Faits:
A. Le 24 mai 2011, A._ a recouru contre l'arrêté du Conseil d'Etat du canton de Genève du 18 mai 2011 - constatant les résultats du scrutin du 15 mai 2011 - auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice). Celle-ci a déclaré son recours irrecevable pour cause de tardiveté, par arrêt du 28 juin 2011.
Le 22 décembre 2011, le Tribunal fédéral a rejeté le recours interjeté par A._ contre cet arrêt (arrêt 1C_329/2011).
B. Par acte du 30 janvier 2012, A._ requiert la révision de l'arrêt du Tribunal fédéral du 22 décembre 2011. Il demande de constater que, par inadvertance, des faits pertinents ressortissant du dossier n'ont pas été pris en considération. Il sollicite aussi l'annulation de l'arrêt du 28 juin 2011 et le renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle ordonne les mesures probatoires demandées et qu'elle statue sur le fond.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. La révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée pour les motifs énumérés aux art. 121 à 123 LTF. Selon l'art. 124 al. 1 let. b LTF, la demande doit alors être présentée dans les trente jours qui suivent la notification de l'expédition complète de l'arrêt. Ce délai est observé en l'espèce. Seul l'arrêt du Tribunal fédéral peut faire l'objet d'une demande de révision à l'exclusion des décisions rendues en première et dernière instances cantonales. En tant qu'elle est dirigée contre l'arrêt de la Cour de justice du 28 juin 2011, la demande de révision est donc irrecevable.
2. Le requérant se prévaut du motif de révision ancré à l'art. 121 let. d LTF.
2.1 Aux termes de l'art. 121 let. d LTF, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée lorsque, par inadvertance, le tribunal n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier.
Ce motif de révision vise le cas où le Tribunal fédéral a statué en se fondant sur un état de fait incomplet ou différent de celui qui résultait du dossier. L'inadvertance implique une erreur et consiste soit à méconnaître soit à déformer un fait ou une pièce. Elle doit se rapporter au contenu même du fait, à sa perception par le tribunal, mais non pas à son appréciation juridique. Les faits doivent ressortir du dossier, soit non seulement de la décision attaquée, mais aussi de l'ensemble des actes de procédure comprenant le dossier complet de l'autorité cantonale ou inférieure et les mémoires et pièces adressés au Tribunal fédéral dans la mesure où ils sont recevables (arrêts 5F_3/2009 du 21 octobre 2009 consid. 3.1; 1F_10/2007 du 2 octobre 2007 consid. 4.1 et les références citées). L'inadvertance doit en outre porter sur un fait susceptible d'entraîner une décision différente, plus favorable à la partie requérante (arrêts 1F_12/2009 du 23 août 2010 consid. 2; 4F_8/2007 du 26 février 2008 consid. 2.3.1; cf. ATF 122 II 17 consid. 3 p. 19; 115 II 399 consid. 2a p. 400). La révision n'entre pas en considération lorsque le juge a sciemment refusé de tenir compte d'un certain fait, parce qu'il le tenait pour non décisif; dans ce cas, le refus relève en effet du droit (arrêt 1F_16/2008 du 11 août 2008 consid. 3, in SJ 2008 I p. 465).
2.2 A l'appui de son grief, le requérant soutient que le Tribunal fédéral ne se serait, par inadvertance, pas prononcé sur la rectification d'un fait, qui serait, à ses yeux, susceptible d'apporter la preuve concrète qu'une faille dans la fiabilité du système de vote électronique genevois a été utilisée lors du scrutin du 15 mai 2011. Il allègue que «le pourcentage de "oui" du canal de vote par Internet est nettement plus élevé pour tous les objets que le pourcentage de "oui" du canal de vote par correspondance lors de ladite votation» et prétend qu'une telle différence "suspecte" permettrait d'établir un grief concret contre le dépouillement et le résultat de la votation en cause.
Dans l'arrêt du 22 décembre 2011, le Tribunal fédéral a examiné si le requérant avait formulé un grief concret contre le dépouillement et le résultat de la votation du 15 mai 2011. Ce faisant, il a énuméré les différentes critiques que l'intéressé avait formulées quant à la fiabilité du système de vote électronique genevois. Compte tenu de la longueur du recours ainsi que de son caractère confus et répétitif, il les a résumées. Il a notamment relevé que le requérant avait "invoqué des motifs découlant des données techniques et chiffrées indiquées dans l'arrêté".
La Cour de céans n'a donc pas manqué de prendre en considération le fait mis en avant par le requérant dans sa demande de révision et celui-ci ne démontre pas en quoi le Tribunal fédéral en aurait méconnu le contenu littéral en le résumant de la sorte. On ne saurait dans ces conditions reprocher à cette autorité d'avoir ignoré ce fait par inadvertance au sens de l'art. 121 let. d LTF.
Pour le reste, l'argumentation du requérant porte moins sur le contenu du fait litigieux que sur l'appréciation de celui-ci par le Tribunal fédéral, ce qui ne constitue pas un motif de révision au sens de la LTF.
3. La voie de la révision n'est pas ouverte pour remettre en cause l'appréciation au fond à laquelle s'est livrée le Tribunal fédéral lorsque celle-ci ne répond pas aux attentes du requérant. Les griefs fondés sur la violation des art. 180 et 75 de la loi genevoise sur l'exercice des droits politiques du 15 octobre 1982 (LEDP; RSG A 5 05), des art. 30 al. 1 et 34 Cst. ainsi que des art. 25 let. b et 2 al. 3 let. a du Pacte international relatif aux droits civils et politiques (Pacte ONU II; RS 0.103.2) - que fait valoir le requérant - sont donc irrecevables, faute de constituer des motifs de révision (arrêt 6F_9/2007 du 7 décembre 2007 consid. 2).
4. La demande de révision, mal fondée, est par conséquent rejetée dans la mesure de sa recevabilité, sans autre mesure d'instruction (cf. art. 127 LTF). Les frais du présent arrêt sont mis à la charge du requérant qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande de révision est rejetée, dans la mesure de sa recevabilité.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 francs, sont mis à la charge du requérant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 19 avril 2012
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Tornay Schaller