Sachverhalt:
A. Die 1960 geborene B._ war Schülerin/Praktikantin in der Schule X._. Am 9. August 1986 erlitt sie beim Turnen einen Unfall. Für ihre hieraus resultierenden gesundheitlichen Störungen erbrachte die Basler Versicherungs-Gesellschaft, heute Basler Versicherung AG (nachfolgend Basler), zunächst Leistungen aus der Kollektiv-Unfallversicherung. Mit Schreiben vom 16. September 1998 anerkannte sie ihre Leistungspflicht aus der obligatorischen Unfallversicherung. Mit Verfügung vom 4. Dezember 2002 ging sie von einer 100%igen Arbeitsunfähigkeit der B._ seit dem Unfall vom 9. August 1986 aus (mit Ausnahme des Zeitraums von April 1989 bis Juni 1990, wo sie einer Teilzeitbeschäftigung nachgegangen sei) und bejahte bis 31. Dezember 2002 den Taggeldanspruch; weiter gewährte sie ihr ab 1. März 1993 eine Hilflosenentschädigung aufgrund einer Hilflosigkeit leichten Grades, ab 1. Januar 2003 aufgrund einer Erwerbseinbusse von 100 % eine Komplementärrente zur Rente der Invalidenversicherung und eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 80 %; zudem übernahm sie weiterhin die unfallbedingten Behandlungskosten und Medikamente sowie die Kosten der Hauspflege.
Am 22. Dezember 2002 verletzte sich B._ bei einem Autounfall. In der Folge holte die Basler unter anderem ein Gutachten des Ärztlichen Begutachtungsinstituts (ABI) GmbH, vom 12. März 2009 ein. Mit Verfügung vom 23. März 2009 stellte die Basler die B._ am 4. Dezember 2002 zugesprochene Rente und Hilflosenentschädigung per sofort ein. Im Januar/Februar 2009 liess sie B._ privatdetektivlich observieren, worüber die beauftragte Bewachungsfirma am 6. April 2009 einen Bericht erstattete. Die Basler holte bei der ABI am 4. August 2009 eine ergänzende Stellungnahme vom 20. Oktober 2009 ein, worin diese unter anderem zu den ihr unterbreiteten Observationsunterlagen Stellung nahm. Mit Verfügung vom 30. Oktober 2009 stelle die Basler die Leistungen rückwirkend per 31. Mai 2004 ein; sie forderte von B._ Fr. 449'034.60 für unrechtmässig bezogene Renten, Teuerungszulagen und Hilflosenentschädigungen zurück; ebenfalls zurückgefordert wurden Leistungen für Heilbehandlungen ab 31. März 2004. Die von B._ erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 4. März 2010 ab. Am 19. März 2010 stellte die Basler die Verfügung vom 30. Oktober 2009 der Helsana Versicherungen AG (Krankenversicherer der B._) zu. Die von der Helsana erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 14. Juni 2010 ab.
B. Die von B._ und der Helsana eingereichten Beschwerden hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen in Aufhebung beider Einspracheentscheide dahingehend gut, dass es die Sache zur Prüfung der adäquaten Unfallkausalität der gesundheitlichen Beschwerden bzw. zur Klärung der Wiedererwägungsvoraussetzungen mit Bezug auf die Verfügung vom 4. Dezember 2002 und zur Prüfung der Leistungspflicht aus dem Ereignis vom 22. Dezember 2002 sowie zu anschliessender Neuverfügung an die Basler zurückwies (Entscheid vom 5. Dezember 2011).
C. C.a Mit Beschwerde beantragt die Basler die Aufhebung des kantonalen Entscheides und die Feststellung, dass die leistungszusprechende Verfügung vom 4. Dezember 2002 (auch) wiedererwägungsweise aufzuheben sei, weil B._ nicht bei ihr UVG-versichert gewesen sei; der Fall sei zur Beurteilung der Rückerstattungsansprüche an die Vorinstanz zurückzuweisen.
C.b B._ führt ebenfalls Beschwerde und beantragt, der vorinstanzliche Entscheid sei insoweit aufzuheben, als die Sache zur Prüfung der adäquaten Unfallkausalität der gesundheitlichen Beschwerden bzw. zur Klärung der Wiedererwägungsvoraussetzungen mit Bezug auf die Verfügung vom 4. Dezember 2002 und zur Prüfung der Leistungspflicht aus dem Ereignis vom 22. Dezember 2002 sowie zur anschliessenden Neuverfügung an die Basler zurückgewiesen werde; es sei festzustellen, dass die Verfügung vom 4. Dezember 2002 weiterhin Gültigkeit habe und die Basler ihr die darin festgelegten Versicherungsleistungen weiterhin zu erbringen habe.
C.c Ein Schriftenwechsel wurde in beiden Verfahren nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Da den beiden Beschwerden derselbe Sachverhalt zugrunde liegt, sich die gleichen Rechtsfragen stellen und die Rechtsmittel den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (BGE 128 V 124 E. 1 S. 126 mit Hinweisen).
2. 2.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG. Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
Rechtsprechungsgemäss bewirkt ein Rückweisungsentscheid in der Regel keinen irreversiblen Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG, da der Rechtsuchende ihn später zusammen mit dem neu zu fällenden Endentscheid wird anfechten können (vgl. Art. 93 Abs. 3 BGG). Anders verhält es sich allerdings, wenn durch materiellrechtliche Anordnungen im Rückweisungsentscheid der Beurteilungsspielraum der unteren Instanz wesentlich eingeschränkt wird. Sodann ist für die Verwaltung bzw. den Versicherungsträger ein nicht wieder gutzumachender Nachteil gegeben, wenn diese durch den Rückweisungsentscheid gezwungen werden, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen. Auch diesfalls braucht nicht der Endentscheid abgewartet zu werden (BGE 133 V 477 E. 5.2 S. 483 ff.; nicht publ. E. 1.1 f. des Urteils BGE 137 I 327 mit weiteren Hinweisen).
2.2 Die Basler wendet sich nur gegen die Auffassung der Vorinstanz, B._ sei als Schülerin und Praktikantin in einer Bibelschule bei ihr obligatorisch UVG-versichert gewesen (vgl. auch E. 4.2 hienach). Diese vorinstanzliche Feststellung stellt klar eine materielle Vorgabe dar, die den Beurteilungsspielraum der Basler wesentlich einschränkt. Sie wird verpflichtet, eine Verfügung auf einer Grundlage zu erlassen, die sie als rechtswidrig erachtet. Diese könnte sie in der Folge nicht selber anfechten; da die Gegenpartei in der Regel kein Interesse haben wird, den allenfalls zu ihren Gunsten rechtswidrigen Endentscheid anzufechten, könnte der kantonale Vorentscheid nicht mehr korrigiert werden und würde zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil für die Basler führen (BGE 133 V 477 E. 5.2.4 S. 484 f.; SVR 2011 AlV Nr. 14 S. 42 E. 1 [8C_74/2011]). Auf die Beschwerde der Basler ist demnach einzutreten.
2.3 Die Beschwerde der B._ richtet sich gegen die vorinstanzliche Anordnung, die Basler habe die adäquate Unfallkausalität ihrer gesundheitlichen Beschwerden zu prüfen bzw. zu klären, ob mit Bezug auf die leistungszusprechende Verfügung vom 4. Dezember 2002 die Wiedererwägungsvoraussetzungen erfüllt seien. Die Rückweisung hat hier für B._ nach der Rechtsprechung klarerweise keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge. Auch ihre Berufung auf das Urteil BGE 8C_312/2010 vom 15. Dezember 2011 ändert daran nichts. Abgesehen davon, dass sie im Unterschied zur Ausgangslage in jenem Urteil eben selbst Beschwerde erhoben hat und sich die Frage nach der Anschlussbeschwerde daher erst gar nicht stellt, ist darauf hinzuweisen, dass sie die von ihr beanstandeten Punkte auch später im Rahmen einer allfälligen Beschwerde gegen den neuen Einspracheentscheid der Basler wird anfechten können. Das Bundesgericht nimmt dazu nämlich mangels entsprechender Rüge in der Beschwerde der Basler gar nicht Stellung, insbesondere nicht zur Adäquanzfrage. Der Tatbestand von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ist somit nicht erfüllt. Nicht gegeben sind auch die Voraussetzungen für ein Eintreten auf die Beschwerde nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG (hierzu vgl. Urteil 8C_110/2011 vom 18. März 2011 E. 4). Auf die Beschwerde der B._ ist daher nicht einzutreten.
3. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
4. 4.1 Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Wiedererwägung und den Begriff der zweifellosen Unrichtigkeit der Verfügung, des Einspracheentscheides oder der faktischen Leistungszusprechung zutreffend dargelegt (Art. 53 Abs. 2 ATSG; BGE 133 V 50 E. 4.1 S. 52, 125 V 383 E. 3 S. 389; nicht publ. E. 3.1 des Urteils BGE 133 V 346; BGE 8C_727/2011 vom 1. März 2012 E. 2.1; SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81 E. 3.2 [9C_418/2010]). Darauf wird verwiesen.
4.2 Die Vorinstanz hat mit zutreffender Begründung - auf die verwiesen wird - erkannt, dass von zweifelloser Unrichtigkeit der seitens der Basler am 16. September 1998 erfolgten Anerkennung der Deckung aus obligatorischer Unfallversicherung für den Unfall der B._ vom 9. August 1986 nicht die Rede sein kann. Die Basler hat damals umfangreiche Abklärungen getätigt und trotz der Bedenken ihres Rechtsdienstes und des Schreibens des Schule X._ vom 3. März 1998 die Unterstellung der im Unfallzeitpunkt als Praktikantin tätig gewesenen B._ anerkannt. Zur Begründung führte die Basler am 16. September 1998 aus, die diversen Praktika, welche Bestandteil der Ausbildung bei der Schule X._ gebildet hätten, seien einer UVG-versicherten Tätigkeit gleichzustellen; das entsprechende Risiko sei durch den UVG-Vertrag mit der Schule X._ gedeckt. Diese Einschätzung erscheint vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage, wie sie sich damals darbot, als vertretbar, weshalb die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit ausscheidet (SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81 E. 3.2). Diese ist hier umso weniger gegeben, als die Basler nach wie vor nicht angeben kann, wer denn sonst Arbeitgeber der damaligen Praktikantin gewesen sein soll. Die Beweislosigkeit kann sich daher hier nicht zu Ungunsten der B._ auswirken. Soweit die Basler in der Beschwerdebegründung zwecks Vermeidung von Wiederholungen auf ihre Ausführungen in den vorinstanzlichen Rechtsschriften verweist, ist dies unzulässig (BGE 134 II 244; SVR 2010 UV Nr. 9 S. 35 E. 6 [8C_286/2009]). Ihre Beschwerde ist daher abzuweisen.
5. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und die Parteientschädigungen wettzuschlagen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 8C_37/2012 und 8C_87/1012 werden vereinigt.
2. Die Beschwerde der Basler Versicherung AG (8C_37/2012) wird abgewiesen.
3. Auf die Beschwerde der B._ (8C_87/2012) wird nicht eingetreten.
4. Die Gerichtskosten von total Fr. 1'500.- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, der Helsana Versicherungen AG, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. März 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar