Faits:
A. Fin 2009, X._ a posé une moquette dans la maison de Y._; les travaux comprenaient la pose d'une sous-couche. La facture finale s'est élevée à 80'175 fr.
Par mémoire du 14 janvier 2011 adressé au Juge de paix du district de Morges, Y._ a requis une expertise hors procès fondée sur l'art. 158 CPC. Elle faisait valoir que des taches noires apparaissaient sur la moquette dès qu'elle faisait procéder à son nettoyage; elle attribuait l'origine de ce défaut à la sous-couche, de couleur noire, qui déteindrait au contact des produits de nettoyage. X._ a conclu principalement à l'irrecevabilité, subsidiairement au rejet de la requête.
Par ordonnance de mesures provisionnelles du 15 juillet 2011, le Juge de paix a admis la requête de preuve à futur, désigné A._ en qualité d'expert, établi le questionnaire à son intention, dit que l'avance des frais d'expertise sera effectuée séparément pour chacune des parties, en fonction de leurs questions, et dit que les frais de la décision suivront le sort de la cause au fond. Par la suite, l'expert désigné a décliné le mandat.
B. X._ a interjeté appel contre l'ordonnance de mesures provisionnelles. Par arrêt du 5 septembre 2011, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a déclaré l'appel irrecevable pour les motifs suivants:
Les dispositions sur les mesures provisionnelles sont applicables à la preuve à futur (art. 158 al. 2 CPC). En soi, cela implique que la décision de première instance sur preuve à futur est susceptible d'appel (art. 308 al. 1 let. b CPC) ou, à défaut, de recours stricto sensu (art. 319 let. a CPC). Cependant, ces possibilités de recours n'existent pas contre les autres décisions en matière de preuve; celles-ci sont immédiatement attaquables uniquement par la voie du recours stricto sensu et pour autant qu'elles puissent causer un préjudice difficilement réparable (art. 319 let. b ch. 2 CPC). Une telle différenciation n'est pas justifiée. Il y a donc lieu d'admettre qu'une décision sur preuve à futur, comme toute autre décision sur preuve, n'est pas susceptible d'appel et ne peut faire l'objet d'un recours limité au droit que si elle est susceptible de causer un dommage difficilement réparable. En l'espèce, cette dernière condition n'est pas remplie; l'acte déposé par X._ est dès lors irrecevable, tant comme appel que comme recours stricto sensu.
C. X._ interjette un recours en matière civile. Il conclut, principalement, à ce que la requête de preuve à futur soit déclarée irrecevable, subsidiairement, à ce qu'elle soit rejetée et, à titre plus subsidiaire, notamment à ce que la cause soit renvoyée à la Cour d'appel civile afin qu'elle statue sur l'appel.
Le recourant a requis l'effet suspensif. Y._ s'est opposée à cette demande.
L'intimée n'a pas été invitée à déposer de réponse.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 137 III 417 consid. 1 et les arrêts cités).
1.1 Les décisions portant sur l'administration de preuves à futur sont des mesures provisionnelles au sens de la LTF (cf. art. 98; ATF 133 III 638 consid. 2 p. 639). Une mesure provisionnelle donne lieu à une décision finale (art. 90 LTF) lorsqu'elle est rendue dans une procédure indépendante d'une procédure principale et qu'elle y met un terme (ATF 134 I 83 consid. 3.1 p. 86; 133 III 589 consid. 1 p. 590; cf. également ATF 137 III 324 consid. 1.1 p. 327).
La décision rejetant une requête de preuve à futur dans le cadre d'une procédure indépendante met fin à cette procédure; il s'agit d'une décision finale au sens de l'art. 90 LTF (cf. MARK SCHWEIZER, Vorsorgliche Beweisabnahme nach schweizerischer Zivilprozessordnung und Patentgesetz, ZZZ 2010 p. 28). En revanche, la décision admettant une requête de preuve à futur et ordonnant l'administration de la preuve ne termine pas nécessairement la procédure; celle-ci se poursuit jusqu'à ce que la preuve soit administrée (SCHWEIZER, op. cit., p. 30). Dans le cas d'une expertise hors procès, le juge devra peut-être, avant que la procédure ne prenne fin, nommer un autre expert, comme dans la présente espèce, ou transmettre à l'expert d'éventuelles questions complémentaires des parties, ou encore se prononcer sur une demande de révocation de l'expert (cf. arrêt 5A_435/2010 du 28 juillet 2010 consid. 1.1.1). Par conséquent, la décision admettant une requête d'expertise dans le cadre d'une procédure indépendante n'est pas une décision finale, mais une décision incidente au sens de l'art. 93 al. 1 LTF, c'est-à-dire une décision incidente notifiée séparément qui ne porte ni sur la compétence ni sur une demande de récusation (cf. art. 92 al. 1 LTF).
1.2 Aux termes de l'art. 93 al. 1 LTF, le recours immédiat contre une telle décision n'est possible que si elle peut causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale permettant d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Le préjudice irréparable dont il est question à l'art. 93 al. 1 let. a LTF doit être de nature juridique et ne pas pouvoir être réparé ultérieurement par une décision finale favorable au recourant (ATF 137 V 314 consid. 2.2.1 p. 317 et les arrêts cités). Il appartient au recourant d'expliquer en quoi la décision entreprise remplit les conditions de l'art. 93 LTF, sauf si ce point découle manifestement de la décision attaquée ou de la nature de la cause (ATF 134 II 137 consid. 1.3.3 p. 141; 134 III 426 consid. 1.2 p. 429; 133 III 629 consid. 2.4.2 p. 633).
L'arrêt attaqué déclare irrecevable un appel du recourant contre la décision incidente admettant la requête d'expertise hors procès de l'intimée, de sorte que la procédure de preuve à futur continue en première instance.
L'administration de la preuve, à savoir l'examen d'une moquette posée par le recourant, n'est manifestement pas susceptible de provoquer un préjudice juridique irréparable. Quant au prononcé accessoire sur les frais et dépens contenu dans une décision incidente, il n'est d'emblée pas de nature à causer un tel préjudice (ATF 135 III 329 consid. 1.2 p. 331 ss). La condition posée par l'art. 93 al. 1 let. a LTF n'est pas réalisée en l'espèce.
La Cour d'appel a rendu un arrêt d'irrecevabilité et ne s'est pas prononcée sur le bien-fondé de la décision de première instance. Contre un tel arrêt, seules les conclusions du recours tendant à l'annulation et au renvoi sont admissibles, à l'exclusion des conclusions sur le fond, lesquelles supposent que l'autorité précédente soit entrée en matière (Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 17 ad art. 42 p. 276). En effet, s'il annule un arrêt d'irrecevabilité, le Tribunal fédéral ne statue pas lui-même sur le fond, mais renvoie la cause à l'autorité d'appel afin que le justiciable ne soit pas privé d'un degré de juridiction (cf. arrêt 4A_330/2008 du 27 janvier 2010 consid. 2.1 non publié in ATF 136 III 102). Dans le cas présent, l'admission du recours ne pourrait dès lors pas conduire immédiatement à une décision finale. Au demeurant, le recourant ne démontre pas que l'administration de l'expertise ordonnée à titre de preuve à futur serait longue et coûteuse, sans qu'il soit manifeste que tel serait le cas. La condition posée à l'art. 93 al. 1 let. b LTF n'est pas non plus remplie dans le cas particulier.
Il s'ensuit que l'arrêt attaqué ne peut pas faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral. Le recours est irrecevable.
2. Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais de la procédure (art. 66 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée, qui s'est bornée à s'opposer à l'octroi de l'effet suspensif et n'a pas été invitée à déposer de réponse (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 10 janvier 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann