Erwägungen:
1.
1.1. Y._ (geb. 1994) reichte am 22. Oktober 2012 bei der Schlichtungsbehörde des Zivilgerichts gegen ihre Mutter X._ ein als Klage bezeichnetes Gesuch um Durchführung eines Schlichtungsverfahrens bezüglich ihres Begehrens um Volljährigenunterhalt ein (5A_759/2013). Des weiteren stellte sie ein Gesuch um vorsorgliche Zusprechung von Unterhaltsbeiträgen (dazu: 5A_760/2013). Am 19. November 2012 zog sie ihr Schlichtungsgesuch unter Bestreitung der Prozesskosten zurück. Am 12. Februar 2013 schrieb der Zivilgerichtspräsident nach Gewährung des rechtlichen Gehörs das Schlichtungsverfahren zufolge Rückzugs aufgrund eines aussergerichtlichen Vergleichs ab und verpflichtete X._ zur Tragung der Kosten des Schlichtungsverfahrens von Fr. 550.--. Dem Vertreter der im Kostenerlass prozessierenden Y._ sprach er ein Honorar aus der Gerichtskasse zu. X._ gelangte gegen den Kostenentscheid an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, welches ihre Beschwerde mit Entscheid vom 27. August 2013 abwies.
1.2. X._ (Beschwerdeführerin) hat den ihr am 6. September 2013 zugestellten Entscheid am 7. Oktober 2013 (Postaufgabe) beim Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten. Sie beantragt den angefochtenen Entscheid aufzuheben und Y._ (Beschwerdegegnerin) zu verpflichten, die Verfahrenskosten zu bezahlen und der Beschwerdeführerin eine angemessene Parteientschädigung von Fr. 750.-- auszurichten. Eventuell seien die Verfahrenskosten auf die Staatskasse zu nehmen und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, der Beschwerdeführerin eine angemessene Entschädigung im genannten Umfang zu bezahlen. Subeventuell seien die Verfahrenskosten der Staatskasse aufzuerlegen und die Parteikosten wettzuschlagen. Für den Fall der Unzulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen (nachfolgend: Beschwerde) ersucht sie darum, ihre Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (nachfolgend Verfassungsbeschwerde) entgegenzunehmen. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2.
Hat eine Beschwerde an das Bundesgericht einzig die Kosten des kantonalen Verfahrens zum Gegenstand und ging es schon im vorinstanzlichen Verfahren allein um diesen Punkt, bestimmt sich der Streitwert allein nach dem Betrag der Verfahrenskosten, in dem diese vor der Vorinstanz strittig waren (BGE 137 III 47 E. 1.2.2; Urteile 4A_691/2012 vom 17. Januar 2013 E. 1.1; 5A_261/2013 vom 19. September 2013 E. 1; 5A_396/2012 vom 5. September 2012 E. 1.2). Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich, dass der Streitwert gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht gegeben ist. Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher von vornherein unzulässig.
3.
Gemäss Art. 119 BGG kann die Verfassungsbeschwerde in der gleichen Rechtsschrift eingereicht werden wie die ordentliche Beschwerde, und ist vom Bundesgericht im gleichen Verfahren zu behandeln. Die falsche Bezeichnung des Rechtsmittels schadet der Beschwerdeführerin nicht, sofern bezüglich des jeweils statthaften Rechtsmittels sämtliche Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (vgl. BGE 131 I 291 E. 1.3 S. 296).
3.1. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft solche Verletzungen nur insofern, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 117 BGG). Es ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 II 396 E. 3.2 S. 400).
3.2. Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Eingabe nicht einmal aufzeigt, welches verfassungsmässige Recht verletzt worden sein soll und zudem einfach auf die Ausführungen in der Beschwerde verweist, ohne aber anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert die Verfassungsverletzung aufzuzeigen, ist auf die Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
3.3.
3.3.1. Unter dem Aspekt der Willkür (Art. 9 BV macht die Beschwerdeführerin immerhin geltend, die vorgenommene Kostenverteilung sei krass ungerecht, weil sie (die Beschwerdeführerin) sich auf das rechtskräftige Scheidungsurteil habe stützen dürfen. Wenn überhaupt sei es an der Beschwerdegegnerin gelegen, eine Abänderungsklage zu erheben (vgl. res iudicata). Ausserdem wäre vorliegend nicht geschlichtet worden. Vielmehr wäre die Beschwerdeführerin zunächst zu vorsorglichen Unterhaltszahlungen verpflichtet worden und hätte danach pro forma eine Schlichtungsverhandlung stattgefunden. All dies sei offensichtlich bundesrechtswidrig, zumal das Schlichtungsverfahren so zur reinen Farce verkomme. Abgesehen davon habe die Beschwerdegegnerin gemäss eigenen Angaben eine Klage ins Recht gelegt und damit zu verstehen gegeben, dass sie an einer Schlichtung kein Interesse habe. Es sei daher krass ungerecht, der Beschwerdeführerin die Kosten aufzuerlegen. Im Weiteren sei ihr nicht zumutbar, ihre Tochter weiterhin zu unterstützen, zumal die Beschwerdegegnerin sie verklagen könne und dabei nicht einmal ein Minimum an Kosten und Risiko zu tragen habe. So sei voraussehbar dass die nächste Klage bereits in Vorbereitung sei: der angefochtene Entscheid sei daher im Ergebnis willkürlich.
3.3.2. Die Vorinstanz hat sich im angefochtenen Entscheid insbesondere mit dem Einfluss des Scheidungsurteils auf das hängige Verfahren um Volljährigenunterhalt befasst und hat namentlich hervorgehoben, dass das Scheidungsurteil den Volljährigenunterhalt gar nicht geregelt habe. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin bewegen sich insgesamt im Spekulativen und setzen sich nicht mit der Tatsache auseinander, dass im Scheidungsurteil kein Unterhalt für die Beschwerdegegnerin über deren Volljährigkeit hinaus gesprochen worden ist. Inwiefern unter den gegebenen Umständen statt der durch die (volljährige) Beschwerdegegnerin hängig gemachten Klage (Art. 62 ZPO) auf Volljährigenunterhalt eine Klage auf Abänderung des Scheidungsurteils anzuheben gewesen wäre, wird nicht erörtert. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin gehen an den Erwägungen des angefochtenen Entscheids vorbei und vermögen daher den genannten Begründungsanforderungen (E. 3.1) nicht zu genügen.
3.3.3. Dies trifft ferner auf die Ausführungen unter IV Weitere Aspekte zu.
4.
Nach dem Gesagten ist auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG). Da die Eingabe mangels einer der Verfassungsbeschwerde entsprechenden Begründung (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) auch nicht als solche entgegengenommen werden kann, ist auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren durch den Präsidenten der Abteilung und unter Kostenfolge für die Beschwerdeführerin (Art. 66 Abs. 1 BGG) nicht einzutreten.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden