Faits:
A. Par décision du 24 juillet 2008, le Conseil municipal de Sion a octroyé à X._ une autorisation de construire un immeuble d'habitation de 58 logements avec parking souterrain sur la parcelle n° 820 du registre foncier de la commune de Sion et a écarté l'opposition formée par A._, propriétaire d'un appartement dans une propriété par étage contiguë. Cette décision précisait qu'un recours à son encontre n'avait pas d'effet suspensif, qu'une éventuelle demande d'effet suspensif devait être déposée dans les dix jours et que les travaux ne pouvaient débuter avant l'entrée en force de la décision relative à l'effet suspensif.
A._ n'a pas requis l'octroi de l'effet suspensif dans les dix jours, mais a assorti le recours qu'il a adressé au Conseil d'Etat du canton du Valais (ci-après: le Conseil d'Etat) d'une demande d'effet suspensif, laquelle a été rejetée par décision incidente du 10 décembre 2008. Le Conseil d'Etat a en outre indiqué que les travaux de constructions pouvaient débuter aux risques et périls du constructeur. A._ n'a pas recouru contre cette décision de rejet de l'effet suspensif, mais a déposé, le 13 janvier 2009, une requête de mesures provisionnelles tendant à interdire à X._ de lancer les travaux irréversibles relatifs notamment à l'implantation du futur bâtiment sur le côté nord.
En janvier 2009, X._ a transféré la parcelle n° 820 à la société anonyme B._ dont il est l'administrateur unique. Il a lancé les travaux de construction le 29 janvier 2009.
B. Par décision du 17 juin 2009, le Conseil d'Etat a admis les mesures provisionnelles liées aux travaux hors sol portant sur les façades nord et est du bâtiment projeté, jusqu'à production d'une attestation du registre foncier de la commune de Sion portant sur l'inscription définitive de l'acte de division et de constitution de servitude du 20 mai 2009. Il a cependant rejeté les mesures provisionnelles liées aux possibilités d'intervention en cas d'incendie - qui paraissent garanties au vu des préavis des chargés de sécurité - et au nombre d'étages du bâtiment - les combles autorisés ne comptant pas comme niveau du moment que leur surface brute ne dépasse en aucun cas les deux tiers de l'étage complet au-dessus duquel ils se trouvent.
Le 29 juin 2009, A._ a déposé un recours contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal), et a requis l'interdiction, par voie de mesures superprovisionnelles, des travaux de pans de construction à proximité de la limite commune entre les parcelles n° 810 et 820 et, par mesures provisionnelles, des travaux qui pourraient contrevenir aux règles de droit des constructions qu'il mentionne dans ses écritures. Par arrêt du 17 juillet 2009, le Tribunal cantonal a rejeté le recours.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal et de lui accorder des dépens. Il requiert en outre l'octroi de l'effet suspensif.
La Ville de Sion, la société B._ et le Conseil d'Etat concluent à l'irrecevabilité de la requête d'effet suspensif et au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 II 137 consid. 1 p. 138).
1.1 En vertu de l'art. 90 LTF, le recours en matière de droit public au Tribunal fédéral est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure. Il est également recevable contre certaines décisions préjudicielles et incidentes. Il en va ainsi de celles qui concernent la compétence et les demandes de récusation (art. 92 LTF). Quant aux autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément, elles peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF).
1.2 En l'espèce, le recours est dirigé contre un arrêt du Tribunal cantonal qui rejette une requête de mesures provisionnelles. L'arrêt attaqué ne met par conséquent pas fin à la procédure administrative et revêt un caractère incident. Dans un tel cas, le recours n'est ouvert que si l'une des deux hypothèses de l'art. 93 LTF est réalisée.
1.2.1 D'après la jurisprudence, un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF doit être de nature juridique; il ne doit pas pouvoir être réparé ultérieurement par une décision finale favorable au recourant (ATF 134 III 188 consid. 2.1 p. 190 et les références). En l'occurrence, on ne voit pas à quel préjudice juridique irréparable le recourant pourrait être exposé, dès lors que ses griefs contre l'autorisation de construire seront prochainement examinés par le Conseil d'Etat. Le recourant pourra soit obtenir satisfaction, soit, dans le cas contraire, attaquer la décision du Conseil d'Etat auprès du Tribunal cantonal, puis cas échéant auprès du Tribunal fédéral. Le recourant ne saurait se prévaloir du fait que s'il obtient gain de cause devant le Conseil d'Etat, il ne pourra pas obtenir un ordre de démolition, dès lors que le 10 décembre 2008, le Conseil d'Etat dans sa décision incidente de rejet de l'effet suspensif a indiqué que les travaux de constructions pouvaient être entrepris aux risques et périls du constructeur. Le mémoire de recours ne contient du reste pas la démonstration de l'existence ou du risque d'un tel préjudice, alors qu'il incombe au recourant de présenter une argumentation motivée sur ce point (art. 42 al. 2 LTF; cf. ATF 134 II 137 consid. 1.3.3 p. 141).
1.2.2 En outre, l'hypothèse de l'art. 93 al. 1 let. b LTF n'entre manifestement pas en considération, une admission du présent recours n'étant pas de nature à conduire immédiatement à une décision finale qui permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse.
2. Le recours doit par conséquent être déclaré irrecevable, aux frais du recourant qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Celui-ci versera en outre une indemnité de dépens à l'intimée qui a eu recours à un avocat (art. 68 al. 2 LTF). La Ville de Sion et le Conseil d'Etat n'ont en revanche pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF). Comme le recours était d'emblée voué à l'échec, l'assistance judiciaire doit être refusée (art. 64 al. 1 et 2 LTF). Vu l'issue du recours, la requête d'effet suspensif présentée par le recourant est sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 2'000 francs est allouée à l'intimée à titre de dépens, à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au mandataire de l'intimée, à la Ville de Sion, au Conseil d'Etat et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 26 août 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Tornay Schaller