Sachverhalt:
A. Die 1953 geborene R._ ist als Sigristin bei einer reformierten Kirchgemeinde tätig und dadurch bei der AXA Versicherungen AG (nachfolgend: AXA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 7. Januar 2009 rutschte sie auf einer Treppe aus und erlitt ein Distorsionstrauma am rechten Kniegelenk. Die AXA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Unter anderem übernahm sie die Kosten für einen am 11. Februar 2009 durch den orthopädischen Chirurgen Dr. med. K._ vorgenommenen Eingriff am Knie (gemäss Operationsbericht: diagnostische Arthroskopie und partielle Hinterhornresektion medial und Vorderhornresektion lateral sowie Shaving am medialen und lateralen Femurkondylus). Mit Verfügung vom 15. Juni 2010 eröffnete die AXA der Versicherten, die Leistungen würden rückwirkend per 18. August 2009 eingestellt, da in diesem Zeitpunkt der status quo sine erreicht gewesen sei. Der Versicherer verneinte dabei namentlich auch seine Leistungspflicht für eine zweite, von Dr. med. K._ am 2. September 2009 durchgeführte Operation (gemäss Operationsbericht: Totalprothese rechtes Kniegelenk mit Patella-Ersatz). Dieser Eingriff habe der Behandlung krankheitsbedingter, nicht unfallkausaler Gesundheitsschäden gedient. Die vom Krankenpflegeversicherer von R._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache der Versicherten wies die AXA mit Entscheid vom 27. Juli 2010 ab.
B. Die von R._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. Januar 2012 ab.
C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die AXA zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen auch nach dem 18. August 2009 zu erbringen.
Die AXA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem das rechte Knie betreffenden Unfall vom 7. Januar 2009 über den 18. August 2009 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
Das kantonale Gericht hat die massgeblichen Bestimmungen und Grundsätze zutreffend dargelegt. Danach setzt ein Leistungsanspruch nebst anderem einen natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; BGE 129 V 177 E. 3.1 mit Hinweisen) voraus, wobei eine Teilursächlichkeit genügt (BGE 134 V 109 E. 9.5 S. 125 f. mit Hinweisen). Wird durch einen Unfall ein krankhafter Vorzustand verschlimmert oder überhaupt erst manifest, entfällt die Leistungspflicht des Unfallversicherers erst, wenn der Unfall nicht die natürliche und adäquate Ursache des Gesundheitsschadens darstellt, wenn also Letzterer nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht. Dies trifft dann zu, wenn entweder der (krankhafte) Gesundheitszustand, wie er unmittelbar vor dem Unfall bestanden hat (status quo ante), oder aber derjenige Zustand, wie er sich nach dem schicksalsmässigen Verlauf eines krankhaften Vorzustandes auch ohne Unfall früher oder später eingestellt hätte (status quo sine), erreicht ist. Ebenso wie der leistungsbegründende natürliche Kausalzusammenhang muss das Dahinfallen jeder kausalen Bedeutung von unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens mit dem im Sozialversicherungsrecht allgemein üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sein. Die blosse Möglichkeit nunmehr gänzlich fehlender ursächlicher Auswirkungen des Unfalles genügt nicht. Da es sich hierbei um eine anspruchsaufhebende Tatfrage handelt, liegt die Beweislast - anders als bei der Frage, ob ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang gegeben ist - nicht bei der versicherten Person, sondern beim Unfallversicherer. Der Beweis des Wegfalls des natürlichen Kausalzusammenhangs muss nicht durch den Nachweis unfallfremder Ursachen erbracht werden. Ebenso wenig geht es darum, vom Unfallversicherer den negativen Beweis zu verlangen, dass kein Gesundheitsschaden mehr vorliege oder die versicherte Person nun bei voller Gesundheit sei. Entscheidend ist allein, ob unfallbedingte Ursachen des Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren haben, also dahingefallen sind (SVR 2011 UV Nr. 4 S. 12, 8C_901/2009 E. 3.2 mit Hinweisen).
3. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, der Unfall vom 7. Januar 2009 habe zu einer lediglich vorübergehenden, nicht richtunggebenden Verschlimmerung eines krankheitsbedingten Vorzustandes am rechten Knie geführt, wobei der status quo sine spätestens am 18. August 2009 erreicht gewesen sei. Damit entfalle auch eine Leistungspflicht des Unfallversicherers für die Prothesenimplantation vom 2. September 2009. Diese Beurteilung stützt sich namentlich auf die Stellungnahme des Dr. med. J._, beratender Arzt der AXA, vom 20. November 2009.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, diese ärztliche Stellungnahme bilde keine verlässliche Beurteilungsgrundlage. Aufgrund der Berichte des Dr. med. K._, zuletzt vom 2. September 2010, sei vielmehr von einer richtunggebenden Verschlimmerung durch den Unfall auszugehen.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, diese ärztliche Stellungnahme bilde keine verlässliche Beurteilungsgrundlage. Aufgrund der Berichte des Dr. med. K._, zuletzt vom 2. September 2010, sei vielmehr von einer richtunggebenden Verschlimmerung durch den Unfall auszugehen.
3.1 3.1.1 Zur Beurteilung sozialversicherungsrechtlicher Leistungsansprüche bedarf es verlässlicher medizinischer Entscheidsgrundlagen (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232). Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist demnach entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232 mit Hinweis auf 125 V 351 E. 3a S. 352).
3.1.2 Dennoch hat es die Rechtsprechung mit dem Grundsatz der Beweiswürdigung als vereinbar erachtet, in Bezug auf bestimmte Formen medizinischer Berichte und Gutachten Richtlinien für die Beweiswürdigung aufzustellen. So weicht das Gericht bei Gerichtsgutachten nach der Praxis nicht ohne zwingende Gründe von der Einschätzung der medizinischen Fachperson ab (BGE 125 V 351 E. 3b/aa S. 352 mit Hinweisen). Hinsichtlich von Versicherungsträgern im Verfahren nach Art. 44 ATSG eingeholter, den Anforderungen der Rechtsprechung entsprechender, Gutachten externer Spezialärzte wurde festgehalten, das Gericht dürfe diesen Gutachten vollen Beweiswert zuerkennen, solange "nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit" der Expertise sprechen (BGE 135 V 465 E. 4.4 S. 470 mit Hinweis auf BGE 125 V 351 E. 3b/bb S. 353). Zur Frage der Berichte und Gutachten versicherungsinterner Fachpersonen wurde der Grundsatz betont, wonach ein Anstellungsverhältnis dieser Person zum Versicherungsträger alleine nicht schon auf mangelnde Objektivität und Befangenheit schliessen lässt. Soll ein Versicherungsfall jedoch ohne Einholung eines externen Gutachtens entschieden werden, so sind an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen, so sind ergänzende Abklärungen vorzunehmen (BGE 135 V 465 E. 4.4 S. 470 mit Hinweisen). Aus dem Grundsatz der Waffengleichheit folgt sodann das Recht der versicherten Person, mittels eigener Beweismittel die Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der ärztlichen Feststellungen der versicherungsinternen Fachpersonen in Zweifel zu ziehen. Dazu wurde erkannt, dass diese von der versicherten Person eingereichten Beweismittel regelmässig von behandelnden Ärztinnen und Ärzten oder von anderen medizinischen Fachpersonen stammen, die in einem auftragsrechtlichen Verhältnis zur versicherten Person stehen. Da sich die behandelnden Ärztinnen und Ärzte zudem in erster Linie auf die Behandlung zu konzentrieren haben, verfolgen deren Berichte nicht den Zweck einer den abschliessenden Entscheid über die Versicherungsansprüche erlaubenden objektiven Beurteilung des Gesundheitszustandes und erfüllen deshalb kaum je die materiellen Anforderungen an ein Gutachten gemäss BGE 125 V 351 E. 3a S. 352. Aus diesen Gründen und aufgrund der Erfahrungstatsache, dass Hausärzte mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung im Zweifelsfall eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen, wird im Streitfall eine direkte Leistungszusprache einzig gestützt auf die Angaben der behandelnden Ärztinnen und Ärzte kaum je in Frage kommen (BGE 135 V 465 E. 4.5 S. 470 f. mit Hinweis).
3.1.2 Dennoch hat es die Rechtsprechung mit dem Grundsatz der Beweiswürdigung als vereinbar erachtet, in Bezug auf bestimmte Formen medizinischer Berichte und Gutachten Richtlinien für die Beweiswürdigung aufzustellen. So weicht das Gericht bei Gerichtsgutachten nach der Praxis nicht ohne zwingende Gründe von der Einschätzung der medizinischen Fachperson ab (BGE 125 V 351 E. 3b/aa S. 352 mit Hinweisen). Hinsichtlich von Versicherungsträgern im Verfahren nach Art. 44 ATSG eingeholter, den Anforderungen der Rechtsprechung entsprechender, Gutachten externer Spezialärzte wurde festgehalten, das Gericht dürfe diesen Gutachten vollen Beweiswert zuerkennen, solange "nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit" der Expertise sprechen (BGE 135 V 465 E. 4.4 S. 470 mit Hinweis auf BGE 125 V 351 E. 3b/bb S. 353). Zur Frage der Berichte und Gutachten versicherungsinterner Fachpersonen wurde der Grundsatz betont, wonach ein Anstellungsverhältnis dieser Person zum Versicherungsträger alleine nicht schon auf mangelnde Objektivität und Befangenheit schliessen lässt. Soll ein Versicherungsfall jedoch ohne Einholung eines externen Gutachtens entschieden werden, so sind an die Beweiswürdigung strenge Anforderungen zu stellen. Bestehen auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen, so sind ergänzende Abklärungen vorzunehmen (BGE 135 V 465 E. 4.4 S. 470 mit Hinweisen). Aus dem Grundsatz der Waffengleichheit folgt sodann das Recht der versicherten Person, mittels eigener Beweismittel die Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der ärztlichen Feststellungen der versicherungsinternen Fachpersonen in Zweifel zu ziehen. Dazu wurde erkannt, dass diese von der versicherten Person eingereichten Beweismittel regelmässig von behandelnden Ärztinnen und Ärzten oder von anderen medizinischen Fachpersonen stammen, die in einem auftragsrechtlichen Verhältnis zur versicherten Person stehen. Da sich die behandelnden Ärztinnen und Ärzte zudem in erster Linie auf die Behandlung zu konzentrieren haben, verfolgen deren Berichte nicht den Zweck einer den abschliessenden Entscheid über die Versicherungsansprüche erlaubenden objektiven Beurteilung des Gesundheitszustandes und erfüllen deshalb kaum je die materiellen Anforderungen an ein Gutachten gemäss BGE 125 V 351 E. 3a S. 352. Aus diesen Gründen und aufgrund der Erfahrungstatsache, dass Hausärzte mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung im Zweifelsfall eher zu Gunsten ihrer Patienten aussagen, wird im Streitfall eine direkte Leistungszusprache einzig gestützt auf die Angaben der behandelnden Ärztinnen und Ärzte kaum je in Frage kommen (BGE 135 V 465 E. 4.5 S. 470 f. mit Hinweis).
3.2 3.2.1 Dr. med. J._ hat sich als beratender Arzt der AXA geäussert. Damit kann er, auch wenn er mutmasslich nicht in einem festen Anstellungsverhältnis zum Versicherer steht, nicht die Stellung eines unabhängigen Gutachters oder Sachverständigen beanspruchen (vgl. RKUV 2003 Nr. U 484 S. 251, U 273/01 E. 3.2.1). Vielmehr ist er, was den Beweiswert seiner hier abgegebenen Stellungnahme angeht, einem versicherungsinternen Arzt gleichzusetzen (vgl. Urteile 8C_44/2011 vom 10. Juni 2011 E. 6 und 8C_663/2007 vom 4. August 2008 E. 3.13 und 4.1).
Bei näherer Betrachtung der Stellungnahme vom 20. November 2009 fällt auf, dass sich Dr. med. J._ nur aufgrund der medizinischen Akten und nicht gestützt auf eine von ihm durchgeführte Untersuchung der Versicherten geäussert hat. Einer rein aktengestützten ärztlichen Beurteilung kann zwar je nach der zu beantwortenden medizinischen Fragestellung Beweiswert zukommen. Ob dies hier zutrifft, braucht aber nicht beantwortet zu werden. Gleiches gilt für die Frage, ob Dr. med. J._, welcher gemäss Medizinalberuferegister (www.medregom.admin.ch; besucht am 29. Mai 2012) auf Innere Medizin/Rheumatologie und Manuelle Medizin spezialisiert ist, fachlich geeignet ist, die gegebene Knieproblematik ärztlich zu beurteilen, oder ob es hiefür nicht eher orthopädischer Fachkenntnisse bedürfte. Dr. med. J._ hat sich nämlich bei seinen Ausführungen auch nur sehr kurz gehalten. Eine eigentliche Begründung, im Sinne einer einlässlichen Auseinandersetzung mit den medizinischen Vorakten und einer nachvollziehbaren Erläuterung der getroffenen Folgerungen, enthält seine Stellungnahme nicht. Hinzu kommt, dass Dr. med. K._, welcher die Knieoperationen durchgeführt hat, im Bericht vom 2. September 2010 hinsichtlich der Frage nach einer richtunggebenden Verschlimmerung, und damit der Unfallkausalität der über den 18. August 2009 hinaus bestehenden Beschwerden, eine andere Auffassung als Dr. med. J._ vertritt. Dabei erlauben die medizinischen Akten nicht, die ärztliche Beurteilung des Dr. med. K._ von vornherein zu verwerfen. Bei dieser Ausgangslage bestehen zu viele Zweifel an der Stellungnahme des Dr. med. J._, als dass diese gestattete, den Wegfall der natürlichen Unfallkausalität der nach dem 18. August 2009 noch bestandenen Beschwerden verlässlich zu verneinen. Damit sind weitere Abklärungen im Sinne eines fachmedizinischen Gutachtens unabdingbar, zumal die Berichte des Dr. med. K._ ebenfalls keine genügende Klarheit verschaffen. Abgesehen davon, dass Dr. med. K._ behandelnder Arzt ist, was bereits eine Zurückhaltung bei der Gewichtung seiner Aussagen gebietet (E. 3.1.2 hievor), sind seine Berichte auch nicht in einer Weise gehalten, welche eine zuverlässige Beurteilung der Streitsache erlauben würde. Die Sache wird daher zur Einholung eines versicherungsexternen fachärztlichen Gutachtens und zur neuen Verfügung über den streitigen Leistungsanspruch an die AXA zurückgewiesen.
4. Die Rückweisung der Sache an den Versicherungsträger zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung (mit noch offenem Ausgang) gilt praxisgemäss als volles Obsiegen der Beschwerde führenden Partei im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie überhaupt beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder Eventualantrag gestellt wird (BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235; Urteile 8C_21/2012 vom 27. März 2012 E. 4 und 8C_997/2010 vom 10. August 2011 E. 5; vgl. auch BGE 137 V 57). Demnach hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu entrichten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 16. Januar 2012 und der Einspracheentscheid der AXA Versicherungen AG vom 27. Juli 2010 aufgehoben werden und die Sache an die AXA Versicherungen AG zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Leistungsanspruch ab 19. August 2009 neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Juni 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz