Faits:
A. Depuis vingt-cinq ans, X._ occupe, en qualité de locataire, un appartement de quatre pièces au rez-de-chaussée d'un immeuble en Valais.
Elle n'a pas payé le loyer du mois de juillet 2006, soit 800 fr., et allègue que le bailleur y a renoncé en contrepartie de désagréments qu'elle a subis, ce qui est contesté dans la procédure.
En novembre 2006, le bailleur, A.Y._, a cédé la propriété du bien immobilier à son fils, J.Y._, qui lui a succédé dans le bail.
Le 18 septembre 2008, A.Y._ a cédé à son fils, en la forme écrite, la créance relative au loyer du mois de juillet 2006.
Le 9 février 2009, J.Y._ a imparti à X._ un délai de trente jours pour s'acquitter du loyer de juillet 2006, sous menace de résiliation du bail.
Cette sommation étant restée vaine, le bail a été résilié le 16 mars 2009 avec effet au 30 avril 2009.
B. X._ a ouvert action contre J.Y._, concluant à l'annulation de la résiliation, subsidiairement à la prolongation du bail.
Par décision du 17 juin 2009, l'autorité de conciliation a considéré la résiliation comme valable et refusé la prolongation du bail. Elle a relevé notamment que la locataire n'a produit aucun document écrit établissant que le bailleur de l'époque acceptait de renoncer au loyer du mois de juillet 2006.
Par lettre du 23 juillet 2009, X._ a saisi le juge de commune compétent. Dans ce document, elle a indiqué que si elle n'avait pas de document écrit, elle avait en revanche un témoin (i. e. Z._), à savoir un entrepreneur qui avait accompagné A.Y._ lors de l'entrevue qu'elle avait eue avec celui-ci.
Par jugement du 19 novembre 2009, le juge de commune a rejeté la demande formée par X._. Il a considéré que X._ n'avait pas apporté la preuve que le précédent bailleur l'avait libérée du paiement du loyer pour le mois de juillet 2006, que l'on ne se trouvait pas dans un cas permettant l'annulation de la résiliation et que toute prolongation du bail était exclue, s'agissant d'une résiliation pour cause de demeure du locataire.
Saisi d'un pourvoi en nullité, le Tribunal de Martigny et St-Maurice, statuant par jugement du 2 juillet 2010 rendu par le Juge I des districts de Martigny et St-Maurice, l'a rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Cette autorité a relevé que X._ n'avait pas requis l'audition du témoin Z._ selon les formes de la procédure cantonale, que l'on ne pouvait pas croire à une remise de dette sur la base des seules allégations de la prénommée et que les relations houleuses entre les parties rendaient cette hypothèse peu vraisemblable.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.), une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.), une violation de son droit à un procès équitable (art. 6 CEDH), une violation arbitraire de l'art. 34 du code de procédure civile valaisan du 24 mars 1998 (CPC/VS; RS/VS 270.1) ainsi qu'une violation de l'art. 115 CO, elle conclut à l'annulation du jugement attaqué et à l'annulation du congé qui lui a été notifié. Elle a sollicité par ailleurs l'effet suspensif, lequel lui a été accordé par ordonnance présidentielle du 22 octobre 2010.
L'intimé propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Lorsque - comme c'est le cas en l'espèce - un locataire conteste la validité du congé qu'il a reçu, la valeur litigieuse déterminante ne saurait être inférieure aux trois ans pendant lesquels, selon l'art. 271 al. 1 let. e CO, il est protégé contre une nouvelle résiliation dans l'hypothèse où il obtiendrait gain de cause (ATF 136 III 196 consid. 1.1 p. 197). Le loyer mensuel étant de 800 fr., la valeur litigieuse minimum de 15'000 fr. requise en matière de droit du bail par l'art. 74 al. 1 let. a LTF est ici atteinte.
Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions en annulation du congé (art. 76 al. 1 LTF) et dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. On peut certes observer que la décision attaquée n'a pas été rendue par un tribunal supérieur, comme l'exige l'art. 75 al. 2 LTF, mais cette situation reste sans conséquence, puisque les cantons disposent encore d'un délai d'adaptation (art. 130 al. 2 LTF).
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. (ATF 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 136 I 184 consid. 1.2 p. 187; 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur l'issue de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, la recourante expose son propre état de fait aux pages 2 à 4 de son écriture. Elle n'invoque cependant aucune des circonstances qui permettraient au Tribunal fédéral de s'écarter des constatations cantonales (art. 97 al. 1 LTF) et on ne voit pas non plus que de telles circonstances soient réalisées (art. 105 al. 2 LTF). Le raisonnement juridique doit donc être mené exclusivement sur la base des faits contenus dans le jugement attaqué.
A la page 18 de son écriture, la recourante soutient que le bailleur a succombé dans d'autres procédures menées à son encontre devant l'autorité de conciliation, ayant abouti à des décisions prises les 18 janvier 2007, 21 août 2008 et 4 décembre 2008. Comme ces faits ne figurent pas dans la décision attaquée, ils doivent être considérés comme nouveaux, de sorte qu'ils ne peuvent être pris en considération par le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF).
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
S'il admet le recours, le Tribunal fédéral peut soit statuer lui-même sur le fond, soit renvoyer l'affaire à l'autorité précédente, voire à l'autorité de première instance (art. 107 al. 2 LTF).
2. 2.1 La recourante fait valoir essentiellement qu'elle n'a pas pu défendre efficacement ses intérêts devant le juge de commune, parce qu'elle n'était pas assistée d'un avocat et qu'elle ignorait la procédure cantonale, ce qui l'a empêchée de faire entendre son témoin (Z._). Elle estime que le juge aurait dû constater cette situation et faire application de l'art. 34 CPC/VS.
Selon cette disposition cantonale, lorsqu'il estime qu'une partie n'est pas en mesure de mener elle-même le procès avec la clarté requise et en la forme prescrite, le juge peut lui enjoindre de se faire représenter par une personne habilitée au sens de la loi sur la profession d'avocat (al. 1); si la partie n'a pas obtempéré à l'expiration du délai comminatoire, il est procédé selon les règles applicables à la partie défaillante (al. 2).
Comme le recours en matière civile n'est pas ouvert pour se plaindre d'une violation du droit cantonal, la recourante invoque la protection contre l'arbitraire garantie par l'art. 9 Cst. et fait valoir que le droit cantonal a été violé de manière indéfendable (cf. ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 s.).
Dans un tel cas, l'examen du Tribunal fédéral est cependant limité à l'arbitraire (sur la définition de l'arbitraire : cf. ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 et les arrêts cités).
L'autorité cantonale a estimé que l'art. 34 CPC/VS n'était pas applicable dans le domaine de la procédure sommaire, à laquelle est soumise la requête en évacuation d'un locataire (art. 282 al. 1 let. a CPC/VS).
L'art. 34 CPC/VS est contenu dans le titre premier de la loi qui s'intitule " Généralités" . Il formule donc une règle générale qui est en principe applicable à toutes les procédures prévues par le code. L'art. 282 al. 2 in initio CPC/VS précise cependant que " les règles de procédure du présent code valent par analogie pour la procédure sommaire". Qu'il soit question d'analogie montre que les règles générales ne sont pas sans autre examen applicables à la procédure sommaire et qu'il n'est pas exclu d'écarter certaines normes qui apparaîtraient incompatibles avec les principes prévalant dans cette procédure spéciale. L'autorité cantonale a considéré que tel était le cas avec l'art. 34 CPC/VS, en faisant valoir que la fixation d'un délai pour mandater un avocat et l'application, le cas échéant, de la procédure par défaut n'étaient pas conciliables avec les principes de la procédure sommaire. Elle invoque, à l'appui de son opinion, l'avis de l'unique commentateur cité par les parties. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral, qui n'examine la question que sous l'angle de l'arbitraire, de dire quelle est la bonne interprétation du droit cantonal. Il suffit d'observer ici que l'argumentation présentée par l'autorité cantonale apparaît soutenable et qu'on ne peut pas considérer comme arbitraire de trancher une question peut-être délicate en suivant l'opinion de la doctrine, même si elle se résume à un auteur.
L'arbitraire n'étant pas démontré, ce premier grief est infondé.
2.2 La recourante invoque ensuite l'arbitraire dans l'appréciation des preuves (sur cette notion: cf. ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
Il faut cependant rappeler que le Tribunal fédéral peut s'écarter des constatations cantonales non seulement lorsque les faits ont été établis de façon arbitraire, mais aussi lorsqu'ils ont été établis en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF).
Avant de dire si les preuves recueillies ont ou non été appréciées arbitrairement, il faut se demander si la procédure probatoire a été menée correctement. S'il devait apparaître que l'administration des preuves doit être complétée, cela suffirait pour justifier le renvoi de la cause à l'autorité cantonale et la question de l'appréciation des preuves serait reportée à plus tard, sur la base de l'ensemble des moyens de preuve qui devaient être réunis.
La recourante a invoqué de manière un peu confuse l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.), son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.) et son droit à un procès équitable (art. 6 CEDH). Elle se plaint essentiellement de n'avoir pas pu faire entendre le témoin dont elle a annoncé l'existence dans la lettre par laquelle elle a saisi le juge de commune.
Contrairement à ce que pense la recourante, le problème qu'elle pose par son argumentation ne relève pas du droit cantonal, mais bien du droit fédéral (dont le respect peut être contrôlé librement et d'office par le Tribunal fédéral : art. 106 al. 1 LTF).
2.3 Il ressort manifestement des constatations cantonales que la recourante a conclu un contrat de bail à loyer au sens de l'art. 253 CO, qui a été transféré ensuite à l'acquéreur de l'immeuble en application de l'art. 261 al. 1 CO.
Le congé lui a été donné conformément à l'art. 257d CO pour le motif qu'elle n'a pas payé le loyer du mois de juillet 2006.
La recourante soutient que cette dette de loyer n'existait plus, parce qu'elle avait été éteinte par une remise de dette (art. 115 CO). La remise de dette constitue un contrat bilatéral non formel conclu entre le créancier et son débiteur (ATF 131 III 586 consid. 4.2.3.4 p. 593). Comme le montre l'emplacement de l'art. 115 CO dans le code, il s'agit d'un motif d'extinction de l'obligation.
Il résulte de l'art. 8 CC que le créancier doit prouver les faits qui fondent sa prétention, tandis que le débiteur doit prouver les faits qui entraînent l'extinction ou la perte du droit (ATF 130 III 321 consid. 3.1 p. 323). Il incombe donc à la recourante de prouver que sa dette de loyer (pour le mois de juillet 2006) a été éteinte, avant l'expiration du délai comminatoire, par la remise de dette qu'elle allègue.
Pour dire s'il y a eu ou non une remise de dette au sens de l'art. 115 CO, il faut préalablement déterminer quels ont été les déclarations et les comportements des parties, ce qui relève du fait (cf. ATF 129 III 118 consid. 2.5 p. 122).
Dès lors que la recourante avait le fardeau de cette preuve, on déduit de l'art. 8 CC qu'elle avait aussi le droit d'apporter la preuve qui lui incombait (ATF 126 III 315 consid. 4a), à la condition qu'il s'agisse d'établir un fait pertinent, qui n'est pas déjà prouvé, par une mesure probatoire adéquate et régulièrement offerte selon les règles de la loi de procédure applicable (ATF 129 III 18 consid. 2.6 p. 24 s.).
Savoir si le bailleur de l'époque avait renoncé au loyer de juillet 2006 est un fait pertinent pour statuer sur l'efficacité du congé donné en application de l'art. 257d CO; ce fait est contesté et le témoignage d'une personne qui aurait assisté à la discussion avec l'ancien bailleur est en soi apte à apporter la preuve requise. Il a toutefois été observé que la recourante n'avait pas demandé l'audition de son témoin selon les règles de la procédure valaisanne.
2.4 L'autorité cantonale a perdu de vue que l'art. 274d al. 3 CO, pour les litiges portant sur des baux d'habitation ou de locaux commerciaux, a prévu que le juge établit d'office les faits et apprécie librement les preuves, les parties étant tenues de lui présenter toutes les pièces nécessaires à l'appréciation du litige.
Cette disposition institue une maxime inquisitoire sociale. Certes cette maxime ne garantit pas aux plaideurs que tous les faits importants seront élucidés (ATF 125 III 231 consid. 4a p. 238 s.; MAX KUMMER, in Berner Kommentar, 1962, n° 25 ad art. 8 CC). Ainsi, elle n'oblige pas le juge à instruire d'office le litige lorsqu'un plaideur renonce à expliquer sa position. En revanche, elle lui impose d'interroger les parties et de les informer de leur devoir de collaborer à l'instruction et de fournir des preuves. Si des motifs objectifs conduisent le juge à soupçonner que les allégations et offres de preuve d'une partie sont lacunaires, il n'est pas lié par l'offre de preuves en question et a le devoir de rechercher lui-même des preuves pour autant qu'il ait connaissance, sur la base des déclarations des parties et/ou du dossier, de l'existence de moyens probatoires pertinents (PETER HIGI, Berner Kommentar, 4e éd., 1996, n° 60 et n° 79 ad art. 274d CO). Le juge peut de même inviter cette partie à compléter ses moyens (ATF 125 III 231 consid. 4a p. 238), par exemple si les documents produits sont insuffisants (arrêt 4A_214/2007 du 12 novembre 2007 consid. 5). Cette maxime inquisitoire sociale a été conçue pour venir en aide à la partie économiquement faible, a fortiori si elle n'est pas assistée d'un avocat (cf. ATF 125 III 231 ibidem).
En l'espèce, l'autorité de conciliation avait considéré la remise de dette comme non prouvée en observant que la recourante n'avait pas pu produire un document émanant du bailleur d'où ressortirait la volonté de celui-ci de renoncer au loyer de juillet 2006. Après cela, la recourante a saisi le juge en lui indiquant qu'elle n'avait certes pas de document de cette nature, mais qu'elle avait un témoin en la personne d'un entrepreneur qui avait assisté à la discussion et qui accompagnait le bailleur. Sur cette base, le juge de commune devait, en application de l'art. 274d al. 3 CO, soit convoquer lui-même ce témoin, soit donner à la recourante toutes les explications nécessaires pour qu'elle puisse offrir cette preuve testimoniale, conformément aux règles de la procédure cantonale. En ne faisant rien du tout - alors qu'il devait savoir que la recourante invoquait ce moyen de preuve - et en concluant ensuite qu'elle n'avait pas valablement cité son témoin, le juge de commune a clairement violé l'art. 274d al. 3 CO. Pour ne pas l'avoir constaté, l'autorité précédente a également violé cette norme.
Il reste évidemment que le juge aurait pu refuser d'entendre ce témoin s'il pouvait, par une appréciation anticipée des preuves non arbitraire, considérer que la vérité était déjà établie et que le résultat de cette mesure probatoire ne pouvait plus l'influencer (cf. ATF 129 III 18 consid. 2.6 p. 24 s. et les arrêts cités).
La situation se présente cependant de la manière suivante. Il n'est pas contesté que la recourante a constamment payé le loyer avant et après juillet 2006 et ceci durant vingt-cinq ans. On en déduit nécessairement qu'il a dû se passer quelque chose de particulier pour ce mois-là. On observe ensuite que le loyer de juillet 2006 n'a pas été réclamé avant le 9 février 2009. Ce laps de temps considérable est un indice pouvant donner à penser que le bailleur estimait la somme non due. On remarque encore que la somme n'a jamais été réclamée par le bailleur de l'époque - qui savait peut-être qu'elle ne lui était pas due - mais seulement beaucoup plus tard, par son cessionnaire. Il y a là un certain nombre de circonstances spéciales qui concourent à la possibilité d'une remise de dette. En tout cas, le juge ne pouvait pas conclure, sans tomber dans l'arbitraire, que l'absence de remise de dette était d'emblée établie. Il est certes vrai qu'il n'est pas question de croire la version de la recourante sur la base de ses seules déclarations, mais cela ne permet pas davantage d'affirmer qu'elle ment. L'autorité cantonale a observé qu'une remise de dette était peu vraisemblable, parce que les parties étaient en mauvais termes; cette argumentation ne permet aucune conclusion, ni dans un sens, ni dans l'autre. En effet, si le bailleur n'était pas disposé à faire un cadeau à la recourante, on ne comprend pas pourquoi il n'a pas réclamé son dû pendant de nombreux mois. Le juge ne pouvait pas conclure - sans verser dans l'arbitraire - que l'absence de remise de dette était d'emblée prouvée. Il devait au contraire permettre à la recourante de faire entendre son témoin, moyen de preuve que la procédure cantonale n'exclut pas (cf. art. 287 al. 1 CPC/VS). N'ayant pas procédé à cette audition pour des motifs formels, cela sans avoir correctement renseigné la recourante sur la manière de procéder, le juge de commune - et après lui, l'autorité précédente - a violé l'art. 274d al. 3 CO qui impose au juge un certain devoir d'établir d'office les faits.
S'agissant d'une norme de droit fédéral, elle s'impose à la procédure cantonale (art. 49 al. 1 Cst.).
Partant, le recours doit être admis et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'il soit procédé à l'audition de ce témoin. Savoir si cette audition doit être faite par l'autorité précédente ou par le juge de commune est une pure question de droit cantonal que l'autorité précédente devra trancher. Après cette audition, une nouvelle décision devra être rendue en appréciant l'ensemble des preuves.
3. Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité précédente
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal de Martigny et St-Maurice, Juge I des districts de Martigny et St-Maurice.
Lausanne, le 8 décembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet