Sachverhalt:
A. Der 1955 geborene D._ war als Schreiner in der Firma Z._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Gemäss Bagatellunfall-Meldung vom 19. Dezember 2002 fiel ihm am 8. Oktober 2002 (in den Akten finden sich auch andere Unfalldaten) bei der Arbeit eine Platte auf den Kopf, was jedoch weder eine ärztliche Behandlung erforderte noch zu einer unmittelbaren Arbeitsunfähigkeit führte. Nachdem über die Arbeitgeberin am 3. Dezember 2002 der Konkurs eröffnet worden war, bezog D._ Arbeitslosenentschädigung. Ab 9. Januar 2003 wurde von ärztlicher Seite wegen Rücken- und Nackenschmerzen eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Ab 28. April 2003 war D._ im Zwischenverdienst in verschiedenen Arbeitsverhältnissen tätig. Am 20. Mai 2003 erlitt er einen Verkehrsunfall. Ein aus einer Stoppstrasse fahrender Honda Shuttle prallte in die rechte Seite des von D._ gelenkten Mitsubishi Galant. Der Mitsubishi wurde dadurch abgedreht und kam am Strassenrand mit der Front gegen die Fahrrichtung zum Stillstand. D._ suchte gleichentags das Spital E._ auf, wo ein Wirbelsäulenschmerz mit Ausstrahlung in den linken Arm und das rechte Bein nach Autounfall mit/bei bekannter Lumboischialgie mit Ausstrahlung ins rechte Bein (bis in die Grosszehe) und Cervikalsyndrom diagnostiziert wurde. Die SUVA als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt stellte sie mit Verfügung vom 11. September 2007 die Leistungen rückwirkend per 3. Juli 2003 ein und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Begründet wurde dies mit der fehlenden adäquaten Unfallkausalität der über den 3. Juli 2003 hinaus geklagten Beschwerden. Daran hielt der Versicherer auf die von D._ erhobene Einsprache hin fest (Entscheid vom 4. Dezember 2007).
B. D._ reichte hiegegen Beschwerde ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess diese teilweise gut, indem es erkannte, die SUVA habe bis 31. Juli 2007 Heilbehandlung zu gewähren und Taggeld auszurichten. Im Übrigen, d.h. bezüglich der geltend gemachten Leistungen über diesen Zeitpunkt hinaus, wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 16. Dezember 2009).
C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die SUVA zu verpflichten, aus den Unfällen von 2002 und 2003 über den 31. Juli 2007 hinaus die gesetzlichen Leistungen sowie eine Invalidenrente entsprechend einer vollen Erwerbsunfähigkeit und eine Integritätsentschädigung bei einem Integritätsschaden von mindestens 30 % auszurichten.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Trotzdem obliegt es der Beschwerde führenden Partei, sich in der Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Das kantonale Gericht hat einen Anspruch auf Heilbehandlung und Taggeld über den im Einspracheentscheid vom 4. Dezember 2007 festgelegten Zeitpunkt (3. Juli 2003) hinaus bis 31. Juli 2007 bejaht. Die SUVA hat dies nicht angefochten. Da das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen darf (Art. 107 Abs. 1 BGG), hat es diesbezüglich sein Bewenden.
3. Streitig und zu prüfen ist , ob aus den Unfällen von 2002 und 2003 über den 31. Juli 2007 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung dieser Streitfrage sind im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, dargelegt. Das betrifft nebst den massgeblichen Gesetzesbestimmungen namentlich auch die Rechtsprechung über den für einen Leistungsanspruch erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang im Allgemeinen (BGE 129 V 179 E. 3.1 und 3.2 S. 181) sowie bei organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111; 127 V 102 E. 5b/bb S. 103), nach den für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall entwickelten Grundsätzen (sog. Psycho-Praxis; BGE 115 V 133) und bei nicht organisch objektiv ausgewiesenen Schleudertraumen, äquivalenten Verletzungen der Halswirbelsäule (HWS) und Schädel-Hirntraumen (sog. Schleudertrauma-Praxis; BGE 134 V 109) im Besonderen mit den sich jeweils stellenden Beweisfragen. Hervorzuheben ist, dass nach der Psycho-Praxis die abhängig von der Unfallschwere in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehenden Kriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft werden, während nach der Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
4. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die noch geklagten Beschwerden seien nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge der Unfälle von 2002 und 2003 zu erklären. Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Würdigung der medizinischen Akten. Sie ist zu Recht nicht umstritten.
5. Liegt keine solche Unfallfolge vor, lässt sich der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den noch geklagten Beschwerden und den Unfällen von 2002 und 2003 nicht ohne besondere Prüfung bejahen (vgl. BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112). Dabei braucht auf die Frage der natürlichen Unfallkausalität mit der Vorinstanz nicht weiter eingegangen zu werden, wenn es ohnehin an der - kumulativ erforderlichen - Adäquanz fehlt (vgl. BGE 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 5.1). Das gilt es zu prüfen.
5.1 Der Beschwerdeführer erneuert sein Vorbringen, die Adäquanz sei für beide Unfälle von 2002 und 2003 gesamthaft zu beurteilen. Praxisgemäss ist indessen bei mehreren versicherten Unfällen die Adäquanz des Kausalzusammenhangs in der Regel für jeden Unfall gesondert zu beurteilen (vgl., auch zum Folgenden: SVR 2009 UV Nr. 30 S. 105, 8C_413/2008 E. 2.3 mit Hinweis; Urteil 8C_477/2008 vom 19. Dezember 2008 E. 6.1). Die Voraussetzungen, um die wiederholte Betroffenheit desselben Körperteils bei der Adäquanzbeurteilung zu berücksichtigen, sind hier nicht erfüllt. Dies hat das kantonale Gericht in überzeugender Würdigung der Sach- und Rechtslage, mit der sich die Beschwerde nicht auseinandersetzt, dargelegt. Es bleibt damit bei einer gesonderten Adäquanzprüfung für beide Unfälle. Dabei kann immerhin festgehalten werden, dass ohnehin keine Gesichtspunkte erkennbar sind, welche bei einer gesamthaften Betrachtung beider Ereignisse - abweichend von den nachfolgenden Erwägungen - zu einer Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhang führen würden.
5.2 Die SUVA hat den adäquaten Kausalzusammenhang nach der Psycho-Praxis geprüft. Der Beschwerdeführer erachtet die Schleudertrauma-Praxis für massgebend.
Es erscheint nach Lage der Akten beim ersten Unfall zweifelhaft und bedürfte auch beim zweiten Unfall näherer Betrachtung, ob eine Verletzung vorliegt, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertigt. Dies kann aber, wie das kantonale Gericht zutreffend erwogen hat, offen bleiben, wenn die Adäquanz bei beiden Unfällen auch nach der in der Regel (vgl. aus jüngerer Zeit: SVR 2010 UV Nr. 3 S. 11, 8C_283/2009 E. 9 Ingress) und jedenfalls hier für den Versicherten vorteilhafteren Schleudertrauma-Rechtsprechung zu verneinen ist. Zu letzterem Ergebnis ist die Vorinstanz gelangt, was es nachfolgend zu prüfen gilt.
5.3 Den Ausgangspunkt der Adäquanzprüfung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Das kantonale Gericht hat den Unfall von 2002 den mittelschweren Ereignissen im Grenzbereich zu den leichten Unfällen und den Unfall von 2003 den mittelschweren Unfällen im eigentlichen Sinn zugerechnet. Diese Beurteilung ist im Rahmen der von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätze (vgl. SVR 2010 UV Nr. 3 S. 11, 8C_283/2009 E. 9.1; 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1) nicht zu bestanden und auch nicht umstritten.
5.4 Von den weiteren massgeblichen Kriterien (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130) müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. mit Hinweis).
5.4.1 Das kantonale Gericht hat in Bezug auf den Unfall von 2002 sämtliche Kriterien - und damit den adäquaten Kausalzusammenhang zu den noch geklagten Beschwerden - verneint. Diese Beurteilung, mit der sich die Beschwerde nicht auseinandersetzt, überzeugt in allen Teilen.
5.4.2 Bezüglich des Unfalls von 2003 ist das Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, unbestrittenermassen nicht erfüllt. Von den weiteren sechs Kriterien ist gemäss dem angefochtenen Entscheid einzig - und nicht in besonders ausgeprägter Weise - das Kriterium der erheblichen Beschwerden gegeben. Das würde für die Bejahung der Adäquanz nicht genügen. Nach Auffassung des Versicherten liegen diese sechs Kriterien alle vor, drei davon sogar besonders ausgeprägt.
Im Einzelnen ergibt sich hiezu Folgendes:
Worauf es beim Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalles ankommt, ist im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt (vgl. auch SVR 2009 UV Nr. 41 S. 42, 8C_1020/2008 E. 5.2 mit Hinweisen). Mit dem kantonalen Gericht sind diese Voraussetzungen hier zu verneinen. Relevante Begleitumstände lagen nicht vor und der erlittene Schrecken hielt sich im Rahmen des bei Unfällen Üblichen. Das Ereignis von 2003 unterscheidet sich bezüglich Eindrücklichkeit und Begleitumständen denn auch klar von den Unfällen, bei welchen gemäss den von der Vorinstanz erwähnten Präjudizien das Kriterium bejaht wurde (vgl. auch die Übersicht über die Rechtsprechung im Urteil 8C_786/2009 vom 4. Januar 2010 E. 5.2).
Von den Aspekten, welche für das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen sprechen könnten, steht vorliegend einzig eine allfällige erhebliche Vorschädigung an der Wirbelsäule zur Diskussion (vgl. SVR 2009 UV Nr. 30 S. 105, 8C_413/2008 E. 6.3.2 mit Hinweisen). Der vom Versicherten geltend gemachte und auch im angefochtenen Entscheid erwähnte Vorzustand an der Lendenwirbelsäule lässt eine HWS-Verletzung indessen nicht als besonders im Sinne des besagten Kriteriums erscheinen (Urteil 8C_915/2009 vom 10. Februar 2010 E. 4.5.1). Eine erhebliche Vorschädigung im Bereich der HWS ist nicht ausgewiesen. Das Kriterium ist daher mit der Vorinstanz schon in der einfachen Form zu verneinen. Es liegt erst recht nicht in besonders ausgeprägter Weise vor.
Nach dem Unfall fanden nebst fachärztlichen Abklärungen periodisch ambulante hausärztliche Behandlungen und Kontrollen mit Verschreibung von Analgetika und Physiotherapie sowie Psychotherapiesitzungen statt. Eine stationäre Behandlung/Rehabilitation wurde nicht durchgeführt. Von einer fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung im Sinne des entsprechenden Kriteriums kann mit der Vorinstanz nicht gesprochen werden (vgl. SVR 2009 UV Nr. 22 S. 80, 8C_209/2008 E. 5.4; Urteile 8C_623/2009 vom 2. März 2009 E. 4.3.2 und 8C_488/2009 vom 30. Oktober 2009 E. 5.2.2 mit Hinweisen.).
Die beiden Teilaspekte des Kriteriums des schwierigen Heilungsverlaufs und der erheblichen Komplikationen müssen nicht kumulativ erfüllt sein. Es bedarf aber besonderer Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben (vgl., auch zum Folgenden: SVR 2009 UV Nr. 41 S. 142, 8C_1020/2008 E. 5.7 mit Hinweisen). Solche Gründe sind hier nicht erkennbar. Dass die SUVA Heilbehandlung bis Ende Juli 2007 zu gewähren hat und allenfalls Beschwerden über diesen Zeitpunkt hinaus persistieren, genügt entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung nicht.
Es verbleiben die Kriterien der erheblichen Beschwerden und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen. Selbst wenn beide als erfüllt zu betrachten wären, läge noch keine Häufung von Kriterien vor, welche die Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs gestatten würde (vgl. Urteil 8C_897/2009 vom 29. Januar 2010 E. 4.5). Hiefür müsste demnach mindestens eines dieser Kriterien in besonders ausgeprägter Weise vorliegen. Das trifft nicht zu, wie das kantonale Gericht überzeugend dargelegt hat. Die Einwände des Versicherten führen zu keiner anderen Betrachtungsweise. Den glaubhaften Beschwerden hat das kantonale Gericht in schlüssiger Weise Rechnung getragen, indem es das Kriterium der erheblichen Beschwerden in der einfachen Form bejaht hat. Es liegen keine Anhaltspunkte für, welche das Kriterium als besonders ausgeprägt erscheinen lassen. Sodann trifft entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht zu, dass eine dauernde Arbeitsunfähigkeit zwischen 20 % und 30 % genügen würde, um das entsprechende Kriterium in besonders ausgeprägter Weise zu bejahen. Es kann offen bleiben, ob das Kriterium überhaupt in der einfachen Form als erfüllt zu betrachten wäre. Denn auch wenn dies zuträfe, würde dies für die Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs nicht genügen.
5.5 Unfallversicherer und Vorinstanz haben demnach einen Leistungsanspruch über den 31. Juli 2007 hinaus zu Recht mangels adäquaten Kausalzusammenhangs der noch geklagten Beschwerden zu einem oder beiden Unfällen von 2002 und 2003 verneint.
6. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. März 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz