Sachverhalt:
A. Der 1966 geborene V._ arbeitete ab 1. Juni 2007 bis Ende August 2008 als Geschäftsführer bei der Firma M._ AG (nachfolgend Firma) und war bis 28. August 2008 auch Mitglied ihres Verwaltungsrates. Er meldete sich zum Bezug von Arbeitslosenentschädigung ab 9. September 2008 an. Mit Verfügung vom 7. November 2008 verneinte die öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Aargau (nachfolgend Kasse) seine Anspruchsberechtigung ab 9. September 2008. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie ab, da er in der Rahmenfrist vom 9. September 2006 bis 8. September 2008 die Mindestbeitragzeit von zwölf Monaten nicht erfüllt habe und ein Befreiungsgrund von deren Erfüllung nicht bestehe (Entscheid vom 5. Februar 2009).
B. Hiegegen erhob V._ beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau Beschwerde. Er legte neu ein Schreiben des G._, ehemaliger Verwaltungsratspräsident der Firma, vom 6. März 2009 auf. In Gutheissung der Beschwerde hob das kantonale Gericht den Einspracheentscheid auf und wies die Sache an die Kasse zurück, damit diese die Anspruchsberechtigung des V._ auf Arbeitslosentschädigung im Sinne der Erwägungen nochmals prüfe und darüber neu entscheide (Entscheid vom 25. August 2009).
C. Mit Beschwerde beantragt die Kasse die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 135 V 98 E. 1 S. 99). Der angefochtene Rückweisungsentscheid ist, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des vorinstanzlich Angeordneten dient, ein selbstständig eröffneter Vor- oder Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG (BGE 135 V 141 E. 1.1 S. 143). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit alternativ voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b; Urteil 8C_276/2009 vom 2. November 2009 E. 1).
1.2 Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdegegner habe die zwölfmonatige Beitragszeit erfüllt; die Kasse habe die übrigen Voraussetzungen des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung zu prüfen und darüber neu zu entscheiden. Indem die Vorinstanz entgegen der Auffassung der Kasse die Erfüllung der Beitragszeit bejahte (vgl. E. 4.1 f. hienach), beinhaltet ihr Entscheid offenkundig eine materielle Vorgabe, die den Beurteilungsspielraum der Kasse wesentlich einschränkt. Diese wird aufgrund des angefochtenen Entscheides verpflichtet, eine Verfügung auf einer Grundlage zu erlassen, die sie als rechtswidrig erachtet. Dazu kommt, dass sie sich ausserstande sähe, ihre eigene Verfügung anzufechten, und die Gegenpartei wird in der Regel kein Interesse haben, dem möglicherweise zu ihren Gunsten lautenden Endentscheid zu opponieren, sodass der kantonale Vor- oder Zwischenentscheid nicht mehr korrigiert werden könnte. Damit ist der Tatbestand von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG erfüllt (nicht publ. E. 1.2 des Urteils BGE 134 V 392, in: SVR 2008 UV Nr. 31 S. 115 [8C_682/2007]). Auf die Beschwerde ist daher - trotz darin diesbezüglich fehlender Begründung - einzutreten (vgl. auch Urteil 8C_276/2009 E. 1).
2. 2.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254; nicht publ. E. 1.1 des Urteils BGE 8C_784/2008 vom 11. September 2009). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dies ist auf Grund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen (nicht. publ. E. 1 des Urteils BGE 135 V 306).
2.2 Bei der Anwendung der gesetzlichen und rechtsprechungsgemässen Regeln über die Erfüllung der Beitragszeit geht es um eine Rechtsfrage. Zu prüfen ist hierbei insbesondere die falsche Rechtsanwendung. Die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 43 Abs. 1 bzw. Art. 61 lit. c ATSG ist ebenfalls Rechtsfrage. Die konkrete Beweiswürdigung betrifft eine Tatfrage (Urteil 8C_914/2008 vom 12. Februar 2009 E. 1.2).
3. 3.1 Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Mindestbeitragsdauer von zwölf Monaten innerhalb der entsprechenden Rahmenfrist als Voraussetzung für den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung (Art. 7 Abs. 2 lit. a, Art. 8 Abs. 1 lit. e, Art. 9 Abs. 3, Art. 13 Abs. 1 AVIG) und die Rechtsprechung betreffend die Erfüllung der Beitragszeit (BGE 131 V 444, 113 V 352) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.2 Voraussetzung für den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung unter dem Gesichtspunkt der erfüllten Beitragszeit nach Art. 8 Abs. 1 lit. e in Verbindung mit Art. 13 Abs. 1 AVIG ist grundsätzlich einzig die Ausübung einer beitragspflichtigen Beschäftigung während der geforderten Dauer von mindestens zwölf Beitragsmonaten. Diese Tätigkeit muss genügend überprüfbar sein. Dem Nachweis tatsächlicher Lohnzahlung kommt dabei nicht der Sinn einer selbstständigen Anspruchsvoraussetzung zu, wohl aber jener eines bedeutsamen und in kritischen Fällen unter Umständen ausschlaggebenden Indizes für die Ausübung einer beitragspflichtigen Beschäftigung. Soweit eine solche Beschäftigung nachgewiesen, der exakte ausbezahlte Lohn jedoch unklar geblieben ist, hat eine Korrektur über den versicherten Verdienst (Art. 23 AVIG) zu erfolgen (BGE 131 V 444 E. 3.2 450 f. und E. 3.3 S. 453 f.; ARV 2008 S. 314 [C 92/06], 2007 S. 46 E. 2.1 [C 284/05], S. 44 E. 2.2 [C 83/06]; Urteil 8C_914/2008 E. 2.2).
4. 4.1 Die Kasse führte im Einspracheentscheid vom 5. Februar 2009 aus, der Beschwerdegegner weise in der Rahmenfrist für die Beitragszeit vom 9. September 2006 bis 8. September 2008 im Zeitraum vom 1. Juni 2007 bis 30. Juni 2008 Lohnzahlungen bzw. eine Beitragszeit während nur acht Monaten - nämlich Juni, August, September, Oktober und November 2007 sowie Februar, April und Mai 2008 - auf. Dass er den Lohn für die Monate Dezember 2007 sowie Januar, März und Juni 2008 von je Fr. 7500.- mit Guthaben gegenüber der Firma von total Fr. 30'000.- verrechnet habe, sei nicht bewiesen. Demnach habe er die Mindestbeitragzeit von zwölf Monaten nicht erfüllt; ein Grund für die Befreiung von deren Erfüllung bestehe nicht.
4.2 Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdegegner habe in der Rahmenfrist für die Beitragszeit (9. September 2006 bis 8. September 2008) als Geschäftsführer der Firma vom 1. Juni 2007 bis 31. August 2008 eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt. Dies gehe nicht nur aus dem Arbeitsvertrag vom 1. Juni 2007, dem Kündigungsschreiben vom 28. Juli 2008 und der Arbeitgeberbescheinigung vom 8. September 2008 hervor, sondern werde auch von G._, damaliger Verwaltungsratspräsident der Firma, im Schreiben vom 6. März 2009 erhärtet. Daran ändere nichts, dass gemäss der Buchungsliste der Crédit Suisse AG lediglich Lohnzahlungen für die Monate Juni, August, September, Oktober und November 2007 sowie Februar, April und Mai 2008 - dagegen nicht für die Monate Dezember 2007, Januar, März und Juni 2008 - belegt seien. Der Beschwerdegegner weise nachvollziehbar darauf hin, dass die Firma mit einem Aktienkapital von Fr. 100'000.- von ihm und von G._ gegründet worden sei, wobei vereinbart worden sei, dass beide Seiten zudem Fr. 150'000.- als Darlehen an die Firma zahlten. Von den vom Beschwerdegegner zu zahlenden Fr. 150'000.- seien Fr. 50'000.- als Architekten- und Bauleiterhonorar deklariert worden, da er den gesamten Umbau geplant und begleitet habe. Demnach habe er der Firma noch Fr. 100'000.- geschuldet, die er gemäss Vertrag bis spätestens 1. April 2008 hätte zahlen müssen. Wegen Liquiditätsproblemen der Firma sei der Lohn in gewissen Monaten nicht ausbezahlt worden, und der Beschwerdegegner habe sich entschlossen, der Firma statt der geschuldeten Fr. 100'000.- nur Fr. 70'000.- zu überweisen und die restlichen Fr. 30'000.- später als Lohnbezüge zu deklarieren. Fr. 10'000.- seien am 9. Januar 2008, die restlichen Fr. 60'000.- am 4. April 2008 bezahlt worden. Diese Verrechnung der Fr. 30'000.- mit seinen Lohnguthaben in den Monaten Dezember 2007 sowie Januar, März und Juni 2008 sei vom damaligen Verwaltungsratspräsidenten mit Schreiben vom 6. März 2009 bestätigt worden. Auch wenn diese Bestätigung und die vorliegenden Arbeitgeber- und Lohnbescheinigungen höchstens als Indiz für die Lohnzahlung in den fraglichen Monaten Dezember 2007 sowie Januar, März und Juni 2008 zu werten seien, gebe es keine Hinweise dafür, dass der Beschwerdegegner nicht vom 1. Juni 2007 bis 31. August 2008 als Geschäftsführer der Firma gearbeitet haben könnte. Hieran ändere nichts, dass der Lohnfluss nur für acht Monate habe nachgewiesen werden können und für die restlichen vier Monate verrechnungsweise erfolgt sei.
4.3 Die Kasse macht im Wesentlichen geltend, der Beschwerdegegner als Gesellschafter der Firma habe strengere Auflagen betreffend den Nachweis des Lohnbezugs zu erfüllen. Gerade weil Gesellschafter typischerweise freiwillig auf ihr Gehalt ganz oder teilweise verzichteten, wenn das Unternehmen wie vorliegend in finanzielle Schwierigkeiten gerate, bestünden für diese Personengruppen höhere Anforderungen. Unter diesem Gesichtspunkt sei entscheidend, dass der Beschwerdegegner und Gesellschafter nicht nur eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt, sondern darüber hinaus den dafür vereinbarten Lohn auch tatsächlich bezogen habe. Diesen Lohnbezug müsse er mit geeigneten Mitteln nachweisen. Weder im Verfügungs- noch im Einspracheverfahren hätten Belege über die Verrechnung von Löhnen des Beschwerdegegners vorgelegt werden können, weshalb es sich lediglich um eine Parteibehauptung handle. Das Fehlen von schriftlichen Vereinbarungen betreffend die Tilgung der offenen Schuld des Beschwerdegegners gegenüber der Firma und die Verrechnung von Löhnen sei als Indiz zu werten, dass eine entsprechende mündliche Vereinbarung nicht existiert habe, zumal alle anderen Vereinbarungen schriftlich getroffen worden seien. Auf die Bestätigung des G._ im Schreiben vom 6. März 2009 könne nicht abgestellt werden, da er Mitinhaber der Firma, Geschäftspartner und Freund des Beschwerdegegners gewesen sei und deshalb ein gewisses Interesse an dessen Obsiegen haben dürfte. Demnach könnten nur die tatsächlich ausgewiesenen acht Monate als Beitragszeit angerechnet werden, was für deren Erfüllung nicht ausreiche. Die Vorinstanz habe es unterlassen, vollständige Abklärungen vorzunehmen.
5. Vorliegend kann offen bleiben, ob der Lohnanspruch des Beschwerdegegners für die fraglichen Monate Dezember 2007 sowie Januar, März und Juni 2008 tatsächlich durch Verrechnung getilgt wurde (im Hinblick auf die Bemessung des versicherten Verdienstes vgl. aber E. 3.2 hievor in fine). Für die Erfüllung der Beitragszeit genügt es, dass grundsätzlich ein beitragspflichtiges Arbeitsverhältnis im Zeitraum vom 1. Juni 2007 bis Ende Mai 2008 bzw. bis Ende August 2008 bestand. Anders zu entscheiden wäre nur, wenn für die Monate Dezember 2007 sowie Januar, März und Juni 2008 ein eindeutiger Lohnverzicht seitens des Beschwerdegegners nachgewiesen wäre. Ein Lohnverzicht ist indessen nicht leichthin anzunehmen (BGE 131 V 444 E. 3.3 S. 452). Aus dem blossen Zuwarten mit der Geltendmachung der Lohnforderung in schwieriger Zeit und während der Verjährungsfrist (Art. 128 Ziff. 3 OR) kann kein rechtsgeschäftlich fassbarer Verzicht abgeleitet werden (vgl. ARV 1999 Nr. 8 S. 30 E. 3b). In casu besteht kein Anhaltspunkt für einen klaren Verzicht des Beschwerdegegners auf seinen Lohn für die fraglichen Monate. Von ergänzenden Abklärungen kann abgesehen werden, da hievon keine entscheidrelevanten neuen Erkenntnisse zu erwarten sind (antizipierte Beweiswürdigung; BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148). Der angefochtene Entscheid ist daher im Ergebnis nicht zu beanstanden.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 f. BGG). Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG; BGE 133 V 637).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, dem Staatssekretariat für Wirtschaft und dem Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Dezember 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar