Faits:
A. Ressortissant togolais né en 1977, X._ est entré en Suisse en mai 2003 au bénéfice d'une autorisation de séjour pour études qui a été régulièrement renouvelée, la dernière fois jusqu'au 31 octobre 2006. D'une relation avec Y._, une Suissesse, X._ a une fille de nationalité suisse, qui est née en 2006 et qu'il a reconnue le 28 juin 2006. Il ne vit pas avec Y._ et sa fille, mais a un droit de visite sur cette dernière.
B. Le 2 mai 2006, X._ a déposé une demande d'asile que l'Office fédéral des migrations a rejetée le 19 décembre 2007, en impartissant à l'intéressé un délai échéant le 13 février 2008 pour quitter la Suisse. X._ a alors porté sa cause devant le Tribunal administratif fédéral. Celui-ci a admis le recours par arrêt du 5 février 2008 uniquement en ce qui concernait l'annulation de la décision de l'Office fédéral des migrations en matière de renvoi; il a en effet estimé que l'existence d'un droit à une autorisation de séjour sur la base de l'art. 8 CEDH ne pouvait pas être exclue.
C. Le 10 janvier 2008, X._ a demandé aux autorités cantonales fribourgeoises une autorisation de séjour au titre du regroupement familial, en invoquant la relation avec sa fille.
Le 19 février 2008, le Service de la population et des migrants du canton de Fribourg (ci-après: le Service cantonal) a fixé à l'intéressé un délai échéant le 31 mars 2008 pour quitter la Suisse. Par courrier du 14 mars 2008, il a confirmé que X._ devait attendre à l'étranger l'issue de la procédure d'autorisation de séjour qu'il avait initiée et lui a imparti un ultime délai échéant le 10 avril 2008 pour quitter le territoire suisse.
D. Par arrêt du 30 juillet 2008, la Ie Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours de X._ contre la décision du Service cantonal du 14 mars 2008. Le Tribunal cantonal a rappelé que, selon la nouvelle législation en matière de police des étrangers, le requérant doit attendre à l'étranger le résultat de la procédure qu'il a entamée afin de pouvoir séjourner en Suisse, sauf cas manifeste révélant à première vue le droit de l'intéressé à une autorisation de séjour, condition qui n'était pas remplie en l'occurrence.
E. Le 15 septembre 2008, X._ a déposé au Tribunal fédéral un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt rendu le 30 juillet 2008 par le Tribunal cantonal. Se prévalant de faits nouveaux, il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et requiert l'assistance judiciaire.
Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours. Le Service cantonal a déclaré n'avoir pas d'observations particulières à formuler.
Par ordonnance du 26 septembre 2008, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif contenue dans le recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recourant a déclaré déposer un recours constitutionnel subsidiaire; la cause relevant du droit des étrangers, partant du droit public fédéral, il convient au préalable de vérifier si le recours en matière de droit public n'est pas ouvert en l'espèce (cf. art. 113 LTF), étant précisé que l'intitulé erroné du mémoire de recours ne peut porter préjudice au recourant, pour autant que son écriture remplisse les conditions formelles de la voie de droit ouverte (ATF 133 I 300 consid. 1.2 p. 302/303, 308 consid. 4.1 p. 314).
1.2 Les décisions rendues dans des causes de droit public peuvent en principe être attaquées par la voie du recours en matière de droit public (art. 82 let. a LTF). Toutefois, un tel recours est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit (art. 83 let. c ch. 2 LTF). En l'espèce, l'arrêt attaqué confirme une décision prise dans le cadre d'une procédure d'autorisation de séjour au titre du regroupement familial par laquelle le Service cantonal a ordonné au recourant d'attendre l'issue de la procédure à l'étranger en lui fixant un délai pour quitter la Suisse. Dès lors que le recourant a une fille qui, en raison de sa nationalité, a le droit de résider durablement en Suisse, il peut à première vue faire valoir un droit au regroupement familial découlant de l'art. 8 CEDH, de sorte que l'exception prévue à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF n'est pas réalisée, étant précisé que, sous l'angle de la recevabilité, il n'y a pas lieu de se demander si ce droit est véritablement fondé. Le recours en matière de droit public est donc ouvert.
1.3 L'arrêt attaqué ne se prononce pas sur le bien-fondé de l'autorisation de séjour sollicitée par le recourant, mais uniquement sur l'obligation qui lui est imposée de se rendre à l'étranger et d'y rester jusqu'à l'issue de la procédure. La décision entreprise est donc une décision incidente rendue dans le cadre d'une procédure d'autorisation de séjour. Elle ne peut dès lors faire l'objet d'un recours que si elle satisfait aux exigences de l'art. 93 al. 1 LTF. Selon cette disposition, les décisions incidentes notifiées séparément qui ne concernent ni la compétence ni les demandes de récusation peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Il faut admettre que la confirmation de l'obligation pour le recourant de quitter la Suisse et d'attendre à l'étranger le résultat de la procédure de regroupement familial qu'il a entamée peut lui causer un préjudice irréparable de nature juridique. Celui-ci découle du fait qu'il se trouverait empêché de rester en Suisse avec sa fille qui, de par sa nationalité, est en droit d'y résider, alors que, comme on l'a vu, il peut a priori se prévaloir de l'art. 8 CEDH. La décision incidente attaquée est donc sujette à recours au Tribunal fédéral.
1.4 Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. b LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt entrepris qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), le recours, envisagé comme un recours en matière de droit public, est en principe recevable.
2. Lorsqu'il se prononce, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés par l'autorité précédente, à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 1 et 2 LTF). La décision entreprise se doit donc de contenir un état de fait complet, qui permet au Tribunal fédéral de contrôler l'application du droit. Cette obligation est exprimée à l'art. 112 al. 1 let. b LTF, qui prévoit que les décisions qui peuvent faire l'objet d'un recours devant le Tribunal fédéral doivent contenir les motifs déterminants de fait et de droit, notamment les dispositions légales appliquées. Un jugement prononcé sans que les faits nécessaires à l'application de la loi soient constatés est contraire au droit fédéral (ATF 133 IV 293 consid. 3.4.2 p. 296).
En l'espèce, l'arrêt attaqué ne contient pas d'état de fait. Les éléments factuels essentiels ne ressortent que de manière éparse des considérants. Cependant, comme on parvient finalement à reconstituer les faits pertinents, il y a lieu d'admettre que les exigences de l'art. 112 al. 1 let. b LTF sont tout juste satisfaites.
3. Selon l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Les pièces produites par le recourant devant le Tribunal fédéral, postérieures à l'arrêt attaqué et qui, contrairement à ce qu'il soutient, ne résultent pas de celui-ci, sont donc irrecevables. Au demeurant, la décision judiciaire du 6 août 2008 produite par le recourant n'a aucune valeur dans la présente procédure, car elle part de la prémisse que le recourant est en droit de séjourner en Suisse jusqu'à ce qu'il soit statué sur sa requête de regroupement familial, ce que l'arrêt attaqué lui refuse précisément.
4. 4.1 La demande de regroupement familial qui est à la base de l'affaire au fond est postérieure au 1er janvier 2008, date de l'entrée en vigueur de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20). Elle est donc régie par cette nouvelle loi (art. 126 al. 1 LEtr), à supposer que d'autres dispositions spéciales ne soient pas applicables.
4.2 Les autorités ne contestent pas le droit pour le recourant d'engager une procédure visant à l'octroi d'une autorisation de séjour en Suisse, bien que sa demande d'asile ait été rejetée définitivement. Seule la possibilité, pour l'intéressé, d'attendre en Suisse l'issue de cette procédure est litigieuse. La question ne relève donc pas de l'art. 14 al. 1 de la loi sur l'asile du 26 juin 1998 (LAsi; RS 142.31), mais de l'art. 17 LEtr.
4.3 Selon l'art. 17 LEtr, l'étranger entré légalement en Suisse pour un séjour temporaire qui dépose ultérieurement une demande d'autorisation de séjour durable doit attendre la décision à l'étranger (al. 1); il peut être autorisé à séjourner en Suisse durant la procédure si les conditions d'admission sont manifestement remplies (al. 2). Il faut en déduire que le requérant ne peut prétendre à séjourner en Suisse durant la procédure que s'il est évident qu'il possède un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour durable (cf. Marc Spescha, in Kommentar Migrationsrecht, éd. par Marc Spescha et al., Zurich 2008, p. 49 n. 2 ad art. 17 LEtr). Lorsqu'il est amené à se prononcer sur une décision refusant à l'étranger la possibilité d'attendre en Suisse l'issue de la procédure, le Tribunal fédéral ne statue donc pas sur le fond, soit sur le bien-fondé du droit à l'obtention d'une autorisation de séjour. Il vérifie seulement si c'est à juste titre que l'autorité judiciaire cantonale a considéré, compte tenu des éléments en sa possession au moment de l'arrêt attaqué, que les conditions d'admission de la demande n'étaient pas manifestement remplies au sens de l'art. 17 al. 2 LEtr. Sa décision ne préfigure en rien l'issue de la procédure d'autorisation de séjour.
5. Le recourant soutient qu'en ne l'autorisant pas à demeurer en Suisse pendant la procédure, les autorités ont violé l'art. 17 al. 2 LEtr et porté atteinte au respect de sa vie privée et familiale garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH ainsi que les art. 13 et 14 Cst.
5.1 Bien qu'il mentionne les art. 13 et 14 Cst., le recourant n'explique pas en quoi ceux-ci offriraient une protection supérieure à l'art. 8 par. 1 CEDH ni dans quelle mesure ils auraient été violés, contrairement à ce que lui impose l'art. 106 al. 2 Cst. Faute de motivation suffisante, la conformité de l'arrêt attaqué avec ces dispositions ne sera pas examinée.
5.2 Le recourant ne peut prétendre à aucun droit au regroupement familial en vertu du droit national (cf. art. 42 LEtr). Un tel droit ne peut résulter que de l'art. 8 par. 1 CEDH, disposition qui garantit la vie familiale et permet de fonder un droit à une autorisation de séjour pour autant que la relation entre l'étranger et une personne ayant le droit de résider durablement en Suisse (sur cette notion, cf. ATF 130 II 281 consid. 3.1 p. 285) soit étroite et effective (ATF 129 II 193 consid. 5.3.1 p. 211).
En l'espèce, la fille du recourant, de nationalité suisse, a le droit de résider durablement en Suisse. Or, le recourant n'a apparemment jamais vécu avec sa fille, qui n'avait même pas deux ans et demi quand l'arrêt attaqué est intervenu. De plus, le dossier contient des témoignages contradictoires au sujet des liens unissant le père à sa fille et sur l'exercice du droit de visite. Le fait que le recourant affirme qu'il s'est toujours occupé de sa fille n'est pas suffisant pour dissiper les doutes à ce sujet. Par conséquent, en l'état du dossier, les relations entre le recourant et sa fille n'apparaissent pas si étroites et effectives que l'on doive admettre que l'arrêt attaqué, qui revient à les séparer pendant la durée de la procédure, viole l'art. 8 CEDH. En l'absence de droit manifeste du recourant à une autorisation de séjour découlant du regroupement familial, on ne peut en outre reprocher à l'autorité cantonale d'avoir mal appliqué l'art. 17 al. 2 LEtr en estimant que les conditions permettant au recourant de séjourner en Suisse durant la procédure d'autorisation de séjour n'étaient pas réalisées.
Il convient de rappeler que cette appréciation juridique ne préjuge en rien du droit pour le recourant à obtenir une autorisation de séjour durable en Suisse.
6. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Comme les conclusions du recourant étaient dénuées de chance de succès, il convient de lui refuser l'assistance judiciaire (art. 64 LTF).
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires, qui seront fixés compte tenu de sa situation financière (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Service de la population et des migrants et à la Ie Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 12 décembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Merkli Dupraz