Sachverhalt:
A. Der niederländische Staatsangehörige X._ (geb. 1965) nahm im Juli 2002 Wohnsitz in der Schweiz. Am 30. Dezember 2002 beantragte er bei der Motorfahrzeugkontrolle Basel-Landschaft den Umtausch seines niederländischen in einen schweizerischen Führerausweis. Als Datum seiner Führerprüfung gab er "< 24-7-1991" an. In der Folge stellte die Behörde einen schweizerischen Führerausweis aus. Als Prüfungsdatum trug sie den 24. Juli 1991 ein.
B. Am 21. Februar 2003 verlangte X._ die Korrektur dieses Datums und machte geltend, er habe die theoretische Prüfung bereits 1985 und die Führerprüfung 1987 abgelegt. Aufgrund einer Gesetzesänderung von 1991 in den Niederlanden hätten alle vor dem 24. Juli 1991 ausgestellten Führerscheine den Eintrag "< 24. Juli 1991" als Ausstelldatum bekommen; das effektive Prüfungsdatum sei nicht mehr vermerkt worden. Da in der Schweiz die Versicherungsprämien der Motorfahrzeugversicherung von der Fahrerfahrung abhängig seien, müsse das richtige, frühere Datum im schweizerischen Dokument eingetragen werden. Dieses Begehren lehnte die Motorfahrzeugkontrolle mangels eines genügenden Beweises für das genaue Prüfungsdatum ab.
C. Auf dem Rechtsweg durch die Instanzen des Kantons Basel-Landschaft war X._ mit seinem Hauptantrag, im schweizerischen Führerausweis das Zeichen "<" vor dem Datum "24. Juli 1991" aufzuführen, kein Erfolg beschieden: Dem letztinstanzlich urteilenden Kantonsgericht hatte er am 19. Januar 2004 noch ein von ihm selbst übersetztes Schreiben des CBR (Centraal Bureau Rijvaardigheidsbewijzen (Regio Zuid) vom 16. Januar 2004 zukommen lassen, wonach er im April 1991 auf dem bei der Gemeinde abgegebenen Antragsformular für die Erneuerung des Führerausweises (alle 5 Jahre) den 16. Februar 1986 als Prüfungsdatum angegeben habe.
Das Kantonsgericht Basel-Landschaft hiess am 2. Juni 2004 die Beschwerde bloss in einem Teilpunkt (mitangefochtene Mahngebühr) gut. Es erwog (E. 5a/cc Abs. 2):
"Gestützt auf Art. 3 lit. f der Verordnung über das Fahrberechtigungsregister vom 23. August 2000 (...) werden nebst diversen anderen Daten auch das Prüfungsdatum erfasst. Damit ist ein bestimmter Tag und kein Zeitraum gemeint. Die Eintragung von Sonderzeichen wie das vom Beschwerdeführer gewünschte '<', welches für einen ganzen Zeitraum vor dem 24. Juli 1991 steht, widerspricht zum einen den geforderten Angaben und ist zum anderen in technischer Hinsicht nicht möglich. Dies wird auch gemäss der telefonisch beim Bundesamt für Strassen eingeholten Auskunft bestätigt, wonach die Übertragung des Sonderzeichens '<' - angeblich eine Spezialität der Niederlande wie auch der USA, da diese Länder kein zentrales Register führen - dem schweizerischen Recht nicht bekannt und technisch nicht möglich sei (...). Dem Beschwerdeführer bleibt es jedoch unbenommen, den Nachweis betreffend das korrekte Prüfungsdatum auch nachträglich noch zu erbringen."
Dies gelang X._ schliesslich, nachdem er in den Niederlanden an den zuständigen Ombudsmann gelangt war: Aufgrund dessen Intervention stellte die holländische Registerbehörde (der Rijksdienst voor het Wegverkeer [RDW]) am 6. Januar 2006 eine Bestätigung mit dem Prüfungsdatum "14. Februar 1986" aus; worauf X._ am 6. Juli 2006 einen korrigierten Schweizer Führerausweis erhielt.
D. Mit Eingabe vom 20. September 2006 stellte X._ beim Eidgenössischen Finanzdepartement wegen "der Behandlung seines Gesuchs um Umschreibung des ausländischen Führerausweises in einen CH-Führerausweis" ein Begehren auf Schadenersatz und Genugtuung in Höhe von Fr. 30'550.35. Er stützte sich dabei auf das Bundesgesetz vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördemitglieder und Beamten (Verantwortlichkeitsgesetz; VG, SR 170.32) und machte namentlich geltend, die Auskunft des Bundesamtes für Strassen (ASTRA) gegenüber dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, wonach es in den Niederlanden kein zentrales Register für Führerausweise gebe, sei falsch gewesen, und er - als Geschädigter - sei u.a. deswegen "während mehreren Jahren in seiner Ehre verletzt, in seiner Handlungsfreiheit stark eingeschränkt, genötigt und diskriminiert" worden.
Mit Verfügung vom 16. August 2007 wies das Eidgenössische Finanzdepartement das Begehren ab. Es verneinte die Kausalität zwischen der Auskunft des ASTRA und dem geltend gemachten Schaden. Die hiegegen beim Bundesverwaltungsgericht erhobene Beschwerde blieb erfolglos (Urteil vom 16. Januar 2009).
E. X._ führt mit Eingabe vom 26. Februar 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und die Gesuche um Schadenersatz und Genugtuung gutzuheissen (zuzüglich Zinsen seit 20. September 2006).
Das Eidgenössische Finanzdepartement schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG) betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts im Sinne von Art. 82 Abs. 1 lit. a BGG. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde grundsätzlich unzulässig auf dem Gebiet der Staatshaftung, wenn der Streitwert weniger als Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 85 Abs. 1 lit. a BGG). Vorliegend lässt sich aus der ursprünglichen Eingabe an das Eidgenössische Finanzdepartement, aus der vorinstanzlichen Beschwerde und aus dem angefochtenen Entscheid ohne Zweifel entnehmen, dass der Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt. Damit ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten (vgl. Urteil 8C_510/2007 vom 1. Oktober 2008, in SVR 2009 UV Nr. 9 S. 35).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Ein pauschaler Verweis auf Eingaben an Vorinstanzen genügt den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG nicht (vgl. Urteil 2C_175 vom 13. Juli 2009, E. 1.4).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt sodann, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 IV 286 E. 1.4 S. 287). Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E.2.2 S. 46).
Die Eingabe des Beschwerdeführers genügt diesen Begründungsanforderungen über weite Strecken nicht: Sie erschöpft sich im Wesentlichen in der Wiederholung seiner bisher eingenommenen Rechtsstandpunkte und appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid, auf welche nicht einzugehen ist. Unzulässig sind nach dem Gesagten auch die mehrfachen pauschalen Verweise auf die Eingaben an die Vorinstanzen (vgl. S. 3/4 der Beschwerdeschrift).
2. Der Beschwerdeführer rügt, er sei unzureichend auf die Möglichkeit einer mündlichen öffentlichen Verhandlung hingewiesen worden. Das Bundesverwaltungsgericht wäre verpflichtet gewesen, ihn - den Beschwerdeführer - anzufragen, ob er eine solche Verhandlung wünsche oder darauf verzichten wolle.
Die Rüge ist unbegründet: Zwar handelt es sich vorliegend um eine zivilrechtliche Streitigkeit im Sinne von Art. 6 EMRK und hätte der Beschwerdeführer damit an sich Anspruch auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung gehabt (vgl. BGE 134 I 331 E. 2.1 S. 332 f.). Die Parteien können aber - auch stillschweigend - auf diesen Anspruch verzichten (dazu BGE 134 I 331 E 2.3 S. 333 mit weiteren Hinweisen). Sodann findet gemäss Art. 40 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht (VGG; SR 173.32) in den genannten Fällen eine öffentliche Verhandlung vor diesem Gericht nur statt, wenn eine Partei dies verlangt (lit. a) oder gewichtige öffentliche Interessen es rechtfertigen (lit. b). Daher durfte die Vorinstanz - mangels eines entsprechenden Antrages - zulässigerweise annehmen, der Beschwerdeführer verzichte auf die Durchführung einer mündlichen öffentlichen Verhandlung.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer "ist noch immer der Überzeugung, dass alle notwendigen Tatbestandsmerkmale (Schaden, Verhalten, Widerrechtlichkeit des Verhaltens und eine adäquate Kausalität) gegeben sind (...)". Er macht namentlich geltend, zwischen der falschen Auskunft des ASTRA, dass es in den Niederlanden kein zentrales Register für Führerausweise gebe, und der Nichtanerkennung des amtlichen Dokuments des CBR vom 16. Januar 2004 durch das Kantonsgericht Basel-Landschaft (vgl. vorne E. 1.3) bestehe ein adäquater Kausalzusammenhang. Hätte das ASTRA die richtige Auskunft erteilt, wäre er - der Beschwerdeführer - früher im Besitz eines schweizerischen Führerausweises mit dem korrekten Prüfungsdatum gewesen und hätte er nicht beim Abschluss der Autoversicherungen eine höhere Prämie bezahlen müssen.
3.2 Das Bundesverwaltungsgericht hat sich im angefochtenen Entscheid unter Bezugnahme auf Rechtsprechung und Doktrin ausführlich mit der Frage befasst, ob zwischen der beanstandeten Auskunft des ASTRA und dem geltend gemachten Schaden ein adäquater Kausalzusammenhang (dazu BGE 123 III 110 E. 3a S. 112 mit Hinweisen) besteht. Es erwog, das Kantonsgericht Basel-Landschaft habe für seine Folgerung, das Sonderzeichen "<" könne im Führerausweis nicht eingetragen werden, einzig einen Teil der Auskunft des ASTRA verwendet (nämlich, dass das fragliche Zeichen dem schweizerischen Recht nicht bekannt und seine Eintragung technisch nicht möglich sei). Die Aussage, dass die Niederlande kein zentrales Register für Führerausweise führten, sei demgegenüber für diese Folgerung nicht kausal gewesen.
3.3 Diese Beurteilung ist zutreffend und bedarf keiner weiter gehenden Erörterung. Dass der schweizerische Führerausweis mit dem Eintrag eines Prüfungsdatums aus dem Jahre 1986 nicht früher ausgestellt werden konnte, lag nicht an der Auskunft des ASTRA, sondern am Unvermögen des Beschwerdeführers, rechtzeitig den ihm obliegenden Nachweis dieses Datums zu erbringen.
4. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Eidgenössischen Finanzdepartement und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Klopfenstein