Faits:
A.
Le 16 juillet 2009, Z._, née en 1982, a été engagée par la Fondation des Parkings en qualité d'agente de contrôle de stationnement à partir du 1 er août 2009. Le 10 octobre 2011, la Fondation a résilié les rapports de service pour le 31 décembre 2011. Le 5 décembre 2011, le Bureau de la Fondation a confirmé cette décision. Il a également décidé de facturer à l'intéressée son abonnement personnel au Parking X._. Il était reproché à celle-ci d'avoir prêté durant de longues périodes son abonnement personnel de parking à un tiers. Le licenciement était également motivé par le fait que l'employée avait été absente pour cause de maladie durant de très longues périodes. Or, en dépit des nombreuses sollicitations de ses supérieurs, elle avait toujours fourni les justificatifs de ses absences avec beaucoup de retard.
Cette décision faisait suite à deux décisions précédentes de licenciement, des 26 mai 2011 et 9 août 2011, qui avaient été ensuite annulées par l'employeur, car le congé était à chaque fois intervenu en temps inopportun.
B.
Z._ a recouru contre la décision du Bureau de la Fondation du 5 décembre 2011 devant la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève. Elle a conclu, principalement, à ce que le tribunal constate la nullité de son licenciement. Statuant le 5 mars 2013, la Chambre administrative a annulé la décision attaquée pour violation du droit d'être entendu, dit que l'intéressée faisait toujours partie du personnel de la Fondation des Parkings et renvoyé la cause à celle-ci pour nouvelle décision au sens des motifs.
C.
La Fondation des Parkings exerce un recours en matière de droit public dans lequel elle conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et au rejet du recours contre la décision du 5 décembre 2011.
Z._ conclut au rejet du recours.
D.
Par ordonnance du 20 septembre 2013, le Juge instructeur a accordé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1.
Selon l'art. 21 de la loi (de la République et canton de Genève) du 17 mai 2001 sur la Fondation des parkings (LFPark; RSG H 1 13), les employés de la Fondation sont liés à celle-ci par un rapport de droit public (al. 1). Le conseil de fondation établit le statut du personnel et fixe les traitements, après consultation dudit personnel (al. 2). Le jugement entrepris a donc été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Le litige porte sur le licenciement d'une employée. Il s'agit, par conséquent, d'une contestation pécuniaire, si bien que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (voir par exemple l'arrêt 8C_269/2013 du 25 février 2014 consid. 1.1 et les arrêts cités). La valeur litigieuse atteint par ailleurs le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF; cf. par exemple arrêt 8C_82/2013 du 3 décembre 2013 consid. 1).
2.
Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Toutefois, il n'examine que les griefs soulevés, sauf en présence de violations de droit évidentes (ATF 138 I 274 consid. 1.6 p. 280). En outre, le Tribunal fédéral ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief motivé de façon détaillée conformément aux exigences accrues de l'art. 106 al. 2 LTF. Le recourant doit énoncer le droit ou principe constitutionnel violé et exposer de manière claire et circonstanciée en quoi consiste la violation (cf. ATF 138 I 171 consid. 1.4 p. 176).
3.
Le Tribunal fédéral conduit par ailleurs son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
4.
4.1. Les premiers juges retiennent que la Fondation a elle-même admis que les licenciements des 26 mai 2011 et 9 août 2011 étaient nuls. Seule devait donc être examinée la validité du congé signifié le 10 octobre 2011 et confirmé par le Bureau de la Fondation le 5 décembre 2011. A partir de là, la juridiction cantonale a tout d'abord considéré que la Fondation avait violé le droit d'être entendue de l'intéressée en ne lui donnant pas la possibilité de s'exprimer avant de la licencier le 10 octobre 2011. L'employée n'avait certes pas donné suite à des entretiens auxquels elle avait été conviée par la Fondation pour les 27 mai 2011 et 29 septembre 2011 (convocation des 25 mai et 28 septembre 2011). L'entretien du 27 mai 2011 était toutefois destiné à dresser le bilan de la situation personnelle de l'intimée. Lorsque celle-ci a été convoquée à cet entretien, elle ne pouvait pas comprendre qu'une mesure de licenciement entrerait en ligne de compte. S'agissant de l'entretien du 29 septembre 2011, la Fondation n'avait pas non plus indiqué quel en serait l'objet. L'intimée ne pouvait toutefois l'ignorer, vu les décisions précédentes de licenciement des 26 mai et 9 août 2011, qui se fondaient sur des motifs constants (prêt d'un abonnement de parking; retard dans les justificatifs des absences). L'intéressée n'avait toutefois pas pu se présenter à cet entretien pour cause de maladie.
4.2. La juridiction cantonale a par ailleurs fait référence à l'art. 21 al. 3 de la loi (de la République et canton de Genève) du 4 décembre 1997 relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux (LPAC; RSG B 5 05). Selon cette disposition, l'autorité compétente peut résilier les rapports de service du fonctionnaire pour un motif fondé. Elle est tenue, préalablement à la résiliation, de proposer des mesures de développement et de réinsertion professionnels et de rechercher si un autre poste au sein de l'administration cantonale correspond aux capacités de l'intéressé. Les premiers juges se sont aussi référés au règlement d'application de la LPAC du 24 février 1999 (RSG B 5 05.01). Ils ont invoqué, plus particulièrement, l'art. 44 al. 6 de ce règlement, disposition selon laquelle le droit d'être entendu est exercé de manière écrite dans les situations où un entretien de service ne peut pas se dérouler dans les locaux de l'administration, en raison, notamment, de l'absence du membre du personnel pour cause de maladie ou d'accident. Ils en ont déduit que la Fondation ne pouvait donc prononcer un licenciement de l'intéressée - dans l'incapacité de se présenter à l'entretien fixé le 28 septembre 2011 - sans lui signifier par écrit les faits qui lui étaient reprochés, l'informer qu'ils pouvaient conduire à son licenciement et lui impartir un délai pour se déterminer par écrit.
4.3. Certes, poursuit la juridiction cantonale, l'intimée a été entendue par le Bureau de la Fondation le 5 décembre 2011 en lien avec la décision de licenciement du 10 octobre 2011. Mais le Bureau a confirmé le licenciement non seulement pour les motifs invoqués par la direction à l'appui de la décision du 10 octobre 2011, mais également au motif que l'employée avait eu des absences prolongées et qu'elle avait une santé fragile. Le Bureau aurait dû l'informer, en la convoquant à l'entretien du 5 décembre 2011, que la question de ses absences répétées pour cause de maladie et d'accident, leur durée et leur incidence sur la bonne marche du service, et donc sur son emploi, allait être abordée. L'intéressée ne pouvait présumer que son état de santé pourrait aussi constituer une cause de licenciement. A cela s'ajoute, toujours selon la juridiction cantonale, que la décision du Bureau retient qu'une enquête interne avait permis de constater que l'employée avait fait bénéficier à un tiers de la gratuité du parking durant ses arrêts de travail. Or, le dossier administratif que la Fondation avait remis à la Chambre administrative ne contenait aucune trace de cette enquête interne. De ce point de vue également, le droit d'être entendue de l'intimée avait été violé, notamment au regard de l'art. 23 al. 3 des statuts du personnel de la Fondation, selon lequel aucun document ne peut être utilisé contre un membre du personnel sans que celui-ci n'en ait eu connaissance et qu'un délai ne lui ait été fixé pour faire part de son point de vue.
5.
La recourante soutient que ni la LPAC ni le RPAC ne sont applicables aux rapports de travail qui la lient à ses salariés. Elle invoque l'art. 1 er LPAC qui énumère les personnels et les fonctions qui entrent dans son champ d'application. Le personnel de la Fondation n'y figure pas. Au contraire ajoute la recourante, l'art. 21 al. 2 LFPark habilite le Conseil de fondation à établir le statut du personnel, qui selon elle régirait exhaustivement les droits et devoirs des agents de la Fondation, comme le prévoit d'ailleurs explicitement l'art. 4 des statuts. Or, l'art. 56 ch. 1 de ces mêmes statuts prescrit que, avant de notifier sa décision, la Fondation doit entendre l'intéressé. Si celui-ci ne peut ou ne veut être entendu, la Fondation lui notifie la résiliation par écrit sans l'avoir entendu au préalable. Aussi bien la recourante reproche-t-elle à la juridiction cantonale de ne pas avoir appliqué cette disposition et de lui avoir préféré les art. 21 al. 3 LPAC et 44 RPAC. En appliquant ces deux dispositions, les premiers juges ont fait preuve d'arbitraire. S'ils avaient appliqué les statuts, ils auraient dû constater que la Fondation était en droit de résilier les rapports de service de l'intimée le 10 octobre 2011, car celle-ci, en ne se présentant pas aux entretiens des 27 mai et 29 septembre 2011, avait manifesté qu'elle ne voulait pas être entendue.
6.
6.1. Il faut d'emblée relever que la question de savoir si la procédure de reclassement prévue à l'art. 21 al. 3 LPAC est ou non applicable au personnel de la Fondation n'a pas à être tranchée. Les premiers juges ont mentionné cette disposition sans en tirer dans le cas concret une quelconque conclusion sur les obligations de l'employeur. S'ils ont annulé la décision du Bureau de la Fondation, c'est en raison d'une violation du droit d'être entendu et non au motif que l'employeur aurait fait une mauvaise application de l'art. 21 al. 3 LPAC.
6.2. Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit entraîner une annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès de la partie recourante sur le fond (ATF 132 V 387 consid. 5.1 p. 390; 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437). Le contenu du droit d'être entendu et les modalités de sa mise en oeuvre sont déterminés en premier lieu par les dispositions de droit cantonal de procédure, dont le Tribunal fédéral ne revoit l'application et l'interprétation que sous l'angle restreint de l'arbitraire. Il examine en revanche librement si les garanties minimales consacrées par le droit constitutionnel fédéral sont respectées (ATF 134 I 159 consid. 2.1.1 p. 161; consid. 5.2 non publié aux ATF 136 I 39 de l'arrêt 8C_158/2009 du 2 septembre 2009 et les arrêts cités).
6.3. La recourante ne conteste pas les constatations du jugement attaqué selon lesquelles l'intéressée ne s'est pas présentée à l'entretien fixé le 28 septembre 2011 parce qu'elle en était empêchée pour cause de maladie (cf. p. 21 du jugement attaqué sous consid. 10). Elle ne peut donc pas déduire de cette absence - indépendante de la volonté de l'intimée - que celle-ci renonçait à être entendue. La Fondation ne pouvait donc passer outre après avoir constaté cette absence. A défaut d'ajourner le rendez-vous, elle aurait dû, à tout le moins, impartir à l'intimée - qui était représentée - un délai pour se déterminer par écrit sur les griefs formulés à son encontre. L'incapacité motivée par des raisons médicales n'est pas un argument pour refuser le droit d'être entendu (voir à ce propos GABRIELLE STEFFEN, Le droit d'être entendu du collaborateur de la fonction publique: juste une question de procédure?, in RJN 2005, p. 51 ss, plus spécialement p. 61ss). Sous l'angle de la garantie constitutionnelle du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), les premiers juges n'ont pas violé le droit en retenant que l'intimée ne pouvait pas être privée de son droit d'être entendue par une disposition plus restrictive des statuts. Le moyen soulevé n'est dès lors pas fondé.
6.4. Pour le reste, la recourante ne conteste pas le jugement attaqué en tant que celui-ci retient que l'entretien du 27 mai 2011 n'avait pas pour objet l'éventualité d'un licenciement et que la présence de l'intimée à cet entretien ne lui aurait pas permis d'exercer son droit d'être entendue à l'égard d'une telle mesure. La recourante ne prétend pas non plus que l'audition du 5 décembre 2011 (qui n'a pas fait l'objet d'un procès-verbal) était suffisante pour réparer la violation antérieure du droit d'être entendu. Enfin, elle ne conteste pas les constatations du jugement attaqué selon lesquelles le dossier administratif de l'intimée ne contenait aucune trace de l'enquête interne à laquelle se référait pourtant le Bureau de la Fondation dans sa décision. Faute de griefs, il n'y a pas lieu de s'attarder sur ces divers points.
7.
De ce qui précède, il résulte que le recours, mal fondé, doit être rejeté.
8.
Vu l'issue du litige, la recourante supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Par ailleurs, l'intimée a droit à une indemnité de dépens à la charge de la Fondation (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 24 avril 2014
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: Fretz Perrin