Faits:
A. Ressortissant macédonien né en 1979, A.X._ est entré en Suisse le 2 octobre 2001 et y a déposé une demande d'asile qui a été rejetée le 30 décembre 2002. Le 21 mars 2003, il a épousé une Suissesse, B.Y._. Il a par conséquent obtenu une autorisation de séjour qui a été régulièrement prolongée, la dernière fois jusqu'au 20 mars 2006. Les époux X.Y._ se sont séparés et l'ont annoncé le 16 septembre 2005 à l'autorité communale compétente.
Le 6 mars 2006, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de A.X._. Il a considéré que le mariage de l'intéressé était vidé de toute substance. Ayant recouru, A.X._ a été débouté sur le plan cantonal, puis fédéral (arrêt 2C_20/2007 du 9 juillet 2007).
B. Le 26 juillet 2007, A.X._ a demandé au Service cantonal de réexaminer sa situation, en faisant valoir que ses beaux-parents voulaient l'adopter. Par décision du 7 septembre 2007, le Service cantonal a admis la recevabilité de la demande de réexamen, mais refusé l'autorisation requise en raison du rejet de l'adoption.
A.X._ a recouru contre la décision précitée. Le 29 janvier 2008, en cours d'instruction, il a annoncé à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: le Tribunal cantonal) qu'il avait l'intention d'épouser C.Z._, une Indonésienne titulaire d'une autorisation d'établissement en Suisse qui était, comme lui, sur le point de divorcer et avec laquelle il vivait; il produisait du reste une promesse de mariage datée du 4 janvier 2008 et signée par elle. Dans ses déterminations du 5 février 2008, le Service cantonal a conclu au rejet du recours, car l'intéressé ne remplissait les conditions d'octroi d'une autorisation de séjour ni en vue de mariage (il ne pouvait pas entreprendre de démarches concrètes à cette fin) ni pour concubin (il ne pouvait pas démontrer l'existence d'une relation stable d'une certaine durée). A.X._ a retiré son recours le 28 février 2008 et la cause a été rayée du rôle le 4 mars 2008.
C. Le 5 mai 2008, A.X._ a déposé une nouvelle demande de réexamen auprès du Service cantonal. Il faisait valoir que son divorce allait être prononcé et qu'il avait l'intention d'épouser dans un proche avenir C.Z._, qui avait entrepris des démarches en vue de divorcer par requête commune. Il produisait à nouveau la promesse de mariage susmentionnée. Le 26 mai 2008, le Service cantonal a déclaré cette demande de réexamen irrecevable; subsidiairement, il l'a rejetée.
Le divorce des époux X.Y._, prononcé le 19 juin 2008, est devenu définitif et exécutoire le 1er juillet 2008.
D. Par arrêt du 28 août 2008, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de A.X._ contre la décision du Service cantonal du 26 mai 2008 et confirmé ladite décision. Tout en relevant le manque de clarté de la position du Service cantonal qui a déclaré irrecevable la demande de réexamen et l'a subsidiairement rejetée, les juges cantonaux ont considéré en substance que les éléments invoqués par l'intéressé ne constituaient pas des faits nouveaux, car A.X._ s'en était déjà prévalu durant la première procédure de réexamen. C'était donc à juste titre que la seconde demande de réexamen avait été déclarée irrecevable. En outre, le divorce de l'intéressé ne modifiait en rien la situation, dès lors que sa prétendue future épouse n'était pas encore divorcée et que rien ne permettait d'affirmer qu'elle le serait dans un proche avenir.
E. Le 26 septembre 2008, A.X._ a déposé au Tribunal fédéral un "recours en matière de droit public et constitutionnel subsidiaire" contre l'arrêt du Tribunal cantonal du 28 août 2008. Il conclut, sous suite de frais et dépens, principalement, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que sa demande de réexamen soit admise, lui-même pouvant prétendre à l'octroi d'une autorisation de séjour, et, subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt entrepris, la cause étant renvoyée "à l'instance inférieure" pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il présente une demande d'effet suspensif/mesures provisionnelles ainsi qu'une requête de suspension de cause jusqu'à droit connu sur les démarches entreprises par C.Z._ en vue de son divorce.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 p. 113) a été abrogée par l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20; cf. ch. I de l'annexe à l'art. 125 LEtr). D'après l'art. 126 al. 1 LEtr, les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la nouvelle loi sont régies par l'ancien droit. La demande de réexamen qui est à la base du présent litige est postérieure au 1er janvier 2008. Il y a donc lieu d'appliquer le nouveau droit en l'espèce.
2. Selon l'art. 83 lettre c ch. 2 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
2.1 Le recourant ne peut pas revendiquer de droit à une autorisation de séjour en rapport avec son mariage. En effet, il est actuellement divorcé, de sorte qu'il ne peut pas se prévaloir de l'art. 42 LEtr; de plus, son union conjugale avec B.X.Y._ a duré moins de trois ans, de sorte qu'il ne peut pas invoquer l'art. 50 al. 1 lettre a LEtr.
2.2 Par ailleurs, le recourant ne peut pas se prévaloir du droit au respect de sa vie privée et familiale garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH, en raison de la relation qu'il entretient avec C.Z._. Sous réserve de circonstances particulières, les fiancés ou les concubins ne sont, en effet, pas habilités à invoquer cette disposition; ainsi, l'étranger fiancé à une personne ayant le droit de s'établir en Suisse ne peut, en principe, pas prétendre à une autorisation de séjour, à moins que le couple n'entretienne depuis longtemps des relations étroites et effectivement vécues et qu'il n'existe des indices concrets d'un mariage sérieusement voulu et imminent, comme la publication des bans du mariage (arrêts 2C_520/2007 du 15 octobre 2007, consid. 2.2, et 2C.90/2007 du 27 août 2007, consid. 4.1 et les références). Le recourant ne démontre pas qu'il entretienne depuis longtemps des relations étroites et effectivement vécues avec C.Z._ et on ne saurait considérer qu'il soit sur le point de l'épouser, puisque le divorce de celle-ci n'a pas encore été prononcé.
Au vu de ce qui précède, le recours en matière de droit public est irrecevable, au regard de l'art. 83 lettre c ch. 2 LTF.
3. Reste à examiner le recours constitutionnel subsidiaire. Cette voie de droit n'est ouverte que pour se plaindre de la violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF), qu'il appartient au recourant d'invoquer et de motiver sous peine d'irrecevabilité (cf. art. 106 al. 2 LTF applicable par renvoi de l'art. 117 LTF). Le recourant doit en outre avoir un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 115 lettre b LTF). Faute de droit à une autorisation de séjour, l'interdiction générale de l'arbitraire découlant de l'art. 9 Cst. ne confère pas à elle seule au recourant une position juridique protégée au sens de l'art. 115 lettre b LTF (ATF 133 I 185 consid. 6.1 p. 197/198). En outre, le principe de la proportionnalité ne constitue pas un droit constitutionnel ayant une portée propre sur lequel le recourant pourrait se fonder (cf. arrêt 2C_668/2007 du 7 décembre 2007, consid. 4.2).
Le recourant critique le raisonnement des juges cantonaux qu'il qualifie d'insoutenable, d'arbitraire et de contraire au principe de la proportionnalité. Dans la mesure où il n'invoque aucun autre droit constitutionnel au sens de l'art. 116 LTF, son recours constitutionnel subsidiaire est aussi irrecevable.
4. Au vu de ce qui précède, le recours en matière de droit public et le recours constitutionnel subsidiaire doivent être déclarés irrecevables, sans qu'il soit nécessaire d'ordonner un échange d'écritures (cf. art. 102 LTF).
Le présent arrêt rend sans objet la demande d'effet suspensif/mesures provisionnelles ainsi que la requête tendant à la suspension de la procédure.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public et le recours constitutionnel subsidiaire sont irrecevables.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 13 octobre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Merkli Dupraz