Sachverhalt:
A. A.a Die X._ Federation (Beschwerdeführerin) mit Sitz in D._ ist der nationale Fussballverband von E._ und gehört der Fédération Internationale de Football Association (FIFA) an.
A._ (Beschwerdegegner 1) ist ein professioneller Fussballspieler. Er ist Mitglied der Beschwerdeführerin.
Y._ (Beschwerdegegner 2) ist ein Fussballclub in E._ und gehört ebenfalls der Beschwerdeführerin an.
Der Beschwerdegegner 1 war bis zu seiner Kündigung beim Beschwerdegegner 2 als Fussballspieler tätig.
A.b Zwischen dem Beschwerdegegner 1 und dem Beschwerdegegner 2 kam es im Zusammenhang mit der Kündigung des Arbeitsverhältnisses zu einer rechtlichen Auseinandersetzung. Der Arbeitsvertrag vom 10. August 2007 enthält unter anderem folgende Schiedsklausel:
"Disputes rising from this agreement are in competency of Board of Directors of X._ Federation and Arbitration Council".
B. B.a Der Vorstand (Board of Directors) der Beschwerdeführerin sprach dem Beschwerdegegner 1 mit Entscheid vom 6. Februar 2008 ausstehenden Lohn im Betrag von YTL 93'766.-- (entsprechend ca. Fr. 65'000.--) sowie eine Entschädigung über YTL 150'000.-- (entsprechend gut Fr. 100'000.--) wegen Vertragsverletzung des Beschwerdegegners 2 zu. Beide Parteien fochten diesen Entscheid bei der Schiedskommission (Arbitration Board) der Beschwerdeführerin an.
Die Schiedskommission der Beschwerdeführerin erklärte die Kündigung des Arbeitsvertrags durch den Beschwerdegegner 1 mit Entscheid vom 10. April 2008 für gerechtfertigt und sprach ihm den Betrag von YTL 238'500.-- (entsprechend ca. Fr. 165'000.--) für ausstehende Lohnansprüche sowie eine Entschädigung wegen Vertragsverletzung von YTL 100'000.-- (entsprechend ca. Fr. 70'000.--) zu.
B.b Mit Eingabe vom 18. Juli 2008 focht der Beschwerdegegner 1 den Entscheid der Schiedskommission der Beschwerdeführerin vom 10. April 2008 beim Tribunal Arbitral du Sport (TAS) an.
Nachdem das TAS die Beschwerdeführerin zur Stellungnahme eingeladen hatte, bestritt diese mit Eingabe vom 11. August 2008 unter anderem formell die Zuständigkeit des TAS.
Der Beschwerdegegner 2 reichte am 21. August 2008 seine Antwort zur Berufung des Beschwerdegegners 1 ein und erhob ausserdem Widerklage.
Mit Schreiben vom 20. August 2008 forderte das TAS den Beschwerdegegner 1 sowie den Beschwerdegegner 2 auf, sich nach Artikel R41.3 der Procedural Rules zur Frage der Teilnahme der Beschwerdeführerin im Schiedsverfahren zu äussern und wies darauf hin, dass es bei Ausbleiben einer Stellungnahme innert der angesetzten Frist von ihrer Zustimmung zur Intervention der Beschwerdeführerin ausgehe. Eine Stellungnahme der beiden Parteien blieb in der Folge aus.
Mit Vorentscheid vom 6. Oktober 2009 bejahte das TAS seine Zuständigkeit zur Beurteilung der Rechtsstreitigkeit. Im Weiteren liess es die Beschwerdeführerin zur Teilnahme am Schiedsverfahren zu. Das TAS erwog, dass der Beschwerdegegner 1 sowie der Beschwerdegegner 2 in ihrer Berufungsschrift bzw. Berufungsantwort der Zuständigkeit des TAS zur Beurteilung ihres Rechtsstreits ausdrücklich zugestimmt hätten. Darüber hinaus habe der Beschwerdegegner 2 in seiner Berufungsanwort gar eine Widerklage erhoben. Es sei daher von einer gültigen Schiedsvereinbarung zwischen den Parteien auszugehen.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei der Vorentscheid des TAS vom 6. Oktober 2009 aufzuheben und das TAS sei anzuweisen, im Sinne der Erwägungen des Bundesgerichts neu zu entscheiden.
Der Beschwerdegegner 1 sowie das TAS schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdegegner 2 hat sich nicht vernehmen lassen.
D. Mit Verfügung vom 10. Dezember 2009 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen ist gegen Entscheide von Schiedsgerichten unter den Voraussetzungen der Art. 190-192 IPRG zulässig (Art. 77 Abs. 1 BGG).
1.1 Der Sitz des Schiedsgerichts befindet sich vorliegend in Lausanne. Keine der Parteien hatte im relevanten Zeitpunkt ihren Sitz bzw. Wohnsitz in der Schweiz. Da die Parteien die Bestimmungen des 12. Kapitels des IPRG nicht schriftlich ausgeschlossen haben, gelangen diese zur Anwendung (Art. 176 Abs. 1 und 2 IPRG).
1.2 Auf eine Beschwerde kann nur eingetreten werden, wenn der Beschwerdeführer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG; dazu BGE 133 III 421 E. 1.1 S. 425 f.). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich von Amtes wegen, ob auf eine Beschwerde eingetreten werden kann (Art. 29 Abs. 1 BGG). Immerhin ist die Beschwerde hinreichend zu begründen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), wobei der Beschwerdeführer auch darzulegen hat, dass die gesetzlichen Voraussetzungen des Beschwerderechts nach Art. 76 Abs. 1 BGG gegeben sind. Soweit diese nicht ohne weiteres ersichtlich sind, ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, anhand der Akten oder weiterer, noch beizuziehender Unterlagen nachzuforschen, ob und inwiefern die Beschwerde zulässig ist (vgl. BGE 133 II 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404; Urteil 5A_439/2009 vom 14. September 2009 E. 1.2).
1.2.1 Die Beschwerdeführerin bringt hinsichtlich ihres Beschwerderechts vor, sie habe am vorinstanzlichen Schiedsgerichtsverfahren teilgenommen und das TAS habe seine Zuständigkeit entgegen ihrer Eingabe vom 11. August 2008 bejaht. Sie habe ein "eminentes Interesse" daran, dass das TAS nicht zuständig sei und sie sei durch den positiven Zuständigkeitsentscheid des TAS beschwert. "Aufgrund ihrer Parteistellung im Schiedsgerichtsverfahren und ihres rechtlich geschützten Interesses" an dessen Aufhebung sei sie zur Beschwerde berechtigt.
Sie verweist zudem auf weitere Ausführungen in ihrer Beschwerdebegründung, in denen sie darlegt, es sei für einen nationalen Fussballverband wie die Beschwerdeführerin "von eminentem Interesse, dass Streitigkeiten auf nationaler Ebene rasch und endgültig auf nationaler Ebene gelöst werden" könnten. Andernfalls würde "die Autonomie der nationalen Verbände und der Spielbetrieb erheblich gestört". Wäre es möglich, dass auch sämtliche Fussballspieler, die in ihrem Heimatland bei einem Club spielen, bei Streitigkeiten an das TAS gelangen könnten, so würde das System zur Bewältigung nationaler Streitigkeiten nach Ansicht der Beschwerdeführerin auf den Kopf gestellt. Den Spielern und Clubs stünden mit dem Vorstand der Beschwerdeführerin sowie der unabhängigen Schiedskommission zwei nationale Instanzen zur Verfügung, die jeweils beide die Streitfälle "im Detail und sehr sorgfältig" prüften. Wenn Spieler und Clubs noch an das TAS gelangen könnten, würde das Verfahren weiter verlängert und der Streitfall bleibe weiter offen, was den Spielbetrieb belaste. Ausserdem würde damit die Autorität des nationalen Verbands untergraben.
1.2.2 Die Beschwerdeführerin zeigt mit ihren Ausführungen kein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids auf. Sie bringt selbst vor, dass ihre Schiedskommission den Rechtsstreit zwischen den Beschwerdegegnern als unabhängige Instanz beurteilte. Dabei wurde über die vermögensrechtlichen Folgen der Auflösung des Arbeitsverhältnisses zwischen dem Beschwerdegegner 1 sowie dem Beschwerdegegner 2 entschieden. Diese betreffen ausschliesslich die beiden Beschwerdegegner, indem einer dieser Parteien zugunsten der anderen eine Zahlungsverpflichtung auferlegt wird. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern die längere Ungewissheit über den Ausgang der arbeitsrechtlichen Auseinandersetzung zwischen Spieler und Club den Spielbetrieb belasten soll. Sie zeigt im Übrigen weder damit noch mit dem Vorbringen, es werde mit der Zuständigkeit des TAS die Autorität des nationalen Verbands untergraben, eine Beeinträchtigung in ihrer Rechtsstellung auf. Dies gilt auch für das Argument, die Öffnung des Beschwerdewegs an das TAS würde dieses Schiedsgericht mit Fällen überschwemmen, was nicht sinnvoll sei. Ebenso wenig beruft sich die Beschwerdeführerin darauf, dass durch den angefochtenen Entscheid Rechte ihrer Mitglieder betroffen wären und sie deren Interessen vertreten würde (vgl. Urteil 4A_207/2008 vom 23. September 2008 E. 1.2 unter Hinweis auf BGE 125 III 82 E. 1a S. 84; 121 III 168 E. 4b S. 176).
Der Beschwerdeführerin gelingt es damit nicht aufzuzeigen und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sie im zu beurteilenden Verfahren, das eine vermögensrechtliche Streitigkeit aus einem Arbeitsverhältnis zwischen einem Fussballspieler und einem Club zum Gegenstand hat, ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des Vorentscheids vom 6. Oktober 2009 haben soll, mit dem sich das TAS als zuständig erklärt hat.
2. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Dem Beschwerdegegner 2 ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da ihm aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner 1 für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Tribunal Arbitral du Sport (TAS) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann