Faits:
A. M._ a travaillé en qualité d'employé de laboratoire au service de la société X._ SA. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Il a été victime d'un accident professionnel le 24 novembre 2003 : alors qu'il était juché sur un socle de deux marches en train de verser un liquide dans une machine, il a été déséquilibré, a chuté et s'est heurté la tête contre le sol. Il a perdu connaissance et a été conduit à l'hôpital Y._, où les médecins ont diagnostiqué un traumatisme cranio-cérébral avec contusion médullaire, paraparésie transitoire et aphasie transitoire. Après une dizaine de jours d'hospitalisation, il a séjourné à la Clinique Z._ jusqu'au 17 décembre 2003. La CNA a pris en charge le cas.
Par décision du 4 février 2009, confirmée sur opposition le 23 avril suivant, la CNA a supprimé le droit de l'assuré aux prestations d'assurance après le 28 février 2009, motif pris que les troubles subsistant après cette date n'étaient plus en relation de causalité avec l'événement du 24 novembre 2003.
B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel l'a rejeté par jugement du 3 août 2009.
C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement. En outre, il requiert le rétablissement de l'état suspensif et le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 23 avril 2009, à supprimer le droit du recourant à des prestations d'assurance à partir du 1er mars 2009.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales et la jurisprudence applicables au présent cas, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 La juridiction cantonale a constaté que l'assuré avait été victime d'un traumatisme cranio-cérébral et que les plaintes persistant après le 28 février 2009 étaient typiques d'un traumatisme de type « coup du lapin » ou un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou encore un traumatisme cranio-cérébral, sans preuve d'un déficit organique objectivable. Considérant qu'un trouble de nature psychique apparaissait en l'occurrence au premier plan, elle a apprécié le lien de causalité adéquate à la lumière des principes applicables en cas de troubles psychiques consécutifs à un accident (ATF 123 V 98 consid. 2a p. 99 et les références; RAMA 2002 no U 470 p. 531), à savoir les critères objectifs exposés par la jurisprudence pour juger du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident - en l'occurrence de gravité moyenne - et l'atteinte à la santé psychique (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409). Or, selon les premiers juges, seul le critère des douleurs physiques persistantes - et éventuellement encore celui du degré et de la durée de l'incapacité de travail pour autant que celle-ci ne soit pas due seulement aux troubles psychiques - apparaissait réalisé, de sorte que l'existence d'une relation de causalité adéquate entre l'accident du 24 novembre 2003 et les plaintes persistant après le 28 février 2009 devait être niée.
3.2 Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir refusé de mettre en oeuvre une expertise médicale neutre confiée à des spécialistes de la douleur, afin d'aider à la compréhension du cas d'espèce.
Si l'administration ou le juge, se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves fournies par les investigations auxquelles ils doivent procéder d'office, sont convaincus que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation, il est superflu d'administrer d'autres preuves (appréciation anticipée des preuves; Kieser, Das Verwaltungsverfahren in der Sozialversicherung, p. 212, n° 450; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2e éd., p. 39, n° 111 et p. 117, n° 320; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2e éd., p. 274; cf. aussi ATF 122 II 464 consid. 4a p. 469; 122 III 219 consid. 3c p. 223; 120 Ib 224 consid. 2b p. 229; 119 V 335 consid. 3c p. 344 et la référence). Une telle manière de procéder ne viole pas le droit d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst. (SVR 2001 IV n° 10 p. 28 consid. 4b), la jurisprudence rendue sous l'empire de l'art. 4 aCst. étant toujours valable (ATF 124 V 90 consid. 4b p. 94; 122 V 157 consid. 1d p. 162 et l'arrêt cité).
En l'espèce, le recourant ne fait valoir aucun moyen de nature à mettre en cause les avis médicaux selon lesquels il n'existe pas de déficit organique neurologique objectivable (rapports des médecins de la Clinique Z._ [du 20 décembre 2003], de la doctoresse R._, spécialiste en neurologie [des 16 mars 2004 et 8 septembre 2006] et de la doctoresse A._, spécialiste en neurologie et médecin à la division de médecine des assurances de la CNA [du 26 novembre 2007]), d'une part, et, d'autre part, un trouble psychique apparaît au premier plan (rapports de la doctoresse B._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie [du 30 juillet 2004] et du docteur O._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, psychiatre conseil de la CNA [du 29 août 2008]). Aussi la juridiction cantonale était-elle fondée, sur la base de ces avis médicaux, à se dispenser d'administrer d'autres preuves et le grief du recourant apparaît mal fondé.
3.3 Par ailleurs, il n'y a pas lieu de revenir sur le point de vue de la juridiction cantonale selon lequel l'événement du 24 novembre 2003 doit être classé dans la catégorie des accidents de gravité moyenne. Enfin, si l'on tient compte du fait que l'état de santé de l'assuré a été très tôt influencé par l'apparition de troubles psychiques, ni le critère des douleurs physiques persistantes ni celui du degré et de la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques n'apparaissent réalisés, de sorte que la juridiction cantonale était fondée à nier l'existence d'une relation de causalité adéquate entre cet accident et les plaintes persistant après le 28 février 2009.
3.4 Vu ce qui précède, le jugement entrepris n'est pas critiquable et le recours, manifestement infondé, doit être liquidé selon la procédure simplifiée prévue à l'art. 109 al. 2 let. a LTF. La demande d'effet suspensif apparaît ainsi sans objet.
3.5 Les conclusions du recourant étant vouées à l'échec, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée et l'intéressé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 300 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 12 octobre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd