Erwägungen:
1. 1.1 Die äthiopische Staatsangehörige X._ (geb. 1983) reiste am 31. Oktober 2003 in die Schweiz ein und ersuchte erfolglos um Asyl. Die bis zum 15. Oktober 2004 angesetzte Frist zur Ausreise liess sie ungenutzt ablaufen. Am 30. September/1. Oktober 2005 wurde X._ in Basel anlässlich einer im Prostitutionsmilieu durchgeführten Kontrolle angehalten und in der Folge wurde die Verhängung einer Fernhaltemassnahme geprüft.
Am 8. Dezember 2005 verheiratete sich X._ mit dem Schweizer Bürger A._ (geb. 1973), worauf ihr am 10. Juli 2006 im Kanton Basel-Landschaft eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann bis zum 7. Dezember 2006, in der Folge verlängert bis zum 7. Dezember 2007, erteilt wurde. Seit Mai 2006 haben die Ehegatten getrennte Wohnsitze.
1.2 Am 16. Januar 2008 unterbreitete die kantonale Migrationsbehörde X._ im Hinblick auf eine eventuelle Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und Wegweisung schriftliche Fragen und nahm weitere Abklärungen vor.
Im Frühjahr 2008 reichte der Ehemann eine Scheidungsklage ein, welche er am 12. Juni 2008 wieder zurückzog. Am 8. Juli 2008 reichte er unter Hinweis darauf, dass X._ sich einer Wiederaufnahme des ehelichen Zusammenlebens sowie überhaupt jeglicher Kontaktaufnahme verweigere, erneut eine Scheidungsklage ein, welche er am 10. Dezember 2008 wieder zurückzog. Am 30. Januar 2009 verlängerte die kantonale Migrationsbehörde die Aufenthaltsbewilligung von X._ erneut (bis zum 7. Dezember 2009).
1.3 Am 12. November 2009 ersuchte X._ die kantonale Migrationsbehörde um weitere Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung. Die kantonale Behörde erachtete die hierfür erforderlichen Voraussetzungen als erfüllt und ersuchte das Bundesamt für Migration (BFM) um Zustimmung zur beabsichtigten Verlängerung.
Mit Verfügung vom 25. Februar 2010 verweigerte das BFM die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, ordnete die Wegweisung von X._ an und räumte dieser eine Ausreisefrist von 8 Wochen ab Eintritt der Rechtskraft dieser Verfügung ein. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 22. Dezember 2011 ab.
1.4 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 1. Februar 2012 beantragt X._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und das Bundesamt für Migration anzuweisen, die Zustimmung zur Verlängerung der kantonalen Aufenthaltsbewilligung zu erteilen; eventualiter sei festzustellen, dass der Vollzug der Wegweisung nicht zulässig oder zumindest nicht zumutbar sei. Zudem ersucht sie um Befreiung von den Gerichtskosten und um unentgeltliche Verbeiständung.
Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
2. 2.1 Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit die Beschwerdeführerin unabhängig vom Ergebnis des Entscheides über den Aufenthaltsanspruch die Wegweisung anficht (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Im Übrigen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.2 Die Beschwerdeführerin legt nicht - auf jeden Fall nicht in rechtsgenüglicher Weise - dar, dass die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Das Bundesgericht legt daher seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG).
2.3 Die Beschwerdeführerin macht einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG i.V.m. Art. 50 Abs. 2 AuG geltend. Danach besteht nach Auflösung der Ehe - unabhängig von der Dauer der Ehegemeinschaft - ein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen. Wichtige persönliche Gründe können namentlich vorliegen, wenn die Ehegattin oder der Ehegatte Opfer ehelicher Gewalt wurde und die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (Art. 50 Abs. 2 AuG).
2.3.1 Die Vorinstanz hat die gesetzliche Regelung und die bundesgerichtliche Rechtsprechung dazu zutreffend dargelegt. Es kann auf ihre Ausführungen verwiesen werden (vgl. Art. 109 Abs. 3 BGG).
2.3.2 Die Vorinstanz hat sodann die Situation der Beschwerdeführerin sorgfältig und umfassend geprüft und ist aufgrund ihrer - für das Bundesgericht verbindlichen (vgl. E. 2.2 vorstehend) - Sachverhaltsfeststellungen zum Schluss gekommen, es lägen keine wichtigen Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b i.V.m. Abs. 2 AuG vor.
Betreffend die von der Beschwerdeführerin behauptete eheliche Gewalt hielt die Vorinstanz einerseits fest, deren Vorbringen würden sich als äusserst vage und unsubstanziiert erweisen. Es finde sich ein einziger Hinweis, wonach der Ehemann die Beschwerdeführerin im Rahmen einer Meinungsverschiedenheit einmal "geschubst" haben solle, womit die Schwelle zur ehelichen Gewalt jedoch nicht als überschritten erachtet werden könne. Ansonsten würden keinerlei objektive Anhaltspunkte hinsichtlich der von der Beschwerdeführerin behaupteten ehelichen Gewalt vorliegen. Andererseits führte die Vorinstanz aus, die behauptete eheliche Gewalt wäre auf jeden Fall unbeachtlich, da diese ohnehin erst nach bereits erfolgter Auflösung der Ehegemeinschaft stattgefunden hätte. Die Vorinstanz untersuchte im Weiteren, welche Bedeutung der psychischen Erkrankung des Ehemannes zukomme. Sie kam zum Schluss, es sei nicht plausibel, dass die Beschwerdeführerin davon zum Zeitpunkt des Eheschlusses keine Kenntnis gehabt haben soll, zumal der Ehemann aufgrund dieser Gesundheitsstörung ohne Erwerbstätigkeit bzw. arbeitsunfähig gewesen sei und eine Rente erhalten habe. Es hätten ihr die Schwierigkeiten, die sich aller Wahrscheinlichkeit nach aus einer solchen Verbindung bzw. im ehelichen Zusammenleben mit einem psychisch kranken Ehemann ergeben würden, von Anfang an bewusst sein müssen. In der nachmaligen Entwicklung ihrer Ehegemeinschaft habe sich insofern höchstens ein von Beginn weg voraussehbares "Risiko" realisiert. Sei die Beschwerdeführerin mit dem Abschluss der Ehe dieses "Risiko" jedoch bewusst eingegangen, rechtfertige sich ihre Privilegierung in der Form einer Zuerkennung eines Anspruchs auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung nicht.
Vor dem Hintergrund des rechtswidrigen Aufenthalts der Beschwerdeführerin in der Schweiz, als sie ihren Ehemann kennenlernte, der äusserst kurzen Bekanntschaftsdauer vor der Eheschliessung, der Krankheit des Ehemannes, welche ihr bekannt gewesen sein musste, sowie der Auflösung der Ehegemeinschaft bereits wenige Monate später, wobei zu jenem Zeitpunkt nicht von ehelicher Gewalt die Rede gewesen wäre, schloss die Vorinstanz zusammenfassend, dass die ehespezifischen Umstände keine wichtigen persönlichen Gründe im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG darzustellen vermöchten, welche den weiteren Aufenthalt der Beschwerdeführerin in der Schweiz gebieten würden.
Die Vorinstanz hat sodann auch die persönlichen Verhältnisse der Beschwerdeführerin und ihre persönliche Interessenlage sorgfältig und umfassend geprüft und dabei unter anderem auf die Abklärungen im Asylverfahren verwiesen, in welchem die Angaben der Beschwerdeführerin durchwegs als unglaubhaft beurteilt wurden. Sie führte aus, nachdem in der Beschwerdeschrift keine substanziierten Vorbringen gemacht würden, die plausibel erscheinen liessen, dass sich die konkreten Lebensumstände für die erst 28-jährige, kinderlose und sich in guter physischer Verfassung befindende Beschwerdeführerin - trotz den dargelegten günstigen Rahmenbedingungen - tatsächlich schwierig darstellen würden, sei nicht davon auszugehen, dass ihre soziale Wiedereingliederung in Addis Abeba mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden wären. Dabei dürften ihr auch die in der Schweiz erworbenen Deutschkenntnisse nebst ihrer soliden, vor Ort genossenen Schulbildung auf dem dortigen Arbeitsmarkt zugutekommen. Schliesslich hielt die Vorinstanz fest, auch die übrigen Aspekte bzw. die weiteren Umstände des vorliegenden Falles vermöchten keinen wichtigen persönlichen Grund nach Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG zu begründen.
2.3.3 Die vorinstanzlichen Erwägungen sind nicht zu beanstanden. Die Beschwerdeführerin wiederholt zwar ihre bereits vor der Vorinstanz vorgetragenen Ausführungen, wonach sie Opfer von häuslicher Gewalt geworden sei, vermag damit aber weder nachzuweisen, dass die vorinstanzlichen Würdigungen des Sachverhaltes offensichtlich unrichtig wären, noch insbesondere die vorinstanzliche Feststellung zu entkräften, wonach auf jeden Fall für den Zeitraum des ehelichen Zusammenlebens keine eheliche Gewalt nachgewiesen sei. Sie geht fehl mit ihrem Verweis auf die Definition der häuslichen Gewalt durch die Fachstelle Gewalt des Eidg. Büros für Gleichstellung von Frau und Mann, soweit sie daraus ableiten will, es sei ausländerrechtlich unerheblich, ob die Gewalt erst nach Auflösung der ehelichen Gemeinschaft ausgeübt worden sei. Die Vorinstanz hat diesbezüglich zu Recht darauf hingewiesen, dass ein nachträgliches - nach Aufnahme des Getrenntlebens ohne wichtigen Grund nach Art. 49 AuG - Wiederaufleben des Aufenthaltsanspruches nach Art. 42 oder Art. 43 AuG nicht in Betracht kommt und demnach allfällige nachträglich ausgeübte Gewalt insofern nicht beachtlich ist (vgl. Urteil 2C_590/2010 vom 29. November 2010 E. 2.5.3). Im Weiteren vermag die Beschwerdeführerin mit der Behauptung, sie habe nichts von der Krankheit ihres Ehemannes und von seiner Medikamenteneinnahme gewusst, die von der Vorinstanz vorgenommene Würdigung der Gesamtumstände nicht zu erschüttern. Schliesslich sind auch ihre Ausführungen zur allgemeinen Situation alleinstehender und zurückkehrender Frauen in Äthiopien unbehelflich. Sie verweist in diesem Zusammenhang erneut auf ihre Ausführungen im Asylverfahren, mit denen sich die Vorinstanz auseinandergesetzt hat. Die Beschwerdeführerin zeigt im Übrigen nicht auf, dass die mit Verweis auf Studien des U.S. Departements of State sowie des UN-Habitat, Ethiopia, erfolgten detaillierten Ausführungen der Vorinstanz zur Situation in Äthiopien unrichtig wären.
3. Angesichts der sorgfältigen und eingehenden Begründung des angefochtenen Urteils, welche sich auf die geltende Gesetzgebung und die Rechtsprechung des Bundesgerichts abstützt und mit der sich die Beschwerdeführerin in entscheidenden Punkten gar nicht auseinandersetzt, hatte ihr Rechtsbegehren von vornherein keine Aussichten auf Erfolg. Dem Gesuch um Befreiung von den Gerichtskosten und um unentgeltliche Verbeiständung kann daher nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). Die unterliegende Beschwerdeführerin hat somit die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 65 und 66 BGG). Bei der Bemessung der Gerichtsgebühr wird indessen ihrer finanziellen Lage Rechnung getragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Dubs