Faits:
A. I._, née en 1953, est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de La Mobilière. Victime de deux accidents de la circulation les 29 août 2001 et 31 janvier 2003, elle a souffert de cervicalgies post-traumatiques entraînant une incapacité de travail. La Mobilière a pris en charge les conséquences de ces accidents.
Elle a recueilli de nombreux renseignements médicaux. En particulier, elle a confié des expertises au docteur B._, spécialiste en médecine interne et rhumatologie (rapport du 21 février 2003) et au professeur R._, spécialiste en neurologie (rapport du 29 juillet 2003). En outre, elle a versé au dossier un rapport d'expertise du docteur B._ à l'intention de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Vaud (du 8 novembre 2004), ainsi qu'un rapport du docteur S._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (du 11 septembre 2006), adressé à la Compagnie d'assurances X._, qui assurait le risque de perte de gain en cas de maladie.
Par décision du 22 mars 2006, confirmée sur opposition le 13 décembre suivant, La Mobilière a supprimé, à partir du 1er décembre 2005, le droit de l'assurée à l'indemnité journalière, ainsi qu'à la prise en charge des frais médicaux.
B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Tribunal des assurances du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 11 juillet 2008.
C. I._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, au maintien de son droit à des prestations de l'assurance-accidents au-delà du 30 novembre 2005.
L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 13 décembre 2006, à supprimer le droit de la recourante à des prestations d'assurance à partir du 1er décembre 2005.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 177 consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
3. En l'occurrence, il n'y a pas lieu de revenir sur la constatation de la juridiction cantonale, fondée sur l'ensemble des renseignements médicaux versés au dossier, selon laquelle l'assurée ne présentait plus, après le 30 novembre 2005, un déficit de nature organique en relation avec les accidents des 29 août 2001 et 31 janvier 2003. Au demeurant, la recourante ne conteste pas ce point du jugement attaqué.
4. La juridiction cantonale a nié le droit de l'assurée à des prestations d'assurance au-delà du 30 novembre 2005, motif pris de l'absence d'un lien de causalité adéquate entre les plaintes et l'accident.
4.1 Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète la jurisprudence au sujet de la relation de causalité entre des plaintes et un traumatisme de type « coup du lapin » ou un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou encore un traumatisme cranio-cérébral, sans preuve d'un déficit organique objectivable. En particulier, il reproduit les précisions de jurisprudence apportées dans l'arrêt ATF 134 V 109. Il suffit donc de renvoyer au jugement attaqué.
4.1 Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète la jurisprudence au sujet de la relation de causalité entre des plaintes et un traumatisme de type « coup du lapin » ou un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou encore un traumatisme cranio-cérébral, sans preuve d'un déficit organique objectivable. En particulier, il reproduit les précisions de jurisprudence apportées dans l'arrêt ATF 134 V 109. Il suffit donc de renvoyer au jugement attaqué.
4.2 4.2.1 La juridiction cantonale a qualifié d'accidents de gravité moyenne les événements survenus les 29 août 2001 et 31 janvier 2003. En ce qui concerne les critères d'examen du caractère adéquat du lien de causalité, elle a considéré que seul était réalisé celui de l'importance de l'incapacité de travail en dépit des efforts reconnaissables de l'assuré, ce qui était insuffisant pour conclure à l'existence d'un tel lien avec des accidents de gravité moyenne.
4.2.2 Par un premier moyen, la recourante s'en prend à la qualification des accidents subis: si, considérés séparément, les événements des 29 août 2001 et 31 janvier 2003 sont effectivement de gravité moyenne, leur survenance à 17 mois d'intervalle fait que sa situation est plutôt celle d'une personne victime d'un accident grave. A l'appui de son point de vue, elle allègue qu'elle ressentait encore le premier choc traumatique au moment de la survenance du second accident.
Ce moyen est mal fondé. Pour classer les accidents en fonction de leur degré de gravité, il convient non pas de s'attacher à la manière dont l'assuré a ressenti et assumé le choc traumatique, mais bien plutôt de se fonder, d'un point de vue objectif, sur l'événement accidentel lui-même en examinant la manière dont il s'est déroulé (ATF 134 V 109 consid. 10.1 p. 126; 115 V 133 consid. 6 p. 139, 403 consid. 5 p. 408). Par ailleurs, en présence d'un trouble psychique apparu après deux ou plusieurs accidents, le caractère adéquat du lien de causalité doit être examiné, en principe, au regard de chaque accident en particulier. Il en va de même en cas de traumatisme de type « coup du lapin », de traumatisme analogue à la colonne cervicale ou encore de traumatisme cranio-cérébral survenus postérieurement à plusieurs accidents. Toutefois, il n'est pas totalement exclu d'examiner le caractère adéquat du lien de causalité en tenant compte du fait qu'une même partie du corps a subi des atteintes répétées, en particulier lorsque les effets des différents événements sur certaines douleurs et/ou sur la capacité de travail ne peuvent pas être distingués les uns des autres (arrêt 8C_477/2008 du 19 décembre 2008 consid. 6.1).
En l'espèce, la gravité des accidents subis par la recourante doit être définie non pas globalement mais en fonction de chaque événement particulier. On ne peut dès lors se rallier à l'argument de l'intéressée selon lequel sa situation est comparable à celle d'une personne victime d'un accident grave.
4.2.3 Par un second moyen, la recourante s'en prend au point de vue de la juridiction cantonale selon lequel le critère relatif à l'intensité des douleurs n'est pas réalisé, dans la mesure où celles-ci ne sont pas objectivables. Elle allègue des cervicalgies permanentes, irradiant dans la ceinture cervicale, des paresthésies dans tout le bras gauche, des douleurs aux omoplates et au thorax qui se prolongent dans les deux bras, ainsi qu'au niveau lombaire. Faisant valoir qu'elles l'empêchent non seulement d'exercer une activité professionnelle mais également d'accomplir ses tâches quotidiennes, l'intéressée est d'avis que ses douleurs sont considérables.
Selon les précisions de jurisprudence apportées dans l'arrêt ATF 134 V 109, l'intensité des douleurs doit être examinée au regard de leur crédibilité, ainsi que de l'empêchement qu'elles entraînent dans la vie quotidienne (ATF 134 V 109 consid. 10.2.4 p. 128). Or, en l'espèce, plusieurs médecins qui se sont prononcés sur le cas ont relevé des discordances entre les plaintes de la recourante et leurs observations. Ainsi, dans son rapport d'expertise du 21 février 2003, le docteur B._ a indiqué qu'en dépit du handicap allégué (difficultés à tourner la tête), l'assurée était capable de tourner indifféremment la tête à gauche et à droite aussi bien lorsqu'elle était couchée à plat ventre sur le lit d'examen que quand elle conversait avec l'examinateur. De même, l'expert a relevé que l'intéressée pouvait décoller sa tête du plan horizontal pendant plusieurs dizaines de secondes malgré ses cervicalgies aiguës alléguées. Il a fait état de discordances semblables dans son rapport du 8 novembre 2004, destiné aux organes de l'assurance-invalidité. De même, le docteur R._ a relevé une amplification du syndrome douloureux, ainsi qu'une attitude antalgique excessive démontrant, selon lui, l'influence de facteurs extra-traumatiques (rapport d'expertise du 29 juillet 2003). Quant à l'empêchement dans la vie quotidienne, il n'apparaît pas important si l'on considère les nombreuses activités effectuées par l'assurée dans l'exploitation agricole de son ami (voir le rapport d'expertise du docteur S._ du 11 septembre 2006), même si elles sont accomplies moins rapidement.
Cela étant, il n'y a pas de motif de s'écarter du point de vue des premiers juges, selon lequel le critère relatif à l'intensité des douleurs n'est pas réalisé en l'occurrence.
4.2.4 La juridiction cantonale a considéré que le critère concernant l'importance de l'incapacité de travail était en l'occurrence réalisé, ce que l'intimée conteste. Toutefois, il n'est pas nécessaire de trancher cette controverse car même si l'on considère ce critère comme réalisé, cela ne suffit pas pour admettre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre les troubles persistant après le 30 novembre 2005 et les accidents de gravité moyenne des 29 août 2001 et 31 janvier 2003. L'intimée était ainsi fondée, par sa décision sur opposition du 13 décembre 2006, à supprimer le droit de la recourante à des prestations d'assurance à partir du 1er décembre 2005. Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
5. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ailleurs, contrairement à ses conclusions, l'intimée, en sa qualité d'institution chargée de tâches de droit public, ne saurait prétendre de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, d'un montant de 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 28 avril 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd