Sachverhalt:
A. In einem vor Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hängigen Beschwerdeverfahren betreffend Leistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung ersuchte N._ als Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung.
B. Mit Entscheid vom 17. Juni 2009 wies das Sozialversicherungsgericht das Gesuch mangels prozessualer Bedürftigkeit des N._ ab (Dispositiv-Ziff. 1) und ordnete gleichzeitig einen zweiten Schriftenwechsel an (Dispositiv-Ziff. 2). Das Gericht lehnte in der Folge ab, wiedererwägungsweise auf seinen Entscheid betreffend unentgeltliche Verbeiständung zurückzukommen.
C. N._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, Dispositiv-Ziff. 1 des Entscheids vom 17. Juni 2009 sei aufzuheben und es sei ihm für das kantonale Verfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Weiter wird um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Das kantonale Gericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, der nicht mit Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht angefochten werden kann (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Mit dem Entscheid wurde die unentgeltliche Verbeiständung in einem Verfahren betreffend eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG), welche nicht vom gesetzlichen Ausnahmekatalog (Art. 83 BGG) erfasst ist, verweigert. Es handelt sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; SVR 2009 UV Nr. 12 S. 49, 8C_530/2008 E. 2.3 und 2.4; Urteil 8C_422/2009 vom 30. November 2009 E. 1.2, je mit Hinweisen). Gerügt wird eine Verletzung von Art. 61 lit. f ATSG und somit von Bundesrecht (Art. 95 lit. a BGG). Die Beschwerde ist daher zulässig und es ist auf sie einzutreten, da auch die übrigen Voraussetzungen hiefür erfüllt sind.
2. Gemäss Art. 61 lit. f ATSG muss im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht das Recht, sich verbeiständen zu lassen, gewährleistet sein. Wo die Verhältnisse es rechtfertigen, wird der Beschwerde führenden Person ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt.
Nach der Praxis sind die Voraussetzungen für die Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung erfüllt, wenn der Prozess nicht aussichtslos erscheint sowie die Partei bedürftig und die anwaltliche Verbeiständung notwendig oder doch geboten ist (SVR 2009 UV Nr. 12 S. 49, 8C_530/2008 E. 3 mit Hinweisen).
3. Die Vorinstanz hat das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung mit der Begründung abgewiesen, der Beschwerdeführer deklariere ein Vermögen von Fr. 21'000.-. Er mache zwar geltend, lediglich aufgrund der von der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) ausgerichteten Integritätsentschädigung zu diesem Vermögen gelangt zu sein. Entgegen der von ihm vertretenen Auffassung sei bei der Prüfung der prozessualen Bedürftigkeit aber auch eine Integritätsentschädigung als Vermögenswert anzurechnen. Nach Abzug eines Freibetrages von Fr. 10'000.- verfüge der Beschwerdeführer demnach über Vermögenswerte von rund Fr. 11'000.-. Damit sei er in der Lage, einen Rechtsanwalt zu bezahlen. Die unentgeltliche Verbeiständung könne daher mangels Bedürftigkeit nicht gewährt werden.
Der Beschwerdeführer erneuert sein Vorbringen, wonach die Integritätsentschädigung nicht angerechnet werden dürfe. Er macht sodann wie bereits im kantonalen Verfahren geltend, seine monatlichen Ausgaben überstiegen die Einnahmen um über Fr. 1'000.-. Damit werde das noch vorhandene Guthaben ohnehin bald aufgebraucht sein.
4. Eine Person ist bedürftig, wenn sie nicht in der Lage ist, für die Prozesskosten aufzukommen, ohne dass sie Mittel beanspruchen müsste, die zur Deckung des Grundbedarfs für sie und ihre Familie notwendig sind. Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden im Zeitpunkt der Entscheidung über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dazu gehören einerseits sämtliche finanziellen Verpflichtungen, anderseits die Einkommens- und Vermögensverhältnisse (SVR 2010 IV Nr. 10 S. 31, 9C_13/2009 E. 8.2; 2009 UV Nr. 12 S. 49, 8C_530/2008 E. 4.1, je mit Hinweisen).
4.1 Das kantonale Gericht hat die Bedürftigkeit einzig anhand der Vermögensverhältnisse geprüft. Das wäre zulässig, wenn die zur Verfügung stehenden Vermögenswerte derart umfangreich sind, dass die Tragung der Anwaltskosten unabhängig von den Lebenshaltungskosten als zumutbar erscheint. Letzteres trifft hier offensichtlich nicht zu. Demnach hätte die Vorinstanz im Lichte der nach dem zuvor Gesagten gebotenen Gesamtbetrachtung auch die Einnahmen- und Ausgabensituation berücksichtigen müssen.
Hinzu kommt, dass das kantonale Gericht offensichtlich einen festen Pauschalbetrag als sog. Notgroschen (Vermögen, welches als Notreserve für aussergewöhnliche Ausgaben bei der Prüfung der Bedürftigkeit angerechnet wird; auch: Vermögensfreibetrag) berücksichtigt hat. Das ist ebenfalls nicht zulässig. Bei der Festsetzung des Notgroschens ist nicht von einer allgemein gültigen Pauschale auszugehen (Urteil I 362/05 vom 9. August 2005 E. 5.3 mit Hinweisen; Urteil B 52/02 vom 20. Dezember 2002 E. 5.3, zusammengefasst in: SZS 2003 S. 522 f.). Vielmehr sind die gesamten persönlichen und finanziellen Verhältnisse der gesuchstellenden Person zu berücksichtigen. Gesichtspunkte, welche die Lebenssituation als besonders schwierig erscheinen lassen, können einen höheren Betrag rechtfertigen. Anderseits lässt eine einigermassen gesichert erscheinende Ausgangslage zu, die erforderliche Reserve für aussergewöhnliche Ausgaben niedriger anzusetzen (Urteil 8C_282/2008 vom 2. Juni 2008 E. 4.2).
4.2 Feststellungen zur Einnahmen- und Ausgabensituation hat die Vorinstanz nicht getroffen. Die Akten erlauben indessen dem Bundesgericht, diesbezüglich den massgeblichen Sachverhalt festzustellen (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. Urteil 9C_784/2009 vom 30. Oktober 2009 E. 3.3). Demnach ergibt sich, dass monatlichen Einkünften von rund Fr. 1'900.-, ein deutlich höherer prozessualer Notbedarf gegenübersteht. Es ist offensichtlich, dass der Vermögensanteil von Fr. 11'000.-, den das kantonale Gericht als für die Prozesskosten verwendbar betrachtet hat, schon zur Deckung des gewöhnlichen Lebensunterhalts in absehbarer Zeit aufgebraucht sein wird und daher zur Deckung der Anwaltskosten nicht zur Verfügung steht. Unter diesen Umständen ist der Notgroschen mit Fr. 10'000.- zu tief angesetzt. Das kantonale Gericht hat die prozessuale Bedürftigkeit daher zu Unrecht verneint.
4.3 Demnach muss nicht näher auf den weiteren Einwand des Beschwerdeführers eingegangen werden, wonach Vermögen aus Integritätsentschädigung bei der Bestimmung der Bedürftigkeit im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege nicht angerechnet werden dürfe. Festzuhalten ist lediglich, dass die Anrechenbarkeit derartigen Vermögens in den Urteilen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts (heute: I. und II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts) I 302/96 vom 23. Dezember 1997 E. 7c (veröffentlicht in: SVR 1998 IV Nr. 13 S. 45) und I 228/97 vom 17. Juni 1997 mit der Begründung bejaht wurde, es komme bei der Bedürftigkeitsprüfung nicht auf den Rechtsgrund der Vermögensbildung an. Kritisch dazu äussert sich etwa ALFRED BÜHLER (Die Prozessarmut, in: Gerichtskosten, Parteikosten, Prozesskaution, unentgeltliche Prozessführung, 2001, S. 131 ff., 140 f.; DERS., Kommentar zur Aargauischen Zivilprozessordnung, 1998, S. 307 f. N 18; ; vgl. auch VOLKER PRIBNOW, Die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege im Haftpflichtprozess, in: AJP 1997 S. 1205 ff., 1208; REBECCA HIRT, Die Regelung der Kosten nach st. gallischem Verwaltungsrechtspflegegesetz, Diss. St. Gallen 2004, S. 235 Anm. 25).
4.4 Ist nach dem Gesagten die prozessuale Bedürftigkeit gegeben, bleibt darüber zu befinden, ob auch die übrigen Voraussetzungen der unentgeltlichen Verbeiständung im kantonalen Verfahren erfüllt sind. Die Sache wird hiefür an die Vorinstanz zurückgewiesen.
5. Gerichtskosten sind keine zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem als obsiegend zu betrachtenden (vgl. BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_503/2009 vom 6. November 2009 E. 5 mit Hinweisen) Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Damit wird das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im letztinstanzlichen Verfahren gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 17. Juni 2009 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung neu entscheide.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Februar 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz