Sachverhalt:
A. Im Rechtsstreit A._ gegen B._ wurde B._ mit Urteil des Landgerichts Offenburg (Deutschland) vom 19. Oktober 2005 dazu verurteilt, an die X._ OHG Euro 1'790'274.23 nebst Zinsen zu bezahlen, und zwar Zug um Zug gegen eine (bestimmte) Erhöhung des Kapitalkontos von B._ als Gesellschafter der betreffenden OHG. Weiter wurde B._ mit Kostenfestsetzungsbeschluss vom 14. Dezember 2005 zur Bezahlung von Euro 25'469.86 an A._ verurteilt.
B. B.a Die beiden Urteile wurden auf Gesuch von A._ und der X._ OHG vom Bezirksgericht Schwyz (Einzelrichter) mit Verfügung vom 28. März 2006 im selbstständigen Exequaturverfahren (SV 2006 53) anerkannt und für vollstreckbar erklärt. Gestützt darauf erliess der Einzelrichter antragsgemäss mehrere Arrestbefehle als Sicherungsvollstreckung gemäss Art. 39 Abs. 2 LugÜ, welche zur Verarrestierung verschiedener Vermögenswerte von B._ führten.
B.b Gegen den Arrest KB 2007 146 erhob B._ Arresteinsprache.
B.c Mit Beschluss vom 26. Februar 2007 (RK1 2006 31) wies das Kantonsgericht Schwyz den Rekurs (Rechtsbehelfsverfahren gemäss Art. 36 LugÜ) gegen den Exequaturentscheid des Einzelrichters ab; dieser Beschluss blieb unangefochten.
B.d Laut Zahlungsbefehl vom 10. Mai 2006 (Betreibung Nr. 0000000; Betreibungsamt Unteriberg) wurde B._ von der X._ OHG für die Forderungen gemäss den deutschen Urteilen betrieben. Gegen den vom Schuldner erhobenen Rechtsvorschlag wurde die definitive Rechtsöffnung verlangt.
C. Mit Verfügung vom 19. Oktober 2007 hiess der Einzelrichter Schwyz die Arresteinsprache gut (KB 2007 160). Gleichentags wies der Einzelrichter das Rechtsöffnungsbegehren ab (KB 2006 195). Gegen beide Verfügungen gelangten die X._ OHG an das Kantonsgericht Schwyz.
Das Kantonsgericht Schwyz trat mit Verfügung vom 28. Dezember 2007 (RK2 2007 136) auf den Rekurs gegen die Gutheissung der Arresteinsprache nicht ein. Mit Verfügung vom gleichen Tag (RK2 2007 141) trat es auf den Rekurs gegen die Verweigerung der definitiven Rechtsöffnung ebenfalls nicht ein.
D. Gegen die Verfügung des Kantonsgerichts vom 28. Dezember 2007 betreffend Arresteinsprache führt die X._ OHG Beschwerde in Zivilsachen (5A_80/2008). Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und die Einsprache gegen den Arrest KB 2007 146 sei abzuweisen.
Gegen die weitere Verfügung des Kantonsgerichts vom 28. Dezember 2007 betreffend Rechtsöffnung erhebt die X._ OHG ebenfalls Beschwerde in Zivilsachen (5A_79/2008). Die Beschwerdeführerin verlangt, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und in der Betreibung Nr. 0000000 (Betreibungsamt Unteriberg) die Rechtsöffnung zu erteilen (und damit den Arrestbeschlag aufrechtzuerhalten).
Weiter verlangt die Beschwerdeführerin als prozessualen Eventualantrag die Sistierung der bundesgerichtlichen Verfahren.
B._ (Beschwerdegegner) beantragt die Abweisung des im Verfahren 5A_80/2008 gestellten Gesuchs um aufschiebende Wirkung. Mit Präsidialverfügung vom 20. Februar 2008 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt. Mit Eingabe vom 21. Februar 2008 hat sich die Beschwerdeführerin unaufgefordert zur Stellungnahme des Beschwerdegegners geäussert.
In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Die Beschwerden richten sich gegen Entscheide, die zwischen den gleichen Parteien ergangen sind und in einem verfahrensmässigen Zusammenhang stehen; zudem wird sowohl in den angefochtenen Entscheiden als auch in den Beschwerdebegründungen aufeinander Bezug genommen. Unter diesen Umständen rechtfertigt sich die Vereinigung der Beschwerden (BGE 133 IV 215 E. 1 S. 217).
2. 2.1 Angefochten ist ein Entscheid über die Weiterziehung des Entscheides über die Arresteinsprache (Art. 278 Abs. 2 und 3 SchKG) und ein Rechtsmittelentscheid über die definitive Rechtsöffnung (Art. 80 SchKG). Diese Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Die Streitwertgrenze ist offensichtlich erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und das Kantonsgericht hat als letzte kantonale Instanz entschieden (Art. 75 Abs. 1 BGG). Insoweit sind die Beschwerden zulässig.
2.2 Nach der Rechtsprechung ist anerkannt, dass der Arrest als Sicherungsmassnahme gestützt auf Art. 39 LugÜ möglich ist (BGE 131 III 660 E. 4.1 S. 663). Ein Teil der Lehre erachtet die Arresteinsprache gegen einen Arrest, der sich auf Art. 39 LugÜ als Arrestgrund stützt, als unzulässig, da die Überprüfung des Arrestgrundes - also der Vollstreckbarerklärung - endgültig im Rechtsbehelfsverfahren (Art. 36 LugÜ) stattfinde (u.a. GERHARD WALTER, Internationales Zivilprozessrecht der Schweiz, 4. Aufl. 2007, S. 481). Nach anderer Auffassung soll dem Schuldner die Einsprache immerhin für Einwendungen offenstehen, die nicht gegen den betreffenden Arrestgrund (Art. 39 LugÜ) gerichtet sind, wie z.B. die Einrede der Pfandsicherheit oder die Bestreitung des Arrestobjekts (u.a. AGNES ATTESLANDER-DÜRRENMATT, Sicherungsmittel "à discrétion"? Zur Umsetzung von Art. 39 LugÜ in der Schweiz, AJP 2001 S. 189 m.H.). In letztere Richtung geht eine geplante Anpassung des SchKG an das LugÜ (Entwurf betreffend Bundesbeschluss über die Genehmigung des revidierten Lugano-Übereinkommens, Erläuternder Bericht zum Vernehmlassungsverfahren vom 30. Mai 2008, Ziff. 2.7.3.2, S. 32).
Vorliegend besteht kein Anlass, die Zulässigkeit der Arresteinsprache des Beschwerdegegners bzw. die Rechtskonformität des (im Verfahren 5A_80/2008) angefochtenen Urteils betreffend die Weiterziehung der Arresteinsprache zu erörtern. Nach der Rechtsprechung gilt der Entscheid betreffend Weiterziehung des Einspracheentscheides als vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 98 bzw. Art. 46 Abs. 2 BGG (BGE 133 III 589 E. 1 S. 590; Urteil 5A_218/2007 vom 7. Juli 2007, E. 3.2, Pra 2007 Nr. 138 S. 944). Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin sind daher bei der Beschwerdefrist die Gerichtsferien nicht zu berücksichtigen. Das Urteil RK2 2007 136 des Kantonsgerichts betreffend Arresteinsprache ist der Beschwerdeführerin am 31. Dezember 2007 zugestellt worden, womit die Beschwerdefrist gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG am Mittwoch, dem 30. Januar 2008 abgelaufen ist. Die Beschwerde, welcher der Post am 1. Februar 2008 übergeben wurde, ist demnach verspätet. Auf die Beschwerde im Verfahren 5A_80/2008 kann nicht eingetreten werden.
2.3 Entscheide über die definitive oder provisorische Rechtsöffnung sind keine vorsorglichen Massnahmen gemäss Art. 98 BGG (BGE 133 III 399 E. 1.5 S. 400). Die Beschwerde gegen das Urteil RK2 2002 141 des Kantonsgerichts betreffend definitive Rechtsöffnung ist unter Berücksichtigung der Gerichtsferien rechtzeitig. Auf die Beschwerde im Verfahren 5A_79/2008 kann eingetreten werden.
2.4 Das Verfahren vor Bundesgericht kann aus Gründen der Zweckmässigkeit ausgesetzt werden (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 6 BZP). Vorliegend bietet die Einreichung einer Nichtzulassungsbeschwerde beim deutschen Bundesgerichtshof gegen das Berufungsurteil des Oberlandesgerichts Karlsruhe vom 27. Juli 2007 keinen hinreichenden Anlass, um die - im Ermessen des Instruktionsrichters stehende - Sistierung des Beschwerdeverfahrens gegen das Kantonsgerichtsurteil betreffend Rechtsöffnung anzuordnen.
2.5 Mit unaufgefordert und nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichter Eingabe vom 11. Juli 2008 verlangt der Beschwerdegegner vergeblich, dass der Beschluss des deutschen Bundesgerichtshofes vom 7. Juli 2008, mit welchem das Rechtsmittel gegen das erwähnte Urteil des Oberlandesgerichts Karlsruhe abgewiesen wurde, zu berücksichtigen sei. Er kann sich ohnehin nicht auf Art. 99 BGG bzw. die Zulässigkeit eines neuen Beweismittels berufen, da sich dieses nicht auf eine Feststellung bezieht, welche erst durch den vorinstanzlichen Entscheid rechtswesentlich geworden ist.
3. Das Kantonsgericht hat die Verweigerung der definitiven Rechtsöffnung auf das Urteil des Oberlandesgerichts Karlsruhe vom 27. Juli 2007 gestützt. Mit diesem Berufungsurteil sei die Vollstreckbarkeitserklärung, welche vom Kantonsgericht im Rechtsbehelfsverfahren für die vorläufig vollstreckbaren Urteile des Landgerichts Offenburg mit Urteil (RK1 2006 31) vom 26. Februar 2007 bestätigt wurde, dahingefallen. Aus diesem Grund sei der Rekurs gegen den abweisenden Rechtsöffnungsentscheid ohnehin rechtsmissbräuchlich und darauf nicht einzutreten.
Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen geltend, das Kantonsgericht habe übergangen, dass das im selbstständigen Verfahren ausgesprochene Exequatur (der Urteile des Landgerichts) rechtskräftig und für den Rechtsöffnungsrichter bindend sei. Rechtsmissbrauch liege nicht vor, zumal das Urteil des Oberlandesgerichts Karlsruhe nicht berücksichtigt werden könne, da es noch gar nicht in Rechtskraft erwachsen sei, sondern dagegen eine Nichtzulassungsbeschwerde beim deutschen Bundesgerichtshof erhoben worden sei. Die Berücksichtigung des Berufungsurteils des Oberlandesgerichts von Karlsruhe sei weder mit dem LugÜ noch dem SchKG vereinbar.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin hat vorliegend die Vollstreckbarkeitserklärung von auf Geldleistung lautenden Urteilen gestützt auf das Lugano-Übereinkommen verlangt, ohne zuvor den Betreibungsweg zu beschreiten. Zur Feststellung der Vollstreckbarkeit einer Entscheidung aus einem Vertragsstaat des LugÜ kann ein Gläubiger in der Tat unabhängig von einem Schuldbetreibungsverfahren ein (separates) Exequaturverfahren einleiten (BGE 125 III 386 E. 3a S. 388 mit Hinweisen). Soll die Entscheidung jedoch vollstreckt werden, muss ein ordentliches Betreibungsverfahren durchgeführt werden. Dies gilt nach herrschender Auffassung auch für das separate Exequaturverfahren nach Art. 31 ff. LugÜ (CHRISTOPH LEUENBERGER, Lugano-Übereinkommen: Verfahren der Vollstreckbarerklärung ausländischer "Geld"-Urteile, AJP 1992, S. 970; WALTER A. STOFFEL, Das Verfahren zur Anerkennung handelsrechtlicher Entscheide nach dem Lugano-Übereinkommen, SZW 1993, S. 114; MONIQUE JAMETTI GREINER, Überblick zum Lugano-Übereinkommen, ZBJV 1992, S. 76; YVES DONZALLAZ, La Convention de Lugano, Bd. II, Bern 1997, Ziff. 2092; DANIEL STAEHELIN, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Basel 1998, N. 68 zu Art. 80; a.M. WALTER, a.a.O., S. 476).
4.2 Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerin hat der Rechtsöffnungsrichter (Einzelrichter Schwyz) den Exequaturentscheid nicht einer zweiten Prüfung unterzogen oder Einwände entgegengenommen, welche der Beschwerdegegner bereits im Rechtsbehelfsverfahren hätte vorbringen können. Insoweit erübrigen sich Erörterungen zu dieser (in BGE 116 Ia 394 E. E. 2d S. 400 offengelassenen) Frage der Bindungswirkung. Hier hat der Rechtsöffnungsrichter die definitive Rechtsöffnung mit der Begründung verweigert, dass durch einen Umstand, der nach Abschluss des Exequaturverfahrens eingetreten ist (nämlich die Verkündung des Berufungsurteils des Oberlandesgerichts von Karlsruhe), die Vollstreckbarkeitserklärung dahingefallen sei. Umstritten und zu prüfen ist, ob der Rechtsöffnungsrichter diesen nachträglich eingetretenen Umstand berücksichtigen durfte.
4.2.1 Nach dem angefochtenen Urteil handelte sich bei den Urteilen des Landgerichts Offenburg, für welche das Exequatur erteilt wurde, um im Ursprungsstaat vorläufig vollstreckbare Urteile, die gestützt auf das LugÜ in der Schweiz vollstreckbar erklärt wurden. Die Beschwerdeführerin stellt nicht in Frage, dass das Urteil des Landgerichts durch das Berufungsurteil des Oberlandesgerichts Karlsruhe abgeändert wurde. Sie legt indessen nicht dar, inwiefern das Kantonsgericht zu Unrecht angenommen hat, dass nach § 717 der deutschen ZPO "die vorläufige Vollstreckbarkeit mit Verkündigung des Urteils, das die Entscheidung in der Hauptsache [...] aufhebt oder abändert, insoweit ausser Kraft tritt, als die Aufhebung oder Abänderung ergeht". Entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin fällt die vorläufige Vollstreckbarkeit nicht erst mit der Rechtskraft und auch ohne den Ausspruch der vorläufigen Vollstreckbarkeit des neuen Urteils dahin (STEIN/JONAS/ MÜNZBERG, Kommentar zur Zivilprozessordnung, 22. Aufl., Tübingen 2002, N. 1 zu § 717). Demnach ist nicht zu beanstanden, wenn das Kantonsgericht zur Auffassung gelangt ist, dass die vorläufig vollstreckbaren Urteile des Landgerichts, welche in der Schweiz anerkannt und vollstreckbar erklärt wurden, im Ursprungsstaat nicht mehr vollstreckbar sind.
4.2.2 Die Beschwerdeführerin verkennt, dass sie das Exequatur eines im Ursprungsstaat vorläufig vollstreckbaren Urteils und insoweit die Vollstreckbarkeitserklärung auf eigene Gefahr verlangt hat. Das LugÜ trägt dem Umstand, dass nach dem Übereinkommen auch vorläufig vollstreckbare Entscheidungen im Ausland anerkannt und vollstreckt werden können, Rechnung. Wird aber die ausländische Entscheidung aufgehoben oder abgeändert, so ist dies sowohl während des Rechtsbehelfsverfahrens als auch nach Abschluss des Rechtsbehelfsverfahrens beachtlich (JAN KROPHOLLER, Europäisches Zivilprozessrecht, 8. Aufl., Heidelberg 2005, N. 30 zu Art. 43, N. 10 f. zu Art. 38). Vor diesem Hintergrund ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz angenommen hat, der Schuldner (Beschwerdegegner) könne im Rechtsöffnungsverfahren vorbringen, die Vollstreckbarkeit des betreffenden Entscheides sei im Ursprungsstaat wieder aufgehoben worden (PETER STÜCHELI, Die Rechtsöffnung, Diss. Zürich 2000, S. 271; in diesem Sinn ISAAK MEIER, Internationales Zivilprozessrecht und Zwangsvollstreckungsrecht, 2. Aufl. 2005, S. 44). Der Hinweis der Beschwerdeführerin auf die Lehrmeinung, wonach für diese Konstellation einzig die Aufhebung der Betreibung gemäss Art. 85 und Art. 85a SchKG verlangt werden könne, überzeugt nicht, weil die entsprechende, von WALTER (a.a.O., S. 476 f.) vorgeschlagene Lösung - anders als hier (E. 4.1) - davon ausgeht, dass die Einleitung eines ordentlichen Betreibungsverfahrens nicht erforderlich sei.
4.2.3 Nach dem Dargelegten ist haltbar, wenn der Rechtsöffnungsrichter die nach rechtskräftigem Exequatur dahingefallene Vollstreckbarkeit des Urteils des Landgerichts Offenburg berücksichtigt und das Kantonsgericht die Verweigerung der definitiven Rechtsöffnung bestätigt hat. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet. Bei diesem Ergebnis ist nicht zu erörtern, ob das Kantonsgericht den Rekurs als rechtsmissbräuchlich erachten durfte.
5. Aus diesen Gründen kann auf die Beschwerde im Verfahren 5A_80/2008 nicht eingetreten werden und ist die Beschwerde im Verfahren 5A_79/2008 abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung entfällt, da keine Vernehmlassung in der Sache eingeholt worden ist und dem Beschwerdegegner keine Kosten entstanden sind. Für die Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung ist dem Beschwerdegegner keine Entschädigung zuzusprechen, da er mit seinem Antrag auf Abweisung unterlegen ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerdeverfahren 5A_79/2008 und 5A_80/2008 werden vereinigt.
2. Auf die Beschwerde im Verfahren 5A_80/2008 wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um Sistierung des Verfahrens 5A_79/2008 wird abgewiesen.
4. Die Beschwerde im Verfahren 5A_79/2008 wird abgewiesen.
5. Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 14'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
6. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, 2. Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Levante