Fatti:
A. M._, dipendente dello Stato del Cantone Ticino, assicurato obbligatoriamente contro gli infortuni presso la Zurigo Assicurazioni, è stato vittima in data 13 maggio 2006 di un incidente della circolazione stradale, riportando la frattura della scapola destra e una rottura della cuffia della spalla destra. Il 25 gennaio 2007 è stato sottoposto ad artroscopia della spalla destra con ricostruzione della cuffia dei rotatori. La Zurigo Assicurazioni ha assunto il caso e ha corrisposto le prestazioni di legge. L'assicurato ha recuperato la piena capacità lavorativa dal 20 giugno 2007.
Con decisione del 10 novembre 2008, sostanzialmente confermata il 2 luglio 2009 anche in seguito all'opposizione interposta dall'interessato, l'assicuratore infortuni ha chiuso il caso assegnando un'indennità per menomazione dell'integrità del 25%.
B. Chiedendo in sostanza il riconoscimento delle spese di cura anche dopo il 10 novembre 2008, M._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, il quale per pronuncia del 1° dicembre 2009 ha respinto l'impugnativa, confermando la valutazione dell'assicuratore infortuni.
C. Patrocinato dall'avv. Marco Cereghetti, M._ ha presentato ricorso al Tribunale federale, al quale, protestate spese e ripetibili, ripropone la richiesta di sede cantonale.
La Zurigo Assicurazioni, patrocinata dall'avv. Mattia A. Ferrari, propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. Oggetto del contendere è l'assunzione, a carico dell'assicuratore infortuni resistente, delle spese di cura anche successivamente al 10 novembre 2008.
2. 2.1 L'autorità giudiziaria cantonale ha correttamente esposto le norme disciplinanti il diritto di un assicurato alla cura medica. Giova in questa sede ribadire che giusta l'art. 10 cpv. 1 LAINF l'assicurato ha diritto alla cura appropriata dei postumi d'infortunio, segnatamente: alla cura ambulatoria da parte del medico, del dentista o, previa loro prescrizione, del personale paramedico, nonché, in seguito, del chiropratico (lett. a); ai medicamenti e alle analisi ordinati dal medico o dal dentista (lett. b); alla cura, al vitto e alloggio in sala comune ospedaliera (lett. c); alle cure complementari e a quelle balneari prescritte dal medico (lett. d); ai mezzi ed agli apparecchi occorrenti per la sua guarigione (lett. e). Secondo l'art. 19 cpv. 1 LAINF, il diritto alla rendita nasce qualora dalla continuazione della cura medica non sia da attendersi un sensibile miglioramento della salute dell'assicurato e siano conclusi eventuali provvedimenti d'integrazione dell'AI. Il diritto alla cura medica ed alle indennità giornaliere cessa con la nascita del diritto alla rendita.
2.2 Secondo giurisprudenza, l'assicurato ha pertanto diritto alla cura appropriata dei postumi d'infortunio fintanto che dalla continuazione della cura medica sia da attendersi un sensibile miglioramento della salute (DTF 134 V 109 consid. 4.1 pag. 114). Dal momento che l'assicurazione sociale contro gli infortuni si riferisce a persone esercitanti un'attività lucrativa, per interpretare il concetto di "sensibile miglioramento della salute dell'assicurato" dovrà essere fatto riferimento a un incremento rispettivamente a un recupero della capacità lavorativa, nella misura in cui si è deteriorata in seguito all'infortunio. L'aggettivo "sensibile" evidenzia che il miglioramento dev'essere importante. Progressi trascurabili non bastano (DTF 134 V 109 consid. 4.3 pag. 115).
3. Nel caso concreto, la Corte cantonale ha accertato che il ricorrente aveva recuperato la piena capacità lavorativa dal mese di giugno 2007. Alla luce della suesposta giurisprudenza, essa ha quindi confermato la valutazione dell'assicuratore infortuni, secondo cui la situazione valetudinaria era da ritenersi stabilizzata, visto che mediante le cure mediche proposte non si trattava di incrementare o di recuperare l'abilità lavorativa dell'interessato, ma tutt'al più di evitarne il deterioramento.
Anche il Tribunale federale condivide questa valutazione. Il rifiuto, da parte della Zurigo Assicurazioni, di corrispondere prestazioni di cura medica dopo il 10 novembre 2008 si rivela pertanto corretto, mentre gli argomenti ricorsuali non sono atti a modificare l'esito della vertenza. Per quanto attiene in particolare alla censura concernente la mancata applicazione dell'art. 21 cpv. 1 lett. c LAINF - secondo cui, determinata la rendita, le prestazioni sanitarie e il rimborso delle spese (art. 10 a 13) sono accordati se il beneficiario abbisogna durevolmente di trattamento e cure per mantenere la capacità residua di guadagno -, la Corte cantonale ha precisato in maniera corretta i limiti applicativi di tale disposizione, destinata unicamente a quegli assicurati che sono già al beneficio di una rendita d'invalidità ai sensi dell'art. 18 LAINF. Ciò non è però il caso in concreto.
Giova infine ribadire che rimane, come esposto dall'autorità giudiziaria cantonale, la facoltà per l'assicurato di fare valere una ricaduta o delle conseguenze tardive dell'evento infortunistico, qualora ritenga siano adempiute le relative condizioni.
4. Ne segue che il ricorso dev'essere respinto. Le spese seguono la soccombenza e sono poste a carico della ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF)
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 750.- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.