Sachverhalt:
A. Die 1981 geborene C._ absolvierte im Jahr 2000 in der Schule X._ die Ausbildung zur Krankenpflegerin und war dadurch bei der Berner Allgemeine Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Berner) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 6. September 2000 sass C._ als Beifahrerin in einem VW Golf. Ein anderes Auto fuhr aus einem Parkplatz und prallte in die seitliche Frontpartie der Fahrerseite des VW. C._ suchte gleichentags das Spital K._ auf, wo ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) mit occipitalen Kopfschmerzen sowie vegetativer Begleitsymptomatik diagnostiziert und eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigt wurde. Die Berner erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nachdem ab 30. Oktober 2000 - bis auf einige Tage im Januar 2001 - wieder eine volle Arbeitsfähigkeit bestätigt worden war und die Heilbehandlung im Jahr 2001 beendet werden konnte, schloss die Berner den Fall formlos ab. Am 17. Oktober 2006 suchte C._ wegen gesundheitlichen Beschwerden Dr. med. E._, Innere Medizin FMH, auf. Dieser diagnostizierte chronisch rezidivierende Nacken-/Kopfschmerzen nach HWS-Distorsion im Jahr 2000. Er bestätigte eine volle Arbeitsunfähigkeit vom 17. bis 22. Oktober 2006 und veranlasste Physiotherapie (Bericht Dr. med. E._ vom 18. Januar 2007). Die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz), als Rechtsnachfolgerin der Berner, traf medizinische Abklärungen. Mit Verfügung vom 22. Oktober 2007 verneinte sie ihre Leistungspflicht für die ab Oktober 2006 behandelten Beschwerden mit der Begründung, diese stünden nicht in einem natürlichen Kausalzusammenhang zum Unfall vom 6. September 2000. Die vom Krankenversicherer der C._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache der Versicherten wies die Allianz ab, wobei sie nebst dem natürlichen auch den adäquaten Kausalzusammenhang verneinte (Einspracheentscheid vom 3. März 2008).
B. C._ erhob Beschwerde, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit Entscheid vom 9. September 2008 abwies.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt C._ beantragen, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die Allianz anzuweisen, ein poly- bzw. interdisziplinäres medizinisches Gutachten einzuholen und nach dessen Vorliegen aus dem Rückfall vom Oktober 2006 Heilbehandlung zu gewähren, Taggeld auszurichten und den Anspruch auf eine Invalidenrente sowie auf eine Integritätsentschädigung zu prüfen.
Die Allianz schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig ist, ob die Versicherte aus dem Unfall vom 6. September 2000 für die ab Oktober 2006 behandelten Beschwerden Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im Einsprache- und im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich den für einen Leistungsanspruch vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen sowie bei Rückfällen und bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden nach Unfall im Besonderen mit den sich jeweils stellenden Beweisfragen. Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die ab Oktober 2006 behandelten Beschwerden seien weder natürlich noch adäquat unfallkausal. Den adäquaten Kausalzusammenhang prüfte es nach den bei Schleudertraumen ohne organisch ausgewiesene Unfallfolgen geltenden Grundsätzen (sog. Schleudertrauma-Praxis; vgl. 134 V 109).
Die Versicherte wendet ein, das Bundesgericht verlange in BGE 134 V 109, dass in solchen Fällen zur Beurteilung der Unfallkausalität ein poly-/interdisziplinäres Gutachten eingeholt werde. Diese Expertise habe sich zur Unfallkausalität der Beschwerden zu äussern und auch die Grundlage zu bilden für die Prüfung der Kriterien, welche in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen seien. Das einzuholende Gutachten werde bestätigen, dass die vom Bundesgericht in BGE 134 V 109 neu formulierten Kriterien für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs in hinreichender Zahl erfüllt seien.
4. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt sich, die Beschwerde zunächst unter dem Gesichtspunkt der Adäquanz zu prüfen.
4.1 Rechtsprechungsgemäss kann der adäquate Kausalzusammenhang bei Gesundheitsschädigungen mit einem klaren organischen Substrat in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweis; Urteil 8C_986/2008 vom 23. März 2009 E. 2).
Im vorliegenden Fall gehen die Vorinstanz und die Parteien bei ihren Ausführungen davon aus, dass keine organisch objektiv nachweisbare Unfallfolgen vorliegen, welche die ab Oktober 2006 behandelten Beschwerden zu erklären vermöchten. Das ist nach Lage der Akten richtig. Die bildgebenden Untersuchungen ergaben keine entsprechenden Befunde und mit den von ärztlicher Seite beschriebenen Symptomen (wie Irritationszonen im Bereich der Kopfgelenke, der Liniae nuchae sowie Triggerpunkte im Bereich der Schulterblattlevatoren) ist keine organische Unfallfolge dargetan.
4.2 Bei der demnach erforderlichen Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (sog. Psycho-Praxis), während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (sog. Schleudertrauma-Praxis; zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen; Urteil 8C_986/2008 vom 23. März 2009 E. 2).
Im vorliegenden Fall hat die Adäquanzprüfung gemäss dem übereinstimmenden Verständnis der Vorinstanz und der Parteien nach der Schleudertrauma-Praxis zu erfolgen. Ob diese Auffassung zutrifft, muss dann nicht abschliessend beantwortet werden, wenn die Adäquanz auch nach der Schleudertrauma-Rechtsprechung, welche in der Regel (vgl. Urteil 8C_986/2008 vom 23. März 2009 E. 4.1) und jedenfalls hier für die versicherte Person günstiger ist als die Psycho-Praxis, zu verneinen ist. Diesfalls erübrigt sich auch von vornherein die Einholung eines medizinischen Gutachtens im von der Beschwerdeführerin beantragten Sinne. Denn diese Beweismassnahme würde der Beantwortung der Frage dienen, ob die Schleudertrauma-Praxis zur Anwendung gelangt oder nicht (vgl. BGE 134 V 109 E. 9).
4.3 Ausgangspunkt der Adäquanzprüfung bildet die Unfallschwere. Diese beurteilt sich nach dem augenfälligen Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.2 und 5.3.1, [U 2, 3 und 4/07]; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
4.3.1 Das kantonale Gericht ist davon ausgegangen, die Versicherte sei gerade am Aussteigen auf der Beifahrerseite des - demnach stehenden - VW gewesen, als das andere Auto in die Fahrerseite prallte. Es hat sodann erwogen, das Ereignis sei höchstens im mittelschweren Bereich an der Grenze zu den leichten Unfällen einzustufen. Es liess offen, ob nicht sogar ein lediglich leichter Unfall vorliege, da auch bei einem mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen die Adäquanz zu verneinen sei.
Die Versicherte wendet ein, der Unfall habe sich anders ereignet. Sie sei als Beifahrerin im fahrenden VW gesessen, als es zu der Kollision gekommen sei. Der Unfall sei auf jeden Fall im mittelschweren Bereich anzusiedeln.
4.3.2 Das kantonale Gericht hat bezüglich des Unfallhergangs auf die Unfallbeschreibung gemäss Bericht des Spital K._ vom 15. September 2000 abgestellt. Danach war die Versicherte daran, aus dem VW auszusteigen, als sich die Kollision der Fahrzeuge ereignete. Im Fragebogen vom 20. April 2001 hat die Beschwerdeführerin den Unfall anders beschrieben: Danach sass sie als - angegurtete - Beifahrerin im VW und fuhr dieser mit einer Geschwindigkeit von ca. 30 km/h, als er von dem den Parkplatz verlassenden Auto gerammt wurde. Von diesem Unfallhergang ging dann offensichtlich auch die Allianz aus. Es ist in der Tat nicht recht nachvollziehbar und auch nicht weiter dokumentiert, wie sich die Versicherte bei dem von der Vorinstanz angenommenen Geschehensablauf hätte eine HWS-Distorsion zuziehen können. Abschliessend muss dies aber nicht beurteilt werden. Denn auch bei dem von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Geschehensablauf wäre der Unfall im mittelschweren Bereich und dort an der Grenze zu den leichten Unfällen einzustufen. Selbst eine Einreihung bei den leichten Unfällen wäre nicht undenkbar. Jedenfalls liegt kein Unfall im Grenzbereich zu den schweren Unfällen oder gar ein schwerer Unfall vor.
4.4 Von den weiteren massgeblichen Kriterien (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130) müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6 S. 367 f.).
Das kantonale Gericht hat sämtliche Adäquanzkriterien verneint. Nach Auffassung der Versicherten sind die Kriterien der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung, der erheblichen Beschwerden sowie der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen erfüllt. Die restlichen der rechtsprechungsgemäss relevanten Kriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen) werden, nach Lage der Akten zu Recht, nicht geltend gemacht.
4.4.1 Die Versicherte hat sich im Zeitraum vom Unfall vom 6. September 2000 bis Ende 2001 mit Physiotherapie, medizinischer Trainingstherapie und Atlaslogie behandeln lassen. Weiter macht sie geltend, sie sei seit dem Unfall auf die regelmässige Einnahme von entzündungshemmenden Schmerzmitteln angewiesen. Zudem habe sie einen Therapeuten aufgesucht, welcher aufgrund seiner in China genossenen Ausbildung die Hals- und Rückenwirbel wieder habe in ihre ursprüngliche Position bewegen können. Diese Therapie habe ihr jeweils etwa fünf bis sechs Monate Linderung gebracht. Seit Herbst 2006 erfolgten auch wieder regelmässige physiotherapeutische Behandlungen.
Die erwähnten Behandlungen mögen unangenehm und mit Erschwernissen in der Zeitplanung verbunden sein. Eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung kann darin aber nicht gesehen werden. Praxisgemäss werden an dieses Kriterium deutlich höhere Anforderungen gestellt (vgl. etwa Urteile 8C_724/2008 vom 18. Dezember 2008 E. 4.2.2, 8C_209/2008 vom 2. Dezember 2008 E. 5.4 und 8C_144/2008 vom 8. August 2008 E. 5.4).
4.4.2 Damit der adäquate Kausalzusammenhang bejaht werden könnte, müsste von den verbleibenden zwei Kriterien mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Das ist nicht der Fall. Dies gilt zum einen für das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit, konnte doch die Versicherte die Arbeit bereits gut einen Monat nach dem Unfall wieder voll aufnehmen und danach, abgesehen von einem kurzen Unterbruch im Januar 2001 über mehrere Jahre ausüben. Selbst wenn, wie geltend gemacht wird, die zwischenzeitlich erfolgte Reduktion des Arbeitspensums auf 90 % als gesundheitsbedingt betrachtet wird und es in dem seit Dezember 2003 bestehenden Arbeitsverhältnis zu wiederholten Arbeitsausfällen gekommen ist, wäre das Kriterium jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise erfüllt. Gleiches gilt für das Kriterium der erheblichen Beschwerden. Es muss daher nicht abschliessend geprüft werden, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form erfüllt wären.
4.5 Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht in Bezug auf die ab Oktober 2006 behandelten Beschwerden zu Recht den adäquaten Kausalzusammenhang und damit die Leistungspflicht der Allianz verneint. Es kann daher offen bleiben, ob der natürliche Kausalzusammenhang - ob nun im Sinne eines Rückfalles oder nicht - gegeben wäre.
5. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese hat zudem entgegen ihrem Antrag weder für das vor- noch für das letztinstanzliche Verfahren (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG) Anspruch auf eine Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, Kammer 2 als Versicherungsgericht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. April 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz