Sachverhalt:
A. A.a Der 1958 geborene B._ war als Direktor der Firma X._ AG tätig. Im Oktober 1997 meldete er sich unter Hinweis auf die Folgen des bei einer Auffahrkollision am 25. Januar 1996 erlittenen Schleudertraumas der Halswirbelsäule bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 21. Juli 1998 sprach ihm die IV-Stelle des Kantons Zürich bei einem Invaliditätsgrad von 100 Prozent mit Wirkung ab 1. Januar 1997 eine ganze Invalidenrente zu.
Nach einem im Jahr 2004 durchgeführten Rentenrevisionsverfahren teilte die IV-Stelle dem Versicherten am 13. Oktober 2004 mit, der Invaliditätsgrad betrage 71 Prozent, weshalb sich am Rentenanspruch nichts ändere. Im Jahre 2007 kam es erneut zu einem Rentenrevisionsverfahren, in dessen Rahmen die IV-Stelle den Bericht des Chiropraktors Dr. A._ vom 15. Februar 2007 einholte und bei Dr. med. C._, Spezialarzt FMH für Orthopädische Chirurgie, das Gutachten vom 7. Mai 2007 veranlasste. Daraufhin teilte sie B._ mit, zur Beurteilung des Leistungsanspruchs sei eine interdisziplinäre medizinische Abklärung notwendig, welche im Institut Y._ durchgeführt werden sollte. Dieser stellte sich in der Folge auf den Standpunkt, das Gutachten des Dr. med. C._ bilde eine genügende Beurteilungsgrundlage, weshalb kein Anlass für die Anordnung einer nochmaligen Begutachtung bestehe. Mit Zwischenverfügung vom 30. August 2007 hielt die IV-Stelle an der angeordneten Begutachtung fest. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 24. Oktober 2007 auf die dagegen gerichtete Beschwerde nicht ein.
A.b Da B._ dem Begutachtungsaufgebot des Instituts Y._ keine Folge leistete, ersuchte ihn die IV-Stelle mit Schreiben vom 18. August 2008 unter Hinweis auf die Säumnisfolgen, einen Untersuchungstermin zu vereinbaren und bis spätestens am 10. September 2008 die Bereitschaftserklärung einzureichen. Diesem Ersuchen kam der Versicherte nicht nach, weshalb die IV-Stelle mit Verfügung vom 8. Januar 2009 aufgrund der Akten entschied und die bisher zugesprochene Rente auf Ende Februar 2009 hin aufhob.
B. Beschwerdeweise liess B._ beantragen, die Verfügung vom 8. Januar 2009 sei aufzuheben und die IV-Stelle sei zu verpflichten, ihm weiterhin eine ganze Invalidenrente auszurichten; eventualiter sei die Verwaltung anzuweisen, zur Abklärung der Frage, ob ein Revisionsgrund vorliege, eine polydisziplinäre Begutachtung in die Wege zu leiten. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 3. August 2010 ab.
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei die IV-Stelle anzuweisen, eine polydisziplinäre Begutachtung zur Abklärung des Vorliegens eines Revisionsgrundes in die Wege zu leiten.
Die IV-Stelle schliesst unter Verzicht auf eine Stellungnahme auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten ebenfalls auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Gegen den vorliegend angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Entscheid ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 ff. BGG). Mit dieser kann unter anderem auch die Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich Verfassungsrecht) gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Eingabe vom 10. September 2010 ist daher als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Für eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG verbleibt in dieser Konstellation kein Raum, weshalb darauf nicht einzutreten ist (SVR 2010 EL Nr. 7 S. 19, 9C_724/2009 E. 1).
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
3. 3.1 Wer Versicherungsleistungen beansprucht, muss unentgeltlich alle Auskünfte erteilen, die zur Abklärung des Anspruchs und zur Festsetzung der Versicherungsleistungen erforderlich sind (Art. 28 Abs. 2 ATSG; SR 830.1). Laut Art. 43 Abs. 1 Satz 1 ATSG prüft der Versicherungsträger die Begehren, nimmt die notwendigen Abklärungen von Amtes wegen vor und holt die erforderlichen Auskünfte ein. Soweit ärztliche oder fachliche Untersuchungen für die Beurteilung notwendig und zumutbar sind, hat sich die versicherte Person diesen zu unterziehen (Art. 43 Abs. 2 ATSG). Kommen die versicherte Person oder andere Personen, die Leistungen beanspruchen, den Auskunfts- oder Mitwirkungspflichten in unentschuldbarer Weise nicht nach, so kann der Versicherungsträger auf Grund der Akten verfügen oder die Erhebungen einstellen und Nichteintreten beschliessen. Er muss diese Personen vorher schriftlich mahnen und auf die Rechtsfolgen hinweisen; ihnen ist eine angemessene Bedenkzeit einzuräumen. Gegebenenfalls kann der Versicherungsträger das von der versicherten Person eingereichte Gesuch mit der Begründung abweisen, der Sachverhalt, aus dem diese ihre Rechte ableiten wolle, sei nicht erwiesen (vgl. BGE 117 V 261 E. 3b S. 264; SVR 2010 IV Nr. 30 S. 94, 9C_961/2008 E. 3.1).
Gemäss Art. 7b Abs. 1 IVG können die Leistungen nach Art. 21 Abs. 4 ATSG gekürzt oder verweigert werden, wenn die versicherte Person den Pflichten nach Art. 7 IVG oder nach Art. 43 Abs. 2 ATSG nicht nachgekommen ist.
3.2 Die Anwendung von Art. 43 Abs. 3 ATSG in einem Fall, bei dem es um laufende Leistungen geht und wo die versicherte Person in unentschuldbarer Weise ihrer Auskunfts- oder Mitwirkungspflicht nicht nachkommt, indem sie die Ausführungsorgane der Invalidenversicherung daran hindert, den rechtserheblichen Sachverhalt festzustellen, hat eine Umkehr der Beweislast zu Folge. Während es grundsätzlich Aufgabe der Verwaltung ist, eine erhebliche Änderung des Invaliditätsgrades abzuklären, wenn sie die Rente reduzieren oder aufheben will, wird ihr dies bei einer schuldhaften Verletzung der Mitwirkungspflicht durch die versicherte Person verunmöglicht. In einem solchen Fall obliegt es dieser, nachzuweisen, dass sich ihr Gesundheitszustand oder andere entscheidwesentliche Umstände nicht in einem den Invaliditätsgrad beeinflussenden Ausmass verändert haben (SVR 2010 IV Nr. 30 S. 94, 9C_961/2008 E. 6.3.3).
4. 4.1 Das kantonale Gericht hat erwogen, das Gutachten des Dr. med. C._ vom 7. Mai 2007 sei nicht schlüssig. Der Gutachter stütze sich bezüglich Diagnose und Beurteilung der Arbeitsfähigkeit schwergewichtig auf die Schilderungen des Versicherten, ohne diese vor dem Hintergrund der Ergebnisse der apparativen Untersuchungen zu würdigen und sich mit diesen auseinanderzusetzen. Nach den Feststellungen der Vorinstanz war die von der IV-Stelle angeordnete interdisziplinäre Begutachtung für eine abschliessende Beurteilung der gesundheitlichen Entwicklung bis zum Erlass der Revisionsverfügung vom 8. Januar 2009 notwendig und für den Beschwerdeführer überdies zumutbar. Diese Betrachtungsweise ist nicht offensichtlich unrichtig und wird auch vom Beschwerdeführer nicht in Frage gestellt, zumal dieser selber - wie bereits im kantonalen Verfahren - die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zur ergänzenden Abklärung des medizinischen Sachverhalts mittels eines polydisziplinären Gutachtens verlangt.
4.2 Verwaltung und Vorinstanz haben die vom Versicherten auch nach Verstreichen der angesetzten angemessenen Bedenkzeit und nach Darlegung der nachteiligen Rechtsfolgen für den Säumnisfall aufrecht erhaltene Weigerung, sich der MEDAS-Begutachtung zu unterziehen, als schuldhafte Verletzung der Mitwirkungspflicht gemäss Art. 43 Abs. 3 ATSG gewertet und demzufolge aufgrund der vorhandenen (unvollständigen) Akten entschieden. Weil diese den Schluss auf eine nach wie vor bestehende rentenbegründende Einschränkung der erwerblichen Leistungsfähigkeit nicht zulassen (vgl. SVR 2010 IV Nr. 30 S. 94, 9C_961/2008 E. 6.3; Urteil 9C_312/2010 vom 2. Juli 2010 E. 4), hat die IV-Stelle, bestätigt durch das kantonale Sozialversicherungsgericht, die bisher ausgerichtete ganze Invalidenrente mit Wirkung ab 1. März 2009 aufgehoben (Art. 88bis Abs. 2 lit. a IVV).
5. 5.1 Der Beschwerdeführer wendet ein, die definitive unbefristete Einstellung der Rentenzahlungen wegen Verletzung der Mitwirkungspflicht, ohne dass ihm die Möglichkeit eingeräumt worden sei, sich - entsprechend dem vorinstanzlich gestellten Eventualantrag - der von der IV-Stelle angeordneten Begutachtung zu unterziehen, nachdem das kantonale Gericht seine Weigerung als unrechtmässig beurteilt habe, verletze den Grundsatz der Verhältnismässigkeit und die Rechtsweggarantie (Art. 29a BV). Mit dem vorinstanzlichen Eventualantrag habe er klar zum Ausdruck gebracht, dass er sich im Falle der Abweisung des Hauptantrages einer Begutachtung stellen würde.
5.2 Die Verfahrensleitung liegt gemäss Art. 43 Abs. 1 ATSG beim Versicherungsträger, dessen Ermessensspielraum in Bezug auf Notwendigkeit, Umfang und Zweckmässigkeit von medizinischen Erhebungen gross ist. Bei komplexen Fällen, wie sie länger andauernde Beschwerden nach Schleudertrauma der HWS häufig darstellen, ist in der Regel eine interdisziplinäre Abklärung und Beurteilung durch Fachärzte angezeigt (vgl. BGE 134 V 109 E. 9.3 S. 124). Obwohl die üblichen Untersuchungen eines Instituts Y._ generell als zumutbar im Sinne von Art. 43 Abs. 2 ATSG gelten (SVR 2007 IV Nr. 48 S. 156, I 988/06 E. 4.2), kann die betroffene Person zur Teilnahme an der medizinischen Begutachtung nicht gezwungen werden (vgl. Pra 2009 Nr. 59 S. 382, 6B_937/2008 E. 2.3). Begründet diese die Verweigerung der persönlichen Mitwirkung an der Abklärungsmassnahme einzig damit, sie sei rechtlich nicht dazu verpflichtet, vermag diese Auffassung für sich allein die Verletzung der Mitwirkungspflicht grundsätzlich nicht zu rechtfertigen (SVR 2008 IV Nr. 18 S. 55, I 42/06 E. 4.1 und 4.7; 9C_359/2010 vom 9. Juli 2010 E. 4.5), ansonsten die Sanktionierung eines solchen Verhaltens kaum möglich wäre. Weigert sich die versicherte Person in diesem Sinne, an der Begutachtung teilzunehmen, trägt sie letztlich die Konsequenzen der Untersuchungsverweigerung (vgl. E. 3.2 hievor).
5.3 Anders verhält es sich nur, wenn die Verweigerung der Mitwirkung auf entschuldbaren Gründen beruht, etwa weil sie der versicherten Person nicht zugerechnet werden kann, da sie krankheitshalber oder aus anderen Gründen nicht in der Lage war, ihren Pflichten nachzukommen (Art. 43 Abs. 3 ATSG; Urteil 9C_994/2009 vom 22. März 2010 E. 5.2; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 51 zu Art. 43 ATSG; für weitere Beispiele vgl. URS MÜLLER, Das Verwaltungsverfahren in der Invalidenversicherung, 2010, Rz. 1121 ff. S. 212 f.). Das trifft mit Bezug auf den Beschwerdeführer jedoch nicht zu.
5.4 Hinsichtlich der gerügten Verhältnismässigkeit gilt es darauf hinzuweisen, dass dem Beschwerdeführer aufgrund der Androhung in der Mitteilung der IV-Stelle vom 18. August 2008, sie würde aufgrund der vorliegenden Akten entscheiden, was die Aufhebung der laufenden Rente zur Folge haben könnte, die Rechtsfolge klar sein musste. Bereits vorgängig war ihm mitgeteilt worden, dass nach Auffassung des Regionalärztlichen Dienstes ein weiterer Abklärungsbedarf ausgewiesen sei (Zwischenverfügung vom 30. August 2007).
5.5 Falls es dem Versicherungsträger nur um eine - an sich nicht zulässige (SVR 2007 UV Nr. 33 S. 111, U 571/06 E. 4) - sog. "second opinion" gehen sollte, kann diesem Umstand ohne weiteres auch nach Vorliegen des Ergebnisses der Begutachtung im Rahmen der Beweiswürdigung Rechnung getragen werden. Die Berufung des Beschwerdeführers auf die Verletzung der Rechtsweggarantie erweist sich daher als unbegründet.
5.6 Massgebender Zeitpunkt für die Art und den Inhalt der Behandlung eines Rentenanspruchs durch die Verwaltung ist der Erlass der streitigen Verfügung. Die erst nach Erlass einer auf Art. 43 Abs. 3 ATSG gestützten Verfügung erklärte Bereitschaft zur Durchführung der fraglichen medizinischen Abklärung macht die frühere Widersetzlichkeit einer solchen Massnahme, welche die Beurteilungsgrundlage der Verfügung aufgrund der Akten bildete, nicht ungeschehen. Daher ist eine Beschwerde, in deren Verlauf die versicherte Person nachträglich ihre Bereitschaft zur Abklärungsmassnahme erklärt, gegebenenfalls als Neuanmeldung zu behandeln (Urteile 9C_994/2009 vom 22. März 2010 E. 5; I 183/87 vom 20. Juli 1987 E. 1b zum bis 31. Dezember 2002 in Kraft gestandenen Art. 31 Abs. 1 IVG). Mit dieser erneuten Prüfung des Leistungsanspruchs für die Zukunft wird dem beschwerdeführerischen Anliegen Rechnung getragen, dass sich die festgelegte Sanktion (Entscheid aufgrund der Akten) unter dem Aspekt der Verhältnismässigkeit nur auf die Zeitspanne der Weigerung der Zusammenarbeit mit der von der IV-Stelle bezeichneten Gutachterstelle beziehen kann (vgl. dazu SVR 2007 IV Nr. 48 S. 156, I 988/06 E. 7; KIESER, a.a.O., N. 56 zu Art. 43 ATSG).
Das kantonale Gericht konnte somit, ohne Bundesrecht zu verletzen, die leistungseinstellende Verfügung vom 8. Januar 2009 ohne weiteres bestätigen.
6. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer