Sachverhalt:
A. Der 1968 geborene G._ arbeitete als Servicetechniker bei der X._ AG. Ende Juli 2007 liess er sich gegen Hepatitis A und B impfen, worauf gesundheitliche Beeinträchtigungen auftraten, die eine Wiederaufnahme der Erwerbstätigkeit verunmöglichten. Nachdem ihm seit 20. August 2007 volle Arbeitsunfähigkeit bescheinigt worden war, meldete sich G._ am 27. Februar 2008 unter Hinweis auf Veränderungen der Motorik, Atembeschwerden, Konzentrationsstörungen, Schwindel und Kurzzeit-Gedächtnisstörungen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Gestützt auf die Akten der Taggeldversicherung, der Krankenkasse und der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) sowie das Gutachten der Neurologischen Klinik des Universitätsspitals A._ vom 23. November 2009, eine fachärztliche Abklärung in der Integrierten Psychiatrie B._ (Gutachten vom 9. März 2010) und die Beurteilung des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) ermittelte die IV-Stelle Luzern einen Invaliditätsgrad von 67 %. Mit Verfügung vom 4. Oktober 2010 sprach sie G._ rückwirkend ab 1. Juli 2008 eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung zu.
B. Die AXA Stiftung Berufliche Vorsorge (im Folgenden: AXA) führte Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, unter Aufhebung der Verfügung sei festzustellen, dass G._ keinen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung hat. Mit Entscheid vom 28. Oktober 2011 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die AXA den vorinstanzlich gestellten Antrag erneuern.
Während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst, G._ zur Hauptsache ebenfalls die Abweisung der Beschwerde beantragt und ferner um die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Stellungnahme.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
Im Zusammenhang mit somatoformen Schmerzstörungen oder einem vergleichbaren ätiologisch unklaren syndromalen Zustand gilt mit Bezug auf die Kognition des Bundesgerichts Folgendes: Zu den nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (oder ein damit vergleichbarer syndromaler Zustand) vorliegt, und bejahendenfalls sodann, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (BGE 137 V 64 E. 1.2 S. 65 f. mit Hinweis).
2. 2.1 Die Vorinstanz hat die Rechtsprechung zu den psychischen Gesundheitsschäden, welche in gleicher Weise wie die körperlichen eine Invalidität im Sinne von Art. 4 Abs. 1 IVG in Verbindung mit Art. 8 ATSG bewirken können, zutreffend wiedergegeben. Richtig sind auch die Darlegungen zur Frage, unter welchen Umständen eine somatoforme Schmerzstörung oder eine Konversionsstörung eine Invalidität zu bewirken vermögen, namentlich zu den massgeblichen Kriterien, welche für die Beurteilung der Frage, ob ausnahmsweise eine unüberwindbare Störung vorliegt, heranzuziehen sind (BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 353, 130 V 396, 137 V 64 E. 4.2 S. 68). Darauf wird verwiesen.
2.2 Aufgrund der medizinischen Akten, insbesondere des Gutachtens des Universitätsspitals A._ vom 23. November 2009, welchem volle Beweiskraft zukomme, gelangte die Vorinstanz zum Schluss, es liege kein organisch objektivierbarer Gesundheitsschaden vor. In Würdigung der psychiatrischen Expertise der Integrierten Psychiatrie B._, des Berichts des beratenden Psychiaters der AXA, Dr. med. M._ (vom 16. Juni 2010), und der Stellungnahme des Allgemeinpraktikers Dr. med. N._, RAD (vom 27. Mai 2010), der mit den RAD-Psychiatern Dres. med. O._ und P._ Rücksprache genommen hatte, hauptsächlich aber wiederum gestützt auf die Expertise des Universitätsspitals A._, stellte das Verwaltungsgericht fest, dass der Beschwerdegegner an einer Konversionsstörung leide; dies komme insbesondere auch im Gebrauch von Gehhilfen zum Ausdruck. Das psychische Störungsbild erreiche invalidisierendes Ausmass. Die bei einer Konversions- wie bei einer somatoformen Schmerzstörung massgebenden Kriterien könnten nicht ohne weiteres verneint werden. Die erhobenen Befunde mit Lähmungserscheinungen seien äusserst ausgeprägt, indem der Beschwerdegegner auf Gehstöcke und - bei Verlassen des Hauses - auf einen Rollstuhl angewiesen sei. Weiter sei das Kriterium eines verfestigten, therapeutisch nicht mehr angehbaren innerseelischen Verlaufs einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung auf ausgeprägteste Weise erfüllt. Angesichts der derart auffällig zu Tage tretenden Befunde seien die Voraussetzungen für eine zumutbare Willensanstrengung zu verneinen.
2.3 Die Beschwerdeführerin wendet ein, es liege kein invalidisierender Gesundheitsschaden vor. Weder könne die Konversionsstörung für sich allein noch zusammen mit einer somatoformen Schmerzstörung als invalidisierend gelten. Eine allfällige psychische Komorbidität sei nicht erheblich, während die weiteren Kriterien nicht in genügender Intensität und Konstanz vorlägen, um den Schluss zuzulassen, dass die diagnostizierte psychische Störung nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwunden werden könnte. Körperliche Begleiterkrankungen fielen bei der Prüfung der Zusatzkriterien nicht ins Gewicht; die Lähmungserscheinungen seien psychischer Genese und organisch nicht erklärbar. So seien hinsichtlich Muskelkraft und -tonus keine pathologischen Befunde erhoben worden. Gestützt auf die Angaben der Gutachter der ipw sei zwar von einer Chronifizierung auszugehen, der innerseelische Verlauf könne jedoch durch eine adäquate psychiatrische Therapie angegangen werden.
3. 3.1 Die von der Rechtsprechung zu den somatoformen Schmerzstörungen entwickelten Grundsätze gelten u.a. auch bei dissoziativen Sensibilitäts- und Empfindungsstörungen (BGE 137 V 64 E. 4.2 S. 68 mit Hinweis). Die von der Vorinstanz nicht beantwortete Frage, ob beim Beschwerdegegner eine somatoforme Schmerzstörung oder eine dissoziative Störung vorliegt, konnte aus diesem Grund offen gelassen werden.
3.2 Ob beim Beschwerdegegner im Sinne einer Ausnahme eine willentlich unüberwindbare psychische Krankheit vorliegt, die einen Wiedereinstieg in den Arbeitsprozess als unzumutbar erscheinen lässt, ist entgegen der Auffassung der Vorinstanz nicht hinreichend geklärt. Die subjektive, beinbetonte Tetraparese bei normalem Neurostatus (ätiologisch am ehesten dissoziativ), die den Gebrauch eines Rollstuhls und von zwei Gehstöcken bedingt und nicht einer Simulation oder Aggravation zugeschrieben werden kann, bedarf näherer fachärztlicher Untersuchung. Dabei gilt es zunächst zu beachten, dass die Neurologen des Universitätsspitals A._ im Gutachten vom 23. November 2009 dringend eine psychiatrische Evaluation empfahlen. Eine psychiatrische Expertise wurde alsdann von der IV-Stelle bei der ipw integrierte Psychiatrie B._ in Auftrag gegeben. Verfasst und unterzeichnet wurde das Gutachten von Oberarzt med. pract. Q._ und Oberärztin med. pract. R._. Ob diese bei der Erstellung über die nämlichen Qualifikationen verfügten wie ein Spezialarzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH und ihrer Expertise demzufolge die gleiche Qualität zugeschrieben werden kann wie dem gutachtlichen Bericht eines voll ausgebildeten Facharztes ist fraglich, kann aber mit Blick auf die nachfolgenden Erwägungen offen bleiben. Denn das Gutachten der Integrierten Psychiatrie B._ vom 9. März 2010 vermag inhaltlich nicht zu überzeugen. Es ist nicht aussagekräftig und beantwortet die aufgeworfene Frage unzureichend. Es finden sich nur wenige Hinweise darauf, inwieweit die Kriterien gemäss BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 354 f. erfüllt sind, welche im Falle der seitens der Sachverständigen diagnostizierten anhaltenden somatoformen Schmerzstörung vorliegen müssen, damit ausnahmsweise von einer willentlich unüberwindbaren psychischen Krankheit auszugehen ist. Sodann können die von den Ärzten befürworteten Massnahmen zur Integration des Versicherten in eine Erwerbstätigkeit nicht als ernsthafte Bemühungen zur Wiedereingliederung angesehen werden. Nebst Psychotherapie und Eingliederung werden Schmerzmittel, eine "Schmerzbewältigungsgruppe" und Antidepressiva genannt, diese jedoch zur Schmerzlinderung, da keine Depression vorliegt. Aufgrund dieser inhaltlichen Mängel bildet das psychiatrische Gutachten der Integrierten Psychiatrie B._ keine taugliche Grundlage zur Beurteilung der sich in rechtlicher Hinsicht stellenden Fragen, namentlich der therapeutischen Angehbarkeit der gesundheitlichen Störung. Der vom Verwaltungsgericht diesbezüglich erwähnte IV-Protokolleintrag vom 27. Mai 2010, mit dem eine solche verneint wird, stammt im Übrigen von einem Allgemeinmediziner. Insoweit hat die Vorinstanz den rechtserheblichen medizinischen Sachverhalt unvollständig festgestellt, weshalb die Sache zur Anordnung eines neuen psychiatrischen Gutachtens an die IV-Stelle zurückzuweisen ist (Art. 97 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 95 lit. a und 105 Abs. 2 BGG). Der Experte wird sich zu den Erfolgsaussichten einer Therapie und den Möglichkeiten einer Wiedereingliederung zu äussern haben, ungeachtet der subjektiven Einstellung des Versicherten. Ferner wird das Gutachten die weiteren Grundlagen zu liefern haben, welche es erlauben, aus rechtlicher Sicht zur Erfüllung der Kriterien gemäss BGE 130 V 343 E. 2.2.3 S. 354 f. Stellung zu nehmen. Gestützt auf die Ergebnisse des psychiatrischen Gutachtens wird die IV-Stelle über den Invalidenrentenanspruch des Beschwerdegegners neu verfügen.
4. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist zu entsprechen, da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdegegner wird indessen darauf hingewiesen, dass er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 28. Oktober 2011 und die Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 4. Oktober 2010 aufgehoben werden. Die Sache wird an die IV-Stelle Luzern zurückgewiesen, damit sie, nach ergänzenden Abklärungen im Sinne der Erwägungen, über den Rentenanspruch neu verfüge.
2. Dem Beschwerdegegner wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Urs Schaffhauser, Luzern, wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.- ausgerichtet.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. August 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Widmer