Sachverhalt:
A. A.a Der deutsche Staatsangehörige F._ lebt seit April 2005 in A._, Gemeinde X._ und bezieht seit April 2005 Sozialhilfe. Mit Entscheid vom 30. März 2007 bestätigte das Kantonsgericht Wallis die von der Gemeinde vorgenommene Kürzung des ihm nach den SKOS-Richtlinien zustehenden Sozialhilfebetrages von Fr. 1860.- ab Januar 2007 um ein hypothetisches Nebeneinkommen von Fr. 1650.-. Gleichzeitig verpflichtete es diese, dem Sozialhilfebezüger rückwirkend ab 1. Januar 2007 jeweils zu Monatsbeginn die Differenz von Fr. 210.- zu vergüten. Die von F._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 8C_156/2007 vom 11. April 2008 ab.
In einer von der Gemeinde erstellten und von F._ unterzeichneten Abrechnung vom 13. April 2007 setzte diese die Nachzahlungen vom 1. Januar bis 6. Mai 2007 gemäss kantonalem Entscheid vom 30. März 2007 auf insgesamt Fr. 1986.- fest, welchen Betrag sie auch der Verfügung vom 4. Mai 2007 zugrunde legte. Gegen diese Verfügung reichte F._ beim Staatsrat des Kantons Wallis Beschwerde ein.
A.b Mit Entscheid vom 20. April 2007 verpflichtete das Kantonsgericht Wallis die Gemeinde, F._ für die Monate Januar bis April 2006 jeweils zu Monatsbeginn einen Unterstützungsbeitrag von Fr. 16.- und für die Monate September bis Dezember 2006 einen solchen von Fr. 144.- zu entrichten. Das Bundesgericht trat mit Urteil 8C_211/2007 vom 14. April 2008 auf die dagegen eingereichte Beschwerde nicht ein. In Nachachtung des kantonalen Gerichtsentscheids setzte die Gemeinde mit Verfügung vom 9. Mai 2007 die dem Sozialhilfeempfänger nachzuzahlenden Beträge fest. Dagegen erhob F._ ebenfalls Beschwerde beim Staatsrat des Kantons Wallis.
A.c Mit Verfügung vom 25. Juni 2007 sprach die Gemeinde F._ für die Zeit vom 7. bis 31. Mai 2007 anteilsmässig Fr. 1860.- zu. Für den Monat Juni 2007 ging sie von demselben Betrag aus, reduzierte diesen jedoch um das im Mai tatsächlich erzielte Einkommen von Fr. 1636.75. Auch diese Verfügung zog F._ an den Staatsrat des Kantons Wallis weiter.
A.d Der Staatsrat vereinigte die Beschwerden und entschied am 7. November 2007: Auf die Beschwerden werde nicht eingetreten, soweit sie sich auf Zahlungen von Sozialhilfebeiträgen, Zinsen und Betreibungskosten in Anwendung der Entscheide des Kantonsgerichts beziehen würden; das Recht auf ordentliche Sozialhilfe beginne am 13. April 2007 und belaufe sich auf monatlich Fr. 1860.-; ab Juni 2007 werde der Lohn aus der SEAZ-Massnahme (Sozialer Einarbeitungszuschuss) ins Budget integriert, wobei die Sozialhilfe aus einem Zuschlag zum Nettolohn aus der SEAZ-Massnahme bestehe, um das auf Fr. 1860.- festgelegte Existenzminimum zu erreichen; die Verpflegungskosten würden ab dem 7. Mai 2007 zusätzlich zur Sozialhilfe übernommen; im Übrigen werde die Beschwerde, soweit zulässig, abgewiesen.
B. Das Kantonsgericht Wallis trat mit Entscheid vom 14. März 2008 auf die dagegen erhobene Beschwerde nicht ein (A1 07 204) und wies das Gesuch um Beigabe eines Rechtsbeistandes mit separatem Entscheid gleichen Datums (A2 07 199) ab. Zudem auferlegte sie F._ Gerichtsgebühren für das Hauptverfahren von Fr. 300.- und für das Verfahren um Beigabe eines Rechtsbeistandes von Fr. 50.-.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt F._, die Urteile des Kantonsgerichts vom 14. März 2008 seien aufzuheben; bezüglich der am 17. März 2008 in Rechnung gestellten Gerichtsgebühren sei aufschiebende Wirkung zu erteilen; es sei ihm Akteneinsicht zu gewähren und anschliessend die Möglichkeit einzuräumen, die Beschwerde zu ergänzen; insbesondere sei er über die eingeholten Auskünfte und Vernehmlassungen zu informieren und es sei ihm das Replikrecht einzuräumen; überdies ersucht F._ um unentgeltliche Rechtspflege und Zusprechung einer angemessenen Parteientschädigung.
Der Staatsrat und das Kantonsgericht des Kantons Wallis schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Gemeinde X._ stellt keinen Antrag, weist jedoch darauf hin, dass sie lediglich die kantonalen Gerichtsentscheide nachvollzogen habe.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer beantragt in der Beschwerdeschrift, es sei ihm Akteneinsicht zu gewähren und anschliessend die Möglichkeit einzuräumen, die Beschwerde zu ergänzen. Insbesondere sei er über die eingeholten Auskünfte und Vernehmlassungen zu informieren. Überdies sei ihm das Replikrecht einzuräumen.
2.2 Eine Nachfristansetzung zur Ergänzung einer nicht genügend begründeten Beschwerde ist in Art. 42 Abs. 5 und Abs. 6 BGG nicht vorgesehen (BGE 134 II 244 E. 2.4 S. 247). Vielmehr hat die Begründung gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG in der innerhalb der Rechtsmittelfrist (vgl. Art. 100 BGG) einzureichenden Beschwerdeschrift zu erfolgen. Ergänzende Beschwerdeschriften sind nur unter den engen Voraussetzungen von Art. 43 BGG möglich. Die zur Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht notwendige Einsicht in Vorakten ist grundsätzlich innert der Beschwerdefrist bei der Vorinstanz zu beantragen. Der Beschwerdeführer kann daher nicht damit rechnen, wegen Beantragung der Akteneinsicht beim Bundesgericht Gelegenheit zur Ergänzung der Beschwerdeschrift nach Ablauf der Rechtsmittelfrist zu erhalten (LAURENT MERZ, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, N. 37 ff. zu Art. 42 BGG).
2.3 Gehen in einem Gerichtsverfahren Vernehmlassungen und Stellungnahmen von Parteien und Behörden ein, so werden diese den übrigen Verfahrensbeteiligten im Allgemeinen zur Kenntnisnahme zugestellt. Diese Zustellung kann verbunden werden mit der Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels. Ein solcher wird jedoch nur ausnahmsweise durchgeführt (Art. 102 Abs. 3 BGG). Das Gericht kann aber auch eine neu eingegangene Eingabe den Parteien ohne ausdrücklichen Hinweis auf allfällige weitere Äusserungsmöglichkeiten zur (blossen) Kenntnisnahme übermitteln, was im Bereich des Sozialversicherungsrechts regelmässig der Fall ist. Möchten die Verfahrensbeteiligten, die eine solche Eingabe ohne Fristansetzung erhalten haben, nochmals zur Sache Stellung nehmen, so können sie dies tun. Nach Treu und Glauben hat dies jedoch umgehend zu erfolgen (BGE 133 I 98 E. 2.2 S. 99; Urteil 1C_153/2007 vom 6. Dezember 2007).
2.4 Diese Grundsätze sind auch anwendbar auf Fälle, in denen - wie hier - bereits in der Beschwerdeschrift eine Replikmöglichkeit beantragt wird. Insbesondere kann eine neue Eingabe den Verfahrensbeteiligten auch bei dieser Konstellation ohne Fristansetzung zur Kenntnisnahme zugestellt werden (BGE 133 I 98 E. 2.3 S. 100).
Im vorliegenden Fall wurden dem Beschwerdeführer vom Bundesgericht am 26. Mai 2008 die Stellungnahmen der Gemeinde, des Staatsrates und der Vorinstanz zur Kenntnisnahme zugestellt. Damit wurde das Hauptanliegen des Verfahrensantrages erfüllt. Auf diese Zustellung hin hat der Beschwerdeführer nicht reagiert. Unter diesen Umständen ist anzunehmen, er habe auf weitere Äusserungen verzichtet. Es besteht - nicht zuletzt mit Blick auf das Beschleunigungsgebot - keine Veranlassung, ihm jetzt noch eine Replikmöglichkeit einzuräumen.
3. Eine Verfügung, mit der ein früherer, rechtskräftiger Entscheid vollzogen oder ohne sachliche Überprüfung bestätigt wird, kann grundsätzlich nur soweit angefochten werden, als die gerügte Rechtswidrigkeit in der Vollstreckungsverfügung selbst begründet ist. Grundsätzlich ausgeschlossen ist die Rüge, die frühere (materielle) Verfügung sei rechtswidrig. Eine solche Rüge ist verspätet. Eine Ausnahme von diesem Grundsatz macht das Bundesgericht allenfalls dann, wenn der Beschwerdeführer die Verletzung von unverzichtbaren oder unverjährbaren Grundrechten geltend macht oder wenn die Nichtigkeit der ursprünglichen Verfügung zur Diskussion steht (unter bisherigem Recht vgl. BGE 129 I 410 E. 1.1 S. 412; 119 Ib 492 E. 3c/cc S. 499, 104 Ia 172 E. 2b S. 175). Die in Art. 101 lit. c aOG enthaltene Regel, wonach ein Vollstreckungsakt nicht angefochten werden kann, ist im BGG nicht ausdrücklich aufgenommen worden, ergibt sich aber daraus, dass kein schutzwürdiges Interesse daran bestehen kann, ein Staatshandeln, welches bloss einen rechtskräftigen Entscheid vollstreckt, erneut anzufechten (HANSJÖRG SEILER in: Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 31 zu Art. 82 BGG). Die Rechtsprechung zum bisherigen Bundesrechtspflegegesetz, wonach das materielle Urteil im Rahmen der Anfechtung des Vollzugsaktes grundsätzlich nicht überprüft werden kann, gilt auch unter neuem Recht (Urteil 5D_38/2007 vom 17. Juli 2007).
4. 4.1 Die Vorinstanz stützte ihren Entscheid vom 14. März 2008 im Hauptverfahren (A1 07 204) auf Art. 77 lit. c des kantonalen Gesetzes über das Verwaltungsverfahren und die Verwaltungsrechtspflege vom 6. Oktober 1976 (VVRG), wonach die Verwaltungsgerichtsbeschwerde dann unzulässig ist, wenn sie sich gegen Verfügungen über die Vollstreckung von Verfügungen richtet, soweit nicht die Verletzung von Art. 39 VVRG (Grundsatz der Verhältnismässigkeit) gerügt wird.
4.2 Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht einzig auf Willkür hin (Art. 9 BV). Willkürlich ist ein Entscheid nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 133 I 149 E. 3.1 S. 153; 132 I 13 E. 5.1 S. 17 f.; 131 I 467 E. 3.1 S. 473 f.; je mit Hinweisen).
5. 5.1 Das kantonale Gericht hat erwogen, die Verfügungen vom 4. und 9. Mai sowie 25. Juni 2007, welche allein Streitgegenstand des Verfahrens bildeten, stellten ausschliesslich Vollstreckungsverfügungen zu früheren Entscheiden des Kantonsgerichts dar. Soweit die Gemeinde der Verfügung vom 4. Mai 2007 einen Sozialhilfebetrag von monatlich Fr. 1650.- anstelle von Fr. 1860.- zugrunde gelegt habe, sei der Fehler in der Zwischenzeit korrigiert und der Fehlbetrag dem Beschwerdeführer am 10. Oktober 2007 ausbezahlt worden. Zwar seien die Entscheide vom 30. März und 20. April 2007 ans Bundesgericht weitergezogen worden und das entsprechende Verfahren dort noch hängig. Da Beschwerden vor Bundesgericht indessen in der Regel keine aufschiebende Wirkung zukomme und auch keine andere Anordnung getroffen worden sei, stehe der Vollstreckung der kantonalen Gerichtsentscheide nichts entgegen. Eine eigentliche Unverhältnismässigkeitsrüge werde mit Bezug auf die Vollstreckungsverfügungen nicht erhoben, noch bestünden Anhaltspunkte für eine Verletzung der Verhältnismässigkeit. Auf die gegen die Vollstreckungsverfügungen gerichtete Beschwerde könne daher nicht eingetreten werden, weshalb sich eine Prüfung der formellen und materiellen Beanstandungen am angefochtenen Entscheid erübrige.
5.2 Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, erweist sich als offensichtlich unbegründet. Insbesondere ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz Verfahrensvorschriften verletzt, den rechtserheblichen Sachverhalt unrichtig und unvollständig abgeklärt und festgestellt oder eine Rechtsverletzung begangen haben soll. Die im Einzelnen vorgebrachten Rügen - soweit sie sich überhaupt auf den Streitgegenstand beziehen - erschöpfen sich weit gehend in einer unzulässigen appellatorischen Kritik am angefochtenen Entscheid oder in verfassungsrechtlich ungenügend substantiierten Vorbringen. Mit den Erwägungen der Vorinstanz setzt sich der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich auseinander. Inwiefern die Verfügungen vom 4. und 9. Mai sowie 25. Juni 2007 nichtig sein sollen, gegen das Willkürverbot verstossen oder unverhältnismässig wären, ist nicht ersichtlich. Als Nichtigkeitsgründe fallen hauptsächlich schwerwiegende Verfahrensfehler sowie die Unzuständigkeit der verfügenden Behörde in Betracht, während inhaltliche Mängel nur in seltenen Ausnahmefällen die Nichtigkeit einer Verfügung zur Folge haben. Nachdem die Gemeinde den der Verfügung vom 4. Mai 2007 zugrunde gelegenen Berechnungsfehler korrigiert hat, ist nicht nachvollziehbar, welcher Mangel noch zu beheben wäre. Eine Nichtigkeit der genannten Verfügungen kann auch nicht darin erblickt werden, dass diese von denselben Personen (Gemeindepräsident und Sekretär) unterzeichnet wurden, welche in der Folge auch für die Stellungnahmen der Gemeinde in den Prozessen vor dem kantonalen Gericht und vor Bundesgericht verantwortlich zeichneten. Auch begründet der Umstand, dass der Gemeindepräsident zudem Vizepräsident des Verwaltungsrates der A._ AG ist, keine Nichtigkeit der Vollzugsverfügungen. Dass die Lohnzahlungen des Luftseilbahnunternehmens für den Monat Mai 2007 erst am 6. Juni 2007 dem Konto gutgeschrieben wurden, betrifft nicht den Vollzug der Fürsorgeleistungen und bildet somit nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Gleiches gilt hinsichtlich der beanstandeten Lohnhöhe und der Ansprüche auf ausserordentliche Leistungen aus dem Vertrag der sozialen Eingliederung vom 1. Mai 2007. Mangels Rechtsschutzinteresses nicht einzutreten ist sodann auf den Einwand, die Fürsorgeleistungen der Periode vom 7. Mai bis 30. Juni 2007 seien erst am 28. Juni 2007 dem Bankkonto gutgeschrieben worden, zumal der Beschwerdeführer nicht geltend macht, die Zahlungen erfolgten regelmässig verspätet. Soweit der Beschwerdeführer im Verfahren vor Bundesgericht eine Überprüfung der Entscheide des Kantonsgerichts Wallis vom 30. März und 20. April 2007 verlangt, ist auf die Beschwerde ohnehin nicht einzutreten. Entsprechende Rügen - namentlich zur verfassungsrechtlichen Zulässigkeit der Verpflichtung zur Aufnahme einer Erwerbstätigkeit bei der Luftseilbahn A._ AG und der Anrechnung eines Erwerbseinkommens an die Fürsorgeleistungen - können im vorliegenden Verfahren nicht mehr geltend werden, zumal die gegen die beiden Entscheide erhobenen Beschwerden vom Bundesgericht in den Urteilen vom 11. April 2008 (8C_156/2007) und vom 14. April 2008 (8C_211/2007) letztinstanzlich beurteilt worden sind, soweit darauf eingetreten werden konnte.
6. 6.1 Der Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt, dessen Anwendung und Auslegung das Bundesgericht unter dem Gesichtspunkt der Willkür prüft (E. 4.2 hievor). Unabhängig davon besteht ein solcher Anspruch unmittelbar aufgrund von Art. 29 Abs. 3 BV. Danach hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Die Voraussetzungen dieses durch die Bundesverfassung garantierten Anspruchs untersucht das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei, tatsächliche Feststellungen der kantonalen Instanzen prüft es dagegen nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür (BGE 130 I 180 E. 2.1 S. 182 mit Hinweisen).
6.2 Der angefochtene Entscheid vom 14. März 2008 bezüglich unentgeltlichen Rechtsbeistand (A2 07 199) stützt sich auf Art. 2 des kantonalen Gesetzes über den gerichtlichen und administrativen Rechtsbeistand vom 29. Januar 1988, gemäss welchem der Anspruch voraussetzt, dass der Gesuchsteller bedürftig und sein Prozess nicht aussichtslos ist.
6.3 Der Beschwerdeführer beruft sich sowohl auf die kantonalen Gesetzesbestimmungen wie auch auf Art. 29 Abs. 3 BV, ohne sich indessen mit diesen auseinanderzusetzen. Insbesondere legt er nicht dar, inwiefern die Anwendung des kantonalen Rechts durch das Kantonsgericht willkürlich sein soll. Das kantonale Gericht hat mit zutreffender Begründung, auf welche verwiesen wird, erkannt, dass die Bewilligung einer unentgeltlichen Rechtsverbeiständung für das kantonale Verfahren zu Folge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ausser Betracht fällt. Es liegt daher keine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV vor.
6.4 Ein Gesuch auf unentgeltliche Prozessführung hat der Beschwerdeführer für das kantonale Gerichtsverfahren nicht gestellt, weshalb es bei der vorinstanzlichen Kostenauferlegung sein Bewenden hat.
6.5 Mit dem vorliegenden Entscheid wird das vom Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der vorinstanzlichen Kostenauferlegung gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos.
7. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Beigabe eines Rechtsbeistandes ist für das letztinstanzliche Verfahren abzuweisen, da die Rechtsbegehren von vornherein keine Aussicht auf Erfolg hatten (Art. 64 BGG). Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind daher, dem Verfahrensausgang entsprechend, dem Beschwerdeführer aufzuerlegen, wobei seine angespannten finanziellen Verhältnisse bei der Festlegung der Gerichtsgebühr Berücksichtigung finden (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteikostenentschädigung im Sinne einer Umtriebsentschädigung wird zufolge Unterliegens nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 200.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und der Kantonsgericht Wallis, Öffentlichrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. November 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer