Sachverhalt:
A. Die 1975 geborene I._ war als Assistentin in der Firma B._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 10. März 2003 einen Verkehrsunfall erlitt. Sie hatte den von ihr gelenkten Audi A4 bei der Ausfahrt aus einem Kreisel vor einem Fussgängerstreifen angehalten, um einen Fussgänger vorbei zu lassen. Ein nachfolgender Mercedes CLK, dessen Lenkerin dies zu spät bemerkt hatte, prallte ins Heck des Audi. Der gleichentags aufgesuchte Hausarzt stellte Myogelosen und Triggerpunkte sowie mittels Röntgenuntersuchung der Halswirbelsäule (HWS) eine pathologische Streckhaltung fest. Er diagnostizierte ein Schleudertrauma der HWS und bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang (Einholung einer biomechanischen Kurzbeurteilung vom 20. November 2003) und zum medizinischen Sachverhalt (unter anderem Einholung eines neurologischen Gutachtens vom 19. September 2005 und einer psychiatrischen Expertise vom 29. Dezember 2005) eröffnete sie der Versicherten mit Verfügung vom 27. Juni 2006 die Einstellung der Leistungen auf den 31. Juli 2006; zudem wurde ein Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung verneint. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch bestehenden Beschwerden stünden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 10. März 2003. Daran hielt die SUVA auf die von I._ und deren Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 2. November 2006).
B. I._ reichte Beschwerde ein. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau verneinte einen Anspruch auf die geltend gemachte Invalidenrente und Integritätsentschädigung und wies das Rechtsmittel ab (Entscheid vom 4. Juli 2007).
C. I._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben, der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 10. März 2003 und der bestehenden Erwerbsunfähigkeit zu bejahen und ab 1. August 2006 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei in Aufhebung des kantonalen Entscheides der adäquate Kausalzusammenhang zu bejahen und die Sache zur Festlegung des Rentenanspruchs ab 1. August 2006 an den Unfallversicherer zurückzuweisen. Zudem sei eine Integritätsentschädigung von Fr. 26'700.- zuzüglich Zins zu 5% ab 1. August 2006 zuzusprechen.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Den Parteien wurde die Gelegenheit eingeräumt, ihre Vorbringen im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil BGE 134 V 109 zu ergänzen. Davon macht die SUVA mit Eingabe vom 3. April 2008 Gebrauch.
Erwägungen:
1. Auf die Beschwerde kann insoweit nicht eingetreten werden, als die Zusprechung von Verzugszins verlangt wird, bildete doch dies nicht Gegenstand des kantonalen Verfahrens.
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Versicherte aus dem Unfall vom 10. März 2003 über den 31. Juli 2004 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat. Im Vordergrund steht dabei die Frage, ob die noch bestehenden Beschwerden in einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall stehen. Während die Beschwerdeführerin dies bejaht, verneinen Unfallversicherer und Vorinstanz den adäquaten Kausalzusammenhang.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid richtig dargelegt. Es betrifft dies insbesondere die von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätze zum für einen Leistungsanspruch vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181 mit Hinweisen) und bei klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (BGE 115 V 133) sowie bei nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen Schleudertraumen (BGE 117 V 359), äquivalenten Verletzungen der HWS (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) und Schädel-Hirntraumen (BGE 117 V 369) im Besonderen. Darauf wird verwiesen.
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die für Schleudertraumen und äquivalente Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen ohne organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolgen geltende sog. Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (BGE 134 V 109 E. 9 und 10 S. 121 ff.). Die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze (BGE 115 V 133) liess das Bundesgericht hingegen unverändert bestehen (BGE 134 V 109 E. 6.1 S. 116).
3. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, dass keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vorliegt, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchte. Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten richtig und auch nicht umstritten.
Demnach hat, anders als bei organisch klar ausgewiesenen Unfallfolgen, bei welchen der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden kann, eine besondere Adäquanzprüfung zu erfolgen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
4. Mit der Vorinstanz ist auszuschliessen, dass sich die Versicherte beim Unfall vom 10. März 2003 ein Schädel-Hirntrauma zugezogen hat. Zwar wurde in einem Arztbericht eine leichte traumatische Hirnverletzung diagnostiziert. Die folgenden fachärztlichen Untersuchungen ergaben dann aber keine zuverlässigen Hinweise auf eine solche Läsion.
In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was eine andere Betrachtungsweise zu rechtfertigen vermöchte. Es kann auf die einlässlichen Erwägungen im vorinstanzlichen Entscheid verwiesen werden.
5. Unbestrittenermassen hat die Versicherte beim Unfall vom 10. März 2003 aber ein Schleudertrauma im Sinne der Rechtsprechung (BGE 134 V 109, 117 V 359) erlitten. Der Unfallversicherer hat denn auch noch im Einspracheentscheid vom 2. November 2006 die Adäquanz nach den für solche Verletzungen geltenden Regeln geprüft. Erst im kantonalen Verfahren machte er geltend, es seien die für psychische Fehlentwicklungen geltenden Grundsätze anzuwenden. Zu diesem Ergebnis ist auch die Vorinstanz gelangt. Begründet wird dies im angefochtenen Entscheid damit, gemäss dem psychiatrischen Gutachten vom 29. Dezember 2005 lägen einerseits konkrete unfallfremde Faktoren vor und bestehe anderseits als sekundäre Gesundheitsschädigung eine Panikstörung. Demgegenüber erachtet die Beschwerdeführerin die Schleudertrauma-Praxis für anwendbar. Welche dieser Auffassungen zutrifft, muss indessen nicht abschliessend geprüft werden. Denn wie die folgenden Erwägungen zeigen, ist der adäquate Kausalzusammenhang auch dann zu verneinen, wenn nach der Schleudertrauma-Praxis vorgegangen wird.
6. 6.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen, wobei zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126, 117 V 359 E. 6a S. 366 f.). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften. Dieser Grundsatz, den das Bundesgericht jüngst in Bezug auf die Adäquanzbeurteilung bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall bestätigt hat (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07, E. 5.2 und 5.3.1), gilt auch bei Anwendung der Schleudertrauma-Praxis.
Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 10. März 2003 als mittelschweres Ereignis im Grenzbereich zu den leichten Unfällen eingestuft. Die lässt sich im Lichte der Rechtsprechung zur Unfallschwere bei Auffahrkollisionen auf ein (haltendes) Fahrzeug (RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236, U 380/04, E. 5.1.2 mit Hinweisen) vertreten. Mit Blick darauf, dass die Auffahrkollision in einem Kreisel bei eher geringer Geschwindigkeit erfolgte und die Autos dabei zwar beschädigt wurden, die Fahrt danach aber fortsetzen konnten, wäre allerdings auch eine Einreihung bei den leichten Unfällen nicht undenkbar (vgl. Urteil U 42/07 vom 16. Januar 2008, E. 3.3). Für die Annahme, dass sich eher bescheidene Kräfte ausgewirkt haben, spricht auch, dass die Versicherte erst auf Hinweis Dritter bemerkte, dass das folgende Fahrzeug auf ihren Wagen aufgefahren war. Sodann hielten es die Unfallbeteiligten nicht für nötig, die Polizei beizuziehen oder ärztliche Betreuung am Unfallort zu beanspruchen.
6.2 Bei der von der Vorinstanz angenommenen Unfallschwere müssten von den weiteren massgebenden Kriterien entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6a S. 367).
Die Vorinstanz ist in Anwendung der für psychische Fehlentwicklungen geltenden Grundsätze zum Ergebnis gelangt, es liege einzig und nicht in besonders ausgeprägter Weise das Kriterium des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit vor.
Die Beschwerdeführerin erachtet mehrere der nach der bisherigen Schleudertrauma-Praxis geltenden wie auch der mit BGE 134 V 109 modifizierten Kriterien als in teils ausgeprägter Weise erfüllt. Dies gilt es nachfolgend zu prüfen.
Die Beschwerdeführerin erachtet mehrere der nach der bisherigen Schleudertrauma-Praxis geltenden wie auch der mit BGE 134 V 109 modifizierten Kriterien als in teils ausgeprägter Weise erfüllt. Dies gilt es nachfolgend zu prüfen.
6.3 6.3.1 Zu Recht nicht geltend gemacht werden die beiden (durch BGE 134 V 109 nicht modifizierten) Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls und der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert.
6.3.2 Das (unveränderte) Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen erachtet die Versicherte als erfüllt. Sie verweist dabei namentlich auf die eingetretene Arbeitsunfähigkeit und Einschränkung in der Haushaltsführung. Diese Gesichtspunkte sind indessen in die nachfolgende Prüfung der neu gefassten Kriterien der Arbeitsunfähigkeit und der Beschwerden einzubeziehen. Würden sie zusätzlich beim Kriterium der besonderen Art der Verletzung erfasst, käme dies einer doppelten Berücksichtigung ein und desselben Umstandes gleich. Ausserhalb der genannten Faktoren mangelt es an Gesichtspunkten, welche rechtsprechungsgemäss (BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127 f.) die Bejahung des Kriteriums gestatten könnten.
6.3.3 Das Kriterium der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung (bisher: Dauer der ärztlichen Behandlung) ist aufgrund der über geraume Zeit teilweise stationär und mit verschiedenen Therapieansätzen vorgenommenen, teilweise mit Nebenwirkungen verbundenen Behandlungsmassnahmen als erfüllt zu betrachten. In besonders ausgeprägter Weise liegt es aber entgegen der von der Versicherten vertretenen Auffassung nicht vor, zumal auch verschiedene Perioden ohne Therapien zu verzeichnen waren.
6.3.4 Das Kriterium der erheblichen Beschwerden (bisher: Dauerbeschwerden) beurteilt sich nach den glaubhaften Schmerzen und nach der Beeinträchtigung, welche die verunfallte Person durch die Beschwerden im Lebensalltag erfährt (BGE 134 V 109 E. 10.2.4 S. 128). Aufgrund der glaubhaften Schmerzen und der dadurch bedingten Einschränkung in der Haushaltsarbeit sowie bei der Betreuung des (ersten) Kindes kann dieses Kriterium als erfüllt betrachtet werden, zumal die Versicherte aufgrund der Beschwerden eine begonnene Weiterbildung abgebrochen hat. In besonders ausgeprägter Weise liegt das Kriterium aber nicht vor, spielten doch weitere, unfallfremde Faktoren eine nicht unerhebliche Rolle. Zudem ist die Beschwerdeführerin im Mai 2006 Mutter von Zwillingen geworden, ohne dass ersichtlich wäre, dass sie dieser zusätzlichen Aufgabe nicht mindestens weitgehend gewachsen wäre.
6.3.5 Das (unveränderte) Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen ist entgegen der Beschwerde zu verneinen, und zwar auch in der einfachen Form. Die gesundheitliche Entwicklung nach dem Unfall unterscheidet sich nicht wesentlich von dem bei derartigen Verletzungen Üblichen. Besondere Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben (vgl. SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81, U 479/05, E. 8.5; Urteile 8C_57/2008 vom 16. Mai 2008, E. 9.6.1, und U 56/07 vom 25. Januar 2008, E. 6.6 mit Hinweis), liegen nicht vor. Dass das kantonale Gericht den Heilungsverlauf in Bezug auf die physischen Beschwerden als schwierig beurteilt hat, lässt sich bei genauer Betrachtung nicht stützen und vermag keine andere Betrachtungsweise zu rechtfertigen.
6.3.6 Selbst wenn sodann das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (bisher: Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit) bejaht würde, läge es jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise vor, zumal lediglich ein kurzer Arbeitsversuch zu verzeichnen ist und die Versicherte einen Teil der ärztlich empfohlenen Therapien ausschlug .
6.4 Zusammenfassend sind höchstens, und nicht in besonders ausgeprägter oder auffälliger Weise, drei Kriterien erfüllt. Dies genügt nicht, um den adäquaten Kausalzusammenhang bejahen zu können. Das kantonale Gericht hat eine weitere Leistungspflicht des Unfallversicherers somit zu Recht verneint.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Juni 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz