Faits :
A. X._ et dame X._, nés respectivement en 1953 et 1956, se sont mariés en 1974 et ont eu ensemble deux filles, A._ en 1976 et B._ en 1992. Les époux ont connu de nombreuses séparations et réconciliations. Ils vivent séparés depuis 1996 et sont actuellement en instance de divorce.
Le 28 avril 2009, la juge III du district de Sierre a rendu une décision de mesures provisoires au sens de l'art. 137 CC, aux termes de laquelle elle a notamment rejeté les prétentions en entretien de l'épouse, soit le paiement d'une « contribution d'entretien après divorce de 650 fr. jusqu'à ce que le débiteur ait atteint l'âge de la retraite légale ».
B. L'épouse a formé un pourvoi en nullité contre la décision précitée en concluant notamment à l'allocation de la contribution d'entretien de 650 fr. rétroactivement au début de la procédure. Elle a sollicité également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Statuant le 8 juin 2009 par deux décisions distinctes, le Président de la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal valaisan a, d'une part, rejeté le pourvoi dans la mesure de sa recevabilité et, d'autre part, rejeté la requête d'assistance judiciaire.
B.a A propos du pourvoi, le juge cantonal a considéré en substance que, celui-ci ne portant pas sur la violation d'une règle de procédure, la recourante pouvait uniquement faire valoir que la décision attaquée constatait arbitrairement les faits ou violait le droit d'une façon manifeste. Or, si elle se prévalait d'appréciation arbitraire des faits concernant son concubinage ou contestait avoir formé avec son compagnon une communauté qui pût être taxée de « concubinage qualifié » au sens de la jurisprudence fédérale, la recourante se contentait d'invoquer l'arbitraire sans même tenter d'en faire la démonstration et soulevait ainsi des griefs, de nature essentiellement appellatoire, irrecevables dans le cadre d'un pourvoi en nullité. Le juge cantonal a ajouté que même s'ils avaient été recevables, ces griefs auraient dû être rejetés et il en a donné les raisons. S'agissant de la notion de concubinage qualifié, prétendument retenue à tort par la première juge, il a jugé que toute l'argumentation de la recourante sur ce point reposait sur une prémisse erronée, la notion en question n'ayant de portée que dans le cadre du divorce et non dans celui des mesures provisoires, pour lesquelles seuls importent les avantages économiques retirés de la vie commune, fût-elle très récente.
B.b Le juge cantonal a rejeté la demande d'assistance judiciaire parce que l'une des conditions prévues pour l'octroi d'une telle mesure, à savoir que la cause de l'intéressé n'apparaisse pas d'emblée dénuée de chances de succès au sens de la jurisprudence (ATF 133 III 614 consid. 5), n'était pas remplie. En l'occurrence, le pourvoi en nullité était apparu d'emblée dépourvu de chances de succès pour les motifs susmentionnés.
C. L'épouse a déposé un seul et même recours constitutionnel contre les deux décisions cantonales du 8 juin 2009. Elle a également sollicité l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Le dépôt d'une réponse n'a pas été requis.
D. Par arrêt de ce jour (cause 5D_94/2009), le Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours concernant les mesures provisoires. Il a également rejeté, faute de chances de succès au sens de l'art. 64 al. 1 LTF, la demande d'assistance judiciaire formulée en relation avec ledit recours.
Le Tribunal considère en droit :
1. Le refus de l'assistance judiciaire est une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable au plaideur requérant (ATF 129 I 129 consid. 1.1 p. 131; arrêt 5A_40/2007 du 23 mai 2007 consid. 2 non publié in ATF 133 III 614) et pouvant donc faire l'objet d'un recours séparé selon l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Le refus litigieux est intervenu dans un procès civil (art. 72 al. 1 LTF) et les voies de recours cantonales sont épuisées (art. 75 al. 1 LTF). Le litige porté devant la cour de cassation civile cantonale est une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse nécessaire de 30'000 fr. est atteinte (art. 51 al. 1 let. a et al. 4 LTF, art. 74 al. 1 let. b LTF).
La voie du recours en matière civile étant ouverte, celle du recours constitutionnel subsidiaire choisie par la recourante ne l'est pas (art. 113 LTF). L'intitulé erroné d'un recours ne doit toutefois pas nuire à son auteur si les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté sont réunies (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 et les arrêts cités). En l'espèce, il est possible de convertir le recours, car le grief de violation du droit à l'assistance judiciaire que la recourante soulève en se fondant implicitement sur l'art. 29 al. 3 Cst. et d'une façon conforme aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF, peut être invoqué de la même manière dans un recours en matière civile de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 446 consid. 3.1, 462 consid. 2.3 et 614).
Déposé dans le délai légal (art. 100 al. 1 LTF), le recours est donc en principe recevable.
2. Le droit à l'assistance judiciaire garanti par la Constitution (art. 29 al. 3 Cst.), comme par le droit fédéral (art. 64 al. 1 LTF) et le droit cantonal valaisan en l'occurrence (art. 2 al. 1 et 2 de la loi valaisanne sur l'assistance judiciaire et administrative), est subordonné à la double condition que la personne concernée ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec.
Les deux conditions précitées étant cumulatives (arrêts 4A_361/2008 du 26 septembre 2008 consid. 3.2; 4P.261/2003 du 22 janvier 2004 consid. 2.2.4), c'est à tort que la recourante reproche au juge cantonal de s'être borné à examiner la condition relative aux chances de succès. Cette condition n'étant pas remplie, la requête d'assistance judiciaire pouvait être rejetée sans plus ample examen.
2.1 D'après la jurisprudence, un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre, et qu'elles ne peuvent donc être considérées comme sérieuses, de sorte qu'une personne raisonnable et de condition aisée renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'elle s'exposerait à devoir supporter (ATF 133 III 614 consid. 5 et les arrêts cités).
La recourante se contente d'affirmer qu'elle a droit à une contribution d'entretien sur la base de la jurisprudence du Tribunal fédéral relative à l'art. 137 CC et que les chances de succès de son procès ne sont pas inférieures aux risques de le perdre.
Ainsi qu'il ressort de la décision cantonale concernant les mesures provisoires, que la recourante a vainement attaquée auprès du Tribunal fédéral (arrêt 5D_94/2009 de ce jour), le pourvoi en nullité ne répondait pas aux exigences de motivation et s'avérait de surcroît mal fondé: le seul grief de la recourante, qui portait sur la notion de concubinage qualifié fondée sur la durée de la relation, ne résistait pas à un examen même sommaire, toute son argumentation reposant sur la prémisse erronée que la notion en question avait également une portée dans le cadre des mesures provisoires, alors que la jurisprudence constante l'excluait clairement.
Dans ces conditions, c'est à bon droit que le juge cantonal a dénié toute chance de succès au pourvoi en nullité et, partant, rejeté la requête d'assistance judiciaire.
2.2 Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
3. En instance fédérale aussi, l'échec prévisible des conclusions de la recourante commande le rejet de sa requête d'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 LTF) et sa condamnation aux frais (art. 66 al. 1 LTF).
par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 300 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué à la recourante et au Président de la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 16 septembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Fellay