Faits:
A. S._, né en 1975, a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 18 avril 2008, en invoquant des problèmes psychiques et de dépendance.
Se fondant sur une expertise psychiatrique du docteur C._, psychiatre au SMR (rapport du 11 septembre 2008), ainsi que sur le dossier du SMR, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a estimé que l'assuré ne présentait pas d'atteinte à la santé au sens de la LAI. Il a dès lors rejeté la demande par décision du 9 février 2009.
B. S._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui : Cour de justice, Chambre des assurances sociales), en concluant implicitement à l'octroi d'une rente. Il estimait que l'incidence de ses problèmes d'ordre psychique n'avait pas été correctement appréciée.
La juridiction cantonale a entendu le docteur M._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (procès-verbal d'enquêtes du 8 octobre 2009). A l'examen de ce document, le SMR (avis médical du 20 octobre 2009) et l'office AI (lettre du 28 octobre 2009) ont admis que l'assuré se trouvait en incapacité totale de travail depuis le 2 octobre 2005.
Par jugement du 27 mai 2010, la juridiction cantonale a admis le recours au sens des considérants (ch. 2 du dispositif), annulé la décision du 9 février 2009 (ch. 3) et dit que l'assuré avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 2 octobre 2006 (ch. 4).
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il demande l'annulation du ch. 4 du dispositif, et conclut à ce qu'une rente entière d'invalidité soit accordée à l'assuré dès le 1er avril 2007.
L'intimé et l'Office fédéral des assurances ont renoncé à se déterminer.
Par ordonnance du 14 septembre 2010, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif au recours présentée par l'office AI.
Considérant en droit:
1. Le litige porte uniquement sur le moment à compter duquel la rente entière d'invalidité doit être versée à l'intimé.
2. Les premiers juges se sont fondés sur l'art. 29 al. 1 let. b LAI, dans sa teneur en vigueur du 1er janvier 2003 au 31 décembre 2007. Ils ont constaté que l'intimé avait présenté une incapacité de travail ininterrompue d'une année depuis le 2 octobre 2005, si bien que la rente devait lui être servie après le délai d'attente d'une année, soit le 2 octobre 2006.
3. L'office recourant se prévaut d'une violation du droit fédéral, singulièrement de l'art. 48 al. 2 aLAI, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007. A son avis, la rente ne peut être allouée que pour les douze mois précédant le dépôt de la demande (intervenue le 18 avril 2008), c'est-à-dire à partir du mois d'avril 2007, d'autant que l'intimé n'aurait pas été empêché de présenter sa demande en temps utile.
4. 4.1 Selon l'art. 29 al. 1 LAI, en vigueur depuis le 1er janvier 2008, le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations conformément à l'art. 29 al. 1 LPGA, mais pas avant le mois qui suit le 18e anniversaire de l'assuré. Cette réglementation n'est toutefois pas applicable dans les cas où, comme en l'espèce, le délai d'attente a commencé à courir avant le 1er janvier 2008 (sur ce sujet, voir l'arrêt 8C_233/2010 du 7 janvier 2011, consid. 4, résumé in RSAS 2011 p. 298, ainsi que l'arrêt 8C_262/2010 du 12 janvier 2011, consid. 3, résumé in RSAS 2011 p. 297).
Le litige doit ainsi être tranché à la lumière de l'art. 48 al. 2 aLAI. D'après cette disposition, si l'assuré présente sa demande plus de douze mois après la naissance du droit, les prestations, en dérogation à l'art. 24 al. 1 LPGA, ne sont allouées que pour les douze mois précédant le dépôt de la demande. Elles sont allouées pour une période antérieure si l'assuré ne pouvait pas connaître les faits donnant droit à prestation et qu'il présente sa demande dans les douze mois dès le moment où il en a eu connaissance.
Selon la jurisprudence (cf. arrêt 9C_82/2007 du 4 avril 2008, consid. 2, connu de la juridiction cantonale), l'art. 48 al. 2 seconde phrase LAI s'applique lorsque l'assuré ne savait pas et ne pouvait pas savoir qu'il était atteint, en raison d'une atteinte à la santé physique ou mentale, d'une diminution de la capacité de gain dans une mesure propre à lui ouvrir le droit à des prestations. Cette disposition ne concerne en revanche pas les cas où l'assuré connaissait ces faits mais ignorait qu'ils donnent droit à une rente de l'assurance-invalidité (ATF 102 V 112 consid. 1a p. 113). Autrement dit, les « faits ouvrant droit à des prestations (que) l'assuré ne pouvait pas connaître », au sens de l'art. 48 al. 2 seconde phrase aLAI, ou ceux donnant droit à des prestations, au sens de l'art. 48 al. 2 seconde phrase LAI, sont ceux qui n'étaient objectivement pas reconnaissables, mais non ceux dont l'assuré ne pouvait subjectivement pas saisir la portée (ATF 100 V 114 consid. 2c p. 119 sv; RCC 1984 p. 419 consid. 1 p. 420 sv).
Une restitution de délai doit également être accordée si l'assuré a été incapable d'agir pour cause de force majeure - par exemple en raison d'une maladie psychique entraînant une incapacité de discernement (ATF 108 V 226 consid. 4 p. 228 sv; consid. 1b de l'arrêt M. du 22 mars 2001, I 264/00) - et qu'il présente une demande de prestations dans un délai raisonnable après la cessation de l'empêchement. Il faut encore qu'il s'agisse d'une impossibilité objective, s'étendant sur la période au cours de laquelle l'assuré se serait vraisemblablement annoncé à l'assurance-invalidité s'il l'avait pu, et non d'une difficulté ou d'un motif subjectif, comme celui d'ignorer son droit ou de mal concevoir ses intérêts (ATF 102 V 112 consid. 2a p. 115; RCC 1984 p. 419 consid. 1 p. 420 sv).
4.2 La juridiction cantonale n'a pas examiné la question du versement d'une rente pour la période antérieure au mois d'avril 2007 à la lumière de l'éventualité envisagée à la seconde phrase de l'art. 48 al. 2 aLAI, dès lors qu'elle a admis que la rente devait de toute façon être versée une année après la survenance de l'incapacité de travail en vertu de l'art. 29 al. 1 let. b aLAI.
A cet égard, l'office recourant soutient que l'intimé connaissait les faits donnant droit à des prestations, de sorte qu'il ne saurait prétendre de prestation pour la période antérieure au mois d'avril 2007. Quant à l'intimé, il n'a pas répondu.
Comme la question de savoir si l'intimé pouvait ou non connaître les faits donnant droit à prestation, avant l'introduction de sa demande du 18 avril 2008, n'a pas été abordée dans le jugement attaqué, le Tribunal fédéral n'est pas en mesure, à défaut de constatations topiques (art. 105 al. 1 LTF), d'appliquer en connaissance de cause l'art. 48 al. 2 aLAI, 2e phrase, ainsi que la jurisprudence rendue en la matière. Il s'ensuit que la cause sera renvoyée à l'autorité cantonale de recours afin qu'elle procède à un complément d'instruction sur ce point et statue à nouveau.
5. L'intimé, qui succombe, supportera les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le ch. 4 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 27 mai 2010 est annulé, la cause étant renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour qu'elle procède conformément au consid. 4.2.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 septembre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Berthoud