Sachverhalt:
A. A.a L._ liess beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich eine Beschwerde gegen einen Einspracheentscheid der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 19. August 2005 erheben. Nach Kenntnisnahme des Wohnsitzes von L._ in Deutschland führte das kantonale Gericht im Hinblick auf die Frage der örtlichen Zuständigkeit einen Schriftenwechsel durch und trat auf die Beschwerde nicht ein (Beschluss vom 25. April 2007). Nach Eintritt der Rechtskraft des Beschlusses überwies das kantonale Gericht die Akten am 19. Juli 2007 zuständigkeitshalber an das Bundesverwaltungsgericht. Dieses trat mit Entscheid vom 13. Dezember 2007 seinerseits auf die Beschwerde nicht ein mit der Begründung, im massgebenden Zeitpunkt der Überweisung sei die Zuständigkeit des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich zur Beurteilung des hängigen Verfahrens aufgrund von Art. 69 Abs. 1 lit. a IVG gegeben gewesen.
A.b Das Urteil wurde am 14. Dezember 2007 mit Gerichtsurkunde dem damaligen Rechtsvertreter zugestellt, von diesem jedoch nicht in Empfang genommen. Der am 20. Februar 2008 bevollmächtigte neue Rechtsvertreter ersuchte mit Schreiben vom 20. März 2008 beim Bundesverwaltungsgericht um Einsichtnahme in die Prozessakten. Diese gingen am 1. April 2008 beim neuen Rechtsvertreter ein.
B. Mit Eingabe vom 25. April 2008 (Datum des Poststempels) lässt L._ gegen den Nichteintretensentscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 13. Dezember 2007 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist. In der Sache selbst liess er beantragen, das Verfahren sei, nach Aufhebung des angefochtenen Entscheids, zur materiellen Behandlung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen. Eventuell sei das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich anzuweisen, den Beschluss vom 25. April 2007 aufzuheben und über die Beschwerde materiell zu entscheiden.
Das Bundesverwaltungsgericht, die IV-Stelle des Kantons Zürich sowie das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 13. Dezember 2007 kann nur an die Hand genommen und die Frage der örtlichen Zuständigkeit beurteilt werden, sofern der angefochtene Entscheid nicht durch Ablauf der gesetzlichen Rechtsmittelfrist rechtskräftig geworden respektive dieser Rechtszustand nicht durch Wiederherstellung der Frist zu beseitigen ist.
1.1 Die Beschwerdefrist gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG ist am 1. Februar 2008 abgelaufen (30 Tage nach Ende des Fristenstillstandes gemäss Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG), nachdem die Abholfrist (erster erfolgloser Zustellungsversuch im Sinne von Art. 44 Abs. 2 BGG am 17. Dezember 2007) am 24. Dezember 2007 geendet hatte (Zustellfiktion; vgl. Amstutz/Arnold, in: Basler Kommentar zum BGG, 2008, N 35 zu Art. 44). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wurde am 25. April 2008 - und somit grundsätzlich verspätet - eingereicht. Allerdings wird nach Art. 50 BGG (in Fällen von - wie hier der Fall - nicht mangelhafter Eröffnung) die Frist wiederhergestellt, wenn eine Partei oder ihr Vertreter unverschuldeterweise abgehalten worden ist, fristgerecht zu handeln, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt.
1.2 Der Gesuchsteller macht ein Hindernis im Sinne von Art. 50 BGG geltend: Der frühere Rechtsvertreter sei infolge schwerer Erkrankung nicht in der Lage gewesen, das Urteil in Empfang zu nehmen. Er, der Gesuchsteller, bzw. sein neuer Rechtsvertreter, habe erst am 1. April 2008 vom Urteil Kenntnis erhalten. Fraglich und zu prüfen ist, ob die Erkrankung und Hospitalisation des früheren Rechtsvertreters einen Wiederherstellungsgrund bildet. Ein Krankheitszustand ist ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht (Urteil 6S.54/2006 vom 2. November 2006 E. 2.2.1 [in Anwendung des früheren, soweit hier von Interesse gleichlautenden Art. 35 OG]; BGE 119 II 86; 112 V 255). Bei einer Hospitalisierung des Rechtsvertreters endet eine unverschuldete Verhinderung und beginnt die Wiederherstellungsfrist von 30 Tagen (Art. 50 Abs. 1 BGG), sobald der Anwalt in die Lage kommt, entweder die versäumte Prozesshandlung selbst nachzuholen oder damit einen geeigneten Substituten zu beauftragen oder aber den Klienten auf die Notwendigkeit der Fristeinhaltung aufmerksam zu machen (BGE 119 II 86; Urteil 2P.257/1999 vom 29. November 1999 E. 2e).
Nach einem ärztlichen Zeugnis des Spitals X._ vom 3. Dezember 2007 war der zunächst dort hospitalisierte frühere Rechtsvertreter vom 7. November bis zum 4. Dezember 2007 vollständig arbeitsunfähig. Laut Attest der Psychiatrischen Klinik Y._ vom 6. Februar 2008, wo er seit dem 12. Dezember 2007 in stationärer Behandlung war, verlängerte sich die Arbeitsunfähigkeit von 100 Prozent bis zum 29. Februar 2008. Die Arbeitsunfähigkeit wurde weder dem Bundesverwaltungsgericht, bei welchem die strittige Angelegenheit hängig war, noch dem betroffenen Versicherten mitgeteilt. Auch stellte der frühere Rechtsbeistand keine Substitutionsvollmacht aus. Aus den Akten des bundesgerichtlichen Verfahrens unter den gleichen Parteien (8C_372/2007; Urteil vom 28. Januar 2008) geht hervor, dass sich der frühere Rechtsvertreter jedenfalls noch im Sommer 2007 in einer Bürogemeinschaft befunden hat; ausserdem war er offenbar in der Lage, am 7. Februar 2008 das bundesgerichtliche Urteil vom 28. Januar 2008 entgegenzunehmen. Es ist nicht erkennbar, dass die Erkrankung, wenngleich sie zu stationärer Hospitalisation und vollständiger Arbeitsunfähigkeit führte, die nötigen Schritte während längerer Zeit objektiv oder subjektiv verunmöglicht hätte (vgl. vorerwähntes Urteil 6S.54/2006 E. 2.2.1). Für entsprechende Vorkehrungen bestand genügend Zeit, da der Hinderungsgrund nicht erst in einer späten Phase der Rechtsmittelfrist eintrat (vgl. BGE 112 V 255 S. 256 unten).
1.3 Hinzu kommt Folgendes: Selbst wenn der krankheitsbedingte Ausfall des früheren Rechtsvertreters - entgegen dem soeben Gesagten - als unverschuldetes Hindernis anerkannt werden müsste, wäre dieses mit der Bevollmächtigung des neuen Rechtsvertreters am 20. Februar 2008 weggefallen. Ab diesem Zeitpunkt hätte die 30-tägige Frist gemäss Art. 50 Abs. 1 BGG zu laufen begonnen. Erfuhr der neue Vertreter erst am 1. April 2008, dass das Bundesverwaltungsgericht bereits ein Urteil gefällt hatte, so ist diese Verspätung darauf zurückzuführen, dass er nach der Bevollmächtigung einen Monat zuwartete, bis er am 20. März 2008 beim Bundesverwaltungsgericht Akteneinsicht verlangte. Unter diesen Umständen wäre die Beschwerdeeingabe vom 25. April 2008 zufolge vorherigen Ablaufs der Wiederherstellungsfrist ebenso verspätet erfolgt.
2. Da die Voraussetzungen für eine Wiederherstellung der Beschwerdefrist nicht gegeben sind, ist der angefochtene Entscheid rechtskräftig geworden, bevor die Beschwerdeschrift am 25. April 2008 der Post übergeben worden ist. Das Bundesgericht kann daher nicht über die Frage der örtlichen Zuständigkeit befinden.
3. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der unterliegende Gesuchsteller und Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Gesuchsteller und Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Januar 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Borella Traub