Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1975) stammt aus der Türkei und lebt seit 1992 in der Schweiz. Aus der inzwischen geschiedenen Ehe mit einer Landsfrau sind zwei Kinder hervorgegangen (geb. 1997 und 2001). X._ wurde 2007 und 2008 ausländerrechtlich verwarnt, da er und seine Familie von der Sozialhilfe lebten und massiv verschuldet waren.
1.2 Am 7. Januar 2010 widerrief das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt die Niederlassungsbewilligung von X._, weil sich seine finanzielle Situation nicht verbessert und er sich in keiner Weise um deren Sanierung bemüht habe. Das Justiz- und Polizeidepartement bzw. das Appellationsgericht (als Verwaltungsgericht) des Kantons Basel-Stadt bestätigten den Widerruf der Bewilligung am 23. November 2010 bzw. 9. September 2011.
1.3 Am 22. November 2011 leitete das Appellationsgericht eine als "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten" bezeichnete Eingabe von X._ zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiter. X._ macht darin geltend, in der Schweiz bleiben zu wollen.
2. Die Eingabe des Beschwerdeführers genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht und ist deshalb ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG zu erledigen:
2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten muss die Begehren und deren Begründung enthalten. Der Betroffene hat in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Seine Ausführungen müssen sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Er muss in gezielter Form auf die für das Ergebnis des Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz eingehen (BGE 134 II 244 E. 2.1 - 2.3).
2.2 Das Appellationsgericht ist davon ausgegangen, dass gegen den Beschwerdeführer bis zum 23. November 2010 Betreibungen in der Höhe von Fr. 180'357.05 und offene Verlustscheine von Fr. 359'594.95 vorgelegen hätten. Trotz wiederholter Ermahnungen habe er sich nicht ernstlich um eine Sanierung bemüht; angesichts der Schuldenlast und seines Einkommens könne auch für die Zukunft keine gute Prognose gestellt werden. Indem er mutwillig seine privatrechtlichen und öffentlichrechtlichen Verpflichtungen nicht erfüllt und die entsprechenden Verwarnungen und Weisungen des Migrationsamts nicht beachtet habe, habe er in schwerwiegendem Masse gegen die öffentliche Ordnung verstossen (Art. 63 Abs. 1 lit. b [SR 142.20] i.V.m. Abs. 2 AuG und Art. 80 Abs. 1 lit. b VZAE [SR 142.201]). Zwar halte der Beschwerdeführer sich schon seit über 18 Jahren in der Schweiz auf, doch habe er seinen Lebensunterhalt hier nur punktuell selber finanziert: Vom 1. Dezember 2002 bis zum 30. September 2008 sei er ununterbrochen von der Sozialhilfe mit insgesamt Fr. 248'347.45 unterstützt worden. Gemäss Auszug aus dem Betreibungsregister hätten gegen ihn 45 Betreibungen über Fr. 201'431.40 und Verlustscheine von Fr. 351 ́361.80 vorgelegen. Zu seiner geschiedenen Gattin habe er keine Kontakte mehr, jene zu den Kindern seien - nach deren Angaben - nicht besonders intensiv. Da der Beschwerdeführer seine ganze Jugendzeit in der Türkei verbracht habe, sei es ihm zumutbar, dort wieder Fuss zu fassen. Er habe von den Migrationsbehörden trotz massiver Sozialhilfeunterstützung, hoher Verschuldung und belastetem Leumund mehrere Chancen erhalten, die er nicht genutzt habe.
2.3 Der Beschwerdeführer bestreitet diese Ausführungen nicht, sondern ersucht um eine weitere "Chance" und weist darauf hin, dass er sein bisheriges Verhalten bedauere, aufgrund der Situation psychisch angeschlagen sei und nicht wisse, wie er in seiner Heimat eine neue Existenz aufbauen solle. Seine Ausführungen sind nicht sachbezogen. Mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid setzt er sich nicht weiter auseinander. Er legt auch nicht ansatzweise dar, welche Rechtsbestimmungen das Appellationsgericht in seinem Entscheid inwiefern verletzt haben sollte. Er beschränkt sich darauf, seine heutige Sicht der Dinge darzulegen, ohne eine Rechtsverletzung zu rügen, geschweige denn zu begründen. Kann das Gericht auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung oder der Beweiswürdigung nicht eintreten (BGE 136 II 101 E. 3 S. 104 f.), muss dies umso mehr gelten, wenn der Beschwerdeführer - wie hier - gar keine vertretbar begründeten Rügen erhebt und die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen (Beziehungen zu den Kindern, finanzielle Situation usw.) nicht infrage stellt.
3. Da auf die Beschwerde somit nicht einzutreten ist, hätte der unterliegende Beschwerdeführer die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen. Es rechtfertigt sich jedoch, ausnahmsweise von der Erhebung von solchen abzusehen (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar