Faits:
A. Le 15 octobre 2004, le Ministère public de la Confédération a ouvert une enquête pénale à l'encontre de A._, de B._ et de X._ pour blanchiment d'argent. Dans ce cadre, des séquestres ont été ordonnés les 24 février, 6 et 9 juin 2005 sur les valeurs patrimoniales déposées sur trois comptes bancaires ouverts auprès de la Banque C._ - dont le titulaire est X._ -, sur un appartement en propriété par étage sur la commune de D._ et sur des actions de la société E._ SA, appartenant également au prénommé.
Par ordonnance du 22 avril 2010, le Ministère public de la Confédération a clos la procédure pénale ouverte contre X._ pour blanchiment d'argent au bénéfice d'un non-lieu pour cause de prescription de l'action pénale. Il a maintenu les séquestres précités et précisé qu'il appartenait au Tribunal pénal fédéral de statuer sur la confiscation des biens séquestrés dans le cadre de la procédure à l'encontre de A._, X._ devant être considéré comme tiers saisi.
La Ire Cour des plaintes du Tribunal pénal fédéral a confirmé cette ordonnance par un arrêt du 18 mai 2010 et a transmis à la Cour des affaires pénales du Tribunal pénal fédéral (ci-après: la Cour des affaires pénales) la compétence de statuer sur la demande de levée des séquestres. Le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours déposé contre cette décision, par arrêts 6B_531/2010 du 23 juin 2010 et 1B_197/2010 du 24 juin 2010.
B. Le 28 mai 2010, X._ a demandé à la Cour des affaires pénales de suspendre la procédure de plainte afin qu'il puisse adresser au procureur fédéral une requête comportant l'ensemble des prétentions qu'il entend faire valoir contre la Confédération en réparation du préjudice résultant de sa détention préventive et d'autres actes d'instruction, conformément à l'art. 122 al. 1 de la loi fédérale sur la procédure pénale du 15 juin 1934 (PPF; RS 312.0). Par décision présidentielle du 16 juin 2010, la Cour des affaires pénales a rejeté la demande de suspension de la procédure de plainte et celle de levée des séquestres.
C. Agissant par la voie du recours en matière pénale, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler la décision présidentielle de la Cour des affaires pénales et de lever immédiatement les séquestres. Il se plaint notamment de violations de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), de la présomption d'innocence (art. 32 al.1 Cst.) et de la garantie de la propriété (art. 26 Cst.).
La Cour des affaires pénales se réfère intégralement à son arrêt. Le Ministère public de la Confédération conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière pénale, au sens de l'art. 78 al. 1 LTF, est ouvert contre une décision prise par le Tribunal pénal fédéral (art. 80 al. 1 LTF) portant, comme en l'espèce, sur le maintien d'un séquestre en vue de confiscation (art. 79 in fine LTF). Le recours est formé, dans le délai prévu à l'art. 100 al. 1 LTF, par le tiers saisi qui dispose d'un intérêt juridique (art. 81 al. 1 let. a et b LTF).
La décision par laquelle le juge prononce, maintient ou refuse un séquestre pénal constitue une décision incidente, qui ne met pas fin à la procédure (ATF 128 I 129 consid. 1 p. 131; 126 I 97 consid. 1b p. 100 et les références). Conformément à l'art. 93 al. 1 let. a LTF, une telle décision ne peut faire l'objet d'un recours devant le Tribunal fédéral que si elle peut causer un préjudice irréparable. Selon la jurisprudence, le séquestre probatoire ou conservatoire de valeurs patrimoniales cause un dommage irréparable, dans la mesure où le détenteur se trouve privé temporairement de la libre disposition des valeurs saisies (ATF 89 I 185 consid. 4 p. 187; cf. aussi ATF 126 I 97 consid. 1b p. 101; 118 II 369 consid. 1 p. 371; 108 II 69 consid. 1 p. 71, et les arrêts cités). Le recours est par conséquent recevable sous l'angle de l'art. 93 let. a LTF (ATF 133 IV 139 consid. 4 p. 141).
2. Le recourant ne conteste pas le refus de suspendre la procédure de plainte, mais uniquement le rejet de la demande de levée des séquestres. Sur ce point, il reproche à la Cour des affaires pénales d'avoir violé le principe de la présomption d'innocence, en considérant comme vraisemblable que les biens séquestrés proviennent du produit d'une infraction pénale. A cet égard, il invoque également l'art. 29 al. 2 Cst., faisant valoir que cette question a été insuffisamment motivée dans la décision attaquée.
2.1 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et exercer son droit de recours à bon escient. Pour répondre à ces exigences, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88 et les arrêts cités).
2.2 Pour que le Tribunal fédéral soit en mesure de vérifier si le droit fédéral a été correctement appliqué en relation avec les questions soulevées, il est nécessaire que le jugement de l'instance précédente fasse clairement ressortir les motifs déterminants de fait et de droit (art. 112 al. 1 let. b LTF). Il résulte de cette norme que les décisions attaquées doivent indiquer clairement les faits qui sont établis et les déductions juridiques qui sont tirées de l'état de fait déterminant (ATF 135 II 145 consid. 8.2 et les références citées). Savoir quels sont les faits déterminants revêt une importance particulière dans la mesure où le Tribunal fédéral est en principe lié par ceux arrêtés par l'instance précédente en vertu de l'art. 105 al. 1 LTF. Un état de fait insuffisant empêche l'application des règles de droit pertinentes à la cause. Un tel manquement constitue donc une violation du droit que le Tribunal fédéral peut constater d'office (cf. ATF 135 II 145 consid. 8.2 précité).
2.3 En l'espèce, la décision attaquée confirme le maintien des séquestres, en retenant uniquement qu'il existe "une certaine diversité d'éléments du dossier [accréditant] l'éventualité de la provenance criminelle des biens séquestrés". Elle ne précise en aucune manière quels sont ces "éléments" déterminants. En l'absence d'un état de fait auquel il est possible de rattacher la détermination juridique, faute de renseignements qui permettraient de justifier la mesure litigieuse et surtout de motivation topique, le Tribunal fédéral se trouve dans l'impossibilité de vérifier si les conditions du séquestre sont réalisées. Cette absence de motivation ne satisfait dès lors pas aux exigences des art. 29 al. 2 Cst. et 112 al. 1 let. b LTF.
2.4 Lorsque le Tribunal fédéral constate que la procédure de maintien des séquestres n'est pas conforme aux garanties constitutionnelles ou conventionnelles en cause, il n'en résulte pas obligatoirement que ceux-ci doivent être levés (cf. ATF 116 Ia 60 consid. 3b p. 64; 115 Ia 293 consid. 5g p. 308; 114 Ia 88 consid. 5d p. 93). Tel est le cas en particulier lorsque, comme en l'espèce, la décision attaquée est partiellement annulée pour des raisons formelles liées à l'absence d'une motivation suffisante et que l'existence de motifs fondés de maintenir les séquestres ne peut pas d'emblée être exclue. La conclusion prise en ce sens par le recourant doit donc être rejetée. Pour rétablir une situation conforme au droit, il appartiendra à la Cour des affaires pénales de statuer à nouveau sur la demande de levée des séquestres, à bref délai et dans le respect des garanties découlant des art. 29 al. 2 Cst. et 112 al. 1 LTF.
3. Le recours doit par conséquent être partiellement admis. La demande de levée des séquestres est rejetée. Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF). Le recourant, qui agit sans avocat, n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF; ATF 133 III 439 consid. 4 p. 446).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis partiellement. La décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée au Tribunal pénal fédéral pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. La demande de levée des séquestres est rejetée.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Ministère public de la Confédération et au Président de la Cour des affaires pénales du Tribunal pénal fédéral.
Lausanne, le 6 septembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Tornay Schaller