Faits:
A. En automne 1998, X._, né le 9 septembre 1949 et domicilié à Genève, s'est rendu chez son médecin traitant, après avoir constaté la présence de sang dans ses urines et avoir ressenti de violentes douleurs thoraciques latérales gauches, accompagnées de vertiges et de sudations.
Plusieurs examens ont été pratiqués et il en est résulté la suspicion d'une tumeur.
Le 3 novembre 1998, X._ a été adressé à l'Unité d'investigations ambulatoires des Hôpitaux Universitaires de Genève (ci-après: HUG).
Les examens complémentaires effectués n'ont pas permis d'écarter l'hypothèse de foyers cancéreux au niveau des côtes et il a été décidé de procéder à une biopsie, c'est-à-dire au prélèvement d'un fragment de tissu en vue de son examen.
X._ a été hospitalisé aux HUG le 13 novembre 1998 en vue de cette intervention. Le chirurgien thoracique A._, des HUG, a pratiqué une biopsie sur la neuvième côte gauche du patient le 16 novembre 1998. L'analyse du fragment prélevé n'a pas révélé la présence d'un cancer.
Trois jours après cette biopsie, soit le 19 novembre 1998, X._ s'est plaint de douleurs au bras gauche.
Après divers examens, il s'est révélé que la zone suspecte ne se trouvait, en réalité, non pas sur la neuvième côte gauche, mais sur la dixième. Une nouvelle biopsie a été effectuée, cette fois sur la dixième côte, le 30 novembre 1998. L'analyse du fragment prélevé a permis d'exclure une pathologie cancéreuse.
Les douleurs ressenties par X._ à son bras gauche ont persisté. Selon un certificat établi par son médecin traitant le 19 janvier 2007, ce bras est non fonctionnel. Entendu comme témoin, le médecin a déclaré que la possibilité d'utiliser ce bras est limitée à environ 5% et que seul le suivi physiothérapeutique permet d'espérer le maintien de cette faculté.
B. Par demande déposée au greffe du Tribunal de première instance de Genève le 18 avril 2008, X._ a ouvert action contre les HUG. Soutenant que la perte de l'usage de son bras gauche était imputable à des manquements de la part des médecins des HUG, il a demandé réparation de son dommage et de son tort moral.
Les HUG, contestant toute violation des règles de l'art, se sont opposés à la demande en totalité.
Entendu comme témoin, le chirurgien A._ a confirmé que X._ s'était plaint de douleurs au bras trois jours après la première biopsie; à la suite d'une scintigraphie effectuée à l'hôpital, il a été alors constaté que "le foyer infectieux se trouvait sur la dixième côte et non sur la neuvième". "L'erreur" a été constatée après la seconde scintigraphie effectuée aux HUG, dont il était ressorti que le foyer à éradiquer se trouvait sur la dixième côte. La première intervention n'avait eu "aucune utilité".
Le Tribunal a ordonné une expertise et a désigné comme expert le Professeur B._, neurologue, médecin-adjoint du Service de neurologie de V._. Cet expert a rendu un rapport daté du 21 juin 2010 qui est relaté en détail dans l'arrêt attaqué. L'expert a notamment affirmé que la biopsie était la mesure appropriée compte tenu des éléments réunis et qu'elle avait été pratiquée dans les règles de l'art. Le patient a subi une complication extrêmement rare, au point que l'on ne peut reprocher au médecin de ne pas lui avoir signalé cette éventualité. Lorsque cette complication apparaît, elle est déclenchée, dans 13% des cas, par une opération chirurgicale. Après avoir examiné X._, l'expert a estimé que la mobilité résiduelle de son membre supérieur gauche était inférieure à 5%.
Par jugement du 22 septembre 2011, le Tribunal de première instance a admis la responsabilité de l'établissement hospitalier et il a condamné les HUG à verser à X._, à titre de dommages-intérêts et de réparation du tort moral, au total 331'460 fr.15 en capital, alors que le demandeur réclamait environ 505'000 fr. Les dépens ont été mis à la charge des HUG.
Les HUG ont fait appel de ce jugement, concluant à ce que la demande soit entièrement rejetée. X._ a demandé la confirmation du jugement attaqué.
Statuant par arrêt du 27 avril 2012, la Cour de justice a réformé la décision querellée. Admettant la responsabilité des HUG, elle a condamné ces derniers à payer à X._ les sommes suivantes:
- 3'749 fr.30 avec intérêts à 5% l'an dès le 25 octobre 2005;
- 5'391 fr.20 avec intérêts à 5% l'an dès le 1er octobre 2011;
- 31'760 fr. 90 avec intérêts à 5% l'an dès le 25 octobre 2005;
- 12'223 fr.75 avec intérêts à 5% l'an dès le 1er décembre 2008;
- 6'745 fr.40 avec intérêts à 5% l'an dès le 1er octobre 2009;
- 7'500 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 16 novembre 1998.
Elle a réparti les frais de première instance à raison d'un quart à la charge des HUG et trois quarts à la charge de X._; quant aux frais d'appel, ils ont été répartis à raison d'un tiers à la charge des HUG et deux tiers à la charge de X._.
C. Les HUG ont exercé un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 27 avril 2012 (cause 4A_329/2012). Invoquant une violation de l'art. 8 CC ainsi que l'arbitraire, ils se plaignent de l'appréciation des preuves, critiquent certains éléments du dommage ainsi que la répartition des dépens. Ils ont conclu, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au rejet de la demande.
L'intimé a conclu au rejet du recours. Les parties ont répliqué et dupliqué.
X._, de son côté, a également déposé un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre la décision cantonale (cause 4A_333/2012). Invoquant une violation des art. 42 al. 2, 44 al. 1 et 46 al. 1 CO, ainsi que l'arbitraire dans la répartition des frais et dépens cantonaux, il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué en ce qui concerne le montant des dommages-intérêts et de la réparation du tort moral et conclut à ce qu'il lui soit alloué au total et en capital 312'498 fr.15 avec intérêts et à ce que la cause soit renvoyée à la Cour de justice pour fixer à nouveau les frais et dépens de la procédure cantonale.
Les HUG ont conclu à l'irrecevabilité du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Les deux recours (causes 4A_329/2012 et 4A_333/2012) sont dirigés contre la même décision et concernent le même état de fait, de sorte qu'il se justifie de statuer par un seul et même arrêt.
1.2 Le recours en matière civile est ouvert contre une décision rendue en application du droit public cantonal régissant la responsabilité d'une collectivité ou d'un établissement publics pour les actes illicites commis par les médecins engagés dans des hôpitaux publics (art. 72 al. 2 let. b LTF; art. 31 al. 1 let. d RTF; ATF 133 III 462 consid. 2.1 p. 465).
Interjetés dans chaque cas par une partie qui a succombé partiellement dans ses conclusions touchant ses intérêts pécuniaires et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), les deux recours sont dirigés contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), de sorte qu'ils sont recevables, puisqu'ils ont été déposés dans le délai (art. 45 al. 1, 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, sous réserve de la recevabilité des différents griefs pris individuellement.
1.3 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut donc être formé pour violation d'un droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313). En revanche, il ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal; la partie recourante ne peut se plaindre de l'application du droit cantonal qu'en invoquant la violation d'un droit constitutionnel, en particulier l'interdiction de l'arbitraire (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 s.).
Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 137 II 313 consid. 4 p. 317 s.; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 137 III 580 consid. 1.3 p. 584; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400).
Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). La partie recourante qui invoque l'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit présenter une motivation qui répond aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, dans la mesure où les parties présentent leur propre état de fait sans exposer de manière précise en quoi les constatations cantonales seraient arbitraires, il n'y a pas lieu d'en tenir compte et le raisonnement doit être fondé sur l'état de fait contenu dans l'arrêt attaqué.
1.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. 2.1 Selon la jurisprudence, les soins dispensés dans les hôpitaux publics ne se rattachent pas à l'exercice d'une industrie, au sens de l'art. 61 al. 2 CO, mais relèvent de l'exécution d'une tâche publique; en vertu de la réserve facultative prévue à l'art. 61 al. 1 CO, les cantons sont donc libres de soumettre au droit public cantonal la responsabilité du personnel médical travaillant dans un hôpital public pour le dommage ou le tort moral qu'il cause dans l'exercice de sa charge (ATF 133 III 462 consid. 2.1 p. 465).
Le canton de Genève a fait usage de cette possibilité. La loi genevoise du 24 février 1989 sur la responsabilité de l'Etat et des communes (LREC; RS/GE A 2 40), applicable aux HUG en vertu de l'art. 5 al. 2 de la loi genevoise du 19 septembre 1980 sur les établissements publics médicaux (LEPM; RS/GE K 2 05), prévoit que les corporations et établissements de droit public dotés de la personnalité juridique répondent du dommage résultant pour les tiers d'actes illicites commis soit intentionnellement, soit par négligence ou imprudence par leurs fonctionnaires ou agents dans l'exercice de leur travail (art. 2 al. 1 et 9); contrairement à d'autres cantons, tels Fribourg (ATF 133 III 462 consid. 4.1) et Neuchâtel (arrêt 4P.283/2004 du 12 avril 2005 consid. 4.1 publié in RDAF 2005 I p. 375), elle n'institue pas une responsabilité de type objectif ou causal, mais une responsabilité pour faute, ce qui implique la réalisation des quatre conditions cumulatives suivantes: un acte illicite commis par un agent ou un fonctionnaire, une faute de la part de celui-ci, un dommage subi par un tiers et un lien de causalité (naturelle et adéquate entre l'acte illicite et le dommage) (arrêt 4A_315/2011 du 25 octobre 2011 consid. 2.1).
Ces conditions correspondent à celles qui figurent à l'art. 41 CO. Cependant, l'art. 6 LREC précise que le droit civil fédéral est appliqué ici à titre de droit cantonal supplétif. Par conséquent, le Tribunal fédéral ne peut en contrôler l'application que sous l'angle restreint de l'arbitraire ou d'autres droits constitutionnels, en fonction des seuls griefs invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF; arrêt 4A_315/2011 déjà cité consid. 2.1; arrêt 4A_679/2010 du 11 avril 2011 consid. 3).
Ainsi, l'art. 8 CC (qui ne concerne que les prétentions fondées sur le droit fédéral: ATF 129 III 18 consid. 2.6 p. 24; 127 III 519 consid. 2a p. 522), les art. 41, 42, 44 et 46 CO, tous invoqués par les parties, ne sont pas applicables en tant que droit fédéral. Ils ne peuvent être invoqués qu'en tant que règle de droit cantonal supplétif. Comme le recours en matière civile n'est pas ouvert pour violation du droit cantonal (art. 95 et 96 LTF), les parties ne peuvent s'en plaindre qu'en invoquant la violation d'un droit constitutionnel; or, le seul droit constitutionnel qui puisse entrer en considération en l'espèce est l'interdiction de l'arbitraire fondée sur l'art. 9 Cst. (arrêt 4P.265/2002 du 28 avril 2003 consid. 2.1 et 2.2). Encore faut-il que la partie ait invoqué l'arbitraire et qu'elle ait motivé de manière précise ce grief conformément aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF. Ainsi, à rigueur de jurisprudence, les griefs soulevés par le patient, faute d'avoir été invoqués sous l'angle de l'arbitraire (art. 9 Cst.), pourraient tous être déclarés irrecevables, à l'exception de celui concernant la répartition des frais.
En tout état de cause, il faut garder à l'esprit que le Tribunal fédéral ne procède pas à un examen libre de l'application du droit cantonal supplétif, et qu'il doit seulement déterminer si celui-ci a été violé arbitrairement.
2.2 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 138 I 49 consid. 7.1 p. 51; 138 III 378 consid. 6.1 p. 379 s.; 138 IV 13 consid. 5.1 p. 22).
Quant à l'appréciation des preuves et l'établissement des faits, qui ne peuvent de toute manière être revus que sous l'angle de l'arbitraire, ce dernier est réalisé si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
Il incombe à la partie qui invoque l'arbitraire d'en faire la démonstration par une argumentation précise répondant aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62).
2.3 Il a été constaté en fait - sans que l'arbitraire ne soit invoqué à ce propos (art. 106 al. 2 LTF) - que la biopsie du 16 novembre 1998 (après laquelle le patient s'est plaint pour la première fois d'avoir mal au bras gauche) était inutile, parce que la zone suspecte se trouvait sur la dixième côte, et non sur la neuvième.
Une intervention chirurgicale sur le corps humain constitue une atteinte à l'intégrité corporelle qui est en principe illicite, parce qu'il s'agit d'une atteinte à un droit absolu. Cette atteinte ne peut pas être justifiée par un consentement réel ou hypothétique du patient, parce que ce dernier, au moment où il a consenti, ne savait pas que l'opération ne servait à rien et que, s'il en avait été informé, il n'y aurait manifestement pas consenti.
Le chirurgien a admis qu'il y avait eu une "erreur". Il n'y a rien d'arbitraire à croire le chirurgien qui a pratiqué l'intervention lorsqu'il admet qu'il y a eu une erreur. Il a été constaté que les foyers hypercaptants au niveau des huitième et dixième côtes étaient déjà visibles sur la scintigraphie alors disponible (arrêt attaqué p. 18 in fine). Ainsi, soit la scintigraphie disponible n'avait pas été étudiée avec une attention suffisante, soit les examens préalables nécessaires n'avaient pas été pratiqués pour en comprendre avec précision la portée. La cour cantonale, sur ces bases, n'est pas tombée dans l'arbitraire en retenant que l'acte illicite était fautif.
Selon le rapport d'expertise - non contesté sur ce point -, les complications présentées par le patient sont déclenchées, dans 13% des cas, par une opération chirurgicale. Certes, ce pourcentage ne permet pas à lui seul d'établir un rapport de causalité naturelle. Néanmoins, il a été établi - sans que l'arbitraire ne soit invoqué à ce propos - que le patient s'est plaint pour la première fois de douleurs dans le bras gauche trois jours après cette intervention. La coïncidence de dates liée au fait qu'une opération chirurgicale est une cause connue pour de telles complications, a permis à la cour cantonale de se convaincre que la biopsie était bien la cause de ces complications. On ne voit pas que ce raisonnement puisse être qualifié d'arbitraire au sens de la définition rappelée ci-dessus.
Rien ne permet d'affirmer que si la biopsie avait porté immédiatement sur la côte exacte (la dixième), les complications seraient apparues de toute manière. En effet, la seconde biopsie, portant sur la dixième côte, n'a eu aucun effet sur le bras du patient.
Une intervention chirurgicale était propre, d'après l'expérience médicale, à entraîner des complications du genre de celles qui se sont produites.
Ainsi, la cour cantonale n'a pas apprécié les preuves de manière arbitraire en retenant que la causalité naturelle était établie et elle n'a pas violé arbitrairement le droit cantonal en concluant qu'il y avait eu un acte illicite et fautif qui avait causé de manière adéquate la perte d'usage du bras gauche dont se plaint le patient.
2.4 Il reste à examiner les dommages-intérêts et la réparation pour tort moral qui ont été alloués, en rappelant que l'application du droit cantonal supplétif ne peut être revue que sous l'angle de l'arbitraire et que l'appréciation des preuves ne peut être censurée qu'en cas d'arbitraire. Il ne se justifie pas, en ce qui concerne les dommages-intérêts et la réparation du tort moral, de rediscuter tous les postes et il suffit d'examiner les points qui ont été soulevés en respectant les exigences de l'art. 106 al. 2 LTF, puisque seul le grief d'arbitraire est admissible.
2.4.1 Pour déterminer les frais médicaux non pris en charge par la caisse maladie, la cour cantonale a tenu compte du fait que le patient devait supporter une franchise et qu'il devait ensuite payer le 10% des frais médicaux jusqu'à concurrence d'un plafond.
Les HUG ne le contestent pas, mais ils soutiennent que le patient aurait dû de toute manière assumer cette charge financière en raison d'autres frais médicaux indépendants des faits de la cause.
D'après ce que l'on comprend, l'hôpital public voudrait tirer profit du fait que le patient était malade par ailleurs, afin d'appliquer la franchise et la quote-part de 10% sur les autres frais médicaux assumés par le patient.
Le système de la franchise implique que les premiers frais annuels sont laissés à la charge de l'assuré jusqu'à concurrence du montant convenu. Pour que l'on puisse entrer en matière sur l'argumentation des HUG, il faudrait donc qu'il soit établi que les premiers frais médicaux annuels ne concernaient pas les frais de la cause. Or, cela ne ressort pas des constatations cantonales qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF). Quant à la quote-part de 10%, elle est perçue jusqu'à concurrence d'un plafond. Pour qu'il n'y ait pas lieu d'en tenir compte, il faudrait que tous les frais à la charge des HUG soient intervenus après que le plafond a été atteint. Or, cela ne ressort pas non plus des constatations cantonales (art. 105 al. 1 LTF). L'argumentation présentée repose donc entièrement sur des faits qui n'ont pas été constatés, ce qui exclut qu'elle soit prise en considération.
Quant à l'argumentation selon lequel le montant de la franchise et du plafond a varié durant la période en cause, le patient se plaint de sa nouveauté. Les HUG, dans leur réplique, ne démontrent pas avoir allégué ces faits dans la procédure cantonale. Il s'agit donc d'une argumentation qui repose sur des faits non constatés dans la décision attaquée et qui n'ont pas été allégués pendant la procédure cantonale, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'entrer en matière (art. 99 al. 1 LTF).
2.4.2 Tout en admettant que le patient avait droit à une retraite de 70% de son salaire brut après 35 ans de cotisations, l'hôpital public considère qu'il n'est pas établi que ces conditions soient remplies.
La cour cantonale s'est prononcée sur cette question avec une certaine prudence, retenant que la pension aurait été "environ" de 70%, soit "de l'ordre de" 85'300 fr.10 par an.
Dans sa réponse, le patient relève que le rapport d'expertise indique, à la page 9, qu'il a commencé à travailler pour le même employeur à l'âge de 24 ans, ce qui implique bien, en prenant sa retraite à 60 ans, qu'il avait atteint les 35 années de cotisations.
Dans leur réplique, les HUG ne le contestent pas vraiment. Ils allèguent cependant pour la première fois des dates précises, d'où il ressortirait qu'il manquerait six mois de cotisations. Cette argumentation est impropre à faire apparaître comme arbitraire la constatation de la cour cantonale selon laquelle la retraite aurait correspondu à environ 70% du salaire. De surcroît, les dates indiquées - non admises dans la duplique - constituent de leur part des allégués nouveaux qui ne sont pas admissibles au stade du recours devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF).
2.4.3 Pour sa part, le patient, dans son recours, reproche à la cour cantonale de ne pas avoir tenu compte, pour ses revenus hypothétiques 2008 et 2009, qu'il avait obtenu durant la période de 2002 à 2007 une progression salariale moyenne de 1,4% par an.
Faire une moyenne des augmentations de salaire passées en vue de supputer des hausses pour l'avenir n'a de sens que si l'on essaie d'établir un gain futur, par nature hypothétique.
Sachant que le Tribunal de première instance a statué le 22 septembre 2011 et la Cour de justice, sur appel, le 27 avril 2012, il apparaît d'emblée que le patient aurait pu facilement établir quelle augmentation de salaire son employeur (les Services Industriels de Genève) ont accordé à leurs employés en 2008 et 2009. Ainsi, la cour cantonale a constaté que le patient n'avait pas apporté les preuves que l'on pouvait exiger de lui, alors même qu'il assumait le fardeau de la preuve (art. 8 CC appliqué en tant que droit cantonal supplétif). On ne voit pas en quoi la cour cantonale aurait sur ce point apprécié arbitrairement les preuves ou violé arbitrairement les règles du droit cantonal supplétif sur le fardeau de la preuve.
2.4.4 Ensuite, aux pages 11 et 12 de son recours, le patient oppose ses propres calculs à ceux effectués par la cour cantonale. A aucun moment, il ne démontre qu'un fait aurait été retenu ou écarté arbitrairement par la cour cantonale, pas plus qu'il n'invoque la violation d'une règle de droit applicable. Son argumentation ne répond donc même pas aux règles minimales de motivation découlant de l'art. 42 al. 2 et 3 LTF, et, a fortiori, elle ne répond pas non plus aux exigences plus strictes de l'art. 106 al. 2 LTF pour invoquer la violation d'un droit constitutionnel. En conséquence, cette partie de l'argumentation du recourant ne contient aucun grief recevable.
2.4.5 Le patient se plaint de ce que la cour cantonale a opéré une réduction sur le montant des dommages-intérêts et de l'indemnité pour tort moral en appliquant l'art. 44 al. 1 CO en tant que droit cantonal supplétif.
Il a été constaté que l'état maladif antérieur du patient a joué un grand rôle dans l'apparition des complications dont il souffre. Sur ce point de fait, l'arbitraire n'est pas invoqué. Cependant, les complications ne seraient pas apparues s'il n'y avait pas eu la biopsie du 16 novembre 1998 qui a été l'élément déclenchant. Dans une telle situation, l'état antérieur ne suffit pas pour justifier une réduction de l'indemnisation; il faut que d'autres éléments s'y ajoutent, par exemple une disproportion manifeste entre la cause fondant le dommage et l'importance du préjudice (arrêt 4A_45/2009 du 25 mars 2009 consid. 4.2.1 publié in SJ 2010 I p. 73; arrêt 4A_307/2008 du 27 novembre 2008 consid. 2.1.3).
En l'espèce, la faute reprochée au médecin de l'hôpital public est d'être intervenu sur la neuvième côte, plutôt que sur la dixième. Il n'empêche que la biopsie était nécessaire en raison des circonstances et qu'elle a été pratiquée conformément aux règles de l'art. L'erreur sur la côte devant faire l'objet du prélèvement devait normalement avoir pour seule conséquence de rendre nécessaire une deuxième intervention, qui a d'ailleurs été pratiquée. En revanche, que cette erreur entraîne la perte de l'usage d'un bras revêt un caractère plutôt extraordinaire et s'explique par un ensemble de circonstances défavorables. Il y a donc une certaine disproportion entre la gravité de la faute et ses conséquences pour le patient.
Savoir s'il fallait ou non, en pareil cas, opérer une réduction de 50% est une question d'appréciation dont on peut discuter. On ne peut cependant pas affirmer que la décision cantonale soit arbitraire au sens de la définition rappelée ci-dessus.
2.5 Les deux parties ont critiqué, dans leur recours respectif, la répartition des frais et dépens de la procédure cantonale.
Selon les constatations cantonales - au sujet desquelles l'arbitraire n'a pas été invoqué -, le patient a succombé sur 87% de ses conclusions chiffrées en première instance (il avait demandé environ 505'000 fr. et il a obtenu en définitive environ 67'000 fr.) et il a succombé pour 80% devant la Cour de justice (il a obtenu 67'000 fr. alors qu'il demandait la confirmation du jugement de première instance, soit environ 330'000 fr.). La cour cantonale ne l'a cependant pas condamné à supporter 87% et 80% des frais et dépens de la procédure cantonale, mais seulement les 3/4 et les 2/3. Ainsi, la cour cantonale a manifestement tenu compte du fait qu'une part importante du procès concernait le principe de la responsabilité des HUG, qui était contestée par ces derniers, et que, sur cette part du litige, le patient a obtenu gain de cause. Compte tenu du large pouvoir d'appréciation qui est reconnu au juge en matière de fixation des frais et dépens, on ne saurait dire que la cour cantonale a violé arbitrairement les dispositions du droit cantonal applicables à la procédure de première instance (art. 404 al. 1 CPC), ni qu'elle a violé les art. 106 al. 2 et 107 al. 1 let. a CPC, applicables à la procédure d'appel (art. 405 al. 1 CPC).
3. Les deux recours doivent ainsi être rejetés et les frais et dépens, pour la procédure devant le Tribunal fédéral, seront mis, dans chaque cas, à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF). Il sera tenu compte du fait que l'enjeu était plus important dans le cas du recours interjeté par le patient (il réclamait en capital 312'498 fr.15 au lieu de 67'370 fr.55, tandis que les HUG, dans leur recours, ne demandaient que la suppression de la condamnation à payer en capital 67'370 fr.55).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Sur le recours 4A_329/2012:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge des recourants.
3. Les recourants verseront à l'intimé une indemnité de 5'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Sur le recours 4A_333/2012:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera aux intimés une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 4 décembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Piaget