Sachverhalt:
A. Der Gemeinderat der Gemeinde Freienbach erteilte der Orange Communications SA am 29. Juni 2006 die Bewilligung zur Errichtung einer Mobilfunkanlage. Gleichzeitig wies er die dagegen erhobenen Einsprachen ab, soweit er darauf eintrat. X._ erhob gegen den Bewilligungsentscheid Beschwerde beim Regierungsrat des Kantons Schwyz. Dieser wies die Beschwerde am 13. März 2007 ab.
X._ gelangte deshalb an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Mit Entscheid vom 24. Mai 2007 trat das Verwaltungsgericht, Kammer III, auf seine Beschwerde infolge verspäteter Beschwerdeeingabe nicht ein. Gemäss den Ausführungen im verwaltungsgerichtlichen Entscheid habe die Beschwerdefrist 20 Tage betragen. Zwar stünden die gesetzlichen und richterlichen Fristen während den Gerichtsferien an Ostern, welche vom 7. Tag vor Ostern bis und mit dem 7. Tag nach Ostern dauern, in Anwendung von § 94 Abs. 1 und 2 der Gerichtsordnung des Kantons Schwyz vom 10. Mai 1974 (GO/SZ) grundsätzlich still. Vorbehalten seien nach § 94 Abs. 3 GO/SZ aber Einsprache- und Rechtsmittelverfahren in Bausachen. Ein solches Rechtsmittelverfahren sei hier gegeben. Der angefochtene Entscheid der Rekurskommission sei dem Beschwerdeführer nach eigener Sachdarstellung am 21. März 2007 zugegangen. Die Rechtsmittelfrist habe deshalb am 22. März 2007 zu laufen begonnen und habe in Anwendung von § 94 Abs. 3 GO/SZ am 10. April 2007 (Dienstag nach Ostern) geendet. Die Beschwerde an das Verwaltungsgericht sei indessen erst am 24. April 2007, d.h. 14 Tage nach Ablauf der Rechtsmittelfrist, bei der Post aufgegeben worden.
B. X._ hat gegen den Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerden.
C. Das Verwaltungsgericht, der Regierungsrat sowie die Orange Communications SA beantragen Beschwerdeabweisung, soweit darauf einzutreten sei. Der Gemeinderat Freienbach hat auf Stellungnahme verzichtet.
D. Mit Verfügung vom 23. Juli 2007 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. Die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist dementsprechend nicht einzutreten (vgl. Art. 113 BGG).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots (Art. 8 BV) und des Willkürverbots (Art. 9 BV). Er ist der Auffassung, Bauverfahren seien weder als dringlich zu betrachten noch könnten sie dadurch effektiv beschleunigt werden, dass die Gerichtsferien auf diese Verfahren nicht zur Anwendung gelangen. § 94 Abs. 3 GO/SZ treffe daher eine die Rechtsgleichheit verletzende, willkürliche Unterscheidung zwischen Bau- und anderen verwaltungsrechtlichen Verfahren, auf welche die Gerichtsferien Anwendung fänden.
2.2 Das Gebot der Gleichbehandlung gemäss Art. 8 Abs. 1 BV verlangt, dass Gleiches nach Massgabe seiner Gleichheit gleich oder Ungleiches nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Dieser Grundsatz ist verletzt, wenn ein Erlass rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn er Unterscheidungen unterlässt, die sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen. Eine Regelung verstösst gegen das Willkürverbot gemäss Art. 9 BV, wenn sie sich nicht auf ernsthafte sachliche Gründe stützen lässt oder sinn- und zwecklos ist (BGE 132 I 157 E. 4.1 S. 162 f.).
2.3 Nach § 94 GO/SZ finden während den gesetzlich festgelegten Zeiträumen der Oster-, Sommer- und Weihnachtsferien keine Verhandlungen statt und stehen gesetzliche und richterliche Fristen still (Abs. 1). Für das Verwaltungs- und Verwaltungsgerichtsverfahren gelten lediglich die Gerichtsferien an Ostern und Weihnachten (Abs. 2). Vorbehalten bleiben Verhandlungen in dringenden Fällen und vorsorgliche Massnahmen, das summarische Verfahren, das Einsprache- und Rechtsmittelverfahren in Bausachen sowie nach Steuergesetz, das Submissionsverfahren, das Strafverfahren sowie Verhandlungen und Fristansetzungen im Einvernehmen mit den Parteien (Abs. 3).
Der Grund dafür, dass Einsprache- und Rechtsmittelverfahren in Bausachen gemäss § 94 Abs. 3 GO/SZ von den Gerichtsferien ausgenommen sind, liegt im Bestreben, übermässige resp. zusätzliche Verfahrensverzögerungen zu vermeiden. Der kantonale Gesetzgeber berücksichtigte dabei die Tatsache, dass es sich bei Bausachen häufig um ein Zweiparteienverfahren handelt, was im Unterschied zu anderen Verwaltungs- und Verwaltungsgerichtsverfahren naturgemäss zu zusätzlichen Verzögerungen führen kann (vgl. den Auszug aus dem Protokoll des Regierungsrats des Kantons Schwyz vom 4. Juli 1995, S. 26, sowie das Protokoll der Sitzung der kantonsrätlichen Kommission zur Vorberatung von Revisionen von Rechtspflegeerlassen und des Einführungsgesetzes zum schweizerischen Zivilgesetzbuch vom 28. September 1995, S. 12; vgl. dazu ferner den Entscheid 1036/00 des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 27. September 2000, EGV-SZ 2000 Nr. 1 S. 5 ff.).
Der mit § 94 Abs. 3 GO/SZ verfolgte Zweck der Vermeidung zusätzlicher Verfahrensverzögerungen stellt einen sachlichen Grund dar, um bei Bausachen die Gerichtsferien nicht zur Anwendung kommen zu lassen. Die Kantone haben von Verfassungs wegen die Pflicht, beförderliche Verfahren einzurichten (vgl. Art. 29 Abs. 1 BV), wobei ihnen dabei aufgrund ihrer Organisations- und Verfahrenshoheit ein weiter Gestaltungsspielraum zukommt (vgl. Christina Kiss/Heinrich Koller, in: St. Galler Kommentar zur BV, Rz. 4 zu Art. 191b [Justizreform]). Ebenso wenig trifft die Behauptung des Beschwerdeführers zu, die zur Diskussion stehende Regelung sei zwecklos, stellt sie doch eine Möglichkeit dar, die wegen der Komplexität der Materie ohnehin lang dauernden baurechtlichen Verfahren nicht zusätzlich zu verlängern. Die Vorschrift von § 94 GO/SZ verstösst daher weder gegen das Rechtsgleichheitsgebot noch gegen das Willkürverbot. Der darauf abgestützte Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts ist demzufolge ebenfalls verfassungsmässig.
3. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet und ist abzuweisen. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten. Ausgangsgemäss hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Zusprechung einer Parteientschädigung an die private Beschwerdegegnerin fällt ausser Betracht (vgl. das Bundesgerichtsurteil 1C_198/2007 vom 21. Dezember 2007, E. 6).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Freienbach, dem Regierungsrat des Kantons Schwyz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Januar 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder