Fatti:
A. Il 4 marzo 2011 A.A._ ha presentato al Ministero pubblico del Cantone Ticino una denuncia penale nei confronti del dott. med. B._ in particolare per i titoli di diffamazione (art. 173 CP), di falso certificato medico (art. 318 CP) e di violazione del segreto professionale (art. 321 CP). Il denunciante rimproverava al medico di avere commesso i reati in relazione con la stesura di un certificato del 10 gennaio 2011, secondo il quale egli avrebbe presentato un disturbo grave della personalità ed avrebbe necessitato di una presa a carico psichiatrica. Il certificato medico era stato prodotto dalla coniuge C.A._ nella causa di divorzio che la opponeva al denunciante.
B. Il Procuratore generale (PG) ha interrogato il denunciato il 22 marzo 2011. Lo stesso giorno ha comunicato alle parti la chiusura dell'istruzione, prospettando l'abbandono del procedimento e assegnando loro un termine fino al 7 aprile 2011 per presentare eventuali istanze probatorie. Il 23 marzo 2011, prima di ricevere detta comunicazione, il denunciante ha chiesto al PG l'acquisizione agli atti della sua cartella sanitaria e l'audizione del medico cantonale, allo scopo di determinare le circostanze della diagnosi di grave disturbo della personalità. Il 24 marzo 2011, ricevuta nel frattempo la comunicazione della chiusura dell'istruzione, il denunciante ha chiesto al PG di evadere dapprima la sua richiesta di assunzione delle prove e di annullare di conseguenza la chiusura dell'istruzione. Ha ribadito tale richiesta anche dopo che il PG gli aveva comunicato che si sarebbe pronunciato sulla stessa alla scadenza del termine per presentare istanze probatorie. Con decisione del 12 aprile 2011, il PG ha respinto l'istanza probatoria e con un'ulteriore decisione dello stesso giorno ha decretato l'abbandono del procedimento.
C. Contro il decreto di abbandono, il denunciante ha presentato un reclamo alla Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello (CRP) che, statuendo il 5 luglio 2011, l'ha parzialmente accolto. La Corte cantonale ha annullato il decreto di abbandono limitatamente al reato di violazione del segreto professionale, imponendo al riguardo al PG di eseguire ulteriori approfondimenti.
D. A.A._ impugna questa sentenza con un ricorso in materia penale al Tribunale federale, chiedendo in via principale di annullarla, di annullare pure il decreto di abbandono e di ordinare al PG l'emanazione di un decreto di accusa per i reati di falso certificato medico e di violazione del segreto professionale. In via subordinata, chiede di annullare le decisioni delle precedenti istanze e, riguardo al reato di falso certificato medico, di ordinare al PG di assumere le prove richieste. Il ricorrente lamenta la violazione del CPP e del diritto di essere sentito, rimproverando essenzialmente alle istanze inferiori di avere abbandonato il procedimento penale nonostante l'esistenza di prove rilevanti per i prospettati reati.
E. La CRP si rimette al giudizio del Tribunale federale, mentre il PG e il denunciato chiedono di respingere il gravame. Il ricorrente ha ribadito il 25 ottobre 2011 le proprie conclusioni.
Diritto:
1. 1.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (cfr. art. 29 cpv. 1 LTF) e l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (DTF 137 III 417 consid. 1; 136 I 42 consid. 1).
1.2 La decisione impugnata è stata pronunciata in una causa in materia penale (art. 78 cpv. 1 LTF), da un'autorità di ultima istanza cantonale (art. 80 cpv. 1 LTF). Occorre nondimeno esaminare se, per la sua natura, la decisione litigiosa possa fare l'oggetto di un ricorso.
1.3 Secondo l'art. 90 LTF il ricorso al Tribunale federale è ammissibile contro le decisioni che pongono fine al procedimento. Giusta l'art. 91 LTF, il ricorso è inoltre ammissibile contro le decisioni parziali, vale a dire che concernono soltanto talune conclusioni, se queste possono essere giudicate indipendentemente dalle altre (lett. a), o che pongono fine al procedimento solo per una parte dei litisconsorti (lett. b). Eccettuati i casi disciplinati dall'art. 92 LTF, il ricorso contro le decisioni pregiudiziali e incidentali, notificate separatamente, è invece ammissibile unicamente se possono causare un pregiudizio irreparabile o se l'accoglimento del ricorso comporterebbe immediatamente una decisione finale consentendo di evitare una procedura probatoria defatigante o dispendiosa (art. 93 cpv. 1 lett. a e b LTF).
1.3.1 La decisione impugnata non è finale ai sensi dell'art. 90 LTF, poiché non pone fine al procedimento. La CRP ha infatti rinviato gli atti al PG per eseguire ulteriori approfondimenti, in particolare per quanto concerne il reato di violazione del segreto professionale.
1.3.2 Non si tratta nemmeno di una decisione parziale giusta l'art. 91 LTF. L'avversata sentenza statuisce definitivamente sulle imputazioni di falso certificato medico e di diffamazione, rinviando la causa al PG per la continuazione del procedimento riguardo al reato di violazione del segreto professionale. La questione dell'eventuale realizzazione dei reati per i quali è stato confermato il decreto di abbandono non può tuttavia essere oggetto di una procedura distinta da quella relativa alle questioni che rimangono ancora aperte, strettamente legate al medesimo complesso dei fatti. La causa verte in effetti sulla qualificazione giuridica di un unico comportamento, quale è stata in concreto la stesura del certificato medico. La sorte degli oggetti già decisi non è quindi indipendente da quella degli aspetti che rimangono in causa (DTF 135 V 141 consid. 1.4.1 e rinvii; 133 IV 137 consid. 2.2; cfr. sentenze 6B_138/2007 del 27 ottobre 2007, consid. 2.2, in: RtiD I-2008, n. 42, pag. 718 segg. e 6B_149/2007 del 17 luglio 2007 consid. 1.1).
Quanto alla seconda ipotesi menzionata dall'art. 91 LTF, nella fattispecie non entra manifestamente in considerazione.
1.3.3 La decisione potrebbe quindi essere impugnabile quale decisione pregiudiziale o incidentale alle condizioni poste dall'art. 93 LTF, il cui adempimento dovrebbe comunque essere dimostrato innanzitutto dal ricorrente (cfr. DTF 134 III 426 consid. 1.2 in fine; sentenza 6B_138/2007, citata, consid. 3.2.3). In concreto, la decisione criticata non causa tuttavia un pregiudizio irreparabile, che nemmeno è fatto valere o perlomeno reso verosimile dal ricorrente. Un simile pregiudizio deve in effetti essere di carattere giuridico, suscettibile di provocare un danno che una decisione di merito non permetterebbe di eliminare completamente (DTF 135 I 261 consid. 1.2; 133 IV 137 consid. 2.3). Un semplice prolungamento della procedura o l'aumento dei costi legati alla causa non sono al riguardo sufficienti (DTF 134 II 137 consid. 1.3.1). Peraltro, nella fattispecie, anche sotto il profilo del principio dell'unità della procedura (art. 29 CPP), si sarebbe giustificato di annullare integralmente il decreto di abbandono e di rinviare complessivamente la causa al PG per eseguire ulteriori accertamenti (cfr., sul citato principio, DTF 1B_471/2011 del 24 novembre 2011, consid. 3.2). Ritenuto che i reati prospettati sarebbero stati commessi dallo stesso imputato, concernono il medesimo complesso di fatti, sono tra loro strettamente connessi e dovendo il PG comunque continuare l'istruzione con riferimento al reato di violazione del segreto professionale, non poteva infatti essere escluso che nel prosieguo dell'inchiesta sarebbero emersi elementi tali da giustificare una riapertura del procedimento anche riguardo agli altri reati, segnatamente a quello di falso certificato medico (cfr. art. 323 CPP). Ciò ove si consideri che questo reato può essere commesso anche per negligenza (art. 318 n. 2 CP).
D'altra parte, per risolvere le questioni ancora aperte non si impone una procedura dispendiosa, che un eventuale accoglimento immediato del gravame in esame consentirebbe di evitare (cfr. DTF 133 IV 288 consid. 3.2; sentenza 6B_782/2008 del 12 maggio 2009 consid. 1.4 in: Pra 2009 n. 115 pag. 787 segg.). In tali circostanze, le condizioni poste dall'art. 93 LTF non possono essere ritenute soddisfatte nella fattispecie, sicché il gravame non può essere esaminato nel merito.
Va da sé che le censure proposte in questa sede riguardo al reato di falso certificato medico potranno se del caso essere ripresentate alla fine del procedimento (cfr. art. 93 cpv. 3 LTF), indipendentemente dal fatto che il denunciato sarà condannato o meno per l'imputazione di violazione del segreto professionale. Rimane riservata un'estensione dell'accusa in sede dibattimentale o nella procedura del decreto di accusa.
2. Ne segue che il ricorso deve essere dichiarato inammissibile. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono quindi poste a carico del ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF). Questi dovrà inoltre rifondere all'opponente privato un'indennità per ripetibili della sede federale (art. 68 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è inammissibile.
2. Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico del ricorrente, che rifonderà all'opponente un'indennità di fr. 1'000.-- a titolo di ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti, al Ministero pubblico e alla Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.