Sachverhalt:
A. Die Generalstaatsanwaltschaft der Republik Korea (Südkorea) führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen Vermögens- und Börsendelikten sowie Geldwäscherei. Am 11. Juni 2008 ersuchten die koreanischen die schweizerischen Behörden um Rechtshilfe. Am 13. Juni 2008 eröffnete die Bundesanwaltschaft (BA) aufgrund einer Verdachtsmeldung der schweizerischen Meldestelle für Geldwäscherei ein selbstständiges gerichtspolizeiliches Ermittlungsverfahren gegen X._ wegen Geldwäscherei.
B. Mit Verfügung vom 14. Mai 2009 delegierte das Bundesamt für Justiz (BJ) den Vollzug des Rechtshilfeersuchens an die BA. Mit Eintretens- und Schlussverfügung vom 19. August 2009 bewilligte die BA das Rechtshilfeersuchen und ordnete die Herausgabe von Bankunterlagen an die koreanischen Behörden an, welche die BA in ihrem eigenen Ermittlungsverfahren erhoben hatte. Eine vom Angeschuldigten (und fünf in Hongkong domizilierten Gesellschaften) dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, mit Entscheid vom 9. April 2010 ab.
C. Gegen den Entscheid des Bundesstrafgerichtes gelangten X._ und fünf in Hongkong domizilierte Gesellschaften mit Beschwerde vom 26. April 2010 an das Bundesgericht. Sie beantragen (im Hauptstandpunkt) die Aufhebung des angefochtenen Entscheides vom 9. April 2010 und die Verweigerung der Rechtshilfe.
Die BA und das BJ beantragen je, auf die Beschwerde sei (mangels besonders bedeutenden Falles) nicht einzutreten. Das Bundesstrafgericht hat auf Stellungnahme verzichtet. Die Beschwerdeführer replizierten am 17. Mai 2010.
Erwägungen:
1. Gemäss Art. 84 BGG ist gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, wenn er eine Auslieferung, eine Beschlagnahme, eine Herausgabe von Gegenständen oder Vermögenswerten oder eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich betrifft und es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt (Abs. 1). Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Abs. 2).
1.1 Zwar geht es im vorliegenden Fall um die rechtshilfeweise Herausgabe von Bankunterlagen und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 84 Abs. 1 BGG insoweit möglich wäre. Zu prüfen ist jedoch zusätzlich, ob es sich hier um einen besonders bedeutenden Fall handelt.
1.2 Art. 84 BGG bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen. Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (BGE 134 IV 156 E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweis; vgl. auch BGE 133 IV 125 E. 1.4 S. 128 f.; 129 E. 1 S. 130; 131 E. 2-3 S. 131 f.; 132 E. 1 S. 133 f.; 215 E. 1.2 S. 217 f.; 271 E. 2.2.2 S. 274). Gerade im Bereich der sogenannten "kleinen" Rechtshilfe kann ein besonders bedeutender Fall nur ausnahmsweise angenommen werden. In der Regel stellen sich namentlich keine wichtigen bzw. erstmals zu beurteilenden Rechtsfragen, die einer Klärung durch das Bundesgericht bedürften (BGE 134 IV 156 E. 1.3.4 S. 161). Auch der Begriff des schweren Mangels des ausländischen Verfahrens ist restriktiv auszulegen (BGE 133 IV 131 E. 3 S. 132; 271 E. 2.2.2 S. 274).
1.3 Nach Art. 109 BGG entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf eine Beschwerde, wenn kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet (Abs. 3; zum vereinfachten Verfahren nach Art. 109 i.V.m. Art. 84 und Art. 107 Abs. 3 BGG vgl. BGE 133 IV 125 ff.).
2. Zur Begründung der Sachurteilsvoraussetzungen von Art. 84 BGG machen die Beschwerdeführer geltend, der vorliegende Rechtshilfefall sei von grosser politischer Bedeutung. Der damalige Vorstandsvorsitzende der Daewoo-Gruppe habe den Beschwerdeführer 1 im Jahre 1998 gebeten, seine Beziehungen zum damaligen südkoreanischen Staatspräsidenten zu nutzen, um die drohende Illiquidität des Konzerns (durch Lockerung gesetzlicher Finanzregulierungen) abwenden zu können. Als Gegenleistung habe der Vorstandsvorsitzende dem Beschwerdeführer 1 wirtschaftliche Vorteile zugesichert. In einen zweiten untersuchten Sachverhalt (betreffend Börsendelikte bzw. Geldwäscherei) sei zudem ein Angehöriger der wirtschaftlichen Elite Südkoreas verwickelt, weshalb der Fall mediale Aufmerksamkeit erhalten habe.
Der blosse Umstand, dass der Angeschuldigte (Beschwerdeführer 1) den früheren südkoreanischen Staatspräsidenten angeblich gekannt und wegen geschäftlichen Anliegen kontaktiert habe bzw. dass die untersuchten Sachverhalte (betreffend Vermögens- und Börsendelikten bzw. Geldwäscherei) auch eine gewisse politische Konnotation aufweisen, lässt den vorliegenden Rechtshilfefall nicht als besonders bedeutend erscheinen. Analoges gilt für das Vorbringen, in einen der untersuchten Sachverhalte sei ein Angehöriger der wirtschaftlichen Elite des ersuchenden Staates verwickelt.
3. In der Beschwerde wird weiter vorgebracht, es sei eine Rechtsfrage von grundlegender Bedeutung zu prüfen, nämlich die Frage, ob die Sachdarstellung des Ersuchens für den Rechtshilferichter verbindlich sei.
Die Vorinstanz hat sich - in Übereinstimmung mit der bundesgerichtlichen Praxis - mit den Vorbringen der Beschwerdeführer zum massgeblichen Sachverhalt befasst (vgl. angefochtener Entscheid, E. 3-4, S. 7-11). Insbesondere hat sie den Einwand verworfen, Urteile koreanischer Gerichte widersprächen der Sachdarstellung des Ersuchens (vgl. angefochtener Entscheid, E. 3.3 S. 10 und E. 4 S. 11). Es stellen sich in diesem Zusammenhang (unter dem Gesichtspunkt von Art. 84 BGG) keine grundlegenden Rechtsfragen, die vom Bundesgericht zu klären wären.
4. Schliesslich machen die Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz sei (zur Frage der Verhältnismässigkeit der Rechtshilfemassnahmen bzw. des sogenannten "Übermassverbotes") von der Praxis des Bundesgerichtes abgewichen.
Diese Argumentation findet in den Akten keine Stütze. Der Vorwurf der Beschwerdeführer, die Vorinstanz sei von der Rechtsprechung abgewichen, erschöpft sich in appellatorischer Kritik an den materiellen Erwägungen des angefochtenen Entscheides. Diese stützen sich auf die bundesgerichtliche Praxis, auf die zurückzukommen kein Anlass besteht (vgl. angefochtener Entscheid, E. 5, S. 11-15). Dies gilt namentlich für die Frage des Umfangs bzw. der Erheblichkeit der zu übermittelnden Dokumente (vgl. angefochtener Entscheid, E. 5.2 S. 12 f., E. 5.3 S. 14 f.). Dass die Beschwerdeführer der von der Vorinstanz zutreffend dargelegten Gerichtspraxis ihre eigene (abweichende) Meinung und Interpretation entgegenstellen, lässt den Rechtshilfefall nicht als besonders bedeutend erscheinen.
5. Nach dem Gesagten sind die Sachurteilsvoraussetzungen von Art. 84 BGG nicht erfüllt.
Entgegen ihrem Antrag ist den Beschwerdeführern keine Frist zu Beschwerdeergänzung einzuräumen. Da die Beschwerde sich bereits unter dem Gesichtspunkt von Art. 84 BGG als unzulässig erweist, sind die gesetzlichen Voraussetzungen von Art. 43 lit. a BGG nicht erfüllt. Das Vorliegen eines besonders bedeutenden Falles ist denn auch in der Beschwerdeschrift (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG) und innert der Frist von Art. 100 Abs. 2 lit. b BGG darzulegen (Urteil des Bundesgerichtes 1C_421/2009 vom 26. Oktober 2009 E. 4; vgl. Heinz Aemisegger/Marc Forster, in: Basler Kommentar BGG, Basel 2008, Art. 43 N. 4).
6. Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend, sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Bundesanwaltschaft sowie dem Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Mai 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster