Erwägungen:
1. X._ (geb. 1976) stammt nach eigenen Angaben aus dem Libanon. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren. Das Amt für öffentliche Sicherheit des Kantons Solothurn nahm ihn am 15. Oktober 2007 in Durchsetzungshaft, deren Verlängerung das Haftgericht des Kantons Solothurn am 13. März 2008 bis zum 14. Mai 2008 genehmigte. X._ ist hiergegen am 3. April 2008 mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht gelangt, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Die Eingabe erweist sich aufgrund der eingeholten Unterlagen als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden. Es braucht unter diesen Umständen nicht geprüft zu werden, ob alle Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind (vgl. etwa Art. 42 BGG [Unterschrift, Begründungspflicht]):
2. Die Eingabe erweist sich aufgrund der eingeholten Unterlagen als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden. Es braucht unter diesen Umständen nicht geprüft zu werden, ob alle Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind (vgl. etwa Art. 42 BGG [Unterschrift, Begründungspflicht]):
2.1 2.1.1 Hat ein Ausländer seine Pflicht zur Ausreise aus der Schweiz innert der ihm angesetzten Frist nicht erfüllt und kann die rechtskräftige Weg- oder Ausweisung wegen seines persönlichen Verhaltens nicht vollzogen werden, so darf er, um der Ausreisepflicht Nachachtung zu verschaffen, in Durchsetzungshaft genommen werden, sofern die Anordnung der Ausschaffungshaft nicht zulässig ist und keine andere, mildere Massnahme besteht (Art. 78 Abs. 1 AuG [SR 142.20]). Die Durchsetzungshaft ist erstmals für einen Monat zulässig. Sie kann hernach mit der Zustimmung der zuständigen kantonalen richterlichen Behörde - bis zu einer Maximaldauer von 18 Monaten - jeweils in Schritten von je zwei Monaten verlängert werden (Art. 78 Abs. 2 AuG). Die Vorbereitungs-, Ausschaffungs- und Durchsetzungshaft dürfen zusammen die Höchstdauer von 24 Monaten nicht überschreiten (Art. 79 AuG).
2.1.2 Zweck der Durchsetzungshaft ist es, die ausreisepflichtige Person in jenen Fällen zu einer Verhaltensänderung zu bewegen, in denen nach Ablauf der Ausreisefrist der Vollzug der rechtskräftig gegen sie angeordneten Weg- oder Ausweisung - trotz der behördlichen Bemühungen - ohne ihre Kooperation nicht möglich ist. Sie soll das letzte Mittel darstellen, wenn und soweit keine andere Zwangsmassnahme mehr zum Ziel führt, den illegal anwesenden Ausländer - auch gegen seinen Willen - in seine Heimat verbringen zu können (BGE 133 II 97 E. 2.2 S. 99 f.). Ihre konventionsrechtliche Rechtfertigung findet die Durchsetzungshaft in Art. 5 Ziff. 1 lit. f in Verbindung mit Art. 5 Ziff. 1 lit. b EMRK. Nach dem Willen des Gesetzgebers kann - je nach den Umständen - selbst eine Haftdauer von 18 Monaten im Einzelfall verhältnismässig sein (vgl. BGE 133 II 97 E. 2.2 S. 100; zur Publikation bestimmtes Urteil 2C_556/2007 vom 21. Januar 2008, E. 2).
2.1.2 Zweck der Durchsetzungshaft ist es, die ausreisepflichtige Person in jenen Fällen zu einer Verhaltensänderung zu bewegen, in denen nach Ablauf der Ausreisefrist der Vollzug der rechtskräftig gegen sie angeordneten Weg- oder Ausweisung - trotz der behördlichen Bemühungen - ohne ihre Kooperation nicht möglich ist. Sie soll das letzte Mittel darstellen, wenn und soweit keine andere Zwangsmassnahme mehr zum Ziel führt, den illegal anwesenden Ausländer - auch gegen seinen Willen - in seine Heimat verbringen zu können (BGE 133 II 97 E. 2.2 S. 99 f.). Ihre konventionsrechtliche Rechtfertigung findet die Durchsetzungshaft in Art. 5 Ziff. 1 lit. f in Verbindung mit Art. 5 Ziff. 1 lit. b EMRK. Nach dem Willen des Gesetzgebers kann - je nach den Umständen - selbst eine Haftdauer von 18 Monaten im Einzelfall verhältnismässig sein (vgl. BGE 133 II 97 E. 2.2 S. 100; zur Publikation bestimmtes Urteil 2C_556/2007 vom 21. Januar 2008, E. 2).
2.2 Die umstrittene ausländerrechtliche Festhaltung entspricht diesen Vorgaben und verletzt kein Bundesrecht:
2.2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden und hätte diese bis zum 9. Februar 2001 verlassen müssen. Er hat sich während Jahren geweigert, bei der Feststellung seiner Identität und der Beschaffung von Reisepapieren mitzuwirken, weshalb seine Ausschaffung trotz der Bemühungen der Behörden nicht vollzogen werden konnte. Unter dem Druck der Durchsetzungshaft übergab er diesen am 7. März 2008 die Kopie einer Identitätskarte, die ihn als Y._, Staatsbürger von Libanon ausweist. Zurzeit wird abgeklärt, ob dieses Papier echt sein kann; der Beschwerdeführer hat von der Rückseite der Karte keine Kopie eingereicht, so dass ihr keine Nummer und kein Ausstellungsdatum zugeordnet werden können. Den oberen Rand der Kopie hat er abgerissen, damit nicht geprüft werden kann, ob es sich dabei um eine Kopie oder einen Fax handelt bzw. woher dieser stammt. Es ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer sich weiterhin weigert, freiwillig auszureisen, und nicht bereit ist, mit den Behörden hierfür zielgerichtet zu kooperieren (zu Algerien: BGE 133 II 97 E. 3.3; zur Veröffentlichung bestimmtes Urteil 2C_556/2007 vom 21. Januar 2008, E. 2).
2.2.2 Was der Beschwerdeführer einwendet, überzeugt nicht: Er verfügt in der Schweiz über kein Anwesenheitsrecht, auch wenn sein Aufenthalt wegen seines renitenten Verhaltens bisher geduldet werden musste. Die umstrittene Verlängerung seiner Festhaltung ist nicht unverhältnismässig. Würde er mit den Behörden zusammenarbeiten, könnte seine Wegweisung innert weniger Wochen vollzogen werden. Der Beschwerdeführer will nur dann ein Identitätspapier abgeben, wenn er in einen Drittstaat reisen kann, für den andern Fall weigert er sich nach wie vor, dies zu tun. Es ist nicht auszuschliessen, dass er sich doch noch eines Besseren besinnen wird, hat er doch immerhin inzwischen eine erste (noch ungenügende) Absicht gezeigt, zur Klärung seiner Identität bzw. zur Papierbeschaffung beizutragen. Soweit er geltend macht, nicht in den Libanon zurückkehren zu können, verkennt er, dass die Asyl- und Wegweisungsfrage nicht Gegenstand der Haftprüfung bildet; die Frage wurde im Asylverfahren rechtskräftig beurteilt und kann vom Bundesgericht nicht überprüft werden (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Es ist im Übrigen nicht ersichtlich, wie er sich ohne Reisepapier zulässigerweise in einen Drittstaat begeben könnte. Die schweizerischen Behörden dürfen nicht bewusst zu einer illegalen Einreise in einen solchen Hand bieten (BGE 133 II 97 E. 4.2.2); nur aufgrund gültiger Papiere kann geprüft werden, ob ein Wegweisungsvollzug in einen anderen Staat als den Libanon allenfalls möglich wäre (vgl. Art. 69 Abs. 2 AuG; BGE 133 II 97 E. 4.2.2). Für alles Weitere wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Es rechtfertigt sich aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, absehbarer Vollzug der Wegweisung), von der Erhebung von Kosten abzusehen (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Das Amt für öffentliche Sicherheit des Kantons Solothurn wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. April 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar