Faits:
A. Par décision du 24 avril 1991, la Ville de Genève (ci-après: la ville) a nommé P._, née en 1949, en qualité de fonctionnaire au poste X._, dès le 1er janvier 1992 et pour une période d'essai de trois ans. Cette nomination a été confirmée, avec effet au 1er janvier 1995, par décision du conseil administratif de la ville du 7 juin 1995.
Le 1er octobre 1991, la Caisse d'assurance du personnel de la Ville de Genève et des Services industriels de Genève (ci-après: CAP) a accusé réception du transfert des avoirs de libre passage accumulés par P._ auprès de son précédent employeur et l'a informée qu'elle bénéficierait, en cas de retraite à 62 ans, d'une pension calculée au taux de 55,667 % de son dernier traitement assuré. La ville encourageant alors le rachat par les membres de son personnel d'années d'affiliation manquantes auprès de la CAP, moyennant l'octroi de prêts remboursables sans intérêts, P._ a bénéficié à deux reprises de cette opportunité, ce qui lui permettait de faire passer son taux de rente à 62 ans au taux maximum de 70 %.
Le 25 août 1999, la ville a résilié les rapports de service avec effet au 30 novembre suivant pour motifs graves au sens de l'art. 97 du statut du personnel de l'administration municipale du 3 juin 1986, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010 (ci-après: le SPAM). Informée par la CAP du montant de la prestation de libre passage qui lui était due, déduction faite de la créance de la ville en remboursement du solde des prêts consentis pour le rachat d'années d'affiliation, l'intéressée a donné l'ordre à la CAP de virer ses avoirs de libre passage sur un compte bloqué auprès d'une banque.
Par jugement du 15 mai 2001, le Tribunal administratif de la République et canton de Genève a annulé le licenciement au motif qu'il était injustifié. Ce jugement n'ayant pas fait l'objet d'un recours, la ville a indiqué à l'intéressée qu'elle pouvait reprendre une activité en qualité de Y._ chargée d'assister le directeur du département Z._.
Le 30 octobre 2001, la CAP a informé P._ de son admission dans la caisse de pension à compter du 1er juillet 2001, en qualité d'assurée avec réserve, compte tenu du fait qu'un certificat médical n'avait pas été établi lors de son engagement. En outre, elle lui a demandé d'entreprendre les démarches nécessaires au transfert de sa prestation de libre passage. Ce transfert n'ayant pas eu lieu malgré plusieurs rappels, la CAP a indiqué, le 24 avril 2002, que le début de l'affiliation serait porté à l'âge de 46 ans et 9 mois au lieu de 27 ans et que le taux de la pension de retraite à 62 ans serait de 30,5 %.
Le 5 janvier 2004, P._ a accepté une proposition transactionnelle de la ville consistant dans le paiement par celle-ci d'un montant de 70'000 fr. pour solde de tout compte en ce qui concerne le licenciement prononcé en 1999. L'intéressée a alors accepté de faire transférer à la CAP ses avoirs de libre passage déposés sur un compte bancaire bloqué. La CAP a accusé réception des avoirs de vieillesse et a indiqué que le début de l'affiliation serait ramené à l'âge de 28 ans et 7 mois et le taux de la rente porté à 66,833 % du dernier traitement assuré.
Le 21 mai 2010, P._ a sollicité le conseil administratif de lui accorder une dérogation exceptionnelle, afin qu'elle puisse poursuivre son activité professionnelle au-delà de l'âge de 62 ans, soit durant une année et sept mois à compter du 1er février 2011, afin d'atteindre le taux de rente de 70 %. Le 30 juin 2010, le conseil administratif a indiqué que la prolongation de son activité au-delà de l'âge de 62 ans n'était statutairement pas possible à teneur de l'art. 99 SPAM.
B. P._ a recouru contre ce refus devant le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (depuis le 1er janvier 2011: la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève) en concluant à ce que la ville lui accorde la possibilité de poursuivre son activité professionnelle au-delà de l'âge de la retraite à 62 ans en dérogation à l'art. 99 al. 4 SPAM ou qu'elle l'engage sous contrat de droit privé selon l'art. 2 al. 3 et 4 SPAM.
Par jugement du 30 août 2011, la juridiction cantonale a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable.
C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en reprenant, sous suite de frais et dépens, ses conclusions formées en instance cantonale.
L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet, le tout sous suite de frais et dépens.
De son côté, la juridiction cantonale a renoncé à se déterminer.
La recourante a présenté des observations sur la réponse de l'intimée.
Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public (lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. Le litige soumis à la juridiction cantonale porte sur le point de savoir si la ville doit accorder à la recourante la possibilité de poursuivre son activité professionnelle à son service au-delà de l'âge de la retraite fixé à 62 ans. Dans cette mesure, il s'agit d'une contestation pécuniaire et le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (cf. arrêts 8C_449/2011 du 6 juin 2012 consid. 1 et 8C_907/2010 du 8 juillet 2011 consid. 1.1, ainsi que les références).
1. 1.1 Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public (lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. Le litige soumis à la juridiction cantonale porte sur le point de savoir si la ville doit accorder à la recourante la possibilité de poursuivre son activité professionnelle à son service au-delà de l'âge de la retraite fixé à 62 ans. Dans cette mesure, il s'agit d'une contestation pécuniaire et le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (cf. arrêts 8C_449/2011 du 6 juin 2012 consid. 1 et 8C_907/2010 du 8 juillet 2011 consid. 1.1, ainsi que les références).
1.2 1.2.1 En matière pécuniaire, le recours n'est en principe recevable que si la valeur litigieuse atteint 15'000 fr. (art. 85 al. 1 let. b LTF). Contrairement à ce que prescrit l'art. 112 al. 1 let. d LTF, le jugement attaqué n'indique pas de valeur litigieuse. En cas de recours contre une décision finale, cette valeur est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF).
1.2.2 La recourante indique que son but est de continuer son activité professionnelle au service de la ville pour, d'une part, réaliser un salaire complet durant 19 mois et, d'autre part, de porter son taux de rente de vieillesse à 70 % au lieu de 66, 833 %. Selon l'intéressée, le salaire qu'elle pourrait réaliser en prolongeant son activité s'élèverait à 264'083 fr. 45 brut pour la période susmentionnée. Actuellement, elle bénéficie d'indemnités de chômage et d'une rente de la CAP, ce qui équivaut à un montant de 138'291 fr. brut durant 19 mois. Elle allègue un manque à gagner pendant cette période de 125'791 fr. Quant à la perte financière subie en raison de la réduction de sa rente de la CAP, elle l'évalue à 95'887 fr. 85, compte tenu d'une espérance de vie de 80 ans.
De son côté, l'intimée allègue que le recours ne satisfait pas aux exigences de motivation prévues à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, du moment que la recourante ne fournit pas de pièces établissant que le seuil de la valeur litigieuse est atteint.
1.2.3 Faute d'indications suffisantes au dossier, le Tribunal fédéral n'est pas à même de contrôler précisément si le seuil requis de 15'000 fr. est atteint. On peut toutefois admettre, compte tenu des constatations de fait du jugement attaqué au sujet notamment du traitement annuel de base de la recourante, ainsi que de la valeur que peut représenter pour l'intéressée une augmentation du taux de sa rente, que le seuil requis de 15'000 fr. est à l'évidence atteint et même dépassé. La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte dans ce cas.
1.2.3 Faute d'indications suffisantes au dossier, le Tribunal fédéral n'est pas à même de contrôler précisément si le seuil requis de 15'000 fr. est atteint. On peut toutefois admettre, compte tenu des constatations de fait du jugement attaqué au sujet notamment du traitement annuel de base de la recourante, ainsi que de la valeur que peut représenter pour l'intéressée une augmentation du taux de sa rente, que le seuil requis de 15'000 fr. est à l'évidence atteint et même dépassé. La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte dans ce cas.
1.3 1.3.1 Selon l'art. 89 al. 1 let. c LTF, le recourant doit notamment avoir un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée. L'intérêt digne de protection consiste dans l'utilité pratique que l'admission du recours apporterait à son auteur, en lui évitant de subir un préjudice de nature économique, idéale, matérielle ou autre que la décision attaquée lui occasionnerait (ATF 137 II 40 consid. 2.3 p. 43). L'intérêt doit être actuel, c'est-à-dire qu'il doit exister non seulement au moment du dépôt du recours, mais encore au moment où l'arrêt est rendu (ATF 137 I 296 consid. 4.2 p. 299; 137 II 40 consid. 2.1 p. 41). Le Tribunal fédéral déclare le recours irrecevable lorsque l'intérêt digne de protection fait défaut au moment du dépôt du recours. En revanche, si cet intérêt disparaît en cours de procédure, le recours devient sans objet (ATF 137 I 23 consid. 1.3.1 p. 24 s. et les arrêts cités).
1.3.2 L'intimée soutient que la recourante n'a pas un intérêt actuel à recourir contre son refus de la garder à son service après l'accomplissement de l'âge de la retraite fixé statutairement à 62 ans. L'intéressée, qui aurait souhaité pouvoir continuer à travailler à compter du 1er février 2011 durant une période d'une année et sept mois afin d'obtenir un taux de rente maximum, n'a pas sollicité l'octroi de mesures provisionnelles devant la juridiction cantonale ni devant le Tribunal fédéral. Elle ne travaille donc plus au service de la ville depuis le 1er février 2011, date à laquelle elle a été mise au bénéfice d'une rente de vieillesse de la CAP. Aussi l'intimée est-elle d'avis que l'intérêt digne de protection pour recourir aurait disparu en cours de procédure.
En l'occurrence, les circonstances invoquées par l'intimée ne permettent pas d'admettre que le recours est devenu sans objet en raison de la durée de la procédure. En effet, la possibilité de la recourante, née le 10 janvier 1949, de prolonger la durée des rapports de service afin d'obtenir un taux de rente plus élevé ne peut pas être considérée comme éteinte avant le 10 janvier 2013, date de l'accomplissement de l'âge lui donnant droit à une rente de vieillesse selon la LAVS (art. 38 al. 2 en relation avec l'art. 115 al. 1 du statut du personnel de la Ville de Genève du 29 juin 2010, en vigueur depuis le 31 décembre 2010 [ci-après : le SPVG]).
Cela étant, le recours n'est pas devenu sans objet et la recourante a un intérêt actuel digne de protection à l'annulation du jugement attaqué.
1.4 Pour le surplus, le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) et il a été déposé dans le délai prévu par la loi (art. 100 LTF). Le recours est dès lors recevable.
2. La recourante invoque des griefs de nature formelle.
2. La recourante invoque des griefs de nature formelle.
2.1 2.1.1 Par un premier moyen, elle fait valoir une violation par la juridiction cantonale de son droit d'être entendue relativement à son droit d'obtenir une décision motivée (art. 29 al. 2 Cst.). Elle lui reproche d'avoir écarté sans motivation des preuves susceptibles d'établir que le refus de la ville de prolonger les rapports de service viole le principe de l'égalité de traitement consacré à l'art. 8 Cst. Il s'agit du rapport de la Cour des comptes de la République et canton de Genève concernant l'audit de gestion relatif au processus de recrutement en Ville de Genève, du 4 mars 2010, ainsi que des décisions par laquelle la ville a accepté des demandes de prolongation de l'activité professionnelle présentées par d'autres fonctionnaires ayant atteint l'âge de la retraite fixé à 62 ans.
2.1.2 Ce grief est mal fondé. Le rapport de la Cour des comptes ne mentionne aucun cas concret de prolongation des rapport de service comparable à celui de l'intéressée, de sorte qu'il n'avait pas d'incidence sur le point de savoir si l'intéressée avait subi un traitement différent par rapport à d'autres personnes ayant fait la même requête. Dès lors, on ne voit pas en quoi la juridiction cantonale aurait violé le droit d'être entendue de l'intéressée en ne prenant pas en considération le rapport en question aux fins d'examiner le bien-fondé du grief de violation du principe de l'égalité de traitement.
Par ailleurs, la recourante n'indique pas en quoi les premiers juges n'auraient pas suffisamment motivé leur point de vue selon lequel les décisions de prolongation de l'activité professionnelle invoquées ne permettent pas de retenir une violation du principe de l'égalité de traitement.
2.2 Par un second moyen de nature formelle, la recourante invoque une violation par la ville de son droit d'être entendue relativement à son droit d'obtenir une décision motivée. Elle allègue que la ville a refusé de prolonger les rapports de travail au-delà de l'âge de 62 ans en se référant uniquement et de manière succincte aux conditions posées à l'art. 99 al. 4 SPAM. Ce faisant, elle n'a pas indiqué les motifs pour lesquels elle n'avait pas envisagé un engagement de droit privé sur la base du large pouvoir d'appréciation conféré à l'art. 2 SPAM. Comme la juridiction cantonale n'a pas un plein pouvoir d'examen pour revoir les décisions basées sur l'opportunité, la recourante est d'avis que ce vice ne pouvait pas être réparé en instance cantonale.
Ce moyen est mal fondé. Il est vrai, comme la juridiction cantonale l'a du reste relevé, que la motivation de la décision de la ville du 30 juin 2010 est sommaire. Cependant, elle était suffisante pour que la recourante puisse contester par tous les moyens utiles le refus de prolonger les rapports de travail au-delà de 62 ans en tant qu'il était fondé sur l'art. 99 al. 4 SPAM. En outre, si l'intéressée était d'avis que la prolongation des rapports de service pouvait se justifier en vertu d'une autre disposition statutaire, comme l'art. 2 SPAM, il lui était loisible d'alléguer ce moyen devant la juridiction précédente, ce que d'ailleurs elle a fait.
3. En outre, la recourante critique le jugement cantonal en invoquant différents griefs d'ordre matériel.
3.1 Premièrement, elle se plaint à mains égards d'un établissement des faits arbitraire au motif que les constatations du jugement attaqué ne tiendraient pas compte de divers éléments susceptibles d'établir que la ville a violé les principes de l'égalité de traitement et de la non-discrimination en refusant de prolonger ses rapports de service au-delà de l'âge de la retraite. Cependant, le recours ne contient aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait du jugement attaqué. En effet, la recourante n'expose pas en quoi l'appréciation des preuves par les premiers juges est manifestement insoutenable. Son argumentation tend plutôt à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente. Au demeurant, on ne voit guère que les allégations de la recourante soient de nature à remettre en cause le jugement attaqué. En particulier, le fait que, dans trois procédures particulières où elle a accepté la prolongation des rapports de service, la ville a requis l'établissement d'un rapport préalable de la direction des ressources humaines, à la différence du présent cas, ne permet pas d'inférer l'existence d'une pratique régulière à laquelle l'intéressée n'aurait pas été soumise. Quant au rapport de la Cour des comptes invoqué par la recourante, il porte sur des aspects généraux en matière de ressources humaines et ne permet donc pas de qualifier d'arbitraire la constatation de la juridiction cantonale selon laquelle les engagements sous contrat de droit privé conclus par la ville en vertu de l'art. 2 SPAM étaient justifiés par l'expérience particulière des personnes concernées, ainsi que par le fait qu'elles répondaient à un besoin de l'administration.
3.1 Premièrement, elle se plaint à mains égards d'un établissement des faits arbitraire au motif que les constatations du jugement attaqué ne tiendraient pas compte de divers éléments susceptibles d'établir que la ville a violé les principes de l'égalité de traitement et de la non-discrimination en refusant de prolonger ses rapports de service au-delà de l'âge de la retraite. Cependant, le recours ne contient aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait du jugement attaqué. En effet, la recourante n'expose pas en quoi l'appréciation des preuves par les premiers juges est manifestement insoutenable. Son argumentation tend plutôt à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente. Au demeurant, on ne voit guère que les allégations de la recourante soient de nature à remettre en cause le jugement attaqué. En particulier, le fait que, dans trois procédures particulières où elle a accepté la prolongation des rapports de service, la ville a requis l'établissement d'un rapport préalable de la direction des ressources humaines, à la différence du présent cas, ne permet pas d'inférer l'existence d'une pratique régulière à laquelle l'intéressée n'aurait pas été soumise. Quant au rapport de la Cour des comptes invoqué par la recourante, il porte sur des aspects généraux en matière de ressources humaines et ne permet donc pas de qualifier d'arbitraire la constatation de la juridiction cantonale selon laquelle les engagements sous contrat de droit privé conclus par la ville en vertu de l'art. 2 SPAM étaient justifiés par l'expérience particulière des personnes concernées, ainsi que par le fait qu'elles répondaient à un besoin de l'administration.
3.2 3.2.1 Par un second moyen, la recourante fait valoir que le jugement attaqué est arbitraire dès lors qu'il viole les principes de l'égalité de traitement et de non-discrimination (art. 8 Cst.). Elle allègue que la ville a accordé systématiquement à d'autres employés la prolongation des rapports de service en raison de leur situation économique difficile, alors qu'elle lui a refusé une telle prolongation au motif que sa situation économique était plus favorable en raison du taux de rente plus élevé et du fait qu'elle avait fait preuve de prévoyance en contractant des emprunts afin de combler ses lacunes de cotisations auprès de la CAP. Selon l'intéressée, cette différence de traitement viole l'art. 8 al. 2 Cst., dans la mesure où il n'est pas justifié qu'un fonctionnaire jouissant d'un taux de rente de vieillesse plus élevé qu'un autre ait moins de chances d'obtenir la prolongation des rapports de service lui permettant d'obtenir le taux maximum. Un tel traitement consiste à désavantager de manière discriminatoire la recourante qui a fait preuve de prévoyance par rapport à des personnes qui ont fait un choix de vie différent (en achetant des biens immobiliers, en interrompant leur l'activité afin de faire des voyages, ou encore en renonçant au rachat de cotisations manquantes).
3.2.2 La protection de l'égalité (art. 8 Cst.) et celle contre l'arbitraire (art. 9 Cst.) sont étroitement liées. Une norme ou une décision est arbitraire lorsqu'elle ne repose pas sur des motifs sérieux ou si elle est dépourvue de sens et de but (ATF 136 I 241 consid. 3.1 p. 250). Elle viole le principe de l'égalité de traitement consacré à l'art. 8 al. 1 Cst. lorsqu'elle établit des distinctions juridiques qui ne se justifient par aucun motif raisonnable au regard de la situation de fait à réglementer ou qu'elle omet de faire des distinctions qui s'imposent au vu des circonstances (ATF 137 V 121 consid. 5.3 p. 125 et les références). Au principe d'égalité de traitement, l'art. 8 al. 2 Cst. ajoute une interdiction des discriminations. Selon cette disposition, nul ne doit subir de discrimination du fait notamment de son origine, de sa race, de son sexe, de son âge, de sa langue, de sa situation sociale, de son mode de vie, de ses convictions religieuses, philosophiques ou politiques ni du fait d'une déficience corporelle, mentale ou physique. On est en présence d'une discrimination selon l'art. 8 al. 2 Cst. lorsqu'une personne est traitée différemment en raison de son appartenance à un groupe particulier qui, historiquement ou dans la réalité sociale actuelle, souffre d'exclusion ou de dépréciation. Le principe de non-discrimination n'interdit toutefois pas toute distinction basée sur l'un des critères énumérés à l'art. 8 al. 2 Cst., mais fonde plutôt le soupçon d'une différenciation inadmissible. Aussi bien des inégalités qui résultent d'une telle distinction doivent-elles faire l'objet d'une justification particulière (ATF 137 V 334 consid. 6.2.1 p. 348; 135 I 49 consid. 4.1 p. 53).
3.2.3 Le grief d'arbitraire et le moyen tiré de l'égalité de traitement, qui se confond en l'occurrence avec l'arbitraire, doivent être rejetés. La recourante ne démontre pas en quoi la solution retenue par les premiers juges serait insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ni en quoi la décision attaquée serait arbitraire dans son résultat. En particulier, la situation de la recourante qui avait droit à une rente fondée sur un taux de 66,833 % - soit un taux proche du taux maximum de 70 % - n'est en rien comparable à celle des fonctionnaires qui ont bénéficié d'une prolongation des rapports de service et dont la rente à venir était fondée sur des taux inférieurs à 50 %. En ce qui concerne les collaborateurs qui ont bénéficié d'un engagement de droit privé sur la base de l'art. 2 SPAM, alors qu'ils étaient proches ou qu'ils avaient atteint l'âge de la retraite, l'intéressée n'allègue pas que son engagement répondait, lui aussi, à un besoin de l'administration. Quant au grief selon lequel elle est victime d'une discrimination du fait de sa situation sociale et de son mode de vie, la recourante ne démontre pas qu'elle a fait un choix de vie différent des personnes qui ont bénéficié d'une prolongation des rapports de service au-delà de l'âge de la retraite. Au demeurant le fait pour une personne de faire preuve de prévoyance ne permet pas d'inférer qu'elle ferait partie d'un groupe particulier qui, dans la réalité sociale actuelle, souffrirait d'exclusion ou de dépréciation et dont le traitement différent constituerait une discrimination selon l'art. 8 al. 2 Cst.
4. Vu ce qui précède, le recours se révèle mal fondé.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée ne peut se voir allouer une indemnité de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 11 octobre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd