Faits:
A. X._ est un coureur cycliste professionnel licencié de l'Union cycliste internationale; il est citoyen belge et domicilié à Monaco. Z._ Management SA, à Genève, se consacre notamment à la gestion d'une équipe cycliste internationale dénommée Z._.
B. Le 19 octobre 2008, X._ et Z._ Management SA ont conclu un accord intitulé « contrat de travail standard » par lequel celui-là s'engageait dans l'équipe de celle-ci, en qualité de coureur, du 1er janvier 2009 au 31 décembre 2010. Le salaire annuel était fixé à 385'000 euros.
En cas de suspension du coureur selon les règles de l'Union cycliste internationale, le versement du salaire se poursuivrait durant un mois et il serait ensuite, lui aussi, suspendu.
L'employeuse devait permettre au coureur d'accomplir son activité de manière adéquate, en lui fournissant l'habillement et l'équipement nécessaires et en l'autorisant à participer à un nombre de courses suffisant, soit en qualité de membre de l'équipe, soit individuellement. Le coureur n'était pas autorisé à participer à une épreuve à titre individuel sans le consentement exprès de l'employeuse; celle-ci était néanmoins réputée avoir donné son consentement si elle ne répondait pas à une requête dans un délai de dix jours.
Le coureur pouvait résilier le contrat sans préavis en cas de faute grave de l'employeuse. La faute grave incluait le refus de permettre au coureur, nonobstant ses demandes répétées, de participer à des compétitions durant une période continue de six semaines, ou durant quatre périodes continues de sept jours chacune pendant lesquelles au moins une course d'une journée figurait au calendrier international. Si nécessaire, l'employeuse devait prouver que le coureur ne se trouvait pas en état de prendre part à une course.
L'employeuse pouvait elle aussi résilier le contrat, sans préavis, en cas de faute grave du coureur ou de suspension, selon les règles de l'Union cycliste, pour la durée restante de l'engagement. La faute grave incluait le refus de prendre part à des courses nonobstant les demandes répétées de l'employeuse; le cas échéant, il incombait au coureur de prouver qu'il ne se trouvait pas en état de participer à une course.
Le contrat était soumis au droit suisse et à la juridiction des tribunaux de prud'hommes du canton de Genève.
C. Le contrat de travail faisait référence à un contrat de licence (« image right licence agreement »), conclu simultanément entre les mêmes parties pour avoir effet, lui aussi, du 1er janvier 2009 au 31 décembre 2010. L'employeuse et preneuse de licence obtenait le droit exclusif d'exploiter le nom et l'image du coureur dans le cadre de manifestations publicitaires, pour des produits ou marques de ses propres clients, en contrepartie d'une redevance annuelle fixée à 165'000 euros et payable par tranches trimestrielles.
Le contrat de licence était également soumis au droit suisse mais en cas de litige, les parties prévoyaient un arbitrage à mettre en oeuvre selon les règles de la Chambre de commerce internationale; le siège de cet arbitrage se trouverait à Genève.
D. Le 28 avril 2009, l'employeuse a adressé un courrier aux coureurs de Z._ pour les remercier des bons résultats et des victoires obtenus au cours de la première partie de la saison; elle mentionnait notamment les victoires de X._.
Le 11 mai suivant, toutefois, l'employeuse a signifié un avertissement formel à X._ par suite de manque de résultats, rendement insuffisant, condition physique défaillante et blessures non signalées. Elle décidait de ne pas verser la première tranche trimestrielle de la redevance prévue par le contrat de licence. X._ a répondu trois semaines plus tard pour contester ces reproches et expliquer qu'il avait entrepris tous ses efforts pour remédier à ses problèmes de santé.
Dans l'intervalle, le 14 mai 2009, l'employeuse a invité X._ à souscrire deux documents qui étaient des avenants au contrat de travail et à celui de licence. Les obligations contractuelles seraient suspendues avec effet immédiat en cas de résultat positif à un test de dopage, ou de violation des règles de l'Union cycliste sur la lutte contre le dopage; en pareil cas, le coureur s'obligeait aussi à payer une indemnité égale à cinq fois les rémunération et redevance annuelles convenues, et l'employeuse se réservait encore des dommages-intérêts. En dépit de l'insistance opiniâtre de l'employeuse, X._ s'est refusé à signer ces documents. Il a fait valoir que les règles de l'Union cycliste prévoyaient déjà une pénalité égale à un an de salaire, ce qui lui paraissait suffisant.
L'employeuse a ouvert une « procédure interne » contre ce coureur, consécutive à son refus de participer à sa politique de lutte contre le dopage; il en résultait que celui-ci, jusqu'à nouvel avis, ne serait plus inscrit à aucune course sous le maillot Z._. L'employeuse a confirmé cette mesure, à l'intention du coureur, le 23 juin 2009.
Peu avant, ce dernier avait reçu le programme des courses pour les deux prochains mois, où son nom n'apparaissait pas. Le 22 juin, alors que la mesure précitée ne lui était pas encore communiquée, il a signalé ce qui lui semblait être une erreur. Le 1er juillet, il a réécrit pour demander de participer aux courses prévues au programme. Le 16 juillet, il a exigé de l'employeuse qu'elle levât la mesure de suspension prise contre lui et qu'elle versât les sommes contractuellement promises. Le 17, il a fait savoir qu'il ne pouvait pas donner suite à une convocation de l'employeuse qui voulait l'entendre le 20 juillet à Genève; il demandait une autre entrevue et, derechef, la levée de la suspension et le versement des sommes exigibles.
Le 5 août 2009, par l'entremise de son conseil, le coureur a résilié le contrat de travail avec effet immédiat et il a annoncé des prétentions pécuniaires. Le 13 août, il a aussi résilié le contrat de licence.
L'employeuse avait alors versé 160'300,28 euros à titre de salaire pour les mois de janvier à mai 2009.
E. Le 16 octobre 2009, X._ a ouvert action contre Z._ Management SA devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. Le tribunal était requis de constater la résiliation avec effet immédiat du contrat de travail et du contrat de licence, et de condamner la défenderesse au paiement de 980'699,72 euros.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action; elle a présenté des conclusions reconventionnelles tendant au paiement de 668'437,50 euros avec intérêts au taux de 5% par an dès le 5 août 2009.
Le demandeur a conclu au rejet de l'action reconventionnelle.
Le tribunal s'est prononcé le 21 mai 2010. Il a jugé que les conclusions tendant à une constatation étaient irrecevables; pour le surplus, accueillant partiellement l'action principale, il a condamné la défenderesse à payer 739'583,50 euros plus intérêts au taux de 5% par an dès le 6 août 2009. Le tribunal a rejeté l'action reconventionnelle.
La Cour d'appel a statué le 22 décembre 2010 sur l'appel de la défenderesse. Elle a déclaré la demande irrecevable, faute de compétence de la juridiction des prud'hommes, en tant qu'elle portait sur une prétention de 330'000 euros, en capital, admise par les premiers juges et fondée sur le contrat de licence; pour le surplus, la Cour a rejeté l'appel et condamné la défenderesse à payer 409'583,50 euros avec intérêts au taux de 5% par an dès le 6 août 2009.
F. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour d'appel, de confirmer la compétence de la juridiction prud'homale sur toutes les pré-tentions en cause et de confirmer le jugement du 21 mai 2010.
La défenderesse conclut au rejet du recours.
Agissant elle aussi par la voie du recours en matière civile, la défenderesse requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour d'appel en ce sens que l'action du demandeur soit entièrement rejetée.
Le demandeur conclut au rejet de ce recours, dans la mesure où il est recevable.
Considérant en droit:
1. Dirigés contre la même décision, les deux recours sont étroitement connexes et il se justifie donc de joindre les causes.
2. Les recours sont dirigés contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Leurs auteurs ont pris part à l'instance précédente et succombé dans leurs conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF); les mémoires de recours ont été introduits en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et ils répondent aux exigences légales (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2). Il conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF).
3. Le recours du demandeur porte exclusivement sur la compétence de la juridiction prud'homale, déclinée par la Cour d'appel, pour connaître d'une prétention de 330'000 euros fondée sur le contrat de licence.
A teneur de l'art. 22 de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire du 22 novembre 1941 (aOJ gen.), demeurée en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010, le Tribunal de première instance connaissait en premier ou dernier ressort, selon la valeur litigieuse, de toutes les contestations en matière civile et commerciale, mobilière et immobilière. Sa compétence était toutefois exclue dans les causes qui ressortissaient au Tribunal de prud'hommes, selon la loi sur la juridiction des prud'hommes du 25 février 1999 (aLJP gen.); il s'agissait surtout, selon l'art. 1er al. 1 let. a aLJP gen., des contestations entre employeurs et salariés pour tout ce qui concernait leurs rapports découlant d'un contrat de travail, au sens du titre dixième du code des obligations. La législation genevoise actuelle, depuis le 1er janvier 2011, continue de délimiter ainsi les compétences respectives des juridictions ordinaire et prud'homale (art. 86 al. 1 OJ gen.; art. 1er al. 1 let. a LJP gen.).
L'art. 18 CO régit l'interprétation des déclarations et manifestations de volonté réciproques des cocontractants (cf. ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 412; 133 III 675 consid. 3.3 p. 681). Le demandeur s'y réfère pour soutenir que la Cour d'appel n'a pas élucidé correctement l'objet des contrats conclus le 19 octobre 2008. Il est vrai que l'application de l'art. 1er al. 1 let. a LJP gen. nécessite de qualifier la relation contractuelle des parties sur la base des règles de droit civil fédéral relatives au contrat de travail. Néanmoins, le droit fédéral n'impose pas aux cantons d'attribuer le contentieux du contrat de travail à une juridiction distincte de celles compétentes dans d'autres domaines, et depuis le 1er janvier 2011, leur liberté est consacrée par l'art. 4 al. 1 CPC; c'est pourquoi les compétences fonctionnelles respectives du Tribunal de première instance et du Tribunal de prud'hommes sont délimitées exclusivement par le droit cantonal, alors même que celui-ci incorpore une définition appartenant au droit fédéral; en conséquence, et pour autant qu'un tribunal soit accessible selon l'organisation judiciaire cantonale, une décision relative à la compétence, telle que celle présentement litigieuse, ne peut pas contrevenir à ce droit-ci (ATF 128 III 76 consid. 1a p. 80; 125 III 461 consid. 2 p. 463; 115 II 237 consid. 1c p. 241). En particulier, elle ne peut pas non plus contrevenir à l'art. 18 CO.
Le demandeur se réfère également à l'art. 5 de la loi fédérale sur le droit international privé (LDIP). Cette disposition concerne les conventions d'élection de for; elle permet aux cocontractants, selon les modalités qu'elle spécifie, de soumettre un différend à naître aux tribunaux compétents du lieu voulu par eux et désigné dans leur accord, mais pour le surplus, elle ne leur garantit pas la faculté de déroger aux prescriptions cantonales délimitant les compétences fonctionnelles des tribunaux accessibles au lieu choisi.
Le demandeur invoque encore l'art. 9 Cst. et se plaint d'une application arbitraire du droit cantonal. Il insiste sur la clause d'élection de for insérée dans le contrat de travail; il tente de démontrer que les deux contrats conclus le 19 octobre 2008, étroitement connexes, n'en sont en réalité qu'un seul, et que cette clause d'élection de for vise aussi les prétentions à élever sur la base du contrat de licence. Cette argumentation passe entièrement sous silence que ce contrat-ci prévoit un mode de règlement des litiges - un arbitrage international - excluant la compétence du Tribunal de prud'hommes, de sorte que le grief d'arbitraire apparaît d'emblée inconsistant. Le recours du demandeur se révèle mal fondé et il sera donc rejeté.
4. La défenderesse conteste que le demandeur se trouvât en droit, le 5 août 2009, de résilier le contrat de travail.
Les parties se sont liées par un contrat de travail de durée déterminée, soumis au droit suisse, qui devait se poursuivre jusqu'au 31 décembre 2010; ce contrat pouvait néanmoins, le cas échéant et en application de l'art. 337 al. 1 CO, être résilié sans délai pour de justes motifs.
D'après l'art. 337 al. 2 CO, on considère notamment comme de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail. Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués par la partie qui résilie doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave justifie le licenciement immédiat du travailleur ou l'abandon abrupt du poste par ce dernier. En cas de manquement moins grave, celui-ci ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement. Par manquement de l'une des parties, on entend en règle générale la violation d'une obligation imposée par le contrat mais d'autres faits peuvent aussi justifier une résiliation immédiate (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 31; 129 III 380 consid. 2.2 p. 382).
Le juge apprécie librement, selon les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC), si le congé abrupt répond à de justes motifs (art. 337 al. 3 CO). A cette fin, il prend en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position du travailleur, la nature et la durée des rapports contractuels, et la nature et l'importance des manquements (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32; 127 III 351 consid. 4a p. 354). Le Tribunal fédéral ne contrôle qu'avec réserve une décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque la décision s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; en outre, le Tribunal fédéral redresse les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32; 130 III 213 consid. 3.1 p. 220; 129 III 380 consid. 2 p. 382).
Dans sa décision, la Cour d'appel retient que les parties à un contrat de travail ont la faculté de définir conventionnellement certains justes motifs de résiliation immédiate. Cette affirmation doit être nuancée; en réalité, les cocontractants ne sont pas autorisés à restreindre le pouvoir d'appréciation que la loi confère au juge, et les motifs de résiliation conventionnels ont pour seule portée d'aider celui-ci à reconnaître, dans l'évaluation des circonstances, quelles étaient les attentes réciproques les plus importantes selon l'opinion commune des parties (arrêt 4C.149/2002 du 12 août 2002, consid. 1.1; Ullin Streiff et Adrian von Kaenel, Arbeitsvertrag, 6e éd., 2006, n° 26 ad art. 337 CO; Christiane Brunner et al., Commentaire du contrat de travail, 3e éd., 2004, n° 7 ad art. 337 CO; Manfred Rehbinder, in Commentaire bernois, 1992, n° 4 ad art. 337 CO; voir aussi Piermarco Zen-Ruffinen, Droit du sport, 2002, p, 214 n° 629). Il s'ensuit que les juges d'appel ne pouvaient pas se référer simplement, sans plus de discussion, au droit de résiliation qui était censément conféré au coureur cycliste, selon le contrat de travail de 19 octobre 2008, au cas où l'employeuse l'empêcherait de participer aux compétitions durant une période continue de six semaines. Il s'imposait plutôt d'examiner si la résiliation du 5 août 2009 répondait effectivement à un juste motif.
5. Dès mi-mai 2009, le demandeur a refusé la modification du contrat de travail demandée par l'employeuse, modification consistant à prévoir des sanctions conventionnelles en cas de dopage. Ces sanctions devaient s'ajouter à celles déjà prévues par les règles de l'Union cycliste internationale. Le refus de modifier le contrat ne pouvait évidemment pas être considéré comme une violation de ce même contrat, si louable que fût l'intention de la défenderesse de lutter énergiquement contre le dopage; le demandeur jouissait au contraire de la liberté contractuelle, qui inclut la liberté de ne pas contracter (ATF 129 III 35 consid. 6.1 p. 42), et il l'a exercée en n'acceptant pas l'avenant qui lui était proposé. On observe d'ailleurs que la peine conventionnelle envisagée - cinq années de salaire - était grossièrement exagérée et sujette à réduction selon l'art. 163 al. 3 CO.
En conséquence du refus qui lui était opposé, la défenderesse a établi et distribué un programme de courses, semble-t-il pour les mois de juillet et août 2009, où la participation du demandeur n'était pas prévue. La teneur de ce programme n'est pas constatée et le document n'a d'ailleurs pas été produit. Le 23 juin 2009, la défenderesse a confirmé au demandeur que jusqu'à nouvel avis, il ne serait plus inscrit à aucune course sous le maillot Z._. A plusieurs reprises, avant de déclarer la résiliation du contrat de travail le 5 août 2009, le demandeur a vainement exigé d'être réintégré dans l'équipe.
La défenderesse a ainsi exclu le demandeur des compétitions en équipe, pour une durée indéterminée qui était apparemment laissée à sa seule discrétion. Cette mesure n'était justifiée par aucun motif valable; en particulier, elle ne l'était pas par le refus du demandeur d'accepter des sanctions conventionnelles supplémentaires en cas de dopage. Il importe peu que les autres coureurs aient accepté, eux, des avenants identiques à ceux refusés par le demandeur. Il importe également peu que la défenderesse fût, selon ses affirmations, mécontente des prestations sportives du demandeur; les juges ne sont d'ailleurs pas en mesure d'apprécier les performances d'un coureur cycliste et il eût incombé à la demanderesse de requérir une expertise à ce sujet. Ladite mesure constituait une violation grave du contrat de travail, en tant qu'elle empêchait le demandeur de prendre part à « un nombre suffisant de courses » aux termes de ce même contrat.
Le demandeur a plusieurs fois protesté et exigé sa réintégration. Certes, il n'a pas textuellement menacé la défenderesse d'une résiliation du contrat; néanmoins, selon les circonstances, un avertissement même dépourvu de cette menace explicite peut être concluant au regard de l'art. 337 CO (ATF 127 III 153 consid. 1b-c p. 155). En l'occurrence, au regard des stipulations du contrat de travail visant spécialement le cas où l'employeuse entraverait l'activité du coureur pendant plus de six semaines, la défenderesse pouvait de toute manière s'attendre à une éventuelle résiliation.
6. Le Tour de France s'est disputé du 4 au 26 juillet 2009, semble-t-il avec la participation de Z._ mais certainement sans celle du demandeur. A l'appui de son recours, la défenderesse met en doute que le demandeur eût la volonté et la capacité d'y prendre part, et elle relève que la Cour d'appel n'a fait aucune constatation à ce sujet. Elle relève aussi que la Cour n'a constaté « ni l'existence d'autres courses ayant eu lieu pendant la période de suspension (du 23 juin au 5 août 2009), ni l'incapacité [du demandeur] d'y participer à titre individuel ».
La défenderesse ne prétend pas que sur ces points, les juges d'appel aient méconnu des allégués topiques et des preuves concluantes. Or, si elle entendait faire valoir que le demandeur était exclu du Tour de France pour des motifs autres que son refus d'accepter les avenants proposés par elle dès le 14 mai 2009, il lui incombait, au regard de l'art. 8 CC qui répartit le fardeau de la preuve dans les causes soumises au droit civil fédéral, de l'alléguer et de le prouver.
De même, si la défenderesse voulait faire valoir que le demandeur aurait pu prendre part à des compétitions autres que le Tour de France, à titre individuel, il lui incombait d'alléguer et de prouver l'existence de ces compétitions. Elle ne peut donc rien déduire, en sa faveur, du silence de la décision attaquée au sujet d'un contexte qui n'est pas décrit et qu'elle tient pour important. Cette décision indique seulement que le demandeur aurait pu demander l'autorisation de participer individuellement au Championnat de Belgique, dont la date n'est pas précisée. Au regard de ce seul élément, on ne peut pas retenir que le demandeur se soit de son propre chef, indépendamment de la suspension décidée par la défenderesse, abstenu de prendre part à un « nombre suffisant de courses ».
La défenderesse ne peut non plus rien déduire de ce que le demandeur a refusé une entrevue proposée à Genève le 20 juillet 2009. La possibilité de prendre part à un entretien ne remplaçait pas celle de prendre part à des compétitions cyclistes.
7. En définitive, il se confirme que l'exclusion imposée au demandeur, pour une durée indéterminée et sans motif pertinent, était gravement contraire aux obligations contractuelles de la défenderesse. Celle-ci a persisté dans son attitude nonobstant les protestations de son cocontractant. Dans ces conditions, il n'apparaît pas que les juges d'appel, en reconnaissant la validité de la résiliation du 5 août 2009, aient abusé du pouvoir d'appréciation à eux conféré par l'art. 337 al. 3 CO.
Pour le surplus, la défenderesse ne met pas en doute que le montant de 409'583,50 euros soit alloué au demandeur conformément aux règles applicables au contrat de travail. Le recours de la défenderesse se révèle donc, lui aussi, privé de fondement.
8. Chaque partie doit acquitter l'émolument judiciaire afférent à son propre recours. Les dépens sont compensés à concurrence de l'indemnité la plus faible et un montant résiduel de 1'500 fr. sera alloué au demandeur.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes nos 4A_84/2011 et 4A_94/2011 sont jointes.
2. Les recours sont rejetés.
3. Le demandeur acquittera un émolument judiciaire de 6'500 francs.
4. La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 8'000 francs.
5. La défenderesse versera une indemnité de 1'500 fr. au demandeur, à titre de dépens.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 15 avril 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin