Erwägungen:
Das Bezirksgericht Zürich trat am 20. Januar 2011 auf eine Staatshaftungsklage von X._ nicht ein. Dessen Eingaben hierzu ans Obergericht des Kantons Zürich vom 7., 17. und 24. Februar 2011 wurden jeweilen mit der Begründung retourniert, dass diese keine Verfahren zu eröffnen oder weiterzuführen vermöchten. Eine diesbezügliche Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 2C_325/ 2011 vom 10. Juni 2011 ab, soweit es darauf eintrat, wobei es erkannte, dass die beschriebene Vorgehensweise des Obergerichts rechtmässig war.
Am 18. April 2011 ging beim Obergericht des Kantons Zürich eine vom 13. April 2011 datierte Berufungsschrift von X._ ein. Dieses trat mit Beschluss vom 28. Juni 2011 auf die Berufung gegen den bezirksgerichtlichen Nichteintretens-Beschluss vom 20. Januar 2011 wegen Verspätung nicht ein, weil mit den drei untauglichen Eingaben vom Februar 2011 die Berufungsfrist nicht gewahrt worden sei.
X._ reichte am 21. September 2011 beim Bundesgericht eine Rechtsverzögerungs-/Rechtsverweigerungsbeschwerde ein, womit er namentlich Bezug auf die erwähnten Beschlüsse des Obergerichts und des Bezirksgerichts sowie auf zwei Verfügungen der Finanzdirektion des Kantons Zürich vom 16. Juni 2010 und vom 25. Juni 2009 nahm. Der Eingabe lässt sich nicht entnehmen, inwiefern der Beschluss des Obergerichts vom 28. Juni 2011 Recht verletzen soll; diesbezüglich mangelt es an einer formgültigen Beschwerdebegründung (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). Damit aber ist auch dem Rechtsverzögerungs-/ Rechtsverweigerungsvorwurf hinsichtlich des Staatshaftungsverfahrens jegliche Grundlage entzogen. Unmittelbar gegen Entscheidungen oder Handlungen der Vorinstanzen des Obergerichts sodann kann schon angesichts von Art. 86 BGG nicht ans Bundesgericht gelangt werden. Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Da dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels nicht entsprochen werden kann (vgl. Art. 64 BGG), sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Es bleibt vorbehalten, weitere Eingaben ähnlicher Art in dieser Staatshaftungssache unbeantwortet abzulegen.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Oktober 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller