Sachverhalt:
A. Die 1967 geborene G._ arbeitete seit ........ teilzeitlich als Bardame im Hotel X._. In dieser Eigenschaft war sie bei der GastroSocial Pensionskasse berufsvorsorgeversichert. Am ........ 2006 wurde ihr u.a. wegen nicht zufriedenstellender Arbeitsleistung und Schliessung der Bar wegen Unrentabilität auf Ende März 2006 gekündigt. Ab ........ 2006 war sie krankheitsbedingt arbeitsunfähig, was zu einer Verlängerung des Arbeitsverhältnisses bis Ende April 2006 führte. Im März 2007 meldete sich G._ bei der Invalidenversicherung an und beantragte Arbeitsvermittlung und eine Rente. Nach Abklärungen und durchgeführtem Vorbescheidverfahren, in welchem sich auch die GastroSocial Pensionskasse vernehmen liess, sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Solothurn mit Verfügung vom 30. September 2009 eine ganze Rente (Invaliditätsgrad: 71 %) ab 1. Oktober 2007 samt einer Kinderrente zu.
B. Die von der GastroSocial Pensionskasse hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 7. Oktober 2010 dahingehend gut, dass es die Verfügung vom 30. September 2009 aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit diese ergänzende Abklärungen im Sinne der Erwägungen vornehme und hierauf über das Leistungsbegehren der Versicherten neu entscheide.
C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 7. Oktober 2010 sei aufzuheben.
Das kantonale Versicherungsgericht und die GastroSocial Pensionskasse beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Der vorinstanzliche Entscheid weist die Sache zu ergänzenden Abklärungen im Sinne der Erwägungen und zum Erlass einer neuen Verfügung über das Leistungsbegehren der Versicherten an die IV-Stelle zurück. Auf die dagegen gerichtete Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann somit nur eingetreten werden, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann oder wenn deren Gutheissung sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. a und b BGG; BGE 133 V 477 E. 4 S. 480 ff.).
1.2 Die Beschwerdeführerin bringt vor, die GastroSocial Pensionskasse sei nicht berechtigt (gewesen), die Verfügung der IV-Stelle vom 30. September 2009 anzufechten, weil diese nicht geeignet sei, die Leistungspflicht der Vorsorgeeinrichtung in grundsätzlicher, zeitlicher und masslicher Hinsicht im Sinne von Art. 49 Abs. 2 (recte: Abs. 4) ATSG zu präjudizieren (vgl. BGE 132 V 1 E. 3.2 und 3.3.1 S. 4 f.). Die Vorinstanz hätte daher auf die Beschwerde der Vorsorgeeinrichtung nicht eintreten dürfen.
1.2.1 Mit der Feststellung des - behaupteten - Mangels des vorinstanzlichen Verfahrens durch das Bundesgericht würde der angefochtene Entscheid aufgehoben und die Verfügung vom 30. September 2009, mit welcher der Versicherten eine ganze Rente ab 1. Oktober 2007 zugesprochen wurde, sofort rechtskräftig. Das Verfahren wäre endgültig abgeschlossen. Damit entfiele ein bedeutender Abklärungsaufwand. Die Vorinstanz hat die medizinischen Akten in Bezug auf die Frage der Arbeitsfähigkeit als nicht spruchreif erachtet und die Sache zu neuer (interdisziplinärer) Begutachtung an die IV-Stelle zurückgewiesen. Vorgängig hat die Verwaltung jedoch die Möglichkeiten für eine berufliche Eingliederung, insbesondere Integrationsmassnahmen im Sinne von Art. 14a IVG zu prüfen (vgl. Urteil 9C_99/2010 vom 6. Dezember 2010 E. 3.1). Schliesslich stellt sich gemäss Vorinstanz - bei nur teilweiser Eingliederung - die Frage nach der Invaliditätsbemessungsmethode (vgl. BGE 125 V 146 E. 2c S. 150), was entsprechende Abklärungen durch die IV-Stelle erforderte. Demzufolge ist von einem Anwendungsfall von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG auszugehen (vgl. BGE 133 II 409 E. 1.2 S. 412).
1.2.2 Bei diesem Ergebnis kann offenbleiben, ob der vorinstanzliche Entscheid auch einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bewirken kann. Ebenfalls braucht nicht entschieden zu werden, ob bei vorinstanzlichen Rückweisungsentscheiden von Amtes wegen die formellen Gültigkeitserfordernisse des kantonalen Verfahrens zu prüfen sind (vgl. BGE 135 V 124 E. 3.1 S. 127) und insoweit immer auf die dagegen erhobenen Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten ist. Immerhin erscheint es mit Blick auf das verfassungsrechtliche Gebot, im Rahmen eines fairen Verfahrens innert angemessener Frist einen wirksamen Rechtsschutz zu gewähren (Art. 29 Abs. 1 BV; Art. 6 Ziff. 1 EMRK) zumindest fraglich, wenn bei Nichteintreten später immer gerügt werden könnte, bei einem früheren Rückweisungsentscheid hätte eine Prozessvoraussetzung gefehlt (Art. 93 Abs. 3 BGG), sodass die ursprüngliche Verfügung rechtskräftig geworden sei (vgl. BGE 136 II 165 E. 1.2.1 S. 170).
2. 2.1 Erlässt ein Versicherungsträger eine Verfügung, welche die Leistungspflicht eines anderen Trägers berührt, so hat er auch ihm die Verfügung zu eröffnen; dieser kann die gleichen Rechtsmittel ergreifen wie die versicherte Person (Art. 49 Abs. 4 ATSG). "Berührt" im Sinne dieser Bestimmung ist, wer in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache steht, mithin in rechtlichen oder tatsächlichen Interessen spürbar betroffen ist (BGE 132 V 74 E. 3.1 S. 77; Urteil 9C_414/2007 vom 25. Juli 2008 E. 2.1).
Eine Vorsorgeeinrichtung im Besonderen ist von der Rentenverfügung einer IV-Stelle im Sinne von Art. 49 Abs. 4 ATSG berührt, u.a. wenn der festgesetzte Zeitpunkt des Beginns der Wartezeit (aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG), soweit nicht offensichtlich unhaltbar, für sie verbindlich ist (BGE 133 V 67 E. 4.3.2 S. 69; Urteil 9C_414/2007 vom 25. Juli 2008 E. 2.1). Diese Bindungswirkung setzt voraus, dass die Vorsorgeeinrichtung ins Vorbescheidverfahren (Art. 73ter IVV) einbezogen und ihr die Verfügung formgültig eröffnet wurde (Urteil 9C_909/2010 vom 15. Dezember 2010 E. 2.2.1), was vorliegend zutrifft.
Eine Vorsorgeeinrichtung im Besonderen ist von der Rentenverfügung einer IV-Stelle im Sinne von Art. 49 Abs. 4 ATSG berührt, u.a. wenn der festgesetzte Zeitpunkt des Beginns der Wartezeit (aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG), soweit nicht offensichtlich unhaltbar, für sie verbindlich ist (BGE 133 V 67 E. 4.3.2 S. 69; Urteil 9C_414/2007 vom 25. Juli 2008 E. 2.1). Diese Bindungswirkung setzt voraus, dass die Vorsorgeeinrichtung ins Vorbescheidverfahren (Art. 73ter IVV) einbezogen und ihr die Verfügung formgültig eröffnet wurde (Urteil 9C_909/2010 vom 15. Dezember 2010 E. 2.2.1), was vorliegend zutrifft.
2.2 2.2.1 Die Beschwerdeführerin hatte sich im März 2007 bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug angemeldet. Nach aArt. 48 Abs. 2 IVG (in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2007) konnten somit frühestens ab 1. März 2006 Leistungen ausgerichtet werden. Zu diesem Zeitpunkt war sie (noch) bei der GastroSocial Pensionskasse berufsvorsorgeversichert, insbesondere für das Risiko Invalidität, und insoweit von der den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung bejahenden Verfügung vom 30. September 2009 betroffen. Die IV-Stelle legte indessen den Beginn der Wartezeit nach aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG auf den 6. Oktober 2006 fest. In diesem Zeitpunkt bestand unbestrittenermassen keine Versicherungsdeckung mehr bei der GastroSocial Pensionskasse (Ablauf der Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG spätestens Ende Mai 2006).
2.2.2 Die Beschwerdeführerin hat die Verfügung vom 30. September 2009 nicht angefochten und eine frühere Eröffnung der Wartezeit und entsprechend einen früheren Leistungsbeginn geltend gemacht. Hiezu wäre sie berechtigt gewesen, nicht jedoch die am Recht stehende Vorsorgeeinrichtung, welche bei einem Beginn der Wartezeit am 6. Oktober 2006 nicht leistungspflichtig ist. Sie war daher nicht berechtigt, die Verfügung vom 30. September 2009 mit Beschwerde anzufechten. Daran ändert nichts, dass die Verfügung (auch) der Vorsorgeeinrichtung eröffnet worden war und eine freie Prüfung ergeben könnte, dass die Wartezeit nach aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG in einem Zeitpunkt begann, als noch Versicherungsdeckung für das Risiko Invalidität bestand, wie die Vorinstanz anzunehmen scheint.
2.2.3 Schliesslich ist zu beachten, dass die Rechtsposition der GastroSocial Pensionskasse im Hinblick auf die Prüfung ihrer Leistungspflicht im Grundsatz qualifiziert besser ist, als wenn die streitige Beschwerdelegitimation bejaht wird und der Zeitpunkt der Eröffnung der Wartezeit (aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG) vom kantonalen Versicherungsgericht frei überprüft werden kann. Es muss nicht nur die Versicherte den Rechtsweg beschreiten, wenn sie Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge beanspruchen will, sondern das Berufsvorsorgegericht hat die Frage nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, die zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG), unter dem eingeschränkten Blickwinkel der offensichtlichen Unrichtigkeit des von der IV-Stelle festgesetzten Beginns der Wartezeit zu prüfen (vgl. BGE 130 V 270 E. 3.1 S. 273). In diesem Sinne fehlte es der Vorsorgeeinrichtung auch an einer materiellen Beschwer in dem Sinne, dass die Verfügung vom 30. September 2009 sie in ihrer Rechtsstellung traf, d.h. für sie rechtlich nachteilige Wirkungen zeitigte, und sie deshalb an einer Abänderung interessiert war (BGE 120 II 5 E. 2a S. 7; Pra 2008 Nr. 46 S. 940, 5A_720/2007 E. 2.2).
2.3 Die Vorinstanz hätte somit richtigerweise auf die Beschwerde der GastroSocial Pensionskasse gegen die Verfügung der kantonalen IV-Stelle vom 30. September 2009 nicht eintreten dürfen, was im letztinstanzlichen Verfahren von Amtes wegen zu korrigieren ist (Urteil 9C_ 414/2007 vom 25. Juli 2008 E. 2.5; gl. auch BGE 136 V 7 E. 2.5 S. 15). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist begründet .
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 7. Oktober 2010 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der GastroSocial Pensionskasse auferlegt.
3. Die GastroSocial Pensionskasse hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der IV-Stelle des Kantons Solothurn, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Januar 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler