Faits:
A. A.a X._, né en 1989, est issu du mariage contracté en 1985 par Y._, né en 1957, de nationalité suisse, et A._, née en 1956, ressortissante française.
Par jugement du 25 mars 1993, rectifié par décision du 28 octobre 1993, le Tribunal de grande instance de Thonon-les-Bains (France) a, notamment, prononcé le divorce des époux.
Y._ s'est remarié en 1996 et a eu un second enfant, B._, né en 1998.
A.b Par décision du 29 novembre 2000, X._, qui vivait alors chez son père après avoir eu, conformément au jugement de divorce, sa résidence habituelle auprès de sa mère, a été placé dans un foyer. Cette mesure a été levée le 28 juin 2002 et l'enfant est retourné vivre chez son père. Un accompagnement éducatif a toutefois été maintenu compte tenu de la persistance des difficultés liées à la problématique familiale.
A la suite de la constatation de relations conflictuelles entre le père et le fils, la Cour d'appel d'Angers (France) a, par décision du 10 décembre 2004, placé provisoirement l'enfant et condamné le père à verser la somme de EUR 70.- par mois à titre de contribution à l'entretien de son fils. Par jugement du 9 juin 2005, cette juridiction a prolongé le placement de l'enfant, qui a alors cessé de voir son père.
Par décision de la Cour d'appel d'Angers du 8 février 2006, une reprise progressive des relations personnelles entre l'enfant et sa mère a été mise en oeuvre, qui a abouti, le 8 juin 2006, à une décision de mainlevée du placement. X._ vit depuis lors auprès de sa mère à Genève.
A.c Par jugement du 27 mai 2008, le Tribunal de première instance du canton de Genève, statuant par défaut, a condamné Y._ à verser dès le 21 juin 2007, allocations d'études éventuelles en sus, une contribution d'entretien en faveur de X._ d'un montant de 2'000 fr. par mois jusqu'à la fin de ses études, pour autant qu'elles soient sérieuses et régulières, mais jusqu'à 25 ans au plus.
Le 15 septembre 2008, le père a formé opposition à ce jugement. Celle-ci a été déclarée irrecevable car tardive par décision du 6 avril 2009.
Par requête du 8 mars 2010, la mère a saisi le Président du Tribunal de grande instance du Mans (France) d'une requête aux fins d'exequatur du jugement du Tribunal de première instance du canton de Genève du 27 mai 2008, dans le but de lui donner force exécutoire en France. Par ordonnance du 26 mars 2010, confirmée par arrêt de la Cour d'appel d'Angers du 8 mars 2011, il a été fait droit à la demande.
Dans l'intervalle, par acte déposé au greffe du Tribunal de première instance du canton de Genève le 14 octobre 2009, le père a formé action en modification de la contribution d'entretien fixée par jugement du 27 mai 2008, concluant principalement à ce que celle-ci soit réduite à 50 fr. par mois dès le 21 juin 2007. Dans ses dernières écritures, il a notamment conclu à ce que ladite contribution soit supprimée tant que son fils refuserait d'entretenir le moindre contact avec lui.
B. Par jugement du 26 mai 2011, le Tribunal de première instance a, entre autres points, modifié le jugement du 27 mai 2008 en ce sens que le père est condamné à contribuer à l'entretien de son fils, dès le 14 octobre 2009, par le versement mensuel, allocations familiales ou d'études non comprises, des sommes suivantes: 1'000 fr. jusqu'au 30 octobre 2010, 350 fr. du 1er novembre 2010 au 31 août 2011 et 1'000 fr. du 1er septembre 2011 jusqu'à ses 25 ans, pour autant qu'il poursuive des études sérieuses et régulières (ch. 2). Le tribunal a confirmé le jugement du 27 mai 2008 pour le surplus (ch. 3), donné acte au crédirentier de son engagement de renseigner le débirentier sur sa scolarité deux fois par année (ch. 4) et compensé les dépens (ch. 5).
Par arrêt du 26 janvier 2012, la Cour de justice du canton de Genève, statuant sur l'appel interjeté par le débirentier, a fixé le montant de la contribution d'entretien à 150 fr. par mois à compter du 14 octobre 2009. Le jugement de première instance a été confirmé pour le surplus.
C. Par acte du 5 mars 2012, X._ exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 26 janvier 2012. Il conclut à ce que l'intimé soit condamné à lui verser, allocations familiales ou d'études non comprises, un montant de 1'000 fr. par mois dès le 14 octobre 2009 et jusqu'à l'âge de 25 ans en cas d'études sérieuses et régulières.
Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours a été interjeté dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et justifiant d'un intérêt à la modification ou à l'annulation de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF). L'arrêt entrepris, rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF), est une décision finale (art. 90 LTF). Dès lors que le litige soumis au Tribunal fédéral porte sur la contribution d'entretien due à un enfant majeur, le recours a pour objet une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. est atteinte (art. 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Partant, le recours en matière civile est en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut ainsi être exercé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), qui comprend les droits constitutionnels (ATF 133 III 446 consid. 3.1, 462 consid. 2.3). Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4; 134 III 102 consid. 1.1).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par la juridiction précédente (art. 105 al. 1 LTF); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte - à savoir arbitraire (ATF 135 II 145 consid. 8.1; 135 III 127 consid. 1.5, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), à savoir que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst., doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'examine en effet la violation de l'interdiction de l'arbitraire que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 127 consid. 1.6), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (principe d'allégation; ATF 135 III 670 consid. 1.5; 134 II 349 consid. 3; 133 IV 286 consid. 1.4). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 136 II 489 consid. 2.8; 133 III 589 consid. 2).
2. Comme l'enfant a sa résidence habituelle en Suisse, les tribunaux de ce pays sont compétents (art. 79 al. 1 LDIP) et le droit suisse est applicable (art. 83 al. 1 LDIP et art. 4 de la Convention de La Haye du 2 octobre 1973 sur la loi applicable aux obligations alimentaires [RS 0.211.231.01]).
3. Aux termes de l'art. 286 al. 2 CC, si la situation change notablement, le juge modifie ou supprime la contribution d'entretien à la demande du père, de la mère ou de l'enfant. Cette modification ou suppression suppose que des faits nouveaux importants et durables surviennent, qui commandent une réglementation différente. La procédure de modification n'a en effet pas pour but de corriger le premier jugement, mais de l'adapter aux circonstances nouvelles (ATF 137 III 604 consid. 4.1.1; 131 III 189 consid. 2.7.4; 120 II 177 consid. 3a, 285 consid. 4b; cf. aussi arrêt 5A_186/2012 du 28 juin 2012 consid. 5.2.2).
L'autorité cantonale a considéré qu'en appel, les parties ne contestaient pas, avec raison, l'opinion du Tribunal de première instance selon laquelle la situation financière du débirentier s'était notablement et durablement dégradée depuis le prononcé du jugement du 27 mai 2008. Seule est donc litigieuse ici la question du montant de la contribution d'entretien.
4. Le recourant se plaint d'appréciation arbitraire des preuves (art. 9 Cst.) et de violation de l'art. 285 al. 1 CC. Il reproche à l'autorité cantonale d'avoir réduit la contribution d'entretien à 150 fr. par mois sans prendre en considération la fortune du débirentier et en omettant de tenir compte, dans le calcul du revenu de celui-ci, du bénéfice réalisé par la société d'optique des époux.
4.1 La fixation du montant d'une contribution d'entretien selon l'art. 285 al. 1 CC relève, pour une part importante, de l'appréciation à laquelle le juge doit procéder selon les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC; ATF 107 II 406 consid. 2c; cf. aussi: ATF 137 III 102 consid. 4.2.2.2; 134 III 577 consid. 4). Le Tribunal fédéral n'intervient que si l'autorité cantonale a pris en considération des éléments qui ne jouent pas de rôle au sens de la loi ou a omis de tenir compte de facteurs essentiels, ou bien encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant arrêté apparaît manifestement inéquitable au regard des circonstances (ATF 119 II 197 consid. 2 p. 199; 118 II 50 p. 55).
De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît dans ce domaine aux autorités cantonales (parmi plusieurs: ATF 120 Ia 31 consid. 4b; 104 Ia 381 consid. 9 et les arrêts cités). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2; 134 V 53 consid. 4.3; 133 II 249 consid. 1.4.3; 129 I 8 consid. 2.1; 118 Ia 28 consid. 1b).
De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît dans ce domaine aux autorités cantonales (parmi plusieurs: ATF 120 Ia 31 consid. 4b; 104 Ia 381 consid. 9 et les arrêts cités). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2; 134 V 53 consid. 4.3; 133 II 249 consid. 1.4.3; 129 I 8 consid. 2.1; 118 Ia 28 consid. 1b).
4.2 4.2.1 Il résulte de l'arrêt entrepris que l'intimé et son épouse actuelle, tous deux opticiens-lunetiers, exploitent depuis 2003 un magasin d'optique en France sous la forme d'une société à responsabilité limitée. Pour son activité au sein du magasin, le débirentier a perçu, au cours des trois dernières années, des salaires mensuels nets moyens de EUR 1'445.25 et l'épouse, une rémunération de gérance s'élevant en moyenne à EUR 1'929.75 par mois. Depuis la création de la société, le bénéfice net (EUR 2'953.- en 2005, EUR 31'076.- en 2006, EUR 12'985.- en 2007, EUR 14'655.- en 2008, EUR 36'067.- en 2009 et EUR 2'455.- en 2010) n'a jamais fait l'objet d'une distribution de dividendes au profit des associés, mais a systématiquement été incorporé, de manière comptable, aux fonds propres de la société. Selon l'expert-comptable chargé d'établir les bilans de celle-ci, ce bénéfice ne correspond pas à de l'argent disponible, la situation de la société s'étant dégradée en 2010, de sorte que si les associés le prélevaient, les comptes seraient à découvert et lesdits associés, à savoir le débirentier et son épouse, pourraient être poursuivis pour abus de biens sociaux, dans la mesure où ils auraient obéré inutilement la situation financière de la société jusqu'à la conduire en faillite.
Se fondant sur les documents produits, la Cour de justice retient qu'en automne 2010, la société a en effet connu des difficultés de trésorerie. Elle a été mise en demeure de payer ses loyers d'août et septembre 2010 et de s'acquitter des factures de plusieurs fournisseurs. Vu son manque de liquidités, elle a été obligée, non seulement, de renégocier son prêt de base, mais encore, de contracter un nouvel emprunt afin de rembourser ses découverts en comptes courants ouverts auprès d'autres établissements bancaires.
Pour l'autorité cantonale, si la situation financière de la société a pu être redressée par le biais d'un nouvel emprunt, cela ne signifie pas qu'elle soit hors de danger. On ne saurait ainsi la mettre en difficulté en exigeant du débirentier qu'il prélève les bénéfices comptables au risque de faire tomber la société en faillite, ce qui le priverait de tout revenu à long terme, alors que son fils atteindra l'âge de 25 ans - limite du droit de celui-ci à une contribution d'entretien - d'ici trois ans. Par conséquent, seul le salaire mensuel net moyen de EUR 1'445.- devait être pris en compte pour déterminer la capacité contributive du débirentier, à l'exclusion du bénéfice de sa société.
4.2.2 Le recourant admet qu'en 2010, la société de l'intimé a connu une situation financière difficile, qui a toutefois été redressée en contractant un nouvel emprunt. Il reproche cependant à la Cour de justice de n'avoir pas tenu compte du fait que le commerce a, depuis sa création, fonctionné à l'aide de crédits bancaires, que le chiffre d'affaires moyen depuis 2005 était de l'ordre de EUR 350'000.- et que l'exploitation n'a jamais généré de pertes mais, au contraire, chaque année un bénéfice. L'autorité cantonale n'aurait pas non plus pris en considération les déclarations de l'épouse du débirentier, desquelles il ressort que la détermination des salaires et la distribution du bénéfice sont uniquement du ressort des conjoints, seuls actionnaires de la société. Or, alors que le débirentier est propriétaire de celle-ci à raison de 70%, c'est sa femme qui a été inscrite en qualité de gérante et qui bénéficie d'un salaire plus élevé. Selon le recourant, en considérant qu'exiger de l'intimé qu'il prélève les bénéfices de sa société reviendrait à priver celle-ci de liquidités financières et à la mettre en faillite, la Cour de justice se serait fondée sur des hypothèses purement théoriques, dès lors que les bénéfices en question sont nets, autrement dit réalisés après déduction de toutes les charges, y compris le remboursement des crédits ou le paiement des fournisseurs. Le raisonnement de l'autorité cantonale serait donc manifestement inéquitable, d'autant que l'organisation actuelle du commerce - en particulier le choix de s'attribuer des salaires en lieu et place des recettes, après déduction des charges - résulte de décisions unilatérales de l'intimé et de son épouse. Enfin, la Cour de justice aurait enfreint la loi et abouti à un résultat choquant en procédant à la pesée des intérêts en présence, dès lors qu'il était impérieux de tout mettre en oeuvre pour qu'il puisse suivre la meilleure formation possible.
Par cette argumentation, en grande partie appellatoire, le recourant ne démontre pas que l'autorité cantonale aurait fait preuve d'arbitraire dans l'établissement des faits. Il n'avance pas non plus d'argument qui permettrait de considérer que la Cour de justice aurait, à cet égard, violé le droit fédéral ou abusé du large pouvoir d'appréciation dont elle dispose. Il se contente d'affirmer, en substance, que les bénéfices de la société auraient dû être pris en considération dans la capacité contributive de l'intimé, sans critiquer valablement la motivation des juges précédents, selon laquelle il s'agit de bénéfices purement comptables dont le prélèvement risque de provoquer la faillite de la société (cf. supra, consid. 4.2.1). Dans la mesure où il allègue, en particulier, que la cour cantonale s'est fondée sur des attestations manifestement établies pour les besoins de la cause et que la détermination des salaires ainsi que la distribution du bénéfice de la société sont du seul ressort des associés, il n'établit pas que l'appréciation des preuves à laquelle s'est livrée la Cour de justice serait insoutenable. Enfin, les juges précédents ne sauraient se voir reprocher d'avoir estimé qu'on ne pouvait exiger de l'intimé qu'il prélève les bénéfices de sa société, après avoir mis en balance le risque de faillite de celle-ci - avec, à terme, celui de priver le débirentier de ses revenus - et la durée résiduelle de trois ans de l'obligation d'entretien. Autant qu'il est suffisamment motivé (art. 42 al. 2, 106 al. 2 LTF), le grief apparaît ainsi infondé.
4.3 Le recourant relève par ailleurs que la Cour de justice a omis de prendre en considération au titre de la fortune de l'intimé les avoirs bancaires de celui-ci, aujourd'hui bloqués, provenant de la liquidation de son régime matrimonial, et le logement dont il est propriétaire.
4.3.1 Sur ces points, l'autorité cantonale retient, d'une part, que le 13 février 2006, l'intimé a acquis, en copropriété avec sa nouvelle épouse, un immeuble pour une somme de EUR 140'000.-, achat qui a été financé par trois prêts bancaires consentis aux deux époux; d'autre part, que les avoirs du débirentier provenant de la liquidation du régime matrimonial effectuée dans le cadre de son divorce sont actuellement bloqués, sans produire de revenus disponibles - ce qu'admet le recourant -, sur un compte bancaire français et sous la surveillance d'un notaire, la répartition de ces avoirs, qui se montaient à EUR 154'222.48 le 31 décembre 2010, étant litigieuse et faisant l'objet d'une procédure pendante en France.
4.3.2 En ce qui concerne l'appartement dont l'intimé est copropriétaire, le recourant se borne à relever que cet élément n'a pas été retenu par la Cour de justice au titre de la fortune de celui-ci, tout en reconnaissant que cet immeuble a été acquis en 2006 pour une somme de EUR 140'000.- au moyen de trois prêts, et qu'on ne connaît pas la valeur actuelle de ce logement. Dès lors qu'il n'expose nullement comment, ni dans quelle mesure, la copropriété de ce logement pourrait servir à financer la contribution litigieuse, ses allégations sont insuffisamment motivées (art. 42 al. 2 LTF).
Le moyen tiré des expectatives de l'intimé liées à la liquidation de son régime matrimonial n'apparaît guère mieux étayé. En effet, le recourant ne remet pas en cause la constatation selon laquelle ces avoirs sont actuellement bloqués, de sorte que l'intimé ne peut, à ce jour, en tirer aucun revenu. Il se contente d'affirmer, sans se fonder sur aucun élément du dossier, que la répartition de ces biens a, pour l'heure, été fixée à EUR 71'028.10 en faveur de son père et à EUR 36'308.24 en faveur de sa mère. Dès lors qu'il n'explique pas en quoi la Cour de justice aurait enfreint le droit fédéral en omettant de tenir compte de ces prétentions dans le calcul de la contribution d'entretien, alors que l'intimé n'en dispose pas et qu'il n'est pas établi à combien se montera sa part à l'issue de la procédure qui l'oppose à son ex-épouse, son grief, autant qu'il est suffisamment motivé, ne peut qu'être rejeté. En l'état, faute pour le recourant de disposer de l'accord de ses deux parents concernant le déblocage de ce capital (ou du moins, le cas échéant, des intérêts de celui-ci) ou d'avoir intenté une procédure à cette fin tant à l'égard de sa mère que de son père, il ne peut être reproché aux juges précédents de s'être fondés sur la situation financière concrète du débirentier et non sur des biens futurs encore indéterminés.
5. En conclusion, le recours doit être rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité. Les conclusions du recourant étant vouées à l'échec, sa requête d'assistance judiciaire ne peut être agréée (art. 64 al. 1 LTF), ce qui entraîne sa condamnation aux frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à répondre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Un émolument judiciaire de 1'500 fr. est mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 30 août 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Mairot