Faits:
A. C._, née en 1956, a travaillé dès le 1er septembre 1994 dans la vente de textiles. En arrêt de travail, elle a présenté le 19 décembre 2008 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 9 mars 2009, la doctoresse P._ (spécialiste FMH en médecine interne et spécialiste en maladies rhumatismales), se fondant sur des examens radiologiques de la colonne lombaire et du bassin du 6 novembre 2008 et sur une IRM lombaire du 25 novembre 2008, a posé les diagnostics avec effet sur la capacité de travail de coxarthrose bilatérale à prédominance droite et de douleurs lombo-fessières chroniques irradiant dans le membre inférieur gauche sur importants troubles dégénératifs (discopathies à tous les niveaux, arthrose interfacettaire postérieure bilatérale de L3 à S1, sténose canalaire discrète de L1-L2 à L5-S1). Se référant à une lettre du 24 novembre 2008 adressée au docteur G._ (spécialiste FMH en médecine générale et médecin traitant de l'assurée), elle retenait que l'assurée présentait sur le plan physique des limitations fonctionnelles (pas de position debout prolongée ni de position assise prolongée ou de marche prolongée, flexion en avant et flexion accroupie difficiles, port de charges moyennes et lourdes impossible) et évaluait à 50 % son incapacité de travail dans l'activité habituelle. De son côté, le docteur G._ a produit un rapport du 23 mars 2009, où il indiquait que la patiente souffrait notamment d'un état anxio-dépressif et que son incapacité de travail avait été de 50 % à 100 % selon les périodes d'arrêt de travail et proposait qu'une expertise rhumatologique et psychiatrique soit mise en oeuvre. Dans un rapport du 5 juin 2009, le docteur B._ a posé les diagnostics sans effet sur la capacité de travail de trouble de l'adaptation, réaction mixte anxieuse et dépressive ([CIM-10] F43.22), en indiquant que ces troubles étaient en rémission et que la patiente n'avait plus suivi de traitement sur le plan psychiatrique depuis le 26 mai 2009.
Le 30 juin 2009, le docteur S._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin chef du Service d'orthopédie de l'Hôpital X._, a procédé à la pose d'une prothèse totale de la hanche droite. Dans un rapport du 16 septembre 2009 adressé à l'assureur perte de gain de C._, la doctoresse P._ a retenu que les douleurs avaient très nettement diminué en ce qui concerne la coxarthrose, mais qu'il n'en allait pas de même des douleurs lombaires qui étaient très importantes dans un contexte de troubles dégénératifs diffus avec rétrécissement canalaire étagé. Sur proposition des médecins du SMR, le docteur Z._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie et médecin SMR, a procédé le 24 février 2010 à un examen clinique rhumatologique. Dans un rapport du 8 mars 2010, il a posé les diagnostics avec répercussion durable sur la capacité de travail de rachialgies diffuses avec sciatalgie droite dans le cadre de troubles statiques et dégénératifs du rachis avec canal lombaire étroit, petite hernie discale L1-L2 gauche et anomalie transitionnelle lombo-sacrée, de coxarthrose gauche et de status après pose d'une prothèse totale de hanche droite pour coxarthrose. Au vu de ces diagnostics, il retenait des limitations fonctionnelles (rachis: nécessité de pouvoir alterner deux fois par heure la position assise et la position debout; pas de soulèvement régulier de charges d'un poids excédant 5 kg; pas de port régulier de charges d'un poids excédant 8 kg; pas de travail en porte-à-faux statique prolongé du tronc; pas d'exposition à des vibrations) qui n'étaient pas respectées dans l'activité habituelle, où la capacité de travail était nulle. En revanche, dans une activité strictement adaptée aux limitations fonctionnelles requises par la pathologie ostéoarticulaire, la capacité de travail exigible était de 100 % depuis le 26 juin 2008. Dans un rapport du 19 mars 2010, le docteur O._ (médecin SMR), reprenant les conclusions du docteur Z._ en ce qui concerne la capacité de travail exigible de l'assurée, a fixé au 26 juin 2008 le début de l'incapacité de travail durable.
Dans un préavis du 11 mai 2010, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a informé C._ qu'elle présentait une capacité de travail exigible de 100 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles et que son invalidité était de 14.72 % (compte tenu d'un revenu sans invalidité de 48'191 fr. et d'un revenu d'invalide de 41'094 fr. 15 [après abattement de 20 %] par année), taux ne donnant aucun droit à une rente. Par décision du 21 juin 2010, l'office AI, rejetant la demande, a nié tout droit de l'assurée à une rente d'invalidité.
B. Le 23 août 2010, C._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant, sous suite de frais et dépens, à sa réforme en ce sens qu'une rente entière d'invalidité lui était octroyée avec effet au 27 novembre 2008, le dossier étant renvoyé à l'office AI pour qu'il procède au calcul de la rente. Demandant qu'une expertise soit ordonnée dans le but de déterminer de façon précise sa capacité résiduelle de travail, elle concluait à titre subsidiaire à l'annulation de la décision entreprise, la cause étant renvoyée à l'office AI pour instruction complémentaire dans le sens des considérants et nouvelle décision. Elle produisait une attestation médicale de la doctoresse P._ du 5 juillet 2010 et une lettre de ce médecin du 18 août 2010.
Dans un courrier du 15 juin 2011, C._ a produit une lettre du 30 mai 2011 de la doctoresse F._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie) qui suivait la patiente à sa consultation depuis le 11 novembre 2010, dans laquelle ce médecin a posé des diagnostics psychiatriques et indiqué que les troubles psychiques retenus étaient étroitement liés aux troubles somatiques. Dans l'hypothèse où ce document n'aurait pas pleine valeur probante, l'assurée a réitéré sa requête d'expertise en sollicitant la mise en oeuvre d'une expertise rhumatologique et psychiatrique. Elle a produit également une lettre du 21 juin 2011 de la doctoresse P._ indiquant que la coxarthrose et la gonarthrose gauches s'étaient aggravées et que selon un avis du docteur S._ du 23 mai 2011, une prothèse totale de la hanche gauche était à programmer.
Par arrêt du 22 septembre 2011, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celui-ci et de la décision administrative litigieuse du 21 juin 2010, la cause étant renvoyée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud pour qu'il procède conformément aux considérants et rende une nouvelle décision sur le droit aux prestations. Elle sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite pour ses frais judiciaires et les honoraires de son conseil, dont elle requiert la désignation comme avocat d'office.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
1.2 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 s. continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application du droit par cette dernière (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité - dans la mesure où elle dépend d'une évaluation de la personne concrète, de son état de santé et de ses capacités fonctionnelles - relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398). Quant aux règles légales et jurisprudentielles sur la manière d'effectuer la comparaison des revenus (prévue à l'art. 16 LPGA), y compris celles concernant l'utilisation de l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ESS), elles relèvent de questions de droit. Sous cet angle, la constatation des deux revenus hypothétiques à comparer est une question de fait, dans la mesure où elle repose sur une appréciation concrète des preuves; il s'agit en revanche d'une question de droit si elle se fonde sur l'expérience générale de la vie (ATF 132 V 393 consid. 3.3 p. 399).
2. Le litige a trait au droit de la recourante à une rente d'invalidité et porte sur l'atteinte à la santé qu'elle présente sur le plan somatique et ses conséquences sur sa capacité de travail et de gain, singulièrement sur le point de savoir si la recourante peut encore exploiter économiquement sa capacité de gain résiduelle sur le marché du travail.
2.1 Selon une jurisprudence constante, le juge des assurances sociales apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment de la clôture de la procédure administrative. Les faits survenus postérieurement et ayant modifié cette situation doivent faire l'objet d'une nouvelle décision administrative (ATF 131 V 242 consid. 2.1 p. 243; 121 V 362 consid. 1b p. 366). Les faits survenus postérieurement doivent cependant être pris en considération dans la mesure où ils sont étroitement liés à l'objet du litige et de nature à influencer l'appréciation au moment où la décision attaquée a été rendue (ATF 99 V 98 consid. 4 p. 102).
2.2 Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales relatives aux notions d'incapacité de gain (art. 7 al. 1 et 2 LPGA depuis le 1er janvier 2008 [sur le caractère objectif de l'appréciation de l'exigibilité, cf. ATF 135 V 215 consid. 7.2 et 7.3 p. 229 s.]) et d'invalidité (art. 4 al. 1 LAI et art. 8 al. 1 LPGA) et les règles légales régissant l'évaluation de l'invalidité des assurés exerçant une activité lucrative (art. 16 LPGA en corrélation avec l'art. 28a al. 1 LAI depuis le 1er janvier 2008) et jurisprudentielles dont il y a lieu de relever qu'elles continuent à s'appliquer après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la novelle du 6 octobre 2006 [5e révision de l'AI] (arrêt 8C_373/2008 du 28 août 2008, consid. 2.1).
2.3 Les règles et principes jurisprudentiels sur la valeur probante d'un rapport médical (ATF 134 V 231 consid. 5.1 p. 232, 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469, 125 V 351 consid. 3a p. 352) sont exposés de manière correcte dans le jugement entrepris, auquel on peut renvoyer. Il n'existe pas, dans la procédure d'octroi ou de refus de prestations d'assurances sociales, de droit formel à une expertise menée par un médecin externe à l'assurance (ATF 135 V 465 consid. 4.3 p. 468). Il convient toutefois d'ordonner une telle expertise si des doutes, même faibles, subsistent quant à la fiabilité et à la pertinence des constatations médicales effectuées par le service médical interne de l'assurance (ATF 135 V 465 consid. 4.6 p. 471).
3. La juridiction cantonale a retenu que la recourante avait présenté sur le plan somatique une capacité de travail complète dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles dès juin 2008.
3.1 Les premiers juges s'en sont tenus aux éléments indiqués par la doctoresse P._ dans son rapport du 9 mars 2009, le docteur G._ dans son rapport du 23 mars 2009 et le docteur Z._ dans son rapport du 8 mars 2010, en relevant que ces médecins avaient posé les mêmes diagnostics sur le plan somatique. Ils ont considéré que la doctoresse P._ avait tenu compte dans sa lettre du 18 août 2010 d'éléments subjectifs dans son appréciation de la capacité de travail de la recourante et d'un nouveau diagnostic ("arthrose tri-compartimentale débutante") apparu après que la décision du 21 juin 2010 eut été rendue et dans sa lettre du 21 juin 2011 d'une aggravation des coxarthrose et gonarthrose gauches qui était également apparue postérieurement à la décision administrative litigieuse et qu'il ne pouvait dès lors en être tenu compte dans la présente procédure.
3.2 La recourante reproche aux premiers juges de s'être fondés exclusivement sur le rapport du docteur Z._ du 8 mars 2010, en écartant l'attestation médicale du 5 juillet 2010 et la lettre du 18 août 2010 de la doctoresse P._, documents dont elle affirme qu'ils concernent son état de santé tel qu'il prévalait lors de la décision administrative litigieuse du 21 juin 2010 et qu'ils auraient dû être pris en considération dans la mesure où ils avaient trait à la situation antérieure à cette date. Alléguant que l'aggravation de la coxarthrose dont a fait état la doctoresse P._ est un moyen destiné à prouver un fait survenu antérieurement à la décision administrative litigieuse et qu'il existait suffisamment de doutes en ce qui concerne la fiabilité et la pertinence des constatations du docteur Z._ pour qu'une expertise médicale soit ordonnée, elle fait valoir que la juridiction cantonale a procédé à une appréciation arbitraire des preuves en établissant les faits de façon manifestement inexacte et en violation du droit, en particulier son droit d'être entendue.
3.3 Pour autant, la recourante ne démontre pas le caractère insoutenable, voire arbitraire des éléments retenus par la juridiction cantonale par une argumentation qui réponde aux exigences de l'art. 42 al. 2, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 135 III 127 consid. 1.6 p. 130 et l'arrêt cité, 134 II 244 consid. 2.2 p. 246, 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.). En particulier, elle n'indique pas en quoi les premiers juges, en ne tenant pas compte dans la présente procédure de l'évaluation de la capacité de travail par la doctoresse P._ dans sa lettre du 18 août 2010 parce que des éléments subjectifs étaient intervenus dans son appréciation ni du nouveau diagnostic d'arthrose débutante du genou gauche parce qu'il était apparu après la décision du 21 juin 2010 ni de l'aggravation des coxarthrose et gonarthrose gauches dont a fait état la doctoresse P._ dans sa lettre du 21 juin 2011 parce qu'elle était apparue postérieurement à la décision administrative litigieuse, auraient violé le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF). Non seulement la recourante ne discute nullement les raisons pour lesquelles la juridiction cantonale n'a pas tenu compte dans la présente procédure des éléments mentionnés ci-dessus, mais il n'est pas démontré que l'on se trouve dans la situation de l'arrêt ATF 99 V 98 (supra, consid. 2.1). Il ressort du jugement entrepris que dans l'attestation médicale du 5 juillet 2010 et les lettres des 18 août 2010 et 21 juin 2011, la doctoresse P._ ne s'est pas exprimée sur le point de savoir quelle était sur le plan médical la situation de la recourante au moment où la décision du 21 juin 2010 a été rendue. On ne saurait dès lors tirer aucune conclusion sur ce point à partir des éléments que la doctoresse P._ a fournis dans les documents mentionnés ci-dessus. Le recours est mal fondé de ce chef.
3.4 Les premiers juges ont admis que le rapport du docteur Z._ du 8 mars 2010 remplissait les critères jurisprudentiels permettant de reconnaître à un rapport médical pleine valeur probante (ATF 134 V 231 consid. 5.1 p. 232, 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469, 125 V 351 consid. 3a p. 352). Ils ont relevé que ce rapport contenait une anamnèse détaillée et faisait état des plaintes exprimées par la recourante, que la description de la situation médicale, les diagnostics posés et les limitations fonctionnelles entraînées par ceux-ci étaient clairs et que les conclusions du docteur Z._ étaient motivées et convaincantes.
La recourante laisse entendre qu'il subsiste des doutes quant à la fiabilité et à la pertinence des constatations du docteur Z._. Cela n'est toutefois nullement démontré. Même si ce médecin n'a pas mentionné de consultation auprès de la doctoresse K._, il n'en demeure pas moins que, comme cela ressort du jugement entrepris, les douleurs ressenties par la recourante ont été prises en compte par le docteur Z._, qui les a mentionnées dans son rapport du 8 mars 2010. La recourante se réfère aux troubles dégénératifs décrits par la doctoresse P._ dans son rapport du 9 mars 2009 (discopathies à tous les niveaux, arthrose interfacettaire postérieure bilatérale de L3 à S1, sténose canalaire discrète de L1-L2 à L5-S1) et que ce médecin a évoqué dans un rapport médical d'évolution du 16 septembre 2009. Elle affirme qu'en ce qui concerne les troubles dégénératifs, aucun diagnostic clair et précis qui soit d'actualité au moment de la décision du 21 juin 2010 n'a été posé. Cependant, le docteur Z._ a posé dans son rapport du 8 mars 2010 un diagnostic en ce qui concerne les troubles dégénératifs du rachis. Les affirmations de la recourante ne permettent pas de considérer que ce diagnostic n'était plus d'actualité lors de la décision administrative litigieuse du 21 juin 2010. Ainsi que cela ressort du jugement entrepris, le diagnostic retenu par le docteur Z._ - soit des troubles statiques et dégénératifs du rachis avec rétrolisthésis L2/L3, L3/L4 et L4/L5, canal lombaire étroit, anomalie transitionnelle lombosacrée et petite hernie discale L1-L2 paramédiane gauche, sans conflit radiculaire - se fonde sur les examens radiologiques mis à sa disposition (radiographie de la colonne lombaire du 6 novembre 2008, IRM lombaire du 25 novembre 2008) et sur son examen clinique du 24 février 2010. Les constatations du docteur Z._ sur le plan rachidien (rapport du 8 mars 2010, page 4) ne sont pas discutées par la recourante.
Il ressort du jugement entrepris que la doctoresse P._ dans son rapport du 9 mars 2009 et dans son rapport du 16 septembre 2009 adressé à l'assureur perte de gain et le docteur G._ dans son rapport du 23 mars 2009 n'ont fait état d'aucun élément objectivement vérifiable qui aurait été ignoré dans le cadre du rapport du docteur Z._ du 8 mars 2010 et qui soit suffisamment pertinent pour remettre en cause ses conclusions. La recourante ne se trouve donc pas dans la situation dont il est question dans l'arrêt ATF 135 V 465 consid. 4.6 p. 471 où subsistent des doutes, même faibles, quant à la fiabilité et à la pertinence des constatations médicales effectuées à l'interne. Le rapport du docteur Z._ du 8 mars 2010 et le rapport du docteur O._ du 19 mars 2010 suffisaient pour statuer en pleine connaissance de cause, de sorte que la juridiction cantonale pouvait se dispenser d'administrer d'autres preuves (appréciation anticipée des preuves), une telle manière de procéder ne violant pas le droit d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst. (ATF 136 I 229 consid. 5.3 p. 236, 124 V 90 consid. 4b p. 94, 122 V 157 consid. 1d p. 162). Sur le vu des conclusions des docteurs Z._ et O._, les affirmations de la recourante (supra, consid. 3.2) ne permettent pas de considérer que les premiers juges, en retenant que la recourante avait présenté sur le plan somatique une capacité de travail complète dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles dès juin 2008, aient établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Le recours est mal fondé de ce chef.
3.5 Les premiers juges ont rejeté les griefs de la recourante à l'encontre de l'office AI lui reprochant d'avoir procédé de manière arbitraire et erronée à l'évaluation de son invalidité sous prétexte qu'il était irréaliste de s'attendre à ce qu'elle puisse retrouver un emploi sur un marché équilibré du travail. Ils ont relevé qu'au moment de la décision administrative litigieuse du 21 juin 2010, la recourante était âgée de 54 ans et n'était ainsi pas proche de l'âge donnant droit à la rente de vieillesse et qu'elle ne se trouvait hors du circuit professionnel que depuis une année seulement. Compte tenu des limitations fonctionnelles que la recourante présente, ils ont considéré qu'on devait admettre, au vu du large éventail d'activités simples et répétitives, sans formation nécessaire, que recouvrent les données ressortant de l'Enquête suisse sur la structure des salaires, qu'un nombre significatif d'entre elles était adapté au handicap dont elle souffre.
Cela est contesté par la recourante, qui affirme que les nombreuses limitations fonctionnelles constatées médicalement ne permettent justement pas d'exercer une quelconque activité répétitive. Cette affirmation n'est toutefois étayée par aucune pièce au dossier. Elle est même contredite par le rapport du 8 mars 2010 du docteur Z._ où ce médecin parle d'une activité strictement adaptée aux limitations fonctionnelles requises par la pathologie ostéoarticulaire, mais ne dit nulle part que les limitations fonctionnelles empêchent toute activité répétitive, ce qui ne découle pas non plus de la description qu'il a faite des limitations fonctionnelles. Enfin, la recourante entend tirer argument de l'absence de toute précision au dossier quant à une activité - concrète - dont les tâches seraient compatibles avec les multiples et importantes limitations fonctionnelles qu'elle présente. Ce moyen n'est cependant pas pertinent, attendu que pour évaluer l'invalidité, il n'y a pas lieu d'examiner la question de savoir si une personne invalide peut être placée eu égard aux conditions concrètes du marché du travail; il convient uniquement de se demander si elle pourrait encore exploiter économiquement sa capacité résiduelle de travail lorsque les places de travail disponibles correspondent à l'offre de la main d'oeuvre (arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 198/97 du 7 juillet 1998, consid. 3b in VSI 1998 p. 296 et les références), ce qui est précisément le cas ainsi que l'a exposé ci-dessus la juridiction cantonale.
En conséquence, les premiers juges, se ralliant à l'avis de l'office AI, ont considéré avec raison que la recourante pouvait encore pleinement exploiter économiquement sa capacité de gain résiduelle sur le marché du travail. Compte tenu d'une capacité de travail complète dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles depuis juin 2008 (supra, consid. 3.4), ils ont fixé le revenu d'invalide à 41'957 fr. 10 par année (valeur 2009), constatation qui lie la Cour de céans dans la mesure où elle repose sur une appréciation concrète des preuves (supra, consid. 1.2). Les affirmations de la recourante se référant aux incapacités de travail attestées par son médecin traitant ne permettent pas de considérer que la juridiction cantonale, en fixant le revenu d'invalide à 41'957 fr. 10 par année, ait établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Le jugement entrepris conclut à une invalidité de 14.73 % (compte tenu d'un revenu sans invalidité de 49'203 fr. et du revenu d'invalide de 41'957 fr. 10 par année [valeur 2009]), taux ne donnant pas droit à une rente de l'assurance-invalidité, et est ainsi conforme au droit fédéral (supra, consid. 2.2). Le recours est mal fondé.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci est accordée à la recourante, son attention étant attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée à la recourante.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Les honoraires de Me Anne-Rebecca Bula sont fixés à 2'800 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée). Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 avril 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Wagner