Nach Einsicht
in die Verfassungsbeschwerde gegen den Entscheid vom 10. Juni 2013 des Obergerichts Appenzell Ausserrhoden, das ein Gesuch um Erstreckung der Beschwerdefrist sowie eine Beschwerde des Beschwerdeführers gegen die Aufforderung des Kantonsgerichts Appenzell Ausserrhoden zur Nachzahlung (nach Art. 123 Abs. 1 ZPO) von Fr. 4'739.80 (gemäss Scheidungsurteil zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Jahr 2006 auf die Staatskasse genommene Kosten) abgewiesen hat,
in Erwägung,
dass gegen den in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit ergangenen Entscheid des Obergerichts mangels Erreichens der Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Ausnahme gemäss Art. 74 Abs. 2 BGG allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG offen steht, weshalb die Eingabe des Beschwerdeführers als solche entgegengenommen worden ist,
dass in einer subsidiären Verfassungsbeschwerde die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG sowie Art. 116 BGG), d.h. anhand der Erwägungen des kantonalen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch diesen Entscheid verletzt sein sollen (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399), ansonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG),
dass das Obergericht im Entscheid vom 10. Juni 2013 erwog, die Beschwerdefrist könne nicht erstreckt werden, der Beschwerdeführer weise den von ihm behaupteten Schaden von Fr. 300'000.-- durch Verhalten eines Behördemitglieds nicht nach, der Beschwerdeführer habe sich bis zur Beschwerdeeinreichung auf die mehrfachen Anfragen des Kantonsgerichts (betreffend die finanziellen Verhältnisse) nie vernehmen lassen, er sei daher seiner Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen, auch in der Beschwerde belege er die Mittellosigkeit nicht, zu Recht habe die Vorinstanz auf die (mangels Einreichung einer Steuererklärung nach Ermessen vorgenommene) Steuerveranlagung abgestellt (Einkommen im Jahr 2010 von Fr. 171'000.--, Reinvermögen von Fr. 45'000.--), die angeordnete Nachzahlung erweise sich unter diesen Umständen als rechtens,
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe an das Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auf die entscheidenden obergerichtlichen Erwägungen eingeht,
dass es insbesondere nicht genügt, die bereits vom Obergericht widerlegten Einwendungen zu wiederholen und das Obergericht als befangen zu bezeichnen,
dass der Beschwerdeführer erst recht nicht anhand der obergerichtlichen Erwägungen nach den gesetzlichen Anforderungen, d.h. klar und detailliert aufzeigt, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch den Entscheid des Obergerichts vom 10. Juni 2013 verletzt sein sollen,
dass somit auf die - offensichtlich keine hinreichende Begründung enthaltende - Verfassungsbeschwerde in Anwendung von Art. 117 i.V.m. Art 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten ist,
dass der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig wird (Art. 66 Abs. 1 BGG),
dass in den Fällen des Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 BGG das vereinfachte Verfahren zum Zuge kommt und der Abteilungspräsident zuständig ist,
erkennt der Präsident:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Kantonsgericht und dem Obergericht Appenzell Ausserrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Füllemann