Erwägungen:
1. Am 15. Januar 2008 ersuchte Z._ um die Bewilligung zum Bau zweier in der Höhe gestaffelter Baukörper an der Salzfassstrasse 26 in Luzern. Der Stadtrat Luzern bewilligte mit Entscheid vom 1. Juli 2008 das Bauvorhaben mit kleinen Änderungen und hiess die dagegen eingereichten Einsprachen teilweise gut, wies sie im Übrigen jedoch ab, soweit er darauf eintrat. Dagegen erhoben u.a. X._ und Y._ Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern fasste mit Urteil vom 17. September 2009 folgenden Rechtsspruch:
"1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerden werden teilweise gutgeheissen und der angefochtene Entscheid wird insofern abgeändert, als die offenen Räume und der Liftraum auf Niveau 6 sowie die Aussenisolationen im Sinne der Erwägungen 6b, 6c und 7c bei der Volumenberechnung zu berücksichtigen sind. Der Beschwerdegegner wird verpflichtet, der Vorinstanz eine nachvollziehbare geschossweise Volumenberechnung im Sinne der Erwägungen zur Genehmigung nachzureichen.
..."
2. X._ und Y._ führen mit Eingabe vom 22. Oktober 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Mit dem Urteil wird der Beschwerdegegner angewiesen, der Vorinstanz eine nachvollziehbare und übersichtliche geschossweise Volumenberechnung zur Genehmigung nachzureichen; das maximal zulässige Volumen von 1'044,7 m3 dürfe nicht überschritten werden. Das angefochtene Urteil hat somit noch nicht alle wesentlichen baurechtlichen Fragen betreffend das umstrittene Bauvorhaben letztinstanzlich entschieden. Es schliesst das Baubewilligungsverfahren somit nicht ab und stellt einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG dar.
4. 4.1 Gegen Vor- und Zwischenentscheide - die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (s. dazu Art. 92 BGG) - ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Ist die Beschwerde aufgrund von Art. 93 Abs. 1 BGG nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, so sind die betreffenden Vor- und Zwischenentscheide durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken.
Die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG sollen das Bundesgericht entlasten. Dieses soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen und sich überdies nicht bereits in einem frühen Verfahrensstadium ohne genügend umfassende Sachverhaltskenntnis teilweise materiell festlegen müssen. Können allfällige Nachteile in verhältnismässiger Weise auch noch mit einer bundesgerichtlichen Beurteilung nach Ausfällung des Endentscheids behoben werden, so tritt das Bundesgericht auf gegen Vor- und Zwischenentscheide gerichtete Beschwerden nicht ein (BGE 135 II 30 E. 1.3.2 S. 34 f.).
4.2 Die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG sind nicht erfüllt. Mit einer Gutheissung der Beschwerde könnte kein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart werden, geht es bei der noch offenen Frage lediglich um die Volumenberechnung.
4.3 Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ist ebenfalls nicht zu erkennen. Die Beschwerdeführer können sich gegen die beim Stadtrat Luzern neu einzureichende Volumenberechnung wirksam zur Wehr setzen. Allfällige Nachteile für die Beschwerdeführer können auch noch mit einer bundesgerichtlichen Beurteilung des Endentscheids behoben werden.
5. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Entsprechend dem Verfahrensausgang tragen die Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem obsiegenden Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung auszurichten, da ihm im vorliegenden Beschwerdeverfahren kein Aufwand entstanden ist (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Stadtrat von Luzern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli