Faits:
A. E._ a travaillé à partir de 1995 de manière temporaire au service de X._ SA. Son dernier engagement auprès de la société a duré du 26 juin 2000 au 28 février 2001. Pendant cette période, il a été totalement incapable de travailler du 1er au 26 octobre 2000 avant de reprendre le travail d'abord à mi-temps (jusqu'au 10 novembre 2000), puis à plein temps (hormis deux jours d'arrêt total de travail les 19 et 20 février 2001). Par la suite, il a été mis au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité dès le 1er avril 2002, fondée sur un taux d'invalidité de 100 % (décision de l'assurance-invalidité du 20 novembre 2002).
Le 28 février 2001, le Fonds de Pensions X._ (ci-après: le Fonds), auprès duquel E._ avait été affilié en sa qualité d'employé de la société X._ SA, a établi un certificat de prévoyance, selon lequel la pension annuelle d'invalidité s'élevait à 15'662 fr. au 1er janvier 2001.
B. B.a Le 22 décembre 2005, E._ a assigné le Fonds en paiement d'une rente entière d'invalidité de 15'662 fr. par an à partir du 1er avril 2002. Le défendeur a conclu au rejet de la demande.
Par jugement du 19 octobre 2006, le Tribunal administratif du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, a admis que la responsabilité du Fonds était engagée à l'égard du demandeur et décidé de statuer ultérieurement sur le droit aux prestations d'invalidité de celui-ci.
B.b Après l'entrée en force de son jugement, le Tribunal administratif fribourgeois, Cour des assurances sociales, a repris l'instruction de la demande. Statuant le 20 septembre 2007, il a partiellement admis l'action. Il a condamné le Fonds à verser à E._ une rente d'invalidité annuelle de 3'372 fr., laquelle devait être augmentée en fonction de l'indice suisse des prix à la consommation à partir du 1er avril 2005.
C. E._ interjette un recours en matière de droit public dans lequel il reprend ses conclusions de première instance.
Le Fonds conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable. Le Tribunal administratif, Cour des assurances sociales, informe le Tribunal fédéral qu'une demande d'interprétation de son jugement du 20 septembre 2007 a été introduite par le Fonds, la procédure y relative ayant été suspendue en raison du recours au Tribunal fédéral.
L'Office fédéral des assurances sociales a été invité à se déterminer sur le mode de calcul des bonifications de vieillesse afférentes aux années futures et son préavis a été soumis aux parties dans le cadre d'un second échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral applique par ailleurs le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Lorsqu'il s'agit, en particulier, de prestations de la prévoyance professionnelle, le Tribunal fédéral examine en principe librement les statuts et règlements d'institutions de prévoyance ou de fondations de libre passage de droit privé, en tant que contenu préformé du contrat de prévoyance (ATF 9C_874/2007 du 20 août 2008, consid. 2 et les arrêts cités).
2. 2.1 Les parties ne contestent plus le droit du recourant à des prestations d'invalidité de la part de l'intimé en vertu de la prévoyance professionnelle obligatoire. Le recourant fait en revanche valoir qu'il peut prétendre une rente d'invalidité au titre de la prévoyance plus étendue dont le montant annuel serait de 15'662 fr. L'intimé lui dénie ce droit, motif pris du principe de la force de chose jugée: la juridiction cantonale aurait déjà, dans son premier jugement du 19 octobre 2006 entré en force, écarté l'application de "la clause réglementaire d'invalidité" prévue à l'art. 8.1 du Règlement sur le Fonds de pensions X._ (ci-après: le règlement), de sorte que seule la question du montant de la rente d'invalidité selon la LPP pourrait être examinée.
2.2 Par jugement du 19 octobre 2006, entré en force, la juridiction cantonale a statué que "la responsabilité du Fonds de pension X._ est engagée vis-à-vis du demandeur" (chiffre 1 du dispositif) et que "partant, il sera statué ultérieurement sur le droit aux prestations d'invalidité du demandeur vis-à-vis dudit fonds" (chiffre 2 du dispositif). Au vu du dispositif de ce jugement, la juridiction cantonale a admis le principe du droit de E._ à des prestations d'invalidité de la part de l'intimé. Le dispositif ne spécifie cependant pas le fondement du droit reconnu, de sorte qu'on ne peut en déduire que le droit aux prestations relève uniquement du domaine de la prévoyance obligatoire et non pas de la prévoyance plus étendue. Il ne ressort pas non plus des considérants du jugement du 19 octobre 2006 que la juridiction cantonale aurait exclu le droit du recourant à des prestations fondées sur le règlement de l'intimé. En se limitant sur ce point à retenir que "c'est la loi, dont les conditions d'octroi de la rente d'invalidité sont moins restrictives et, partant, plus favorables au demandeur, qui doit être ici appliquée" (consid. 5 du jugement du 19 octobre 2006), la juridiction cantonale ne s'est pas prononcée sur le droit du recourant à des prestations réglementaires. Cette prétention n'ayant pas fait l'objet d'une décision matérielle de la part des premiers juges, leur premier jugement ne saurait être revêtu de l'autorité de chose jugée sur ce point. L'exception d'irrecevabilité tirée du principe de la force de chose jugée invoquée par l'intimé est donc mal fondée.
3. Cela étant, le litige porte en premier lieu sur le droit du recourant à une rente d'invalidité en vertu du règlement de prévoyance.
3.1 A son chiffre 1, l'art. 8 qui a pour titre "pension d'invalidité" prévoit que:
"En cas d'incapacité de travail permanente, constatée durant la période d'affiliation du membre au Fonds, due à un accident ou à une maladie, le Fonds octroie - après consultation de son médecin conseil et d'entente avec l'employeur - une pension d'invalidité comme suit:
- une pension d'invalidité de base, déterminée en fonction des années d'affiliation à la date normale de la retraite selon les dispositions de l'Annexe III, plus
- une pension d'invalidité additionnelle, calculée en fonction du compte épargne retraite B accumulé à la date de mise en paiement de la pension selon l'Art. 8.4 en appliquant les taux de l'Annexe IV".
Cette règle - qui doit être interprétée selon les règles générales qui sont applicables pour interpréter les contrats (voir ATF 132 V 149 consid. 5 p. 150; 129 V 145 consid. 3.1 p. 147; 127 V 301 consid. 3a p. 306) - prévoit que le risque assuré dépend d'une incapacité de travail "qualifiée", puisque celle-ci doit être permanente et constatée durant la période d'affiliation de l'assuré. Comme l'a retenu à juste titre la juridiction cantonale, il s'agit d'une solution plus restrictive que celle prévue par la loi, selon laquelle il suffit que l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité soit survenue pendant la période d'assurance (art. 23 LPP).
Contrairement à ce que soutient par ailleurs le recourant, la disposition réglementaire ne reprend pas, ni implicitement, ni par renvoi, la définition de l'invalidité de la LAI, puisque le droit aux prestations de la prévoyance plus étendue dépend (uniquement) d'une incapacité de travail permanente (et constatée durant l'affiliation), et non pas d'une incapacité de gain (permanente ou de longue durée), les répercussions de l'incapacité de travail sur les possibilités de gain de l'assuré n'étant ainsi pas déterminantes pour l'invalidité au sens du règlement. L'argumentation du recourant fondée sur la force contraignante de la décision des organes de l'assurance-invalidité pour l'institution de prévoyance lorsque celle-ci reprend la définition de l'invalidité de l'assurance-invalidité n'est donc pas pertinente.
3.2 L'autorité de première instance a retenu que l'incapacité de travail permanente présentée par le recourant a commencé au début du mois d'avril 2001 (soit après la période d'affiliation, le contrat de travail ayant pris fin le 28 février 2001).
Cette constatation de fait lie le Tribunal fédéral, dès lors que le recourant ne démontre pas en quoi elle serait manifestement inexacte ou contraire au droit au sens de l'art. 97 al. 1 LTF (en relation avec l'art. 105 al. 2 LTF). Le recourant soutient que la juridiction cantonale aurait assimilé la notion d'incapacité de travail permanente à celle de la naissance du droit à une rente d'invalidité de l'assurance-invalidité, ce qui serait contraire à la jurisprudence (ATF 117 V 239 recte 332). Son argumentation tombe à faux, puisque le 1er avril 2001 correspond non pas à la naissance du droit à la rente de l'assurance-invalidité (au 1er avril 2002), mais au début du délai de carence d'une année à compter de laquelle E._ a présenté une incapacité de travail déterminante au sens de la LAI (soit, en moyenne, une incapacité de travail de 40 % au moins pendant une année) et au terme de laquelle est né son droit à une rente de l'assurance-invalidité (cf. art. 29 LAI). Par ailleurs, se limitant à affirmer que son incapacité de travail permanente serait survenue dès le mois d'octobre 2000, le recourant n'apporte aucun élément de preuve concret sur ce point (le renvoi, sans autre précision, à des "rapports médicaux" étant insuffisant). Au demeurant, il ressort des constatations de fait des premiers juges qu'après une période d'incapacité de travail de près d'un mois en octobre 2000, il a été apte à reprendre le travail, d'abord à mi-temps, puis à plein temps jusqu'au terme de son contrat de travail. On ne saurait donc qualifier de permanente l'incapacité de travail qu'il a présentée au mois d'octobre 2000, même si cette date a été retenue par les premiers juges pour arrêter le début de l'incapacité de travail dont la cause était à l'origine de l'invalidité au sens de l'art. 23 LPP (cf. jugement du 19 octobre 2006). Dès lors que les notions d'incapacité de travail réglementaire et légale ne sont pas identiques (consid. 3.1 supra), il n'y a pas non plus de contradiction, quoi qu'en dise le recourant, à fixer le début de chacune des deux incapacités de travail à des dates différentes.
3.3 En conclusion de ce qui précède, comme l'invalidité au sens de l'art. 8.1 du règlement - soit une incapacité de travail permanente, constatée durant l'affiliation - est survenue à une date (1er avril 2001) à laquelle les rapports de prévoyance entre le recourant et l'intimé avaient déjà pris fin, la condition d'assurance sous l'angle de la prévoyance plus étendue n'était pas remplie. E._ ne peut donc prétendre une rente d'invalidité à ce titre.
4. Il reste à examiner, en second lieu, les griefs soulevés par le recourant à l'encontre du montant de la rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire fixée à 3'372 fr. par an en procédure cantonale.
4.1 Le recourant se prévaut du certificat de prévoyance établi par l'intimé le 28 février 2001, selon lequel la rente d'invalidité correspondait à 15'662 fr., pour en déduire un droit à une prestation de cette étendue. Ce document ne lui est cependant d'aucun secours, dès lors que le droit à la rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire et son étendue sont déterminés d'après les dispositions de la loi. La jurisprudence à laquelle il se réfère concerne la portée du certificat personnel - comme partie intégrante du règlement de prévoyance (arrêt B 7/04 du 15 juin 2004, consid. 6.2.4) - en matière de prévoyance plus étendue et ne saurait être transposée dans le domaine obligatoire, entièrement régi par les dispositions légales applicables.
4.2 Se fondant sur le salaire coordonné retenu par les premiers juges (19'284 fr.), le recourant soutient que le calcul des bonifications futures aurait dû être effectué sur douze mois (et non pas seulement sur six mois).
4.2.1 Selon la feuille de calcul établie le 12 juillet 2007 et produite en instance cantonale - dont le résultat a été entièrement repris par la juridiction cantonale pour confirmer le montant de la rente annuelle d'invalidité de 3'372 fr. -, l'intimé a fixé à 19'284 fr. le salaire coordonné déterminant pour le calcul des bonifications afférentes aux années futures. A ce montant, il a appliqué les taux prévus par la loi (cf. art. 16 LPP), compte tenu de l'âge de l'assuré. Il en est résulté un montant total de 86'074 fr. (pour la période du 1er mars 2001 au 31 décembre 2031). L'intimé a divisé ce montant par deux ("horaire/6 mois" correspondant à la moitié de "horaire/12 mois") pour additionner le résultat obtenu (43'037 fr.) à celui de l'avoir de vieillesse au 28 février 2001 (3'853 fr.). La somme de 46'890 fr. correspondait à l'avoir de vieillesse total auquel a été appliqué le taux de conversion de 7,20 % pour obtenir le montant de la rente annuelle (3'372 fr.).
Seule est litigieuse la réduction par moitié des bonifications afférentes aux années futures opérée par l'intimé et confirmée implicitement par la juridiction cantonale. En procédure fédérale, le Fonds a expliqué que son calcul tenait compte de la durée moyenne d'activité du recourant depuis 1996 à 2001 au service de la société X._ SA, à savoir six mois. Selon lui, il se justifiait de calculer les bonifications afférentes aux années futures en fonction de cette durée réduite d'activité, en tenant compte du "salaire saisonnier effectif durant les années prévisibles pour le futur".
4.2.2 Conformément à l'art. 24 al. 2 let. b LPP (dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2004, applicable en l'espèce [ATF 131 V 9 consid. 1 p. 11; 127 V 466 consid. 1 p. 467]), l'avoir de vieillesse déterminant pour le calcul de la rente d'invalidité comprend la somme des bonifications de vieillesse afférentes aux années futures, sans intérêts. Selon l'art. 24 al. 3 LPP, ces bonifications sont calculées sur la base du salaire coordonné de l'assuré durant la dernière année d'assurance auprès de l'institution de prévoyance.
Aux termes de l'art. 11 al. 4 let. a OPP 2, si l'assuré entre dans l'institution de prévoyance en cours d'année, le compte de vieillesse sera crédité, en fin d'année civile, des bonifications de vieillesse sans intérêt, afférentes à la fraction d'année durant laquelle l'assuré a été dans l'institution de prévoyance. Cette disposition prévoit ainsi que les bonifications de vieillesse sont calculées sur la base de la durée effective de travail (ATF 129 V 15 consid. 2c/aa p. 22; voir RCC 1985 p. 373; Jürg Brühwiler, Die betriebliche Personalvorsorge in der Schweiz, Berne 1989, p. 477). Au regard de cette disposition et de l'avis de l'OFAS publié dans la RCC 1985 p. 373, le Tribunal fédéral des assurances a, dans un arrêt B 25/06 du 22 février 2006 (partiellement publié aux ATF 133 V 67), jugé qu'une telle solution devait également s'appliquer lorsqu'il s'agit de déterminer les bonifications afférentes aux années futures (consid. 3.3 en relation avec le consid. 3.2.2 non publiés de l'ATF 133 V 67). Il convient en effet de tenir compte également pour l'avenir du fait que l'assuré ne travaillait pas une année complète auprès de l'employeur lié à l'institution de prévoyance en cause, alors que son salaire déterminant pour fixer le salaire coordonné doit être annualisé conformément à l'art. 2 aOPP 2 (depuis le 1er janvier 2007, art. 2 al. 1 LPP; consid. 3.2.3 non publié de l'ATF 133 V 67). Dans le cas d'un travailleur saisonnier, les bonifications afférentes aux années futures doivent donc être calculées en fonction du salaire coordonné (résultant du salaire déterminant au sens de l'AVS [calculé sur une année] sous déduction du montant de coordination), mais de manière proportionnelle à la durée des rapports de travail.
4.2.3 En l'espèce, E._ est entré - en ce qui concerne les derniers rapports de travail avec la société X._ SA - dans l'institution de prévoyance en cours d'année (fin juin 2000). Les bonifications afférentes aux années futures doivent donc être calculées en fonction de la fraction d'année durant laquelle il a été affilié avant la survenance de l'invalidité, à savoir six mois. Par conséquent, l'institution de prévoyance était en droit de réduire les bonifications afférentes aux années futures en fonction d'une durée hypothétique de travail de six mois. Le montant de 43'037 fr. qu'elle a retenu à ce titre, et le calcul de la rente fondé sur ce chiffre n'apparaissent pas critiquables.
5. Il résulte de ce qui précède que le recours est mal fondé.
6. Compte tenu de l'issue du litige, les frais de justice seront supportés par le recourant (art. 66 al. 1 LTF). Succombant, celui-ci ne peut prétendre des dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Fribourg et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 février 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless