Faits:
A. A.a La société A._ SA a été fondée en 1989 dans le but d'exécuter tout mandat en relation avec la prise et l'archivage du son. B._, titulaire de 47 actions, et X._, titulaire des trois actions restantes, étaient, respectivement, le président et le vice-président de son conseil d'administration, chacun d'eux disposant de la signature individuelle. Les contacts avec les producteurs, les pourparlers contractuels et la facturation étaient l'apanage de B._, X._ n'étant, selon ses dires, qu'un technicien salarié de la société.
B._ et X._ ont cherché ensemble des locaux en vue d'y implanter un studio d'enregistrement. Lors d'une assemblée générale extraordinaire tenue le 25 octobre 1990, A._ SA a décidé d'acquérir une parcelle de la commune de ... à cette fin, pour le prix de 850'000 fr., au moyen d'un emprunt contracté auprès de la Banque Z._ (ci-après: la Banque).
Par courrier du 25 octobre 1990, la Banque a accordé à A._ SA un crédit en compte courant de 550'000 fr à un taux d'intérêt variable de 8,5%, plus une commission trimestrielle de 1/4%. Le crédit était garanti par l'engagement écrit de B._ et de X._, en tant que codébiteurs solidaires, ainsi que par le nantissement de cédules hypothécaires d'un montant total de 800'000 fr. grevant la parcelle en question. Il n'était accordé qu'en vue de l'acquisition de celle-ci, la Banque n'étant pas liée pour le financement de la construction du studio d'enregistrement.
Par courrier du même jour, contresigné par A._ SA, B._ et X._, la Banque a accordé à ladite société un second crédit en compte courant de 450'000 fr. garanti par l'engagement écrit des deux administrateurs, en tant que codébiteurs solidaires, ainsi que par le nantissement d'une cédule hypothécaire de 710'000 fr. grevant un appartement propriété de C._, sis à ..., nantissement remplacé ultérieurement par celui d'un compte bancaire d'une valeur de 450'000 fr.
L'instruction a fait ressortir que la parcelle acquise, située dans le centre de ..., comprenait un bâtiment vétuste, classé monument historique, délabré et à l'abandon depuis plusieurs années, qui nécessitait d'importants travaux de remise en état. L'acte de vente, signé le 25 octobre 1990 par B._ et X._ pour le compte de A._ SA, indiquait que la parcelle acquise comportait un bâtiment classé monument historique.
L'aménagement du studio d'enregistrement dans ledit bâtiment n'a pas été réalisé.
A.b En décembre 1992, la Banque a fait appel à la garantie de 450'000 fr., si bien que le solde débiteur du second crédit a été réduit d'autant.
Par courrier du 8 juin 1993, la Banque a réclamé le remboursement, au 8 juillet 1993, du premier crédit, à concurrence de 613'145 fr., et du second crédit à hauteur de 59'521 fr. 20.
La faillite de A._ SA, devenue entre-temps D._ SA, a été prononcée le 19 octobre 2004. La Banque n'a touché aucun dividende dans la liquidation de cette faillite. La parcelle de la commune de ... a été vendue aux enchères pour le prix de 10'000 fr.
En octobre 2002 et décembre 2003, la Banque a introduit une poursuite contre X._ sur la base d'un certificat d'insuffisance de gage et d'une attestation de découvert délivrés par l'Office des poursuites de ... à l'encontre de D._ SA et de B._.
Un montant de 3'404 fr. 50 a été versé sur le compte relatif au premier crédit, le 15 février 2002. Le compte relatif au second prêt a été crédité des sommes suivantes: 2'021 fr. 20 le 10 septembre 1993, 2'000 fr. le 27 septembre 1993, 2'000 fr. le 29 octobre 1993, 2'000 fr. le 8 décembre 1993, 2'000 fr. le 30 décembre 1993, 2'000 fr. le 9 février 1994 et 2'000 fr. le 8 mars 1994.
B. B.a Le 22 septembre 2005, la Banque Y._, qui avait repris les actifs et passifs de la Banque en décembre 1993, a assigné X._ en paiement, d'une part, de 627'259 fr. 70, avec intérêts à 8,25% dès le 30 juin 1993, sous déduction de 3'404 fr. 50, valeur au 15 février 2002, et, d'autre part, de 61'159 fr. 45, avec intérêts à 8,25%, dont à déduire les sept montants précités, versés sur le compte relatif au second crédit, chacun en fonction de sa date de versement. Le défendeur a conclu au rejet intégral de la demande.
Par jugement du 21 juin 2007, le Tribunal de première instance du canton de Genève a fait droit aux conclusions de la demanderesse. Il a retenu, en substance, que le défendeur n'avait pas démontré avoir remis en cause les relevés de compte de la Banque, de sorte que le solde avait été reconnu et emportait novation. Il s'avérait, en outre, que le défendeur avait parfaitement compris la portée de son engagement, si bien qu'aucune responsabilité ne pouvait être imputée à la Banque.
B.b Statuant par arrêt du 14 mars 2008, sur appel du défendeur, la Cour de justice a annulé le jugement de première instance et condamné X._ à verser à Y._ la somme de 400'000 fr., avec intérêts à 8,25% dès le 9 juillet 1993, sous déduction de 2'021 fr. 20, valeur au 10 septembre 1993, 2'000 fr., valeur au 27 décembre 1993, 2'000 fr., valeur au 29 octobre 1993, 2'000 fr., valeur au 8 décembre 1993, 2'000 fr., valeur au 30 décembre 1993, 2'000 fr., valeur au 9 février 1994, 2'000 fr., valeur au 8 mars 1994, et 3'404 fr. 50, valeur au 15 février 2002.
En ce qui concerne la question de la responsabilité de la banque dispensatrice de crédits, les juges d'appel, après avoir rappelé la jurisprudence fédérale en la matière, ont émis les considérations suivantes: le prêt consenti par la Banque a servi à financer l'acquisition d'un immeuble par A._ SA, qui envisageait d'y installer et d'y exploiter un studio d'enregistrement. Il s'agissait d'un crédit sans lien avec une affaire à connotation bancaire et octroyé à des fins commerciales. En outre, il n'apparaît pas qu'un rapport de confiance ait existé entre le défendeur et la Banque en raison de la conclusion de précédentes affaires. Enfin, les prêts ont été alloués, non pas à l'instigation de cette dernière, mais à l'initiative de B._. Il s'ensuit que la Banque n'avait pas de devoir particulier d'information en l'espèce. Quoi qu'il en soit, il faut retenir que le défendeur a été informé sur la portée de son engagement et que sa volonté réelle a effectivement été de devenir codébiteur solidaire aux côtés de A._ SA et de B._. Enfin, il n'entrait pas dans le devoir de la Banque de l'informer de la qualité de monument historique du bâtiment érigé sur l'immeuble à acquérir. Il ne s'agissait pas là d'une connaissance particulière de la Banque quant à un risque spécial, puisque cette caractéristique était une information, sinon notoire, du moins relevant du domaine que la société acheteuse pouvait facilement apprendre au travers de ses administrateurs. Dans ces conditions, la responsabilité de la Banque n'est pas engagée et le défendeur excipe en vain de la compensation avec une prétendue créance en dommages-intérêts à l'encontre de la demanderesse.
A l'inverse du premier juge, la cour cantonale a considéré, pour sa part, que le défendeur n'avait pas pu approuver tacitement les relevés de compte qui lui avaient prétendument été adressés, du moment que la demanderesse n'avait établi ni l'envoi des extraits de compte à l'intéressé, ni leur réception par celui-ci. Elle n'a cependant pas libéré le défendeur de toute obligation. En effet, comme le prix de la parcelle litigieuse avait été réglé au moyen d'un chèque de 850'000 fr. tiré par la Banque en vertu des crédits accordés par cette dernière, elle a admis la demande à concurrence de 400'000 fr., compte tenu de l'exécution de la garantie de 450'000 fr. fournie par C._. Elle a déduit des 400'000 fr. dus par le défendeur les montants versés à la demanderesse après la dénonciation des crédits.
A ce montant, les juges précédents ont ajouté l'intérêt moratoire, au taux conventionnel de 8, 25%, conformément à l'art. 104 al. 2 CO, à compter du 9 juillet 1993, soit le lendemain de la date fixée au défendeur, dans la lettre de dénonciation du 8 juin 1993, pour rembourser les sommes prêtées.
C. Le 29 avril 2008, le défendeur a formé un recours en matière civile. A titre principal, il invite le Tribunal fédéral à annuler l'arrêt attaqué et à débouter la demanderesse de toutes ses conclusions. Subsidiairement, il requiert le renvoi du dossier à la cour cantonale pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants de l'arrêt fédéral.
Le recourant a sollicité, par ailleurs, l'octroi de l'effet suspensif et sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Par ordonnance du 9 juin 2008, la Ire Cour de droit civil a rejeté la demande d'assistance judiciaire et fixé au recourant un délai pour verser une avance de frais de 10'000 fr. L'intéressé s'est exécuté en temps utile.
L'intimée n'a pas été invitée à déposer une réponse au recours.
Considérant en droit:
1. L'arrêt attaqué a été rendu dans une cause pécuniaire en matière civile portant sur une valeur bien supérieure au seuil fixé à l'art. 74 al. 1 let. b LTF pour la recevabilité du recours en matière civile. Emanant de la partie qui a succombé pour l'essentiel dans ses conclusions libératoires et dirigé contre une décision finale rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 90 LTF), le recours en matière civile est en principe recevable, puisqu'il a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF), compte tenu de la suspension du délai durant les féries pascales (art. 46 al. 1 let. a LTF), et dans les formes requises (art. 42 LTF).
Le présent recours, sinon tous les griefs qui y sont articulés, est donc recevable.
2. 2.1 En résumé, le recourant reproche aux juges précédents de n'avoir pas retenu que la responsabilité de la Banque à son égard serait engagée. Selon lui, le simple fait que la Banque a accepté de financer l'acquisition d'un immeuble vétuste et délabré aux fins de la construction d'un studio d'enregistrement, alors qu'elle s'était volontairement désintéressée de ce projet et qu'elle le savait non financé au moment de la signature des contrats de prêt, démontrerait une attitude clairement contraire à ses devoirs.
Et le recourant de broder autour de cet argument en se plaignant de l'établissement incomplet ou inexact des faits (art. 97 al. 1 LTF) et en invoquant la violation de l'art. 2 CC, de l'art. 8 CC, de l'art. 120 CO, ainsi que de l'art. 398 CO en liaison avec l'art. 321 CO.
2.2 Le recourant méconnaît totalement la manière de motiver un recours en matière civile. Dans une première partie, il relate sa propre version des faits pertinents, en se référant, sans plus de précisions, à des procès-verbaux d'audition et à quelques pièces, comme s'il plaidait devant une juridiction d'appel pouvant revoir librement les faits (cf. mémoire, p. 5 à 9). Le recourant reproduit ensuite de longs extraits d'arrêts fédéraux dont il met en évidence certains passages par des procédés typographiques, mais sans faire aucun rapprochement entre cette jurisprudence et la cause en litige (cf. mémoire p. 11 à 17). Enfin, dans une partie intitulée "Subsomption" (cf. mémoire, p. 17 à 29), le recourant commence par dresser une liste des faits que la cour cantonale est censée avoir omis. Toutefois, il se borne ici à énoncer derechef des circonstances qui contredisent les constatations faites par les juges précédents ou complètent celles-ci dans un sens favorable à sa thèse, mais sans apporter le moindre élément de preuve qui permettrait au Tribunal fédéral de vérifier la pertinence de ses dires (cf. mémoire, p. 17 à 19, ch. 1). Sur ce point, le recours apparaît ainsi manifestement irrecevable. Pour la même raison, il l'est tout autant en ce qui concerne les affirmations figurant sous chiffre 2 à la page 19 du mémoire et, encore plus, pour ce qui est de la digression, faite aux pages 19 à 21 de cette écriture, au sujet des déboires de la Banque ayant conduit à sa reprise par Y._.
Les considérations émises aux pages 21 à 25 et 28/29 du mémoire de recours quant à la prétendue violation de l'art. 398 CO par la cour cantonale tombent également à faux pour la raison déjà que les parties n'étaient pas liées par un contrat de mandat. Elles reposent d'ailleurs, elles aussi, sur de simples allégations du recourant, qui s'écartent des constatations de la cour cantonale.
Si l'on s'en tient à ces seules constatations et que l'on procède à la subsomption voulue par le recourant, à partir des arrêts fédéraux pertinents cités au considérant 2.1 de la décision attaquée, en particulier celui du 14 septembre 2004 en la cause 4C.202/2004 (consid. 3; SJ 2005 I p. 164), l'argumentation de la cour cantonale, telle qu'elle a été résumée ci-dessus, ne viole en rien le droit fédéral. La présente espèce concerne une personne ayant accepté de se porter codébitrice solidaire envers une banque, en toute connaissance de la portée de son engagement, en vue de garantir deux prêts destinés à l'acquisition d'une parcelle par une société commerciale à des fins professionnelles, alors qu'elle savait que la construction du studio d'enregistrement sur ladite parcelle ne serait pas financée par la banque dispensatrice des crédits et qu'elle ne pouvait pas ignorer que le bâtiment dans lequel la société envisageait d'aménager le studio d'enregistrement était vétuste et délabré et, de surcroît, classé monument historique. Dans ces conditions, le recourant, qui n'était pas lié à la Banque par une relation d'affaires durable ayant généré un rapport de confiance particulier, ne pouvait pas s'attendre à ce que l'établissement bancaire le mît en garde contre les dangers liés à la garantie qu'il donnait en se portant codébiteur solidaire de la société emprunteuse.
S'agissant du montant dû par lui, le recourant se lance derechef dans une reconstitution des faits, sans se limiter à ceux qui ressortent de l'arrêt attaqué, lorsqu'il relate les procédures d'exécution forcée intentées par Y._ à l'encontre de B._ et de lui-même (cf. mémoire, p. 25 à 27). Il se plaint, du reste, en pure perte de n'avoir pas été traité de la même façon par cette banque que ne l'a été B._. En effet, c'est le propre de la solidarité passive que de permettre des inégalités de traitement entre les codébiteurs, dès lors que le choix est laissé au créancier d'agir à sa guise contre le débiteur qui lui plaît, fût-ce pour l'intégralité de la dette.
Enfin, le reproche fait à la cour cantonale d'avoir admis à tort que le taux de 8,25% n'avait pas été contesté par le recourant tombe, lui aussi, à faux (cf. mémoire, p. 27). Sous chiffre 4.2 de son arrêt, l'autorité intimée retient que "l'appelant ne conteste pas que le taux d'intérêt conventionnel s'élevait à 8,25%". Or, dans le passage de son mémoire d'appel invoqué par lui (p. 26 s.), le recourant ne conteste pas que le taux d'intérêt conventionnel ait été fixé à 8,25%, mais bien le fait qu'une fois la demeure acquise, on puisse porter en compte un tel taux au lieu du taux de 5% prévu par la loi. Le premier paragraphe de la page 27 du mémoire d'appel n'autorise aucune autre conclusion. Il énonce ce qui suit: "Ainsi, après la dénonciation des crédits, soit pour le 8 juillet 1993, l'intimée est uniquement autorisée à réclamer un intérêt moratoire de 5%, et non de 8,25%, taux qui s'applique exclusivement aux crédits octroyés". Sur le principe de la prise en compte du taux d'intérêt conventionnel au titre de l'intérêt moratoire, le recourant s'abstient, à juste titre, de critiquer l'arrêt cantonal lequel est conforme au droit fédéral (art. 104 al. 2 CO; ATF 130 III 312 consid. 7.1 p. 319).
Cela étant, le recours soumis à l'examen du Tribunal fédéral se révèle manifestement infondé dans la faible mesure de sa recevabilité.
3. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). En revanche, il ne sera pas tenu de verser des dépens à l'intimée puisque celle-ci n'a pas été invitée à déposer une réponse.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 10'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 26 août 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Carruzzo