Faits:
A. S._, né en 1958, est titulaire des certificats fédéraux de capacité de maçon et de chef d'équipe. Il exerçait cette dernière fonction pour l'entreprise X._ SA. A ce titre, il était assuré par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après : CNA).
Le 28 juillet 2001, il s'est blessé à l'auriculaire de la main droite avec un couteau. La CNA a pris en charge les suites de cet accident, notamment une intervention chirurgicale pratiquée le 4 septembre 2001 par le docteur C._ (ténolyse des fléchisseurs de l'auriculaire droit, suture secondaire du fléchisseur profond de ce même doigt et neurolyse puis suture du nerf collatéral ulnaire). L'assuré a repris son activité professionnelle à plein temps le 10 novembre 2001.
Le 1er décembre 2001, S._ a subi un nouvel accident : il s'est coincé un doigt de la main droite dans une porte. Vu la persistance des douleurs, il a consulté un médecin en janvier 2002. Le docteur C._ a posé le diagnostic de fracture de la base de la troisième phalange de l'annulaire droit avec «incongruence articulaire». Il a procédé à une réduction sanglante, ostéosynthèse par vis de la fracture et réinsertion du tendon terminal de l'appareil extenseur du quatrième doigt, le 24 janvier 2002. L'assuré n'a repris le travail qu'à 50 %, dès le 29 janvier 2002, n'effectuant plus que les tâches lui incombant en qualité de chef d'équipe. La CNA a également pris en charge les suites de cet accident.
Dans un rapport du 2 mai 2002, le docteur C._ a résumé la situation en précisant que l'assuré souffrait de deux atteintes d'origine traumatique. D'une part, il présentait un status après suture secondaire d'un tendon fléchisseur profond du cinquième doigt; celui-ci restait encore un peu limité dans sa mobilité, ce qui entraînait une perte de force de préhension. D'autre part, il était atteint d'arthrose de l'inter-phalangienne distale du quatrième doigt droit, consécutive à une fracture de la base de P3 qui avait justifié une tentative d'ostéosynthèse à six semaines d'évolution. Ce doigt restait douloureux avec une très grande limitation de l'amplitude articulaire de l'inter-phalangienne distale et le seul traitement rationnel était une arthrodèse. On pouvait par ailleurs envisager une ténolyse des fléchisseur du cinquième doigt, mais il était préférable de renoncer à intervenir chirurgicalement sur les quatrième et cinquième doigts en même temps.
Le 21 mai 2002, le docteur C._ a procédé à l'ablation du matériel d'ostéosynthèse et à l'arthrodèse de l'interphalangienne distale de l'annulaire droit. L'assuré a repris le travail à 50 % dès le 29 mai 2002, conformément à la capacité de travail résiduelle attestée par le docteur C._ (rapport du 7 août 2002). Renseignements pris auprès de l'employeur, il travaillait à plein temps avec un rendement de 50 %, comme chef d'une petite équipe de un à trois ouvriers. Il n'effectuait quasiment pas de tâche administrative en dehors du relevé des heures des ouvriers, et travaillait donc presque exclusivement comme maçon ferrailleur. Il avait des difficultés à serrer un outil (massette, marteau ou truelle, par exemple), qu'il n'utilisait qu'en le serrant avec trois doigts. Lorsqu'il se servait d'un outil avec la main droite, il avait rapidement des douleurs dans l'avant-bras, de sorte qu'il devait fréquemment s'arrêter. Dans la mesure du possible, son employeur lui confiait des travaux peu pénibles, l'assuré ne pouvant pas effectuer certains travaux lourds (rapport d'entretien du 14 novembre 2002 avec S._ et P._, conducteur de travaux).
Le 26 novembre 2002, le docteur C._ a notamment procédé à une aponévrectomie sélective de l'auriculaire droit et à une ténolyse des fléchisseurs dans le canal D5 droit. L'assuré a repris le travail à 50 % dès le 11 janvier 2003. En automne 2003, il a consulté le docteur O._ en raison de lombo-sciatalgies. Une imagerie par résonance magnétique réalisée le 7 octobre 2003 a mis en évidence une discopathie étagée avec notamment la présence d'une hernie discale en L4-L5 para-médiane gauche discrètement luxée crânialement. Par ailleurs, l'assuré s'est luxé l'épaule en portant une pièce de treuil, le 31 octobre 2003. Malgré ces atteintes à la santé, il a poursuivi son activité à 50 % pour X._ SA.
Le docteur R._, médecin d'arrondissement de la CNA, l'a examiné le 19 novembre 2003 et a constaté que les séquelles des accidents subis à la main droite étaient désormais stabilisées. Elles entraînaient une limitation fonctionnelle et une déformation en flexum du cinquième doigt, ainsi qu'un status après arthrodèse de l'interphalangienne distale du quatrième doigt. Le verrouillage de la main s'en trouvait limité de manière significative et la force de préhension était réduite d'environ 50 %. Dans une activité épargnant le membre supérieur droit (côté dominant), n'exigeant pas de sollicitation soutenue de la main droite ni le port de charges supérieures à 10 kg, l'assuré disposait d'une pleine capacité de travail. Le docteur R._ proposait de fixer à 5 % le taux d'atteinte à l'intégrité en raison des atteintes subies à la main droite.
La CNA a mis fin au paiement des indemnités journalières et à la prise en charge du traitement médical dès le 1er août 2004. Par décision du 30 juillet 2004, elle a alloué à l'assuré une rente fondée sur un taux d'invalidité de 25 % et une indemnité fondée sur un taux d'atteinte à l'intégrité de 5 %. Elle a considéré qu'il était raisonnablement exigible de S._ qu'il trouve un emploi mieux adapté que celui exercé au sein de X._ SA, afin de mettre pleinement en valeur la capacité résiduelle de travail décrite par le docteur R._. Afin d'évaluer le revenu qu'il pourrait réaliser dans une activité adaptée, elle a produit sept descriptions de postes de travail (DPT) dans des entreprises de la région lémanique (DPT no 586, 822, 1344, 2260, 6610, 6959 et 7314). L'assuré s'est opposé à cette décision, en contestant le caractère raisonnablement exigible du reclassement dans une nouvelle activité professionnelle, en particulier dans les emplois correspondants aux DPT produites par les CNA. Il a également demandé que l'indemnité pour atteinte à l'intégrité soit fondée sur un taux de 10 %.
A la demande de la CNA, le docteur R._ a examiné les DPT litigieuses et constaté que pour deux d'entre elles (no 1344 et 2260), l'assuré ne disposait pas d'une capacité de travail de 100 %. Les cinq autres DPT correspondaient à son avis à des activités pleinement adaptées (rapport du 29 décembre 2004).
Entre-temps, l'assuré a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité. A la suite de cette demande, le docteur H._, spécialiste en chirurgie, s'est vu confier le soin de réaliser une expertise. Dans un rapport du 29 novembre 2004, il a décrit des constatations correspondant pour l'essentiel à celles du docteur R._. Il a précisé que l'assuré présentait des lombalgies sur lésions dégénératives de la colonne lombaire inférieure depuis une vingtaine d'année; une hernie discale avait été mise en évidence en octobre 2003 à la suite d'un épisode de lombo-sciatalgies. Outre les atteintes à la santé constatées par le docteur R._, l'expert a mentionné que l'assuré était traité depuis 2002 pour une épicondylite bilatérale prédominant du côté droit, d'évolution plus ou moins chronique, répondant mal au traitement conservateur. Les séquelles fonctionnelles au niveau de la main droite et l'épicondylite au coude droit empêchaient l'assuré de réaliser des travaux répétitifs avec le membre supérieur droit, la pathologie dégénérative de la colonne lombaire inférieure excluant les travaux de force avec port et soulèvement de charges dépassant 10 à 15 kg. Une activité dans un milieu fermé, épargnant le membre supérieur droit et n'exigeant pas de sollicitation soutenue de la main et du membre supérieur droits ni le port de charges supérieures à 10 à 15 kg étaient pleinement adaptée.
Par décision sur opposition du 14 février 2005, la CNA a maintenu le taux de la rente et le taux d'atteinte à l'intégrité fixés précédemment.
B. S._ a déféré la cause au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève. Entendu dans le cadre de l'instruction, le docteur R._ a précisé qu'il n'y avait pas à s'attendre à une péjoration notable de l'état des quatrième et cinquième doigts de l'assuré. Le développement d'arthrose était peu vraisemblable, compte tenu du fait que l'assuré ne pouvait pas surcharger sa main droite. Le docteur R._ a confirmé que l'assuré disposait d'une pleine capacité de travail pour des activités telles que décrites dans les DPT no 586, 822, 6610, 6959 et 7314. Il ne s'est pas déterminé sur le point de savoir si tel était encore le cas compte tenu de l'évolution des douleurs dorsales de l'assuré (procès-verbal d'audition du 6 juillet 2006).
Par jugement du 31 mai 2007, le Tribunal des assurances du canton de Genève a rejeté le recours de l'assuré.
C. Ce dernier interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il en demande l'annulation et conclut à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'invalidité de 53,6 % et d'une indemnité pour une atteinte à l'intégrité d'un taux de 10 %, sous suite de dépens. A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision, sous suite de dépens également. A l'appui du recours, S._ produit une expertise réalisée le 2 mai 2007 par le docteur A._ à la demande du Tribunal des assurances du canton de Genève, dans le cadre d'une procédure de recours relative au droit à une rente de l'assurance-invalidité.
L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente et à une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Il s'agit d'une procédure relative à l'octroi ou au refus de prestations en espèce de l'assurance-accidents, de sorte que le recours peut porter sur la constatation incomplète ou inexacte des faits, le Tribunal fédéral n'étant pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
2. Le recourant conteste, d'abord, le taux d'invalidité de 25 % retenu par les premiers juges. Il soutient que ce taux devrait être fixé à 53,6 %, compte tenu en particulier du revenu qu'il a pu réaliser jusqu'en 2004 en travaillant à 50 % pour X._ SA, dans des travaux adaptés à son état de santé.
3. Chez les assurés actifs, le degré d'invalidité doit être évalué sur la base d'une comparaison des revenus. Pour cela, le revenu que l'assuré aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide est comparé avec celui qu'il pourrait obtenir en exerçant l'activité qui peut raisonnablement être exigée de lui après les traitements et les mesures de réadaptation, sur un marché du travail équilibré (art. 16 LPGA). La comparaison des revenus s'effectue, en règle ordinaire, en chiffrant aussi exactement que possible les montants de ces deux revenus et en les confrontant l'un avec l'autre, la différence permettant de calculer le taux d'invalidité (méthode générale de comparaison des revenus; ATF 130 V 343 consid. 3.4 p. 348, 128 V 29 consid. 1 p. 30, 104 V 135 consid. 2a et 2b p. 136).
4. La juridiction cantonale et l'intimée ont considéré, en se fondant sur les renseignements obtenus auprès de X._ SA, que le recourant aurait pu réaliser, sans atteinte à la santé, un revenu de 6175 fr. par mois en 2004. A juste titre, le recourant ne conteste pas cet aspect du jugement entrepris, sur lequel il n'y a pas lieu de revenir.
5. 5.1 Il convient d'évaluer le revenu que l'assuré pourrait encore réaliser dans une activité adaptée avant tout en fonction de la situation concrète dans laquelle il se trouve. Lorsqu'il a repris l'exercice d'une activité lucrative après la survenance de l'atteinte à la santé, il faut d'abord examiner si cette activité repose sur des rapports de travail stables, met pleinement en valeur sa capacité de travail résiduelle et lui procure un gain correspondant au travail effectivement fourni, sans contenir d'élément de salaire social. Si ces conditions sont réunies, on prendra en compte le revenu effectivement réalisé pour fixer le revenu d'invalide (ATF 129 V 472 consid. 4.2.1 p. 475, 126 V 75 consid. 3b/aa p. 76).
5.2 Lorsque l'activité exercée après la survenance de l'atteinte à la santé ne met pas pleinement en valeur la capacité de travail résiduelle de l'assuré, ce dernier peut être tenu de quitter son poste de travail, voire l'entreprise pour laquelle il travaille au profit d'une activité mieux adaptée (cf. RCC 1983 p. 246), ou encore d'accepter un emploi le contraignant à changer de domicile, en vertu de son obligation de réduire le dommage résultant de l'invalidité. Encore faut-il que cela soit raisonnablement exigible au vu de l'ensemble des circonstances, considérées de manière objective (ATF 113 V 22 consid. 4 p. 28, 109 V 25 consid. 3c p. 27). L'effort à consentir par l'assuré est d'autant plus important que la diminution du dommage escomptée est substantielle, conformément au principe de proportionnalité, applicable de manière générale en droit des assurances sociales (ATF 122 V 377 consid. 2b/cc p. 380, 119 V 250 consid. 3a p. 253; voir également ATF 113 V 22 consid. 4d p. 31, ainsi que Peter Omlin, Die Invalidität in der obligatorischen Unfallversicherung, Fribourg 1995, p. 185 sv., p. 203 sv.).
5.3 Si l'assuré n'a pas repris d'activité, ou aucune activité adaptée lui permettant de mettre pleinement en valeur sa capacité résiduelle de travail, contrairement à ce qui serait raisonnablement exigible de sa part, le revenu d'invalide peut être évalué, notamment, sur la base de données salariales publiées par l'Office fédéral de la statistique (ci-après : OFS). Il est également possible de recourir à une enquête menée par la CNA auprès de diverses entreprises suisse et qui permet de réunir des données salariales pour de nombreux postes de travail faisant l'objet d'une description détaillée (cf. ATF 129 V 472 consid. 4.2 p. 475).
6. 6.1 L'intimée s'est fondée sur les résultats de sa propre enquête auprès de diverses entreprises suisses pour fixer à 4'795 fr. le revenu mensuel qu'aurait pu réaliser l'assuré, en 2004, malgré les séquelles accidentelles dont il souffre. Ce montant correspond à la moyenne des salaires les plus bas pour les cinq postes de travail faisant l'objet des DPT no 586, 822, 7314, 6959 et 6610. La juridiction cantonale a renoncé à s'y référer, au motif que les postes de travail décrits dans les documents produits par l'intimée ne correspondaient peut-être pas à des activités adaptées. En effet, depuis l'appréciation portée par le docteur R._ sur le caractère adapté des postes de travail décrits, les douleurs dorsales de l'assuré s'étaient aggravées. En outre, l'assuré allègue que toutes ces activités requièrent l'usage des deux mains.
6.2 D'après le docteur A._, auquel se réfère le recourant, ce dernier n'est plus en mesure d'exercer aucune activité lucrative, en raison de plusieurs atteintes à la santé, dont certaines seulement sont d'origine accidentelle. Les autres atteintes (en particulier : lombosciatalgies et épicondylite bilatérale) sont d'origine maladive et ne sont apparues, ou ne se sont aggravées au point de devenir invalidantes, qu'après les accidents assurés, sans que les différents médecins consultés attribuent d'une manière ou d'une autre une cause accidentelle à cette aggravation. Cela étant, l'assurance-accidents ne répond que de l'invalidité résultant des accidents assurés, abstraction faite des atteintes à la santé d'origine maladive et qui sont survenues postérieurement. Les premiers juges ont donc écarté à tort les descriptions de postes de travail produites par l'intimée au motif qu'elles ne correspondaient peut-être plus à une activité adaptée pour l'assuré, depuis l'aggravation de ses douleurs dorsales.
Par ailleurs, le docteur R._ - dont les constatations sont corroborées par celles du docteur H._ - a exposé de manière convaincante que le recourant peut travailler dans une activité requérant l'usage des deux mains, pour autant que la main droite ne soit pas sollicitée de manière intensive. Cette sollicitation n'est exigée dans aucun des postes de travail auxquels s'est référée l'intimée dans la décision sur opposition litigieuse. L'intimée a d'ailleurs précisément écarté deux autres descriptions de postes de travail pour lesquelles le docteur R._ avait émis des réserves, dès lors qu'elles impliquaient un usage accru de la main droite.
Dans la mesure où la juridiction cantonale a considéré - en se fondant pour sa part sur les données salariales publiées par l'OFS - que l'assuré aurait pu réaliser, malgré les séquelles accidentelles dont il souffre, un revenu au moins égal à celui fixé par l'intimée pour l'année 2004, le jugement entrepris n'est pas critiquable. Dans ce contexte, on relèvera que l'argumentation du recourant, d'après laquelle il subirait une incapacité de travail de 50 % dans toute activité en raison des atteintes à sa main droite se trouve contredite par l'ensemble des avis médicaux figurant au dossier.
6.3 Il ressort de ce qui précède que l'activité exercée par le recourant, à 50 %, pour X._ SA ne permet pas de mettre pleinement en valeur sa capacité résiduelle de travail et de gain, compte tenu des seules atteintes à la santé accidentelles dont il souffre. Eu égard au revenu notablement plus élevé que le recourant pourrait réaliser dans une activité mieux adaptée, le reclassement professionnel demandé par l'intimée est raisonnablement exigible. L'intimée et les premiers juges étaient donc fondés à retenir, à titre de revenu d'invalide pour l'évaluation de l'invalidité, un montant mensuel de 4'795 fr. au moins pour l'année 2004. Compte tenu d'un revenu sans invalidité de 6'175 fr. par mois pour la même année (cf. consid. 4 supra), la capacité résiduelle de gain du recourant ne lui ouvre pas droit à une rente fondée sur un taux d'invalidité supérieur à 25 %, contrairement à ce qu'il soutient. Ses conclusions sur ce point sont donc mal fondées, sans qu'il y ait lieu de se prononcer, dans la présente procédure, sur le degré d'invalidité présenté par le recourant compte tenu d'atteintes à la santé d'origine maladive et survenues postérieurement aux accidents assurés.
7. 7.1 Le recourant conteste également le taux de 5 % sur lequel est fondée l'indemnité pour atteinte à l'intégrité allouée par l'intimée. Il soutient qu'il présente un taux d'atteinte de 10 % au moins, au motif que ses quatrième et cinquième doigts de la main droite sont complètement bloqués et diminuent de moitié sa force de préhension.
7.2 L'annexe 3 à l'OLAA comporte un barème des atteintes à l'intégrité en pour cent du montant maximum du gain assuré. Ce barème - reconnu conforme à la loi - ne constitue pas une énumération exhaustive (ATF 124 V 32 consid. 1b p. 34). Il représente une «règle générale» (ch. 1 al. 1 de l'annexe). Pour les atteintes qui sont spéciales ou qui ne figurent pas dans la liste, il y a lieu d'appliquer le barème par analogie, en tenant compte de la gravité de l'atteinte (ch. 1 al. 2 de l'annexe). Le ch. 2 de l'annexe dispose au surplus qu'en cas de perte partielle d'un organe ou de son usage, l'indemnité pour atteinte à l'intégrité est réduite en conséquence, aucune indemnité n'étant toutefois versée dans les cas pour lesquels un taux inférieur à 5 % du montant maximum du gain assuré serait appliqué.
La division médicale de la CNA a établi plusieurs tables d'indemnisation des atteintes à l'intégrité selon la LAA. Ces tables n'ont pas valeur de règles de droit et ne sauraient lier le juge. Toutefois, dans la mesure où il s'agit de valeurs indicatives, destinées à assurer autant que faire se peut l'égalité de traitement entre les assurés, elles sont compatibles avec l'annexe 3 à l'OLAA (ATF 116 V 156 consid. 3a p. 157).
7.3 Les allégations du recourant relatives au blocage complet des quatrième et cinquième doigts de sa main droite ne correspondent qu'en partie aux constatations médicales figurant au dossier. Certes, les docteurs R._ et H._, en particulier, ont considéré que la force de préhension de la main droite de l'assuré était diminuée de moitié. Le docteur R._ a toutefois précisé que l'arthrodèse subie au quatrième doigt ne concernait que l'articulation interphalangienne distale et qu'il subsistait une certaine mobilité du cinquième doigt, bien que minime. Le docteur H._ a pour sa part décrit, notamment, une bonne mobilité de l'articulation métacarpo-phalangienne et de l'articulation interphalangienne proximale du quatrième doigt, ainsi que de la métacarpo-phalangienne du cinquième doigt (avec toutefois un flexum de 60° de l'interphalangienne proximale et de 20° de l'interphalangienne distale). Compte tenu de ces constatations, la décision de l'intimée d'appliquer par analogie le chiffre 40 de la table trois édictée par sa division médicale - qui prévoit un taux d'atteinte à l'intégrité de 5 % en cas de perte d'une phalange de chacun des quatrième et cinquième doigts -, plutôt que le chiffre 41 de la même table (10 % d'atteinte à l'intégrité en cas de perte de deux phalanges de chacun des quatrième et cinquième doigts), ne prête pas le flanc à la critique. Sur ce point également, le recours est mal fondé.
8. Vu ce qui précède, le recourant supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF) et ne peut prétendre une indemnité de dépens à la charge de l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et Canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 15 mai 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Métral