Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 25. Juli 1925) leidet gemäss ärztlichen Befunden an einer mittelschweren bis schweren Demenz bei Alzheimerkrankheit. Bis zu ihrer Hospitalisierung im Juni 2010 hatte sie in ihrer eigenen Wohnung in Basel gewohnt. Am 5. Juli 2010 wurde X._ von der Akutgeriatrie des Universitätsspitals Basel ins Felix-Platter-Spital in Basel eingewiesen, wo sie sich bis zum 23. August 2010 aufhielt. Am 4. August 2010 unterzeichnete sie eine Generalvollmacht zugunsten ihrer Schwiegertochter, Y._. Nach ihrer Entlassung aus dem Felix-Platter-Spital wohnte X._ vorübergehend bei ihrem Sohn Z._ und dessen Ehefrau Y._ im Kanton Zürich. Am 7. September 2010 trat sie in das Heim W._ in V._ ein. Die Weihnachtstage 2010 verbrachte X._ offenbar zusammen mit ihrem Sohn U._ in Basel. Nach V._ ins Heim W._ ist sie im Anschluss an diesen Aufenthalt nicht mehr zurückgekehrt. Mit Schreiben vom 29. Dezember 2010 widerrief X._ die zugunsten von Y._ ausgestellte Generalvollmacht.
A.b Am 19. Januar 2011 stellten Z._ und Y._ bei der Vormundschaftsbehörde Basel-Stadt den Antrag, X._ sei unter Vormundschaft zu stellen und Y._ als Vormund einzusetzen. Mit Beschluss vom 15. April 2011 errichtete die Vormundschaftsbehörde für X._ eine kombinierte Beistandschaft gemäss Art. 392 Ziff. 1 i.V.m. Art. 393 Ziff. 2 ZGB und ernannte lic. iur. A._ als Beistand. Einer allfälligen Beschwerde entzog sie die aufschiebende Wirkung.
B. Gegen diesen Beschluss erhoben Z._ und Y._, beide vertreten durch Rechtsanwalt Frank Hangartner, am 27. April 2011 Beschwerde beim Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt (WSU) des Kantons Basel-Stadt. Sie beantragten, den Beschluss aufzuheben, eventuell eine fürsorgerische Freiheitsentziehung anzuordnen, sub-eventuell als (vorsorglicher) Vormund Y._ einzusetzen, und auf jeden Fall die aufschiebende Wirkung der Beschwerde wieder herzustellen. X._ hat selber keine Beschwerde erhoben. Mit Zwischenentscheid vom 9. Juni 2011 wies das WSU das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ab.
C. Hiergegen reichte Rechtsanwalt Frank Hangartner beim Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt eine Rekursschrift ein. Als seine Klientin und Rekurrentin bezeichnete er "X._, vertreten durch Vollmacht an Frau Y._ und durch den Sohn Herrn Dr. Z._". Mit Urteil vom 19. September 2011 trat das als Verwaltungsgericht handelnde Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt auf den Rekurs nicht ein. Es begründete sein Urteil im Wesentlichen damit, dass die an Y._ erteilte Vollmacht entweder gar nie gültig zustande gekommen, auf jeden Fall aber erloschen und dass Sohn Z._ nicht automatisch gesetzlicher Vertreter seiner Mutter sei. Ebenso wenig könne der Rekurs als im Namen von Z._ und Y._ verstanden werden. Die Kosten auferlegte das Verwaltungsgericht Y._ und Z._, weil diese die Kosten verursacht hätten.
D. Mit Eingabe vom 9. November 2011 gelangt Rechtsanwalt Frank Hangartner an das Bundesgericht. Als Beschwerdeführer bezeichnet er "Frau Dr. X._, vertreten durch Vollmacht an Frau Y._ und durch den Sohn Herrn Dr. Z._" sowie "Frau Y._" und "Herrn Dr. Z._". Im Namen dieser Personen wird beantragt, die aufschiebende Wirkung der Beschwerde an das WSU vom 27. April 2011 gegen den Beschluss der Vormundschaftsbehörde sei wieder herzustellen; eventuell sei das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt aufzuheben und die Angelegenheit an die Vorinstanz zur materiellen Behandlung zurückzuweisen.
Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Mit Verfügung vom 1. Dezember 2011 hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit ohne Vermögenswert, die in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht. Die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (vgl. Urteile 5A_17/2007 vom 6. März 2007 E. 2.2; 5A_107/2008 vom 28. März 2008 E. 1.2). Die Beschwerde in Zivilsachen erweist sich mithin als zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6, Art. 75 Abs. 1 und Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG)
1.2 Die Beschwerde wird ausdrücklich im Namen von X._ geführt, angeblich gestützt auf eine Generalvollmacht handelnd durch ihre Schwiegertochter Y._ sowie gesetzlich vertreten durch ihren Sohn Z._; beide haben ihrerseits Rechtsanwalt Frank Hangartner bevollmächtigt.
1.2.1 Y._ beruft sich auf eine von X._ unterzeichnete Generalvollmacht vom 4. August 2010. Gemäss dem Wortlaut der Vollmacht, der für die Bestimmung des Umfanges derselben massgebend ist, beschränkt sich diese auf Angelegenheiten, "in denen eine rechtsgeschäftliche Vertretung möglich ist." Nun geht es in der Hauptsache um die Entmündigung der Vollmachtgeberin. Diese vormundschaftliche Massnahme ist ein hoheitlicher Akt, der nur von dafür zuständigen Behörden ausgesprochen werden kann (Art. 373 ZGB). Wohl ist eine Entmündigung auf eigenes Begehren möglich (Art. 372 ZGB), aber diesem kann nur entsprochen werden, wenn die gesetzlichen Voraussetzungen (Urteilsfähigkeit; infolge von Altersschwäche oder anderen Gebrechen oder aus anderen Gründen gegebene Unfähigkeit, die eigenen Angelegenheiten gehörig zu besorgen) erfüllt sind. Eine rechtsgeschäftliche Entledigung der eigenen Mündigkeit ist nicht möglich. Damit kann die Generalvollmacht vom 4. August 2010 auch nicht die Befugnis enthalten haben, im Falle einer zukünftig allenfalls eintretenden Urteilsunfähigkeit der Vollmachtgeberin ein gegen diese gerichtetes Entmündigungsverfahren einzuleiten. Daraus folgt ohne weiteres, dass die angerufene Generalvollmacht auch keine Grundlage für die Mandatierung eines Anwaltes für das Ergreifen eines Rechtsmittels in einem Entmündigungsverfahren hergeben kann. Bei diesem Ergebnis braucht nicht geprüft zu werden, ob X._ am 29. Dezember 2011 die Vollmacht vom 4. August 2010 gültig widerrufen konnte.
1.2.2 Sodann hält Z._ die bereits im Verfahren 5A_573/2011 vertretene Theorie, wonach er als Sohn "'automatisch' zur Vertretung von [X._] bevollmächtigt" sei, aufrecht. Aus welcher gesetzlichen Bestimmung das beanspruchte gesetzliche Vertretungsrecht abzuleiten ist, legt er indes nicht dar; ein solches ist und bleibt unerfindlich.
Wohl trifft zu, dass "jedermann, der ein Interesse hat," in vormundschaftlichen Verfahren zugunsten einer von einer vormundschaftlichen Massnahme betroffenen Person intervenieren kann (Art. 420 ZGB; BGE 137 III 67 E. 3.4 S. 70 ff.). Dass Z._ im Sinne dieser Bestimmung legitimiert ist, zugunsten seiner Mutter vor Behörden Rechte geltend zu machen und Rechtsmittel zu ergreifen, ist unbestritten und wurde vom Appellationsgericht ausdrücklich anerkannt. Er verkennt allerdings die Bedeutung dieser Berechtigung, wenn er daraus ableitet, er als interessierter Dritter werde gleichsam zum gesetzlichen Vertreter desjenigen, zugunsten dessen interveniert wird.
1.2.3 Nach dem Gesagten konnten weder Y._ noch Z._ gültig Rechtsanwalt Hangartner mit der Vertretung der Interessen von X._ beauftragen. Da behauptet wird, letztere sei nicht (mehr) urteilsfähig, erübrigt es sich, eine Frist zur Nachreichung der Vollmacht anzusetzen. Auf die im Namen von X._ eingereichte Beschwerde ist nicht einzutreten.
1.3 Hingegen sind Y._ (Beschwerdeführerin) und Z._ (Beschwerdeführer) ohne weiteres zur Beschwerde legitimiert, denn sie haben ein schutzwürdiges Interesse (Art. 76 Abs. 1 BGG) an der Überprüfung der dem Bundesgericht unterbreiteten Frage, ob das Appellationsgericht die allein namens von X._ eingereichte Beschwerde als von ihnen erhobenes Rechtsmittel hätte behandeln müssen.
1.4 Ist die Vorinstanz, wie hier, nicht auf ein Rechtsmittel eingetreten, kann sich die Beschwerde an das Bundesgericht von vornherein nicht auf die materielle Beurteilung des vorinstanzlich gestellten Antrages beziehen, sondern nur gegen das Nichteintreten richten. Daher ist auf das principaliter gestellte Begehren nicht einzutreten. Zu prüfen bleibt deshalb nur das Eventualbegehren.
2. 2.1 Für das Verfahren hat das Appellationsgericht das kantonale Gesetz über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege (VRPG; SG 270.100) angewendet. Es erwog, die Beschwerdeführerin und der Beschwerdeführer seien zwar als Adressaten des angefochtenen Zwischenentscheids und Beschwerdeführende im Verfahren vor dem WSU formell zum Rekurs legitimiert gewesen. Weil sie aber vor dem Appellationsgericht ausdrücklich keine eigene materielle Beschwer geltend gemacht hätten, könne das Rechtsmittel nicht auch als im Namen der Beschwerdeführerin und des Beschwerdeführers erhoben verstanden werden. Das Appellationsgericht hat den Rekurs ausschliesslich als im Namen von X._ erhoben erachtet und ist darauf nicht eingetreten (E. 1.2.3 des angefochtenen Urteils).
2.2 Die behauptete Pflicht, den Rekurs als solchen der Beschwerdeführerin und des Beschwerdeführers entgegenzunehmen, ergäbe sich in erster Linie aus dem kantonalen Verfahrensrecht; ein unmittelbar aus Verfassung oder materiellem Bundesrecht abgeleiteter Anspruch wird weder behauptet noch dargetan und ist im Übrigen auch nicht ersichtlich.
2.2.1 Die Anwendung des kantonalen Prozessrechts kann indes nicht direkt bzw. mit voller Kognition, sondern einzig auf Willkür, d.h. auf eine Verletzung von Art. 9 BV hin geprüft werden (BGE 134 II 349 E. 3 S. 351). Dies setzt - wie im Übrigen generell bei der Geltendmachung von Verfassungsverletzungen - entsprechend substanziierte Rügen voraus (Art. 106 Abs. 2 BGG; Rügepflicht). Danach ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Nach der bundesgerichtlichen Praxis liegt Willkür nicht schon vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre (BGE 132 I 175 E. 1.2 S. 177; 131 I 467 E. 3.1 S. 473 f.; je mit Hinweisen), sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Schliesslich hebt das Bundesgericht einen Entscheid nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen).
2.2.2 Die Beschwerdeführer berufen sich zwar auf Art. 9 und Art. 29 Abs. 2 BV, unterlassen es jedoch, den massgeblichen Gesetzesartikel zu benennen bzw. einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz anzuführen, der willkürlich angewandt worden sein soll. Damit sieht sich das Bundesgericht von vornherein ausserstande, die Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts auf Willkür hin zu prüfen. Auf die Beschwerde kann daher auch unter diesem Gesichtspunkt nicht eingetreten werden.
3. Bei diesem Ergebnis unterliegen die Beschwerdeführer und werden kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG); sie haften solidarisch (Art. 66 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden Y._ und Z._ unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, den Vormundschaftsbehörde des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Januar 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Schwander