Sachverhalt:
A. A.a Im März 1995 gebar Frau A._ im kantonalen Spital I._/SG einen Sohn. Der Geburtsvorgang verlief stark verzögert (protrahiert). Unmittelbar danach wurde beim Neugeborenen eine fehlende Atmung mit Herz-Kreislauf-Versagen festgestellt, die eine schwerwiegende und irreversible Hirnschädigung zur Folge hatte.
Am 15. Februar 2002 reichte die Eidgenössische Invalidenversicherung (Klägerin) beim Vermittleramt der Stadt St. Gallen ein Schadenersatzbegehren gegen den Kanton St. Gallen ein. Sie beantragte, dass dieser zum Ersatz aller IV-Leistungen zu verurteilen sei, welche die Invalidenversicherung im Zusammenhang mit der perinatalen Behandlung im Spital I._/SG zu erbringen habe. Gleichzeitig beantragte sie die Sistierung des Vermittlungsverfahrens mit der Begründung, dass die künftig zu erbringenden Leistungen noch nicht absehbar seien. Am 28. Februar 2002 sistierte das Vermittleramt der Stadt St. Gallen das Verfahren bis auf Weiteres.
A.b Am 5. März 2008 beantragte die Klägerin beim Vermittleramt Rebstein die Aufhebung der damals vom Vermittleramt der Stadt St. Gallen angeordneten Sistierung und die Fortführung des Verfahrens. Zur Begründung führte sie aus, dass infolge Gesetzesänderung nicht mehr der Kanton St. Gallen, sondern die in Rebstein domizilierte X._ Partei sei. Das Vermittleramt Rebstein hob die Sistierung am 7. März 2008 auf und setzte der X._ eine Frist von zwei Monaten an zur Einreichung einer Stellungnahme zum Schadenersatzbegehren der Klägerin. Am 5. Mai 2008 teilte diese mit, sie erachte das Vermittleramt Rebstein für die Aufhebung der Sistierung nicht als zuständig; eventualiter sei die Klage zufolge Verwirkung abzuweisen.
Am 4. Juni 2008 schrieb die Klägerin dem Vermittleramt Rebstein, dass ihr unter diesen Umständen die gesetzlich vorgesehene Frist von drei Monaten zur Einreichung der Klage beim Gericht anzusetzen sei. Mit Schreiben vom 7. Juni 2008 setzte das Vermittleramt Rebstein der Klägerin eine Frist von drei Monaten zur Einreichung der Klage beim zuständigen Kreisgericht an.
B. B.a Mit Klageschrift vom 28. August 2008 beantragte die Klägerin, die X._ (Beklagte) sei zu verurteilen, der Klägerin Fr. 1'075'962.45 zuzüglich Zinsen zu bezahlen. Mit Klageantwort vom 24. Februar 2009 beantragte die Beklagte Nichteintreten auf die Klage, eventualiter Abweisung. In der Replik vom 25. Juni 2009 erhöhte die Klägerin ihre Forderung auf Fr. 1'189'141.80.
Mit Entscheid vom 3. März 2010 wies das Kreisgericht Rheintal die Klage wegen Verwirkung ab, soweit es auf sie eintrat. Es erwog, die Klägerin hätte die Klage innert zweier Monate nach dem Vermittlungsvorstand dem Gericht einreichen müssen, hielt ihr aber zugute, ihr damaliger Rechtsvertreter habe sich auf die Richtigkeit der ihm vom Vermittler angesetzten dreimonatigen Klagefrist im Lichte der Rechtsprechung des Bundesgerichtes über den Vertrauensschutz verlassen dürfen. Deshalb schade die verspätete Einreichung der Klägerin nicht. Gleichwohl wies das Kreisgericht die Klage ab mit der Begründung, die Klägerin habe die einjährige Verwirkungsfrist gemäss Art. 4 aVG SG nicht eingehalten; sie habe spätestens am 3. Juli 2000 die Höhe ihres Schadens mit genügender Sicherheit abschätzen können.
B.b Gegen den Entscheid des Kreisgerichts Rheintal vom 3. März 2010 erhob die Klägerin Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen.
Am 14. November 2011 entschied das Kantonsgericht in einem Teilentscheid, auf die Klage im Umfang des in der Klageschrift gestellten Rechtsbegehrens einzutreten, auf die in der Replik geltend gemachte Erhöhung der Klagesumme hingegen nicht einzutreten. Der Teilentscheid wurde nicht angefochten.
Mit Endentscheid vom 2. Juli 2012 wies das Kantonsgericht Berufung und Klage ab, soweit es auf sie eintrat.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 5. September 2012 beantragte die Klägerin (Beschwerdeführerin), der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 2. Juli 2012 sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zum Entscheid über die Wahrung der einjährigen Verwirkungsfrist sowie zur materiellen Beurteilung des geltend gemachten Anspruchs an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Vernehmlassung vom 3. Oktober 2012 beantragte die Beklagte (Beschwerdegegnerin) vollumfängliche Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Am 18. Oktober 2012 reichte die Beschwerdeführerin eine Replik ein. Diese wurde dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin am 24. Oktober 2012 zugestellt mit dem Hinweis, allfällige Bemerkungen hätten bis zum 7. November 2012 zu erfolgen. Die Beschwerdegegnerin liess sich nicht mehr vernehmen.
D. Mit Präsidialverfügung vom 28. September 2012 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 137 III 417 E. 1; 136 II 101 E. 1 S. 103, 470 E. 1 S. 472; 135 III 212 E. 1 S. 216).
1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Rechtsmittelentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (Art. 90 BGG i.V.m. Art. 75 BGG). Sie wurde innert der Beschwerdefrist (Art. 100 BGG) von der mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Partei (Art. 76 Abs. 1 BGG) eingereicht. Bei der Streitsache handelt es sich um eine Angelegenheit medizinischer Staatshaftung (Art. 31 Abs. 1 lit. d des Reglements für das Bundesgericht, BGerR [173.110.131]), die in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG; BGE 135 III 320 E. 1.1 S. 331; 133 III 462 E. 2.1 S. 465 f.). Der Streitwert übersteigt Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG), weshalb auf die Beschwerde in Zivilsachen unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten ist.
1.2 Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht einschliesslich Bundesverfassungsrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG; BGE 134 III 379 E. 1.2 S. 382). Nicht zu den in Art. 95 BGG vorgesehenen Rügegründen gehört hingegen die Anwendung und Auslegung kantonalen Rechts, dessen Anwendung und Auslegung das Bundesgericht einzig unter dem Blickwinkel eines Verstosses gegen Bundesrecht oder gegen Bundesverfassungsrecht beurteilen kann (BGE 136 I 241 E. 2.4; 135 III 513 E. 4.3 S. 521; 134 III 379 E. 1.2 S. 382 f.).
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist weder an die mit der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden, und kann deshalb die Beschwerde auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder abweisen (BGE 134 III 102 E. 1.1 S. 104; 132 II 47 E. 1. S. 50 mit Hinweisen). Indessen prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 134 III 102 E. 1.1 S. 104). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Aus den materiellrechtlichen Rügen muss zumindest sinngemäss ersichtlich sein, inwieweit der angefochtene Entscheid nach Ansicht der Beschwerdeführerin bundesrechtliche Normen verletzen soll, wenn der von der Vorinstanz verbindlich festgestellte - und nicht lediglich ein vom Beschwerdeführer behaupteter abweichender - Sachverhalt zugrunde gelegt wird (Art. 105 Abs. 1 BGG).
1.4 Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 107 Abs. 2 BGG), darf sich der Beschwerdeführer grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht - wie hier - im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (BGE 134 III 379 E. 1.3 S. 383; 133 III 489 E. 3.1 S. 489 f. mit Hinweisen).
2. Thema des vorliegenden Beschwerdeverfahrens ist die Einhaltung von Klagefristen gemäss dem Verantwortlichkeitsgesetz des Kantons St. Gallen vom 7. Dezember 1959 mit seitherigen Änderungen (VG SG [1959] nGS [neue Gesetzessammlung des Kantons St. Gallen] 1, 296). Zwischen dem Zeitpunkt des von der Klägerin behaupteten schädigenden Ereignisses und der Anhängigmachung der Klage sind die einschlägigen kantonalen Gesetzesbestimmungen bezüglich Fristen und Verfahren geändert worden.
2.1 Das VG SG sah ursprünglich vor, dass der Geschädigte das Schadenersatzbegehren innerhalb eines Jahres, nachdem er von der Schädigung Kenntnis erhalten hatte, spätestens aber zehn Jahre nach der schädigenden Handlung, dem Bezirksammann einzureichen habe (Art. 4 Abs. 1 VG SG [1959]). Diese Fristen verstanden sich als Verwirkungsfristen. Der Bezirksammann hatte das Schadenersatzbegehren unverzüglich der beklagten Körperschaft oder Anstalt mitzuteilen, und diese konnte innerhalb zweier Monate nach dem Tage der Einreichung schriftlich dazu Stellung nehmen (Art. 4 Abs. 2 VG SG [1959]). Wenn der Schadenersatzanspruch bestritten wurde oder wenn keine Stellungnahme einging, hatte der Bezirksammann dem Geschädigten eine Frist von drei Monaten zu eröffnen, innert welcher die Klage unmittelbar beim Richter anhängig zu machen war (Art. 5 VG SG [1959]). Gemäss Art. 17 Abs. 2 VG SG [1959] fand das Gesetz auf Schäden, die vor dem Inkrafttreten verursacht worden waren, keine Anwendung.
2.2 Im Nachtragsgesetz zum Staatsverwaltungsgesetz, erlassen am 4. Mai 1999 und in Kraft seit 1. Juli 2000 (Amtsblatt des Kantons St. Gallen Nr. 22/1999 S. 1109; nGS 35-15) wurde das Verantwortlichkeitsgesetz geändert (revVG SG): In revArt. 4 Abs. 1 VG SG wurde "Bezirksammann" durch "Vermittler" ersetzt; rev Art. 4 Abs. 2 VG SG lautete neu, der Vermittler gebe der beklagten Körperschaft oder Anstalt vor dem Vermittlungsvorstand Gelegenheit zur schriftlichen Stellungnahme innert zwei Monaten; ein neuer Art. 4 Abs. 3 revVG SG sah vor, dass im Übrigen die Bestimmungen des Zivilprozessgesetzes vom 20. Dezember 1990 (ZPO SG; sGS 961.2) über das Vermittlungsverfahren sinngemäss anzuwenden seien; Art. 5 Abs. 1 VG SG [1959] wurde aufgehoben. Dieses (I.) Nachtragsgesetz enthielt keine Übergangsbestimmungen.
2.3 Durch das II. Nachtragsgesetz zum Staatsverwaltungsgesetz, erlassen am 11. April 2000 und in Kraft seit 1. September 2000 (Amtsblatt des Kantons St. Gallen Nr. 17/2000 S. 1132; nGS 35-35) erhielt Art. 4 Abs. 1 revVG SG folgenden Wortlaut: "Der Schadenersatzanspruch verjährt, wenn der Geschädigte nicht innert zwei Jahren, nachdem er von der Schädigung Kenntnis erhalten hat, spätestens aber zehn Jahre nach der schädigenden Handlung, Klage beim Vermittler erhebt. Vorbehalten bleibt Art. 136 lit. a des Zivilprozessgesetzes vom 20. Dezember 1990." Die Übergangsbestimmungen des II. Nachtragsgesetzes sahen vor, dass das Gesetz nicht auf Schäden anwendbar sei, die vor seinem Inkrafttreten verursacht wurden, und dass die nach bisherigem Recht zuständige Instanz ein Verfahren, das bei Inkrafttreten des Nachtragsgesetzes bei ihr hängig ist, nach bisherigem Recht abzuschliessen habe.
3. Die Vorinstanz behandelte die Frage der Rechtzeitigkeit der Klageeinleitung in zwei Etappen.
3.1 Die Beschwerdeführerin sieht einen Widerspruch zwischen den beiden Etappen des vorinstanzlichen Entscheidvorgangs und rügt diesen als willkürlich. Sie begründet dies damit, die Vorinstanz habe in ihrem Teilentscheid festgestellt, dass auf die Klage nach den Normen der ZPO SG einzutreten sei. Deshalb sei ihr kein Raum mehr dafür geblieben, in ihrem Endentscheid unter Zugrundelegung derselben Normen oder jener des VG SG zum Schluss zu kommen, die Klage sei doch nicht rechtzeitig anhängig gemacht worden. Dennoch habe die Vorinstanz im Endentscheid die Nichteinhaltung der Zweimonatsfrist gemäss Art. 150 ZPO SG als massgebend dafür betrachtet, dass die Klage verwirkt sei. Das sei willkürlich i.S. von Art. 9 BV.
3.2 Die Beschwerdegegnerin hält dem entgegen, der behauptete Widerspruch bestehe nicht. Vielmehr beziehe sich der angefochtene Entscheid auf zwei mögliche Betrachtungsweisen: Entweder werde die am 28. August 2008 eingereichte Klage als direkt (also ohne Vermittlungsverfahren) beim Gericht eingereicht betrachtet, so dass die Klage zu jenem Zeitpunkt infolge Ablaufs der absoluten Frist gemäss Art. 4 Abs. 1 VG SG [1959] bereits verwirkt war, was zur Abweisung führe. Oder es werde bezüglich der Wahrung der Verwirkungsfristen gemäss VG SG [1959] auf das Vermittlungsbegehren vom 15. Februar 2002 abgestellt, so dass mit der erst am 28. August 2008 beim Gericht anhängig gemachten Klage die dafür massgebliche Frist gemäss ZPO SG von zwei Monaten seit Ansetzung der dreimonatigen Frist durch das Vermittleramt Rebstein vom 7. Juni 2008 verpasst worden sei, was zum Nichteintreten führe. Die Vorinstanz sei in ihrem Teilentscheid von einer direkten Klageeinleitung im Sinne der ersten Variante ausgegangen und habe eine spätere Klageabweisung als Folge der Nichteinhaltung der absoluten Verwirkungsfrist von 10 Jahren gemäss VG SG [1959] ausdrücklich vorbehalten. Indem sie im Endentscheid auf jene Folge dann auch erkannt habe, habe sie sich nicht in Widerspruch zu ihrem Teilentscheid gesetzt.
3.3 In ihrem Teilentscheid vom 14. November 2011 hielt die Vorinstanz für entscheidend, ob die Klage nach neuem Recht rechtzeitig eingereicht worden sei. Sie bejahte dies mit der Begründung, das Vermittlungsverfahren sei freiwillig gewesen, weshalb der Klägerin nach Scheitern der Vermittlung anheimgestellt war, die Klage anhängig zu machen, ohne an eine ihr spezifisch anzusetzende Frist gebunden zu sein. Die Vorinstanz hob indes hervor, dass trotz ihrem Eintretensentscheid offen bleibe, ob mit der Klageeinreichung am 28. August 2008 auch die absolute Verwirkungsfrist nach VG SG [1959] gewahrt worden sei.
In ihrem Endentscheid vom 2. Juli 2012 wies die Vorinstanz die Klage ab, soweit sie darauf eintrat. Sie erwog, die Klägerin hätte die absolute Verwirkungsfrist für die Geltendmachung der mit ihrer Klage erhobenen Ansprüche nur dann wahren können, sofern sie berechtigterweise darauf habe vertrauen dürfen, dass sie das beim Vermittler erhobene Schadenersatzbegehren nach Aufhebung der Sistierung innert dreier Monate fristwahrend beim Kreisgericht Rheintal anhängig machen konnte. Die Klägerin könne sich aber auf einen solchen Vertrauensschutz nicht berufen.
3.4 Diesem Entscheidungsvorgang lässt sich kein Widerspruch entnehmen. Ein solcher ist insbesondere nicht darin zu erblicken, dass die Vorinstanz in ihrem Teilentscheid schrieb, es sei allein entscheidend, dass die Klage auch unter neuem Recht rechtzeitig eingereicht worden sei. Denn die Vorinstanz hat in den Erwägungen ihres Teilentscheids nirgends festgestellt, dass sie selbst das alte Recht im vorliegenden Fall noch für anwendbar halte. Vielmehr erliess sie am Tag des Teilentscheids einen Beweisbeschluss zwecks Klärung der Frage ob - trotz grundsätzlicher Anwendbarkeit von neuem Recht - die Klägerin sich im konkreten Falle auf den Vertrauensschutz berufen könne, um die Einleitung ihrer Klage nach der dreimonatigen Frist gemäss altem Recht zu rechtfertigen.
3.5 Der Entscheidungsvorgang der Vorinstanz leidet mithin nicht an dem von der Beschwerdeführerin behaupteten Widerspruch, womit sich die Willkürrüge als unbegründet erweist.
4. Im Weiteren rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV). Sie macht geltend, die Vorinstanz habe durch die Erwägung, wonach ihr damaliger Rechtsvertreter sich nicht auf die ihm angesetzte dreimonatige Klagefrist habe verlassen dürfen, den verfassungsmässigen Anspruch auf den Schutz von Treu und Glauben verletzt.
4.1 Der in Art. 9 BV verankerte Grundsatz von Treu und Glauben verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens u.a. - wie im vorliegenden Fall - in eine Verfügung, sofern die Person, die sich auf den Vertrauensschutz beruft, berechtigterweise auf diese Grundlage vertrauen durfte und gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sie nicht mehr rückgängig machen kann (BGE 137 I 69 E. 2.5.1 S. 72 f.; 131 II 627 E. 6.1 S. 636 f.; 129 I 161 E. 4.1 S. 170; je mit Hinweisen). In Konkretisierung des Vertrauensschutzes in Fällen unrichtiger Rechtsmittelbelehrung bestimmt Art. 49 BGG, dass den Parteien daraus keine Nachteile erwachsen dürfen, und verankert damit einen Grundsatz allgemeiner Tragweite (BGE 135 III 374 E. 1.2.2.1 mit Hinweis auf BGE 117 Ia 297 E. 2 S. 298 f., BGE 117 Ia 421 E. 2c S. 423 f.; je mit Hinweisen). Wer die Unrichtigkeit erkannte oder bei gebührender Aufmerksamkeit hätte erkennen können, kann sich nicht auf diesen Schutz berufen, wobei allerdings nur eine grobe prozessuale Unsorgfalt der betroffenen Partei oder ihres Anwalts eine unrichtige Rechtsmittelbelehrung aufzuwiegen vermag. Der Vertrauensschutz versagt zudem nur dann, wenn der Mangel in der Rechtsmittelbelehrung für den Rechtsuchenden bzw. seinen Rechtsvertreter allein schon durch Konsultierung der massgebenden Verfahrensbestimmung ersichtlich gewesen wäre; dagegen wird nicht verlangt, neben den Gesetzestexten auch noch die einschlägige Rechtsprechung oder Literatur nachzuschlagen (BGE 135 III 489 E. 4.4 S. 494 mit weiteren Hinweisen).
4.2 Obwohl es sich bei der Ansetzung der Klagefrist nicht im strikten Sinne um eine Rechtsmittelbelehrung handelt, ist es auch bei ihr gerechtfertigt, die von der Rechtsprechung zur unrichtigen Rechtsmittelbelehrung entwickelten Kriterien anzuwenden. Denn in beiden Fällen hängt von der Gewährung oder Ablehnung des Schutzes ab, ob der weitere Verfahrensweg eröffnet bleibt oder aber versperrt wird. Die erste Instanz ist ebenso verfahren und hat Vertrauensschutz gewährt. Die Vorinstanz hat auf die Rechtsprechung zur unrichtigen Rechtsmittelbelehrung Bezug genommen, ohne Zweifel bezüglich ihrer Anwendbarkeit auf den vorliegenden Sachverhalt zu äussern, jedoch die Gewährung von Vertrauensschutz abgelehnt.
5. Das Kreisgericht Rheintal hat einen Amtsbericht eingeholt zu den Umständen, die zu der Ansetzung der Frist von drei Monaten durch das Vermittleramt Rebstein geführt haben.
5.1 Anhand des Amtsberichts stellte die Vorinstanz fest, der frühere Rechtsvertreter der Klägerin habe am 5. März 2008 das Vermittleramt um Aufhebung der Sistierung und Fristansetzung an die Beklagte zur Stellungnahme zum Schadenersatzbegehren ersucht. In ihrer Stellungnahme vom 5. Mai 2008 habe die Beklagte beantragt, es sei auf das Begehren um Aufhebung der Sistierung mangels Zuständigkeit nicht einzutreten, eventualiter sei die Klage abzuweisen. Diese Anträge seien der Klägerin am 9. Mai 2008 mitgeteilt worden. Mit Schreiben vom 2. Juni 2008 habe der frühere Rechtsvertreter der Klägerin dem Vermittleramt mitgeteilt, dass er an dessen Zuständigkeit zur Aufhebung der Sistierung festhalte und die Voraussetzungen für eine direkte Klageerhebung aufgrund des Fr. 30'000.-- übersteigenden Streitwerts für gegeben erachte; er werde die Klage demnächst anhängig machen, weshalb die Angelegenheit für das Vermittleramt Rebstein erledigt sei. Am 4. Juni 2008 schrieb er dem Vermittleramt Rebstein - nach vorgängiger telefonischer Mitteilung - die im Brief vom 2. Juni 2008 enthaltene Aussage, dass sich die Angelegenheit für das Vermittleramt erledigt habe, sei nicht richtig; das Vermittleramt habe in Anwendung von Art. 5 VG SG [1959] eine Frist von drei Monaten zu Klageeinreichung anzusetzen. Mit Verfügung vom 7. Juni 2008 habe der Vermittler den Parteien mitgeteilt, der Vertreter der Klägerin möchte die Klage direkt beim Kreisgericht Rheintal einreichen und habe den Vermittler darauf aufmerksam gemacht, dass gemäss Art. 5 VG SG [1959] der Klägerin dazu eine Frist von drei Monaten anzusetzen sei. In der gleichen Verfügung habe er "formell eine Frist von drei Monaten zur Einreichung der Forderungsklage beim zuständigen Kreisgericht Rheintal" angesetzt. Mit Schreiben vom 9. Juni 2008 habe sich der frühere Rechtsvertreter der Klägerin für das Schreiben vom 7. Juni 2008 bedankt und hinzugefügt, dieses entspreche in jeder Hinsicht seinem Ersuchen gemäss Schreiben vom 4. Juni 2008, weshalb die Angelegenheit für das Vermittleramt Rebstein nunmehr erledigt sei. Die Vorinstanz stellte abschliessend fest, der Vermittler habe im Amtsbericht ausgeführt, er habe dem Gesuch "nach dem Studium der im Schreiben vom 04.06 aufgeführten Begründung und den entsprechenden Passagen im Verantwortlichkeitsgesetz entsprochen". Zudem habe er den damaligen Vertreter der Klägerin in einem separaten (dem Amtsgericht nicht beiliegenden) Schreiben über seinen Entscheid informiert und dabei darauf hingewiesen, er habe damit "Neuland" betreten und hoffe, dass formell alles seine Richtigkeit habe.
5.2 Die Vorinstanz hat die Eignung der Fristansetzungsverfügung, Gegenstand eines Vertrauensschutzes zu bilden, mit der Begründung verneint, der Rechtsvertreter der Klägerin habe seine Meinung bereits vor der Fristansetzung gebildet. Daraus folge, dass letztere für die Klägerin nicht vertrauensbegründend, sondern höchstens vertrauensbestärkend gewesen sei, was für die Gewährung von Vertrauensschutz nicht genügen könne.
Dieser Auffassung kann nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz hat selber anhand des Amtsberichts des Vermittlungsamtes Rebstein festgestellt, dass der frühere Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin im Vorfeld seines Gesuches um Fristansetzung hinsichtlich des weiteren Vorgehens unsicher war und dass der Vermittler nach eigener Aussage dem Gesuch erst nach Studium der in diesem enthaltenen Begründung und den entsprechenden Passagen im Verantwortlichkeitsgesetz entsprach. Unter diesen Umständen konnte die Gutheissung des Gesuches für den Rechtsvertreter der Klägerin sehr wohl vertrauensbildend sein. Daran vermag nichts zu ändern, dass der Vermittler in einem separaten, nicht im Prozess produzierten Schreiben gegenüber dem damaligen Vertreter der Klägerin erwähnt haben soll, er habe mit seiner Verfügung "Neuland" betreten und hoffe, dass formell alles seine Richtigkeit habe.
5.3 Damit war die Entsprechung des Gesuchs auf Ansetzung einer Klagefrist von drei Monaten durch das Vermittlungsverfahren Rebstein grundsätzlich geeignet, einen Vertrauenstatbestand zu Gunsten der Beschwerdeführerin zu schaffen. Demnach ist weiter zu prüfen, ob es dem damaligen Rechtsvertreter nicht ohne grobe prozessuale Unsorgfalt verborgen bleiben konnte, dass die Fristansetzung den konkret anwendbaren Gesetzesnormen nicht entsprach.
5.4 Die Vorinstanz unterzog das VG SG samt den im Jahre 2000 in Kraft gesetzten Änderungen einer vertieften Auslegung. Sie gelangte zum Schluss, es lasse sich zumindest nicht ausschliessen, dass die das Verantwortlichkeitsgesetz betreffenden Änderungen durch das Nachtragsgesetz zum Staatsverwaltungsgesetz ohne Übergangsregelung sofort anwendbar wurden und auch vor Inkrafttreten jenes Nachtragsgesetzes verursachte Schäden umfassen sollten. Diese vorsichtige Schlussfolgerung genügt klarerweise nicht als Grundlage für die Annahme einer groben prozessualen Unsorgfalt des damaligen Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin.
5.5 Die Beschwerdeführerin hat im Vertrauen auf die Beständigkeit der dreimonatigen Fristansetzung eine nachteilige Disposition getroffen, die nicht mehr rückgängig gemacht werden kann, indem sie die volle Länge der Frist in Anspruch nahm.
5.6 Zusammenfassend ergibt sich, dass die Ansetzung der Frist von drei Monaten durch das Vermittleramt Rebstein geeignet war, eine Vertrauensgrundlage zu bilden, dass der Beschwerdeführerin keine grobe prozessuale Unsorgfalt vorgeworfen werden kann und dass sie bezüglich der nachteiligen Disposition der Klageeinreichung in Ausschöpfung der Frist zu schützen ist. Die Vorinstanz hat der Beschwerdeführerin die Berufung auf den Vertrauensschutz zu Unrecht versagt und damit Art. 9 BV verletzt. Die Beschwerde ist deshalb gutzuheissen.
6. Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, dass wenn die Klägerin - wie soeben bejaht - auf die Gesetzeskonformität der dreimonatigen Frist hat vertrauen dürfen, sie durch Eingabe vom 28. August 2008 ihre Klage jedenfalls rechtzeitig vor Ablauf der absoluten Verwirkungsfrist anhängig gemacht hat. Die Vorinstanz hat aber die von der ersten Instanz verneinte Frage, ob die Klägerin durch das Stellen des Vermittlungsbegehrens vom 15. Februar 2002 die relative Verwirkungsfrist gewahrt habe, offen gelassen. Deshalb ist die Sache zum Entscheid über die Frage der Wahrung der relativen Verwirkungsfrist an die Vorinstanz zurückzuweisen.
7. Diesem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der angefochtene Entscheid wird aufgehoben.
2. Die Sache wird an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung zurückgewiesen.
3. Die Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren von Fr. 12'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 14'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni