Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Soweit sich der Beschwerdeführer gegen die Verfügung der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich vom 4. Juni 2010 (Nr. 10 381 GG/UW) wendet, ist darauf nicht einzutreten, weil die Verfügung, wie sich aus deren Rechtsmittelbelehrung ergibt, nicht letztinstanzlich im Sinne von Art. 80 Abs. 1 BGG ist.
2. Der Beschwerdegegner verfügte am 1. März 2010, der Beschwerdeführer werde zum weiteren Vollzug der stationären Massnahme ins Psychiatriezentrum Rheinau eingewiesen, wobei die Massnahme längstens bis am 3. Februar 2014 dauere und mindestens einmal jährlich zu überprüfen sei, ob eine bedingte Entlassung oder die Aufhebung der Massnahme in Frage komme. Eine in diesem Zusammenhang erhobene kantonale Beschwerde wurde durch das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 7. Juni 2010 (VB.2010.00224) abgewiesen, soweit darauf einzutreten war.
Die Beschwerde beschränkt sich auf Ausführungen, insbesondere eine Anzeige gegen einen Arzt, die mit dem angefochtenen Entscheid offensichtlich nichts zu tun haben. Damit genügt sie den minimalen Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG nicht.
3. Der auf den angefochtenen Entscheiden angebrachte Antrag, es seien dem Beschwerdeführer Schlüssel herauszugeben, ist unzulässig, weil das Bundesgericht dafür nicht zuständig ist.
4. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch, das Verfahren sei "innert 30 Tagen zu sistieren", gegenstandslos geworden. Ausnahmsweise kann auf eine Kostenauflage verzichtet werden.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn