Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer wendet sich dagegen, dass er wegen mehrfacher versuchter vorsätzlicher Tötung zu fünf Jahren Freiheitsstrafe verurteilt wurde. Das angefochtene Urteil vom 13. September 2011 wurde am 11. November 2011 zugestellt.
Da die Beschwerdefrist abgelaufen ist, stellt der Beschwerdeführer ein Gesuch um deren Wiederherstellung im Sinne von Art. 50 BGG. Er macht geltend, sein seinerzeitiger Verteidiger habe auf eine Beschwerde verzichtet, weil eine solche keine Erfolgsaussichten habe. Hat aber der Verteidiger die Beschwerdefrist freiwillig und in Kenntnis aller wichtigen Umstände verstreichen lassen, kommt eine Wiederherstellung der Beschwerdefrist nicht in Betracht. Das Gesuch ist abzuweisen.
Auf die Beschwerde kann ohnehin nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei das Opfer von planvollen Falschaussagen und des Umstandes, dass im kantonalen Verfahren die erforderlichen Beweisanträge nicht gestellt worden seien. Die Beweiswürdigung und die darauf beruhende Feststellung des Sachverhalts können vor Bundesgericht nur angefochten werden, wenn sie offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV sind. Willkür liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 137 I 1 E. 2.4). Die angebliche Willkür ist präzise zu rügen, und die Rüge ist zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG). Diesen Voraussetzungen genügt die nicht weiter ausgeführte Behauptung nicht, man sei ein Opfer von Falschaussagen und einer mangelhaften Beweisaufnahme.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Ausnahmsweise kann auf eine Kostenauflage verzichtet werden.
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Das Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. April 2012
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Schneider
Der Gerichtsschreiber: C. Monn