outre à l'intimée une indemnité de 12'000 fr. à titre de dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 10'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Une indemnité de 12'000 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile, et à G._.
Lausanne, le 13 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Achtari