Faits:
A. X._ est née le 18 septembre 1992 dans le canton de Zurich, où ses parents étaient domiciliés. Après leur divorce en 1998, l'autorité parentale sur l'enfant a été attribuée à la mère. En 1999, les autorités tutélaires de la ville de Zurich ont retiré à celle-ci le droit de garde sur l'enfant, qu'ils ont confiée à une famille d'accueil à Meilen (ZH). Depuis lors, X._ est restée dans le canton de Zurich où elle a poursuivi sa scolarité. Depuis 1999, son entretien est pris en charge par les services sociaux de la ville de Zurich. Quant à sa mère, elle s'est établie dans le canton de Genève où elle est, depuis 2002, domiciliée dans la commune de Meyrin (GE).
B. B.a En juin 2005, la curatrice de X._ a adressé à la commune de Meyrin une demande d'avance des pensions alimentaires en faveur de sa pupille. Par décision du 25 août 2005, le Service cantonal d'avance et de recouvrement des pensions alimentaires (ci-après: Scarpa) a refusé d'intervenir pour le motif que l'enfant créancier n'était pas domicilié dans le canton de Genève.
B.b Le Tribunal administratif du canton de Genève, saisi en septembre 2005 par la curatrice de l'enfant, a rejeté le recours par arrêt du 7 mars 2006.
C. Le 19 juillet 2006, X._ a interjeté contre cet arrêt un recours de droit public, sollicitant également d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire. Le Tribunal administratif du canton de Genève a déclaré s'en rapporter à justice quant à la recevabilité du recours et persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. 1.1 Interjeté contre une décision finale prise en dernière instance cantonale, le recours est recevable au regard de l'art. 86 al. 1 OJ. Ayant pour objet une prestation découlant du droit administratif cantonal, à savoir l'avance d'aliments, il ne peut être déféré au Tribunal fédéral par aucune autre voie de recours. En effet, même si la question soulevée relève de l'interprétation du droit civil fédéral, celui-ci n'est appliqué qu'à titre supplétif, faute d'une norme de droit cantonal applicable (ATF 126 III 370 consid. 5; Poudret, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. II, n. 1.4.1 ad art. 43, p. 130). Le présent recours est ainsi recevable compte tenu de la subsidiarité absolue du recours de droit public (art. 84 al. 2 OJ).
1.2 L'arrêt cantonal a été notifié une première fois le 17 mars 2006. Toutefois, la recourante fait valoir qu'il a été adressé à sa curatrice, alors qu'elle avait informé à temps le Tribunal administratif qu'elle était représentée dans la procédure judiciaire par un autre service. Le Tribunal administratif n'ayant pas considéré opportun de s'exprimer sur cette question, il y a lieu de retenir les allégations de la recourante. Par conséquent, le délai de recours n'a commencé à courir qu'après la deuxième notification de l'arrêt attaqué par courrier B, la date de notification au 19 juin 2006 n'étant au demeurant pas contestée. Le recours s'avère par conséquent recevable également sous l'angle de l'art. 89 al. 1 OJ.
1.3 Le recours de droit public est, en principe, de nature cassatoire et ne peut tendre qu'à l'annulation de la décision attaquée (ATF 132 III 291 consid. 1.5 et les arrêts cités). Le chef de conclusions de la recourante tendant à ce que la cause soit renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle fixe le montant de la contribution d'entretien à 600 fr. est dès lors irrecevable.
2. Le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal, de même que l'appréciation des preuves et l'établissement des faits, que sous l'angle de l'arbitraire; il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain; en outre, l'annulation de la décision attaquée ne se justifie que si celle-ci est arbitraire dans son résultat, ce qu'il appartient au recourant de démontrer (ATF 132 I 13 consid. 5.1 et les arrêts cités).
3. La question litigieuse consiste à déterminer si le domicile de X._ se trouve auprès de sa mère, dans le canton de Genève, ou à son lieu de résidence, dans le canton de Zurich. En effet, en vertu du droit cantonal, seul le créancier domicilié dans le canton de Genève depuis un an au moins peut bénéficier des avances des pensions alimentaires (art. 8 al. 1 de la loi genevoise sur l'avance et le recouvrement des pensions alimentaires du 22 avril 1977; ci-après: LARPA/GE; RSG E 1.25).
3.1 En l'espèce, le Tribunal administratif, après avoir constaté que ni la LARPA/GE ni son règlement d'application (E 1.25.01) ne donnent une définition du domicile, s'est référé aux art. 23 ss CC, en particulier à l'art. 25 CC, qui a introduit le critère subsidiaire du lieu de résidence. Selon l'autorité cantonale, ce critère est applicable lorsqu'aucun des parents n'a le droit de garde. Elle en a déduit qu'en l'espèce, le domicile de l'enfant était déterminé par son lieu de résidence, à savoir le canton de Zurich.
3.2 La recourante conteste cette interprétation de l'art. 25 al. 1 CC. Se référant aux travaux préparatoires (Message du Conseil fédéral concernant la révision du Code civil suisse - effets généraux du mariage, régimes matrimoniaux et successions - du 11 juillet 1979, in : FF 1979 II 1179-1405), elle considère que le critère subsidiaire du lieu de résidence s'applique uniquement lorsque les deux parents, qui ont des domiciles distincts, ont l'autorité parentale, mais qu'aucun d'eux ne dispose du droit de garde. Tel ne serait pas le cas en l'occurrence, puisque le jugement de divorce du 10 juillet 1998 attribue l'autorité parentale sur l'enfant à sa mère, même si celle-ci n'a plus - à la suite d'une décision de l'autorité tutélaire de Zurich du 9 août 1999 - le droit de garde.
3.2 La recourante conteste cette interprétation de l'art. 25 al. 1 CC. Se référant aux travaux préparatoires (Message du Conseil fédéral concernant la révision du Code civil suisse - effets généraux du mariage, régimes matrimoniaux et successions - du 11 juillet 1979, in : FF 1979 II 1179-1405), elle considère que le critère subsidiaire du lieu de résidence s'applique uniquement lorsque les deux parents, qui ont des domiciles distincts, ont l'autorité parentale, mais qu'aucun d'eux ne dispose du droit de garde. Tel ne serait pas le cas en l'occurrence, puisque le jugement de divorce du 10 juillet 1998 attribue l'autorité parentale sur l'enfant à sa mère, même si celle-ci n'a plus - à la suite d'une décision de l'autorité tutélaire de Zurich du 9 août 1999 - le droit de garde.
3.3 3.3.1 Aux termes de l'art. 25 al. 1 CC, l'enfant sous autorité parentale partage le domicile de ses père et mère ou, en l'absence de domicile commun des père et mère, le domicile de celui de ses parents qui a le droit de garde; subsidiairement, son domicile est déterminé par le lieu de sa résidence. A première vue, le critère subsidiaire du lieu de résidence s'applique dans le cas de l'enfant sous autorité parentale des parents, lorsque ceux-ci ont tous deux le droit de garde mais pas de domicile commun (Hausheer/Reusser/Geiser, Commentaire bernois, n. 34/18 ad art. 162 CC; Kurt Affolter, Örtliche Zuständigkeit zur Anordnung der Vormundschaft nach Art. 368 ZGB nach Entmündigung der Inhaberin der elterlichen Sorge, in RDT 2006 p. 250 ss, 252; Cyril Hegnauer, Droit suisse de la filiation, 4e éd., 1998, n° 17.22-17.23).
3.3.2 Pour savoir si le critère subsidiaire du lieu de la résidence vise d'autres cas de figure, il convient de se référer au Message du Conseil fédéral (FF 1979 II 1179-1405). S'agissant de la notion de domicile légal (titre marginal de l'art. 25 CC), autrement dit le domicile de personnes dépendantes ("Wohnsitz nicht selbständiger Personen" dans le texte allemand et "domicilio di persone dipendenti" dans le texte italien), le Conseil fédéral rappelle le principe, repris de l'ancien droit, que "l'enfant sous autorité parentale partage le domicile de ses père et mère". Le même principe s'applique à l'enfant qui ne serait placé que sous l'autorité parentale d'un des parents, sans qu'il soit nécessaire de le spécifier dans la loi (Message, p. 1323-1324, ch. 231, deuxième paragraphe).
En apparente contradiction avec ce qui précède, le Conseil fédéral précise ensuite que, lorsque "ni l'un ni l'autre des parents, détenteurs de l'autorité parentale, [n'ont] le droit de garde, [...] le nouvel article 25, 1er alinéa, situe le domicile de l'enfant au lieu de sa résidence" (Message, p. 1324, ch. 231, quatrième paragraphe). Le Tribunal administratif en a déduit que, lorsqu'aucun des parents n'a le droit de garde, le domicile de l'enfant se détermine par son lieu de résidence.
3.3.3 En réalité, le Message n'a pas la portée que lui prête l'autorité cantonale. Selon le quatrième paragraphe du Message (p. 1324, ch. 231), le critère subsidiaire du lieu de résidence s'applique lorsque les deux parents détiennent l'autorité parentale mais qu'aucun d'eux n'a le droit de garde. Ce paragraphe ne traite pas de la situation de l'enfant sous autorité parentale d'un seul des parents. Cela ressort des travaux préparatoires (FF 1979 II 1324; cf. FF 1979 II 1267 pour la version italienne), encore plus clairement dans leur version allemande (BBl 1979 II 1345). Cette interprétation s'impose d'autant plus qu'elle est aussi la seule compatible avec le deuxième paragraphe du Message, dans la mesure où il se réfère aux cas dans lesquels un seul parent dispose de l'autorité parentale (Message, p. 1323, ch. 231, deuxième paragraphe; cf. consid. 3.3.2 supra). Le principe qui se dégage est donc que le recours au critère subsidiaire du lieu de résidence de l'enfant se justifie lorsqu'aucun autre critère légal ne permet de trancher entre les deux parents disposant d'un droit équivalent.
3.3.4 Par conséquent, le domicile de l'enfant sera déterminé par celui des parents, lorsque ceux-ci ont l'autorité parentale et vivent ensemble, même s'ils ne disposent pas du droit de garde (Hausheer/Reusser/Geiser, op. cit., n. 34/14 et 34/16 ad art. 162 CC; Cyril Hegnauer, Wohnsitz des Kindes unter elterlicher Gewalt, Art. 25 Abs. 1 ZGB, in RDT 1988 p. 150 ss, 152; Daniel Staehelin, Commentaire bâlois, 3e éd., 2006, n. 4 ad art. 25 CC; Henri Deschenaux/Paul-Henri Steinauer, Personnes physiques et tutelle, 4e éd., 2001, n° 391). Lorsque l'enfant est sous autorité parentale d'un seul de ses parents, conformément à l'art. 25 al. 1 1ère partie CC, le domicile de l'enfant se situe au domicile du parent détenteur de l'autorité parentale, sans qu'il importe que ce dernier dispose ou non du droit de garde. C'est également l'avis de la doctrine majoritaire, laquelle s'oppose à l'opinion défendue par le Tribunal administratif (Hausheer/Reusser/ Geiser, op. cit., n. 34/13 et 34/16 ad art. 162 CC; Kurt Affolter, op. cit., p. 252; Cyril Hegnauer, Droit suisse de la filiation, n° 17.22-17.23; Daniel Staehelin, loc. cit.; Henri Deschenaux/Paul-Henri Steinauer, op. cit., n° 393).
3.3.5 En doctrine, l'opinion du Tribunal administratif est soutenue par Stettler (Traité de droit privé suisse, Vol. III t. II/1, 1987, p. 531 ss). Selon lui, lorsque les deux parents sont privés du droit de garde, la solution du domicile de l'enfant au lieu de sa résidence s'impose au regard des travaux préparatoires, sans égard aux droits parentaux. Cet auteur justifie également son opinion en affirmant que, si le rattachement du domicile de l'enfant à celui du titulaire de l'autorité parentale "est en soi déjà problématique dans le cas où le placement est décidé par les titulaires des droits parentaux eux-mêmes [...], [il] revêtirait un caractère particulièrement artificiel dans le cas du placement décidé par l'autorité" (Martin Stettler, loc. cit.; dans le même sens, Andreas Bucher, Natürliche Personen und Persönlichkeits-schutz, 3e éd., 1999, nos 386 ss). Force est cependant de constater que cette opinion s'oppose à un choix explicite du législateur, car elle n'est fondée ni sur la loi (Hausheer/Reusser/Geiser, op. cit., n. 34/16 ad art. 162 CC), ni sur les travaux préparatoires (cf. consid. 3.3.3 supra).
3.4 En conclusion, l'interprétation de l'art. 25 al. 1 CC par le Tribunal administratif du canton de Genève contredit manifestement un principe clair et établi du droit suisse, tel qu'il ressort du texte de la loi, des travaux préparatoires et de la doctrine largement majoritaire (cf. consid. 3.3.4 supra); elle est donc arbitraire.
4. Le recours doit être admis et l'arrêt attaqué annulé. Il n'est pas perçu de frais de justice, les autorités du canton de Genève ayant tranché dans l'exercice de leurs attributions officielles sans que leur intérêt pécuniaire soit en cause (art. 156 al. 2 OJ). Il n'est pas alloué de dépens, car la recourante a agi par l'intermédiaire d'un office public chargé de défendre ses intérêts. Sa demande d'assistance judiciaire devient par conséquent sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
2. Il est statué sans frais.
3. La demande d'assistance judiciaire est sans objet.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie à la recourante et au Tribunal administratif du canton de Genève.
Lausanne, le 22 décembre 2006
Au nom de la IIe Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: La greffière: