Sachverhalt:
A. Die 1979 geborene S._ war seit 1. November 1997 als Dentalassistentin in der Zahnarztpraxis X._ tätig und dadurch bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch für die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert. Am 20. August 2000 erlitt sie als Mitfahrerin einen Verkehrsunfall, bei dem sie sich eine Commotio cerebri, eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und multiple Prellungen und Rissquetschwunden am rechten Bein zuzog. Sie wurde gleichentags ins Spital Y._ eingeliefert, von wo sie am 22. November 2000 bei unauffälligem Neurostatus, unauffälliger Commotio-Überwachung und ohne nachweisbare Frakturen, jedoch mit noch leichten Kopfschmerzen entlassen werden konnte. Vom 4. September bis 2. Oktober 2001 weilte die Versicherte zur Abklärung und stationären Behandlung in der Rehaklinik Z._. Die Zürich übernahm die Kosten der Heilbehandlung und richtete ein Taggeld aus. Zur Abklärung ihrer weiteren Leistungspflicht gab sie das Gutachten des Zentrums M._ vom 23. Dezember 2004/ 4. Januar 2005 in Auftrag. Mit Verfügung vom 6. November 2006 stellte die Zürich die Leistungen mangels Unfallkausalität der Beschwerden auf den 31. August 2006 ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 10. Mai 2007 fest.
B. S._ liess gegen diesen Entscheid Beschwerde einreichen und die Zusprechung einer Invalidenrente und einer Integritätsentschädigung beantragen. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft hiess diese mit Entscheid vom 21. Dezember 2007 gut und verpflichtete die Zürich, über den 31. August 2006 hinaus die gesetzlichen Leistungen zu erbringen.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Zürich Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids.
S._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen und um unentgeltliche Rechtspflege ersuchen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Im kantonalen Entscheid werden die massgeblichen Rechtsgrundlagen für den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung zutreffend dargelegt. Danach setzt die Leistungspflicht des Unfallversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraus. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der sog. Schleudertrauma-Praxis, welche bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen zur Anwendung gelangt, auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen). In BGE 134 V 109 hat das Bundesgericht die Schleudertrauma-Praxis präzisiert, während es die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze (BGE 115 V 133) unverändert liess (vgl. BGE 134 V 109 E. 6.1 S. 116).
1.2 Rechtsprechungsgemäss ist eine Änderung oder Präzisierung einer bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht nur auf zukünftige Fälle anwendbar, sondern auch auf jene Fälle, die im Zeitpunkt der Änderung oder der Präzisierung der Praxis bereits bei einem Gericht hängig waren (BGE 120 V 128 E. 3a S. 131).
2. Im letztinstanzlichen Verfahren nicht mehr streitig ist, dass die Beschwerdegegnerin beim Unfall vom 20. August 2000 ein Schleudertrauma oder eine schleudertraumaähnliche Verletzung der HWS erlitten hat und die im Zeitpunkt der Leistungseinstellung auf den 31. August 2006 geklagten Beschwerde zumindest teilweise noch in einem natürlichen Kausalzusammenhang zum versicherten Unfall standen. Fest steht des Weiteren, dass sich für die geltend gemachten Beschwerden trotz eingehender und wiederholter fachärztlicher Untersuchungen keine objektiv nachweisbaren organischen Unfallfolgen finden liessen, weshalb eine spezifische Adäquanzbeurteilung vorzunehmen ist. Diese hat nach den für Schleudertraumen und schleudertraumaähnliche Verletzungen der HWS geltenden Regeln (BGE 134 V 109, 117 V 359 ff.) zu erfolgen.
3. 3.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen, wobei zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird. Während der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel bei schweren Unfällen ohne Weiteres bejaht und bei leichten Unfällen verneint werden kann, lässt sich die Frage der Adäquanz bei Unfällen aus dem mittleren Bereich nicht aufgrund des Unfallgeschehens allein schlüssig beantworten. Es sind weitere, objektiv erfassbare Umstände, welche unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehen oder als direkte bzw. indirekte Folgen davon erscheinen, in eine Gesamtwürdigung einzubeziehen. Je nachdem, wo im mittleren Bereich der Unfall einzuordnen ist und abhängig davon, ob einzelne dieser Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sind, genügt zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs ein Kriterium oder müssen mehrere gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. mit Hinweisen).
3.2 Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07, E. 5.2 und 5.3.1; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.1). Über den Hergang des Unfalls vom 20. August 2000 ist den Akten zu entnehmen, dass der Lenker des Autos, in dem die Versicherte als Beifahrerin vorne rechts sass, mit einer Geschwindigkeit von rund 80 km/h auf der Autobahn unterwegs war, als er, möglicherweise nach vorgängigem Abbremsen, in einem Baustellenbereich ins Schleudern geriet und daraufhin mit einer mobilen Notrufsäule, einem Anpralldämpfer und Elementen der Baustellenabschrankung kollidierte, bevor er zum Stillstand kam. Der Fahrzeuglenker zog sich dabei ausser einer Beule keine Verletzungen zu, während die Versicherte zur Überwachung in Spitalpflege gebracht wurde. Das kantonale Gericht hat den Unfall im mittleren Bereich und dort nicht bei den schwereren Unfällen oder an der Grenze zu den schweren Unfällen eingeordnet. Mit Blick auf die durch die Rechtsprechung entwickelten Massstäbe scheidet eine Einordnung im Grenzbereich zu den schweren Unfällen, entgegen der von der Beschwerdegegnerin vertretenen Auffassung, klarerweise aus. Autounfälle, die mit vergleichbaren oder jedenfalls nicht mit geringeren Krafteinwirkungen verbunden sind, werden in Übereinstimmung mit der vorinstanzlichen Betrachtungsweise regelmässig dem mittleren Bereich zugeordnet. Zu erwähnen sind etwa Unfälle, bei welchen das Fahrzeug mit der versicherten Person bei einem Überholmanöver mit ca. 100 km/h abrupt abgebremst wurde, dabei ins Schleudern geriet, gegen einen Strassenwall prallte, sich überschlug und auf der Fahrerseite zu liegen kam (Urteil 8C_169/2007 vom 5. Februar 2008, E. 4.2), einen Lastwagen beim Überholen touchierte und sich überschlug (Urteil 8C_743/2007 vom 14. Januar 2008, Sachverhalt und E. 3), von der Strasse abkam und sich überschlug (Urteil U 213/06 vom 29. Oktober 2007, Sachverhalt und E. 7.2), auf der Autobahn in einer Kurve ins Schleudern geriet, sich überschlug und auf dem Dach liegend zum Stillstand kam (Urteil U 258/06 vom 15. März 2007, Sachverhalt und E. 5.2) oder sich bei einer Geschwindigkeit von ca. 90 km/h auf einer Autobahn über eine Mittelleitplanke hinweg überschlug - wobei die versicherte Person hinausgeschleudert wurde - und mit Totalschaden auf der Gegenfahrbahn auf dem Dach zu liegen kam (Urteil U 492/06 vom 16. Mai 2007, E. 4.2).
3.3 Von den weiteren in die Beurteilung einzubeziehenden Kriterien müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6 S. 367 f.). Die massgeblichen Kriterien wurden teilweise durch BGE 134 V 109 modifiziert. Das kantonale Gericht hat sie noch in ihrer früheren Fassung geprüft und ist zum Ergebnis gelangt, es seien drei (ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung, Dauerbeschwerden und erheblich lang dauernde Arbeitsunfähigkeit) erfüllt. Die Beschwerdeführerin verneint sämtliche Kriterien nach der mit BGE 134 V 109 präzisierten Schleudertrauma-Praxis. Die Beschwerdegegnerin bejaht mehrere der nach dieser Praxis massgebenden Kriterien.
3.3 Von den weiteren in die Beurteilung einzubeziehenden Kriterien müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6 S. 367 f.). Die massgeblichen Kriterien wurden teilweise durch BGE 134 V 109 modifiziert. Das kantonale Gericht hat sie noch in ihrer früheren Fassung geprüft und ist zum Ergebnis gelangt, es seien drei (ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung, Dauerbeschwerden und erheblich lang dauernde Arbeitsunfähigkeit) erfüllt. Die Beschwerdeführerin verneint sämtliche Kriterien nach der mit BGE 134 V 109 präzisierten Schleudertrauma-Praxis. Die Beschwerdegegnerin bejaht mehrere der nach dieser Praxis massgebenden Kriterien.
3.4 3.4.1 Das Adäquanzkriterium der besonderen Eindrücklichkeit und der dramatischen Begleitumstände wurde bei Verkehrsunfällen auf der Autobahn beispielsweise bei einem Versicherten bejaht, dessen Fahrzeug sich mit einer angegebenen Geschwindigkeit von rund 90 km/h über die Mittelleitplanke hinweg überschlug und auf dem Dach zu liegen kam (Urteil U 492/06 vom 16. Mai 2006, E. 4.3.1). Obwohl dem Ereignis vom 20. August 2000 eine gewisse Eindrücklichkeit nicht abzusprechen ist, sind derartige Umstände nicht gegeben, weshalb die Vorinstanz das Merkmal zu Recht verneint hat.
3.4.2 Die Beschwerdegegnerin hat sodann keine Verletzungen besonderer Art oder Schwere erlitten. Laut Bericht des Hausarztes Dr. med. V._ vom 24. November 2000 waren die klinischen Befunde im Bereich von Halswirbelsäule und Schultergürtel wenig eindrücklich mit praktisch freier Beweglichkeit, mässigen Irritationszonen auf Höhe der Kopfgelenke und Myogelosen im Schultergürtelbereich. Der beigezogene Rheumatologe Dr. med. M._ berichtete am 12. Januar 2001 von einem unauffälligen MRT der HWS, normentsprechenden radiologischen Befunden sowie fehlenden neurologischen Defiziten und diagnostizierte ein diffuses, kranial betontes Zervikovertebralsyndrom. Die Versicherte zog sich beim Unfall auch keine erheblichen anderweitigen Verletzungen zu. Die im Bericht des Spitals Y._ vom 25. August 2000 diagnostizierte Commotio cerebri zeigte gemessen nach der Glasgow-Coma-Skala (GCS) unauffällige Werte.
3.4.3 Für das Kriterium der ärztlichen Behandlung entscheidwesentlich ist gemäss BGE 134 V 109 E. 10.2.3 S. 128, ob nach dem Unfall eine fortgesetzt spezifische, die versicherte Person belastende ärztliche Behandlung bis zum Fallabschluss notwendig war. Dazu lässt sich den Akten entnehmen, dass im Anschluss an den Unfall eine dreitägige stationäre Überwachung mit Wundversorgung, Schmerzbehandlung und Halskragen erfolgte. Später wurden Physiotherapie und hausärztliche Gesprächstherapien sowie Atlaslogie durchgeführt. Nach der stationären Behandlung in der Rehaklinik Z._ vom 4. September bis 2. Oktober 2001 wurden die Physiotherapie und die Atlaslogie weitergeführt. Fachärztliche Untersuchungen oder Behandlungen waren laut Bericht des Hausarztes vom 11. September 2004 seither nicht mehr erforderlich. Im Zentrum M._-Gutachten vom 4. Januar 2005 wird die Notwendigkeit weiterer Behandlungsmassnahmen in Frage gestellt. Auch wenn über Jahre hinweg immer wieder auf die Symptombekämpfung bzw. die Schmerzlinderung gerichtete Therapien durchgeführt worden sind, waren die Vorkehren nicht mit der durch das Kriterium anvisierten, erheblichen zusätzlichen Beeinträchtigung der Lebensqualität verbunden.
3.4.4 Zu Recht nicht geltend gemacht wird das (unveränderte) Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert.
3.4.5 Ein schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen liegen nicht vor. Das Kriterium setzt voraus, dass besondere Gründe die Heilung beeinträchtigt haben (SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81, U 479/05 E. 8.5). Solche Gründe sind hier nicht ersichtlich.
3.4.6 Was den Aspekt der Dauerbeschwerden - oder nach BGE 134 V 109 E. 10.2.4 S. 128 der erheblichen Beschwerden - anbelangt, ist festzuhalten, dass adäquanzrelevant nur in der Zeit zwischen dem Unfall und dem Fallabschluss nach Art. 19 Abs. 1 UVG ohne wesentlichen Unterbruch bestehende erhebliche Beschwerden sein können, wobei sich die Erheblichkeit nach den glaubhaft dargelegten Schmerzen und der Beeinträchtigung, welche die verunfallte Person wegen der Beschwerden im Lebensalltag erfährt, beurteilt. In den ärztlichen Berichten wird über Kopf-, Schulter- und Nackenschmerzen berichtet. Gegenüber Dr. med. M._ gab die Versicherte laut Bericht vom 12. Januar 2001 an, sie habe seit dem 16./17. Altersjahr häufig an diffusen Kopfschmerzen gelitten, welche sich seit ein bis zwei Jahren beinahe täglich eingestellt hätten und durch Episoden mit Exazerbationen mit Nausea und Lichtscheu kompliziert worden seien. Gemäss orthopädischem Gutachten des Zentrums M._ vom 4. Januar 2005 werden die Beschwerden seit dem Unfall anders beschrieben und treten bei Belastung relativ rasch auf, ohne dass sie jedoch objektiv verifiziert und erklärt werden konnten. Wegen der Nacken- und Kopfschmerzen musste die Beschwerdegegnerin ihre Tätigkeit als Dentalassistentin aufgeben. Es war ihr jedoch möglich, eine Ausbildung als Atlaslogistin zu absolvieren und sich ab Januar 2004 in diesem Beruf selbstständig zu machen. Insgesamt kann das Kriterium mit dem kantonalen Gericht daher als grundsätzlich erfüllt angesehen werden, dies aber nicht in auffallender oder besonders ausgeprägter Form.
3.4.7 Das frühere Kriterium des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit lautet neu: Erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen. Nicht mehr die Dauer der Arbeitsunfähigkeit ist massgebend, sondern eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit als solche, die zu überwinden die versicherte Person ernsthafte Anstrengungen unternimmt. Darin liegt der Anreiz für die versicherte Person, alles daran zu setzen, wieder ganz oder teilweise arbeitsfähig zu werden (BGE 134 V 109 E. 10.2.7 S. 129). Nach dem Unfall konnte die Versicherte ihre Tätigkeit in der Zahnarztpraxis trotz verschiedenen Arbeitsversuchen nicht mehr aufnehmen. Die Arbeitsunfähigkeit als Dentalassistentin wird im Zentrum M._-Gutachten auf 60 Prozent veranschlagt. Eine von der Invalidenversicherung unterstützte, im April 2002 begonnene Umschulung zur Bürofachangestellten brach die Beschwerdegegnerin im Oktober 2002 ab, wobei laut Schreiben des Dr. med. V._ vom 22. Oktober 2002 medizinische Gründe dafür verantwortlich waren. Als Atlaslogistin könnte die Versicherte laut Zentrum M._-Gutachten mit einer Pause von rund 10 bis 15 Minuten nach jeder Behandlung zu 75 Prozent arbeiten. Für leichte Arbeiten wurde ihr eine volle Arbeitsfähigkeit attestiert und für mittelschwere eine solche von 75 Prozent. Im Zeitpunkt der gutachterlichen Befragung betreute die Beschwerdegegnerin lediglich zwei bis fünf Patienten täglich und erreichte damit knapp ein Pensum von 50 Prozent. Eine zeitliche Ausdehnung sei nicht nur schmerzbedingt, sondern zum Teil auch mangels Patientengut unterblieben. Das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen ist damit auch in seiner präzisierten Fassung erfüllt, wenn auch nicht in besonders auffallender Weise.
3.4.8 Zusammenfassend sind somit jedenfalls nicht mehr als zwei der relevanten Kriterien erfüllt, ohne dass eines davon in besonderer Ausprägung vorläge. Diese Feststellung führt angesichts der Qualifikation des Unfalls als mittelschwer, ausserhalb des Grenzbereichs zu den schweren Ereignissen, zur Verneinung des adäquaten Kausalzusammenhangs.
4. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdegegnerin als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; Art. 64 BGG) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, vom 21. Dezember 2007 aufgehoben.
2. Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Advokat Stefan Hofer, Basel, wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdegegnerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- ausgerichtet.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Dezember 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer