Faits:
A. X._, licenciée en droit de l'Université de Fribourg en juillet 2005, a effectué un stage d'avocat en Valais. En mai 2010, elle s'est présentée pour la troisième fois aux examens des candidats au barreau du canton du Valais. Elle a obtenu une moyenne de 3,5 aux épreuves écrites, soit 4 en droit et procédure civile, 3 en droit et procédure pénale et 3,5 en droit public, de sorte que la Commission d'examen des candidats au barreau (ci-après: la Commission d'examen) a constaté son échec à l'examen, le 18 mai 2010. Cette décision, qui signifiait son échec définitif (cf. art. 8 al. 3 de la loi valaisanne sur la profession d'avocat du 6 février 2001 : LPav; RS/VS 177.1), lui a été communiquée le 2 juin 2010 par le Département de la sécurité, des affaires sociales et de l'intégration du canton du Valais.
B. X._ a recouru contre ce prononcé auprès du Conseil d'Etat du canton du Valais qui, par décision du 4 mai 2011, a rejeté le recours.
X._ a alors porté sa cause devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) qui, par arrêt du 23 novembre 2011, a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable. Les premiers juges ont retenu en bref que les notes 3 pour l'épreuve de droit pénal et 3,5 pour celle de droit public étaient justifiées, au vu des lacunes des travaux de la recourante, relevées par la Commission d'examen. Ils ont par ailleurs estimé que les conditions pour ordonner l'édition des épreuves des autres candidats ayant participé à la session d'examen de mai 2010 n'étaient pas remplies.
C. X._ forme auprès du Tribunal fédéral un recours constitutionnel subsidiaire et conclut, avec suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt du 23 novembre 2011 et au renvoi de la cause pour nouvelle décision. Elle requiert aussi l'autorisation de prendre connaissance des cas d'examen des autres candidats.
Le Tribunal cantonal a renoncé à se déterminer sur le recours, de même que le Département de la sécurité, des affaires sociales et de l'intégration. De son côté, le Conseil d'Etat se rallie aux considérants de l'arrêt attaqué et conclut au rejet du recours, sous suite de frais.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le litige porte sur le troisième échec de la recourante aux épreuves écrites des examens d'avocat. La cause au fond relève donc du droit public. Comme il s'agit d'une décision sur le résultat d'examens qui porte sur l'évaluation des capacités de la recourante, la voie du recours en matière de droit public n'est pas ouverte (art. 83 let. t LTF; ATF 136 I 229 consid. 1 p. 231; arrêts 2D_11/2011 du 2 novembre 2011 consid. 1.1; 2D_14/2011 du 29 août 2011 consid.1.1 et les arrêts cités). C'est donc à juste titre que la recourante a déclaré former un recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
1.2 La recourante a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée qui a pour résultat de l'éliminer définitivement des examens du barreau valaisan (art. 115 LTF). Le présent recours constitutionnel subsidiaire a par ailleurs été déposé dans le délai, compte tenu des féries judiciaires (cf. art. 46 al. 1 let. c et 100 al. 1 en relation avec l'art. 117 LTF), et en la forme (cf. art. 42 LTF) prévus par la loi. Dirigé contre un jugement final (art. 90 en relation avec l'art. 117 LTF) rendu par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 en relation avec l'art. 114 LTF), il est donc en principe recevable.
1.3 Le recours constitutionnel subsidiaire peut être formé pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral examine la violation de droits fondamentaux, ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal, seulement lorsque ce grief a été invoqué et motivé de façon détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 et 117 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 133 III 439 consid. 3.2 p. 444). Il statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée et ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si les faits ont été établis en violation des droits constitutionnels (art. 118 LTF). En outre, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104 s; 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322).
C'est à la lumière de ces principes que doivent être appréciés les moyens soulevés par la recourante.
2. La recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue dans la mesure où le Tribunal cantonal a confirmé le refus du Conseil d'Etat de lui donner accès aux épreuves des autres candidats, ce qui ne lui a pas permis de vérifier si elle était victime d'une inégalité de traitement.
2.1 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend le droit pour l'intéressé de prendre connaissance du dossier (ATF 126 I 7 consid. 2b p. 10), de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 135 II 286 consid. 5.1 p. 293; 132 II 485 consid. 3.2 p. 494). En matière d'examens, les épreuves et évaluations des autres candidats ne font en principe pas partie du dossier à consulter, à moins que l'intéressé n'ait l'intention de se plaindre d'une inégalité de traitement et qu'il ne soit alors pratiquement obligé de prendre connaissance des autres travaux pour pouvoir motiver son grief. Cette exception n'est cependant admise que de façon restrictive, lorsque le grief d'inégalité de traitement repose sur des indices ou des soupçons concrets en rapport avec l'examen litigieux. Elle ne saurait donc justifier la consultation des pièces concernant les autres candidats chaque fois que quelqu'un entend contester une décision d'examens. S'il ne paraît dès lors pas exclu qu'un étudiant ait le droit de consulter les travaux des autres candidats en vue d'établir une inégalité de traitement en sa défaveur, il faut toutefois qu'il rende vraisemblable un intérêt légitime à cette consultation (ATF 121 I 225 consid. 2c p. 228; arrêts 2C_638/2007 du 7 avril 2008, consid. 4.2; 2P.330/1995 consid. 3c, SJ 1996 p. 370). A cet égard, le simple fait d'avoir subi un échec ne suffit pas.
2.2 En ce qui concerne l'examen litigieux, la recourante ne présente aucun élément qui pourrait faire croire qu'elle a été victime d'une inégalité de traitement. Elle se contente ainsi d'affirmer qu'elle n'est pas en mesure de démontrer des soupçons fondés si elle n'a pas accès aux épreuves des autres candidats. Cette argumentation ne saurait être suivie dans un cas où, comme en l'espèce, rien n'indique que la candidate ait pu être victime d'une discrimination. Il ressort au contraire du dossier que les résultats aux examens écrits ont été arrêtés sur la base des réponses de la recourante aux questions posées et qu'en l'absence du moindre indice d'irrégularité, celle-ci n'a pas un intérêt prépondérant à pouvoir consulter les épreuves des autres candidats, s'agissant d'un examen d'évaluation des capacités où les prestations des autres candidats n'ont pas une importance aussi grande que dans le cadre d'un examen type concours (ATF 121 I 225 consid. 2c p. 228). Dans ces conditions, il n'y a pas lieu d'autoriser la recourante à consulter les épreuves des autres candidats au barreau qui se sont présentés à la session de mai 2010. Le grief de violation du droit d'être entendu doit dès lors être rejeté sur ce point.
3. Invoquant les art. 9 et 29 al. 2 Cst., la recourante reproche aux juges cantonaux d'avoir apprécié arbitrairement ses épreuves de droit pénal et de droit public, en confirmant les notes de 3 et 3,5 qui lui ont été attribuées respectivement pour ces épreuves, et de n'avoir pas motivé leur appréciation.
3.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire prohibé par l'art. 9 Cst. ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560 et les arrêts cités). A cela s'ajoute qu'en matière d'examen, le Tribunal fédéral fait preuve d'une retenue particulière et n'annule le prononcé attaqué que si l'autorité précédente s'est laissée guider par des motifs sans rapport avec l'examen ou d'une autre manière manifestement insoutenables, de telle sorte que celui-ci apparaît arbitraire. Pour des motifs d'égalité de traitement, il observe cette même retenue lorsqu'il revoit l'évaluation des résultats d'un examen portant sur l'aptitude à l'exercice d'une profession juridique (ATF 131 I 467 consid. 3.1 p. 473 et les références; arrêt 2D_14/2011 du 29 août 2011 consid. 1.3 et les arrêts cités; 2D_55 /2010 du 1er mars 2011 consid. 1.5).
Le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. implique en outre l'obligation pour l'autorité de motiver sa décision. Toutefois, la motivation d'une décision est suffisante lorsque l'intéressé est mis en mesure d'en apprécier la portée et de la déférer à une instance supérieure en pleine connaissance de cause. Il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé son prononcé. Elle n'est pas tenue de se prononcer sur tous les moyens des parties et peut ainsi se limiter aux points essentiels pour la décision à rendre (ATF 137 II 266 consid. 3.2 p. 270; 136 I 229 consid. 5.2 p. 236; 135 III 670 consid. 3.3.1 p. 677).
3.2 En ce qui concerne l'épreuve de droit pénal, la recourante soutient essentiellement que les juges cantonaux ont seulement confirmé l'appréciation de l'expert à l'examen, qui a qualifié son travail de «nettement insuffisant pour une candidate au brevet d'avocat», mais n'ont pas tenu compte de ses réponses.
En réalité, le Tribunal cantonal, comme le Conseil d'Etat et la Commission d'examen avant lui, ont constaté, d'une manière générale, l'insuffisance des réponses de la recourante aux questions posées. Il lui a été reproché principalement d'avoir cité les dispositions du code pénal sans expliquer pourquoi elle retenait la rixe (art. 133 CP) plutôt que l'agression (art. 134 CP) et de n'avoir pas mentionné que la violation du principe de la célérité pouvait entraîner une réduction de peine. La recourante persiste à prétendre qu'elle n'avait pas à faire la différence entre la rixe et l'agression, car cette question n'était pas posée, et à soutenir que l'énoncé de l'examen à propos de la lenteur de la procédure n'était pas clair, de sorte qu'il n'était pas faux d'invoquer la possibilité d'un recours pour violation des droits constitutionnels. Ce faisant, elle ne fait qu'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale et formule, pour l'essentiel, des critiques de nature appellatoire, qui ne sont pas recevables (cf. supra consid. 1.3). Elle erre également lorsqu'elle prétend avoir traité le cas sur 5 pages, alors que son épreuve n'en comporte effectivement que 4, comme l'avait fait remarquer l'expert qui a jugé que le cas était traité trop brièvement. Pour le reste, il est exclu que le Tribunal fédéral revoie lui-même l'appréciation effectuée par les juges cantonaux sur la façon dont la recourante a résolu ses cas d'examen comme le ferait une juridiction d'appel. Il se bornera donc à constater que l'appréciation de l'épreuve de droit pénal, en tant qu'elle se rallie, en les complétant, aux considérations détaillées déjà émises dans la décision attaquée, soit le prononcé du Conseil d'Etat du 4 mai 2011 (cf. consid. 4b et 4c), répond aux exigences de motivation posées par la jurisprudence. La recourante pouvait en effet apprécier les insuffisances qui lui étaient reprochées, dans la mesure où il ressortait clairement de cette décision qu'au vu des données d'examen, qui précisaient que les candidats devaient répondre aux questions en se référant chaque fois aux dispositions applicables et en motivant chacune des solutions proposées, elle avait l'obligation d'expliquer les raisons pour lesquelles elle retenait la rixe et renonçait à l'agression. L'importance de distinguer ces deux délits était en outre développée pour en conclure que l'arrêt de première instance produit par la recourante ne lui était d'aucun secours. Cette motivation, qui est parfaitement compréhensible, n'aboutit pas à un résultat arbitraire. Quant au deuxième point concernant la lenteur de la procédure, la recourante se borne à relever que ses réponses n'étaient pas fausses et qu'il était «irrelevant» d'affirmer que la violation du principe de la célérité conduisait à une réduction de peine. Ce faisant, elle n'explique pas en quoi l'analyse que le Tribunal cantonal a faite de ses réponses par rapport aux questions posées serait arbitraire. Contrairement à ce qu'elle soutient, ce dernier a en effet expliqué pourquoi il s'en tenait à l'appréciation de la Commission d'examen qui, au regard du cas à traiter devant l'autorité de première instance, a constaté que les réponses données par la candidate n'avaient pas leur place. La recourante ne critique pas davantage le fait que les juges cantonaux ont retenu qu'elle ne s'était pas prévalue d'incertitudes dans l'énoncé de l'examen devant le Conseil d'Etat. Au demeurant, elle n'a pas démontré en quoi cet énoncé était peu clair, ni indiqué ce qui l'a induite en erreur.
3.3 Au sujet de l'épreuve de droit public, la recourante reprend chacune des 21 questions et en déduit qu'elle a été évaluée de manière arbitraire au vu du nombre de ses réponses exactes, qui aurait au moins justifié la note de 4. Elle reproche aussi au Tribunal cantonal de n'avoir pas correctement motivé sa décision en n'indiquant pas les raisons pour lesquelles la note de 3,5 qui lui a été attribuée était justifiée.
La juridiction cantonale a tout d'abord constaté que l'appréciation par l'examinateur des réponses aux questions posées n'avait pas été discutée devant le Conseil d'Etat, mais que ces nouveaux motifs pouvaient être soulevés, dès lors qu'ils restaient dans le cadre des conclusions antérieures. Il a cependant retenu que la recourante se contentait d'affirmer, sans le démontrer, qu'elle avait donné des réponses correctes. Se référant au procès-verbal de l'examinateur annexé à l'épreuve d'examen, il a aussi constaté que la recourante ne disait rien sur l'appréciation de ce dernier, donnée sur près d'une page, et a donc rejeté sommairement les critiques de l'intéressée.
Sur ce point, la recourante soutient que le Tribunal cantonal a renversé les rôles et qu'il lui appartenait de dire pourquoi une note de 3,5 était justifiée. Elle fait aussi valoir que les réponses qu'elles a fournies ne sont pas fausses, même si elles sont parfois incomplètes, faute de temps. Au vu de la réserve particulière dont fait preuve le Tribunal fédéral en matière d'examens, c'est toutefois en vain que la recourante reprend à présent ses réponses sur chacune des questions, alors qu'elle a omis de le faire devant le Tribunal cantonal. Pour le reste, il faut constater que la recourante n'a effectivement pas critiqué devant les instances précédentes l'appréciation globale faite par l'examinateur de son épreuve de droit public, alors que ce dernier indiquait clairement les motifs pour lesquels il jugeait sa prestation insuffisante, tant sur le cas 1 «marchés publics» que sur le cas 2 «expropriation». Cette appréciation était suffisante pour que le Tribunal cantonal considère que la note de 3,5 était justifiée. Celui-ci a aussi relevé que, dans sa réponse du 31 août 2010, la Commission d'examen avait déjà attiré l'attention de la recourante sur son absence de motivation par rapport au contenu du procès-verbal de l'examinateur.
3.4 Il s'ensuit que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité en tant qu'il s'en prend au défaut de motivation et caractère arbitraire de l'arrêt attaqué.
4. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable, avec suite de frais à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens (art. 68 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
2. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Département de la sécurité, des affaires sociales et de l'Intégration, au Conseil d'Etat et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 19 avril 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Rochat