Erwägungen:
1. X._ (geb. 1980) stammt nach eigenen Angaben aus Bhutan, dürfte indessen eher indischer Staatsangehöriger sein. Er wurde im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen, verliess das Land indessen nicht. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm X._ am 5. August 2008 in Durchsetzungshaft, welche der Haftrichter 5 am Haftgericht III Bern-Mittelland am 8. August 2008 prüfte und bis zum 4. September 2008 genehmigte. Am 26. August 2008 leitete das Haftgericht den Antrag von X._, er sei aus der Haft zu entlassen, zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiter.
2. Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden; es erübrigt sich unter diesen Umständen, zu prüfen, ob die Beschwerde den Begründungsanforderungen von Art. 42 BGG genügt:
2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden und hätte bis zum 30. August 2003 ausreisen müssen. Gemäss den Abklärungen im Asylverfahren ist "mit Sicherheit davon auszugehen", dass er nicht aus Bhutan, sondern Indien stammt. Die Behörden haben sich vergeblich darum bemüht, seine Identität zu erstellen und Papiere für ihn zu beschaffen; die entsprechenden Vorkehren scheiterten an seinem renitenten Verhalten bzw. seinen widersprüchlichen und ungenauen Angaben. Die Durchsetzungshaft ist deshalb rechtmässig (vgl. Art. 78 Abs. 1 AuG [SR 142.20]). Es liegt am Beschwerdeführer, nunmehr glaubwürdige Angaben zu seiner Identität und Herkunft zu machen bzw. den schweizerischen Behörden neue Elemente zu liefern, welche es ihnen gestatten, bei den Behörden seines Heimatlands zusätzliche Abklärungen in die Wege zu leiten.
2.2 Was der Beschwerdeführer gegen seine Festhaltung einwendet, überzeugt nicht: Auch wenn er inzwischen seit rund sechs Jahren hier lebt, verfügt er über kein Aufenthaltsrecht; er muss die Schweiz ver-lassen. Dass er dies freiwillig tun wird, ist wenig wahrscheinlich, nachdem er sich bereits vom 31. August 2004 bis 10. Februar 2005 und seit dem 24. Mai 2005 den Behörden entzogen hat und untergetaucht ist. Seinem gesundheitlichen Zustand kann im Rahmen des Festhaltungsvollzugs Rechnung getragen werden. Die Behörden werden ihn zudem bei der Papierbeschaffung unterstützen müssen, sobald neue bzw. ergänzende Angaben vorliegen; allenfalls werden sie diese über die schweizerische Botschaft überprüfen lassen müssen (vgl. BGE 134 I 92 ff.; 133 II 97 ff.).
3. Aufgrund der besonderen Umstände (Bedürftigkeit, Wegweisungsvollzug) sind keine Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 5, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar