Sachverhalt:
A. A._ (von Kroatien) war als Inhaber der Einzelfirma X._ zusammen mit seiner Kooperationspartnerin Y._ seit mehreren Jahren im Besitz von zwei Bewilligungen zur Durchführung eines grenzüberschreitenden Linienverkehrs mit Autobussen auf den Strecken Lausanne-Vukovar (Bewilligung Nr. yyyy mit den genehmigten schweizerischen Ein- bzw. Aussteigeorten Lausanne, Bern und Chiasso) sowie St. Gallen-Ilok (Bewilligung Nr. xxxx mit den genehmigten schweizerischen Ein- bzw. Aussteigeorten St. Gallen, Zürich und Chiasso), welche zuletzt mit Verfügungen des Bundesamtes für Verkehr vom 27. März 2002 und 29. April 2002 bis zum 31. März 2007 bzw. bis zum 30. April 2007 verlängert wurden.
Am 3. Juni 2002 übernahm die X._ GmbH, die eingangs erwähnte Einzelfirma und liess sich am 2. Juli 2002 ins Handelsregister eintragen.
B. Am 13. November 2006 beantragte die X._ GmbH für sich und ihre Kooperationspartnerin die Verlängerung der genannten Bewilligungen für die Dauer von je fünf Jahren.
Mit Verfügungen vom 20. April und 8. Mai 2007 erteilte das Bundesamt für Verkehr die beantragten Bewilligungen bloss noch für die Dauer von je einem Jahr (bis zum 31. März 2008 bzw. bis zum 30 April 2008) unter zahlreichen Auflagen (Führen einer Passagierliste für jede Fahrt mit Name, Vorname, Nationalität, Art und Nummer des Reisedokuments sowie Ein- und Aussteigeort eines jeden Passagiers). Nicht mehr bewilligt wurde der dritte Halteort zur Aufnahme bzw. zum Absetzen von Fahrgästen in Chiasso.
Zur Begründung seiner Verfügungen führte das Bundesamt für Verkehr im Wesentlichen aus, angesichts der hängigen Strafverfahren gegen die X._ GmbH wegen Verstössen gegen die Bestimmungen über den grenzüberschreitenden Linienbusverkehr in der Schweiz und in Kroatien könne die Einhaltung der einschlägigen Bestimmungen durch die Gesuchstellerin zurzeit nicht abschliessend beurteilt werden, weshalb die Bewilligungen nur provisorisch für die Dauer eines Jahres erneuert würden. Des Weiteren widerspreche die beantragte Haltestelle in Chiasso der am 1. Januar 1999 geänderten Richtlinie des Bundesamtes für Verkehr zur Erteilung von Bewilligungen im grenzüberschreitenden Strassenpersonenverkehr sowie der Praxis des Bundesamtes und werde deshalb nicht erteilt.
Gegen diese Verfügungen erhob die X._ GmbH Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Dieses vereinigte die Verfahren und hiess die Beschwerde mit Urteil vom 18. Dezember 2007 insofern teilweise gut, als es die Verpflichtung aufhob, die Nationalität sowie Art und Nummer der Reisedokumente der Passagiere aufzulisten (Ziff. 1 des Urteilsdispositivs). Hingegen bestätigte es die Befristung der Bewilligungen auf ein Jahr, die Nichtgenehmigung von Chiasso als weiterer Ein- und Aussteigeort sowie die übrigen vorerwähnten Auflagen und wies die Beschwerde insoweit ab. Sein begründetes Urteil versandte das Bundesverwaltungsgericht am 4. Januar 2008.
C. Mit Eingabe vom 6. Februar 2008 führt die X._ GmbH Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, es sei festzustellen, dass das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 18. Dezember 2007 soweit Ziff. 1 betreffend in Rechtskraft erwachsen sei. Des Weiteren sei das genannte Urteil insoweit abzuändern, als die Gültigkeit der umstrittenen Bewilligungen auf fünf Jahre festzusetzen sei. Auch sei der Beschwerdeführerin bei beiden Bewilligungen ein zusätzlicher dritter Halt in Chiasso zu gewähren.
Das Bundesamt für Verkehr hat sich vernehmen lassen, ohne einen konkreten Antrag zu stellen. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.
D. Mit Verfügung vom 28. Februar 2008 hiess der Abteilungspräsident das gleichzeitig mit der Beschwerdeeinreichung gestellte Gesuch um vorsorgliche Massnahmen insoweit gut, als er der Beschwerdeführerin die Durchführung des grenzüberschreitenden Linienverkehrs auf den Strecken Lausanne-Vukovar und St. Gallen-Ilok bis Ende März 2009 vorsorglich gestattete. Dabei erklärte der Abteilungspräsident die nach den Vorgaben des angefochtenen Urteils angepassten Auflagen gemäss den Verfügungen des Bundesamtes für massgeblich; Chiasso wurde im Rahmen der vorsorglichen Massnahme nicht als weiterer Halteort zur Aufnahme bzw. zum Absetzen von Fahrgästen bewilligt.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid stützt sich auf öffentliches Recht des Bundes und fällt unter keinen der Ausschlussgründe gemäss Art. 83 BGG. Das Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher zulässig, und die Beschwerdeführerin ist zu seiner Ergreifung legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Unzulässig ist der gestellte Antrag auf Feststellung der Rechtskraft der nicht angefochtenen Teilanordnungen des vorinstanzlichen Urteils (Ziff. 1 der Rechtsbegehren); ihm kann keine selbständige Bedeutung beigemessen werden, weshalb insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten ist. Streitpunkte des vorliegenden Verfahrens bilden nur noch die Befristung der Bewilligungen (fünf Jahre statt ein Jahr) sowie die Zulässigkeit eines dritten Haltes in Chiasso.
1.2 Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind.
1.3 Das Bundesgericht legt sodann seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Gemäss Art. 2 des Bundesgesetzes vom 18. Juni 1992 über die Personenbeförderung und die Zulassung als Strassentransportunternehmung (Personenbeförderungsgesetz, PBG; SR 744.10) hat der Bund grundsätzlich das ausschliessliche Recht, Reisende mit regelmässigen Fahrten zu befördern. Dieses Recht kann er an Dritte übertragen (Art. 4 PBG).
Die Bewilligungspflicht für den grenzüberschreitenden Linienverkehr ist in den Art. 37 ff. der bundesrätlichen Verordnung vom 25. November 1998 über die Personenbeförderungskonzession (VPK, SR 744.11) geregelt. Eine solche Bewilligung wird gemäss Art. 40 VPK einem Dritten erteilt, wenn nachgewiesen wird, dass die Einhaltung der einschlägigen Bestimmungen gewährleistet ist (lit. a), der Verkehrsdienst das Bestehen der bereits bewilligten Liniendienste nicht unmittelbar gefährdet (lit. b), der Verkehrsdienst einen vergleichbaren Eisenbahndienst auf entsprechenden Linien oder Linienabschnitten nicht ernsthaft konkurrenziert (lit. c), nicht nur die einträglichsten Kurse angeboten werden (lit. d), und die Fahrten mit Fahrzeugen durchgeführt werden, die der Transportunternehmung unmittelbar zur Verfügung stehen (lit. e). Die Bewilligung wird für den Linienverkehr für höchstens fünf Jahre erteilt, für die übrigen Verkehrsdienste für höchstens zwei Jahre (Art. 41 VPK); ihre Erneuerung oder Änderung richtet sich sinngemäss nach Artikel 40 (Art. 42 VPK). Sie kann widerrufen werden, wenn ihre Voraussetzungen weggefallen sind (Art. 45 lit. a VPK) bzw. wenn Vorschriften oder Auflagen wiederholt verletzt werden (Art. 45 lit. b VPK). Die in den einschlägigen Rechtserlassen sowie in den bi- und multilateralen Abkommen über den grenzüberschreitenden Busverkehr (vorliegend von Interesse das Abkommen vom 30. Juni 1995 zwischen dem Schweizerischen Bundesrat und der Regierung der Republik Kroatien über den internationalen Strassenverkehr [SR 0.741.619.291]) enthaltenen Bestimmungen über den grenzüberschreitenden Busverkehr werden sodann in der "Richtlinie des Bundesamtes für Verkehr betreffend den grenzüberschreitenden Busverkehr zwischen der Schweiz und den Drittstaaten" (neuste Fassung vom 1. Januar 2008, frühere Fassung vom 4. März 1996, geändert am 1. Januar 1999) weiter konkretisiert.
2.2 Im Zeitpunkt der Bewilligungserneuerung waren gegen die Beschwerdeführerin in der Schweiz und in Kroatien Strafverfahren wegen Verstössen gegen die Bestimmungen über den grenzüberschreitenden Linienbusverkehr hängig (E. 3.3 und E. 3.4 des angefochtenen Entscheides, vgl. hiezu insbesondere die bei den Akten liegende Verfügung des Bundesamtes für Verkehr vom 1. Juni 2006 über die Eröffnung eines Verwaltungsstrafverfahrens mit den darin aufgelisteten, der Beschwerdeführerin zur Last gelegten Verstössen [u.a. Nichtführen von Passagierlisten, Mitführen von Passagieren anderer Linien oder im Binnenverkehr]). Die Beschwerdeführerin macht in diesem Zusammenhang geltend, im Rahmen der "einschlägigen Bestimmungen" von Art. 40 Abs. 1 lit. a VPK müssten - was vorliegend zutreffe - beim Gesuchsteller insbesondere die Bestimmungen von Art. 9 ff. des Personenbeförderungsgesetzes gegeben sein (Zuverlässigkeit [Art. 10 PBG], finanzielle Leistungsfähigkeit [Art. 11 PBG] und fachliche Eignung [Art. 12 PBG]). Inwiefern diese Bestimmungen es erlauben würden, im Rahmen eines Bewilligungserneuerungsverfahrens auf allfällige parallel laufende (Verwaltungs-)Strafverfahren Bezug zu nehmen und gestützt auf diese die Dauer der erneuerten Bewilligung(en) auf lediglich ein Jahr zu befristen, sei nicht ersichtlich (S. 6 der Beschwerdeschrift).
2.3 Das Bundesamt für Verkehr limitierte die Dauer der erneuerten Bewilligungen vorliegend auf ein Jahr, weil es die Einhaltung der einschlägigen Bestimmungen durch die Gesuchstellerin wegen diesbezüglich hängiger Strafverfahren nicht als gesichert erachtete. Die Bewilligungsbehörde konnte sich hiefür auf die entsprechende, in Art. 40 Abs. 1 lit. a VPK ausdrücklich genannte Bewilligungsvoraussetzung stützen. Ein Widerspruch zur Regelung von Art. 10 PBG ist nicht erkennbar: Zum Einen betrifft diese Bestimmung die Zulassung als Strassentransportunternehmung als solche (vgl. die Systematik des Gesetzes), worum es vorliegend nicht geht (E. 3.1 S. 6 des angefochtenen Entscheides). Sodann können allfällige Zweifel an der Einhaltung der Bewilligungsauflagen durchaus einen zulässigen Grund dafür bilden, die Bewilligung gemäss Art. 37 lit. a VPK nicht auf die zulässige Maximaldauer auszustellen, sondern sie kürzer zu befristen. Das Personenbeförderungsgesetz enthält keine Regelung, welche eine derartige Differenzierung ausschliessen würde. Dass mit Art. 40 Abs. 1 lit. a VPK ("Einhaltung der einschlägigen Bestimmungen") auch Verstösse der vorliegend in Frage stehenden Art (vorne E. 2.2) erfasst werden können, steht aufgrund der bundesgerichtlichen Recht-sprechung ausser Frage: Vom Gesuchsteller kann die "Einhaltung sämtlicher einschlägiger Bestimmungen" verlangt werden, "insbesondere der Normen betreffend die Personenbeförderung, den Strassenverkehr sowie den Arbeitnehmerschutz" (Urteil 2A.550/2001 vom 21. März 2001 E. 2), und rechtlich irrelevant ist auch, dass das Bundesamt für Verkehr ein entsprechendes Strafverfahren erst nach Einreichen des Gesuchs eröffnet hat (Urteil 2A.495/2000 vom 2. Februar 2001, E. 2b).
2.4 Die Befristung der Bewilligungserneuerung auf ein Jahr lässt sich aufgrund der hängigen Strafverfahren damit im Grundsatz nicht beanstanden. Die Bewilligungsbehörde ist in einem solchen Fall nicht verpflichtet, die Bewilligung auf die zulässige Maximaldauer auszustellen ("höchstens fünf Jahre", vgl. Art. 41 VPK), zumal ein allfälliger Widerruf der Bewilligung nach der Rechtsprechung wesentlich strengeren Voraussetzungen unterworfen ist (dazu BGE 134 II 142, nicht publizierte E. 5.3 sowie BGE 121 II 273 E. 1a/aa S. 276). Ein solcher Widerruf ist damit entsprechend schwieriger innert nützlicher Frist durchzusetzen.
Die Befristung der Bewilligung auf ein Jahr erscheint im Hinblick auf den Verfahrensaufwand zur jeweiligen Erneuerung derselben allerdings recht kurz, insbesondere wenn die für Erneuerungsgesuche einzuhaltende Frist von vier bis zehn Monaten (vgl. Art. 20 Abs. 1 VPK) berücksichtigt wird. Eine allzu kurze Befristung der Bewilligung führt, wie der vorliegende Fall exemplarisch zeigt, aber auch zu verfahrensrechtlichen Komplikationen beim Weiterzug eines Bewilligungsentscheides. Die vorerwähnten neuen, ab 1. Januar 2008 gültigen Richtlinien des Bundesamtes für Verkehr (vgl. E. 2.1) sehen daher vor, dass bei Neuerteilung ("Ersterteilung") einer Bewilligung oder bei hängigen strafrechtlichen Verfahren bzw. bei Vorliegen von leichten strafrechtlichen Verfehlungen die Geltungsdauer grundsätzlich auf zwei Jahre befristet wird (Ziff. 3.9 der Richtlinien; die früheren Fassungen enthielten hierüber, soweit ersichtlich, keine Aussagen); eine kürzere, beispielsweise einjährige Geltungsdauer wird damit von der Bewilligungsbehörde selber nicht (mehr) als opportun erachtet.
2.5 Es erscheint gerechtfertigt, diese (neue), dem Verhältnismässigkeitsgebot besser entsprechende Praxis der Verwaltung bereits auf den vorliegenden Fall anzuwenden. Die Beschwerde ist in diesem Sinne teilweise gutzuheissen (dazu nachfolgend E. 4).
3. Die Beschwerdeführerin beanstandet weiter, dass ihr ein dritter Halt in Chiasso "entgegen jahrelanger Praxis" verweigert worden sei.
Das Bundesverwaltungsgericht hat in diesem Zusammenhang erwogen, mit Blick auf die Bewilligungsvoraussetzung von Art. 40 Abs. 1 lit. c VPK (Nichtkonkurrenzierung eines vergleichbaren Eisenbahndienstes) werde die Bewilligung in der Regel nur für die Aufnahme bzw. das Absetzen von Reisenden ab Genf, Lausanne, Bern, Basel, Zürich, St. Gallen, Luzern und Lugano erteilt. Pro Ausgangspunkt dürfe der Antragsteller einen zweiten der vorgenannten Orte zur Aufnahme bzw. zum Absetzen von Reisenden wählen, wobei der zweite Sammelpunkt auf dem direkten Weg zwischen Ausgangs- und Bestimmungsort liegen müsse. Ein dritter Halteort (an der Grenze) werde nur in begründeten Fällen bewilligt. Ein solcher bedinge, dass keiner der fest vorgesehenen möglichen Standorte in der Nähe liege. Vorliegend befinde sich in einer Distanz von nur 25 km ein offizieller Halteort für den grenzüberschreitenden Linienbusverkehr (Lugano); die Beschwerdeführerin habe damit die Möglichkeit, eine für Reisende aus dem Tessin geeignete Verbindung zu verlangen.
Die Beschwerdeführerin bringt nichts vor, was diese Erwägungen der Vorinstanz als bundesrechtswidrig erscheinen liesse. Aus dem Umstand, dass ihrem Rechtsvorgänger - dem Inhaber der Einzelfirma X._ - der dritte Halteort in Chiasso im Jahre 2002 noch bewilligt worden ist (vgl. vorne "A."), kann sie nichts zu ihren Gunsten ableiten, zumal das Bundesamt bei der Bewilligungserneuerung im Jahre 2007 bloss eine "jahrelange Ungleichbehandlung der Konkurrenten/Gewerbegenossen", von der die Beschwerdeführerin bzw. ihr Rechtsvorgänger über längere Zeit profitieren konnte, korrigiert hat (vgl. die Vernehmlassung des Bundesamtes vom 9. Juli 2007 an das Bundesverwaltungsgericht, S. 5). Die Beschwerdeführerin hätte sodann die Möglichkeit, als zweiten Halteort Lugano zu verlangen. Wenn sie - offenbar aus kommerziellen Überlegungen - die beiden Halteorte Lausanne und Bern bzw. St. Gallen und Zürich bevorzugt, muss sie im Lichte der Gleichbehandlung der Gewerbegenossen (Art. 27 BV) in Kauf nehmen, dass "gewisse Tessiner Kunden inskünftig ein Konkurrenzunternehmen berücksichtigen werden" (vgl. S. 11 der Beschwerdeschrift). Ein begründeter Ausnahmefall, der allenfalls die Bewilligung eines dritten Halteortes rechtfertigen könnte, liegt unter solchen Umständen nicht vor.
4. Heisst das Bundesgericht eine Beschwerde - ganz oder teilweise - gut, so entscheidet es in der Sache selbst oder weist diese zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurück. Es kann die Sache auch an die Behörde zurückweisen, die als erste Instanz entschieden hat (Art. 107 Abs. 2 BGG).
Vorliegend rechtfertigt es sich, in der Sache selber zu entscheiden. Das angefochtene Urteil ist mithin aufzuheben, soweit es die vom Bundesamt für Verkehr verfügte Gültigkeitsdauer der beantragten Bewilligungen (ein Jahr) schützt. Die Gültigkeitsdauer der betreffenden Bewilligungen ist nach dem Gesagten (E. 2.4 und 2.5) auf zwei Jahre festzusetzen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Sache des Bundesverwaltungsgerichts wird es sein, die Kosten des vorinstanzlichen Verfahren neu zu verteilen. Zu diesem Zweck wird die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens obsiegt die Beschwerdeführerin teilweise. Ihr sind deshalb reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 65 und 66 BGG). Das Bundesamt für Verkehr hat ihr ausserdem für das bundesgerichtliche Verfahren eine - ebenfalls reduzierte - Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 18. Dezember 2007 aufgehoben, soweit es die vom Bundesamt für Verkehr am 20. April 2007 bzw. 8. Mai 2007 verfügte Gültigkeitsdauer (ein Jahr) der Bewilligungen für den grenzüberschreitenden Linienverkehr Nr. xxxx (St. Gallen-Zürich-Ilok) und Nr. yyyy (Lausanne-Bern-Vukovar) schützt.
2. Die Gültigkeitsdauer der betreffenden Bewilligungen wird auf zwei Jahre festgesetzt (Gültigkeit der Bewilligung Nr. xxxx: bis zum 30. April 2009; Gültigkeit der Bewilligung Nr. yyyy: bis zum 31. März 2009).
3. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
4. Die Sache wird zur Neuverteilung der Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
5. Die - reduzierten - Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
6. Das Bundesamt für Verkehr hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- auszurichten.
7. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. August 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein