Faits:
A. C._ a travaillé en dernier lieu comme jardinier et chauffeur auprès de particuliers dans le canton de Genève, jusqu'en 1998. Invoquant souffrir de douleurs lombaires et cervicales, de thromboses dans les deux jambes et d'une fibromyalgie, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 22 septembre 1999. Entre autres mesures d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a chargé le Centre d'observation médical de l'assurance-invalidité (COMAI) d'une expertise rhumatologique et psychiatrique, qui a été rendue le 8 octobre 2002 par les docteurs P._ et S._. Ceux-ci ont conclu que la capacité de travail de l'assuré dans toute activité était limitée à 30 %, essentiellement en raison d'un syndrome somatoforme douloureux persistant et d'un état dépressif et anxieux. L'office AI a ensuite confié une expertise au docteur E._, psychiatre et psychothérapeute. Diagnostiquant un état dépressif majeur chronique de gravité légère et un trouble hystérique polysymptomatique à minima (trouble somatoforme indifférencié) chez une personnalité immature à fonctionnement passif-dépendant, le médecin a retenu que la capacité de travail résiduelle de l'intéressé était de 50 % dans toute activité professionnelle adaptée à ses compétences, sa motivation et ses éventuelles limitations somatiques, depuis la fin de l'année 2002 (rapport du 27 août 2004). Fort de ces conclusions, l'office AI a rendu une décision le 23 novembre 2004 - qu'il a confirmée sur opposition de l'assuré le 26 mars 2007 -, par laquelle il a mis C._ au bénéfice d'une rente entière d'invalidité du 1er septembre 1999 au 31 décembre 2002, puis d'une demi-rente à partir du 1er janvier 2003.
B. L'assuré a déféré la décision sur opposition du 26 mars 2007 au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève. Après avoir entendu les docteurs T._ et K._, médecins traitants, de même que les docteurs P._ et E._, le Tribunal a admis le recours et reconnu le droit de l'intéressé à une rente entière dès le 1er janvier 2003 (jugement du 21 janvier 2010).
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision sur opposition du 26 mars 2007.
C._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales en préavise l'admission.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit de l'intimé au maintien de sa rente entière d'invalidité au-delà du 31 décembre 2002, telle qu'accordée par la juridiction cantonale, en lieu et place de la demi-rente que lui a allouée l'office recourant dès cette date. A cet égard, le jugement attaqué expose correctement les règles légales et la jurisprudence qui sont applicables en l'espèce, si bien qu'il suffit d'y renvoyer.
2. Reprochant à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves, le recourant critique les motifs pour lesquels elle a écarté l'expertise du docteur E._ et privilégié les avis des docteurs T._ et K._ relatifs à une incapacité totale de travail depuis le 1er janvier 2003, et admis en conséquence le droit à une rente entière depuis cette date.
2.1 Lorsque le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est limité, le recourant ne peut critiquer les constatations de faits que si ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou encore lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des conclusions insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9). L'appréciation des preuves doit être arbitraire non seulement en ce qui concerne les motifs évoqués par la juridiction cantonale pour écarter un moyen de preuve, mais également dans son résultat. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle retenue par l'autorité précédente pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable (cf. ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 sv.; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148).
2.2 Pour constater que l'état de santé de l'assuré ne s'était pas amélioré depuis le 1er janvier 2003 et, implicitement, qu'il ne disposait pas d'une capacité de travail supérieure à 30 % dans quelque activité que ce soit, les premiers juges se sont appuyés sur l'expertise du COMAI, à laquelle ils ont accordé pleine valeur probante, ainsi que sur les déterminations des médecins traitants. Ils ont en revanche écarté l'avis du docteur E._ au motif que la précision apportée par le psychiatre lors de son audition le 2 avril 2009 quant à la gravité de l'état dépressif majeur chronique mettait en doute la valeur probante de son rapport d'expertise, qui n'avait du reste pas pris en compte les douleurs physiques de l'intimé.
Le motif invoqué par l'autorité cantonale de recours pour nier la valeur probante du rapport du docteur E._ est en l'espèce arbitraire. Le psychiatre a effectivement précisé le 2 avril 2009 que l'état dépressif majeur chronique de gravité légère (diagnostiqué dans son rapport) était en réalité de gravité légère à moyenne. Ce niveau de sévérité de l'état dépressif ressortait cependant déjà de son expertise du 27 août 2004. Dans la partie "Discussion" de son rapport, le docteur E._ avait indiqué que l'assuré présentait "une symptomatologie dépressive relativement modeste compatible avec un état dépressif majeur de gravité légère à moyenne, chronique tout au plus", tandis qu'au titre de diagnostic figurait un "état dépressif majeur chronique de gravité légère". La précision apportée par l'expert lors de son audition en procédure cantonale visait dès lors à lever toute incertitude relative à son appréciation du niveau de sévérité de l'état dépressif majeur diagnostiqué, sans qu'on puisse y voir, à elle seule, une raison de mettre en doute la valeur probante du rapport médical. Quant à la considération de la juridiction cantonale relative à "l'orientation" exclusivement psychiatrique de l'évaluation du docteur E._ pour écarter celle-ci, elle est également insoutenable. Le médecin avait en effet été mandaté par le recourant pour donner une appréciation de l'état de santé de l'intimé sur le plan psychiatrique uniquement, sa mission d'expert-psychiatre étant précisément de mettre ses connaissances spécialisées au service de l'administration ou des tribunaux. On voit dès lors mal comment on pourrait lui reprocher d'avoir limité son évaluation à des investigations sur le plan psychiatrique sans avoir abordé les aspects somatiques.
2.3 En conséquence, c'est à tort que la juridiction cantonale a écarté comme moyen de preuve l'expertise du 27 août 2004, qui répond au demeurant aux exigences relatives à la valeur probante d'un rapport médical. Encore faut-il, pour qualifier d'arbitraire l'appréciation des preuves à laquelle ont procédé les premiers juges, que celle-ci le soit également dans son résultat (consid. 2.1 supra), ce qui reste à examiner.
2.3.1 Les diagnostics posés par le docteur E._ dans son rapport du 27 août 2004 se recoupent dans une large mesure avec les troubles psychiques mis en évidence par les docteurs P._ et S._ et qui entraînaient à eux seuls, selon les médecins du COMAI, une limitation de la capacité de travail. Le docteur E._ s'est toutefois éloigné de l'avis de ses confrères quant à l'influence de ces atteintes sur la capacité de travail, puisqu'il a fait état d'un taux de 50 % dans toute activité, alors que les médecins du COMAI avaient conclu à une capacité de travail de 30 %. Il a en effet mis en évidence une amélioration de la symptomatologie dépressive depuis le début de l'année 2003, par rapport à la situation qui prévalait au moment de l'expertise du COMAI. Son appréciation plus optimiste de la capacité de travail de l'intimé apparaît dès lors convaincante.
Cette évaluation n'est, par ailleurs, pas sérieusement mise en doute par celle du psychiatre traitant de l'assuré. On rappellera sur ce point que compte tenu de la divergence consacrée par la jurisprudence entre un mandat thérapeutique et un mandat d'expertise (cf. ATF 124 I 170 consid. 4 p. 175; I 514/06 du 25 mai 2007 consid. 2.2.1, in SVR 2008 IV n° 15 p. 43), on ne saurait remettre en cause une expertise ordonnée par l'administration ou le juge et procéder à de nouvelles investigations du seul fait qu'un ou plusieurs médecins traitants ont une opinion contradictoire. Il n'en va différemment que si ces médecins font état d'éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l'expertise et qui sont suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions de l'expert (ATF 125 V 352 consid. 3b/bb p. 353). Tel n'est pas le cas en l'occurrence: en indiquant, près de trois ans après l'expertise du docteur E._, que l'évaluation du tableau clinique de celui-ci lui paraissait correcte, mais, qu'il "pouvai[t] avoir des doutes sur ses conclusions" et en estimant pour sa part que le taux d'incapacité de travail de son patient en juillet 2004 se situait entre 50 à 100 % (avis du 6 septembre 2007), le docteur T._ a procédé à sa propre appréciation de l'incapacité de travail, sans mettre en évidence des lacunes dans l'évaluation de l'expert mandaté par l'administration. Par ailleurs, le fait qu'il a attesté lors de son audition le 12 décembre 2008, que son patient était "en état actuel (...) en incapacité de travail à 100 % et (...) qu'il ne retrouvera plus une quelconque capacité de travail" se rapporte à une période postérieure à la date du prononcé de la décision sur opposition et n'est dès lors pas pertinent pour apprécier la situation de l'intimé cinq ans auparavant.
2.3.2 Pour la période postérieure, qui s'étend, en ce qui concerne le cadre temporel déterminant, jusqu'au prononcé de la décision sur opposition le 26 mars 2007, l'assuré a fait valoir une aggravation de son état de santé en cours de procédure (courrier du 27 février 2006 à l'office AI), en mentionnant être hospitalisé depuis le 16 janvier 2006. Dans le rapport médical relatif au séjour hospitalier, il est fait état d'une péjoration des troubles physiques et psychiques de l'assuré avant son entrée et d'une évolution favorable sur le plan de la thymie durant le séjour (rapport du Département de psychiatrie de l'Hôpital X._ du 3 mars 2006). Appelé à évaluer la situation à cette époque, le docteur U._ du Service médical régional AI, Suisse romande (SMR) a indiqué que la situation de l'assuré s'était aggravée de façon passagère, avec une hospitalisation volontaire en mars 2006, sans que l'exigibilité médicale globale d'une reprise de travail à 50 % en soit modifiée (avis du 14 août 2006). Par rapport à cette période, le docteur T._ a mentionné avoir été consulté par l'assuré en juillet 2004, date à partir de laquelle une psychothérapie de soutien avait été mise en place; le traitement s'était interrompu en juillet 2006 et le patient n'avait repris contact avec lui qu'en juin 2007 (avis du 6 septembre 2007). Au moment de se prononcer, en automne 2007, le médecin considérait que l'état de santé psychique s'était péjoré au vu de l'évolution vers la chronicité, du renforcement du patient de son identité de malade et de l'accentuation des comportements de dépendance.
Au regard de ces considérations médicales, il apparaît qu'une péjoration de l'état de santé psychique du recourant et une éventuelle incidence négative de celle-ci sur la capacité résiduelle de travail du recourant depuis l'évaluation du docteur E._ ne sont pas avérées pour la période ici déterminante. L'avis du SMR ne met en évidence qu'une aggravation passagère en 2006, tandis que l'appréciation du docteur T._ fait état d'une aggravation survenue en septembre 2007. De tels faits sortent dès lors du cadre temporel du présent litige et devraient, le cas échéant, faire l'objet d'une nouvelle appréciation et décision de la part du recourant. Il convient en conséquence de s'en tenir à l'appréciation du docteur E._ en ce qui concerne la capacité de travail de l'intimé sur le plan psychique pour la période courant dès la fin de l'année 2002 au 26 mars 2007.
2.3.3 Il reste à examiner si le taux d'incapacité de travail de 50 % ainsi constaté doit être modifié en fonction des atteintes physiques dont souffre l'intimé. Sur ce point, les constatations lacunaires du jugement entrepris, qui ne contient aucun élément de fait sur l'état de santé somatique en dehors de l'évocation de "douleurs physiques notamment les insuffisances veineuses et l'apnée du sommeil" doivent être complétées d'office (art. 105 al. 2 LTF en relation avec l'art. 97 al. 1 LTF). Il ressort tout d'abord de l'expertise du COMAI que l'assuré présentait des troubles statiques modérés du rachis, une anomalie transitionnelle de la charnière lombo-sacrée, des troubles dégénératifs du rachis cervical et lombaire sous forme de discopathies, une insuffisance veineuse des membres inférieurs, status après thrombose veineuse profonde du membre inférieur droit et un status après ulcère digestif. Les docteurs P._ et S._ ont posé ces diagnostics en précisant cependant qu'ils n'avaient pas d'influence essentielle sur la capacité de travail et conclu que le facteur limitant la capacité de travail à 30 % était le syndrome douloureux et l'état anxieux, soit essentiellement la symptomatologie psychiatrique. Ces conclusions ne sont remises en cause par aucune pièce médicale postérieure au dossier. Seul le docteur K._, médecin traitant, a indiqué devant la juridiction cantonale que "les thromboses à répétition provoquent des séquelles importantes". A défaut cependant d'expliquer la nature de celles-ci dans le cas concret et, surtout, de mettre en évidence des éléments nouveaux dont les experts du COMAI n'auraient pas tenu compte, les déclarations du médecin traitant ne sont pas susceptibles de mettre en doute l'appréciation de ses confrères P._ et S._, du moins pour la période déterminante.
Le rapport d'hospitalisation du 3 mars 2006 fait ensuite état, outre des diagnostics déjà mentionnés, d'un syndrome d'apnées du sommeil qui devait faire l'objet d'investigations supplémentaires. Celles-ci ont mis en évidence un syndrome d'apnée centrale du sommeil, probablement dû à un traitement d'opiacés, pour lequel une oxygénothérapie nocturne a été mise en place depuis novembre 2006 permettant une correction du syndrome (rapports du Service de pneumologie de l'Hôpital X._ des 7 et 10 novembre 2008). Au regard des rapports médicaux portant sur cette problématique, on ne peut pas retenir une limitation de la capacité résiduelle de travail en résultant pour la période ici déterminante, dès lors qu'aucun de ces avis ne fait état d'une telle limitation pour le laps de temps envisagé. Les déclarations d'ordre général du docteur K._ à ce sujet (procès-verbal d'enquêtes du 2 avril 2009), selon lesquelles l'apnée du sommeil entraîne une importante fatigue le matin et peut engendrer des troubles cardio-vasculaires graves, ne sont pas non plus suffisantes pour établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, une restriction de la capacité de travail de son patient.
En conséquence, il n'y a pas lieu de retenir une incapacité de travail supérieure à 50 % en raison d'atteintes physiques pour la période courant de fin 2002 au 27 mars 2007.
2.4 Il résulte de ce qui précède que le résultat de l'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale en admettant l'absence d'amélioration de l'état de santé depuis le 1er janvier 2003 (et, implicitement, une capacité de travail d'au moins 30 % [au lieu de 50 %]) est arbitraire et ne saurait dès lors être suivi. Le jugement entrepris doit donc être annulé en tant qu'il alloue à l'intimé une rente supérieure à une demi-rente à partir du 1er janvier 2003. Le recours est, partant, bien fondé.
3. Vu l'issue de la procédure, l'intimé supportera les frais de justice y afférents, ainsi que ses propres dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 21 janvier 2010 est annulé en tant qu'il alloue à l'intimé une rente d'invalidité supérieure à une demi-rente à partir du 1er janvier 2003.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 novembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless