Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 17. Februar 2012 reichte X._ gegen Y._ Strafklage wegen Beschimpfung und Tätlichkeit ein. Sie habe ihn in einer öffentlichen Cafeteria in Nottwil als Stalker bezeichnet und an die Wand gedrückt, als er aufstehen wollte. Y._ bestreitet die Vorwürfe.
Die Staatsanwaltschaft Abteilung 3 Sursee stellte die Untersuchung am 2. Mai 2012 ein. Sie verpflichtete X._ zur Übernahme der amtlichen Kosten von Fr. 600.-- und zur Bezahlung einer Entschädigung von Fr. 560.-- für die Reisespesen an Y._. Eine dagegen gerichtete kantonale Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Luzern am 14. Dezember 2012 ab, soweit es darauf eintrat. Einzig die Entschädigung für Y._ wurde auf Fr. 501.80 herabgesetzt.
X._ beantragt mit Beschwerde an das Bundesgericht, die Verfügung vom 2. Mai 2012 und der Beschluss vom 19. (recte 14.) Dezember 2012 seien aufzuheben.
2. Die Beschwerdefrist von Art. 100 Abs. 1 BGG ist eine gesetzliche Frist, die nicht verlängert werden kann (Art. 47 Abs. 1 BGG). Die beantragte Fristerstreckung kommt nicht in Betracht.
3. In Bezug auf die Einstellung des Strafverfahrens kann auf die Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden (Entscheid S. 4-7 E. 4). Was daran gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte, ist nicht ersichtlich und ergibt sich auch nicht aus der Beschwerde. So macht der Beschwerdeführer geltend, dass noch nach Zeugen in Bezug auf die "ca. 5 Sekunden dauernde Tatausführung" hätte geforscht werden müssen (Beschwerde S. 2 Ziff. 3). Er vermag indessen keine Zeugen zu nennen, und es ist fraglich, ob solche existieren, weil der Beschwerdeführer nach den Feststellungen der Vorinstanz allein am Tisch sass, als sich der fragliche Vorfall ereignet haben soll (Entscheid S. 5). Inwieweit das "Zeiterfassungs- und Sicherheitssystem zur Ermittlung der materiellen Wahrheit beitragen" könnte (Beschwerde S. 2 Ziff. 4), ist unerfindlich. Ohne dass sich das Bundesgericht zu allen Vorbringen der Beschwerde ausdrücklich äussern müsste, erweist sie sich in diesem Punkt als unbegründet.
4. In Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsregelung kann ebenfalls auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (Entscheid S. 7/8 E. 5). Auch dagegen vermag der Beschwerdeführer nichts Stichhaltiges vorzubringen. So ist nicht ersichtlich, aus welchem Grund ihm als Privatkläger die Kosten nicht hätten auferlegt werden dürfen. Das Vorbringen, er habe sich zwar als Privatkläger konstituiert, aber sein "faktischer Einfluss ... auf das Verfahren (habe) dem einer antragsberechtigten Person nach Art. 427 Abs. 2 StPO entsprochen" (Beschwerde S. 5 Ziff. 12), ist verfehlt. Dass seine Beweisanträge abgewiesen wurden, ändert nichts daran, dass er Privatkläger im Sinne von Art. 427 Abs. 1 StPO war. In Bezug auf die Entschädigung für die Beschwerdegegnerin 2 bemängelte er z.B., sie habe ihre Reisekosten von München nach Sursee nicht belegt (Beschwerde S. 6 Ziff. 13). Sie wohnt indessen unbestrittenermassen in München und erschien zum Einvernahmetermin in Sursee. Es ist nicht ersichtlich, inwieweit es für ihre Fahrt in die Schweiz weiterer Beweise bedurft hätte. Auch in diesem Punkt ist die Beschwerde unbegründet.
5. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin 2 ist keine Entschädigung auszurichten, weil sie vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch um Erstreckung der Beschwerdefrist wird abgewiesen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. März 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn