Faits:
A. K._ a déposé une demande tendant à l'octroi d'une indemnité de chômage dès le 1er juin 2003. Un délai-cadre d'indemnisation a été ouvert en sa faveur dès cette date jusqu'au 31 mai 2005.
Par décision du 31 mai 2005, confirmée sur opposition le 30 mars 2006, la Caisse cantonale genevoise de chômage (ci-après: la caisse) a réclamé à l'assuré la restitution de la somme de 5'776 fr. 30, représentant des indemnités perçues indûment du 1er août 2003 au 31 janvier 2004. En effet, elle avait constaté que l'intéressé avait travaillé durant ladite période pour le compte de la société X._ SA, sans toutefois annoncer cette activité.
Par jugement du 10 octobre 2006, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé contre la décision sur opposition.
L'assuré a sollicité la remise de son obligation de restituer en invoquant sa bonne foi.
Par décision du 28 mars 2007, confirmée sur opposition le 4 septembre 2007, l'Office cantonal de l'emploi du canton de Genève (ci-après: l'OCE) a refusé d'accorder la remise, au motif que l'assuré ne pouvait se prévaloir de sa bonne foi.
B. L'intéressé a déféré la décision sur opposition au tribunal cantonal des assurances sociales, lequel a rejeté le recours par jugement du 6 novembre 2007.
C. K._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande la réformation, en concluant à la remise de son obligation de restituer, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction, le tout sous suite de frais et dépens.
L'office intimé conclut au rejet du recours, tandis que la caisse s'en remet à justice. De son côté, le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'OCE était fondé à refuser la remise de l'obligation de restituer les indemnités perçues à tort par l'assuré durant la période du 1er août 2003 au 31 janvier 2004.
3. 3.1 L'art. 95 al. 1 LACI prévoit que la demande de restitution est régie par l'art. 25 LPGA, sous réserve d'éventualités qui n'entrent pas en ligne de compte en l'occurrence. Selon l'art. 25 al. 1 LPGA, les prestations indûment touchées doivent être restituées. La restitution ne peut être exigée lorsque l'intéressé était de bonne foi et qu'elle le mettrait dans une situation difficile. Les deux conditions matérielles énoncées à l'art. 25 al. 1, seconde phrase, LPGA sont cumulatives et leur réalisation est nécessaire pour que la remise de l'obligation de restituer soit accordée (ATF 126 V 48 consid. 3c p. 53; DTA 2001 p. 160, C 223/00, consid. 5).
3.2 Selon une jurisprudence constante du Tribunal fédéral des assurances relative à l'art. 47 al. 1 LAVS (en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002; DTA 1998 n. 14 p. 70, consid. 4a), applicable par analogie en matière d'assurance-chômage (ATF 126 V 48 consid. 1b p. 50), l'ignorance, par le bénéficiaire des prestations, du fait qu'il n'avait pas droit aux prestations ne suffit pas pour admettre sa bonne foi. Il faut bien plutôt que l'assuré ne se soit rendu coupable, non seulement d'aucune intention malicieuse, mais aussi d'aucune négligence grave. Il s'ensuit que la bonne foi, en tant que condition de la remise, est exclue d'emblée lorsque les faits qui conduisent à l'obligation de restituer (violation du devoir d'annoncer ou de renseigner) sont imputables à un comportement dolosif ou à une négligence grave. En revanche, l'intéressé peut invoquer sa bonne foi lorsque l'acte ou l'omission fautifs ne constituent qu'une violation légère de l'obligation d'annoncer ou de renseigner (ATF 112 V 97 consid. 2c p. 103, 110 V 176 consid. 3c p. 180; DTA 2003 p. 258, C 295/02, consid. 1.2, 2002 p. 257, C 368/01, consid. 2a). Il y a négligence grave quand un ayant droit ne se conforme pas à ce qui peut raisonnablement être exigé d'une personne capable de discernement dans une situation identique et dans les mêmes circonstances (ATF 110 V 176 consid. 3d p. 181).
L'examen de l'attention exigible d'un ayant droit qui invoque sa bonne foi relève du droit et le Tribunal fédéral revoit librement ce point (ATF 122 V 221 consid. 3 p. 223, 102 V 245 consid. b p. 246).
4. 4.1 Les premiers juges ont nié la bonne foi de l'assuré. Ils ont constaté, d'une part, que ce dernier avait omis d'informer les organes de l'assurance-chômage de son activité au service de la société X._ SA et que, d'autre part, il avait fait des déclarations contraires à la vérité en répondant par la négative sur chacune des cartes de contrôle, à la question de savoir s'il exerçait une activité lucrative dépendante ou indépendante. Partant, la juridiction cantonale a considéré que l'intéressé avait violé son obligation de renseigner, même s'il avait parlé au préalable de son activité à son conseiller.
Reprenant pour l'essentiel l'argumentation invoquée en instance cantonale, le recourant conteste avoir commis une négligence grave. Il prétend avoir informé régulièrement son conseiller en placement sur son activité pour le compte de la société X._ SA et sur les gains intermédiaires réalisés durant la période en cause; dès lors, il ne se considère pas responsable de la non-communication de ces éléments à la caisse. En outre, comme il était toujours au chômage, il a continué à remplir les cartes de contrôle en indiquant qu'il n'exerçait pas d'activité lucrative, conformément aux recommandations de son conseiller. D'ailleurs, il fait valoir qu'étant donné le montant peu élevé des versements de la caisse, il avait toutes les raisons de penser que les revenus perçus au service de X._ SA étaient bien pris en considération pour la fixation de ses indemnités mensuelles. Selon lui, la caisse était donc au courant de son activité lucrative.
4.2 Les seules allégations du recourant, selon lesquelles il a informé régulièrement son conseiller de son activité lucrative, ne sont pas suffisantes pour considérer que les faits importants pour le jugement de la cause ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
Quoi qu'il en soit, même en admettant que l'intéressé a annoncé ladite activité à son conseiller, il n'en demeure pas moins qu'il a toujours répondu négativement à la question de savoir s'il exerçait une activité lucrative dépendante ou indépendante, soit une question déterminante pour le calcul de l'indemnité par la caisse de chômage. Certes, il est constant que le conseiller en placement de l'assuré lui a demandé de continuer à remplir les cartes de contrôle. Toutefois, rien ne permet d'inférer que son conseiller lui aurait suggéré de répondre par la négative à la question relative à l'exercice d'une activité lucrative.
Enfin, le recourant ne pouvait pas raisonnablement croire que la caisse de chômage était au courant de son activité au service de la société X._ SA. En l'absence de toute attestation de gain intermédiaire ou fiche de salaire communiquées par le recourant, la caisse ne pouvait pas connaître le montant du revenu effectivement réalisé, de sorte que l'intéressé n'avait pas de raison de penser que les indemnités versées pour la période du mois d'août 2003 au mois de janvier 2004 avaient été calculées compte tenu du revenu en question.
Cela étant, il y a lieu de considérer que le recourant a commis à tout le moins une négligence grave.
5. Vu ce qui précède, l'office intimé était fondé à nier la bonne foi de l'assuré et, partant, il n'est pas nécessaire d'examiner si la restitution des prestations indûment perçues pourrait mettre l'intéressé dans une situation difficile. C'est donc à juste titre que l'OCE a refusé la remise de l'obligation de restituer ces prestations. Le jugement n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, à la Caisse cantonale genevoise de chômage et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 18 août 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd