Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1974) und Y._ (geb. 1974) sind die nicht verheirateten Eltern der Z._ (geb. 2004). Auf Antrag der damals noch in gemeinsamem Haushalt lebenden Eltern übertrug ihnen die Vormundschaftsbehörde Zürich mit Beschluss vom 11. Juli 2005 die gemeinsame elterliche Sorge. Nachdem der Vater im Dezember 2007 aus der gemeinsamen Wohnung ausgezogen war, ersuchte die Mutter die Vormundschaftsbehörde darum, ihr die alleinige Sorge über die Tochter zu übertragen und dem Vater ein Besuchsrecht einzuräumen (Gesuch vom 14. Februar 2008). Für die Dauer des Sorgerechtsverfahrens wurde Z._ vorsorglich unter die Obhut der Mutter gestellt und das Besuchsrecht des Vaters geregelt; seit dem 10. Juni 2008 besteht eine Besuchsrechtsbeistandschaft.
Mit Beschluss vom 24. November 2009 beantragte die Vormundschaftsbehörde dem Bezirksrat Zürich, die gemeinsame Sorge über Z._ aufzuheben und der Mutter allein zu übertragen sowie dem Vater ein Besuchsrecht einzuräumen. Am 7. Dezember 2009 führte der Vater gegen diesen Beschluss Beschwerde beim Bezirksrat Zürich. Er forderte die Beibehaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge und Änderungen im Besuchsrecht. Am 27. Mai 2010 entschied der Bezirksrat, die gemeinsame elterliche Sorge aufzuheben und die von der Vormundschaftsbehörde getroffene Besuchsregelung zu bestätigen.
B. Gegen diesen Beschluss des Bezirksrates richtete der Vater einen Rekurs an das Obergericht des Kantons Zürich. Er beantragte, die gemeinsame Sorge sei beizubehalten, und wiederholte die schon dem Bezirksrat beantragten Änderungen des Besuchsrechts. Das Obergericht wies den Rekurs ab (Beschluss vom 27. Juli 2010).
C. Mit Eingabe vom 13. September 2010 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und stellt das Begehren, die gemeinsame elterliche Sorge sei beizubehalten; eventualiter sei die Sache an das Obergericht zurückzuweisen verbunden mit der Auflage, ein Gutachten anzuordnen.
Mit Verfügung vom 12. Oktober 2010 schrieb die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung ein Gesuch um aufschiebende Wirkung als gegenstandslos ab mit der Begründung, das Urteil, mit welchem die gemeinsame elterliche Sorge aufgehoben werde, sei ein Gestaltungsurteil, dem von Gesetzes wegen die aufschiebende Wirkung zukomme (Art. 103 Abs. 2 lit. a BGG).
Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid, der die Zuteilung der elterlichen Sorge betrifft; hiergegen ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 7, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
In materieller Hinsicht sind alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig und das Bundesgericht wendet in diesem Bereich das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), was heisst, dass es behauptete Rechtsverletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) mit freier Kognition prüft. Die Bestimmung von Art. 298a Abs. 2 ZGB, welche die Neugestaltung der elterlichen Sorge zufolge veränderter Verhältnisse regelt, enthält unbestimmte Rechtsbegriffe, für deren Ausfüllung das Sachgericht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. 4 ZGB). Bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide übt das Bundesgericht Zurückhaltung. Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände nicht in Betracht gezogen hat, die hätten beachtet werden müssen. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 132 III 49 E. 2.1 S. 51; 130 III 571 E. 4.3 S. 576; je mit Hinweisen).
Hingegen ist das Bundesgericht an den von der letzten kantonalen Instanz festgestellten Sachverhalt gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann einzig eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung oder die Verletzung eines anderen verfassungsmässigen Rechts geltend gemacht werden, wobei der betreffende Mangel überdies für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein muss (Art. 97 Abs. 1 BGG) und für all diese Elemente das strenge Rügeprinzip gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG gilt (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 256). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am festgestellten Sachverhalt nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die eigene Sichtweise darzustellen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht in Willkür verfallen sein soll (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
2. 2.1 Gemäss Art. 298a Abs. 2 ZGB ist die Zuteilung der elterlichen Sorge neu zu regeln, wenn dies wegen wesentlicher Veränderung der Verhältnisse zum Wohl des Kindes geboten ist. Die gemeinsame Sorge kann - wie der Beschwerdeführer zutreffend festhält - nicht einfach gekündigt werden. Es gelten indes nicht so strenge Voraussetzungen wie beim Entzug der elterlichen Sorge. Notwendig, aber auch ausreichend ist, dass die wesentlichen Grundlagen für eine gemeinsame Elternverantwortung nicht mehr vorhanden sind, so dass das Kindeswohl die Übertragung der elterlichen Sorge an einen Elternteil gebietet. Allein schon der Antrag eines Elternteils oder des Kindes auf Neubeurteilung der elterlichen Sorge ist in der Regel ein Indiz dafür, dass die gemeinsame elterliche Sorge nicht mehr dem Kindeswohl entspricht (Urteil 5A_645/2008 vom 27. August 2009 E. 4.1, mit Hinweisen). Letzteres trifft rechtsprechungsgemäss jedenfalls dann zu, wenn Kooperationswille und Kooperationsfähigkeit der Eltern nicht mehr bestehen (Urteil 5A_616/2007 vom 23. April 2008 E. 7.1; zur analogen Regelung in aArt. 157 ZGB: BGE 100 II 76 E. 1 S. 77 f.).
Steht fest, dass die elterliche Sorge nicht mehr gemeinsam ausgeübt werden kann, so ist sie einem Elternteil zuzuteilen (Art. 298a Abs. 2 ZGB), wobei wiederum das Kindeswohl entscheidet (vgl. BGE 115 II 206 E. 4a S. 209, 317 E. 2; 117 II 353 E. 3 S. 354 f.).
2.2 Indem es sich die Erwägungen des Bezirksrates im angefochtenen Entscheid zu eigen machte, erwog das Obergericht, aufgrund der Vormundschaftsakten und der Schilderungen der Parteien sei zu schliessen, dass zwischen den Eltern von Z._ grösste Schwierigkeiten bestünden und die stetigen Elternkonflikte eine Gefährdung des Wohles der Tochter darstellten. Es liege daher im Kindeswohl, die gemeinsame elterliche Sorge aufzuheben und klare Verhältnisse herzustellen (S. 7 des angefochtenen Entscheids).
3. Der Beschwerdeführer rügt in verschiedener Hinsicht Willkür in der Sachverhaltsfeststellung.
3.1 Zunächst beanstandet er die Feststellung des Obergerichts, wonach es keine objektiven Anhaltspunkte dafür gebe, dass die Beschwerdegegnerin die Aufhebung der gemeinsamen Sorge durch gezielt unkooperatives Verhalten zu erzwingen suche (S. 6 des angefochtenen Urteils), als offensichtlich unrichtig und damit willkürlich. Er verweist auf seine zahlreichen Willenskundgebungen zugunsten einer Mediation (S. 8-11 der Beschwerde), die von der Beschwerdegegnerin verweigert werde; diese sei von vornherein zu keinen Verhandlungen bereit gewesen (S. 12 der Beschwerde).
Es mag sein, dass die Beschwerdegegnerin einigermassen stur auf ihren eigenen Standpunkten beharrt. Allein daraus lässt sich indes nicht ableiten, dass sie ihr Verhalten ausschliesslich auf die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge ausrichtet. Weitergehende Tatsachen, aus denen auf ein rechtsmissbräuchliches Verhalten geschlossen werden müsste, bringt der Beschwerdeführer nicht vor. Damit erweist sich seine Rüge als unbegründet.
3.2 Ferner hält der Beschwerdeführer die Feststellung für willkürlich, wonach die homöopathische und kinesiologische Behandlung weitere Streitpunkte zwischen den Eltern darstelle (S. 6 des angefochtenen Urteils). Vielmehr hätten sich die Eltern bereits im März 2010 auf einen Kinderarzt geeinigt; hinsichtlich der kinesiologischen Behandlung habe er nur interveniert, weil die Tochter nicht mehr dorthin gehen wollte. Mit seinen Ausführungen bestätigt der Beschwerdeführer, dass die homöopathische Behandlung der Tochter jedenfalls anfänglich Grund für eine Auseinandersetzung gewesen war und hinsichtlich der kinesiologischen Behandlung weiterhin Meinungsverschiedenheiten bestehen. Unter den dargelegten Umständen kann von offensichtlicher Unrichtigkeit der Feststellung keine Rede sein.
3.3 Sodann wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht Willkür vor, wenn es feststellt, die Eltern würden ihre Konflikte vor der Tochter austragen (S. 7 des angefochtenen Beschlusses), denn diese Feststellung beruhe ausschliesslich auf Behauptungen der Beschwerdegegnerin, welche er stets in Abrede gestellt habe.
Die Begründung dieser Sachverhaltsrüge beschränkt sich auf rein appellatorische Ausführungen, indem der Beschwerdeführer die Sachlage aus eigener Sicht schildert. Zudem zeigt er nicht auf, weshalb das Obergericht zu einem anderen Ergebnis hätte gelangen müssen, wenn es den Sachverhalt im behaupteten Sinne festgestellt hätte. Auf diese Rüge kann nicht eingetreten werden (s. E. 1 oben).
4. 4.1 Im vorliegenden Fall steht aufgrund der willkürfreien Feststellungen des Obergerichtes fest, dass die Parteien nicht mehr zusammenleben und massiv zerstritten sind, was auch der vorliegende Rechtsstreit mit aller Deutlichkeit zeigt. Sie sind mit anderen Worten nicht mehr in der Lage, für die Belange der Tochter konstruktiv zusammenzuwirken. Folglich ist die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge mit Blick auf das Wohl von Z._ nicht zu beanstanden.
Einer weitergehenden Beeinträchtigung des Kindeswohls bedarf es für diese Neuregelung nicht. Der Einwand des Beschwerdeführers, es sei nie festgestellt worden, dass das Wohl von Z._ "konkret gefährdet" sei (S. 4-8 der Beschwerde), zielt mithin an der Sache vorbei. Ebenso wenig spielt für die Beantwortung der Frage, ob die Voraussetzungen für die Aufhebung der gemeinsamen Sorge vorliegen, eine Rolle, wer für die aktuelle Situation verantwortlich ist; dies wäre gegebenenfalls bei der - hier nicht streitigen - Frage von Relevanz, unter wessen Sorge das Kind gestellt werden soll. Demzufolge vermögen die Hinweise des Beschwerdeführers auf seinen Willen, die Kommunikation zu verbessern und eine Mediation durchzuführen, was allerdings von der Beschwerdegegnerin verweigert werde (S. 8-11 der Beschwerde), nichts am Ergebnis zu ändern.
4.2 Aus demselben Grund verfängt der Vorwurf nicht, das Gericht habe das Wohl des Kindes nicht genügend abgeklärt und mit dem Verzicht auf die beantragte Begutachtung das rechtliche Gehör verletzt (S. 15-18 der Beschwerde), denn ein Gutachten über das Kind vermöchte nichts an der Feststellung zu ändern, dass die Eltern nicht mehr in der Lage seien, die Elternverantwortung gemeinsam wahrzunehmen.
Auch die vorinstanzliche Äusserung, der Beschwerdeführer habe in seinem Rekurs keine wesentlichen neuen Argumente vorgetragen, begründet entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers keine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Der Vorwurf, eine bestimmte Tatsache nicht berücksichtigt zu haben, beschlägt die vorinstanzliche Beweiswürdigung. Auf diese kann das Bundesgericht nur zurückkommen, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 124 I 208 E. 4a S. 211). Dies aber macht der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang nicht einmal ansatzweise geltend.
5. Untauglich ist schliesslich die Bezugnahme auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) vom 3. Dezember 2009 "Zaunegger gegen Deutschland" (Beschwerde 22028/04). Dort ging es nicht um die Neugestaltung der elterlichen Sorge, sondern um die deutsche Regelung, wonach das Sorgerecht für das ausserehelich geborene Kind grundsätzlich allein der Mutter zusteht und das gemeinsame Sorgerecht von ihrer Zustimmung abhängig ist. Der Gerichtshof beanstandete, dass der Vater bei Verweigerung der mütterlichen Zustimmung von der richterlichen Überprüfung seines Antrags auf Übertragung des gemeinsamen Sorgerechts generell ausgeschlossen ist, das heisst ohne weitere Prüfung, ob dadurch die Interessen des Kindes gefährdet würden. Der Umstand, dass ein nicht mit der Kindsmutter verheirateter Vater sowohl gegenüber der Mutter als auch gegenüber einem mit der Kindsmutter verheirateten Vater anders behandelt würde, stelle eine Diskriminierung im Sinne von Art. 14 EMRK dar. Derartige Erwägungen haben mit dem vorliegenden Fall nichts zu tun, so dass darauf nicht näher einzugehen ist.
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt und wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist indes nicht geschuldet, zumal der Beschwerdegegnerin kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. November 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn