Faits:
A. A.a Par jugement du 21 décembre 1983, le Tribunal de Grande instance de Paris a prononcé le divorce des époux A._, né en 1933, et dame B._, née en 1926, et a homologué leur convention du 6 décembre 1983 sur les effets du divorce. Aux termes de cet accord, le mari s'est notamment engagé à verser mensuellement à l'épouse une rente viagère, indexée, de 6'500 francs suisses (5'750 fr. après remboursement d'un crédit), à payer les cotisations d'assurances maladie et accident de celle-ci et, au cas où il viendrait à décéder, à ce que son capital-décès lui soit alloué.
Au moment du divorce et jusqu'en 1992, A._ percevait un salaire mensuel net de 21'655 fr. Mis à la retraite anticipée à 59 ans, il s'est établi comme indépendant à Genève. Il a cessé son activité professionnelle au 1er janvier 1999, notamment pour des raisons de santé.
Jusqu'en novembre 2000, il a régulièrement payé la rente mentionnée, qui s'élevait alors, compte tenu de l'indexation, à 8'199 fr. Il a ensuite versé irrégulièrement des montants réduits.
A.b Le 25 octobre 2000, le débirentier a demandé au Tribunal de première instance de Genève, par la voie d'une action en modification du jugement de divorce, à être entièrement libéré du versement de la rente due à la crédirentière et de l'obligation de payer les cotisations d'assurances de celle-ci, ainsi qu'à recouvrer la libre disposition de son capital-décès.
Statuant sur mesures provisoires le 24 juin 2002, le Tribunal de première instance a ramené à 2'500 fr. par mois la rente due à la défenderesse à compter du 1er juin 2001. Sur le fond, cette juridiction a, le 19 décembre 2002, réduit la contribution d'entretien à 2'100 fr. par mois et libéré le demandeur de son obligation de payer les cotisations susmentionnées dès le prononcé de son jugement, en application de l'art. 276-3 du Code civil français.
Par arrêt du 14 novembre 2003, la Cour de justice du canton de Genève a modifié ces deux décisions. Sur mesures provisionnelles, elle a fixé à 1'700 fr. par mois la contribution due à la défenderesse, sous déduction du montant des cotisations d'assurances de celle-ci payées par le demandeur. Sur le fond, elle a également réduit la rente à 1'700 fr. par mois, sous la même déduction (ch. 1 et 2 du dispositif), et a débouté le demandeur de son chef de conclusions en libération du paiement des cotisations d'assurances maladie et accident; elle a confirmé le jugement de première instance pour le surplus.
Le Tribunal fédéral a, par arrêt du 26 mars 2004 (5P.3/2004), partiellement admis, sur le fond, le recours de droit public interjeté par la défenderesse, considérant en substance que la cour cantonale n'avait pas tenu compte de la fortune du demandeur pour fixer la nouvelle contribution d'entretien. La défenderesse a en revanche été entièrement déboutée s'agissant des mesures provisoires.
Le 18 février 2005, la Cour de justice a annulé le jugement du Tribunal de première instance du 19 décembre 2002 et a renvoyé la cause à cette juridiction pour complément d'instruction portant sur la fortune du débirentier en 1983 et de 1991 jusqu'au 25 octobre 2000, sur les revenus éventuels issus de celle-ci au cours de ces années et sur son utilisation pendant la même période. Le recours de droit public interjeté par le demandeur contre cet arrêt a été déclaré irrecevable par le Tribunal fédéral le 25 avril 2005 (5P.96/2005).
A.c Après complément d'instruction, le Tribunal de première instance a, par jugement du 17 novembre 2005, fixé la contribution d'entretien à 1'700 fr. par mois, sous déduction du montant des cotisations d'assurances, avec effet au jour de son prononcé.
Statuant le 15 septembre 2006 sur l'appel de chacune des parties, la Cour de justice a confirmé ce jugement.
Par arrêt du 26 mars 2007 (5P.441/2006), le Tribunal fédéral a partiellement admis le recours de droit public formé par la défenderesse contre l'arrêt du 15 septembre 2006, considérant que la motivation de la Cour de justice était arbitraire puisqu'elle laissait inexpliquée une diminution de fortune du débirentier, entre 1999 et 2000, de plus de 1'400'000 fr. et que, la contribution à l'entretien de la défenderesse ayant été fixée au seul disponible de 1'700 fr. de celui-ci, cela entraînait en outre un résultat arbitraire.
Statuant le 14 septembre 2007, la Cour de justice a annulé le jugement du Tribunal de première instance du 17 novembre 2005 et lui a renvoyé la cause pour complément d'instruction portant sur les raisons de la diminution de la fortune du débirentier, en particulier entre 1999 et 2000.
Dans ses conclusions après enquêtes, le demandeur a, le 24 avril 2009, conclu au versement d'une contribution d'entretien s'élevant à 1'700 fr. par mois, sous déduction du montant des cotisations d'assurances, dont il s'acquitterait directement. La défenderesse a pour sa part, le 23 avril 2009, persisté dans ses conclusions en déboutement du demandeur; elle a en outre conclu à ce qu'il soit prononcé que l'arrêt de la Cour de justice du 14 novembre 2003 soit annulé avec effet ex tunc, soit dès le 10 mai 2002, en ce qui concerne les mesures provisoires.
B. Par nouveau jugement du 1er octobre 2009, le Tribunal de première instance a fixé la rente due à la défenderesse à 1'850 fr. par mois, sous déduction du montant des cotisations d'assurances payées directement par le débirentier, dès le prononcé de sa décision. Les parties ont été déboutées de toutes autres conclusions.
Par arrêt du 16 avril 2010, la Cour de justice a, sur mesures provisoires, condamné le demandeur à verser à la défenderesse, dès le 23 avril 2009, la somme de 3'000 fr. par mois. Sur le fond, elle a fixé le montant de la rente à 3'000 fr. par mois et a libéré le demandeur de son obligation de payer les cotisations d'assurances maladie et accident de la défenderesse, dès le 25 octobre 2000.
C. Par un seul et même acte déposé le 21 mai 2010, le demandeur forme un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt du 16 avril 2010. A titre principal, il conclut, sur mesures provisoires, à ce que l'intimée soit déboutée de toutes ses conclusions et, sur le fond, à ce qu'il soit condamné à verser à celle-ci une rente de 1'700 fr. par mois dès le 25 octobre 2000. Subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants.
L'intimée propose le rejet des recours. En ce qui concerne le recours en matière civile, elle demande en outre, d'une part, que l'arrêt de la Cour de justice du 14 novembre 2003 sur mesures provisoires soit modifié avec effet ex tunc, soit dès le 10 mars 2002, le recourant étant condamné à lui verser la somme de 3'500 fr. par mois jusqu'à l'entrée en vigueur du jugement au fond; elle sollicite d'autre part la modification du jugement de divorce rendu entre les parties le 21 décembre 1983 par le Tribunal de Grande instance de Paris en ce sens que le montant de la prestation compensatoire à la charge du recourant est fixé à 3'500 fr. par mois, celui-ci étant libéré de son obligation de lui payer ses cotisations d'assurances maladie et accident, avec effet à la date d'entrée en vigueur de l'arrêt du Tribunal fédéral.
Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
D. Par ordonnance du 11 juin 2010, la Présidente de la cour de céans a admis la demande d'effet suspensif pour les contributions d'entretien dues sur mesures provisoires jusqu'à fin avril 2010 seulement.
L'effet suspensif a été attribué au recours sur le fond par ordonnance du même jour.
Considérant en droit:
1. 1.1 L'arrêt entrepris, rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF), est une décision finale (art. 90 LTF), aussi bien dans son prononcé sur le fond que sur mesures provisoires (ATF 134 III 426 consid. 2.2 p. 431/432). Dès lors que le litige soumis au Tribunal fédéral porte exclusivement sur les contributions d'entretien allouées tant en mesures provisoires que sur le fond, il est de nature pécuniaire (ATF 133 III 393 consid. 2 p. 395). La valeur litigieuse, calculée sur la base de l'art. 51 al. 1 let. a et al. 4, première phrase, LTF, dépasse le minimum de 30'000 fr. fixé par la loi pour la recevabilité du recours en matière civile s'agissant du fond (art. 74 al. 1 let. b LTF). Le point de savoir si la valeur litigieuse est également atteinte pour les mesures provisionnelles peut demeurer indécis; en effet, le Tribunal fédéral examine les griefs soulevés dans le recours en matière civile concernant des mesures provisionnelles, où sa cognition est limitée à la violation des droits constitutionnels (art. 98 LTF), avec le même pouvoir d'examen que dans le recours constitutionnel subsidiaire (art. 116 LTF). Pour le surplus, le recourant a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF). Enfin, le mémoire de recours a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Partant, la voie du recours en matière civile est en principe ouverte, de sorte que le recours constitutionnel est irrecevable (art. 113 LTF).
1.2 Le délai pour recourir contre l'arrêt du 16 avril 2010 était largement échu lorsque l'intimée a déposé ses réponses aux recours. Par conséquent, elle ne pouvait que proposer l'irrecevabilité ou le rejet, en tout ou partie, desdits recours; elle n'avait plus la faculté de prendre des conclusions indépendantes, c'est-à-dire, en l'occurrence, de conclure à une modification de la décision attaquée en sa faveur, vu l'abolition du recours joint (BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, n. 29, 32 et 33 ad art. 102).
2. Après avoir admis, comme dans les précédentes décisions rendues entre les parties, la compétence des juridictions genevoises pour connaître de l'action au fond du demandeur (art. 5 ch. 2 de la Convention de Lugano; art. 64 al. 1 et 59 let. b LDIP) et de sa requête de mesures provisionnelles (art. 62 al. 1 LDIP; ATF 116 II 97 consid. 4b p. 98/99), compétence que les parties ne contestent pas, la Cour de justice a considéré que le droit français était applicable à l'action au fond (art. 64 al. 2 et 49 LDIP, art. 8 de la Convention de La Haye du 2 octobre 1973 sur la loi applicable aux obligations alimentaires [RS 0.211.213.01]) et le droit suisse aux mesures provisionnelles (art. 62 al. 2 LDIP), ce que les parties ne remettent pas non plus en cause.
3. Le recourant se plaint d'une violation arbitraire de l'art. 300 LPC/GE. Il soutient que, dans son appel incident, l'intimée n'a soulevé aucun grief contre le jugement de première instance, omettant même de conclure à son annulation. Elle a, selon lui, demandé la confirmation de ce jugement, tout en prenant des conclusions modifiant celui-ci. De plus, elle aurait sollicité contradictoirement la modification du jugement de divorce dès le prononcé de l'arrêt de la Cour de justice et celle des mesures provisoires dès le 10 mai 2002. Partant, son appel incident devait être déclaré irrecevable.
3.1 En cas d'appel d'une des parties, les autres peuvent interjeter appel incident dans le délai imparti pour répondre à l'appel principal (art. 298 LPC/GE). Les formes prévues pour l'appel principal doivent être respectées (BERTOSSA/GAILLARD/GUYET/SCHMIDT, Commentaire de la loi de procédure civile genevoise, tome II, n. 6 ad art. 298).
Aux termes de l'art. 300 LPC/GE, l'appel est formé, à peine de nullité, par un mémoire signé, adressé au greffe de la cour, et qui comporte, notamment, les griefs de fait et de droit de même que les conclusions de l'appelant. Dans l'hypothèse d'un appel ordinaire - ce qui est le cas ici -, la jurisprudence cantonale a posé que l'appelant doit articuler les critiques qu'il forme contre le jugement d'une manière suffisamment intelligible pour que l'intimé, à la lecture du mémoire et non dans un acte ultérieur, puisse se déterminer sur la position à adopter devant la cour (SJ 1992 I 402 consid. 1; BERTOSSA/GAILLARD/GUYET/SCHMIDT, op. cit., n. 1 ad art. 300). De plus, l'acte d'appel doit non seulement demander la réforme du jugement entrepris, mais préciser les conclusions de fond suivant lesquelles il doit être modifié (arrêt 5P.1/2001 du 16 mars 2001, consid. 2 et la jurisprudence cantonale citée).
3.2 En l'espèce, le grief est infondé. Dans son mémoire de réponse à l'appel et d'appel incident, l'intimée a désigné les points sur lesquels portait sa critique. Elle a en effet exposé, comme l'a du reste considéré la Cour de justice, une opinion divergente de celle de l'autorité de première instance s'agissant, en particulier, du solde du prix de vente de l'appartement sis rue ... à Genève, reprochant expressément au Tribunal de première instance de s'être borné à mentionner cette opération immobilière sans en déduire que le recourant avait caché cet argent, dont les revenus auraient selon elle dû être pris en compte (ch. 28 de l'écriture précitée).
En ce qui concerne les conclusions prises dans ledit mémoire, le recourant occulte la constatation de la cour cantonale, selon laquelle l'intimée a complété celles-ci à l'audience de plaidoiries du 5 mars 2010, sollicitant notamment l'annulation du jugement de première instance du 1er octobre 2009. Se référant aux commentateurs (BERTOSSA/GAILLARD/GUYET/SCHMIDT, op. cit., n. 2 ad art. 300), le recourant expose que l'appelant ne peut corriger une irrégularité de son mémoire après le délai d'appel. Cette seule affirmation ne suffit pas à démontrer que l'autorité cantonale aurait fait preuve d'arbitraire sur ce point (art. 106 al. 2 LTF), d'autant que les conclusions de l'intimée tendant au versement d'une contribution mensuelle de 3'500 fr., tant sur mesures provisoires que sur le fond, impliquaient de facto l'annulation du jugement de première instance, qui se bornait à lui allouer une rente compensatoire d'un montant de 1'850 fr. par mois. La prétendue contradiction entre l'entrée en force de la modification sur le fond et celle des nouvelles mesures provisoires ne permet pas non plus de considérer que les conclusions de l'appel incident ne satisfaisaient pas aux exigences du droit cantonal (BERTOSSA/GAILLARD/GUYET/SCHMIDT, op. cit., n. 9 ad art. 300 LPC/GE).
Autant que son grief est suffisamment motivé (art. 106 al. 2 LTF), le recourant ne démontre donc pas qu'en entrant en matière sur l'appel incident formé devant elle par l'intimée, la Cour de justice aurait fait une application insoutenable de l'art. 300 LPC/GE.
4. Le recourant reproche aussi à la Cour de justice d'avoir violé l'art. 61 LTF en considérant qu'il aurait dû solliciter des mesures probatoires supplémentaires, aux fins d'établir l'utilisation du produit de la vente de l'appartement de la rue ..., en novembre 1994. A l'appui de ce grief, il expose que, dans son arrêt de renvoi du 26 mars 2007, le Tribunal fédéral a estimé que la seule question encore litigieuse, sur laquelle l'autorité cantonale devait se prononcer, était celle de la variation de sa fortune entre 1999 et 2000. Il se plaint en outre à cet égard d'une violation des art. 8 CC et 9 Cst.
4.1 Le principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi, que prévoyait expressément l'art. 66 al. 1 aOJ, est un principe juridique qui demeure applicable sous la LTF (ATF 135 III 334 consid. 2 p. 335 et les arrêts cités). L'autorité cantonale est ainsi liée par ce qui a déjà été définitivement tranché par le Tribunal fédéral (ATF 104 IV 276 consid. 3b p. 277; 103 IV 73 consid. 1 p. 74) et par les constatations de fait qui n'ont pas été attaquées devant lui (ATF 104 IV 276 consid. 3d p. 277/278). Des faits nouveaux ne peuvent être pris en considération que sur les points qui ont fait l'objet du renvoi, lesquels ne peuvent être ni étendus ni fixés sur une base juridique nouvelle (ATF 131 III 91 consid. 5.2 p. 94). Enfin, les considérants de l'arrêt de renvoi lient les parties et le Tribunal fédéral lui-même. Celui-ci ne peut dès lors se fonder sur des considérations qu'il avait écartées ou dont il avait fait abstraction dans sa précédente décision (ATF 111 II 94 consid. 2 p. 95). Les parties ne peuvent quant à elles plus faire valoir, dans un nouveau recours de droit fédéral contre la nouvelle décision cantonale, des moyens que le Tribunal fédéral avait expressément rejetés dans l'arrêt de renvoi (ATF 133 III 201 consid. 4.2 p. 208) ou qu'il n'avait pas eu à examiner, les parties ayant omis de les invoquer dans la première procédure de recours, alors qu'elles pouvaient - et devaient - le faire (arrêt 2C_184/2007 du 4 septembre 2007, consid. 3.1; ATF 111 II 94 consid. 2 p. 95/96); elles ne peuvent pas non plus prendre des conclusions dépassant celles prises dans leur précédent recours devant le Tribunal fédéral (arrêt 5A_580/2010 du 9 novembre 2010 consid. 4.3 et les références citées).
4.2 Dans son arrêt de renvoi du 26 mars 2007, le Tribunal fédéral a jugé que la Cour de justice avait fait preuve d'arbitraire en laissant inexpliquée la diminution de fortune brute du demandeur entre 1999 et 2000, de plus de 1'400'000 fr. (1'757'617 fr. - 316'404 fr. = 1'441'213 fr.), et en constatant que les moyens financiers du demandeur se limitaient exclusivement à son revenu, de sorte que la contribution à l'entretien de la défenderesse devait être fixée au seul disponible du débirentier, soit 1'700 fr. Le Tribunal fédéral a en revanche rejeté les griefs de la recourante relatifs au refus d'ordonner, d'une part, une expertise visant à établir l'état réel de la fortune de son ex-mari et, d'autre part, l'audition de témoins. En ce qui concerne la vente de l'appartement de la rue ..., intervenue en 1994, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable, faute d'épuisement des griefs (art. 86 al. 1 aOJ), la critique de la défenderesse selon laquelle, dans la mesure où sur les 1'600'000 fr. résultant de cette vente, seuls 625'000 fr. avaient été investis dans l'achat d'un nouvel appartement, une investigation supplémentaire s'imposait concernant l'utilisation du solde de 780'000 fr.
Il appert ainsi que le seul point sur lequel le Tribunal fédéral a renvoyé l'affaire à l'autorité cantonale, sans autre précision, portait sur la diminution de fortune inexpliquée du demandeur entre 1999 et 2000.
4.3 Selon les constatations de l'arrêt attaqué, la fortune brute déclarée aux autorités fiscales par le demandeur et sa seconde épouse en 1999, d'un montant de 1'757'600 fr., se composait principalement d'une créance correspondant au prix de vente d'un appartement sis rue ... à Genève, copropriété du couple, d'un immeuble en Italie, propriété exclusive du demandeur, d'un immeuble à Lausanne, propriété exclusive de son épouse, ainsi que de deux autres créances. En 2000, après son second divorce, le demandeur avait déclaré une fortune brute de 316'404 fr. composée de comptes bancaires, de l'immeuble situé en Italie, de numéraire, de métaux précieux et de véhicules.
L'autorité cantonale a considéré que seules trois opérations bancaires effectuées par le demandeur restaient inexpliquées, à savoir des prélèvements de 30'000 fr. le 12 février 1999, de 20'000 fr. le 1er mars 1999 et de 30'000 fr. le 2 septembre 1999. La Cour de justice a par ailleurs retenu qu'en novembre 1994, le demandeur avait vendu l'appartement de la rue ... pour un montant de 1'600'000 fr. Il était établi qu'une somme d'environ 670'000 fr. provenant de cette vente avait été investie dans l'achat de l'appartement de la rue ...; en outre, un montant de 150'000 fr. figurait sur l'un de ses comptes bancaires le 17 janvier 1995. En revanche, le demandeur n'avait pas démontré ce qu'il était advenu du solde du prix de vente de l'appartement de la rue ..., notamment sur quel compte ce solde avait été déposé. Sa seconde épouse avait témoigné sous serment qu'il avait mis cet argent de côté. Il convenait dès lors de retenir qu'il avait déposé la somme de 780'000 fr. (1'600'000 fr. - 670'000 - 150'000 fr.) sur un compte non déclaré. Comme il n'avait pas prouvé ce qu'il était advenu de ce capital de novembre 1994 à ce jour, il y avait lieu d'admettre qu'il le possédait toujours dans son intégralité.
L'autorité cantonale en a déduit que le demandeur dissimulait une fortune d'environ 860'000 fr., correspondant aux sorties d'argent restées inexpliquées de 80'000 fr. (30'000 fr. + 20'000 fr. + 30'000 fr.) et au solde dissimulé du prix de vente de l'appartement de la rue ... (780'000 fr.). Considérant qu'en plaçant cet argent de manière conservatoire, le demandeur était en mesure d'en tirer un revenu de 2% (le rendement des obligations de la Confédération étant de 1,9%), les juges précédents ont estimé qu'il convenait de lui imputer un revenu supplémentaire de 17'200 fr. par an, ou environ 1'400 fr. par mois. Vu l'entrée en vigueur des nouvelles normes d'insaisissabilité 2010, fixant l'entretien de base d'une personne seule à 1'200 fr., soit 100 fr. de plus qu'en 2009, le disponible du demandeur était donc, non pas de 1'882 fr. comme l'avait retenu le jugement du Tribunal de première instance du 1er octobre 2009, mais de 3'182 fr. par mois (1'882 fr. - 100 fr. + 1'400 fr.). Le déficit mensuel de la défenderesse étant de 1'707 fr., il convenait de fixer à 3'000 fr. le montant de la contribution mensuellement due à celle-ci.
4.4 En raisonnant ainsi, la Cour de justice a méconnu la portée de l'arrêt de renvoi du 26 mars 2007 et versé dans l'arbitraire. Dès lors que le Tribunal fédéral avait déclaré irrecevable le grief de la défenderesse relatif aux investigations à ordonner en relation avec l'utilisation du solde du produit de la vente de l'appartement de la rue ..., limitant expressément le renvoi à la question de la diminution de fortune du demandeur entre 1999 et 2000, il était exclu d'examiner si, antérieurement - la fortune déclarée en 1999 ne comprenant manifestement pas le montant de 780'000 fr. (cf. supra, consid. 4.3 in limine) -, le demandeur avait dissimulé une partie du prix de vente de cet appartement. Seuls les montants de 20'000 fr. et de deux fois 30'000 fr., prélevés de manière inexpliquée par le demandeur en 1999, peuvent dès lors être pris en compte, à l'exclusion de la somme de 780'000 fr. prétendument dissimulée; au demeurant, comme la défenderesse n'a pas contesté en tant que telle l'absence de prise en compte, par l'arrêt de la Cour de justice du 15 septembre 2006 - selon lequel les moyens financiers du demandeur se limitaient exclusivement à son revenu -, de l'état de fortune du demandeur en 2000 (316'404 fr., cf. supra consid. 4.3 in limine), il n'y a pas non plus lieu d'en tenir compte.
Le recourant ne conteste pas les autres montants retenus par l'autorité cantonale concernant la situation financière de chacune des parties, ni le taux de 2% auquel elle estime qu'il pourrait placer sa fortune. Si l'on reprend dès lors les calculs effectués par la Cour de justice en faisant abstraction des 780'000 fr. précités et en arrondissant les résultats obtenus dans le même ordre de grandeur qu'elle, le revenu supplémentaire imputable au demandeur n'est pas de 1'400 fr., mais de 130 fr. par mois environ (2% de 80'000 fr. : 12). Son disponible mensuel doit ainsi être arrêté à 1'912 fr. (1'882 fr. - 100 fr. + 130 fr.) au lieu de 3'182 fr. (1'882 fr. - 100 fr. + 1'400 fr.). Eu égard au déficit de la défenderesse, qui s'élève à 1'707 fr. par mois, et de la proportion appliquée par les juges précédents sans qu'elle ne soit critiquée, il convient d'arrêter le montant de la prestation compensatoire à 1'800 fr. par mois.
L'autorité cantonale a réglé la question de la prise d'effet de la nouvelle pension dans le dispositif de son arrêt, conformément au considérant 4 de celui-ci: elle a ainsi fait remonter l'effet de la modification au 25 octobre 2000, soit à la date de la demande de révision, selon le droit français. Le recourant ne conteste pas ce point, puisqu'il conclut expressément à ce qu'il soit condamné à verser la nouvelle rente compensatoire dès le 25 octobre 2000.
4.5 Il convient par ailleurs de rappeler que les mesures provisionnelles ordonnées pour la durée de la procédure de modification du jugement de divorce sont des mesures d'exécution anticipée provisoires, dont le sort définitif est ensuite réglé dans le jugement de modification au fond (ATF 117 II 368 consid. 4c/bb p. 371). Le juge de la modification doit donc statuer dans le dispositif de son jugement sur les contributions dues pour toute la période courant dès l'ouverture de l'action, les montants alloués en mesures provisoires étant décomptés (ATF 130 I 347 consid. 3.2 p. 349/350). Tel est le cas en l'occurrence. Partant, le litige portant sur les mesures provisoires devient sans objet.
5. En conclusion, il convient d'admettre le recours, dans la mesure de sa recevabilité, et de réformer l'arrêt attaqué dans le sens des considérants qui précèdent. La requête d'assistance judiciaire de l'intimée, dont les conclusions étaient d'emblée vouées à l'échec, ne saurait donc être agréée (art. 64 LTF). Celle-ci supportera dès lors les frais et dépens de la présente procédure (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF). Il n'y a pas lieu de modifier la répartition des frais et dépens de la procédure cantonale (cf. art. 67 et 68 al. 5 LTF), que la Cour de justice a compensés eu égard à la qualité des parties.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, dans la mesure où il est recevable, et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que A._ est condamné à verser à dame B._ 1'800 fr. par mois à titre de rente compensatoire dès le 25 octobre 2000.
2. La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4. Une indemnité de 3'000, à verser au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 9 mars 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot