Faits:
A. S._ a subi une brûlure à la jambe droite en 1973.
Le 11 février 2003, alors qu'il était employé de la société X._ SA et, à ce titre, assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), son employeur a annoncé un accident-bagatelle. Il a indiqué que l'intéressé souffrait d'une infection à la jambe droite depuis qu'il s'était cogné à un meuble sur son lieu de travail, le 29 janvier précédent. La CNA a pris en charge les frais de traitement au titre d'accident-bagatelle.
Le 30 juillet 2007, le nouvel employeur de l'assuré, la société Y._ SA, a annoncé une rechute. L'intéressé a été opéré à trois reprises au Centre hospitalier Z._, où il a séjourné le 7 août 2007 et durant la période du 10 au 20 août suivant. Dans un rapport d'intervention du 7 août 2007, le docteur R._, chef de clinique adjoint, a indiqué que l'assuré souffrait de séquelles d'une brûlure de la jambe droite et qu'une surinfection centrale avec extériorisation de matériel crayeux était apparue environ une année auparavant. L'intervention a consisté en une excision sub-totale et une correction cicatricielle. L'évolution ayant été d'abord défavorable en raison d'une surinfection précoce, l'assuré a subi deux autres opérations les 13 août (débridement par excision et changement de pansement) et 15 août 2007 (débridement et suture). Il a repris son activité à 50 % le 10 septembre 2007 et à 100 % le 17 septembre suivant.
Au cours d'un entretien avec un inspecteur de la CNA, l'assuré a indiqué, le 4 octobre 2007, qu'il avait dû consulter des médecins le 29 janvier 2003 en raison d'une petite plaie qui s'était formée dans la cicatrice de la brûlure. Les médecins lui ayant dit à cette époque qu'il avait probablement subi un petit choc, il avait alors pensé qu'il s'était cogné une fois ou l'autre à un coin de meuble sur son lieu de travail. La CNA a alors requis l'avis du docteur W._, remplaçant du médecin d'arrondissement, lequel a nié l'existence d'une relation de causalité entre l'événement du 29 janvier 2003 et l'atteinte à la santé annoncée le 30 juillet 2007 (avis du 16 octobre 2007).
Se fondant sur cet avis médical, la CNA a rendu une décision, le 7 novembre 2007, par laquelle elle a refusé l'octroi de prestations d'assurance pour les troubles annoncés le 30 juillet 2007.
L'assuré a fait opposition à cette décision en invoquant l'avis des docteurs A._ et R._, chef de service, respectivement chef de clinique adjoint au Centre hospitalier Z._ (rapport du 27 novembre 2007). Après avoir requis l'avis du docteur U._, spécialiste en chirurgie générale et médecin d'arrondissement (rapport du 16 janvier 2008), la CNA a rejeté l'opposition par décision du 29 janvier 2008.
B. Saisie d'un recours formé par l'assuré, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a réformé la décision sur opposition en ce sens que la CNA est tenue d'allouer les prestations légales pour la rechute (jugement du 19 novembre 2009).
C. La CNA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision sur opposition du 29 janvier 2009 (recte: 2008).
S._ a renoncé à se déterminer, tandis que la juridiction cantonale a indiqué se référer purement et simplement à son jugement.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si la CNA était fondée, par sa décision sur opposition du 29 janvier 2008, à refuser d'allouer ses prestations pour les troubles annoncés le 30 juillet 2007, lesquels ont nécessité les interventions chirurgicales au mois d'août 2007 et entraîné une incapacité de travail jusqu'au 17 septembre suivant.
Lorsque le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (arrêt 8C_584/2009 du 2 juillet 2010 consid. 4).
2. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 177 consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
La responsabilité de l'assureur-accidents s'étend, en principe, à toutes les conséquences dommageables qui se trouvent dans un rapport de causalité naturelle et adéquate avec l'événement assuré. Les prestations d'assurance sont donc également allouées en cas de rechutes et de séquelles tardives (art. 11 OLAA). A cet égard, la jurisprudence considère que plus le temps écoulé entre l'accident et la manifestation de l'affection est long, et plus les exigences quant à la preuve, au degré de la vraisemblance prépondérante, du rapport de causalité naturelle doivent être sévères (RAMA 1997 no U 275 p. 191 consid.1c, arrêt U 93/96 du 5 février 1997).
3. 3.1 Par sa décision sur opposition du 29 janvier 2008, la CNA a nié le droit à des prestations pour les troubles annoncés le 30 juillet 2007, motif pris de l'absence d'un lien de causalité naturelle entre ces troubles et un accident dont elle aurait à répondre. Elle s'est fondée pour cela sur les appréciations des docteurs W._ (avis du 16 octobre 2007) et U._ (rapport du 16 janvier 2008), selon lesquelles l'existence d'un lien de causalité devait être niée en raison, d'une part, du temps écoulé entre la survenance du cas initial au mois de janvier 2003 et les troubles en cause et, d'autre part, d'une localisation différente de la lésion. Le docteur U._ a indiqué qu'au demeurant, la prise en charge du cas initial n'était pas justifiée, du moment qu'aucun événement de caractère accidentel n'avait été établi et que ce genre d'infection aurait pu apparaître aussi bien en raison d'une pression normale en cas de pliement du genou ou en raison d'un frottement des vêtements.
De son côté, la juridiction cantonale a considéré que les troubles annoncés en 2007 constituent une rechute de la lésion constatée en 2003. Dans la mesure où celle-ci avait été qualifiée d'événement assuré par la CNA, il appartenait donc à l'assureur-accidents, conformément à l'art. 11 OLAA, d'allouer également ses prestations pour l'atteinte annoncée en 2007. La juridiction cantonale s'est fondée sur le point de vue des docteurs A._ et R._, selon lequel cette atteinte constitue une complication non seulement de l'accident du 29 janvier 2003 mais également de l'événement survenu en 1973 (rapport du 27 novembre 2007). A cet égard, les premiers juges sont d'avis que cette appréciation des docteurs A._ et R._ n'est pas remise en cause par celles des médecins de la CNA. En particulier, on ne peut déduire aucune conclusion du temps écoulé à partir du cas initial, étant donné la nature de l'atteinte subie par l'assuré (infection latente depuis une trentaine d'années). Par ailleurs, le critère de la localisation n'est pas déterminant, du moment que le docteur U._ n'a pas examiné personnellement l'intéressé mais se réfère uniquement aux déclarations de celui-ci à un inspecteur de la CNA, consignées dans le rapport d'entretien du 4 octobre 2007.
La CNA conteste le jugement cantonal en faisant valoir, d'une part, que l'existence d'un accident à l'origine de la plaie soignée en 2003 n'apparaît pas établie au degré de la vraisemblance prépondérante. Aussi, fait-elle valoir qu'elle était fondée à refuser ses prestations pour une prétendue rechute de cet événement. D'autre part, la recourante allègue qu'au demeurant, il n'existe pas de relation de causalité entre l'événement survenu en 2003 - si tant est qu'il constitue un accident - et la réapparition spontanée d'une plaie trois ans plus tard. A cet égard, elle reproche aux premiers juges d'avoir écarté les avis des médecins de la CNA en leur substituant leur propre appréciation médicale. Selon la recourante, ces avis sont convaincants en comparaison avec l'appréciation des médecins de Z._, laquelle n'est pas motivée en ce qui concerne l'existence d'un lien de causalité entre l'événement survenu en 2003 et l'apparition d'une nouvelle plaie en 2006.
La CNA conteste le jugement cantonal en faisant valoir, d'une part, que l'existence d'un accident à l'origine de la plaie soignée en 2003 n'apparaît pas établie au degré de la vraisemblance prépondérante. Aussi, fait-elle valoir qu'elle était fondée à refuser ses prestations pour une prétendue rechute de cet événement. D'autre part, la recourante allègue qu'au demeurant, il n'existe pas de relation de causalité entre l'événement survenu en 2003 - si tant est qu'il constitue un accident - et la réapparition spontanée d'une plaie trois ans plus tard. A cet égard, elle reproche aux premiers juges d'avoir écarté les avis des médecins de la CNA en leur substituant leur propre appréciation médicale. Selon la recourante, ces avis sont convaincants en comparaison avec l'appréciation des médecins de Z._, laquelle n'est pas motivée en ce qui concerne l'existence d'un lien de causalité entre l'événement survenu en 2003 et l'apparition d'une nouvelle plaie en 2006.
3.2 3.2.1 Selon la jurisprudence, l'assureur-accidents a la possibilité de mettre fin avec effet ex nunc et pro futuro à son obligation d'allouer des prestations, qu'il avait initialement reconnue en versant des indemnités journalières et en prenant en charge les frais de traitement, sans devoir se fonder sur un motif de révocation (reconsidération ou révision procédurale). Ainsi, il peut liquider le cas en invoquant le fait que selon une appréciation correcte de l'état de fait, un événement assuré n'est jamais survenu (ATF 130 V 380 consid. 2.3.1 p. 384). Il faut bien sûr réserver l'éventualité dans laquelle l'assureur-accidents réclame les prestations allouées (cf. ATF 133 V 57 consid. 6.8 p. 65; arrêt 8C_3/2010 du 4 août 2010 consid. 4.1).
3.2.2 En l'occurrence, on ne saurait dès lors partager le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel, du moment que la lésion constatée en 2003 a été qualifiée d'événement assuré par la CNA - et à supposer qu'il existe un lien de causalité entre l'événement survenu en 2003 et la réapparition spontanée d'une plaie trois ans plus tard -, l'assureur-accidents ne pouvait nier le droit à des prestations pour l'affection apparue en 2006 qu'à la condition qu'il existât un motif de révocation. En l'espèce, le litige ne porte pas sur la réclamation des prestations allouées au titre de la prise en charge des frais de traitement de la plaie survenue en 2003. C'est pourquoi, s'il apparaît que selon une appréciation correcte de l'état de fait, aucun événement assuré n'est à l'origine de l'affection traitée en 2003, la recourante était fondée à refuser d'allouer ses prestations pour les troubles apparus trois ans plus tard, sans qu'il soit nécessaire d'examiner s'il existe un lien entre ces deux atteintes à la santé.
3.2.2 En l'occurrence, on ne saurait dès lors partager le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel, du moment que la lésion constatée en 2003 a été qualifiée d'événement assuré par la CNA - et à supposer qu'il existe un lien de causalité entre l'événement survenu en 2003 et la réapparition spontanée d'une plaie trois ans plus tard -, l'assureur-accidents ne pouvait nier le droit à des prestations pour l'affection apparue en 2006 qu'à la condition qu'il existât un motif de révocation. En l'espèce, le litige ne porte pas sur la réclamation des prestations allouées au titre de la prise en charge des frais de traitement de la plaie survenue en 2003. C'est pourquoi, s'il apparaît que selon une appréciation correcte de l'état de fait, aucun événement assuré n'est à l'origine de l'affection traitée en 2003, la recourante était fondée à refuser d'allouer ses prestations pour les troubles apparus trois ans plus tard, sans qu'il soit nécessaire d'examiner s'il existe un lien entre ces deux atteintes à la santé.
3.3 3.3.1 Dans le domaine des assurances sociales, le juge fonde sa décision, sauf dispositions contraires de la loi, sur les faits qui, faute d'être établis de manière irréfutable, apparaissent comme les plus vraisemblables, c'est à-dire qui présentent un degré de vraisemblance prépondérante. Il ne suffit donc pas qu'un fait puisse être considéré seulement comme une hypothèse possible. Parmi tous les éléments de fait allégués ou envisageables, le juge doit, le cas échéant, retenir ceux qui lui paraissent les plus probables (ATF 126 V 353 consid. 5b p. 360, 125 V 193 consid. 2 p. 195 et les références; cf. ATF 130 III 321 consid. 3.2 et 3.3 p. 324 s.). Aussi n'existe-t-il pas, en droit des assurances sociales, un principe selon lequel l'administration ou le juge devrait statuer, dans le doute, en faveur de l'assuré (ATF 126 V 319 consid. 5a p. 322).
3.3.2 En l'espèce, le traitement de la plaie en 2003 a été pris en charge par la CNA sur la base de la déclaration d'accident-bagatelle du 11 février 2003, sans qu'elle procède à des investigations médicales détaillées. On considère, en effet, que l'assureur-accidents n'est pas tenu, en principe, de mettre en oeuvre de telles mesures, étant donné le grand nombre d'accidents-bagatelles qui sont annoncés (cf. ATF 130 V 380 consid. 2.2.3 p. 383; arrêt U 28/54 du 29 juin 1954 [publié dans le rapport annuel de la CNA 1954 no 3a p. 18]). Lors de l'instruction de la rechute annoncée le 30 juillet 2007, l'assuré a indiqué que les médecins consultés en 2003 lui avaient dit qu'il avait probablement subi un petit choc à la jambe droite. L'intéressé avait donc supposé qu'il avait dû, une fois ou l'autre, se cogner à un coin de meuble sur son lieu de travail, "ce qui arrive à tout le monde" (rapport d'entretien du 4 octobre 2007). Or, selon le docteur W._ (avis du 16 octobre 2007), un tissu cutané endommagé par une brûlure peut présenter des ulcérations même sans atteinte extérieure. Cet avis n'est pas démenti par les docteurs A._ et R._, d'après lesquels la cicatrice séquellaire à la brûlure est toujours restée instable (rapport du 27 novembre 2007). Cela étant, l'éventualité qu'un événement assuré soit à l'origine de l'affection soignée en 2003 apparaît seulement comme une hypothèse possible, pas plus vraisemblable qu'une ulcération spontanée de la cicatrice. Dans ces conditions, la CNA était en droit de refuser d'allouer ses prestations pour les troubles apparus trois ans plus tard, indépendamment du point de savoir s'il existait un lien entre ces deux atteintes à la santé.
3.4 Au demeurant, le refus de la recourante apparaît bien fondé même en admettant qu'un événement assuré puisse être à l'origine de l'affection soignée en 2003. En effet, la juridiction cantonale admet l'existence d'un lien de causalité naturelle entre cette affection et les troubles apparus trois ans plus tard, sur la base de la seule affirmation des médecins de Z._ selon laquelle ces troubles constituent une complication non seulement de l'accident du 29 janvier 2003 mais également de l'événement survenu en 1973. Comme l'allègue la recourante, le rapport médical en question ne contient toutefois pas de motivation en ce qui concerne un lien de causalité entre l'événement de 2003 et l'apparition d'une nouvelle plaie trois ans plus tard. Cet avis tend bien plutôt à expliquer que l'assuré souffre depuis l'âge de 12 ans d'une affection latente, ayant nécessité le traitement régulier de petites surinfections locales. De plus, selon les déclarations de l'intéressé consignées dans le rapport d'entretien du 4 octobre 2007, la plaie apparue en 2006 s'est formée sur la brûlure un centimètre plus bas environ qu'en 2003. Depuis le traitement prodigué à cette époque, la cicatrice s'était présentée comme auparavant et il avait pu poursuivre ses activités professionnelles et sportives (volleyball, vélo) tout à fait normalement. A cet égard, le docteur W._ a d'ailleurs indiqué que l'intervalle entre le traitement de 2003 et l'apparition de la plaie trois ans plus tard était trop long pour admettre l'existence d'un lien de causalité, ce qui paraît très vraisemblablement vu les circonstances.
Cela étant, on ne saurait en tout état de cause admettre l'existence, au degré de la vraisemblance prépondérante, d'un lien de causalité entre l'affection soignée en 2003 et les troubles apparus trois ans plus tard.
4. Vu ce qui précède, la recourante était fondée, par sa décision sur opposition du 29 janvier 2008, à refuser d'allouer ses prestations pour l'affection annoncée le 30 juillet 2007, qui a motivé les interventions chirurgicales au mois d'août 2007 et entraîné une incapacité de travail jusqu'au 17 septembre suivant.
Le recours apparaît ainsi bien fondé.
5. L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 19 novembre 2009 est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 6 octobre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd