Sachverhalt:
A. X._ wurde am 5. August 2006 von Y._ mit einem Kopfstoss niedergeschlagen. Dabei erlitt X._ Verletzungen am Kiefer und an der Oberlippe.
Am 8. Dezember 2006 verzichtete X._ gegenüber seiner Versicherung, bei welcher er gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert war, auf den Erwerbsausfallschaden und weitere Leistungen. Im Gegenzug verzichtete die Versicherung auf die Erstattung einer Strafanzeige wegen Erschleichens einer Leistung und Betrugs sowie auf die Einforderung von Kosten, die durch widersprüchliche Angaben entstanden.
Am 9. August 2007 ersuchte X._ beim Amt für Sozialbeiträge Basel-Stadt um Entschädigung und Genugtuung. Auf seinen Antrag hin sistierte es das Verfahren.
Die Strafgerichtspräsidentin Basel-Stadt verurteilte Y._ am 7. April 2008 unter anderem wegen einfacher Körperverletzung und verpflichtete ihn zur Leistung einer Parteientschädigung und Genugtuung an X._. Dessen Schadenersatzforderung verwies sie auf den Zivilweg.
B. Am 14. August 2008 ersuchte X._ beim Amt für Sozialbeiträge um die Ausrichtung von Schadenersatz und Genugtuung sowie einer Parteientschädigung.
Mit Verfügung vom 11. Juni 2009 sprach das Amt für Sozialbeiträge X._ eine Genugtuung von Fr. 500.-- zu und wies die übrigen Begehren ab.
Dagegen führte X._ Rekurs beim Appellationsgericht Basel-Stadt, als Verwaltungsgericht. Dieses wies den Rekurs mit Urteil vom 7. Januar 2010 ab.
C. X._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die teilweise Aufhebung des Urteils des Appellationsgerichts und die Ausrichtung einer Entschädigung im Sinne seines Opferhilfegesuchs.
Das Appellationsgericht beantragt unter Verzicht auf eine Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde. Das Amt für Sozialbeiträge und das Bundesamt für Justiz haben sich vernehmen lassen. Sie beantragen je die Abweisung der Beschwerde. In der Replik hält X._ an seiner Beschwerde fest.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss Art. 82 lit. a BGG die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben. Ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG besteht nicht.
1.2 Die Vorinstanz hat als oberes Gericht kantonal letztinstanzlich entschieden. Gegen ihr Urteil ist die Beschwerde nach Art. 86 Abs. 1 lit. d in Verbindung mit Abs. 2 BGG zulässig.
1.3 Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.4 Das angefochtene Urteil schliesst das Verfahren ab. Es handelt sich um einen Endentscheid, gegen welchen die Beschwerde gemäss Art. 90 BGG zulässig ist. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer ist Opfer der am 5. August 2006 gegen ihn verübten Straftat. Er beantragt finanzielle Opferhilfe.
Gemäss Art. 48 des Bundesgesetzes vom 23. März 2007 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (OHG; SR 312.5) gilt das bisherige Recht für Ansprüche auf Entschädigung oder Genugtuung für Straftaten, die vor Inkrafttreten dieses Gesetzes verübt worden sind. Es ist demnach das OHG in der vor dem 1. Januar 2007 geltenden Fassung (aOHG) anwendbar.
2.2 Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe Art. 14 aOHG falsch ausgelegt. Er habe nur gegenüber seiner Versicherung verzichtet, nicht aber gegenüber dem Täter und dessen allfälligen Haftpflichtversicherung. Die Forderung gegenüber dem Täter könne immer noch an den Staat abgetreten werden. Der Verzicht gegenüber der eigenen Versicherung sei nichtig im Sinne von Art. 23 Abs. 2 ATSG. Die Klärung dieser Frage hätte aber zu einem langwierigen Verfahren geführt. Ohne den Verzicht des Beschwerdeführers hätte die Versicherung Strafanzeige erstattet und sich auf eine Vertragsverletzung berufen. Auch das hätte zu aufwändigen Verfahren geführt. Die Opferhilfe wolle aber gerade verhindern, dass das Opfer zur Durchsetzung seiner Ansprüche einen an Kosten- und Beweislastrisiken reichen Zivilprozess gegen den Täter anstrengen müsse. Das Handeln des Beschwerdeführers sei nicht offensichtlich rechtsmissbräuchlich.
2.3 Die Opfer einer in der Schweiz verübten Straftat können im Kanton, in dem die Tat verübt wurde, eine Entschädigung oder Genugtuung geltend machen (Art. 11 Abs. 1 Satz 1 aOHG). Leistungen, die das Opfer als Schadenersatz erhalten hat, werden von der Entschädigung abgezogen (Art. 14 Abs. 1 Satz 1 aOHG). Hat die Behörde eine Entschädigung oder Genugtuung zugesprochen, so gehen die Ansprüche, die dem Opfer aufgrund der Straftat zustehen, im Umfang der Entschädigung oder der Genugtuung an den Kanton über. Diese Ansprüche haben Vorrang vor den verbleibenden Ansprüchen des Opfers und den Rückgriffsansprüchen Dritter (Art. 14 Abs. 2 aOHG).
2.4 Der Beschwerdeführer hat auf Leistungen seiner Versicherung, bei der er gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert war, verzichtet.
Gemäss Art. 72 Abs. 1 ATSG tritt der Versicherungsträger gegenüber einem Dritten, der für den Versicherungsfall haftet, im Zeitpunkt des Ereignisses bis auf die Höhe der gesetzlichen Leistungen in die Ansprüche der versicherten Person und ihrer Hinterlassenen ein. Dabei ist die Subrogation in Umfang und Art beschränkt (Art. 73 und Art. 74 ATSG).
Verzichtet die versicherte Person nach Eintritt des Ereignisses auf Versicherungsleistungen, müsste an sich die bereits eingetretene Subrogation (mittels Rückzession) rückabgewickelt werden. Ihrer Höhe nach ist sie aber gleichsam null (ALEXANDRA RUMO-JUNGO, Haftpflicht und Sozialversicherung, 1998, N. 973; UELI KIESER, ATSG Kommentar, 2. Auflage 2009, N. 14 zu Art. 72 ATSG). Die zivilrechtliche Forderung des Opfers gegenüber dem Schädiger ist folglich weder unter- noch auf den Versicherungsträger übergegangen. Die Geltendmachung von Opferhilfeansprüchen scheitert daher nicht am Fehlen eines Anspruches des Beschwerdeführers gegenüber dem Schädiger. Vielmehr verstösst das Verhalten des Beschwerdeführers gegen Treu und Glauben.
Verzichtet die versicherte Person nach Eintritt des Ereignisses auf Versicherungsleistungen, müsste an sich die bereits eingetretene Subrogation (mittels Rückzession) rückabgewickelt werden. Ihrer Höhe nach ist sie aber gleichsam null (ALEXANDRA RUMO-JUNGO, Haftpflicht und Sozialversicherung, 1998, N. 973; UELI KIESER, ATSG Kommentar, 2. Auflage 2009, N. 14 zu Art. 72 ATSG). Die zivilrechtliche Forderung des Opfers gegenüber dem Schädiger ist folglich weder unter- noch auf den Versicherungsträger übergegangen. Die Geltendmachung von Opferhilfeansprüchen scheitert daher nicht am Fehlen eines Anspruches des Beschwerdeführers gegenüber dem Schädiger. Vielmehr verstösst das Verhalten des Beschwerdeführers gegen Treu und Glauben.
2.5 2.5.1 Ob der Beschwerdeführer die Voraussetzungen für die Gewährung einer Entschädigung erfüllt, wurde bisher nicht geklärt. Wäre davon auszugehen, dass die Voraussetzungen für die Gewährung einer Entschädigung erfüllt sind und hätte die Versicherung die Leistung erbracht, wäre diese von der nach Opferhilfegesetz vom Kanton geschuldeten Entschädigung abzuziehen (Art. 14 Abs. 1 aOHG). Bei Zuspruch einer Entschädigung durch den Kanton gingen die dem Opfer gegenüber der Versicherung zustehenden Ansprüche im Umfang der Entschädigung auf den Kanton über (Art. 14 Abs. 2 aOHG).
Infolge des Verzichts des Beschwerdeführers gegenüber der Versicherung erbringt diese keine Leistung. Damit hat der Beschwerdeführer verhindert, dass der Kanton die vom Versicherungsträger erbrachten Leistungen abziehen oder auf diesen Rückgriff nehmen könnte. Er hat insofern das im Gesetz vorgesehene Rückgriffsrecht des Kantons ausgeschaltet. Dem Opferhilfe leistenden Kanton verbliebe der Rückgriff auf den Täter, der nach Feststellungen der Vorinstanz illiquid ist.
Wer als Opfer auf Leistungen gegenüber dem regressverpflichteten Versicherungsträger verzichtet, diese aber als Opferhilfe gegenüber dem Kanton einfordert, verhält sich gegenüber dem Kanton illoyal und handelt rechtsmissbräuchlich. Er verstösst gegen das auch für Private im Verkehr mit dem Staat geltende Gebot des Handelns nach Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 BV; YVO HANGARTNER, in: Die Schweizerische Bundesverfassung, Kommentar, 2. Auflage 2008, N. 43 zu Art. 5 BV). Solches Verhalten findet keinen Rechtsschutz.
2.5.2 Die Einwendung des Beschwerdeführers, er habe die Verzichtserklärung unter Druck bzw. einem Willensmangel abgegeben, weshalb der Verzicht nach Art. 23 ATSG nichtig sei, kann im vorliegenden Verfahren nicht gehört werden. Vielmehr hätte er sie gegenüber der Versicherung in einem entsprechenden Verfahren geltend machen müssen. Die Rüge, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, weil er entgegen den Ausführungen im angefochtenen Entscheid gegen die Einstellung der Leistungen der Versicherung protestiert habe, ist unbegründet, da sie für den Ausgang des Verfahrens nicht relevant ist (Art. 97 Abs. 1 BGG). Für das vorliegende Verfahren ist allein die Tatsache massgebend, dass der Versicherungsträger infolge des Verzichts keine Leistung erbringen muss und infolgedessen ein Regress auf diesen ausgeschlossen ist.
3. Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang wird der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Er hat ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gestellt. Das Verfahren vor Bundesgericht ist indessen kostenlos (vgl. Art. 16 aOHG; BGE 122 II 211 E. 4b S. 217 f.; Art. 30 OHG). Leichtsinnige oder mutwillige Prozessführung liegt nicht vor. Die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers kann angenommen werden. Er konnte sich zur Beschwerde veranlasst sehen und war dazu auf anwaltliche Unterstützung angewiesen. Die unentgeltliche Verbeiständung nach Art. 64 BGG wird daher bewilligt. Der Vertreterin des Beschwerdeführers wird eine angemessene Entschädigung ausgerichtet. Dem Beschwerdeführer wird keine Parteientschädigung zugesprochen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird gutgeheissen.
4. Der Vertreterin des Beschwerdeführers, Advokatin Helena Hess, wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'626.85 ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Sozialbeiträge Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Bundesamt für Justiz, Direktionsbereich Öffentliches Recht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Christen