Faits:
A. Travaillant comme ouvrier agricole, B._ (né en 1976) a été mis en arrêt de travail à des taux variables à partir de 2004, en raison notamment d'une symptomatologie anxieuse. Licencié avec effet au 31 mai 2005, il a présenté le 12 septembre 2006 une demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant à l'octroi d'une rente. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI) a recueilli différents avis médicaux, dont ceux du docteur S._, psychiatre traitant, et du docteur C._, psychiatre et psychothérapeute, mandaté par l'assureur perte de gain. Selon le rapport de ce médecin (du 19 juin 2006), B._ souffrait d'un trouble de l'anxiété généralisée de gravité moyenne et d'un épisode dépressif majeur de gravité légère à moyenne chez une personnalité immature à traits limites, probable intelligence limite; il disposait d'une capacité de travail de 50 %. Par la suite, l'office AI a soumis l'assuré à une expertise auprès du docteur C._. Dans un rapport du 18 octobre 2007, celui-ci a constaté une évolution favorable de la situation. Il a conclu à une capacité de travail entière de l'assuré dans une activité adaptée à ses compétences depuis le 1er janvier 2007 au plus tard. Fort de ces conclusions, l'office AI a, par décision du 19 février 2008, accordé à l'assuré une demi-rente d'invalidité du 1er novembre 2005 au 31 décembre 2006.
B. Saisie d'un recours de B._ contre cette décision, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal fribourgeois a requis des renseignements complémentaires auprès du docteur C._, qui les lui a fournis par courrier du 5 octobre 2010. Statuant le 20 décembre suivant, la Cour des assurances sociales a partiellement admis le recours; elle a réformé la décision du 19 février 2008 en ce sens que l'assuré a droit à une demi-rente d'invalidité du 1er novembre 2005 au 31 décembre 2007.
C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. Sous suite de dépens, il conclut principalement à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité pour une durée indéterminée; à titre subsidiaire, il demande que soit ordonnée une expertise pluridisciplinaire en milieu hospitalier. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer à son sujet.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. Compte tenu des conclusions du recourant (cf. art. 107 al. 1 LTF), le litige porte sur son droit éventuel à une demi-rente d'invalidité à partir du 1er janvier 2008, étant précisé que le droit à une telle prestation du 1er novembre 2005 au 31 décembre 2007 a été admis par la juridiction cantonale et est incontesté. Le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence sur la notion d'invalidité et son évaluation, ainsi que sur la valeur probante des rapports médicaux. Il rappelle également les principes jurisprudentiels sur l'application par analogie des règles régissant la révision au sens de l'art. 17 LPGA à la décision par laquelle l'assurance-invalidité accorde - comme en l'espèce - une rente avec effet rétroactif et prévoit, en même temps, la réduction ou la suppression de cette rente, Il suffit d'y renvoyer.
3. Sur le plan formel, le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu en rapport avec le refus de la juridiction cantonale d'administrer une expertise pluridisciplinaire.
La violation du droit d'être entendu (sur cette notion en corrélation avec l'administration de preuves, cf. ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 429, 119 Ib 492 consid. 5b/bb p. 505), telle qu'invoquée par le recourant, est une question qui se confond et qui n'a pas de portée propre par rapport au grief tiré d'une mauvaise appréciation des preuves. L'assureur ou le juge peut effectivement renoncer à accomplir certains actes d'instruction sans que cela n'entraîne une violation du droit d'être entendu s'il est convaincu, en se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves (cf. ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352), que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation (sur l'appréciation anticipée des preuves en général: ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2 p. 428). Son argumentation sera donc traitée avec le fond du litige.
4. Le recourant reproche aux premiers juges d'avoir établi les faits de manière manifestement inexacte, en constatant qu'il était capable d'exercer une activité lucrative à plein temps dès le 1er janvier 2008. Invoquant une appréciation erronée des preuves, il soutient que l'évaluation du docteur C._ du 18 octobre 2007, sur laquelle s'est fondée la juridiction cantonale, était subjective, incomplète et pas motivée. Elle était par ailleurs contredite par les cinq autres médecins - les docteurs P._, G._, R._, H._ et S._ - dont les rapports figuraient au dossier. L'autorité cantonale de recours ne se serait nullement prononcée sur ces avis, alors qu'elle aurait dû les retenir pour lui accorder une demi-rente d'invalidité pour une durée indéterminée. Elle aurait, pour le moins, été tenue d'ordonner une expertise pluridisciplinaire comme l'avait recommandé le docteur H._.
4.1 Le Tribunal fédéral n'examine le résultat de l'appréciation des preuves à laquelle a procédé l'autorité cantonale de recours que sous l'angle restreint de l'arbitraire. Il en va de même du refus de l'instance précédente de compléter l'instruction par une nouvelle expertise sur la base d'une appréciation anticipée des preuves. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
4.2 Avec son argumentation, le recourant ne parvient pas à établir le caractère manifestement inexact des constatations de fait cantonales, ni le caractère arbitraire de l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale. A l'issue d'un examen des pièces médicales du dossier, celle-ci a fait siennes les conclusions du second rapport du docteur C._ et constaté que l'état de santé de l'assuré s'était amélioré en septembre 2007 par rapport à la situation antérieure, de sorte qu'il disposait - il s'agit là d'une constatation implicite - d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée à ses compétences.
4.2.1 Contrairement à ce que prétend le recourant, les conclusions du docteur C._ quant à l'évolution favorable de son état de santé psychique depuis la première expertise en mai 2006 sont motivées. Le psychiatre a expliqué que seuls persistaient au moment de son examen quelques symptômes anxio-dépressifs ténus, peu invalidants dans le quotidien de l'assuré, de sorte qu'il ne retenait plus les diagnostics de trouble d'anxiété généralisée de gravité moyenne et d'épisode dépressif de gravité moyenne à légère, dont avait fait état le docteur S._ dans un rapport du 20 février 2007. Selon l'expert, la problématique psychosociale et professionnelle était actuellement au premier plan, alors que des difficultés liées aux problèmes linguistiques devaient également être évoquées. En soi, le fait que le docteur C._ conclut à une amélioration de l'état psychique dans un intervalle d'un peu plus de quinze mois n'apparaît ni étonnant, ni contradictoire, comme le soutient à tort le recourant, au regard tant du caractère fluctuant des troubles psychiques dont il souffre - relevé déjà par le docteur S._ qui observait des fluctuations de l'état thymique avec toutefois des signes d'amélioration (rapport du 21 mai 2004) -, que de la recommandation faite par le docteur C._ à l'issue de sa première expertise, selon laquelle la situation de l'assuré devait être réévaluée à bref délai.
Par ailleurs, si le test psychométrique évoqué par le recourant met toujours en évidence, en septembre 2007, un score correspondant à une dépression, celle-ci n'a plus la même intensité qu'à l'époque du premier test en mai 2006. L'argumentation du recourant relative à la mauvaise compliance pharmacologique ne lui est, en outre, d'aucun secours, puisque l'expert n'explique pas la rémission de l'état psychique par l'observance ou l'inobservance du traitement médicamenteux ("l'observance au traitement paraît assez médiocre pour les antidépresseurs et malgré tout, l'assuré présente un état psychique tout à fait stabilisé", rapport du 18 septembre 2007, p. 8).
4.2.2 C'est en vain que le recourant invoque ensuite les avis divergents des cinq autres médecins qui ont été appelés à se prononcer sur sa situation pour remettre en cause les constatations de la juridiction cantonale. Contrairement à ce qu'il affirme, celle-ci a dans une large mesure pris en compte les rapports auxquels il se réfère et expliqué de façon convaincante les raisons pour lesquelles ils ne pouvaient être suivis. Ainsi, l'autorité cantonale de recours a écarté les appréciations de la psychologue et psychothérapeute G._ (du 10 janvier 2006) et du docteur R._ (du 10 février 2006), puisqu'elles portaient sur la situation antérieure à celle qui prévalait pendant la période déterminante (courant à partir de janvier 2007). Par ailleurs, s'ils ont mis en évidence l'origine des rapports du docteur S._ en rappelant la divergence consacrée par la jurisprudence entre un mandat thérapeutique et un mandat d'expertise, les premiers juges ont cependant aussi pris en considération l'avis du psychiatre traitant dans le cadre d'une appréciation globale de sa valeur probante. Ils ont en effet indiqué que les conclusions du docteur S._ du 20 février 2007 ne pouvaient être suivies, compte tenu de leur caractère plus laconique que la seconde expertise du docteur C._, alors que le rapport du 16 septembre 2009 faisait état d'une aggravation de l'état de santé survenue après la date déterminante de la décision administrative.
On ajoutera que l'appréciation du psychiatre traitant du 1er avril 2008 (soit postérieure à l'expertise du 16 septembre 2007) et son courrier du 15 décembre 2008 ne sont pas non plus susceptibles de remettre en cause les conclusions de son confrère C._. Le docteur S._ ne se prononce en effet pas sur l'évaluation de l'expert pour mettre en évidence d'éventuelles incohérences ou des éléments de nature clinique ou diagnostique qui auraient été ignorés par le docteur C._. Quant au courrier du docteur H._ du 27 mars 2008, il ne constitue pas une appréciation médicale ayant valeur probante au sens de la jurisprudence (cf. ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352). Ce médecin - selon lequel il n'y avait "du point de vue neurologique pas d'invalidité" (rapport du 25 octobre 2006) - s'est en effet limité à indiquer sur quelques lignes que le patient se plaint de problèmes neurologiques complexes et qu'une évaluation pluridisciplinaire en milieu hospitalier mériterait d'être considérée, sans motiver cette recommandation, ni se prononcer de manière circonstanciée sur l'état de santé du recourant. Enfin, quoi qu'en dise le recourant, l'avis (du 2 juillet 2007) du docteur P._, médecin auprès du Service médical régional des Offices AI X._/Y._/Z._, loin de diverger totalement de celui du docteur C._, fait le point de la situation de l'assuré en juillet 2007 et met en évidence la nécessité pour l'office intimé de mettre en oeuvre une expertise psychiatrique afin de préciser l'évolution des troubles psychiques (ce que l'administration a fait en mandatant le docteur C._).
4.3 Il résulte de ce qui précède que la juridiction cantonale pouvait, sans tomber dans l'arbitraire, renoncer à ordonner une nouvelle expertise médicale et choisir de s'en tenir à l'évaluation du docteur C._, plutôt qu'aux avis des médecins auxquels s'est référé le recourant. Le recours se révèle par conséquent mal fondé.
5. Les frais de justice sont à la charge du recourant, qui ne peut prétendre de dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). Il convient toutefois d'accepter sa demande d'assistance judiciaire, dès lors qu'il a établi son indigence, que le recours n'était pas d'emblée dénué de chances de succès et que l'assistance d'un avocat était indiquée (cf. art. 64 al. 1 et 2 LTF). Le recourant est rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal s'il se trouve ultérieurement en mesure de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Maître Stefano Fabbro est désigné en tant qu'avocat d'office du recourant et une indemnité de 2800 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, supportée par la caisse du Tribunal.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 24 octobre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Borella
La Greffière: Moser-Szeless