Faits:
A. Depuis plus de vingt-cinq ans, X._ occupe, en qualité de locataire, un appartement de quatre pièces au rez-de-chaussée de l'Immeuble ..., à .... Elle n'a pas payé le loyer de juillet 2006, s'élevant à 800 fr. Avant juillet 2006, la locataire a payé le loyer régulièrement, ce qu'elle a continué de faire après juillet 2006.
En novembre 2006, le bailleur, A.Y._, a cédé la propriété du bien immobilier à son fils, J.Y._, qui lui a succédé dans le bail. Le 18 septembre 2008, l'ancien bailleur a cédé à son fils, en la forme écrite, la créance relative au loyer de juillet 2006.
Le 9 février 2009, J.Y._ a imparti à X._ un délai de trente jours pour s'acquitter du loyer de juillet 2006, sous menace de résiliation du bail.
Cette sommation est restée vaine. Par avis officiel du 16 mars 2009, le bailleur a résilié le bail avec effet au 30 avril 2009.
B. X._ a saisi l'autorité de conciliation en matière de bail à loyer d'une requête tendant à l'annulation de la résiliation, subsidiairement à la prolongation du bail.
Par décision du 17 juin 2009, l'autorité de conciliation a considéré la résiliation comme valable et refusé la prolongation du bail.
Par mémoire-demande du 23 juillet 2009, X._ a ouvert action contre J.Y._ devant le juge de commune compétent. Dans son écriture, elle indique notamment que si elle ne dispose pas de preuve écrite de la remise de dette portant sur le loyer litigieux, elle a en revanche un témoin (i. e. Z._), à savoir un entrepreneur qui a accompagné A.Y._ lors de l'entrevue qu'elle a eue avec celui-ci en été 2006.
Par jugement du 19 novembre 2009, le juge de commune a rejeté la demande formée par X._. Il a considéré que la locataire n'avait pas apporté la preuve que le bailleur précédent l'avait libérée du paiement du loyer pour le mois de juillet 2006, que l'on ne se trouvait pas dans un cas permettant l'annulation de la résiliation et que toute prolongation du bail était exclue, s'agissant d'une résiliation pour cause de demeure du locataire.
X._ a formé un pourvoi en nullité contre la décision du juge de commune auprès du Tribunal des districts de Martigny et St-Maurice, sollicitant préalablement l'effet suspensif.
Par décision du 22 janvier 2010, le Juge I des districts de Martigny et St-Maurice a refusé l'effet suspensif. Par arrêt du 25 mars 2010 (cause 4D_30/2010), le Tribunal fédéral a admis le recours interjeté par X._, annulé la décision du 22 janvier 2010 et accordé l'effet suspensif au recours déposé par la locataire contre la décision du juge de commune.
Par jugement du 2 juillet 2010, le Juge I des districts de Martigny et St-Maurice a rejeté le pourvoi en nullité dans la mesure de sa recevabilité. A la suite du juge de commune, le juge de district a relevé que X._ n'avait pas requis l'audition du témoin Z._ selon les formes de la procédure cantonale, que l'on ne pouvait pas croire à une remise de dette sur la base des seules allégations de la prénommée et que les relations houleuses entre les parties rendaient cette hypothèse peu vraisemblable.
X._ a recouru auprès du Tribunal fédéral (cause 4A_544/2010). Dans un arrêt du 8 décembre 2010, le recours a été admis, le jugement attaqué a été annulé et la cause a été renvoyée à l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral a jugé qu'en refusant d'entendre Z._ pour des motifs formels sans avoir correctement renseigné X._ sur la manière de procéder, le juge de commune - et après lui, l'autorité précédente - avait violé l'art. 274d al. 3 CO. Il a relevé en particulier que l'audition de ce témoin ne pouvait être refusée sur la base d'une appréciation anticipée des preuves, car les circonstances de l'espèce - réclamation du loyer de juillet 2006 par le cessionnaire deux ans et sept mois plus tard, pas de réclamation par le bailleur de l'époque - ne permettaient pas de conclure, sans verser dans l'arbitraire, que l'absence de remise de dette était d'emblée prouvée.
Le 31 mai 2011, le témoin Z._ a été entendu lors d'une séance d'instruction devant le Juge IV des districts de Martigny et St-Maurice. Par jugement du 7 juillet 2011, le juge a rejeté la demande.
Saisi d'un appel de X._, le Juge de la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais a, par jugement du 15 mai 2012, admis le recours et annulé la décision du 7 juillet 2011; statuant à nouveau, il a annulé le congé notifié par J.Y._ à X._ par avis officiel du 16 mars 2009. A l'instar du juge précédent, il a retenu que la remise de dette dont la locataire se prévalait n'était pas prouvée; il a relevé notamment que si le témoin Z._ avait confirmé avoir visité l'appartement en juillet 2006 en vue d'établir un devis portant sur d'éventuels travaux de réfection, il avait démenti formellement que la locataire ait, à cette occasion, requis de A.Y._ de compenser, par la remise d'un loyer à concurrence de 800 fr., le désagrément dû à des visites intempestives. S'il n'était pas inefficace, le congé devait en revanche être annulé, car il contrevenait aux règles de la bonne foi. Le juge cantonal a considéré en effet que la résiliation intervenue dans les circonstances de l'espèce constituait un abus de droit, parce qu'elle avait été signifiée pour cause de non-paiement d'un seul loyer sur une période de près de trente ans, après une inaction inexplicable d'une durée de deux ans et sept mois, pendant laquelle la locataire avait payé régulièrement les loyers sans protestation du bailleur.
C. J.Y._ interjette un recours en matière civile. Il demande au Tribunal fédéral de déclarer valable la résiliation de bail du 16 mars 2009 et de condamner X._ à lui payer un montant de 800 fr. avec intérêt à 5% dès le 1er juillet 2006.
X._ conclut à l'irrecevabilité, subsidiairement au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions tendant à faire constater la validité du congé (cf. art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. requis en matière de bail à loyer (art. 74 al. 1 let. a LTF; ATF 137 III 389 consid. 1.1 p. 390; 136 III 196 consid. 1.1 p. 197), le recours est en principe recevable puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 137 II 313 consid. 1.4 p. 317 s.; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
En l'espèce, le recourant invoque une violation des art. 128 ch. 1 et 271 al. 1 CO et expose de manière suffisante en quoi la décision attaquée méconnaîtrait ces dispositions. Contrairement à l'avis de l'intimée, le recours est donc recevable sous l'angle de l'art. 42 al. 2 LTF.
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
1.4 Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF). Une conclusion est nouvelle dès lors qu'elle n'a pas été soumise à l'autorité précédente et qu'elle tend à élargir l'objet du litige (Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 4137 s. ch. 4.1.4.3).
Devant l'autorité cantonale, le recourant a conclu au rejet de l'appel de la locataire et à la confirmation du jugement de première instance, daté du 7 juillet 2011. Dans le dispositif de cette décision, le Juge IV des districts de Martigny et St-Maurice avait rejeté la demande de l'intimée tendant à l'annulation de la résiliation et, subsidiairement, à la prolongation du bail, puis s'était prononcé sur les frais et dépens. C'est dire que le juge cantonal n'a été saisi d'aucune conclusion du recourant portant sur le paiement du montant de 800 fr. La conclusion du recours en matière civile allant dans ce sens est dès lors irrecevable.
2. Le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé les art. 128 ch. 1 et 271 al. 1 CO en qualifiant d'abusif le congé notifié le 16 mars 2009 et en l'annulant pour ce motif. A son sens, le temps écoulé entre l'exigibilité du loyer de juillet 2006 et l'avis comminatoire du 9 février 2009 n'est pas un élément pertinent, dès lors que la créance de loyer se prescrit par cinq ans selon l'art. 128 ch. 1 CO et que la loi permet ainsi au bailleur d'agir dans ce délai.
2.1 Aux termes de l'art. 271 al. 1 CO, le congé est annulable lorsqu'il contrevient aux règles de la bonne foi. Cette disposition est applicable, à titre exceptionnel, lorsque la résiliation du bail a pour cause la demeure du locataire; il faut alors des circonstances particulières pour que le congé soit annulé (ATF 120 II 31 consid. 4a p. 33). Tel sera le cas, par exemple, lorsque le bailleur, en fixant le délai comminatoire, réclame au locataire une somme largement supérieure à celle en souffrance, sans être certain du montant effectivement dû (ATF 120 II 31 consid. 4b p. 33 s.). La résiliation sera également tenue pour contraire aux règles de la bonne foi lorsque le montant en souffrance est insignifiant (ATF 120 II 31 consid. 4b p. 33) ou qu'il a été réglé très peu de temps après l'expiration du délai comminatoire, alors que le locataire avait jusqu'ici toujours payé le loyer à temps, ou encore lorsque le bailleur ne résilie le contrat que longtemps après l'échéance du délai de paiement fixé selon l'art. 257d al. 1 CO (arrêt 4C.430/2004 du 8 février 2005 consid. 3.1, in SJ 2005 I p. 310). Sur ce dernier point, une longue inaction peut en effet être comprise, sauf circonstances particulières, comme une renonciation à résilier le contrat; en tout cas, un congé notifié un an après l'expiration du délai comminatoire est tardif (cf. ROGER WEBER, in Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 5e éd. 2011, n° 7 ad art. 257d CO; PETER R. BURKHALTER/EMMANUELLE MARTINEZ-FAVRE, Le droit suisse du bail à loyer, 2011, adaptation française de la 3e éd. du SVIT Kommentar de RAYMOND BISANG ET AL., N°s 33 ET 34 AD ART. 257D CO; DAVID LACHAT, Le bail à loyer, 2008, p. 669).
2.2 En l'espèce, le recourant n'a pas tardé à résilier le bail après l'expiration du délai comminatoire. L'hypothèse en cause n'est pas celle d'une renonciation au congé par actes concluants. S'il s'est écoulé un long laps de temps, c'est entre l'exigibilité de la créance de loyer (juillet 2006) et l'avis comminatoire (février 2009). Cet élément, soit la longue inaction des bailleurs successifs, a été pris en compte par l'autorité cantonale pour déterminer s'il y a eu remise de dette ou non, portant sur le loyer de juillet 2006. Le juge cantonal a reconnu qu'il s'agissait là d'une circonstance spéciale, mais est parvenu à la conclusion qu'il ne pouvait pas en déduire l'existence d'une remise de dette, laquelle ne ressortait par ailleurs pas des autres éléments du dossier.
A partir du moment où la remise de dette alléguée par la locataire n'est pas établie, il n'y a guère de place pour un comportement contraire aux règles de la bonne foi, lié à l'absence de réclamation du loyer litigieux pendant une longue durée. Lorsque, en février 2009, le bailleur a réclamé le paiement du loyer de juillet 2006 et fixé le délai comminatoire, sa créance n'était pas prescrite (cf. art. 128 ch. 1 CO, prévoyant un délai de prescription de cinq ans pour les loyers). C'est le lieu de rappeler que l'institution de la prescription repose notamment sur l'idée qu'une longue inactivité du créancier rend vraisemblable l'absence de fondement ou l'extinction de la prétention ou peut même être comprise comme une renonciation à la créance (ATF 137 III 16 consid. 2.1 p. 19 et les références). A contrario, celui qui agit pendant le délai de prescription peut difficilement se voir reprocher d'agir contrairement aux règles de la bonne foi. On ne voit pas non plus en quoi le fait de n'avoir pas "protesté" en recevant régulièrement les loyers ultérieurs à juillet 2006 serait révélateur d'une attitude abusive du bailleur, comme l'autorité cantonale l'a retenu. Le fait d'avoir attendu plusieurs mois avant de réclamer un loyer mensuel resté impayé et d'avoir encaissé régulièrement les loyers suivants ne constituent ainsi pas des circonstances particulières justifiant l'application, à titre exceptionnel, de l'art. 271 al. 1 CO à une résiliation pour cause de demeure du locataire. Il convient d'ajouter que le montant dû par la locataire lors de la notification de l'avis comminatoire portait sur le loyer d'un mois et qu'il ne saurait dès lors être considéré comme insignifiant.
En résumé, le recourant pouvait recourir à la procédure prévue à l'art. 257d al. 1 CO en cas de demeure du locataire et, comme l'intimée n'avait pas réglé la somme réclamée à l'échéance du délai comminatoire, il était en droit de résilier le bail conformément à l'art. 257d al. 2 CO, sans pour autant adopter un comportement contrevenant aux règles de la bonne foi.
En annulant la résiliation litigieuse sur la base de l'art. 271 al. 1 CO, le juge cantonal a violé le droit fédéral. Le recours doit être admis dans la mesure où il est recevable. En conséquence, le jugement attaqué est annulé et la résiliation du bail notifiée le 16 mars 2009 est déclarée valable.
3. Comme elle succombe, l'intimée prendra les frais judiciaires à sa charge (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens au recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis dans la mesure où il est recevable.
Le jugement attaqué est annulé. La résiliation du bail notifiée par J.Y._ à X._ par avis officiel du 16 mars 2009 est valable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera au recourant une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Juge unique de la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 5 novembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann