Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 21. Dezember 2009 sprach die IV-Stelle des Kantons St. Gallen dem 1947 geborenen O._ eine Viertelsrente der Invalidenversicherung ab 1. Juni 2007 zu, dies in Berücksichtigung u.a. der Gutachten des Dr. med. K._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 27. Mai 2008 und des Zentrums A._ vom 20. Juni 2008.
B. In Gutheissung der Beschwerde des O._ hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 19. März 2012 die Verfügung vom 21. Dezember 2009 auf und sprach dem Versicherten eine halbe Rente ab dem 1. September 2006 zu.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 19. März 2012 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass O._ keinen Rentenanspruch hat.
O._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Versicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; vgl. BGE 135 II 94 E. 1 S. 96; Urteil 9C_959/2009 vom 19. Februar 2010 E. 2.1).
2. Der angefochtene Entscheid spricht dem Beschwerdegegner eine halbe Rente der Invalidenversicherung ab 1. September 2006 zu. Die Beschwerde führende IV-Stelle beantragt, es sei festzustellen, dass kein Rentenanspruch bestehe. Im selben Sinne hatte sie sich schon in der vorinstanzlichen Vernehmlassung geäussert, nachdem sie mit der angefochtenen Verfügung den Anspruch auf eine Viertelsrente ab 1. Juni 2007 bejaht hatte.
2.1 Gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Auf diese in erster Linie auf Privatpersonen zugeschnittene Beschwerdebefugnis kann sich auch eine Behörde berufen, sofern sie nicht nur ein öffentliches Interesse an der richtigen Durchführung des Bundesrechts, sondern wie ein Privater ein bestimmtes, eigenes finanzielles Interesse verfolgt oder aber in schutzwürdigen eigenen hoheitlichen Interessen berührt ist (BGE 133 V 188 E. 4.3.2 S. 192 mit Hinweisen). Dazu reicht der Umstand allein nicht aus, im Rechtsmittelverfahren unterlegen zu sein (BGE 134 II 45 E. 2.2.1 S. 47 mit Hinweisen). Heisst ein kantonales Versicherungsgericht die Beschwerde gegen die Verfügung einer IV-Stelle gut, indem es einen Rentenanspruch bejaht oder eine höhere Rente zuspricht, kann diese den betreffenden Entscheid mangels eines schutzwürdigen Interesses im Sinne von Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG daher nicht ans Bundesgericht weiterziehen. Der Beschwerdeführerin kann somit nicht gestützt auf diese Bestimmung die Rechtsmittelbefugnis zuerkannt werden.
2.2 Nach Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG sind ferner zur Beschwerde berechtigt Personen, Organisationen und Behörden, denen ein anderes Bundesgesetz dieses Recht einräumt.
2.3 Nach Art. 62 ATSG kann gegen Entscheide der kantonalen Versicherungsgerichte nach Massgabe des Bundesgerichtsgesetzes vom 17. Juni 2005 beim Bundesgericht Beschwerde geführt werden (Abs. 1). Der Bundesrat regelt das Beschwerderecht der Durchführungsorgane der einzelnen Sozialversicherungen vor dem Bundesgericht (Abs. 1bis). Gemäss Art. 57 IVG gehört zu den Aufgaben der IV-Stellen u.a. der Erlass der Verfügungen über die Leistungen der Invalidenversicherung (Abs. 1 lit. g). Der Bundesrat kann ihnen weitere Aufgaben zuweisen (Abs. 2). Der gestützt auf diese Delegationsnorm erlassene Art. 41 IVV nennt namentlich die Stellungnahme in Beschwerdefällen und die Erhebung von Beschwerden beim Bundesgericht (Abs. 1 lit. i). Diese Regelung stellt eine hinreichende gesetzliche Grundlage im Sinne von Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG dar (BGE 134 V 53 E. 2.2 S. 56 f.). Danach kommt derjenigen IV-Stelle, welche die Verfügung erlassen und am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, Rechtsmittelbefugnis zu (vgl. auch Art. 201 Abs. 1 Satz 1 AHVV in Verbindung mit Art. 89 IVV; BGE 130 V 514 E. 4.1 S. 516; BERNHARD WALDMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2011, N 64 in fine und Fn. 277 zu Art. 89 BGG). Die Beschwerdeführerin war somit grundsätzlich berechtigt, den vorinstanzlichen Entscheid, der ihre Verfügung über eine Viertelsrente aufhebt und dem Versicherten eine halbe Rente zuspricht, beim Bundesgericht anzufechten.
2.3.1 Das spezialgesetzliche Beschwerderecht nach Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG bedarf nicht des Nachweises der Voraussetzungen gemäss Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG, insbesondere ist kein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids erforderlich (BGE 134 V 53 E. 2.2.2 in fine S. 57; 106 V 139 E. 1 S. 141 vgl. WALDMANN, a.a.O., N 45 und N 64a zu Art. 89 BGG; ALAIN WURZBURGER, Commentaire de la LTF [Loi sur le Tribunal fédéral], 2009, N 43 zu Art. 98 BGG). Da die IV-Stelle im Beschwerdeverfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht die Stellung einer Partei mit allen Rechten und Pflichten (BGE 105 V 188; ISABELLE HÄNER, Die Beteiligten im Verwaltungsverfahren, 2000, S. 155 f.; FRITZ GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 1983, S. 177 und 179) hat, setzt auch ihre Rechtsmittelbefugnis indessen voraus, dass sie durch den Entscheid beschwert ist (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 199/06 vom 30. Oktober 2006 E. 2.2 mit Hinweisen zu dem insoweit gleichen Art. 103 lit. c aOG [SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz (BGG), 2007, N 60 zu Art. 89 BGG; WURZBURGER, a.a.O., N 17 zu Art. 89 BGG]). Beschwert ist die IV-Stelle, wenn sie mit ihren Anträgen nicht oder nur teilweise durchgedrungen ist (SVR 2006 IV Nr. 48 S. 176, I 586/04 E. 1.2; vgl. auch BGE 123 II 115 E. 2a S. 117 und Urteil 2C_769/2009 vom 22. Juni 2010 E. 2.1). Dies trifft vorliegend zu. Die Beschwerdeführerin hatte in der vorinstanzlichen Vernehmlassung beantragt, es sei festzustellen, dass kein Rentenanspruch bestehe; das kantonale Versicherungsgericht sprach dem Versicherten indessen eine halbe Rente (ab 1. September 2006) zu.
2.3.2 Es fragt sich, wie im Kontext der Umstand zu werten ist, dass die am Recht stehende IV-Stelle mit der vorinstanzlich angefochtenen Verfügung einen Rentenanspruch nicht verneint, sondern eine Viertelsrente (ab 1. Juni 2007) zugesprochen hatte.
2.3.2.1 Nach Art. 61 lit. d ATSG ist das Versicherungsgericht nicht an die Begehren der Parteien gebunden (Satz 1). Es kann eine Verfügung oder einen Einspracheentscheid zu Ungunsten der Beschwerde führenden Person ändern oder dieser mehr zusprechen, als sie verlangt hat, wobei den Parteien vorher Gelegenheit zur Stellungnahme sowie zum Rückzug der Beschwerde zu geben ist (Satz 2). Danach ist es zulässig, wenn eine IV-Stelle, wie im vorliegenden Fall, im erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren weniger beantragt (kein Rentenanspruch), als sie selber mit der angefochtenen Verfügung zugesprochen hat (Viertelsrente; vgl. SVR 2002 IV Nr. 40 S. 125, I 730/01 E. 3).
2.3.2.2 Mit der in Satz 1 von Art. 61 lit. d ATSG statuierten fehlenden Bindung an die Parteibegehren wird die Verwirklichung des objektiven Rechts über das subjektive Rechtsschutzinteresse gestellt (BGE 137 V 314 E. 3.2.2 S. 319 mit Hinweisen). Diese Entscheidung des Bundesgesetzgebers für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht muss im Prozess vor Bundesgericht berücksichtigt werden. Ein bereits erstinstanzlich gestelltes Begehren der IV-Stelle, selbst wenn es eine Verschlechterung gegenüber dem Verfügten bedeutet, ist daher auch letztinstanzlich zulässig (in diesem Sinne Urteil 9C_959/2009 vom 19. Februar 2010 E. 2.2; vgl. auch SVR 2006 IV Nr. 13 S. 47, I 628/01; anders und nach dem Gesagten abzulehnen SVR 2002 IV Nr. 40 S. 125, I 730/01 E. 3). Ebenfalls für diese Lösung spricht, dass in Konstellationen wie der vorliegenden auf die Beschwerde der IV-Stelle ohnehin einzutreten wäre, soweit der angefochtene Entscheid mehr zuspricht, als sie verfügt hat.
Satz 2 von Art. 61 lit. d ATSG gibt zu keiner anderen Betrachtungsweise Anlass. Durch diese Vorschrift wird zwar die prozessrechtliche Stellung der Beschwerde führenden Person verstärkt, indem bei einem Rückzug des Rechtsmittels die angefochtene Verfügung formell rechtskräftig wird (BGE 109 V 278 E. 2 S. 280; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N 95 zu Art. 61 ATSG). Sie macht indessen die Interessenabwägung zugunsten der Verwirklichung des objektiven Rechts in Satz 1 nicht wieder rückgängig. Nur ist auch Art. 61 lit. d Satz 2 ATSG letztinstanzlich zu berücksichtigen. Erachtet das Bundesgericht, anders als das kantonale Versicherungsgericht, die eine Rente zusprechende Verfügung der IV-Stelle als gesetzwidrig, ist der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache an dieses zurückzuweisen, damit es der versicherten Person Gelegenheit zum Rückzug der Beschwerde gibt, sofern nicht schon die Vorinstanz das Verfahren nach Art. 61 lit. d Satz 2 ATSG durchgeführt hat.
2.3.3 Unzulässig ist, wenn die IV-Stelle erstmals vor Bundesgericht weniger beantragt, als sie verfügt oder im kantonalen Verfahren anbegehrt hat (Art. 99 Abs. 2 BGG; BGE 136 V 362 E. 4.2 S. 367).
2.4 Nach dem Gesagten ist die auch den weiteren formellen Anforderungen genügende Beschwerde zulässig, und es ist darauf einzutreten.
3. Die Vorinstanz hat festgestellt, gemäss dem schlüssigen Gutachten des Zentrums A._ vom 20. Juni 2008, in welchem die nachvollziehbare Beurteilung aus psychiatrischer Sicht des Dr. med. K._ vom 27. Mai 2008 Eingang gefunden habe, bestehe eine Arbeitsfähigkeit von 50 % in einer leichten wechselbelastenden, adaptierten Tätigkeit. Davon ausgehend hat sie durch Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG in Verbindung mit Art. 28a Abs. 1 IVG) in Form des Prozentvergleichs (vgl. dazu Urteil 9C_882/2010 vom 25. Januar 2011 E. 7.1) einen Invaliditätsgrad von 57,5 % (100 % - 50 % x 0,85 [Abzug von 15 % gemäss BGE 126 V 75]) ermittelt, was Anspruch auf eine halbe Rente ab 1. September 2006 (Ablauf der Wartezeit [aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG, in Kraft gestanden bis Ende 2007] in diesem Monat) gab (Art. 28 Abs. 2 IVG).
4. Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt in erster Linie, die Vorinstanz habe Bundesrecht verletzt, indem sie das Vorliegen einer invalidisierenden psychischen Gesundheitsschädigung bejaht habe.
4.1 Dr. med. K._ stellte folgende Diagnosen: Mittelgradige depressive Episode mit somatischen Symptomen (ICD-10 F32.11), Verdacht auf anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) und Verdacht auf somatoforme autonome Funktionsstörung des kardiovaskulären Systems (ICD-10 F45. 30). Die IV-Stelle bringt richtig vor, dass bei einem solchen Krankheitsbild die Frage, inwieweit eine Arbeitsunfähigkeit aus medizinisch-psychiatrischer Sicht als invalidisierend im rechtlichen Sinne (Art. 4 Abs. 1 IVG sowie Art. 3 Abs. 1 und Art. 6 ATSG) anzuerkennen ist, sich nach der mit BGE 130 V 352 begründeten Rechtsprechung beurteilt (vgl. BGE 136 V 279 E. 3.2.3 S. 283). Daran ändert nichts, dass gemäss dem Gutachten des Zentrums A._ vom 20. Juni 2008 auch verschiedene somatische Befunde und Beschwerden bestehen. Diese begründen für sich allein eine Einschränkung von maximal 20 % in einer körperlich leichten wechselbelastenden Tätigkeit in Form eines erhöhten Pausenbedarfs. Aus den Verdachtsdiagnosen ergibt sich kein zusätzlicher Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit (vgl. SVR 2012 IV Nr.1 S. 1, 9C_1040/2010 E. 3.3).
4.2 4.2.1 Nach der Rechtsprechung kommt einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) ebenso wie grundsätzlich sämtlichen pathogenetisch-ätiologisch unklaren syndromalen Beschwerdebildern ohne nachweisbare organische Grundlage (BGE 136 V 279 E. 3.2.3 S. 283) nur ausnahmsweise invalidisierender, d.h. einen Rentenanspruch begründender Charakter zu (Art. 4 Abs. 1 IVG sowie Art. 3 Abs. 1 und Art. 6 ATSG; grundlegend BGE 130 V 352). Entscheidend ist, ob und inwiefern die versicherte Person über psychische Ressourcen verfügt, die es ihr erlauben, trotz den subjektiv erlebten Schmerzen einer Arbeit nachzugehen (BGE 130 V 352 E. 2.2.4 S. 355; 127 V 294 E. 4b/cc in fine und E. 5a S. 299 unten). Umstände, die bei Vorliegen eines solchen Krankheitsbildes die Verwertung der verbliebenen Arbeitskraft auf dem Arbeitsmarkt als unzumutbar erscheinen lassen können, sind: Eine Komorbidität im Sinne eines vom Schmerzgeschehen losgelösten eigenständigen psychischen Leidens von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer, chronische körperliche Begleiterkrankungen mit mehrjährigem Krankheitsverlauf bei unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerfristige Remission, sozialer Rückzug, ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn), unbefriedigende Ergebnisse von konsequent durchgeführten Behandlungen (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) und gescheiterte Rehabilitationsmassnahmen bei vorhandener Motivation und Eigenanstrengung der versicherten Person (BGE 132 V 65 E. 4.2.2 S. 71; 130 V 352 E 2.2.3 S. 353 ff.; Urteil 9C_1061/2009 vom 11. März 2010 E. 5.4.3.1.1). Umgekehrt sprechen u.a. eine erhebliche Diskrepanz zwischen den geschilderten Schmerzen und dem gezeigten Verhalten oder der Anamnese, die Angabe intensiver in der Umschreibung vager Schmerzen oder behauptete schwere Einschränkungen im Alltag bei weitgehend intaktem psychosozialen Umfeld gegen das Vorliegen eines invalidisierenden Gesundheitsschadens (BGE 131 V 49 E. 2.1 S. 51; Urteil 9C_736/2011 vom 7. Februar 2012 E. 1.1).
4.2.2 Unabdingbare Grundlage für die Beurteilung der Rechtsfrage, ob und gegebenenfalls inwieweit einer versicherten Person unter Aufbringung allen guten Willens die Überwindung ihrer Schmerzen und die Verwertung ihrer verbleibenden Arbeitskraft zumutbar ist oder nicht, bilden die fachärztlichen Stellungnahmen zum psychischen Gesundheitszustand und zu dem aus medizinischer Sicht (objektiv) vorhandenen Leistungspotenzial (BGE 130 V 352 E. 2.2.5 S. 355). Bei ihrer Einschätzung der psychischen Ressourcen des Exploranden, mit den Schmerzen umzugehen, haben die begutachtenden Ärzte notwendigerweise auch die in E. 4.2.1 hievor genannten Kriterien zu beachten (BGE 135 V 201 E. 7.1.3 S. 213; 130 V 352 E. 2.2.4 S. 355) und sich daran zu orientieren (Ulrich Meyer, Die Rechtsprechung zur Arbeitsunfähigkeitsschätzung bei somatoformen Schmerzstörungen, in: Medizin und Sozialversicherung im Gespräch, 2006, S. 221). Insbesondere haben sie sich dazu zu äussern, ob eine psychische Komorbidität gegeben ist oder weitere Umstände vorliegen, welche die Schmerzbewältigung behindern (SVR 2008 IV Nr. 23 S. 71, I 683/06 E. 2.2). Nicht erforderlich ist, dass sich eine psychiatrische Expertise in jedem Fall über jedes einzelne der genannten Kriterien ausspricht; massgeblich ist eine Gesamtwürdigung der Situation (SVR 2005 IV Nr. 6 S. 21, I 457/02 E. 7.4 mit Hinweis, nicht publ. in: BGE 130 V 396). Gestützt darauf haben die rechtsanwendenden Behörden zu prüfen, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine im Hinblick auf eine erwerbliche Tätigkeit nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung zu erlauben (Urteil 9C_482/2010 vom 21. September 2010 E. 4.3). Die Prüfung schliesst die Beurteilung der Frage ein, inwiefern die ärztliche Einschätzung der psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit invaliditätsfremde Gesichtspunkte (insbesondere psychosoziale und soziokulturelle Belastungsfaktoren) mitberücksichtigt (Urteil 9C_651/2009 vom 7. Mai 2010 E. 5.1; Urteil 9C_1040/2010 vom 6. Juni 2011 E. 3.4.1; vgl. auch Jörg Jeger, Tatfrage oder Rechtsfrage? Abgrenzungsprobleme zwischen Medizin und Recht bei der Beurteilung der Arbeitsfähigkeit in der Invalidenversicherung. Ein Diskussionsbeitrag aus der Sicht eines Mediziners [2. Teil], SZS 2011 S. 580 ff.; Urteil 9C_936/2011 vom 21. März 2012 E. 1.2).
Der Beschwerdegegner scheint die Rechtsprechung zur Abgrenzung von Tat- und Rechtsfrage bei der Beurteilung des invalidisierenden Charakters einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung bzw. allgemein pathogenetisch-ätiologisch unklarer syndromaler Beschwerdebilder ohne nachweisbare organische Grundlage bestreiten zu wollen. Er bringt jedoch nichts zur Begründung vor, weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist (Art. 41 Abs. 2 BGG; vgl. im Übrigen auch SVR 2012 IV Nr. 32 S. 127, 9C_776/2010).
4.3 4.3.1 Dr. med. K._ wurden "entsprechend dem BGE I 689/03 [BGE 130 V 352], Absatz 2.2.3", folgende Zusatzfragen gestellt: - "Liegt aus gutachterlicher Sicht die Grundsatzvariante der zumutbaren Schmerzüberwindung vor oder eine der beiden Ausnahmen mit Unzumutbarkeit (spezifizierte psychische Komorbidität und andere qualifizierende Kriterien)?" - "Ist es dem Versicherten bei Aufwendung der zumutbaren Willensanstrengung möglich, die Schmerzen zu überwinden und eine höhere Arbeitsleistung zu erbringen?".
Der Gutachter beantwortete die Fragen wie folgt: "Beim Versicherten besteht offensichtlich eine psychische Komorbidität, wobei aus psychiatrischer Sicht die Grundsatzvariante der zumutbaren Schmerzüberwindung doch teilweise vorhanden ist. Dem Versicherten ist es bei Aufwendung der zumutbaren Willensanstrengung möglich, die Schmerzen zu überwinden und eine 50%ige Arbeitsleistung zu erbringen".
4.3.2 Damit hat sich nach Auffassung der Vorinstanz Dr. med. K._ mit der Frage der invalidisierenden Wirkung des psychischen Gesundheitsschadens (mittelgradige depressive Episode mit somatischen Symptomen [ICD-10 F32.11], Verdacht auf anhaltende somatoforme Schmerzstörung [ICD-10 F45.4] und Verdacht auf somatoforme autonome Funktionsstörung des kardiovaskulären Systems [ICD-10 F45. 30]; vorne E. 4.1) auseinandergesetzt und den rechtlichen Rahmenbedingungen Rechnung getragen. Die IV-Stelle könne sich nicht darüber hinwegsetzen und die ärztliche Stellungnahme zur Arbeitsfähigkeit durch eigene Arbeitsfähigkeitsschätzungen ersetzen.
Dieser Argumentation zufolge ist somit aufgrund der Beurteilung des psychiatrischen Experten (auch) die rechtlich massgebende erhebliche Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer der mittelgradigen depressiven Episode zu bejahen (vorne E. 4.2.1 und 4.2.2). Dagegen wendet die IV-Stelle zu Recht ein, dass gemäss Dr. med. K._ die Fixierung auf die Thoraxschmerzen, welche nach dem im Mai 2005 erlittenen Herzinfarkt auftraten, zur Entwicklung der depressiven und anhaltenden somatoformen Schmerzstörung geführt habe. Dies wirft die Frage auf, ob die mittelgradige depressive Episode als eigenständige Krankheit zu betrachten ist, oder ob darin nicht in erster Linie eine (reaktive) Begleiterkrankung zum Schmerzsyndrom zu sehen ist, was gegen das Vorliegen einer psychischen Komorbidität spräche (vorne E. 4.2.1). Sodann weist die IV-Stelle richtig darauf hin, dass mittelgradige depressive Episoden grundsätzlich keine von depressiven Verstimmungszuständen klar unterscheidbare andauernde Depression im Sinne eines verselbständigten Gesundheitsschadens darstellen, die es der betroffenen Person verunmöglichten, die Folgen der Schmerzstörung zu überwinden (SVR 2011 IV Nr. 57 S. 171, 8C_958/2010 E. 6.2.2.2; Urteil 8C_369/2011 vom 9. August 2011 E. 4.3.2 mit Hinweisen). Leichte bis höchstens mittelschwere psychische Störungen aus dem depressiven Formenkreis gelten auch grundsätzlich als therapeutisch angehbar (vgl. Habermeyer/venzlaff, Affektive Störungen, in: Psychiatrische Begutachtung, 5. Aufl. 2009, S. 193; SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 5.3.4; Urteil 9C_736/2011 vom 7. Februar 2012 E. 4.2.2.1).
4.3.3 Aufgrund des Vorstehenden kann eine auch rechtlich bedeutsame Einschränkung der Arbeitsfähigkeit aus psychischen Gründen nur bejaht werden, wenn weitere der diesbezüglich massgebenden Kriterien (vorne E. 4.2.1) gegeben sind. Die Vorinstanz hat dazu keine Feststellungen getroffen. Die IV-Stelle hat in der Beschwerde einlässlich begründet, dass die Frage zu verneinen ist. Insbesondere seien die therapeutischen Möglichkeiten (noch) nicht ausgeschöpft. Der Beschwerdegegner bringt nichts dagegen vor. Unter diesen Umständen ist eine psychisch bedingte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zu verneinen.
5. Weiter bestreitet die IV-Stelle die von der Vorinstanz vorgenommene Kürzung des dem Invalideneinkommen entsprechenden Prozentsatzes um 15 % (vorne E. 3). Dieser Punkt kann offenbleiben. Gemäss dem Gutachten des Zentrums A._ vom 20. Juni 2008 besteht aus somatischer Sicht eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 20 %. Daraus resultiert bei im Übrigen unveränderter Invaliditätsbemessung ein Invaliditätsgrad von 32 % (100 % - 80 % x 0,85), was für den Anspruch auf eine Rente nicht ausreicht (Art. 28 Abs. 2 IVG).
6. Damit wird der Beschwerdegegner schlechter gestellt, als er es aufgrund der Verfügung vom 21. Dezember 2009 (Viertelsinvalidenrente) war. Die Sache ist daher zur Durchführung des Verfahrens nach Art. 61 lit. d ATSG an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. E. 2.3.2.2). Sollte der Beschwerdegegner die vorinstanzliche Beschwerde zurückziehen, ist die IV-Stelle daran zu erinnern, dass eine Aufhebung der Verfügung vom 21. Dezember 2009 betreffend Viertelsrente, vorbehältlich der Revision nach Art. 17 Abs. 1 ATSG, nur nach Art. 53 Abs. 2 ATSG in Betracht fiele, wobei die Wiedererwägungsvoraussetzungen in Anbetracht des in E. 3 und 4 Gesagten kaum erfüllt sein dürften (vgl. statt vieler BGE 131 V 414 E. 2 S. 417 mit Hinweis; SVR 2011 IV Nr. 71 S. 213, 9C_994/2010 E. 3.2.1).
7. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten grundsätzlich dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 BGG; BGE 125 V 201 E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 19. März 2012 wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne von E. 6 verfahre.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdegegner Rechtsanwalt Jürg Grämiger als Rechtsbeistand beigegeben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Jürg Grämiger wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hat die Gerichtskosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festzusetzen und über das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege zu befinden.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, der Ausgleichskasse Zürcher Arbeitgeber und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. August 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler