Sachverhalt:
A. Der 1962 geborene S._ bezog ab 1. April 1999 eine einem Invaliditätsgrad von 50 % entsprechende Invalidenrente der obligatorischen Unfallversicherung. Diese Rente (nebst einer Integritätsentschädigung) war ihm mit Verfügung der SUVA vom 3. Mai 1999 für die erwerblichen Auswirkungen einer leichten Hirnfunktionsstörung, als Folge eines am 17. September 1997 erlittenen Unfalls, zugesprochen worden. Nachdem die Liechtensteinische Invalidenversicherung mit Verfügung vom 11. April 2006 und Entscheid vom 13. April 2007 einen Anspruch des S._ auf eine Invalidenrente mangels eines leistungsbegründenden Invaliditätsgrades verneint hatte, überprüfte die SUVA revisionsweise die von ihr ausgerichtete Invalidenrente. Mit Verfügung vom 21. September 2007 setzte sie diese rückwirkend ab 1. Juni 2005 nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von nurmehr 21 % herab und forderte die seit 1. Juni 2005 ausgerichteten Rentenmehrbeträge zurück. In teilweiser Gutheissung der vom Versicherten erhobenen Einsprache setzte die SUVA die Rente erst ab 1. Oktober 2007 herab, womit die verfügte Rückforderung entfiel. Im Übrigen hielt sie an der Verfügung vom 21. September 2007 fest (Einspracheentscheid vom 10. April 2008).
B. S._ erhob hiegegen Beschwerde mit dem hauptsächlichen Antrag auf Zusprechung einer UVG-Invalidenrente entsprechend einer 100%igen Invalidität. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gewährte ihm die unentgeltliche Verbeiständung und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 31. Juli 2009 ab. Es verneinte dabei auch die Voraussetzungen für die von der SUVA beantragte reformatio in peius.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben. Weiter wird beantragt, es sei für das letztinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der Befreiung von Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) zu gewähren und es seien der Instruktionsrichter und die Zusammensetzung des Gerichts unverzüglich nach deren Bestimmung bekannt zu geben.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 9. November 2009 lässt sich S._ nochmals vernehmen. Am 18. November 2009 reicht sein Rechtsvertreter eine Kostennote für das letztinstanzliche Verfahren ein.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Es darf zudem nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (Art. 107 Abs. 1 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Der Hauptantrag in der Beschwerde lautet auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides. Damit wäre dem Beschwerdeführer indessen hinsichtlich der vom kantonalen Gericht beurteilten Leistungsansprüche nicht gedient, bliebe es doch bei einer Gutheissung dieses Rechtsbegehrens beim Einspracheentscheid der SUVA vom 10. April 2008. Nur der Begründung der letztinstanzlichen Beschwerde und auch nur sinngemäss lässt sich entnehmen, dass es dem Beschwerdeführer überdies darum geht, direkt durch das Bundesgericht, allenfalls über eine Rückweisung an die Vorinstanz resp. die SUVA, höhere UVG-Leistungen und zudem eine höhere Entschädigung für den im kantonalen Verfahren als unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellten Anwalt zugesprochen zu erhalten. Damit stellen sich Fragen einerseits nach dem schutzwürdigen Interesse, welches für die Bejahung der Beschwerdelegitimation nebst anderem vorausgesetzt wird (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG), und anderseits bezüglich der gesetzlichen Formerfordernisse des Rechtsmittels (Art. 42 BGG). Diese können indessen offen bleiben, da der Beschwerde ohnehin kein Erfolg beschieden ist. Die nachfolgenden Erwägungen zeigen, dass auf sie teilweise - aus anderen Gründen - nicht eingetreten werden kann und sie im Übrigen abzuweisen ist.
3. Der Antrag, es sei unverzüglich der Instruktionsrichter und die Zusammensetzung des Gerichts bekanntzugeben, wird in keiner Weise begründet. Ihm ist schon deshalb nicht stattzugeben.
Abgesehen davon lässt sich die - mit Blick auf das Vorbringen allfälliger Ausstandsgründe interessierende - mögliche Zusammensetzung des urteilenden Spruchkörpers ohne weiteres einer allgemein zugänglichen Publikation (Staatskalender und Internet) entnehmen. Ein darüber hinaus gehender Anspruch auf vorgängige Bekanntgabe des Spruchkörpers besteht praxisgemäss nicht (BGE 114 Ia 278 E. 3c S. 280; Urteile 2C_164/2008 vom 28. Juli 2008 E. 3.1 und 1P.63/1999 vom 15. Februar 1999 E. 2, je mit Hinweisen). Es ist sodann nicht ersichtlich, inwiefern ein Anspruch auf Bekanntgabe bestehen soll, wer von den mitwirkenden Richtern als Instruktionsrichter amtet.
4. Nach der Rechtsprechung kann eine von einem kantonalen Gericht im Rahmen der unentgeltlichen Verbeiständung festgesetzte Entschädigung nur vom Rechtsvertreter selbst beim Bundesgericht angefochten werden, während die Beschwerde führende Person selber dazu nicht legitimiert ist, ebensowenig der Rechtsvertreter, welcher im Namen seines Mandanten letztinstanzlich Beschwerde führt (SVR 2008 MV Nr. 2 S. 3, M 2/06 E. 5.3.2 mit Hinweisen).
Die vorliegende Beschwerde wurde vom Rechtsvertreter im Namen des Versicherten erhoben. Soweit sie gegen die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes gerichtet ist, ist nach dem Gesagten nicht auf sie einzutreten.
5. Das kantonale Gericht hat entschieden, dass der Beschwerdeführer aus der obligatorischen Unfallversicherung keinen Anspruch auf die beantragten Kinderrenten herleiten kann. Das ist letztinstanzlich nicht umstritten und gibt keinen Anlass zu Weiterungen.
6. Der Beschwerdeführer macht letztinstanzlich erneut geltend, es sei ihm als Eingliederungsmassnahme ein Coaching zuzusprechen. Die obligatorische Unfallversicherung kennt indessen keine Leistungskategorie "Eingliederungsmassnahmen" (vgl. ALFRED MAURER, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, 2. Aufl. 1989, S. 543 FN 1408). Mit dem Hinweis, die SUVA betreibe Werbung mit derartigen Coachings und sei daher aus Gründen der Rechtsgleichheit zur Durchführung einer solchen Massnahme verpflichtet, wird ein entsprechender Leistungsanspruch nicht begründet. Gleiches gilt für das Vorbringen, von ärztlicher Seite sei ein Coaching empfohlen worden.
Geltend gemacht wird weiter, die Liechtensteinische Invalidenversicherung habe Eingliederungsmassnahmen im Sinne eines Coaching zu gewähren. Dies bildet indessen nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
7. Zu prüfen bleibt die revisionsweise Herabsetzung der Invalidenrente. Die Rechtsgrundlagen hiefür sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Hervorzuheben ist, dass die Invalidenrente bei einer erheblichen Änderung des Invaliditätsgrades von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben wird (Art. 17 Abs. 1 ATSG in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 UVG). Anlass zu einer solchen Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen (BGE 134 V 131 E. 3 S. 132 mit Hinweisen).
7.1 Als zeitlicher Ausgangspunkt für die Prüfung der Revisionsfrage wurde - in zutreffender und auch nicht umstrittener Anwendung der hiefür geltenden Grundsätze (BGE 133 V 108; vgl. auch BGE 134 V 131 E. 3 S. 132 f.) - der Erlass der rentenzusprechenden Verfügung der SUVA vom 3. Mai 1999 betrachtet.
SUVA und Vorinstanz sind zum Ergebnis gelangt, seit diesem Zeitpunkt hätten sich die tatsächlichen Verhältnisse im Sinne einer gesundheitlichen Verbesserung geändert. Darauf gestützt nahmen sie eine Invaliditätsbemessung mittels Einkommensvergleich vor, aus welchem ein rentenbestimmender Invaliditätsgrad von nurmehr 21 % resultierte.
7.2 Der Beschwerdeführer erhebt hiegegen zunächst verschiedene, insbesondere verfahrensrechtliche Beanstandungen, auf welche vorab einzugehen ist.
7.2.1 Geltend gemacht wird, SUVA und Vorinstanz hätten den Entscheid der Liechtensteinischen Invalidenversicherung übernommen, ohne dass hiefür eine Rechtsgrundlage bestehe. Wie das kantonale Gericht indessen zutreffend erwogen hat, beruht die Rentenherabsetzung durch die SUVA auf einer eigenständigen Beurteilung von Revisionsvoraussetzungen und Invaliditätsgrad. Wenn hiebei auf sachverhaltliche Abklärungsergebnisse aus dem Verfahren der Liechtensteinischen Invalidenversicherung abgestellt wurde, lässt sich dies ohne weiteres auf das Abkommen vom 8. März 1989 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein über Soziale Sicherheit (SR 0.831.109.514.1, insbes. Art. 25) stützen. Dass das kantonale Gericht nicht diese, sondern eine andere Rechtsgrundlage genannt hat, ändert nichts an der Zulässigkeit der Verwendung der Abklärungsergebnisse und rechtfertigt entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung auch nicht die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids.
7.2.2 Allfällige Verletzungen des rechtlichen Gehörs im Verfahren der SUVA wären jedenfalls höchstens geringfügiger Natur und als im kantonalen Verfahren, in welchem die Vorinstanz mit voller Überprüfungsbefugnis geurteilt hat, geheilt zu betrachten.
Dem kantonalen Gericht kann keine Gehörsverletzung angelastet werden. Unbegründet ist namentlich auch der Vorwurf, es habe keine genügende Auseinandersetzung mit den Vorbringen in den verschiedenen vorinstanzlichen Eingaben des Versicherten stattgefunden. Der angefochtene Entscheid genügt der Begründungspflicht. Die - letztinstanzlich teilweise wiederholten - Ausführungen des Beschwerdeführers vermögen im Übrigen ohnehin kein anderes Ergebnis zu rechtfertigen, wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt.
Was im Besonderen den Einwand betrifft, die Akten der Sozialversicherungsanstalt St. Gallen (SVA) seien von der SUVA nicht eingeholt und von der Vorinstanz zwar beigezogen, aber im angefochtenen Entscheid nicht behandelt worden, gilt Folgendes: Die - auch letztinstanzlich aufliegenden - Akten der SVA enthalten keine Anhaltspunkte, welche der hier zu beurteilenden Rentenrevision entgegenstünden. Anzumerken bleibt, dass die SVA mit - ebenfalls beschwerdeweise angefochtener - Verfügung vom 17. Juli 2008 einen Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Invalidenrente der schweizerischen Invalidenversicherung mangels eines anspruchsbegründenden Invaliditätsgrades verneint hat.
7.2.3 Verschiedene weitere Vorbringen des Versicherten rufen sodann nachfolgenden Klarstellungen: Ob - und bejahendenfalls in welcher Höhe - eine rentenbegründende Invalidität vorliegt, bestimmt sich nicht nach dem Grad der Arbeitsunfähigkeit im bisherigen Beruf, sondern nach den erwerblichen Auswirkungen, welche eine (im Anwendungsbereich des UVG notwendigerweise unfallkausale) gesundheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit zeitigt. Dabei sind auch zumutbare Verweisungstätigkeiten zu berücksichtigen (vgl. Art. 16 ATSG mit der dazu ergangenen Rechtsprechung). Soweit sich der Beschwerdeführer sodann zur Bedeutung von neuropsychologischen Abklärungen bei der Prüfung einer Unfallkausalität äussert, hat es mit der Feststellung sein Bewenden, dass letztere im vorliegenden Fall gar nicht streitig ist.
7.2.3 Verschiedene weitere Vorbringen des Versicherten rufen sodann nachfolgenden Klarstellungen: Ob - und bejahendenfalls in welcher Höhe - eine rentenbegründende Invalidität vorliegt, bestimmt sich nicht nach dem Grad der Arbeitsunfähigkeit im bisherigen Beruf, sondern nach den erwerblichen Auswirkungen, welche eine (im Anwendungsbereich des UVG notwendigerweise unfallkausale) gesundheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit zeitigt. Dabei sind auch zumutbare Verweisungstätigkeiten zu berücksichtigen (vgl. Art. 16 ATSG mit der dazu ergangenen Rechtsprechung). Soweit sich der Beschwerdeführer sodann zur Bedeutung von neuropsychologischen Abklärungen bei der Prüfung einer Unfallkausalität äussert, hat es mit der Feststellung sein Bewenden, dass letztere im vorliegenden Fall gar nicht streitig ist.
7.3 7.3.1 Das kantonale Gericht hat - in Bestätigung des Einspracheentscheides - erkannt, es sei eine gesundheitliche Besserung aus neurologisch/neuropsychologischer Sicht eingetreten. Es stützt sich dabei auf das von der Liechtensteinischen Invalidenversicherung eingeholte Gutachten der Neurologischen Abteilung der Klinik V._ vom 7. Januar 2005 mit Ergänzung vom 28. Februar 2005. In Würdigung der darin enthaltenen Aussagen und der verschiedenen bei den Akten befindlichen Stellungnahmen von Arbeitgebern des Beschwerdeführers ist die Vorinstanz sodann zum Ergebnis gelangt, dieser könne in einem passenden Arbeitsumfeld, wie bei der ab 1. Juni 2005 in der Firma R._ AG ausgeübten Tätigkeit eines Sachbearbeiters Quality Customer Service, zur vollen Zufriedenheit der Arbeitgeberin zu 100 % tätig sein. Demgegenüber machten sich Einschränkungen bemerkbar, wenn der Versicherte mit der Gesamtsituation überfordert sei, wie als Schichtführer in der Firma R._ AG oder in diversen Anstellungen im Treuhandbereich, zuletzt bei der Firma E._ GmbH. Eine Überforderung mit Reduktion der Konzentrationsfähigkeit resultiere teilweise auch, wenn der Versicherte selbst mit erheblichem zeitlichem Mehreinsatz die geforderten Leistungen nicht erbringen könne. Zusammenfassend schloss das kantonale Gericht, die erwähnte Tätigkeit eines Sachbearbeiters Quality Customer Service sei vollumfänglich zumutbar.
7.3.2 Diese Beurteilung beruht auf einer überzeugenden Würdigung der medizinischen und der übrigen Akten. Was der Beschwerdeführer einwendet, führt zu keinem anderen Ergebnis. Namentlich ist das Gutachten der Klinik V._ vom 7. Februar 2005 zusammen mit der Ergänzung vom 28. Februar 2005 als beweiswertige Grundlage für eine verlässliche Beurteilung der als Folge des Unfalls vom 17. September 1997 noch bestehenden gesundheitlich bedingten Beeinträchtigung zu betrachten. Es liegen keine Widersprüche in den Expertenaussagen oder zwischen diesen und den übrigen medizinischen Akten vor, welche zu einer anderen Betrachtungsweise führen könnten. Der Vorinstanz können keine Mängel bezüglich des Beweisverfahrens angelastet werden. Das gilt auch für den Verzicht auf weitere medizinische Abklärungen, welcher entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung in nicht zu beanstandender antizipierter Beweiswürdigung erfolgt ist. Wenn sodann gestützt auf die Aussage eines Berufskundefachmannes geltend gemacht wird, der Versicherte habe in den ausgeführten Erwerbstätigkeiten seit dem Unfall keine volle Leistung gezeigt, widerspricht dies mit Bezug auf die ab 1. Juni 2005 ausgeübte Arbeit den wiederholten und unmissverständlichen Angaben der Arbeitgeberin. An anderer Stelle in der Beschwerde bestätigt der Versicherte denn auch, dass es beim besagten Arbeitsplatz keine Probleme gab.
7.4 Die Vorinstanz hat sodann den von der SUVA vorgenommenen Einkommensvergleich mit dem Ergebnis eines Invaliditätsgrades von 21 % in allen Teilen bestätigt.
7.4.1 Zu prüfen ist zunächst das Einkommen, das der Versicherte ohne unfallbedingte Gesundheitsschädigung mutmasslich erzielen würde (Valideneinkommen). Die SUVA ging vom Lohn aus, den der Beschwerdeführer bei der damaligen Anstellung in der Firma N._ SA im Jahr 2001 mutmasslich erzielt hätte. Sie passte diesen Verdienst der Nominallohnentwicklung bis ins Jahr 2006 an mit dem Ergebnis eines Valideneinkommens von Fr. 86'072.-.
Der Versicherte beruft sich zunächst darauf, sein Verdienst in der Firma N._ SA wäre infolge interner Beförderungen angestiegen. Das kantonale Gericht hat diesbezüglich erwogen, dass die SUVA den als wahrscheinlich betrachteten Aufstieg zum ersten Buchhalter berücksichtigt hat und keine Anhaltspunkte für eine weitergehende Beförderung bestehen. Diese Beurteilung trifft zu. Sie wird namentlich auch gestützt durch die Angaben der damaligen Arbeitgeberin gemäss den Besprechungsprotokollen vom 15. März 1999 und 26. Juni 2001.
Weiter wird geltend gemacht, eine vor dem Unfall vom 17. September 1997 geplante und nach diesem begonnene Weiterbildung habe nach zwei Semestern unfallbedingt abgebrochen werden müssen. Dem sei in Anwendung von Art. 28 Abs. 1 UVV mit einer Erhöhung des Valideneinkommens Rechnung zu tragen. Das kantonale Gericht verneint indessen richtigerweise das Vorliegen von zuverlässigen Anhaltspunkten dafür, dass eine solche Weiterbildung bereits vor dem Unfall geplant war, wie dies Art. 28 Abs. 1 UVV voraussetzt.
Die dargelegten Einwände vermögen demnach nicht, das vom Unfallversicherer festgesetzte und von der Vorinstanz bestätigte Valideneinkommen in Frage zu stellen. Gleiches gilt für die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers. Es ist namentlich auch von weiteren Beweismassnahmen abzusehen, da sie keinen verlässlichen neuen Aufschluss erwarten lassen.
7.4.2 Zu prüfen bleibt die Festsetzung des Einkommens, welches der Versicherte trotz unfallbedingter Gesundheitsschädigung zumutbarerweise erzielen könnte (Invalideneinkommen). Dabei ist wie beim Valideneinkommen von den Verhältnissen im Jahr 2006 auszugehen.
Die SUVA hat das Invalideneinkommen gestützt auf den Lohn des Versicherten aus der Tätigkeit als Sachbearbeiter Quality Customer Service in der Firma R._ AG auf Fr. 67'860.- festgesetzt.
Der Beschwerdeführer wendet ein, die besagte Tätigkeit sei ihm subjektiv und objektiv nicht zumutbar gewesen. Inwiefern das der Fall gewesen sein soll, wird aber nicht nachvollziehbar begründet und lässt sich auch den Akten nicht entnehmen. Dass sich der Versicherte unterfordert fühlte, rechtfertigt eine solche Folgerung nicht.
Es geht entgegen dem diesbezüglichen Einwand auch nicht um die Frage eines Berufswechsels, zumal der Beschwerdeführer die besagte Tätigkeit bereits - zur vollen Zufriedenheit der Arbeitgeberin - ausgeübt hatte.
Zutreffend ist sodann, dass das besagte Arbeitsverhältnis am 31. Juli 2006 endete. Dies erfolgte aber entgegen der Darstellung des Versicherten nicht auf einseitige Veranlassung der Arbeitgeberin. Gemäss deren glaubwürdigen Angaben in verschiedenen Stellungnahmen erfolgte die Auflösung vielmehr in gegenseitigem Einvernehmen. Den Grund hiefür bildete, dass der Beschwerdeführer auf einer fortdauernden Reduktion des Arbeitspensums zwecks Aufbaus eines zweiten erwerblichen Standbeins bestanden hatte. Abgesehen davon ist eine hinsichtlich Anforderungsprofil und Verdienstmöglichkeiten vergleichbare Tätigkeit zumutbar und liesse sich auf dem ausgeglichen Arbeitsmarkt auch finden. Dass dies Eingliederungsmassnahmen bedingen würde, trifft nach Lage der Akten nicht zu. Auch ist entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung kein Mahn- und Bedenkzeitverfahren erforderlich, um ein entsprechendes Invalideneinkommen anzurechnen.
7.4.3 Nach dem Gesagten bleibt es bei einem Valideneinkommen von Fr. 86'072.- und einem Invalideneinkommen von Fr. 67'860.-. Die Gegenüberstellung der Vergleichseinkommen ergibt eine Erwerbseinbusse von Fr. 18'212.-, entsprechend einem Invaliditätsgrad von (gerundet) 21 %. Die revisionsweise Herabsetzung der Invalidenrente erfolgte demnach zu Recht.
8. Die Gerichtskosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; zum Erfordernis der Nichtaussichtslosigkeit auch bei der unentgeltlichen Verbeiständung: Urteil 8C_258/2009 vom 24. August 2009 E. 7 mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz