Faits:
A.
Née le *** 1997 et domiciliée à D._ dans le canton de Berne, A._ a effectué toute sa scolarité obligatoire dans le canton de Neuchâtel.
Le 11 février 2011, les parents de l'intéressée ont déposé auprès de la Section des écoles moyennes de l'Office de l'enseignement secondaire du 2e degré et de la formation professionnelle (ci-après: la Section des écoles moyennes) une demande de prise en charge de l'écolage pour la fréquentation à partir du 1er août 2012 du Lycée E._ à F._, où A._ désirait suivre la filière de maturité bilingue français-anglais.
B.
Par courrier du 17 février 2012, la Section des écoles moyennes a refusé la prise en charge de l'écolage au motif que les conditions posées par le droit cantonal et intercantonal n'étaient pas remplies. Ce courrier a été confirmé par décision formelle du 23 avril 2012. Le 16 octobre 2012, la Direction de l'instruction publique du canton de Berne (ci-après: la Direction de l'instruction publique) a rejeté le recours déposé par A._ contre cette décision.
Par jugement du 4 août 2013, le Tribunal administratif du canton de Berne (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours de A._ contre la décision du 16 octobre 2012.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, principalement, d'annuler le jugement du Tribunal administratif du 4 août 2013, de la mettre au bénéfice de la contribution cantonale pour ses frais d'écolage au Lycée E._ et de condamner l'Etat de Berne à prendre en charge cette contribution. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'instance précédente ou à l'autorité de première instance pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
La Direction de l'instruction publique et la Section des écoles moyennes ont renoncé à se déterminer. Le Tribunal administratif a déposé des observations, se référant pour le surplus à l'arrêt entrepris. L'intéressée a répondu le 2 décembre 2013.
Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui sont déposés devant lui (ATF 139 V 42 consid. 1 p. 44).
1.1. Le recours a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF) par la recourante, mineure représentée par ses parents (cf. art. 304 CC) qui est destinataire de l'acte attaqué et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par une autorité judiciaire cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours en matière de droit public, qui ne tombe sous aucune des exceptions de l'art. 83 LTF (cf. pour la jurisprudence relative à la contribution aux frais d'écolage: arrêts 2C_686/2012 du 13 juin 2013; 2C_528/2012 du 2 novembre 2012; 2C_930/2011 du 1er mai 2012; 2C_187/2007 du 16 août 2007; 2P.65/1998 du 21 août 1998), est en principe recevable.
1.2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral est habilité à examiner la bonne application du droit intercantonal (art. 95 let. e LTF), mais non celle du droit cantonal. Il examine en principe librement l'interprétation et l'application des dispositions concordataires faites par les autorités cantonales.
2.
La recourante invoque une violation de l'art. 3 al. 1 let. a de la Convention des 5, 6 et 13 mai 2009 entre Berne, Jura et Neuchâtel sur les contributions aux frais d'enseignement (Convention BEJUNE).
2.1. Dans sa version en vigueur depuis le 1er août 2009, la Convention BEJUNE règle la contribution des cantons signataires aux frais d'enseignement dans le domaine de la formation post-obligatoire, à l'exclusion des universités, des hautes écoles spécialisées et des hautes écoles pédagogiques (art. 1 al. 1). Selon l'art. 3 al. 1 de la Convention BEJUNE, les cantons signataires peuvent verser des contributions aux frais d'enseignement si la personne en formation bénéficie dans un canton signataire d'une offre de formation qui n'a pas d'équivalent dans son canton de domicile (let. a); le temps de déplacement de la personne en formation est notablement raccourci, en tenant notamment compte de la distance et du régime des transports publics, lorsqu'elle fréquente un établissement situé dans un canton signataire (let. b); la fréquentation d'un établissement situé dans un canton signataire est rendue nécessaire pour des motifs personnels impérieux dûment avérés (let. c). L'annexe I dresse une liste exhaustive des établissements auxquels s'applique la convention (art. 1 al. 4).
En l'occurrence, le Lycée E._ figure dans la liste dressée à l'annexe I de la Convention BEJUNE, de sorte que ce texte est applicable au cas d'espèce. La recourante fait valoir que la maturité bilingue français-anglais du Lycée E._ proposée à F._ n'a pas d'équivalent dans son canton de domicile. Elle soutient que, contrairement aux formations proposées dans le canton de Berne, la formation bilingue français-anglais prépare spécifiquement les étudiants qui se destinent à entrer dans une école polytechnique ou une université où les cours sont dispensés en anglais. En application de l'art. 3 al. 1 let. a Convention BEJUNE, le canton de Berne serait dès lors tenu de verser des contributions aux frais d'enseignement pour sa formation dans l'établissement neuchâtelois.
2.2. La question se pose d'abord de savoir si les cantons bénéficient d'une liberté d'appréciation en matière de contributions aux frais d'enseignement. Au vu de la formulation potestative de l'art. 3 al. 1 Convention BEJUNE, tel apparaît bien être le cas. La version allemande de cette disposition (" Die Vereinbarungskantone können Beiträge an die Unterrichtskosten leisten ") est également conçue comme une " Kann-Vorschrift ". L'interprétation globale de la norme n'est, au demeurant, pas susceptible de conduire à une autre solution (cf. Thierry Tanquerel, Le contrôle de l'opportunité, in: Le contentieux administratif [Tanquerel/Bellanger (éd.) ], 2013, p. 217) et aucune norme de droit supérieur n'impose aux cantons d'interpréter l'art. 3 al. 1 Convention BEJUNE de manière à aller au-delà de sa lettre (cf. ATF 133 II 450 consid. 10 p. 466). Tout au plus, pourrait-on se demander si, en dressant des listes de filières d'enseignement reconnues, ce que les parties à la Convention BEJUNE ont fait dans deux avenants datant du 24 septembre 2001 et du 15 mars 2007, les cantons perdent leur liberté d'appréciation. Cette question peut toutefois demeurer indécise puisque, d'une part, les cantons concordataires ont abrogé ces listes avec l'entrée en vigueur de la nouvelle Convention BEJUNE le 1er août 2009 et, d'autre part, la formation bilingue anglais-français proposée au Lycée E._ à F._ n'y figurait de toute façon pas. Il faut donc retenir que, conformément à sa lettre, l'art. 3 al. 1 Convention BEJUNE confère à l'autorité compétente une liberté d'appréciation.
L'exercice du pouvoir d'appréciation n'est revu qu'avec retenue par le Tribunal fédéral. Il n'intervient que si la décision s'écarte sans raison des règles établies par la jurisprudence et la doctrine en matière de libre appréciation, ou repose sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore si elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient dû être pris en considération; en outre, il sanctionnera les décisions rendues en vertu du pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 138 III 252 consid. 2.1 p. 253 s.; 136 III 278 consid. 2.2.1 p. 279). C'est à la lumière de ces principes qu'il convient d'examiner le grief de la recourante.
2.3. Reste à examiner si le canton de Berne a fait un bon usage de son pouvoir d'appréciation.
Au terme d'une interprétation littérale, téléologique et historique de l'art. 3 al. 1 let. a de la Convention BEJUNE, la recourante est parvenue à la conclusion que la maturité bilingue français-anglais du Lycée E._ n'avait pas d'équivalent au gymnase de Berne. Ainsi, le canton aurait excédé les limites de son pouvoir d'appréciation en ne respectant pas les critères prévus par la Convention BEJUNE pour le versement, par le canton du domicile, d'une participation aux frais d'enseignement.
En l'occurrence, le Tribunal cantonal a repris, en la développant, l'argumentation de la Direction de l'Instruction publique, selon laquelle les besoins individuels concernant l'approfondissement de la langue anglaise étaient suffisamment pris en compte dans les gymnases bernois. Il a retenu en substance que les options de maturité offertes dans le canton de Berne (maturité bilingue français-allemand ou unilingue) ouvraient tout autant l'accès aux études universitaires envisagées par la recourante que le cursus de maturité bilingue au Lycée E._. En plus de l'anglais comme discipline fondamentale, il était possible de choisir l'anglais en option spécifique ou l'histoire en anglais en option complémentaire, ainsi que de parfaire ses connaissances dans cette langue dans plusieurs cours facultatifs (anglais général, préparation au " First Certificate of English ", préparation à l'examen " Proficiency ", préparation à l'examen " Certificate in advanced English " ou " drama workshop in English "). Partant, si les offres de formations n'étaient certes pas identiques, elles n'étaient pas différentes au point de justifier le versement de contributions aux frais d'enseignement. Au demeurant, le Tribunal cantonal a précisé que la situation aurait été différente si la formation proposée dans le canton de Berne ne permettait pas à la recourante d'accéder à la formation universitaire envisagée. Or tel n'était pas le cas en l'espèce. Enfin, le Tribunal cantonal a retenu que l'option de maturité bilingue anglais-français proposée au Lycée E._ à F._ n'a jamais été reconnue par les cantons signataires comme étant une formation justifiant le prise en charge des frais d'enseignement. Les cantons auraient pourtant eu l'occasion d'intégrer cette formation dans le second avenant du 15 mars 2007. Certes, l'avenant a été abrogé avec l'entrée en vigueur, le 1er août 2009, de la nouvelle Convention BEJUNE; il constitue néanmoins un indice sérieux laissant penser que les cantons considéraient que l'option de maturité bilingue anglais-français proposée au Lycée E._ à F._ avait des équivalents dans les autres cantons.
Dans ces conditions, on ne voit pas que l'autorité cantonale ait abusé de son pouvoir d'appréciation en estimant que la fréquentation du Lycée E._ à F._ ne justifiait pas la prise en charge, par le canton de Berne, des frais d'enseignement. Il n'est en effet pas insoutenable de considérer que les options de maturité offertes dans le canton de Berne offrent une formation équivalente à la maturité bilingue anglais-français du Lycée E._ dans le canton de Neuchâtel (cf. supra consid. 2.2 in fine ). Au vu de la motivation contenue dans la décision querellée, ce résultat n'apparaît pas manifestement injuste et ne conduit pas à une iniquité profonde. Le grief de la recourante doit, ainsi, être rejeté.
3.
Pour le surplus, l'argument que la recourante entend tirer d'une prétendue violation de l'art. 2 al. 1 Convention BEJUNE est sans fondement. Comme le soutient à juste titre l'autorité intimée, cette disposition traite des conditions d'admission dans un établissement d'un canton signataire. Elle ne fournit aucune indication sur les contributions aux frais d'enseignement, lesquelles font l'objet de l'art. 3 Convention BEJUNE.
4.
La recourante estime que l'instance précédente a violé l'art. 48 al. 5 Cst., lequel fait obligation aux cantons de respecter le droit intercantonal. Elle considère, d'une part, que l'art. 84 al. 3 de l'Ordonnance bernoise du 7 novembre 2007 sur les écoles moyennes (OEM; RSB 433.121) entre en conflit avec l'art. 3 al. 1 let. a Convention BEJUNE et, d'autre part, que l'art. 84 al. 2 OEM est contraire à l'art. 2 Convention BEJUNE.
4.1. Selon la recourante, l'art. 84 al. 3 OEM, qui énumère les conditions de participation aux frais pour la fréquentation d'une école extracantonale, ne reprend pas le critère de la formation n'ayant pas d'équivalent dans le canton de domicile prévu à l'art. 3 al. 1 let. a Convention BEJUNE. Cet argument ne saurait être suivi. Sur la base d'une délégation contenue à l'art. 65 al. 5 LEM, le Conseil-Exécutif du canton de Berne a édicté l'art. 84 al. 3 OEM, selon lequel la Section des écoles moyennes délivre la garantie de participation aux frais pour la fréquentation d'une école extracantonale lorsque celle-ci est beaucoup plus accessible avec les transports publics que l'école située dans le canton, si la formation permet de mieux encourager des talents particuliers ou s'il existe des motifs subjectifs importants. Cette disposition ne reprend certes pas mot pour mot la formulation employée à l'art. 3 al. 1 let. a Convention BEJUNE. On ne peut toutefois exclure que les " motifs subjectifs importants " prévus à l'art. 84 al. 3 OEM puissent couvrir les situations dans lesquelles le particulier bénéficie dans un canton signataire d'une offre de formation qui n'a pas d'équivalent dans son canton de domicile. C'est, du reste, dans ce sens que l'autorité cantonale a interprété l'art. 84 al. 3 OEM lorsque, comparant les options de maturité offertes à l'intéressée dans le canton de Berne avec la maturité bilingue français-anglais proposée dans le gymnase neuchâtelois, elle est parvenue à la conclusion que les deux cantons proposaient des offres permettant à l'étudiant d'approfondir ses connaissances de la langue anglaise. Une telle conclusion revient à dire que l'offre de formation est équivalente dans les deux cantons. Dans ces conditions, en tant que l'art. 84 al. 3 OEM se prête à une interprétation conforme au droit intercantonal, le grief de la recourante doit être rejeté.
4.2. La recourante soutient ensuite que l'art. 84 al. 2 OEM est contraire à l'art. 2 Convention BEJUNE. Elle expose que selon l'art. 2 al. 1 let. a Convention BEJUNE, la personne en formation doit remplir les conditions d'admission du canton de formation précédente, alors que l'art. 84 al. 2 OEM exige une attestation qu'une admission dans la formation cantonale correspondante est possible. Ainsi formulé, l'art. 84 al. 2 OEM poserait donc des exigences allant au-delà de celles prévues par la Convention BEJUNE. Il est douteux que cet argument soit fondé. Comme mentionné supra, l'art. 2 Convention BEJUNE traite des conditions d'admission dans un établissement d'un canton signataire (cf. supra consid. 3). La Convention BEJUNE n'indique cependant pas que la participation aux frais d'enseignement est subordonnée à la réalisation des conditions fixées à son art. 2 al. 1. Quoi qu'il en soit, la question peut souffrir de rester indécise puisque l'offre de formation dans le canton de Neuchâtel ne remplit de toute façon pas la condition de l'absence d'équivalent dans le canton de domicile (cf. art. 3 al. 1 let. a Convention BEJUNE).
5.
La recourante invoque enfin une violation du principe de la bonne foi au sens de l'art. 9 Cst.
5.1. Découlant directement de l'art. 9 Cst. et valant pour l'ensemble de l'activité étatique, le principe de la bonne foi protège le citoyen dans la confiance légitime qu'il met dans les assurances reçues des autorités, lorsqu'il a réglé sa conduite d'après des décisions, des déclarations ou un comportement déterminé de l'administration. En outre, le principe de la bonne foi commande aux autorités comme aux particuliers de s'abstenir, dans les relations de droit public, de tout comportement contradictoire ou abusif (ATF 137 II 182 consid. 3.6.2 p. 193; arrêt 1C_495/2013 du 7 janvier 2014 consid. 5).
5.2. En l'espèce, la recourante dénonce une violation de son droit à la protection de la bonne foi en se prévalant du courrier de la Section des écoles moyennes adressé aux parents de l'intéressée le 17 février 2012. Selon la recourante, cette écriture laisserait entendre que la prise en charge des frais de formation engendrés par la fréquentation d'une formation extracantonale n'était pas subordonnée à la condition que l'intéressée passe les examens d'admission dans son canton de domicile (Berne). Elle dénonce ainsi un comportement contradictoire de l'autorité qui, dans sa décision formelle du 23 avril 2012, a refusé la prise en charge des frais de formation au motif notamment que l'intéressée n'était pas en mesure de prouver qu'elle était admissible à la filière gymnasiale selon le droit cantonal bernois.
On peine cependant à déceler, dans le courrier du 17 février 2012, une quelconque assurance que la prise en charge des frais de formation engendrés par la fréquentation d'une formation extracantonale n'aurait pas été subordonnée à la condition que l'intéressée passe les examens d'admission dans son canton de domicile (Berne). Cet élément n'est de toute façon pas pertinent en l'espèce, puisque la Section des écoles moyennes a refusé la prise en charge des frais d'écolage pour un autre motif. Elle a relevé en particulier que l'intéressée ne se trouvait pas dans la situation dans laquelle la fréquentation d'une école située dans un canton partenaire permettait de raccourcir notablement son temps de déplacement. La filière de maturité bilingue français-anglais ne constituait pas non plus une discipline fondamentale ou une option spécifique qui n'était pas proposée dans le canton de Berne. La décision formelle du 23 avril 2012 confirme et développe ce raisonnement, de sorte qu'on ne saurait y voir un comportement contradictoire de la part de la Section des écoles moyennes. Partant, en l'absence de toute assurance concrète de la part de l'autorité quant à une prise en charge des frais d'écolage de la recourante, aucun droit ne saurait être revendiqué au titre du principe constitutionnel de la bonne foi. Au demeurant, on ne voit pas quel préjudice la recourante aurait pu subir en ne se présentant pas aux examens d'admission au gymnase du canton de Berne puisque la demande de prise en charge des frais était de toute façon rejetée pour d'autres motifs. Le grief de la violation du droit à la protection de la bonne foi est donc mal fondé.
6.
Il résulte de ce qui précède que le recours est rejeté. Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à l'Office de l'enseignement secondaire du 2e degré et de la formation professionnelle, Section des écoles moyennes, à la Direction de l'instruction publique du Canton de Berne et au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française.
Lausanne, le 18 mars 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor