Sachverhalt:
A. A.a A. X._, B. X._, C. Y.-X._, D. X._, E. Z.-X._ und F. W.-X._ sind die Kinder der im Jahre 1996 verstorbenen Eheleute G. + H. X.-U._. Letztere hatten am 4. November 1994 einen Erbvertrag abgeschlossen, worin unter anderem festgelegt wurde, die Teilung des Nachlasses mit Zuweisung der Aktien der Gebr. X._ AG solle erst nach dem Ableben des zweitverstorbenen Ehegatten stattfinden. Dieser solle die notwendigen Massnahmen treffen, um den Weiterbetrieb der genannten Gesellschaft als modernen Mostereibetrieb zu gewährleisten.
A.b Mit Vertrag vom 11. Januar 2001 mietete A. X._ von der Gebr. X._ AG die im operativen Betrieb dieser Gesellschaft vorhandenen Gegenstände. Am 12. Januar 2001 wurde die Gebr. X._ AG auf X. V._ AG umbenannt, und mit Vertrag vom 18. Januar 2001 mietete A. X._ von dieser die Mosterei und Brennerei (Gewerbe- und Lagerräume an der T._strasse in S._). Am 23. Februar 2001 wurde unter der Firma "Gebr. X._ AG" eine neue Gesellschaft gegründet mit dem Gesellschaftszweck "Betrieb einer Mosterei und Brennerei". Einzelzeichnungsberechtigter Verwaltungsratspräsident ist A. X._.
A.c In Gutheissung eines Begehrens der X. V._ AG wurden A. X._ und die Gebr. X._ AG durch Verfügung des Einzelrichters am Bezirksgericht R._ vom 10. Februar 2006 aus den gemieteten Räumlichkeiten ausgewiesen. Gleichzeitig wurde ihnen aufgegeben, die von ihnen gemäss Mietvertrag vom 11. Januar 2001 benutzten Gegenstände herauszugeben. Den von A. X._ und der Gebr. X._ AG hiergegen erhobenen Rekurs wies das Kantonsgericht Schwyz (1. Rekurskammer) am 23. Mai 2006 ab, und am 30. Oktober 2006 wies das Bundesgericht (I. Zivilabteilung) seinerseits eine bei ihm eingereichte Berufung ab, soweit darauf einzutreten war.
B. B.a Am 7. September 2006 reichte A. X._ beim Bezirksgericht R._ gegen seine fünf Geschwister eine Klage auf Teilung der elterlichen Nachlasse ein. Er beantragte insbesondere die Zuweisung der Liegenschaft KTN xxxx in S._, auf der das Mosterei- und Brennereigebäude steht, an ihn.
B.b Im Rahmen des Erbteilungsverfahrens ersuchte A. X._ das Bezirksgericht mit Eingabe vom 30. Januar 2007 darum, im Sinne einer vorsorglichen Massnahme, vorab superprovisorisch mit sofortiger Wirkung, seinen Geschwistern und der X. V._ AG unter Strafandrohung zu befehlen, jede Ausweisungsmassnahme gegen ihn und die Gebr. X._ AG bezüglich der Liegenschaft KTN xxxx zu unterlassen.
Der Gerichtspräsident wies mit Verfügung vom 6. Februar 2007 das Gesuch ab, soweit darauf einzutreten war.
Den von A. X._ hiergegen erhobenen Rekurs wies das Kantonsgericht Schwyz (1. Rekurskammer) am 29. August 2007 ab, soweit es darauf eintrat. Ebenso wies es das Gesuch von A. X._ um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung ab.
C. Mit Eingabe vom 8. Oktober 2007 führt A. X._ Beschwerde in Zivilsachen. Er verlangt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Beschlusses und erneuert sein Massnahmengesuch. Daneben wendet er sich gegen die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen und die Verweigerung der unentgeltlichen Prozessführung. Ferner ersucht er darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Durch Präsidialverfügung vom 10. Oktober 2007 ist das Begehren des Beschwerdeführers, dem Rechtsmittel aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, abgewiesen worden.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Beschluss über ein Massnahmenbegehren im Rahmen eines Erbteilungsprozesses. Es handelt sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid in einer Zivilsache. Gegen ihn kommt die Beschwerde in Zivilsachen dann in Betracht, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Entsprechend dem Begriff des Nachteils im Sinne des altrechtlichen Art. 87 Abs. 2 OG muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden kann (BGE 133 IV 139 E. 4 S. 141; 133 V 477 E. 5.2.1 S. 483). Voraussetzung für die Zulässigkeit der Beschwerde in Zivilsachen ist zudem, dass der Streitwert - nach Massgabe der Hauptsache - den Betrag von 30'000 Franken erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.2 Im angefochtenen Beschluss wird der Streitwert entgegen Art. 112 Abs. 1 lit. d BGG ausdrücklich als unbestimmt bezeichnet (Dispositiv-Ziffer 6). Auch aus der Beschwerde ergibt sich kein Hinweis auf dessen Höhe. Zudem ist fraglich, ob durch die Abweisung des Massnahmenbegehrens, mit dem die Ausweisung aus der Liegenschaft KTN xxxx verhindert werden sollte, für den Beschwerdeführer ein nicht wieder gutzumachender Nachteil entstehen könnte. Abgesehen davon, dass nach den im angefochtenen Entscheid festgehaltenen Angaben der Beschwerdegegner die Ausweisung des Beschwerdeführers aus den Geschäftsräumlichkeiten (gestützt auf den mietrechtlichen Ausweisungsbefehl des Einzelrichters vom 10. Februar 2006) am 6. Februar 2007 vollzogen worden sein soll, ist nicht ersichtlich, weshalb es dem Beschwerdeführer nicht möglich sein sollte, die in Frage stehende Liegenschaft im Falle einer Ausweisung später wieder zu beziehen, falls sie ihm im Erbteilungsprozess zugewiesen werden sollte.
Die angesprochenen Fragen brauchen nicht abschliessend erörtert zu werden: Sollte die Beschwerde in Zivilsachen nicht offen stehen, wäre die Eingabe des Beschwerdeführers als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 BGG), mit der die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (Art. 116 BGG). Auch im Rahmen einer Beschwerde in Zivilsachen können bei einem Entscheid über vorsorgliche Massnahmen wie dem vorliegenden keine anderen Rügen erhoben werden (Art. 98 BGG).
1.3 Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 III 393 E. 6 S. 397). Bei der Willkürrüge (Art. 9 BV) ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (BGE 133 I 149 E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
2. Das Kantonsgericht weist vorab darauf hin, dass die X. V._ AG nicht Partei des Erbteilungsprozesses sei und vorsorgliche Massnahmen nicht gegen eine Person erwirkt werden könnten, der im Hauptverfahren die Parteistellung fehle. Soweit mit dem Rekurs beanstandet werde, dass die erste Instanz bezüglich der X. V._ AG auf das Massnahmenbegehren nicht eingetreten sei, sei jener daher unbegründet. Wie es sich sodann mit der Zulässigkeit des Massnahmenbegehrens verhält, soweit die Anordnungen auch zu Gunsten der Gebr. X._ AG verlangt würden, hat die Vorinstanz offen gelassen, da das Begehren wegen fehlender Glaubhaftmachung vom Gerichtspräsidenten zu Recht abgewiesen worden sei.
Zur Begründung dieser Auffassung hält das Kantonsgericht zunächst fest, dass die Verfügung des Einzelrichters des Bezirks R._ vom 10. Februar 2006, wonach der Beschwerdeführer und die Gebr. X._ AG aus den von der X. V._ AG vermieteten Geschäftsräumen auszuweisen seien, in Rechtskraft erwachsen sei. Wenn der Beschwerdeführer in seinem Massnahmenbegehren vom 30. Januar 2007 vorgebracht habe, die Beschwerdegegner hätten bislang in Verletzung der erblasserischen letztwilligen Anordnung die Gebr. X._ AG von der Liegenschaft KTN xxxx zu verbannen und damit den Weiterbestand der Gesellschaft zu vereiteln versucht, bezwecke er die Vollstreckung des rechtskräftigen Ausweisungsentscheids zu verhindern. Zu prüfen sei sodann, ob der Beschwerdeführer aus Rechtsgründen, die im Ausweisungsverfahren nicht beurteilt worden seien, allenfalls die Aufrechterhaltung des bestehenden Zustandes verlangen könne. Der Beschwerdeführer berufe sich auf den von den Eltern im Erbvertrag vom 4. November 1994 geäusserten Wunsch und Wille, eine Teilung des Nachlasses und die Zuweisung der Aktien der Gebr. X._ AG (heute: X. V._ AG) erst nach dem Tod des zweiten Ehegatten vorzunehmen. Im angerufenen erblasserischen Willen sei indessen weder eine - für die Erben grundsätzlich verbindliche - Teilungsvorschrift noch eine Anordnung über ein bestimmtes Teilungsverfahren im Sinne von Art. 608 ZGB zu erblicken; es werde nicht bestimmt, wer den Mostereibetrieb (bzw. das betreffende Grundstück bzw. die Aktien der damaligen Betreiberin) erhalten solle. Der Hinweis des Beschwerdeführers auf die zwischen den Parteien und ihrer Mutter am 28. Oktober 1996 abgeschlossene Vereinbarung, wonach die bestehende Familientradition und das Geschäft zu erhalten seien, sei aus Gründen des Novenrechts nicht zu hören. Abgesehen davon, enthalte auch diese Vereinbarung keine Teilungsvorschrift, und der Beschwerdeführer mache selbst nicht geltend, die an der Vereinbarung Beteiligten hätten beabsichtigt, die Mosterei durch ihn weiterführen zu lassen. Zu berücksichtigen sei im Übrigen, dass der Beschwerdeführer mit einer Ausweisung aus den Gewerbe- und Lagerräumen der X. V._ AG nicht daran gehindert würde, die Mosterei weiter zu betreiben, was er denn auch nicht substantiiert geltend mache.
Aufgrund der von ihr dargelegten Umstände gelangte die Vorinstanz zum Schluss, der Beschwerdeführer habe den mit dem Massnahmenbegehren erhobenen Anspruch auf Unterlassung von Ausweisungsmassnahmen nicht glaubhaft zu machen vermocht. Ferner hält sie fest, der Antrag auf Herausgabe des Warenlagers der Gebr. X._ AG werde erstmals im Rekursverfahren gestellt, so dass der Beschwerdeführer damit nicht gehört werden könne.
3. 3.1 Soweit das Kantonsgericht das erstinstanzliche Nichteintreten auf das gegen die X. V._ AG gerichtete Massnahmenbegehren geschützt hat, wirft ihm der Beschwerdeführer eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) vor: Die Vorinstanz sei auf seine Stellungnahme vom 6. März 2007 (zu den Bemerkungen des erstinstanzlichen Richters und zur Eingabe der Beschwerdegegner vom 15. Februar 2007 und dem dortigen Hinweis, die Ausweisung sei am 6. Februar 2007 vollzogen worden), nicht eingegangen. In jener Eingabe habe er auf § 182 der Schwyzer Zivilprozessordnung (ZPO) hingewiesen, wonach dem Kläger Frist zur Einleitung des ordentlichen Verfahrens anzusetzen sei, wenn nach dem Erlass von vorsorglichen Massnahmen eine gerichtliche Erledigung des Rechtsstreites erforderlich sei. Da sich das Massnahmenbegehren notwendigerweise auch gegen die X. V._ AG als Eigentümerin der in Frage stehenden Liegenschaft habe richten müssen, hätte der angerufene Richter Frist zur Klage für den Einbezug der X. V._ AG anzusetzen gehabt, statt auf das Begehren nicht einzutreten, soweit es diese Gesellschaft betroffen habe. Insoweit sei das kantonale Verfahrensrecht willkürlich angewendet und Art. 9 BV verletzt worden.
3.2 Die erwähnten Ausführungen in der Stellungnahme vom 6. März 2007 stellen inhaltlich eine nachträgliche Ergänzung der Rekursbegründung dar. Dass das kantonale Prozessrecht eine solche zulässt und das Kantonsgericht aus diesem Grund gehalten gewesen wäre, auf seine Vorbringen einzugehen, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Seine Berufung auf § 182 ZPO ist im Übrigen von vornherein unbehelflich, da die Ansetzung einer Klagefrist nach dieser Bestimmung selbstverständlich voraussetzt, dass eine vorsorgliche Massnahme, die durch die Einreichung der Klage aufrechterhalten werden soll, überhaupt angeordnet wurde, was nach der Verfügung des erstinstanzlichen Gerichtspräsidenten vom 6. Februar 2007 gerade nicht zutraf. Zu bemerken ist ausserdem, dass auch das Kantonsgericht zum Schluss gelangte, die Voraussetzungen für den Erlass vorsorglicher Massnahmen seien nicht erfüllt, so dass der Frage, gegen wen solche ihre Wirkungen entfaltet hätten, die Grundlage entzogen war. Unter den dargelegten Umständen kann weder von einer willkürlichen Anwendung kantonalen Verfahrensrechts noch von einem Verstoss des Kantonsgerichts gegen die Bestimmung von Art. 29 Abs. 2 BV die Rede sein, zumal letztere nicht etwa verlangt, dass sich das Gericht in seiner Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt.
4. Als willkürlich bezeichnet der Beschwerdeführer sodann auch die Annahme des Kantonsgerichts, Ziff. 4 Abs. 2 des elterlichen Erbvertrags enthalte weder eine Teilungsvorschrift noch die Anordnung eines bestimmten Teilungsverfahrens.
4.1 Der Beschwerdeführer wirft dem Kantonsgericht vor, es habe entgegen den Bestimmungen von § 99 Abs. 1 und § 178 Abs. 1 ZPO, wonach eine Glaubhaftmachung ausreichend sei, von ihm verlangt, dass er die Erfüllung der Voraussetzungen für den von ihm angestrebten Massnahmenentscheid nachweise. Was er in diesem Zusammenhang ausführt, genügt den Anforderungen an die Begründung einer Verfassungsbeschwerde (Art. 106 Abs. 2 BGG) in keiner Weise. Es wird mit keinem Wort dargelegt, inwiefern sich aus dem angefochtenen Beschluss ergeben soll, dass die Vorinstanz vom Beschwerdeführer einen strikten Nachweis statt der blossen Glaubhaftmachung verlangt hätte.
4.2 Im Übrigen begnügt sich der Beschwerdeführer damit, den Erwägungen der Vorinstanz in appellatorischer Form seine eigene Sicht der Dinge entgegenzuhalten. Mit seinem Hinweis, Ziel des Erbvertrags sei gewesen, den Weiterbestand des Familienbetriebs zu sichern, ist nichts darüber ausgesagt, wie die sich in den Nachlässen befindenden Aktien der X. V._ AG, der Eigentümerin der Liegenschaft KTN xxxx, zu verteilen seien. Dass die vorinstanzliche Annahme, ein Zuweisungsanspruch des Beschwerdeführers bezüglich des in Frage stehenden Grundstücks sei nicht glaubhaft gemacht, willkürlich wäre, ist auch mit dem Hinweis des Beschwerdeführers darauf nicht dargetan, dass er bzw. die von ihm beherrschte Gebr. X._ AG die Mosterei auf dem beanspruchten Grundstück betreibe.
5. Ob der erstinstanzliche Richter auf das Massnahmenbegehren insofern zu Unrecht nicht eingetreten sei, als es sich auch zu Gunsten der Gebr. X._ AG hätte auswirken sollen, hat das Kantonsgericht offen gelassen, weil der vom Beschwerdeführer geltend gemachte Anspruch ohnehin nicht glaubhaft erscheine. Dass diese vorinstanzliche Schlussfolgerung willkürlich wäre, ist nach dem oben Gesagten nicht dargetan. Unter diesen Umständen stösst die Rüge der Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV), die der Beschwerdeführer gegen den Verzicht des Kantonsgerichts, sich mit dem von ihm gegen das erstinstanzliche Nichteintreten Vorgebrachte zu befassen, erhebt, ins Leere.
6. Soweit mit der Beschwerde auch der Entscheid über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens samt Abweisung des Armenrechtsgesuchs für das Rekursverfahren angefochten wird, wird nicht erklärt, welche verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sein sollen. Mangels Begründung ist auf die betreffenden Anträge von vornherein nicht einzutreten.
7. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Sie erschien unter den dargelegen Umständen von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG), und es ist die Gerichtsgebühr ausgangsgemäss dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Vernehmlassungen eingeholt worden und den Beschwerdegegnern somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht (1. Rekurskammer) des Kantons Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel