Sachverhalt:
A. A.a In Abänderung seines Scheidungsurteils verpflichtete das Bezirksgericht Innsbruck mit Beschluss vom 6. Juni 2002 D._ (geb. 1952) zur Zahlung von Unterhaltsbeiträgen an seine vier Kinder. Die Unterhaltsbeiträge betrugen für E._ (geb. xxxx 1983) ÖS 3'800.-- bis 31. Dezember 2001, für A._ (geb. xxxx 1986) EUR 509.33 ab 1. Januar 2002, für B._ (geb. xxxx 1990) und C._ (geb. xxxx 1991) je EUR 399.33 ab 1. Januar 2002. Diesen Unterhaltsbeiträgen legte das Bezirksgericht Innsbruck ein monatliches Einkommen von D._ von EUR 3'159.-- (EUR 2'600.75 Monatsgehalt plus EUR 558.25 Familienbeihilfe) zugrunde.
A.b Am 30. Dezember 2002 verlangte D._ beim Amtsgericht Luzern-Land, mit Wirkung ab 1. Oktober 2002 von sämtlichen Unterhaltsverpflichtungen befreit zu werden. Eventuell seien die Unterhaltsbeiträge rückwirkend ab 1. Oktober 2002 auf EUR 75.-- pro Monat und pro Kind, subeventuell rückwirkend ab 1. Oktober 2002 auf EUR 304.-- monatlich für A._ und auf je EUR 266.-- monatlich für B._ und C._ herabzusetzen.
A.c Mit Eingabe vom 28. September 2004 beantragten B._ und C._ eine angemessene Erhöhung der Unterhaltsbeiträge sowie die Weiterleitung der Familienbeihilfe durch ihren Vater. A._ verlangte seinerseits mit Eingabe vom 29. September 2004 eine Erhöhung des Unterhaltsbeitrages um EUR 50.-- monatlich und die Auszahlung der Kinderzulagen an ihn selbst. Weiter verlangten alle drei Söhne, ihr Vater sei zu Sonderzahlungen zu verpflichten. Am 10. Mai 2006 erklärte A._, ab 1. Juni 2006 auf Unterhaltsbeiträge zu verzichten, verlangte aber noch die Bezahlung einer Zahnarztrechnung durch den Vater als Sonderkosten.
A.d Auf Gesuch von D._ um Erlass vorsorglicher Massnahmen während des Abänderungsverfahrens reduzierte das Amtsgerichtspräsidium II von Luzern-Land die bisher festgesetzten Unterhaltsbeiträge (Entscheid vom 15. Januar 2007). In teilweiser Gutheissung des Rekurses der Söhne hob das Obergericht des Kantons Luzern diesen Entscheid auf und stellte fest, dass der Beschluss des Bezirksgerichts Innsbruck vom 6. Juni 2002 weiterhin Bestand habe (Entscheid vom 12. April 2004).
A.e Am 2. Juli 2009 hiess das Amtsgericht Luzern-Land die Abänderungsklage des D._ teilweise gut und setzte die ab 1. Februar 2003 geschuldeten Unterhaltsbeiträge neu fest. Sodann verurteilte es ihn zur Bezahlung von Sonderkosten im Umfang von Fr. 676.--, und nahm davon Vormerk, dass der Vater seit September 2002 insgesamt EUR 13'109.55 (recte EUR 13'019.55) an Unterhaltsleistungen für seine Söhne bezahlt hat. Die Anträge der Söhne auf Erhöhung der Unterhaltsbeiträge wies das Amtsgericht dagegen ab.
B. Gegen dieses Urteil erklärten alle Parteien Appellation beim Obergericht des Kantons Luzern. D._ beantragte eine weitergehende Herabsetzung der Unterhaltszahlungen. Die drei Söhne verlangten ihrerseits die Feststellung, dass der Beschluss des Bezirksgerichts Innsbruck vom 6. Juni 2002 weiterhin Bestand habe. Mit Urteil vom 6. August 2010 hiess das Obergericht die Appellation des D._ teilweise gut und änderte die geschuldeten Unterhaltsbeiträge teilweise zu seinen Gunsten ab. Ausserdem änderte es den erstinstanzlichen Rechtsspruch hinsichtlich des Vormerks bereits bezahlter Unterhaltsleistungen und erhöhte den vorgemerkten Geldbetrag auf EUR 27'190.91 (recte EUR 27'100.91). Im Übrigen wies es die Appellationen ab und bestätigte das erstinstanzliche Urteil.
Am 30. August 2010 berichtigte das Obergericht gewisse Datumsangaben im Dispositiv des bereits am 24. August 2010 zugestellten Urteils.
C. Mit einer 141-seitigen, im Wesentlichen aus Beweismitteln zusammengesetzten Eingabe vom 23. September 2010 wenden sich A._, B._ und C._ an das Bundesgericht. Sie beantragen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern sei "im Punkt der Berechnung des Einkommens des Beschwerdegegners" aufzuheben und zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen; eventuell sei das Urteil aufzuheben und festzustellen, dass der Beschluss des Bezirksgerichts Innsbruck vom 6. Juni 2002 weiterhin Bestand hat.
Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in Zivilsachen mit Fr. 30'000.-- übersteigendem Streitwert; die Beschwerde in Zivilsachen ist somit gegeben (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4, Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
2. In erster Linie beantragen die Beschwerdeführer, das Urteil "im Punkt der Berechnung des Einkommens des Beschwerdegegners" aufzuheben. Dieses Begehren stellt eine verkappte Sachverhaltsrüge dar, weshalb es von vornherein unzulässig und darauf nicht einzutreten ist.
Demgegenüber erweist sich das Eventualbegehren, mit welchem die Beschwerdeführer im Ergebnis die Abweisung der Abänderungsklage des Beschwerdegegners verlangen, als zulässig.
3. 3.1 Das Bundesgericht prüft nur die formell ausreichend begründeten Rügen (BGE 134 III 102 E. 1.1 S. 104 f.; s. auch Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. So ist es unerlässlich, dass der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll in der Beschwerdeschrift mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. BGE 121 III 397 E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht (BGE 116 II 745 E. 3 S. 749). Auch blosse Verweise auf kantonale Akten vermögen nach konstanter Rechtsprechung die Begründung in der Rechtsschrift selbst nicht zu ersetzen (BGE 131 III 384 E. 2. 3 S. 387 f.; 126 III 198 E. 1d S. 201).
Für die Unterhaltsfestsetzung als solche wie auch im Abänderungsverfahren gilt es zudem zu beachten, dass der Richter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. 4 ZGB; BGE 127 III 136 E. 3a S. 141; Urteil 5A_581/2009 vom 18. November 2009 E. 5) und das Bundesgericht bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung übt: Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, das heisst wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat; aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 128 III 161 E. 2c/aa S. 162; 131 III 12 E. 4.2 S. 15; 132 III 97 E. 1 S. 99). Im Rahmen seiner Begründungspflicht hat der Beschwerdeführer aufzuzeigen, weshalb die Voraussetzungen für einen Eingriff in einen Ermessensentscheid erfüllt sein sollen.
3.2 Das Obergericht kommt gestützt auf eine detaillierte Prüfung der wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdegegners zum Schluss, das massgebende Einkommen des Beschwerdegegners habe sich im Vergleich zum Einkommen, von dem das Bezirksgericht Innsbruck im Jahr 2002 ausgegangen ist, um 19.5 bis 44 Prozent reduziert. Aus diesem Grund rechtfertige sich grundsätzlich eine Abänderung der Unterhaltsbeiträge. Eine Herabsetzung sei jedoch nicht für die ganze Zeitdauer seit 1. Januar 2003 angezeigt, da es dem Beschwerdegegner unter Wahrung seines Existenzminimums in einzelnen Zeitabschnitten trotzdem möglich sei, die ursprünglich festgesetzten Unterhaltsbeiträge zu bezahlen.
3.3 Über ca. 135 Seiten führen die Beschwerdeführer aus, inwiefern das Obergericht bei der Ermittlung des Einkommens bzw. bei der Feststellung, ob und um wie viel das Nettoeinkommen des Beschwerdegegners in den Jahren 2003 bis 2010 und damit der Überschuss über dessen Existenzminimum zu- bzw. abgenommen hat, in Willkür verfallen sein soll. Auf den Seiten 139 und 140 der Beschwerde fassen sie ihre Ausführungen zusammen und folgern: "Die Abweisung der Klage des Beschwerdegegners wäre gerechtfertigt."
Damit kommen die Beschwerdeführer den dargelegten Begründungsanforderungen (s. E. 3.1) offensichtlich nicht nach. Sie befassen sich weder mit den gesetzlichen Abänderungsvoraussetzungen noch zeigen sie im Einzelnen auf, weshalb das Obergericht bei der Feststellung der Einkommens- und Vermögensverhältnisse des Beschwerdegegners von dem ihm zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht und die Unterhaltsbeiträge zu Unrecht herabgesetzt haben soll. Vielmehr beschränken sich die Beschwerdeführer über weite Strecken mit blossen Verweisen auf frühere Eingaben, Entscheide und Aktenstücke, die sie in ihrem Schriftsatz in grossem Umfang reproduzieren, mit deren Inhalt sie sich jedoch nicht näher auseinandersetzen. Daher kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
4. Die Beschwerdeführer unterliegen und werden kostenpflichtig, unter solidarischer Haftbarkeit (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 5 BGG). Hingegen ist keine Parteientschädigung geschuldet, weil dem Beschwerdegegner kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn