Faits:
A. L._, ressortissante française, domiciliée en France, ayant travaillé en Suisse (en dernier lieu comme aide infirmière), a requis des prestations de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 18 novembre 2003.
Outre le dossier de l'assureur-accidents qui contenait une expertise du docteur R._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, attestant la présence d'un status post-distorsion cervicale avec cervicalgies (séquelles d'un accident survenu le 11 décembre 2002) et troubles statiques et dégénératifs de la colonne cervicale sans impact sur la capacité de travail au moment de la réalisation de son examen le 30 juin 2003 ainsi que l'existence d'un état dépressif péjorant vraisemblablement la symptomatologie douloureuse (rapport du 30 juillet 2003), l'office AI a requis l'avis des médecins traitants qui de diagnostics foncièrement identiques (traumatisme cervical avec raideurs et douleurs séquellaires, cervicalgies post-traumatiques, syndrome anxio-dépressif) inféraient l'incapacité totale de leur patiente à travailler (rapports des docteurs M._, spécialisé en médecine physique et de réadaptation fonctionnelle, et A._, spécialisée en médecine générale, des 15 et 22 décembre 2003). Suivant ensuite les recommandations de son Service médical régional (SMR), qui préconisait un complément d'instruction sous forme d'expertise psychiatrique (avis de la doctoresse U._ du 18 juin 2004), l'administration a délégué l'accomplissement de cette tâche aux docteurs O._, D._ et H._ de l'Institut de médecine légale de l'Hôpital X._. Les experts ont estimé que le syndrome douloureux somatoforme persistant, le trouble dépressif récurrent épisode actuel modéré et le trouble panique observés empêchaient la reprise d'une activité (rapport du 21 février 2005).
Sur la base d'une appréciation du dossier par le SMR, qui contestait la conclusion des experts quant à la capacité résiduelle de travail dans la mesure où l'épisode dépressif moyen ne saurait légalement être considéré comme une comorbidité psychiatrique grave conférant au syndrome douloureux un caractère invalidant (avis du docteur C._ du 18 avril 2005), l'office de l'assurance-invalidité pour les assurés résidant à l'étranger (ci-après: également l'office AI) a rejeté la demande de prestations (décision du 4 mai 2005). Secondée par ses médecins traitants qui persistaient à attester une incapacité totale de travail (rapports des docteurs A._ et B._, spécialisé en psychiatrie et en psychanalyse, des 16 et 18 mai 2005), l'assurée s'est vainement opposée à la décision (décision sur opposition du 14 août 2006) malgré la production au cours de la procédure d'un avis du docteur E._, expert psychiatre, pour qui «le champ d'action de l'expertisée était totalement réduit» en raison de troubles invalidants de la personnalité associant pathologie borderline, névrose anxio-phobique et hystérique, troubles somatoformes et syndrome dépressif majeur (rapport du 22 juillet 2005).
L'intéressée a recouru contre la décision du 14 août 2006 auprès de la Commission fédérale de recours en matière d'AVS/AI pour les personnes résidant à l'étranger (actuellement le Tribunal administratif fédéral, Cour III) et, se référant aux opinions substantiellement inchangées de ses médecins (notamment rapports des docteurs B._ et A._ des 4 et 6 septembre 2006) et du docteur E._, a conclu à l'octroi de prestations de l'assurance-invalidité. Se fondant sur l'analyse par le SMR des éléments produits (avis du docteur C._ des 5 décembre 2006 et 29 août 2007), l'administration a requis le rejet du recours. Le tribunal administratif a partiellement accédé aux conclusions de L._ en annulant la décision et en renvoyant le dossier à l'office AI (jugement du 6 mars 2008).
Invitée à compléter l'instruction, l'administration a sollicité les docteurs T._, spécialisé en médecine générale, et S._, service médical de l'assurance maladie française, qui pour l'essentiel rejoignaient l'avis du docteur E._ (rapports des 13 juin et 21 août 2008), puis enjoint le Centre d'expertise médicale (CEMED) de mettre en oeuvre une expertise. Un trouble mixte de la personnalité, un trouble dépressif récurrent, épisode actuel léger à modéré avec syndrome somatique, une dysthymie, un trouble panique ainsi qu'une somatisation entravant totalement l'exercice de l'activité habituelle mais autorisant la pratique à plein temps, avec baisse de rendement de 25 %, d'une activité adaptée ont été révélés par le docteur I._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 20 mars 2009).
Son service médical ayant entériné les conclusions du docteur I._ (avis du docteur N._ des 8 avril et 30 juin 2009), l'office AI a informé l'assurée qu'il envisageait de rejeter sa demande de prestations (projet de décision du 9 juillet 2009) puis, ayant écarté un nouveau rapport du docteur E._, qui constatait une péjoration de la pathologie psychiatrique (troubles sexuels [aversion], personnalité borderline, trouble dépressif récurrent, trouble dépressif majeur, trouble des habilités motrices, trouble panique et troubles somatoformes de conversion) totalement et définitivement incapacitante (rapport du 22 février 2010), ainsi que les objections présentées contre son projet (avis du docteur N._ du 18 mai 2010 et lettre du 12 juillet suivant), a confirmé son refus de prester (décision du 12 juillet 2010).
B. Soutenue par ses médecins traitants qui continuaient à certifier une incapacité totale de travail à cause des affections connues (rapports des docteurs B._ et T._ des 15 et 23 août 2010), l'intéressée a à nouveau saisi le tribunal administratif d'un recours concluant à l'allocation d'une rente entière ou au renvoi du dossier à l'administration pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision. Elle soutenait en substance que l'office AI avait à tort favorisé les conclusions de l'expertise CEMED, qui reposait sur de nombreuses erreurs et incohérences en réduisant considérablement la valeur probante, au détriment des nombreux autres rapports médicaux contradictoires, dont celui de l'expert E._ qui établissait de surcroît la présence d'une péjoration de la situation depuis la réalisation de l'expertise en question. Estimant par l'entremise du docteur N._ (avis du 10 décembre 2010) que les pièces produites n'apportaient aucun élément nouveau, l'administration a conclu au rejet du recours.
L._ a été déboutée de ses conclusions (jugement du 27 juin 2011). Le tribunal de première instance a substantiellement considéré qu'il n'y avait pas lieu de se distancier de l'appréciation, probante, du docteur I._ malgré les avis contradictoires existants, notamment celui du docteur E._ qui reposait essentiellement sur les plaintes non objectivables de l'assurée.
C. L'intéressée recourt contre ce jugement. Elle en requiert l'annulation et conclut, sous suite de frais et dépens, au renvoi du dossier au Tribunal administratif fédéral pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement.
L'administration conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. Le litige porte en l'espèce sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité, singulièrement sur l'évaluation de son incapacité de travail. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables à la solution du cas de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 Le tribunal de première instance a confirmé le rejet de la demande de prestations par l'office intimé en privilégiant les conclusions du docteur I._ au détriment de celles du docteur E._. Il a concrètement confronté et analysé les opinions de ces deux experts et, rejetant l'allégation d'une aggravation au motif que celle-ci ne reposait sur aucun élément clinique objectif selon le SMR, a constaté que les deux praticiens mentionnés s'entendaient sur la description des atteintes affectant principalement l'assurée mais étaient en désaccord sur l'appréciation des répercussions de ces atteintes sur la capacité de travail. Il a rappelé les considérations qui ont conduit les deux experts à adopter leurs conclusions respectives et estimé qu'une nouvelle expertise n'était pas nécessaire pour lever les divergences rencontrées dans la mesure où le docteur I._ avait démontré que les limitations reconnues (manque de motivation, fluctuation de la thymie) relevaient d'une attitude réfractaire à toute reprise du travail et d'un positionnement revendicatif quant à l'obtention d'une rente tandis que le docteur E._ se référait essentiellement aux plaintes de la recourante. Il a en outre réfuté les arguments portant sur la brièveté des entretiens organisés par l'expert du CEMED et sur l'opportunité de réaliser une expertise pluridisciplinaire dans le contexte d'un trouble douloureux somatoforme puis a entériné l'évaluation chiffrée du taux d'invalidité de l'assurée telle que calculée par l'administration.
3.2 La recourante critique l'appréciation des preuves par le tribunal de première instance. Elle estime que les rapports du docteur E._ ne devaient pas être écartés sur la seule base d'un bref avis du SMR, d'autant moins qu'il existait de nombreux rapports établis par les médecins traitants allant tous dans le même sens que l'expert mentionné. Elle dresse également une liste de lacunes, contradictions ou incohérences - déjà évoquée en première instance et à laquelle les premiers juges n'auraient pas répondu en violation de leur devoir de motiver leur jugement - tendant à mettre en doute la valeur probante de l'expertise du docteur I._. Elle conteste enfin le salaire sans invalidité retenu pour la comparaison des revenus dès lors que celui-ci omettrait de tenir compte de la rémunération supplémentaire afférente aux heures de veille.
3.3 Les arguments de l'assurée ne remettent pas en cause l'acte attaqué.
3.3.1 S'agissant du grief concernant l'éviction des rapports du docteur E._ en fonction d'un seul et bref avis du SMR (celui du docteur N._ du 18 mai 2010), on relèvera de manière générale que la brièveté d'un document médical ou l'appartenance de son auteur au service médical de l'administration ne sont - en soi - pas des obstacles empêchant la prise en considération de tels documents à l'instar du reste de ce que prévoient les principes jurisprudentiels relatifs à la valeur probantes des rapports médicaux, en particulier ceux émanant des médecins traitants. On relèvera également plus concrètement que, contrairement à son devoir de motivation (cf. consid. 1), la recourante n'établit pas ni même ne tente d'établir en quoi spécifiquement l'avis du docteur N._ ne serait pas pertinent ou serait entaché de partialité. On notera encore que le bref avis dont il est question consiste en une analyse ciblée du dernier rapport du docteur E._ qui, malgré sa concision, explique de manière précise, convaincante et - surtout - non contestée dans sa teneur que le praticien a conclu à l'inaptitude absolue et définitive pour l'assurée de reprendre une activité lucrative sans indiquer les éléments cliniques objectifs permettant d'aboutir à une telle conclusion alors que les affections évoquées, censées attester l'existence d'une péjoration de la situation, étaient parfaitement connues du docteur I._ lors de la réalisation de son évaluation et avaient été dument prises en considération. On ajoutera finalement que la soi-disant abondance de rapports des médecins traitants concluant dans le sens du docteur E._ ne change rien à ce qui précède du moment que l'impression d'abondance provient d'une multiplication à chaque étape de la procédure de documents souvent fondamentalement identiques à ceux produits antérieurement et que la valeur probante desdits documents a été systématiquement analysée et relativisée par le SMR pour des motifs - une fois encore non contestés concrètement - similaires à ceux avancés à l'encontre des rapports du docteur E._.
3.3.2 En ce qui concerne ensuite la liste des défauts qui entacheraient l'expertise CEMED et en réduiraient la valeur probante, on relèvera au préalable que le fait que le tribunal de première instance n'y ait pas répondu exhaustivement n'implique pas forcément une violation du droit d'être entendu dans la mesure où l'autorité n'a pas l'obligation de s'exprimer sur tous les moyens des parties mais peut se limiter aux questions décisives (ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88 sv.). Or, tel a été le cas en l'occurrence. On constatera cependant que, contrairement à ce que soutient la recourante, le docteur I._ a bel et bien défini les activités de substitution - à savoir, celles d'ouvrière ou de vendeuse qui potentiellement recouvrent de nombreuses activités différentes mais correspondent à des métiers existants et déjà exercés sans que le champ des possibilités d'emploi ne soit par trop restreint - et a motivé le taux d'occupation exigible retenu dans la mesure où on peut aisément inférer de l'expertise que le comportement inadéquat de l'assurée dans le domaine des soins entravant la reprise d'une activité dans ce secteur (difficulté à maintenir une distance thérapeutique adéquate à l'origine de conflits) ne pouvait s'exprimer dans les domaines de la vente ou de l'industrie (cf. rapport d'expertise p. 22 [§ 7/8] et 23 [§ 5/6]) où seule une diminution de rendement de 25 % due au surinvestissement dans les démarches juridiques pour obtenir une forme de reconnaissance et à la probable recherche de bénéfices secondaires (cf. rapport d'expertise p. 22 [§ 5]) avait été retenue. Dans le même sens, on remarquera qu'on ne peut pas reprocher à l'expert psychiatre de ne pas avoir pris en considération certains troubles somatiques (séquelles de l'accident, asthme ou troubles gastriques) ou les effets secondaires des médicaments prescrits dès lors que l'impact incapacitant de ces troubles avait été nié par les docteurs R._ et N._, que les effets secondaires évoqués n'ont jamais été annoncés au docteur I._ et qu'aucun élément médical objectif n'attestait la survenance desdits effets. On notera finalement que les autres contradictions relevées par la recourante (absence de ralentissement psychomoteur et de fatigue - épuisement observé par le docteur I._; attitude collaborante avec les experts de X._ - manque de collaboration envers le docteur I._; etc.) ne revêtent pas l'importance que celle-ci tente de leur conférer de sorte que l'on ne saurait faire grief aux premiers juges de n'y avoir pas répondu et d'avoir admis la valeur probante à l'expertise CEMED.
3.3.3 Quant au revenu sans invalidité, on relèvera qu'il a été déterminé en fonction des indications fournies par l'employeur qui ne fait pas mention d'une rémunération supplémentaire due à l'accomplissement régulier d'heures de veille. L'assurée ne produit aucun document concret susceptible d'établir cet élément qu'elle invoque du reste pour la première fois devant le Tribunal fédéral. Dans ces circonstances, on ne saurait donc reprocher au tribunal de première instance d'avoir fait preuve d'arbitraire sur ce point.
4. Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF) qui ne saurait prétendre des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif fédéral, Cour III, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 31 janvier 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Cretton