Sachverhalt:
A.
A._ ist vor dem Bezirksgericht Appenzell I.Rh. als Beklagter in einen Zivilprozess verwickelt. Der Streit dreht sich um die Erbschaft von C._, verstorben am 7. Juli 2009. Die Klage wurde am 5. Januar 2010 erhoben.
B.
Am 29. Januar 2015 strengte A._ beim Kantonsgericht Appenzell I.Rh. ein Ausstandsbegehren gegen B._ an, den Präsidenten des Bezirksgerichts Appenzell I.Rh. Als Verfahrensantrag stellte er zudem das Begehren, D._, der Präsident des Kantonsgerichts Appenzell I.Rh., habe sich bei der Beurteilung des Ausstandsgesuchs gegen B._ der Mitwirkung zu enthalten. Für dieses Begehren wurde beim Kantonsgericht Appenzell I.Rh. ein weiteres Ausstandsverfahren eröffnet. Der Vizepräsident des Kantonsgerichts wies das Ausstandsbegehren gegen D._ am 25. Februar 2015 ab. Darauf wies dieser das Ausstandsbegehren gegen B._ ab (Entscheid vom 27. Februar 2015).
C.
A._ hielt an seinem Ausstandsbegehren gegen B._ fest und wandte sich mit Beschwerde vom 12. März 2015 an die Kommission für allgemeine Beschwerden des Kantonsgerichts Appenzell I.Rh. Diese wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 21. April 2015 im Verfahren KBA 3-2015). Am gleichen Tag erging auch der abschlägige Beschwerdeentscheid derselben Kommission im Ausstandsverfahren gegen D._, den Präsidenten des Kantonsgerichts Appenzell I.Rh (Verfahren KBA 2-2015). Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 5A_447/2015 vom 14. August 2015 ab.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 27. Mai 2015 gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid der Kommission für allgemeine Beschwerden des Kantonsgerichts Appenzell I.Rh. im Verfahren KBA 3-2015 aufzuheben und das Ausstandsbegehren gegen B._ (Beschwerdegegner) gutzuheissen. Mit Verfügung vom 9. Juli 2015 entsprach der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung dem Gesuch, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren (Art. 92 Abs. 1 BGG). Die Kommission für allgemeine Beschwerden hat als letzte kantonale Rechtsmittelinstanz entschieden (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 382). Wie sich den kantonalen Akten entnehmen lässt, streitet der Beschwerdeführer dort mit einundzwanzig Klägern um seine Einsetzung als Erbe im Nachlass von C._. Dieser Prozess betrifft eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG). Die Angelegenheit ist vermögensrechtlicher Natur. Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). In Missachtung der Vorschrift von Art. 112 Abs. 1 Bst. d BGG enthält der angefochtene Entscheid keine Angabe des Streitwerts. Der Beschwerdeführer begnügt sich mit dem Hinweis, "gemäss bisherigen Schätzungen" belaufe sich der Streitwert auf 10-15 Mio. Franken. In einem früheren Verfahren betreffend einen anderen Zwischenentscheid im selben Prozess geht das Bundesgericht ermessensweise davon aus, dass der Streitwert der Hauptsache die gesetzliche Streitwertgrenze überschreitet (Urteil 5A_918/2013 vom 28. Februar 2014 E. 3). In den Akten finden sich keine Anzeichen dafür, dass sich unterdessen daran etwas geändert hätte. Mit Urteil 5A_447/2015 vom 14. August 2015 bestätigt das Bundesgericht, dass das Ausstandsbegehren gegen den Kantonsgerichtspräsidenten D._ unbegründet ist, dieser also über den Ausstand des Beschwerdegegners befinden durfte (vgl. Sachver halt Bst. B und C). Der Beschwerdeführer hat deshalb ein im Sinne von Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG aktuelles und praktisches Interesse daran zu erfahren, ob die Vorinstanz das Rechtsmittel gegen D._s Entscheid vom 27. Februar 2015 zu Recht abgewiesen hat. Auf die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Nach Art. 30 Abs. 1 BV hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch darauf, dass ihre Angelegenheit von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei (BGE 133 I 1 E. 5.2 S. 3; 131 I 31 E. 2.1.2.1 S. 34 f.; je mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn im Einzelfall anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände Gegebenheiten vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken (zum Ganzen BGE 134 I 238 E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen). Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (BGE 136 I 207 E. 3.1 S. 210 mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer legt der Vorinstanz zur Last, sie verkenne das "Vorliegen eines besonders krassen Verfahrensfehlers" des Beschwerdegegners. Dieser habe in seinem Bescheid vom 24. September 2013 ohne entsprechenden Antrag und ohne dass die Voraussetzungen eines Parteiwechsels vorlagen verschiedene Personen als Kläger in das Verfahren eingeführt, die gar keine Klage eingereicht, ihn, den Beschwerdeführer, also als Erben anerkannt haben. Der Beschwerdeführer will nachgewiesen haben, dass dieser "Parteiwechsel" durch Abtretung von Erbanteilen bereits vor Rechtshängigkeit erfolgt war. Entsprechend sei der Parteiwechsel logisch ausgeschlossen und damit widerrechtlich gewesen. Im Beschwerdegegner hätten die Anwälte der Kläger aber einen "willfährigen Helfer" gefunden, um ihr Versehen bei der Klageeinreichung zu überspielen. Die schwere Amtspflichtverletzung des Beschwerdegegners wirke sich einseitig und erheblich zu seinen Lasten aus und genüge gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung für sich allein, den Anschein der Befangenheit zu begründen. Darüber hinaus wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, in ihrer Begründung den erschwerenden Umstand zu unterdrücken, dass der Beschwerdegegner die Parteien auf der Klägerseite im Rubrum gestützt auf Akten auswechselte, die im fraglichen Bescheid vom 24. September 2013 rechtskräftig aus dem Recht gewiesen worden seien. Dieses Vorgehen lasse sich unter keinem Titel rechtfertigen und begründe für sich die unsachliche innere Einstellung des Beschwerdegegners.
3.2. In zutreffender Weise erinnert die Kommission für allgemeine Beschwerden zunächst an die strengen Voraussetzungen, unter denen nach der bundesgerichtlichen Praxis richterliche Rechtsfehler in materieller oder prozessualer Hinsicht ausnahmsweise den Anschein der Befangenheit begründen können. Demnach vermögen Verfahrensmassnahmen eines Richters als solche, seien sie richtig oder falsch, grundsätzlich keinen objektiven Verdacht der Befangenheit des Richters zu erregen, der sie verfügt hat (BGE 114 Ia 153 E. 3b/bb S. 158 mit Hinweis). Dasselbe gilt für einen allenfalls materiell falschen Entscheid (BGE 115 Ia 400 E. 3b S. 404). Eine Ausnahme von diesem Grundsatz fällt nur dann in Betracht, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die als schwere Verletzung der Richterpflichten bewertet werden müssen (BGE 116 Ia 135 E. 3a S. 138; 115 Ia 400 E. 3b S. 404). Ebenso gemahnt die Vorinstanz daran, dass Verfahrensverstösse im dafür vorgesehenen Rechtsmittelverfahren zu rügen sind und grundsätzlich nicht als Begründung für die Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV herangezogen werden können (BGE 114 Ia 153 E. 3b/bb S. 158 f. mit Hinweis; Urteil 5A_332/2010 vom 16. Juli 2010 E. 2). Was den konkreten Fall angeht, verweist die Kommission für allgemeine Beschwerde auf Art. 209 des innerrhodischen Gesetzes über die Zivilprozessordnung vom 24. April 1949 (aZPO/AI), der Art. 236 Abs. 1 ZPO entspreche. Demnach habe das Gericht das Endurteil zu fällen, sobald der Rechtsstreit zur Entscheidung reif ist. Die Aktivlegitimation sei im Zivilprozessrecht keine Prozessvoraussetzung, sondern eine Frage der materiell-rechtlichen Begründetheit des eingeklagten Anspruchs. Bei fehlender Aktivlegitimation werde deshalb die Klage abgewiesen. Entsprechend werde über die Sachlegitimation im Endentscheid befunden. Dieser Entscheid könne, sofern die Sachlegitimation falsch beurteilt würde, mit Rechtsmitteln angefochten werden. Mithin könne vorliegend nicht die Rede davon sein, dass durch das fehlerhafte Rubrum ein krasser Verfahrensfehler geschehen ist.
3.3. Mit dem Kern der vorinstanzlichen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Dieser Kern besteht in der Überlegung, dass die vom Beschwerdeführer gerügte "Auswechslung" der Parteien eben gerade nicht formelle Aspekte der Streitigkeit betrifft, also kein Verfahrens fehler wäre, sondern den Streitgegenstand selbst berührt und dementsprechend im dafür vorgesehenen Rechtsmittelverfahrens beanstandet werden müsste. Auf diese Weise lässt der angefochtene Entscheid zumindest sinngemäss erkennen, dass das Vorgefallene in den Augen der Vorinstanz keine Haltung des Beschwerdegegners zum Ausdruck bringt, die auf fehlender Distanz und Neutralität beruht und sich einseitig zu Lasten einer Prozesspartei - hier des Beschwerdeführers - auswirkt. Warum der angebliche, nach dem Gesagten unbestritten materiell-rechtliche Fehler trotzdem besonders schwer wiegen und deshalb den Anschein der Befangenheit begründen soll, vermag der Beschwerdeführer bei all seinen Vorbringen (E. 3.1) nicht zu erklären und ist auch nicht ersichtlich. Dass der Beschwerdegegner die Korrektur der Namen der auf Klägerseite aufgeführten Personen auf Betreiben der Kläger vorgenommen hätte oder zu diesem Zweck aus eigenem Antrieb mit den Klägern in Kontakt getreten wäre (vgl. die Ausgangslage, die dem Urteil 5A_462/2013 vom 12. November 2013 zugrunde lag), behauptet der Beschwerdeführer nicht. Er tut auch nicht dar, inwiefern es sich beim kritisierten Vorfall um einen wiederholten Irrtum des Beschwerdegegners handelt. Bloss beiläufig auf "zahlreiche erhebliche Fehler von vorwiegend prozessualer Natur" zu verweisen, genügt nicht. Weiter klagt der Beschwerdeführer, aufgrund des Verhaltens des Beschwerdegegners einen "unmittelbaren Rechtsnachteil" zu erleiden. Dass sich ein richterlicher Fehler zum Nachteil einer Partei auswirken kann, liegt in der Natur der Sache und vermag, wie oben dargelegt (E. 3.2 ), für sich allein genommen noch nicht den Anschein der Befangenheit zu erwecken. Der Beschwerdeführer macht denn auch nicht geltend, den angeblichen Nachteil mit einem Rechtsmittel gegen den Sachentscheid nicht bekämpfen zu können.
Eine "unsachliche innere Einstellung" des Beschwerdegegners will der Beschwerdeführer schliesslich aus dem Umstand ableiten, dass jener den Austausch der Parteien gestützt auf aus dem Recht gewiesene Akten vorgenommen habe. Gestützt auf welche Akten der Beschwerdegegner die Schritte unternommen hat, die der Beschwerdeführer nun zum Anlass für sein Ausstandsbegehren nimmt, ist eine Frage tatsächlicher Natur, betrifft also den (Prozess-) Sachverhalt. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, diesen Umstand "unterdrückt" zu haben. Soweit er damit eine unvollständige bzw. unrichtige Feststellung des Sachverhalts rügen will, müsste er aber auch dartun, inwiefern die Behebung dieses Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22). Hierzu genügt es nicht, dem Beschwerdegegner "widersprüchliches Verhalten" vorzuwerfen, das sich "unter keinem Titel rechtfertigen" lässt. Die entscheidende Frage, welche konkreten klägerischen Vorbringen in den fraglichen Akten der Beschwerdegegner berücksichtigt haben soll, lässt der Beschwerdeführer unbeantwortet.
4.
4.1. Einen weiteren Ausstandsgrund will der Beschwerdeführer in der Verfügung des Beschwerdegegners vom 16. Januar 2015 ausgemacht haben. Mit dieser Verfügung habe ihm der Beschwerdegegner für die Behandlung des Antrags, bezüglich des Austauschs der Parteien (vgl. E. 3) eine formelle Verfügung zu erlassen, einen Kostenvorschuss von Fr. 8'000.-- auferlegt. Dieses Vorgehen verletzt nach der Meinung des Beschwerdeführers "klar das Gebot der rechtsgleichen Behandlung der Parteien". Der Klägerseite, die anlässlich der Hauptverhandlung vom 24. September 2013 erstmals die Korrektur des Rubrums "infolge Erbteilsabtretungen" verlangt habe, sei für die Vornahme der Auswechslung nämlich nie ein Vorschuss auferlegt worden. Er hingegen, der Beschwerdeführer, solle einen Vorschuss dafür entrichten müssen, dass er vom Beschwerdegegner verlangt, die Gründe für die Auswechslungen auf der Klägerseite offenzulegen. Ausserdem sei die Korrektur einer falschen Parteibezeichnung, die er vom Beschwerdegegner verlangt habe, gar keine Prozesshandlung, weshalb es auch an einer Grundlage für eine Vorschusspflicht fehle. Indem der Beschwerdegegner in Verletzung dieser Grundsätze trotzdem einen Vorschuss von ihm verlange, benachteilige er ihn, den Beschwerdeführer, in krasser Weise, müsse doch er nun dafür zahlen, "dass zugunsten der anderen Verfahrensparteien zu Unrecht Namen im Rubrum ausgetauscht werden". Die sachlich nicht gerechtfertigte Auferlegung eines rechtsungleichen Kostenvorschusses begründe den Anschein der Befangenheit.
4.2. Die Kommission für allgemeine Beschwerden macht sich die Erwägungen des Kantonsgerichtspräsidenten zu eigen. Danach kann das Gericht gestützt auf Art. 89 Abs. 1 aZPO/AI für die amtlichen Kosten und Gebühren von der Partei, die eine Prozesshandlung anbegehrt, einen Kostenvorschuss verlangen. Gemäss der kantonalen Gebührenverordnung könne bei einem Streitwert von über 10 Mio. Franken für einen Präsidialentscheid des Bezirksgerichts eine Entscheidgebühr von bis zu Fr. 12'000.-- verlangt werden. Angesichts dessen erscheine der Kostenvorschuss nicht unhaltbar. Überdies erinnert die Vorinstanz daran, dass der Beschwerdeführer die Kostenvorschussverfügung beim Kantonsgericht angefochten hat. Ob es sich dabei um einen Verfahrensfehler handele, müsse deshalb offenbleiben. Selbst wenn ein Verfahrensfehler anzunehmen wäre, vermöchte dieser für sich allein aber nicht den Anschein der Befangenheit zu begründen.
4.3. Der These der "rechtsungleichen Behandlung" und damit dem angeblichen Ausstandsgrund (E. 4.1) ist von vornherein der Boden entzogen. Die Rechtsgleichheit (Art. 8 Abs. 1 BV) ist nur dort verletzt, wo Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich oder Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird (BGE 138 I 321 E. 3.2 S. 324). Zunächst übergeht der Beschwerdeführer, dass der im angefochtenen Entscheid zitierte Art. 89 Abs. 1 aZPO/AI es in das Ermessen des Richters stellt, für verlangte Prozesshandlungen einen Kostenvorschuss zu verlangen. Inwiefern sich die Verfügung des Beschwerdegegners vom 16. Januar 2015 trotzdem nicht mit dem Gleichheitsgebot verträgt, vermag der Beschwerdeführer nicht zu erklären. Vor allem aber verschweigt der Beschwerdeführer, dass sich der Beschwerdegegner in der erwähnten Verfügung nicht nur zum Antrag äussert, "das Rubrum mit den unrichtigen Parteibezeichnungen ... anzupassen" (Ziffer 5). Vielmehr behandelt die fragliche Verfügung auch noch vier weitere Verfahrens- und Beweisanträge des Beschwerdeführers. Inwiefern der Beschwerdegegner aber allein für den Erlass einer "formellen Verfügung" betreffend das Begehren Ziffer 5 einen Kostenvorschuss von Fr. 8'000.-- einverlangt hätte, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist auch nicht ersichtlich. Mithin kann keineswegs als gesichert gelten, dass der Beschwerdegegner mit zwei im Sinne von Art. 8 Abs. 1 BV gleichartigen Situationen konfrontiert gewesen wäre.
5.
Wie die vorigen Erwägungen zeigen, ist die Beschwerde unbegründet. Sie ist abzuweisen. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er hat für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Appenzell I.Rh., Kommission für allgemeine Beschwerden, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. August 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn