Sachverhalt:
A. Während ihrer Ehe mit X._ gebar Z._ 1989 die Tochter Y._. In einem Eheschutzverfahren zwischen X._ und Z._ fand am 2. Juni 2005 eine Instruktionsverhandlung statt, an der zur Sprache kam, ob X._ überhaupt der Erzeuger von Y._ sei.
B. Mit Eingabe vom 15. Mai 2006 stellte X._ beim Amtsgerichtspräsidium von A._ ein Gesuch um Ansetzung einer Aussöhnungsverhandlung mit Z._ und Y._ betreffend Anfechtung der Vaterschaft (Art. 256 ZGB) bezüglich Y._. X._ reichte in der Folge am 31. Oktober 2006 gegen Z._ und Y._ eine Anfechtungsklage nach den Art. 256 ff. ZGB ein.
Das Amtsgericht A._ wies die Klage am 4. September 2008 ab.
Mit Urteil vom 9. März 2009 wies das Obergericht (II. Kammer) des Kantons Luzern seinerseits die von X._ gegen den amtsgerichtlichen Entscheid erhobene Appellation ab, soweit es darauf eintrat.
C. X._ führt (in der gleichen Rechtsschrift; Art. 119 Abs. 1 BGG) Beschwerde in Zivilsachen wie auch Verfassungsbeschwerde und verlangt im Wesentlichen, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Klage nach Durchführung eines Vaterschaftstests gutzuheissen; allenfalls sei die Sache zu neuer Beurteilung an die kantonale Instanz zurückzuweisen.
Vernehmlassungen zu den Beschwerden sind nicht eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid in einer Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Natur, so dass die Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 ff. BGG) offen steht. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a-c BGG). Unter das Bundesrecht im Sinne dieser Bestimmung fallen auch verfassungsmässige Rechte des Bundes (BGE 133 III 446 E. 3.1 S. 447; 133 I 201 E. 1 S. 203). Der Beschwerdeführer macht denn auch Verstösse gegen Art. 8 BV (Gleichheitsgebot), Art. 13 BV (Anspruch auf Achtung des Privat- und Familienlebens) und Art. 29 Abs. 2 BV (Anspruch auf rechtliches Gehör) sowie gegen Völkerrecht geltend. Da die Beschwerde in Zivilsachen somit für sämtliche vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen zulässig ist, ist der gleichzeitig eingereichten - subsidiären - Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) die Grundlage entzogen. Auf diese ist daher nicht einzutreten.
2. 2.1 In der Begründung der Beschwerde ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletze (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet wird (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen). Bei der Willkürrüge ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein soll. Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (BGE 133 I 149 E. 3.1 S. 153; 133 III 589 E. 2 S. 591 f.; je mit Hinweisen).
2.2 Nach Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
3. Im Verzicht der kantonalen Instanzen auf die von ihm verlangte Einvernahme von B._ als Zeuge erblickt der Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbots und eine Missachtung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Die von ihm angerufene Bestimmung von Art. 29 Abs. 2 BV hindert den Richter nicht daran, einem beantragten Beweismittel aufgrund einer vorweggenommenen Beweiswürdigung, weil er seine Überzeugung bereits aus anderen Beweisen gewonnen hat und davon ausgeht, dass weitere Abklärungen am massgeblichen Beweisergebnis nichts mehr zu ändern vermöchten, die Tauglichkeit abzusprechen (vgl. BGE 130 III 591 E. 5.4 S. 602; 129 III 18 E. 2.6 S. 24 f.). Verfassungswidrig ist das Übergehen des Beweisantrags in einem solchen Fall einzig dann, wenn die Annahme der Untauglichkeit des Beweismittels bzw. die vorweggenommene Beweiswürdigung willkürlich ist.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit dem von der Vorinstanz im Sinne einer antizipierten Beweiswürdigung Festgehaltenen in keiner Weise auseinander und legt somit auch nicht dar, inwiefern jene willkürlich sein soll. Im Übrigen erklärt er auch nicht, was mit den Aussagen von B._ hätte bewiesen werden sollen. In diesem Punkt ist wegen unzureichender Begründung auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4. 4.1 Ist ein Kind während der Ehe geboren, so gilt der Ehemann als Vater (Art. 255 Abs. 1 ZGB). Diese Vermutung kann der Ehemann beim Gericht anfechten (Art. 256 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB). Gemäss Art. 256c Abs. 1 ZGB hat er die Anfechtungsklage binnen Jahresfrist einzureichen, seitdem er die Geburt und die Tatsache erfahren hat, dass er nicht der Vater ist oder dass ein Dritter der Mutter um die Zeit der Empfängnis beigewohnt hat, in jedem Fall aber vor Ablauf von fünf Jahren seit der Geburt. Nach Ablauf der Frist wird eine Anfechtung zugelassen, wenn die Verspätung mit wichtigen Gründen entschuldigt wird (Art. 256c Abs. 3 ZGB). Der Ausnahmecharakter dieser Bestimmung gebietet eine restriktive Auslegung (BGE 132 III 1 E. 2.2 S. 4 mit Hinweisen).
4.2 Unbestritten ist vorliegend, dass im Zeitpunkt der Zeugung der Beschwerdegegnerin 1 der Beschwerdeführer mit deren Mutter, der Beschwerdegegnerin 2, verheiratet war und die Klage nach Ablauf der Frist von fünf Jahren seit der Geburt eingereicht worden ist. Zu prüfen ist daher, ob die Verspätung im Sinne von Art. 256c Abs. 3 ZGB mit wichtigen Gründen entschuldigt werden könne.
Ein eine verspätete Klageeinreichung rechtfertigender wichtiger Grund liegt unter anderem dann vor, wenn der klagende Registervater zuvor keine zureichende Veranlassung zu Zweifeln an seiner Vaterschaft und zur Anhebung der Anfechtungsklage gehabt hatte. Blosse Zweifel ohne bestimmte Anhaltspunkte bilden indessen keine Grundlage zur Anfechtungsklage mit ihren sehr strengen Anforderungen. Es geht nicht an, einem Klageberechtigten die Klageerhebung zuzumuten, bevor er die erforderlichen Grundlagen zur Klage besitzt. Wohl können aber die Umstände so liegen, dass der Kläger gehalten ist, sich über die tatsächlichen Verhältnisse Gewissheit zu verschaffen, und dass das Unterlassen von Abklärungen als unentschuldbar erscheint (BGE 132 III 1 E. 2.2 S. 4; Urteil 5C.130/2003 vom 14. Oktober 2003, abgedruckt in: FamPra.ch 2004, S. 142 ff. [E. 1.2]). Ob ein wichtiger Grund gegeben ist, hat der Richter gemäss Art. 4 ZGB unter Würdigung der einschlägigen Umstände nach Recht und Billigkeit zu entscheiden (BGE 91 II 153 E. 1 S. 155). Dabei ist zu berücksichtigen, ob die Anfechtung des bestehenden Vaterschaftsverhältnisses oder aber dessen Fortbestand im Interesse des Kindes liegt. Ist Letzteres der Fall, ist zu prüfen, ob das Interesse des Anfechtenden an einer Klärung seiner Vaterschaft vorgehe (vgl. BGE 121 III 1 E. 2c S. 4 f. betreffend die Errichtung einer Beistandschaft für das Kind). Erscheinen die Interessen beider Seiten als gleichwertig, ist bei der Abklärung, ob ein wichtiger Grund im Sinne von Art. 256c Abs. 3 ZGB vorliege, dem Interesse des Kindes, einen Vater zu haben, der Vorrang zu geben.
Die Frist für die Klage auf Anfechtung der Ehelichkeit, die nach dem früheren Kindesrecht drei Monate betragen hatte (aArt. 253 Abs. 1 ZGB), wurde hauptsächlich deshalb auf ein Jahr verlängert (Art. 256c Abs. 1 ZGB), weil es für den Entschluss des mit Zweifeln bezüglich seiner Vaterschaft konfrontierten Registervaters, wie er reagieren solle, reiflicher Überlegung bedürfe (Botschaft des Bundesrats vom 5. Juni 1974 über die Änderung des Zivilgesetzbuches [Kindesverhältnis], BBl 1974 II 32). Anders als im früheren Recht bei einer verspäteten Anfechtung im Falle eines arglistig herbeigeführten Verzichts des Klageberechtigten, die Ehelichkeit des Kindes (rechtzeitig) anzufechten, wo ausdrücklich eine neue Frist von drei Monaten ab Entdeckung der Arglist eingeräumt wurde (aArt. 257 Abs. 2 ZGB), sieht das Gesetz hier nicht vor, dass im Zeitpunkt des Eintritts des eine nachträgliche Geltendmachung des Anfechtungsanspruchs im Sinne von Art. 256c Abs. 3 ZGB rechtfertigenden Tatbestands eine neue Frist von einem Jahr zu laufen beginnt. Die dem Kläger für die Erhebung der Klage zuzugestehende Dauer beurteilt sich nach den Umständen des einzelnen Falles. Zu beachten ist dabei, dass das Interesse am Fortbestand des einmal vorhandenen Vaterschaftsverhältnisses um so gewichtiger ist, je mehr Zeit seit der Geburt vergangen ist, und dass vom klagenden Registervater ein entsprechend rascherer Entschluss erwartet werden kann. Wo die Zweifel an einer Vaterschaft erst durch nach und nach eintretende Wahrnehmungen die Intensität erreichen, die eine Klage als zumutbar erscheinen lässt, hat der Registervater übrigens schon vor Eintritt dieses Zeitpunkts Gelegenheit und Anlass, über die Konsequenzen einer Klage nachzudenken.
4.3 Mit der ersten Instanz geht das Obergericht davon aus, es habe für den Beschwerdeführer bis kurz vor der am 2. Juni 2005 im Eheschutzverfahren zwischen ihm und der Beschwerdegegnerin 2 durchgeführten Instruktionsverhandlung keinen Anlass gegeben, daran zu zweifeln, dass er der leibliche Vater der Beschwerdegegnerin 1 sei. Bei der Vorbereitung jener Verhandlung sei er auf den von der Beschwerdegegnerin 2 unterzeichneten Entwurf zu einem Vertrag zwischen dieser und B._ gestossen, worin festgehalten worden sei, dass B._ für das gemeinsame Kind Y._ Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'000.-- je Monat für 20 Jahre bezahle. Dieses Schriftstück sei durchaus geeignet gewesen, die Vaterschaft des Beschwerdeführers in Frage zu stellen. Die anlässlich der Verhandlung vom 2. Juni 2005 mit dem Schriftstück konfrontierte Beschwerdegegnerin 2 habe angegeben, von B._ in den Jahren 2000/01 tatsächlich Fr. 25'000.-- erhalten zu haben. Ferner weist die Vorinstanz darauf hin, dass nach der eigenen Darstellung des Beschwerdeführers die Beschwerdegegnerin 2 an der Verhandlung vom 2. Juni 2005 zur Frage der behaupteten Vaterschaft von B._ keine Stellung bezogen habe. Die Beschwerdegegnerin 2 habe demzufolge eine solche auch nicht bestritten, und der Beschwerdeführer habe im amtsgerichtlichen Verfahren denn auch ausgeführt, er habe im Nachgang zur besagten Instruktionsverhandlung die Gewissheit erlangt, dass er mit grosser bzw. grösster Wahrscheinlichkeit nicht der leibliche Vater von Y._ sei. Zu dem vom Beschwerdeführer angerufenen, an ihn gerichteten Schreiben der Beschwerdegegnerin 2 vom 16. Juni 2005 erklärt das Obergericht, es enthalte nichts, was die vom Beschwerdeführer eingeräumten Wirkungen des entworfenen Unterhaltsvertrags auf ihn und die Reaktion der Beschwerdegegnerin 2 auf den Vorhalt dieses Entwurfs zu relativieren vermöchte. Die Beschwerdeführerin 2 fordere den Beschwerdeführer in diesem Schreiben auf, zur Vermeidung einer Rufschädigung der Tochter Y._ "äusserstes Stillschweigen" zu bewahren, was sich nur auf Tatsachen habe beziehen können, die Zweifel an der Vaterschaft des Beschwerdeführers begründen könnten. Schliesslich sei zu erwähnen, dass der Beschwerdeführer im amtsgerichtlichen Verfahren klar festgehalten habe, ein persönliches Gespräch mit B._ habe seine Zweifel (an seiner Vaterschaft) nicht zu beseitigen vermocht.
In Würdigung der festgestellten tatsächlichen Gegebenheiten hält die Vorinstanz dafür, der Beschwerdeführer habe sein Recht auf Anfechtung der Vaterschaft verwirkt: Er habe ab dem Zeitpunkt, da bei ihm hinreichende Zweifel an der Vaterschaft hätten aufkommen müssen, mehr als elf Monate, und damit zu lange, zugewartet, bis er mit seinem Gesuch vom 15. Mai 2006 um Ansetzung einer Aussöhnungsverhandlung die Anfechtung der Vaterschaft eingeleitet habe.
4.4 Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist nicht zu beanstanden, dass das Obergericht im Entwurf zu einem Unterhaltsvertrag zwischen der Beschwerdegegnerin 2 und B._ zu Gunsten der Beschwerdegegnerin 1 wie auch im Verhalten der auf dieses Schriftstück angesprochenen Beschwerdegegnerin 2 in der Eheschutzverhandlung vom 2. Juni 2005 Indizien erblickt, die den Beschwerdeführer hätten dazu führen müssen, zu bezweifeln, ob er wirklich der Vater der Beschwerdegegnerin 1 sei. Worauf der Beschwerdeführer anspielt, wenn er geltend macht, der erste Anhaltspunkt habe sich in der Folge als nicht konkret erwiesen, ist nicht ersichtlich. Die Tatsache, dass eine Mutter mit einem anderen Mann als dem Registervater eine Vereinbarung über Unterhaltsbeiträge für das Kind anstrebt, muss beim Registervater in der Tat Zweifel an seiner Vaterschaft aufkommen lassen. Hinzu kommt hier das - die Zweifel zumindest nicht beseitigende - Verhalten der Beschwerdegegnerin 2, als sie anlässlich der Eheschutzverhandlung mit dem Vertragsentwurf konfrontiert wurde.
Das Obergericht hat nach dem Gesagten kein Bundesrecht verletzt, wenn es bei der Beurteilung der Rechtzeitigkeit der Klage von der Eheschutzverhandlung vom 2. Juni 2005 ausgegangen ist. Der Beschwerdeführer nennt übrigens selbst keine Tatsachen, die nach dieser Verhandlung eingetreten wären und - in Verbindung mit den vorhandenen Indizien oder für sich allein - einschlägige, die Einleitung einer Anfechtungsklage nahelegende Zweifel erst begründet hätten.
Zum Vorwurf des Beschwerdeführers, das Obergericht habe bei der Beurteilung der vom entscheidenden Zeitpunkt an bis zur Einleitung der Klage verstrichenen Dauer den in Fällen der vorliegenden Art vorhandenen psychologischen Hemmnissen keinerlei Beachtung geschenkt, ist zu bemerken, dass nicht dargelegt wird, was für konkrekte Hemmnisse ihn an einer rascheren Klageerhebung gehindert haben sollen. Sollte der Beschwerdeführer eine Rücksichtnahme auf die Beschwerdegegnerin 2 ansprechen wollen, wäre auf das Eheschutzverfahren (in dessen Verlauf der Beschwerdeführer auf die einschlägigen Indizien stiess) hinzuweisen, dessen Durchführung zeigt, dass das eheliche Verhältnis schon vor dem Aufkommen von Zweifeln an der Vaterschaft getrübt war. Unbehelflich ist schliesslich auch der (unbestimmte) Hinweis auf in anderen Rechtsgebieten geltende Fristen, aus deren Sicht es nach Auffassung des Beschwerdeführers nicht unverhältnismässig gewesen wäre, ihm eine Frist von einem Jahr zuzugestehen. Beim Tatbestand von Art. 256c Abs. 3 ZGB geht es um einen ausserordentlichen Rechtsbehelf, der in gewissen Fällen viele Jahre nach Ablauf der absoluten Frist von fünf Jahren ab Geburt des Kindes (Art. 256c Abs. 1 ZGB) noch offen stehen kann. Diese besonderen Verhältnisse und der Grundsatz von Treu und Glauben erheischen, dass die Klage mit aller nach den Umständen gebotenen Beschleunigung eingereicht wird, sobald der eine nachträgliche Anfechtung rechtfertigende Tatbestand sich verwirklicht hat (BGE 132 III 1 E. 3.2 S. 5 mit Hinweisen; 129 II 409 E. 3 S. 412). Die obergerichtliche Auffassung, der Beschwerdeführer habe zu lange zugewartet, verstösst angesichts der verbindlich festgestellten tatsächlichen Gegebenheiten nicht gegen Art. 256c Abs. 3 ZGB. Im gleichen Sinne entschied das Bundesgericht in einem Fall, da der Registervater ebenfalls erst rund elf Monate nach der eigenen Feststellung der Ähnlichkeit zwischen dem Sohn und dessen Pate Klage erhoben hatte (Urteil vom 19. Februar 2007; 5C.217/2006, E. 4).
5. Der Beschwerdeführer macht unter Berufung auf die Art. 8 und 13 BV, Art. 8 Ziff. 1 EMRK und Art. 17 UN-Pakt II geltend, jede Person habe das Recht auf Achtung ihres Privat- und Familienlebens; das Recht auf Privatleben enthalte beim Kind auch den Anspruch auf Feststellung seiner eigenen Abstammung und beim Vater den Anspruch, zu wissen, ob er der leibliche Vater des Kindes sei oder nicht. In BGE 134 III 241 ff. hat das Bundesgericht sich mit der von einem Kind, unabhängig von der ebenfalls eingereichten Klage auf Anfechtung der Ehelichkeitsvermutung gemäss Art. 256 ZGB, verlangten Feststellung der Abstammung befasst und einen solchen Feststellungsanspruch bejaht (E. 5.5 S. 247). Ob aus den angerufenen Bestimmungen ein allgemeiner Anspruch auf Kenntnis der verwandtschaftlichen Beziehungen abzuleiten ist und somit der Beschwerdeführer als Registervater der Beschwerdegegnerin 1 seinerseits verlangen könnte, es sei festzustellen, dass er nicht deren leiblicher Vater sei, braucht nicht erörtert zu werden. Die kantonalen Instanzen haben seine Klage ausschliesslich als Anfechtungsklage behandelt, was der Beschwerdeführer nicht beanstandet. Dieser hatte selber die Klage als "Anfechtung der Vaterschaft (Art. 256 ZGB)" bezeichnet. Er macht denn auch nicht geltend, dass er zusätzlich eine eigentliche Feststellungsklage eingereicht habe. Die Unterschiede zwischen der Anfechtungsklage als Statusklage und einer Feststellungsklage sind zudem solcher Art, dass nicht gesagt werden könnte, eine solche sei im Verhältnis zu jener lediglich ein Minus. Es handelt sich vielmehr um einen anderen Anspruch, der selbständig geltend zu machen wäre, so dass es nicht anginge, die strittige Anfechtungsklage subsidiär als Feststellungsklage zu behandeln.
6. Die Beschwerde in Zivilsachen ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Da auf die (subsidiäre) Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten ist (s. oben E. 1), sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden, so dass den Beschwerdegegnerinnen keine Kosten erwachsen sind. Die Zusprechung einer Parteientschädigung entfällt deshalb.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. 1.1 Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1.2 Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (II. Kammer) des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel