Erwägungen:
1.
X._ reichte am 7. Mai 2013 eine Strafanzeige gegen Unbekannt wegen Verleumdung bzw. übler Nachrede ein. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn erliess am 22. Juli 2013 infolge Verjährung eine Nichtanhandnahmeverfügung. Dagegen erhob X._ Beschwerde. Die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn wies mit Verfügung vom 29. August 2013 das Gesuch von X._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und forderte ihn auf, bis zum 18. September 2013 eine Prozesskostensicherheit von Fr. 500.-- zu leisten, ansonsten auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde. Zur Begründung führte die Beschwerdekammer zusammenfassend aus, zum Zeitpunkt der Strafanzeige sei eine allfällige Tat bereits verjährt gewesen. Mangels einer Straftat könne der Beschwerdeführer auch keine Zivilansprüche adhäsionsweise im Strafverfahren geltend machen, womit ihm für das vorliegende Verfahren auch keine unentgeltliche Rechtspflege gewährt werden könne.
2.
X._ führt mit Eingabe vom 15. September 2013 (Postaufgabe 16. September 2013) Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der Beschwerdekammer. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, legt nicht dar, inwiefern die Begründung der Beschwerdekammer bzw. deren Verfügung selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. September 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli