Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Am Strafgericht Basel-Stadt ist gegen den Beschwerdeführer ein Verfahren auf Verlängerung einer stationären Massnahme gemäss Art. 59 Abs. 4 StGB hängig. Auf Antrag des instruierenden Präsidenten ordnete das Zwangsmassnahmengericht am 23. Dezember 2013 Sicherheitshaft für die vorläufige Dauer von zwölf Wochen an. Ein Haftentlassungsgesuch vom 13. Januar 2014 wurde vom Zwangsmassnahmengericht am 17. Januar 2014 abgewiesen. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 6. Februar 2014 ab.
Der Beschwerdeführer beantragt beim Bundesgericht, der Entscheid vom 6. Februar 2014 sei aufzuheben. Er sei unter Auflagen aus der Massnahme bedingt zu entlassen.
2.
Die als staatsrechtliche Beschwerde bezeichnete Eingabe ist als Beschwerde im Sinne von Art. 78 ff. BGG entgegenzunehmen. Soweit der Beschwerdeführer eine bedingte Entlassung aus der Massnahme beantragt und diesen Antrag auch begründet, ist darauf nicht einzutreten, weil es im vorliegenden Verfahren nur um die Abweisung des Haftentlassungsgesuchs gehen kann.
3.
Die Vorinstanz stellt fest, der dringende Tatverdacht ergebe sich aus mehreren rechtskräftigen Verurteilungen des Beschwerdeführers unter anderem wegen wiederholter und fortgesetzter qualifizierter Notzucht und sexueller Handlungen mit einem Kind. Bei der heutigen Aktenlage bestünde weiterhin eine erhebliche Rückfallgefahr, wenn der Beschwerdeführer in Freiheit entlassen würde. Ersatzmassnahmen seien keine ersichtlich (vgl. Entscheid S. 3/4 E. 3).
Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwieweit die Feststellungen der Vorinstanz gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnten. So soll es z.B. Berichte geben, nach denen er gesundheitlich gar nicht zu einem Rückfall in der Lage sei (Beschwerde S. 2 Ziff. 3). Einen Beweis dafür, dass die vorinstanzliche Annahme, er sei durchaus noch "selbstständig mobil" (Entscheid S. 4), offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG wäre, vermag er indessen nicht beizubringen. Er bringt vor, dass es durchaus Ersatzmassnahmen, nämlich "Freiheit mit Auflagen", gegeben hätte (Beschwerde S. 3 Ziff. 5). Angesichts der möglicherweise erheblichen Rückfallgefahr sind solche Auflagen jedoch keine realistische Alternative. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Einschätzung des Forensisch-Psychiatrischen Dienstes Bern stelle einen reinen "Gefälligkeits-Bericht" dar (Beschwerde S. 4 Ziff. 9). Inwieweit er darin schlimmer dargestellt wird, als er in Wirklichkeit ist, erläutert er nicht. Insgesamt ist nicht ersichtlich, dass es im vorliegenden Verfahren nicht mit rechten Dingen zugegangen sein könnte (Beschwerde S. 5 Ziff. 14).
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn