Faits:
A. A.a A._, né en 1957, et dame A._, née en 1964, se sont mariés le 15 février 2003 à Cologny. Un enfant, B._, est né de cette union en 2003.
Le 17 avril 2007, les époux ont signé un accord aux termes duquel ils faisaient plusieurs constats. D'une part, les conditions de travail de l'époux ne correspondaient plus à ses objectifs d'épanouissement et commençaient à avoir des incidences sur sa santé. D'autre part, un nouveau système de garde de l'enfant devait être mis en place en raison de son entrée à l'école, nécessitant l'engagement d'une personne à domicile durant les premières années. Or, une diminution du temps de travail ou un changement d'employeur pour l'épouse n'était pas souhaité alors par les deux époux, compte tenu de sa situation professionnelle. Aussi, après avoir analysé l'impact financier d'une cessation d'activité de l'époux, les parties étaient arrivées à la conclusion que la différence entre le coût de garde et l'économie réalisable pouvait être résorbée dans le budget annuel sans mettre en péril la situation financière familiale et serait même compensée par les revenus immobiliers de l'époux. Celui-ci avait donc pris la décision - "de son propre chef, en toute liberté et sans contraintes aucunes" - de cesser son activité salariée. En substance, il s'engageait à assumer les fonctions de "père au foyer" tout en essayant de développer une activité indépendante dans le domaine du modélisme ferroviaire, le week-end ou durant la semaine suivant l'évolution possible de cette activité et les besoins de disponibilité pour la garde de l'enfant. Pour sa part, l'épouse s'engageait à subvenir aux besoins financiers du ménage et à soutenir son époux dans cette nouvelle étape de vie et dans son activité indépendante, principalement pour sa partie administrative. Les époux ont précisé qu'ils avaient conscience que cet accord était passé au regard de la situation de l'époque, qui allait évoluer dans le temps, et que des adaptations seraient donc nécessaires.
A.b Les époux vivent séparés depuis le 13 août 2009. L'épouse est restée vivre au domicile conjugal avec l'enfant.
A.c Par acte du 31 août 2009, l'époux a formé devant le Tribunal de première instance de Genève une requête de mesures protectrices de l'union conjugale avec mesures préprovisoires urgentes. Il a conclu, entre autres points, à ce que le tribunal lui attribue l'usage exclusif du domicile conjugal, condamne l'épouse à continuer d'assumer le paiement des intérêts hypothécaires liés à l'appartement et les éventuels amortissements dus, lui attribue la garde de l'enfant, réserve en faveur de la mère un large droit de visite et la condamne à lui verser, par mois et d'avance, une contribution mensuelle à l'entretien de la famille de 8'000 fr. par mois.
Par ordonnance du 23 septembre 2009, le Vice-président du Tribunal de première instance a rejeté la requête de mesures préprovisoires urgentes.
A.d L'épouse a conclu, en substance, à ce que le tribunal lui attribue la jouissance exclusive du domicile conjugal ainsi que la garde de l'enfant, réserve un large droit de visite au père et condamne celui-ci au paiement d'une somme de 500 fr. à titre de contribution à l'entretien de son fils dès le 1er septembre 2009.
A.e Dans un rapport d'évaluation sociale du 12 janvier 2010, le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi) a relevé que les parents étaient tous deux impliqués et complémentaires dans l'éducation de leur enfant, même s'ils avaient des points de divergence. La mère était davantage axée sur l'éducation, était plus cadrante, insistait pour que l'enfant évolue dans un cadre sécurisant et organisé et estimait que son mari ne privilégiait pas les besoins de l'enfant. Pour sa part, le père était plus soucieux du plaisir de son fils et plus flexible. Les relations entre les parents étaient tendues, en raison du conflit conjugal, mais ils maintenaient toutefois un dialogue minimum au sujet de leur enfant. Dans la mesure où la mère était - depuis la séparation - davantage impliquée dans le quotidien de l'enfant et dans son suivi scolaire que le père, et que l'enfant semblait - de l'avis de tous les intervenants - avoir trouvé un équilibre dans la nouvelle organisation de son quotidien, le SPMi a préconisé de confier sa garde à sa mère. Pour tenir compte de l'âge de l'enfant et des liens étroits qu'ils avaient construits, un large droit de visite entre père et fils devait être prévu.
A.f L'épouse travaille comme comptable auprès d'une banque. Jusqu'en mars 2010, elle était employée à 100% pour un salaire mensuel net de 9'744 fr. 30 versé quatorze fois l'an, à savoir 11'368 fr. 35 sur douze mois. Elle a ensuite diminué son taux d'activité à 80%, pour un revenu mensuel net de 8'845 fr. Elle est propriétaire de l'appartement conjugal.
Depuis 18 ans et jusqu'au mois de juin 2007, l'époux a travaillé en qualité de serveur auprès de X._, pour un salaire mensuel net de 4'385 fr. 60. Il est propriétaire de deux appartements en France voisine. Selon les baux produits, il retire de la location du premier 930 euros et du second 690 euros, correspondant à un revenu mensuel de 2'370 fr.
B. B.a Par jugement du 17 mars 2010, le Tribunal de première instance du canton de Genève a notamment attribué à l'époux la jouissance exclusive du domicile conjugal ainsi que la garde de l'enfant, a réservé un large droit de visite en faveur de la mère et condamné celle-ci à verser une contribution à l'entretien de sa famille de 1'530 fr. par mois, allocations familiales non comprises.
Pour fonder sa décision quant à la garde de l'enfant, le tribunal est parti du constat que le père avait cessé, avec l'accord de la mère, toute activité professionnelle depuis le mois de juillet 2007 pour se consacrer entièrement à l'éducation de son fils et qu'aucun élément ne permettait de retenir qu'il ne s'investissait pas correctement dans son éducation et son suivi scolaire. Que l'épouse travaille à 100% ou à 80% ne changeait rien au fait que, si la garde de l'enfant lui était confiée, celui-ci devrait être pris en charge par une maman de jour jusqu'au retour de la mère à la maison et par les cuisines scolaires pour les repas de midi, alors que son père, dont il était très proche, était en mesure de s'occuper de lui.
B.b Statuant sur appel des deux parties, par arrêt du 12 août 2010, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a attribué à l'épouse la jouissance exclusive du domicile conjugal ainsi que la garde de l'enfant, réservé en faveur du père un large droit de visite et condamné celui-ci à verser en mains de l'épouse, allocations familiales non comprises, 500 fr. au titre de contribution à l'entretien de son fils, dès le 1er janvier 2010.
C. L'époux interjette le 17 septembre 2010 un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à sa réforme en ce sens que la garde sur son fils lui est confiée, que la jouissance exclusive de l'appartement conjugal lui est octroyée et que l'intimée est condamnée à verser une contribution à son entretien et celui de l'enfant de 3'590 fr. par mois. Il se plaint d'une application arbitraire (art. 9 Cst.) des art. 273 ss CC, ainsi que d'arbitraire dans l'établissement des faits. Il requiert en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimée n'a pas été invitée à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 ss CC) est une décision en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF. Elle est finale selon l'art. 90 LTF, car elle tranche définitivement, dans une procédure séparée, des questions qui ne pourront plus être revues avec l'éventuelle décision sur le divorce et ses effets accessoires (ATF 133 III 393 consid. 4 p. 395 et les références citées). Le recours a pour objet une décision rendue dans une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, 74 al. 1 let. b LTF). Il a par ailleurs été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF), contre une décision prise en dernière instance cantonale par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
1.2 Comme l'arrêt attaqué porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5 p. 396, 585 consid. 3.3 p. 587), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 589 consid. 2 p. 591/592). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables (ATF 134 II 349 consid. 3 p. 352 et les arrêts cités).
Quant à l'appréciation des preuves et la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière aux autorités cantonales (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40; 104 Ia 381 consid. 9 p. 399 et les arrêts cités). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 134 I 221 consid. 2.1; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF).
2. S'agissant de l'attribution de la garde de l'enfant, la cour cantonale a considéré que le premier juge avait fait abstraction des raisons multiples qui ont fondé la décision du père de démissionner de son poste en 2007, entérinée par le document signé par les parties le 17 avril 2007, et du fait que celui-ci était susceptible d'adaptation selon l'évolution des circonstances. L'enfant, qui a désormais effectué sa première année en école primaire, a des contraintes horaires moins exigeantes qu'en 2007; par ailleurs, il a été inscrit durant toute l'année scolaire 2009-2010 avec l'accord du père aux cuisines scolaires et a été pris en charge par une maman de jour jusqu'au retour de la mère de son travail. Selon le rapport du SPMi du 12 janvier 2010, il a trouvé un équilibre dans cette organisation de son quotidien. Le budget lié à cet aménagement, à savoir 856 fr. (136 fr. de cuisines scolaires + 720 fr. de maman de jour), est désormais inférieur à celui qui aurait dû être consacré à sa garde étendue lorsqu'il était plus petit et ne justifie donc plus le choix d'une suspension de l'activité professionnelle de l'un de ses parents. Enfin, la mère a réussi à réduire son taux d'activité à 80% alors que ce n'était pas envisageable en 2007. A cela s'ajoute qu'avant que le père ne cesse de travailler en juillet 2007, l'enfant était pris en charge par des tiers, sans qu'il soit allégué qu'il le vivait mal. Il ne saurait donc être retenu que le père a été empêché de travailler pour cette raison. Selon la cour cantonale, force est de constater que les circonstances qui avaient conduit les parties à décider de la démission du père en 2007 ne sont plus réalisées, de sorte que l'accord qu'elles avaient passé ne peut plus fonder à lui seul l'attribution de la garde de l'enfant au père. Or, l'enfant vit, depuis la séparation des parties en août 2009, avec sa mère qui a organisé son quotidien d'une manière qui semble, de l'avis de tous les intervenants, lui convenir. Qui plus est, celle-ci est plus impliquée dans le quotidien de l'enfant et dans son suivi scolaire que le père et a réussi à réduire son taux d'activité afin d'avoir un jour de congé. Enfin, rien n'autorise à penser que le SPMi n'a pas tenu compte de la disponibilité du père avant de préconiser l'attribution de la garde à la mère. Dans ces circonstances, il n'existe, selon la cour cantonale, aucune raison de ne pas suivre l'avis du SPMi, service spécialisé dans l'évaluation des besoins de l'enfant.
3. Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir méconnu les principes jurisprudentiels applicables à l'attribution du droit de garde des enfants, en particulier le fait que, à qualités éducatives égales, il conviendrait d'octroyer le droit de garde au parent qui est le plus disponible à prendre soin personnellement des enfants, ce critère étant considéré comme primordial par la jurisprudence. Or, en l'espèce, il serait en mesure de s'occuper personnellement et de façon prépondérante de son fils, alors que l'intimée est obligée d'avoir recours aux cuisines scolaires et à la garderie parascolaire. En outre, il serait conforme au principe de la continuité de la prise en charge de l'enfant, telle que connue avant la séparation des parties, qu'il continue d'assumer le rôle de père au foyer, afin que l'enfant bénéficie de sa présence, comme par le passé, mange à la maison les midis et rentre à la maison directement après l'école. Enfin, s'agissant de savoir quelle partie est la mieux à même de favoriser les relations entre l'enfant et l'autre parent, le recourant fait valoir que l'intimée se serait montrée particulièrement odieuse à son égard dans ses écritures, une telle attitude en disant long, selon lui, sur son incapacité émotionnelle à faire la part des choses et se concentrer uniquement sur l'intérêt de l'enfant.
4. En vertu de l'art. 176 al. 3 CC, relatif à l'organisation de la vie séparée, lorsque les époux ont des enfants mineurs, le juge ordonne les mesures nécessaires d'après les dispositions sur les effets de la filiation (cf. art. 273 ss CC); il peut, notamment, attribuer la garde des enfants à un seul des parents. Les principes posés par la jurisprudence et la doctrine en matière de divorce sont applicables par analogie. La règle fondamentale en ce domaine est l'intérêt de l'enfant. Au nombre des critères essentiels, entrent en ligne de compte les relations personnelles entre parents et enfants, les capacités éducatives respectives des parents, leur aptitude à prendre soin de l'enfant personnellement et à s'en occuper, ainsi qu'à favoriser les contacts avec l'autre parent; il faut choisir la solution qui, au regard des données de l'espèce, est la mieux à même d'assurer à l'enfant la stabilité des relations nécessaires à un développement harmonieux des points de vue affectif, psychique, moral et intellectuel. Si le juge ne peut se contenter d'attribuer l'enfant au parent qui en a eu la garde pendant la procédure, ce critère jouit ici d'un poids particulier, les capacités d'éducation et de soin des parents étant par ailleurs similaires (ATF 136 I 178 consid. 5.3 p. 180 et les arrêts cités).
5. 5.1 Lorsque le recourant soutient qu'il convient d'assurer la continuité du système de garde de l'enfant mis en place par les parties durant la vie commune, il se méprend sur la portée de la jurisprudence qui accorde une importance particulière à la stabilité des relations nécessaires à un développement harmonieux de l'enfant des points de vue affectif, psychique, moral et intellectuel. En l'espèce, il résulte de l'arrêt attaqué - sans que le recourant ne fasse grief aux juges précédents d'avoir établi les faits de manière manifestement inexacte sur ces questions (cf. supra, consid. 1.2) - que c'est l'intimée qui, depuis la séparation des parties au mois d'août 2009, s'est occupée de manière prépondérante du fils des parties. Elle a organisé son quotidien d'une manière qui semble, de l'avis de tous les intervenants, convenir à l'enfant; elle est plus impliquée dans son quotidien et dans son suivi scolaire que le père et a réussi à réduire son taux d'activité afin d'avoir un jour de congé. Conformément à la jurisprudence rappelée ci-dessus, c'est cette stabilité, acquise depuis la séparation, qui jouit d'un poids particulier et non la prise en charge décidée par les parties durant la vie commune. Quant à l'argumentation du recourant liée à la prise en charge personnelle de l'enfant, elle ne suffit pas à démontrer que la cour cantonale serait tombée dans l'arbitraire en accordant plus de poids à la stabilité de la garde de l'enfant, ces critères entrant tous deux en ligne de compte lorsqu'il s'agit de déterminer à quel parent la garde d'un enfant doit être confiée. Enfin, lorsque le recourant fait valoir que l'intimée se serait montrée particulièrement odieuse à son égard dans ses écritures, il se fonde sur des faits que l'arrêt cantonal ne constate pas, sans toutefois faire grief aux juges précédents de les avoir établis de manière manifestement incomplète ou inexacte.
5.2 Dès lors que le recours est rejeté sur la question de la garde de l'enfant, l'argumentation du recourant relative à l'attribution du domicile conjugal et à la contribution d'entretien due par l'intimée en faveur de sa famille, qui sont dépendantes du fait que la garde de son fils lui soit confiée, est dénuée de pertinence.
6. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté. Dans la mesure où il apparaissait d'emblée comme dénué de chance de succès, l'assistance judiciaire ne saurait être octroyée au recourant. Celui-ci supportera ainsi les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Enfin, il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer sur le recours.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 19 octobre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Aguet