Sachverhalt:
A. Der 1966 geborene H._ arbeitete bis 13. September 2004 als Einrichter bei der Firma F._ AG. Am 29. März 2005 meldete er sich bei der Invalidenversicherung an. Mit Verfügung vom 14. Juni 2007 verneinte die IV-Stelle des Kantons Solothurn den Anspruch auf berufliche Massnahmen und Invalidenrente (Invaliditätsgrad 15 %). Mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 16. Mai 2008 hob das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn diese Verfügung auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit sie den Sachverhalt im Sinne der Erwägungen ergänze und über den Leistungsanspruch neu verfüge. Diese holte ein polydisziplinäres Gutachten der Akademie X._, Spital Y._, vom 2. Dezember 2009 ein. Mit Verfügung vom 23. April 2010 verneinte sie den Anspruch auf berufliche Massnahmen und Invalidenrente (Invaliditätsgrad 15 %).
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das kantonale Gericht mit Entscheid vom 29. Juni 2011 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt der Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides seien ihm rückwirkend die gesetzlichen Leistungen auszurichten; eventuell sei die Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen an die Vorinstanz resp. die IV-Stelle zurückzuweisen; für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; nicht publ. E. 1 des Urteils BGE 135 V 306, in SVR 2009 IV Nr. 52 S. 161 [8C_763/2008]).
Die auf Grund medizinischer Untersuchungen gerichtlich festgestellte Arbeitsfähigkeit ist Tatfrage (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397). Rechtsfragen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232). Die konkrete Beweiswürdigung ist Tatfrage (nicht publ. E. 4.1 des Urteils BGE 135 V 254, in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]; Urteil 8C_594/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 1).
2. Der Sachverhalt verwirklichte sich teilweise vor dem Inkrafttreten der 5. IV-Revision am 1. Januar 2008. Die Vorinstanz erkannte richtig, dass bis 31. Dezember 2007 auf die damals geltenden Bestimmungen und danach auf die neuen Normen der 5. IV-Revision abzustellen ist (BGE 130 V 445). Dies ist jedoch ohne Belang, weil diese Revision bezüglich der Invaliditätsbemessung keine substanziellen Änderungen gebracht hat, sodass die zur altrechtlichen Regelung ergangene Rechtsprechung weiter gilt (Urteil 8C_546/2011 vom 14. November 2011 E. 2). Zudem legte die Vorinstanz die Grundlagen über die Invalidität (Art. 8 Abs. 1 ATSG; Art. 4 IVG), die Invaliditätsbemessung bei Erwerbstätigen nach dem Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG; Art. 28 Abs. 2 IVG in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen und Art. 28a Abs. 1 IVG in der seitherigen Fassung) sowie den Beweiswert ärztlicher Berichte bzw. Gutachten (vgl. E. 1 hievor) zutreffend dar. Darauf wird verwiesen.
3. Streitig und zu prüfen sind einzig linksseitige Schulterschmerzen mit Ausstrahlung links thorakal und in den linken Arm.
3.1 Im (internistischen, rheumatologischen, neurologischen, psychiatrischen und dermatologischen) Gutachten der Akademie X._ vom 2. Dezember 2009 wurde bezüglich der linken Schulter folgende Diagnose mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit gestellt: Chronisches Schmerzsyndrom mit möglichem Impingement, Periarthropathia humeroscapularis (PHS) links (ICD-10 M67.89), keine Hinweise für Psoriasis-Arthritis oder seronegative Spondylarthropathie. Die linksseitigen Schulterschmerzen mit Ausstrahlung links thorakal und in den linken Arm bestünden seit ca. 2002. Verschiedentlich seien bildgebende Abklärungen durchgeführt worden; lediglich in den MRI-Bildern habe sich der Verdacht auf eine Läsion der Supraspinatussehne gezeigt. Bei der aktuellen klinischen Untersuchung habe sich eine diskret eingeschränkte Beweglichkeit der linken Schulter gezeigt. Die Beschwerden könnten teilweise durch eine diskret ausgeprägte subacromiale Impingement-Symptomatik erklärt werden. Physiotherapeutische und infiltrative Behandlungen hätten zu keiner Schmerzlinderung beigetragen. Anamnestisch sei die Indikation zur operativen Sanierung gestellt worden, wozu sich der Versicherte bisher nicht habe entscheiden können. Aus Sicht des Bewegungsapparates bestehe für leichte bis mittelschwere Tätigkeit vollumfängliche Arbeitsfähigkeit. Für körperlich schwergradig belastende Arbeiten, insbesondere mit der Notwendigkeit von repetitiven Bewegungen und Anheben von Gewichten über 15 kg und Tätigkeiten über Schulterhöhe links, bestehe Arbeitsunfähigkeit. Dies begründe sich durch eine mögliche Schmerzexazerbation im Bereich der linken Schulter. Bezüglich der Schulterschmerzen werde ein nochmaliger Versuch mit Physiotherapie empfohlen; gegebenenfalls könne nochmals eine Steroid-Infiltration vorgenommen werden. Ansonsten werde - sofern nicht durchgeführt - eine nochmalige schulterorthopädische Beurteilung bezüglich Möglichkeiten einer operativen Revision (dieser Option sei der Versicherte bisher ablehnend gegenübergestanden) empfohlen.
3.2 Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, das rheumatologische Teilgutachten der Akademie X._ vom 23. Oktober 2009 erfülle die Anforderungen an eine medizinische Beurteilungsgrundlage. Die vorhandenen Röntgen- und MRI-Bilder wiesen praktisch durchwegs Normalbefunde auf. Auf den MRI-Bildern habe sich gemäss den rheumatologischen Gutachtern der Akademie X._ nur der Verdacht auf eine beginnende Läsion der Supraspinatussehne gezeigt. Ein Verdacht gebe per se nicht zwingend Anlass zu weiteren (bildgebenden) Untersuchungen. Zudem sage ein bildgebend nachweisbarer (geringer) Befund grundsätzlich noch nichts über die funktionellen Einschränkungen aus. Diesbezüglich entscheidend sei vor allem die klinische Untersuchung. Diese habe klare Ergebnisse gezeigt: eine diskrete Einschränkung der Beweglichkeit, die teilweise durch eine diskret ausgeprägte subacromiale Impingement-Symptomatik erklärbar sei. Damit sei eine leichtgradige Ausprägung dieser Symptomatik gemeint. Weitere bildgebende Abklärungen könnten dann in Frage kommen, wenn eine Operation ernsthaft erwogen werde, wozu sich der Versicherte bisher nicht entschieden habe. Unter diesen Umständen sei der Verzicht auf weitere bildgebende Abklärungen nicht zu beanstanden. Dies liege ohne Weiteres im Ermessensspielraum des medizinischen Experten. Empfohlen würden Physiotherapie, eine nochmalige Steroid-Infiltration und die Prüfung einer operativen Revision. Es könne davon ausgegangen werden, dass mit der Steorid-Infiltration die subacromiale Infiltration im Spital Z._ vom 30. August 2006 gemeint sei. Die Frage nach der Steorid-Infiltration sei somit beantwortet.
4. Das Impingementsyndrom ist eine Funktionsbeeinträchtigung des Schultergelenks durch Irritation der Rotatorenmanschette und der Bursa subacromialis unter dem Akromion. Die Diagnose gründet sich auf Impingement-Test nach Neer oder Hawkins, Infiltrationstest mit Lokalanästhetikum subacromial und gegebenenfalls auf Sonographie, Röntgen, MRT (Pschyrembel, Klinisches Wörterbuch, 263. Aufl., Berlin 2011, S. 983 f.).
Der Begriff PHS ist eine unpräzise Sammelbezeichnung für verschiedene degenerative Prozesse im Bereich von Rotatorenmanschette, Gelenkkapsel oder langer Bizepssehne am Schultergelenk, die zu schmerzhafter Bewegungseinschränkung führen (Pschyrembel, a.a.O., S. 1592). Die feinere Differenzierung ist vor allem der MRT und der Arthroskopie zu verdanken. Sinnvoll ist eine genauere diagnostische Abgrenzung vor allem jener Zustände, die einer spezifischen Behandlung zugänglich sind; dazu gehören Verkalkungen, Rotatorenmanschettenrisse und Impingementsyndrome. In den meisten Fällen ist die Diagnose bereits aufgrund von Anamnese und klinischer Untersuchung sowie mit einem konventionellen Röntgenbild möglich. Weitere Abklärungen sind nur nötig bei unklaren, ungewöhnlichen Zuständen und wenn eine operative Therapie möglicherweise in Frage kommt sowie bei ungeklärten Schmerzen, die über lange Zeit jeder Therapie trotzen. Im Rahmen der apparativen Diagnostik kommen in Frage das Röntgenbild, die Sonographie, die MRT, das Computertomogramm, die Arthroskopie und die Arthrographie (ALFRED M. DEBRUNNER, Orthopädie/Orthopädische Chirurgie, 4. Aufl., Bern 2002, S. 724 ff., insbes. S. 725 f.; Urteil 8C_700/2010 vom 24. November 2010 E. 4.2 mit Hinweisen).
5. 5.1 Aus dem Gutachten der Akademie X._ vom 2. Dezember 2009 und den übrigen medizinischen Akten geht hervor, dass der Versicherte seit ca. 2002 an andauernden therapieresistenten Schmerzen an der linken Schulter leidet. Im Rahmen der Begutachtung der Akademie X._ wurden diese Beschwerden klinisch-rheumatologisch beurteilt; im neurologischen Teil-Gutachten wurde dazu keine Beurteilung abgegeben.
Aufgrund der Akten steht fest, dass bezüglich der linken Schulter die letzte Arhtro-MRI am 2. September 2003 und die letzten Röntgenuntersuchungen am 7. Juni sowie 26. Oktober 2006 vorgenommen wurden. Bei der Beurteilung ist jedoch auf den bis zum Zeitpunkt der streitigen IV-Verfügung am 23. April 2010 eingetretenen Sachverhalt abzustellen (BGE 132 V 215 E. 3.1.1 S. 220).
Soweit die Vorinstanz gestützt auf das Gutachten der Akademie X._ vom 2. Dezember 2009 ausführte, in den MRI-Bildern habe sich der Verdacht auf eine beginnende Läsion der Supraspinatussehne gezeigt, wendet der Versicherte zu Recht ein, es sei zu prüfen, wie sich der Zustand seit den mehrere Jahre zurückliegenden bildgebenden Abklärungen entwickelt hat. Es drängt sich insbesondere die im Gutachten der Akademie X._ empfohlene schulterorthopädische Beurteilung auf. Denn die letzte orthopädische Untersuchung wurde aufgrund der Akten am 11. Oktober 2006 von Dr. med. B._, Allg. Orthopädie Schulterchirurgie, Leitender Arzt, Orthopädische Klinik, Spital Z._ durchgeführt; er diagnostizierte im Bericht gleichen Datums unter anderem chronische Schulterschmerzen links bei klinischem Verdacht auf Impingement; weiter empfahl er - in Kenntnis des Umstandes, dass eine Arthro-MRI der linken Schulter am 2. September 2003 durchgeführt worden war - aufgrund der komplexen Situation und nicht recht typischen Beschwerdeangabe eine erneute MRI-Abklärung.
Angesichts dieser Aktenlage ist eine schulterorthopädische Untersuchung nicht nur im Hinblick auf die Frage einer Operation, sondern auch betreffend die Frage der Arbeitsfähigkeit des Versicherten erforderlich. Nicht stichhaltig ist das Argument der Vorinstanz, entscheidend sei hinsichtlich seiner Arbeitsfähigkeit, dass im Rahmen der Begutachtung der Akademie X._ lediglich eine diskrete Einschränkung der Schulterbeweglichkeit festgestellt worden sei. Denn damit sind die Schmerzintensität seiner Beschwerden und die diesbezüglichen Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit nicht geklärt.
Nicht nachvollziehbar ist die vorinstanzliche Erwägung, mit der im Gutachten der Akademie X._ vom 2. Dezember 2009 empfohlenen nochmaligen Steorid-Infiltration sei die subacromiale Infiltration im Spital Z._ vom 30. August 2006 gemeint; denn die Gutachter der Akademie X._ machten diese Empfehlung in Kenntnis der damaligen Infiltration.
Unter den gegebenen Umständen ist die im Rahmen der Begutachtung der Akademie X._ erfolgte blosse klinische Untersuchung der linken Schulter vom 23. Oktober 2009 nicht rechtsgenüglich (vgl. auch Urteil 8C_588/2008 vom 7. Mai 2009 E. 7.2 f. betreffend eine PHS).
5.2 Nach dem Gesagten haben IV-Stelle und Vorinstanz den Sachverhalt betreffend die Schulterproblematik links und die diesbezügliche Behandlungsbedürftigkeit sowie Arbeitsfähigkeit des Versicherten unvollständig festgestellt und damit den Untersuchungsgrundsatz missachtet (vgl. E. 1 hievor). Da die IV-Stelle bereits ein Gutachten eingeholt hat, ist es gerechtfertigt, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie ein medizinisches Gutachten anordne und danach über die Beschwerde neu entscheide (vgl. auch Urteil 8C_82/2011 vom 9. Juni 2011 E. 5.4).
Soweit die Vorinstanz erwog, für eine Schulteroperation habe sich der Versicherte bisher nicht entscheiden können, ist Folgendes festzuhalten: Falls zumutbare Behandlungs- oder Eingliederungsmassnahmen angebracht sind, die eine wesentliche Verbesserung der Erwerbsfähigkeit oder eine neue Erwerbsmöglichkeit versprechen, ist bei Widersetzlichkeit der versicherten Person das Mahn- und Bedenkzeitverfahren durchzuführen, bevor allfällige Leistungen gekürzt oder verweigert werden können (Art. 21 Abs. 4 ATSG; Art. 7b IVG; BGE 134 V 189 E. 2 S. 193; SVR 2005 IV Nr. 30 S. 113 E. 2 [I 605/04]).
6. Erwerblicherseits (hierzu vgl. BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399) ist das von der IV-Stelle ermittelte und vorinstanzlich bestätigte Valideneinkommen des Versicherten unbestritten, womit es sein Bewenden hat. Über sein Invalideneinkommen kann erst nach Klärung der Arbeitsfähigkeit befunden werden (Urteil 8C_492/2011 vom 19. Oktober 2011 E. 6).
7. Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu erneuter Abklärung gilt als volles Obsiegen des Versicherten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_492/2011 E. 7). Sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird damit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 29. Juni 2011 wird aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde gegen die Verfügung der IV-Stelle vom 23. April 2010 neu entscheide. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Dezember 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar