Erwägungen:
1. Mit Eingabe vom 25. Juli 2009 erstattete der Beschwerdeführer gegen A._, den damaligen Friedensrichter des Zürcher Stadtkreises 3, Strafanzeige u.a. wegen Amtsmissbrauchs, Dokumenten- bzw. Urkundenfälschung, "Gebührenüberforderung" und Betrugs, weil dieser ein Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung abgelehnt hatte. Die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 16. September 2009 mangels Anhaltspunkten für eine strafbare Handlung auf die Strafanzeige nicht ein und eröffnete demgemäss keine Strafuntersuchung gegen den Angezeigten. Die II. Zivilkammer des Obergerichts wies den dagegen gerichteten Rekurs des Beschwerdeführers am 30. Oktober 2009 ab und auferlegte diesem die Kosten für das Rekursverfahren. Der Beschwerdeführer wendet sich an das Bundesgericht. Er verlangt im Wesentlichen die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses, die Bestrafung des Angezeigten und eine Parteientschädigung. Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich verzichten auf eine Vernehmlassung.
2. Soweit der Beschwerdeführer Handlungen bzw. Entscheide des von ihm angezeigten ehemaligen Friedensrichters kritisiert und er insoweit Verstösse gegen die EMRK (Art. 6 und 14 EMRK) und die BV (Art. 5, 8, 9, 29, 30 ff., 34 und 36 BV) geltend macht sowie eine willkürliche Anwendung des kantonalen Prozessrechts (§ 84 ff. ZPO/ZH) rügt, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, weil Anfechtungsobjekt einzig der angefochtene Beschluss des Obergerichts ist (Art. 80 Abs. 1 BGG).
3. Gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b), insbesondere die in Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1-6 BGG genannten Personen. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Er fällt jedoch unter keine der im Gesetz ausdrücklich aufgeführten Beschwerdeberechtigten. Namentlich ist er nicht Opfer im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG, da er durch die angezeigten Straftaten nicht in seiner körperlichen, psychischen oder sexuellen Integrität unmittelbar beeinträchtigt wurde. Als Anzeigesteller bzw. Geschädigter, der nicht Opfer ist, ist er zur vorliegenden Beschwerde grundsätzlich nicht legitimiert (BGE 133 IV 228).
4. Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann der Beschwerdeführer die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und die von der Prüfung der Sache selber getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.3.2; 133 I 185 E. 6.2). Ein in der Sache nicht legitimierter Beschwerdeführer kann deshalb weder die Beweiswürdigung kritisieren noch kann er geltend machen, die Begründung sei materiell unzutreffend (BGE 126 I 81 E. 7b S. 94; 118 Ia 232 E. 1a S. 234 f., je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der Rechtsgleichheit (Art. 8 BV), des Schutzes vor Willkür (Art. 9 BV) sowie der Grundsätze des rechtsstaatlichen Handelns (Art. 5 BV). Diese Rügen betreffen keine Verfahrensrechte, weshalb darauf nicht einzutreten ist. Auf die Beschwerde ist aber auch nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung des rechtlichen Gehörs im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BV sowie weiterer Verfahrensgarantien der Bundesverfassung, der EMRK und der kantonalen Strafprozessordnung geltend macht. Denn das Vorbringen, die Untersuchungsbehörde und die Vorinstanz hätten rechtsgültige und formgerechte Beweisanträge nicht abgenommen und zu Unrecht keine Strafuntersuchung durchgeführt, stellt im Ergebnis nicht eine Rüge formeller Natur dar, sondern eine Kritik an der vorinstanzlichen Begründung, die von der Prüfung der Sache nicht getrennt werden kann. Auf eine materiellrechtliche Überprüfung der Sache selber hat der Beschwerdeführer aber wie gesagt keinen Anspruch.
5. Nach dem Dafürhalten des Beschwerdeführers ist der vorinstanzliche Kostenentscheid willkürlich. Das Vorbringen ist nicht stichhaltig. Die Vorinstanz stellt die Mittellosigkeit des Beschwerdeführers nicht in Frage, stuft den Rekurs aber - zu Recht - als aussichtslos ein. Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gestützt auf Art. 29 Abs. 3 BV fällt damit nach zutreffender Ansicht der Vorinstanz ausser Betracht. Eine Verletzung der Verfassung liegt nicht vor. Entgegen der Beschwerde ist auch keine willkürliche Anwendung von § 190a StPO/ZH ersichtlich. Denn nach dieser Bestimmung kann den finanziellen Verhältnissen des Betroffenen auch (erst) im Zeitpunkt des Kostenbezugs Rechnung getragen werden. § 190a StPO verlangt nicht, dass bereits im Entscheid darüber befunden wird, ob der Betroffene von der Tragung der Kosten zu befreien ist (vgl. dazu auch das Urteil des Bundesgerichts vom 13. August 2009, 6B_413/2009). Aus dem Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 23. Februar 2004, welches sich in erster Linie auf den Angeklagten im Strafprozess und nicht auf mögliche Beschwerdeverfahren bezieht und somit nicht einschlägig ist (ZR 103/2004, Nr. 56), vermag der Beschwerdeführer in Bezug auf den vorinstanzlichen Kostenentscheid unter Willkürgesichtspunkten nichts für sich abzuleiten.
6. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ausnahmsweise kann auf eine Kostenerhebung verzichtet werden. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos geworden. Anspruch auf eine Entschädigung hat der Beschwerdeführer nicht.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Februar 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Arquint Hill