Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdegegner) klagte am 28. Oktober 2011 beim Bezirksgericht Arlesheim gegen die X._ GmbH (Beschwerdeführerin). Er machte eine Lohnforderung von Fr. 19'173.-- geltend, die aus einem vom 1. Mai 2009 bis 31. Oktober 2009 zwischen den Parteien bestehenden Arbeitsverhältnis herrühre. Das Bezirksgerichtspräsidium hiess die Klage mit Entscheid vom 26. April 2012 teilweise gut und verurteilte die Beschwerdeführerin zur Zahlung von Fr. 16'773.-- nebst Zins zu 5 % seit 31. Oktober 2009. Die Mehrforderung wies es ab.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin Berufung an das Kantonsgericht Basel-Landschaft. Dieses wies die Berufung am 6. November 2012 in Bestätigung des erstinstanzlichen Entscheids ab.
B. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, den Entscheid der Vorinstanz aufzuheben und die Klage abzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung der Beschwerde unter Verzicht auf Gegenbemerkungen.
Mit Präsidialverfügung vom 25. Februar 2013 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.
Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Sodann übersteigt der Streitwert die Grenze nach Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG in arbeitsrechtlichen Streitigkeiten. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist - unter Vorbehalt einer hinlänglichen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 65 E. 1.3.1; 133 III 439 E. 3.2 S. 444).
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 135 III 397 E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 138 IV 13 E. 5.1 S. 22; 134 II 124 E. 4.1; 132 III 209 E. 2.1; 131 I 57 E. 2, 467 E. 3.1). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn vom Sachrichter gezogene Schlüsse nicht mit der Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmen, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (BGE 135 II 356 E. 4.2.1; 129 I 8 E. 2.1; 116 Ia 85 E. 2b). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. BGE 129 I 8 E. 2.1; 120 Ia 31 E. 4b). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE 134 II 244 E. 2.2; 130 I 258 E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. BGE 116 Ia 85 E. 2b).
3. Die Parteien gehen übereinstimmend davon aus, dass zwischen ihnen für die Zeit vom 1. Mai 2009 bis 31. Oktober 2009 ein mündlicher Arbeitsvertrag bestand, und dass aus diesem Arbeitsverhältnis eine Lohnforderung des Beschwerdegegners von insgesamt Fr. 19'173.-- resultierte. Der Beschwerdegegner macht geltend, nie irgendwelche Lohnzahlungen erhalten zu haben. Demgegenüber vertritt die Beschwerdeführerin den Standpunkt, sie habe sämtlichen Lohn bezahlt, weshalb die Forderung getilgt sei. Zu dieser Frage wurde ein Beweisverfahren durchgeführt. Die erste Instanz kam nach eingehender Beweiswürdigung zum Schluss, dass die Beschwerdeführerin Lohnzahlungen bloss im Umfang von Fr. 2'400.-- habe nachweisen können. Im weitergehenden Umfang erachtete sie den Nachweis für die Zahlung als nicht erbracht. Die Vorinstanz überprüfte diese Beweiswürdigung und gelangte zum selben Ergebnis.
4. Die Beschwerdeführerin kritisiert die Beweiswürdigung der Vorinstanz bzw. der Bezirksgerichtspräsidentin. Ihres Erachtens ist es "[i]n der Verbindung von Art. 2 und 8 ZGB und [Art.] 322 OR" "begründbar", die Klageforderung abzuweisen. Sie rügt, die Beweiswürdigung der Vorinstanz sei keine "gesamtheitliche". Die Lohnauszahlungen seien - entsprechend der "türkische[n] Mentalität" unter Verwandten bzw. "türkischer Familienusanz" - bar und ohne Quittung erfolgt. Der Beschwerdegegner sage nicht die Wahrheit. Gemäss den Zeugenaussagen habe er mehrmals Geld erhalten. Das Verhalten des Beschwerdegegners indiziere Missbrauch von Sozialleistungen. Dafür, dass er sämtlichen Lohn erhalten habe, spräche auch sein eigenes Verhalten: Hätte er keinen Lohn erhalten, hätte er kaum einfach abgewartet und erst rund eineinhalb Jahre später geklagt, als ihn das Sozialamt dazu angehalten habe. Seine Behauptung sei deshalb völlig lebensfremd.
Diese von der Beschwerdeführerin erwähnten Umstände, namentlich der zuletzt genannte, mögen für deren Standpunkt sprechen, dass dem Beschwerdegegner Lohn ausbezahlt worden sei. Dies hat aber auch die Vorinstanz bzw. die erste Instanz, deren Beweiswürdigung die Vorinstanz überprüfte, nicht übersehen und bei der Gesamtwürdigung berücksichtigt. Im Übrigen ist die von der Beschwerdeführerin als "türkische Familienusanz" bezeichnete angebliche Gepflogenheit, Lohnzahlungen in bar und ohne Quittung vorzunehmen, nicht belegt und kann nicht einfach angenommen werden.
Zu Recht hebt die Vorinstanz hervor, dass die Beschwerdeführerin für die Lohnzahlungen beweispflichtig ist (vgl. BGE 125 III 78 E. 3b S. 79). Dabei gilt das Regelbeweismass, das heisst, das Gericht muss nach objektiven Gesichtspunkten von der Richtigkeit der behaupteten Lohnzahlung überzeugt sein (BGE 132 III 715 E. 3.1 S. 719). Es hilft der Beschwerdeführerin daher nicht, dass gewisse Umstände für ihren Standpunkt sprechen mögen, wenn es ihr nicht gelingt, denselben zur Überzeugung des Gerichts zu beweisen. Wie die Vorinstanz in eingehender Würdigung der Zeugenaussagen darlegt, vermochte die Beschwerdeführerin Lohnzahlungen lediglich in Höhe von Fr. 2'400.-- nachzuweisen.
Was die Beschwerdeführerin in Bezug auf die Zeugenaussagen vorbringt, erschöpft sich in appellatorischen Darlegungen, wie ihrer Ansicht nach dieselben zu würdigen seien. Dass und inwiefern aber die von der Vorinstanz gezogenen Schlüsse geradezu willkürlich sein sollen, zeigt sie nicht auf. Mit ihren entsprechenden Ausführungen kann sie vor Bundesgericht nicht gehört werden (vgl. Erwägung 2.2).
5. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG). Betreffend die Höhe der Gerichtsgebühr kommt Art. 65 Abs. 4 lit. c BGG zur Anwendung. Die Parteientschädigung ist - wie vom Beschwerdegegner beantragt - entsprechend der eingereichten Honorarnote auf Fr. 1'620.-- (inkl. MWST) festzusetzen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'620.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivilrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz