Faits:
A. N._, né en 1950, était assuré auprès de la Caisse de pensions X._ (ci-après: la caisse de pensions), qui lui versait une rente d'invalidité. Le prénommé (célibataire) et G._ (veuve) ont rempli le 11 octobre 2007 une annonce de partenariat, par laquelle ils informaient la caisse de pensions de l'existence d'un partenariat entre eux en vue de garantir d'éventuels droits à des prestations en faveur du partenaire survivant. N._ est décédé en mai 2010. Par lettre du 18 mai 2010, G._ a informé la caisse de pensions qu'elle ne percevait pas de rente de veuve du 2ème pilier.
La caisse de pensions, se fondant sur l'annonce de partenariat du 11 octobre 2007 et sur les déclarations de G._ et les documents qu'elle avait produits, a informé la prénommée le 16 juin 2010 qu'elle bénéficiait dès le 1er juin 2010 d'une rente de partenaire survivant de 1'919 fr. par mois et qu'un capital-décès de 9'591 fr. lui serait versé le 18 juin 2010. Après avoir eu connaissance d'une lettre du 10 juin 2010 de la Fondation de Prévoyance en faveur du personnel de Y._ SA confirmant à G._ son droit à une rente de veuve, elle a, par lettre du 22 juin 2010, avisé G._ qu'il n'existait aucun droit à des prestations de partenaire survivant vu qu'elle-même était au bénéfice d'une rente de survivant d'une autre institution de prévoyance et lui a réclamé la restitution du capital-décès de 9'591 fr. Par lettre du 24 septembre 2010, elle a informé la mandataire de G._ qu'elle renonçait à réclamer le remboursement du capital-décès de 9'591 fr. et lui a confirmé qu'il n'existait aucun droit à des prestations de partenaire survivant, position qu'elle a maintenue dans un courrier du 3 novembre 2010.
B. Le 20 décembre 2010, G._ a ouvert action contre la Caisse de pensions X._ devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (aujourd'hui: Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public), en concluant, sous suite de frais et dépens, à ce que la caisse de pensions soit condamnée à lui verser une rente de veuve annuelle de 23'028 fr. dès le 1er juin 2010 et les arriérés de rentes avec intérêts à 5 % dès la date de versement.
Dans sa réponse du 18 janvier 2011, la caisse de pensions a conclu, sous suite de frais et dépens, au rejet de l'action. G._ a déposé ses observations le 10 février 2011 et la caisse de pensions en a fait de même le 21 février 2011.
Par arrêt du 8 juin 2012, la juridiction cantonale a rejeté la demande.
C. G._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, la Caisse de pensions X._ étant condamnée à lui verser une rente annuelle de 23'028 fr. dès le 1er juin 2010 avec intérêts à 5 %, à titre subsidiaire une rente annuelle de 19'212 fr. dès le 1er juin 2010 avec intérêts à 5 %. A titre plus subsidiaire, elle demande que la cause soit renvoyée à l'autorité inférieure pour nouvelle décision au sens des considérants, y compris sur les frais et dépens "des instances inférieures".
Considérant en droit:
1. 1.1 La deuxième Cour de droit social du Tribunal fédéral est compétente pour statuer sur le rejet par la juridiction cantonale de la demande formée par G._ à l'encontre de la Caisse de pensions X._ (art. 73 LPP et art. 35 let. e du Règlement du Tribunal fédéral du 20 novembre 2006).
1.2 Le recours interjeté céans est formé pour violation du droit fédéral y compris les droits fondamentaux (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'examine les moyens fondés sur la violation de droits fondamentaux que s'ils ont été invoqués et motivés de manière précise (art. 106 al. 2 LTF; principe d'allégation). L'acte de recours doit, à peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation (ATF 136 II 489 consid. 2.8 p. 494, 134 II 349 consid. 3 p. 351 s. et les arrêts cités).
2. 2.1 Le litige porte sur le point de savoir si la recourante a droit à une rente de la part de l'intimée.
2.2 La teneur de l'art. 20a al. 1 LPP et de l'art. 40bis al. 2 du règlement de la Caisse de pensions X._ (teneur janvier 2010) est exposée dans le jugement entrepris, auquel on peut renvoyer. Ainsi que l'a indiqué la juridiction cantonale, le droit des personnes visées à l'art. 20a LPP ne résulte pas de la loi elle-même mais seulement du fait que celui-ci soit institué par le règlement d'une institution de prévoyance (art. 49 al. 1 et art. 50 LPP; ATF 137 V 105 consid. 8.2 p. 111, 136 V 127 consid. 4.5 p. 130) et il ressortit à la prévoyance professionnelle surobligatoire (ATF 136 V 127 consid. 4.4 p. 130).
L'art. 20a al. 2 LPP dispose qu'aucune prestation pour survivants n'est due selon l'alinéa 1 let. a, lorsque le bénéficiaire touche une rente de veuf ou de veuve. Aux termes de l'art. 40bis al. 5 du règlement de la Caisse de pensions X._ (teneur janvier 2010), aucune prestation n'est due au partenaire survivant lorsqu'il touche une pension de survivant de la Caisse, d'une autre institution de prévoyance ou d'une autre assurance sociale.
3. Les premiers juges, retenant que la recourante avait vécu en concubinage avec son défunt partenaire et qu'elle percevait déjà une rente de veuve d'une autre institution de prévoyance en raison d'une précédente relation, ont nié qu'elle ait droit à une rente de partenaire survivant de la part de l'intimée.
3.1 Ils se sont fondés sur la jurisprudence (ATF 137 V 105 consid. 9.3 p. 112) selon laquelle, à la différence du conjoint et du partenaire enregistré survivants qui selon le système légal peuvent compter sur la poursuite d'un soutien financier après le décès de leur conjoint ou de leur partenaire, les personnes ayant choisi de vivre en concubinage ne bénéficient pas d'un tel droit, ce qui permet de justifier un traitement différent des concubins lors de l'octroi des rentes de survivant. Ils ont considéré que le défaut d'obligation d'entretien entre les concubins avait pour conséquence que le partenaire survivant ne subissait pas de préjudice financier particulier au décès du partenaire. Dans ces circonstances, on ne voyait pas ce qui justifierait que le partenaire survivant qui perçoit déjà une rente de veuf/veuve d'une précédente relation, même peu élevée, puisse, en sus de celle-ci, bénéficier également d'une rente de partenaire survivant.
3.2 La recourante allègue que le règlement de l'intimée fait une discrimination entre les couples vivant en union libre et les couples mariés en les traitant de manière différente alors que les partenaires ayant vécu en concubinage pendant plus de 25 ans ont eux aussi formé une communauté de vie, dont le droit au respect de la vie privée et familiale impose de tenir compte. Elle en infère qu'elle doit être mise sur le même pied qu'une veuve ayant perdu son conjoint et qu'il se justifie de lui allouer une rente de veuve.
3.3 L'art. 20a al. 1 LPP a le caractère d'une norme potestative (ATF 138 V 86 consid. 4.2 p. 93). L'intimée était libre de prévoir ou non dans son règlement le droit des personnes visées à l'art. 20a LPP (message du 1er mars 2000 du Conseil fédéral relatif à la révision de la loi fédérale sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP) [1ère révision LPP], FF 2000 2495 [2549]). Faisant usage de la faculté offerte par l'art. 20a LPP, elle a institué à l'art. 40bis de son règlement le droit à une pension de partenaire survivant, lequel ressortit à la prévoyance professionnelle surobligatoire (supra, consid. 2.2). Dans ce domaine, il existe une large autonomie des institutions de prévoyance uniquement limitée par les dispositions constitutionnelles et légales (art. 49 al. 1 LPP; ATF 138 V 86 consid. 4.2 p. 93, 137 V 105 consid. 8.2 p. 111 et 383 consid. 3.2 p. 388). L'art. 20a LPP prévoit l'introduction de prestations pour survivants en faveur des concubins, aux conditions fixées par le règlement de l'institution de prévoyance (message mentionné ci-dessus du 1er mars 2000 du Conseil fédéral, FF 2000 2495 [2549]). Etant donné l'autonomie dont disposait l'intimée en instituant à l'art. 40bis de son règlement le droit à une pension de partenaire survivant, les déclarations de la recourante (supra, consid. 3.2) ne permettent pas de considérer que le règlement de l'institution de prévoyance fait une discrimination entre les couples mariés (non concernés par l'art. 40bis) et les couples vivant en union libre. L'application du règlement de l'intimée ne conduit pas à une inégalité de traitement (art. 8 al. 2 Cst.), ni n'enfreint le droit au respect de la vie privée et familiale (art. 13 al. 1 Cst.). Sous cet angle, le jugement entrepris est conforme au droit fédéral. Le recours est mal fondé de ce chef.
3.4 La recourante déclare qu'il n'y a pas de véritable cumul de rentes, vu que les montants respectifs entrant en considération (3'816 fr. par année en ce qui concerne la Fondation de Prévoyance en faveur du personnel de Y._ SA et 23'028 fr. par année en ce qui concerne l'intimée) sont sans comparaison. Elle allègue que le rejet de sa demande par la juridiction cantonale équivaut dans son résultat à un refus pur et simple de toute prestation de la part de l'intimée, ce qui est arbitraire et viole le principe de proportionnalité.
3.5 Du jugement entrepris, il ressort que le Conseil fédéral, dans son message du 1er mars 2000 relatif à la révision de la loi fédérale sur la prévoyance professionnelle vieillesse, survivants et invalidité (LPP) [1re révision LPP], a indiqué à propos de l'art. 20a LPP que l'alinéa 2 avait pour but d'empêcher un cumul de prestations pour survivants lorsque le concubin bénéficie également d'une rente de veuf ou de veuve (FF 2000 2495, p. 2549). Les premiers juges, procédant à l'interprétation de l'art. 20a al. 2 LPP, ont exposé qu'il ne résultait ni du texte de l'art. 20a LPP, ni des travaux législatifs, du but de la loi ou de sa systématique, que l'alinéa 2 de cette disposition légale soit un cas d'application du principe d'interdiction de surindemnisation. Ils ont retenu qu'il n'était jamais fait mention de cette notion. D'autre part, ils ont considéré que la réglementation prévue par les art. 34a LPP et 24 OPP2 ne s'applique qu'au domaine obligatoire, dans lequel on ne se trouvait pas. Ils en ont conclu que l'art. 20a al. 2 LPP ne pouvait être compris dans le sens voulu par la recourante, c'est-à-dire dans un contexte de surindemnisation.
Dans ses déclarations devant la Cour de céans (supra, consid. 3.4), la recourante reprend pour l'essentiel son argumentation de première instance fondée sur la surindemnisation. Elle ne discute pas la raison pour laquelle les premiers juges l'ont réfutée, singulièrement ont nié que tout cumul de prestations soit possible dans le cadre de l'alinéa 5 de l'art. 40bis du règlement de l'intimée, dont il n'est pas contesté qu'il reprend le principe posé par l'art. 20a al. 2 LPP. Il n'y a pas lieu d'examiner plus avant les arguments de la recourante, la motivation de son recours ne répondant pas aux exigences de l'art. 42 al. 2, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (supra, consid. 1.2). Le recours est mal fondé.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 26 février 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Wagner