Sachverhalt:
A. Der aus dem Kosovo stammende, 1964 geborene serbische Staatsangehörige A.X._ hielt sich von 1987 bis 1990 als Saisonnier in der Schweiz auf. Am 6. Dezember 1990 erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung. Am 2. Dezember 1997 wurde ihm die Niederlassungsbewilligung erteilt. Er ist zu 100% invalid und bezieht eine Rente der Eidgenössischen Invalidenversicherung.
A._ war in erster Ehe mit der Landsfrau B.X._ verheiratet. Dieser Ehe entsprangen drei Kinder, darunter der Sohn C._ (geb. 1990). Am 21. Februar 1992 wurde die Ehe X._ geschieden. Am 4. Juni 1992 heiratete A.X._ seine Landsfrau D._. Diese Ehe blieb kinderlos und wurde am 29. April 2003 geschieden. Am 20. Juni 2003 heiratete A.X._ in seiner Heimat seine Landsfrau E._ (geb. 1971). Aus dieser Beziehung gingen die zum Teil noch während der früheren Ehe gezeugten Kinder F._ (geb. 1998), G._ (geb. 2000), H._ (geb. 2001) und I._ (geb. 2005) hervor. Für seine Kinder erhält A.X._ ebenfalls Rentenleistungen ("Kinderrenten") der Eidgenössischen Invalidenversicherung.
Am 31. März 2006 ersuchte A.X._ für seinen Sohn C._ aus erster Ehe sowie für seine Ehegattin E._ und die vier gemeinsamen Kinder F._, G._, H._ und I._ um Bewilligung des Familiennachzugs. Mit Verfügung vom 20. September 2006 wies das Ausländeramt des Kantons St. Gallen dieses Familiennachzugsgesuch ab. Dagegen beschwerte sich A.X._ erfolglos beim Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen. Gegen dessen Entscheid erhoben A.X._, seine Ehefrau E._, die vier gemeinsamen Kinder F._, G._, H._ und I._ sowie sein Sohn C._ aus erster Ehe Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Dieses trat mit Urteil vom 4. Juli 2007 auf die Beschwerden der Ehefrau und der Kinder aus prozessualen Gründen (Nichtbeteiligung am vorangegangenen Rekursverfahren) nicht ein. Die Beschwerde von A.X._ wies das Gericht ab, soweit es darauf eintrat.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 5. September 2007 beantragt A.X._, das Urteil des Verwaltungsgerichtes vom 4. Juli 2007 aufzuheben und für die Ehefrau E._ sowie für die gemeinsamen Kinder F._, G._, H._ und I._ im Rahmen des Familiennachzuges eine Aufenthalts- bzw. Niederlassungsbewilligung zu erteilen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen stellt den Antrag, auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten und die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Justiz- und Polizeidepartement des Kantons St. Gallen beantragt Abweisung der Beschwerde(n). Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
1.2 Zwar ist am 1. Januar 2008 das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG, SR 142.20) in Kraft getreten, doch bestimmt dessen Art. 126 Abs. 1, dass auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes eingereicht worden sind, noch das bisherige Recht anwendbar bleibt. Das vorliegend streitige Gesuch wurde vor Inkrafttreten des Ausländergesetzes gestellt und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen.
1.3 Gemäss Art. 17 Abs. 2 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990) hat der Ehegatte eines in der Schweiz niedergelassenen Ausländers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange die Ehegatten zusammen wohnen. Ledige Kinder unter 18 Jahren haben Anspruch auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung, wenn sie mit ihren Eltern zusammen wohnen (zur Natur dieses Rechts auf Miteinbezug vgl. BGE 126 II 269 E. 2d/bb S. 272 f.).
Der Beschwerdeführer, welcher über die Niederlassungsbewilligung verfügt, besitzt nach dem Gesagten einen grundsätzlichen Anspruch auf Nachzug seiner Ehefrau, mit der er künftig zusammen zu wohnen beabsichtigt. Da die vier gemeinsamen Kinder im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung, auf welchen es im Rahmen von Art. 17 Abs. 2 ANAG für die Eintretensfrage ankommt (BGE 129 II 249 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen), noch nicht 18 Jahre alt waren, steht auch ihnen im Grundsatz ein Nachzugsanspruch bzw. ein solcher auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung ihres Vaters zu. Der Beschwerdeführer kann sich zudem im Verhältnis zu seiner Ehefrau und zu den vier gemeinsamen Kindern, die auch heute (im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Entscheides) die Altersgrenze von 18 Jahren noch nicht überschritten haben (vgl. BGE 129 II 11 E. 2 S. 13 f., 249 E. 1.2 S. 252), auf das in Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV garantierte Recht auf Achtung des Familienlebens berufen.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist insoweit zulässig und der Beschwerdeführer hierzu legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Nicht mehr Streitgegenstand bildet jedoch der von der Vorinstanz verweigerte Nachzug des Sohnes aus erster Ehe (C._), da der Beschwerdeführer sein Begehren um Familiennachzug auf seine jetzige Ehefrau und die mit ihr gezeugten vier gemeinsamen Kinder beschränkt hat.
1.4 Weil gegen den angefochtenen Verwaltungsgerichtsentscheid die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen steht, bleibt vorliegend kein Raum für die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde, so dass auf diese nicht einzutreten ist (vgl. Art. 113 BGG).
1.5 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Zweck des Familiennachzugs ist es, das Leben in der Familiengemeinschaft zu ermöglichen. Nach der Rechtsprechung ist der nachträgliche Familiennachzug von minderjährigen Kindern durch Eltern, die sich beide in der Schweiz niedergelassen haben und einen gemeinsamen ehelichen Haushalt führen, möglich, ohne dass besondere stichhaltige Gründe die verzögerte Geltendmachung des Nachzugsrechtes rechtfertigen müssen. Innerhalb der allgemeinen Schranken von Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG ist der Nachzug von gemeinsamen Kindern grundsätzlich jederzeit zulässig, vorbehalten bleibt einzig das Rechtsmissbrauchsverbot (BGE 129 II 11 E. 3.1.2 S. 14; 126 II 329 E. 3b S. 332).
2.2 Der Beschwerdeführer lebt zwar noch nicht mit seiner Ehefrau zusammen, doch bezweckt sein Nachzugsgesuch gerade die Vereinigung beider Elternteile mitsamt den Kindern, also die Zusammenführung der Gesamtfamilie. Damit lässt sich der vorliegende Fall unter die Kategorie des (nachträglichen) Familiennachzugs von zusammenlebenden Eltern subsumieren (vgl. Urteil 2A.31/2005 vom 26. Mai 2005 E. 2.3). Dass die Familienzusammenführung vorliegend nicht ernst gemeint sei, wird von den kantonalen Behörden nicht behauptet.
3. 3.1 Die Ansprüche aus Art. 17 Abs. 2 ANAG (vgl. E. 1.3) erlöschen, wenn der Anspruchsberechtigte gegen die öffentliche Ordnung verstossen hat. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (BGE 119 Ib 81 E. 2d S. 87; 122 II 1E. 3c S. 8 f.) darf der Familiennachzug ferner verweigert werden, wenn der Gesuchsteller bzw. die nachzuziehenden Personen umgehend wieder ausgewiesen werden dürften, d.h. wenn ein Ausweisungsgrund im Sinne von Art. 10 Abs. 1 ANAG besteht wie beispielsweise Fürsorgebedürftigkeit nach Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG. Voraussetzung für eine Verweigerung des Nachzugs ist in diesem Fall, dass konkret die Gefahr einer fortgesetzten und erheblichen Fürsorgeabhängigkeit besteht; blosse finanzielle Bedenken genügen nicht (BGE 125 II 633 E. 3c S. 641).
Für die Beurteilung der Gefahr der Fürsorgeabhängigkeit ist von den aktuellen Verhältnissen auszugehen; die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung ist aber auf längere Sicht abzuwägen. Weiter darf nicht einfach auf das Einkommen des hier anwesenden Familienangehörigen abgestellt werden, sondern es sind - dem Gesetzeszweck der Vereinigung der Gesamtfamilie entsprechend - die finanziellen Möglichkeiten aller Familienmitglieder über eine längere Sicht abzuwägen (BGE 122 II 1 E. 3c S. 8).
3.2 Das Verwaltungsgericht hat vorliegend die Gefahr der fortgesetzten und erheblichen Fürsorgeabhängigkeit bejaht. Es ging davon aus, dass der nach den massgeblichen Richtlinien ermittelte minimale monatliche Grundbedarf für Wohnen, allgemeinen Lebensunterhalt, Krankenkassenprämien und -selbstbehalte einer sechsköpfigen Familie Fr. 5'500.-- betrage. Das Gericht ging weiter von Einnahmen des Beschwerdeführers aus Renteneinkünften von monatlich Fr. 4'069.-- aus (ordentliche IV-Rente Fr. 1'857.-- zuzüglich vier Kinderrenten à Fr. 553.--). Die vom Justiz- und Polizeidepartement hinzugerechnete Hauswartentschädigung von Fr. 300.-- pro Monat liess das Verwaltungsgericht unberücksichtigt, weil der Beschwerdeführer eine volle IV-Rente beziehe und geltend gemacht habe, er sei sehr krank und "benötige Fürsorge und Unterstützung". Ebenso unterliess es das Verwaltungsgericht, Prämienverbilligungen der Krankenkasse anzurechnen, weil diese als Leistung mit Sozialhilfecharakter bei der Festlegung des Mindesteinkommens nicht zu berücksichtigen seien (S. 14 des angefochtenen Entscheides). Gestützt darauf hat das Verwaltungsgericht im Falle eines Nachzuges der Ehefrau und der gemeinsamen Kinder einen monatlichen Fehlbetrag von rund Fr. 1'300.-- errechnet. Es kam ferner zum Schluss, es bestünden auch keine hinreichenden Aussichten, dass die Ehefrau künftig dauernd ein nennenswertes Zusatzeinkommen erzielen könne.
Sodann erwog das Gericht mit ausführlicher Begründung (S. 12 - 15 des angefochtenen Entscheides), der vom Beschwerdeführer für den Fall des Nachzugs seiner Familie geltend gemachte Anspruch auf Ausrichtung von Ergänzungsleistungen vermöge nichts zu ändern: Der Bezug von Ergänzungsleistungen sei demjenigen von Sozialhilfeleistungen gleichzustellen. Es sei nicht gerechtfertigt und stossend, wenn Gesuchsteller, die wie der Beschwerdeführer eine volle Invalidenrente bezögen und deren anerkannte Ausgaben somit durch Leistungen aus Sozialversicherungswerken, allenfalls zusätzlich durch Ergänzungsleistungen, gedeckt seien, gegenüber Gesuchstellern privilegiert würden, die einer Erwerbstätigkeit nachgingen und deren Einkommen nicht ausreiche, um die Alltagsbedürfnisse in der Schweiz zu decken und die deshalb regelmässig auf Sozialhilfeleistungen angewiesen seien.
3.3 Der Beschwerdeführer rügt, das Verwaltungsgericht habe den Sachverhalt qualifiziert unrichtig festgestellt. Sowohl auf Ergänzungsleistungen als auch auf Krankenkassenverbilligungen bestehe ein versicherungsrechtlicher Anspruch. Diese Leistungen stellten daher keine Instrumente der öffentlichen Wohlfahrt dar und seien gleich jeder anderen Versicherungsleistung als Einkommen zu berücksichtigen.
3.4 Der angefochtene Entscheid verkennt, dass gemäss gefestigter Rechtsprechung des Bundesgerichts Ergänzungsleistungen, auf welche der invalide Beschwerdeführer einen gesetzlichen Anspruch hat (Art. 2 Abs. 1 i.V. mit Art. 4 Abs. 1 lit. c sowie Art. 5 Abs. 1 des Gesetzes vom 6. Oktober 2006 über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung [ELG; SR 831.30]) und welche dem Betrag entsprechen, um den die anerkannten Ausgaben die anrechenbaren Einnahmen übersteigen (Art. 9 Abs. 1 und 2 ELG), nicht zu den Fürsorgeleistungen im Sinne von Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG zählen (Urteile 2A.397/2001 vom 17. Januar 2002 E. 4, 2A.495/2004 vom 13. Januar 2005 E. 2.2 mit Hinweisen, publ. in: Praxis 2005 Nr. 143; 2P.101/2006 vom 6. Mai 2006 E. 2.2.6, 2A.639/2006 vom 1. Februar 2007 E. 2.2). Es trifft zwar zu, dass zwischen Fürsorgeleistungen und Ergänzungsleistungen eine gewisse Ähnlichkeit besteht, indem beide Leistungen Bedürftigkeit seitens des Ansprechers voraussetzen und die Deckung der laufenden Lebensbedürfnisse bezwecken. Indessen sind öffentliche Fürsorgeleistungen im Verhältnis zu den Ergänzungsleistungen subsidiärer Natur (BGE 116 V 328 E. 1c S. 331). Finanzielle Zuschüsse im Rahmen der Sozialhilfe sollen ausschliesslich zur Überbrückung von Notlagen dienen, während Ergänzungsleistungen über längere Zeit fliessendes Ergänzungs- oder Mindesteinkommen darstellen (vgl. Urteile 2P.242/ 2003 vom 12. Januar 2004 E. 2.2, 2P.53/2004 vom 13. Mai 2004 E. 4.3). Insofern unterscheiden sich Ergänzungsleistungen zur AHV/IV von Leistungen gemäss den kantonalen Sozialhilfegesetzen in qualitativer Hinsicht, so dass sich eine Gleichstellung mit Fürsorgeleistungen - wie dies das Verwaltungsgericht tut - als bundesrechtswidrig erweist. Vielmehr zählen sowohl die Ergänzungsleistungen als auch die Krankenkassenprämienverbilligungen zu den beitragsunabhängigen Sonderleistungen der Sozialversicherung, die vom Begriff der "öffentlichen Wohltätigkeit" im Sinne von Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG nicht erfasst werden.
3.5 Es besteht kein Anlass und auch keine Handhabe, von dieser gefestigten Rechtsprechung abzuweichen, die im Übrigen auch dem neuen Ausländergesetz entspricht: Der Familiennachzugsanspruch von Personen mit Niederlassungsbewilligung nach Art. 43 AuG erlischt u.a. dann, wenn der Ausländer oder eine Person, für die er zu sorgen hat, auf "Sozialhilfe" angewiesen ist (Art. 62 lit. e in Verb. mit Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG). Auch die übrigen einschlägigen Bestimmungen des neuen Ausländergesetzes (vgl. Art. 44 lit. c, Art. 45 lit. c sowie Art. 63 Abs. 1 lit. c) sprechen nicht mehr von der "öffentlichen Wohltätigkeit" wie Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG, sondern explizit von "Sozialhilfe" ("aide sociale", "aiuto sociale"), worunter Ergänzungsleistungen und Prämienverbilligungen eben gerade nicht fallen, auch wenn sie einkommens- und bedarfsabhängig ausgestaltet sind (vgl. BGE 127 V 368 E. 5 S. 369). Schon die bundesrätliche Botschaft vom 8. März 2002 zum Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer (BBl 2002 S. 3792 f., 3808 f.) und der dazugehörige Gesetzesentwurf (Art. 43/44 und Art. 62) verwendeten im Zusammenhang mit dem Familiennachzug und dem Widerruf der Niederlassungsbewilligung diesen engen Begriff "Sozialhilfe", wobei ausdrücklich auf die Rechtsprechung des Bundesgerichtes Bezug genommen wurde (Botschaft, a.a.O.). Bei dieser Sachlage läge es am Gesetzgeber, eine erweiterte Umschreibung zu beschliessen, wenn er die geltende Regelung für unbefriedigend halten sollte.
3.6 Da sich der Beschwerdeführer seit mehr als 10 Jahren in der Schweiz aufgehalten hat und eine volle Invalidenrente erhält, kann er für sich und seine Familie mit Ergänzungsleistungen in nicht unbeträchtlicher Höhe rechnen (vgl. dazu die Bestimmungen des kantonalen Ergänzungsleistungsgesetzes vom 22. September 1991). In welchem Umfang dies der Fall ist und in welchem Mass der Beschwerdeführer Anspruch auf Prämienverbilligung für die Krankenkasse hat, geht aus dem angefochtenen Entscheid nicht genau hervor. Nach dem Gesagten durfte die Vorinstanz aber auf dieser Grundlage nicht ohne Weiteres von der Gefahr einer erheblichen und fortgesetzten Fürsorgeabhängigkeit der Familie im Sinne von Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG ausgehen. Der angefochtene Entscheid ist daher aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Es obliegt alsdann den kantonalen Behörden, die Frage der Fürsorgeabhängigkeit auf korrigierter, bundesrechtskonformer Grundlage neu zu beurteilen. Näher abzuklären - unter Gewährung des rechtlichen Gehörs - bleibt aber auch, was es mit der Invalidität des Beschwerdeführers für eine Bewandtnis hat und welche Erwerbsmöglichkeiten (worunter die geltend gemachte Hauswarttätigkeit) sein jetziger Gesundheitszustand ihm - allenfalls wieder - erlauben könnte.
4. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist in diesem Sinne teilweise gutzuheissen, und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Die Sache ist zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG).
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat der Kanton St. Gallen den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Sache des kantonalen Verwaltungsgerichts wird es sein, über die Kosten der kantonalen Rechtsmittelverfahren neu zu entscheiden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird teilweise gutgeheissen, und das Urteil des Verwaltungsgerichtes des Kantons St. Gallen vom 4. Juli 2007 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Prüfung und materiellem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Kanton St. Gallen hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 1'800.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein