Erwägungen:
1.
Am 26. Juli 2012 kontaktierte X._ als Vertreter des Vereins Psychex die Psychiatrische Universitätsklinik Zürich und bat um Mitteilung der Anzahl Patientinnen und Patienten der Klinik, da er diese zu einer Gerichtsverhandlung zwischen dem Verein Psychex und der Herausgeberin der Zeitschrift "Beobachter" am 6. September 2012 einladen wolle. Der stellvertretende Spitaldirektor der Psychiatrischen Universitätsklinik teilte am 7. August 2012 dem Verein Psychex mit, dass die Universitätsklinik der Aufforderung keine Folge leiste. Mit Schreiben vom 23. August 2012 beantragte der Verein Psychex bei der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich die Feststellung, dass die Psychiatrische Universitätsklinik gegen Art. 6 Ziff. 1, Art. 8, Art. 10, Art. 11 und Art. 14 EMRK verstossen habe. Sinngemäss beantragte er, den Entscheid aufzuheben. Die Gesundheitsdirektion wies den Rekurs am 7. September 2012 ab.
2.
Am 10. September 2012 wandte sich der Verein Psychex erneut an die Spitaldirektion der Psychiatrischen Universitätsklinik und verlangte wiederum die Verteilung eines beigelegten Briefs an die Patientinnen und Patienten, mit dem diese zur Teilnahme an der nunmehr auf den 26. September 2012 verschobenen Gerichtsverhandlung eingeladen wurden. Die Psychiatrische Universitätsklinik reagierte nicht auf diese Anfrage.
Der Verein Psychex gelangte am 4. Oktober 2012 an den Regierungsrat des Kantons Zürich und beantragte die Feststellung, dass die Psychiatrische Universitätsklinik Verbrechen gegen Art. 6 Ziff. 1, Art. 8, Art. 10, Art. 11 und Art. 14 EMRK begangen habe. Der Regierungsrat überwies die Eingabe am 5. Oktober 2012 zur Erledigung an die Gesundheitsdirektion.
Am 28. März 2013 erhob der Verein Psychex Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und beantragte die Feststellung, dass die Psychiatrische Universitätsklinik und die Gesundheitsdirektion wiederholte Verbrechen gegen Art. 6 Ziff. 1, Art. 8, Art. 10, Art. 11 und Art. 14 EMRK begangen hätten. Zudem sei eine Strafanzeige wegen Amtsmissbrauchs zu erstatten. Das Verwaltungsgericht nahm die Eingabe vom 28. März 2013 als Rechtsverweigerungs- oder Rechtsverzögerungsbeschwerde entgegen und prüfte, ob der Gesundheitsdirektion eine übermässige Verfahrensdauer vorzuwerfen sei. Mit Urteil vom 13. Juni 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Das Verwaltungsgericht kam zusammenfassend zum Schluss, dass der Gesundheitsdirektion nicht vorgeworfen werden könne, sie hätte das Verfahren übermässig in die Länge gezogen.
3.
Der Verein Psychex führt mit Eingabe vom 12. Juli 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Anfechtungsgegenstand ist vorliegend das Urteil des Verwaltungsgerichts, mit welchem es eine Rechtsverzögerung der Gesundheitsdirektion verneinte. Soweit der Beschwerdeführer Rügen vorbringt, die ausserhalb des Anfechtungsgegenstandes liegen, ist darauf von vornherein nicht einzutreten.
5.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Verwaltungsgerichts nicht rechtsgenüglich auseinander. Er legt nicht dar, inwiefern das Verwaltungsgericht in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise ein rechtsverzögerndes Verhalten der Gesundheitsdirektion verneint haben sollte. Aus der Beschwerde ergibt sich demnach nicht, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts bzw. dessen Urteil selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
6.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich sowie der Gesundheitsdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli