Faits:
A. Le 4 mars 2007 à 4h30, A._ a été interpellé par la police alors qu'il se trouvait sur sa moto à la hauteur de la place du Traînant, à Genève. Selon le rapport établi à cette occasion, l'intéressé circulait au guidon de sa moto sur le quai Gustave-Ador en direction du quai de Cologny. Il était en état d'ébriété et n'était pas titulaire du permis de conduire pour motocycles, son permis d'élève conducteur pour cette catégorie de véhicule étant échu depuis le 12 septembre 2006. Entendu le jour même par la police, A._ a déclaré qu'il n'était pas surpris que le contrôle de son haleine par éthylomètre se soit révélé positif, qu'il avait bu dans la soirée deux verres de rosé et un whisky coca avant de prendre sa moto et de circuler jusqu'à la place de Traînant, dans le but de "montrer le bord du lac à un ami". L'alcoolémie mesurée sur la base d'une prise de sang s'élevait à 1,15 ?, plus ou moins 0,06 ?. Entre 1993 et 2006, A._ a fait l'objet de trois retraits de permis pour conduite en état d'ébriété. L'alcoolémie relevée lors de ces infractions s'élevait à 1,34 ? en 1993, 1,37 ? en 2002 et 1,52 ? en 2006.
B. Invité à se déterminer par le Service des automobiles et de la navigation du canton de Genève (ci-après: le SAN), l'intéressé a expliqué qu'il s'était effectivement rendu au bord du lac avec un ami dans la nuit du 4 mars 2007, qu'il y avait retrouvé sa moto - qu'il avait prêtée quelques jours auparavant à un autre ami - et qu'il avait décidé de la déplacer vers un parking distant de quelques mètres. Il contestait avoir circulé au guidon de cette moto et avoir eu l'intention de le faire. Il n'avait pas enclenché le moteur, ne s'était pas engagé sur la voie de circulation et voulait seulement pousser sa moto jusqu'au parking. Par décision du 29 mai 2007, le SAN a retiré le permis d'A._ à titre préventif pour une durée indéterminée. Rappelant les antécédents de l'intéressé, cette autorité a considéré que l'examen de son dossier suscitait des doutes quant à son aptitude à la conduite et elle a ordonné une expertise auprès de l'Institut universitaire de médecine légale afin d'élucider cette question.
C. A._ a contesté cette décision devant le Tribunal administratif du canton de Genève. Il ne discutait pas le taux d'alcoolémie constaté le 4 mars 2007, mais il contestait avoir circulé au guidon de sa moto. Il a repris les explications qu'il avait données au SAN et a déposé à l'appui de celles-ci des attestations écrites de l'ami qui l'accompagnait le soir en question et de l'ami à qui il avait prêté sa moto quelques jours auparavant. Le Tribunal administratif a rejeté ce recours par arrêt du 1er avril 2008, considérant que les dénégations de l'intéressé quant au fait qu'il circulait au guidon de sa moto lors de son interpellation par la police devaient être écartées.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Il se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves (art. 9 Cst. et 97 LTF) ainsi que d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Le SAN n'a pas présenté d'observations. Le Tribunal administratif se réfère à l'arrêt attaqué. L'Office fédéral des routes en fait de même et conclut au rejet du recours. Ces déterminations ont été communiquées à A._.
Considérant en droit:
1. La voie du recours en matière de droit public, au sens des art. 82 ss LTF, est en principe ouverte contre les décisions prises en dernière instance cantonale au sujet de mesures administratives de retrait du permis de conduire. Le recourant est particulièrement atteint par la décision attaquée ? qui confirme le retrait préventif de son permis de conduire pour une durée indéterminée ? et il a un intérêt digne de protection à son annulation; il a donc la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 let. a et b LTF. Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours satisfait aux exigences des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF, si bien qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2. Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), au motif que le Tribunal administratif n'aurait pas pris en considération les moyens de preuve qu'il avait présentés. L'arrêt attaqué ne serait fondé que sur le rapport de police et ne tiendrait pas compte des témoignages écrits des amis du recourant. Ce moyen tombe à faux, dès lors que le Tribunal administratif a expressément fondé son raisonnement non seulement sur le rapport de police, mais également sur les déclarations écrites de l'ami présent le soir des événements et celles que le recourant a lui-même données lors de son audition par la police. Pour le surplus, le recourant n'explique pas en quoi d'autres moyens de preuve valablement présentés auraient été ignorés, mais il se borne à déplorer que sa thèse n'ait pas été suivie. Ce grief doit donc être rejeté.
3. Le recourant reproche au Tribunal administratif d'avoir fait preuve d'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves.
3.1 Les constatations de faits importants pour le jugement de la cause ne peuvent être critiquées que si elles ont été faites en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), ce que le recourant doit démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.). L'existence de faits constatés de manière inexacte ou en violation du droit doit en outre être susceptible d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure (art. 97 al. 1 in fine LTF). Selon la jurisprudence, l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits sont arbitraires (art. 9 Cst.; pour une définition de l'arbitraire cf. ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153) lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; 127 I 38 consid. 2a p. 41).
3.2 En l'espèce, le recourant soutient que le Tribunal administratif aurait dû douter des constatations de la police selon lesquelles il roulait au guidon de sa moto. Il allègue que les phares de sa moto étaient éteints au moment où il a été interpellé, alors qu'ils "s'enclenchent automatiquement lorsque le moteur est en marche", mais il ne l'établit aucunement. Si l'on peut concevoir que les phares ne peuvent pas être allumés lorsque le moteur est éteint, il n'est pas démontré que l'inverse soit vrai. De plus, même s'il était avéré que les phares s'allument automatiquement au démarrage de la moto en question, il n'est pas pour autant exclu qu'ils puissent être ensuite éteints volontairement ou même qu'ils aient été défectueux. Quoi qu'il en soit, il n'est même pas démontré que les phares étaient effectivement éteints, le recourant se limitant à expliquer que les policiers n'ont pas contesté cette allégation. On ne voit cependant pas pour quelles raisons ils auraient dû le faire, l'agent entendu devant le Tribunal administratif n'ayant au demeurant pas été clairement interpellé sur ce point.
Pour le surplus, contrairement à ce qu'affirme le recourant, le Tribunal administratif ne s'est pas fondé uniquement sur le rapport de police pour retenir que l'intéressé circulait bien au guidon de sa moto. En effet, il a également pris en considération le témoignage écrit de l'ami du recourant, qui expose qu'ils avaient tous deux mis un casque et qu'ils étaient montés sur la moto. Comme le retient à juste titre l'arrêt attaqué, cet élément corrobore la version du rapport de police. De plus, l'explication de l'ami en question selon laquelle ils avaient mis un casque et étaient montés sur la moto "pour rire" n'apparaît guère convaincante. Enfin, le Tribunal administratif s'est également fondé sur l'audition du recourant par la police le 4 mars 2007, au cours de laquelle l'intéressé n'avait pas contesté avoir conduit sa moto; il avait au contraire expressément déclaré qu'il avait pris sa moto et circulé jusqu'à la place du Traînant. Ces déclarations ressortent du procès-verbal de cette audition, sur lequel l'intéressé a apposé sa signature. Dans ces conditions, la nouvelle version du recourant n'est pas de nature à remettre en doute le rapport de police, ce d'autant moins que l'intéressé n'apporte aucune preuve convaincante pour corroborer son récit. Par conséquent, les faits n'ont en tout cas pas été constatés de manière arbitraire au sens de la jurisprudence susmentionnée.
4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service des automobiles et de la navigation et au Tribunal administratif du canton de Genève ainsi qu'à l'Office fédéral des routes, Division circulation routière.
Lausanne, le 26 novembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener