Sachverhalt:
A. Seit dem 29. Dezember 2006 betreiben Y._ (als Bewilligungsinhaber) und Z._ den X._ Club in der Stadt Luzern. Nebst der Wirtschaftsbewilligung und einer Tanzbetriebsbewilligung wurde Y._ auch eine Bewilligung für die regelmässige Verlängerung der Öffnungszeiten für Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag und Samstag erteilt, wobei für den Samstag eine Verlängerung bis 05:00 Uhr am Sonntagmorgen bewilligt wurde.
Nach Beschwerden der Quartierbevölkerung über Belästigungen durch Lärm, Abfall und Fäkalien sowie über Sachbeschädigungen entzog die Luzerner Polizei, Abteilung Gastgewerbe und Gewerbepolizei, mit Entscheid vom 30. Juni 2010 (recte: 2011) auf Antrag des Luzerner Stadtrats dem X._ Club resp. Y._ per 1. Oktober 2011 die Bewilligung für die regelmässige Verlängerung der Öffnungszeit in der Nacht von Samstag auf Sonntag, sodass wieder die reguläre Schliessungszeit um 00:30 Uhr zur Anwendung gelangt.
B. Gegen diesen Entscheid der Luzerner Polizei beschwerte sich Y._ ohne Erfolg beim Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern. Dieses wies die Beschwerde mit Entscheid vom 20. März 2012 ab. Eine daraufhin vom Betroffenen geführte Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wurde mit Urteil vom 5. September 2012 ebenfalls abgewiesen.
C. Mit Eingabe vom 19. September 2012 führt Y._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sowie der Entscheid der Luzerner Polizei seien aufzuheben bzw. es sei ihm die regelmässige Verlängerung der Öffnungszeiten am Samstag bis 05:00 Uhr weiterhin zu bewilligen. Eventualiter sei die Sache zur Durchführung bzw. Ergänzung des Beweisverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Stadt Luzern sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Luzerner Polizei sowie das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern liessen sich nicht vernehmen.
Mit Verfügung vom 17. Oktober 2012 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zu.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss Art. 83 BGG fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert.
1.2 Gemäss Art. 95 lit. a BGG kann mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten insbesondere geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht, unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Von diesen tatsächlichen Feststellungen kann es nur dann abweichen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (BGE 136 II 304 E. 2.4 S. 314; 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252).
2. Der Beschwerdeführer erhebt zwei Rügen, beide prozessualer Natur. Zum einen macht er eine "fehlende" Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz geltend (E. 3 hiernach), zum andern beklagt er eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (E. 4 hiernach). Im Grunde zielt aber auch diese zweite Rüge auf die vorinstanzliche Sachverhaltsermittlung, denn der Beschwerdeführer bemängelt die in antizipierter Beweiswürdigung erfolgte Abweisung seiner Beweisanträge. Materielle Einwände gegen den vorinstanzlichen Entscheid erhebt er dagegen keine.
Im Folgenden ist also einzig zu prüfen, ob das Verwaltungsgericht bei der Ermittlung des Sachverhalts eine Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG - vorliegend durch Verweigerung des rechtlichen Gehörs - begangen oder diesen sonst wie offensichtlich unrichtig festgestellt hat, und dies für den Verfahrensausgang möglicherweise entscheidend war. Trifft dies zu, ist die Beschwerde gutzuheissen und die Sache an die Vorinstanz zur korrekten Ermittlung des Sachverhalts zurückzuweisen. Andernfalls ist die Beschwerde ohne inhaltliche Prüfung der Angelegenheit abzuweisen.
3. 3.1 Seine Rüge der fehlenden Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz begründet der Beschwerdeführer damit, dass das Verwaltungsgericht in E. 3 des angefochtenen Entscheids etwa von einem Massnahmenkatalog spreche, ohne zu erklären, was es damit auf sich habe oder dass es sich auf Reklamationen von Anwohnern beziehe, ohne zu spezifizieren, was genau vorgefallen sei und wer im einzelnen reklamiert habe. Ebenso habe die Vorinstanz auf Aussprachen und Kontakte zwischen den Anwohnern, Behördenvertretern und dem Beschwerdeführer Bezug genommen, ohne im Einzelnen zu benennen, wer genau an diesen Gesprächen teilgenommen habe und um was es konkret gegangen sei.
3.2 Der Rüge kann nicht gefolgt werden: Es liegt in der Natur der Sache, dass ein Gericht - namentlich eine Rechtsmittelinstanz - nicht sämtliche Details des aktenkundigen Sachverhalts rekapituliert, sondern notwendigerweise eine zusammenfassende Feststellung der als erheblich erachteten Umstände vornehmen muss. Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass es sich beim genannten Massnahmenkatalog um einen solchen des Beschwerdeführers handelt, weshalb er dessen Inhalt zweifellos kennt. Gleiches gilt im Wesentlichen für die Kontakte zwischen ihm und den Anwohnern resp. den Behördenvertretern. Die Reklamationsschreiben der Anwohner befinden sich bei den Verfahrensakten und wurden vom Verwaltungsgericht in sachgerechter Weise und mit Angabe der Fundstellen zusammengefasst (vgl. etwa E. 3b S. 7 des angefochtenen Entscheids). Aus der Begründung des angefochtenen Entscheids geht klar hervor, welche Fakten die Vorinstanz als gegeben erachtet hat, und es war dem Beschwerdeführer ohne Weiteres möglich, diesen sachbezogen anzufechten.
4. 4.1 Sodann rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie in unzulässiger antizipierter Beweiswürdigung auf die von ihm beantragte Abnahme von weiteren Beweismitteln verzichtet habe. Bei diesen von ihm gestellten Beweisanträgen sei es konkret um die Einvernahme zahlreicher Zeugen, die Durchführung eines Augenscheins, die Edition weiterer Akten sowie um eine Parteieinvernahme resp. Beweisaussage gegangen. Der Beschwerdeführer begründet seine Rüge mit der Behauptung, die Vorinstanz habe sich beim Verzicht auf die beantragte Beweisabnahme in willkürlicher Weise vor allem auf drei Argumente gestützt: Zunächst habe sie (a) aus der Ausdehnung des von ihm ergriffenen Massnahmenkataloges, insbesondere aus der Anstellung von zusätzlichen Reinigungsequipen und zusätzlichem Sicherheitspersonal hergeleitet, er würde die Übermässigkeit der vom X._ Club verursachten Immissionen selber anerkennen. Sodann habe das Verwaltungsgericht (b) aus zwei am 18. August 2009 bzw. am 31. August 2010 eingereichten Petitionen sowie (c) aus den Beilagen zum Antrag des Stadtrates an die Gewerbepolizei - bestehend aus Immissionsprotokollen der Anwohner - auf den Fortgang und die Unzumutbarkeit der Immissionen geschlossen. In diesem Zusammenhang rügt der Beschwerdeführer jeweils eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts.
4.2 Die Rügen gehen ins Leere: Entgegen der Prämisse des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz die Ablehnung der gestellten Beweisanträge nicht im Wesentlichen auf die drei von ihm wiedergegebenen Argumente abgestützt. Vielmehr ist die Vorinstanz auf die einzelnen Anträge eingegangen und hat dabei bezüglich der beantragten Einvernahme von zusätzlichen Zeugen festgehalten, letztere hätten sich zum Teil bereits schriftlich geäussert und es sei zu erwarten, dass sich die mündlichen Aussagen mit den schriftlichen Bestätigungen decken würden. Im Übrigen komme deren Ausführungen, wonach sie weder übermässigen Lärm noch Verschmutzungen feststellen könnten, ohnehin keine entscheidende Bedeutung zu, da sich das Gericht bewusst sei, dass es auch Anwohner im beeinträchtigten Perimeter des X._ Clubs gebe, die sich am Nachtleben und seinen Begleiterscheinungen wenig oder gar nicht störten. Weiter erachtete das Verwaltungsgericht die Durchführung des beantragten Augenscheins als wenig zweckmässig, da dieser nur ein ganz punktuelles Bild der Lage vermitteln könnte.
4.3 Wie aus dem Obenstehenden erhellt, ist das Verwaltungsgericht den Beweisanträgen des Beschwerdeführers nicht gefolgt, weil es diese als nicht entscheidwesentlich eingestuft hat. Das ist grundsätzlich nicht zu beanstanden: Nach ständiger Praxis des Bundesgerichts ist es zulässig, auf die Abnahme von Beweisen zu verzichten, wenn sich das Gericht aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und es ohne Willkür annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148).
Mit den diesbezüglichen Ausführungen sowie generell mit der Eignung und der Notwendigkeit der einzelnen von ihm gestellten Beweisanträge setzt sich der Beschwerdeführer entweder überhaupt nicht oder nicht in einer substantiierten, den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise auseinander: Namentlich vermag er nicht darzutun, inwieweit die mündliche Befragung von Anwohnern trotz der diesbezüglichen Einwendungen des Verwaltungsgerichts zwingend notwendig gewesen wäre. Gleiches gilt im Wesentlichen für die verlangte Parteibefragung resp. die verlangte Einvernahme der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers: Auch hier begründet er nicht, weshalb eine schriftliche Stellungnahme im Rahmen der Rechtsschriften nicht möglich gewesen sein soll. Weiter zeigt er auch nicht auf, worin die Notwendigkeit des verlangten Augenscheins bestehen soll bzw. weshalb die diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz unzutreffend sein sollten. Ebenso wenig spezifiziert er vor Bundesgericht, welche Akten seiner Meinung nach noch hätten beigezogen werden sollen und aus welchen Gründen dies hätte geschehen müssen.
Somit erscheint es fraglich, inwieweit die vom Beschwerdeführer erhobene Rüge der unzulässigen antizipierten Beweiswürdigung überhaupt zu hören ist. Die Frage kann jedoch offen bleiben, zumal sich die in diesem Zusammenhang vom Beschwerdeführer vorgebrachten Sachverhaltsrügen jedenfalls als unbegründet erweisen, wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen.
4.4 Im Zusammenhang mit den von ihm ergriffenen Massnahmen zur Immissionsvermeidung behauptet der Beschwerdeführer, diese hätten entgegen den Feststellungen der Vorinstanz die gewünschte Wirkung erzielt. Dies zeige sich einerseits darin, dass der Stadtrat von Luzern in seinem Beschluss Nr. 365 vom 21. April 2010 ausdrücklich festgestellt habe, die zusätzlichen Reinigungsequipen sowie das zusätzliche Sicherheitspersonal des X._ Clubs hätten die Situation entschärft. Andererseits habe die Gewerbepolizei des Kantons Luzern am 31. August 2010 die Bewilligung für die regelmässige Verlängerung der Öffnungszeiten erneuert, was ebenso belege, dass jedenfalls zu diesem Zeitpunkt keine unzumutbaren Immissionen mehr vorgelegen seien.
Die Schlussfolgerungen des Beschwerdeführers überzeugen indes nicht: Zwar lassen der von ihm ins Feld geführte Stadtratsbeschluss sowie die Bewilligungsverlängerung darauf schliessen, dass die vom Beschwerdeführer ergriffenen Massnahmen temporär zu einer Verringerung der mit dem Betrieb des X._ Clubs einhergehenden negativen Auswirkungen auf die Wohnqualität im Quartier geführt haben. Indessen kann dem Stadtratsbeschluss Nr. 986 vom 17. November 2010 sowie den Beilagen zum selbigen entnommen werden, dass in der Zwischenzeit erneut eine Vielzahl von Beschwerden eingegangen ist und die getroffenen Vorkehrungen somit nicht nachhaltig bzw. immer noch ungenügend gewesen sind (vgl. E. 9 des angefochtenen Urteils).
4.5 Betreffend die zwei am 18. August 2009 bzw. am 31. August 2010 eingereichten Petitionen wendet der Beschwerdeführer ein, auch diese könnten den Nachweis von übermässigen Immissionen nicht erbringen: Erstere habe gar nicht den X._ Club betroffen und letztere sei nur von neun Personen unterzeichnet worden, welche noch nicht einmal ausdrücklich die Schliessung des X._ Clubs verlangt hätten. Zudem könnten die Petenten nicht als Vertreter der Anwohnerschaft gelten, zumal sie weder gewählt worden seien noch über eine Vollmacht verfügten.
Auch diese Ausführungen vermögen nicht zu überzeugen: Es scheint zwar zuzutreffen, dass sich die Petition vom 18. August 2009 vordergründig nicht auf den X._ Club sondern auf eine benachbarte, nachts geöffnete Bäckerei bezogen hat. Allerdings hängt deren Betrieb mit dem X._ Club zusammen, zumal eine nächtliche Öffnung der Bäckerei ohne die Gäste der angrenzenden Nachtclubs kaum sinnvoll sein dürfte. Aus diesem Grund hat der Stadtrat in seiner Antwort auf die Petition - dem bereits erwähnten Beschluss Nr. 365 vom 21. April 2010 - ausdrücklich auf den X._ Club und die von diesem ergriffenen Massnahmen Bezug genommen, was der Beschwerdeführer denn auch zutreffend erkannt hat. Mit der Petition vom 31. August 2010 brachten neun Anwohner zum Ausdruck, die bereits implementierten Massnahmen gegen die Nachtruhestörungen im Quartier reichten nicht aus. Sie wiesen zudem ausdrücklich darauf hin, dass sie die rund 2'000 Besucher des X._ Clubs pro Nacht als nicht quartierverträglich erachteten. Dass die Petenten nicht explizit die Schliessung des X._ Clubs verlangten, ist nicht von Bedeutung, weil eine solche Massnahme hier gar nicht im Streit liegt, sondern lediglich die Bewilligung für die regelmässige Verlängerung der Öffnungszeiten in der Nacht von Samstag auf Sonntag widerrufen wurde. Gänzlich irrelevant ist schliesslich der Umstand, dass die Petenten von der übrigen Quartierbevölkerung weder gewählt noch bevollmächtigt wurden; das Verwaltungsgericht durfte die Quartierbewohner dennoch als "Vertreter der Anwohnerschaft" bezeichnen, zumal es damit offenkundig nicht eine formelle Stellvertretung meinte.
4.6 In Bezug auf die Immissionsprotokolle der Anwohner behauptet der Beschwerdeführer, die Vorinstanz benenne die von ihr als massgeblich erachteten Dokumente nicht ausdrücklich; es sei jedoch davon auszugehen, dass sie damit die Beilagen zum Stadtratsbeschluss Nr. 986 vom 17. November 2010 meine. Mit diesen Unterlagen habe er sich bereits in der beim Verwaltungsgericht eingereichten Beschwerde auseinandergesetzt und zu jedem Dokument dessen Urheberschaft und Hintergründe aufgezeigt. Namentlich habe er dargetan, dass die genannten Immissionsprotokolle stets von der selben kleinen Personengruppe verfasst worden seien; deshalb könne nicht gesagt werden, "viele Nachbarn" seien von den Störungen betroffen. Ebenso stehe nicht fest, dass das Verwaltungsgericht die Protokolle geprüft und als richtig befunden habe, weshalb von einer einseitigen und damit willkürlichen Beweiswürdigung ausgegangen werden müsse.
Die Ausführungen des Beschwerdeführers gehen ins Leere: Entgegen seinen Behauptungen hat die Vorinstanz sehr wohl in ausdrücklicher Weise auf die von ihr als massgeblich erachteten Schreiben der Anwohner an die städtische Sicherheitsdirektion hingewiesen und auch die jeweiligen Aktenfundstellen angegeben. Dass das Verwaltungsgericht nicht jedes Schreiben einzeln aufzählte und die jeweilige Urheberschaft benannte, ist unerheblich (vgl. bereits E. 3.2 hiervor). Ebenso wenig kommt es darauf an, von wie vielen verschiedenen Einzelpersonen die Beeinträchtigungen gemeldet wurden, sondern es ist vielmehr von Bedeutung, ob diese Meldungen zutreffen. Die grundsätzliche Richtigkeit der aktenkundigen Berichte und Fotografien wird vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht jedoch nicht substantiiert bestritten, weshalb auch der von ihm geäusserte Vorwurf der einseitigen Beweiswürdigung unbehelflich ist.
5. Aufgrund der obenstehenden Erwägungen steht fest, dass der Vorinstanz keine unzulässige bzw. willkürliche antizipierte Beweiswürdigung vorzuwerfen ist. Das Verwaltungsgericht hat den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör somit nicht verletzt. Da der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid in der Sache nicht bemängelt, erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Daran ändert auch der vom Beschwerdeführer abschliessend vorgetragene Einwand nichts, der zuständige Sachbearbeiter der Gewerbepolizei habe anlässlich verschiedener Augenscheine beteuert, es sei alles in Ordnung: In diesem Zusammenhang ist auf die bereits erwähnte und zutreffende Auffassung der Vorinstanz zu verweisen, wonach ein Augenschein stets nur ein punktuelles Bild der Lage vermittelt. Die für das vorliegende Verfahren einzig massgebliche offizielle Gesamteinschätzung der Gewerbepolizei findet sich dagegen in der Begründung ihres Entscheids vom 30. Juni 2011, mit welchem sie die Bewilligung für die regelmässige Verlängerung der Öffnungszeiten für die Nacht von Samstag auf Sonntag widerrief.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler