Sachverhalt:
A. A.a Der Konkurs über X._ wird vom Konkursamt Binningen im summarischen Verfahren durchgeführt. Am 4. Dezember 2009 gelangte das Konkursamt mit einem Zirkular an die Gläubiger. Darin stellte es den Antrag, den Miteigentumsanteil des Gemeinschuldners von 1⁄4 an der Liegenschaft A._weg xx, B._ (Grundbuch C._, Parzelle Nr. yyyy) für mindestens Fr. 15'000.-- durch Freihandverkauf zu verwerten. Das Konkursamt führte aus, dass ein entsprechendes Kaufangebot vorliege. Der Antrag gelte als genehmigt, sofern nicht eine Mehrheit der Gläubiger bis zum 18. Dezember 2009 schriftlich Einsprache erhebe; Stillschweigen werde als Zustimmung betrachtet. Innert der gleichen Frist könnten seitens der Gläubiger höhere Kaufangebote eingereicht werden. Nachdem beim Konkursamt innert der gesetzten Frist kein Angebot eingegangen war, teilte die Miteigentümerin Y._ dem Amt am 12. Januar 2010 mit, dass sie ihr Vorkaufsrecht an der Liegenschaft für den Betrag von Fr. 15'000.-- ausübe.
A.b D._, welche das ursprüngliche Angebot von Fr. 15'000.-- eingereicht hatte, gelangte am 23. Januar 2010 an das Konkursamt. Sie teilte mit, dass sie ihr Angebot auf Fr. 50'000.-- erhöhe, und bat um Mitteilung, falls ein weiteres gleichwertiges oder höheres Angebot eingehe, damit sie weiter bieten könne.
A.c Am 8. Juni 2010 verfügte das Konkursamt den Freihandverkauf des erwähnten Miteigentumsanteils des Gemeinschuldners an die ihr Vorkaufsrecht ausübende Miteigentümerin Y._.
B. Gegen die Freihandverkaufsverfügung erhob X._ am 18. Juni 2010 Beschwerde an die Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Basel-Landschaft. Mit Entscheid (Nr. 200 10 885) vom 3. August 2010 trat die kantonale Aufsichtsbehörde mangels Legitimation auf die Beschwerde nicht ein.
C. X._ führt mit Eingabe vom 26. August 2010 Beschwerde in Zivilsachen. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, den Nichteintretensentscheid der Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Basel-Landschaft vom 3. August 2010 aufzuheben. Weiter ersucht er um aufschiebende Wirkung.
Y._ als Beschwerdegegnerin hat erklärt, auf jegliche Gelegenheit zur Vernehmlassung (auch in der Sache) zu verzichten. Die kantonale Aufsichtsbehörde hat mit ihrem Verzicht auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung gleichzeitig ihren Entscheid (Nr. 200 10 886) vom 3. August 2010 eingereicht. Mit diesem Entscheid wurde die von D._ ebenfalls eingereichte Beschwerde gegen die Freihandverkaufsverfügung vom 8. Juni 2010 in der Sache behandelt und abgewiesen.
Mit Präsidialverfügung vom 10. September 2010 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Weitere Vernehmlassungen wurden nicht eingeholt. Ein weiterer Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig vom Streitwert der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Beschwerdeentscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden über eine Verfügung eines Vollstreckungsorganes gemäss Art. 17 SchKG - wie betreffend die Freihandverkaufsverfügung (BGE 131 III 237 E. 2.2 S. 239) - stellen einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG dar (BGE 133 III 350 E. 1.2 S. 351 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat mit Bezug auf die Legitimation zur Beschwerde nach Art. 17 SchKG ohne weiteres ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheides (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Die fristgerecht (Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG) erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig.
1.2 Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG).
2. Die Aufsichtsbehörde hat festgehalten, dass der Beschwerdeführer behaupte, das Konkursamt habe zu Unrecht die von D._ eingereichte Offerte von Fr. 50'000.-- nicht berücksichtigt. Er mache jedoch lediglich ein allgemeines Interesse der Gläubiger an der Abwendung von Debitorenverlusten geltend. Dies genüge nicht zur Legitimation des Beschwerdeführers, um die Freihandverkaufsverfügung mit Beschwerde nach Art. 17 SchKG anzufechten.
Der Beschwerdeführer führt aus, eine geringere Befriedigung der Konkursgläubiger bedeute höhere Konkursschulden und entsprechend mehr Mittel, die er aufwenden müsse, um diese zu bezahlen. Das hinreichende Interesse an der Beschwerdeführung sei ihm nicht abzusprechen.
3. Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Anfechtung eines konkursamtlichen Freihandverkaufs im summarischen Verfahren (Art. 231 Abs. 3 Ziff. 2 i.V.m. Art. 256 Abs. 2-4 SchKG). Zu Recht steht nicht in Frage, dass der Freihandverkauf eine Verfügung ist, welche nach Art. 17 SchKG anfechtbar ist (BGE 106 III 79 E. 4 S. 82 f.). Umstritten ist, ob der Beschwerdeführer als Gemeinschuldner ein hinreichendes Interesse zur betreibungsrechtlichen Beschwerde geltend gemacht hat.
3.1 Der Gemeinschuldner kann nur gegen Verfügungen in ganz bestimmten Bereichen, welche in seine Interessen eingreifen, Beschwerde nach Art. 17 SchKG führen (Lorandi, Betreibungsrechtliche Beschwerde und Nichtigkeit, 2000, N. 177 ff. zu Art. 17), u.a. über die Verwertung von Aktiven (BGE 108 III 1 E. 2 S. 2 mit Hinweisen; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. I, 1999, N. 162 zu Art. 17). Der Gemeinschuldner hat ein Interesse, dass der Verwertungserlös so hoch wie möglich ist, weshalb er sich auf eine Verletzung von gesetzlichen Regeln über die Verwertung berufen kann (BGE 33 I 483).
Ein Interesse, um Beschwerde nach Art. 17 SchKG zu erheben, fehlt hingegen, wenn der Gemeinschuldner sich auf einen angeblichen den Gläubigern zugefügten oder drohenden Nachteil beruft, indem er z.B. die Zuständigkeit der Konkursverwaltung (anstelle des Gläubigerausschusses) zum Entscheid über die Weiterführung des Betriebes in Frage stellt (BGE 95 III 25 E. 2 S. 28/29), die Admassierung von Vermögen verlangt (BGE 27 I 555 S. 556) oder die Verteilungsliste anficht (BGE 129 III 559 E. 1.2 S. 562).
3.2 Die Aufsichtsbehörde hat die Beschwerdelegitimation im Wesentlichen mit dem Argument verneint, dass der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen lediglich "ein allgemeines Interesse der Gläubiger an der Abwendung von Debitorenverlusten" geltend mache. Der Beschwerdeführer hält demgegenüber fest, dass die Vorinstanz die Vorbringen in seiner Eingabe vom 18. Juni 2010 unrichtig verstanden und Recht verletzt habe, indem sie angenommen hat, es gehe ihm einzig um einen angeblichen den Gläubigern zugefügten Nachteil und nicht um sein Interesse an einem allfälligen höheren Verwertungserlös. Die Rüge ist begründet. In der betreffenden Eingabe hat der Beschwerdeführer ausgeführt, dass das - angeblich unrichtige - Vorgehen des Betreibungsamtes nicht "im Sinne der Gläubiger sein könne, da ihm bzw. dem Konkursamt ein beträchtlicher Betrag entgehe, der sonst zur zumindest teilweisen Befriedigung der anderen Gläubiger zur Verfügung stünde". Dies genügt, um als Gemeinschuldner das Interesse an der Beschwerde nach Art. 17 SchKG gegen die Verwertung eines Konkursaktivums darzulegen. Wenn die Aufsichtsbehörde dem Beschwerdeführer die Beschwerdebefugnis abgesprochen hat, stellt dies eine Verletzung von Bundesrecht dar.
4. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde in Zivilsachen gutzuheissen. Der angefochtene Nichteintretensentscheid ist aufzuheben und die Sache ist an die Aufsichtsbehörde zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen zurückzuweisen.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung an den nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 BGG; BGE 133 III 439 E. 4 S. 446).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen. Der Entscheid der Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs Basel-Landschaft vom 3. August 2010 wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und der Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Basel-Landschaft schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante