Sachverhalt:
A. Den Entscheid der Direktion für Gesundheit und Soziales des Kantons Freiburg, der ihm die delegierte Psychotherapie untersagt, focht X._ am 16. Januar 2003 beim Verwaltungsgericht des Kantons Freiburg an. Das zunächst sistierte Rechtsmittelverfahren wurde am 6. April 2006 wieder aufgenommen. In der Folge reichte X._ gegen Instruktionsrichter Hayoz ein Ablehnungsgesuch ein, welches das Verwaltungsgericht mit Entscheid vom 12. Dezember 2007 abwies, soweit es darauf eintrat.
B. Am 1. Februar 2008 hat X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eingereicht mit dem Antrag, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und das Ablehnungsbegehren gegen Verwaltungsrichter Hayoz gutzuheissen.
Die Direktion für Gesundheit und Soziales des Kantons Freiburg, das Verwaltungsgericht des Kantons Freiburg sowie Verwaltungsrichter Hayoz beantragen je die Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. Streitig ist die Ausstandspflicht eines Mitglieds des Spruchkörpers des Verwaltungsgerichts. Es handelt sich um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts im Sinne von Art. 82 lit. a BGG, welche nicht unter eine der Ausnahmen gemäss Art. 83 BGG fällt. Zulässig ist deshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, mit welcher der vorliegende Zwischenentscheid gemäss ausdrücklicher gesetzlicher Regelung (Art. 92 BGG) sofort gesondert anzufechten ist.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer macht zunächst eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend (Art. 29 Abs. 2 BV; vgl. BGE 129 I 232 E. 3.2 S. 236; 129 II 497 E. 2.2 S. 504 f.). Er behauptet, erst "aus der Sachverhaltsschilderung im angefochtenen Entscheid" ersehen zu haben, dass das Verwaltungsgericht vom abgelehnten Instruktionsrichter eine schriftliche Stellungnahme eingeholt hat, und bringt weiter vor, von dieser sei ihm nie Kenntnis gegeben worden.
Das Verwaltungsgericht verweist insoweit auf das an den Beschwerdeführer bzw. dessen Rechtsvertreter gerichtete Schreiben vom 31. Mai 2006, mit dem diesem die Gerichtszusammensetzung für den Entscheid über das Ablehnungsbegehren mitgeteilt wurde. Dem betreffenden Schreiben waren die (vom 24. Mai 2006 datierenden) Bemerkungen von Instruktionsrichter Hayoz zum Ablehnungsbegehren beigelegt. Sollte der Beschwerdeführer geltend machen wollen, diese Sendung aus irgendeinem Grund nicht erhalten zu haben, so wäre dieser Einwand zum Vornherein unbehelflich: Aus den Akten ist nämlich ersichtlich, dass das Schreiben vom 31. Mai 2006 ihm bzw. seinem Rechtsvertreter ein weiteres Mal per Fax zugestellt worden ist, als sich Letzterer vor der - auf seinen Antrag hin durchgeführten - öffentlichen Verhandlung noch ausdrücklich nach der Zusammensetzung des Spruchkörpers erkundigte. Falls er tatsächlich von den Gegenbemerkungen des Instruktionsrichters noch keine Kenntnis hatte, wäre es bei diesen Gegebenheiten Sache des Beschwerdeführers gewesen, sich spätestens an der öffentlichen Verhandlung vom 7. Juli 2006 nach der erwähnten Stellungnahme des abgelehnten Verwaltungsrichters zu erkundigen. Die Rüge einer Gehörsverletzung ist damit offensichtlich unbegründet.
2.2 Nicht stichhaltig ist auch die Rüge, es liege eine Rechtsverzögerung durch das Verwaltungsgericht vor: Die Rechtsverzögerungsbeschwerde zielt auf die verbindliche Anweisung der betroffenen Behörde ab, die Sache an die Hand zu nehmen. Wurde bereits ein Entscheid getroffen, so besteht grundsätzlich kein Rechtsschutzinteresse an einer Überprüfung der Verfahrensdauer mehr (vgl. BGE 125 V 373 E. 1 S. 374; Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Auflage, Bern 1983, S. 227).
3. In der Hauptsache macht der Beschwerdeführer geltend, Instruktionsrichter Hayoz erscheine befangen, was die Vorinstanz zu Unrecht verneint habe. Dabei bringt er nicht vor, diese habe kantonale Verfahrensvorschriften in willkürlicher Weise missachtet, weshalb sich einzig fragen kann, ob unmittelbar aus der Bundesverfassung fliessende Garantien verletzt worden sind. Für entsprechende Vorbringen gilt das sog. Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254), welches verlangt, dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe dartut, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (BGE 110 Ia 1 E. 2 S. 3 f.; 119 Ia 197 E. 1d S. 201). Die vorliegende Beschwerdeschrift beschränkt sich über weite Strecken auf (schwer verständliche) allgemeine Kritik am angefochtenen Urteil und genügt so den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht; nach dem Gesagten ist insoweit nicht auf die Vorbringen des Beschwerdeführers einzugehen.
3.1 Nach Art. 30 Abs. 1 BV hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter beurteilt wird. Es sollen keine ausserhalb des Prozesses liegende Umstände in sachwidriger Weise zugunsten oder zulasten einer Partei einwirken. Für die Ablehnung eines Richters genügen Umstände, die geeignet sind, Misstrauen in dessen Unparteilichkeit oder den Anschein einer Befangenheit zu erwecken. Ob ein derartiger Anschein besteht, beurteilt sich jedoch nach objektivem Massstab und nicht aufgrund subjektiver Empfindung der Parteien (vgl. BGE 133 I 1 E. 5.2 u. 6.2 S. 3 u. 6; 131 I 113 E. 3.4 S. 116, 24 E. 1.1 S. 25). Da der Ausstand eines Mitglieds des Spruchkörpers in einem gewissen Spannungsverhältnis zum verfassungsmässigen Anspruch auf den gesetzlichen Richter steht, muss dies eine Ausnahme bleiben, soll die Zuständigkeitsordnung nicht ausgehöhlt werden. Von Letzterer darf nicht leichthin abgewichen werden (Urteil 1P.711/2004 vom 17. März 2005, in: ZBl 107/2006 S. 393 ff., E. 3.1), weshalb die persönliche Unbefangenheit des gesetzlichen Richters grundsätzlich vermutet wird (vgl. BGE 114 Ia 50 E. 3b S. 55).
3.2 Vorliegend vermag der Beschwerdeführer nichts vorzubringen, was Instruktionsrichter Hayoz nach objektiven Gesichtspunkten als befangen erscheinen liesse:
3.2.1 Zunächst kann allein aus dem Umstand, dass Richter Hayoz gewisse Beweismittel nicht zugelassen, die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels abgelehnt sowie eine Beteiligung der betroffenen Psychologen als Nebenparteien verweigert hat, nicht auf eine Voreingenommenheit geschlossen werden. Es ist gerade die Aufgabe des Instruktionsrichters, verfahrensleitende Entscheidungen zu treffen, wobei es in der Natur der Sache liegt, dass er in manchen Fällen im Sinne des Beschwerdeführers entscheidet und in anderen nicht. Ob er mit seinem Vorgehen im konkreten Fall gegen rechtliche Grundsätze verstossen hat, ist gegebenenfalls im Rahmen eines Rechtsmittelverfahrens zu prüfen. Jedenfalls resultiert allein aus den behaupteten Verfahrensfehlern bzw. der Tatsache, dass der Instruktionsrichter hier mit seinen verfahrensleitenden Entscheidungen nicht den Anträgen des Beschwerdeführers entsprochen hat, noch kein Anschein von Befangenheit.
3.2.2 Gleiches gilt hinsichtlich der Kritik des Beschwerdeführers am Verhalten des Instruktionsrichters anlässlich der öffentlichen Verhandlung vom 22. März 2006: Die Behauptung, dieser habe eine "gelangweilte Haltung" an den Tag gelegt und es sei ihm seine "Mittagspause wichtiger" gewesen als der stattfindende Prozess, ist nicht belegt und wird vom Betroffenen bestritten. Die übrigen Ausführungen, mit denen der Beschwerdeführer eine Ausstandspflicht zu begründen sucht, erschöpfen sich - soweit sie überhaupt verständlich sind - in blossen Mutmassungen sowie in allgemeiner Kritik am bisherigen Verfahren. Eine Verletzung der verfassungsrechtlichen Ausstandspflicht bzw. des Anspruchs auf einen unparteilichen Richter ist damit weder dargetan noch erkennbar.
3.3 Ferner liegt im Umstand, dass Verwaltungsrichter Hayoz offenbar mit einer hängigen anderen Angelegenheit zwischen den gleichen Parteien (über eine weitgehend gleichartige Streitfrage) ebenfalls befasst ist, kein Verstoss gegen Art. 30 Abs. 1 BV (vgl. BGE 117 Ia 372 E. 2c S. 374). Selbst wenn derselbe Richter in der gleichen Streitsache auf die eine oder andere Art zwei Mal amtiert, kommt praxisgemäss nur dann eine unzulässige Vorbefassung in Frage, wenn er - in Anbetracht sämtlicher tatsächlicher und verfahrensrechtlicher Umstände - bezüglich der sich im konkreten Einzelfall stellenden Rechtsfrage nicht mehr als frei erscheint (vgl. BGE 131 I 113 E. 3.4 f. S. 116 f.). Mit dieser Rechtsprechung setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander und legt insbesondere nicht dar, wieso hier ein Fall vorliegen sollte, in dem gar die Mitwirkung in zwei verschiedenen Verfahren eine unzulässige Vorbefassung darstellen sollte. Der blosse Hinweis, in beiden Streitigkeiten stehe die Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers bzw. dessen Kapazität zur Überwachung von angestellten Arbeitskräften in Frage, genügt nicht.
4. Schliesslich ist auf die Beschwerde nicht weiter einzugehen, soweit eine "ungenaue Sachverhaltsfeststellung" beanstandet wird. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und zudem die Behebung dieses Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend ist (Art. 97 BGG). Damit das Bundesgericht eine entsprechende Rüge materiell behandelt, muss sodann die Erfüllung der genannten Voraussetzungen in der Beschwerdeschrift dargetan werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.3. S. 254 f.), was hier offensichtlich nicht der Fall ist.
5. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich demnach als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. Art. 65 f. BGG). Parteientschädigung ist keine auszurichten (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Verwaltungsgericht des Kantons Freiburg, III. Verwaltungsgerichtshof, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Oktober 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Häberli