Faits:
A. S._, né en 1966, a travaillé au service d'une entreprise agricole et était, à ce titre, assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès du Groupe Mutuel Assurances GMA SA (ci-après: le GMA). Le 23 janvier 2007, il a été victime d'un accident professionnel alors qu'il abattait un arbre à l'aide d'une tronçonneuse. Le polytraumatisme qui en est résulté a nécessité plusieurs interventions chirurgicales. En outre, un examen neuropsychologique effectué le 19 janvier 2009 a mis en évidence des déficits neuropsychologiques sous la forme de troubles cognitivo-comportementaux sévères. Dans un rapport du 26 octobre 2009, le docteur V._, spécialiste en neurologie et chef de service à la Clinique X._, a indiqué que la situation était stationnaire, l'assuré étant indépendant dans ses activités quotidiennes, mais nécessitant toujours une supervision de ses actions en raison de séquelles cognitivo-comportementales.
Le 29 mai 2009, N._, inspecteur de sinistres LAA, a établi un rapport d'enquête concernant l'allocation d'impotent. Se référant à ce rapport, le GMA a rendu une décision le 26 mars 2010, confirmée sur opposition le 2 juillet suivant, par laquelle il a nié le droit de l'assuré à une allocation pour impotent.
B. S._ a recouru contre la décision sur opposition devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud en demandant l'octroi d'une allocation pour impotence de degré faible. Le GMA a conclu au rejet du recours et a produit un courrier du docteur V._, du 27 décembre 2010.
Par jugement du 25 juillet 2011, la juridiction cantonale a réformé la décision attaquée en ce sens que l'assuré a droit à une allocation pour impotence de degré faible et elle a renvoyé la cause au GMA pour nouvelle décision au sens des considérants.
C. Le GMA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande la réforme en concluant à ce que le droit de l'intimé à une allocation pour impotence de degré faible soit nié.
L'intimé conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. La juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1.1 1.1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
1.1.2 Dans son jugement, le tribunal cantonal a reconnu le droit de l'assuré à une allocation pour impotence de degré faible. En outre, sur le vu de ses considérants, auxquels renvoie par ailleurs le dispositif du jugement attaqué - lesquels, partant, participent de la force matérielle du prononcé (ATF 120 V 233 consid. 1a p. 237; 113 V 159 et les références; arrêt 8C_40/2009 du 13 mars 2009 consid. 3.2) -, la juridiction cantonale a renvoyé la cause au GMA afin qu'il statue sur le début du droit à l'allocation, ainsi que sur son montant. D'un point de vue purement formel, il s'agit donc d'une décision de renvoi, soit une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Aussi, le recours n'est-il admissible qu'aux conditions posées à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF.
1.1.2 Dans son jugement, le tribunal cantonal a reconnu le droit de l'assuré à une allocation pour impotence de degré faible. En outre, sur le vu de ses considérants, auxquels renvoie par ailleurs le dispositif du jugement attaqué - lesquels, partant, participent de la force matérielle du prononcé (ATF 120 V 233 consid. 1a p. 237; 113 V 159 et les références; arrêt 8C_40/2009 du 13 mars 2009 consid. 3.2) -, la juridiction cantonale a renvoyé la cause au GMA afin qu'il statue sur le début du droit à l'allocation, ainsi que sur son montant. D'un point de vue purement formel, il s'agit donc d'une décision de renvoi, soit une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Aussi, le recours n'est-il admissible qu'aux conditions posées à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF.
1.2 1.2.1 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF s'entend du dommage qui ne peut pas être réparé ultérieurement, notamment par la décision finale.
Selon la jurisprudence, conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, dans la mesure où elles ne sont pas immédiatement données, la partie recourante doit exposer en quoi les conditions de recevabilité sont réunies. Il lui appartient notamment d'alléguer et d'établir la possibilité qu'une décision incidente lui cause un dommage irréparable (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 428 s. et les références citées), à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (arrêts 2C_8/2011 du 3 mars 2011 consid. 2.2; 2C_687/2009 du 17 février 2010 consid. 1.3.2).
Le Tribunal fédéral considère qu'il y a un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF lorsqu'une autorité dotée du pouvoir de décision est contrainte par un jugement de renvoi de rendre une décision à ses yeux contraire au droit. Comme elle n'a pas qualité pour attaquer sa propre décision, celle-ci pourrait entrer en force sans que l'autorité puisse la déférer au Tribunal fédéral. Pour pallier cet inconvénient, il convient qu'une autorité ayant qualité pour recourir puisse, en vertu de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, attaquer d'emblée la décision de renvoi, ou le prononcé qui la confirme, devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 133 V 477 consid. 5.2.4 p. 484 s.; arrêts 8C_478/2010 du 25 mars 2011 consid. 1.2; 8C_607/2009 du 25 août 2009 consid. 2.2.1; 2C_258/2008 du 27 mars 2009 consid. 3.6.1).
1.2.2 En l'espèce, le jugement cantonal attaqué a un effet contraignant pour le recourant en ce sens qu'il doit fixer le montant et le début du droit à l'allocation pour impotence de degré faible tout en étant lié par l'obligation d'allouer une telle prestation. Dans ces conditions, le jugement incident entraîne sans aucun doute un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Le recours en matière de droit public est donc admissible, bien que le recourant n'allègue pas l'existence d'un tel préjudice.
1.3 Pour le surplus, le recours est dirigé contre un arrêt rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) et il a été déposé dans le délai prévu par la loi (art. 100 LTF). Le recours en matière de droit public est dès lors recevable.
2. Le litige porte sur le droit éventuel de l'intimé à une allocation pour impotence de degré faible de l'assurance-accidents. Aussi le Tribunal fédéral n'est-il pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 3 LTF).
3. Le jugement attaqué expose de manière exacte et complète les dispositions légales et réglementaires, ainsi que les principes jurisprudentiels déterminant les conditions du droit à une allocation pour impotence de degré faible de l'assurance-accidents (art. 26 LAA en liaison avec l'art. 9 LPGA; art. 38 al. 4 OLAA). Il suffit donc d'y renvoyer.
3.1 Le GMA a nié le droit de l'intimé à une allocation pour impotent, motif pris qu'il ne présentait pas même une impotence de faible degré (art. 38 al. 4 OLAA), dès lors qu'il n'avait pas besoin, de façon régulière et importante, de l'aide d'autrui pour accomplir au moins deux actes ordinaires de la vie (let. a) et que d'importants services fournis de façon régulière par des tiers ne lui étaient pas non plus nécessaires pour entretenir des contacts sociaux avec son entourage (let. d).
De son côté, la juridiction cantonale est d'avis que les conditions du droit à une allocation pour impotence de degré faible sont réalisées. Elle a constaté que l'assuré ne peut pas préparer seul ses vêtements parce qu'il ne sait pas tenir compte du temps qu'il fait ni non plus se changer quand ses habits sont sales. En outre, il faut lui dire de prendre une douche et il doit prendre celle-ci assis sur un siège, de sorte qu'il ne peut pas laver lui-même certaines parties de son corps. Par ailleurs, la juridiction précédente a retenu que l'intéressé ne peut pas se déplacer seul à l'extérieur sur des parcours qu'il ne connaît pas ni établir seul des contacts sociaux qui nécessitent des explications et des démarches. C'est pourquoi les premiers juges ont considéré que l'intéressé a besoin de façon régulière et importante de l'aide d'autrui pour accomplir trois actes ordinaires de la vie (se vêtir, faire sa toilette et se déplacer à l'extérieur et établir des contacts), de sorte que les conditions de l'art. 38 al. 4 let. a OLAA sont réalisées.
Le recourant conteste ce point de vue en invoquant l'avis du docteur V._ (courrier du 27 décembre 2010), selon lequel l'assuré est capable d'accomplir les trois actes ordinaires de la vie susmentionnés. Si, d'après ce médecin, l'intéressé n'est pas en mesure de prendre l'initiative de les accomplir sans l'intervention d'un tiers, le GMA soutient que cela ne permet pas d'inférer qu'il a besoin de l'aide d'autrui pour accomplir ces actes, comme l'exige l'art. 38 al. 4 let. a OLAA. En particulier, le fait pour l'épouse de l'assuré de devoir préparer les vêtements de son mari et lui dire de se changer ne constitue pas une aide importante au sens de cette disposition réglementaire. Il en va de même du fait de devoir dire à l'intéressé de prendre une douche. En outre, si celui-ci ne se sent pas capable de prendre sa douche debout mais doit s'asseoir, le recourant soutient qu'il peut toujours se lever et se tenir à une barre de fer fixée contre la paroi quand il doit laver certaines parties du corps. Il invoque pour cela l'avis du docteur V._, selon lequel l'assuré ne ressent encore une légère instabilité que sur des terrains inégaux ou en station unipodale (rapport du 6 avril 2010). Le recourant infère de cela que l'intimé n'a pas besoin d'une aide d'autrui pour faire sa toilette. En ce qui concerne l'acte de se déplacer à l'extérieur et d'établir des contacts, allègue-t-il, le fait que l'épouse de l'assuré doit l'accompagner sur un nouveau parcours avant qu'il puisse l'effectuer seul ne constitue pas d'importants services au sens de l'art. 38 al. 4 let. d OLAA.
Le recourant conteste ce point de vue en invoquant l'avis du docteur V._ (courrier du 27 décembre 2010), selon lequel l'assuré est capable d'accomplir les trois actes ordinaires de la vie susmentionnés. Si, d'après ce médecin, l'intéressé n'est pas en mesure de prendre l'initiative de les accomplir sans l'intervention d'un tiers, le GMA soutient que cela ne permet pas d'inférer qu'il a besoin de l'aide d'autrui pour accomplir ces actes, comme l'exige l'art. 38 al. 4 let. a OLAA. En particulier, le fait pour l'épouse de l'assuré de devoir préparer les vêtements de son mari et lui dire de se changer ne constitue pas une aide importante au sens de cette disposition réglementaire. Il en va de même du fait de devoir dire à l'intéressé de prendre une douche. En outre, si celui-ci ne se sent pas capable de prendre sa douche debout mais doit s'asseoir, le recourant soutient qu'il peut toujours se lever et se tenir à une barre de fer fixée contre la paroi quand il doit laver certaines parties du corps. Il invoque pour cela l'avis du docteur V._, selon lequel l'assuré ne ressent encore une légère instabilité que sur des terrains inégaux ou en station unipodale (rapport du 6 avril 2010). Le recourant infère de cela que l'intimé n'a pas besoin d'une aide d'autrui pour faire sa toilette. En ce qui concerne l'acte de se déplacer à l'extérieur et d'établir des contacts, allègue-t-il, le fait que l'épouse de l'assuré doit l'accompagner sur un nouveau parcours avant qu'il puisse l'effectuer seul ne constitue pas d'importants services au sens de l'art. 38 al. 4 let. d OLAA.
3.2 3.2.1 En ce qui concerne l'acte de se vêtir, les parties ne remettent pas en cause les constatations de la juridiction cantonale, selon lesquelles l'assuré peut accomplir seul cet acte ordinaire de la vie, mais il a besoin de l'aide de son épouse pour lui indiquer les vêtements appropriés à la situation météorologique et lui dire de se changer. Aussi l'assuré a-t-il besoin seulement d'une aide indirecte, dès lors que s'il était livré à lui-même, il n'accomplirait pas cet acte ou ne le ferait qu'imparfaitement ou à contretemps. Cela suffit pour admettre qu'il a besoin de l'aide d'autrui pour se vêtir (cf. arrêt I 735/05 du 23 juillet 2007 consid. 5.1, non publié in ATF 133 V 472; ATF 121 V 88 consid. 3c p. 91; 107 V 145 consid. 1c p. 149 et les références).
3.2.2 Pour ce qui a trait à l'acte de faire sa toilette, le point de vue de la juridiction précédente, selon lequel l'assuré doit prendre sa douche assis sur un siège, de sorte qu'il ne peut pas laver certaines parties de son corps, est en contradiction avec les constatations du docteur V._ qui a attesté que l'intéressé est apte à accomplir tous les actes ordinaires de la vie (courrier du 27 décembre 2010) et qu'en particulier, il ressent seulement une légère instabilité sur des terrains inégaux ou en station sur un seul pied (rapport du 6 avril 2010). On doit dès lors se rallier au point de vue du recourant d'après lequel l'intéressé est en mesure de se lever et de se tenir à une barre de fer fixée contre la paroi de la douche pour laver certaines parties du corps. L'exigence d'un besoin d'aide directe d'autrui pour prendre une douche apparaît dès lors douteuse. Par ailleurs, si l'épouse de l'assuré doit lui dire de prendre une douche, on peut se demander si cette seule intervention constitue une aide indirecte importante comme l'exige l'art. 38 al. 4 let. a OLAA. Cela étant, s'il est douteux que l'intimé ait besoin de l'aide d'autrui pour faire sa toilette, ce point peut toutefois rester indécis eu égard aux considérations ci-après.
3.2.3 En ce qui concerne l'acte de se déplacer à l'extérieur et d'établir des contacts, il est incontesté que l'assuré doit être accompagné par son épouse sur des parcours qu'il ne connaît pas, ainsi que pour établir des contacts sociaux qui nécessitent des explications et des démarches. Il est vrai, comme le soutient le recourant, que ce besoin de l'assuré ne nécessite pas d'importants services justifiant à eux seuls l'octroi d'une allocation pour impotence de faible degré en vertu de l'art. 38 al. 4 let. d OLAA. Il n'en demeure pas moins que le fait de se déplacer à l'extérieur ou d'établir des contacts constitue un acte ordinaire de la vie au sens de l'art. 38 al. 4 let. a OLAA (cf. ATF 127 V 94 consid. 3c p. 97 et les références) et qu'en l'occurrence, il requiert une aide importante d'autrui.
3.2.4 Cela étant, il y a lieu d'admettre que l'intimé a besoin de façon régulière et importante, de l'aide d'autrui pour accomplir au moins deux actes ordinaires de la vie.
3.3 Le recourant soutient que le but de l'allocation pour impotent étant de compenser des frais encourus du fait de l'impotence, l'intimé n'y a pas droit, parce qu'en l'occurrence aucune personne n'a été engagée pour fournir l'aide requise et que l'épouse n'a pas non plus réduit son temps de travail. Toutefois, cet argument n'est pas pertinent du moment que la loi ne fait pas dépendre le droit à une allocation pour impotent du caractère payant ou non de l'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie (ATF 133 V 472 consid. 5.3.2 p. 475 s.).
3.4 Vu ce qui précède, l'intimé a droit à une allocation pour impotence de degré faible (art. 38 al. 4 let. a OLAA). Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
4. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). L'intimé, qui est représenté par un avocat du Service juridique d'Intégration handicap, peut prétendre une indemnité de dépens à la charge du recourant (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimé la somme de 1'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 4 décembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd