Fatti:
A. Il 27 luglio 1987 A._ ha aperto presso la succursale luganese della Banca C._ la relazione xxx X._, sottoscrivendo il relativo plico di documenti, tra cui le condizioni generali e la dichiarazione di trattenere la posta "fermo banca". Tramite il vicedirettore e poi direttore D._ la banca ha eseguito operazioni fiduciarie sul mercato monetario e sui metalli preziosi nonché investimenti in obbligazioni e azioni. Il 23 gennaio 2002 il cliente, venuto a conoscenza che i suoi investimenti si erano rivelati deficitari, ha chiuso la relazione.
B. Il 10 settembre 2003 A._ ha convenuto il B._ - che nel frattempo aveva assorbito la Banca C._ - davanti alla Pretura del Distretto di Lugano chiedendo il pagamento di fr. 2'083'429.-- più interessi, somma poi ridotta in sede di conclusioni a fr. 1'804'520.40. Rimproverava alla banca di avergli causato perdite per tale importo modificando unilateralmente a partire dal 1999 la strategia d'investimento concordata a suo tempo, in particolare acquistando, non sorvegliando né vendendo tempestivamente 8 titoli "spazzatura", altamente speculativi, non quotati nelle principali borse, privi di rating o con un rating insufficiente, che non avrebbero dovuto trovare spazio nel suo portafoglio.
Con sentenza del 9 maggio 2008 il Pretore ha accolto l'azione per EUR 934'520.-- e US $ 99'317.-- più interessi, riconoscendo alla convenuta la facoltà di pagare queste somme in franchi svizzeri al tasso di cambio del 29 gennaio 2002.
C. Adita dal B._, il 24 agosto 2009 la II Camera civile del Tribunale d'appello ticinese ha riformato parzialmente la decisione del Pretore, riducendo la condanna di pagamento a US $ 47'546.-- oltre interessi, o all'importo corrispondente in franchi svizzeri.
D. A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 25 settembre 2009. Chiede che la sentenza cantonale sia riformata e che la convenuta sia condannata a pagargli EUR 839'903.-- e US $ 100'099.-- oltre interessi, con facoltà di pagare questo importo in franchi svizzeri al tasso di cambio vigente il 28 gennaio 2002.
Nella risposta del 12 novembre 2009 il B._ propone di respingere il gravame nella misura in cui fosse ammissibile. L'autorità cantonale non si è pronunciata.
Diritto:
1. Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con pieno potere la propria competenza e l'ammissibilità del rimedio (art. 29 cpv. 1 LTF; DTF 135 III 212 consid. 1 pag. 216 con rinvii).
1.1 Interposto tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF) dalla parte parzialmente soccombente in sede cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF) contro una decisione finale (art. 90 LTF) pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 cpv. 1 LTF) in una causa civile di carattere pecuniario il cui valore litigioso supera fr. 30'000.-- (art. 74 cpv. 1 lett. b LTF), il gravame è ricevibile, perlomeno sotto questo profilo.
1.2 Con il ricorso in materia civile può essere fatta valere la violazione del diritto federale (art. 95 lett. a LTF), che include anche i diritti costituzionali dei cittadini (DTF 133 III 462 consid. 2.3 pag. 466). Le censure sollevate nell'impugnativa, che riguardano l'applicazione del diritto privato federale e del diritto costituzionale, sono quindi di per sé proponibili. Considerato il suo contenuto è però opportuno rammentare le esigenze di motivazione poste dalla legge e dalla giurisprudenza.
1.2.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio l'applicazione del diritto federale (art. 106 cpv. 1 LTF). Nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, la cui mancata ottemperanza conduce all'inammissibilità del gravame (art. 108 cpv. 1 lett. b LTF), esso considera di regola solo le critiche sollevate nell'impugnativa (DTF 134 III 102 consid. 1.1).
Le esigenze di motivazione sono più rigorose quando è fatta valere la violazione di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale. II Tribunale federale vaglia queste censure solo se la parte ricorrente le ha debitamente sollevate e motivate, come prescritto dall'art. 106 cpv. 2 LTF, che pone esigenze analoghe a quelle che l'art. 90 cpv. 1 lett. b OG istituiva per il ricorso di diritto pubblico per violazione dei diritti costituzionali (DTF 133 III 638 consid. 2). Ne discende che l'allegato ricorsuale deve indicare chiaramente i diritti costituzionali che si pretendono violati e precisare altresì in che consista tale violazione (DTF 134 II 244 consid. 2.2). In particolare, quando è fatta valere la violazione del divieto dell'arbitrio, non ci si può limitare a criticare la decisione impugnata come in una procedura d'appello, nell'ambito della quale l'autorità di ricorso gode di cognizione libera, opponendo semplicemente la propria opinione a quella dell'autorità cantonale, ma occorre dimostrare, attraverso un'argomentazione chiara e dettagliata, che la decisione impugnata - nella motivazione e nell'esito - è manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesiva di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (DTF 132 III 209 consid. 2.1 con rinvii).
1.2.2 In linea di massima il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); può scostarsene o completarlo solo se è stato effettuato in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF).
Tocca alla parte che propone una fattispecie diversa da quella contenuta nella sentenza querelata il compito di esporre in maniera circostanziata il motivo che la induce a ritenere adempiute le predette condizioni (art. 97 cpv. 1 LTF; DTF 133 IV 286 consid. 6.2). Se intende completare l'accertamento dei fatti per ottenere una corretta applicazione del diritto, essa deve indicare segnatamente di aver già allegato le circostanze di fatto nel gravame cantonale, nei modi e nei tempi previsti dalle disposizioni procedurali applicabili, e di avere fornito i relativi mezzi di prova; deve inoltre dimostrare che la decisione finale sarebbe stata diversa se i fatti fossero stati accertati conformemente al diritto (Messaggio concernente la revisione totale dell'organizzazione giudiziaria federale del 28 febbraio 2001, FF 2001 pag. 3894 e 3899). Se rimprovera invece all'autorità cantonale un accertamento dei fatti manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (DTF 133 Il 249 consid. 1.2.2 pag. 252), deve motivare la censura conformemente alle esigenze poste dall'art. 106 cpv. 2 LTF (cfr. quanto appena esposto in coda al consid. 1.2.1), tenendo ben presente che nell'ambito della valutazione delle prove e dell'accertamento dei fatti il giudice dispone di un ampio margine di apprezzamento. Per costante giurisprudenza egli incorre nell'arbitrio solo se ignora manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 129 I 8 consid. 2.1).
1.2.3 Nuovi fatti e nuovi mezzi di prova possono essere addotti dinanzi al Tribunale federale soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore (art. 99 cpv. 1 LTF; cfr. DTF 133 III 393 consid. 3), mentre la presentazione in sede federale di un nuovo argomento giuridico non è di per sé esclusa. Tale facoltà trova però il suo limite nel vincolo del Tribunale federale ai fatti accertati dall'autorità cantonale; una nuova argomentazione giuridica è pertanto ammessa solamente se si basa su fatti regolarmente accertati dall'autorità cantonale (DTF 134 III 643 consid. 5.3.2 pag. 641).
1.3 L'atto di ricorso è lungo e ripetitivo, tanto da rendere a tratti disagevole discernere le singole censure e, soprattutto, distinguere gli argomenti giuridici dalle critiche ai fatti. Va anticipato che quest'ultime, laddove sono individuabili, non rispettano i principi appena rammentati e sono pertanto inammissibili. In particolare il ricorrente coglie innumerevoli volte fatti a lui favorevoli dalla perizia giudiziaria, scordando tuttavia che non basta contrapporre la propria valutazione delle prove ai fatti accertati; occorre dimostrare un accertamento arbitrario, non solo inesatto o opinabile.
2. Sulla qualificazione del contratto non v'è contestazione. Il Tribunale d'appello - seguendo il Pretore - ha stabilito che le parti erano vincolate da un contratto non scritto di gestione patrimoniale nella forma del "faccia lei", ovvero quel sistema operativo per il quale il cliente si limita a dare delle indicazioni a grandi linee sulla strategia di investimento e lascia al consulente della banca la scelta delle singole operazioni. Esso ha anche accertato che la strategia concordata è stata modificata successivamente dalle parti a favore di una politica d'investimento più aggressiva.
Il contratto di gestione patrimoniale sottostà alle regole del mandato (DTF 124 III 155 consid. 2b, 115 II 62 consid. 1).
3. I giudici ticinesi si sono soffermati in primo luogo sulla ripartizione dell'onere della prova. Hanno osservato che è di principio il cliente a dovere provare la violazione contrattuale da parte del gestore, non quest'ultimo a dovere provare di avere adempiuto correttamente il contratto, a meno che non si sia in presenza di un caso di vera e propria inadempienza della banca, e che tale soluzione s'impone a maggior ragione nel caso in cui il cliente abbia inizialmente accettato senza riserve la prestazione della banca oppure non l'abbia contestata tempestivamente in conformità con le relative disposizioni del contratto. Essi hanno soggiunto che, siccome la causa ha per oggetto un'azione di risarcimento del danno, incombe sul ricorrente l'onere di provare la cattiva esecuzione del contratto; tanto più ch'egli, pur essendo confrontato con una clausola di accettazione tacita, aveva effettivamente accettato senza riserve le operazioni dell'opponente.
3. I giudici ticinesi si sono soffermati in primo luogo sulla ripartizione dell'onere della prova. Hanno osservato che è di principio il cliente a dovere provare la violazione contrattuale da parte del gestore, non quest'ultimo a dovere provare di avere adempiuto correttamente il contratto, a meno che non si sia in presenza di un caso di vera e propria inadempienza della banca, e che tale soluzione s'impone a maggior ragione nel caso in cui il cliente abbia inizialmente accettato senza riserve la prestazione della banca oppure non l'abbia contestata tempestivamente in conformità con le relative disposizioni del contratto. Essi hanno soggiunto che, siccome la causa ha per oggetto un'azione di risarcimento del danno, incombe sul ricorrente l'onere di provare la cattiva esecuzione del contratto; tanto più ch'egli, pur essendo confrontato con una clausola di accettazione tacita, aveva effettivamente accettato senza riserve le operazioni dell'opponente.
3.1 Il ricorrente definisce questa motivazione arbitraria, contraddittoria, laddove pone a suo carico l'onere probatorio, come conseguenza dell'accettazione senza riserve delle operazioni del gestore, sebbene la Corte cantonale avesse nel contempo escluso che vi potesse essere stata accettazione, non essendo le violazioni contrattuali per lui riconoscibili. Egli ritiene inoltre che il Tribunale di appello abbia violato l'art. 8 CC, in relazione con l'art. 400 CO, anche nel pretendere da lui la prova di fatti negativi, esonerando la banca dalla prova di avere adempiuto correttamente il mandato.
3.2 Per l'art. 8 CC, chi vuole dedurre il suo diritto da una circostanza di fatto da lui asserita deve fornirne la prova. La norma ripartisce l'onere della prova, nel senso che pone le conseguenze dell'assenza di prova di un fatto a carico della parte che ne ha l'onere (DTF 130 III 321 consid. 3.1). Essa si applica di principio anche quando la prova porta su fatti negativi, perché l'obbligo di collaborazione dell'altra parte, dedotto dal precetto della buona fede, non tocca e non sovverte l'onere della prova (DTF 119 II 305 consid. 1b/aa pag. 306).
L'onere della prova è determinato dal diritto materiale che regge i singoli rapporti giuridici. Di regola chi fa valere in giudizio un diritto deve provare i fatti che ne costituiscono il fondamento e chi lo contrasta deve a sua volta provare i fatti che fondano le sue eccezioni. In particolare la parte che fa valere una pretesa contrattuale deve provare che l'obbligazione esiste, mentre la parte che eccepisce la decadenza della pretesa per avere adempiuto tale obbligo deve provare di averlo fatto. Nelle azioni di risarcimento per inesecuzione, invece, la violazione del contratto deve di principio essere provata da colui che agisce. Infine, l'onere probatorio si capovolge se il creditore accetta senza riserve la prestazione; in questo caso tocca a lui provare che l'adempimento è mancato o è difettoso (DTF 128 III 271 consid. 2a/aa pag. 274).
Alla luce di questa giurisprudenza l'operato del Tribunale di appello ticinese è corretto. D'un canto l'onere del ricorrente di provare la violazione del contratto da parte dell'opponente può essere fondato sulla natura risarcitoria dell'azione; dall'altro, anche volendo seguire la tesi per la quale è di principio il gestore patrimoniale a dovere provare l'adempimento corretto del contratto (cfr. Hans Peter Walter, Prozessuale Aspekte beim Streit zwischen Kunden und Vermögensverwalter, RDS 2008 I, pagg. 119-121), l'assenza di contestazioni delle operazioni litigiose, accertata nella sentenza impugnata, ha comunque trasferito sul ricorrente l'onere della prova. E contrariamente a quanto egli asserisce, non si tratta di provare fatti negativi: la sentenza impugnata gli impone di provare positivamente che l'opponente ha violato i suoi obblighi contrattuali.
3.3 La Corte cantonale ha in un certo senso anticipato l'obiezione del ricorrente, secondo cui è contraddittorio addossargli l'onere della prova per assenza di contestazioni dopo avere escluso ch'egli avesse ratificato per atti concludenti l'operato della banca: i giudici ticinesi hanno infatti osservato, di passaggio, che l'accettazione che ha condotto al sovvertimento dell'onere probatorio "non ha nulla a che vedere con la questione della tacita ratifica". È opportuno approfondire questo aspetto, tenendo presente che nel caso in esame è pacifico che le parti fossero vincolate da "una clausola di tacita accettazione delle operazioni non contestate dal cliente entro un mese".
3.3.1 La giurisprudenza ammette la validità di patti simili, i quali fanno sì che il cliente che non muove contestazioni entro il termine stabilito riconosca l'operazione effettuata dalla banca senza istruzioni (sentenza 4A_488/2008 del 15 gennaio 2009 consid. 5.1 e rif.). Come ha precisato la Corte ticinese, ciò presuppone tuttavia che il mandante sia informato in modo adeguato sul fatto che il mandatario non abbia seguito le sue istruzioni, perché il cliente inesperto deve poter confidare nel rispetto da parte dello specialista della strategia d'investimento concordata, senza doversi assumere il rischio di analizzare le singole operazioni (sentenza 4C.18/2004 del 3 dicembre 2004 consid. 1.8). Con l'accettazione tacita della prestazione il cliente perde il diritto di agire in risarcimento; gli rimane tutt'al più il richiamo all'abuso di diritto oppure la possibilità d'invalidare per vizio della volontà la ratifica espressa tacitamente (sentenza 4A_262/2008 del 23 settembre 2008 consid. 2.2 e 2.3 in fine; Hans Peter Walter, Beweislastverteilung bei Leistungsstörungen, in: Koller [a cura di], Leistungsstörungen, 2008, pagg. 95-96).
3.3.2 Altra cosa è, nonostante la similitudine dei termini, l'accettazione senza riserve da considerare per la ripartizione dell'onere della prova secondo le regole illustrate poc'anzi. Essa consiste nel comportamento con il quale il creditore lascia in buona fede desumere che considera la prestazione in linea di massima corretta (WALTER, Beweislastverteilung bei Leistungsstörungen, op. cit., pag. 77; nel diritto germanico si considera che questa forma di accettazione non contiene nessun elemento negoziale, è un comportamento esclusivamente fattuale: cfr. STAUDINGER/OLZEN, Kommentar zum Bürgerlichen Gesetzbuch, aggiornamento del luglio 2006, n. 13 ad § 363 BGB). Occorre perciò precisare i termini, come propone WALTER (Beweislastverteilung bei Leistungsstörungen, op. cit., pag. 95): l'approvazione (Genehmigung) della prestazione opera sul piano sostanziale, comporta ratifica e libera il debitore da ogni responsabilità, mentre l'accettazione senza riserve (vorbehaltlose Annahme) ha il solo effetto di ribaltare l'onere della prova circa la corrispondenza della prestazione con i patti. La portata della DTF 128 III 271 consid. 2a/aa pag. 274 può essere precisata in questo senso.
3.4 A mente del ricorrente le azioni che non avrebbero dovuto essere acquistate dalla banca sono state comprate tra il 14 luglio e il 9 novembre 2000 e tutta una serie di titoli avrebbero dovuto essere venduti tra l'agosto 1998 e l'aprile 2001. Il Tribunale di appello ha accertato ch'egli aveva preso conoscenza degli estratti bancari, personalmente o tramite il nipote E._, sia in occasione delle visite in banca dell'11 gennaio 1999, 17 maggio 1999 e 25 agosto 1999, sia al momento della chiusura della relazione avvenuta il 23 gennaio 2002, e ancora nel marzo 2002 quando la documentazione bancaria degli ultimi 5 anni era stata messa a disposizione della sua fiduciaria. Il cliente, nonostante l'accordo di trattenere la posta "fermo banca", aveva pertanto avuto numerose opportunità per prendere conoscenza degli acquisti di titoli e delle circostanze che avrebbero dovuto indurre la banca a venderne. Per muovere le prime contestazioni egli ha invece atteso - sempre secondo gli accertamenti della sentenza impugnata - la petizione del 10 settembre 2003.
Questi fatti attestano che il cliente ha accettato senza riserve, nel senso precisato sopra, le operazioni litigiose e che di conseguenza l'addossamento dell'onere della prova operato dalla Corte ticinese rispetta il diritto federale.
4. Il Tribunale di appello ha rimproverato al ricorrente di avere addotto per la prima volta in sede di conclusioni che l'acquisto di alcuni titoli e il mantenimento in portafoglio di altri erano in contrasto con le raccomandazioni degli analisti e ha di conseguenza dichiarato tali allegazioni irricevibili in forza dell'art. 78 CPC/TI.
Il ricorrente ritiene che queste considerazioni del Tribunale di appello violino gli art. 8 CC nonché 9 e 29 Cost. Evoca le regole giurisprudenziali sul rapporto tra diritto federale e cantonale in questo contesto, menziona gli art. 78, 86, 183 e 184 CPC/TI, fa riferimento alla nozione di arbitrio nell'accertamento dei fatti, ricorda i "passaggi chiave" dei fatti ch'egli aveva addotto negli scritti preliminari e sostiene che dalle espressioni "titoli spazzatura", "titoli privi di rating" o "titoli altamente speculativi" utilizzate a più riprese doveva "indiscutibilmente essere estrapolato il concetto di titoli non conformi alle raccomandazioni degli analisti, gli uni strettamente dipendenti dagli altri".
4.1 A prescindere dai numerosi risvolti dell'argomentazione ricorsuale e dalle diverse norme menzionate, la sola questione che si pone è se il ricorrente, davanti al Pretore, avesse addotto in modo sufficiente che la violazione del contratto consisteva nell'avere la banca acquistato o conservato titoli nonostante il parere contrario degli analisti.
Le sue considerazioni giuridiche sono di per sé giuste: l'aspetto sostanziale è retto dal diritto federale, mentre il diritto cantonale stabilisce la forma e il momento in cui le allegazioni devono avvenire (DTF 127 III 365 consid. 2b pag. 368, DTF 108 II 337 consid. 2c pag. 340). Le esigenze poste all'allegazione dipendono sia dagli elementi costitutivi della fattispecie regolata dalla norma materiale in questione, sia dal comportamento processuale della controparte. Le allegazioni di fatto devono in ogni caso essere formulate in modo tale da permettere all'altra parte di contestarle in maniera dettagliata o di proporre controprove (DTF 127 III 365 consid. 2b pag. 368).
4.2 Tra i passaggi che il ricorrente cita, solo nel primo, contenuto nella petizione, egli aveva asserito che "investimenti nel settore finanziario erano comunque sconsigliati dagli analisti", senza peraltro spiegare cosa intendesse per "settore finanziario". Negli altri, estrapolati dalla replica, egli si premurava invece di precisare che il parere degli analisti riguardo ai vari titoli acquistati dall'opponente era di "nessuna importanza" se positivo, oppure asseriva che per due titoli la controparte "si guarda bene dal fornire il rating", senza altre spiegazioni. La deduzione che s'impone quindi dall'insieme dei suoi scritti è che, anche se si volesse attribuire rilievo all'allegazione di petizione citata poc'anzi, essa è comunque stata smentita in modo chiaro dalle successive allegazioni di replica, nelle quali il ricorrente, come detto, destituiva d'importanza il parere degli analisti o comunque non lo poneva a fondamento delle sue tesi. Un comportamento processuale simile non per-metteva affatto di capire ch'egli considerasse determinante - quale elemento della violazione contrattuale - il mancato rispetto del parere degli analisti.
Le espressioni usate dall'attore per definire i titoli non potevano sovvertire una posizione processuale ch'egli aveva manifestato in modo evidente, di fronte alla quale non gli giova neppure disquisire sulla portata, a suo dire limitata, dei passaggi che i giudici ticinesi hanno interpretato come rinuncia a prevalersi delle valutazioni degli analisti.
4.3 Pertanto, sebbene il rimprovero categorico di avere addotto l'argomento degli analisti per la prima volta con il memoriale conclusivo appaia un poco affrettato, visto il tenore della petizione, per i motivi esposti, sotto questo profilo il Tribunale di appello non ha violato il diritto federale.
5. Il ricorrente rimprovera ai giudici ticinesi di avere violato il diritto privato federale negando la responsabilità della banca nonostante la commissione di gravi negligenze.
5.1 Il mandatario si obbliga a compiere gli affari affidatigli a norma del contratto (art. 394 cpv. 1 CO) e risponde verso il mandatario dell'esecuzione fedele e diligente (art. 398 cpv. 2 CO). La misura della diligenza è valutata secondo criteri oggettivi e va raffrontata con il comportamento che terrebbe, nelle medesime circostanze, un mandatario coscienzioso. Esigenze più severe sono richieste se egli agisce ed è remunerato a titolo professionale. Occorre comunque tenere in considerazione sia il tipo di mandato, sia le circostanze specifiche del singolo caso e, laddove ve ne fossero, le regole comportamentali ammesse nei vari campi professionali (DTF 115 II 62 consid. 3a e rif.; cfr. 127 III 359 consid. 1; WEBER, Commentario basilese, n. 27 ad art. 398 CO). Il Tribunale di appello ha sintetizzato - correttamente - queste nozioni dicendo che viola il contratto il gestore che esegue un'operazione in contrasto con ciò che avrebbe ragionevolmente e oggettivamente fatto un professionista.
Il dovere di diligenza del mandatario implica anche l'obbligo d'informare regolarmente e di consigliare il cliente sulla scelta delle misure adeguate, omettendo di compiere quelle che potrebbero danneggiarlo. In quanto esperto del ramo egli deve informare, anche senza esserne richiesto, su tutto ciò che è importante per il mandante: l'adeguatezza del mandato e delle istruzioni, i costi, le possibilità di successo, i rischi (DTF 115 II 62 consid. 3a).
5.2 Il ricorrente ravvisa motivo di responsabilità nell'acquisto di determinati titoli di carattere altamente speculativo, privi di quotazioni e rating, in contrasto con le raccomandazioni degli analisti e con rischi inaccettabili, in alcuni casi anche a causa dell'eccessiva concentrazione.
5.2.1 La Corte cantonale ha dichiarato inammissibile la censura nella misura in cui il ricorrente la riferisce al parere degli analisti. Essa ha inoltre sovvertito il giudizio del Pretore quanto all'onere probatorio, stabilendo che toccava al ricorrente provare la violazione del contratto da parte del gestore, ovvero l'irragionevolezza degli investimenti; prova che a mente sua, avuto riguardo ai riscontri della perizia giudiziaria, il ricorrente non ha saputo fornire per i titoli Vertical Net, Terra Networks e Revexus CS.
5.2.2 Orbene, passando in rassegna i diversi titoli il ricorrente d'un canto insiste ancora e ripetutamente su argomenti della cui infondatezza o inammissibilità s'è già detto: l'onere della prova posto ingiustamente a suo carico, l'obbligo di allegazione al quale afferma di avere fatto fronte, il parere degli analisti; dall'altro richiama le valutazioni del Pretore a lui favorevoli e si diffonde abbondantemente sull'assenza di quotazioni o di rating che avrebbero dovuto sconsigliare le operazioni e sulla mancata informazione data al cliente a proposito dei rischi degli investimenti. Sembra tuttavia sfuggirgli l'aspetto essenziale, ossia che toccava a lui provare la violazione del contratto e che in questa sede gli incombe pertanto di dimostrare che gli accertamenti di fatto sulla base dei quali il Tribunale di appello ha negato tale presupposto - di principio vincolanti - sono arbitrari. Non vi riesce; in particolare non dimostra che i giudici ticinesi abbiano ignorato o travisato manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova. I passaggi della perizia che menziona a suffragio delle sue tesi attestano tutt'al più la difficoltà di valutazione, rispettivamente la mancanza di quotazioni di alcuni titoli, oppure l'opinabilità degli investimenti, non invece che gli acquisti fossero irragionevoli (per riprendere l'espressione usata nella sentenza impugnata). In sostanza egli sostituisce le proprie valutazioni a quelle dei giudici ticinesi, senza dimostrare la manifesta erroneità di quest'ultime.
Aggiungasi che le argomentazioni del ricorrente sono del tutto avulse dal contenuto degli accordi contrattuali, che sono il primo elemento da considerare nella valutazione della diligenza dovuta dal mandatario. E si ricordi, a questo proposito, che la sentenza impugnata accerta che a un certo momento le parti avevano concordato una "politica d'investimento più aggressiva".
5.2.3 Per le azioni Terra Networks il ricorrente parrebbe asserire che, trattandosi di titoli della New Economy, la banca avrebbe tollerato una concentrazione eccessiva rispetto a quanto avrebbe imposto una ripartizione ragionevole del rischio. Riferisce però egli stesso che il perito ha stabilito che questo investimento si situava "nei limiti superiori", non al di là, ed era pertanto "opinabile". Il giudizio d'appello, che rifacendosi a tale valutazione ha escluso l'eccessiva concentrazione, non può quindi essere arbitrario.
5.2.4 Quanto al derivato Revexus il ricorrente afferma con ragione che il Tribunale di appello ha sbagliato osservando che il Pretore non aveva considerato provato sulla base di quali criteri la convenuta avesse acquistato il prodotto: il primo giudice aveva in effetti riferito l'assenza di prova solo all'eccessiva concentrazione del capitale investito (6.4 %) e posto a carico della convenuta soltanto la porzione eccedente (1.4 %) la soglia giudicata ammissibile dal perito (5 %). Il ricorrente dà però atto che anche la Corte d'appello ha riconosciuto che la banca ha violato l'obbligo di diversificazione nella misura dell'1.4 %. Il predetto errore di lettura non ha pertanto avuto conseguenze concrete (del danno si dirà).
5.3 Il ricorrente rimprovera poi alla convenuta un "immobilismo colpevole", ossia un continuo difetto di sorveglianza del portafoglio, nonché la mancata vendita dei titoli malgrado perdite di valore che superavano il 20 %.
5.3.1 Il Tribunale federale ha già avuto modo di rilevare che una soglia generale in caso di calo dei corsi non può essere definita, giacché le misure da adottare sono determinate in primo luogo dalle pattuizioni delle parti (sentenza 4C.158/2006 del 10 novembre 2006, consid. 3.2). La Corte cantonale ha accertato in modo vincolante, riferendosi alla perizia giudiziaria, che il criterio proposto dal ricorrente "non ha trovato alcun riscontro probatorio né nel principio né nel quantum".
5.3.2 Il Tribunale di appello ha inoltre accertato che il ricorrente non ha addotto né provato altre ragioni che avrebbero imposto alla banca di vendere le obbligazioni 7 1⁄4 % Owens Corn, 11 % Argentina, nonché le azioni Cybercash, Seat Pagine Gialle, così come il derivato Revexus CS.
5.3.3 Nell'esame dei singoli titoli il ricorrente, oltre a riprendere nuovamente il tema dell'onere della prova e a insistere sul fatto che toccava all'opponente spiegare in causa la propria strategia d'investimento, espone a ripetizione ampi stralci dei propri scritti introduttivi nei quali rimproverava alla banca di non avere sorvegliato l'andamento del portafoglio e di non avere venduto i titoli: espone però liberamente il suo punto di vista mettendo in rilievo i dubbi espressi a diverse riprese dal perito e, per finire, allorquando si propone di specificare la negligenza del gestore, torna sempre al criterio della perdita di valore del 20 %, il quale, come detto, da solo non è tuttavia determinante. Trattando la valutazione delle obbligazioni osserva, in modo altrettanto appellatorio, che occorreva considerare soltanto il rating, non le raccomandazioni degli analisti in uso per le azioni.
Per di più anche in quest'ambito egli omette di considerare il contenuto del contratto (cfr. supra consid. 5.2.2).
5.3.4 È opportuno soffermarsi sulle censure particolari concernenti la "quota rientrante nel 5 % del Revexus B._". Il ricorrente sostiene in primo luogo che il Tribunale di appello non si è pronunciato sulla mancata vendita di tale quota del derivato, per cui le conclusioni del Pretore, "non essendo state contestate", andrebbero confermate. Ritiene poi arbitrario ammettere una violazione contrattuale in relazione con il rischio eccessivo di concentrazione e negarla nel contempo per la mancata sorveglianza e vendita del prodotto.
La sentenza impugnata titola la posizione "quota eccedente il 5 % del derivato Revexus CS". È assai probabile che questa formulazione sia il frutto di una svista: essendo già stata ammessa la responsabilità della convenuta per l'acquisto della porzione dell'1.4 % dell'investimento giudicata eccessiva (cfr. consid. 5.2.4), l'esame dell'eventuale mancata vendita poteva logicamente riguardare soltanto la porzione residua del 5 %. Se così fosse, varrebbero le considerazioni generali esposte sopra (consid. 5.3.1-5.3.3). Se invece i giudici d'appello avessero effettivamente omesso di esaminare questa componente delle pretese del ricorrente, la conseguenza non sarebbe affatto la conferma automatica della sentenza del Pretore (nemmeno lui ha peraltro considerato la suddetta porzione residua dell'investimento); vi potrebbe tutt'al più essere spazio per una violazione del diritto di essere sentiti, a condizione che la censura, contrariamente a quanto fa il ricorrente, sia proposta nelle dovute forme (consid. 1.2.1).
Notisi infine che non è dato di comprendere - né il ricorrente lo spiega - perché sarebbe insostenibile riconoscere d'un canto la violazione dell'obbligo di diversificazione per la quota dell'investimento che supera il rischio ritenuto ragionevole e costatare dall'altro che non è stata provata la violazione del contratto da parte della banca per non avere venduto la porzione rimanente.
5.4 Sia nelle parti generali dell'atto di ricorso, sia nell'esame dei singoli acquisti ritenuti errati e delle vendite mancate il ricorrente sostiene che la convenuta ha violato il proprio dovere d'informazione, omettendo di rendere attento il cliente sull'andamento dei mercati, sulla consistenza del patrimonio, sulle perdite di valore e, in definitiva, non avendolo interpellato sui rischi accresciuti che stava correndo. Egli rimprovera al Tribunale di appello di avere completamente ignorato l'argomento, commettendo diniego di giustizia formale.
La censura è inammissibile. A prescindere dalla questione di sapere se l'asserita omissione possa comportare diniego formale di giustizia o costituisca piuttosto violazione del diritto di essere sentiti per motivazione insufficiente, il ricorrente spiega di avere allegato davanti al Pretore la lesione dell'obbligo d'informazione, indicando anche i passaggi ove ciò è avvenuto, ma non dice nulla della procedura di seconda istanza. Il silenzio del Tribunale di appello non basta; occorre ancora che il ricorrente gli avesse sottoposto regolarmente l'argomento dell'informazione. Davanti al Tribunale federale il ricorrente, che ha l'obbligo di spiegare in cosa consista esattamente la violazione del diritto costituzionale invocato (art. 106 cpv. 2 LTF; cfr. supra consid. 1.2.1), doveva pertanto sostenere di essersene prevalso anche davanti all'autorità cantonale, indicando con precisione dove e come lo ha fatto (cfr. consid. 1.2.2).
5.5 Il Tribunale di appello non è pertanto caduto nell'arbitrio nel costatare che non è stato provato nessun fatto dal quale si potrebbero dedurre le negligenze che il ricorrente rimprovera all'opponente. Negando la responsabilità della banca ha quindi tratto le giuste conseguenze dall'inadempimento dell'onere che incombeva al ricorrente in merito ai fatti costitutivi della violazione del contratto, nel rispetto del diritto federale.
6. Il ricorso contiene anche alcune censure secondarie riguardo alla negligenza della banca. Alcune sono inammissibili, altre infondate.
6.1 Sono inammissibili le critiche che il ricorrente fonda sul non rispetto delle direttive dell'Associazione svizzera dei banchieri (ASB) e sull'assenza di controlli interni. Si rinvia a questo proposito a quanto detto per il difetto d'informazione (cfr. supra consid. 5.4).
6.2 Il ricorrente lamenta anche l'assenza di un profilo del cliente, che a suo dire costituirebbe da sé una violazione dell'obbligo di diligenza. A tale proposito il Tribunale di appello ha osservato che l'attore non può sostenere che il documento avrebbe migliorato la sua posizione, poiché esso sarebbe comunque stato superato dalla strategia d'investimento più aggressiva pattuita successivamente. Siccome il ricorrente non contesta nemmeno in questa sede il cambiamento di strategia, la sentenza 4C.158/2006 del 10 novembre 2006, consid. 3.3.1 e 3.3.2, menzionata dalla Corte ticinese, si attaglia perfettamente al suo caso. In quell'occasione il Tribunale federale, dopo avere ricordato la natura e lo scopo del profilo del cliente, ha precisato ch'esso non ha significato autonomo: se dalle pattuizioni risulta chiaramente che il cliente ha accettato una gestione rischiosa e speculativa, egli non può sostenere in seguito che il profilo, se fosse stato allestito, avrebbe rivelato che la sua situazione personale rendeva opportuna una strategia d'investimento conservativa. La censura è pertanto infondata.
7. Il ricorrente critica infine il calcolo del danno. L'esame di questo aspetto è tuttavia superfluo, essendo state escluse violazioni del contratto, fatta eccezione della violazione del dovere di diversificazione in relazione con il derivato Revexus CS, per il quale la sentenza cantonale ha riconosciuto una responsabilità della convenuta limitatamente alla quota dell'1.4 % dell'investimento reputata eccessivamente rischiosa.
7.1 La nozione giuridica di danno e i criteri di calcolo da applicarsi attengono al diritto, mentre l'accertamento dell'esistenza e dell'ammontare del danno è questione di fatto (DTF 132 II 359 consid. 4 pag. 366), anche qualora il giudice lo determina per apprezzamento secondo l'art. 42 cpv. 2 CO (DTF 122 III 219 consid. 3b pag. 222).
7.2 Nella parte introduttiva del capitolo concernente la determinazione del danno il ricorrente critica l'argomentazione del Tribunale di appello, secondo cui la prassi vuole che il risultato concreto ottenuto dal gestore inadempiente sia raffrontato con quello di un portafoglio ipotetico gestito correttamente. Egli sviluppa però un discorso generale, senza che le sue argomentazioni consentano di capire in quale misura la sentenza cantonale avrebbe violato il diritto federale nello stabilire il danno in relazione con la concentrazione eccessiva del prodotto Revexus CS. Anzi, a ben vedere la sua censura viene a cadere proprio nel caso specifico, poiché il Tribunale di appello non ha affatto applicato il metodo comparativo: per quantificare il danno in US $ 47'546.-- ha semplicemente dedotto dal prezzo afferente all'acquisto della quota dell'1.4 % dell'investimento (EUR 142'188.--) il valore residuo alla data determinante (EUR 18'769.--), un indennizzo (EUR 158.--) e i redditi (EUR 33'059.--) ricevuti, nonché una percentuale forfetaria del 30 % che tiene conto del calo generale delle borse (EUR 42'656.--).
7.3 Il ricorrente non propone censure puntuali contro il predetto metodo di calcolo e non sostanzia neppure l'arbitrio riguardo alle cifre considerate, alle quali ne oppone altre senza spiegazioni.
Tutt'al più, ancora nella parte generale, accenna di passaggio all'illegittimità della deduzione della perdita forfetaria del 30 %. A questo proposito basti ricordare che il giudizio impugnato attesta che negli scritti introduttivi il ricorrente pareva avere condiviso la presa in considerazione di una perdita ipotetica persino superiore al 30 %. Inoltre, vista l'insufficienza delle allegazioni, la Corte cantonale ha quantificato questa posizione facendo ricorso all'art. 42 cpv. 2 CO, circostanza che, come detto, non muta il carattere fattuale dell'accertamento. La conseguenza è che il ricorrente avrebbe dovuto sostanziare l'arbitrio anche a questo proposito; non avendolo fatto correttamente (cfr. supra consid. 1.2.2), le sue censure sono inammissibili.
8. In conclusione il ricorso dev'essere respinto nella misura in cui è ammissibile.
Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 e 2 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 12'000.-- sono poste a carico del ricorrente, il quale rifonderà all'opponente fr. 14'000.-- per ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.