Faits:
A. Ressortissante de la République démocratique du Congo (ci-après: le Congo) née en 1982, X._ est arrivée en Suisse le 22 juin 2005 et y a déposé une demande d'asile qui a été définitivement rejetée le 1er décembre 2005. Le 16 avril 2006, elle a tenté de quitter la Suisse avec une carte d'identité ne lui appartenant pas, ce qui lui a valu une condamnation pénale. Elle a été annoncée disparue du 7 juin au 25 septembre 2006. Le 30 janvier 2007, elle a donné naissance à un fils, Y._, que son père, ressortissant congolais naturalisé suisse, a reconnu le 6 mars 2007, de sorte que cet enfant a la nationalité suisse.
B. Le 14 avril 2007, X._ a adressé une demande de régularisation de séjour au Service des migrations du canton de Berne (ci-après: le Service cantonal) en invoquant qu'elle venait de donner le jour à un enfant que le père, de nationalité suisse, avait reconnu. Cette requête a été rejetée le 28 août 2007.
X._ a recouru contre la décision du Service cantonal du 28 août 2007 auprès de la Direction de la police et des affaires militaires du canton de Berne (ci-après: la Direction cantonale). Par décision du 24 avril 2008, celle-ci a rejeté le recours dans la mesure où il portait sur l'octroi d'une autorisation de séjour et refusé d'entrer en matière sur la demande d'admission provisoire formée implicitement par l'intéressée.
X._ a alors porté sa cause devant la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne (ci-après: le Tribunal administratif). Par jugement du 5 décembre 2008, son recours a été admis dans la mesure où il s'en prenait aux frais de procédure et rejeté pour le reste. Le Tribunal administratif a notamment retenu que le père de Y._ n'avait jamais vécu avec cet enfant, ni apparemment envisagé de vie commune avec lui et sa mère, et il a rappelé que ledit père était marié à une autre femme et avait encore trois enfants nés de relations avec deux autres femmes. Il a considéré que des liens existaient sur les plans financier et affectif entre Y._ et son père, mais qu'ils ne dépassaient pas le cadre commun. Il a estimé en conclusion que X._ ne remplissait pas l'ensemble des conditions auxquelles était soumis le droit de demeurer en Suisse sur la base de l'art. 8 par. 1 CEDH.
C. Le 5 janvier 2009, X._ a déposé un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre le jugement du Tribunal administratif du 5 décembre 2008. Elle demande l'annulation du jugement attaqué et l'octroi d'une autorisation de séjour (permis B) fondée sur l'art. 8 CEDH ou une mesure de substitution compte tenu d'un concubinage stable et de longue durée. Dans ses conclusions, elle demande aussi au Tribunal fédéral de tenir compte des intérêts supérieurs de son enfant et des risques de traitements inhumains et prohibés par l'art. 3 CEDH auxquels elle serait exposée dans son pays. La recourante sollicite l'assistance judiciaire "gratuite et totale".
Le Tribunal administratif a renoncé à se déterminer sur le recours. La Direction cantonale conclut, sous suite de frais, au rejet du recours et de la demande d'assistance judiciaire. Le Service cantonal propose de rejeter le recours, à l'instar de l'Office fédéral des migrations.
Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
La recourante est célibataire. Le père de son enfant est lui-même marié à une autre femme. C'est donc à juste titre que la recourante ne se prévaut d'aucun droit à une autorisation de séjour découlant de la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113), applicable en vertu de l'art. 126 al. 1 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) aux demandes déposées avant le 1er janvier 2008, comme la demande de régularisation de séjour formée par la recourante.
En revanche, dans la mesure où la recourante vit avec son fils âgé d'à peine plus de deux ans, qui a la nationalité suisse et sur lequel elle exerce seule l'autorité parentale, cette relation familiale lui permet, en vertu de l'art. 8 CEDH, d'invoquer un droit à rester en Suisse. Son recours est donc recevable au regard de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. ATF 2C_353/2008 du 27 mars 2009 consid. 1.1.3 non publié), étant précisé que le point de savoir si la recourante remplit les conditions pour obtenir une autorisation de séjour en application de l'art. 8 CEDH relève du fond et non de la recevabilité.
1.2 La recourante demande, dans ses conclusions, de tenir compte, en ce qui la concerne surtout, des risques de traitements inhumains prohibés par l'art. 3 CEDH. Une telle conclusion est irrecevable dans la présente procédure, car l'existence de tels risques a pu être invoquée et examinée dans le cadre de la demande d'asile déposée par la recourante qui a été rejetée par une décision entrée en force. Tout au plus la recourante pourrait-elle encore invoquer de tels risques dans le cadre d'une éventuelle procédure d'exécution forcée du renvoi (cf. notamment 2A.328/2006 du 11 septembre 2006 consid. 5).
1.3 Au surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) et a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. c LTF) ainsi que dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par la destinataire du jugement attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Par conséquent, il convient d'entrer en matière.
2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), pour autant que les exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF soient satisfaites. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF).
3. La recourante se plaint de violation des art. 24 et 25 Cst., 8 CEDH ainsi que 83 al. 2 à 4 LEtr.
3.1 L'art. 8 CEDH consacre le droit au respect de la vie privée et familiale (par. 1), tout en admettant qu'il puisse y avoir une ingérence dans son exercice à certaines conditions précises (par. 2). La Convention européenne des droits de l'homme ne garantit toutefois pas le droit de séjourner dans un Etat partie à ladite convention. Elle ne confère pas le droit d'entrer ou de séjourner dans un Etat déterminé ni le droit de choisir le lieu apparemment le plus adéquat pour la vie familiale (ATF 130 II 281 consid. 3.1 p. 285 et la jurisprudence citée; ATF 2C_353/2008 du 27 mars 2009 consid. 2.1). Le droit au respect de la vie familiale consacré à l'art. 8 CEDH ne peut être invoqué que si une mesure étatique d'éloignement aboutit à la séparation des membres d'une famille (ATF 2C_353/2008 du 27 mars 2009 consid. 2.1; cf. aussi ATF 130 II 281 consid. 3.1 p. 286). Il n'y a pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des membres de la famille qu'ils réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8 CEDH n'est pas a priori violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour (ATF 122 II 289 consid. 3b p. 297; ATF 2C_353/3008 du 27 mars 2009 consid. 2.1). En revanche, si le départ du membre de la famille pouvant rester en Suisse ne peut d'emblée être exigé sans autres, il convient de procéder à la pesée des intérêts prévue par l'art. 8 par. 2 CEDH (ATF 2C_353/2008 du 27 mars 2009 consid. 2.1; arrêt 2A.212/2004 du 10 décembre 2004 consid. 3.2). Celle-ci suppose de tenir compte de l'ensemble des circonstances et de mettre en balance l'intérêt privé à l'obtention d'un titre de séjour et l'intérêt public à son refus (ATF 125 II 633 consid. 2e p. 639; arrêt 2C_490/2008 du 22 juillet 2008 consid. 2.1).
3.2 Le Tribunal fédéral s'est déjà prononcé au sujet du droit de séjour en Suisse du parent étranger ayant la garde de son enfant suisse, fondé sur la protection de la relation parent/enfant garantie par l'art. 8 CEDH (cf. ATF 127 II 60 consid. 2a p. 67; 122 II 289 consid. 3c p. 298; ATF 2C_353/2008 du 27 mars 2009 consid. 2.2.1; ATF 2C_693/2008 du 2 février 2009 consid. 2.2 et 2.3; arrêt 2C_437/2008 du 13 février 2009 consid. 2.2). Il a récemment précisé les critères à prendre en considération, en soulignant la nécessité de tenir davantage compte à l'avenir des droits découlant de la nationalité suisse de l'enfant et de la convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (RS 0.107; ATF 2C_353/2008 du 27 mars 2009 consid. 2.2.2). Le Tribunal fédéral a cependant rappelé que l'on ne pouvait déduire de ces dispositions une prétention directe à l'obtention d'une autorisation de séjour, mais que celles-ci devaient être prises en compte lors de la pesée des intérêts découlant de l'art. 8 par. 2 CEDH (respectivement de l'art. 13 Cst.) (ATF 2C_353/2008 du 27 mars 2009 consid. 2.2.2 in fine et la jurisprudence citée).
3.3 Pour déterminer si l'on peut contraindre un enfant suisse à suivre son parent à l'étranger, il faut tenir compte non seulement du caractère admissible de son départ, mais aussi de motifs d'ordre et de sécurité publics qui peuvent justifier cette conséquence. Ainsi, lors de la pesée des intérêts au sens de l'art. 8 par. 2 CEDH, le fait que le parent étranger qui cherche à obtenir une autorisation de séjour a agi de manière abusive ou qu'il a adopté un comportement répréhensible est à prendre en compte dans les motifs d'intérêt public de nature à refuser l'autorisation requise (cf. ATF 2C_353/2008 du 27 mars 2009 consid. 2.2.4). Tel est notamment le cas lorsque la mère a contracté un mariage fictif grâce auquel l'enfant a acquis la nationalité suisse (ATF 122 II 289 consid. 3 p. 296 ss).
3.3.1 En l'espèce, la recourante est arrivée en Suisse en juin 2005 et a donc vécu jusqu'à 22 ans et demi dans sa patrie; même si elle redoute des difficultés de réinsertion sociale, elle a des racines dans son pays où elle a vécu la plus grande partie de sa vie. Quant à l'enfant Y._, il est encore très jeune, à un âge (un peu plus de 2 ans) où il peut facilement s'adapter (cf. arrêt 2C_372/2008 du 25 septembre 2008 consid. 3.3.1 et 3.3.2); le fait que les conditions de vie et d'éducation soient meilleures en Suisse ne saurait, à lui seul, l'empêcher de suivre sa mère qui détient l'autorité parentale sur lui, bien qu'il s'agisse d'éléments importants dans la pesée des intérêts. Le départ de Y._ aurait toutefois des incidences sur sa relation avec son père. A cet égard, il ressort du jugement attaqué qu'il n'existe pas de rapports particulièrement intenses entre le père et son fils sur le plan affectif, ni sur le plan économique. Bien que de nationalité suisse, le père est d'origine congolaise et deux de ses enfants vivent au Congo. Comme l'ont pertinemment retenu les juges cantonaux, ces éléments faciliteront grandement les communications et les visites, puisque Y._ se trouvera dans un pays connu, où vivent déjà les deux premiers enfants de son père. Le départ de Y._ ne constitue donc pas à lui seul un obstacle au maintien des relations paternelles.
En ce qui concerne la situation de la recourante, il convient de relever que celle-ci est entrée illégalement en Suisse et qu'elle a été condamnée pénalement pour avoir tenté de sortir de Suisse au moyen de papiers d'identité ne lui appartenant pas. En outre, au lieu de collaborer avec les autorités compétentes pour préparer son départ de Suisse après le rejet de sa demande d'asile, elle est entrée dans la clandestinité à partir du 7 juin 2006. Elle a donné naissance à son fils le 30 janvier 2007, alors que son séjour en Suisse était illégal et se prévaut à présent de la nationalité suisse de son enfant, pour obtenir un titre de séjour. Un tel comportement pèse nettement en défaveur de la recourante dans l'appréciation découlant de l'art. 8 par. 2 CEDH.
3.3.2 Compte tenu de l'ensemble de ces circonstances, on ne peut reprocher au Tribunal administratif d'avoir violé l'art. 8 CEDH ou d'avoir omis de tenir compte des art. 24 et 25 Cst., en estimant que la recourante ne pouvait obtenir le droit de séjourner en Suisse.
4. La recourante veut apparemment faire valoir que l'exécution de son renvoi serait impossible en se référant à l'art. 83 al. 2 à 4 LEtr. Les problèmes qui sont liés strictement à l'exécution du renvoi et supposent l'existence d'une décision en la matière entrée en force (Peter Bolzli, in Migrationsrecht, 2008, n° 4 ad art. 83 LEtr) sortent du cadre de la présente procédure, qui porte sur une demande d'autorisation de séjour. De tels problèmes doivent êtres soulevés dans la phase d'exécution du renvoi.
5. A titre subsidiaire, la recourante demande de pouvoir bénéficier d'une mesure de substitution en raison d'un concubinage stable et de longue durée, en invoquant l'art. 1 let. c (recte: 1a let. e) de l'ordonnance 1 du 11 août 1999 sur l'asile relative à la procédure (RS 142.311). Une telle demande confine à la témérité, car elle est en contradiction claire avec les faits retenus dans le jugement attaqué, à propos desquels la recourante ne soutient pas qu'ils auraient été constatés de manière manifestement inexacte ou en violation du droit (cf. art. 105 al. 2 LTF), de sorte qu'ils lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF). En effet, le jugement entrepris retient que le père de Y._, qui a trois autres enfants nés de relations avec deux autres femmes, vit avec son épouse et n'a jamais partagé son existence avec Y._ ni apparemment envisagé de vie commune avec celui-ci et la recourante. Il n'y a donc pas lieu d'entrer en matière. Au surplus, il convient de rappeler que la recourante ne peut tirer aucun droit des dispositions concernant l'asile dans le cadre de la présente procédure.
6. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Comme les conclusions de la recourante étaient vouées à l'échec, la demande d'assistance judiciaire, qui porte uniquement sur les frais de justice puisque l'intéressée a procédé sans l'aide d'un mandataire professionnel, doit être rejetée (cf. art. 64 al. 1 LTF). Dans la fixation des frais, à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF), il sera toutefois tenu compte de sa situation financière (art. 65 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué à la recourante, au Service des migrations, à la Direction de la police et des affaires militaires et à la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 23 avril 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Müller Dupraz