Sachverhalt:
A. A.a Der 1954 geborene J._ ist seit März 1992 hauptsächlich als Lehrer tätig und dadurch bei der Winterthur Versicherungen (nachfolgend: Winterthur) resp. deren Rechtsnachfolgerin AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 17. August 1992 erlitt er als Autolenker einen Heckauffahrunfall. Im Bericht des gleichentags aufgesuchten Spitals X._ vom 16. November 1992 wurde als Diagnose der Verdacht auf eine hiebei erlittene Contusio spinalis (Differenzialdiagnose: traumatisch ausgelöste Diskushernie) genannt. Am 19. April 1993 verunfallte J._ als Motorradfahrer. Dabei zog er sich gemäss Bericht des Spitals X._ vom 14. Juli 1993 ein mässiges Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) bei "Residuen eines HWS-Traumas vor neun Monaten" zu. Die Winterthur erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit rechtskräftigem Einspracheentscheid vom 15. Mai 1997 schloss sie die Unfälle unter Zusprechung einer Integritätsentschädigung bei einem Integritätsschaden von 35 % auf den 1. Mai 1997 ab.
A.b Am 21. Juni 2005 stand J._ mit seinem Fiat 124 Spider mitten in einer Kolonne von etwa fünf Fahrzeugen vor einem Rotlicht. Als die Ampel auf grün wechselte, fuhr der hinter ihm stehende Peugeot 206 an und prallte ins Heck des Fiat. Gemäss Bericht der erstbehandelnden Frau Dr. med. Z._, Innere Medizin FMH, vom 12. August 2005 erlitt J._ dabei ein HWS-Distorsionstrauma. Die AXA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach Abklärungen zum Geschehensablauf (u.a. Beizug der vom zuständigen Haftpflichtversicherer erstellten Unfallanalyse vom 2. August 2006) und zum medizinischen Sachverhalt (u.a. Einholung des medizinischen Gutachtens des Prof. Dr. med. D._, Neurologie, FMH, und des Prof. Dr. med. R._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 22. November 2007) eröffnete die AXA dem Versicherten mit Verfügung vom 15. Dezember 2007, sämtliche Leistungen würden rückwirkend per 31. Juli 2005 eingestellt, da spätestens ab diesem Zeitpunkt kein natürlicher Kausalzusammenhang mehr zwischen dem Unfall vom 21. August 2005 und den noch geklagten Beschwerden bestanden habe. Auf eine Rückforderung der bis 30. November 2007 erbrachten Leistungen werde verzichtet, soweit diese J._ direkt beträfen. Daran hielt die AXA mit Einspracheentscheid vom 8. Oktober 2009 fest, wobei sie nunmehr auch die adäquate Unfallkausalität der über den Juli 2005 hinaus noch bestandenen Beschwerden verneinte. Zudem erklärte die AXA neu auch gegenüber dem Krankenversicherer, auf die Rückforderung erbrachter Leistungen zu verzichten.
B. J._ erhob Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, es sei der Einspracheentscheid aufzuheben und der Unfallversicherer zu verpflichten, die gesetzlich geschuldeten Leistungen, insbes. eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung, auszurichten. Er legte dabei ein von ihm eingeholtes medizinisches Gutachten vom 12. Januar 2009 (mit neuropsychologischen, neurologischen und psychiatrischen Teilgutachten vom 10. Mai, 10. August und 31. Dezember 2008) auf. Dazu nahmen wiederum beratende Ärzte der AXA Stellung. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. Juni 2011 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt J._ die Aufhebung des kantonalen Entscheides beantragen und sein vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern.
Die AXA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254; Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig ist, ob aus dem Unfall vom 21. Juni 2005 Anspruch auf weitere Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht. Ein zusätzlicher Leistungsanspruch aus den beiden rechtskräftig abgeschlossenen Unfällen von 1992 und 1993 steht nicht zur Diskussion. Wie das kantonale Gericht erkannt hat, ist auch auf die Frage der Leistungsberechtigung für den Zeitraum von August 2005 bis Herbst 2007 nicht weiter einzugehen. Es fehlt an dem hiefür notwendigen schutzwürdigen Interesse, da für diesen Zeitraum auf eine Rückforderung der erbrachten Leistungen verzichtet wurde und keine zusätzlichen Leistungen geltend gemacht werden.
Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung des streitigen Leistungsanspruchs zutreffend dargelegt. Das gilt namentlich für das Erfordernis eines natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181) sowie bei organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103), bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (sog. Psycho-Praxis; BGE 115 V 133) und bei nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge erklärbaren HWS-Schleudertraumen, äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen (sog. Schleudertrauma-Praxis; BGE 134 V 109). Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es liege keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vor, welche die noch bestehenden Beschwerden zu erklären vermöchte.
Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Rechtsprechungsgemäss kann von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/ bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (Urteil 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 2 mit Hinweis, nicht publ. in: BGE 135 V 465, aber in: SVR 2010 UV Nr. 6 S. 25; SVR 2012 UV Nr. 5 S. 17, 8C_310/2011 E. 4.1). Ein solcher Nachweis liegt hier nicht vor. Er ergibt sich auch nicht aus dem medizinischen Privatgutachten vom 12. Januar 2009. Soweit darin auf eine organische Genese der geklagten Beschwerden geschlossen und dies mit erlittener HWS-Distorsion und leichter traumatischer Hirnverletzung (mild traumatic brain injury; MTBI) erklärt wird, stützt sich dies nicht auf einen Nachweis in der genannten Art. Es kann daher auch die - diskutable - Frage offen bleiben, ob es überhaupt zu einer MTBI gekommen ist. Was in der Beschwerde weiter vorgebracht wird, rechtfertigt ebenfalls keine andere Betrachtungsweise. Dass der Unfallversicherer das Fehlen einer organischen Unfallfolge nachzuweisen hätte, trifft nicht zu. Sodann ist von weiteren medizinischen Untersuchungen abzusehen, da sie keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen. Das gilt auch, soweit geltend gemacht wird, es seien weitere bildgebende Abklärungen erforderlich. Offensichtlich haben auch die vom Beschwerdeführer beigezogenen Privatgutachter keine Notwendigkeit als gegeben erachtet, zusätzliche Untersuchungen solcher Art durchzuführen oder durchführen zu lassen, wie sich aus dem neurologischen Teilgutachten vom 10. August 2008 und der interdisziplinären Beurteilung vom 12. Januar 2009 ergibt.
3.1 Fehlt es an einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge, kann der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den geklagten Beschwerden und dem Unfall, anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat, nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden. Dabei muss die Frage des natürlichen Kausalzusammenhangs mit der Vorinstanz nicht abschliessend beantwortet werden, wenn es ohnehin am adäquaten Kausalzusammenhang fehlt (BGE 135 V 465 E. 5.1 S. 472; 134 V 109 E. 2.1 S. 112; erwähntes Urteil SVR 2012 UV Nr. 5 E. 3 und 5.1).
3.2 Das kantonale Gericht hat eine solche Adäquanzbeurteilung nach der Schleudertrauma-Praxis vorgenommen. Deren Anwendbarkeit ist aufgrund der erlittenen HWS-Distorsion und der aufgetretenen Beschwerden gegeben. Das ist unbestritten. Es kann daher hier ebenfalls offen bleiben, ob es auch zu einer MTBI gekommen ist.
3.3 Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, der Unfall von 2005 sei eher als leicht zu betrachten. Jedenfalls liege entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kein mittelschwerer Unfall an der Grenze zu den schweren Unfällen vor. Ob ein leichter Unfall oder aber ein mittelschwerer im Grenzbereich zu den leichten Unfällen vorliege, müsse aber nicht abschliessend beantwortet werden, da der adäquate Kausalzusammenhang auch bei letzterer Unfallschwere zu verneinen sei. Dies ergebe eine Prüfung anhand der Zusatzkriterien gemäss BGE 134 V 109.
3.4 In der Beschwerde wird zunächst eingewendet, es seien auch die Unfälle von 1992 und 1993 in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen.
3.4.1 Tritt im Anschluss an zwei oder mehrere Unfälle eine psychische Fehlentwicklung ein, ist die Adäquanz des Kausalzusammenhangs grundsätzlich für jeden Unfall gesondert gemäss der Rechtsprechung zu den psychischen Unfallfolgen zu beurteilen. Gleiches gilt prinzipiell auch bei einer Mehrzahl von Unfällen mit Schleudertrauma der HWS oder gleichgestellter Verletzung. In diesem Rahmen ist es rechtsprechungsgemäss jedoch nicht generell ausgeschlossen, die wiederholte Betroffenheit desselben Körperteils bei der Adäquanzprüfung zu berücksichtigen. Letzteres ist insbesondere dann denkbar, wenn die Auswirkungen der verschiedenen Ereignisse auf gewisse Beschwerden und/oder die Arbeitsfähigkeit nicht voneinander abgegrenzt werden können. Der hinreichend nachgewiesenen, durch einen früheren versicherten Unfall verursachten dauerhaften Vorschädigung der HWS kann diesfalls bei der Beurteilung der einzelnen Kriterien - beispielsweise der besonderen Art der Verletzung, des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit (neu seit BGE 134 V 109: der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen) oder der Dauer der ärztlichen Behandlung (neu: fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung) - Rechnung getragen werden (SVR 2007 UV Nr. 1 S. 1, U 39/04 E. 3.3.2; Urteil 8C_689/2009 vom 16. Februar 2010 E. 4.1; vgl. auch SVR 2009 UV Nr. 30 S. 105, 8C_413/2008 E. 2.3, je mit Hinweisen).
Da vorliegend die Unfallereignisse einerseits vom 17. August 1992 und 19. April 1993 und andererseits vom 21. Juni 2005 zeitlich weit auseinander liegen, können ihre Auswirkungen auch klar voneinander abgegrenzt werden. Somit ist primär eine Adäquanzprüfung für das Unfallereignis vom 21. Juni 2005 vorzunehmen und die beiden anderen Ereignisse sind nur hilfsweise bei den zu prüfenden einzelnen Kriterien zu berücksichtigen.
3.5 Die Schwere des Unfalles ist auf Grund des augenfälligen Geschehensablaufs mit den sich dabei entwickelnden Kräften zu beurteilen (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1). Aufgrund der kollisionsbedingten Geschwindigkeitsänderung, welche gemäss Unfallanalyse vom 2. August 2006 maximal 4,9 km/h betrug, des Umstandes, dass der Beschwerdeführer danach noch in der Lage war, sein Fahrzeug zu lenken, und weiterer sich aus den Akten ergebende Faktoren spricht Einiges dafür, den Unfall vom 21. Juni 2005 als leicht zu betrachten. Das hätte zur Folge, dass der adäquate Kausalzusammenhang ohne Weiteres zu verneinen wäre (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126). Letztlich kann die Frage, ob ein leichter Unfall oder ein mittelschwerer Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen vorliegt, aber mit der Vorinstanz offen gelassen werden, da die Adäquanz selbst bei letzterer Unfallschwere zu verneinen wäre. Sicherlich kann aber nicht von einem eigentlichen mittelschweren Unfall oder gar, wie der Beschwerdeführer vorbringt, von einem Unfall im mittleren Bereich an der Grenze zu den schweren Unfällen ausgegangen werden.
3.6 Die Prüfung der massgeblichen Zusatzkriterien (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130) ergibt Folgendes:
3.6.1 Unbestrittenermassen kann weder von besonders traumatischen Begleitumständen noch von einer besonderen Eindrücklichkeit des Unfallereignisses gesprochen werden. Auch das Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, wird zu Recht nicht geltend gemacht.
3.6.2 Das kantonale Gericht hat zutreffend erkannt, das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der Verletzungen sei jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise erfüllt. Zwar ist - wie die Vorinstanz festhält - nach der Lebenserfahrung davon auszugehen, dass pathologische Zustände nach HWS-Verletzungen bei erneuter Traumatisierung ausserordentlich stark exazerbieren können. Jedoch liegen hier zwischen den Unfallereignissen einerseits vom 17. August 1992 und 19. April 1993 und andrerseits jenem vom 21. Juni 2005 mehr als zwölf Jahre. Zudem ist das Unfallereignis vom 21. Juni 2005 als per se eher leicht zu betrachten. Daher ist fraglich, ob dieses Kriterium überhaupt in der einfachen Form gegeben ist. Sicher liegt es nicht in ausgeprägter Weise vor. Daran ändert, wie im angefochtenen Entscheid richtig erwogen wird, auch die Anbringung und Einstellbarkeit der Kopfstützen am Fiat nichts.
3.6.3 Die Vorinstanz verneint das Kriterium der fortgesetzten, spezifischen belastenden ärztlichen Behandlung. Diese Beurteilung stützt sich auf eine einlässliche und überzeugende Würdigung der Akten. Das kantonale Gericht hat dabei zutreffenderweise auch erkannt, dass verschiedene ärztliche Behandlungen gar nicht mit der HWS-Distorsion, sondern mit anderswo lokalisierten gesundheitlichen Beschwerden im Zusammenhang standen. Das Kriterium liegt somit nicht vor.
3.6.4 Die Vorinstanz hat erkannt, das Kriterium der erheblichen Beschwerden liege allenfalls in der einfachen Form, nicht aber in besonders ausgeprägter Weise vor. Sie hat dies ausführlich und nachvollziehbar begründet. Was in der Beschwerde vorgebracht wird, vermag diese Beurteilung nicht in Frage zu stellen. Das gilt namentlich auch für den Einwand, der Beschwerdeführer bemühe sich trotz seiner Beschwerden, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen.
3.6.5 Das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen wird im angefochtenen Entscheid zu Recht verneint. Der Beschwerdeführer stützt seine abweichende Auffassung vor allem auf den Heilungsverlauf nach den früheren Unfällen vom 17. August 1992 und 19. April 1993. Dies ist jedoch schon in Anbetracht des grossen Zeitabstandes zum jüngsten Unfall und aufgrund von dessen geringen Intensität nicht angängig.
3.6.6 Das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen liegt, wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, aufgrund der sukzessive erheblich reduzierten Arbeitsunfähigkeit jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise vor.
3.7 Da somit höchstens drei Kriterien und diese nicht besonders ausgeprägt gegeben sind, ist in Anbetracht eines - wenn überhaupt - mittelschweren Unfalles im Grenzbereich zu den leichten Unfällen kein adäquater Kausalzusammenhang anzunehmen (SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100, 8C_897/2009 E. 4.5 mit Hinweis; Urteil 8C_421/2009 vom 2. Oktober 2009 E. 5.8 mit Hinweisen). Unfallversicherer und Vorinstanz haben einen weiteren Leistungsanspruch demnach zu Recht verneint. Die Beschwerde ist somit abzuweisen.
4. Der Beschwerdeführer unterliegt. Er hat daher die Kosten des Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und es ist ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat ungeachtet ihres Obsiegens keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG; BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235; SVR 2011 UV Nr. 9 S. 32, 8C_744/2010 E. 6.2 mit Hinweis).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. März 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz