Faits:
A. Par contrat de travail daté du 1er janvier 2005, la société X._ Sàrl a engagé C._ pour divers travaux, à savoir la livraison de voitures, le rapatriement de véhicules, l'immatriculation, le nettoyage, ainsi que différentes activités de bureau. Le salaire mensuel convenu était de 4'400 fr. brut, à raison de huit heures par jour, trois ou quatre jours par semaine. Le personnel de l'entreprise a fait l'objet d'une police d'assurance-accidents obligatoire auprès de Generali Assurances (ci-après: Generali) à partir du 1er janvier 2005 (police n° "yyy").
X._ était à l'origine une raison individuelle constituée le 4 février 2004 et exploitée par D._, fils de l'assurée. Au mois de juin 2005, la société X._ Sàrl a été inscrite au registre du commerce, avec reprise des actifs et passifs de X._.
En outre, C._ travaillait à temps partiel dans un salon de coiffure et percevait un salaire mensuel de 1'700 fr. net pour cette activité. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Mobilière Assurances (ci-après: la Mobilière).
Le 14 février 2005, l'intéressée a été victime d'un traumatisme cranio-cérébral et de contusions multiples en chutant d'un tabouret à son domicile. Generali a pris en charge les frais médicaux et alloué des indemnités journalières.
A la demande de l'assureur-accidents, l'intéressée lui a communiqué à différentes reprises des copies de ses fiches de salaire, de son contrat de travail, ainsi que de sa déclaration fiscale relative à l'année 2005. Par courrier du 2 décembre 2009, Generali a exprimé des doutes au sujet de la perception effective d'un salaire par C._ dans l'entreprise familiale et, partant, quant à sa qualité de personne obligatoirement assurée contre le risque d'accident.
Après un échange de correspondance, Generali a rendu une décision le 3 juin 2010, confirmée sur opposition le 27 août suivant, par laquelle elle a nié à C._ la qualité de personne obligatoirement assurée contre le risque d'accident et lui a réclamé la restitution d'un montant de 288'667 fr. 75 correspondant aux prestations indûment perçues. Subsidiairement, dans l'éventualité où la Mobilière devrait prendre en charge les suites de l'accident du 14 février 2005, Generali indiquait qu'il appartiendrait à cet assureur de lui verser un montant de 128'259 fr. 60.
B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève) a entendu les parties en audience de comparution personnelle et procédé à l'audition de plusieurs témoins. Par jugement du 30 novembre 2011, la juridiction cantonale a annulé les décisions des 3 juin et 27 août 2010 en tant qu'elles réclamaient la restitution des prestations, dans le sens des considérants. Elle a considéré, en résumé, que Generali ne pouvait pas se prévaloir d'un motif de révocation (reconsidération ou révision procédurale) des décisions (formelles et/ou matérielles) d'octroi des prestations. En revanche, elle a jugé que l'assureur-accidents était fondé à supprimer le droit de l'intéressée à des prestations d'assurance avec effet ex nunc et pro futuro, du moment que celle-ci n'était pas assurée obligatoirement contre le risque d'accident au moment de l'événement du 14 février 2005.
C. C._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation en tant qu'il confirme le droit de Generali de mettre fin à l'octroi des prestations d'assurance avec effet ex nunc et pro futuro, en concluant à la reprise du versement de ces prestations à partir du 2 décembre 2009, le tout sous suite de dépens.
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que la juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. 2.1 Le jugement cantonal n'est pas contesté dans la mesure où il annule la décision sur opposition du 27 août 2010 en tant qu'elle réclame la restitution des prestations précédemment allouées. Le litige porte donc sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par ladite décision, à supprimer le droit de la recourante à des prestations d'assurance (traitement médical et indemnité journalière) avec effet ex nunc et pro futuro, singulièrement, si la recourante avait la qualité de personne obligatoirement assurée contre le risque d'accident au moment de l'événement du 14 février 2005.
2.2 Le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente lorsque la décision attaquée concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents (art. 105 al. 3 LTF). Selon la jurisprudence, l'exception prévue par l'art. 105 al. 3 LTF (en relation avec l'art. 97 al. 2 LTF) ne s'applique pas lorsque le litige porte sur le point de savoir si la victime d'un accident bénéficie ou non d'une couverture d'assurance. Il n'est pas déterminant que le droit à des prestations en espèces puisse en dépendre. Par conséquent, le Tribunal fédéral ne peut contrôler les constatations de fait de l'instance précédente que dans le cadre de l'art. 105 al. 1 et 2 LTF (en relation avec l'art. 97 al. 1 LTF; ATF 135 V 412 consid. 1.2 p. 413 s.).
Cela étant, le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. Il lui appartient de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
3. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légale (art. 1a LAA) et réglementaires (art. 1 et art. 2 al. 1 let. a OLAA), ainsi que la jurisprudence concernant la qualité de personne obligatoirement assurée contre le risque d'accident et les exceptions à l'obligation d'être assuré. Il suffit donc d'y renvoyer.
4. 4.1 La juridiction cantonale a dénié à C._ la qualité de personne obligatoirement assurée. Elle a constaté que l'intéressée, certes, avait effectué une certaine activité pour le compte de X._, à temps partiel, sans qu'il soit toutefois possible d'évaluer la durée hebdomadaire de cette occupation. En revanche, elle a nié que l'intéressée ait été effectivement rémunérée pour les tâches effectuées, lesquelles ne consistaient qu'en de simples coups de main dans l'entreprise familiale. A l'appui de cette conclusion, la juridiction cantonale a constaté qu'il existait de nombreuses contradictions au sujet du salaire convenu dans les différentes fiches de salaire, les données ressortant de la déclaration d'accident, ainsi que dans les témoignages de l'intéressée, de son fils et de son époux. En outre, elle a retenu l'affiliation tardive à la Caisse cantonale genevoise de compensation, ainsi que le fait que plusieurs documents avaient été établis après l'accident et que l'époux de l'intéressée - bien qu'expérimenté dans le domaine d'activité de l'entreprise et occupé à plein temps - ne percevait, quant à lui, aucun salaire. Par ailleurs, les premiers juges ont constaté que X._ ne générait pas suffisamment de profit pour payer un salaire à quelque employé que ce soit. Quant au montant du salaire indiqué dans le contrat de travail - 4'400 fr. bruts -, il paraissait pour le moins élevé étant donné qu'il s'agissait d'une activité à temps partiel consistant à effectuer des travaux de secrétariat et à livrer des véhicules. Enfin, la juridiction précédente a constaté que la déclaration fiscale de l'intéressée pour l'année 2005 ne mentionnait aucun revenu tiré d'une activité lucrative dépendante pour l'année en question.
4.2 La recourante invoque une constatation arbitraire des faits pertinents en alléguant un certain nombre d'indices qui, selon elle, établissent que les tâches accomplies dans l'entreprise familiale étaient effectivement rétribuées. Tout d'abord, elle se réfère au contrat de travail conclu le 1er janvier 2005, lequel mentionne le salaire et la durée de travail hebdomadaire convenus, ainsi qu'à la police d'assurance LAA qui indique un salaire annuel assuré de 57'200 fr., ce qui correspond à un salaire mensuel brut de 4'400 fr. payé treize fois l'an.
Ces documents ne permettent toutefois pas d'inférer que la recourante était effectivement rétribuée pour les tâches effectuées dans l'entreprise familiale. Au demeurant, on peut sérieusement s'interroger au sujet de la valeur probante du contrat de travail daté du 1er janvier 2005. D'ailleurs, le dossier contient un autre contrat de travail daté du 1er février 2005. Ces deux actes mentionnent pour parties C._, d'une part, et X._ Sàrl, d'autre part. Or, la société X._ Sàrl n'a été inscrite au registre du commerce qu'au mois de juin 2005, soit plusieurs mois après les dates apposées dans les deux contrats de travail. Au demeurant, la déclaration d'accident remplie par l'employeur est datée du 16 février 2005, soit une date postérieure aux dates apposées sur les contrats de travail, porte le cachet de la raison individuelle X._.
Quoi qu'il en soit, le recours ne contient aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait du jugement attaqué, l'argumentation de la recourante tendant simplement à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente. Au reste, on ne voit guère que les allégations de l'intéressée soient de nature à mettre en cause les constatations du jugement attaqué, selon lesquelles les tâches effectuées par la recourante dans l'entreprise familiale n'étaient pas rémunérées et consistaient en de simples coups de main. En particulier, le fait que, selon un courrier adressé par la société à la caisse de compensation le 30 juillet 2005, l'employeur aurait eu un entretien téléphonique avec celle-ci au mois de mai précédent, soit cinq mois après le début de l'activité de l'intéressée dans l'entreprise familiale, ne permet pas d'écarter le point de vue des premiers juges, selon lequel l'affiliation à la caisse de compensation était tardive. Quant au fait que le mari de l'intéressée a renoncé à percevoir un salaire dans l'entreprise au motif que les époux C._ avaient vendu leur appartement d'une valeur fiscale de 350'000 fr., il n'est d'aucun secours pour la thèse de la recourante. Il tend plutôt à démontrer qu'à l'instar de son mari, celle-ci vivait également du gain réalisé et, partant, qu'elle avait elle aussi renoncé à être rétribuée pour les tâches effectuées dans l'entreprise familiale.
Vu ce qui précède, la Cour de céans n'a pas de motif de s'écarter des constatations de la juridiction cantonale, selon lesquelles l'intéressée n'était pas assurée obligatoirement contre le risque d'accident au moment de l'événement du 14 février 2005. Aussi, l'intimée était-elle fondée à supprimer le droit de l'intéressée à la prise en charge des frais de traitement et à l'octroi d'une indemnité journalière avec effet ex nunc et pro futuro sans devoir invoquer un motif de reconsidération ou de révision procédurale (cf. ATF 130 V 380 consid. 2.3.1 p. 384) ni observer les règles présidant à la révision des prestations durables visées à l'art. 17 al. 2 LPGA (cf. ATF 133 V 57 consid. 6.7 p. 65). Le recours se révèle ainsi mal fondé.
5. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 13 février 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Ursprung
Le Greffier: Beauverd