Faits:
A. T._, né en 1946, a travaillé notamment comme monteur en chauffage, puis comme concierge. Après une période de chômage, il a été engagé comme intendant/surveillant de parking par la société P._ SA du 21 décembre 2002 au 31 décembre 2003. A partir du 1er janvier 2004, il a exercé une activité identique au service de la société A._ SA; les rapports de travail ont pris fin le 31 janvier 2005.
Présentant un état anxio-dépressif sévère chronique - apparu en 1996 (cf. rapport du docteur B._, médecin traitant, du 14 octobre 2004) - , l'intéressé a été totalement incapable de travailler du 21 janvier au 31 décembre 2002, puis dès le 9 juin 2004. Il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 30 juin 2004. Par décision du 16 juin 2006, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a octroyé une rente entière d'invalidité, fondée sur un taux d'incapacité de gain de 100%, à partir du 1er juin 2005, en considérant que l'incapacité de travail avait débuté une année auparavant, en juin 2004. Cette décision, entrée en force, a également été notifiée au Fonds d'assurance-retraite des garages vaudois (ci-après: le Fonds), auprès duquel tant la société P._ SA que la société A._ SA avaient affilié leur personnel pour la prévoyance professionnelle.
Par courrier du 21 août 2006, confirmé par missive du 14 décembre 2006, le Fonds a informé T._ qu'il lui refusait toute prestation de la prévoyance professionnelle obligatoire, au motif que l'affection à l'origine de son invalidité était antérieure à l'affiliation. Pour la prévoyance professionnelle plus étendue, le Fonds déniait également à l'intéressé le droit à des prestations en invoquant une réticence qu'il aurait commise en omettant de déclarer souffrir d'une atteinte à la santé au moment de son affiliation.
B. Par demande du 4 janvier 2007, l'intéressé a saisi le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à l'octroi, par le Fonds, d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er juin 2005, avec intérêts moratoires de 5% dès l'ouverture d'instance. Statuant le 3 juillet 2007 après avoir requis de l'office AI le dossier de l'assurance-invalidité concernant T._, le Tribunal a débouté celui-ci de ses conclusions.
C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande la réforme, en ce sens que lui soit reconnu le droit à une rente entière d'invalidité de la part du Fonds à partir du 1er juin 2005.
Tant le Fonds que l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. La IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral est compétente pour trancher un litige concernant l'obligation de prester de l'intimé en raison de la survenance du risque invalidité assuré par la prévoyance professionnelle (art. 73 LPP et 35 let. e du Règlement sur le Tribunal fédéral du 20 novembre 2006 [RTF], en vigueur depuis le 1er janvier 2007).
2. 2.1 Le litige porte sur le point de savoir si l'intimé est tenu de prendre en charge le cas du recourant, singulièrement s'il existe un droit à une prestation d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire fondée sur une incapacité de travail survenue durant la période d'assurance (qui a débuté le 21 décembre 2002 et apparemment cessé un mois après la fin des rapports entre les parties fixée au 31 janvier 2005 [cf. art. 10 al. 3 LPP]). En instance cantonale, les premiers juges ont circonscrit l'objet du litige au domaine de la prévoyance professionnelle obligatoire en fonction des conclusions et de la motivation du recourant. Celui-ci ne conclut du reste pas en procédure fédérale à la reconnaissance de son droit aux prestations au titre de la prévoyance professionnelle plus étendue.
2.2 Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales sur le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire (art. 23 al. 1 let. a LPP, dans sa version en vigueur à partir du 1er janvier 2005, applicable ratione temporis [ATF 131 V 9 consid. 1 p. 11 et les arrêts cités]), ainsi que sur le double critère de la connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail et l'invalidité posé par la jurisprudence pour délimiter la responsabilité de plusieurs institutions de prévoyance ou d'une institution à laquelle s'est nouvellement affilié l'intéressé (ATF 130 V 275 consid. 4.1, 123 V 262 consid. 1c p. 264, 120 V 117 consid. 2c/aa et bb et les références). Il suffit d'y renvoyer.
2.3 On ajoutera que d'après la jurisprudence, si une institution de prévoyance reprend - explicitement ou par renvoi (comme en l'espèce, cf. art. 19 du Règlement du Fonds d'assurance-retraite des garages vaudois [état au 1er janvier 2005]) - la définition de l'invalidité de l'AI, elle est en principe liée, lors de la survenance du fait assuré, par l'estimation de l'invalidité par les organes de l'assurance-invalidité, sauf si cette évaluation apparaît d'emblée insoutenable (ATF 126 V 308 consid. 1 p. 311 in fine). Cette force contraignante vaut aussi en ce qui concerne la naissance du droit à la rente et, par conséquent, également pour la détermination du moment à partir duquel la capacité de travail de l'assuré s'est détériorée de manière sensible et durable (ATF 129 V 150 consid. 2.5 p. 156, 123 V 269 consid. 2a p. 271 et les références citées), dans la mesure où l'office AI a dûment notifié sa décision de rente aux institutions de prévoyance entrant en considération (ATF 129 V 73 consid. 4.2 p. 75). En revanche, si l'assureur LPP, qui dispose d'un droit de recours propre dans les procédures régies par la LAI, n'est pas intégré à la procédure, il n'est pas lié par l'évaluation de l'invalidité (principe, taux et début du droit) à laquelle ont procédé les organes de l'assurance-invalidité (ATF 129 V 73 consid. 4).
Le Tribunal fédéral (consid. 2.3.2 non publié de l'ATF 130 V 501, mais dans SVR 2005 BVG n° 5 p. 14) a encore précisé que la force contraignante de la décision de l'organe de l'assurance-invalidité pour l'institution de prévoyance repose sur l'idée de décharger celle-ci de mesures d'instruction relativement importantes. Elle ne vaut dès lors qu'en ce qui concerne les constatations et appréciations des organes de l'assurance-invalidité qui étaient déterminantes dans la procédure de l'assurance-invalidité pour établir le droit à une rente d'invalidité et qui devaient effectivement faire l'objet d'une détermination; dans le cas contraire, les organes de la prévoyance professionnelle sont tenus d'examiner librement les conditions du droit aux prestations (cf. arrêt B 50/99 du 14 août 2000 consid. 2b). Le fait que l'assurance-invalidité a fixé le début du droit à la rente n'exclut donc pas que l'incapacité de travail sur laquelle est fondé le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle soit survenue (dans une mesure plus restreinte) plus d'une année auparavant (RSAS 2003 p. 45 [arrêt B 47/98 du 11 juillet 2000]).
3. 3.1 Selon les constatations de la juridiction cantonale - qui lient le Tribunal fédéral (aux conditions des art. 97 al. al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF) -, l'office AI a fixé au 9 juin 2004 le début du délai de carence d'une année au sens de l'art. 29 al. 1 let. b LAI (dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007, applicable en l'espèce [ATF 131 V 9 consid. 1 p. 11]) et reconnu à T._ une rente entière d'invalidité à partir du 1er juin 2005 (décision du 16 juin 2006). Il est constant qu'au 1er juin 2004 le recourant était affilié auprès de l'intimé pour la prévoyance professionnelle. Celui-ci s'est par ailleurs vu notifier la décision de l'organe de l'assurance-invalidité qu'il n'a pas contestée.
3.2 Tout en admettant que le prononcé de l'office AI lie l'intimé, la juridiction cantonale a considéré que celui-ci n'était pas tenu à prestations parce que l'affection invalidante s'était déclarée antérieurement à la période d'affiliation du recourant auprès du Fonds. Le recourant était en effet atteint d'une grave atteinte psychiatrique au moment où il avait été engagé par la société P._ SA (le 21 décembre 2002), atteinte qui avait entraîné une longue période d'incapacité de travail du 21 janvier au 31 décembre 2002. Selon les premiers juges, la "brève période de rémission" durant laquelle le recourant avait à nouveau travaillé (du 1er janvier 2003 au 9 juin 2004) ne suffisait pas pour interrompre la connexité temporelle.
De son côté, le recourant reproche à la juridiction cantonale une violation des règles jurisprudentielles sur la force contraignante de la décision de l'organe de l'assurance-invalidité pour l'institution de prévoyance professionnelle. Il soutient que le début du délai de carence fixé par l'office AI au 9 juin 2004 constituait également le moment de la survenance de l'événement assuré (soit l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité) pour la prévoyance professionnelle et liait l'intimé, la décision de l'assurance-invalidité n'étant pas manifestement erronée.
4. 4.1 Ni la juridiction cantonale, ni les parties ne prétendent que la décision de l'office AI en ce qui concerne le début de l'incapacité de travail déterminante (à savoir le moment à partir duquel la capacité de travail de l'assuré s'est détériorée de manière sensible et durable [ATF 123 V 262 consid. 1a p. 263]) serait manifestement insoutenable, de sorte que l'intimé ne serait pas lié par le prononcé du 16 juin 2006 sur ce point.
Tel n'est effectivement pas le cas: la décision de l'office AI - dont le caractère insoutenable, qui relève d'une question de droit, peut être examiné librement par le Tribunal fédéral (art. 95 let. a LTF; arrêt 9C_182/2007 du 7 décembre 2007 consid. 4.1.1) en fonction de l'état de fait au moment de la décision de rente (ATF 126 V 308 consid. 2a p. 311) - est conforme aux pièces médicales au dossier. Dans un rapport daté du 14 octobre 2004 (et non "2002" comme établi à tort par la juridiction cantonale), le docteur B._ a expliqué que son patient avait été atteint de dépression la première fois en 1996, des récidives étant apparues en mars 2001, puis en décembre 2001, avant une période d'incapacité de travail de janvier à décembre 2002. A cette date, l'assuré avait repris une activité de gardien de parking, mais la situation s'était dégradée très progressivement à partir de janvier 2003 pour aboutir à un arrêt total de travail (en juin 2004). Le médecin traitant estimait alors (le 14 octobre 2004) qu'on ne pouvait raisonnablement exiger de son patient qu'il reprenne une activité quelconque. Cette appréciation était confirmée par les médecins de l'Unité de psychiatrie ambulatoire X._, que le recourant consultait depuis le début de l'année 2002. Selon eux, souffrant d'un trouble dépressif récurrent depuis 1996, qui ne l'avait pas empêché de travailler comme concierge ou responsable de parking, le recourant était incapable depuis le mois de juin 2004 de reprendre une activité professionnelle, même à un pourcentage réduit. Les médecins préconisaient une évaluation des perspectives pour une activité occupationnelle dans une structure protégée (rapport du 21 octobre 2004).
Compte tenu de ces observations médicales, et contrairement à ce qu'a établi de façon manifestement inexacte la juridiction cantonale (cf. art. 105 al. 2 LTF), c'est seulement en date du 14 octobre 2004 (et non 2002) que le médecin traitant a émis un pronostic très réservé quant à la reprise d'une activité lucrative. Par ailleurs, dès lors qu'après une période d'incapacité de travail qui s'est achevée en décembre 2002, le recourant a repris une activité professionnelle à partir du 1er janvier 2003 et a été en mesure d'exercer celle-ci pendant plus de 15 mois sans interruption, on ne saurait qualifier cette activité de simple "tentative de réinsertion professionnelle". Contrairement à ce qu'ont déduit à tort les premiers juges du rapport du docteur B._ (du 14 octobre 2004), rien ne permettait en janvier 2003 de douter que la reprise d'une activité lucrative aboutît de façon positive. La période pendant laquelle le recourant a travaillé successivement pour les deux sociétés de parking est en outre suffisamment longue pour interrompre le lien de connexité temporelle (évoqué par les premiers juges) entre l'incapacité de travail antérieure à l'affiliation auprès de l'intimé et l'invalidité survenue postérieurement (voir p. ex., RSAS 2002 p. 153).
4.2 Il résulte de ce qui précède que la décision de l'office AI n'apparaît pas d'emblée insoutenable au regard des avis médicaux au dossier et comprend par ailleurs des constatations qui portent sur une période antérieure à juin 2004 qui pourrait également jouer un rôle sous l'angle du droit aux prestations de la prévoyance professionnelle (supra consid. 2.3). Cette évaluation de l'office AI, qui a fixé au début du mois de juin 2004 l'incapacité de travail déterminante, lie par conséquent l'intimé qui n'a pas à procéder à sa propre appréciation. Comme l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité est survenue pendant la période d'affiliation auprès de l'intimé, la condition de la clause d'assurance est remplie. Aussi, l'intimé est-il tenu d'allouer au recourant une rente entière d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 100% de la prévoyance professionnelle obligatoire à partir du 1er juin 2005 (en fonction de l'évaluation de l'office AI du 16 juin 2006: degré d'invalidité de 100%; début du droit à la rente AI au 1er juin 2005).
5. Vu l'issue du litige, l'intimé qui succombe est tenu de prendre en charge les frais de procédure (art. 66 al. 1 LTF) et de verser au recourant une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 3 juillet 2007 est réformé en ce sens que le recourant a droit, de la part de l'intimé, à une rente entière de la prévoyance obligatoire (fondée sur un degré d'invalidité de 100%) à partir du 1er juin 2005.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera au recourant la somme de 2500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 26 juin 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless