Fatti:
A. L'Ufficio AI per gli assicurati residenti all'estero (UAI) ha respinto una domanda di prestazioni formulata da S._ (decisione del 24 ottobre 2008).
B. L'assicurata ha deferito la decisione al Tribunale amministrativo federale, il quale, con decisione incidentale del 1° maggio 2009, le ha ingiunto di versare, entro 30 giorni dalla ricezione dell'ordinanza, un anticipo spese di fr. 300.-. Non avendo ricevuto l'importo richiesto, il Tribunale amministrativo federale ha dichiarato inammissibile il ricorso (pronuncia del 24 giugno 2009).
C. Patrocinata dall'avv. Pagano, S._ ha presentato ricorso al Tribunale federale, al quale chiede di annullare il giudizio del Tribunale amministrativo federale e di riconoscerle il diritto a una rendita (intera) d'invalidità. A motivazione del gravame fa valere che, a seguito della decisione del 1° maggio 2009, in data 18 maggio 2009 ella si sarebbe recata presso le poste italiane per effettuare il versamento richiesto, ma che poi l'importo versato le sarebbe stato inspiegabilmente ritornato (dalla posta svizzera) senza motivazione. A sostegno della sua richiesta allega la documentazione postale attestante l'avvenuto versamento dell'anticipo spese.
D. Su richiesta del Tribunale federale, PostFinance ha comunicato che il pagamento è effettivamente entrato alla posta svizzera il 25 maggio 2009 e che è stata emessa una polizza di pagamento in contanti, non avendo la ricorrente indicato un conto particolare. Ha quindi precisato di avere ritornato l'importo al mittente (valuta 27 maggio 2009) poiché il destinatario risultava sconosciuto all'indirizzo indicato (Nordring 8, 3002 Berna).
L'UAI e l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali hanno rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. Unico oggetto del contendere è il tema di sapere se il Tribunale amministrativo federale ha a torto dichiarato inammissibile il ricorso. Il Tribunale federale non può per contro statuire in questo stadio sul merito della vertenza - e più precisamente sul diritto a una rendita d'invalidità, in punto al quale la motivazione della ricorrente è comunque totalmente carente - poiché nell'impugnata pronuncia manca ogni accertamento in tal senso (DTF 123 V 335). Sotto questo profilo il ricorso si rivela inammissibile.
2. Giusta l'art. 99 cpv. 1 LTF, possono essere addotti nuovi fatti e nuovi mezzi di prova soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore. Eccezionalmente ammissibili, in quanto motivati dal giudizio impugnato, sono segnatamente quei fatti e quei mezzi di prova nuovi relativi a vizi formali della decisione contestata che l'interessato non doveva, in buona fede, attendersi come pure quei fatti e quei mezzi di prova nuovi relativi a circostanze che acquistano per la prima volta rilevanza giuridica in seguito al giudizio impugnato (Ulrich Meyer, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, n. 46 seg. ad art. 99 LTF). I nuovi fatti addotti e la documentazione postale prodotta dal ricorrente a sostegno della sua domanda possono essere considerati nova ammissibili ai sensi dell'art. 99 cpv. 1 LTF. È infatti solo in seguito alla pronuncia impugnata, che ha accertato il mancato pagamento dell'anticipo delle spese giudiziarie dichiarando di conseguenza inammissibile il gravame, che la documentazione addotta ha assunto rilevanza giuridica (sentenza 9C_691/2008 del 23 settembre 2009 consid. 1).
3. A norma dell'art. 63 cpv. 4 PA (nel suo tenore in vigore dal 1° gennaio 2007, applicabile in virtù del rinvio operato dall'art. 37 LTAF), l'autorità di ricorso, il suo presidente o il giudice dell'istruzione esige dal ricorrente un anticipo equivalente alle presunte spese processuali. Stabilisce un congruo termine per il pagamento con la comminatoria che altrimenti non entrerà nel merito. Ai sensi dell'art. 21 cpv. 3 PA (sempre nel suo tenore in vigore dal 1° gennaio 2007, applicabile in virtù del rinvio di cui all'art. 37 LTAF e identico al tenore dell'art. 48 cpv. 4 LTF), il termine per il pagamento di un anticipo è osservato se l'importo dovuto è versato tempestivamente alla posta svizzera, o addebitato a un conto postale o bancario in Svizzera, in favore dell'autorità.
Il momento determinante per stabilire l'osservanza o l'inosservanza del termine è pertanto quello in cui l'importo è stato versato in favore dell'autorità alla posta svizzera (sia che ciò avvenga allo sportello di un ufficio postale oppure tramite trasferimento dall'estero) o il momento in cui l'ordine di pagamento in favore dell'autorità è stato addebitato al conto postale o bancario del ricorrente o del suo patrocinatore (cfr. Messaggio concernente la revisione totale dell'organizzazione giudiziaria federale del 28 febbraio 2001, FF 2001 pag. 3856).
4. Recentemente, il Tribunale federale ha avuto modo di stabilire che il trasferimento, nel termine assegnato, dell'importo di un anticipo spese da una banca all'estero alla posta svizzera adempie le condizioni legali di rispetto dei termini anche se la somma non viene accreditata sul conto dell'autorità di ricorso in ragione della menzione di un numero IBAN (International Bank Account Number) incompleto da parte del ricorrente (sentenza 9C_94/2008 del 30 settembre 2008 consid. 5 e 6, in SVR 2009 IV n. 17 pag. 45).
5. Nel caso di specie l'anticipo spese versato dalla ricorrente rispetta le condizioni legali, essendo pervenuto alla posta svizzera prima della scadenza del termine assegnato. Il fatto che l'importo non sia stato accreditato sul conto dell'autorità giudiziaria di primo grado entro tale termine non cambia nulla a questa conclusione dal momento che il diritto federale non prescrive più una simile condizione (sentenza citata 9C_94/2008 consid. 6). Inoltre, l'indicazione, nell'ordine di pagamento, dell'indirizzo sbagliato (Nordring 8, 3002 Berna), peraltro corrispondente a quello di PostFinance e così espressamente menzionato nella fattura allegata alla decisione incidentale del 1° maggio 2009 per designare l'indirizzo della banca destinataria, costituisce un errore scusabile (cfr. per analogia sentenza citata 9C_94/2008 consid. 6 con riferimenti). Senza dimenticare che la posta svizzera avrebbe potuto agevolmente individuare il recapito esatto del Tribunale amministrativo federale. Tenuto conto del notevole traffico di pagamenti in favore di questa autorità giudiziaria della Confederazione, la posta avrebbe infatti ben potuto/dovuto conoscerne le coordinate. Ne segue che l'atto impugnato deve essere annullato. La causa va pertanto rinviata all'istanza precedente affinché assegni alla ricorrente un nuovo termine per effettuare l'anticipo spese.
6. La procedura è onerosa (art. 62 LTF). Viste le circostanze si prescinde tuttavia dal prelevare spese giudiziarie (art. 66 cpv. 1 seconda frase LTF; cfr. sentenza citata 9C_94/2008 consid. 7). Per contro la ricorrente, patrocinata da un legale, ha diritto a ripetibili (art. 68 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è accolto nel senso che il giudizio impugnato del 24 giugno 2009 è annullato e la causa è rinviata al Tribunale amministrativo federale affinché proceda conformemente ai considerandi.
2. Non si percepiscono spese giudiziarie.
3. L'opponente verserà alla ricorrente la somma di fr. 1'500.- a titolo di indennità di parte per la procedura d'ultima istanza federale.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale amministrativo federale, Corte III, e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.