Sachverhalt:
A. Der 1955 geborene M._ hatte in der Zeit vom 1. Februar 1996 bis 28. Februar 1997 Anspruch auf eine halbe Rente und vom 1. März bis 30. Juni 1997 auf eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Zur Ausrichtung gelangten eine Ehepaar-Invalidenrente sowie zwei, ab 1. Februar 1997 eine Kinderrenten. Im September 2002 ersuchte M._ um Einleitung eines neuen Verfahrens, weil sich sein Gesundheitszustand seit 1998 verschlechtert habe. Nach Abklärungen (u.a. Einholung eines interdisziplinären Gutachtens) verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 29. September 2005 den Anspruch auf eine Invalidenrente, was sie mit Einspracheentscheid vom 1. Juni 2006 bestätigte.
B. In Gutheissung der Beschwerde des M._ hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen den Einspracheentscheid vom 1. Juni 2006 auf und sprach ihm ab dem 14. Mai 2002 eine Viertelrente zu (Entscheid vom 12. September 2007).
C. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 12. September 2007 sei aufzuheben.
M._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Wurde eine Rente wegen eines zu geringen Invaliditätsgrades verweigert, wird eine neue Anmeldung nur geprüft, wenn die gesuchstellende Person glaubhaft macht, dass sich der Grad der Invalidität in einer für den Anspruch erheblichen Weise geändert hat (Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV). Tritt die IV-Stelle auf eine Neuanmeldung ein, hat sie und im Beschwerdefall das kantonale Versicherungsgericht (Art. 57 ATSG) wie bei einer Revision nach Art. 17 Abs. 1 ATSG (resp. Art. 41 IVG in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2002) zu prüfen, ob sich die tatsächlichen Verhältnisse seit Erlass der letzten, auf einer materiellen Prüfung des Rentenanspruchs mit rechtskonformer Sachverhaltsabklärung, Beweiswürdigung und Ermittlung des Invaliditätsgrades beruhenden Verfügung, allenfalls des diesen bestätigenden Einspracheentscheids, verändert haben (BGE 130 V 71 E. 3.2.3 S. 75 ff.; vgl. auch BGE 133 V 108). Kommt sie zum Schluss, es sei keine erhebliche Tatsachenänderung bis zum Zeitpunkt der Neuanmeldung eingetreten, weist sie das Gesuch mit dieser Begründung ab (Urteil I 96/06 vom 26. Mai 2006 E. 2); andernfalls hat sie zu prüfen, ob auf Grund der festgestellten Veränderung nunmehr eine anspruchsbegründende Invalidität besteht (BGE 117 V 198 E. 3a S. 198).
2. Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt, die Vorinstanz habe in Verletzung ihrer Prüfungspflicht den für den Anspruch auf eine Rente und dessen Umfang entscheidenden Invaliditätsgrad ermittelt, ohne vorgängig zu prüfen, ob die tatsächlichen Verhältnisse seit der Aufhebung der Rente zum 30. Juni 1997 resp. seit der entsprechenden Verfügung vom 24. April 1998 geändert hätten. Dies sei auf Grund der Akten aber zu verneinen mit der Folge, dass die Beschwerde ohne Vornahme eines Einkommensvergleichs abzuweisen gewesen wäre.
Die IV-Stelle hatte weder in der Verfügung das erneut gestellte Gesuch um eine Rente mit der Begründung abgelehnt, die tatsächlichen Verhältnisse hätten sich im massgebenden Zeitraum nicht wesentlich verändert, noch verteidigte sie in der vorinstanzlichen Vernehmlassung ihren Standpunkt mit diesem Argument. Das rechtliche Vorbringen der Verwaltung ist somit neu, entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners aber im Rahmen der Rechtsanwendung von Amtes wegen durch das Bundesgericht zulässig (Art. 106 Abs. 1 BGG).
3. 3.1 Das kantonale Gericht hat festgestellt, die IV-Stelle sei zu Recht auf die Neuanmeldung vom 24. September 2002 eingetreten. Der Versicherte habe glaubhaft machen können, dass es seit der rentenaufhebenden Verfügung vom 24. April 1998 zu einer Sachverhaltsänderung gekommen sei. So habe der Hausarzt bescheinigt, dass zu den bestehenden Beschwerden als Folge einer Thoraxkontusion neue Schmerzen hinzugekommen seien und sich neu eine somatoforme Schmerzstörung entwickelt habe. Ob die Verhältnisse sich tatsächlich geändert haben und sich auf die Arbeitsfähigkeit auswirken, hat die Vorinstanz nicht geprüft und diesbezüglich auch keine Feststellungen getroffen. Der rechtserhebliche Sachverhalt ist damit unvollständig festgestellt. Diese Frage ist somit frei zu prüfen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG e contrario).
3.2 Der IV-Stelle ist darin beizupflichten, dass das MZR-Gutachten vom 24. August 2005 die Frage einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes seit der Verfügung vom 24. April 1998 nicht schlüssig beantwortet. Zwar bildete gemäss Abklärungsauftrag an die Gutachterstelle ein Schwerpunkt der Exploration der Verlauf des Gesundheitszustandes seit 1995. Dieser Punkt wurde indessen in der Expertise nicht eigens abgehandelt. Der Beschwerdegegner wirft zu Recht unter Hinweis auf den Aktenauszug die Frage auf, ob die Gutachter dazu überhaupt in der Lage gewesen seien. Ebenfalls ist nicht auszuschliessen, dass die Ärzte des MZR Arbeits- und Erwerbsfähigkeit verwechselt haben, wie die IV-Stelle geltend macht. In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass neue Diagnosen nur beachtlich sind, soweit sie Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit haben. Sodann stellt die lediglich unterschiedliche Einschätzung der Arbeitsfähigkeit bei einem im Wesentlichen unverändert gebliebenen Gesundheitszustand für sich allein genommen keinen Revisionsgrund dar. Diesbezüglich besteht vorliegend insoweit Unklarheit, als ab 1. Juli 1997 die Arbeitsfähigkeit in leichten vorwiegend sitzenden Tätigkeiten 100 % betrug (Verfügung vom 25. April 1998). Gemäss MZR-Gutachten sind sämtliche körperlich leichten, wechselbelastenden Tätigkeiten ohne längere Gehstrecken, ohne repetitives Treppen- oder Leitergehen und ohne Einnahme von Zwangshaltungen mit einem Pensum von 75 % zumutbar. Diese Einschätzungen beziehen sich auf verschiedene Anforderungsprofile und lassen keine hinreichend sicheren Schlüsse zur interessierenden Frage einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes im massgebenden Zeitraum zu.
3.3 Die Akten erlauben keine zuverlässige Beurteilung der Frage, ob sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der rentenaufhebenden Verfügung vom 24. April 1998 in anspruchsrelevanter Weise geändert haben. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin kann aufgrund der vorliegenden Akten eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes auch nicht abschliessend verneint werden. Es bedarf hierzu weiterer Abklärungen durch die IV-Stelle. In diesem Sinne ist die Beschwerde begründet und verletzt der angefochtene Entscheid Bundesrecht (Art. 95 lit. a BGG). Bei diesem Ergebnis ist auf die vorinstanzliche Invaliditätsbemessung nicht weiter einzugehen.
4. Der Beschwerdegegner hat als unterliegende Partei die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Prozesses wird das kantonale Gericht die Parteikosten für das vorinstanzliche Verfahren neu zu verlegen haben (BGE 132 V 215 E. 6 S. 235).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 12. September 2007 und der Einspracheentscheid vom 1. Juni 2006 aufgehoben werden und die Sache an die IV-Stelle des Kantons St. Gallen zurückgewiesen wird, damit sie nach Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Anspruch des Beschwerdegegners auf eine Rente der Invalidenversicherung neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, der Ausgleichskasse Schweiz. Baumeisterverband, Zürich, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. April 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler