Sachverhalt:
X._ erhob am 11. Januar 2012 unter anderem gegen Y._, Regierungsrätin des Kantons Zürich, Strafanzeige wegen Amtsmissbrauchs und weiterer Straftatbestände. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich überwies die Sache an die Geschäftsleitung des Kantonsrats Zürich zum Entscheid über die Erteilung bzw. Nichterteilung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen Y._. Mit Beschluss vom 14. Juni 2012 erteilte die Geschäftsleitung des Kantonsrats der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafuntersuchung gegen Y._ nicht. Gegen den Beschluss der Geschäftsleitung des Kantonsrats hat X._ Beschwerde ans Bundesgericht erhoben (Postaufgabe am 23. Juli 2012). Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und sinngemäss, der Staatsanwaltschaft sei die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu erteilen. Die Beschwerdegegnerin, die Vorinstanz und die Oberstaatsanwaltschaft haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer stellt ein Ausstandsbegehren gegen mehrere Bundesrichter sowie einen Gerichtsschreiber des Bundesgerichts. Er begründet das Ausstandsbegehren allein mit dem Hinweis auf die Mitwirkung dieser Personen an ihn betreffenden früheren Entscheiden. Richtern und Gerichtsschreibern kann indessen die Unabhängigkeit nicht abgesprochen werden, nur weil sie in früheren Verfahren mitgewirkt haben, an denen der Beschwerdeführer beteiligt war (vgl. Art. 34 Abs. 2 BGG). Das Vorbringen des Beschwerdeführers vermag den Ausstand von vornherein nicht zu begründen, weshalb kein Ausstandsverfahren nach Art. 37 BGG durchgeführt zu werden braucht. Auf das gestellte Ausstandsbegehren ist vielmehr nicht einzutreten (BGE 129 III 445 E. 4.2.2 S. 464; 114 Ia 278 E. 1 S. 279).
2. 2.1 Beim angefochtenen Entscheid, mit dem die Ermächtigung zur Strafuntersuchung gegen die Beschwerdegegnerin nicht erteilt worden ist, handelt es sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. BGE 137 IV 269 E. 1.3.1 S. 272). Da die Beschwerdegegnerin als Regierungsrätin der obersten kantonalen Vollziehungsbehörde angehört, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen (vgl. Art. 83 lit. e BGG sowie BGE 137 IV 269 E. 1.3.2 S. 272 f.). Gegen den angefochtenen Entscheid steht indessen grundsätzlich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) offen (vgl. BGE 135 I 113 E. 1 S. 115 ff.).
2.2 Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Nach Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist. Insoweit besteht eine qualifizierte Begründungspflicht. Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein sollen. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und - soweit möglich - belegte Rügen. Auf appellatorische Kritik tritt es nicht ein.
2.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe ihm die Akteneinsicht verweigert. Damit rügt er eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV. Zu dieser Rüge ist er berechtigt (vgl. Art. 115 BGG; BGE 133 I 185 E. 6.2 S. 198 f.), sodass insoweit auf die Beschwerde einzutreten ist. Darüber hinaus rügt und begründet der Beschwerdeführer indessen nicht in genügender Weise, inwiefern die Vorinstanz mit dem angefochtenen Entscheid verfassungsmässige Rechte verletzt haben soll. Soweit seine weiteren Ausführungen überhaupt den angefochtenen Entscheid betreffen, ist darauf mangels genügend begründeter Rügen nicht einzutreten.
3. 3.1 Das Akteneinsichtsrecht bildet Bestandteil des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Damit die von einem Entscheid betroffene Person zu den wesentlichen Punkten Stellung nehmen kann, bevor der Entscheid gefällt wird, muss sie vorweg auch in die massgeblichen Akten Einsicht nehmen können (BGE 132 II 485 E. 3.2 S. 494). Das Akteneinsichtsrecht bezieht sich grundsätzlich auf sämtliche verfahrensbezogenen Akten (BGE 125 II 473 E. 4a S. 474 f. mit Hinweisen). Damit die Beteiligten die Möglichkeit haben, ein Akteneinsichtsgesuch zu stellen, müssen sie über den Beizug neuer entscheidwesentlicher Akten informiert werden. Dies gilt jedenfalls für Akten, welche sie nicht kennen und auch nicht kennen können (Urteil 1C_88/2011 vom 15. Juni 2011 E. 3.4; BGE 132 V 387 E. 6.2 S. 391 mit Hinweisen).
3.2 Den von der Vorinstanz eingereichten Akten ist zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer am 2. April 2012 bei der Vorinstanz ein Gesuch um Einsicht in die Akten des bei der Vorinstanz hängigen Verfahrens gestellt hat. Der Leiter der Parlamentsdienste des Kantonsrats bot dem Beschwerdeführer mit Schreiben vom 3. April 2012 an, die Akten gegen telefonische Voranmeldung persönlich vor Ort einzusehen. Nachdem der Beschwerdeführer mit einem Mitarbeiter der Parlamentsdienste als Termin für die Akteneinsicht den Vormittag des 23. April 2012 vereinbart hatte, teilte ihm der Leiter der Parlamentsdienste mit Schreiben vom 18. April 2012 mit, dass am Vormittag des 23. April 2012 infolge Abwesenheit seiner Person keine Akteneinsicht gewährt werden könne. Der Beschwerdeführer werde gebeten, sich stattdessen am 23. April 2012 um 14.30 Uhr vor Ort zu melden oder mit dem Leiter der Parlamentsdienste telefonisch einen anderen Termin zu vereinbaren.
Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, er sei von der Vorinstanz über den Beizug massgeblicher Akten nicht informiert worden. Er bringt aber vor, als er am 23. April 2012 am Vormittag zur telefonisch vereinbarten Akteneinsicht vor Ort erschienen sei, sei ihm mitgeteilt worden, diese könne erst um 14.30 Uhr gewährt werden. Ihm sei anlässlich seines Erscheinens vor Ort von einer Mitarbeiterin das Schreiben vom 18. April 2012 gezeigt worden, das er vorher allerdings nicht erhalten habe.
3.3 Dem Beschwerdeführer wurde von der Vorinstanz nach dem Gesagten die Gelegenheit gegeben, am 23. April 2012 um 14.30 Uhr persönlich vor Ort Einsicht in die Verfahrensakten zu nehmen, wovon er aber offenbar nicht Gebrauch gemacht hat. Dass ihm das Schreiben des Leiters der Parlamentsdienste vom 18. April 2012 betreffend Terminverschiebung vom Vormittag auf den Nachmittag zugestellt worden ist und er dieses vor dem 23. April 2012 erhalten hat, kann zwar nicht nachgewiesen werden. Wie der Beschwerdeführer aber selber erklärt, wurde ihm das betreffende Schreiben am Vormittag des 23. Aprils 2012 vor Ort zur Kenntnis gebracht. Für den Fall, dass ihm die Einsichtnahme in die Verfahrensakten vor Ort um 14.30 Uhr des gleichen Tags nicht möglich gewesen sein sollte, wusste er jedenfalls vom Angebot, mit dem Leiter der Parlamentsdienste telefonisch einen anderen Termin vereinbaren zu können.
Im Umstand, dass die Vorinstanz einmalig den für die Akteneinsicht vor Ort telefonisch vereinbarten Termin vom Vormittag auf den Nachmittag verschoben hat, und zwar verbunden mit dem Angebot, telefonisch einen anderen Termin vereinbaren zu können, kann offensichtlich keine Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf Akteneinsicht im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BV erblickt werden. Sollte dem Beschwerdeführer die Einsichtnahme in die Verfahrensakten vor Ort am 23. April 2012 um 14.30 Uhr nicht möglich gewesen sein, wäre es an ihm gelegen, sich zwecks Vereinbarung eines neuen Termins erneut an die Vorinstanz zu wenden.
4. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet. Sie ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer hat um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege inklusive unentgeltlicher Verbeiständung ersucht. Darüber kann unter den gegebenen Umständen mit dem vorliegenden Urteil entschieden werden (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2). Die unentgeltliche Rechtspflege kann gewährt werden, wenn der Beschwerdeführer nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Beschwerdesache nicht aussichtslos ist (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung setzt überdies voraus, dass der Beschwerdeführer auf einen Rechtsbeistand angewiesen ist (Art. 64 Abs. 2 BGG). Die vorstehenden Erwägungen zeigen, dass die Beschwerde aussichtslos war. Demnach ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen. Es rechtfertigt sich indes, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und der Geschäftsleitung des Kantonsrates des Eidgenössischen Standes Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Mattle