Faits:
A.
Le 19 mars 2010, la commune de Randogne (VS) a publié un avis de pose de trois panneaux de signalisation "Interdiction générale de circuler" avec plaque complémentaire "sauf autorisation communale" sur la route de Plumachit. Cette route communale dessert notamment l'alpage de Plumachit, où A._ exploite un restaurant dont elle est propriétaire. Celle-ci a formé opposition contre cet avis de nouvelle signalisation. La commune de Randogne a levé cette opposition par décision du 31 mars 2010 et la Commission cantonale de signalisation routière a approuvé la pose des panneaux le 25 juin 2010. Saisi de recours de l'opposante contre ces deux décisions, le Conseil d'Etat les a confirmées le 23 janvier 2013. Par arrêt du 18 juillet 2013, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du Valais a rejeté le recours formé par A._ contre la décision du Conseil d'Etat. La cour cantonale a en substance considéré qu'il était établi que le trafic sur le tronçon de route litigieux pouvait occasionnellement être dense, ce qui justifiait la restriction de circuler. Elle a également constaté que la recourante ne pouvait se prévaloir d'aucun droit acquis ni du principe de la confiance. Enfin, elle a jugé que l'éventuelle atteinte à sa liberté économique respectait les conditions de l'art. 36 Cst., en particulier le principe de proportionnalité, dès lors que, outre qu'il demeurait accessible à pieds par le chemin litigieux, le restaurant pouvait encore être atteint en véhicule automobile par une autre route, ainsi que, durant les mois de juillet et août, au moyen de bus navettes; les intérêts économiques de la recourante ne devaient ainsi être que marginalement touchés par la mesure litigieuse.
B.
A._ recourt contre l'arrêt cantonal auprès du Tribunal fédéral par une lettre non signée du 13 septembre 2013 postée le jour même, ainsi que par une lettre de sa fille (accompagnée d'un acte intitulé "recours", signé par la recourante, et d'une procuration) postée le 14 septembre 2013. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et des décisions des 31 mars et 25 juin 2010, ainsi que, dans sa première lettre, à l'allocation de dommages et intérêts en compensation de la perte de ses investissements et de son manque à gagner si la route devait être fermée. Elle requiert par ailleurs que l'effet suspensif soit octroyé à son recours. Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer. Le Conseil d'Etat se réfère à la motivation de l'arrêt attaqué et conclut au rejet du recours. La commune de Randogne se détermine et conclut principalement à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Agissant par l'intermédiaire de son conseil, A._ se détermine sur ces réponses et précise ses conclusions en ce sens que le dossier doit être renvoyé à la cour cantonale, subsidiairement au Conseil d'Etat, plus subsidiairement encore à la commune, pour nouvelle (s) décision (s) dans le sens des considérants. La commune de Randogne maintient ses conclusions et la recourante se détermine une nouvelle fois.
Par ordonnance du 17 octobre 2013, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif déposée par la recourante.
Considérant en droit:
1.
Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine de la signalisation routière (art. 82 let. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. La recourante a pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. Elle est particulièrement touchée par l'arrêt attaqué qui confirme la pose de panneaux d'interdiction de circuler sur une route desservant à titre principal le restaurant qu'elle possède et exploite. Elle peut ainsi se prévaloir d'un intérêt digne de protection à ce que cette décision soit annulée. Elle a donc qualité pour agir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF.
L'arrêt cantonal a été notifié le 23 juillet 2013 à la recourante, qui a retiré l'envoi le 24 juillet 2013. Compte tenu des féries judiciaires, le délai de recours au Tribunal fédéral de 30 jours arrivait à échéance le 14 septembre 2013, soit un samedi, de sorte qu'il était reporté au prochain jour ouvrable (art. 46 et 100 al. 1 LTF). Les deux lettres de la recourante, dont les timbres postaux portent respectivement les dates du 13 et du 14 septembre 2013 sont, avec leurs annexes, recevables comme actes de recours.
2.
La recourante critique l'état de fait retenu par les premiers juges.
2.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 LTF, il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de façon manifestement inexacte (art. 105 al. 2 LTF), c'est-à-dire arbitraire (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 III 226 consid. 4.2 p. 234; 136 II 304 consid. 2.4 p. 314) et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. Si le recourant entend se prévaloir de constatations de faits différentes de celles de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui retenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 II 101 consid. 3 p. 104 et les arrêts cités).
2.2. Dans ses différentes écritures, la recourante revient sur les investissements qu'elle a effectués dans son établissement au cours des ans, sur les circonstances d'un accident intervenu sur le tronçon de route litigieux, sur certaines caractéristiques des lieux (nombres de chalets sur la route, tracé d'une piste de ski, captage d'eaux de source), ainsi que sur la desserte en bus de son établissement. Ce faisant, la recourante présente de manière purement appellatoire sa propre version des faits, sans exposer en quoi elle devrait être préférée à l'état de fait de l'arrêt attaqué. Au demeurant, la plupart de ces éléments ne sont pas décisifs pour le sort de la cause.
Quant aux longueurs des trajets vers son établissement selon que l'interdiction de circuler est prononcée ou non, à supposer qu'elles soient effectivement celles avancées par la recourante, la clientèle automobiliste devrait désormais parcourir 7,2 km au lieu des 3,5 km actuels - et non 7,4 au lieu des 6,1 km actuels comme l'a retenu la cour cantonale. Cela n'allonge de toute évidence le temps de parcours que de quelques minutes, ce qui n'apparaît pas de nature à remettre en cause les conclusions des premiers juges en relation avec la fréquentation de l'établissement, dont ils ont admis qu'elle pouvait baisser, mais pas de façon significative.
Enfin, les faits présentés sur près de sept pages dans l'écriture postée le 14 septembre que la recourante a intitulé "recours" ne sont qu'une reprise strictement identique du recours adressé à la cour cantonale et non une critique de la manière dont celle-ci a établi les faits; ils sont dès lors irrecevables.
3.
En vertu de l'art. 42 al. 1 LTF, les mémoires de recours doivent être motivés. Selon l'art. 42 al. 2 LTF, les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit. Pour satisfaire à cette exigence, il appartient au recourant de discuter au moins brièvement les considérants de la décision litigieuse (ATF 134 II 244 consid. 2.1 p. 245). Les griefs de violation des droits fondamentaux et des dispositions de droit cantonal sont en outre soumis à des exigences de motivation accrues (art. 106 al. 2 LTF). La partie recourante doit alors mentionner les principes constitutionnels qui n'auraient pas été respectés et expliquer de manière claire et précise en quoi ces principes auraient été violés; de même, elle doit citer les dispositions du droit cantonal dont elle se prévaut et démontrer en quoi ces dispositions auraient été appliquées arbitrairement ou d'une autre manière contraire au droit (ATF 136 II 489 consid. 2.8 p. 494).
La recourante ne fait valoir aucun argument de fond dans ses lettres postées les 13 et 14 septembre 2013. Elle évoque en vrac, sans les développer ni les mettre en relation avec la violation de règles ou principes juridiques, des problèmes de pollution et de parcage ainsi que l'absence de conflits entre les usagers piétons et motorisés du tronçon litigieux. Quant à l'écriture du 13 septembre 2013 intitulée "recours", elle reprend mot pour mot son recours cantonal, de sorte que les griefs ainsi soulevés sont irrecevables.
Au cours d'un deuxième échange d'écritures, la recourante concentre son argumentation sur la violation, par l'arrêt cantonal, du principe de proportionnalité, en particulier s'agissant de la proportionnalité au sens étroit, dans le cadre de la garantie de sa liberté économique.
De jurisprudence constante, il est exclu que la partie recourante présente après la fin du délai de recours des conclusions et des griefs qu'elle pouvait déjà faire valoir dans son acte de recours (ATF 135 I 19 consid. 2.2; 134 IV 156 consid. 1.7; 132 I 42 consid. 3.3.4). Dans les lettres postées les 13 et 14 septembre 2013, la recourante ne fait pas état d'une violation du principe de la proportionnalité en relation avec une atteinte à sa liberté économique. Elle ne fait valoir ce grief pour la première fois que dans sa réplique du 20 novembre 2013; celui-ci est par conséquent irrecevable. Cela étant, il apparaît que cet argument aurait quoi qu'il en soit été mal fondé, dès lors que l'argumentation de la recourante est purement appellatoire. Celle-ci se contente en effet de faire valoir, sans le démontrer, que l'interdiction de circuler ne se justifie pas au regard de l'importante baisse de fréquentation de son établissement à raison des quelques minutes supplémentaires du trajet à parcourir en voiture. Elle ne démontre ainsi pas une atteinte à sa liberté économique suffisante pour s'opposer à une interdiction de circuler sur une route d'alpage.
4.
Enfin, les conclusions en paiement de dommages et intérêts prises par la recourante sont nouvelles et sortent manifestement de l'objet du litige; elles sont dès lors irrecevables (art. 99 al. 2 LTF).
5.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. La recourante, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF). Bien que représentée par un avocat, la commune n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires de la recourante et de la Commune de Randogne, au Conseil d'Etat du canton du Valais et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 6 mai 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Sidi-Ali