Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 28. Februar 2003 lehnte die IV-Stelle des Kantons Zürich das Leistungsgesuch des 1946 geborenen A._ mit der Begründung ab, aus psychiatrischer Sicht bestehe keine relevante Arbeitsunfähigkeit. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich beschied die gegen den Einspracheentscheid der IV-Stelle vom 12. August 2003 erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 28. April 2004 abschlägig.
Am 19. September 2006 meldete sich A._ erneut bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Versicherungsleistungen an. Die IV-Stelle trat indes auf das Gesuch nicht ein, weil keine neuen Tatsachen geltend gemacht worden seien (Verfügung vom 18. Dezember 2006).
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 8. April 2008 ab.
C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es sei, unter Aufhebung der ergangenen Entscheide, die Sache zur ergänzenden Feststellung des Sachverhaltes und zur materiellen Entscheidung des Leistungsbegehrens an die Verwaltung zurückzuweisen. Sodann sei die Vorinstanz zu verpflichten, die Entschädigung für die unentgeltliche Verbeiständung im Verfahren vor kantonalem Gericht auf Fr. 2'000.- festzusetzen.
D. Das Bundesgericht wies das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mit Verfügung vom 27. August 2008 ab.
Erwägungen:
1. Die Vorinstanz hat die Bestimmung von Art. 87 Abs. 4 IVV richtig wieder gegeben, wonach in Verbindung mit Art. 87 Abs. 3 IVV eine neue Anmeldung nur geprüft wird, wenn im Revisionsgesuch glaubhaft gemacht worden ist, dass sich der Grad der Invalidität in einer für den Anspruch erheblichen Weise geändert hat. Sodann kann dem angefochtenen Entscheid korrekt entnommen werden, dass die Verwaltung analog zu Art. 17 Abs. 1 ATSG vorzugehen hat, falls sie auf die Neuanmeldung eintritt. Darauf wird verwiesen.
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Verwaltung mit Bezug auf die Neuanmeldung vom 19. September 2006 einen Nichteintretensentscheid fällen durfte, oder ob sie auf das neue Leistungsgesuch hätte eintreten und einer materiellen Prüfung unterziehen müssen.
3. Der Beschwerdeführer stützt sich für die Neuanmeldung auf den Arztbericht des Dr. med. S._ vom 30. November 2006 und die ergänzende Stellungnahme dieses Arztes vom 8. März 2007. Ausserdem macht er geltend, allein schon die Dauer der fortbestehenden psychischen Störung sei als "neue Tatsache" zu werten. Das kantonale Gericht traf indes die nach der gesamten Aktenlage keinesfalls offensichtlich unrichtige Feststellung, Dr. med. S._ beurteile den Gesundheitszustand als stationär, und die depressive Störung bestehe seit mindestens fünf Jahren. Dem angefochtenen Entscheid ist weiter zu entnehmen, die Diagnosen unterschieden sich kaum von denjenigen, welche Dr. med. S._ bereits im Bericht vom 19. November 2001 angeführt habe. Die Vorinstanz wies auf den von ihr am 28. April 2004 gefällten Entscheid hin, wonach der genannte Arztbericht nicht nachvollziehbar und dem Gutachten des Dr. med. R._ vom 5. November 2002 ausschlaggebendes Gewicht beigemessen worden sei. Mit Blick auf alle diese, im Rahmen einer rechtskonformen Beweiswürdigung getroffenen und das Bundesgericht bindenden Feststellungen (Art. 105 Abs. 1 BGG), verletzt der vom kantonalen Gericht gezogene Schluss, es sei eine Änderung des Grades der Invalidität in einer für den Anspruch erheblichen Weise nicht glaubhaft gemacht, Bundesrecht nicht. Daran vermögen sämtliche Vorbringen in der Beschwerde nichts zu ändern. Die vor Bundesgericht erneuerte Argumentationsweise, wonach angesichts eingetretener Verbesserungen im familiären Umfeld nunmehr von einer invalidisierenden psychischen Krankheit auszugehen sei, hat das kantonale Gericht entkräftet. Im Andauern der psychischen Symptomatik allein, welche vorinstanzlich bereits als nicht leistungsbegründend beurteilt worden ist (Entscheid vom 28. April 2004), kann keine massgebliche Änderung im Sinne von Art. 87 Abs. 3 IVV erblickt werden.
4. 4.1 Die Bemessung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes ist im Rahmen der bundesrechtlichen Grundsätze dem kantonalen Recht überlassen (Urteil U 433/04 vom 26. Juli 2005 E. 3.2; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2003, N. 92 zu Art. 61 ATSG). Gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG prüft das Bundesgericht die Verletzung u.a. von kantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet wird. Hiebei muss die Beschwerde die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche Rechtssätze und inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid verletzt sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene Rügen (BGE 127 I 38 E. 3c S. 43; Nicolas von Werdt, in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 10 zu Art. 106 BGG).
4.2 Der Beschwerdeführer beanstandet eine falsche Umrechnung der in der Kostennote vom 31. März 2008 ausgewiesenen Zeiteinheiten durch die Vorinstanz. Hingegen legt er nicht dar, inwiefern die vorinstanzlich zugesprochene Entschädigung (Fr. 1'600.-) im Ergebnis - und nur auf dieses kommt es an - verfassungswidrig, insbesondere willkürlich, sein sollte. Die Beschwerde genügt den Begründungserfordernissen von Art. 106 Abs. 2 BGG diesbezüglich nicht (Niggli/Uebersax/Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, ULRICH MEYER N. 15 zu Art. 106 sowie Laurent Merz, N. 61 zu Art. 42 BGG). Auf die Beschwerde ist insofern nicht einzutreten.
5. Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG erledigt, soweit darauf einzutreten ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Oktober 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Ettlin