Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. xxxx 1924) ist seit 22. August 2005 gestützt auf Art. 392 Ziff. 1 und Art. 393 Ziff. 2 ZGB verbeiständet. Sie ist pflegebedürftig und lebt seit ihrer Entlassung aus der fürsorgerischen Freiheitsentziehung (21. Oktober 2010) bei ihrer Tochter Y._.
A.b Der Sohn von X._ ersuchte um Entmündigung seiner Mutter. Mit Beschluss vom 16. November 2010 verzichtete die Vormundschaftsbehörde der Stadt A._ auf Errichtung einer Vormundschaft über X._; sie beauftragte aber die Beiständin mit einer konsequenteren Regelung der Betreuung und der ärztlichen Versorgung von X._ (Ziff. 2 des Dispositivs). X._ und Y._ erhoben gegen Ziff. 2 des ihnen am 18. November 2010 zugestellten Beschlusses am 29. November 2010 Beschwerde beim Bezirksrat Winterthur, mit der sie verschiedene, hier nicht relevante Anordnungen verlangten; eine weitere Eingabe liessen sie dem Bezirksrat am 22. Dezember 2010 zukommen. Mit Präsidialverfügung vom 24. Januar 2011 trat der Bezirksrat Winterthur wegen fehlender sachlicher Zuständigkeit auf die Beschwerde nicht ein.
A.c Dagegen wandten sich X._ und Y._ am 15. Januar 2011 mit Aufsichtsbeschwerde wegen Rechtsverweigerung an die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich; sie rügten eine Untätigkeit der Vormundschaftsbehörde und des Bezirksrats und beantragten, der Bezirksrat sei anzuweisen, seiner Funktion als erste Aufsichtsbehörde in Vormundschaftssachen nachzukommen, und stellten verschiedene Anträge in Bezug auf die Vormundschaftsbehörde. Mit Verfügung vom 24. März 2011 trat die Direktion der Justiz und des Innern wegen fehlender sachlicher Zuständigkeit auf die Beschwerde nicht ein und überwies die Sache zuständigkeitshalber und zur Behandlung der Aufsichtsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich.
B. Das Obergericht behandelte die als Aufsichtsbeschwerde wegen Rechtsverweigerung eingereichte Eingabe von X._ und Y._ als Beschwerde im Sinn von Art. 321 Abs. 1 i.V.m. Art. 319 lit. c ZPO. In den Akten des Obergerichts befinden sich die Stellungnahmen des Bezirksrats vom 18. März 2011 und der Vormundschaftsbehörde vom 15. März 2011, die X._ und Y._ nicht zur Kenntnisnahme zugestellt wurden. Mit Beschluss vom 5. Mai 2011 trat das Obergericht auf "die Beschwerde vom 15. Februar 2011 gegen die Präsidialverfügung des Bezirksrates Winterthur vom 24. Januar 2011" wegen verspäteter Beschwerdeeingabe nicht ein.
C. Dagegen gelangen X._ und Y._ (Beschwerdeführerinnen) mit Beschwerde in Zivilsachen vom 22. Juni 2011 (Postaufgabe) an das Bundesgericht. Sie beantragen, den Beschluss des Obergerichts vom 5. Mai 2011 aufzuheben (Ziff. 1), ferner festzustellen, dass in diesem amtlichen Aufsichtsverfahren alle Vorinstanzen (Bezirksrat Winterthur, Justizdirektion des Kantons Zürich und Obergericht des Kantons Zürich) aufgrund einer falschen Beurteilung des anwendbaren Rechts ihre Aufsichtspflichten verletzt und deshalb den Tatbestand der Rechtsverweigerung erfüllt hätten (Ziff. 2); festzustellen sei ferner, dass im vorliegenden Verfahren das vor dem 1. Januar 2011 geltende Recht (ZPO/ZH, VRG, EGZGB) zur Anwendung gelangen soll (Ziff. 3). Gestützt darauf sei die Zuständigkeitsfrage neu zu beurteilen, indem festgestellt werde, dass vorliegend nicht das Obergericht als zweite Aufsichtsbehörde im Vormundschaftswesen, sondern die Justizdirektion des Kantons Zürich zur Beurteilung der beiden Aufsichtsbeschwerden (die Beschwerde an den Bezirksrat vom 29. November 2010 und die Beschwerde an die kantonale Justizdirektion vom 15. Februar 2011) für zuständig erklärt werde (Ziff. 4). Sodann sei das Obergericht anzuweisen, die Akten an die kantonale Justizdirektion zu überweisen, damit diese in der Sache gemäss beiden unter Ziffer 4 erwähnten Aufsichtsbeschwerden von Amtes wegen eine Untersuchung im Sinn von § 7 VRG gegen den Bezirksrat Winterthur und die Vormundschaftsbehörde A._ einleite und die begehrten Massnahmen ergreife (Ziff. 5).
Der Bezirksrat Winterthur hat auf Vernehmlassung verzichtet. Das Obergericht hat sich am 4. August 2011 vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerinnen haben nicht repliziert.
D. Mit Präsidialverfügung vom 23. Juni 2011 ist das Gesuch der Beschwerdeführerinnen um aufschiebende Wirkung abgewiesen worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG), mit dem das Obergericht auf eine Aufsichtsbeschwerde gegen Untätigkeit der vormundschaftlichen Organe nicht eingetreten ist. Es liegt damit ein öffentlich-rechtlicher unmittelbar mit dem Zivilrecht in Zusammenhang stehender Entscheid vor (Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG), der mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden kann. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich einzutreten.
1.2 Ausschliesslicher Gegenstand des Beschwerdeverfahrens 5A_422/2011 ist der Beschluss des Obergerichts vom 5. Mai 2011. Auf die Beschwerde ist daher von vornherein nicht einzutreten, soweit sie sich auf andere Entscheide, namentlich auf den Nichteintretensentscheid des Bezirksrats vom 24. Januar 2011, bezieht.
2. Die Beschwerdeführerinnen werfen dem Obergericht als Verletzung des rechtlichen Gehörs vor, ihnen die Aktenstücke 3/19 und Nr. 4 nicht zur Kenntnisnahme zugestellt zu haben. Beim Aktenstück 3/19 handelt es sich um einen Teil der Akten des Gemeindeamtes des Kantons Zürich, die sich in den kantonalen Akten des Obergerichts befinden. Es ist die Stellungnahme des Bezirksrats zuhanden der Direktion der Justiz und des Innern vom 18. März 2011. Beim Schriftstück Nr. 4 handelt es sich um eine Vernehmlassung der Vormundschaftsbehörde zuhanden der Direktion der Justiz und des Innern vom 15. März 2011.
2.1 Nach ständiger Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) umfasst die Garantie des fairen Verfahrens gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK das Recht der Parteien, von jedem Aktenstück und jeder dem Gericht eingereichten Stellungnahme Kenntnis zu nehmen und sich dazu zu äussern, sofern sie dies für erforderlich halten. Unerheblich ist, ob eine Eingabe neue Tatsachen oder Argumente enthält und ob sie das Gericht tatsächlich zu beeinflussen vermag (Urteil Nideröst-Huber gegen Schweiz vom 18. Februar 1997, Recueil CourEDH 1997-I S. 101 § 24 auch in VPB 61/1997 Nr. 108 S. 959; BGE 133 I 100 E. 4.3 S. 103 f. mit Hinweis auf weitere Urteile des EGMR). Diese allgemeinen Verfahrensgrundsätze des "fair trial" gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 29 Abs. 1 BV gelten für alle gerichtlichen Verfahren (BGE 133 I 100 E. 4.6 S. 104). Der Anspruch einer Partei, im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu replizieren, bildet zugleich Teilgehalt des verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV. Im Hinblick auf das Replikrecht in gerichtlichen Verfahren kommt Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK dieselbe Tragweite zu (BGE 133 I 100 E. 4).
2.2 Nach Ansicht des Obergerichts ist aufgrund der Akten davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerinnen keine Möglichkeit erhalten haben, vorgängig zum angefochtenen Entscheid zu den genannten Eingaben Stellung zu nehmen. Namentlich kann den Akten auch nicht entnommen werden, dass sie von der Direktion der Justiz und des Innern, die vor dem Obergericht mit dem Fall befasst war (siehe Sachverhalt Ac), den Beschwerdeführerinnen übermittelt worden wären. Diese bestreiten, von den Dokumenten Kenntnis erhalten zu haben. Damit ist nicht erstellt, dass sie ihrem konventions- und verfassungsmässigen Recht entsprechend haben dazu Stellung nehmen können. Der Vorwurf der Verletzung des rechtlichen Gehörs erweist sich als begründet. Angesichts der formellen Natur dieses Anspruchs führt dies zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (BGE 135 I 190 E. 2.2, mit Hinweisen), zumal der Mangel im vorliegenden Beschwerdeverfahren infolge der beschränkten Kognition des Bundesgerichts mit Bezug auf das kantonale Recht und den Sachverhalt nicht geheilt werden kann (BGE 126 I 68 E. 2 S. 72 die staatsrechtliche Beschwerde betreffend; Urteil 1C_326/2010 vom 19. Januar 2011 E. 2.5). Das Obergericht wird den Beschwerdeführerinnen nunmehr eine kurze Frist zur Stellungnahme zu den besagten Eingaben einzuräumen und danach neu zu entscheiden haben. Damit erübrigt sich die Behandlung der weiteren Rügen.
3. Da weder dem Beschwerdegegner noch dem Kanton Zürich Kosten auferlegt werden können (Art. 66 Abs. 4 BGG), wird von deren Erhebung abgesehen. Die Beschwerdeführerinnen obsiegen, weshalb der Kanton Zürich zu verpflichten ist, sie für die Umtriebe des bundesgerichtlichen Verfahrens zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 5. Mai 2011 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinn der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerinnen für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden