Fatti:
A. Con pubblicazione sul Foglio ufficiale del Cantone Ticino n. 6/2008 del 18 gennaio 2008, il Patriziato di Iragna, corporazione di diritto pubblico ticinese, ha indetto un concorso giusta l'art. 12 della legge organica patriziale del 28 aprile 1992 (LOP; RL/TI 2.2.1.1) per l'affitto della cava patriziale n. 108, sita su fondi di sua proprietà.
Entro il termine fissato, quale unica ditta che ha inoltrato un'offerta, la A._SA ha proposto il pagamento di un canone di affitto annuo pari a 0.70 fr./mq, per complessivi fr. 10'764.60.
B. In occasione dell'incontro del 15 aprile 2008, stabilito per la firma del contratto, le parti hanno constatato l'esistenza di una divergenza di opinione in merito ad alcuni punti previsti dal bando di concorso e hanno quindi concordato una nuova formulazione del contratto. Nonostante una serie di incontri e di scambi di corrispondenza, esse non hanno però in seguito sottoscritto nessun contratto d'affitto.
C. Con risoluzione del 25 agosto 2009, il Patriziato di Iragna ha annullato il concorso concernente l'affitto della cava n. 108. Nella stessa, esso ha fatto riferimento al p.to n. 7 del bando di concorso secondo cui "chi non avrà dato corso alla stesura del contratto o si rifiuta di procedere in tale senso, perde il diritto alla delibera in oggetto..." ed ha pure avanzato una pretesa pari a fr. 15'249.85 per il danno subito.
Su ricorso, la risoluzione del Patriziato di Iragna è stata confermata dapprima dal Consiglio di Stato, quindi dal Tribunale cantonale amministrativo, con sentenza del 13 agosto 2010.
Escludendo l'applicazione alla fattispecie della legislazione in materia di commesse pubbliche, nel suo giudizio la Corte cantonale ha ricordato, con rinvio alla LOP: che un Patriziato è libero di esprimersi nel bando di concorso in merito ai criteri di aggiudicazione, oppure di rinunciare a qualsiasi predeterminazione in tal senso; che, quando il bando prevede criteri specifici, essi risultano vincolanti per committente e concorrenti; che una mutazione successiva delle condizioni poste dal bando non è lecita, neppure in caso di accordo tra le parti, poiché essa comporterebbe una violazione della parità di trattamento e della buona fede, sia nei confronti di eventuali altri partecipanti al concorso, sia di chi avrebbe potuto prendervi parte, a determinate altre condizioni.
Preso atto della volontà espressa dalla ricorrente di rinegoziare il contenuto del contratto e del suo rifiuto di firmarlo alle condizioni inderogabilmente prestabilite nel bando, il Tribunale cantonale ha quindi rilevato che tale atteggiamento non poteva che comportare la perdita del diritto alla delibera e il conseguente annullamento del concorso.
Nel giudizio impugnato, esso ha infine precisato che neppure il fatto che la ricorrente fosse stata l'unica partecipante modifica alcunché a tale conclusione. Questo perché la partecipazione al concorso non conferisce nessun diritto alla delibera - in base alle prescrizioni concorsuali, subordinata alla sottoscrizione del contratto -, bensì unicamente un'aspettativa in tal senso. Ha inoltre escluso che la ricorrente potesse avanzare contestazioni in merito alle clausole imposte dal Patriziato, in quanto esse avrebbero dovuto fare oggetto di un'impugnazione del bando medesimo.
D. Il 15 settembre 2010, il giudizio del Tribunale cantonale amministrativo è stato impugnato con un ricorso in materia di diritto pubblico davanti al Tribunale federale.
Con tale atto, protestando spese e ripetibili per ogni grado di giudizio, la A._SA chiede che la sentenza impugnata venga annullata rispettivamente riformata: in via principale, annullando pure la decisione del 2 agosto 2009 del Patriziato di Iragna e ordinando allo stesso di sottoscrivere il contratto di affitto della cava patriziale n. 108, mettendogliela a disposizione; in via subordinata, dichiarando illecita la decisione del 2 agosto 2009 del Patriziato di Iragna; in via ulteriormente subordinata, rimandando l'incarto al Tribunale cantonale amministrativo, affinché proceda ad ulteriori atti istruttori.
Nel merito, la ricorrente rimprovera alla Corte cantonale di aver apprezzato i fatti in modo manifestamente inesatto e in violazione del diritto, segnatamente del suo diritto di essere sentita.
Chiamato ad esprimersi, il Patriziato di Iragna ha postulato la reiezione del ricorso. Il Consiglio di Stato e il Tribunale amministrativo del Cantone Ticino si sono per contro rimessi al giudizio di questa Corte.
Diritto:
1. Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (art. 29 cpv. 1 LTF) e l'ammissibilità dei ricorsi che gli vengono sottoposti (DTF 135 III 1 consid. 1.1 pag. 3 con rinvii).
1.1 Diretto contro una decisione finale di un'autorità cantonale di ultima istanza con carattere di tribunale superiore (art. 86 e 90 LTF), il gravame concerne una causa di diritto pubblico (sentenza 2P.49/2003 del 22 aprile 2003 consid. 1, in cui questa stessa Corte si è pronunciata in un caso analogo), che non ricade sotto nessuna delle eccezioni previste dall'art. 83 LTF (THOMAS HÄBERLI, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, ad art. 83 n. 154 con rinvio alla giurisprudenza). Esso è stato presentato in tempo utile (art. 100 cpv. 1 LTF) dalla destinataria della pronuncia contestata, con interesse al suo annullamento (art. 89 cpv. 1 LTF).
Sotto i profili evocati, il ricorso interposto è quindi di principio ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico.
1.2 Un'eccezione all'ammissibilità di massima del gravame va tuttavia ravvisata nella misura in cui con esso l'insorgente postula pure l'annullamento della decisione del Patriziato di Iragna rispettivamente del Consiglio di Stato e protesta tasse, spese e ripetibili, oltre che davanti al Tribunale amministrativo e al Tribunale federale, anche davanti al Consiglio di Stato. In virtù dell'effetto devolutivo della procedura di ricorso, e per quanto effettivamente impugnata, oggetto del ricorso è in effetti solo la sentenza del Tribunale cantonale amministrativo (DTF 134 II 142 consid. 1.4 pag. 144).
1.3 Ritenuto che, dal punto di vista dei contenuti, la procedura concerne in casu unicamente la liceità dell'annullamento del concorso indetto dal Patriziato di Iragna, inammissibile è pure la conclusione volta ad obbligare tale ente a sottoscrivere il contratto di affitto della cava n. 108 e a metterla a disposizione della ricorrente. Pur essendovi connessa, essa non riguarda infatti direttamente tale oggetto (sentenza 2C_700/2009 del 15 aprile 2010 consid. 2 con rinvii a giurisprudenza e dottrina).
2. 2.1 Con il ricorso in materia di diritto pubblico può in particolare venir censurata la violazione del diritto federale (art. 95 LTF). Di principio, il Tribunale federale applica comunque il diritto d'ufficio (art. 106 cpv. 1 LTF); esso non è vincolato né agli argomenti fatti valere nel ricorso né ai considerandi sviluppati dall'istanza precedente. Ciò nondimeno, secondo l'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, l'atto di ricorso deve contenere le conclusioni della parte ricorrente ed i motivi su cui queste si fondano; indicandoli, occorre spiegare in maniera concisa perché l'atto impugnato viola il diritto. La motivazione deve pertanto essere pertinente e riferita all'oggetto del litigio, in modo che dal ricorso emerga perché e su quali punti la decisione è contestata (DTF 134 II 244 consid. 2.1 pag. 245 seg.; 133 IV 286 consid. 1.4 pag. 287 seg.).
2.2 Esigenze più severe si applicano in relazione alla violazione di diritti fondamentali. Il Tribunale federale esamina infatti simili censure soltanto se l'insorgente le ha sollevate e motivate in modo preciso (art. 106 cpv. 2 LTF; DTF 134 II 244 consid. 2.2 pag. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2 pag. 254). In caso di asserita violazione del divieto d'arbitrio, deve spiegare in che misura la decisione impugnata sia - non solo a livello di motivazione, ma anche di risultato - manifestamente insostenibile, gravemente lesiva di una norma o di un principio giuridico indiscusso, oppure in contraddizione urtante con il sentimento di giustizia ed equità (DTF 135 V 2 consid. 1.3 pag. 4 seg.; 134 II 124 consid. 4.1 pag. 133; 133 III 393 consid. 6 pag. 397; 133 II 257 consid. 5.1 pag. 260 seg.; 132 I 175 consid. 1.2 pag. 177). Secondo la giurisprudenza citata, non risulta per contro arbitrio dal semplice fatto che anche un'altra soluzione potrebbe entrare in linea di conto o sarebbe addirittura preferibile.
2.3 Il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); può scostarsene solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (art. 105 cpv. 2 LTF; DTF 133 Il 249 consid. 1.2.2 pag. 252); occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa. Tocca alla parte che propone una fattispecie diversa da quella contenuta nella sentenza impugnata il compito di esporre in maniera circostanziata il motivo che la induce a ritenere adempiute queste condizioni (art. 97 cpv. 1 LTF; DTF 133 IV 286 consid. 6.2 pag. 288).
3. 3.1 Nella fattispecie, la ricorrente lamenta un accertamento manifestamente inesatto dei fatti. Nonostante il differente potere di cognizione delle due autorità adite, anche in questa sede essa si limita però a riprendere per ampie parti il testo del ricorso interposto davanti alla Corte cantonale, riproponendo la versione dei fatti a suo tempo presentata davanti al Consiglio di Stato e quindi al Tribunale cantonale amministrativo, integrata da osservazioni di carattere generale relative all'applicazione dell'art. 97 LTF.
Considerato che essa non si confronta, se non sommariamente, con le argomentazioni esposte nel giudizio impugnato (precedente consid. C) e quindi non spiega per quali motivi gli accertamenti esposti dalla Corte cantonale sarebbero insostenibili, si trovino in chiaro contrasto con la fattispecie, si fondino su una svista evidente o contraddicano in modo urtante il sentimento della giustizia e dell'equità, il gravame non adempie su questo punto alle esigenze di motivazione indicate dall'art. 106 cpv. 2 LTF - valide anche in questo ambito, dato che la censura mossa si confonde con quella dell'arbitrio - e dev'essere quindi dichiarato inammissibile.
3.2 Come detto, la ricorrente non rimprovera alla Corte cantonale nessuna applicazione arbitraria delle norme di diritto cantonale ritenute determinanti nella fattispecie, bensì unicamente di aver apprezzato i fatti in modo manifestamente inesatto e in violazione del suo diritto di essere sentita (ricorso p.to 1.5, pt.o 2.2. e p.to 2.4 in diritto). Nel seguito, resta pertanto da esaminare questa seconda censura, formulata in relazione alla decisione di rinunciare - a suo dire, senza fornire giustificazione alcuna - all'audizione del teste da lei proposta in sede di ricorso davanti al Tribunale cantonale amministrativo.
3.2.1 Così come previsto dall'art. 29 cpv. 2 Cost., il diritto di essere sentito - quale garanzia minima che può essere concretizzata in norme di diritto cantonale, qui non invocate (DTF 135 I 279 consid. 2.2 pag. 281 seg.) - comprende effettivamente anche il diritto di offrire prove e di ottenerne l'assunzione (DTF 134 I 140 consid. 5.3 pag. 148 con rinvii). Il diritto di far amministrare delle prove presuppone tuttavia che il fatto da provare sia pertinente, che il mezzo di prova proposto sia necessario per constatare questo fatto e che la domanda sia formulata nelle forme e nei termini prescritti. D'altra parte, quand'anche la prova offerta risulti di per sé lecita, tale garanzia costituzionale non impedisce all'autorità di porre un termine all'istruttoria, allorquando le prove assunte le hanno permesso di formarsi una propria convinzione e, procedendo in modo non arbitrario ad un apprezzamento anticipato delle ulteriori prove richieste, è convinta che le stesse non potrebbero condurla a modificare la sua opinione (DTF 134 I 140 consid. 5.3 pag. 148; 130 II 425 consid. 2.1 pag. 429).
3.2.2 Contrariamente a quanto ritenuto dalla ricorrente, che a torto censura il silenzio della Corte cantonale al riguardo, anche la rinuncia all'assunzione della prova da lei offerta non è il frutto di un'omissione, bensì di un preciso apprezzamento, segnalato come tale dal Tribunale cantonale amministrativo (querelato giudizio, consid. 1). Prendendo posizione in merito a tutte le prove offerte dalle parti, i Giudici cantonali hanno infatti chiaramente comunicato di non ritenerle suscettibili di procurare la conoscenza di ulteriori elementi fattuali rilevanti per il giudizio e quindi ne hanno rifiutato l'assunzione, come l'art. 29 cpv. 2 Cost. permetteva loro in principio di fare.
3.2.3 Altra questione è se la decisione di non assumere le ulteriori prove offerte - nella fattispecie, l'audizione proposta dalla ricorrente - fosse o meno lecita. Sennonché, anche in merito a questa censura, il ricorso non risulta motivato in modo conforme ai criteri previsti dall'art. 42 cpv. 2 rispettivamente dall'art. 106 cpv. 2 LTF. In luogo di dimostrare come, rinunciando all'audizione richiesta sulla base di un apprezzamento anticipato delle prove, la Corte cantonale abbia violato il divieto d'arbitrio, l'insorgente si limita infatti, come già rilevato, a presentare una propria versione dei fatti e a contestare in maniera appellatoria gli accertamenti contenuti nella sentenza impugnata.
3.3 In conseguenza, non resta che constatare anche l'inammissibilità della censura concernente la violazione dell'art. 29 cpv. 2 Cost. e, di riflesso, dell'intero ricorso.
4. Per quanto precede, il gravame dev'essere dichiarato inammissibile. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 5 LTF); non si assegnano ripetibili (art. 68 cpv. 3 LTF; sentenza 2P.49/2003 del 22 aprile 2003 consid. 3, in RDAT 2003 II n. 8 pag. 31).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è inammissibile.
2. Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico della ricorrente.
3. Comunicazione alle parti, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.