Faits:
A. La Fédération X._ (ci-après: X._) est une association de droit suisse qui a son siège à Lausanne. Elle regroupe les fédérations nationales ..., au nombre desquelles figurent les fédérations française, allemande, suisse, ukrainienne et états-unienne, intimées à la présente procédure.
F._ Inc., autre intimée, est une entité de droit américain créée afin de soutenir la campagne de R._ à l'élection présidentielle de X._ qui s'est déroulée lors de l'assemblée générale de cette association tenue le 29 septembre 2010. Le prénommé entendait prendre la place du président sortant, S._, qui se représentait pour un nouveau mandat.
B. Le 9 juillet 2010, les cinq fédérations nationales précitées et F._ Inc. (ci-après: les intimées) ont saisi le Tribunal Arbitral du Sport (TAS) d'une requête d'arbitrage dirigée contre X._. La requête visait à faire constater que les candidatures de S._ et de sa colistière n'avaient pas été présentées conformément aux prescriptions réglementaires applicables, de sorte qu'elles devaient être écartées.
A titre principal, X._ a contesté la compétence matérielle du TAS. Subsidiairement, elle a conclu au rejet de la requête sur le fond.
Une Formation de trois membres a été constituée le 3 août 2010. Les parties ont déposé un nombre considérable de documents et de pièces en peu de temps, désireuses qu'elles étaient de voir le TAS trancher le litige avant l'assemblée générale de X._.
La Formation a rendu sa sentence le 27 septembre 2010. Elle a admis sa compétence à l'égard des intimées, à l'exception de F._ Inc. (ch. 1 et 2 du dispositif), rejeté les conclusions des fédérations intimées (ch. 3 du dispositif) et décidé que les frais de l'arbitrage, à fixer ultérieurement, seraient mis pour 65% à la charge des intimées et pour 35% à celle de X._ (ch. 4 du dispositif). Sous chiffre 5 du dispositif de sa sentence, la Formation a condamné les intimées à payer une somme de 35'000 fr. à X._ à titre de contribution pour ses frais d'avocat et ses autres frais en relation avec l'arbitrage.
S'agissant des dépens, les arbitres ont considéré qu'ils étaient en mesure de trancher cette question sans devoir inviter les parties, au préalable, à déposer des écritures supplémentaires sur ce point.
C. Le 27 octobre 2010, X._ a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation du chiffre 5 du dispositif de la sentence précitée. Elle reproche au TAS d'avoir violé son droit d'être entendue, au sens de l'art. 190 al. 2 let. d LDIP, en statuant sur les frais d'avocat et autres frais encourus pour les besoins de la procédure sans jamais donner aux parties la possibilité de s'exprimer à ce sujet, au préalable, quand bien même il les avait invitées à déposer leurs observations sur ces frais et avait été requis par elles de leur accorder un délai à cette fin. Invoquant l'art. 190 al. 2 let. e LDIP, la recourante se plaint également d'une violation de l'ordre public procédural à raison des mêmes faits.
Dans leur réponse du 5 janvier 2011, les intimées ont conclu au rejet du recours. Le TAS a pris la même conclusion dans sa réponse du 14 janvier 2011 à laquelle il a joint un mémorandum établi le même jour par le président de la Formation au nom de celle-ci.
Considérant en droit:
1. D'après l'art. 54 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral rédige son arrêt dans une langue officielle, en règle générale dans la langue de la décision attaquée. Lorsque cette décision est rédigée dans une autre langue (ici l'anglais), le Tribunal fédéral utilise la langue officielle choisie par les parties. Devant le TAS, celles-ci ont utilisé l'anglais. Dans les mémoires adressés au Tribunal fédéral, elles ont employé le français. Conformément à sa pratique, le Tribunal fédéral adoptera la langue du recours et rendra, par conséquent, son arrêt en français.
2. Dans le domaine de l'arbitrage international, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions fixées par les art. 190 à 192 LDIP (art. 77 al. 1 LTF). Qu'il s'agisse de l'objet du recours, de la qualité pour recourir, du délai de recours, des conclusions prises par la recourante ou encore des motifs invoqués dans le mémoire de recours, aucune de ces conditions de recevabilité ne fait problème en l'espèce. Rien ne s'oppose donc à l'entrée en matière.
3. La Formation a fondé le chiffre 5 du dispositif de sa sentence sur l'art. R64.5 du Code de l'arbitrage en matière de sport (ci-après: le Code; texte en vigueur au 31 décembre 2009, remplacé le 1er janvier 2010 par une nouvelle version) ainsi libellé (version française):
"La sentence arbitrale détermine quelle partie supporte les frais de l'arbitrage ou dans quelle proportion les parties en partagent la charge. La sentence condamne en principe la partie qui succombe à une contribution aux frais d'avocat de l'autre partie, ainsi qu'aux frais encourus par cette dernière pour les besoins de la procédure, notamment les frais de témoins et d'interprète. Lors de la condamnation aux frais d'arbitrage et d'avocat, la Formation tient compte du résultat de la procédure, ainsi que du comportement et des ressources des parties."
Les intimées, à l'instar de la Formation qui a rendu la sentence attaquée, cherchent, pour l'essentiel, à démontrer au Tribunal fédéral que les arbitres ont fait une application correcte de la disposition réglementaire précitée en allouant la somme de 35'000 fr. à la recourante. Ce faisant, elles ne placent pas le débat sur le bon terrain.
D'une part, faut-il le rappeler, le Tribunal fédéral, lorsqu'il est saisi d'un recours en matière civile dirigé contre une sentence arbitrale internationale, ne revoit pas la manière dont le tribunal arbitral a appliqué les règles de droit entrant en ligne de compte, sinon dans le cadre fort limité des griefs fondés sur l'art. 190 al. 2 LDIP qui lui sont valablement présentés. D'autre part et surtout, étant donné la nature formelle du droit d'être entendu (ATF 133 III 235 consid. 5.3 p. 250 in fine), si elle constatait une violation de cette garantie, la Cour de céans ne pourrait qu'annuler la sentence incriminée.
4. 4.1 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par les art. 182 al. 3 et 190 al. 2 let. d LDIP, n'a en principe pas un contenu différent de celui consacré en droit constitutionnel (ATF 127 III 576 consid. 2c; 119 II 386 consid. 1b; 117 II 346 consid. 1a p. 347). Ainsi, il a été admis, dans le domaine de l'arbitrage, que chaque partie avait le droit de s'exprimer sur les faits essentiels pour le jugement, de présenter son argumentation juridique, de proposer ses moyens de preuve sur des faits pertinents et de prendre part aux séances du tribunal arbitral (ATF 127 III 576 consid. 2c; 116 II 639 consid. 4c p. 643).
S'agissant du droit de faire administrer des preuves, il faut qu'il ait été exercé en temps utile et selon les règles de forme applicables (ATF 119 II 386 consid. 1b p. 389). Le tribunal arbitral peut refuser d'administrer une preuve, sans violer le droit d'être entendu, si le moyen de preuve est inapte à fonder une conviction, si le fait à prouver est déjà établi, s'il est sans pertinence ou encore si le tribunal, en procédant à une appréciation anticipée des preuves, parvient à la conclusion que sa conviction est déjà faite et que le résultat de la mesure probatoire sollicitée ne peut plus la modifier (arrêt 4A_440/2010 du 7 janvier 2011 consid. 4.1). Le Tribunal fédéral ne peut revoir une appréciation anticipée des preuves, sauf sous l'angle extrêmement restreint de l'ordre public. Le droit d'être entendu ne permet pas d'exiger une mesure probatoire inapte à apporter la preuve (arrêt 4P.114/2003 du 14 juillet 2003 consid. 2.2).
4.2 Dans leur "Statement of claim" du 20 août 2010, les intimées ont requis expressément le TAS de les autoriser à soumettre à la Formation un résumé de leurs frais dans un délai de cinq jours après la clôture de l'audience d'instruction fixée aux 15 et 16 septembre 2010 à Lausanne (§ 276 in fine). De son côté, la recourante a demandé, dans sa réponse du 2 septembre 2010, l'autorisation de présenter un état de frais le moment venu, à un stade ultérieur de la procédure arbitrale (§ 382). Le vendredi 24 septembre 2010, le TAS, n'ayant pas reçu d'observations sur la question des frais, a spontanément relancé les parties afin qu'elles y pourvoient dans les meilleurs délais ("at their earliest convenience"). Réagissant sans tarder à cette injonction, les parties l'ont requis - les intimées le même jour, la recourante le lendemain - de se prononcer dans un premier temps sur le fond, le lundi 27 septembre 2010, et de surseoir à statuer sur les dépens en leur fixant un délai pour produire leurs états de frais respectifs (la semaine après l'élection du 29 septembre 2010 pour les intimées, le 11 octobre 2010 au plus tard pour la recourante); elles l'ont fait en motivant leur demande. Le TAS a du reste expressément pris note de celle des intimées, le 24 septembre 2010, sans autres explications et sans réserver une éventuelle décision de la Formation sur cette requête. Sur quoi, les arbitres ont rendu, le 27 septembre 2010, une sentence finale tranchant également la question des dépens. Dans les motifs de cette sentence, ils ont simplement indiqué qu'il n'était pas nécessaire pour les parties de déposer des écritures supplémentaires à cet égard, ce que le TAS a confirmé, sans commentaires, dans un fax du même jour accompagnant la notification de la sentence.
Il appert de cette relation de la dernière phase de la procédure arbitrale que la recourante se plaint à juste titre de n'avoir pu s'exprimer sur la question des frais d'avocat et autres frais encourus pour la défense de ses intérêts. Les intimées auraient aussi lieu de s'en plaindre, puisque ce sont elles qui, les premières, ont insisté pour que l'occasion leur fût donnée d'indiquer, avec preuves à l'appui, les frais qu'elles avaient exposés dans la procédure d'arbitrage; si elles ne le font pas, c'est sans doute qu'elles s'accommodent du montant de la contribution mise à leur charge au titre des dépens, qualifié par elles de "visiblement modeste" (réponse, n. 46). Toujours est-il qu'il y a là de quoi relativiser leur démarche consistant à venir au secours de la décision des arbitres de ne point entendre les parties sur le problème des dépens.
La question déterminante pour le sort du recours n'est pas de savoir si, d'une manière générale, le TAS est tenu d'inviter spécialement les parties à se déterminer sur la répartition et le montant des dépens avant de pouvoir rendre sa sentence finale. Il est peu probable qu'il le soit. Sous l'angle du droit d'être entendu, il devrait suffire, en effet, que les parties aient eu l'occasion, en cours de procédure, de développer leurs arguments et de produire leurs moyens de preuve à cet égard (factures, notes d'honoraires, états de frais, etc.), qu'elles aient fait usage ou non de cette faculté. Au demeurant, comme la Formation le souligne dans son mémorandum, il n'existe aucune disposition particulière dans le Code qui instituerait une procédure spécifique pour le dépôt de mémoires et de pièces relatifs aux dépens.
Le problème, en l'occurrence, est différent parce que la Formation a demandé de sa propre initiative aux parties de l'éclairer à ce sujet et qu'elle a été nantie de requêtes de celles-ci, sinon conjointes du moins analogues, tendant à obtenir un délai pour ce faire, sans qu'elle y donnât suite. Venir soutenir, après coup, comme le fait la Formation, que les parties ont "volontairement choisi de ne déposer aucun mémoire, alors qu'elles auraient eu la possibilité d'agir relativement rapidement..." (mémorandum, n. 23), n'est pas conforme aux règles de la bonne foi qui régissent aussi la procédure (ATF 111 II 62 consid. 3 p. 67), y compris en matière d'arbitrage international (arrêt 4P.196/2003 du 7 janvier 2004 consid. 5.2). De fait, les parties ont réagi sans délai, lorsqu'elles ont été relancées par le TAS; elles lui ont expliqué les raisons pour lesquelles il ne leur était pas possible de s'exécuter sur-le-champ et ont réclamé qu'un peu de temps leur fût accordé pour y procéder, de sorte qu'elles pouvaient s'attendre de bonne foi à ce que la Formation se prononçât sur leurs requêtes avant de statuer sur le fond. Il ne faut pas non plus perdre de vue, sur un plan plus général, que l'instance arbitrale n'avait débuté que deux mois et demi avant la date de cette relance, si bien qu'il serait irréaliste de considérer que les parties avaient disposé, dans l'intervalle, de tout le temps nécessaire à la confection d'un état de frais, eu égard aux multiples démarches accomplies par elles durant cette période. Pour le surplus, il convient de noter qu'il ne s'est pas écoulé un seul jour ouvrable entre le moment où les parties ont été enjointes de déposer leurs observations sur les dépens et ont réclamé un délai à cette fin, d'une part, et celui où la Formation a rendu sa sentence finale, d'autre part. De ce point de vue, la situation diffère ici de celle, mentionnée par les intimées, dans laquelle les arbitres renoncent, pendente lite, à une mesure procédurale prise antérieurement.
Au demeurant, les intimées dénient à tort le caractère pertinent des faits sur lesquels la recourante aurait souhaité pouvoir s'exprimer. Il s'agit, en effet, de deux éléments mentionnés expressis verbis par l'art. R64.5 du Code, à savoir, pour l'un, les "frais d'avocat de l'autre partie, ainsi [que les] frais encourus par cette dernière pour les besoins de la procédure, notamment les frais de témoins et d'interprète"; pour l'autre, les "ressources des parties". Concernant le premier élément, les intimées, à l'instar de la Formation, insistent, il est vrai, sur le fait que l'indemnité allouée en application de cette disposition ne constitue qu'une "contribution" aux dépens de l'autre partie. Cependant, il n'apparaît pas qu'une telle circonstance soit propre à ôter toute pertinence à la question de l'ampleur des frais d'avocat et autres frais de procédure; sinon, il suffirait de mettre en avant la nature simplement contributive de l'indemnité due à titre de dépens pour justifier l'allocation de la même somme à deux parties dont l'une aurait pourtant consacré dix fois plus d'argent que l'autre à la défense de ses intérêts. A cet égard et pour garantir une certaine égalité de traitement, le TAS serait bien inspiré de préciser la notion de "contribution" au sens de l'art. R64.5 du Code de manière à encadrer un tant soit peu le pouvoir discrétionnaire des arbitres en la matière. Quant au second élément, savoir si, comme la recourante le soutient, les montants dépensés par elle pour résister à l'action introduite par les intimées "grèvent son budget de façon inquiétante et lui portent un préjudice financier considérable" (recours, n. 56) n'est sans doute pas dénué de pertinence. Il n'est pas nécessaire, pour vérifier la chose, de procéder à une expertise approfondie de la situation financière de cette partie.
Enfin, les considérations émises par les intimées et par la Formation pour tenter de justifier ex post le point controversé du dispositif de la sentence attaquée ne peuvent pas être retenues pour les motifs susmentionnés (cf. consid. 3).
4.3 Force est ainsi de constater que la Formation a violé le droit d'être entendu de la recourante. Il y a lieu, partant, d'annuler le chiffre 5 du dispositif de la sentence du 27 septembre 2010.
Point n'est, dès lors, besoin d'examiner le grief tiré de la violation de l'ordre public procédural (art. 190 al. 2 let. e LDIP), ce type d'ordre public ne constituant du reste qu'une garantie subsidiaire (arrêt 4P.105/2006 du 4 août 2006 consid. 5.3 et les références).
5. Les intimées, qui succombent, seront condamnées solidairement à payer les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 et 5 LTF) et à indemniser la recourante (art. 68 al. 1, 2 et 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le chiffre 5 du dispositif de la sentence rendue le 27 septembre 2010 par le Tribunal Arbitral du Sport dans la cause précitée est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge des intimées, solidairement entre elles.
3. Les intimées sont condamnées solidairement à verser à la recourante une indemnité de 5'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport.
Lausanne, le 17 mars 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo