Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (1974) und B._ (1979) standen seit März 2014 in einem Eheschutzverfahren. Mit Urteil vom 9. September 2014 verpflichtete das Bezirksgericht Horgen A._ unter anderem, seiner Ehefrau rückwirkend für den Zeitraum vom 1. September 2013 bis 28. Februar 2014 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'000.--, und ab dem 1. März 2014 und für die Dauer des Getrenntlebens einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 5'000.-- zu bezahlen.
A.b. Mit Schreiben vom 18. September 2014 forderte B._ ihren Ehemann zur Zahlung von Fr. 49'376.-- auf.
B.
A._ erhob am 29. September 2014 Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich, 1. Zivilkammer, und verlangte, die Verpflichtungen zur Bezahlung von (rückwirkendem) Unterhalt seien aufzuheben. Zudem beantragte er, seiner Berufung die aufschiebende Wirkung zu gewähren. Das Obergericht wies den Antrag um Erteilung der aufschiebenden Wirkung mit Verfügung vom 27. November 2014 ab.
C.
C.a. Dagegen erhebt A._ (Beschwerdeführer) mit Eingabe vom 15. Dezember 2014 (vorab per Fax und in einer korrigierten Fassung per Fax und per Post) Beschwerde beim Bundesgericht und beantragt, es sei seiner Berufung die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Ferner ersucht er - aufgrund angedrohter Vollstreckungsmassnahmen - um die sofortige, einstweilige Gewährung der aufschiebenden Wirkung "im Hinblick auf betreibungsrechtliche Schritte der Beschwerdegegnerin" und um die Möglichkeit, seine Beschwerde "bis zum 19. Dezember 2014 noch zusätzlich zu begründen".
C.b. Mit Verfügung vom 15. Dezember 2014 hat das Bundesgericht B._ (Beschwerdegegnerin) und die Vorinstanz zur Vernehmlassung hinsichtlich des Gesuches um aufschiebende Wirkung eingeladen und diese in der Zwischenzeit im Hinblick auf betreibungsrechtliche Schritte der Beschwerdegegnerin superprovisorisch gewährt.
C.c. Mit Eingabe vom 16. Dezember 2014 beantragt die Beschwerdegegnerin, die Eingabe vom 15. Dezember 2014 sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und das Gesuch um aufschiebende Wirkung für die bundesrechtliche Beschwerde sei abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
C.d. Am 18. Dezember 2014 reicht der Beschwerdeführer - unter Bezugnahme auf die mittlerweile im Berufungsverfahren eingereichte Berufungsantwort - eine Beschwerdeergänzung ein.
C.e. Das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts verfügte am 23. Dezember 2014, es sei der kantonalen Berufung hinsichtlich der bis und mit Ende November 2014 geschuldeten Unterhaltsbeiträge während des bundesgerichtlichen Verfahrens im Sinne einer vorsorglichen Massnahme gestützt auf Art. 104 BGG die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
C.f. Mit Schreiben vom 6. Januar 2015 informiert der Beschwerdeführer das Bundesgericht, der Vorinstanz "in Beachtung des bundesgerichtlichen Entscheids vom 23. Dezember 2014" die Gewährung der "aufschiebenden Wirkung zugunsten der Berufung auch hinsichtlich von Unterhaltsforderungen [...], die ab Dezember 2014 gefordert werden" beantragt zu haben. Mit Schreiben des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 7. Januar 2015 wurde noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die aufschiebende Wirkung nur für die bis und mit Ende November 2014 geschuldeten Unterhaltsbeiträge gewährt wurde. Daraufhin erwog die Vorinstanz mit Verfügung vom 8. Januar 2015, das Gesuch vom 6. Januar 2015 sinngemäss als Wiedererwägungsgesuch der Verfügung vom 27. November 2014 zu behandeln, und wies das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung hinsichtlich der von der Beschwerdegegnerin ab Dezember 2014 verlangten Unterhaltsbeiträge ab. Mit Schreiben vom 4. Februar 2015 wandte sich der Beschwerdeführer erneut an das Bundesger icht und bat um beförderliche Behandlung.
C.g. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (BGE 139 III 252 E. 1.1 S. 252; 139 III 133 E. 1 S. 133; je mit Hinweisen). Die Eingabe muss auch bezüglich der Prozessvoraussetzungen hinreichend begründet werden (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 134 II 120 E. 1 S. 121; Urteil 5A_28/2011 vom 21. März 2011 E. 1).
1.2. Die fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 BGG). In diesem weist die Vorinstanz das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung respektive um Aufschub der Vollstreckung vorsorglicher Massnahmen (Art. 315 Abs. 5 ZPO) ab. Dies ist ein Zwischenentscheid (Art. 93 BGG), der nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG selbständig anfechtbar ist. Gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG muss rechtlicher Natur sein. Das setzt voraus, dass er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (BGE 138 III 190 E. 6 S. 192; 137 III 380 E. 1.2.1 S. 382; je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung obliegt es sodann dem Beschwerdeführer, darzutun, dass eine dieser beiden Voraussetzungen erfüllt ist (BGE 137 III 324 E. 1.1 S. 329; 134 III 426 E. 1.2 S. 429), es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (Urteil 5A_221/2014 vom 10. September 2014 E. 1.1.2).
2.
Der Beschwerdeführer äussert sich in seinem Schriftsatz nicht zu den gesetzlichen Voraussetzungen von Art. 93 BGG. Er übersieht offensichtlich, dass es sich beim angefochtenen Entscheid um einen Zwischenentscheid handelt. Tut der Beschwerdeführer aber überhaupt nicht dar, warum ein selbständig anfechtbarer Zwischenentscheid vorliegt, sondern übersieht er diese Eintretensfrage schlechthin, kann das Bundesgericht von vornherein nicht auf die Beschwerde eintreten (vgl. BGE 118 II 91 E. 1a S. 92; Urteil 5A_28/2011 vom 21. März 2011 E. 3.3). Im Übrigen liegt a uch nicht auf der Hand, inwiefern der angefochtene Zwischenentscheid vor Bundesgericht anfechtbar wäre. Insbesondere ist nicht ersichtlich, welcher nicht wieder gutzumachende rechtliche Nachteil dem Beschwerdeführer droht, will er doch einzig die im Rahmen der Eheschutzmassnahmen verfügten Unterhaltszahlungen mit der Begründung verhindern, bei einer allenfalls eintretenden Anpassung oder Aufhebung seiner Verpflichtung sei die Rückerstattung zu viel geleisteter Unterhaltsbeiträge gefährdet. Damit aber droht kein nicht wieder gutzumachender Nachteil rechtlicher Natur, sondern einzig ein wirtschaftlicher und damit tatsächlicher Nachteil, der den Anforderungen für die Anfechtung eines Zwischenentscheides gerade nicht entspricht.
3.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin, die sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung während des Beschwerdeverfahrens vor Bundesgericht äussern musste und in diesem Punkt unterlegen ist, ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen gesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Griessen