Faits:
A. Depuis 2004, X._ exploite à Genève le bar à café "A._", dans une arcade donnant sur le Passage B._. D'après le cadastre, ce passage, sis sur des terrains privés, se compose d'un couloir en coude long de 70 mètres environ qui relie la rue C._ et la rue D._. A teneur de la "convention relative à l'établissement et à l'usage du passage [B._]", conclue par les propriétaires des immeubles adjacents au passage et approuvée par le Conseil municipal de la Ville de Genève en 1902, celui-ci est couvert sur toute son étendue et accessible aux seuls piétons. A ses deux entrées, la largeur doit être de 4,50 mètres et la hauteur de 4,65 mètres au maximum. Dans le reste du passage, la largeur ne doit pas dépasser 6 mètres et la hauteur 8,50 mètres environ, sauf au point de brisure de l'axe, où la largeur doit être de 10 mètres et la hauteur d'au moins 9,50 mètres. L'arcade louée par X._ donne sur la partie du couloir située entre la rue C._ et le point où celui-ci forme un coude. Devant les locaux de son établissement public et dans le couloir, elle a installé une terrasse à la disposition de ses clients.
B. Par courrier du 19 novembre 2009, la Direction générale de la santé (ci-après: la Direction cantonale), actuellement rattachée au Département des affaires régionales, de l'économie et de la santé de la République et canton de Genève (ci-après: le Département cantonal), a indiqué à la société gérant l'immeuble qui abrite l'arcade de X._, en résumant les obligations des exploitants et des responsables des lieux, que la loi genevoise du 22 janvier 2009 sur l'interdiction de fumer dans les lieux publics (LIF/GE; RS/GE K 1 18) et son règlement d'application homonyme du 7 octobre 2009 (RIF/GE; RS/GE K 1 18.01) s'appliquaient également au Passage B._. La société de gérance était priée de diffuser ces informations "à qui de droit". Elle s'est exécutée par courrier du 26 novembre 2009 à l'attention de X._, suite à des plaintes et au constat de l'un de ses collaborateurs que des clients du café fumaient sur la terrasse.
C. X._ a recouru contre l'acte du 19 novembre 2009 auprès du Tribunal administratif de la République et canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif), qui est devenu la Chambre administrative de la Cour de justice de ce canton à partir du 1er janvier 2011 (cf. notamment l'art. 143 al. 5 de la loi sur l'organisation judiciaire du 26 septembre 2010 [LOJ/GE; RS/GE E 2 05]).
Par arrêt du 18 juin 2010 rendu dans la cause 2C_235/2010, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours interjeté contre la décision présidentielle du Tribunal administratif du 15 février 2010, rejetant la demande de "restitution de l'effet suspensif" formée par X._ dans son recours.
En date du 31 août 2010, le Tribunal administratif a rejeté le recours de X._ contre le courrier du 19 novembre 2009, qu'il a assimilé à une décision de constatation. Il a notamment retenu que le Passage B._ ne permettait pas une circulation suffisante de l'air à l'instar d'une rue à ciel ouvert et qu'il s'apparentait à un lieu fermé accessible au public, à l'intérieur duquel se déroulaient de surcroît des activités commerciales; il convenait partant de le soumettre au régime de l'interdiction de fumer instauré par la LIF/GE.
D. Agissant par la voie du "recours de droit public", X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif du 31 août 2010 et, statuant à nouveau, de dire que ni la LIF/GE ni le RIF/GE ne s'appliquent au Passage B._ et, plus spécialement, à la terrasse qu'elle exploite devant l'établissement "A._"; subsidiairement, de renvoyer la cause au Tribunal administratif afin qu'il rende une nouvelle décision.
Le Tribunal administratif s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt du 31 août 2010. Se référant à l'arrêt querellé, le Département cantonal, par le biais de la Direction cantonale, conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) ne tombant pas sous le coup des exceptions de l'art. 83 LTF. La voie du recours en matière de droit public est donc en principe ouverte. Bien que l'institution du "recours de droit public" devant le Tribunal fédéral ait disparu avec l'entrée en vigueur de la LTF (1er janvier 2007 [RO 2006 p. 1242]), la dénomination erronée employée par la recourante, qui est représentée par un avocat, ne saurait lui nuire si son acte répond aux exigences de la voie de droit à disposition (ATF 133 I 300 consid. 1.2 p. 302 s.; 133 II 396 consid. 3.1 p. 399). Le mémoire de recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 et 2 LTF) par le destinataire de l'acte attaqué, qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification, de sorte qu'il faut lui reconnaître la qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF). Il convient donc d'entrer en matière.
2. 2.1 Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. d LTF), l'on ne peut invoquer la violation du droit cantonal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (art. 95 LTF a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiées prévues à l'art. 106 al. 2 LTF, qui valent en particulier pour le grief d'arbitraire (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 s.; arrêt 2C_158/2010 du 18 août 2010 consid. 2.1).
2.2 En outre, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne s'en écarte que s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (cf. ATF 136 II 304 consid. 2.4 p. 313) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF) et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause [art. 97 al. 1 LTF] (ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104 s.; 133 II 249 consid. 1.4 p. 254 s.).
2.3 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153).
3. Le présent litige porte sur la question de savoir si le Passage B._ entre dans le champ d'application de la LIF/GE et, le cas échéant, si l'interdiction de fumer y est applicable, ce qui aurait pour conséquence que la recourante doive obliger les clients installés sur la terrasse du café qu'elle exploite à observer cette interdiction.
4. 4.1 Dans ce contexte (cf. consid. 3), la recourante reproche tout d'abord au Tribunal administratif de ne pas avoir constaté que la verrière surplombant le Passage B._ atteignait quelque 20 mètres de hauteur et ne se limitait donc pas aux 8,50 mètres retenus dans l'arrêt. En outre, le Tribunal administratif aurait omis de constater que la verrière ne serait pas parfaitement étanche de sorte à permettre à la fumée du tabac de s'en échapper naturellement. Aussi, il n'aurait pas tenu compte du fait que le Département cantonal n'a pas évalué la qualité de l'air dans ledit passage, alors que cette évaluation serait déterminante pour juger de la dangerosité de la fumée à l'intérieur du Passage B._. Enfin, l'appréciation selon laquelle la configuration du passage ne permet pas une circulation suffisante de l'air, à l'instar d'une rue à ciel ouvert, relèverait d'une pétition de principe arbitraire.
4.2 Hormis de simples critiques appellatoires, la recourante n'indique pas en quoi le Tribunal administratif aurait constaté ou apprécié ces faits et preuves de façon insoutenable ni en quoi ceci aboutirait à un résultat choquant, de sorte que la question de la recevabilité de ce grief se pose.
4.3 Au demeurant, les critiques portent sur des faits qui ne sont pas de nature à modifier le résultat de l'arrêt attaqué. Pour qu'un lieu entre dans le champ d'application de la LIF/GE, il suffit en effet qu'il s'agisse d'un lieu public ou accessible au public, et que ce dernier soit considéré comme "intérieur" ou "fermé", conformément à l'art. 2 al. 1 et 3 LIF/GE. Il découle de l'exposé des motifs du Conseil d'Etat genevois relatif au projet de loi n° PL 10375 du 29 octobre 2008 sur l'interdiction de fumer dans les lieux publics (p. 17) que la fumée du tabac est de par la loi réputée ne pas pouvoir circuler de façon aussi libre dans un espace couvert que, notamment, dans une rue à ciel ouvert, de sorte à risquer d'y diminuer la qualité de l'air respiré. Ceci explique pour quelle raison la LIF/GE a opté pour le principe de l'extension de l'interdiction de fumer à tout lieu fermé, à savoir à tout espace couvert par un toit et entouré par des murs ou des cloisons (art. 2 al. 1 et 3 LIF/GE). En outre, l'art. 2 al. 3 LIF/GE reste notamment indifférent aux types de matériaux qui sont utilisés en vue de cloisonner l'espace en question. De la sorte, il n'importe guère qu'une cloison soit en verre ou que sa texture soit, par exemple, perméable à l'air.
Par conséquent, pour déterminer si le Passage B._ entre ou non dans le champ d'application de la LIF/GE, il faut examiner si, outre le fait qu'il soit accessible au public, ce qui n'est pas contesté, il entre dans la catégorie des lieux intérieurs ou fermés au sens de la loi. A l'inverse, comme on vient de le voir, il importe peu que le passage litigieux soit doté d'un couvert très élevé et non complètement étanche, de sorte à favoriser son aération.
Il n'y a donc pas lieu d'entrer plus avant sur les critiques de la recourante concernant les faits, celles-ci n'étant pas pertinentes.
5. La recourante reproche encore au Tribunal administratif d'avoir, par un raisonnement insoutenable, assimilé ledit passage à un lieu fermé selon l'art. 2 LIF/GE.
5.1 L'art. 178B al. 2 de la Constitution de la République et canton de Genève du 24 mai 1847 (Cst./GE; RS/GE A 2 00) interdit de fumer dans les lieux publics intérieurs ou fermés, tout particulièrement dans ceux qui sont soumis à une autorisation d'exploitation. Son alinéa 3 vise notamment "tous les bâtiments ou locaux ouverts au public, notamment ceux affectés à des activités (...) récréatives [ou...] de rencontres" (let. b), tous les établissements publics au sens de la législation sur la restauration, le débit de boissons et l'hébergement (let. c), de même que tous les autres lieux ouverts au public tels que définis par la loi (let. e). Cette disposition, dépourvue d'applicabilité directe (ATF 136 I 241 consid. 2.2 p. 248; 134 I 322 consid. 2.5 p. 327), a été concrétisée par la LIF/GE, dont l'art. 2 prévoit:
"1 Il est interdit de fumer dans les lieux publics ou accessibles au public, intérieurs ou fermés (ci-après: lieux publics).
2 On entend par accessibles au public tous les locaux dont l'accès n'est pas réservé à un cercle de personnes déterminé et délimité de manière étroite.
3 On entend par fermés les espaces couverts par un toit et entourés par des murs ou cloisons, permanents ou temporaires, quels que soient les types de matériaux utilisés".
L'art. 3 LIF/GE précise que "[l']interdiction concerne notamment" les bâtiments ou locaux dédiés aux loisirs et aux rencontres (cf. let. d), les commerces, les centres commerciaux et les galeries marchandes (let. f), ainsi que les établissements au sens de la loi genevoise sur la restauration, le débit de boissons et l'hébergement du 17 décembre 1987 (LRDBH/GE; RS/GE I 2 21).
5.2 En l'espèce, il n'a pas été contesté que le Passage B._, qui abrite le café et la terrasse exploités par la recourante à des fins commerciales, est un couloir en coude d'une longueur de 70 mètres; malgré sa situation sur des parcelles privées, il est indistinctement accessible aux piétons, soit au public; débouchant sur deux rues à ses extrémités, il est bordé de toutes parts par des immeubles et couvert d'une verrière sur toute son étendue.
Au vu de ce qui précède, il ne résulte pas que le Tribunal administratif ait procédé à une application arbitraire du droit cantonal en assimilant ledit passage à un lieu fermé accessible au public, au sens de l'art. 2 LIF/GE, auquel s'applique l'interdiction de fumer.
5.3 Ce raisonnement est d'autant plus soutenable que le Passage B._ se rapproche d'une galerie marchande, lieu qui est expressément mentionné dans la liste exemplative de l'art. 3 LIF/GE, illustrant les endroits dans lesquels l'interdiction de fumer est applicable (cf. art. 3 let. f LIF/GE).
Par ailleurs, et comme cela ressort de l'exposé des motifs du Conseil d'Etat mentionné ci-dessus (cf. consid. 4.3), la notion de lieux publics fermés qu'a retenue le législateur genevois favorise "une protection large contre l'exposition à la fumée du tabac dans la mesure où l'interdiction de fumer s'étend ainsi à des lieux extérieurs ou semi-ouverts, tout en respectant le périmètre délimité par l'article 178B Cst./GE" (p. 17). En d'autres termes, l'interdiction de fumer est susceptible de concerner un espace public qui disposerait de plusieurs ouvertures, voire qui ne serait pas cloisonné de toutes parts. L'usage du terme "entourer" à l'art. 2 al. 3 LIF/GE, à l'exclusion, par exemple, du terme "fermer", semble confirmer que cette disposition n'exige pas, pour s'appliquer, la fermeture hermétique du lieu public ou accessible au public, mais qu'elle peut également viser un espace public certes encerclé par les objets environnants, mais non strictement confiné, tel qu'un passage.
Par conséquent, le grief que la recourante tire de l'application arbitraire de la LIF/GE doit être écarté.
6. Compte tenu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Conformément à l'art. 66 LTF, les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante qui succombe. Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué au représentant de la recourante, au Département des affaires régionales, de l'économie et de la santé du canton de Genève, soit pour lui à la Direction générale de la santé, et au Tribunal administratif du canton de Genève.
Lausanne, le 31 janvier 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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