Faits:
A. K._ a occupé le poste de chauffeur de limousine et de voiturier dans un hôtel entre novembre 2000 et février 2007. Il travaillait comme manoeuvre-vidangeur depuis octobre 2007 et accessoirement comme concierge depuis décembre 2001 lorsque les conséquences d'une chute sur le genou gauche survenue en date du 24 janvier 2008 l'ont contraint à interrompre toute activité. Son cas a été pris en charge par l'assureur-accidents et communiqué à l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) le 23 mai 2008. Invité à déposer une demande de prestations, l'assuré s'est exécuté le 16 septembre 2008.
Entre autres mesures d'instruction, l'administration a recueilli l'avis des médecins traitants. Le docteur S._, généraliste, a mentionné un status après accident (avec contusion et entorse au genou gauche) incapacitant depuis le 28 janvier 2008 malgré deux opérations (rapport du 6 octobre 2008). Le docteur C._, chirurgien orthopédique, a fait état d'une déchirure méniscale ayant nécessité une méniscectomie arthroscopique puis une toilette arthroscopique (rapports des 22 avril, 17 septembre et 4 décembre 2008). L'office AI s'est aussi procuré le dossier constitué par l'assureur-accidents dans lequel figure un rapport de la Clinique X._. En plus des interventions chirurgicales et diagnostics évoqués par leurs confrères, les médecins de X._ ont signalé des douleurs persistantes, des troubles dégénératifs débutants et une amplification des symptômes pour des raisons non médicales autorisant l'exercice à plein temps d'une activité en position assise ou avec peu de déplacements sans port de charges lourdes; il ont fait allusion à une incapacité totale de travail dans la profession de vidangeur pour la période allant du 20 janvier au 15 mars 2009 (rapports des docteurs G._, spécialiste en médecine physique et réadaptation, F._, psychiatre, et L._, spécialiste en médecine physique et réhabilitation, des 12, 17 et 27 février 2009).
Les doctoresses E._ et U._, service médical régional de l'administration (SMR), ont considéré que l'intéressé était apte à reprendre une activité adaptée (n'exigeant pas de se déplacer à pied sur des terrains irréguliers ou de longues distances, d'utiliser des escaliers ou des échelles de façon répétée, de porter des charges de plus de 10 kg, de maintenir les positions accroupie ou debout de manière prolongée) un mois après la méniscectomie et que le métier de chauffeur de limousine était totalement adapté (rapport du 8 juin 2009). Sur la base de cette appréciation, l'office AI a rejeté la requête de prestations dans la mesure où le taux d'invalidité était de 9 % (décision du 7 septembre 2009).
B. K._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui, Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève) concluant à l'octroi d'au moins un quart de rente dès le mois de janvier 2009 ou à la mise en oeuvre de mesures de réadaptation. Il soutenait que les suites de son accident n'avaient pas été appréciées correctement et contestait l'évaluation de son invalidité.
Par jugement du 15 mars 2010, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours, annulé la décision litigieuse, constaté le droit de l'assuré à une rente entière entre le 1er mars et le 30 juin 2009 et renvoyé le dossier à l'administration pour qu'elle examine le droit à une mesure de reclassement. A la différence de l'office AI, elle fixait la date à partir de laquelle une activité adaptée était exigible au 16 mars 2009, prenait en considération un abattement de 10 % dans l'évaluation de l'invalidité et aboutissait à un taux de 22 %.
C. L'administration forme un recours en matière de droit public à l'encontre de ce jugement. Elle en requiert l'annulation et conclut à la confirmation de la décision du 7 septembre 2009.
L'intéressé conclut au rejet du recours. Il sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire. L'Office fédéral des assurances sociales propose l'admission du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux invoqués et le rejeter par une argumentation autre que celle de l'autorité précédente (cf. ATF 133 V 515 consid. 1.3 p. 519; 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Il n'examine en principe que les griefs allégués, eu égard à l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, auquel cas il peut les rectifier ou les compléter d'office (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (cf. ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2. 2.1 L'office recourant reproche d'abord aux premiers juges d'avoir procédé à une appréciation arbitraire de l'avis des médecins de X._. Il ne conteste pas la valeur probante de leur rapport mais il soutient substantiellement que ce rapport ne détermine pas le moment à partir duquel une activité adaptée était exigible, contrairement à ce que constate le jugement cantonal, de sorte qu'il n'y avait pas de raisons pour se distancier de la date fixée à cet égard par le SMR et pour allouer à l'intimé une rente limitée dans le temps.
2.2 La juridiction cantonale s'est en l'occurrence écartée de l'appréciation du SMR relative à la date à compter de laquelle une activité adaptée était exigible dans la mesure où cette appréciation n'était pas motivée de façon convaincante et ne se référait pas à un état de santé stabilisé. Elle a substitué au 22 mai 2008, mentionné dans la décision administrative et correspondant à l'échéance du mois nécessaire pour se remettre des suites de la méniscectomie arthroscopique réalisée le 22 avril précédent, le 16 mars 2009, correspondant à la fin de l'incapacité totale de travail attestée par les médecins de X._.
2.3 Si l'appréciation du SMR concernant la date d'exigibilité repose effectivement sur une motivation succincte, elle n'en est toutefois pas totalement dépourvue, au contraire de l'appréciation des médecins de X._, et sa pertinence ne saurait être jugée uniquement à l'aune de sa concision. Que le rapport de X._ soit globalement considéré comme probant - pour la seule raison non motivée concrètement qu'il remplit formellement des critères jurisprudentiels qu'on se contente d'énumérer - n'empêche pas qu'il soit plus ou moins convaincant sur tel ou tel point. Il ressort dudit rapport que les praticiens consultés n'ont pas pu mettre en évidence d'atteinte somatique pouvant expliquer l'importance des plaintes, ni le comportement d'invalidation. Ceux-ci ont estimé que l'assuré pouvait accomplir à plein temps une activité légère en position assise ou ne nécessitant que peu de déplacements, sans port de charges supérieures à quelques kilogrammes mais, conformément à ce qu'affirme l'administration, ils n'ont nullement énoncé une date à partir de laquelle une telle activité pouvait être exercée. Ils ont certes mentionné une incapacité totale de travail mais celle-ci se rapportait expressément à la «profession actuelle de vidangeur», elle n'était attestée que depuis le 20 janvier 2009, soit depuis le début du séjour à la X._, et elle prenait fin à la date du 15 mars 2009 qui ne trouve aucune justification médicale dans les différentes parties du rapport. Il semble que la période évoquée corresponde seulement au temps que l'intimé a dû mobiliser pour passer différents tests ou examens et entreprendre différentes thérapies auprès de X._ ainsi qu'au temps supplémentaire jugé nécessaire pour chercher un emploi adapté (à cet égard, cf. lettre du 7 mai 2009 par laquelle l'assureur-accidents octroie un délai additionnel pour trouver un emploi adapté avant de mettre fin à la prise en charge du traitement et au paiement des indemnités journalières). Une telle appréciation ne reposant sur aucun fondement médical ne saurait être imposée à l'office recourant. On observera encore que le status au début et à la fin du séjour à la Clinique X._ est resté inchangé et qu'il n'a que peu ou pas évolué depuis la période postérieure à la première intervention chirurgicale, d'où l'absence de découverte significative sur la plan clinique et l'inefficacité des traitements et thérapies entrepris constatée dans la partie appréciation du rapport de X._. Dans ces circonstances, sous peine de violer les principes régissant l'appréciation des preuves, les premiers juges ne pouvaient écarter les conclusions des médecins du SMR, qui justifiaient la date d'exigibilité par la durée relativement brève des effets incapacitants d'une opération par arthroscopie, au profit de celles des médecins de X._ et se servir de ces dernières pour justifier l'octroi d'une rente limitée dans le temps.
3. 3.1 L'assuré reproche aussi à la juridiction cantonale d'avoir abusé de son pouvoir d'appréciation. Il estime substantiellement que les circonstances ne lui permettaient pas de prendre en considération un abattement de 10 % dans l'évaluation du taux d'invalidité.
3.2 Les premiers juges ont considéré qu'un abattement global de 10 % se justifiait en l'espèce dès lors l'intimé était titulaire d'une autorisation de séjour de type B et présentait des limitations lui imposant une activité adaptée.
3.3 Interprété à la lumière des conclusions du SMR, le fait que la décision litigieuse ne mentionne pas d'abattement ne signifie pas que l'administration a omis de traiter ce point mais que les conditions pouvant légitimer un tel abattement n'étaient pas données. La juridiction cantonale se contente d'évoquer un permis B (autorisation de séjour pour une activité de longue durée) et des limitations fonctionnelles imposant la pratique d'une activité adaptée sans cependant démontrer en quoi lesdits éléments constitueraient un inconvénient qui justifierait la correction du revenu d'invalide par une réduction de 10 %. On relèvera encore que la titularité du permis B n'a jamais empêché l'assuré d'occuper des postes de travail de longue durée. Celui-ci n'a en effet bénéficié d'indemnités de chômage que durant deux mois depuis son arrivée en Suisse. On remarquera également que les limitations fonctionnelles ont déjà été prises en compte dans la désignation d'une activité adaptée ainsi que dans le choix du salaire d'invalide déterminant pour le calcul de comparaison des revenus. On notera enfin que le métier de chauffeur de limousine ou de voiturier dans une hôtel, longuement exercé par l'intimé, correspond parfaitement à ce qu'il est capable de réaliser. On ne voit en effet pas pourquoi une telle activité, qui consiste uniquement à conduire des voitures et n'est pas assimilable à celle de bagagiste, impliquerait nécessairement le port de charges lourdes. Dans ces circonstances, il est contraire au droit d'imposer à l'administration une déduction (de 10 %) pour fixer le revenu d'invalide.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'assuré (art. 66 al. 1 LTF) qui ne peut prétendre des dépens (art. 68 al. 1 LTF). Les conditions auxquelles l'art. 64 al. 1 et 2 LTF subordonne l'octroi de l'assistance judiciaire étant toutefois réalisées, celle-ci lui est octroyée. Son attention est attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement rendu le 15 mars 2010 par le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales est annulé.
2. L'assistance judiciaire est accordée à l'intimé.
3. Les frais judiciaires arrêtés à 500 fr. sont mis à la charge de l'intimé. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Une indemnité de 2'800 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à Me Maurizio Locciola à titre d'honoraires.
5. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure antérieure.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 10 mars 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Cretton