Sachverhalt:
A. Der 1984 geborene G._ war seit 1. August 2004 bei der Firma A._ angestellt, und damit bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Am 9. August 2004 erlitt er bei einem Unfall unter anderem eine vordere Schulterluxation rechts. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Ab 1. November 2004 arbeitete der Versicherte als kaufmännischer Angestellter beim Betrieb B._, worauf die SUVA den Fall abschloss. Im Rahmen dieser Anstellung war der Versicherte bei den Winterthur Versicherungen, heute AXA Versicherungen AG (nachfolgend AXA), obligatorisch unfallversichert. Am 11. März 2006 zog er sich beim Snowboarden durch eine Bewegung (ohne Sturz) eine Schulterluxation rechts zu. Mit Verfügung vom 18. September 2006 verneinte die AXA ihre Leistungspflicht für dieses Ereignis. Auf die dagegen einzig von der SUVA erhobene Einsprache trat sie nicht ein (Entscheid vom 12. September 2007).
B. In Gutheissung der hiegegen von der SUVA eingereichten Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz den Entscheid auf und wies die Sache an die AXA zurück, welche auf die Einsprache der SUVA materiell einzutreten und einen materiellen Einspracheentscheid zu treffen habe (Entscheid vom 16. September 2008).
C. Mit Beschwerde beantragt die AXA, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei zu erkennen, dass sie zu Recht auf die Einsprache der SUVA nicht eingetreten sei. Ferner sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die SUVA schliesst auf Beschwerdeabweisung. Der Versicherte und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.
Mit Verfügung vom 2. Dezember 2008 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Der angefochtene Rückweisungsentscheid ist im Ergebnis ein prozessualer Endentscheid (Art. 90 BGG; Felix Uhlmann, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, N 9 zu Art. 90), da die Rückweisung einzig der Umsetzung der vorinstanzlichen Anordnung dient, die AXA habe auf die Einsprache der SUVA gegen die Verfügung vom 18. September 2006 einzutreten und einen materiellen Einspracheentscheid zu erlassen. Diesbezüglich hat die AXA keinen Entscheidungsspielraum mehr (vgl. nicht publ. E. 1.1 des Urteils BGE 134 V 392; SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, E. 1.1, 9C_684/2007). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
3. 3.1 Der Versicherte erlitt am 9. August 2004 unter anderem eine Schulterluxation rechts, wofür die SUVA die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld) erbrachte. Ab 1. November 2004 arbeitete er wieder, worauf die SUVA den Fall abschloss. Dies blieb unbeanstandet. Seit 1. November 2004 war der Versicherte bei der AXA obligatorisch unfallversichert. Am 11. März 2006 zog er sich beim Snowboarden durch eine Bewegung (ohne Sturz) eine Schulterluxation rechts zu. Mit Verfügung vom 18. September 2006 stellte die AXA fest, dieses Ereignis sei weder ein Unfall noch eine unfallähnliche Körperschädigung, weshalb sie nicht leistungspflichtig sei. Sie empfahl dem Versicherten, sich diesbezüglich an seine Krankenkasse oder den Vorversicherer zu wenden. Hiegegen erhob einzig die SUVA Einsprache mit dem Antrag, die AXA habe ihre Leistungspflicht anzuerkennen. Diese trat darauf nicht ein, da die SUVA als möglicherweise konkurrierender Unfallversicherer nicht einsprachelegitimiert sei (Entscheid vom 12. September 2007).
3.2 Die Vorinstanz hat die mit bundesgerichtlichem Urteil 8C_606/2007 vom 27. August 2008, E. 9.1 f., ergangene Rechtsprechung (zitiert in SZS 2008 S. 566) zutreffend dargelegt. Gestützt hierauf hat sie richtig erwogen, dass der vorliegende Fall der in jenem Urteil beurteilten Konstellation entspricht. Bleibt es nämlich bezüglich der vom Versicherten am 11. März 2006 erlittenen Schulterluxation rechts bei der Verneinung der Leistungspflicht durch die AXA, hat die SUVA damit zu rechnen, vom Versicherten hinsichtlich dieser Schulterbeschwerden unter Berufung auf den Unfall vom 9. August 2004 für die Ausrichtung von Versicherungsleistungen in Anspruch genommen zu werden. Demnach hat die Vorinstanz richtig entschieden, dass die SUVA zur Einspracheerhebung "pro Adressat" gegen die Verfügung der AXA vom 18. September 2006 befugt war, weshalb diese darauf einzutreten hat.
4. 4.1 Die AXA wendet im Wesentlichen ein, weil am 11. März 2006 gar kein versichertes Ereignis vorgelegen habe, könne und müsse keine innersystemische materielle Koordination zwischen verschiedenen möglicherweise (im Rahmen von Teilkausalitäten bzw. zeitlich begrenzten Kausalitäten) beteiligten Unfallversicherern Platz greifen. Eine solche Koordination drängte sich nur auf, wenn die AXA für dieses Ereignis grundsätzlich leistungspflichtig wäre und ihre Leistungen trotz andauernder Symptomatik wegen Wegfalls der natürlichen Kausalität einstellen würde bzw. wenn nach Abschluss des Schadenfalls erneut Beschwerden aufträten und zu beurteilen wäre, welcher Unfallversicherer für einen (erneuten) Rückfall aufzukommen habe. Der SUVA stehe es nach wie vor frei, medizinische Abklärungen zur Unfallkausalität der Schulterbeschwerden zu veranlassen und ihre Leistungspflicht unter allen Gesichtspunkten zu prüfen. Es sei ihr einzig verwehrt, die Schulterproblematik und die damit zwangsläufig verbundene latente Rückfallproblematik der AXA aufzubürden. Die Verneinung der Leistungspflicht durch die AXA falle in keine der im erwähnten Urteil 8C_606/2007, E. 6.1-6.4, aufgeführten Kategorien. Ihr Hinweis in der Verfügung vom 18. September 2006, der Versicherte solle sich an den Kranken- oder Vorversicherer wenden, nehme keine konkrete Leistungspflicht vorweg. Die Auswirkungen auf die Rechtsstellung der SUVA seien damit höchstens mittelbar, indem die Möglichkeit wegfalle, dass die Schulterproblematik anlässlich eines späteren Ereignisses von einem anderen Versicherer übernommen werde. Die Anspruchsbeurteilung durch die AXA entfalte keine Bindungswirkung für die SUVA. Diese sei durch die streitige Verfügung nicht direkt berührt, weshalb sie kein schutzwürdiges Anfechtungsinteresse habe.
4.2 Dieser Argumentation ist Folgendes entgegenzuhalten: Würde der SUVA gegen die leistungsablehnende Verfügung der AXA vom 18. September 2006 kein Einsprache- und Beschwerderecht zuerkannt, hätte sie lediglich das Recht, ihre Leistungspflicht ebenfalls zu verneinen, wenn sie in der Folge von der versicherten Person in Anspruch genommen würde. Lässt die versicherte Person mithin - wie vorliegend - die AXA-Verfügung in Rechtskraft erwachsen und wendet sie sich an die SUVA, kann es zu widersprechenden Verfügungen kommen. Die Gefahr, dass die versicherte Person von einem Versicherer zum anderen gewiesen wird, soll gemäss erwähntem Urteil 8C_606/2007, E. 9.1 (SZS 2008 S. 566), verhindert werden. In jener Sache wurde der SUVA das Einspracherecht "pro Adressat" gegen die Verfügung eines Unfallversicherers zuerkannt, der seine Leistungen mit der Begründung eingestellt hatte, es lägen keine Folgen des in seine Leistungszuständigkeit fallenden Unfalls mehr vor (Erreichen des Status quo sine). Es sind keine Gründe ersichtlich, den vorliegenden Fall, in dem die AXA ihre Leistungspflicht mangels Vorliegens eines Unfalls und einer unfallähnlichen Körperschädigung negierte, anders zu behandeln.
Weil die SUVA nicht Leistungen im eigenen Namen, sondern zu Gunsten des Versicherten geltend macht, kommt Art. 78a UVG nicht zur Anwendung (BGE 127 V 176 E. 4d S. 181 f.; erwähntes Urteil 8C_606/2007, E. 10).
5. Die unterliegende, nicht unter den Ausnahmetatbestand von Art. 66 Abs. 4 BGG fallende AXA hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 133 V 642). Als Organisation mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben hat die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegende SUVA keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG; erwähntes Urteil 8C_606/2007, E. 11 mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Dezember 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar