Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 11. Oktober 2002 stellte die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt S._ wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit ab 1. Juli 2002 für die Dauer von 15 Tagen in der Anspruchsberechtigung ein.
A. Mit Verfügung vom 11. Oktober 2002 stellte die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt S._ wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit ab 1. Juli 2002 für die Dauer von 15 Tagen in der Anspruchsberechtigung ein.
B. Nachdem S._ hiegegen Beschwerde erhoben hatte, führte das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt am 22. Mai 2003 eine Verhandlung mit Befragung mehrerer Angestellter der früheren Arbeitgeberfirma als Zeugen durch. Dabei gelangte der Mitarbeiter der die Arbeitslosenkasse vertretenden kantonalen Amtsstelle für Arbeitslosenversicherung Basel-Stadt zum Schluss, dass die Beschwerde des Versicherten gutzuheissen sei, und stellte in diesem Sinne Antrag. Dem entsprach das kantonale Gericht, indem es die Einstellungsverfügung vom 11. Oktober 2002 in Gutheissung der dagegen gerichteten Beschwerde mit Entscheid vom 22. Mai 2003 aufhob.
B. Nachdem S._ hiegegen Beschwerde erhoben hatte, führte das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt am 22. Mai 2003 eine Verhandlung mit Befragung mehrerer Angestellter der früheren Arbeitgeberfirma als Zeugen durch. Dabei gelangte der Mitarbeiter der die Arbeitslosenkasse vertretenden kantonalen Amtsstelle für Arbeitslosenversicherung Basel-Stadt zum Schluss, dass die Beschwerde des Versicherten gutzuheissen sei, und stellte in diesem Sinne Antrag. Dem entsprach das kantonale Gericht, indem es die Einstellungsverfügung vom 11. Oktober 2002 in Gutheissung der dagegen gerichteten Beschwerde mit Entscheid vom 22. Mai 2003 aufhob.
C. Die Arbeitslosenkasse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Begehren um Aufhebung des kantonalen Entscheids und Bestätigung ihrer Einstellungsverfügung vom 11. Oktober 2002.
S._ schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Staatssektretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Das kantonale Gericht wirft in seiner Stellungnahme vom 29. August 2003 die Frage auf, ob der Arbeitslosenkasse ein schutzwürdiges Interesse an der Beschwerdeführung zugestanden werden kann, nachdem sie anlässlich der am 22. Mai 2003 durchgeführten Hauptverhandlung selbst die Gutheissung der Beschwerde des Versicherten beantragt hat. Mit Eingabe vom 14. Oktober 2003 äussert sich die Arbeitslosenkasse zu der von der Vorinstanz aufgegriffenen Thematik.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Nach der Rechtsprechung ist es - ausser im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels, für dessen nur ausnahmsweise angezeigte Anordnung (Art. 110 Abs. 4 OG) vorliegend kein Anlass besteht - grundsätzlich nicht zulässig, nach Ablauf der Rechtsmittelfrist weitere Rechtsschriften und Unterlagen einzureichen, es sei denn, diese beinhalteten neue erhebliche Tatsachen oder entscheidende Beweismittel im Sinne von Art. 137 lit. b OG und wären als solche geeignet, eine spätere Revision des Gerichtsurteils zu begründen (BGE 127 V 353). Auf die Stellungnahme der Beschwerde führenden Arbeitslosenkasse vom 14. Oktober 2003 trifft dies nicht zu, weshalb sie unbeachtlich bleiben muss.
1. Nach der Rechtsprechung ist es - ausser im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels, für dessen nur ausnahmsweise angezeigte Anordnung (Art. 110 Abs. 4 OG) vorliegend kein Anlass besteht - grundsätzlich nicht zulässig, nach Ablauf der Rechtsmittelfrist weitere Rechtsschriften und Unterlagen einzureichen, es sei denn, diese beinhalteten neue erhebliche Tatsachen oder entscheidende Beweismittel im Sinne von Art. 137 lit. b OG und wären als solche geeignet, eine spätere Revision des Gerichtsurteils zu begründen (BGE 127 V 353). Auf die Stellungnahme der Beschwerde führenden Arbeitslosenkasse vom 14. Oktober 2003 trifft dies nicht zu, weshalb sie unbeachtlich bleiben muss.
2. An der von der Vorinstanz angesetzten Hauptverhandlung vom 22. Mai 2003 wurde seitens der Arbeitslosenkasse der Antrag auf Gutheissung der vom Versicherten erhobenen Beschwerde gestellt. Diesem hat das kantonale Gericht in seinem nunmehr angefochtenen Entscheid entsprochen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht stellt sich zunächst die von Amtes wegen zu prüfende Eintretensfrage, ob der Arbeitslosenkasse unter diesen Umständen nicht mangels formeller Beschwer die Befugnis zur Erhebung einer Verwaltungsgerichtsbeschwerde abzusprechen ist.
2.1 Nach Art. 103 lit. a OG ist zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde berechtigt, wer durch die angefochtene Verfügung berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat. Eine damit inhaltlich übereinstimmende Regelung findet sich in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung von Art. 102 Abs. 1 AVIG und auch in dem seit 1. Januar 2003 in Kraft stehenden Art. 59 ATSG. Weiter ist nach Art. 103 lit. c OG zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde berechtigt jede andere Person, Organisation oder Behörde, die das Bundesrecht zur Beschwerde ermächtigt. Art. 102 Abs. 2 AVIG in der seit 1. Januar 2003 geltenden Fassung räumt den Arbeitslosenkassen wie schon der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesene Art. 102 Abs. 2 lit. b AVIG die Befugnis zur Beschwerde gegen Entscheide kantonaler Rekursinstanzen ein.
2.2 Nach der Rechtsprechung ist die Beschwerdelegitimation gemäss Art. 103 lit. c OG nicht davon abhängig, dass die betreffende Person oder Institution sich über ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung der Verfügung ausweisen kann (BGE 106 V 141 Erw. 1a mit Hinweisen). Sachurteilsvoraussetzung bildet jedoch auch im Rahmen von Art. 103 lit. c OG, dass die beschwerdelegitimierte Person oder Institution durch den angefochtenen Entscheid beschwert ist. Dabei ist zu unterscheiden zwischen der formellen Beschwer (Beteiligung im vorinstanzlichen Verfahren) und der materiellen Beschwer, welche voraussetzt, dass die Partei im vorinstanzlichen Verfahren mit ihren Rechtsbegehren nicht oder nur teilweise durchgedrungen ist (SVR 2002 IV Nr. 40 S. 125 f. Erw. 2 mit Hinweis auf Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl., Bern 1983, S. 150 und 155; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl., Zürich 1998, S. 195 Rz 541 f.).
2.3 Letzteres trifft vorliegend nicht zu, hat doch der Vertreter der Arbeitslosenkasse anlässlich der vorinstanzlichen Hauptverhandlung vom 22. Mai 2003 ausdrücklich die Gutheissung der Beschwerde beantragt. Da diesem Begehren im kantonalen Verfahren vollumfänglich entsprochen worden ist, kommt der Arbeitslosenkasse, wie die Vorinstanz in ihrer Stellungnahme vom 29. August 2003 zu Recht einwendet, keine Berechtigung zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu.
2.3 Letzteres trifft vorliegend nicht zu, hat doch der Vertreter der Arbeitslosenkasse anlässlich der vorinstanzlichen Hauptverhandlung vom 22. Mai 2003 ausdrücklich die Gutheissung der Beschwerde beantragt. Da diesem Begehren im kantonalen Verfahren vollumfänglich entsprochen worden ist, kommt der Arbeitslosenkasse, wie die Vorinstanz in ihrer Stellungnahme vom 29. August 2003 zu Recht einwendet, keine Berechtigung zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu.
3. Dem Prozessausgang entsprechend steht dem anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu (Art. 159 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG).
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt hat dem Beschwerdegegner für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt hat dem Beschwerdegegner für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 1500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, dem Kantonalen Amt für Industrie, Gewerbe und Arbeit Basel-Stadt und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 23. Januar 2004
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer: Der Gerichtsschreiber: