Faits:
A. E._ a bénéficié d'indemnités de chômage à partir du 2 janvier 2006.
Le 12 octobre 2006, elle a présenté une demande d'allocations d'initiation au travail pour un emploi de bijoutière-joaillière et gérante de magasin au service de la société Z._ SA. Dans un document intitulé « confirmation de l'employeur relative à l'initiation au travail », rempli le même jour, Z._ SA a indiqué que l'initiation au travail, d'une durée de six mois, débuterait le 21 novembre 2006. Aux termes de ce document, l'employeur s'engageait notamment à limiter le temps d'essai à un mois et, après la période d'essai, à ne pas donner le congé avant la fin de l'initiation, sous réserve des cas de justes motifs au sens de l'art. 337 CO; à l'issue de l'initiation, le contrat de travail pouvait être résilié en respectant le délai de congé prévu à l'art. 335c CO.
Le 23 octobre 2006, les parties ont conclu un contrat de travail de durée indéterminée dont le début était fixé au 21 novembre 2006, prévoyant une période d'essai de trois mois durant laquelle les rapports de travail pouvaient être résiliés pour la fin d'une semaine, moyennant un congé donné sept jours à l'avance.
Par décision du 10 novembre 2006, l'Office régional de placement de Lausanne (ci-après: l'ORP) a admis la demande d'allocations d'initiation au travail pour la période du 21 novembre 2006 au 20 mai 2007. En outre, cette décision contenait les indications suivantes:
l'octroi d'allocations d'initiation au travail par l'assurance-chômage est subordonné au respect par l'employeur des dispositions et des engagements auxquels il a souscrit en signant la formule « confirmation de l'employeur relative à l'initiation au travail », laquelle prime tout accord contenant des clauses contraires. En cas de non-respect desdites dispositions, la restitution des allocations est réservée (art. 95 LACI).
Par lettre du 23 février 2007, l'employeur a résilié avec effet immédiat les rapports de travail le liant à E._ en invoquant divers motifs.
Par décision du 28 février 2007, l'ORP a réformé sa décision du 10 novembre 2006, en ce sens que la demande d'allocations d'initiation au travail a été acceptée partiellement, soit seulement pour la période du 21 novembre 2006 au 27 février 2007. Cette décision était motivée de la manière suivante:
L'employeur a mis fin aux rapports de travail après le temps d'essai en raison de justes motifs au sens de l'art. 337 CO. Les allocations sont octroyées jusqu'au dernier jour de travail de l'assurée, soit du 21 novembre 2006 au 27 février 2007. Cette décision est susceptible d'être modifiée si l'assurée devait obtenir gain de cause auprès des Prud'hommes.
L'assurée s'est opposée au licenciement avec effet immédiat pour justes motifs et a ouvert action contre Z._ SA devant le Tribunal des Prud'hommes de l'arrondissement V._, en concluant au paiement d'un montant de 20'254 fr. 80 et à ce qu'il soit constaté l'absence de tout motif de licenciement immédiat. Lors de l'audience du 7 mai 2007 ordonnée par le Président du Tribunal de Prud'hommes, les parties ont conclu une transaction aux termes de laquelle Z._ SA a accepté de payer à l'assurée la somme de 4'000 fr. pour solde de tout compte.
Par décision du 14 juin 2007, confirmée sur opposition le 24 août suivant par le Service de l'emploi du canton de Vaud, l'ORP a annulé sa décision du 28 février 2007, en ce sens que la demande d'allocations d'initiation au travail a été rejetée, motif pris que l'employeur avait contrevenu à ses obligations en résiliant le contrat de travail au cours de la période d'initiation au travail mais après le temps d'essai, sans qu'il existât de justes motifs de licenciement immédiat.
B. Saisie d'un recours de Z._ SA contre la décision sur opposition, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 25 janvier 2008.
C. Z._ SA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle requiert l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement après complément d'instruction. Elle demande en outre l'effet suspensif du recours.
Le Service de l'emploi, l'ORP, l'assurée, ainsi que le Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) ont renoncé à présenter des déterminations.
Par courrier du 7 mai 2008, le juge instructeur a indiqué à la recourante que sa demande d'effet suspensif était sans objet étant donné que la décision sur opposition litigieuse constituait une décision négative de droit.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. 2.1 Selon l'art. 65 LACI, les assurés dont le placement est difficile et qui, accomplissant une initiation au travail dans une entreprise, reçoivent de ce fait un salaire réduit, peuvent bénéficier d'allocations d'initiation au travail lorsque le salaire réduit durant la mise au courant correspond au moins au travail fourni (let. b) et qu'au terme de cette période, l'assuré peut escompter un engagement aux conditions usuelles dans la branche et la région, compte tenu, le cas échéant, d'une capacité de travail durablement restreinte (let. c).
Bien que les assurés soient eux-mêmes titulaires du droit aux allocations d'initiation au travail, celles-ci sont versées par la caisse à l'employeur; ce dernier les verse à son tour à l'assuré avec le salaire convenu (art. 90 al. 4 OACI).
2.2 Dans l'arrêt ATF 126 V 42, le Tribunal fédéral des assurances a jugé que l'administration peut revenir sur sa décision d'octroi des allocations d'initiation au travail avec effet ex tunc en cas de violation des obligations contractuelles par l'employeur lorsque le versement est soumis à la condition résolutoire du respect du contrat de travail et ce, même si ladite décision ne mentionne pas la restitution des prestations en cas de violation des obligations contractuelles. L'employeur peut ainsi être tenu à restituer les allocations perçues si les rapports de travail sont résiliés sans justes motifs avant l'échéance du délai indiqué par l'administration dans sa décision d'octroi des allocations d'initiation au travail. La restitution ne peut toutefois pas être exigée quand le contrat de travail est résilié pendant le temps d'essai, attendu que celui-ci a notamment pour but de permettre aux parties de réfléchir avant de s'engager pour une plus longue période (ATF 126 V 42 consid. 2a p. 45).
3. 3.1 Le Service de l'emploi a nié le droit de l'assurée à des allocations d'initiation au travail au motif que l'employeur avait violé ses obligations contractuelles en résiliant les rapports de travail au cours de la période d'initiation au travail mais après le temps d'essai, sans qu'il existât de justes motifs de licenciement immédiat.
De son côté, la juridiction cantonale a constaté que le licenciement de la recourante était intervenu après le temps d'essai et qu'en outre il n'existait pas de justes motifs de résiliation immédiate du contrat de travail au sens de l'art. 337 CO. Elle s'est fondée pour cela sur la lettre de résiliation des rapports de travail du 23 février 2007, selon laquelle le licenciement était motivé par une absence de profil et des qualités requises pour gérer un commerce de joaillerie, par un manque de rapidité et de rigueur, ainsi que par un manque de connaissances et d'expérience professionnelle pour assumer un poste à responsabilité.
Par ailleurs, la juridiction cantonale a rejeté le grief tiré d'une prétendue violation des règles de la bonne foi, en ce sens qu'il n'était pas établi qu'une conseillère de l'ORP avait laissé croire au responsable de la société qu'un licenciement sans justes motifs était encore admissible après l'expiration de la période d'essai d'un mois.
3.2 Par un premier moyen, la recourante reproche à la juridiction cantonale un déni de justice formel. Elle fait valoir que les premiers juges ont nié l'existence de justes motifs de résiliation immédiate en se contentant d'examiner les motifs contenus dans la lettre de résiliation des rapports de travail du 23 février 2007. Selon la recourante, la juridiction cantonale aurait dû plutôt examiner le point de savoir si la transaction conclue devant la juridiction des Prud'hommes équivalait ou non au gain du procès par l'assurée dans le litige en matière de droit du travail. En effet, la recourante soutient qu'elle pouvait admettre de bonne foi, à la lecture de la décision de l'ORP du 28 février 2007, qu'elle n'aurait pas à restituer les allocations d'initiation au travail au cas où son ex-employée n'obtiendrait pas gain de cause devant la juridiction des Prud'hommes. Car cette décision contenait l'indication selon laquelle l'ORP pouvait revenir sur son acceptation partielle des allocations d'initiation au travail « si l'assurée devait obtenir gain de cause auprès des Prud'hommes ». Aussi, la recourante est-elle d'avis que le gain du procès par l'intéressée était « la condition sine qua non » d'un réexamen de la décision d'octroi des allocations d'initiation au travail. D'ailleurs, sur la foi des assurances contenues dans la décision du 28 février 2007, la recourante avait préféré accepter de transiger devant la juridiction des Prud'hommes. Or, cette transaction en vertu de laquelle l'assurée a obtenu 4'000 fr. pour solde de tout compte ne permet pas d'inférer que celle-ci a obtenu gain de cause, puisque le montant susmentionné ne représentait que 15% des prétentions invoquées par l'intéressée devant ladite juridiction.
Ce grief est mal fondé. La mention en cause contenue dans la décision du 28 février 2007 ne limitait pas le droit de l'ORP de revenir sur sa décision d'octroi des allocations d'initiation au travail pour la période du 21 novembre 2006 au 27 février 2007. Lorsque, comme en l'espèce, le versement des allocations d'initiation au travail est soumis à la condition résolutoire du respect du contrat de travail, l'administration peut révoquer une décision d'octroi de telles prestations en cas de violation des obligations contractuelles par l'employeur, notamment en cas de résiliation des rapports de travail sans justes motifs avant l'échéance du délai indiqué par l'administration dans sa décision d'octroi (ATF 126 V 42 consid. 2a p. 45). Cependant, l'existence de justes motifs de licenciement immédiat peut être niée par l'administration sans qu'il soit nécessaire qu'une autorité judiciaire compétente en matière de droit du travail statue préalablement dans ce sens. Le fait qu'en l'occurrence le procès devant la juridiction des Prud'hommes s'est terminé par une transaction n'empêchait dès lors pas l'ORP de revenir sur sa décision d'octroi de prestations du 28 février 2007, au motif qu'il n'existait pas de justes motifs de licenciement immédiat.
Certes, il faut réserver l'éventualité où une indication contenue dans la décision en question constituerait un renseignement erroné pouvant obliger l'autorité, en vertu du droit à la protection de la bonne foi consacré à l'art. 9 Cst. - et pour autant que certaines conditions soient réunies - à respecter ses promesses et éviter de se contredire (ATF 121 V 65 consid. 2a p. 66 et les références). En l'occurrence, les conditions de ce droit ne sont toutefois pas réalisées. En effet, l'indication contenue dans la décision du 28 février 2007, selon laquelle ladite décision était susceptible d'être modifiée si l'assurée devait obtenir gain de cause devant la juridiction des Prud'hommes n'est certainement pas erronée. D'ailleurs, la recourante ne le prétend pas. Au demeurant, il n'est pas établi ni même sérieusement allégué que l'intéressée s'est fondée sur cette indication pour prendre des dispositions qu'elle ne saurait modifier sans subir un préjudice.
Le moyen de la recourante tiré d'un déni de justice formel apparaît ainsi mal fondé.
3.3 Par un deuxième moyen, la recourante reproche à la juridiction cantonale une violation de son droit d'être entendue en ce qui concerne son grief tiré de la violation des règles de la bonne foi au sujet de la validité d'un licenciement notifié après le temps d'essai. Elle relève que la juridiction cantonale s'est fondée sur un procès-verbal d'entretien téléphonique du 13 décembre 2006 établi par une conseillère en placement de l'ORP, pour écarter son allégation selon laquelle ladite conseillère aurait laissé croire au responsable de la société qu'un licenciement sans justes motifs était encore admissible après l'expiration de la période d'essai d'un mois. A cet égard, la recourante allègue une violation de son droit d'être entendue, au motif que ce procès-verbal n'a été porté à sa connaissance que le 26 octobre 2007, avec les déterminations de l'ORP sur son recours devant la juridiction cantonale, soit après la survenance du litige.
Ce grief est mal fondé. Le 1er novembre 2007, la juridiction cantonale a donné la possibilité à Z._ SA de se déterminer sur la réponse de l'Office de l'emploi et les déterminations de l'ORP, de sorte que la recourante avait tout loisir de s'exprimer sur le procès-verbal en question dans sa réplique adressée à la juridiction cantonale le 14 novembre 2007.
3.4 Par un troisième moyen, la recourante s'en prend aux constatations de la juridiction cantonale au sujet de l'absence de justes motifs de licenciement immédiat. A ce sujet, elle reproche aux premiers juges de s'être fondés uniquement sur la lettre de résiliation des rapports de travail du 23 février 2007. Ce faisant, la juridiction cantonale n'a pas tenu compte de deux pièces versées au dossier, lesquelles, selon la recourante, permettaient d'admettre l'existence de justes motifs de licenciement immédiat. Il s'agit en l'occurrence de décomptes des heures de présence de l'assurée indiquant diverses absences injustifiées, ainsi qu'une carte de visite d'une entreprise concurrente laissant à penser que l'assurée accomplissait des travaux pour le compte de cette entreprise.
Ce grief doit être écarté. L'employeur n'a pas mentionné des absences injustifiées ni le soupçon d'exécution de travaux pour un concurrent dans sa lettre de résiliation des rapports de travail du 23 février 2007. Aussi doit-on considérer qu'aux yeux de l'employeur, ces absences injustifiées et les soupçons au sujet de l'assurée ne constituaient pas des circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettaient pas d'exiger de lui la continuation des rapports de travail (cf. art. 337 al. 2 CO). D'ailleurs, la juridiction cantonale était fondée à examiner l'existence éventuelle de justes motifs sur la base de la lettre de licenciement du 23 février 2007, sans avoir à rechercher s'il existait d'autres circonstances justifiant le licenciement immédiat de l'assurée.
3.5 Vu ce qui précède, la juridiction cantonale a considéré à bon droit que les rapports de travail avaient été résiliés sans justes motifs avant l'échéance du délai indiqué par l'administration dans sa décision d'octroi des allocations d'initiation au travail. Aussi la décision sur opposition litigieuse n'est-elle pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
4. Un émolument judiciaire doit être mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 900 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 12 septembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd