Faits:
A. Dame A._, née en 1962, et A._, né en 1956, se sont mariés le 29 août 1996. De leur union est née une fille, B._, en 1999.
B. Sur requête de l'épouse du 2 mars 2012, le Président du Tribunal civil de la Broye a, par décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 13 juillet 2012, notamment confié la garde de l'enfant à l'époux.
B.a L'épouse a formé appel contre cette décision le 26 juillet 2012, concluant à ce que la garde de l'enfant soit confiée conjointement aux deux parents et requérant le bénéfice de l'assistance judiciaire pour l'appel.
Par arrêt du 3 août 2012, le Juge délégué de la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Juge délégué) a rejeté la demande d'assistance judiciaire présentée par l'épouse pour la procédure d'appel.
B.b Le 17 août 2012, l'épouse a modifié ses conclusions d'appel, requérant, à titre subsidiaire, que la garde de l'enfant lui soit exclusivement confiée, et a réitéré sa demande d'assistance judiciaire pour l'appel.
Par arrêt du 20 août 2012, le Juge délégué de la Cour d'appel a rejeté la nouvelle demande d'assistance judiciaire pour la procédure d'appel.
C. Par actes du 7 septembre 2012, l'épouse exerce deux recours en matière civile et constitutionnels subsidiaires au Tribunal fédéral contre les arrêts des 3 et 20 août 2012. Dans ses deux actes de recours, l'épouse conclut principalement à ce qu'elle soit mise au bénéfice de l'assistance judiciaire dans le cadre de la procédure d'appel introduite le 26 juillet 2012, subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité précédente. Au préalable, elle requiert l'octroi de l'effet suspensif à ses recours, le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale et la jonction des causes.
Invité à se déterminer sur la requête d'effet suspensif de chacun des recours, le Juge délégué de l'autorité intimée a indiqué qu'il n'avait pas d'observations à formuler.
D. Par ordonnances du 26 septembre 2012, la Présidente de la cour de céans a octroyé l'effet suspensif aux recours.
Des déterminations au fond n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. 1.1 Les recours 5A_642/2012 et 5A_643/2012 sont dirigés contre deux décisions des 3 et 20 août 2012 refusant l'octroi de l'assistance judiciaire à la recourante dans le cadre d'une même procédure d'appel contre un jugement de mesures protectrices de l'union conjugale. Les arrêts querellés ont été rendus par la même autorité, reposent sur les mêmes faits et opposent les mêmes parties dont les droits dérivent de la même cause juridique. Dans ces conditions, il y a lieu de joindre les deux recours et de statuer à leur sujet par un seul arrêt (art. 24 PCF, applicable par analogie par renvoi de l'art. 71 LTF).
1.2 Le refus de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente en tant qu'elle est l'accessoire de la demande principale (art. 93 al. 1 LTF; arrêts 5A_278/2012 du 14 juin 2012 consid. 1; 5A_496/2009 du 21 octobre 2009 consid. 1.1). De jurisprudence constante, une telle décision est susceptible de causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF; ATF 133 IV 335 consid. 4 p. 338 s.; 129 I 281 consid. 1.1 p. 283, 129 consid. 1.1 p. 131; 126 I 207 consid. 2a p. 210 ss).
Le recours contre une telle décision incidente est soumis à la même voie de droit que celle qui est ouverte contre la décision principale (arrêts 5D_55/2011 du 23 septembre 2011 consid. 1.2; 5A_491/2007 du 15 novembre 2007, consid. 1.2). La cause pour laquelle l'assistance judiciaire est requise se rapporte à une procédure de mesures protectrices de l'union conjugale, à savoir une décision en matière civile (art. 72 al. 1 LTF), portant sur le droit de garde de l'enfant. Il s'ensuit que le litige est de nature non pécuniaire (arrêt 5A_551/2012 du 11 septembre 2012 consid. 1); partant la voie du recours en matière civile est ouverte indépendamment de la valeur litigieuse (ATF 116 II 493 consid. 2b p. 495), de sorte que les recours constitutionnels subsidiaires sont d'emblée irrecevables (art. 113 LTF).
Le Juge délégué de la Cour d'appel n'a pas statué sur recours, mais en qualité d'instance cantonale unique sur l'octroi de l'assistance judiciaire requis dans le cadre d'une procédure d'appel; les recours en matière civile sont cependant admissibles en vertu de l'art. 75 al. 2 LTF (ATF 138 III 41 consid. 1.1 p. 42 s.; 137 III 424 consid. 2.2 p. 426 avec les références). Par ailleurs, les présents recours ont été déposés en temps utile (art. 46 al. 2 et 100 al. 1 LTF) et dans la forme requise (art. 42 LTF), par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et ayant un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF). Les deux recours en matière civile (5A_642/2012 et 5A_643/2012) sont donc en principe recevables.
2. Conformément à l'art. 98 LTF, lorsqu'un recours est formé à l'encontre d'une décision portant sur des mesures protectrices de l'union conjugale, seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels (ATF 133 III 393 consid. 5.1 in fine p. 397, 585 consid. 3.3 p. 587). Le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si le recourant a invoqué et motivé son grief conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, à savoir s'il l'a expressément soulevé et exposé d'une manière claire et détaillée ("principe d'allégation"; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88 et les arrêts cités). Le recourant qui se plaint de la violation de tels droits doit ainsi indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle a été violée et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 III 589 consid. 2 p. 591 s. et les arrêts cités).
3. En l'espèce, la recourante critique l'appréciation anticipée des chances de succès effectuée par le Juge délégué de la cour cantonale pour lui refuser l'octroi de l'assistance judiciaire dans le cadre de son appel initial tendant à l'instauration d'une garde alternée (5A_642/2012) et après l'élargissement de ses conclusions à l'attribution de la garde de l'enfant, à titre subsidiaire (5A_643/2012).
3.1 Dans ses deux mémoires, la recourante considère que le juge cantonal a procédé à une appréciation anticipée et sommaire des preuves sur la base d'une interprétation "contraire au sens de la loi suisse, voire arbitrairement restrictive de la jurisprudence applicable" et en préjugeant qu'en l'absence d'accord exprès des parents sur l'instauration d'une garde alternée, il fallait d'emblée considérer que l'appel serait rejeté. Elle évoque, dans la motivation de son premier recours uniquement, la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'Homme (CEDH) "Zaunegger", qu'elle estime applicable en droit suisse et expose que "s'il faut bien se référer par analogie à l'art. 133 CC lors de l'ordonnance de mesures nécessaires concernant les enfants en cas de vie séparée, le bien de l'enfant étant le critère essentiel, il ne saurait être question pour autant d'appliquer à l'identique la jurisprudence relative à l'autorité parentale dans son ensemble aux questions du seul droit de garde". La recourante conclut chacun de ses mémoires en affirmant que "le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), de sorte que l'appelante se borne ici à renvoyer «en droit» à toutes les dispositions légales, principes généraux du droit et jurisprudences applicables".
3.2 En tant qu'elle procède dans ses deux mémoires à un renvoi général à l'ensemble de la législation et à la jurisprudence, la critique de la recourante est d'emblée irrecevable, aucun droit constitutionnel pouvant être invoqué dans le cadre d'un recours soumis à l'art. 98 LTF et que le juge précédent aurait transgressé n'étant distinctement soulevé (cf. supra consid. 2, art. 106 al. 2 LTF).
S'agissant du premier recours contre la décision du 3 août 2012, la recourante mentionne l'arbitraire de la décision querellée; toutefois elle n'expose pas plus avant son grief. En particulier, elle se limite à évoquer de manière toute générale l'arrêt "Zaunegger" [affaire CEDH n° 22028/04 Zaunegger contre Allemagne], sans établir de parallèle entre cette jurisprudence, qui concerne l'exercice conjoint de l'autorité parentale par des parents non mariés, et le cas d'espèce, à savoir sans exposer de manière claire et détaillée en quoi l'appréciation des chances de succès de son appel à la lumière de cet arrêt serait "arbitrairement restrictive" et le résultat "choquant". Son explication au sujet de l'application de l'art. 133 CC par rapport à la jurisprudence de la CEDH - qui semble contradictoire avec le propos précédent plaidant en faveur de l'application de la jurisprudence "Zaunegger" en droit suisse - n'est pas non plus mise en relation avec le présent litige, singulièrement avec la motivation de l'arrêt attaqué, en sorte que l'on ne comprend pas clairement en quoi l'autorité intimée aurait versé dans l'arbitraire. Faute de satisfaire à l'exigence de motivation d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le premier recours est irrecevable ("principe d'allégation", art. 106 al. 2 LTF, cf. supra consid. 2).
Dans son second mémoire dirigé contre l'arrêt du 20 août 2012, la recourante se borne à renvoyer à l'argumentation du premier et réitère sa critique relative à l'arbitraire, en se référant à son mémoire d'appel et à sa propre appréciation de la cause, autrement dit à des éléments de fait qui ne ressortent d'aucun des deux arrêts entrepris, tels le comportement prétendument violent de l'époux ou les soins inadéquats apportés à l'enfant par celui-ci. En conséquence, le deuxième recours est également irrecevable, la motivation étant insuffisante au regard du principe d'allégation (cf. supra consid 2; art. 106 al. 2 LTF).
4. Cela étant, même si la recourante avait invoqué le grief d'arbitraire de manière claire et détaillée, ses recours devraient de toute manière être rejetés. On peut s'interroger sur le point de savoir si la seule référence à l'absence de consentement des deux parents au maintien de l'autorité parentale conjointe ou à la garde alternée - ainsi que l'a constaté l'autorité précédente - est suffisante pour refuser l'exercice en commun de l'autorité parentale ou du droit de garde. La compatibilité de l'art. 133 al. 3 CC avec les art. 8 et 14 CEDH fait d'ailleurs l'objet d'un recours pendant devant la Cour EDH (arrêt 5A_420/2010 du 11 août 2011). Cette question peut néanmoins demeurer indécise en l'espèce, dès lors que le premier juge a déjà examiné l'attribution du droit de garde en fonction de l'intérêt de l'enfant, en tenant compte de toutes les circonstances, aux conditions de l'art. 133 al. 1 et 2 CC. L'argument soulevé en appel et devant la cour de céans par la mère en relation avec l'application en droit suisse de la jurisprudence de la Cour EDH "Zaunegger", n'est ainsi pas pertinent, dès lors que, quand bien même l'on entrerait en matière sur l'attribution d'une garde alternée en dépit de l'absence de la requête commune, le bien de l'enfant commandait que la garde de celle-ci soit attribuée à un seul des parents, en l'occurrence à l'époux. Il s'ensuit que l'autorité précédente a constaté à juste titre que l'appel était d'emblée voué à l'échec - la recourante ne remettant pas en cause le bien de l'enfant tel qu'il a été apprécié par le premier juge -, ce qui conduit à rejeter la demande d'assistance judiciaire.
5. Vu ce qui précède, les deux recours 5A_642/2012 et 5A_643/2012 sont irrecevables. Les conclusions de la recourante étant d'emblée dénuées de toute chance de succès, ses demandes d'assistance judiciaire devant la cour de céans ne sauraient être agréées (art. 64 al. 1 LTF). La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer une indemnité de dépens à l'autorité intimée qui n'a au demeurant été invitée à se déterminer que sur les requêtes d'effet suspensif et a renoncé à formuler des observations (art. 68 al. 2 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 5A_642/2012 et 5A_643/2012 sont jointes.
2. Les recours sont irrecevables.
3. Les demandes d'assistance judiciaire de la recourante sont rejetées.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties.
Lausanne, le 23 octobre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Carlin