Faits:
A. Le 30 juin 2008, le Conseil général de la Ville de Neuchâtel a adopté un arrêté concernant le stationnement sur le domaine public. Cet arrêté prévoit en substance de limiter dans le temps le stationnement des véhicules, notamment par la création de zones de parcage avec disque. Des autorisations de stationnement de durée illimitée peuvent cependant être accordées au prix de 110 fr. par année aux résidents et aux entreprises ayant leur siège social dans la commune. Les "pendulaires dynamiques" pourront aussi bénéficier d'une autorisation de stationnement, au tarif annuel de 1'400 fr. pour une autorisation valable du lundi au vendredi ou de 1'600 fr. s'ils souhaitent stationner du lundi au samedi (art. 4 al. 4 et 7 al. 3 de l'arrêté du Conseil général). Le 1er décembre 2008, l'arrêté en question a été "sanctionné" - c'est-à-dire approuvé - par le Conseil d'Etat du canton de Neuchâtel (ci-après: le Conseil d'Etat), conformément à l'art. 8 de la loi cantonale du 21 décembre 1964 sur les communes (LCo; RSN 171.1).
Les 8 et 11 décembre 2008, le Conseil communal de la Ville de Neuchâtel a adopté deux arrêtés précisant les conditions d'octroi des autorisations de stationnement de durée illimitée. Le premier arrêté concerne l'octroi de vignettes de stationnement et le second la perception des redevances de stationnement. Le Conseil d'Etat a "sanctionné" ces arrêtés le 1er juillet 2009.
B. Le 1er juillet 2009 également, le Conseil d'Etat a adopté un arrêté modifiant de la manière suivante l'article premier de l'arrêté d'exécution de la loi d'introduction des prescriptions fédérales sur la circulation routière (RSN 761.100; ci-après: ALILCR):
"1[inchangé] Les Conseils communaux peuvent interdire, restreindre et régler la circulation sur toutes les routes sises à l'intérieur de l'agglomération communale, sous réserve de l'approbation du service des ponts et chaussées.
2Toutefois, dans les zones soumises à stationnement limité, les titulaires de fonctions publiques de l'Etat de Neuchâtel qui, pour exercer ces dernières, ont un besoin indispensable d'un véhicule, sont assimilés aux habitants domiciliés dans la zone considérée, que le véhicule soit ou non immatriculé au nom de l'employeur.
3Le Conseil d'Etat fixe la liste des titulaires concernés.
4[Alinéa 2 actuel.]"
Cet arrêté a été publié dans la Feuille officielle du canton de Neuchâtel du 3 juillet 2009.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, les communes de Neuchâtel, de la Chaux-de-Fonds et du Locle demandent au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêté précité du 1er juillet 2009. Elles invoquent la violation de l'autonomie communale, ainsi que des principes de la séparation des pouvoirs, de la légalité, de l'égalité de traitement et de la bonne foi. Le Conseil d'Etat conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Au terme d'un second échange d'écritures, les parties persistent dans leurs conclusions.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public est ouvert contre les actes normatifs cantonaux (art. 82 let. b LTF). L'arrêté attaqué ne pouvant faire l'objet d'un recours cantonal (cf. arrêts 2C_692/2008 du 24 février 2009 consid. 2, non publié in ATF 135 II 156; 1C_248/2007 du 21 avril 2008 consid. 1.2 et les références citées), le recours au Tribunal fédéral est directement ouvert (art. 87 al. 1 LTF).
1.1 Selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF, les communes et autres collectivités publiques ont qualité pour recourir en invoquant la violation de garanties qui leur sont reconnues par la constitution cantonale ou la Constitution fédérale. L'art. 89 al. 2 let. c LTF s'applique en particulier aux communes qui invoquent la garantie de leur autonomie communale, ancrée au niveau fédéral à l'art. 50 al. 1 Cst. (ATF 135 I 43 consid. 1.2 p. 45; Alain Wurzburger, in Commentaire LTF, n. 49 ad art. 89 LTF; Bernhard Waldmann, in Basler Kommentar zum BGG, n. 62 ad art. 89 LTF). Il n'est pas nécessaire que la commune soit réellement autonome pour bénéficier de la qualité pour recourir fondée sur l'art. 89 al. 2 let. c LTF. Il suffit pour cela qu'elle allègue une violation de son autonomie communale et qu'elle soit touchée par l'acte cantonal en tant que détentrice de la puissance publique. Savoir si la commune est réellement autonome dans le domaine litigieux, et si cette autonomie a été violée en l'espèce, sont des questions qui relèvent du fond (ATF 135 I 43 consid. 1.2 p. 45; 129 I 313 consid. 4.2 p. 319 et les références). En l'occurrence, les communes recourantes invoquent notamment une violation de l'autonomie communale et elles apparaissent touchées par l'arrêté attaqué en tant que détentrices de la puissance publique. Elles ont donc la qualité pour recourir sur la base de l'art. 89 al. 2 let. c LTF.
1.2 Conformément à l'art. 101 LTF, le recours contre un acte normatif doit être déposé dans les 30 jours à compter de sa publication selon le droit cantonal. Cette publication étant intervenue le 3 juillet 2009 et le présent recours ayant été déposé le 31 août 2009, le délai de l'art. 101 LTF est respecté, compte tenu des féries judiciaires. Pour le surplus, les autres conditions de recevabilité étant réunies, il y a lieu d'entrer en matière.
2. Invoquant la garantie de l'autonomie communale, les recourantes soulèvent divers griefs en relation avec celle-ci. Elles se plaignent en particulier d'une violation du principe de la séparation des pouvoirs.
2.1 Selon l'art. 50 al. 1 Cst., l'autonomie communale est garantie dans les limites fixées par le droit cantonal. Une commune bénéficie de la protection de son autonomie dans les domaines que le droit cantonal ne règle pas de façon exhaustive, mais qu'il laisse en tout ou partie dans la sphère communale, conférant par là aux autorités municipales une liberté de décision relativement importante. L'existence et l'étendue de l'autonomie communale dans une matière concrète sont déterminées essentiellement par la constitution et la législation cantonales (ATF 135 I 233 consid. 2.2 p. 241 s.; 133 I 128 consid. 3.1 p. 131; 129 I 410 consid. 2.1 p. 413; 128 I 3 consid. 2a p. 8 et les références citées). Dans le cadre d'un recours pour violation de l'autonomie communale, les communes peuvent, à titre accessoire, faire valoir que l'autorité cantonale a méconnu la portée de certains principes généraux de droit constitutionnel. Elles peuvent également invoquer l'interdiction de l'arbitraire et les garanties constitutionnelles de procédure, dans la mesure où ce moyen est en relation étroite avec la violation de leur autonomie. Le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation du droit constitutionnel; en revanche, il vérifie l'application de règles de rang inférieur à la constitution cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire (ATF 135 I 302 consid. 1.2 p. 305; 131 I 91 consid. 1 p. 93 et les références citées). De même, il s'impose une certaine retenue lorsqu'il doit tenir compte de circonstances locales ou se prononcer sur de pures questions d'appréciation (cf. ATF 135 I 176 consid. 6.1 p. 181; 132 II 408 consid. 4.3 p. 416; 116 Ia 242 consid. 1b p. 244 s.; 101 Ia 392 consid. 2a p. 395 et les références).
2.2 Les recourantes sont fondées à invoquer une violation du principe de la séparation des pouvoirs, dans la mesure où ce grief est étroitement lié à la violation alléguée de l'autonomie communale. Garanti par l'art. 46 de la Constitution neuchâteloise du 24 septembre 2000 (Cst./NE; RSN 101), le principe de la séparation des pouvoirs assure le respect des compétences établies par la constitution cantonale; en particulier, il interdit au pouvoir exécutif d'édicter des règles de droit, si ce n'est dans le cadre d'une délégation valablement conférée par le législateur (ATF 134 I 322 consid. 2.2 p. 326; 130 I 1 consid. 3.1 p. 5; 128 I 113 consid. 2c p. 116; et les références citées). Lorsqu'il y a un conflit de compétence entre le canton et la commune, qui disposent de compétences parallèles dans un domaine, le Tribunal fédéral examine d'abord si le canton ou la commune était compétent pour adopter les dispositions litigieuses (ATF 133 I 128 consid. 3.3 p. 131 s. et les références citées).
3. Selon les communes recourantes, en adoptant l'arrêté attaqué, le Conseil d'Etat a méconnu la répartition de compétences prévue par la loi cantonale du 1er octobre 1968 d'introduction des prescriptions fédérales sur la circulation routière (LILCR; RSN 761.10). Il convient d'abord de déterminer si cette loi est applicable en l'espèce, ce qui suppose que la réglementation de stationnement litigieuse soit soumise à la loi fédérale du 19 décembre 1958 sur la circulation routière (LCR; RS 741.01). Le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation de la LCR, mais il ne revoit l'application du droit cantonal que sous l'angle de l'arbitraire (pour une définition de l'arbitraire, cf. ATF 134 II 124 consid. 4.1 p. 133).
3.1 Conformément à l'art. 2 LCR, la Confédération est en principe compétente pour réglementer le trafic sur les routes. Aux termes de l'art. 3 al. 4 LCR, les cantons ou les communes peuvent restreindre la circulation et réglementer le parcage de façon spéciale, notamment dans les quartiers d'habitation, lorsque cela est nécessaire pour protéger les habitants ou d'autres personnes touchées de manière comparable contre le bruit et la pollution de l'air, éliminer les inégalités frappant les personnes handicapées, assurer la sécurité, faciliter ou régler la circulation, préserver la structure de la route ou satisfaire à d'autres exigences imposées par les conditions locales.
3.2 La jurisprudence et la doctrine ont considéré que le stationnement de longue durée constituait un usage accru du domaine public et qu'il n'était dès lors pas régi par la LCR; la réglementation de ce type de stationnement n'entrait donc pas dans la catégorie des limitations dites "fonctionnelles" de trafic prévues par l'art. 3 al. 4 LCR (ATF 108 Ia 111 consid. 1b p. 113; 98 IV 264 consid. 4 p. 268 ss; RENÉ SCHAFFHAUSER, Grundriss des schweizerischen Strassenverkehrsrechts, vol. 1, 2e éd. 2002, p. 70 n. 94; ADRIAN HAAS, Staats- und verwaltungsrechtliche Probleme bei der Regelung des Parkierens von Motorfahrzeugen auf öffentlichem und privatem Grund, insbesondere im Kanton Bern, 1994, p. 79 ss et p. 93). Selon une jurisprudence plus récente toutefois, les réglementations spéciales permettant de déroger à la limitation de la durée de stationnement constituent bien des limitations fonctionnelles du trafic au sens de la disposition précitée (arrêts 1A.311/2005 du 27 juillet 2006 consid. 1.1, résumé in JdT 2006 I 403; 2A.70/2007 du 9 novembre 2007 consid. 2.1; 1A.146/2006 du 25 janvier 2007 consid. 2.2 et les références). En effet, en adoptant la modification de l'art. 3 al. 4 LCR entrée en vigueur le 1er août 1984, l'intention du législateur était bel et bien de permettre, dans les quartiers d'habitation des villes, l'introduction de régimes du type de celui adopté par la ville de Neuchâtel (cf. arrêt 1A.311/2005 précité, consid. 1.1 et les références citées). Il s'ensuit que l'arrêté litigieux a bien été adopté en application de l'art. 3 al. 4 LCR, de sorte que c'est à l'aune de la loi cantonale d'introduction de la LCR qu'il convient d'examiner la compétence des autorités cantonale ou communales en la matière.
4. En substance, les communes recourantes soutiennent que le Conseil d'Etat n'était pas compétent pour adopter la disposition contenue dans l'arrêté attaqué et elles lui reprochent d'avoir ainsi violé la séparation des pouvoirs ainsi que leur autonomie communale.
4.1 Aux termes de l'art. 1 al. 1 LILCR, le Conseil d'Etat est l'autorité compétente pour prendre toutes les mesures prévues par la législation fédérale sur la circulation routière. Il peut notamment interdire, restreindre ou régler la circulation sur certaines routes (art. 1 al. 2 let. a LILCR). Par ailleurs, l'art. 2 LILCR désigne les autorités compétentes pour ordonner le placement des signaux et l'apposition des marques aux abords ou sur les routes ouvertes à la circulation publique. Le Département de la gestion du territoire est compétent pour les routes cantonales (art. 2 al. 1 let. a LILCR). Pour les autres routes, c'est le Conseil communal qui est compétent, sous réserve de l'approbation du département (art. 2 al. 1 let. b LILCR).
4.2 Selon les recourantes, leur compétence pour restreindre le stationnement sur leur territoire et instaurer un système d'autorisation de stationnement de durée illimitée pourrait se fonder sur l'art. 2 al. 1 let. b LILCR. Il n'est cependant pas arbitraire de considérer qu'il ressort de la systématique de la LILCR que le législateur neuchâtelois entendait opérer une distinction entre l'autorité disposant de la compétence générale de prendre les mesures prévues par la LCR (art. 1 LILCR) et celles ayant la compétence spécifique d'ordonner le placement des signaux et l'apposition des marques (art. 2 LILCR). Dès lors que la réglementation de stationnement litigieuse fait partie des mesures prévues par l'art. 3 al. 4 LCR (cf. supra consid. 3.2), c'est bien le Conseil d'Etat qui apparaît en principe compétent pour adopter les normes qui s'y rapportent, conformément à l'art. 1 al. 2 let. a LILCR.
4.3 Cela étant, en application de l'art. 1 al. 4 LILCR, le Conseil d'Etat peut déléguer une partie de ses compétences aux communes. Il a précisément fait usage de cette possibilité en matière de réglementation de la circulation dans les agglomérations communales. Il a en effet adopté l'art. 1 al. 1 ALILCR, qui donne aux Conseils communaux la compétence d'interdire, restreindre et régler la circulation sur les routes sises à l'intérieur de l'agglomération communale sous réserve de l'approbation du service des ponts et chaussées.
L'arrêté attaqué est directement lié à cette délégation de compétence, puisqu'il introduit un nouvel art. 1 al. 2 ALILCR ayant pour objet de réglementer par un régime exceptionnel le cas particulier du stationnement dont bénéficieraient certains "titulaires de fonctions publiques de l'Etat de Neuchâtel". Il ne s'agit manifestement pas d'une restriction de la délégation de compétence susmentionnée, ni d'une précision de l'étendue de celle-ci mais bien d'une limitation de la liberté d'appréciation des communes dans l'exercice de cette compétence. Cette règle supprime en effet toute marge de manoeuvre des communes à l'endroit de certains usagers. On ne distingue d'ailleurs pas bien ce qui justifierait de favoriser certains fonctionnaires cantonaux en les assimilant aux habitants des zones concernées par le stationnement limité, cette question étant au demeurant du ressort des autorités compétentes en la matière, à savoir les Conseils communaux. Par cette réglementation, le Conseil d'Etat s'immisce dans un domaine de compétence qu'il avait pourtant délégué aux communes. Dès lors que la délégation de compétence n'a pas été retirée, il appartenait à l'exécutif cantonal de respecter l'autonomie des communes en cette matière et de ne pas leur imposer certaines décisions dans des cas particuliers. En adoptant l'arrêté attaqué, le Conseil d'Etat a ainsi clairement empiété sur une compétence déléguée aux communes. Par conséquent, il y a lieu de constater que l'arrêté attaqué viole la garantie de l'autonomie communale, de sorte qu'il doit être annulé.
5. Il s'ensuit que le recours doit être admis et que l'arrêté attaqué doit être annulé. Il n'y a pas lieu de percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF) ni d'allouer de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêté du Conseil d'Etat du canton de Neuchâtel du 1er juillet 2009, portant révision de l'arrêté d'exécution de la loi d'introduction des prescriptions fédérales sur la circulation routière, est annulé.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué au représentant des recourantes et au Conseil d'Etat du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 29 septembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener