Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdegegner) unterzeichnete am 3. September 2007 einen Antrag für eine Krankenversicherung bei der X._ AG (Beschwerdeführerin). Er beantwortete dazu verschiedene Gesundheitsfragen. Im August 2008 konsultierte er seinen Hausarzt, Dr. med. B._, und in der Folge Dr. med. C._, zur Abklärung eines Schlafapnosesyndroms. Ihm wurde eine funktionelle Nasenseptumkorrektur kombiniert mit einer endoskopischen Frontoethmoidektomie vorgeschlagen und am 14. November 2008 in der Klinik Y._ durchgeführt, wofür Rechnungen von insgesamt Fr. 16'726.30 gestellt wurden.
Mit Schreiben vom 26. Januar 2009 teilte die Beschwerdeführerin dem Beschwerdegegner mit, Abklärungen hätten ergeben, dass bereits seit Jahren chronische Sinusitiden vorliegen würden. Es sei somit ein Leiden verschwiegen worden, das bereits bei Vertragsschluss bestanden habe und bekannt gewesen sei. Daher würden die Zusatzversicherungen nach VVG rückwirkend per Versicherungsbeginn per 1. Januar 2008 mit einem Leistungsausschluss für die chronischen Sinusitiden versehen. Ferner hielt die Beschwerdeführerin sinngemäss fest, dass aus den Zusatzversicherungen keine Leistungen erbracht würden, die kausal mit dem verschwiegenen Leiden im Zusammenhang stünden.
B. Der Beschwerdegegner beantragte mit Klage vom 4. September 2009 beim Bezirksgericht Küssnacht, es sei festzustellen, dass er am 3. September 2007 an keiner Sinusitis erkrankt war, er seine Anzeigepflicht nicht verletzt habe, der Abschluss der Zusatzversicherung "Spitalversicherung halbprivat" nach VVG mit Versicherungsbeginn per 1. Januar 2008 gültig zustande gekommen sei und die Beschwerdeführerin nicht berechtigt sei, einseitig einen Leistungsausschluss festzulegen. Ferner sei die Beschwerdeführerin zu verpflichten, ihm Fr. 8'706.30 nebst Zins zu bezahlen. Die Beschwerdeführerin beantragte mit Widerklage, der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, ihr den bereits geleisteten Betrag von Fr. 8'020.-- aus ungerechtfertigter Bereicherung zurückzuerstatten.
Am 27. August 2010 überwies das Bezirksgericht die Sache zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Dieses hiess die Klage am 19. Januar 2011 gut und hielt fest, dass der Beschwerdegegner seine Anzeigepflicht nicht verletzt habe, dass der Abschluss der Zusatzversicherung "Spitalversicherung halbprivat" nach VVG mit Versicherungsbeginn per 1. Januar 2008 gültig zustande gekommen sei, dass der von der Beschwerdeführerin am 26. Januar 2009 angeordnete Leistungsausschluss (betr. chronische Sinusitis) aufgehoben werde und dass die Beschwerdeführerin verpflichtet sei, dem Beschwerdeführer Fr. 8'706.30 nebst Zins zu bezahlen. Die Widerklage wies es ab.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 19. Januar 2011 aufzuheben und den Beschwerdegegner zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 8'020.-- rückzuerstatten. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung unterliegen nach Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) dem Versicherungsvertragsgesetz vom 2. April 1908 (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen in Betracht kommt (BGE 133 III 439 E. 2.1 S. 442 mit Hinweis).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG), gegen den die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich offen steht; er erging vom Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, bei dem es sich von der Einbettung in die Schwyzer Gerichtsorganisation her um ein oberes kantonales Gericht im Sinne von Art. 75 Abs. 2 BGG handelt (§ 4 Abs. 1 lit. b der Justizverordnung der Kantons Schwyz vom 18. November 2009 [JustizVO/SZ; SRSZ 231.110]), das für Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung nach KVG als einzige kantontonale Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 2 lit. a BGG in Verbindung mit Art. 7 der Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008 (Zivilprozessordnung, ZPO, SR 272) eingesetzt ist (vgl. § 16 Abs. 2 JustizVO/SZ sowie § 24 Abs. 2 des Gesetzes des Kantons Schwyz über die Prämienverbilligung in der Krankenpflegeversicherung vom 19. September 2007 [SRSZ 361.100]).
1.2 Bei der vorliegenden Streitsache handelt es sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit. Demnach ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig, sofern der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Erreicht der Streitwert diesen Betrag nicht, ist die Beschwerde in Zivilsachen u.a. dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass der massgebliche Streitwert unter Fr. 30'000.-- liegt. Die Beschwerdeführerin macht aber geltend, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung.
Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG ist sehr restriktiv auszulegen (BGE 133 III 493 E. 1.1). Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (BGE 135 III 1 E. 1.3 S. 4, 397 E. 1.2 S. 399; 133 III 493 E. 1 S. 494 ff., je mit Hinweisen). Die Voraussetzung von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG ist hingegen erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (BGE 135 III 1 E. 1.3 S. 4, 397 E. 1.2; 133 III 645 E. 2.4 S. 648 f.). Es ist erforderlich, dass die Frage von allgemeiner Tragweite ist (BGE 134 III 267 E. 1.2). Eine vom Bundesgericht bereits entschiedene Rechtsfrage kann von grundsätzlicher Bedeutung sein, wenn sich die erneute Überprüfung aufdrängt. Dies kann zutreffen, wenn die Rechtsprechung nicht einheitlich oder in der massgebenden Lehre auf erhebliche Kritik gestossen ist (BGE 134 III 354 E. 1.3). Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (Art. 42 Abs. 2 BGG), ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (BGE 133 III 439 E. 2.2.2.1 und 645 E. 2.4).
Die Beschwerdeführerin bringt zur Begründung ihrer Behauptung, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, bloss vor, die Vorinstanz sei in ihrem Urteil von der bundesgerichtlichen Praxis abgewichen und es handle sich (daher) um eine Rechtsfrage, die der höchstrichterlichen Klärung bedürfe. Damit begründet sie indessen nicht hinreichend, weshalb sich vorliegend eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne der vorstehend dargestellten Rechtsprechung stellen soll, kann doch im blossen Abweichen von der Bundesgerichtspraxis auch eine blosse fehlerhafte Rechtsanwendung liegen, die keine grundsätzlichen Fragen aufwirft.
Unabhängig davon ist auch nicht ersichtlich, dass sich vorliegend eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen würde. Die Beschwerdeführerin rügt, dass die Vorinstanz für das Geltendmachen eines rückwirkenden Versicherungsvorbehalts, demnach der Teilnichtigkeit des Versicherungsvertrags gemäss Art. 9 VVG, in Abweichung von der in BGE 127 III 21 publizierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Unrecht eine schuldhafte Anzeigepflichtverletzung des Versicherten voraussetze, wobei sie sich auf einen vorliegend nicht relevanten und zudem unpublizierten Entscheid des Bundesgerichts stütze. Damit macht die Beschwerdeführerin nicht geltend, die einschlägige Rechtsprechung zu den Voraussetzungen eines nachträglichen Versicherungsvorbehalts sei uneinheitlich, sondern rügt bloss eine falsche Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf den konkreten Fall.
Somit stellt sich vorliegend keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG und ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten.
Damit erweist sich zugleich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde, deren weitere Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, als zulässig (Art. 113 BGG), soweit rechtsgenügend begründete Verfassungsrügen erhoben werden.
1.3 Einziger Beschwerdegrund bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) ist die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte jedoch nur, wenn diese Rüge gemäss den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG ausdrücklich vorgebracht und klar und detailliert begründet wird (BGE 136 I 332 E. 2.1; 134 V 138 E. 2.1 S. 143; 133 III 439 E. 3.2 S. 444).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 BGG). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und Art. 116 BGG), was der Beschwerdeführer mit einer den genannten Anforderungen genügenden Begründung geltend zu machen hat (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 332 E. 2.2; 133 III 439 E. 3.2 S. 445 mit Hinweis).
Soweit in einer Beschwerde Willkür in der Ermittlung des Sachverhalts geltend gemacht wird, ist zu beachten, dass dem Sachrichter in der Beweiswürdigung ein breiter Ermessensspielraum zusteht; der Beschwerdeführer hat daher darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen, erhebliche Beweise übersehen oder willkürlich ausser Acht gelassen habe (vgl. BGE 132 III 209 E. 2.1; 129 I 8 E. 2.1; 120 Ia 31 E. 4b S. 40; 118 Ia 28 E. 1b S. 30). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 134 V 138 E. 2.1; 133 II 396 E. 3.1 S. 399). Willkür liegt zudem nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 135 V 2 E. 1.3; 134 II 124 E. 4.1; 133 I 149 E. 3.1).
Die vorliegende Beschwerde vermag diesen Anforderungen weitgehend nicht zu genügen, wie in den nachfolgenden Erwägungen darzulegen ist.
2. Wie bereits erwähnt, rügt die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz für das Geltendmachen eines rückwirkenden Versicherungsvorbehalts in Abweichung von der in BGE 127 III 21 publizierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Unrecht eine schuldhafte Anzeigepflichtverletzung des Versicherten voraussetze. Sie erhebt aber gegen diese Rechtsanwendung keine Willkürrüge und legt auch nicht dar, inwiefern der Entscheid der Vorinstanz im Ergebnis offensichtlich unhaltbar sein soll. Auf ihre Rügen der bloss unrichtigen Rechtsanwendung kann nicht eingetreten werden.
Dementsprechend ist nachfolgend von der Rechtsauffassung der Vorinstanz auszugehen, wonach die Kasse einen Versicherungsvorbehalt nicht mehr verfügen dürfe, wenn sie bei der Aufnahme eines Mitgliedes keinen solchen angebracht habe, es sei denn, der Gesuchsteller habe in schuldhafter Weise eine bestehende oder eine vorher bestandene, zu Rückfällen neigende Krankheit nicht angezeigt.
3. Die Beschwerdeführerin rügt sinngemäss, die Vorinstanz habe in willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung davon abgesehen, die offerierten Beweismittel zur Frage abzunehmen, ob der Beschwerdegegner auch vor Vertragsschluss an einer gesundheitlichen, rückfallgefährdeten Störung (chronische Sinusitis) gelitten habe, da sich der massgebliche Sachverhalt (der Meinung der Vorinstanz nach) hinreichend aus den vorhandenen Unterlagen ergebe.
Nach der Rechtsauffassung der Vorinstanz, von der hier auszugehen ist (Erwägung 2), ist indessen die Frage, ob der Beschwerdegegner vor Vertragsschluss an einer gesundheitlichen, rückfallgefährdeten Störung gelitten habe, für sich allein nicht entscheidend dafür, ob die Beschwerdeführerin einen nachträglichen Versicherungsvorbehalt anbringen durfte. Vielmehr müsste für einen solchen Vorbehalt nach der Vorinstanz auch eine diesbezügliche Anzeigepflichtverletzung vorliegen, die in casu aber zu verneinen sei, weil dem Beschwerdegegner im Zeitpunkt, als er die Gesundheitsfragen zu beantworten hatte, keine Diagnose einer chronischen Sinusitis bekannt gewesen sei. Die Beschwerdeführerin scheint selber einzuräumen, dass die Sachverhaltsfeststellung (bzw. das Vorgehen) der Vorinstanz, mithin die Nichtabnahme weiterer Beweismittel, gerechtfertigt sein möge, sofern es um die Frage einer Anzeigepflichtverletzung gehe.
Es ist demnach nicht dargetan, ja nicht einmal behauptet, dass die Vorinstanz in Willkür verfiel, indem sie - ausgehend von ihrer Rechtsauffassung - befand, die von der Beschwerdeführerin beantragte Beweisabnahme zum Vorliegen einer vorbestehenden chronischen Sinusitis, vermöchte am Ergebnis ihres Entscheids nichts zu ändern. Die Rüge ist unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
4. Die Vorinstanz verneinte eine schuldhafte Anzeigepflichtverletzung seitens des Beschwerdegegners. Sie stützte sich dabei auf ihre tatsächlichen Feststellungen, dass dem Beschwerdegegner am 3. September 2007, als er die Gesundheitsfragen zu beantworten hatte, keine Diagnose einer chronischen Sinusitis bekannt gewesen sei und dass er bei vier in den Jahren 2002-2005 rezidivierend auftretenden viralen Infekten der oberen Atemwege von vereinzelt auftretenden Unpässlichkeiten bzw. von belanglosen vorübergehenden Beeinträchtigungen des Wohlbefindens habe ausgehen dürfen. Zu diesen Schlüssen kam sie in eingehender Würdigung aller Unterlagen und Angaben (von Ärzten) zum Fall. Insbesondere verwarf sie nach der Gesamtwürdigung aller Angaben, auch den Einwand der Beschwerdeführerin, dass der Hausarzt ein Gefälligkeitszeugnis ausgestellt hätte, indem er in einem Schreiben vom 17. Juni 2009 an die Beschwerdeführerin seine am 10. Dezember 2008 gegenüber ihr gemachten Angaben, es lägen "chronische Sinusitiden [...] seit einigen Jahren vor", widerrief und ausführte, es handele sich um "rezidivierend auftretende virale Infekte der oberen Atemwege, wahrscheinlich viraler Genese".
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie diese Präzisierung des Hausarztes in nicht schlüssiger Weise nicht als Gefälligkeitszeugnis, sondern gar als "nachvollziehbare, überzeugende Sachverhaltsdarstellung" taxiert habe. Aus dem Wortlaut des Schreibens gehe hervor, dass der Hausarzt vom Beschwerdegegner "als seinen Hausarzt" aufgesucht worden sei, "weil sein Krankenversicherer eine Übernahme der Kosten für die durchgeführten medizinischen Leistungen nicht übernehmen" wolle. Die Beweiswürdigung der Vorinstanz sei mit dem vom Bundesgericht aufgestellten Grundsatz unvereinbar, wonach der Richter in Bezug auf Berichte von Hausärzten der Erfahrungstatsache Rechnung tragen dürfe und solle, dass Hausärzte mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung in Zweifelsfällen eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen würden (BGE 125 V 351 E. 3b/cc). Auch der Wortlaut des Schreibens lasse keine Zweifel offen, dass es sich beim Schreiben um ein Gefälligkeitszeugnis handle. Damit übt die Beschwerdeführerin indessen rein appellatorische Kritik an der Beweiswürdigung der Vorinstanz, ohne rechtsgenüglich auf deren einlässliche Erwägungen einzugehen und darzulegen, inwiefern das darauf gestützte Ergebnis, es handle sich beim genannten Schreiben nicht um ein Gefälligkeitszeugnis und, damit korrespondierend, dem Beschwerdegegner sei am 3. September 2007 keine Diagnose einer chronischen Sinusitis bekannt gewesen, offensichtlich unhaltbar sein soll. Darauf kann nicht eingetreten werden.
5. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Nachdem das Bundesgericht keine Vernehmlassung des Beschwerdegegners eingeholt hat, ist keine Parteientschädigung zu sprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. April 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Widmer