Faits:
A. Dame A._, née en 1977 à Khon San (Thaïlande), de nationalité thaïlandaise, et A._, né en 1970 à Genève se sont mariés le 19 mai 2006 à Bang Rak (Thaïlande). Après leur mariage, les époux sont venus vivre en Suisse et se sont établis à Genève.
Aucun enfant n'est issu de cette union.
B. B.a Le 13 janvier 2010, l'épouse a formé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale doublées de mesures préprovisoires. L'époux a également requis des mesures préprovisoires urgentes le 28 janvier 2010. Le 1er février 2010, le Président du Tribunal de première instance du canton de Genève a, à titre de mesures préprovisoires, condamné l'époux à verser à l'épouse une pension mensuelle de 1'000 fr. Statuant au fond par jugement du 8 juin 2010, le Tribunal de première instance a autorisé les conjoints à vivre séparés, attribué au mari la jouissance exclusive du domicile conjugal et astreint ce dernier à contribuer à l'entretien de sa femme par le versement d'une somme mensuelle de 300 fr.
B.b Statuant sur appel de l'épouse par arrêt du 19 novembre 2010, la Cour de justice du canton de Genève a confirmé ce jugement, précisant toutefois que la contribution d'entretien était due dès le 13 janvier 2010.
C. Le 27 décembre 2010, dame A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant principalement à son annulation et au renvoi de la cause pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Subsidiairement, elle conclut à ce que son époux soit astreint à lui verser une pension mensuelle de 1'374 fr. 30 dès le 1er décembre 2009. Elle requiert préalablement l'octroi de l'effet suspensif et de l'assistance judiciaire gratuite. À l'appui de ses conclusions, elle se plaint d'arbitraire dans la constatation des faits et l'appréciation des preuves ainsi que dans l'application du droit fédéral. Elle invoque également une violation de l'art. 12 Cst.
Suite à la détermination de l'intimé, qui a conclu au rejet de la requête d'effet suspensif estimant que le recours était dénué de chances de succès, la Présidente de la Cour de céans a attribué l'effet suspensif au recours par ordonnance du 13 janvier 2011.
Aucune observation n'a été requise sur le fond.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 ss CC) est une décision en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF. Elle est finale selon l'art. 90 LTF, car elle tranche définitivement, dans une procédure séparée, des questions qui ne pourront plus être revues avec l'éventuelle décision sur le divorce et ses effets accessoires (ATF 133 III 393 consid. 4 et les références citées). Le recours a pour objet une décision rendue dans une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, 74 al. 1 let. b LTF). Il a par ailleurs été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF), contre une décision prise en dernière instance cantonale par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
1.2 Comme l'arrêt attaqué porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5, 585 consid. 3.3), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 133 IV 286 consid. 1.4). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 589 consid. 2). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi manifestement insoutenable (ATF 134 II 349 consid. 3 et les références citées). L'arbitraire prohibé par l'art. 9 Cst. ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de cette décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire dans son résultat (ATF 133 I 149 consid. 3.1; 133 II 257 consid. 5.1; 133 III 462 consid. 4.4.1).
1.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels par l'autorité cantonale.
Dans le domaine de l'appréciation des preuves et de la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (ATF 120 Ia 31 consid. 4b; 118 Ia 28 consid. 1b et les références citées). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. Cette retenue est d'autant plus grande lorsque le juge n'examine la cause que d'une manière sommaire et provisoire (ATF 130 III 321 consid. 3.3 et les références citées). Ainsi en va-t-il dans le domaine des mesures protectrices de l'union conjugale, qui sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire, avec administration restreinte des moyens de preuve et limitation du degré de la preuve à la simple vraisemblance (ATF 127 III 474 consid. 2b/bb et les références citées).
2. La recourante se plaint tout d'abord d'arbitraire dans l'application de l'art. 176 al. 1 ch. 2 CC en tant que la cour cantonale a attribué le logement conjugal à l'intimé.
2.1 Aux termes de l'art. 176 al. 1 ch. 2 CC, le juge prend, en cas de besoin et sur requête, les mesures en ce qui concerne le logement et le mobilier de ménage. Si les époux ne parviennent pas à s'entendre au sujet de la jouissance de l'habitation familiale, le juge des mesures protectrices en décide librement, au regard des circonstances concrètes et sur la base d'une pesée des intérêts de chacun des conjoints (Hausheer/Reusser/Geiser, Berner Kommentar, 1999, n. 29 ad art. 176 CC). Est déterminant l'intérêt de celui des époux auquel la demeure conjugale est le plus utile, indépendamment des droits résultant de la propriété, de la liquidation des biens ou des relations contractuelles (ATF 120 II 1 consid. 2d; cf. ATF 114 II 18 consid. 4). Les droits personnels ou réels qu'un époux exerce sur le logement ne l'emporteront que si le conjoint n'invoque pas un intérêt prépondérant lié, par exemple, à son âge, à la présence d'enfants, à son état de santé ou à l'exercice de son activité professionnelle (arrêt 5A_710/2009 du 22 février 2010 consid. 3.1; Deschenaux/Steinauer/Baddeley, Les effets du mariage, 2009, n. 656 s.; Stettler/Germani, Droit civil III, Les effets généraux du mariage [art. 159-180 CC], 1999, n. 378; Hausheer/Reusser/Geiser, op. cit., n. 30 ad art. 176 CC).
2.2 L'autorité cantonale a considéré que la situation de la recourante dans l'optique d'obtenir un nouveau logement, à supposer qu'elle fût effectivement sans ressource, n'était pas plus défavorable que celle de l'intimé dans la mesure où la santé de celui-ci ne lui permettait pas, en l'état, de travailler et que son droit aux prestations cantonales en cas de maladie arriverait à échéance dans quelques semaines. En outre, elle a constaté que, l'état de santé de l'intimé lui imposant de se rendre régulièrement chez ses médecins et à l'hôpital, le logement familial présentait l'avantage d'être proche des cabinets médicaux et des transports publics. Enfin, se référant au certificat médical produit en procédure, elle a relevé qu'il était opportun, en vue d'un rétablissement, qu'il conservât son domicile. Elle en a déduit que l'intimé avait un intérêt prépondérant à l'attribution et à la jouissance exclusive du domicile conjugal. La recourante y oppose une argumentation purement appellatoire; elle prétend que la cour cantonale n'a pas tenu compte du fait qu'elle n'avait aucune possibilité de trouver un autre logement. Reprenant les arguments soulevés devant l'instance cantonale, elle fait valoir qu'elle a tout quitté pour suivre l'intimé et venir en Suisse, qu'elle ne dispose que de maigres revenus et est titulaire d'un permis B alors que l'intimé peut loger auprès de sa famille en Suisse - où il pourra obtenir des soins de qualité - ou reprendre un nouveau bail au moyen, si nécessaire, d'une caution d'un membre de sa famille. Par ces affirmations, la recourante ne démontre nullement en quoi la solution arrêtée par les juges cantonaux serait insoutenable (art. 106 al. 2 LTF). Elle s'abstient en outre de toute démonstration s'agissant du dernier motif, à savoir l'importance que revêt la conservation du domicile conjugal pour le rétablissement de l'intimé. Sa critique se révèle donc irrecevable faute de motivation suffisante.
3. Se fondant sur l'art. 163 al. 2 CC, la cour cantonale a appliqué la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent entre les époux pour fixer la contribution d'entretien due en faveur de l'épouse. La recourante ne remet pas en cause la méthode utilisée mais se plaint de ce que dite cour a retenu qu'elle pouvait réaliser un revenu hypothétique mensuel de 2'500 fr. et de la manière dont les revenus et charges de l'intimé ont été arrêtés.
4. S'agissant du revenu hypothétique, la recourante reproche aux juges cantonaux de ne pas avoir examiné s'il lui était effectivement possible de le réaliser. À cet égard, elle allègue ne plus avoir travaillé depuis 2007 et subsister grâce à l'aide perçue de l'assistance et à la nourriture reçue d'amis ou au temple bouddhiste. Elle conteste en outre que la barrière de la langue ne constitue pas un obstacle à la recherche d'un emploi dès lors qu'elle a été licenciée ou a quitté son emploi dans un restaurant thaïlandais moins d'un mois après son engagement. Elle estime par conséquent que la cour cantonale est tombée dans l'arbitraire en s'écartant de la solution retenue par le Tribunal de première instance, qui avait jugé que, déracinée et ne parlant pas le français, il ne pouvait pas être exigé qu'elle réalise un revenu.
4.1 Un conjoint - y compris le créancier d'aliments (ATF 127 III 136 consid. 2c) - peut se voir imputer un revenu hypothétique supérieur, pour autant qu'il puisse gagner plus que son revenu effectif en faisant preuve de bonne volonté et en accomplissant l'effort que l'on peut raisonnablement exiger de lui, et que l'obtention d'un tel revenu soit effectivement possible (ATF 128 III 4 consid. 4a; 127 III 136 consid. 2a p. 139; 119 II 314 consid. 4a). Les critères permettant de déterminer le montant du revenu hypothétique sont en particulier la qualification professionnelle, l'âge, l'état de santé et la situation du marché du travail (ATF 128 III 4 consid. 4c/cc; arrêt 5C.94/2003 du 17 juillet 2003 consid. 3.1, résumé in FamPra.ch 2004 p. 129).
4.2 La cour cantonale a constaté que, sans enfant, les époux n'avaient pas convenu d'une répartition des tâches impliquant que l'épouse reste au foyer. Elle a, entre autres, relevé que celle-ci avait, dès son arrivée en Suisse, suivi des cours de français et recherché un emploi, qu'elle avait exercé des travaux de couture, ainsi qu'avait été engagée comme dame de buffet dans un restaurant thaïlandais. L'autorité cantonale a également considéré que la recourante semblait continuer à exercer une activité aujourd'hui puisque, prétendant ne disposer d'aucune ressource, elle n'avait jamais produit de justificatif des aides, à hauteur de 400 fr., qu'elle aurait perçues de l'Hospice général; celles-ci ne lui auraient de toute manière pas permis de subvenir à son propre entretien durant la procédure, l'intimé ne s'étant plus acquitté de la pension arrêtée par mesures préprovisoires depuis le mois d'avril 2010. Enfin, les juges cantonaux ont estimé que son manque de maîtrise du français ne constituait pas un obstacle insurmontable à l'obtention d'un emploi dès lors qu'elle avait déjà été engagée dans la restauration pour un salaire de 3'400 fr. bruts par mois. Ils en ont déduit que, âgée de 33 ans et en bonne santé, la recourante pouvait réaliser un revenu de 2'500 fr. lui permettant de subvenir à ses besoins.
Par sa critique appellatoire, la recourante ne démontre pas en quoi l'appréciation de l'autorité cantonale serait arbitraire. En particulier, elle n'établit nullement que c'est pour des motifs liés au manque de maîtrise du français qu'elle aurait perdu ou quitté son emploi en 2007. Faute de satisfaire aux exigences de motivation (cf. consid. 1.2-1.3 supra), son grief est irrecevable.
5. Concernant les revenus et charges de l'intimé, la recourante s'en prend au montant retenu à titre d'indemnités perçues par l'intimé ainsi qu'à la somme de 300 fr. représentant ses frais médicaux non remboursés.
5.1 Quant au revenu de l'intimé, devant la Cour de justice, la recourante n'a pas contesté le montant de 3'788 fr. 10 retenu par le Tribunal de première instance. Au contraire, elle a admis à deux reprises dans ses écritures d'appel que seul un montant de 3'788 fr. 10 devait être pris en compte. Aussi, on ne saurait reprocher à la cour cantonale de ne pas avoir examiné plus avant la question. Invoqué pour la première fois devant le Tribunal fédéral, ce grief se révèle donc nouveau, partant irrecevable car à l'appui d'un recours fondé sur l'art. 98 LTF (ATF 133 III 638 consid. 2; arrêt 5A_261/2009 du 1er septembre 2009 consid. 1.3, non publié sur aux ATF 135 III 608).
5.2 S'agissant des frais médicaux non remboursés, la recourante invoque que la pièce produite par l'intimé à l'appui de ses allégués comprend des remboursements pour toute une année et non pour trois mois comme retenu par l'autorité cantonale. En outre, elle fait valoir que la somme globale comprend des frais non reconnus par l'assurance-maladie et que l'intimé n'a pas démontré la nécessité médicale de cette dépense ni qu'elle était liée à un régime prescrit médicalement de sorte que ces frais ne devaient pas être pris en compte dans le calcul du minimum vital de l'intimé.
5.2.1 Les frais médicaux non pris en charge par l'assurance-maladie obligatoire liés à des traitements ordinaires, nécessaires, en cours ou imminents, doivent en principe être pris en compte dans le calcul du minimum d'existence (ATF 129 III 242 consid. 4.2; arrêt 5A_664/2007 du 23 avril 2008 consid. 2.2.1; arrêt 5C.157/2000 du 11 août 2000 consid. 3b).
5.2.2 En l'espèce, la cour cantonale a constaté que l'intimé, atteint d'une grave maladie nécessitant un suivi médical régulier sur une longue durée, devait assumer des frais médicaux non remboursés de 2'090 fr. 75. pour une période de moins de trois mois. Elle en a conclu que la charge mensuelle alléguée de 300 fr. paraissait justifiée "même en déduisant la somme de 940 fr. 75 due à titre de franchise" (sic). Cette appréciation ne prête pas le flanc à la critique. En effet, même s'il est vrai que les décomptes de l'assurance-maladie concernent des soins prodigués sur plus de trois mois, il n'en demeure pas moins que, depuis le mois de novembre 2009, l'intimé perçoit des prestations cantonales en cas de maladie et que, également depuis les derniers mois de l'année 2009, il doit s'acquitter de frais médicaux non remboursés élevés; il ressort notamment des pièces produites en instances cantonales (attestations de caisse-maladie et quittances de pharmacies), en ne tenant compte que des traitements de fin octobre à fin décembre 2009, que les seuls frais de participation du recourant avoisinent les 600 fr. Dans ces circonstances, les critiques de la recourante ne parviennent pas à démontrer qu'il est insoutenable de considérer que, au stade de la vraisemblance (cf. consid. 1.3 supra), il paraissait justifié de retenir le montant de 300 fr. à titre de frais médicaux non remboursés dans les charges de l'intimé. Mal fondé, son grief doit donc être rejeté.
6. La recourante n'ayant pas été à même de démontrer que l'attribution du logement conjugal et la fixation de la contribution d'entretien par la cour cantonale procéderaient de l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst., le grief de violation de l'art. 12 Cst. se révèle mal fondé, sans qu'il n'y ait lieu de l'examiner plus avant.
7. Enfin, bien que la recourante ait demandé que la contribution d'entretien due par l'intimé lui soit octroyée depuis le 1er décembre 2009, sa conclusion n'est étayée par aucune argumentation ou critique concernant la date du 13 janvier 2010 retenue par l'autorité cantonale. Il n'y a donc pas lieu d'entrer en matière sur ce point.
8. Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté, dans la faible mesure de sa recevabilité. Les conclusions de la recourante étant dépourvues de toutes chances de succès, sa requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF) et les frais judiciaires mis à sa charge (art. 66 al. 1 LTF). L'intimé n'a pas droit à une indemnité de dépens pour sa détermination sur l'effet suspensif dès lors qu'il a succombé sur ce point (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Quant à la requête d'assistance judiciaire de celui-ci, elle doit être rejetée concernant la détermination sur l'effet suspensif, faute de chances de succès, et déclarée sans objet pour le surplus, le dépôt de réponses sur le fond n'ayant pas été requis.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. La requête d'assistance judiciaire de l'intimé est rejetée s'agissant de la détermination sur l'effet suspensif et déclarée sans objet pour le surplus.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 10 mars 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Richard