Sachverhalt:
A. Der Regierungsstatthalter von Thun erteilte am 5. September 1994 die Baubewilligung für die Umgestaltung von bestehenden Räumlichkeiten auf Parzelle Nr. 144 in Thun in ein Billard-Lokal mit Barbetrieb. Die Liegenschaft gehört zum sog. Selve-Areal, das ehemals industriell genutzt worden war. Die Baubewilligung wurde auf den damaligen Grundeigentümer ausgestellt. Diese Bewilligung enthält eine Klausel, wonach die Gewährung einer Betriebsbewilligung und einer generellen Überzeitbewilligung gemäss dem kantonalen Gastgewerbegesetz zugesichert werde.
B. Ebenfalls am 5. September 1994 verfügte der Regierungsstatthalter von Thun die Betriebs- und Überzeitbewilligungen; diese wurden inhaltlich entsprechend der Baubewilligung ausgestaltet und ohne zeitliche Befristung erteilt. Sie lauteten auf die für den Barbetrieb verantwortliche Person. In der Folge wurden diese Bewilligungen wiederholt inhaltlich geändert und auf andere verantwortliche Personen übertragen, aber weiterhin stets unbefristet ausgestellt. Am 6. Juli 2000 ersetzte der Regierungsstatthalter die beiden Bewilligungen durch solche, die vorerst bis 31. Dezember 2003 befristet waren. Als Befristungsgrund wurde angegeben, dass sich das Selve-Areal in einer Übergangsnutzung befinde. Die neuen Bewilligungen wurden mehrmals verlängert, letztmals am 27. Dezember 2006 bis zum 1. Januar 2008. Am 9. Juli 2007 übertrug der Regierungsstatthalter diese Bewilligungen bis zum Ablauf der Gültigkeitsdauer auf X._. Alle diese Verfügungen blieben unangefochten.
C. Am 27. September 2007 orientierte der Regierungsstatthalter die Betroffenen, dass die Übergangsnutzung des Selve-Areals am 1. Januar 2008 ende und die Betriebsbewilligungen nicht mehr verlängert würden. Dennoch beantragte X._ mit Gesuch vom 28. November 2007 die Verlängerung seiner Betriebs- und Überzeitbewilligung um höchstens drei bis vier Jahre. Am 19. Dezember 2007 stellte Y._, der heutige Eigentümer der Liegenschaft, das Begehren, er sei zum Bewilligungsverfahren beizuladen. Zugleich sprach er sich für die Erteilung der fraglichen Bewilligungen an X._ aus. Mit Verfügung vom 20. Dezember 2007 lehnte der Regierungsstatthalter das Gesuch ab.
D. X._ und Y._ erhoben gegen die Verfügung vom 20. Dezember 2007 Beschwerde bei der Volkswirtschaftsdirektion des Kantons Bern. Sie beantragten im Sinne vorsorglicher Massnahmen, die nachgesuchten Bewilligungen seien superprovisorisch bzw. provisorisch bis zum Entscheid über die Beschwerde zu erteilen. Die Volkswirtschaftsdirektion wies am 28. Dezember 2007 den Antrag betreffend superprovisorische Bewilligungen ab, soweit sie darauf eintrat. Mit Entscheid vom 31. Januar 2008 gab sie auch dem Begehren um provisorische Bewilligungen nicht statt, soweit sie darauf eintrat.
E. Hiergegen gelangten X._ und Y._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern und erneuerten ihre Forderung nach provisorischen Bewilligungen. Das Verwaltungsgericht hob jedoch mit Urteil vom 8. April 2008 die Zwischenverfügung der Volkswirtschaftsdirektion vom 31. Januar 2008, das bei dieser hängige Beschwerdeverfahren und die Verfügung des Regierungsstatthalters vom 20. Dezember 2007 von Amtes wegen auf. Es wies die Sache zu erneuter Prüfung an den Regierungsstatthalter zurück. Nach dem Verwaltungsgericht ist für die fraglichen Bewilligungen bereits erstinstanzlich nicht das richtige Verfahren durchgeführt worden. Das bei der Volkswirtschaftsdirektion hängige Rechtsmittelverfahren dürfe mangels Zuständigkeit nicht weitergeführt werden. Eine materielle Beurteilung der erstinstanzlichen Verfügung sei ausgeschlossen.
F. X._ und Y._ führen gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Urteils und verlangen im Wesentlichen einen Sachentscheid in dem Sinne, dass Y._ zum kantonalen Hauptverfahren beigeladen und die fraglichen Bewilligungen provisorisch erteilt werden.
Das Verwaltungsgericht ersucht um Abweisung der Beschwerde. Die Volkswirtschaftsdirektion hat Verzicht auf Vernehmlassung erklärt. In der Replik halten die Beschwerdeführer an ihren Rechtsbegehren fest.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen (vgl. Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.1 S. 251).
1.1 Vor dem Verwaltungsgericht wehrten sich die Beschwerdeführer eigentlich gegen den Entscheid der Volkswirtschaftsdirektion, mit dem die Anordnung der beantragten vorsorglichen Massnahmen abgelehnt worden war. Indessen hat das Verwaltungsgericht gestützt auf Art. 40 des kantonalen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG/BE; BSG 155.21) das ganze Rechtsmittelverfahren vor der Volkswirtschaftsdirektion aufgehoben; zugleich hob es auch den (ablehnenden) Sachentscheid des Regierungsstatthalters auf und wies das Verfahren an diesen zurück. Er wurde in den Erwägungen verpflichtet, das Gesuch für die gastgewerblichen Bewilligungen als Baubewilligungsgesuch entgegenzunehmen. Das Verwaltungsgericht rechtfertigte dieses Ergebnis mit Überlegungen, welche die Wahl der richtigen Verfahrensart und der sachlichen Zuständigkeit bei derartigen Gesuchen betreffen. Es geht darum, ob statt des von den Unterinstanzen eingeschlagenen Verfahrens, das sich auf die kantonale Gastgewerbegesetzgebung stützt, ein koordiniertes Baubewilligungsverfahren geboten ist. Nach dem Verwaltungsgericht hat der Regierungsstatthalter insofern eine Doppelfunktion inne; das heisst, er ist bei beiden Varianten - aber in einem je unterschiedlichen Verfahren - für den Entscheid zuständig. Abweichend ausgestaltet ist überdies der Rechtsmittelzug, weil bei den beiden Verfahren zwei verschiedene kantonale Direktionen als Rechtsmittelbehörde vorgesehen sind.
1.2 Die beim Bundesgericht eingelegte Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Ausschlussgründe nach Art. 83 und 85 BGG liegen nicht vor. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen Rückweisungsentscheid. Im Ergebnis bildet dieser einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über die Zuständigkeit im Sinne von Art. 92 Abs. 1 BGG, gegen den die Beschwerde beim Bundesgericht zulässig ist. Die Frage der sachlichen Zuständigkeiten bzw. der einzuschlagenden Verfahrensart für die betreffenden Betriebsbewilligungen wird im angefochtenen Urteil endgültig geregelt. Dieser Fragenkomplex ist im Rahmen der erhobenen Rügen zu beurteilen.
1.3 Da grundsätzlich auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten ist, verbleibt kein Raum für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG).
1.4 Was die Frage der Beiladung des Beschwerdeführers 2 zum kantonalen Hauptverfahren angeht, weist die Beschwerde keine rechtsgenüglichen Rügen im Sinne von Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG auf. Mit Blick auf dieses Begehren kann auf die Beschwerde von vornherein nicht eingetreten werden.
2. Ein erster Rügenkomplex bezieht sich auf Art. 40 VRPG/BE. Die Beschwerdeführer beanstanden, das Verwaltungsgericht sei bei der Anwendung dieser Norm in Willkür verfallen (Art. 9 BV). Gleichzeitig habe es Art. 30 Abs. 1 BV verletzt, weil es sich eine Kompetenz angemasst habe, die ihm Art. 40 VRPG/BE nicht einräume. Ausserdem habe das Verwaltungsgericht sein Vorgehen nicht hinreichend begründet und somit gegen die aus Art. 29 Abs. 2 BV folgende Begründungspflicht verstossen.
2.1 Fehl geht der Vorwurf einer mangelhaften Urteilsbegründung. Das Verwaltungsgericht hat genügend deutlich zum Ausdruck gebracht, wie es Art. 40 VRPG/BE versteht. Es musste nicht im Einzelnen darlegen, wie es zu der dabei vertretenen Rechtsauffassung gelangt ist. Die Beschwerdeführer wurden auch ohne derartige Ausführungen in die Lage versetzt, das Urteil sachgerecht anzufechten.
2.2 Art. 30 Abs. 1 BV garantiert den Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. So muss das Gericht und seine Zuständigkeit namentlich in sachlicher Hinsicht durch generell-abstraktes Verfahrensrecht im Voraus bestimmt sein (BGE 134 I 125 E. 3.3 S. 133 mit Hinweisen). Wird eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV gerügt, so prüft das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür. Mit freier Kognition beurteilt es, ob die als vertretbar erkannte Auslegung des kantonalen Rechts mit den Garantien von Art. 30 Abs. 1 BV vereinbar ist (vgl. BGE 131 I 31 E. 2.1.2.1 S. 34 mit Hinweisen). Der Willkürrüge kommt daher im vorliegenden Zusammenhang keine eigenständige Bedeutung zu.
2.3 Nach Art. 40 VRPG/BE sind die Verwaltungsjustizbehörden befugt, ein bei ihnen hängiges Verwaltungs- und Verwaltungsjustizverfahren von Amtes wegen aufzuheben, wenn wesentliche Verfahrensgrundsätze derart verletzt sind, dass die richtige Beurteilung unmöglich oder wesentlich erschwert wird (Abs. 1). Sie sind ferner befugt, eine Verfügung oder einen Entscheid einer ihnen untergeordneten Behörde oder einer Vorinstanz von Amtes wegen aufzuheben, wenn diese zum Erlass der Verfügung oder des Entscheids offensichtlich nicht zuständig waren (Abs. 2).
Den Äusserungen des Verwaltungsgerichts lässt sich entnehmen, dass es sich vorliegend auf eine Gesamtschau der beiden Absätze von Art. 40 VRPG/BE gestützt hat. Es hat das unterinstanzliche Verfahren nicht nur bezüglich der bei ihm hängigen Frage der vorsorglichen Massnahmen, sondern gesamthaft aufgehoben. Das Bewilligungsverfahren wurde wieder in den Stand nach Gesuchseinreichung bei der Erstinstanz gesetzt. Die Beschwerdeführer sind der Ansicht, das Verwaltungsgericht habe dabei den in Art. 40 Abs. 1 VRPG/BE angesprochenen Begriff der Rechtshängigkeit überdehnt; die gesetzliche Norm sei insoweit klar. Ebenso wenig liege hier ein Fall vor, bei dem die unterinstanzliche Instanz im Sinne von Art. 40 Abs. 2 VRPG offensichtlich unzuständig sei.
2.4 Die streitige Auslegung durch das Verwaltungsgericht lässt sich mit dem Wortlaut von Art. 40 VRPG/BE vereinbaren. Es ist nachvollziehbar, dass das Verwaltungsgericht die Aufhebung eines fehlgelaufenen Verwaltungsverfahrens aus prozessökonomischen Gründen bereits bei der erstmaligen Befassung mit der Angelegenheit anordnet. Die Beschwerdeführer machen geltend, sie hätten mit dem Rechtsmittelverfahren vor der Volkswirtschaftsdirektion klären wollen, ob eine Bewilligungserteilung nach Gastgewerbegesetz in ihrem Falle möglich sei oder ob sie zum Baubewilligungsverfahren verpflichtet seien. Sie zeigen nicht auf, welchen Rechtsnachteil sie dadurch erleiden, dass das Verwaltungsgericht diese Frage nun vorweg entschieden hat. Vorzubehalten ist dabei die Beurteilung der unterinstanzlichen Zuständigkeitsfrage (vgl. E. 3 hiernach). Unter dieser Voraussetzung kann von einer willkürlichen Auslegung von Art. 40 VRPG/BE nicht gesprochen werden; ebenso hält die Handhabung der Norm durch das Verwaltungsgericht einer freien Prüfung im Lichte von Art. 30 Abs. 1 BV stand.
3. Zu prüfen bleiben die Rügen im Zusammenhang mit den unterinstanzlichen Zuständigkeiten und dem einzuschlagenden Verfahrensweg.
3.1 Die Beschwerdeführer bestreiten nicht, dass bei der erstmaligen Erteilung bzw. bei Änderung einer Betriebsbewilligung und einer damit verbundenen generellen Überzeitbewilligung ein koordiniertes Baubewilligungsverfahren erforderlich ist (vgl. Art. 4 Abs. 1 lit. l des kantonalen Dekrets über das Baubewilligungsverfahren [BSG 725.1] in Verbindung mit Art. 5 des kantonalen Koordinationsgesetzes [BSG 724.1] und Art. 48 Abs. 3 des kantonalen Gastgewerbegesetzes [BSG 935.11]). Auch nach Meinung der Beschwerdeführer obliegt in einem solchen Fall die Beurteilung der Baubewilligungsbehörde und nicht der für die Gastgewerbebelange zuständigen Behörde.
3.2 Wesentliches Gewicht legen die Beschwerdeführer auf den Umstand, dass es ihnen nicht um eine Änderung des vorbestehenden Barbetriebs gehe. Auszugehen sei von der Baubewilligung vom 5. September 1994, die einen Anspruch auf unbefristete Bewilligungen für den Betrieb der Bar und für generelle Überzeit vermittle. Es treffe zwar zu, dass die Betriebs- und generellen Überzeitbewilligungen für die Bar in den letzten Jahren jeweils nur noch befristet ausgestellt worden seien. Diese Tatsache sei aber angesichts der Baubewilligung vom 5. September 1994 ohne Belang. Zudem sei die Grundeigentümerschaft bei der Befristung dieser Bewilligungen nicht einbezogen worden; dieser gegenüber könne die Befristung ohnehin nicht wirksam sein. Für eine weitere befristete Verlängerung sei kein Baubewilligungsverfahren nötig; vielmehr genüge ein Verfahren nach dem kantonalen Gastgewerbegesetz.
Hinzu komme Folgendes: Nach Meinung der Beschwerdeführer hätten die Behörden gegebenenfalls ein Verfahren nach Art. 43 des kantonalen Baugesetzes (BauG/BE; BSG 721.0) für den Widerruf der Baubewilligung von 1994 einzuleiten, wenn sie die dort abgegebene Zusicherung im Ergebnis ändern bzw. aufheben wollten. Ein solches Verfahren, das mit Entschädigungspflichten verbunden sei, habe nie stattgefunden. Es werde umgangen, wenn das Verwaltungsgericht die Beschwerdeführer nun in ein zusätzliches Baubewilligungsverfahren verweise. Dadurch werde in stossender Weise die bestehende Baubewilligung von 1994 auf indirekte Weise aufgehoben.
Dabei halten die Beschwerdeführer dem Verwaltungsgericht insgesamt vor, es habe zum einen die Verfahrensvorschriften der kantonalen Gastgewerbe- und Baugesetzgebung willkürlich angewendet. Zum andern verstosse sein Urteil gegen die aus Art. 22 RPG (SR 700) folgenden Voraussetzungen an die Widerrufbarkeit von Baubewilligungen und damit gegen die derogatorische Kraft des Bundesrechts (Art. 49 Abs. 1 BV).
3.3 Das Verwaltungsgericht hat nicht angenommen, die Beschwerdeführer würden eine Änderung im Vergleich zum vorbestehenden Betrieb anstreben. Es hat auch nicht behauptet, hinsichtlich der Überzeitenregelung im heute beantragten Umfang seien in den neunziger Jahren Baubewilligungsverfahren bloss ungenügend durchgeführt worden.
Mit den Verfügungen vom 6. Juli 2000 wurde allerdings erstmals der Wechsel von der vorher unbefristeten zur befristeten Bewilligungserteilung vollzogen. Die nachträgliche Einschränkung der Gültigkeitsdauer der Bewilligungen, namentlich für generelle Überzeit, kam insofern einem Widerruf gleich. Keine dieser befristeten Bewilligungen wurde angefochten. Im Gegenteil haben der Betriebsverantwortliche und die Grundeigentümerschaft die Gesuche um Verlängerung dieser Bewilligungen gemäss den Akten mindestens seit dem Jahr 2003 regelmässig gemeinsam unterzeichnet. Die Bewilligungen leiden im Hinblick auf die damit angeordnete Befristung nicht an derart schweren Mängeln, dass gesamthaft von ihrer Nichtigkeit auszugehen wäre. Einwände der Beschwerdeführer, die sich gegen den fraglichen Widerruf richten, sind im heutigen Zeitpunkt verspätet. Im Ergebnis ist dem Verwaltungsgericht beizupflichten, dass seit dem 1. Januar 2008 ein bewilligungsloser Zustand bezüglich des Betriebs der Gastwirtschaft (einschliesslich Überzeit) besteht.
3.4 An diesem Ergebnis ändert die Tatsache nichts, dass die Baubewilligung für die bauliche Einrichtung der Bar vom 5. September 1994 weiterhin Bestand hat. Ob aufgrund der von den Beschwerdeführern ins Feld geführten Klausel in jener Baubewilligung heute noch ein Anspruch auf eine Betriebs- und Überzeitbewilligung im damals genannten Umfang besteht, beschlägt eine Frage der materiellen Begründetheit des aktuellen Gesuchs. Die Beschwerdeführer tun jedoch nicht dar, inwiefern die damalige Klausel eine besondere Verfahrens- und Zuständigkeitsordnung für das aktuelle Gesuch zu bewirken vermöchte. Noch viel weniger leuchtet die Behauptung in der Beschwerdeschrift ein, der Beschwerdeführer 2 sei aufgrund jener Klausel bereits Inhaber unbefristeter Betriebs- und Überzeitbewilligungen.
3.5 Ausserdem hat das Verwaltungsgericht auf weitere Anhaltspunkte hingewiesen, welche nach seiner Auffassung die Durchführung eines neuen Baubewilligungsverfahrens gebieten. Demgemäss hält es dafür, bezüglich Betrieb und Überzeit sei die Übertragbarkeit der Abklärungsergebnisse der früheren Baubewilligungsverfahren auf die heutigen Verhältnisse infrage gestellt. Hiergegen wenden die Beschwerdeführer im Wesentlichen einzig ein, ihr Vorhaben sei nach wie vor zonenkonform. Selbst wenn diese Aussage zutreffen sollte, genügt dieser Umstand noch nicht, um das angefochtene Urteil als willkürlich erscheinen zu lassen.
3.6 Demzufolge ist es nicht zu beanstanden, wenn das Verwaltungsgericht selbst dann ein neues Baubewilligungsverfahren bei der dafür zuständigen Behörde verlangt, wenn die Bewilligungen lediglich für eine befristete Zeitdauer beantragt werden. Diese Vorgabe ist auch unter Einbezug des Aspekts nachvollziehbar, dass die Beschwerdeführer die Verweigerung einer Bewilligung für Betrieb und generelle Überzeit nur bei Widerruf der Baubewilligung vom 5. September 1994 für möglich erachten (vgl. E. 3.2 hiervor). Für einen solchen Widerruf wäre ebenfalls die Baubewilligungsbehörde zuständig (vgl. Aldo Zaugg/Peter Ludwig, Kommentar zum Baugesetz des Kantons Bern, 3. Aufl., Band I, Bern 2007, N. 3 zu Art. 43 BauG/BE). Von einer Umgehung des Verfahrens, das zum Schutz der Beschwerdeführer geboten sein soll, kann keine Rede sein.
3.7 Aus den vorstehenden Erwägungen folgt, dass das Verwaltungsgericht die Grundsätze über den Widerruf von Baubewilligungen nicht verkannt hat. Bereits von daher kann den Rügen, welche sich auf Art. 22 RPG und Art. 49 Abs. 1 BV beziehen, kein Erfolg beschieden sein.
3.8 Im Übrigen machen die Beschwerdeführer nicht geltend, sie hätten im kantonalen Verfahren je auf das Gesuch um generelle Überzeit verzichtet. Das Verwaltungsgericht hatte somit keinen Anlass, von einer Aufhebung des Verfahrens abzusehen, soweit dieses die reine Betriebsbewilligung betraf.
3.9 Zusammengefasst durfte das Verwaltungsgericht die im Streit liegende Verfahrensaufhebung von Amtes wegen anordnen und die Sache an den Regierungsstatthalter als Baubewilligungsbehörde zurückweisen. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, der Regierungsstatthalter habe sich sowohl mit dem Gesuch vom 28. November 2007 als auch mit der Eingabe des Beschwerdeführers 2 vom 19. Dezember 2007 zu befassen. Bereits in der letztgenannten Eingabe wurde um provisorische Erteilung der fraglichen Bewilligungen im Sinne vorsorglicher Massnahmen ersucht, falls das Verfahren nicht vor dem 1. Januar 2008 abgeschlossen werden könne. In Präzisierung der Erwägungen des angefochtenen Urteils ist anzumerken, dass der Regierungsstatthalter folglich bei der Wiederaufnahme des Verfahrens vom Vorliegen eines entsprechenden Antrags um vorsorgliche Massnahmen auszugehen hat.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG); sie haften dafür solidarisch (Art. 66 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Volkswirtschaftsdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, sowie dem Regierungsstatthalteramt Thun schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet