Fatti:
A. La G._ SA, iscritta a registro di commercio il ..., è stata affiliata in qualità di datrice di lavoro alla Cassa di compensazione AVS del Cantone Ticino fino al 31 marzo 2008. Dei suoi organi R._ è stato presidente del consiglio di amministrazione dal 14 maggio 2003 al 30 giugno 2007 (data delle sue dimissioni), S._ vice presidente dal 14 maggio 2003 al 7 gennaio 2008 e in seguito amministratore unico, e G._ suo membro dal 28 dicembre 2006 (data della sua nomina) al 19 settembre 2007 (data delle sue dimissioni).
Dopo essere entrata in mora con il pagamento dei contributi sociali, la società è stata sistematicamente diffidata e precettata. Il 13 maggio 2008 è stata dichiarata fallita dalla Pretura del Distretto di X._ e in seguito (il 6 novembre 2008) radiata dal registro di commercio.
Constatato di aver subito un danno, la Cassa cantonale di compensazione ha chiesto ad G._ il risarcimento di fr. 137'980.85 per il mancato pagamento dei contributi AVS/AI/IPG/AD e AF non soluti dalla fallita società dal 2006 al 31 agosto 2007, in via solidale con S._ (per il medesimo periodo e importo) e con R._ (limitatamente a fr. 117'684.05; decisione del 7 settembre 2009 e decisione su opposizione del 2 dicembre 2009).
B. Con giudizio del 30 agosto 2010 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha respinto il ricorso di G._ e confermato l'operato dell'amministrazione. La Corte cantonale ha in particolare ritenuto che l'interessato andava considerato responsabile anche per i contributi non pagati per il 2006 perché il conteggio finale era stato allestito nel marzo 2007, allorquando egli era già in carica. Per il resto ha escluso che lo stesso potesse prevalersi di un motivo di giustificazione o di discolpa per sottrarsi alla propria responsabilità.
C. G._ è insorto al Tribunale federale, al quale chiede di annullare la pronuncia cantonale e di essere liberato da ogni obbligo risarcitorio, quantomeno per il periodo precedente al 1° gennaio 2007.
La Cassa propone la reiezione del gravame. Chiamato a determinarsi, S._ osserva che il ricorrente non aveva alcuna funzione nella società, non era al corrente del reale andamento di quest'ultima e riceveva rassicurazioni dagli altri amministratori. Da parte loro R._ e l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali hanno rinunciato a presentare osservazioni.
Diritto:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Per contro, in linea di principio, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); può scostarsene solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF; DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62). Occorre però dimostrare che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF).
2. L'autorità giudiziaria cantonale, alle cui considerazioni si rinvia, ha correttamente esposto le norme legali e i principi di giurisprudenza disciplinanti la responsabilità del datore di lavoro (art. 52 LAVS). Così, dopo avere ricordato il principio della responsabilità sussidiaria degli organi di una persona giuridica nel caso di inadempienza degli obblighi contributivi da parte della stessa (DTF 123 V 12 consid. 5b pag. 15; cfr. pure DTF 132 III 523 consid. 4.5 pag. 528, nonché DTF 129 V 11 consid. 3), avere quantificato, per il periodo in esame, l'importo del debito contributivo e del conseguente danno, avere ricordato gli oneri inalienabili di un consigliere d'amministrazione (art. 716a cpv. 1 cifra 5 CO), incombenti di massima anche al ricorrente per il fatto di avere assunto la carica di membro (DTF 114 V 219 consid. 4a pag. 223 con riferimenti; cfr. pure SVR 2003 AHV n. 5 pag. 13 [H 92/01] consid. 5.3.2, nonché la sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni H 208/01 del 16 settembre 2002 consid. 4) e avere rilevato che lo stesso è venuto meno a questi obblighi rendendosi responsabile di grave negligenza per non avere svolto sufficiente controllo e attività di vigilanza o verifica sul pagamento dei contributi (cfr. SVR 2001 AHV no. 15 pag. 51 [H 136/00]), i primi giudici hanno dettagliatamente esposto i motivi che li hanno indotti a ritenere giustificata la sua condanna al risarcimento del danno.
3. Il ricorrente ribadisce di essere entrato a fare parte del consiglio di amministrazione della fallita società unicamente per permettere a quest'ultima di ripristinare la doppia maggioranza dei consiglieri con domicilio e cittadinanza svizzera, a suo tempo richiesta dall'art. 708 CO, nel frattempo abrogato. Rimproverando ai giudici cantonali una violazione del diritto federale (in particolare dell'art. 52 LAVS) come pure un accertamento arbitrario dei fatti determinanti (art. 9 Cost.), l'insorgente osserva di non potere essere in ogni caso ritenuto responsabile per un danno verificatosi precedentemente alla sua entrata nel consiglio di amministrazione, allorché la società era già sovraindebitata. Di fronte alla reale - ancorché, con artifici contabili, mascherata - situazione debitoria della G._ SA, egli non avrebbe infatti in nessun caso potuto impedire il danno subito dalla Cassa a seguito del mancato pagamento dei contributi per il 2006. Nulla muterebbe a tale conclusione il fatto che il conteggio finale per il 2006 sarebbe stato allestito solo nel marzo 2007. Farebbe comunque difetto - per questo periodo - il necessario nesso di causalità adeguata tra il proprio comportamento e il danno subito dalla Cassa. Inoltre contesta pure di potere essere ritenuto responsabile per il mancato pagamento dei contributi per il periodo successivo, quello relativo al 2007 quando era in carica. Osserva a tal proposito che la società era dominata in modo esclusivo da S._ - di cui lamenta la mancata audizione in sede giudiziaria cantonale - il quale lo avrebbe tenuto all'oscuro del reale andamento della società e lo avrebbe rassicurato con la presentazione di dati contabili manipolati.
4. 4.1 Secondo quanto accertato in maniera vincolante e incontestata dal Tribunale cantonale, per comprendere la situazione finanziaria della società occorre leggere il rapporto di revisione del 25 luglio 2007 inerente ai conti del 2006, allestito dalla F._ SA dopo la consegna tardiva della contabilità. Da tale rapporto emerge che la continuità aziendale era messa in pericolo dalla mancanza di liquidità e che il bilancio presentava una situazione di sovraindebitamento. I revisori segnalavano inoltre che il consiglio di amministrazione aveva rinunciato a darne avviso al giudice (art. 725 cpv. 2 CO) poiché era stata rilasciata una postergazione per un credito di fr. 627'935.33. Dai bilanci 2005 e 2006 richiamati dall'Ufficio fallimenti di X._ risultano inoltre delle perdite riportate di oltre fr. 540'000.-, rispettivamente fr. 455'000.-. Tutti indizi che la società si trovava, già a fine 2006, in uno stato di insolvenza e senza concrete possibilità di risanamento a meno di un apporto immediato - non concretizzatosi - di nuovi mezzi liquidi. A ciò si aggiungono alcune incongruenze contabili che sembrerebbero avere abbellito l'effettiva situazione economica. Come evidenziato dalla Corte cantonale, non passa inosservato che mentre il bilancio al 31 dicembre 2006 quantificava gli "Investimenti Hardware e Software" in fr. 380'000.-, nemmeno dieci mesi dopo il materiale tecnico veniva dichiarato da S._, dinanzi all'Ufficio fallimenti, "di poco valore commerciale" in quanto "vecchio e ad uso di sola manutenzione su impianti esistenti", se non addirittura invendibile "in quanto contenente piombo". Alla luce di queste circostanze, il fatto che gli esercizi 2005 e 2006 si sarebbero chiusi formalmente con degli utili di fr. 85'339.-, rispettivamente di fr. 139'349.91, va relativizzato, anche perché a fronte di un debito contributivo di fr. 158'549.45 per salari versati nel 2006 pari a fr. 1'158'561.- la società aveva onorato unicamente fr. 28'968.- ed era stata ripetutamente diffidata e precettata.
4.2 Ciò significa che nel momento in cui - con la nomina del 28 dicembre 2006 - G._ è entrato a fare parte del consiglio di amministrazione di G._ SA la società era già insolvente e aveva di conseguenza già causato un danno alla Cassa di compensazione ai sensi dell'art. 52 LAVS. L'unica cosa che gli si poteva rimproverare è di non avere evitato l'aggravarsi di tale danno. Tale aspetto verrà esaminato in seguito (cfr. sotto, consid. 5).
Dal momento che non ha contribuito a provocarlo, non si può dunque ritenere responsabile il ricorrente del danno preesistente alla sua entrata nel consiglio di amministrazione di G._ SA (DTF119 V 401 consid. 4c pag. 407; VSI 1996 pag. 306 consid. 4; RCC 1992 pag. 269 consid. 7b). Il fatto che l'insorgente sia diventato membro del consiglio di amministrazione della società non si trova infatti in relazione causale con la (preesistente) insolvenza di G._ SA e con (parte) del danno che era già stato provocato alla Cassa opponente.
4.3 È vero, come rileva la Corte cantonale, che di regola l'amministratore di una società anonima è responsabile del danno provocato alla cassa ai sensi dell'art. 52 LAVS a partire dal momento della sua entrata effettiva nel consiglio di amministrazione (indipendentemente dalla data d'iscrizione, in casu avvenuta l'8 gennaio 2007, nel registro di commercio: DTF 123 V 172) e che risponde in via solidale non soltanto dei contributi sociali correnti, ma pure del debito scaduto nel corso del periodo precedente alla sua entrata in funzione. Infatti, il nuovo amministratore deve vegliare affinché vengano versati i contributi correnti e quelli scaduti e dovuti quando egli non era ancora in carica, in quanto vi è rapporto di causa effetto tra l'inazione dell'organo e il mancato pagamento dei contributi (DTF 119 V 407 consid. 4c; RCC 1992 pag. 269 consid. 7b). È anche altrettanto vero che un organo entrato a far parte del consiglio d'amministrazione alla fine dell'anno può essere - come fanno notare i primo giudici - ritenuto responsabile del danno causato dal mancato pagamento del saldo dei contributi esigibile per tutto l'anno (RCC 1992 pag. 259).
Tuttavia, la questione del nesso di causalità tra l'inazione di un amministratore e il mancato pagamento dei contributi arretrati non si pone se, come in concreto, un danno ai sensi dell'art. 52 LAVS preesisteva poiché la società già si trovava in stato di insolvenza prima dell'entrata del nuovo membro del consiglio di amministrazione. Nessuna responsabilità del nuovo amministratore secondo l'art. 52 LAVS è infatti data per il danno causato alla cassa di compensazione prima della sua entrata nel consiglio di amministrazione, nel caso in cui - realizzantesi nella presente fattispecie - egli nulla poteva modificare, e meglio poiché la società anonima era già insolvente (DTF 119 V 401) rispettivamente indebitata al punto che i contributi risultavano irrecuperabili per motivi giuridici o di fatto (SVR 2002 AHV no. 10 pag. 24 [H 82/01] consid. 4c/aa; Thomas Nussbaumer, Die Haftung des Verwaltungsrats nach Art. 52 AHVG, in: AJP 1996 pag. 1076).
4.4 Nulla muta a tale precisazione il fatto - invocato dalla Corte cantonale a motivazione del proprio giudizio - che il conteggio finale dell'anno 2006 sarebbe stato chiuso solo il 16 marzo 2007, quando G._ era già in carica. Il conteggio non ha potuto essere realizzato prima poiché la società aveva presentato la dichiarazione dei salari solo il 1° marzo 2007. Ciò era però irrilevante ai fini di una eventuale responsabilità del ricorrente per il mancato pagamento dei contributi relativi al 2006 (fino al 28 dicembre) poiché il relativo debito era già sorto in precedenza (con la realizzazione del reddito da lavoro, rispettivamente con la nascita del relativo credito: art. 14 e 51 LAVS; DTF 110 V 225 consid. 3a pag. 327) e, soprattutto, era comunque già irrecuperabile (DTF 119 V 401 consid. 4d in fine pag. 408; cfr. pure sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni H 69/02 del 7 gennaio 2004 consid. 4.2). Né modifica tale valutazione il pagamento, avvenuto il 12 e 18 gennaio 2007, allorquando G._ era già in funzione, degli acconti di novembre e dicembre 2006. Malgrado questi pagamenti - che hanno permesso di ridurre il danno contributivo per il 2006 -, la società si trovava sempre e comunque in stato di insolvenza. Ne discende che nella misura in cui ha ritenuto responsabile l'insorgente per il danno derivante dal mancato pagamento dei contributi fino al 28 dicembre 2006, la Corte cantonale è incorsa in una violazione dell'art. 52 LAVS che occorre correggere. In questa misura, il ricorso va dunque accolto.
5. Diverso è per contro il discorso della responsabilità di G._ per il danno subito dalla Cassa nel periodo successivo, fino al mese di agosto 2007. L'insorgente ripropone le argomentazioni già addotte in sede cantonale e convincentemente disattese dall'autorità giudiziaria di primo grado, alle cui considerazioni può, per brevità, essere rinviato in questa sede (art. 109 cpv. 3 LTF). Il fatto che la gestione fosse stabilita da S._, che non gli fossero internamente attribuite competenze né responsabilità e che ricevesse rassicurazioni pur essendo all'oscuro del reale andamento della società non sono motivi sufficienti per liberarlo dalle sue responsabilità. Pertinentemente i giudici di prime cure hanno ricordato che in virtù dell'inalienabile onere di alta vigilanza incombente a ogni consigliere d'amministrazione (art. 716a cpv. 1 cifra 5 CO) egli non poteva accontentarsi di semplici rassicurazioni. Già solo la situazione contabile risultante dal bilancio 2005 (il bilancio 2006 non era per contro ancora disponibile al momento della sua entrata in funzione) avrebbe dovuto indurlo a maggiore attenzione e a verificare personalmente l'effettivo pagamento dei contributi sociali, per il quale la società era da tempo (cronicamente) in mora. La passività dimostrata dal ricorrente su tale aspetto non era giustificabile. Senza arbitrio la Corte cantonale poteva di conseguenza procedere a un apprezzamento anticipato delle prove e rinunciare all'audizione di S._. Che quest'ultimo si sia poi sostanzialmente assunto la responsabilità con le sue osservazioni del 23 ottobre 2010 può tutt'al più incidere sui rapporti interni, eventualmente di regresso, tra i singoli responsabili, ma non basta per liberare l'insorgente dalle sue responsabilità verso la Cassa (v. SVR 2008 AHV n. 5 pag. 13 [H 207/06]).
6. 6.1 Ne discende che il ricorrente può essere ritenuto responsabile solo per il danno riconducibile al mancato pagamento, da parte della fallita G._ SA, dei contributi paritetici per il periodo dal 28 dicembre 2006 al 31 agosto 2007. Ciò posto, il giudizio impugnato e la decisione su opposizione della Cassa devono essere annullati. La causa va rinviata all'amministrazione affinché, alla luce di quanto precede, stabilisca il nuovo importo del danno che l'insorgente è chiamato a risarcire e renda una nuova decisione.
6.2 Le spese seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF) e - tenuto conto degli importi reclamati per i due periodi in esame (danno invocato per 2006: fr. 117'684.05; danno invocato per periodo gennaio - 31 agosto 2007: fr. 20'296.20) - sono poste a carico della Cassa opponente nella misura di 8/10 e del ricorrente nella misura di 2/10. In gran parte vincente in lite, il ricorrente, patrocinato da un legale, ha diritto a ripetibili ridotte per la sede federale (art. 68 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è parzialmente accolto nel senso che, annullati il giudizio del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 30 agosto 2010 e la decisione su opposizione impugnata della Cassa di compensazione del Cantone Ticino del 2 dicembre 2009, la causa è rinviata alla Cassa opponente perché renda un nuovo provvedimento nel senso dei considerandi.
2. Le spese giudiziarie di fr. 5'000.- sono poste a carico del ricorrente nella misura di fr. 1'000.- e dell'opponente in misura di fr. 4'000.-.
3. L'opponente verserà al ricorrente la somma di fr. 2'000.- a titolo di indennità di parte per la procedura d'ultima istanza federale.
4. La causa viene rinviata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino per nuova ripartizione della indennità di parte nella procedura precedente.
5. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.