Sachverhalt:
A. M._ meldete sich im April 2011 unter anderem wegen einer Depression und einer chronischen Schmerzsymptomatik zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Nach ersten Abklärungen in medizinischer und erwerblicher Hinsicht teilte die IV-Stelle Glarus der Versicherten mit, zur Beurteilung der Leistungspflicht sei eine medizinische Abklärung durch eine Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) notwendig. Das Zentrum A._ werde ihr den Untersuchungstermin bekannt geben. Weiter wies die Verwaltung M._ unter anderem darauf hin, dass die Abklärungsstelle die Namen der zur Begutachtung vorzusehenden Fachärzte direkt mitteilen werde. Einwendungen gegen die begutachtenden Personen seien innert zehn Tagen zu erheben (Mitteilung vom 8. August 2011). Am 23. August 2011 beauftragte die IV-Stelle das Zentrum A._ mit der Begutachtung. Der Versicherten teilte sie mit, berufliche Massnahmen seien vor der medizinischen Abklärung von Gesundheitszustand und Leistungsfähigkeit nicht möglich (Mitteilung vom 1. September 2011). Am 5. September 2011 reichte Rechtsanwalt H._ der Verwaltung eine Vollmacht als Rechtsvertreter der M._ ein. Mit Schreiben vom 26. September 2011 teilte der Rechtsvertreter der IV-Stelle mit, das Zentrum A._ werde als Gutachterstelle abgelehnt; aufgrund diverser Klagen anderer Versicherter sei es "schlechthin unzumutbar, sich bei dieser Gutachterstelle abklären zu lassen". Gemäss Urteil des Bundesgerichts vom 28. Juni 2011 sollte die Auswahl der MEDAS einvernehmlich getroffen werden. Zu diesem Zweck bitte er um Kontaktaufnahme. Jedenfalls werde eine beschwerdefähige Verfügung verlangt.
Mit Verfügung vom 3. Oktober 2011 hielt die IV-Stelle an der Abklärung durch das Zentrum A._ fest. Die im Namen der Versicherten erhobenen Einwände gegen die Begutachtungsstelle seien unsubstantiiert. Gleichzeitig entzog die Verwaltung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
B. M._ liess beim Verwaltungsgericht des Kantons Glarus - nunmehr vertreten durch Rechtsanwalt Z._ - Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, die Verfügung vom 3. Oktober 2011 sei aufzuheben und die IV-Stelle anzuweisen, den Versuch zu unternehmen, sich mit ihr über eine Gutachterstelle zu einigen. Ausserdem ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das kantonale Gericht wies die Beschwerde ab und erlegte der Beschwerdeführerin eine Gerichtsgebühr von Fr. 400.- auf.
Zur Begründung führte die Vorinstanz aus, sie habe nicht in erster Linie darüber zu entscheiden, ob Ausstandsgründe gegen das Zentrum A._ bestehen, sondern, ob die IV-Stelle hätte versuchen müssen, sich mit der Beschwerdeführerin über die Bezeichnung der Gutachterstelle zu einigen, bevor sie einseitig eine Verfügung traf. Das Schreiben der IV-Stelle, wonach eine Untersuchung durch das Zentrum A._ vorgesehen sei, könne vor dem Hintergrund der neuen Rechtsprechung als Vorschlag verstanden werden. Bei Nichteinverständnis der Versicherten hätte die Verwaltung versuchen müssen, sich mit ihr zu einigen. Jedoch stelle sich die Frage, bis wann die Beschwerdeführerin ihre Einwände hätte kundtun müssen. Dies sei in Anlehnung an die Rechtsprechung zu beurteilen, wonach Ausstands- oder Ablehnungsgründe gegenüber Sachverständigen so früh wie möglich geltend gemacht werden müssten, ansonsten der Anspruch auf eine Anrufung der Verfahrensgarantie verwirkt sei. Die versicherte Person müsse also umgehend darauf hinwirken, dass die IV-Stelle mit ihr eine Einigung suche. Eine Frist von zehn Tagen sei angemessen. Aufgrund des gegebenen zeitlichen Ablaufs sei der Anspruch auf Einwendungen gegen die vorgesehene Begutachtung längst verwirkt. Insofern sei nicht zu beanstanden, dass die Verwaltung keinen Einigungsversuch unternommen habe. Die Verfügung vom 3. Oktober 2011 sei daher rechtmässig und die Beschwerde abzuweisen. Da die Beschwerdeführerin im Sinne des kantonalen Rechts nicht bedürftig sei, müssten zudem ihre Gesuche um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung abgewiesen werden (Entscheid vom 30. November 2011).
C. Die Versicherte führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Zudem sei es der Verwaltung im Sinne einer superprovisorischen Massnahme bis zum rechtskräftigen Entscheid zu untersagen, an der Begutachtung im Zentrum A._ festzuhalten und bei deren Nichtwahrnehmung gestützt auf Art. 43 Abs. 3 ATSG zu entscheiden. Weiter sei die IV-Stelle anzuweisen, den Versuch zu unternehmen, sich mit ihr über eine Gutachterstelle zu einigen. Schliesslich sei ihr für das kantonale und eidgenössische Gerichtsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen.
Das Bundesgericht erkannte der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu (Verfügung vom 15. Februar 2012).
Die IV-Stelle und das kantonale Gericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Die I. und die II. sozialrechtliche Abteilung haben zur folgenden Rechtsfrage ein Verfahren nach Art. 23 Abs. 2 BGG durchgeführt:
"Kantonale Entscheide und Urteile des Bundesverwaltungsgerichts über Beschwerden gegen Verfügungen der IV-Stellen betreffend die Einholung von medizinischen Gutachten sind nicht an das Bundesgericht weiterziehbar, sofern nicht Ausstandsgründe beurteilt worden sind.
Stimmen die betroffenen Abteilungen dieser Schliessung der in BGE 137 V 210 E. 3.4.2.7 in fine S. 257 offengelassenen Frage zu?"
Die beiden sozialrechtlichen Abteilungen haben die Rechtsfrage einstimmig bejaht.
Erwägungen:
1. 1.1 In BGE 137 V 210 (Urteil vom 28. Juni 2011) formulierte das Bundesgericht Anforderungen an polydisziplinäre medizinische Entscheidungsgrundlagen. Dabei kommt den Rahmenbedingungen der Auftragsvergabe eine grosse Bedeutung zu. So erfolgt die Vergabe der MEDAS-Begutachtungsaufträge fortan nach dem Zufallsprinzip (BGE 137 V 210 E. 3.1 S. 242). Auf der Grundlage des auf den 1. März 2012 in Kraft getretenen, neu gefassten Art. 72bis IVV hat das BSV das Zuweisungssystem "SuisseMED@P" etabliert, dem alle Gutachteninstitute angeschlossen sind, die über eine entsprechende Vereinbarung mit dem Bundesamt verfügen.
Ist eine Gutachterstelle nach diesem System benannt, so kann die versicherte Person materielle Einwendungen gegen eine Begutachtung an sich (etwa mit dem Einwand, es handle sich um eine unnötige second opinion), gegen Art oder Umfang der Begutachtung (beispielsweise betreffend die Auswahl der medizinischen Disziplinen) oder gegen bezeichnete Sachverständige (etwa betreffend deren Fachkompetenz) erheben. Weiter können formelle Ausstandsgründe gegen Gutachterpersonen geltend gemacht werden (BGE 137 V 210 E. 3.4.2.7 S. 257). Es liegt indessen im Interesse von IV-Stelle und versicherter Person, Verfahrensweiterungen zu vermeiden, indem sie sich um eine einvernehmliche Gutachtenseinholung bemühen, nachdem materielle Einwendungen erhoben oder formelle Ablehnungsgründe vorgebracht wurden. Da dies nicht einem formalisierten Verfahren entspricht, kann die Zulässigkeit von Einwendungen - entgegen der Auffassung der Vorinstanz - keiner Frist unterworfen werden. Nach Treu und Glauben hat die versicherte Person Einwendungen freilich möglichst bald nach Kenntnisnahme der massgebenden Kenndaten der Begutachtung zu erheben; deren Rechtzeitigkeit richtet sich indessen nach den Umständen des Einzelfalls. Bleibt der Konsens aus, so kleidet die IV-Stelle die betreffende Anordnung in die Form einer Verfügung (Art. 49 ATSG; BGE 137 V 210 E. 3.4.2.6 S. 256), die unter allen erwähnten Gesichtspunkten anfechtbar ist (vgl. unten E. 1.2.3).
Mit der verfügungsmässigen Anordnung der Begutachtung (oder auch schon anlässlich der erstmaligen Mitteilung über die benannte Gutachterstelle) unterbreiten die IV-Stellen der versicherten Person im Übrigen den vorgesehenen Katalog der Expertenfragen zur Stellungnahme (vgl. BGE a.a.O. E. 3.4.2.9 S. S. 258).
Mit der verfügungsmässigen Anordnung der Begutachtung (oder auch schon anlässlich der erstmaligen Mitteilung über die benannte Gutachterstelle) unterbreiten die IV-Stellen der versicherten Person im Übrigen den vorgesehenen Katalog der Expertenfragen zur Stellungnahme (vgl. BGE a.a.O. E. 3.4.2.9 S. S. 258).
1.2 1.2.1 Bei der Anordnung des Gutachtens handelt es sich um eine Zwischenverfügung (Art. 55 Abs. 1 ATSG in Verbindung mit Art. 5 Abs. 2 und Art. 46 VwVG). Eine solche kann unter anderem dann angefochten werden, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 46 Abs. 1 lit. a VwVG; BGE 132 V 93 E. 6.1 S. 106). Für die Beurteilung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Kontext des IV-rechtlichen Abklärungsverfahrens mit seinen spezifischen Gegebenheiten (dazu eingehend BGE 137 V 210) muss berücksichtigt werden, dass das Sachverständigengutachten im Rechtsmittelverfahren mit Blick auf die fachfremde Materie faktisch nur beschränkt überprüfbar ist: Der Rechtsanwender sieht sich mangels ausreichender Fachkenntnisse kaum in der Lage, in formal korrekt abgefassten Gutachten objektiv-fachliche Mängel zu erkennen. Zugleich steht die faktisch vorentscheidende Bedeutung der medizinischen Gutachten für den Leistungsentscheid in einem Spannungsverhältnis zur grossen Streubreite der Möglichkeiten, einen Fall medizinisch zu beurteilen, und zur entsprechend geringen Vorbestimmtheit der Ergebnisse (BGE 137 V 210 E. 2.5 S. 241 mit Hinweisen).
1.2.2 Diesen Umständen ist mit verfahrensrechtlichen Garantien zu begegnen (BGE 137 V 210 E. 2.5 S. 241 und E. 3.4.2.3 in fine S. 253). Die Mitwirkungsrechte müssen im Beschwerdeverfahren durchsetzbar sein. Ist dies durch Anfechtung des Endentscheids nicht mehr möglich, kann ein nicht wieder gutzumachender Nachteil entstehen, der den Rechtsweg an eine Beschwerdeinstanz eröffnet. Da systemimmanent kein Anspruch auf Einholung eines Gerichtsgutachtens besteht (vgl. BGE 136 V 376), ist das Administrativgutachten häufig zugleich die wichtigste medizinische Entscheidungsgrundlage im Beschwerdeverfahren. In solchen Fällen kommen die bei der Beweiseinholung durch ein Gericht vorgesehenen Garantien zugunsten der privaten Partei im gesamten Verfahren nicht zum Tragen. Um dieses Manko wirksam auszugleichen, müssen die gewährleisteten Mitwirkungsrechte durchsetzbar sein, bevor präjudizierende Effekte eintreten (BGE 137 V 210 E. 3.4.2.4 S. 254). Mit Blick auf das naturgemäss begrenzte Überprüfungsvermögen der rechtsanwendenden Behörden genügt es daher nicht, die Mitwirkungsrechte erst nachträglich, bei der Beweiswürdigung im Verwaltungs- und Beschwerdeverfahren, einzuräumen. Für die Annahme eines drohenden unumkehrbaren Nachteils spricht schliesslich auch, dass die mit medizinischen Untersuchungen einhergehenden Belastungen zuweilen einen erheblichen Eingriff in die physische oder psychische Integrität bedeuten (BGE 137 V 210 E. 3.4.2.7 S. 257).
1.2.3 Aus diesen Gründen hat das Bundesgericht die Anfechtbarkeitsvoraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren in IV-Angelegenheiten bejaht, zumal die nicht sachgerechte Begutachtung in der Regel einen rechtlichen und nicht nur tatsächlichen Nachteil bewirkt (BGE 137 V 210 E. 3.4.2.7 S. 257 mit Hinweisen). Hebt das kantonale Gericht oder das Bundesverwaltungsgericht die Verfügung auf, weist es die Sache an die IV-Stelle zurück, damit diese den Begutachtungsauftrag wiederum nach dem Zufallsprinzip, aber unter Berücksichtigung der im Gerichtsentscheid festgelegten zusätzlichen Rahmenbedingungen, an eine MEDAS vergebe (vgl. oben E. 1.1).
2. 2.1 Die Frage der Weiterziehbarkeit an das Bundesgericht nach Art. 92 f. BGG stellt sich im Allgemeinen mit Bezug auf Zwischenentscheide, die im Rahmen eines erstinstanzlichen Beschwerdeverfahrens erlassen wurden. Hier jedoch folgt die Qualifikation des vorinstanzlichen Entscheids als Zwischenentscheid der Rechtsnatur des Anfechtungsobjekts im kantonalen Prozess.
2. 2.1 Die Frage der Weiterziehbarkeit an das Bundesgericht nach Art. 92 f. BGG stellt sich im Allgemeinen mit Bezug auf Zwischenentscheide, die im Rahmen eines erstinstanzlichen Beschwerdeverfahrens erlassen wurden. Hier jedoch folgt die Qualifikation des vorinstanzlichen Entscheids als Zwischenentscheid der Rechtsnatur des Anfechtungsobjekts im kantonalen Prozess.
2.2 2.2.1 Soweit der vor Bundesgericht angefochtene Beschwerdeentscheid die Ausstandspflicht einer sachverständigen Person (dazu BGE 137 V 210 E. 2.1.3 S. 231 mit Hinweisen, vgl. auch E. 1.3.3 S. 227) betrifft, bleibt er selbständig anfechtbar (Art. 92 Abs. 1 BGG; Urteil 9C_113/2012 vom 14. März 2012 E. 2 Ingress).
2.2.2 Hier geht es indessen auch insoweit nicht um eine Ausstandsfrage, als die Beschwerdeführerin geltend macht, angesichts der Erfahrungen anderer Versicherter sei es für sie unzumutbar, sich beim Zentrum A._ abklären zu lassen. Wie schon im Verwaltungs- und kantonalen Beschwerdeverfahren verband sie diese Rüge mit dem Vorbringen, das Vorgehen der IV-Stelle sei nicht mit deren Obliegenheit vereinbar, gemeinsam mit der versicherten Person eine Einigung zu finden. Ausserdem machte sie Ausführungen zu einem wirtschaftlichen Abhängigkeitsverhältnis der Gutachterstelle zur Invalidenversicherung.
Diese Vorbringen sind einmal zu allgemein gehalten, als dass sie unter dem Titel formeller Ablehnungsgründe behandelt werden könnten. Ausschlaggebend ist indessen, dass die formelle Ablehnung eines Sachverständigen regelmässig nicht allein mit strukturellen Umständen begründet werden kann, wie sie in BGE 137 V 210 behandelt worden sind. Wenn sich die Beschwerdeführerin auf negative Erfahrungen mit einer bestimmten MEDAS beruft, besteht diese Rüge - mangels weiterführender Begründung - letztlich einzig in der Behauptung, in den angeblichen Fehlleistungen manifestierten sich systemimmanente Gefährdungen der Verfahrensfairness (BGE 137 V 210 E. 2.4 S. 237 und E. 3.4.2.6 S. 256).
2.3 Das Bundesgericht hat offengelassen, ob die Entscheide kantonaler Versicherungsgerichte oder des Bundesverwaltungsgerichts über Beschwerden gegen Verfügungen der IV-Stellen betreffend Gutachtenseinholung ihrerseits mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 und 93 Abs. 1 lit. a BGG) an das Bundesgericht weiterziehbar sind, wenn damit, wie hier letztlich der Fall, Einwendungen beurteilt worden sind, die nicht formelle Ausstandsgründe betreffen (BGE 137 V 210 E. 3.4.2.7 S. 257). Die Frage ist hier zu entscheiden.
3. 3.1 Beim Vorliegen eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils wird der Regelfall der Nichtanfechtbarkeit einer Zwischenverfügung durchbrochen. Damit sollen Lücken im Individualrechtsschutz verhindert werden. Unter dem Blickwinkel der Verfahrensgrundrechte genügt es, wenn eine Instanz im funktionellen Instanzenzug die Verfahrensgarantien nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 29 ff. BV sowie effektiven Rechtsschutz im Einzelfall gewährleistet (vgl. BGE 122 V 47 E. 3 S. 54). Art. 6 EMRK gewährt den Zugang zu einem Gericht, aber kein Recht auf eine zweite Instanz (Mark E. Villiger, Handbuch der Europäischen Menschenrechtskonvention, 2. Aufl. 1999, S. 454 Rz. 693; Haefliger/Schürmann, Die Europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz, 2. Aufl. 1999, S. 162 f.). Ferner geht das Recht auf wirksame Beschwerde gemäss Art. 13 EMRK in den (unter verschiedenen Aspekten) weitergehenden Erfordernissen des Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf (BGE 137 I 128 E. 4.4.3 S. 133; Frowein/Peukert, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N. 10 zu Art. 6 EMRK). Erfordert kein drohender unumkehrbarer Nachteil einen gerichtlichen Zwischenentscheid, so ist auch die Rechtsweggarantie des Art. 29a BV nicht tangiert. Ebenso garantiert Art. 6 Ziff. 1 EMRK den Zugang zu Rechtsmittelinstanzen nur im Rahmen einer gegebenen Zuständigkeit (vgl. Villiger, a.a.O., S. 273 Rz. 430).
3.2 Hinsichtlich des verfassungs- und konventionsgemäss zu gewährleistenden Rechtsschutzes gegen Verfügungen der IV-Stellen im Abklärungsbereich ergibt sich aus dem Gesagten Folgendes: Soweit ein rechtlicher Nachteil im Raum steht (vgl. oben E. 1.2.3), unterscheidet sich der Begriff des nicht wieder gutzumachenden Nachteils nach Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht von demjenigen von Art. 46 Abs. 1 lit. a VwVG (vgl. oben E. 1.2.1). Jedoch verändert sich im Verlauf des Instanzenzugs die für das Rechtsschutzbedürfnis massgebende Intensität des möglichen Nachteils. Das kantonale Versicherungsgericht oder das Bundesverwaltungsgericht kann und soll die Einholung eines interdisziplinären Gutachtens zu einem Zeitpunkt unter allen Titeln gerichtlich überprüfen, in welchem die Beweislage noch nicht präjudiziert ist (vgl. oben E. 1.2.2). Erkennt die erste Beschwerdeinstanz im Einzelfall möglicherweise zu Unrecht, dass die gegen die Anordnung einer Begutachtung oder deren Modalitäten erhobenen materiellen Einwendungen unbegründet gewesen seien, so ist die versicherte Person zwar wie dargelegt in ihrer beweisrechtlichen Rechtsverfolgungsposition (weiterhin) beeinträchtigt, weil sie ein unter Verletzung der Parteirechte eingeholtes Gutachten naturgemäss nur bedingt in Frage stellen kann. Im Gegensatz zu Konstellationen, in denen dem Rechtssuchenden ein definitiver Rechtsverlust droht (wie beispielsweise im Fall der Ablehnung eines Kostenerlassgesuchs, sofern bei Nichtbezahlung des Kostenvorschusses auf die Beschwerde nicht eingetreten wird), wird ein nach einer einmaligen Rechtskontrolle allenfalls verbliebener Nachteil jedoch hinreichend ausgeglichen, da die betreffenden Rügen im Zuge der Anfechtung des Endentscheids vor Bundesgericht immer noch erhoben werden können (Art. 93 Abs. 3 BGG). Über das gesamte Verfahren in IV-Angelegenheiten gesehen entfällt also die Notwendigkeit einer Rechtskontrolle über den Zwischenentscheid der ersten Beschwerdeinstanz und damit die Rechtfertigung für dessen selbständige Anfechtbarkeit vor Bundesgericht.
3.3 Neben dem Individualrechtsschutz obliegt der (zumal letztinstanzlichen) Justiz auch die Sicherstellung einer einheitlichen Rechtsanwendung und die Rechtsfortbildung. Die Umsetzung der Prinzipien gemäss BGE 137 V 210 kann im Rahmen der Behandlung von Beschwerden gegen den Endentscheid ungeschmälert kontrolliert werden. Ein doppelter Instanzenzug zur Überprüfung der Zwischenverfügung ist somit auch unter diesem Aspekt nicht erforderlich.
3.4 Die im angefochtenen Entscheid behandelte Frage kann nach dem Gesagten nicht an die Hand genommen werden. Immerhin ist anzumerken, dass es fraglich erscheint, ob die vorinstanzliche Feststellung, die IV-Stelle habe die Bekanntgabe der Auftragserteilung an das Zentrum A._ zu Recht mit einer kurzen "Verwirkungsfrist" verbunden und zulässigerweise darauf verzichtet, eine Einigung mit der Beschwerdeführerin zu suchen (vgl. oben E. 1.1 sowie den zeitlichen Ablauf gemäss Sachverhalt lit. A), mit Sinn und Geist dieser Obliegenheit der Parteien vereinbar ist.
4. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass weder der verfassungsmässige Individualrechtsschutz gegen Verfügungen der IV-Stellen noch andere Justizaufgaben eine Öffnung des Rechtsweges an das Bundesgericht rechtfertigen, soweit nicht formelle Ausstandsgründe betroffen sind. Die Frage wäre allenfalls neu zu beurteilen, wenn die Umsetzung der organisatorischen und verfahrensmässigen Vorgaben gemäss BGE 137 V 210 so verlaufen sollte, dass eine grundrechtskonforme Bereitstellung gutachtlicher Entscheidungsgrundlagen zuhanden der Invalidenversicherung nicht sichergestellt wäre.
5. Die Beschwerdeführerin ficht die vorinstanzliche Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege an. Die Zulässigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht im Kostenpunkt folgt derjenigen in der Hauptsache. Der kantonale Kostenentscheid ist ein Zwischenentscheid, welcher keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu verursachen droht (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG); er kann später zusammen mit der Hauptsache angefochten werden (Art. 93 Abs. 3 BGG). Auf den diesbezüglichen Antrag ist somit ebenfalls nicht einzutreten (BGE 135 III 329 E. 1.2 S. 331; 133 V 645 E. 2.1 S. 647).
6. Die Gerichtskosten gehen zu Lasten der Beschwerdeführerin (Art. 66 Abs. 1 BGG), werden jedoch zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege auf die Gerichtskasse genommen. Ferner hat die Beschwerdeführerin Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung (Art. 64 BGG; BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372), wofür sie ebenfalls der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorerst auf die Gerichtskasse genommen.
3. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt. Rechtsanwalt Christian Haag wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Mai 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Traub