Sachverhalt:
A. A.a Der 1942 in Kroatien geborene J._ lebte mit seiner Ehefrau seit 1971 in A._, wo er 1985 eingebürgert wurde. 1984 zog das Ehepaar nach B._. Dort wohnte es im Eigenheim. Auf den 30. November 2000 meldete es sich beim Einwohneramt mit dem Vermerk "Wegzug nach Kroatien" ab. Das Haus wurde verkauft.
A.b Seit dem 3. Dezember 2007 hielt sich J._ in Spanien im Hospital Clinica X._ auf. Am 9. Januar 2008 liess er sich durch Rechtsanwalt S._ beim Krankenversicherer sana24 AG (sana24) für die obligatorische Krankenpflegeversicherung (OKP) anmelden. Der Anwalt führte im betreffenden Schreiben aus, das Ehepaar J._ wolle in die Schweiz zurückkehren und habe ihm den Auftrag erteilt, die Anmeldung in C._ in die Wege zu leiten. Mit Schreiben vom 24. Januar 2008 bestätigte die sana24, die OKP für das Ehepaar sei auf den 1. Januar 2008 in Kraft getreten. Die Wohnsitzbescheinigung der Gemeinde C._ wurde in Form eines Niederlassungsausweises (Zuzug aus Kroatien 1. Januar 2008) nachgereicht.
A.c Am 15. April 2008 wurde J._ aus dem Hospital Clinica X._ ins Spital Y._ verlegt. Die sana24 stellte ihm am 15. Juli 2008 einen "Abrechnungsentscheid für Spitalbehandlung in Spanien" zu, in dem sie ihm eröffnete, dass aus der OKP der doppelte in der Schweiz massgebende Tarif übernommen werde; sie nannte konkret den Betrag von Fr. 135'482.60.
A.d Mit Schreiben vom 1. Oktober 2008 eröffnete die sana24 J._, dass die am 15. Juli 2008 zugesprochene Leistung nicht erbracht werde, da er Anfang 2008 gar nicht Wohnsitz in der Schweiz gehabt und keine Zugehörigkeit zur OKP bestanden habe. Der Entscheid vom 15. Juli 2008 sei zweifellos unrichtig und für den Krankenversicherer die Berichtigung in Anbetracht der Leistungshöhe von erheblicher Bedeutung, weshalb er in Wiedererwägung zu ziehen sei. Sie bestätigte dies mit Verfügung vom 10. November 2009, wonach der Beginn der OKP auf den 15. April 2008 verschoben werde und die Prämien der Monate Januar bis März 2008 rückerstattet würden; der Entscheid vom 15. Juli 2008 werde in Wiedererwägung gezogen und für den Spitalaufenthalt im Hospital Clinica X._ vom 1. Januar 2008 bis 15. April 2008 würden keine Leistungen erbracht. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 7. Juni 2010 ab.
B. Nach öffentlicher Verhandlung mit Parteibefragung am 21. Oktober 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die gegen den Einspracheentscheid geführte Beschwerde mit Entscheid vom 25. November 2010 ab.
C. J._ reicht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein. Er beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides, des Einspracheentscheides sowie der Verfügung vom 10. November 2009; die Kasse "habe wie versprochen Fr. 135'482.60 zuzüglich Zins zu 5 % ab dem 15. April 2010 zu bezahlen".
Auf die Durchführung eines Schriftenwechsels wurde verzichtet.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Streitig ist, ob der Beschwerdeführer in der Zeit vom 1. Januar 2008 bis 15. April 2008 der schweizerischen OKP angeschlossen war und darum grundsätzlich Anspruch auf Vergütung von Kosten eines aus medizinischen Gründen erforderlichen ausländischen Spitalaufenthaltes (Art. 34 Abs. 2 KVG i.V.m. Art. 36 Abs. 2 KVV) hat. Er bringt vor, trotz des Wegzugs Ende 2000 den bisherigen Wohnsitz in der Schweiz nicht aufgegeben zu haben, weil er nirgends einen neuen begründet habe. Er habe somit ununterbrochen Wohnsitz in der Schweiz gehabt. Für die Begründung eines Wohnsitzes in Spanien habe es am Erfordernis der Absicht des dauernden Verbleibens (Art. 23 Abs. 1 ZGB) gefehlt. Verwaltung und Vorinstanz hätten Art. 24 Abs. 1 ZGB missachtet, wonach der einmal begründete Wohnsitz einer Person bis zum Erwerb eines neuen Wohnsitzes bestehen bleibt.
3. 3.1 Gemäss Art. 3 Abs. 1 KVG (i.V.m. Art. 1 Abs. 1 KVV) muss sich jede Person mit Wohnsitz in der Schweiz innert drei Monaten nach der Wohnsitznahme oder der Geburt in der Schweiz für Krankenpflege versichern oder von ihrem gesetzlichen Vertreter beziehungsweise ihrer gesetzlichen Vertreterin versichern lassen. Nach Art. 5 Abs. 1 Satz 1 KVG beginnt die Versicherung bei rechtzeitigem Beitritt (Art. 3 Abs. 1 KVG) im Zeitpunkt der Wohnsitznahme in der Schweiz. Erfolgt die Erstanmeldung beim Krankenversicherer rechtzeitig, beginnt der Versicherungsschutz im Zeitpunkt des Eintritts der Versicherungspflicht. Der gewählte Versicherer hat rückwirkend ab Begründung des Wohnsitzes in der Schweiz die Krankheitskosten zu decken (Urteil BGE 125 V 78 E. 2b; Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], 2. Aufl., S. 430 Rz. 99).
3.2 Die OKP-Versicherung endet aus den Gründen, welche die Versicherungspflicht erlöschen lässt (Art. 5 Abs. 3 KVG), namentlich mit der Verlegung des Wohnsitzes ins Ausland (Gebhard Eugster, a.a.O., S. 432 Rz. 105, mit Hinweisen).
4. Nach Art. 13 Abs. 1 ATSG bestimmt sich der Wohnsitz einer Person nach den Artikeln 23-26 ZGB. Der Wohnsitz einer Person befindet sich an dem Orte, an welchem sie sich mit der Absicht des dauernden Verbleibens aufhält (Art. 23 Abs. 1 ZGB). Zur Begründung des Wohnsitzes müssen somit zwei Merkmale kumulativ erfüllt sein, ein objektives äusseres Merkmal, d.h. der tatsächliche Aufenthalt im Sinne eines Wohnens (résider) ist erforderlich zur Begründung eines Lebensmittelpunktes, der blosse Wille zur Wohnsitznahme genügt nicht. Dazu kommt noch ein subjektives inneres Merkmal, die Absicht des dauernden Verbleibens, wobei dieses letztgenannte Element aufgrund von erkennbaren Umständen objektiv bestimmt werden muss (Staehelin, Basler Kommentar, Rz. 5 ff. und 20 zu Art. 23 ZGB, mit Hinweisen auf die Judikatur und U. KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl., Rz. 8c zu Art. 13). Für die subjektiv vorausgesetzte, äusserlich erkennbare Absicht des dauernden Verbleibens ist entscheidend, wo sich - unter Würdigung aller Umstände - der Mittelpunkt der Lebensbeziehungen befindet (Hausheer/Aebi-Müller, Das Personenrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, Bern 2008, Rz. 09.27 f.). Insbesondere schliesst die Absicht, einen Ort später wieder zu verlassen, eine Wohnsitzbegründung nicht aus (BGE 127 V 237 E. 2c S. 241). Nur - aber immerhin - Indizien für die Beurteilung der Wohnsitzfrage sind die Anmeldung und Hinterlegung der Schriften, die Ausübung der politischen Rechte, die Bezahlung der Steuern, fremdenpolizeiliche Bewilligungen sowie die Gründe, die zur Wahl eines bestimmten Wohnsitzes veranlassen (Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichtes K 34/04 vom 2. August 2005 E. 3, publiziert in: RKUV 2005 Nr. KV 344 S. 360).
5. 5.1 Das kantonale Gericht stellte fest, der Beschwerdeführer habe mit seinem Verhalten mehrfach dokumentiert, dass er mit der Abmeldung in der Gemeinde B._ selber von der Aufgabe seines Wohnsitzes in der Schweiz auf den 30. November 2000 ausgegangen sei. Anlässlich der Parteiverhandlung habe er angegeben, man sei deshalb ins Ausland weggezogen, weil man es sich mit dem Ersparten nicht hätte leisten können, in der Schweiz bis zur Pensionierung zu leben. Dabei sei das Eigenheim verkauft und die schweizerische Krankenversicherung aufgelöst worden. Man habe in der Schweiz ab Dezember 2000 weder Steuern noch obligatorische Sozialversicherungsbeiträge bezahlt. Man habe hier auch über keine Kontaktadresse mehr verfügt und sei in die freiwillige AHV für Auslandschweizer übergetreten. Indem man sich umgehend einem spanischen Krankenversicherer angeschlossen, ein Motorfahrzeug eingelöst und ein Haus gekauft und sich in der betreffenden Gemeinde angemeldet habe, sei in Spanien neu Wohnsitz begründet worden. Erst mit der Wiedereinreise am 15. April 2008 habe der Beschwerdeführer diesen wieder in der Schweiz etabliert.
5.2 Die Einwände des Beschwerdeführers gegen die vorinstanzliche Sachverhaltswürdigung sind nicht stichhaltig und lassen sie nicht als offensichtlich unrichtig oder rechtsverletzend im Sinne von Art. 95 BGG (vorne E. 1) erscheinen. Namentlich rechtfertigen weder der Umstand, dass es sich bei dem in Spanien eingelösten Motorfahrzeug um ein Wohnmobil handelte, mit dem das Ehepaar längere ausgedehnte Auslandreisen unternahm, noch die Tatsache, dass das in Spanien gekaufte und selber bewohnte Haus zum späteren Verkauf vorgesehen war, die Annahme, dass kein neuer Wohnsitz begründet worden sei (vorne E. 4). Dabei ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer sich nicht zum Zweck der (über mehrere Jahre weg dreimaligen) Hospitalisation in die Gegend von X._ in Spanien begab. Deshalb dringt auch der Einwand nicht durch, nach Art. 26 ZGB begründe die Unterbringung einer Person in einer Heilanstalt keinen Wohnsitz.
6. Der Versicherungsträger kann auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist (Art. 53 Abs. 2 ATSG). Die Vorinstanz hat nach dem Gesagten mit Recht festgestellt, dass die Berichtigung des Abrechnungsentscheides vom 15. Juli 2008 für eine medizinische Behandlung im Ausland wegen Fehlens eines schweizerischen Wohnsitzes vor der Einreise in die Schweiz am 15. April 2008 und damit einhergehender zweifelloser Unrichtigkeit von erheblicher Bedeutung war. Dieser materielle Kassenakt (BGE 129 V 110) durfte umso mehr im Rahmen der Wiedererwägung zurückgezogen werden, als der Beschwerdeführer gestützt auf die ursprüngliche Zusicherung keine Dispositionen getroffen hatte, die er nicht oder nur zu seinem Nachteil rückgängig machen konnte; damit steht auch der verfassungsmässige Vertrauensschutz (Art. 9 BV) dem Rückkommen auf die nach den aktenmässig ausgewiesenen Umständen, insbesondere den initial gemachten einen über die Jahre hin in der Schweiz aufrechterhaltenen Wohnsitz eindeutig ausschliessenden Angaben, zweifellos unrichtige Leistungszusicherung vom 15. Juli 2008 nicht entgegen.
7. Der Beschwerdeführer trägt als unterliegende Partei die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. März 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz