Erwägungen:
1. X._ erhob am 18. April 2010 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern gegen zwei Entscheide der Steuerrekurskommission des Kantons Bern vom 23. März 2010 betreffend Verweigerung des Erlasses der Kantons- und Gemeindesteuern sowie der direkten Bundessteuer 2007 (offene Steuerschuld von Fr. 8'652.05). Mit Urteil des Einzelrichters vom 19. Mai 2011 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde sowie das damit verbundene Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
Mit als "Einsprache gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 24.5.2011" bezeichneter Rechtsschrift vom 27. Juni 2011 ersucht X._ das Bundesgericht "im Sinne einer Gesamtsanierung" um Erlass der Steuerbeträge von 2007 bis und mit 2009 in Höhe von ca. Fr. 30'000.--.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gegenstand des angefochtenen Urteils sind allein die Kantons- und Gemeindesteuern sowie die direkte Bundessteuer 2007. Soweit der Beschwerdeführer um Erlass von Steuern für die Jahre 2008 und 2009 ersucht, geht sein Rechtsbegehren über den Prozessgegenstand hinaus und ist auf die Beschwerde von vornherein nicht einzutreten.
2.2 Das angefochtene Urteil hat den Erlass von Steuern zum Gegenstand. Gemäss Art. 83 lit. m BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über die Stundung und den Erlass von Abgaben. Damit steht als bundesrechtliches Rechtsmittel vorliegend nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zur Verfügung (Art. 113 BGG), worauf das Verwaltungsgericht in der Rechtsmittelbelehrung hingewiesen hat. Mit der Verfassungsbeschwerde kann bloss die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Entsprechende Rügen bedürfen spezieller Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer nennt kein verfassungsmässiges Recht, das durch das angefochtene Urteil verletzt worden sein könnte. Die Beschwerde enthält mithin keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), und es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.3 Ergänzend bleibt festzuhalten, dass der Beschwerde auch im Eintretensfall kein Erfolg beschieden wäre; es ist namentlich im Lichte von E. 4.2 des angefochtenen Urteils nicht ersichtlich, inwiefern das Verwaltungsgericht gegen dem Beschwerdeführer zustehende verfassungsmässige Rechte verstossen haben könnte.
2.4 Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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