Faits:
A. A.a A._, né en 1968, est titulaire d'un diplôme d'employé de commerce qui lui a été délivré en 1990 par l'Ecole X._. Il a exercé cette profession pendant quelques années, avant de changer d'orientation pour travailler dans les milieux de la danse et de la mode, ainsi que comme serveur et danseur dans des discothèques. Il a notamment travaillé, de septembre 1998 à septembre 1999, comme serveur, puis directeur artistique pour la société qui exploitait la discothèque Y._. Dès le mois de février 1999, cet emploi l'occupait à plein temps, pour une rémunération mensuelle de 4594 francs brut. Il était chargé d'organiser des soirées à thème et de recruter des artistes, activité qu'il complétait en travaillant au bar les vendredi et samedi soir. A la suite de la faillite de son employeur, il a présenté une demande d'indemnités journalières de l'assurance-chômage dès le 23 septembre 1999. Par décision du 14 février 2001, le Département de l'économie publique du canton de Neuchâtel, sur recours contre une décision du 31 juillet 2000 de l'Office du chômage du canton de Neuchâtel, a constaté qu'il remplissait les conditions relatives au délai-cadre de cotisation. A la suite de cette décision, la Caisse de chômage K._ lui a alloué des indemnités journalières de chômage.
A.b Le 4 février 2000, A._ a été victime d'un accident de circulation lors duquel il a subi une fracture du cotyle droit avec luxation postéro-supérieure, une fracture du cotyle gauche, une fracture de la rotule droite et du condyle interne fémoral droit, une fracture du Lisfranc droit, une luxation du premier cunéiforme droit et une fracture de la tête du deuxième métatarsien droit, un traumatisme cranio-cérébral simple ainsi qu'un pneumothorax bilatéral et une contusion pulmonaire bilatérale. Il a subi en urgence plusieurs interventions chirurgicales et a été hospitalisé jusqu'au 22 mars 2000 à l'Hôpital G._, avant d'être transféré pour rééducation à la marche à l'Hôpital B._. La Caisse de chômage K._ a annoncé l'événement à la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), qui a pris en charge le traitement médical et alloué des indemnités journalières. Le 30 mars 2000, A._ a été transféré à l'Hôpital R._ où il a séjourné jusqu'au 30 juin 2000.
Le 22 novembre 2000, A._ a subi, à l'Hôpital G._, une ablation de paraosthéoarthropathies ainsi que du matériel d'ostéosynthèse du cotyle droit, de la rotule et de quatre vis dans le condyle interne, et une arthrolyse interne et proximale. Il a ensuite à nouveau séjourné à l'Hôpital R._, du 4 décembre 2000 au 26 janvier 2001. A la fin de chacun des deux séjours à l'Hôpital R._, les docteurs I._ et C._ (rapport du 3 août 2000), puis Z._ et D._ (rapport du 30 janvier 2001) ont attesté une incapacité de travail totale, pour une durée indéterminée.
A.c A._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Par décision du 5 septembre 2001, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après : Office AI) a nié le droit à des mesures de reclassement professionnel, au motif que les atteintes à la santé dont souffrait l'assuré n'entraînaient plus de diminution notable de sa capacité de travail, et par conséquent de sa capacité de gain. L'Office AI précisait toutefois que « le droit éventuel à des prestations en espèces, sous forme de rente (vraisemblablement temporaire) [serait] examiné d'office lorsque la CNA [aurait] statué sur le degré d'invalidité ».
A.d La CNA a maintenu le versement d'indemnités journalières fondées sur une incapacité de travail totale. Le 22 mars 2002, le docteur E._, médecin d'arrondissement de la CNA, a examiné l'assuré et constaté une légère boiterie droite lors de la marche. Une limitation fonctionnelle partielle globale au niveau de la hanche droite et une limitation de la flexion au niveau du genou droit subsistaient, ainsi que, de manière plus générale, une atrophie musculaire sans signes dystrophiques. A ce stade, une reprise progressive d'une activité professionnelle était envisageable, dans une activité légère, plutôt sédentaire et permettant à l'assuré de se dégourdir à sa guise. Le 26 septembre 2002, le docteur E._ a revu l'assuré et attesté une capacité de travail résiduelle de 50 % au moins en tant qu'employé de commerce. Le 14 octobre suivant, A._ a été engagé comme styliste par la société V._, pour un salaire mensuel brut de 3500 francs à mi-temps. Il a toutefois abandonné cette activité professionnelle dès le 22 novembre 2002 au motif que son état de santé général s'était à nouveau dégradé. Au terme d'un nouvel examen pratiqué le 12 décembre 2002, le docteur E._ a maintenu son point de vue relatif à une capacité de travail de 50 % comme employé de commerce, eu égard aux seules lésions organiques constatées. L'état psychologique du patient exigeait toutefois un soutien et semblait compromettre une reprise du travail; un rapport de causalité naturelle avec l'accident devait être tenu pour établi. Le docteur E._ précisait qu'une nouvelle intervention chirurgicale était envisagée (arthrolyse du genou droit). La CNA a réduit de 50 % les indemnités journalières versées à l'assuré, du 14 octobre au 22 novembre 2002; elle a ensuite repris le versement d'indemnités fondées sur une incapacité de travail totale.
A.e Le 2 septembre 2004, A._ s'est soumis à une arthrolyse du genou droit, avec excision d'une volumineuse ossification interne et postéro-interne et mobilisation sous narcose. L'intervention a été pratiquée par le docteur M._. Dans un rapport du 17 février 2005, celui-ci suggérait un examen par le médecin d'arrondissement de la CNA pour évaluer la capacité de travail résiduelle dans une activité sédentaire. A son avis, celle-ci était complète. Le 17 mars 2005, le docteur H._, médecin d'arrondissement de la CNA, a examiné l'assuré et suggéré un bilan global à l'Hôpital R._. La capacité de travail dans une activité d'employé de bureau était complète depuis longtemps, en tout cas d'un point de vue somatique. A._ a donc séjourné à nouveau à l'Hôpital R._, du 6 avril au 4 mai 2005. Dans le rapport de sortie établi le 19 mai 2005, les docteurs L._ et S._ ont constaté une pleine capacité de travail dans une profession adaptée, c'est-à-dire essentiellement en position assise, ne nécessitant que peu de déplacements et qu'un port de charge limité à dix kilos; ils ont suggéré une activité de bureau, basée sur le diplôme d'employé de commerce dont l'assuré était titulaire. Les docteurs S._ et L._ se sont fondés, notamment sur un rapport du 12 avril 2005 du docteur F._, psychiatre, d'après lequel l'assuré ne souffrait pas de troubles psychiques francs, même si ses préoccupations relatives à son avenir et ses difficultés à prendre des décisions pour la suite pouvaient nécessiter une aide psychothérapeutique.
Par décision du 2 décembre 2005, la CNA a mis fin à la prise en charge du traitement médical et au paiement des indemnités journalières avec effet dès le 1er janvier 2006. Le 13 juin 2006, elle a alloué à l'assuré une rente fondée sur un taux d'invalidité de 13 %, avec effet dès le 1er janvier 2006, et une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 40 %. Elle a maintenu ses prestations sans changement, par décision sur opposition du 18 octobre 2006.
Entre-temps, l'Office AI a refusé l'octroi d'une rente d'invalidité à A._, par décision du 22 septembre 2006.
B. Par deux recours séparés, A._ a déféré cette dernière décision, ainsi que la décision sur opposition rendue le 18 octobre 2006 par la CNA, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel. Celui-ci a rejeté les recours par deux jugements du 22 août 2008.
C. C.a A._ a interjeté un recours en matière de droit public contre le jugement du 22 août 2008 relatif à la procédure en matière d'assurance-accidents. Il conclut à l'annulation de ce jugement et à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'invalidité de 75 %, subsidiairement au renvoi de la cause à l'intimée pour nouvelle décision, sous suite de dépens. Il a également déposé une demande d'assistance judiciaire tendant à la libération de l'obligation d'avancer les frais de justice.
L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
C.b A._ a également interjeté un recours en matière de droit public contre le jugement du 22 août 2008 relatif à la procédure en matière d'assurance-invalidité. Ce recours fait l'objet d'un arrêt séparé de ce jour, dans la cause 8C_808/2008.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente de l'assurance-accidents, plus précisément sur le taux d'invalidité fondant le droit à la rente. Le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction cantonale (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
2. Le jugement entrepris expose les règles légales et la jurisprudence relatives à la notion d'invalidité, ainsi qu'à la manière d'apprécier la valeur probante d'un rapport médical et de fixer le taux d'invalidité. Il convient d'y renvoyer sur ces points.
3. Les premiers juges ont considéré que, sans invalidité, le recourant aurait pu réaliser un revenu de 65'040 francs par an (revenu hypothétique sans invalidité). Ils se sont fondés, d'une part, sur le revenu réalisé par le recourant comme directeur artistique jusqu'à la faillite de son dernier employeur, en 1999 (4594 fr. par mois), et d'autre part, sur les renseignements obtenus par l'intimée auprès du Syndicat J._, qui estimait ce revenu conforme aux pratiques de la branche; toutefois, eu égard à l'augmentation des salaires prévue par la convention collective de travail à laquelle il était partie, celui-ci ajoutait que l'assuré aurait pu gagner un salaire mensuel de 5000 à 5500 francs compte tenu de son âge et de son expérience professionnelle, soit un salaire moyen de 5250 francs, ou 63'000 francs par an. Le revenu hypothétique sans invalidité pris en considération par les premiers juges est légèrement supérieur à ce montant; il est également supérieur au dernier revenu de l'assuré, même après adaptation à l'évolution de l'indice des salaire entre 1999 et 2006. On doit en conclure que le montant retenu par la juridiction cantonale ne lèse en tout cas pas le recourant.
Ce dernier soutient, certes, qu'il a été engagé en octobre 2002 par la société V._ pour un revenu mensuel de 3500 francs à mi-temps; sans atteinte à la santé, il aurait pu continuer cette activité, et même l'exercer à temps complet pour un revenu mensuel de 7583 francs, treizième salaire compris. Mais les premiers juges ont considéré à juste titre que le recourant avait travaillé pour V._ pendant une période trop brève - moins d'un mois - pour qu'on puisse en tirer une conclusion suffisamment fiable quant à son revenu hypothétique sans invalidité. Par ailleurs, contrairement à ce qu'allègue le recourant, il n'y a pas lieu de retenir que le revenu qu'il tirait de son activité à la discothèque Y._ ne correspondait qu'à un emploi à temps partiel (21 heures par semaine). En effet, selon ses allégations devant le Département de l'économie publique du canton de Neuchâtel, il a été engagé en qualité de directeur artistique dès le mois de février 1999. Sa tâche consistait à organiser des soirées à thèmes et recruter des artistes à cet effet; mais lorsqu'il n'était pas occupé à 100 % pour la préparation d'une soirée, il travaillait au bar les vendredi et samedi soir, ce qui lui permettait, l'un dans l'autre, d'arriver à un taux d'activité de 100 % (cf. décision du 14 février 2001 du Département de l'économie publique du canton de Neuchâtel, p. 12 sv.).
4.1 4.1.1 Les premiers juges ont constaté que le recourant disposait d'une pleine capacité de travail dans une activité légère, sédentaire, exercée essentiellement en position assise mais permettant d'alterner les positions. Le recourant conteste pouvoir travailler à plus de 50 % dans une telle activité. Il rappelle qu'il a même dû cesser de travailler pour V._, en 2002, en raison de douleurs et de fatigue, alors même qu'il ne travaillait qu'à 50 % pour cette société. En outre, il souffre d'atteintes à la santé psychique dont la juridiction cantonale n'a pas tenu compte.
4.1.2 Les premiers juges ont précisé pour quels motifs ils considéraient que la capacité de travail du recourant n'était pas entravée par une atteinte à la santé psychique. Sur ce point, ils se sont référés de manière convaincante au rapport de sortie de l'Hôpital R._ du 19 mai 2005, ainsi qu'au rapport du docteur F._ du 12 avril 2005. Contrairement à ce que soutient le recourant, les constatations du docteur H._ dans son rapport du 17 mars 2005 ne corroborent pas ses allégations d'atteinte à la santé psychique. Ce médecin a mis en doute les constatations effectuées en 2002 par le docteur E._, relatives à une incapacité de travail en raison de troubles psychiques, plutôt qu'il ne les a confirmées. Il a ensuite considéré que ces constatations justifiaient un examen psychiatrique dans le cadre d'un nouveau séjour à l'Hôpital R._. Cet examen, pratiqué par le docteur F._, n'a pas permis de mettre en évidence un trouble psychique franc qui réduirait la capacité de travail de l'assuré. Le seul fait que le docteur F._ a recommandé un soutien psychothérapeutique en raison de difficultés de ce dernier à envisager l'avenir ne permet pas d'en déduire une diminution de sa capacité de travail. Enfin, l'interruption de l'activité exercée en octobre 2002 au service de V._ ne permet pas de conclure à la persistance d'une incapacité de travail et de gain identique en janvier 2006, date à laquelle le droit à la rente d'invalidité litigieuse à pris naissance.
4.1.2 Les premiers juges ont précisé pour quels motifs ils considéraient que la capacité de travail du recourant n'était pas entravée par une atteinte à la santé psychique. Sur ce point, ils se sont référés de manière convaincante au rapport de sortie de l'Hôpital R._ du 19 mai 2005, ainsi qu'au rapport du docteur F._ du 12 avril 2005. Contrairement à ce que soutient le recourant, les constatations du docteur H._ dans son rapport du 17 mars 2005 ne corroborent pas ses allégations d'atteinte à la santé psychique. Ce médecin a mis en doute les constatations effectuées en 2002 par le docteur E._, relatives à une incapacité de travail en raison de troubles psychiques, plutôt qu'il ne les a confirmées. Il a ensuite considéré que ces constatations justifiaient un examen psychiatrique dans le cadre d'un nouveau séjour à l'Hôpital R._. Cet examen, pratiqué par le docteur F._, n'a pas permis de mettre en évidence un trouble psychique franc qui réduirait la capacité de travail de l'assuré. Le seul fait que le docteur F._ a recommandé un soutien psychothérapeutique en raison de difficultés de ce dernier à envisager l'avenir ne permet pas d'en déduire une diminution de sa capacité de travail. Enfin, l'interruption de l'activité exercée en octobre 2002 au service de V._ ne permet pas de conclure à la persistance d'une incapacité de travail et de gain identique en janvier 2006, date à laquelle le droit à la rente d'invalidité litigieuse à pris naissance.
4.2 4.2.1 L'intimée a fixé à 56'400 francs le revenu annuel que pourrait encore réaliser le recourant malgré son handicap. Elle s'est fondée sur le salaire moyen pour cinq postes de travail dont elle a produit les descriptions (DPT). Les premiers juges ont considéré que les conditions posées par la jurisprudence pour admettre de se référer aux DPT produites par l'assurance-accidents étaient remplies. Le recourant le conteste, au motif que seules des descriptions de postes de travail dans l'industrie ont été prises en considération, alors même que le docteur H._ et les médecins de l'Hôpital R._ se sont référés à une activité de bureau. En outre, plusieurs des postes de travail décrits nécessitent un certificat fédéral de capacité de mécanicien ou une formation équivalente, de l'expérience dans le secteur industriel et une certaine rapidité d'exécution. Enfin, le poste d'affûteur implique de travailler en position assise ou debout pendant une longue durée, et il n'existe vraisemblablement que peu de postes de façonneur de lumière sur le marché du travail.
4.2.2 Les docteurs H._ et les médecins de l'Hôpital R._ ont décrit les limites physiques auxquelles était confronté le recourant pour l'exercice d'une activité professionnelle. Ces limites, ainsi que le diplôme d'employé de commerce dont il est titulaire, suggèrent qu'il reprenne une activité de bureau, plutôt que dans l'industrie. Mais aucune des constatations d'ordre médical effectuées par les médecins consultés ne permet d'exclure la reprise d'une activité dans l'industrie, à un poste de travail adapté. Par ailleurs, le seul fait que l'une des DPT produites par l'intimée ne correspond pas à un emploi très répandu ne permet pas de l'exclure d'emblée des postes de travail pris en compte. En effet, c'est précisément en raison de telles circonstances que la jurisprudence exige la production de cinq DPT au minimum, ainsi que d'autres précisions de la part de l'assurance-accidents (communication du nombre total de postes de travail pouvant entrer en considération compte tenu du handicap de l'assuré; salaire le plus haut, salaire moyen et salaire le plus bas pour les postes de travail en question). Il s'agit d'assurer une certaine représentativité des DPT produites et de garantir le respect du droit d'être entendu du recourant (ATF 129 V 472). En l'occurrence, ces conditions sont remplies, comme l'a admis à juste titre la juridiction cantonale. Enfin, aucune des DPT produites par l'intimée ne requiert un certificat professionnel de capacité, une expérience professionnelle ou une dextérité particulière. Le poste d'affûteur permet à l'employé concerné de travailler en position alternée, ou de rester en position continuellement debout ou assise. Il s'agit donc, de ce point de vue, d'un emploi adapté à l'état de santé du recourant.
4.2.3 La juridiction cantonale a considéré, en outre, qu'indépendamment des DPT produites par l'intimée, les données salariales publiées par l'Office fédéral de la statistique (Enquêtes suisses sur la structure des salaires) permettaient de constater que le recourant disposait encore d'une capacité résiduelle de gain au moins équivalente à celle fixée par la CNA. Dans ce contexte, elle a pris pour référence le revenu mensuel brut (salaire médian) des hommes ayant des connaissances spécialisées (niveau de qualification 3) dans le secteur privé, toutes branches économiques confondues, en 2004 (ESS 2004, TA1 p. 53). Elle a adapté ce revenu à l'évolution des salaires nominaux jusqu'en 2006, et de manière à tenir compte du fait que les salaires bruts standardisés correspondent à un horaire de travail hebdomadaire de 40 heures, inférieur à la moyenne usuelle dans les entreprises en 2006. Enfin, elle a procédé à une déduction de 10 % en raison des limitations physiques présentées par le recourant. Elle a ainsi procédé de manière tout à fait conforme à la jurisprudence (cf. ATF 129 V 472 consid. 4.2 p. 475; 126 V 75). Contrairement à ce que soutient le recourant, la référence au salaire pour des activités requérant des connaissances spécialisées (niveau de qualification 3), plutôt que pour des activités simples et répétitives (niveau de qualification 4) n'est pas critiquable. En effet, il dispose du diplôme d'employé de commerce et d'une expérience de travail de cinq à six ans dans cette profession, qu'il devrait pouvoir mettre en valeur malgré son absence de ce secteur d'activité pendant environ dix ans. Sur ce dernier point également, les griefs du recourant sont donc mal fondés.
5. Vu ce qui précède, le recourant voit ses conclusions rejetées et ne peut prétendre de dépens (art. 68 al. 1 LTF). Il a déposé une demande d'assistance judiciaire en vue d'être dispensé d'avancer les frais de justice. Dès lors que le recours n'était pas dénué de chance de succès et que le recourant a établi son indigence (art. 64 al. 1 LTF), il convient d'accepter cette requête. Le recourant est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il se trouve ultérieurement en mesure de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 19 juin 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Métral