Sachverhalt:
A.
X._ (geb. 1982) ist die Mutter von A._ (geb. 2004) und B._ (geb. 2005). Vom Vater der Kinder, C._, lebt sie seit längerer Zeit getrennt; gemäss Verfügung der zuständigen Vormundschaftsbehörde vom Oktober 2006 hatte der Vater ein 14-tägliches Besuchsrecht.
B.
B.a. Am 13. April 2011 errichtete die Vormundschaftskommission der Gemeinde D._ (Kommission) für die Kinder eine Erziehungsbeistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB, nachdem sich beide Kindseltern im Zusammenhang mit der Besuchsrechtsausübung an die Behörde gewendet hatten.
Im Juli 2011 zeigte der Vater der Behörde an, dass die Kindsmutter innerhalb der letzten sechs Jahre bereits zum zehnten Mal umziehe, wechselnde Partner habe und diese immer wieder im Beisein der Kinder von der Polizei abführen lasse. Er beantragte die Obhut für die Kinder. Daraufhin leitete die Kommission eine Abklärung der Erziehungsfähigkeit der Beschwerdeführerin ein.
B.b. Am 11. August 2011 meldete die Polizei der Kommission, dass X._ vor den Kindern gegen ihren damaligen Lebenspartner gewalttätig geworden sei. Jetzt sei sie in emotional hoch erregtem Zustand mit den Kindern im Auto unterwegs und sei möglicherweise suizidgefährdet.
In der Folge entzog die Kommission X._ superprovisorisch die Obhut für die Kinder und platzierte diese vorübergehend beim Kindsvater.
B.c. Mit Verfügung vom 30. September 2011 brachte die Kommission die Kinder dann im Durchgangs- und Beobachtungsheim E._ unter, nachdem es zwischen den Kindseltern zu einer Eskalation gekommen war. Im Nachgang zu diesen Ereignissen gab die Behörde Gutachten über beide Eltern und die Kinder in Auftrag.
B.d. Die Gutachten des Fachbereichs Erwachsenenforensik über beide Elternteile datieren vom 25./26. Januar 2012, das Gutachten des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes Solothurn (KJPD) über den psychischen Gesundheits- und Entwicklungsstand der Kinder und die Erziehungsfähigkeit der Eltern vom 1. März 2012. Bei der Beschwerdeführerin diagnostizierten die Gutachter eine Borderline-Persönlichkeitsstörung mit bedeutsamen hystrionischen und dissozialen Anteilen sowie mit in gewissen Bereichen eingeschränkter Erziehungsfähigkeit. Dem Kindsvater attestierten sie eine mangelhafte Erziehungsfähigkeit.
C.
C.a. Mit Verfügung vom 15. März 2012 bestätigte die Vormundschaftskommission den Obhutsentzug gemäss der Empfehlung des KJPD-Gutachtens. Gleichzeitig definierte sie, welche Bedingungen für einen Rückplatzierungsversuch erfüllt sein müssten, und legte Kriterien für den Ablauf (u.a. psychotherapeutische Behandlung für Mutter und Kinder, Beobachtung und Begleitung in der Versuchsphase und nach der Rückplatzierung, Erarbeitung eines Krisenmanagements) fest.
C.b. Mit Verfügung vom 15. Mai 2012 leitete die Kommission die Rückplatzierung anhand der vordefinierten Kriterien ein. Sie sah vor, die Aufenthaltszeiten der Kinder bei der Mutter nach einem genauen Zeitplan kontinuierlich auszudehnen. Den Obhutsentzug behielt sie aufrecht.
D.
D.a. Am 20. Juni 2012 wurde der Vormundschaftsbehörde zugetragen, dass X._ sich möglicherweise prostituiere, worauf am 21. Juni 2012 ein Standortgespräch stattfand, in welchem X._ mit dem Vorwurf konfrontiert wurde.
Anlässlich des nächsten Gesprächs vom 26. Juni 2012 [in mehreren Dokumenten ist vom 28. die Rede] wur de X._ mündlicheröffnet, dass der Rückplatzierungsversuch auf Antrag der Fachgruppe (Vertreter des Kinderheims E._, Monitoringperson, KJPD Baselland und Beiständin) abgebrochen und die Kinder für zwei Jahre fremdplatziert würden. Sie erlitt einen Zusammenbruch und wurde gleichentags im Rahmen einer fürsorgerischen Unterbringung (vormals FFE) in eine psychiatrische Klinik eingewiesen.
D.b. Mi t Verfügung vom 5./11. Juli 2012 bestätigte die Kommission den Obhutsentzug und die Platzierung von A._ und B._ im Kinderheim, wobei sie die Beiständin beauftragte, einen neuen Heimplatz gemäss den Empfehlungen des Gutachtens zu suchen. Einer allfälligen Beschwerde entzog sie die aufschiebende Wirkung.
E.
E.a. Mit Eingabe vom 17. Juli 2012 erhob X._ Beschwerde an das Departement des Innern des Kantons Solothurn. Sie beantragte, der Obhutsentzug und die Platzierung der Kinder seien aufzuheben; eventualiter sei der Rückplatzierungsversuch fortzusetzen. In einer "Kurzbegründung" führte ihr damaliger Rechtsvertreter aus, eine einlässliche Instruktion sei infolge aktueller Arbeitsbelastung und anstehender Ferien nicht möglich; er ersuchte um Einräumung einer Nachfrist zur Begründung.
E.b. Am 16. August 2012 verfügte die Vormundschaftskommission D._ die Umplatzierung der Kinder per 30. November 2012 vom Durchgangsheim E._ in das Kinderheim F._. Den Obhutsentzug behielt die Behörde aufrecht. Ab dem Eintritt ins Kinderheim F._ verbrachten die Kinder die Wochenenden alternierend bei der Mutter resp. beim Vater.
Mit Beschwerde vom 3. September 2012 verlangte X._ auch die Aufhebung dieses Entscheids. Sie liess ausführen, dass die Anfechtung vorsorglich für den Fall einer Gutheissung ihrer Beschwerde vom 17. Juli 2012 erfolge, damit gegebenenfalls einer sofortigen Rückplatzierung der Kinder zur Mutter nichts im Wege stünde. Sie ersuchte um Sistierung dieses späteren Beschwerdeverfahrens bis zum Abschluss des ersten.
E.c. Am 14. September 2012 liess X._ eine Begründung der Beschwerde vom 17. Juli 2012 samt Beweismitteln nachreichen. Zudem ersuchte sie nachträglich um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
E.d. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wies das Departement des Inneren, vertreten durch das Oberamt G._, am 11. Oktober 2012 ab. Die von X._ dagegen an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn erhobene Beschwerde blieb ohne Erfolg.
F.
F.a. Im Januar 2013 teilten die kantonalen Behörden X._ mit, dass infolge des Inkrafttretens des neuen Kindes- und Erwachsenenschutzrechts per 1. Januar 2013 fortan das kantonale Verwaltungsgericht für die hängige Beschwerde zuständig sei.
Hierauf liess X._ am 24. Januar 2013 durch ihren Rechtsvertreter zusätzliche Anträge einreichen. Sie forderte die Einholung diverser Verlaufsberichte und beantragte, "es sei in jedem Fall eine Parteibefragung und damit eine mündliche Verhandlung durchzuführen". In der Folge holte das Verwaltungsgericht mehrere Berichte ein.
F.b. Auf Anfrage des Verwaltungsgerichts hin teilte der Kindsvater am 24. Januar 2013 mit, dass er auf eine Teilnahme am Verfahren verzichte.
F.c. Am 21. Mai 2013 nahm X._ zu den eingeholten Berichten Stellung und bekräftigte ihren Antrag auf Durchführung einer Parteiverhandlung mit persönlicher Befragung durch das Verwaltungsgericht.
F.d. Mit Urteil vom 27. Mai 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde ab und bestätigte damit den Obhutsentzug inkl. Umplatzierungen. Es entschied - unter Abweisung des Antrags auf eine mündliche Anhörung - aufgrund der Akten.
G.
Hiergegen erhebt die nicht mehr anwaltlich vertretene X._ (Beschwerdeführerin) Beschwerde beim Bundesgericht. Sie verlangt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts unter Kostenfolge; die Angelegenheit sei zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Mit Vernehmlassung vom 13. August 2013 beantragte die Vorinstanz, die Beschwerde sei kostenfällig abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde G._ verzichtete auf eine Stellungnahme. Die Beschwerdeführerin äusserte sich hierzu nicht mehr.
H.
Im April 2013 ist die Beschwerdeführerin mit einem neuen Partner Mutter eines weiteren Kindes geworden, welches von vorliegendem Verfahren nicht betroffen ist.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (Art. 75 Abs. 1 BGG) betreffend Obhutsentzug und Unterbringung von Kindern in einem Heim (Kindesschutzmassnahme; Art. 310 Abs. 1 ZGB). Damit geht es um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) ohne Vermögenswert. Die Beschwerdeführerin ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Insofern ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
1.2. Mit vorliegender Beschwerde können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Unter Vorbehalt des Bereichs der verfassungsmässigen Rechte wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Beschwerde daher auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (zu den Voraussetzungen der Motivsubstitution BGE 136 III 247 E. 4 S. 252 mit Hinweis).
1.3. Dagegen ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, er sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (Art. 97 Abs. 1 BGG), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist, oder er beruhe auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB; BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252). Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Für all diese Elemente gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 72 E. 9.2.3.6 S. 96; 133 II 249E. 1.4.2 f. S. 254 f.). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Lage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
Soweit Verfassungsbestimmungen eingewendet werden, gilt generell das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
2.
D ie Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz in verschiedener Hinsicht Willkür in der Sachverhaltsfeststellung vor.
2.1. Es stimme beispielsweise nicht, dass das Kinderheim bereits im Laufe des Rückplatzierungsversuchs Bedenken geäussert habe. Ebensoeine Behauptung sei, dass sich mit dem Rückplatzierungsversuch das Sozialverhalten der Kinder verschlechtert habe und diese provokanter, aggressiver, unruhig oder aufgebracht gewesen seien; die Kinder seien durch die Umplatzierungen traumatisiert. Sie listet dabei stichwortartig die Feststellungen auf, welche sie für willkürlich hält.
2.2. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin sind über weite Strecken appellatorisch. Sie beschränkt sich darauf, die beanstandeten vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen pauschal zu bestreiten resp. das Gegenteil zu behaupten. Dabei blendet sie aus, dass die Vorinstanz bezüglich Sachverhalt auf die eingeholten Gutachten und Berichte der involvierten Fachpersonen abgestützt und diese wiedergegeben hat. Diese beanstandet die Beschwerdeführerin aber nicht. Sie schildert lediglich ihre Sicht der Dinge, ohne aufzuzeigen, inwiefern der Entscheid auf qualifiziert falsche Sachverhalte abgestützt haben soll und dies auf die Würdigung des Falles einen Einfluss gehabt hätte. Damit genügt sie den Rügeanforderungen (vgl. E. 1.3) nicht.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt weiter, ihr rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) sei verletzt worden. Sie sei vom Verwaltungsgericht nie einvernommen worden. Eine sorgfältige Abklärung des Sachverhalts sei aber für eine so tiefgreifende Massnahme unerlässlich. Es gehe nicht an, ausschliesslich auf Feststellungen einer Vorinstanz abzustellen. Ihres Erachtens wäre es wichtig gewesen, dass die Richter sie hätten sehen und sich ein Bild von ihr machen können. Eine mündliche Verhandlung wäre daher angebracht gewesen.
3.1. Die vorinstanzliche Feststellung, dass sie durch die früher zuständige Instanz mehrfach angehört worden sei, bestreitet die Beschwerdeführerin nicht (Art. 105 Abs. 1 BGG). Wie aus der Beschwerde erhellt, verlangte die Beschwerdeführerin aber, durch die Vorinstanz erneut persönlich angehört zu werden. Einen Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat sie soweit ersichtlich demgegenüber nicht gestellt; dies hätte einen klaren Parteiantrag vorausgesetzt (BGE 134 I 140 E. 5.2 S. 147). Bezüglich ihres Beweisantrags auf mündliche Anhörung hat Art. 6 Ziff. 1 EMRK daher keine über Art. 29 Abs. 2 BV hinausgehende Bedeutung.
3.2. Der hier zur Debatte stehende Teilgehalt des rechtlichen Gehörs, das Beweisführungsrecht, steht einer vorweggenommenen Beweiswürdigung nicht entgegen. Das Gericht kann auf die Abnahme von Beweisen verzichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148 mit weiteren Hinweisen). Auch die Tatsache, dass ein Verfahren - wie vorliegend - der Untersuchungsmaxime unterliegt, steht einer antizipierten Beweiswürdigung nicht entgegen (BGE 130 III 734 E. 2.2.3 S. 735; Urteil 5A_361/2010 vom 10. September 2010 E. 4.2.1, in: FamPra.ch 2011 S. 218). Nur wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft, ist durch die Nichtabnahme eines Beweismittels das rechtliche Gehör verletzt (BGE 130 II 425 E. 2.1 S. 428 f.; 124 I 208 E. 4a S. 211). Diese Rechtsprechung hat für den Beschwerdeführer zur Folge, dass er - wenn das Sachgericht eine rechtserhebliche Tatsache als bewiesen oder als widerlegt erachtet - in einem ersten Schritt - und unter Gewärtigung der Nichteintretensfolge - willkürliche Beweiswürdigung rügen und damit durchdringen muss, bevor sich das Bundesgericht mit der Rüge der Verletzung des Beweisführungsanspruchs nach Art. 29 Abs. 2 BV befasst.
3.3. Vorliegend rügt die Beschwerdeführerin zwar die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen in mehrfacher Hinsicht als willkürlich, dringt damit aber nicht durch (v gl. vorstehend E. 2). Dementsprechend i st der Gehörsrüge die Grundlage entzogen.
4.
Sodann macht die Beschwerdeführerin eine Nichtbeachtung des rechtlichen Gehörs der Kinder gemäss Art. 12 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtekonvention, KRK; SR 0.107) geltend. Ihre Kinder seien 8- bzw. 9-jährig und damit in der Lage, sich zu äussern. Sie beantrage, dass die Kinder über ihre Situation und Wünsche im Zusammenhang mit der Obhutszuteilung befragt würden.
4.1. Der Anspruch nach Art. 12 KRK setzt in erster Linie voraus, dass das Kind fähig ist, sich eine eigene Meinung zu bilden. Die Anhörung ist ein Persönlichkeitsrecht des Kindes; sie muss nicht notwendigerweise in jedem Fall mündlich erfolgen, sondern es kann genügen, wenn der Standpunkt des Kindes sonstwie in tauglicher Weise, zum Beispiel durch eine Eingabe seines Vertreters, Eingang in das Verfahren gefunden hat (BGE 124 II 361 E. 3c S. 368 mit Hinweisen; zuletzt Urteil 2A.423/2005 vom 25. Oktober 2005 E. 5.1).
Zu beachten ist auch Art. 314a Abs. 1 ZGB, wonach das Kind im Rahmen von Kindesschutzmassnahmen durch die Kindesschutzbehörde oder durch eine beauftragte Drittperson in geeigneter Weise persönlich angehört wird, soweit nicht sein Alter oder andere wichtige Gründe dagegen sprechen. Als Richtlinie ist eine Kinderanhörung grundsätzlich ab dem vollendeten sechsten Altersjahr möglich (BGE 131 III 553 E. 1.2.3 S. 558).
Vorliegend überschreiten die Kinder das Schwellenalter nur knapp. Sie waren zum Zeitpunkt des erstmaligen (damals superprovisorischen) Obhutsentzugs im August 2011 fast siebenjährig resp. fünfeinhalb, beim Abbruch des Rückplatzierungsversuchs anfangs Juli 2012 fast acht resp. sechseinhalb und beim Entscheid der Vorinstanz im Mai 2013 noch knapp ein Jahr älter.
4.2. A._ und B._ wurden im Laufe der Begutachtung mehrmals persönlich durch die Gutachter angehört (31. Oktober 2011: erstes Gespräch zum Kennenlernen, beide zusammen; 2. Dezember 2011: Gespräche und testpsychologische Abklärungen, je separat; 15. Dezember 2011: weitere Gespräche und testpsychologische Abklärungen, je separat; 4. Januar 2012: Interaktionsgespräch mit dem Vater, beide zusammen; 5. Januar 2012: Interaktionsgespräch mit der Mutter, beide zusammen; 6. Januar 2012: Kinderanhörung inkl. Frage der Zuteilung, je separat).
Eine Befragung im Rahmen einer Begutachtung - wie vorliegend geschehen - ist zulässig. Stehen gemäss Rechtsprechung doch die Anhörung des Kindes durch den Richter selbst und jene durch eine beauftragte Drittperson auf gleicher Stufe. Von wiederholten Anhörungen ist abzusehen, wo dies für das Kind eine unzumutbare Belastung bedeuten würde, was namentlich bei akuten Loyalitätskonflikten der Fall sein kann, und überdies keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären oder der erhoffte Nutzen in keinem vernünftigen Verhältnis zu der durch die erneute Befragung verursachten Belastung stünde (zu den Voraussetzungen ausführlich BGE 133 III 553 E. 4 S. 554 f. mit weiteren Hinweisen).
Auch dem Element der Sachverhaltsermittlung wurde vorliegend Genüge getan. Nach dem Abschluss des Gutachtens fanden die Standpunkte der Kinder weiterhin Eingang in das Verfahren durch die Eingaben und Berichte ihrer Mutter, der Lehrer, Heimbetreuer und der Beiständin (vgl. E. 3.2). Es kann nicht erwartet werden, dass eine weitere Anhörung der beiden Jungen gänzlich neue Aspekte hervorgebracht hätte. Vielmehr hätte die Gefahr bestanden, diese unnötig zusätzlich zu belasten. Vor diesem Hintergrund durfte die Vorinstanz von einer persönlichen Anhörung der Kinder absehen. Ob die Kinder überhaupt urteilsfähig im Sinne von Art. 12 KRK gewesen wären, kann angesichts dessen offen bleiben.
5.
Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin in formeller Hinsicht auch eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV (Beurteilung einer Angelegenheit innert angemessener Frist). Das Verfahren habe - gerechnet ab der Errichtung der Erziehungsbeistandschaft im April 2011 - über zwei Jahre und damit zu lange gedauert.
Im August 2011 wurde der Beschwerdeführerin die Obhut erstmals (superprovisorisch) entzogen. Die Kinder wurden vorerst beim Kindsvater platziert; Ende September 2011 wurden sie im Heim untergebracht. In der Folge wurden Gutachten in Auftrag gegeben, welche im Januar resp. anfangs März 2012 eingingen. Mitte März 2012 bestätigte die zuständige Behörde den Obhutsentzug, leitete aber gleichzeitig Rückplatzierungsbestrebungen ein. Der Rückplatzierungsversuch wurde im Mai 2012 gestartet. Mit Verfügung vom 5. Juli 2012 folgte der Abbruch. Auf Beschwerde der Kindsmutter hin bestätigte die Vorinstanz den Obhutsentzug und die Heimplatzierung im Mai 2013. Dazwischen liefen mehrere Beschwerdeverfahren (aufschiebende Wirkung, Umplatzierung) und seitens der Beschwerdeführerin erfolgten mehrere nachträgliche Eingaben (sie liess die zuerst nicht begründete Beschwerde erst im September 2012 begründen; im Januar 2013 stellte sie zusätzliche Beweisanträge, denen die Vorinstanz nachkam, indem sie mehrere Verlaufsberichte einholte). Vor diesem Hintergrund ist in keiner Phase eine unzulässige Verfahrensverzögerung ersichtlich.
6.
In der Sache selbst kann die Beschwerdeführerin so verstanden werden, dass ihr die Obhut über die Kinder belassen werden solle. Es liege keine Gefährdung des Kindeswohls vor, wenn die Kinder in ihrer Obhut seien. Mit einer Familienbegleitung könne dies ohne grossen Aufwand überprüft werden. Mithin macht sie geltend, der Obhutsentzug sei nicht die mildeste Massnahme.
6.1. Der angefochtene Entscheid erging am 27. Mai 2013. Daher kommen die am 1. Januar 2013 in Kraft getretenen neuen Bestimmungen des Kindesschutzrechts z ur Anwendung (Art. 314 Abs. 1 ZGB i.V.m. Art. 14 Abs. 1, Art. 14a SchlT ZGB; vgl. Bundesgesetz vom 19. Dezember 2008 zum Erwachsenenschutz, Persone nrecht und Kindesrecht, AS 2011 725). Die materiellen Voraussetzungen für den Entzug der elterlichen Obhut und für die Unterbringung Minderjähriger richten sich nach Art. 310 Abs. 1 ZGB (vgl. Botschaft zum Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht, BBl 2006 7001 ff., S. 7102). Diesbezüglich wurde im Rahmen der Gesetzesrevision lediglich die Terminologie geändert (Kindesschutzbehörde anstatt Vormundschaftsbehörde). Es ist an die bisherige Rechtsprechung anzuknüpfen.
6.2. Nach Art. 310 Abs. 1 ZGB hat die Kindesschutzbehörde, wenn einer Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden kann, dieses den Eltern wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen. Die Gefährdung muss darin liegen, dass das Kind in der elterlichen Obhut nicht so geschützt und gefördert wird, wie es für seine körperliche, geistige und sittliche Entfaltung nötig wäre. Unerheblich ist, auf welche Ursachen die Gefährdung zurückzuführen ist: Sie können in den Anlagen oder in einem Fehlverhalten des Kindes, der Eltern oder der weiteren Umgebung liegen. Desgleichen spielt keine Rolle, ob die Eltern ein Verschulden an der Gefährdung trifft. Massgebend sind die Verhältnisse im Zeitpunkt der Entziehung. Alle Kindesschutzmassnahmen müssen erforderlich sein (Subsidiarität), und es ist immer die mildeste Erfolg versprechende Massnahme anzuordnen (Proportionalität); diese sollen elterliche Bemühungen nicht ersetzen, sondern ergänzen (Komplementarität). Die Entziehung der elterlichen Obhut ist daher nur zulässig, wenn andere Massnahmen ohne Erfolg geblieben sind oder von vornherein als ungenügend erscheinen (zum Ganzen Urteil 5A_701/2011 vom 12. März 2012 E. 4.2.1, in: FamPra.ch 2012 821 mit weiteren Hinweisen auf Literatur und Rechtsprechung). Massgebend sind dabei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Entziehung (vgl. vorzitiertes Urteil 5A_701/2011 vom 12. März 2012 E. 4.2.1).
6.3. Als erstes ist damit zu prüfen, ob der Obhutsentzug im Zeitpunkt des Abbruchs des Rückplatzierungsversuchs durch die Kindesschutzbehörde gerechtfertigt war.
Die Vorinstanz hat namentlich hervorgehoben, dass der labile psychische Zustand der Kindsmutter der Entwicklung der Kinder abträglich sei und deren Wohl in seelischer und geistiger Hinsicht gefährde. Auch wenn die Kindsmutter insgesamt eine adäquate Erziehungs- und Beziehungskompetenz zeige und einen guten Umgang mit ihren Kindern pflege, sei es ihrerseits immer wieder zu Überreaktionen in emotional aufgeladenen Situationen gekommen. Diese würden die Kinder stark verunsichern und aufwühlen, wodurch sie sich nicht mehr ausreichend auf ihre eigene Entwicklung und schulischen Leistungen konzentrieren könnten. In der Tätigkeit im Erotikgewerbe sah die Vorinstanz ein weiteres Indiz dafür, dass die Beschwerdeführerin bei ihrem Handeln die Auswirkungen auf ihre Kinder ausser Acht lasse. Sie scheine auch immer wieder ihre persönlichen Anliegen mit den Kindern zu diskutieren, ohne zu reflektieren, dass negative Äusserungen über den Kindsvater oder das Kinderheim die Kinder in massive Loyalitätskonflikte versetze. Es sei für die Kinder eine zu grosse psychische Belastung, wenn sie ihrer Mutter eine emotionale Stütze sein und sich um das emotionale Gleichgewicht der Mutter sorgen müssten. Gerade auch die Reaktion der Beschwerdeführerin vom 26. Juni 2012 zeige auf, dass ihr psychischer Zustand zu diesem Zeitpunkt noch zu wenig stabil gewesen sei, um die Kinder wieder bei sich aufzunehmen.
6.4. Nachdem die Beschwerdeführerin die eingeholten Gutachten und Berichte nicht beanstandet, ist auf diese abzustützen.
6.4.1. Das psychologisch-psychiatrische Gutachten des Kinder- und Jugendpsychiatrischen Dienstes vom 1. März 2012 diagnostizierte bei A._ und B._ einen Rückstand in der sozioemotionalen Entwicklung sowie Anpassungsstörungen mit gemischter Störung von Gefühlen und Sozialverhalten. Sie stünden in Loyalitätskonflikten. Die aktuelle familiäre Situation stelle für beide Kinder eine massive psychische Belastung dar. Aufgrund der gegebenen Schwierigkeiten bestehe bei beiden Kindern eine gewisse Gefährdung in ihrer weiteren Entwicklung. Für eine möglichst gesunde weitere Entwicklung bestehe die dringende Notwendigkeit der Weiterführung der bestehenden Kindesschutzmassnahme (Erziehungsbeistandschaft), der Installation einer zusätzlichen Kindesschutzmassnahme (sozialpädagogische Familienbegleitung) sowie einer kinderpsychotherapeutischen Unterstützung inkl. Psychoedukation. A._ und B._ benötigten Halt durch Stabilität, klare Strukturen und wenig Wechsel. Bei B._ wurde ausserdem eine mögliche ADHS-Symptomatik festgestellt.
In Bezug auf die Mutter hielten die Gutachter fest, im Allgemeinen zeige diese eine adäquate Erziehungs- und Beziehungskompetenz. Im Rahmen ihrer Borderline-Persönlichkeitsstörung sei aber ihre Fähigkeit, ihre Impulse in emotional aufgeladenen Situationen zu kontrollieren und ihre Bedürfnisse und Interessen von denen der Kinder zu trennen, eingeschränkt. Zudem bestünden Schwierigkeiten bezüglich der Generationengrenzen sowie Defizite bezüglich Grenzsetzung den Kindern gegenüber. In diesen Bereichen bestehe eine teilweise erheblich eingeschränkte Erziehungs- und Beziehungskompetenz, welche das Wohl der Kinder mittel- bis längerfristig ernsthaft beeinträchtigen könne. Aufgrund der - zumindest zu dieser Zeit gegebenen - Kooperationsfähigkeit bestehe die berechtigte Annahme, dass die Erziehungs- und Beziehungsfähigkeit der Mutter mit Hilfe von entsprechenden Kindesschutzmassnahmen insgesamt positiv zu beeinflussen sei. Neben einer sozialpädagogischen Familienbegleitung sei in erster Linie eine Behandlung ihrer psychischen Störung nötig. Die Gutachter präzisierten, dass im Rahmen von Besuchen das Kindeswohl bei beiden Elternteilen nicht akut gefährdet sei. Angesichts der gegebenen psychosozialen Belastungssituation empfahlen die Gutachter die Planung eines gestuften Rückplatzierungsversuchs der Kinder zur Mutter. Der Obhutsentzug gemäss Art. 310 Abs. 1 ZGB sei aufrechtzuerhalten, bis der Rückplatzierungsversuch als erfolgreich eingestuft werden könne. Falls der Rückplatzierungsversuch nicht gelinge, sei vorerst für mindestens zwei Jahre eine Platzierung der Kinder in einem Kinderheim anzustreben. Die Gutachter definierten weiter die für hierzu notwendigen Rahmenbedingungen und Voraussetzungen.
6.4.2. Der Rückplatzie rungsversuch wurde am 15. Mai 2012 gestartet. In der entsprechenden Verfügung wurden die von den Gutachtern empfohlenen Bedingungen übernommen und ein genauer Zeitplan festgelegt (schrittweise Ausdehnung der Besuche der Kinder bei der Mutter). Das erste Auswertungsgespräch der Fachleute wurde bereits in dieser Verfügung auf den 18. Juni 2012 festgesetzt. Es wurde vorgesehen, dass die Vormundschaftsbehörde im Anschluss an dieses Gespräch über dessen Ergebnisse informiere und über die weiteren Schritte entscheide (z.B. den Schulbesuchsort). Die Eltern seien hierzu vorgängig anzuhören. Die Verfügung schloss mit dem Hinweis, im Übrigen bleibe auf Empfehlung der Gutachter der Obhutsentzug bestehen, bis der Rückplatzierungsversuch als erfolgreich eingestuft werden könne.
6.4.3. Das Auswertungsgespräch unter den Fachleuten fand am 18. Juni 2012 wie ge plant statt. Wie erwähnt, wurde die Vormundschaftskommission dann am 20. Juni 2012 in Kenntnis gesetzt (vorstehend D.a), dass die Beschwerdeführerin sich prostituiere. Im daraufhin angesetzten Gespräch vom 21. Juni 2012 mit der Beschwerdeführerin nahmen neben dem Vormundschaftsp räsident, der Beiständin, einem Vertreter des Kinderheims E._, und der Familienbegleiterin auch der Anwalt der Beschwerdeführerin teil. Letztere bestritt, sich prostituiert zu haben, es habe sich lediglich um eine einmalige Tätigkeit im Erotik- Bereich gehandelt. Die von ihr aufgeschaltete Web-Seite werde sie per sofort löschen. Die Beteiligten vereinbarten schliesslich ein weiteres Gespräch für den 26. Juni 2012, in welchem der Beschwerdeführerin dann der Antrag der Fachgruppe (Abbruch des Rückplatzierungsversuchs) eröffnet wurde.
Wie dem Bericht des Polizeikommandos Solothurn vom 28. Juni 2012 zu entnehmen ist, musste nach der Eröffnung, dass der Beschwerdeführerin ab sofort die Obhut über die Kinder entzogen werde, die Polizei notfallmässig beigezogen werden. Die Beschwerdeführerin sei in ein Tief geraten. Sie habe Suizidabsichten geäussert und mit Gewalt gegen sich und andere anwesende Personen gedroht. Sie habe aber auch geäussert, dass sie selbständig in eine Klinik gehen werde. Schliesslich sei eine fürsorgerische Unterbringung (vormals FFE) durch die Pikett habende Psychiaterin Dr. H._ angeordnet worden.
6.4.4. Zwischen den beiden Gesprächen waren bei der Kommission weitere Stellungnahmen aus dem Kreis der Fachgruppe eingegangen. Mit E-Mail vom 23. Juni 2012 rief der Teamleiter des Durchgangsheims E._ in Erinnerung, dass für den Rückplatzierungsversuch Kriterien aufgestellt worden seien, welche nur teilweise erfüllt worden seien. Dies sei bereits mit E-Mail vom 15. Juni 2012 gemeldet worden; von Seite des Heims seien auch bereits an der Sitzung vom 18. Juni 2012 Bedenken gegen eine Rückplatzierung geäussert worden. Die Beschwerdeführerin habe sich prostituiert, weil sie Geld brauche und habe dabei ausser Acht gelassen, welche weitreichenden Folgen diese Handlungen für sie und die Kinder haben könnten. Zudem habe sie vom expliziten Unterstützungsangebot des Heims keinen Gebrauch gemacht. Weiter leitete er Rückmeldungen des Kindergartens weiter, wo es zu Zwischenfällen mit der Beschwerdeführerin gekommen sei. Das Heim rate so lange von einer Rückplatzierung ab, bis sich die Beschwerdeführerin stabilisiert habe.
Mit E-Mail vom 25. Juni 2012 an die beteiligten Fachleute ergänzte die Beiständin, dass aufgrund der letzten Vorkommnisse die Fähigkeit und Bereitschaft zur Zusammenarbeit der Kindsmutter mit den Fachstellen in Frage gestellt werden müsse. Dies um so mehr, als das Ganze trotz des recht hohen Druckes, dass die Kinder noch platziert seien, habe geschehen können. Sie stellte in Frage, dass sich die Zusammenarbeit nach der Rückplatzierung verbessern könnte.
Ebenfalls am 25. Juni 2012 reichte die Familienbegleiterin einen Kurzbericht ein. Sie habe die Beschwerdeführerin fünf Mal besucht, bei zwei dieser Besuche seien die Kinder dabei gewesen. Sie habe den Eindruck, dass diese ihre Kinder führen könne und mit ihnen den Alltag kindgerecht gestalte, und dass sie einsichtig und bereit sei, etwas zu verändern.
Mit Schreiben vom 26. Juni 2012 an die Sozialregion I._ führte die Beschwerdeführerin aus, dass es sich bei ihrer Nebenbeschäftigung im Studio K._ um eine Tätigkeit gehandelt habe, die sie aus lauter finanzieller Verzweiflung aufgenommen habe, um nicht bei jedem kleinsten Anliegen der Kinder (z.B. Turnschuhe, Schultasche) beim Sozialdienst betteln zu müssen. Sie habe die Tätigkeit ein einziges Mal, am 16. Juni 2012, ausgeübt und dabei Fr. 215.-- eingenommen, welche sie Ende des Monats als Einkünfte deklariert hätte. Sie habe die Tätigkeit am 21. Juni 2012 aufgegeben. Wie die Vorinstanz festgehalten hat, löschte die Beschwerdeführerin die Homepage.
Am 27. Juni 2012 nahmen die Gutachter des KJPD im Rahmen ihres weiterhin bestehenden Monitoringauftrags Stellung. Der Bericht erfolgte nach Konsultation der Stellungnahmen des Durchgangsheims E._, der Familienbegleiterin sowie nach Kontaktnahme mit dem forensischen Gutachter der Beschwerdeführerin, Psychiater Dr. med. L._, und ihrem behandelnden Psychiater, Dr. med. M._. Die Gutachter erwogen, dass die Beschwerdeführerin gemäss Schilderungen der Beiständin und des Heims immer wieder in Gesprächen nicht zugänglich gewesen sei bzw. sich teilweise nicht in der Lage gefühlt habe, Gespräche zu führen. Die psychotherapeutischen Gespräche bei Dr. med. M._ habe sie regelmässig wahrgenommen. Aus dessen Sicht bestehe eine Gratwanderung zwischen Kontrolle und Zutrauen. Das heisse, je mehr Kontrolle stattfinde, desto beunruhigter und labiler reagiere sie. Sie versuche, sich an den behördlichen Vorgaben zu orientieren. Es brauche jedoch offenbar wenig, dass sie durcheinander sei. Der Kindsvater zeige sich wenig kooperativ; er habe Termine abgesagt. Der emotionale Zustand der Kinder habe sich im Verlauf des Rückplatzierungsversuchs verschlechtert. Gestützt auf die verschiedenen Stellungnahmen und die gutachterliche Einschätzung vom 1. März 2012 zeige sich eine weiterhin belastete Zusammenarbeit zwischen der Beschwerdeführerin (sowie auch des Kindsvaters) und der Behörde. Weiter bestehe ein deutlich manipulatives Verhalten seitens beider Kindseltern. Die schnelle Beunruhigung der Kindsmutter und ihre daraus resultierende emotionale Labilität übertrage sich nach wie vor zu häufig auf ihre Kinder. Diese seien im Alter von gut sieben und sechs Jahren zu jung, um sich einer solchen emotionalen Umkehr seitens eines Elternteils entziehen und sich genügend abgrenzen zu können, was für eine gesunde Entwicklung der Kinder sehr schädlich sei. Sie empfahlen, die Situation und die Kinder zu entlasten. Unter dem Leitkriterium "Kindeswohl" müsse der Rückplatzierungsversuch vorerst als nicht weiter durchführbar eingeschätzt werden. Die Kinder seien in Bestätigung des Obhutsentzugs für mindestens zwei Jahre in einem Kinderheim unterzubringen. Gleichzeitig betonten sie die Wichtigkeit der Aufrechterhaltung einer lebendigen Beziehung zwischen den Kindseltern und den Kindern im Rahmen eines (ausdehnbaren) Wochenendbesuchsrechts.
6.4.5. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass bereits im Gutachten vom 1. März 2012 angesichts der psychischen Erkrankung der Beschwerdeführerin und des schwierigen sozialen Umfelds (konfliktuöse Beziehung mit dem Kindsvater, erst angelaufene psychotherapeutische Behandlung der Beschwerdeführerin, neue Partnerschaft) nur der Versucheiner Rückplatzierung vorgeschlagen wurde. Dabei musste sich erst beweisen, dass die getroffenen Begleitmassnahmen der Kindsmutter zu genügend Stabilität verhelfen würden und sie die ihr zur Seite gestellten Fachpersonen (Heimleitung, Lehrer/ Kindergartenbetreuer, Beiständin, Familienbegleiterin und psychologische Fachpersonen) im Ernstfall um Hilfe angehen würde. Indes zeigte es sich im Laufe des Versuchs, dass sie gemäss dem Bericht des Kinderheims mehrmals nicht in der Lage war, sich auf Gespräche einzulassen. Es kam zu Zwischenfällen im Kindergarten. Schliesslich gelangte sie auch mit ihren finanziellen Problemen nicht an die ihr zur Verfügung stehenden Fachpersonen. Sie schaltete vielmehr ein Internetangebot auf, um zu Geld zu kommen - unter Inkaufnahme sämtlicher Folgen, welche dies für sie selbst und die Kinder haben könnte. Das heisst, im Moment, als sich ihr ein Problem stellte, zeigten sich alle bestehenden Massnahmen als erfolglos.
6.4.6. Der angeordnete Obhutsentzug (inkl. Abbruch des Rückplatzierungsversuchs) und die damit verbundene Unterbringung von A._ und B._ in einem Kinderheim war damit zu diesem Zeitpunkt im Hinblick auf das Kindeswohl unumgänglich, da mildere Massnahmen ohne nachhaltigen Erfolg geblieben waren.
6.5. Zum zweiten ist die Frage zu prüfen, ob die Vorinstanz zurecht das Eventualbegehren der Beschwerdeführerin, der Rückplatzierungsversuch sei fortzusetzen, abgelehnt hat.
6.5.1. Die Vorinstanz nahm im angefochtenen Entscheid auf die Empfehlung der Gutachter Bezug, dass die Kinder vorerst für mindestens zwei Jahre in einem für sie geeigneten Kinderheim zu platzieren seien, wenn der Rückplatzierungsversuch abgebrochen werden müsse. Seit September 2012 seien die Kinder nun im Kinderheim F._, wo sie sich gemäss Protokoll des Standortgesprächs vom 4. Februar 2013wohl fühlten. Die Situation sei für die Kinder emotional übersichtlicher geworden und verschiedene Verhaltensauffälligkeiten hätten sich verringert. Die Kinder schienen Ruhe und eine gewisse Sicherheit gefunden zu haben. Sie litten jedoch weiterhin unter der Trennung von der Mutter. Nach wie vor zeigten sie Auffälligkeiten in ihrem sozialen Verhalten, wobei bezweifelt werde, dass diese nur auf diese Trennung zurückzuführen seien. Gemäss den Empfehlungen der Gutachter benötigten sie für die Sicherstellung einer gesunden psychosozialen Entwicklung ausreichend Halt, Stabilität, klare Strukturen und Regeln sowie Konstanz, Regelmässigkeit und wenige Wechsel in ihrem Beziehungsnetz. Da sie diese Stabilität und Sicherheit (im Heim) allmählich gefunden zu haben schienen, sei es wenig sinnvoll, sie erneut aus ihrer Umgebung zu reissen. Ausserdem sei die Beschwerdeführerin inzwischen Mutter eines dritten Kindes geworden, was für diese eine zu grosse Belastung bedeuten könnte, wenn jetzt ein Rückplatzierungsversuch gestartet würde. Die Gefahr eines Scheiterns wäre zum jetzigen Zeitpunkt zu gross und würde nicht nur die Beschwerdeführerin selber, sondern auch die Kinder unnötig emotional belasten. Im Hinblick auf das Kindeswohl sei es am besten, wenn diese sich vorerst in konstanten Verhältnissen entwickeln könnten. Die Vorinstanz wies aber auch darauf hin, dass die pädagogische Familienbegleiterin beauftragt sei, einen Antrag auf Überprüfung des Obhutsentzugs zu stellen, sobald die Situation sich derart entwickelt habe, dass die Kindsmutter in der Lage sei, die Kinder zurückzunehmen.
6.5.2. Die Beschwerdeführerin bringt diesbezüglich vor, es sei nicht ausgewiesen, dass es für das Kindeswohl von A._ und B._ am besten sei, wenn diese vorerst im Kinderheim F._ blieben. Es wäre bereits aus diesem Grund unbedingt nötig gewesen, dass das Verwaltungsgericht eine mündliche Verhandlung anberaumt hätte.
6.5.3. Bezüglich Verzicht auf zusätzliche Anhörungen kann auf vorstehende Erwägungen verwiesen werden. Die Sachverhaltsfeststellungen bezüglich der (positiven) Entwicklung der Kinder seit sie im Kinderheim F._ untergebracht sind, beanstandet die Beschwerdeführerin per se nicht.
Die Gutachter hatten im Hinblick auf eine gewisse Stabilität empfohlen, im Falle eines Abbruchs des Rückplatzierungsversuchs die Kinder für mindestens zwei Jahre zu platzieren. Die Kinder bräuchten Stabilität und Konstanz. Die von der Vorinstanz eingeholten Verlaufsberichte bestätigen diese Einschätzung. Sie zeigen zwar das Bild von zwei Jungen, welche nach wie vor unter der Trennung der Mutter leiden, die sich aber in Heim und Schule eingelebt haben und seit der Unterbringung auch Fortschritte machen und sich entwickeln. Auf der Seite der Beschwerdeführerin ist gleichzeitig Vieles in Bewegung. Wie sie vor der Vorinstanz mehrfach darlegte, ist sie weiterhin daran, mit psychiatrischer Hilfe und der Unterstützung einer Familienbegleiterin an sich zu arbeiten. Sie hat einen neuen Partner. Zudem wurde sie Mutter eines dritten Kindes und darf sich in diese neue Situation einleben. Wie auch die Vorinstanzen ausformulierten, ist das Ziel, dass die Beschwerdeführerin B._ und A._ wieder zu sich nehmen kann. Angesichts der extremen Spannungen und den vielen Veränderungen, welche die Jungen in den vergangenen Jahren erlebten, ist indes der Empfehlung der Gutachter zu folgen, den Obhutsentzug für zwei Jahre aufrecht zu erhalten und die Kinder nicht jetzt aus den eingeleiteten Stabilisierungsprozessen herauszureissen.
Die Beschwerde ist damit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
7.
Angesichts der Umstände des konkreten Falles werden für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Da keine Gerichtskosten erhoben werden, die Beschwerdeführerin keinen Anwalt mit der Wahrung ihrer Interessen betraut hat und ihr insoweit keine ausgewiesenen Kosten entstanden sind, wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Y._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Friedli-Bruggmann