Faits:
A. Sur réquisition de X._, l'Office des poursuites de Lavaux-Oron a notifié le 6 mai 2011 à A._ un commandement de payer la somme de 15'600 fr. plus intérêt au taux de 5 % l'an dès le 1er avril 2011 (poursuite ordinaire n° ***). Le poursuivi a formé opposition totale en temps utile.
B. B.a Par prononcé du 1er mars 2012 (motivé le 21 mars suivant), le Juge de paix du district de Lavaux-Oron a rejeté la requête de mainlevée définitive déposée le 10 novembre 2011 par le poursuivant.
B.b Le poursuivant a recouru le 4 avril 2012 contre ce prononcé. Dans le courrier joint à son mémoire de recours, adressé à la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud, il a sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours.
Statuant le 26 avril 2012, le Président de la cour cantonale a refusé au recourant le bénéfice de l'assistance judiciaire.
C. Par mémoire du 4 juin 2012, le poursuivant exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Il conclut à la réforme de la décision attaquée en ce sens que l'assistance judiciaire gratuite lui est octroyée pour l'instance de recours cantonale; il requiert aussi l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invitée à se déterminer, l'autorité cantonale a renoncé à présenter des observations.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le refus de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente qui est susceptible de causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF; ATF 133 IV 335 consid. 4; 129 I 129 consid. 1.1 et 281; 126 I 207 consid. 2a).
La voie de recours contre une telle décision est déterminée par celle qui est ouverte à l'encontre de la décision principale (arrêts 5D_55/2011 du 23 septembre 2011 consid. 1.2; 5A_491/2007 du 15 novembre 2007 consid. 1.2). La cause pour laquelle l'assistance judiciaire est requise se rapporte à une procédure de mainlevée définitive (art. 80 et 81 LP), en soi susceptible de recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. a LTF; ATF 134 III 520 consid. 1.1). En l'espèce, s'agissant d'une affaire pécuniaire (ATF 133 III 399 consid. 1.3), il est constant que la valeur litigieuse n'atteint pas le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF) et qu'aucune des exceptions légales n'est réalisée (art. 74 al. 2 LTF; cf. ATF 134 III 524 consid. 1.2 et les citations); partant, seul le recours constitutionnel subsidiaire est ouvert (art. 113 ss LTF).
1.2 En outre, le recours a été déposé en temps utile (art. 46 al. 2 et 100 al. 1, en relation avec l'art. 117 LTF) et dans la forme requise (art. 42 LTF), par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et ayant un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 115 LTF), contre une décision rendue par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1, en relation avec l'art. 114 LTF), même si elle n'a pas statué "sur recours" (art. 75 al. 2, en relation avec l'art. 114 LTF; ATF 138 III 41 consid. 1.1).
1.3 Le recours constitutionnel étant une voie de réforme (art. 117, en relation avec l'art. 107 al. 2 LTF), le recourant doit en principe prendre des conclusions sur le fond, condition remplie en l'espèce. Le Tribunal fédéral conserve néanmoins la faculté de renvoyer l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle rende une nouvelle décision, en particulier en cas de violation du droit d'être entendu (cf. MEYER/DORMANN, in: Basler Kommentar, 2e éd., 2010, n° 13 ad art. 107 LTF et les citations).
1.4 Seule la violation des droits constitutionnels peut être invoquée à l'appui d'un recours constitutionnel (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine un tel grief que s'il a été dûment invoqué et motivé (principe d'allégation; art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire exposé de manière claire et détaillée (ATF 134 I 83 consid. 3.2 et les arrêts cités).
2. Le présent recours a pour objet le refus de l'assistance judiciaire que le recourant avait sollicitée dans le cadre d'une procédure de recours en instance cantonale; l'intéressé reproche au juge cantonal d'avoir violé, d'une part, son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) - sa décision étant notamment dépourvue de toute motivation - et, d'autre part, son droit à l'assistance judiciaire gratuite (art. 29 al. 3 Cst.).
Étant tiré de la violation d'une garantie de nature formelle (ATF 104 Ia 201 consid. 5g), le premier grief doit être examiné d'abord (ATF 137 I 195 consid. 2.2).
2.1 Se référant sans autre précision au "procès de mainlevée" qui oppose les parties, la décision attaquée se contente d'exposer brièvement les deux conditions auxquelles une personne a droit à l'assistance judiciaire en vertu de l'art. 117 CPC; elle indique ensuite que cet avantage ne saurait être accordé s'il apparaît clairement que les prétentions ou les moyens de défense de la partie requérante s'avèrent mal fondés; elle conclut que "tel est le cas en l'espèce", en sorte que l'assistance judiciaire doit être refusée au recourant.
2.2 Le recourant dénonce une violation de son droit d'être entendu, en faisant valoir que "le Président a considéré que le mémoire de recours [...] était dénué de chances de succès, sans d'ailleurs expliciter d'une quelconque manière les motifs de sa décision" et en lui reprochant plus loin d'avoir "passé sous silence" un courrier produit en procédure.
2.3 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. - dont le Tribunal fédéral examine librement le respect (ATF 127 III 192 consid. 3, avec les références) - le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre et la contester utilement s'il y a lieu, et que la juridiction de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les moyens invoqués par les parties; il n'y a violation du droit d'être entendu que si l'autorité n'a pas satisfait à son devoir minimum d'examiner et de traiter les problèmes pertinents (ATF 133 III 235 consid. 5.2; 135 III 670 consid. 3.3.1 et les citations).
2.4 En l'occurrence, la décision entreprise se contente de se référer à un "procès en mainlevée" pendant, sans aucune autre précision sur ce litige et sur la situation procédurale. Le magistrat précédent se limite à exposer les conditions de l'octroi de l'assistance judiciaire pour retenir, sans de plus ample développement, que l'une d'entre elles n'est pas réalisée en l'espèce. Dans ces circonstances, l'on ne saurait attendre du recourant qu'il soit en mesure de saisir les motifs de la décision et de les contester en connaissance de cause; peu importe à cet égard qu'il ait formulé une critique construite sur le raisonnement supposé du juge, qui se serait "implicitement référé à sa propre jurisprudence". Au demeurant, la Cour de céans n'est, faute de motivation de la décision attaquée, pas davantage en état d'exercer son contrôle.
2.5 Le grief de violation du droit d'être entendu doit ainsi être admis, ce qui scelle le sort du recours sans qu'il faille examiner l'autre grief.
3. En conclusion, le recours doit être admis, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF). Vu le sort du recours, la requête d'assistance judiciaire du recourant est sans objet et le canton de Vaud versera à son conseil une indemnité à titre de dépens pour la procédure fédérale (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, la décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant pour la procédure devant le Tribunal fédéral est sans objet.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le canton de Vaud versera à Me Lorraine Ruf une indemnité de 1'500 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué au recourant et au Président de la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 18 juillet 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant : Escher
Le Greffier: Braconi