Fatti:
A. Dopo il ritiro di una precedente domanda di costruzione nell'ambito di una procedura ricorsuale in sede cantonale che non occorre qui evocare, A.A._, B.A._ e C.A._ hanno presentato il 3 aprile 2006 al Municipio di Tegna una domanda di costruzione per la riattazione e l'ampliamento di un complesso di vecchi edifici sui fondi part. n. 146, 149 e 466 di loro proprietà e situati nella zona del nucleo di Tegna. L'intervento è destinato a riordinare dal profilo formale e strutturale le costruzioni esistenti, in cui si trova in particolare un ristorante ubicato al piano terreno, e comporterebbe una sopraelevazione del filo di gronda in alcune parti fino a 3 m. L'innalzamento consentirebbe di ricavare nel sottotetto un ulteriore piano abitabile.
D._, proprietario della particella confinante n. 148, si è opposto alla domanda, contestando in particolare l'entità della sopraelevazione. Acquisito il preavviso favorevole dell'autorità cantonale, il 30 agosto 2006 il Municipio di Tegna ha rilasciato la licenza, respingendo nel contempo l'opposizione del vicino. Questa decisione è stata confermata il 21 agosto 2007 dal Consiglio di Stato del Cantone Ticino su ricorso dell'opponente.
B. Con sentenza del 20 novembre 2007 il Tribunale cantonale amministrativo ha accolto il ricorso dell'opponente annullando sia la risoluzione governativa sia la licenza edilizia. La Corte cantonale ha ritenuto che l'intervento edilizio oltrepassava chiaramente gli estremi di un innalzamento limitato e proporzionato alle reali esigenze degli edifici giusta l'art. 29 cpv. 3 delle norme di attuazione del piano regolatore comunale (NAPR). Ha quindi rilevato che il Municipio aveva ecceduto il margine di apprezzamento che gli spettava nell'interpretazione di questa disposizione del diritto comunale autonomo.
C. A.A._, B.A._ e C.A._ impugnano con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale questo giudizio, chiedendo di annullarlo e di dichiarare inammissibile, siccome abusivo, il ricorso dell'opponente alla Corte cantonale. In via subordinata, chiedono di confermare il rilascio della licenza edilizia. I ricorrenti fanno valere la violazione del diritto di essere sentito, del principio della buona fede e del divieto dell'arbitrio.
D. La Corte cantonale si riconferma nella sua sentenza, ribadendo che l'intervento in discussione travalica i limiti dell'ordinamento comunale. Il Consiglio di Stato si rimette al giudizio del Tribunale federale. Il Municipio di Tegna chiede di accogliere il ricorso, mentre l'opponente ne postula la reiezione. I ricorrenti si sono espressi sulla risposta dell'opponente.
Diritto:
1. 1.1 Presentato tempestivamente contro una decisione finale dell'ultima istanza cantonale, che ha negato il rilascio di una licenza edilizia essenzialmente sulla base di una norma del piano regolatore comunale, il ricorso in materia di diritto pubblico è di massima ammissibile sotto il profilo degli art. 82 lett. a, 86 cpv. 1 lett. d, 90 e 100 cpv. 1 in relazione con l'art. 46 cpv. 1 lett. c LTF.
1.2 I ricorrenti hanno partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore (art. 89 cpv. 1 lett. a LTF). Quali proprietari dei fondi dedotti in edificazione ed istanti nella procedura edilizia, essi sono direttamente toccati dalla decisione impugnata, che nega loro la possibilità di realizzare il progetto edilizio, ed hanno quindi un interesse degno di protezione al suo annullamento o alla sua modifica (art. 89 cpv. 1 lett. b e c LTF).
1.3 Il Tribunale federale statuisce di principio sulla base dei fatti accertati dall'autorità precedente (cfr. art. 105 cpv. 1 LTF), riservati i casi previsti dall'art. 105 cpv. 2 LTF. Questa disposizione gli conferisce la possibilità di rettificare o completare d'ufficio l'accertamento dei fatti della decisione impugnata nella misura in cui lacune o errori dovessero apparire d'acchito come manifesti. I ricorrenti possono quindi contestare l'accertamento dei fatti determinanti per il giudizio solo se siano stati stabiliti in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in maniera manifestamente inesatta (art. 97 cpv. 1 LTF), vale a dire arbitraria, ciò che devono dimostrare con una motivazione conforme alle esigenze poste dall'art. 106 cpv. 2 LTF, analogamente alla prassi in vigore a suo tempo in materia di ricorso di diritto pubblico (cfr. DTF 133 II 249 consid. 1.4.2 e 1.4.3). Inoltre, l'esistenza di fatti accertati in modo inesatto o lesivo del diritto non è di per sé una condizione sufficiente per condurre all'annullamento o alla modificazione della decisione impugnata, occorrendo pure che il difetto sia suscettibile di avere un'influenza determinante sull'esito del procedimento (cfr. art. 97 cpv. 1 in fine LTF). Adducendo semplicemente una diversa interpretazione degli accertamenti contenuti nel giudizio impugnato, eseguiti sulla base dei piani di costruzione, i ricorrenti non sostengono che tali accertamenti sarebbero manifestamente in contrasto con gli atti e quindi arbitrari.
2. 2.1 I ricorrenti lamentano una violazione del diritto di essere sentito poiché la Corte cantonale non avrebbe statuito sulla censura di manifesto abuso di diritto rimproverata all'opponente per essersi aggravato contro il rilascio della licenza edilizia. Né la precedente istanza avrebbe esaminato le norme in vigore in altri Comuni richiamate nella risposta al gravame dell'opponente: poiché tali normative sarebbero di tenore diverso rispetto all'art. 29 NAPR di Tegna, quest'ultima disposizione avrebbe dovuto essere interpretata in modo meno restrittivo. I ricorrenti rimproverano poi ai giudici cantonali di essersi distanziati dalle valutazioni del Comune e del Governo sulla base di apprezzamenti generici, senza stabilire un limite oggettivo all'aumento di volumetria ammissibile.
2.2 La garanzia del diritto di essere sentito non imponeva alla Corte cantonale di pronunciarsi esplicitamente su ogni singola asserzione addotta dagli istanti nella loro risposta al gravame dell'opponente: è infatti sufficiente ch'essa si sia espressa sulle circostanze significative atte a influire sul giudizio di merito (cfr. DTF 134 I 83 consid. 4.1 e rinvii). Nel giudizio impugnato la Corte cantonale ha statuito sulla portata dell'art. 29 NAPR e sul margine di apprezzamento che spettava al Comune nella sua applicazione. Essa ha altresì esaminato le caratteristiche del progetto e l'entità dell'innalzamento, spiegando puntualmente le ragioni per cui l'intervento prospettato eccedeva i limiti ammissibili. La decisione impugnata si pronuncia quindi sui punti rilevanti per il giudizio ed è stata compresa dai ricorrenti, che l'hanno diffusamente contestata in questa sede. Il fatto che la precedente istanza non si sia esplicitamente espressa sull'invocato abuso di diritto compiuto dall'opponente non viola la garanzia costituzionale, poiché la contestazione è stata implicitamente respinta riconoscendogli la legittimazione ricorsuale. Né la garanzia in questione è stata disattesa per il mancato confronto con le norme applicabili in altri Comuni nella zona del nucleo: poiché la portata dell'art. 29 NAPR di Tegna è stata motivata con pertinenza dai giudici cantonali sulla base del suo tenore letterario e dello scopo che persegue, l'esame di norme analoghe vigenti in altri Comuni non era rilevante per l'esito del giudizio.
3. 3.1 Secondo i ricorrenti, la Corte cantonale avrebbe dovuto dichiarare irricevibile, per abuso di diritto, il gravame dell'opponente, difettandogli un interesse legittimo a contestare la licenza edilizia, siccome in passato avrebbe ampliato la sua abitazione in misura ben maggiore rispetto a quanto da loro richiesto.
3.2 Il divieto dell'abuso di diritto, applicabile anche nel campo del diritto amministrativo, impedisce l'utilizzazione di un istituto giuridico per realizzare scopi ad esso del tutto estranei (DTF 134 I 65 consid. 5.1, 128 II 145 consid. 2.2; sentenza 1P.596/2000 del 15 giugno 2001, consid. 3b e riferimenti, apparsa in: RDAT II-2001, n. 20, pag. 82 segg.). Ora, in quanto proprietario confinante, l'opponente è toccato da un eventuale innalzamento eccessivo degli edifici dei ricorrenti ed ha quindi di principio un interesse a censurare la violazione di disposizioni concernenti l'altezza delle costruzioni, che sono destinate a proteggere anche i suoi interessi di vicino (cfr. DTF 133 II 249 consid. 1.3.3, 127 I 44 consid. 2c-d e rinvii). In tali circostanze, il semplice fatto ch'egli avrebbe a suo tempo ristrutturato in modo generoso la propria abitazione, sulla base peraltro di una normativa anteriore, non basta a permettere di ritenere che, opponendosi al progetto dei vicini, egli persegua fini manifestamente vessatori.
4. 4.1 I ricorrenti lamentano errori grossolani di accertamento, sostenendo che non verrebbe realizzato un intero piano abitabile, che l'innalzamento sarebbe ridotto, che la superficie utile interna non verrebbe aumentata in modo rilevante e che pure l'incremento di volumetria sarebbe limitato, poiché non supererebbe il 12 %.
4.2 La Corte cantonale ha accertato che la facciata ovest dell'edificio principale (part. n. 146 sub A), lunga 25 m e rivolta verso la piazza, verrebbe innalzata da 1.55 m (angolo nord-ovest) a 1.85 m (angolo sud-ovest). Su un fronte di tale facciata, largo 7.50 m, la sopraelevazione risulterebbe più pronunciata, siccome verrebbe realizzato un manufatto alto più di 2 m dalla gronda dell'attuale spiovente, sovrastato da un tetto a due falde perpendicolari a quella declinante verso la piazza. Sempre sul lato ovest, l'innalzamento del colmo del tetto varierebbe da 1.80 m, nel settore nord, a oltre 2 m, in quello sud. Le facciate sud di questo edificio (part. n. 146 sub A) e di quello contiguo (part. n. 149 sub A) verrebbero pure innalzate di circa 2 m su una lunghezza di circa 11 m, edificando un terzo piano sulla terrazza che sovrasta attualmente un doppio ordine di portici. L'innalzamento delle facciate sud degli stabili che sorgono in contiguità verso est (part. n. 466 e n. 149 sub B) per una lunghezza complessiva di circa 10 m sarebbe invece inferiore a un metro. Le facciate est degli stabili part. n. 149 sub A e B e n. 146 sub A rivolte verso il cortile interno su cui si affaccia pure l'edificio dell'opponente (part. n. 148) verrebbero riordinate in modo marcato, eliminando taluni corpi ed uniformando le coperture. I fili di gronda e le varie falde verrebbero parimenti innalzati. Il colmo dello spiovente nord del tetto che ricopre l'edificio part. n. 149 A che chiude il cortile verso sud subirebbe un innalzamento di circa 2 m. Questi accertamenti sono conformi ai piani di costruzione agli atti e non sono pertanto manifestamente insostenibili. Essi sono vincolanti per il Tribunale federale (art. 105 cpv. 1 LTF). I ricorrenti non ne sostanziano del resto l'arbitrio, ma, come visto, espongono una loro interpretazione della portata dell'intervento. A ragione la Corte cantonale ha comunque rilevato che l'intervento comportava pure un aumento considerevole della superficie utile, ritenuto che da una mansarda inagibile verrebbe ricavato uno spazio abitabile, peraltro di principio computabile nella superficie utile lorda (cfr. art. 38 della legge edilizia cantonale, del 13 marzo 1991). La sola preesistenza della mansarda non sminuisce quindi la portata della trasformazione. La Corte cantonale non ha d'altra parte negato che l'aumento delle volumetrie potesse anche essere inferiore al 12 %, come addotto dai ricorrenti, ma a ragione non ha dato un peso decisivo a questa circostanza, esaminando l'intervento edilizio nel suo complesso e rilevando che l'ampliamento verticale permetteva in sostanza di ricavare un intero nuovo piano dal sottotetto attualmente inutilizzabile.
5. 5.1 I ricorrenti rimproverano alla precedente istanza di essersi scostata in modo arbitrario dall'interpretazione dell'art. 29 cpv. 3 NAPR eseguita dal Municipio. Sostengono che, adottando questa disposizione, il Comune avrebbe inteso permettere innalzamenti senza alcuna riserva se non quella di adeguarli all'altezza degli edifici circostanti ed a quelle prevalenti nel nucleo. Il Municipio di Tegna consentirebbe inoltre, per prassi costante, innalzamenti destinati a trasformare le mansarde in spazi abitativi conformemente alla funzione dello stabile. L'applicazione da parte dei giudici cantonali di una limitazione dell'ampliamento ad esigenze di carattere tecnico e funzionale correlate alla costruzione sarebbe quindi arbitraria.
5.2 L'art. 29 cpv. 2 NAPR prevede che il nucleo di Tegna è soggetto all'elaborazione di un piano particolareggiato che deve definire e disciplinare l'aspetto urbanistico generale e le regole di gestione degli spazi pubblici e privati. Giusta l'art. 29 cpv. 3 NAPR, fino all'entrata in vigore del piano particolareggiato, nel nucleo di Tegna sono ammessi la trasformazione di edifici, come pure la ricostruzione sui sedimi esistenti, gli innalzamenti e gli ampliamenti planimetrici limitati e proporzionati alle reali necessità dell'edificio.
5.3 Già in virtù del tenore letterale della norma, l'interpretazione suggerita dai ricorrenti, secondo cui nel nucleo di Tegna l'innalzamento sarebbe libero, purché adeguato alle altezze circostanti e all'armonia dei dintorni, appare manifestamente insostenibile. L'art. 29 cpv. 3 NAPR prevede infatti esplicitamente che gli innalzamenti, come gli ampliamenti planimetrici, siano limitati e proporzionati alle reali necessità dell'edificio. Né risulta sostenibile la tesi del Municipio, che ha ammesso la prospettata elevazione ritenendo essenzialmente decisiva la compatibilità del progetto con la destinazione dello stabile a ristorante con alloggio. Simili argomentazioni consentirebbero infatti aumenti verticali anche importanti indipendentemente dalle caratteristiche degli edifici esistenti, che potrebbero comportare modifiche rilevanti delle volumetrie attuali tali da poter pregiudicare le scelte pianificatorie da adottare mediante l'elaborazione del piano particolareggiato previsto dall'art. 29 cpv. 2 NAPR. Certo, i ricorrenti richiamano l'art. 29 cpv. 4 NAPR, secondo cui, in generale, l'altezza degli edifici deve essere adeguata a quelle prevalenti nel nucleo e degli edifici circostanti. Come rettamente rilevato dalla Corte cantonale, questa disciplina in materia di altezze è tuttavia attualmente applicabile unicamente nel nucleo di Predasco, ove, giusta l'art. 29 cpv. 3 seconda frase NAPR, sono ammessi in generale gli ampliamenti e la ricostruzione degli edifici esistenti con aumenti volumetrici e planimetrici. In effetti, qualora il cpv. 4 dovesse applicarsi anche agli ampliamenti nel nucleo di Tegna, come sostengono i ricorrenti, si realizzerebbe una contraddizione manifesta con il cpv. 3 della stessa disposizione. A ragione la Corte cantonale ha quindi rilevato che, nella fattispecie, fosse consentito unicamente un innalzamento oggettivamente indispensabile ai fini di un'ulteriore utilizzazione degli edifici litigiosi.
5.4 In concreto, come ritenuto dalla stessa Corte, l'intervento previsto comporta in definitiva la formazione di un ulteriore piano abitabile. Destinato ad ospitare in particolare 4 camere, esso non è tuttavia indispensabile, sotto il profilo tecnico o funzionale, per assicurare la continuazione dell'utilizzo dello stabile. Le aggiunte previste sono rilevanti, in particolare ove si considerino il nuovo corpo con tetto a due falde situato nella facciata ovest dell'edificio part. n. 146 A in corrispondenza dell'attuale spiovente declinante verso la piazza. La sopraelevazione di questo edificio è importante anche sulla facciata sud, con la prevista chiusura dell'attuale terrazza e l'edificazione di un ulteriore piano sopra la stessa. Pure la corrispondente sopraelevazione dell'edificio contiguo verso est (part. n. 149 A) risulta considerevole e comporta la creazione di ulteriori spazi nel sottotetto. Considerata la portata dell'art. 29 NAPR e valutate complessivamente le caratteristiche dell'intervento, l'innalzamento litigioso non poteva sostenibilmente essere considerato commisurato alle reali necessità dell'edificio da parte del Municipio di Tegna. L'autorità comunale ha quindi ecceduto nel potere di apprezzamento che le competeva nell'applicazione delle proprie norme edilizie, sicché la Corte cantonale ha annullato a ragione la licenza edilizia.
6. Ne segue che il ricorso deve essere respinto nella misura della sua ammissibilità. Le spese seguono la soccombenza e sono quindi poste a carico dei ricorrenti (art. 66 cpv. 1 LTF). Non si assegnano per contro ripetibili all'opponente, che non è patrocinato da un legale.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico dei ricorrenti in solido.
3. Comunicazione al patrocinatore dei ricorrenti, all'opponente, al Municipio di Tegna, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.