Faits:
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A. C._, née en 1947, a travaillé à l'Hôtel X._ en qualité de chef de réception/directrice, jusqu'au 1er août 1999, date à laquelle elle a réduit son activité en raison de troubles de la santé. Elle a perçu son salaire ordinaire jusqu'à la fermeture des portes de l'hôtel familial, le 30 octobre 1999. Le 2 décembre suivant, elle a sollicité des prestations de l'assurance-invalidité. Le 4 janvier 2000, le docteur H._, médecin traitant, a attesté qu'elle présentait des douleurs de type fibromyalgique et des sciatalgies gauches la rendant totalement incapable de travailler depuis le 1er août 1999.
L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après : l'OAI) a requis l'avis de la doctoresse G._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie. Dans un rapport du 22 juin 2000, ce médecin a fixé l'incapacité de travail à 70 % en raison d'un syndrome dépressif ainsi que d'atteintes somatiques (entre autres coxarthrose gauche, arthroses radio-carpiennes, fibromyalgie). Le 17 octobre 2000, elle a précisé que dans une activité de secrétariat, adaptée aux limitations fonctionnelles de l'assurée, la capacité de travail était de 50 %.
L'administration a également confié une expertise psychiatrique au docteur S._. Ce médecin a posé, selon le DSM-IV, les diagnostics suivants : état dépressif majeur récurrent actuellement en rémission (partielle), dépendance à l'alcool actuellement en rémission partielle, trouble douloureux associé à la fois à des facteurs psychologiques et à une affection médicale générale de degré léger, claustrophobie (axe I), traits de personnalité évitants (axe II), dysfonction intervertébrale mineure en L2 droite sur trouble statique avec scoliose lombaire compensée et discrets troubles dégénératifs, tendomyose cervico-scapulaire et tendinopathie étagée des membres supérieurs, arthrose radiocarpienne sur status après arthrose scapho-grand os suite à une entorse scapho-lunaire, hypothyroïdie sur status après strumectomie partielle en 1977 substituée (axe III), difficultés socio-économiques, vente de l'hôtel familial (axe IV). La dépendance à l'alcool remontait à une quinzaine d'années et l'assurée serait abstinente depuis avril 2001. Du point de vue psychiatrique, ces atteintes ne devraient pas justifier une diminution de la capacité de travail supérieure à 20 % (rapport du 27 juillet 2001).
Le 6 mars 2002, le docteur H._ a signalé une aggravation de la symptomatologie fibromyalgique consécutive à la pose d'une prothèse totale de la hanche. L'assurée a été revue par le docteur S._ qui a substitué aux diagnostics de l'axe I ceux de dysthymie, d'état dépressif moyen actuellement en rémission ainsi que de trouble somatoforme douloureux et estimé la diminution de la capacité de travail à 30 %, en terme surtout de rendement dans une activité adaptée. Dans les grandes lignes, l'examen clinique était superposable à celui de la précédente expertise (rapport du 26 juillet 2002).
Par décision du 21 août 2002, l'OAI a rejeté la demande de prestations de l'intéressée, tout en relevant que cette dernière avait présenté une incapacité de travail totale du 1er août 1999 au 22 juin 2000, puis de 30 % dès le 23 juin 2000.
Par décision du 21 août 2002, l'OAI a rejeté la demande de prestations de l'intéressée, tout en relevant que cette dernière avait présenté une incapacité de travail totale du 1er août 1999 au 22 juin 2000, puis de 30 % dès le 23 juin 2000.
B. C._ a recouru contre cette décision en concluant, sous suite de dépens, à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, le cas échéant réduite selon ce que justice dira.
Dans le cadre de l'instruction, elle a requis la mise en oeuvre d'une expertise rhumatologique, le cas échéant d'une expertise psychiatrique. Après que l'OAI s'est opposé à la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire, la cour cantonale a ordonné une expertise rhumatologique (jugement incident du 16 décembre 2003). Mandaté à cette fin, le docteur E._ a rendu son rapport le 1er novembre 2004. Il ressort de ses conclusions que l'assurée présentait une capacité de travail de 75 % en tant que secrétaire ou réceptionniste; dans une activité devant être exercée en position debout prolongée avec des travaux lourds, la capacité de travail était de 50 %.
Par jugement du 28 avril 2005, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a partiellement admis le recours et réformé la décision attaquée en ce sens que l'assurée avait droit à une rente entière pour le mois d'août 2000, une demi-rente pour les mois de septembre 2000 à janvier 2001 et un quart de rente pour les mois de février à avril 2001.
Par jugement du 28 avril 2005, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a partiellement admis le recours et réformé la décision attaquée en ce sens que l'assurée avait droit à une rente entière pour le mois d'août 2000, une demi-rente pour les mois de septembre 2000 à janvier 2001 et un quart de rente pour les mois de février à avril 2001.
C. C._ et l'OAI ont chacun formé un recours de droit administratif contre ce jugement.
Dans son recours (cause I 543/05), l'assurée conclut, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une demi-rente d'invalidité à partir du 1er mai 2001. De son côté, l'OAI déclare qu'il n'a aucune remarque à formuler.
Dans son recours (cause I 531/05), l'OAI conclut à l'annulation du jugement entrepris et à la confirmation de la décision du 21 août 2002. Pour sa part, C._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours de l'OAI et à la confirmation des conclusions de son acte de recours du 9 août 2005.
L'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Les recours de droit administratif concernent des faits de même nature, portent sur des questions juridiques communes et sont dirigés contre le même jugement, de sorte qu'il se justifie de les réunir et de les liquider dans un seul arrêt (ATF 128 V 126 consid. 1 et les références; cf. aussi ATF 128 V 194 consid. 1).
1. Les recours de droit administratif concernent des faits de même nature, portent sur des questions juridiques communes et sont dirigés contre le même jugement, de sorte qu'il se justifie de les réunir et de les liquider dans un seul arrêt (ATF 128 V 126 consid. 1 et les références; cf. aussi ATF 128 V 194 consid. 1).
2. Le litige porte sur le droit éventuel de C._ à une rente d'invalidité.
2. Le litige porte sur le droit éventuel de C._ à une rente d'invalidité.
3. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales (dans leur teneur en vigueur à la date déterminante de la décision litigieuse du 21 août 2002), ainsi que les principes jurisprudentiels régissant la notion de l'invalidité (art. 4 LAI), son évaluation chez les assurés actifs et le degré de cette dernière ouvrant le droit à une rente (art. 28 LAI), si bien qu'on peut y renvoyer. On rappellera également que la loi fédérale sur la partie générale des assurances sociales (LPGA) du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, de même que les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004, ne sont pas applicables au présent litige (voir ATF 129 V 4 consid. 1.2 et les références). Il en va de même de la loi fédérale du 16 décembre 2005 modifiant la loi fédérale sur l'assurance-invalidité, entrée en vigueur le 1er juillet 2006 (RO 2006 2003).
3. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales (dans leur teneur en vigueur à la date déterminante de la décision litigieuse du 21 août 2002), ainsi que les principes jurisprudentiels régissant la notion de l'invalidité (art. 4 LAI), son évaluation chez les assurés actifs et le degré de cette dernière ouvrant le droit à une rente (art. 28 LAI), si bien qu'on peut y renvoyer. On rappellera également que la loi fédérale sur la partie générale des assurances sociales (LPGA) du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, de même que les dispositions de la novelle du 21 mars 2003 modifiant la LAI (4ème révision), entrée en vigueur le 1er janvier 2004, ne sont pas applicables au présent litige (voir ATF 129 V 4 consid. 1.2 et les références). Il en va de même de la loi fédérale du 16 décembre 2005 modifiant la loi fédérale sur l'assurance-invalidité, entrée en vigueur le 1er juillet 2006 (RO 2006 2003).
4. 4.1 C._ fait grief à la juridiction cantonale de s'être fondée sur les rapports des docteurs S._ et E._ pour retenir qu'elle présentait une capacité de travail de 70 % dans son ancienne activité. Elle leur oppose l'avis de son médecin traitant selon lequel sa capacité de travail atteint au plus 50 % dans son activité de secrétaire-réceptionniste (lettre du 15 juillet 2005) et celui de la doctoresse G._ dont il ressort qu'elle est en mesure d'exercer une activité adaptée à son état à raison de 50 % (rapport du 17 octobre 2000). Elle reproche au docteur S._ d'avoir considéré que la fibromylagie était une conséquence de son état dépressif, alors que selon l'avis de son médecin traitant, cette atteinte était une réaction à la fibromyalgie. Par ailleurs, elle fait valoir, qu'elle a travaillé au service d'un petit hôtel de famille en tant que secrétaire-réceptionniste, non comme directrice. Selon elle, une telle activité implique, notamment, qu'elle accompagne les clients à leurs chambres et qu'elle porte leurs bagages, ce qui n'est pas compatible avec ses limitations physiques. Partant, elle considère, qu'elle est en réalité apte à exercer son ancienne activité à 50 % seulement, dès lors que selon le docteur E._, sa capacité de travail ne dépasse pas 50 % dans une occupation exercée en position debout prolongée avec tâches lourdes. De surcroît, elle allègue qu'à 58 ans, elle ne retrouvera pas un travail de secrétaire-réceptionniste et encore moins un poste de directrice d'hôtel.
4.2 Les expertises des docteurs S._ et E._ remplissent toutes les conditions auxquelles la jurisprudence soumet la valeur probante de tels documents (ATF 125 V 352 consid. 3a). Elles reposent en effet sur une étude complète et circonstanciée de la situation médicale de l'intéressée, ne contiennent pas d'incohérences et aboutissent à des conclusions motivées. En particulier, ces médecins se fondent sur un examen clinique complet et prennent en considération les plaintes exprimées par l'assurée.
Nonobstant les critiques qu'elle adresse au docteur S._, l'assurée ne s'en prend, à juste titre, pas formellement à ses conclusions relatives à sa capacité de travail. En outre, les quelques constatations erronées que pourrait contenir le rapport du docteur S._ aux dires de l'intéressée (tenue du ménage, travail dans le jardin et promenade des chiens) sont sans influence sur l'issue du litige dès lors qu'il s'agit d'évaluer sa capacité de travail dans sa profession voire dans une activité adaptée.
Par ailleurs, l'assurée ne remet pas véritablement en cause les conclusions de l'expert judiciaire E._. Elle ne saurait cependant être suivie lorsqu'elle soutient que sa profession de chef de réception/directrice dans l'hôtellerie comporte des travaux lourds au sens de cet expert, si bien que sa capacité de travail serait seulement de 50 %.
Certes le docteur H._ a attesté d'une incapacité de travail de 100 % dans son certificat du 23 septembre 2002. Outre le fait qu'elle est donnée sans motivation, son évaluation divergente ne saurait cependant être retenue. En effet, d'une part elle se fonde exclusivement sur le diagnostic de fibromyalgie dont on ne saurait déduire l'existence d'une incapacité de travail (ATF 132 V 70 consid. 4.1); d'autre part, elle émane du médecin traitant dont l'avis, lors de la pesée des divers avis médicaux, revêt moins de poids que l'appréciation de l'incapacité de travail par les experts désignés par le juge et par l'assurance-invalidité (ATF 125 V 353 consid. 3b/cc et les références; cf. aussi RJJ 1995 p.44; RCC 1998 p. 504 consid. 2).
4.3 Dans ce contexte et quoiqu'en dise la recourante, est seule déterminante la question de savoir dans quelle mesure la capacité de gain résiduelle de l'assurée peut être exploitée économiquement sur le marché du travail équilibré entrant en considération pour elle (VSI 1998 p. 296 consid. 3b et les arrêts cités; Omlin, Die Invalidität in der obligatorischen Unfallversicherung, thèse Fribourg 1995, p. 208). Il n'y a pas lieu d'examiner si l'intéressée peut être placée eu égard aux conditions concrètes du marché du travail, mais uniquement si elle peut encore exploiter économiquement sa capacité de travail résiduelle lorsque les places de travail disponibles correspondent à l'offre de la main d'oeuvre.
4.4 Sur la base des preuves administrées et des faits ainsi retenus, la décision de l'administration retenant une incapacité de travail de 30 % dans l'activité habituelle, dès le 23 juin 2000, n'est pas critiquable. On précisera que cette date a été fixée par l'OAI sur la base de la confrontation des rapports de la doctoresse G._ (du 22 juin 2000) et du docteur S._ (des 27 juillet 2001/26 juillet 2002). La spécialiste en médecine interne/rhumatologie avait en effet estimé à 70 % l'incapacité de travail en fonction d'affections à la fois somatiques et psychiques. Le docteur S._, pour sa part, avait considéré que l'ensemble des pathologies psychiques (axes I et II) examinées à la lumière des atteintes somatiques (axe III) réduisaient la capacité de travail à raison de 20 % en 2001 et de 30 % en 2002 (en terme de rendement). Faisant siennes les conclusions du docteur S._, l'administration a écarté celles de la doctoresse G._ pour conclure que le 23 juin 2000, date suivant celle du rapport de cette praticienne, l'assurée ne présentait en réalité qu'une incapacité de travail de 30 % au plus (dans son occupation habituelle). L'expertise judiciaire du 1er novembre 2004 confirme le bien-fondé de cette analyse: pour des atteintes superposables à celles diagnostiquées par la doctoresse G._ en 2000, le docteur E._ a estimé à 75 % la capacité de travail du point de vue rhumatologique (dans une activité de directrice d'hôtel, de secrétaire ou de réceptionniste).
4.4 Sur la base des preuves administrées et des faits ainsi retenus, la décision de l'administration retenant une incapacité de travail de 30 % dans l'activité habituelle, dès le 23 juin 2000, n'est pas critiquable. On précisera que cette date a été fixée par l'OAI sur la base de la confrontation des rapports de la doctoresse G._ (du 22 juin 2000) et du docteur S._ (des 27 juillet 2001/26 juillet 2002). La spécialiste en médecine interne/rhumatologie avait en effet estimé à 70 % l'incapacité de travail en fonction d'affections à la fois somatiques et psychiques. Le docteur S._, pour sa part, avait considéré que l'ensemble des pathologies psychiques (axes I et II) examinées à la lumière des atteintes somatiques (axe III) réduisaient la capacité de travail à raison de 20 % en 2001 et de 30 % en 2002 (en terme de rendement). Faisant siennes les conclusions du docteur S._, l'administration a écarté celles de la doctoresse G._ pour conclure que le 23 juin 2000, date suivant celle du rapport de cette praticienne, l'assurée ne présentait en réalité qu'une incapacité de travail de 30 % au plus (dans son occupation habituelle). L'expertise judiciaire du 1er novembre 2004 confirme le bien-fondé de cette analyse: pour des atteintes superposables à celles diagnostiquées par la doctoresse G._ en 2000, le docteur E._ a estimé à 75 % la capacité de travail du point de vue rhumatologique (dans une activité de directrice d'hôtel, de secrétaire ou de réceptionniste).
5. Contrairement à ce qu'ont retenu les premiers juges, la constatation d'un taux d'incapacité de travail de 70 % pour la période du 1er août 1999 au 30 juin 2000 puis de 30 % dès le 1er juillet 2000 ne saurait conduire à des taux d'invalidité de 63,1/3 % pour le mois d'août 2000, 46,2/3 pour les mois de septembre 2000 à janvier 2001 et 36,2/3 pour les mois de février à avril 2001, partant à l'octroi successif d'une rente entière, d'une demi-rente et d'un quart de rente.
Ainsi que le fait valoir l'OAI, ce mode de procéder viole les articles 28 al. 1 et 29 al. 1 let. b aLAI. Aux termes de la première de ces dispositions, l'assuré a droit à une rente s'il est invalide à 40 % au moins. Selon l'art. 29 al. 1 let. b. aLAI, le droit à la rente prend naissance au plus tôt à la date à partir de laquelle l'assuré a présenté, en moyenne, une incapacité de gain de 40 % au moins pendant une année sans interruption notable. La jurisprudence a déduit de cette seconde disposition qu'une interaction existe en cas d'affection pathologique labile au sens de l'art. 29 al. 1 let. b aLAI entre la naissance du droit à la rente, d'une part, et son étendue ainsi que les bases de calcul, d'autre part, même si des conditions différentes sont applicables. C'est ainsi qu'une incapacité de gain d'au moins 40 % due à une affection labile n'entraîne pas la naissance d'un droit sans incapacité de travail préalable au moins équivalente pendant l'année qui précède. A l'inverse, une incapacité de travail d'au moins 40 % pendant une année ne suffit pas à elle seule à créer un droit, mais doit pour cela être suivie d'une incapacité de gain au moins équivalente. Cela vaut pour les trois types de rente que définit la loi (art. 28 al.1 aLAI). Le degré moyen d'incapacité de travail pendant une année et l'incapacité de gain subsistant après la période d'attente doivent être cumulés et atteindre le degré minimum légal ouvrant droit aux différentes rentes pour qu'une rente soit octroyée (VSI 1996 p. 198 consid. 6b/cc).
En l'espèce, le taux d'invalidité de l'assurée n'était que de 30 % à l'échéance du délai de carence d'une année, ce qui excluait l'ouverture du droit à une rente, quand bien même l'intéressée a présenté une incapacité de travail moyenne supérieure à 40 % au cours des douze mois précédents.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Les causes I 531/05 et I 543/05 sont jointes.
1. Les causes I 531/05 et I 543/05 sont jointes.
2. Le recours de l'OAI est admis et le jugement du 28 avril 2005 du Tribunal des assurances du canton de Vaud est annulé.
2. Le recours de l'OAI est admis et le jugement du 28 avril 2005 du Tribunal des assurances du canton de Vaud est annulé.
3. Le recours de C._ est rejeté.
3. Le recours de C._ est rejeté.
4. Il n'est pas perçu de frais de justice.
4. Il n'est pas perçu de frais de justice.
5. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 17 août 2006
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIIe Chambre: La Greffière: