Sachverhalt:
A. Die X._ GmbH (Beschwerdeführerin) und Z._ (Beschwerdegegner 2) stehen einander im Berufungsverfahren ZK1 2012 11 vor dem Kantonsgericht Schwyz gegenüber. Mit Verfügungen vom 8. Februar 2012 setzte der Kantonsgerichtspräsident, Dr. Y._ (Beschwerdegegner 1), der Beschwerdeführerin Frist für die Berufungsantwort und dem Beschwerdegegner 2 Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses.
Am 10. Februar 2012 fragte der Vertreter der Beschwerdeführerin Dr. Y._ "kollegialiter" an, ob dieser wegen seiner Beziehungen zum Rechtsanwalt des Beschwerdegegners 2 selbst in den Ausstand trete oder ob er ein Ausstandsgesuch stellen müsse.
Am 13. Februar 2012 antwortete Dr. Y._, dass ein formeller Ausstandsgrund nicht gegeben sei. Hingegen werde er aus organisatorischen Gründen nicht an der Instruktion und Beurteilung der vorliegenden Berufungssache mitwirken.
B. Am 17. Februar 2012 reichte die Beschwerdeführerin ein Ausstandsgesuch ein und beantragte, der Kantonsgerichtspräsident Dr. Y._ habe im Berufungsverfahren der Parteien in den Ausstand zu treten, wobei sie sich auf freundschaftliche Beziehungen zwischen dem Kantonsgerichtspräsidenten und dem Rechtsvertreter des Beschwerdegegners 2 berief (Art. 47 Abs. 1 lit. f ZPO; SR 272). Am 22. Februar 2012 wurde die Beschwerdeführerin unter Hinweis auf die Mitteilung des Kantonsgerichtspräsidenten vom 13. Februar 2012, nicht an der Instruktion und Beurteilung der vorliegenden Berufungssache mitzuwirken, angefragt, ob sie dennoch einen Entscheid über den Ausstand mit entsprechenden Kostenfolgen verlange. Die Beschwerdeführerin liess mit Schreiben vom 24. Februar 2012 antworten, dass sie am Ausstandsgesuch festhalte und ersuchte um Mitteilung, wer die Verfahrensleitung ausübe.
Mit Verfügung vom 8. März 2012 hielt die Kantonsgerichtsvizepräsidentin fest, dass sie selbst die Leitung des Berufungsverfahrens übernehme (Dispositiv-Ziffer 1). Ferner schrieb sie das Ausstandsgesuch vom 17. Februar 2012 als gegenstandslos ab (Dispositiv-Ziffer 2). Die Kosten von Fr. 100.-- für diese Zwischenverfügung wurden der Beschwerdeführerin auferlegt (Dispositiv-Ziffer 3). Zur Begründung erwog die Kantonsgerichtsvizepräsidentin, das Ausstandsgesuch vom 17. Februar 2012 sei von vorneherein gegenstandslos gewesen, nachdem der Kantonsgerichtspräsident am 13. Februar 2012 mitgeteilt habe, er werde an der Instruktion und Beurteilung der vorliegenden Berufungssache nicht mitwirken.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, die Dispositiv-Ziffern 2 und 3 der Verfügung der Vizepräsidentin des Kantonsgerichts vom 8. März 2012 aufzuheben und die Sache zur Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei das Ausstandsgesuch der Beschwerdeführerin vom 17. Februar 2012 gutzuheissen und Kantonsgerichtspräsident Dr. Y._ anzuweisen, im Berufungsverfahren der Parteien vor Kantonsgericht Schwyz (Prozess Nr. ZK1 2012 11) in den Ausstand zu treten.
Es wurden keine Beschwerdeantworten und keine Vernehmlassung eingeholt.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 138 III 41 E. 1; 135 III 212 E. 1, 329 E. 1).
1.1 Die angefochtene Verfügung der Vizepräsidentin des Kantonsgerichts Schwyz bildet einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren. Gegen einen solchen Zwischenentscheid ist die Beschwerde zulässig (Art. 92 Abs. 1 BGG).
1.2 Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (BGE 134 V 138 E. 3 S. 144; 133 III 645 E. 2.2). In der Hauptsache geht es um eine Zivilrechtsstreitigkeit mit einem Streitwert von über 30'000 Franken (Fr. 80'000.--). In der Hauptsache ist demnach die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.3 Nach Art. 75 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Bei der letzten kantonalen Instanz muss es sich um ein oberes Gericht handeln (Art. 75 Abs. 2 Satz 1 BGG). Zudem muss dieses obere Gericht als Rechtsmittelinstanz entscheiden (Art. 75 Abs. 2 Satz 2 BGG), es sei denn, es liege einer der Ausnahmefälle von Art. 75 Abs. 2 lit. a bis c BGG vor. Eine allgemeine Ausnahme vom Erfordernis der double instance für Zwischenentscheide besteht nicht. Vorbehalten bleibt folgender Fall: Ist ein oberes Gericht mit einem Rechtsmittelverfahren befasst und fällt es in diesem Rahmen einen Zwischenentscheid (z.B. über den Ausstand eines Mitglieds des oberen Gerichts), so ist die Beschwerde an das Bundesgericht bei im Übrigen gegebenen Voraussetzungen zulässig (BGE 138 III 41 E. 1.1 S. 42; 137 III 424 E. 2.2 S. 426).
Diese Konstellation liegt hier vor: Die Kantonsgerichtsvizepräsidentin entschied im Rahmen des beim Kantonsgericht hängigen Berufungsverfahren über das von der Beschwerdeführerin eingereichte Ausstandsgesuch gegen den Kantonsgerichtspräsidenten und schrieb dieses als gegenstandslos ab. Gegen diesen Zwischenentscheid ist direkt die Beschwerde an das Bundesgericht zulässig.
Nachdem auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass die Vorinstanz das Ausstandsgesuch nicht materiell behandelte, sondern dieses als gegenstandslos abschrieb. Darin erblickt sie eine Verletzung von Art. 242 ZPO betreffend die Gegenstandslosigkeit eines Verfahrens sowie eine Rechtsverweigerung und eine Gehörsverletzung (Art. 53 Abs. 1 ZPO, Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Zudem verletze die angefochtene Verfügung die Ausstandspflicht befangener Gerichtspersonen (Art. 47 ff. ZPO) und höhle den Anspruch der Beschwerdeführerin auf ein faires Verfahren und ein unparteiisches Gericht aus (Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK).
2.2 Die Beschwerdeführerin vertritt die Ansicht, es hätte über das Ausstandsgesuch materiell entschieden werden müssen. Nur so wisse sie, dass die betroffene Gerichtsperson am Justizverfahren nicht mitwirken dürfe. Die blosse Mitteilung der betroffenen Gerichtsperson, sie werde an der Instruktion und Beurteilung der Sache nicht mitwirken, genüge nicht. Denn damit bleibe die gesuchstellende Partei im Ungewissen, ob die betroffene Gerichtsperson nicht doch wieder mitwirken würde. Sie wäre dem guten Willen der betroffenen Gerichtsperson ausgeliefert bzw. müsste allenfalls den zeit- und kostenintensiven Rechtsmittelweg beschreiten, wenn die betroffene Gerichtsperson doch wieder mitwirke. Die blosse Mitteilung anstelle eines verbindlichen Entscheids über das Ausstandsgesuch unterlaufe ihren Anspruch auf ein faires Verfahren und auf ein unabhängiges Gericht.
Zum gerichtlichen Entscheid über den Ausstand kommt es, wenn der geltend gemachte Ausstandsgrund bestritten wird (vgl. Art. 50 Abs. 1 ZPO). Dies ist der Fall, wenn eine Partei die Selbstanzeige einer Gerichtsperson bestreitet oder die Gegenpartei bzw. die angesprochene Gerichtsperson zu einem Ausstandsgesuch einer Partei negativ Stellung nimmt (vgl. WULLSCHLEGER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2010, N. 4 zu Art. 50 ZPO).
Kein materieller Entscheid über den Ausstand ist hingegen erforderlich, wenn das vom geltend gemachten Ausstandsgrund betroffene Gerichtsmitglied - wie vorliegend - bereits explizit erklärt hat, es werde am Prozess nicht mitwirken. Diesfalls erweist sich ein erst im Nachgang zu dieser Erklärung eingereichtes Ausstandsgesuch als gegenstandslos. Denn ein Ausstandsgesuch kann sich nicht gegen ein erklärtermassen nicht mitwirkendes Gerichtsmitglied richten.
2.3 Die Beschwerdeführerin hebt hervor, dass der Kantonsgerichtspräsident den geltend gemachten Ausstandsgrund bestritten habe und nur "aus organisatorischen Gründen" nicht mitwirke.
Der Kantonsgerichtspräsident formulierte sein Schreiben vom 13. Februar 2012 dahingehend, "dass ein formeller Ausstandsgrund nicht gegeben" sei, er hingegen aus "organisatorischen Gründen" nicht mitwirken werde. Diese Formulierung lässt in der Tat erkennen, dass der Kantonsgerichtspräsident nicht von einem eigentlichen Ausstandsfall ausging, wobei allerdings offen ist, was er unter "formellem Ausstandsgrund" verstand. Dies ändert aber nichts am vorliegend einzig entscheidenden Umstand, dass er dennoch unmissverständlich erklärte, er werde am Berufungsverfahren nicht (mehr) mitwirken. Aufgrund dieser Erklärung brauchte der Kantonsgerichtspräsident nicht mehr abgelehnt zu werden, und die Frage seines Ausstands stellte sich nicht mehr, zumal auch die Gegenpartei nicht etwa dessen Mitwirkung verlangte und den Ausstandsgrund bestritt. Im Ergebnis lag damit die gleiche Situation vor, wie wenn der Ausstand nicht bestritten ist und demzufolge das betroffene Gerichtsmitglied nicht mitwirkt. In dieser Situation musste die Vorinstanz über das Ausstandsgesuch nicht materiell entscheiden.
2.4 Die Beschwerdeführerin meint, die Erklärung des Kantonsgerichtspräsidenten, er werde an der "Instruktion und Beurteilung" der vorliegenden Berufungsverfahrens nicht mitwirken, genüge nicht. Der Ausstand betreffe das gesamte Justizverfahren, also auch die Verfahrensleitung.
Es trifft zu, dass ein im Ausstand befindliches Gerichtsmitglied am betreffenden Gerichtsverfahren durchgehend, d.h. in allen Verfahrensstadien, nicht mitwirken darf. Dies war aber offensichtlich mit der Formulierung "Instruktion und Beurteilung" auch gemeint. Die Verfahrensleitung kann zur Instruktion gezählt werden. Entsprechend hielt vorliegend die Kantonsgerichtsvizepräsidentin denn auch ausdrücklich fest, dass sie die Verfahrensleitung übernehme.
2.5 Weiter bringt die Beschwerdeführerin vor, der Kantonsgerichtspräsident habe am Berufungsverfahren der Parteien schon mehrfach mitgewirkt.
In der Tat war der Kantonsgerichtspräsident zu Beginn des Berufungsverfahrens prozessleitend tätig. Die beiden von ihm getroffenen Verfügungen betreffend Fristansetzung zur Berufungsantwort bzw. Leistung eines Kostenvorschusses datieren vom 8. Februar 2012. Als Reaktion darauf erfolgte die informelle Anfrage des Vertreters der Beschwerdeführerin an den Kantonsgerichtspräsidenten, ob er von sich aus in den Ausstand trete oder ein Ausstandsgesuch erforderlich sei. Daraufhin teilte der Kantonsgerichtspräsident am 13. Februar 2012 den Parteien mit, dass er am Berufungsverfahren nicht mitwirke. Damit war pro futuro klargestellt, dass der Kantonsgerichtspräsident am Berufungsverfahren der Parteien nicht (mehr) beteiligt sein würde. Das im Nachgang dazu gleichwohl eingereichte Ausstandsgesuch vom 17. Februar 2012 betraf demnach einen Richter, der von der Mitwirkung am vorliegenden Verfahren ohnehin ausgeschlossen war, weshalb es gegenstandslos war.
Daran ändert nichts, wenn die Beschwerdeführerin befürchtet, der Kantonsgerichtspräsident könnte im Laufe des Verfahrens dennoch wieder verfahrensleitend tätig werden, z.B. in Vertretung der Vizepräsidentin. Massgebend ist nicht eine Befürchtung der Beschwerdeführerin, sondern die Pflicht des Kantonsgerichtspräsidenten, sich an seine Erklärung, nicht mitzuwirken, zu halten. Sollte er dies nicht tun, wären seine Anordnungen unter Ausstandsgesichtspunkten wiederum anfechtbar (vgl. Art. 51 Abs. 1 ZPO). Dies ist nicht anders, als wenn eine Gerichtsperson in Missachtung eines materiellen gerichtlichen Entscheids über ein Ausstandsgesuch tätig würde.
2.6 Da der Kantonsgerichtspräsident schon im Vorfeld zum Ausstandsgesuch erklärte, er werde am Berufungsverfahren nicht mitwirken, erwies sich das danach gestellte Ausstandsgesuch als gegenstandslos. Nachdem die Beschwerdeführerin daran trotz Nachfrage des Gerichts festhielt, durfte die Vorinstanz das Ausstandsgesuch kostenfällig abschreiben.
Aus diesen Gründen liegen die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Rechtsverletzungen nicht vor, weshalb die Beschwerde abzuweisen ist.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Beschwerdeantworten eingeholt wurden, sind keine Parteientschädigungen zu sprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, Kantonsgerichtsvizepräsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Mai 2012
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz