Fatti:
A. A._ è inabile al lavoro al 100 % e percepisce per questo motivo una rendita intera dell'assicurazione invalidità.
Il 30 settembre 2005, egli ha chiesto all'Ufficio delle borse di studio e dei sussidi del Cantone Ticino una borsa di studio per l'anno accademico 2005/2006, per frequentare la facoltà di scienze della comunicazione dell'Università della Svizzera italiana a Lugano.
La domanda è stata respinta con decisione dell'11 maggio 2006 - che il richiedente sostiene di non aver ricevuto e che non è quindi stata ulteriormente impugnata -, poiché non era stato documentato il possesso di un certificato idoneo all'ammissione ad uno studio universitario.
B. Dopo avere presentato la domanda di cui si è detto, il 28 settembre 2007 A._ ha formulato una nuova richiesta per l'anno accademico 2007/2008.
B.a L'Ufficio competente ha respinto anche questa nuova domanda sia in prima istanza, sia su reclamo. Statuendo su reclamo, esso ha dapprima preso atto del fatto che il richiedente era stato effettivamente ammesso agli studi accademici, in base alla possibilità offerta a chi ha più di 25 anni, di accedere agli studi attraverso l'ammissione "su dossier", ha poi però ribadito che la sua domanda non poteva trovare accoglimento, in ragione del fatto che una sua formazione avrebbe dovuto essere finanziata in via prioritaria dall'assicurazione invalidità. Abbondanzialmente, ha inoltre osservato che la situazione finanziaria del reclamante gli permetteva comunque di sostenere le spese per frequentare l'università.
B.b Tale provvedimento è stato in seguito confermato su ricorso: dapprima dal Consiglio di Stato, con decisione del 4 maggio 2010, quindi dal Tribunale cantonale amministrativo, che si è espresso in merito con sentenza del 9 gennaio 2012.
Preso atto del fatto che A._ percepisce una rendita d'invalidità al 100 % e rilevato come egli avesse precisato nella sua impugnativa che proprio una scolarizzazione superiore potrebbe, con maggiore probabilità, produrre il risultato di una riacquistata abilità lavorativa al 100 %, anche i Giudici cantonali hanno concluso che la sua richiesta di sostegno finanziario debba essere esaminata in via prioritaria dall'assicurazione invalidità.
Sulla base di questa conclusione, non hanno di conseguenza ritenuto necessario esprimersi né sulla situazione finanziaria del richiedente, né sulla domanda di riconoscimento retroattivo di una borsa di studio anche per l'anno 2005/2006, formulata da A._ nell'auspicata ipotesi di accoglimento del gravame relativo alla richiesta di sostegno finanziario per l'anno 2007/2008.
C. Con ricorso in materia di diritto pubblico del 21 febbraio 2012, A._ (nel seguito: ricorrente) postula l'annullamento del giudizio del Tribunale cantonale amministrativo; domanda inoltre la concessione del gratuito patrocinio. Nel merito, si duole della durata della procedura davanti alla Corte cantonale, fa valere la violazione del divieto d'arbitrio e del principio dell'uguaglianza giuridica.
In corso di procedura, il Tribunale cantonale amministrativo si è riconfermato nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. La conferma di tale giudizio è stata chiesta anche dal Dipartimento cantonale competente. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte.
Diritto:
1. Diretto contro una decisione finale (art. 90 LTF) di un'autorità cantonale di ultima istanza con carattere di tribunale superiore (art. 86 e 90 LTF), il ricorso riguarda una causa di diritto pubblico (art. 82 lett. a LTF) che non ricade sotto alcuna delle eccezioni previste dall'art. 83 LTF, segnatamente sotto l'art. 83 lett. k LTF (in proposito cfr. già la sentenza 2C_244/2008 del 5 giugno 2009 consid. 2, concernente un caso analogo). Esso è stato presentato in tempo utile (art. 100 cpv. 1 LTF) dal destinatario della pronuncia contestata, con interesse al suo annullamento (art. 89 cpv. 1 LTF).
Lecita è infine anche la conclusione puramente cassatoria contenuta nel ricorso (DTF 134 III 379 consid. 1.3 pag. 383; 133 III 489 consid. 3.1 pag. 489). Un'ammissione del ricorso comporterebbe infatti comunque il rinvio dell'incarto alla Corte cantonale, per nuovo esame della fattispecie.
Sotto i profili evocati, l'impugnativa è quindi di massima ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico.
2. 2.1 Con il ricorso in materia di diritto pubblico può essere fatta valere la violazione del diritto federale (art. 95 lett. a LTF), che include anche i diritti costituzionali dei cittadini (DTF 133 III 446 consid. 3.1 pag. 447). Salvo che per i casi citati dall'art. 95 LTF, non può invece essere censurata la violazione del diritto cantonale. È però possibile fare valere che l'errata applicazione del diritto cantonale da parte dell'autorità precedente comporti una violazione del diritto federale, segnatamente del divieto d'arbitrio (art. 9 Cost.; DTF 133 III 462 consid. 2.3 pag. 466).
2.2 Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (art. 106 cpv. 1 LTF). Nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, la cui mancata ottemperanza conduce all'inammissibilità del gravame, esso esamina di regola solo le censure sollevate (DTF 134 III 102 consid. 1.1 pag. 104 seg.). Nell'atto di ricorso occorre pertanto spiegare in modo conciso, riferendosi all'oggetto del litigio, in cosa consiste la violazione del diritto e su quali punti il giudizio contestato viene impugnato (DTF 134 II 244 consid. 2.1 pag. 245 seg.).
2.3 Le esigenze di motivazione sono inoltre più rigorose quando è fatta valere la violazione di diritti fondamentali. II Tribunale federale esamina queste censure solo se la parte ricorrente le ha debitamente sollevate e motivate, come prescritto dall'art. 106 cpv. 2 LTF (DTF 134 II 244 consid. 2.2 pag. 246). Ne discende che l'allegato ricorsuale deve indicare chiaramente i diritti costituzionali che si pretendono violati, precisando altresì in che consista tale violazione (DTF 134 II 244 consid. 2.2 pag. 246; 133 III 393 consid. 6 pag. 397).
2.4 Nella fattispecie specifica, una motivazione sufficientemente precisa del ricorso è ravvisabile solo in parte. Nella misura in cui i requisiti esposti sono manifestamente disattesi - in particolare, per quei tratti in cui il ricorrente si esprime in maniera appellatoria, richiamandosi a norme costituzionali, convenzionali e di diritto cantonale asserendone semplicemente la lesione - il gravame va quindi considerato a priori inammissibile.
Sull'ammissibilità delle ulteriori censure formulate dal ricorrente verrà per contro detto contestualmente al loro esame.
3. La procedura concerne in via principale il diniego della concessione di una borsa di studio per l'anno accademico 2007/2008 per frequentare la facoltà di scienze della comunicazione dell'Università della Svizzera italiana a Lugano.
3.1 Rilevato come il ricorrente avesse precisato nella sua impugnativa che proprio una scolarizzazione superiore potrebbe, con maggiore probabilità, produrre il risultato di una riacquistata abilità lavorativa al 100 % e fatto rinvio alle disposizioni della legge federale del 19 giugno 1959 sull'assicurazione per l'invalidità (LAI; RS 831.20) riguardanti la riformazione professionale (art. 17 LAI), la Corte cantonale ha confermato anch'essa che l'eventuale presa a carico di un progetto di una sua riqualifica professionale, con la partecipazione all'assunzione dei costi per la frequenza dell'università, debba essere esaminata in via prioritaria dall'assicurazione invalidità, nell'ambito dei provvedimenti previsti dalla legislazione in materia.
3.2 Concretamente, i Giudici cantonali sono giunti a tale soluzione richiamandosi alla legge ticinese sui sussidi cantonali (LSuss; RL/TI 10.2.7.1) e segnatamente al principio di sussidiarietà in essa ancorato secondo cui, per ricevere un sussidio, il destinatario deve esaurire tutte le possibilità di finanziamento che gli possono essere ragionevolmente chieste, tra cui appunto quelle previste dalla legge sull'assicurazione per l'invalidità, riguardanti la riformazione professionale.
4. Nell'impugnativa viene innanzitutto criticata la durata - di 20 mesi - del procedimento svoltosi dinnanzi all'autorità inferiore. Sennonché, non vi è in questa sede motivo di pronunciarsi più in dettaglio su tale aspetto.
Pur avendone avuto la possibilità, il ricorrente ha rinunciato a presentare un ricorso per denegata o ritardata giustizia nel periodo antecedente all'emanazione della sentenza impugnata. Dopo la pronuncia da parte della Corte cantonale simile rimprovero non ha d'altra parte più nessuna attualità (sentenze 2C_332/2011 del 22 luglio 2011 consid. 3.2 e 2C_55/2010 del 26 ottobre 2010 consid. 2).
Limitandosi a constatare la durata della procedura, il ricorrente non fa infine nemmeno valere, con una motivazione conforme a quanto richiesto dall'art. 42 cpv. 2 rispettivamente dall'art. 106 cpv. 2 LTF (precedente consid. 2) un pregiudizio concreto, che sia riconducibile all'asserito ritardo nel decidere (sentenze 2C_332/2011 del 22 luglio 2011 consid. 3.2 e 2C_55/2010 del 26 ottobre 2010 consid. 2).
Per quanto ammissibile, la censura dev'essere quindi dichiarata infondata.
5. Dopo essersi pronunciato in merito alla durata della procedura davanti al Tribunale amministrativo, il ricorrente sostiene che il giudizio impugnato sia il risultato di un'applicazione arbitraria del diritto cantonale, segnatamente dell'art. 6 LSuss (successivo consid. 5.1); rileva inoltre come arbitraria sia pure la motivazione con cui la Corte cantonale si richiama specificatamente alla legge sull'assicurazione per l'invalidità per giustificare un preventivo esame della richiesta di sussidi nell'ottica di una sua eventuale riformazione professionale (successivo consid. 5.2).
5. Dopo essersi pronunciato in merito alla durata della procedura davanti al Tribunale amministrativo, il ricorrente sostiene che il giudizio impugnato sia il risultato di un'applicazione arbitraria del diritto cantonale, segnatamente dell'art. 6 LSuss (successivo consid. 5.1); rileva inoltre come arbitraria sia pure la motivazione con cui la Corte cantonale si richiama specificatamente alla legge sull'assicurazione per l'invalidità per giustificare un preventivo esame della richiesta di sussidi nell'ottica di una sua eventuale riformazione professionale (successivo consid. 5.2).
5.1 5.1.1 Per quanto riguarda l'applicazione dell'art. 6 LSuss al caso in esame, la contestazione pura e semplice, in alcun modo sostanziata, della conclusione in merito all'applicabilità della legge sui sussidi cantonali - tratta dal Tribunale amministrativo dopo aver rilevato che il regolamento delle borse di studio dell'8 marzo 1995 vi si basa, ovvero vi fa rinvio nel suo preambolo - non permette di dimostrare l'arbitrio del giudizio reso.
Per quanto poi, rilevando come la Corte cantonale non abbia nel suo giudizio giustificato a sufficienza le conclusioni tratte, il ricorrente intenda lamentarsi di una carente motivazione del giudizio impugnato, esso presenta una critica che avrebbe semmai dovuto formulare e far valere quale violazione del diritto di essere sentito giusta l'art. 29 Cost. (DTF 134 I 83 consid. 4.1 pag. 88; 129 I 232 consid. 3.2 pag. 236 seg.; 126 I 97 consid. 2b pag. 102 seg.).
5.1.2 L'applicazione arbitraria dell'art. 6 LSuss alla fattispecie non viene neppure dimostrata affermando, senza concreto riscontro se non quello della differente denominazione degli aiuti forniti dallo Stato, che vi sia una distinzione tra assegni di studio, previsti dalla legge della scuola del 1° febbraio 1990 (RL/TI 5.1.1.1.) e sussidi per il perfezionamento professionale, previsti dalla legge sull'orientamento scolastico e professionale e sulla formazione professionale continua del 4 febbraio 1998 (RL/TI 5.2.1.1) e che la legge sui sussidi cantonali sia applicabile solo a questi ultimi.
Dalla lettura dell'impugnativa non è nel contempo dato di capire perché l'applicabilità o meno della legge sui sussidi cantonali dipenderebbe dal "taglio" della formazione frequentata.
5.1.3 Sulla base dei motivi indicati dal ricorrente, che vincolano l'esame della fattispecie da parte di questa Corte (precedente consid. 2), il ricorso si rivela pertanto infondato anche in relazione alla censura d'arbitrio sollevata riguardo all'applicazione dell'art. 6 LSuss.
5.2 Diversa conclusione dev'essere invece tratta per quanto riguarda la motivazione addotta, con specifico richiamo alla legge sull'assicurazione per l'invalidità, per giustificare un preventivo esame da parte delle autorità competenti in materia di assicurazione invalidità della richiesta di sussidio del ricorrente, nell'ottica di una sua riformazione professionale.
5.2.1 Secondo le norme applicabili alla fattispecie, il diritto alla riformazione professionale previsto dall'art. 17 LAI riguarda solo provvedimenti necessari e adatti a garantire un'integrazione all'incirca equivalente a quella precedente (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni I 459/03 del 2 novembre 2004 consid. 4.4.1); la nozione di equivalenza approssimativa non si riferisce in primo luogo al livello di formazione, bensì alle possibilità di guadagno presumibili a integrazione ultimata (DTF 124 V 108 consid. 2a pag. 110; 122 V 77 consid. 3 pag. 78 segg.; 100 V 18 consid. 1 pag. 19).
L'assunzione di provvedimenti di riformazione che permettono di raggiungere un livello di formazione superiore è stata d'altra parte riconosciuta come tale solo dal nuovo art. 6 cpv. 1bis dell'ordinanza federale del 17 gennaio 1961 sull'assicurazione per l'invalidità (OAI; RS 831.201), in vigore dal 1° gennaio 2012.
Sulla base del quadro legale applicabile al momento della richiesta di sussidio presentata dal ricorrente, che è in possesso unicamente di un certificato federale di impiegato di commercio, una presa a carico da parte dell'assicurazione invalidità di uno studio universitario a titolo di provvedimento di riformazione professionale sarebbe stata quindi con ogni probabilità votata all'insuccesso.
5.2.2 Preso atto di queste precise condizioni, la motivazione addotta nel giudizio impugnato non può però allora che essere considerata insostenibile e quindi lesiva dell'art. 9 Cost.
Essa si riferisce infatti espressamente all'affermazione del ricorrente secondo cui una scolarizzazione superiore "potrebbe con maggiore probabilità produrre il risultato di una riacquistata abilità lavorativa", imputando alla stessa un rilievo decisivo, ciò che contrasta manifestamente con il quadro legale descritto.
In luogo di tener conto dell'effettiva situazione, ovvero del fatto che la borsa di studio richiesta era volta a finanziare lo studio presso la facoltà di scienze della comunicazione, fonda inoltre la sua tesi secondo cui i progetti di studio perseguiti dal ricorrente debbano essere finanziati prioritariamente dall'assicurazione invalidità su argomentazioni che fanno completamente astrazione da tali concreti progetti.
Per giungere alla conclusione tratta, si limita in effetti a formulare considerazioni di carattere generale in merito all'istituto della riformazione professionale, ricordando tra l'altro che essa dev'essere "semplice e adeguata", ciò che non risulta evidentemente essere il caso nella fattispecie, in cui è in discussone il finanziamento di una formazione universitaria, alla quale il ricorrente ha tra l'altro potuto accedere solo grazie ad un'ammissione "su dossier".
5.3 Per quanto precede, nella misura in cui è ammissibile, il ricorso dev'essere accolto senza che sia necessario esprimersi sulle ulteriori censure sollevate. L'incarto è rinviato al Tribunale cantonale amministrativo affinché, dopo aver proceduto ad un riesame complessivo della fattispecie, renda un nuovo giudizio in merito all'aiuto richiesto (art. 107 cpv. 2 LTF).
6. 6.1 Il rinvio dell'incarto all'istanza precedente per procedere ad un riesame complessivo della fattispecie, con esito aperto, impone di considerare il ricorrente siccome vincente (sentenza 2C_60/2011 del 12 maggio 2011 consid. 2.4).
6.2 Soccombente, lo Stato del Cantone Ticino è dispensato dal pagamento delle spese giudiziarie (art. 66 cpv. 4 LTF). Esso dovrà però corrispondere al ricorrente, assistito da un avvocato, un'indennità per ripetibili per la sede federale (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF).
6.3 Conseguentemente, l'istanza di gratuito patrocinio presentata deve essere dichiarata priva di oggetto (sentenza 1C_479/2009 del 17 marzo 2010 consid. 5).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è accolto. Il giudizio impugnato è annullato e la causa rinviata al Tribunale cantonale amministrativo per nuovo giudizio, nel senso dei considerandi.
2. L'istanza di gratuito patrocinio è priva di oggetto.
3. Non vengono prelevate spese.
4. Lo Stato del Cantone Ticino verserà al ricorrente un'indennità di fr. 2'000.-- a titolo di ripetibili per la sede federale.
5. Comunicazione alla patrocinatrice del ricorrente, al Dipartimento dell'educazione, della cultura e dello sport, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.