Faits:
A. X._, ressortissant ivoirien né en 1978, a été interpellé à Bâle le 24 janvier 2001, sans être en possession de documents d'identité. Le lendemain, il a déposé une demande d'asile en Suisse.
Par décision du 31 juillet 2001, l'Office fédéral des réfugiés (devenu entre-temps l'Office fédéral des migrations [ci-après: l'Office fédéral]) a rejeté la demande d'asile du prénommé et prononcé son renvoi de Suisse. Le 15 novembre 2001, la Commission fédérale de recours en matière d'asile a confirmé ce prononcé.
Le 20 novembre 2001, l'Office fédéral des réfugiés a imparti à X._ un délai de départ au 15 décembre 2001. Le 5 décembre 2001, le prénommé a été annoncé comme disparu.
B. Le 4 janvier 2002, X._ a épousé à Z._ Y._, ressortissante suisse née en 1953. A la suite de cette union, il a obtenu une autorisation de séjour, qui a été régulièrement renouvelée.
Statuant le 10 mars 2004 sur une requête de mesures protectrices de l'union conjugale, le Tribunal de première instance du canton de Genève a autorisé les époux X.Y._ à vivre séparés. Le 1er septembre 2004, X._ a quitté le domicile conjugal et emménagé dans son propre appartement.
Le 9 décembre 2004, l'Office cantonal de la population du canton de Genève (ci-après: l'Office cantonal) s'est adressé à X._et Y._ afin de connaître leurs intentions. Le 1er janvier 2005, le prénommé a répondu qu'il aimait son épouse et souhaitait reprendre la vie commune. Pour sa part, son épouse a déclaré le 6 janvier 2005 que la séparation continuait, que la reprise de la vie commune n'était pas envisageable et que le divorce suivrait dès que possible.
Le 3 février 2005, l'Office cantonal a informé X._ de son intention de ne pas renouveler son permis de séjour, au motif qu'il se prévalait de manière abusive de son mariage pour obtenir le renouvellement de l'autorisation en question.
Le 23 mai 2005, l'Office cantonal a réitéré ses questions du 9 décembre 2004. Le 26 mai 2005, Y._ a réaffirmé qu'elle souhaitait tout mettre en oeuvre pour divorcer le plus tôt possible. Par courrier du 16 juin 2005, X._ a relevé qu'aucune procédure de divorce n'avait été engagée et qu'il espérait pouvoir se remettre en ménage avec son épouse.
C. Par décision du 11 juillet 2005, l'Office cantonal a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de X._ et lui a imparti un délai au 10 octobre 2005 pour quitter le territoire suisse.
X._ a déféré cette décision à la Commission cantonale de recours de police des étrangers, qui a admis le recours par prononcé du 7 mars 2006. Cette autorité a estimé qu'il se justifiait de renouveler le titre de séjour de l'intéressé pour des motifs d'opportunité, au vu de de la durée de son séjour en Suisse, de son intégration et du fait que la rupture de la relation conjugale ne lui était nullement imputable, puisqu'aux dires de Y._ il s'était comporté en époux exemplaire.
Le 2 mai 2006, l'Office cantonal a soumis le cas pour approbation à l'Office fédéral.
Par décision du 31 juillet 2006, l'Office fédéral a refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour de X._.
A l'encontre de cette décision, X._ a recouru au Département fédéral de justice et police. L'instruction de la cause a été reprise par le Tribunal administratif fédéral, désormais compétent pour con- naître des recours contre les décisions de l'Office fédéral.
Le 31 juillet 2008, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours. Il a considéré que, depuis leur séparation, les époux X.Y._ avaient vécu chacun de leur côté, sans manifester sérieusement et concrètement la volonté de reprendre la vie commune. Il a estimé que, par conséquent, le mariage n'existait plus que formellement et qu'il était abusif de la part de X._ de s'en prévaloir aux fins d'obtenir le renouvellement de son autorisation de séjour. En outre, il a considéré qu'en refusant de donner son approbation, l'Office fédéral n'avait pas outrepassé son pouvoir d'appréciation. En effet, s'il était vrai que l'intéressé était très apprécié de son employeur, qu'il n'avait pas recouru à l'assistance publique - hormis la période où il était demandeur d'asile - et qu'il s'acquittait régulièrement de sa contribution d'entretien à l'égard de son épouse, ces éléments n'avaient pas un poids suffisant pour justifier la poursuite de son séjour en Suisse.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 31 juillet 2008, de dire qu'il a droit à la prolongation de son autorisation de séjour et d'enjoindre l'Office fédéral de donner son consentement à ladite prolongation, le tout sous suite de frais et dépens.
Il n'a pas été requis d'observations.
Considérant en droit:
1. Le 1er janvier 2008 est entrée en vigueur la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), qui a remplacé la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007). En vertu de l'art. 126 al. 1 LEtr, les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la loi sont régies par l'ancien droit.
En l'espèce, la décision par laquelle l'Office fédéral a refusé d'approuver le renouvellement de l'autorisation de séjour du recourant a été rendue le 31 juillet 2006, soit avant l'entrée en vigueur de la loi précitée. La présente affaire doit donc être examinée à la lumière de l'ancienne loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers, l'art. 126 al. 1 LEtr étant applicable par analogie.
2. 2.1 Selon l'art. 83 lettre c ch. 2 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donne droit.
En vertu de l'art. 7 al. 1 LSEE, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi et à la prolongation de l'autorisation de séjour. Pour juger de la recevabilité du recours en matière de droit public, seule est déterminante la question de savoir si un mariage existe formellement (cf. arrêt 2C_750/2007 du 8 avril 2008, consid. 1.3). Le recourant est marié à une Suissesse. Son recours est donc recevable sous cet angle.
2.2 Au surplus, interjeté par une partie directement touchée par la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (cf. art. 89 al. 1 LTF), le recours est dirigé contre un jugement final (cf. art. 90 LTF) rendu dans une cause de droit public (cf. art. 82 lettre a LTF) par le Tribunal administratif fédéral (cf. art. 86 al. 1 lettre a LTF). Déposé dans le délai (cf. art. 100 al. 1 LTF) et la forme (cf. art. 42 LTF) prévus par la loi, il est en principe recevable.
3. Selon l'art. 7 al. 1 LSEE, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi et à la prolongation de l'autorisation de séjour; après un séjour régulier et ininterrompu de cinq ans, il a droit à l'autorisation d'établissement; ce droit s'éteint lorsqu'il existe un motif d'expulsion. Quant à l'art. 7 al. 2 LSEE, il prévoit que le conjoint étranger d'un ressortissant suisse n'a pas droit à l'octroi ou à la prolongation de l'autorisation de séjour, lorsque le mariage a été contracté dans le but d'éluder les dispositions sur le séjour et l'établissement des étrangers et notamment celles sur la limitation du nombre des étrangers. D'après la jurisprudence, le fait d'invoquer l'art. 7 al. 1 LSEE peut être constitutif d'un abus de droit, en l'absence même d'un mariage contracté dans le but d'éluder les dispositions sur le séjour et l'établissement des étrangers au sens de l'art. 7 al. 2 LSEE (ATF 130 II 113 consid. 4.2 p. 117; 127 II 49 consid. 5a p. 56 et la jurisprudence citée).
L'existence d'un abus de droit découlant du fait de se prévaloir de l'art. 7 al. 1 LSEE ne peut être simplement déduit de ce que les époux ne vivent plus ensemble, puisque le législateur a volontairement renoncé à faire dépendre le droit à une autorisation de séjour de la vie commune. Pour admettre l'existence d'un abus de droit, il ne suffit pas non plus qu'une procédure de divorce soit entamée; le droit à l'octroi ou à la prolongation d'une autorisation de séjour subsiste en effet tant que le divorce n'a pas été prononcé, car les droits du conjoint étranger ne doivent pas être compromis dans le cadre d'une telle procédure. Enfin, on ne saurait uniquement reprocher à des époux de vivre séparés et de ne pas envisager le divorce. Toutefois, il y a abus de droit lorsque le conjoint étranger invoque un mariage n'existant plus que formellement dans le seul but d'obtenir une autorisation de séjour, car ce but n'est pas protégé par l'art. 7 al. 1 LSEE. Le mariage n'existe plus que formellement lorsque l'union conjugale est rompue définitivement, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a plus d'espoir de réconciliation; les causes et les motifs de la rupture ne jouent pas de rôle (ATF 131 II 265 consid. 4.2 p. 267; 130 II 113 consid. 4.2 p. 117 et les arrêts cités).
4. 4.1 De l'avis du recourant, l'abus de droit ne peut être retenu que si l'intéressé "maintient une union maritale dans le seul et unique but ressortissant à des motifs de police des étrangers et tendant au renouvellement de son autorisation de séjour". Tel ne serait manifestement pas son cas, puisque la séparation a été voulue par son épouse, que la désunion du couple n'est nullement imputable au recourant et qu'aucune procédure de divorce n'a été introduite à ce jour.
4.2 Comme l'a relevé le Tribunal administratif fédéral et comme indiqué ci-dessus (consid. 3), les motifs de la séparation ne jouent pas de rôle du point de vue du droit à l'autorisation en vertu de l'art. 7 al. 1 LSEE. A cet égard, seul importe le point de savoir s'il existe encore un espoir de réconciliation ou si l'union conjugale est définitivement rompue. Or, en l'espèce, les époux X.Y._ étaient séparés depuis environ quatre ans lors du prononcé de la décision attaquée. L'épouse a déclaré à plusieurs reprises - les 6 janvier et 26 mai 2005, en réponse aux questions de l'Office cantonal, ainsi que le 7 mars 2006, lors de son audition par la Commission cantonale de recours de police des étrangers - qu'elle n'envisageait pas de reprendre la vie commune. Quant au recourant, lorsqu'il affirme dans son mémoire de recours au Tribunal de céans "avoir longtemps eu un espoir de réconciliation avec son épouse" (p. 13), il admet implicitement ne plus nourrir de tels espoirs. Il n'existe en tout cas aucun indice concret laissant présager que la relation entre les époux X.Y._ évoluerait dans le sens de la reprise de la vie commune.
Dans ces conditions, le Tribunal administratif fédéral pouvait, sans violer le droit fédéral, considérer qu'il était abusif de la part du recourant de se prévaloir de son mariage n'existant plus que formellement pour obtenir le renouvellement de son autorisation de séjour. Partant, le recours est mal fondé sur ce point.
5. Le recourant fait encore grief au Tribunal administratif fédéral de n'avoir pas suffisamment tenu compte, dans la pesée des intérêts, de son intégration en Suisse, notamment au plan professionnel, ainsi que de son autonomie financière et de sa conduite irréprochable. Or, il s'agit là de critères dont l'Office fédéral et le Tribunal administratif fédéral se sont servis pour statuer selon leur libre appréciation (art. 4 LSEE) sur le maintien de l'autorisation de séjour. A cet égard, le recourant ne peut pas faire valoir de droit à ladite autorisation, de sorte que la voie du recours en matière de droit public n'est pas ouverte (art. 83 lettre c ch. 2 LTF). Le grief est donc irrecevable.
6. Vu ce qui précède, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant qui succombe doit supporter les frais judiciaires (cf. art. 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF a contrario). Les frais de justice seront fixés compte tenu de sa situation financière (cf. art. 65 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Des frais judiciaires de 800 fr. sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office fédéral des migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 16 octobre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Merkli Vianin