Faits:
A. A._, née en 1944, de nationalité française, a épousé en décembre 1969 B._, dont elle a eu deux enfants, C._ née en 1980 et D._ née en août 1982. Par jugement du 6 mai 1998, le Tribunal civil du district de Y._ a prononcé le divorce des époux. A partir du 1er octobre 2000 jusqu'au 30 novembre 2008, A._ a bénéficié de l'octroi d'une rente entière d'invalidité (décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 30 novembre 2001), dont le montant était de 1'161 fr. par mois pendant la période du 1er janvier 2007 au 30 novembre 2008.
Le 7 mai 2008, A._ a acquis la nationalité suisse. Le 31 août 2008, elle a présenté une demande de rente de vieillesse, en indiquant qu'elle avait été domiciliée en France, où elle avait travaillé, jusqu'à son entrée en Suisse le 1er juillet 1979. La Caisse de compensation AVS Commerce de gros + Commerce de transit (ci-après: la caisse) a relevé que dans le calcul de la rente d'invalidité allouée jusque-là, c'est à tort que les revenus réalisés par l'ex-conjoint durant les années 1970 à 1972 avaient été partagés entre les époux et attribués pour moitié à chacun d'eux (splitting), attendu que A._ n'était pas assurée auprès de l'AVS suisse pendant cette période, faute d'être domiciliée en Suisse. Elle a ainsi procédé à un nouveau calcul de la rente d'invalidité en fonction des périodes suisses d'assurance, tout en partageant entre les époux les revenus réalisés par l'ex-mari pendant l'année 1998 dès lors que le jugement de divorce du 6 mai 1998 n'était devenu définitif et exécutoire que le 1er juin 1999. Par décisions du 17 novembre 2008, l'office AI a fixé nouvellement la rente d'invalidité à 1'056 fr. par mois pour la période du 1er décembre 2003 au 31 décembre 2004, à 1076 fr. par mois pour la période du 1er janvier 2005 au 31 décembre 2006, et à 1'107 fr. par mois pour la période du 1er janvier 2007 au 30 novembre 2008 en se fondant sur un revenu annuel moyen de 49'062 fr., les autres éléments demeurant inchangés (durée de cotisations de 20 années et six mois, 9 années de bonifications pour tâches éducatives, échelle de rente 27). Par décision du 17 novembre 2008, confirmée sur opposition le 5 décembre 2008, la caisse a alloué à A._ à partir du 1er décembre 2008 une rente ordinaire simple de vieillesse de 1'107 fr. par mois, calculée sur la base des mêmes éléments que la rente d'invalidité à laquelle elle succédait.
B. Par arrêt du 6 janvier 2010, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par A._ contre la décision sur opposition du 5 décembre 2008.
C. Par lettre du 4 février 2010 (timbre postal), A._ a interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement, en requérant l'assistance judiciaire. Par lettre du 10 février 2010, le Tribunal fédéral l'a informée du fait que le recours ne semblait pas remplir les exigences de forme posées par la loi (nécessité de formuler des conclusions et une motivation), et que seule une rectification dans le délai de recours était possible. Dans une écriture du 16 février 2010 qu'elle a déposée à la suite de cet avertissement, A._ fait valoir que la rente d'invalidité qui lui a été allouée durant la période du 1er janvier 2007 au 30 novembre 2008 était de 1'161 fr. par mois et demande que ses droits soient reconnus et rétablis dans le calcul de sa rente de vieillesse pour les années 1970, 1971 et 1972, pendant lesquelles son ex-mari n'avait pas ou avait peu de travail en tant que musicien d'orchestre et où elle est allée travailler en France, comme l'attestent les mandats qu'elle lui envoyait tous les mois. Elle sollicite à titre exceptionnel l'octroi de pleines bonifications pour tâches éducatives pour la période de 1998 à 2003. Sa demande d'assistance judiciaire a été rejetée par ordonnance du 17 mars 2010.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
1.2 Devant la Cour de céans, la recourante produit copie de récépissés de mandats de versements internationaux effectués en France et datés des mois de mai, juin, juillet, août, septembre et octobre 1972.
Toutefois, le jugement entrepris du 6 janvier 2010 ne justifie pas pour la première fois de soulever ces moyens et la recourante ne montre pas en quoi les conditions d'une exception à l'interdiction des faits ou moyens de preuve nouveaux selon l'art. 99 al. 1 LTF sont remplies (Ulrich Meyer, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, Basler Kommentar zum BGG, Basel 2008, N. 44 à 47 ad Art. 99 BGG; Bernard Corboz, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, N. 19 ad Art. 99 LTF). Ces moyens ne sont dès lors pas admissibles. Le seraient-ils, que les récépissés produits ne changeraient rien sur le fond.
1.3 Il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur l'écriture de la recourante du 6 avril 2010, qui est tardive.
2. Le litige, relatif au calcul de la rente de vieillesse à laquelle a droit la recourante depuis le 1er décembre 2008, porte sur l'absence de prise en considération des années 1970 à 1972 dans le calcul proprement dit de la rente, singulièrement sur le point de savoir si la recourante était assurée auprès de l'AVS suisse pendant cette période-là. Il a trait également à l'attribution de bonifications pour tâches éducatives pour la période de 1998 à 2003.
2.1 Les rentes de vieillesse ou de survivants sont calculées sur la base des mêmes éléments que la rente d'invalidité à laquelle elles succèdent, s'il en résulte un avantage pour l'ayant droit (art. 33bis al. 1 LAVS). Le principe de la protection de la situation acquise prévu par cette disposition légale s'applique au montant de la rente calculé en fonction des périodes suisses d'assurance (ATF 131 V 371 consid. 3 p. 374 s.).
2.2 Le jugement attaqué expose correctement les règles et principes applicables en l'espèce en ce qui concerne les personnes assurées (art. 1a al. 1 let. a LAVS) et le calcul des rentes ordinaires (art. 29bis al. 1, 29quinquies al. 3 let. c et al. 4 let. b et 29sexies LAVS). On peut ainsi y renvoyer.
3. Il ressort du jugement entrepris que la recourante ne s'est rendue en Suisse que par intermittences pendant les années 1970, 1971 et 1972, et qu'ensuite durant presque sept ans elle n'y a plus séjourné. Ainsi, lors de ses séjours en Suisse, elle a continuellement changé de villes et il ne semble pas qu'avec son ex-mari, ils aient eu le lieu de résidence où avoir leur centre d'intérêts. Les premiers juges ont relevé qu'il était vraisemblable qu'elle se soit trouvée en Suisse davantage pour suivre son ex-époux que pour chercher à s'y établir et que lorsque celui-ci était en Suisse sans être en compagnie de son épouse, elle exerçait en France uniquement des emplois temporaires, de sorte que, si elle avait réellement voulu venir s'établir en Suisse avec son ex-mari, son emploi ne l'en aurait pas empêché. Constatant qu'en l'absence d'éléments permettant de démontrer une réelle intention de s'établir en Suisse et d'y avoir une résidence effective, la recourante n'était pas domiciliée en Suisse durant les années 1970, 1971 et 1972, ils ont conclu qu'elle n'était pas assurée auprès de l'AVS suisse pendant cette période et que c'était à juste titre que ces années-là n'avaient pas été prises en considération dans le calcul de sa rente de vieillesse.
3.1 S'agissant de l'année 1970, la juridiction cantonale a retenu que la recourante n'était restée en Suisse que quatre mois et demi environ, soit en janvier, de mars à éventuellement mi-avril - à la différence de ce qu'elle soutenait, à partir du 17 avril 1970, elle avait travaillé en France, de sorte qu'elle ne pouvait être domiciliée en Suisse jusqu'en mai -, en août et en décembre. En mai 1970, alors que son ex-mari s'était rendu en Suisse, elle était restée en France, où, compte tenu des certificats de travail, elle travaillait et avait continué à exercer des emplois temporaires. En ce qui concerne l'année 1971, les premiers juges ont constaté que la recourante n'avait passé que quatre mois en Suisse, soit de septembre à décembre, que son ex-mari se trouvait déjà en Suisse à partir de juillet de cette année-là et qu'elle n'avait pu le suivre dans l'immédiat, compte tenu du fait qu'elle travaillait en France depuis mai 1971 en occupant plusieurs emplois temporaires. En ce qui concerne l'année 1972, ils ont retenu qu'elle avait passé cinq mois en Suisse, soit de janvier à mars et de novembre à décembre, et qu'elle s'était trouvée en France d'avril à fin octobre (un peu plus de six mois), enchaînant des emplois temporaires.
Sur la base des pièces produites en instance cantonale, ces constatations des premiers juges selon lesquelles la recourante n'était pas domiciliée en Suisse durant les années 1970, 1971 et 1972 n'apparaissent de toute façon pas manifestement inexactes (consid. 1.1). Celle-ci ne cherche même pas, par une argumentation spécifique, à démontrer le contraire. Les conclusions de la juridiction cantonale d'après lesquelles les années 1970 à 1972, pendant lesquelles la recourante n'était pas assurée auprès de l'AVS suisse, n'avaient pas à être prises en considération dans le calcul de sa rente de vieillesse, n'apparaissent pas contraires au droit fédéral. Le recours est mal fondé de ce chef.
3.2 En ce qui concerne le droit aux bonifications pour tâches éducatives, les premiers juges ont relevé que la recourante avait été mariée à son ex-conjoint de décembre 1969 à juin 1999 - le jugement de divorce du 6 mai 1998 n'étant devenu définitif et exécutoire que le 1er juin 1999 -, que la première fille des époux était née en mai 1980 et que la seconde, née en août 1982, avait atteint l'âge de seize ans en août 1998. Ils ont conclu que dix-huit années de bonifications pour tâches éducatives devaient ainsi être réparties par moitié entre les parents et que c'était à bon droit que la caisse avait pris en considération neuf années de bonifications pour tâches éducatives dans le calcul de la rente de vieillesse de la recourante. Ces conclusions n'apparaissent pas contraires au droit fédéral. L'octroi de pleines bonifications pour tâches éducatives pour les années jusqu'en 2003 ne se pose pas, attendu que les assurés peuvent prétendre à une bonification pour tâches éducatives pour les années durant lesquelles ils exercent l'autorité parentale sur un ou plusieurs enfants âgés de moins de 16 ans (art. 29sexies al. 1 première phrase LAVS) et que la seconde fille des époux a atteint l'âge de seize ans en août 1998. L'argument de la recourante, selon lequel elle a assumé seule l'éducation de ses filles, en particulier la charge financière de la fille aînée jusqu'à la fin de son apprentissage en 2003, n'est ainsi pas décisif. A juste titre, les premiers juges ont relevé que le comportement même inadapté d'un conjoint n'entrait pas dans les conditions du partage des bonifications pour tâches éducatives. Le recours est mal fondé sur ce point.
3.3 Le montant de la rente d'invalidité de 1'161 fr. par mois versé initialement durant la période du 1er janvier 2007 au 30 novembre 2008 n'est pas déterminant en ce qui concerne le calcul de la rente de vieillesse de la recourante. Le principe de la protection de la situation acquise prévu par l'art. 33bis al. 1 LAVS s'appliquant au montant de la rente calculé en fonction des périodes suisses d'assurance (supra, consid. 2.1), la rente de vieillesse de la recourante a été calculée sur la base des mêmes éléments que la rente d'invalidité de 1'107 fr. par mois à laquelle elle a succédé, soit un revenu annuel moyen de 49'062 fr. (en fonction des périodes suisses d'assurance), une durée de cotisations de 20 années et six mois, 9 années de bonifications pour tâches éducatives et l'échelle de rente 27. Ainsi que l'ont relevé les premiers juges, il en résulte un avantage pour la recourante, puisque selon la procédure usuelle de calcul de la rente et compte tenu des cotisations postérieures à l'année 2000, le montant de la rente de vieillesse serait de 1'086 fr. par mois, en se fondant sur un revenu annuel moyen de 35'802 fr. (réponse de la caisse du 5 février 2009). Le recours est dès lors mal fondé.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 7 septembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner