Faits:
A. Jusqu'à ce qu'il renonce à la pratique du barreau, avec effet au ******, X._ a exercé la profession d'avocat dans le canton de Vaud.
En avril 2003, un litige dans lequel X._ représentait un client, Y._, devant le Tribunal des baux du canton de Vaud a été liquidé par une transaction judiciaire. Dans ce cadre, Y._ et son épouse promettaient de vendre à leurs locataires leur villa au prix de 1'025'000 fr., montant payable par remise d'un chèque d'un million fr. et versement de 25'000 fr. sur le compte de X._. Le 8 juillet 2003, ce dernier a présenté à son client une note d'honoraires de 24'210 fr. Celle-ci a été modérée par la présidente du Tribunal des baux à 6'025 fr. 65 par prononcé du 1er novembre 2004, confirmé le 3 février 2006 par la Cour de modération du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Au début de l'année 2006, X._ a connu des difficultés financières à la suite d'un contrôle fiscal et de la dénonciation du prêt hypothécaire relatif à ses locaux professionnels.
Le 2 mai 2006, le fils de Y._ a dénoncé X._ à l'Ordre des avocats vaudois pour n'avoir pas remboursé à son père le montant de 21'179 fr. 75 en dépit de la décision de la Cour de modération du 3 février 2006. Cette dénonciation a été transmise à la Chambre des avocats, qui a ouvert le 20 juin 2006 une procédure disciplinaire à l'encontre de X._.
Par décision du 13 février 2007, la Chambre des avocats a condamné X._ à une peine disciplinaire de 1'000 fr. pour violation de l'art. 12 lettres a et h de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (loi sur les avocats; LLCA; RS 935.61). Il lui était reproché, d'une part, de ne pas disposer d'un compte de consignation séparé pour les avoirs de ses clients et, d'autre part, d'avoir tardé à s'acquitter du montant de 21'179 fr. 95 qu'il devait restituer à Y._. Ce prononcé a été notifié à X._ par courrier du 28 mars 2007 et est entré en force.
B. X._ a été de longue date le mandataire de Z._, en faisant office d'intermédiaire avec l'avocat belge de celle-ci dans une procédure menée en Belgique.
Le 2 juin 2006, X._ a adressé à la prénommée un courriel dont la teneur était la suivante:
"From: X._
To: Z._
Subject: (no subject)
Date: Fri, 02 Jun 2006 09:10:49 +0200
Chère Mademoiselle,
Je sollicite votre attention et votre bienveillance à raison de ce qui suit. Il y a un peu plus de deux ans, j'ai été chargé par une société de gérance, au nom du propriétaire d'une villa, de conduire un procès visant à libérer cette villa de ses locataires. Le propriétaire de la villa, un ressortissant espagnol domicilié en Espagne n'était pas joignable et ne vient jamais en Suisse. J'ai donc traité ce dossier par l'intermédiaire de la gérance.
Le propriétaire avait besoin de vendre la villa, ce qui impliquait de la libérer des locataires, dès lors que la banque hypothécaire avait dénoncé les crédits, ce qui donc allait entraîner la vente aux enchères de la villa, ce pour un prix inférieur à la valeur réelle du marché et surtout inférieur aux charges hypothécaires. Je vous passe les détails, mais je suis parvenu à ce que les locataires eux-mêmes de la villa s'en portent acquéreur, ce pour le prix souhaité par le propriétaire, ce qui lui a laissé quelque argent en lieu et place d'une dette à l'endroit de la banque. Fonction [sic] de ces éléments et surtout du résultat extraordinaire obtenu, j'ai estimé que mes honoraires pouvaient être augmentés jusqu'à SFr 22'000.--, au lieu de 12'000.--, compte tenu du fait de [sic] qu'un courtier immobilier aurait perçu pour la simple présentation d'un acquéreur une somme de l'ordre de SFr. 30'000.--.
Par l'intermédiaire de son fils le propriétaire a demandé au tribunal cantonal la modération de mes honoraires. J'avais bien évidemment cessé de réclamer des provisions, le gérant m'informant ne plus disposer d'argent à me verser, les loyers étant perçus par la banque et le locataire ayant de toute manière consigné le loyer. C'est surtout ce fait qui m'est reproché dans le cadre de la modération de mes honoraires, c'est-à-dire que selon le tribunal cantonal, si je n'ai pas demandé en temps voulu des provisions suffisantes, je suis déchu ensuite de facturer des honoraires. La situation est encore plus particulière du fait que la procédure de modération des honoraires d'avocats ne permet pas l'audition de témoins. Si cela était possible, j'aurai évidemment fait entendre le directeur de la gérance qui aurait confirmé que tout ce que j'ai fait dans ce dossier l'a été de son plein accord et qu'il m'a même demandé comme un service personnel de poursuivre ce dossier, sachant que si j'interrompais mes opérations faute de paiement des provisions, son propre client se trouverait dans une situation très difficile à l'endroit de la banque. Le solde du prix de vente sous déduction des prétentions de la banque, a été versé sur mon compte bancaire. J'ai rétrocédé la partie qui excédait mes honoraires.
Je ne veux pas verser l'argent aujourd'hui litigieux au propriétaire dès lors que celui-ci habite à l'étranger et je ne me vois pas mener ensuite une procédure contre lui en Espagne. La chambre des avocats, dans une telle circonstance, me suggère de consigner le montant litigieux, le propriétaire de la villa devant alors ouvrir action contre moi devant le tribunal civil à Lausanne, instance devant laquelle je pourrais faire valoir tous les moyens, avec me semble-t-il, les meilleures chances de succès. Dès lors que je sors d'un contrôle TVA qui m'a coûté une dizaine de milliers de francs, sans parler des honoraires fiduciaires, compte tenu de mes charges de famille, je me retrouve dans une situation dans laquelle mes liquidités ne me permettent pas de consigner et [sic] SFr 22'000.-- actuellement.
Vu nos longues et, je crois, très bonnes relations jusqu'ici, j'ose dès lors prendre la liberté de vous solliciter pour vous demander si vous seriez disposée à m'apporter votre appui au regard de ce qui précède. Je reste bien évidemment à votre entière disposition pour de plus amples renseignements que vous pourriez désirer et vous prie de croire, chère Mademoiselle, à l'assurance de mes sentiments les plus dévoués.
X._, av."
Le 24 août 2006, Z._ a mis à disposition de X._ 15'000 euros en ordonnant le virement de cette somme sur le compte de ce dernier. Le même jour, X._ a signé une reconnaissance de dette pour le montant de 15'000 euros, par laquelle il s'engageait à rembourser cette somme d'ici au 30 septembre 2006.
Le 13 décembre 2006, X._ a demandé à Z._ de patienter pour le remboursement jusqu'à la vente de ses locaux professionnels, à la rue B._, à Lausanne. Cette vente a été conclue par acte notarié du 15 décembre 2006 et a pris effet le 15 février 2007.
Dans un courriel du 7 mars 2007, Z._ a exigé le remboursement immédiat du prêt de 15'000 euros en les termes suivants:
"Mon cher avocat, 1.9.06... 15.2.07... 15.3.07 Je commence à en avoir ras-le-bol de devoir perdre les belles opportunités de change - et dont t.le monde essaye normalement de profiter - quant à mes 15'000 euros déclarés et dont je me sers comptes-courants, B._ terminé, qu'attendez-vous maintenant????"
Le 9 mars 2007, X._ a adressé à sa cliente une note intermédiaire d'honoraires qui portait sur des opérations effectuées du 5 décembre 2002 au 8 mars 2007 et qui s'élevait à 35'862 fr. 20, montant auquel il fallait ajouter le solde du compte courant dû au 31 décembre 2004, par 2'678 fr. 50, et déduire une provision du 18 avril 2005, par 3'766 fr., un solde sur "N*****", par 63 fr. 20, une provision du 17 août 2006, par 2'500 fr. et une "avance" au 28 août 2006, par 23'410 fr. 50, soit un solde restant dû de 8'801 fr. Selon la lettre d'accompagnement, il s'agissait d'une note d'honoraires récapitulative comprenant l'entier des opérations de X._ à ce jour et constituant un "projet" dont celui-ci souhaitait pouvoir s'entretenir avec sa cliente. Cette dernière a retourné le courrier de X._ sans l'ouvrir.
Le 21 mars 2007, X._ a adressé à sa cliente un nouveau courrier par lequel il résiliait son mandat et joignait une nouvelle note d'honoraires et de débours de 18'321 fr. 75 pour des opérations effectuées du 20 juin 2006 au 21 mars 2007. Z._ a refusé de retirer ce courrier.
Le 15 mai 2007, X._ a requis l'intervention du président de la Chambre des avocats en vue de la modération des honoraires dus par Z._. Il a annexé la note précitée de 18'321 fr. 75 et a notamment précisé ceci:
"[...] La situation est en outre particulière par le fait que, non seulement je connais Mademoiselle Z._ depuis très longtemps, mais encore raison du fait que Mlle Z._, très présente auprès de mon secrétariat, avait entendu dire que je rencontrais un problème passager de liquidités. Elle m'a alors proposé spontanément de me dépanner. J'ai accepté.
Dans l'intervalle, Mademoiselle Z._ n'avait pas donné suite à mes demandes répétées de provision. Je précise ici qu'il est pratiquement inutile d'écrire ou de faxer à Mlle Z._, tant elle a pris l'habitude de ne pas lire son courrier ou de le renvoyer purement et simplement à l'expéditeur. J'ai alors proposé à Mademoiselle Z._ de garder cette situation de compte ouvert entre nous et d'attendre la liquidation de ses deux procès en Belgique pour régler et liquider la situation. Mademoiselle Z._ avait accepté.
En revanche, j'ignore pour quelle raison, il y a quelques semaines, Mademoiselle Z._ m'a demandé de la rembourser de l'avance de 15'000 euros qu'elle m'avait consentie. Pensant qu'il était temps de régler compte, j'ai établi à l'intention [sic] Mademoiselle Z._ une note d'honoraires intermédiaire, qu'elle m'a retournée. [...]."
Dans sa détermination du 16 mai 2007, Z._ s'est exprimée comme suit, par l'intermédiaire de son conseil:
"en page 4, dernier paragraphe, mon confrère s'étonne que ma cliente lui demande le remboursement d'une 'avance' de 15'000.-- euros consentie. Des documents qui m'ont été remis, il s'agit en fait d'un prêt de 15'000.-- euros qui a été consenti par Madame Z._ et non pas d'une provision."
Le 9 juillet 2007, le président de la Chambre des avocats a modéré la note d'honoraires du 21 mars 2007 à 16'601 fr. 75. Il a par ailleurs ordonné l'ouverture d'une enquête au sens des art. 53 ss de la loi vaudoise du 24 septembre 2002 sur la profession d'avocat (LPAv; RS/VD 177.11), afin d'élucider si la somme de 15'000 euros versée à X._ par sa cliente, selon la reconnaissance de dette du 24 août 2006, l'avait été comme "avance" d'honoraires ou à titre de "prêt".
Dans le cadre de cette enquête, X._ et Z._ ont été entendus séparément par le représentant de la Chambre des avocats le 6 septembre 2007.
Les déclarations de X._ figurent au procès-verbal comme suit:
"Quand Mlle Z._ avait rendez-vous chez Me X._, elle voulait tout l'après-midi, venait en avance, et au lieu d'aller s'asseoir à la salle d'attente, elle discutait avec les secrétaires par l'intermédiaire d'un guichet, sur tout et sur rien. A ces occasions, Me X._ pense qu'elle a entendu/deviné qu'il avait des difficultés financières puisqu'elle lui en a parlé après spontanément. Me X._ affirme qu'il ne lui en a pas parlé avant qu'elle n'aborde elle-même le sujet.
Toujours spontanément Mlle Z._ lui a demandé 'de combien s'agit-il'?
Dans un premier temps, Me X._ l'a remerciée mais a décliné l'offre en déclarant avoir trouvé une autre solution. Après, Mlle Z._ est 'revenue à la charge' [...]. Elle a donc demandé à Me X._ où en étaient ses difficultés et si c'était arrangé.
Mlle Z._ a proposé de verser à Me X._ 15'000 Euros en disant qu'elle disposait de cette somme sur un compte dont elle disait ne pas avoir besoin [...].
Me X._ déclare en outre qu'il ne s'est jamais trouvé en situation de dépendance vis-à-vis de Mlle Z._, malgré les longs rapports contractuels, Me X._ a considéré comme une défiance grave le courriel du 7 mars 07 de Mlle Z._, ce qui l'a conduit à résilier le mandat dès lors que sa cliente lui a retourné son courrier du 9 mars sans l'ouvrir avec la mention 'refusé'."
Pour sa part, Z._ a produit le courriel du 2 juin 2006. Ses déclarations ont été protocolées comme suit:
"[...] Mme Z._ a refusé [d'accorder le prêt sollicité par le courriel du 2 juin 2006] en lui disant que cela pourrait changer ses relations personnelles avec son avocat.
Le 24 août 2006, Mme Z._ a eu un rendez-vous chez Me X._ pour ses affaires et allait partir en Belgique pour environ deux mois. Voyant ce jour là que Me X._ n'était pas en forme, elle lui a demandé si ses affaires s'étaient arrangées. Il a répondu évasivement, ajoutant qu'il avait eu tort de lui en parler.
Ce jour là, attendrie par les circonstances, se sentant ridicule d'avoir ressenti de la méfiance vis-à-vis de son avocat qui lui rappelait tout ce qu'il avait fait pour elle, elle a accepté de l'aider financièrement dans ses problèmes personnels. [...]"
Le courriel du 2 juin 2006 a été soumis à X._ le 18 septembre 2007. Dans une écriture du 10 octobre 2007, le prénommé a admis l'avoir rédigé, mais a soutenu avoir voulu l'adresser à une tierce personne, une ancienne cliente qui lui avait déclaré à la clôture de son dossier qu'en cas de besoin il pourrait toujours s'adresser à elle; seule une erreur de manipulation l'avait conduit à l'expédier à Z._, car il n'aurait "jamais osé, quand bien même [il] la connaissai[t] de longue date, écrire intentionnellement un tel message à Mademoiselle Z._."
Dans une détermination écrite, le mandataire de X._ a précisé que celui-ci avait en réalité entendu demander un prêt à une dénommée A._, ancienne cliente richissime, par un courriel qu'elle n'avait jamais reçu à la suite de l'erreur de manipulation précitée. Cette erreur provenait du fait que, sur la liste des adresses électroniques, celle de la prénommée était immédiatement voisine de celle de Z._.
C. Par décision du 12 décembre 2007, la Chambre des avocats a suspendu X._ pour une durée de six mois.
X._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal qui, par arrêt du 11 novembre 2008, a partiellement admis le recours, la suspension étant ramenée à quatre mois. Cette autorité a considéré que X._ avait, de plusieurs manières, manqué à son obligation d'exercer sa profession avec soin et diligence (art. 12 lettre a LLCA). D'une part, il s'était livré à de fausses déclarations devant l'autorité de modération, qui était une autorité judiciaire. D'autre part, il avait sollicité d'une cliente un prêt en utilisant des procédés indignes - notamment en profitant de la relation de dépendance du client à l'égard de son avocat et en se posant en victime - et en ne respectant pas ses engagements de remboursement, avant d'exercer la compensation contre la volonté de sa mandante. En outre, X._ avait manqué à son devoir d'indépendance (art. 12 lettre b LLCA) en obtenant un prêt d'une cliente, en tentant de compenser ses honoraires avec le montant du prêt au lieu de rembourser celui-ci, puis en résiliant le mandat à la suite du refus de la cliente d'accepter la compensation. S'agissant de la sanction disciplinaire, le Tribunal cantonal a relevé que X._ avait déjà fait l'objet, le 24 mars 1998, d'une suspension d'une durée d'une année pour violations graves des règles professionnelles, à la suite d'une condamnation pénale pour abus de confiance, gestion déloyale et faux dans les titres. Quant à la décision du 13 février 2007 le condamnant à une amende de 1'000 fr, elle lui avait été notifiée seulement le 28 mars 2007, de sorte que, parmi les actes faisant l'objet de la présente procédure, seule la violation des devoirs professionnels commise dans le cadre de la procédure de modération engagée par demande du 15 mai 2007 constituait une récidive. Au regard de la jurisprudence, une suspension de six mois apparaissait disproportionnée dans le cas particulier. Il se justifiait de ramener celle-ci à quatre mois.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 11 novembre 2008 et, principalement, de dire que son droit d'exercer la profession d'avocat n'est pas suspendu, subsidiairement, de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour qu'il prononce ce qui précède et plus subsidiairement, de renvoyer la cause au Tribunal cantonal pour qu'il la transmette à son tour à la Chambre des avocats, afin qu'elle prononce ce qui précède, le tout sous suite de frais et dépens. A titre préalable, il requiert que son recours soit doté de l'effet suspensif. Selon lui, c'est sur la base d'une appréciation arbitraire des preuves et/ou en violation du droit fédéral que l'autorité intimée lui a reproché d'avoir manqué à ses devoirs professionnels. En outre, la sanction prononcée à son endroit serait disproportionnée.
L'autorité précédente s'en remet à l'appréciation du Tribunal de céans s'agissant de la recevabilité du recours et conclut à son rejet sur le fond. La Chambre des avocats renonce à se déterminer.
Par ordonnance présidentielle du 17 décembre 2008, le recourant a été rendu attentif au fait qu'il ne disposait pas d'un intérêt juridique à ce que son recours soit doté de l'effet suspensif, du moment que la décision de la Chambre des avocats ne devait prendre effet qu'à compter du jour où elle serait devenue définitive.
Selon une décision publiée dans la Feuille des avis officiels du canton de Vaud du ******, la Chambre des avocats a pris acte de la renonciation de X._ à la pratique du barreau et l'a en conséquence radié du registre cantonal vaudois des avocats, avec effet au ******.
Considérant en droit:
1. 1.1 L'art. 89 al. 1 LTF fait dépendre la qualité pour former un recours en matière de droit public, entre autres conditions, de l'existence d'un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (lettre c). Cet intérêt doit en principe être encore actuel lors du prononcé du jugement par le Tribunal fédéral (cf. ATF 135 I 79 consid. 1.1). En l'occurrence, on peut se demander si le recourant a toujours un tel intérêt, alors qu'il a renoncé à la pratique du barreau et s'est fait radier du registre cantonal vaudois des avocats avec effet au ******. Il s'agit certes là d'un fait nouveau - dans le sens où il est postérieur à la décision entreprise -, mais qu'il convient cependant de prendre en considération en dépit de la règle de l'art. 99 al. 1 LTF, du moment que ce fait est pertinent pour statuer sur la recevabilité du recours (cf. Bernard Corboz, in Commentaire de la LTF, 2009, nos 20 ss ad art. 99 et no 65 ad art. 105 LTF).
Le recourant ayant volontairement renoncé à la pratique du barreau, la décision de suspension, si elle est confirmée, n'aura pas pour effet de l'obliger à cesser - temporairement - d'exercer son activité professionnelle. La sanction ne sera en outre pas non plus inscrite au registre cantonal des avocats, puisque le recourant n'y figure plus (cf. Staehelin/Oetiker, in Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2005, no 9 ad art. 9, selon lesquels la radiation sur requête de l'avocat permet d'éviter qu'une interdiction de pratiquer ne soit rendue publique par le biais de l'inscription; l'art. 10 al. 2 LLCA prévoit en effet que toute personne a le droit de savoir si un avocat est inscrit au registre et s'il fait l'objet d'une interdiction de pratiquer). Toutefois, un avocat radié peut demander sa réinscription au registre (cf. art. 35 LPAv). Dans le cas particulier, la décision d'interdiction temporaire de pratiquer aura ainsi pour effet d'empêcher que le recourant ne soit réinscrit au registre jusqu'au terme du délai de suspension. Dans cette mesure, le recourant a encore un intérêt actuel à ce que la décision attaquée soit annulée ou modifiée.
Au surplus, interjeté par une partie directement touchée par la décision attaquée (cf. art. 89 al. 1 lettres a et b LTF), le recours est dirigé contre un jugement final (cf. art. 90 LTF) rendu dans une cause de droit public (cf. art. 82 lettre a LTF) par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (cf. art. 86 al. 1 lettre d et al. 2 LTF). Il est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai et la forme prévus par la loi (cf. art. 42 et 100 al. 1 LTF) et que l'on ne se trouve pas dans l'un des cas d'exceptions mentionnés par l'art. 83 LTF.
1.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
En matière d'appréciation des preuves et de constatations de fait, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît aux autorités cantonales dans ce domaine. Il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans motif sérieux, de tenir compte d'un moyen de preuve pertinent ou encore s'il a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables. Il appartient au recourant de démontrer précisément, pour chaque constatation de fait incriminée, comment les preuves administrées auraient dû, selon lui, être correctement appréciées et en quoi leur appréciation par l'autorité cantonale est insoutenable. De surcroît, le recourant doit démontrer que la violation qu'il invoque est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF). Il doit rendre vraisemblable que la décision finale aurait été différente si les faits avaient été établis de manière conforme au droit.
2. 2.1 La loi sur les avocats s'applique aux titulaires d'un brevet d'avocat qui pratiquent, dans le cadre d'un monopole, la représentation en justice en Suisse (art. 2 al. 1 LLCA). Elle régit l'ensemble de leur activité professionnelle, que celle-ci relève de la représentation ou du conseil (François Bohnet, Droit des professions judiciaires [cité: Professions judiciaires], 2008, no 16). Les avocats en question lui sont donc soumis également lorsqu'ils agissent dans le cadre d'un contrat de fiducie, comme exécuteurs testamentaires, gérants de fortune ou mandataires à l'encaissement ou encore comme membres d'un conseil d'administration (Walter Fellmann, in Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2005, no 6 ad art. 12; Bohnet/Martenet, Droit de la profession d'avocat, 2009, no 1119). Encore faut-il, en principe, que cette activité soit en lien direct avec la profession d'avocat, le caractère onéreux de la prestation étant à cet égard un indice de la nature professionnelle du service rendu. Selon certains auteurs, l'usage du titre d'avocat constitue également un critère (Bohnet/Martenet, op. cit., nos 1116, 1119). D'après un autre auteur, l'avocat agit dans l'exercice de sa profession lorsqu'il est fait appel à lui en vue d'accéder au droit (critère du "Zugang zum Recht": Kaspar Schiller, Schweizerisches Anwaltsrecht, 2009, nos 330 ss).
De manière très générale, l'activité extraprofessionelle des avocats n'est pas soumise à la loi sur les avocats. Il en va ainsi non seulement des comportements qui relèvent de leur vie privée, mais aussi des activités politiques et associatives ainsi que de la participation à des organismes poursuivant un but économique, lorsque l'intéressé n'en fait pas partie en sa qualité d'avocat et cherche à promouvoir des intérêts étrangers à sa profession. Les comportements relevant de ce champ d'activités ne tombent sous le coup de la loi sur les avocats que s'ils donnent lieu à des condamnations pénales incompatibles avec la profession d'avocat ou si, en raison d'une telle activité, l'intéressé fait l'objet d'un acte de défaut de biens (cf. art. 8 al. 1 lettres b et c LLCA et Fellmann, op. cit., no 53 ad art. 12; Bohnet/Martenet, op. cit., no 1117).
3. 3.1.1 Faisant partie de la Section 3 "Règles professionnelles et surveillance disciplinaire", l'art. 12 LLCA énonce les règles professionnelles auxquelles l'avocat est soumis. Aux termes de cette disposition, l'avocat doit notamment exercer sa profession avec soin et diligence (lettre a), en toute indépendance, en son nom personnel et sous sa responsabilité (lettre b). Il évite tout conflit entre les intérêts de son client et ceux des personnes avec lesquelles il est en relation sur le plan professionnel ou privé (lettre c). Il sera ci-après plus particulièrement question du devoir d'indépendance de l'avocat (consid. 3.1.2) ainsi que de son obligation d'éviter les conflits d'intérêts (consid. 2.2.3).
3.1.2 L'indépendance est un principe essentiel de la profession d'avocat (ATF 123 I 193 consid. 4a et b p. 195-198). Elle doit être garantie tant à l'égard du juge et des parties, que du client. Celui qui s'adresse à un avocat doit pouvoir admettre que celui-ci est libre de tout lien, de quelque nature que ce soit et à l'égard de qui que soit, qui pourrait restreindre sa capacité de défendre les intérêts de son client, dans l'accomplissement du mandat que ce dernier lui a confié. En particulier, l'avocat ne doit pas se trouver dans la dépendance économique de son client (ATF 123 I 193 consid. 4b p. 197/198). Il peut notamment en aller ainsi, dans certaines situations, lorsqu'il est le débiteur ou le créancier de son client. En effet, spécialement dans le premier de ces cas, l'avocat risque de perdre sa position d'interlocuteur critique de son client, qui lui est indispensable pour se garder de procédés inutiles, dommageables ou sans objet (arrêt 2A.293/2003 du 9 mars 2004 consid. 2). L'atteinte à l'indépendance de l'avocat dépend de l'importance des liens financiers qu'il a établis avec le client en dehors du mandat de représentation (ATF 98 Ia 356 consid. 3b p. 361). Ces liens doivent être analysés concrètement, au regard de la situation particulière - notamment de la situation économique générale - de l'avocat. L'importance objective de la dette contractée par l'avocat à l'égard de son client n'est donc pas nécessairement déterminante pour juger d'une telle situation de dépendance.
3.1.3 L'interdiction de plaider en cas de conflit d'intérêts est une règle tout aussi importante, qui découle de l'obligation d'indépendance rappelée à l'art. 12 lettre b LLCA, ainsi que de l'obligation de fidélité et du devoir de diligence de l'avocat (arrêt 2A.293/2003 précité consid. 2 et les références). Même si cela ne ressort pas explicitement du texte de l'art. 12 lettre c LLCA, il est incontesté que cette disposition doit aussi éviter les conflits entre les propres intérêts de l'avocat et ceux de ses clients (arrêt 2P.318/2006 du 27 juillet 2007 consid. 11.1). Dans cette hypothèse, il y a parfois lieu de se montrer sévère, l'avocat ne pouvant dans tous les cas se dégager entièrement du conflit en dénonçant le mandat: ses intérêts personnels peuvent par exemple le conduire à utiliser à son profit des informations obtenues du client même après la fin du mandat (François Bohnet, Conflits d'intérêts: seuls les risques concrets comptent, Revue de l'avocat 8/2008 p. 364 ss, 365).
Au surplus, pour que la responsabilité disciplinaire de l'avocat soit engagée, il suffit qu'un risque (concret) de conflit d'intérêts ait existé dans le cas particulier; il n'est pas nécessaire que ce risque se soit réalisé et ait conduit l'avocat à mal exécuter son mandat. Si elle ne change donc rien sous l'angle de l'art. 12 lettre c LLCA, une mauvaise exécution du mandat peut en revanche entraîner la responsabilité contractuelle de l'avocat sur la base de l'art. 398 al. 2 CO, voire impliquer des conséquences disciplinaires - au regard de l'art. 12 lettre a LLCA -, si elle est de nature à porter atteinte à la confiance qui doit être placée dans l'avocat et sa profession, comme cela peut être le cas notamment en présence d'un manquement intentionnel ou constituant une négligence grave (Bohnet, Professions judiciaires, op. cit., no 21).
Comme on l'a vu (cf. aussi ATF 130 II 87 consid. 4.2 p. 94), le devoir d'indépendance et celui d'éviter tout conflit d'intérêts sont intimement liés. Ainsi, dans la pratique, la question de savoir si l'avocat a manqué au premier implique généralement d'examiner l'existence d'un risque (concret) de conflit d'intérêts (Fellmann, op. cit., no 59 ad art. 12).
En particulier, le fait qu'un avocat obtienne un prêt de la part d'un client peut porter atteinte à la fois à son devoir d'indépendance et à celui d'éviter tout conflit entre les intérêts de son client et les siens propres. Dans une telle situation, le risque principal est que l'avocat ne limite pas ses efforts à ce qui est nécessaire, dans le but d'augmenter ses honoraires et de réduire ainsi - moyennant compensation - l'étendue de sa dette. Ce risque est accru lorsque l'avocat se trouve dans une situation financière difficile (Fellmann, op. cit., nos 76 et 94 s. ad art. 12; d'un autre avis: Schiller, op. cit., no 973, selon lequel le fait qu'un avocat se fasse prêter de l'argent par un client ne pose en principe pas problème, pour autant que ce lien économique n'interfère pas avec le mandat et ne soit pas de nature à entraver sa bonne exécution).
3.2 Il appartient en premier lieu à l'autorité de surveillance compétente de déterminer les mesures disciplinaires à prendre. Si le Tribunal fédéral revoit librement le point de savoir s'il y a eu violation des règles professionnelles, il s'impose en revanche une certaine retenue lors de l'examen de la sanction disciplinaire prononcée. Il intervient alors seulement lorsque l'autorité de surveillance a prononcé celle-ci en excédant les limites de son pouvoir d'appréciation, de sorte que la sanction apparaît clairement disproportionnée et confine à l'arbitraire (arrêt 2P.156/2006 du 8 novembre 2006 consid. 4.3, Pra 2007 no 87 p. 587; arrêt 2C_344/2007 du 22 mai 2008 consid. 5; arrêt 2C_783/2008 du 4 mai 2009 consid. 3.1).
4. 4.1 Le recourant conteste avoir travesti les faits en affirmant, dans la demande de modération du 15 mai 2007, que le versement de 15'000 euros par sa cliente était une "avance". Il fait valoir que la requête en question était accompagnée du relevé des opérations, lequel mentionne, en date du 28 août 2006, "reçu de clte sur CS prêt Frs. 23410.50", inscription d'ailleurs mise en évidence à l'aide d'une couleur spéciale. Il serait ainsi arbitraire d'affirmer, comme l'a fait l'autorité précédente, qu'en procédure de modération il a cherché à faire passer le prêt pour une avance.
En outre, le recourant se défend d'avoir fait une (autre) fausse déclaration en prétendant à l'adresse de l'autorité de modération ignorer la raison pour laquelle sa cliente lui avait demandé de rembourser l'avance de 15'000 euros. En réalité, replacés dans leur contexte, ses propos devraient être compris en ce sens qu'il a affirmé "ne pas comprendre pourquoi sa mandante [était] revenue sur un accord de compte courant entre cette dernière et lui". Le reproche de fausse déclaration formulé par l'autorité précédente reposerait, à cet égard aussi, sur une appréciation arbitraire des preuves.
4.2 Dans la demande de modération du 15 mai 2007, le recourant a utilisé les termes "avance de 15'000 euros qu'elle [Z._] [lui] avait consentie", sans mentionner de date. Etablir le lien avec le montant de 23'410 fr. 50 qui figure dans le relevé des opérations en regard de la date du 28 août 2006, qui est libellé en francs suisses et est qualifié de prêt n'allait donc pas de soi. Le président de la Chambre des avocats n'a d'ailleurs ordonné une enquête à ce sujet qu'après que Z._ eut contesté, dans ses déterminations des 16 mai et 19 juin 2007, qu'il se fût agi d'une provision.
Dans le contexte des rapports entre l'avocat et son mandant, le terme d'"avance" ne peut en principe se comprendre que dans le sens d'"avance sur honoraires" ou, en d'autres termes, de provision. Il est vrai qu'au paragraphe précédent, le recourant a exposé que "dans l'intervalle, Mademoiselle Z._ n'avait pas donné suite à [ses] demandes répétées de provision", ce qui semble contredire l'interprétation du terme "avance" dans le sens d'une "provision". Le recourant a toutefois précisé qu'il en avait été ainsi "dans l'intervalle", c'est-à-dire, apparemment, jusqu'à la séance lors de laquelle sa cliente lui aurait "proposé spontanément de [le] dépanner". On peut ainsi comprendre que, pour le recourant, l'"avance" en question constituait une sorte de "rattrapage" pour les provisions qui n'avaient pas été versées jusque-là.
Quant aux raisons qui ont pu inciter le recourant à présenter le montant de 15'000 euros comme une provision plutôt que comme un prêt, il est possible qu'il soit parti de l'idée qu'il n'était pas en droit de compenser sa créance d'honoraires avec le montant du prêt.
Du point de vue des règles générales du droit des obligations, la créance découlant du prêt ne faisait pas partie de celles qui, en vertu de l'art. 125 CO, ne peuvent être éteintes par compensation contre la volonté du créancier. La reconnaissance de dette du 24 août 2006 ne saurait constituer une renonciation à exercer la compensation, au sens de l'art. 126 CO, ne serait-ce qu'en raison de son caractère unilatéral, alors que cette disposition envisage une renonciation par convention (pactum de non compensando; cf. Gauch/Schluep/ Emmenegger, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, 9e éd., 2008, no 3235).
Quant aux règles régissant la profession d'avocat, elles autorisent en principe l'avocat à compenser - aux conditions des art. 120 ss CO - ses créances avec les dettes qu'il peut avoir à l'égard de son client. Selon la doctrine, la compensation est toutefois exclue lorsque l'avocat sait qu'elle aurait pour effet, au vu de la situation financière de son client, de priver ce dernier de moyens dont il a besoin pour assurer son entretien (Fellmann, op. cit., no 156 ad art. 12). Dans le cas particulier, cette situation n'était assurément pas réalisée. On peut tout au plus se demander si, dans les circonstances de l'espèce, il n'était pas abusif de la part du recourant d'opposer en compensation sa créance d'honoraires.
Au vu de la teneur de la demande de modération et compte tenu du fait qu'il n'allait nullement de soi de faire le rapprochement avec la mention sur le relevé des opérations dont le recourant se prévaut, il n'est à tout le moins pas arbitraire de considérer que ce dernier a tenté, dans le cadre de la procédure de modération, de travestir les faits de la cause, en faisant passer le prêt accordé pour une provision.
Quant au fait que le recourant a prétendu ignorer la raison pour laquelle sa mandante avait demandé le remboursement de l'"avance" en question, son argumentation tirée de l'existence d'un prétendu accord de compte courant - soit d'un accord par lequel deux personnes conviennent de porter en compte toutes ou certaines de leurs futures créances réciproques, d'en surseoir l'exécution jusqu'au jour du décompte et de les compenser de façon à établir en faveur de l'une ou de l'autre une créance pour l'excédent (cf. Gauch/Schluep/Emmenegger, op. cit., no 3163) - repose sur un fait qui n'a pas été retenu dans la décision attaquée, laquelle lie le Tribunal de céans (cf. consid. 1.2). Or, le recourant ne démontre pas que, sur ce point, la décision attaquée serait manifestement inexacte ou contraire au droit. En outre, à supposer même qu'une telle convention ait existé, il paraît exclu qu'elle ait porté aussi sur le prêt de 15'000 euros: selon la reconnaissance de dette du 24 août 2006, le montant devait être remboursé jusqu'au 30 septembre 2006; Z._ en a exigé le remboursement immédiat dans son courriel du 7 mars 2007, où elle évoque les échéances successives pour lesquelles le recourant lui avait apparemment promis de lui restituer la somme. Dans ces conditions, l'étonnement dont le recourant a fait part quant à la demande de remboursement du prêt ne peut s'expliquer par l'existence d'une telle convention. Le point de vue de l'autorité précédente, selon lequel cet étonnement feint constitue une fausse déclaration à l'adresse de l'autorité de modération, ne saurait non plus être qualifié d'arbitraire.
5. 5.1 Selon l'autorité précédente, la demande de prêt du 2 juin 2006 n'a pas été formulée dans le cadre d'un mandat. Dans son courriel, le recourant a toutefois motivé son besoin financier par une obligation professionnelle. L'autorité précédente en a conclu que la demande de prêt se trouvait dans un rapport suffisamment étroit avec l'exercice de la profession d'avocat pour qu'elle entre dans l'activité professionnelle soumise à la loi sur les avocats. Le recourant conteste ce point de vue, en faisant valoir que la demande de prêt constitue une démarche privée qui ne tombe pas sous le coup, en particulier, de l'art. 12 lettre a LLCA. Selon lui, en effet, la loi sur les avocats régit exclusivement les actes relevant de la profession d'avocat, c'est-à-dire ceux qui consistent à conseiller et à assister en justice.
5.2 Le recourant a sollicité le prêt en question en son propre nom et pour son propre compte; il n'a pas agi pour le compte d'autrui, par exemple d'un client ou d'un organisme dont il aurait fait partie en sa qualité d'avocat et qui l'aurait chargé de trouver un financement. En outre, le recourant a expliqué ses difficultés financières en évoquant non seulement sa dette professionnelle dans l'affaire Y._ ainsi que ses arriérés d'impôt à la suite du contrôle TVA - lié lui aussi à son activité professionnelle -, mais aussi ses "charges de famille". Z._ a d'ailleurs déclaré lors de son audition du 6 octobre 2007 qu'elle avait accepté d'aider financièrement son avocat "dans ses problèmes personnels".
Même s'il n'a pas agi dans le cadre de son activité de représentation ou de conseil, le recourant s'est adressé à une cliente de longue date. Il fait valoir qu'au moment de l'envoi du courriel du 2 juin 2006, il n'y avait pas de mandat en cours entre Z._ et lui; c'est seulement plus tard que celle-ci lui aurait confié un nouveau mandat, lors d'un entretien tenu le 20 juin 2006. Ces allégués sont en contradiction avec la décision entreprise, selon laquelle "il est contraire à la dignité du barreau qu'un avocat s'adresse à un client actuel pour lui demander son 'appui' financier [...]" (p. 13 in fine). Dans ces conditions, il y a lieu d'admettre, avec l'autorité précédente, qu'au vu de sa connexité avec son activité professionnelle, la démarche du recourant s'inscrivait dans le cadre de celle-ci et tombait dès lors sous le coup de la loi sur les avocats et de son art. 12 lettre a en particulier. Au surplus, le recourant ne conteste pas vraiment avoir exposé dans son courriel des "demi-vérités", aux fins de se poser en victime et d'en appeler plus efficacement à la bienveillance de sa destinataire, comme cela est relevé dans la décision attaquée. Le recours est ainsi mal fondé sur ce point.
6. 6.1 L'autorité précédente a considéré que le recourant se trouvait dans une situation financière difficile lors de l'octroi du prêt et pendant la durée de celui-ci. Par conséquent, le recourant se serait "retrouvé dans une situation où son indépendance à l'égard de sa cliente n'était plus entièrement assurée". De l'avis de l'autorité précédente, cette situation de dépendance s'est présentée en particulier "entre le 7 et le 21 mars 2007, lorsqu'il [le recourant] a établi un lien étroit entre l'exercice de son mandat et les relations avec sa cliente au sujet du contrat de prêt, en répudiant son mandat à la suite du refus de celle-ci d'accepter le remboursement du prêt par le biais de la compensation sur ses honoraires".
6.2 Le recourant conteste l'argumentation de l'autorité précédente, selon laquelle la résiliation n'aurait pas été décidée avec toute l'indépendance requise par l'art. 12 lettre b LLCA, parce qu'elle serait intervenue du fait de sa situation de débiteur à l'égard de sa cliente, dans le but de pouvoir compenser le montant du prêt avec sa propre créance d'honoraires. De son point de vue, il était en droit de résilier le mandat pour ce motif financier, compte tenu des circonstances suivantes: lorsque Z._ lui a adressé son courriel du 7 mars 2007, il n'était provisionné qu'à hauteur de 2'500 fr. depuis le 17 août 2006; dans ce courriel, la prénommée est "apparemment" revenue sur l'accord de compte courant; alors qu'elle exigeait le remboursement du prêt, elle n'a pas évoqué la rémunération de son avocat. Le recourant fait valoir en outre qu'il était en droit aussi bien de résilier le mandat - en vertu de l'art. 404 al. 1 CO - que d'exercer la compensation.
6.3 Le recourant a sollicité le prêt en question (par courriel du 2 juin 2006), alors qu'il se trouvait en relations contractuelles avec Z._ (cf. consid. 4.2 ci-dessus). De plus, avant de lui accorder le prêt, le 24 août 2006, cette dernière lui a confié un nouveau mandat. Le recourant s'est donc trouvé dans la situation de débiteur de sa mandante. Le montant du prêt n'était certes pas particulièrement élevé. Le recourant se trouvait toutefois dans une situation financière difficile, puisqu'il n'a pu rembourser le prêt ni à l'échéance initialement prévue (30 septembre 2006), ni lors des termes ultérieurs pour lesquels il avait apparemment promis le remboursement. Dans ces conditions, il y a lieu d'admettre que le cumul du mandat et du prêt a créé le risque (concret) que les intérêts du recourant entrent en conflit avec ceux de sa mandante. Dès lors, le fait que le recourant, placé dans une situation financière précaire, a contracté un emprunt auprès de sa mandante porte atteinte à l'art. 12 lettres b et c LLCA. Le droit disciplinaire sanctionnant un comportement de mise en danger (cf. consid. 2.2.3 ci-dessus), peu importe que, par décision du 9 juillet 2007, le président de la Chambre des avocats ait pour l'essentiel admis la note d'honoraires et de débours du 21 mars 2007, d'un montant de 18'321 fr. 75, dont il a retranché seulement la somme de 1'720 fr., relative à des opérations liées à la réception de relevés de comptes bancaires de Z._.
Les circonstances dans lesquelles le recourant a résilié le mandat constituent un indice, pour ne pas dire un aveu, de la situation de dépendance dans laquelle il s'est trouvé à l'égard de sa cliente: lorsque celle-ci, perdant patience, a réclamé le remboursement immédiat du prêt, le recourant n'a trouvé d'autre issue que de résilier le mandat et d'opposer en compensation ses honoraires, ce qui montre qu'il n'était plus en mesure de remplir son rôle de mandataire avec l'indépendance requise.
Au vu de ce qui précède, c'est à bon droit que l'autorité précédente a reproché au recourant d'avoir manqué à son devoir d'indépendance.
7. 7.1 Le recourant soutient que l'interdiction temporaire de pratiquer pour une durée de quatre mois constitue une sanction disproportionnée. Il fait valoir en particulier qu'il n'a pas fait l'objet d'une mesure de retrait provisoire de l'autorisation de pratiquer durant la procédure devant la Chambre des avocats, ce qui démontrerait que le prononcé d'une sanction aussi lourde n'est pas nécessaire aux fins de protéger le public.
7.2 Le retrait provisoire de l'autorisation de pratiquer, au sens de l'art. 17 al. 3 LLCA (cf. aussi art. 56 al. 1 LPAv), ne peut intervenir que pour des motifs graves, lorsqu'il paraît vraisemblable que la procédure disciplinaire en cours va aboutir à une interdiction de pratiquer et qu'au vu de l'intérêt public en jeu, une telle mesure se justifie déjà pendant la procédure disciplinaire (arrêt 2A.418/2002 du 4 décembre 2002 consid. 2.1, affaire dans laquelle neuf procédures disciplinaires étaient pendantes et où une interdiction définitive de pratiquer a ensuite été prononcée). Quoi qu'en dise le recourant, le fait de renoncer à une telle mesure pour la durée du procès n'empêche nullement de prononcer une interdiction - temporaire ou définitive - de pratiquer au terme de celui-ci. Une telle mesure constitue toutefois la sanction la plus sévère et ne peut en principe être prononcée qu'en cas de récidive, lorsqu'il apparaît que des sanctions plus légères n'ont pas permis d'amener l'intéressé à se conformer aux règles professionnelles (arrêt 2A.177/2005 du 24 février 2006 consid. 4.1, RNRF 88/2007 p. 356). Tel est bien le cas en l'espèce, où le recourant a déjà fait l'objet d'une suspension d'une année - remontant certes à une dizaine d'années - pour violations graves des règles professionnelles et a été plus récemment condamné à une amende de 1'000 fr. pour non-respect de l'art. 12 lettres a et h LLCA. Au demeurant, au vu de la retenue dont le Tribunal fédéral fait preuve dans l'examen de la sanction (cf. consid. 2.3 ci-dessus), celle-ci doit être confirmée.
8. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Le recourant qui succombe doit supporter les frais judiciaires (cf. art. 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF a contrario).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Des frais judiciaires de 2'500 fr. sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la Chambre des avocats et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'au Département fédéral de justice et police.
Lausanne, le 21 juillet 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Müller Vianin