Faits:
A. Le 29 octobre 2009 au petit matin, A._ a été agressé à la sortie d'une discothèque par B._, qui a été reconnu coupable de lésions corporelles simples pour avoir frappé le prénommé à plusieurs reprises sur le torse et au visage. Les médecins consultés par A._ ont constaté une contusion du visage et une incapacité de travail à 100% du 2 au 6 novembre 2009.
Dans la soirée du 22 décembre 2009, le prénommé a été agressé en ville par C._, qui a été reconnu coupable de tentative de lésions corporelles qualifiées, menaces et contrainte. Il a été retenu en substance que l'auteur de l'agression avait serré fort le poignet de A._, qu'il avait prétendu être policier et qu'il avait sorti un couteau suisse en disant qu'il était capable de tuer, avant de tenter de le blesser. Un tiers avait alors saisi A._, qui avait finalement réussi à se dégager et à prendre la fuite.
Le 14 mars 2011, A._ a déposé deux demandes d'indemnisation sur la base de la loi fédérale du 23 mars 2007 sur l'aide aux victimes d'infractions (LAVI; RS 312.5), réclamant une indemnité pour tort moral de 15'000 fr. pour la première affaire et de 5'000 fr. pour la seconde. Il demandait en outre la prise en charge des frais médicaux non couverts par l'assurance-maladie pour la blessure qu'il aurait subie à l'oeil lors de la première agression.
B. Par décisions du 7 novembre 2011, l'Autorité d'indemnisation LAVI du Service juridique du Département de l'intérieur du canton de Vaud (ci-après: l'autorité d'indemnisation LAVI) a rejeté les demandes d'indemnisation. Relevant que l'agression du 29 octobre 2009 avait causé des blessures physiques qui ne pouvaient être qualifiées de particulièrement graves et que l'intéressé ne souffrait pas de séquelles psychiques, elle a estimé qu'aucune indemnité pour réparation morale n'était due. S'agissant de l'événement du 22 décembre 2009, l'autorité d'indemnisation a estimé que le requérant n'avait pas subi d'atteinte à son intégrité physique ni de séquelles psychiques particulièrement graves. Dans les deux cas, l'autorité a relevé que la qualité de victime n'était pas évidente mais que la question pouvait demeurer indécise dès lors que l'intéressé ne pouvait pas prétendre à une indemnité pour tort moral.
Statuant sur recours de A._, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a confirmé ces décisions. Concernant les faits survenus le 29 octobre 2009, elle a constaté que l'intéressé ne faisait pas valoir de dommage matériel et qu'il n'avait pas établi l'existence de séquelles physiques, pas plus qu'une atteinte à l'intégrité psychique. Il en allait de même de l'agression du 22 décembre 2009, les certificats médicaux produits par A._ ne démontrant pas que la souffrance psychologique endurée par celui-ci atteignait le seuil de gravité requis pour justifier une indemnité pour tort moral.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de condamner l'Etat de Vaud à lui verser une indemnité pour atteinte à l'intégrité physique et morale. Il requiert en outre l'octroi de l'assistance judiciaire. L'autorité d'indemnisation LAVI a renoncé à se déterminer. Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours en se référant aux considérants de son arrêt. L'Office fédéral de la justice a renoncé à présenter des observations.
Considérant en droit:
1. La décision attaquée a pour objet le rejet d'une demande d'indemnité fondée sur la LAVI, de sorte que la voie du recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF est ouverte (arrêt 1C_420/2010 du 25 janvier 2011 consid. 1 non publié in ATF 137 II 122). Le recourant, qui s'est vu refuser l'indemnité en question, est particulièrement touché et a un intérêt à obtenir l'annulation ou la modification de l'arrêt attaqué confirmant ce refus (art. 89 al. 1 LTF). Pour le surplus, dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours est recevable.
2. Le recourant se plaint en premier lieu d'une constatation manifestement inexacte des faits.
2.1 Conformément à l'art. 105 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente. L'art. 105 al. 2 LTF ne permet de s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 II 304 consid. 2.4 p. 314; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF. Le recourant peut critiquer les constatations de fait aux mêmes conditions, si la correction du vice soulevé est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Il lui appartient de démontrer que ces conditions sont réalisées, par une argumentation répondant aux exigences de motivation de l'art. 42 al. 2 LTF (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
2.2 En l'occurrence, le recourant se limite à alléguer de manière générale que les faits ont été établis de façon manifestement inexacte, sans mentionner les éléments précis qui auraient été arbitrairement omis ou constatés de manière erronée. On comprend certes que le recourant aurait souhaité que le Tribunal cantonal constate l'existence de séquelles physiques et psychiques plus importantes, voire celle d'un dommage matériel résultant des traitements qu'il aurait suivis. Cela ne suffit toutefois pas à établir une constatation arbitraire des faits. Au demeurant, il apparaît que le Tribunal cantonal s'est fondé sur cinq certificats médicaux, qu'il a reproduits fidèlement. Ces documents étant dénués d'équivoque, une audition des médecins les ayant rédigés n'est pas de nature à remettre en cause les constatations de l'arrêt attaqué. C'est dès lors en vain que le recourant sollicite cette mesure d'instruction. Il en va de même de la requête tendant au dépôt d'un "rapport médical réactualisé", les pièces figurant au dossier étant suffisantes pour apprécier les faits. En définitive, les conditions permettant de s'écarter des faits retenus par l'instance précédente ne sont pas réunies, de sorte que le Tribunal fédéral statuera sur la base de ceux-ci, conformément à l'art. 105 al. 1 LTF.
3. Le recourant se plaint essentiellement d'une violation des art. 1, 2 et 22 LAVI, l'autorité compétente ayant selon lui refusé à tort de lui allouer une indemnité pour réparer les traumatismes allégués en relation avec les agressions subies les 29 octobre et 22 décembre 2009.
3.1 Selon l'art. 1 al. 1 LAVI, toute personne qui a subi, du fait d'une infraction, une atteinte directe à son intégrité physique, psychique ou sexuelle (victime) a droit au soutien prévu par la LAVI (aide aux victimes). L'aide aux victimes comprend notamment une indemnisation (art. 2 let. d et art. 19 ss LAVI) et une réparation morale (art. 2 let. e et art. 22 s. LAVI). La victime a droit à une indemnité pour le dommage subi (art. 19 al. 1 LAVI), qui est fixé selon les règles du code des obligations (art. 19 al. 2 LAVI). La victime a en outre droit à une réparation morale lorsque la gravité de l'atteinte le justifie, les art. 47 et 49 du code des obligations s'appliquant par analogie (art. 22 al. 1 LAVI). La notion juridique de dommage selon la LAVI correspond en principe à celle du droit de la responsabilité civile (ATF 131 II 121 consid. 2.1 p. 125; 129 II 49 consid. 4.3.2 p. 53 et les références).
Le système d'indemnisation instauré par la LAVI est subsidiaire par rapport aux autres possibilités d'obtenir réparation que la victime possède déjà (ATF 131 II 121 consid. 2 p. 125; 123 II 425 consid. 4b/bb p. 430). Au regard des particularités de ce système d'indemnisation, le Tribunal fédéral a relevé que le législateur n'avait pas voulu assurer à la victime une réparation pleine, entière et inconditionnelle du dommage (ATF 131 II 121 consid. 2.2 p. 126; 129 II 312 consid. 2.3 p. 315; 125 II 169 consid. 2b/aa p. 173 s.). Ce caractère incomplet est particulièrement marqué en ce qui concerne la réparation du tort moral, qui se rapproche d'une allocation "ex aequo et bono" (arrêt 1C_48/2011 du 15 juin 2011 consid. 3).
3.2 En l'espèce, le Tribunal cantonal a laissé indécise la question de la qualité de victime du recourant, dès lors que celui-ci n'avait droit à aucune indemnité sur la base des dispositions précitées.
3.2.1 Le Tribunal cantonal relève d'abord que le recourant n'a fait valoir aucun dommage matériel, si bien qu'il n'y a pas lieu d'octroyer une indemnité en application de l'art. 19 LAVI. L'intéressé remet en cause cette appréciation en se prévalant du fait qu'il n'a "aucune formation dans le domaine juridique" et en laissant entendre qu'il a été mal renseigné par un représentant de l'autorité compétente en matière de LAVI, qui ne l'aurait en particulier pas rendu attentif à la question du dommage matériel. Il s'agit là d'un fait nouveau irrecevable (art. 99 al. 1 LTF), qui est au demeurant contredit par un compte rendu d'audition du 23 mai 2011 attestant que le sujet a été abordé avec lui. Quoi qu'il en soit, l'autorité d'indemnisation LAVI n'est pas tenue de rechercher à la place du requérant tous les éléments qui pourraient donner lieu à une indemnisation. C'est en effet à l'intéressé qu'il incombe de réclamer les montants auxquels il estime avoir droit, en alléguant les faits susceptibles d'établir ses prétentions. Une formation juridique n'est pas nécessaire à cet égard. En l'occurrence, le recourant n'a pas fait valoir - ni même rendu vraisemblable - l'existence d'un quelconque dommage matériel, mais il a limité ses requêtes à des prétentions pour tort moral. Dans ces conditions, on ne saurait faire grief aux autorités compétentes d'avoir omis d'instruire la question d'un éventuel dommage matériel, sur lequel le recourant ne donne aucune indication.
3.2.2 En ce qui concerne le tort moral, le Tribunal cantonal a considéré que le recourant n'avait pas établi avoir subi des atteintes suffisamment graves pour avoir droit à une réparation morale. S'agissant de l'agression du 29 octobre 2009, l'intéressé ne pouvait pas prétendre à une réparation pour l'atteinte à son intégrité physique, les lésions subies se limitant à une contusion modérée et aucune séquelle n'ayant été démontrée. Il n'avait pas non plus établi une atteinte significative à son intégrité psychique et ne démontrait pas avoir dû suivre un traitement relativement long ou astreignant en raison d'un éventuel traumatisme lié à ces événements. Quant à l'agression du 22 décembre 2009, elle n'avait pas davantage causé de dommage matériel ni d'atteinte à l'intégrité physique. Un certificat médical daté du 11 avril 2011 attestait certes d'une souffrance sur le plan psychologique en relation avec cette agression, en relevant que les troubles constatés étaient compatibles avec un état de stress post-traumatique. Il précisait cependant que le patient avait été traité avec un produit relaxant et que la situation s'était depuis bien atténuée. Selon l'instance précédente, le suivi d'une psychothérapie en lien avec ces événements n'était pas établi, pas plus que l'existence de troubles ayant entraîné une réelle modification de la personnalité de l'intéressé. Un certificat médical du 28 octobre 2011 confirmait certes une tendance au retrait social, mais en se référant surtout à d'autres événements ayant affecté le recourant. En définitive, les faits survenus le 22 décembre 2009 n'atteignaient pas non plus le seuil de gravité requis pour justifier le principe d'une indemnité pour tort moral.
Pour contester cette appréciation, le recourant se limite pour l'essentiel à remettre en cause les faits constatés par l'instance précédente, alors que les conditions qui permettraient de s'en écarter ne sont pas réunies (cf. supra consid. 2). Il soutient également en substance que les atteintes dont il a souffert sont suffisamment graves pour justifier l'allocation d'une indemnité pour tort moral. Une telle conclusion ne saurait toutefois se fonder sur l'état de fait de la décision attaquée. Il est vrai que les certificats médicaux figurant au dossier font état d'une certaine atteinte à l'intégrité psychique du recourant, mais ils ne permettent pas de conclure à une atteinte significative provoquée par les deux agressions litigieuses. Le recourant assure qu'il continue de se soigner avec des "produits anxiolytiques" en cas d'angoisse, sans toutefois établir que ce traitement, à supposer qu'il soit avéré, ait un lien avec les événements des 29 octobre et 22 décembre 2009. De plus, la constatation de troubles "compatibles avec un état de stress post-traumatique" ne signifie pas encore que le recourant a souffert dans une mesure atteignant le seuil de gravité requis. La jurisprudence admet certes que de tels troubles peuvent entrer en ligne de compte, mais uniquement s'ils entraînent une modification durable de la personnalité (cf. arrêt 1A.235/2000 du 21 février 2011 consid. 5b/aa). Or, rien de tel n'a été constaté en l'espèce. En définitive, c'est à bon droit et sur la base d'une constatation des faits dénuée d'arbitraire que le Tribunal cantonal a considéré que les atteintes subies par le recourant n'atteignaient pas le degré de gravité requis pour justifier l'octroi d'une indemnité pour tort moral en application de l'art. 22 al. 1 LAVI.
4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Dès lors que le recourant apparaît dans le besoin et que ses conclusions n'étaient pas d'emblée vouées à l'échec, il doit être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. Celle-ci sera limitée à l'exemption de frais judiciaires, le recourant n'étant pas représenté devant le Tribunal fédéral (art. 64 al.1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est admise.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'Autorité d'indemnisation LAVI et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral de la justice.
Lausanne, le 6 novembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Rittener