Sachverhalt:
A. Der aus Serbien stammende X._ (geb. 1981) reiste am 8. September 2000 mit einem Besuchervisum zu Verwandten in die Schweiz ein. Sein Asylgesuch, welches er nach Ablauf des Visums gestellt hatte, blieb erfolglos, worauf er das Land zunächst wieder verliess. Am 17. November 2001 heiratete er die Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1983). Gestützt auf diese Ehe erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung.
Seit anfangs Januar 2004 leben die Eheleute getrennt. Ihre gemeinsame Tochter Z._ kam im Juli 2004 zur Welt. Am 23. Januar 2006 wurde die Ehe - auf gemeinsames Begehren - vom Amtsgericht Luzern-Land geschieden und Z._ unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt. X._ wurde zu Unterhaltszahlungen verpflichtet und erhielt gegenüber seiner Tochter ein Besuchsrecht eingeräumt. Demgemäss ist der Vater "berechtigt und verpflichtet", seine Tochter zu folgenden Zeiten auf Besuch zu nehmen:
jedes erste und dritte Wochenende im Monat von Freitag 18.00 Uhr bis Sonntag 18.00 Uhr,
am 26. Dezember und am Ostermontag jeden Jahres von jeweils 08.00 Uhr bis 20.00 Uhr,
während zwei Wochen jeden Jahres in den Schulferien".
Diese Ausgestaltung des Besuchsrechts entsprach einer gemeinsamen Vereinbarung, welche die Eltern am 31. Oktober 2005 anlässlich einer gerichtlichen Anhörung unter Mitwirkung eines Richters ergänzt hatten.
B. Mit Verfügung vom 29. November 2006 wies das Amt für Migration des Kantons Luzern das von X._ gestellte Gesuch um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab und wies diesen weg, im Wesentlichen mit der Begründung, nach erfolgter Scheidung bestehe kein Anspruch mehr auf eine Verlängerung; ebenso wenig könne "von einer tiefen gegenseitigen Beziehung" zur Tochter die Rede sein, so dass sich auch eine Berufung auf Art. 8 EMRK als unbehelflich erweise.
C. Hiegegen erhob X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Dieses führte am 6. Dezember 2007 mit der Mutter Y._ eine Zeugeneinvernahme durch und befragte gleichentags auch den Vater zur Sache. Nachdem X._ mit Eingabe vom 11. Januar 2008 zum Beweisergebnis Stellung genommen hatte, wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde mit Urteil vom 3. März 2008 ab, soweit es darauf eintrat (Ziff. 1 des Urteilsdispositivs) und überwies die Sache "im Sinne der Erwägungen" dem kantonalen Justiz- und Sicherheitsdepartement zur weiteren Behandlung (Ziff. 2 des Urteilsdispositivs). Ziff. 1 seines Urteilsspruchs begründete das Gericht damit, dass X._ keinen Anspruch (mehr) auf eine Aufenthaltsbewilligung besitze, Ziff. 2 damit, dass trotz des Fehlens eines solchen Anspruchs eine solche Aufenthaltsbewilligung aber von den Fremdenpolizeibehörden gestützt auf das ihnen nach Art. 4 ANAG zustehende Ermessen erteilt werden könne (worüber das Departement zu befinden haben werde).
Das Verfahren beim Justiz- und Sicherheitsdepartement ist zur Zeit hängig.
D. Mit Eingabe vom 8. April 2008 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 3. März 2008 aufzuheben, ihn nicht wegzuweisen und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Das Amt für Migration des Kantons Luzern beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern stellt denselben Antrag, ebenso das Bundesamt für Migration.
Am 11. April 2008 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Das streitige Gesuch um Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung wurde vor Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) am 1. Januar 2008 eingereicht und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen (Art. 126 Abs. 1 AuG).
1.3 Gemäss Art. 4 ANAG entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Rechtsanspruch auf Erteilung oder Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts (einschliesslich Bundesverfassungsrecht) oder eines Staatsvertrages berufen (vgl. BGE 133 I 185 E. 2.3 S. 189; 130 II 281 E. 2 S. 284; 128 II 145 E. 1.1.1 S. 148, mit Hinweisen).
1.4 Der Beschwerdeführer kann sich auf keine Gesetzesbestimmung des hier anwendbaren Landesrechts berufen, die ihm einen Anspruch auf Anwesenheit bei seinem in der Schweiz ansässigen Kind vermitteln würde. Nichts anderes ergibt sich aus Art. 11 Abs. 1 BV (Schutz der Kinder und Jugendlichen [vgl. BGE 126 II 377 E. 5 S. 392]). Hingegen ging die Vorinstanz von einer gelebten Beziehung zum Kind aus ("normale Vater-Tochter-Beziehung", vgl. S. 8 des angefochtenen Entscheides). Dies reicht aus, um einen potentiellen Anwesenheitsanspruch aus Art. 8 EMRK (welcher den Schutz des Familienlebens garantiert, vgl. auch Art. 13 Abs. 1 BV) abzuleiten (BGE 120 Ib 1 E. 1 S. 3), weshalb das Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario). Frage der materiellen Beurteilung bleibt, ob die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung unter den konkreten Umständen mit Art. 8 EMRK vereinbar ist.
1.5 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt u.a. hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
1.6 Das Bundesgericht legt sodann seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Der in Art. 8 Ziff. 1 EMRK garantierte Anspruch auf Achtung des Familienlebens gilt nicht absolut. Vielmehr ist nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er gesetzlich vorgesehen ist und eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung und zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutze der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Freiheiten anderer notwendig ist. Die Konvention verlangt insofern eine Abwägung der sich gegenüberstehenden privaten Interessen an der Bewilligungserteilung und öffentlichen Interessen an der Verweigerung, wobei letztere in dem Sinne überwiegen müssen, dass sich der Eingriff als notwendig erweist (BGE 122 II 1 E. 2 S. 6, mit Hinweisen).
2.2 Der nicht sorgeberechtigte Ausländer kann die familiäre Beziehung zu seinen Kindern von Vornherein nur in einem beschränkten Rahmen, nämlich durch Ausübung des ihm eingeräumten Besuchsrechts leben. Hierzu ist nicht unabdingbar, dass er dauernd im gleichen Land wie das Kind lebt und dort über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt. Ein solches Besuchsrecht gegenüber einem in der Schweiz fest anwesenheitsberechtigten Kind verschafft dem ausländischen Elternteil daher im Allgemeinen noch keinen Anspruch auf dauernde Anwesenheit; den Anforderungen von Art. 8 EMRK ist Genüge getan, wenn das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausgeübt werden kann, wobei allenfalls dessen Modalitäten entsprechend auszugestalten sind. Ein weiter gehender Anspruch kann bestehen, wenn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zu den Kindern besteht, diese Beziehung wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht aufrecht erhalten werden könnte und das bisherige Verhalten des Ausländers in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat ("tadelloses Verhalten", "comportement irréprochable", "comportamento irreprensibile", vgl. BGE 120 Ib 1 E. 3c S. 5, 22 E. 4a/b S. 25f. sowie Urteil 2A.563/2002 vom 23. Mai 2002, E. 2.2 mit weiteren Hinweisen). Wesentlich ist dabei, ob gegen den Ausländer fremdenpolizeiliche Entfernungs- und Fernhaltegründe sprechen, insbesondere ob und inwieweit er sich massgebliches, strafrechtlich oder fremdenpolizeilich verpöntes Fehlverhalten hat zuschulden kommen lassen. Was das Erfordernis der besonderen Beziehung betrifft, kann dieses regelmässig nur dann als erfüllt betrachtet werden, wenn ein grosszügig ausgestaltetes Besuchsrecht eingeräumt ist und dieses kontinuierlich, spontan und reibungslos ausgeübt wird (Urteile 2A.77/2006 vom 15. Februar 2006, E. 2.2.1, 2A.562/2006 vom 16. Februar 2007, E. 3.4.1, je mit Hinweis). Ein Aufenthaltsrecht kann immerhin auch dem Elternteil zukommen, der sich das Besuchsrecht gegen den Widerstand des anderen erstreiten muss (Urteil 2A.428/2000 vom 9. Februar 2001).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, im Falle der Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung lasse sich die Beziehung zwischen ihm und seiner Tochter schlicht nicht mehr aufrechterhalten. Er bezahle regelmässig die Alimente und habe sich in der Schweiz zudem bisher klaglos, ja vorbildlich verhalten: Es sei unverständlich, einen Ausländer wegzuweisen, der in der Schweiz eine Tochter habe, einer regelmässigen Arbeit nachgehe, ein gutes soziales Netz aufgebaut habe, sich an die Gesetze halte, die schweizerische Kultur lebe und vom Arbeitgeber in den höchsten Tönen gelobt werde. Er nehme im Leben seiner Tochter, welche ihn mit "Papi" anspreche, die "wichtige Rolle des Vaters" ein und habe einen wesentlichen und vertieften Kontakt zu ihr aufgebaut. Es sei die Kindsmutter, welche seinen Kontakt zur Tochter behindere, erschwere und zum Teil sogar verhindere. Ihm dies vorzuwerfen, erscheine willkürlich.
3.2 Das Verwaltungsgericht stellte zunächst zutreffend fest, dass der Beschwerdeführer nie mit seiner Tochter zusammen in einem gemeinsamen Haushalt gelebt hat. Es erwog sodann, bis zur Scheidung habe es keine Vereinbarung über das Besuchsrecht gegeben. An die im Scheidungsurteil vereinbarten Besuchszeiten habe sich der Beschwerdeführer nicht gehalten und als Grund dafür u. a. seine Berufstätigkeit als Nachtportier angegeben, obwohl er diesen Beruf schon im Zeitpunkt der - unter gerichtlicher Mitwirkung entstandenen - Scheidungsvereinbarung ausgeübt habe. Ab März 2007 seien dann wieder Besuche erfolgt. Das letzte Mal habe der Beschwerdeführer seine Tochter anfangs Juni 2007 gesehen (Zeitpunkt der verwaltungsgerichtlichen Einvernahme: 6. Dezember 2007). Wohl ergebe die Zeugenbefragung, dass sich die geschiedene Ehefrau bei der Ausübung des Besuchsrechts nicht gerade kooperativ gezeigt und auch nichts unversucht gelassen habe, dem Kindsvater das Besuchsrecht zu erschweren. Allerdings habe der Beschwerdeführer nicht dargelegt und es sei auch nirgends ersichtlich, dass dieser sich um die Durchsetzung seines Besuchsrechts oder die (gerichtliche) Abänderung der Besuchszeiten und damit um eine Vertiefung der Beziehung zur Tochter intensiv gekümmert hätte. Daraus schloss das Verwaltungsgericht, unter diesen Umständen sei "jedenfalls nicht von einer aussergewöhnlich intensiven Bindung zwischen dem Beschwerdeführer und seiner Tochter auszugehen", hiefür genüge im Übrigen auch nicht, dass die Unterhaltszahlungen anstandslos geleistet würden. Insgesamt sei die Beziehung des Beschwerdeführers zu seiner Tochter in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht nicht so eng, dass sich daraus ein auf Art. 8 EMRK basierender Anspruch auf Anwesenheit in der Schweiz ergeben könnte. Zwar werde die Aufrechterhaltung dieser Beziehung durch die Distanz erschwert, nicht jedoch verunmöglicht. Es liege am Beschwerdeführer, zusammen mit seiner geschiedenen Ehefrau die Modalitäten des Besuchsrechts für die Zukunft entsprechend auszugestalten, nötigenfalls auch gerichtlich oder unter Mitwirkung der Vormundschaftsbehörden.
3.3 Die Einwendungen des Beschwerdeführers (E. 3.1) sind nicht geeignet, diese tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts als offensichtlich unrichtig und die von ihm daraus gezogenen Schlussfolgerungen als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen: Der Beschwerdeführer hat mit seiner Tochter nie in einer Familiengemeinschaft gelebt und er hat zu ihr, auch wenn er die Alimente regelmässig bezahlt, keine besonders enge Beziehung entwickelt. Das ihm nach der Scheidung eingeräumte Besuchsrecht nahm er oft nicht wahr bzw. hielt die diesbezüglichen, von ihm selbst (mit-)gestalteten Modalitäten häufig nicht ein; es ist auch nicht ersichtlich, dass und inwiefern er sich je bemüht hätte, diese Modalitäten (gerichtlich) abändern zu lassen oder zumindest die zuständigen Vormundschaftsbehörden um Vermittlung im Streit um die Ausübung des Besuchsrechts anzugehen.
Das Verwaltungsgericht hat die in der Rechtsprechung entwickelten Kriterien zu einem sich aus Art. 8 EMRK ergebenden Anwesenheitsanspruch des nicht sorgeberechtigten Ausländers vorliegend richtig dargestellt und auch richtig angewendet. Der Beschwerdeführer hat daher, obwohl er sich hier an sich bisher klaglos verhalten hat, seinen Unterhaltsverpflichtungen nachkommt und sich offenbar auch an seinem Arbeitsplatz bewährt, keinen Anspruch auf Weiterverbleib in der Schweiz. Den genannten Umständen ist vielmehr im Hinblick auf die ermessensweise Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung Rechnung zu tragen. Das Verwaltungsgericht hat die Sache denn auch - aus diesem Grunde - explizit an das hiefür als Rechtsmittelinstanz zuständige kantonale Justiz- und Sicherheitsdepartement weitergeleitet (vgl. vorne lit. C).
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (Art. 65/66 BGG). Da der angefochtene Entscheid mit der veröffentlichten Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 8 EMRK in Einklang steht, kann seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mangels Erfolgsaussicht der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Der wirtschaftlichen Lage des Beschwerdeführers wird bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und dem Departement für Justiz und Sicherheit sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Januar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein