Sachverhalt:
A. A.a Die Eheleute X._ und Z._ leben seit 2007 getrennt. Gemäss Eheschutzurteil des Gerichtspräsidiums Zofingen vom 29. November 2007 stehen die gemeinsamen Kinder R._ (geb. 1995), S._ (geb. 2000) und T._ (geb. 2003) unter der Obhut der Mutter. Dem Vater steht jeweils am ersten und dritten Wochenende eines Monats ein Besuchsrecht zu. Zudem wurde eine Beistandschaft über die Kinder errichtet.
A.b Nachdem die Mutter am Osterwochenende 2010 die Ausübung des Besuchsrechts vereitelt hatte, gelangte der Vater an die Vormundschaftsbehörde A._. Diese ordnete am 26. April 2010 an, der Vater solle beim Beistand der Kinder ein zusätzliches Besuchswochenende beantragen. Auf die übrigen Anträge des Vaters trat die Vormundschaftsbehörde nicht ein. Wegen "diffamierender" Äusserungen im Verfahren auferlegte sie ihm zusätzlich eine Ordnungsbusse von Fr. 200.--.
A.c Dagegen erhob X._ am 28. April 2010 beim Bezirksamt Zofingen als erstinstanzliche vormundschaftliche Aufsichtsbehörde Beschwerde. Er beantragte, "soweit der Beschluss des Gemeinderates dem gültigen Eheschutzurteil vom 29.11.2007 des Präsidenten des Bezirksgerichts [widerspreche], [sei] dieser zu verwerfen"; zudem verlangte er die Aufhebung der Ordnungsbusse. Das Bezirksamt trat im Hauptpunkt mangels Konkretisierung des Begehrens nicht auf die Beschwerde ein und bestätigte die ausgesprochene Ordnungsbusse (Entscheid vom 10. Juni 2010). Hingegen hiess es das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gut.
B. X._ gelangte daraufhin mit Beschwerde an die Kammer für Vormundschaftswesen des Obergerichts des Kantons Aargau. In der Hauptsache beantragte er, es sei auf alle Punkte seiner Beschwerde vom 28. April 2010 einzutreten, und verlangte sinngemäss, die Ordnungsbusse sei aufzuheben. In seinem Entscheid vom 16. Juli 2010 befand das Obergericht, das Bezirksamt Zofingen sei zu Recht nicht auf die Beschwerde eingetreten und habe zu Recht die Rechtmässigkeit der Ordnungsbusse bestätigt. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wies es wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab. Auf Antrag des Bezirksamtes Zofingen verurteilte das Obergericht X._ schliesslich zu einer zusätzlichen Ordnungsbusse von Fr. 200.-- "wegen grober Verletzung des prozessualen Anstands" im Beschwerdeverfahren.
C. Mit Eingabe vom 27. Juli 2010 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt ein Ausstandsbegehren gegen Oberrichter Y._ und beantragt, sämtlichen erstinstanzlichen Anträgen sei stattzugeben, er sei von allen vorinstanzlichen Bussen freizusprechen, ihm sei für alle vorinstanzlichen Verfahren sowie für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und eine angemessene Parteikostenentschädigung zuzusprechen.
Der Beschwerdeführer ficht mit seiner Eingabe vom 27. Juli 2010 gleich zwei Urteile des Obergerichts des Kantons Aargau vom 16. Juli 2010 an. Das zweite Urteil betrifft einen anderen Streitgegenstand und hat auch eine andere Prozessgeschichte. Deshalb hat das Bundesgericht zwei Verfahren eröffnet; das andere wird unter der Prozess-Nummer 5A_545/2010 geführt.
Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Die nach Ablauf der Beschwerdefrist vom Beschwerdeführer dem Bundesgericht zugestellten Unterlagen bleiben unberücksichtigt.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid einer vormundschaftlichen Aufsichtsbehörde in einer nicht vermögensrechtlichen Angelegenheit, sodass die Beschwerde in Zivilsachen gegeben ist (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 127 III 248 E. 2c S. 252 f.). Trotzdem obliegt es dem Beschwerdeführer, sich in seiner Beschwerde sachbezogen mit den Darlegungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen).
In der Begründung ist deshalb in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Genügt die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht, so ist darauf nicht einzutreten.
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254, je mit Hinweisen). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 III 585 E. 4.1 S. 589, je mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
Der Beschwerdeführer beantragt, sämtlichen erstinstanzlichen Anträgen sei stattzugeben. Das Bezirksamt Zofingen ist mangels eines konkreten Rechtsbegehrens nicht auf die Beschwerde eingetreten, und das Obergericht hat diese Beurteilung geschützt. In erster Linie hätte der Beschwerdeführer mithin behaupten und darlegen müssen, inwiefern er einen rechtlich geschützten Anspruch auf Behandlung des von ihm gestellten Begehrens und das Obergericht mit seinem Entscheid (kantonales) Recht verletzt hat. Die Beschwerdeschrift enthält indes keine Ausführungen, welche als Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid zur Frage des Nichteintretens qualifiziert werden könnten. Mit Vorwürfen wie "Schlamperei", "scheinheilige Formfehler" oder "unerhörte Katastrophe" lässt sich jedenfalls keine den Begründungsanforderungen genügende Rechtsverletzung rügen. Daher ist auf das Begehren nicht einzutreten.
Soweit der Beschwerdeführer die Ordnungsbussen anficht, legt er nicht dar, inwiefern die Vorinstanz das diesbezügliche kantonale Recht willkürlich angewendet haben soll. Zunächst nennt er weder eine Verfassungs- noch eine andere gesetzliche Bestimmung, welche durch die Auferlegung der Ordnungsbussen verletzt sein soll. Sodann bestreitet er, sich diffamierend geäussert zu haben, und bezeichnet seine Wortwahl als "pragmatische Ausdrucksweise". Er ringe um adäquate Worte, um den "rechtsmissbräuchlichen Verfolgungen" irgendwie nahezukommen; es sei erlaubt "Missstände pointiert beim Namen zu nennen". Indes setzt sich der Beschwerdeführer nicht mit den Erwägungen im angefochtenen Entscheid auseinander, wonach seine - hier nicht wiederholten - Äusserungen eine krasse Verletzung des prozessualen Anstandes darstellten, die mit einer sachlichen Kritik nichts zu tun hätten; er beschränkt sich im Wesentlichen darauf, das Bundesgericht aufzufordern, ihm zu erklären, "welche Worte dem Gericht denn passend erscheinten [sic!] um solche 'somalisch-afghanische' Zustände (...) treffender zu beschreiben". Diese und auch seine übrigen Ausführungen erfüllen die Anforderungen an die Begründungsdichte nicht; daher ist darauf nicht einzutreten.
Nicht einzutreten ist sodann auf die Vorwürfe der Verletzung des rechtlichen Gehörs, denn der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, in welchem Zusammenhang die angeblichen Unterlassungen zum angefochtenen Entscheid stehen bzw. inwiefern die fraglichen Unterlagen für den Ausgang des Verfahrens relevant gewesen sein könnten.
Dasselbe Schicksal ereilt den Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für die vorinstanzlichen Verfahren, denn der Beschwerdeführer setzt sich nicht mit der Erwägung des Obergerichts auseinander, wonach seine Beschwerde von vornherein aussichtslos gewesen sei.
2. Der Beschwerdeführer stellt ein Ausstandsbegehren gegen Oberrichter Y._. Der Sache nach rügt er eine Verletzung des Anspruchs auf einen verfassungsmässigen Richter (Art. 30 Abs. 1 BV). Oberrichter Y._ präsidiert die Kammer für Vormundschaftswesen und hat am angefochtenen Entscheid mitgewirkt. Zusammengefasst begründet der Beschwerdeführer seinen Antrag damit, dass er bisher in jedem Verfahren unterlegen sei, in welchem Oberrichter Y._ geurteilt habe. Dort, wo dieser nicht im Spruchkörper gewesen sei, habe er dagegen obsiegt. Oberrichter Y._ sei offensichtlich voreingenommen.
Nach der in Art. 30 Abs. 1 BV und in Art. 6 Ziff. 1 EMRK enthaltenen Garantie des verfassungsmässigen Richters hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird (BGE 133 I 1 E. 5.2 S. 3). Der Grundsatz von Treu und Glauben, der auch im Verfahrensrecht zu beachten ist, verlangt rechtzeitiges Handeln. Daher sind Ausstandsbegehren sofort nach Entstehen oder Bekanntwerden des Ausstandsgrundes zu stellen, andernfalls der Anspruch auf Ablehnung verwirkt ist (BGE 121 I 225 E. 3 S. 229). Den allgemein gehaltenen Ausführungen des Beschwerdeführers ist nicht zu entnehmen, dass erst der angefochtene Entscheid einen Ausstandsgrund gesetzt hätte. Demzufolge ist das Begehren verspätet; darauf ist nicht einzutreten.
3. Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer unterliegt und wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass die Beschwerde an das Bundesgericht von vornherein keine Chance auf Erfolg haben konnte (Art. 64 Abs. 1 BGG). Damit mangelt es an einer materiellen Anspruchsvoraussetzung, und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen. Der Vormundschaftsbehörde A._, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Vormundschaftswesen als zweitinstanzliche vormundschaftliche Aufsichtsbehörde, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn