Sachverhalt:
A. Die 1983 geborene H._ absolvierte ab August 1999 eine kaufmännische Lehre in der Firma K._ AG und war dadurch bei der Elvia Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 21. Januar 2001 wurde sie beim Snowboard-Fahren von einem anderen Snowboard-Fahrer mit hoher Geschwindigkeit seitlich angefahren und zu Fall gebracht. Die wegen danach aufgetretenen Beschwerden am 23. Februar 2001 aufgesuchte Hausärztin diagnostizierte eine Commotio cerebri sowie eine Kontusion der gesamten Wirbelsäule mit cervicocephalem, thorakospondylogenem und lumbovertebralem Syndrom. Sie bestätigte eine volle Arbeitsunfähigkeit ab dem Unfall (hausärztlicher Bericht vom 16. Februar 2001). Bei den folgenden medizinischen Abklärungen wurde auch die Diagnose einer Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) gestellt. Die Elvia erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Mit Verfügung vom 8. April 2004 eröffnete die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz), als Rechtsnachfolgerin der Elvia, der Versicherten die Einstellung der Leistungen zum 31. Juli 2001. Die nach diesem Zeitpunkt erbrachten Versicherungsleistungen würden mit der Krankentaggeldversicherung verrechnet resp. von der Krankenkasse zurückgefordert. Zur Begründung wurde ausgeführt, gemäss dem neurologischen Gutachten des Spitals Z._ vom 12. Dezember 2003 sei sechs Monate nach dem Unfall vom 21. Januar 2001 wieder der status quo ante vel sine erreicht gewesen. H._ und ihr Krankenversicherer erhoben je Einsprache. Die Allianz holte beim Spital Z._ einen Nachtrag vom 20. August 2004 zum Gutachten vom 12. Dezember 2003 ein und hielt an der Verfügung vom 8. April 2004 fest. Sie verneinte dabei auch einen adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 21. Januar 2001 und den über den 31. Juli 2001 hinaus noch bestandenen Beschwerden, weshalb sich die Prüfung der Renten- und Integritätsentschädigungsfrage erübrige (Einspracheentscheid vom 7. April 2005).
B. Die von H._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid vom 7. April 2005 aufhob und, die Leistungspflicht der Allianz bis 31. Juli 2003 bejahend, die Sache an den Versicherer zurückwies, damit er nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen über den Leistungsanspruch ab 1. August 2003 neu verfüge. Weiter wurde die Allianz verpflichtet, die Kosten von Fr. 1848.55 für eine von der Versicherten veranlasste medizinische Abklärung zu bezahlen (Entscheid vom 28. Dezember 2006).
C. Die Allianz führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 7. April 2005 zu bestätigen; eventuell sie die Sache zum materiellrechtlichen Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
H._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingaben vom 23. April und 31. Oktober 2007 lässt H._ zwei neue Arztberichte einreichen.
Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (Art. 132 Abs. 1 BGG; BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Unfall vom 21. Januar 2001 über den 31. Juli 2001 hinaus.
Die massgeblichen Bestimmungen und Grundsätze sind im angefochtenen Entscheid, auf welchen verwiesen wird, zutreffend dargelegt. Es betrifft dies namentlich den für den Leistungsanspruch vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181) sowie bei nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen HWS-Schleudertraumen (BGE 117 V 359), äquivalenten Verletzungen der HWS (RKUV 2000 Nr. U 395 S. 316 E. 3, U 160/98; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) und Schädel-Hirntraumen (BGE 117 V 369) im Besonderen. Zu ergänzen ist, dass die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich klar ausgewiesener organischer Unfallfolgen praktisch keine Rolle spielt (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen). Die vorinstanzlichen Erwägungen zum Dahinfallen des natürlichen Kausalzusammenhanges - und damit der Leistungspflicht des Unfallversicherers - bei Erreichen des Zustand vor dem Unfall resp. ohne diesen (status quo ante vel sine; RKUV 1994 Nr. U 206 S. 326 E. 3b, 1992 Nr. U 142 S. 75 E. 4b, je mit Hinweisen) sowie zu den Anforderungen an beweiswertige Arztberichte (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352 mit Hinweis) sind ebenfalls richtig. Gleiches gilt, soweit ausgeführt wird, dass - in dem vom Untersuchungsgrundsatz gesetzten Rahmen - die Beweislast für den leistungsbegründenden Kausalzusammenhang bei der versicherten Person und für das Dahinfallen jeder kausalen Bedeutung von unfallbedingten Ursachen beim Unfallversicherer liegt, wobei jeweils der Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit gilt (RKUV 2000 Nr. U 363 S. 45, E. 2, 1994 Nr. U 206 S. 326, E. 3b mit Hinweisen; in der Amtlichen Sammlung nicht publizierte E. 3.1 des Urteils BGE 133 V 57, mit Hinweisen).
3. Die Allianz ist im Einspracheentscheid vom 7. April 2005 zum Ergebnis gelangt, gemäss dem Gutachten des Spitals Z._ vom 12. Dezember 2003 (mit Nachtrag vom 20. August 2004) sei der status quo ante vel sine mit überwiegender Wahrscheinlichkeit Ende Juli 2001 erreicht gewesen. Der Unfall vom 21. Januar 2001 könne daher für die aktuell noch vorhandene Gesundheitsproblematik nicht mehr verantwortlich gemacht werden. Eine Leistungspflicht für die über den 31. Juli 2001 hinaus bestandenen Beschwerden wäre aber auch mangels eines adäquaten Kausalzusammenhangs zum Unfall vom 21. Januar 2001 zu verneinen.
Demgegenüber bejaht das kantonale Gericht die natürliche Unfallkausalität der Beschwerden bis 31. Juli 2003. Leistungen hiefür dürften auch nicht mit der Begründung des fehlenden adäquaten Kausalzusammenhangs verweigert werden. Denn dieser hätte bis zum genannten Zeitpunkt gar noch nicht geprüft werden dürfen. Zumindest bis Ende Juli 2003 habe die Beschwerdeführerin daher Anspruch auf Heilbehandlung und Taggeld. Ob auch für die Zeit ab 1. August 2003 ein Leistungspflicht der Allianz bestehe, lasse sich gestützt auf die vorhandenen medizinischen Akten nicht abschliessend beurteilen, weshalb hiefür ein polydisziplinäres fachärztliches Gutachten einzuholen sei. Sollte aufgrund dieser Expertise die natürliche Unfalkausalität von ab 1. August 2003 bestandenen Beschwerden zu bejahen sein, dürfe eine Adäquanzprüfung erst nach Abschluss des allenfalls unfallbedingt noch erforderlichen Heilungsprozesses vorgenommen werden.
Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde führende Allianz hält an ihrer bereits im Einspracheentscheid vertretenen Auffassung fest. Die Versicherte erachtet den vorinstanzlichen Entscheid für rechtmässig.
4. Anerkannt und auch nicht umstritten ist somit die Leistungspflicht der Allianz bis 31. Juli 2001. Um mit dem Versicherer den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den über diesen Zeitpunkt hinaus bestandenen Beschwerden und dem Unfall vom 21. Januar 2001 verneinen zu können, müsste das Erreichen des status quo sine vel ante mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sein. Dieser Nachweis ist naturgemäss umso schwieriger zu erbringen, je weiter zurück die natürliche Unfallkausalität dahingefallen sein soll.
Die Allianz stützt sich auf das neurologische Gutachten des Spitals Z._ vom 12. Dezember 2003 (mit Nachtrag vom 20. August 2004). Darin wird ausgeführt, für das chronische Stadium, welches den ersten sechs Monaten nach dem Unfall gefolgt sei, sei der Kausalzusammenhang der persistierenden Beschwerden zum Unfall nur möglich. Wahrscheinlich seien die Beschwerden durch unfallfremde Faktoren aufrechterhalten worden.
Die dem Gutachten des Spitals Z._ vom 12. Dezember 2003 zugrunde liegende neurologische Untersuchung fand am 29. August 2003, mithin über zweieinhalb Jahre nach dem Unfall vom 21. Januar 2001 statt. Bei der Gewichtung einer fachärztlichen Würdigung derart weit zurück liegender Sachverhalte ist Zurückhaltung geboten. Dies gilt hier namentlich, soweit seitens der Experten des Spitals Z._ der Wegfall der für die ersten sechs Monate nach dem Unfall bestätigten unfallbedingten Beeinträchtigung der Wirbelsäule über zwei Jahre zurück datiert wurde. Diese Terminierung liegt zwar im Bereich des Möglichen. Dass sie zutrifft, ist aber, auch unter Berücksichtigung der übrigen medizinischen Akten, nicht als wahrscheinlicher zu betrachten als die Annahme eines späteren Dahinfallens dieser Beeinträchtigung. Zuverlässig lässt sich aber sagen, dass eine unfallbedingte organisch erklärbare Beeinträchtigung im Bereich der Wirbelsäule die persistierenden Beschwerden nicht länger als bis Ende Juli 2003, dem Zeitpunkt bis zu welchem die Vorinstanz die Leistungspflicht des Versicherers bejaht hat, zu begründen vermag. Diese Beurteilung rechtfertigt sich aufgrund des im Übrigen vollumfänglich überzeugenden Gutachten des Spitals Z._ vom 12. Dezember 2003 und der übrigen medizinischen Akten, ohne dass weitere medizinische Abklärungen erforderlich wären.
5. Hat das kantonale Gericht nach dem Gesagten die Leistungspflicht des Versicherers bis 31. Juli 2003 zu Recht bejaht, ist im Weiteren der Zeitraum ab 1. August 2003 zu prüfen.
5.1 Die ab diesem Zeitpunkt noch bestandenen Beschwerden lassen sich nach Lage der medizinischen Akten nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge erklären. Auch die Berichte des von der Versicherten beigezogenen Neurologen Dr. med. A._ vom 20. Juli 2004 und 24. Oktober 2007 und die Stellungnahmen der Hausärztin führen zu keiner anderen Betrachtungsweise. Von weiteren medizinischen Abklärungen ist kein entscheidrelevanter neuer Aufschluss zu erwarten.
Insofern wäre bei Annahme einer natürlich unfallkausalen Gesundheitsschädigung die Frage des adäquaten Kausalzusammenhangs, anders als bei klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen (E. 2 hievor), besonders zu prüfen. Die Allianz hat diese Adäquanzbeurteilung im Einspracheentscheid vom 7. April 2005 vorgenommen. Diese Prüfung erfolgte entgegen dem angefochtenen Entscheid nicht verfrüht. Denn spätestens im Zeitpunkt des Einspracheentscheides liessen sich sämtliche adäquanzrelevanten Gesichtspunkte zuverlässig beurteilen (vgl. Urteil U 455/06 vom 6. Dezember 2007, E. 4.2).
Die Allianz ist zum Ergebnis gelangt, der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den persistierenden Beschwerden zum Unfall vom 21. Januar 2001 sei nicht gegeben. Trifft dies zu, was nachfolgend geprüft wird, erübrigen sich auch die von der Vorinstanz verlangten weiteren Abklärungen zur natürlichen Kausalität (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67).
5.2 Die Adäquanz ist unstreitig nach der Schleudertrauma-Praxis zu beurteilen. Dabei ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen (BGE 117 V 359 E. 6a S. 366 f.). Das Ereignis vom 21. Januar 2001 ist aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes im mittelschweren Bereich und dort nicht an der Grenze zu den schweren Unfällen einzuordnen.
Von den weiteren, objektiv fassbaren und unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehenden oder als Folge davon erscheinenden Umständen, welche als massgebende Kriterien in die Gesamtwürdigung einzubeziehen sind (BGE 117 V 359 E. 6a S. 367), müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 117 V 359 E. 6b S. 367 f.).
Erfüllt sind, wenn auch nicht in besonders ausgeprägter Weise, die Kriterien der Dauerbeschwerden und der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung. Hingegen war der Unfall vom 21. Januar 2001 weder von besonders dramatischen Begleitumständen begleitet noch besonders eindrücklich. Die Kriterien der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen und der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmerte, sind ebenfalls nicht gegeben. Gleiches gilt für das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufes und erheblicher Komplikationen; die Entwicklung nach dem Unfall hielt sich im Rahmen des bei solchen Ereignissen Üblichen. Die Erfüllung des Kriteriums des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit erscheint sodann eher fraglich. Denn immerhin war die Versicherte in der Lage, die begonnene Lehre im Sommer 2003 erfolgreich, wenn auch mit einjähriger Verzögerung, abzuschliessen und danach die Berufsmittelschule zu besuchen. Selbst wenn dieses Kriterium aber dennoch bejaht würde, wäre es jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise gegeben und wären die relevanten Faktoren nicht in gehäufter oder auffallender Weise gegeben. Die Allianz hat somit in Bezug auf die ab 1. August 2003 bestandenen Beschwerden zu Recht den adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 21. Januar 2001 und damit ihre Leistungspflicht verneint. Der angefochtene Entscheid ist daher, soweit die Leistungsberechtigung ab 1. August 2003 betreffend, aufzuheben.
6. Zu prüfen bleibt, ob die Allianz die Versicherte für die Kosten der von der Versicherten veranlassten neurologischen Abklärung durch Dr. med. A._ entschädigen hat. Dies trifft entgegen dem kantonalen Entscheid nicht zu. Die Abklärung, über welche der Neurologe am 20. Juli 2004 Bericht erstattete, hat weder relevante neue Erkenntnisse gebracht noch bildet sie Teil einer nachträglich zugesprochenen Leistung (Art. 45 Abs. 1 ATSG; vgl. auch RKUV 2005 Nr. U 547 S. 221, U 85/04, E. 2.1 mit Hinweisen). Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist deshalb auch diesbezüglich gutzuheissen.
7. Das Verfahren ist kostenfrei (Art. 134 OG). Seinem Ausgang entsprechend hat die Allianz der Versicherten eine reduzierte Parteientschädigung auszurichten (Art. 159 Abs. 1 - 3 in Verbindung mit Art. 135 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 28. Dezember 2006 wird, soweit den Leistungsanspruch ab 1. August 2003 und die Kosten der von der Versicherten veranlassten medizinischen Abklärung betreffend, aufgehoben. Im Übrigen wird die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz