Sachverhalt:
A. Infolge Heirat mit einem Schweizer Bürger reiste die mazedonische Staatsangehörige X._ im August 2002 in die Schweiz ein, wo sie eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Am 21. April 2003 gebar sie die gemeinsame Tochter Y._. Wegen Gewalttätigkeit des Ehemannes wurde der gemeinsame Haushalt im Sommer 2004 aufgelöst. Im Frühjahr 2008 wurde die Ehe geschieden. In der Folge ersuchte X._ um Erneuerung ihrer - letztmals bis zum 31. Juli 2008 verlängerten - Aufenthaltsbewilligung. Das Bundesamt für Migration, an das die Fremdenpolizeibehörde des Kantons Graubünden das Dossier übermittelt hatte, verweigerte am 4. September 2008 die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies X._ aus der Schweiz weg. Hiegegen gelangte Letztere am 3. Oktober 2008 mit Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht.
Nachdem das Bundesamt für Migration seinen Entscheid am 19. Mai 2009 wiedererwägungsweise aufgehoben und die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung erteilt hatte, beantragte es dem Bundesverwaltungsgericht, die bei ihm erhobene Beschwerde als gegenstandslos abzuschreiben. Hierauf legte der Verfahrensbevollmächtigte von X._ dem Bundesverwaltungsgericht eine Honorarnote vom 25. Mai 2009 über insgesamt Fr. 10'895.25 vor. Das Bundesverwaltungsgericht schrieb am 4. Juni 2009 das Beschwerdeverfahren als gegenstandslos ab. Gleichzeitig verpflichtete es das Bundesamt für Migration, eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- (einschliesslich Mehrwertsteuer) an X._ zu bezahlen (Dispositivziffer 3 des Abschreibungsentscheides).
B. Wegen der Höhe der Parteientschädigung beantragt X._ dem Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 7. Juli 2009, Dispositivziffer 3 des Abschreibungsentscheides vom 4. Juni 2009 aufzuheben. Ihr sei "eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 10'895.25 (inkl. MwSt), eventualiter eine Entschädigung gemäss richterlichem Ermessen zuzusprechen". Subeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung der Parteientschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
C. Das Bundesamt für Migration und das Bundesverwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. Die rechtzeitig eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig. Namentlich stellt der Abschreibungsentscheid des Bundesverwaltungsgerichts einen prozessualen Endentscheid dar und ist die Beschwerdeführerin als direkte Adressatin zur Beschwerde legitimiert (vgl. Art. 82, 86 Abs. 1 lit. a, 89 Abs. 1, 90 und 100 BGG; Urteil 2C_715/2008 vom 15. April 2009 E. 1.2). Zwar gilt der Grundsatz der Einheit des Rechtsmittels (bzw. des Verfahrens oder des Prozesses), so dass die erwähnte Beschwerde gegen den Entscheid über die Parteientschädigung nicht erhoben werden könnte, wenn sie auch in der Hauptsache ausgeschlossen wäre (vgl. BGE 134 V 138 E. 3 S. 143 f.; 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.; Urteil 2C_700/2008 vom 18. Juni 2009 E. 1.2 - 1.5; Alain Wurzburger, in: Bernard Corboz et al., Commentaire de la LTF, 2009, N. 17 zu Art. 83 BGG; Yves Donzallaz, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, N. 2739); selbst die Behandlung als subsidiäre Verfassungsbeschwerde wäre dann nicht möglich, weil dieses Rechtsmittel bloss zur Anfechtung von Entscheiden letzter kantonaler Instanzen zur Verfügung steht (vgl. Art. 113 BGG; Urteil 2C_815/2009 vom 10. Dezember 2009). Der vorliegend in Betracht kommende Ausschlussgrund des Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist indes nicht erfüllt, da die Beschwerdeführerin als Mutter eines minderjährigen Schweizer Kindes, dessen Sorgerecht sie hat, zumindest gestützt auf Art. 8 EMRK einen Bewilligungsanspruch geltend machen kann (vgl. BGE 135 I 143 E. 1.3.2 S. 146 mit Hinweisen). Ob sie sich auf weitere Anspruchsgrundlagen berufen kann, braucht hier nicht beantwortet zu werden.
2. Die Beschwerdeführerin rügt vorab, es fehle an einer detaillierten Begründung des angefochtenen Entscheids. Entgegen ihrer Auffassung ist insoweit aber keine Verletzung der Begründungspflicht bzw. des Anspruchs auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV durch die Vorinstanz gegeben (vgl. hiezu allg. BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen). Immerhin wird aus den Erwägungen der Vorinstanz klar, dass diese den über das Anwaltshonorar von Fr. 2'000.-- hinausgehenden Aufwand als nicht notwendig bzw. nicht erstattbar ansieht (dazu nachfolgende Erwägungen). Dementsprechend war die Beschwerdeführerin ohne weiteres in der Lage, ihre Einwände gegen den Entscheid beim Bundesgericht vorzubringen.
3. Gemäss Art. 64 Abs. 1 VwVG (SR 172.021), der vorliegend nach Art. 37 VGG (SR 173.32) anwendbar ist, kann die Beschwerdeinstanz der ganz oder teilweise obsiegenden Partei von Amtes wegen oder auf Begehren eine Entschädigung für ihr erwachsene notwendige und verhältnismässig hohe Kosten zusprechen. Die als Kann-Bestimmung formulierte Regelung wird nach ständiger Praxis als "Muss-Vorschrift" verstanden, d.h. es besteht ein Anspruch auf Parteientschädigung, wenn die entsprechenden gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (erwähntes Urteil 2C_715/2008 E. 2.1 mit Hinweisen, publ. in: ZBl 110/2009 S. 503). Gestützt auf Art. 16 Abs. 1 lit. a VGG hat das Bundesverwaltungsgericht ausserdem am 21. Februar 2008 ein - seit dem 1. Juni 2008 geltendes und hier somit anwendbares - Reglement über die Kosten und Entschädigungen vor dem Bundesverwaltungsgericht (VGKE; SR 173.320.2) erlassen, gemäss dessen Art. 7 Abs. 1 obsiegende Parteien Anspruch auf eine Parteientschädigung für die ihnen erwachsenen notwendigen Kosten haben. Bei gegenstandslosen Verfahren hat nach Art. 15 in Verbindung mit Art. 5 VGKE diejenige Seite eine Parteientschädigung zu leisten, deren Verhalten die Gegenstandslosigkeit bewirkt hat. Zwischen den Beteiligten ist vorliegend unbestritten, dass die Beschwerdeführerin grundsätzlich einen Anspruch auf Parteientschädigung durch das Bundesamt für Migration hat und der Beizug eines Anwalts durch die Beschwerdeführerin notwendig war. In Frage steht nur die Höhe der zu erstattenden Anwaltskosten.
4. Die Vorinstanz lehnt zunächst den Ersatz der Aufwendungen ab, die im ursprünglichen Verfahren beim Bundesamt für Migration angefallen waren. Das betrifft die für die Zeit vom 29. Juli bis 9. September 2008 abgerechneten Kosten des Anwalts von rund Fr. 1'500.--.
Nach ständiger Praxis besteht ohne spezialgesetzliche Grundlage kein Anspruch auf Zusprechung einer Parteientschädigung im erstinstanzlichen Verwaltungsverfahren, um das es hier beim Bundesamt für Migration ging. Art. 64 Abs. 1 VwVG ist diesbezüglich nicht anwendbar (BGE 132 II 47 E. 5.2 S. 62 f.; erwähntes Urteil 2C_715/2008 E. 2.1 mit Hinweisen, publ. in: ZBl 110/2009 S. 503). Eine spezialgesetzliche Grundlage ist nicht gegeben und wird vom Beschwerdeführer auch nicht behauptet. Das erwähnte Reglement des Bundesverwaltungsgerichts (VGKE) kommt ohnehin nur für die Verfahren vor diesem Gericht in Betracht. Demzufolge ist nicht zu beanstanden, dass die Aufwendungen der Beschwerdeführerin bzw. ihres Anwalts, die im Verfahren beim Bundesamt für Migration angefallen sind, nicht berücksichtigt werden.
5. Sodann meint die Vorinstanz, der vom Verfahrensbevollmächtigten der Beschwerdeführerin erbrachte bzw. abgerechnete Aufwand stehe in einem Missverhältnis zur rechtlichen und tatsächlichen Schwierigkeit der Streitsache.
5.1 Nach Art. 8 VGKE umfasst die Parteientschädigung die Kosten der Vertretung sowie allfällige weitere notwendige Auslagen der Partei. Zu den Kosten der Vertretung gehören unter anderem das Anwaltshonorar und die darauf entfallende Mehrwertsteuer (Art. 9 Abs. 1 lit. a und c VGKE). Gemäss Art. 10 Abs. 1 VGKE wird das Anwaltshonorar nach dem "notwendigen Zeitaufwand des Vertreters" bemessen. Der Stundenansatz beträgt für Anwälte mindestens Fr. 200.-- und höchstens Fr. 400.-- zuzüglich Mehrwertsteuer (Art. 10 Abs. 2 VGKE); bei Streitigkeiten mit Vermögensinteressen kann das Anwaltshonorar angemessen erhöht werden (Art. 10 Abs. 3 VGKE). Das Bundesverwaltungsgericht setzt die Parteientschädigung auf Grund einer detailliert einzureichenden Kostennote fest. Wird eine solche nicht vorgelegt, setzt es die Entschädigung auf Grund der Akten fest (Art. 14 VGKE).
5.2 Die Vorinstanz weist in ihrer Vernehmlassung auf eine Analogie zu einem Entscheid des Bundesgerichts vom 15. September 2005 (5A.8/2005, E. 6.3) hin. Allerdings übersieht sie, dass dort der Tarif über die Entschädigungen an die Gegenpartei für das Verfahren vor dem Bundesgericht vom 9. November 1978 (Fassung gemäss AS 1992 1772) anwendbar war. Dieser wurde inzwischen durch das ähnliche Reglement vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht (SR 173.110.210.3) ersetzt. Diesem Tarif zufolge richtet sich das Honorar in der Regel nach dem Streitwert. In Rechtssachen ohne Vermögensinteresse bemisst sich das Honorar nach der Wichtigkeit und der Schwierigkeit der Sache sowie nach dem Arbeitsaufwand und beträgt in der Regel Fr. 500.-- bis 15'000.-- (Art. 6 des erwähnten Tarifs; ähnlich Art. 4 - 6 des erwähnten Reglements des Bundesgerichts). Mithin wird die Parteientschädigung beim Bundesgericht nach teilweise anderen Kriterien bzw. auf eine andere Weise als nach dem hier anzuwendenden Reglement des Bundesverwaltungsgerichts bestimmt. Für das bundesgerichtliche Verfahren gibt es keine Regelungen, die den Art. 10 und 14 VGKE entsprechen. Die Parteientschädigung wird - im Gegensatz zur Regelung beim Bundesverwaltungsgericht - hier nicht allein nach den vom Anwalt in einer Kostennote abgerechneten Stunden und dem dabei angesetzten Stundentarif festgesetzt. Der dem Klienten verrechnete Stundentarif spielt beim Bundesgericht eine geringere Rolle. Dafür werden der Streitwert und die Wichtigkeit der Angelegenheit stärker gewichtet (vgl. auch Marcel Maillard, in: Waldmann/Weissenberger, Praxiskommentar VwVG, 2009, N. 40 zu Art. 64; Thomas Geiser, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 7 zu Art. 68; Bernard Corboz, in: Corboz et al., Commentaire de la LTF, 2009, N. 31 ff. zu Art. 68). Mit Blick auf die unterschiedlichen Regelungen bei beiden Gerichten kann das Bundesverwaltungsgericht deshalb - zumal wenn wie hier eine detaillierte Kostennote vorgelegt wurde - nicht analog dem Bundesgericht die Parteientschädigung festsetzen.
5.3 Dass beim Bundesverwaltungsgericht die Parteientschädigung auf der Basis der in der Kostennote des Prozessvertreters abgerechneten Stunden bemessen wird (Art. 10 und 14 VGKE), heisst aber noch nicht, dass diese unbesehen übernommen werden muss. Vielmehr sind nur die notwendigen Kosten bzw. der notwendige Zeitaufwand zu ersetzen (vgl. Art. 64 Abs. 1 VwVG, Art. 7 Abs. 1 und 10 Abs. 1 VGKE; Marcel Maillard, a.a.O., N. 28 und 40 zu Art. 64; André Moser/Michael Beusch/ Lorenz Kneubühler, Prozessieren vor dem Bundesverwaltungsgericht, 2008, N. 4.75 und 4.86; Michael Beusch, in: Auer/Müller/ Schindler, Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2008, N. 17 zu Art. 64).
Bei der Frage, ob es sich um notwendige Kosten handelt, ist auf die Prozesslage abzustellen, die sich dem Betroffenen im Zeitpunkt der Kostenaufwendung dargeboten hat (Moser/Beusch/Kneubühler, a.a.O., N. 4.86). Die Vorinstanz anerkennt mit der von ihr zugesprochenen Entschädigung von Fr. 2'000.-- einen Zeitaufwand von insgesamt etwas über sieben Stunden für das gesamte Beschwerdeverfahren, wenn der vom Prozessbevollmächtigten in seiner Honorarnote angegebene Stundensatz von Fr. 240.-- zugrundegelegt wird.
5.4 In ihrer Vernehmlassung wendet die Vorinstanz die "fehlende Komplexität der Materie" ein. Der Ansatz von rund zwanzig Stunden für die Vorbereitung und Ausfertigung der Beschwerdeschrift sowie von zirka sieben Stunden für die Replik sei auffallend hoch. Den übrigen für das Beschwerdeverfahren abgerechneten Aufwand (von etwas über acht Stunden) beanstandet die Vorinstanz indes nicht. Das betrifft vor allem Vorbesprechungen sowie Aufwendungen im Zusammenhang mit dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und einer Zwischenverfügung des Gerichts, mit welcher der Beschwerdeführerin die Vorlage von Auskünften von Drittpersonen anheimgestellt wurde; insoweit wandte sich der Anwalt der Beschwerdeführerin an verschiedene Stellen.
Die Vorinstanz hält der Beschwerdeführerin bzw. ihrem Anwalt demnach bloss vor, dass zum Verfassen der Beschwerde und der Replik weitaus weniger Zeit ausgereicht hätte. Allerdings deckt der von der Vorinstanz als Entschädigung zugesprochene Betrag im Ergebnis nur den Aufwand, der nicht die beiden erwähnten Rechtsschriften als solche betrifft und den sie nicht beanstandet hat. Ausserdem steht fest, dass der Anwalt der Beschwerdeführerin auch Aufwand für die Erstellung der Beschwerde (von 29 Seiten) und der Replik (von neun Seiten) hatte. Streitig ist nur, in welcher Höhe dieser notwendig und damit bei der Bemessung der Parteientschädigung zu berücksichtigen ist (vgl. dazu allg. Donzallaz, a.a.O., N. 1941 mit Hinweisen).
5.5 Der Vorinstanz ist insoweit Recht zu geben, als sich der Ansatz von zwanzig Stunden für die Beschwerdeschrift und sieben Stunden für die Replik als sehr hoch erweist. Immerhin vertrat der Verfahrensbevollmächtigte die Beschwerdeführerin bereits im erstinstanzlichen Verfahren vor dem Bundesamt, so dass ihm schon von dort die Sach- und Rechtslage im Wesentlichen bekannt sein musste. Auch hat die Vorinstanz unter anderem den zusätzlich abgerechneten Aufwand für Vorbesprechungen und im Zusammenhang mit der Beantragung der unentgeltlichen Rechtspflege und der Einholung diverser Auskünfte nicht kritisiert, weshalb es bei den beanstandeten 27 Stunden nur um die reine Arbeit für die Ausfertigung der Beschwerdeschrift und der Replik geht.
Die Beschwerdeführerin behauptet zwar, die rechtlichen und tatsächlichen Schwierigkeiten der Streitsache seien erheblich und äusserst vielschichtig gewesen; sie hätten ein eingehendes Studium der Akten sowie eine gründliche Abklärung der Rechtslage erfordert. Sie begnügt sich jedoch mit diesem pauschalen Vorbringen. Mit Blick auf die Begründungsanforderungen nach Art. 42 Abs. 2 BGG hätte sie im bundesgerichtlichen Verfahren substantiiert darlegen müssen, wie sich der weit überdurchschnittliche Zeitaufwand - vor allem erst im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht - rechtfertigt. Immerhin weist die Vorinstanz ausdrücklich auf das Missverhältnis zwischen der abgerechneten Anzahl von Stunden einerseits sowie der rechtlichen und tatsächlichen Schwierigkeit der Streitsache anderseits hin. Somit hat die Beschwerdeführerin die Berechtigung des Ansatzes der insgesamt streitigen 27 Stunden nicht rechtsgenüglich dargetan.
5.6 Vorliegend erscheint der Ansatz von rund zehn Stunden zu dem vom Anwalt genannten Stundensatz von Fr. 240.-- für die Erstellung der Beschwerde und der Replik als angemessen. Unter Einbeziehung der weiteren, von der Vorinstanz zugestandenen rund acht Stunden (s. E. 5.4 hievor), wird damit zwar ein über dem Durchschnitt liegender Gesamtaufwand von etwas mehr als achtzehn Stunden eingeräumt. Das rechtfertigt sich indes aus verschiedenen Gründen: Die Vorinstanz regte an, dass die Beschwerdeführerin bei Dritten schriftliche Auskünfte einholt; dass sich ihr Anwalt damit befasst, um rechtlich relevante schriftliche Aussagen zu erhalten, ist nicht zu beanstanden. Sodann war bei den Vorinstanzen strittig, ob die von der Beschwerdeführerin erstrebte weitere Bewilligung des Aufenthaltes in der Schweiz noch nach dem alten Recht - so das Bundesamt für Migration - oder bereits nach dem neuen, seit 1. Januar 2008 geltenden Recht zu beurteilen war. Demzufolge wurden Abklärungen und Ausführungen zum intertemporalen Recht sowie materiell zum alten und zum neuen Recht (insb. Art. 7 ANAG [AS 1991 1034 1043] und Art. 50 AuG [SR 142.20]) notwendig. Zur Interpretation des neuen Rechts fehlte insoweit eine gefestigte Praxis (vgl. zu Art. 50 AuG erst unlängst zur Publikation bestimmte BGE 2C_460/2009 vom 4. November 2009 und 2C_304/2009 vom 9. Dezember 2009; Urteil 2C_216/2009 vom 20. August 2009). Zudem war die Anwendung von Art. 8 EMRK in einem Bereich zu behandeln, in dem das Bundesgericht nach Einleitung des Beschwerdeverfahrens die Rechtsprechung präzisierte (vgl. BGE 135 I 153 vom 27. März 2009), was im Übrigen offenbar zur Wiedererwägung durch das Bundesamt führte. Ein im Ausländerrecht spezialisierter Anwalt, der im Hinblick darauf einen höheren Stundenansatz - von bis zu Fr. 400.-- gemäss Art. 10 Abs. 2 VGKE - verlangt, hätte möglicherweise mit einem geringeren Aufwand auskommen müssen (vgl. Donzallaz, a.a.O., N. 1941). Doch beim Stundensatz von Fr. 240.-- können insgesamt etwas über 18 Stunden als notwendiger Aufwand anerkannt werden.
5.7 Werden die nicht beanstandeten Barauslagen des Anwalts von knapp Fr. 220.-- sowie die Mehrwertsteuer von 7.6 % berücksichtigt (vgl. Art. 9 Abs. 1 lit. b und c VGKE), ergibt sich somit ein Gesamtbetrag von aufgerundet Fr. 5'000.--. Diesen Betrag hat das Bundesamt für Migration der Beschwerdeführerin als Parteientschädigung für das Verfahren beim Bundesverwaltungsgericht zu bezahlen.
6. 6.1 Demzufolge erweist sich die Beschwerde abgesehen von der Höhe der beantragten Parteientschädigung als begründet. Sie ist deshalb teilweise gutzuheissen, der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 4. Juni 2009 im angefochtenen Punkt aufzuheben und die Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren auf Fr. 5'000.-- (inkl. MWSt) festzusetzen.
6.2 Bei diesem Ausgang rechtfertigt es sich, dem Bundesamt für Migration die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzuerlegen (vgl. Art. 65 und 66 Abs. 1 und 4 BGG). Zwar war es in der Hauptsache beim Bundesverwaltungsgericht nicht um Vermögensinteressen gegangen. Vor Bundesgericht ist aber nur noch die Höhe der Parteientschädigung streitig gewesen, die das Bundesamt zu leisten hat. Dieses hat der Beschwerdeführerin auch eine Entschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren zu leisten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Hiermit ist das von der Beschwerdeführerin gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren als gegenstandslos abzuschreiben.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und Ziff. 3 des Dispositivs des Abschreibungsentscheides des Bundesverwaltungsgerichts vom 4. Juni 2009 aufgehoben. Das Bundesamt für Migration hat der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung von Fr. 5'000.-- (inkl. MWSt) für das Verfahren beim Bundesverwaltungsgericht C-6322/ 2008 zu bezahlen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Bundesamt für Migration auferlegt.
3. Das Bundesamt für Migration hat der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- für das bundesgerichtliche Verfahren zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Merz