Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1975 geborene A._, gelernte Laboristin, war ab anfangs Oktober 1998 in einem Restaurant der Firma X._ als Kassierin/Verkäuferin angestellt und bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: "Zürich") obligatorisch gegen Unfälle versichert. Am 22. November 1998 wurde sie am Steuer ihres Personenwagens in eine Auffahrkollision mit drei beteiligten Fahrzeugen verwickelt: Nachdem sie ihren Wagen als zweites Fahrzeug hinter einem Fussgängerstreifen angehalten hatte, konnte der hinter ihr fahrende Verkehrsteilnehmer seinen Personenwagen wegen Unaufmerksamkeit nicht mehr voll abbremsen. Er fuhr auf den Wagen der Versicherten auf und schob diesen in das Heck des davor stehenden Fahrzeugs. Wegen am folgenden Tag auftretender Nackenschmerzen suchte A._ ihren Hausarzt Dr. S._ auf, welcher ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte und eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bescheinigte. Vom 9. bis 11. Dezember 1998 unternahm die Versicherte an ihrer bisherigen Stelle einen - misslungenen - Arbeitsversuch. In der Folge ging sie keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Die "Zürich" richtete Taggelder aus und übernahm die Heilbehandlung, so auch die stationären Aufenthalte in der Rheuma- und Rehabilitationsklinik Y._ (vom 8. bis 29. April 1999) sowie in der Klinik für Neurologische Rehabilitation Q._ (vom 6. bis 27. November 2000). Mit Verfügung vom 10. Dezember 2001, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 10. Mai 2002, stellte die "Zürich" ihre Leistungen auf das Verfügungsdatum hin ein, weil der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und den noch vorhandenen gesundheitlichen Beschwerden verneint werden müsse.
A. Die 1975 geborene A._, gelernte Laboristin, war ab anfangs Oktober 1998 in einem Restaurant der Firma X._ als Kassierin/Verkäuferin angestellt und bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: "Zürich") obligatorisch gegen Unfälle versichert. Am 22. November 1998 wurde sie am Steuer ihres Personenwagens in eine Auffahrkollision mit drei beteiligten Fahrzeugen verwickelt: Nachdem sie ihren Wagen als zweites Fahrzeug hinter einem Fussgängerstreifen angehalten hatte, konnte der hinter ihr fahrende Verkehrsteilnehmer seinen Personenwagen wegen Unaufmerksamkeit nicht mehr voll abbremsen. Er fuhr auf den Wagen der Versicherten auf und schob diesen in das Heck des davor stehenden Fahrzeugs. Wegen am folgenden Tag auftretender Nackenschmerzen suchte A._ ihren Hausarzt Dr. S._ auf, welcher ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) diagnostizierte und eine vollständige Arbeitsunfähigkeit bescheinigte. Vom 9. bis 11. Dezember 1998 unternahm die Versicherte an ihrer bisherigen Stelle einen - misslungenen - Arbeitsversuch. In der Folge ging sie keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. Die "Zürich" richtete Taggelder aus und übernahm die Heilbehandlung, so auch die stationären Aufenthalte in der Rheuma- und Rehabilitationsklinik Y._ (vom 8. bis 29. April 1999) sowie in der Klinik für Neurologische Rehabilitation Q._ (vom 6. bis 27. November 2000). Mit Verfügung vom 10. Dezember 2001, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 10. Mai 2002, stellte die "Zürich" ihre Leistungen auf das Verfügungsdatum hin ein, weil der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und den noch vorhandenen gesundheitlichen Beschwerden verneint werden müsse.
B. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 18. August 2003 ab. Gleichzeitig sprach das kantonale Gericht dem Rechtsvertreter der Versicherten zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung eine Entschädigung von Fr. 2152.- aus der Staatskasse zu.
B. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt wies die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 18. August 2003 ab. Gleichzeitig sprach das kantonale Gericht dem Rechtsvertreter der Versicherten zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung eine Entschädigung von Fr. 2152.- aus der Staatskasse zu.
C. A._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Antrag auf Weiterausrichtung der gesetzlichen Leistungen über den 10. Dezember 2001 hinaus. Überdies lässt sie auch für das letztinstanzliche Verfahren um Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung ersuchen.
Die "Zürich" schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherung auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Unter sämtlichen Verfahrensbeteiligten ist letztinstanzlich unbestritten, dass der für die Leistungspflicht des Unfallversicherers zunächst vorausgesetzte natürliche Kausalzusammenhang (BGE 129 V 181 Erw. 3.1, 406 Erw. 4.3.1, je mit Hinweisen) zwischen dem am 22. November 1998 erlittenen Verkehrsunfall und den über den 10. Dezember 2001 hinaus anhaltenden Beschwerden (neurasthenisches Syndrom [mit dysphorischer Verstimmung und rascher Erschöpfung in Verbindung mit somatischen Beschwerden], anhaltende somatoforme Schmerzstörung mit Beschwerden im Bereich der gesamten Wirbelsäule [mit pseudoradikulärer Ausstrahlung in die unteren Extremitäten], kribbelnden Missempfindungen und Schwellungen in beiden Händen, wetterabhängigen Kniegelenksbeschwerden sowie Kopfschmerzen) mit Blick auf das in erster Linie heranzuziehende Gutachten des Neurologen und Psychiaters Dr. K._, Chefarzt der Klinik für Neurologische Rehabilitation Q._, vom 15. Januar 2001 (einschliesslich des zugehörigen neuropsychologischen Teilgutachtens) mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zumindest im Sinne einer Teilkausalität gegeben ist. Von der in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragten ergänzenden medizinischen Abklärung der Unfallkausalität kann unter diesen Umständen abgesehen werden.
1.2 Die Vorinstanz hat sodann im angefochtenen Entscheid die Rechtsprechung zum für die Leistungspflicht des Unfallversicherers weiter vorausgesetzten adäquaten Kausalzusammenhang zwischen einem Unfall mit Schleudertrauma der HWS ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle und den hernach andauernden Beschwerden mit Einschränkung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit (BGE 117 V 359) zutreffend wiedergegeben. Das kantonale Gericht hat überdies richtig dargelegt, dass die Beurteilung der Adäquanz in denjenigen Fällen, in welchen die zum typischen Beschwerdebild eines Schleudertraumas der HWS gehörenden Beeinträchtigungen zwar teilweise gegeben sind, im Vergleich zur vorliegenden ausgeprägten psychischen Problematik aber ganz in den Hintergrund treten, nach der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfällen geltenden Rechtsprechung (BGE 115 V 133) vorzunehmen ist (BGE 127 V 103 Erw. 5b/bb, 123 V 99 Erw. 2a mit Hinweisen; vgl. auch RKUV 2002 Nr. U 465 S. 437). Gleiches gilt, wenn die im Anschluss an den Unfall auftretenden psychischen Störungen nicht zum typischen Beschwerdebild eines HWS-Traumas gehören. Erforderlichenfalls ist vorgängig der Adäquanzbeurteilung zu prüfen, ob es sich bei den im Anschluss an den Unfall geklagten psychischen Beeinträchtigungen um blosse Symptome des erlittenen Traumas oder aber um eine selbstständige (sekundäre) Gesundheitsschädigung handelt, wobei für die Abgrenzung insbesondere Art und Pathogenese der Störung, das Vorliegen konkreter unfallfremder Faktoren oder der Zeitablauf von Bedeutung sind (RKUV 2001 Nr. U 412 S. 80; Urteil F. vom 26. November 2001, U 409/00).
1.2 Die Vorinstanz hat sodann im angefochtenen Entscheid die Rechtsprechung zum für die Leistungspflicht des Unfallversicherers weiter vorausgesetzten adäquaten Kausalzusammenhang zwischen einem Unfall mit Schleudertrauma der HWS ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle und den hernach andauernden Beschwerden mit Einschränkung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit (BGE 117 V 359) zutreffend wiedergegeben. Das kantonale Gericht hat überdies richtig dargelegt, dass die Beurteilung der Adäquanz in denjenigen Fällen, in welchen die zum typischen Beschwerdebild eines Schleudertraumas der HWS gehörenden Beeinträchtigungen zwar teilweise gegeben sind, im Vergleich zur vorliegenden ausgeprägten psychischen Problematik aber ganz in den Hintergrund treten, nach der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfällen geltenden Rechtsprechung (BGE 115 V 133) vorzunehmen ist (BGE 127 V 103 Erw. 5b/bb, 123 V 99 Erw. 2a mit Hinweisen; vgl. auch RKUV 2002 Nr. U 465 S. 437). Gleiches gilt, wenn die im Anschluss an den Unfall auftretenden psychischen Störungen nicht zum typischen Beschwerdebild eines HWS-Traumas gehören. Erforderlichenfalls ist vorgängig der Adäquanzbeurteilung zu prüfen, ob es sich bei den im Anschluss an den Unfall geklagten psychischen Beeinträchtigungen um blosse Symptome des erlittenen Traumas oder aber um eine selbstständige (sekundäre) Gesundheitsschädigung handelt, wobei für die Abgrenzung insbesondere Art und Pathogenese der Störung, das Vorliegen konkreter unfallfremder Faktoren oder der Zeitablauf von Bedeutung sind (RKUV 2001 Nr. U 412 S. 80; Urteil F. vom 26. November 2001, U 409/00).
2. 2.1 Dr. K._ gelangte in seinem einlässlichen neurologischen und psychiatrischen Gutachten vom 15. Januar 2001 zum Schluss, dass auf Grund der zwei Jahre nach dem Unfallereignis weiter anhaltenden Beschwerdesymptomatik, des zusätzlichen Auftretens neuartiger Symptome sowie der Beschwerdeprogredienz nicht von einem typischen Verlauf nach erlittener "leichtgradiger HWS-Distorsion" ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle ausgegangen werden könne. Der Gutachter verweist neben dem Vorzustand bezüglich Nackenbeschwerden (beginnende Osteochondrose C5/6, initial linksseitige Unkarthrose) und vorbestehenden Kopfschmerzen (die Beschwerdeführerin wurde deswegen neun Tage vor dem Unfall neurologisch abgeklärt, wobei das EEG einen Grenzbefund zu einer leichten unspezifischen Allgemeinveränderung ergab) insbesondere auf das psychosoziale Umfeld und "Bewältigungsstrategien im Umgang mit schwierigen Situationen": Nach der 1994 bestandenen Lehrabschlussprüfung konnte die Versicherte wegen einer Allergie nie als Laboristin arbeiten und fand in beruflicher Hinsicht auch anderweitig den Tritt nicht. Zufolge der Angaben gegenüber dem Psychologen M._, Rehabilitationszentrum Q._, welcher das erwähnte neuropsychologische Teilgutachten erstellte, übte die Beschwerdeführerin "nach einem einjährigen psychischen Down (...) verschiedene Gelegenheitsjobs" aus. Die anschliessend begonnene Lehre als Medizinlaborantin habe 1996 mit der Entlassung der Versicherten geendet. Die Aufnahmeprüfung für eine ähnliche Schule habe die Beschwerdeführerin nicht bestanden, eine weitere in Angriff genommene Ausbildung in einer Abendschule von sich aus abgebrochen. Überdies ist den Akten zu entnehmen, dass sich die Versicherte im Zeitpunkt des Unfalls bei der Firma X._ noch im Probearbeitsverhältnis befunden hat, welches in der Folge vonseiten der Arbeitgeberin gekündigt wurde. Nach Auffassung des neurologischen und psychiatrischen Experten Dr. K._ ist die geschilderte psychosoziale Problematik im Wesentlichen dafür verantwortlich, dass die berufliche Wiedereingliederung bisher scheiterte und es zu einer Chronifizierung der Beschwerdesymptomatik gekommen ist. Auch der Verfasser des neuropsychologischen Teilgutachtens erblickt in den verschiedenen psychosozialen Belastungsfaktoren "wie mangelnde monetäre Ressourcen und der in den letzten Jahren missglückte Berufseinstieg (drohende Perspektivlosigkeit)" Gründe für eine (drohende) Chronifizierung der Schmerzen.
2.2 Im Hinblick auf diese medizinischen Beurteilungen ist davon auszugehen, dass sich im Anschluss an das beim Unfall erlittene Schleudertrauma der HWS eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10: F45.4) und ein neurasthenisches Syndrom (ICD-10: F48.0) entwickelt haben (S. 24 des Gesamtgutachtens vom 15. Januar 2001). Bei diesem Prozess wirkten gemäss den Erkenntnissen des Neurologen und Psychiaters Dr. K._ und des Psychologen M._ insbesondere unfallfremde psychosoziale Faktoren mit, wobei das Unfallgeschehen selbst in den Hintergrund getreten zu sein scheint. Die diagnostizierten psychischen Leiden der Beschwerdeführerin bilden jedenfalls nicht Teil des typischen ("bunten") Beschwerdebildes nach HWS-Traumen (vgl. hiezu BGE 117 V 360 Erw. 4b und 382 Erw. 4b) und stellen daher nicht primäre Folgen des Unfalls dar. Vielmehr handelt es sich um selbstständige sekundäre Gesundheitsschädigungen. Es ist somit nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz im Ergebnis zum Schluss gelangte, dass der adäquate Kausalzusammenhang nach Massgabe der in BGE 115 V 138 Erw. 6 und 407 Erw. 5 entwickelten und seither ständig angewandten Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (vgl. BGE 129 V 183 Erw. 4.1) zu beurteilen ist, d.h. mit der Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten der unfallbezogenen Merkmale (BGE 117 V 367 Erw. 6a in fine; SVR 2003 UV Nr. 12 S. 36 Erw. 3.2.3).
3. 3.1 Auf Grund des augenfälligen Geschehensablaufs und der erlittenen Verletzungen ist der Autounfall vom 22. November 1998 - in Übereinstimmung mit der Beschwerdeführerin und entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts - dem Bereich der mittelschweren Unfälle und innerhalb dieses Rahmens eher den leichteren Fällen zuzuordnen (vgl. RKUV 2003 Nr. U 489 S. 360 Erw. 4.2 am Anfang). In diesem Zusammenhang gilt es festzuhalten, dass unfallanalytische Erkenntnisse und biomechanische Überlegungen allenfalls gewichtige Anhaltspunkte zur mit Blick auf die Adäquanzprüfung relevanten Schwere des Unfallereignisses zu liefern vermögen; sie bilden jedoch rechtsprechungsgemäss für sich allein in keinem Fall eine hinreichende Grundlage für die Kausalitätsbeurteilung (RKUV 2003 Nr. U 489 S. 359 mit Hinweisen). Für die Bejahung der adäquaten Kausalität wäre daher erforderlich, dass zumindest ein einzelnes unfallbezogenes Kriterium in besonders ausgeprägter Weise erfüllt ist oder dass die praxisgemäss zu berücksichtigenden Merkmale in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sind (BGE 117 V 367 Erw. 6b, 384 Erw. 4c, 115 V 140 Erw. 6c/bb, 409 Erw. 5c/bb).
3.2 Der Unfall ereignete sich bei objektiver Betrachtung weder unter besonders dramatischen Begleitumständen, noch war er durch eine besondere Eindrücklichkeit gekennzeichnet. Ferner kann weder von einer schweren noch von einer im Hinblick auf die in Frage stehende Adäquanzbeurteilung besonders gearteten Verletzung gesprochen werden. Für eine ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hätte, fehlen jegliche Hinweise. Des Weitern kann insofern nicht von einer ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung gesprochen werden, als diese etwa ein Jahr nach dem Unfallereignis vom 22. November 1998 in immer stärkerem Masse durch die psychogene Fehlverarbeitung bestimmt wurde und sich immer weniger gegen die primären Unfallfolgen richtete. Dieser Wandel vom nach dem Unfallereignis bestehenden vielschichtigen somatisch-psychischen Beschwerdebild nach erlittenem HWS-Trauma zur davon klar abzugrenzenden sekundären Gesundheitsschädigung psychogener Natur (neurasthenisches Syndrom, anhaltende somatoforme Schmerzstörung) vollzog sich nach der Aktenlage noch im Jahre 1999. Als Ausdruck der von Dr. K._ als (für ein Schleudertrauma der HWS) "nicht charakteristisch" beurteilten Beschwerdeprogredienz erhob nämlich der damals behandelnde Rheumatologe Dr. H._ anlässlich der Kontrolluntersuchung vom 29. September 1999 den Befund einer "massiven Verschlimmerung des Cervicalsyndroms" (ärztliches "Folgezeugnis" vom 3. Dezember 1999). Dieselben Überlegungen gelten auch im Hinblick auf die Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit. Aus rein somatischer Sicht hätte die Beschwerdeführerin wohl rund ein Jahr nach dem Unfall wieder zu einer vollständigen Leistungsfähigkeit am angestammten oder einem anderweitigen Arbeitsplatz zurückgefunden. Unter diesem Blickwinkel sind auch die unfallbezogenen Kriterien des schwierigen Heilungsverlaufs oder erheblicher Komplikationen und der körperlichen Dauerschmerzen zu verneinen. Die praxisgemäss vorzunehmende Gesamtwürdigung führt nach dem Gesagten klarerweise zur Verneinung des adäquaten Kausalzusammenhangs. Die - vorinstanzlich bestätigte - Leistungseinstellung seitens der "Zürich" erfolgte demnach zu Recht.
3.2 Der Unfall ereignete sich bei objektiver Betrachtung weder unter besonders dramatischen Begleitumständen, noch war er durch eine besondere Eindrücklichkeit gekennzeichnet. Ferner kann weder von einer schweren noch von einer im Hinblick auf die in Frage stehende Adäquanzbeurteilung besonders gearteten Verletzung gesprochen werden. Für eine ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hätte, fehlen jegliche Hinweise. Des Weitern kann insofern nicht von einer ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung gesprochen werden, als diese etwa ein Jahr nach dem Unfallereignis vom 22. November 1998 in immer stärkerem Masse durch die psychogene Fehlverarbeitung bestimmt wurde und sich immer weniger gegen die primären Unfallfolgen richtete. Dieser Wandel vom nach dem Unfallereignis bestehenden vielschichtigen somatisch-psychischen Beschwerdebild nach erlittenem HWS-Trauma zur davon klar abzugrenzenden sekundären Gesundheitsschädigung psychogener Natur (neurasthenisches Syndrom, anhaltende somatoforme Schmerzstörung) vollzog sich nach der Aktenlage noch im Jahre 1999. Als Ausdruck der von Dr. K._ als (für ein Schleudertrauma der HWS) "nicht charakteristisch" beurteilten Beschwerdeprogredienz erhob nämlich der damals behandelnde Rheumatologe Dr. H._ anlässlich der Kontrolluntersuchung vom 29. September 1999 den Befund einer "massiven Verschlimmerung des Cervicalsyndroms" (ärztliches "Folgezeugnis" vom 3. Dezember 1999). Dieselben Überlegungen gelten auch im Hinblick auf die Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit. Aus rein somatischer Sicht hätte die Beschwerdeführerin wohl rund ein Jahr nach dem Unfall wieder zu einer vollständigen Leistungsfähigkeit am angestammten oder einem anderweitigen Arbeitsplatz zurückgefunden. Unter diesem Blickwinkel sind auch die unfallbezogenen Kriterien des schwierigen Heilungsverlaufs oder erheblicher Komplikationen und der körperlichen Dauerschmerzen zu verneinen. Die praxisgemäss vorzunehmende Gesamtwürdigung führt nach dem Gesagten klarerweise zur Verneinung des adäquaten Kausalzusammenhangs. Die - vorinstanzlich bestätigte - Leistungseinstellung seitens der "Zürich" erfolgte demnach zu Recht.
4. Dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung kann entsprochen werden, da die hiefür nach Gesetz (Art. 152 in Verbindung mit Art. 135 OG) und Rechtsprechung (BGE 125 V 202 Erw. 4a und 372 Erw. 5b, je mit Hinweisen) erforderlichen Voraussetzungen erfüllt sind. Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 152 Abs. 3 OG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Advokat Markus Schmid, Basel, für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
3. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Advokat Markus Schmid, Basel, für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zugestellt.
Luzern, 3. Dezember 2004
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: