Sachverhalt:
Der 1964 geborene N._ bezog seit Mai 1996 eine halbe (Mitteilung vom 30. Januar 1997), seit April 1998 eine ganze Invalidenrente (Verfügung vom 29. Mai 1998). Die IV-Stelle für Versicherte im Ausland kam aufgrund von Abklärungen im Rahmen eines Revisionsverfahrens zum Schluss, der mittlerweile in Bosnien ansässige Versicherte habe mit Wirkung ab September 2007 keinen Anspruch mehr auf eine Invalidenrente (Art. 28 Abs. 1ter IVG in der bis Ende 2007 gültigen Fassung; nunmehr Art. 29 Abs. 4 IVG); sein aktueller Gesundheitszustand lasse es zu, mehr als die Hälfte des heute bei guter Gesundheit erreichbaren Erwerbseinkommens zu erzielen (Verfügung vom 16. Juli 2007).
Das Bundesverwaltungsgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 15. September 2009).
N._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei ihm, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, mit Wirkung ab Juli 2007 eine ganze, eventuell eine Dreiviertels- oder eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Zudem sei eine interdisziplinäre Begutachtung durch eine Klinik in der Schweiz, eventuell in Bosnien-Herzegowina, anzuordnen.
Das Bundesgericht weist das mit der Beschwerde erhobene Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab (Verfügung vom 22. Dezember 2009).
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesverwaltungsgericht erkannte, die IV-Stelle habe in der strittigen Verfügung vom 16. Juli 2007 die seit Mai 1996 laufende halbe (ab April 1998 ganze) Invalidenrente des Beschwerdeführers zu Recht auf Ende August 2007 hin eingestellt (Art. 17 Abs. 1 ATSG), da sich der Gesundheitsschaden, namentlich die Rückenbeschwerden, seit der früheren Leistungszuerkennung (BGE 133 V 108) massgeblich gebessert habe.
1.2 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 132 V 393 zur auch unter der Herrschaft des BGG gültigen Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen im Bereich der Invaliditätsbemessung [Art. 16 ATSG]).
1.3 Die Vorinstanz hat die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen und die dazu ergangene Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2. Der Beschwerdeführer bezeichnet das Ergebnis der vorinstanzlichen Beweiswürdigung, er sei für leichtere Arbeiten und unter bestimmten Rahmenbedingungen in seiner Arbeitsfähigkeit nicht eingeschränkt, vor allem mit dem Argument als willkürlich, das für das Bundesverwaltungsgericht massgebliche interdisziplinäre Gutachten des Zentrums X._ vom 8. November 2006 lasse, unter anderem aufgrund unterbliebener geeigneter Diagnostik, ausser acht, dass er nach wie vor an einer Diskushernie und ausserdem an einer Arthrose des Kniegelenks sowie an einer Depression leide, und gelange deswegen zu falschen Schlüssen.
2.1 Die Vorbringen des Beschwerdeführers beziehen sich im Wesentlichen auf die vorinstanzliche Feststellung über eine massgebliche Veränderung von Gesundheitsschaden und Arbeitsfähigkeit, somit auf bundesgerichtlich nur eingeschränkt überprüfbare Tatfragen (vgl. BGE 132 V 393).
2.2 Im interdisziplinären Gutachten vom 8. November 2006 wird insbesondere festgehalten, eine Diskusprotrusion (im Bereich L3/4 und L4/5) sei mit einer leidensangepassten vollzeitlichen Tätigkeit nunmehr vereinbar. Das Vorbringen des Beschwerdeführers, die Administrativgutachter hätten die medizinischen Vorakten unbeachtet gelassen, trifft nicht zu, wie sich aus dem Aktenauszug der Expertise ergibt. Es kann nicht gesagt werden, die Vorinstanz habe den Grundsatz der freien Beweiswürdigung (Art. 61 lit. c ATSG) verletzt, indem sie auf die betreffende Expertise abgestellt hat. Im Weiteren steht die ausschlaggebende Feststellung der Vorinstanz, mit dem Wegfall der - früher ausgewiesenen - Diskushernie sei eine objektive Besserung des Gesundheitsschadens eingetreten (E. 7.3 des angefochtenen Entscheids und dort angegebene ärztliche Berichte), nicht in offensichtlichem Widerspruch zu den Akten.
Auch die vom Versicherten eingereichten, teilweise nach der Administrativverfügung vom 16. Juli 2007 datierenden Unterlagen deuten nicht auf ein akutes, die Leistungsfähigkeit erheblich einschränkendes Geschehen hinsichtlich der Bandscheibenbeschwerden hin (vgl. etwa Berichte der Klinik Z._ vom 13. Februar 2006 und 8. August 2007); mitunter ist auch hier von (blossen) Protrusionen und nicht von Vorfällen (Hernien) der Bandscheibe die Rede (Bericht der Klinik A._ vom 5. März 2007).
2.3 Schliesslich tut der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern eine Arthrose des Kniegelenks und eine Depression seine Leistungsfähigkeit erheblich beeinflussen. Aus den Akten ergibt sich diesbezüglich keine Notwendigkeit für eine nähere medizinische Abklärung (vgl. zur antizipierten Beweiswürdigung BGE 124 V 90 E. 4b S. 94; 122 V 157 E. 1d S. 162).
2.4 Nach dem Gesagten weist die vorinstanzliche Würdigung des medizinischen Dossiers keine augenfälligen Mängel auf, welche eine offensichtliche Unrichtigkeit oder eine Unvollständigkeit der diesbezüglichen Feststellungen begründen könnten (vgl. Art. 105 Abs. 2 BGG). Da Anhaltspunkte für eine anderweitig rechtswidrige Bemessung des Invaliditätsgrades nicht ersichtlich sind, besteht kein Anlass für eine Weiterung des Prüfungsprogramms (vgl. BGE 110 V 48 E. 4a S. 53). Mithin ist die vorinstanzliche Schlussfolgerung, der Anspruch auf eine Invalidenrente falle auf Ende August 2007 hin weg, nicht zu beanstanden.
2.5 Die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers reicht mit Eingabe vom 11. Januar 2010 ein in bosnischer Sprache verfasstes Attest der medizinischen Einrichtung "B._" ein, in welchem offenbar von einer Behandlung vom 7. bis 18. Dezember 2009 berichtet wird (Diagnosen: "Block corporis v. C4-C5; Hernia disci i.v. C3-C4 et TH II_TH III; Stenosis canalis spinalis reg. L3-L4, L4-L5; Sponadylosis deff.v. in toto"). Die Entwicklung des rechtserheblichen Sachverhalts wird im Rahmen dieses Verfahrens indessen nur bis zum Zeitpunkt des Abschlusses des Verwaltungsverfahrens (Verfügung vom 16. Juli 2007) betrachtet (BGE 132 V 215 E. 3.1.1 S. 220).
3. Die Beschwerde hatte - in Bezug auf den zeitlich massgebenden Sachverhalt - keine Aussicht auf Erfolg, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG ohne Durchführung des Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den vorinstanzlichen Entscheid erledigt wird (Art. 102 Abs. 1 und Art. 109 Abs. 3 BGG).
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Februar 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub