Faits:
A.
A.a. H._, née en 1950, a travaillé à temps partiel en tant que concierge et vendeuse. Le 7 juin 2004, elle s'est annoncée auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI), invoquant une calcification des muscles, des tendons et des vertèbres cervicales.
L'assurée a été examinée par la doctoresse O._, spécialiste en médecine interne générale auprès du Service médical régional de l'assurance-invalidité (SMR), qui a retenu les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail de cervicobrachialgies bilatérales persistantes non déficitaires (dans le cadre d'un trouble statique et dégénératif avec discopathie C4-C5 et C5-C6, spondylose antérieure hypertrophiante, ébauche d'uncarthrose et spondylarthrose ainsi que d'une calcification du ligament longitudinal postérieur), de coxarthrose bilatérale, de gonalgies bilatérales dans le cadre de genua valga et d'une ébauche de gonarthrose du compartiment interne, ainsi que de lombosciatalgies gauches dans le cadre d'un trouble statique et dégénératif L5-S1 avec protrusion modérée paramédiane gauche. Ce médecin a considéré que la capacité de travail dans une activité adaptée était de 60 % depuis le début de l'année 2005 (rapport du 5 août 2005). H._ a transmis à l'office AI des rapports de ses médecins traitants, les doctoresses R._, spécialiste FMH en allergologie et immunologie clinique et en médecine interne générale, et E._, spécialiste FMH en médecine physique et réadaptation et en rhumatologie (rapports des 27 janvier, respectivement 1er février 2006).
L'administration a fait réaliser une enquête économique sur le ménage auprès de l'assurée qui a mis en évidence un taux d'empêchement dans l'accomplissement des travaux ménagers de 38 % (rapport du 1er juin 2006).
L'office AI a soumis les rapports des médecins traitants de l'assurée à la doctoresse O._, qui a modifié son appréciation de la capacité de travail de H._, considérant que celle-ci ne dépassait pas 40 % dans une activité adaptée (avis du 5 décembre 2006).
L'administration a envisagé d'octroyer à l'assurée le droit à une demi-rente à partir du 30 septembre 2004, fondée sur un degré d'invalidité global de 56 % (projet de décision du 19 mars 2007).
H._ s'étant opposée à ce projet, l'office AI a sollicité la doctoresse O._ (avis du 24 mai 2007) puis confié la réalisation d'une expertise à X._. Les docteurs G._, spécialiste FMH en rhumatologie et en médecine interne générale, et M._, spécialiste FMH en neurologie, ont posé les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail de polyarthrose dans le contexte d'une maladie hyperostosante rachidienne et extra-rachidenne avec enthesopathies calcifiées (spondylarthrose étagée et canal cervical étroit, omarthrose associée à un conflit sous-acromial bilatéral, arthrose nodulaire des doigts en poussée congestive, coxarthrose bilatérale, gonarthrose et éperons calcanéens) et de myelopathie cervicale C4-C5 et C5-C6 sans myelomalacie et sans manifestations neurologiques objectives ou paracliniques. Selon ces médecins, l'assurée présentait une capacité de travail entière dans une activité adaptée avec une diminution de rendement de 10 % (rapport du 15 décembre 2007).
Après avoir établi un nouveau calcul sur la base de ces éléments, l'office AI a dénié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité (décision du 8 février 2008).
A.b. L'assurée a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et Canton de Genève (le tribunal cantonal; aujourd'hui: la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales). Elle a produit des documents dans lesquels ses médecins traitants prenaient position sur le rapport d'expertise (rapports du 10 mars 2008). Après avoir ordonné la comparution personnelle des parties, le tribunal cantonal a annulé la décision du 8 février 2008, renvoyé le dossier à l'office AI afin qu'il mette sur pied une expertise psychiatrique et soumette les objections des doctoresses R._ et E._ à leurs confrères G._ et M._ pour détermination; il a également donné acte à l'administration de son engagement à faire examiner l'assurée par les médecins de X._ (jugement du 2 octobre 2008).
A.c. Se conformant à ce jugement, l'office AI a chargé le docteur S._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, de la réalisation d'une expertise et soumis H._ à un examen bidisciplinaire effectué par les docteurs G._ et M._. Le premier a diagnostiqué un état dépressif majeur de gravité légère à moyenne ainsi qu'une personnalité à traits histrioniques et a considéré que l'assurée présentait depuis le 1er janvier 2008 une capacité de travail réduite à 50 % (rapport du 14 juillet 2009). Les seconds ont retenu notamment une maladie de Forestier avec polyarthrose (stable radiologiquement depuis 2007-2008) et enthésopathies calcifiées, un status variqueux des membres inférieurs, une myélopathie cervicale sur canal cervical étroit, stable, sans myélomalacie ni déficit neurologique évolutif, une obésité progressive et un trouble somatoforme douloureux; l'assurée disposait selon eux d'une pleine capacité de travail dans une activité adaptée, avec une diminution de rendement de 30 % compte tenu du fait qu'elle atteignait l'âge de 60 ans et que les processus de déconditionnement dans le cadre de la sédentarité et de l'obésité s'ajoutaient aux phénomènes sarcopéniques de l'âge (rapport du 14 juin 2010).
Le docteur K._, spécialiste FMH en néphrologie auprès du SMR, a constaté la survenance en juillet 2010 d'une aggravation de l'état de santé de H._ l'empêchant d'exercer toute activité (rapport du 11 novembre 2010).
L'office AI a octroyé à l'assurée une rente entière à partir du 1er juillet 2010 (décision du 5 avril 2012).
B.
H._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, concluant à l'octroi d'une rente entière pour la période comprise entre le 30 septembre 2003 et le 30 juin 2010. L'office AI a sollicité son SMR (avis de la doctoresse O._ du 22 octobre 2012). La Cour de justice a admis partiellement le recours, annulé partiellement la décision du 5 avril 2012 et reconnu à l'assurée le droit à une demi-rente d'invalidité pour la période comprise entre le 1er septembre 2004 et le 30 juin 2010 (jugement du 22 avril 2013).
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut au maintien de sa décision du 5 avril 2012.
Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement en cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire insoutenable, voire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2.
Compte tenu du dispositif du jugement entrepris ainsi que des conclusions et de la motivation du recours, le litige porte sur le droit de l'intimée à une demi-rente de l'assurance-invalidité pour la période comprise entre le 1er septembre 2004 et le 30 juin 2010, en particulier sur l'appréciation de sa capacité de travail.
Les premiers juges ont correctement exposé les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables, en particulier ceux relatifs à la valeur probante des pièces médicales. Il suffit donc de renvoyer au jugement attaqué.
3.
La juridiction cantonale a retenu en se fondant sur l'avis de la doctoresse O._ du 5 décembre 2006 que l'intimée avait présenté pendant la période déterminante une capacité résiduelle de travail de 40 % dont il découlait un degré d'invalidité global de 56 % ouvrant le droit à une demi-rente d'invalidité. Le médecin du SMR avait conclu en des termes clairs et de manière convaincante que la périarthrite calcifiante (notamment des épaules) dont souffrait l'intimée était susceptible de causer des poussées inflammatoires à répétition. Il s'agissait d'un élément expliquant objectivement les douleurs de l'intéressée, si bien que l'avis de la doctoresse O._ devait être préféré à celui des médecins de X._ dont les conclusions se fondaient essentiellement sur le phénomène d'amplification des symptômes observés. De plus, dans leur rapport de juin 2010, ces derniers n'avaient pas véritablement discuté le point de vue exprimé par les médecins traitants de l'intimée en mars 2008. Quant au premier rapport rédigé par les docteurs G._ et M._, le jugement du 2 octobre 2008 lui avait dénié toute valeur probante. Enfin, la question de savoir si le rapport du docteur S._ bénéficiait d'une pleine force probante pouvait demeurer ouverte puisque la capacité résiduelle de travail retenue par ce psychiatre était supérieure à celle que présentait l'intimée sur le plan somatique selon la doctoresse O._, étant précisé que les incapacités de travail somatique et psychique ne sauraient s'additionner.
4.
Se plaignant d'une constatation manifestement inexacte des faits pertinents consécutive à une mauvaise appréciation des preuves et d'une violation de son droit d'être entendu, l'office recourant reproche aux premiers juges d'avoir écarté l'opinion des experts au profit de celle exprimée par la doctoresse O._ en 2006 et d'avoir renoncé à examiner la valeur probante du rapport du docteur S._.
4.1. L'office recourant fait tout d'abord grief aux premiers juges d'avoir retenu que le rapport rédigé en décembre 2007 par les médecins de X._ ne revêtait pas pleine valeur probante et de l'avoir évincé sans motivation, violant ainsi son droit d'être entendu.
Le document en question a fait l'objet de critiques circonstanciées de la part des médecins traitants de l'intimée (rapports du 10 mars 2008). La doctoresse R._ a notamment relevé que sa patiente avait appris à gérer en grande partie elle-même ses douleurs par la prise de médicaments ainsi que par la gestion de son temps de repos et de ses activités, qu'elle modulait en fonction de son état physique; la reprise d'une activité professionnelle ne lui permettrait plus de garder son rythme et décompenserait de manière aiguë ses douleurs, surtout au niveau des calcifications tendineuses des épaules et des hanches; une trop grande sollicitation de ces articulations entraînerait en effet des phénomènes inflammatoires extrêmement douloureux. Cette spécialiste s'étonnait en outre de ce que les experts, qui relevaient les incidences d'une absence de compliance médicamenteuse, avaient retenu la même diminution de rendement (10 %) selon que l'intimée prenne ou non ses médicaments. La doctoresse E._ a quant à elle considéré que les plaintes de l'intéressée étaient décrites de manière insuffisante (faute pour les experts d'avoir interrogé celle-ci, singulièrement sur l'intensité des douleurs, leur irradiation et leur caractère mécanique ou inflammatoire) et que les médecins de X._ n'avaient pas procédé à des relevés précis des amplitudes des épaules et des hanches alors qu'il s'agissait en l'espèce de données importantes. Compte tenu de l'ensemble de ces éléments, la juridiction cantonale pouvait sans tomber dans l'arbitraire considérer que le rapport des médecins de X._ de décembre 2007 ne satisfait pas aux exigences posées par la jurisprudence en matière de valeur probante des documents médicaux. Du reste, l'office recourant a reconnu la pertinence et la portée de ces critiques, s'étant déclaré d'accord devant le tribunal cantonal pour que les remarques formulées par les doctoresses R._ et E._ soient soumises aux médecins de X._ non pour une prise de position (comme il en serait allé s'il s'était agi d'apporter de simples éclaircissements sur ces points) mais afin qu'ils procèdent à un examen de l'intimée avant de s'exprimer à nouveau. Le tribunal cantonal a alors entériné l'accord auquel étaient parvenues les parties sur cette question. Dans ces conditions, l'office recourant ne saurait affirmer qu'il ne pouvait pas comprendre et attaquer utilement le jugement entrepris en ce que celui-ci renvoie au jugement du 2 octobre 2008 pour dénier pleine valeur probante au rapport de X._ de décembre 2007. Par conséquent, le moyen tiré d'une violation du droit d'être entendu doit également être rejeté (ATF 137 II 266 consid. 3.2 p. 270; 134 I 83 consid. 4.1 p. 88 et les arrêts cités; cf. aussi arrêt 2C_23/2009 du 25 mai 2009 consid. 3.1, in RDAF 2009 II p. 434 réf.).
4.2. Le recourant reproche également aux premiers juges d'avoir nié toute valeur probante au rapport rédigé en juin 2010 par les médecins de X._. Il considère en particulier que les conclusions des experts tiennent suffisamment compte des observations formulées en mars 2008 par les médecins traitants de l'intimée.
Ainsi que l'ont relevé les premiers juges, les experts ne se sont pas prononcés sur l'affirmation de la doctoresse R._ selon laquelle la reprise d'une activité professionnelle exacerberait de manière aiguë les douleurs de l'intimée. Il s'agit d'une question déterminante dans l'appréciation de la capacité de travail, qui comme telle devait être examinée par les experts, d'autant que ceux-ci ont relevé que l'intimée décrivait des douleurs augmentées par le mouvement et constaté une diminution du seuil de la douleur. Les médecins de X._ ont en outre observé des manifestations douloureuses au niveau des épaules, notant des paroxysmes douloureux, particulièrement manifestes lorsque l'intéressée manipulait son sac à main. Cet élément - qui relativise la portée des discordances dont les experts ont fait état entre les plaintes de l'intimée et leurs constatations objectives - n'a pourtant pas été discuté dans leur appréciation du cas. Les docteurs G._ et M._ ont enfin retenu un trouble somatoforme douloureux alors que l'expert psychiatre mandaté par l'office recourant s'est refusé à poser ce diagnostic, aussi bien dans son rapport du 14 juillet 2009 que lorsqu'il a été interpellé par ces médecins. Le refus de reconnaître pleine valeur probante au rapport du 14 juin 2010ne relève donc pas d'une appréciation des preuves insoutenable.
4.3. L'office recourant estime pour finir que les premiers juges sont tombés dans l'arbitraire en se fondant sur les conclusions formulées en 2006 par la doctoresse O._. Celles-ci ne seraient pas pertinentes car le médecin du SMR les aurait abandonnées dans son avis du 22 octobre 2012 au profit de celles figurant dans le rapport d'expertise du 14 juin 2010.
Cette critique est également dénuée de fondement. Dans son avis du 22 octobre 2012, la doctoresse O._ a résumé son rapport de 2005, son avis de 2006 ainsi que les deux rapports des médecins de X._ et a exposé pourquoi elle s'était écartée des conclusions de ces derniers. Le médecin du SMR ne s'est en revanche aucunement rallié à celles-ci.
4.4. Il s'ensuit que l'argumentation du recourant ne démontre pas en quoi la juridiction cantonale aurait constaté les faits de manière manifestement inexacte ou violé le droit fédéral en privilégiant les conclusions des médecins du SMR par rapport à celles des experts. Dans ces conditions, on peut à l'instar des premiers juges se dispenser d'examiner la valeur probante du rapport du docteur S._.
5.
Compte tenu de ce qui précède, le recours est mal fondé.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par le recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 2 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Bouverat