Faits:
A. Les Etablissements publics pour l'intégration (ci-après: les Etablissements) sont une entreprise de droit public genevois. Ils ont pour but l'intégration et la réinsertion professionnelle des personnes handicapées, l'augmentation de leur autonomie et l'amélioration de leurs conditions de vie en tenant compte de leurs besoins particuliers. A cet effet, ils exploitent la Résidence Y._.
En septembre 2004, X._, née en 1952, a été engagée en qualité d'employée d'entretien par Z._ S.A., une société ayant notamment pour activités l'entretien et le nettoyage de bâtiments. Le 14 septembre 2006, après avoir travaillé dans différents établissements, l'intéressée a été intégrée dans l'équipe chargée d'assurer le nettoyage de la Résidence Y._. Le même jour, alors que X._ se trouvait dans le couloir de la résidence, A._, un pensionnaire de l'institution, s'est emparé du chariot de travail de celle-ci. Selon les déclarations de l'intéressée, le pensionnaire lui aurait donné plusieurs coups violents sur le bras droit, avant de le "serrer sans ménagement, tandis qu'elle-même cherchait à se dégager en criant". Arrivé sur les lieux de l'incident, B._, socio-éducateur, a indiqué avoir constaté "une marque de griffure sur le bras" de X._.
Le 3 octobre 2006, X._ s'est rendue à la policlinique des Hôpitaux Universitaires de Genève. Après une radiographie du bras droit, l'intéressée a dû porter son bras en écharpe, l'enduire d'une crème et suivre un traitement de physiothérapie. Un arrêt complet de travail a également été prescrit. X._ a annoncé cet accident à la SUVA le 18 octobre 2006.
Depuis lors, l'intéressée a été suivie médicalement et a fait l'objet de différents traitements. Dans un courrier du 9 avril 2009 adressé à la SUVA, le docteur C._ a constaté que le cas de X._ n'évoluait pas favorablement et que celle-ci souffrait toujours de douleurs chroniques accompagnées d'une impotence fonctionnelle de son bras droit. Par la suite, le docteur C._ a confirmé l'existence d'un lien possible entre la pathologie dont souffrait l'employée et "l'agression" du mois de septembre 2006.
B. Le 7 janvier 2010, Ana X._ a introduit une action en responsabilité contre les Etablissements pour acte illicite commis par leurs agents et violation du devoir de protection de l'employeur. A titre subsidiaire, elle a demandé une réparation sur la base d'une responsabilité pour acte licite. En substance, X._ a reproché aux Etablissements, à travers leurs agents, d'avoir omis de refermer la porte de A._ à clé, ce qui aurait permis d'éviter que l'agression ne se produise. Elle a conclu à la condamnation des Etablissements au paiement d'une somme totale de 608'722 fr. plus intérêts moratoires.
Le 27 septembre 2011, le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal de première instance) a rejeté la demande en paiement dont il était saisi, considérant que les Etablissements ne possédaient pas la légitimation passive et que l'action de la demanderesse était prescrite.
Par arrêt du 22 juin 2012, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a confirmé le jugement du 27 septembre 2011 dans la mesure où il déboutait X._ de sa demande fondée sur l'existence d'un acte illicite (art. 2 de la loi cantonale genevoise du 24 février 1989 sur la responsabilité de l'Etat et des communes [LREC; RSG A 2 40]) et sur la violation du devoir de protection de l'employeur (art. 328 al. 2 CO). Elle l'a en revanche annulé en tant qu'il avait retenu que la demande était prescrite et renvoyé la cause au Tribunal pour instruction et pour nouvelle décision au sujet des conclusions de X._ fondées sur l'art. 4 LREC (responsabilité pour acte licite). En substance, les juges ont considéré que le renvoi se justifiait dès lors que "les prétentions fondées sur l'art. 4 LREC sembl[aient] justifiées au moins partiellement, pour autant que l'incident du 14 septembre 2006 soit la ou l'une des causes de l'atteinte au bras droit de l'appelante". En outre, il fallait aussi déterminer si une éventuelle faute concomitante pouvait être reprochée à la victime. Il appartenait dès lors au Tribunal d'instruire ces questions et de rendre une nouvelle décision.
C. A l'encontre de cet arrêt, les Etablissements (ci-après: le recourant ou l'établissement recourant) ont interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Ils concluent, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt du 22 juin 2012 et à la confirmation du jugement de première instance.
X._ (ci-après: l'intimée) s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et conclut au fond au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt de la Cour de justice du 22 juin 2012. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire, produisant des justificatifs sur sa situation financière. La Cour de justice se réfère aux considérants de son arrêt. L'établissement recourant a répliqué le 16 novembre 2012 et l'intimée a dupliqué le 3 décembre 2012. Le 9 janvier 2013, le recourant a déposé une nouvelle écriture en réponse aux observations de l'intimée, qui a elle-même pris position le 28 janvier 2013.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 136 II 101 consid. 1 p. 103).
1.1 Se fiant à l'indication des voies de recours figurant dans l'arrêt attaqué, le recourant a interjeté un recours en matière civile. Ses conclusions à l'égard de X._ reposent toutefois sur la LREC, soit sur du droit public cantonal. Il convient dès lors d'admettre que l'arrêt attaqué est en principe susceptible de faire l'objet d'un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral (art. 82 let. a LTF), la cause ne relevant pas du domaine de la responsabilité de l'Etat pour les activités médicales, pour lequel la voie du recours en matière civile est exceptionnellement ouverte (cf. art. 30 al. 1 let. c ch. 1 et 31 al. 1 let. d du règlement du Tribunal fédéral du 20 novembre 2006 [RTF; RS 173.110.131] et ATF 133 III 462 consid. 2.1 p. 465). L'intitulé erroné d'un recours ne nuit cependant pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies (ATF 131 I 291 consid. 1.3 p. 296; 126 II 506 consid. 1a p. 508).
1.2 En l'occurrence, le présent recours a été interjeté dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. L'établissement recourant était partie à la procédure devant les instances précédentes et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée. En tant qu'établissement de droit public doté de la personnalité juridique, le recourant assume une responsabilité exclusive pour le dommage que ses agents causent à des tiers de manière licite ou illicite (cf. art. 9 LREC et 28 de la loi cantonale genevoise du 16 mai 2003 sur l'intégration des personnes handicapées [LIPH; RSG K 1 36]; THIERRY TANQUEREL, Manuel de droit administratif, 2011, p. 562). Il a donc qualité pour recourir selon l'art. 89 al. 1 LTF (arrêts 2C_397/2012 du 19 novembre 2012 consid. 1.6, in SJ 2013 I p. 136; 2C_111/2011 du 7 juillet 2011 consid. 1.2, in SJ 2012 I p. 97). Le fait que la légitimation passive n'ait pas été admise en première instance est sans incidence dès lors que la légitimation active, ou passive, est une question de droit matériel, c'est-à-dire une question de fond (ATF 136 III 365 consid. 2.1 p. 367) qui n'influence donc pas la recevabilité du recours interjeté par l'établissement public en cause. L'arrêt attaqué a en outre été rendu par une autorité judiciaire cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et 2 LTF), ne tombe pas sous le coup des exceptions de l'art. 83 LTF, et porte sur une valeur litigieuse supérieure à la limite de 30'000 fr. prévue à l'art. 85 al. 1 let. a LTF. Encore faut-il, pour qu'il puisse être entré en matière, que l'arrêt attaqué constitue une décision susceptible de faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral.
2. 2.1 En vertu de l'art. 90 LTF, le recours au Tribunal fédéral est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure. Il est également ouvert contre les décisions finales partielles (art. 91 LTF) ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours aux conditions de l'art. 93 al.1 LTF.
2.2 Selon la jurisprudence, la décision par laquelle une autorité judiciaire supérieure admet le principe de la responsabilité, mais renvoie la cause à l'instance inférieure pour qu'elle se prononce sur le dommage, n'est pas considérée, sous l'angle de la LTF, comme un jugement final ou final partiel au sens des art. 90 et 91 LTF, mais comme une décision incidente qui ne peut être soumise directement au Tribunal fédéral qu'aux conditions de l'art. 93 al. 1 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.1.3 p. 481; arrêts 9C_54/2011 du 11 juillet 2011 consid. 2.1; 2C_111/2011 du 7 juillet 2011 consid. 1.1.1, in SJ 2012 I p. 97). Il en va a fortiori de même lorsque la décision admet l'existence d'une des conditions de la responsabilité, mais renvoie la cause à l'autorité inférieure pour qu'elle examine l'existence des autres conditions propres à fonder celle-ci (cf. arrêt 2C_397/2012 du 19 novembre 2012 consid. 1.2, in SJ 2013 I p. 136).
2.3 Le présent recours est dirigé contre un arrêt par lequel la Cour de justice, à l'instar du Tribunal de première instance avant elle, a examiné les questions de la prescription de l'action en responsabilité de l'Etat et de la légitimation passive de l'établissement recourant. Contrairement au Tribunal de première instance, la Cour de justice a rejeté l'exception de prescription soulevée par le recourant et a examiné la responsabilité des Etablissements pour les lésions corporelles diagnostiquées chez l'intimée, sous l'angle de la condition d'un acte dommageable licite, qui selon l'art. 4 LREC, peut justifier une réparation de l'Etat à certaines conditions. Admettant qu'une telle prétention "sembl[ait] justifiée[...] au moins partiellement", la Cour de justice a renvoyé la cause au juge de première instance pour instruction et nouvelle décision au sujet de la responsabilité pour acte licite et, le cas échéant, d'une éventuelle faute concomitante de l'intimée. En tant qu'il ne se prononce que sur la prescription et sur la légitimation passive du recourant, renvoyant pour le surplus la cause à l'instance inférieure pour nouvelle décision, l'arrêt attaqué doit, conformément à la jurisprudence précitée, être qualifié de décision incidente. En effet, comme l'a relevé la Cour de justice, le Tribunal de première instance devra notamment aborder les conditions de la causalité et de l'éventuelle faute concomitante de l'intimée avant de pouvoir trancher la question de la responsabilité du recourant. L'arrêt attaqué constitue donc une étape vers la décision (finale) statuant sur l'éventuelle responsabilité pour acte licite du recourant, le sort du litige n'étant pas fixé par la décision de renvoi. La recevabilité du recours suppose donc que les conditions de l'art. 93 al. 1 LTF soient réunies.
3. 3.1 Selon l'art. 93 al. 1 LTF, une décision préjudicielle ou incidente peut être entreprise immédiatement si elle peut causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Les deux conditions requises par l'art. 93 al. 1 let. b LTF sont cumulatives (cf. ATF 133 III 629 consid. 2.4.1 p. 633). A moins que ces conditions ne sautent aux yeux, il appartient au recourant d'en démontrer la réalisation sous peine d'irrecevabilité (ATF 136 IV 92 consid. 4 p. 95; 134 II 137 consid. 1.3.3 p. 141; arrêt 2C_111/2011 du 7 juillet 2011 consid. 1.1.1, in SJ 2012 I p. 97).
3.2 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF s'entend du dommage qui ne peut pas être réparé ultérieurement, notamment par la décision finale. Selon la jurisprudence, un préjudice ne peut être qualifié d'irréparable que s'il cause un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (ATF 133 V 645 consid. 2.1 p. 647 et les références). En revanche, un dommage de pur fait, comme la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme irréparable (ATF 131 I 57 consid. 1 p. 59 et les arrêts cités). C'est pourquoi un jugement de renvoi ne cause généralement aucun dommage irréparable (ATF 133 V 477 consid. 5.2 p. 483; arrêt 4A_632/2012 du 21 février 2013 consid. 2.1).
En l'espèce, l'établissement recourant voit un préjudice irréparable dans le fait de retenir arbitrairement une éventuelle responsabilité de sa part fondée sur l'art. 4 LREC. Ce faisant, le recourant ne parvient toutefois pas à mettre en évidence un dommage de nature juridique qu'une décision finale ne pourrait pas faire disparaître. En effet, dans l'hypothèse où la décision de la dernière instance cantonale donnerait tort au recourant, celui-ci pourrait invoquer les griefs qu'il fait valoir dans la présente procédure. Ainsi, le grief tiré de l'arbitraire dans l'application de l'art. 4 LREC pourrait être soulevé dans le cadre d'un éventuel recours contre la décision finale. Il pourrait aussi contester le rejet de l'exception de prescription (cf. art. 93 al. 3 LTF; arrêts 5A_103/2012 du 11 mars 2013 consid. 1.3; 4A_51/2008 du 28 mars 2008 consid. 1.2). L'existence d'un préjudice irréparable doit donc être niée.
3.3 L'ouverture du recours, prévue pour des motifs d'économie de procédure (art. 93 al. 1 let. b LTF), contre une décision incidente constitue une exception et doit être interprétée de manière restrictive (ATF 133 IV 288 consid. 3.2 p. 292). Le Tribunal fédéral examine librement le point de savoir si l'admission du recours permettrait d'éviter une procédure d'administration des preuves longue et coûteuse. Il appartient cependant au recourant d'établir que cette condition est réalisée, si celle-ci n'est pas manifeste (cf. supra consid. 3.1 in fine); il doit en particulier indiquer de manière détaillée quelles questions de fait sont encore litigieuses, quelles preuves - déjà offertes ou requises - devraient encore être administrées et en quoi celles-ci entraîneraient une procédure probatoire longue et coûteuse (ATF 134 II 137 consid. 1.3.3 p. 141; 133 III 629 consid. 2.4.2 p. 633).
Tout complément d'instruction entraîne nécessairement des frais et un prolongement de la procédure; cela ne suffit pas pour ouvrir le recours immédiat. Pour que la condition légale soit remplie, il faut que la procédure probatoire, par sa durée et son coût, s'écarte notablement des procès habituels. Si l'administration des preuves doit se limiter à entendre les parties, à leur permettre de produire des pièces et à procéder à l'interrogatoire de quelques témoins, un recours immédiat n'est pas justifié. Il en va différemment s'il faut envisager une expertise complexe, plusieurs expertises, l'audition de très nombreux témoins ou l'envoi de commissions rogatoires dans des pays lointains (arrêt 4A_632/2012 du 21 février 2013 consid. 2.2.2). Le Tribunal de céans a admis qu'une décision de renvoi pouvait faire l'objet d'un recours immédiat lorsque, pour établir l'existence du dommage allégué, il n'était pas exclu qu'une expertise médicale soit nécessaire, de même que l'audition de certains témoins résidant à l'étranger. L'établissement des faits pertinents s'avérait, en outre, difficile en raison de l'éloignement du demandeur à l'étranger et de l'écoulement du temps entre la blessure de l'intéressé et l'instruction du dossier (2C_111/2011 du 7 juillet 2011 consid. 1.1.3, in SJ 2012 I p. 97). De même, le Tribunal fédéral a considéré que l'audition d'une dizaine de témoins, l'interrogatoire des parties et la mise en ?uvre d'une expertise judiciaire, eu égard au nombre de personnes impliquées, à la complexité de la situation de fait et de droit et à l'existence d'une procédure pénale parallèle de grande ampleur, constituaient des mesures probatoires de nature à "renchérir[...] et rallonger[...] indubitablement la procédure probatoire au point de justifier le recours immédiat au Tribunal fédéral" (arrêt 4A_210/2010 du 1er octobre 2010 consid. 3.3.2.1, non publié in ATF 136 III 502). Par ailleurs, le texte légal prend en compte les seuls délais et coûts de la procédure probatoire, à l'exclusion des autres motifs de retard dans la marche du procès; il ne suffit donc pas que la cause implique des recherches juridiques fastidieuses, ou qu'elle soit propre à entraîner la rédaction de longues écritures (arrêt 4A_632/2012 du 21 février 2013 consid. 2.2.2).
En l'occurrence, le recourant relève à juste titre que l'admission de l'exception de prescription mettrait fin à la cause. La première condition requise par l'art. 93 al. 1 let. b LTF est donc remplie. En effet, s'il devait admettre l'exception de prescription, le Tribunal fédéral pourrait prononcer sur le champ le rejet définitif des prétentions de l'intimée. Comme l'indique le recourant, on parviendrait au même résultat si le Tribunal fédéral devait dénier sa légitimation passive. En revanche, la seconde exigence de l'art. 93 al. 1 let. b LTF n'est pas réalisée. Le recourant se contente d'alléguer qu'au vu "du complexe de faits médicaux", l'instruction serait "plus longue et coûteuse que d'ordinaire". Or, une motivation aussi sommaire, qui n'expose pas précisément quelles preuves devraient encore être administrées ni leur coût, ne répond pas aux exigences posées par la jurisprudence. Au demeurant, il n'est pas manifeste que le complément d'instruction entraînerait une procédure probatoire qui, par sa durée et son coût, s'écarterait notablement des procès habituels. Il semble au contraire que les faits sont acquis pour une bonne partie. Le Tribunal de première instance a déjà administré les preuves testimoniales et rapports d'expert, si bien qu'on ne voit pas qu'une décision finale intervenant à ce stade permettrait d'éviter des mesures probatoires. Tout au plus, le Tribunal de première instance devra-t-il reconvoquer certains témoins déjà entendus pour instruire les questions relatives à la causalité et à la faute concomitante. Cela n'implique cependant pas, du moins de manière manifeste, une expertise complexe, l'audition de très nombreux témoins ou l'envoi de commission rogatoires dans des pays lointains.
En conclusion, le recours ne satisfait pas aux conditions de recevabilité posées à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF et, partant, doit être déclaré irrecevable.
4. Compte tenu de l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, dont l'intérêt patrimonial est en cause (art. 66 al. 1 et 4 LTF; arrêt 2C_692/2012 du 10 février 2013 consid. 3.2). Il versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 LTF). Dans ces circonstances, la demande d'assistance judiciaire déposée par cette dernière devient sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 8'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 8'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant et de l'intimée ainsi qu'à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 7 mai 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: McGregor