Sachverhalt:
A.
Die Eheleute X.Y._, wohnhaft in Z._/ZH, deklarierten in ihrer Steuererklärung 2006 für die direkte Bundessteuer ein steuerbares Einkommen von Fr.... (zum Steuersatz von Fr....) und ein solches von Fr.... (zum Steuersatz von Fr....) für die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Zürich. Das Kantonale Steueramt Zürich nahm Aufrechnungen vor. Diese beruhten, soweit hier interessierend, auf Einkünften aus C.X._s Tätigkeit als Verwaltungsrat und Berater verschiedener Unternehmungen. Die Honorare von Fr.... hatte er nicht in seiner eigenen Steuererklärung deklariert, sondern in jener der A._ AG, B._/ZG. C.X._ beherrscht diese Gesellschaft über eine von ihm gehaltene inländische Holdinggesellschaft. Die Steuerverwaltung des Kantons Zug erliess am 4. September 2007 gegenüber der A._ AG die Veranlagungsverfügungen für die direkte Bundessteuer sowie die Kantons- und Gemeindesteuern. Sie wiesen ein Steuerbetreffnis von rund Fr.... aus. Ebenso auf Ebene der A._ AG führte C.X._ die Mehrwertsteuer auf den Honoraren und die Sozialversicherungsbeiträge auf seinem Fixlohn ab. Bei den Steuer- und Sozialversicherungsbehörden hatte dieses Vorgehen vor dem Steuerjahr 2006 zu keinen Beanstandungen geführt bzw. wurde es für richtig befunden.
B.
Das Kantonale Steueramt Zürich veranlagte C.X._ und D.X.-Y_ gemäss Einschätzungsentscheid vom 30. Juni 2011 und Veranlagungsverfügung vom 19. Juli 2011 mit einem steuerbaren Einkommen von Fr.... (zum Steuersatz von Fr....; Staats- und Gemeindesteuer) bzw. Fr.... (direkte Bundessteuer). Die dagegen erhobenen Einsprachen (Entscheid vom 3. November 2011) und Beschwerden (Entscheide des Steuerrekursgerichts des Kantons Zürich vom 20. April 2012 und des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich, 2. Abteilung, 2. Kammer, vom 31. Oktober 2012) blieben erfolglos.
C.
Mit zwei Eingaben vom 28. Januar 2013 ersuchen C.X._ und D.X.-Y_ (hiernach: die Steuerpflichtigen) das Bundesgericht um Aufhebung der angefochtenen Entscheide vom 31. Oktober 2012. Sie beantragen, das steuerbare Einkommen 2006 sei auf Fr.... für die direkte Bundessteuer und Fr.... (zum Steuersatz von Fr....) für die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Zürich festzusetzen.
Während die Vorinstanz und das Kantonale Steueramt beantragen, die beiden Beschwerden seien abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, schliesst die Eidgenössische Steuerverwaltung bezüglich der direkten Bundessteuer (Verfahren 2C_96/2013) auf Abweisung und verzichtet sie bezüglich der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich praxisgemäss auf einen Antrag (Verfahren 2C_95/2013).
Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (Art. 95 lit. a BGG; BGE 139 V 42 E. 1 S. 44; 138 I 367 E. 1 S. 369; 138 III 471 E. 1 S. 475).
1.2. Die angefochtenen Entscheide betreffen einerseits die Kantons- und Gemeindesteuern 2006 des Kantons Zürich, anderseits die direkte Bundessteuer 2006. Es stellen sich dieselben Rechtsfragen, welche die Steuerpflichtigen denn auch in einer gemeinsamen Beschwerde erörtern. Es rechtfertigt sich daher, die Verfahren zu vereinigen und die Beschwerde in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. Art. 71 BGG i.V.m. Art. 24 BZP; BGE 131 V 461 E. 1.2 S. 465; vereinigte Urteile 2C_711/2012, 2C_712/2012 vom 20. Dezember 2012 E. 1.2).
1.3. Die Beschwerden richten sich gegen zwei (End-) Entscheide einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegeben (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 BGG i.V.m. Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11] sowie Art. 73 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]). Die Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.4. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; BGE 138 III 537 E. 2.2 S. 540; 137 III 385 E. 3 S. 386; 133 II 249 E. 2.2 S. 550).
1.5. Fragen des Bundesrechts klärt das Bundesgericht mit freier Kognition (Art. 95 lit. a BGG; Urteile 2C_596/2012 vom 19. März 2013 E. 1.3; 2C_708/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 1.4, in: StE 2013 A 24.44.1 Nr. 3, StR 68/2013 S. 212, nicht publ. in: BGE 139 I 64). Trotz der Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389; 134 III 102 E. 1.1 S. 104; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von Grundrechten (Art. 7-34 BV, nebst den übrigen verfassungsmässigen Rechten der BV [BGE 134 I 23 E. 6.1 S. 31; 133 III 638 E. 2 S. 640] und den Rechtsansprüchen der EMRK [BGE 138 I 97 E. 4.3 S. 106]), von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht es in jedem Fall nur, soweit eine Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Solche Rügen sind klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen (BGE 138 I 171 E. 1.4 S. 176; 136 II 489 E. 2.8 S. 494; Urteile 2C_678/2012 vom 17. Mai 2013 E. 1.5; 2C_596/2012 vom 19. März 2013 E. 5.2, in: StR 68/2013 S. 474).
1.6. Im Bereich des Steuerharmonisierungsrechts gilt bezüglich der Kognition folgendes: Auch das harmonisierte kantonale Steuerrecht prüft das Bundesgericht grundsätzlich mit freier Kognition, in gleicher Weise, wie es dies im Fall von Bundesrecht täte (Art. 95 lit. a BGG). Soweit das Harmonisierungsrecht den Kantonen allerdings einen gewissen Gestaltungsspielraum ("une certaine marge de manoeuvre") belässt, handelt es sich bei der kantonalen Norm insoweit um (rein) kantonales Recht.
Wird ein Verstoss gegen das (rein) kantonale Recht gerügt, prüft das Bundesgericht lediglich, ob dessen vorinstanzliche Auslegung und Anwendung zu einer Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht (Art. 95 lit. a und b BGG; BGE 138 V 74 E. 2 S. 76) oder der kantonalen verfassungsmässigen Rechte führt (Art. 95 lit. c BGG; BGE 134 I 153 E. 4.2.2 S. 158). Zu untersuchen ist allem voran ein Verstoss gegen das Willkürverbot nach Art. 9 BV (BGE 137 V 143 E. 1.2 S. 145; 134 II 349 E. 3 S. 351; Urteile 2C_692/2012 vom 10. Februar 2013 E. 2.1; 9C_369/2012 vom 2. November 2012 E. 3).
Wiederum mit freier Kognition im Sinne von Art. 95 lit. a BGG ist schliesslich zu klären, ob die kantonale Lösung, die einen harmonisierungsrechtlichen Freiraum betrifft, die Anwendung des StHG in seiner horizontalen oder vertikalen Harmonisierungsfunktion beeinträchtigt (zum Ganzen Urteil 2C_337/2012 vom 19. Dezember 2012 E. 1.4, in: StR 68/2013 S. 368 mit zahlreichen Hinweisen).
1.7. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die vorinstanzlichen Feststellungen können nur berichtigt werden, sofern sie entweder offensichtlich unrichtig, d. h. willkürlich ermittelt worden sind (Art. 9 BV; BGE 137 II 353 E. 5.1 S. 356; zum Willkürbegriff: BGE 138 I 49 E. 7.1 S. 51; 137 I 1 E. 2.4 S. 5) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG). Zudem hat die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 137 III 226 E. 4.2 S. 234).
1.8. Streitgegenstand ist die (subjektive) Zuordnung der Honorare aus Tätigkeiten des Steuerpflichtigen als Berater und Verwaltungsrat.
II. Direkte Bundessteuer
2.
2.1. Die subjektive Zuordnung von Einkommen und Vermögen natürlicher Personen ist ein ungeschriebenes Element des Steuertatbestandes. Sie bildet ebenso Voraussetzung wie Schranke einer allgemeinen, auf Generalklauseln (Art. 16 Abs. 1 DBG bzw. Art. 7 Abs. 1 StHG) beruhenden Besteuerung des Reinvermögenszugangs ("théorie de l'accroissement du patrimoine" bzw. "imposition du revenu global net"; dazu Urteil 2C_1151/2012 vom 3. Juni 2013 E. 2.1, zur Publ. bestimmt). Allgemein gilt, dass die subjektive Zuordnung im Steuerrecht mit der zivilrechtlichen Sichtweise übereinstimmt (Jessica Salom, L'attribution du revenu en droit fiscal suisse et international, 2010, S. 55 ff.), es sei denn, das Gesetz sehe eine eigenständige steuerrechtliche Zurechnungsregel vor oder verfolge eine wirtschaftliche Betrachtungsweise (a.a.O., S. 70 ff.).
2.2. In Konkretisierung des allgemeinen Grundsatzes von Art. 8 ZGB, der auch im öffentlichen Recht gilt (BGE 138 II 465 E. 6.8.2 S. 486; 138 V 218 E. 6 S. 222), herrscht im Steuerrecht die Normentheorie. Danach trägt die Steuerbehörde die Beweislast für die steuerbegründenden und -erhöhenden Tatsachen, wogegen die steuerpflichtige Person für die steueraufhebenden und -mindernden Tatsachen beweisbelastet ist (Urteile 2C_1273/2012 vom 13. Juni 2013 E. 3.4; 2C_678/2012 vom 17. Mai 2013 E. 3.6). Mit Blick auf die Gesamteinkommensbesteuerung ist weiter zu folgern, dass die (von der Steuerbehörde zu beweisenden) Einkünfte, die als Entgelt für die Arbeit oder die Dienste einer Person anfallen, vermutungsweise derselben Person zuzuordnen sind. Macht die steuerpflichtige natürliche Person geltend, das Entgelt stehe nicht ihr, sondern einer andern natürlichen oder juristischen Person zu, behauptet sie eine aus ihrer Optik steuermindernde Tatsache. Ihr obliegt es, die gesetzliche Vermutung anhand des Beweises des Gegenteils zu entkräften, solange sich dies nicht bereits aus einer anderslautenden gesetzlichen Anordnung ergibt.
2.3. Der zivilrechtlichen Vertragsfreiheit steht die steuerrechtliche Gestaltungsfreiheit bzw. Organisationshoheit der Unternehmen gegenüber (Urteile 2C_1158/2012 vom 27. August 2013 E. 3.6; 2C_487/2011 vom 13. Februar 2013 E. 2.7; 2C_708/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 4.2, in: StE 2013 A 24.44.1 Nr. 3, StR 68/2013 S. 212, nicht publ. in: BGE 139 I 64; 2C_272/2011 vom 5. Dezember 2011 E. 3.2.3, in: StR 67/2012 S. 127 f; 2C_896/2008 vom 30. Oktober 2009 E. 4.2.3 zur Steuerplanung, in: RDAF 66/2010 II S. 335, StR 65/2010 S. 165; nun BGE 139 II 78 E. 3.2.1 S. 88 f.). Auch Aktionär und Aktiengesellschaft können sich auf die steuerliche Gestaltungsfreiheit berufen (zit. Urteil 2C_272/2011 E. 4.2.1). Dies entbindet sie freilich nicht davon, die angestrebte Wirkung vertraglich auszugestalten und - für steuerliche Zwecke - hinreichend zu belegen.
2.4. Gerade in Kleinstverhältnissen - wie z.B. einer Kapitalgesellschaft mit einem Alleinaktionär, der als einziger oder nahezu einziger Arbeitnehmer für sie tätig wird - ist es von besonderer Bedeutung, Rechtsklarheit und Rechtssicherheit dadurch zu schaffen, dass (schriftliche) vertragliche Grundlagen gelegt werden. Erfährt der Allein- oder Mehrheitsaktionär in der Fachwelt "ad personam" besondere Anerkennung und Wertschätzung (z.B. als Unternehmer, Sanierer, Finanzspezialist), ist seine Kapitalgesellschaft aber weit weniger bekannt, muss es auch im Interesse des Aktionärs liegen, klare Verhältnisse zu schaffen, will er den haftungsbegrenzenden Schutz der Kapitalgesellschaft nutzen oder die steuerliche Abrechnung über die Gesellschaft vornehmen können.
2.5. Schliesslich kann auch die Natur der durch eine natürliche Person erbrachten Leistung eine Rolle für die Frage der Beweislastverteilung spielen. Soweit es um Beratungsleistungen geht, kann der Berater seine Dienstleistungen ohne Weiteres entweder unmittelbar (d.h. in eigenem Namen und auf eigene Rechnung) oder mittelbar durch seine Gesellschaft erbringen. Anders verhält es sich mit der Tätigkeit als Mitglied des Verwaltungsrats einer Aktiengesellschaft. Aufgrund von Art. 707 Abs. 1 OR besteht der Verwaltungsrat der AG aus einem oder mehreren Mitgliedern. Wählbar sind dabei nur natürliche Personen (Urteil 2C_292/2007 vom 9. Januar 2008 E. 2.1, in: RtiD 2008 II S. 533; vgl. schon BGE 58 I 378). Hergeleitet wird dies u.a. aus der Sorgfalts- und Treuepflicht der Mitglieder des Verwaltungsrates (Art. 717 Abs. 1 OR).
2.6. Im Umkehrschluss zum selben Ergebnis führt Art. 707 Abs. 3 OR: Ist an der Gesellschaft eine juristische Person oder eine Personengesellschaft beteiligt, ist diese nicht wählbar, wogegen an ihrer Stelle ihre Vertretung (natürliche Personen) gewählt werden kann (vgl. BGE 133 V 498 E. 5.1 S. 501 f. zur AHV). Macht ein Mitglied des Verwaltungsrats geltend, nicht "ad personam", sondern als Vertretung einer beteiligten juristischen Person oder Personengesellschaft zu wirken, hat es hierfür zivil- und steuerrechtlich die Beweislast zu tragen. Grundsatz ist nach Art. 707 Abs. 1 OR die Verwaltungsratstätigkeit in eigenem Namen, auf eigenes Risiko und eigene Rechnung. Es herrscht daher die gesetzliche Vermutung, dass auch das (bewiesene) Honorar dem Verwaltungsratsmitglied persönlich zusteht. Gleiches gilt für das Beratungsentgelt (vorne, E. 2.2). Wenn in Abweichung von dieser Vermutung das Honorar aufgrund vertraglicher Vereinbarung einer Drittperson (etwa dem Arbeitgeber des Verwaltungsratsmitglieds) zustehen soll (vgl. BGE 133 V 498), obliegt der steuerpflichtigen Person oder der Drittperson der Beweis des Gegenteils, d.h. die Beweislast für das Vorliegen solcher vertraglicher Verhältnisse (zitiertes Urteil 2C_292/2007 E. 2.1).
3.
3.1. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 BGG) stehen die streitbetroffenen Einkünfte im Zusammenhang mit Aktivitäten der steuerpflichtigen Person als Verwaltungsrat und als Berater. Wie die Vorinstanz weiter festhält, deklarierte der Steuerpflichtige diese Einkünfte nicht in der Steuererklärung der Eheleute, sondern erfasste er sie in seiner Betriebsgesellschaft, die er über eine Holdinggesellschaft hält, und rechnete er dort auch die Mehrwertsteuer und die Sozialversicherungsbeiträge ab. Trotz Aufforderung habe der Steuerpflichtige keine schriftlichen Aufträge (Mandatsverträge) zwischen den jeweiligen Drittgesellschaften und seiner Betriebsgesellschaft vorzulegen vermocht. Der Umstand, dass ausnahmslos schriftliche Verträge fehlten, sei auch im Fall zu sanierender Gesellschaften unüblich und kaum nachvollziehbar, habe es sich im konkreten Fall doch teils um grössere, teils sogar um börsenkotierte Gesellschaften gehandelt. Insgesamt seien die Mandate dem Steuerpflichtigen "ad personam und aufgrund seiner zahlreichen Erfahrungen in Turnaround- und Sanierungssituationen" erteilt worden, weswegen ihm die erlangten Honorare auch unmittelbar zuzuordnen seien. Dem stehe auch die bis zur Steuerperiode 2006 davon abweichende Praxis des Kantonalen Steueramtes (direkte Steuern), der Eidgenössischen Steuerverwaltung (Mehrwertsteuer) und der Ausgleichskasse (AHV) nicht entgegen.
3.2. Der Steuerpflichtige bringt vor, es hätten in allen Fällen Vertragsverhältnisse zwischen seiner Betriebsgesellschaft und den Drittgesellschaften bestanden, in deren Rahmen er im Namen und auf Rechnung der Betriebsgesellschaft aufgetreten sei. Die Leistungen zugunsten der zu sanierenden Drittgesellschaften hätten mit den klassischen Aufgaben eines Verwaltungsrats allerdings wenig gemein, setzten sie sich doch aus einer überwiegenden Beratungs- und einer bloss untergeordneten Verwaltungsratskomponente zusammen. Die Mandate seien ihm oftmals von Banken vermittelt worden. Allein aus "praktischen Gründen" habe er das Beratungs- mit dem Verwaltungsratsmandat ergänzt. Die erbrachten Leistungen seien jeweils durch die Betriebsgesellschaft fakturiert und das Entgelt - die Honorarpauschale - durch sie den direkten Steuern und zudem der Mehrwertsteuer unterstellt worden. Er selber habe einen "jährlich konstanten Lohn" (Fixlohn) bezogen, auf welchem die Sozialversicherungsbeiträge erhoben worden seien. Nebst der Erfüllung von Aufgaben für sanierungsbedürftige Gesellschaften habe er im Jahr 2006 weitere Verwaltungsratsmandate ausgeübt und die daraus erzielten Honorare als Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit versteuert.
Mit den Drittgesellschaften bestünden tatsächlich keine "schriftlichen Verträge". Dies entspreche in kleineren Beratungsverhältnissen allerdings der Regel. Der Auftrag könne zivilrechtlich durch konkludentes Verhalten geschlossen werden, womit das Entgelt der Betriebsgesellschaft zustehe. Die "direkte Abführung der Verwaltungsratshonorare an eine juristische Person" sei zivilrechtlich zulässig. Im vorliegenden Fall sei dieses Vorgehen aus Haftungsgründen sogar geboten gewesen, wenngleich sich aufgrund der (ursprünglich ungemilderten) wirtschaftlichen Doppelbelastung von AG und Aktionär höhere Steuern eingestellt hätten.
3.3. Die gerichtliche Beweiswürdigung, selbst wenn sie auf Indizien beruht, und die sich daraus ergebenden tatsächlichen Schlussfolgerungen stellen Tatfragen dar (BGE 133 V 477 E. 6.1 S. 485; 133 V 504 E. 3.2 S. 507; 132 V 393 E. 3.3 S. 399; Urteile 2C_1273/2012 vom 13. Juni 2013 E. 1.7; 2C_984/2012 vom 21. März 2013 E. 1.2.4). Die Vorinstanz würdigt das Beweisergebnis dahingehend, dass vom Vorliegen direkter Vertragsbeziehungen zwischen den Drittgesellschaften und der Gesellschaft des Steuerpflichtigen nicht ausgegangen werden könne. Sie leitet dies daraus ab, dass sowohl der Beweis eines "Delegationsverhältnisses" (zwischen der eigenen Gesellschaft und dem Steuerpflichtigen) als auch der Beweis eines Mandats (Beratung, Verwaltungsrat) zwischen auftraggebender Drittgesellschaft und beauftragter Betriebsgesellschaft fehlgeschlagen habe.
3.4. Auch in der steuerrechtlichen Praxis lässt sich der Nachweis eines Vertragsverhältnisses oder einer bestimmten Erklärung vor allem durch die Vorlage einer Urkunde erbringen. Nur unter seltenen Umständen wird der Beweis auf andere Weise angetreten werden können (vgl. zu einer ähnlichen Konstellation Urteil 2C_678/2012 vom 17. Mai 2013 E. 3.7). Nach den Feststellungen der Vorinstanz bestehen keinerlei schriftlich abgeschlossene Verträge. In bundesrechtskonformer Weise macht die Vorinstanz den Bestand der behaupteten Verträge gar nicht von deren Schriftlichkeit abhängig (Art. 11 Abs. 1 i. V. m. Art. 319 ff. bzw. Art. 394 ff. OR). "Eher als ungewöhnlich" wertet sie lediglich die Tatsache, dass "sämtliche der vom Pflichtigen gehaltenen Verwaltungsrats- bzw. Beratermandate ohne schriftliche Mandatsverträge abgewickelt worden sein sollen". Wenn sie angesichts der Gesamtheit der Umstände schliesst, es sei den Steuerpflichtigen misslungen, die Existenz von Verträgen auf andere Weise (als durch Vorlage eines schriftlichen Vertrages) zu beweisen, ist diese Folgerung jedenfalls nicht offensichtlich unrichtig. In der Tat legen die Steuerpflichtigen keine Sachumstände dar, welche die vorinstanzliche Beweiswürdigung als geradezu offensichtlich falsch erscheinen liessen. Weder das vertragsrechtliche Innen- noch das Aussenverhältnis sind hinreichend dargetan, ebenso wenig die aktienrechtliche Delegation im Sinne von Art. 707 Abs. 3 OR (vorne, E. 2.6).
3.5. Soweit die Steuerpflichtigen schliesslich neue Tatsachen vorbringen und Beweismittel - hier insbesondere Zeugen - anrufen, scheitert deren Berücksichtigung am Novenverbot. Vor Bundesgericht dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt ("unechte" Noven gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 138 II 169 E. 3.1 S. 170, 138 II 217 E. 2.2 f. S. 220; 136 V 362 E. 3.2 f. S. 364 f.). Eine derartige Veranlassung durch das angefochtene Urteil wird weder behauptet noch ist sie ersichtlich.
3.6. Die Vorinstanz hat damit in haltbarer Weise festgestellt, der Beweis des Zurechnungszusammenhangs zwischen Drittgesellschaft und eigener Gesellschaft sei misslungen. Bundesrechtskonform schliesst sie, die vom Steuerpflichtigen erbrachte Tätigkeit und das angefallene Tätigkeitsentgelt seien dem Steuerpflichtigen zuzuordnen. Ob es sich um klassische Verwaltungsratsaktivitäten oder hauptsächlich um ein Beratungsmandat handelte, mit dem der Einsatz in einen Verwaltungsrat einher ging, ist für die subjektive Zuordnung ohne Belang, abgesehen davon, dass Art. 707 Abs. 3 OR einen zusätzlichen aktienrechtlichen Nachweis erfordert. Sind damit die Einkünfte unmittelbar dem Steuerpflichtigen als Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit (Art. 17 DBG; Art. 7 StHG) zuzuordnen und nicht seiner Kapitalgesellschaft, erübrigen sich Ausführungen zum "Durchgriff" durch die Kapitalgesellschaft (vgl. dazu Urteil 2C_396/2011 vom 26. April 2012 E. 4.2, in: RDAF 68/2012 II S. 503, StE 2012 A 24.1 Nr. 7). Ein solcher käme nur in Frage, falls die subjektive Zuordnung grundsätzlich bei der Gesellschaft vorgenommen werden müsste, im konkreten Fall aber davon abzuweichen wäre. Beides trifft hier nicht zu.
3.7. Die Ausführungen der Steuerpflichtigen zum Unternehmerrisiko, zum Abhängigkeitsverhältnis usw. berühren die Abgrenzung zwischen unselbständiger und selbständiger Erwerbstätigkeit (BGE 125 II 113 E. 5b S. 120 [direkte Bundessteuer]; 138 II 251 E. 2.4.2 S. 256 f. [Mehrwertsteuer]; 134 V 250 E. 3.1 S. 252 f. [AHV]). Der Steuerpflichtige macht geltend, aufgrund der Rechnungstellung durch die AG habe diese das volle Inkassorisiko zu tragen, zudem sämtlichen Aufwand, der mit der Geschäftsbesorgung einher gehe. Er, der Steuerpflichtige, sei weder den Weisungen des Auftraggebers noch einem Konkurrenzverbot unterlegen. Zudem habe er sich "über die AG" frei organisiert. Aus allen diesen Gründen ergebe sich, dass er nicht als unselbständig Erwerbender tätig geworden sei.
Dies überzeugt nicht: Abzustellen ist nicht auf die möglicherweise angestrebte Organisationsform, sondern auf die für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz, die unbestritten bleiben. Danach bestehen keine (schriftlichen) Verträge zwischen den Drittgesellschaften und der eigenen AG bzw. zwischen der AG und dem Steuerpflichtigen. Solche wären nach dem Gesagten aber unabdingbar, um die gesetzliche Vermutung umzustossen, dass das Honorar jener Person zusteht, welche die Dienstleistungen erbringt (vorne, E. 2.2 [Beratungsmandat] und 2.6 [Verwaltungsratsmandat]).
3.8. Gemäss Art. 58 Abs. 1 DBG herrscht dem Grundsatze nach das Prinzip der Massgeblichkeit der Handelsbilanz ("le principe de l'autorité du bilan commercial ou de déterminance"; BGE 137 II 353 E. 6.2 S. 360 f.; 136 II 88 E. 3.1 S. 92; 132 I 175 E. 2.2 S. 177 f.; 119 Ib 111 E. 2c S. 115), auf welches sich die Steuerpflichtigen beziehen. Es schafft grundsätzliche steuerrechtliche Verbindlichkeit des handelsrechtlich einwandfreien Abschlusses. Nach dem Gesagten stehen aber die Tätigkeitsentgelte hier unmittelbar der steuerpflichtigen Person zu, sodass sich der Abschluss der AG insofern als handelsrechtswidrig erweist. Von ihm geht keine Massgeblichkeit aus, nachdem sich diese ohnehin nur auf die Besteuerung der AG auswirken könnte, nicht aber der Anteilsinhaber.
3.9. Im Recht der periodischen Steuern gilt, dass die Wirkungen definitiver Steuerveranlagungen, insbesondere ihre Rechtskraftwirkungen, regelmässig auf die betreffende Steuerperiode beschränkt sind (Urteile 2C_1174/2012 vom 16. August 2013 E. 3.4.3; 2C_423/2012 vom 9. Dezember 2012 E. 3.2, in: ASA 81 S. 588; 2C_383/2012 vom 6. September 2012 E. 3, in: StE 2013 B 23.43.2 Nr. 17, StR 67/2012 S. 836; 2C_383/2011 vom 31. Oktober 2011 E. 3.3). Anders verhalten könnte es sich nur, soweit ein qualifizierendes Verhältnis zwischen Veranlagungsbehörde und steuerpflichtiger Person vorläge, das unter dem Gesichtspunkt des Grundsatzes von Treu und Glauben (Art. 9 BV) in Betracht fällt.
Der Anspruch auf Schutz objektiv berechtigten Vertrauens bedingt praxisgemäss behördliche Zusicherungen oder sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Vertrauen der Behörden. Vorauszusetzen ist, dass die Person, die sich auf den Vertrauensschutz beruft, berechtigterweise auf diese Grundlage vertrauen durfte und gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sich nicht mehr rückgängig machen lassen (BGE 137 I 69 E. 2.5.1 S. 72 f.; 131 II 627 E. 6.1 S. 636 f.; 129 I 161 E. 4.1 S. 170; Urteil 2C_277/2012 vom 11. Mai 2012 E. 5.2). Nach bundesgerichtlicher Praxis findet der Grundsatz von Treu und Glauben im Steuerrecht aufgrund des strengen Legalitätsprinzips indessen nur zurückhaltende Anwendung (Urteil 2A.279/2006 vom 26. Februar 2007 E. 3.3). Denkbar ist ein überwiegendes privates Interesse an Vertrauensschutz etwa im Bereich von Verfahrensfragen und materiellrechtlich dort, wo den Steuerpflichtigen gesetzlich ein gewisser Ermessensspielraum zusteht (Urteil 2C_475/2008 vom 1. Juli 2009 E. 3.3; BGE 97 I 125 E. 3 S. 130). Erforderlich wäre in diesem engen Bereich eine qualifizierende, einzelfallbezogene, ausdrücklich über eine konkrete Steuerperiode hinausreichende Auskunft der Amtsbehörde (BGE 137 II 182 E. 3.6.2 S. 193) oder Verfügung (BGE 137 I 69 E. 2.5.1 S. 72 f.), was hier nicht behauptet oder ersichtlich ist.
3.10. Die Beschwerde erweist sich damit bezüglich der direkten Bundessteuer als unbegründet. Sie ist abzuweisen und der angefochtene Entscheid ist zu bestätigen. Inwiefern sich hieraus ein Anspruch auf Einleitung eines Revisionsverfahrens gegenüber der (rechtskräftigen) Veranlagungsverfügung der juristischen Person ergibt, ist nicht Streitgegenstand und deswegen nicht im vorliegenden Verfahren zu klären. Mangels entsprechenden Antrages der Beschwerdeführer ist im Übrigen auch die Frage einer allfälligen interkantonalen Doppelbesteuerung durch den Kanton Zug im vorliegenden Verfahren nicht zu prüfen.
III. Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Zürich
4.
4.1. § 16 Abs. 1 des Steuergesetzes [des Kantons Zürich] vom 8. Juni 1997 (StG/ZH; LS 631.1) entspricht Art. 7 Abs. 1 StHG (Prinzip der Gesamtreineinkommensbesteuerung; vereinigte Urteile 2C_711/2012, 2C_712/2012 vom 20. Dezember 2012 E. 6, in: StE 2013 B 26.21 Nr. 7). Damit kann in allen Teilen auf das zur direkten Bundessteuer Gesagte verwiesen werden (BGE 135 II 195 E. 9 S. 207 f.).
4.2. Die Beschwerde ist damit auch bezüglich der Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Zürich im Sinne der Erwägungen gutzuheissen. Im Übrigen ist auf E. 3.10 hiervor zu verweisen.
IV. Kosten- und Entschädigungsfolgen
5.
Die Steuerpflichtigen haben aufgrund ihres Unterliegens die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG), und zwar zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung (Art. 66 Abs. 5 BGG). Dem Kanton Zürich, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_95/2013 und 2C_96/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer 2006 (2C_96/2013) wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuer 2006 des Kantons Zürich (2C_95/2013) wird abgewiesen.
4.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von insgesamt Fr. 12'000.-- werden zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung den Beschwerdeführern auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. August 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher