Die Kammer zieht in Erwägung:
1. 1.1 In der von der Bank X._ für eine Forderung von Fr. 23'560.90 nebst Zins zu 6,75 % seit 1. Februar 2005 gegen die Y._ AG in A._ eingeleiteten Betreibung Nr. 1 stellte das Betreibungsamt Z._ am 2. März 2005 den Zahlungsbefehl zu. Die Y._ AG schlug Recht vor.
Mit Schreiben vom 7. März 2005 räumte die Bank X._ der Betreibungsschuldnerin die Gelegenheit ein, den Rechtsvorschlag zurückzuziehen, mit dem Hinweis, dass sie Klage einreichen werde, falls sie bis zum 15. März 2005 keine Rückzugserklärung erhalten sollte. Sie legte eine von ihr vorbereitete "Rückzugserklärung" mit folgendem Wortlaut bei:
"Die Y._ AG erklärt, den in Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamtes Z._ erhobenen Rechtsvorschlag vollumfänglich zurückzuziehen."
Diese Erklärung wurde am 21. März 2005 von der Y._ AG unterzeichnet. Unter Beilage dieser Erklärung reichte die Bank X._ am 30. März 2005 das Fortsetzungsbegehren ein.
Mit Schreiben vom 4. April 2005 liess das Betreibungsamt die Bank X._ wissen, dass es die Rückzugserklärung der Y._ AG nicht anerkenne, weil gemäss BGE 62 III 125 ff. eine solche direkt vom Betriebenen an das Betreibungsamt gerichtet werden müsse. Das Begehren der Bank X._ vom 7. April 2005, diese Verfügung zurückzunehmen, blieb ohne Erfolg.
1.2 Durch Eingabe vom 15. April 2005 erhob die Bank X._ beim Kantonsgericht Freiburg (Schuldbetreibungs- und Konkurskammer) als kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen Beschwerde und verlangte, es sei festzustellen, dass der Rechtsvorschlag rechtsgültig zurückgezogen worden sei, die betreibungsamtliche Verfügung vom 4. April 2005 aufzuheben und das Betreibungsamt anzuweisen, ihrem Fortsetzungsbegehren vom 30. März 2005 Folge zu geben.
Die kantonale Aufsichtsbehörde wies die Beschwerde am 8. Juni 2005 ab.
Die Bank X._ nahm diesen Entscheid am 13. Juni 2005 in Empfang. Mit einer vom 23. Juni 2005 datierten und noch am gleichen Tag zur Post gebrachten Eingabe führt sie (rechtzeitig) Beschwerde an die Schuldbetreibungs- und Konkurskammer des Bundesgerichts und erneuert die im kantonalen Verfahren gestellten Rechtsbegehren.
Das Kantonsgericht hat auf eine Stellungnahme zur Beschwerde ausdrücklich verzichtet. Das Betreibungsamt schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, und die Beschwerdegegnerin Y._ AG hat sich nicht vernehmen lassen.
2. 2.1 Das Kantonsgericht weist darauf hin, dass die Beschwerdegegnerin (Schuldnerin) eine von der Beschwerdeführerin verfasste Rückzugserklärung datiert und unterzeichnet und alsdann an die Beschwerdeführerin zurückgesandt habe. Weder aus der Erklärung selbst noch aus der Beschwerde oder deren Beilagen ergebe sich, dass die Beschwerdegegnerin die Beschwerdeführerin schriftlich beauftragt und ermächtigt hätte, ihre Rückzugserklärung an das Betreibungsamt weiterzuleiten. Auch eine mündliche Ermächtigung gehe aus den Akten nicht hervor und werde von der Beschwerdeführerin im Übrigen auch nicht behauptet. Aus verschiedenen Entscheiden leitet die Vorinstanz ab, dass das Bundesgericht eine dem Gläubiger abgegebene Rückzugserklärung als ungenügend erachte, sofern dieser vom Schuldner nicht ausdrücklich ermächtigt worden sei, die Erklärung an das Betreibungsamt weiterzuleiten.
2.2 Demgegenüber ist die Beschwerdeführerin der Auffassung, dass eine stillschweigende Ermächtigung zur Weiterleitung ausreiche und eine solche in der Abgabe der Rückzugserklärung gegenüber dem Gläubiger zu vermuten sei. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz bedürfe es keines mit der Rückzugserklärung verbundenen Vermerks wie "zuhanden des Betreibungsamts" und auch keiner expliziten Adressierung an das Amt.
3. 3.1 Am 21. März 2005 hat die Beschwerdegegnerin gegenüber der Beschwerdeführerin unterschriftlich erklärt, sie ziehe den von ihr in der strittigen Betreibung erhobenen Rechtsvorschlag vollumfänglich zurück. Wie das Bundesgericht schon in seinem - sowohl von der Beschwerdeführerin als auch von der Vorinstanz angerufenen - Entscheid vom 24. Februar 1925 (BGE 51 III 35 S. 36) ausgeführt hat, wird eine Erklärung dieser Art ganz offensichtlich zu dem Zweck ausgestellt, dass sie dem Betreibungsamt vorgelegt werde. Ein anderer Sinn kann ihr nach dem Vertrauensprinzip nicht zukommen, hat doch nicht nur der Rechtsvorschlag, sondern selbstverständlich auch dessen Rückzug ausschliesslich betreibungsrechtliche Wirkung (vgl. Kurt Amonn/Fridolin Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 7. Auflage, § 18 Rz. 38 f.). Im genannten Entscheid ist weiter festgehalten worden, es liege dort, wo die Echtheit der Unterschrift des Schuldners nicht zu bezweifeln sei und der Rückzug vorbehaltlos erklärt werde, kein Grund vor, nicht auch eine dem Gläubiger gegebene Rückzugserklärung für den Wegfall des Rechtsvorschlags als genügend zu erachten (vgl. auch BGE 81 III 94 E. 2 S. 95 ff.).
3.2 Die kantonale Aufsichtsbehörde hält unter Berufung auf eben diesen bundesgerichtlichen Entscheid dafür, es müsse in der Rückzugserklärung zumindest ausdrücklich darauf hingewiesen werden, dass sie zuhanden des Betreibungsamtes abgegeben werde. Im erwähnten Entscheid (in dem es letztlich um den Widerruf der Rückzugserklärung gegangen war) wurde festgehalten, für ein Dahinfallen des Rechtsvorschlags genüge auch, dass der Schuldner dem Gläubiger zu Handen des Betreibungsamtes unterschriftlich eine Rückzugserklärung ausstelle, die dieser als Bote des Schuldners dem Amt übermittle (BGE 51 III 35 S. 36 oben). Dass das Betreibungsamt in der Rückzugserklärung ausdrücklich erwähnt sein müsse, lässt sich jenem Entscheid indessen selbst dem Sinne nach nicht entnehmen. Der von der Vorinstanz ebenfalls beigezogene BGE 62 III 125 ff. ist insofern unbehelflich, als die Rückzugserklärung, die der Schuldner dem Gläubiger in jenem Fall übergeben hatte, ausdrücklich an das Betreibungsamt adressiert war.
Wo, wie hier, die von der Schuldnerschaft unterzeichnete Erklärung an Klarheit nichts zu wünschen übrig lässt, sind sodann Bedenken hinsichtlich einer allfälligen Auslegung von Sinn und Tragweite der schuldnerischen Erklärungen, die den Betreibungsorganen nicht zustehe, wie sie etwa in einem Entscheid der Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen für den Kanton Basel-Stadt vom 7. August 1947 (BlSchK 1948 S. 50 f. Nr. 16) angeführt wurden und hier auch vom Betreibungsamt angedeutet werden, ohne Bedeutung. Inwiefern den vom Betreibungsamt ferner angesprochenen Fälschungen besser sollte begegnet werden können, wenn verlangt wird, der Schuldner habe den Gläubiger zur Weiterleitung seiner Rückzugserklärung an das Betreibungsamt ausdrücklich zu ermächtigen, ist nicht ersichtlich.
3.3 Nach dem Gesagten ist festzuhalten, dass der vom Gläubiger an das Betreibungsamt weitergeleitete Rückzug des Rechtsvorschlags seine Wirkungen auch dann entfaltet, wenn die Umstände zur Annahme einer konkludenten Ermächtigung zu dieser Weiterleitung führen. Letzteres ist nach dem Dargelegten hier der Fall. Der Auffassung der Beschwerdeführerin, der Rechtsvorschlag sei in der von ihr gegen die Beschwerdegegnerin eingeleiteten Betreibung rechtsgültig zurückgezogen worden, ist daher beizupflichten.
4. Der Rückzug des Rechtsvorschlags hat zur Folge, dass die Einstellung der Betreibung dahin fällt (vgl. Art. 78 SchKG) und letztere fortgesetzt werden kann (Fritzsche/Walder, Schuldbetreibung und Konkurs nach schweizerischem Recht, I. Bd., § 17 Rz. 57). Das Betreibungsamt ist deshalb anzuweisen, das entsprechende Begehren der Beschwerdeführerin materiell zu behandeln.
Demnach erkennt die Kammer:
1. 1.1 Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Freiburg (Schuldbetreibungs- und Konkurskammer) als kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen vom 8. Juni 2005 aufgehoben.
1.2 Es wird festgestellt, dass der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. 1 gültig zurückgezogen worden ist, und das Betreibungsamt Z._ wird angewiesen, das Fortsetzungsbegehren der Beschwerdeführerin vom 30. März 2005 materiell zu behandeln.
2. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin Y._ AG, dem Betreibungsamt Z._ und dem Kantonsgericht Freiburg (Schuldbetreibungs- und Konkurskammer) als kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2005
Im Namen der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber: