Sachverhalt:
A. Nachdem Dr. med. X._, Kinderarzt FMH, geb. 1936, mit Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Mai 2001 der sexuellen Handlungen mit Kindern schuldig gesprochen und mit viereinhalb Monaten Gefängnis bestraft worden war, beschränkte das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 11. Juni 2002 dessen Bewilligung zur Ausübung der selbständigen ärztlichen Berufstätigkeit auf die Behandlung von weiblichen Patienten; die Behandlung von Patienten männlichen Geschlechts ohne Altersbegrenzung und die Teilnahme am Notfalldienst wurden ihm verboten. Am 20. November 2002 wies das Bundesgericht eine dagegen gerichtete staatsrechtliche Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 2P.218/2002). Im Herbst 2003 verkaufte X._ seine Praxis.
Nachdem er im Rahmen seiner Tätigkeit für die Sterbehilfe-Organisation "Dignitas" einen männlichen Patienten untersucht und ihm ein Rezept über eine tödliche Dosis eines Betäubungsmittels ausgestellt hatte, entzog die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich am 26. Mai 2004 X._ - nach vorgängiger Verwarnung in einem ähnlich gelagerten Fall - die Bewilligung zur selbständigen ärztlichen Tätigkeit vollständig und endgültig und lehnte die von ihm beantragte Erweiterung der Praxisbewilligung auf die Behandlung männlicher Patienten, die in der Schweiz den begleiteten Freitod wünschten, ab. Die von X._ dagegen eingereichten Rechtsmittel beim Zürcher Verwaltungsgericht (Urteil vom 30. September 2004) und beim Bundesgericht (Urteil 2P.310/2004 vom 18. Mai 2005) blieben ohne Erfolg.
B. Am 7. September 2004 ersuchte X._ beim Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen darum, ihm die selbständige Ausübung des Berufes als Arzt im Kanton St. Gallen insoweit zu bewilligen, als sich diese auf "Suizid-Prophylaxe und assistierten Suizid" beziehe, unter Ausschluss einer kassenärztlichen Tätigkeit.
Mit Verfügung vom 14. August 2007 wies das Gesundheitsdepartement das Gesuch ab mit der Begründung, X._ fehle es an der Voraussetzung eines guten Leumundes.
Mit Urteil vom 27. November 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen eine von X._ dagegen eingereichte Beschwerde ab.
C. Mit Eingabe vom 21. Januar 2008 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihm die selbständige Ausübung des Berufes als Arzt im Kanton St. Gallen zu bewilligen bzw. - eventualiter - für weibliche Patienten zu bewilligen.
Das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen schliesst auf Abweisung der Beschwerde, das Verwaltungsgericht auf Abweisung, soweit darauf einzutreten sei.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss Art. 83 BGG fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG).
Als abgewiesener Gesuchsteller ist der Beschwerdeführer, welcher am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und besitzt ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung, womit er zur Beschwerde legitimiert ist (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
Hingegen gilt der Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Anwendungsbereich von Art. 106 Abs. 2 BGG ist die Praxis zum Rügeprinzip gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b des früheren Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 (OG) weiterzuführen (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 IV 286 E. 1.4 S. 287).
Es kann offenbleiben, inwieweit die vorliegende Beschwerdeschrift, welche sich über mehrere Seiten in (weitschweifiger) appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid erschöpft, diesen Anforderungen genügt, da die Beschwerde so oder so abzuweisen ist.
2. 2.1 Die Verfügung des kantonalen Gesundheitsdepartements vom 14. August 2007, mit welcher das Gesuch des Beschwerdeführers um Bewilligung der selbständigen Berufsausübung als Arzt im Kanton St. Gallen abgewiesen wurde, stützte sich auf Art. 44 Abs. 1 des st. gallischen Gesundheitsgesetzes vom 28. Juni 1979 (im Folgenden GesG/SG), wonach für die Bewilligungserteilung u.a. vorausgesetzt wird, dass der Gesuchsteller "gut beleumdet ist" (lit. c). Am 1. September 2007, d.h. im Laufe des kantonalen Rechtsmittelverfahrens, ist das Bundesgesetz vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe (Medizinalberufegesetz, MedBG; SR 811.11) in Kraft getreten. Dieses Gesetz regelt in Art. 36 die Bewilligungsvoraussetzungen für die selbständige ärztliche Berufsausübung in fachlicher (Abs. 1 lit. a) wie auch in persönlicher Hinsicht (Abs. 1 lit. b) nunmehr einheitlich und abschliessend (vgl. dazu die Botschaft zum MedBG, in: BBl 2005 S. 226, zu Art. 36; ferner: Boris Etter, Handkommentar zum Medizinalberufegesetz MedBG, Bern 2006, N. 1, 7 und 13 zu Art. 36; Mario Marti/Philipp Straub, Arzt und Berufsrecht, in: Moritz W. Kuhn/Tomas Poledna [Hrsg.], Arztrecht in der Praxis, 2. Aufl., Zürich 2007, S. 235 f.; Thomas Gächter/Dania Tremp, Arzt und seine Grundrechte, in: Kuhn/Poledna, a.a.O., S. 32 f.). Das Gesetz enthält im hier interessierenden Zusammenhang keine Übergangsbestimmungen. Das Verwaltungsgericht durfte die Frage, ob vorliegend noch das bisherige kantonale oder das neue eidgenössische Recht anwendbar sei, zulässigerweise offen lassen, da beide in Betracht fallenden Bestimmungen dasselbe verlangen. Diese Ansicht wird auch vom Beschwerdeführer geteilt. Mit dem im kantonalen Recht genannten Erfordernis des guten Leumundes ist die Vertrauenswürdigkeit gemeint, welche heute gemäss Art. 36 Abs. 1 lit. b MedBG Voraussetzung für die Zulassung zur selbständigen Berufsausübung bildet (vgl. Botschaft zum MedBG, BBl 2005 S. 226; Etter, a.a.O., N. 13 zu Art. 36; Marti/Straub, a.a.O., S. 238 f.).
2.2 Das St. Galler Verwaltungsgericht kam im angefochtenen Entscheid zum Ergebnis, aufgrund der Vorkommnisse, welche dazu geführt hätten, dass der Beschwerdeführer im Kanton Zürich vorerst mit einem teilweisen und schliesslich mit einem vollständigen Berufsverbot belegt worden sei, habe das kantonale Gesundheitsdepartement folgern dürfen, es mangle diesem sowohl im Verhältnis zu den Behörden als auch in demjenigen zu Patienten an der erforderlichen Vertrauenswürdigkeit für die Tätigkeit als selbständiger Arzt. In Anbetracht der gesamten Umstände könne nicht davon ausgegangen werden, dass sich der Beschwerdeführer an eine auf einen bestimmten Sachbereich oder Personenkreis beschränkte Berufsausübungsbewilligung halten würde, womit eine in diesem Sinne mildere Massnahme ausser Betracht falle. Dass das für den Kanton Zürich geltende Berufsverbot vor rund drei Jahren und sechs Monaten angeordnet worden sei und der Beschwerdeführer sich seither wohl verhalten habe, lasse die Gesuchsabweisung nicht als unverhältnismässig erscheinen.
Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, die kantonalen Behörden würden den Begriff der Vertrauenswürdigkeit falsch auslegen, indem sie eine ethisch-moralische Wertung vorgenommen hätten, ohne diese auf ihre Legitimität und Funktionalität hin zu hinterfragen. Das Erfordernis des guten Leumunds sei unter dem Gesichtspunkt der Zweckangemessenheit auszulegen, worunter der Grundsatz der Verhältnismässigkeit zu verstehen sei. Dieser gebiete eine mildere Massnahme als die komplette Verweigerung der Berufsausübungsbewilligung: Die Beschränkung der damaligen Praxisbewilligung des Beschwerdeführers sei erfolgt "wegen strafbarer Handlungen gegen die sexuelle Integrität jungendlicher Patienten männlichen Geschlechts". Die vorliegend beantragte Bewilligung betreffe vor allem ältere bis betagte, schwerstkranke Patienten, für welche aufgrund der Neigungen des Beschwerdeführers überhaupt keine Gefahr bestehe. Auch könne der Entzug der Bewilligung im Kanton Zürich nicht als verhältnismässig angesehen werden, da er wegen einer Handlung erfolgt sei, welche noch vor der Verwarnung vorgenommen worden sei. Im Übrigen sei der zuständige Zürcher Kantonsarzt der betreffenden Sterbehilfeorganisation seit Jahren mit einer an Ablehnung grenzenden Zurückhaltung begegnet.
2.3 Im Urteil des Bundesgerichts 2P.310/2004 vom 18. Mai 2005 (E. 4.4) wurde dargelegt, weshalb die zürcherischen Behörden dem Beschwerdeführer aufgrund seines bisherigen Verhaltens die erforderliche Vertrauenswürdigkeit für die selbständige Berufsausübung absprechen durften. Es wurde festgehalten, dass die genannte Voraussetzung nicht nur das Verhältnis zwischen Arzt und Patient, sondern grundsätzlich auch jenes zwischen Arzt und Behörde betrifft (zit. Urteil, E. 4.4.2; vgl. auch Urteil 2P.231/2006 vom 10. Januar 2007, E. 6.2).
Es besteht kein Anlass, für die vom Beschwerdeführer im Kanton St. Gallen beabsichtigte selbständige ärztliche Tätigkeit niedrigere Anforderungen an die Vertrauenswürdigkeit zu stellen. Auch und insbesondere auf dem Gebiet der Suizidprophylaxe und des assistierten Suizids kommt dem beteiligten Arzt eine hohe Verantwortung zu. Das zum Bewilligungsentzug im Kanton Zürich führende Verhalten des Beschwerdeführers rechtfertigt Zweifel an seiner Fähigkeit oder Bereitschaft, sich strikte an die geltenden medizinalrechtlichen Normen und behördlichen Vorgaben zu halten. Der Zeitablauf seit den strafrechtlichen Verfehlungen vermag diese Bedenken nicht zu zerstreuen, zumal sich der Beschwerdeführer - wie ausgeführt - auch später bei der Berufsausübung nicht korrekt verhalten hat. Eine Wiedererteilung der Praxisbewilligung fällt umso weniger in Betracht, als sich der 1936 geborene Beschwerdeführer heute in einem Alter befindet, in dem in der Regel ohnehin keine aktive Erwerbstätigkeit mehr ausgeübt wird. Auch mit dem gestellten Eventualantrag, ihm die selbständige Berufsausübung nur für weibliche Patienten zu bewilligen, vermag er nicht durchzudringen, da sich das Hindernis der mangelnden Vertrauenswürdigkeit nicht nur auf das Risiko von sexuellen Verfehlungen bezieht, sondern auch auf seine fehlende Bereitschaft, sich an die behördlichen Auflagen und Bedingungen zu halten. Die Auslegung des Begriffs der Vertrauenswürdigkeit bzw. des guten Leumunds durch die Vorinstanz lässt sich mithin nicht beanstanden; die Bewilligungsverweigerung erweist sich nach dem Gesagten auch nicht als unverhältnismässig. Von einer Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots kann vorliegend ebenso wenig gesprochen werden.
2.4 Nicht durchzudringen vermag der Beschwerdeführer ferner mit seinen formellen Rügen: Inwieweit eine Verletzung des Rechtsverweigerungsverbots, des rechtlichen Gehörs bzw. des Anspruchs auf ein faires Gerichtsverfahrens im Sinne von Art. 6 EMRK vorliegen soll, ist weder in rechtsgenüglicher Form dargetan (oben E. 1.2) noch ersichtlich.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet abzuweisen.
Entsprechend dem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. April 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Moser