Faits:
A. X._, né en 1957, et dame X._, née en 1961, se sont mariés le 2 mars 2001 à Carouge (GE). Un enfant est issu de leur union : A._, née en 2001.
Dame X._ a quitté le domicile conjugal le 6 mai 2003 en emmenant l'enfant.
B. Statuant le 12 mai 2005 sur requête de mesures protectrices de l'union conjugale, le Tribunal de première instance de Genève a attribué à dame X._ la garde de l'enfant, a réservé au père un droit de visite s'exerçant, sauf accord contraire des parties, un week-end sur deux et durant la moitié des vacances scolaires. Il a en outre instauré une curatelle d'assistance éducative et de surveillance du droit de visite et a condamné le mari à contribuer à l'entretien de sa famille à hauteur de 3'900 fr. par mois.
Sur appel, la Cour de justice a réduit cette contribution à 3'600 fr. et confirmé le premier jugement pour le surplus.
C. Le 3 août 2006, X._ a déposé une demande en divorce assortie d'une requête de mesures préprovisoires tendant à obtenir un droit de visite plus large.
Donnant partiellement suite à cette requête, le Tribunal de première instance a, dès le 26 septembre 2006, étendu le droit de visite au déjeuner du mardi. Dans le cadre des mesures provisoires, il l'a encore élargi du mardi après l'école au mercredi à 13h30.
Par jugement du 31 janvier 2008, le Tribunal de première instance a prononcé le divorce des époux. Il a notamment attribué à la mère la garde et l'autorité parentale sur l'enfant A._, a réservé au père un droit de visite s'exerçant, sauf accord contraire des parents, du mardi après l'école au jeudi matin, un week-end sur deux et durant la moitié des vacances scolaires, a maintenu la curatelle d'assistance éducative et celle de surveillance et d'organisation des relations personnelles, a arrêté la contribution mensuelle due par le père pour l'entretien de A._ à 1'000 fr. jusqu'à l'âge de dix ans, 1'100 fr. jusqu'à l'âge de quinze ans et 1'200 fr. jusqu'à la majorité, voire jusqu'à vingt-cinq ans au plus en cas de formation professionnelle ou d'études sérieuses et régulières.
Sur appel de X._, la Cour de justice a annulé partiellement ce jugement. Elle a arrêté le droit de visite, sauf accord contraire des parents, du mardi après l'école au jeudi matin une semaine sur deux, un week-end sur deux et durant la moitié des vacances scolaires. La contribution mensuelle due pour l'entretien de l'enfant a été fixée à 1'000 fr. jusqu'à l'âge de douze ans, 1'150 fr. dès l'âge de treize ans et 1'300 fr. dès l'âge de quinze ans jusqu'à la majorité, voire au-delà en cas d'études sérieuses et suivies, mais au maximum jusqu'à l'âge de vingt-cinq ans.
D. Agissant par la voie du recours en matière civile, X._ conclut à l'attribution en sa faveur de l'autorité parentale et de la garde de l'enfant, celle-ci devant être exercée du mardi après l'école au jeudi matin, un week-end sur deux ainsi que la moitié des vacances scolaires et jours fériés, un droit de visite devant être aménagé en faveur de son épouse pour les autres jours de la semaine. Il demande également le rejet de « toutes les autres conclusions » de son ex-épouse.
Considérant en droit:
1. Le recours a été déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. c et 100 al. 1 LTF) par la partie qui a succombé en dernière instance cantonale (art. 76 al. 1 et 75 al. 1 LTF) contre une décision finale sujette au recours en matière civile (art. 90 et 72 al. 1 LTF). Il porte sur l'attribution de l'autorité parentale, la garde de l'enfant et le droit de visite ainsi que sur les questions patrimoniales qui lui sont liées (cf. consid. 2). La contestation est donc non pécuniaire dans son ensemble (arrêt 5A_108/2007 du 11 mai 2007 consid. 1.2), si bien que le recours en matière civile est en principe recevable.
2. Le mémoire de recours doit contenir les conclusions et les motifs à l'appui de celles-ci (art. 42 al. 1 LTF). Les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'arrêt attaqué viole le droit fédéral (art. 42 al. 2 LTF).
Bien que le recourant conclue au rejet de toutes les conclusions de son ex-épouse (cf. let. C), lesquelles portaient également sur le partage des avoirs de prévoyance professionnelle, la contribution d'entretien en faveur de celle-ci et la liquidation du régime matrimonial, il résulte de la lecture de son mémoire qu'il ne remet en question que l'attribution de l'autorité parentale et de la garde, la réglementation du droit de visite et la contribution d'entretien à sa fille (cf. en particulier p. 3-4 du recours). S'agissant de ce dernier point, on comprend qu'il entend obtenir l'annulation de cette obligation uniquement dans la mesure où il obtient l'autorité parentale et la garde de l'enfant (p. 35 du recours).
3. Le recourant fait valoir en premier lieu que les faits pertinents pour l'issue du litige ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit fédéral.
3. Le recourant fait valoir en premier lieu que les faits pertinents pour l'issue du litige ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit fédéral.
3.1 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
La notion de «manifestement inexacte» correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst (ATF 134 V 53 consid. 4.3). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf ATF 130 III 136 consid. 1.4; cf. également ATF 133 III 350 consid. 1.3). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3.2 Sur une vingtaine de pages, le recourant présente de manière appellatoire sa version des faits avec références aux pièces du dossier cantonal. Il conclut en affirmant que l'ensemble des circonstances décrites sont indispensables pour apprécier la nature de la relation de l'enfant avec ses parents, leurs capacités éducatives respectives et leur personnalités. En l'absence de la moindre démonstration tendant à expliquer de manière détaillée l'existence d'une exception au sens de l'art. 105 al. 2 LTF, il ne sera pas tenu compte de cet état de fait.
4. Dans un premier grief, le recourant remet en cause l'attribution de l'autorité parentale et de la garde de l'enfant à la mère.
4.1 D'après l'art. 133 al. 2 CC, lorsqu'il attribue l'autorité parentale et règle les relations personnelles, le juge tient compte de toutes les circonstances importantes pour le bien de l'enfant; il prend en considération une éventuelle requête commune des parents et, autant que possible, l'avis de l'enfant.
Le principe fondamental en ce domaine est l'intérêt de l'enfant, celui des parents étant relégué à l'arrière-plan. Au nombre des critères essentiels entrent en ligne de compte les relations entre les parents et l'enfant, les capacités éducatives respectives des parents, leur aptitude à prendre soin de l'enfant personnellement et à s'en occuper ainsi qu'à favoriser les contacts avec l'autre parent; il faut choisir la solution qui, au regard des données de l'espèce, est la mieux à même d'assurer à l'enfant la stabilité des relations nécessaires à un développement harmonieux des points de vue affectif, psychique, moral et intellectuel. Si le juge ne peut se contenter d'attribuer l'enfant au parent qui en a eu la garde pendant la procédure, ce critère jouit d'un poids particulier lorsque les capacités d'éducation et de soin des parents sont similaires (ATF 115 II 206 consid. 4a; arrêts 5C.212/2005 du 25 janvier 2006, consid. 4.2 publié à la FamPra.ch 2006 p. 753 et 5C.238/2005 du 2 novembre 2005, consid. 2.1 paru à la FamPra.ch 2006 p. 193).
Le juge appelé à se prononcer sur le fond qui, par son expérience en la matière, connaît mieux les parties et le milieu dans lequel l'enfant est amené à vivre, dispose d'un large pouvoir d'appréciation. Le Tribunal fédéral n'intervient que lorsque le juge, sans aucun motif, a écarté des critères essentiels pour la décision sur l'attribution des enfants ou, à l'inverse, s'est fondé sur des éléments dépourvus d'importance au regard du bien de l'enfant ou contrevenant aux principes du droit fédéral (ATF 117 II 353 consid. 2).
4.2 Selon les constatations de l'arrêt entrepris, dès la séparation des parties en mai 2003, la fillette a vécu avec sa mère, qui s'est vue attribuer provisoirement la garde de l'enfant le 12 mai 2005. Pendant les deux premières années qui ont suivi la séparation, l'intimée a entravé l'exercice du droit de visite par le père : à de multiples reprises et en dépit des conclusions rassurantes des divers médecins ayant examiné l'enfant, la mère a dénoncé des abus sexuels du père sur l'enfant. La plainte pénale déposée par le recourant pour calomnie a été classée par opportunité, classement confirmé le 12 septembre 2005 par la Chambre d'accusation qui a considéré que l'attitude de la mère semblait relever d'une sorte de pathologie, mais qu'il n'existait pas d'intention délibérée de propager des accusations fausses. Selon le rapport d'expertise effectué en novembre 2004 par le psychologue J._ dans le cadre des mesures protectrices de l'union conjugale, l'intimée présente des fragilités psychologiques caractérisées par une angoisse intense et des préoccupations exagérées en relation avec la protection de la fillette. Cet expert observe que la mère offre des capacités parentales adéquates, sous réserve toutefois qu'elle cesse de faire obstacle aux contacts avec le père, dont le rétablissement devra intervenir le plus rapidement possible dans l'intérêt de l'enfant. Aux termes du rapport d'évaluation sociale établi par le Service de protection des mineurs (ci-après : SPMi) le 13 décembre 2006, l'intimée a admis en mars 2005 que ses craintes étaient infondées et il ne ressort pas de la procédure qu'elle ait réitéré ses accusations depuis lors. Le droit de visite s'est régularisé et a été progressivement étendu. Se fondant sur ces éléments, la cour cantonale a retenu que l'intimée dispose des capacités éducatives nécessaires pour assurer le développement harmonieux de l'enfant. L'autorité précédente a encore constaté que l'état psychologique de l'intimée n'a pas d'effets préjudiciables sur l'enfant; le SPMi rapporte à ce sujet que, de l'avis unanime de l'enseignante, du pédiatre et de la psychiatre qui suivent régulièrement l'enfant, celle-ci ne présente aucun problème de santé majeur et que sa scolarité se déroule sans difficultés; elle ne montre pas de signes de souffrances autres que ceux liés aux tensions entre ses parents.
S'agissant de la faculté de la mère à s'occuper personnellement de sa fille, la cour cantonale a retenu que dès le 1er avril 2008, l'intimée allait reprendre une activité à un taux de 80 %. Quant au recourant, il présente une capacité éducative au moins égale ou supérieure à celle de la mère. L'autorité cantonale a en revanche déduit des conclusions du recourant tendant à n'assumer la garde qu'aux périodes pendant lesquelles le droit de visite lui avait été attribué (soit du mardi après l'école au jeudi matin, un week-end sur deux et la moitié des vacances scolaires) que sa capacité à s'occuper personnellement de l'enfant était moindre que celle de la mère.
L'autorité cantonale a ensuite considéré que, dans la mesure où le recourant n'offrait pas une plus grande capacité éducative ni une plus grande disponibilité personnelle, il fallait privilégier le maintien de la situation actuelle et confier l'autorité parentale et la garde à la mère. Ce cadre s'était jusqu'à présent avéré propice à l'épanouissement et au développement de l'enfant et comme le relevaient le SPMi dans ses recommandations et l'expert J._, un changement de lieu de vie et une séparation de la mère déstabiliseraient l'enfant.
4.3 L'argumentation du recourant tend principalement à dévaluer la capacité éducative de l'intimée, qu'il estime inférieure à la sienne. Il prétend aussi offrir une plus grande disponibilité personnelle que celle qui a été retenue dans l'arrêt cantonal. De telles critiques reviennent à s'en prendre aux constatations de fait de l'arrêt attaqué.
4.3.1 A cet égard, dans la mesure où il se réfère à des allégations nouvelles ou qui contredisent les faits retenus précédemment sans poser une critique motivée conforme aux exigences légales (cf. consid. 3.1 précité), ses arguments sont irrecevables. Il en va ainsi lorsqu'il prétend que les fragilités psychologiques de son ex-épouse ont un effet préjudiciable sur l'enfant, que lui-même s'est remis de sa dépression ou qu'il conteste ne pas avoir la réelle intention d'assumer pleinement et personnellement la garde de l'enfant. A titre d'exemple, il se lance dans un long exposé de faits purement appellatoire, décrivant les diverses consultations médicales subies par l'enfant à l'initiative de la mère pour en conclure que la fillette en subit nécessairement les conséquences. Un tel procédé est impropre à démontrer en quoi la constatation cantonale, tirée du rapport du SPMi et relative à l'absence d'effets préjudiciables du comportement de la mère sur l'enfant, serait arbitraire.
4.3.2 Le recourant prétend qu'il ressort du rapport du SPMi que, contrairement à ce qui a été retenu par l'autorité précédente, la mère a continué, après le mois de mars 2005, à entraver le droit de visite. Il est exact que selon cette pièce, l'intimée rapporte encore au pédiatre de l'enfant ses inquiétudes relatives à des attouchements sexuels sans que le médecin ne trouve d'éléments objectifs à ce sujet. En revanche, le rapport ne fait pas état de nouvelles tentatives d'obstruction au droit de visite pour cette raison ou pour d'autres motifs. Au contraire, il mentionne que les relations personnelles se déroulent avec régularité et que le jugement de mesures protectrices du 12 mai 2005, puis la séance de comparution personnelle du 26 septembre 2006 ont permis de poser un cadre clair à la reprise progressive des relations personnelles entre le père et l'enfant, qui se sont ainsi régularisées. Dans ces circonstances, la constatation de la cour cantonale relative à l'absence, depuis mars 2005, de nouvelles entraves au droit de visite qui auraient été posées par la mère ne paraît pas entachée d'arbitraire.
4.3.3 Enfin, concernant la faculté de la mère à s'occuper personnellement de l'enfant, le recourant semble reprocher aux juges cantonaux d'avoir retenu, en l'absence de toute preuve, que l'intimée occupait depuis le mois d'avril 2008 une activité à 80 %. Une telle critique revient à se plaindre d'une violation de l'art. 8 CC, qui répartit le fardeau de la preuve pour toutes les prétentions fondées sur le droit fédéral et détermine, sur cette base, laquelle des parties doit assumer les conséquences de l'échec de la preuve (ATF 130 III 321 consid. 3.1; 129 III 18 consid. 2.6). Il ressort du dossier que c'est le recourant lui-même qui a allégué que l'intimée avait repris une activité lucrative à 80 % (cf. mémoire d'appel du 6 mars 2008, p. 36, ch. 7; mémoire-réponse sur appel incident du 1er juillet 2008 p. 3, ad 23), ce que l'intéressée a admis (cf. réponse à l'appel et appel incident du 25 avril 2008, p. 7, ch. 23). En l'absence de contestation sur ce point, il ne saurait y avoir une violation de l'art. 8 CC (ATF 130 III 591 consid. 5.4; 114 II 289 consid. 2a).
4.4 Au vu de ce qui précède, il y a lieu de s'en tenir aux faits de l'arrêt attaqué. On constate ainsi une capacité éducative équivalente chez les deux parents mais une moins grande disponibilité personnelle du père. Il faut également tenir compte du critère de la stabilité qui commande d'éviter les changements inutiles dans l'environnement du mineur, de manière à lui permettre un développement harmonieux. Déjà en 2006, l'expert J._ soulignait l'effet déstabilisant d'un changement de lieu de vie et les conséquences négatives d'une séparation d'avec la mère, observation qui a été confirmée dans le rapport établi en décembre 2006 par le SPMi sur la base des déclarations des intervenants suivant régulièrement l'enfant (pédiatre, psychiatre, enseignante, assistante sociale chargée des mandats de curatelle). A l'heure actuelle, le fait que la mère ait eu la garde de l'enfant depuis 2003, soit depuis bientôt six ans, apparaît toujours comme un critère prépondérant, ce d'autant plus qu'il ressort de l'arrêt entrepris que l'enfant se développe auprès de sa mère dans un cadre propice à son épanouissement. En définitive, la Cour de justice n'a pas outrepassé son pouvoir d'appréciation en attribuant l'autorité parentale et la garde de l'enfant à la mère.
5. Le recourant estime que la réglementation du droit de visite d'un week-end sur deux et du mardi après l'école au jeudi matin, une semaine sur deux, déstabilise complètement sa fille car ils ne se voient pas pendant huit jours. Il préconise la solution retenue le 16 novembre 2007 dans la procédure de mesures provisoires, qui arrêtait le droit de visite, outre un week-end sur deux et la moitié des vacances scolaires, du mardi après l'école au mercredi à 13h30 chaque semaine.
5.1 Selon l'art. 273 al. 1 CC, le père ou la mère qui ne détient pas l'autorité parentale ou la garde ainsi que l'enfant mineur ont réciproquement le droit d'entretenir les relations personnelles indiquées par les circonstances. Autrefois considéré comme un droit naturel des parents, le droit aux relations personnelles est désormais conçu à la fois comme un droit et un devoir de ceux-ci (cf. art. 273 al. 2 CC), mais aussi comme un droit de la personnalité de l'enfant; il doit servir, en premier lieu, l'intérêt de celui-ci (ATF 131 III 209 consid. 5 et les réf. citées). Le rapport de l'enfant avec ses deux parents est essentiel et peut jouer un rôle décisif dans le processus de sa recherche d'identité (ATF 130 III 585 consid. 2.2.2. et les réf. citées).
Pour fixer le droit aux relations personnelles, le juge fait usage de son pouvoir d'appréciation (art. 4 CC). Le Tribunal fédéral s'impose dès lors une certaine retenue en la matière; il n'intervient que si la décision a été prise sur la base de circonstances qui ne jouent aucun rôle selon l'esprit de la loi, ou si des aspects essentiels ont été ignorés (ATF 131 III 209 consid. 3; 120 II 229 consid. 4a et l'arrêt cité).
5.2 En l'espèce, le droit de visite accordé au recourant sur mesures protectrices de l'union conjugale a été progressivement élargi. Depuis le jugement rendu sur mesures provisoires le 16 novembre 2007, il s'exerce du mardi après l'école au mercredi à 13h30, en sus de la moitié des vacances scolaires et d'un week-end sur deux. Selon les observations du 13 décembre 2006 du SPMi, le dialogue entre les parents étant toujours impossible, l'enfant est très mal à l'aise lors du passage de l'un à l'autre et évite de les mettre en contact direct. L'autorité cantonale a dès lors considéré qu'une extension du droit de visite au jour hebdomadaire de congé de l'enfant se justifiait, tous les quinze jours toutefois, afin de ne pas priver l'enfant de pouvoir passer son jour de congé avec l'un des parents et de limiter les passages de l'un à l'autre. Elle a ainsi fixé le droit de visite du recourant, outre la moitié des vacances scolaires et un week-end sur deux, du mardi après l'école au jeudi matin une semaine sur deux.
5.3 Contrairement aux affirmations du recourant, les modalités du droit de visite apparaissent appropriées aux circonstances et, partant, conformes à l'intérêt de l'enfant. Lorsqu'il affirme que la fillette est complètement déstabilisée de ne pas le voir huit jours de suite, il allègue un fait nouveau, ce qui rend sa critique irrecevable (art. 99 al. 1 LTF). Il apparaît d'ailleurs que ce sont les passages de l'un à l'autre parent qui suscitent le malaise de l'enfant. L'autorité précédente a tenu compte de cette circonstance et, afin de ménager la fillette, a décidé de limiter le droit de visite à une semaine sur deux, du mardi après l'école au jeudi matin. S'il est vrai que le recourant peut se sentir prétérité par cette mesure, il ne faut pas perdre de vue qu'avant d'être un droit des parents, le droit de visite doit servir avant tout l'intérêt de l'enfant. Eu égard à la marge d'appréciation dont jouit l'autorité cantonale dans ce domaine, la réglementation incriminée ne peut donc être qualifiée d'abusive.
6. Dès lors que l'autorité parentale et de la garde restent confiées à la mère, la conclusion tendant à l'annulation du paiement d'une contribution d'entretien du père en faveur de l'enfant est sans objet (cf. consid. 2).
7. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant, qui succombe, supportera l'émolument de justice (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée qui n'a pas été invitée à répondre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 18 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Rey-Mermet