Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss vom 9. Juni 2008 des Obergerichts des Kantons Thurgau (BR.2008.28), das auf einen Rekurs des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Erteilung der definitiven Rechtsöffnung an den Beschwerdegegner für Fr. 4'878.02 (nebst Zins) nicht eingetreten ist,
in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Entscheid des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss Art. 74 Abs. 2 BGG allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG sowie Art. 116 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG),
dass das Obergericht im angefochtenen Beschluss erwog, der Beschwerdeführer sei am 5. Mai 2008 zur Leistung eines Kostenvorschusses (von Fr. 450.--) bis zum 22. Mai 2008 aufgefordert worden, habe diesen jedoch erst am 23. Mai 2008 einbezahlt, weshalb auf den Rekurs androhungsgemäss nicht einzutreten sei,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht kein verfassungsmässiges Recht anruft,
dass er erst recht nicht anhand der entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen aufzeigt, inwiefern der Beschluss des Obergerichts vom 9. Juni 2008 verfassungswidrig sein soll,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. Art 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist,
dass im Übrigen der vom Beschwerdeführer behauptete Aufenthalt am 22. Mai 2008 (Fronleichnam) im Kanton Tessin nichts daran ändert, dass sich sowohl sein Wohnsitz wie auch der Sitz des Obergerichts im Kanton Thurgau befand, weshalb der letzte Tag der Kostenvorschussfrist nicht (nach Art. 31 Abs. 3 SchKG) auf einen staatlich anerkannten Feiertag fiel (Francis Nordmann, Basler Kommentar, N. 23 zu Art. 31 SchKG mit Hinweisen),
dass dem nachträglich eingereichten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege in Anbetracht der Aussichtslosigkeit der Verfassungsbeschwerde nicht stattgegeben werden kann (Art. 64 Abs. 1 BGG),
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (Art. 66 Abs. 1 BGG),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und der Abteilungspräsident zuständig ist,
erkennt der Präsident:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. September 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Füllemann