Sachverhalt:
A. Mit Eheschutzurteil des Gerichtspräsidiums Z._ vom 7. Januar 2002 bzw. mit Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 2. Dezember 2002 wurde X._ unter anderem verpflichtet, Y._ ab November 2002 an ihren persönlichen Unterhalt monatlich Fr. 3'019.-- und an denjenigen des Sohnes F._, geboren 1984, und der Tochter B._, geboren 1999, monatlich je Fr. 1'000.-- zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen.
In Abänderung eines Entscheids des Gerichtspräsidiums 4 von Z._ vom 16. Dezember 2003 wies das Obergericht (5. Zivilkammer) des Kantons Aargau am 1. Juni 2004 ein von X._ widerklageweise gestelltes Abänderungsbegehren ab. Gleichzeitig bestätigte es eine durch das Gerichtspräsidium 4 von Z._ am 16. Mai 2003 vorsorglich angeordnete Anweisung an dessen Arbeitgeber, den Betrag von Fr. 4'189.-- (Fr. 3'019.-- für Y._ persönlich sowie Fr. 1'000.-- zuzüglich Kinderzulagen von Fr. 170.-- für die Tochter B._) vom Lohn abzuziehen und direkt an Y._ zu überweisen.
B. Mit Eingabe vom 7. Juli 2004 reichte Y._ beim Gerichtspräsidium Z._ ein Gesuch um Ergänzung bzw. Änderung der Anweisung an den Arbeitgeber von X._ ein. X._ schloss auf Abweisung des Begehrens und beantragte widerklageweise die gänzliche Aufhebung der Unterhaltspflicht gegenüber Y._ und die Herabsetzung der für den Sohn F._ zu leistenden Unterhaltsbeiträge auf monatlich Fr. 695.--.
Die Gerichtspräsidentin 4 von Z._ hiess am 1. Februar 2006 sowohl die Abänderungsklage als auch die Widerklage teilweise gut.
Das Obergericht (Zivilgericht, 5. Kammer) des Kantons Aargau wies am 30. April 2007 die von X._ hiergegen erhobene Beschwerde ab. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde von Y._ setzte es die dieser zustehenden Unterhaltsbeiträge unter anderem wie folgt neu fest:
- Januar 2005 bis Dezember 2005 Fr. 1'770.--
- Januar 2006 bis September 2006 Fr. 290.--
- ab Oktober 2006 Fr. 2'045.--.
Ferner wies das Obergericht die Arbeitgeberin von X._ an, den Betrag von Fr. 3'045.-- (Fr. 2'045.-- für Y._ persönlich und Fr. 1'000.-- für die Tochter B._) von dessen Lohn abzuziehen und direkt an Y._ zu überweisen. Die Gerichtskosten wurden zu 3/10 Y._ und - zufolge gewährter unentgeltlicher Rechtspflege allerdings nur unter Vorbehalt - zu 7/10 X._ auferlegt, der zudem verpflichtet wurde, Y._ 2/5 der Parteikosten zu ersetzen.
C. Mit einer als Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneten Eingabe vom 6. Juni 2007 ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Er beantragt, die Y._ zugesprochenen Unterhaltsbeiträge seien für die Monate Januar 2005 bis Dezember 2005 auf Fr. 855.--, für die Monate Januar 2006 bis September 2006 auf Fr. 135.-- und für die Zeit ab Oktober 2006 auf Fr. 1'236.-- festzusetzen. Ausserdem seien die Anweisung an die Arbeitgeberin aufzuheben, die Kosten des obergerichtlichen Verfahrens den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und die entsprechenden Parteikosten wettzuschlagen. Ferner hat der Beschwerdeführer darum ersucht, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung, und das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung zu diesem Gesuch verzichtet. Vernehmlassungen zur Sache sind nicht eingeholt worden.
D. Durch Präsidialverfügung vom 29. Juni 2007 ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen worden.
Erwägungen:
1. Die Anordnung von Massnahmen zum Schutze der ehelichen Gemeinschaft (Art. 172 ff. ZGB) ist eine Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 1 BGG. Strittig ist hauptsächlich die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers, d.h. eine Frage vermögensrechtlicher Natur. Die für Fälle der vorliegenden Art festgelegte Streitwertgrenze von 30'000 Franken (Art. 74 Abs. 1. lit. b BGG) ist angesichts der im Streite liegenden Beträge und der unbestimmten Dauer der der Beschwerdegegnerin zugesprochenen Unterhaltsbeiträge ohne weiteres erreicht (vgl. Art. 51 Abs. 4 BGG). Die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Rügen können mit keinem kantonalen Rechtsmittel erhoben werden (vgl. §§ 335 ff. der Aargauer Zivilprozessordnung [ZPO]), so dass die Beschwerde in Zivilsachen auch aus der Sicht von Art. 75 Abs. 1 BGG offen steht.
2. Eheschutzentscheide gelten nach der Rechtsprechung grundsätzlich als Entscheide über vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG; Umstände, die allenfalls eine abweichende Qualifizierung zu rechtfertigen vermöchten, liegen hier nicht vor (dazu BGE 133 III 393 E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.).
2.1 Nach Art. 98 BGG kann mit Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 III 393 E. 6 S. 397 mit Hinweisen). Bei der Willkürrüge ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (BGE 133 I 149 E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
2.2 Nach Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann sich mit anderen Worten nicht darauf beschränken, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Instanz, die den dargelegten Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten. Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von Art. 105 Abs. 2 BGG, die dem Richter geradezu in die Augen springen (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255).
3. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht zunächst vor, es sei bei der Ermittlung seines Notbedarfs in Willkür verfallen, indem es entgegen seinem Vorbringen davon ausgegangen sei, dass er mit C._, die ab 1. Juli 2005 temporär bei ihm gelebt habe, nach wie vor eine Wohngemeinschaft bilde, und deshalb seine Mietkosten von Fr. 1'832.-- um die Hälfte auf Fr. 916.-- reduziert habe.
3.1 Die Vorinstanz hält fest, C._ lebe seit Ende Juni 2005 unbestrittenermassen mit dem Beschwerdeführer in dessen Wohnung zusammen. Dass C._ nicht in der Lage wäre, sich an den Mietkosten anteilsmässig zu beteiligen, bringe der Beschwerdeführer nicht vor. Angesichts der Arbeitslosigkeit des Beschwerdeführers, die seit August 2004 angedauert habe, und der von ihm in diesem Zusammenhang geltend gemachten Geldknappheit sei auch nicht einzusehen, weshalb C._ ihn bezüglich der Mietkosten nicht entlasten sollte, zumal ihr mit dem Aufenthalt beim Beschwerdeführer der Arbeitsweg erspart geblieben sei. Mit Eingabe vom 7. Juli 2006 habe der Beschwerdeführer angegeben, dass er nicht mehr mit C._ zusammenlebe und diese nun in einem anderen Stadtteil wohne. Als Beweis lege er eine Fotografie seines Briefkastens ins Recht, der zu entnehmen sei, dass dieser nur mit seinem Namen beschriftet sei. Er nenne jedoch weder die neue Adresse von C._ noch den Zeitpunkt des Umzugs. Es mute mehr als merkwürdig an, wenn ein Umzug mit einer Fotografie des Briefkastens belegt werden solle, zumal der Nachweis für getrennte Wohnungen ohne nennenswerten Aufwand mit dem Mietvertrag oder einer Wohnsitzbescheinigung für C._ hätte erbracht werden können. Im Übrigen sei die Anwesenheit von C._ beim Beschwerdeführer nicht mit einem entsprechenden Namensschild, sondern lediglich mit einem "Zettel" am Briefkasten angezeigt worden; dieser hätte für die als Beweis eingereichte Fotografie ohne weiteres entfernt und anschliessend wieder angebracht werden können. Auch trügen die mit Eingabe vom 7. Juli 2006 eingereichten Beilagen nichts zur Glaubwürdigkeit der Behauptung des Beschwerdeführers bei, sei doch durchwegs die Strassenbezeichnung bei der Adresse von C._ abgedeckt. Der Beschwerdeführer habe somit nicht glaubhaft beibringen können, dass die Wohngemeinschaft mit C._ nicht mehr bestehe, und es sei ihm deshalb auch zukünftig nur die Hälfte seiner Mitkosten, d.h. Fr. 916.--, anzurechnen.
3.2 Den Erwägungen der Vorinstanz hält der Beschwerdeführer entgegen, den von ihm am 7. Juli 2006 eingereichten Unterlagen (Schreiben der Vormundschaftsbehörde ... vom 9. Juni 2006; Unterhaltsvertrag für D._ vom 15. Juni 2006; Auszug aus dem Protokoll der Kammer II der Vormundschaftsbehörde ... vom 26. Juni 2006; Betreuungsvertrag vom 1. Januar 2006) könne zweifelsfrei entnommen werden, dass C._ in einem ... Stadtteil gewohnt habe, der die Postleitzahl xxxx trage. C._ habe eine Wohnung an der T._strasse (Stadtteil P._) belegt, wogegen er (schon damals) am ... in yyyy (Stadtteil R._) gewohnt habe. Die Luftdistanz zwischen den beiden Orten betrage über sieben Kilometer. Zwar sei richtig, dass C._ ab 1. Juli 2005 temporär bei ihm gewohnt habe. Aus dem dem Gericht vorgelegten Betreuungsvertrag vom 1. Januar 2006 gehe jedoch hervor, dass C._ mit ihrer Tochter D._ zu jenem Zeitpunkt an der T._strasse gewohnt habe und dass damit die Wohngemeinschaft mit ihm beendet gewesen sei. Sodann habe C._ mit Kaufvertrag vom 7. Februar 2006 eine Eigentumswohnung in M._ erworben, die sie am 1. Oktober 2006 bezogen habe. Der öffentlich beurkundete Kauf- und Baurechtsvertrag habe bereits die Adresse T._strasse getragen, und das Notariat ... habe C._ am 1. Februar 2006 auch unter dieser Adresse angeschrieben. Damit ergebe sich aus diesen neuen Unterlagen, dass C._ spätestens ab 1. Februar 2006 dort gewohnt und demzufolge keine Wohngemeinschaft mehr mit ihm gebildet habe. Die abweichende Auffassung der Vorinstanz sei schlicht unhaltbar. Zum Beweis für seine Ausführungen reicht der Beschwerdeführer dem Bundesgericht unter Hinweis auf Art. 99 Abs. 1 BGG mehrere Beilagen (ohne Abdeckungen) zur Eingabe vom 7. Juli 2006 an die Vorinstanz ein.
3.3 Gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (im gleichen Sinne schon die Praxis zur staatsrechtlichen Beschwerde: BGE 128 I 354 E. 6c S. 357 mit Hinweisen). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die erwähnte Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Beweismitteln erfüllt sein soll (BGE 133 III 393 E. 3 S. 395).
Der Auffassung des Beschwerdeführers, erst der angefochtene Entscheid habe Anlass zur Einreichung von neuen Dokumenten gegeben, ist nicht beizupflichten: Ob C._ mit dem Beschwerdeführer den Haushalt teile, war bereits vor Obergericht von Bedeutung und Gegenstand des Verfahrens. Der Beschwerdeführer hatte zum Nachweis seiner Behauptung, sie lebten in getrennten Wohnungen, denn auch entsprechende Schriftstücke ins Recht gelegt, wobei er einschlägige Stellen zum Teil selbst abgedeckt hatte. Die eingereichten Dokumente wurden von der Vorinstanz als nicht schlüssig gewertet. Es geht unter diesen Umständen nicht an, nachträglich die gleichen Schriftstücke ohne Abdeckung zusammen mit weiteren Dokumenten zur Frage des Wohnorts von C._ einzureichen. Diese sind daher unbeachtlich.
Mit den Erwägungen des Obergerichts zum Wohnort von C._ setzt sich der Beschwerdeführer im Übrigen nicht auseinander. Er bringt somit auch nichts vor, was die auf den im kantonalen Verfahren eingereichten Schriftstücken beruhenden vorinstanzlichen Feststellungen als willkürlich erscheinen liesse.
4. Willkürlich ist der angefochtene Entscheid nach Ansicht des Beschwerdeführers des Weiteren deshalb, weil bei der Ermittlung des Notbedarfs der Beschwerdegegnerin nicht berücksichtigt worden sei, dass der Sohn F._, der im Januar 2002 mündig geworden sei, bei ihr wohne. Wie für den seit März 2000 mündigen Sohn E._ hätte auch für F._ ein Wohnkostenanteil von monatlich Fr. 500.-- eingesetzt werden müssen.
Mit der Frage eines der Beschwerdegegnerin anzurechnenden Beitrags des Sohnes F._ an die Wohnkosten hat sich das Obergericht in der Tat nicht befasst. Der Beschwerdeführer erklärt indessen selbst nicht, bereits im kantonalen Verfahren Entsprechendes vorgetragen zu haben. Im Übrigen macht er nicht geltend, dass F._ ein Erwerbseinkommen erziele oder ihm zuzumuten wäre, ein solches zu erzielen. Inwiefern es unter den gegebenen Umständen willkürlich sein soll, der Beschwerdegegnerin für den bei ihr wohnenden Sohn F._ keinen Anteil an die Wohnkosten anzurechnen, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich.
5. Sodann rügt der Beschwerdeführer, dass das Obergericht bei der Ermittlung seines Einkommens die Unterhaltspflicht gegenüber F._ ausser Acht gelassen habe. Die entsprechende Anweisung an die Arbeitgeberin habe zur Folge gehabt, dass er über den betreffenden Betrag nicht habe verfügen können.
Unter Berufung auf Art. 277 Abs. 2 ZGB wie auch unter Hinweis auf Rechtsprechung und Lehre hat das Obergericht in diesem Zusammenhang festgehalten, dass die Eltern für den Unterhalt eines mündigen Kindes nur soweit aufzukommen hätten, als es ihnen nach den gesamten Umständen zugemutet werden dürfe. Der Unterhaltsanspruch des mündigen Kindes werde durch die wirtschaftlichen Verhältnisse und Ressourcen der Eltern eingeschränkt und trete gegenüber demjenigen der unmündigen Kinder und des Ehegatten zurück, weshalb er diesen nicht zur Schmälerung ihres Unterhaltsanspruchs entgegengehalten werden könne. Die Vorinstanz hat aus diesem Grund dafür gehalten, der Unterhaltsanspruch von F._ sei bei der Existenzminimumberechnung der Parteien nicht zu berücksichtigen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Erwägungen in keiner Weise auseinander und legt mithin auch nicht dar, inwiefern die Auffassung des Obergerichts willkürlich sein soll. In diesem Punkt ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten.
6. Dem Begehren des Beschwerdeführers um Aufhebung der an seine Arbeitgeberin gerichteten Anweisung, die der Beschwerdegegnerin und der Tochter B._ zugesprochenen Unterhaltsbeiträge direkt an die Beschwerdegegnerin zu überweisen, hat das Obergericht mit der Begründung nicht stattgegeben, die auch für die Aufhebung dieser Massnahme geltende Voraussetzung der wesentlichen und dauerhaften Veränderung der Verhältnisse sei nicht erfüllt. Dem Vorbringen des Beschwerdeführers, es werde ihm die Möglichkeit genommen, seiner Verpflichtung freiwillig nachzukommen, sei entgegenzuhalten, dass aufgrund des äusserst schlechten Verhältnisses und des auffallend streitsüchtigen Verhaltens der Parteien nicht davon ausgegangen werden könne, dass der Beschwerdeführer seiner Unterhaltspflicht je ohne Zwang nachkommen werde.
Auch mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht rechtsgenügend auseinander. Er begnügt sich damit, in appellatorischer Form zu erklären, dass er seit dem 19. Juni 2006, d.h. seit dem Zeitpunkt, da die frühere, an die kantonale Arbeitslosenkasse gerichtete Anweisung ins Leere gegriffen habe, die ihm auferlegten Unterhaltsbeiträge fristgerecht und vollständig bezahlt habe. Dass die Aufrechterhaltung der Anweisung an die heutige Arbeitgeberin des Beschwerdeführers vollkommen unhaltbar wäre, ist damit nicht dargetan.
7. Den Antrag, die Kosten des obergerichtlichen Verfahrens den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und die Parteikosten wettzuschlagen, begründet der Beschwerdeführer in keiner Weise. Da der angefochtene Entscheid nach dem Ausgeführten nicht abzuändern ist, entfällt auch eine allfällige Abänderung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsregelung nach Massgabe von Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG.
8. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Gerichtskosten sind mithin dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dieser ist ausserdem zu verpflichten, die Beschwerdegegnerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG), wobei zu berücksichtigen ist, dass die Beschwerdegegnerin einzig eingeladen wurde, sich zum Gesuch um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung zu äussern, ihre Ausführungen zur Sache deshalb unbeachtlich sind.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer wird verpflichtet, die Beschwerdegegnerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (Zivilgericht, 5. Kammer) des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. März 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel