Sachverhalt:
A. Der 1954 geborene I._ war als Service-Techniker in der Firma H._ AG angestellt und dadurch bei der Winterthur Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 29. Juni 1997 verunfallte. Er wurde bei einem Ferienaufenthalt in Polen auf einem Fussgängerstreifen von einem Personenwagen angefahren. Die Winterthur gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 26. März 2003 und Einspracheentscheid vom 11. März 2004 sprach sie I._ für die verbleibenden Folgen des Unfalls rückwirkend ab 1. Dezember 2002 eine Invalidenrente (als Komplementärrente zu einer Rente der Invalidenversicherung) entsprechend einem Invaliditätsgrad von 100 % sowie eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 30 % zu. Die vom Versicherten gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit rechtskräftigem Entscheid vom 21. März 2005 insofern gut, als es den dem Rentenanspruch zugrunde zu legenden versicherten Verdienst erhöhte; in Bezug auf die überdies beantragte Erhöhung des Integritätsschadens wies es die Beschwerde ab.
Im Dezember 2005 leitete die Winterthur ein Rentenrevisionsverfahren ein. Die von ihr beabsichtigte medizinische Abklärung mittels psychiatrischer Begutachtung kam nicht zustande, was sie dem Versicherten anlastete. Die Winterthur liess I._ überdies zwischen Januar 2005 und Frühjahr 2006 durch eine Privatdetektei observieren. Zu den Ergebnissen der Überwachung, welche in einem Ermittlungsbericht vom 15. April 2005 (mit mehreren Nachträgen) und auf Videospeicherträgern festgehalten wurden, nahmen zwei beratende Ärzte des Versicherers am 25. Oktober 2006 Stellung. Mit Verfügung vom 14. Dezember 2006 und Einspracheentscheid vom 1. April 2008 stellte die Winterthur resp. deren Rechtsnachfolgerin AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) mit Wirkung per 28. Februar 2006 sämtliche Versicherungsleistungen ein. Zur Begründung wurde ausgeführt, zufolge Verletzung der Mitwirkungspflicht des Versicherten bei den vorgesehenen medizinischen Abklärungen sei aufgrund der vorhandenen Akten zu entscheiden. Gemäss den Ergebnissen der Observation und deren Beurteilung durch die beratenden Ärzte habe der Versicherte spätestens ab dem 1. März 2006 nicht mehr an unfallbedingten somatischen und/oder psychischen Beeinträchtigungen der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit gelitten. Damit sei eine Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen eingetreten, welche Anlass zu einer revisionsweisen Prüfung des Rentenanspruchs gebe und im Ergebnis zur Aufhebung der Invalidenrente führe.
B. Hiegegen erhob I._ Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug hiess diese mit Entscheid vom 26. Februar 2009 gut, hob die Verfügung vom 14. Dezember 2006 sowie den Einspracheentscheid vom 1. April 2008 auf, stellte fest, dass ab 1. März 2006 weiterhin Anspruch auf eine volle Rente bestehe, und verpflichtete die AXA, dem Versicherten die entsprechenden Rentenbeträge samt Verzugszins nachzuzahlen, soweit die Leistungen nicht bereits im Laufe des Verfahrens erbracht worden seien. Das Gericht erwog hiebei, die Voraussetzungen für eine Aufhebung der Rente mittels (ordentlicher) Revision, prozessualer Revision oder Wiedererwägung seien nicht erfüllt.
C. Die AXA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben, soweit dem Versicherten Leistungen, Verzugszins und eine Parteientschädigung zugesprochen worden seien; eventuell sei die Sache zur Durchführung einer unabhängigen Revisionsbegutachtung des Versicherten per Dezember 2006 an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
I._ und die Vorinstanz schliessen je auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung vom 22. Juni 2009 erkannte das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Das Bundesgericht kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob der Unfallversicherer die mit Wirkung ab 1. Dezember 2002 zugesprochene Invalidenrente zu Recht auf den 28. Februar 2006 eingestellt hat. Das kantonale Gericht hat dies verneint und den Anspruch auf die Rente (nebst Verzugszins auf den aufgelaufenen Rentenbeträgen) über diesen Zeitpunkt hinaus bejaht. Dagegen richtet sich die Beschwerde des Versicherers.
Die Vorinstanz hat die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache zutreffend dargelegt. Das betrifft nebst den intertemporalrechtlichen Regeln im Hinblick auf das am 1. Januar 2003 in Kraft getretene Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) insbesondere die Bestimmungen über die revisionsweise Erhöhung, Herabsetzung oder Aufhebung einer Invalidenrente (Art. 17 Abs. 1 ATSG) sowie über die prozessuale Revision (Art. 53 Abs. 1 ATSG) und die Wiedererwägung (Art. 53 Abs. 2 ATSG) rechtskräftiger Verfügungen und Einspracheentscheide mit der dazu ergangenen Rechtsprechung. Richtig sind auch die Erwägungen über die für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen kausalen Zusammenhänge und über die zu beachtenden Beweisgrundsätze. Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht hat zunächst zutreffend erkannt, dass die Aufhebung der Invalidenrente im Einspracheentscheid vom 1. April 2008 mit einem rentenrevisionsrechtlichen Tatbestand (Art. 17 Abs. 1 ATSG) begründet wurde. Soweit der Versicherer ausführt, die Rentenaufhebung sei wiedererwägungsweise erfolgt, trifft dies daher nicht zu. In der Beschwerde wird im Übrigen ausschliesslich mit rentenrevisionsrechtlichen Gesichtspunkten argumentiert.
3.1 Gemäss Art. 17 Abs. 1 ATSG wird die Rente bei einer erheblichen Änderung des Invaliditätsgrades von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben. Anlass zu einer solchen Rentenrevision gibt jede wesentliche Änderung in den tatsächlichen Verhältnissen, die geeignet ist, den Invaliditätsgrad und damit den Rentenanspruch zu beeinflussen (BGE 134 V 131 E. 3 S. 132 mit Hinweisen). Zu vergleichen ist dabei der Sachverhalt im Zeitpunkt, in welchem die Rente rechtskräftig gewährt bzw. materiell bestätigt worden ist, mit dem Sachverhalt im Zeitpunkt der Neubeurteilung (BGE 130 V 343 E. 3.5.2 S. 351; vgl. auch BGE 134 V 131 E. 3 S. 132 f. mit Hinweis). Im vorliegenden Fall ist daher der Sachverhalt im Zeitpunkt des - rentenzusprechenden - Einspracheentscheides vom 11. März 2004 mit demjenigen im Zeitpunkt des - rentenaufhebenden - Einspracheentscheides vom 1. April 2008 zu vergleichen.
3.2 Bei der Rentenzusprechung stützte sich der Unfallversicherer in medizinischer Hinsicht namentlich auf das Gutachten der Frau Z._, Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie vom 8. Mai 2002. Darin wurde gestützt auf die Diagnosen einer posttraumatischen Belastungsstörung, eines organischen Psychosyndroms nach Schädelhirntrauma, eines chronischen zervikalen Syndroms (Schleudertrauma), einer depressiven Episode mit somatischem Syndrom und einer leichten kognitiven Störung, eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigt.
Zu prüfen ist, ob seit dem rentenzusprechenden Einspracheentscheid vom 11. März 2004 eine - mit Blick auf die Arbeitsfähigkeit - wesentliche Besserung des unfallbedingt beeinträchtigten Gesundheitszustandes eingetreten ist.
3.3 Das kantonale Gericht hat eine solche Änderung verneint. Es stützt sich dabei namentlich auf die seit der Rentenzusprechung ergangenen Berichte der Hausärztin und der psychiatrischen Klinik, in welcher der Versicherte zweimal hospitalisiert war.
Aussagen zur gesundheitlichen Entwicklung und zur Arbeitsfähigkeit liegen seitens der Hausärztin vor. Diese geht, allerdings als Allgemeinpraktikerin ohne fachärztlich, insbesondere auch psychiatrisch abgestützte Begründung, von einem eher verschlechterten als gebesserten Gesundheitszustand aus. Den Berichten der psychiatrischen Klinik ist im Wesentlichen nur zu entnehmen, dass es zu vorübergehenden Beschwerdeexazerbationen gekommen ist. Zu beachten sind sodann die Ergebnisse der vom Versicherer - zulässigerweise (BGE 135 V 169) - veranlassten Observation. Auf den Videoaufnahmen ist ersichtlich, dass sich der Beschwerdeführer ausser Hause ohne offenkundige Beeinträchtigung physischer oder psychischer Natur bewegt, Kontakt zu Bekannten pflegt, Hilfestellung bei manuellen Tätigkeiten leistet und auch imstande ist, ein Auto zu waschen und zu fahren. Zwar kann alleine aufgrund dieser Aufnahmen noch nicht auf eine rentenrelevante gesundheitliche Besserung geschlossen werden. Eine solche Folgerung gestatten auch die Stellungnahmen der Versicherungsärzte zu den Videoaufnahmen nicht. Die Aufnahmen werfen aber Fragen auf, welche sich aufgrund der vorhandenen medizinischen Akten nicht beantworten lassen. Das gilt namentlich auch, weil die Observationsergebnisse den Ärzten, welche seit der Rentenzusprechung Bericht erstattet haben, offensichtlich nicht bekannt waren. Es besteht daher entgegen der Auffassung der Vorinstanz Anlass zu weiteren medizinischen Abklärungen. Dafür bietet sich an, die Videoaufnahmen der Hausärztin, der Psychiaterin Z._ und den Klinikärzten zu unterbreiten mit der Frage, ob sich die gezeigten Verhaltensweisen mit einem Fortbestehen der Diagnosen, welche der Rentenzusprechung zugrunde lagen, und mit einer deswegen weiterhin gegebenen vollen Arbeitsunfähigkeit vereinbaren lassen. Ergeben sich aus den Antworten der Ärzte Zweifel daran resp. Anhaltspunkte dafür, dass es seit der Rentenzusprechung zu einer Änderung bei Gesundheitszustand und Arbeitsunfähigkeit gekommen ist, rechtfertigt sich, ein fachärztliches, insbesondere psychiatrisches, gegebenenfalls polydisziplinäres Gutachten einzuholen. Der Versicherte wird auf seine Mitwirkungspflicht hinzuweisen sein. Bei deren Verletzung ist das gesetzlich vorgeschriebene Verfahren durchzuführen (vgl. Art. 43 ATSG). Dann ist über die Frage der Rentenrevision neu zu befinden. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich, die Sache für diese Vorkehrungen an die Beschwerdeführerin und nicht, wie von ihr eventualiter beantragt, an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
4. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdegegner zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, vom 26. Februar 2009 und der Einspracheentscheid der AXA Versicherungen AG vom 1. April 2008 werden aufgehoben. Die Sache wird an die AXA Versicherungen AG zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Rentenrevision neu verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Oktober 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz