Faits:
A. La société X._ SA avait affilié son personnel en prévoyance professionnelle auprès de Progressa Fondation collective LPP de la Genevoise (ci-après: la fondation). Membre fondateur et ancien salarié de la société, B._ a été reconnu invalide à 50 % dès le 1er janvier 1995, puis à 75 % à partir du 1er avril 1999, par l'assurance-invalidité qui lui a versé les prestations correspondantes à partir du 1er février 1998 (demande tardive). L'intéressé s'est également adressé à la fondation en lui réclamant, en vain, une rente d'invalidité.
B. B.a Le 25 juin 2004, B._ a ouvert action contre la fondation auprès du Tribunal administratif du canton de Fribourg (depuis le 1er janvier 2008, Tribunal cantonal), Cour des assurances sociales, en concluant à ce qu'elle soit condamnée au versement d'une rente annuelle d'invalidité de 37'854 fr., assortie d'une rente pour enfant de 7'571 fr. à partir du 1er avril 2000.
Le Tribunal administratif a d'abord rendu un arrêt, le 27 avril 2006, par lequel il a constaté que "Progressa n'a pas résilié son contrat à temps pour ce qui est du régime sur-obligatoire" et qu'"elle ne saurait refuser d'emblée de prester en faveur du demandeur pour ce motif" (ch. 1 du dispositif). Ce jugement n'a pas été contesté par les parties.
B.b Dans un deuxième temps, le Tribunal administratif a chargé le Centre Y._ d'une expertise pluridisciplinaire (rapport du 27 février 2007). Après avoir donné aux parties l'occasion de se déterminer sur l'expertise, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal fribourgeois a, par jugement du 10 juillet 2008, astreint la fondation à verser à B._ des rentes d'invalidité entières à compter du 1er juin 2000, dont les montants devaient être fixés ultérieurement.
C. La fondation interjette un recours "en matière de droit public contre les arrêts rendus les 27 avril 2006 et 10 juillet 2008" par le Tribunal cantonal fribourgeois. Sous suite de frais et dépens, elle conclut à leur annulation et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale "afin qu'elle procède conformément aux considérants".
B._ conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (art. 29 al. 1 LTF; ATF 134 V 138 consid. 1 p. 140).
2. 2.1 Le recours est tout d'abord dirigé contre le jugement cantonal du 27 avril 2006. Comme cette décision a été rendue avant l'entrée en vigueur de la LTF, au 1er janvier 2007, le recours dirigé à son encontre reste soumis aux règles de l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395). C'est donc à la lumière des dispositions de cette loi que doit être examinée la recevabilité du recours contre le premier jugement cantonal, sans que l'entrée en vigueur de la LTF n'ouvre une nouvelle voie de recours comme le prétend la recourante.
2.2 Avec le jugement entrepris, qu'elle a qualifié de "décision partielle", la juridiction cantonale a constaté que la recourante n'avait pas résilié à temps le contrat d'affiliation dans le domaine de la prévoyance plus étendue, de sorte qu'elle ne pouvait arguer de ce motif pour refuser d'emblée de prester, tandis que les autres conditions du droit à des prestations devaient être examinées ultérieurement.
L'arrêt cantonal attaqué n'est pas une décision finale, puisqu'il ne met pas fin à la procédure engagée devant l'autorité cantonale, ni un jugement partiel proprement dit, qui statuerait sur une partie quantitativement limitée de la prétention litigieuse ou sur l'une des prétentions en cause - en cas de cumul objectif ou subjectif d'actions ou lorsqu'une demande reconventionnelle a été formée (sur ces notions, cf. ATF 116 II 80 consid. 2b p. 82 et les références). Il s'agit d'un jugement préjudiciel ou incident qui, sans mettre fin au procès, tranche définitivement le sort d'une condition de fond préliminaire à la décision finale.
2.3 Une décision de nature incidente peut être contestée, séparément d'avec le fond, par un recours de droit administratif (art. 97 al. 1 OJ) qu'à la double condition que cette voie de droit soit ouverte contre la décision finale (cf. art. 101 let. a OJ) et que la décision incidente soit de nature à causer un préjudice irréparable au recourant (cf. art. 45 al. 2 PA, en relation avec l'art. 5 al. 2 PA; ATF 124 V 82 consid. 2 p. 85).
Le point de savoir si la décision du 27 avril 2006 cause en l'occurrence un dommage irréparable à la recourante peut rester indécis. A supposer que tel soit le cas, le recours serait de toute façon irrecevable pour cause de tardiveté, puisqu'il a été interjeté plus de deux ans après l'échéance du délai de recours prévu à l'art. 106 al. 1 OJ. Selon cette disposition, le recours doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les trente jours ou, s'il s'agit d'une décision incidente, dans les dix jours dès la notification de la décision. Même si on tenait compte de l'indication erronée du délai de recours (30 jours) figurant sur le jugement du 27 avril 2006 (cf. art. 107 al. 3 OJ), le recours serait largement tardif. En revanche, si l'arrêt entrepris devait être considéré comme ne remplissant pas l'exigence du dommage irréparable, il ne pourrait pas être contesté indépendamment de la décision finale (cf. art. 45 al. 3 PA). En l'absence d'un tel prononcé qui n'a pas encore été rendu (sur la nature du second jugement cantonal entrepris, infra consid. 3), le recours - en quelque sorte prématuré - serait donc également irrecevable dans cette seconde hypothèse. Dans l'une ou l'autre des éventualités envisagées, le recours, en tant qu'il porte sur la décision incidente du 27 avril 2006, n'est par conséquent pas recevable.
3. 3.1 La recourante s'en prend également au second jugement du Tribunal cantonal fribourgeois, rendu le 10 juillet 2008. Compte tenu de la date du prononcé, le recours est soumis aux règles de la LTF (art. 132 al. 1 LTF).
Le second arrêt entrepris n'est pas une décision finale, puisqu'il ne met pas fin à la procédure opposant la recourante à l'intimé au sujet du droit de celui-ci à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle (art. 90 LTF). A la différence de ce qui prévalait sous l'empire de l'OJ, où une décision par laquelle la juridiction cantonale se prononçait sur le principe du droit de l'assuré à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle aurait été considérée comme un jugement partiel sur le fond (ATF 122 V 151 consid. 1 p. 153), le prononcé du 10 juillet 2008 ne peut être assimilé à une décision partielle au sens de l'art. 91 let. a LTF. Selon cette disposition, le recours est recevable contre toute décision qui statue sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause. Même s'ils se sont prononcé sur le principe même du droit de l'intimé à des rentes d'invalidité entière à compter du 1er juin 2000, les premiers juges n'ont pas tranché de manière définitive un chef de conclusion ou une partie de l'objet du litige qui serait indépendante de celle qui reste à juger (cf. ATF 133 V 477 consid. 4.1.2 p. 480). En reconnaissant le droit de l'intimé aux prestations en cause, ils ont jugé d'un aspect de l'objet du litige qui est indissociable du point de savoir quelle est l'étendue des rentes d'invalidité réclamées; ce qui a été jugé n'est pas destiné à avoir un sort indépendant de ce qui reste à juger (BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, 2009, ad art. 91 n° 12). L'arrêt cantonal doit par conséquent être qualifié de décision préjudicielle ou incidente au sens de l'art. 93 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.1.3 p. 481 et les références). L'argumentation de la recourante fondée sur la jurisprudence du Tribunal fédéral sur la nature particulière d'un jugement cantonal de renvoi à une autorité administrative - dans le domaine de l'assurance-invalidité - lorsque celle-ci ne dispose plus, pratiquement, d'aucune latitude pour statuer (par exemple, arrêt 9C_684/2007 du 27 décembre 2007, in SVR 2008 IV n° 39 p. 131) n'est pas pertinente. La juridiction cantonale, à laquelle la contestation a été déférée par la voie d'une action et non d'un recours contre une décision administrative que l'intimée aurait eu la compétence de rendre, n'est pas habilitée à renvoyer la cause à l'intimée pour que celle-ci concrétise le jugement (ATF 129 V 450 consid. 2 p. 451), mais reste saisie du litige sur lequel il lui appartiendra de se prononcer encore une fois par un arrêt final.
3.2 Dès lors que le jugement entrepris, en tant que décision incidente ou préjudicielle, ne concerne ni la compétence, ni la récusation (cf. art. 92 LTF), il ne peut faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral que s'il peut causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF). Si le recours n'est pas recevable au regard de ces conditions ou s'il n'a pas été utilisé, la décision incidente peut être attaquée par un recours contre la décision finale dans la mesure où elle influe sur le contenu de celle-ci (art. 93 al. 3 LTF).
3.2.1 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF est un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (ATF 133 IV 139 consid. 4 p. 141, 288 consid. 3.1 p. 291). En revanche, un dommage de pur fait, comme la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme irréparable (ATF 131 I 57 consid. 1 p. 59 et les arrêts cités).
3.2.2 L'ouverture du recours, prévue pour des motifs d'économie de procédure (art. 93 al. 1 let. b LTF), contre une décision incidente constitue une exception et doit être interprétée de manière restrictive, d'autant plus que les parties ne subissent aucun préjudice lorsqu'elles n'attaquent pas immédiatement de telles décisions, qu'elles peuvent contester en même temps que la décision finale (art. 93 al. 3 LTF). L'art. 93 al. 1 let. b LTF suppose d'abord que le Tribunal fédéral soit en mesure de rendre lui-même un jugement final en réformant la décision préjudicielle ou incidente attaquée, ce qui n'est pas le cas s'il apparaît que, en cas d'admission du recours, il devra de toute manière annuler la décision attaquée et renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision. Ensuite, l'admission du recours doit permettre d'éviter une procédure d'administration des preuves longue et coûteuse (ATF 134 III 426 consid. 1.3.2 p. 430 et les arrêts cités).
3.3 La recourante ne prétend pas que la décision incidente ou préjudicielle entreprise lui causerait un dommage irréparable. Aussi, n'établit-elle pas en quoi l'arrêt entrepris entraînerait un dommage irréparable ou qu'une décision finale immédiate permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse.
Ces conditions ne sont, en tout état de cause, pas réalisées. En particulier, les griefs invoqués - violations de l'art. 6 § 1 CEDH (débats publics) et du principe de l'interdiction de l'arbitraire liée à une violation du droit d'être entendu - pourraient être soulevés à l'occasion du recours contre le jugement cantonal sur le fond, de sorte qu'ils ne mettent pas en évidence un dommage qu'une décision finale, même favorable à la recourante, ne ferait pas disparaître complètement. Par ailleurs, l'admission du recours ne peut pas, en l'état de la procédure, conduire à une décision finale. En effet, même si le Tribunal fédéral donnait raison à la recourante quant aux violations invoquées, il devrait renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle se prononce à nouveau en respectant les droits de procédure dont la violation aurait été admise. Aussi, le litige sur le fond ne serait-il pas tranché et le Tribunal fédéral ne pourrait-il pas mettre un terme définitif à la procédure.
3.4 Dès lors qu'aucune des deux éventualités prévues à l'art. 93 al. 1 LTF n'est réalisée, le recours, en tant qu'il est formé à l'encontre du jugement du 10 juillet 2008, doit également être déclaré irrecevable.
4. Vu l'issue du litige, la recourante supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Elle versera aussi à l'intimée, qui obtient gain de cause, une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée la somme de 1'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal fribourgeois, Section administrative, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 juin 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless