Faits:
A. Par décision du 24 janvier 2008, confirmée sur opposition le 5 mars suivant, la Caisse de chômage Syna a réclamé à B._ la restitution d'indemnités de chômage allouées durant la période du 1er juillet au 31 décembre 2007 et lui a refusé l'octroi de nouvelles prestations à partir du 1er janvier 2008.
Saisi d'un recours, le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura a confirmé la décision sur opposition par jugement du 22 septembre 2008.
Par arrêt du 19 août 2009, le Tribunal fédéral a rejeté le recours formé par l'intéressé contre ce jugement (cause 8C_882/2008).
B. Par écriture du 29 septembre 2009, complétée le 27 janvier 2010, B._ forme une demande de révision de cet arrêt. En outre, il requiert l'exemption des frais judiciaires.
Considérant en droit:
1. La révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée notamment si, par inadvertance, celui-ci n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier (art. 121 let. d LTF). La demande de révision doit être déposée devant le Tribunal fédéral dans les trente jours qui suivent la notification de l'expédition complète de l'arrêt (art. 124 al. 1 let. b LTF).
2. Le requérant critique de manière assez confuse l'appréciation des preuves et la motivation de l'arrêt du 19 août 2009.
Selon la jurisprudence, des critiques purement appellatoires dirigées contre l'appréciation des preuves et les constatations de faits qui sont à la base du jugement contesté ne constituent pas un motif de révision au sens de l'art. 121 let. d LTF. L'inadvertance au sens de cette disposition suppose en effet que le juge ait omis de prendre en considération une pièce déterminée, versée au dossier, ou l'ait mal lue, s'écartant par mégarde de sa teneur exacte. Elle se distingue de la fausse appréciation soit des preuves administrées devant le Tribunal fédéral, soit de la portée juridique des faits établis. La révision n'est pas possible lorsque c'est sciemment que le juge a refusé de tenir compte d'un certain fait, parce qu'il le tenait pour non décisif, car un tel refus relève du droit (arrêts 1F_20/2009 du 7 janvier 2010 consid. 2; SJ 2008 I p. 465, 1F_16/2008 du 11 août 2008 consid. 3).
En l'occurrence, le requérant n'indique toutefois pas quelle pièce déterminée, versée au dossier, n'a pas été prise en considération par le Tribunal fédéral. Quant aux autres critiques dirigées contre le jugement contesté, elles ne constituent pas des motifs de révision prévus aux art. 121 à 123 LTF.
La demande de révision apparaît ainsi manifestement mal fondée, dans la mesure où elle est recevable.
3. Le requérant demande à être dispensé des frais judiciaires. Comme ses conclusions sont apparues d'emblée vouées à l'échec, il doit être débouté de sa demande (art. 64 al. 1 LTF a contrario) et supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le demande de révision est rejetée dans la mesure où elle est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 200 fr., sont mis à la charge du requérant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 8 février 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd