Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. X._ wurde mit Urteil des Strafgerichtspräsidenten Basel-Stadt vom 3. Juni 2008 der mehrfachen Drohung, der Diensterschwerung, des vorschriftswidrigen Motorfahrens sowie der Überschreitung der Höchstgeschwindigkeit schuldig erklärt und zu einer Geldstrafe von 45 Tagessätzen zu Fr. 30.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren, sowie zu einer Busse von Fr. 700.-- bzw. sieben Tagen Ersatzfreiheitsstrafe verurteilt. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte den Entscheid des Strafgerichts mit Urteil vom 23. April 2010.
X._ wendet sich mit Beschwerde ans Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts sei aufzuheben.
2. Der Beschwerdeführer bemängelt zur Hauptsache seine Verurteilung wegen wiederholter Drohung zum Nachteil seiner früheren Freundin (Beschwerde S. 2 - 7). In Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG kann auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. angefochtenen Entscheid S. 3 - 8). Diese hat insbesondere mit ausführlicher und überzeugender Begründung dargelegt, warum sie auf die Version der früheren Freundin und nicht auf die Bestreitungen des Beschwerdeführers abstellt. Was daran willkürlich sein könnte, ergibt sich aus der Beschwerde nicht. Diese enthält zur Hauptsache appellatorische Kritik, und solche ist, wie der Beschwerdeführer bereits aus dem Urteil 6B_1046/2010 vom 4. Januar 2011 weiss, vor Bundesgericht nicht zulässig. So bemängelt er zum Beispiel die Annahme der Vorinstanz, er habe seiner früheren Freundin nachgestellt, weil er das Ende der Beziehung nicht habe akzeptieren können (Beschwerde S. 4 mit Hinweis auf angefochtenen Entscheid S. 7). Aus den Umständen, dass die frühere Freundin im Verlauf der Beziehung abgetrieben haben und ebenfalls nicht in der Lage gewesen sein soll, sich konsequent vom Beschwerdeführer zu lösen, ergibt sich indessen nicht zwingend, dass die Annahme der Vorinstanz, er habe das Ende der Beziehung nicht akzeptieren können, willkürlich wäre. Wenn aber beide Beteiligte immer wieder den Kontakt zu einander gesucht haben, ist es nicht ausgeschlossen, dass der Beschwerdeführer, der sich generell nicht immer beherrschen kann (angefochtener Entscheid S. 8 oben; vgl. auch unten E. 3), seiner ehemaligen Freundin bei zwei Zusammentreffen einmal Schläge und das andere Mal androhte, alle Beteiligten zu erschiessen. Dass es sich dabei um Drohungen im Sinne von Art. 180 StGB handelt, bedarf keiner weiteren Ausführungen.
3. Am Rande bemängelt der Beschwerdeführer seine Verurteilung wegen Diensterschwerung (Beschwerde S. 7). Es kann in Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. angefochtenen Entscheid S. 8 - 10). Die Tatsache, dass die betroffenen Polizisten nicht in der Lage waren, ihre Arbeit zu verrichten, solange sie das Gezeter des Beschwerdeführers anhören mussten, ist als Diensterschwerung einzustufen. Daran vermag nichts zu ändern, dass der Beschwerdeführer seiner Darstellung zufolge nicht zum Verlassen des Postens aufgefordert wurde und angespannt war.
4. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. März 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn