Faits:
A. X._, ressortissante tunisienne née en 1980, est entrée en Suisse le 15 novembre 2001 en étant munie d'un visa touristique.
Le 11 juillet 2003, X._ a épousé A._, ressortissant suisse né en 1962 et domicilié à B._. Du fait de son mariage, la prénommée a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour qui a été régulièrement renouvelée, la dernière fois avec effet jusqu'au 10 janvier 2007.
Par courrier du 26 février 2007, le Service de la population du canton de Vaud a informé X._ qu'il envisageait de rejeter la demande de prolongation de son autorisation de séjour, du fait que son mari était domicilié en Tunisie depuis le 10 octobre 2006. Un délai lui était imparti pour se déterminer.
Dans sa réponse du 23 mars 2007, la prénommée a indiqué que son mari s'était rendu en Tunisie pour des raisons professionnelles et qu'il revenait plusieurs fois par mois en Suisse. Elle a précisé qu'il ne s'agissait que d'une brève interruption de la vie commune, un divorce n'étant pas envisagé. Elle-même était restée en Suisse car elle aimait son travail et son cadre de vie; elle habitait toujours dans le logement familial avec le fils de son mari, né d'un premier mariage, et s'occupait de ses repas et de l'entretien de la maison. Elle a joint à son courrier une lettre de son mari confirmant ses déclarations, ainsi qu'une attestation de son employeur, la société exploitant l'hôtel "C._", où elle travaille comme dame de buffet.
Dans des écritures des 22 mai et 5 juin 2007, X._ a ajouté que son mari prévoyait de s'installer à nouveau en Suisse dans les six prochains mois. Il n'avait pas conservé son domicile en Suisse pour des raisons fiscales, mais il se proposait d'établir sa résidence secondaire à B._.
Par courrier du 6 juillet 2007, le Service de la population a informé X._ que son autorisation de séjour était prolongée jusqu'au 31 décembre 2007, en raison du fait que son mari avait l'intention de revenir s'installer en Suisse dans les six prochains mois. Il a invité la prénommée à lui fournir spontanément, à l'échéance de ce délai, une attestation selon laquelle son époux avait sa résidence principale en Suisse.
Dans une écriture du 11 juillet 2008, le Service de la population a informé X._ qu'il envisageait de rejeter sa demande de prolongation de l'autorisation de séjour - requête qui lui avait été transmise par la commune de domicile de cette dernière le 20 novembre 2007 -, du fait que son mari était toujours domicilié en Tunisie. Un délai lui était imparti pour communiquer ses observations.
Par courriers des 31 juillet et 21 août 2008, X._ a exposé que son mari se trouvait actuellement en Suisse, mais qu'il était atteint d'une grave maladie, raison pour laquelle la vie commune n'avait pas repris.
B. Par décision du 17 novembre 2008, le Service de la population a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de la prénommée et lui a imparti un délai d'un mois pour quitter le territoire.
Saisi d'un recours à l'encontre de cette décision, le Tribunal cantonal vaudois l'a rejeté par arrêt du 24 mars 2009. Il a refusé d'entendre A._ et une autre personne en qualité de témoins lors de débats publics, comme la recourante le demandait. Sur le fond, les juges ont estimé que l'union conjugale n'existait plus, les motifs de cette rupture étant sans importance. Le fait que les époux avaient déclaré "être encore liés par un très fort amour" et ne pas souhaiter divorcer n'était pas davantage déterminant. Dans ces conditions, il était abusif de la part de la recourante de se prévaloir d'un mariage n'existant plus que formellement et celle-ci n'avait pas droit au renouvellement de son autorisation de séjour. En outre, la rupture de l'union conjugale étant survenue au plus tard lors du retour en Suisse de A._, en mars 2008, le mariage avait duré moins de cinq ans, de sorte que la recourante ne pouvait prétendre à une autorisation d'établissement. Enfin, cette dernière ne pouvait rien tirer en sa faveur des directives fédérales qui permettent de renouveler une autorisation de séjour en vue d'éviter des situations d'extrême rigueur.
C. A l'encontre de cet arrêt, X._ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire, en demandant au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, respectivement de le réformer en ce sens que son autorisation de séjour est prolongée (recours en matière de droit public) et de l'annuler ainsi que de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants (recours constitutionnel subsidiaire). A titre préalable, elle requiert l'octroi de l'effet suspensif.
L'Office fédéral des migrations propose de rejeter le recours. L'autorité précédente et le Service de la population renoncent à se déterminer.
Le 4 décembre 2009, la Cour de céans a délibéré sur le présent recours en séance publique.
Considérant en droit:
1. Le 1er janvier 2008 est entrée en vigueur la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), qui a remplacé la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007). En vertu de l'art. 126 al. 1 LEtr, les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la loi sont régies par l'ancien droit.
En l'occurrence, la demande de prolongation de l'autorisation de séjour a été déposée au plus tard le 20 novembre 2007 - date à laquelle la commune de domicile de la recourante l'a transmise au Service de la population -, soit avant l'entrée en vigueur de la nouvelle loi. La présente affaire doit donc être examinée à la lumière de l'ancienne loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers.
2. 2.1 Selon l'art. 83 lettre c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donne droit.
En vertu de l'art. 7 al. 1 LSEE, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi et à la prolongation de l'autorisation de séjour. Pour juger de la recevabilité du recours en matière de droit public, seule est déterminante la question de savoir si un mariage existe formellement (cf. arrêt 2C_750/2007 du 8 avril 2008 consid. 1.3). La recourante est mariée à un Suisse. La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte.
2.2 Au surplus, interjeté par une partie directement touchée par la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (cf. art. 89 al. 1 LTF), le recours est dirigé contre un jugement final (cf. art. 90 LTF) rendu dans une cause de droit public (cf. art. 82 lettre a LTF) par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (cf. art. 86 al. 1 lettre d et al. 2 LTF). Déposé dans le délai (cf. art. 100 al. 1 LTF) et la forme (cf. art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours en matière de droit public est en principe recevable.
Par conséquent, le recours constitutionnel subsidiaire doit être déclaré irrecevable (cf. art. 113 LTF).
2.3 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
En outre, selon l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Il s'ensuit en l'occurrence que les pièces produites à l'appui du recours, qui sont postérieures au prononcé de la décision attaquée, ne peuvent être prises en considération.
3. 3.1 Dans un premier moyen, la recourante soutient que l'autorité précédente a violé son droit d'être entendue et apprécié de manière arbitraire les preuves, en rejetant sa requête tendant notamment à l'audition de son mari comme témoin lors de débats publics pour qu'il s'exprime sur ses sentiments à son égard.
3.2 La recourante n'invoquant pas de disposition de droit cantonal, le grief soulevé doit être examiné exclusivement au regard de l'art. 29 al. 2 Cst.
Le droit de faire administrer des preuves découlant du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. suppose que le fait à prouver soit pertinent, que le moyen de preuve proposé soit nécessaire pour constater ce fait et que la demande soit présentée selon les formes et délais prescrits par le droit cantonal (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 119 Ib 492 consid. 5b/bb p. 505). Cette garantie constitutionnelle n'empêche du reste pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 429; 119 Ib 492 consid. 5b/bb p. 505 s.).
3.3 L'autorité précédente a motivé son refus d'entendre le témoignage du mari de la recourante par le fait qu'une lettre de celui-ci figurait au dossier de la cause, où il expliquait les raisons pour lesquelles il n'avait pas repris la vie commune. De son point de vue, l'audition comme témoin de A._ n'aurait amené aucun élément nouveau.
La recourante ne démontre pas ce que le témoignage oral de son mari aurait apporté de plus. Elle affirme certes qu'elle était en droit de faire entendre son mari "afin de transmettre de la manière la plus véridique et honnête possible les sentiments qui la lient toujours aujourd'hui" à lui. Ce faisant, elle perd toutefois de vue que l'autorité précédente n'a pas nié l'existence de ces sentiments, puisqu'elle a au contraire tenu pour avéré que "la recourante et son époux déclarent être encore liés par un très fort amour" (p. 7 i. f.). Dans ces conditions, on ne voit pas en quoi l'appréciation anticipée à laquelle l'autorité précédente a procédé serait arbitraire ni, partant, en quoi le refus d'entendre le témoignage oral en question aurait porté atteinte à l'art. 29 al. 2 Cst. En réalité, c'est surtout la portée donnée à ces sentiments lors de l'application du droit qui est contestée, ce qui ne relève pas du droit d'être entendu.
4. Le droit du conjoint étranger marié à un(e) ressortissant(e) suisse d'obtenir une autorisation de séjour au titre du regroupement familial, tel que prévu à l'art. 7 al. 1 LSEE, n'est pas absolu. Il peut notamment être refusé lorsque le mariage n'a pas pour but de créer une union conjugale et ne constitue pas le fondement de la vie commune des époux (cf. ATF 121 II 5 consid. 3a p. 6). Tel est en particulier le cas d'un mariage contracté dans le seul but d'éluder les dispositions sur le séjour et l'établissement des étrangers (mariage fictif; cf. art. 7 al. 2 LSEE) ou d'un mariage vidé de toute substance dont l'invocation vise seulement à obtenir l'octroi ou la prolongation d'une autorisation de séjour (abus de droit; cf. ATF 130 II 113 consid. 4.2 p. 117; 127 II 49 consid. 5a p. 56 s. et les références citées). L'existence d'un éventuel abus de droit dans un cas particulier doit être appréciée avec retenue et n'être admise que restrictivement, seul l'abus manifeste d'un droit devant être sanctionné (cf. ATF 121 II 97 consid. 4a p. 103). Il y a abus de droit, selon la jurisprudence, lorsque le conjoint étranger invoque un mariage n'ayant qu'une existence formelle dans le seul but d'obtenir une autorisation de séjour, car ce but n'est pas protégé par l'art. 7 al. 1 LSEE (cf. ATF 131 II 265 consid. 4.2 p. 267; 121 II 97 consid. 4a p. 103 s.). Pour admettre cette hypothèse, il convient de se fonder sur des éléments concrets indiquant que les époux ne veulent pas (ou plus) mener une véritable vie conjugale et que le mariage n'est maintenu que pour des motifs de police des étrangers. L'intention réelle des époux ne peut souvent pas être établie par une preuve directe, mais seulement grâce à des indices; en ce sens, la démarche que l'autorité doit adopter pour établir une situation d'abus de droit est semblable à celle qui est utilisée pour démontrer l'existence d'un mariage fictif (cf. ATF 127 II 49 consid. 5a p. 57).
On ne saurait conclure à l'absence de véritable communauté conjugale - objet de la protection de l'art. 7 al. 1 LSEE (ATF 131 II 265 consid. 4.3 p. 267 s.) - du seul fait que les conjoints ont décidé, d'un commun accord, de ne pas vivre sous le même toit; un mariage réel peut en effet prendre des formes non conventionnelles. Du reste, la révision du droit de la famille entrée en vigueur le 1er janvier 1988 a expressément consacré une plus grande indépendance des époux, notamment le droit pour chacun d'eux, en dehors même de toute hypothèse de séparation (de fait ou de droit), de se constituer un domicile propre conformément aux règles ordinaires applicables en la matière (art. 23 ss CC; arrêt 2C_278/2008 du 18 juin 2008 consid. 4.3 et les références). Le simple fait que les époux ne vivent pas (ou plus) ensemble ne permet ainsi pas de conclure à l'existence d'un abus de droit, le législateur ayant volontairement renoncé, à l'art. 7 al. 1 LSEE, à faire dépendre le droit à une autorisation de séjour de la vie commune (cf. ATF 118 Ib 145 consid. 3 p. 149 ss).
5. 5.1 En l'espèce, l'autorité intimée a retenu que les époux A._ et X._ avaient vécu ensemble jusqu'au départ du mari pour la Tunisie, le 10 octobre 2006. Selon l'arrêt attaqué (p. 7), cette séparation était motivée par des raisons professionnelles, l'époux de la recourante revenant régulièrement en Suisse passer du temps avec elle. Les juges n'ont, à juste titre, pas examiné si, durant cette période, il aurait été abusif de la part de la recourante de se prévaloir de son mariage. Ils ont pris en compte la situation existant depuis le retour en Suisse de A._. De leur avis, si, jusque-là, les époux "pouvaient encore avoir la volonté de former une union conjugale", cette volonté avait cessé d'exister depuis le retour en Suisse du prénommé. Celui-ci avait en effet déclaré qu'il désirait passer les dernières années de sa vie auprès de ses enfants, en faisant des voyages, et non pas auprès de son épouse. Il fallait dès lors admettre que l'union conjugale n'existait plus, les motifs de cette rupture étant sans importance.
5.2 Dénonçant une appréciation arbitraire des faits ainsi qu'une "application abusive" de la notion d'union conjugale, la recourante reproche à l'autorité précédente de n'avoir pas tenu compte du fait que son mari n'a pu, à son retour de Tunisie, revenir habiter le domicile conjugal situé dans le D._ en raison de la distance avec l'hôpital de E._ où il devait se rendre tous les jours pour suivre ses traitements. L'autorité précédente n'aurait pas non plus pris en considération les (autres) motifs pour lesquels A._ s'est constitué un domicile séparé dans la région de E._, à savoir la proximité de sa mère qui peut s'occuper de lui ainsi que son désir de vivre auprès de ses enfants nés d'un premier mariage et de ne pas faire supporter à son épouse les conséquences de sa maladie. Elle aurait de même occulté le fait qu'il s'agit d'un "mariage d'amour qui dure toujours" et qu'il n'y a eu ni procédure de divorce, ni procédure de séparation, ni demande de mesures protectrices de l'union conjugale. Or, ces circonstances seraient suffisantes pour admettre que l'union conjugale n'est pas vidée de sa substance, quand bien même les époux ont des domiciles séparés. Cette situation se serait imposée à eux principalement en raison des traitements requis par la maladie de A._, mais aussi du fait des horaires de travail de la recourante, qui n'aurait pu assurer une prise en charge quotidienne de son mari sans quitter sa place de travail. Au demeurant, s'il tend à "privilégier le temps qu'il peut passer avec ses enfants nés d'un premier mariage", A._ continuerait à favoriser son épouse "en terme d'amour et en termes financiers", comme le montrerait le fait qu'il n'a pas engagé de procédure de divorce dans le but de la priver de sa qualité d'héritière. Il aurait d'ailleurs toujours "des contacts très fréquents" avec elle et celle-ci lui rendrait visite "régulièrement".
5.3 Le point de savoir si, dans les circonstances de l'espèce, le conjoint étranger se prévaut abusivement d'une union n'existant plus que formellement, est une question de droit (fédéral), que le Tribunal de céans examine librement (cf. arrêt 2C_278/2008, précité, consid. 3.2 in fine). Comme indiqué plus haut (consid. 4), le point décisif à cet égard est de savoir s'il existe encore une véritable communauté conjugale, étant précisé que l'absence d'un domicile commun ne permet pas, à elle seule, de conclure que l'union est vidée de sa substance. L'autorité précédente n'a pas ignoré ce dernier aspect, mais elle a apparemment déduit des déclarations de A._, selon lesquelles il souhaitait passer ses dernières années auprès de ses enfants, en faisant des voyages, qu'il avait cessé d'entretenir tout contact avec la recourante, de sorte qu'il n'existerait plus de communauté conjugale. Or, cette conclusion occulte le fait que les époux ont déclaré de manière concordante "être encore liés par un très fort amour" (décision attaquée, p. 7) et que la séparation géographique du couple s'explique par des motifs pratiques (travail de l'épouse, traitements du mari). Il importe dès lors de savoir quels contacts les époux entretiennent encore et, le cas échéant, à quelle fréquence, afin de déterminer dans quelle mesure les sentiments allégués se traduisent par des faits ayant valeur d'indices et si, en d'autres termes, la relation conjugale est encore "vécue". Dans son mémoire adressé au Tribunal de céans, la recourante prétend avoir des "contacts très fréquents" avec son mari, en se référant à une écriture de ce dernier du 19 avril 2009, laquelle ne peut toutefois être prise en considération (cf. consid. 2.3 ci-dessus). En procédure cantonale, elle a fait valoir que le lien affectif qui la lie à son mari explique son désir de rester auprès de lui et de soutenir sa famille proche, notamment les enfants de ce dernier (écriture du 24 février 2009, p. 2 sous pt 3). Or, la décision attaquée ne contient aucune indication sur la nature de ces contacts et leur fréquence. De plus, on peut se demander si le fait que l'époux, qui est très gravement atteint dans sa santé selon l'arrêt attaqué, n'a pas introduit de procédure de divorce, afin de favoriser les droits successoraux de ses enfants, n'est pas un indice de ce que l'union conjugale existe toujours.
Comme le Tribunal de céans statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. consid. 2.3) et ne procède en principe pas à des mesures probatoires pour élucider des faits qu'il incombait à l'autorité inférieure de constater, il y a lieu d'annuler l'arrêt du 24 mars 2009 et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour qu'elle complète l'instruction et statue à nouveau (cf. art. 107 al. 2 LTF).
6. Compte tenu de ce qui précède, le recours en matière de droit public doit être admis. La décision attaquée doit être annulée et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants.
Il n'est pas perçu de frais de justice (cf. art. 66 al. 1 et 4 LTF). La recourante a droit à des dépens (cf. art. 68 al. 2 LTF), qu'il convient de mettre à la charge du canton de Vaud. Avec le prononcé de la présente décision, la requête d'effet suspensif, accordé à titre superprovisoire, devient sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est admis. L'arrêt du 24 mars 2009 est annulé et la cause renvoyée au Tribunal cantonal vaudois pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
3. Il n'est pas perçu de frais de justice.
4. Le canton de Vaud versera à la recourante une indemnité de dépens de 2'000 fr.
5. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 4 décembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Müller Vianin