Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- a) Wird der Versicherte infolge des Unfalles invalid, so hat er Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 18 Abs. 1 UVG). Der Rentenanspruch entsteht, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind. Mit dem Rentenbeginn fallen die Heilbehandlung und die Taggeldleistungen dahin. Für den Monat, in dem der Rentenanspruch entsteht, wird die Rente voll ausbezahlt (Art. 19 Abs. 1 UVG).
b) Unbestritten und auf Grund der Akten ist erstellt, dass der Beschwerdeführer nebst den vom Unfall stammenden Fingerverletzungen an der linken Gebrauchshand an einem Carpaltunnelsyndrom, an einer lang dauernden depressiven Störung mit Anzeichen einer allmählichen Persönlichkeitsveränderung und weiteren unfallfremden, die Arbeitsfähigkeit beeinflussenden Krankheiten leidet (Gutachten der MEDAS vom 9. Februar 2000 und Bericht der Klinik H._ vom 5. August 1998). Auf Grund der Akten steht auch fest, dass hinsichtlich der Schnittverletzungen am linken Mittel- und Ringfinger im April 1998 kein behandlungsbedürftiger Zustand mehr bestand (vgl. Erw. 2c hienach). Nachdem die Beschwerdegegnerin im Einspracheentscheid vom 22. Januar 1999 die natürliche Kausalität des Carpaltunnelsyndroms zum Unfallereignis vom 13. Mai 1997 verneint hatte, gelangte das kantonale Gericht zum Schluss, die Sache sei insofern an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen, als diese mittels unabhängigem Gutachten abzuklären habe, ob das Carpaltunnelsyndrom unfallkausal und wenn ja, ob nach dessen Behandlung eine dauerhafte Einschränkung der Erwerbsfähigkeit zu erwarten ist. Je nach Ausgang dieses Gutachtens werde die Beschwerdegegnerin neu zu verfügen haben oder den bisherigen Entscheid noch einmal bestätigen müssen. In der Folge hat es die übrigen Einwendungen des Beschwerdeführers gegen den Einspracheentscheid vom 22. Januar 1999 geprüft und beurteilt. Diese Vorgehensweise des kantonalen Gerichts lässt sich entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers namentlich auch aus prozessökonomischen Gründen nicht beanstanden. Nachdem sich aus den Akten, insbesondere auch aus den vom Beschwerdeführer im letztinstanzlichen Verfahren eingereichten Unterlagen aus dem IV-Abklärungsverfahren ergibt, dass die Invalidenversicherung keine Eingliederungsmassnahmen durchgeführt hat und die Beschwerdegegnerin, je nach Ausgang der Abklärungen über die Unfallkausalität des Carpaltunnelsyndroms, auf ihren Einspracheentscheid und damit auch auf den Beginn der Berentung zurückkommen muss, bleiben dem Beschwerdeführer diesbezüglich alle Rechte gewahrt.
2.- a) Der Beschwerdeführer leidet an einer lang dauernden depressiven Störung nach Arbeitsunfall und konsekutiver Arbeitslosigkeit (Bericht der Klinik H._ vom 5. August 1998). Im Gutachten der MEDAS vom 9. Februar 2000 wird eine anhaltend ängstliche Depression mit Anzeichen einer allmählichen Persönlichkeitsveränderung, vermutlich ausgelöst durch den Unfall, verstärkt durch die hinzu gekommene körperliche Erkrankung und Verschärfung der sozialen Situation, diagnostiziert. Allein aus psychischen Gründen sei eine Arbeitsunfähigkeit im Umfange von 50 % erwiesen.
b) Streitig ist, ob es sich bei diesem psychischen Gesundheitsschaden um eine Folge des Unfalles vom 13. Mai 1997 handelt.
Die Leistungspflicht des Unfallversicherers nach UVG setzt voraus, dass der Versicherte einen Unfall erlitten hat (BGE 118 V 61 Erw. 2a und 283 Erw. 2a mit Hinweisen) und dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) ein natürlicher (BGE 119 V 337 Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b) und ein adäquater Kausalzusammenhang (BGE 122 V 416 Erw. 2a, 121 V 49 Erw. 3a mit Hinweisen) besteht. Hat der Versicherte beim Unfall - wie im vorliegenden Fall - weder ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS), noch eine dem Schleudertrauma äquivalente Verletzung (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 Erw. 2) oder ein Schädel-Hirntrauma erlitten, so erfolgt die Beurteilung der Adäquanz von psychischen Unfallfolgeschäden in den dem mittleren Bereich zuzuordnenden Fällen nach den Kriterien gemäss BGE 115 V 140 Erw. c/aa (siehe zur Begründung der teilweise unterschiedlichen Kriterien: BGE 117 V 366 Erw. 6a, letzter Absatz). Im Unterschied zu den bei Unfällen mit Schleudertrauma der HWS massgebenden Kriterien (vgl. dazu BGE 117 V 366 Erw. 6a und 382 Erw. 4b; vgl. auch BGE 123 V 99 Erw. 2) wird für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs bei psychischen Unfallfolgen zwischen physischen und psychischen Komponenten differenziert; als wichtigste Kriterien bei Unfällen aus dem mittleren Bereich gelten rechtsprechungsgemäss (BGE 115 V 140 Erw. 6c/aa):
- besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit
des Unfalls;
- die Schwere oder besondere Art der erlittenen (somatischen)
Verletzungen, insbesondere ihre erfahrungsgemässe
Eignung, psychische Fehlentwicklungen auszulösen;
- ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung;
- körperliche Dauerschmerzen;
- ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich
verschlimmert;
- schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen;
- Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit.
c) Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 13. Mai 1997 zu den eher leichteren Unfällen des mittleren Bereichs zugeordnet, da lediglich die Fingerkuppen und allenfalls noch das Handgelenk (Carpaltunnelsyndrom), nicht jedoch die ganze Hand oder noch weitere Gliedmassen beeinträchtigt worden seien. Dieser Betrachtungsweise ist beizupflichten. Weder die Art des Ereignisses (Schnittverletzung durch Rasenmäher) noch die dabei zugezogenen Verletzungen rechtfertigen eine andere Zuordnung (Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts in Sachen L. vom 22. November 2001, U 25/99). Zur Bejahung der Adäquanz ist daher erforderlich, dass ein einziges Kriterium in besonders ausgeprägter Weise erfüllt ist oder mehrere unfallbezogene Kriterien in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sind. Dies trifft im vorliegenden Fall entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht zu, wie das kantonale Gericht zu Recht festgestellt hat. Der Unfall ereignete sich weder unter besonders dramatischen Begleitumständen noch kann er als besonders eindrücklich bezeichnet werden. Bei den erlittenen Fingerverletzungen handelt es sich sodann nicht um schwere Verletzungen, die erfahrungsgemäss geeignet wären, eine psychische Fehlentwicklung auszulösen. Die ärztliche Behandlung der somatischen Unfallfolgen war hinsichtlich der Handverletzungen mit der Nachfolgeoperation am 22. September 1997 im Wesentlichen abgeschlossen. Anschliessend folgten physio- und ergotherapeutische Behandlungen. Im Frühjahr 1998 war der Beschwerdeführer hinsichtlich der somatischen Unfallfolgen praktisch wieder vollständig arbeitsfähig (vgl. Erw. 3c hienach). Von einer lang dauernden, physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit kann daher ebenso wenig die Rede sein wie von einem schwierigen Heilungsverlauf mit erheblichen Komplikationen, von einer ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung oder einer ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmerten. Dies ist selbst dann nicht der Fall, wenn das mehr als ein Jahr nach dem Unfall diagnostizierte Carpaltunnelsyndrom, welches als leichtgradig bezeichnet wird (Gutachten der MEDAS vom 9. Februar 2000), ebenfalls eine Unfallfolge sein sollte. Das kantonale Gericht hat daher zu Recht die Adäquanz des Kausalzusammenhangs verneint, weil dem Unfallereignis vom 13. Mai 1997 für die Entstehung des psychischen Gesundheitsschadens und der damit verbundenen Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit in Würdigung aller relevanten Umstände keine massgebende Bedeutung zukommt. Die Ablehnung der Leistungspflicht für die psychischen Gesundheitsstörungen erweist sich daher als rechtmässig, woran die weiteren Einwendungen des Beschwerdeführers nichts zu ändern vermögen.
3.- Streitig ist ferner der Invaliditätsgrad und die Befristung der Rente auf Ende März 2001.
a) Nach Art. 18 Abs. 2 Satz 1 UVG gilt als invalid, wer voraussichtlich bleibend oder für längere Zeit in seiner Erwerbsfähigkeit beeinträchtigt ist. Für die Bestimmung des Invaliditätsgrades wird das Erwerbseinkommen, das der Versicherte nach Eintritt der unfallbedingten Invalidität und nach Durchführung allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihm zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte, in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das er erzielen könnte, wenn er nicht invalid geworden wäre (Art. 18 Abs. 2 Satz 2 UVG). Der für die Invaliditätsbemessung bei Erwerbstätigen massgebende Einkommensvergleich hat in der Regel in der Weise zu erfolgen, dass die beiden hypothetischen Erwerbseinkommen ziffernmässig möglichst genau ermittelt und einander gegenübergestellt werden, worauf sich aus der Einkommensdifferenz der Invaliditätsgrad bestimmen lässt (allgemeine Methode des Einkommensvergleichs).
b) Die Gewährung einer befristeten Rente ist dann statthaft, wenn bereits anlässlich der Rentenfestsetzung vorauszusehen ist, dass sich die Auswirkungen auf die Erwerbsfähigkeit zufolge Anpassung und Angewöhnung der versicherten Person an die Unfallfolgen in absehbarer Zeit ausgleichen werden (BGE 106 V 50 Erw. 1; RKUV 1987 Nr. U 18 S. 309 Erw. 2b). Nach der Rechtsprechung bewirken Fingerverstümmelungen geringeren Ausmasses, insbesondere solche der vier Langfinger, erfahrungsgemäss trotz des bleibenden Defekts nach einer gewissen Phase der Anpassung und Angewöhnung keine oder nur noch eine minimale Verminderung der Erwerbsfähigkeit (BGE 106 V 50 Erw. 2a). Eine Angewöhnung kann aber auch bei Verlust des Daumengliedes eintreten (Rumo-Jungo, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, Bundesgesetz über die Unfallversicherung, 2. Aufl., Zürich 1995, S. 111). Die Anpassung und Angewöhnung eines Drehers an einen fehlenden halben Zeigefinger an der linken und einen fehlenden ganzen Zeigefinger an der rechten Hand hat das Eidgenössische Versicherungsgericht allerdings als unwahrscheinlich eingestuft, weil der betroffene Versicherte wegen der Amputation an beiden Zeigefingern nicht von der einen auf die andere Hand ausweichen konnte (SZS 1985 S. 209).
Bei abgestuften Renten kann im Zusprechungs- und allfälligen anschliessenden Rechtsmittelverfahren nur geprüft werden, ob die für die Befristung erforderliche Prognose sachgerecht gestellt wurde. Erst im Nachhinein kann dagegen beurteilt werden, ob sich diese Prognose bewahrheitet hat. Ist dies zu verneinen, muss die Rente auf Grund einer Revisionsverfügung weiter ausgerichtet werden (RKUV 1987 Nr. U 18 S. 310 Erw. 2b; Rumo-Jungo, a.a.O., S. 110; Maurer, Bundessozialversicherungsrecht, Bern 1993, S. 371). Dabei unterliegt eine befristete Rente sowohl dann der Revision, wenn sich die Prognose der Angewöhnung nicht bewahrheitet hat, als auch dann, wenn sich der Zustand verschlimmert (Rumo-Jungo, a.a.O., S. 128).
c) Aus den medizinischen Unterlagen geht hervor, dass der Beschwerdeführer eine Amputation des Endgliedes des Mittelfingers der linken Gebrauchshand aufweist. Ferner hat er beim Unfall eine Weichteilverletzung an der Fingerkuppe des linken Ringfingers erlitten, welche bereits im Januar 1998 nahezu beschwerdefrei gewesen ist (Bericht des Dr. med. E._ vom 29. Januar 1998). Zu einem Morbus Sudeck ist es beim Beschwerdeführer nicht gekommen, sondern nach Auffassung des Kreisarztes Dr. med. A._ im Bericht vom 22. Mai 1998 handelt es sich beim funktionellen Ausschluss des Mittelfingers um eine posttraumatische Verarbeitungsstörung. In diesem Bericht bezeichnet Dr. med. A._ den Beschwerdeführer im angestammten Beruf seit 20. Mai 1998 als zu 90 % arbeitsfähig. Dr. med. E._ geht im Bericht vom 27. März 1998 davon aus, dass in der momentanen Situation eine volle Arbeitsfähigkeit nicht gegeben sei. Eine Arbeitsfähigkeit von 50 % bei einem geeigneten Beruf sei vertretbar. Für leichte Arbeiten sei eine Arbeitsfähigkeit von 75 % wahrscheinlich gegeben. Frau Dr. med. B._, Leitende Ärztin Handchirurgie des Spitals F._, erachtet den Beschwerdeführer im Bericht vom 9. September 1998 als linkshändigen Sanitärspengler derzeit sicher 50 % arbeitsfähig, dies auf Grund der Veränderung an der linken Hand und der verschiedenen Begleiterkrankungen, die auch schwere Schlafstörungen wegen starken, nächtlichen Schmerzen beinhalten. Sollte das Carpaltunnelsyndrom auf die Behandlung ansprechen oder eine Dekompression des Nervus medianus am linken Handgelenk durchgeführt werden, sollte eine definitive Arbeitsfähigkeit als Sanitärspengler von 80 % durchaus möglich sein. Da der Versicherte in Mazedonien acht Jahre Grundschule und zwei Jahre Gymnasium absolviert habe, sei auch an eine Umschulung zu denken, zumal der Versicherte recht gut Deutsch spreche. Als Handicap komme aber die Linkshändigkeit zum Tragen. Eine neue Tätigkeit sollte vor allem mit der rechten Hand durchgeführt werden können. Insgesamt stehe einer Tätigkeit, z.B. beratend oder im Verkauf, nichts im Wege.
d) Gestützt auf diese ärztlichen Unterlagen ist hinsichtlich der physischen Unfallfolgen und unter Ausklammerung des Carpaltunnelsyndroms für die Zeit vom 2. März 1998 bis Ende März 1998 von einer Arbeitsfähigkeit von 50 % und ab 1. April 1998 von einer praktisch vollständigen Arbeitsfähigkeit auszugehen. In diesem Zusammenhang ist nochmals darauf hinzuweisen, dass die Auswirkungen der unfallfremden Leiden auf die Arbeitsfähigkeit nicht zu berücksichtigen sind. Dem Beschwerdeführer sind, ohne dass es besonderer Eingliederungsmassnahmen bedürfte, alle Tätigkeiten zumutbar, die er vor allem mit der rechten Hand durchführen kann. Zu denken ist an Tätigkeiten wie Kontroll- und Überwachungsarbeiten, Portier, Botengänge, an eine Tätigkeit bei Bewachungsunternehmungen oder einfache Sortierarbeiten. Damit könnte der Beschwerdeführer ein Einkommen von rund 90 % des Validenlohnes erzielen (sog. Prozentvergleich). In Betracht zu ziehen ist auch, dass Fingerverstümmelungen geringeren Ausmasses trotz des bleibenden Defektes erfahrungsgemäss nach einer Phase der Anpassung und Angewöhnung keine oder nur noch eine minimale Verminderung der Erwerbsfähigkeit bewirken (BGE 106 V 50 Erw. 2a mit Hinweisen). Zudem sollte dem Beschwerdeführer, der mit der rechten Hand schreiben kann, die Umstellung von der linken Gebrauchshand auf die rechte Hand leichter fallen. Unter diesen Umständen hat das kantonale Gericht den von der SUVA auf 10 % festgesetzten Invaliditätsgrad und dessen Befristung auf drei Jahre zu Recht geschützt. Da auf Grund der Akten nichts gegen die für die Abstufung erforderliche Prognose der Angewöhnung spricht, kann erst im Nachhinein beurteilt werden, ob sich diese Prognose bewahrheitet hat. Die Herabsetzung der Invalidenrente kann somit erst bei deren Eintritt angefochten werden (RKUV 1987 Nr. U 18 S. 309 Erw. 2b, 1993 Nr. U 173 S. 146). Die SUVA wird daher im Zusammenhang mit der Abklärung der Unfallkausalität des Carpaltunnelsyndroms nun mehr auch zu prüfen haben, wie es sich mit der Revision der befristeten Rente verhält. Weitere Abklärungen in medizinischer und erwerblicher Hinsicht sind nicht erforderlich. Der Einspracheentscheid ist daher hinsichtlich der Festlegung der Arbeitsfähigkeit für die Zeit vom 2. März bis Ende März 1998, hinsichtlich der Höhe des Invaliditätsgrades und der Befristung der Rente rechtmässig.
4.- Was die ebenfalls umstrittene Frage der Integritätsentschädigung (Art. 25 UVG in Verbindung mit Art. 36 Abs. 2 UVV) anbelangt, ist mit Blick auf Anhang 3 zur UVV, in welchem der Bundesrat Richtlinien für die Bemessung der Integritätsschäden aufgestellt und in einer als gesetzmässig erkannten, nicht abschliessenden Skala (BGE 124 V 32 Erw. 1b mit Hinweisen) häufig vorkommende und typische Schäden prozentual gewichtet hat, nicht zu beanstanden, dass SUVA und kantonales Gericht hinsichtlich der Fingerverletzungen einen Anspruch auf Integritätsentschädigung verneint haben. Gemäss diesem Anhang beträgt der Integritätsschaden beim Verlust von mindestens zwei Gliedern eines Langfingers oder eines Gliedes des Daumens 5 %. Dem Beschwerdeführer wurde ein Endglied des Mittelfingers amputiert; ferner hat er eine Weichteilverletzung an der Fingerkuppe des Ringfingers erlitten. Diese Schäden liegen unter der Erheblichkeitsschwelle von 5 %. So hat das Eidgenössische Versicherungsgericht in RKUV 1997 Nr. U 278 S. 207 die Rechtsprechung bestätigt, wonach der Verlust von weniger als zwei Gliedern eines Langfingers die Erheblichkeitsschwelle von 5 % nicht erreicht.
Soweit in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde geltend gemacht wird, hinsichtlich der Beeinträchtigung der Hand sei die fortbestehende Über- und Druckempfindlichkeit und die eingeschränkte Beweglichkeit bei der Bemessung mitzuberücksichtigen, so ist darauf hinzuweisen, dass die Bemessung des Integritätsschadens nicht von besonderen Umständen des Einzelfalles abhängt. Ebensowenig geht es bei ihr um die Schätzung erlittener Unbill, sondern um die medizinisch-theoretische Ermittlung der Beeinträchtigung der körperlichen oder geistigen Integrität, wobei subjektive Faktoren ausser Acht zu lassen sind (BGE 115 V 147 Erw. 1, 113 V 221 Erw. 4b mit Hinweisen). Wie das kantonale Gericht ferner zu Recht festgehalten hat, steht noch nicht fest, ob das Carpaltunnelsyndrom unfallkausal ist und ob daraus allenfalls eine dauernde erhebliche Schädigung der körperlichen Integrität resultiert. Je nach Ausgang dieser Abklärungen wird die SUVA den Anspruch auf Integritätsentschädigung neu zu beurteilen haben.
5.- Im vorinstanzlichen Verfahren war schliesslich noch die Höhe des versicherten Verdienstes umstritten. Dabei hat das kantonale Gericht die Auffassung der SUVA bestätigt, wonach der versicherte Verdienst Fr. 38'191.- betrage. Hiezu werden in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde keine Einwendungen vorgebracht. Es kann daher auf die Erwägungen des kantonalen Gerichts verwiesen werden, zumal auf Grund der Akten feststeht, dass der Beschwerdeführer vor dem Unfall trotz der B-Jahresbewilligung die Arbeitsstelle jeweils Mitte Dezember verliess, zu seiner Familie nach Mazedonien zurückkehrte und im März des folgenden Jahres seine Arbeit wieder aufnahm.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
II. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht
des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für
Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 25. Januar 2002
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: