Faits:
A. A.a X._ a été successivement directeur de la société A._ AG (ci-après: A._) du 30 décembre 1997 au 2 février 2000, directeur et membre de son conseil d'administration de cette date jusqu'au 1er octobre 2003, puis à nouveau directeur jusqu'au 4 juillet 2007.
Depuis 1999, la Banque Y._ SA (ci-après: la banque), dont le siège est à Genève, a accordé des crédits à A._. En mars 2008, pour accepter de renouveler un crédit de 2'000'000 US$ à cette société, la banque a sollicité de celle-ci l'émission d'une « Promissory Note ». C'est ainsi que le 25 avril 2008, A._, représentée par X._, a signé à Genève une « Promissory Note », libellée en langue anglaise de la façon suivante:
« For value received, we promise to pay against this Promissory Note AT SIGHT to the order of Banque Y._ SA, Geneva, Switzerland, the amount of (1'800'000 US$) effective payment to be made in USD without deduction for and free of any taxes, collection charges, impost, levies or duties present or future of any nature ».
Sur la teneur exacte de ce texte, le Tribunal fédéral ajoute des éléments de fait, non relevés en totalité dans le jugement critiqué, mais qui ressortent manifestement de la pièce produite au dossier (art. 105 al. 2 LTF).
Ce document porte au recto les deux mentions suivantes:
« Avalised for an amount of USD 1'620'000.00 by Mr B._/ Avalised for an amount of USD 180'000.00 by Mr M. X._ ».
En dessous de la première mention figure la signature de B._; au-dessous de la seconde se trouve celle de X._.
A.b Le 29 janvier 2009, la « Promissory Note » a été présentée pour paiement par la banque à A._, laquelle a refusé tant de l'accepter que de la payer. Un notaire biennois a dressé le 30 janvier 2009 un « Note Protest » se référant à l'art. 1036 CO.
Le 12 février 2009, la « Promissory Note » a été présentée pour paiement à X._. Ce dernier a le même jour indiqué qu'il n'était pas lié par le titre, des éléments nécessaires à sa validité faisant défaut. Toujours à la même date, le notaire biennois susmentionné a établi un protêt faute de paiement (art. 1034 al. 1 CO).
La banque a alors introduit une poursuite pour effets de change contre A._. Le juge compétent n'a pas admis l'opposition formée par la poursuivie et la faillite de A._ a été prononcée par jugement du 24 avril 2009.
La banque a ensuite requis la poursuite de X._ sur la base du « Promissory Note », titre qu'elle a considéré comme un billet à ordre avalisé par le précité. Elle a renoncé à introduire une poursuite pour effets de change, car X._ n'était pas soumis à la faillite (art. 39 et 177 LP). Ayant introduit une poursuite ordinaire par voie de saisie contre le prénommé, que ce dernier a frappée d'opposition, elle a obtenu, par jugement du 29 mai 2009 rendu par le Président de l'Arrondissement judiciaire II Bienne-Nidau, la mainlevée provisoire de l'opposition, laquelle a été prononcée à concurrence de 204'300 fr. correspondant à 180'000 US$, plus intérêts à 6% l'an dès le 29 janvier 2009. Saisie d'un recours du poursuivi, la Cour d'appel du canton de Berne, par arrêt du 3 août 2009, a confirmé le jugement de mainlevée.
B. Par demande du 22 juin 2009, X._ a déposé devant le Tribunal de commerce du canton de Berne une action en libération de dette à l'encontre de la banque, concluant à ce qu'il soit constaté qu'il n'est pas le débiteur de cet établissement et à ce que la poursuite dirigée contre lui soit annulée.
Par ordonnance du 24 juillet 2009, le demandeur a été invité à fournir une sûreté de 28'000 fr. Il a obtempéré.
La banque défenderesse a conclu à libération.
Par jugement du 5 février 2010, le Tribunal de commerce a rejeté la demande et statué sur les frais et dépens de la cause. Les motifs de cette décision seront exposés ci-dessous dans la mesure utile.
C. X._ exerce au Tribunal fédéral un recours en matière civile contre le jugement en question. Il conclut, principalement à la réforme de cette décision, en ce sens qu'il n'est pas débiteur de la défenderesse, la poursuite diligentée à son endroit étant annulée. Subsidiairement, le recourant requiert l'annulation du jugement du 5 février 2010, l'affaire devait être retournée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Par ordonnance du 27 septembre 2010, la Présidente de la Ire Cour de droit civil a rejeté la requête d'effet suspensif présentée par le recourant.
L'intimée propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans son action en libération de dette et qui a ainsi la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par un tribunal spécialisé dans les litiges de droit commercial statuant en instance cantonale unique, comme le connaît le canton de Berne (art. 75 al. 2 let. b LTF), dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. de l'art. 74 al. 1 let. b LTF, le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 135 III 670 consid. 1.4 p. 674; 134 III 379 consid. 1.2 p. 382). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 et l'arrêt cité). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. (ATF 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Le recourant ne peut de toute manière demander une correction de l'état de fait que si celle-ci est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. Selon le jugement déféré, l'autorité cantonale, ainsi que l'avait déjà reconnu la Cour d'appel du canton de Berne dans la procédure de mainlevée, a retenu que la « Promissory Note » litigieuse est un billet à ordre dont les énonciations formelles ont été respectées par le souscripteur. Dans les débats devant le Tribunal de commerce, le recourant n'a pas remis en cause ce point de vue.
La cour cantonale a considéré que le recourant avait donné son aval valablement selon les réquisits légaux pour un montant de 180'000 US$ en faveur du souscripteur du billet à ordre, de telle sorte que celui-là était engagé par l'effet de change, à concurrence toutefois de la somme précitée, au même titre que celui-ci, débiteur principal. L'engagement créé par le demandeur en sa qualité d'avaliseur était indépendant de celui de la société A._, et non subsidiaire comme cela serait le cas dans le cadre d'un cautionnement ordinaire. Le Tribunal de commerce a relevé que le demandeur ne se prévalait d'aucune exception dont aurait disposé la société garantie. Après avoir rappelé qu'il est de jurisprudence que l'utilisation de l'aval ne constitue pas un détournement des prescriptions impératives de forme prévues pour le cautionnement, cette autorité a jugé qu'aucun élément du dossier ne permettait d'admettre que les parties voulaient en réalité conclure un contrat de cautionnement.
3. 3.1 Le recourant a déposé en temps utile devant l'autorité bernoise compétente l'action en libération de dette instaurée par l'art. 83 al. 2 LP.
L'action en libération de dette prévue par cette norme est une action négatoire de droit matériel, qui tend à la constatation de l'inexistence ou de l'inexigibilité de la créance invoquée par le poursuivant (ATF 131 III 268 consid. 3.1). Elle se caractérise par la transposition du rôle des parties, en ce sens que le créancier, poursuivant, est défendeur au lieu d'être demandeur. Le fardeau de la preuve et celui de l'allégation ne sont en revanche pas renversés. Il s'ensuit qu'il incombe au défendeur (i.e. le poursuivant) d'établir les faits dont il déduit l'existence et l'exigibilité de sa créance. Quant au demandeur (i.e. le poursuivi), il tentera de démontrer qu'il ne doit pas la somme qu'on lui réclame, constatée par le titre de mainlevée provisoire (ATF 131 III 268 ibidem; 130 III 285 consid. 5.3.1).
3.2 En l'espèce, l'intimée a fondé ses prétentions pécuniaires déduites en poursuite sur l'aval qu'aurait octroyé le recourant, lequel aurait garanti, pour 180'000 US$, le paiement par A._ du billet à ordre que cette société a émis au bénéfice de la banque défenderesse.
Le recourant conteste devoir cette somme. Il prétend tout d'abord que la « Promissory Note » signée par A._ le 25 avril 2008 ne saurait être qualifiée de billet à ordre faute d'avoir été libellée dans l'une des langues nationales, comme l'exigeraient les art. 1020 et 1096 CO. De plus, la forme « Avalised for an amount of USD by ... » ne concorderait pas avec la forme prescrite pour l'aval par l'art. 1021 al. 2 CO. Le demandeur reproche ensuite à la cour cantonale d'avoir écarté l'interprétation subjective de la volonté des parties pour privilégier une interprétation normative, laquelle aurait dû de toute manière la conduire à retenir que celles-ci étaient convenues d'instituer une garantie accessoire du prêt accordé par l'intimée à A._, ce qui excluait donc l'aval qui est une garantie indépendante. Enfin, du fait d'avoir recouru à l'aval en lieu et place du cautionnement, l'intimée aurait tenté d'éluder les dispositions protectrices des art. 492 ss CO et ainsi abusé de son droit au sens de l'art. 2 al. 2 CC.
Il faut en conséquence contrôler si l'intimée a prouvé les circonstances à partir desquelles on peut inférer l'existence de la créance dont elle se prévaut.
3.3 L'analyse commande liminairement de déterminer la nature juridique de la « Promissory Note » émise par A._ le 25 avril 2008.
La cour cantonale, à l'instar des juges de la mainlevée, a retenu qu'il s'agissait d'un billet à ordre, alors que le recourant, après avoir adhéré à cette opinion dans les débats menés devant le Tribunal de commerce (cf. consid. 3.2 du jugement déféré), soutient en instance fédérale que le libellé en anglais du document exclut une telle qualification.
Selon la jurisprudence, le billet à ordre, qui fait l'objet des art. 1096 à 1099 CO, est une reconnaissance de dette abstraite telle que l'entend l'art. 17 CO, soumise aux règles du droit des papiers-valeurs. Autrement dit, c'est une reconnaissance de dette émise sous forme d'un effet de change (ATF 131 III 586 consid. 4.2.3.2; 127 III 559 consid. 3a et les références doctrinales). Le souscripteur de l'effet est obligé en tant que débiteur principal (art. 1099 al. 1 CO).
L'art. 1096 CO dresse une liste des mentions que doit contenir le billet à ordre. Les éléments absolument nécessaires, à savoir ceux sans lesquels il ne peut s'agir d'un billet à ordre, sont indiqués aux ch. 1 et 2 de cette norme: il s'agit de la dénomination « billet à ordre » insérée dans le texte même du titre et exprimée dans la langue employée pour la rédaction de ce titre (ch. 1) et la promesse pure et simple (c'est-à-dire inconditionnelle) de payer une somme déterminée (ch. 2) (ANNE PETITPIERRE-SAUVAIN, Les papiers-valeurs, Traité de droit privé suisse, VIII/7, 2006, ch. 531/532 p. 160; ANTOINE EIGENMANN, in Commentaire romand, Code des obligations II, 2008, n° 4 à 8 ad art. 1096 CO).
La nécessité d'insérer la désignation en tant qu'« effet » dans le texte même de l'acte, cela dans la langue utilisée pour la création du titre, n'empêche pas que l'acte soit rédigé dans plusieurs langues, mais à la condition que la désignation comme effet soit écrite dans la même langue que la promesse de payer du souscripteur (MARTIN FREY, in Commentaire bâlois, Obligationenrecht II, 3e éd. 2008, n° 4 et 5 ad art. 1096 CO; EIGENMANN, op. cit., n° 4 et 5 ad art. 1096 CO).
In casu, le document litigieux est rédigé entièrement en anglais, et nullement en plusieurs langues. Il comporte comme dénomination les termes « Promissory Note ». Or c'est précisément par ces termes qu'est désigné en anglais le billet à ordre (EIGENMANN, op. cit., n° 6 ad art. 1096 CO; FREY, op. cit., n° 6 ad art- 1096 CO; CLAUDIA SIEBER, Schweizerischer Wechsel, U.S. Bill of Echange und Promissory Note, 1995, note 56 en p. 12). En outre, par l'expression anglaise « We promise to pay » (traduction: nous promettons de payer), l'acte en question contient une promesse inconditionnelle de payer. Cette formule est du reste l'expression traditionnelle de la promesse de payer en droit anglo-saxon (FRÉDÉRIC BERTHOUD, Recueil de jurisprudence, Cedidac 2004, ch. 363 p. 439/440).
C'est donc en parfaite conformité avec le droit fédéral que la cour cantonale a considéré que la « Promissory Note » émise le 25 avril 2008 était un billet à ordre.
3.4 Il sied maintenant de rechercher si le recourant a avalisé l'effet de change, ainsi que l'a retenu le jugement attaqué.
3.4.1 L'aval ou cautionnement de change (Wechselbürgschaft) renforce l'engagement de l'obligé de change par une garantie personnelle qui s'ajoute à celle donnée par celui-ci (i.e. le souscripteur dans le cas du billet à ordre) (TERCIER/FAVRE, Les contrats spéciaux, 4e éd. 2009, ch. 6802/6803 p. 1029).
D'après l'art. 1098 al. 1 et al. 3 in principio CO sont applicables au billet à ordre notamment les dispositions relatives à l'aval de la lettre de change (art. 1020 à 1022 CO).
A teneur de l'art. 1021 CO, l'aval est donné sur la lettre de change ou sur une allonge (al. 1). Il est exprimé par les mots « bon pour aval » ou par toute autre formule équivalente; il est signé par le donneur d'aval (al. 2). L'aval doit indiquer pour le compte de qui il est donné. A défaut de cette indication, il est réputé donné pour le tireur (al. 4).
3.4.2 En l'espèce, il a été constaté que la « Promissory Note » en litige contient, au recto, la mention suivante: « Avalised for an amount of USD 180'000.00 by Mr M. X._ », suivie de la signature du recourant. Le vocable « Avalised », qui précède la phrase en anglais « for an amount of USD 180'000.00 by Mr M. X._ » est ainsi présenté comme le participe passé d'un verbe anglais « Avalise ». La difficulté provient du fait que le verbe « Avalise » n'existe pas en langue anglaise (cf. Dahl's Law Dictionary, 3 éd. 2007, p. 382; Black's Law Dictionary, 8 éd. 2004, p. 145; Jean Baleyte et Al., Economic and Legal Dictionary, 3e éd. 1992, p. 313).
Le sens de la déclaration portée par le recourant sur le billet à ordre doit en conséquence être déterminé selon les règles d'interprétation.
3.4.3
3.4.3.1 Lorsqu'il est amené à qualifier ou interpréter un acte juridique, le juge doit tout d'abord s'efforcer de déterminer la commune et réelle intention des parties, sans s'arrêter aux expressions ou dénominations inexactes dont elles ont pu se servir, soit par erreur, soit pour déguiser la nature véritable de la convention (art. 18 al. 1 CO). S'il y parvient, il pose une constatation de fait qui lie en principe le Tribunal fédéral conformément à l'art. 105 LTF. Si la volonté réelle des parties ne peut pas être établie ou si leurs volontés intimes divergent, le juge doit interpréter les déclarations et les comportements selon la théorie de la confiance; il doit donc rechercher comment une déclaration ou une attitude pouvait être comprise de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances (ATF 135 III 295 consid. 5.2). Le principe de la confiance permet d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même s'il ne correspond pas à sa volonté intime. L'application du principe de la confiance est une question de droit que le Tribunal fédéral peut examiner librement (art. 106 al. 1 LTF). Mais pour trancher cette question, il faut se fonder sur le contenu de la manifestation de volonté et sur les circonstances, dont la constatation ressortit au fait. Les circonstances déterminantes à cet égard sont celles qui ont précédé ou accompagné la manifestation de volonté, mais non pas les événements postérieurs, à l'exemple du comportement adopté par les parties contractantes après qu'elles ont conclu l'accord (ATF 133 III 61 consid. 2.2.1, 675 consid. 3.3 p. 681 s. et les arrêts cités; 132 III 626 consid. 3.1).
3.4.3.2 Comme il n'est pas possible de découvrir la volonté réelle du recourant sur la base des preuves administrées, il y a lieu de procéder à une interprétation normative.
Il faut d'emblée observer que si le verbe « Avalise » est inconnu en anglais, le substantif anglais « Aval » peut signifier en français aval (cf. Dahl's Law Dictionary, p. 382). Il s'agit déjà d'un élément très important à prendre en compte, à considérer que les parties sont expérimentées en affaires et devaient connaître le terme technique utilisé (ATF 131 III 606 consid. 4.2).
Selon les constatations cantonales, qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF), il résulte de la documentation d'ouverture de crédit délivrée par l'intimée à A._, société dont le demandeur a été directeur pendant près de 10 ans, qu'il peut être présupposé que les parties se sont entendues sur l'octroi d'un aval, dès l'instant où il y est expressément question, en page 2, de « personnel aval ».
A partir de là, d'après l'interprétation objective de la déclaration apposée par le recourant sur le billet à ordre, l'intimée pouvait objectivement comprendre que ce dernier, par le néologisme anglais « Avalised », avait entendu avaliser au sens des art. 1020 à 1022 CO l'effet de change émis le 25 avril 2008.
3.4.4 La déclaration d'aval ne précise pas pour le compte de qui l'engagement du recourant est pris. En vertu de la présomption légale de l'art. 1021 al. 4 CO, l'aval est réputé donné pour le souscripteur du billet à ordre, soit dans le cas présent A._.
3.5 Il ressort de l'art. 1022 al. 2 CO que l'engagement de l'avaliseur est indépendant en ce sens que la déclaration d'obligation qu'il donne est valable même si l'obligation garantie est nulle, à moins que celle-ci le soit à cause d'un vice de forme (arrêt 4C.444/1995 du 3 juin 1996 consid. 2a, in SJ 1996 p. 629; Petitpierre-Sauvain, op. cit., ch. 502 ss p. 152/153; Luc Thévenoz, Les garanties indépendantes devant les tribunaux suisses, in: Journée 1994 de droit bancaire et financier, p. 167 ss, spéc. 168 à 170 et les références citées).
3.6 Selon une jurisprudence assez ancienne, celui qui donne un aval au lieu de s'engager par un cautionnement n'élude pas de façon illicite les prescriptions de forme impératives des art. 493 ss CO (ATF 83 II 211 consid. 3a p. 213; 79 II 79 consid. 4). Cette jurisprudence a été approuvée sans détour par la doctrine récente (Eigenmann, op. cit., n° 13 ad art. 1022 CO; Petitpierre-Sauvain, ch. 493 p. 149/150; Peter Jäggi et AL, Wertpapierrecht, 1985, p. 191; Stephan Netzle, in Commentaire bâlois, Obligationenrecht II, 3e éd. 2008, n° 9 ad art. 1022 CO; Christoph M. Pestalozzi, in Commentaire bâlois, Obligationenrecht I, 4e éd. 2007, n° 34 ad art. 111 CO). Il n'y a donc aucune raison de la remettre en cause.
3.7 Au terme de ce raisonnement, il convient d'admettre que le demandeur a donné son aval au billet à ordre souscrit par A._, de sorte qu'il est obligé par cet effet de change à concurrence de la somme qu'il a garantie, à savoir 180'000 US$ (cf. art. 1020 al. 1 CO). Partant, le recourant succombe dans son action en libération de dette, comme l'a bien vu le Tribunal de commerce.
4. En définitive, le recours doit être rejeté. Les frais judiciaires et les dépens seront mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal de commerce du canton de Berne.
Lausanne, le 2 novembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet