Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Am 15. Dezember 2014 reichte der Beschwerdeführer Strafanzeige gegen eine Oberrichterin und zwei Oberrichter des Kantons Solothurn ein wegen Betrugs und Amtsmissbrauchs. Er wirft ihnen unter anderem vor, ihm in einem Verfahren seine Rechte verweigert und durch Missbrauch ihrer Amtsgewalt einen Nachteil zugefügt zu haben. Die Staatsanwaltschaft nahm das Verfahren am 25. Februar 2015 nicht an die Hand. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn am 5. Mai 2015 ab.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, das Urteil vom 5. Mai 2015 sei aufzuheben und die Sache durch unabhängige Staatsanwälte neu zu prüfen.
2.
Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG ist der Privatkläger zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann. Als Zivilansprüche im Sinne dieser Bestimmung gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen. Nicht in diese Kategorie gehören Ansprüche, die sich aus öffentlichem Recht ergeben. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus Staatshaftungsrecht, können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (Urteil 6B_530/2013 vom 13. September 2013).
Für Schäden, die Personen in Ausübung ihrer amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich zufügen, haftet im Kanton Solothurn gemäss Verantwortlichkeitsgesetz vom 26. Juni 1966 (BSG 124.21) der Staat (§ 2 Abs. 1). Der Geschädigte kann die Personen nicht unmittelbar belangen (§ 2 Abs. 2). Allfällige Schadenersatz- oder Genugtuungsansprüche des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit der Tätigkeit einer Oberrichterin und zweier Oberrichter des Kantons Solothurn richten sich ausschliesslich nach dem Verantwortlichkeitsgesetz und sind demnach öffentlich-rechtlicher Natur. Da er keine Zivilansprüche geltend machen kann, ist er zur Beschwerde in Strafsachen nicht legitimiert.
3.
Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann der Privatkläger die Verletzung jener Parteirechte geltend machen, die ihm nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung bedeutet. Unzulässig sind allerdings Rügen, deren Beurteilung von der Prüfung der Sache nicht getrennt werden kann und die im Ergebnis auf eine materielle Prüfung des angefochtenen Entscheids hinauslaufen (BGE 136 IV 31 E. 1.4). Soweit eine Rüge zulässig ist, ist sie in der Beschwerde vorzubringen und klar und detailliert darzulegen, inwieweit das angerufene Recht verletzt worden sein soll (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2).
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Rechts auf eine wirksame Beschwerde im Sinne von Art. 13 EMRK und macht Rechtsverweigerung geltend (Beschwerde S. 3). Soweit diese Vorbringen überhaupt ohne materielle Prüfung der Sache beurteilt werden könnten, genügen sie den strengen Begründungsanforderungen nicht. So ist aus der Beschwerde z.B. nicht ersichtlich, inwieweit das Recht des Beschwerdeführers auf eine Mitwirkung bei der Beweiserhebung verletzt oder das Urteil nicht hinreichend begründet worden sein sollte.
4.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Analog zum Urteil 6B_301/2015 vom 9. April 2015 ist der finanziellen Lage des Beschwerdeführers bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juni 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: C. Monn