Sachverhalt:
A. X._ erstattete am 1. Februar 2010 Strafanzeige gegen Y._ wegen geringfügiger Sachbeschädigung. Y._ wurde vorgeworfen, im Treppenhaus (Erdgeschoss) der Liegenschaft A._weg ... in Thayngen eine Anschlagtafel aus der Wand gerissen und auf die darunter stehende Grünpflanze fallen gelassen zu haben. Dadurch sei ein Sachschaden von ca. Fr. 30.-- entstanden.
Mit Verfügung vom 15. Februar 2010 stellte die zuständige Untersuchungsrichterin das Ermittlungsverfahren gegen Y._ ein, weil sich ein vorsätzliches Verhalten nicht nachweisen lasse. Gegen diese Einstellungsverfügung erhob X._ bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen Einsprache mit den Anträgen, die Verfügung der Untersuchungsrichterin sei aufzuheben, das Verfahren sei weiterzuführen und Y._ sei zu bestrafen. Die Staatsanwaltschaft wies die Einsprache mit Entscheid vom 9. April 2010 ab.
Gegen diesen Entscheid der Staatsanwaltschaft gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Schaffhausen. Er beantragte, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und das Verfahren zur Weiterführung des Ermittlungsverfahrens an das Untersuchungsrichteramt zurückzuweisen. Das Obergericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 30. Dezember 2010 ab.
B. Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 25. Januar 2011 beantragt X._ im Wesentlichen, der Entscheid des Obergerichts vom 30. Dezember 2010 sei aufzuheben und das Verfahren sei an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er rügt die Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) sowie des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29. Abs. 2 BV).
Die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht verzichtet auf eine Stellungnahme. Y._ stellt in seiner Vernehmlassung keinen Antrag zum bundesgerichtlichen Verfahren.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG). Nach Art. 453 Abs. 1 der am 1. Januar 2011 in Kraft getretenen Schweizerischen Strafprozessordnung vom 5. Oktober 2007 (Strafprozessordnung, StPO; SR 312.0) werden Rechtsmittel gegen einen Entscheid, der vor Inkrafttreten dieses Gesetzes gefällt wurde, nach bisherigem Recht von den bisher zuständigen Behörden beurteilt. Der angefochtene Entscheid datiert vom 30. Dezember 2010. Die Zulässigkeit der vorliegenden Beschwerde ist nach dem Bundesgerichtsgesetz in der bis zum 31. Dezember 2010 geltenden Fassung zu beurteilen (vgl. Art. 132 Abs. 1 BGG).
2. Der die Einstellung des vorliegenden Strafverfahrens bestätigende Entscheid der Vorinstanz stellt einen mit Beschwerde in Strafsachen gemäss Art. 78 ff. BGG anfechtbaren Endentscheid im Sinne von Art. 80 Abs. 1 und Art. 90 BGG dar.
Der Beschwerdeführer ist offensichtlich nicht Opfer einer Straftat im Sinne von Art. 1 Abs. 1 OHG i.V.m. aArt. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG und auch nicht Privatstrafkläger gemäss aArt. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 BGG. Als blosser Geschädigter bzw. Anzeigesteller ist er zur vorliegenden Beschwerde nach der Praxis zu aArt. 81 BGG grundsätzlich nicht legitimiert (BGE 136 IV 29; 133 IV 228). Er kann lediglich die Verletzung von Rechten rügen, die ihm als am Verfahren beteiligte Partei nach dem massgebenden Prozessrecht oder unmittelbar aufgrund der BV oder der EMRK zustehen (BGE 136 IV 29 E. 1.9 S. 40 mit Hinweisen). Zulässig sind Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache selber getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.3.2; 133 I 185 E. 6.2). Ein Geschädigter kann daher nach der Praxis zu aArt. 81 BGG - trotz Parteistellung im kantonalen Verfahren - weder die Würdigung der beantragten Beweise infrage stellen noch beanstanden, dass seine Anträge wegen Unerheblichkeit oder aufgrund antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt wurden. Die Beurteilung dieser Fragen kann von der Prüfung der materiellen Sache nicht getrennt werden (vgl. BGE 126 I 81 E. 7b S. 94; 120 Ia 157 E. 2a/bb S. 160; Urteil des Bundesgerichts 6B_380/2007 vom 13. November 2007 E. 2.1; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer kritisiert im Wesentlichen die vorinstanzliche Beweiswürdigung, worauf nach dem Gesagten nicht einzutreten ist. Zudem macht er geltend, das Obergericht habe rechtzeitig und formrichtig angebotene Beweise stillschweigend nicht abgenommen und damit das rechtliche Gehör verweigert (Art. 29 Abs. 2 BV). Aus der Begründung des angefochtenen Entscheids ergibt sich, dass die Vorinstanz die beantragten Beweise offensichtlich nicht für geeignet hielt, den (Eventual-)Vorsatz des Beschuldigten zu beweisen. Diese vorweggenommene Beweiswürdigung ist im bundesgerichtlichen Verfahren wie erwähnt nicht zu überprüfen. Dass das Obergericht die Beweisabnahme nicht ausdrücklich, sondern lediglich sinngemäss ablehnte, ist unter Berücksichtigung der vorliegenden Umstände nicht zu beanstanden.
3. Es ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Untersuchungsrichteramt, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. April 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Haag