Sachverhalt:
A.
X._ ist Eigentümer eines selbst genutzten Einfamilienhauses auf Parzelle Nr. (...) _ in A.A._, U._ (GR). Im Nachgang einer Gesamtrenovation einschliesslich eines An- und Umbaus mit Kosten von Fr. 402'000.-- nahm der Kantonale Schätzungsbezirk 3 (nachfolgend: Schätzungsbezirk 3), handelnd durch die Schätzungskommission, auf Gesuch von X._ hin eine Grundstückschätzung vor. Am 7. Februar 2012 wurde X._ der Mietwert von Fr. 20'400.-- eröffnet.
B.
Nach durchgeführtem Rechtsmittelverfahren vor dem Amt für Schätzungswesen des Kantons Graubünden (nachfolgend: Amt für Schätzungswesen), welches die Beschwerde am 9. Juli 2012 teilweise gutgeheissen hatte, gelangte X._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden (nachfolgend: Verwaltungsgericht). Er beantragte, der Schätzungsbezirk 3 sei in Abweichung von Dispositiv Ziff. 3 des Beschwerdeentscheids anzuweisen, der angeordneten Neuberechnung des Mietwerts als Wertersatz nicht Fr. 177.-- pro m2 Nutzfläche zugrunde zu legen, sondern diesen Wert entsprechend seiner Begründung herabzusetzen.
Das Verwaltungsgericht hiess die Beschwerde am 6. November 2012 gut und hob den Entscheid des Amts für Schätzungswesen auf. In den Urteilserwägungen wurde festgehalten, der Mietwertansatz sei durch den Schätzungsbezirk 3 auch unter Zugrundelegung selbst genutzter, in der näheren regionalen Umgebung liegender Vergleichsobjekte neu festzulegen.
C.
Das Amt für Schätzungswesen erhebt am 11. Dezember 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und der Beschwerdeentscheid vom 9. Juli 2012 sei in Bezug auf den für den Mietwert festgelegten Wertansatz von Fr. 177 pro m2 Nutzfläche zu bestätigen; eventualiter sei die Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen zur Neubeurteilung im Sinn der bundesgerichtlichen Erwägungen.
Das Verwaltungsgericht beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventuell sei sie abzuweisen. X._ beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Amt für Schätzungswesen lässt sich vernehmen, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen. X._ hält mit Bemerkungen vom 11. März 2013 an seinen Anträgen fest.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 138 III 471 E. 1 S. 475; 137 III 417 E. 1).
1.1. Die Beschwerde wurde gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Gerichtsinstanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts erhoben (vgl. Art. 82 lit. a BGG, Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG); eine sachliche Ausnahme im Sinn von Art. 83 BGG liegt nicht vor. Das Verfahren der Grundstückschätzung und damit auch der Bestimmung des Mietwerts ist im Kanton Graubünden als selbständiges Verfahren mit einem eigenen Instanzenzug ausgestattet. Dieser beginnt mit der Eröffnung der Schätzung durch den betreffenden Schätzungsbezirk (Art. 9 des Gesetzes des Kantons Graubünden vom 30. August 2006 über die amtlichen Schätzungen [SchG; BR 850.100]). Rechtsmittelbehörde ist das Amt für Schätzungswesen; dessen Entscheid kann beim Verwaltungsgericht angefochten werden (Art. 13 SchG). Das Schätzungsverfahren bildet insofern einen (wenn auch verfahrensrechtlich selbständigen) Teil des Veranlagungsverfahrens, als sich die Steuerbehörde bei der Besteuerung des Eigenmietwerts im Rahmen von Art. 7 Abs. 1 ("Eigennutzung von Grundstücken") des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG; SR 642.14) auf die amtliche Schätzung stützt. Das kantonale Schätzungsverfahren ist somit Teil des harmonisierten Steuerrechts im Sinn von Art. 73 Abs. 1 StHG. Aus dieser Bestimmung ergibt sich in Übereinstimmung mit Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG, dass der angefochtene Entscheid der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (vgl. auch Urteile 2C_873/2011 vom 22. Oktober 2011 E. 1.1; 2C_1000/2011 vom 19. Juni 2012 E. 1.1).
1.2. In E. 3c des angefochtenen Urteils wird der Schätzungsbezirk 3 angewiesen, den Mietwertansatz neu festzulegen; es liegt somit ein Rückweisungsentscheid vor. Die Erwägungen nehmen insoweit an der (möglichen) Rechtskraft des Dispositivs teil, als darin auf sie verwiesen wird (Urteil 9C_58/2012 vom 8. Juni 2012 E. 4.2, nicht publiziert in: BGE 138 V 298). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts zum BGG gelten Rückweisungsentscheide grundsätzlich als Zwischenentscheide, selbst wenn damit über materielle Teilaspekte der Streitsache entschieden wird (BGE 134 II 124 E. 1.3. S. 27; 133 V 477 E. 4.1.3 S. 481). Als Endentscheide gelten sie nur, wenn der unteren Instanz, an welche die Sache zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der (rechnerischen) Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (BGE 134 II 124 E. 1.3 S. 127; Urteil 2C_638/2010 vom 19. März 2012 E. 1.1, nicht publ. in: BGE 138 II 239). Dies ist vorliegend nicht der Fall, wurde doch der Schätzungsbezirk 3 in den Urteilserwägungen angewiesen, andere Vergleichsobjekte heranzuziehen und gestützt darauf den Mietwertansatz neu zu bestimmen. Das angefochtene Urteil ist somit als Zwischenentscheid im Sinn von Art. 93 BGG zu qualifizieren. Dieser kann beim Bundesgericht angefochten werden, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG).
Nach der Rechtsprechung bewirkt ein Zwischenentscheid in der Regel keinen irreversiblen Nachteil im Sinn von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG, da die beschwerdeführende Partei ihn später zusammen mit dem neu zu fällenden Endentscheid wird anfechten können (vgl. Art. 93 Abs. 3 BGG). Anders verhält es sich allerdings für die beschwerdeführende Verwaltung, wenn diese durch den Rückweisungsentscheid mittels materiellrechtlicher Vorgaben gezwungen wird, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Diesfalls kann bereits der Zwischenentscheid angefochten und braucht nicht der Endentscheid abgewartet zu werden (Urteile 8C_958/2010 vom 25. Februar 2011 E. 3.3 mit Hinweis auf BGE 133 V 477 E. 5.2 S. 483 ff.; 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008 E. 1.2.1, nicht publ. in: BGE 134 V 392, aber in: SVR 2008 UV Nr. 31 S. 115; ferner HANSJÖRG SEILER, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Sozialversicherungsrechtstagung 2008, S. 35 f.). Denn sofern die zu erlassende Verfügung zum Vorteil des Grundeigentümers ausfällt, hätte dieser seinerseits keinen Anlass, dagegen vorzugehen, so dass - würde der irreversible Nachteil verneint - das vorinstanzliche Urteil keiner bundesgerichtlichen Überprüfung unterzogen werden könnte. Dies gilt auch für Behörden, welche auf einen Rückweisungsentscheid hin nicht selbst neu verfügen müssen (Urteil 2C_1196/2012 vom 25. April 2013 E. 1.2 mit Hinweisen). In der vorliegenden Konstellation führt somit der Rückweisungsentscheid zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil für die Beschwerdeführerin, so dass die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG erfüllt sind.
1.3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig.
1.4. Zu prüfen bleibt, ob das Amt für Schätzungswesen beschwerdebefugt ist. Die Auffassung der Beschwerdeführerin, sie sei als Adressatin des angefochtenen Entscheids offensichtlich zur Beschwerde legitimiert, trifft nicht zu: Die Beschwerdeführerin ist ein Amt, dessen Beschwerdebefugnis in erster Linie im Rahmen der Behördenbeschwerde in Betracht kommt. Unzutreffend ist aber auch die Ansicht der Vorinstanz, wonach dem Kanton Graubünden die Legitimation nach Art. 89 BGG nur in Ausnahmefällen zustehe, deren Voraussetzungen vorliegend nicht erfüllt seien: Nicht der Kanton Graubünden hat Beschwerde erhoben, sondern das Amt für Schätzungswesen. Die Rechtsprechung zur Legitimation des Gemeinwesens gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG ist daher nicht einschlägig.
Nach Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG sind Personen, Organisationen und Behörden, denen ein anderes Bundesgesetz dieses Recht einräumt, zur Beschwerde berechtigt. Gemäss Art. 73 Abs. 2 StHG ist die nach kantonalem Recht zuständige Behörde beschwerdebefugt. Sofern das Amt für Schätzungswesen als "nach kantonalem Recht zuständige Behörde" gelten kann, ist seine Beschwerdebefugnis gegeben.
Das kantonale Recht regelt die Festsetzung des Eigenmietwerts (wie auch der übrigen Schätzungswerte) in einem separaten Verfahren und erklärt die Schätzungsbezirke für zuständig, diese Werte zu ermitteln und zu eröffnen (vgl. E. 1.1 hiervor). Die Verantwortung für die Schätzung trägt jedoch das übergeordnete Amt für Schätzungswesen, was sich etwa in seiner Weisungsbefugnis gegenüber den Schätzerinnen und Schätzern äussert (vgl. Art. 4 Abs. 3 SchG). Das Amt für Schätzungswesen ist der Steuerverwaltung gleichgeordnet, wobei das Schätzungsverfahren als verselbständigter Teil des Steuerverfahrens zu betrachten ist (vgl. E. 1.1 hiervor). Weil die Beschwerdeführerin in Bezug auf die amtlichen Schätzungen die Funktion der Steuerverwaltung übernimmt, ist sie als zuständige Behörde im Sinn von Art. 73 Abs. 2 StHG zu qualifizieren. Sie ist somit gestützt auf Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG in Verbindung mit Art. 73 Abs. 2 StHG zur Beschwerde berechtigt.
1.5. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 II 304 E. 2.5 S. 314).
Entsprechend der freien Kognition betreffend Bundesrechtsverletzungen (Urteile 2C_708/2012 vom 21. Dezember 2012 E. 1.4; 2C_92/2012 vom 17. August 2012 E. 1.4, in: StR 67/2012 S. 828) prüft das Bundesgericht frei, ob die Auslegung und Anwendung des kantonalen Steuerrechts im harmonisierten Bereich mit den bundesrechtlichen Vorschriften übereinstimmen. Wo das Bundesrecht den Kantonen einen Gestaltungsspielraum einräumt, ist die Kognition des Bundesgerichts auf die Willkür beschränkt (BGE 134 II 207 E. 2 S. 209 f.; Urteil 2C_705/2011 vom 26. April 2012 E. 1.5.2 mit Hinweisen).
Art. 7 Abs. 1 StHG enthält zur Festsetzung der Eigenmietwerte für die Einkommenssteuer nur allgemeine Grundsätze. Dem kantonalen Gesetzgeber verbleibt damit ein erheblicher Gestaltungsspielraum (Urteil 2C_390/2012 vom 7. August 2012 E. 2.2, in: StR 67, S. 691 ff.), den das Bundesgericht nur unter dem Gesichtswinkel der Grundrechte, namentlich des Rechtsgleichheitsgebots und Willkürverbots, überprüft (BGE 132 I 157 E. 3.3 S. 162).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 137 III 226 E. 4.2 S. 233 f.). Eine entsprechende Rüge ist rechtsgenüglich substanziiert vorzubringen (BGE 136 II 304 E. 2.5 S. 314).
3.
3.1. Streitgegenstand bildet die Frage, ob die Vorinstanz den Schätzungsbezirk 3 zu Recht verpflichtet hat, der Mietwertfestsetzung auch selbst genutzte, in der näheren regionalen Umgebung liegende Vergleichsobjekte zugrunde zu legen.
3.2. Art. 22 Abs. 2 des Steuergesetzes für den Kanton Graubünden vom 8. Juni 1986 (StG; BR 720.000) bestimmt als Mietwert von Gebäuden und Gebäudeteilen den Betrag, den der Eigentümer oder Nutzungsberechtigte bei einer Drittvermietung erzielen würde. Zur Diskussion steht nicht die Besteuerung des Mietwerts (gemäss Art. 22 Abs. 3 StG werden für die am Wohnsitz dauernd selbst bewohnte Liegenschaft 70 Prozent des Mietwertes berechnet; einer offensichtlichen Unternutzung ist mit einer Eigenmietwertreduktion Rechnung zu tragen), sondern die Höhe des Mietwerts selbst. Dieser ist gemäss Art. 22 Abs. 2 StG aufgrund des marktüblichen Mietzinses zu berechnen; im Einklang damit steht Art. 7 Abs. 1 SchG, wonach die Schätzungswerte sich am Markt zu orientieren haben. In Bezug auf die Besteuerung des so ermittelten Mietwerts entspricht die kantonale Regelung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, wonach der für die Besteuerung massgebliche Wert mindestens 60 % der Marktmiete betragen muss (BGE 132 I 157 E. 3.3 S. 162).
4.
Zu prüfen bleibt, ob die Vorinstanz die dargelegten Bestimmungen qualifiziert falsch ausgelegt hat (vgl. E. 2.1 hiervor), wie die Beschwerdeführerin vorbringt.
4.1. Die Vorinstanz begründet ihren Entscheid wie folgt: Das Schätzungsobjekt sei mit zehn Objekten verglichen worden. Diese seien zwar alle - wie das Schätzungsobjekt selbst - Einfamilienhäuser, würden sich aber nicht in der näheren regionalen Umgebung befinden und würden nicht selbst genutzt. Folglich hätten der Schätzungsbezirk 3 und das Amt für Schätzungswesen keine ähnlichen Vergleichsobjekte für die Festsetzung des massgeblichen Werts pro m2 Nutzfläche beigezogen. Einerseits hätten sie nicht nur Vergleichsobjekte heranziehen dürfen, die vermietet werden. Andererseits hätten sie Vergleichsobjekte in V._ und U._ beiziehen müssen, da ein Vergleich mit A.B._ als Stadt und A.C._ und A.D._ als doch anders und entfernt gelegen als unpassend erscheine. Zudem seien zwei Objekte in A.B._ berücksichtigt worden, welche aus den Jahren 1667 und 1725 stammen würden und mit dem im Jahr 1931 gebauten Wärterhaus des beschwerdeführenden Grundeigentümers tatsächlich nicht verglichen werden könnten.
4.2. Grundsätzlich ist nicht massgeblich, ob die Vergleichsobjekte vermietet sind oder selbst genutzt werden, sondern zu welchem Preis sie vermietet werden könnten (vgl. E. 3.2 hiervor). Die Beschwerdeführerin weist zu Recht darauf hin, dass der Preis hauptsächlich ermittelt wird, indem vermietete (oder zu vermietende) Objekte zum Vergleich herangezogen werden. Diese müssen in Bezug auf die in Art. 4 Abs. 1 der Verordnung des Kantons Graubünden vom 19. Dezember 2006 über die amtlichen Schätzungen (SchV; BR 850.110) genannten Merkmale vergleichbar sein. Art. 4 Abs. 1 SchV verlangt, dass alle den Wert betreffenden, insbesondere aber die in dieser Bestimmung exemplarisch aufgezählten Faktoren für die Schätzung zu berücksichtigen sind. Die Vergleichbarkeit von Immobilien ist demnach in erster Linie anhand dieser Merkmale (Lage, Grösse, Bauart, Alter, Zustand, Ausbaustandard, Immissionen, Erschliessung etc.) zu bestimmen.
4.2.1. Das vorinstanzliche Urteil ist nicht dahingehend zu verstehen, dass ausschliesslich selbst genutzte Liegenschaften zum Vergleich zuzulassen seien. Nach den verbindlichen (vgl. E. 2.2) und von der Beschwerdeführerin unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz ist jedoch der Mietmarkt bei Einfamilienhäusern in der Gemeinde A._ stark eingeschränkt. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, zusätzlich bzw. im Sinn einer "Vergleichskontrolle" auch auf die Mietwerte in der näheren Umgebung und der Nachbarschaft abzustellen. Ansonsten besteht die Gefahr, dass für das Schätzungsobjekt ein ungleich höherer Mietwert resultiert als für vergleichbare (selbst genutzte) Objekte in unmittelbarer Nähe. Wenn die Schätzungsbehörden bei diesen Gegebenheiten Einfamilienhäuser in der Nachbarschaft vom Vergleich ausnehmen wollen, können sie dies folglich nicht einzig damit begründen, die betreffenden Liegenschaften seien selbst genutzt. Vielmehr müssten diesfalls andere der in Art. 4 Abs. 1 SchV genannten Faktoren dem Vergleich entgegenstehen. Die von der Vorinstanz angeordnete Vorgehensweise ist den Verhältnissen angemessen und jedenfalls nicht willkürlich.
4.2.2. Die Beschwerdeführerin führt sodann aus, dass vorliegend die Marktverhältnisse im Raum A._ massgeblich seien, weshalb der Mietwert für das Einfamilienhaus des Beschwerdegegners anhand des durch Drittvermietung auf dem freien Markt im Raum A._ erzielbaren Mietertrags zu ermitteln sei. Das Einfamilienhaus befinde sich im Landschaftsgürtel rund um den Kernbereich der Gemeinde A._. Für die Bewertung sei daher wichtig, dass es sich um Vergleichsobjekte in ähnlich peripherer Lage handle; diese müssten aber auch hinsichtlich der anderen wesentlichen Kriterien vergleichbar sein. Wenn - wie vorliegend - in unmittelbarer Nähe keine solchen Vergleichsobjekte vorhanden seien, sei es nicht nur nicht abwegig, sondern geradezu geboten, Vergleichsobjekte aus dem gesamten Landschaftsgürtel heranzuziehen. Um auf den Markt abzustellen, sei derjenige Perimeter massgebend, in dem ein Markt für vergleichbare Objekte existiere.
Diese Ausführungen sind grundsätzlich zutreffend. Der Auffassung der Vorinstanz, die Vergleichsobjekte seien zu weit vom Schätzungsobjekt entfernt und daher unpassend, kann in dieser Absolutheit nicht gefolgt werden. Denn ob verschiedene Objekte in Bezug auf die (grossräumige) Lage (d. h. hinsichtlich Zentrumsnähe, Anschluss an Verkehrsachsen etc.) vergleichbar sind, hängt nicht davon ab, wie weit sie voneinander entfernt sind, sondern ob sie in Bezug auf das massgebliche Kriterium Ähnlichkeiten aufweisen. Dies schliesst aber die Berücksichtigung näher gelegener Objekte nicht aus, sofern und soweit sie in Bezug auf die anderen Faktoren vergleichbar sind. Wie in E. 4.2.1 dargelegt, kann es sich dabei auch um selbst genutzte Liegenschaften handeln, weil in A._ der Mietmarkt in Bezug auf Einfamilienhäuser eingeschränkt ist. Es ist daher nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz erwogen hat, es seien neben den berücksichtigten Vergleichsobjekten auch Einfamilienhäuser der Ortschaften V._ und U._ beizuziehen. In diesem Rahmen wäre das Vorbringen des Beschwerdegegners, es hätten drei (selbst genutzte) Häuser aus seiner unmittelbaren Nachbarschaft zum Vergleich herangezogen werden müssen, zu prüfen.
4.2.3. Die Vorinstanz bemängelt, dass zwei Objekte in A.B._ berücksichtigt wurden, welche aus den Jahren 1667 und 1725 stammen. Entgegen dem Vorbringen der Beschwerdeführerin gehört das Alter der zu schätzenden Liegenschaft zum Kreis der massgebenden Faktoren (vgl. Art. 4 Abs. 1 Ziff. a SchV). Der in Art. 4 Abs. 2 SchV niedergelegte Grundsatz, wonach für die Bewertung der Zustand der Schätzungsobjekte im Zeitpunkt der Schätzung massgebend ist, hindert die Schätzungsbehörde nicht daran, bei der Schätzung auch auf das Baujahr abzustellen. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Vergleichbarkeit dieser beiden sehr alten Liegenschaften mit dem zu schätzenden Objekt in Zweifel gezogen hat.
4.3. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Vorinstanz die massgeblichen kantonalen Bestimmungen zur Ermittlung des Mietwerts, insbesondere Art. 7 Abs. 1 SchG und Art. 22 Abs. 2 StG, nicht willkürlich angewendet hat. Die Aufhebung von Dispositiv Ziff. 3 des Beschwerdeentscheids vom 9. Juli 2012 in Verbindung mit der Anweisung, die Schätzung unter zusätzlicher Berücksichtigung näher gelegener, selbst genutzter Vergleichsobjekte und unter Ausschluss der beiden Liegenschaften in A.B._ erneut vorzunehmen, ist somit rechtens.
4.4. In Anbetracht der Begründung des vorliegenden Urteils erweist sich ein Augenschein entbehrlich. Der entsprechende Verfahrensantrag ist daher abzuweisen.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen.
5.1. Die Gerichtskosten werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Gemäss Art. 66 Abs. 4 BGG hat die unterliegende Beschwerdeführerin, welche das Bundesgericht in ihrem amtlichen Wirkungskreis in Anspruch genommen hat, keine Verfahrenskosten zu tragen.
5.2. Der obsiegende Beschwerdegegner hat nach Art. 68 Abs. 2 BGG grundsätzlich Anspruch auf Ersatz aller durch den Rechtsstreit verursachten notwendigen Kosten. Da er sich jedoch nicht vertreten lässt, sind keine solchen Kosten entstanden, so dass ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen ist.
Die Vorinstanz hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Genner