Sachverhalt:
A. Am 23. Juni 2011 erstattete X._ Strafanzeige gegen die Y._ AG bzw. gegen deren Organe. Am 3. Januar 2012 erledigte die Staatsanwaltschaft des Kantons Uri die Anzeige mittels Nichtanhandnahmeverfügung. Eine vom Anzeiger dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Uri, Strafprozessuale Beschwerdeinstanz, am 30. April 2012 ab.
B. Gegen den Entscheid des Obergerichtes gelangte der Anzeiger mit Beschwerde vom 18. Mai 2012 an das Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Einleitung einer Strafuntersuchung.
Der Beschwerdeführer reichte (am 5., 7. und 12. Juni 2012) unaufgefordert weitere Eingaben ein. Die beanzeigte private Beschwerdegegnerin beantragt mit Stellungnahmen vom 31. Mai bzw. 14. Juni 2012 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf Vernehmlassungen je ausdrücklich verzichtet. Der Beschwerdeführer replizierte am 7. Juli 2012. Am 7. und 17. September 2012 reichte er unaufgefordert weitere Eingaben ein.
Erwägungen:
1. Rechtsschriften an das Bundesgericht haben die Rechtsbegehren sowie deren Begründung (mit Angabe der Beweismittel) zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht oder Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und lit. b BGG). In der Begründung ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Die Beschwerdeschrift erfüllt die gesetzlichen Sachurteilsanforderungen höchstens teilweise. Es wird darin pauschal geltend gemacht, dass der Beschwerdeführer "in seinen Rechten verletzt" werde. Dabei sei "insbesondere auch sein von seinem Vater abgeleitetes Eigentumsrecht an den massgeblichen Erfindungen seines Vaters einschlägig". Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, erweist sich die Beschwerde, soweit darin überhaupt substanziierte zulässige Rügen vorgebracht werden, als offensichtlich unbegründet (vgl. Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG).
2. Die erstinstanzliche Nichtanhandnahmeverfügung datiert vom 3. Januar 2012, weshalb im vorliegenden Fall die StPO anwendbar ist (Art. 454 Abs. 1 StPO).
3. In der Beschwerdeschrift wird Folgendes vorgebracht: Der Vater des Beschwerdeführers habe die beanzeigte Gesellschaft 1963 selber gegründet und 1969 Erfindungspatente angemeldet. Bis 1977 sei der Vater deren Direktor und Verwaltungsratspräsident gewesen. Ohne dessen Kenntnis hätten die Organe der privaten Beschwerdegegnerin die fraglichen Immaterialgüterrechte (ab 1978 bzw. 1982) im Namen der Gesellschaft im Patentregister führen lassen. Der Vater sei "zeitlebens davon ausgegangen, dass die Patente auf seinen Namen laufen und auf den Beschwerdeführer vererbt" würden. Eine Kenntnis von strafbaren Handlungen sei "damit erst kürzlich eingetreten". Die Beanzeigten hätten auf betrügerische Art und Weise dafür gesorgt, dass sich der Vater des Beschwerdeführers nicht mehr habe wehren können. Dies gehe über eine blosse Patentrechtsverletzung hinaus. Selbst wenn eine Erfindung patentrechtlich nicht geschützt sein sollte, könne deren "betrügerische Entwendung trotzdem strafrechtlich relevant sein". Die Verjährung trete bei Erfindungen nach 70 Jahren ein. Eines der fraglichen Patente sei bereits 1978 unerklärlicherweise auf die private Beschwerdegegnerin übertragen worden, welche das Patentrecht an eine Firma weiterveräussert habe, wo die betreffende Technik noch heute verwendet werde. Dem Vater des Beschwerdeführers sei es auch nicht zumutbar gewesen, "ohne jeden Anlass regelmässig das Patentregister zu überprüfen". Angezeigt worden sei "eine rechtswidrige Zueignung der Erfindung in ihrer Gesamtheit inklusive der damit verbundenen Täuschungen".
4. Die Staatsanwaltschaft verfügt (nach Art. 310 Abs. 1 StPO) die Nichtanhandnahme, wenn aufgrund der Strafanzeige (oder eines Polizeirapports) feststeht, dass die beanzeigten Straftatbestände (bzw. die notwendigen Prozessvoraussetzungen) eindeutig nicht erfüllt sind (lit. a), oder wenn Verfahrenshindernisse bestehen (lit. b). In diesem Fall wird keine Strafuntersuchung eröffnet (Art. 309 Abs. 4 StPO). Im Übrigen richtet sich das Verfahren bei Nichtanhandnahme nach den Bestimmungen über die Verfahrenseinstellung (Art. 310 Abs. 2 StPO; vgl. BGE 137 IV 285 E. 2.2-2.3 S. 287 f.).
Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, dass aufgrund von pauschalen Vorwürfen, ohne konkreten Hinweis auf angeblich strafbare Handlungen, keine Strafuntersuchung zu eröffnen sei. Das Obergericht weist sodann darauf hin, dass ein rechtzeitiger Strafantrag bei Antragsdelikten eine Prozessvoraussetzung darstellt, der Eintritt der Verfolgungsverjährung ein definitives Prozesshindernis. Was den allfälligen Vorwurf einer Widerhandlung gegen das Bundesgesetz über die Erfindungspatente betrifft, habe der Beschwerdeführer einen Strafantrag - wenn überhaupt - erst nach Ablauf der gesetzlichen Antragsfrist gestellt. Darüber hinaus sei diesbezüglich bereits die Strafverfolgungsverjährung (Art. 97 f. StGB) eingetreten. Angebliche Betrugshandlungen würden in der Strafanzeige zwar pauschal behauptet, aber nicht näher konkretisiert. Anhaltspunkte für einen Betrug (Art. 146 Abs. 1 StGB) seien nicht ersichtlich (vgl. angefochtener Entscheid, S. 6-8, E. 3-4).
Was der Beschwerdeführer dagegen einwendet (vgl. oben, E. 3), lässt keine Bundesrechtswidrigkeit erkennen, soweit eine solche überhaupt ausreichend substanziiert wird (vgl. Art. 42 Abs. 2 Satz 1 und Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 95 BGG).
5. Die Beschwerde ist (gestützt auf Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG) als offensichtlich unbegründet abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wären dem Beschwerdeführer grundsätzlich die Gerichtskosten aufzuerlegen (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Zwar stellt er sinngemäss ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung (Art. 64 Abs. 1 BGG). Da sich die Beschwerde jedoch als zum Vornherein aussichtslos erweist, sind die gesetzlichen Voraussetzungen nicht erfüllt. Im vorliegenden Fall kann allerdings ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Ein Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung (Art. 64 Abs. 2 BGG) hat der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer nicht gestellt. Davon abgesehen, wären hier auch die Voraussetzungen der Nichtaussichtslosigkeit der Beschwerde und der sachlichen Notwendigkeit einer Rechtsverbeiständung nicht erfüllt. Der anwaltlich vertretenen privaten Beschwerdegegnerin ist eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Beschwerdeführer hat der privaten Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- (pauschal inkl. MWST) zu entrichten.
5. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Uri, Strafprozessuale Beschwerdeinstanz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster