Faits:
A. Dès le 1er avril 2008, A._ est entré au service de la Banque X._ avec mission d'établir un bureau de représentation de la banque à Dubaï, aux Emirats Arabes Unis, puis de gérer ce bureau, y compris trouver et contacter d'éventuels nouveaux clients pour les présenter à la banque. Le lieu de travail était fixé à Dubaï. Le salaire comprenait une part fixe au montant de 500'000 dollars étasuniens par année, payable par tranches mensuelles, plus une part variable à déterminer d'après des modalités convenues. Le contrat était résiliable en observant un délai de préavis de six mois. Il était soumis au droit suisse et le for judiciaire se trouvait à Genève.
B. Peu auparavant, A._ avait présenté à l'employeuse deux clients avec qui il traitait alors qu'il se trouvait au service d'un autre établissement bancaire. Il s'agissait de la société C._ Ltd, aux Iles Saint-Christophe et Nevis, et de son organe B._, citoyen étasunien domicilié au Costa Rica. C._ Ltd se présentait comme un club d'investisseurs et elle apportait un portefeuille de titres estimé à 260 millions de francs. Le 9 avril 2008, le comité supérieur d'acceptation de la clientèle de la Banque X._ a agréé C._ Ltd « sous surveillance » et l'établissement lui a ouvert d'importants crédits garantis par des titres. Dès fin juillet 2008, B._ est personnellement entré en relation d'affaires avec la banque; il faisait état de vingt ans d'expérience dans le domaine bancaire et il apportait lui aussi d'importants avoirs. Au sein de la direction, il était entendu que ces deux clients nécessitaient certaines précautions du point de vue de la déontologie bancaire (« due diligence »).
Le 24 septembre 2008, B._ sollicita un crédit au montant de 8 millions de dollars à garantir par des titres dont la valeur, selon sa requête, atteignait plus de 25 millions de francs. A._ et deux membres de la direction avaient contresigné cette requête. Le crédit fut accordé.
Le 14 novembre 2008, B._ demanda le transfert des avoirs de C._ Ltd sur un compte à ouvrir au nom de la société D._ BV à Kuala Lumpur. Les documents d'ouverture de ce compte avaient été complétés par A._. La banque n'exécuta pas ce transfert et ses investigations lui révélèrent que sur demande des autorités étasuniennes, lesquelles soupçonnaient une fraude de plus de 100 millions de dollars, une perquisition avait été exécutée au Costa Rica dans les bureaux d'une société qui paraissait liée à C._ Ltd.
Le 1er décembre suivant, deux membres de la direction rencontrèrent A._ à Genève mais ils n'abordèrent pas les informations récemment recueillies au sujet de C._ Ltd.
Entre-temps, le 24 novembre, un avocat de Los Angeles s'était adressé par courriel à A._ pour lui faire savoir que ses clients avaient subi un dommage important et qu'ils en imputaient la responsabilité à B._ et à la Banque X._. Le 3 décembre, l'avocat transmit une copie de ce courriel à la banque. Celle-ci signala les relations ouvertes aux noms de B._ et de C._ Ltd au Bureau de communication en matière de blanchiment d'argent de l'Office fédéral de la police, et elle bloqua les avoirs dans l'attente d'une décision de l'autorité compétente.
Le 22 décembre 2008, à Genève, A._ fut interrogé par deux membres de la direction au sujet de ses relations avec B._ et C._ Ltd. En janvier 2009, il refusa un nouvel entretien que la banque voulait fixer au plus tard le 22 de ce mois.
C. Le 29 janvier 2009, la banque a résilié avec effet immédiat le contrat de travail de son représentant. Celui-ci s'est aussitôt opposé à ce congé. Invitée à motiver sa décision, l'employeuse a expliqué que A._ avait présenté B._ et C._ Ltd en insistant et en prétendant bien les connaître. La banque était désormais exposée à une enquête pénale et aux réclamations de personnes lésées par les agissements frauduleux de ces deux clients. Elle ne parvenait pas à obtenir le remboursement des crédits accordés et les titres nantis se révélaient sans valeur. D'après la communication de l'avocat californien, A._ ne pouvait pas ignorer ces agissements délictueux et il n'avait pas informé la banque du courriel reçu de ce même avocat le 25 novembre 2008. Il avait différé l'entretien demandé par la banque, finalement tenu le 22 décembre. La banque avait ensuite appris que A._ organisait des fêtes à Dubaï, où B._ se présentait à ses côtés comme un collaborateur de la banque. Derechef convoqué à Genève en janvier 2009, A._ avait refusé un nouvel entretien parce qu'il redoutait d'être arrêté.
D. Le 20 août 2009, A._ a ouvert action contre l'employeuse devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. La défenderesse devait être condamnée à payer 500'000 dollars avec intérêts au taux de 5% par an dès le 29 janvier 2009, à titre de dommages-intérêts et d'indemnité pour licenciement abusif.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action.
Le tribunal s'est prononcé le 26 novembre 2010; il a rejeté l'action.
La Chambre des prud'hommes de la Cour de justice a statué le 31 octobre 2011 sur l'appel du demandeur. Accueillant partiellement l'action, elle a condamné la défenderesse à payer 250'000 dollars à titre de salaire brut, soumis aux déductions sociales, et 10'000 dollars à titre d'indemnité nette, ces deux sommes portant intérêts au taux de 5% par an dès le 29 janvier 2009.
E. Agissant par la voie du recours en matière civile, la défenderesse requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour de justice en ce sens que l'action soit entièrement rejetée. A titre subsidiaire, elle demande l'annulation de l'arrêt et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
Le demandeur conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF); le mémoire de recours a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et il satisfait aux exigences légales (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2. Il est constant que les parties se sont liées par un contrat de travail et qu'elles ont convenu de soumettre leur relation au droit suisse, en l'occurrence celui de l'Etat où l'employeuse a son établissement, comme le permet l'art. 121 al. 3 LDIP.
3. Conclu pour une durée indéterminée, ce contrat de travail était susceptible d'une résiliation ordinaire avec observation d'un délai de congé, selon l'art. 335c CO, ou d'une résiliation immédiate pour de justes motifs, selon l'art. 337 CO.
L'art. 337 al. 1 CO consacre le droit de résilier sans délai pour de justes motifs. D'après l'art. 337 al. 2 CO, on considère notamment comme de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail. Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués par la partie qui résilie doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave justifie le licenciement immédiat du travailleur ou l'abandon abrupt du poste par ce dernier. En cas de manquement moins grave, celui-ci ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement. Par manquement de l'une des parties, on entend en règle générale la violation d'une obligation imposée par le contrat mais d'autres faits peuvent aussi justifier une résiliation immédiate (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 31; 129 III 380 consid. 2.2 p. 382).
Le juge apprécie librement, selon les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC), si le congé abrupt répond à de justes motifs (art. 337 al. 3 CO). A cette fin, il prend en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position du travailleur, la nature et la durée des rapports contractuels, et la nature et l'importance des manquements (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32; 127 III 351 consid. 4a p. 354). Le Tribunal fédéral ne contrôle qu'avec réserve une décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque la décision s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; en outre, le Tribunal fédéral redresse les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32; 130 III 213 consid. 3.1 p. 220; 129 III 380 consid. 2 p. 382).
4. La défenderesse soutient que le rapport de confiance nécessaire au maintien de la relation de travail a été détruit par le comportement du demandeur relatif aux clients B._ et C._ Ltd., et elle reproche à la Cour de justice d'avoir ignoré, à ce sujet, des faits importants qui étaient pourtant allégués et prouvés.
La Cour retient que le contrat de travail portait exclusivement sur l'ouverture puis la gestion d'un bureau de représentation à Dubaï, que les démarches et interventions du demandeur auprès de l'employeuse, en tant qu'elles concernaient B._ et la société dont celui-ci était l'organe, n'avaient aucun rapport avec l'activité ainsi convenue, et que ces démarches et interventions sont donc d'emblée inaptes à justifier une éventuelle résiliation abrupte du contrat.
Cette approche n'est pas compatible avec les règles du contrat de travail. L'art. 321a al. 1 CO impose au travailleur d'exécuter avec soin la tâche qui lui est confiée et de sauvegarder fidèlement les intérêts légitimes de l'employeur. Ce dernier est donc en droit d'exiger un comportement loyal et fidèle non seulement dans le cadre limité de l'activité explicitement convenue, mais aussi, le cas échéant, en rapport avec les autres affaires de l'entreprise auxquelles le travailleur prend également part. Le collaborateur d'une banque, quelle que soit sa fonction, viole le devoir de fidélité s'il propose un nouveau client en sachant que la relation à créer nuira très probablement à la réputation ou à d'autres intérêts de l'employeuse. Le collaborateur viole aussi le devoir de fidélité s'il intercède en faveur d'un client, même en marge de son activité habituelle, en sachant que l'opération favorisée par lui entraînera selon toute vraisemblance une perte pour l'employeuse. On ne peut donc pas exclure a priori, comme le fait la Cour de justice, que des actes ou omissions concernant B._ et la société dominée par lui puissent valablement motiver la résiliation abrupte du contrat de travail.
Selon l'argumentation développée devant le Tribunal fédéral, la rémunération très importante promise au demandeur autorisait l'employeuse à attendre de celui-ci une prudence et une diligence particulièrement marquées. A cet égard, la Cour aurait censément dû constater que l'employeuse fournissait à son représentant l'usage d'une maison à Dubaï et versait 28'000 dollars pour acquérir l'ameublement nécessaire. Ces circonstances-ci n'exercent toutefois pas d'influence décisive sur l'étendue du devoir de fidélité car le salaire était de toute manière très élevé. Chargé de développer de manière indépendante un nouvel établissement dans un Etat du Moyen-Orient, le représentant jouissait d'une position de confiance particulière. Récemment engagé, il lui incombait de faire la preuve de ses compétences et de sa loyauté.
Il ressort des constatations cantonales que le demandeur n'a pas informé son employeuse du courriel reçu le 24 novembre 2008 d'un avocat de Los Angeles et qu'il a refusé l'entretien voulu par l'employeuse au mois de janvier 2009. Il s'agit incontestablement de manquements aux obligations imposées par le contrat de travail. Dans ce contexte où il était apparu que le représentant avait introduit un client soupçonnable d'une activité criminelle, avec qui il affirmait avoir une relation d'amitié, l'employeuse pouvait légitimement se montrer particulièrement méfiante et exigeante. Par son attitude, le représentant se révélait réticent à communiquer avec l'employeuse et même enclin à lui dissimuler des informations importantes. Cette situation était objectivement propre à rompre le rapport de confiance nécessaire à la continuation des rapports de travail. Contrairement à l'opinion de la Cour de justice, par suite des violations du contrat qui ressortent de ses constatations, les conditions d'un licenciement abrupt étaient réunies le 29 janvier 2009.
En dépit de l'argumentation soumise au Tribunal fédéral, il n'apparaît pas que les constatations cantonales soient lacunaires sur des points susceptibles d'influer sur le sort de la cause. En revanche, surtout, le demandeur n'est pas en droit de recevoir les prestations prévues par l'art. 337c al. 1 et 3 CO lorsque l'employeur a résilié abruptement le contrat sans justes motifs. La décision allouant ces prestations doit être réformée selon les conclusions principales de la défenderesse.
5. A titre de partie qui succombe, le demandeur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt de la Cour de justice est réformé en ce sens que l'action est rejetée.
2. Le demandeur acquittera un émolument judiciaire de 6'000 francs.
3. Le demandeur versera une indemnité de 7'000 fr. à la défenderesse, au titre des dépens de l'instance fédérale.
4. La cause est renvoyée à la Cour de justice pour statuer à nouveau sur les frais et dépens des instances cantonales.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 5 mars 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
Le greffier: Thélin