Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1962) stammt aus Sri Lanka. Er ersuchte 1985 in der Schweiz um Asyl. Am 15. August 1990 wurde ihm eine Härtefallbewilligung erteilt, worauf er sein Asylgesuch am 30. August 1990 zurückzog. Seine Aufenthaltsbewilligung ist in der Folge regelmässig erneuert worden, letztmals bis zum 31. Oktober 2005. X._ musste am 6. Dezember 1999 und 15. Mai 2011 ausländerrechtlich verwarnt werden, da sein Verhalten zu schweren Klagen Anlass gegeben hatte. Am 4. Mai 2007 verurteilte das Kriminalgericht des Kantons Luzern ihn wegen gewerbsmässigen Missbrauchs einer Datenverarbeitungsanlage sowie mehrfacher Urkundenfälschung zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 18 Monaten.
1.2 Am 20. Juli 2010 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern es ab, die Aufenthaltsbewilligung von X._ zu verlängern. Dieser gelangte hiergegen erfolglos an das Justiz- und Sicherheitsdepartement (Entscheid vom 22. Februar 2011) und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (Urteil vom 21. November 2011). Das Verwaltungsgericht verneinte einen Bewilligungsanspruch aus Art. 8 EMRK (Schutz des Privatlebens). Im Rahmen des Ermessensbereichs der Bewilligungsbehörde (Art. 4 des auf den Fall noch anwendbaren Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer [ANAG; BS 1 121 und Änderungen gemäss der Fussnote zur Ziff. I des Anhangs 2 zum Ausländergesetz]) kam es zum Schluss, dass aufgrund der von X._ "immer wieder in verschiedener Weise und trotz zweimaliger behördlicher Ermahnung gezeigten Missachtung der öffentlichen Ordnung und der diesbezüglich gezeigten Unbelehrbarkeit [...] zweifellos ein gewichtiges öffentliches Interesse daran" bestehe, "ihm das weitere Anwesenheitsrecht in der Schweiz abzusprechen". Es sei nicht ersichtlich, inwiefern gestützt auf die neueren Entwicklungen eine Rückkehr nach Sri Lanka allgemein unzumutbar sein sollte.
1.3 X._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 21. November 2011 aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventuell sei festzustellen, dass die Wegweisung nach Sri Lanka unzumutbar erscheine, und der Kanton Luzern anzuweisen, dem Bundesamt für Migration ein Gesuch um Anordnung der vorläufigen Aufnahme zu unterbreiten; subeventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. X._ macht geltend, die Vorinstanz habe die Tragweite von Art. 8 EMRK verkannt. Eine Rückkehr nach Sri Lanka sei im Übrigen unzumutbar, weshalb die kantonalen Behörden seine vorläufige Aufnahme hätten beantragen müssen; schliesslich sei ihm durch die "willkürlichen Ausführungen" des Verwaltungsgerichts zur antizipierten Beweiswürdigung "eine wirksame Beweisführung zur überdurchschnittlichen Verwurzelung, zum aktuellen und zum künftigen Wohlverhalten sowie zur Unzumutbarkeit einer Rückkehr in die Heimat" verunmöglicht worden.
2. 2.1 Die Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist in gezielter Form auf die für dessen Ergebnis massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz einzugehen (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 - 2.3). Zwar prüft das Bundesgericht die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (BGE 133 II 249 E. 1.1); dies befreit den Betroffenen indessen nicht davon, kurz darzulegen, dass und inwiefern die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind. Soweit sie nicht offensichtlich erscheinen, ist es - insbesondere im Bereich des Ausländerrechts und der Ausschlussgründe von Art. 83 BGG - nicht Aufgabe des Gerichts, anhand der Akten oder weiterer noch beizuziehender Unterlagen danach zu suchen (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG; Urteile 2C_1012/2011 vom 19. Dezember 2011 E. 2.1 und 2C_174/2011 vom 8. November 2011 E. 2.2.2 sowie BGE 133 II 249 E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356). Das Bundesgericht legt seinem Urteil zudem den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (Art. 105 Abs. 2 BGG). Hierzu muss der Betroffene wiederum rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt klar und eindeutig mangelhaft erscheint. Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung oder der Beweiswürdigung tritt das Bundesgericht nicht ein (vgl. BGE 136 II 101 E. 3 S. 104 f.).
2.2 Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen gegen Entscheide, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG), gegen Entscheide, welche sich auf die vorläufige Aufnahme beziehen (Art. 83 lit. c Ziff. 3 BGG), sowie gegen Entscheide im Zusammenhang mit der Wegweisung (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Zum Vornherein unzulässig ist die Eingabe des Beschwerdeführers somit, soweit er geltend macht, die Vorinstanz habe zu Unrecht eine Verlängerung seiner Bewilligung im Rahmen des behördlichen Ermessens abgelehnt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Diesbezüglich fehlt es ihm auch an einem rechtlich geschützten Interesse, um im Rahmen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) an das Bundesgericht gelangen zu können (vgl. das Urteil 2C_896/2010 vom 9. August 2011 E. 2.2). Zwar kann unabhängig von einem Bewilligungsanspruch eine Verletzung von Parteirechten gerügt werden, deren Missachtung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt (sog. "Star"-Praxis: BGE 137 II 305 E. 2 mit Hinweisen); hiervon sind jedoch wiederum Vorbringen ausgeschlossen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen, wie die Behauptung, die vorinstanzliche Begründung sei unvollständig oder zu wenig differenziert bzw. die Vorinstanz habe sich nicht oder in willkürlicher Weise mit den Argumenten der Partei auseinandergesetzt und Beweisanträge in offensichtlich unhaltbarer antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt (BGE 137 II 305 E. 2 S. 308). Der Beschwerdeführer erhebt in verfahrensrechtlicher Hinsicht ausschliesslich Rügen, welche vom Sachentscheid nicht getrennt werden können (unzulässige antizipierte Beweiswürdigung bezüglich der von ihm zur Anhörung beantragten Personen); zudem begründet er sie nur in appellatorischer Weise (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG), weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist.
2.3 Soweit der Beschwerdeführer die Ausführungen der Vorinstanz im Zusammenhang mit seinem Antrag kritisiert, beim Bundesamt für Migration die vorläufige Aufnahme zu beantragen, und geltend macht, seine Wegweisung nach Sri Lanka sei im Sinne eines Vollzugshindernisses unzumutbar, ist auf seine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ebenfalls nicht einzutreten (Art. 83 lit. c Ziff. 3 BGG). Seine entsprechenden Vorbringen können - mangels einer genügenden verfassungsrechtlichen Begründung - auch nicht im Rahmen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde geprüft werden (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG und BGE 137 II 305 E. 3.3). Soweit sich seine verfahrensrechtlichen Rügen auf diesen Punkt beziehen ("Star"-Praxis), kann auf das soeben Dargelegte verwiesen werden.
3. Zu prüfen bleibt, ob die Vorinstanz zu Unrecht einen Anspruch des Beschwerdeführers auf die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV verneint hat. Nur wenn ein solcher in vertretbarer Weise geltend gemacht wird, ist im Rahmen von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG auf die vorliegende Beschwerde einzutreten:
3.1 Aus dem Anspruch auf Schutz des Privatlebens ergibt sich nach der Rechtsprechung ein Recht auf Verbleib im Land bloss unter besonderen Umständen. Eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration genügen für sich allein dazu nicht; es bedarf hierfür vielmehr besonders intensiver, über eine normale Integration hinausgehender privater Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. entsprechender vertiefter sozialer Beziehungen zum ausserfamiliären Bereich (BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286; 126 II 377 E. 2c S. 384 ff.; 120 Ib 16 E. 3b S. 22; Urteil 2C_266/2009 vom 2. Februar 2010 E. 3 - 5). Das Bundesgericht hat es abgelehnt, schematisch von einer bestimmten Aufenthaltsdauer an eine solche besondere, einen Anspruch auf die Erteilung eines Anwesenheitsrechts begründende Verwurzelung in den hiesigen Verhältnissen anzunehmen; die Aufenthaltsdauer bildet in diesem Zusammenhang nur ein Element unter anderen (BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 287). Bei längeren Anwesenheiten, welche mit keiner überdurchschnittlichen Verbundenheit mit den hiesigen Verhältnissen einhergegangen sind, hat das Bundesgericht das Bestehen eines Aufenthaltsanspruchs direkt gestützt aus Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV wiederholt verneint (vgl. die Urteile 2C_426/2010 vom 16. Dezember 2010 E. 3 [18 Jahre] und 2C_190/ 2008 vom 23. Juni 2008 [25 Jahre]). Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) stellt im Zusammenhang mit einer allfälligen Verletzung von Art. 8 EMRK seinerseits ebenfalls nicht allein auf die Dauer der bisherigen Anwesenheit des Betroffenen ab (vgl. das Urteil Gezginzi gegen Schweiz vom 9. Dezember 2010 §§ 60 ff. [keine Verletzung von Art. 8 EMRK durch die Nichtverlängerung einer Aufenthaltsbewilligung bei einer Anwesenheit von rund 30 Jahren, Straffälligkeit und Verschuldung]).
3.2 Wenn die Vorinstanz davon ausgegangen ist, der Beschwerdeführer könne im vorliegenden Fall trotz seines langen Aufenthalts nicht als überdurchschnittlich integriert im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gelten, ist dies nicht zu beanstanden:
3.2.1 Der Beschwerdeführer hält sich zwar seit etwas mehr als 25 Jahren in der Schweiz auf, davon entfallen jedoch deren fünf auf das Asylverfahren. Seine letzte Aufenthaltsbewilligung ist 2005 abgelaufen; in der Folge wurde diese bis zum Entscheid des Amtes für Migration vom 20. Juli 2010 nicht mehr (formell) verlängert, was die Gewichtung der Dauer seiner Anwesenheit relativiert. Der Beschwerdeführer verfügt in der Schweiz weder über Frau noch Kinder. Er ist hier zudem wiederholt straffällig geworden. In der Zeit vom 19. September 1999 bis Oktober 2009 ergingen 12 Strafverfügungen gegen ihn, in erster Linie wegen Vermögens- und Verkehrsdelikten (Verletzung von Auskunftspflichten, mehrfacher Missbrauch von Lohnabzügen, Beschäftigung eines Ausländers ohne fremdenpolizeiliche Bewilligung; Nichteinhaltung von Öffnungszeiten, Nichtabgabe von Kontrollschildern usw.). In der Zeit von Januar 1999 bis Oktober 2003 erfolgten gegen ihn 149 Betreibungen über Fr. 512'234.23 und bestanden 53 offene Verlustscheine über Fr. 240'119.55. In der Zeit von Januar 2008 bis Juli 2010 wurden 40 Betreibungen über Fr. 241'065.05 und 101 offene Verlustscheine über Fr. 370'246.30 verzeichnet.
3.2.2 Der Beschwerdeführer ist im Zusammenhang mit seinem Verhalten zweimal fremdenpolizeilich verwarnt worden (6. Dezember 1999 und 15. Mai 2001). Spätestens ab Mai 2001 musste ihm bewusst sein, dass bei weiteren Problemen seine Bewilligung nicht mehr verlängert werden könnte. Dennoch korrigierte er sein Verhalten nicht: Sowohl die Taten, welche zur Verurteilung zu einer Gefängnisstrafe von 18 Monaten bedingt führten, als auch der Grossteil der anderen Verfehlungen datierten nach der letzten Verwarnung; auch seine finanziellen Verhältnisse besserten sich nicht; im Gegenteil: Gemäss Auszug aus dem Betreibungsregister vom 7. Juli 2010 sind von November 2009 bis Juli 2010 acht Betreibungen über Fr. 68'097.90 eingegangen.
3.2.3 Der Beschwerdeführer ist im Alter von 23 Jahren als Asylsuchender in die Schweiz gekommen und profitierte in der Folge von einer Aufenthaltsbewilligung aus humanitären Gründen. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz leben seine Eltern und zwei Geschwister nach wie vor in Sri Lanka, zudem hat der Beschwerdeführer in der Schweiz - unter anderem auch als Übersetzer - weiterhin regelmässige Kontakte zu Landsleuten gepflegt, sodass nicht gesagt werden kann, dass er sich der heimischen Kultur und Sprache entfremdet hätte. Auf jeden Fall ist er gestützt auf sein bisheriges Verhalten sozial wie beruflich nicht im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung derart integriert (vgl. etwa das Urteil 2C_266/2009 vom 2. Februar 2010 E. 3 - 5), dass er im Rahmen von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG in vertretbarer Weise einen unmittelbaren Bewilligungsanspruch aus dem Schutz seines Privatlebens gestützt auf Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV geltend machen könnte. Die vom Beschwerdeführer angerufenen Elemente, die seine Verwurzelung in der Schweiz belegen sollen (Veranstaltungen von Ländlerabenden und Musikevents, Parteimitgliedschaft usw.), wurden von der Vorinstanz berücksichtigt, aber zu Recht nicht als hinreichend gewertet, um hinsichtlich des Grads seiner Integration zu einem anderen Schluss zu kommen. Die von ihm eingereichten Schreiben eines Musikers und einer Bekannten, deren Kindern er Pate gestanden ist, sind eher allgemein gehalten. Auf entsprechende mündliche Anhörungen durfte unter diesen Umständen mit Blick auf die Mitwirkungspflicht des Betroffenen in antizipierter Beweiswürdigung verzichtet werden.
4. 4.1 Auf die Beschwerde ist durch den Präsidenten als Einzelrichter ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
4.2 Mit dem Nichteintretensentscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
4.3 Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar