Faits:
A. A.a R._ travaillait au service de l'entreprise X._ SA, à Y._. Le 26 octobre 2007, son employeur a résilié son contrat de travail pour le 31 décembre suivant. Le 18 décembre 2007, X._ SA a toutefois prolongé les rapports de travail jusqu'au 24 janvier 2008. R._ s'est annoncé comme demandeur d'emploi à l'Office communal du travail de Y._. Un cinquième délai-cadre d'indemnisation lui a été ouvert. Par décision du 18 février 2008, l'Office régional de placement de Y._ (ci-après : ORP) a suspendu l'assuré dans l'exercice de son droit à l'indemnité journalière, pour une durée de six jours dès le 28 janvier 2008, en raison de l'insuffisance des recherches d'emploi qu'il avait effectuées d'octobre à décembre 2007, ainsi qu'en janvier 2008. R._ s'est opposé à cette décision. Le 2 octobre 2008, le Service de l'industrie, du commerce et du travail du canton du Valais (ci-après : SICT) l'a informé du fait qu'une réformation, à son détriment, de la décision de l'ORP était envisageable. L'assuré a maintenu son opposition. Par décision du 17 octobre 2008, le SICT a réformé la décision de l'ORP et fixé à douze le nombre de jours de suspension de l'assuré dans l'exercice de son droit aux prestations. L'assuré a déféré la cause au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, qui a rejeté le recours par jugement du 9 juin 2009.
A.b Saisi d'un recours de R._ contre ce jugement, le Tribunal fédéral a retenu que les constatations des premiers juges étaient lacunaires sur plusieurs points (domaine d'activité habituel de l'assuré, circonstances dans lesquelles il se trouvait au chômage, employeurs potentiels auxquels il s'était adressé et manière dont il s'y était pris, circonstances exactes de la prolongation du contrat de travail). Etaient également lacunaires les circonstances permettant d'apprécier la gravité de la faute (le jugement entrepris se limitant à considérer qu'une durée de douze jours de suspension apparaissait adéquate au regard de l'ensemble des circonstances). Par conséquent, le Tribunal fédéral a annulé le jugement cantonal et a renvoyé la cause à l'autorité judiciaire précédente pour complément d'instruction et nouveau jugement (arrêt 8C_589/2009 du 28 juin 2010).
B. Après avoir invité les parties à se déterminer sur les considérants de l'arrêt du Tribunal fédéral et à déposer toutes pièces utiles à une bonne intelligence de la cause ainsi que leurs conclusions, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal valaisan a admis partiellement le recours de R._ et modifié la décision du SICT en ce sens que la durée de la suspension du droit à l'indemnité a été ramenée de douze à six jours (jugement du 21 octobre 2010).
C. R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation en concluant à ce que la suspension de six jours dans son droit à l'indemnité de chômage soit annulée, sous suite de frais et dépens.
Le SICT a déclaré qu'il renonçait à prendre position. Quant à l'ORP et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO), ils ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur la suspension du recourant dans l'exercice de son droit à l'indemnité de chômage.
2. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF). Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de faits de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou des erreurs dans l'établissement de celui-ci apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al .1 LTF).
3. Les dispositions légales (art. 17 al. 1, 30 al. 1 et 3 LACI, 45 al. 1 let. a 45 al. 2 et 45 al. 2bis OACI) ont été exposées de manière complète dans l'arrêt du 28 juin 2010 (consid. 3), de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
4. 4.1 A la suite de l'arrêt 8C_589/2009, les premiers juges ont complété les faits comme suit:
Selon son curriculum vitae, l'assuré a travaillé de 1993 à 2007 en qualité de machiniste et balayeur au service de la société X._ SA, à Y._. Il a également oeuvré en tant que magasinier et machiniste de la centrale à béton pour ce même employeur de 1987 à 1998. Il a enfin quatre ans d'expérience (1983-1987) dans l'hôtellerie et la restauration. Avant son chômage, son activité habituelle était donc celle de machiniste chez X._ SA.
En ce qui concerne les circonstances du chômage, l'assuré a été licencié par son employeur le 26 octobre 2007 pour le 31 décembre suivant, comme il l'avait été les années précédentes, l'entreprise étant régulièrement confrontée à un chômage saisonnier.
Des objectifs en matière de recherches d'emploi lors des chômages saisonniers avaient été fixés à l'assuré par l'ORP bien avant sa réinscription au chômage, le 28 janvier 2008, avec obligation de débuter ses recherches trois mois avant la fin de l'activité, dont un minimum de deux recherches par mois dans le secteur de l'hôtellerie et du tourisme de montagne (cf. les formulaires y relatifs de l'ORP signés par le requérant, des 27 janvier 2006 et 7 février 2007). Par ailleurs, l'assuré a suivi des séances d'information spécifiques au cours desquelles les exigences en matière d'emploi lui ont été communiquées (cf. courriers de l'ORP des 9 et 20 janvier 2006, 15 janvier et 2 février 2007). L'intéressé devait en outre postuler comme ouvrier d'usine ou aide (menuisier, électricien, carreleur, plâtrier) et pas uniquement dans le tourisme et l'hôtellerie de montagne.
Toujours selon la juridiction cantonale, l'assuré a produit, pour le mois d'octobre 2007, quatre recherches d'emploi mais aucune dans le domaine de l'hôtellerie et du tourisme de montagne. Il en a fait deux dans l'hôtellerie, mais en plaine, à Z._ et à W._ et d'autres à V._ ainsi qu'à Y._. Pour novembre 2007, il a produit également quatre recherches d'emploi dont deux dans l'hôtellerie de plaine à Y._ (comme aide de cuisine) et deux autres comme magasinier/manoeuvre, à Y._ également. En décembre 2007, il a fait trois recherches d'emploi dont une dans le tourisme de montagne et une dans une entreprise de terrassement à U._. En outre, il a postulé le 10 décembre 2007 comme paysagiste à T._.
Par ailleurs, les premiers juges ont constaté que la prolongation des rapports de travail au 24 janvier 2008 avait été faite pour compenser les heures supplémentaires de travail et les vacances non prises par l'assuré. Ils ont également constaté que l'intéressé n'avait fait aucune recherche d'emploi durant ses vacances (1er au 24 janvier 2008) qu'il avait passées à l'étranger.
4.2 Sur le vu de ce qui précède, les premiers juges ont confirmé le comportement fautif de l'assuré et, partant, le bien-fondé dans son principe de la décision de suspension du droit à l'indemnité de chômage.
En ce qui concerne la quotité de la sanction fixée à douze jours par le SICT (pour une faute de gravité légère), les premiers juges l'ont ramenée à six jours. Ils ont considéré que l'assuré avait quasiment rempli les conditions de recherches sur le plan quantitatif (11 recherches sur 12 exigées durant les mois d'octobre à décembre 2007) et que seule la qualité de ces démarches avait été insuffisante. En outre l'assuré s'était inscrit comme demandeur d'emploi le 28 janvier 2008 et s'était désinscrit le 3 mars suivant. Ils ont estimé que sur les 25 jours ouvrables que compte cette période, une sanction de 12 jours était disproportionnée.
5. 5.1 Sur la base des faits retenus par la juridiction cantonale, on doit admettre que les objectifs fixés par l'ORP étaient à peine remplis sur le plan quantitatif. Sur le plan qualitatif on pouvait en revanche attendre du recourant qu'il recherche plus qu'il ne l'a fait des emplois dans l'hôtellerie de montagne où ses chances de trouver un travail dans cette branche et à cette époque de l'année étaient plus grandes qu'en plaine (basse saison). A cet égard, contrairement à ce que soutient le recourant, l'ORP était fondé à exiger des recherches plus ciblées, si l'on tient compte du caractère de chômage saisonnier présenté par l'intéressé et du fait que celui-ci était au bénéfice d'un cinquième délai-cadre d'indemnisation. Par ailleurs et bien que l'assuré ait effectué trois recherches le 29 janvier 2008, à son retour de vacances, il y a lieu de confirmer le point de vue des premiers juges selon lequel le recourant était tenu d'accomplir, avec les moyens de communication modernes, un minimum de recherches d'emploi pendant ses vacances, même de l'étranger dans la mesure où il n'était pas assuré de trouver du travail à son retour (DTA 2005 p. 56 ss et DTA 1988 no 11 p. 95; cf. aussi arrêt 8C_399/2009 du 10 novembre 2009 consid. 4.2). Le fait que l'assuré a pris ses vacances en nature au mois de janvier 2008 et contribué de cette manière à limiter le dommage (cf. consid. 4.3 de l'arrêt 8C_589/2009) ne saurait entraîner de facto la suppression de toute sanction.
Dans ces conditions, les premiers juges n'ont pas violé le droit fédéral en retenant une faute justifiant le prononcé d'une suspension.
5.2 En ce qui concerne la quotité de la sanction, les premiers juges n'ont pas abusé de leur pouvoir d'appréciation en la fixant à six jours soit une durée qui se situe dans la limite inférieure de l'échelle prévue en cas de faute légère.
6. Il s'ensuit que le recours est mal fondé. Le recourant qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Pour le même motif, il n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF). Bien qu'il obtienne gain de cause, l'office intimé n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office régional de placement, au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 23 novembre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
La Greffière: Berset