Sachverhalt:
A. Die 1976 geborene L._ war als Key Account Manager bei der X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft AG (nachfolgend: Mobiliar) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 14. Dezember 2007 auf einer Treppe stürzte. Dabei erlitt sie gemäss den Berichten der Hausärztin vom 18. Januar und 27. Februar 2008 namentlich Kontusionen u.a. im zervikalen Bereich. Die Mobiliar gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Sie holte sodann nebst anderen Arztberichten ein medizinisches Gutachten des Dr. med. M._, Spezialarzt FMH Orthopädische Chirurgie, vom 21. April 2008 ein. Am 6. und 22. August 2008 bestätigte die Hausärztin, es bestehe seit April 2008 wieder eine volle Arbeitsfähigkeit und die ärztliche Behandlung sei abgeschlossen. Am 3. Dezember 2008 meldete L._ dem Unfallversicherer, sie sei seit 3. November 2008 wegen zervikalen Beschwerden arbeitsunfähig. Die Mobiliar teilte ihr am 24. März 2009 mit, hiebei handle es sich nicht um Folgen des Unfalls vom 14. Dezember 2007. Im Juni 2010 meldete die Arbeitslosenkasse dem Unfallversicherer einen Rückfall. Zwischenzeitlich hatte am 29. September 2009 ein operativer Eingriff wegen einer Diskopathie C5/C6 mit Diskushernie stattgefunden. Die Mobiliar holte nebst Berichten der behandelnden Ärzte ein Aktengutachten des Dr. med. G._, Facharzt für Chirurgie FMH, vom 2. November 2010 ein. Mit Verfügung vom 23. Dezember 2010 verneinte sie einen Anspruch auf erneute Leistungen mit der Begründung, am 21. April 2008 sei bezüglich Unfallfolgen der status quo sine erreicht gewesen. Die im November 2008 aufgetretenen behandlungsbedürftigen Beschwerden und die dadurch bewirkte Arbeitsunfähigkeit stünden nicht in einem natürlichen Kausalzusammenhang zum Unfall vom 14. Dezember 2007. Daran hielt die Mobiliar auf die von L._ erhobene Einsprache hin fest, wobei sie nebst der natürlichen nun auch die adäquate Unfallkausalität der ab November 2008 aufgetretenen Beschwerden verneinte (Entscheid vom 30. März 2011).
B. Beschwerdeweise beantragte L._, in Aufhebung des Einspracheentscheides sei die Mobiliar zu verpflichten, gesetzliche und vertragliche Leistungen auszurichten; eventuell sei die Sache zum neuen Entscheid an den Versicherer zurückzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hiess die Beschwerde teilweise gut und änderte den Einspracheentscheid insofern ab, dass die Leistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung erst per 22. August 2008 einzustellen seien. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 18. August 2011).
C. L._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung von Einsprache- und vorinstanzlichem Entscheid sei die Sache an die Mobiliar zurückzuweisen, damit diese über den Leistungsanspruch neu verfüge.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht werden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 136 II 304 E. 2.5 S. 314 mit Hinweisen). Dabei gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 II 396 E. 3.1 S. 399).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 14. Dezember 2007 ein Anspruch auf Leistungen für die ab November 2008 aufgetretenen Beschwerden besteht.
Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Rechtsgrundlagen für den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung und den hiefür nebst anderem erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Grundfall wie bei einem Rückfall, insbesondere auch bei Diskushernien, zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die Erwägungen über die zu beachtenden Beweisregeln. Darauf wird verwiesen.
3. Die Vorinstanz ist, namentlich gestützt auf die Gutachten des Dr. med. M._ vom 21. April 2008 und des Dr. med. G._ vom 2. November 2010, zum Ergebnis gelangt, für die Beschwerden ab November 2008 bestehe mangels natürlichem Kausalzusammenhang zum Unfall vom 14. Dezember 2007 kein Leistungsanspruch. Das gelte unabhängig davon, ob die natürliche Kausalität unter dem Gesichtswinkel einer direkten Unfallfolge oder eines Rückfalls geprüft werde. Das ab November 2008 aufgetretene Beschwerdebild, welches am 29. September 2009 eine zervikale Spondylodese C5/6 notwendig gemacht und in der Folge - aufgrund der Lockerung eines Schraubenkopfes - eine Revisionsspondylodese an derselben Stelle erfordert habe, stehe überwiegend wahrscheinlich nicht in einem natürlich kausalen Verhältnis zum Ereignis vom 14. Dezember 2007.
4. In der Beschwerde wird eingewendet, im Zusammenhang mit dem Gutachten G._ sei der Anspruch der Versicherten auf rechtliches Gehör gemäss Art. 4 BV (recte seit Inkrafttreten der totalrevidierten Bundesverfassung am 1. Januar 2000: Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt worden. Aus diesem Grund sei der angefochtene Entscheid aufzuheben. Diese Rüge ist aufgrund ihrer formellen Natur vorab zu prüfen.
4.1 Konkret wird zunächst beanstandet, dass die Mobiliar der Versicherten den Namen des Gutachters vorgängig nicht mitgeteilt habe. Die Beschwerdeführerin habe sich daher vor der Erstellung der Expertise nicht zum Gutachter äussern können.
Das kantonale Gericht hat hiezu erwogen, der Beschwerdeführerin sei durch die unterlassene Information über die Erteilung des Gutachterauftrags an Dr. med. G._ kein Nachteil erwachsen. Das zeige sich darin, dass sie im Nachhinein keine (formellen) Ausstands- oder Ablehnungsgründe geltend gemacht habe und im kantonalen Verfahren explizit festhalte, die fachliche Qualität des Experten werde nicht in Frage gestellt.
In der Beschwerde wird nichts vorbracht, was diese Beurteilung in Frage stellen könnte. Die Versicherte macht einzig geltend, das Verhältnis zwischen der Mobiliar und dem Experten, insbesondere der Umfang von dessen Gutachtertätigkeit für den Versicherer, sei nicht klar. Das kantonale Gericht hat diesbezüglich zutreffend (BGE 125 V 351 E. 3b/ee S. 353 f.; 123 V 175 E. 3d S. 176 f.; vgl. auch BGE 137 V 210 E. 1.3.1 S. 226, E. 1.3.3 S. 226 f. und E. 1.4 S. 227 f. mit Hinweisen) erwogen, dass selbst bei einem versicherungsinternen Experten nicht ohne Weiteres auf mangelnde Objektivität oder auf Voreingenommenheit zu schliessen wäre. Es bedarf hiefür vielmehr besonderer Umstände, welche das Misstrauen in die Unparteilichkeit der gutachterlichen Beurteilung objektiv als begründet erscheinen lassen. Damit hat es unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf rechtliches Gehör sein Bewenden, zumal die Versicherte auch letztinstanzlich nicht näher darlegt, welche besonderen Umstände im genannten Sinne sie denn nun gegen Dr. med. G._ hätte geltend machen wollen.
4.2 Die Beschwerdeführerin sieht eine Verletzung ihres Gehörsanspruchs sodann darin, dass sie von Dr. med. G._ nicht persönlich untersucht wurde und ihm darum auch keine Fragen habe stellen können.
Der Umstand, dass ein medizinisches Gutachten gestützt auf die Akten, ohne persönliche Untersuchung der versicherten Person durch den Experten, erstellt wird, berührt den Anspruch auf rechtliches Gehör nicht. Der Gehörsanspruch beinhaltet auch nicht die Berechtigung der versicherten Person, dem Experten in einer persönlichen Gegenüberstellung Fragen stellen zu können. Hat die versicherte Person Ergänzungsfragen, kann sie diese denn auch noch nachträglich in schriftlicher Form stellen. Dass dies der Beschwerdeführerin hier verwehrt gewesen wäre, macht sie nicht geltend. Die Rüge einer Verletzung des Gehörsanspruchs ist somit auch unter diesem Gesichtswinkel unbegründet.
5. Liegt nach dem Gesagten kein formeller Mangel vor, bleibt die materielle Begründetheit des angefochtenen Entscheides zu prüfen. Als diesbezügliche Rüge der Versicherten kann der Einwand verstanden werden, dass es sich bei der Expertise G._ um ein Aktengutachten handle.
5.1 Vorab ist festzuhalten, dass das kantonale Gericht bei seiner Beurteilung nicht nur auf das Gutachten G._, sondern namentlich auch auf die Expertise M._ vom 21. April 2008 abgestellt hat. Diese wiederum beruht u.a. auf einer persönlichen Untersuchung der Versicherten durch den begutachtenden Facharzt.
5.2 Wie die Vorinstanz sodann zutreffend dargelegt hat, kann praxisgemäss auch auf Aktengutachten abgestellt werden, wenn ein lückenloser Befund vorliegt und es im Wesentlichen nur um die ärztliche Beurteilung eines an sich feststehenden medizinischen Sachverhalts geht (vgl. SVR 2010 UV Nr. 17 S. 63, 8C_239/2008 E. 7.2; RKUV 2006 Nr. U 578 S. 170, U 245/05 E. 3.4; aus jüngerer Zeit: Urteil 8C_641/2011 vom 22. Dezember 2011 E. 3.2.2, je mit Hinweisen).
Das kantonale Gericht ist gestützt auf eine einlässliche und nachvollziehbare Würdigung der medizinischen Akten zum Ergebnis gelangt, dass die dargelegten Voraussetzungen erfüllt sind und daher auf das Aktengutachten G._ abgestellt werden kann. In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was eine andere Betrachtungsweise zu rechtfertigen vermöchte. Geltend gemacht wird, es fehle an einem klar definierten medizinischen Sachverhalt und an einem lückenlosen Untersuchungsbefund. Es wird indessen in keiner Weise dargetan und ist auch nicht ersichtlich, worin solche Unklarheiten oder Lücken bestehen sollen. Die Vorinstanz hat denn auch überzeugend dargelegt, dass sich Dr. med. G._ auf verschiedene aussagekräftige medizinische Vorberichte stützen konnte, welche ihrerseits auf eigenen Untersuchungen der Versicherten durch die Bericht erstattenden Ärzte beruhen. Dazu gehört namentlich auch das Gutachten M._ vom 21. April 2008. Die auf das Aktengutachten gerichteten Einwände sind mithin nicht geeignet, die vorinstanzliche Beurteilung in Frage zu stellen.
6. Die Beschwerdeführerin äussert sich nicht zu den weiteren vorinstanzlichen Erwägungen zu Sachverhalt und rechtlicher Würdigung. Diese geben denn auch keinen Anlass zur Beanstandung. Damit ist die Beschwerde abzuweisen.
7. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. April 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz