Faits:
A. X._, ressortissant belge né en 1960, est entré le 3 juin 2008 en Suisse, où il a déposé une demande d'autorisation de séjour sans activité lucrative. Comme moyens de preuve de ses revenus et fortune, il a produit une copie d'un relevé bancaire de la Société Générale ainsi que d'un contrat de travail. Il a également indiqué qu'il possédait une villa en Espagne, qui lui rapportait 2'500 euros par mois à titre de loyer.
Le 8 août 2008, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le SPOP) l'a informé qu'il lui manquait des documents attestant de manière chiffrée le montant exact des revenus dont le prénommé disposait pour assurer les frais de son séjour en Suisse. En outre, il lui appartenait de définir avec exactitude le but réel de ce séjour et d'indiquer une adresse de domicile fixe dans la commune de son choix. Une adresse postale telle Y._, à Lausanne, ne suffisait pas. X._ s'est déterminé le 7 septembre 2008, en indiquant qu'il conservait son adresse à Y._ à Lausanne et que le centre de ses intérêts se situait dans différents hôtels de la Riviera vaudoise. Il a également affirmé disposer d'un certain nombre de comptes bancaires ainsi que de portefeuilles d'investissement et a produit un contrat de bail du 10 février 2008 concernant la villa située en Espagne dont le loyer se monterait à 2500 euros par mois.
B. Le 27 novembre 2008, le SPOP a informé X._ qu'en l'absence de pièces attestant de manière chiffrée le montant de ses revenus et à défaut de domicile fixe dans le canton de Vaud, il avait l'intention de refuser sa demande d'autorisation de séjour sans activité lucrative. Un délai au 5 janvier 2009 lui a été imparti pour faire valoir ses objections. Le prénommé y a répondu par courriel non documenté du 28 novembre 2008, en estimant qu'il avait établi disposer de moyens financiers suffisants.
Le 19 janvier 2009, la Caisse cantonale de chômage du canton de Vaud a informé le SPOP que X._ avait revendiqué des prestations de chômage depuis le 3 juin 2008.
C. Par décision du 13 mars 2009, le SPOP a refusé de délivrer l'autorisation de séjour CE/AELE sans activité lucrative à X._, au motif que ce dernier n'avait pas été en mesure de produire des justificatifs de moyens financiers suffisants, au sens de l'art. 24 de l'annexe 1 de l'accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681). En outre, il ne disposait pas d'un domicile fixe dans le canton de Vaud.
D. Contre ce prononcé, X._ a recouru le 21 avril 2009 auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal ou l'autorité précédente). Il a ultérieurement déposé différentes déterminations, sur lesquelles le SPOP a également eu l'occasion de se prononcer. Ce dernier a maintenu sa position.
Le Tribunal cantonal a requis la production des relevés bancaires de la période allant du 1er janvier au 31 juillet 2009 ainsi que des titres immobiliers établissant la propriété du recourant sur la villa sise en Espagne. Le 31 août 2009, X._ a produit une copie d'un registre de propriété, datant du 25 avril 2008, ainsi que divers extraits de comptes bancaires espagnols.
Par arrêt du 28 septembre 2009, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de X._ et mis les frais de justice à sa charge.
E. Par recours daté du 10 octobre 2009 mais reçu le 22 octobre 2009, X._ a saisi le Tribunal fédéral. Il a déclaré s'opposer au jugement du Tribunal cantonal du 28 septembre 2009, en concluant à son annulation et à l'octroi d'une "attestation d'inscription (autorisation de séjour) depuis le 3 juin 2008".
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donne droit. Selon la jurisprudence, si l'intéressé fait valoir qu'il a droit à une autorisation de séjour sur la base de l'accord sur la libre circulation des personnes, le Tribunal fédéral entre en matière du seul fait que celui-ci est un ressortissant de l'Union européenne, examinant ensuite avec le fond si la convention confère effectivement un tel droit (ATF 131 II 339 consid. 1.2; arrêt 2C_217/2009 du 11 septembre 2009 consid. 1.2). L'art. 6 ALCP garantit aux personnes n'exerçant pas d'activité économique le droit de séjourner sur le territoire d'une partie contractante, conformément aux dispositions de l'annexe 1 relatives aux non-actifs. Partant, le recours est recevable de ce point de vue.
2. Selon l'art. 24 par. 1 annexe 1 ALCP, une personne ressortissant d'une partie contractante n'exerçant pas d'activité économique dans le pays de résidence reçoit un titre de séjour d'une durée de cinq ans au moins à condition qu'elle prouve aux autorités nationales compétentes qu'elle dispose pour elle-même et les membres de sa famille de moyens financiers suffisants pour ne pas devoir faire appel à l'aide sociale pendant son séjour (lettre a) et d'une assurance-maladie couvrant l'ensemble des risques (lettre b). Le paragraphe 2 de l'art. 24 annexe 1 ALCP précise que les moyens financiers nécessaires sont réputés suffisants s'ils dépassent le montant en-dessous duquel les nationaux, eu égard à leur situation personnelle, peuvent prétendre à des prestations d'assistance. Selon l'art. 16 al. 1 de l'ordonnance fédérale du 22 mai 2002 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, la Communauté européenne et ses États membres, ainsi qu'entre les États membres de l'Association européenne de libre-échange (ordonnance sur l'introduction de la libre circulation des personnes; OLCP; RS 142.203), tel est le cas si ces moyens dépassent les prestations d'assistance qui seraient allouées en vertu des directives "Aide sociale: concepts et normes de calcul" de la Conférence suisse des institutions d'actions sociales (CSIAS), à un ressortissant suisse, éventuellement aux membres de sa famille, suite à la demande de l'intéressé et compte tenu de sa situation personnelle. En d'autres termes, on considère que la condition de l'art. 16 al. 1 OLCP est remplie si les moyens financiers d'un citoyen suisse, dans la même situation, lui fermeraient l'accès à l'aide sociale (directives de l'Office fédéral des migrations sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes, état au 1er juin 2009 [disponibles à l'adresse <http://www.bfm.admin.ch/bfm/fr/home/dokumentation/rechtsgrund lagen/weisungen_und_kreisschreiben/weisungen_und_rundschreiben.html> (consulté le 8 mars 2010)], chiffre 8.2.3; cf. aussi ATF 135 II 265 consid. 3.3 p. 269).
3. Le droit conventionnel est muet sur la problématique de l'appréciation des preuves, respectivement des obligations procédurales incombant aux parties dans le cadre de la procédure relative à l'octroi de l'autorisation. Sur ces questions, c'est le droit cantonal qui se révèle déterminant. Dans le canton de Vaud, la matière relève de la loi du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative (LPA/VD; RS/VD 173.36). L'art. 30 al. 1 LPA/VD énonce la règle selon laquelle les parties sont tenues de collaborer à la constatation des faits dont elles entendent déduire des droits. Lorsqu'elles refusent de prêter le concours qu'on peut attendre d'elles à l'établissement des faits, l'autorité peut statuer en l'état du dossier (art. 30 al. 2 LPA/VD).
4. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252, 384 consid. 4.2.2 p. 391), doit démontrer par une argumentation précise en quoi consiste la violation. En matière d'appréciation des preuves et de constatations de fait, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît aux autorités cantonales dans ce domaine. Il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans motif sérieux, de tenir compte d'un moyen de preuve pertinent ou encore s'il a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; arrêt 8C_15/2009 du 11 janvier 2010 consid. 3.2). Il appartient au recourant de démontrer précisément, pour chaque constatation de fait incriminée, comment les preuves administrées auraient dû, selon lui, être correctement appréciées et en quoi leur appréciation par l'autorité cantonale est insoutenable. De surcroît, le recourant doit démontrer que la violation qu'il invoque est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF). Il doit rendre vraisemblable que la décision finale aurait été différente si les faits avaient été établis de manière conforme au droit. Le Tribunal de céans n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400, 133 II 249 consid. 1.4 p. 254/255; 133 IV 286 consid. 6.2 p. 288). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
5. En l'espèce, le Tribunal cantonal a fondé son jugement sur les documents pour le moins confus, dont certains n'étaient plus d'actualité, remis par le recourant. Ce dernier a été mis en position, à de multiples reprises, de compléter le dossier de la cause et de fournir les explications attendues tout d'abord par les autorités administratives puis par le Tribunal cantonal. Persistant à estimer que les pièces fournies étaient suffisantes, sans fournir les explications et moyens de preuve susceptibles d'établir, d'une part, qu'il avait bel et bien un lieu de résidence en Suisse et, d'autre part, qu'il disposait des moyens permettant d'assurer son entretien courant en Suisse pendant la période minimale de cinq ans, le recourant a manqué, selon le Tribunal cantonal, à son obligation de prêter le concours qu'on pouvait attendre de lui à l'établissement des faits. Le recourant s'en plaint de manière purement appellatoire sans démontrer en quoi, d'une part, le Tribunal cantonal aurait fait une fausse application de l'art. 30 al. 2 LPA/VD ni, d'autre part et surtout, en quoi le résultat de l'appréciation des preuves à laquelle a procédé l'autorité précédente se révélerait arbitraire. En effet, le recourant n'a nullement démontré que les quelques documents produits auraient dû conduire le Tribunal cantonal à admettre qu'il n'aurait pas droit, en Suisse, aux prestations sociales, de sorte que la condition de l'art. 16 al. 1 OLCP serait remplie. Enfin, le fait qu'il se soit inscrit au chômage ne plaidait évidemment pas dans le sens de l'octroi d'un statut de résident CE/AELE sans activité lucrative.
6. Dès lors que le Tribunal fédéral est lié par les faits arrêtés par la dernière instance cantonale (art. 97 al. 1 LTF), c'est en vain que le recourant tente, à ce stade de la procédure, de faire valoir des revenus très importants, correspondant à une fortune non moins imposante. Il s'agit en effet de faits nouveaux irrecevables (cf. art. 99 al. 1 LTF et ci-dessus consid. 4).
7. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité.
Succombant, le recourant supportera les frais judiciaires (cf. art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté en tant que recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 3 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Müller Vianin