Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Der angefochtene Entscheid wurde dem Beschwerdeführer am 9. März 2010 zugestellt. Die Beschwerdefrist lief folglich unter Berücksichtigung der Gerichtsferien über Ostern am 23. April 2010 ab. Nebst der Beschwerde vom 8. April 2010 (act. 1) ist auch die Beschwerdeergänzung vom 23. April 2010 (act. 3) fristgerecht.
2. Im angefochtenen Entscheid wurde auf eine kantonale Kassationsbeschwerde nicht eingetreten, weil das Rechtsmittel nicht hinreichend begründet war (angefochtener Entscheid S. 4 E. 4.1). Vor Bundesgericht könnte der Beschwerdeführer deshalb nur geltend machen, die Vorinstanz habe in Bezug auf die Begründungsanforderungen des kantonalen Rechtsmittels das Recht bzw. seine Grundrechte verletzt (Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG). Zu dieser Frage äussert er sich indessen in seinen beiden Eingaben vor Bundesgericht nicht. Folglich ist auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Wenn ein angefochtener Entscheid auf einer Haupt- und einer Eventualbegründung beruht, die je für sich den Ausgang des Rechtsstreites besiegeln, müssen beide Begründungen das Recht verletzen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (BGE 133 IV 119 E. 6). Da das Bundesgericht nach dem Gesagten auf die Beschwerde nicht eintreten kann, soweit sie die Hauptbegründung der Vorinstanz betrifft, kann es sich mit der Behauptung des Beschwerdeführers, er habe die Sicherheitsgurte getragen, und mit der entsprechenden Eventualbegründung der Vorinstanz (angefochtener Entscheid S. 4 E. 4.2) nicht befassen.
3. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das nachgereichte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG schon deshalb abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Eine Herabsetzung der Gerichtsgebühr gestützt auf Art. 65 Abs. 2 BGG kommt nicht in Betracht, weil der Beschwerdeführer nicht darlegt, dass er bedürftig ist (act. 11). Obwohl er auf diesen Mangel seiner Eingabe hingewiesen wurde (act. 12), hat er sich nicht mehr gemeldet.
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn