Faits:
Faits:
A. A.a Y._, née en 1966, est arrivée en Suisse en 1988. Mariée et mère de trois enfants, elle a travaillé en qualité d'employée de ménage et d'aide-couturière jusqu'au 31 octobre 1999. Souffrant d'atteintes rhumatismales depuis 1992, elle s'est annoncée à l'assurance-invalidité le 1er mai 2000.
Dans un rapport du 12 octobre 2000, le docteur M._, spécialiste en médecine interne et maladies respiratoires, médecin traitant, a posé le diagnostic de « fibromyalgie versus syndrome somatoforme douloureux » depuis le mois de novembre 1997 et attesté une incapacité totale de travail à compter du 19 avril 1999. A son rapport, il a annexé quatre autres avis médicaux relatifs à des examens spécialisés auxquels sa patiente s'était soumise. Il en ressort ce qui suit :
Le docteur C._, du Département universitaire de X._, dans un rapport du 30 avril 1999, a relevé que l'assurée présentait un faciès dépressif, qu'elle se plaignait de diverses douleurs depuis trois ans et que de nombreux traitements avaient été tentés. Ce médecin indiquait qu'un traitement antidépresseur de type Saroten Retard serait bénéfique tant sur la thymie de l'assurée que sur ses douleurs.
De son côté, le docteur L._, du Département Hospitalisation et Investigations de l'Hôpital X._, a rapporté le 25 mai 1999 que l'assurée souffrait depuis environ quatre ans de dorso-lombalgies chroniques sans facteur déclenchant, exacerbées à l'effort; il a précisé que l'examen de l'appareil locomoteur n'avait pas révélé de limitation fonctionnelle et qu'il n'y avait pas de syndrome inflammatoire. Le docteur L._ a relevé que la patiente avait eu un entretien avec la doctoresse Z._, du service de psychiatrie de liaison; cette dernière avait constaté des troubles thymiques, retenu le diagnostic de syndrome douloureux somatoforme chronique et proposé un traitement antidépresseur de type Saroten Retard, dès lors que de très nombreux antidépresseurs avaient déjà été essayés.
Dans un rapport du 16 mars 1999, le docteur R._, spécialiste en médecine interne et maladies rhumatismales, a fait état d'un tableau de polyalgies; l'évolution était défavorable avec un état douloureux chronique touchant pratiquement toutes les parties du corps. La physiothérapie en piscine et les massages subaquatiques n'avaient pas entraîné de changement. Ce médecin a précisé qu'il n'avait pas trouvé de signes inflammatoires et qu'il n'y avait pas d'argument pour évoquer une maladie rhumatismale sous-jacente, les mobilités étant conservées. Il a noté que l'assurée avait l'air abattue pendant tout l'examen. Selon le docteur R._, on se trouvait en présence d'un trouble somatoforme douloureux chronique et l'administration d'un antidépresseur lui paraissait être le meilleur moyen pour aider sa patiente.
Quant à la doctoresse B._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie, elle avait diagnostiqué, le 25 mars 1997, des cervico-dorsalgies sur importante dysbalance musculaire et scoliose dorsale haute dextro-convexe.
A.b Le 1er mai 2001, les docteurs V._ et P._, médecins à l'Hôpital A._, ont estimé qu'on pouvait exiger de l'assurée qu'elle se soumît à un traitement médical destiné à permettre une amélioration significative de sa capacité de travail. A leur avis, il n'y avait pas de comorbidité psychiatrique ou somatique au syndrome somatoforme douloureux, lequel découlait directement des problèmes d'adaptation de l'assurée en Suisse, de sorte que ce syndrome n'était pas invalidant. Après que l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) eut informé l'assurée qu'il envisageait de rejeter la demande (cf. projet de décision du 30 mai 2001), le docteur M._ a demandé à l'AI de reconsidérer sa position, car sa patiente était entièrement incapable de travailler depuis quatre ans et toutes les possibilités thérapeutiques avaient été épuisées.
Par décision du 8 août 2001, l'office AI a rejeté la demande de prestations, au motif que l'assurée ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante au sens de la loi et qu'aucun élément objectif n'indiquait que sa capacité de gain fût limitée.
Par décision du 8 août 2001, l'office AI a rejeté la demande de prestations, au motif que l'assurée ne présentait pas d'atteinte à la santé invalidante au sens de la loi et qu'aucun élément objectif n'indiquait que sa capacité de gain fût limitée.
B. Y._ a recouru contre cette décision en concluant au versement d'une rente entière d'invalidité. Elle a requis, à titre préalable, la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique.
Le 11 janvier 2002, le docteur M._ a transmis à l'office AI une écriture de l'association Appartenances. Dans ce document, daté du 18 décembre 2001, la doctoresse D._ et la psychologue S._ relevaient la présence d'un état dépressif sévère sans symptômes psychotiques. Par lettre du 23 janvier 2003, les prénommées ont précisé qu'elles suivaient l'assurée depuis le 30 novembre 2001.
Le Tribunal des assurances du canton de Vaud a désigné le docteur K._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, en qualité d'expert. Celui-ci a déposé son rapport du 21 septembre 2004. Il ressort de l'anamnèse que l'assurée a séjourné entre-temps à l'Hôpital psychiatrique de E._, du 3 au 12 décembre 2003, en raison d'une exacerbation d'un épisode dépressif; à cette occasion, les psychiatres O._ et I._ avaient signalé que la patiente souffrait depuis plusieurs années d'un état dépressif avec syndrome somatique, avec péjoration dans le cadre d'événements familiaux stressants. Selon l'expert, l'assurée présente un épisode dépressif sévère sans symptômes psychotiques (F 32.2) ainsi qu'un syndrome douloureux somatoforme persistant (F 45.4); à son avis, sa capacité de travail est nulle dans son ancienne activité d'employée de maison comme dans toute autre activité, cela depuis le mois d'avril 1999.
L'office AI a conclu au rejet du recours. Il s'est fondé sur une prise de position des docteurs P._, L._ et V._, médecins à l'Hôpital A._, du 16 décembre 2004, qui estimaient que l'assurée ne présentait pas de troubles thymiques entre 1999 et fin 2001.
Par jugement du 17 février 2005, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
Par jugement du 17 février 2005, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. Y._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont elle demande l'annulation, avec suite de dépens, en concluant au versement d'une rente entière à compter du 1er avril 2000.
L'intimé conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 132 al. 1 OJ dans sa version selon le ch. III de la loi fédérale du 16 décembre 2005 portant modification de la LAI (en vigueur depuis le 1er juillet 2006), dans une procédure concernant l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, le Tribunal fédéral des assurances peut aussi examiner l'inopportunité de la décision attaquée et n'est pas lié par la constatation de l'état de fait de l'autorité cantonale de recours. En vertu de l'art. 132 al. 2 OJ, ces dérogations ne sont cependant pas applicables lorsque la décision qui fait l'objet d'un recours concerne les prestations de l'assurance-invalidité. Selon le ch. II let. c de la loi fédérale du 16 décembre 2005, l'ancien droit s'applique aux recours pendants devant le Tribunal fédéral des assurances au moment de l'entrée en vigueur de la modification. Dès lors que le recours qui est soumis au Tribunal fédéral des assurances était pendant devant lui au 1er juillet 2006, son pouvoir d'examen résulte de l'ancien art. 132 OJ, dont la teneur correspond à celle du nouvel al. 1.
1. Selon l'art. 132 al. 1 OJ dans sa version selon le ch. III de la loi fédérale du 16 décembre 2005 portant modification de la LAI (en vigueur depuis le 1er juillet 2006), dans une procédure concernant l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, le Tribunal fédéral des assurances peut aussi examiner l'inopportunité de la décision attaquée et n'est pas lié par la constatation de l'état de fait de l'autorité cantonale de recours. En vertu de l'art. 132 al. 2 OJ, ces dérogations ne sont cependant pas applicables lorsque la décision qui fait l'objet d'un recours concerne les prestations de l'assurance-invalidité. Selon le ch. II let. c de la loi fédérale du 16 décembre 2005, l'ancien droit s'applique aux recours pendants devant le Tribunal fédéral des assurances au moment de l'entrée en vigueur de la modification. Dès lors que le recours qui est soumis au Tribunal fédéral des assurances était pendant devant lui au 1er juillet 2006, son pouvoir d'examen résulte de l'ancien art. 132 OJ, dont la teneur correspond à celle du nouvel al. 1.
2. Les atteintes à la santé psychique peuvent, comme les atteintes physiques, entraîner une invalidité au sens de l'art. 4 al. 1 LAI en liaison avec l'art. 8 LPGA. On ne considère pas comme des conséquences d'un état psychique maladif, donc pas comme des affections à prendre en charge par l'assurance-invalidité, les diminutions de la capacité de gain que l'assuré pourrait empêcher en faisant preuve de bonne volonté; la mesure de ce qui est exigible doit être déterminée aussi objectivement que possible (ATF 102 V 165; VSI 2001 p. 224 consid. 2b et les références; cf. aussi ATF 127 V 298 consid. 4c in fine).
La reconnaissance de l'existence d'une atteinte à la santé psychique, soit aussi de troubles somatoformes douloureux persistants, suppose d'abord la présence d'un diagnostic émanant d'un expert (psychiatre) et s'appuyant lege artis sur les critères d'un système de classification reconnu (ATF 130 V 398 ss consid. 5.3 et consid. 6). Comme pour toutes les autres atteintes à la santé psychique, le diagnostic de troubles somatoformes douloureux persistants ne constitue pas encore une base suffisante pour conclure à une invalidité. Au contraire, il existe une présomption que les troubles somatoformes douloureux ou leurs effets peuvent être surmontés par un effort de volonté raisonnablement exigible. Le caractère non exigible de la réintégration dans le processus de travail peut résulter de facteurs déterminés qui, par leur intensité et leur constance, rendent la personne incapable de fournir cet effort de volonté. Dans un tel cas, en effet, l'assuré ne dispose pas des ressources nécessaires pour vaincre ses douleurs. La question de savoir si ces circonstances exceptionnelles sont réunies doit être tranchée de cas en cas à la lumière de différents critères. Au premier plan figure la présence d'une comorbidité psychiatrique importante par sa gravité, son acuité et sa durée. D'autres critères peuvent être déterminants. Ce sera le cas des affections corporelles chroniques, d'un processus maladif s'étendant sur plusieurs années sans rémission durable (symptomatologie inchangée ou progressive), d'une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie, d'un état psychique cristallisé, sans évolution possible au plan thérapeutique, résultant d'un processus défectueux de résolution du conflit, mais apportant un soulagement du point de vue psychique (profit primaire tiré de la maladie, fuite dans la maladie), de l'échec de traitements ambulatoires ou stationnaires conformes aux règles de l'art (même avec différents types de traitement), cela en dépit de l'attitude coopérative de la personne assurée (ATF 130 V 352). Plus ces critères se manifestent et imprègnent les constatations médicales, moins on admettra l'exigibilité d'un effort de volonté (Meyer-Blaser, Der Rechtsbegriff der Arbeitsunfähigkeit und seine Bedeutung in der Sozialversicherung, in: Schmerz und Arbeitsunfähigkeit, St. Gall 2003, p. 77).
Si les limitations liées à l'exercice d'une activité résultent d'une exagération des symptômes ou d'une constellation semblable, on conclura, en règle ordinaire, à l'absence d'une atteinte à la santé ouvrant le droit à des prestations d'assurance. Au nombre des situations envisagées figurent la discordance entre les douleurs décrites et le comportement observé, l'allégation d'intenses douleurs dont les caractéristiques demeurent vagues, l'absence de demande de soins, les grandes divergences entre les informations fournies par le patient et celles ressortant de l'anamnèse, le fait que des plaintes très démonstratives laissent insensible l'expert, ainsi que l'allégation de lourds handicaps malgré un environnement psychosocial intact (voir Kopp/Willi/Klipstein, Im Graubereich zwischen Körper, Psyche und sozialen Schwierigkeiten, in: Schweizerische Medizinische Wochenschrift 1997, p. 1434, avec référence à une étude approfondie de Winckler et Foerster; voir sur l'ensemble du sujet ATF 131 V 49).
Au sujet du critère de la comorbidité psychiatrique, on rappellera que les états dépressifs (pris en tant que comorbidité psychiatrique) constituent généralement des manifestations (réactives) d'accompagnement des troubles somatoformes douloureux, de sorte qu'ils ne sauraient faire l'objet d'un diagnostic séparé (ATF 130 V 358 consid. 3.3.1 in fine; Meyer-Blaser, op. cit., p. 81, note 135), sauf à présenter les caractères de sévérité susceptibles de les distinguer sans conteste d'un tel trouble (arrêt D. du 20 avril 2006, I 805/04, consid. 5.2.1; voir également Fauchère, A propos de l'article de Jean Pirrotta « Les troubles somatoformes douloureux du point de vue de l'assurance-invalidité », in SZS/RSAS 2006 p. 135).
Au sujet du critère de la comorbidité psychiatrique, on rappellera que les états dépressifs (pris en tant que comorbidité psychiatrique) constituent généralement des manifestations (réactives) d'accompagnement des troubles somatoformes douloureux, de sorte qu'ils ne sauraient faire l'objet d'un diagnostic séparé (ATF 130 V 358 consid. 3.3.1 in fine; Meyer-Blaser, op. cit., p. 81, note 135), sauf à présenter les caractères de sévérité susceptibles de les distinguer sans conteste d'un tel trouble (arrêt D. du 20 avril 2006, I 805/04, consid. 5.2.1; voir également Fauchère, A propos de l'article de Jean Pirrotta « Les troubles somatoformes douloureux du point de vue de l'assurance-invalidité », in SZS/RSAS 2006 p. 135).
3. 3.1 Dans son rapport du 21 septembre 2004, le docteur K._ atteste que la recourante a présenté, lors de ses examens, les critères diagnostics d'un épisode dépressif sévère sans symptômes psychotiques (F32.2) et ceux d'un syndrome douloureux somatoforme persistant (F45.4). En ce qui concerne le trouble dépressif, l'expert précise qu'un diagnostic de « trouble dépressif récurrent, épisode actuel sévère sans symptômes psychotiques (F33.2) » pourrait être pris en considération, comme les médecins de E._, compte tenu de l'existence de récidives dépressives. Il ajoute qu'il n'a toutefois pas pu mettre en évidence de manière plausible des périodes de rémission, que ce soit à travers les indications fournies par l'intéressée ou des tiers, ce qui le conduit à retenir un épisode unique, persistant depuis de nombreuses années.
Quant au syndrome douloureux somatoforme, l'expert est d'avis qu'il semble avoir clairement anticipé l'apparition clinique d'un état dépressif. Il précise qu'il est néanmoins possible, voire fortement probable, que le syndrome douloureux se soit greffé dès le départ sur un état dépressif d'abord larvé, puis léger, avant de décompenser sur un mode sévère. L'expert ajoute que d'autres diagnostics pourraient le cas échéant être pris en compte, singulièrement un trouble de la personnalité, mais qu'ils ne peuvent pas être diagnostiqués actuellement en raison de l'état dépressif sévère existant depuis plusieurs années.
Le docteur K._ observe qu'un diagnostic de trouble dépressif n'a pas été retenu à la suite de la consultation psychiatrique du mois d'avril 1999, malgré plusieurs éléments allant dans ce sens. Cependant, il constate que le médecin traitant a pris la situation en mains de manière pertinente, en ayant recours à différents spécialistes. C'est ainsi qu'ont été entrepris divers traitements psychothérapeutiques et médicamenteux contre les douleurs et la dépression, toutefois sans succès. L'expert relève que des antidépresseurs tels que la Fluctine, le Sarotène, le Nefadar, le Deroxat, l'Efexor, le Sinquan et le Citalopram ont été appliqués, sans même qu'un diagnostic de dépression n'ait été formellement posé. Il en déduit que le nombre de médicaments antidépresseurs administrés est significatif aussi bien pour l'intensité de la souffrance exprimée par la recourante, que pour le manque d'efficacité de ce type de traitement. L'expert ajoute que la consultation auprès de l'association Appartenances a mis en évidence, à fin 2001, des symptômes dépressifs classiques, dont la formulation correspond aux critères diagnostics de la CIM-10.
L'expert judiciaire atteste enfin que la recourante évolue dans un milieu globalement dépassé sur le plan affectif et que tous les membres de sa famille ont bénéficié (ou bénéficient encore) de soins d'ordre psychiatrique. Elle-même présente des traits de personnalité dépendants et passifs et ses ressources sont limitées.
3.2 Comme l'un des deux diagnostics retenus porte sur un syndrome douloureux somatoforme persistant, le docteur K._ a examiné, en réponse à des questions précises à ce propos, la question de l'exigibilité de la reprise d'une activité lucrative au regard des critères rappelés au consid. 2 ci-avant.
En premier lieu, l'expert judiciaire constate la présence d'une comorbidité psychiatrique sous la forme d'un trouble dépressif. Bien que ce trouble n'ait été diagnostiqué formellement qu'à la suite de la prise en charge de la recourante par l'association Appartenances, à fin 2001, l'expert estime qu'il a probablement précédé l'apparition du syndrome somatoforme. Le docteur K._ constate que plusieurs indices se sont accumulés depuis 1999, tels qu'un air abattu, des troubles du sommeil, des maux de tête, un faciès dépressif, un trouble thymique avec difficulté à verbaliser sa tristesse, un manque d'élan vital, de la fatigue et de la faiblesse.
L'expert K._ observe ensuite que la perte d'intégration sociale est manifeste depuis avril 1999; à son avis, il s'agit-là d'une intégration morbide, dès lors qu'on est en présence d'un réseau social basé essentiellement sur la solidarité et le soutien qui est fourni à la recourante ainsi qu'à sa famille. Il indique aussi que la recourante ne tire pas profit de la maladie, si ce n'est qu'elle se trouve être déchargée de responsabilités familiales. Par ailleurs, le docteur K._ atteste que la maladie de la recourante est sans aucun doute chronique, sans rémission durable, les symptômes étant stables et la situation n'ayant pratiquement pas évolué depuis cinq ans. Enfin, il estime qu'il faut plutôt parler de l'absence de traitement approprié plutôt que d'un cas d'échec de traitements conformes aux règles de l'art, dès lors que l'administration d'antidépresseurs constitue tout au plus le traitement le moins mauvais ou le meilleur possible.
3.3 En ce qui concerne la capacité de travail de la recourante, l'expert judiciaire considère qu'elle est nulle dans l'ancienne activité d'employée de maison comme dans toute autre occupation. A son avis, il n'est pas non plus possible d'envisager une activité adaptée, car la recourante ne dispose que de ressources intellectuelles limitées. Il ajoute que l'incapacité totale de travailler n'est pas due au contexte psycho-social indéniablement difficile dans lequel la recourante évolue, mais uniquement à l'état dépressif sévère et au syndrome douloureux somatoforme persistant dont elle souffre.
Pour fixer le début de l'incapacité de travail, l'expert tient compte d'une détérioration progressive des symptômes depuis 1995 au moins avec une évolution défavorable qui s'explique par les faibles ressources psycho-affectives de l'intéressée. Une incapacité de travail complète lui paraît extrêmement vraisemblable à partir du mois d'avril 1999 et ne s'est pas modifiée depuis lors.
Pour fixer le début de l'incapacité de travail, l'expert tient compte d'une détérioration progressive des symptômes depuis 1995 au moins avec une évolution défavorable qui s'explique par les faibles ressources psycho-affectives de l'intéressée. Une incapacité de travail complète lui paraît extrêmement vraisemblable à partir du mois d'avril 1999 et ne s'est pas modifiée depuis lors.
4. 4.1 Les premiers juges n'ont pas suivi les conclusions de l'expert judiciaire. En se fondant sur le dossier médical, ils ont admis que l'état dépressif de la recourante n'était que latent en avril 1999, car aucun trouble d'ordre dépressif significatif n'avait été diagnostiqué avant que la doctoresse D._ n'en fît état dans son rapport du 18 décembre 2001, que ce soit par le docteur M._ (rapport du 12 octobre 2000) ou par les spécialistes du Département universitaire de X._ (rapport du 30 avril 1999). Dès lors, la juridiction de recours a admis que le trouble dépressif ne constituait pas une comorbidité psychiatrique d'une acuité et d'une durée importante permettant de reconnaître un caractère invalidant au syndrome douloureux.
4.2 La recourante reproche principalement aux premiers juges de s'être distancés de l'avis de l'expert qu'ils avaient mandaté.
En principe, le juge ne s'écarte pas sans motifs impératifs des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Selon la jurisprudence, peut constituer une raison de s'écarter d'une expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions, ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante. En outre, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (ATF 125 V 352 consid. 3b/aa et les références).
En l'espèce, les conclusions de l'expert sont claires et motivées. Elles concordent avec ses propres observations qui se recoupent avec les données consignées antérieurement au dossier médical. Le rapport d'expertise du 21 septembre 2004 n'apparaît pas contradictoire avec les conclusions des docteurs M._, C._, L._ ou R._, même si ces derniers n'avaient pas mentionné expressément de trouble dépressif dans leurs diagnostics, mais uniquement un syndrome douloureux. A cet égard, l'expert a expliqué de façon convaincante que ses confrères avaient constaté la présence de symptômes d'un état dépressif et que les médicaments qu'ils avaient administrés se rapportaient précisément au traitement de cette affection.
Dans leurs déterminations sur le rapport d'expertise, les médecins de l'Hôpital A._ ont indiqué que le degré de gravité de l'état dépressif présenté par l'assurée avait été « un peu surestimé ». Ils ne font en définitive qu'exprimer un avis différent de celui de l'expert, sans toutefois faire état de circonstances bien établies qui viendraient ébranler sérieusement la crédibilité des conclusions de l'expert. On note d'ailleurs que les médecins de l'Hôpital A._ ne paraissent pas tenir compte des traitements psychothérapeutiques et médicamenteux qui avaient été dispensés à la recourante depuis 1999 au moins.
Par ailleurs, en l'absence d'autres symptômes de lignée thymique, les médecins de l'Hôpital A._ estiment qu'on ne peut pas « forcer le diagnostic » vers un état dépressif déjà en 1999, ce qui les conduit à exclure la présence d'un trouble dépressif antérieurement à la fin de l'année 2001. Implicitement ils retiennent que l'état de santé psychique de la recourante a dû s'aggraver au cours de ces trois années-là. On ne saurait partager ce point de vue, car une telle péjoration n'est non seulement pas établie, mais elle paraît peu vraisemblable au regard des avis médicaux versés au dossier.
Il s'ensuit que les médecins de l'Hôpital A._ et les premiers juges n'ont pas émis d'opinions aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert judiciaire ou à justifier la mise en oeuvre d'une surexpertise.
Il s'ensuit que les médecins de l'Hôpital A._ et les premiers juges n'ont pas émis d'opinions aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert judiciaire ou à justifier la mise en oeuvre d'une surexpertise.
5. 5.1 La recourante souffre d'un épisode dépressif sévère (rapport du 21 septembre 2004, p. 12). Il importe donc peu de savoir si cette affection psychique était larvée ou n'est survenue que par décompensation à la suite du trouble somatoforme, car l'état dépressif, compte tenu de son importance et de son caractère durable, constitue ici une comorbidité psychiatrique.
Dans le présent cas, l'incapacité de travail de la recourante est due aussi bien au trouble dépressif qu'au syndrome douloureux psychogène, le premier constituant à l'égard du second, selon l'expert (rapport, p. 15 en bas), une comorbidité psychiatrique manifeste d'une acuité et d'une durée importantes. Pour le surplus, l'expert s'est expliqué en détail sur chacun des critères retenus par la jurisprudence, dont trois d'entre eux paraissent clairement réalisés. Le docteur K._ atteste en effet que la perte d'intégration sociale est manifeste depuis avril 1999, même s'il existe toujours un réseau social autour de l'expertisée; à son avis, il s'agit-là d'une intégration morbide, dès lors qu'on se trouve en présence d'un réseau social basé essentiellement sur la solidarité et le soutien qui est fourni à la recourante ainsi qu'à sa famille. Quant à l'état psychique, il est assurément cristallisé, indique l'expert (p. 16), car la maladie dont souffre la recourante est chronique et sans rémission durable, les symptômes étant stables et la situation n'ayant pratiquement pas évolué depuis cinq ans. Enfin les traitements administrés contre la douleur n'ont pas eu d'effets significatifs. Dans ces conditions, on doit admettre que le trouble somatoforme se manifeste avec une sévérité telle que, d'un point de vue objectif, la mise en valeur de la capacité de travail de la recourante ne peut plus être exigée d'elle.
L'expert explique que l'incapacité totale de travailler est survenue au cours du mois d'avril 1999, confirmant à cet égard l'appréciation du médecin traitant. Sur ce point également, il n'y a pas de raison de s'écarter de l'expertise.
5.2 Les conclusions de la recourante sont dès lors bien fondées et il y a lieu de la mettre au bénéfice d'une rente entière d'invalidité. Cette prestation est due à compter du 1er avril 2000 (art. 29 LAI).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 17 février 2005 ainsi que la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 8 août 2001 sont annulés, la cause étant renvoyée audit office afin qu'il statue à nouveau sur le droit à la rente conformément aux considérants.
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 17 février 2005 ainsi que la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 8 août 2001 sont annulés, la cause étant renvoyée audit office afin qu'il statue à nouveau sur le droit à la rente conformément aux considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2'000 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2'000 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud statuera sur les dépens pour la procédure de recours de première instance, au regard de l'issue du procès de dernière instance.
4. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud statuera sur les dépens pour la procédure de recours de première instance, au regard de l'issue du procès de dernière instance.
5. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 octobre 2006
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IVe Chambre: Le Greffier: