Faits:
A. A.a Atteinte d'une maladie incurable, C._ - qui avait été élevée par les parents de A._ (le défendeur) -, a requis le 14 mars 1991 le Juge de paix du cercle de Lausanne de nommer ce dernier tuteur de ses deux enfants, B._ (le demandeur) et sa soeur D._, alors âgés respectivement de dix et deux ans. Par décision du 2 mai 1991, la Justice de paix a désigné le prénommé en qualité de curateur, au sens de l'art. 392 ch. 3 CC, des mineurs.
Le 4 juillet 1991, à la suite du décès de la mère le 26 juin précédent, cette curatelle a été levée et une tutelle en vertu de l'art. 368 CC a été instituée en faveur des mineurs, le défendeur étant nommé tuteur. En accord avec les souhaits de la défunte, les enfants ont été placés chez leur marraine, E._.
A.b Un inventaire des biens des enfants, dressé en 1992 par le tuteur, mentionne un compte bancaire, ainsi que trois livrets d'épargne, dont deux au nom des enfants. Le 7 juillet 1992, l'Office de paix du cercle de Lausanne lui a adressé un avis de clôture de la succession fondé sur cet inventaire, en y ajoutant le compte salaire de la défunte.
Le 26 juillet 1991, la compagnie d'assurances Providentia a informé le défendeur qu'une somme de 92'105 fr. avait été versée sur son compte personnel en faveur du demandeur, bénéficiaire d'une assurance-vie souscrite par sa mère. À sa majorité, le demandeur n'a pas reçu cette somme; le défendeur a reconnu l'avoir investie dans ses affaires et ne l'avoir jamais restituée à son ayant droit.
A.c À l'issue de sa séance du 3 septembre 1998, la Justice de paix du cercle de Lausanne a destitué le défendeur de ses fonctions de tuteur du demandeur, vu sa mise en détention préventive en tant que prévenu de malversations financières; elle a simultanément désigné E._ en qualité de tutrice. Le 1er juillet 1999, la Justice de paix a levé la tutelle, le demandeur étant devenu majeur le 21 juin 1999.
B. Par demande du 31 janvier 2004, B._ a conclu à ce que la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud condamne A._ et le Canton de Vaud à lui payer solidairement la somme de 92'105 fr., plus intérêts à 5% dès le 26 juillet 2001. Le 10 mars 2004, il a augmenté ses conclusions à 173'359 fr., avec intérêts à 5% dès le 1er mars 2004, procédé qu'il a retiré le 9 juillet suivant.
Les défendeurs ont conclu à libération des fins de la demande.
Par jugement incident du 14 juin 2004, la Cour civile a renvoyé le dossier au Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne comme objet de sa compétence.
C. Par jugement du 7 octobre 2005, le Tribunal d'arrondissement a admis les conclusions du demandeur en tant qu'elles étaient dirigées contre A._ (ch. I) et condamné celui-ci à lui payer la somme de 92'105 fr., plus intérêts à 5% dès le 26 juillet 2001 (ch. III).
Statuant le 4 octobre 2006 sur le recours principal du défendeur et le recours joint du demandeur, le Tribunal cantonal du canton de Vaud a confirmé (par substitution de motifs) cette décision.
D. Agissant par la voie du recours en réforme au Tribunal fédéral contre cet arrêt, le défendeur conclut, sur le fond, au rejet de la demande; en outre, il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Le demandeur conclut au rejet du recours et, par voie de jonction, à la condamnation du défendeur à lui verser la somme de 92'105 fr., avec intérêts à 5% dès le 1er septembre 1991.
Le défendeur n'a pas été invité à répondre au recours joint.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. La décision attaquée ayant été rendue avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242), de la loi fédérale du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), l'ancienne loi d'organisation judiciaire fédérale (OJ) s'applique en l'espèce (art. 132 al. 1 LTF).
2. Formé à temps contre une décision finale rendue en dernière instance par le tribunal suprême du canton, le recours principal est ouvert sous l'angle des art. 48 al. 1 et 54 al. 1 OJ. La valeur litigieuse minimale est atteinte, en sorte qu'il l'est aussi de ce chef (art. 46 OJ).
3. En l'espèce, le recours principal porte sur la seule question de savoir si l'action du demandeur est prescrite au regard de l'art. 454 CC.
3.1 En vertu de l'art. 454 al. 1 CC, l'action fondée sur la responsabilité du tuteur ou sur la responsabilité directe des membres des autorités de tutelle se prescrit par un an à partir de la remise du compte final.
D'après la jurisprudence, bien que la loi ne le dise pas expressément, l'action ne se prescrit pas avant l'expiration du délai d'une année dès la connaissance du dommage; les art. 454 et 455 CC signifient que la prescription n'est pas toujours accomplie à l'échéance du délai d'un an dès la connaissance du dommage, mais qu'elle peut éventuellement l'être plus tard (cf. ATF 61 II 7 consid. 3 p. 9-10; Forni/Piatti, in: Basler Kommentar, 3e éd., n. 1 ad art. 454/455 CC). Le législateur n'a donc pas entendu raccourcir le délai prévu par l'art. 60 al. 1 CO, mais bien améliorer la position du pupille lésé (Deschenaux/Steinauer, Personnes physiques et tutelle, 4e éd., p. 407 n° 1082). Ainsi, alors même que le demandeur a eu connaissance de son dommage avant la remise du compte final, l'action ne commence pourtant pas à se prescrire avant la remise de cet acte (Philippe Junod, Recherche sur la responsabilité des organes de la tutelle, thèse Lausanne 1953, p. 67; Hans Aepli, Die Verantwortlichkeit der vormundschaftlichen Organe, unter besonderer Berücksichtigung der verantwortlichkeitsverdächtigen Tätigkeiten, thèse Fribourg 1979, p. 68). Les notions de «compte final» et de «remise du compte final» ressortent des art. 451 à 453 CC. Le Tribunal fédéral a précisé, à ce sujet, que la remise du compte final ne fait courir le délai de prescription que si le compte final est communiqué au pupille - et en mains propres s'il est capable de discernement; que si cette remise est accompagnée de la décision de l'autorité tutélaire sur l'approbation ou la non-approbation du compte final; que si cette décision est notifiée avec ses motifs, et non seulement dans son dispositif; que si le pupille a été rendu attentif aux dispositions légales se rapportant à l'action en responsabilité, à tout le moins par l'indication des articles du code civil qui les mentionnent (ATF 85 II 464 consid. 2-6 p. 467-473).
3.2 En l'espèce, il ressort des constatations de l'autorité précédente, qui lient la Cour de céans (art. 63 al. 2 OJ), que le défendeur n'a établi aucun décompte et qu'il n'a pas allégué, ni démontré, l'existence d'un compte final. Les juges cantonaux en ont déduit que, faute de compte final, l'on ne saurait considérer que la prescription prévue par l'art. 454 al. 1 CC a commencé à courir.
Cette conclusion est en accord avec les principes qui précèdent, sauf à ajouter que les autres formalités prescrites par la jurisprudence n'ont pas été non plus observées (cf. supra, consid. 3.1 in fine); la juridiction cantonale n'a, dès lors, pas violé le droit fédéral en rejetant l'exception de prescription du défendeur. Quoi qu'en dise celui-ci - et nonobstant la pratique adoptée, apparemment, par la Justice de paix du cercle de Lausanne -, les art. 451 et 452 CC sont en effet également applicables en cas de destitution d'un tuteur sur la base de l'art. 445 CC (Egger, Zürcher Kommentar, 2e éd., n. 5 ad art. 449 CC, et Geiser, in: Basler Kommentar, 3e éd., n. 17 ad art. 445 CC).
Le défendeur fait valoir qu'il serait «gravement contraire à la sécurité du droit» d'admettre que la prescription n'a pas commencé à courir en l'espèce, car cela signifierait que «l'ouverture d'action puisse intervenir à tout moment, et repoussée de façon quasiment éternelle». Une telle préoccupation est partagée par Martin Good (Das Ende des Amtes des Vormundes, thèse Fribourg 1992): cet auteur part, certes, du principe que, en l'absence de remise d'un compte final selon les règles définies précédemment (consid. 3.1), la prescription ne court pas (§ 12 ch. 10); critiquant une solution qui conduirait pratiquement à l'imprescriptibilité de l'action, il propose de soumettre celle-ci à un délai de prescription absolu de 10 ans, conformément à l'art. 455 al. 1 in fine CC, qui court dès l'expiration des fonctions du tuteur (§ 12 ch. 23 ss). En admettant même que cet avis - qui ne fait du reste pas l'unanimité (ZBJV 92/1956 p. 483/484; cf. dans le même sens: Werner Schwander, Die Verjährung ausservertraglicher und vertraglicher Schadenersatzforderungen, thèse Fribourg 1963, p. 74; cf. aussi: Aepli, op. cit., p. 70, qui estime qu'une prescription absolue, en soi souhaitable, ne saurait être instituée faute de base légale) - soit justifié, il ne conduirait pas en l'occurrence à un autre résultat; en effet, l'intéressé a été destitué le 3 septembre 1998, en sorte que le demandeur aurait, de toute façon, agi largement avant l'expiration de cette «prescription absolue».
3.3 Enfin, le défendeur soutient que le demandeur a tardé à introduire son action au mépris des règles de la bonne foi, puisqu'il connaissait depuis deux ans et demi déjà tous les éléments nécessaires à justifier sa prétention en réparation.
Cette opinion est erronée dans ses prémisses; comme on l'a vu, c'est la remise du compte final qui marque le dies a quo de la prescription, lors même que le lésé aurait eu connaissance de son dommage avant cette date (cf. supra, consid. 3.1).
En outre, d'après la jurisprudence, le créancier qui tarde à déduire sa prétention en justice ne commet en principe aucun abus de droit (art. 2 al. 2 CC); il profite de l'intégralité du délai de prescription et ne saurait, sous le couvert d'abus de droit, souffrir une réduction du délai légal; la simple inaction ne se révèle abusive que si d'autres circonstances font apparaître l'exercice du droit comme absolument inconciliable avec la passivité antérieure du demandeur (ATF 131 III 439 consid. 5.1 p. 443 et les arrêts cités; cf. aussi: Deschenaux, Le Titre préliminaire du Code civil, in: TDPS II/1, p. 173-175). Or, en l'espèce, le défendeur n'allègue aucun élément particulier en ce sens.
4. Dans son recours par voie de jonction, le demandeur conteste le point de départ des intérêts admis par la juridiction cantonale, faisant valoir qu'ils auraient dû être alloués à compter du 26 juillet 1991, et non pas du 26 juillet 2001.
4.1 La décision attaquée ayant été prise avant l'entrée en vigueur de la LTF (cf. supra, consid. 1), c'est au regard de l'ancien droit qu'il y a lieu d'examiner la recevabilité du recours joint, qui n'est d'ailleurs plus prévu par la nouvelle loi (sur l'ensemble de la question: Sergio Bianchi, La scomparsa del ricorso adesivo nella giurisdizione civile federale: un [piccolo] passo falso?, in: RSPC 2005 p. 233-242, 238 ss).
4.2 Dans les conclusions de son recours joint (ch. V/III), le demandeur réclame des intérêts depuis le 1er septembre 1991, alors que, dans le corps de son mémoire de recours (ch. III p. 4), il se réfère à la date du 26 juillet 1991. C'est cette dernière date qui doit être retenue dans le cas présent (cf. au sujet de l'interprétation des conclusions du recours en réforme: Poudret, COJ II, n. 1.4.1.3 ad art. 55 OJ).
4.3 La juridiction précédente - qui était déjà saisie d'un recours joint portant sur cet aspect - a considéré que, en vertu de l'art. 3 CPC/VD, le juge est lié par les conclusions formulées; l'art. 265 al. 2 CPC/VD lui permet d'inviter une partie à préciser ses conclusions lorsqu'elles sont ambiguës, mais non de corriger des conclusions erronées. Or, dans sa demande en paiement du 31 janvier 2004, l'intéressé a expressément conclu à l'allocation d'«intérêts à 5 % dès le 26 juillet 2001», chef de conclusions qui est clair et sans ambiguïté, et n'est pas entaché d'une inadvertance manifeste. Partant, le Tribunal d'arrondissement n'avait pas à appliquer l'art. 265 al. 2 CPC/VD en l'occurrence et il était lié par le chef de conclusions litigieux, conformément à l'art. 3 CPC/VD.
La réclamation du demandeur a été ainsi rejetée pour des motifs tirés du droit cantonal de procédure, dont le Tribunal fédéral ne peut revoir l'application dans un recours joint (art. 55 al. 1 let. c OJ, par renvoi de l'art. 59 al. 3 OJ; Poudret, op. cit., n. 2.5.3 ad art. 59/61 OJ; Georges Scyboz, Le recours en réforme au Tribunal fédéral, in: Les recours au Tribunal fédéral, Publications FSA, vol. 15, p. 56). La jurisprudence à laquelle se réfère l'intéressé - relative à l'inexactitude, à la suite d'une inadvertance, de la date mentionnée dans un testament (ATF 93 II 161 consid. 1a p. 163 et les arrêts cités) - n'est pas pertinente. Dans cette hypothèse, il s'agit d'une prescription de forme posée par la législation fédérale (art. 505 al. 1 CC) que le Tribunal fédéral examine librement en instance de réforme, alors que la formulation des conclusions et leur caractère obligatoire pour le juge relèvent du droit cantonal (Poudret, op. cit., n. 1.4.2.11 ad art. 43 OJ et les arrêts cités).
Abstraction faite des exigences de motivation (art. 90 al. 1 let. b OJ) et de la qualité d'avocat du mandataire du demandeur (cf. ATF 120 II 270 consid. 2 p. 272), une conversion de l'écriture viciée en un recours de droit public est exclue pour la raison déjà qu'il n'existe pas de recours joint dans la procédure de recours de droit public (ATF 122 I 253 et les références citées); en tant que recours de droit public indépendant, le présent recours joint serait amplement tardif.
5. Vu ce qui précède, le recours principal doit être rejeté et le recours par voie de jonction déclaré irrecevable. Les conclusions des parties étant dépourvues de chances de succès, l'assistance judiciaire doit leur être refusée (art. 152 al. 1 OJ). Cela étant, les frais de justice incombent à chacun des plaideurs pour le recours dont il est l'auteur (art. 156 al. 1 OJ). Enfin, il se justifie d'accorder des dépens au demandeur pour ses déterminations sur le recours principal (art. 159 al. 1 et 2 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours principal du défendeur est rejeté.
2. Le recours joint du demandeur est irrecevable.
3. La requête d'assistance judiciaire du défendeur et celle du demandeur sont rejetées.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis pour 2/3 à la charge du défendeur et pour 1/3 à la charge du demandeur.
5. Une indemnité de 1'000 fr., à payer au demandeur à titre de dépens, est mise à la charge du défendeur.
6. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 16 janvier 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: