Erwägungen:
1. X._, 1973 geborener Staatsangehöriger von Kosovo, heiratete 2000 in seiner Heimat eine Landsfrau, die in der Schweiz über die Niederlassungsbewilligung verfügte. Er erhielt am 22. November 2000 eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau. Die Bewilligung wurde zuletzt bis zum 30. April 2010 verlängert. Das Ehepaar hat vier in der Schweiz geborene Kinder (geb. 2002, 2005, 2008 und 2010). Der Saldo der von der Familie bezogenen Sozialhilfe belief sich bis Mitte 2010 auf Fr. 139'070.05 und der Saldo der Elternschaftsbeihilfe auf Fr. 38'933.25. Bis zum gleichen Zeitpunkt hatte X._ Schulden in der Höhe von Fr. 90'000.-- angehäuft. Nachdem er verschiedene Bussen wegen SVG-Widerhandlungen erwirkt hatte, wurde X._ am 4. Februar 2010 wegen mehrfacher Gefährdung des Lebens sowie fahrlässiger Körperverletzung zu einer Freiheitsstrafe von 24 Monaten verurteilt; er hatte mit stark überhöhter Geschwindigkeit ein äusserst waghalsiges Überholmanöver unternommen.
Mit Verfügung vom 8. Oktober 2010 lehnte das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau das Gesuch von X._ um Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ab; zugleich ordnete es seine Wegweisung an. Die gegen diese Verfügung erhobene Einsprache blieb erfolglos. Mit Urteil vom 24. Juli 2012 wies das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde ab.
Mit Schreiben vom 13. September 2012 beschwert sich X._ über das Urteil des Rekursgerichts; er ersucht das Bundesgericht um Verlängerung seines Ausweises.
Am 28. September 2012 hat der Beschwerdeführer der Aufforderung, den angefochtenen Entscheid nachzureichen, fristgerecht Folge geleistet. Andere Instruktionsmassnahmen sind nicht angeordnet worden.
2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Beschwerde führende Partei hat sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen auseinanderzusetzen.
Das Rekursgericht hat sich mit den einschlägigen Rechtsnormen (namentlich Art. 43 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 61 Abs. 1 lit. c, Art. 62 lit. b und Art. 96 AuG; Art. 8 EMRK und Art. 13 BV) generell sowie mit deren Anwendung im konkreten Fall befasst, wobei es, ausgehend von der Straffälligkeit des Beschwerdeführers, dessen finanziellen Situation und unter Berücksichtigung des als mangelhaft eingeschätzten Integrationsgrads sowie der Auswirkungen der Massnahme auf das familiäre Umfeld, die Bewilligungsverweigerung für verhältnismässig erachtet hat. Der Beschwerdeführer begnügt sich damit zu betonen, dass der angefochtene Entscheid ihn bzw. seine Familie hart treffe und dass er wieder arbeiten und wiedergutmachen wolle. Dies reicht offensichtlich nicht um aufzuzeigen, dass bzw. inwiefern das Rekursgericht rechtsverletzend entschieden habe.
Auf die Beschwerde, die offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Dem Begehren um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Oktober 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller