Faits:
A. Par décision du 10 juin 2011, le Juge de paix du district de Morges a prononcé la mainlevée provisoire de l'opposition formée par A._ au commandement de payer que lui avait fait notifier la Banque X._, ce à concurrence de 6'000 fr. plus intérêt à 5% dès le 18 février 2011.
B. A._ a recouru contre cette décision devant la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Invitée à verser une avance de frais pour la procédure de recours dans un délai échéant le 6 septembre 2011, A._ a, à l'échéance dudit délai, demandé à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Par courrier du 13 septembre 2011, le Président de la Cour des poursuites et faillites du canton de Vaud (ci-après : le Président) lui a adressé le formulaire ad hoc de demande d'assistance judiciaire, fixant au 28 septembre 2011 le délai pour "déposer cette demande" (accompagnée des annexes nécessaires) ou pour verser l'avance de frais et l'informant que si, dans le délai fixé, l'intéressée ne versait pas l'avance de frais ni ne "déposait la demande d'assistance judiciaire", le recours serait déclaré irrecevable.
Le 28 septembre 2011, A._ a "déposé" sa demande d'assistance judiciaire accompagnée d'une seule annexe. Par courrier du 7 octobre 2011, le Président lui a imparti un délai supplémentaire au 18 octobre 2011 pour faire parvenir des justificatifs manquants ou pour "déposer" l'avance de frais, à défaut de quoi il ne serait pas entré en matière sur le recours.
Le 18 octobre 2011, A._ a exposé que "dans l'affaire de la Banque X._, l'assistance judiciaire [lui] avait été accordée par décision du 11 mars 2008 du Bureau de l'A.J." et a indiqué être sans emploi, sans revenu et sans fortune. Par courrier du 25 octobre 2011, le Président lui a imparti une ultime prolongation échéant le 4 novembre 2011 pour effectuer l'avance de frais requise ou pour déposer les justificatifs mentionnés sur le formulaire AJ, à défaut de quoi il ne serait pas entré en matière sur son recours.
Par lettre du 4 novembre 2011, A._ a notamment soutenu qu'elle n'avait pas les moyens de verser l'avance requise et qu'elle ne disposait pas des pièces réclamées.
Le Président a déclaré le recours irrecevable par arrêt du 11 novembre 2011.
C. Par acte du 6 janvier 2012, A._ exerce un "recours" au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 11 novembre 2011, assorti d'une demande d'effet suspensif. Elle conclut à l'admission de son recours, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision. Elle se plaint de violation des art. 29 al. 2 et 3 Cst.
Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale, en ce sens qu'elle soit dispensée du paiement de l'avance de frais.
Invités à se déterminer sur le fond, l'autorité cantonale s'est référée à son arrêt alors que l'intimée s'en est remise à justice.
D. Par ordonnance du 9 janvier 2012, la Présidente de la IIe Cour de droit civil a rejeté la demande d'effet suspensif.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours a été déposé à temps (art. 100 al. 1 LTF), par la partie qui a succombé dans ses conclusions devant l'instance précédente (art. 76 LTF); il est dirigé contre une décision déclarant irrecevable le recours déposé par la recourante devant la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal, de sorte qu'il s'agit d'une décision finale (art. 90 LTF). Celle-ci a en outre été prise en dernière instance cantonale et sur recours par un tribunal supérieur (art. 75 LTF), dans une contestation en matière de poursuite pour dettes et de faillite (art. 72 al. 2 let. a LTF), de sorte que le recours est recevable au regard de ces dispositions.
1.2 La recourante adresse simplement un "recours" au Tribunal fédéral, sans autre précision. S'agissant d'une affaire pécuniaire, le recours en matière civile n'est en principe recevable que si la valeur litigieuse s'élève au moins à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF); tel n'est manifestement pas le cas en l'espèce. Aucune des exceptions à l'exigence d'une valeur litigieuse minimale (art. 74 al. 2 LTF) n'entrant en ligne de compte, le présent recours doit être traité comme recours constitutionnel (art. 113 LTF).
1.3 La voie du recours constitutionnel subsidiaire n'est ouverte que pour faire valoir des griefs portant sur la violation de droits constitutionnels (cf. art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine toutefois la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF, par renvoi de l'art. 117 LTF; ATF 136 III 332 consid. 2.1 p. 334). Cette dernière disposition reprend le principe d'allégation (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254).
2. 2.1 L'autorité cantonale a constaté que la recourante n'avait, d'une part, pas versé l'avance de frais requise dans le délai supplémentaire fixé à cet effet et qu'elle n'avait, d'autre part, pas non plus produit les justificatifs nécessaires à l'appui de sa demande d'assistance judiciaire sans que l'on discerne de motif d'empêchement à cet égard, la référence à l'assistance judiciaire accordée dans la procédure au fond n'étant au surplus pas pertinente. Se référant à l'art. 101 al. 3 CPC, elle a déclaré le recours irrecevable.
La recourante invoque à la fois une violation de son droit à l'obtention de l'assistance judiciaire (art. 29 al. 3 Cst.) et de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.). Elle fait grief à la cour cantonale de lui avoir imparti un unique délai pour le dépôt de la requête d'assistance judiciaire et pour verser l'avance de frais. Selon elle, la demande d'avance de frais devait être suspendue tant qu'il n'avait pas été statué sur la requête d'assistance judiciaire, dont la décision est sujette à recours. En définitive, elle reproche à l'autorité cantonale d'avoir décidé de ne pas entrer en matière sur son recours sans avoir statué sur sa requête d'assistance judiciaire.
2.2 Dans ses motifs et se référant à l'art. 101 al. 3 CPC, la décision querellée constate à la fois que la demande d'assistance judiciaire de la recourante n'a pas été suffisamment documentée et que l'avance de frais requise n'a pas été versée, dans le délai fixé pour l'une et l'autre option de l'alternative. Le dispositif se limite à déclarer le recours irrecevable. L'autorité cantonale a donc tiré les conséquences du défaut de versement de l'avance de frais sollicitée, en application de la disposition procédurale précitée, sans se prononcer formellement sur la requête d'assistance judiciaire. Au demeurant et si elle entendait ne pas accorder l'assistance judiciaire à la recourante, il lui appartenait, dans sa décision de refus, d'impartir à celle-ci un délai supplémentaire pour effectuer l'avance de frais sollicitée (arrêt 5A_818/2011 du 29 février 2012 consid. 4.3 destiné à la publication). La décision entreprise viole ainsi le droit à l'assistance judiciaire gratuite garanti par l'art. 29 al. 3 Cst. (arrêt 5A_759/2011 du 13 mars 2012 consid. 2.2). Le recours doit par conséquent être admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'instance précédente pour qu'elle statue sur la requête d'assistance judiciaire formulée par la recourante et lui fixe, en cas de refus, un délai supplémentaire pour verser l'avance de frais sollicitée.
3. Vu l'issue du recours, la requête d'assistance judiciaire formulée devant la cour de céans devient sans objet. En règle générale, les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1, 68 al. 1 et 2 LTF). En l'espèce, l'intimée a renoncé à se déterminer et n'a donc pas formellement conclu au rejet du recours; elle n'a pas davantage provoqué la décision attaquée, de sorte qu'elle ne saurait être assimilée à une partie qui succombe au sens des articles précités (arrêt 5A_276/2010 du 10 août 2010 consid. 3). Les frais judiciaires ne pouvant en principe être mis à la charge du canton en vertu de l'art. 66 al. 4 LTF, il y a lieu de renoncer à en percevoir.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée au Président de la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est sans objet.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Président de la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 26 mars 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Mairot