Fatti:
A. Nel 1997 il Comune di Campione d'Italia ha affidato la copertura dell'assistenza sanitaria dei suoi cittadini alla Cassa Malati A._ (in seguito CMA), agente per il tramite del suo responsabile per il Cantone Ticino C._. II contratto è stato rinnovato nel 2000.
A.a Per l'incasso dei premi, pagati mensilmente dall'Azienda sanitaria locale di Como, C._ ha utilizzato la sua relazione bancaria personale presso la banca B._, sulla quale ha fatto aprire una nuova rubrica denominata "CMA".
Tra il mese di maggio 1997 e il mese di giugno 2002 sono confluiti su tale conto premi per un totale di fr. 41'747'530.--.
A.b L'attuale controversia trae spunto dalle malversazioni commesse da C._ ai danni di CMA. Mediante trattenute mensili che oscillavano dal 3.37 % al 32.13 %, tra il mese di maggio 1997 e il mese di giugno 2002 C._ si è infatti appropriato di complessivi fr. 3'102'680.20.
A.c Il 13 giugno 2002 egli si è spontaneamente costituito al Ministero pubblico ticinese; gli atti cantonali sono silenti quanto all'esito del procedimento penale.
B. Sostenendo che C._ aveva aperto il conto e incassato i premi quale rappresentante diretto di CMA e che, di conseguenza, omettendo di verificare il suo diritto di disporre e di vigilare sulle operazioni da lui eseguite, la banca sarebbe venuta meno agli obblighi contrattuali assunti nei confronti dell'assicurazione, il 24 maggio 2004 A._assicurazioni - cessionaria dei diritti dell'omonima Cassa Malati - ha promosso azione davanti al Pretore di Locarno-Città onde ottenere dalla banca B._ il pagamento di fr. 3'140'000.--. Subordinatamente è stata asseverata la responsabilità della banca anche a prescindere da un rapporto contrattuale: sia per violazione del suo dovere d'informare l'avente diritto economico (l'assicurazione) delle malversazioni compiute dal titolare del conto (C._); sia per atto illecito, avendo omesso di identificare l'avente diritto economico al momento dell'apertura del conto, ciò che configurerebbe il reato punito dall'art. 305ter cpv. 1 CP.
La banca B._ ha contestato la petizione in ogni suo punto.
Con sentenza del 26 gennaio 2007 il Pretore ha integralmente respinto l'azione. Ammessa la validità della cessione da CMA a A._assicurazioni e, di conseguenza, la legittimazione attiva di quest'ultima, il giudice ha esaminato la tesi secondo la quale fra CMA e la banca sarebbe sorto un rapporto di conto-corrente, respingendola. Contrariamente a quanto preteso dall'assicurazione, il giudice ha infatti negato l'adempimento delle condizioni per poter ammettere che al momento dell'apertura della rubrica denominata "CMA" C._ avrebbe agito quale suo rappresentante diretto; dalle tavole processuali è emerso chiaramente ch'egli ha agito quale rappresentante indiretto. Non sussistendo alcun rapporto contrattuale con l'avente diritto economico del conto - ha proseguito il pretore - la banca non poteva essere resa responsabile per non aver informato l'assicurazione degli atti compiuti dal titolare del conto C._. Una responsabilità fondata sull'art. 2 CC è stata inoltre esclusa per il motivo che le azioni di C._ non erano così anomale da rendere necessario l'intervento della banca presso l'avente diritto economico. Da ultimo, è stata scartata anche una responsabilità della banca per atto illecito.
C. L'impugnativa interposta dalla soccombente contro la pronunzia pretorile è stata respinta il 2 maggio 2008 dalla II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino. Come il primo giudice, anche la massima istanza ticinese ha negato che C._ avesse agito quale rappresentante diretto dell'assicurazione nei confronti della banca così come ha negato, a prescindere dalla questione della rappresentanza, l'esistenza di un obbligo d'informazione della banca verso l'assicurazione in quanto avente diritto economico sul conto. Anche la decisione di escludere una responsabilità della banca per atto illecito è stata confermata.
D. Il 4 giugno 2008 A._assicurazioni è insorta davanti al Tribunale federale con un ricorso in materia civile volto a ottenere l'annullamento della sentenza cantonale e il rinvio della causa alla Corte ticinese per nuovo giudizio nel senso dei considerandi.
Nella risposta del 14 agosto 2008 la banca B._ ha proposto di dichiarare il ricorso irricevibile, in subordine di respingerlo. L'autorità cantonale non ha invece presentato osservazioni.
Diritto:
1. Il Tribunale federale si pronuncia d'ufficio e con pieno potere d'esame sulla propria competenza e sull'ammissibilità del rimedio esperito (art. 29 cpv. 1 LTF; DTF 133 III 462 consid. 2, 629 consid. 2).
1.1 Interposto tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF) dalla parte soccombente in sede cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF) contro una decisione finale (art. 90 LTF) pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 cpv. 1 LTF) in una causa civile di carattere pecuniario il cui valore litigioso supera fr. 30'000.-- (art. 74 cpv. 1 let. b LTF), il ricorso risulta ricevibile.
1.2 In coda al proprio allegato responsivo l'opponente mette in dubbio che il Tribunale federale possa rinviare la causa, facoltà che a suo dire è eccezionale nell'ambito del ricorso in materia civile. L'obiezione è infondata. Vero è che il rimedio ha principalmente effetto riformatorio (art. 107 cpv. 2 LTF) e che la ricorrente sarebbe quindi tenuta a specificare le modifiche auspicate (art. 42 cpv. 1 LTF); il rinvio rimane nondimeno inevitabile - e la semplice domanda in tal senso ammissibile - ogniqualvolta il giudizio cantonale non contenga gli accertamenti di fatto necessari per l'applicazione del diritto (DTF 133 III 489 consid. 3.1 con rinvii). È quanto potrebbe verificarsi nel caso in esame qualora le tesi ricorsuali dovessero rivelarsi fondate, la Corte ticinese non essendosi affatto interrogata sulla natura del contratto che la ricorrente sostiene si sia instaurato tra le parti né sull'asserita violazione dell'obbligo d'informare che ne potrebbe derivare.
2. Dinanzi al Tribunale federale la ricorrente si prevale della violazione del diritto federale, in particolare degli art. 2 e 8 CC nonché degli art. 32, 396 e 398 CO (art. 95 lett. a LTF); critica inoltre l'accertamento arbitrario dei fatti (art. 97 cpv. 1 LTF).
Le censure sono di per sé ammissibili. La loro formulazione - nella quale, come rilevato dall'opponente, questioni di fatto si sovrappongono e confondono con questioni di diritto - rende tuttavia necessario rammentare brevemente i principi che reggono il ricorso in materia civile prima di chinarsi sul contenuto del gravame.
2.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio il diritto federale (art. 106 cpv. 1 LTF).
Nondimeno, secondo l'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, l'atto di ricorso deve contenere le conclusioni della parte ricorrente e i motivi su cui esse si fondano. Occorre spiegare in maniera concisa perché l'atto impugnato violi il diritto federale. La motivazione dev'essere riferita all'oggetto del litigio, in modo che si capisca perché e su quali punti la decisione contestata è impugnata (DTF 133 IV 286 consid. 1.4).
Le esigenze di motivazione quando viene fatta valere la violazione di diritti fondamentali sono più rigorose; il Tribunale federale esamina infatti queste censure solo se il ricorrente le ha debitamente sollevate e motivate, come prescritto dall'art. 106 cpv. 2 LTF (DTF 134 II 244 consid. 2.2). Il campo di applicazione di questa norma corrisponde a quello del precedente ricorso di diritto pubblico per violazione dei diritti costituzionali e valgono pertanto le regole di motivazione poste dall'art. 90 cpv. 1 lett. b OG (DTF 133 III 638 consid. 2).
2.2 In linea di principio, il Tribunale federale fonda invece il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); giusta l'art. 105 cpv. 2 LTF può scostarsene solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (DTF 133 II 249 consid. 1.2.2 pag. 252). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere impugnato alle stesse condizioni (art. 97 cpv. 1 LTF); occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF). L'onere di esporre i motivi per i quali queste condizioni sarebbero adempiute spetta alla parte che propone una fattispecie diversa da quella contenuta nella sentenza impugnata.
2.3 Qualora venga fatto valere che nel quadro dell'accertamento dei fatti l'autorità cantonale ha violato il divieto dell'arbitrio, sancito dall'art. 9 Cost., la relativa censura deve ottemperare ai requisiti di motivazione posti dall'art. 106 cpv. 2 LTF. In applicazione di questa norma, il Tribunale federale esamina la pretesa violazione di diritti fondamentali soltanto se tale censura è stata espressamente invocata e motivata. Come già sotto l'egida dell'art. 90 cpv. 1 lit. b OG, le cui esigenze restano determinanti per le censure sottoposte al principio dell'allegazione secondo l'art. 106 cpv. 2 LTF (DTF 133 III 638 consid. 2 pag. 639), il ricorrente che lamenta una violazione del divieto d'arbitrio non può limitarsi a criticare la decisione impugnata come in una procedura d'appello, dove l'autorità di ricorso gode di cognizione libera, opponendo semplicemente la propria opinione a quella dell'autorità cantonale, bensì deve dimostrare, attraverso un'argomentazione chiara e dettagliata, che la decisione impugnata è manifestamente insostenibile (DTF 133 III 585 consid. 4.1 pag. 589; 130 I 258 consid. 1.3 pag. 262).
Per giurisprudenza invalsa, infatti, l'arbitrio non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura migliore rispetto a quella contestata; il Tribunale federale annulla la pronunzia criticata per violazione dell'art. 9 Cost. solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella sua motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (DTF 132 III 209 consid. 2.1 con rinvii). Con riferimento, più in particolare, all'apprezzamento delle prove e all'accertamento dei fatti, il giudice - il quale in questo ambito dispone di un ampio margine di apprezzamento - incorre nell'arbitrio se misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 129 I 8 consid. 2.1).
3. Ai fini dell'esame e del giudizio sul ricorso è opportuno rammentare brevemente l'oggetto (principale) del litigio.
3.1 Asserendo l'esistenza di un rapporto contrattuale fra CMA e la banca, che quest'ultima non avrebbe correttamente adempiuto, omettendo di sorvegliare le operazioni effettuate da C._ sul conto denominato "CMA", la ricorrente pretende dalla banca il rimborso dell'importo indebitamente sottrattole da C._.
La controversia verte dunque innanzitutto sulla questione di sapere se nel 1997, quando C._ ha aperto il conto denominato "CMA", si fosse instaurata una relazione contrattuale fra la banca e CMA. La risposta a tale quesito dipende a sua volta dalla questione di sapere se, al momento dell'apertura del conto, C._ avesse agito quale rappresentante diretto della ricorrente, così come da questa sostenuto, oppure quale rappresentante indiretto, come preteso dall'opponente.
3.2 La rappresentanza diretta - che si verifica quando una persona dichiara espressamente (art. 32 cpv. 1 CO) o tacitamente (art. 32 cpv. 2 CO) di agire a nome e per conto di un altro - fa infatti nascere i diritti e gli obblighi derivanti dal contratto direttamente in favore e a carico del rappresentato; il rappresentante non è vincolato dall'atto che è stato compiuto. Se al momento della conclusione del contratto il rappresentante non si è fatto conoscere come tale, il rappresentato diventa direttamente creditore o debitore nel solo caso in cui l'altro contraente dovesse inferire dalle circostanze la sussistenza di un rapporto di rappresentanza o gli fosse indifferente la persona con cui stipulava (art. 32 cpv. 2 CO).
La rappresentanza indiretta - che si verifica quando una persona agisce a nome proprio, ma per conto di un altro - non ha invece nessun effetto immediato sul "rappresentato"; il contratto vincola unicamente le parti contraenti. In questo caso il rappresentante funge da "prestanome", agisce "fiduciariamente" per il terzo. Nella pratica, la rappresentanza indiretta rappresenta uno strumento interessante per i casi in cui il rapporto di confidenza che permette la conclusione di un certo contratto sussiste solo fra il rappresentante e il terzo, per i casi in cui il rappresentato non desidera comparire in prima persona rispettivamente non può comparire in prima persona, come per esempio può accadere in borsa (Watter/Schneller in Basler Kommentar, n. 29 ad art. 32 CO). In siffatta evenienza, il "rappresentato" può acquisire i diritti o le obbligazioni derivanti dal contratto solamente mediante una cessione del credito o un'assunzione del debito - secondo i principi che reggono questi atti - dopo la stipulazione del contratto (art. 32 cpv. 3 CO).
Qualora il rappresentante abbia rivelato all'altro contraente che non agiva per conto proprio, la distinzione fra rappresentanza diretta e rappresentanza indiretta può rivelarsi delicata. Si ammetterà la rappresentanza diretta se il rappresentante ha comunque manifestato l'intenzione di agire per o a nome di un terzo, mentre se egli ha solamente espresso la volontà di agire per conto di un terzo, ma a nome proprio, la rappresentanza è indiretta. Ai fini del giudizio sull'una o l'altra forma di rappresentanza, si procede, se necessario, all'interpretazione del comportamento del rappresentante secondo il principio dell'affidamento (DTF 126 III 59 consid. 1b pag. 64).
3.3 Le circostanze di rilievo per l'esistenza del rapporto di rappresentanza diretto ai sensi dell'art. 32 cpv. 2 CO vanno allegate e provate da chi se ne prevale (DTF 100 II 200 consid. 8a pag. 211).
4. In concreto, a mente del giudice di primo grado, non solo la qui ricorrente non è riuscita a provare l'esistenza di un rapporto di rappresentanza diretta, ma dalle tavole processuali è emerso specificatamente che C._ ha agito quale rappresentante indiretto. Il direttore generale aggiunto di CMA all'epoca dei fatti, D._, sentito quale teste, ha infatti dichiarato che C._ gli aveva detto che il conto sul quale Campione doveva versare i premi concordati doveva essere intestato personalmente a lui. Inoltre, stando a quanto riferito dall'allora direttore generale di CMA, E._, i premi versati dall'Azienda sanitaria locale di Como confluivano dapprima sul conto personale di C._ per questioni antimafia. Questo significa, ha concluso il Pretore, che il conto venne aperto, d'accordo e con conoscenza della qui ricorrente, a nome di C._.
Nella sentenza impugnata, la Corte cantonale introduce il considerando dedicato alla valutazione del tipo di rappresentanza verificatosi nella fattispecie in rassegna, con la seguente affermazione: "Non è contestato che C._ abbia agito nei rapporti con la banca B._ in nome proprio e non in nome di CMA, seppure per conto di quest'ultima. Trattasi quindi di un rapporto di rappresentanza indiretta con la conseguenza che parti nel rapporto contrattuale sono la banca B._ e C._". Nel prosieguo procede tuttavia all'interpretazione del comportamento delle parti secondo il principio dell'affidamento, come auspicato dalla ricorrente, giungendo al medesimo risultato del Pretore, sostanzialmente per gli stessi motivi.
5. Dinanzi al Tribunale federale la ricorrente insorge contro l'affermazione secondo cui non sarebbe stato contestato che nei rapporti con la banca B._ C._ aveva agito a nome proprio e non a nome di CMA (5.1), sostiene che l'agire di C._ quale rappresentante diretto avrebbe in ogni caso dovuto essere presunto, vista la sua funzione in seno alla cassa malati e l'entità dell'affare (5.2) e, infine critica l'interpretazione del comportamento di C._ secondo il principio dell'affidamento effettuata dai giudici ticinesi, prevalendosi in particolare della violazione dell'art. 8 CC (5.3).
Gli argomenti della ricorrente sono destinati all'insuccesso.
5.1 L'affermazione contestata attiene ai fatti, e più precisamente ai cosiddetti fatti procedurali (sentenza 4A_251/2007 del 6 dicembre 2007 consid. 4.1), che possono essere censurati soltanto entro i limiti e con le argomentazioni descritte al consid. 2.2. Ora, definire genericamente un accertamento di fatto "del tutto privo di fondamento", come fa la ricorrente, è certamente motivazione insufficiente.
5.2 La presunzione invocata dalla ricorrente - contraria a quella enunciata dalla Corte ticinese, secondo la quale una parte conclude di regola affari in nome proprio e per proprio conto, invero non così scontata (cfr. Roger Zäch in Berner Kommentar, n. 181 e 186 ad art. 32 CO) - non trova nessun riscontro né in dottrina né in giurisprudenza. L'unico commentatore ch'essa cita (Zäch, op. cit., n. 183 ad art. 32 CO) menziona d'altronde il ruolo usuale del rappresentante e l'oggetto del contratto solo tra gli indizi interpretativi a favore della rappresentanza, senza dedurne una presunzione vera e propria.
5.3 Ma, soprattutto, l'argomentazione ricorsuale si rivela infondata perché, come rilevato dall'opponente, in concreto non sono dati i presupposti per procedere all'applicazione dell'art. 32 cpv. 2 CO e per l'interpretazione normativa (secondo il principio dell'affidamento) del comportamento dell'asserito rappresentante.
5.3.1 Ciò rende d'acchito inconferente la censura fondata sull'art. 8 CC, che i giudici cantonali avrebbero violato negando l'esistenza di prove suscettibili di dimostrare che la volontà di C._ di agire quale rappresentante dell'assicurazione era desumibile dalle circostanze. Giovi comunque abbondanzialmente osservare che la ricorrente travisa la portata dell'art. 8 CC. Questa norma regola, per tutti i rapporti giuridici retti dal diritto civile federale, la ripartizione dell'onere probatorio e, pertanto, le conseguenze dell'assenza di ogni prova (DTF 130 III 321 consid. 3.1 pag. 323); essa non disciplina per contro l'apprezzamento probatorio (DTF citato; 127 III 519 consid. 2a pag. 522 con rinvii).
5.3.2 L'interpretazione normativa è esclusa perché dai fatti accertati dalle autorità giudiziarie cantonali emerge inequivocabilmente che C._ ha aperto il conto "CMA" presentandosi quale rappresentante indiretto di CMA (DTF 132 III 268 consid. 2.3.2 pag. 274).
5.3.2.1 È stato in particolare accertato che, con il consenso di CMA, la quale aveva esplicitamente approvato l'apertura del conto secondo queste modalità, C._ ha chiesto alla banca di aprire la rubrica denominata "CMA" a suo nome, su di una relazione bancaria intestata a lui personalmente, e non a nome di CMA.
La ricorrente contesta questi accertamenti per il motivo che C._, sentito quale teste, avrebbe negato entrambe le circostanze. A suo dire, sarebbero stati i funzionari della banca a fargli aprire una nuova rubrica sulla sua relazione bancaria personale e le modalità di apertura di tale rubrica non sarebbero mai state da lui discusse con CMA.
Formulata in maniera generica e apodittica la censura, rivolta contro l'apprezzamento delle prove, che la ricorrente definisce arbitrario, manifestamente non è motivata in maniera conforme ai requisiti descritti al consid. 2.2. La decisione dei giudici ticinesi di ritenere inaffidabile la testimonianza di C._, ovviamente interessato a sgravare la propria posizione, a fronte di quelle in senso contrario dei funzionari di banca e del direttore generale aggiunto di CMA all'epoca dei fatti, è a ogni modo del tutto sostenibile.
5.3.2.2 La contestazione mossa dalla ricorrente contro l'accertamento secondo cui CMA aveva autorizzato C._ a procedere come da lui suggerito è comunque anche poco seria se si considera che tale accertamento si basa sulla deposizione dell'allora direttore generale aggiunto di CMA. Certo, l'accordo all'apertura del conto secondo le note modalità era stato dato sulla base dell'informazione fallace per cui la regolamentazione italiana impediva l'apertura di un conto intestato direttamente a CMA, ma questo non influisce sulla questione della rappresentanza. Qualunque sia stato il motivo che l'ha indotta a prendere tale decisione, resta il fatto che CMA ha accettato che C._ agisse quale suo rappresentante indiretto nei confronti della banca.
5.3.2.3 Che lei per prima non si sia mai considerata partner contrattuale della banca lo dimostra infine anche il fatto che, nei sei anni successivi all'apertura della nota rubrica, CMA non ha mai preso contatto con l'opponente, lasciando completa libertà a C._ nella gestione del conto (cfr. DTF 100 II 200 consid. 8c pag. 213).
5.4 In conclusione, avendo C._ agito quale rappresentante indiretto di CMA, merita di essere confermata la decisione dei giudici ticinesi di negare l'esistenza di un rapporto contrattuale diretto fra la banca e CMA e, di conseguenza, di respingere la richiesta di risarcimento in quanto fondata sulla violazione degli obblighi contrattuali da parte della banca.
6. Ma anche a prescindere dalla questione della rappresentanza e dell'esistenza di un rapporto contrattuale diretto, la ricorrente è dell'avviso che l'opponente, perfettamente a conoscenza del fatto che CMA era l'avente diritto economico del conto, avrebbe dovuto comunque informarla dell'agire del titolare del conto.
La ricorrente dichiara di sapere che, per dottrina e giurisprudenza, di principio la banca non è tenuta a fornire informazioni all'avente diritto economico. Si richiama tuttavia al caso eccezionale in cui la banca viene a conoscenza di atti fraudolenti commessi dal titolare del conto ai danni dell'avente diritto economico. Se la Corte cantonale avesse proceduto a un accertamento dei fatti accurato e completo, e non lacunoso e arbitrario, essa sarebbe giunta alla conclusione che tale eventualità si è realizzata nella fattispecie in esame.
6.1 A mente della ricorrente, la banca si trovava confrontata a una situazione sicuramente sospetta dato che: "si trattava in realtà di un semplice conto di giro, sospetto per definizione; vedeva confluire sul conto importi ingentissimi, che sapeva perfettamente essere destinati alla ricorrente; tale conto era amministrato da C._, persona che [...] la banca sapeva essere in gravi difficoltà finanziarie". E l'appropriazione dei fondi era evidente, visto che il denaro veniva trasferito direttamente dalla rubrica "CMA" a quella ipotecaria. Per la ricorrente, anche tenendo conto del fatto che C._ aveva la facoltà di disporre della rubrica e aveva diritto a una parte dei fondi depositati, come dichiarato dai funzionari della banca uditi quali testi, la modalità dei prelievi - girate dirette a favore del conto ipotecario - così come la loro entità - ad esempio fr. 400'000.-- nei soli primi tre mesi - avrebbe dovuto risvegliare l'attenzione della banca e indurla ad allarmare l'avente diritto economico, a lei ben nota, o perlomeno a chiedere spiegazioni.
6.2 Come rilevato sia dai giudici ticinesi sia dalla ricorrente, in assenza di un rapporto contrattuale, la banca non era di principio tenuta a informare l'avente diritto economico di un conto delle operazioni effettuate dal titolare dello stesso. Nelle circostanze del caso concreto, non può nemmeno entrare in linea di conto una responsabilità extracontrattuale, fondata sulla fiducia (cfr. sentenza 4C.108/2002 del 23 luglio 2002 consid. 3c/aa, in Pra 2003 n. 51 pag. 244).
Stando a quanto accertato nella sentenza impugnata - e non contestato - la banca opponente sapeva che C._, responsabile generale della ricorrente per il Canton Ticino, incassava i premi pagati mensilmente dall'Azienda sanitaria locale di Como per conto della ricorrente, con l'obbligo di riversarli poi a lei, una volta dedotte le sue provvigioni e le spese connesse all'attività dell'ufficio. Essa non sapeva, per contro, quali fossero le ragioni che avevano spinto la ricorrente a rinunciare all'apertura di un conto intestato a lei, né tantomeno conosceva gli accordi interni fra la ricorrente e il suo agente per il Cantone Ticino; i rapporti interni fra CMA e C._, suo rappresentante indiretto, erano per la banca delle cosiddette res inter alios acta (DTF 100 II 200 consid. 8a pag. 211). Visto ch'essa lo aveva autorizzato a incassare i premi su di un conto intestato a lui personalmente, l'opponente poteva senz'altro legittimamente ritenere ch'egli godesse di un'ampia autonomia nella gestione del conto, tanto più che la ricorrente non si è mai manifestata direttamente presso di lei. In queste circostanze il fatto che la banca non sia stata insospettita dalle manovre di C._ appare comprensibile. L'affermazione della ricorrente secondo la quale la modalità dei prelievi avrebbe dovuto risvegliare l'attenzione della banca, visto che si trattava sempre di girate dirette alle rubriche ipotecarie personali, non trova riscontro nella sentenza impugnata e la ricorrente non indica su quale mezzo di prova essa fondi tale affermazione, ragione per cui non può essere tenuta in considerazione. Per quanto riguarda il loro ammontare, altro elemento che a dire della ricorrente avrebbe dovuto allarmare la banca, si osserva che se "la situazione era talmente palese che non si poteva non notarla", come viene sostenuto nel gravame, mal si comprende che la ricorrente, vittima delle malversazioni, non si sia mai accorta, durante sei anni, del denaro che le veniva sistematicamente sottratto.
6.3 Tenuto conto di quanto appena esposto, la Corte cantonale non ha violato il diritto federale negando un obbligo dell'opponente d'informare l'avente diritto economico del conto dei prelievi effettuati dal titolare ed escludendo, di conseguenza, ogni suo obbligo di risarcimento della perdita subita. Non tocca alla banca sopportare le conseguenze della fiducia cieca (mal)riposta da CMA nel suo collaboratore (cfr. sentenza 4C.108/2002 del 23 luglio 2002 consid. 3c/bb, in Pra 2003 n. 51 pag. 244).
7. In conclusione, il ricorso dev'essere integralmente respinto.
Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 e 2 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 20'000.-- sono poste a carico della ricorrente, la quale rifonderà all'opponente fr. 22'000.-- per ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.