Sachverhalt:
A. Z._, geboren im Februar 1993, ist der Sohn von X._ und Y._. Die im August 1992 geschlossene Ehe der Eltern wurde durch Urteil des Bezirksgerichts S._ vom 6. April 1995 geschieden, wobei Z._ unter die elterliche Gewalt der Mutter gestellt und X._ ein Besuchs- und Ferienrecht eingeräumt wurde.
Im Zusammenhang mit der Ausübung des Besuchsrechts kam es zu grossen Spannungen, und durch Urteil des Kantonsgerichts vom 7. November 2000 wurde die Besuchsrechtsregelung schliesslich vollständig aufgehoben. Nachdem einem ersten Beistandschaftsgesuch von X._ am 7. Oktober 2004 stattgegeben worden, der entsprechende Beschluss am 15. November 2004 jedoch wieder aufgehoben worden war, beschloss das Vormundschaftsamt U._ am 13. März 2008 unter anderem erneut, dass für Z._ eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB errichtet werde. Dem als Beistand ernannten K._, Mitarbeiter des Amts für Kindesschutz, wurde aufgegeben, die soziale und schulische Situation von Z._ und die Notwendigkeit eines begleiteten Besuchsrechts sowie einer Verwaltungsbeistandschaft zur Verwaltung der Unterhaltszahlungen abzuklären und ferner Z._ Korrespondenz seines Vaters auszuhändigen. Eine von Y._ und Z._ gegen die Person des Beistands eingereichte Beschwerde wies das in der Zwischenzeit neu geschaffene interkommunale Vormundschaftsamt V._ am 5. Juni 2008 ab.
In Gutheissung einer von Y._ und Z._ eingereichten Berufung hob das Bezirksgericht T._ am 24. April 2009 den vormundschaftsbehördlichen Beschluss vom 13. März 2008 auf und stellte ausdrücklich fest, dass X._ kein Recht auf persönlichen Verkehr mit seinem Sohn zustehe. Gleichzeitig wurde die ebenfalls bezüglich der Ernennung des Beistands erhobene Beschwerde als gegenstandslos geworden vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben. Die Gerichtskosten wurden X._ auferlegt, der ausserdem verpflichtet wurde, Y._ und Z._ einen Auslagenersatz von Fr. 100.-- zu zahlen.
B. Mit einer als "Einheitsbeschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Verfassungsbeschwerde" bezeichneten Eingabe vom 25. Mai 2009 verlangt X._ namentlich, das bezirksgerichtliche Urteil aufzuheben und die Sache einem "kompetenten und objektiven" Bezirksrichter zur Neubeurteilung zu unterbreiten.
Durch Präsidialverfügung vom 28. Mai 2009 ist das Gesuch des Beschwerdeführers, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, abgewiesen worden.
Der Bezirksrichter des Bezirks T._ hat mit Eingabe vom 13. Juli 2009 erklärt, er verzichte unter Hinweis auf das angefochtene Urteil und die Akten auf eine umfassende Stellungnahme zur Beschwerde.
Erwägungen:
1. Mit Präsidialverfügung vom 2. Juli 2009 ist den Beschwerdegegnern eine Frist bis 14. Juli 2009 angesetzt worden, um sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen. Die entsprechenden eingeschriebenen Sendungen wurden mit dem Vermerk "Nicht abgeholt" an das Bundesgericht zurückgeleitet. Sie waren den Adressaten mit einer bis zum 10. Juli 2009 laufenden Frist zur Abholung bei der Post angezeigt worden.
Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist eine nicht abgeholte eingeschriebene Sendung der in Frage stehenden Art als am letzten Tag der Abholfrist in Empfang genommen zu betrachten, sofern der Adressat mit der Zustellung hatte rechnen müssen (BGE 134 V 49 E. 4 S. 52 mit Hinweisen). Letzteres ist hier der Fall: Am 29. Mai 2009 hatte die Beschwerdegegnerin - als gesetzliche Vertreterin auch im Namen des Beschwerdegegners - die Verfügung der Präsidentin der erkennenden Abteilung vom 28. Mai 2009 in Empfang genommen, worin unter anderem das Gesuch des Beschwerdeführers, seiner Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, abgewiesen worden war. Die Beschwerdegegner hatten somit Kenntnis vom bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren und hätten dafür sorgen müssen, dass ihnen die Verfügung vom 2. Juli 2009 hätte zugestellt werden können.
Hat die Einladung zur Einreichung einer Beschwerdeantwort nach dem Gesagten als in Empfang genommen zu gelten, ist von einem Verzicht der Beschwerdegegner auf eine Stellungnahme auszugehen.
2. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen Endentscheid der letzten kantonalen Instanz (Art. 90 und Art. 75 Abs. 1 BGG; Art. 118 Abs. 1 des Walliser EG zum ZGB). Der Bezirksrichter spricht dem Beschwerdeführer jeden persönlichen Verkehr mit seinem Sohn ab. Strittig ist damit eine Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Natur, so dass die Beschwerde in Zivilsachen offen steht (Art. 72 Abs. 1 BGG). Dass der Beschwerdeführer seine Eingabe als "Einheitsbeschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Verfassungsbeschwerde" bezeichnet, schadet nicht. Unter das Bundesrecht, dessen Verletzung nach Art. 95 lit. a BGG mit Beschwerde in Zivilsachen gerügt werden kann, fallen auch verfassungsmässige Rechte des Bundes (BGE 134 III 379 E. 1.2 S. 382 mit Hinweisen). Die rechtzeitig eingereichte Eingabe (Art. 100 Abs. 1 BGG) ist nach dem Gesagten als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen.
3. Der Bezirksrichter weist darauf hin, dass mit Urteil des Kantonsgerichts Wallis vom 7. November 2000 das durch den Scheidungsrichter festgelegte Besuchsrecht, das der Beschwerdeführer letztmals am 26. Oktober 1996 habe ausüben können, vollständig aufgehoben worden sei. Vor der Aufhebung des Besuchsrechts sei es am 17. Januar 1998 einzig noch zu einem Erinnerungskontakt zwischen dem Beschwerdeführer und seinem Sohn gekommen. Mithin sei das Besuchsrecht seit rund 11 1⁄2 Jahren nicht mehr (in üblicher Form) ausgeübt worden. In seinem Urteil vom 7. November 2000 habe das Kantonsgericht unter Hinweis auf das eingeholte Gutachten von massiven Spannungen zwischen dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin gesprochen und erklärt, dass unter den gegebenen Umständen selbst seltene und kurze Kontakte, insbesondere auch Erinnerungskontakte, zwischen Vater und Sohn eine dem Kindeswohl entgegenstehende Belastung darstellen würden.
Die Vorinstanz hält sodann fest, dass zwischen dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin nach wie vor massivste Spannungen bestünden, wovon die Akten hinlänglich zeugten; Anhaltspunkte für eine wesentliche positive Veränderung der Verhältnisse seien nicht vorhanden. Den Äusserungen des heute mehr als 16 Jahre alten Z._ in dem an das Bezirksgericht gerichteten (im Urteil auszugsweise wörtlich wiedergegebenen) Schreiben vom 31. März 2009 sei ferner unmissverständlich zu entnehmen, dass dieser keinerlei Kontakte zum Beschwerdeführer wünsche. Diese Haltung sei bei dem zu treffenden Entscheid als wesentliches Element zu berücksichtigen. Z._ habe sich im Übrigen bereits zuvor von seinem Vater distanziert und keinen Kontakt zu ihm mehr gewollt; eine Anhörung des Jugendlichen würde deshalb nichts Entscheidrelevantes bringen. Abschliessend erklärt der Bezirksrichter, dass bereits aufgrund der klaren Meinungsäusserung des in rund anderthalb Jahren mündigen Jugendlichen die Einräumung eines Besuchsrechts bzw. eines Rechts auf persönlichen Verkehr mit seinem Wohl nicht vereinbar wäre und dass im Übrigen den Akten nichts zu entnehmen sei, was für die Anordnung von Kindesschutzmassnahmen sprechen würde. Im Ergebnis hält der Bezirksrichter mithin dafür, dass die von der Vormundschaftsbehörde im Hinblick auf eine allfällige Wiederherstellung von Kontakten zwischen Z._ und dem Beschwerdeführer angeordnete Beistandschaft mit entsprechenden Anweisungen an den Beistand von vornherein nutzlos sei.
4. Zu einem bedeutenden Teil beruht der Entscheid des Bezirksrichters nach dem Gesagten auf dem Schreiben Z.'_ vom 31. März 2009. Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei zu diesem Schriftstück nicht angehört worden und habe dazu keine Stellung nehmen können; die Vorinstanz habe somit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne von Art. 8 BV (recte: Art. 29 Abs. 2 BV) missachtet.
4.1 Der in Art. 29 Abs. 2 BV verankerte Grundsatz des rechtlichen Gehörs verleiht einer Verfahrenspartei den Anspruch, in alle für den Entscheid wesentlichen Akten Einsicht zu nehmen und sich dazu zu äussern, bevor jener gefällt wird (BGE 132 II 485 E. 3.2 S. 494). Wünscht eine Partei, der eine neu eingegangene Eingabe ohne ausdrücklichen Hinweis auf die Möglichkeit einer allfälligen weiteren Äusserung zur Kenntnis gebracht wurde, sich dazu zu äussern, hat sie dies umgehend zu tun (BGE 133 I 98 E. 2.2 S. 99 f.).
4.2 Das am 31. März 2009 vorab per Fax an den Bezirksrichter übermittelte Schreiben Z.'_ vom gleichen Tag war durch eine Vorladung des Jugendlichen zu einer persönlichen Anhörung auf eben diesen 31. März 2009 veranlasst worden. Z._ teilte mit, dass und weshalb er diesen Termin nicht wahrnehmen werde, und äusserte sich zudem ausführlich zur Frage der Erziehungsbeistandschaft und zur Beziehung zum Beschwerdeführer. Nachdem der vorinstanzliche Richter Z._ in der Folge auf den 21. April 2009 ein weiteres Mal vorgeladen hatte, erklärte die Beschwerdegegnerin mit einer vorab wiederum per Fax übermittelten Eingabe vom 21. April 2009 in dessen Namen, dass er auch zu diesem Termin nicht erscheinen werde. Noch am gleichen 21. April 2009 sandte der Bezirksrichter dem Beschwerdeführer sowohl das Schreiben vom 31. März 2009 als auch die Eingabe vom 21. April 2009, verbunden mit dem Hinweis, dass er den Entscheid "umgehend aufgrund der Akten" fällen werde. Der Beschwerdeführer nahm die Sendung am 22. April 2009 (Mittwoch) entgegen. Am 24. April 2009 (Freitag) wurde der angefochtene Entscheid gefällt und bei der Post aufgegeben, und am 27. April 2009 (Montag) wurde er dem Beschwerdeführer ausgehändigt.
4.3 Zwischen dem Tag, an dem der Beschwerdeführer das im angefochtenen Urteil angerufene Schreiben Z.'_ vom 31. März 2009 zur Kenntnis erhielt, und dem Urteilsdatum lag nur ein einziger Tag. Damit eine Stellungnahme zu jenem Schreiben noch vor Fällung des Urteils (24. April 2009) bei der Vorinstanz eingetroffen wäre, hätte sie demnach gleich noch am Tag der Empfangnahme des fraglichen Schriftstücks bei der Post aufgegeben werden müssen. Durch die Fällung des Urteils nur zwei Tage, nachdem dem Beschwerdeführer Z.'_ Schreiben zur Kenntnis gelangt war, ist jener in seinem aus Art. 29 Abs. 2 BV fliessenden Recht, sich zu einer wesentlichen Entscheidgrundlage zu äussern, in ungerechtfertigter Weise beschnitten worden, zumal keine Gründe dargetan sind, die einen derart raschen Entscheid dringend geboten hätten, und das Schreiben Z.'_ zudem bereits drei Wochen vor seiner Zustellung an den Beschwerdeführer beim Bezirksrichter eingegangen war. Der Einwand des Bezirksrichters, der Beschwerdeführer sei ausdrücklich darauf hingewiesen worden, dass der Entscheid umgehend aufgrund der Akten gefällt werde, und eine allfällige weitere Stellungnahme hätte deshalb umgehend eingereicht werden müssen, ist angesichts der zeitlichen Gegebenheiten unbehelflich. Im Übrigen ist zu bemerken, dass der vom Bezirksrichter angesprochene Hinweis in dessen Schreiben vom 21. April 2009 den Eindruck erweckte, eine allfällige Stellungnahme des Beschwerdeführers würde von vornherein nicht abgewartet.
4.4 Das angefochtene Urteil ist nach dem Gesagten aufzuheben, ohne dass auf die Vorbringen des Beschwerdeführers zur Sache einzugehen wäre. Der Bezirksrichter wird diesem (nochmals) Gelegenheit zu einer Stellungnahme zum Schreiben Z.'_ vom 31. März 2009 - wie auch zu dem im bezirksgerichtlichen Schreiben vom 21. April 2009 erstmals (stillschweigend) zum Ausdruck gebrachten und vom Beschwerdeführer ebenfalls beanstandeten Verzicht, Z._ persönlich zu befragen - einzuräumen und alsdann neu zu entscheiden haben.
5. Das Bundesgericht ist nicht zuständig, die Sache einem anderen kantonalen Richter zuzuweisen. Den ein Ablehnungsbegehren enthaltenden Antrag, der Fall sei "einem kompetenten und objektiven Bezirksrichter zur Neubeurteilung zu unterbreiten", hätte der Beschwerdeführer beim Kantonsgerichtspräsidenten zu stellen gehabt (vgl. Art. 30 Abs. 1 lit. b der Walliser Zivilprozessordnung [ZPO]).
6. Durch die Aufhebung des angefochtenen Urteils wird den Rechtsbegehren und Vorbringen, die den darin getroffenen Kostenentscheid betreffen, die Grundlage entzogen.
7. Die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind - ungeachtet der Tatsache, dass keine Äusserungen zur Beschwerde vorliegen (dazu BGE 123 V 156 E. 3c S. 157 f.; HANSJÖRG SEILER/NICOLAS VON WERDT/ANDREAS GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, N. 18 zu Art. 66; BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, Bern 2009, N. 38 zu Art. 66) - ausgangsgemäss (unter Solidarhaft) den beiden Beschwerdegegnern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer steht keine Parteientschädigung zu.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Bezirksgerichts T._ vom 24. April 2009 wird aufgehoben; die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die kantonale Instanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden unter Solidarhaft den beiden Beschwerdegegnern auferlegt.
3. Dem Beschwerdeführer wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bezirksgericht T._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. August 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel