Fatti:
A. A.a P._, nato nel 19.., ha conseguito nel novembre 20.. la licenza universitaria in filosofia con indirizzo in economia politica. Dal 27 aprile al 22 maggio 2009 ha effettuato un soggiorno linguistico e dal 1° luglio al 31 dicembre dello stesso anno un periodo di pratica presso l'Ambasciata svizzera di W._. Il 27 gennaio 2010 ha inoltrato alla Cassa di disoccupazione Unia una domanda d'indennità di disoccupazione con effetto dal 25 gennaio 2010. La richiesta è stata respinta dall'amministrazione per il motivo che il richiedente non aveva compiuto il periodo legale minimo di contribuzione né soddisfaceva le condizioni per essere esonerato dall'adempimento di questo presupposto (decisione del 3 marzo 2010 e decisione su opposizione del 18 marzo 2010). Adito su ricorso, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha invece considerato che P._ poteva essere esonerato dall'adempimento del periodo di contribuzione e ha rinviato gli atti all'amministrazione per esaminare le ulteriori condizioni per il diritto a prestazioni assicurative (pronuncia del 21 luglio 2010).
A.b Mediante nuova decisione del 30 luglio 2010, sostanzialmente confermata il 16 agosto seguente anche in seguito all'opposizione interposta dalla Segreteria di Stato dell'economia (seco), l'amministrazione ha posto P._ al beneficio di indennità di disoccupazione a partire dal 25 gennaio 2010.
B. Contestando l'operato dell'amministrazione che avrebbe a torto esone-rato l'interessato dall'adempimento del periodo di contribuzione, la seco si è aggravata al Tribunale cantonale delle assicurazioni, il quale, statuendo per giudice unico, ne ha respinto il gravame (pronuncia dell'8 novembre 2010).
C. Contro questa pronuncia la seco è insorta al Tribunale federale. Previa concessione dell'effetto sospensivo, chiede in via principale l'annullamento del giudizio cantonale. In via subordinata chiede di negare a P._ il diritto alle indennità di disoccupazione. Il tutto con protesta di spese e ripetibili.
La Cassa di disoccupazione ha rinunciato a presentare osservazioni, mentre P._ ha proposto la reiezione del ricorso.
Diritto:
1. Oggetto del ricorso è una pronuncia cantonale che riconosce a P._ indennità di disoccupazione. Ne segue che l'assicurato è coinvolto nella presente lite non già solo quale cointeressato, ma quale parte opponente, dal momento che tema controverso è il suo diritto alle indennità in questione. Il fatto che il Tribunale cantonale delle assicurazioni lo abbia interpellato solo quale cointeressato è tuttavia privo di rilievo, visto che egli in quella sede ha potuto tutelare i propri diritti al pari di una parte (cfr. sentenza 9C_785/2010 del 10 giugno 2011 consid. 1.2).
2. 2.1 Giusta l'art. 29 cpv. 1 LTF, il Tribunale federale esamina d'ufficio la sua competenza. Esso statuisce così liberamente sulla ricevibilità dei ricorsi che gli sono sottoposti (DTF 133 I 185 consid. 2 pag. 188 con riferimenti).
2.2 Alla luce dei principi giurisprudenziali esposti nella sentenza 8C_1019/2008 del 28 luglio 2009, menzionata in DTF 136 V 146 sub Fatti C, il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha ammesso a ragione la legittimazione ricorsuale della seco.
3. Il ricorso può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Per il resto, il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF). Può scostarsi da questo accertamento solo qualora esso sia avvenuto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF (art. 105 cpv. 2 LTF).
4. 4.1 Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, il giudice cantonale ha correttamente esposto le norme legali disciplinanti la materia. A tale esposizione può essere fatto riferimento.
4.2 Unico oggetto del contendere è l'esenzione di P._ dall'adempimento del periodo di contribuzione per causa di formazione. A questo riguardo giova ribadire che in virtù dell'art. 14 cpv. 1 lett. a LADI sono esonerate dall'adempimento del periodo di contribuzione le persone che, entro il termine quadro, durante oltre dodici mesi complessivamente, non sono state vincolate da un rapporto di lavoro e non hanno quindi potuto soddisfare i relativi obblighi a causa di formazione scolastica, riqualificazione o perfezionamento, a condizione che durante almeno dieci anni siano state domiciliate in Svizzera.
5. 5.1 Secondo la giurisprudenza, per formazione ai sensi dell'art. 14 cpv. 1 lett. a LADI si intende ogni preparazione sistematica a una futura attività lucrativa fondata su un ciclo di formazione (usuale) regolare, riconosciuto legalmente o, perlomeno, di fatto (DTF 122 V 43 consid. 3c/aa pag. 44; DLA 2000 n. 28 pag. 144 [C 214/98] consid. 1b; SVR 1995 ALV n. 46 pag. 135 [C 223/94] consid. 2b). Orbene, un periodo di pratica (non rimunerato o retribuito, come nel caso concreto, con 1300 dollari americani al mese) che permette - come del resto ogni periodo di pratica - di completare le conoscenze teoriche acquisite, non risponde a questa definizione di formazione, a meno che non risulti necessario per il corso formativo dell'assicurato. Nella misura in cui dalla sentenza pubblicata in DLA 2005 n. 18 pag. 207 (C 311/02) si evince una soluzione diversa, essa non può essere mantenuta.
5.2 Convince per il resto l'argomentazione ricorsuale della seco che, rimettendo in discussione la citata giurisprudenza pubblicata in DLA 2005 n. 18 pag. 207, critica soprattutto il fatto che se gli stage sono svolti in Svizzera e retribuiti sufficientemente per occasionare il versamento dei contributi sociali, essi vengono equiparati a un'attività lucrativa, mentre se sono svolti all'estero e praticamente basati sul volontariato, vengono considerati quale parte integrante di una formazione. L'assicurato che ha effettuato uno stage retribuito in Svizzera rischia in tal modo di percepire indennità inferiori rispetto a un altro assicurato che ha effettuato lo stage all'estero e che è indennizzato tramite il guadagno forfettario. Inoltre, se si considera l'evoluzione del mercato del lavoro in Svizzera e in Europa negli ultimi anni, ormai è di uso per i neo-laureati effettuare uno o più stage, ovvero attività (poco o non pagate) di durata limitata, prima di ottenere un contratto di lavoro a tempo indeterminato e correttamente retribuito. Ora, secondo l'insorgente, l'acquisizione di esperienza a livello professionale tramite rapporti di lavoro di durata determinata non può essere assimilata alla nozione di formazione ai sensi dell'art. 14 cpv. 1 lett. a LADI. Infatti, uno stage non differisce sostanzialmente da un impiego usuale, tranne che le esigenze del datore di lavoro tengono conto dell'inesperienza della persona impiegata. Il Tribunale federale ritiene di potere condividere l'opinione dell'autorità di vigilanza.
5.3 In esito alle suesposte considerazioni, difettando, in concreto, le condizioni per concedere un'esenzione dall'obbligo di adempimento del periodo di contribuzione per causa di formazione, il ricorso della seco merita di essere accolto, mentre la pronuncia cantonale e la decisione su opposizione del 16 agosto 2010 della Cassa di disoccupazione Unia, che hanno statuito diversamente, riconoscendo a P._ il diritto alle indennità di disoccupazione a partire dal 25 gennaio 2010, devono essere annullate.
6. 6.1 Le spese giudiziarie andrebbero caricate all'assicurato opponente (art. 66 cpv. 1 LTF). Viste le particolarità del caso, si rinuncia però eccezionalmente a prelevare tali spese (art. 66 seconda frase LTF). Nessun diritto a ripetibili può inoltre essere riconosciuto alla seco (art. 68 cpv. 3 LTF).
6.2 Con l'emanazione della presente sentenza, infine, la domanda di concessione dell'effetto sospensivo diviene priva d'oggetto.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. In accoglimento del ricorso, il giudizio cantonale dell'8 novembre 2010 e la decisione su opposizione 16 agosto 2010 della Cassa di disoccupazione Unia sono annullati.
2. Non si prelevano spese giudiziarie né si assegnano ripetibili.
3. Comunicazione alle parti e al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino.