Sachverhalt:
A. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn wies mit Entscheid vom 17. Januar 2011 eine Beschwerde der H._ gegen einen Einspracheentscheid vom 30. Juli 2008 der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend Allianz) ab, mit welchem die Versicherung ihre Leistungspflicht für ein Geschehen vom 6. Juli 1999 verneinte.
B. Das Bundesgericht wies die von H._ hiegegen erhobene Beschwerde ab und bestätigte die Verneinung der Leistungspflicht (Urteil 8C_159/2011 vom 11. Juli 2011).
C. H._ reicht am 30. September 2011 ein Gesuch um Erläuterung dieses bundesgerichtlichen Urteils ein.
Die Allianz schliesst auf Abweisung des Erläuterungsgesuchs, soweit darauf einzutreten sei.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht nimmt auf schriftliches Gesuch einer Partei oder von Amtes wegen die Erläuterung oder Berichtigung des Dispositivs eines Entscheids vor, wenn dieses unklar, unvollständig oder zweideutig ist, seine Bestimmungen untereinander oder mit der Begründung im Widerspruch stehen oder wenn es Redaktions- oder Rechnungsfehler enthält (Art. 129 Abs. 1 BGG). Die Erwägungen unterliegen einer Erläuterung nur, wenn und insoweit der Sinn des Dispositivs erst durch Beizug der Entscheidungsgründe ermittelt werden kann (Urteil 4G_2/2009 vom 21. Oktober 2009 E. 1.1 mit weiteren Hinweisen).
2. 2.1 Die Gesuchstellerin legt nicht dar, inwiefern das Dispositiv des Bundesgerichtsurteils unklar oder zweideutig sein soll. Auf das Erläuterungsgesuch ist daher von vornherein nicht einzutreten.
2.2 Die Gesuchstellerin ersucht um Klärung der Frage, weshalb das Urteil von Frau Bundesrichterin Leuzinger in Vertretung ("i.V.") des Abteilungspräsidenten, Herrn Bundesrichter Ursprung, unterzeichnet worden sei, wobei dies auch bezüglich der im Urteilskopf aufgeführten Gerichtsschreiberin Polla gelte, die von einer "unbekannten Gerichtsschreiberin" bei der Urteilsunterzeichnung vertreten worden sei.
2.3 Aus dem Umstand, dass nicht am Urteil beteiligte Personen in Vertretung des Abteilungspräsidenten und der Gerichtsschreiberin das Urteil unterzeichneten, ergeben sich keinerlei Anhaltspunkte dafür, dass die im Rubrum aufgeführten Personen nicht am Urteil mitgewirkt hätten, oder dass die Erwägungen oder das Dispositiv mit dem Entscheid des Spruchkörpers nicht übereinstimmen würde (vgl. BGE 125 V 499 ff.; 124 I 255 E. 4c S. 262 und E. 5c/aa S. 265). Das Urteil ist in Vertretung unterschrieben worden, weil im Zeitpunkt der Ausfertigung desselben alle im Rubrum aufgeführten Mitglieder des Spruchkörpers und die erwähnte Gerichtsschreiberin abwesend waren. Damit wurde weder die Vertretungsregelung gemäss Art. 47 des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht (BGerR: SR 173.110.131), noch der verfassungsmässige Anspruch auf richtige Besetzung des Gerichts und Einhaltung der jeweils geltenden staatlichen Zuständigkeitsordnung (Art. 30 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK; BGE 129 V 335 E. 1.3.1 S. 338; Urteil 9C_275/2008 E. 1 und 2.1) verletzt, zumal die im Rubrum genannten Bundesrichter und die Gerichtsschreiberin auch tatsächlich am Urteil mitgewirkt haben.
2.4 Die weiteren Ausführungen in der Eingabe vom 30. September 2011 stossen ohnehin ins Leere, weil der Erläuterung - entgegen dem, was die Gesuchstellerin anzunehmen scheint - von vornherein nur das Dispositiv, grundsätzlich aber nicht die Begründung des Entscheids zugänglich ist (vgl. E. 1; BGE 101 Ib 220 E. 3 S. 223; Elisabeth Escher, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Auflage 2011, N. 3 zu Art. 129 BGG; Pierre Ferrari, Commentaire de la LTF, 2009, N. 4 zu Art. 129 BGG), wobei auch die Neuprüfung eines Urteils bzw. eine Diskussion über die Richtigkeit desselben ausser Betracht fällt (Pierre Ferrari, a.a.O., N. 5 zu Art. 129 BGG; Seiler/von Werdt/ Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 8 zu Art. 129 BGG). Damit ist auf die inhaltliche Kritik am Urteil nicht einzutreten und die diesbezüglichen weiteren Eingaben der Gesuchstellerin sind unbeachtlich.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurde wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen (Verfügung vom 21. Oktober 2011), weshalb die zu erhebenden Gerichtskosten der unterliegenden Gesuchstellerin überbunden werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf das Erläuterungsgesuch wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Dezember 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Polla