Sachverhalt:
A. Die 1956 geborene G._ war seit dem 26. Juli 1994 als Telefon-Interviewerin bei der Firma X._ angestellt und dadurch bei der Basler Versicherungs-Gesellschaft (im Folgenden: Basler) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Am 18. September 2001 erlitt sie einen Autounfall, als ein entgegenkommender Personenwagen vor dem von ihr gelenkten Personenwagen nach links abbog, worauf es nach einem Brems- und Ausweichmanöver der Versicherten zu einer frontal-seitlichen Kollision kam. Der anderntags aufgesuchte Arzt Dr. med. S._ diagnostizierte eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) bei Autounfall und ein spondylogenes Cervicalsyndrom ohne neurologische Symptome. Als Therapie wurden ein weicher Kragen, Schmerzmittel, detonisierende Medikamente und eine physiotherapeutische Behandlung verordnet (Arztzeugnis vom 25. Oktober 2001). Die Basler erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Vom 8. Mai bis 5. Juni 2002 und später wiederum vom 6. bis bis 27. April 2004 war die Versicherte in der Rehaklinik Y._ hospitalisiert (Berichte der Rehaklinik Y._ vom 16. Juli 2002 und 1. Juni 2004). Die Basler beauftragte, nebst weiteren Sachverhaltsabklärungen, Dr. med. C._, Spital B._, Klinik für Rheumatologie und Rehabilitation, mit der Erstellung eines medizinischen Gutachtens, welches dieser zusammen mit PD Dr. med. F._, Neurologe FMH, und PD Dr. med. K._, Psychiatrie FMH, am 24. Dezember 2003 erstattete. Die Basler holte überdies eine polydisziplinäre Expertise der MEDAS, vom 19. September 2006 ein. Mit Verfügung vom 27. November 2006 eröffnete sie der Versicherten, die Leistungen würden per 31. August 2006 eingestellt; darüber hinaus bestehe kein Leistungsanspruch, da die noch vorhandenen Beschwerden nicht mehr in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 18. September 2001 stünden. Daran hielt der Versicherer mit Einspracheentscheid vom 4. Juni 2007 fest.
B. Die von G._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Nidwalden mit Entscheid vom 10. Dezember 2007 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ beantragen, die Basler sei unter Aufhebung des kantonalen Entscheides zu verpflichten, die aus dem Unfallereignis vom 18. September 2001 geschuldeten Leistungen zu erbringen; es sei ihr mit Wirkung ab dem 1. September 2006 eine Rente bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 52 % sowie eine Integritätsentschädigung bei einer Einbusse von mindestens 20 % zuzusprechen.
Während die Basler auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 134 V 369 E. 2 S. 371). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Zusprechung von Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung setzt grundsätzlich das Vorliegen eines Berufsunfalles, eines Nichtberufsunfalles oder einer Berufskrankheit voraus (Art. 6 Abs. 1 UVG). Der Unfallversicherer haftet jedoch für einen Gesundheitsschaden nur insoweit, als dieser nicht nur in einem natürlichen, sondern auch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis steht (BGE 129 V 177 E. 3 S. 181). Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (BGE 134 V 109 E. 2 S. 112 f.; 127 V 102 E. 5b/bb S. 103). Sind die geklagten Beschwerden natürlich unfallkausal, aber nicht in diesem Sinne objektiv ausgewiesen, so ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind gegebenenfalls weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112). Hat die versicherte Person einen Unfall erlitten, welcher die Anwendung der Schleudertrauma-Rechtsprechung rechtfertigt, so sind hierbei die durch BGE 134 V 109 E. 10 S. 126 ff. teilweise präzisierten Kriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen) massgebend. Ist diese Rechtsprechung nicht anwendbar, so sind die Adäquanzkriterien, welche für psychische Fehlentwicklungen nach einem Unfall entwickelt wurden (sog. Psycho-Praxis; BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140), heranzuziehen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112; vgl. auch Urteil 8C_583/2007 vom 10. Juni 2008 E. 2.2).
3. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, dass keine organisch objektiv ausgewiesene Folgen des Unfalles vom 18. September 2001 vorliegen, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchten. Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten richtig und auch nicht umstritten. Im Gutachten des Spitals B._ vom 24. Dezember 2003 wird zwar ausgeführt, durch den Unfall sei eine richtunggebende Verschlimmerung des vorgeschädigten Segmentes C6/7 bewirkt worden, wodurch sich ein paravertebraler Hartspann gebildet habe, welcher bei der Entstehung der Nacken- und Kopfschmerzen eine wichtige Rolle spiele. Die Kopfschmerzen seien allerdings auch im Rahmen der unfallbedingten Anpassungsstörung zu sehen. Die Dehydration der Bandscheiben im Halsbereich wie auch die seit dem Unfall geklagten Kreuzschmerzen seien nicht auf den Unfall zurückzuführen. Mit diesen Ausführungen bejahen die Gutachter des Spitals B._ zwar die natürliche Kausalität eines wesentlichen Teils der andauernden Beschwerden; sie stellen aber keine klar fassbaren organischen Unfallfolgen fest (vgl. auch SVR 2008 UV Nr. 36 S. 137, 8C_637/2007). Die deutliche Osteochondrose und segmentale Hypomobilität C6/7 sind zwar bildgebend fassbar. Diese Befunde sind aber nicht unfallbedingt, sondern vorbestehend. Eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchte, ergibt sich auch nicht aus den übrigen medizinischen Akten.
Demnach hat, anders als bei organisch klar ausgewiesenen Beschwerden, bei welchen der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden kann, eine besondere Adäquanzprüfung zu erfolgen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112; E. 2 hievor).
4. Das kantonale Gericht hat die Frage, wie die Adäquanz zu prüfen sei, nicht abschliessend beantwortet. Das ist nicht zu beanstanden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang, wie die Vorinstanz sodann entschieden hat, auch nach der Schleudertrauma-Praxis, welche in der Regel (vgl. Urteil 8C_986/2008 vom 23. März 2009 E. 4.1) und jedenfalls hier für die versicherte Person günstiger ist als die Psycho-Praxis, zu verneinen ist. Diesfalls erübrigen sich auch Weiterungen zum Vorbringen des Beschwerdeführers, die Sachverhaltsabklärungen zum natürlichen Kausalzusammenhang und zur Frage, ob diese oder jene Praxis angewendet werden müsse (vgl. hiezu BGE 134 V 109 E. 9 S. 122 ff.), seien ungenügend.
5. 5.1 Für die Adäquanzprüfung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen. Daran hat sich mit BGE 134 V 109 (vgl. dessen E. 10.1 S. 126; E. 2 hievor) nichts geändert. Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.3.1, U 2, 3 und 4/07; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
Der Unfall vom 18. September 2001, bei welchem das von der Versicherten gelenkte Fahrzeug mit einem abbiegenden entgegenkommenden Wagen seitlich touchierte, ist bei den mittleren Unfällen und dort jedenfalls nicht im Grenzbereich zu den schweren Unfällen einzuordnen. Die Adäquanz ist demnach zu bejahen, falls ein einzelnes der unfallbezogenen Kriterien in besonders ausgeprägter Weise gegeben ist oder die zu berücksichtigenden Kriterien insgesamt in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sind (BGE 117 V 359 E. 6b S. 367 f.; bestätigt in BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f.).
5.2 Der Entscheid des kantonalen Gerichts erging am 10. Dezember 2007. Zu diesem Zeitpunkt war das Urteil des Bundesgerichts vom 19. Februar 2008 (BGE 134 V 109), in welchem die für die Adäquanzbeurteilung nach der Schleudertrauma-Praxis massgeblichen Kriterien teilweise neu gefasst wurden, noch nicht gefällt. In der einige Zeit danach verfassten Begründung des vorinstanzlichen Entscheids wird festgehalten, die Adäquanz wäre auch nach der präzisierten Rechtsprechung des Bundesgerichts zu verneinen. In diesem Vorgehen des kantonale Gerichts kann entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung keine Verletzung des rechtlichen Gehörs gesehen werden. Abgesehen davon konnte sich die Versicherte im bundesgerichtlichen Verfahren in Kenntnis der präzisierten Rechtsprechung zu den geänderten Kriterien äussern, womit eine allfällige Gehörsverletzung ohnehin geheilt worden wäre. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung sind auch keine weiteren Sachverhaltsabklärungen zu den Adäquanzkriterien erforderlich. Diese lassen sich anhand der vorhandene Akten verlässlich beurteilen. Dabei ergibt sich Folgendes:
5.2.1 Das Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls ist objektiv zu beurteilen und nicht aufgrund des subjektiven Empfindens bzw. Angstgefühls der versicherten Person (RKUV 1999 Nr. U 335 S. 207 E. 3b/cc, U 287/97; Urteil 8C_252/2007 vom 16. Mai 2008 E. 7.1). Das Kriterium ist vorliegend mit der Vorinstanz zu verneinen. Die Beschwerdeführerin vertritt zu Recht keine abweichende Auffassung. Der vom kantonalen Gericht angestellte Quervergleich mit Fällen, bei welchen dieses Kriterium bejaht wurde, zeigt denn auch, dass hier keine vergleichbaren Umstände vorliegen.
5.2.2 Das Bundesgericht hat im bereits mehrfach erwähnten BGE 134 V 109 (E. 10.2.2 S. 127 f.) seine Rechtsprechung bestätigt, wonach die Diagnose einer HWS-Distorsion (resp. einer der weiteren, adäquanzrechtlich gleich behandelten Verletzungen) für sich allein zur Bejahung des Kriteriums der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen nicht genügt. Es bedarf hierzu einer besonderen Schwere der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können. Diese können beispielsweise in einer beim Unfall eingenommenen besonderen Körperhaltung und den dadurch bewirkten Komplikationen bestehen. Auch erhebliche Verletzungen, welche sich die versicherte Person neben dem Schleudertrauma, der äquivalenten HWS-Verletzung oder dem Schädel-Hirntrauma beim Unfall zugezogen hat, können bedeutsam sein. Daneben gilt es auch zu beachten, dass eine HWS-Distorsion, welche eine bereits erheblich vorgeschädigte Wirbelsäule trifft, speziell geeignet ist, die typischen Symptome hervorzurufen, weshalb sie in einer derartigen Konstellation als Verletzung besonderer Art zu qualifizieren ist (vgl. SVR 2007 UV Nr. 1 S. 1 E. 3.4.2, U 39/04; Urteil 8C_785/2007 vom 11. Juni 2008 E. 4.4).
Die untersuchenden und begutachtenden Ärzte gingen zum Teil davon aus, dass bei der Beschwerdeführerin eine HWS-Distorsion auf eine im Halsbereich bereits erheblich vorgeschädigte Wirbelsäule traf. Aufgrund dieser ärztlichen Einschätzung kann von einer Verletzung besonderer Art ausgegangen werden. In besonders ausgeprägter Weise ist das Kriterium aber nicht erfüllt.
5.2.3 Für das Kriterium der ärztlichen Behandlung ist entscheidwesentlich, ob nach dem Unfall bis zum Fallabschluss eine fortgesetzt spezifische, die versicherte Person belastende Behandlung notwendig war (BGE 134 V 109 E. 10.2.3 S. 128). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist dieses Kriterium nicht erfüllt. Die geltend gemachten Therapien beschränkten sich im Wesentlichen auf ambulante Physiotherapie, Reflexzonenmassage und Akupunktur sowie auf zwei, jeweils vier bzw. drei Wochen dauernde, stationäre Rehabilitationen. Es bestehen keine Anhaltspunkte, dass mit diesen Behandlungen eine besondere Belastung verbunden gewesen wäre.
5.2.4 Adäquanzrelevant können sodann in der Zeit zwischen dem Unfall und dem Fallabschluss nach Art. 19 Abs. 1 UVG ohne wesentlichen Unterbruch bestehende erhebliche Beschwerden sein. Die Erheblichkeit beurteilt sich nach den glaubhaften Schmerzen und nach der Beeinträchtigung, welche die verunfallte Person durch die Beschwerden im Lebensalltag erfährt (BGE 134 V 109 E. 10.2.4 S. 128). Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, litt die Versicherte im massgeblichen Zeitraum nicht ständig unter Beschwerden, auch nicht unter den im Vordergrund stehenden Kopf- und Nackenschmerzen. Es es sind auch sonst keine Umstände erkennbar, welche die Bejahung des Kriteriums gestatten könnten.
5.2.5 Für eine ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hätte (BGE 134 V 109 E. 10.2.5 S. 129), bestehen keine Anhaltspunkte. Das Kriterium ist daher nicht erfüllt, was auch nicht umstritten ist.
5.2.6 Zu prüfen ist weiter das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und der erheblichen Komplikationen (BGE 134 V 109 E. 10.2.6 S. 129), welches die Beschwerdeführerin als gegeben betrachtet. Die beiden Teilaspekte dieses Kriteriums müssen nicht kumulativ erfüllt sein (BGE 117 V 359 E. 7b S. 368 f.; Urteil 8C_80/2009 vom 5. Juni 2008 E. 6.5). Aus der ärztlichen Behandlung, den anhaltenden Beschwerden sowie der Arbeitsunfähigkeit - welche Gesichtspunkte im Rahmen der spezifischen Adäquanzkriterien (E. 5.2.3 f. hiervor und 5.2.7 hiernach) zu berücksichtigen sind - darf entgegen der Auffassung der Versicherten nicht auf einen schwierigen Heilungsverlauf und/oder erhebliche Komplikationen geschlossen werden. Es bedürfte hierzu besonderer Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben. Die Einnahme vieler Medikamente und die Durchführung verschiedener Therapien genügen nicht zur Bejahung dieses Kriteriums. Gleiches gilt für den Umstand, dass trotz regelmässiger Therapien weder eine Beschwerdefreiheit noch eine (vollständige) Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit erreicht werden konnten (Urteile 8C_80/2009 vom 5. Juni 2009 E. 6.5 und 8C_252/2007 vom 16. Mai 2008 E. 7.6 mit Hinweisen). Insgesamt ist dieses Kriterium vorliegend nicht erfüllt, wie die Vorinstanz zu Recht erkannt hat.
5.2.7 Was schliesslich das Kriterium der Arbeitsunfähigkeit anbelangt, ist dem Umstand Rechnung zu tragen, dass bei leichten bis mittelschweren Schleudertraumen der HWS (und hinsichtlich Adäquanzbeurteilung gleich zu behandelnden Verletzungen) ein längerer oder gar dauernder Ausstieg aus dem Arbeitsprozess vom medizinischen Standpunkt aus als eher ungewöhnlich erscheint. Nicht die Dauer der Arbeitsunfähigkeit ist daher massgebend, sondern eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit als solche, die zu überwinden die versicherte Person ernsthafte Anstrengungen unternimmt. Darin liegt der Anreiz für die versicherte Person, alles daran zu setzen, wieder ganz oder teilweise arbeitsfähig zu werden. Gelingt es ihr trotz solcher Anstrengungen nicht, ist ihr dies durch Erfüllung des Kriteriums anzurechnen. Konkret muss ihr Wille erkennbar sein, sich durch aktive Mitwirkung raschmöglichst wieder optimal in den Arbeitsprozess einzugliedern, was schon der allgemeine sozialversicherungsrechtliche Grundsatz der Schadenminderungspflicht gebietet. Solche Anstrengungen der versicherten Person können sich insbesondere in ernsthaften Arbeitsversuchen trotz allfälliger persönlicher Unannehmlichkeiten manifestieren. Dabei ist auch der persönliche Einsatz im Rahmen von medizinischen Therapiemassnahmen zu berücksichtigen. Sodann können Bemühungen um alternative, der gesundheitlichen Einschränkung besser Rechnung tragende Tätigkeiten ins Gewicht fallen. Nur wer in der Zeit bis zum Fallabschluss nach Art. 19 Abs. 1 UVG in erheblichem Masse arbeitsunfähig ist und solche Anstrengungen auszuweisen vermag, kann das Kriterium erfüllen (BGE 134 V 109 E. 10.2.7 S. 129 f.).
Wie die Vorinstanz zutreffend darlegte, hat sich die Beschwerdeführerin bemüht, sich wieder in den Arbeitsprozess einzugliedern, und dazu auch mehrere Arbeitsversuche unternommen, welche jeweils wegen zunehmender Beschwerden abgebrochen werden mussten oder nur mit reduziertem Pensum fortgesetzt werden konnten. Dies spricht für die Bejahung des Kriteriums. Es liegt aber entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise vor. Dazu ist nämlich festzustellen, dass nur relativ kurzfristig eine volle Arbeitsunfähigkeit bestand; aus ärztlicher Sicht war schon ab dem 8. Oktober 2002 wieder eine teilweise Arbeitsfähigkeit gegeben, welche dann aber nicht oder nur teilweise umgesetzt wurde. Im Gutachten des Spitals B._ vom 24. Dezember 2003 wurde eine 75% Arbeitsfähigkeit als Hausfrau bestätigt und eine angepasste (erwerbliche) Arbeitstätigkeit während 3 bis 4 Stunden als zumutbar erachtet. Zudem unternahm die Versicherte - soweit aktenkundig -, nachdem die Arbeitsversuche an der bisherigen Arbeitsstelle als Telefon-Interviewerin gescheitert waren und ihr diese Stelle per 30. Juni 2003 gekündigt worden war, keine weiteren Bemühungen zum Einstieg in eine andere, weniger Anforderungen an Konzentration und Merkfähigkeit stellende und damit geeignetere Arbeitstätigkeit.
5.3 Nach dem Gesagtem sind höchstens zwei Kriterien, jeweils in nicht besonders ausgeprägter Weise, als erfüllt zu betrachten. Dies reicht praxisgemäss nicht aus, um den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den noch geklagten Beschwerden und dem Unfall bejahen zu können. Vorinstanz und Versicherer haben daher einen weiteren Leistungsanspruch zu Recht verneint.
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin handelt als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation. Sie hat daher ungeachtet ihres Obsiegens keinen Anspruch auf die von ihr beantragte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG; Urteil 8C_23/2007 vom 12. März 2008 E. 6, nicht publ. in: BGE 134 V 45, aber in: SVR 2008 UV Nr. 19 S. 70).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden, Abteilung Versicherungsgericht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Juli 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz