Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1985) stammt aus Nigeria. Er wurde am 2. März 2007 im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat verurteilte ihn am 17. April 2007 unter anderem wegen mehrfachen Vergehens gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer bedingten Geldstrafe von 90 Tagessätzen zu Fr. 30.-- und zu einer Busse von Fr. 3'000.--. Vom 19. Juli bis zum 17. August 2007 befand sich X._ wegen des Verdachts des Handels mit Betäubungsmitteln in Untersuchungshaft. Auf die Entlassung aus dieser hin nahm das Migrationsamt des Kantons Zürich ihn in Ausschaffungshaft, welche zuletzt bis zum 16. Mai 2008 verlängert wurde.
B. Am 8. Mai 2008 ordnete das Migrationsamt des Kantons Zürich gegen X._ die Durchsetzungshaft an, da er seiner Pflicht zur Ausreise nicht freiwillig nachgekommen sei und die rechtskräftige Wegweisung wegen seines Verhaltens mit keinem milderen Mittel mehr vollzogen werden könne. Der Haftrichter am Bezirksgericht Zürich genehmigte die Durchsetzungshaft am 16. Mai 2008 bis zum 16. Juni 2008.
C. X._ ist hiergegen am 2. Juni 2008 mit dem Antrag an das Bundesgericht gelangt, er sei umgehend freizulassen; zudem sei ausdrücklich festzustellen, "dass die Haftbedingungen im Ausschaffungsknast Kloten nach einer Dauer von 9 Monaten gegen Art. 1 Folterkonvention, Art. 10 Abs. 3 Bundesverfassung resp. Art. 3 EMRK" verstiessen; zudem sei festzuhalten, dass es unzulässig war, ihn "anlässlich der Haftrichterverhandlung vom 16. Mai 2008 im Gefangenenwagen der Polizei zu transportieren", ihn "mit Hand- und/oder Fussketten zu fesseln" und "im Haftbereich in einer Abstandszelle" unterzubringen.
Das Migrationsamt beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Der Haftrichter hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Bundesamt für Migration macht geltend, dass X._ "jederzeit" auf der nigerianischen Botschaft verlangen könne, ihm sei ein Laissez-Passer auszustellen, worauf er "innert weniger Tage" heimkehren könne. X._ hat am 16. Juni 2008 an seinen Ausführungen und Anträgen festgehalten.
D. Am 12. Juni 2008 genehmigte der Haftrichter am Bezirksgericht Zürich die Verlängerung der Durchsetzungshaft von X._ bis zum 16. August 2008.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen kantonale richterliche Entscheide betreffend die Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, soweit der Betroffene an der Beurteilung seiner Eingabe ein aktuelles praktisches Interesse hat (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG; vgl. zu Art. 103 lit. a OG: BGE 131 II 670 E. 1.2, 361 E. 1.2). Fällt das aktuelle Interesse im Verlauf des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (vgl. BGE 118 Ia 488 E. 1a; 118 Ib 1 E. 2 S. 7; 111 Ib 56 E. 2).
1. 1.1 Gegen kantonale richterliche Entscheide betreffend die Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, soweit der Betroffene an der Beurteilung seiner Eingabe ein aktuelles praktisches Interesse hat (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG; vgl. zu Art. 103 lit. a OG: BGE 131 II 670 E. 1.2, 361 E. 1.2). Fällt das aktuelle Interesse im Verlauf des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (vgl. BGE 118 Ia 488 E. 1a; 118 Ib 1 E. 2 S. 7; 111 Ib 56 E. 2).
1.2 1.2.1 Im vorliegenden Fall ist das aktuelle Interesse an der Beurteilung der Eingabe während der (beschleunigten) Instruktion des bundesgerichtlichen Verfahrens dahingefallen: Der Beschwerdeführer befindet sich zwar nach wie vor in Durchsetzungshaft, doch beruht diese nunmehr allein auf dem Haftgenehmigungsentscheid vom 12. Juni 2008. Der Beschwerdeführer stellt in seiner Eingabe die Haft als solche nicht in Frage, sondern kritisiert ausschliesslich die Haftbedingungen. Das Bundesgericht hat diese am 18. März 2008 geprüft und für die "erste Hälfte der maximal zulässigen Haftdauer" grundsätzlich als bundesrechts- und konventionsrechtskonform bezeichnet (Urteil 2C_169/2008). Für längere Aufenthalte empfahl es den Zürcher Behörden mit Blick auf künftige Verfahren, Lärmmessungen durchzuführen; dabei gehe es darum, über eine "Momentaufnahme", wie sie einem Augenschein zu Grunde liege, hinaus objektive Grundlagen für eine definitive Beurteilung zu schaffen. Entsprechende Abklärungen sind eingeleitet worden, dauern aber naturgemäss eine gewisse Zeit.
1.2.2 Es rechtfertigt sich auch nicht, ausnahmsweise vom Erfordernis des aktuellen Interesses abzusehen, weil die aufgeworfenen Fragen im Einzelfall kaum je rechtzeitig höchstrichterlich überprüft werden könnten (BGE 131 II 670 E. 1.2 S. 674). Der Beschwerdeführer bringt über weite Strecken die gleichen Rügen vor wie die im Urteil vom 18. März 2008 beurteilten. Zudem hat er die im vorliegenden Zusammenhang erhobenen Beanstandungen an der Haftrichterverhandlung vom 12. Juni 2008 erneuert und mit weiteren Argumenten ergänzt (Fehlen eines Verpflegungsautomaten). Der vorliegend angefochtene Entscheid ist in den beanstandeten Punkten somit vollumfänglich durch den Verlängerungsentscheid ersetzt worden. Das Verfahren kann deshalb als gegenstandslos geworden abgeschrieben werden (vgl. das Urteil 2C_362/2007 vom 30. August 2007, E. 1).
2. 2.1 Über die Kosten- und Entschädigungsfrage ist gestützt auf eine summarische Prüfung zu entscheiden. Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu vertiefen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen; vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Es soll auf dem Weg über den Kostenentscheid nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden (vgl. Philipp Gelzer, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, BKK Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, N 14 zu Art. 71 BGG).
2. 2.1 Über die Kosten- und Entschädigungsfrage ist gestützt auf eine summarische Prüfung zu entscheiden. Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu vertiefen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen; vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Es soll auf dem Weg über den Kostenentscheid nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden (vgl. Philipp Gelzer, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, BKK Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, N 14 zu Art. 71 BGG).
2.2 Die Eingabe des Beschwerdeführers hätte keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg gehabt:
2.2.1 Seine Haftbedingungen sind - wie bereits dargelegt - am 18. März 2008 detailliert geprüft worden; soweit der Sachverhalt unvollständig festgestellt erscheinen konnte (Lärm- und Luftbelastung), sind die entsprechenden Abklärungen im Gang; sie werden in absehbarer Zeit abzuschliessen sein. Hernach wird im Rahmen eines Entlassungsgesuchs bzw. bei einer weiteren obligatorischen Haftprüfung - sollte die Festhaltung des Beschwerdeführers fortgesetzt werden - definitiv über die noch offenen Fragen bezüglich der Haftbedingungen entschieden werden können. Wie bereits am 18. März 2008 festgehalten wurde, vermag der Beschwerdeführer nicht darzutun, dass die Haftbedingungen im Flughafengefängnis als geradezu gesundheitsschädigend einzustufen wären und er einem so erheblichen Leiden ausgesetzt erscheint, dass von einer unmenschlichen, erniedrigenden Behandlung bzw. einem Verstoss gegen die Menschenwürde gesprochen werden müsste und ein sofortiges Einschreiten des Bundesgerichts geboten erschiene (Urteil 2C_169/2008 vom 18. März 2008, E. 4.7).
2.2.2 Der Beschwerdeführer befindet sich heute zudem nicht mehr in Ausschaffungs-, sondern in Durchsetzungshaft. Diese dient dazu, den Vollzug der Wegweisung auch dann organisieren zu können, wenn er - wie hier - ausschliesslich noch am unkooperativen Verhalten bzw. am Willen des Betroffenen scheitert (BGE 134 I 92 E. 2). Die Haftbedingungen sind an diesem Zweck zu messen: Der Betroffene soll (als letzte Möglichkeit) dazu verhalten werden, seinen Widerstand aufzugeben und - der in einem rechtsstaatlichen Verfahren ergangenen Anordnung entsprechend - das Land umgehend zu verlassen. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er ohne weiteres in seine Heimat zurückkehren könnte, sollte er bei der Botschaft ein entsprechendes Gesuch stellen; er ist inzwischen unbestrittenermassen als nigerianischer Staatsbürger anerkannt worden. Das Strafverfahren gegen ihn wurde teilweise eingestellt; sollte es weitergeführt werden müssen und seine Anwesenheit hierfür erforderlich sein, könnte ihm nötigenfalls eine erneute Einreise ermöglicht werden; er kann aus dem entsprechenden Verfahren - entgegen seinen Behauptungen - keinen Anspruch auf Aufenthalt im Land ableiten. Dasselbe gilt für das von ihm gegen verschiedene Polizisten eingeleitete Strafverfahren, nachdem seine Einvernahme stattgefunden hat und er in der Schweiz über einen Anwalt verfügt, der seine Interessen vertritt. Für eine allfällige "Vertuschungsabsicht" der Behörden bestehen keine Hinweise, umso weniger, als sein Rechtsvertreter bereits angekündigt hat, dass er die von ihm aufgeworfenen Fragen durch den Europäischen Gerichtshof für Menschenrechte werde überprüfen lassen (vgl. BGE 131 I 455 ff.).
2.2.3 Schliesslich ist zu berücksichtigen, dass der Beschwerdeführer sich einmal mehr weitgehend abstrakt gegen die Haftbedingungen wehrt, indessen nicht darlegt, wie er selber durch diese in einer Art und Weise beeinträchtigt wird, welche mit dem angerufenen Art. 3 EMRK bzw. der Folterkonvention nicht vereinbar wäre ("Familienzimmer", "Verpflegungsautomat" usw.). Für Haftbedingungen, welche tatsächlich als "unmenschlich" und "erniedrigend" zu gelten haben, kann auf das EGMR-Urteil vom 12. Juli 2007 i.S. Testa gegen Kroatien verwiesen werden ([Nr. 20877/04] EuGRZ 2008 S. 21 ff.). Die dort bestrittenen Verhältnisse sind mit den vorliegenden in keiner Weise vergleichbar. Wie bereits im Urteil vom 18. März 2008 ausgeführt wurde, ist es dem Bundesgericht verwehrt, die Haft in einem konkreten Fall als unzulässig zu beurteilen, solange der gesetzliche Mindeststandard eingehalten ist, selbst wenn eine grosszügigere Behandlung möglich wäre und in gewissen Kantonen auch gewährt wird. Das Bundesgericht kann die Haftbedingungen bei der Haftgenehmigung nur auf den konkreten Fall bezogen überprüfen und nur beschränkt allgemeine Kontrollen vornehmen oder generelle Überlegungen zum Haftregime anstellen. Im Haftprüfungsverfahren geht es um die hauptsächlichen Haftbedingungen, welche geeignet sind, die Zumutbarkeit der Festhaltung als solche zu beeinträchtigen; andere Beanstandungen sind im Kanton aufsichtsrechtlich geltend zu machen und können bei Vorliegen der entsprechenden Beschwerdevoraussetzungen über diesen Weg vor Bundesgericht getragen werden (Urteil 2C_169/2008 vom 18. März 2008, E. 4.3 mit Hinweis).
2.2.4 Dies gilt auch für die vom Beschwerdeführer kritisierte Überstellung mit Handschellen im Polizeitransportfahrzeug an die Haftrichterverhandlung und den Aufenthalt in der "Abstandszelle". Dabei geht es nicht um eine eigentliche Haftbedingung, sondern um die Art und Weise der Zuführung und der Organisation der mündlichen Prüfung der Haftanordnung durch den Richter. Es gilt dabei - nach gewissen gerichtsnotorischen Vorfällen - sowohl die Sicherheit des Personals und des Gerichts sowie jene der gleichzeitig transportierten anderen Administrativhäftlinge zu gewährleisten, was die Fesselung während des Transports und gewisse Sicherheitsmassnahmen im Gerichtssaal rechtfertigen kann. Soweit der Beschwerdeführer einwendet, dass dies bei ihm nicht nötig sei, genügt darauf hinzuweisen, dass er wegen seines Verhaltens auch schon in eine Einzelzelle verlegt werden musste und seine Beziehungen zum Betreuungspersonal als angespannt eingeschätzt werden.
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend hätte der Beschwerdeführer somit die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen, doch rechtfertigt es sich aufgrund der Umstände, keine solchen zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist wegen Aussichtslosigkeit der Eingabe abzuweisen (Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieser Entscheid wird den Parteien, dem Bezirksgericht Zürich, Haftrichter, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar