Erwägungen:
1. X._ (geb. 1973) stammt aus Kamerun. Das Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Bundesamt für Migration [BFM]) wies sein erstes Asylgesuch am 22. Januar 1999 ab. Am 4. Februar 2002 reiste X._ erneut in die Schweiz ein, wo das Bundesamt am 15. Mai 2002 auf ein weiteres Asylgesuch nicht eintrat. Tags zuvor hatte er indessen die Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1964) geheiratet, weshalb ihm eine Jahresaufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Gattin erteilt wurde. Das Ehepaar trennte sich im Jahr 2003, worauf der Bereich Bevölkerungsdienste und Migration des Sicherheitsdepartements des Kantons Basel-Stadt es am 11. Dezember 2006 ablehnte, die Bewilligung von X._ zu verlängern. Das Appellationsgericht als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin am 13. August 2008. X._ beantragt vor Bundesgericht, dieses Urteil aufzuheben und das Verfahren im Sinne der Erwägungen zur Neubeurteilung an die kantonalen Behörden zurückzuweisen; eventuell sei direkt seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
2. Die Beschwerde erweist sich aufgrund der vorliegenden Unterlagen als offensichtlich unbegründet und kann - soweit darauf einzutreten ist (vgl. E. 2.3) - ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden:
2.1 Der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers hat trotz ordnungsgemässem und ununterbrochenem Aufenthalt von fünf Jahren keinen Anspruch auf Erteilung oder Verlängerung seiner Bewilligung im Sinne von Art. 7 ANAG (in Verbindung mit Art. 126 Abs. 1 AuG [SR 142.20]), falls die Ehe eingegangen wurde, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung zu umgehen ("Ausländerrechtsehe"), oder falls sich die Berufung darauf anderswie als rechtsmissbräuchlich erweist (Art. 7 Abs. 2 ANAG; BGE 128 II 145 E. 2 u. 3; 127 II 49 E. 5 S. 56 ff.). Dies ist praxisgemäss der Fall, wenn sich der Ausländer auf eine Ehe beruft, die ohne jegliche Aussichten auf Wiedervereinigung nur noch (formell) aufrechterhalten wird, um von der damit verbundenen Aufenthaltsbewilligung zu profitieren (BGE 130 II 113 E. 4.2). Hierzu dient Art. 7 ANAG nicht, auch wenn er - anders als Art. 17 ANAG - an das formelle Bestehen der Ehe anknüpft und nicht an das tatsächliche Zusammenleben der Gatten (BGE 130 II 113 E. 4.2; 119 Ib 417 ff.). Zwar soll die Regelung verhindern, dass der ausländische Partner mit Blick auf die Erneuerung seiner Bewilligung der Willkür des schweizerischen Gatten ausgeliefert ist; damit akzeptierte der Gesetzgeber jedoch nicht, dass jener seinerseits Art. 7 ANAG zu institutsfremden Zwecken missbraucht (BGE 130 II 113 E. 4.1 u. 4.2).
2.2 Aufgrund des von der Vorinstanz verbindlich festgestellten - und im Wesentlichen auch nicht bestrittenen - Sachverhalts (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG), ist dies hier der Fall: Der Beschwerdeführer hat nur einen Tag vor dem asylrechtlichen Nichteintretensentscheid seine Gattin geheiratet, welche er 2001 in der gemeinsamen Heimat Kamerun kennen gelernt hatte. Bereits kurz danach trennten sich die Eheleute wieder; am 17. September 2003 bewilligte der Eheschutzrichter ihr Getrenntleben, wobei es seither, trotz der Erklärung des Beschwerdeführers, die Ehe wieder "kitten" zu wollen, zu keiner Annäherung der Partner mehr gekommen ist: Seine Gattin hat sich ab November 2004 vorab im Ausland aufgehalten und befindet sich erst seit kurzer Zeit wieder in der Schweiz; der Beschwerdeführer ist seinerseits offenbar in der Zwischenzeit eine andere Beziehung eingegangen. Gestützt hierauf durften die kantonalen Behörden ohne Verletzung von Bundes(verfassungs)recht oder von Art. 8 EMRK davon ausgehen, dass der Ehewille vor Ablauf der von Art. 7 Abs. 1 Satz 2 ANAG geforderten Aufenthaltsdauer von fünf Jahren erloschen war und sich der Beschwerdeführer auf eine erkennbar inhaltsleer gewordene Beziehung beruft, an deren Wiederaufleben nicht (mehr) ernsthaft geglaubt werden kann. Auf die Gründe, die ursprünglich zur Trennung geführt haben, oder wer diese zu verantworten hat, kommt es nach der Rechtsprechung im vorliegenden Zusammenhang ebenso wenig an (vgl. BGE 130 II 113 E. 4.2 S. 117 mit Hinweisen) wie auf den Umstand, ob ein gerichtliches Trennungs- oder Scheidungsverfahren bereits hängig ist oder nicht; im Übrigen kann ein ausländerrechtlich relevanter Rechtsmissbrauch auch dann vorliegen, wenn zivilrechtlich das Festhalten an der Ehe nicht missbräuchlich erscheint (vgl. Art. 114 ZGB; BGE 128 II 145 E. 2.2 S. 152).
2.3 Soweit die kantonalen Behörden im Ermessensbereich von Art. 4 ANAG davon abgesehen haben, die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers zu verlängern, ist gegen ihren Entscheid - wie gegen die damit verbundene Wegweisung - die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 2 und Ziff. 4 BGG); die Eingabe kann diesbezüglich auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde behandelt werden (vgl. Art. 113 in Verbindung mit Art. 115 lit. b BGG; BGE 133 I 185 ff.).
3. Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Mit dem Entscheid in der Sache selber werden die Gesuche des Beschwerdeführers um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung bzw. Anordnung vorsorglicher Massnahmen gegenstandslos. Er hat die Verfahrenskosten zu tragen (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG); es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar