Sachverhalt:
A. Der 1957 geborene I._ war als Mechaniker in der Firma R._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 18. August 2006 einen Berufsunfall erlitt. Er musste von der Lokomotive eines fahrenden Baustellenzuges abspringen, als deren Bremsen versagten. I._ zog sich dabei verschiedene Schürfungen und Prellungen sowie eine Rissquetschwunde zu. Später wurden auch eine Commotio cerebri und eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 10. April 2008 eröffnete sie dem Versicherten, die Leistungen würden auf den 30. April 2008 eingestellt, und sie verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung führte sie aus, es mangle am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den noch geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 18. August 2006. Die vom Krankenversicherer des I._ hiegegen vorsorglich eingereichte Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 8. September 2008).
B. I._ führte dagegen Beschwerde, welche das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 1. Juli 2009 abwies.
C. I._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, die eingestellten Leistungen über den 30. April 2009 (recte wohl: 2008) hinaus zu erbringen und über die Rente und die Integritätsentschädigung neu zu verfügen. Zudem wird um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 18. August 2006 über den 30. April 2008 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
Die massgeblichen Rechtsgrundlagen sind im angefochtenen Entscheid, zutreffend dargelegt. Das gilt namentlich auch für die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181 mit Hinweisen) sowie bei Beschwerden mit organisch klar ausgewiesenen Unfallfolgen (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (BGE 115 V 133; sog. Psycho-Praxis) und bei nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Beschwerden verbundenen Schleudertraumen der HWS, äquivalenten Verletzungen der HWS und Schädel-Hirntraumen (BGE 134 V 109; sog. Schleudertrauma-Praxis). Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, die noch bestehenden Beschwerden liessen sich nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls vom 18. August 2006 erklären. Die demnach erforderliche besondere Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs habe aufgrund der konkreten Gegebenheiten nach der Psycho-Praxis zu erfolgen.
Diese Beurteilung beruht auf einer zutreffenden Würdigung der Sach- und Rechtslage. Das ist auch nicht umstritten.
4. Die Vorinstanz hat sodann die Frage der natürlichen Kausalität der noch bestehenden Beschwerden nicht weiter geprüft, sondern unmittelbar die Adäquanz beurteilt. Das ist nicht zu beanstanden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen ist (vgl. SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67, U 183/93 E. 3c und seitherige Entscheide). Zu letzterem Ergebnis ist das kantonale Gericht gelangt. Trifft diese Beurteilung zu, was nachfolgend geprüft wird, erübrigt sich auch, auf die Ausführungen des Versicherten zum Bestehen eines natürlich unfallkausalen psychischen Gesundheitsschadens einzugehen.
4.1 Für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Zu prüfen ist im Rahmen einer objektivierten Betrachtungsweise, ob der Unfall eher als leicht, als mittelschwer oder als schwer erscheint, wobei im mittleren Bereich gegebenenfalls eine weitere Differenzierung nach der Nähe zu den leichten oder schweren Unfällen erfolgt (BGE 115 V 133 E. 6 S. 139 ff.; SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07 E. 5.3.1).
Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 18. August 2006 im Bereich der mittelschweren Unfälle und dort nicht nahe den schweren oder den leichten Unfällen eingestuft. Diese Beurteilung ist richtig. Es liegt sicher kein Grenzfall zu den schweren Unfällen oder gar ein schwerer Unfall, wie dies der Versicherte postuliert, vor. Als Unfälle mit diesen Schweregraden werden regelmässig nur Ereignisse mit markant höheren Krafteinwirkungen qualifiziert (vgl. etwa RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.4.1, und Nr. U 548 S. 228, U 306/04 E. 3.2.2; Urteil 8C_609/2007 vom 22. August 2008 E. 4.1.3, je mit Hinweisen). Dass der Beschwerdeführer eine Bedrohungssituation für sich und gegebenenfalls auch für andere Personen wahrnahm, führt entgegen seiner Auffassung zu keinem anderen Ergebnis. Wie die versicherte Person den Unfall erlebt hat, ist bei der hier gebotenen objektivierten Betrachtungsweise ausser Acht zu lassen.
4.2 Bei der gegebenen Unfallschwere müssten von den weiteren massgeblichen Kriterien (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140) für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sein (BGE 115 V 133 E. 6c/bb S. 141). Bei der Prüfung dieser Kriterien sind (anders als nach der sog. Schleudertrauma-Praxis) psychische Aspekte ausser acht zu lassen (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140.; vgl. auch BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112).
Das kantonale Gericht hat sämtliche adäquanzrelevanten Kriterien verneint. Dies wird in Bezug auf drei Kriterien (ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit) nicht begründet in Frage gestellt und ist nach Lage der Akten nicht zu beanstanden.
Der Versicherte macht die Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls, der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung, der körperlichen Dauerschmerzen und - zumindest sinngemäss - das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen geltend. Im Einzelnen ergibt sich Folgendes:
4.3 Die erlittenen Verletzungen waren weder schwer noch besonderer Art. Das Kriterium ist daher nicht erfüllt. In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was eine andere Betrachtungsweise zu rechtfertigen vermöchte.
Von einer ungewöhnlich lange dauernden, kontinuierlichen und mit einer gewissen Planmässigkeit auf die Verbesserung des Gesundheitszustandes gerichteten ärztlichen Behandlung somatischer Unfallfolgen (vgl. Urteile 8C_396/2009 vom 23. September 2009 E. 4.5.2 und 8C_249/2009 vom 3. August 2009 E. 8.4 mit Hinweisen) kann nach Lage der Akten nicht gesprochen werden. Das Kriterium der ärztlichen Behandlung ist daher nicht erfüllt.
Körperliche Dauerschmerzen liegen nicht vor. Die organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden können hiebei nicht berücksichtigt werden (Urteil 8C_396/2009 vom 23. September 2009 E. 4.5.3). Das Kriterium ist somit ebenfalls nicht gegeben.
Es bestehen zwar Anhaltspunkte dafür, das Unfallereignis als eindrücklich zu betrachten. In besonders ausgeprägter Weise ist das entsprechende Kriterium aber jedenfalls nicht erfüllt. Damit kann offen bleiben, ob es überhaupt in der einfachen Form gegeben wäre. Denn auch bejahendenfalls würde dies nicht genügen, um die Adäquanz als erfüllt zu betrachten.
4.4 Das kantonale Gericht hat demnach eine Leistungspflicht für die noch bestehenden Beschwerden zu Recht mangels adäquater Unfallkausalität verneint.
5. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
6. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; zum Erfordernis der Aussichtslosigkeit auch bei der unentgeltlichen Verbeiständung: Urteil 8C_258/2009 vom 24. August 2009 E. 7 mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Oktober 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz