Faits:
A.
A.a. X._, ressortissant camerounais né en 1969, est arrivé en Suisse le 1 er décembre 2003. Il a déposé le même jour une demande d'asile auprès du Centre d'enregistrement de Vallorbe. Par décision du 8 juin 2004, l'Office fédéral des réfugiés (aujourd'hui: l'Office fédéral des migrations) a rejeté la demande d'asile de l'intéressé, a prononcé son renvoi de Suisse et lui a imparti un délai de départ au 3 août 2004. Par arrêt du 3 août 2004, la Commission de recours en matière d'asile (aujourd'hui: le Tribunal administratif fédéral) a déclaré irrecevable le recours déposé contre cette décision. Un nouveau délai de départ au 28 septembre 2004, prolongé au 5 janvier 2005, a été imparti à X._. L'intéressé n'a toutefois pas quitté la Suisse et a été signalé comme disparu dès le mois de juin 2005.
A.b. A la fin du mois d'octobre 2008, X._ et Y._, une citoyenne suisse née en 1982, ont entrepris des démarches auprès de l'Office de l'état civil du Nord vaudois en vue de se marier. Le 5 novembre 2008, X._ s'est annoncé auprès du Bureau des étrangers de la Commune de Z._ et a sollicité une autorisation de séjour en vue de mariage. Le 13 juin 2009, X._ et Y._ se sont mariés. Aucun enfant n'est issu de leur union. X._ a en revanche quatre enfants nés de précédentes relations. Ces derniers, âgés respectivement de 19, 18, 14 et 12 ans, vivent au Cameroun avec leurs mères. Le 15 juillet 2009, X._ a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour par regroupement familial.
Par demande du 1 er décembre 2010, Y._ a ouvert action en annulation de mariage. Elle a exposé que son mari n'avait jamais voulu fonder une communauté conjugale mais bien consolider sa situation tant administrative que financière à ses dépens. Elle a également reproché à son mari d'être encore marié à sa précédente épouse, l'accusant ainsi de bigamie. Sur ordre du Président du Tribunal civil de l'arrondissement de A._, X._ a quitté l'appartement conjugal le 7 décembre 2010. En mai 2012, la procédure en annulation de mariage a été transformée en procédure de divorce avec accord complet. Le divorce a été prononcé le 22 février 2013.
A.c. Depuis 2009, X._ a occupé divers emplois temporaires dans les domaines de la construction et de la restauration. Entre décembre 2010 et septembre 2011, il a obtenu des prestations de l'aide sociale en complément de ses revenus. Depuis le 1 er septembre 2012, il est au bénéfice d'un contrat de travail de durée indéterminée auprès de la société B._. Travaillant à 50% comme aide-cuisine, il réalise un salaire mensuel net de 1'500 francs. Parallèlement à cette activité, il exerce des missions temporaires pour la société C._ qui lui procurent un revenu mensuel net variant entre 1'000 et 1'500 francs. Le 7 juin 2013, il a été engagé par la Municipalité de A._ comme ouvrier d'entretien pour une mission d'un mois du 15 juillet au 18 août 2013. En octobre 2012, X._ avait des poursuites pour un montant total de 6'018 fr. 70.
B.
Par décision du 19 novembre 2012, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de X._ et a prononcé son renvoi de Suisse.
Le recours formé contre ce prononcé auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a été rejeté le 3 juillet 2013.
C.
X._ forme un recours en matière de droit public contre le jugement du Tribunal cantonal. Outre l'effet suspensif et l'assistance judiciaire, il conclut au renouvellement de son autorisation de séjour, subsidiairement au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants, le tout sous suite de frais et dépens.
Le 11 septembre 2013, le Président de la IIe Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours. Il n'a pas été requis d'échange d'écritures.
Considérant en droit:
1.
Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. En l'espèce, la vie conjugale du recourant avec une citoyenne suisse ayant cessé d'exister, celui-ci ne peut pas déduire un droit à une autorisation de séjour de l'art. 43 al. 1 LEtr ni de l'art. 49 LEtr. Toutefois, devant les instances cantonales, le recourant a invoqué des raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr. En pareilles circonstances, il convient d'admettre un droit, sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, lui permettant de former un recours en matière de droit public, étant précisé que le point de savoir si c'est à juste titre que les autorités cantonales ont nié la réalisation des conditions de l'art. 50 LEtr relève du fond et non de la recevabilité (arrêts 2C_800/2012 du 6 mars 2013 consid. 1.1; 2C_307/2012 du 26 juillet 2012 consid. 1.1; 2C_289/2012 du 12 juillet 2012 consid. 1.1).
Pour le surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF); il a été formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Par conséquent, il est en principe recevable en tant que recours en matière de droit public.
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 II 222 consid. 7.4 p. 230; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 II 101 consid. 3 p. 104; 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322). Enfin, sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal de céans à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 LTF).
3.
Le recourant fait grief à l'instance précédente d'avoir violé l'art. 50 al. 1 let. b LEtr en niant l'existence de raisons personnelles majeures justifiant la prolongation de son autorisation de séjour. Il invoque des violences conjugales et considère que l'instance précédente s'est montrée trop exigeante quant à l'apport de la preuve sur ce point, respectivement qu'elle n'a pas apprécié les preuves de manière correcte.
3.1. L'art. 50 al. 1 let. b LEtr prévoit qu'après la dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu de l'art. 42 LEtr subsiste lorsque la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures (let. b). Selon l'art. 50 al. 2 LEtr, les raisons personnelles majeures visées à l'al. 1 let. b sont notamment données lorsque le conjoint est victime de violence conjugale et que la réintégration sociale dans le pays de provenance semble fortement compromise. La jurisprudence a précisé que la violence conjugale et la réintégration sociale fortement compromise dans le pays de provenance ne devaient pas forcément être réalisées cumulativement pour justifier l'application de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr (cf. ATF 138 II 229 consid. 3.2.2 p. 235; 136 II 1 consid. 5.3 p. 4). Cette disposition a en effet pour vocation d'éviter les cas de rigueur ou d'extrême gravité (cf. ATF 137 II 1 consid. 3.1 p. 3 s.). A cet égard, la violence conjugale ou la réintégration fortement compromise dans le pays d'origine peuvent revêtir une importance et un poids différents dans cette appréciation et suffire isolément à admettre des raisons personnelles majeures. S'agissant de la violence conjugale, il faut toutefois qu'il soit établi que l'on ne peut exiger plus longtemps de la personne admise dans le cadre du regroupement familial qu'elle poursuive l'union conjugale, parce que cette situation risque de la perturber gravement. La violence conjugale doit par conséquent revêtir une certaine intensité (ATF 138 II 229 consid. 3.2.1 p. 233; 136 II 1 consid. 5.3 p. 4); elle peut être de nature tant physique que psychique (arrêts 2C_1258/2012 du 2 août 2013 consid. 5.1; 2C_748/2011 du 11 juin 2012 consid. 2.2.1; 2C_155/2011 du 7 juillet 2011 consid. 4). En ce qui concerne la réintégration sociale dans le pays de provenance, l'art. 50 al. 2 LEtr exige qu'elle soit fortement compromise. La question n'est donc pas de savoir s'il est plus facile, pour la personne concernée, de vivre en Suisse, mais uniquement d'examiner si, en cas de retour dans le pays d'origine, les conditions de sa réintégration sociale, au regard de sa situation personnelle, professionnelle et familiale, seraient gravement compromises (arrêts 2C_748/2011 du 11 juin 2012 consid. 2.2.2; 2C_647/2010 du 10 février 2011 consid. 3.6).
3.2. Pour fonder juridiquement la violation de l'art. 50 al. 1 lit. b et al. 2 LEtr, le recourant discute tout à fait librement les faits retenus par le Tribunal cantonal. Pourtant, ce dernier a pris en compte les pièces et témoignages versés en cause, ce qui lui a permis de retenir que l'épouse a agi dans le but de lui nuire en déposant une plainte pénale à son encontre et en intervenant auprès de son employeur ainsi que de son ex-compagne. Le Tribunal cantonal a cependant mis en évidence que de tels agissement, certes inacceptables, avaient pour l'essentiel été commis après la séparation. Le recourant ne conteste pas qu'une partie des agissements malveillants de son ex-épouse étaient postérieurs à la séparation, mais fait valoir que les violences existaient déjà lors de la vie commune. Toutefois, le recourant ne motive nullement de manière suffisante, au regard des exigences de l'art. 106 al. 2 LTF, en quoi l'appréciation des preuves à laquelle a procédé le Tribunal cantonal serait arbitraire. Il en va de même s'agissant du prétendu risque pour sa vie que constituerait un retour au Cameroun. Il y a donc lieu de procéder au contrôle du droit fédéral en se fondant exclusivement sur les faits retenus par l'instance précédente.
3.3. Le Tribunal cantonal a estimé à juste titre, sur la base des faits qu'il a retenus, que X._ n'avait pas été victime de violences conjugales au sens donné à cette expression par la jurisprudence du Tribunal fédéral. Il suffit de se référer ici au considérant 2b de l'arrêt entrepris. Il en va de même s'agissant du danger de mort auquel l'exposerait un retour dans son pays. Le recourant a fait valoir ces mêmes arguments dans le cadre de sa demande d'asile. Dans sa décision du 8 juin 2004 (confirmée sur recours), l'Office fédéral des réfugiés a jugé que les déclarations du recourant sur ce point n'étaient pas vraisemblables et que son renvoi était dès lors raisonnablement exigible. Les pièces produites par l'intéressé dans le cadre de la procédure cantonale n'ont pas permis de remettre en cause cette appréciation et, comme indiqué (cf. supra consid. 3.2), les faits retenus par le Tribunal cantonal ne sont nullement frappés d'arbitraire.
Le recourant invoque enfin son intégration pour s'opposer à son renvoi. Comme l'a relevé le Tribunal cantonal au consid. 2b, âgé de 44 ans, l'intéressé a vécu les 34 premières années de son existence au Cameroun. Ses racines socio-culturelles se trouvent dans ce pays où il a certainement conservé un cercle d'amis et de connaissances susceptibles de favoriser son retour. Son séjour de neuf ans en Suisse n'a pas pu lui faire perdre tous ses repères dans son pays où il a encore de la famille, notamment ses quatre enfants issus de précédentes relations. Quant à son intégration, elle ne sort pas de l'ordinaire. Certes, le recourant parle français, a un emploi et n'a jamais fait l'objet de condamnation pénale. Ces éléments ne sont toutefois pas si exceptionnels qu'ils feraient apparaître disproportionné son retour au Cameroun. A cela s'ajoute que son comportement en Suisse n'est pas exempt de tout reproche. L'intéressé n'a en effet pas obtempéré à la décision de renvoi prononcée à son encontre et a vécu plus de trois ans dans la clandestinité, ce qui relativise la durée de son séjour en Suisse. De plus, il a bénéficié pendant près d'une année des prestations de l'aide sociale et a contracté des dettes qui lui ont valu des poursuites. Au regard de ces éléments, il n'apparaît pas que la réintégration du recourant, qui est en bonne santé, dans son pays d'origine, serait fortement compromise.
3.4. Dans ces circonstances, en jugeant que le recourant ne pouvait se prévaloir de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr pour obtenir une prolongation de son autorisation de séjour, le Tribunal cantonal a respecté le droit fédéral.
4.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la limite de sa recevabilité. Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire est rejetée (art. 64 LTF). Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 65 al. 2 et 3 et 66 al. 1 LTF), lesquels seront fixés en tenant compte de sa situation économique. Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 11 novembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor