Faits:
A. Le 16 février 2012, H.X._ a requis sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire, limitée aux frais de procédure, en vue de l'introduction d'une action en dommages-intérêts contre la Société A._ SA pour une créance de 7'594'500 fr.
Par décision du 18 avril 2012, la Vice-présidente du Tribunal civil du canton de Genève a rejeté ladite requête au motif que l'auteur de celle-ci ne remplissait pas la condition d'indigence.
Statuant le 15 juin 2012, la Vice-présidente de la Cour de justice du même canton a rejeté le recours formé par le requérant contre la décision de première instance.
B. Le 13 juillet 2012, H.X._ a adressé au Tribunal fédéral une écriture, intitulée "Recours en matière civile et recours constitutionnel subsidiaire". Il conclut à l'annulation de la décision du 15 juin 2012 et à sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire, voire au renvoi de la cause à la magistrate intimée pour nouvelle décision.
La Vice-présidente de la Cour de justice, qui a produit son dossier, n'a pas été invitée à déposer une réponse.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le refus de l'assistance judiciaire est une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable (ATF 129 I 129 consid. 1.1 p. 131, 281 consid. 1.1 p. 283/284) et, partant, sujette à recours (art. 93 al. 1 let. a LTF). La voie de recours contre une telle décision est déterminée par le litige principal (arrêt 4A_340/2012 du 19 juin 2012 consid. 2).
En l'espèce, la décision attaquée a été rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). Il en ressort que la requête du recourant, déposée hors procès, tendait à l'exonération des frais judiciaires relatifs à une action en dommages-intérêts à venir portant sur un montant de 7'594'500 fr. La valeur litigieuse de la procédure au fond que le recourant entend introduire atteint ainsi le seuil de 30'000 fr. fixé à l'art. 74 al. 1 let. b LTF. Par conséquent, le recours en matière civile est ouvert, si bien que le présent recours sera traité comme tel. Etant donné son caractère subsidiaire (art. 113 LTF), le recours constitutionnel formé dans la même écriture est, dès lors, irrecevable.
1.2 Interjeté par la partie qui a succombé dans sa demande d'assistance judiciaire et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), le présent recours, dirigé contre une décision prise sur délégation de compétence par une magistrate appartenant à un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 LTF), est recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 al. 1 et 2 LTF) prévus par la loi.
1.3 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313).
En principe, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Toutefois, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits retenus par l'autorité cantonale ont été constatés de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. ( ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. 2.1 Si elle veut obtenir l'assistance judiciaire, une personne ne doit pas disposer de ressources suffisantes (art. 29 al. 3 Cst.; art. 117 let. a CPC). Pour déterminer l'indigence, il convient de prendre en considération l'ensemble de la situation financière du requérant au moment où la demande ad hoc est présentée (ATF 135 I 221 consid. 5.1 p. 223).
Examinant la réalisation de cette condition dans le cas concret, la magistrate intimée a jugé que la fortune de l'épouse du recourant devait être prise en compte pour évaluer les ressources de celui-ci. A son avis, F.X._, propriétaire, à Coppet, de l'appartement dans lequel les époux habitent ainsi que d'une maison dans le Var (France), était tenue de mettre à contribution son patrimoine immobilier pour financer la défense juridique des intérêts de son conjoint, en vertu de l'obligation d'entretien et d'assistance entre époux. Il devait en aller ainsi sans égard à la nature du litige pour lequel l'assistance judiciaire était requise et indépendamment du régime matrimonial adopté par les époux. Dans ces circonstances, le recourant ne remplissait pas la condition d'indigence.
Le recourant s'inscrit en faux contre cette argumentation. Selon lui, comme les époux sont mariés sous le régime de la séparation de biens, on ne saurait exiger du conjoint de la personne requérant le bénéfice de l'assistance judiciaire qu'il entame sa fortune pour contribuer au financement d'une procédure relevant exclusivement de l'activité professionnelle de cette personne et au résultat de laquelle il n'aura aucun intérêt.
2.2 Les objections soulevées par le recourant se heurtent à des principes posés de longue date par la jurisprudence et la doctrine en la matière.
Le devoir de l'Etat d'accorder l'assistance judiciaire au plaideur indigent dont la cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès passe après l'obligation d'assistance et d'entretien prévue par le droit de la famille. Ainsi, lorsque, grâce à la contribution que lui doit son conjoint, une partie peut assumer les frais d'un procès, l'Etat ne saurait être tenu de lui accorder l'assistance judiciaire. Il ne serait pas juste, en effet, de faire supporter par la collectivité publique les frais de procès d'un plaideur indigent que son conjoint serait en mesure de lui avancer, fût-ce provisoirement et sous réserve d'un règlement de comptes ultérieur (ATF 85 I 1 consid. 3 p. 4).
Le devoir réciproque d'assistance et d'entretien des époux, au sens des art. 159 al. 3 et 163 CC, comprend non seulement l'entretien stricto sensu, mais encore la satisfaction de besoins non matériels, telle la protection juridique (ATF 103 Ia 99 consid. 4 p. 101). Ce devoir fait partie des effets généraux du mariage, de sorte qu'il est indépendant du régime matrimonial choisi par les époux (arrêt 4P.95/2000 du 16 juin 2000 consid. 2e; VIKTOR RÜEGG, in Commentaire bâlois, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, n° 13 ad art. 117 CPC). La mise à disposition du conjoint des montants qui lui font défaut pour assurer la défense de ses intérêts personnels par la voie judiciaire fait partie de ce devoir (STETTLER/GERMANI, Droit civil III, Effets généraux du mariage, 1999, p. 19).
Au demeurant, depuis le changement de jurisprudence opéré dans l'arrêt Corbellini précité (ATF 85 I 1 consid. 3), cet aspect du devoir d'assistance entre époux n'est plus limité à la mise en oeuvre de droits personnels, mais s'applique également aux frais d'un procès pécuniaire contre un tiers (ATF 115 Ia 193 consid. 3a; arrêt 4A_661/2010 du 16 février 2011 consid. 3.5, dernier §; arrêt 4A_412/2008 du 27 octobre 2008 consid. 4.1; DENIS TAPPY, in Code de procédure civile commenté, 2011, n° 26 ad art. 117 CPC; LUKAS HUBER, in Schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO), 2011, p. 652 note de pied 82). En d'autres termes, il convient, dans tous les cas, de tenir compte des revenus et de la fortune du conjoint, quelle que soit la nature du procès (CHRISTIAN FAVRE, L'assistance judiciaire gratuite en droit suisse, 1989, p. 48).
2.3 La Vice-présidente de la Cour de justice a fait une application correcte de ces principes en tenant compte de la fortune immobilière de l'épouse du requérant pour déterminer si l'état d'indigence allégué par ce dernier était avéré ou non. Elle constate, par ailleurs, que "le recourant ne conteste pas l'établissement de sa situation financière, ni celle de son épouse" (décision attaquée, consid. 3.1). Or, il ressort de la décision de première instance que les deux biens immobiliers dont F.X._ est propriétaire sont "apparemment francs de dettes" (p. 3, antépénultième §). C'est le lieu de souligner que le recourant ne s'en prend pas de manière recevable (cf. consid. 1.4 ci-dessus) à la constatation de la magistrate intimée lorsqu'il soutient, en se référant du reste à une lettre du 29 juin 2012 postérieure au prononcé de la décision entreprise, que l'appartement de Coppet est grevé d'une hypothèque d'un million de francs et que la maison sise dans le Var est hypothéquée à concurrence de 60% de sa valeur (acte de recours, p. 4 ch. 6). Aussi n'y a-t-il pas lieu de donner suite à sa requête tendant à ce que le dossier soit retourné à la magistrate intimée pour qu'elle examine dans quelle mesure la fortune de dame pourrait être mise à contribution.
2.4 En définitive, la Vice-présidente de la Cour de justice n'a nullement violé le droit fédéral en confirmant le refus d'accorder l'assistance judiciaire au recourant. Le présent recours ne peut, dès lors, qu'être rejeté.
3. Succombant, le recourant devra payer les frais de la procédure fédérale, en application de l'art. 66 al. 1 LTF. Quant à l'allocation de dépens, elle n'entre pas en ligne de compte en l'espèce, vu l'art. 68 al. 3 LTF.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière civile est rejeté.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant et à la Vice-présidente de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 10 septembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Carruzzo