Sachverhalt:
A. Am 31. Oktober 2005 heirateten der türkische Staatsangehörige A X._ (geb. 1970) und die Schweizer Bürgerin B Y._ (geb. 1975) in der Türkei. Letztere ersuchte in der Folge in ihrem Wohnsitzkanton (Thurgau) um Erteilung einer Einreise- und Aufenthaltsbewilligung für A X._. Das Migrationsamt des Kantons Thurgau wies das Gesuch am 25. August 2006 ab. Als Begründung führte es namentlich an, A X._ und B X Y._ hätten eine Scheinehe geschlossen. Die in der Folge von den Eheleuten X Y._ bei den kantonalen Instanzen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos.
B. Mit Eingabe vom 10. März 2008 erheben B X Y._ und A X._ beim Bundesgericht Beschwerde mit dem Antrag, den in dieser Sache zuletzt ergangenen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 16. Januar 2008 aufzuheben und A X._ die Einreise sowie den Aufenthalt im Rahmen des Familiennachzugs zu bewilligen.
Das kantonale Migrationsamt, das kantonale Departement für Justiz und Sicherheit, das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde.
C. Am 31. Oktober 2008 hat die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts die Angelegenheit an einer publikumsöffentlichen Sitzung beraten (vgl. Art. 57, 58 Abs. 1 und 59 BGG).
Erwägungen:
1. Zwar ist am 1. Januar 2008 das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG, SR 142.20, AS 2007 5437) in Kraft getreten, doch bestimmt dessen Art. 126 Abs. 1, dass auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes eingereicht worden sind, noch das bisherige Recht anwendbar bleibt. Das streitige Gesuch wurde vor dem 1. Januar 2008 gestellt und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG, BS 1 121) und seinen Ausführungserlassen.
2. Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen ausgeschlossen, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht. Hier hat der Beschwerdeführer 1 als ausländischer Ehegatte der Beschwerdeführerin 2, die Schweizer Bürgerin ist, nach Art. 7 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990, AS 1991 1034 1043) grundsätzlich einen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Ob ein Grund besteht, die Bewilligung dennoch zu verweigern, betrifft nicht das Eintreten, sondern bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. BGE 126 II 265 E. 1b S. 266; 128 II 145 E. 1.1.2 S. 148 f.). Beide am vorinstanzlichen Verfahren beteiligten Beschwerdeführer sind als Betroffene gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG beschwerdeberechtigt. Demzufolge ist auf ihre form- und fristgerecht erhobene Beschwerde einzutreten.
3. 3.1 Gemäss Art. 7 Abs. 2 ANAG hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers keinen Anspruch auf Erteilung der ihm nach Abs. 1 grundsätzlich zustehenden Aufenthaltsbewilligung, wenn die Ehe eingegangen worden ist, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung von Ausländern und namentlich jene über die Begrenzung der Zahl der Ausländer zu umgehen. Erfasst wird davon die sog. Scheinehe bzw. Ausländerrechtsehe. Ein Bewilligungsanspruch entfällt demnach, wenn zum Vornherein nie der Wille bestand, eine dauerhafte Gemeinschaft zu begründen, und der einzige Zweck der Heirat darin liegt, dem Ausländer zu einer fremdenpolizeilichen Bewilligung zu verhelfen (vgl. BGE 127 II 49 E. 4a S. 55 mit Hinweisen).
3.2 Das Vorliegen einer Ausländerrechtsehe darf nicht leichthin angenommen werden (vgl. BGE 128 II 145 E. 2.2 S. 151). Es ist Sache der Fremdenpolizeibehörden, eine Scheinehe nachzuweisen. Dabei müssen die Behörden den Sachverhalt grundsätzlich von Amtes wegen untersuchen. Der Untersuchungsgrundsatz wird aber durch die Mitwirkungspflicht der Parteien relativiert. Diese kommt naturgemäss gerade für solche Tatsachen zum Tragen, die eine Partei besser kennt als die Behörden und die ohne ihre Mitwirkung gar nicht oder nicht mit vernünftigem Aufwand erhoben werden können (vgl. BGE 124 II 361 E. 2b S. 365; Urteil 2A.715/2005 vom 13. Februar 2006, E. 2.4 und 2.7.1). Das gilt umso mehr, wenn gewichtige Hinweise für eine Ausländerrechtsehe sprechen; dann kann von den Eheleuten erwartet werden, dass sie von sich aus Umstände vorbringen, die den echten Ehewillen belegen.
3.3 Ob eine Scheinehe geschlossen wurde, entzieht sich oft einem direkten Beweis und ist bloss durch Indizien zu erstellen. Feststellungen des kantonalen Richters über das Bestehen von solchen Hinweisen können äussere Gegebenheiten, aber auch innere psychische Vorgänge betreffen (Wille der Ehegatten). In beiden Fällen handelt es sich um tatsächliche Feststellungen, welche für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich sind (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.). Frei zu prüfen ist dagegen die Rechtsfrage, ob die festgestellten Tatsachen (Indizien) darauf schliessen lassen, die Berufung auf die Ehe sei rechtsmissbräuchlich oder bezwecke die Umgehung fremdenpolizeilicher Vorschriften (BGE 128 II 145 E. 2.3 S. 152 mit Hinweisen).
Für die Annahme einer Scheinehe bedarf es konkreter Hinweise darauf, dass die Ehegatten nicht eine eigentliche Lebensgemeinschaft führen wollen, sondern die Ehe nur aus fremdenpolizeilichen Überlegungen geschlossen haben. Diesbezügliche Indizien lassen sich unter anderem darin erblicken, dass dem Ausländer die Wegweisung drohte, etwa weil er ohne Heirat keine Aufenthaltsbewilligung erhalten hätte oder sie ihm nicht verlängert worden wäre. Für das Vorliegen einer Ausländerrechtsehe können sodann die Umstände und die kurze Dauer der Bekanntschaft sprechen sowie insbesondere die Tatsache, dass die Ehegatten eine Wohngemeinschaft gar nie aufgenommen haben. Dasselbe gilt, wenn für die Heirat eine Bezahlung vereinbart wurde oder wenn ein erheblicher Altersunterschied zwischen den Ehepartnern besteht. Dass die Begründung einer wirklichen Lebensgemeinschaft gewollt war, kann umgekehrt nicht schon daraus abgeleitet werden, dass die Ehegatten während einer gewissen Zeit zusammenlebten und intime Beziehungen unterhielten; ein derartiges Verhalten kann auch nur vorgespielt sein, um die Behörden zu täuschen (BGE 122 II 289 E. 2b S. 295 mit Hinweisen). Eine Scheinehe liegt demgegenüber nicht bereits dann vor, wenn ausländerrechtliche Motive für den Eheschluss mitentscheidend waren. Erforderlich ist zusätzlich, dass der Wille zur Führung einer Lebensgemeinschaft - zumindest bei einem der Ehepartner - von Anfang an nicht gegeben ist (vgl. BGE 121 II 97 E. 3b S. 101 f. mit Hinweisen).
3.4 Die Frage der Scheinehe stellt sich im Allgemeinen erst im Nachhinein, nachdem der betreffende Ausländer - mit oder ohne Bewilligung - eine Zeit lang mit seinem in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Ehepartner zusammen gelebt hat bzw. hätte zusammen leben können. Vorliegend haben die Beschwerdeführer nach der Heirat noch gar keine Gelegenheit erhalten, die Absicht der Begründung einer Lebensgemeinschaft durch Zusammenleben unter Beweis zu stellen. Dies schliesst jedoch nicht aus, dass bei entsprechender Indizienlage bereits im Zeitpunkt der erstmaligen Gesuchseinreichung auf eine Scheinehe geschlossen werden darf und die Erteilung einer fremdenpolizeilichen Nachzugsbewilligung von Anbeginn weg zu verweigern ist (Urteil 2C_750/2007 vom 8. April 2008, E. 2.2, mit Hinweis).
4. 4.1 Das angefochtene Urteil geht zutreffend von diesen rechtlichen Vorgaben aus. Als Indizien für das Vorliegen einer Scheinehe führen die kantonalen Behörden vorab die Interessenlage, das bisherige Verhalten des Ehemannes sowie die Umstände des Zustandekommens der Ehe ins Feld. Nach den grundsätzlich verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (vgl. Art. 97 und 105 BGG) ergibt sich diesbezüglich folgendes Bild:
Der Beschwerdeführer 1 reiste Ende 1997 erstmals illegal in die Schweiz ein, wobei er in der Heimat seinen Sohn (geb. 1993) und die Kindesmutter zurückliess, mit welcher er eine Ehe nach islamischen Recht (sog. Imam-Ehe) geschlossen hatte. In der Folge stellte er ein Asylgesuch, das im Dezember 1999 abgewiesen wurde. Ende Februar 2000 verliess er das Land und kehrte bereits zwei Monate später zurück, um die Schweizer Bürgerin C._ (geb. 1971) zu heiraten. Anschliessend erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau im Kanton St. Gallen. Nachdem das Kreisgericht Rorschach die Ehe mit Entscheid vom 9. Dezember 2003 getrennt hatte, lehnte das Ausländeramt des Kantons St. Gallen die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Die dagegen eingereichten Rechtsmittel blieben erfolglos. Das damals letztinstanzlich entscheidende Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen hielt in seinem Urteil vom 7. April 2005 fest, die Vorinstanzen seien zurecht davon ausgegangen, dass sich der Beschwerdeführer 1 rechtsmissbräuchlich auf eine Ehe berufe, die nur noch formell und ohne Aussicht auf Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft bestehe. Am letzten Tag der ihm gesetzten Frist (28. Juli 2005) reiste der Beschwerdeführer 1 aus der Schweiz aus. Mit Urteil vom 9. August 2005 wurde die Ehe mit C._ geschieden. Rund einen Monat, nachdem die Scheidung am 26. September 2005 rechtskräftig geworden war, heirateten die Beschwerdeführer. Vor der Ausreise des Beschwerdeführers 1 im Juli 2005 hatten beide nur kurz zusammengelebt.
Mit der Vorinstanz können die drohende Wegweisung des Beschwerdeführers 1 aus der Schweiz im Jahre 2005, die kurze Dauer des Zusammenlebens sowie die knappe Zeit zwischen Scheidung und Wiederverheiratung als objektive Indizien dafür gewertet werden, dass der Eheschluss vorab dazu diente, dem Ehegatten den Aufenthalt in der Schweiz zu ermöglichen. Für diese Annahme spricht vor allem auch der Umstand, dass der Beschwerdeführer 1 bereits früher - unter anderem durch ein vergebliches Asylgesuch - einen Aufenthaltsstatus in der Schweiz zu erlangen versucht und missbräuchlich an der gescheiterten Ehe mit C._ festgehalten hatte mit dem alleinigen Ziel, die Anwesenheit in der Schweiz fortzusetzen und in den Genuss einer Niederlassungsbewilligung zu gelangen; auf die entsprechende Schlussfolgerung im rechtskräftig gewordenen Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 7. April 2005 darf insoweit abgestellt werden.
4.2 Demzufolge bestehen gewichtige Indizien, die für den Abschluss einer Ausländerrechtsehe sprechen. Zwischen den Beschwerdeführern besteht zwar kein ins Gewicht fallender Altersunterschied (fünf Jahre). Auch gibt es keinen Anhaltspunkt, dass der Beschwerdeführerin 2 für die Heirat eine Zahlung versprochen worden wäre. Mit Blick auf die übrigen Indizien kommt es darauf jedoch nicht an.
Die Beschwerdeführer wollen bereits kurz nach der erstmaligen Einreise des Beschwerdeführers 1 in die Schweiz im Jahre 1998 über mehrere Wochen eine Beziehung unterhalten haben. Wie sich jedoch aus den Akten ergibt, sprach der Beschwerdeführer 1 damals kaum Deutsch, während die Beschwerdeführerin 2 kein Türkisch oder Kurdisch versteht, so dass sie sich nicht wirklich verständigen konnten. Trotz dieser Beziehung heiratete der Beschwerdeführer 1 in der Folge denn auch zunächst eine andere Frau, während er die Beschwerdeführerin 2 bis März 2005 völlig aus den Augen verlor. Dem Umstand, dass sie sich angeblich bereits im Jahre 1998 kennengelernt hatten, kommt somit keine wesentliche Bedeutung zu.
Sodann haben die Beschwerdeführer nichts Substantiiertes dargelegt, ob und wie sich der Ehemann vor allem seit seiner Rückkehr in die Türkei um die Pflege und Aufrechterhaltung der Beziehung gesorgt hat. Wohl reiste die Beschwerdeführerin 2 nebst der Eheschliessung im Oktober 2005 auch noch im Herbst 2006 sowie im Frühjahr 2007 jeweils für zwei Wochen in die Türkei. Auch liegen Belege vor, wonach sie von Dezember 2006 bis September 2007 mit ihrem Mobiltelefon fast täglich eine Kurzmitteilung (sog. SMS) dorthin geschickt hat. Dennoch fällt auf, dass die Beschwerdeführer als frisch verheiratetes Paar nicht versuchten, sich öfters zu sehen. Zwischen den angeblichen Flitterwochen nach der Hochzeit und dem erstmaligen Wiedersehen verging fast ein ganzes Jahr. Die Beschwerdeführerin 2 behauptet zwar, sie habe alle ihre Ferien seit der Ausreise des Beschwerdeführers 1 in der Türkei verbracht und habe dafür sehr hohe Aufwendungen gehabt. Sie hat jedoch nur dargelegt, dass sie sich in den Jahren 2005, 2006 und 2007 jeweils für zwei Wochen dort aufhielt, obwohl ihr schon von Gesetzes wegen jährlich mindestens vier Wochen Ferien zustünden (vgl. Art. 329a OR). Ausserdem ist es heute möglich, kostengünstig in die Türkei zu reisen; anschliessend hätte sie sich zum Beispiel im Haus des Beschwerdeführers 1 aufhalten können. Dadurch wäre nicht der von ihr behauptete - aber nicht belegte - Aufwand von jeweils rund Fr. 6'000.-- für Anreise und Hotel für eine Dauer von zwei Wochen angefallen. Die Beschwerdeführer haben auch nicht behauptet, sie hätten sich zusätzlich in einem Drittland gesehen. Ausser den SMS und einigen Telefonaten wurden keine weiteren Kontakte (z.B. Briefe, elektronische Nachrichten) dargetan. Schliesslich ist auch ungewöhnlich, dass die Eheschliessung nicht im Heimatort des Beschwerdeführers 1 oder in dessen Nähe stattfand, wo dieser seine Familie hat, und dass daran nur wenige Personen teilnahmen. Nachvollziehbare Gründe wurden dafür nicht genannt. Auch im Übrigen haben die Beschwerdeführer weder dargelegt noch belegt, dass die Beschwerdeführerin 2 der Familie ihres Ehemannes jemals vorgestellt worden sei.
4.3 Demnach ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz schliesst, dass zumindest beim Beschwerdeführer 1 der Wille zur Führung einer Lebensgemeinschaft von Anfang an nicht gegeben war, und deshalb eine Ausländerrechtsehe nach Art. 7 Abs. 2 ANAG annimmt. Mit Blick darauf verletzt die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung auch das nach Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV geschützte Familienleben nicht. Dem Gesagten zufolge erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist abzuweisen.
5. Diesem Ausgang entsprechend haben die Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung zu tragen (Art. 65 und 66 Abs. 1 und 5 BGG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'800.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Migrationsamt, dem Departement für Justiz und Sicherheit sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Oktober 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Merz