Faits :
A.
Après s'être vu refuser à trois reprises des prestations de l'assurance-invalidité en 2001, 2002 et 2003, A._, née en 1973, a sollicité des mesures de réadaptation professionnelle de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) le 14 décembre 2011. Au bénéfice d'une formation d'employée de commerce, elle a indiqué vouloir reprendre une activité lucrative dans le secteur commercial à 50 %, le temps partiel étant motivé par les soins prodigués à ses deux enfants (nés en 1999 et 2001) et la fatigue liée à l'atteinte à la santé dont elle souffrait depuis 1997 (sclérose en plaques de forme poussées-rémissions). D'avril à décembre 2012, elle a bénéficié de mesures de réadaptation professionnelle qui n'ont pas abouti à un engagement.
Au cours de l'enquête économique sur le ménage mise en oeuvre par l'administration (rapport du 3 mars 2014), l'assurée a mentionné qu'à l'époque où son partenaire avait encore un emploi, elle aurait travaillé à 60 % sans atteinte à la santé; depuis octobre 2012, toujours dans l'hypothèse où sa capacité de travail n'aurait pas été entravée, elle aurait recherché un emploi à un taux de 90 à 100 % "de manière à assurer la partie financière de la famille". Elle a précisé que son partenaire allait arriver à la fin du droit au chômage au mois d'avril 2014.
Par décision du 24 septembre 2014, l'office AI a derechef nié le droit de l'assurée à une rente de l'assurance-invalidité, au motif que le taux d'invalidité (de 34 %) était insuffisant pour fonder cette prétention. Il a déterminé ce taux en tenant compte du fait que l'assurée aurait consacré 80 % de son temps à l'exercice d'une activité lucrative et qu'elle disposait d'une capacité résiduelle de travail de 50 %.
B.
A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public. A l'appui de ses conclusions tendant à la reconnaissance de son droit à une rente d'invalidité, elle a produit une attestation du service social de la Commune de V._ (du 24 octobre 2014), puis deux documents, l'un du Service neuchâtelois de l'emploi (du 6 octobre 2014) et l'autre de la Caisse cantonale neuchâteloise de l'assurance-chômage (du 29 avril 2014) concernant son partenaire, B._.
Statuant le 25 septembre 2015, la Cour de droit public a partiellement admis le recours et réformé la décision du 24 septembre 2014, en ce sens que l'assurée avait droit à une demi-rente d'invalidité depuis le 1er mai 2014. En bref, la juridiction cantonale a retenu que si l'assurée avait été en bonne santé, elle aurait travaillé à plein temps à partir du 1er mai 2014, au vu de la situation financière de sa famille. En application de la méthode ordinaire d'évaluation de l'invalidité et compte tenu d'une capacité de travail de 50 % dans son ancienne activité, A._ présentait dès lors un taux d'invalidité de 50 %.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, l'office AI demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal et de confirmer sa décision du 24 septembre 2014.
Considérant en droit :
1.
Dans un grief de nature formelle qu'il convient d'examiner en premier lieu (ATF 138 I 232 consid. 5.1 p. 237), l'office recourant invoque une violation de son droit d'être entendu. Il reproche à la juridiction cantonale de ne pas l'avoir invité à se déterminer sur "l'avis de fin de droit aux indemnités de l'assurance-chômage" produit par l'intimée avec son courrier du 19 décembre 2014, et dont il n'avait reçu qu'une copie "pour information".
1.1. En vertu des art. 29 al. 1 et 2 Cst. et 6 CEDH, les parties à un procès ont le droit de prendre connaissance de toute argumentation présentée au tribunal et de se déterminer à son propos, dans la mesure où elles l'estiment nécessaire. Les parties disposent dès lors d'un droit constitutionnel à s'exprimer sur chaque prise de position ou pièce versée à la procédure, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement susceptible d'influer sur le jugement à rendre. Il appartient aux parties de décider si elles veulent ou non faire usage de leur faculté de se déterminer (ATF 139 I 189 consid. 3.2 p. 191 s. et les arrêts cités). Ce droit à la réplique vaut pour toutes les procédures judiciaires (ATF 138 I 154 consid. 2.5 p. 157; 133 I 100 consid. 4.3 ss p. 102 ss, 98 consid. 2.2 p. 99; 132 I 42 consid. 3.3.2 - 3.3.4 p. 46 s.).
Il incombe dès lors au tribunal de garantir aux parties, dans chaque cas particulier, un droit effectif à la réplique. Pour ce faire, il peut impartir un délai à l'intéressé (ATF 133 V 196 consid. 1.2 p. 198). Pour sauvegarder le droit à la réplique, il suffit cependant, en principe, que les prises de position ou pièces versées à la procédure soient transmises aux parties pour information, lorsqu'on peut attendre de leur part, notamment des personnes représentées par un avocat ou disposant de connaissances en droit, qu'elles prennent position sans y être invitées. Si une partie considère qu'il est nécessaire de répliquer à une prise de position qui lui est notifiée, elle doit sans retard soit requérir l'autorisation de se déterminer, soit adresser sa réplique au tribunal (ATF 138 I 484 consid. 2.2 p. 486; 133 I 100 consid. 4.8 p. 105; 132 I 42 consid. 3.3.3 et 3.3.4 p. 47; arrêt de la Cour européenne des droits de l'homme dans la cause Joos contre Suisse du 15 novembre 2012, §§ 27 ss, spéc. §§ 30-32). Une autorité ne peut considérer, après un délai de moins de dix jours depuis la communication d'une détermination à une partie, que celle-ci a renoncé à répliquer et rendre sa décision (cf. arrêts 2C_560/2012 et 2C_561/2012 du 21 janvier 2013 consid. 4.4; 9C_1069/2008 du 2 mars 2009).
1.2. En l'espèce, le recourant expose avoir reçu l'avis du Service neuchâtelois de l'emploi le 10 août 2015, "sans qu'un nouveau tour de parole ne lui soit offert". Le jugement attaqué a été rendu le 25 septembre 2015, soit plus d'un mois à compter de la communication à l'office AI de la pièce versée précédemment au dossier par l'assurée. Dans la mesure où il compte des collaborateurs juristes, le recourant disposait d'un laps de temps suffisant pour déposer des observations eu égard à la jurisprudence évoquée (cf. consid. 1.1). La juridiction cantonale n'a pas violé son droit d'être entendu.
2.
Le litige porte sur le droit de l'intimée à une demi-rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er mai 2014. A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence relatives à la notion d'invalidité et à son évaluation, ainsi qu'à la valeur probante des rapports et expertises médicaux. Il suffit d'y renvoyer.
3.
3.1. L'office recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir fait "une fausse application de la loi" en ce qu'elle se serait fondée uniquement sur l'avis de fin de droit aux indemnités de chômage adressé au concubin de l'assurée (pour en déduire qu'il était démuni de toute ressource), alors que selon la maxime d'office, elle aurait dû vérifier au préalable la situation professionnelle et les revenus de celui-ci.
3.2. En tant que l'administration entend, par son grief relatif à la situation financière de B._, remettre en cause la constatation de la juridiction cantonale sur le statut de personne active à 100 % reconnue à l'intimée à partir du 1er janvier 2014, son argumentation est mal fondée.
En l'occurrence, la cour cantonale a retenu que le partenaire de l'assurée, qui était au chômage depuis octobre 2012, était arrivé à la fin de son droit aux prestations au mois d'avril 2014, ainsi que le démontrait le décompte de la caisse de chômage du 29 avril 2014. Elle a par ailleurs pris en considération le fait que la famille émargeait à l'aide sociale depuis le 1er janvier 2014. De ces circonstances, elle a déduit que l'intimée aurait, en bonne santé, vraisemblablement été contrainte de travailler à plein temps, notamment en raison de la subsidiarité financière de l'aide sociale.
Or, en se contentant d'alléguer une présomption selon laquelle à l'approche de la fin du délai cadre d'indemnisation un chômeur multiplie ses recherches et/ou diminue ses exigences en matière de postes de travail et/ou de prétentions salariales, l'office recourant ne démontre pas le caractère manifestement inexact ou arbitraire des constatations des premiers juges (cf. art. 105 al. 1 et 2 LTF). Au moment de la décision administrative litigieuse, le délai-cadre de l'assurance-chômage concernant B._ était arrivé à échéance, ce qui correspondait aux indications données par l'intimée au cours de l'enquête économique sur le ménage (rapport du 3 mars 2014) et ce que l'administration ne conteste pas. Par ailleurs, le service social de la Commune de V._ avait indiqué que l'intimée, son partenaire et leurs filles étaient au bénéfice de l'aide sociale depuis le 1er janvier 2014 et ne vivaient ainsi que du minimum vital prévu par l'aide sociale neuchâteloise (attestation du 24 octobre 2014). Par conséquent, comme l'intimée et son concubin bénéficiaient tous deux de l'aide sociale au moment de la décision administrative litigieuse (du 24 septembre 2014), la juridiction cantonale n'avait pas à vérifier plus avant "la situation professionnelle et les revenus de l'intéressé", en particulier ordonner la production du dossier de l'assurance-chômage, voire entendre B._ comme le requérait l'administration. La situation financière défavorable de la famille de l'assurée était alors suffisamment établie par l'attestation de la commune de domicile, qui avait dû s'assurer au préalable de l'absence de revenus (suffisants) des bénéficiaires concernés. En renonçant, au terme d'une appréciation anticipée des preuves (cf. ATF 136 I 229 consid. 5.3 p. 236; 124 V 90 consid. 4b p. 94) qui n'apparaît nullement arbitraire, à des mesures d'instruction jugées superflues, les premiers juges n'ont pas violé le droit. Le grief de l'office recourant est mal fondé.
4.
Ensuite de ce qui précède, le recours est rejeté. Le présent arrêt rend sans objet la demande d'effet suspensif présentée par l'administration.
5.
Vu l'issue de la procédure, l'office recourant doit supporter les frais judiciaires y afférents (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'office recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 18 novembre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Cretton