Faits:
A. T._, domicilié en France, travaillait comme aide-soignant à l'Hôpital X._, en Suisse. A ce titre, il était obligatoirement assuré contre le risque d'accidents auprès de la compagnie d'assurances AXA Winterthur.
Le 5 août 2006, T._ a été victime d'un accident de la circulation. La voiture qu'il conduisait a été percutée à l'avant gauche puis sur le flanc latéral par un autre véhicule venant en sens inverse dont la conductrice avait perdu la maîtrise dans un tournant. A la suite de la collision, la voiture de T._ a basculé dans le fossé bordant la route et s'est immobilisée sur le toit. Le prénommé a probablement perdu connaissance un instant avant de parvenir à décrocher sa ceinture de sécurité. Deux personnes qui se trouvaient dans le voisinage l'ont aidé à ouvrir la portière. Il a immédiatement ressenti de fortes douleurs partout et une sensation de vertige. Il a été transporté à l'hôpital de Y._. Le rapport d'hospitalisation mentionne les observations suivantes : traumatisme crânien, douleurs cervicales, thoraciques et costales ainsi qu'à l'épaule gauche avec paresthésie du membre supérieur gauche; aucune lésion osseuse évidente aux radiographies et au scanner cérébral et cervical. AXA Winterthur a pris en charge le cas.
En raison de la persistance de malaises, de céphalées et de douleurs cervicales, l'assuré n'a plus été en mesure de reprendre son activité professionnelle. Du 24 au 29 novembre 2006, il a été hospitalisé pour une thrombo-phlébite de la jambe droite sans lien avec l'accident.
L'assureur-accidents a mis en oeuvre trois expertises médicales. Le docteur R._, rhumatologue, a posé le diagnostic principal de très probable syndrome post-commotionnel ou syndrome de stress post-traumatique en relation de causalité directe avec l'accident du 5 août 2006. Il a aussi fait mention de «tensions cervicales» pour lesquelles il considérait que le statu quo sine était atteint, étant donné la présence de troubles fonctionnels du rachis préexistants sous forme d'une discopathie C5-C6 modérée (rapport du 9 juillet 2007). Mandaté pour un examen psychique, le docteur S._ n'a retenu aucune atteinte à la santé de nature psychiatrique (rapport du 8 septembre 2007). Enfin, le docteur F._, neurologue, tout en reconnaissant la probabilité d'une lésion par décélération tant au niveau de la colonne cervicale que de l'encéphale (commotion cérébrale) au moment de la collision, a exprimé l'avis que la symptomatologie actuelle de l'assuré n'était qu'en lien de causalité possible avec l'accident compte tenu de la normalité de l'examen clinique et des clichés d'imagerie (l'IRM montrait une discrète discopathie en C5-C6). En particulier, la longue durée des céphalées apparemment sans changement de caractère ne cadrait pas avec l'évolution habituelle d'un syndrome post-commotionnel. Une influence de l'importante médication neuro-psychotrope prescrite à l'assuré n'était pas à exclure. Quant aux douleurs cervicales, il était difficile de leur attribuer une «réalité clinique» dans la mesure où T._ ne présentait aucun syndrome rachidien (rapport du 14 novembre 2007).
Se fondant sur ces rapports d'expertise, AXA Winterthur a mis fin à ses prestations avec effet rétroactif au 1er janvier 2008 (décision du 5 mars 2008). Saisi d'une opposition, l'assureur-accidents l'a écartée dans une nouvelle décision du 5 mai 2008.
Entre-temps, T._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans le cadre de cette demande, il a été soumis à une expertise réalisée par les docteurs O._ et U._ du Centre d'expertise médicale de Z._ (CEMed). Ces médecins n'ont mis en évidence aucune atteinte somatique d'origine post-traumatique ou maladive ayant une répercussion significative sur la capacité de travail de l'assuré (rapport du 25 avril 2008). L'Office AI pour les assurés résidant à l'étranger a rendu une décision de refus de prestations que l'intéressé a contestée. Cette procédure est toujours pendante (voir le jugement du 3 novembre 2009 du Tribunal administratif fédéral qui a renvoyé la cause à l'administration pour instruction complémentaire sur le plan médical).
B. T._ a recouru contre la décision sur opposition de AXA Winterthur devant le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales.
Après avoir recueilli les pièces du dossier AI, le tribunal cantonal a ordonné une expertise judiciaire qu'il a confiée au docteur L._, spécialiste en neurologie (rapport d'expertise du 30 août 2009). Par jugement du 16 décembre 2009, il a admis le recours et annulé la décision sur opposition du 5 mai 2008 en ce sens que l'assuré a droit, dès le 1er janvier 2008, à la poursuite du versement des indemnités journalières ainsi que de la prise en charge du traitement médical pour les lésions consécutives à l'accident. Le tribunal cantonal a également mis à la charge de AXA Winterthur un montant de 2'901 fr. 60 correspondant aux notes d'honoraires du docteur E._, qui a effectué des examens à la demande de l'expert judiciaire.
C. AXA Winterthur interjette un recours en matière de droit public ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement cantonal, dont elle requiert l'annulation. Elle invite le Tribunal fédéral à dire que l'assuré n'a pas droit à des prestations d'assurance au-delà du 31 décembre 2007 et qu'il n'appartient pas à l'assureur-accidents de prendre en charge la somme de 2'901 fr. 60; le cas échéant, à renvoyer la cause au tribunal cantonal pour instruction complémentaire.
T._ conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit de l'intimé à des prestations de l'assurance-accidents en nature (traitement médical) et en espèces (indemnités journalières) dès le 1er janvier 2008. Le Tribunal fédéral n'est donc pas lié par les faits constatés par la juridiction précédente (cf. art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF) et le recours peut porter sur toute constatation incomplète ou inexacte des faits (voir arrêt 8C_584/2009 du 2 juillet 2010 consid. 4).
2. La décision attaquée pouvant faire l'objet d'un recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF), étant d'ailleurs précisé que le droit fédéral dont la violation peut être invoquée à l'appui d'un recours en matière de droit public (art. 95 let. a LTF) comprend les droits constitutionnels (ATF 133 III 446 consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2.3 p. 466).
3. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la nécessité d'une atteinte à la santé et d'un rapport de causalité naturelle et adéquate entre celle-ci et un accident pour que l'assureur-accidents soit tenu à fournir des prestations (cf. ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b et les références p. 289). Il rappelle également la jurisprudence applicable en cas de troubles sans substrat organique associés au mécanisme du type «coup du lapin», à un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou à un traumatisme cranio-cérébral (voir ATF 134 V 109; 117 V 359). Il suffit donc d'y renvoyer.
4. Dans le cadre de sa mission d'expertise judiciaire, le docteur L._ a demandé des consultations spécialisées aux docteurs E._, anesthésiologue à la Clinique W._, et M._, orthopédiste, ainsi qu'aux docteurs A._, neuro-radiologue, et I._, oto-neurologue, tous deux praticiens au Centre hospitalier N._.
Le docteur E._ a procédé à une discographie de la colonne cervicale de l'assuré, examen qui consiste à injecter un produit de contraste sous contrôle radiographique. Les résultats de cet examen l'ont amené à poser la constatation d'une déchirure interne du disque C5-C6 associée à une instabilité segmentaire qui, selon lui, explique l'intégralité des douleurs ressenties par T._ (irradiations cervicales et maux de tête). Ce médecin a exclu dans ce contexte l'existence d'une maladie discale dégénérative. Le docteur M._, pour sa part, a fait état d'un examen clinique et radiologique compatible avec une discopathie C5-C6 et probablement une déchirure discale, cela en référence aux constatations de son confrère, le docteur E._. Il a évoqué la possibilité d'effectuer une intervention chirurgicale sur le disque C5-C6. Appelé à donner son avis et à comparer les clichés IRM de la colonne cervicale de T._ effectués en juin 2006 et août 2009, le docteur A._ a retenu la présence d'une protrusion discale diminuant le trou de conjugaison C6 à droite, possiblement en contact avec la racine C6 droite, sans autre lésion (en particulier pas d'uncarthrose). Enfin, le docteur I._ a constaté un bilan normal au plan ORL, hormis une déviation gauche de la verticale subjective compatible avec un déficit otolithique isolé. Ce déficit pouvait, selon lui, être à l'origine de la sensation de vertige et d'instabilité posturale ressentie par T._, symptomatologie encore aggravée par un trouble anxieux réactionnel.
Dans sa discussion de synthèse, le docteur L._ a rappelé que le mécanisme de l'accident n'était pas clairement établi, mais que l'assuré avait probablement subi une commotion cérébrale. L'essentiel des plaintes actuelles consistaient en des cervicalgies chroniques irradiant vers les régions temporale et frontale de la tête rebelles aux analgésiques habituels et au repos. Le status neurologique de T._ était pratiquement normal. Il persistait un discret syndrome cervical avec limitation de la rotation droite. Faisant siennes les conclusions du docteur E._, l'expert judiciaire a posé les diagnostics d'une discopathie C5-C6 avec déchirure ligamentaire et discale C5-C6, de céphalées et de cervicalgies sévères en relation avec cette atteinte cervicale, d'une modification de la personnalité dans le cadre d'un trouble douloureux chronique, d'un probable syndrome post-commotionnel, d'un déficit otolithique post-traumatique après traumatisme crânien, d'une presbyacousie accélérée avec acouphène chronique et, enfin, de séquelles d'une thrombo-phlébite au membre inférieur droit. Hormis pour ces deux dernières atteintes, le docteur L._ a retenu une relation de causalité probable entre les troubles constatées et l'accident vu la concordance temporelle entre troubles, plaintes et événement accidentel, le déroulement de la collision propre à provoquer ce type de lésion et la nature des symptômes initiaux qui évoquaient une implication cervicale. La capacité de travail était nulle et il n'y avait pas d'activité adaptée en l'état actuel de la situation. Invité à prendre position sur l'expertise du docteur F._, l'expert judiciaire a répondu que son confrère s'était prononcé sur des images radiologiques à première vue banales et qu'il ne disposait pas des résultats de la discographie, ni des nouvelles images IRM pratiquées en 2009.
5. Les premiers juges ont accordé une pleine valeur probante au rapport d'expertise du docteur L._ et n'ont vu aucune raison de s'en écarter, jugeant peu convaincante l'opinion divergente du docteur F._. Ils ont par conséquent admis que l'assuré souffrait d'une déchirure ligamentaire et discale en C5-C6 ainsi qu'un déficit otolitique en lien de causalité naturelle avec l'accident. Ces atteintes étant de nature somatique - c'est-à-dire objectivables -, la juridiction cantonale a par ailleurs considéré que la jurisprudence sur les traumatismes cervicaux sans déficit organique objectivable ne trouvait pas application en l'espèce et que le caractère adéquat du lien de causalité desdites atteintes devait en principe être reconnu. Dès lors que la lésion cervicale entraînait à elle seule, selon le docteur L._, une incapacité de travail totale dans toute activité professionnelle, c'était à tort que AXA Winterthur avait supprimé ses prestations au 31 décembre 2007.
6. En substance, AXA Winterthur reproche à la juridiction cantonale de ne pas avoir procédé à une appréciation complète, objective et équilibrée des divers rapports médicaux figurant au dossier. Elle estime qu'il subsiste pour le moins des doutes légitimes quant à la situation médicale de l'assuré tant en ce qui concerne la question du statu quo sine vel ante que de la capacité de travail au regard notamment des différences dans les diagnostics posés, de la discrépance entre les éléments cliniques objectifs et les plaintes exprimées par l'assuré, ainsi que du décours peu normal des troubles. L'avis de l'expert judiciaire apparaissait isolé parmi ceux concordants des autres experts.
7. 7.1 En principe, le juge ne s'écarte pas sans motif impérieux des conclusions d'une expertise judiciaire. Toutefois, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale (ATF 125 V 351 consid. 3b/aa p. 352 et les références citées).
7.2 On doit admettre avec la recourante que l'expertise judiciaire soulève un certain nombre de questions. Les conclusions du docteur L._ se fondent essentiellement sur les résultats de la discographie réalisée par le docteur E._ et sur l'interprétation que celui-ci en a donnée. Là où ce médecin retient une déchirure ligamentaire et dis-cale en C5-C6 post-traumatique, les docteurs R._ et F._ concluent, sur la base de l'examen IRM, à la présence d'une discopathie C5-C6 qu'ils qualifient de dégénérative et banale (voir également l'expertise du CEMed rendue dans le cadre de la procédure AI dont les conclusions rejoignent celles du docteur F._). A la connaissance du Tribunal fédéral, la technique d'imagerie par résonance magnétique (IRM) constitue une méthode scientifiquement reconnue et largement usitée pour établir un diagnostic et déterminer si celui-ci se trouve en rapport de causalité avec un événement accidentel. Il apparaît dès lors difficile de comprendre comment on peut aboutir à une telle divergence d'appréciation sur la nature - traumatique ou dégénérative - de l'atteinte cervicale constatée chez l'assuré lorsque l'évaluation procède d'un examen par discographie ou par imagerie conventionnelle. Le rapport du docteur L._ ne contient aucune explication particulière à cet sujet. Devant le caractère nouveau de l'examen pratiqué par le docteur E._ qui va à l'encontre du bilan concordant posé par les autres praticiens, la Cour de céans n'est pas en mesure de se faire une opinion sur le point de savoir si la discographie est une méthode d'examen scientifiquement éprouvée et fiable pour statuer sur la causalité. On peut également émettre des réserves sur un autre point de l'expertise judiciaire, à savoir l'appréciation de la capacité de travail de l'assuré. On peine à saisir quelles sont les raisons objectives qui conduisent le docteur L._ à faire état d'une inaptitude totale à l'exercice d'une quelconque activité professionnelle alors qu'il décrit par ailleurs un examen clinique pratiquement normal, si ce n'est la présence d'un discret syndrome cervical. En définitive, il existe sur les points déterminants du litige une contradiction trop importante entre l'expert judiciaire et les autres experts mandatés en cours de procédure administrative pour que les conclusions de l'un ou des autres puissent emporter la conviction du Tribunal fédéral. Il se justifie dans ces conditions de mettre en oeuvre une surexpertise. Cette solution s'impose d'autant plus que dans la procédure opposant T._ à l'Office AI, un complément d'instruction sur le plan médical est en cours de réalisation en raison justement des considérations émises par le docteur L._ et qu'il apparaît opportun d'en connaître les résultats avant de statuer sur le droit aux prestations de l'intimé. En ce sens, le recours se révèle bien fondé.
Le jugement attaqué doit par conséquent être annulé. La cause sera renvoyée à AXA Winterthur pour qu'elle procède à une instruction complémentaire sous la forme d'une surexpertise. Il appartiendra à l'expert de prendre position sur l'ensemble des éléments médicaux qui prêtent à discussion (notamment le diagnostic, la causalité naturelle, l'existence d'un état maladif antérieur, le retour au statu quo sine et l'incapacité de travail). Il lui sera mis à disposition le dossier médical complet de l'assuré (y compris les expertises rendues dans le cadre de la procédure AI). Après quoi l'assureur-accidents rendra une nouvelle décision.
8. En ce qui concerne les frais d'expertise mis à la charge de la recourante, il convient de rappeler la règle de la gratuité de la procédure devant le tribunal cantonal des assurances et son exception - témérité ou légèreté d'une partie au procès - prévues par le droit fédéral (art. 61 let. a LPGA). Le tribunal cantonal statuera donc à nouveau sur ce point au regard l'issue du litige en procédure fédérale.
9. L'intimé, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires et n'a pas droit à des dépens (art. 66 al. 1 LTF; art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est admis en ce sens que le jugement du 16 décembre 2009 du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales ainsi que la décision sur opposition du 5 mai 2008 de AXA Winterthur sont annulés, la cause étant renvoyée à l'assureur-accidents pour qu'il procède conformément aux considérants et rende une nouvelle décision.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales, Chambre 5, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 22 novembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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