Sachverhalt:
A. A.a Mit Zahlungsbefehl Nr. ... des Betreibungsamtes A._ betrieb Z._ die X._ GmbH für ausstehende Mietzinse in der Höhe von Fr. 41'500.-- sowie für Kosten von Fr. 542.-- aus der Retention. Als Forderungsurkunde beziehungsweise Grund der Forderung gab er "Fällige Mietzinse vom 1. Juli 2009 - 31. Januar 2010" und "Prosequierung der Retention Nr. ... des Betreibungsamtes A._" an. Die X._ GmbH erhob Rechtsvorschlag.
A.b Daraufhin reichte Z._ am 15. Februar 2010 beim Gerichtspräsidium Baden ein Gesuch um Erteilung der Rechtsöffnung für Fr. 48'000.-- (Forderungen von Fr. 41'500.-- und Fr. 6'500.--) sowie für die Kosten der Retention und des Zahlungsbefehls von Fr. 642.-- ein.
A.c Das Gerichtspräsidium erteilte Z._ mit Urteil vom 29. März 2010 die provisorische Rechtsöffnung über Fr. 41'500.-- und für Betreibungskosten von insgesamt Fr. 1'092.-- (Fr. 642.-- für die Kosten der Retention und des Zahlungsbefehls sowie für eine Gebühr von Fr. 400.-- und eine Entschädigung von Fr. 50.-- aus dem Rechtsöffnungsverfahren).
B. Die von der X._ GmbH dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau am 21. Juni 2010 ab.
C. Dem Bundesgericht beantragt die X._ GmbH (nachfolgend Beschwerdeführerin) in ihrer Beschwerde vom 27. Juli 2010 die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Eventualiter verlangt sie, die Sache zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter fordert sie die Neuverlegung der kantonalen Kosten.
Überdies ersucht sie um aufschiebende Wirkung. Das Obergericht hat dazu auf eine Vernehmlassung verzichtet. Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) schliesst in seiner Eingabe vom 29. Juli 2010 sinngemäss auf Abweisung des Gesuchs. Mit Verfügung vom 16. August 2010 hat das präsidierende Mitglied der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Es sind die Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Der Beschwerdegegner nimmt in seiner Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung vom 29. Juli 2010 - unaufgefordert - auch zur Sache Stellung und verlangt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid betrifft die provisorische Rechtsöffnung und damit eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache. Er unterliegt, ohne Beschränkung der Beschwerdegründe im Sinne von Art. 98 BGG, der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 ff. BGG; BGE 134 III 141 E. 2 S. 143).
1.2 1.2.1 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegner bringt mit seiner Vernehmlassung vom 29. Juli 2010 mehrere Beweismittel vor, die bereits anlässlich des obergerichtlichen Verfahrens Bestand hatten, aber nicht vorgebracht wurden (BGE 136 III 123 E. 4.4.3 S. 128 f.). Diese sind unzulässig und unbeachtlich.
1.2.2 Die Beschwerdeführerin stellt den Beweisantrag auf Beizug der erst- und zweitinstanzlichen Akten eines mietrechtlichen Verfahrens zwischen den gleichen Parteien.
Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, Beweise abzunehmen und Tatsachen festzustellen, über die sich das kantonale Sachgericht nicht ausgesprochen hat (BGE 136 III 209 E. 6.1 S. 214 f.; 136 II 101 E. 2 S. 104). Auf diesen Antrag ist nicht einzutreten.
1.3 Die Beschwerde ist zu begründen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sein sollen. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (BGE 134 V 53 E. 3.3 S. 60).
Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und gehörig begründet wird (Art. 106 Abs. 2 BGG). Es muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides dargelegt werden, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen).
Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift erläutert werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich (BGE 135 III 397 E. 1.5 S. 401) oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (beispielsweise Art. 8 ZGB oder Art. 29 Abs. 2 BV) zustande gekommen ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 135 II 313 E. 5.2.2 S. 322; 135 V 39 E. 2.2 S. 41).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin macht eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör durch das Gerichtspräsidium und das Obergericht geltend. Weder aus dem Zahlungsbefehl noch aus dem Rechtsöffnungsgesuch sei ersichtlich gewesen, dass der Beschwerdegegner dem Rechtsöffnungsrichter weitere Beweismittel (insbesondere den Rechtsöffnungstitel) eingereicht habe. Erst aus der Beschwerdeantwort des Beschwerdegegners an das Obergericht sei dies für sie erkennbar geworden. Danach habe ihr das Obergericht aber keine Gelegenheit mehr zur Stellungnahme eingeräumt.
2.2 2.2.1 Der Partei eines Gerichtsverfahrens steht im Sinne eines Teilgehalts des verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) ein Anspruch auf Replik zu. Demnach müssen die Verfahrensparteien über eingegangene Stellungnahmen beziehungsweise Vernehmlassungen orientiert werden und die Möglichkeit zur Replik haben. Ein weiterer Schriftenwechsel ist aber nicht unbedingt anzuordnen: Es genügt, neu eingegangene Eingaben den Verfahrensbeteiligten zur Kenntnisnahme zuzustellen. Wünscht eine Partei, sich dazu zu äussern, hat sie dies unverzüglich zu tun. Andernfalls ist davon auszugehen, dass sie auf eine Vernehmlassung verzichtet (BGE 133 I 98 E. 2.1 und 2.2 S. 99 f.; 133 I 100 E. 4.8 S. 105).
2.2.2 Das Recht, angehört zu werden, ist formeller Natur. Dessen Verletzung führt ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides. Nach der Rechtsprechung gilt aber jedenfalls eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs als geheilt, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Beschwerdeinstanz zu äussern, die über die gleiche Kognition verfügt, wie die Vorinstanz (BGE 135 I 279 E. 2.6.1 S. 285 mit Hinweisen).
2.2.2 Das Recht, angehört zu werden, ist formeller Natur. Dessen Verletzung führt ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides. Nach der Rechtsprechung gilt aber jedenfalls eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs als geheilt, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Beschwerdeinstanz zu äussern, die über die gleiche Kognition verfügt, wie die Vorinstanz (BGE 135 I 279 E. 2.6.1 S. 285 mit Hinweisen).
2.3 2.3.1 Zuerst ist auf die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs durch das Gerichtspräsidium einzugehen, soweit dies Gegenstand des obergerichtlichen Verfahrens bildete.
Das Obergericht hält in tatsächlicher Hinsicht - für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG) - fest, der Beschwerdegegner habe mit seinem Rechtsöffnungsbegehren insbesondere auch den Rechtsöffnungstitel (Mietvertrag vom 22. Januar 2007) eingereicht. Es liess sodann offen, ob der Beschwerdeführerin vor dem Gerichtspräsidium Einsicht in die vom Beschwerdegegner eingereichten Beweismittel gewährt beziehungsweise sie über deren Einreichung orientiert wurde. Eine allfällige Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör könne nämlich geheilt werden, da das Obergericht über die gleiche Kognition verfüge wie das Gerichtspräsidium und die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Verfassung ihrer Beschwerde an das Obergericht offensichtlich über umfassende Aktenkenntnis besessen habe.
2.3.2 Die Beschwerdeführerin setzt sich mit der vom Obergericht vorgenommenen Heilung der erstinstanzlichen Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör mit keinem Wort auseinander. Soweit sie deshalb vor Bundesgericht die Rüge einer Verletzung ihres rechtlichen Gehörs durch das Gerichtspräsidium erneuert, ohne zur der erwähnten Heilung Stellung zu nehmen, wird sie den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG nicht gerecht (vgl. E. 1.3 oben). Darauf ist nicht einzutreten.
2.4 Auch die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs durch das Obergericht selbst erweist sich als unbegründet: Das Obergericht hat der damals noch anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin die fragliche Beschwerdeantwort des Beschwerdegegners mit Verfügung vom 21. April 2010 zugestellt. Es wäre der Beschwerdeführerin damit ohne weiteres möglich gewesen, sich dazu zu äussern, zumal das Urteil des Obergerichts erst zwei Monate später erging. Mit der blossen Möglichkeit zur Stellungnahme ist der Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör gewahrt. Einer ausdrücklichen Fristansetzung zur Stellungnahme bedarf es nicht (vgl. E. 2.2.1).
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin hat den vor Bundesgericht vorgebrachten Beweisantrag auf Edition der Akten aus einem mietrechtlichen Verfahren auch vor dem Obergericht gestellt, das diesen sinngemäss abwies, da im Rechtsöffnungsverfahren aufgrund sofort verfügbarer Beweise entschieden werden müsse. Das Obergericht hielt zudem fest, die Beschwerdeführerin verweise allgemein auf diese Akten. Es sei aber nicht Aufgabe des Rechtsöffnungsrichters, die zu edierenden Akten nach einschlägigen Unterlagen zu durchsuchen.
3.2 Dagegen bringt die Beschwerdeführerin einzig vor, es sei ihr unerklärlich, weshalb ihr Beweisantrag abgewiesen worden sei. Sie unterlässt es jedoch, sich mit den Erwägungen des Obergerichts auseinanderzusetzen. Darauf ist nicht einzutreten (vgl. E. 1.3 oben).
4. 4.1 Gemäss Art. 82 Abs. 1 SchKG kann der Gläubiger die provisorische Rechtsöffnung verlangen, wenn die Forderung auf einer durch öffentliche Urkunde festgestellten oder durch Unterschrift bekräftigten Schuldanerkennung beruht.
Das Obergericht hat zutreffend festgehalten, dass der Mietvertrag grundsätzlich einen provisorischen Rechtsöffnungstitel darstellt (vgl. BGE 134 III 267 E. 3 S. 273).
4.2 Die Beschwerdeführerin rügt, der Beschwerdegegner habe den Mietvertrag als Rechtsöffnungstitel nur in Kopie eingereicht. Habe er damit das Original nie vorgelegt, müsse die Rechtsöffnung verweigert werden. Die Echtheit der eingereichten Kopie des Mietvertrages rügt die Beschwerdeführerin demgegenüber nicht.
4.2.1 Gemäss Art. 25 Ziff. 2 lit. a SchKG erlassen die Kantone Bestimmungen über das summarische Prozessverfahren, unter das auch das Rechtsöffnungsverfahren fällt. Der Verweis auf das kantonale Prozessrecht gilt aber nur soweit, als das Bundesrecht selbst keine Verfahrensvorschriften aufstellt (BGE 123 III 271 E. 4b S. 272).
Die Bestimmung von Art. 82 Abs. 1 SchKG regelt einzig, was als provisorischer Rechtsöffnungstitel zu gelten hat. In welcher Form dieser Titel hingegen eingereicht werden muss, bestimmt sich nach kantonalem Recht (vorliegend § 299 i.V.m. § 235 Abs. 1 des Zivilrechtspflegegesetzes des Kantons Aargau vom 18. Dezember 1984 [ZPO; SAR 221.100]).
4.2.2 Die Rüge der Beschwerdeführerin betrifft damit die Anwendung kantonalen Rechts.
Von den in Art. 95 lit. c - e BGG genannten Ausnahmen abgesehen, kann die Verletzung kantonalen Rechts als solches vor Bundesgericht nicht gerügt werden. Hingegen ist es immer möglich, die unrichtige Anwendung kantonalen Rechts als Verletzung von Bundesrecht nach Art. 95 lit. a BGG - insbesondere des Willkürverbots gemäss Art. 9 BV oder anderer verfassungsmässiger Rechte - zu rügen (BGE 135 V 124 E. 3.1 S. 127; 133 III 462 E. 2.3 S. 466).
4.2.3 Die Beschwerdeführerin begnügt sich mit dem blossen Hinweis, es seien nur Kopien eingereicht worden und deshalb müsse die Rechtsöffnung verweigert werden. Damit wird sie dem für verfassungsmässige Rechte geltenden Rügeprinzip gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG nicht gerecht (vgl. E. 1.3 oben). Darauf ist nicht einzutreten.
5. 5.1 Das Gericht spricht die provisorische Rechtsöffnung gemäss Art. 82 Abs. 2 SchKG aus, sofern der Betriebene nicht Einwendungen, welche die Schuldanerkennung entkräften, sofort glaubhaft macht. Glaubhaftmachung bedeutet bezogen auf die Tatsachengrundlage, dass für das Vorhandensein einer Tatsache gewisse Elemente sprechen, selbst wenn das Gericht noch mit der Möglichkeit rechnet, dass sie sich nicht verwirklicht haben könnte (BGE 132 III 140 E. 4.1.2 S. 143 f.).
5.2 Die Beschwerdeführerin legt in ihrer Beschwerde dar, die in Betreibung gesetzten Mietzinse seien "offensichtlich bezahlt". Sie verweist diesbezüglich auf die Beilagen 1, 4 und 5, die der Beschwerdegegner vor Obergericht mit seiner Beschwerdeantwort eingereicht hat. Daraus gehe hervor, dass sie dem Beschwerdegegner von Mai 2009 bis Januar 2010 insgesamt Fr. 60'500.-- bezahlt habe. Auch die Forderung des Beschwerdegegners über Fr. 19'500.-- aus einem Abtretungsvertrag vom 12. Januar 2007 habe sie längst getilgt.
5.3 Die Forderung aus dem Abtretungsvertrag vom 12. Januar 2007 bildet nicht Gegenstand des Rechtsöffnungsverfahrens. Insoweit erübrigen sich weitere Bemerkungen.
5.4 Die Einwendung gemäss Art. 82 Abs. 2 SchKG (vorliegend die Tilgung) muss sofort glaubhaft gemacht werden.
Die Beschwerdeführerin war jedenfalls im obergerichtlichen Verfahren im Besitz sämtlicher massgebender Akten (vgl. E. 2.3.1 oben), hat sich aber in ihrer Beschwerde an das Obergericht mit dem blossen Hinweis begnügt, sämtliche Zahlungsverpflichtungen seien erfüllt worden. Damit fehlt es von vornherein an einer sofortigen Glaubhaftmachung der Tilgung. Die Rüge einer Verletzung von Art. 82 Abs. 2 SchKG erweist sich damit als unbegründet und es braucht nicht auf die Beschwerdeantwortbeilagen des Beschwerdegegners eingegangen zu werden.
5.5 Soweit sich die Beschwerdeführerin im Übrigen zur materiellen Begründetheit der in Betreibung gesetzten Forderung äussert, ist sie darauf hinzuweisen, dass der Rechtsöffnungsrichter nicht über den Bestand der in Betreibung gesetzten Forderung, sondern einzig über deren Vollstreckbarkeit befindet. Ziel des Rechtsöffnungsverfahrens ist nur der Entscheid über die Existenz eines Vollstreckungstitels, nicht aber die Existenz der in Betreibung gesetzten Forderung (BGE 132 III 140 E. 4.1.1 S. 142).
Der Beschwerdeführerin steht es offen, anschliessend an die Erteilung der provisorischen Rechtsöffnung eine Aberkennungsklage nach Art. 83 Abs. 2 SchKG zu erheben. In diesem Verfahren steht dann - anders als im Rechtsöffnungsverfahren - die materielle Begründetheit der Forderung in Frage (BGE 120 Ia 82 E. 6c S. 85).
6. Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner wird keine Parteientschädigung zugesprochen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 135 III 127 E. 4 S. 136).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. November 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Bettler