Erwägungen:
1. X._, geboren 1973, Staatsangehöriger von Sri Lanka, reiste am 21. Juli 2001 in die Schweiz ein. Er erhielt zuerst eine Kurzaufenthaltsbewilligung als Diplomand am Forschungslaboratorium R._ Zürich. Am 1. März 2002 nahm er beim Institut für S._ am Departement T._ der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich (ETHZ) die Arbeit auf; er erhielt am 14. Juni 2002 einen schriftlichen, zeitlich befristeten Arbeitsvertrag, der mehrmals, zuletzt bis zum 31. Mai 2005, erneuert wurde; ab Ende 2003 war er als Doktorand an der ETHZ zugelassen. Aufgrund dieser Verhältnisse verfügte er seit dem 17. Juli 2002 über eine mehrmals (zuletzt bis zum 31. Dezember 2007) verlängerte Aufenthaltsbewilligung als Doktorand bzw. als wissenschaftlicher ETH-Mitarbeiter. Mit Verfügung der ETHZ vom 12. November 2004 wurde X._ per 30. November 2004 als Doktorand exmatrikuliert. Das arbeitsrechtliche Verhältnis an der ETHZ wurde per 31. Mai 2005 als beendet erklärt. Das diesbezügliche Rechtsmittelverfahren wurde mit dem Nichteintretensurteil des Bundesgerichts 2C_313/2007 vom 21. August 2007 endgültig abgeschlossen.
Unter Hinweis auf die Rechtskraft der Exmatrikulation als Doktorand lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich mit Verfügung vom 11. Januar 2008 eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ ab; zugleich setzte es ihm eine Ausreisefrist an (Wegweisung aus dem Kanton Zürich). Der Regierungsrat des Kantons Zürich wies den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs am 28. Mai 2008 ab.
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 30. Juni (Postaufgabe: 2. Juli) 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht sinngemäss, den Entscheid des Regierungsrats aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Da der Beschwerdeführer unter keinem Titel einen Rechtsanspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung hat, ist das ordentliche Rechtsmittel, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, unzulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Wie in der Rechtsmittelbelehrung des regierungsrätlichen Entscheids (E. 7) richtig festgestellt worden ist, kann dagegen - höchstens - subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) erhoben werden. Dieses Rechtsmittel steht bloss zur Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte zur Verfügung (Art. 116 BGG). Dabei muss in der Beschwerdeschrift konkret dargelegt werden, inwiefern ein solches Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein soll (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG).
Der Beschwerdeführer macht geltend, das Recht auf Behandlung nach Treu und Glauben sei verletzt worden. Inwiefern dieses verfassungsmässige Recht verletzt worden sein könnte, lässt sich den appellatorischen Ausführungen in der Beschwerdeschrift nicht entnehmen; insbesondere zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, gestützt worauf er in Berücksichtigung der Tatsache, dass ihm der Aufenthalt von vornherein nur zu einem konkret umschriebenen Zweck bewilligt worden war, Anlass gehabt haben will, auf eine weitere Bewilligungsverlängerung zu hoffen. Was unter dem Titel Treu und Glauben vorgetragen wird, läuft aber ohnehin auf eine blosse inhaltliche Kritik am materiellen negativen Bewilligungsentscheid hinaus, wozu der Beschwerdeführer, da kein Bewilligungsanspruch besteht, im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht legitimiert ist (Art. 115 lit. b BGG; vgl. BGE 133 I 185 E. 6 S. 197 ff.).
Auf die offensichtlich unzulässige bzw. einer zulässigen Rüge entbehrende Beschwerde (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG) ist im vereinfachten Verfahren nicht einzutreten.
Wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde fällt die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ausser Betracht (vgl. Art. 64 BGG). Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Ab. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Migrationsamt und dem Regierungsrat des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller