Faits :
A. A.a X._ est propriétaire de la parcelle n ̊yyy située à La Conversion. Le 11 avril 2002, il a signé avec X._ un acte de vente portant sur l'acquisition de la parcelle contiguë n ̊xxx de la commune de Lutry, dont il était alors propriétaire.
La parcelle n ̊yyy bénéficie d'une servitude de passage à pieds et pour tous véhicules immatriculée au registre foncier qui, dans son nouveau tracé, grève pratiquement toute la longueur de la parcelle n ̊xxx. L'assiette de cette servitude permet d'accéder à la parcelle n ̊yyy depuis le domaine public en traversant le fonds servant. Le 6 mai 2002, la municipalité de Lutry a délivré le permis de construire ce chemin d'accès à la parcelle n ̊yyy.
Au début de l'année 2003, Y._ a indiqué à certains de ses voisins qu'il voulait construire trois logements sur sa parcelle. X._ lui a répondu qu'il n'était d'accord qu'avec la construction d'une voie desservant la propriété d'un seul logement. Par la suite, il s'est opposé aux travaux d'aménagement de l'assiette de la servitude située sur sa parcelle.
A.b Par demande déposée le 4 juin 2004, Y._ a ouvert action devant le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois. Il a notamment conclu à ce qu'il soit autorisé à aménager des canalisations ainsi qu'un chemin d'accès sur l'assiette de la servitude en question, conformément au permis de construire délivré le 6 mai 2002, et à ce que le défendeur soit son débiteur de la somme de 13'390 fr.40, avec intérêts à 5% l'an dès le 3 juin 2004.
Dans sa réponse déposée le 11 août 2004, ce dernier s'est opposé à l'action et a notamment demandé, à titre reconventionnel, que la servitude soit limitée, sur la longueur de son assiette se trouvant sur sa parcelle, à la desserte d'une seule villa individuelle, d'une part, et que le demandeur répare les dommages causés sur sa propriété ensuite des travaux entrepris, d'autre part.
Les parties ont été entendues lors de l'audience de jugement qui s'est tenue le 2 mai 2006. A cette occasion, elles ont signé une convention partielle portant sur la constitution et les conditions d'exercice de la servitude.
B. Par jugement du 5 mai 2006, le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a, entre autres points, ratifié pour valoir jugement partiel la convention signée entre les parties le 2 mai 2006, dit que X._ doit immédiatement à Y._ la somme de 12'119 fr.90 avec intérêts à 5% l'an dès le 3 juin 2004, enfin, rejeté la conclusion reconventionnelle tendant à ce que la servitude soit limitée à la desserte d'une seule villa individuelle, ainsi qu'une partie de celles visant à la réparation des dommages causés par les travaux entrepris.
Par arrêt du 14 février 2007, la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours interjeté par X._ et confirmé le jugement de première instance. Cette autorité a notamment considéré que le motif de récusation soulevé à l'encontre du juge Z._, qui avait fait partie du tribunal appelé à statuer dans la présente cause, se révélait tardif.
C. X._ exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt du 14 février 2007, en reprenant les conclusions soumises à la Chambre des recours.
L'intimé propose le rejet des recours.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 133 I 185 consid. 2 p. 188; 132 III 747 consid. 4 p. 748 et les arrêts cités).
2. L'arrêt entrepris est une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par l'autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). Contrairement aux exigences de l'art. 112 al. 1 let. d LTF, la décision attaquée n'indique pas la valeur litigieuse, qui semble toutefois atteinte (art. 74 al. 1 let. b OJ). Les critiques du recourant, y compris celles relatives à la constatation arbitraire des faits (art. 9 Cst.), relèvent de la violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF; FF 2001 p. 4132). Au regard de ces conditions, le recours en matière civile est en l'espèce ouvert. Par conséquent, le recours constitutionnel subsidiaire ne l'est pas (cf. art. 113 LTF). Pour le surplus, le mémoire de recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et en la forme prévue par la loi (art. 42 LTF).
3. Se plaignant d'une violation des art. 30 al. 1 Cst., 6 § 1 CEDH et 28 Cst./VD, le recourant reproche aux juges cantonaux d'avoir estimé que le motif de récusation invoqué devant eux était intervenu tardivement.
3.1 Selon l'art. 30 al. 1 Cst. - qui de ce point de vue a la même portée que l'art. 6 § 1 CEDH (ATF 131 I 24 consid. 1.1 p. 25) - toute personne a droit à ce que sa cause soit entendue par un tribunal établi par la loi, compétent, indépendant et impartial, c'est-à-dire par des juges qui offrent la garantie d'une appréciation parfaitement objective de la cause (ATF 129 III 445 consid. 3.3.3 p. 454; 129 V 196 consid. 4a p. 198). Le recourant ne soutient pas que l'art. 28 Cst./VD, selon lequel toute personne dont la cause doit être jugée dans une procédure judiciaire a droit à ce que cette cause soit portée devant un tribunal établi par la loi, indépendant et impartial, aurait un effet plus large. Le Tribunal fédéral examine librement la compatibilité de la procédure suivie avec les garanties offertes par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 § 1 CEDH (ATF 131 I 31 consid. 2.1.2.1 p. 34/35, 113 consid. 3.2 p. 115).
Selon la jurisprudence, le motif de récusation doit être invoqué dès que possible, à défaut de quoi le plaideur est réputé avoir tacitement renoncé à s'en prévaloir (ATF 119 Ia 221 consid. 5a p. 227 et les arrêts cités). En particulier, il est contraire à la bonne foi d'attendre l'issue d'une procédure pour tirer argument, à l'occasion d'un recours, de la composition incorrecte de l'autorité qui a statué, alors que le motif de la récusation était déjà connu auparavant (ATF 124 I 121 consid. 2 p. 123; 119 Ia 221 précité; 118 Ia 282 consid. 3a p. 284).
3.2 D'après l'arrêt attaqué, le motif de récusation soulevé concerne le juge Z._, qui a procédé comme magistrat en première instance tout en étant personnellement interpellé dans une autre cause par une partie dont le conseil du recourant (Me Jean-Marc Reymond) est également le mandataire. Pour l'autorité cantonale, une telle situation pourrait, selon les circonstances, constituer un motif de récusation au sens de l'art. 42 CPC/VD. Toutefois, cette question n'a pas à être tranchée sur le fond, pour les raisons suivantes: certes, le recourant ignorait vraisemblablement ledit motif avant l'audience de jugement et n'avait pu de ce fait demander la récusation du juge concerné à temps, ce qui ouvrait a priori la voie du recours en nullité vaudois. Il résultait cependant de l'instruction menée par la Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Vaud que le greffe du Tribunal de première instance avait téléphoné au secrétariat de l'étude des conseils du recourant pour déterminer si le mandataire avec lequel existait un possible conflit d'intérêts, à savoir Me Jean-Marc Reymond, assisterait le recourant à l'audience de jugement ou s'il se ferait remplacer par Me Claude Ramoni. Avisé que ce dernier représenterait le recourant à l'audience, le greffe avait, à partir de cette date, adressé toutes les correspondances concernant le dossier à ce conseil. Selon la Chambre des recours, quelle que soit la manière dont les informations circulent à l'intérieur d'une étude d'avocats, toutes celles dont l'un d'entre eux est informé par l'office doivent pouvoir être imputées à la partie représentée. Dès lors, même si le conseil du recourant n'avait pas été avisé lui-même téléphoniquement du possible conflit d'intérêts, il ne pouvait soutenir avoir ignoré celui-ci et ne pouvait donc attendre de recevoir le dispositif du jugement de première instance pour soulever le motif de récusation. Admettre le contraire reviendrait à autoriser le mandataire, qui est à même de prévoir le conflit d'intérêts à l'audience de jugement, de se faire remplacer par un confrère à ladite audience, pour conserver la possibilité de soulever le grief dans le cadre d'un recours en nullité jusqu'à réception du dispositif du jugement. Ce procédé n'est pas admissible, même si, en l'espèce, il n'était pas dans les intentions du mandataire du recourant.
3.3 Le recourant expose que le magistrat à l'égard duquel il soulève le grief de prévention a siégé comme juge assesseur en première instance. Dès lors que le Tribunal de l'arrondissement de l'Est vaudois comprend près de cinquante juges assesseurs, que la composition des cours appelées à juger n'est pas annoncée aux parties d'entrée de cause, ni même avant l'audience, et que cette composition peut de toute façon être appelée à changer avant l'audience en question, les parties et leurs conseils ne connaissent la composition exacte des cours qu'une fois que le dispositif leur est notifié. Le recourant prétend en outre que seul le secrétariat de l'étude était au courant de l'appel téléphonique du greffe, respectivement de la présence du juge en question au sein du tribunal appelé à statuer.
La Chambre des recours a admis que, selon toute vraisemblance, le recourant ignorait le motif de récusation avant l'audience de jugement, ce qui ouvrait la voie du recours en nullité. Elle a toutefois estimé qu'à la suite du téléphone du greffe au secrétariat de l'étude des conseils du recourant, l'un des mandataires de celui-ci ne pouvait prétendre qu'il ne connaissait pas l'existence d'un éventuel motif de récusation, même s'il n'en avait pas été avisé personnellement.
Le motif de récusation allégué tient à la participation au jugement de première instance d'un magistrat personnellement recherché dans une autre procédure par une partie dont le conseil du recourant est aussi mandataire. Le fait que l'apparence de prévention existe non pas à l'égard de la partie elle-même, mais de son avocat, peut justifier la récusation du juge (ATF 133 I 1 consid. 5.2 p. 4; arrêt 1P.53/2005 du 8 mars 2005, consid. 4.2, in: ZBl 107/2006 p. 337 ss, avec les nombreuses références citées). C'est donc à juste titre que la Chambre des recours a considéré qu'une telle situation pourrait constituer un motif de récusation.
Pour le surplus, l'argumentation de l'autorité cantonale n'apparaît pas convaincante. En effet, l'arrêt attaqué se révèle contradictoire: d'une part, il déclare que le recourant ignorait le motif de prévention avant l'audience de jugement et n'a pu, de ce fait, demander la récusation à temps, en sorte que la voie du recours en nullité cantonal était en l'occurrence ouverte; d'autre part, l'intéressé devait réagir après que le greffe du Tribunal d'arrondissement eut téléphoné à l'étude de l'avocat. Or, dans ce dernier cas, le recourant - auquel est imputable la connaissance de ses avocats Jean-Marc Reymond et/ou Claude Ramoni - devait donc logiquement avoir connaissance de la cause de récusation avant l'audience de jugement. De plus, il ne ressort pas des faits constatés par la Chambre des recours que le greffe du Tribunal de première instance aurait communiqué au secrétariat de l'étude la composition de la juridiction concernée, mais seulement qu'il a demandé qui, de Me Reymond ou de Me Ramoni, serait présent à l'audience de jugement. La lecture dudit arrêt ne permet pas non plus de savoir en quoi consistait précisément le possible "conflit d'intérêts" évoqué par le greffe. Enfin, il est évident que le Tribunal de première instance savait que deux avocats défendaient les intérêts du recourant, sans quoi on ne comprendrait pas pourquoi le greffe a téléphoné à l'étude. Or, en présence d'une défense commune, le motif de récusation doit valoir indépendamment de l'avocat qui s'est physiquement rendu à l'audience de jugement: que Me Ramoni y ait participé, alors qu'il n'existait pas de prévention du juge Z._ à son égard, n'est dès lors pas pertinent.
Par conséquent, la Chambre des recours a enfreint les garanties découlant des art. 30 al. 1 Cst. et 6 § 1 CEDH en considérant que le motif de récusation avait été soulevé tardivement.
4. Le recours doit par conséquent être admis sur ce point, indépendamment des chances de succès sur le fond. La cause sera ainsi renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle statue sur l'existence d'un éventuel motif de récusation.
Les frais judiciaires seront donc mis à la charge de l'intimé (art. 66 al. 1 OJ), qui versera en outre des dépens au recourant (art. 68 al. 1 et 2 OJ).
Le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt entrepris est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Une indemnité de 3'000 fr., à payer au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimé.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 26 février 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Mairot