Faits:
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A. A.a Par acte authentique du 26 mai 1981, la Banque A._ (ci-après: A._ ou la banque) a octroyé à C._ un crédit en compte courant de 130'000 fr. garanti par un cautionnement solidaire de 156'000 fr. émanant de B._, ainsi que par une hypothèque grevant en deuxième rang les parcelles Nos xxx, yyy et zzz, plan N° 1, composées de vignes et sises au lieu-dit M._ sur le territoire de la Commune de O._, biens-fonds que C._ a acquis le même jour.
Ces vignes ont été achetées le 25 février 1983 par D._, qui a repris la dette du vendeur auprès de la Banque A._. B._ a déclaré le 14 décembre 1983 maintenir en faveur du compte repris par D._ l'engagement qu'elle avait contracté le 26 mai 1981 en tant que caution solidaire.
A.b La limite du crédit en compte courant ayant été régulièrement dépassée, la banque a dénoncé le prêt le 24 mai 1995 et réclamé pour le 5 juillet 1995 le paiement de 137'591 fr.90 en capital.
Le 15 mars 1996, la Banque A._ a informé B._ que D._ ne s'était pas acquitté de l'excédent de crédit et qu'elle allait entamer une procédure de poursuite contre lui.
Par un commandement de payer notifié le 30 mars 1996, la banque a introduit une poursuite en réalisation de gage à l'encontre de D._.
A.c Le 3 juillet 1996, B._, par l'intermédiaire d'un avocat, a fait savoir à la banque que celle-ci avait tardé à agir contre le débiteur principal depuis la dénonciation de crédit du 24 mai 1995, si bien qu'elle était mise en demeure d'agir sans interruption notable.
Le 10 juillet 1996, l'office des poursuites compétent a informé la banque du fait qu'une taxation des parcelles appartenant à D._ avait été requise. Les immeubles ont été estimées le 16 juillet 1996 par les taxateurs officiels de la commune de O._.
Le 30 octobre 1996, les parcelles ont fait l'objet d'une estimation sous les auspices du Département valaisan de l'économie publique; le prix licite a été fixé à 19 fr. 50 le m2 quant à la vigne et à 1 fr. le m2 pour le terrain inculte.
Le 24 janvier 1997, la banque a été avisée du fait que la vente aux enchères des biens immobiliers de D._ aurait lieu le 10 avril 1997. En vue des enchères, la Banque A._ a présenté le 7 février 1997 une production de 157'465 fr.
Le 20 mars 1997, la banque a eu connaissance d'une possibilité de vente de gré à gré des trois parcelles pour le prix licite et en a informé B._. Dès cette date, la Banque A._ savait que sa créance ne serait pas couverte par la réalisation des immeubles gagés, dont le produit servirait au remboursement d'un autre crédit, garanti par une hypothèque en premier rang.
Le 22 octobre 1997, la Banque A._ a intenté une poursuite ordinaire contre D._ tendant au paiement en capital de 163'118 fr.20, ce dont elle a fait part à la caution. Le 3 mars 1998, la banque a prévenu la caution que le salaire du poursuivi allait être saisi à concurrence de 500 fr. par mois dès octobre 1998 et qu'elle obtiendrait un acte de défaut de biens. Le 18 décembre 1998, il a été délivré à la banque un acte de défaut de biens après saisie pour la somme de 114'780 fr.90.
Le 22 octobre 1997, la Banque A._ a intenté une poursuite ordinaire contre D._ tendant au paiement en capital de 163'118 fr.20, ce dont elle a fait part à la caution. Le 3 mars 1998, la banque a prévenu la caution que le salaire du poursuivi allait être saisi à concurrence de 500 fr. par mois dès octobre 1998 et qu'elle obtiendrait un acte de défaut de biens. Le 18 décembre 1998, il a été délivré à la banque un acte de défaut de biens après saisie pour la somme de 114'780 fr.90.
B. B.a Se fondant sur le cautionnement solidaire souscrit par B._ le 26 mai 1981 et renouvelé le 14 décembre 1983 en faveur de D._, la Banque A._ a fait notifier à la prénommée le 22 octobre 1998 un commandement de payer la somme de 113'772 fr. 30 plus intérêts, que la poursuivie a frappé d'opposition.
Le 22 février 1999, la mainlevée provisoire de l'opposition a été prononcée.
Le 18 mars 1999, B._ a ouvert action en libération de dette contre la banque. La défenderesse a conclu au rejet de la demande.
Le 18 mai 2001, la banque a déposé en cause une déclaration, signée par B._, selon laquelle celle-ci renonçait, sans reconnaissance de responsabilité, à la prescription dans le cadre de la procédure l'opposant à la Banque A._, cela pour le cas où cette prescription interviendrait en cours de procédure et ne serait pas déjà atteinte.
Par jugement du 11 décembre 2001, la IIe Cour civile du Tribunal cantonal valaisan a admis l'action en libération de dette et a maintenu l'opposition formée au commandement de payer, considérant qu'en application de l'art. 509 al. 3 CO, le cautionnement était périmé.
Par arrêt du 1er juillet 2002, le Tribunal fédéral a admis le recours en réforme interjeté contre ce jugement par la Banque A._ et renvoyé la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle en poursuive l'examen et qu'elle rende une nouvelle décision dans le cadre des moyens invoqués par B._ à l'appui de son action en libération de dette, moyens qui n'avaient pas été examinés en raison de la solution adoptée.
B.b Par jugement du 16 janvier 2003, la Cour civile II du Tribunal cantonal valaisan a partiellement admis l'action en libération de dette en ce sens que la demanderesse devait à la Banque A._ le montant de 137'157 fr.20 plus intérêts à 5 % dès le 6 juillet 1995, sous déduction de 61'266 fr.90, valeur au 2 mai 1998, la mainlevée définitive étant prononcée à due concurrence.
Saisi d'un recours en réforme interjeté par B._, le Tribunal fédéral, par arrêt du 8 juillet 2003, a renvoyé la cause à l'autorité cantonale afin de compléter l'état de fait en vue de déterminer si la caution était libérée, en application de l'art. 511 al. 3 CO, pour le motif que la créancière n'avait pas poursuivi l'exécution de ses droits sans interruption notable (art. 511 al. 1 CO).
B.c Selon jugement du 12 novembre 2003, la Cour civile II a admis l'action en libération de dette de B._ et maintenu son opposition à la poursuite dont elle était l'objet. En substance, elle a considéré que la banque, qui savait dès le 20 mars 1997 que le produit de la vente des immeubles mis en gage ne couvrirait pas sa créance et avait néanmoins attendu sept mois avant d'introduire une poursuite ordinaire contre D._, n'avait pas continué les poursuites comme l'aurait fait un homme d'affaires consciencieux, de sorte que la caution devait être libérée de son engagement en vertu de l'art. 511 al. 3 CO.
B.c Selon jugement du 12 novembre 2003, la Cour civile II a admis l'action en libération de dette de B._ et maintenu son opposition à la poursuite dont elle était l'objet. En substance, elle a considéré que la banque, qui savait dès le 20 mars 1997 que le produit de la vente des immeubles mis en gage ne couvrirait pas sa créance et avait néanmoins attendu sept mois avant d'introduire une poursuite ordinaire contre D._, n'avait pas continué les poursuites comme l'aurait fait un homme d'affaires consciencieux, de sorte que la caution devait être libérée de son engagement en vertu de l'art. 511 al. 3 CO.
C. Parallèlement à un recours en réforme, la Banque A._ forme un recours de droit public au Tribunal fédéral contre le jugement précité, dont elle requiert l'annulation, la cause étant renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
L'intimée conclut au rejet du recours, alors que la cour cantonale se réfère aux considérants de son jugement.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. 1.1 Conformément à la règle générale de l'art. 57 al. 5 OJ, il y a lieu de statuer d'abord sur le recours de droit public.
1.2 Le recours de droit public au Tribunal fédéral est ouvert contre une décision cantonale pour violation des droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ).
Le jugement rendu par la cour cantonale, qui est final, n'est susceptible d'aucun autre moyen de droit sur le plan fédéral ou cantonal dans la mesure où la recourante invoque la violation directe d'un droit de rang constitutionnel, de sorte que la règle de la subsidiarité du recours de droit public est respectée (art. 84 al. 2 et 86 al. 1 OJ). En revanche, si la recourante soulève une question relevant de l'application du droit fédéral, le grief n'est pas recevable, parce qu'il pouvait faire l'objet d'un recours en réforme (art. 43 al. 1 et 84 al. 2 OJ).
La recourante est personnellement touchée par la décision attaquée, qui accueille l'action en libération de dette de son adverse partie, de sorte qu'elle a un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que cette décision n'ait pas été prise en violation de ses droits constitutionnels; en conséquence, elle a qualité pour recourir (art. 88 OJ).
1.3 Saisi d'un recours de droit public, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours (art. 90 al. 1 let. b OJ; ATF 129 I 113 consid. 2.1 p. 120 et les arrêts cités).
2. Invoquant laconiquement l'arbitraire, la recourante prétend que les magistrats cantonaux ont rendu leur jugement sans que l'état de fait ait été complété. Elle se plaint en particulier de ne pas avoir pu apporter de nouvelles preuves devant la Cour civile.
2.1 Lorsqu'un dossier est retourné à la cour cantonale pour compléter l'état de fait (art. 64 al. 1 OJ), cette autorité doit compléter son état de fait. Cela ne signifie pas que les parties sont autorisées à présenter, à ce stade de la procédure, de nouveaux allégués et à offrir de nouveaux moyens de preuve. L'art. 66 al. 1 OJ prévoit du reste expressément que l'autorité cantonale ne peut tenir compte de "nova" (conclusions, allégations, preuves, etc.,) que si la procédure cantonale le permet (ATF 116 II 220 consid. 4a; Bernard Corboz, Le recours en réforme au Tribunal fédéral, SJ 2000 II p. 70; Jean-François Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. II, n. 1.2 ad art. 66 OJ).
2.2 Dans le cas présent, après que la cause lui a été renvoyée, l'autorité cantonale a complété l'état de fait, comme le lui avait demandé le Tribunal fédéral dans son arrêt du 8 juillet 2003, en retraçant méticuleusement les étapes de la procédure telles qu'elles ressortaient des preuves administrées (cf. consid. 2, p. 4-6 du jugement déféré). Elle a en particulier déterminé la date à laquelle la défenderesse avait introduit une poursuite ordinaire contre le débiteur principal D._, point déterminant pour examiner le moyen de la demanderesse fondé sur l'art. 511 al. 1 et 3 CO.
Dès l'instant où, comme on l'a vu, c'est le droit procédural qui détermine seul la mesure dans laquelle des "nova" sont admissibles, la recourante pouvait se prévaloir d'une violation arbitraire du droit cantonal de procédure applicable (art. 9 Cst.). Il lui appartenait pourtant de préciser quelle disposition de ce droit aurait été enfreinte de manière insoutenable (ATF 110 Ia 1 consid. 2a). Faute de s'être pliée à cette exigence, le grief, insuffisamment motivé, est irrecevable (art. 90 al. 1 let. b OJ).
2.3 La recourante aurait pu songer à invoquer une violation du droit d'être entendu, consacré par l'art. 29 al. 2 Cst. Mais elle n'a pas avancé un tel moyen, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner la question sous cet angle (art. 90 al. 1 let. b OJ).
L'aurait-elle fait que le grief aurait été de toute manière infondé. A considérer la procédure dans son ensemble, il n'apparaît nullement que la recourante a été entravée, d'une quelconque façon, dans son droit d'être entendue, compris comme la faculté d'alléguer des faits et de produire des pièces en temps utile.
L'aurait-elle fait que le grief aurait été de toute manière infondé. A considérer la procédure dans son ensemble, il n'apparaît nullement que la recourante a été entravée, d'une quelconque façon, dans son droit d'être entendue, compris comme la faculté d'alléguer des faits et de produire des pièces en temps utile.
3. En définitive, le recours est irrecevable. Vu l'issue du litige, la recourante supportera l'émolument de justice et versera à l'intimée une indemnité de dépens (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
1. Le recours est irrecevable.
2. Un émolument judiciaire de 4'000 fr. est mis à la charge de la recourante.
2. Un émolument judiciaire de 4'000 fr. est mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 5'000 fr. à titre de dépens.
3. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 5'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 9 juin 2004
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: