Sachverhalt:
A. X._ kam 1990 vom Kosovo in die Schweiz. Er heiratete am 14. September 1995 A._. X._ ersuchte am 10. März 1999 um erleichterte Einbürgerung. Am 29. September 2000 unterzeichneten die Ehegatten die gemeinsame Erklärung, dass sie in einer tatsächlichen, ungetrennten und stabilen ehelichen Gemeinschaft zusammenleben und keine Trennungs- oder Scheidungsabsichten hätten. Am 26. Oktober 2000 wurde X._ erleichtert eingebürgert.
B. Die Ehe zwischen X._ und A._ wurde am 15. Februar 2001 im Kosovo geschieden. X._ verheiratete sich am 26. April 2001 mit B._; aus dieser Verbindung ging die Geburt von C._ am 28. September 2001 hervor.
C. Das Bundesamt für Migration orientierte X._ am 20. November 2003 über die Eröffnung eines Verfahrens auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung. Es erklärte die erleichterte Einbürgerung am 12. Juli 2005 für nichtig. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht am 22. Dezember 2008 ab.
D. Gegen diesen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts hat X._ am 12. Februar 2009 beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Er beantragt die Aufhebung der Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts und des Bundesamtes. Er macht namentlich Verletzungen des rechtlichen Gehörs geltend, weil verschiedenen Beweisanträgen keine Folge gegeben worden war.
Das Bundesamt und das Bundesverwaltungsgericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.
E. Mit Verfügung vom 9. März 2009 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt worden.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von Art. 82 BGG ist zulässig. In der Beschwerdeschrift ist gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt; Verletzungen von Grundrechten prüft das Bundesgericht nach Art. 106 Abs. 2 BGG nur insoweit, als solche Rügen erhoben und begründet werden.
2. Der Beschwerdeführer bringt einzig formelle Rügen vor und beanstandet, dass die Behörden den Sachverhalt nicht eigenständig abgeklärt, die beantragten Beweiserhebungen in Verletzung des rechtlichen Gehörs nicht erhoben und die Abweisung aufgrund einer antizipierten Beweiswürdigung nicht begründet hätten.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat das Bundesverwaltungsrecht (wie auch schon das Bundesamt) die Abweisung der Beweisbegehren und die Vornahme der antizipierten Beweiswürdigung sehr wohl begründet.
Der Sache nach geht es ausschliesslich um die Einvernahme der ehemaligen Ehefrau; andere Beweisbegehren werden nicht bzw. nicht in hinreichender Weise genannt. Insoweit haben die Vorinstanz und das Bundesamt auf deren Befragung im Zusammenhang mit Familiennachzug vom 1. März 2002 abgestellt. Dies ist mit dem Untersuchungsgrundsatz gemäss Art. 12 VwVG vereinbar. Auf eine erneute Befragung im Rahmen des vorliegenden Verfahrens durfte nach Art. 33 Abs. 1 VwVG verzichtet werden. Neue Erkenntnisse über die Vorgänge zwischen der gemeinsamen Erklärung und der erleichterten Einbürgerung (29. September bzw. 26. Oktober 2000) einerseits und der Aufnahme einer ausserehelichen Beziehung, einer Auseinandersetzung und der Scheidung (Dezember 2000, Januar 2001 und 15. Februar 2001) andererseits waren in Anbetracht der Beweislage nicht zu erwarten. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, was mit einer neuen Befragung hätte nachgewiesen werden können. Er hatte Gelegenheit, zu den Aussagen seiner geschiedenen Ehefrau Stellung zu nehmen. Zudem hat diese ihre Sicht der Dinge am 8. August 2005 zuhanden des Beschwerdeführers nochmals dargelegt.
Soweit die Beschwerde den Begründungsanforderungen überhaupt genügt, erweist sie sich als unbegründet.
3. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann