Sachverhalt:
A. X._ ist Alleinaktionär der Z._ AG in Liquidation, über die am 22. September 2010 der Konkurs eröffnet worden war. Am 27. Dezember 2010 leitete die konkursite Gesellschaft gegen X._ für Fr. 12'706'545.45 nebst Zins zu 5 Prozent seit 15. Dezember 2010 die Betreibung ein (Zahlungsbefehl Nr. 1 des Betreibungsamts A._). Der Betriebene erhob Rechtsvorschlag.
B. Auf Gesuch der Z._ AG in Liquidation erteilte die Einzelrichterin der Abteilung 2 des Bezirksgerichts Kriens in der erwähnten Betreibung für Fr. 6'824'784.81 nebst Zins zu 5 Prozent seit 15. Dezember 2010 die provisorische Rechtsöffnung.
C. Vergeblich setzte sich X._ gegen diesen Entscheid vor dem Obergericht des Kantons Luzern zur Wehr. Dieses wies seine Beschwerde vom 29. August 2011 mit Entscheid vom 15. Dezember 2011 ab.
D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. Februar 2012 wendet sich X._ ("Beschwerdeführer") an das Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts und denjenigen des Bezirksgerichts Kriens aufzuheben.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt. In ihrer Beschwerdeantwort vom 27. Juni 2012 stellt die Z._ AG in Liquidation (Beschwerdegegnerin) das Begehren, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Auch das Obergericht des Kantons Luzern beantragt die Abweisung. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) in einer vermögensrechtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG), deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist demnach grundsätzlich zulässig.
1.2 Nicht zulässig ist indessen das Begehren, den erstinstanzlichen Entscheid aufzuheben, denn Anfechtungsobjekt vor Bundesgericht ist nur der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.3 Die Beschwerde in Zivilsachen ist ein reformatorisches Rechtsmittel (Art. 107 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer muss einen materiellen Antrag stellen, das heisst angeben, inwiefern das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid abändern soll. Ein blosser Aufhebungsantrag, wie ihn der Beschwerdeführer stellt, genügt nicht und macht die Beschwerde an sich unzulässig (BGE 133 III 489 E. 3.1 S. 489 f.). Nach der Begründung der Beschwerde, die für die Auslegung der Begehren beizuziehen ist (BGE 136 V 131 E. 1.2 S. 136), fordert der Beschwerdeführer in der Sache aber die Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens. Insoweit kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.4 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft behauptete Rechtsverletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) mit freier Kognition. Hingegen legt es seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann nur eingewendet werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. BGE 134 V 53 E. 4.3 S. 62; 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). Überdies ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22).
2. Beruht die Betreibungsforderung auf einer durch Unterschrift bekräftigten Schuldanerkennung, so kann der Gläubiger gemäss Art. 82 Abs. 1 SchKG die provisorische Rechtsöffnung verlangen. Nach Absatz 2 der genannten Vorschrift spricht der Richter die Rechtsöffnung aus, sofern der Betriebene nicht sofort Einwendungen glaubhaft macht, welche die Schuldanerkennung entkräften. Die Beschwerdegegnerin stützt ihr Rechtsöffnungsbegehren auf ein in ihrer Buchhaltung geführtes Kontoblatt, das den Titel "Konto 215000 KK Aktionäre" trägt, für das Geschäftsjahr 2008 per 31. Dezember 2008 einen Saldo von Fr. 6'824'784.81 ausweist und den handschriftlichen Namenszug des Beschwerdeführers trägt. Der Beschwerdegegner wendet ein, dieser Urkunde könne "nicht die Eigenschaft eines Rechtsöffnungstitels zukommen". Er bemängelt den angefochtenen Entscheid sowohl in tatsächlicher als auch in rechtlicher Hinsicht. Zu Recht:
3. 3.1 Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, er und die Beschwerdegegnerin hätten ein eigentliches, das heisst ein vertragliches Kontokorrentverhältnis vereinbart. Er beruft sich hierzu auf die jahrelange Praxis zwischen der Beschwerdegegnerin und ihm. Die Kontokorrentvereinbarung sei überdies dadurch belegt, dass im Rahmen der jährlichen Revision der am Ende eines Jahres bestehende Kontokorrent-Saldo angegeben und per 1. Januar des nachfolgenden Jahres auf die neue Kontokorrent-Rechnung übertragen und übernommen worden sei. Der Beschwerdeführer verweist in diesem Zusammenhang auf das Kontoblatt "Konto 215000 KK Aktionäre" für das Geschäftsjahr 2009, das die Beschwerdegegnerin selbst erstellt und im erstinstanzlichen Verfahren ins Recht gelegt habe. Daraus gehe hervor, dass per 1. Januar 2009 ein Saldovortrag von Fr. 6'824'784.81 vorgenommen, das Kontokorrentverhältnis über den 31. Dezember 2008 hinaus also auch im Jahr 2009 fortgeführt worden sei. Er wirft der Vorinstanz vor, dieses zweite Kontoblatt nicht beachtet zu haben. Damit sei der Sachverhalt unvollständig festgestellt und sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden.
3.2 Nachdem es der Beschwerdeführer ist, der sich auf den Bestand eines Kontokorrentvertrages beruft, um der Rechtsöffnung zu entgehen, lässt sich ein übereinstimmender Vertragswille zur Führung eines Kontokorrentvertrages entgegen dem angefochtenen Entscheid nicht mit dem Hinweis verneinen, die Beschwerdegegnerin habe - zu ihren Ungunsten - in ihrem Rechtsöffnungsgesuch das Zustandekommen eines Kontokorrentvertrages nicht behauptet. An der Sache vorbei geht auch die Überlegung des Obergerichts, der Beschwerdeführer habe in seinen beiden Stellungnahmen zum Rechtsöffnungsgesuch keinen Willen zur Führung eines Kontokorrentverhältnisses bekundet. Denn was auch immer der Beschwerdeführer in diesen Schriftsätzen zum Ausdruck gebracht haben mochte, erklärte er nicht gegenüber der Beschwerdegegnerin, sondern - entsprechend der Natur einer solchen Stellungnahme - gegenüber dem Bezirksgericht Kriens. Damit ist schon begrifflich ausgeschlossen, dass sich diesen Rechtsschriften ein vertraglicher Bindungswille des Beschwerdeführers zum Abschluss eines Vertrages mit der Beschwerdegegnerin entnehmen lässt. Denn zum Abschluss eines Kontokorrentvertrages ist die übereinstimmende gegenseitige Willensäusserung der Parteien erforderlich (Art. 1 Abs. 1 OR).
3.3 Als Anhaltspunkt für das Zustandekommen eines Kontokorrentvertrages bleibt im angefochtenen Entscheid nur der Umstand bestehen, dass im fraglichen Konto "215000 KK Aktionäre" der streitige Saldo des Jahres 2008 von Fr. 6'824'784.81 auf neue Rechnung vorgetragen wurde. Dies anerkennt - entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers - auch das Obergericht. Insofern erweisen sich die Vorwürfe der unrichtigen Sachverhaltsfeststellung und der Verletzung des rechtlichen Gehörs als unbegründet. Ob die blosse Tatsache des Saldovortrags für sich allein genommen die Annahme zu rechtfertigen vermöchte, die Parteien hätten den Vertragswillen zur Fortführung eines Kontokorrentverhältnisses gehabt, kann an dieser Stelle jedoch offenbleiben (vgl. dazu das Urteil 5P.334/1993 vom 18. November 1993 E. 4c, in: Rep. 1994 S. 258, wo das Bundesgericht es unter Willkürgesichtspunkten als vertretbar erachtet hat, in Ermangelung anderer Indizien aus dem blossen, automatisch erfolgten Buchungsvorgang der Fortschreibung und Übertragung des Saldos eines Bankkontos keinen Willen zum Verbleib in einem Kontokorrentverhältnis abzuleiten). Mit gutem Grund macht der Beschwerdeführer nämlich geltend, dass die Vorinstanz sich "mit keinem Wort" zum entsprechenden Kontoblatt "215000 KK Aktionäre" für das Folgejahr 2009 geäussert habe, obwohl dieses Schriftstück von der Beschwerdegegnerin selbst als Beilage zum Rechtsöffnungsgesuch ins Recht gelegt und von ihm bereits im kantonalen Beschwerdeverfahren angerufen worden sei. Dieser Vorwurf ist begründet. Aus der besagten Urkunde ergibt sich nicht nur, dass der Saldo von Fr. 6'824'784.81 für das Geschäftsjahr 2008 auf das neue Jahr 2009 vorgetragen wurde. Zugleich geht daraus auch hervor, dass verteilt über das ganze Jahr 2009 sowohl zu Gunsten als auch zu Lasten des fraglichen Kontos verschiedene Buchungen in teils namhafter Höhe vorgenommen wurden. Einen Grund, diesen Umstand nicht zu berücksichtigen, lässt sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen. Der in dieser Hinsicht offensichtlich unvollständig und damit unrichtig festgestellte Sachverhalt ist demnach von Amtes wegen zu ergänzen (Art. 105 Abs. 2 BGG). Bei dieser Ausgangslage kann nun aber entgegen der Ansicht des Obergerichts nicht gesagt werden, mit der Unterzeichnung des Kontoblattes sei lediglich "faktisch" über die Buchungsperiode vom 1. Januar bis 31. Dezember 2008 abgerechnet worden und die eine Partei hätte ohne Wissen und Willen der Gegenpartei die gegenseitigen Forderungen bloss "kontokorrentmässig" verbucht, ohne dass ein eigentliches Kontokorrentverhältnis vorgelegen hat. Vielmehr lässt der - von der Beschwerdegegnerin vor Bundesgericht nicht bestrittene - Umstand, dass die Parteien über das Konto 215000 "KK Aktionäre" auch im Jahr 2009 etliche Geschäftsoperationen abgewickelt haben, ihren stillschweigend geäusserten (Art. 1 Abs. 2 OR) vertraglichen Bindungswillen erkennen, im Jahr 2009 ein Kontokorrentverhältnis weiterzuführen, das zumindest schon im Geschäftsjahr 2008 bestanden hatte. Dafür, dass die Vertragsparteien ihr Verhältnis als eigentliches Kontokorrentverhältnis verstanden haben, spricht schliesslich auch der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin selbst - jedenfalls mit Bezug auf den in der Schuldanerkennung verurkundeten Geldbetrag von Fr. 6'824'784.81.-- - zu keinem Zeitpunkt einzelne Ansprüche aus dem Abrechnungsverhältnis geltend gemacht, sondern offensichtlich immer nur den Saldo verlangt hat (vgl. BGE 29 II 330 E. 5 S. 336 f.).
3.4 Nach dem Gesagten kann dem Obergericht nicht gefolgt werden, wenn es zum Schluss kommt, für das Zustandekommen eines Kontokorrentvertrages fehle es an hinreichenden Anhaltspunkten, so dass für die Folgeperiode einfach "ein laufendes Rechnungsverhältnis" anzunehmen sei, "das allenfalls wiederum in ein faktisches Kontokorrentverhältnis münden könnte, wenn der Saldo nach der Abrechnungsperiode anerkannt wird". Gestützt auf die in den Akten liegenden und damit liquiden (vgl. Urteil 5A_30/2007 vom 8. Juni 2007 E. 4.3) Kontoabschlüsse für die Geschäftsjahre 2008 und 2009 hat der Beschwerdeführer im Sinne von Art. 82 Abs. 2 SchKG glaubhaft gemacht, dass er mit der Beschwerdegegnerin ein eigentliches Kontokorrentverhältnis vereinbart und über den 31. Dezember 2008 hinaus weitergeführt hat.
4. Ausgehend von diesen Gegebenheiten stellt sich der Beschwerdeführer auf den Standpunkt, ein unterzeichneter Kontokorrentauszug verliere seine Eigenschaft als Rechtsöffnungstitel, wenn der als richtig anerkannte Saldo auf neue Rechnung vorgetragen werde. In einem fortgeführten Kontokorrentverhältnis tauge eine "Richtigbefundanzeige" nur dann als Rechtsöffnungstitel, wenn das Verhältnis im Zeitpunkt der Unterzeichnung gekündigt war und ausser Zinsen, Kommissionen und Spesen keine weiteren Buchungen vorgenommen wurden. Die Beschwerdegegnerin habe nicht behauptet, dass die Kontokorrentvereinbarung per 31. Dezember 2008 gekündigt gewesen wäre; aus dem Kontoblatt für das Jahr 2009 gehe hervor, dass im Jahr 2009 nicht bloss Zinsen, Kommissionen und Spesen verbucht worden seien.
4.1 Zur Untermauerung seiner Argumentation beruft sich der Beschwerdeführer insbesondere auf eine Reihe von Urteilen des Obergerichts des Kantons Luzern, wonach die unterschriftliche Anerkennung des Saldos einer abgeschlossenen Rechnungsperiode ihre Wirkung als Schuldanerkennung im Sinne von Art. 82 Abs. 1 SchKG verliert, wenn der Saldo im Rahmen eines fortgesetzten vertraglichen Kontokorrentverhältnisses auf neue Rechnung übertragen wird (Urteile vom 18. November 1994, in: LGVE 1994 I Nr. 44 S. 52 f., vom 11. November 1992, in: LGVE 1992 I Nr. 46 S. 76, vom 6. April 1982, in LGVE 1982 I Nr. 45 S. 76, und vom 14. Januar 1935, in: Max. VIII Nr. 420 S. 608 f.). Die Beschwerdegegnerin hält diese Luzerner Rechtsprechung demgegenüber für verfehlt. Sie macht im Wesentlichen geltend, die Übertragung des anerkannten Saldos auf eine neue Rechnung sei lediglich ein buchhalterisch notwendiger Schritt, um die Buchhaltung und den Kontokorrentvertrag im Folgejahr weiterzuführen; weshalb das Schuldbekenntnis seine Gültigkeit durch eine buchhalterische Handlung der Gläubigerin verlieren sollte, sei nicht einsichtig.
4.2 Das Bundesgericht hat sich bis anhin nicht abschliessend zur Frage geäussert, ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen die unterzeichnete Anerkennung eines Kontokorrentsaldos ihre Eigenschaft als Schuldanerkennung im Sinne von Art. 82 Abs. 1 SchKG einbüsst, wenn das ihr zugrunde liegende vertragliche Kontokorrentverhältnis weitergeführt wird (vgl. BGE 132 III 480 E. 5 S. 483). In einem amtlich nicht veröffentlichten Urteil betreffend den Kontokorrentvertrag zwischen einer Geschäftsbank und einem privaten Kreditnehmer billigt das Bundesgericht zwar die Ansicht des dortigen Beschwerdeführers, wonach die Anerkennung von auf neue Rechnung übertragenen Saldi aufgrund der novatorischen Wirkung gemäss Art. 117 Abs. 2 OR zur Folge habe, dass die früheren Richtigbefundanzeigen ihre Wirkung als Schuldanerkennungen im Sinne von Art. 82 SchKG verlören (Urteil 5P.334/1993 vom 18. November 1993 E. 3, in: Rep. 1994 S. 257). Aus dieser Rechtsprechung folgt allerdings nicht, dass die Titelqualität eines unterschriftlich anerkannten Kontokorrentsaldos erst dann entfiele, wenn der Schuldner zu einem späteren Zeitpunkt einen weiteren, neuen Saldo anerkennt und damit im Sinne von Art. 117 Abs. 2 OR eine Novation der Kontokorrentforderung bewirkt (so NAEF, Conto corrente e rigetto provvisorio dell'opposizione, in: RDAT II 1997 S. 252). Wird der Saldo einer abgeschlossenen Rechnungsperiode in einem fortgesetzten Kontokorrentverhältnis nicht bezahlt, sondern einverständlich auf neue Rechnung vorgetragen, so verliert er dadurch seine selbständige Natur und wird zu einem Posten dieser neuen Rechnung, bestimmt, in dem Saldo derselben aufzugehen (BGE 19 I 401 E. 5 S. 408 f.). Dies aber bedeutet aus betreibungsrechtlicher Sicht nichts anderes, als dass die unterschriftliche Anerkennung eines Kontokorrentsaldos ihre Eignung als provisorischer Rechtsöffnungstitel mit dem Vortrag des anerkannten Saldos auf neue Rechnung verliert. Als Schuldanerkennung im Sinne von Art. 82 Abs. 1 SchKG taugt eine solche Richtigbefundanzeige nur, wenn der Schuldner sie nach erfolgter Kündigung des Kontokorrentvertrages ausgestellt hat und wenn der anerkannte Saldo nicht auf neue Rechnung vorgetragen wurde und auf dem Konto auch keine weiteren materiellen Geschäftstransaktionen stattgefunden haben.
4.3 Diese Beurteilung der Rechtslage findet ihre Stütze nicht nur in der älteren kantonalen Rechtsprechung (Urteil des Kantonsgerichts Graubünden vom 29. November 1968, in: PKG 1968 S. 65 f.; Urteile des Kantonsgerichts Tessin vom 10. Juli 1978, in: Rep. 1980 S. 109, und vom 19. Juli 1956, in: Rep. 1956 S. 400; Urteile des Kantonsgerichts Waadt vom 25. Januar 1968, in: JdT 1968 II S. 127, vom 15. Januar 1959, in: BlSchK 1959 S. 177, vom 26. Juni 1945, in: JdT 1946 II S. 127, und vom 16. Juni 1925, in: Rep. 1927 S. 510; Urteile der Justizkommission des Kantons Zug vom 10. November 1977, in: GVP ZG 1977/78 S. 154, und des Kantonsgerichts Zug vom 12. Dezember 1934, in: BlSchK 1937 S. 69). Zur gleichen Erkenntnis kommt auch ein grosser Teil der Lehre (JAEGER/WALDER/KULL/KOTTMANN, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 4. Aufl. 1997, Bd. I, N 11 zu Art. 82 SchKG; JÄGER/PETITMERMET/BOVAY, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, 1920, Bd. I, N 4 zu Art. 82 SchKG; ETTER, Le contrat de compte courant, 1994, S. 214 ff.; MEYER, Die Rechtsöffnung auf Grund synallagmatischer Schuldverträge, 1979, S. 165; HESS, Die materiellen Grundlagen der provisorischen Rechtsöffnung und der Aberkennungsklage, 1946, S. 63; im Ergebnis auch NAEF, a.a.O., S. 257). Einer anderen Ansicht zufolge, auf die sich die Beschwerdegegnerin zu berufen scheint, soll der unterschriftlich anerkannte Saldo eines Kontokorrentverhältnisses einen Rechtsöffnungstitel für den darin ausgewiesenen Betrag abzüglich der nach der Saldierung erfolgten Zahlungen des Schuldners darstellen, sofern der Gläubiger die (durch Kündigung, Zeitablauf etc. eingetretene) Fälligkeit seiner Forderung dartut (STAEHELIN, in: Basler Kommentar, 2. Aufl. 2010, N 123 zu Art. 82 SchKG; STÜCHELI, Die Rechtsöffnung, 2000, S. 376; ähnlich GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et faillite, Art. 1-88, 1999, N 52 zu Art. 82 SchKG; vgl. auch das Urteil des Obergerichts des Kantons Genf vom 13. April 1956, in: SJ 1958 S. 314 f. und das Urteil des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 22. Oktober 2001, in: RBOG 2001 Nr. 19 S. 139 f.). Diese Lehrmeinung steht zumindest von ihrem Ergebnis her betrachtet nicht im Widerspruch zu den obigen Ausführungen. Dass der Schuldner im Umfang der nach der Saldierung zu seinen Gunsten erfolgten Buchungen die Tilgung glaubhaft machen kann, ergibt sich aus Art. 82 Abs. 2 SchKG. Ebenso versteht es sich von selbst, dass die Betreibungsforderung im Zeitpunkt der Einleitung der Betreibung fällig gewesen sein muss (Urteil 5A_845/2009 vom 16. Februar 2010 E. 7.1 mit Hinweis).
5. Dass das Kontokorrentverhältnis im vorliegenden Fall im Zeitpunkt, da der Beschwerdeführer auf dem Kontoblatt des Jahres 2008 seine Unterschrift anbrachte, bereits gekündigt gewesen wäre, macht die Beschwerdegegnerin auch vor Bundesgericht nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Ebenso lässt das Kontoblatt für das Geschäftsjahr 2009 erkennen, dass in diesem Jahr sowohl auf der Soll- als auch auf der Habenseite verschiedene Transaktionen ausgeführt wurden (s. E. 3.3). Nachdem der Jahressaldo 2008 auf das Geschäftsjahr 2009 vorgetragen und das Kontokorrentverhältnis von den Parteien als vertragliche Geschäftsbeziehung über den 31. Dezember 2008 hinaus fortgeführt wurde, kann dem unterschriebenen Kontoblatt "215000 KK Aktionäre" des Jahres 2008 die Eigenschaft als Schuldanerkennung im Sinne von Art. 82 Abs. 1 SchKG für den darin anerkannten Saldo des Jahres 2008 von Fr. 6'824'784.81 nicht mehr zukommen. Dies muss erst recht im vorliegenden Fall gelten, wo die Beschwerdegegnerin die Betreibung am Ende des Jahres 2010 und damit bei weitem nach Ablauf auch des Folgegeschäftsjahres 2009 eingeleitet hat.
Angesichts dieses Ergebnisses kann offenbleiben, ob sich im vorliegenden Fall allein aus dem besagten unterzeichneten Kontoauszug in hinreichend eindeutiger Weise der vorbehalts- und bedingungslose Wille des Beschwerdeführers ergibt, eine bestimmte oder leicht bestimmbare Geldsumme zu zahlen, die besagte Urkunde also überhaupt als Schuldanerkennung im Sinne von Art. 82 Abs. 1 SchKG taugt. Ebenso erübrigt es sich, auf die Frage einzugehen, ob der Geldbetrag, der auf dem als Rechtsöffnungstitel vorgelegten Schriftstück verurkundet ist, tatsächlich zur Bezahlung fällig ist und von welcher Prozesspartei diese Voraussetzung in einer Konstellation wie der vorliegenden darzutun wäre.
6. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als begründet. Sie ist gutzuheissen. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Rechtsöffnung ist auch für den verbleibenden Betrag von Fr. 6'824'784.81 abzuweisen. Bei diesem Ausgang unterliegt die Beschwerdegegnerin. Sie hat für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern, 2. Abteilung, vom 15. Dezember 2011 wird aufgehoben. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um Erteilung der Rechtsöffnung und Beseitigung des Rechtsvorschlages in der Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamts A._ wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 15'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 20'000.-- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. August 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn