Erwägungen:
1.
1.1. X._ (geb. 1983) stammt aus Äthiopien. Sie reiste im Jahr 2002 in die Schweiz ein und beantragte Asyl. Das (damalige) Bundesamt für Flüchtlinge wies ihr Asylgesuch ab. Auf ein hiergegen erhobenes Rechtsmittel trat die Asylrekurskommission am 6. Juni 2003 nicht ein. Am 8. Mai 2008 wurde ihr aus humanitären Gründen eine Aufenthaltsbewilligung erteilt. Am 29. August 2011 heiratete sie in ihrem Heimatland A._, für den sie am 5. Dezember 2011 ein Familiennachzugsgesuch stellte. Am 9. Juni 2012 kam das gemeinsame Kind zur Welt.
1.2. Mit Verfügung vom 20. Februar 2012 lehnte das Migrationsamt das Gesuch um Familiennachzug ab. Einen beim Justiz- und Sicherheitsdepartement erhobenen Rekurs wies dieses am 16. April 2013 ab. Daraufhin erhob X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Sie ersuchte im Rahmen einer Beschwerdeergänzung um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Am 20. Juni 2013 wies der Präsident des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab.
1.3. Mit Eingabe vom 22. August 2013 beantragt X._ dem Bundesgericht, die Verfügung vom 20. Juni 2013 aufzuheben.
Das Sicherheits- und Justizdepartement wie auch das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Bundesamt für Migration hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
2.
2.1. Bei der angefochtenen Verfügung einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. c BGG), mit der die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wurde, handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG), da zugleich auch die Anhandnahme des Rechtsmittels von der Bezahlung eines Kostenvorschusses durch die gesuchstellende Partei abhängig gemacht wird (BGE 128 V 199 E. 2b S. 202 mit Hinweisen; Urteil 8C_665/2011 vom 26. Januar 2012 E. 5.2). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (Urteile 2C_164/2012 vom 31. August 2012 E. 1.2; 2C_111/2011 vom 7. Juli 2011 E. 1.2; 5A_145/2010 vom 7. April 2010 E. 1.1).
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen gegen Entscheide, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG; Urteil 2C_459/2011 vom 26. April 2012 E. 1.1, nicht publ. in: BGE 138 I 246 ff.). Die Beschwerdeführerin meint, der auf Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV gründende Anspruch auf Achtung ihres Familienlebens verschaffe ihr angesichts ihrer Anwesenheit in der Schweiz seit 2002 und ihrer Aufenthaltsbewilligung aus humanitären Gründen im Sinne von Art. 14 Abs. 2 AsylG einen Rechtsanspruch, ihren Gatten in die Schweiz nachzuziehen. Während das Gesetzesrecht der Beschwerdeführerin keinen solchen Anspruch auf Familiennachzug einräumt (Art. 44 AuG; BGE 137 I 284 E. 1.2 S. 287 mit Hinweisen), erscheint dies unter dem Gesichtswinkel von Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV nicht zum Vornherein ausgeschlossen (vgl. Urteil 2C_639/2012 vom 13. Februar 2013 E. 1.2.2; siehe ferner auch BGE 138 I 246 E. 3.2 f. S. 250 ff. [zum asylrechtlichen Arbeitsverbot als Eingriff in das von Art. 8 EMRK geschützte Privatleben]).
2.2. Vorliegend braucht jedoch die Frage, ob die Eingabe als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten oder als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen wäre, aus anderen Gründen nicht entschieden zu werden: Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Eine Einheitsbeschwerde kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG (Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten) bzw. wegen Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gemäss Art. 116 BGG (Subsidiäre Verfassungsbeschwerde) erhoben werden. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem Recht gilt unabhängig vom Rechtsmittel eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht behandelt solche Rügen nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 138 I 225 E. 3.1 und 3.2 S. 227 f.; 134 II 244 E. 2.2 S. 246; Urteil 2C_594/2012 vom 22. November 2012 E. 1.5).
2.3. Die Beschwerdeführerin ficht eine kantonale Verfügung an, in welcher ihr der Einzelrichter die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung in Anwendung von Art. 99 Abs. 2 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons St. Gallen (VRP/SG) in Verbindung mit Art. 117 ZPO (als ergänzendes kantonales Recht) sowie gestützt auf Art. 29 Abs. 3 BV verweigert hat (Ziff. 1 der angefochtenen Verfügung).
Gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (oben E. 2.2). Die Beschwerdeführerin legt in keiner Weise dar, inwiefern die Abweisung ihres Gesuchs in Anwendung von Art. 99 Abs. 2 VRP/SG willkürlich sein soll oder eine Verletzung von Bundesverfassungsrecht darstelle. Sie erwähnt wohl Art. 8 EMRK und Art. 13 BV, die ihrer Auffassung nach in materieller Hinsicht - mit Blick auf den verweigerten Familiennachzug - verletzt sind. In ihrer Rechtsschrift findet sich jedoch kein Hinweis darauf, inwiefern die angefochtene Verfügung Verfassungsbestimmungen betreffend die (verweigerte) unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verletzen könnte, obwohl vorliegend nur diese Prozessgegenstand bilden. Die Beschwerde erfüllt damit die Anforderungen Art. 106 Abs. 2 BGG an die Begründung nicht. Das Bundesgericht kann unter diesen Umständen nicht auf die Beschwerde eintreten (Art. 108 BGG).
2.4. Die Beschwerdeführerin stellt im bundesgerichtlichen Verfahren kein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Die im vorinstanzlichen Verfahren dargestellten Umstände rechtfertigen es jedoch, keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Präsident, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Februar 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Hänni