Fatti:
A. Il 2 aprile 2009, la A._SA ha presentato al Ministero pubblico del Cantone Ticino un esposto relativo a delle asserite "situazioni problematiche", verificatesi nel periodo dal 2004 al 2008 nell'ambito dell'attività della fondazione E._, per le quali potevano essere responsabili suoi organi o collaboratori. Secondo il consiglio di amministrazione della clinica, le possibili irregolarità, suscettibili di costituire reato, riguardavano doppie fatturazioni di prestazioni medico-sanitarie per un importo di oltre fr. 320'000.--, un ammanco di farmaci oncologici superiore a fr. 430'000.-- e il versamento di emolumenti e gratifiche non autorizzati dagli organi competenti.
B. Dopo avere assunto le informazioni preliminari e rilevata l'assenza di seri indizi di colpevolezza, con decisione del 31 dicembre 2010 il Procuratore pubblico (PP) ha decretato il non luogo a procedere nei confronti dei medici B._ e C._, nonché della segretaria della fondazione E._ D._. Il PP ha in particolare escluso che nella fattispecie fossero adempiuti i reati di truffa, appropriazione indebita e falsità in documenti.
C. Contro il decreto di non luogo a procedere, la A._SA ha presentato, il 20 gennaio 2011, un'istanza di promozione dell'accusa alla Camera dei ricorsi penali del Tribunale d'appello del Cantone Ticino (CRP) che, statuendo il 22 marzo 2011, l'ha dichiarata irricevibile. Relativamente alle "doppie fatturazioni" la CRP ha ritenuto che la clinica non era direttamente danneggiata dal reato e non era quindi legittimata a presentare l'istanza di promozione dell'accusa. Per l'insieme dei reati ipotizzati ha inoltre rilevato che il gravame non adempiva i requisiti di motivazione dell'art. 186 cpv. 1 CPP/TI ed era quindi irricevibile.
D. La A._SA impugna questa sentenza con un ricorso in materia penale al Tribunale federale, chiedendo in via principale di annullarla e di promuovere l'accusa nei confronti degli interessati per i titoli di truffa, appropriazione indebita e falsità in documenti. In via subordinata chiede di annullare il giudizio impugnato e di rinviare gli atti alla CRP per una nuova decisione. La ricorrente fa valere la violazione degli art. 9 e 29 Cost., degli art. 176, 178 e 186 CPP/TI nonché degli art. 138, 146 e 251 CP.
E. La CRP si rimette al giudizio del Tribunale federale, mentre il PP chiede di respingere il gravame. Le controparti chiedono in via principale di dichiararlo irricevibile e in via subordinata di respingerlo.
La ricorrente si è espressa il 4 luglio 2011 sulle osservazioni delle controparti, ribadendo le proprie conclusioni.
Diritto:
1. 1.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio se e in che misura un ricorso è ammissibile (DTF 136 II 101 consid. 1).
1.2 La decisione impugnata conferma il decreto di non luogo a procedere nei confronti dei denunciati e pone quindi fine al procedimento penale. Si tratta pertanto di una decisione finale pronunciata in materia penale dall'autorità cantonale di ultima istanza, contro la quale è ammissibile il ricorso in materia penale (art. 78 cpv. 1, 80 cpv. 1 e 90 LTF).
1.3 Nella fattispecie, la decisione impugnata è stata emanata il 22 marzo 2011. La legittimazione a ricorrere della denunciante dev'essere esaminata sotto il profilo dell'art. 81 LTF, sulla base del suo tenore in vigore al 1° gennaio 2011 (art. 132 cpv. 1 LTF; sentenza 1B_119/2011 del 20 aprile 2011 consid. 1.2). Quale parte nella procedura, la ricorrente è in ogni caso legittimata a censurare la violazione di garanzie procedurali che il diritto le conferisce in tale veste (cfr. DTF 136 IV 29 consid. 1.9). Può quindi fare valere che il suo gravame a torto non sarebbe stato esaminato nel merito e che, sempre a torto, non le sarebbe stata riconosciuta la qualità di danneggiata. Il ricorso, tempestivo (art. 100 cpv. 1 LTF), con il quale è in sostanza contestata la mancata entrata nel merito dell'istanza di promozione dell'accusa, è quindi di principio ammissibile.
1.4 Poiché la decisione di primo grado di non far luogo al procedimento è stata emanata in applicazione del CPP/TI prima dell'entrata in vigore, il 1° gennaio 2011, del Codice di diritto processuale penale svizzero (CPP; RS 312.0), il diritto processuale cantonale previgente, su cui è anche fondata la sentenza impugnata, è determinante pure per il giudizio in questa sede (cfr. art. 453 cpv. 1 CPP; sentenze 1B_63/2011 del 24 marzo 2011 consid. 2.1 e 1B_412/2010 del 4 aprile 2011 consid. 1).
1.5 Il Tribunale federale esamina soltanto le censure sollevate e motivate. In effetti, secondo l'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il gravame dev'essere motivato in modo sufficiente, spiegando nei motivi perché l'atto impugnato viola il diritto (DTF 133 II 249 consid. 1.4.1). Le esigenze di motivazione sono inoltre accresciute, laddove la ricorrente lamenta la violazione di diritti fondamentali e di norme del diritto cantonale (art. 106 cpv. 2 LTF), nonché l'arbitrio nell'accertamento dei fatti e nella valutazione delle prove, poiché ciò equivale a sostenere che i fatti sono stati accertati in violazione dell'art. 9 Cost. e del diritto federale (DTF 136 II 304 consid. 2.4 e 2.5; 136 I 229 consid. 4.1).
Quando inoltre, come in concreto, l'ultima autorità cantonale dichiara un gravame inammissibile per ragioni formali e non procede all'esame di merito, la ricorrente deve addurre perché tale istanza avrebbe accertato in modo arbitrario l'assenza dei presupposti formali e si sarebbe quindi a torto rifiutata di procedere all'esame di merito (DTF 133 IV 119 consid. 6; 118 Ib 26 consid. 2b, 134 consid. 2). Censure che ribadiscono le argomentazioni di merito addotte in sede cantonale sono pertanto inammissibili.
2. 2.1 La ricorrente rimprovera alla CRP di avere violato gli art. 176, 178 e 186 CPP/TI, per averle negato la qualità di parte civile ritenendo ch'essa non aveva dimostrato di essere stata danneggiata direttamente dal reato. Adduce che sarebbe spettato all'autorità cantonale e non a lei medesima eseguire accertamenti in tal senso. La ricorrente sostiene che la Corte cantonale avrebbe inoltre disatteso il suo diritto di essere sentita, siccome avrebbe motivato soltanto genericamente la non entrata nel merito dell'istanza di promozione dell'accusa. Le rimprovera di non essersi confrontata con il gravame, in particolare con l'argomentazione secondo cui sarebbe inaccettabile che il PP non abbia continuato l'inchiesta nonostante le anomalie da lui riscontrate nei casi di doppia fatturazione analizzati, liquidandole come semplici errori o leggerezze. Secondo la ricorrente, la CRP avrebbe inoltre violato l'art. 146 CP, per averle addebitato di non essersi confrontata con i presupposti costitutivi del reato di truffa.
2.2 L'art. 176 cpv. 1 CPP/TI prevede che le autorità devono accertare con la medesima diligenza le circostanze a favore dell'indiziato o accusato e quelle a suo sfavore. Giusta l'art. 178 cpv. 1 CPP/TI, quando il PP conosce per denuncia, querela o altro modo esserci sospetto che sia stato commesso un reato, deve procedere subito alle occorrenti indagini di fatto per decidere se sia il caso di promuovere l'accusa. Come risulta anche dalla sistematica della legge, queste norme, di cui peraltro la ricorrente non sostanzia l'applicazione arbitraria, disciplinano il procedimento di istruzione dinanzi al PP e non entrano pertanto di principio qui in considerazione. La procedura dinanzi alla CRP in materia d'istanza di promozione dell'accusa è invece disciplinata dall'art. 186 CPP/TI in relazione con gli art. 284 segg. CPP/TI. L'art. 186 cpv. 1 CPP/TI prevede che la parte civile può, entro dieci giorni dalla ricevuta del decreto di non luogo a procedere, presentare alla CRP istanza motivata di promozione dell'accusa. Se l'istanza è accolta, l'istruzione del processo ha luogo per opera di altro PP (cpv. 3). Quando per il chiarimento della decisione sulla promozione dell'accusa occorrono altre prove, la CRP ordina al PP la completazione delle informazioni preliminari (cpv. 4).
2.3 In concreto, per quanto concerne la problematica delle sospette doppie fatturazioni, la CRP ha innanzitutto negato alla ricorrente la qualità di parte civile per la mancata dimostrazione di un pregiudizio diretto. La Corte cantonale ha comunque pure ritenuto che l'istanza non rispettava i requisiti dell'art. 186 CPP/TI, esposti al considerando 2 del giudizio impugnato. La ricorrente sostiene che la CRP avrebbe motivato soltanto genericamente il mancato rispetto delle esigenze formali, omettendo di esaminare le precise argomentazioni sollevate nel gravame.
2.3.1 Il diritto di essere sentito, sancito dall'art. 29 cpv. 2 Cost., non pone esigenze troppo severe all'obbligo di motivazione. L'autorità giudicante è infatti tenuta ad esprimersi unicamente sulle circostanze significative, atte a influire in qualche maniera sul giudizio, e non su ogni singola asserzione delle parti. La garanzia ha essenzialmente lo scopo di permettere, da un lato, agli interessati di afferrare le ragioni che stanno alla base della decisione e di impugnarla con cognizione di causa e, dall'altro, all'autorità di ricorso di esaminare la fondatezza della decisione medesima (DTF 136 I 229 consid. 5.2; 134 I 83 consid. 4.1 e rinvii).
2.3.2 La decisione impugnata adempie tali esigenze, poiché i giudici cantonali hanno spiegato le ragioni per cui non sono entrati nel merito del gravame. Hanno infatti esposto la giurisprudenza della CRP relativa alle condizioni di ricevibilità dell'istanza di promozione dell'accusa in applicazione dell'art. 186 CPP/TI. Hanno quindi rilevato che la ricorrente si limitava a contestare la conclusione del PP, senza aggiungere nulla di rilevante per corroborare le accuse. La Corte cantonale ha addotto che, esponendo solo una sua parziale interpretazione dei fatti, la ricorrente non fondava seri indizi di colpevolezza né si confrontava compiutamente con i presupposti costitutivi del reato ipotizzato, conformemente alle rigorose esigenze di motivazione richieste.
D'altra parte, nel decreto di non luogo a procedere, il PP ha esaminato dettagliatamente i sospetti casi di doppia fatturazione e, pur ravvisando, per importi limitati, errori evitabili, riconducibili essenzialmente a una mancanza di coordinamento nelle fatturazioni tra la ricorrente e la fondazione E._, ha puntualmente spiegato le ragioni per cui non ha ritenuto realizzati i presupposti costitutivi del reato di truffa. Il PP ha segnatamente concluso, che non risultavano situazioni intenzionalmente concertate al fine di emanare fatture in esubero per ingannare astutamente terzi allo scopo di procacciarsi un indebito profitto. Come rilevato in modo scevro di arbitrio dalla CRP, nell'istanza di promozione dell'accusa la ricorrente si è però limitata a contestare genericamente le conclusioni del PP, senza sostanziare, conformemente alla giurisprudenza della Corte cantonale relativa all'art. 186 CPP/TI, l'esistenza di seri indizi di colpevolezza emergenti dagli atti e senza porre concretamente in relazione tali indizi con gli elementi oggettivi e soggettivi costitutivi di uno specifico reato (cfr., al riguardo, MAURO MINI, L'istanza di promozione dell'accusa: art. 186 CPP, istruzioni per l'uso, in: RtiD I-2004 pag. 249 segg., in particolare pag. 262 segg.).
2.3.3 In tali circostanze, non occorre esaminare se a ragione la CRP ha anche negato alla ricorrente la qualità di parte civile relativamente alle sospette doppie fatturazioni.
3. 3.1 La ricorrente lamenta una carente motivazione del giudizio impugnato anche per quanto concerne i considerandi relativi all'ammanco di farmaci oncologici e al versamento di gratifiche. A suo dire, non si comprenderebbe se la precedente istanza sia entrata o meno nel merito dell'istanza di promozione dell'accusa. Le rimprovera inoltre di avere violato gli art. 138 e 251 CP, per avere ritenuto che il gravame non si confrontava con gli elementi costitutivi dei rispettivi reati.
3.2 Anche sui sospetti ammanchi di farmaci e sul versamento di gratifiche alla direttrice della clinica, la CRP non è entrata nel merito del gravame, spiegandone le ragioni. Il giudizio al riguardo risulta sufficientemente motivato, siccome espone chiaramente le carenze riscontrate sotto il profilo delle condizioni di ricevibilità dell'istanza di promozione dell'accusa, in particolare per quanto concerne l'assenza di un confronto con i presupposti costitutivi dei pretesi reati di appropriazione indebita (art. 138 CP) e di falsità in documenti (art. 251 CP). Per il resto, la ricorrente non si confronta con i considerandi della sentenza impugnata, spiegando con una motivazione conforme agli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF per quali ragioni la Corte cantonale avrebbe negato in modo manifestamente insostenibile l'adempimento delle condizioni di ricevibilità dell'art. 186 CPP/TI.
4. Ne segue che il ricorso deve essere respinto nella misura della sua ammissibilità. Le spese seguono la soccombenza e sono quindi poste a carico della ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF), che rifonderà alle controparti un'indennità per ripetibili della sede federale, tenendo conto del dispendio dei rispettivi patrocinatori (art. 68 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico della ricorrente, che rifonderà ad B._ un'indennità di fr. 1'500.--, ad C._ un'indennità di fr. 1'500.-- e a D._ un'indennità di fr. 600.-- a titolo di ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti, al Ministero pubblico e alla Camera dei ricorsi penali del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.