Sachverhalt:
A. Y._ und X._ heirateten 2002. Sie sind die Eltern der Tochter Z._ (geb. 2002). Während des Zusammenlebens betrieb die Ehefrau ein Fernstudium und der Ehemann arbeitete mit vollem Pensum als Laborant. Die Tochter Z._ wurde zeitweise in einer Kinderkrippe untergebracht. Seit Frühjahr 2005 leben die Parteien getrennt. Die Tochter blieb in der Obhut des Vaters und die Mutter verbrachte ein- bis zweimal in der Woche einige Stunden mit dem Kind.
B. B.a Im Herbst 2007 reichten die Eheleute gemeinsam ein Begehren auf Scheidung ein. Mit Urteil vom 10. November 2008 schied das Kreisgericht St. Gallen die Ehe, stellte Z._ unter die elterliche Sorge des Vaters und bestätigte die schon vorsorglich errichtete Erziehungsbeistandschaft; ferner regelte es den persönlichen Verkehr der Mutter zum Kind und verpflichtete die Mutter, ab August 2010 einen indexierten Kinderunterhalt von Fr. 850.- im Monat zu bezahlen. Im Übrigen stellte es fest, dass sich die Ehegatten gegenseitig keinen nachehelichen Unterhalt schulden und güterrechtlich auseinandergesetzt sind; ferner genehmigte es die Vereinbarung über den Vorsorgeausgleich.
B.b Gegen dieses Urteil gelangte X._ mit Berufung an das Kantonsgericht und verlangte im Wesentlichen, die Tochter ihrer elterlichen Sorge anzuvertrauen. Y._ beantragte, die Berufung abzuweisen und verlangte seinerseits mit Anschlussberufung die Erhöhung des von X._ geschuldeten Unterhaltsbeitrages auf Fr. 1'500.- bzw. Fr. 1'000.- im Monat. Mit Urteil vom 9. März 2010 regelte das Kantonsgericht des Kantons St. Gallen das Besuchsrecht neu und bestätigte im Übrigen den angefochtenen Entscheid.
C. X._ (Beschwerdeführerin) gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 23. April 2010 an das Bundesgericht. Sie beantragt zur Hauptsache, der Entscheid des Kantonsgerichts vom 9. März 2010 sei in Bezug auf die Ziffern 3 bis 5 aufzuheben; entsprechend seien die vom Kantonsgericht bestätigten Ziffern 5 und 6 des erstinstanzlichen Entscheides des Kreisgerichts St. Gallen vom 10. November 2008 vollumfänglich aufzuheben, womit ihre Verpflichtung zur Zahlung von Unterhaltsbeiträgen für die Tochter Z._ entfalle. Eventuell sei das kantonsgerichtliche Urteil aufzuheben und die Sache zur Beurteilung ihrer Erwerbschancen bzw. zu diesbezüglichen Beweiserhebungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Eingabe vom 28. Juli 2010 verlangt sie überdies die Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
In seiner Vernehmlassung vom 1. September 2010 beantragt Y._ (Beschwerdegegner), die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei, und die aufschiebende Wirkung nicht zu erteilen. Das Kantonsgericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.
D. Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 3. Februar 2011 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid auf dem Gebiet der Scheidungsfolgen bezüglich der Kinder; die Beschwerde in Zivilsachen steht somit grundsätzlich offen (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Vorliegend betraf der Streit vor der letzten kantonalen Instanz sowohl die Kinderzuteilung und das Besuchsrecht als auch den Kinderunterhalt. Waren sowohl vermögensrechtliche wie auch nicht vermögensrechtliche Fragen im Streit, ist die Beschwerde ohne Streitwerterfordernis gegeben (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2).
1.2 Als reformatorisches Rechtsmittel (Art. 107 Abs. 2 BGG) bedarf die Beschwerde grundsätzlich eines reformatorischen Rechtsbegehrens; ein ausschliesslicher formeller Antrag auf Rückweisung ist nicht zulässig, es sei denn, das Bundesgericht könne (mangels genügender tatsächlicher Feststellungen) nicht reformatorisch entscheiden (Art. 42 Abs. 1 BGG; BGE 136 V 132 E. 1.2 S. 135 f.; 134 III 379 E. 1.3 S. 383).
Die Beschwerdeführerin verlangt mit ihrem Hauptantrag, der Entscheid des Kantonsgerichts vom 9. März 2010 sei in Bezug auf die Ziffern 3 bis 5 aufzuheben; entsprechend seien die vom Kantonsgericht bestätigten Ziffern 5 und 6 des erstinstanzlichen Entscheides des Kreisgerichts St. Gallen vom 10. November 2008 vollumfänglich aufzuheben, womit ihre Verpflichtung zur Zahlung von Unterhaltsbeiträgen für die Tochter Z._ entfalle. Dabei handelt es sich in erster Linie um einen formellen Antrag um Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Allerdings kann der Nachsatz auch dahin verstanden werden, dass die Beschwerdeführerin beantragt, keine Kinderalimente zuzusprechen. Mit Bezug auf diese liegt folglich ein materieller Antrag vor, auf den eingetreten werden kann. Demgegenüber liegen bezüglich der Kinderzuteilung und des Besuchsrechts keine materiellen Anträge vor, sodass insoweit das Urteil des Kantonsgerichts in Rechtskraft erwachsen ist.
1.3 Das Bundesgericht ist im Beschwerdeverfahren an den von der letzten kantonalen Instanz festgestellten Sachverhalt gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich können einzig eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung oder die Verletzung eines anderen verfassungsmässigen Rechts oder gegebenenfalls die Verletzung bundesrechtlicher Beweisvorschriften geltend gemacht werden, wobei der betreffende Mangel überdies für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein muss (Art. 97 Abs. 1 BGG). Für all diese Elemente gilt das strenge Rügeprinzip gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255). Das Bundesgericht prüft somit nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, während es auf ungenügend begründete Vorbringen und rein appellatorische Kritik am festgestellten Sachverhalt nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es nicht aus, die eigene Sichtweise darzustellen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht in Willkür verfallen sein soll (BGE 134 II 244 E. 2.2 246). Soweit sich die Vorbringen der Beschwerdeführerin in bloss appellatorischer Kritik erschöpfen, sind sie somit nicht zu hören.
Allerdings zeigt sich die Abgrenzung zwischen Sachverhalts- und Rechtsfrage nicht immer einfach. Häufig erweisen sich gewisse Tatbestandsvoraussetzungen für eine Rechtswirkung nicht einem direkten Beweis zugänglich. Dann muss von Erwiesenem auf nicht direkt Beweisbares geschlossen werden. Nach der Rechtsprechung zum Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) vom 16. Dezember 1943 beruhen solche natürliche Vermutungen in aller Regel auf einer Würdigung der im Einzelfall konkret festgestellten Sachverhalte. Sie waren damit der bundesgerichtlichen Überprüfung im Berufungsverfahren grundsätzlich nicht zugängliche Beweiswürdigung (BGE 131 III 121 E. 3.1 S. 125; 120 II 248 E. 2c S. 250 f.). Es handelt sich um eine Form des Indizienbeweises (HENRI DESCHENAUX, Der Einleitungstitel, Schweizerisches Privatrecht, Bd. II, 1967, S. 264). Eine Ausnahme machte indessen die Rechtsprechung für Schlüsse aufgrund der allgemeinen Lebenserfahrung aus Erfahrungsgrundsätzen, welche über den konkreten Sachverhalt hinaus Bedeutung haben und gleichsam die Funktion von Normen übernehmen. Solche Schlüsse überprüfte das Bundesgericht unter dem OG als Rechtsfragen im Berufungsverfahren frei (BGE 117 II 256 E. 2b S 258 mit Hinweisen). Diese Regelfunktion kommt nach der Rechtsprechung einem Erfahrungssatz indessen bloss zu, wenn das in ihm enthaltene hypothetische Urteil, welches aus den in andern Fällen gemachten Erfahrungen gewonnen wird, in gleich gelagerten Fällen allgemeine Geltung für die Zukunft beansprucht, wenn der Erfahrungssatz einen solchen Abstraktionsgrad erreicht hat, dass er normativen Charakter trägt (BGE 117 II 256 E. 2b S. 258 mit Hinweis). Wo der Sachrichter sich demgegenüber bloss auf die allgemeine Lebenserfahrung stützt, um aus den Gesamtumständen des konkreten Falls oder den bewiesenen Indizien auf einen bestimmten Sachverhalt zu schliessen, lag nach der Rechtsprechung zum OG Beweiswürdigung vor; diese beruht zwar insoweit auch weitgehend auf allgemeiner Lebenserfahrung, ohne dass dies aber zur Aufhebung der für das Berufungsverfahren vom Gesetz vorgeschriebenen Kognitionsbeschränkung führt (BGE 117 II 256 E. 2b 258 f. mit Hinweisen). Diese Rechtsprechung ist ohne weiteres unter dem BGG für das Beschwerdeverfahren weiterzuführen, wobei hier - anders als in der Berufung - die Beweiswürdigung auf Willkür überprüft werden kann.
Die Beschwerde ist zu begründen. Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzulegen, inwiefern dieser Bundesrecht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdeführerin rügt in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Urteils, zum einen habe das Kantonsgericht die sich aus Art. 285 ZGB ergebenden Grundsätze falsch angewendet, zum andern habe es den Sachverhalt willkürlich gewürdigt bzw. falsche Schlüsse aus der allgemeinen Lebenserfahrung gezogen. Diese Rügen sind zulässig und auf die Beschwerde ist in dieser Hinsicht einzutreten. Soweit die Eingabe der Beschwerdeführerin aber den aufgezeigten Begründungsanforderungen nicht entspricht, ist darauf nicht einzutreten.
2. 2.1 Wie dargelegt ist vorliegend nur noch die Regelung des Kinderunterhalts streitig. Demgegenüber ist das kantonsgerichtliche Urteil, soweit es um die Kinderzuteilung und den persönlichen Verkehr geht, rechtskräftig geworden.
2.2 Gemäss den tatsächlichen und damit für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen des Kantonsgerichts hat die Beschwerdeführerin einen höheren Abschluss einer ausländischen Lehranstalt als Textilbetriebstechnikerin, der allerdings in der Schweiz nicht anerkannt ist. Sie ist seit der Geburt der Tochter nicht berufstätig und studiert seit zehn Jahren an verschiedenen Schulen ohne Prüfungserfolge, wobei sie das Studienende immer wieder hinausschiebt. Die Beschwerdeführerin kann auch kein Arbeitslosentaggeld mehr beziehen und ist bereits ausgesteuert. Sie lebt in bescheidenen Verhältnissen und benötigt für ihren Grundbedarf rund Fr. 2'400.- im Monat. Ihre wirtschaftlich gut gestellte Mutter finanziert den Lebensunterhalt.
Das Kantonsgericht hat sodann in rechtlicher Hinsicht festgehalten, es sei der Beschwerdeführerin zuzumuten, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Sie sei in der Lage, ein Erwerbseinkommen im Umfang von Fr. 3'600.- im Monat zu erzielen. Sei ihr dies nicht möglich, so könne sie eine Invalidenrente beantragen, welche ungefähr das gleiche Einkommen bringe. Der Beschwerdeführerin sei deshalb zuzumuten, einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 850.- für die Tochter zu bezahlen.
2.3 Der Elternteil, der nicht mit dem Kind zusammenlebt, hat nach Art. 285 Abs. 1 ZGB grundsätzlich einen Beitrag in Geld an den Unterhalt des Kindes zu leisten. Der Beitrag bemisst sich nach den Bedürfnissen des Kindes, der Lebenshaltung der Parteien und der Leistungskraft des Pflichtigen, und es sind die Einkünfte und das Vermögen des Kindes zu berücksichtigen (BGE 135 III 66 E. 4 S. 70).
Dabei ist grundsätzlich vom tatsächlich erzielten Einkommen des Unterhaltspflichtigen auszugehen. Soweit dieses Einkommen allerdings nicht ausreicht, um den ausgewiesenen Bedarf zu decken, kann ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden, sofern dieses zu erreichen zumutbar und möglich ist (BGE 128 III 4 E. 4a S. 5; 127 III 136 E. 2a S. 139). Dabei handelt es sich um zwei Voraussetzungen, die kumulativ erfüllt sein müssen. Damit ein Einkommen überhaupt oder höheres Einkommen angerechnet werden kann, als das tatsächlich erzielte, genügt es nicht, dass der betroffenen Partei weitere Anstrengungen zugemutet werden können. Vielmehr muss es auch möglich sein, aufgrund dieser Anstrengungen ein höheres Einkommen zu erzielen.
Mit Bezug auf das hypothetische Einkommen ist Rechtsfrage, welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint. Tatfrage bildet hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist (BGE 126 III 10 E. 2b S. 13 oben; 128 III 4 E. 4c/bb S. 7; Urteil 5A_388/2010 vom 29. September 2010 E. 1).
3. 3.1 Wie die Vorinstanz zu Recht erkannt hat, sind im Verhältnis zum unmündigen Kind besonders hohe Anforderungen an die Ausnützung der Erwerbskraft zu stellen (CYRIL HEGNAUER, Berner Kommentar, 1997, N. 58 i.V.m. N. 56 zu Art. 285 ZGB). Dies gilt vorab in jenen Fällen, wo - wie hier - wirtschaftlich enge Verhältnisse vorliegen. Sodann können die im Zusammenhang mit der Arbeitslosenversicherung geltenden Kriterien nicht unbesehen übernommen werden. Namentlich ist die Tatsache, dass die Beschwerdeführerin arbeitslos war und trotz entsprechender Bemühungen keine Stelle fand, kein Beweis dafür, dass es ihr tatsächlich nicht möglich ist, eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen. Sodann dürfen auch Erwerbsmöglichkeiten in Betracht gezogen werden, die keine abgeschlossene Berufsausbildung erfordern und sich im Tieflohnbereich befinden. Die Beschwerdeführerin hat mit Blick auf die nunmehr rechtskräftige Kinderzuteilung keine Betreuungsaufgaben wahrzunehmen und hatte offensichtlich bis anhin auch genügend Zeit, um dem Bedürfnis nach einer weiteren Ausbildung nachzugehen. In ihrer Beschwerde bezeichnet sie sich als gesund und uneingeschränkt arbeitsfähig. Um der Unterhaltspflicht gegenüber ihrer unmündigen Tochter nachzukommen, ist es der Beschwerdeführerin deshalb - wovon das Kantonsgericht zu Recht ausgegangen ist - grundsätzlich zuzumuten, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen.
3.2 Das Kantonsgericht äussert sich nicht konkret, welcher Erwerbstätigkeit die Beschwerdeführerin nachgehen könne. Es beschränkt sich auf die sinngemässe Aussage, bei Ausschöpfung ihrer Möglichkeiten könne die Beschwerdeführerin mit Einkünften von "wenigstens Fr. 3'500.--" rechnen (und bei einem Bedarf samt Berufsauslagen von nicht mehr als Fr. 2'600.-- einen Beitrag von Fr. 850.-- an den Unterhalt des Kindes leisten). Selbst wenn das Kantonsgericht damit eine Erwerbstätigkeit im Tieflohnbereich gemeint hat, d.h. eine Stelle, die keine abgeschlossene Berufsausbildung erfordert, wäre es gehalten gewesen, z.B. auf der Basis von Lohnstrukturerhebungen des Bundesamtes für Statistik oder anderen Quellen (allgemeinverbindliche Gesamtarbeitsverträge; MÜLHAUSER, Das Lohnbuch 2010, Mindestlöhne sowie orts- und berufsübliche Löhne in der Schweiz, Zürich 2010) konkret festzustellen, welche Tätigkeiten (z.B. Sekretariats- oder Kanzleiarbeiten, Verkauf von Konsumgütern, Dienstleistungen im Detailhandel, Reinigung, gastgewerbliche oder hauswirtschaftliche Tätigkeiten usw.) bzw. welche Stellen für die Beschwerdeführerin beim angenommenen Lohn tatsächlich möglich und der Beschwerdeführerin zumutbar sind.
Soweit das Kantonsgericht der Beschwerdeführerin ohne die erforderlichen Feststellungen ein hypothetisches Einkommen angerechnet hat, erweist sich das angefochtene Urteil als bundesrechtswidrig; es ist aufzuheben und zur Ergänzung des Sachverhalts und neuem Entscheid zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens erübrigt es sich, näher auf die Rügen im Zusammenhang mit der Invalidenversicherung einzugehen.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdegegner die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen und die Beschwerdeführerin für dieses Verfahren zu entschädigen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).
5. Angesichts der vorstehenden Kosten- und Entschädigungsregelung wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos, zumal weder geltend gemacht wird noch angenommen werden kann, die Entschädigung sei uneinbringlich (vgl. BGE 122 I 322 E. 3e S. 327).
6. Mit dem heutigen Entscheid in der Sache wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung vom 28. Juli 2010 gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Ziffer. 3 des Urteils des Kantonsgerichts St. Gallen, II. Zivilkammer, vom 9. März 2010 wird aufgehoben, soweit sie die Regelung des Kinderunterhalts betrifft. Die Sache wird zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
4. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden