Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 28. April 2011 ist das Bundesgericht auf eine von X._ erhobene Beschwerde nicht eingetreten (Verfahren 1B_196/2011).
Mit Eingabe vom 9. Juni 2011 beanstandet X._ das Urteil. Dabei macht er der Sache nach u.a. geltend, durch die am 18. Mai 2011 erfolgte Zustellung des genannten Urteils ergebe sich, dass Bundesrichter Aemisegger am betreffenden Urteil mitgewirkt bzw. es unterzeichnet habe, obwohl dieser wegen Befangenheit hätte in Ausstand treten müssen.
2. Die Aufhebung oder Abänderung eines wie hier nach Art. 61 BGG in Rechtskraft erwachsenen Bundesgerichtsurteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes gemäss Art. 121 ff. BGG möglich.
Der Sache nach verlangt X._ gemäss Art. 38 Abs. 3 in Verbindung mit Art. 121 lit. a BGG die Revision des genannten Urteils vom 28. April 2011; seine Eingabe ist demgemäss als Revisionsgesuch entgegenzunehmen und zu behandeln.
Der Gesuchsteller begründet sein Begehren mit dem Umstand, dass ein ihn betreffendes, unter Mitwirkung von Bundesrichter Aemisegger gefälltes bundesgerichtliches Urteil vom 17. September 1997 (Verfahren E.5/1991) gemäss EGMR-Urteil vom 5. November 2002 beanstandet worden ist bzw. der EGMR in diesem letztgenannten Urteil im Zusammenhang mit dem fraglichen bundesgerichtlichen Urteil vom 17. September 1997 eine Verletzung von Art. 6 EMRK festgestellt hat.
Wie dem Gesuchsteller schon früher mitgeteilt worden ist, kann in seinem Einwand für sich alleine kein tauglicher Ausstandsgrund erblickt werden (s. Art. 34 Abs. 2 BGG; vgl. etwa Urteile 1F_30/2010 vom 13. Januar 2011, 1F_14/2009 vom 21. August 2009, 1B_164/2008 vom 2. September 2008, 1B_176/2008 vom 4. Juli 2008, s. zudem auch BGE 119 Ia 221 E. 3 S. 227 und Urteil 2F_12/2008 vom 4. Dezember 2008). Der Revisionsgrund von Art. 121 lit. a BGG entfällt daher.
Was der Gesuchsteller sonst noch vorbringt, läuft auf eine Kritik an der dem angefochtenen Urteil zugrunde liegenden rechtlichen Würdigung hinaus. Solche Kritik ist jedoch im Revisionsverfahren nicht zu hören.
Nach dem Gesagten ist das Revisionsgesuch unbegründet und ohne Schriftenwechsel (Art. 127 BGG) abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist.
Weitere Eingaben in dieser Sache werden in Zukunft ohne Antwort abgelegt.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach wird erkannt:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller sowie der Sicherheitsdirektion und dem Obergericht des Kantons Zürich, Zwangsmassnahmengericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Bopp