Sachverhalt:
A. Die 1988 geborene L._ trat am 3. September 2007 bei der Firma Y._ AG in Zürich eine Stelle als kaufmännische Angestellte zu einem monatlichen Bruttolohn von Fr. 3'400.- an. Am 27. November 2007 wurde über die Arbeitgeberin der Konkurs eröffnet. Dieser wurde auf Rekurs hin - welchem am 19. Dezember 2007 noch die aufschiebende Wirkung erteilt worden war - vom Obergericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 30. Januar 2008 bestätigt, womit der Konkurs ab diesem Datum als neu eröffnet gilt. L._ machte mit Antrag vom 18. April 2008 Insolvenzentschädigung in der Höhe von Fr. 19'809.- für in der Zeit vom September 2007 bis Januar 2008 nicht bezahlten Lohn inklusive 13. Monatslohn sowie Ferienansprüche geltend. Die Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich lehnte mit Verfügung vom 3. Juli 2008 ihre Leistungspflicht mit der Begründung ab, die Versicherte sei ihrer Schadenminderungspflicht nicht in genügendem Masse nachgekommen. Auch auf Einsprache hin hielt sie daran fest (Entscheid vom 4. März 2009).
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 25. November 2010 ab.
C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihr die beantragte Insolvenzentschädigung auszuzahlen.
Die Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung stellt eine vom Bundesgericht ebenfalls zu korrigierende Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 lit. a BGG dar (SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, N. 24 zu Art. 97 BGG).
1.2 Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist auf Grund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene kantonale Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht, Völkerrecht oder kantonale verfassungsmässige Rechte verletzt (Art. 95 lit. a bis c BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Hingegen hat unter der Herrschaft des BGG eine freie Überprüfung des vorinstanzlichen Entscheides in tatsächlicher Hinsicht zu unterbleiben (ausser wenn sich die Beschwerde gegen einen - im hier zu beurteilenden Fall indessen nicht anfechtungsgegenständlichen - Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung richtet; Art. 97 Abs. 2 BGG). Ebenso entfällt eine Prüfung der Ermessensbetätigung nach den Grundsätzen zur Angemessenheitskontrolle (BGE 126 V 75 E. 6 S. 81 zu Art. 132 lit. a OG [in der bis 30. Juni 2006 gültig gewesenen Fassung]).
2. 2.1 Im vorinstanzlichen Entscheid werden die gesetzlichen Bestimmungen über den Anspruch auf Insolvenzentschädigung (Art. 51 Abs. 1 AVIG), den Umfang des Anspruchs (Art. 52 Abs. 1 AVIG) sowie über die Pflichten des Arbeitnehmers im Konkurs- oder Pfändungsverfahren (Art. 55 Abs. 1 AVIG; BGE 114 V 56 E. 3d S. 59; ARV 2002
Nr. 8 S. 62 ff. und Nr. 30 S. 190 ff., 1999 Nr. 24 S. 140 ff.) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2 Die Bestimmung von Art. 55 Abs. 1 AVIG, wonach der Arbeitnehmer im Konkurs- oder Pfändungsverfahren alles unternehmen muss, um seine Ansprüche gegenüber dem Arbeitgeber zu wahren, bezieht sich dem Wortlaut nach auf das Konkurs- und Pfändungsverfahren. Sie bildet jedoch Ausdruck der allgemeinen Schadenminderungspflicht, welche auch dann Platz greift, wenn das Arbeitsverhältnis vor der Konkurseröffnung aufgelöst wird (BGE 114 V 56 E. 4 S. 60; ARV 1999 Nr. 24 S. 140 ff.). Die Vorinstanz hat dabei richtig festgehalten, auch eine ursprüngliche Leistungsverweigerung infolge Verletzung der Schadenminderungspflicht im Sinne der zu Art. 55 Abs. 1 AVIG ergangenen Rechtsprechung setze voraus, dass dem Versicherten ein schweres Verschulden, also vorsätzliches oder grobfahrlässiges Handeln oder Unterlassen vorgeworfen werden kann (vgl. URS BURGHERR, Die Insolvenzentschädigung, Zahlungsunfähigkeit des Arbeitgebers als versichertes Risiko, Diss. Zürich 2004, S. 166). Das Ausmass der vorausgesetzten Schadenminderungspflicht richtet sich nach den jeweiligen Umständen des Einzelfalls.
3. Vorliegend ist umstritten, ob die Beschwerdeführerin vor Auflösung des Arbeitsverhältnisses und vor der Konkurseröffnung am 30. Januar 2008 ihrer Schadenminderungspflicht nachgekommen ist.
Die Vorinstanz hat erwogen, eine versicherte Person habe im Rahmen ihrer Schadenminderungspflicht alles zu unternehmen, um ihre Ansprüche gegenüber dem Arbeitgeber zu wahren, und insbesondere aus beweisrechtlichen Gründen könne erwartet werden, dass Mahnungen wenigstens schriftlich abgefasst würden. Das Schreiben der Beschwerdeführerin und zweier mitunterzeichnender Arbeitskollegen vom 16. November 2007, in welchem gegenüber der Arbeitgeberin ein gleichentags geführtes Gespräch über die ausstehenden Löhne und deren begründetes Versprechen bestätigt wurde, diese spätestens bis Ende Jahr zu begleichen, wertete das kantonale Gericht nicht als Mahnung oder als unmissverständliche Geltendmachung der Lohnforderung. Weiter wird im angefochtenen Entscheid ausgeführt, spätestens nach der Konkurseröffnung über die Y._ AG am 27. November 2007 hätten weitergehende Schritte - wie eine schriftliche Mahnung - gegenüber der Arbeitgeberin erfolgen müssen, was nicht geschah und was eine Verletzung der Schadenminderungspflicht darstelle.
4. 4.1 Auf Grund der vorliegenden Akten wurden bis zum Zeitpunkt der - ersten - Konkurseröffnung am 27. November 2007 die bis zu diesem Zeitpunkt fälligen Löhne für die Monate September und Oktober nicht bezahlt. Damit hatte die Beschwerdeführerin seit Antritt der Arbeitsstelle am 3. September 2007 überhaupt keine Lohnzahlungen erhalten. Weiter wurde mit der vorinstanzlichen Beschwerde ein nicht unterzeichnetes Schreiben eingereicht, mit welchem auf ein am 16. November 2007 geführtes Gespräch mit der Arbeitgeberin über die ausstehenden Lohnzahlungen verwiesen wird. Demnach warte man auf den Abschluss eines bis Ende des Jahres in Aussicht stehenden Immobilien-Geschäfts, welches die nötigen Mittel zur Bezahlung der offenen Lohnforderungen bringen solle.
4.2 Nach konstanter Rechtsprechung - auf welche auch im angefochtenen Entscheid verwiesen wird - genügt es für die Erfüllung der Schadenminderungspflicht in der Regel nicht, wenn Lohnausstände lediglich mündlich gemahnt werden. Dies gilt beispielsweise, wenn es um eine langandauernde, das heisst über zwei bis drei Monate hinaus andauernde Nichterfüllung der vertraglichen Verpflichtung des Arbeitgebers geht; wenn überhaupt keine, also auch keine Akonto- oder Teilzahlung erfolgt; wenn aus der Sicht der versicherten Person nicht mit guten Gründen damit gerechnet werden kann, dass sich bald eine Besserung der Situation ergibt, und wenn nicht andere, im Einzelfall verständliche Gründe vorliegen, die ein Zuwarten mit zielgerichteten Schritten aus objektiver Sicht verständlich erscheinen lassen (Urteil 8C_682/2009 vom 23. Oktober 2009 E. 4, veröffentlicht in ARV 2010 S. 46).
5. Vorliegend trat die Beschwerdeführerin am 3. September 2007 eine neue Stelle an. Gemäss Antrag auf Insolvenzentschädigung hat sie überhaupt nie eine Lohnzahlung erhalten. Von Beginn weg mussten der Versicherten deshalb Zweifel über die Ernsthaftigkeit des Arbeitsverhältnisses erwachsen. Auch nach eigenen Angaben hat die Beschwerdeführerin zur Durchsetzung ihrer Forderung gegenüber der Arbeitgeberin nichts weiter unternommen, als diese vom Verwaltungsrat der Firma, M._, mündlich zu fordern. Dies könnte angesichts der Gesamtumstände in der Anfangsphase als knapp genügende Bemühung akzeptiert werden. Dass die Beschwerdeführerin aber auch nach der Konkurseröffnung am 27. November 2007 weiterhin tatenlos blieb, muss als Verletzung ihrer Schadenminderungspflicht gegenüber der Arbeitslosenkasse gewertet werden. Angesichts des Umstandes, dass sie ihren Lohn überhaupt nie erhalten hatte, durfte sie nicht weiter auf blosse mündliche Beteuerungen seitens der Arbeitgeberschaft abstellen. Wenn der Verwaltungsrat, wie in der Notiz über ein Gespräch vom 16. November 2007 dargestellt, tatsächlich versichert hatte, dass gegebenenfalls private Mittel für die Begleichung der ausstehenden Löhne bereit gestellt würden, hätte die Beschwerdeführerin spätestens ab dem 27. November 2007 diese schriftlich geltend machen, womöglich ein entsprechendes schriftliches Schuldversprechen einholen müssen, zumal sie damals noch nicht wissen konnte, dass dem Rekurs gegen den Konkursentscheid aufschiebende Wirkung zuerkannt werden wird. Damit haben Verwaltung und Vorinstanz den Anspruch auf Insolvenzentschädigung im Ergebnis zu Recht verneint.
6. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Zürich und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. August 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Schüpfer