Faits:
A.
X._ et Z._, née Y._, ont vécu ensemble de juin 1991 à juillet 2002.
Les parties ont entretenu des relations financières complexes, payant les factures les concernant réciproquement par leurs comptes respectifs. Entre 1997 et 2002, elles étaient titulaires d'un CCP commun, qui a notamment financé leurs dépenses courantes et leurs frais communs. X._ disposait en outre d'une procuration sur le compte de Z._ à la banque V._ Ltd (ci-après: la banque V._).
En 1993, Z._ est devenue propriétaire d'un appartement à B._, dans lequel les parties ont effectué des travaux de rénovation. La valeur des travaux réalisés par X._ est estimée à 30'000 fr.
En juin 1996, X._ a acquis de la tante de Z._, pour 74'000 fr., un immeuble comportant une grange, sis sur la commune de B._ Il a payé le prix au moyen de ses fonds propres à concurrence de 14'000 fr. et d'un emprunt bancaire de 60'000 fr. Ce prêt sera repris par la banque W._ de B._ et augmenté à 385'000 fr. pour financer la transformation de la grange en une habitation (le "Chalet A._"). En septembre 1999, X._ a obtenu de la commune de B._ une subvention de 19'125 fr. pour la réfection de l'immeuble et sa modification en logement. Z._ a participé à l'acquisition et à la transformation du Chalet A._ à hauteur de 192'729 fr.15; sur ce montant, 15'400 fr. correspondent à des amortissements et 43'849 fr.15 à des intérêts hypothécaires.
A une date indéterminée, Z._ a financé à hauteur de 18'845 fr. l'acquisition d'une moto qui sera conservée par X._.
En février 2005, X._ a vendu pour 980'000 fr. l'immeuble sur lequel le Chalet A._ est édifié.
B.
Par demande du 9 février 2005, Z._ a ouvert action contre X._. Ses dernières conclusions tendaient à ce qu'il soit ordonné la liquidation de la société simple conclue avec le défendeur et à ce que ce dernier lui paie un montant de 173'864 fr.15 plus intérêts à 4% dès le 1 er août 2002.
X._ a conclu au rejet de la demande.
Plusieurs expertises judiciaires ont été mises en oeuvre, en particulier pour établir la valeur du Chalet A._ et les mouvements financiers de ou vers les comptes des parties.
Par jugement du 20 septembre 2011, le Juge du district de L'Entremont a rejeté la demande.
Statuant le 28 août 2013 sur appel de Z._, la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais a réformé le jugement de première instance en ce sens que X._ doit payer à Z._ la somme de 160'432 fr.05 avec intérêts à 5% dès le 27 janvier 2005.
C.
X._ interjette un recours en matière civile. Il demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal, puis de rejeter la demande du 9 février 2005.
Par ordonnance du 24 octobre 2013, la Présidente de la cour de céans a accordé au recours l'effet suspensif requis par le recourant.
Dans sa détermination, Z._ conclut au rejet du recours.
Pour sa part, la cour cantonale se réfère aux considérants de sa décision.
Considérant en droit:
1.
1.1. Le jugement attaqué a été rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF). Il s'agit au surplus d'une décision finale (art. 90 LTF). La valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. est atteinte (art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recours est interjeté par la partie qui a succombé en instance cantonale (art. 76 al. 1 LTF). Enfin, il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 138 II 331 consid. 1.3 p. 336; 137 II 313 consid. 4 p. 317 s.; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 137 III 580 consid. 1.3 p. 584; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400).
Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine). Ces exigences sont valables en particulier lorsque l'auteur du recours se plaint d'une appréciation arbitraire des preuves. En l'espèce, le recourant invoque l'art. 9 Cst. en relation avec le coût de construction du chalet A._, mais n'explique pas de manière étayée et précise pourquoi la cour cantonale aurait établi ce coût de manière arbitraire. De même, le recourant ne motive pas sa critique lorsqu'il s'en prend à des éléments admis ou non par les juges précédents dans le calcul du résultat de la société simple, comme l'impôt sur les gains immobiliers ou la commission de courtage. Dans cette mesure, le recours est irrecevable.
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
2.
La cour cantonale a retenu que les parties avaient vécu en concubinage de juin 1991 à juillet 2002. Elle a soumis la liquidation des relations économiques entre les parties aux règles de la société simple, laquelle portait sur le ménage commun ainsi que sur l'acquisition et la transformation de la grange en chalet dans le but d'y vivre ensemble et durablement.
2.1. Invoquant l'art. 9 Cst., le recourant paraît remettre en cause l'existence du concubinage, tout en admettant qu'il est "difficile de reprocher au Tribunal cantonal d'être tombé dans l'arbitraire dans l'appréciation" des témoignages et des pièces produites. Il ajoute que cette question peut rester ouverte.
Pour autant que le recourant formule effectivement un grief, ce dernier ne répond manifestement pas aux exigences de motivation en matière de prétendue violation d'un droit constitutionnel (cf. consid. 1.2). Il n'y a pas lieu d'entrer en matière.
2.2. Le recourant soutient également que la cour cantonale a retenu arbitrairement la volonté commune des parties de consacrer leur temps et leurs biens à la transformation de la grange en maison d'habitation dans le but d'y vivre ensemble et durablement. Il fait valoir, d'une part, que l'intimée a accepté de ne pas être copropriétaire de l'immeuble ni codébitrice du prêt hypothécaire et, d'autre part, qu'il n'a pas fait l'apport du chalet A._ en propriété, mais seulement en usage.
Il n'est pas contesté que, juridiquement, l'intimée n'a jamais été propriétaire de l'immeuble litigieux, propriété exclusive du recourant, et qu'elle n'était pas codébitrice du prêt hypothécaire. Cette circonstance n'empêche toutefois pas que le contrat de société simple liant les parties porte également sur l'acquisition et la transformation de la grange en vue d'y vivre ensemble. A cet égard, il ressort de l'état de fait cantonal, non critiqué sur ce point, que l'intimée a participé financièrement à l'acquisition et à la transformation de la grange, soit pour un montant de 192'729 fr.15, qui comprend l'amortissement à concurrence de 15'400 fr. et les intérêts hypothécaires à concurrence de 43'849 fr.15. Par ailleurs, le recourant lui-même reconnaît avoir fait un apport à la société simple puisqu'il soutient avoir limité celui-ci à l'usage du chalet A._.
Les éléments mis en avant par le recourant ne sont ainsi pas de nature à faire apparaître comme arbitraires les constatations de la cour cantonale sur le contenu du contrat de société simple.
3.
Selon le jugement attaqué, le recourant doit à l'intimée un montant de 160'432 fr.05 dans le cadre de la liquidation de la société simple. La cour cantonale a abouti à ce résultat par le calcul suivant:
Elle a établi à 153'943 fr.25 les apports au financement du chalet A._ dont l'intimée peut obtenir le remboursement; ce montant ne comprend pas les intérêts hypothécaires versés par l'intimée, car ceux-ci représentent une charge courante du concubinage, qui n'est pas sujette à restitution.
L'autorité précédente est partie ensuite de la valeur vénale de l'immeuble litigieux au moment de la séparation en 2002, telle que fixée dans l'expertise T._ du 27 novembre 2010 (715'000 fr.). De ce montant, elle a déduit la dette hypothécaire (366'205 fr.65), la subvention accordée (19'125 fr.), l'impôt sur le gain immobilier estimé (33'000 fr.), la valeur du bien-fonds apporté par le recourant (74'000 fr.) et les apports de celui-ci par le CCP commun (33'438 fr.55). Elle a obtenu ainsi un montant de 189'230 fr.80, dont elle a soustrait le montant susmentionné de 153'943 fr.25; la différence (37'287 fr.55) représente le bénéfice dont la moitié (17'643 fr.80) revient à l'intimée. En rapport avec la rénovation du chalet A._, l'intimée a ainsi droit à 171'587 fr.05 (153'943 fr.25 + 17'643 fr.80).
A ce montant, la cour cantonale a ajouté 18'845 fr. à titre de remboursement d'une moto financée par l'intimée et reprise par le recourant. Elle a déduit par ailleurs 30'000 fr. représentant une créance du recourant pour des travaux qu'il a effectués dans l'appartement propriété de l'intimée. Le solde obtenu est donc de 160'432 fr.05 (171'587 fr.05 + 18'845 fr. - 30'000 fr.).
4.
Le recourant critique plusieurs éléments de ce calcul. S'il ne conteste pas en soi les apports de l'intimée dans le financement de l'acquisition et la rénovation du chalet A._, il prétend que l'intimée s'est déjà remboursée par des virements sur son propre compte à la banque V._, effectués depuis le CCP commun ou d'autres comptes du recourant. Ces remboursements résulteraient des expertises ordonnées dans cette affaire et la cour cantonale aurait versé dans l'arbitraire en s'écartant des conclusions claires de l'expert à ce sujet. De même, il ressortirait de l'une des expertises que le recourant a remboursé le montant de 18'845 fr.50 relatif à la moto par un transfert de l'un de ses comptes personnels sur un compte de l'intimée.
4.1. En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
4.2. Il est établi que des virements ont eu lieu du CCP commun - principalement alimenté par le recourant - et des comptes privés ou construction du recourant aux comptes de l'intimée auprès de la banque V._. Le recourant invoque trois transferts qui auraient servi à rembourser des avances effectuées par l'intimée en relation avec le chalet A._, ainsi que le prix de la moto conservée par lui.
En ce qui concerne le montant de 45'815 fr. viré en plusieurs fois du compte construction au compte de l'intimée, la cour cantonale, fondée sur l'expertise du 30 janvier 2007 établie par F._ SA, retient - ce qui n'est pas contesté - qu'il a permis de payer des artisans ayant oeuvré sur le chantier du chalet A._. Ce montant n'a pas été rangé dans les apports de l'intimée et il ne saurait dès lors être question d'un remboursement d'une avance faite par la concubine. Le grief d'arbitraire est dénué de toute substance à cet égard.
Les deux autres transferts invoqués par le recourant concernent des virements sur les comptes de l'intimée à partir du CCP commun pour 120'707 fr. (126'062 fr.40 selon le jugement attaqué) et à partir des comptes personnels du recourant pour 52'446 fr.95. D'après la cour cantonale, l'expert n'est pas parvenu à établir l'affectation de ces montants. Les juges valaisans retiennent finalement que ces sommes ont été affectées aux besoins courants du couple, de sorte qu'elles ne doivent pas être restituées. Ils fondent leur conclusion sur le fait que le recourant disposait d'une carte bancaire et d'une procuration sur les comptes personnels de l'intimée, utilisés pour les charges et dépenses du couple, ainsi que sur l'absence d'élément permettant d'affirmer que ces montants ont servi à autre chose qu'aux charges communes des parties. Sur ce point, ils relèvent que les parties n'ont pas établi de décomptes durant leur concubinage et qu'elles ont ainsi convenu tacitement que les prestations apportées par l'un et l'autre pour les besoins courants du couple se compensaient; ils en déduisent aussi que si les virements susmentionnés avaient été destinés à rembourser les avances - importantes - de l'intimée dans la rénovation du chalet, des quittances auraient été établies ou leur affectation aurait été mentionnée dans les ordres de virement, ce qui n'avait pas été le cas.
S'agissant des montants débités du CCP commun au profit de comptes personnels de l'intimée à la banque V._, l'expert ne se montre pas catégorique au sujet de leur affectation. Il déclare qu'ils ont "très vraisemblablement servi, en partie, à rembourser des avances effectuées pour le chalet A._", tout en admettant que cet élément est "difficilement contrôlable" (expertise F._ SA du 26 novembre 2007, réponse n° 4, p. 644 du dossier cantonal). Plus loin, l'expert admet qu'il ne peut confirmer que l'intimée se remboursait systématiquement tous les montants qu'elle avançait pour payer les factures relatives au chalet, mais répète, "avec une assurance raisonnable", que le CCP commun et d'autres comptes du recourant ont servi en partie à rembourser l'intimée ou du moins à alimenter ses comptes (réponse n° 15, p. 655 du dossier cantonal). Enfin, dans le rapport complémentaire du 15 octobre 2009, l'expert mentionne que les transferts du CCP commun aux comptes de l'intimée par 126'062 fr.40 sont difficilement attribuables (réponse n° 6, p. 848 du dossier cantonal).
Contrairement à ce que le recourant prétend, il ne ressort pas clairement des expertises que les apports de l'intimée dans l'acquisition et la rénovation du chalet A._ ont déjà été remboursés; l'expert émet uniquement un avis, qui n'est pas suffisant pour faire apparaître arbitraire la conclusion contraire de la cour cantonale.
En ce qui concerne le montant de 52'446 fr.95 viré des comptes personnels du recourant aux comptes de l'intimée, l'expertise démontre, selon le recourant, qu'il a servi à rembourser la moto par 18'845 fr.50. En réalité, l'annexe 3 de l'expertise du 15 octobre 2009 de F._ SA (p. 856 du dossier cantonal) indique que les comptes de l'intimée à la banque V._ ont servi à acheter la moto du recourant. Il n'est au surplus pas contesté que ladite moto ne constituait pas un cadeau de la part de l'intimée. La cour cantonale ne s'est donc pas livrée à une appréciation arbitraire des preuves en rangeant le montant de 18'845 fr.50 parmi les dettes à payer par le recourant.
5.
5.1. A titre subsidiaire, le recourant fait valoir que, comme le premier juge l'a admis, les prétentions de l'intimée sont de toute manière compensées intégralement par le montant de 276'226 fr.95 qu'il a versé au total à son ancienne compagne.
5.2. Le montant de 276'226 fr.95 comprend les montants de 120'707 fr. et 52'446 fr.95 mentionnés plus haut (consid. 4.2). Comme déjà relevé, la cour cantonale a retenu que ces sommes avaient été affectées aux besoins courants du couple de sorte qu'elles n'avaient pas à être restituées. A part prétendre, en vain (consid. 4.2 supra), que ces montants ont servi à rembourser l'intimée de ses avances en relation avec le chalet A._, le recourant n'explique pas en quoi il disposerait d'une créance à hauteur de 173'153 fr.95 (120'707 fr. + 52'446 fr.95) dans la liquidation de la société simple.
Selon la cour cantonale, qui s'appuie sur l'expertise, le solde s'élevant à 103'073 fr. représente des dépenses courantes de l'intimée; en tant qu'argent dépensé pour la satisfaction des besoins courants de l'un ou l'autre des concubins, il n'est pas susceptible d'être repris. Là non plus, le recourant ne démontre pas que la constatation à la base de la déduction juridique de la cour cantonale serait arbitraire, ni que le raisonnement en question violerait le droit fédéral.
En tant qu'il est recevable, le grief ne peut être que rejeté.
6.
Le recourant s'en prend également au bénéfice lié à la construction du chalet A._, tel que calculé dans le jugement attaqué. A son sens, la cour cantonale ne pouvait partir de la valeur vénale de 715'000 fr. établie par l'expert, mais devait prendre en compte la valeur réelle de 595'000 fr. également fixée par l'expert. Le recourant fait valoir qu'il a apporté à la société simple l'usage de l'immeuble et qu'en pareil cas, seule la plus-value non conjoncturelle intervenue jusqu'à la dissolution de la société doit être prise en considération.
6.1. L'apport au profit de la société simple peut intervenir selon différents modes. Il peut être opéré en pleine propriété ( quoad dominium ), tous les associés en devenant propriétaires en main commune. Il peut également être effectué en destination ( quoad sortem ); l'associé garde alors la propriété du bien, mais accepte de ne l'affecter qu'à un usage déterminé. Il peut enfin être fait en usage ( quoad usum ), les associés ne bénéficiant que de l'usage de la chose amenée par l'un d'entre eux, lequel en reste propriétaire (arrêt 4A_398/2010 du 14 décembre 2010 consid. 5.2.3.2 et les références).
Parmi les opérations de liquidation de la société simple, la restitution des apports dépend du mode selon lequel ils sont intervenus. En cas d'apport en propriété, l'associé ne le reprend pas en nature (art. 548 al. 1 CO), sauf accord contraire ( FRANÇOIS CHAIX, in Commentaire romand, Code des obligations II, 2008, n° 14 ad art. 548-550 CO). Il a droit au prix pour lequel son apport a été accepté (art. 548 al. 2 CO); si ce prix n'a pas été déterminé, la restitution se fait d'après la valeur (vénale) de la chose au moment de l'apport (art. 548 al. 3 CO; DANIEL STAEHELIN, in Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 4 e éd. 2012, n° 9 ad art. 548/549 CO). L'associé ne profite ainsi pas d'une éventuelle plus-value; la différence fait partie du résultat de l'exploitation et le bénéfice sera réparti entre les membres de la société simple, conformément à l'art. 533 CO ( STAEHELIN, op. cit., n° 9 ad art. 548/549 CO; CHAIX, op. cit., n° 14 ad art. 548-550 CO; PATRICK M. HOCH, Auflösung und Liquidation der einfachen Gesellschaft, 2000, n° 551 p. 192). Lorsqu'il consiste dans l'usage ( quoad usum ) ou la mise à disposition ( quoad sortem ) d'une chose, l'apport est repris, à la dissolution de la société, par l'associé resté propriétaire, qui participe en principe seul à une éventuelle plus-value conjoncturelle (cf. arrêt 4A_70/2008 et 4A_230/2009 du 12 août 2009 consid. 4.2; arrêt 4C.378/2002 du 1 er avril 2003 consid. 4.2). En revanche, si la valeur de l'apport a augmenté grâce à l'activité de la société simple, la plus-value est considérée comme un gain à partager entre les associés (cf. art. 532 CO; ATF 105 II 204 consid. 2b et c p. 208). Par ailleurs, en cas d'apport quoad sortem, toute plus-value, même conjoncturelle, entrera dans le bénéfice de la société, à répartir entre les associés, lorsque ceux-ci ont traité l'apport, dans les rapports internes, comme s'ils en étaient propriétaires collectifs, même s'ils ne pouvaient pas en disposer (Staehelin, op. cit., n° 10 ad art. 548/549 CO; Handschin/Vonzun, in Zürcher Kommentar, 4e éd. 2009, n° 182 ad art. 548-551 CO).
6.2. Les parties ont envisagé d'acquérir ensemble l'immeuble litigieux. Finalement, le recourant en est devenu le seul propriétaire et l'a mis à disposition du couple afin de transformer la grange inhabitable en maison d'habitation. L'apport a donc été effectué quoad sortemet le recourant, son propriétaire, l'a repris au moment de la séparation, soit à la dissolution de la société simple. Durant la vie commune, l'intimée a payé, outre les montants qu'elle a investis dans les travaux de rénovation, l'amortissement et les intérêts hypothécaires à hauteur de 15'400 fr., respectivement 43'849 fr.15.
Les travaux effectués par le couple ont indéniablement augmenté la valeur de l'apport. Conformément aux principes rappelés ci-dessus (consid. 6.1), cette plus-value, résultant de l'activité de la société simple, fait partie du résultat d'exploitation et doit profiter aux deux membres de la société simple. Par ailleurs, il apparaît que les parties se sont comportées, dans leurs rapports internes, comme si elles étaient toutes les deux propriétaires (collectives) de l'immeuble, notamment en faisant payer l'amortissement et les intérêts hypothécaires par l'intimée dans le cadre de l'entretien du ménage commun. Même si le recourant en était seul propriétaire, l'immeuble litigieux a été traité, entre les parties, comme un apport en propriété. En accord avec la solution préconisée par la doctrine (consid. 6.1 in fine ), il convient d'admettre qu'en pareil cas, toute plus-value, quelle que soit sa nature, entre dans le calcul du bénéfice à partager entre les membres de la société simple.
Dans le calcul du résultat d'exploitation, la cour cantonale a pris en compte la valeur vénale ( Verkehrswert ) de l'immeuble en 2002, au moment de la séparation, fixée à 715'000 fr. par l'expert, alors que le juge de première instance s'était fondé pour sa part sur la valeur réelle (ou intrinsèque; Realwert ), fixée à 595'000 fr., laquelle est une valeur technique comprenant notamment le coût de la construction à neuf diminué de la dépréciation (cf. définitions relatives aux expertises immobilières de la Chambre suisse d'experts en estimations immobilières CEIUSPI, ch. 1.4 [glossaire sous www.uspi.ch/Documentation]). En l'occurrence, la valeur de l'immeuble litigieux a augmenté non seulement en raison des travaux de rénovation effectués, mais également en fonction d'un facteur conjoncturel, soit l'augmentation - notoire - des prix de l'immobilier dans la région de Verbier à l'époque en cause. Dans la mesure où, comme on l'a vu, toute plus-value liée à l'immeuble apporté quoad sortem doit en l'occurrence entrer dans le calcul du résultat d'exploitation, il n'est pas contraire au droit fédéral de prendre en compte, à l'instar des juges cantonaux, la valeur vénale de l'apport au moment de la dissolution de la société simple plutôt que sa valeur intrinsèque.
Le grief soulevé à ce propos par le recourant doit dès lors être écarté.
7.
Sur le vu de ce qui précède, le recours sera rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Par ailleurs, il versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 6'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 4 mars 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann