Sachverhalt:
A. A.a Am 5. März 1994 heiratete X._ in Zürich die um 19 Jahre ältere Schweizerin Y._. In der Folge stellte er am 24. Juli 1998 das Gesuch um erleichterte Einbürgerung. Im anschliessenden Verfahren unterzeichneten er und seine Ehefrau am 16. August 1999 eine Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Sie nahmen überdies unterschriftlich zur Kenntnis, dass eine erleichterte Einbürgerung nicht möglich ist, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr besteht. Bestätigt wurde mit der schriftlichen Erklärung überdies die Kenntnisnahme davon, dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne.
A.b Am 19. Januar 2000 wurde X._ erleichtert eingebürgert und erhielt das Bürgerrecht der Gemeinde A._. Bereits zuvor, nämlich am 10. Oktober 1999, hatte er die eheliche Wohnung verlassen.
A.c Am 28. Juni 2000 wurde X._ rechtskräftig von seiner Ehefrau geschieden und ehelichte im November 2000 in seinem Herkunftsland eine bengalische Staatsangehörige, die im Dezember 2000 das erste gemeinsame Kind zur Welt brachte.
B. B.a Diese Vorfälle veranlassten das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (IMES; heute: Bundesamt für Migration; BFM) ein Verfahren betreffend Nichtigerklärung der Einbürgerung einzuleiten. In diesem Verfahren wurde X._ verschiedentlich angehört. Nachdem der Heimatkanton Zürich seine Zustimmung erteilt hatte, wurde die Einbürgerung von X._ mit Verfügung des Bundesamtes vom 2. September 2004 für nichtig erklärt.
B.b Mit Entscheid vom 6. September 2005 wies das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement die gegen die erstinstanzliche Verfügung eingereichte Verwaltungsbeschwerde von X._ ab und gab überdies seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht statt. Das Departement hielt im Wesentlichen dafür, X._ habe die erleichterte Einbürgerung aufgrund falscher Angaben bzw. durch Verschweigen wesentlicher Tatsachen erschlichen und damit den Tatbestand von Art. 41 Abs. 1 des Bundesgesetzes über den Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (SR 141.0; BüG) erfüllt.
C. X._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, den Entscheid des Departementes aufzuheben und das Verfahren betreffend Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung einzustellen. Es ist keine Vernehmlassung eingeholt worden.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.1 Das Departement hat zur Begründung insbesondere ausgeführt, der Beschwerdeführer habe unbestrittenermassen bereits drei Monate vor seiner Einbürgerung die eheliche Wohnung verlassen, was als Indiz dafür angesehen werden könne, dass es sich bei der Ehe mit der Schweizerbürgerin von Anfang an um eine Scheinehe gehandelt habe, welche nur der Form halber aufrechterhalten worden sei. Für diese Vermutung spreche zum einen die Tatsache, dass der Beschwerdeführer nach der Abweisung des Asylgesuchs das Recht zum Aufenthalt in der Schweiz nur durch Heirat mit einer Schweizer Bürgerin habe erhalten können. Zum andern lege auch der Umstand eine Scheinehe nahe, dass der Beschwerdeführer bereits kurz nach der Trennung von seiner immerhin 19 Jahre älteren Ehefrau eine Beziehung zu einer 13 Jahre jüngeren Frau aus seiner Heimat aufgenommen, mit dieser ein Kind gezeugt und sie nach der Scheidung geheiratet habe. Zwar reichten diese Indizien nicht aus, um eine frühere tatsächliche Lebensgemeinschaft mit der ersten Ehefrau völlig in Abrede zu stellen. Doch erübrigten sich weitere Abklärungen, zumal die tatsächliche Lebensgemeinschaft, jedenfalls zum Zeitpunkt der Einbürgerung, nicht mehr vorgelegen habe. Damit aber stehe fest, dass damals die in Art. 27 Abs. 1 BüG genannten Voraussetzungen für eine erleichterte Einbürgerung nicht mehr bestanden hätten. Anlässlich der am 16. August 1999 gemeinsam mit seiner Ehefrau unterschriftlich abgegebenen Erklärung habe der Beschwerdeführer zur Kenntnis genommen, dass die erleichterte Einbürgerung bei Auflösung der ehelichen Gemeinschaft nicht mehr möglich sei und die Verheimlichung solcher Tatsachen zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne. Er sei sich folglich darüber im Klaren gewesen, dass er mit dem Auszug aus der ehelichen Wohnung nicht mehr alle Einbürgerungsvoraussetzungen erfüllt habe und dazu verpflichtet gewesen sei, die Einbürgerungsbehörde über die bereits im Oktober 1999 erfolgte Trennung zu informieren. Der Beschwerdeführer könne sich nicht darauf berufen, dass er seitens der Behörde bzw. des Scheidungsrichters nicht nochmals auf diese Obliegenheit hingewiesen worden sei. Ihm sei bewusst gewesen, dass zum Zeitpunkt der Einbürgerung keine echte Lebensgemeinschaft mehr bestanden habe, womit er aufgrund falscher Angaben bzw. durch Verschweigen wesentlicher Tatsachen seine erleichterte Einbürgerung erschlichen habe.
1.2 Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, anlässlich der Unterzeichnung der Erklärung vom 16. August 1999 seien die gesetzlichen Voraussetzungen der erleichterten Einbürgerung erfüllt gewesen. Die Verhältnisse hätten sich indes im Oktober 1999 schlagartig und für ihn unerwartet geändert, als er von einer Reise nach Bangladesch wieder in die Schweiz zurückgekehrt sei und ihn die Ehefrau geheissen habe, die eheliche Wohnung zu verlassen, was er am 10. Oktober 1999 denn auch getan habe. Die Eheleute seien schliesslich geschieden worden, wobei das Scheidungsverfahren nicht von ihm eingeleitet worden sei. Das Departement werfe ihm zu Unrecht vor, er hätte die Einbürgerungsbehörde im gegebenen Stadium über die Trennung unterrichten müssen, habe dies aber schuldhaft hintertrieben. Diese Unterlassung sei entschuldbar, was die Vorinstanzen zu Unrecht nicht geprüft hätten.
2. Der Beschwerdeführer übersieht bei seiner Argumentation, dass es für die Beurteilung der Nichtigkeit der Einbürgerung nicht darauf ankommt, wer aus welchem Grund die eheliche Wohnung verlassen, wer die Scheidung veranlasst bzw. eingereicht hat. Entscheidend ist einzig, dass er am 10. Oktober 1999 aus der ehelichen Wohnung ausgezogen ist, sich von seiner Ehefrau getrennt hat und damit im Zeitpunkt der Einbürgerung nicht mehr in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte. Überdies war sich der Beschwerdeführer aufgrund der Erklärung vom 16. August 1999 über die Folgen der Auflösung des gemeinsamen Haushaltes im Klaren. Fest steht indes ebenso, dass die Behörde den Beschwerdeführer vor ihrem Entscheid nicht nach allfälligen, seit der ersten Erklärung vom 16. August 1999 eingetretenen Änderungen bezüglich der ehelichen Gemeinschaft gefragt hat. Die Nichtigerklärung erweist sich als zulässig, wenn der Beschwerdeführer verpflichtet gewesen ist, die in Tat und Wahrheit eingetretene Änderung der Behörde von sich aus mitzuteilen.
3. 3.1 Nach Art. 41 Abs. 1 BüG kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", d.h. mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (BGE 128 II 97 E. 3a S. 99; 130 II 482 E. 2). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich, wohl aber dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (BGE 130 II 482 E. 2).
3.2 In verfahrensrechtlicher Hinsicht richtet sich die erleichterte Einbürgerung vor der Bundesbehörde nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021; Art. 50 Abs. 2 BüG). Danach obliegt der Behörde, den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen (Art. 12 VwVG; Moor, Droit administratif, Band II, 2. Aufl. 2002, 2.2.6.3, S. 258 ff.). In diesem Verfahren, das die Partei durch ihr Begehren einleitet, ist diese allerdings aufgrund von Art. 13 Abs. 1 lit. a VwVG gehalten, an der Feststellung des Sachverhalts mitzuwirken, wobei die Behörde die Partei darüber aufzuklären hat, worin die Mitwirkungspflicht besteht und welche Tragweite ihr zukommt (vgl. Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl. 1998, Rz. 272 ff.; Moor, a.a.O., 2.2.6.3, S. 261). Sind bestimmte Tatsachen, wie dies hier hinsichtlich der Voraussetzung des intakten Ehelebens offensichtlich der Fall ist, der Behörde nicht oder nur schwerlich zugänglich, gebieten auch Treu und Glauben der Partei, der Behörde die ersuchten Auskünfte über einschlägige Tatsachen zu erteilen (vgl. Moor, a.a.O., 2.2.6.3, S. 260). Die dem Verwaltungsrecht eigene Mitwirkungs- bzw. Auskunftspflicht besteht im Übrigen selbst dann, wenn sich die Auskunft zum Nachteil des Rechtsunterworfenen auswirkt (vgl. dazu etwa: Seiler, Das (Miss-)Verhältnis zwischen strafprozessualem Schweigerecht und verwaltungsrechtlicher Mitwirkungs- und Auskunftspflicht, in: recht 1/2005, S. 11 ff., insbesondere S. 20). Weiss der Gesuchsteller, wie hier, dass die fraglichen Voraussetzungen im Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung erfüllt sein müssen, ergibt sich aus der gleichen Überlegung auch seine Pflicht, die Behörde auch ohne Aufforderung über eine nachträgliche Änderung der Verhältnisse zu orientieren, von der er weiss oder wissen muss, dass sie einer Bewilligung entgegensteht. Die Behörde darf sich darauf verlassen, dass die vormals erteilten Auskünfte bei passivem Verhalten des Gesuchstellers nach wie vor der Wirklichkeit entsprechen. Wie es sich verhielte, wenn sich die Einbürgerung sehr lange hinausgezögert hätte, braucht hier nicht entschieden zu werden, da zwischen der Erklärung der Ehegatten (16. August 1999) und der Einbürgerung (19. Januar 2000) nicht übermässig viel Zeit verstrichen ist. Da es der Beschwerdeführer unterliess, die Behörde spontan über die einschneidenden und für die Einbürgerung wesentlichen Veränderungen aufzuklären, die im Oktober 1999 in der Beziehung der Ehegatten eingetreten waren, hat er gegen Treu und Glauben verstossen. Dieser Verstoss ist dem Erschleichen der Einbürgerung gleichzusetzen, weshalb diese zu Recht widerrufen worden ist.
4. Die Verwaltungsbeschwerde hat sich überdies von Anfang an als offensichtlich aussichtslos erwiesen, weshalb dem Beschwerdeführer auch zu Recht die unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren verweigert worden ist (Art. 65 VwVG).
5. Damit ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. November 2005
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: