Sachverhalt:
A.
Die brasilianische Staatsangehörige X._ reiste im Mai 2004 in die Schweiz ein, heiratete am 29. Juli 2005 den Schweizer Bürger Y._ und erhielt in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung.
Aus einer früheren Ehe in Brasilien hat X._ einen Sohn namens Z._ (geb. 9. Mai 1999). Er lebte nach der Scheidung seiner Eltern beim Vater in Brasilien. Die Betreuung erfolgte durch den Vater, dessen neue Familie sowie die Grossmutter mütterlicherseits. Am. 10. Juli 2012 erteilte der Gerichtshof des Bundesstaates São Paulo (Brasilien) X._ das "endgültige" Sorgerecht für ihren Sohn, worauf dieser am 11. Juli 2012 zusammen mit der Mutter in die Schweiz einreiste. Seit August 2012 besucht Z._ die Schule in der Schweiz.
B.
Im August 2012 ersuchte X._ um Familiennachzug für ihren Sohn. Das Departement des Innern (Migration und Schweizer Ausweise) des Kantons Solothurn wies das Gesuch am 10. Januar 2013 mangels wichtiger Gründe für den Familiennachzug ab. Die dagegen erhobene Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn blieb erfolglos (Urteil vom 28. Mai 2013).
C.
Vor Bundesgericht beantragt X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 28. Mai 2013 aufzuheben und den Familiennachzug für Z._ zu bewilligen, eventuell die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Anweisung, den Sohn persönlich zum Familiennachzug anzuhören.
Das Departement des Innern des Kantons Solothurn und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 139 III 133 E. 1 S. 133; 138 I 435 E. 1 S. 439; je mit Hinweisen).
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG unzulässig gegen Entscheide betreffend die Erteilung oder Verweigerung von Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. An einem Rechtsanspruch fehlt es, wenn keine gesetzliche Norm die Voraussetzungen der Bewilligungserteilung näher regelt und diesbezügliche Kriterien aufstellt (BGE 133 I 185 E. 6.1 S. 198). Für das Eintreten genügt ein potenzieller Anspruch im Rahmen der gesetzlichen Bestimmungen; ob der Familiennachzug letztlich zu gewähren ist, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (BGE 137 I 305 E. 2.5 S. 315, 284 E. 1.3 S. 287; 136 II 177 E. 1.1 S. 179).
1.2. Art. 44 AuG (SR 142.20) räumt der Beschwerdeführerin - anders als Art. 42 und 43 AuG - keinen Nachzugsanspruch im Sinne von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ein (BGE 137 I 284 E. 1.2 S. 287; 137 II 393 E. 3.3 S. 397). Für den Nachzug ihres Sohnes kann sich die Beschwerdeführerin jedoch auf den Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV berufen: Durch das Zusammenleben mit dem Schweizer Ehegatten hat sie selbst einen Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung (vgl. Art. 42 Abs. 1 AuG) und damit ein gefestigtes Anwesenheitsrecht. Zudem macht die Beschwerdeführerin eine intakte und tatsächlich gelebte Beziehung zu ihrem Sohn geltend. Insoweit ist das ordentliche Rechtsmittel nach Art. 82 ff. BGG zulässig und die Eingabe als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen (BGE 137 I 284 E. 1.3 S. 287 mit Hinweisen). Die übrigen Prozessvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
1.3. Gegen den kantonalen Wegweisungsentscheid steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (Art. 83 lit. c Ziff. 4 und Art. 113 BGG), soweit die Verletzung besonderer verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht wird (Art. 115 und 116 BGG; vgl. BGE 137 II 305 ff.). Dabei kann die betroffene Person trotz fehlender Legitimation in der Sache die Verletzung von Parteirechten rügen, deren Missachtung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt (sog. "Star"-Praxis; BGE 137 II 305 E. 2 S. 308; 114 Ia 307 E. 3c S. 313).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 138 I 274 E. 1.6 S. 280 mit Hinweis). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, darin eingeschlossen solcher, die sich aus Völkerrecht ergeben, gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 138 V 74 E. 2 S. 76 f.; 138 I 367 E. 5.2 S. 373, 274 E. 1.6 S. 280 f.; Urteil 2C_806/2012 vom 12. Juli 2013 E. 2.2, zur Publikation vorgesehen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 138 I 274 E. 1.6 S. 280 f.). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt in diesem Sinne mangelhaft erscheint und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; 133 III 350 E. 1.3 S. 351 f.). Rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den Begründungs- bzw. Rügeanforderungen nicht (BGE 136 II 101 E. 3 S. 104 f.).
3.
3.1. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin war die Vorinstanz gestützt auf Art. 12 Abs. 2 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (UNO-Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) nicht verpflichtet, das Kind von Amtes wegen persönlich anzuhören. Der justiziable Anhörungsanspruch nach Art. 12 Abs. 2 KRK wurde dadurch gewahrt, dass das kantonale Verfahren der beschwerdeführenden Mutter genügend Möglichkeit bot, die Kindesinteressen angemessen in das Verfahren einzubringen, und der Standpunkt des Kindes auch tatsächlich in das Verfahren einfloss (BGE 124 II 361 E. 3c S. 368; Urteile 2C_930/2012 vom 10. Januar 2013 E. 4.4.1; 2C_247/2012 vom 2. August 2012 E. 3.2; 2C_372/2008 vom 25. September 2008 E. 2; 2D_21/2007 vom 9. August 2007 E. 4.2).
3.2. Die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin hat im kantonalen Verfahren keine persönliche Anhörung ihres Sohnes beantragt, äusserte sich jedoch in der Beschwerdeschrift zu den Kindesinteressen, reichte Erklärungen des Vaters und der Grossmutter sowie einen Bericht aus dem Scheidungsverfahren ein. Dieser Bericht vom 3. Mai 2012, unterzeichnet von einer Gerichtspsychologin und einer Sozialassistentin, beruht auf einem persönlichen Gespräch mit Z._ und gibt dessen Standpunkt wie folgt wieder:
"Während des Gespräches drückte der Minderjährige seinen grossen Wunsch aus, mit seiner Mutter zusammenzuleben, an ihrem Leben teilzuhaben und ihre Unterstützung bei seinem Heranwachsen zu erhalten. Er habe vor zu studieren und Fremdsprachen (Deutsch und Französisch) zu lernen. Seine Mutter sei seine beste Freundin, und er verstehe sich mit ihr, seinem Stiefvater und seinem Bruder W._ sehr gut."
3.3. Ein weitergehender Einbezug des Kindes mag zwar geeignet sein, eine am Kindeswohl orientierte Entscheidung zu fördern. Doch es handelt sich hierbei um Fragen der optimalen Verfahrensausgestaltung, die in erster Linie vom Gesetzgeber zu beantworten sind (Urteil 2C_331/2012 vom 29. Oktober 2012 E. 2.2 mit Hinweis).
4.
4.1. Unstrittig ist, dass die Frist für den ordentlichen Familiennachzug nach Art. 47 AuG, welche auch im Rahmen von Art. 44 AuG Geltung hat (BGE 137 II 393 E. 3.3 S. 395 ff.), vorliegend nicht eingehalten worden ist. Der Sohn der Beschwerdeführerin war bei Einreichung des Gesuchs um Familiennachzug 13 Jahre und 3 Monate alt. Die Fünfjahresfrist nach Art. 47 Abs. 1 AuG begann mit Inkrafttreten des AuG am 1. Januar 2008 zu laufen, blieb bis zum zwölften Geburtstag des Kindes am 9. Mai 2011 massgebend und verkürzte sich anschliessend auf ein Jahr und damit bis zum 9. Mai 2012 (Art. 47 Abs. 1 und 3 lit. b sowie Art. 126 Abs. 3 AuG; Art. 73 Abs. 1 und 2 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]; BGE 137 II 393 E. 3.3 S. 396 mit Hinweisen; Urteile 2C_981/2010 vom 26. Januar 2012; 2C_205/2011 vom 3. Oktober 2011 E. 3.5). Die Beschwerdeführerin kann sich demnach einzig auf den nachträglichen Familiennachzug nach Art. 47 Abs. 4 AuG berufen, der wichtige familiäre Gründe voraussetzt (BGE 137 I 284 E. 2.3.1 S. 291; Urteil 2C_276/2011 vom 10. Oktober 2011 E. 4, nicht publ. in: BGE 137 II 393; zu den übrigen Voraussetzungen für einen Familiennachzug gestützt auf Art. 44 AuG vgl. Urteil 2C_194/2011 vom 17. November 2011 E. 2.2.2).
4.2. Wichtige familiäre Gründe liegen namentlich dann vor, wenn das Kindeswohl nur durch einen Nachzug in die Schweiz gewahrt werden kann (vgl. Art. 75 VZAE; BGE 137 I 284 E. 2.3.1 S. 291). Zu prüfen ist stets, ob im Heimatland nicht alternative Betreuungsmöglichkeiten bestehen, die es dem Kind erlauben, dort zu bleiben, wo es aufgewachsen ist. Gerade Jugendliche, die bisher stets im Heimatland gelebt haben, sind nur mit Zurückhaltung aus ihrer bisherigen Umgebung und dem vertrauten Beziehungsnetz zu reissen (BGE 137 I 284 E. 2.2 S. 289; 133 II 6 E. 3.1.2 S. 11 f.; Urteil 2C_132/2012 vom 19. September 2012 E. 2.3.1 mit Hinweisen). Bei der Beurteilung, ob wichtige familiäre Gründe vorliegen, kann im Wesentlichen die unter dem früheren Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG, BS 1 121) entwickelte Praxis zum Nachzug zu nur einem Elternteil beigezogen werden (BGE 137 I 284 E. 2.3.1 S. 291; 136 II 78 E. 4.7 S. 86; vgl. zu dieser Praxis: BGE 136 II 78 E. 4.1 S. 80; 130 II 1 E. 2 S. 3; 124 II 361 E. 3a S. 386; Urteil 2C_8/2008 vom 14. Mai 2008 E. 2.1).
4.3. Dabei dürfen auch die durch einen nachträglichen Familiennachzug drohenden Integrationsschwierigkeiten in die Interessenabwägung einfliessen. Ist es doch gerade Sinn und Zweck der Fristenregelung, die Kinder frühzeitig nachzuziehen, um ihnen eine möglichst umfassende Schulbildung in der Schweiz zu ermöglichen und so die Integration zu erleichtern. Zudem ist Nachzugsgesuchen entgegenzuwirken, die rechtsmissbräuchlich erst kurz vor Erreichen des erwerbstätigen Alters gestellt werden, wobei die erleichterte Zulassung zur Erwerbstätigkeit und nicht (mehr) die Bildung einer echten Familiengemeinschaft im Vordergrund steht (Botschaft vom 8. März 2002 zum Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, BBl 2002 3709, 3754 f. Ziff. 1.3.7.7). Nach der Rechtsprechung bedarf es einer Gesamtschau unter Berücksichtigung aller relevanten Elemente im Einzelfall. Die Bewilligung des Nachzugs nach Ablauf der Fristen hat nach dem Willen des Gesetzgebers die Ausnahme zu bleiben; dabei ist Art. 47 Abs. 4 Satz 1 AuG jeweils dennoch so zu handhaben, dass der Anspruch auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV nicht verletzt wird (Urteile 2C_97/2013 vom 26. August 2013 E. 2.3; 2C_906/2012 vom 5. Juni 2013 E. 3.2; 2C_900/2012 vom 25. Januar 2013 E. 3.3). Die ausländische Person trifft bei den Feststellungen des entsprechenden Sachverhalts eine weitreichende Mitwirkungspflicht (Art. 90 AuG; BGE 126 II 335 E. 2b/cc S. 342; 124 II 361 E. 2b S. 365; Urteil 2C_1007/2011 vom 12. März 2012 E. 4.4 mit Hinweisen).
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, der Vater wie auch die Grossmutter seien nicht bereit, Z._ weiter zu betreuen. Dies werde durch eidesstattliche und notariell beglaubigte Erklärungen des Vaters wie der Grossmutter bestätigt. So habe namentlich der Vater ausgeführt, sein Sohn habe immer grössere Mühe bekundet, sich in der neu gegründeten Familie zurechtzufinden, sodass sein Sohn öfters ausriss, die Schule vernachlässigte und gar seine Verwahrlosung drohte. Die Gesundheitsprobleme des Sohnes seien durch einen Spitalbericht belegt, der mit neun Eintritten überdurschnittlich viele Notfallbehandlungen aufweise. Auch die Grossmutter leide nach eigener Erklärung unter Gesundheitsproblemen, was durch ein Arztzeugnis ihrer Frauen- und Hausärztin belegt sei. Unter diesen Umständen sei es offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich, davon auszugehen, die Rückkehr nach Brasilien entspreche dem Kindeswohl. Vielmehr sei dieses in der Schweiz besser gewahrt, wo die sorgerechtsberechtigte Beschwerdeführerin ihrem Sohn die Geborgenheit eines intakten Familienlebens bieten könne. Die Beschwerdeführerin habe in den ersten fünf Lebensjahren des Sohnes mit diesem zusammengelebt, spreche sehr gut Deutsch und habe den Kontakt zum Kind über viele Jahre von der Schweiz aus gepflegt. Die geringe Überschreitung der Nachzugsfrist lasse keine besonderen Integrationsschwierigkeiten erwarten; Z._ habe sich in der Schweiz bereits sehr gut eingelebt.
5.2. Die Vorbringen der Beschwerdeführerin lassen die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht als offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich erscheinen (Art. 97 BGG); das Verneinen wichtiger familiärer Gründe nach Art. 47 Abs. 4 AuG erweist sich als bundesrechtskonform (Art. 95 BGG) :
5.2.1. Die Vorinstanz hat die eidesstattlichen und notariell beglaubigten Erklärungen des Vaters und der Grossmutter sowie das Arztzeugnis und die weiteren Unterlagen pflichtgemäss einer kritischen Würdigung unterzogen (vgl. z.B. Urteile 2C_656/2007 vom 6. März 2008 E. 3.3.2; 2C_544/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 4.2; 2A.485/2006 vom 22. Februar 2007 E. 3.2; 2A.484/1999 vom 25. Februar 2000 E. 3d). Die genannten Erklärungen sind kurz und allgemein gehalten. In der eidesstattlichen Erklärung des Vaters und der Grossmutter vom 4. Oktober 2012 bleibt es beim knappen Hinweis, sie seien nicht in der Lage und hätten kein Interesse, das Sorgerecht zu übernehmen. Auch die weiteren Erklärungen vom 10. Oktober 2012 sind von der Vorinstanz ohne Willkür zurückhaltend gewürdigt worden. Das gilt zum einen für die knappen Äusserungen der Grossmutter zu ihren gesundheitlichen Problemen, deren Ausmass und Auswirkungen auch durch das beigelegte Arztzeugnis im Unklaren bleiben. Dieses wurde von der behandelnden Gynäkologin ausgestellt und spricht in unbestimmter Weise von "psychosozialen Problemen". Zum anderen durfte die Vorinstanz davon ausgehen, dass Konflikte der vom Vater geschilderten Art in der Entwicklungsphase eines Kindes bzw. Jugendlichen zu erwarten sind und sich nicht einzig mit der neuen Familie des Vaters erklären lassen, dessen Tochter aus der neuen Beziehung bereits im Jahr 2007 auf die Welt kam (vgl. Urteil 2A.469/2001 vom 6. März 2002 E. 3.2). Überdies werden weder die vom Vater erwähnten schulischen Schwierigkeiten noch die vorgebrachten Gesundheitsprobleme durch weitere Unterlagen erhärtet. Das Urteil zum Sorgerechtswechsel gibt darüber keinen Aufschluss. Zu Recht weist die Vorinstanz darauf hin, dass der eingereichte Spitalbericht lediglich belegt, dass sich Z._ in den Jahren 2003 bis 2009 neun Mal auf die Notfallstation begab und einmal aufgrund einer Mandeloperation chirurgisch behandelt wurde. Nähere Angaben zu den Behandlungen bzw. allfälligen Krankheiten fehlen. Aus den genannten Umständen zog die Vorinstanz willkürfrei den Schluss, dass weder eine erhebliche Veränderung der Betreuungsverhältnisse noch die geltend gemachten Gesundheitsprobleme oder gar eine drohende Verwahrlosung erstellt sind.
5.2.2. Der von Z._ selbst geäusserte Wunsch nach einem Leben bei seiner Mutter in der Schweiz, wo er studieren möchte, begründet noch keinen wichtigen familiären Grund im Sinne von Art. 47 Abs. 4 AuG (vgl. BGE 133 II 6 E. 6.2.2 S. 26 mit Hinweis). Zu berücksichtigen ist ausserdem, dass die Beschwerdeführerin die Trennung von ihrem Sohn mit der Ausreise in die Schweiz ursprünglich aus freien Stücken herbeigeführt und sich trotz behördlicher Aufklärung über die möglichen Konsequenzen über Jahre hinweg nicht um einen Nachzug ihres Sohnes bemüht hat (vgl. BGE 124 II 361 E. 3a S. 366; Urteil 2C_578/2012 vom 22. Februar 2013 E. 5.4).
5.3. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin verletzen auch die weiteren Ausführungen der Vorinstanz zum Kindeswohl kein Bundesrecht. Z._ hat seine Sozialisierung ebenso wie seine Ausbildung bis Mitte 2012 in Brasilien durchlaufen. Seinem ungeregelten und von Anfang an prekären Aufenthalt in der Schweiz kommt kein besonderes Gewicht zu. In Brasilien hat Z._ weder mit Sprachschwierigkeiten noch mit ungewohnten kulturellen Begebenheiten zu kämpfen. Mit den dortigen Verhältnissen ist er bestens vertraut. Dagegen sind in der Schweiz angesichts der nur mehr zweijährigen Schulpflicht und unzureichender Deutschkenntnisse Integrationsschwierigkeiten zu erwarten. Schliesslich ist nach einer Rückkehr von Z._ nach Brasilien angesichts seines jugendlichen Alters auch eine (Mit-) Betreuung durch Personen ausserhalb der Familie möglich und zumutbar (vgl. Urteile 2C_97/2013 vom 26. August 2013 E. 3.1.3; 2C_578/2012 vom 22. Februar 2013 E. 5.3; 2C_205/2011 vom 3. Oktober 2011 E. 4.7).
5.4. Daraus folgt, dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unbegründet und daher abzuweisen ist.
6.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist ebenfalls unbegründet und abzuweisen. Die erstmals vor Bundesgericht erhobene Rüge, der Sohn der Beschwerdeführerin wäre vor Ansetzen der Ausreisefrist persönlich anzuhören gewesen, dringt nicht durch. Es ist weder ersichtlich noch dargetan, weshalb diese Rüge nicht bereits im kantonalen Verfahren hätte erhoben werden können. Der Grundsatz der Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs und das Gebot von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 BV) verbieten es, formelle Rügen erst bei ungünstigem Verfahrensausgang zu erheben, wenn sie bereits früher hätten vorgebracht werden können (BGE 135 I 91 E. 2.1 S. 93; Urteile 2C_389/2012 vom 12. November 2012 E. 4.2; 2C_580/2010 vom 12. Januar 2011 E. 3.2). Im Übrigen bot das kantonale Verfahren nach dem Gesagten grundsätzlich genügend Möglichkeit, den Standpunkt des Kindes einfliessen zu lassen (vgl. oben E. 3). Besondere Vollzugshindernisse (vgl. Art. 83 AuG), die der subsidiären Verfassungsbeschwerde - unter Vorbehalt der qualifizierten Rügepflicht - zugänglich sind (BGE 137 II 305 E. 3.3 S. 310 f.), macht die Beschwerdeführerin nicht geltend.
7.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Egli