Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Nachdem Z._ am 12. November 2002 seine Privatklage wegen Ehrverletzung zurückgezogen hatte, verurteilte ihn der Strafgerichtspräsident des Kantons Basel-Stadt mit Verfügung vom 19. November 2002 zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 4'752.70 an die Beklagte. Dagegen erhob Z._ mit Schreiben vom 9. Dezember 2002 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dessen Präsident teilte ihm mit Schreiben vom 23. Dezember 2002 mit, dass die zehntägige Beschwerdefrist am 2. Dezember 2002 abgelaufen sei, weshalb die Beschwerde als verspätet erscheine. Der Präsident schloss den beantragten Kostenerlass aus und forderte Z._ auf, falls er auf einem formellen Entscheid über die Beschwerde beharre, einen Kostenvorschuss zu leisten. Nachdem Z._ innert Frist den Kostenvorschuss bezahlt hatte, trat der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 28. Januar 2003 auf die Beschwerde wegen verspäteter Beschwerdeeinreichung nicht ein.
1. Nachdem Z._ am 12. November 2002 seine Privatklage wegen Ehrverletzung zurückgezogen hatte, verurteilte ihn der Strafgerichtspräsident des Kantons Basel-Stadt mit Verfügung vom 19. November 2002 zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 4'752.70 an die Beklagte. Dagegen erhob Z._ mit Schreiben vom 9. Dezember 2002 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Dessen Präsident teilte ihm mit Schreiben vom 23. Dezember 2002 mit, dass die zehntägige Beschwerdefrist am 2. Dezember 2002 abgelaufen sei, weshalb die Beschwerde als verspätet erscheine. Der Präsident schloss den beantragten Kostenerlass aus und forderte Z._ auf, falls er auf einem formellen Entscheid über die Beschwerde beharre, einen Kostenvorschuss zu leisten. Nachdem Z._ innert Frist den Kostenvorschuss bezahlt hatte, trat der Ausschuss des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 28. Januar 2003 auf die Beschwerde wegen verspäteter Beschwerdeeinreichung nicht ein.
2. Z._ führt gegen das Urteil des Ausschusses des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt mit Eingabe vom 22. April 2003 staatsrechtliche Beschwerde. Zur Begründung macht er zusammenfassend geltend, die Abholungseinladung für die Verfügung vom 19. November 2002 sei ihm am 21. November 2002 in den Briefkasten gelegt worden. Der Ausschuss des Appellationsgerichts habe dies als fristauslösende Zustellung gewertet. Er habe jedoch die eingeschriebene Gerichtsurkunde innerhalb der 7-tägigen Abholfrist erst am 27. November 2002 bei der Post abgeholt. Somit habe die Eingabe vom Montag, 9. Dezember 2002, die 10-tägige Beschwerdefrist gewahrt.
In seiner Vernehmlassung stellt der Präsident des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt den Antrag, die staatsrechtliche Beschwerde sei abzuweisen, evtl. sei sie gutzuheissen und die Sache zur Abnahme des Beweises betreffend Postaufgabe zurückzuweisen. Zur Begründung führt er aus, aufgrund einer Verwechslung der Zustellbescheinigung sei man von einem falschen Zustelldatum ausgegangen. Der Beschwerdeführer habe die angefochtene Verfügung - wie von ihm geltend gemacht - am 27. November 2002 und nicht am 21. November 2002 in Empfang genommen. Damit stehe aber noch nicht fest, dass der angefochtene Entscheid im Ergebnis falsch sei. Die Beschwerde trage den Poststempel vom 10. Dezember 2002, womit sie um einen Tag verspätet sei. Der Beschwerdeführer habe mit der Beschwerde eine Fotokopie des Couverts eingereicht, auf der eine Person erkläre, der Brief sei am "9.12.02 Montag um 2330 eingeworfen" worden. Es stelle sich die Frage, ob der Beweis für die Rechtzeitigkeit durch Zeugeneinvernahme abzunehmen sei, oder ob das Vorgehen des Beschwerdeführers als rechtsmissbräulich zu qualifizieren sei. Als missbräuchlich erscheine jedenfalls, dass der Beschwerdeführer nach dem Schreiben des Appellationsgerichtspräsidenten vom 23. Dezember 2002 auf den ihm ohne weiteres erkennbaren Irrtum über das Zustelldatum nicht hingewiesen habe.
In seiner Vernehmlassung stellt der Präsident des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt den Antrag, die staatsrechtliche Beschwerde sei abzuweisen, evtl. sei sie gutzuheissen und die Sache zur Abnahme des Beweises betreffend Postaufgabe zurückzuweisen. Zur Begründung führt er aus, aufgrund einer Verwechslung der Zustellbescheinigung sei man von einem falschen Zustelldatum ausgegangen. Der Beschwerdeführer habe die angefochtene Verfügung - wie von ihm geltend gemacht - am 27. November 2002 und nicht am 21. November 2002 in Empfang genommen. Damit stehe aber noch nicht fest, dass der angefochtene Entscheid im Ergebnis falsch sei. Die Beschwerde trage den Poststempel vom 10. Dezember 2002, womit sie um einen Tag verspätet sei. Der Beschwerdeführer habe mit der Beschwerde eine Fotokopie des Couverts eingereicht, auf der eine Person erkläre, der Brief sei am "9.12.02 Montag um 2330 eingeworfen" worden. Es stelle sich die Frage, ob der Beweis für die Rechtzeitigkeit durch Zeugeneinvernahme abzunehmen sei, oder ob das Vorgehen des Beschwerdeführers als rechtsmissbräulich zu qualifizieren sei. Als missbräuchlich erscheine jedenfalls, dass der Beschwerdeführer nach dem Schreiben des Appellationsgerichtspräsidenten vom 23. Dezember 2002 auf den ihm ohne weiteres erkennbaren Irrtum über das Zustelldatum nicht hingewiesen habe.
3. Der Ausschuss des Appellationsgerichts ist im angefochtenen Entscheid aus Versehen davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer die angefochtene Verfügung des Strafgerichtspräsidenten des Kantons Basel-Stadt vom 19. November 2002 bereits am 21. November 2002 in Empfang genommen habe. Unbestrittenermassen hat der Beschwerdeführer die Verfügung jedoch erst am 27. November 2002 in Empfang genommen, womit die Beschwerde vom 9. Dezember 2002 fristgerecht erhoben worden wäre. Der Ausschuss des Appellationsgerichts ist insoweit zu Unrecht auf die Beschwerde vom 9. Dezember 2002 nicht eingetreten.
3. Der Ausschuss des Appellationsgerichts ist im angefochtenen Entscheid aus Versehen davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer die angefochtene Verfügung des Strafgerichtspräsidenten des Kantons Basel-Stadt vom 19. November 2002 bereits am 21. November 2002 in Empfang genommen habe. Unbestrittenermassen hat der Beschwerdeführer die Verfügung jedoch erst am 27. November 2002 in Empfang genommen, womit die Beschwerde vom 9. Dezember 2002 fristgerecht erhoben worden wäre. Der Ausschuss des Appellationsgerichts ist insoweit zu Unrecht auf die Beschwerde vom 9. Dezember 2002 nicht eingetreten.
4. Der erstmals in der Vernehmlassung des Präsidenten des Appellationsgerichts erhobene Einwand, die Beschwerde vom 9. Dezember 2002, von der Post am 10. Dezember 2002 gestempelt, sei unter Umständen auch unter Berücksichtigung des korrekten Zustelldatums verspätet, kann das Bundesgericht nicht als erste Instanz überprüfen. Die hierzu allenfalls erforderlichen Abklärungen hat das Appellationsgericht und nicht das Bundesgericht vorzunehmen.
4. Der erstmals in der Vernehmlassung des Präsidenten des Appellationsgerichts erhobene Einwand, die Beschwerde vom 9. Dezember 2002, von der Post am 10. Dezember 2002 gestempelt, sei unter Umständen auch unter Berücksichtigung des korrekten Zustelldatums verspätet, kann das Bundesgericht nicht als erste Instanz überprüfen. Die hierzu allenfalls erforderlichen Abklärungen hat das Appellationsgericht und nicht das Bundesgericht vorzunehmen.
5. Als unbegründet erweist sich der Vorwurf, die vorliegende Beschwerdeführung erweise sich als rechtsmissbräuchlich, da der Beschwerdeführer nach dem Schreiben des Appellationsgerichtspräsidenten vom 23. Dezember 2002 das Gericht nicht auf den Irrtum über das Zustelldatum hingewiesen habe. Mit der Leistung des Kostenvorschusses und damit mit dem Festhalten an seiner Beschwerde gab der Beschwerdeführer klar zu verstehen, dass er die vom Appellationsgerichtspräsidenten im Schreiben vom 23. Dezember 2002 vertretene Auffassung, die Beschwerde sei verspätet, für falsch hielt. Im Übrigen war es für ihn nicht ersichtlich, aufgrund welchen Überlegungen der Appellationsgerichtspräsident zum Schluss kam, die Beschwerde sei verspätet.
5. Als unbegründet erweist sich der Vorwurf, die vorliegende Beschwerdeführung erweise sich als rechtsmissbräuchlich, da der Beschwerdeführer nach dem Schreiben des Appellationsgerichtspräsidenten vom 23. Dezember 2002 das Gericht nicht auf den Irrtum über das Zustelldatum hingewiesen habe. Mit der Leistung des Kostenvorschusses und damit mit dem Festhalten an seiner Beschwerde gab der Beschwerdeführer klar zu verstehen, dass er die vom Appellationsgerichtspräsidenten im Schreiben vom 23. Dezember 2002 vertretene Auffassung, die Beschwerde sei verspätet, für falsch hielt. Im Übrigen war es für ihn nicht ersichtlich, aufgrund welchen Überlegungen der Appellationsgerichtspräsident zum Schluss kam, die Beschwerde sei verspätet.
6. Zusammenfassend ergibt sich, dass die staatsrechtliche Beschwerde gutzuheissen und das angefochtene Urteil vom 28. Januar 2003 aufzuheben ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 156 Abs. 2 OG). Hingegen fragt es sich, ob dem obsiegenden, nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer zu Lasten des Kantons Basel-Stadt nach Art. 159 Abs. 2 OG eine Parteientschädigung zuzusprechen ist. Der Beschwerdeführer verlangt eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 600.--. Er, selbst Jurist, jedoch seit über 15 Jahren nicht mehr juristisch tätig, habe aus "Kostensenkungsgründen" die Beschwerde selbst verfasst. Er sei jedoch aufgrund fehlender juristischer Praxis auf eine zumindest partielle anwaltliche Beratung angewiesen gewesen.
Ist die obsiegende Partei nicht durch einen Anwalt vertreten, so wird ihr gemäss ständiger Rechtsprechung des Bundesgerichts in der Regel keine Parteientschädigung zugesprochen. Ausnahmsweise sind Auslagen zu ersetzen, wenn sie erheblich und nachgewiesen sind (vgl. BGE 113 Ib 353 E. 6b mit Hinweisen), was vorliegend nicht zutrifft. Aus den beiden vom Beschwerdeführer eingereichten Quittungen geht lediglich hervor, dass er am 17. und 22. April 2003 Zahlungen von Fr. 400.-- bzw. Fr. 200.-- geleistet hat. Für was diese Zahlungen erfolgt sind, geht jedoch aus den beiden Belegen nicht hervor. Ausserdem erweist sich der geltend gemachte Aufwand von Fr. 600.-- für eine anwaltliche Beratung zur Frage der rechtzeitigen Beschwerdeeinreichung als nicht mehr angemessen. Es rechtfertigt sich daher nicht, dem Beschwerdeführer eine Entschädigung zuzusprechen.
Mit dem vorliegenden Entscheid wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, und das Urteil des Ausschusses des Appellationsgerichs des Kantons Basel-Stadt vom 28. Januar 2003 wird aufgehoben.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird gutgeheissen, und das Urteil des Ausschusses des Appellationsgerichs des Kantons Basel-Stadt vom 28. Januar 2003 wird aufgehoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Mai 2003
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: