Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Die Beschwerdeführerin wendet sich dagegen, dass ein Strafverfahren wegen Prozessbetrugs, Falschbeurkundung, Anstiftung zur Gehilfenschaft zum Prozessbetrug, falscher Beweisaussage als Partei und Anstiftung zu falschem Zeugnis eingestellt wurde.
In Bezug auf die Frage der Legitimation beruft sich die Beschwerdeführerin auf Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 4 und Ziff. 5 BGG (Beschwerde S. 4 Ziff. 4). Da die Staatsanwaltschaft am kantonalen Verfahren beteiligt war, ist sie indessen nicht Privatstrafklägerin im Sinne von Ziff. 4 der erwähnten Bestimmung. Da sie durch die angezeigten Straftaten nicht in ihrer körperlichen, sexuellen oder psychischen Integrität unmittelbar beeinträchtigt wurde (Art. 2 Abs. 1 OHG), ist sie auch nicht Opfer im Sinne von Ziff. 5 der genannten Bestimmung. Als Geschädige, die nicht Opfer ist, ist sie zur vorliegenden Beschwerde grundsätzlich nicht legitimiert (BGE 133 IV 228).
Die Beschwerdeführerin kann als Geschädigte die Verletzung von Verfahrensrechten rügen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind dabei nur Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache selber getrennt werden können. Denn auf eine solche Prüfung hat die in der Sache selber nicht Legitimierte keinen Anspruch (BGE 117 Ia 90 E. 4a; 114 Ia 307 E. 3c). Die Beschwerde beschränkt sich zur Hauptsache auf unzulässige Vorbringen (vgl. Beschwerde S. 5-7 Ziff. 5). Darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Die Beschwerdeführerin macht schliesslich geltend, die Staatsanwaltschaft habe ihr anlässlich der Einvernahme des Beschwerdegegners keine Gelegenheit gegeben, anwesend zu sein und Ergänzungsfragen zu stellen. Dadurch seien Art. 8 Abs. 1 und Art. 29 Abs. 1 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt worden (Beschwerde S. 6 lit. E, S. 7 Ziff. 5.4 und S. 19 Ziff. 9.6). Der Beschwerdeführerin schwebt bei diesem Vorbringen offenbar der Anspruch eines Angeschuldigten vor, den Belastungszeugen Fragen zu stellen, welcher Anspruch sich insbesondere aus Art. 6 Ziff 1 EMRK ergibt. Inwieweit dadurch, dass einer Geschädigten kein Recht eingeräumt wird, Fragen an den Angeschuldigten zu stellen, eine der genannten Bestimmungen der BV bzw. der EMRK verletzt worden sein könnte, ergibt sich aus der Beschwerde nicht. Diese genügt in diesem Punkt den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG nicht. Auch darauf ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
2. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung auszurichten, weil er vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Strafgericht des Kantons Basel-Stadt, Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn