Erwägungen:
1. X._ (geb. 1985) stammt aus der Volksrepublik China. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt wies sie am 31. Oktober 2012 weg und nahm sie in Ausschaffungshaft. Am 25. Januar 2013 genehmigte der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Verwaltungsgericht Basel-Stadt deren Verlängerung bis zum 30. März 2013. Am 31. Januar 2013 leitete der Haftrichter eine aus dem Chinesisch übersetzte Eingabe von X._ an das Bundesgericht weiter, worin diese um Haftentlassung ersucht.
2. 2.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft erscheint (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3; 133 III 350 E. 1.3). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung geht das Bundesgericht nicht ein (BGE 136 II 101 E. 3 S. 104 f.). In der Rechtsschrift muss in Auseinandersetzung mit der Begründung im angefochtenen Entscheid zudem dargetan werden, inwiefern dieser Recht verletzen soll (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 - 2.3).
2.2 Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht: Die Beschwerdeführerin beklagt ihren gesundheitlichen Zustand. Den entsprechenden Problemen ist im Rahmen des Haftvollzugs Rechnung zu tragen. Eine Haftentlassung aus gesundheitlichen Gründen erscheint nur bei fehlender Hafterstehungsfähigkeit geboten und bloss dann, wenn die Festhaltung nicht auch in einer medikalisierten Umgebung möglich ist (Spital usw.). Darauf, dass dies hier der Fall wäre, bestehen keine Hinweise. Der Haftrichter hat der Problematik insofern Rechnung getragen, als er die Festhaltung der Beschwerdeführerin nur für zwei, statt der beantragten drei Monate genehmigt hat. Soweit die Beschwerdeführerin sinngemäss eine Verletzung ihres Anspruchs auf soziale Kontakte rügt, sind sich die Behörden der schwierigen Situation ebenfalls bewusst (vgl. THOMAS HUGI YAR, § 10 Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, N. 10.135 ff.): Sie bemühen sich darum, die Beschwerdeführerin nicht dauernd allein festzuhalten, doch können sie die Situation nur beschränkt beeinflussen, da die Beschwerdeführerin, die sich nach wie vor weigert, für die Rückreise in ihre Heimat mit den Behörden zusammenzuarbeiten, offenbar ausschliesslich Chinesisch spricht. Sie kann ihre Festhaltung verkürzen bzw. beenden, indem sie kooperiert.
2.3 Auf die Eingabe ist mangels rechtsgenügender Beschwerdebegründung nicht einzutreten. Dies kann durch den Präsidenten als Einzelrichter im Verfahren nach Art. 108 BGG geschehen. Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 2. Satz BGG); es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG). Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil der Beschwerdeführerin korrekt eröffnet und allenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar