Erwägungen:
1.
1.1.
Die Veranlagungsbehörde Olten-Gösgen veranlagte Frau A._ mit Verfügung vom 30. Oktober 2012 nach pflichtgemässem Ermessen für die Kantons- und direkte Bundessteuer des Jahres 2011. Dagegen erhob A._, handelnd durch ihre Mutter, mit Eingabe vom 8. Februar 2013 Einsprache. Die Veranlagungsbehörde wies mit Schreiben vom 19. Februar 2013 auf das Fristversäumnis hin und forderte A._ auf, etwaige Entschuldigungsgründe bis zum 6. März 2013 darzulegen und nachzuweisen. A._ blieb untätig, worauf die Veranlagungsbehörde mit Einspracheentscheid vom 12. April 2013 auf die Einsprache nicht eintrat.
1.2. Dagegen gelangte A._ mit Eingabe vom 12. Mai 2013 an das Steuergericht des Kantons Solothurn und stellte sinngemäss ein Fristerstreckungsgesuch. Zur Begründung führte sie an, erst kürzlich aus dem Spital entlassen worden und noch nicht wiederhergestellt zu sein. Mit Verfügung vom 16. Mai 2013 setzte der Gerichtspräsident Nachfrist bis zum 24. Mai 2013, um eine Rekurs- bzw. Beschwerdeschrift (mit Antrag, Begründung und Beilagen) einzureichen, unter Androhung des Nichteintretens im Unterlassungsfall. Am 13. Juni 2013 erstreckte der Präsident die Frist antragsgemäss bis zum 21. Juni 2013. A._ reichte am 20. Juni 2013 die Steuererklärung 2011 nach. Zur materiellen Begründung führte sie im Wesentlichen aus, infolge einer schweren Erkrankung sei sie beinahe erblindet, habe sie die Arbeit verloren und sei sie psychisch wie physisch am Ende. Der Rechtsschrift legte sie verschiedene ärztliche Aufgebote bei.
1.3. Die Vorinstanz erwägt, gemäss Art. 132 ff. des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG; SR 642.11) und § 149 ff. des Gesetzes [des Kantons Solothurn] vom 1. Dezember 1985 über die Staats- und Gemeindesteuern (BGS 614.11; nachfolgend: StG/SO) sei die Einsprache gegen die Veranlagungsverfügung innert 30 Tagen, von der Eröffnung an gerechnet, einzureichen. Was die Begründung betreffe, unterliege eine Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen erhöhten Anforderungen, indem sie nur wegen offensichtlicher Unrichtigkeit angefochten werden könne. Die Einsprache sei zu begründen und etwaige Beweismittel seien beizulegen. Erlass und Versand der Verfügung seien unstreitig am 30. Oktober 2013 [recte: 2012] erfolgt, weswegen das Fristversäumnis als solches nicht bestritten sei. Mit Blick auf Art. 133 Abs. 3 DBG und § 137 Abs. 2 StG/SO, welche Normen die Fristwiederherstellung regeln, falle auf, dass A._ bis zuletzt keine Arztzeugnisse eingereicht habe. Es sei unerfindlich, weshalb die Mutter, die gemäss der Vollmacht vom 6. Februar 2013 die Geschäfte hätte führen können, dies unterlassen habe. Die Mutter mache für sich keine Entschuldigungsgründe geltend. Die Veranlagungsbehörde sei mithin zulässigerweise nicht auf die Einsprache eingetreten, weshalb der gegen den Einspracheentscheid vom 12. April 2013 gerichtete Rekurs und die Beschwerde infolge Unbegründetheit abzuweisen seien.
1.4. Mit einem als "Einsprache" bezeichneten Rechtsmittel ersucht A._ (nachfolgend: die Steuerpflichtige) das Bundesgericht sinngemäss um Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie Feststellung des Vorliegens hinreichender Entschuldigungsgründe für das verspätete Einreichen der Einsprache.
1.5. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
1.6. Der angefochtene Entscheide betrifft einerseits die Staatssteuer 2011 des Kantons Solothurn, anderseits die direkte Bundessteuer 2011. Praxisgemäss eröffnet das Bundesgericht in solchen Fällen zwei Dossiers. Es stellen sich dieselben Rechtsfragen. Ebenso praxisgemäss rechtfertigt es sich daher, die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerde in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. Art. 71 BGG i. V. m. Art. 24 BZP; Urteil 2C_941/2012/2C_942/2012 vom 9. November 2013 E. 1.2).
2.
2.1. Aufgrund von Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung muss sachbezogen sein; die beschwerdeführende Partei hat sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen auseinanderzusetzen.
2.2. In ihrem die beiden Rechtsmittel abweisenden Entscheid ist die Vorinstanz zum Schluss gelangt, die Unterinstanz sei infolge Fristversäumnis und fehlender Entschuldigungsgründe mit Recht auf die Einsprache nicht eingetreten. Streitgegenstand ist dabei [einzig] die Fristenfrage. Die Steuerpflichtige bringt in dieser Hinsicht freilich nichts vor, was sie nicht schon vor Vorinstanz vorgetragen hat oder hätte vortragen können. Soweit sie Tatsachen anspricht, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben, handelt es sich prozessual um echte Noven. Solche können nicht durch den angefochtenen Entscheid veranlasst sein und müssen vor Bundesgericht unberücksichtigt bleiben (Art. 99 Abs. 1 BGG). Dies trifft etwa auf den Hinweis zu, es stünden drei gefahrenvolle Operationen bevor. Insbesondere setzt sich die Steuerpflichtige nicht mit dem Argument der Vorinstanz auseinander, es sei nicht dargelegt, inwiefern auch die bevollmächtigte Vertreterin an einem fristgerechten Handeln verhindert gewesen sein soll.
2.3. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
2.4. Die Gerichtskosten sind nach Massgabe von Art. 65 und 66 Abs. 1 erster Satz und Abs. 5 BGG der Beschwerdeführerin aufzuerlegen.
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Die Verfahren 2C_157/2014 und 2C_158/2014 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer 2011 (Verfahren 2C_158/2014) wird nicht eingetreten.
3.
Auf die Beschwerde betreffend die Staatssteuer 2011 des Kantons Solothurn (Verfahren 2C_157/2014) wird nicht eingetreten.
4.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Steueramt des Kantons Solothurn, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. März 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher