Faits:
A. A.a P._, née en 1963, travaille depuis 1988 comme secrétaire de direction auprès du Service X._, unité rattachée au Département Y._ du canton du Valais. Le Conseil d'Etat du canton du Valais l'a régulièrement reconduite dans ses fonctions, la dernière fois pour la période administrative 2006-2009.
En mars 2008, la direction du Service X._ a tenu une séance à la demande d'une collaboratrice qui se plaignait des accusations portées contre elle par P._. Lors de cette séance, le chef de service a enjoint la prénommée à respecter plusieurs exigences en vue de rétablir la bonne marche du secrétariat. Ces injonctions n'ont pas été suivies d'effet, de sorte que la direction du Service X._ a tenu une nouvelle séance le 5 mai 2008, puis a sollicité l'aide du Service du personnel de l'Etat du Valais, le 6 octobre suivant. Le 29 octobre 2008, P._ a été rendue attentive à la nécessité de commencer le travail à 8h00; elle n'a toutefois pris aucun engagement quant au respect de cette consigne. Elle a par la suite été convoquée à une visite médicale auprès du médecin-conseil de l'Etat du Valais, à laquelle elle ne s'est toutefois pas rendue. Cette convocation lui avait été adressée conformément à une décision du 8 octobre 2008 du chef du Département Y._ de la soumettre à un examen médical pour évaluer sa capacité de travail. P._ n'a pas davantage donné suite aux suggestions du Service X._ de consulter un médecin pour faire le point sur sa situation ou de s'adresser aux services de la consultation sociale de l'Etat. Elle a persisté dans son attitude inadéquate sur le lieu de travail, agressant verbalement ses collègues et prenant des libertés avec les horaires de travail et les consignes relatives à l'exécution de ses tâches.
Le 13 février 2009, la direction du Service X._ a informé P._ du fait qu'en raison de son comportement, qui entravait la bonne marche du service, elle envisageait de proposer au Conseil d'Etat l'ouverture d'une procédure disciplinaire avec suspension provisoire de l'engagement. L'intéressée n'a pas présenté d'observation.
Le 18 mars 2009, son comportement au travail a conduit le Service X._ à demander son admission d'urgence à l'hôpital psychiatrique Z._. L'employée a présenté une incapacité de travail totale jusqu'au 24 juin 2009.
A.b Le 29 avril 2009, le Conseil d'Etat a ouvert une procédure disciplinaire à l'encontre de P._ et l'a provisoirement suspendue dans l'exercice de ses fonctions, avec maintien du traitement. Il a motivé ces mesures par l'attitude de la prénommée envers ses collègues et le mauvais climat de travail qui en résultait pour le Service X._.
Entendue le 8 juin 2009 par la commission disciplinaire, P._ a admis les manquements professionnels reprochés, mais a allégué qu'ils résultaient d'une maladie psychique dont elle souffrait. Elle suivait désormais un traitement médicamenteux qui lui permettrait d'adopter un comportement adéquat. Dans une lettre du 15 juin 2009 à la commission disciplinaire, elle s'est étonnée de la procédure engagée par le Service X._ alors qu'il connaissait sa maladie psychique depuis 1997; elle a par ailleurs soutenu qu'elle n'avait pas pu valablement se défendre devant la commission, puisqu'elle était en arrêt de travail pour cause de maladie depuis le 18 mars 2009, et a évoqué les pressions qu'elle avait subies de la part de ses collègues avant même le déclenchement de l'affection psychique qui l'avait conduite à se replier sur elle-même.
Par décision du 17 juin 2009, le Conseil d'Etat a clos la procédure disciplinaire en constatant une violation fautive de ses devoirs de service par P._ et en prononçant, pour ce motif, une décision de mise au provisoire pour une durée d'une année dès le 1er juillet 2009.
A.c Entre-temps, la direction du Service X._ avait informé P._, le 20 mai 2009, du fait qu'elle proposerait au Conseil d'Etat de ne pas la reconduire dans ses fonctions pour la prochaine période administrative, en raison des problèmes posés par son comportement. P._ a objecté que les manquements reprochés était dus à l'atteinte à la santé dont elle souffrait. Elle avait suivi un traitement médicamenteux pendant plusieurs années, qu'elle avait interrompu, provoquant ainsi une rechute. Elle suivait à nouveau le traitement et ne présentait plus de symptômes, de sorte qu'elle était à nouveau apte à travailler au poste qu'elle avait occupé durant 21 ans.
Le 10 juin 2009, le Conseil d'Etat a décidé de ne pas renouveler les rapports de service de P._ pour la période 2010-2013. La décision était motivée par la durée du comportement en cause, les multiples occasions que l'intéressée avait eues d'y remédier et le pronostic défavorable qui découlait des traits de caractères qui avaient été observés.
B. P._ a recouru devant le Tribunal cantonal valaisan contre les deux décisions des 10 et 17 juin 2009 du Conseil d'Etat, dont elle a demandé l'annulation, sous suite de frais et dépens. Sans contester la réalité des manquements reprochés (détérioration des relations avec ses collègues, refus de rencontrer le médecin-conseil de l'Etat du Valais et de s'acquitter de diverses tâches, etc.), elle a fait grief au Conseil d'Etat de les lui avoir imputés à faute, alors qu'ils étaient dus aux symptômes de la maladie psychique dont elle souffrait. A l'appui de son recours, elle a produit un certificat établi le 24 juin 2009 par son médecin traitant, le docteur R._, et s'est référée aux bonnes qualifications qui lui avaient été attribuées lors des évaluations annuelles antérieures à 2008. Elle a souligné, en particulier, avoir reçu une évaluation A+ (exigences du poste nettement dépassées) pour son comportement social en 2007; l'évaluation C (exigences non satisfaites) attribuée en 2008 s'expliquait uniquement par la maladie pour laquelle elle avait finalement dû être hospitalisée d'urgence en mars 2009. Elle a demandé que son médecin traitant soit entendu par la juridiction cantonale et a réservé une demande d'expertise médicale pour le cas où cette audition ne pourrait pas être pratiquée.
Le Tribunal cantonal a joint les causes et rejeté les deux recours par jugement du 16 octobre 2009, en refusant d'entendre le docteur R._ et d'ordonner une expertise médicale. Il a condamné la recourante au paiement de 1200 francs de frais de justice.
C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle en demande la réforme en ce sens que les deux décisions du Conseil d'Etat des 10 et 17 juin 2009 soient annulées, sous suite de frais et dépens. A titre subsidiaire, elle conclut au renvoi de la cause aux premiers juges pour qu'il statuent à nouveau.
L'intimé conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours dont il est saisi (ATF 134 V 443 consid. 1 p. 444; 133 II 249 consid. 1.1 p. 251).
2. 2.1 Le recours en matière de droit public n'est pas recevable contre les décisions en matière de rapports de travail de droit public qui concernent une contestation non pécuniaire, sauf si elles touchent à la question de l'égalité des sexes (art. 83 let. g LTF). S'agissant de contestations pécuniaires, toujours en matière de rapports de travail de droit public, le recours n'est recevable que si la valeur litigieuse est de 15'000 francs au moins ou si la contestation soulève une question juridique de principe (art. 85 al. 1 let. b et al. 2 LTF). Si les conclusions ne tendent pas au paiement d'une somme d'argent déterminée, le Tribunal fédéral fixe la valeur litigieuse selon son appréciation (art. 51 al. 2 LTF).
2.2 Les conclusions de la recourante concernant le non-renouvellement des rapports de travail revêtent une nature pécuniaire. La recourante entend obtenir sa réintégration pour une durée indéterminée - et donc le paiement de son salaire pendant plusieurs mois, voire plusieurs années - de sorte que l'on peut admettre que le seuil de 15'000 fr. de valeur litigieuse est atteint (arrêts 8C_358/2009 du 8 mars 2010, consid. 2, 8C_176/2009 du 14 septembre 2009, consid. 1, 8C_170/2009 du 25 août 2009 consid. 1, 8C_46/2009 du 24 août 2009 consid. 2). La contestation ne peut en revanche pas être qualifiée de pécuniaire en tant qu'elle porte sur la sanction disciplinaire prononcée contre la recourante, de sorte que le recours en matière de droit public sur ce point n'est en principe pas recevable, eu égard à l'art. 83 let. g LTF. On peut se demander, certes, s'il ne conviendrait pas de faire exception à cette disposition et d'admettre la recevabilité, par attraction, des conclusions de nature non patrimoniale prises par la recourante, en raison du lien de connexité qu'elles présentent avec ses conclusions de nature patrimoniale (dans le contexte des art. 74 et 85 al. 1 let. a LTF, cf. arrêt 6B_690/2007 du 14 avril 2008 consid. 1.4, ainsi que BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, no 15 ad art. 74; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, 2008, no 2271 sv. ad art. 74; DENIS TAPPY, Le recours en matière civile, in La nouvelle loi sur le Tribunal fédéral, 2007, Bovay et al. [éd.], 2007, note 33 p. 61). En l'espèce, une telle exception n'est toutefois pas nécessaire pour éviter toute contradiction de jugement dans des causes connexes (cf. DONZALLAZ, loc. cit.; JEAN-FRANÇOIS POUDRET, Commentaire de la loi fédéral d'organisation judiciaire, vol. II, 1990, n. 1.4 ad art. 44, avec les références). En effet, les seuls griefs soulevés par la recourante contre le jugement entrepris portent sur une violation du droit d'être entendu et l'interdiction de l'arbitraire. En ce qui concerne la sanction disciplinaire, le recours peut donc être traité comme un recours constitutionnel subsidiaire au sens des art. 113 ss LTF, étant précisé que la condition de l'intérêt juridiquement protégé posée pour la recevabilité d'un tel recours est remplie (consid. 3 ci-après).
3. L'intimé ne conteste pas, à juste titre, l'intérêt de la recourante à recourir contre le jugement entrepris, en tant qu'il porte sur le non-renouvellement des rapports de service. Il met en doute, en revanche, l'intérêt de la recourante à l'annulation du jugement entrepris sur la question de la sanction disciplinaire prononcée à son encontre.
3.1 Aux termes de l'art. 115 LTF, a qualité pour former un recours constitutionnel quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b).
La mise au provisoire est une mesure disciplinaire prononcée pour une durée d'une année au plus contre un fonctionnaire qui a violé intentionnellement ou par négligence ses devoirs de service (art. 15 al. 1 et 16 al. 1 let. c de la loi fixant le statut des fonctionnaires et employés de l'Etat du Valais, du 11 mai 1983 [loi sur le statut des fonctionnaires; RSV 172.2]). Elle ouvre la possibilité, pour l'employeur, de résilier ultérieurement les rapports de service aux conditions posées pour les employés engagés à titre provisoire par l'art. 34 al. 2 de la loi sur le statut des fonctionnaires (résiliation pour la fin d'un mois, moyennant un préavis de deux mois), plutôt qu'à celles posées pour les fonctionnaires nommés par les art. 35 et 36 (non-renouvellement à la fin de la période administrative ou existence de justes motifs). Une telle mesure ne peut être prise qu'aux conditions posées par la loi, à savoir une violation intentionnelle ou par négligence des devoirs de service. Le fonctionnaire dispose donc, en principe, d'un intérêt juridiquement protégé, au sens de l'art. 115 LTF, pour contester la sanction (voir aussi, à propos d'une sanction disciplinaire sous la forme d'un avertissement infligé à un magistrat, l'arrêt 1D_15/2007 du 13 décembre 2007, consid. 1.3).
3.2 Bien que le texte de l'art. 115 LTF ne le précise pas, l'intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée doit être actuel au moment où le Tribunal fédéral statue sur le recours (cf. ATF 136 I 274 consid. 1.3 p. 276; 136 II 101 consid. 1.1 p. 103; JEAN-MAURICE FRÉSARD, in Bernard Corboz et al., Commentaire de la LTF, 2008, n. 16 ad art. 115; GIOVANNI BIAGGINI, in Bundesgerichtsgesetz, Commentaire bâlois, 2008, n. 1 ad art. 115).
En l'espèce, le Conseil d'Etat a prononcé contre la recourante une mise au provisoire pour une durée d'une année, soit du 1er juillet 2009 au 30 juin 2010. En ce qui concerne les possibilités, pour l'employeur, de résilier les rapports de travail, cette mesure ne pourrait plus avoir d'effet, même dans l'hypothèse où la décision de non-renouvellement des rapports de service pour la période administrative 2010-2013 serait finalement annulée. Il n'en reste pas moins que la mesure disciplinaire constitue la sanction formelle d'un comportement fautif. Elle implique le constat que la recourante a contrevenu aux devoirs de sa charge, intentionnellement ou par négligence, et que la gravité de la faute justifie une sanction disciplinaire. Ce constat peut avoir une influence sur la carrière professionnelle future de la recourante, en particulier dans l'éventualité d'une nouvelle postulation pour un emploi dans l'administration cantonale ou du maintien des rapports de travail en cas d'admission du recours sur la question du non-renouvellement des rapports de service. Il pourrait également avoir une influence sur le droit aux prestations de l'assurance-chômage (cf. art. 30 al. 1 let. a LACI). L'intérêt de la recourante au recours est donc encore actuel.
4. 4.1 Les premiers juges ont considéré que le comportement de la recourante entre mars 2008 et l'hospitalisation de mars 2009 avait touché tous les aspects importants de son travail, qu'il était de nature à provoquer l'insatisfaction de l'employeur et qu'il justifiait la sanction disciplinaire et le non-renouvellement des rapports de service. Nonobstant le certificat médical produit par la recourante, ils ont considéré que cette dernière était capable de discernement, de sorte que le comportement en question était fautif. Ils ont observé, dans ce contexte, que la capacité de discernement de l'employée devait être présumée en l'absence de constat d'une maladie mentale grave durant l'année 2008. En outre, sa présence à son poste de travail, les nombreux contacts qu'elle avait menés avec ses collègues durant l'année, ses refus clairs de consulter son propre médecin ou celui de l'employeur permettaient d'exclure que sa capacité de discernement fût réduite « au point de l'exonérer de toute responsabilité ». Enfin, la recourante avait choisi d'interrompre le traitement médical et s'était donc elle-même mise dans une situation qui avait conduit à de graves difficultés au Service X._.
4.2 La recourante fait grief aux premiers juges d'avoir violé son droit d'être entendu et apprécié arbitrairement les preuves au dossier en constatant sa capacité de discernement au moment des faits sans entendre son médecin traitant ni ordonner d'expertise. Cette constatation serait clairement contredite par le certificat médical figurant au dossier. Si les premiers juges souhaitaient s'écarter de ce certificat, il leur appartenait, pour le moins, de donner suite à ses offres de preuve.
5. 5.1 Aux termes de l'art. 9 Cst., toute personne a droit à être traitée par les organes de l'Etat sans arbitraire et conformément aux règles de la bonne foi. Par ailleurs, l'art. 29 Cst. garantit le droit de toute personne, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable (al. 1). Les parties ont le droit d'être entendues (al. 2). La jurisprudence a notamment déduit de ce droit celui pour les parties de produire des preuves quant aux faits de nature à influer la décision et d'obtenir qu'il soit donné suite aux offres de preuves pertinentes (ATF 132 V 368 consid. 3.1 p. 370; 127 III 576 consid. 2c p. 578; 127 V 431 consid. 3a p. 436). En revanche, une partie n'a pas droit à l'administration d'une preuve dépourvue de pertinence parce qu'elle porte sur une circonstance sans rapport avec le litige, ou qu'une appréciation anticipée des preuves déjà recueillies démontre qu'elle ne serait pas de nature à emporter la conviction de la juridiction saisie (cf. ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 131 I 153 consid. 3 p. 157). Comme le Tribunal fédéral est en principe lié par les faits constatés par la juridiction cantonale (art. 118 LTF), il ne revoit l'appréciation anticipée des preuves que sous l'angle restreint de l'arbitraire (ATF 134 I 140 et 131 I 153 cités). En l'occurrence, par conséquent, les deux griefs de violation du droit d'être entendu et d'interdiction de l'arbitraire, se confondent.
5.2 Le certificat médical produit par la recourante en instance cantonale est établi comme suit :
« Madame P._ a présenté une décompensation psychotique qui a duré plusieurs mois avant d'aboutir à une hospitalisation non volontaire à l'hôpital psychiatrique, le 18 mars 2009.
Durant cette décompensation, Madame P._ a présenté un délire de persécution qui s'est manifesté par des troubles du comportement, de fausses interprétations, une inadéquation par rapport à la réalité tant dans sa vie professionnelle que dans sa vie privée.
Durant cette période, Madame P._ était complètement anosognosique par rapport à ses troubles, elle était donc privée de sa capacité de discernement.
Sous traitement neuroleptique, Madame P._ est rapidement revenue dans la réalité et a été capable de critiquer son comportement inadéquat durant la décompensation psychotique. Elle est actuellement asymptomatique. Sur le plan médical, si elle poursuit son traitement psychiatrique, le pronostic est favorable (elle est d'accord de poursuivre son traitement).
A mon avis, Madame P._ a présenté une grave décompensation psychotique. Elle ne devrait pas être pénalisée mais réévaluée, au niveau de son comportement, dans six mois à une année ».
5.3 Les premiers juges se sont écartés des constatations exposées dans ce certificat en s'appuyant sur la présomption que la recourante était capable de discernement, en l'absence de maladie mentale grave. Compte tenu du certificat médical cité, il est douteux qu'une telle constatation puisse être effectuée sur la base d'une présomption, sans expertise ni même consultation des médecins qui ont pris la recourante en charge à l'hôpital psychiatrique Z._ lors de son hospitalisation en urgence en mars 2009. Au regard de la seule pièce médicale au dossier, il est pour le moins contestable de nier l'existence d'une maladie mentale et d'exclure l'incapacité de discernement au motif que la recourante s'est tout de même rendue au travail, qu'elle y a eu de nombreux contacts avec ses collègues, et qu'elle a refusé de consulter un médecin. En effet, le principal reproche adressé à la recourante est, précisément, celui d'avoir eu des relations conflictuelles avec ses collègues, ce qui est parfaitement compatible, tout comme le refus de consulter un médecin, avec le diagnostic de délire de persécution et l'anosognosie attestés par le docteur R._.
En l'occurrence, la recourante a expressément demandé l'audition de ce médecin en vue de renverser la présomption de capacité de discernement à laquelle se réfère la juridiction cantonale. Les premiers juges ne pouvaient rejeter cette demande au simple motif que « le médecin traitant a pu exprimer tous les éléments utiles à sa patiente dans son certificat du 24 juin 2009 », tout en s'écartant des faits constatés dans ce document, en l'absence de toute autre pièce médicale convaincante au dossier. On ne saurait exclure, sans arbitraire, que le médecin traitant aurait apporté des explications supplémentaires de nature à emporter la conviction des premiers juges ou, à défaut, à les inciter à ordonner la mise en oeuvre d'une expertise. De telles explications auraient pu porter, par exemple, sur l'existence d'une maladie mentale à l'origine de la décompensation psychotique et sur les raisons pour lesquelles le médecin traitant considérait que cette décompensation influençait de manière déterminante le comportement de la recourante, sans qu'elle puisse s'en rendre compte. Il aurait pu également infirmer ou confirmer les allégations de la recourante d'après lesquelles elle avait interrompu son traitement d'entente avec son médecin, ce qui pouvait être de nature à exclure les reproches formulés par les premiers juges quant à cette interruption. En d'autres termes, vu les pièces figurant au dossier, les premiers juges ne pouvaient écarter d'emblée la pertinence du moyen de preuve proposé sans que leur appréciation anticipée des preuves fût entachée d'arbitraire et, partant, sans violer le droit d'être entendu de la recourante.
En l'occurrence, la recourante a expressément demandé l'audition de ce médecin en vue de renverser la présomption de capacité de discernement à laquelle se réfère la juridiction cantonale. Les premiers juges ne pouvaient rejeter cette demande au simple motif que « le médecin traitant a pu exprimer tous les éléments utiles à sa patiente dans son certificat du 24 juin 2009 », tout en s'écartant des faits constatés dans ce document, en l'absence de toute autre pièce médicale convaincante au dossier. On ne saurait exclure, sans arbitraire, que le médecin traitant aurait apporté des explications supplémentaires de nature à emporter la conviction des premiers juges ou, à défaut, à les inciter à ordonner la mise en oeuvre d'une expertise. De telles explications auraient pu porter, par exemple, sur l'existence d'une maladie mentale à l'origine de la décompensation psychotique et sur les raisons pour lesquelles le médecin traitant considérait que cette décompensation influençait de manière déterminante le comportement de la recourante, sans qu'elle puisse s'en rendre compte. Il aurait pu également infirmer ou confirmer les allégations de la recourante d'après lesquelles elle avait interrompu son traitement d'entente avec son médecin, ce qui pouvait être de nature à exclure les reproches formulés par les premiers juges quant à cette interruption. En d'autres termes, vu les pièces figurant au dossier, les premiers juges ne pouvaient écarter d'emblée la pertinence du moyen de preuve proposé sans que leur appréciation anticipée des preuves fût entachée d'arbitraire et, partant, sans violer le droit d'être entendu de la recourante.
5.4 5.4.1 Aux termes de l'art. 35 al. 1 de la loi sur le statut des fonctionnaires, sauf décision contraire de l'autorité de nomination, le rapport de service est renouvelé tacitement pour la prochaine période administrative. La juridiction cantonale interprète à juste titre cette disposition de droit cantonal en ce sens qu'elle laisse une grande liberté d'appréciation à l'autorité, tout en l'astreignant à invoquer des raisons pertinentes - mais pas forcément une faute - pour refuser de renouveler les rapports de service. L'intimé en conclut que le point de savoir si la recourante était capable de discernement n'était pas déterminant pour trancher le litige relatif au renouvellement des rapports de service. En tant qu'il porte sur ce dernier point, le jugement entrepris ne serait donc pas entaché d'une violation du droit d'être entendu.
5.4.2 Les premiers juges ont considéré que le comportement de la recourante entre mars 2008 et mars 2009 était objectivement de nature à provoquer l'insatisfaction de l'employeur. Ils n'en ont pas moins consacré une large part de la motivation du jugement entrepris, en particulier dans les considérants relatifs au non-renouvellement des rapports de service, à tenter de démontrer que le comportement reproché à la recourante lui était imputable à faute. Il n'est donc pas vraisemblable que cette faute n'ait joué qu'un rôle négligeable dans leur appréciation du point de savoir si un non-renouvellement des rapports de service était justifié ou non. Par ailleurs, les premiers juges ont également fondé leur appréciation, en partie tout au moins, sur un pronostic défavorable quant à l'aptitude de la recourante à amender son comportement à l'avenir. Or, un tel pronostic n'est pas sans rapport avec l'influence - déterminante ou non - de la maladie sur le comportement de la recourante et avec l'effet que l'on pouvait attendre de la reprise du traitement. Ainsi les premiers juges ont-ils qualifié « d'inopérant » l'argument de la recourante d'après lequel la reprise de son traitement en 2009 laissait augurer une amélioration de ses prestations sur le plan social, son attitude ayant été qualifiée d'excellente juste avant l'interruption de son traitement médical (exigences nettement dépassées), en considérant que « la maladie de P._ n'a [...] pas le rôle de cause exclusive des comportements qui lui ont été reprochés [...] ».
En définitive, force est de constater au regard de la motivation du jugement entrepris que la faute, ou en tout cas l'absence de pronostic favorable quant à une amélioration des prestations de la recourante malgré une reprise du traitement, ont été pris en considération pour confirmer le non-renouvellement des rapports de service par l'intimé. Dans ce contexte, s'il est vrai que la lettre du 15 juin 2009 de la recourante à la commission disciplinaire laisse planer un doute sur l'absence de symptômes depuis la reprise du traitement et donne à penser que les tensions avec les collègues de travail existaient déjà avant l'interruption de ce traitement en 2007 - mais sur ce dernier point, les faits n'ont pas été constatés par l'instance cantonale - elle ne constitue pas un indice suffisant pour refuser purement et simplement d'entendre le médecin traitant de la recourante. Avant de considérer que le non-renouvellement des rapports de service était justifié, les premiers juges devaient donner suite à son offre de preuve destinée à établir, d'une part, le rôle déterminant de la maladie dans le comportement qui lui est reproché et, d'autre part, le changement de comportement que l'on pouvait attendre d'elle ensuite de la reprise du traitement médical. La violation du droit d'être entendu en instance cantonale entache donc le jugement entrepris non seulement sur la question de la sanction disciplinaire prononcée contre la recourante, mais également sur la question du non-renouvellement des rapports de travail.
6. Vu ce qui précède, il convient d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle donne suite à l'offre de preuve de la recourante de manière à respecter son droit d'être entendu. La recourante, qui obtient gain de cause, peut prétendre une indemnité de dépens à la charge de l'intimé. Ce dernier supportera par ailleurs les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF; ATF 136 I 39 consid. 8.1.4 p. 41)
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal valaisan du 16 octobre 2009 est annulé, la cause étant renvoyée à cette autorité pour qu'elle statue à nouveau en procédant conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal valaisan.
Lucerne, le 16 novembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Métral