Faits:
A. Née en 1973, B._, mariée et mère de deux enfants mineurs, a travaillé notamment comme employée de restaurant et accessoirement comme nettoyeuse. Le 9 novembre 2004, elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, invoquant souffrir de douleurs à la colonne vertébrale et d'un eczéma dépressif. Après avoir notamment recueilli l'avis du docteur P._ et pris des renseignements auprès de la doctoresse V._ (tous deux dermatologues traitants), l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a soumis B._ à un examen rhumatologique et psychiatrique auprès de son Service médical régional AI (SMR). Dans leur rapport du 13 février 2007, les docteurs O._, R._ et C._ ont diagnostiqué des cervicalgies chroniques sur troubles dégénératifs et des lombalgies chroniques sur troubles statiques et dégénératifs du rachis lombaire; à titre de diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail, ils ont indiqué un trouble de l'adaptation (réaction dépressive prolongée) et une fibromyalgie. Les médecins du SMR ont conclu que sur le plan ostéoarticulaire et psychiatrique, l'assurée présentait, depuis toujours, une pleine capacité de travail dans une activité adaptée respectant certaines limitations fonctionnelles ("pas de port de charges supérieures à 10 kg de façon répétitive, pas de position statique au-delà d'une heure sans possibilité de varier les positions assise et debout. Pas de position en porte-à-faux, en antéflexion du rachis à répétition contre résistance. Pas d'activité avec position en hyperextension ou en hyperflexion du rachis cervical ou mouvements répétitifs de rotation D-6 du rachis cervical."); dans une activité à fortes charges physiques, la capacité de travail était en revanche de 50 %.
Fort de ces conclusions, l'office AI a informé B._ qu'il comptait rejeter sa demande de prestations, au motif qu'elle présentait un taux d'invalidité (de 16,99 %) insuffisant pour ouvrir le droit à une rente (projet de décision du 10 octobre 2007). Contestant le point de vue de l'administration, l'assurée lui a fait parvenir un rapport de la doctoresse V._ du 31 octobre 2007, puis du docteur F._, spécialiste FMH en médecine physique et réhabilitation, du 6 mars 2008. Après avoir soumis le dossier au SMR, l'office AI a rendu une décision, le 22 mai 2008, par laquelle il a refusé à l'assurée le droit à une rente.
B. Statuant le 22 décembre 2009 sur le recours formé par B._ contre ce jugement, le Tribunal cantonal, Cour des assurances sociales, du canton de Vaud l'a rejeté.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, B._ conclut principalement à la réforme du jugement cantonal, en ce sens que lui soit accordée une rente entière d'invalidité dès le 1er août 2004. A titre subsidiaire, elle demande le renvoi de la cause à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois pour nouvelle instruction et/ou décision.
L'office AI conclut implicitement au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité. Le jugement entrepris expose correctement les règles légales et la jurisprudence sur la notion d'invalidité et son évaluation, ainsi que les principes jurisprudentiels relatifs aux troubles somatoformes douloureux et à la valeur probante des rapports médicaux. Il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 Examinant tour à tour les rapports du SMR, du docteur P._, de la doctoresse V._ et de leur confrère F._, l'autorité cantonale de recours a constaté que l'assurée présentait une capacité de travail de plus de 60 % dès le mois d'août 2005, puis de 100 % à partir du printemps 2006 dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles induites par les atteintes à la santé dermatologiques et ostéoarticulaires. Elle s'est, en particulier, écartée de l'avis du docteur P._, dont le rapport du 21 janvier 2005 ne tenait pas compte de l'évolution positive de la maladie dermatologique après traitement, constatée par la doctoresse V._, selon laquelle l'assurée pouvait reprendre le travail dans une activité adaptée à un taux de 100 % (rapport du 31 octobre 2007). Il n'y avait pas non plus lieu, de l'avis des premiers juges, de tenir compte de l'évolution qualifiée par la recourante de "capricieuse et imprévisible" de la pathologie, puisqu'elle était incertaine. L'autorité de recours de première instance a par ailleurs constaté que l'assurée souffrait d'une fibromyalgie sans présenter de comorbidité psychiatrique, alors que les critères dégagés par la jurisprudence relatifs au caractère invalidant de ce diagnostic n'étaient pas réalisés, de sorte que les conclusions du docteur F._ quant à une incapacité entière de travail de sa patiente ne pouvaient être suivies, celle-ci ne présentant aucune atteinte psychique invalidante au sens de la loi.
3.2 La recourante conteste disposer d'une capacité de travail entière dans une activité adaptée, telle que constatée par les premiers juges. Elle leur reproche de s'être fondés sur le rapport du SMR du 13 février 2007 qui n'a pas, à ses yeux, valeur probante et d'avoir évalué sa capacité de travail sans considérer les affections dermatologiques et ostéoarticulaires mises en évidence par les docteurs V._ et P._, respectivement le docteur F._. Se référant aux évaluations de ces médecins, que la juridiction cantonale aurait appréciées de manière arbitraire selon elle, B._ se prévaut d'une incapacité totale de travail en raison de l'ensemble des atteintes qu'elle présente, y compris la fibromyalgie dont l'autorité de recours de première instance aurait à tort nié le caractère invalidant.
4. 4.1 En ce qui concerne tout d'abord la valeur probante du rapport du SMR du 13 février 2007, la recourante se plaint de n'avoir pas pu vérifier si les auteurs dudit rapport disposaient des qualifications nécessaires pour rendre une expertise, dès lors que la juridiction cantonale n'avait pas donné suite à sa requête tendant à la production du "dossier professionnel" des médecins du SMR. En tant que la recourante entend contester les qualifications professionnelles des auteurs du rapport en cause pour en contester la valeur probante, son grief est mal fondé.
Selon la jurisprudence, la valeur probante d'une expertise dans une discipline médicale particulière dépend en effet du point de savoir si l'expert dispose d'une formation spécialisée dans le domaine concerné. Le titre de spécialiste (FMH) n'en est en revanche pas une condition (arrêt 9C_270/2007 du 12 août 2008 consid. 3.3). Ce qui est déterminant pour le juge, lorsqu'il a à apprécier un rapport médical, ce sont les compétences professionnelles de son auteur, dès lors que l'administration et les tribunaux doivent pouvoir se reposer sur les connaissances spécialisées de l'expert auquel ils font précisément appel en raison de son savoir particulier. Aussi, le rôle de l'expert médical dans une discipline médicale spécifique suppose-t-il des connaissances correspondantes bien établies de la part de l'auteur du rapport médical ou du moins du médecin qui vise celui-ci (arrêt 9C_53/2009 du 29 mai 2009 consid. 4.2 et les arrêts cités).
En l'occurrence, selon les constatations de la juridiction cantonale, qui lient le Tribunal fédéral (consid. 1 supra), le rapport d'examen a été élaboré par deux médecins titulaires d'un titre FMH, alors que le troisième signataire, le docteur O._, qui pratiquait la médecine depuis de nombreuses années, a obtenu son titre FMH en psychiatrie moins de deux mois après le 13 février 2007. Compte tenu de ces constatations, ni les vagues critiques de la recourante, ni un autre élément au dossier ne permettent de mettre en doute les compétences professionnelles des médecins du SMR appelés à examiner l'assurée. L'appréciation de la juridiction cantonale, qui a accordé pleine valeur probante à leur rapport du 13 février 2007 n'est dès lors pas contraire au principe de la libre appréciation des preuves.
4.2 C'est en vain ensuite que la recourante reproche aux premiers juges de s'être fondés seulement sur le rapport du SMR du 13 février 2007, qui ne portait que sur des aspects rhumatologique et psychiatrique, sans instruire plus avant l'exigibilité professionnelle sur le plan dermatologique. Pour évaluer la nature et l'étendue de l'atteinte cutanée présentée par l'assurée, la juridiction cantonale s'est en effet appuyée sur les conclusions de la doctoresse V._, en expliquant de manière convaincante les raisons - auxquelles il suffit de renvoyer (jugement entrepris consid. 4b/aa) - qui l'ont conduite à s'écarter de l'avis du docteur P._, antérieur à la fin du traitement instauré auprès de sa consoeur. Contrairement à ce que prétend la recourante, l'autorité précédente a ainsi procédé également à une appréciation des troubles cutanés et de leur influence sur la capacité de travail, puisqu'elle a pris en considération les évaluations respectives des dermatologues consultés.
Cette appréciation n'est par ailleurs pas arbitraire, dès lors qu'elle repose sur les conclusions de la doctoresse V._, selon laquelle l'eczéma était en rémission complète au printemps 2006 et la patiente pouvait travailler dans une activité exclusivement à sec, sans sollicitation cutanée, tant mécanique que chimique. Si la praticienne a certes indiqué que la capacité de travail varierait entre 0 et 50 % en cas de poussées d'eczéma, il s'agit là d'un pronostic qu'elle a qualifié d'incertain (en précisant aussi qu'"une amélioration dans les années à venir est possible, mais pas du tout certaine") et qui n'a donc pas à être pris en considération (l'hypothèse d'une révision future au sens de l'art. 17 LPGA étant réservée). Compte tenu de l'avis de la doctoresse V._, les premiers juges n'avaient en outre pas l'obligation, invoquée par l'assurée, d'ordonner une "investigation médicale plus poussée" ou de la faire examiner par un médecin du SMR, dès lors qu'à l'issue d'une appréciation anticipée des preuves qui ne saurait être qualifiée d'insoutenable, ils étaient convaincus que celles-ci leur permettaient de porter un jugement valable sur le droit litigieux (cf. ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 428 et les références).
4.3 En tant que la recourante soutient encore que sa capacité de travail serait restreinte de manière significative en raison de ses troubles lombaires, au dos et aux cervicales, en se référant au rapport du docteur F._, elle se limite à substituer sa propre appréciation à celle des premiers juges, ce qui ne suffit pas à démontrer que leurs considérations seraient entachées d'arbitraire. Au demeurant, la symptomatologie cervicale et dorso-lombaire présentée par la recourante a été dûment prise en compte par la juridiction cantonale qui a suivi à cet égard les conclusions des médecins du SMR.
En affirmant, enfin, que la fibromyalgie dont elle est atteinte présente un caractère invalidant en raison de la perte d'intégration sociale qu'elle a subie, la recourante n'établit pas en quoi les constatations de la juridiction cantonale sur l'absence de ce critère seraient manifestement inexactes. Elle se limite à cet égard à qualifier les observations des médecins du SMR d'"orientées et erronées", sans remettre en cause la description qu'ils ont faite de sa vie quotidienne (reprise par la juridiction cantonale). Au regard du déroulement de ses journées et des relations qu'elle entretient avec sa famille et ses amis, on ne saurait retenir un retrait social important dans toutes les manifestations de la vie, la diminution de l'intérêt et du plaisir pour les activités quotidiennes retenue par les médecins du SMR ne constituant pas un élément suffisant pour admettre un tel retrait.
4.4 En conséquence de ce qui précède, il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation qu'a faite la juridiction cantonale des pièces médicales au dossier, en retenant que la recourante disposait d'une pleine capacité de travail dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles retenues. Comme ces données médicales apparaissent par ailleurs suffisantes pour se forger une conviction (voir aussi sur l'appréciation anticipée des preuves, ATF 122 II 469 consid. 4a, 122 III 223 consid. 3c), tant la requête de la recourante tendant à la mise en oeuvre d'une expertise dermatologique, que sa conclusion subsidiaire visant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire doivent être rejetées. Le recours se révèle donc en tous points mal fondé.
5. Vu l'issue de la procédure, les frais de justice y afférents doivent être mis à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 juin 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless