Faits:
A. A._, a obtenu un diplôme d'assistante de médecin en 1977. Mariée, mère de deux filles nées en 1984 et 1987, elle a exercé sa profession jusqu'en 1987. Elle a repris une activité professionnelle en 1995, en tant que maman de jour. Dès 1999, A._ travaille en qualité d'assistante médicale auprès de l'Institut X._ SA (responsable épilation laser); initialement, son taux d'activité s'est élevé à 50 %, puis à 70 % à partir de 2002. Depuis le 17 juin 2008, l'assurée s'est trouvée en incapacité de travail à 50 % en raison de lombalgies chroniques et elle a réduit d'environ 20 % son activité professionnelle. Le 9 mars 2009, elle s'est annoncée à l'assurance-invalidité.
Selon le docteur B._, médecin-conseil au Centre Y._ (avis du 8 mai 2009), la diminution de 20 % du taux d'activité est justifiée médicalement et la capacité de travail de l'assurée est de 50 % dans l'activité exercée et dans toute activité adaptée. Selon un rapport d'enquête économique sur le ménage du 17 juin 2009, l'empêchement global est de 25 % dans la sphère ménagère. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a retenu un statut mixte, 70 % du temps étant consacré à l'activité professionnelle, 30 % à la tenue du ménage.
Par décision datée du 7 septembre 2009 (comme le projet de décision), mais vraisemblablement envoyée le 7 janvier 2010, l'office AI a fixé le taux d'invalidité à 28 %, à raison de 7,5 % dans le ménage et 20 % dans la sphère professionnelle, refusant ainsi le versement de toute prestation (la question de mesures professionnelles a été examinée).
B. A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui : Cour de justice, Chambre des assurances sociales), en concluant à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité. En bref, elle a contesté le statut d'assurée retenu par l'administration et revendiqué celui d'une personne professionnellement active à plein temps.
Par jugement du 11 mai 2010, la juridiction cantonale a admis le recours, reconnu le statut professionnel à 100 % et le droit de l'assurée à une demi-rente à compter du 1er juin 2009. Elle a renvoyé la cause à l'office AI pour calculer le montant de la rente.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant, à titre principal, à son annulation et à la confirmation de sa décision du 7 janvier 2010. Subsidiairement, il conclut à ce que la rente soit versée à compter du mois de septembre 2009.
L'intimée conclut au rejet de la conclusion principale du recours; elle s'en remet à justice quant à la conclusion subsidiaire. L'Office fédéral des assurances sociales propose l'admission du recours.
Par ordonnance du 9 septembre 2010, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1. Dans le cas particulier, le Tribunal cantonal des assurances sociales a constaté que l'assurée présentait, en raison d'une incapacité de travail de 50 % depuis le mois de juin 2008, un degré d'invalidité de 50 %. Il a ordonné le renvoi de la cause à l'office recourant afin que celui-ci calcule le montant de la rente. Le jugement entrepris doit dès lors être qualifié de décision incidente qui peut être attaquée aux conditions de l'art. 93 LTF. En tant que la juridiction cantonale a rendu un arrêt de renvoi qui pourrait restreindre considérablement la latitude de jugement de l'office recourant quant à l'un des aspects essentiels du rapport juridique litigieux, il subit un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (cf. ATF 133 V 477 consid. 5.2 p. 483 et les arrêts cités). Il convient dès lors d'entrer en matière sur son recours.
2. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3. 3.1 Sur le fond, le litige porte sur le droit éventuel de A._ à une rente de l'assurance-invalidité. Il s'agit, singulièrement, de déterminer son statut et le taux auquel elle exercerait une activité professionnelle sans atteinte à la santé.
A cet égard, il sied de renvoyer aux différentes méthodes d'évaluation de l'invalidité (méthode de la comparaison des revenus [cf. ATF 130 V 343 consid. 3.4. p. 348 s.], méthode spécifique [cf. ATF 130 V 97 consid. 3.3.1 p. 99 s.] et méthode mixte [cf. ATF 130 V 393 consid. 3.3 p. 395 s.]), ainsi que les conditions conduisant à l'application de l'une ou l'autre d'entre elles.
3.2 Pour résoudre la question litigieuse, il faut se référer à l'ensemble des circonstances personnelles, familiales, sociales, financières et professionnelles du cas d'espèce (ATF 130 V 393 consid. 3.3 p. 395 s., 125 V 146 consid. 2c p. 150 et les références). Cette évaluation tiendra également compte de la volonté hypothétique de l'assurée, qui comme fait interne ne peut être l'objet d'une administration directe de la preuve et doit être déduite d'indices extérieurs (arrêt du Tribunal fédéral des assurances I 693/06 du 20 décembre 2006 consid. 4.1) établis au degré de la vraisemblance prépondérante tel que requis en droit des assurances sociales (ATF 126 V 353 consid. 5b p. 360 s.). Elle relève d'une question de fait dans la mesure où il s'agit d'une appréciation concrète des circonstances et non de l'application des conséquences tirées exclusivement de l'expérience générale de la vie (ATF 133 V 504 consid. 3.2 p. 507 et les références). Les constatations de la juridiction cantonale sur le statut de l'assurée lient donc le Tribunal fédéral tant qu'elles ne sont pas manifestement inexactes, ni contraires au droit au sens de l'art. 95 LTF, en particulier au principe de l'interdiction de l'arbitraire. L'appréciation des preuves est arbitraire non seulement lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier ou contraire au sens de la justice et de l'équité, mais également si le juge interprète les pièces de manière insoutenable, méconnaît des preuves pertinentes ou se fonde exclusivement sur une partie des moyens de preuve à disposition (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références).
4. La juridiction cantonale a pris en considération plusieurs facteurs pour déterminer le statut de l'assurée, notamment la constance de ses déclarations, l'éventualité d'une séparation du couple et la situation financière, l'exercice d'une activité lucrative à plein temps jusqu'à la naissance des enfants, les doutes de l'intimée quant au sort d'une demande de rente d'invalidité pour la période antérieure à l'aggravation de son état de santé, ainsi que la fiabilité des témoignages recueillis (deux médecins, un physiothérapeute et deux amies de l'intimée). Elle en a déduit que la volonté de l'intimée avait toujours été de travailler à plein temps si son état de santé le lui avait permis, ce qui l'a conduite à admettre que celle-ci avait un statut de personne active à temps complet.
Selon l'office recourant, les éléments retenus par les premiers juges ne présentent pas le caractère requis par la jurisprudence pour emporter la conviction sur le statut de l'intimée. Le recourant est d'avis que le tribunal cantonal a apprécié les preuves de manière arbitraire en se fondant uniquement sur les déclarations de l'intimée, aucun document ne venant corroborer ses dires. De son côté, l'autorité fédérale de surveillance estime que l'ensemble des circonstances ne permet pas d'admettre, au degré de la vraisemblance prépondérante requise en droit des assurances sociales, que, sans invalidité, l'intimée aurait repris l'exercice d'une activité lucrative à temps complet.
Quant à l'intimée, elle observe que le recourant ne démontre nullement en quoi le jugement attaqué serait insoutenable, aussi bien dans sa motivation que dans son résultat.
5. En l'espèce, l'existence d'une incapacité partielle de travail depuis 2002 au moins, en raison de problèmes dorsaux, est clairement avérée à l'examen des attestations du docteur S._, spécialiste en médecine interne et médecin traitant de l'intimée de 1973 à 2009; le docteur R._, spécialiste en médecine interne et maladies rhumatismales, ainsi que le psysiothérapeute B._, ont corroboré cette appréciation (audience d'enquêtes du 27 avril 2010). Se pose ainsi la question de savoir si l'intimée a exercé durant plusieurs années une activité lucrative à temps partiel (à 70 % de 2002 à 2008) par convenance personnelle, indépendamment de son état de santé, ou si elle a été empêchée de travailler à plein temps en raison de ses problèmes lombaires, ainsi qu'elle l'a constamment allégué.
Dans son rapport d'évaluation du 17 avril 2009 (p. 3), l'administration avait relevé que le statut de l'assurée était peu clair. Devant cette incertitude, le recourant avait tout loisir, lors de l'instruction de la demande (cf. art. 43 al. 1 LPGA), d'élucider les raisons pour lesquelles l'augmentation du temps de travail avait été limitée de 50 % à 70 % d'un horaire à temps complet en 2002, notamment en interrogeant l'employeur de l'intimée (le rapport d'employeur du 26 mars 2009 ne répond pas à cette question). L'office AI aurait d'ailleurs dû se montrer d'autant plus vigilant à cet égard que le docteur R._ avait attesté la présence de lombalgies invalidantes depuis l'année 1999 (rapport du 29 mars 2009). En renonçant à mener les investigations qui s'imposaient pour être en mesure de choisir ensuite la méthode d'évaluation de l'invalidité, l'office recourant a pris le risque que la juridiction cantonale de recours le fasse elle-même et procède à des constatations de faits qu'il ne partage pas, sans que le résultat de l'administration des preuves (la reconnaissance d'un statut de personne active à plein temps) apparaisse insoutenable au point de devoir entraîner l'annulation du jugement entrepris.
6. La capacité résiduelle de travail dans l'emploi exercé actuellement ou dans toute activité adaptée n'est pas sujette à discussion et s'élève à 50 %. Il est également admis qu'elle induit en l'espèce une perte de gain de même ordre.
Cependant, les premiers juges ont appliqué l'art. 29 al. 1 LAI de façon erronée. En vertu de cette règle légale, le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter du dépôt de la demande, soit dans le cas d'espèce en septembre 2009.
7. Le recourant, qui n'obtient gain de cause que sur sa conclusion subsidiaire, supportera les frais et dépens de la procédure (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le ch. 2 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 11 mai 2010 est réformé en ce sens que l'assurée a droit à une demi-rente d'invalidité dès le 1er septembre 2009. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 800 fr. (y compris la TVA) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 juillet 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud