Faits:
A. Par arrêt du 8 décembre 2010, la Cour d'assises du canton de Genève a reconnu X._ coupable d'assassinat, sans circonstance atténuante, sur la personne de Y._. Elle l'a condamné à une peine privative de liberté de quinze ans, sous déduction de la détention avant jugement. Elle a ordonné un traitement médical ambulatoire « avec un contrôle strict des valeurs biologiques de la consommation de tout stupéfiant » pour une durée indéterminée. Sur le plan civil, elle a condamné l'intéressé à payer à la mère de la victime la somme de 40'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral, réservant pour le surplus les droits de la soeur de la victime.
B. Par arrêt du 8 juin 2011, la Cour de cassation genevoise a rejeté le pourvoi formé par X._ et confirmé le jugement de première instance.
En bref, elle a retenu que, le 27 mai 2008, X._ avait intentionnellement tué Y._, en lui infligeant quarante-trois blessures avec un couteau et en l'égorgeant. Ces faits étaient survenus dans le studio de la victime. Pendant que celle-ci agonisait, X._ avait fouillé l'appartement à la recherche de bijoux ou d'argent.
C. Contre l'arrêt cantonal, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, au prononcé d'une peine inférieure à celle prononcée par la Cour d'assises et, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Le recourant dénonce la violation des art. 47 et 50 CP.
1.1 Selon l'art. 47 CP, le juge fixe la peine d'après la culpabilité de l'auteur. Il prend en considération les antécédents et la situation personnelle de ce dernier ainsi que l'effet de la peine sur son avenir (al. 1). La culpabilité est déterminée par la gravité de la lésion ou de la mise en danger du bien juridique concerné, par le caractère répréhensible de l'acte, par les motivations et les buts de l'auteur et par la mesure dans laquelle celui-ci aurait pu éviter la mise en danger ou la lésion, compte tenu de sa situation personnelle et des circonstances extérieures (al. 2).
Les éléments relatifs à l'attitude du prévenu après l'acte peuvent également entrer en considération dans la fixation de la peine (WIPRÄCHTIGER, Strafrecht I, Basler Kommentar, 2e éd., 2007, n. 129 ad art. 47 ; QUELOZ/HUMBERT, Code pénal I, Commentaire romand, 2009, n. 74 ad art. 47 CP). Les aveux, la collaboration à l'enquête ainsi que les remords et la prise de conscience de la faute sont généralement considérés comme des éléments autorisant une diminution de la peine, à moins qu'ils ne relèvent d'un pur calcul stratégique (ATF 121 IV 202 consid. 2d/cc et dd, p. 206 et 207 ; arrêt 6B.265/2010 du Tribunal fédéral du 13 août 2010).
1.2 L'art. 47 CP confère un large pouvoir d'appréciation au juge. Par conséquent, celui-ci ne viole le droit fédéral en fixant la peine que s'il sort du cadre légal, s'il se fonde sur des critères étrangers à l'art. 47 CP, s'il omet de prendre en considération des éléments d'appréciation prévus par cette disposition ou, enfin, si la peine qu'il prononce est exagérément sévère ou clémente au point de constituer un abus du pouvoir d'appréciation (ATF 134 IV 17 consid. 2.1; 129 IV 6 consid. 6.1 et les références citées).
1.3 L'art. 50 CP impose au juge d'indiquer les circonstances pertinentes pour la fixation de la peine et leur importance. Partant, l'autorité doit exposer dans sa décision les éléments essentiels relatifs à l'acte et à l'auteur qu'elle prend en compte, de manière à ce que l'on puisse vérifier que tous les aspects pertinents ont été pris en considération et comment ils ont été appréciés, que ce soit dans un sens atténuant ou aggravant. La motivation doit justifier la peine prononcée, en permettant de suivre le raisonnement adopté, mais le juge n'est nullement tenu d'exprimer en chiffres ou en pourcentages l'importance qu'il accorde à chacun des éléments qu'il cite (ATF 127 IV 101 consid. 2c p. 105). Il faut relever que plus large est le pouvoir d'appréciation dont jouit l'autorité cantonale, plus détaillée doit être sa motivation pour permettre à l'autorité de céans de contrôler qu'il n'y ait pas eu d'abus du pouvoir d'appréciation.
2. Le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas avoir tenu compte, lors de la fixation de la peine, des versements qu'il a effectués dans le but d'indemniser la partie civile, à savoir : 1'425 fr. correspondant à ce qu'il avait sur lui au moment de son interpellation et que la partie civile a refusés, et 2'200 fr., payés en dix versements entre mars 2009 et novembre 2010.
2.1 La cour de céans doit examiner la mesure de la peine sur la base des faits constatés dans l'arrêt attaqué (art. 105 al. 1 LTF), dont le recourant n'est pas admis à s'écarter à moins d'en démontrer l'arbitraire (art. 97 al. 1 LTF). En l'espèce, l'arrêt attaqué admet que le recourant a proposé de transmettre les montants mentionnés ci-dessus à l'instance d'indemnisation de la LAVI. Il ne retient en revanche pas que ces montants ont effectivement été versés à la partie civile ou à l'instance d'indemnisation LAVI. Dans la mesure où le recourant affirme avoir opéré des versements dans le but d'indemniser la partie civile, il s'écarte donc de l'état de fait cantonal ; son argumentation est irrecevable.
2.2 Les premiers juges ont cité les propositions de versements faites par le recourant lors de l'examen des circonstances atténuantes, à propos du repentir sincère (art. 48 let. d CP ; cf. verdict p. 4 et 5). On peut dès lors admettre qu'ils ont gardé à l'esprit ces éléments au stade de la fixation de la peine selon l'art. 47 CP, même s'ils ne les ont pas mentionnés une nouvelle fois dans leur raisonnement. La répétition de ces données était d'autant moins nécessaire, que celles-ci n'ont joué qu'un rôle secondaire dans la fixation de la peine. En effet, les premiers juges et la cour cantonale ont considéré que ces propositions de versements n'étaient pas suffisamment significatives pour retenir des regrets ou des remords particuliers, puisqu'à propos du prononcé de l'internement, il est constaté que la prise de conscience des actes ne paraît encore que partielle (arrêt de la cour d'assises, p. 22). Les premiers juges et la cour cantonale n'ont donc pas violé leur obligation de motivation au sens de l'art. 50 CP en ne citant pas à nouveau les propositions de versements au stade de la fixation de la peine.
Dans la mesure où le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas avoir retenu une prise de conscience de sa faute, malgré les versements qu'il avait opérés, respectivement son engagement à les faire, son grief est également infondé. Il convient tout d'abord de relever que, selon l'arrêt attaqué, il n'est pas établi que le recourant a effectivement versé ces montants, mais qu'il n'a fait que des propositions de versement (cf. consid. 2.1 ci-dessus). En outre, les remords et les regrets d'un délinquant s'apprécient en fonction de l'ensemble de son attitude durant la procédure et à l'audience. Or, en l'espèce, la collaboration à l'instruction du recourant a été mauvaise.
2.3 La cour cantonale n'a donc pas omis d'élément important lors de la fixation de la peine et a correctement motivé celle-ci. Il convient encore d'examiner si, au vu des circonstances, la peine infligée apparaît sévère au point de constituer un abus du pouvoir d'appréciation.
En l'espèce, le recourant s'est rendu coupable d'un assassinat, dont le minimum de la peine légale est de dix ans et le maximum la privation de liberté à vie. L'atteinte au bien juridique, en l'espèce la vie, est extrêmement grave. Le mode d'exécution est brutal. Le recourant n'a jamais fait état de sa motivation et des buts qu'il poursuivait en tuant la victime. Celle-ci n'a pas eu un comportement pouvant expliquer l'acte du recourant, qui a conservé jusqu'à son geste fatal une pleine liberté de choix entre un comportement licite et un autre interdit par la loi. Dans ces conditions, la faute du recourant est objectivement très grave. Elle est toutefois légèrement diminuée en raison de la responsabilité faiblement restreinte due à une polytoxicomanie au moment de l'acte. Sur le plan personnel, il convient de relever que si, au moment des faits, le recourant avait rompu d'avec son épouse, était sans logement et consommait des stupéfiants, il avait cependant une activité professionnelle de chauffeur de taxi et avait un réseau social. Enfin, on ne peut retenir en faveur du recourant qu'une prise de conscience partielle de sa faute, malgré les regrets qu'il a exprimés à plusieurs reprises et ses propositions de versements à la partie civile. Au vu de l'ensemble de ces circonstances, la peine privative de liberté de quinze ans, qui se situe dans le cadre légal, n'apparaît pas sévère à un point tel qu'il faille conclure à un abus du large pouvoir d'appréciation accordé à la cour cantonale.
3. Le recours doit ainsi être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Comme ses conclusions étaient vouées à l'échec, l'assistance judiciaire ne peut être accordée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant devra donc supporter les frais (art. 66 al. 1 LTF), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de cassation du canton de Genève.
Lausanne, le 1er décembre 2011
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Mathys
La Greffière: Kistler Vianin