Sachverhalt:
A. Die 1948 geborene G._ war bis 30. November 2002 bei der Stiftung H._, als Krankenschwester/Therapeutin angestellt und damit bei der Alpina Versicherungen, Basel (heute: Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG, Zürich [im Folgenden: Zürich]) gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen obligatorisch versichert. Ab 1. Dezember 2002 arbeitete G._ als selbstständigerwerbende Shiatsu-Therapeutin. Am 14. Dezember 2002 stürzte sie bei einem Spaziergang und zog sich eine Humeruskopffraktur am rechten Schultergelenk zu. Die Zürich erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Mit Verfügung vom 28. Januar 2008 und Einspracheentscheid vom 24. Februar 2009 stellte die Zürich unter Hinweis auf das Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 265/03 vom 14. Februar 2005 fest, im Zeitpunkt des Unfalls vom 14. Dezember 2002 habe keine Versicherungsdeckung aus der obligatorischen Unfallversicherung bestanden, weshalb eine Leistungspflicht zu verneinen sei; auf eine Rückforderung der bisher erbrachten Leistungen werde verzichtet.
B. In Gutheissung der gegen den Einspracheentscheid vom 24. Februar 2009 eingereichten Beschwerde verpflichtete das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. November 2009 die Zürich, für den Unfall vom 14. Dezember 2002 weiterhin Leistungen aus UVG zu erbringen.
C. Mit Beschwerde beantragt die Zürich, es sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides ihr leistungsablehnender Einspracheentscheid zu bestätigen und es sei festzustellen, dass das kantonale Gericht das rechtliche Gehör verletzt habe.
Während G._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.
D. Mit prozessleitender Verfügung vom 7. Mai 2010 wies die Instruktionsrichterin das von der Zürich gestellte Gesuch, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, ab.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Im Streit, ob für ein Unfallereignis Versicherungsdeckung besteht, kommt diese Ausnahmeregelung allerdings ungeachtet dessen, dass von der Beurteilung der Streitfrage auch Ansprüche auf Geldleistungen der obligatorischen Unfallversicherung abhängen können, nicht zur Anwendung (BGE 135 V 412 E. 1.2.2 S. 414).
2. Die Zürich bringt vor, das kantonale Gericht habe den Schriftenwechsel formell abgeschlossen, ohne ihr Gelegenheit zu geben, zur Replik der Beschwerdegegnerin Stellung zu nehmen. Ihre danach eingereichte Vernehmlassung vom 18. August 2009 werde im angefochtenen Entscheid mit keinem Wort erwähnt, weshalb davon auszugehen sei, dass die Vorinstanz diese nicht gewürdigt und damit den bundesverfassungsrechtlich verankerten Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung der Parteien sowie auf rechtliches Gehör in schwerwiegender Weise verletzt zu haben. Ob es sich so verhält, kann offen bleiben. Die Eingabe vom 18. August 2009 enthält keine Ausführungen zu den für den Ausgang des kantonalen Verfahrens entscheidenden Gesichtspunkten. Die darin behandelte Frage der genügenden Erfüllung der Informationspflichten und des Vertrauensschutzes wäre nur dann zu beantworten gewesen, wenn das kantonale Gericht die Versicherungsdeckung verneint hätte. Die Beschwerdeführerin beantragt denn auch im letztinstanzlichen Verfahren keine Rückweisung der Sache an das kantonale Gericht zur Behebung des geltend gemachten verfahrensrechtlichen Mangels, sondern die materiellrechtliche Beurteilung des Falles.
3. Streitgegenstand bildet die Leistungspflicht der Zürich für die gesundheitlichen und erwerblichen Folgen des Unfalles vom 14. Dezember 2002.
4. 4.1 Gemäss Art. 1 Abs. 1 UVG (in der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung; vgl. heute: Art. 1a Abs. 1 UVG) sind die in der Schweiz beschäftigten Arbeitnehmer obligatorisch nach diesem Gesetz versichert. In der Schweiz wohnhafte Selbstständigerwerbende und ihre nicht obligatorisch versicherten Familienmitglieder können sich freiwillig versichern (Art. 4 Abs. 1 UVG). Die Bestimmungen über die obligatorische Versicherung gelten sinngemäss für die freiwillige Versicherung (Art. 5 Abs. 1 UVG).
4.2 Die Versicherung beginnt an dem Tag, an dem der Arbeitnehmer aufgrund der Anstellung die Arbeit antritt oder hätte antreten sollen, in jedem Fall aber im Zeitpunkt, da er sich auf den Weg zur Arbeit begibt (Art. 3 Abs. 1 UVG). Sie endet mit dem 30. Tag nach dem Tage, an dem der Anspruch auf mindestens den halben Lohn aufhört (Art. 3 Abs. 2 UVG). Die Versicherung ruht, wenn der Versicherte der Militärversicherung oder einer ausländischen obligatorischen Versicherung untersteht (Art. 3 Abs. 4 UVG).
5. 5.1 Die Beschwerdegegnerin erlitt am 14. Dezember 2002, mithin weniger als 30 Tage nach dem Tage, an dem der Anspruch auf mindestens den halben Lohn der Stiftung H._ aufgehört hatte, einen Unfall. Zu jenem Zeitpunkt ging die Beschwerdegegnerin einer selbstständigen Erwerbstätigkeit nach, ohne sich gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen freiwillig nach Art. 4 Abs. 1 UVG oder anderweitig auf Basis des privaten Rechts versichert zu haben. Eine solche Versicherung schloss sie erst auf den 1. Januar 2003 ab. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Beschwerdegegnerin sei zum Zeitpunkt des Unfalles nicht mehr bei ihr versichert gewesen, da sie in der Zwischenzeit eine selbstständige Erwerbstätigkeit aufgenommen habe. Für Selbstständigerwerbende ohne freiwillige Versicherung komme Art. 3 Abs. 2 UVG nach seinem Sinn und Zweck nicht zum Zuge (vgl. auch Urteil U 265/03 vom 14. Februar 2005 E. 3.3.1).
5.2 Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zu Grunde liegenden Wertungen ausgelegt werden. Eine historisch orientierte Auslegung ist für sich allein nicht entscheidend. Anderseits vermag aber nur sie die Regelungsabsicht des Gesetzgebers aufzuzeigen, welche wiederum zusammen mit den zu ihrer Verfolgung getroffenen Wertentscheidungen verbindliche Richtschnur des Gerichts bleibt, auch wenn es das Gesetz mittels teleologischer Auslegung oder Rechtsfortbildung veränderten Umständen anpasst oder ergänzt (BGE 135 III 20 E. 4.4 S. 23; 132 V 159 E. 4.4.1 S. 164).
5.3 Die Nachdeckungsfrist von 30 Tagen wurde eingeführt, damit es bei kürzeren Arbeitsunterbrüchen - etwa bei einem Stellenwechsel - nicht länger zu unerwünschten Versicherungslücken kommt (Botschaft des Bundesrates an die Bundesversammlung betreffend Änderung verschiedener Bestimmungen auf dem Gebiete der Unfallversicherung vom 9. Mai 1958, BBl 1958 I 945, S. 950 Ziff. III 2. a). Der Gesetzgeber war sich hiebei bewusst, dass eine obligatorisch bei der SUVA versicherte Person, welche aus einem der SUVA unterstellten Betrieb austritt, in einen Betrieb eintreten konnte, welcher nach damaligem Recht dem Versicherungsobligatorium nicht unterstand, und dabei noch während eines vollen Monates für SUVA-Leistungen versichert war (Votum Weibel, Sten.Bull. 1959 N 492). Da diese Leistungen jedoch finanziell nicht sehr ins Gewicht fielen, folgten die Räte trotz diesen Bedenken dem Antrag des Bundesrates und der SUVA auf die Einführung der 30-tägigen Frist.
5.3 Die Nachdeckungsfrist von 30 Tagen wurde eingeführt, damit es bei kürzeren Arbeitsunterbrüchen - etwa bei einem Stellenwechsel - nicht länger zu unerwünschten Versicherungslücken kommt (Botschaft des Bundesrates an die Bundesversammlung betreffend Änderung verschiedener Bestimmungen auf dem Gebiete der Unfallversicherung vom 9. Mai 1958, BBl 1958 I 945, S. 950 Ziff. III 2. a). Der Gesetzgeber war sich hiebei bewusst, dass eine obligatorisch bei der SUVA versicherte Person, welche aus einem der SUVA unterstellten Betrieb austritt, in einen Betrieb eintreten konnte, welcher nach damaligem Recht dem Versicherungsobligatorium nicht unterstand, und dabei noch während eines vollen Monates für SUVA-Leistungen versichert war (Votum Weibel, Sten.Bull. 1959 N 492). Da diese Leistungen jedoch finanziell nicht sehr ins Gewicht fielen, folgten die Räte trotz diesen Bedenken dem Antrag des Bundesrates und der SUVA auf die Einführung der 30-tägigen Frist.
5.4 5.4.1 Beim Erlass von Art. 3 Abs. 2 UVG wollte der Gesetzgeber die damals geltende Regelung fortführen (Botschaft zum Bundesgesetz über die Unfallversicherung vom 18. August 1976, BBl 1976 III 141, S. 185 Ziff. 401.1 zu Art. 3 E-UVG; WALTER SEILER, Der Entwurf zu einem neuen Unfallversicherungsgesetz, in: SZS 1977, S. 6 ff., S.10). Dabei regelt Art. 3 Abs. 2 UVG nicht in erster Linie die Nachdeckungsfrist, sondern legt das Ende des Versicherungsschutzes fest. Gemäss seinem Wortlaut enthält dieser Absatz keine Einschränkung bezüglich Personen, welche in der 30-Tages-Frist eine selbstständige Erwerbstätigkeit aufnehmen. Folgte man der Ansicht der Beschwerdeführerin und ginge man gestützt auf das Urteil U 265/03 vom 14. Februar 2005 E. 3.3.1 trotzdem davon aus, dieser Absatz sei auf Selbstständigerwerbende ohne freiwillige Versicherung nicht anwendbar, so stellte sich die Frage, zu welchem Zeitpunkt bei dieser Personengruppe die Versicherung aus der zuvor ausgeübten unselbstständigen Erwerbstätigkeit endet. Dem Gesetz wäre - da ja der einzige Absatz, welche das Ende der Versicherung regelt, gerade nicht anwendbar wäre - keine Antwort zu entnehmen. Diese Lücke wäre - da auch kein diesbezügliches Gewohnheitsrecht feststellbar ist - vom Gericht nach derjenigen Regel zu füllen, die es als Gesetzgeber aufstellen würde (Art. 1 Abs. 2 ZGB).
5.4.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Versicherung des alten Arbeitgebers erlösche, sobald die versicherte Person eine selbstständige Erwerbstätigkeit aufnehme; es sei alsdann an dieser, von sich aus für rechtzeitigen Versicherungsschutz zu sorgen. Insoweit die Zürich dies aus der rechtlichen Situation bei nahtloser Aufnahme einer unselbstständigen Erwerbstätigkeit ableitet, ist ihrer Argumentation entgegenzuhalten, dass in solchen Fällen die Aufnahme der neuen Tätigkeit die Versicherung aufgrund des alten Arbeitsverhältnisses nicht beendet, sondern eine Doppelversicherung besteht (vgl. auch UELI KIESER, Unfallversicherung, in: Geiser/Münch (Hrsg.): Stellenwechsel und Entlassung, 1997, S. 389 ff., N. 14.5; a. M.: DANIEL GUIGNARD, Le début et la fin de l'assurance-accidents (LAA), Diss. Lausanne 1997 S. 230 mit Hinweis auf die Wegleitung der Privatversicherer zur obligatorischen Unfallversicherung, 1985, N. 4.21 S. 24). Daran ändert auch der Umstand nichts, dass regelmässig eine Leistungspflicht der neuen, und nicht der alten Versicherung besteht (vgl. Art. 77 UVG). So ist etwa die Rechtsprechung im Falle einer versicherten Person, welche sich noch während der Nachdeckungsfrist bei der Arbeitslosenversicherung anmeldete und damit erneut obligatorisch versichert war (vgl. Art. 2 der Verordnung vom 24. Januar 1996 über die Unfallversicherung von arbeitslosen Personen), von einer Doppelversicherung ausgegangen (BGE 127 V 458 E. 2b/ee S. 461; ARV 1998 N. 22 S. 185, C 219/96 E. 3c; JEAN-MAURICE FRÉSARD/MARGIT MOSER-SZELESS, L'assurance-accidents obligatoire, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2. Aufl., Basel 2007, Fn. 36 S. 846; teilweise kritisch: AGNES LEU, Die Unfallversicherung für arbeitslose Personen, in: SZS 2008, S. 261 ff., S. 270; vgl. auch betreffend einer Anmeldung während einer Abredeversicherung: SVR 2004 UV Nr. 8 S. 24, U 286/02 E. 3). Abgesehen von dieser nicht stichhaltigen Analogie würde die Ansicht der Beschwerdeführerin für jene Fälle keine überzeugende Lösung bieten, in denen die versicherte Person ihre selbstständige Erwerbstätigkeit bereits (allenfalls nur teilweise) aufnimmt, während sie noch Anspruch auf mindestens den halben Lohn ihres alten Arbeitgebers hat.
5.4.3 Freilich liesse sich ein Teil dieser Probleme umgehen mit der Festlegung des Endes der Versicherung auf jenen Zeitpunkt, in dem die versicherte Person die selbstständige Erwerbstätigkeit aufnimmt, dies jedoch mit dem Vorbehalt, die Deckung ende frühestens in jenem Zeitpunkt, in dem der Anspruch auf mindestens den halben Lohn des alten Arbeitgebers aufhört. Nicht beantwortet wäre damit die Frage, wann eine selbstständige Erwerbstätigkeit als aufgenommen gilt. Der Aufnahme einer selbstständigen Erwerbstätigkeit geht regelmässig eine Planungsphase voran; an diese schliesst sich mehr oder weniger deutlich abgrenzbar eine Anlaufphase an, in der oftmals kein oder nur ein geringes Entgelt erwirtschaftet wird. Es wäre nur schwer zu rechtfertigen, wenn die versicherte Person ihren Versicherungsschutz schon während den ersten Planungsarbeiten verlieren würde. Von einer Person, welche eine selbstständige Erwerbstätigkeit aufnehmen will, kann zudem realistischerweise nicht erwartet werden, dass sie sich bereits vor den ersten Planungsarbeiten um eine freiwillige Unfallversicherung kümmert. Zudem wäre bereits das Einholen von Offerten verschiedener Unfallversicherungen als Planungsarbeit zu qualifizieren. Zwar könnte der massgebende Zeitpunkt auf den Übergang von der Planungs- zur Anlaufphase festgesetzt werden; indessen ist dieser Übergang oft fliessend und nicht völlig ermessensfrei zu bestimmen (vgl. ARV 2004 S. 199, C 160/02 E. 3.3). Zudem stellte sich die Frage, was zu gelten hätte, wenn eine versicherte Person, welche die selbstständige Erwerbstätigkeit bereits nebenberuflich ausübte, diese unter Aufgabe ihrer unselbstständigen Erwerbstätigkeit zu ihrer Haupttätigkeit ausbaut.
5.5 Damit versicherte Personen nicht ohne ihr Wissen ihren Versicherungsschutz verlieren und sich gegebenenfalls rechtzeitig um einen alternativen Schutz bemühen können, ist es notwendig, dass das Ende der alten Versicherung einfach und ermessensfrei festgestellt werden kann. Dies wäre nach der von der Beschwerdeführerin vertretenen Auslegung von Art. 3 Abs. 2 UVG nicht der Fall. Zudem war sich der Gesetzgeber bei der Schaffung der Nachdeckungsfrist bewusst, dass von ihr gegebenenfalls auch Personen profitieren können, für welche sie nicht explizit geschaffen wurde (vgl. E. 5.3 hievor). Diese Überlegungen führen dazu, der gegenteiligen Auslegung - welche dem Wortlaut der Norm entspricht - den Vorzug zu geben. Somit ist festzuhalten, dass in Anwendung von Art. 3 Abs. 2 UVG auch jene während der Nachdeckungsfrist verunfallten Personen für diesen Unfall noch obligatorisch versichert sind, welche bereits eine selbstständige Erwerbstätigkeit aufgenommen haben (im Ergebnis wohl auch ALFRED MAURER, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, 2. Aufl. 1989 S. 148). Soweit aus dem Urteil U 265/03 vom 14. Februar 2005 E. 3.3.1 etwas Gegenteiliges abgeleitet werden kann, ist daran nicht festzuhalten.
6. Bringt die im vorliegenden Fall unstreitig erfolgte Aufnahme einer selbstständigen Erwerbstätigkeit während der Nachdeckungsfrist die Versicherungsdeckung nicht zum Erlöschen, so hat die Beschwerdegegnerin einen versicherten Unfall erlitten. Das kantonale Urteil besteht demnach zu Recht; die Beschwerde der Zürich ist abzuweisen.
7. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 62 Abs. 1 Satz 1 BGG). Die Zürich hat als unterliegende Partei die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. April 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer