Sachverhalt:
A. A.X._ und B.X._ sind Miteigentümer zu je 1⁄2 der Parzelle Nr. 1749 in der Sport- und Erholungszone auf dem Gebiet der Gemeinde Randa. Ab dem Jahr 2004 vermieteten sie die Liegenschaft der Y._ AG, die ihrerseits das Grundstück dem Golf Club Z._ zur Verfügung stellt. Letzterer betreibt in Randa zusammen mit der Y._ AG eine 9-Loch-Golfanlage. Nachdem die Miteigentümer nicht mehr bereit waren, den Mietvertrag zu erneuern, stellte die Y._ AG dem Staatsrat des Kantons Wallis am 14. Juli 2009 das Gesuch um Erteilung des Enteignungsrechts und der vorzeitigen Besitznahme der erwähnten Parzelle, auf welcher sich die zur Golfanlage gehörende Driving Range befindet.
B. Gegen das Gesuch erhoben A.X._ und B.X._ am 7. August 2009 Einsprache, welche der Staatsrat am 3. Februar 2010 abwies, soweit er darauf eintrat. Im selben Entscheid anerkannte der Staatsrat das öffentliche Interesse am Betrieb der Driving Range durch die Y._ AG respektive den Golf Club Z._ und erklärte sie als Werk öffentlichen Nutzens. Er erteilte der Y._ AG das Enteignungsrecht im Sinne der Einräumung eines im Grundbuch vorzumerkenden und auf 30 Jahre befristeten Mietverhältnisses mit den Grundeigentümern. In Gutheissung des Gesuchs um vorzeitige Besitznahme ermächtigte der Staatsrat die Y._ AG, das Mietverhältnis, welches für den Betrieb des Golfplatzes notwendig sei, mit vorzeitiger Besitznahme zu enteignen.
C. Dagegen gelangten die beiden Grundstückseigentümer an die öffentlich-rechtliche Abteilung des Kantonsgerichts. Dieses wies die Beschwerde am 2. September 2010 ab.
D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 6. Oktober 2010 beantragt A.X._ die Aufhebung des erwähnten Urteils und die Feststellung, dass der Y._ AG kein Enteignungsrecht an der Parzelle Nr. 1749 in Randa zustehe. Der Beschwerdeführer erachtet einen Staatsrat als befangen, macht eine Verletzung der Eigentumsgarantie geltend und stellt die gesetzliche Grundlage für die Erteilung des Enteignungsrechts an Private in Abrede.
Die Y._ AG als private Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Staatsrat des Kantons Wallis verzichtet auf eine Stellungnahme. Desgleichen sieht das Kantonsgericht von einer Vernehmlassung ab und beantragt unter Verweis auf das angefochtene Urteil, die Beschwerde abzuweisen.
Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), der sich in erster Linie auf kantonales Enteignungsrecht stützt, also eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG betrifft. Ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG liegt nicht vor. Der Beschwerdeführer als Miteigentümer des Grundstücks, für welches der Staatsrat das Enteignungsrecht erteilt hat, hat ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und ist ohne Weiteres zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist unter Vorbehalt der rechtsgenüglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG) grundsätzlich einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer macht vorab eine Verletzung von Art. 29 BV geltend, weil der Staatsrat und Departementsvorsteher Michel Cina früher in dem Anwaltsbüro tätig gewesen sei, welches für den Verwaltungsratspräsidenten der Beschwerdegegnerin gegen den Beschwerdeführer und dessen Bruder ein Verfahren um die Parzelle Nr. 1749 angestrengt habe. Die Beschwerdegegnerin habe nun die gleiche Kanzlei zur Einleitung des Enteignungsverfahrens beauftragt.
2.1 Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sind verletzt, wenn bei einem Richter - objektiv betrachtet - Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (BGE 133 I 1 E. 6.2 S. 6; 131 I 113 E. 3.4 S. 116; je mit Hinweisen). Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken (BGE 133 I 1 E. 6.2 S. 6 mit Hinweisen). Mit anderen Worten muss gewährleistet sein, dass der Prozess aus Sicht aller Beteiligten als offen erscheint.
2.2 Für nichtgerichtliche Behörden enthält Art. 29 Abs. 1 BV eine analoge Garantie. Die Rechtsprechung zur Unabhängigkeit und Unparteilichkeit von Gerichtsbehörden kann jedoch nicht ohne Weiteres auf erstinstanzliche Verwaltungsverfahren übertragen werden. Vielmehr müssen die Anforderungen an die Unparteilichkeit von Verwaltungs- und Exekutivbehörden unter Berücksichtigung ihrer gesetzlich vorgegebenen Funktion und Organisation ermittelt werden. Im verwaltungsinternen Verfahren bejaht das Bundesgericht eine Ausstandspflicht in der Regel nur dann, wenn das betreffende Behördenmitglied oder der Beamte ein persönliches Interesse an dem zu behandelnden Geschäft hat (BGE 125 I 119 E. 3f S. 124 f., 209 E. 8a S. 217 f.; Urteile 2C_8/2007 des Bundesgerichts vom 27. September 2007 E. 2.3 und 2P.56/2004 vom 4. November 2004 E. 3.3; je mit Hinweisen). Eine Ausstandspflicht hat das Bundesgericht etwa dann angenommen, wenn das betreffende Behördenmitglied gegenüber einem nachmaligen Verfahrensbeteiligten seine persönliche Geringschätzung oder Abneigung zum Ausdruck gebracht hatte. Eine Ausstandspflicht kann sich aber auch ergeben, wenn eine Behörde noch vor Kenntnisnahme aller entscheidrelevanter Umstände ihre Meinung bereits fest gebildet hat (Urteil 1C_436/2009 des Bundesgerichts vom 3. Februar 2010 E. 2.3 mit Hinweis auf das Urteil 1P.208/2001 vom 16. Juli 2001 E. 3c; zur Problematik eines als Richter amtenden Anwalts siehe etwa Urteil 1P.76/1998 des Bundesgerichts vom 17. März 1998 E. 2 mit Hinweis auf BGE 116 Ia 485 E. 3 S. 488 ff.).
2.3 Das Kantonsgericht hat auf diese Rechtsprechung Bezug genommen und mit Blick auf den konkreten Fall festgestellt, Staatsrat Michel Cina sei zwar von 1995 bis 2005 Mitglied der fraglichen Anwaltskanzlei gewesen, habe jedoch kein Mandat der Beschwerdegegnerin innegehabt. Bei dem vom Beschwerdeführer erwähnten früheren Fall sei es um die Auflösung von Miteigentum an einzelnen Parzellen und die Regelung von Gerichts- und Anwaltskosten aus früheren Verfahren gegangen, als Staatsrat Cina noch gar nicht in der erwähnten Kanzlei tätig gewesen sei. Der gerichtliche Vergleich aus dem Jahr 1995 sei im Übrigen von einem anderen Anwalt dieses Büros unterzeichnet worden. Seit seiner Wahl in den Staatsrat 2005 sei Michel Cina nicht mehr anwaltlich tätig. Die Vorinstanz gelangt insgesamt zum Schluss, es lasse sich kein persönliches Interesse des Staatsrats am Ausgang des Verfahrens erkennen, welches seinen Ausstand oder denjenigen seiner Dienststellen erfordert hätte.
2.4 Der Beschwerdeführer setzt sich mit dieser Argumentation nicht rechtsgenüglich auseinander (Art. 106 Abs. 2 BGG), sondern übt in erster Linie appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid. Seine Ausführungen im bundesgerichtlichen Verfahren liefern keine Anhaltspunkte, welche auf eine Befangenheit des Staatsrats schliessen lassen würden. Auch stellt der Umstand, dass das Departement für Volkswirtschaft, Institutionen und Sicherheit der Beschwerdegegnerin zusammen mit dem Bund im Jahr 2004 zwei Darlehen für den Betrieb eines Golfplatzes in Randa gewährt hat, für sich noch keinen Ausstandsgrund für den heutigen Departementsvorsteher dar. Die Darlegungen des Beschwerdeführers vermitteln den Eindruck, der Staatsrat sei nach wie vor in die Geschäfte der Anwaltskanzlei involviert, ohne diesen Vorhalt auch nur im Geringsten zu belegen. Soweit auf diese Rüge überhaupt einzutreten ist, ist sie abzuweisen.
3. Nach Auffassung des Beschwerdeführers geht es nicht an, dass der Kanton das Enteignungsrecht an private Dritte erteilt. Zudem stellt er das öffentliche Interessen am Golfplatz in Abrede. Insgesamt erachtet er das Vorgehen des Kantons als Verletzung der Eigentumsgarantie.
3.1 Die Erteilung des Enteignungsrechts an die Beschwerdegegnerin belegt die Parzelle Nr. 1749 des Beschwerdeführers mit einer Eigentumsbeschränkung, welche nur vor Art. 26 BV standhält, wenn sie auf einer gesetzlichen Grundlage beruht, ein öffentliches Interesse verfolgt und verhältnismässig ist.
Art. 4 des kantonalen Enteignungsgesetzes vom 8. Mai 2008 (EntG/VS; SGS/VS 710.1) legt fest, dass das Enteignungsrecht dem Kanton, den Gemeinden und übrigen Gemeinwesen und Anstalten des öffentlichen Rechts und an Personen des privaten Rechts erteilt werden kann. Nach Art. 3 Abs. 1 EntG/VS kann das Enteignungsrecht nur zur Erfüllung von Aufgaben im öffentlichen Interesse erteilt werden. Das öffentliche Interesse wird u.a. namentlich vermutet für die Verwirklichung von Werken, die einem allgemeinen Interesse wirtschaftlicher, touristischer, kultureller, sozialer oder umweltrelevanter Art entsprechen (Art. 3 Abs. 2 lit. f EntG/VS). Für die Verwirklichung der im kantonalen Tourismusgesetz vom 9. Februar 1996 (TourG/VS; SGS/VS 935.1) festgelegten Ziele von öffentlichem Nutzen können die notwendigen dinglichen Rechte auf dem Wege der Enteignung, gemäss den Bestimmungen des Enteignungsgesetzes, erworben werden (Art. 41 TourG/VS).
3.2 Das Bundesgericht hat sich im Urteil 1P.36/2001 vom 9. April 2001 bereits einmal mit einem sehr ähnlich gelagerten Fall befasst und festgestellt, dass das Enteignungsrecht für im öffentlichen Interesse liegende Werke anderer, privater Träger erteilt werden kann. Im damaligen Entscheid ging es um die Erteilung des Enteignungsrechts für ein Bau- und Überspannungsrecht zum Betrieb eines Ski-Übungslifts (siehe auch BGE 98 Ia 43 E. 4 S. 49, wo das Bundesgericht die Übertragung des Enteignungsrechts an Private für den Bau einer privaten Quartierstrasse zur zweckmässigen Erschliessung von Bauland als zulässig erachtet hatte). Nichts anderes kann hier gelten, zumal der Wortlaut von Art. 4 EntG/VS unmissverständlich ist und der Regelung in der überwiegenden Mehrheit der Kantone entspricht (siehe dazu PETER HÄNNI [unter Mitarbeit von MARKUS GREDIG und RAPHAËL MAHAIM], Planungs-, Bau- und besonderes Umweltschutzrecht, 5. Auflage, Bern 2008 S. 564 ff.).
Grundsätzlich war der Kanton demnach befugt, der Beschwerdegegnerin als privatrechtlicher Aktiengesellschaft das Enteignungsrecht zur Erfüllung einer Aufgabe im öffentlichen Interesse zu erteilen. Die Vorhalte des Beschwerdeführers, wonach es sich bei der Beschwerdegegnerin um eine ausschliesslich auf Profit ausgerichtete Aktiengesellschaft handle, welche den Golfplatz Randa gar nicht selber betreibe, sind dabei unbehelflich. Der Zweck der Beschwerdegegnerin wird im Handelsregister beschrieben mit:
"Finanzierung, Erstellung und Betrieb eines Golfplatzes. Bau einer Golfanlage und eines Clubhauses. Ein späterer Ausbau der Anlage ist beabsichtigt."
Die Vorinstanz hat detailliert und nachvollziehbar aufgezeigt, wie das interne Verhältnis zwischen der Beschwerdegegnerin und dem Golf Club Z._ geregelt ist. Auf diese Ausführungen in E. 6.3.1 des angefochtenen Urteils kann verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG), zumal sich der Beschwerdeführer in keiner Weise mit den Argumenten des Kantonsgerichts auseinandersetzt, sondern lediglich nochmals seine Sicht der Dinge darlegt.
3.3 Demnach ist die Erteilung des Enteignungsrechts an die private Beschwerdegegnerin nicht von vornherein ausgeschlossen. Die gesetzliche Grundlage dazu ist jedenfalls entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers vorhanden. Zu prüfen bleibt, ob der Betrieb des Golfplatzes im öffentlichen Interesse liegt.
3.4 Das Kantonsgericht zitiert in diesem Zusammenhang das bereits in E. 3.2 erwähnte Tourismusgesetz, welches die Förderung eines qualitativ hochstehenden Tourismus bezweckt (Art. 1 TourG/VS). Nach Art. 5 lit. b TourG/VS hat der Staat namentlich die Aufgabe, die touristische Infrastruktur und die Tourismusförderung zu unterstützen. Den Gemeinden kommen gestützt auf Art. 7 lit. b TourG/VS namentlich die Aufgaben zu, die touristische Ausstattung und die Tourismusförderung auf ihrem Gebiet zu unterstützen.
Unter Bezugnahme auf die genannten Normen und seine jüngere Rechtsprechung bejaht das Kantonsgericht zunächst das öffentliche Interesse am Golfsport. Zur Illustration dieses Interesses durfte es durchaus Bezug auf Angebote und Werbeunterlagen sowohl in gedruckter Form als auch im Internet nehmen. Es zeigt damit auf, dass die Bedeutung dieser Sportart im Walliser Tourismus in den letzten Jahren massiv zugenommen hat. Weshalb die Vorinstanz sich nicht auf diese Quellen berufen darf, legt der Beschwerdeführer nicht dar.
3.5 Hinzu kommt, dass der kantonale Richtplan 2000 dem Golfsport unter dem Sachbereich "Tourismus und Erholung" ein eigenes Koordinationsblatt D.3/2 widmet, in welchem festgehalten wird, dass Golf eine Sportart sei, deren Attraktivität ständig zunehme. Die Möglichkeiten, diesen Sport auszuüben, seien jedoch im Kanton Wallis begrenzt. Die Erstellung neuer Golfplätze würde es erlauben, diesem wachsenden Bedarf zu entsprechen und das touristische Angebot im Sommer zu verbessern. Es werden sodann die Grundsätze genannt, welche bei der Schaffung von Golfplätzen zu beachten sind. Schon der Umstand, dass dem Golfsport im Rahmen der Richtplanung derart Platz eingeräumt wurde, zeigt das öffentliche Interesse daran. Überdies liegt die fragliche Parzelle in der Zone für Sport und Erholung. Das kommunale Bau- und Zonenreglement (in der Fassung 1994 nach dem Kantonsgerichtsurteil vom 27. Mai 1994) behält diese Zone in Art. 75 Abs. 1 "der Errichtung von Freizeitanlagen, wie zum Beispiel Golf", vor. Mit dieser Zonierung wurde das öffentliche Interesse am Betrieb eines Golfplatzes geprüft und bejaht. Der Beschwerdeführer und sein Bruder haben ihre Parzelle denn auch über Jahre zu diesem Zweck vermietet. Es ist durchaus nachvollziehbar, dass in der Gemeinde Randa, welche ca. 9 km vor dem weltbekannten Touristenziel Zermatt liegt, ein öffentliches Interesse an einer Sommersportart besteht, welche die eigene Attraktivität steigert und gleichzeitig einen wichtigen Beitrag zum gesamten Tourismusangebot der Matterhornregion leisten dürfte. Bund und Kanton haben denn die Beschwerdegegnerin auch mit einem Darlehensvertrag unterstützt.
Was der Beschwerdeführer in seinen allgemeinen Bemerkungen gegen den Betrieb eines Golfplatzes vorbringt, ist weder geeignet, das öffentliche Interesse in Frage zu stellen noch eine Verfassungs- oder Bundesrechtswidrigkeit darzutun.
4. Die Beschwerde ist demnach abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Zudem hat er die private Beschwerdegegnerin angemessen für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Staatsrat des Kantons Wallis und dem Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Fonjallaz Scherrer Reber