Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1970, aus dem ehemaligen Jugoslawien), stellte im Oktober 1992 in der Schweiz ein Asylgesuch, das im Januar 1995 letztinstanzlich abgewiesen wurde; die Frist zur Ausreise in sein Heimatland Kosovo wurde in der Folge mehrmals erstreckt. Am 3. Januar 1997 heiratete er die Schweizer Bürgerin Y._ und erhielt sodann eine Aufenthaltsbewilligung. Ende 1999 teilte die Ehefrau dem Amt für öffentliche Sicherheit, Ausländerfragen, des Kantons Solothurn mit, seit Ende Februar 1999 vom Ehemann getrennt zu leben. Eine Scheidungsklage der Ehefrau wurde im Juni 2000 indes abgewiesen. Im Rahmen von zwei Verlängerungen der Aufenthaltsbewilligung befragte das kantonale Amt für Ausländerfragen die Ehegatten jeweils zu ihrer Ehe; es stellte am 15. Dezember 2003 trotz voraussehbarer Scheidung die Niederlassungsbewilligung in Aussicht, welche kurz darauf mit Wirkung ab 16. Dezember 2003 erteilt wurde. Am 17. Dezember 2003 wurde die Ehe geschieden. X._ heiratete am 10. Juni 2004 im Kosovo die Landsmännin Z._ (geb. 1974) und stellte im Februar 2005 für diese und die zwei gemeinsamen Kinder A._ (geb. 2000) und B._ (geb. 2003) ein Familiennachzugsgesuch. Mit Verfügung vom 28. April 2006 widerrief das Departement des Innern des Kantons Solothurn die Niederlassungsbewilligung mit der Begründung, X._ habe gegenüber den Ausländerbehörden seine Informationspflicht verletzt und diese Bewilligung erschlichen, indem er die Vaterschaft seiner zwei ausserehelichen Kinder nicht angegeben habe; es setzte ihm eine Frist, den Kanton zu verlassen. Auf das Gesuch um Familiennachzug der Ehefrau und der beiden Kinder trat es nicht ein.
B. Gegen die Verfügung des Departements gelangte X._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Dieses wies die Beschwerde am 23. August 2006 ab (Zustellung: 4. September 2006).
C. X._ hat am 2. Oktober 2006 beim Bundesgericht Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingereicht. Er beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihm die Niederlassungsbewilligung zu belassen; eventuell sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. subeventuell die Sache zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Antragsgemäss hat der Abteilungspräsident am 26. Oktober 2006 der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.
Das Verwaltungsgericht, das Departement des Innern und das Bundesamt für Migration beantragen, die Beschwerde abzuweisen.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da der angefochtene Entscheid vorher ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (Art. 132 Abs. 1 BGG).
1.2 Kantonal letztinstanzliche Entscheide über den Widerruf von Niederlassungsbewilligungen können mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Bundesgericht weitergezogen werden; der Ausschlussgrund von Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 OG steht dem nicht entgegen (vgl. Art. 101 lit. d OG). Die Beschwerde ist daher zulässig, soweit damit die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Aufrechterhaltung der Niederlassungsbewilligung beantragt wird.
1.3 Ob der vor Bundesgericht gestellte neue Antrag, dem Beschwerdeführer sei eventualiter eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, prozessual zulässig ist, kann dahingestellt bleiben, da dieses Begehren zum vornherein unbegründet erscheint. Soweit die Beschwerde insofern überhaupt hinreichend begründet ist, wird ein entsprechender Anspruch aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK abgeleitet. Zwar kann sich nach der Rechtsprechung aus dieser Bestimmung (vgl. auch Art. 13 Abs. 1 BV) bzw. aus dem Recht auf Achtung des Privatlebens ein Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ergeben (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286; 126 II 377 E. 2c/aa S. 384 f.); zu dessen Begründung bedarf es aber praxisgemäss besonders intensiver, über eine normale Integration hinausgehender privater Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. entsprechender vertiefter sozialer Beziehungen im ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich. Solche durfte die Vorinstanz vorliegend implizit verneinen: Abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer offenbar beruflich gut integriert und ihm auch eine soziale Integration zuzusprechen ist, dass gegen ihn keine Betreibungen hängig sind und er einen grundsätzlich guten Leumund besitzt, bringt er nichts Konkretes vor, was auf besonders intensive private Beziehungen schliessen lässt. Daran ändert nichts, dass der Arbeitgeber mit dem Beschwerdeführer zufrieden ist und dieser in der örtlichen Vereinskultur nicht als Ausländer gelten mag.
1.4 Das Bundesgericht wendet vorliegend das Bundesrecht von Amtes wegen an; es ist an die von den Parteien vorgebrachten Begründungen nicht gebunden und kann die Beschwerde auch aus anderen als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder abweisen (Art. 114 Abs. 1 OG; BGE 128 II 145 E. 1.2.2 S. 150 f.). Hat indes - wie hier - eine richterliche Behörde als Vorinstanz entschieden, ist deren Sachverhaltsfeststellung verbindlich, sofern diese nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen erfolgt ist (vgl. Art. 105 Abs. 2 OG).
2. Die Niederlassungsbewilligung kann widerrufen werden, wenn der Ausländer sie durch falsche Angaben oder wissentliches Verschweigen wesentlicher Tatsachen erschlichen hat (Art. 9 Abs. 4 lit. a des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer [ANAG; SR 142.20]). Der Widerruf setzt voraus, dass der Betroffene wissentlich falsche Angaben gemacht oder wesentliche Tatsachen verschwiegen hat, in der Absicht, gestützt darauf den Aufenthalt oder die Niederlassung bewilligt zu erhalten (BGE 112 Ib 473 E. 3b S. 475 f.). Nach Art. 3 Abs. 2 ANAG ist der Ausländer verpflichtet, der Behörde wahrheitsgetreu über alles Auskunft zu geben, was für den Bewilligungsentscheid massgebend sein kann. Hiervon ist er selbst dann nicht befreit, wenn die Fremdenpolizeibehörde die fragliche Tatsache bei gebotener Sorgfalt selbst hätte ermitteln können. Wesentlich sind dabei nicht nur die Umstände, nach denen die Fremdenpolizei ausdrücklich fragt, sondern auch solche, von denen der Gesuchsteller wissen muss, dass sie für den Bewilligungsentscheid massgeblich sind. Dazu gehört etwa die Absicht der Nichtfortsetzung der bisherigen bzw. der Begründung einer neuen Ehe oder die Tatsache, dass der Betroffene aussereheliche Kinder hat (Pra 2002 Nr. 163 S. 874, 2A.511/2001, E. 3.3-3.5). Ein Erschleichen der Niederlassungsbewilligung kann nach der Praxis auch darin liegen, dass die Angaben, auf die sich die Behörden bei der seinerzeitigen Erteilung der Aufenthaltsbewilligung gestützt hatten oder die bei späteren Verlängerungen der Aufenthaltsbewilligung oder bei der Erteilung der Niederlassungsbewilligung mangels anderer Angaben immer noch als massgebend betrachtet werden durften, falsch oder unvollständig waren (Pra 2002 Nr. 163 S. 874, 2A.511/2001, E. 3.2; Nr. 165 S. 889, 2A.57/2002, E. 2.2). Es ist nicht erforderlich, dass die Bewilligung bei richtigen und vollständigen Angaben notwendigerweise zu verweigern gewesen wäre. Immerhin ist die kantonale Behörde ihrerseits verpflichtet, vor Erteilung der Niederlassungsbewilligung "das bisherige Verhalten des Ausländers nochmals eingehend zu prüfen" (Art. 11 Abs. 1 der Vollziehungsverordnung vom 1. März 1949 zum Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer [ANAV; SR 142.201]). Das Vorliegen eines Widerrufsgrundes führt zudem nicht zwingend dazu, dass die Niederlassungsbewilligung auch tatsächlich zu widerrufen ist; es muss beim entsprechenden Entscheid vielmehr jeweils den besonderen Umständen des Einzelfalls angemessen Rechnung getragen werden (BGE 112 Ib 473 E. 4 und 5 S. 477 ff.; vgl. zum Ganzen Pra 2005 Nr. 100 S. 716, 2A.346/2004, E. 2.2 mit weiteren Hinweisen).
3. 3.1 Dem Beschwerdeführer wird von den kantonalen Behörden vorgeworfen, das Amt für Ausländerfragen nicht über die zweifache Vaterschaft informiert und somit die Voraussetzungen für einen Widerruf der Niederlassungsbewilligung (Art. 9 Abs. 4 lit. a ANAG) erfüllt zu haben.
3.2 Der Beschwerdeführer ging Ende Dezember 1999 mit Z._ eine aussereheliche Beziehung ein, welcher ein am 27. September 2000 geborenes Kind entstammt. Zu dieser Zeit war der Beschwerdeführer zwar beinahe ein Jahr von seiner damaligen Ehefrau Y._ getrennt, mit ihr aber immer noch verheiratet. Am 13. Dezember 2000 befragte ihn das kantonale Amt für Ausländerfragen, ob er nicht rechtsmissbräuchlich an der Ehe festhalte. Er antwortete, sich ein erneutes Zusammenzuleben mit Y._ eventuell vorstellen zu können; die Geburt des ersten ausserehelichen Kindes erwähnte er jedoch nicht. Am 11. März 2003 wurde er wiederum zum Getrenntleben von Y._ befragt. Er gab u.a. an, sie wolle nicht mehr mit ihm zusammenleben, da er keine Kinder wolle; sie wünsche aber Kinder. Am 20. Oktober 2003 wurde ein zweites Kind von ihm und Z._ geboren. Er war zu diesem Zeitpunkt noch mit Y._ verheiratet; die Ehe wurde erst am 17. Dezember 2003 geschieden. Die Niederlassungsbewilligung hatte er tags zuvor erhalten. Im Juni 2004 heiratete er Z._ und ersuchte im Februar 2005 für sie und die zwei gemeinsamen Kinder um Familiennachzug.
3.3 3.3.1 Das Vorgehen des Beschwerdeführers (Erwirken einer Aufenthaltsbewilligung durch Heirat einer Schweizer Ehegattin trotz kultureller und sprachlicher Verschiedenheit und nachfolgende Scheidung unmittelbar nach Erhalt der Niederlassungsbewilligung mit anschliessender Heirat einer Landsmännin und Familiennachzugsgesuch für diese und vorhandene Kinder aus dem Heimatland) entspricht einem bekannten Verhaltensmuster (vgl. Pra 2005 Nr. 100 S. 716, 2A.346/2004, E. 3.3 mit Hinweisen). In solchen Konstellationen ist der Widerruf der Niederlassungsbewilligung regelmässig gerechtfertigt (siehe auch Urteile 2A.423/2006 vom 26. Oktober 2006; 2A.10/2005 vom 2. Mai 2005; 2A.17/2005 vom 18. Januar 2005; 2A.659/2004 vom 19. November 2004; 2A.551/2003 vom 21. November 2003).
3.3.2 Im vorliegenden Fall hat die Ausländerbehörde die Niederlassungsbewilligung erteilt, obwohl sie wusste, dass die Berufung auf die Ehe mit der Schweizerin angesichts des Umstandes, dass die Ehegatten seit langem getrennt gelebt hatten und eine Scheidungsklage der Ehefrau bloss mangels Zeitablaufs abgewiesen worden war, möglicherweise rechtsmissbräuchlich war. Die Behörde hatte aber keine Kenntnis von der Existenz der beiden Kinder, die während der Ehe gezeugt worden waren; dabei kann dahingestellt bleiben, ob es sich um eine eigentliche Parallelehe gehandelt hatte (vgl. dazu Pra 2005 Nr. 100 S. 716, 2A.346/2004, E. 3.3; siehe auch Urteil 2A.551/2003 vom 21. November 2003, E. 2.3). Hätte der Beschwerdeführer das Amt für Ausländerfragen darüber informiert, wäre die Niederlassungsbewilligung zweifellos nicht erteilt worden.
3.3.3 Was in der Beschwerde vorgebracht wird, ist nicht geeignet, zu einem anderen Ergebnis zu führen. Dem Beschwerdeführer wird nicht zum Vorwurf gemacht, dass er ausserhalb seiner Ehe Kinder gezeugt, sondern dass er deren Existenz verschwiegen und damit die Niederlassungsbewilligung erschlichen hat. Im Übrigen ist der Widerruf der Bewilligung nicht unverhältnismässig. Der Familie ist zuzumuten, in der gemeinsamen Heimat zu leben. Die in der Schweiz erworbenen beruflichen Fähigkeiten werden dem Beschwerdeführer auch dort von Nutzen sein. Dass er allenfalls wirtschaftliche Nachteile erleiden wird, hat er sich selbst zuzuschreiben und ändert an der Zulässigkeit des Widerrufs der Niederlassungsbewilligung nichts.
4. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist demnach unbegründet und abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 159 Abs. 2 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Januar 2007
Im Namen der Zweiten öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: