Sachverhalt:
A. Mit Schreiben vom 22. April 2011 wandte sich A._ an die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich. Darin erhob er unter anderem gegen die Oberrichter Kurt Balmer und Willy Meyer sowie gegen Ersatzoberrichter Anton Schärer den Vorwurf des Amtsmissbrauchs (Art. 312 StGB) und der ungetreuen Amtsführung (Art. 314 StGB).
Am 7. Juli 2011 liess die Oberstaatsanwaltschaft dieses Schreiben der Geschäftsleitung des Kantonsrates (im Folgenden: Geschäftsleitung) zum Entscheid über die Ermächtigung zur Strafverfolgung zukommen.
B. Am 10. November 2011 wies die Geschäftsleitung das Ermächtigungsgesuch von der Hand. Sie befand, aus der Strafanzeige ergäben sich keinerlei konkreten Anhaltspunkte für ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Angezeigten.
C. Dagegen führen A._ und seine 13-jährige Tochter B._ subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit verschiedenen Anträgen (Beschwerde S. 8 unten).
D. Die Oberstaatsanwaltschaft hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.
Kurt Balmer, Willy Meyer und Anton Schärer haben sich nicht vernehmen lassen.
Die Geschäftsleitung hat eine Vernehmlassung eingereicht mit dem Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
A._ und B._ haben dazu Stellung genommen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Angezeigten gehören der obersten kantonalen Gerichtsbehörde an. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher gemäss Art. 83 lit. e BGG ausgeschlossen (BGE 137 IV 269 E. 1.3.2).
Gegen den angefochtenen Beschluss ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG gegeben (BGE 135 I 113 E. 1 S. 115 ff.).
1.2 Die Beschwerdeberechtigung des Beschwerdeführers 1 gemäss Art. 115 BGG ist zu bejahen. Da dem Eintreten auf die Beschwerde insoweit nichts entgegensteht, kann dahingestellt bleiben, wie es sich mit der Beschwerdebefugnis der Beschwerdeführerin 2 verhält.
1.3 Gemäss Art. 116 BGG kann mit der Verfassungsbeschwerde die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden.
Nach Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist. Insoweit besteht eine qualifizierte Rügepflicht. Es gelten die gleichen Begründungsanforderungen wie früher bei der staatsrechtlichen Beschwerde nach Art. 90 Abs. 1 lit. b OG (BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein sollen. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf appellatorische Kritik tritt es nicht ein. Macht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbots geltend, muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leiden soll. Es genügt nicht, wenn er lediglich seine eigene Auffassung jener der Vorinstanz gegenüberstellt (BGE 137 IV 1 E. 4.2.3 S. 5; 135 III 232 E. 1.2 S. 234; 134 II 349 E. 3 S. 351 f., 244 E. 2.2 S. 246).
2. 2.1 Soweit sich die Beschwerdeführer zu Fragen äussern, die ausserhalb des Gegenstandes des vorliegenden Verfahrens liegen, kann auf die Beschwerde von Vornherein nicht eingetreten werden.
2.2 Dasselbe gilt, soweit sie die Verletzung von einfachem Bundesrecht rügen, da dies keinen nach Art. 116 BGG zulässigen Beschwerdegrund darstellt.
2.3 Ebenso wenig eingetreten werden kann auf die in der Replik enthaltenen neuen Vorbringen der Beschwerdeführer. Mit der Replik dürfen (nach Ablauf der Beschwerdefrist) keine neuen Einwände nachgeschoben werden (BGE 132 I 42 E. 3.3.4 S. 47 mit Hinweisen).
2.4 Soweit die Beschwerdeführer in der Beschwerde eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte - insbesondere Willkür (Art. 9 BV) - geltend machen, beschränken sie sich auf appellatorische Kritik.
Der qualifizierten Rügepflicht nach Art. 106 Abs. 2 BGG genügt höchstens ihr Vorbringen, die Vorinstanz habe gegen Treu und Glauben (Art. 9 BV) verstossen, indem sie das Schreiben vom 22. April 2011 sinngemäss als Strafanzeige ausgelegt habe. Ob auf die Beschwerde in diesem Punkt eingetreten werden kann, erscheint gleichwohl fraglich. Denn wenn die Beschwerdeführer keine Strafanzeige einreichen wollten, ist kaum ersichtlich, inwiefern sie durch die vorinstanzliche Ablehnung der Strafverfolgung beschwert sein sollen. Wäre auf das Vorbringen einzutreten, wäre es jedenfalls unbegründet. Die Vorinstanz verneint in der Vernehmlassung (S. 2 f.) zutreffend eine Verletzung von Treu und Glauben. Darauf kann verwiesen werden (vgl. Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Da für deren Erhebung in erster Linie der Beschwerdeführer 1 verantwortlich ist, werden ihm allein die Gerichtskosten auferlegt (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer 1 auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und der Geschäftsleitung des Kantonsrates des Eidgenössischen Standes Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juli 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri