Faits:
A. A.a P._, parqueteur de formation, a exercé en Suisse plusieurs professions, en travaillant notamment en qualité d'ajusteur-monteur et de poseur de plafonds. Au chômage, il a été victime le 5 avril 2008 d'un accident à la main droite ayant entraîné une contusion, avec entorse des trois premières articulations métacarpophalangiennes, dont l'évolution a été défavorable et a nécessité plusieurs interventions effectuées à la Clinique X._ par le professeur E._, spécialiste FMH en chirurgie plastique et reconstructive, chirurgie de la main. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: la CNA) a pris en charge le cas.
A la suite d'un séjour du prénommé durant le mois d'août 2010 à la Clinique Y._, les docteurs K._ (spécialiste FMH en rhumatologie) et M._ - médecins associé et assistant du Service de réadaptation de l'appareil locomoteur -, dans un rapport du 23 septembre 2010, ont posé le diagnostic principal de thérapies physiques et fonctionnelles pour douleurs persistantes et raideur de l'index droit. Ils indiquaient que l'incapacité de travail restait totale dans des activités nécessitant les ports de charges lourdes, demandant de la force de serrage au niveau de la main et des mouvements très répétitifs de préhension et que dans une activité respectant ces limitations, on pouvait s'attendre à une capacité de travail totale. Dans un examen médical final du 21 octobre 2010, le docteur O._, médecin d'arrondissement, a considéré que la situation était stabilisée et que l'exigibilité était complète dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles. Partageant ce point de vue, le professeur E._, dans une lettre du 3 décembre 2010, a renouvelé son avis selon lequel le patient ne pourrait reprendre une activité de parqueteur et il appartenait à l'assurance-invalidité de mettre en oeuvre une réadaptation professionnelle. Par décision du 10 mars 2011, confirmée sur opposition le 31 mai 2011, la CNA a alloué à P._ une rente d'invalidité à partir du 1er avril 2011 pour une incapacité de gain de 13 %.
A.b La CNA a annoncé à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud une incapacité de travail de 100 % depuis le 5 avril 2008, pour une détection précoce. Un entretien s'est tenu le 2 octobre 2008, à la suite duquel P._ a présenté le 4 mars 2009 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 10 décembre 2010, le docteur L._, médecin SMR, se fondant sur les conclusions du docteur O._ dans l'examen médical final du 21 octobre 2010, a retenu que l'assuré avait présenté une incapacité de travail de 100 % depuis le 5 avril 2008 et que la capacité de travail exigible était nulle dans l'activité de parqueteur et de 100 % dans une activité adaptée, le début de l'aptitude à la réadaptation remontant à août 2010 séjour à la Clinique Y._.
Dans un préavis du 9 février 2011, l'office AI a informé P._ qu'il avait présenté une incapacité de travail de 100 % dès le 5 avril 2008 et une invalidité de 100 % à partir du 5 avril 2009 et que dès le mois d'août 2010, une pleine capacité de travail était exigible de sa part dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles (pas de port de charges lourdes, pas de travaux de force avec la main droite ni de gestes répétitifs de préhension avec cette main), de sorte qu'il avait droit à une rente entière d'invalidité à partir du 1er septembre 2009 (soit six mois après le dépôt de la demande) jusqu'au 30 novembre 2010 (soit trois mois après l'amélioration de son état de santé) vu que son invalidité était désormais de 10 %, compte tenu d'un revenu sans invalidité de 61'385 fr. 65 et d'un revenu d'invalide de 55'247 fr. 08 par année (valeur 2010). Par décision du 11 août 2011, il lui a alloué une rente entière d'invalidité du 1er septembre 2009 au 30 novembre 2010.
B. Le 14 septembre 2011, P._ a formé recours contre la décision de l'office AI du 11 août 2011 devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, la cause étant renvoyée à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision. A titre subsidiaire, il concluait à ce que cette décision soit réformée en ce sens qu'il avait droit à une rente entière d'invalidité. Produisant un rapport du professeur E._ du 23 mars 2011 établi à la suite d'une consultation ayant eu lieu le jour précédent et adressé à la CNA, dont il alléguait qu'il attestait une aggravation de son état de santé, il requérait la mise en oeuvre d'une expertise médicale à confier à un spécialiste en chirurgie de la main, en proposant à choix le nom de deux collègues du professeur E._.
Dans sa réponse du 17 octobre 2011, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, concluant au rejet du recours, a relevé que dans un avis du 23 mai 2011, le docteur O._, auquel le rapport du professeur E._ du 23 mars 2011 avait été soumis, indiquait que l'impact fonctionnel était minime et que les limitations fonctionnelles restaient strictement identiques à celles retenues jusqu'alors. P._ a dans un premier temps déposé des observations le 28 novembre 2011, puis produit le 14 juin 2012 un rapport du professeur E._ du 8 juin 2012 qui soutenait sa demande d'expertise médicale.
Par arrêt du 18 juillet 2012, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. P._ interjette un recours contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, la cause étant renvoyée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud pour complément d'instruction dans le sens des considérants de l'arrêt de renvoi et nouvelle décision.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours interjeté céans est formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF) - incluant les droits fondamentaux - et est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), sans qu'une des exceptions prévues à l'art. 83 LTF soit réalisée. La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte.
1.2 Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement en cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire insoutenable, voire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références). Il appartient au recourant de démontrer le caractère insoutenable ou arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 136 II 304 consid. 2.5 p. 314, 135 III 127 consid. 1.6 p. 130 et l'arrêt cité, 232 consid. 1.2 p. 234, 134 II 244 consid. 2.2 p. 246, 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254, 396 consid. 3.1 p. 399).
1.3 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 s. continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application du droit par cette dernière (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité - dans la mesure où elle dépend d'une évaluation de la personne concrète, de son état de santé et de ses capacités fonctionnelles - relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398). Ces principes s'appliquent également en ce qui concerne la question de savoir si la capacité de travail, respectivement l'incapacité de travail, de l'assuré s'est modifiée d'une manière déterminante sous l'angle de la révision au cours d'une certaine période (par exemple arrêt 9C_175/2011 du 5 mars 2012 consid. 1.4).
2. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente entière d'invalidité, singulièrement sur le point de savoir si le recourant a présenté depuis le mois d'août 2010 une pleine capacité de travail dans une activité adaptée et si les conditions étaient réunies pour que l'office AI supprime à partir du 1er décembre 2010 son droit à une rente d'invalidité.
2.1 Les règles et principes jurisprudentiels sur la révision du droit à une rente d'invalidité (art. 17 al. 1 LPGA; ATF 130 V 343 consid. 3.5 p. 349; voir également ATF 133 V 545) sont applicables lorsque la décision de l'assurance-invalidité accordant une rente avec effet rétroactif prévoit en même temps la suppression de cette rente (ATF 131 V 164 consid. 2.2 p. 165, 125 V 413 consid. 2d p. 417 s. et les références).
2.2 Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales relatives aux notions d'incapacité de gain (art. 7 al. 1 et 2 LPGA depuis le 1er janvier 2008) et d'invalidité (art. 4 al. 1 LAI et art. 8 al. 1 LPGA) et les règles légales régissant l'évaluation de l'invalidité des assurés exerçant une activité lucrative (art. 16 LPGA en corrélation avec l'art. 28a al. 1 LAI depuis le 1er janvier 2008) et jurisprudentielles dont il y a lieu de relever qu'elles continuent à s'appliquer après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la novelle du 6 octobre 2006 [5e révision de l'AI] (arrêt 8C_373/2008 du 28 août 2008, consid. 2.1).
2.3 Les règles et principes jurisprudentiels sur la valeur probante d'un rapport médical (ATF 134 V 231 consid. 5.1 p. 232, 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469, 125 V 351 consid. 3a p. 352) sont exposés de manière correcte dans le jugement entrepris, auquel on peut renvoyer. Il n'existe pas, dans la procédure d'octroi ou de refus de prestations d'assurances sociales, de droit formel à une expertise menée par un médecin externe à l'assurance (ATF 135 V 465 consid. 4.3 p. 468). Il convient toutefois d'ordonner une telle expertise si des doutes, même faibles, subsistent quant à la fiabilité et à la pertinence des constatations médicales effectuées par le service médical interne de l'assurance (ATF 135 V 465 consid. 4.6 p. 471).
3. Les premiers juges ont constaté que le médecin du SMR dans son rapport du 10 décembre 2010 et l'office AI dans son préavis de rente du 9 février 2011 s'étaient fondés sur l'instruction à laquelle avait procédé la CNA, singulièrement sur le rapport du 23 septembre 2010 des docteurs K._ et M._ et l'examen médical final du 21 octobre 2010 du docteur O._, disponibles à ce moment-là, dont il résultait que l'assuré présentait une capacité de travail entière dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles. Ils ont considéré qu'il n'y avait pas de contradictions ni même de différences d'appréciation dans les avis médicaux disponibles, que l'instruction était complète sur le plan médical et que les rapports disponibles étaient probants, que les rapports des médecins de la CNA avaient la portée d'une expertise médicale dès lors qu'il n'y avait pas de doute quant à la fiabilité et à la pertinence de leurs constatations et qu'il ne se justifiait donc pas de mettre en oeuvre une nouvelle expertise. Avec l'office AI, ils ont retenu que le recourant, depuis sa sortie fin août 2010 de la Clinique Y._, présentait une pleine capacité de travail exigible dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles.
3.1 La juridiction cantonale a considéré qu'on pouvait déduire de l'avis du professeur E._ du 3 décembre 2010 qu'une capacité de travail existait dans une activité professionnelle adaptée. En ce qui concerne le rapport du professeur E._ du 23 mars 2011, il ne permettait pas d'établir l'existence d'une aggravation significative, du point de vue de l'appréciation de la capacité d'exercer une activité professionnelle adaptée. Les premiers juges ont indiqué les motifs pour lesquels le rapport du 23 mars 2011 n'était pas déterminant, en relevant qu'ils étaient bien exposés par la CNA dans la décision sur opposition du 31 mai 2011, et ont conclu que l'office AI était fondé "à faire en quelque sorte abstraction" de ce nouveau rapport médical puisque la situation était inchangée. S'agissant du rapport du professeur E._ du 8 juin 2012, il n'apportait en somme rien de nouveau sur le plan médical (en ce qui concerne la capacité d'exercer une activité adaptée) et dans la mesure où ce rapport faisait état d'une éventuelle aggravation postérieure à la décision administrative litigieuse du 11 août 2011, cette évolution n'était pas pertinente pour apprécier la légalité de la suppression du droit à une rente d'invalidité à partir du 1er décembre 2010.
3.2 Le recourant fait valoir pour l'essentiel que sur le vu des rapports du professeur E._ des 23 mars 2011 et 8 juin 2012, il subsiste un doute quant à la survenance d'une aggravation, doute que l'avis du médecin d'arrondissement de la CNA du 23 mai 2011 et le raisonnement tenu par la CNA dans la décision sur opposition du 31 mai 2011 n'ont pas suffi à lever. Il allègue que dans ces circonstances, il se justifiait de mettre en oeuvre une expertise médicale et reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves, singulièrement d'avoir établi les faits de façon manifestement inexacte et en violation de son droit d'être entendu.
3.3 Le fait que les premiers juges ont considéré que la décision sur opposition de la CNA du 31 mai 2011 exposait bien les motifs pour lesquels le rapport du professeur E._ du 23 mars 2011 n'était pas déterminant n'infirme en rien leur appréciation des faits. Ils ont constaté que le rapport du professeur E._ du 23 mars 2011 faisait état de "plaintes subjectives", qui n'étaient en elles-mêmes pas propres à établir une aggravation de l'état de santé; sur le plan objectif, ce rapport ne retenait pas de restriction à l'usage de la main. Il n'apparaît pas que ces constatations soient manifestement inexactes. Ainsi que cela ressort du jugement entrepris, le professeur E._ a indiqué dans le rapport mentionné ci-dessus, établi à la suite d'une consultation du 22 mars 2001, que les plaintes subjectives de l'assuré étaient majeures - vives douleurs, impossibilité d'utiliser l'index compromettant l'usage global de la main -, qu'objectivement on mesurait une mobilité 0-15-55, qu'il existait un léger oedème et qu'une radiographie faite le jour même avait montré une prothèse parfaitement bien en place. Il résulte de ce qui précède que le professeur E._, qui partageait dans sa lettre du 3 décembre 2010 le point de vue des médecins de la CNA considérant la situation comme stabilisée, n'a pas remis en cause ce point de vue dans son rapport du 23 mars 2011. Le recours est mal fondé de ce chef.
3.4 Il n'est nullement démontré par une argumentation qui réponde aux exigences de l'art. 42 al. 2, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (supra, consid. 1.2) que la juridiction cantonale, en retenant que depuis sa sortie fin août 2010 de la Clinique Y._ le recourant présentait une pleine capacité de travail exigible dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles, ait établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit.
Le recourant ne se trouve pas dans la situation dont il est question dans l'arrêt ATF 135 V 465 consid. 4.6 p. 471. Le jugement entrepris expose que dans son avis du 23 mai 2011, le médecin d'arrondissement de la CNA a noté que selon l'examen du professeur E._ il y avait effectivement une petite aggravation avec l'apparition d'un flexum de 15°, que l'impact fonctionnel était minime et que les limitations fonctionnelles étaient strictement identiques. Les affirmations du recourant selon lesquelles le médecin d'arrondissement a limité son travail à un simple avis de deux phrases, refusant de le convoquer alors même qu'il utilisait les termes d'"aggravation" et d'"impact fonctionnel", ne permettent pas de considérer que l'avis mentionné ci-dessus du 23 mai 2011 est en contradiction manifeste avec le rapport du professeur E._ du 23 mars 2011, ni qu'il subsiste des doutes, même faibles, quant à la fiabilité et à la pertinence des constatations des médecins de la CNA.
En définitive, les rapports des médecins de la CNA et du SMR suffisaient pour statuer en pleine connaissance de cause, de sorte que la juridiction cantonale pouvait se dispenser d'administrer d'autres preuves (appréciation anticipée des preuves), une telle manière de procéder ne violant pas le droit d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst. (ATF 136 I 229 consid. 5.3 p. 236, 124 V 90 consid. 4b p. 94, 122 V 157 consid. 1d p. 162). Il est conforme à la jurisprudence d'apprécier la légalité de la décision attaquée d'après l'état de fait existant au moment de la clôture de la procédure administrative (ATF 131 V 242 consid. 2.1 p. 143, 121 V 362 consid. 1b p. 366), ce qu'ont fait les premiers juges en retenant que dans la mesure où il était fait état dans le rapport du professeur E._ du 8 juin 2012 d'une éventuelle aggravation postérieure à la décision administrative litigieuse du 11 août 2011, cette évolution n'était pas pertinente pour apprécier la légalité de la suppression du droit à une rente d'invalidité à partir du 1er décembre 2010. Le recours est mal fondé.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 19 mars 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Wagner