Faits:
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A. A._ exploite l'hôtel X._ à Hurghada, en Egypte. Il a été arrêté le 1er novembre 2001 à l'aéroport de Düsseldorf en exécution d'un mandat d'arrêt international décerné contre lui le 30 août 2001 par le Juge d'instruction économique du canton de Neuchâtel et détenu en Allemagne durant seize jours. Il était prévenu de diverses infractions en relation avec la faillite, prononcée le 18 avril 1994, de la société Y._, à La Chaux-de-Fonds, dont il était alors l'administrateur unique. Il a été libéré des fins de la poursuite pénale dirigée contre lui au terme d'un jugement rendu le 14 juin 2002 par le Président du Tribunal de police de La Chaux-de-Fonds.
Le 30 août 2002, A._ a saisi le Département des finances et des affaires sociales du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département des finances) d'une demande d'indemnité pour détention injustifiée de 323'900 fr., comprenant une somme de 19'100 fr. pour ses frais de défense (soit 60 heures à 225 fr., 20 heures à 250 fr. et 600 fr. de débours), un montant de 4'800 fr. à titre de réparation morale (soit 300 fr. par jour de détention) et une somme de 300'000 fr. pour la perte de gain subie du fait que son incarcération l'aurait empêché de conclure et de renouveler des contrats avec des agences de voyage en relation avec l'hôtel X._, à Hurghada. Dans un courrier du 31 janvier 2003, le Département des finances a proposé de lui verser une indemnité de 6'375 fr., se composant de 3'500 fr. au titre du tort moral, de 2'500 fr. pour les frais de défense et des intérêts moratoires à hauteur de 375 fr. Il a en revanche refusé de lui allouer une quelconque somme au titre du préjudice économique en l'absence de preuve d'une perte financière.
Le 4 juin 2003, A._ a ouvert action contre l'Etat de Neuchâtel devant le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif ou la cour cantonale) en concluant à l'allocation d'une indemnité de 300'000 fr., avec intérêt à 5% l'an dès le 1er novembre 2001, à titre de perte économique, une indemnité de 4'800 fr., avec intérêt à 5% l'an dès le 1er novembre 2001, à titre de réparation du tort moral, et une indemnité de 19'100 fr. avec intérêt à 5% dès le 4 juin 2003, à titre d'honoraires. Il sollicitait la mise en oeuvre d'une expertise en cas de contestation du montant des honoraires et du préjudice économique.
Par arrêt du 19 août 2004, le Tribunal administratif a condamné l'Etat de Neuchâtel à payer à A._ une indemnité de 6'500 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 8 novembre 2001 et a rejeté l'action pour le surplus. Il a estimé que le demandeur avait droit à une indemnité pour tort moral de 4'000 fr., plus 2'500 fr. pour ses frais de défense en relation directe avec la détention, à laquelle s'ajoutaient des intérêts compensatoires depuis la date moyenne du 8 novembre 2001. Considérant que la demande frisait la témérité s'agissant de la perte de gain et des frais d'avocat, il a mis un émolument réduit de 2'500 fr. et les débours par 250 fr. à la charge du demandeur.
Par arrêt du 19 août 2004, le Tribunal administratif a condamné l'Etat de Neuchâtel à payer à A._ une indemnité de 6'500 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 8 novembre 2001 et a rejeté l'action pour le surplus. Il a estimé que le demandeur avait droit à une indemnité pour tort moral de 4'000 fr., plus 2'500 fr. pour ses frais de défense en relation directe avec la détention, à laquelle s'ajoutaient des intérêts compensatoires depuis la date moyenne du 8 novembre 2001. Considérant que la demande frisait la témérité s'agissant de la perte de gain et des frais d'avocat, il a mis un émolument réduit de 2'500 fr. et les débours par 250 fr. à la charge du demandeur.
B. Agissant par la voie du recours de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt. Il se plaint d'une violation de son droit d'être entendu garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., du principe d'égalité ancré à l'art. 8 Cst. et de l'interdiction de l'arbitraire consacrée à l'art. 9 Cst.
L'Etat de Neuchâtel s'en remet à justice. Le Tribunal administratif conclut au rejet du recours.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le recours de droit public est formé en temps utile contre un arrêt final rendu en dernière instance cantonale. Le recourant, dont la démarche tend à l'obtention d'une indemnité fondée sur la responsabilité de l'Etat, prévue par le droit cantonal, a qualité pour agir au sens de l'art. 88 OJ.
1. Le recours de droit public est formé en temps utile contre un arrêt final rendu en dernière instance cantonale. Le recourant, dont la démarche tend à l'obtention d'une indemnité fondée sur la responsabilité de l'Etat, prévue par le droit cantonal, a qualité pour agir au sens de l'art. 88 OJ.
2. Le recourant voit une violation de son droit d'être entendu garanti à l'art. 29 al. 2 Cst. dans le refus du Tribunal administratif de procéder aux expertises requises.
2.1 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par cette disposition, comprend notamment le droit pour l'intéressé de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes et de participer à l'administration des preuves essentielles, ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 129 II 497 consid. 2.2 p. 504/505 et les arrêts cités). Le droit de faire administrer des preuves suppose que le fait à prouver soit pertinent, que le moyen de preuve proposé soit nécessaire pour constater ce fait et que la demande soit présentée selon les formes et délais prescrits par le droit cantonal. Par ailleurs, cette garantie constitutionnelle n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF 125 I 127 consid. 6c/cc in fine p. 135, 417 consid. 7b p. 430; 124 I 208 consid. 4a p. 211).
2.2 En l'occurrence, le recourant a demandé la mise en oeuvre d'une expertise en cas de contestation du montant du préjudice économique, dont il entendait confier le mandat au Directeur de l'Office du tourisme neuchâtelois. Ce dernier devait déterminer l'ampleur du manque à gagner qui pouvait résulter du fait que l'hôtel exploité par le recourant ne figurait pas dans le catalogue d'un agent de voyage pour la saison de novembre 2001 à avril 2002. Or, la cour cantonale a écarté toute indemnisation à ce titre non pas seulement parce que le recourant n'avait pas établi le montant du dommage, mais aussi parce qu'il n'avait pas prouvé, comme il lui appartenait de le faire, l'existence même du préjudice économique allégué ou sa relation de causalité avec son incarcération. Dans ces conditions, elle n'a pas violé le droit d'être entendu du demandeur en ne donnant pas suite à la requête d'expertise formulée par celui-ci.
Le recourant avait également proposé de faire taxer les honoraires de son mandataire par le bâtonnier de l'Ordre des avocats neuchâtelois pour le cas où son montant serait contesté. La cour cantonale n'a pas retenu la somme réclamée à ce titre par le demandeur en l'absence d'une note d'honoraires détaillée et s'en est remise sur ce point à l'appréciation du Département des finances qu'elle a tenue pour équitable. Seul le mandataire du recourant était en mesure de préciser le nombre d'heures effectivement consacrées à la libération de son client. Pour le surplus, il incombait à la cour cantonale de fixer le tarif horaire applicable; elle était apte à le faire en toute connaissance de cause et sans recourir à l'aide d'un expert dans la mesure où elle était censée connaître le tarif horaire recommandé à ses membres par l'Ordre des avocats neuchâtelois. Elle pouvait dès lors renoncer à administrer l'expertise requise sans violer le droit d'être entendu du recourant.
Le recours est donc mal fondé en tant qu'il porte sur une violation de l'art. 29 al. 2 Cst.
Le recours est donc mal fondé en tant qu'il porte sur une violation de l'art. 29 al. 2 Cst.
3. Le recourant conteste le montant de l'indemnité qui lui a été allouée en réparation de la détention injustifiée subie.
3.1 Selon une jurisprudence constante, ni le droit constitutionnel fédéral, ni le droit conventionnel n'exigent de l'Etat qu'il indemnise les particuliers victimes d'une incarcération en soi licite, mais qui se révèle par la suite injustifiée (cf. ATF 119 Ia 221 consid. 6 p. 230; 113 Ia 177 consid. 2d p.182; 108 Ia 13 consid. 3 p. 17; 105 Ia 127 consid. 2b p. 128; SJ 1998 p. 333 consid. 4a p. 338; SJ 1995 p. 285 consid. 3b p. 288). Il est en revanche loisible aux cantons d'instituer une telle garantie, dont le Tribunal fédéral examine alors la portée sous l'angle de l'arbitraire lorsque, comme en l'espèce, elle est contenue dans une norme de rang inférieur à la Constitution (ATF 110 Ia 156 consid. 1; 108 Ia 13 consid. 3 p. 17).
A teneur de l'art. 271 du Code de procédure pénale neuchâtelois (CPP neuch.), quiconque a été mis en état de détention et a bénéficié par la suite d'une décision de non-lieu ou d'acquittement peut obtenir une indemnité à raison du préjudice que lui a causé son incarcération. Selon l'art. 273 CPP neuch., l'Etat supporte les frais de la réparation (al. 1). Les dispositions du code des obligations concernant la fixation de l'indemnité sont applicables à titre de droit supplétif (al. 2).
3.2 Conformément aux principes généraux, le dommage correspond à la diminution involontaire de la fortune nette. Il peut consister dans une réduction de l'actif, en une augmentation du passif ou dans un gain manqué; il correspond à la différence entre le montant actuel du patrimoine et le montant que celui-ci aurait atteint si l'événement dommageable ne s'était pas produit (ATF 127 III 73 consid. 4c p. 76, 403 consid. 4a p. 405, 543 consid. 2b p. 546; 126 III 388 consid. 11a p. 393). Le responsable n'est tenu de réparer que le dommage qui se trouve dans un rapport de causalité adéquate avec l'acte qui fonde sa responsabilité. Il appartient ainsi au lésé de prouver non seulement l'existence et l'étendue du dommage, mais aussi le lien de causalité entre celui-ci et l'événement à la base de son action, soit la détention injustifiée (ATF 118 IV 420 consid. 2b p. 423; 117 IV 209 consid. 4b p. 218; 108 IV 202 consid. 2b in fine p. 203; 107 IV 155 consid. 5 p. 157). Lorsque le montant exact du dommage ne peut être établi, l'art. 42 al. 2 CO facilite la charge de la preuve, dans la mesure où il permet au juge de le déterminer équitablement en considération du cours ordinaire des choses et des mesures prises par la partie lésée. Celle-ci n'est cependant pas dispensée d'alléguer et de prouver, dans la mesure où cela est possible et exigible, toutes les circonstances qui plaident en faveur de la survenance d'un dommage, permettant et facilitant ainsi son évaluation (ATF 122 III 219 consid. 3a p. 221 et les arrêts cités). L'application de l'art. 42 al. 2 CO est ainsi réservée au cas où le montant exact du préjudice ne peut être établi, soit que les preuves fassent défaut, soit que leur administration ne puisse être exigée du lésé (ATF 105 II 87 consid. 3 p. 89 et les arrêts cités). Le but de l'art. 42 al. 2 CO n'est pas de venir au secours de la partie qui omet d'apporter des preuves ou qui fait obstacle à leur administration. Ces principes s'appliquent non seulement au montant du dommage, mais aussi à son existence, le préjudice devant être tenu pour établi lorsque les indices fournis par le dossier permettent, en considération du cours ordinaire des choses, de conclure à son existence (ATF 81 II 50 consid. 5 p. 55). Concernant le lien de causalité, la victime n'a certes pas à le démontrer avec une exactitude scientifique; elle doit cependant établir que le dommage invoqué se rapporte avec une vraisemblance prépondérante au comportement en cause (cf. ATF 113 Ib 420 consid. 3; 107 II 269 consid. 1b p. 273).
3.3 Le recourant prétend avoir subi une perte économique qu'il estime à 300'000 fr., en raison de son incarcération qui l'aurait empêché de conclure ou de renouveler des contrats avec des agences de voyage en relation avec l'hôtel X._ qu'il exploite à Hurghada. Il n'a cependant fourni aucune indication sur les agences de voyage qu'il devait rencontrer à cette fin lors de son séjour en Allemagne. On ignore en particulier si la maison B._ faisait partie des agences qu'il devait contacter durant sa détention aux fins de renouveler un contrat. Le simple fait que l'hôtel X._ n'est plus mentionné dans le catalogue B._ de novembre 2001 à avril 2002 alors qu'il l'était dans celui de novembre 1999 à avril 2000 ne suffit pas pour démontrer que cette absence est liée à la détention injustifiée du recourant et à l'impossibilité dans laquelle il se serait trouvé d'assister à un rendez-vous fixé avec cette agence. Pour le surplus, le recourant n'a produit aucun document permettant d'admettre que l'hôtel X._ figurait auparavant dans les précédents catalogues de la maison C._ ou qu'il aurait eu un rendez-vous avec une agence de cette compagnie lors de sa détention. Dans ces conditions, la cour cantonale n'a pas fait preuve d'arbitraire en retenant que le préjudice économique allégué n'était pas établi, s'agissant des agences C._ et B._, ou, à tout le moins, qu'il n'était pas en relation de causalité adéquate avec son incarcération injustifiée. Cela étant, une détermination équitable d'un gain manqué, selon le principe de l'art. 42 al. 2 CO, appliqué par analogie, était exclue.
Le recourant se prévaut également de la lettre que lui a adressée, le 22 décembre 2001, la maison D._, à Cologne, par laquelle celle-ci l'informe que l'hôtel X._ ne figurera pas dans son nouveau catalogue parce que le contrat prévu à ce propos n'a pas été signé à temps. Cette lettre ne donne aucune indication sur le délai dans lequel le contrat aurait dû impérativement être signé et rien ne permet d'admettre qu'il arrivait à échéance durant l'incarcération du recourant, alors qu'il aurait été facile de l'établir en produisant une copie de ce document. La cour cantonale n'a donc pas fait preuve d'arbitraire en considérant que le lien de causalité entre l'arrestation et la perte du contrat avec la maison D._ n'était pas établi et en refusant toute indemnité à ce titre pour cette raison.
Plus délicate en revanche est la question d'un éventuel préjudice en relation avec l'annulation de la réservation d'un contingent de 150 chambres à l'hôtel X._ que l'agence E._, à Opfikon, avait faite le 15 octobre 2001 pour la période du 20 décembre 2001 au 30 avril 2002 pour le prix de 85 fr. par jour et par chambre. Selon la lettre adressée au recourant le 16 novembre 2001, cette agence a annulé la réservation parce que celui-ci ne s'était pas présenté au rendez-vous fixé le 14 novembre 2001 pour la signature du contrat définitif, sans autre explication. Or, il est avéré que ce jour-là, A._ était détenu en Allemagne. La cour cantonale a néanmoins refusé toute indemnisation à ce titre parce que le recourant n'avait pas établi avoir entrepris les démarches aussitôt après sa libération pour contacter son client afin de lui donner des explications sur son absence et son silence et trouver un arrangement. Il n'est pas certain qu'une intervention immédiate du recourant aurait permis d'éviter le dommage. La question de savoir si cela suffit pour exclure l'existence d'un gain manqué et refuser toute indemnité à ce titre peut rester indécise, car le recourant n'a produit aucun document attestant qu'il n'a pas été en mesure de relouer tout ou partie des chambres pour la période considérée, ce qu'il aurait pu faire sans difficulté en produisant ses livres de compte ou l'état des réservations pour la période considérée. L'art. 42 al. 2 CO ne permettait pas de remédier aux négligences imputables au demandeur en ce qui concerne le préjudice économique subi et la cour cantonale n'a pas fait preuve d'arbitraire en considérant que la détermination équitable d'un gain manqué était exclue.
Le recours est donc mal fondé en tant qu'il porte sur le refus d'allouer au recourant une indemnité en réparation d'un éventuel préjudice économique en relation avec sa détention injustifiée.
Le recours est donc mal fondé en tant qu'il porte sur le refus d'allouer au recourant une indemnité en réparation d'un éventuel préjudice économique en relation avec sa détention injustifiée.
4. Le recourant tient également pour insuffisant le montant qui lui a été accordé au titre du tort moral. Il se plaint à ce sujet d'une inégalité de traitement prohibée par l'art. 8 al. 1 Cst. par rapport à un arrêt du 8 décembre 1999 publié à la RJN 2000 p. 206 où la cour cantonale avait versé une indemnité de 300 fr. par jour au requérant détenu à tort.
L'argumentation du recourant repose sur une lecture erronée de cet arrêt. S'il est exact que le requérant exigeait une indemnité de 300 fr. par jour de détention injustifiée, le Tribunal administratif a considéré, s'agissant d'une détention de longue durée, que l'indemnité pour tort moral devait être fixée non pas de manière linéaire, mais en fonction de l'ensemble des circonstances, conformément à la jurisprudence du Tribunal fédéral (ATF 113 Ib 155 consid. 3b p. 156 et les arrêts non publiés cités par Peter Münch, Bemessung der Genugtuung für ungerechtfertigten Freiheitsentzug, ZBJV 134/1998 p. 237-239). Il ne ressort au surplus nullement de cet arrêt que le montant requis correspondrait à une pratique cantonale établie. Au contraire, dans un arrêt du 16 décembre 1998 paru à la RJN 1998 p. 168, la cour cantonale a accordé une indemnité de 2'500 fr. pour une détention injustifiée de dix jours n'ayant pas eu de répercussions sur la réputation de l'intéressé ou sur ses relations avec son entourage. Or, elle a versé au recourant une somme analogue, de sorte que l'on ne saurait parler d'une inégalité de traitement. A._ prétend certes que la détention injustifiée aurait eu de graves répercussions sur sa réputation et sur ses relations avec son entourage. Il n'apporte cependant aucun élément de nature à étayer ses dires. Il n'établit en particulier pas que son arrestation et sa détention auraient donné lieu à une large publicité dans les média suisses ou égyptiens ou qu'elles auraient porté atteinte à sa santé ou à celle de ses proches. Comparé à la pratique du Tribunal fédéral, sous l'empire de l'art. 42 OJ, qui tenait en principe pour appropriée une indemnité journalière de 200 fr. en cas de détention injustifiée de courte durée, en l'absence de circonstances particulières propres à justifier le versement d'un montant inférieur ou supérieur (arrêt 4C.145/1994 du 12 février 2002 consid. 5b), la somme de 4'800 fr. accordée au recourant en réparation du tort moral n'apparaît pas inéquitable, même si la cour cantonale s'est parfois montrée plus généreuse, notamment dans des détentions injustifiées de très courte durée (cf. arrêt du 1er juin 2001 paru à la RJN 2001 p. 198).
Le recours doit par conséquent être rejeté sur ce point.
Le recours doit par conséquent être rejeté sur ce point.
5. Le recourant conteste également le montant qui lui a été alloué pour ses frais de défense. Selon lui, le Tribunal administratif se serait écarté sans raisons de l'indemnité requise fondée sur quelque 30 heures de travail au tarif horaire de 250 fr.
Selon la jurisprudence cantonale, que le recourant ne remet pas en cause, le dommage doit résulter de la détention injustifiée pour que l'Etat soit appelé à réparation en vertu de l'art. 271 CPP neuch. Il en va de même des frais de défense (cf. RJN 2001 p. 198 consid. 4). Cette interprétation du droit cantonal de procédure ne saurait être taxée d'arbitraire (cf. ATF 112 Ib 446 consid. 3a p. 449; 105 Ia 127 consid. 2b p. 128; arrêt 1P.108/2000 du 2 mai 2000 confirmant un arrêt non publié du Tribunal administratif du 24 janvier 2000) et c'est à juste titre que la cour cantonale n'a pris en considération que les frais de défense en relation directe avec la détention injustifiée.
Le recourant prétend que son arrestation a exigé de son mandataire une importante activité, notamment de nombreux courriers et téléphones avec le Juge d'instruction en charge de la procédure, avec l'administration carcérale de Düsseldorf, avec les autorités pénales allemandes, ainsi qu'avec sa famille en Egypte. Pour étayer ce poste du dommage, il n'a cependant produit que quatre lettres adressées par son mandataire au Juge d'instruction et à l'Office fédéral de la justice en relation avec sa détention. Il n'a au surplus aucunement détaillé les démarches entreprises en vue de sa libération et le nombre d'heures consacrées à cet effet. En l'absence de pièces propres à démontrer l'ampleur des mesures nécessaires pour assurer sa défense, la cour cantonale n'a pas fait preuve d'arbitraire en appréciant ce poste du dommage sur la base des éléments dont elle disposait (ATF 113 IV 93 consid. 3d p. 100). Elle s'en est remise sur ce point à l'appréciation faite par le Département des finances qu'elle a tenue pour équitable, après avoir constaté qu'une partie des trente heures alléguées concernaient des opérations postérieures à la libération du recourant. Selon cette appréciation, l'activité consistant à contacter le juge d'instruction et à organiser le rapatriement en Suisse du recourant pouvait être estimée à six heures, de sorte que les frais de défense directement liés à la détention préventive se montent à 2'000 fr., auquel s'ajoute un montant de 500 fr. pour la rédaction de la demande d'indemnisation. Le recourant ne conteste pas que certaines des heures alléguées concerneraient des opérations postérieures à sa libération. Il ne cherche pas plus à démontrer, par la production d'un décompte précis des opérations déployées par son mandataire pour mettre fin à sa détention et des heures de travail correspondantes, en quoi l'estimation retenue serait manifestement trop basse et, partant, arbitraire. Le recours ne répond pas sur ce point aux exigences de motivation déduites de l'art. 90 al. 1 let. b OJ et est ainsi irrecevable (cf. ATF 130 I 258 consid. 1.3 p. 261).
Le recourant prétend que son arrestation a exigé de son mandataire une importante activité, notamment de nombreux courriers et téléphones avec le Juge d'instruction en charge de la procédure, avec l'administration carcérale de Düsseldorf, avec les autorités pénales allemandes, ainsi qu'avec sa famille en Egypte. Pour étayer ce poste du dommage, il n'a cependant produit que quatre lettres adressées par son mandataire au Juge d'instruction et à l'Office fédéral de la justice en relation avec sa détention. Il n'a au surplus aucunement détaillé les démarches entreprises en vue de sa libération et le nombre d'heures consacrées à cet effet. En l'absence de pièces propres à démontrer l'ampleur des mesures nécessaires pour assurer sa défense, la cour cantonale n'a pas fait preuve d'arbitraire en appréciant ce poste du dommage sur la base des éléments dont elle disposait (ATF 113 IV 93 consid. 3d p. 100). Elle s'en est remise sur ce point à l'appréciation faite par le Département des finances qu'elle a tenue pour équitable, après avoir constaté qu'une partie des trente heures alléguées concernaient des opérations postérieures à la libération du recourant. Selon cette appréciation, l'activité consistant à contacter le juge d'instruction et à organiser le rapatriement en Suisse du recourant pouvait être estimée à six heures, de sorte que les frais de défense directement liés à la détention préventive se montent à 2'000 fr., auquel s'ajoute un montant de 500 fr. pour la rédaction de la demande d'indemnisation. Le recourant ne conteste pas que certaines des heures alléguées concerneraient des opérations postérieures à sa libération. Il ne cherche pas plus à démontrer, par la production d'un décompte précis des opérations déployées par son mandataire pour mettre fin à sa détention et des heures de travail correspondantes, en quoi l'estimation retenue serait manifestement trop basse et, partant, arbitraire. Le recours ne répond pas sur ce point aux exigences de motivation déduites de l'art. 90 al. 1 let. b OJ et est ainsi irrecevable (cf. ATF 130 I 258 consid. 1.3 p. 261).
6. Le recourant conteste avoir déposé une demande frisant la témérité, dès lors qu'il avait requis une expertise en cas de contestation des montants réclamés au titre du préjudice économique et des honoraires de son avocat. Il était arbitraire de mettre à sa charge un émolument de justice partiel et les débours pour ce motif.
A._ n'a pas fourni les éléments nécessaires à établir la réalité du préjudice économique allégué alors que la charge de la preuve lui incombait; il n'était pas habilité à s'en remettre sur ce point à des avis d'expert, s'agissant de faits qu'il était le seul à connaître. De plus, au regard de la jurisprudence publiée du Tribunal administratif, que le Département des finances avait rappelée dans sa lettre du 31 janvier 2003, il ne pouvait ignorer que seuls les frais en relation étroite avec la détention injustifiée étaient susceptibles d'être indemnisés; or, il a persisté à exiger le remboursement intégral de ses frais de défense devant le Tribunal administratif. Dans ces conditions, celui-ci pouvait retenir de manière soutenable que le recourant avait agi d'une manière frisant la témérité, qui justifiait une prise en charge d'un émolument de justice réduit et des débours.
Sur ce point également, l'arrêt attaqué échappe au grief d'arbitraire.
Sur ce point également, l'arrêt attaqué échappe au grief d'arbitraire.
7. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable, aux frais du recourant qui succombe (art. 156 al. 1 OJ). Il n'y a pas lieu d'octroyer des dépens à l'Etat de Neuchâtel qui agit au demeurant par l'un de ses services (art. 159 al. 2 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 3'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 3'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué en copie au mandataire du recourant, à l'Etat de Neuchâtel et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 27 octobre 2004
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: