Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führt gegen Y._ ein Strafverfahren wegen Körperverletzung etc. unter anderem zum Nachteil von X._. Mit Verfügung vom 6. November 2009 verbot die Staatsanwaltschaft Y._, die Schweiz zu verlassen, und ordnete eine Pass- und Schriftensperre an. Am 14. April 2010 ersuchte Y._ um temporäre Aufhebung dieser Ersatzmassnahmen für die Zeit vom 13. bis 24. Mai 2010. Mit Verfügung vom 22. April 2010 gab die Staatsanwaltschaft dem Gesuch statt. Auf den von X._ am 6. Mai 2010 dagegen erhobenen Rekurs trat die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich mit Entscheid vom 11. Mai 2010 nicht ein.
In der Folge wurden die Ersatzmassnahmen vom 13. bis 24. Mai 2010 ausgesetzt. Nach Ablauf dieser Frist meldete sich Y._ unter Rückgabe seines Reisepasses bei der Staatsanwaltschaft zurück. Die Ersatzmassnahmen traten wieder in Kraft und dauern seither an.
B. Mit Eingabe vom 10. Juni 2010 führt X._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht mit den Anträgen, der Rekursentscheid der Oberstaatsanwaltschaft vom 11. Mai 2010 sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass diese zu Unrecht nicht auf den Rekurs eingetreten sei.
Die Oberstaatsanwaltschaft stellt in ihrer Vernehmlassung den Antrag, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Y._ verzichtet auf eine Vernehmlassung. Die Beschwerdeführerin hält in ihrer Stellungnahme an ihren Rechtsbegehren fest.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die befristete Aufhebung der gegenüber dem Beschwerdegegner verfügten Ersatzmassnahmen. Die Aufhebung betraf die Zeit vom 13. bis 24. Mai 2010; unterdessen sind die Ersatzmassnahmen wieder in Kraft. Zum Zeitpunkt der Einreichung ihrer Beschwerde ans Bundesgericht am 10. Juni 2010 hatte die Beschwerdeführerin damit an der Überprüfung der Rechtmässigkeit der streitigen Anordnung kein aktuelles Interesse mehr.
Das Bundesgericht sieht indessen vom Erfordernis des aktuellen Interesses dann ab, wenn sich die mit der Beschwerde aufgeworfene Frage jederzeit und unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen könnte, an ihrer Beantwortung wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung ein hinreichendes öffentliches Interesse besteht und eine rechtzeitige bundesgerichtliche Prüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre (BGE 135 I 79 E. 1.1 S. 81). Damit ist zugleich gesagt, dass die nachträgliche Überprüfung einer gegenstandslos gewordenen Anordnung sich auf die in Zukunft mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit erneut stellenden Streitfragen zu beschränken hat. Das Bundesgericht beurteilt, unter Ausserachtlassen der zufälligen Modalitäten des obsolet gewordenen Falls, die streitigen Grundsatzfragen, wobei sich der Klärungsbedarf aber aufgrund der individuellen, potenziell wiederholbaren Situation der Beschwerdeführerin bestimmt (BGE 131 II 670 E. 1.2 S. 673).
1.2 Die Voraussetzungen, unter welchen vom Erfordernis des aktuellen Interesses abgesehen werden kann, sind nicht erfüllt.
Ersatzmassnahmen sind grundsätzlich solange aufrechtzuerhalten, als hierfür Anlass besteht, d.h. neben dem dringenden Tatverdacht auch ein Haftgrund vorliegt. Eine zeitweise Aussetzung kommt daher in der Regel nicht in Betracht. Vorliegend wurden das gegenüber dem Beschwerdegegner angeordnete Verbot, die Schweiz zu verlassen, und die verfügte Pass- und Schriftensperre befristet aufgehoben, damit der Beschwerdegegner seinen schwer krebskranken Vater in Frankreich besuchen konnte; dieser verstarb schliesslich am 30. Juli 2010. Es liegt demnach ein Ausnahmefall vor, und ähnlich gelagerte Situationen dürften sehr selten sein. Dementsprechend kann nicht gesagt werden, dass sich die mit der Beschwerde aufgeworfene Frage jederzeit und unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen könnte. Ebenso wenig handelt es sich angesichts der speziellen Konstellation um eine bedeutsame Grundsatzfrage, an deren Beantwortung ein hinreichendes öffentliches Interesse besteht.
2. Zusammenfassend fehlte es damit bereits zum Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung am aktuellen Interesse, und von diesem Erfordernis kann im zu beurteilenden Fall auch nicht abgesehen werden. Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner, welcher keine Vernehmlassung eingereicht hat, wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. September 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner