Faits:
A. Le 24 septembre 2003, Y._, qui présentait une hémorragie digestive, s'est rendu chez le Dr A._, coresponsable du service des urgences de X._ SA. Le médecin a ordonné une gastroscopie en urgence. Le Dr B._ a procédé à cet examen le même jour, dans les locaux de X._ SA. Une biopsie a été réalisée au moyen d'une pince jetable. Le saignement du patient provenait d'un ulcère duodénal. Avant la gastroscopie, une analyse de sang avait été effectuée.
Le 5 novembre 2003, Y._ a subi une gastroscopie de contrôle, pratiquée également par le Dr B._, qui a procédé à une nouvelle biopsie au moyen d'une pince jetable.
Le 30 janvier 2004, la Dresse C._, médecin traitant de Y._, a diagnostiqué chez son patient une jaunisse sévère. Les tests sanguins ont révélé que Y._ souffrait d'une hépatite B. Le surlendemain, le malade a consulté le Dr A._ et lui a fait part de sa conviction d'avoir contracté l'hépatite B durant l'une des deux gastroscopies.
Par la suite, le conseil de Y._ a échangé diverses correspondances avec X._ SA et avec l'assureur de celle-ci, lequel a renoncé à se prévaloir de la prescription jusqu'au 5 novembre 2006.
B. Par acte déposé le 17 mars 2006, Y._ a assigné X._ SA en paiement de 40'000 fr. à titre de réparation du tort moral. Il faisait valoir qu'il attendait toujours des explications sur les circonstances l'ayant amené à contracter le virus de l''hépatite B, qu'il vivait péniblement cette maladie qui avait provoqué des difficultés au sein de son couple, qu'une greffe de foie avait été envisagée lors de la phase aiguë de l'infection et qu'il avait perdu sa lucidité et ses forces à cause d'un empoisonnement du sang. Il précisait être toujours porteur du virus, même s'il ne présentait aucune séquelle de la phase aiguë et n'avait aucune contrainte au niveau du régime alimentaire.
X._ SA a conclu au rejet de l'action.
Le Tribunal de première instance du canton de Genève a ordonné une expertise et désigné le Dr D._ comme expert. Il sera revenu dans les considérants sur le contenu de cette expertise datée du 24 juin 2008.
Par jugement du 26 février 2009, le tribunal a condamné X._ SA à verser à Y._ la somme de 10'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral.
Statuant le 16 octobre 2009 sur appel de X._ SA, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement de première instance. Elle a retenu en particulier un lien de causalité naturelle entre l'une ou l'autre des gastroscopies subies dans les locaux de X._ SA et l'hépatite B ayant atteint Y._.
C. X._ SA interjette un recours constitutionnel subsidiaire. Elle demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal et de constater que la responsabilité de X._ SA n'est pas engagée vis-à-vis du demandeur.
Y._ conclut, principalement, à l'irrecevabilité du recours et, subsidiairement, à son rejet.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est dirigé contre un jugement rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). La valeur litigieuse de la cause n'atteint pas le minimum de 30'000 fr. prévu pour le recours ordinaire (art. 74 al. 1 let. b LTF) et aucun des cas de dispense (art. 74 al. 2 LTF) n'est réalisé. Partant, seul le recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF) est ouvert; c'est d'ailleurs cette voie que la recourante a empruntée.
1.2 Le jugement attaqué est une décision finale (art. 117 et 90 al. 1 LTF), prise par une autorité cantonale de dernière instance (art. 114 et 75 al. 1 LTF).
La recourante a pris part à l'instance précédente et a succombé dans ses conclusions libératoires; elle a donc qualité pour recourir (art. 115 LTF). Déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF; art. 45 al. 1 LTF) et dans la forme requise (art. 42 LTF), le recours est recevable.
1.3 Comme cela ressort de son intitulé, le recours constitutionnel subsidiaire ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine que les griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 117 et 106 al. 2 LTF). L'auteur du recours doit indiquer quel droit constitutionnel a été violé, selon lui, et montrer, par une argumentation circonstanciée, en quoi consiste la violation (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 133 III 439 consid. 3.2 p. 444). Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 et 116 LTF), ce que la partie recourante doit invoquer avec précision (art. 117 et 106 al. 2 LTF; ATF 133 III 439 consid. 3.2 p. 445). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 117 et 99 al. 1 LTF).
2. La recourante invoque exclusivement la protection contre l'arbitraire, garantie par l'art. 9 Cst.
2.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148, 263 consid. 3.1 p. 265 s.).
S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et de l'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
2.2 En premier lieu, la recourante reproche à la Chambre civile d'avoir retenu un lien de causalité naturelle entre les gastroscopies de l'automne 2003 et l'hépatite B diagnostiquée fin janvier 2004 sur la base d'une appréciation arbitraire des preuves, en particulier de l'expertise.
Ainsi, la cour cantonale partirait d'un risque de transmission du virus de l'hépatite B par endoscope mal entretenu de 1 sur 100'000 examens, alors que, selon l'expertise, ce taux concernerait toutes les infections nosocomiales, soit celles intervenues après contact avec tous types de bactéries et de virus; d'après la recourante, l'expert ne relèverait un risque de contamination de l'hépatite B par endoscopie que de 1 cas sur 113 millions.
Ensuite, la Cour de justice aurait omis de tenir compte d'une constatation figurant dans l'expertise, selon laquelle aucune transmission du virus de l'hépatite B n'a fait l'objet d'une publication en cas d'utilisation d'une pince à biopsie à usage unique lors d'une endoscopie digestive.
Les juges genevois auraient également versé dans l'arbitraire en considérant que l'intimé avait prouvé n'avoir pas contracté l'hépatite B par voie sexuelle, simplement parce que son épouse n'était pas porteuse de ce virus. Par ailleurs, ils auraient occulté le mode de transmission de l'hépatite B par objets usuels souillés, pourtant décrit par l'expert et infiniment plus probable que la contamination par gastroscope.
Enfin, la cour cantonale aurait refusé de prendre en considération l'inflammation du foie de l'intimé, préexistante aux gastroscopies et révélée par un taux de transaminases ALAT deux fois plus élevé que la norme. En attribuant ce taux à la prise du médicament Zocor, elle aurait tiré une conclusion insoutenable, dès lors que la probabilité que ce traitement anti-cholestérol provoque une atteinte hépatique est de 1,8 % au maximum tandis que l'élévation du taux de transaminases ALAT est la manifestation habituelle d'une hépatite B qui ne s'est pas encore déclarée cliniquement par une jaunisse.
En définitive, la cour cantonale aurait privilégié de manière arbitraire une thèse qui considère isolément deux événements - atteinte hépatique constatée avant les endoscopies et développement d'une hépatite B - dont il est infiniment peu probable qu'ils soient survenus successivement de façon indépendante, alors qu'il est beaucoup plus vraisemblable qu'ils soient liés. L'inflammation du foie préexistante, la probabilité nulle ou purement théorique d'une contamination du virus de l'hépatite B par endoscopie et l'existence d'autres modes de transmission bien plus probables auraient dû conduire les juges à conclure que l'intimé n'avait pas démontré avec un degré de vraisemblance prépondérante le lien de causalité naturelle entre les gastroscopies incriminées et sa contamination par le virus de l'hépatite B.
2.3 La Cour de justice a tenu pour établi le lien de causalité naturelle entre gastroscopie(s) et hépatite B en se fondant sur les éléments suivants.
Elle est partie des quatre modes de transmission du virus de l'hépatite B qui seraient ceux décrits par l'expert: transmission parentérale, dont la source est le sang, les produits sanguins et l'utilisation de matériel souillé de sang; transmission sexuelle; transmission prénatale; transmission maternofoetale. La cour cantonale a exclu d'emblée les deux derniers modes de transmission puisque l'intimé a contracté le virus bien après sa naissance. Elle a ensuite écarté la possibilité d'une transmission sexuelle en expliquant que le virus de l'hépatite B est très contagieux et que l'épouse de l'intimé n'est pas porteuse de ce virus. Enfin, elle a exclu une transmission parentérale dès lors que l'intimé n'a pas subi de transfusion de sang dans les mois qui ont précédé l'apparition de la maladie.
Après avoir éliminé la possibilité d'une transmission du virus par les quatre modes susdécrits, la Chambre civile a relevé ensuite, sur la base de l'expertise, qu'une proportion non négligeable des 30 % de contaminations non élucidées pourrait être d'origine nosocomiale et que le risque de contamination par endoscope existait, bien qu'il soit très faible (1 cas sur 100'000 examens). Elle est parvenue à la conclusion que ce risque s'était réalisé en l'espèce, après avoir rejeté l'argument de la recourante fondé sur le taux de transaminases élevé de l'intimé avant les gastroscopies; à ce propos, elle a jugé que ce taux pouvait provenir du traitement au Zocor suivi par le patient et qu'il n'était donc pas prouvé que l'intimé était infecté par le virus de l'hépatite B avant les examens litigieux.
2.4 Un fait est une cause naturelle d'un résultat dommageable s'il constitue une condition sine qua non de la survenance de ce résultat. Le constat d'un lien de causalité naturelle relève du fait (ATF 133 III 462 consid. 4.4.2 p. 470; 133 IV 158 consid. 6.1 p. 167; 128 III 174 consid. 2b p. 177, 180 consid. 2d p. 184).
En principe, un fait est établi si le juge a pu se convaincre de la vérité d'une allégation. Lorsque, par la nature même de l'affaire, une preuve stricte n'est pas possible ou ne peut être raisonnablement exigée («état de nécessité en matière de preuve»), le degré de preuve requis se limite alors à la vraisemblance prépondérante. Tel est le cas notamment lorsqu'il s'agit d'établir l'existence d'un lien de causalité naturelle (ATF 133 III 462 consid. 4.4.2 p. 470 s.). La vraisemblance prépondérante suppose que, d'un point de vue objectif, des motifs importants plaident pour l'exactitude d'une allégation, sans que d'autres possibilités ne revêtent une importance significative ou n'entrent raisonnablement en considération (ATF 133 III 81 consid. 4.2.2 p. 88 s. et les arrêts cités).
2.5 L'intimé devait démontrer, avec un degré de vraisemblance prépondérante, qu'il avait été infecté par le virus de l'hépatite B lors de l'une ou l'autre des gastroscopies subies dans les locaux de la recourante. Cette dernière pouvait apporter une contre-preuve, fondée sur des circonstances propres à faire naître des doutes sérieux sur le caractère déterminant de la cause invoquée par le demandeur.
La cour cantonale a éliminé plusieurs modes possibles de transmission du virus de l'hépatite B avant d'arriver à la conclusion que la contamination avait eu lieu par le gastroscope, quand bien même le risque de transmission par cette voie est statistiquement faible. Elle évoque à cet égard un risque de contamination par endoscope mal désinfecté de 1 pour 100'000 examens.
L'expert n'exclut pas la possibilité d'une contamination par un gastroscope mal entretenu; selon ses dires à l'audience du 7 octobre 2008, elle «pourrait résider (...) dans le fait que du matériel biologique subsisterait dans le canal de l'endoscope qui sert à passer les instruments, par exemple les pinces à biopsie». Il faut expliquer à ce sujet que, composé notamment de matériaux souples, le gastroscope ne supporterait pas une stérilisation et qu'il est donc soumis à un processus de désinfection. L'expert observe également qu'en Suisse, le mode de contamination reste inconnu dans 30 % des cas d'hépatite aiguë, «parmi lesquels une proportion non négligeable pourrait être d'origine nosocomiale». Les données résultant d'études reprises dans l'expertise ne confirment toutefois pas cette hypothèse, en tout cas pas pour la gastroscopie. Ainsi, lorsque, comme en l'espèce, une pince à biopsie à usage unique a été utilisée, aucun cas de contamination n'a été publié. L'expert cite par ailleurs des travaux selon lesquels aucun cas de contamination par le VIH, le virus de l'hépatite C ou celui de l'hépatite B n'a été enregistré bien qu'il y ait eu dysfonctionnement dans le processus de désinfection de l'endoscope. Plus loin, l'expert cite d'autres travaux dont il ressort un taux de 1 infection nosocomiale (toutes bactéries et virus confondus) sur 10 millions d'endoscopies gastro-intestinales; parmi les 35 cas d'infections nosocomiales qui ont permis d'établir ce taux, tout au plus 5 (2 cas étaient douteux ou mal documentés) concernaient des hépatites B, ce qui donne un taux de 0,14 sur 10 millions. Pour tenir compte d'une sous-estimation probable, l'expert part de l'idée que les contaminations publiées ne représentent que 1 % de toutes les contaminations. On obtiendrait alors un taux de 0,14 hépatites B pour 100'000 endoscopies gastro-intestinales (gastroscopies et coloscopies) ou 14 cas sur 10 millions, ce qui reste extrêmement faible. En évoquant un risque de 1 sur 100'000, la cour cantonale a largement surestimé le risque, alors qu'il ressort des données de l'expertise que la possibilité d'être infecté par le virus de l'hépatite B à la suite d'une gastroscopie est extrêmement faible, voire quasiment inexistante.
La cour cantonale a retenu en l'espèce la transmission nosocomiale après avoir éliminé d'autres modes de contamination, plus fréquents. A cet égard, elle a omis de mentionner l'un des modes cités par l'expert, soit la transmission horizontale, à partir d'objets usuels (rasoir, brosse à dent, couteau par exemple) entrant en contact avec une peau lésée par des blessures, des piqûres d'insecte ou une dermatose. Par ailleurs, la Chambre civile a écarté toute possibilité de transmission sexuelle pour le motif que l'épouse de l'intimé n'était elle-même pas porteuse du virus de l'hépatite B. Or, cette circonstance ne suffit pas, à elle seule, pour exclure absolument que la contamination de l'intimé ait eu lieu par voie sexuelle.
A titre de contre-preuve, la recourante a invoqué le taux élevé de transaminases ALAT dans le sang de l'intimé, enregistré juste avant la première gastroscopie. La cour cantonale a rejeté cette contre-preuve en expliquant que ce taux, deux fois supérieur à la moyenne, pouvait provenir du traitement au Zocor suivi par l'intimé. Or, selon l'expertise médicale, une augmentation des ALAT correspond à une inflammation hépatique, dont l'origine peut être une hépatite B. L'expert ajoute qu'un traitement au Zocor «peut induire une élévation persistante des ALAT (3 fois la limite supérieure de la normale) chez 0,7 % des patients avec un dosage de 40 mg/j et 1,8 % chez les patients avec un dosage de 80 mg/j.» Le dosage appliqué à l'intimé ne ressort pas de l'arrêt attaqué. Toujours est-il que, même si le patient recevait la dose la plus élevée du médicament Zocor, le risque que son taux de transaminases augmentât de manière anormale n'était que de 1,8 %. Il apparaît ainsi fort peu probable que l'augmentation des ALAT soit liée à la prise de ce médicament. L'hypothèse de l'hépatite B préexistante ne pouvait dès lors être écartée pour ce motif. En revanche, il est établi qu'un taux élevé de transaminases témoigne d'une inflammation du foie dont la cause peut être une hépatite B et que l'intimé a précisément développé une hépatite B aiguë quatre mois plus tard. C'est le lieu d'observer que, selon l'expert, environ la moitié des personnes porteuses du virus de l'hépatite B ignore leur état. Il n'était donc pas du tout impossible que l'intimé ait été infecté par le virus en question sans le savoir dans la période postérieure à janvier 2002, époque à laquelle son médecin traitant avait constaté un taux de transaminases normal. En conclusion, le taux anormalement élevé des ALAT était un élément de nature à faire douter sérieusement du caractère déterminant de la cause invoquée par le demandeur.
Dans la recherche de la cause naturelle de l'hépatite B ayant atteint l'intimé, cet élément était associé, on l'a vu, à un risque de transmission nosocomiale extrêmement faible en cas de gastroscopie et au fait que deux modes de transmission habituels du virus de l'hépatite B (transmissions horizontale et sexuelle) ne pouvaient, sur la base des faits constatés, être exclus catégoriquement. Dans ces circonstances, il était arbitraire de la part de la cour cantonale de privilégier la thèse de l'intimé de la contamination par le gastroscope, en la considérant comme la plus vraisemblable. Le grief tiré d'une violation de l'art. 9 Cst. est fondé.
2.6 Lorsqu'il admet un recours constitutionnel, le Tribunal fédéral peut statuer lui-même sur le fond (art. 107 al. 2 LTF par renvoi de l'art. 117 LTF). En effet, contrairement à l'ancien recours de droit public, le recours constitutionnel n'est pas purement cassatoire (arrêt 5A_62/2009 du 2 juillet 2009 consid. 3 et l'arrêt cité).
Il ressort de ce qui précède que, sur la base des faits recueillis, l'intimé n'a pas démontré, avec un degré de vraisemblance prépondérante, avoir été infecté par le virus de l'hépatite B au cours de l'une ou l'autre des deux gastroscopies subies dans les locaux de la recourante. Il s'ensuit que l'une des conditions de la responsabilité de la recourante fait défaut, de sorte que l'action de l'intimé ne peut qu'être rejetée.
3. L'intimé, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens à la recourante (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que Y._ est débouté des fins de sa demande en paiement contre X._ SA.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à titre de dépens à la recourante, est mise à la charge de l'intimé.
4. La cause est renvoyée à la Cour de justice pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 15 mars 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Godat Zimmermann