Sachverhalt:
A. Die 1959 geborene G._ war seit 2002 als Raumpflegerin/Zimmermädchen mit Pensum von ungefähr 40 % tätig. Am 21. Dezember 2005 stürzte sie während der Arbeit auf der Treppe. Es traten Kreuzschmerzen auf, welche medikamentös und mit Physiotherapie behandelt und radiologisch und psychiatrisch untersucht wurden. Der Hausarzt Dr. med. S._, FMH Allgemeine Medizin, attestierte volle Arbeitsunfähigkeit vom 16. März bis 15. Mai 2006 und ab 15. Juli 2006. Seit 21. August 2006 arbeitete G._ mit einem Pensum von rund 10 % als Reinigungskraft in der Verwaltung. Unter Angabe verschiedener aus Unfall und Krankheit herrührender Schmerzen meldete sie sich am 29. Juni 2007 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Graubünden untersuchte den medizinischen und erwerblichen Sachverhalt und beauftragte in diesem Rahmen das Zentrum X._ mit einer interdisziplinären Abklärung der Leistungsfähigkeit (Gutachten vom 16. Oktober 2008). Mit Vorbescheid vom 30. März 2009 und Verfügung vom 3. Juli 2009 wies die IV-Stelle das Begehren um Ausrichtung einer Rente wegen eines nicht anspruchsbegründenden Gesamtinvaliditätsgrades (Beruf und Haushalt) von 25 % ab.
B. Mit Entscheid vom 8. Dezember 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden die dagegen erhobene Beschwerde ab (Dispositiv-Ziff. 1).
C. G._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten; sie beantragt Aufhebung von Dispositiv-Ziff. 1 und Rückweisung der Sache an die Verwaltung zur Abklärung und Zusprechung einer Invalidenrente; zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Vorinstanz und IV-Stelle beantragen Abweisung der Beschwerde; das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Im angefochtenen Entscheid werden die Bestimmungen über den Begriff der Invalidität (Art. 8 ATSG, Art. 4 IVG), die Voraussetzungen für einen Rentenanspruch und dessen Umfang (Art. 28 IVG), die Ermittlung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (Art. 28a IVG, Art. 16 ATSG) und bei teilerwerbstätigen Versicherten nach der gemischten Methode (früher aArt. 28 Abs. 2ter IVG in Verbindung mit Art. 27bis IVV, seit 1. Januar 2008 Art. 28a Abs. 3 IVG) sowie die dazu und zum Beweiswert eines Arztberichtes oder Gutachtens ergangene Rechtsprechung (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352; RKUV 2003 Nr. U 487 S. 345 E. 5.1 [U 38/01]) zutreffend angegeben. Darauf wird verwiesen.
3. Streitig ist der Rentenanspruch, namentlich Art und Ausmass der Arbeitsunfähigkeit. Unbestritten sind die Höhe des von der Vorinstanz berücksichtigten Valideneinkommens und der Anteil der Berufstätigkeit von 70 %.
3.1 Die Beschwerdeführerin lässt die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhaltes durch die Vorinstanz rügen, wozu sie einzig vorbringt, die in der Replik vom 7. Oktober 2009 angezeigte Sehbehinderung sei nicht berücksichtigt worden, obwohl der von der Augenärztin Frau Dr. med. L._ am 1. Oktober 2009 bescheinigte Zustand auf Befunden beruhe, die fünf Tage vor Verfügungserlass erhobenen worden und darum relevant seien. Die Sehbehinderung sei geeignet, den Invaliditätsgrad zu verändern.
3.2 Es trifft zu, dass im angefochtenen Entscheid der Umstand nicht ausdrücklich erwähnt ist, wonach die Bescheinigung der Augenärztin auf Befunden "vom 29.6.2009" beruht, die somit einige Tage vor Verfügungserlass datieren. Wie die Verwaltung in der Duplik vom 14. Oktober 2009 aber richtig bemerkt, hat die Beschwerdeführerin erst in der Replik vorgebracht, es habe sich herausgestellt, dass sie unter einer erheblichen Sehbehinderung leide. Weder in der Anmeldung vom 27. (recte: 29.) Juni 2007 noch im Einwand vom 23. April 2009 noch in der Beschwerde vom 7. September 2009 hat sie geltend gemacht, an einer solchen zu leiden. Auch bei der Haushaltsabklärung am 13. März 2008 ist sie nicht erwähnt oder festgestellt worden; in allen ärztlichen Verlaufs- und Untersuchungsberichten fehlen entsprechende Hinweise.
3.3 Die Augenärztin hat der Beschwerdeführerin am 1. Oktober 2009 eine Myopia per magna, also eine starke Fehlsichtigkeit attestiert (Fernsicht ohne Korrektur von 0.1 resp. 0.2). Bei der Myopie handelt es sich um einen Brechungsfehler des Auges, der durch ein Brillenglas weitgehend korrigierbar ist (HANS JOACHIM KÜCHLE/HOLGER BUSSE, Taschenbuch der Augenheilkunde, 3. Aufl. 1991, S. 43). Ein solches Leiden tritt in der Regel nicht spontan auf und ist meist durch ein anlagebedingtes vermehrtes Längenwachstum des Augapfels verursacht (A.A.O., S. 55). Es ist unwahrscheinlich, dass die Beschwerdeführerin mit der schon länger bestehenden, nur neu diagnostizierten Kurzsichtigkeit als Raumpflegerin/Zimmermädchen oder in einer Verweisungstätigkeit erheblich eingeschränkt ist, wofür sich im gesamten gründlichen Abklärungsverfahren keine Hinweise ergeben. Dem Zentrum X._ als spezialisierter, erfahrener Abklärungsstelle wäre es aufgefallen, wenn sich die Einschränkung der Sehkraft behindernd auswirken würde. Die Rückweisung der Sache zur Klärung würde zu einem formalistischen Leerlauf mit unnötigen Kosten und Verzögerungen führen, ohne dass sich im Ergebnis etwas änderte. Damit hat es für die Zeit bis zum 3. Juli 2009 mit der Rentenablehnung sein Bewenden.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird entsprochen. Sie hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Mauro Lardi wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'400.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Mai 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz