Fatti:
A. Il 12 luglio 2007 lo Studio di architettura A._Sagl ha presentato al Municipio di Locarno una domanda di costruzione per l'edificazione di due stabili, uno di tre appartamenti e l'altro di cinque, sul fondo part. n. 1329 di Locarno, di proprietà della B._SA. La particella è ubicata su un pendio ai Monti della Trinità ed è compresa tra una stradina pianeggiante, denominata "sentiero centrale", e un ramo del medesimo sentiero che scende verso valle. Gli edifici sono accessibili dal "sentiero centrale", dal quale un montacarichi per autovetture consente di raggiungere un'autorimessa sotterranea comune.
C._, proprietaria di fondi situati nelle immediate vicinanze, si è, tra altri, opposta alla domanda. Dopo il preavviso favorevole dell'autorità cantonale e l'inoltro di due varianti, il 26 marzo 2008 il Municipio ha rilasciato la licenza edilizia per il progetto modificato come alle varianti. L'esecutivo comunale ha nel contempo respinto l'opposizione della vicina. La decisione municipale è stata confermata il 14 ottobre 2008 dal Consiglio di Stato del Cantone Ticino su ricorso dell'opponente.
B. Adito dall'opponente, il Tribunale cantonale amministrativo ne ha accolto il ricorso con sentenza del 19 gennaio 2009, annullando sia la licenza edilizia sia la risoluzione governativa che la confermava. La Corte cantonale, evase altre censure attinenti ad aspetti processuali e di merito, ha in particolare accertato che il piano del traffico del piano regolatore comunale qualificherebbe il "sentiero centrale" come semplice percorso pedonale. Ha quindi ritenuto insufficiente l'accesso al fondo dedotto in edificazione, essendo precluso alla circolazione veicolare.
C. Lo Studio di architettura A._Sagl e la B._SA impugnano questa sentenza con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendo di annullarla e di rinviare gli atti alla Corte cantonale per un nuovo giudizio. I ricorrenti fanno valere la violazione del divieto dell'arbitrio, della garanzia della proprietà e dei principi della legalità e della parità di trattamento. Lamentano inoltre un accertamento manifestamente inesatto dei fatti.
D. La Corte cantonale rileva che la qualifica di percorso pedonale attribuita al "sentiero centrale" è scaturita dalle indicazioni fornite dall'Ufficio tecnico comunale. Precisa di avere preso atto solo in seguito al ricorso in esame dell'esistenza di un altro piano del traffico, nel quale l'opera viaria verrebbe classificata in modo ibrido quale percorso pedonale e strada di servizio ad orientamento pedonale. La Corte cantonale rileva che il suo giudizio sarebbe stato diverso se fosse stata portata a conoscenza di questa circostanza.
Il Municipio di Locarno sostiene che il fondo dedotto in edificazione sarebbe urbanizzato, siccome dotato di un sufficiente accesso veicolare: il "sentiero centrale" presenterebbe infatti, secondo il piano regolatore approvato dal Consiglio di Stato il 16 gennaio 1996, una definizione mista di strada di servizio ad orientamento pedonale (SS2) e di percorso pedonale. Al giudice delegato del Tribunale cantonale amministrativo sarebbe invero stato sottoposto un piano successivo, approvato il 24 febbraio 1999, che non riprodurrebbe tuttavia correttamente la situazione effettiva. Il Comune produce al riguardo la documentazione a sostegno della sua argomentazione.
Il Consiglio di Stato si rimette al giudizio del Tribunale federale, mentre l'Ufficio delle domande di costruzione del Dipartimento del territorio comunica di non avere osservazioni. L'opponente postula invece la reiezione del gravame nella misura della sua ammissibilità. I ricorrenti hanno ribadito le loro conclusioni il 29 maggio 2009.
Diritto:
1. 1.1 Presentato tempestivamente contro una decisione finale dell'ultima istanza cantonale che ha negato il rilascio di una licenza edilizia fondata sul diritto pubblico, il ricorso in materia di diritto pubblico è ammissibile sotto il profilo degli art. 82 lett. a, 86 cpv. 1 lett. d, 90 e 100 cpv. 1 LTF.
1.2 I ricorrenti hanno partecipato al procedimento dinanzi all'autorità inferiore (art. 89 cpv. 1 lett. a LTF). Istante, rispettivamente proprietaria nella procedura edilizia, essi sono direttamente toccati dalla decisione impugnata, che nega loro la possibilità di realizzare il progetto di costruzione e hanno quindi un interesse degno di protezione al suo annullamento o alla sua modifica (art. 89 cpv. 1 lett. b e c LTF).
1.3 I nuovi fatti e le relative nuove prove concernenti la definizione pianificatoria del tracciato in discussione sono di principio ammissibili, essendo provocati dalla motivazione della decisione impugnata (cfr. art. 99 cpv. 1 LTF).
2. 2.1 I ricorrenti lamentano un accertamento dei fatti manifestamente inesatto, adducendo che la Corte cantonale sarebbe caduta in errore per avere ritenuto il "sentiero centrale" qualificato nel piano regolatore solo come un percorso pedonale. Considerano determinante il piano del 1996, secondo cui il sentiero in questione sarebbe definito sia come strada di servizio ad orientamento pedonale (SS2) sia come percorso pedonale. La Corte cantonale si sarebbe invece fondata su un piano del 1999, approvato in seguito a una modifica pianificatoria, la quale non avrebbe però interessato il tracciato in discussione: in quel contesto, la definizione grafica originaria non sarebbe stata riprodotta correttamente nel nuovo piano. I ricorrenti ritengono che, essendo qualificato anche come strada di servizio, il "sentiero centrale" sarebbe transitabile con i veicoli nel tratto che conduce al fondo dedotto in edificazione, per cui l'accesso al medesimo sarebbe sufficiente giusta l'art. 19 cpv. 1 LPT.
2.2 Secondo l'art. 97 LTF, i ricorrenti possono censurare l'accertamento dei fatti soltanto se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF e l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento. Per essere manifestamente inesatto, e quindi arbitrario, il criticato accertamento deve risultare chiaramente insostenibile, in evidente contrasto con la fattispecie, fondato su una svista manifesta o contraddire in modo urtante il sentimento di giustizia e di equità (DTF 132 III 209 consid. 2.1, 129 I 173 consid. 3.1, 8 consid. 2.1 e rinvii). Giusta l'art. 105 cpv. 2 LTF, il Tribunale federale può rettificare o completare d'ufficio l'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF.
2.3 Risulta dalle risposte al ricorso presentate dal Tribunale cantonale amministrativo e in particolare dal Municipio di Locarno, nonché dagli atti su cui tali risposte sono basate, che la censura di accertamento manifestamente inesatto dei fatti è fondata. L'autorità comunale ha infatti esplicitamente confermato che al giudice delegato è stata sottoposta una documentazione pianificatoria non corretta, precisando l'esistenza di due piani: quello originario del 1996 e il secondo, del 1999, successivo a una modifica pianificatoria che non ha tuttavia riguardato la gerarchia delle strade nel comparto dei Monti della Trinità. Nel primo piano, il tratto del "sentiero centrale" considerato ai fini del giudizio sulla sufficienza dell'accesso, è indicato quale strada di servizio ad orientamento pedonale SS2 (colore giallo) e quale percorso pedonale (colore verde chiaro). Tale rappresentazione grafica non è stata riprodotta correttamente nel secondo piano, ove è stata indicata graficamente solo la caratteristica di percorso pedonale, nonostante non fossero intervenute modifiche. Queste circostanze sono avvalorate dalla documentazione prodotta agli atti, segnatamente dagli estratti dei due piani del traffico e dalla presa di posizione del pianificatore.
Dall'estratto del piano del 1996 depositato presso la Sezione dello sviluppo territoriale del Dipartimento del territorio risulta che effettivamente il tratto del "sentiero centrale" a monte del fondo part. n. 1329 che si diparte dall'intersezione con il "sentiero Boteghen" è caratterizzato da una colorazione alternativa gialla e verde chiara ed è pertanto qualificato sia come percorso pedonale sia come strada di servizio ad orientamento pedonale (SS2). D'altra parte, non risulta che tale definizione sia stata successivamente oggetto di modifica. In particolare, le varianti del piano regolatore approvate dal Consiglio di Stato il 24 febbraio 1999 non hanno riguardato il tracciato in discussione. La tesi addotta genericamente dall'opponente, secondo cui occorrerebbe avviare una formale procedura di adozione del piano regolatore per correggere la rappresentazione grafica erronea riportata nel piano, appare pertanto destituita di fondamento.
2.4 Alla luce di quanto esposto, l'accertamento secondo cui il percorso in questione sarebbe unicamente pedonale è quindi fondato su atti pianificatori incompleti ed è manifestamente inesatto. La Corte cantonale dovrà nuovamente pronunciarsi sul quesito dell'accesso sufficiente, tenendo conto della definizione pianificatoria completa relativa al "sentiero centrale". Non spetta per contro al Tribunale federale stabilire direttamente in questa sede se la condizione della sufficienza dell'accesso sia adempiuta o meno, ritenuto che al riguardo l'autorità cantonale beneficia ancora di un certo margine di apprezzamento, trattandosi anche dell'applicazione di diritto cantonale e comunale ed essendo in discussione la valutazione di situazioni locali, da lei meglio conosciute (DTF 121 I 65 consid. 3a; sentenza 1P.319/2002 del 25 novembre 2002, consid. 3 e riferimenti, in: RDAT I-2003, n. 59, pag. 211 segg.).
3. 3.1 Ne segue che il ricorso deve essere accolto e la decisione impugnata annullata. Gli atti sono rinviati alla Corte cantonale affinché si pronunci nuovamente sulla fattispecie.
3.2 Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF). In concreto, esse devono di principio essere poste a carico, oltre che dell'opponente, anche del Comune, ritenuto che l'accertamento inesatto in oggetto è riconducibile alle indicazioni imprecise fornite alla Corte cantonale dall'autorità comunale. Al Comune, che ha agito nell'esercizio delle sue attribuzioni ufficiali, non possono però essere addossate spese giudiziarie (art. 66 cpv. 4 LTF). Di ciò è tenuto conto nella determinazione del relativo ammontare.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è accolto e la decisione impugnata è annullata.
2. Le spese giudiziarie sono poste a carico dell'opponente C._ per una quota di fr. 1'000.--.
3. C._ e il Municipio di Locarno rifonderanno fr. 1'000.-- ciascuno a titolo di ripetibili della sede federale ai ricorrenti.
4. Comunicazione ai patrocinatori delle parti, al Municipio di Locarno, ai Servizi generali del Dipartimento del territorio, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.