Faits:
A. A.a X._, né en 1949, est au bénéfice d'un CFC de monteur-électricien. Le 24 octobre 2001, le Conseil administratif de la Ville de Genève l'a nommé au poste de régisseur au service administratif et technique de la division Z._. Le 10 juin 2003, ses conditions d'engagement ont été détaillées dans un cahier des charges. Selon ce document, l'intéressé était désormais affecté en qualité de régisseur principal responsable de la salle de spectacles Y._. Sa position hiérarchique était celle de chef de section (section des scènes culturelles, service administratif et technique de la division Z._). Le 7 avril 2004, le Conseil administratif a informé X._ que sa fonction serait à l'avenir intitulée «régisseur principal», fonction classée dans les catégories 9 à 11 de l'échelle des traitements. L'intéressé était colloqué en 11ème catégorie, avec effet rétroactif au 1er août 2003. Son traitement annuel de base était de 90'349 fr., augmenté d'une allocation de vie chère pour l'année en cours de 0,88 pour cent. Sa période d'essai de trois ans arrivant à échéance il a été confirmé à son poste de régisseur principal, dès le 1er septembre 2004, pour une durée indéterminée.
A.b A la suite d'un contrôle des relevés d'horaire variable des collaborateurs travaillant à la salle de spectacle Y._, pour la période du 1er janvier 2004 au 30 juin 2007, de multiples anomalies ont été constatées. X._ a été convoqué à un entretien de service le 16 août 2007 par D._, codirecteur du département W._. Le 22 août 2007, tous deux ont signé un protocole d'accord. X._ y reconnaissait n'avoir pas appliqué correctement le règlement relatif à l'horaire de travail variable et n'avoir pas régulièrement et systématiquement «pointé» ses heures de travail. Il admettait qu'un nombre important d'heures enregistrées dans les relevés «times tools» n'avait en réalité pas été effectué.
Au regard de ces faits, X._ acceptait d'être nommé régisseur dans une autre salle de spectacles avec effet au 1er septembre 2007, avec un déclassement de sa fonction dans les catégories 7 à 9, pour un traitement annuel de 84'015 fr. (catégorie 9). Enfin, X._ s'engageait à fournir au 31 août 2007 le nombre d'heures enregistrées et non effectuées du 1er janvier 2004 au 30 juin 2007. Le département l'autorisait à compenser des heures supplémentaires futures jusqu'à concurrence de ce total. Ce protocole a été entériné le 29 août 2007 par le Conseil administratif de la Ville, qui en a informé X._ par lettre du 29 août 2007.
A.c Le 11 septembre 2007, X._ a fait savoir à la Ville qu'il dénonçait cet accord, lequel avait été selon lui obtenu sous l'empire d'une crainte fondée, voire par dol. Il invitait la Ville à le réintégrer dans sa classe de traitement et sa fonction antérieures.
Parallèlement, X._ a recouru devant le Tribunal administratif du canton de Genève en concluant à l'annulation de la décision du Conseil administratif du 29 août 2007. Le 11 octobre 2007, le Conseil administratif a informé X._ qu'il annulait ladite décision. Dans un autre courrier, du même jour, il l'a avisé de l'ouverture d'une enquête administrative à son endroit, en raison des dysfonctionnements déjà signalés et d'un comportement incompatible avec sa fonction, en particulier des problèmes d'ébriété sur son lieu de travail. L'enquête serait menée par deux juristes du service juridique de la Ville.
Par décision du 22 octobre 2007, le Tribunal administratif a constaté que le recours porté devant lui était devenu sans objet et il a radié la cause du rôle.
A.d L'enquête administrative s'est déroulée du 17 octobre au 13 décembre 2007. Une quinzaine de témoins ont été entendus par les enquêtrices. Celles-ci ont rendu leur rapport le 20 décembre 2007. Selon les conclusions de l'enquête, aucune sanction ne pouvait être prise à l'encontre de X._ pour la comptabilisation incorrecte de son temps de pause ou de travail ni pour l'enregistrement d'heures de travail non effectuées. Il en était de même en ce qui concerne le non-accomplissement de tâches assignées dans son cahier des charges, en raison, notamment, du flou dans la rédaction de celui-ci en rapport avec celui des autres collaborateurs, voire en raison de la tolérance par les supérieurs hiérarchiques de certains états de faits ayant perduré. En ce qui concerne le comportement de l'intéressé, les enquêtrices ont relevé, sur la base des différents témoignages recueillis, que celui-ci buvait de l'alcool sur son lieu de travail, à certaines périodes «plus que de raison». Certains de ses collaborateurs déclaraient avoir souffert de ce comportement. Dès lors, les enquêtrices proposaient de sanctionner X._ en raison de sa consommation d'alcool sur son lieu de travail. En conclusion, elles signalaient que les enquêtes avaient également permis de mettre en lumière un certain nombre de problèmes, à savoir l'absence de réglementation quant aux pauses à effectuer pour le personnel effectuant un travail irrégulier, le manque de clarté du cahier des charges de X._, une insuffisance de contrôle de l'activité effectuée par ce dernier et une pratique, semble-t-il courante dans le monde du spectacle, de «verrées» organisées à la fin de manifestations ou de spectacles.
Le rapport d'enquête a été transmis à X._, qui s'est déterminé le 12 février 2008.
Par décision du 5 mars 2008, le Conseil administratif a rétrogradé X._, avec réduction de traitement. A compter du 1er mars 2008, sa fonction devenait celle de régisseur, classé dans les catégories 7 à 9 de l'échelle des traitements.
B. Par jugement du 19 mai 2009, le Tribunal administratif du canton de Genève a partiellement admis le recours formé par X._ contre la décision du 5 mars 2008. Il a annulé cette décision en tant qu'elle prononçait la rétrogradation de l'intéressé avec réduction de traitement et il a prononcé, en lieu et place, une mise à pied de quinze jours avec suppression de traitement. Il a rétabli le traitement de l'agent en classe 11 dès le 1er mars 2008, sans pour autant lui reconnaître un droit à être réaffecté à la salle Y._.
C. La Ville de Genève forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. Elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et à la confirmation de sa décision du 5 mars 2008. Elle requiert en outre l'effet suspensif.
X._ s'en rapporte à justice en ce qui concerne l'effet suspensif et conclut au rejet des recours.
D. Le 10 août 2009, par ordre du Président de la Ire Cour de droit social, l'effet suspensif a été accordé au recours à titre superprovisoire en ce sens que jusqu'à décision sur la requête d'effet suspensif, aucune mesure d'exécution de la décision attaquée ne pourra être prise.
Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public (lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. La rétrogradation, dans la mesure où elle a une incidence sur le traitement, est une contestation pécuniaire. Le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre ainsi pas en considération.
1.2 Pour que le recours soit recevable, il faut encore, en principe, que la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. soit atteinte (art. 85 al. 1 let. b LTF). Comme l'expose la recourante, la différence de traitement entre la classe 11 et la classe 9 (y compris l'allocation de vie chère) est en 2009 de 11'296 fr. par an pour ce qui concerne l'intimé. En 2008, cette différence était de 11'220 fr. Du 1er mars 2008 jusqu'à fin mai 2011 (âge de la retraite de l'intimé) la différence est de 36'648 fr. au moins. Sur la base de ces éléments, il y a lieu de constater que le seuil requis de la valeur litigieuse est atteint.
1.3 Selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF, les communes et autres collectivités publiques ont qualité pour recourir en invoquant la violation de garanties qui leur sont reconnues par les Constitutions, cantonale ou fédérale. La Ville de Genève invoque en l'espèce l'autonomie qui lui est reconnue dans le domaine de la gestion du personnel. Elle invoque l'art. 50 Cst. Il y a donc lieu de lui reconnaître la qualité pour agir sur la base déjà de cette disposition de la LTF. Le point de savoir si elle est réellement autonome dans le domaine considéré relève du fond (ATF 135 I 43 consid. 1.2 p. 45; 129 I 313 consid. 4.2 p. 319). Au reste, la recourante peut également, comme elle l'affirme, agir sur la base de l'art. 89 al. 1 LTF, dans la mesure où elle est touchée de manière analogue à un employeur privé (cf. ATF 134 I 204 consid. 2.3 p. 207).
1.4 Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours respecte les exigences des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF. Le recours en matière de droit public est par conséquent recevable, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
2. 2.1 Selon l'art. 30 let. w de la loi genevoise sur l'administration des communes du 13 avril 1984 (RS GE B 6 05), le conseil municipal délibère lui-même sur le statut du personnel communal, ainsi que sur l'échelle des traitements et des salaires. Il s'agit donc d'un domaine du droit communal autonome, dans lequel la commune peut se plaindre d'une violation de son autonomie (arrêt 1C_341/2007 du 6 février 2008 consid. 2). Par ailleurs, les sanctions disciplinaires à l'encontre du personnel communal sont prévues à l'art. 34 du Statut du personnel de l'administration municipale du 3 juin 1986 (ci-après: le Statut) et relèvent donc aussi du droit communal autonome (arrêt 2P.363/1996 du 31 janvier 1997 consid. 2b). Reconnue autonome dans un domaine, une commune peut se plaindre d'un excès voire d'un abus du pouvoir d'appréciation ou d'une fausse application par la juridiction cantonale des normes cantonales ou communales régissant le domaine en cause. Le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation du droit constitutionnel cantonal ou fédéral; en revanche il ne vérifie l'application des règles de rang inférieur à la Constitution et la constatation des faits que sous l'angle restreint de l'arbitraire (ATF 128 I 3 consid. 2b p. 9; 126 I 133 consid. 2 p. 136; 122 I 279 consid. 8c p. 291).
2.2 Selon l'art. 33 du Statut, le fonctionnaire qui enfreint ses devoirs de service, soit intentionnellement, soit par négligence, est passible d'une sanction disciplinaire (al. 1). Les sanctions disciplinaires sont énumérées dans l'ordre croissant de gravité de la sanction comme suit à l'art. 34 du Statut:
L'avertissement;
Le blâme;
La mise à pied jusqu'à deux jours avec suppression de traitement;
La suppression de l'augmentation annuelle de traitement pour l'année à venir;
La mise à pied jusqu'à un mois avec suppression de traitement;
La réduction du traitement, temporaire ou définitive, dans les limites de la catégorie;
La mise au temporaire, l'intéressé perdant sa qualité de fonctionnaire, mais restant engagé sur la base d'un contrat de droit privé;
La rétrogradation temporaire ou définitive dans une classe inférieure, avec réduction de traitement dans les limites de la nouvelle catégorie;
La révocation.
La rétrogradation est prononcée par le Conseil administratif.
3. Les premiers juges ont considéré qu'en consommant de l'alcool sur son lieu de travail, l'intimé avait sans conteste adopté un comportement contraire à ses devoirs de fonction, pour lequel il devait être sanctionné. A la charge de l'intimé, ils ont retenu que celui-ci occupait un poste à responsabilités hiérarchiques. Quand bien même il semblait que sa consommation d'alcool n'ait eu aucune incidence sur la qualité de son travail, il était manifeste, compte tenu de la nature de celui-ci, que l'intéressé avait pris le risque de mettre en danger la santé et la sécurité des autres personnes travaillant sur la scène tout comme la sienne d'ailleurs. Enfin, si dans l'ensemble, aucun de ses collègues n'avait fait état de difficultés ou d'une impossibilité de l'intimé à exécuter ses tâches en raison d'une ébriété au travail, il ressortait néanmoins des procès-verbaux d'enquête que cette situation avait pesé sur plusieurs d'entre eux. A la décharge du fonctionnaire, le Tribunal administratif a retenu que son travail paraissait jusqu'alors avoir donné entière satisfaction, à tout le moins s'agissant de la partie technique, et que l'intéressé n'avait dans le passé fait l'objet d'aucune sanction, ni même d'un avertissement formel. Certes, des difficultés à gérer l'aspect administratif de son travail avaient été relevées, mais, selon le rapport d'enquête, celles-ci résultaient plus du flou existant dans son cahier des charges que de sa consommation d'alcool. Enfin, l'enquête administrative avait permis de mettre en lumière un certain nombre de problèmes au sein même du service, notamment l'absence de réglementation quant aux pauses à effectuer pour ce qui est du personnel effectuant un travail irrégulier et la pratique courante de «verrées» dans le monde du spectacle. En conséquence, le Tribunal administratif a retenu que le comportement de l'intimé n'était certes pas exempt de tout reproche mais que, remis dans son contexte, il n'était à l'évidence pas de nature à justifier le prononcé de la sanction disciplinaire litigieuse. L'autorité ne pouvait, sans violer le principe de proportionnalité et sans arbitraire, rétrograder l'intéressé dans une classe inférieure, avec réduction de traitement, qui plus est, sans limite de durée.
4. La recourante soutient, en substance, que le Tribunal administratif a violé son autonomie en substituant sa propre appréciation à la sienne. Elle lui reproche d'avoir minimisé les manquements reprochés à l'intimé. Selon elle, la sanction était proportionnée au cas d'espèce. Le comportement reproché aurait même mérité une révocation. En optant pour une sanction moins lourde, la Ville affirme avoir tenu compte du fait que l'intéressé avait entrepris des cures de désintoxication et qu'il était suivi médicalement pour ses problèmes d'alcool.
5. 5.1 Les faits reprochés à l'intimé ne sont pas dénués de gravité. Selon le rapport d'enquête, l'intimé buvait de l'alcool sur son lieu de travail, à certaines périodes plus que de raison. Cette constatation se fonde sur les témoignages recueillis par les enquêtrices, notamment sur les déclarations d'un régisseur alors subordonné à l'intimé (audition F._). Selon ce témoin, l'intimé consommait de l'alcool sur son lieu de travail (le matin de la bière, puis du vin rouge à midi et un alcool fort). Durant les périodes les plus «noires», il lui arrivait de boire tout l'après-midi des alcools forts. Il ressort également du rapport d'enquête que l'intimé avait pleinement conscience de son problème d'alcoolisme. Pour tenter d'y remédier, il a subi deux cures de désintoxication pendant ses vacances, la première en 2003 et la deuxième en 2006, à la suite d'une rechute en 2005. Il a reconnu avoir fait une nouvelle rechute en 2007, consécutive, selon lui, aux mesures de contrôle de son temps de travail qui étaient intervenues à cette époque. Il a précisé, à cet égard, que ses rechutes étaient toujours liées à des «problèmes émotionnels importants» (procès-verbal de comparution personnelle du 13 décembre 2007).
5.2 La fonction de régisseur principal exercée par l'intimé impliquait des responsabilités hiérarchiques. Il avait en permanence quatre personnes sous ses ordres, soit deux régisseurs et deux huissiers (audition de l'intimé du 17 octobre 2007). Le fait de consommer régulièrement - ou du moins pendant certaines périodes - de l'alcool sur le lieu de travail est difficilement acceptable pour un responsable qui doit montrer l'exemple à ses employés. Comme l'ont relevé les premiers juges, des problèmes d'alcool au travail font courir un risque sur la sécurité des employés s'agissant d'un fonctionnaire qui a la responsabilité de l'organisation matérielle de spectacles. La rétrogradation à un poste de régisseur n'impliquait pas les mêmes responsabilités et était peut-être aussi de nature à réduire la surcharge émotionnelle de l'intéressé à l'origine de ses rechutes. Dans de telles circonstances, la mesure prise n'apparaissait pas inappropriée. La Ville pouvait légitimement et sérieusement douter de l'aptitude de l'intimé à poursuivre sa fonction de régisseur principal. Une mise à pied de quinze jours avec suppression de traitement, prononcée par le Tribunal administratif à la place d'une rétrogradation, eût certes représenté pour l'intéressé un sérieux avertissement. Cette mesure, plus clémente, n'était toutefois pas de nature à écarter le risque, bien concret en l'espèce, de rechutes susceptibles de conduire à des dysfonctionnements. La Ville était fondée à tenir compte de cette circonstance dans son appréciation (sur les principes régissant la détermination du genre et de l'importance d'une sanction disciplinaire voir arrêt 2A.55/1995 du 18 décembre 1995, consid. 2b; également PETER BELLWALD, Die disziplinarische Verantwortlichkeit der Beamten, Berne 1985, p. 170). La mesure qu'elle a prise reposait sur des motifs objectifs et n'apparaissait pas disproportionnée.
5.3 Les circonstances mentionnées par les premiers juges dans le sens d'une atténuation de la sanction n'apparaissent pas décisives. Ainsi, le fait que l'intimé semble avoir donné entière satisfaction en ce qui concerne la partie technique de son travail ne plaide pas pour le maintien dans un poste à responsabilités. Il en va de même des difficultés de gestion, même si celles-ci ne sont pas dues à la consommation d'alcool. Ces difficultés sont plutôt de nature à conforter le bien-fondé de la sanction prise par le Conseil administratif. Enfin, s'il est vrai qu'un licenciement immédiat ou une révocation doivent impérativement avoir été précédés d'un ou de plusieurs avertissements en présence de manquements de gravité légère ou moyenne (cf. ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 31, 213 consid. 3.1 p. 220 s.; 129 III 380 consid. 2.1 p. 382; arrêt 2P.163/2005 du 31 août 2005, consid. 7.1; PETER BELLWALD, op. cit., p. 156), il ne doit pas nécessairement en aller de même en présence de mesures disciplinaires consistant, par exemple, en une rétrogradation, une réduction de salaire ou encore une mise à pied avec suppression de traitement.
5.4 Dans ses déterminations, l'intimé fait valoir que son déplacement n'était qu'un prétexte pour permettre «d'offrir un poste à une connaissance du conseiller administratif en charge du département W._». Il s'appuie sur le témoignage de T._, qui a succédé à l'intimé comme régisseuse à la salle Y._ et qui a été entendue au cours de l'enquête administrative. Le témoin a déclaré qu'au mois de juillet 2007, elle avait rencontré ce même conseiller pour lui proposer ses services, en lui indiquant qu'elle recherchait un poste pour des travaux ponctuels, centrés sur le travail administratif plus que technique dans le monde du spectacle ou dans les musées ou encore à la Fête de la Musique. Le 20 ou le 21 août 2007, S._, chef du service A._, lui a téléphoné pour lui proposer le poste de régisseuse principale à la salle de spectacle Y._. Les deux personnes se sont rencontrées le 22 août 2007. La prénommée est entrée en fonction le 1er septembre 2007. L'intimé déduit de ces déclarations que son poste avait déjà été repourvu avant même qu'une décision ne fût prise à son encontre.
Ce témoignage ne permet toutefois pas de considérer que les faits reprochés à l'intimé n'étaient qu'un pur prétexte pour le mettre à l'écart et, en particulier, pour éviter de le réintégrer à un poste qui avait entre-temps été repourvu. L'intimé a en effet eu un entretien avec le codirecteur du département W._ le 16 août 2007, il est vraisemblable qu'à cette occasion les termes du protocole d'accord signé le 22 août suivant aient été discutés entre les parties ou, à tout le moins, que l'intimé ait été informé de son déplacement dans une autre salle de spectacle. A ce stade, l'intimé admettait la réalité des reproches qui lui étaient adressés (enregistrement du temps de travail) et son déplacement semblait acquis. Il était donc normal que des contacts fussent rapidement pris en vue de son remplacement. Le motif invoqué par la suite par la Ville (consommation d'alcool sur le lieu de travail), bien réel, justifiait une sanction disciplinaire indépendamment des autres reproches adressés antérieurement à l'intimé. En l'occurrence, comme on l'a vu, cette sanction n'était certainement pas inadéquate.
5.5 En conclusion, la décision prise par la Ville reposait sur des motifs pertinents. En jugeant que les conditions d'une rétrogradation n'étaient pas remplies, le Tribunal administratif a substitué son appréciation à celle de la commune et a violé l'autonomie dont elle jouit sur ce point. Le recours se révèle bien fondé.
6. La cause étant tranchée sur le fond, la demande d'effet suspensif devient sans objet.
7. Les frais de la cause sont mis à la charge de l'intimé qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). La Ville ne peut se voir allouer des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4. La cause est renvoyée au Tribunal administratif pour nouvelle décision sur les frais et dépens de l'instance cantonale.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 4 novembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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