Sachverhalt:
A. Die 1953 geborene W._ arbeitete von Oktober 2001 bis Januar 2003 als Mitarbeiterin in der Küche des Altersheims X._. In dieser Eigenschaft war sie bei der REVOR Sammelstiftung 2. Säule vorsorgeversichert. Seit Februar 2003 bezieht W._ aufgrund eines geistigen und psychischen Leidens bei einem Invaliditätsgrad von 90 Prozent eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Die Einrichtung der beruflichen Vorsorge lehnte es ab, ihrerseits eine Invalidenrente auszurichten.
B. W._ liess beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage einreichen und beantragte unter anderem, die Sammelstiftung habe ihr ab Februar 2003 eine Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 90 Prozent auszurichten. Das kantonale Gericht wies die Klage ab (Entscheid vom 20. Dezember 2007).
C. W._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einreichen, beantragt die Aufhebung des angefochtenen kantonalen Entscheids und erneuert das schon vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren, die Vorsorgeeinrichtung sei zu verpflichten, ihr aus dem Vorsorgeverhältnis mit Wirkung ab Februar 2003 eine "volle" Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 90 Prozent gemäss den gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen auszurichten. Überdies sei sie auf den frühstmöglichen Zeitpunkt von der Beitragspflicht zu befreien und es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihr auf den Invalidenleistungen spätestens ab dem 23. November 2006 einen Verzugszins von 5 Prozent zu bezahlen. Schliesslich ersucht die Beschwerdeführerin um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die Sammelstiftung schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf Vernehmlassung.
Das Bundesgericht weist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Verfügung vom 6. März 2008 ab.
Erwägungen:
1. 1.1 Die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts ist letztinstanzlich zuständig zum Entscheid darüber, ob das kantonale Gericht zu Recht eine Leistungspflicht der am Recht stehenden Vorsorgeeinrichtung für die Invalidität bei der Beschwerdeführerin verneint hat (Art. 73 BVG und Art. 35 lit. e des Reglements für das Bundesgericht vom 20. November 2006 [BgerR]; in BGE 134 V 20 nicht publizierte E. 1 des Urteils 9C_249/2007 vom 6. Dezember 2007). Da auch die übrigen formellen Gültigkeitserfordernisse gegeben sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Die Behebung des Mangels muss für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG).
2. Strittig und zu prüfen ist, ob die Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit, deren Ursache zur im Bereich der Invalidenversicherung leistungsbegründenden Erwerbsunfähigkeit geführt hat, während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses mit der Beschwerdegegnerin (einschliesslich der einmonatigen Nachdeckungsfrist; Art. 10 Abs. 3 BVG) eingetreten ist.
2.1 Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen und reglementarischen Bestimmungen über den Anspruch auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge (Art. 23 und 26 BVG) sowie über die Dauer der obligatorischen Versicherung (Art. 10 BVG) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt hinsichtlich der Rechtsprechung zur Verbindlichkeit der Beschlüsse der Invalidenversicherung für die Einrichtungen der beruflichen Vorsorge (BGE 132 V 1 E. 3 S. 3; 130 V 270 E. 3.1 S. 273; 129 V 73; 126 V 308 E. 1 S. 311) sowie zu dem für die Leistungspflicht einer ehemaligen Vorsorgeeinrichtung massgebenden Erfordernis des engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhangs zwischen Arbeitsunfähigkeit und Invalidität (BGE 134 V 20; 130 V 270 E. 4.1 S. 275; 123 V 262 E. 1c S. 264; 120 V 112 E. 2c/aa und bb S. 117 f.).
2.2 Die Bezeichnung des Zeitpunktes des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 [seit 1. Januar 2005: lit. a] BVG), entspricht einer Tatfrage. Diesbezügliche Feststellungen der Vorinstanz sind daher vom Bundesgericht lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar, soweit sie auf einer Würdigung konkreter Umstände beruhen (Art. 97 Abs. 1 BGG sowie Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; Urteil 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007, E. 4.1.1). Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erfolgt.
2.3 Hat die betreffende Person, wie hier der Fall, im fraglichen Zeitraum den vollen Lohn bezogen, so muss gemäss der Rechtsprechung zum Nachweis des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, eine berufsvorsorgerechtlich relevante Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen (Erheblichkeitsschwelle von 20 Prozent; Urteile B 88/06 vom 13. August 2007, E. 3.2, und B 18/97 vom 29. April 1998, E. 4b) arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten sein, so etwa durch einen Abfall der Leistungen mit entsprechender Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte, aus dem Rahmen fallende gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle. Eine erst nach Jahren rückwirkend festgelegte medizinisch-theoretische Arbeitsunfähigkeit, ohne dass der frühere Arbeitgeber die Leistungseinbusse bemerkt hätte, genügt nicht (Urteil B 75/01 vom 6. Februar 2003, E. 2.2). Es sind die vertraglich festgesetzte Pflicht zur Erbringung von Arbeit und die dafür vorgesehene Entlöhnung sowie weitere im Rahmen des Arbeitsverhältnisses getroffene Vereinbarungen in der Regel als den realen Gegebenheiten entsprechend zu werten. Nur beim Vorliegen besonderer Umstände darf die Möglichkeit einer abweichenden Lage - etwa in dem Sinne, dass ein Arbeitnehmer zwar zur Erbringung einer vollen Arbeitsleistung verpflichtet war und auch entsprechend entlöhnt wurde, tatsächlich aber doch keine volle Arbeitsleistung hat erbringen können - in Betracht gezogen werden (Urteile 9C_339/2007 vom 5. März 2008, E. 5.2, und 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007, E. 4.1.3 mit Hinweisen).
3.1 3.1.1 Das kantonale Gericht erkannte zunächst, der Entscheid der Invalidenversicherung binde die Vorsorgeeinrichtung bezüglich des darin implizierten Eintritts der rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit nicht, weil der Vorsorgeträger nicht mit der betreffenden Rentenverfügung bedient worden sei. Sodann stellte die Vorinstanz fest, entscheidend sei nicht, dass die Klägerin an kognitiven Defiziten leide, welche es ihr heute verunmöglichten, auf dem freien Arbeitsmarkt eine neue Stelle zu finden, sondern ob und seit wann dadurch eine länger dauernde und erhebliche Arbeitsunfähigkeit begründet worden sei. Die Klägerin sei während langer Zeit vollumfänglich arbeitsfähig gewesen, so namentlich auch im Rahmen der - der Anstellung im Altersheim X._ vorausgegangenen - Arbeitsverhältnisse im Zeitraum 1985 bis September 2001. Aus dem medizinischen Dossier sei zu schliessen, dass die Klägerin der Arbeit im Altersheim X._ nicht gewachsen gewesen sei. Ein krankheitsbedingter Einbruch in der Arbeitsfähigkeit habe nicht stattgefunden, sei ihr doch während der gesamten Anstellung nie eine Arbeitsunfähigkeit attestiert worden. Damit müsse davon ausgegangen werden, die Klägerin sei wegen ihrer verminderten Intelligenz seit jeher in ihrer Arbeitsfähigkeit insofern eingeschränkt gewesen, als sie nur ihren intellektuellen Fähigkeiten angepasste Tätigkeiten habe verrichten können. Eine zusätzliche Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen sei während der Zeit, als sie im Altersheim X._ arbeitete, nicht eingetreten.
3.1.2 Die Beschwerdeführerin lässt einwenden, sie habe die Anforderungen des Arbeitsplatzes in der Altersheimküche erfüllt; der gesundheitliche Einbruch, der letztlich zur Ausrichtung einer Rente der Invalidenversicherung führte, sei auf Mobbing am Arbeitsplatz zurückzuführen. Aufgrund dieser Vorfälle sei sie heute nur noch in einem geschützten Rahmen einsetzbar.
3.1.3 Die Sammelstiftung vertritt die Auffassung, die Beschäftigung im Altersheim X._ sei, wie schon frühere Anstellungen, an einer seit Stellenantritt bestehenden Überforderung der Beschwerdeführerin gescheitert. Eine relevante Leistungsabnahme habe im entsprechenden Zeitraum nicht stattgefunden. Die Weiterführung des Arbeitsverhältnisses trotz der von Beginn weg vorhandenen Schwierigkeiten sei offensichtlich überwiegend sozial motiviert gewesen.
3.2 Weder im zuhanden der Invalidenversicherung erstatteten Bericht des behandelnden Arztes med. pract. F._ vom 11. September 2002 noch im Arbeitgeberbericht des Altersheims X._ vom 26. Juli 2002 wurden bis dahin medizinisch begründete Arbeitsunfähigkeiten von mindestens 20 Prozent bzw. krankheitsbedingte Absenzen ausgewiesen. Nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses Ende Januar 2003 ergingen ärztliche und fachpsychologische Stellungnahmen, wonach die psychische Gesundheit der Beschwerdeführerin im Rahmen der Arbeit im Altersheim X._ beschädigt worden sei (Berichte des Psychologen M._ vom 6. Februar 2008 und des med. pract. F._ vom 27. September 2005).
3.3 Fraglich ist zunächst, ob ein grundsätzlicher Leistungsanspruch der Beschwerdeführerin gegenüber der Sammelstiftung von vornherein daran scheitert, dass für den Betrachtungszeitraum (Oktober 2001 bis Januar 2003) keine echtzeitlichen Akten vorhanden sind, welche krankheitsbedingte Absenzen ausweisen. Nach der oben (E. 2.3) zitierten Rechtsprechung ist für den Anspruch auf Invalidenleistungen gegenüber der Beschwerdegegnerin erforderlich, dass sich der Eintritt einer Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 Prozent durch einen effektiven Arbeitsausfall während andauerndem Vorsorgeverhältnis manifestiert hat. Zu berücksichtigen ist indes auch im Rahmen des Art. 23 BVG, dass arbeitsunfähig nicht nur ist, wer gesundheitsbedingt die bisherige Tätigkeit nicht mehr oder nur noch beschränkt ausüben kann, sondern auch eine Person, welcher die weitere Verrichtung ihrer Berufsarbeit nur unter der Gefahr, ihren Gesundheitszustand zu verschlimmern, möglich ist (BGE 130 V 343 E. 3.1 S. 345 mit Hinweis).
3.3.1 Die Beschwerdeführerin leidet seit jeher an Minderintelligenz, an einer Persönlichkeitsstörung (ängstlich-unsicher, wenig belastbar, Selbstwertmangel) sowie an einer substituierten Hypothyreose (Schilddrüsen-Unterfunktion; Bericht des pract. med. F._ vom 11. September 2002). Diese Gesundheitsschädigungen waren während beinahe zwanzig Jahren mit einer Berufstätigkeit vereinbar. Hingegen bezieht die Beschwerdeführerin mit Wirkung ab Februar 2003 eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Die Organe der Invalidenversicherung gingen davon aus, nach Wegfall eines Arbeitsverhältnisses mit rentenausschliessendem Einkommen bestehe ein Invaliditätsgrad von 90 Prozent. Sie kamen nach umfassenden und von keiner Seite in Frage gestellten Abklärungen zum Schluss, die Beschwerdeführerin könne aufgrund ihrer schwachen psychischen Belastbarkeit nur noch in geschütztem Rahmen arbeiten (vgl. - neben den medizinischen Stellungnahmen - insbesondere die Schlussberichte der Stiftung Y._ vom August 2003 und der IV-Berufsberatung vom 23. Oktober 2003).
3.3.2 War die Beschwerdeführerin somit unmittelbar nach Beendigung des letzten Vorsorgeverhältnisses invalid, so kommt für den Eintritt der Arbeitsunfähigkeit notgedrungen allein ein Zeitpunkt vor Beendigung des Arbeitsverhältnisses mit dem Altersheim X._ in Frage. Hier hat die Vorinstanz unberücksichtigt gelassen, dass Arbeitsunfähigkeit auch bei gesundheitsbedingt unzumutbarer Fortsetzung der versicherten Beschäftigung besteht (oben E. 3.3 a.A.). Da der angefochtene Entscheid dazu keine Tatsachenfeststellungen enthält, ist der mit der Beschwerde aufgelegte Bericht des die Beschwerdeführerin seit vielen Jahren betreuenden Psychologen M._ vom 6. Februar 2008 als zulässiges neues Beweismittel (Art. 99 Abs. 1 BGG) zu berücksichtigen, worin zum letzten Arbeitsverhältnis ausgeführt wird:
"Als sie ihre letzte Arbeitsstelle im Altersheim X._ nach bestandener Probezeit antrat, stellte sich jedoch zunehmend eine gesundheitlich bedenkliche Verschlechterung ein. (...)
Wie immer setzte sie sich ein, ihre Arbeit in der Küche und beim Service korrekt zu erledigen. Mit der einen Köchin hatte sie ein gutes Verhältnis, arbeitete mit ihr gerne, gut und ohne besondere Probleme zusammen. Mit einer anderen Köchin funktionierte es allerdings schlecht und immer schlechter. Für mich entstand der Eindruck, Frau W._ werde vorsätzlich gemobbt. Von der Geschäftsleitung erhielt sie jedoch keine Unterstützung, im Gegenteil: Der Druck wurde auch von dieser Seite erhöht.
Schliesslich wurde die Situation untragbar. Gesundheitlich, emotional und mental trieb Frau W._ trotz aller ärztlichen und psychologischen Unterstützung auf einen Zusammenbruch hin. Sie erschöpfte sich in ihrem Bemühen, den Anforderungen, trotz der verbalen Beschämungen, gerecht zu werden. Endlich war sie damit einverstanden, eine andere Arbeit zu suchen. Dabei wurde eine Abklärung mit dem Berufsberater der IV vorgenommen, welche auch den, mir seit langem bekannten, intellektuellen Status bestätigte. Aufgrund der Traumatisierung und psychischen Belastung am letzten Arbeitsplatz kam allerdings nur noch eine Arbeitsstelle in einem geschützten Rahmen in Frage. Frau W._ verfügt über ein relativ gutes soziales 'Interface', was ihre geistige Behinderung ganz gut kompensiert. Trotzdem reichte dies nicht aus, der psychischen Belastung aus Schikanen und Beleidigungen wirksam zu begegnen. Bei der letzten Arbeitsstelle fehlte es an jeder unterstützenden Führung, wie sie von einem wohlwollenden Arbeitgeber erwartet werden darf. Die Situation wurde im Gegenteil durch die zunehmende Pression dramatisch verschlimmert."
Aus diesem Bericht, zu welchem sich die Beschwerdegegnerin im Rahmen des Schriftenwechsels äussern konnte, geht in glaubwürdiger Weise hervor, dass das letzte Arbeitsverhältnis, so wie es konkret verlief, für die geistig behinderte Beschwerdeführerin unzumutbar war und entscheidenden Anteil am Eintritt der invalidisierenden Entwicklung hat. Damit ist eine für die Invalidität kausale Arbeitsunfähigkeit in Form der Unzumutbarkeit weiterer Arbeitsleistung im Rahmen des vorsorgerechtlich versicherten Anstellungsverhältnisses gegeben.
3.3.3 Die beschwerdegegnerische Auffassung, die Arbeitsunfähigkeit sei vorbestehend gewesen, lässt sich nach den Akten nicht begründen. Die Beschwerdeführerin, die an ihrer Vorstelle (Mitarbeiterin Montage und Prüfung, A._ AG, Juni 2000 bis September 2001) offenkundig keinen Soziallohn bezogen hatte, trug bei Antritt der Anstellung im Altersheim X._ (Oktober 2001) zwar - im Sinne einer konstitutionellen Prädisposition - den Keim der (erst später manifesten) Arbeitsunfähigkeit in sich ("latent arbeitsunfähig"); die vorher gut kompensierten Defizite manifestierten sich aber überwiegend wahrscheinlich erst im Verlauf der letzterwähnten Anstellung leistungswirksam. Selbst wenn es zutreffen sollte, dass das Rendement der Beschwerdeführerin im Rahmen ihrer Tätigkeit in der Altersheimküche nur 50 bis 60 Prozent betragen hat und die Weiterführung des Arbeitsverhältnisses bis anfangs 2003 im Wesentlichen noch sozial motiviert war (Beilage zum Arbeitgeberbericht zuhanden der Invalidenversicherung vom 26. Juli 2002), kann nicht von einer seit Anbeginn vorhandenen erheblichen Einschränkung der Arbeitsfähigkeit ausgegangen werden, zumal die Arbeitgeberin erklärtermassen die Hoffnung hegte, "dass die Arbeitsleistung inbezug auf Tempo und Verständnis grösser würde". Eine allenfalls schon vor Beginn des Vorsorgeverhältnisses bestehende Leistungsminderung aufgrund einer Überforderung ist nicht mit Arbeitsunfähigkeit im Sinne von Art. 23 (lit. a) BVG gleichzusetzen. Somit kann die Beschwerdegegnerin auch aus dem Umstand, dass ein früheres langjähriges Arbeitsverhältnis (Druckereimitarbeiterin in der Firma B._ AG; Oktober 1985 bis April 2000) wegen Überforderung der Beschwerdeführerin einvernehmlich aufgelöst worden sei, für ihren Rechtsstandpunkt nichts ableiten.
3.4 Damit besteht eine grundsätzliche Leistungszuständigkeit der Beschwerdegegnerin, weil die invalidisierende Arbeitsunfähigkeit während des Vorsorgeverhältnisses eingetreten ist. Die Vorinstanz wird auf der Grundlage dieser Feststellung über den Leistungsanspruch gegenüber der Sammelstiftung befinden.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdeführerin eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG; BGE 122 V 278).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. Dezember 2007 aufgehoben. Die Sache wird zur weiteren Behandlung der Klage sowie zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das kantonale Gericht zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. August 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub