Faits:
A. T._, né en 1966, a présenté une demande de prestations de l'AI le 26 septembre 2008.
Par décision du 7 juillet 2010, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) lui a alloué une demi-rente d'invalidité fondée sur un degré d'invalidité de 51 %.
B. Le 6 septembre 2010, T._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant principalement à l'octroi d'une rente entière.
Par décision du 12 novembre 2010, le Bureau de l'assistance judiciaire du canton de Vaud a accordé l'assistance judiciaire à l'assuré dans le cadre de la procédure de recours qui l'oppose à l'office AI, avec effet au 12 octobre 2010 pour une année. Me Jean-Michel Duc, avocat à Lausanne, a été désigné en qualité d'avocat d'office. Par décision du 25 novembre 2010, le Bureau de l'assistance judiciaire a annulé et remplacé sa décision du 12 novembre, en ce sens que l'assistance judiciaire a été accordée à partir du 6 septembre 2010. Cette décision n'a pas été contestée.
Le 9 juin 2011, Me Duc a produit une liste détaillée de ses opérations et débours relatifs à la procédure opposant T._ à l'office AI devant le tribunal cantonal. Les démarches entreprises du 23 février 2010 au 2 novembre 2010 représentaient un total de 17h40, pour lesquelles Me Duc a présenté une note d'honoraires de 3'319 fr. 75, TVA comprise.
Par jugement du 25 août 2011, le tribunal cantonal a rejeté le recours (ch. I du dispositif). L'indemnité d'office de Me Jean-Michel Duc, conseil de l'assuré, a été arrêtée à 500 fr. (ch. IV du dispositif).
C. En son nom, Me Jean-Michel Duc interjette un recours en matière de droit public ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement dont il demande la réforme, avec suite de dépens, en ce sens que l'indemnité d'avocat d'office soit portée à 7'000 fr. au moins.
Le tribunal cantonal s'est déterminé sur le recours en concluant implicitement à son rejet dans la mesure où il serait recevable. Le recourant n'a pas fait usage de la faculté qui lui a été offerte de présenter des observations sur cette écriture.
Considérant en droit:
1. Le litige porte uniquement sur l'indemnité due au recourant par la collectivité publique cantonale pour l'activité qu'il a déployée en qualité d'avocat d'office de T._ devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, dans la cause qui a opposé ce dernier à l'office AI.
Rendu dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), sans que l'on se trouve dans l'un des cas d'exception mentionnés à l'art. 83 LTF, le jugement entrepris est une décision finale (art. 90 LTF). Le recours en matière de droit public est dès lors recevable, si bien que la voie du recours constitutionnel subsidiaire n'est pas ouverte.
En qualité d'avocat d'office de l'assuré en procédure cantonale, le recourant est fondé à attaquer personnellement le jugement dans la mesure où il concerne le montant de sa rémunération (art. 89 al. 1 let. b et c LTF; arrêt 5A_451/2011 du 25 juillet 2011 consid. 1.2).
2. Devant le Tribunal fédéral, le recourant demande pour la première fois que les démarches effectuées postérieurement au 2 novembre 2010 soient également indemnisées. En ce sens, il étend les prétentions d'honoraires qu'il avait formulées dans ses conclusions du 9 juin 2011, où il réclamait le paiement de 3'319 fr. 75, TVA comprise. Dans la mesure où il conclut au versement d'une indemnité de 7'000 fr., ses conclusions sont nouvelles et, partant, irrecevables en procédure fédérale (art. 99 al. 2 LTF). De surcroît, elles procèdent de moyens de preuves nouveaux, précédemment connus du recourant, qui sont donc également irrecevables (art. 99 al. 1 LTF).
3. Selon l'art. 61 let. f LPGA, le droit de se faire assister par un conseil doit être garanti; lorsque les circonstances le justifient, l'assistance judiciaire gratuite est accordée au recourant.
Si l'assistance judiciaire gratuite d'un conseil pour les litiges portés devant les tribunaux cantonaux des assurances est prescrite par le droit fédéral, la procédure d'octroi de celle-ci ressortit au droit cantonal. Dans certains cantons, la décision est rendue par l'autorité judiciaire qui statue au fond; dans d'autres, cette tâche incombe à une autorité administrative. C'est ainsi que jusqu'à fin 2010, le canton de Vaud avait confié au Bureau de l'assistance judiciaire le soin de statuer sur les demandes d'assistance judiciaire pour les procédures de recours devant le Tribunal cantonal (art. 18 al. 4 LPA-VD) dans le domaine des assurances sociales (art. 2 al. 1 let. c LPA-VD), le montant des honoraires de l'avocat d'office étant ensuite - comme en l'espèce (ch. IV du dispositif du jugement attaqué) - fixé par le tribunal.
L'avocat d'office accomplit une tâche étatique régie par le droit public cantonal. Lors de sa désignation, il s'établit, entre l'avocat et l'Etat, un rapport juridique spécial en vertu duquel l'avocat a contre l'Etat une prétention de droit public à être rétribué dans le cadre des prescriptions cantonales applicables (ATF 117 Ia 22 consid. 4a p. 23). L'autorité dispose à cet égard d'un large pouvoir d'appréciation; comme la mesure de l'indemnité versée à l'avocat d'office ressortit au droit cantonal (cf. arrêt 9C_671/2008 du 6 mars 2009 consid. 7.1), le Tribunal fédéral n'intervient que si l'indemnité a été fixée de manière arbitraire, ou en cas d'excès ou d'abus de ce pouvoir d'appréciation (ATF 118 Ia 133 consid. 2b p. 134 sv.). L'avocat d'office a droit au remboursement intégral de ses débours, ainsi qu'à une indemnité s'apparentant aux honoraires perçus par le mandataire plaidant aux frais de son client. Pour fixer cette indemnité, l'autorité doit tenir compte de la nature et de l'importance de la cause, des difficultés particulières que celle-ci peut présenter en fait et en droit, du temps que l'avocat lui a consacré, de la qualité de son travail, du nombre des conférences, audiences et instances auxquelles il a pris part, du résultat obtenu et de la responsabilité qu'il a assumée (ATF 117 Ia 22 consid. 3a; arrêt 8C_391/2007 du 26 mai 2008 consid. 3.2).
A condition d'être équitable, il est admis que la rémunération de l'avocat d'office puisse être inférieure à celle du mandataire privé. Mais elle doit couvrir les frais généraux de l'avocat et lui permettre d'obtenir un revenu qui ne soit pas uniquement symbolique. La jurisprudence considère ainsi que l'indemnité allouée à l'avocat d'office devrait en principe correspondre à une rémunération horaire de 180 fr., TVA non comprise (cf. ATF 137 III 185 consid. 5.4 p. 190), sous réserve de circonstances particulières liées notamment aux charges fixes plus ou moins élevées suivant le canton dans lequel pratique l'avocat concerné (ATF 132 I 201 consid. 7 et 8 p. 205 ss).
A propos des effets temporels d'une requête d'assistance judiciaire afférente à un recours interjeté devant le Tribunal fédéral, la doctrine rappelle qu'une telle demande déposée au moment du dépôt du recours vaudra pour les dépens causés par sa préparation (DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, n° 1785). La doctrine précise que l'assistance judiciaire peut être demandée en tout temps, avant ou durant la procédure, que son octroi rétroagit au jour de la demande et qu'elle s'étend aux démarches urgentes entreprises peu avant; les cantons peuvent se montrer plus généreux (CORBOZ, Le droit constitutionnel à l'assistance judiciaire, SJ 2003, II, p. 74). Dans le cadre de procédures cantonales de recours, la jurisprudence en matière d'assurances sociales - rendue sous l'empire de l'art. 85 al. 2 let. f aLAVS mais qui s'applique toujours depuis l'entrée en vigueur de l'art. 61 let. f LPGA : cf. arrêt H 106/03 du 21 août 2003, in SVR 2004 AHV n° 5 p. 17 - a précisé, notamment dans les arrêts I 84/94 du 7 juillet 1994 consid. 3 (SVR 1994 IV n° 29 p. 75) et U 301/97 du 30 avril 1999 consid. 4 (SVR 2000 UV n° 3 p. 7), que l'octroi de l'assistance judiciaire à compter uniquement de l'introduction de la demande n'est pas conforme au droit fédéral dans l'éventualité où les conditions de l'octroi auraient été réalisées auparavant.
4. 4.1 Pour fixer le montant de la rémunération du recourant, le tribunal cantonal s'est fondé sur la liste détaillée des opérations et débours afférente à la période du 23 février au 2 novembre 2010 que l'intéressé avait déposée le 9 juin 2011. Les premiers juges ont toutefois considéré que le Bureau de l'assistance judiciaire du canton de Vaud n'avait accordé l'assistance judiciaire qu'avec effet au 6 septembre 2010, par décision du 25 novembre 2010, si bien que seules les opérations accomplies depuis cette date incluse pouvaient être prises en compte.
4.2 Le recourant se prévaut d'une violation des conditions de rémunération du conseil d'office. En bref, il soutient que ses honoraires auraient dus être calculés en fonction du temps nécessaire qu'il a consacré à la défense des intérêts de son mandant. Cette activité comporte la préparation du mémoire de recours, laquelle précède toujours le dépôt du recours et la demande d'assistance judiciaire qui interviennent simultanément à ce dépôt. Le recourant reproche aussi au tribunal cantonal de n'avoir pas corrigé l'inadvertance qu'il avait commise en limitant la liste de ses opérations au 2 novembre 2010, alors qu'il ressort du dossier qu'il avait encore accompli de nombreuses démarches depuis ce moment-là. En conséquence, le recourant demande que sa rémunération soit fixée en fonction de 20 heures d'activité (7 heures pour la préparation du recours, 13 heures pour les échanges postérieurs), au lieu des 2h10 retenues selon lui par les premiers juges. Le recourant estime enfin que le taux horaire est insuffisant et qu'il devrait s'élever à 350 fr. au moins.
4.3 Dans ses déterminations, le tribunal cantonal s'en remet à justice sur la recevabilité du recours en matière de droit public sous l'angle de l'exigence de motivation. A propos de l'étendue des opérations prises en compte, il rappelle que le principe de l'octroi de l'assistance judiciaire à compter du 6 septembre 2010 a fait l'objet d'une décision administrative qui n'a pas été contestée, si bien que l'assistance judiciaire ne pouvait être accordée aux démarches entreprises avant cette date. Il estime par ailleurs qu'il pouvait partir de l'idée que la liste des opérations annoncées correspondait à la réalité; en outre, il est d'avis qu'il n'incombe pas au tribunal de relancer les auteurs de telles notes d'honoraires afin de s'enquérir de leur exactitude, à peine de retarder le prononcé des jugements. Il ajoute que le recourant connaissait bien le dossier, dès lors qu'il avait déjà assisté l'assuré en procédure administrative, si bien qu'une rémunération de près de 3 heures de travail n'était pas arbitraire. Quant au tarif horaire de 180 fr., il serait conforme au droit fédéral.
5. 5.1 Les dispositions légales et réglementaires (art. 37 al. 4 LPGA, 12a OPGA et 10 FITAF) que le recourant invoque ne lui sont d'aucun secours. En effet, elles ne sont pas applicables au présent contentieux, dès lors qu'elles se rapportent aux procédures administratives engagées devant un assureur, ainsi qu'aux litiges portés devant le Tribunal administratif fédéral. L'argumentaire du recourant répond néanmoins aux exigences de motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF), car il se plaint d'une violation des conditions de rémunération du conseil d'office (art. 61 let. f LPGA).
5.2 La décision du Bureau de l'assistance judiciaire du 25 novembre 2010 reconnaissait expressément à l'assuré le droit à l'assistance judiciaire pour la procédure de recours devant le tribunal cantonal des assurances contre la décision de l'AI le concernant pour une année à compter du 6 septembre 2010. A peine de restreindre la portée de la décision du Bureau de l'assistance judiciaire et celle de l'art. 61 let. f LPGA, telle qu'elle découle de la jurisprudence rendue en matière d'assurances sociales, les premiers juges devaient aussi examiner le caractère nécessaire des opérations accomplies avant le 6 septembre 2010 pour l'exercice du droit de recours contre la décision de l'office AI et, cas échéant, les retenir dans l'indemnisation de l'avocat d'office. Ces opérations comportent au moins l'étude du dossier et la préparation du mémoire de recours. Le refus de la juridiction cantonale d'étendre son examen à ces opérations s'apparente ainsi à un cas de formalisme excessif qui entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux des personnes indigentes et qui n'est justifié par aucun intérêt digne de protection.
5.3 Le 9 juin 2011, le recourant a produit une liste des opérations qu'il avait accomplies depuis le 23 février 2010. Le Tribunal fédéral ignore l'étendue des activités qui ont été nécessaires pour l'exercice du droit de recours contre la décision de l'office AI jusqu'au dépôt de celui-ci le 6 septembre 2010, car les premiers juges n'ont pris en compte, sans les mentionner, que les opérations accomplies depuis cette date-là, sans énumérer les démarches précédentes ni examiner leur nécessité dans l'exercice du droit de recours.
A défaut de constats de faits sur cette question, la Cour de céans n'est dès lors pas en mesure de trancher la question de la conformité du ch. IV du dispositif du jugement attaqué au droit fédéral. Il incombera à la juridiction cantonale de fixer l'étendue des opérations nécessaires à la défense des intérêts de l'assuré jusqu'au 6 septembre 2010, de même que celles qui l'ont été par la suite jusqu'au prononcé du jugement du 25 août 2011, puis de fixer à nouveau le montant de l'indemnité due au recourant.
6. Le présent arrêt est rendu sans frais (art. 66 al. 4 LTF).
Le recourant, qui obtient gain de cause, a plaidé dans sa propre cause devant le Tribunal fédéral sans l'assistance d'un mandataire professionnel. Il a néanmoins droit à des dépens en tant qu'avocat d'office ayant plaidé seul dans sa propre cause, à charge du canton de Vaud (art. 68 al. 1 LTF; ATF 125 II 518 ; arrêt 6B_493/2007 du 22 novembre 2007 consid. 3).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Dans la mesure où il est recevable, le recours est admis en ce sens que le ch. IV du dispositif du jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 25 août 2011, est annulé, la cause étant renvoyée à cette autorité pour instruction complémentaire et nouveau jugement.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le canton de Vaud versera au recourant la somme de 1'000 fr. (y compris la TVA) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à T._, à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 juin 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Berthoud