Erwägungen:
1. X._, 1967 geborener Staatsangehöriger von Bosnien und Herzegowina, reiste im Oktober 1989 in die Schweiz ein und heiratete am 21. November 1989 eine Schweizer Bürgerin; die Ehe wurde 1999 geschieden, nachdem die Wohngemeinschaft schon längere Zeit zuvor (wohl nicht vor anfangs 1994) aufgegeben worden war. Gestützt auf diese Ehe erhielt X._ eine Aufenthaltsbewilligung, die auch nach der Scheidung jeweilen verlängert wurde, zuletzt bis 30. März 2008. Er ist Vater eines am 20. März 2004 geborenen Sohns, dessen Mutter eine Landsfrau mit Aufenthaltsbewilligung ist; der Sohn verfügt seinerseits über eine Aufenthaltsbewilligung.
Mit Verfügung vom 25. Mai 2010 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ ab und wies diesen aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobene Beschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern blieb erfolglos (Entscheid vom 18. Januar 2011). Mit Urteil vom 19. Oktober 2011 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die gegen den Beschwerdeentscheid des Departements erhobene Beschwerde ab, wobei es die Ausreisefrist auf den 31. Januar 2012 ansetzte.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. November 2011 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben und dem Beschwerdeführer sei die Niederlassungsbewilligung zu erteilen, eventuell die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss Art. 83 lit. c BGG unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), und gegen die Wegweisung (Ziff. 4).
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit eines Rechtsmittels von Amtes wegen mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; dazu BGE 136 II 497 E. 3 S. 499 mit Hinweisen). Sind allerdings die Eintretensvoraussetzungen nicht ohne Weiteres gegeben, ergibt sich aus der Begründungspflicht gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG, dass der Beschwerdeführer die Zulässigkeit des Rechtsmittels darzulegen hat (BGE 133 II 249 E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404; 134 II 45 E. 2.2.3 S. 48); im Zusammenhang mit Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG muss ein Bewilligungsanspruch in vertretbarer Weise geltend gemacht werden.
2.2 Der Beschwerdeführer hatte zuletzt eine bis 30. März 2008 befristete Aufenthaltsbewilligung. Für den Entscheid über deren Erneuerung ist gemäss dessen Art. 126 Abs. 1 das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) massgeblich, welches am 1. Januar 2008 das bis Ende 2007 gültige Gesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) abgelöst hat.
2.2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, dass er während rund zehn Jahren mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet war und gestützt darauf einen Anspruch auf Niederlassungsbewilligung und erst recht auf eine Aufenthaltsbewilligung habe. Er beruft sich dazu auf Art. 42 Abs. 3 AuG, wonach ausländische Ehegatten eines Schweizer Bürgers nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren in ehelicher Wohngemeinschaft Anspruch auf Erteilung einer Niederlassungsbewilligung haben. Die Möglichkeit einer Berufung auf Art. 42 Abs. 3 AuG entfällt, da der Beschwerdeführer seit 1999 von seiner schweizerischen Ehefrau geschieden ist. Ausser Betracht fiele auch, heute indirekt einen Anspruch auf Niederlassungsbewilligung gestützt auf die inhaltlich mit Art. 42 Abs. 3 AuG übereinstimmende altrechtliche Norm des Art. 17 Abs. 2 zweiter Satz ANAG geltend zu machen. Der Beschwerdeführer hat während seiner zehnjährigen Ehe nie eine Niederlassungsbewilligung erhältlich gemacht bzw. machen können; es ist heute unerheblich, worauf dies zurückzuführen ist; denkbar wären etwa die 1990 einsetzende Schuldenmacherei, die 1995 wegen betreibungsrechtlicher Delikte erfolgte Verurteilung oder die damalige eheliche Situation.
2.2.2 Der Beschwerdeführer ist weiter der Auffassung, dass er sich, immer im Zusammenhang mit der früheren Ehe, jedenfalls auf Art. 50 Abs. 1 lit. a oder lit. b und Abs. 2 AuG berufen könne. Er verkennt, dass mit diesen Normen das "Weiterbestehen" der Bewilligungsansprüche nach Art. 42 und 43 AuG geregelt wird. Ist der originäre Bewilligungsanspruch (wie vorliegend, s. dazu E. 2.2.1) einmal untergegangen, kommt ein Wiederaufleben dieses Anspruchs gestützt auf Art. 50 AuG regelmässig nicht in Betracht (BGE 137 II 345 E. 3.2.3 S. 350; Urteil 2C_590/2010 vom 29. November 2010 E. 2.5.3). Jedenfalls muss grundsätzlich ein Zusammenhang mit der Ehe und dem damit verbundenen Aufenthalt gegeben sein, die Grundlage des Bewilligungsanspruchs bildet (Urteil 2C_365/2010 vom 22. Juni 2011 E. 3.6).
Was der Beschwerdeführer zu seiner beruflichen Integration, die nun auf guten Wegen sei, ausführt (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG), steht sichtlich in keinem Zusammenhang mit seiner Ehe. Ebenso wenig kann unter dem Gesichtswinkel von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG die Besuchsrechtsbeziehung zu seinem Sohn massgeblich sein, der erst fünf Jahre nach der Auflösung der Ehe geboren wurde und in keinem Zusammenhang damit steht. Auch sonst sind keine Elemente eines "nachehelichen Härtefalls" im Sinne dieser Norm erkennbar. Inwiefern sich aus Art. 50 AuG ein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung oder gar auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung ergeben könnte, wird nicht in vertretbarer Weise aufgezeigt.
2.2.3 Der Beschwerdeführer beruft sich schliesslich auf Art. 8 EMRK. Unter dem Aspekt Familienleben (Beziehung zum Sohn) lässt sich aus dieser Konventionsnorm schon darum kein Bewilligungsanspruch ableiten, weil der Sohn bloss über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt und mithin kein gefestigtes Anwesenheitsrecht hat (BGE 135 I 143 E. 1.3.1 S. 145 f.). Der Hinweis des Beschwerdeführers auf die mittlerweile erfolgte Einschulung und die Gesundheitsprobleme des Sohnes (s. dazu aber E. 6 b/bb des angefochtenen Urteils) ändert daran - unter anderem angesichts der Tatsache, dass auch kein gefestigtes Anwesenheitsrecht der Mutter gegeben ist - nichts. Soweit das Recht auf Achtung des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK angesprochen wird, erfüllt der Beschwerdeführer die strengen Voraussetzungen, um insofern einen Bewilligungsanspruch geltend zu machen (s. dazu BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286), offensichtlich nicht; es kann auf E. 2 b/aa des angefochtenen Urteils verwiesen werden.
2.3 Da unter keinem Titel in vertretbarer Weise ein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthalts- oder gar Erteilung der Niederlassungsbewilligung geltend gemacht wird, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.4 Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller