Erwägungen:
1. Das Geschworenengericht des Kantons Zürich sprach X._ mit Urteil vom 25. Juni 2009 der versuchten vorsätzlichen Tötung sowie der mehrfachen Drohung schuldig und bestrafte ihn mit einer Freiheitsstrafe von 9 Jahren, unter Anrechnung erstandener Haft. Der damalige amtliche Verteidiger von X._ meldete gegen das geschworenengerichtliche Urteil rechtzeitig kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an.
2. X._ stellte mit Eingabe vom 3. Februar 2010 das Gesuch, ihm einen anderen Verteidiger zu bestellen. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich gab dem Gesuch mit Verfügung vom 8. April 2010 statt, entliess den bisherigen amtlichen Verteidiger und bestellte X._ für das Kassationsverfahren neu Rechtsanwalt Y._ als amtlicher Verteidiger.
3. X._ führt mit Eingabe vom 14. April 2010 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 8. April 2010. Er ersucht um Bestellung eines anderen Verteidigers. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4. Die angefochtene Verfügung ist im Rahmen eines Strafverfahrens gegen den Beschwerdeführer ergangen. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht abschliesst.
4.1 Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (s. dazu Art. 92 BGG), ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder - was indes hier von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
4.2 Im Verfahren der Beschwerde in Strafsachen muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht bloss tatsächlicher, sondern rechtlicher Natur sein (BGE 133 IV 139 E. 4 S. 141). Der Beschwerdeführer hat dabei die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG darzulegen (BGE 134 III 426 E. 1.2; 133 III 629 E. 2.3.1). Vorliegend äussert sich der Beschwerdeführer nicht, inwiefern die angefochtene Verfügung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte. Die Beschwerde enthält somit keine hinreichende Begründung, weshalb bereits aus diesem Grund auf sie nicht einzutreten ist.
4.3 Ausserdem ist ein nicht wieder gutzumachender Nachteil nicht ersichtlich. Die Abweisung eines Gesuchs um einen Wechsel des amtlichen Verteidigers hat, besondere Umstände vorbehalten, keinen nicht wieder gutzumachenden, rechtlichen Nachteil zur Folge (vgl. BGE 133 IV 335 E. 4 S. 338; 126 I 207 E. 2b S. 211).
4.4 Nach dem Gesagten ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten.
5. Auf eine Kostenauflage an den unterliegenden Beschwerdeführer kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Rechtsanwalt Y._ sowie der Staatsanwaltschaft IV und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. April 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli