Sachverhalt:
A. A.a A._ (Beschwerdeführer) reichte am 12. Juli 1996 beim Bezirksgericht Zürich (u.a.) gegen B._ eine negative Feststellungsklage ein mit den Begehren, es sei festzustellen, dass die Vereinbarung vom 21. März 1995 nicht zustande gekommen bzw. nichtig sei. Eventuell sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer den Beklagten aus der Vereinbarung vom 21. März 1995 nichts schulde. B._ beantragte die Abweisung der Klage und erhob Widerklage auf Bezahlung von DM 212'645'240.-- nebst Zins sowie - im Rahmen einer Stufenklage - auf Rechnungslegung und Auskunftserteilung, unter Vorbehalt der Nachklage. Das Bezirksgericht wies die Klage mit Teilurteil vom 25. April 2000 ab. Die Widerklage hiess es im als spruchreif erachteten Umfang gut, indem es den - nach dem Tod von B._ in den Prozess eingetretenen - Erbinnen (Beschwerdegegnerinnen) DM 116'498'407.-- nebst Zins zusprach. Ferner verpflichtete es den Beschwerdeführer, über die Verwendung der von B._ erhaltenen Vermögenswerte in einem bestimmten Zeitraum Rechnung zu legen und bestimmte Auskünfte zu erteilen.
Der Beschwerdeführer focht dieses Teilurteil beim Obergericht des Kantons Zürich an. Dieses bestätigte mit Urteil vom 9. Januar 2003 das Teilurteil des Bezirksgerichts, wobei es den Beschwerdeführer aber wegen der Einführung des Euro zur Zahlung von EUR 59'564'689.67 (entsprechend DM 116'498'407.--) nebst Zins verpflichtete. Mit Beschluss gleichen Datums wies es den Antrag des Beschwerdeführers, es sei auf die Widerklage nicht einzutreten, ab.
Im Anschluss daran wurde das Bundesgericht nicht angerufen. Hingegen erhob der Beschwerdeführer gegen den Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 9. Januar 2003 kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde mit Sitzungsbeschluss vom 17. November 2003 ab, soweit es darauf eintrat. Auch gegen diesen Beschluss wurde (vorerst) kein Rechtsmittel an das Bundesgericht ergriffen.
Erst mit Eingabe vom 8. Mai 2007 erhob der Beschwerdeführer gegen den Sitzungsbeschluss des Kassationsgerichts vom 17. November 2003 staatsrechtliche Beschwerde, nachdem in Florida Vollstreckungshandlungen betreffend das Urteil des Obergerichts vom 9. Januar 2003 eingeleitet worden waren. Mit Urteil vom 21. Mai 2007 trat das Bundesgericht auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht ein (Verfahren 4P.44/2007).
A.b Am 23. März 2005 entschied das Bezirksgericht Zürich über den bisher unbeurteilt gebliebenen Teil der Widerklage und sprach den Beschwerdegegnerinnen zusätzlich EUR 44'917'417.-- nebst Zins zu.
Gegen dieses Urteil erhob der Beschwerdeführer Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses beschloss am 11. Dezember 2008, es werde vorgemerkt, dass die Abweisung der die Kunstgegenstände und das nicht investierte Vermögen/Surrogate betreffenden Widerklage im EUR 44'917'417.-- übersteigenden Betrag am 20. Juni 2006 rechtskräftig geworden ist. Mit Urteil gleichen Datums verpflichtete es den Beschwerdeführer, den Beschwerdegegnerinnen als Solidargläubigerinnen EUR 44'917'417.-- nebst Zins zu bezahlen.
Gegen den Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 11. Dezember 2008 erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht sowie kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht. Das bundesgerichtliche Verfahren wurde bis zum Entscheid des Kassationsgerichts sistiert.
Mit Zirkulationsbeschluss vom 23. Juli 2009 trat das Kassationsgericht auf die Beschwerde gegen den Beschluss des Obergerichts vom 11. Dezember 2008 nicht ein. Das Urteil des Obergerichts vom 11. Dezember 2008 hob es in Gutheissung der Beschwerde auf und wies die Sache im Sinne der Erwägungen zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurück.
Am 5. August 2009 ersuchte der Beschwerdeführer das Bundesgericht, das sistierte Verfahren wieder aufzunehmen und die Beschwerde nach Durchführung des Schriftenwechsels zu behandeln.
B. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, es seien der Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 11. Dezember 2008, der Sitzungsbeschluss des Kassationsgerichts vom 17. November 2003 sowie der Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 9. Januar 2003 vollumfänglich aufzuheben. Es seien folgende in der Berufungsschrift vom 1. November 2000 gestellten Anträge des Beschwerdeführers gutzuheissen:
"b) Die vor erster Instanz erhobenen Anträge seien gutzuheissen, d.h.:
i) es sei festzustellen, dass die am 21. März 1995 zwischen dem Kläger und B._ geschlossene Vereinbarung nicht zustande gekommen ist.
Eventualiter zu i): Es sei festzustellen, dass der Kläger den Beklagten aus der Vereinbarung vom 21. März 1995 nichts schuldet.
ii) Auf die Widerklage sei nicht einzutreten.
Eventualiter zu ii): Die Widerklage sei abzuweisen.
Eventualiter zu 1b): Der Prozess sei zur Durchführung eines Beweisverfahrens und zur Neubeurteilung ans Bezirksgericht zurückzuweisen."
Der Beschwerdeführer beantragt eventualiter zum Antrag auf Gutheissung seiner in der Berufungsschrift gestellten Anträge, dass die Sache an das Obergericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen sei.
Die Beschwerdegegnerinnen begehren, die Beschwerde als gegenstandslos geworden abzuschreiben, soweit sie sich gegen das Urteil des Obergerichts vom 11. Dezember 2008 richtet. Soweit sich die Beschwerde gegen den Sitzungsbeschluss des Kassationsgerichts vom 17. November 2003 und das Urteil des Obergerichts vom 9. Januar 2003 richtet, sei auf sie nicht einzutreten. Sofern und soweit auf die Beschwerde eingetreten werde, sei sie abzuweisen.
Das Kassationsgericht und das Obergericht verzichten auf eine Vernehmlassung.
Am 29. September 2009 hat der Beschwerdeführer eine Replik eingereicht.
C. Mit Präsidialverfügungen vom 5. März 2009 bzw. vom 9. Juli 2009 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers, der Beschwerde mit Bezug auf den Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 9. Januar 2003 sowie den Sitzungsbeschluss des Kassationsgerichts vom 17. November 2003 aufschiebende Wirkung zu gewähren, abgewiesen.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1 S. 216 mit Hinweisen).
1.1 Der Beschwerdeführer ficht den Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 11. Dezember 2008 an.
1.1.1 Das Kassationsgericht ist auf die Nichtigkeitsbeschwerde gegen den Beschluss des Obergerichts vom 11. Dezember 2008 (Vormerknahme, dass die Abweisung der die Kunstgegenstände und das nicht investierte Vermögen/Surrogate betreffenden Widerklage im EUR 44'917'417.-- übersteigenden Betrag am 20. Juni 2006 rechtskräftig geworden ist) - mangels Rechtsschutzinteresses des Beschwerdeführers - nicht eingetreten. Diesen Beschluss hat das Kassationsgericht somit nicht aufgehoben, und er kommt als Anfechtungsobjekt in Betracht. Der Beschwerdeführer beantragt denn auch dessen Aufhebung. Er begründet jedoch nicht, weshalb er auch die Aufhebung des ihn formell nicht belastenden Beschlusses des Obergerichts begehrt und inwiefern er an dessen Anfechtung überhaupt ein Rechtsschutzinteresse hat. Auf die Beschwerde kann insoweit mangels Begründung nicht eingetreten werden (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
1.1.2 Das Kassationsgericht hat in Gutheissung der Nichtigkeitsbeschwerde des Beschwerdeführers das Urteil des Obergerichts vom 11. Dezember 2008 aufgehoben. Damit fiel diesbezüglich im Verlauf des bundesgerichtlichen Verfahrens das Anfechtungsobjekt dahin. Das Verfahren ist daher als gegenstandslos geworden abzuschreiben, soweit sich die Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts vom 11. Dezember 2008 richtet.
1.2 Der Beschwerdeführer ficht zusammen mit dem Entscheid des Obergerichts vom 11. Dezember 2008 den Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 9. Januar 2003 sowie den Sitzungsbeschluss des Kassationsgerichts vom 17. November 2003 an, mit dem dieses die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde gegen den Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 9. Januar 2003 abwies, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer stützt sich zur Anfechtung dieser Entscheide auf Art. 93 Abs. 3 BGG bzw. Art. 87 Abs. 3 OG. Danach sind nicht die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffende Vor- und Zwischenentscheide, welche nicht selbständig angefochten werden konnten oder wurden, durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken. Zu beachten ist, dass damit lediglich eine Möglichkeit zur Mitanfechtung des Zwischenentscheids im Rahmen der Anfechtung des Endentscheids eingeräumt wird. Der Zwischenentscheid kann jedoch nicht losgelöst von der Beschwerde gegen den Endentscheid angefochten werden (Corboz, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 40 zu Art. 93 BGG).
Dies bedeutet vorliegend, dass das Beschwerdeverfahren auch insoweit als gegenstandslos abzuschreiben ist, als der Beschluss und das Urteil des Obergerichts vom 9. Januar 2003 sowie der Sitzungsbeschluss des Kassationsgerichts vom 17. November 2003 durch Beschwerde gegen den - aufgehobenen - Endentscheid des Obergerichts vom 11. Dezember 2008 mitangefochten wurden.
Damit kann offen bleiben, ob eine Mitanfechtung dieser Entscheide (vgl. zur Qualifikation des Sitzungsbeschlusses vom 17. November 2003 als Teilentscheid Urteil 4P.44/2007 vom 21. Mai 2007 E. 3.2) unter der Herrschaft des BGG überhaupt zulässig wäre.
1.3 Der Beschwerdeführer plädiert dafür, die Beschwerde bezüglich des Beschlusses und des Urteils des Obergerichts vom 9. Januar 2003 sowie des Sitzungsbeschlusses des Kassationsgerichts vom 17. November 2003 trotz Wegfalls des Endentscheids zu behandeln. Wenn er sich dabei auf die Prozessökonomie und das Rechtsverzögerungsverbot beruft, so ist er darauf hinzuweisen, dass es ihm frei gestanden wäre, die Entscheide aus dem Jahre 2003 damals beim Bundesgericht anzufechten und nicht mit der Anfechtung zuzuwarten, bis der Endentscheid vorliegt. Die insgesamt lange Verfahrensdauer hat er sich damit selber zuzuschreiben.
2. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten bzw. das Verfahren ist als gegenstandslos abzuschreiben. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten, soweit sie sich gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Dezember 2008 richtet.
2. Das Verfahren wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben, soweit sich die Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Dezember 2008 sowie gegen den Beschluss und das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 9. Januar 2003 sowie den Sitzungsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 17. November 2003 richtet.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 20'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 100'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Klett Sommer