Sachverhalt:
A. Gestützt auf eine Meldung des Untersuchungsamtes Altstätten eröffnete die Anwaltskammer des Kantons St. Gallen am 5. Februar 2007 ein Disziplinarverfahren gegen Rechtsanwalt X._; es wurde ihm vorgeworfen, dass er trotz seiner Einsetzung als amtlicher Verteidiger des Untersuchungsgefangenen Z._ mehrmals Honorarzahlungen von diesem eingefordert habe. Am 22. August 2007 wurde X._ von der Anwaltskammer wegen wiederholter Verletzung der Berufsregeln eine Busse von Fr. 5'000.-- auferlegt. Eine von X._ hiergegen eingereichte Beschwerde hiess das Kantonsgericht St. Gallen - unter Bestätigung einer (einfachen) Berufsregelverletzung - teilweise gut und es wies die Sache zur Festsetzung einer neuen Sanktion an die Anwaltskammer zurück. Diese ermässigte die Busse auf Fr. 1'000.--. Auch diesen Bussenentscheid focht X._ beim Kantonsgericht an, welches die Beschwerde am 22. September 2008 abwies, soweit es darauf eintrat. Eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht blieb ebenfalls ohne Erfolg (Urteil 2C_783/2008 vom 4. Mai 2009).
B. Mit Eingabe vom 5. Juni 2009 stellte X._ bei der kantonalen Anwaltskammer ein Gesuch um Wiederaufnahme des gegen ihn geführten Disziplinarverfahrens. Er berief sich darin im Wesentlichen auf einen Entscheid der Anklagekammer des Kantonsgerichts St. Gallen vom 21. April 2009, in welchem diese die Öffnung und die Kontrolle der brieflichen Korrespondenz des Untersuchungsgefangenen Z._ mit dessen Freundin als unrechtmässig bezeichnet habe. Diese illegale Zensur sei auch die Grundlage des Disziplinarverfahrens vor der Anwaltskammer gewesen, zumal die fraglichen Briefe dem anzeigenden Untersuchungsrichteramt Hinweise auf Honorarzahlungen geliefert hätten. Da nun feststehe, dass die Briefkontrolle unrechtmässig erfolgt sei, hätte eine Verwertung der widerrechtlich geöffneten Post im Disziplinarverfahren rückblickend nicht erfolgen dürfen.
C. Mit Entscheid vom 24. November 2009 überwies die Anwaltskammer das Gesuch um Wiederaufnahme zuständigkeitshalber an das Bundesgericht. Mit Schreiben vom 24. Dezember 2009 fragte dieses X._ an, ob er förmlich um Revision des bundesgerichtlichen Urteils 2C_783/2008 vom 4. Mai 2009 ersuchen wolle. Mit Eingabe vom 15. Januar 2010 bestätigte X._ dies sinngemäss, indem er erklärte, er wolle an seinem Wiederaufnahmegesuch auch dann festhalten, wenn dieses vom Bundesgericht beurteilt werde. Mit Eingabe vom 26. Februar 2010 ergänzte er seine bisherigen Ausführungen und machte neu geltend, dass die Anklagekammer des Kantonsgerichts inzwischen in einem weiteren Entscheid vom 25. November 2009 auch die Widerrechtlichkeit der Öffnung der Anwaltspost des Untersuchungsgefangenen Z._ festgestellt habe.
Das Kantonsgericht und die Anwaltskammer des Kantons St. Gallen sowie das Bundesamt für Justiz haben auf eine Vernehmlassung zum Revisionsgesuch verzichtet.
Erwägungen:
1. Mit seinen Ausführungen ruft der Gesuchsteller implizit den Revisionsgrund von Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG an (vgl. E. 2 hiernach). Ein solches Revisionsgesuch ist gemäss Art. 124 Abs. 1 lit. d BGG innert 90 Tagen nach der Entdeckung des Revisionsgrundes beim Bundesgericht einzureichen. Der Gesuchsteller sieht den Revisionsgrund insbesondere im Entscheid der Anklagekammer des Kantonsgerichts vom 21. April 2009. Mit Bezug auf diesen Entscheid erweist sich die Eingabe vom 5. Juni 2009 als fristgerecht.
2. 2.1 Gemäss Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG kann in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Revision verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind. Tatsachen im Sinne von Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG sind diejenigen Elemente, welche den konkret zu beurteilenden Sachverhalt ausmachen. Beweismittel nach dieser Bestimmung müssen dem Beweis solcher Tatsachen dienen. Eine rechtliche Würdigung von Tatsachen ist selbst indessen keine Tatsache (Urteil 2F_2/2009 vom 23. September 2009 E. 3.2; mit Hinweis auf BGE 102 Ib 45 E. 1b S. 48; 98 Ia 568 E. 5b S. 573).
2.2 Dass die Korrespondenz des Untersuchungsgefangenen Z._ mit seiner Freundin behördlich kontrolliert wurde und dass es eine solche Kontrolle war, die den Anstoss zum Disziplinarverfahren vor der Anwaltskammer gab, ist keine neu entdeckte Tatsache; der Gesuchsteller war sich dessen seit Beginn des gegen ihn eröffneten Disziplinarverfahrens bewusst (vgl. die Anzeige des Untersuchungsamtes Altstätten an das kantonale Justiz- und Polizeidepartement und an die Anwaltskammer vom 31. Januar 2007, welche dem Gesuchsteller am 5. Februar 2007 zur Kenntnis gebracht wurde). Er hätte demzufolge einen entsprechenden Einwand bereits frühzeitig vorbringen können und müssen.
Nicht bekannt war dem Gesuchsteller im früheren Verfahren vor Bundesgericht lediglich der Entscheid der Anklagekammer des Kantonsgerichts vom 21. April 2009. In diesem hat sich die Anklagekammer mit der Überwachung des Schriftverkehrs des Untersuchungsgefangenen Z._ auseinandergesetzt und es u.a. als unzulässig erachtet, dass dessen Korrespondenz mit seiner Freundin ohne Einhaltung des hierfür vorgesehenen Verfahrens verwertet bzw. an den psychiatrischen Gutachter weitergeleitet worden war. Aus diesem Entscheid der Anklagekammer kann der Gesuchsteller jedoch bereits deshalb nichts zu seinen Gunsten herleiten, weil darin lediglich eine strafprozessuale Würdigung eines bereits bekannten Vorgangs vorgenommen wird. Eine (neue) rechtliche Würdigung kann aber gemäss den obenstehenden Erwägungen weder als neue Tatsache noch als zulässiges neues Beweismittel betrachtet werden und gilt daher nicht als Revisionsgrund i.S. von Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG (vgl. E. 2.1 hiervor).
Unabhängig hiervon wären die Einwendungen des Gesuchstellers nicht geeignet, eine für ihn vorteilhaftere Entscheidung des Bundesgerichtes herbeizuführen: Einerseits ist es fraglich, ob und inwieweit sich der Gesuchsteller im Hinblick auf das gegen ihn geführte anwaltsrechtliche Disziplinarverfahren überhaupt auf strafprozessuale Beweisverwertungsverbote berufen kann; diese bezwecken in erster Linie den Schutz der Verfahrensrechte eines Beschuldigten bzw. Angeklagten im Strafverfahren und nicht die Verhinderung von Sanktionen gegen einen Anwalt, welcher gegen die Berufsregeln verstossen hat. Andererseits ergibt sich aus den Verfahrensakten ohne weiteres, dass sich die Disziplinierung des Gesuchstellers weder auf die Korrespondenz zwischen dem Untersuchungsgefangenen Z._ und dessen Freundin noch auf andere Unterlagen stützt, welche behördlich erhoben worden wären: Vielmehr ist den Entscheiden der Anwaltskammer und der III. Zivilkammer des Kantonsgerichts zu entnehmen, dass sich die festgestellte Berufsregelverletzung aus einer vom Gesuchsteller eingereichten Bestätigung des Untersuchungsgefangenen Z._ vom 19. Februar 2007 ergab, mit welcher dieser anerkannte, dem Gesuchsteller eine Entschädigung für dessen anwaltliche Bemühungen in Zusammenhang mit einer Rechtsverweigerungsbeschwerde an die Anklagekammer zu schulden. Wenn der Gesuchsteller nun sinngemäss auf die Unverwertbarkeit dieses von ihm selbst ins Recht gelegten Dokumentes schliesst, verhält er sich widersprüchlich und mithin rechtsmissbräuchlich. Dass er diese Bestätigung "ausschliesslich im Zusammenhang mit der illegal geöffneten Briefpost sowie mit der illegalen Befragung" eingereicht haben will, ändert daran nichts.
2.3 Einen weiteren Grund für die Wiederaufnahme des gegen ihn geführten Disziplinarverfahrens sieht der Gesuchsteller in einer angeblichen Äusserung des Untersuchungsgefangenen Z._ gegenüber dem Kantonsgericht: Dieser habe angegeben, er, der Untersuchungsgefangene, sei anlässlich einer am 31. Januar 2007 durchgeführten untersuchungsrichterlichen Befragung noch schläfrig gewesen, weshalb er eine Seite des Protokolls ungelesen unterzeichnet habe. Inwiefern diese Behauptung im vorliegenden Revisionsverfahren von Bedeutung sein soll, wird vom Gesuchsteller indes nicht ansatzweise aufgezeigt und ist auch nicht ersichtlich, zumal sich die Sanktionierung des Gesuchstellers nicht etwa auf eine untersuchungsrichterliche Befragung des Untersuchungsgefangenen Z._ stützt, sondern - wie aufgezeigt - auf ein vom Gesuchsteller selbst eingereichtes Schriftstück. Die in diesem Zusammenhang erfolgten Ausführungen des Gesuchstellers können demzufolge nicht gehört werden. Gleiches gilt auch insoweit, als sich der Gesuchsteller in seiner Eingabe an das Bundesgericht vom 26. Februar 2010 erstmals auf einen Entscheid der Anklagekammer des Kantonsgerichtes St. Gallen vom 25. November 2009 beruft: Dieser erging erst nach dem bundesgerichtlichen Urteil 2C_783/2008 vom 4. Mai 2009 und kann deshalb, gemäss dem klaren Wortlaut von Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG, a priori keinen Revisionsgrund im Sinne dieser Bestimmung darstellen.
3. Nach dem Ausgeführten ist auf das Revisionsgesuch nicht einzutreten. Die Gerichtskosten sind dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller, der Anwaltskammer des Kantons St. Gallen, dem Kantonsgericht St. Gallen, III. Zivilkammer, sowie dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Oktober 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Zähndler