Sachverhalt:
A. Der 1956 geborene B._ ist seit November 2006 bei der IV-Stelle Bern zum Leistungsbezug angemeldet. Diese sprach ihm mit Verfügung vom 24. Juli 2007 eine ab 1. Oktober 2006 laufende ganze Invalidenrente zu. Anlässlich eines von Amtes wegen durchgeführten Revisionsverfahrens verfügte die Verwaltung am 8. November 2011 die Aufhebung der Invalidenrente. Dagegen liess B._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, einreichen.
B. Während des Beschwerdeverfahrens hob die IV-Stelle die angefochtene Verfügung vom 8. November 2011 wiedererwägungsweise auf und ersetzte sie durch eine neue Verfügung (vom 11. Januar 2012). Daraufhin schrieb das Verwaltungsgericht des Kantons Bern das Beschwerdeverfahren als gegenstandslos geworden ab; es erhob keine Verfahrenskosten und sprach keine Parteientschädigung zu (Entscheid vom 16. Januar 2012).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt B._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides bezüglich der Parteientschädigung und die Zusprechung einer Entschädigung beantragen.
Während die IV-Stelle auf Gutheissung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden (Art. 82 ff. BGG). Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG) - Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer Anspruch auf Ersatz der Parteikosten für das gegenstandslos gewordene vorinstanzliche Beschwerdeverfahren hat.
2.1 Bei Gegenstandslosigkeit des kantonalen Beschwerdeverfahrens besteht ein bundesrechtlich begründeter (Art. 61 lit. g ATSG) Entschädigungsanspruch der Beschwerde führenden Partei, wenn es die Prozessaussichten rechtfertigen, wie sie sich vor Eintritt der Gegenstandslosigkeit darboten (SVR 2004 ALV Nr. 8 S. 22 E. 3.1, C 56/03; Urteil 8C_652/2009 vom 7. Juni 2010).
2.2 Entscheidend ist demnach in erster Linie der mutmassliche Ausgang des Prozesses (BGE 125 V 373 E. 2a S. 374). Dabei geht es in Anlehnung an Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 72 BZP nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen. Vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden. Lässt sich der mutmassliche Ausgang eines Verfahrens im konkreten Fall nicht ohne weiteres feststellen, ist auf allgemeine zivilprozessrechtliche Kriterien zurückzugreifen. Danach wird in erster Linie jene Partei kosten- und entschädigungspflichtig, die das gegenstandslos gewordene Verfahren veranlasst oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben (SVR 2004 ALV Nr. 8 S. 21 E. 3.1, C 56/03; 1998 UV Nr. 11 S. 29 E. 6a mit Hinweisen, U 197/96; Urteil 8C_652/2009 vom 7. Juni 2010).
2.3 Bei der Beurteilung des mutmasslichen Ausganges des kantonalen Beschwerdeverfahrens ist davon auszugehen, dass die IV-Stelle ihre Verfügung vom 8. November 2011 lite pendente in Wiedererwägung zog und eine neue Verfügung (vom 11. Januar 2012) erliess, mit welcher sie dem beschwerdeweise geltend gemachten Begehren des Versicherten vollumfänglich entsprach. Damit liegt im Erlass der Verfügung vom 11. Januar 2012 der Grund für den Eintritt der Gegenstandslosigkeit. Der Beschwerdeführer ist damit im vorinstanzlichen Verfahren als vollständig obsiegend zu betrachten. Er hat damit Anspruch auf eine Parteientschädigung für das kantonale Beschwerdeverfahren zu Lasten der IV-Stelle. Deren Höhe kann gemäss aufgelegter Kostennote vom Bundesgericht festgesetzt werden (Art. 68 Abs. 2 und Abs. 5 BGG).
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend gehen die Gerichtskosten zu Lasten der Beschwerdegegnerin (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 16. Januar 2012 aufgehoben, soweit er die Parteientschädigung betrifft, und es wird die von der IV-Stelle auszurichtende Parteientschädigung für das erst- und letztinstanzliche Beschwerdeverfahren auf Fr. 1'809.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) festgesetzt.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 600.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Mai 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Batz