Faits:
A. S._ et T._ sont députés au Grand Conseil du canton de Genève. Ils représentent le Mouvement des citoyens genevois (MCG).
Le 20 décembre 2006, en application de la loi cantonale genevoise régissant l'organisation des Services industriels de Genève (SIG), le Conseil d'Etat a nommé T._, président du MCG, membre du Conseil d'administration des SIG pour la période du 1er janvier 2007 au 31 décembre 2010. Par décision du 2 mars 2009, il a révoqué T._ avec effet immédiat pour avoir enfreint ses devoirs liés à sa charge d'administrateur des SIG. Cette décision a été confirmée par le Tribunal administratif du canton de Genève dans un jugement du 19 janvier 2010, puis par le Tribunal fédéral dans un arrêt du 18 octobre 2010 (cause 8C_220/2010).
Le 12 février 2010, le président du Grand Conseil s'est adressé au Conseil d'Etat pour s'enquérir des suites de la révocation de T._, en proposant de repourvoir le siège du MCG au sein du Conseil d'administration des SIG. Le Conseil d'Etat a répondu qu'il ne jugeait pas opportun qu'un remplaçant soit nommé avant l'issue de la procédure judiciaire l'opposant à T._. Dans une séance du 18 mars 2010, à l'issue d'une élection tacite, le Grand Conseil a désigné S._ comme remplaçant de T._ au Conseil d'administration des SIG.
S._ a alors invité le Conseil d'Etat à rendre un arrêté de désignation dans ce sens. Par décision du 14 avril 2010, le Conseil d'Etat l'a informé qu'il n'entendait pas prendre d'arrêté de désignation d'un nouveau membre du Conseil d'administration des SIG tant que la procédure concernant la révocation de T._ ne serait pas définitivement tranchée.
B. Le 17 mai 2010, S._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif du canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative).
Par jugement du 30 novembre 2010, le tribunal cantonal a admis le recours, annulé la décision du Conseil d'Etat du 14 avril 2010 et mis à la charge de chacune des parties un émolument de justice de 500 fr.
Entre-temps, le 3 novembre 2010, le Conseil d'Etat a rendu un arrêté désignant S._ comme membre du Conseil d'administration des SIG pour la période courant dès la notification dudit arrêté jusqu'au 31 décembre 2010.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Conseil d'Etat conclut à la réforme du jugement du 30 novembre 2010 en ce sens que le recours de S._ du 17 mai 2010 doit être déclaré irrecevable ou, sinon, rejeté. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de ce jugement et au renvoi du dossier à la juridiction cantonale pour nouvelle décision.
Il n'a pas été procédé à un échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (art. 29 al. 1 LTF; ATF 136 I 42 consid. 1 p. 43; 135 III 329 consid. 1 p. 331 et les arrêts cités).
2. 2.1 La voie du recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est ouverte pour contester les décisions concernant les rapports de travail de droit public lorsque la valeur litigieuse dépasse 15'000 fr. (art. 85 al. 1 let. b LTF).
2.2 Dans la mesure où la notion de rapports de travail de droit public doit être comprise dans un sens large (voir ALAIN WURZBURGER, in Commentaire de la LTF, 2009, n. 97 ss ad. art. 83 LTF) et que la décision litigieuse porte sur le refus du recourant d'entériner la nomination de l'intimé, par le Grand Conseil, en qualité de membre du Conseil d'administration des SIG qui sont un établissement de droit public, on peut admettre avec le recourant qu'il s'agit d'un litige en relation avec un rapport de travail de droit public (voir également l'arrêt 8C_220/2010 du 18 octobre 2010 consid. 1.1).
2.3 Pour la détermination de la valeur litigieuse, le recourant soutient qu'il faut prendre en considération le montant que S._ aurait perçu s'il avait été nommé dès la révocation de son prédécesseur (mars 2009) jusqu'à la fin du mandat pour lequel il a été effectivement nommé (décembre 2010). Comme un membre du Conseil d'administration des SIG peut prétendre, selon le règlement, une rétribution annuelle fixe de 5'500 fr. ainsi qu'une indemnité de 330 fr. par séance, et qu'une vingtaine de séances sont agendées annuellement, cela représente une somme d'au moins 12'100 fr. par an. D'après le recourant, le seuil minimal de l'art. 85 al. 1 let. b LTF est donc largement dépassé. Ce raisonnement ne peut pas être suivi. En l'espèce, le tribunal administratif a retenu que la désignation de S._ en tant que remplaçant de T._ intervenue lors de la séance du Grand Conseil du 18 mars 2010 déployait ses effets dès cette date. La valeur litigieuse devrait dès lors se calculer en fonction de la rétribution que l'intimé aurait pu percevoir en qualité de membre du Conseil d'administration des SIG entre le 18 mars 2010 et la date de notification de l'arrêté de désignation rendu par le Conseil d'Etat (novembre 2010). Compte tenu des chiffres avancés par le recourant, on se situe bien en dessous du seuil minimal requis pour une contestation pécuniaire en matière de rapports de travail de droit public.
2.4 Il s'ensuit que le recours en matière de droit public est irrecevable.
3. On peut se poser la question d'une conversion en recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF).
3.1 Sauf exceptions, notamment lorsqu'elles sont atteintes de manière identique ou analogue à un particulier, les collectivités publiques et autres corporations de droit public n'ont pas qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire (cf. ATF 132 I 140 consid. 1.3.1 p. 143; JEAN-MAURICE FRÉSARD, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 12 s. ad art. 115; GIOVANNI BIAGGINI, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, n° 20 ad art. 115; HANSJÖRG SEILER, in Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, n° 5 ss ad art. 115). Cependant, la jurisprudence concernant la recevabilité du recours en matière de droit public retient que la collectivité publique, en tant qu'employeur, n'agit certes pas au même titre qu'un particulier dans une contestation découlant de rapports de travail régis par le droit public, mais qu'elle a néanmoins un intérêt spécifique digne de protection à l'annulation ou à la modification d'une décision d'un tribunal favorable à son agent (ATF 134 I 204 consid. 2.3 p. 206 s.; arrêts 8C_596/2009 du 4 novembre 2009 consid. 1.3 et 8C_170/2009 du 25 août 2009 consid. 2). Le point de savoir s'il faut reconnaître à la collectivité publique la qualité pour recourir également dans le cadre d'un recours constitutionnel subsidiaire peut rester indécis en l'espèce (voir les arrêts 8C_1077/2009 du 17 décembre 2010 consid. 3.2 et 1D_13/2007 du 15 mai 2008 consid. 1.2) pour la raison qui va suivre.
3.2 La qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire est soumise à la condition qu'il existe un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 115 let. b LTF). Comme dans le recours en matière de droit public, le recourant doit avoir un intérêt actuel et pratique à son recours (ATF 137 I 23 consid. 1.3.1 p. 24; arrêt 2C_899/2008 du 18 juin 2009 consid. 1.2, non publié in ATF 135 II 296; en ce qui concerne le recours de droit public et le recours de droit administratif sous le régime de l'OJ, cf. ATF 123 II 285 consid. 4 p. 286 s.). L'intérêt juridique doit encore exister au moment où le Tribunal fédéral statue et s'apprécie en fonction des effets et de la portée d'une éventuelle admission du recours (ATF 131 I 153 consid. 1.2 p. 157).
3.3 Or, on ne voit aucun intérêt actuel et pratique au recours du Conseil d'Etat. La nomination de l'intimé ne peut déployer des effets rétroactifs. S._ n'a effectivement siégé au Conseil d'administration des SIG qu'à partir du mois de novembre 2010 et il ne peut pas exercer ses droits de membre pour la période antérieure. Seule la question d'un éventuel versement du salaire ou des indemnités entre mars et novembre 2010 pourrait se poser. Elle n'est toutefois pas litigieuse à ce stade et le recourant ne le fait pas valoir. Au demeurant, le débiteur en serait vraisemblablement les SIG qui sont un établissement de droit public autonome doté de la personnalité juridique. Quant à l'intérêt à une application correcte du droit, il est en soi insuffisant. Enfin, comme l'admet le recourant, on ne se trouve pas non plus en présence d'une contestation susceptible de se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues, ce qui pourrait justifier de déroger à l'exigence d'un intérêt actuel (cf. ATF 136 II 101 consid. 1.1 p. 103; 135 I 79 consid. 1.1 p. 81).
3.4 En conséquence, la voie du recours constitutionnel subsidiaire n'entre pas en ligne de compte.
4. Vu l'issue du litige, le recourant supportera les frais de justice (ATF 136 I 8 p. 40-41; art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lucerne, le 3 mai 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: La Greffière:
Leuzinger von Zwehl