Erwägungen:
1. X._, geboren 1979, aus dem Kosovo stammend, reiste 1997 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein und erhielt die Aufenthaltsbewilligung. Im Dezember 2002 heiratete er in seinem Heimatland eine Landsfrau, welche im Rahmen des Familiennachzugs zu ihm in die Schweiz einreiste und ebenfalls eine Aufenthaltsbewilligung erhielt, zuletzt verlängert bis zum 27. Juli 2006; das Ehepaar hat eine am 26. Juni 2006 geborene Tochter.
Weil X._ im Nachzugsgesuch für seine Ehefrau unvollständige Angaben gemacht hatte, wurde deren Aufenthaltsbewilligung am 17. Februar 2006 widerrufen; diese Verfügung wurde erfolglos angefochten, und am 10. März 2008 wurde die Ehefrau zusammen mit der Tochter ausgeschafft.
Mit Verfügung vom 27. Dezember 2007 widerrief das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen die bis 25. März 2008 gültige Aufenthaltsbewilligung von X._; zugleich ordnete es die Wegweisung an. Zur Begründung führte es an, der Betroffene habe Anlass zu Klagen gegeben (mehrere Straferkenntnisse, Schulden und Verlustscheine). Den dagegen erhobenen Rekurs wies der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen am 15. Juli 2008 ab. Mit Entscheid vom 20. Mai 2009 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen die gegen den regierungsrätlichen Rekursentscheid erhobene Beschwerde ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiärer Verfassungsbeschwerde stellt X._ dem Bundesgericht im Wesentlichen die Anträge, der Entscheid des Obergerichts und die diesem zugrundeliegenden Entscheide seien vollumfänglich aufzuheben, das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen sei anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers zu verlängern, eventualiter sei die Sache zu hinreichenden Abklärungen und zur Neubeurteilung - insbesondere auch zur Prüfung eines Antrags auf Niederlassungsbewilligung und auf vorläufige Aufnahme - an das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen zurückzuweisen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gegen Entscheide über den Widerruf einer ausländerrechtlichen Bewilligung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, unabhängig davon, ob ein Anspruch auf die Erteilung oder Verlängerung der fraglichen Bewilligung besteht; Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG greift im Falle des Bewilligungswiderrufs nicht. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist jedoch nur berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG). Erforderlich ist grundsätzlich ein aktuelles Interesse. Die Aufenthaltsbewilligung, gegen deren Widerruf der Beschwerdeführer sich zur Wehr setzt, ist am 25. März 2008 mit dem Ablauf ihrer Bewilligungsfrist bzw. Gültigkeitsdauer erloschen (Art. 9 Abs. 1 lit. a ANAG, der hier entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers noch zur Anwendung kommt, s. aber auch Art. 61 Abs. 1 lit. c AuG). Damit besteht kein aktuelles Interesse an der Beurteilung der Rechtmässigkeit des Bewilligungswiderrufs. Diesbezüglich ist auf die Beschwerde mangels schutzwürdigen Interesses an der Aufhebung des Widerrufsentscheids nicht einzutreten.
2.2 Der angefochtene Entscheid erweist sich im Ergebnis auch als solcher über die Verweigerung der Bewilligungsverlängerung; dieses Thema macht der Beschwerdeführer denn auch zum Gegenstand der Beschwerde. Diesbezüglich hängt die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten davon ab, ob das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Anspruch auf Bewilligungsverlängerung einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Dem ist nicht so, und das ordentliche Rechtsmittel ist auch in dieser Hinsicht offensichtlich unzulässig: Dafür, dass der Beschwerdeführer sich bei den konkret herrschenden tatsächlichen Verhältnissen vergeblich auf Art. 8 EMRK beruft (Recht auf Achtung des Familien- und Privatlebens), genügt der Hinweis auf BGE 130 II 281 E. 3.1 und 3.2. Inwiefern sich aus Treu und Glauben ein Anspruch auf Bewilligungsverlängerung ableiten liesse (Beschwerdeschrift S. 8 unten), bleibt unerfindlich. In Bezug auf die Wegweisung ergibt sich die Unzulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten aus Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG, in Bezug auf die Frage der vorläufigen Aufnahme aus Art. 83 lit. c Ziff. 3 BGG.
2.3 Der Beschwerdeführer erhebt zusätzlich auch subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG. Zur Verfassungsbeschwerde ist nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG). Dem Ausländer, der keinen Rechtsanspruch auf Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung hat, fehlt weitgehend die Legitimation zur Verfassungsbeschwerde, soweit er den negativen Bewilligungsentscheid als solchen bemängeln will; namentlich ist er mit der Rüge, das Willkürverbot von Art. 9 BV sei verletzt, nicht zu hören (BGE 133 I 185). Was die behauptete Verletzung des Diskriminierungsverbots von Art. 8 Abs. 2 BV betrifft, genügt der Hinweis in der Beschwerdeschrift auf die Invalidität des Beschwerdeführers schon nur angesichts der vollständigen Erwägungen der Vorinstanz zur Darlegung der Verletzung eines Grundrechts offensichtlich nicht (Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.4 Auf die Beschwerde ist in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.5 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen (Art. 64 BGG). Damit sind, dem Verfahrensausgang entsprechend, die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Ausländeramt, dem Regierungsrat und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juni 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller