Fatti:
A. P._, cittadino italiano domiciliato in Svizzera, si è iscritto all'assicurazione disoccupazione in data 13 dicembre 2004 alla ricerca di un impiego a tempo pieno quale operaio di fabbrica, artigiano o autista fattorino. Il termine quadro per la riscossione delle indennità è stato fatto decorrere dal 20 dicembre 2004.
Con decisione del 20 luglio 2006 la Sezione del lavoro del Cantone Ticino ha decretato che per il periodo dal 1° gennaio 2005 al 7 febbraio 2006 avrebbe applicato le disposizioni relative alla capacità lavorativa temporaneamente ridotta. Il provvedimento è stato confermato in data 6 settembre 2006 in seguito all'opposizione presentata dall'assicurato.
B. Contro la decisione su opposizione P._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, adducendo che l'inabilità lavorativa concerneva soltanto i periodi dal 24 marzo 2005 per tre settimane, dal 13 al 19 aprile, dal 7 al 10 luglio (certificato del dottor A._) e dal 16 luglio al 19 agosto (certificato del dottor V._), per un totale di 66 giorni, compresi i sabati e le domeniche.
Con giudizio del 21 maggio 2007 il Presidente del Tribunale adito, statuente in qualità di giudice unico, ha parzialmente accolto il gravame ai sensi dei considerandi, annullato la decisione su opposizione, rinviato gli atti per ulteriori accertamenti conformemente ai considerandi 2.10 e 2.11 e per la pronuncia di un nuovo provvedimento che tenesse conto del fatto che l'art. 28 LADI andava applicato dal 23 marzo al 13 settembre 2005, ma non dal 14 al 22 marzo 2005 né dal 1° gennaio al 7 febbraio 2006.
C. Sia P._ che la Sezione del lavoro interpongono ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendo di accoglierlo. L'amministrazione cantonale postula dal canto suo l'annullamento del giudizio impugnato, con conseguente conferma della decisione su opposizione, mentre l'assicurato l'ammissione dell'esistenza di inabilità lavorativa così come attestato dal curante. Dei motivi si dirà, se necessario, nei considerandi di diritto.
Chiamati a pronunciarsi sui rispettivi gravami, P._ non si è espresso, mentre la Sezione del lavoro ha rinviato al proprio atto ricorsuale.
Da parte sua, la Segreteria di Stato dell'economia ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. I ricorsi di P._ e della Sezione del lavoro concernono fatti di ugual natura e pongono gli stessi temi di diritto materiale, per cui si giustifica la congiunzione delle cause e la pronuncia di una sola sentenza (DTF 128 V 124 consid. 1 pag. 126 e riferimenti).
2. Il giudizio impugnato concerne il diritto a indennità di disoccupazione, in particolare l'applicabilità dell'art. 28 cpv. 1 LADI al periodo dal 1° gennaio 2005 al 7 febbraio 2006 segnatamente l'abilità/inabilità lavorativa dell'assicurato in questo lasso di tempo.
2.1 Il ricorso può essere presentato per violazione del diritto, così come determinato dagli art. 95 e 96 LTF. Il ricorrente può censurare l'accertamento dei fatti soltanto se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 e l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 e 105 cpv. 2 LTF). In effetti per l'art. 105 cpv. 1 LTF il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore, salvo nei casi previsti all'art. 97 cpv. 2 LTF. Il Tribunale federale inoltre non può verificare il giudizio da un punto di vista dell'opportunità (sentenza 9C_72/2007 del 24 luglio 2007, consid. 1.2).
2.2 Se la parte ricorrente intende scostarsi dai fatti stabiliti dall'autorità precedente, deve spiegare in maniera circostanziata per quali motivi ritiene che le condizioni di una delle eccezioni previste dall'art. 105 cpv. 2 LTF sarebbero realizzate; in caso contrario, non è possibile tener conto di uno stato di fatto diverso da quello posto a fondamento della decisione impugnata (art. 97 cpv. 1 LTF; cfr. DTF 130 III 136 consid. 1.4 pag. 140).
In materia di apprezzamento delle prove e constatazione dei fatti l'autorità cade nell'arbitrio se non considera senza motivi seri un mezzo di prova atto a modificare la decisione, se si sbaglia chiaramente sul suo senso o sulla sua portata, o ancora quando, fondandosi sugli elementi raccolti, trae delle conclusioni insostenibili (DTF 129 I 8 consid. 2.1 pag. 9).
2.3 In tale ambito il giudice di merito dispone comunque di un ampio potere di apprezzamento. Per censurare un asserito accertamento arbitrario dei fatti o un'asserita valutazione arbitraria delle prove non è sufficiente che il ricorrente critichi semplicemente la decisione impugnata o che contrapponga a quest'ultima un proprio accertamento o una propria valutazione, per quanto essi siano sostenibili o addirittura preferibili. Egli deve bensì dimostrare per quale motivo l'accertamento dei fatti o la valutazione delle prove da lui criticati sarebbero manifestamente insostenibili o in chiaro contrasto con la situazione di fatto, si fonderebbero su una svista manifesta o contraddirebbero in modo urtante il sentimento della giustizia e dell'equità (DTF 125 I 166 consid. 2a pag. 168; 125 II 10 consid. 3a pag. 15; 124 I 312 consid. 5a pag. 316; 124 V 137 consid. 2b pag. 139 e riferimenti).
2.4 Secondo la giurisprudenza, commette un abuso del proprio potere di apprezzamento, l'autorità che, pur rispettando i limiti di tale suo potere, si lascia guidare da considerazioni non pertinenti, estranee allo scopo della normativa applicabile, o che viola principi generali del diritto, quali in particolare il divieto di arbitrio e della disparità di trattamento nonché le regole della buona fede e della proporzionalità (DTF 123 V 150 consid. 2 pag. 152 con riferimenti).
2.5 Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (art. 106 cpv. 1 LTF). Esso non è vincolato né dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità inferiore; può dunque accogliere un ricorso per motivi diversi da quelli invocati dalla parte insorgente e respingerlo adottando un'argomentazione differente da quella esposta nel giudizio impugnato (cfr. DTF 130 III 136 consid. 1.4 pag. 140). Tenuto conto dell'esigenza di motivazione di cui all'art. 42 cpv. 1 LTF, sotto pena d'inammissibilità (art. 108 cpv. 1 lett. b LTF), il Tribunale federale esamina in linea di principio solo le censure sollevate; esso non è tenuto ad esaminare, come lo farrebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono se queste ultime non sono più oggetto di discussione in sede federale (sentenza 9C_47/2007 del 29 giugno 2007, consid. 1).
3. In via preliminare va rilevato che l'apprezzamento delle prove così come la valutazione dell'incapacità lavorativa configurano questioni di fatto perlomeno nella misura in cui vi è un apprezzamento concreto delle prove e non l'applicazione del principio della generale esperienza della vita. Di conseguenza in tale ambito il Tribunale federale dispone di un potere cognitivo limitato (DTF 132 V 393 consid. 3.2 pag. 397; sentenze 9C_87/2007 del 25 luglio 2007, consid. 2.1, e 9C_72/2007 del 24 luglio 2007, consid. 1.3; Hansjörg Seiler/ Nicolas von Werdt/Andreas Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Berna 2007, no. 11 e 12 all'art. 97).
4. 4.1 Nel caso esaminato il giudice cantonale, alla luce della documentazione medica assunta agli atti dall'amministrazione, ha ritenuto che, per il periodo dal 23 marzo al 13 settembre 2005, l'assicurato andava considerato totalmente inabile al lavoro, confermando pertanto l'applicazione dell'art. 28 LADI. Per contro la Corte di prime cure ha dichiarato inapplicabile la norma ai periodi dal 14 al 22 marzo 2005 e dal 1° gennaio al 7 febbraio 2006. Per i periodi dal 1° gennaio al 13 marzo e dal 14 settembre al 31 dicembre 2005 infine ha considerato necessario approfondire la fattispecie.
4.2 Il giudizio di rinvio impugnato configura una decisione incidentale notificata separatamente ai sensi dell'art. 93 LTF (DTF 133 V 477 consid. 4.1.3 pag. 481). In linea di principio, il ricorso dell'assicurato dovrebbe essere dichiarato irricevibile, ma non quello dell'amministrazione, diretto contro la stessa pronuncia. Vista la congiunzione delle cause, si giustifica tuttavia di riconoscere la ricevibilità di ambedue i ricorsi. Questa soluzione non è contraria allo scopo dell'art. 93 LTF, che è in sostanza quello di evitare un sovraccarico del Tribunale federale, in quanto la Corte deve in ogni modo entrare nel merito del gravame dell'amministrazione.
4.3 Mentre la Sezione del lavoro dal canto suo ritiene che per tutto il periodo contestato e meglio dal 1° gennaio 2005 al 7 febbraio 2006 l'assicurato era incapace al lavoro e che la documentazione medica assunta agli atti a tale scopo è completa e fedefacente, l'assicurato sostiene che vada riconosciuta abilità lavorativa completa già a partire dal 20 aprile 2005 e quindi inabilità lavorativa unicamente nei limiti indicati dai certificati medici del dottor A._ e della Clinica X._, così come attestato dallo stesso medico curante. In questa sede l'interessato fa pure valere una violazione dell'obbligo di essere informato sul tenore dell'art. 28 LADI. Quest'ultima censura, fatta valere la prima volta in questa sede, è tuttavia irricevibile poiché giusta l'art. 99 cpv. 1 LTF nuovi fatti e nuovi mezzi di prova possono essere addotti soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore, il che non si realizza in concreto.
5. 5.1 Come già ricordato dal giudice cantonale, per l'art. 8 cpv. 1 LADI l'assicurato ha diritto all'indennità di disoccupazione, tra l'altro se è idoneo al collocamento (lett. f). Per l'art. 15 capoverso 1 LADI il disoccupato è idoneo al collocamento se è disposto, capace e autorizzato ad accettare un'occupazione adeguata e a partecipare a provvedimenti di reintegrazione. Il servizio cantonale, se esistono dubbi considerevoli sulla capacità lavorativa di un disoccupato, può ordinare un esame da parte di un medico di fiducia, a spese dell'assicurazione contro la disoccupazione (cpv. 3). L'assicurato che, autorizzato dal servizio cantonale, esercita volontariamente un'attività nell'ambito di progetti per disoccupati è considerato idoneo al collocamento (cpv. 4).
L'idoneità al collocamento comprende due elementi: da un lato, l'assicurato deve essere in grado di fornire un lavoro - più particolarmente di esercitare un'attività lucrativa salariata - senza essere impedito per ragioni inerenti alla sua persona; dall'altro, egli deve essere disposto ad accettare un'occupazione adeguata ai sensi dell'art. 16 LADI, ciò che implica non solo la volontà di assumere una simile attività quando l'occasione si presenta, ma pure una disponibilità sufficiente per quanto riguarda il tempo che egli può consacrare ad un impiego offerto e per quel che concerne il numero dei potenziali datori di lavoro (DTF 125 V 51 consid. 6a pag. 58; 123 V 214 consid. 3 pag. 216 con riferimento).
5.2 Per l'art. 28 cpv. 1 LADI gli assicurati la cui capacità lavorativa o la cui idoneità al collocamento è temporaneamente inesistente o ridotta per malattia (art. 3 LPGA), infortunio (art. 4 LPGA) o gravidanza e che non possono pertanto adempiere le prescrizioni di controllo hanno diritto all'intera indennità giornaliera purché soddisfino gli altri presupposti. Questo diritto dura al massimo sino al 30° giorno dopo l'inizio dell'incapacità totale o parziale al lavoro ed è limitato a 44 indennità giornaliere entro il termine quadro. Il Consiglio federale disciplina i particolari. Stabilisce segnatamente il termine per l'esercizio del diritto e le conseguenze di un esercizio tardivo (cpv. 3).
Il pagamento di indennità giornaliere ai lavoratori inabili al lavoro costituisce una deroga al principio dell'idoneità al collocamento. Il cpv. 1 dell'art. 28 LADI sottolinea in particolare il carattere sussidiario dell'obbligo di indennizzare dell'assicurazione disoccupazione (cfr. FF 1980 III pag. 527), nella misura in cui recita che il diritto dura al massimo sino al trentesimo giorno dopo l'inizio dell'incapacità totale o parziale del lavoro ed è limitato a 44 indennità giornaliere entro il termine quadro. Questa eccezione alla regola è stata introdotta al fine di ovviare a situazioni di rigore imputabili a eventuali lacune del vigente sistema di protezione sociale (DLA 1996/1997 no. 43 pag. 207 consid. 5b/aa).
6. 6.1 In primo luogo va posto in evidenza che per quanto riguarda la capacità lavorativa, ammessa dal 14 al 22 marzo 2005 (periodo in cui l'assicurato ha partecipato ad un programma occupazionale, poi interrotto, art. 15 cpv. 4 LADI; si confronti anche il giudizio del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 6 aprile 2006, in cui la Corte interessata ha concluso che l'assicurato non era in grado di portare a termine il programma di occupazione per motivi di salute, non come vorrebbe lasciar intendere la Sezione del lavoro, che l'attività non era adeguata sin dall'inizio) e dal 1° gennaio al 7 febbraio 2006 rispettivamente l'incapacità lavorativa accertata dal 23 marzo al 13 settembre 2005, l'apprezzamento delle prove, dal profilo della cognizione limitata, così come operato dal giudice unico cantonale, non può essere in alcun modo censurato.
Per quanto riguarda in particolare il periodo dal 1° gennaio al 7 febbraio 2006 non vi è alcun medico che abbia attestato (perlomeno in maniera convincente) l'esistenza di inabilità lavorativa. In questo lasso di tempo l'assicurato non si è infatti più recato dal curante, mentre il medico fiduciario dell'assicurazione disoccupazione, oltre a non essere specializzato in psichiatria (non è stato infatti in grado di porre una diagnosi precisa in tale ambito), ha visitato l'assicurato a posteriori, affermando in un primo rapporto (modificando solo in seguito la propria tesi) di non avere elementi per dichiararlo inabile al lavoro; dall'altro dal 7 febbraio fino al 15 agosto dello stesso anno l'assicurato ha temporaneamente lavorato con piena soddisfazione del datore di lavoro. In simili circostanze la valutazione delle prove secondo cui nel lasso di tempo contestato era data abilità lavorativa non può essere considerata in chiaro contrasto con la situazione di fatto né la Corte cantonale ha omesso di considerare un mezzo di prova (il secondo rapporto del medico fiduciario) senza seri motivi.
Pure per il periodo ritenuto di inabilità lavorativa totale dal 23 marzo al 13 settembre 2005 il fatto di non aver considerato il certificato di abilità lavorativa del medico curante a partire dal 20 aprile 2005 poggia su motivi seri. Tenuto conto di un esame complessivo degli atti e meglio di quanto attestato dai medici della Clinica X._ e dallo stesso curante, secondo cui dall'inizio del 2005 lo stato di salute, per problemi familiari e psichici, è andato vieppiù peggiorando fino al ricovero coatto per grave depressione e tentato suicidio il 15 luglio 2005, non si può certo affermare che la valutazione delle prove sia manifestamente insostenibile. Neppure arbitrario infine è aver ricondotto l'inabilità lavorativa al 13 settembre 2005 (e non al 19 agosto, giorno in cui è stato dimesso dalla clinica), data della conclusione del programma occupazionale, ritenuto che l'assicurato non vi ha partecipato e che i medici della clinica psichiatrica hanno delegato ai curanti il compito di stabilire l'(in)abilità lavorativa.
In simili condizioni questa Corte è vincolata all'accertamento dei fatti e all'apprezzamento delle prove operati dall'istanza precedente, e quindi alla valutazione della capacità/incapacità lavorativa nei periodi contestati.
6.2 Neppure per quanto riguarda il rinvio della causa, per ulteriori accertamenti, in ordine ai periodi dal 1° gennaio al 13 marzo e dal 14 settembre al 31 dicembre 2005, si ravvisa alcun apprezzamento manifestamente errato delle prove.
In effetti se è ben vero che il peggioramento dello stato di salute è intervenuto progressivamente da gennaio 2005 e che esso va con grande verosimiglianza ritenuto la causa dell'inabilità lavorativa totale a far tempo dal 23 marzo 2005, è altrettanto vero che non è dato di sapere in concreto se tale limitazione fosse data sin dall'inizio e altresì in quale misura. Malgrado i medici della clinica X._ abbiano attestato a posteriori, anche alla luce di informazioni fornite dal Servizio psicosociale Y._ (SPS), un'inabilità lavorativa totale e si sia fatto ripetutamente riferimento a contatti con tale servizio nel 2005 da parte dell'interessato, non vi è agli atti alcun rapporto medico in tal senso. Il medico fiduciario si è inoltre espresso solo per il periodo a partire da marzo 2005, mentre il medico curante ha attestato soltanto un'incapacità temporanea nel dicembre 2004 e nuovamente dal 24 marzo 2005.
Il rinvio decretato ai fini dell'approfondimento della questione tramite ulteriori accertamenti da svolgere presso il SPS non è pertanto frutto di una valutazione arbitraria delle prove, bensì della constatazione che i fatti così come accertati risultavano incompleti.
Lo stesso vale infine a maggior ragione per quanto riguarda il periodo dal 14 settembre al 31 dicembre 2005 in quanto la documentazione medica agli atti era nettamente insufficiente per statuire sull'inabilità lavorativa dell'assicurato.
Ne consegue che il giudizio secondo cui ulteriori accertamenti sono necessari è pertanto tutt'altro che arbitrario.
7. Alla luce di quanto sopra esposto il giudizio impugnato non si fonda su un accertamento manifestamente errato dei fatti, né su un apprezzamento arbitrario delle prove; di conseguenza dev'essere confermato, mentre i ricorsi, nella misura in cui sono ricevibili, vanno respinti.
8. Le spese seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF). In quanto autorità agente nell'esercizio delle sue attribuzioni ufficiali, alla Sezione cantonale del lavoro, pure soccombente, non vengono addossate spese giudiziarie (art. 66 cpv. 4 LTF; cfr. DTF 133 V 637 consid. 4.5 pag. 639).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Le cause 8C_327/2007 e 8C_295/2007 sono congiunte.
2. Nella misura in cui sono ammissibili, i ricorsi sono respinti.
3. Le spese giudiziarie di fr. 400.- sono poste a carico di P._.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e alla Segreteria di Stato dell'economia.