Faits:
A.
A.a. N._, né en 1962, était employé pour divers travaux d'entretien par l'Hôtel X._, à Y._, à raison de 3 ou 4 heures par semaine, généralement le samedi. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident par Hotela, caisse-maladie et accidents de la Société suisse des hôteliers, pour les frais de traitement médical et l'assurance d'une indemnité journalière et par la Lloyd's Underwriters London (ci-après: la Lloyd's) pour les autres prestations. Il était en outre employé, à raison de 42 heures par semaine environ, par la société Z._, à Neuchâtel, pour l'entretien des véhicules et divers transports, ainsi que par l'entreprise H._ à Gümligen, à raison de 2 heures par jour, en qualité de nettoyeur.
Le 13 novembre 1999, il a été victime d'un accident sur son lieu de travail dans le jardin de l'Hôtel X._. Il a fait une chute, alors qu'il se trouvait sur une échelle, à une hauteur d'environ 2 mètres, pour couper les branches d'un arbre à l'aide d'un sécateur. Les médecins ont mis en évidence une fracture comminutive déplacée du pilon tibial gauche et une fracture du radius distal gauche. L'évolution a été tout d'abord défavorable en ce qui concerne la marche en charge totale de la cheville gauche. En l'absence de consolidation, il fut opéré le 9 novembre 2001. A cette occasion, il a été procédé à une cure de pseudarthrose du tibia gauche avec séquestrectomie, arthrodèse tibio-astragalienne et autogreffe osseuse prise à la crête iliaque droite.
N._ n'a pas pu reprendre ses activités professionnelles. Il a bénéficié de la part de l'assurance-invalidité d'une formation dans le domaine du câblage électronique au Centre neuchâtelois d'intégration professionnelle (CNIP). Arrivé au terme de cette formation le 2 juillet 2004, il a suivi un stage d'orientation professionnelle dans l'entreprise S._SA. Cette entreprise a toutefois refusé de l'engager à la fin du stage, en raison d'un rendement déficitaire, évalué à 75 % par rapport à un ouvrier de même qualification.
La Lloyd's a alors confié une expertise médicale au docteur K._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique. Dans un rapport du 9 décembre 2005, l'expert a indiqué que selon l'assuré, la marche à plat se faisait avec boiterie mais sans douleurs particulières. L'intéressé était en revanche rapidement gêné lors de la marche en descente ou en montée et évitait de s'engager dans un terrain inégal. Ponctuellement, il devait encore utiliser une canne. Selon l'expert, l'état de santé de l'assuré devait être considéré comme définitivement stabilisé. La cheville gauche était bloquée à 900. La sous-astragalienne était également bloquée. La mobilité du medio-tarse était légèrement diminuée à gauche. La marche dans les escaliers en pas alternés n'était pas possible, en montée comme en descente. Dans sa nouvelle profession de câbleur électronique, l'intéressé était apte à travailler entre 75 et 100 %, pour autant qu'il ait la possibilité de se lever de temps en temps pour faire quelques pas. Toute autre activité professionnelle en position assise avec possibilité de se lever de temps en temps pour faire quelques pas était exigible, même sans mesures spéciales de réadaptation (par exemple un travail de télésurveillance dans une centrale de sécurité ou un emploi de trieur de petites pièces dans une usine de fabrication de pièces mécaniques ou électroniques ou de conditionnement d'aliments).
Par décision du 14 août 2006, la Lloyd's a refusé d'allouer une rente d'invalidité à son assuré, au motif que le taux de l'incapacité de gain n'atteignait pas le minimum légal de 10 %. Saisie d'une opposition, la Lloyd's l'a rejetée par une nouvelle décision, du 12 octobre 2006.
A.b. Sur recours de N._, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (aujourd'hui: Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public), l'a admis par jugement du 28 septembre 2007. Il a reconnu à l'assuré le droit à une rente d'invalidité de 50 % à partir du mois de septembre 2004. Par arrêt du 11 mars 2008, le Tribunal fédéral a rejeté le recours en matière de droit public interjeté par la Lloyd's contre ce jugement (cause 8C_676/2007).
B.
B.a. Le 9 juin 2008, la Lloyd's a alloué à N._ une rente échelonnée de 50 % du 1er septembre 2004 au 30 novembre 2013 puis de 33 % à partir du 1er décembre 2013. Elle a considéré que si l'assuré travaillait à raison de 56 heures par semaine au moment de l'accident, il aurait, selon toute vraisemblance, réduit son temps de travail à 40 heures par semaine, même s'il était resté en bonne santé, à partir du moment où son fils n'aurait plus été à sa charge, soit lorsque ce dernier aurait atteint l'âge de 20 ans en 2013. L'assuré a formé opposition en contestant la réduction de sa rente à partir du 1er décembre 2013.
Par une nouvelle décision, du 22 mai 2009, la Lloyd's a annulé avec effet rétroactif l'octroi d'une rente de 50 % du 1er septembre 2004 au 30 novembre 2013, ainsi que d'une rente de 33 % à partir du 1er décembre 2013. Elle a précisé qu'elle avait fait surveiller l'assuré par un détective du 13 mai au 20 juin 2008 et transmis le rapport d'observation de ce dernier au docteur R._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et au docteur K._. Elle a considéré que l'assuré avait faussement prétendu avoir des limitations corporelles l'empêchant de travailler à 100 %, raison pour laquelle elle supprimait rétroactivement toutes les prestations.
B.b. N._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif, qui a annulé la décision du 22 mai 2009 et renvoyé la cause à la Lloyd's pour qu'elle alloue à l'intéressé une rente d'invalidité de 50 % à partir du mois de septembre 2004 (jugement du 14 juillet 2010). Contre ce jugement, la Lloyd's a exercé un recours en matière de droit public que le Tribunal fédéral a rejeté par arrêt du 14 avril 2011. Le Tribunal fédéral a constaté que la Lloyd's n'avait pas demandé la révision de l'arrêt du 11 mars 2008. Elle était tenue d'exécuter le jugement cantonal du 28 septembre 2007, confirmé par cet arrêt. Il n'en restait pas moins que la rente pouvait être révisée aux conditions requises (art. 17 LPGA). Cependant, jusqu'à la décision sur opposition du 12 octobre 2006, qui constituait la limite dans le temps du pouvoir d'examen du Tribunal administratif et du Tribunal fédéral dans la procédure précédente, la Lloyd's n'était pas autorisée à réviser la rente de l'assuré. En revanche, elle conservait la possibilité de procéder à une révision postérieurement à la décision sur opposition du 12 octobre 2006, en cas de modification des circonstances (cause 8C_775/2010).
C.
C.a. Le 25 juillet 2011, la Lloyd's a notifié à l'assuré qu'une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 50 % lui serait accordée du 1er septembre 2004 au 31 juillet 2008. A partir du 1er août 2008, le droit à la rente était supprimé après révision. Selon la Lloyd's, il ressortait du rapport d'observation de V._ Consulting du 18 juillet 2008 et des observations des docteurs R._ et K._ que l'état de santé de l'intéressé s'était amélioré ou, à tout le moins, que ses éventuels troubles de santé n'avaient plus d'influence sur sa capacité de gain. Le 1er février 2012, la Lloyd's a rejeté l'opposition formée par l'assuré contre cette décision.
C.b. L'assuré a recouru contre cette décision, mais il a été débouté par la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois (arrêt du 23 août 2012).
D.
N._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à son annulation et au versement par la Lloyd's d'une " demi-rente " d'invalidité à partir du 1er septembre 2004 pour une durée indéterminée. Il demande au Tribunal de constater que le rapport de V._ Consulting du 18 juillet 2008 a été obtenu de manière illicite et de l'éliminer du dossier, avec les avis médicaux émis postérieurement sur la base de ce rapport.
La Lloyd's a conclu au rejet du recours.
Considérant en droit:
1.
1.1. Le recourant soutient tout d'abord qu'il n'existait pas de soupçon d'abus permettant de mettre en oeuvre une surveillance. Selon lui, la Cour de droit public aurait dû écarter du dossier le rapport de V._ Consulting, comme il l'avait demandé, ainsi que les avis médicaux qui ont été rendus sur la base de ce rapport.
1.2. Comme le rappellent à juste titre les premiers juges, l'observation d'un assuré doit être justifiée par des éléments concrets de suspicion qui font naître des doutes sur la réalité des plaintes émises par lui ou les incapacités de travail qu'il fait valoir. De tels éléments peuvent consister, par exemple, en un comportement contradictoire de l'intéressé ou des doutes sur son honnêteté (éventuellement fondés sur les indications ou les observations de tiers), des incohérences mises à jour à l'occasion d'investigations médicales, des exagérations, des simulations ou des automutilations (ATF 137 I 327 consid. 5). Dans le cas particulier, il ressort du jugement attaqué que l'intimée a été informée en 2005 par l'Office de l'assurance-invalidité qu'un voisin du recourant avait constaté chez ce dernier un comportement incompatible avec celui d'un invalide et qu'il utilisait une canne uniquement en guise de faire-valoir. Sur la base de ces informations, l'intimée pouvait admettre qu'il existait des risques concrets faisant douter de l'étendue de l'atteinte à la santé de l'assuré. Contrairement à ce que soutient le recourant, il importe peu que ce soupçon soit né antérieurement à la décision de refus de rente de 2006. L'intimée n'était pas tenue d'utiliser les informations reçues dans l'immédiat, car à ses yeux, ce refus se justifiait déjà pour le motif que l'invalidité était insuffisante pour ouvrir droit à une rente.
2.
2.1. L'arrêt du Tribunal fédéral du 11 mars 2008 a acquis force de chose jugée. Il n'a pas fait l'objet d'une demande de révision. En matière de prestations périodiques, la force de chose jugée ne s'oppose pas à une modification due à un changement des circonstances ( STEFAN HEIMGARTNER/HANS WIPRÄCHTIGER, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2 ème éd., n° 25 ad art. 61), par exemple une aggravation ou une amélioration de l'état de santé d'un assuré. La modification qui en résulte ne peut toutefois pas intervenir pour une période précédant la date de la décision sur opposition du 12 octobre 2006, qui constituait la limite temporelle du pouvoir d'examen du Tribunal fédéral dans la procédure ayant abouti à la reconnaissance d'une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 50% (cf. ATF 121 V 362 consid. 1b p. 366; arrêt 8C_775/2010 du 14 avril 2011 consid. 5.2, rendu précédemment entre les parties).
2.2. En vertu de l'art. 17 LPGA, si le taux d'invalidité du bénéficiaire de la rente subit une modification notable, la rente est, d'office ou sur demande, révisée pour l'avenir, à savoir augmentée ou réduite en conséquence, ou encore supprimée. Tout changement important des circonstances propres à influencer le degré d'invalidité, et donc le droit à la rente, peut motiver une révision selon cette disposition. Une rente peut ainsi être révisée non seulement en cas de modification sensible de l'état de santé, mais aussi lorsque celui-ci est resté en soi le même, mais que ses conséquences sur la capacité de gain ont subi un changement important (ATF 130 V 343 consid. 3.5 p. 349).
2.3. Un rapport de surveillance ne constitue pas, à lui seul, un fondement sûr pour constater les faits relatifs à l'état de santé ou la capacité de travail de la personne assurée. Il peut tout au plus fournir des points de repère ou entraîner certaines présomptions. Seule l'évaluation par un médecin du matériel d'observation peut apporter une connaissance certaine des faits pertinents (ATF 137 I 327 consid. 7.1 p. 337; arrêt 8C_434/2011 du 8 décembre 2011 consid. 4.2). Cette exigence d'un regard et d'une appréciation médicale sur le résultat de l'observation permet d'éviter une évaluation superficielle et hâtive de la documentation fournie par le détective privé (voir à ce sujet MARGIT MOSER-SZELESS, La surveillance comme moyen de preuve en assurance sociale, RSAS 57/2013 p. 129 ss, plus spécialement p. 152). L'évaluation du médecin est faite sur la base du résultat des mesures de surveillance, sans qu'il soit nécessaire d'ordonner dans tous les cas une expertise médicale. Il appartient en effet à l'assureur social ou au juge d'apprécier la portée du produit d'une surveillance en fonction du principe de la libre appréciation des preuves ( MOSER-SZELESS, op.cit., p. 153; voir aussi l'arrêt 8C_830/2011 du 9 mars 2012 consid. 6.5).
2.4. Sur le plan médical, il convient d'admettre, avec les premiers juges, que l'état de santé du recourant s'est amélioré par rapport à la situation décrite par le docteur K._ en décembre 2005. On peut le déduire, en particulier, du rapport du docteur R._ du 19 septembre 2008. Ce médecin a donné un avis médical sur les empêchements de l'intéressé à la lumière des enregistrements de vidéosurveillance. Selon ce médecin, on se trouve en face du cas clair d'une arthrodèse de la tibio-crurale avec bonne évolution. On peut certes admettre une boiterie légère quasiment imperceptible à l'aide d'orthèses mais de type fonctionnel. Il n'y a pas lieu de recourir à une canne. Il est compréhensible, toujours selon le docteur R._, que le patient ne peut ni courir ni sauter. En revanche, il est difficilement crédible qu'il ait besoin d'effectuer des pas alternés pour monter ou descendre les escaliers et, surtout, que son état nécessite la possibilité de se lever en alternance avec la position assise, le membre inférieur bénéficiant d'un repos complet en position assise. L'attestation (datée du 15 juin 2009) invoquée par le recourant et qui émane de son médecin traitant, le docteur G._, spécialiste en médecine interne, n'est pas de nature à remettre en cause ces constatations. Ce médecin ne prétend pas, en effet, que son patient serait entravé au niveau de ses membres inférieurs par des limitations autres que la légère boiterie constatée par le docteur R._. On doit ainsi admettre que les conditions d'une révision étaient réalisées.
3.
3.1. Dans son jugement du 28 septembre 2007, confirmé par l'arrêt du Tribunal fédéral du 11 mars 2008, la Cour cantonale a considéré que tant l'activité principale que les activités accessoires du recourant devaient être prises en compte pour fixer le revenu sans invalidité (cf. aussi consid. 3.3 de l'arrêt 8C_676/2007 du 11 mars 2008). Elle a fixé ce revenu à 73'131 fr. Elle a constaté, en effet, que durant la dernière année où l'assuré a pu exercer entièrement ses diverses activités, soit en 1998, il avait obtenu un revenu de 49'965 fr. à titre principal et de 17'526 fr. à titre accessoire (2'728 fr. + 6'210 fr [Hôtel X._] + 8'588 fr. [entreprise H._]), soit au total 67'491 fr. Adapté à l'évolution des salaires nominaux (base 1993 = 100; 1998 = 105.3; 2004 = 114.1), ce montant correspondait à 73'131 fr. Pour ce qui est du revenu d'invalide, les premiers juges avaient retenu que le recourant disposait d'une capacité de travail de 100 %, mais avec un rendement de 75 % seulement, dans une activité légère en position assise et lui réservant la possibilité de se lever de temps en temps. Sur la base des données résultant de l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ESS), ils sont partis d'un revenu de 4'588 fr. Après conversion à un horaire de travail de 41,6 heures et compte tenu d'un rendement de 75 %, ainsi que d'un abattement de 15 %, le revenu d'invalide déterminant obtenu par la juridiction cantonale était de 36'506 fr. La comparaison des revenus aboutissait à un degré d'invalidité (arrondi) de 50 %.
3.2. Appelé également à se prononcer sur le produit de la surveillance, le docteur K._ a exprimé l'avis que l'assuré jouissait d'une pleine capacité de travail dans une activité adaptée. La capacité de travail comme câbleur électronique devait être admise sans diminution de rendement. En revanche, comme manoeuvre dans une entreprise ou comme jardinier, l'intéressé était capable de fournir un certain travail, à temps partiel. Il n'était pas possible de dire s'il pourrait avoir un rendement complet dans ces deux dernières professions.
3.3. Cela étant, on ne saurait sans plus suivre l'avis des premiers juges lorsqu'ils retiennent que le recourant, sur la base des éléments retenus par le docteur K._, pourrait exercer sans restriction les activités qui étaient les siennes avant l'accident. Comme on l'a vu, l'évaluation de l'invalidité qui a conduit à l'octroi d'une rente fondée sur une incapacité de gain de 50 % se rapporte aux activités principales et accessoires exercées par le recourant avant l'accident (56 heures de travail au total par semaine). Or, le docteur K._ ne se prononce pas sur le point de savoir si une activité, même légère, serait encore exigible dans les mêmes proportions.
Sur ce point, un complément d'instruction apparaît indispensable. Il convient donc de renvoyer l'affaire à la Cour de droit public pour qu'elle procède à ce complément en ordonnant une expertise médicale.
4.
S'il apparaît, au terme de cette instruction, que l'assuré n'est plus apte, en raison des séquelles de l'accident, à exercer les mêmes activités qu'auparavant ou n'est plus capable de les exercer dans une même mesure, il appartiendra à la juridiction cantonale de fixer le degré d'invalidité en procédant à une comparaison des revenus étant précisé qu'un droit à la rente selon la LAA est déjà reconnu à partir d'un seuil d'invalidité de 10 % (art. 18 al. 1 LAA).
5.
L'intimée a révisé la rente avec effet rétroactif en se prévalant d'une violation par l'assuré de son obligation de renseigner (voir à ce sujet les arrêts 8C_90/2011 du 8 août 2011 consid. 8.6 et 8.7 et 8C_301/2011 du 30 juin 2011 consid. 3.5). Sans autre motivation, les premiers juges ont confirmé, sur ce point également, la décision attaquée. Comme la cause est renvoyée à l'autorité cantonale, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de se prononcer maintenant déjà sur cette question. Le cas échéant, il appartiendra à la Cour de droit public de rendre à son propos une décision motivée.
6.
Vu l'issue du litige, il convient de répartir les frais de la procédure fédérale par moitié entre les parties (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée, qui succombe partiellement, versera une indemnité de dépens réduite au recourant (art. 68 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis. Le jugement de la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois est annulé, la cause lui étant renvoyée pour complément d'instruction et nouvelle décision au sens des motifs. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais de la procédure, arrêtés à 750 fr., sont répartis par moitié entre les parties.
3.
L'intimée versera au recourant une indemnité de 1'400 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 25 juin 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: Fretz Perrin