Faits:
A. A.a H.Z._, né le 4 février 1908, et F.Z._, née le 29 août 1908, se sont mariés le 11 juin 1937. De leur union sont issus deux fils: A.Z._, né le 25 mars 1938, et B.Z._, né le 8 décembre 1942. F.Z._ est décédée le 8 septembre 1992.
Par déclaration du 25 novembre 1992 faite devant l'Officier d'état civil de Neuchâtel, H.Z._ a reconnu Y._ comme étant son fils, ce dernier ayant obtenu, en date du 4 novembre 1991, un jugement de désaveu de paternité à l'encontre de celui qui était son père sur le plan juridique.
H.Z._ est décédé le 16 septembre 1994. Le 26 septembre 1994, une copie du testament olographe confectionné par le défunt le 13 juin 1993 a été notifiée à Y._.
L'une des clauses de ce testament énonce ce qui suit:
"Certains ont cherché à me soutirer de l'argent en me rendant responsable de la naissance de Y._. Ma paternité sur celui-ci n'a jamais été établie scientifiquement. Y._ ne sera pas mon héritier et ne sera pas appelé à ma succession."
L'actif total de la succession de feu H.Z._ se montait à 696'000 fr. et la réserve légale de Y._ atteignait ainsi 174'000 fr.
A.b Le 24 octobre 1994, Y._, représenté par Me X._, avocat à ..., a interpellé l'exécuteur testamentaire désigné par feu H.Z._, faisant part de son vif souhait d'une liquidation de la succession dans des conditions dignes et correctes. Une solution transactionnelle ne semblant pas exclue, il en est résulté en 1995 un échange de courriers entre Me X._ et l'exécuteur testamentaire.
Le 15 novembre 1995, soit après la confection de l'inventaire fiscal de la succession établi et transmis par l'Office des droits de mutation et du timbre à l'exécuteur testamentaire, ce dernier a indiqué aux deux fils du défunt et à Me X._ qu'il devait leur soumettre une convention de partage, en leur rappelant qu'il avait été également question que les deux frères Z._ négocient avec Y._ l'octroi à ce dernier d'une indemnité pour solde de tout compte.
A la suite de cette communication, un échange de lettres a repris entre Me X._ et l'exécuteur testamentaire au sujet de la nature et de l'étendue de la participation financière de Y._ dans la succession de feu son père.
Le 25 janvier 1996, l'exécuteur testamentaire a fait savoir à Me X._, au nom de A.Z._, qu'une action en nullité de testament se prescrivait par un an et qu'en l'absence d'une procédure entreprise en temps utile, Y._ devait renoncer à tout droit dans la succession pour se conformer aux dernières volontés du défunt.
Par courrier du 2 février 1996, Me X._ a protesté contre cette manière de voir, se référant à un délai de prescription de trente ans en présence d'un défendeur de mauvaise foi.
A.c Après avoir changé d'avocat, Y._ a intenté, le 28 mars 1996, à l'encontre des frères Z._ une action en annulation d'une clause d'exhérédation.
Le 6 juillet 1998, la IIe Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté la demande et condamné Y._ à payer 6'675 fr. de frais judiciaires et 8'000 fr. de dépens.
En substance, il a été retenu que l'action était irrecevable dans la mesure où elle n'était dirigée que contre A.Z._ et B.Z._, sans englober les filles de Y._, devenues héritières de la part de leur père exhérédé dans la succession de feu H.Z._. En outre, la demande devait être rejetée pour cause de tardiveté tant du point de vue successoral que sous l'angle d'une responsabilité des défendeurs pour la confiance créée, une mauvaise foi de la part des frères Z._ ne pouvant être retenue.
Sur ce dernier plan, il a été relevé que, dès le début des pourparlers, Y._ s'était fait assister par un mandataire professionnel auquel le délai de péremption d'un an de l'action en nullité ou en réduction n'aurait pas dû échapper. Le fait que les discussions étaient menées par l'exécuteur testamentaire n'était pas déterminant, celui-ci n'étant pas le représentant des héritiers et conservant, par rapport à eux, une position indépendante. Ainsi, les déclarations de l'exécuteur testamentaire ne pouvaient sans autre être opposées aux deux frères Z._ pour qu'il en soit déduit qu'ils auraient soudainement fait volte face. Au contraire, Y._, qui avait eu des contacts directs avec les deux héritiers dans les premiers mois ayant suivi le décès de H.Z._, ne pouvait qu'être conscient du fait que l'un d'eux en tout cas était plus que réticent à l'idée que son demi-frère puisse percevoir une part d'héritage. Dans ces conditions, la simple possibilité d'entamer des pourparlers ou de les poursuivre ne donnait aucune garantie à Y._ que ceux-ci aboutiraient. Ainsi, même à supposer que le principe d'un désintéressement de l'exhérédé eût été acquis, la seule façon de sauvegarder ses droits, au cas où un accord n'interviendrait pas quant au montant, était d'intenter action en temps utile, ce d'autant que l'instruction de la cause aurait pu être suspendue pendant les négociations et qu'il n'était pas nécessaire de présenter des conclusions chiffrées. Sur le vu de cet état de choses, le dépôt d'une action en justice ne pouvait paraître superflu.
B. B.a Le 30 avril 2004, Y._ a intenté une action en dommages-intérêts contre X._ en vue d'obtenir le paiement de 233'051 fr. 40 au titre de sa part successorale dans la succession de feu H.Z._, de 14'675 fr. pour les frais et dépens encourus dans la procédure en annulation d'exhérédation et de 15'065 fr. du chef des honoraires versés à l'avocat mandaté pour cette procédure.
Le défendeur a conclu au rejet de la demande, faisant notamment valoir que le demandeur avait toujours exprimé la volonté de négocier directement avec ses demi-frères, ne lui demandant que des conseils et non pas une intervention à titre de mandataire judiciaire. En outre, le demandeur, après le dépôt de sa demande en annulation d'exhérédation, avait attendu plus d'une année avant de mettre en cause la responsabilité des frères Z._ pour l'avoir incité à persister dans des négociations jusqu'à l'échéance du délai de péremption institué par le Code civil dans ce domaine successoral. Enfin, il n'y avait pas de relation de causalité entre le comportement fautif qui lui était imputé et le dommage invoqué.
Dans ses dernières conclusions, le demandeur a réduit ses prétentions à 203'740 fr. après avoir ramené la principale d'entre elles à 174'000 fr., montant de sa réserve légale dans la succession de feu son père.
B.b Par jugement du 16 juin 2008, la le Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a condamné le défendeur à verser au demandeur la somme de 203'740 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 30 avril 2004. Les frais et dépens ont été mis à la charge du défendeur. Ledit jugement repose sur les motifs résumés ci-après.
B.b.a Les relations juridiques nouées par les parties relèvent du mandat, de sorte que la responsabilité du défendeur découle de l'art. 398 al. 2 CO et résulte d'une violation du devoir de diligence du mandataire.
Pour contester la validité d'une exhérédation, l'héritier dispose de deux voies de droit, en fonction du vice invoqué: l'action en nullité de dispositions pour cause de mort (art. 519 CC) et l'action en réduction fondée sur l'art. 522 CC, l'exhérédation lésant sa réserve successorale. Ces deux actions sont soumises à un délai relatif de péremption d'un an.
En l'espèce, la responsabilité du défendeur est engagée. L'ancien mandataire du demandeur a, en effet, confondu les délais relatif et absolu de péremption applicables à l'action en nullité d'un testament, raison pour laquelle il n'a pas agi dans le délai d'un an prescrit par l'art. 521 al. 1 CC, partant à tort de l'idée qu'il disposait d'un délai de trente ans en présence d'un défendeur de mauvaise foi. En dépit de l'existence de pourparlers entre les héritiers, il lui incombait de procéder en justice en temps utile afin que les droits de son client fussent préservés, ce qui n'empêchait pas une suspension de l'instruction de la cause durant les négociations en cours. Par rapport à cette réalité, le souhait, manifesté par son mandant, d'éviter une procédure judiciaire était dépourvu d'incidence, car l'intéressé pensait erronément qu'une action en justice était encore possible malgré l'écoulement d'une année. Ainsi, le défendeur a violé son devoir de diligence en sa qualité de mandataire, ce d'autant qu'il n'était pas nécessaire de procéder à une étude approfondie de la question, la seule consultation du Code civil annoté par les auteurs Scyboz et Gilliéron (édition de 1993) lui permettant de se faire une idée exacte de la situation juridique. Dès lors, une faute imputable au défendeur doit être admise.
Cela étant, sur le vu des faits de la cause, il n'y avait pas matière à exhérédation, en ce sens que le demandeur n'avait pas agi par appât du gain, mais dans le désir de mettre un terme à une crise d'identité en faisant la lumière sur sa filiation paternelle. Aussi le demandeur aurait-il gagné son procès s'il avait agi en temps utile contre ses deux demi-frères.
Le comportement de ces derniers n'était pas constitutif d'un abus de droit, si bien que rien ne les empêchait d'invoquer la péremption et qu'il était exclu de mettre une éventuelle culpa in contrahendo à leur charge.
B.b.b Il n'y a pas eu de rupture du lien de causalité entre la violation fautive de son devoir de diligence commise par le défendeur et le dommage subi par le demandeur à la suite de l'échec de la première procédure intentée le 28 mars 1996 par ce dernier et son nouvel avocat. En effet, ce nouveau mandataire n'a été consulté qu'à partir du 5 février 1996, soit après l'omission fautive du défendeur de procéder en justice à temps en vue de sauvegarder les droits du demandeur.
B.b.c Si le défendeur avait procédé à temps, la fortune de son client aurait été augmentée de 174'000 fr. Ainsi, son avocat lui a causé un préjudice à concurrence de ce montant, le fait que les deux filles du demandeur se sont substituées à lui dans la succession de feu H.Z._ étant dépourvu d'incidence.
Les dépens et honoraires d'avocat assumés par le demandeur à la suite du jugement rendu le 6 juillet 1998 ne découlent pas directement de l'inaction fautive du défendeur, mais sont dus à une procédure entreprise par le nouveau conseil du lésé. En matière de responsabilité civile des avocats, la preuve d'un dommage est difficile à rapporter, le client lésé devant démontrer que, si son avocat avait agi avec diligence, il aurait obtenu gain de cause et n'aurait pas subi de ce fait une diminution de son patrimoine par une perte éprouvée (dépens et frais judiciaires) ou par un gain manqué. Dans le cas particulier, le demandeur était profondément convaincu qu'une action en contestation de la validité de l'exhérédation pouvait être intentée, nonobstant l'expiration du délai d'une année, du fait de la mauvaise foi ou de l'abus de droit prétendument imputable à ses deux demi-frères, ce qu'il soutenait encore devant la IIe Cour civile en date du 18 février 1997. Malgré l'absence d'un comportement abusif ou contraire à la bonne foi de ces deux héritiers, le défendeur conteste l'existence d'une relation de causalité entre son propre comportement fautif et le dommage subi par son ancien client, au motif que l'issue défavorable de la première procédure serait due à l'oubli du nouveau conseil du demandeur de réclamer à temps des dommages-intérêts fondés sur une culpa in contrahendo. Dans ces conditions, il était nécessaire que le demandeur intentât une action, même tardive, afin de contester la validité de son exhérédation pour qu'il ne puisse pas lui être reproché qu'il lui aurait été possible d'obtenir la reconnaissance de ses droits. Ce n'est que par cette première procédure que l'intéressé a pu établir sans le moindre doute que la faute de son ancien conseil était exclusivement à l'origine de la perte de ses droits successoraux. Il y a donc bien un rapport de causalité adéquate entre la violation fautive du devoir de diligence incombant au défendeur et les 29'740 fr. que le demandeur a dû supporter au titre des frais, dépens et honoraires au terme du premier procès.
En conséquence, le dommage subi par le demandeur s'élève à 203'740 fr. en capital. S'y ajoutent les intérêts réclamés à partir du dépôt de la demande. Quant aux frais et dépens, ils seront mis à la charge du défendeur.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le défendeur invite le Tribunal fédéral à réformer le chiffre 1 du dispositif de la décision attaquée, en ce sens qu'il doit être reconnu débiteur du demandeur de 174'000 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 30 avril 2004, et à annuler ladite décision pour le surplus.
L'intimé conclut au rejet du recours. Quant à la cour cantonale, elle se réfère aux motifs énoncés dans son jugement.
Considérant en droit:
1. Le jugement attaqué a été rendu dans une cause pécuniaire en matière civile portant sur une valeur litigieuse - calculée d'après les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF), i.e. 203'740 fr. - bien supérieure au seuil fixé à l'art. 74 al. 1 let. b LTF pour la recevabilité du recours en matière civile. Emanant de la partie qui a succombé dans ses conclusions libératoires et dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par un tribunal supérieur (art. 75 LTF), le recours en matière civile est en principe recevable, puisqu'il a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF), compte tenu de la suspension du délai durant les féries d'été (art. 46 al. 1 let. b LTF), et dans les formes requises (art. 42 LTF).
2. 2.1 Le recourant avait soutenu, devant les premiers juges, qu'un événement dommageable peut procurer simultanément un avantage au lésé. Ainsi en allait-il en l'espèce, selon lui, dès lors que, du fait de l'exhérédation de leur père, les deux filles de l'intimé avaient touché le montant de sa réserve successorale, soit 174'000 fr., montant dont les revenus pouvaient être affectés à leur entretien, conformément à l'art. 319 CC, ce qui réduisait d'autant la charge financière grevant le patrimoine de l'intimé. De l'avis du recourant, la cour cantonale, tenue qu'elle était d'appliquer le droit d'office, aurait dû examiner cette question de son propre chef. En lui imposant des allégations et des preuves au demeurant non précisées, elle aurait violé la disposition citée, ainsi que l'art. 95 let. a LTF et l'art. 44 CO.
2.2 Comme le présent recours ne porte pas sur l'allocation à l'intimé de la somme de 174'000 fr., ce point n'étant plus litigieux devant le Tribunal fédéral, le recourant n'a pas d'intérêt juridique à la modification de la décision déférée, sa seule participation à la procédure cantonale comme partie défenderesse n'étant ainsi pas suffisante. En effet, entrer en matière sur ce grief reviendrait à admettre la recevabilité d'un recours portant sur les seuls motifs, ce qui n'est pas admissible (ATF 129 III 320 consid. 5.1 p. 323 et les arrêts cités).
3. 3.1 Le recourant reproche aux premiers juges de l'avoir condamné à payer la somme de 29'740 fr. comprenant les dépens et honoraires d'avocat assumés par l'intimé dans la procédure ayant opposé ce dernier à ses deux demi-frères. Selon lui, cette procédure ne servait à rien et était d'autant plus inutile qu'elle n'avait pas pour objet sa responsabilité. De manière évidente, elle avait été ouverte tardivement et contre des personnes qui n'avaient pas qualité pour défendre. En outre, l'intimé avait attendu plus d'une année avant de convertir sa demande successorale en une action fondée sur une culpa in contrahendo. Toutes les preuves administrées au cours de cette première procédure inutile auraient pu l'être dans le cadre de la procédure en responsabilité du mandataire intentée après coup.
Ce faisant, les juges précédents seraient tombés dans l'arbitraire et auraient violé les art. 97 al. 1, 99 al. 3, 41 et 44 CO, de l'avis du recourant, pour avoir mis à sa charge des frais inutilement engagés, qui avaient augmenté le dommage à réparer par lui.
3.2 La cour cantonale retient, à bon droit, que la responsabilité contractuelle du recourant, lié à l'intimé par un contrat de mandat (art. 394 ss CO), découle de l'art. 398 CO, le mandataire ayant omis d'intenter action en temps utile pour le compte de son client (cf. arrêt 4C.449/2004 du 9 mars 2005 consid. 2).
3.2 La cour cantonale retient, à bon droit, que la responsabilité contractuelle du recourant, lié à l'intimé par un contrat de mandat (art. 394 ss CO), découle de l'art. 398 CO, le mandataire ayant omis d'intenter action en temps utile pour le compte de son client (cf. arrêt 4C.449/2004 du 9 mars 2005 consid. 2).
3.3 3.3.1 La question présentement litigieuse a trait à la causalité entre l'omission fautive imputable au recourant et le dommage subi par l'intimé qui a dû assumer les frais, dépens et honoraires d'une procédure introduite tardivement par lui du fait de la violation du mandat qu'il avait confié au recourant.
Selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, il y a lieu de distinguer entre la causalité naturelle et la causalité adéquate même si la violation d'une obligation contractuelle est imputable à une omission. Toutefois, pour retenir une causalité naturelle en cas d'omission, il faut admettre par hypothèse que le dommage ne serait pas survenu si l'intéressé avait agi conformément à la loi ou au contrat. Un lien de causalité naturelle ne sera donc pas nécessairement prouvé avec une exactitude scientifique. Le rapport de causalité étant hypothétique, le juge se fonde sur l'expérience générale de la vie et émet un jugement de valeur. En règle générale, lorsque le lien de causalité hypothétique entre l'omission et le dommage est établi, il ne se justifie pas de soumettre cette constatation à un nouvel examen sur la nature adéquate de la causalité. Ainsi, lorsqu'il s'agit de rechercher l'existence d'un lien de causalité entre une ou des omissions et un dommage, il convient de s'interroger sur le cours hypothétique des événements. Dans ce cas de figure, le Tribunal fédéral, saisi d'un recours en matière civile, est lié, selon l'art. 105 al. 1 LTF, par les constatations cantonales concernant la causalité naturelle, dès lors qu'elles ne reposent pas exclusivement sur l'expérience de la vie, mais sur des faits ressortant de l'appréciation des preuves. Viole, en revanche, le droit fédéral le juge qui ignore l'exigence de la causalité naturelle ou méconnaît cette notion juridique (arrêt précité, consid. 4.1 et les références).
3.3.2
3.3.2.1 Le délai d'un an pour intenter une action en nullité des dispositions pour cause de mort court dès la connaissance de la disposition incriminée et de la cause de nullité (art. 521 al. 1 CC). Le délai d'un an applicable à l'action en réduction s'écoule à partir du moment où l'héritier connaît la lésion de sa réserve (art. 533 al. 1 CC). Il s'agit de délais de péremption ou de déchéance (ATF 98 II 176 consid. 10 p. 178 à 181).
Ainsi, d'après l'état de fait du jugement attaqué, le délai pour intenter l'une ou l'autre de ces deux actions est arrivé à échéance le 26 septembre 1995, l'intimé ayant pris connaissance de la perte de ses droits lors de la communication du testament de son père défunt. Il en découle que le recourant n'a pas procédé judiciairement dans un tel laps de temps, ce qui a entraîné la forclusion des droits de son client.
Sur le vu des constatations de l'autorité cantonale, il est établi et non contesté que, si le recourant avait ouvert action en temps utile pour le compte de son mandant, afin de contester la validité de la clause d'exhérédation de ce dernier, l'intimé aurait obtenu gain de cause et n'aurait pas été privé de sa réserve légale dans la succession de feu son père à concurrence de 174'000 fr.
Un rapport de causalité hypothétique, au sens de la jurisprudence précitée, entre l'omission d'agir en temps utile et le préjudice est donc constant.
3.3.2.2 En revanche, sur le point encore litigieux, il faut d'abord remarquer que les frais que l'intimé a encourus pour avoir intenté une première action contre les deux héritiers de feu son père ne sont en rien imputables au recourant, mais résultent exclusivement d'une décision unilatérale prise par l'intimé et son nouveau conseil. Ceux-ci ont, de la sorte, pris de leur propre chef le risque d'ouvrir action, nonobstant l'expiration du délai légal pour procéder, et la décision déférée ne renferme pas de constatations permettant de dire que le recourant y aurait été associé d'une façon ou d'une autre. Il n'est donc pas possible d'affirmer que l'omission imputée au recourant serait dans un rapport de causalité hypothétique avec ce poste du dommage.
En d'autres termes, comme le recourant l'a soutenu avec raison, il aurait suffi à l'intimé d'ouvrir une seule action en responsabilité à l'encontre de son ancien mandataire. L'instruction de celle-ci aurait alors permis d'aboutir aux mêmes conclusions que celles auxquelles est parvenue la IIe Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois, ce d'autant qu'il était manifeste qu'une exhérédation était dépourvue de tout fondement dans le cas particulier au regard des motifs mêmes du testament confectionné le 13 juin 1993 par H.Z._, les seuls motifs qui peuvent être pris en considération selon l'art. 479 al. 1 CC. En effet, une telle mesure n'est possible, en vertu de l'art. 477 CC, que lorsque l'héritier réservataire a commis une infraction pénale grave contre le défunt ou l'un de ses proches (ch. 1) ou qu'il a gravement failli aux devoirs que la loi lui impose envers le défunt ou sa famille (ch. 2). Or, aucune de ces deux hypothèses n'est réalisée en l'espèce sur le vu de la clause topique du testament, en l'absence de tout comportement fautif imputé à l'intimé, ce que le recourant ne conteste d'ailleurs pas.
Ainsi, contrairement à l'avis de l'autorité cantonale, l'intimé était parfaitement fondé à procéder directement à l'encontre du recourant sans actionner préalablement ses demi-frères, étant donné que le mandant lésé, qui agit en responsabilité contre son avocat, est habilité à prouver que, si son ancien conseil avait respecté son devoir de diligence, le dommage ne se serait pas produit (ATF 87 II 364 consid. 2).
3.4 Il est vrai que, si, par hypothèse, l'intimé avait obtenu gain de cause dans la procédure judiciaire intentée contre ses demi-frères, l'omission reprochée au recourant n'aurait pas eu de conséquences dommageables aussi importantes. Cependant, il ne faut pas perdre de vue que seules sont opposables au lésé, s'agissant du devoir d'éviter la survenance du dommage ou d'en réduire l'importance, les mesures pouvant être raisonnablement et objectivement exigées de lui (ATF 132 III 359 consid. 4.3 p. 368). Par conséquent, il faut examiner si l'intimé était fondé à intenter d'abord action à ses demi-frères.
Les délais pour intenter une action en nullité d'une disposition pour cause de mort ou une action en réduction sont des délais de péremption, soit de déchéance (cf. consid. 3.3.2.1 ci-dessus). Savoir si l'abus de droit (art. 2 al. 2 CC) peut être opposé à celui qui se prévaut de l'expiration d'un délai de péremption est une question controversée (ATF 108 II 233 consid. 5b p. 239). Quoi qu'il en soit, il découle clairement des faits constatés que la première procédure ouverte par l'intimé à l'encontre de ses demi-frères était pour le moins aléatoire dans la mesure où le recourant n'avait été en rien dissuadé d'intenter action en vue de sauvegarder les droits de son client. En effet, il n'a pas été retenu que les demi-frères de l'intimé auraient détourné celui-ci d'agir dans le délai légal ou qu'ils auraient adopté une attitude susceptible de l'engager à ne pas procéder en temps utile. Par rapport à ces deux autres héritiers, le recourant était le représentant ou l'auxiliaire de l'intimé en vertu du mandat que ce dernier lui avait confié. Dès lors, l'omission du recourant était opposable à l'intimé. Du moment que le respect des délais de péremption et de prescription constitue une des règles élémentaires de la profession d'avocat, le sort d'une cause dépendant au premier chef de la question de savoir si l'action est périmée ou la créance prescrite (arrêt C.413/1982 du 26 avril 1983 consid. 1, in SJ 1984 p. 204), on ne voit pas comment l'inaction fautive du recourant aurait pu légitimer l'intimé à intenter action contre ses deux demi-frères en dépit de l'expiration des délais de péremption, alors que cet état de choses était en définitive imputable à l'exhérédé par le fait de son conseil.
En conséquence, l'intimé ne saurait prétendre qu'il pouvait être raisonnablement et objectivement exigé de lui qu'il intentât une action tardive à l'encontre de ses demi-frères. Le faire ne constituait donc pas une mesure adéquate, de nature à diminuer le dommage qu'il avait subi à la suite de l'omission de son avocat d'ouvrir action en temps utile.
3.5 En conclusion, la somme de 29'740 fr., représentant les frais, dépens et honoraires provoqués par la procédure que l'intimé avait conduite inutilement contre ses demi-frères, n'aurait pas dû être mise à la charge du recourant. En le faisant néanmoins, la cour cantonale a donc violé le droit fédéral. Le présent recours doit donc être admis et le jugement attaqué réformé en ce sens que la somme en question sera déduite du montant alloué à l'intimé. Pour le surplus, il y a lieu d'annuler le dispositif de ce jugement et de renvoyer la cause aux premiers juges afin qu'ils statuent à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
4. L'intimé, qui succombe, supportera les frais et dépens liés à la procédure fédérale (art. 66 al. 1 et 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le chiffre 1 du dispositif du jugement attaqué est réformé en ce sens que le défendeur est condamné à verser au demandeur la somme de 174'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 30 avril 2004.
2. Les chiffres 2 et 3 du dispositif du jugement attaqué sont annulés et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4. L'intimé versera au recourant une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Ie Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 22 décembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Carruzzo