Considérant en fait et en droit:
1. Par arrêt du 16 juin 2009, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a admis l'action en reconnaissance de dette introduite le 2 octobre 2008 par Y._ SA contre X._, laquelle tendait au paiement de la somme de 18'806 fr.35 correspondant au remboursement de prestations d'assurance versées depuis le 6 mai 2007 par ladite assurance au précité sur la base de différentes assurances complémentaires soumises à la loi sur le contrat d'assurance du 2 avril 1908 (LCA). Cette autorité a ainsi condamné X._ à payer à Y._ SA la somme en cause et prononcé la mainlevée de l'opposition à la poursuite notifiée au premier. Le Tribunal cantonal des assurances a considéré que X._, qui a transmis à l'assurance non pas la facture originale d'un médecin, mais une facture qu'il avait lui-même établie indiquant un montant dépassant de plus de 1'000 fr. la facture originelle, a tenté d'induire en erreur Y._ SA au sens de l'art. 40 LCA, de sorte que cette dernière est intégralement déliée de son obligation contractuelle.
2. Le 29 juin 2009, X._ a adressé une lettre d'une page au Tribunal fédéral, par laquelle il a émis le souhait de « former un recours et faire une opposition formelle à cette décision ».
L'intimée et la cour cantonale n'ont pas été invitées à déposer une réponse.
3. En l'espèce, vu la valeur litigieuse entrant en ligne de compte pour la procédure fédérale (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF), seul le recours constitutionnel subsidiaire, au sens des art. 113 ss LTF, est ouvert.
4. Le recours constitutionnel peut être formé pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). D'après l'art. 106 al. 2 LTF, applicable par analogie à ce recours (art. 117 LTF), le Tribunal fédéral n'examine la violation d'un droit de rang constitutionnel que si un grief s'y rapportant a été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante.
En l'espèce, le recourant n'élève aucun grief se rapportant à une violation de ses droits constitutionnels. Il se borne à contester l'application de l'art. 40 LCA au différend et déclare s'opposer fermement au remboursement réclamé de 18'806 fr.35, faisant état de son impécuniosité et de son statut de chômeur.
Cette motivation du recours est totalement insuffisante pour qu'il soit possible d'entrer en matière (cf. art. 42 al. 2 LTF). Partant, il convient d'appliquer, par analogie (art. 117 LTF), la procédure simplifiée de l'art. 108 al. 1 LTF.
5. Etant donné les circonstances, il se justifie de renoncer à la perception des frais judiciaires (art. 66 al. 1, 2e phrase, LTF). N'ayant pas été invitée à se déterminer sur le recours, l'intimée n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, la Présidente de la Ire Cour de droit civil:
1. N'entre pas en matière sur le recours.
2. Dit qu'il n'est pas perçu de frais ni alloué de dépens.
3. Communique le présent arrêt aux parties et au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève.
Lausanne, le 15 juillet 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet