Faits:
A. Par décision du 27 mai 2008, le Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif) avait pris acte du retrait du recours formé par A._ contre une décision de l'Office cantonal des automobiles et de la navigation du canton de Genève (ci-après: l'OCAN) lui retirant son permis de conduire pour une durée de douze mois. Selon la décision de l'OCAN, la mesure prenait effet le 1er janvier 2009. A._ n'avait cependant pas déposé son permis de conduire à cette date. Le 30 mars 2009, à l'occasion d'un constat d'infraction par la gendarmerie genevoise pour conduite sans permis, celui-ci avait été saisi.
Par décision du 23 juin 2009, l'OCAN a ordonné une nouvelle mesure de retrait du permis de conduire de A._ pour une durée indéterminée, au minimum pour deux ans. Le 30 juillet 2009, la prénommée a recouru contre cette décision auprès de la Commission cantonale de recours en matière administrative, en présentant une requête de restitution de l'effet suspensif, qui a été rejetée. La demande de reconsidération de cette décision a été déclarée irrecevable, ce que l'intéressée a contesté auprès du Tribunal administratif, en concluant notamment à ce que l'effet suspensif soit restitué. Par décision du 18 janvier 2010, la Présidente de ce tribunal a rejeté la requête en restitution de l'effet suspensif, dans la mesure où elle était recevable. A._ a recouru contre cette dernière décision auprès du Tribunal fédéral, qui a rejeté ce recours, dans la mesure de sa recevabilité, par arrêt du 17 mai 2010 (cause 1C_116/2010). En substance, la Cour de céans a considéré que la décision attaquée ne reposait pas sur une constatation arbitraire des faits et qu'elle respectait le principe de la proportionnalité.
B. Le 12 octobre 2009, la prénommée a formé une demande de révision de la décision du 27 mai 2008 auprès du Tribunal administratif, qui a déclaré cette requête irrecevable par arrêt du 11 mai 2010. Ce tribunal a considéré que la demande était tardive, le délai de trois mois prévu par l'art. 81 de la loi cantonale sur la procédure administrative (LPA; RSG E 5 10) pour former une demande de révision étant arrivé à échéance le 30 septembre ou le 1er octobre 2009. Il a également refusé de donner suite à la demande de comparution personnelle présentée par l'intéressée le 21 avril 2010.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer le dossier au Tribunal administratif pour instruction de la cause. Elle requiert en outre l'octroi de l'effet suspensif. Elle se plaint d'une violation de l'art. 81 al. 1 LPA, d'arbitraire, de formalisme excessif et d'une violation de son droit d'être entendue. Le Tribunal administratif et l'OCAN n'ont pas présenté d'observations.
D. Par ordonnance du 24 juin 2010, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif.
Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) statuant sur une demande de révision en matière de retrait du permis de conduire (art. 82 let. a LTF), le recours est recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions mentionnées à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. La recourante est particulièrement touchée par la décision attaquée, qui rejette sa demande de révision d'une décision prenant acte du retrait d'un recours contre une décision ordonnant le retrait de son permis de conduire pour une durée de douze mois; elle a donc un intérêt digne de protection à obtenir son annulation, si bien qu'elle a la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Les autres conditions de recevabilité sont réunies, de sorte qu'il convient d'entrer en matière.
2. La voie du recours en matière de droit public étant ouverte en l'espèce, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF).
3. Dans un premier grief, la recourante se plaint d'une violation de l'art. 81 al. 1 LPA. Devant le Tribunal fédéral, la violation du droit cantonal ne peut être invoquée que si elle constitue également une atteinte au droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF ou au droit international au sens de l'art. 95 let. b LTF. L'atteinte au droit fédéral peut notamment résulter du fait que le droit cantonal a été appliqué de façon arbitraire (ATF 133 II 249 consid. 1.2.1 p. 251 s. et les références). La recourante ne démontre pas, comme il lui appartenait de le faire, que la violation de la disposition de droit cantonal susmentionnée porte également atteinte au droit fédéral ou international ni qu'elle procède d'une application arbitraire du droit cantonal. Ce premier moyen est donc irrecevable.
4. L'interdiction de l'arbitraire est invoquée en relation avec une critique de la constatation des faits. La recourante estime que le Tribunal administratif a considéré arbitrairement qu'elle avait eu connaissance du motif de révision dès la réception de la décision de retrait de permis prononcée par l'OCAN le 23 juin 2009.
4.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4; 134 I 263 consid. 3.1 p. 265 s.; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17; 131 I 217 consid. 2.1 p. 219; 129 I 173 consid. 3.1 p. 178). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; 127 I 38 consid. 2a p. 41).
4.2 En l'occurrence, le motif de la demande de révision présentée par la recourante résidait dans un prétendu malentendu avec son précédent avocat, qui n'aurait pas respecté ses instructions en retirant le recours du 14 avril 2008. Elle prétend avoir découvert ce motif de révision seulement après avoir consulté son nouvel avocat, le 16 juillet 2009. Cette affirmation est toutefois en contradiction avec ce que la recourante avançait dans sa demande de révision. En effet, elle a allégué à plusieurs reprises devant l'instance précédente qu'elle avait eu connaissance du retrait du recours lorsqu'elle avait reçu la décision de retrait de permis du 23 juin 2009, sans aucunement mentionner qu'elle avait dû attendre l'analyse de son nouvel avocat pour découvrir ce motif de révision.
Par ailleurs, il apparaît douteux que la recourante n'ait pas eu connaissance du motif de révision. Il convient d'abord de rappeler qu'elle était en principe réputée connaître la décision de retrait, en vertu de la règle selon laquelle les actes de l'avocat sont imputables à son client (cf. ATF 107 Ia 168 consid. 2a p. 169; voir aussi ATF 114 Ib 67 consid. 2c p. 70). Or, la recourante ne fait pas valoir de circonstances exceptionnelles qui justifieraient de s'écarter de ce principe. De plus, selon la pratique habituelle, la recourante a dû être informée par son avocat des démarches qu'il a entreprises et de l'issue de la cause. Il n'est en outre guère plausible que la recourante ne se soit pas souciée du sort de son recours du 14 avril 2008. Celui-ci visait en effet une décision de retrait de permis pour une durée de douze mois, ce qui devait la préoccuper puisqu'elle prétend avoir un besoin impératif de son véhicule pour exercer sa profession.
Quoi qu'il en soit, même si la version des faits présentée par la recourante n'est pas complètement impossible, cela ne suffit pas pour démontrer que la constatation de faits ressortant de l'arrêt attaqué est arbitraire au sens de la jurisprudence susmentionnée. Cette constatation apparaît d'autant moins insoutenable qu'elle correspond aux allégués de la recourante, qui affirmait avoir découvert le retrait du recours à réception de la décision du 23 juin 2009. Elle prétendait certes avoir reçu cette décision le 13 juillet 2009 seulement, mais le Tribunal administratif a considéré qu'il fallait prendre en compte la fiction de notification à l'échéance du délai de garde de sept jours (cf. ATF 130 III 396 consid. 1.2.3 p. 399; 127 I 31 consid. 2/aa p. 34; 123 III 492 consid. 1 p. 493 et les arrêts cités), soit le 1er juillet 2009, ce qui n'est pas contesté dans le présent recours. En définitive, l'arrêt attaqué retient sans arbitraire que la recourante a eu connaissance du motif de révision à réception de la décision du 23 juin 2009, de sorte que ce grief doit être rejeté.
5. La recourante allègue également que le Tribunal administratif a fait preuve de formalisme excessif en déclarant sa demande de révision irrecevable pour cause de tardiveté.
5.1 Selon la jurisprudence, il y a formalisme excessif, constitutif d'un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst., lorsque la stricte application des règles de procédure ne se justifie par aucun intérêt digne de protection, devient une fin en soi et complique de manière insoutenable la réalisation du droit matériel ou entrave de manière inadmissible l'accès aux tribunaux. L'excès de formalisme peut résider soit dans la règle de comportement imposée au justiciable par le droit cantonal, soit dans la sanction qui lui est attachée (ATF 132 I 249 consid. 5 p. 253; 130 V 177 consid. 5.4.1 p. 183; 128 II 139 consid. 2a p. 142; 127 I 31 consid. 2a/bb p. 34 et les arrêts cités).
5.2 De manière générale, la sanction du non-respect d'un délai de procédure n'est pas constitutive de formalisme excessif, une stricte application des règles relatives aux délais étant justifiée par des motifs d'égalité de traitement et par un intérêt public lié à une bonne administration de la justice et à la sécurité du droit (cf. ATF 104 Ia 4 consid. 3 p. 5; arrêt 1C_549/2009 du 1er mars 2010 consid. 3.2.1 et les références citées). En l'occurrence, on ne voit pas en quoi la stricte application de la règle fixant le délai pour déposer une demande de révision serait injustifiée ou de nature à entraver de manière inadmissible l'accès aux tribunaux. Ainsi, le Tribunal administratif ayant constaté sans arbitraire (cf. supra consid. 4) que le délai de trois mois prévu par l'art. 81 al. 1 LPA commençait à courir au plus tard le 1er juillet 2009, il pouvait constater que la requête déposée le 12 octobre 2009 était irrecevable parce que tardive, sans que l'on puisse lui reprocher d'avoir fait preuve de formalisme excessif.
6. Enfin, la recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue, au motif que le Tribunal administratif ne lui a pas permis de comparaître personnellement pour s'expliquer.
6.1 Tel qu'il est garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, le droit de consulter le dossier, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuve pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 135 II 287 consid. 5.1 p. 293; 132 II 485 consid. 3.2 p. 494, V 368 consid. 3.1 p. 371; 129 II 497 consid. 2.2 p. 504 s.; 127 I 54 consid. 2b p. 56; 124 I 48 consid. 3a p. 51 et les arrêts cités). L'autorité peut cependant renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 429; 125 I 127 consid. 6c/cc in fine p. 135; 124 I 208 consid. 4a p. 211 et les arrêts cités).
6.2 La garantie procédurale minimum conférée par l'art. 29 al. 2 Cst. ne comporte pas, en principe, le droit d'être entendu oralement (ATF 125 I 209 consid. 9b p. 219; 122 II 464 consid. 4c p. 469 s.; AUER/MALINVERNI/HOTTELIER, Droit constitutionnel suisse, vol. II, 2e éd. 2006, n. 1331 p. 610). Il en va également ainsi dans la procédure administrative cantonale, l'art. 18 LPA prévoyant que la procédure administrative est en principe écrite et l'art. 41 LPA exposant clairement que le droit d'être entendu ne permet pas aux parties de "prétendre à une audition verbale, sauf dispositions légales contraires".
En l'occurrence, on ne voit pas ce qui justifiait de faire une exception aux principes susmentionnés. La recourante prétend qu'une comparution personnelle aurait permis au Tribunal administratif de l'interroger sur la date exacte à laquelle elle aurait pris connaissance du motif de révision. On ne voit cependant pas pour quelle raison une instruction était nécessaire sur ce point, la recourante ayant elle-même allégué à plusieurs reprises dans sa demande de révision qu'elle avait eu connaissance du motif en question à la réception de la décision du 23 juin 2009. Si elle avait réellement eu l'intention d'alléguer autre chose à cet égard, elle pouvait le faire dans le cadre des différents écrits qu'elle a adressés au Tribunal administratif. Pour le surplus, la recourante a pu largement s'exprimer par écrit sur les différents aspects de la cause, de sorte que son droit d'être entendue n'a aucunement été violé.
7. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. La recourante, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à l'Office des automobiles et de la navigation ainsi qu'au Tribunal administratif du canton de Genève.
Lausanne, le 6 décembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener