Sachverhalt:
A. A.a Y._ (geb. 1965) und Z._ (geb. 1967) sind die verheirateten Eltern von drei Kindern (geb. 1989, 1992 und 1997). X._ ist das älteste Kind.
Mit Urteil vom 10. März 2009 schied das Bezirksgericht Zürich die Ehe. Die beiden jüngeren und damals noch minderjährigen Kinder stellte es unter die elterliche Sorge der Mutter und verpflichtete den Vater zur Leistung von Kinderunterhaltsbeiträgen von je Fr. 900.-- pro Monat bis zum Abschluss einer ordentlichen Ausbildung. Für die im Scheidungszeitpunkt bereits mündige X._ legte es keine Unterhaltsbeiträge fest.
A.b Am 29. September 2009 klagte Z._ gegen Y._ auf Abänderung des Scheidungsurteils (betreffend nachehelichen Unterhalt und Kinderunterhalt). Das Verfahren ist erneut vor dem Bezirksgericht Zürich hängig, nachdem das Kassationsgericht des Kantons Zürich als letzte kantonale Instanz eine Nichtigkeitsbeschwerde von Z._ gutgeheissen hatte und in der Folge das Obergericht die Angelegenheit an das Bezirksgericht zurückwies. Sowohl Z._ als auch Y._ sind im Abänderungsverfahren anwaltlich vertreten.
B. B.a Am 8. Februar 2012 (mit Nachtrag vom 5. März 2012) stellte X._ beim Präsidenten des Obergerichts des Kantons Zürich ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für ein (zum Zeitpunkt des Gesuchs noch nicht hängiges) Schlichtungsverfahren betreffend einer Klage auf Mündigenunterhalt gegen ihren Vater.
Mit Beschluss vom 8. März 2012 gewährte der Obergerichtspräsident die unentgeltliche Rechtspflege für das Schlichtungsverfahren betreffend Unterhaltsklage. Hingegen wies er das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für dieses Schlichtungsverfahren ab.
B.b Bereits am 9. Februar 2012 hatte X._ beim Friedensrichteramt A._ das Schlichtungsgesuch eingereicht mit dem Begehren, ihr Vater sei rückwirkend ab 9. Februar 2011 bis zum Abschluss ihrer Erstausbildung zu angemessenen monatlichen Unterhaltsbeiträgen zu verpflichten. Am 22. März 2012 fand die Schlichtungsverhandlung statt, an der ihr der Friedensrichter mangels Einigung die Klagebewilligung erteilte.
C. Gegen die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung erhob X._ am 23. März 2012 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich (I. Zivilkammer). Zugleich ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren. Mit "Beschluss und Urteil" vom 17. April 2012 beschloss das Obergericht, das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren gutzuheissen. In der Sache ("Urteil") wies es die Beschwerde ab und auferlegte die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 200.-- X._ (unter Vorbehalt des ihr gewährten Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege).
D. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde in Zivilsachen und eventualiter erhobenen subsidiären Verfassungsbeschwerde vom 23. Mai 2012, das "Urteil" des Obergerichts vom 17. April 2012 sei aufzuheben. Es sei ihr für das Schlichtungsverfahren vor dem Friedensrichteramt (ab Einreichung des Gesuchs) die unentgeltliche Verbeiständung zu bewilligen und ihr Rechtsanwalt Cao als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Zudem seien die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 200.-- dem Kanton Zürich aufzuerlegen und sei ihr insoweit eine angemessene Parteientschädigung von Fr. 1'800.-- zuzusprechen. Schliesslich sei in Abänderung der obergerichtlichen Rechtsmittelbelehrung der Streitwert auf Fr. 33'000.-- festzulegen.
Das Obergericht (I. Zivilkammer) hat dem Bundesgericht die Vorakten zugesandt und mit Schreiben vom 12. Juni 2012 auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid eines oberen Gerichts, das kantonal letztinstanzlich auf Rechtsmittel hin über die Verweigerung der unentgeltlichen Verbeiständung entschieden hat (Art. 75 BGG).
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 129 I 129 E. 1.1 S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 382; 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.). In der Hauptsache geht es um Kinderunterhaltsbeiträge (Mündigenunterhalt) und damit um eine Zivilsache in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit (Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 BGG).
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 129 I 129 E. 1.1 S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 382; 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.). In der Hauptsache geht es um Kinderunterhaltsbeiträge (Mündigenunterhalt) und damit um eine Zivilsache in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit (Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 BGG).
1.2 1.2.1 Das Obergericht hat den Streitwert auf Fr. 1'000.-- beziffert, wobei es auf den mutmasslichen Aufwand für die anbegehrte Vertretung im Schlichtungsverfahren abgestellt hat. Diese Streitwertberechnung beanstandet die Beschwerdeführerin zu Recht.
1.2.2 Da wie erwähnt (vgl. E. 1.1 oben) der Rechtsweg bei Vor- und Zwischenentscheiden demjenigen der Hauptsache folgt, bestimmt sich gemäss Art. 51 Abs. 1 lit. c BGG der Streitwert bei Beschwerden gegen solche Entscheide nach den Begehren, die vor der Instanz streitig sind, wo die Hauptsache hängig ist.
Die Beschwerdeführerin verlangte in ihrem Schlichtungsgesuch vom 9. Februar 2012, ihr Vater sei rückwirkend ab 9. Februar 2011 bis zum Abschluss ihrer Erstausbildung zu angemessenen monatlichen Unterhaltsbeiträgen zu verpflichten.
Wie die Beschwerdeführerin bereits in ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung vom 8. Februar 2012 ausführte und in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht (BGE 136 III 60 E. 1.1.1 S. 62) erneut darlegt, ist ihr eine konkrete Bezifferung ihres Begehrens mangels Kenntnis der genauen finanziellen Verhältnisse ihres Vaters noch nicht möglich. Ihr Vater zahle ihren beiden Geschwistern gestützt auf das Scheidungsurteil vom 10. März 2009 Unterhalt von insgesamt Fr. 1'800.-- pro Monat (zuzüglich gesetzlicher oder vertraglicher Kinderzulagen), wobei die Unterhaltspflicht gegenüber dem 1992 geborenen Geschwister wohl mittlerweile weggefallen sei (Ziff. 4 des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung vom 8. Februar 2012). Demnach scheine eine Unterhaltsforderung gegen ihren Vater von mindestens Fr. 750.-- pro Monat als realistisch.
1.2.3 Der Streitwert übersteigt somit den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG i.V.m. Art. 51 Abs. 1 lit. c und Art. 51 Abs. 4 BGG).
1.3 Die Beschwerde in Zivilsachen steht in der Hauptsache und damit auch gegen den vorliegenden Zwischenentscheid offen. Die von der Beschwerdeführerin in der gleichen Rechtsschrift eventualiter erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird hinfällig (Art. 113 BGG).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin beantragt, in Abänderung der Rechtsmittelbelehrung im angefochtenen Entscheid sei der Streitwert (statt auf Fr. 1'000.--) auf Fr. 33'000.-- festzulegen.
2.2 Nach Art. 112 Abs. 1 lit. d BGG haben Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, eine Rechtsmittelbelehrung einschliesslich Angabe des Streitwerts zu enthalten. Aus einer unrichtigen Rechtsmittelbelehrung dürfen den Parteien keine Nachteile erwachsen (Art. 49 BGG).
Vorliegend hat die Beschwerdeführerin trotz falscher Streitwertangabe in der Rechtsmittelbelehrung das zutreffende Rechtsmittel gewählt (vgl. E. 1 oben). Damit fehlt es ihr für den gestellten Antrag von vornherein an einem rechtlich geschützten Interesse (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG) und es erübrigen sich dazu weitere Bemerkungen (vgl. Urteil 4A_85/2007 vom 11. Juni 2007 E. 5). Darauf ist nicht einzutreten.
3. 3.1 Das Obergericht hat sinngemäss erwogen, zur Durchsetzung der Unterhaltsklage der Beschwerdeführerin müsse ein Schlichtungsverfahren zwingend durchgeführt werden (vgl. Art. 197 ff. ZPO).
Es hat sowohl die Bedürftigkeit der Beschwerdeführerin als auch die fehlende Aussichtslosigkeit ihrer Begehren bejaht. Hingegen hat es die Notwendigkeit der Verbeiständung für das Schlichtungsverfahren verneint und deshalb das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung abgewiesen.
3.2 Die Beschwerdeführerin macht vor Bundesgericht eine Verletzung ihres Anspruchs auf unentgeltliche Verbeiständung gestützt auf Art. 117 und Art. 118 Abs. 1 lit. c ZPO sowie Art. 29 Abs. 3 BV geltend.
Mit Art. 117 ff. ZPO wird der als verfassungsrechtliche Minimalgarantie in Art. 29 Abs. 3 BV verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung auf Gesetzesstufe geregelt. Im Anwendungsbereich der Zivilprozessordnung sind damit seit dem 1. Januar 2011 Art. 117 ff. ZPO massgebend (BGE 138 III 217 E. 2.2.3 S. 218 mit Hinweisen).
Der von der Beschwerdeführerin erhobene Einwand der Verletzung ihres Anspruchs auf unentgeltliche Verbeiständung ist demnach vorliegend im Lichte von Art. 117 ff. ZPO zu behandeln.
3.3 Nach Art. 117 ZPO hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Wenn dies zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, insbesondere wenn die Gegenpartei anwaltlich vertreten ist, besteht darüber hinaus ein Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung (Art. 118 Abs. 1 lit. c ZPO).
4. 4.1 Die vom Bundesgericht zur Notwendigkeit der Verbeiständung gemäss Art. 29 Abs. 3 BV entwickelte Praxis ist auch für die Auslegung des soeben erwähnten Art. 118 Abs. 1 lit. c erster Satz ZPO zu berücksichtigen (vgl. Botschaft vom 28. Juni 2006 zur ZPO, BBl 2006 7302 Ziff. 5.8.4 zu Art. 116 E-ZPO; RÜEGG, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, N. 10 zu Art. 118 ZPO).
4.2 Die Notwendigkeit der Verbeiständung beurteilt sich grundsätzlich nach den Verhältnissen im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (MEICHSSNER, Das Grundrecht auf unentgeltliche Rechtspflege, 2008, S. 126; HUBER, in: Brunner und andere [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung, 2011, N. 9 zu Art. 118 ZPO).
4.3 Die bedürftige Partei hat Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, wenn ihre Interessen in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten (was insbesondere im Strafverfahren zutrifft), sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen die Gesuchstellerin auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (vgl. zum Ganzen BGE 130 I 180 E. 2.2 S. 182 mit Hinweisen). Dabei sind neben der Komplexität der Rechtsfragen und der Unübersichtlichkeit des Sachverhalts auch in der Person der Betroffenen liegende Gründe zu berücksichtigen, so das Alter, die soziale Situation, Sprachkenntnisse und allgemein die Fähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (BGE 128 I 225 E. 2.5.2 S. 233; 123 I 145 E. 2b/cc S. 147, je mit Hinweisen).
Massgebend ist schliesslich auch das Prinzip der Waffengleichheit (BGE 110 Ia 27 E. 2 S. 28), hält doch nunmehr Art. 118 Abs. 1 lit. c ZPO ausdrücklich fest, es bestehe Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, "wenn dies zur Wahrung der Rechte notwendig ist, insbesondere wenn die Gegenpartei anwaltlich vertreten ist".
Massgebend ist schliesslich auch das Prinzip der Waffengleichheit (BGE 110 Ia 27 E. 2 S. 28), hält doch nunmehr Art. 118 Abs. 1 lit. c ZPO ausdrücklich fest, es bestehe Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, "wenn dies zur Wahrung der Rechte notwendig ist, insbesondere wenn die Gegenpartei anwaltlich vertreten ist".
4.4 4.4.1 Ob die Verbeiständung notwendig ist, bewertet sich nach den konkreten Umständen des Einzelfalls. Die Rechtsnatur des Verfahrens ist ohne Belang. Grundsätzlich fällt die unentgeltliche Verbeiständung für jedes staatliche Verfahren in Betracht, in das die Gesuchstellerin einbezogen wird oder das zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist (BGE 130 I 180 E. 2.2 S. 182).
4.4.2 Auch wenn ein Verfahren der Untersuchungs- oder Offizialmaxime unterstehen sollte, lässt dies eine anwaltliche Vertretung nicht ohne Weiteres als unnötig erscheinen (BGE 130 I 180 E. 3.2 S. 183; 125 V 32 E. 4b S. 36; Urteil 4A_238/2010 vom 12. Juli 2010 E. 2.3.3).
4.4.3 Wie sich bereits aus der Botschaft zur ZPO (a.a.O., 7302 Ziff. 5.8.4 zu Art. 116 E-ZPO; vgl. auch Art. 113 Abs. 1 ZPO) ergibt, kann auch für das Schlichtungsverfahren gemäss Art. 197 ff. ZPO ein unentgeltlicher Rechtsbeistand gewährt werden, wenn die Streitsache dies rechtfertigt. Es gilt insoweit jedoch ein strenger Massstab (BGE 122 I 8 E. 2c S. 10; 119 Ia 264 E. 4c S. 268 f.; 114 Ia 29 E. 4 S. 30; vgl. auch BGE 134 I 12 E. 2.5 S. 15; HUBER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung, Brunner und andere [Hrsg.], 2011, N. 10 zu Art. 118 ZPO), wobei die Verhältnisse des konkreten Einzelfalls entscheidend bleiben.
5. 5.1 Das Obergericht hat erwogen, die Unterhaltsklage der Beschwerdeführerin weise im vorliegenden Verfahrensstadium weder in rechtlicher noch tatsächlicher Hinsicht besondere Schwierigkeiten auf und der Prozessstoff sei demnach für sie überblickbar. Es bestünden zudem keine konkreten Anzeichen und es müsse nicht damit gerechnet werden, dass der Vater im Schlichtungsverfahren anwaltlich vertreten sein werde (und dies sei dann letztlich gemäss der Klagebewilligung vom 22. März 2012 auch nicht der Fall gewesen).
Schliesslich sei auch das Wesen des Schlichtungsverfahrens zu berücksichtigen, wo mit gesundem Menschenverstand eine Aussöhnung zwischen den Parteien erreicht werden soll. Aus diesem Grund habe die frühere Zivilprozessordnung des Kantons Zürich im Sühneverfahren die Anwesenheit von Rechtsvertretern nur unter einschränkenden Bedingungen zugelassen.
5.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, bei einer Unterhaltsklage einer rechtsunkundigen 22-jährigen Lehrtochter (Erstausbildung) gegen ihren prozesserfahrenen und im Abänderungsverfahren des Scheidungsurteils bisher anwaltlich vertretenen Vater sei die Verbeiständung bereits im Schlichtungsverfahren notwendig, zumal für sie die Unterhaltsklage von existenzieller Bedeutung sei.
5.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, bei einer Unterhaltsklage einer rechtsunkundigen 22-jährigen Lehrtochter (Erstausbildung) gegen ihren prozesserfahrenen und im Abänderungsverfahren des Scheidungsurteils bisher anwaltlich vertretenen Vater sei die Verbeiständung bereits im Schlichtungsverfahren notwendig, zumal für sie die Unterhaltsklage von existenzieller Bedeutung sei.
5.3 5.3.1 Soweit das Obergericht darauf verweist, im Schlichtungsverfahren mache die Anwesenheit von Anwälten wenig Sinn, weshalb die frühere zürcherische Zivilprozessordnung die Anwälte im Schlichtungsverfahren nur unter einschränkenden Bedingungen zugelassen habe, sind diese Ausführungen mit der eidgenössischen Zivilprozessordnung nicht vereinbar (vgl. zusätzlich zu dem in E. 4.4.3 oben Erwähnten auch Art. 68 Abs. 2 lit. a und Art. 204 Abs. 2 ZPO).
5.3.2 Für die Beschwerdeführerin stehen bedeutende Interessen auf dem Spiel, geht es doch um einen ihren Bedürfnissen entsprechenden Unterhalt (vgl. auch Urteil 5A_491/2007 vom 15. November 2007 E. 3.3).
5.3.3 Prozesse um Mündigenunterhalt sind häufig konfliktträchtig und in rechtlicher Hinsicht von einiger Komplexität (vgl. BREITSCHMID, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 4. Aufl. 2010, N. 8 zu Art. 277 ZGB). Hinzu kommt, dass ein allfälliger im Schlichtungsverfahren abgeschlossener Vertrag über den Mündigenunterhalt auch nicht nach Art. 287 ZGB genehmigungsbedürftig wäre (Urteil 5P.114/2006 vom 12. März 2007 E. 5.2; HEGNAUER, Berner Kommentar, 1997, N. 14 zu Art. 287/288 ZGB; PERRIN, in: Commentaire romand, 2010, N. 9 zu Art. 287 ZGB). Zu berücksichtigen ist weiter, dass die Beschwerdeführerin ihrem (im Übrigen prozesserfahrenen) Vater gegenübersteht.
Dem angefochtenen Entscheid lassen sich keine Hinweise darauf entnehmen, dass die Beschwerdeführerin rechtskundig wäre und die Probleme, die sich bei einer Unterhaltsklage stellen, richtig einschätzen könnte, was im Übrigen bei einer im Gesuchszeitpunkt 22 Jahre alten Lehrtochter im ersten Lehrjahr (Erstausbildung zur kaufmännischen Angestellten) auch verwunderlich wäre.
Der obergerichtliche Schluss, die Beschwerdeführerin sei den Anforderungen, die das vor der Schlichtungsbehörde angestrebte Verfahren auf Kinderunterhalt stelle, gewachsen, wird den gegebenen Umständen des vorliegend zu beurteilenden Einzelfalls nicht gerecht.
5.3.4 Daran ändert nichts, dass das Obergericht in tatsächlicher Hinsicht und für das Bundesgericht mangels entsprechender Rügen verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG) festgestellt hat, es hätten im Gesuchszeitpunkt (vgl. E. 4.2 oben) keine Anzeichen dafür bestanden, dass der Vater der Beschwerdeführerin im Schlichtungsverfahren anwaltlich vertreten sein werde (die Tatsache, dass er im Verfahren auf Abänderung des Scheidungsurteils anwaltlich vertreten sei, lasse zwar "die Vermutung aufkommen, dass er dies dann auch" im Gerichtsverfahren gegen die Beschwerdeführerin sein werde, für das Schlichtungsverfahren sei dieser Schluss aber "keineswegs naheliegend").
5.4 Die Beschwerde erweist sich demnach als begründet. Die Beschwerdeführerin ist aufgrund der erwähnten besonderen Umstände zur Wahrung ihrer Rechte auf einen Rechtsbeistand angewiesen und es ist ihr - wie beantragt - für das Schlichtungsverfahren vor dem zuständigen Friedensrichter mit Blick auf die Unterhaltsklage nach Art. 276 ff. ZGB auch die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren.
5.5 Die Beschwerdeführerin verlangt die rückwirkende Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung "ab Einreichung ihres Gesuchs" am 8. Februar 2012. Wie das Bundesgericht zu Art. 29 Abs. 3 BV festgehalten hat, entfaltet die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ihre Wirkungen grundsätzlich ab dem Gesuchszeitpunkt (BGE 122 I 322 E. 3b S. 326). Hinweise, dass dies unter der eidgenössischen Zivilprozessordnung anders sein sollte, finden sich nicht. Die Frage der von der Beschwerdeführerin verlangten Rückwirkung gemäss Art. 119 Abs. 4 ZPO stellt sich demnach nicht.
6. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde gutgeheissen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Unzulässigkeit der Beschwerde betrifft einen vernachlässigbaren Nebenpunkt. Dem Kanton Zürich sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 4 BGG; Urteil 8C_937/2009 vom 5. März 2010 E. 4), hingegen wird er entschädigungspflichtig (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren (Art. 64 BGG) wird gegenstandslos. Zur Regelung der kantonalen Prozesskosten wird die Angelegenheit an das Obergericht zurückgewiesen (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 17. April 2012 wird aufgehoben. Das Gesuch von X._ um unentgeltliche Verbeiständung für das Schlichtungsverfahren vor dem Friedensrichteramt A._ betreffend Kinderunterhaltsklage (Verfahrensnummer GV. xxxx.xx / SB. xxxx.xx) wird gutgeheissen und es wird ihr Rechtsanwalt Rainer Cao als unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt.
2. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, zurückgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Kanton Zürich hat Rechtsanwalt Rainer Cao für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bettler