Faits:
A. En mai 2004, une enquête pénale a été ouverte en Espagne pour faits de dopage ("Opération Puerto"). Elle a abouti, deux ans plus tard, à l'arrestation du Dr Fuentes et d'autres personnes. Il leur était reproché d'avoir violé la législation espagnole sur la santé publique.
Le 29 août 2007, l'Union Cycliste Internationale (UCI), qui s'était portée partie civile dans la procédure pénale aux côtés de l'Agence Mondiale Antidopage (AMA), a demandé à la Fédération espagnole de cyclisme, la Real Federación Española de Ciclismo (RFEC), de mettre en oeuvre une procédure disciplinaire contre Alejandro Valverde Belmonte, coureur cycliste professionnel de nationalité espagnole. Elle se fondait, pour justifier sa requête, sur le fait que, dans le cadre de l'Opération Puerto, les enquêteurs avaient saisi, le 6 mai 2006, dans le laboratoire du Dr Fuentes, une poche contenant du sang supposé appartenir à ce coureur cycliste (ci-après: la poche n° 18).
Le 7 septembre 2007, le Comité Nacional de Competición y Disciplina Deportiva (CNCDD), autorité compétente pour les affaires de dopage au sein de la RFEC, a décidé de ne pas ouvrir de procédure disciplinaire à l'encontre d'Alejandro Valverde Belmonte. Le même jour, le président de la RFEC a pris une décision identique à celle du CNCDD.
B. En octobre 2007, l'AMA et l'UCI ont chacune déposé un appel auprès du TAS contre les décisions prises le 7 septembre 2007 par le CNCDD et le président de la RFEC. Sur le fond, elles ont toutes deux conclu, en dernier lieu, à ce qu'Alejandro Valverde Belmonte soit suspendu pour une durée de deux ans et à ce que tous les résultats obtenus par lui depuis le 4 mai 2004 soient annulés.
Le coureur cycliste a conclu à l'irrecevabilité des appels et la RFEC à leur rejet.
Une Formation arbitrale, composée de Me Otto L.O. de Witt Wijnen (président), avocat à Bergambacht (Pay-Bas), du Prof. Richard H. McLaren (arbitre désigné par les appelants), avocat à London (Canada), et du Dr Miguel Angel Fernández Ballesteros (arbitre désigné par les intimés), Professeur à Madrid (Espagne), a été constituée le 28 janvier 2008 (ci-après: la Formation).
Après avoir instruit la cause au fond, la Formation a rendu, le 31 mai 2010, à la majorité de ses membres, une sentence arbitrale par laquelle, admettant partiellement les appels, elle a reconnu Alejandro Valverde Belmonte coupable de violation de l'art. 15.2 du règlement antidopage de l'UCI (version 2004) et l'a suspendu pour une période de deux ans à compter du 1er janvier 2010. Elle a, en outre, rejeté les requêtes de l'UCI et de l'AMA tendant à l'annulation des résultats obtenus en compétition par le coureur cycliste espagnol avant le 1er janvier 2010.
C. Le 29 juin 2010, Alejandro Valverde Belmonte a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation de la sentence du 31 mai 2010 et de faire constater que le TAS n'était pas compétent pour statuer sur le fond.
D. Le 29 juin 2010 également, le recourant a déposé auprès du TAS une requête d'interprétation ou de correction de la sentence du 31 mai 2010. Par décision du 9 juillet 2010, le Président suppléant de la Chambre d'appel du TAS a refusé d'entrer en matière sur cette demande.
Le recourant a également interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre ladite décision en date du 28 juillet 2010 (cause 4A_420/2010). Il a requis la jonction de cette cause avec la cause 4A_386/2010. Cette requête a été rejetée par ordonnance présidentielle du 4 octobre 2010, à l'instar de la requête du TAS des 17 et 20 septembre 2010 tendant à ce que la cause 4A_420/2010 soit suspendue jusqu'à droit connu dans la procédure 4A_386/2010.
Dans leurs réponses respectives, l'AMA, l'UCI et le TAS concluent tous trois au rejet du recours. La RFEC n'a pas déposé de réponse dans le délai qui lui avait été imparti à cette fin.
Considérant en droit:
1. D'après l'art. 54 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral rédige son arrêt dans une langue officielle, en règle générale dans la langue de la décision attaquée. Lorsque cette décision est rédigée dans une autre langue (ici l'anglais), le Tribunal fédéral utilise la langue officielle choisie par les parties. Devant le TAS, celles-ci ont utilisé l'anglais. Dans le mémoire qu'il a adressé au Tribunal fédéral, le recourant a employé le français. Conformément à sa pratique, le Tribunal fédéral adoptera la langue du recours et rendra, par conséquent, son arrêt en français.
2. La question de savoir si la décision entreprise était susceptible d'un recours en matière civile au Tribunal fédéral peut demeurer indécise, dès lors qu'il n'y a de toute façon pas lieu d'entrer en matière sur le présent recours pour le motif indiqué ci-après.
3. La recevabilité du recours en matière civile suppose, entre autres conditions, que le recourant ait un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 let. b LTF).
Par son recours tendant à l'annulation d'une décision refusant d'entrer en matière sur sa demande d'interprétation, le coureur cycliste espagnol cherche à obtenir, en définitive, que la Formation interprète et, le cas échéant, rectifie la sentence qu'elle a rendue le 31 mai 2010. Il souligne, à cet égard, que son recours pose la même question, sous un angle différent, que celle qu'il a soulevée, sur ce point, dans son recours dirigé contre ladite sentence (mémoire du 28 juillet 2010, n. 62). Or, dans l'arrêt rendu ce jour au sujet de cet autre recours, dont le passage topique (i.e. le consid. 8.3.2) est censé reproduit ici in extenso, le Tribunal fédéral, après avoir examiné les arguments du recourant, est arrivé à la conclusion que le dispositif de la sentence attaquée ne contredisait en rien les motifs de ce prononcé.
Il suit de là que le recourant ne peut plus faire valoir un intérêt actuel, juridiquement protégé, à l'annulation de la décision portant refus d'entrer en matière sur une demande d'interprétation dont il a été constaté, par ailleurs, qu'elle serait vouée à l'échec sur le fond puisque la prétendue incohérence entre les motifs et le dispositif de la sentence formant l'objet de cette demande n'existe pas.
Par conséquent, il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur le présent recours.
4. Le recourant, qui succombe, devra payer les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et indemniser l'AMA de même que l'UCI (art. 68 al. 1 et 2 LTF). La RFEC, qui n'a pas déposé de réponse, n'a pas droit à des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'Agence Mondiale Antidopage (AMA) une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens. Il versera la même indemnité à l'Union Cycliste Internationale (UCI) au même titre.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 3 janvier 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo