Sachverhalt:
A.
X._ streitet sich seit Jahren mit der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Bülach Nord (vormals Vormundschaftsbehörde Bülach) darüber, ob bzw. in welchem Umfang er auf Vermögen und Vermögenserträge seines Sohnes A._ (geb. 12. Februar 1997) greifen darf, um den Unterhalt und die Ausbildung seines Sohnes zu finanzieren und die Kosten des gemeinsamen Haushaltes zu bestreiten.
B.
B.a. Am 26. Dezember 2013 ersuchte X._ die damalige Vormundschaftsbehörde Bülach darum, die vom Beistand ermittelten und zur Auszahlung vorgesehenen Vermögenserträge für das Jahr 2012 unverzüglich zu überweisen und festzustellen, dass diese Beträge nicht ausreichten, um den Bedarf des Sohnes zu decken. Am 21. Juni 2013 begründete die Behörde ihre ablehnende Haltung zur Frage der Verwendung des Kindesvermögens und dessen Erträgen. Am 30. Juni 2013 nahm X._ dazu Stellung. Er bezeichnete die Auffassung der Behörde als krassen Rechtsmissbrauch und forderte ultimativ eine Zahlung innert einer Woche. Am 14. Juli 2013 liess er mitteilen, er betrachte seine menschliche Würde als durch die Behörde verletzt. Er kündigte eine erneute gerichtliche Konfrontation an. Am 16. Juli 2013 wies die KESB Bülach den Antrag von X._ auf Auszahlung eines Betrages aus dem Kindesvermögensertrag von A._ für das Jahr 2012 ab.
B.b. Gegen diesen Entscheid liess X._ in seinem Namen und im Namen seines Sohnes beim Bezirksrat Bülach Beschwerde führen. Er beantragte, den Beschluss der KESB Bülach Nord aufzuheben. Zudem sei festzustellen, dass der KESB in der Sache betreffend Bezug des Ertrages des Kindesvermögens nach Art. 319 ZGB keinerlei Entscheidkompetenz zukomme, sondern dass sie lediglich als aufsichtsrechtliche Behörde gegenüber der Beistandschaft walten dürfe. Die KESB sei anzuweisen, die umgehende Auszahlung des (korrekt ermittelten) Ertrages des Kindesvermögens für das Jahr 2012 anzuordnen. Eventualiter verlangte X._ die Rückweisung der Sache an die KESB Bülach Nord (oder an den Beistand). In diesem Fall sei die KESB Bülach Nord anzuweisen, den rechtserheblichen Sachverhalt vollständig und richtig festzustellen, indem der sechzehnjährige A._ angehört und ordnungsgemäss über seine Meinung befragt werde und die protokollierten Aussagen zusammen mit den übrigen (vollständigen) Akten dem Entscheidgremium zur Kenntnisnahme vorgelegt werden. Weiter sei die "wiederholte haftungsbegründende Rechtswidrigkeit des Verwaltungshandelns der KESB festzustellen". Für den Fall, dass der Bezirksrat in der Sache materiell entscheiden wolle, sei seinem Antrag um vollumfängliche Auszahlung der korrekt ermittelten Erträge aus dem Kindesvermögen pro 2012 stattzugeben.
B.c. Am 18. Dezember 2013 wies der Bezirksrat A._s Beistand im Sinne einer vorsorglichen Massnahme an, "an X._ resp. A._" Fr. 15'000.-- aus den verwalteten Mitteln auszuzahlen. Am 26. März 2014 hiess er auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gut und forderte X._ auf, einen Anwalt seines Vertrauens zu bezeichnen. In der Folge kam es aufgrund von Rechtsmittelverfahren zu Verzögerungen. Am 5. Dezember 2014 schickte X._s Anwalt dem Bezirksrat die Akten zurück, ohne in der Sache eine Stellungnahme abzugeben.
B.d. Am 12. Februar 2015 wurde A._ volljährig.
B.e. Am 25. Februar 2015 fasste der Bezirksrat Bülach folgenden Beschluss:
"I.a) Das Verfahren VO.2013.39 wird im Sinne der Erwägungen (Ziff. 2) als gegenstandslos geworden am Protokoll des Bezirksrates Bülach abgeschrieben.
b) Es wird vorgemerkt, dass sich im Sinne der Erwägungen (Ziff. 3) die KESB Bülach Nord noch mit der letzten Berichterstattung sowie mit der Schlussberichterstattung zu befassen haben wird.
II. Es werden keine Kosten erhoben.- Über die Honorarnote von Rechtsanwalt lic. iur. F._ wird bei Vorliegen der entsprechenden Honorarnote separat entschieden."
C.
C.a. X._ wandte sich an das Obergericht des Kantons Zürich und stellte folgende Anträge:
"1. Es sei der Abschreibungsbeschluss des Bezirksrats Bülach Nr. 53 (VO.2013.39) vom 25. Februar 2015 vollumfänglich aufzuheben und die Sache zur ordnungsgemässen materiellen Behandlung in einem den verfahrensrechtlichen Normen nach 52 ff Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO] (SR 272) sowie den völkerrechtlichen Garantien nach Art. 6 Ziff. 1 Konvention zum Schutze der Menschenrechte und Grundfreiheiten [EMRK] (SR 0.101) und Art. 14 II Internationaler Pakt über bürgerliche und politische Rechte [IPBPR] (SR 0.103.2) i.V.m. Art. 12 ff Übereinkommen über die Rechte des Kindes [UNO-Kinderrechtskonvention] (SR 0.107) genügenden Verfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2. In dem Fall, dass das Obergericht des Kantons Zürich die Angelegenheit materiell selbst entscheiden will und nicht wie beantragt zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückweist, sei in einem ordnungsgemässen Verfahren der rechtserhebliche Sachverhalt richtig und vollständig festzustellen und dem Antrag des Beschwerdeführers (an die Vormundschaftsbehörde Bülach/KESB Bülach Nord und an den Bezirksrat Bülach) auf vollumfängliche Auszahlung der korrekt ermittelten Erträge aus dem Kindsvermögen pro 2012 stattzugeben.
3. Es sei die wiederholte haftungsbegründende Rechtswidrigkeit des Verwaltungshandeln[s] der Vormundschaftsbehörde Bülach/KESB Bülach Nord sowie die Rechtsverzögerung und Rechtsverweigerung der Rechtsmittelbehörde und die mit dem Abschreibungsbeschluss einhergehende Verletzung der Garantie auf Zugang zu einem fairen Verfahren im Sinne Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 IPBPR festzustellen."
C.b. Am 13. Juli 2015 fällte das Obergericht den folgenden Beschluss:
"1. Das Verfahren wird bezüglich der Anträge betreffend Beiträge aus dem Kindesvermögen abgeschrieben. Im Übrigen wird auf die Beschwerde nicht eingetreten.
2. Die Gebühr von Fr. 300.-- für den Entscheid der KESB vom 16. Juli 2013 wird bestätigt.
3. Für das Verfahren des Obergerichts werden keine Kosten erhoben und wird keine Parteientschädigung zugesprochen."
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 14. September 2015 gelangt X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Im Wesentlichen stellt er dieselben Rechtsbegehren wie vor der Vorinstanz. Zusätzlich beschwert er sich darüber, dass die Vorinstanz den von ihm bevollmächtigten Vertreter nicht habe zulassen wollen und ihm eine Busse auferlegt habe. In prozessualer Hinsicht stellt er das Begehren, vorgängig über die Zusammensetzung des Spruchkörpers informiert zu werden. Schliesslich verlangt er für das bundesgerichtliche Verfahren eine mündliche und öffentliche Parteiverhandlung und Urteilsberatung. Das Bundesgericht hat sich die vorinstanzlichen Akten überweisen lassen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Die verschiedenen Verfahrensanträge des Beschwerdeführers (s. Sachverhalt Bst. D) sind abzuweisen. Die Gründe dafür sind dem Beschwerdeführer aufgrund seiner früheren Beschwerdeverfahren hinreichend bekannt (s. Urteil 5D_192/2013 vom 30. April 2014 E. 2). Aufgrund allgemein zugänglicher Quellen weiss der Beschwerdeführer, welche Abteilung des Bundesgerichts sich mit seiner Beschwerde befasst. Einen Anspruch darauf, vorgängig über die Zusammensetzung des Spruchkörpers informiert zu werden, hat er nicht. Ebensowenig besteht ein Anspruch darauf, dass das Bundesgericht seinen Fall öffentlich verhandelt. Aus den vom Beschwerdeführer angerufenen Rechtsquellen - namentlich Art. 6 Ziff. 1 EMRK und die Kinderrechtskonvention - ergibt sich nichts anderes.
2.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (BGE 140 IV 57 E. 2 S. 59).
2.1. Der angefochtene Entscheid ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (Art. 75 BGG). Er betrifft die Abschreibung eines Streits über die Verwendung der Erträge von A._s Vermögen. Das ist eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Die Streitsache ist vermögensrechtlicher Natur (vgl. Urteil 5A_379/2014 vom 4. Juli 2014 E. 1, das denselben Beschwerdeführer betrifft).
2.2.
2.2.1. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Der Streitwert bestimmt sich nach den Begehren, die vor der Vorinstanz streitig geblieben waren (Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG). Entgegen der klaren Vorgabe von Art. 112 Abs. 1 Bst. d BGG macht das Obergericht keine Angaben zum Streitwert, sondern gibt sich mit dem Hinweis zufrieden, der Streitwert der Sache sei nicht bestimmt worden. Soweit die Rechtsbegehren - wie hier (s. Sachverhalt Bst. D und C.a) - nicht die Bezahlung einer konkret bezifferten Summe Geldes zum Gegenstand haben, setzt das Bundesgericht den Streitwert nach Ermessen fest (Art. 51 Abs. 2 BGG). Dies allein befreit den Rechtsunterworfenen aber nicht davon, in seiner Beschwerde die Elemente darzutun, anhand derer das Bundesgericht den Streitwert schätzen kann. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, zu diesem Zweck von sich aus Nachforschungen anzustellen, es sei denn, der Streitwert ergebe sich ohne Weiteres aus den Feststellungen des angefochtenen Entscheids oder aus den Akten (BGE 136 III 60 E. 1.1 S. 62).
2.2.2. Der Beschwerdeführer argumentiert, die Streitigkeit drehe sich nicht nur um die Erträge aus dem Kindesvermögen im Jahre 2012. Auch wenn sich die "Vormundschaftsorgane" trotz form- und fristgerechter Geltendmachung mutwillig nicht damit auseinandergesetzt hätten, werde im vorliegenden Fall ein "Grundsatzentscheid" über die Erträge für die Jahre bis zur Volljährigkeit seines Sohnes im Februar 2015 gefällt. In diesem Falle würde die Streitwertsumme "weit über den CHF 30,000.-- ... liegen". Diese These findet weder im angefochtenen Entscheid noch in den Akten eine Stütze. Schon die KESB Bülach Nord wies in ihrem Beschluss vom 16. Juli 2013 darauf hin, dass über einen allfälligen Anspruch auf Auszahlung des Kindesvermögensertrages für das Jahr 2013 nach Eingang einer aktuellen Bedarfsaufstellung entschieden werde. In den Anträgen, mit denen er sich an den Bezirksrat wandte, brachte der Beschwerdeführer nur die Erträge des Jahres 2012 zur Sprache. Deshalb konnten auch der Abschreibungsbeschluss, mit dem der Bezirksrat dem Beschwerdeverfahren ein Ende setzte (s. Sachverhalt Bst. B.e), und der darauf ergangene Entscheid des Obergerichts (s. Sachverhalt Bst. C.b) keine Erträge zum Gegenstand haben, die das Kindesvermögen in den Folgejahren bis zu A._s Volljährigkeit abwarf. Im Übrigen wurde der Beistand vom Bezirksrat im Sinne einer vorsorglichen Massnahme zwar angewiesen, dem Beschwerdeführer bzw. seinem Sohn aus dem Kindesvermögen einen Betrag von Fr. 15'000.-- auszuzahlen (s. Sachverhalt Bst. B.c). Daraus lassen sich indessen keine eindeutigen Rückschlüsse auf den tatsächlichen Streitwert ziehen. Mithin fehlt es an Anhaltspunkten, aufgrund derer das Bundesgericht den Streitwert festsetzen könnte.
2.2.3. Vergeblich beruft sich der Beschwerdeführer auch darauf, dass vom Streitwerterfordernis abzusehen sei, weil sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stelle (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG). Anders als der Beschwerdeführer meint, stellt sich vor Bundesgericht nicht die Frage, ob der Beistand und die KESB entgegen dem Willen der Eltern und des handlungsfähigen Kindes darüber bestimmen kön-nen, wie die Erträge aus dem Kindesvermögen zu verwenden sind, noch ob sie durch ihre Entscheide "die gesetzlichen Normen nach Art. 319 Abs. 1 ZGB in willkürlicher Weise ausser Kraft setzen und ... gegen das Kindeswohl ... als auch gegen den alleinerziehenden Vater agieren". Thema im bundesgerichtlichen Verfahren ist ausschliesslich die Frage, ob es vor Bundesrecht standhält, wenn das Obergericht das Verfahren bezüglich der Anträge betreffend Beiträge aus dem Kindesvermögen abschreibt und im Übrigen auf die kantonale Beschwerde nicht eintritt (s. Sachverhalt Bst. C.b). Dass sich in diesem Zusammenhang eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, behauptet der Beschwerdeführer nicht.
2.2.4. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in Zivilsachen mangels Erfüllung des Streitwerterfordernisses als unzulässig. Das binnen Frist (Art. 117 i.V.m. Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 BGG) eingereichte Rechtsmittel ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen.
3.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer muss in seiner Eingabe präzise angeben, welche verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sind, und im Einzelnen substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Eine Überprüfung von Amtes wegen, wie sie dem Bundesgericht hinsichtlich des Gesetzes- und Verordnungsrechts des Bundes zusteht (Art. 106 Abs. 1 BGG), findet nicht statt. Das Bundesgericht untersucht deshalb nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist. Es prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 396 E. 3.2 S. 399 f.). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 117 Ia 10 E. 4b S. 11 f.).
4.
4.1. In der Sache lässt das Obergericht offen, ob die Kindesschutzbehörde zuständig ist, über Beiträge aus dem Ertrag des Kindesvermögens zu befinden. Es betont, dass die unteren Instanzen mit einem Streit über Beiträge aus dem Kindesgut an den Vater befasst gewesen seien. A._ sei die betroffene Partei, weil die streitigen Beiträge aus seinem Vermögen genommen werden sollten. Solange der Sohn minderjährig gewesen sei, habe er vertreten werden müssen. Mit der Volljährigkeit sei er handlungsfähig geworden. Auch wenn das Verfahren weitergeführt worden wäre, hätte keine Behörde an seiner Stelle prozessuale Erklärungen darüber abgeben dürfen, wie die Beiträge für die Vergangenheit festzusetzen seien. Nur der Sohn selbst könne und müsse entscheiden, ob von seinem Konto Geld zu seinem Vater fliessen solle, auch wenn der Grund für eine solche Zahlung in der Vergangenheit liege und auch wenn es wünschbar gewesen wäre, dass über die Beiträge für das Jahr 2012 vor der Volljährigkeit hätte entschieden werden können. Das Obergericht kommt zum Schluss, dass der Bezirksrat das Verfahren nicht unter Hinweis auf A._s Volljährigkeit hätte abschreiben dürfen, falls dieser den Anspruch seines Vaters bestritten hätte. Vielmehr hätte das Verfahren mit A._ als formeller Gegenpartei weitergeführt werden müssen. Im Verfahren vor dem Obergericht habe A._ aber erklärt, dass er mit Auszahlungen aus dem Ertrag seines Vermögens an den Vater bis zur Volljährigkeit einverstanden sei. Damit - wenn auch nur in Verbindung mit der inzwischen eingetretenen Volljährigkeit - sei der Streit über allfällige Beiträge für das Jahr 2012 weggefallen und die Sache ohne Weiterungen abzuschreiben. Gegenüber der KESB sei angeregt worden, über den Wegfall der Kindesschutzmassnahme umgehend Klarheit zu schaffen, damit A._ auch praktisch auf sein Vermögen zugreifen könne.
4.2. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, mit seinem Abschreibungs- und Nichteintretensentscheid in unhaltbarer Weise gegen klares Gesetz und fundamentalste Verfassungsrechte sowie gegen völkerrechtliche Garantien von Verfassungsrang zu verstossen. Mit Bezug auf den Streit um die Erträge aus dem Vermögen seines Sohnes macht er insbesondere geltend, dass mit dem Abschreibungsbeschluss dem Anspruch auf Durchführung eines fairen Verfahrens nicht Genüge getan sei. Er rügt auch eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und 29a BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 des Internationalen Pakts über bürgerliche und politische Rechte vom 16. Dezember 1966 (UNO-Pakt II; SR 0.103.2). Angesichts der Weigerung der KESB, A._ zu befragen und seine Bedürfnisse und Wünsche im laufenden Verfahren zu berücksichtigen, sei auch Art. 12 des Übereinkommens über die Rechte des Kindes vom 13. Dezember 1996 (KRK; SR 0.107) verletzt, was durch die nachträglichen Befragungen nicht mehr habe geheilt werden können. Indem seine Vertretung im obergerichtlichen Verfahrenszug ausgeschlossen worden sei, verletze der angefochtene Entscheid neben Art. 6 Ziff. 1 EMRK auch Art. 29 Abs. 1 BV sowie Art. 14 EMRK und Art. 26 UNO-Pakt II. Überdies sei mit dem kantonalen Verfahren in seiner Gesamtheit gegenüber ihm und seinem Sohn Art. 7 BV sowie das Verbot unmenschlicher und erniedrigender Behandlung nach Art. 10 Abs. 3 BV, Art. 3 EMRK und Art. 17 UNO-Pakt II verletzt worden.
4.3. Was der Beschwerdeführer zur Begründung der verschiedenen erwähnten Rügen vorträgt, genügt den in Erwägung 3 geschilderten Anforderungen nicht. Die Vorinstanz hat sich in ihrem Beschluss gerade nicht dazu ausgesprochen, ob sich die KESB Bülach Nord und der Bezirksrat Bülach im vorliegenden Fall korrekt verhalten haben bzw. ob deren Zuständigkeit gegeben war. Entsprechend müsste der Beschwerdeführer begründen, weshalb die Vorinstanz damit falsch liegt. Dies tut er aber nicht. Stattdessen wiederholt er in weitschweifiger Art und Weise (vgl. Art. 42 Abs. 6 BGG) seine Kritik an der KESB und am Bezirksrat, Kritik nota bene, für welche die Vorinstanz teilweise sogar Verständnis zeigt. Selbstredend kann auch der dramatische und wiederholte Hinweis auf behauptete Verletzungen der Verfassung und des Völkerrechts keine gesetzeskonforme Begründung ersetzen. Ebenso untauglich ist der Hinweis des Beschwerdeführers darauf, als Laie nicht in der Lage zu sein, eine solche gesetzeskonforme Begründung zu liefern. Dem Beschwerdeführer war es unbenommen, einen fachkundigen Vertreter zu bestellen. Ist der Beschwerdeführer schliesslich der Meinung, dass ihm durch widerrechtliches Handeln der KESB Bülach Nord und des Bezirksrats Bülach ein Schaden entstanden ist, so hat er dafür den Weg der Staatshaftung zu beschreiten (Art. 454 ZGB; vgl. BGE 140 III 92 E. 2.3 S. 96).
5.
5.1. Anlass zur Beschwerde gibt ausserdem die Gebühr von Fr. 300.--, welche die KESB Bülach Nord dem Beschwerdeführer für ihren Entscheid auferlegt hatte. Das Obergericht hält fest, dass im Fall von Gegenstandslosigkeit über bereits festgesetzte Kosten nach Ermessen entschieden werde. Die Erwägungen der KESB, dem Beschwerdeführer für das Jahr 2012 keinen Beitrag aus dem Kindesvermögen auszurichten, seien bei summarischer Prüfung überzeugend. Insbesondere sei es X._ und seinem damaligen Vertreter nicht gelungen, eine Unrichtigkeit dieser Erwägungen auch nur glaubhaft zu machen. Wenn A._ seinem Vater heute aus freien Stücken einen Beitrag bezahlen wolle, ändere das nichts daran, dass im Streitfall wohl anders entschieden worden wäre.
5.2. Der Beschwerdeführer klagt, dass auf seine Beanstandungen betreffend die erwähnte Verfahrensgebühr und die Festsetzung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands im bezirksrätlichen Verfahren nicht eingetreten worden sei. Die Rüge, sein verfassungsmässiger Gehörsanspruch sei verletzt, ist jedoch unbegründet. Das Obergericht nimmt nicht nur zur Gebühr von Fr. 300.-- für das Verfahren vor der KESB Stellung (E. 5.1), sondern auch zur Entschädigung: Diese sei zwar der Höhe nach festgesetzt, jedoch niemandem auferlegt worden, weshalb auch niemand beschwert sei. Unter dem Aspekt der Begründungspflicht ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden. Weder Art. 29 Abs. 2 BV noch Art. 6 Ziff. 1 EMRK oder Art. 14 UNO-Pakt II verlangen, dass sich die Behörde zu allen Punkten einlässlich äussert und jedes einzelne Vorbringen widerlegt. Es genügt, wenn sie ihren Entscheid so abfasst, dass der Betroffene sich über dessen Tragweite ein Bild machen und ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann (s. zum Ganzen BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88; 133 III 439 E. 3.3 S. 445). Inwiefern er den angefochtenen Entscheid in diesen Punkten nicht hätte nachvollziehen können, tut der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich.
5.3. Bezüglich der Entscheidgebühr von Fr. 300.-- stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, dass er den Prozess gegen die KESB vor dem Bezirksrat gewonnen habe, andernfalls ihm nicht im Sinne einer vorsorglichen Massnahme Fr. 15'000.-- ausbezahlt worden wären. Die KESB habe diesen Massnahmeentscheid nicht angefochten; im Übrigen sei die Auszahlung auch von seinem Sohn gefordert worden. Allein mit dem Vorwurf, der die Gebühr bestätigende Entscheid des Obergerichts sei aus den erwähnten Gründen "gesetzeswidrig", vermag der Beschwerdeführer im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde indessen nichts auszurichten. Denn in diesem Verfahren prüft das Bundesgericht lediglich die konkret gerügten Verletzungen verfassungsmässiger Rechte (E. 3). Der Beschwerdeführer ruft zwar verschiedene Verfassungsnormen an. Er tut dies jedoch nur im Zusammenhang mit der vermeintlichen Gehörsverletzung (E. 5.2). Was den Kostenentscheid als solchen angeht, begnügt er sich damit, die Gesetzeslage aus seiner Sicht darzustellen. Er äussert sich nicht dazu, inwiefern das Obergericht bei der Rechtsanwendung in Willkür verfallen sein soll. Im Übrigen vermöchte der Beschwerdeführer mit seiner Argumentation selbst dann nichts auszurichten, wenn die summarische Prüfung der Erwägungen der KESB, wie sie das Obergericht vornimmt (E. 5.1 ), in Frage gestellt werden müsste. Der Beschwerdeführer übersieht, dass seine Rechtsbegehren betreffend das Jahr 2012 nicht auf die vorsorglich ausbezahlte Summe von Fr. 15'000.-- beschränkt waren. Wollte man seiner Argumentation folgen, könnte mit Blick auf das Verfahren vor dem Bezirksrat deshalb höchstens von einem teilweisen Obsiegen des Beschwerdeführers gesprochen werden. Der Beschwerdeführer tut nicht dar, inwiefern seine verfassungsmässigen Rechte verletzt sind, wenn er trotz eines hypothetisch teilweisen Obsiegens vor dem Bezirksrat für den Entscheid der KESB Bülach Nord eine Gebühr von Fr. 300.-- bezahlen muss. Das Verfahren vor der KESB war kein streitiger Prozess vor einer Gerichtsbehörde, bei dessen Ausgang eine obsiegende einer unterliegenden Partei gegenüberstand, sondern ein Verfahren auf Erlass einer Verfügung, in welchem die KESB als Verwaltungsbehörde über das Rechtsbegehren des Beschwerdeführers entschied. Insofern geht die Argumentation des Beschwerdeführers an der Sache vorbei.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer wehrt sich dagegen, dass ihm der Bezirksrat die unentgeltliche Rechtspflege gewährt hat (s. Sachverhalt Bst. B.c und B.e), anstatt die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsvertreters dem Staat aufzuerlegen. Diese Entschädigung müsse er zurückzahlen, wenn er dazu in den nächsten zehn Jahren in der Lage sei. Darauf sei in der Präsidialverfügung Nr. 128 des Bezirksrats vom 13. Mai 2015 ausdrücklich hingewiesen worden. Das Obergericht führt in diesem Zusammenhang aus, das Honorar des unentgeltlichen Vertreters sei zwar der Höhe nach festgesetzt worden; da es niemandem auferlegt worden sei, sei dadurch aber auch niemand beschwert (s. schon E. 5.2 ).
6.2. Dem Entscheid des Obergerichts, das die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bezirksrat im Ergebnis bestätigt, lässt sich in der Tat nur dann ein Sinn abgewinnen, wenn man unterstellt, dass der Beschwerdeführer auch nach der Meinung des Obergerichts vor dem Bezirksrat unterlegen war. Dieser Sichtweise widerspricht freilich der Entscheid des Bezirksrats, für sein Verfahren keine Gebühren zu erheben (s. Sachverhalt Bst. B.e). Was es damit auf sich hat, muss im vorliegenden Verfahren aber offenbleiben. Denn ob es vor der Verfassung standhält, wenn das Obergericht den Beschwerdeführer angesichts des Verfahrensausgangs vor dem Bezirksrat allfälligen Nachforderungen des Kantons Zürich aussetzt, ist im heutigen Zeitpunkt eine Frage rein hypothetischer Natur. Der Beschwerdeführer hat kein aktuelles und praktisches Interesse (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG) daran, dass sich das Bundesgericht schon im vorliegenden Verfahren mit dieser theoretischen Frage befasst. Insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
7.
Der Beschwerdeführer kritisiert schliesslich, dass der von ihm gewählte Vertreter von der Vorinstanz nicht zugelassen, sondern sogar gebüsst wurde. Abgesehen davon, dass seine Beschwerde auch in diesem Punkt den Begründungsanforderungen schwerlich genügt, steht das Vorgehen der Vorinstanz im Einklang mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (BGE 140 III 555 E. 2 S. 556 ff.).
8.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er wird deshalb kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gemeinwesen ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG). Das nur für den Fall des Obsiegens gestellte Entschädigungsgesuch wird bei diesem Ausgang des Verfahrens hinfällig.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Bülach Nord, A._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn