Sachverhalt:
A. Das Bundesamt für Migration (BFM) verfügte am 1. Dezember 2009 ein bis 8. Dezember 2015 gültiges Einreiseverbot gegen die russische Staatsangehörige X._, die unter falschem Namen ein Asylgesuch eingereicht und nach dessen Abweisung die Schweiz nicht verlassen hatte (nachfolgend Anzeigerin). Diese erhob dagegen am 6. Januar 2010 Beschwerde ans Bundesverwaltungsgericht (Verfahren C-179/2010). Am 26. Januar 2010 ergänzte sie die Beschwerde innert der ihr hierfür angesetzten Frist. Nach Eingang des Kostenvorschusses am 2. Februar 2010 lud das Bundesverwaltungsgericht das BFM am 8. Februar 2010 zur Vernehmlassung ein; diese ging am 10. März 2010 ein. Mit Verfügung vom 11. März 2010 lud das Bundesverwaltungsgericht die Anzeigerin ein, bis zum 27. April 2010 eine Replik und entsprechende Beweismittel einzureichen. Die Frist wurde auf Ersuchen der Anzeigerin bis zum 17. Mai 2010 erstreckt; die Anzeigerin reichte aber keine Replik ein.
Gesuche der Anzeigerin um Erteilung einer Sachstandauskunft vom 1. September 2010 und 9. Januar 2011 beantwortete das Bundesverwaltungsgericht am 6. September 2010 bzw. 14. Januar 2011 im Wesentlichen dahingehend, die Sache sei spruchreif, eine Voraussage, wann mit einem Entscheid in der Sache gerechnet werden könne, sei jedoch aufgrund der Arbeitslast, der Prioritätenordnung der Beschwerdeverfahren sowie aus grundsätzlichen Überlegungen nicht möglich. Mit Schreiben vom 25. Januar 2011 reichte die Anzeigerin dem Bundesverwaltungsgericht weitere Unterlagen ein.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von Art. 94 BGG vom 15. April (Postaufgabe 18. April) 2011 liess die Anzeigerin durch ihren Rechtsanwalt beantragen, das Bundesverwaltungsgericht sei zu verpflichten, die Beschwerde C-179/2010 an die Hand zu nehmen und so rasch als möglich zum Entscheid zu führen. Mit Urteil vom 20. April 2011 (2C_329/2011) trat die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts nicht auf die Beschwerde ein. Sie überwies die Eingabe an die Verwaltungskommission des Bundesgerichts zur allfälligen Behandlung als Aufsichtsanzeige.
B. Die Verwaltungskommission des Bundesgerichts lud das Bundesverwaltungsgericht am 2. Mai 2011 zur Vernehmlassung ein. Das Bundesverwaltungsgericht beantragt in seiner Vernehmlassung vom 19. Mai 2011, der Aufsichtsanzeige keine Folge zu geben.
Erwägungen:
1. Beim vorliegenden Verfahren handelt es sich um eine Aufsichtsanzeige im Sinne von Art. 1 Abs. 2 BGG und Art. 3 lit. f AufRBGer i.V.m. Art. 71 Abs. 1 VwVG. Die Rechtsprechung ist gemäss Art. 2 Abs. 2 AufRBGer von der Aufsicht ausgenommen. Im Rahmen seiner Kompetenzen als Aufsichtsbehörde überprüft das Bundesgericht, ob der Geschäftsgang vor der beaufsichtigten Instanz dem ordentlichen Geschäftsablauf entspricht. Ob eine Rechtsverweigerung oder -verzögerung vorliegt, prüft das Bundesgericht als Aufsichtsbehörde nach den gleichen Grundsätzen, welche die Rechtsprechung im Rechtsmittelverfahren entwickelt hat (BGE 136 II 380 E. 2, Urteile des Bundesgerichts 12T_1/2007 vom 29. Mai 2007, 12T_2/2007 vom 16. Oktober 2007 und 12T_3/2007 vom 11. Dezember 2007; je E. 3)
2. Die Anzeigerin macht Rechtsverzögerung bzw. -verweigerung geltend. Insbesondere beanstandet sie, dass das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht schon seit mehr als einem Jahr anhängig sei und auf Sachstandsanfragen keine befriedigenden Antworten gegeben worden seien. Es sei nicht nachvollziehbar, welche objektiven Gründe die Angezeigte daran hinderten, eine spruchreife Angelegenheit in einen Entscheid zu verfassen. Auf die persönlichen Umstände der Anzeigerin, insbesondere ihre Verlobung mit einer in der Schweiz lebenden Person und die aus dem Einreiseverbot resultierende Verletzung ihres Rechts auf Familienleben nach Artikel 8 EMRK sei bei der Beantwortung der Sachstandsanfragen zu Unrecht nicht eingegangen worden.
Die Angezeigte lässt sich dahingehend vernehmen, dass gemäss der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte eine Gesamtverfahrensdauer von bis zu zwei Jahren pro Instanz bei normalen Verfahren grundsätzlich nicht zu beanstanden sei. Da das vorliegende Verfahren noch keine zwei Jahre dauere, liege keine Rechtsverzögerung vor, zumal das Einreiseverbot gegen die Anzeigerin dem Eingehen einer Ehe nicht entgegenstehe.
3. Nachdem das Bundesverwaltungsgericht mehrmals mitgeteilt hat, dass es einen Entscheid fällen werde, liegt offensichtlich keine Rechtsverweigerung vor. Zu prüfen ist indessen, ob eine Rechtsverzögerung oder eine andere aufsichtsrechtlich relevante Abweichung vom ordentlichen Geschäftsablauf gegeben ist.
3.1 Als Minimalanforderung an ein rechtsstaatliches Verfahren gewährleistet Art. 29 Abs. 1 BV den Erlass eines Entscheides innerhalb einer angemessenen Frist. Die Angemessenheit der Dauer bestimmt sich nicht absolut. Sie ist im Einzelfall unter Berücksichtigung der gesamten Umstände zu beurteilen und in ihrer Gesamtheit zu würdigen. Dabei sind insbesondere die Art des Verfahrens und die konkreten Umstände einer Angelegenheit wie Umfang und Bedeutung des Verfahrens, das Verhalten der betroffenen Privaten und der Behörden, die Bedeutung für die Betroffenen sowie die für die Sache spezifischen Entscheidungsabläufe zu berücksichtigen (BGE 135 I 265 E. 4.4 m.w.H., 130 I 312 E. 5.1, GEROLD STEINMANN, in: Ehrenzeller/ Mastronardi/Schweizer/Vallender (Hrsg), Die schweizerische Bundesverfassung, 2. Aufl. Zürich 2008, N. 12 zu Art. 29 BV; MARKUS SCHEFER, Grundrechte in der Schweiz, Ergänzungsband zur dritten Auflage des gleichnamigen Werkes von JÖRG PAUL MÜLLER, 2005, S. 282 ff.).
Für die Rechtsuchenden ist es unerheblich, auf welche Gründe eine übermässige Verfahrensdauer zurückzuführen ist; entscheidend ist ausschliesslich, dass die Behörde nicht oder nicht fristgerecht handelt. Bei der Feststellung einer übermässigen Verfahrensdauer ist daher zu prüfen, ob sich die Umstände, die zur Verlängerung des Verfahrens geführt haben, objektiv rechtfertigen lassen (Urteil des Bundesgerichts vom 14. September 2009 1C_211/2009 E. 2.2; 125 V 188 E. 2a m.w.H.; JÖRG PAUL MÜLLER/MARKUS SCHEFER, a.a.O., S. 840 ff., MARKUS SCHEFER, a.a.O., S. 282 ff., GEROLD STEINMANN, a.a.O., N. 12 zu Art. 29 BV).
3.2 Das vorliegende Verfahren ist mittlerweile insgesamt rund 17 Monate beim Bundesverwaltungsgericht hängig. Das Instruktionsverfahren wurde zügig an die Hand genommen und mit unbenutztem Fristablauf für die Einreichung der Replik am 17. Mai 2010 abgeschlossen. Seither, d.h. seit mehr als einem Jahr, ist es spruchreif, wie das Bundesverwaltungsgericht am 6. September 2010 und am 14. Januar 2011 mitteilte.
3.3 Es stellt sich somit die Frage, ob es eine Rechtsverzögerung darstellt, dass das Bundesverwaltungsgericht ein spruchreifes Verfahren während mehr als eines Jahres und trotz zweier Interventionen der Anzeigerin bis heute nicht entschieden hat.
3.3.1 In Rechtsgebieten wie dem Asyl- und Ausländerwesen ist bekanntermassen über eine grosse Anzahl von Fällen zu entscheiden. Chronische Überlastung bewahrt jedoch nicht vor dem Vorwurf der Rechtsverzögerung (BGE 130 I 312 E. 5.2 m.w.H.).
Aufgrund der Vielzahl von Verfahren, welche eine Behörde gleichzeitig zu behandeln hat, sind hingegen gewisse Zeiten, während denen ein Dossier ruht, normal und nicht zu beanstanden (BGE 130 I 312 E. 5.2 und BGE 124 I 139 E. 2c). Solche Phasen müssen allerdings auf nachvollziehbaren Gründen beruhen und dürfen eine den Umständen des Falles angemessene Dauer nicht überschreiten.
Die Behörden der entsprechenden Rechtsgebiete haben zwangsläufig gewisse Prioritäten zu setzen, wobei sie Umstände zu berücksichtigen haben, welche gegebenenfalls eine prioritäre Behandlung eines Falles rechtfertigen könnten (Entscheide des Bundesgerichts 2A.17/2000 vom 21. Februar 2000 E. 3.b, 12T_1/2007 vom 29. Mai 2007 E. 4.2, 12T_2/2007 vom 16. Oktober 2007 E. 4.2 und 12T_3/2007 vom 11. Dezember 2007 E. 4.3). Dabei steht ihnen naturgemäss ein grosser Ermessensspielraum zu, in den die Aufsichtsbehörde nur dann eingreift, wenn der äussere Gang des Verfahrens dem ordentlichen Geschäftsablauf offensichtlich nicht mehr entspricht. Zu beachten ist in diesem Zusammenhang, dass der Anspruch auf beförderliche Erledigung umso schwerer wiegt, je existentieller der Verfahrensausgang den Rechtssuchenden betrifft (JÖRG PAUL MÜLLER/MARKUS SCHEFER, a.a.O., S. 842).
3.3.2 Vorliegend informierte das Bundesverwaltungsgericht die Anzeigerin am 6. September 2010, dass es ihr "aufgrund der Arbeitslast, der Prioritätenordnung der Beschwerdeverfahren sowie aus grundsätzlichen Überlegungen" nicht möglich sei mitzuteilen, wann mit einem Entscheid zu rechnen sei. Nachdem sich die Anzeigerin mit Schreiben vom 9. Januar 2011 erneut über den Stand des Verfahrens erkundigte und um Erörterungen zu den "grundsätzlichen Überlegungen" ersuchte, die das Gericht daran hinderten, in der Sache eine Entscheidung zu fällen, präzisierte das Bundesverwaltungsgericht mit Schreiben vom 14. Januar 2011, die erwähnten grundsätzlichen Überlegungen bestünden darin, "dass die Prioritätenordnung und eine Abweichung von dieser sich einzig aus dem Einzelfall ergibt. Eine Abweichung von der Prioritätenordnung erfolgt ausschliesslich, wenn zwingende und beachtenswerte Gründe vorliegen, was in casu jedoch nicht gegeben ist."
3.3.3 Wenn das Bundesverwaltungsgericht in seiner Vernehmlassung vom 19. Mai 2011 darauf hinweist, eine Rechtsverzögerung sei nicht gegeben, weil der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte eine Gesamtverfahrensdauer von bis zu zwei Jahren pro Instanz bei normalen Verfahren grundsätzlich als gewöhnlich bezeichne und das vorliegende Verfahren noch in dieser Frist liege, übersieht es, dass es keine absolute Regel gibt, ab welcher Zeitdauer eine Untätigkeit als Rechtsverzögerung gilt. Vielmehr ist die Angemessenheit der Dauer eines Verfahrens wie in E. 3.1 dargelegt im Einzelfall unter Berücksichtigung der gesamten Umstände zu beurteilen und in ihrer Gesamtheit zu würdigen.
Vorliegend hat das Bundesverwaltungsgericht während mehr als eines Jahres trotz Spruchreife keinen Entscheid gefällt. Diese Periode übersteigt den Zeitrahmen von Behandlungsunterbrüchen, mit denen normalerweise im Rahmen eines Verfahrens zu rechnen ist. Dies zumal im vorliegenden Fall weder gegenüber der Anzeigerin noch gegenüber der Aufsichtsbehörde nachvollziehbar dargelegt wurde, was die Angezeigte am Fällen eines Entscheides hindert. Eine besondere Komplexität oder ein bedeutender Umfang des Falles ist aus den Akten nicht ersichtlich. Es ist zwar gerichtsnotorisch, dass das Bundesverwaltungsgericht im Bereich des Asyl- und Ausländerwesens eine grosse Zahl hängiger Verfahren zu behandeln hat. Dies entbindet es jedoch nicht von der Pflicht, innert angemessener Frist zu entscheiden.
In der Vernehmlassung an die Aufsichtsbehörde wird - abgesehen von einem kurzen Hinweis darauf, dass das Einreiseverbot einer Eheschliessung nicht entgegenstehe - weder dargelegt, wie die Prioritätenordnung festgelegt wurde noch bis wann etwa mit einem Entscheid gerechnet werden kann.
Zusammenfassend erscheint die Phase, während der das Bundesverwaltungsgericht untätig blieb angesichts der konkreten Umstände als zu lang.
3.3.4 Das vorliegende Verfahren wurde somit nicht innert der verfassungsrechtlich gebotenen Frist abgeschlossen, weshalb das Bundesverwaltungsgericht aufzufordern ist, beförderlich einen Entscheid zu fällen.
4. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 63 Abs. 1 und 2 VwVG).
Mangels Parteistellung kann im Aufsichtsverfahren keine unentgeltliche Rechtspflege gewährt werden (vgl. 12T_5/2007). Aus dem gleichen Grund sind auch im Falle einer Gutheissung keine Entschädigungen zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Es wird festgestellt, dass das Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht gesamthaft nicht innert der verfassungsrechtlich gebotenen Frist abgeschlossen worden ist.
2. Das Bundesverwaltungsgericht wird aufgefordert, im beanstandeten Verfahren zügig einen Entscheid zu fällen.
3. Es werden weder Kosten erhoben noch Entschädigungen zugesprochen.
4. Dieser Entscheid wird dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt. Der Anzeigerin wird eine Orientierungskopie zugestellt.
Lausanne, 23. Juni 2011
Im Namen der Verwaltungskommission
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Generalsekretär
L. Meyer Tschümperlin