Faits:
A. D._, née en 1960, est mère d'une fille prénommée A._, née en 1993. Le 29 août 2002, elle a passé une convention avec le service cantonal genevois d'avance et de recouvrement des pensions alimentaires (ci-après: le SCARPA), en vertu de laquelle celui-ci était chargé d'effectuer toutes les démarches nécessaires afin d'encaisser la pension alimentaire due par le père de A._. Le SCARPA a alloué à D._, en faveur de sa fille, une avance mensuelle de 673 fr. à compter du mois de septembre 2002.
Par décision du 7 avril 2009, l'Office cantonal genevois de la population (ci-après: l'OCP) a notifié à D._ qu'il inscrivait au registre cantonal de la population son départ du canton de Genève pour la France avec effet au 1er janvier 2004. Saisi d'un recours contre cette décision, le Tribunal administratif de la République et canton de Genève l'a rejeté dans la mesure où il était recevable par jugement du 4 août 2010. L'intéressée n'a pas recouru contre ce jugement.
Par décision du 24 juin 2011, le SCARPA a résilié avec effet au 31 décembre 2003 la convention de recouvrement de la pension alimentaire, motif pris que D._ et sa fille n'étaient plus domiciliées dans le canton de Genève depuis le 1er janvier 2004. En outre, il a réclamé à l'intéressée la restitution d'un montant de 28'266 fr. correspondant aux avances de pension alimentaire allouées durant la période du 1er janvier 2004 au 30 juin 2007.
B. Par jugement du 31 juillet 2012, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté, dans la mesure où il était recevable, un recours formé par D._ contre la décision du SCARPA du 24 juin 2011.
C. La prénommée interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement au sens des considérants. Subsidiairement, elle demande la condamnation du SCARPA aux frais et dépens de la cause. En outre, elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Considérant en droit:
1. Invoquant l'art. 97 al. 1 LTF, la recourante fait valoir que la juridiction cantonale a établi les faits de façon manifestement inexacte et en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF. A cet égard, elle allègue un certain nombre d'éléments susceptibles, selon elle, d'établir qu'elle a toujours gardé son domicile dans le canton de Genève. Cependant, le recours ne contient aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait du jugement attaqué. En effet, la recourante n'expose pas en quoi l'appréciation des preuves par les premiers juges est manifestement insoutenable. Son argumentation tend plutôt à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente. Au demeurant, on ne voit guère que les allégations de la recourante soient de nature à remettre en cause le jugement attaqué, étant donné que le départ du canton de Genève pour la France le 1er janvier 2004 a été constaté par jugement du Tribunal administratif du 4 août 2010, entré en force. Sur ce point, l'argumentation du recours ne répond donc pas aux exigences de motivation de l'art. 42 al. 2 LTF.
2. Le jugement attaqué repose sur le droit cantonal, en particulier l'art. 8 al. 1 de la loi sur l'avance et le recouvrement des pensions alimentaires du 22 avril 1977 (LARPA; RS/GE E 1 25), selon lequel le créancier d'une pension alimentaire doit être domicilié dans le canton de Genève depuis un an au moins pour bénéficier des avances allouées par le SCARPA. Même si cette disposition cantonale utilise une notion de droit fédéral, à savoir le domicile, l'interprétation de cette notion relève du droit cantonal (ATF 128 III 76 consid. 1a p. 80 et les références; arrêts 8C_416/2012 du 20 septembre 2012 consid. 1 et 4A_278/2011 du 25 août 2011 consid. 2.1). Partant, et sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la solution retenue par l'autorité précédente ne peut être revue par le Tribunal fédéral que sous l'angle de sa conformité au droit constitutionnel, notamment à l'art 9 Cst., qui consacre l'interdiction de l'arbitraire. En outre, conformément aux exigences de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine le moyen tiré de la violation d'une norme de rang constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise, de sorte que seuls sont admissibles les moyens fondés sur les droits constitutionnels, dûment invoqués et motivés. En l'espèce, toutefois, la recourante n'invoque pas la violation d'une norme de rang constitutionnel, en particulier elle n'allègue pas une application arbitraire du droit cantonal.
3. Faute de motivation satisfaisant aux exigences légales (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF), le recours doit être déclaré irrecevable (art. 108 al. 1 let. b LTF) et traité selon la procédure simplifiée de l'art. 108 LTF sans qu'il y ait lieu de procéder à un échange d'écritures.
4. Etant donné l'irrecevabilité manifeste du recours, la requête d'octroi de l'assistance judiciaire est mal fondée, dans la mesure où il faut l'interpréter comme une demande tendant également à la désignation d'un avocat d'office (art. 64 al. 1 et 2 LTF). Toutefois, il est exceptionnellement renoncé à la perception de frais judiciaires (art. 66 al. 1, deuxième phrase, LTF).
Par ces motifs, le Juge unique prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève..
Lucerne, le 19 novembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge unique: Frésard
Le Greffier: Beauverd