Faits:
A. Par décision du 1er novembre 2002, le Service de l'assurance-maladie du canton de Neuchâtel (ci-après: le SAM) a supprimé le droit des époux P._ à la prise en charge des primes d'assurance-maladie obligatoire dès le 1er janvier 1999 et a réclamé la restitution d'un montant de 16'399 fr. 20 correspondant aux subsides indûment perçus.
Cette décision ayant été confirmée par le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le tribunal administratif) par jugement du 20 février 2007, les époux P._ ont demandé la remise de l'obligation de restituer les prestations indûment perçues en alléguant que leurs moyens financiers ne leur permettaient pas d'envisager un remboursement total.
Par décision du 29 avril 2008, confirmée sur opposition le 29 mai suivant, le SAM a rejeté la demande de remise au motif que la condition de la bonne foi n'était pas réalisée.
Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Département de la santé et des affaires sociales de la République et canton de Neuchâtel l'a rejeté par décision du 10 mars 2009.
B. Par jugement du 3 novembre 2009, la Cour des assurances sociales du tribunal administratif a rejeté le recours formé par P._ contre cette décision.
C. L'intéressée interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation de ce jugement.
Considérant en droit:
1. La recourante conclut uniquement à l'annulation du jugement attaqué. Ce faisant, elle prend une conclusion purement cassatoire.
L'art. 107 al. 2 LTF permet au Tribunal fédéral de réformer le jugement attaqué, c'est-à-dire de statuer lui-même à nouveau sur le fond ou de renvoyer l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle rende une nouvelle décision. Cette disposition est comparable à l'ancien art. 114 al. 2 OJ, en vertu duquel le Tribunal fédéral, saisi d'un recours de droit administratif, pouvait statuer lui-même sur le fond ou renvoyer la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision lorsqu'il annulait la décision attaquée. Il appartenait au Tribunal fédéral de décider s'il voulait statuer sur le fond ou renvoyer la cause. En vertu de l'art. 114 al. 2 OJ, les deux voies envisageables étaient inclues dans la conclusion tendant à l'annulation du jugement attaqué. Dès lors, si le recourant ne prenait pas d'autre conclusion, il fallait comprendre qu'il s'en remettait à l'appréciation du tribunal quant aux conséquences matérielles concrètes de l'annulation du jugement attaqué. C'est pourquoi, dans le recours de droit administratif et sous réserve des cas prévus à l'ancien art. 108 al. 3 OJ, le Tribunal fédéral renonçait en principe à exiger en plus une conclusion au fond (ATF 133 II 370 consid. 2.2 p. 373 et les références).
Selon la jurisprudence, il n'y a pas de motif, dans le recours en matière de droit public, de s'écarter de cette ancienne pratique applicable en cas de recours de droit administratif lorsqu'une conclusion au fond ressort clairement de la motivation (ATF 133 II 409 consid. 1.4.1 p. 415).
En l'espèce, on comprend incontestablement à la lecture du mémoire de recours que la recourante demande la remise de l'obligation de restituer les prestations indûment perçues. Le recours est donc admissible au regard de sa conclusion.
2. 2.1 Le recours peut être interjeté pour violation du droit suisse tel qu'il est délimité à l'art. 95 LTF, soit le droit fédéral (let. a), y compris le droit constitutionnel, le droit international (let. b), les droits constitutionnels cantonaux (let. c), les dispositions cantonales sur le droit de vote des citoyens ainsi que sur les élections et votations populaires (let. d) et le droit intercantonal (let. e). Sauf dans les cas cités expressément à l'art. 95 LTF, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, in FF 2001, p. 4133). A cet égard, le Tribunal fédéral n'examinera le moyen fondé sur la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (art. 106 al. 2 LTF).
2.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend contester les constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. ATF 130 III 138 consid. 1.4 p. 140). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3. 3.1 La question de la réduction des primes de l'assurance-maladie obligatoire par les pouvoirs publics relève du droit cantonal. En particulier, la remise de l'obligation de restituer des subsides indûment perçus est réglée à l'art. 29 al. 2 de la loi neuchâteloise d'introduction de la loi fédérale sur l'assurance-maladie du 4 octobre 1995 (LILAMal; RSNE 821.10). Selon cette disposition, le SAM peut renoncer à exiger la restitution, en tout ou en partie, lorsque l'intéressé était de bonne foi et que la restitution le mettrait dans une situation difficile.
3.2 La recourante se plaint d'une appréciation arbitraire des faits. En particulier, elle reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas tenu compte du fait qu'elle n'avait pas induit en erreur le SAM et que la simple vérification de sa situation par rapport à l'assurance-invalidité aurait permis à celui-ci de connaître exactement la situation. Par ailleurs, en déposant ses déclarations d'impôt dans les délais, elle a permis à l'administration de se prononcer sur son droit aux subsides, circonstance que les premiers juges n'ont pas prise en considération.
Ce grief d'appréciation arbitraire des faits est mal fondé. En effet, il n'est pas décisif, pour examiner la condition de la bonne foi, que les époux n'aient pas voulu induire le SAM en erreur ou encore que l'administration aurait pu vérifier leur situation par leur déclaration fiscale. Cela étant, il n'y a pas lieu de s'écarter des faits établis par la juridiction cantonale.
3.3 En l'occurrence, les premiers juges ont constaté que la décision du 23 avril 2001 - par laquelle la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation (ci-après: la caisse de compensation) indiquait que les primes d'assurance-maladie obligatoire seraient prises en charge intégralement par le SAM malgré l'excédent de revenu - mentionnait des montants annuels inférieurs de 20'000 fr. environ aux revenus effectivement réalisés. Aussi, la juridiction précédente n'est-elle pas tombée dans l'arbitraire en considérant que les intéressés avaient commis une négligence grave en n'annonçant pas immédiatement cette erreur manifeste à la caisse de compensation ou au SAM.
Ainsi, la condition de la bonne foi n'étant pas réalisée, le jugement attaqué qui confirme le rejet de la demande de remise n'est pas critiquable et le recours doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'art. 109 al. 2 let. a LTF.
4. En application de l'art. 66 al. 1, 2ème phrase, LTF, le Tribunal fédéral renonce à percevoir des frais judiciaires.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Département de la santé et des affaires sociales de la République et canton de Neuchâtel et à la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 25 février 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd