Faits:
A. H._ a travaillé en qualité d'informaticien-programmeur au service de la Fédération X._. Dès le 13 juillet 2007, il a été entièrement incapable de travailler en raison d'une dépression légère et d'un état de fatigue chronique. Saisi d'une demande de prestations, l'Office cantonal AI du Valais (OAI) l'a rejetée, motif pris de l'absence d'une affection physique, mentale ou psychique limitant sa capacité d'exercer son activité d'informaticien-programmeur (décision du 11 novembre 2008). Cette décision a été confirmée par la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais (jugement du 8 juin 2009), ainsi que par le Tribunal fédéral (arrêt 9C_543/2009 du 1er octobre 2009). De son côté, la Fondation rurale de prévoyance professionnelle lui a alloué une rente entière d'invalidité pour la période du 1er février au 31 octobre 2008.
L'employeur a résilié les rapports de travail avec effet au 31 mars 2009 en raison de la suppression du poste de travail.
H._ a requis l'octroi d'une indemnité de chômage à partir du 5 février 2009 en indiquant qu'il était incapable de travailler depuis le 13 juillet 2007. Il a produit un certificat du docteur R._, spécialiste en médecine générale (du 13 février 2009), attestant une incapacité de travail de 100 % dès le 11 novembre 2008. Le 30 mars 2009, l'assuré a informé la Caisse cantonale de chômage du canton du Valais (ci-après: la caisse) qu'il était apte à travailler à raison d'une heure par jour dans sa profession habituelle.
Par décision du 7 avril 2009, confirmée sur opposition le 22 juillet suivant, la caisse a nié le droit de l'assuré à une indemnité de chômage à partir du 5 février 2009, motif pris de son inaptitude au placement.
B. Saisie d'un recours contre cette décision sur opposition, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 27 janvier 2010.
C. H._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à l'octroi d'une indemnité de chômage à partir du 5 février 2009. En outre, il demande à bénéficier de l'assistance judiciaire gratuite pour la procédure fédérale.
La caisse intimée, la juridiction cantonale et le Secrétariat d'Etat à l'économie ont renoncé à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF.
2. Le litige porte sur le droit éventuel du recourant à une indemnité de chômage à partir du 5 février 2009, singulièrement sur son aptitude au placement.
3. 3.1 Un assuré est apte au placement lorsqu'il est disposé à accepter un travail convenable et à participer à des mesures d'intégration et qu'il est en mesure et en droit de le faire (art. 15 al. 1 LACI). L'aptitude au placement n'est pas sujette à fractionnement, en ce sens qu'il existerait des situations intermédiaires entre l'aptitude et l'inaptitude au placement (par exemple une inaptitude "partielle") auxquelles la loi attacherait des conséquences particulières. Lorsqu'un assuré est disposé à n'accepter qu'un travail à temps partiel (jusqu'à concurrence au moins de 20 % d'un horaire de travail complet [cf. art. 5 OACI]), il convient en effet non pas d'admettre une aptitude au placement partielle pour une perte de travail de 100 %, mais à l'inverse, d'admettre purement et simplement l'aptitude au placement de l'intéressé dans le cadre d'une perte de travail partielle (ATF 136 V 95 consid. 5.1 p. 97; 126 V 124 consid. 2 p. 126; 125 V 51 consid. 6a p. 58). C'est sous l'angle de la perte de travail à prendre en considération qu'il faut, le cas échéant, tenir compte du fait qu'un assuré au chômage ne peut ou ne veut pas travailler à plein temps (ATF 126 V 124 consid. 2 p.126).
3.2 S'il existe des doutes sérieux quant à la capacité de travail d'un chômeur, l'autorité cantonale peut ordonner qu'il soit examiné par un médecin-conseil, aux frais de l'assurance (art. 15 al. 3 LACI). En cas de limitation durable de la capacité de travail, l'art.15 al. 2, première phrase, LACI prévoit par ailleurs que le handicapé physique ou mental est réputé apte à être placé lorsque, compte tenu de son infirmité et dans l'hypothèse d'une situation équilibrée sur le marché de l'emploi, un travail convenable pourrait lui être procuré sur ce marché. Le Conseil fédéral est chargé de régler la coordination avec l'assurance-invalidité (art. 15 al. 2, deuxième phrase, LACI). L'art. 15 al. 3 OACI prévoit ainsi que lorsqu'une personne n'est pas manifestement inapte au placement et qu'elle s'est annoncée à l'assurance-invalidité, elle est réputée apte au placement jusqu'à la décision de cette assurance. Dans le même sens, l'art. 70 al. 2 let. b LPGA prévoit l'obligation pour l'assurance-chômage d'avancer les prestations dont la prise en charge par l'assurance-invalidité est contestée.
3.3 L'aptitude au placement suppose, entre autres, la disposition à accepter un travail convenable au sens de l'art. 16 LACI (ATF 125 V 51 consid. 6a p. 58; 123 V 214 consid. 3 p. 216). En ce qui concerne les chômeurs handicapés, cette disponibilité doit seulement se rapporter au temps de travail correspondant à la capacité attestée par les médecins. S'il est établi qu'il est disposé à accepter un emploi dans une mesure correspondant à sa capacité résiduelle de travail, l'assuré a droit, en vertu de l'art. 15 al. 2 LACI en liaison avec l'art. 15 al. 3 OACI, à une indemnité de chômage pleine et entière, pour autant que l'on puisse admettre qu'il rechercherait une activité avec un horaire de travail à temps complet s'il n'était pas atteint dans sa santé (ATF 136 V 95 consid. 7.3 p. 103 s.).
4. 4.1 La juridiction cantonale a considéré que l'assuré n'était pas apte au placement au sens de l'art. 15 al. 2 LACI, motif pris qu'un travail convenable ne pouvait pas lui être procuré sur un marché du travail équilibré. Elle a constaté que l'intéressé était entièrement incapable de travailler au moment de sa demande d'indemnité de chômage, puis à raison de 90 % dès le 1er mai 2009 (certificats du docteur R._ des 13 février, 16 mars et 18 mai 2009), et que, lors d'un entretien téléphonique avec une collaboratrice de la caisse, le 30 mars 2009, l'assuré s'était déclaré apte à travailler seulement à raison d'une heure par jour, soit cinq heures par semaine.
Sur la base de ces constatations, le tribunal cantonal a considéré que l'intéressé n'avait pas droit non plus à ce que l'assurance-chômage avance ses prestations jusqu'à ce que l'assurance-invalidité statue sur sa demande de rente par une décision entrée en force (art. 70 al. 2 let. b LPGA et 15 al. 3 OACI), motif pris qu'il n'était pas en mesure ni disposé à accepter un travail à temps partiel correspondant au moins à 20 % d'un horaire de travail complet.
Sur la base de ces constatations, le tribunal cantonal a considéré que l'intéressé n'avait pas droit non plus à ce que l'assurance-chômage avance ses prestations jusqu'à ce que l'assurance-invalidité statue sur sa demande de rente par une décision entrée en force (art. 70 al. 2 let. b LPGA et 15 al. 3 OACI), motif pris qu'il n'était pas en mesure ni disposé à accepter un travail à temps partiel correspondant au moins à 20 % d'un horaire de travail complet.
4.2 4.2.1 Par un premier moyen, le recourant invoque une constatation manifestement inexacte des faits par la juridiction cantonale au sujet de ses déclarations selon lesquelles il était apte à travailler seulement à raison d'une heure par jour. Il reproche aux premiers juges d'avoir omis de mentionner qu'il avait d'abord clairement indiqué, dans sa demande de prestations et lors de son audition par l'office régional de placement (ORP) le 10 février 2009, être disposé à travailler à raison d'un taux d'activité de 100 %. C'est seulement à la suite d'informations incomplètes d'un collaborateur de la caisse qu'il est revenu sur ses premières indications et qu'il a déclaré, le 30 mars 2009 et le 3 avril suivant, n'être en mesure de travailler qu'à raison d'une heure par jour.
4.2.2 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références). Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
4.2.3 En l'espèce, le recours ne contient toutefois aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait du jugement attaqué. En effet, le recourant n'expose pas en quoi l'appréciation des preuves par le tribunal cantonal est manifestement insoutenable mais se contente de substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente, sans présenter la moindre preuve de ses allégations. Au demeurant, l'intéressé ne soutient pas qu'il a fait une déclaration non conforme à la vérité en indiquant, prétendument sur le conseil d'un collaborateur de la caisse, n'être en mesure que de travailler à raison d'une heure par jour.
4.2.4 Pour les motifs exposés ci-dessus, il convient de rejeter également un deuxième grief du recourant qui invoque une violation par la caisse de son devoir d'information, en tant que son collaborateur s'est abstenu d'indiquer les conséquences juridiques de la modification des indications de l'intéressé au sujet de sa disponibilité à accepter un travail.
4.3 Par un troisième moyen, le recourant invoque une violation du droit: comme l'art. 70 al. 2 let. b LPGA a pour but d'éviter une lacune des prestations jusqu'à droit connu sur la demande de rente de l'assurance-invalidité, le refus de cette prestation par l'OAI, qui a retenu une capacité de travail entière, obligeait l'assurance-chômage à lui allouer une indemnité à titre provisoire.
Ce point de vue est mal fondé. Certes, selon la jurisprudence, un assuré disposé à accepter un emploi dans une mesure correspondant à sa capacité de travail résiduelle a droit à l'indemnité de chômage, en vertu de l'art. 15 al. 2 LACI en liaison avec l'art. 15 al. 3 OACI. Cependant, lorsqu'un assuré ne désire plus travailler en raison de son atteinte à la santé ou qu'il se considère lui-même comme tout à fait incapable de travailler, on doit inférer qu'il est inapte au placement. Même si, dans un tel cas, les avis médicaux font état d'une capacité de travail (partielle) en dépit de l'opinion de l'intéressé, l'aptitude au placement doit être niée en raison d'une disponibilité insuffisante. Dans ces conditions, l'assuré n'a pas droit à ce que l'assurance-chômage lui avance des prestations (ATF 136 V 95 consid. 7.3 p. 103 s.).
En l'espèce, sur le vu des faits qu'elle a constatés, la juridiction cantonale était fondée à nier l'aptitude au placement du recourant, en tant qu'il se considère lui-même comme incapable de travailler dans une mesure excédant 10 % d'un horaire de travail complet.
4.4 Vu ce qui précède, le jugement entrepris n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
5. Le recourant sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Selon l'art. 64 al. 1 LTF, une partie a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas de ressources suffisantes et si ses conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec. En outre, le Tribunal fédéral attribue un avocat à cette partie si la sauvegarde de ses droits le requiert (art. 64 al. 2 LTF). Selon la jurisprudence, une personne ne dispose pas de ressources suffisantes si elle ne peut assumer les frais du procès sans entamer les moyens nécessaires à son entretien et à celui de sa famille (ATF 128 I 225 consid. 2.5.1 p. 232; 127 I 202 consid. 3b p. 205; 125 IV 161 consid. 4a p. 164). Pour examiner si cette condition est réalisée, il y a lieu de prendre en considération la situation financière au moment de la décision sur l'assistance judiciaire (ATF 108 V 265 consid. 4 p. 269) et, si la partie requérante est mariée, les revenus des deux époux (ATF 115 Ia 193 consid. 3a p. 195; 108 Ia 9 consid. 3 p. 10; 103 Ia 99 p. 101 et les références).
En l'occurrence, on ne peut inférer des pièces produites à l'appui de la requête d'assistance judiciaire que les ressources du recourant sont insuffisantes pour assumer les frais du procès. En particulier, on peut attendre de l'intéressé qu'il puise dans sa fortune - qui comprend notamment trois livrets d'épargne pour un montant total de plus de 70'000 fr. - pour assumer les frais du procès (ATF 124 I 1 consid. 2a p. 2). Par ailleurs, étant donné les frais judiciaires et le montant probable des honoraires du mandataire pour la procédure fédérale (compte tenu notamment du fait que le recours en matière de droit public reprend en partie l'argumentation du recours déposé devant la juridiction cantonale), le coût prévisible de la procédure n'apparaît pas de nature à mettre en péril les moyens nécessaires à l'intéressé pour subvenir à ses besoins.
Cela étant, la condition relative à l'absence de ressources suffisantes n'est pas réalisée et la demande d'assistance doit être rejetée. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 3 décembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd