Sachverhalt:
A. Der 1977 geborene X._, Staatsangehöriger von Bangladesch, reiste am 12. März 2001 in die Schweiz ein und stellte hier ein Asylgesuch. Am 22. Mai 2002 heiratete er die rund 20 Jahre ältere schweizerisch/US-amerikanische Doppelbürgerin Y._, worauf er eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Ehefrau erhielt und das Asylgesuch zurückzog. Bereits am 13. November 2002 erlag seine Ehefrau einem Krebsleiden, was dazu führte, dass eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ mit Verfügung vom 25. Juni 2003 verweigert wurde. Hiergegen ergriff dieser verschiedene Rechtsmittel.
B. Noch bevor ein letztinstanzlicher Entscheid in dieser Angelegenheit erging, machte X._ geltend, er sei in der Zwischenzeit eine Beziehung mit der Schweizerin Z._ eingegangen, welche am 6. November 2004 den gemeinsamen Sohn A._ geboren habe. Aufgrund der veränderten Sachlage wurde die Aufenthaltsbewilligung von X._ mit Zustimmung des Bundesamtes für Migration (BFM) vom 15. November 2005 und vom 28. Dezember 2006 jeweils für die Dauer eines Jahres verlängert.
C. Am 13. September 2007 stellte X._ erneut ein Verlängerungsgesuch, welches von den Einwohnerdiensten der Stadt Thun am 23. November 2007 mit dem Antrag auf Zustimmung dem BFM übermittelt wurde. Mit Verfügung vom 5. Mai 2008 verweigerte dieses indes seine Zustimmung. Eine hiergegen gerichtete Beschwerde von X._ beim Bundesverwaltungsgericht wurde von diesem mit Urteil vom 16. November 2009 abgewiesen.
D. Mit Eingabe vom 23. Dezember 2009 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und die Erteilung der Zustimmung zur Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung.
Während das Bundesverwaltungsgericht auf eine Vernehmlassung verzichtet, schliesst das BFM auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen.
Gemäss Art. 4 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; in Kraft gewesen bis 31. Dezember 2007; hier noch anwendbar gemäss Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG; SR 142.20]) entscheiden die zuständigen Behörden, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrages berufen.
Als mögliche Anspruchsgrundlagen kommen hier insbesondere Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV in Frage. Damit ein ausländischer Staatsangehöriger aufgrund des von diesen Bestimmungen garantierten Schutzes des Familienlebens einen grundsätzlichen Bewilligungsanspruch herleiten kann, bedarf es einer engen und effektiv gelebten Beziehung zu einem Familienangehörigen mit Schweizer Staatsangehörigkeit oder Niederlassungsbewilligung. Eine intakte Beziehung zu einem eigenen Kind, welches das Recht hat, sich in der Schweiz aufzuhalten, reicht für die Bejahung der Beschwerdelegitimation ebenfalls aus, auch wenn dieses Kind familienrechtlich nicht der elterlichen Sorge oder Obhut des ausländischen Staatsangehörigen untersteht (vgl. BGE 120 Ib 1 E. 1d S. 3 mit Hinweisen).
Im vorliegenden Fall hat der Beschwerdeführer mit einer Schweizerin einen gemeinsamen Sohn, welcher ebenfalls das Schweizer Bürgerrecht besitzt. Der Beschwerdeführer ist nicht obhutsberechtigt, hält jedoch mittels eines Besuchsrechts den Kontakt zu seinem Sohn aufrecht. Gemäss dem Gesagten steht deshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen. Es bleibt eine Frage der materiellen Beurteilung, ob es unter den konkreten Umständen mit Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV vereinbar ist, dass das BFM dem Beschwerdeführer die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung verweigert hat.
Auf die im Übrigen form- und fristgerecht (Art. 42 BGG; Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde kann daher eingetreten werden.
2. Gemäss der vom BFM und vom Bundesverwaltungsgericht zutreffend wiedergegebenen bundesgerichtlichen Rechtsprechung verschafft ein Besuchsrecht gegenüber einem in der Schweiz fest anwesenheitsberechtigten Kind dem ausländischen Elternteil im Allgemeinen noch keinen Anspruch auf dauernde Anwesenheit. Unter dem Gesichtspunkt von Art. 8 Ziff. 1 und Ziff. 2 EMRK sowie Art. 13 Abs. 1 BV ist es ausreichend, wenn das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausgeübt werden kann, wobei allenfalls die Modalitäten des Besuchsrechts entsprechend auszugestalten sind. Ein weiter gehender Anspruch kann nur dann bestehen, wenn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese Beziehung wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht aufrecht erhalten werden könnte und das bisherige Verhalten des Ausländers in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat (BGE 120 Ib 1 E. 3c S. 5).
3. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass er in wirtschaftlicher Hinsicht zum gegenwärtigen Zeitpunkt keine besonders enge Beziehung zu seinem Sohn hat. Die Verantwortlichkeit hierfür sieht er indes nicht bei sich. Vielmehr macht er geltend, dass er einzig aufgrund der abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung keine Arbeitsstelle finde, weswegen ihm die finanziellen Mittel für eine Unterstützung seines Sohnes fehlten. In affektiver Hinsicht erachtet der Beschwerdeführer die Beziehung dagegen als besonders intensiv: Da sein Sohn an Epilepsie leide, sei dieser besonders sensibel und labil; er brauche mehr Betreuung als andere Kinder. Die Aufrechterhaltung der Beziehung von Bangladesch aus sei schon aus finanziellen Gründen nicht möglich. Brieflicher und telefonischer Kontakt seien kein Ersatz für die intensive Betreuung, welcher das Kind momentan bedürfe. Sodann betont der Beschwerdeführer, dass er sich keine schwerwiegenden Verfehlungen zu Schulden habe kommen lassen: Es sei einzig zu einer kleinen Auseinandersetzung mit dem Grossvater seines Sohnes gekommen, welche zu einer Anzeige wegen Sachbeschädigung geführt habe. Die Parteien hätten sich dann aber aussprechen können und die Anzeige sei zurückgezogen worden. Aus den genannten Gründen ist der Beschwerdeführer der Auffassung, dass ihm gestützt auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung ein Anspruch auf die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zustehe, und die Zustimmungsverweigerung durch das BFM gegen Art. 8 Ziff. 1 EMRK und Art. 13 BV verstosse.
4. Die Ausführungen des Beschwerdeführers überzeugen nicht:
Zwar ist unbestritten, dass sich der Beschwerdeführer mittlerweile regelmässig, derzeit sogar zweimal in der Woche (jeweils am Mittwochnachmittag sowie an einem Tag des Wochenendes) um seinen Sohn kümmert und sich sowohl die Mutter als auch die Grossmutter des Kindes positiv zu diesen Kontakten äussern. Indessen ist dem Schreiben der Grossmutter vom 8. Dezember 2009 (Beschwerdebeilage Nr. 6) sowie dem Schreiben der Sozialdienste der Stadt Thun vom 9. Dezember 2009 (Beschwerdebeilage Nr. 5) auch zu entnehmen, dass die vermehrte Einbindung des Beschwerdeführers und der berufstätigen Kindsmutter vor allem aufgrund eines Entlastungswunsches der Grossmutter zustande gekommen ist und die Hauptlast der Betreuung nach wie vor bei den Grosseltern des Kindes liegt. Hinzu kommt, dass der gegenwärtige Betreuungsumfang (insbesondere der Kontakt am Mittwochnachmittag) durch den Beschwerdeführer wohl nur solange aufrechterhalten werden kann, als dieser keiner Beschäftigung nachgeht.
Die wirtschaftliche Situation des Beschwerdeführers ist prekär: Nach einem längeren Bezug von Arbeitslosenentschädigung musste er von Juli bis Dezember 2005 von den Sozialdiensten der Stadt Thun unterstützt werden. Nach einem Einsatz in Beschäftigungsprogrammen der Stadt Thun und der sozialen Dienste Spiez bezieht der Beschwerdeführer seit Dezember 2007 wieder Fürsorgeleistungen. Seit Mai 2007 wird zudem auch der monatliche Unterhaltsbeitrag für seinen Sohn in Höhe von Fr. 300.-- von den Sozialdiensten der Stadt Thun bevorschusst. Ferner hat der Beschwerdeführer offenbar Schulden in Höhe von Fr. 25'000.--, welche durch die Aufnahme eines Kleinkredits entstanden sind. Aufgrund dieser finanziellen Lage ist es offenkundig, dass er seinen Sohn nicht zu unterstützen vermag. Entgegen seinen Ausführungen kann der Grund hierfür allerdings nicht nur in der fehlenden Aufenthaltsbewilligung gesehen werden: Soweit ersichtlich, verfügt der Beschwerdeführer über keine abgeschlossene Berufsausbildung und könnte in der Schweiz höchstens Hilfsarbeiten verrichten. Diese Einschätzung wird bestätigt durch seine beruflichen Aktivitäten zwischen August 2001 und Juli 2003, als er über eine Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz verfügte: Während dieser Zeit arbeitete der Beschwerdeführer auf Stundenlohnbasis (Fr. 18.--/h) als Hilfskraft bei einer Reinigungsfirma. Das aus einer solchen Tätigkeit resultierende Einkommen reicht bestenfalls für das eigene Auskommen; namhafte Unterstützungsbeiträge an seinen Sohn scheinen hiermit dagegen kaum möglich zu sein.
Bei dieser Sachlage kann weder gegenwärtig noch prospektiv von einer in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht besonders intensiven Bindung zwischen Vater und Sohn die Rede sein. Ohne Art. 8 Ziff. 1 EMRK oder Art. 13 Abs. 1 BV zu verletzen, durften die Vorinstanzen daher zum Schluss gelangen, dass dem Beschwerdeführer kein Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zusteht.
5. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich nach dem Ausgeführten als unbegründet und ist abzuweisen.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang wären die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens an sich dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Indes kann dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren entsprochen werden, da die Beschwerde nicht gerade als von vornherein aussichtslos zu bezeichnen ist und die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers als erstellt gelten kann (vgl. Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
a) Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
b) Fürsprecher Hans Spillmann wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand bestellt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'200.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, sowie den Einwohnerdiensten der Stadt Thun, Direktion Sicherheit, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. April 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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