Sachverhalt:
A. Die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV), Hauptabteilung Mehrwertsteuer, erliess gegenüber dem im Register der Mehrwertsteuerpflichtigen eingetragenen X._ (hiernach: die steuerpflichtige Person) am 19. April 2012 einen Einspracheentscheid. Darin hielt die ESTV im Wesentlichen fest, die steuerpflichtige Person schulde für die Steuerperioden vom ersten Quartal 2004 bis zum vierten Quartal 2008 Mehrwertsteuern von Fr. 14'881.-- zuzüglich Verzugszins. Die steuerpflichtige Person erhob dagegen am 18. Mai 2012 rechtzeitig Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht.
B. Mit Zwischenverfügung vom 22. Mai 2012 setzte der Instruktionsrichter der Abteilung I des Bundesverwaltungsgerichts den Kostenvorschuss auf Fr. 2'000.-- fest. Gleichzeitig forderte er die steuerpflichtige Person zur Leistung bis zum 8. Juni 2012 auf, andernfalls auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde. Der Treuhänder der steuerpflichtigen Person nahm die Zwischenverfügung am 25. Mai 2012 in Empfang. Die Überweisung erfolgte erst mit Postüberweisung vom 13. Juni 2012. Aus einem Schreiben an die Vorinstanz, das der Treuhänder am selben Tag verfasste, geht hervor, er habe die steuerpflichtige Person nach Eingang der Zwischenverfügung umgehend per E-Mail auf die Zahlungspflicht hingewiesen. Aufgrund von technischen Problemen mit dem Server, der von einem Dritten betrieben werde, sei es allerdings weder zur Weiterleitung der elektronischen Nachricht an die steuerpflichtige Person noch zu einer Fehlermeldung an ihn selbst gekommen. Deswegen ersuche er nun um "Fristerstreckung bezüglich der ausgeführten Zahlung".
C. Mit einzelrichterlichem Urteil vom 21. Juni 2012 nahm das Bundesverwaltungsgericht das Schreiben vom 13. Juni 2012 als Fristwiederherstellungsgesuch entgegen, wies dieses ab und trat auf die Beschwerde vom 18. Mai 2012 nicht ein. Hiergegen wendet sich der Treuhänder der steuerpflichtigen Person mit Eingabe vom 12. Juli 2012 an das Bundesgericht. Er ersucht in seiner Beschwerde um "Fristwiederherstellung bezüglich Leistung des Zahlungsvorschusses".
Das Bundesgericht holte bei der Vorinstanz und der Eidgenössischen Steuerverwaltung die Akten ein (Art. 102 Abs. 2 BGG), sah hingegen von einer Einladung zu Vernehmlassungen ab (Art. 102 Abs. 1 BGG).
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit des Rechtsmittels von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (BGE 137 III 417 E. 1).
1.2 Gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts auf dem Gebiet der Mehrwertsteuer ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gegeben (Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG). Das angefochtene Urteil schliesst das Verfahren sowohl durch die Abweisung des Gesuchs um Fristwiederherstellung als auch durch das Nichteintreten auf die Beschwerde ab; es stellt demnach einen Endentscheid dar (Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist zum Rechtsmittel legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, sodass auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten ist.
1.3 Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist weder an die in der Beschwerde gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Trotz Rechtsanwendung von Amtes wegen prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), an sich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389; 134 III 102 E. 1.1 S. 104; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Fragen des Bundesrechts untersucht das Bundesgericht mit freier Kognition.
1.4 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Deren tatsächlichen Feststellungen können nur berichtigt werden, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG). Dies ist dann der Fall, wenn der Sachverhalt willkürlich ermittelt worden (Art. 9 BV) oder dessen Feststellung unter Verletzung verfassungsmässiger Rechte und Grundsätze zustande gekommen ist (BGE 135 II 145 E. 8.1 S. 153). Zudem muss aufgezeigt werden, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Die steuerpflichtige Person lässt durch ihren Treuhänder vorbringen, der EDV-gestützte Fehler habe sich im Machtbereich eines Dritten ("Provider") ereignet. Steuerpflichtige Person und Treuhänder, der als Hilfsperson des Steuerpflichtigen angesprochen ist, berufen sich damit auf das Fehlverhalten einer Drittpartei. Sinngemäss erblicken sie darin die Unterbrechung des für sie ungünstigen Kausalzusammenhanges zwischen Fristversäumnis und Nichteintreten auf die Beschwerde.
2.2 Ordnet das Bundesverwaltungsgericht eine Frist zur Leistung des Gerichtskostenvorschusses an, handelt es sich dabei um eine behördliche Frist. Eine solche kann vom Bundesverwaltungsgericht gemäss Art. 22 Abs. 2 VwVG des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021) in Verbindung mit Art. 37 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht (VGG; SR 173.32) erstreckt werden, sofern das Gesuch vor Fristablauf bei der Behörde eingeht. Wird das Gesuch nicht spätestens am letzten Tag der Frist der Post übergeben (Urteil 2C_261/2007 vom 29. September 2008 E. 2.1, in: StR 63/2008 S. 891), handelt es sich - entgegen der in der Beschwerde vertretenen Sichtweise - nicht um ein Fristerstreckungsgesuch. In Frage kommt höchstens ein Fristwiederherstellungsgesuch aufgrund von Art. 24 VwVG oder gestützt darauf, dass das Fristversäumnis die Folge eines hinreichenden vertrauensbegründenden Verhaltens der Behörden darstellt (Art. 9 BV; Urteile 2C_513/2011 vom 2. November 2011 E. 2.1; 2A.175/2006 vom 11. Mai 2006 E. 2.2.2; allgemein dazu BGE 137 I 69 E. 2.5.1 S. 73; 137 II 182 E. 3.6.2 S. 193; 131 II 627 E. 6.1 S. 636 f.). Die Rüge der Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben steht unter dem Rüge- und Begründungsvorbehalt nach Art. 106 Abs. 2 BGG (BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Daran fehlt es hier. Die von Amtes wegen vorzunehmende Prüfung gemäss Art. 106 Abs. 1 BGG ist auf die bundesrechtskonforme Anwendung von Art. 24 VwVG beschränkt.
3. 3.1 Die Heilung des Fristversäumnisses gemäss Art. 24 Abs. 1 VwVG bedingt vorab, dass die Partei oder ihre Vertretung unverschuldeterweise davon abgehalten worden ist, binnen Frist zu handeln (materielle Voraussetzung). Darüber hinaus muss das Fristwiederherstellungsgesuch innerhalb von 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses gestellt und die versäumte Rechtshandlung gleichzeitig nachgeholt worden sein (formelle Voraussetzung; vgl. BERNARD MAITRE/ VANESSA THALMANN, in: Bernhard Waldmann/Philippe Weissenberger [Hrsg.], VwVG, Praxiskommentar, 2009, N. 17 zu Art. 24 VwVG). Eine Nachfrist zur Behebung der unbenutzten Zahlungsfrist kennt das VwVG - anders als etwa Art. 62 Abs. 3 Satz 2 BGG - nicht (ANDRÉ MOSER/MICHAEL BEUSCH/LORENZ KNEUBÜHLER, Prozessieren vor dem Bundesverwaltungsgericht, 2008, N. 4.36).
3.2 Die Wiedereinsetzung in den früheren Stand ist praxisgemäss nur bei klarer Schuldlosigkeit der betroffenen Prozesspartei und ihrer Vertretung zu gewähren (Urteil 1C_336/2011 vom 12. Dezember 2011 E. 2.3). Dem begründeten Unvermögen, die Frist zu wahren, können objektive oder subjektive Ursachen zugrundeliegen (zu Art. 24 VwVG Urteil 2A.615/1996 vom 19. August 1997 E. 3c, mit Hinweis auf BGE 96 II 262 E. 1 S. 265; vgl. auch Urteile 6S.54/2006 vom 2. November 2006 E. 2.2.1 [zum OG]; 1P.123/2005 vom 14. Juni 2005 E. 1.1 und 1.2 [zum VRPG/BE], in: ZBl 107/2006 S. 390, RDAF 2007 I S. 413). Waren die Partei oder ihre Vertretung wegen eines von ihrem Willen unabhängigen Umstandes daran gehindert, zeitgerecht zu handeln, liegt objektive Unmöglichkeit vor. Zu denken ist beispielsweise an Naturkatastrophen, Militärdienst oder schwerwiegende Erkrankung, nicht hingegen an Arbeitsüberlastung, organisatorische Unzulänglichkeiten oder Ferienabwesenheit (STEFAN VOGEL, in: Auer/Müller/Schindler [Hrsg.], Kommentar zum VwVG, 2008, N. 10 zu Art. 24 VwVG; BGE 119 II 86 E. 2a S. 87 zur Krankheit). Von subjektiver Unmöglichkeit ist auszugehen, wenn zwar die Vornahme einer Handlung, objektiv betrachtet, möglich gewesen wäre, die betroffene Person aber durch besondere Umstände, die sie nicht zu vertreten hat, am Handeln gehindert worden ist. In Betracht kommen hier insbesondere unverschuldete Irrtumsfälle (vgl. Urteile 2C_429/2007 vom 4. Oktober 2007 E. 2.2.2; 2A.506/2003 vom 6. Januar 2004 E. 4.3, in: SemJud 2004 I 389; VOGEL, a.a.O., N. 12 zu Art. 24 VwVG).
3.3 Eine Prozesspartei vermag sich der Verantwortung für die Wahrnehmung ihrer Prozesspflichten nicht dadurch rechtsgültig zu entledigen, dass sie Dritte mit der Wahrung ihrer Rechte und Pflichten beauftragt. Dies ergibt sich bereits aus dem Allgemeinen Teil des Obligationenrechts: Wer die Erfüllung einer Schuldpflicht oder die Ausübung eines Rechtes aus einem Schuldverhältnis, wenn auch befugterweise, durch eine Hilfsperson vornehmen lässt, hat danach dem andern den Schaden zu ersetzen, den die Hilfsperson in Ausübung ihrer Verrichtungen verursacht (Art. 101 Abs. 1 OR; BGE 130 III 591 E. 5.5.4 S. 605). Praxisgemäss gilt die Formel, dass diejenige Person, die den Vorteil hat, Pflichten durch eine Hilfsperson erfüllen zu lassen, auch die Nachteile daraus tragen soll (BGE 114 Ib 67 E. 2c und d S. 71; 107 Ia 168 E. 2a S. 169).
3.4 Auch im Steuerrecht herrscht das Prinzip, dass die vertretene Partei sich Fehlleistungen ihrer Vertretung unmittelbar anrechnen lassen muss (Urteile 2C_220/2007 vom 10. Oktober 2007 E. 4; 2P.191/2006 vom 25. Juli 2006 E. 2.2). Die vertraglich vertretene steuerpflichtige Person soll insofern gegenüber den Nichtvertretenen nicht besser gestellt sein. Dementsprechend ist die steuerpflichtige Person verpflichtet, die vertragliche Vertretung sorgfältig auszuwählen, zu instruieren und das Arbeitsergebnis zu überprüfen (Urteil 6S.217/2004 vom 26. November 2004 E. 5.2 mit Hinweisen, in: RDAF 2005 II S. 68). Dies gilt namentlich für die Kontrolle der durch dritte Hand ausgefüllten Steuererklärung (Urteile 2A.168/2006 vom 8. März 2007 E. 4.2, in: StE 2007 B 101.21 Nr. 17; 2P.48/2006 vom 10. Mai 2006 E. 3.1; 2A.194/2002 vom 25. April 2003 E. 2.5.1, in: StR 59/2004 S. 58).
3.5 Gleichermassen Anwendung findet dieses Prinzip der Selbstverantwortung der steuerpflichtigen Person etwa im Bereich des Steuerstrafrechts (Urteile 2P.48/2006 vom 10. Mai 2006 E. 3.1; 6S.217/2004 vom 26. November 2004 E. 5.2, in: RDAF 2005 II S. 68) und namentlich mit Blick auf die Fristwahrung (Urteil 2A.329/1990 vom 3. September 1991 E. 2c, in: ASA 60 S. 630, betreffend Art. 99 Abs. 4 des seinerzeitigen Bundesratsbeschlusses vom 9. Dezember 1940 über die Erhebung einer direkten Bundessteuer [BdBSt; BS 6 390]; vgl. auch BGE 114 Ib 67 E. 2 S. 69 ff.; 107 Ia 168 E. 2 S. 169).
3.6 Lässt sich die Vertretung (Hilfsperson) ihrerseits vertreten, ist das Verhalten der Unter-Hilfsperson unmittelbar der Ober-Hilfsperson und dieses letztlich der steuerpflichtigen Person zuzurechnen (Urteil 2C_82/2011 vom 28. April 2011 E. 2.3, in: StR 66/2011 S. 698). Steht eine Verwirkungsfrist zur Diskussion, kann im Mehrwertsteuerrecht die Kausalkette zwischen dem nicht zur Fristwahrung führenden Verhalten der Hilfsperson(en) und dem letztlich im Machtbereich der steuerpflichtigen Person eintretenden Fristversäumnis bloss unter den Voraussetzungen von Art. 24 VwVG bzw. Art. 9 BV unterbrochen und der Rechtsnachteil dadurch geheilt werden (dazu E. 2.2 hiervor).
4. 4.1 Unstreitig hat die steuerpflichtige Person die von der Vorinstanz anberaumte, am 8. Juni 2012 endende Frist zur Entrichtung des Gerichtskostenvorschusses (Art. 22 und 63 Abs. 4 VwVG) verpasst. Sie begründet dies damit, dass technische Schwierigkeiten mit der elektronischen Datenverarbeitung aufgetreten seien. Der Treuhänder erklärt, die steuerpflichtige Person umgehend nach Eingang der Zwischenverfügung über die Zahlungsfrist informiert zu haben, was allerdings aufgrund eines EDV-Problems fehlgeschlagen sei, ohne dass dies hätte bemerkt werden können (kein Versand einer Fehlermeldung). Da die EDV des Treuhänders an einen Dritten ("Provider") ausgelagert sei, dürfe das Versäumen der Frist nicht der steuerpflichtigen Person zugerechnet werden. Zu berücksichtigen sei zudem, dass die Vorinstanz eine ungültige Kontonummer bekanntgegeben habe.
4.2 Es kann heute als allgemein bekannt vorausgesetzt werden, dass der Verkehr mit E-Mails gefahrenbehaftet und im Allgemeinen nur beschränkt verlässlich ist. Insbesondere gilt, dass der Nachweis des Zugangs elektronischer Nachrichten in den Machtbereich der empfangenden Person aufgrund der technischen Gegebenheiten anerkanntermassen Schwierigkeiten bereitet (ROGER ROHNER, Rechtsprobleme der elektronischen Steuerveranlagung, 2008, S. 85). In der Praxis bleibt die Möglichkeit, von der empfangenden Person eine Eingangsbestätigung zu verlangen und bei deren Ausbleiben zu reagieren. Eine entscheidrelevante Mitteilung per E-Mail zu versenden, ohne weitere (Kontroll-)Massnahmen zu ergreifen, entspricht nicht sorgfältiger Erfüllung des Auftragsverhältnisses (Art. 398 OR). Wenn oben ausgeführt wurde, die steuerpflichtige Person sei verpflichtet, die vertragliche Vertretung sorgfältig auszuwählen, zu instruieren und das Arbeitsergebnis zu überprüfen (E. 3.4 hiervor), trifft dies gleichermassen auf die Rechtsbeziehung zwischen Ober- und Unter-Hilfsperson zu. Hier heisst dies, dass der Treuhänder verpflichtet ist, das Verhalten des Providers zu kontrollieren. Es wäre an ihm gelegen, das "Arbeitsergebnis" dahingehend zu überprüfen, ob die elektronische Nachricht den Weg zur steuerpflichtigen Person tatsächlich gefunden hat. Schwierigkeiten im Umgang mit Informatiksystemen wurden denn auch in der bisherigen Rechtsprechung nicht als Fristwiederherstellungsgründe anerkannt, auch dann nicht, wenn geltend gemacht wurde, sie seien auf das Verhalten von Hilfspersonen zurückzuführen (Urteile 8C_910/2008 vom 30. Januar 2009 E. 3.4, in: SVR 2009 UV 26 Nr. 95; 4P.171/1996 vom 14. Oktober 1996 E. 4b).
4.3 Der Treuhänder der steuerpflichtigen Person bringt vor, ihm sei keine Fehlermeldung (über die nicht erfolgte Zustellung der elektronischen Nachricht an den Empfänger) zugegangen. Ist es unter den heute gängigen Standards unerlässlich, die Übermittlung auf andere, primär wohl herkömmliche Weise (telefonisch, postalisch etc.) zu verifizieren, erscheint es als wenig sinnvoll, auf das Eintreffen einer Fehlermeldung oder einer Zustellungsbestätigung zu vertrauen. Anders, als die steuerpflichtige Person und mit ihr der Treuhänder annimmt, genügt es zur Überwälzung der Verantwortung auf eine Sub-Hilfsperson ("Provider") angesichts der technischen Unzulänglichkeiten der elektronischen Übermittlung, wie sie heute besteht, jedenfalls nicht, wenn der Unter-Hilfsperson (Provider) eine E-Mail-Nachricht zuhanden der steuerpflichtigen Person übergeben wird. Der (Ober-)Hilfsperson ist im Sinne der geschilderten Zurechnungslehre schuldhaftes Verhalten vorzuwerfen. Der Treuhänder und mit ihr die steuerpflichtige Person vermögen keine objektiven oder subjektiven Gründe vorzubringen, welche das vom Vertreter gewählte Vorgehen als angemessen erscheinen liessen. Weder war es "sorgfältig" im Sinne des Auftragsrechts, noch damit "(klar) schuldlos" gemäss den Regeln über die Wiedereinsetzung in den früheren Stand.
4.4 Zu seiner Entlastung hat der Treuhänder vor der Vorinstanz angeführt, er habe der steuerpflichtigen Person von der Zwischenverfügung "umgehend" Bescheid gegeben. In der Beschwerde an das Bundesgericht äussert der Treuhänder sich hierzu nicht mehr, zumal er schon vor Bundesverwaltungsgericht nichts unternahm, um seine angebliche Nachricht zu belegen. Darauf käme es letztlich aber auch nicht an, hätte der Treuhänder angesichts des Stillschweigens seiner Klientschaft doch rechtzeitig vor Ablauf der Frist nachfragen müssen, ob die Nachricht tatsächlich eingetroffen sei. Das blosse Vertrauen darauf, dass im Fall von Zustellungsschwierigkeiten eine Fehlermeldung eingehen würde, vermag die Untätigkeit nicht zu rechtfertigen. Die steuerpflichtige Person bzw. ihr Treuhänder vermögen damit nicht darzutun, dass ihre Säumnis nicht oder höchstens leicht verschuldet gewesen wäre (vgl. Urteil 2C_823/2011 vom 28. Juni 2012 E. 5).
4.5 Soweit die steuerpflichtige Person schliesslich vorbringt, die auf dem Einzahlungsschein aufgedruckte Kontonummer des Bundesverwaltungsgerichts sei ungültig gewesen, vermag auch dies am Ergebnis nichts zu ändern. Der steuerpflichtigen Person ist entgegenzuhalten, dass es ihr trotz des Aufdrucks möglich war, die Zahlung am betreffenden Tag vorzunehmen. Sie selbst trägt in ihrem Schreiben vom 13. Juni 2012 an die Vorinstanz vor, (erst) am Postschalter hätten sie die zutreffende Kontonummer [für die Verwendung eines roten Einzahlungsscheines] erfahren. Auch bei Einzahlung des Kostenvorschusses am Postschalter zum letztmöglichen Zeitpunkt, am späten Nachmittag des 8. Juni 2012, hätte die unter Umständen falsch aufgedruckte Kontonummer zu keiner weiteren Verzögerung geführt. Eine fristgerechte Bezahlung wäre damit weiterhin möglich gewesen.
5. 5.1 Wurde die Frist zur Einzahlung des Kostenvorschusses verpasst, ohne dass die versäumnisbetroffene Partei einen gesetzlichen Wiederherstellungsgrund erfüllt, ist die zuständige Rechtsmittelbehörde von Gesetzes wegen verpflichtet, das Fristwiederherstellungsgesuch abzuweisen und in der Sache einen Nichteintretensentscheid zu fällen. Raum für ein Entgegenkommen besteht nicht (Urteil 2C_606/2007 vom 5. November 2007 E. 3.2). Dem angefochtenen Entscheid ist mithin keine Rechtsverletzung zu entnehmen. Die Beschwerde ist unbegründet und abzuweisen.
5.2 Die steuerpflichtige Person hat aufgrund ihres Unterliegens die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG). Der Eidgenossenschaft, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher