Faits:
A. L._, née en 1952, travaillait comme blanchisseuse au service de la société X._ SA. Elle était assurée par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après : CNA). Dans la nuit du 22 au 23 avril 2001, elle a été victime d'un accident de circulation. La voiture dont elle était passagère a été percutée par le véhicule qui suivait, sur l'autoroute, et a quitté la chaussée, heurté la glissière de sécurité, puis s'est immobilisée sur le flanc gauche. Entendue peu après l'accident par la police valaisanne, elle a déclaré qu'elle souffrait de la nuque et qu'elle désirait se faire ausculter aux urgences de l'hôpital Y._. Le docteur E._ y a posé le diagnostic de contusions cervicales et a prescrit le port d'une minerve en mousse, dans un but antalgique. La CNA a pris en charge les suites de cet accident.
L._ a repris son activité professionnelle à plein temps, le 8 mai 2001. Elle était suivie médicalement par le docteur J._, à raison de deux consultations par mois environ. Dans deux rapports des 13 juillet et 27 septembre 2001, ce médecin décrit une évolution favorable, puis lentement favorable. Dans le second rapport, il précise toutefois qu'un dommage permanent est à craindre, sous la forme de légères douleurs. Dans un rapport du 13 décembre 2001, il constate la persistance de douleurs cervicales et l'apparition de paresthésies des membres supérieurs.
Le docteur R._, médecin d'arrondissement de la CNA, a examiné l'assurée le 15 février 2002. Cette dernière lui a fait part de douleurs derrière la nuque, un peu plus fortes lorsqu'elle était fatiguée. Les douleurs descendaient parfois dans le dos, vers les épaules ou le haut de la poitrine; elles disparaissaient avec la prise d'anti-douleurs. Il ressortait par ailleurs de l'anamnèse qu'elle souffrait fréquemment de maux de têtes, sans irritabilité ni modification du caractère, hormis lorsqu'elle avait mal. Au terme de l'examen clinique, et compte tenu également du dossier radiologique à disposition, le docteur R._ a posé le diagnostic de syndrome cervical douloureux; l'assurée présentait des altérations dégénératives préexistantes à l'accident, avec zone de rectitude C5-C7 et un segment hypermobile susjacent en C4-C5, avec léger rétro-listhesis en hypertension. D'après le médecin d'arrondissement, il existait un rapport de causalité naturelle entre les symptômes présentés par l'assurée à l'époque de l'examen et l'accident assuré (rapport du 15 février 2002).
Le 14 septembre 2002, L._ a consulté le docteur B._ en raison de cervicalgies persistantes. Ce médecin a attesté une incapacité de travail jusqu'au 25 septembre 2002 et prescrit un traitement anti-inflammatoire. Pour sa part, le docteur R._ a constaté une chronification des plaintes subjectives de l'assurée lors d'un nouvel examen clinique, pratiqué le 4 août 2003. L._ lui a fait part de douleurs dans la nuque, les épaules, voire jusqu'à la cuisse et la jambe gauche. Le docteur R._ a décrit une pleine capacité de travail; il a considéré que l'assurée souffrait d'une cervicarthrose C5-C7 avec une légère hyper-laxité en C3-C4 compatible avec une atteinte ligamentaire pouvant être mise en rapport avec l'accident. La cervicarthrose était présente avant l'accident, mais asymptomatique, et avait été aggravée par la probable lésion ligamentaire survenue lors de cet événement. Le docteur R._ proposait de fixer le taux d'atteinte à l'intégrité de l'assurée à 7,5 %, par analogie avec le taux moyen pour une ostéochondrose sans symptômes radiculaires, s'accompagnant de douleurs minimes permanentes, même au repos, accentuée par les efforts (rapport du 4 août 2003).
Par décisions des 22 août et 1er septembre 2003, la CNA a alloué à L._ une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 8'010 fr., correspondant à un taux d'atteinte de 7,5 %, et a mis fin à toutes autres prestations d'assurance avec effet dès le 25 août 2003. Elle est par la suite revenue sur la fin du droit aux prestations et a admis son obligation de prendre en charge la suite du traitement médical postérieurement au 25 août 2003 (lettre du 3 décembre 2003 à l'assurée).
Le 8 octobre 2003, l'assurée a consulté le docteur S._, qui a posé les diagnostics de cervicalgies chroniques avec exacerbation post-traumatique le 22 avril 2001, cervicarthrose étagée et discopathie C4-C5, C5-C6 et C6-C7. L._ a également consulté le docteur C._, qui a attesté une incapacité de travail totale dès le 9 mars 2004 en raison de cervicalgies à droite, de douleurs à l'épaule droite et de paresthésies touchant surtout le bras droit (rapport du 8 mars 2004). Le 22 avril 2004, le docteur U._, spécialiste en neurologie, a examiné l'assurée à la demande du docteur R._. D'après lui, l'ensemble des éléments à disposition semblait démontrer que l'assurée souffrait d'une arthrose asymptomatique avant l'accident et que ce dernier avait entraîné une distorsion cervicale. A l'époque de l'examen, le tableau clinique était celui d'une limitation sensible et d'une tendomyogélose cervico-dorsale à laquelle se surajoutaient des troubles sensitivo-moteurs vraisemblablement subjectifs au niveau du membre supérieur droit. L'anamnèse, l'examen clinique et électromyographique (EMG) n'apportaient pas la preuve d'une franche atteinte radiculaire, même s'il était toujours possible qu'existât une discrète souffrance radiculaire C6 sous-jacente aux troubles sensitivo-moteurs subjectifs. Il était également possible qu'une discrète atteinte du nerf médian au niveau du canal carpien expliquât les troubles sensitifs au niveau du pouce. La relation de causalité entre les symptômes présentés et l'accident était douteuse (tout au plus possible; rapport du 22 avril 2004). Le docteur U._ a demandé la mise en oeuvre d'une imagerie par résonance magnétique, dont les résultats ont confirmé son appréciation du 22 avril 2004 : l'assurée présentait des altérations dégénératives disco-vertébrales pluriétagées de C4 à C7, sans compression radiculaire pouvant expliquer ses plaintes; la symptomatologie était essentiellement liée à une tendomyogélose cervico-dorsale (rapport complémentaire du 19 mai 2004). Le 25 mai 2004, le docteur R._ s'est rallié à cette appréciation.
A la demande de la CNA, l'assurée a par la suite séjourné du 13 au 29 octobre 2004 à la Clinique Z._, en vue d'une réadaptation neurologique et d'une évaluation multidisciplinaire. Dans le rapport de synthèse qu'ils ont établi le 15 novembre 2004, les docteurs P._ et V._ ont posé les diagnostics de syndrome somatoforme douloureux persistant et troubles de l'adaptation avec réaction dépressive d'intensité modérée, d'hypertension artérielle et de troubles dégénératifs pluriétagés de la colonne cervicale. Les constatations radiologiques et cliniques ne permettaient pas d'expliquer l'aggravation des symptômes depuis l'année 2004. En particulier, les troubles dégénératifs du rachis cervical pouvaient occasionner des cervicalgies occasionnelles, mais n'expliquaient pas les limitations désormais présentées par l'assurée. Un bilan psychiatrique avait confirmé la présence de troubles de l'adaptation et d'une réaction dépressive modérée, la barrière de la langue rendant toutefois une approche psychothérapeutique difficile.
Par décision et décision sur opposition des 28 janvier et 11 mars 2005, la CNA a mis fin aux prestations, avec effet dès le 31 janvier 2005. Il n'y avait plus, selon elle, de relation de causalité naturelle et adéquate entre les atteintes à la santé présentées par l'assurée et l'événement du 22 avril 2001.
B. L._ a déféré la cause au Tribunal des assurances du canton de Vaud, qui a rejeté le recours par jugement du 22 février 2007.
C. L'assurée interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. En substance, elle conclut à l'octroi d'une rente de l'assurance-accident, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouveau jugement. L'intimée conclut au rejet du recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Invitée à verser une avance de frais, la recourante a demandé un délai supplémentaire afin, soit de payer le montant requis (éventuellement par mensualité), soit de déposer une demande d'assistance judiciaire. Elle a produit plusieurs pièces en vue d'établir son indigence, sans toutefois remplir le questionnaire qui lui avait été adressé à cet effet, tout en payant finalement l'avance de frais qui lui avait été demandée.
Le 11 mars 2008, le Tribunal fédéral a informé les parties du fait qu'il avait précisé la jurisprudence relative aux traumatismes cervicaux ensuite d'un accident de type « coup du lapin », par un arrêt U 394/06 du 19 février 2008, destiné à la publication; il les a invitées à se déterminer si elles le souhaitaient. La recourante a produit un mémoire complémentaire ainsi que trois rapports médicaux établis les 29 octobre 2007 et 4 avril 2008 par la doctoresse L._, médecin associée à l'Hôpital W._, et le 14 avril 2008 par la doctoresse A._, psychiatre. Ces documents ont été communiqués à l'intimée.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente de l'assurance-accidents pour la période courant dès le 31 janvier 2005. Le Tribunal fédéral n'est donc pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
2. 2.1 La recourante invoque une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst), au motif que la juridiction cantonale a refusé de mettre en oeuvre une expertise psychiatrique. Elle soutient que l'expertise réalisée à la Clinique Z._ était insuffisante de ce point de vue, puisqu'il y était constaté que la barrière linguistique rendait une approche psychothérapeutique difficile.
2.2 Ce grief est mal fondé. Contrairement à ce que soutient la recourante, le seul fait que le docteur O._, psychiatre, a constaté, dans le cadre d'un séjour d'une vingtaine de jours à la Clinique Z._, la difficulté d'une approche thérapeutique ne signifie pas que la langue ait constitué un obstacle insurmontable pour constater l'existence de troubles psychiques et poser correctement un diagnostic. Les premiers juges pouvaient considérer que si tel avait été le cas, le docteur O._ l'aurait expressément mentionné dans l'expertise et aurait demandé qu'un traducteur soit mis à sa disposition. Dans cette mesure, ils pouvaient, au terme d'une appréciation anticipée des preuves (cf. ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157, 130 II 425 consid. 2.1 p. 428), tenir pour probant le rapport établi par ce praticien, ainsi que par les docteurs P._ et V._, et renoncer à une mesure d'instruction complémentaire sans violer le droit de la recourante à être entendue.
3. 3.1 Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel ou de maladie professionnelle. Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose notamment entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé un lien de causalité naturelle. Cette condition est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé : il suffit qu'associé éventuellement à d'autres facteurs, il ait provoqué l'atteinte à la santé, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de cette atteinte. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte en question sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait que l'administration ou, le cas échéant, le juge, examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3 p. 406).
3.2 Si l'on peut admettre qu'un accident n'a fait que déclencher un processus qui serait de toute façon survenu sans cet événement, le lien de causalité naturelle entre les symptômes présentés par l'assuré et l'accident doit être nié lorsque l'état maladif antérieur est revenu au stade où il se trouvait avant l'accident (statu quo ante) ou s'il est parvenu au stade d'évolution qu'il aurait atteint sans l'accident (statu quo sine; RAMA 1992 no U 142 p. 75, consid. 4b; Frésard/Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2ème éd., n. 80 p. 865). Le seul fait que des symptômes douloureux ne se sont manifestés qu'après la survenance d'un accident ne suffit pas à établir un rapport de causalité naturelle avec cet accident (raisonnement «post hoc, ergo propter hoc»; cf. ATF 119 V 335 consid. 2b/bb p. 341 sv.; RAMA 1999 no U 341 p. 408 sv., consid. 3b). Il convient en principe d'en rechercher l'étiologie et de vérifier, sur cette base, l'existence du rapport de causalité avec l'événement assuré.
Cela étant, en matière de lésions du rachis cervical par accident de type «coup du lapin», de traumatisme analogue ou de traumatisme cranio-cérébral sans preuve d'un déficit fonctionnel organique, l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident et l'incapacité de travail ou de gain doit en principe être reconnue en présence d'un tableau clinique typique présentant de multiples plaintes (maux de têtes diffus, vertiges, troubles de la concentration et de la mémoire, nausées, fatigabilité, troubles de la vue, irritabilité, dépression, modification du caractère, etc.). Encore faut-il que l'existence d'un tel traumatisme et de ses suites soit dûment attestée par des renseignements médicaux fiables (ATF 119 V 335 consid. 1 p. 337 sv., 117 V 359 consid. 4b p. 360 sv.). La jurisprudence a posé récemment diverses exigences sur les mesures d'instruction nécessaires de ce point de vue. Elle a considéré, en particulier, qu'une expertise pluridisciplinaire est indiquée si l'état de santé de l'assuré ne présente ou ne laisse pas espérer d'amélioration notable relativement rapidement après l'accident, c'est-à-dire dans un délai d'environ six mois (ATF 134 V 109 consid. 9 p. 122 ss).
4. 4.1 Le droit à des prestations d'assurance suppose également, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité adéquate. En cas d'atteinte à la santé physique, ce rapport de causalité adéquate est généralement admis sans autre examen, dès lors que le rapport de causalité naturelle est établi (cf. ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103). En revanche, la jurisprudence a posé plusieurs critères en vue de juger du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident et des troubles d'ordre psychique développés ensuite par la victime. Elle a tout d'abord classé les accidents en trois catégories, en fonction de leur déroulement : les accidents insignifiants ou de peu de gravité (par exemple une chute banale), les accidents de gravité moyenne et les accidents graves. Pour procéder à cette classification, il convient non pas de s'attacher à la manière dont l'assuré a ressenti et assumé le choc traumatique, mais bien plutôt de se fonder, d'un point de vue objectif, sur l'événement accidentel lui-même. En présence d'un accident de gravité moyenne, il faut prendre en considération un certain nombre de critères, dont les plus importants sont les suivants :
- les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident;
- la gravité ou la nature particulière des lésions physiques compte tenu notamment du fait qu'elles sont propres, selon l'expérience, à entraîner des troubles psychiques;
- la durée anormalement longue du traitement médical;
- les douleurs physiques persistantes;
- les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident;
- les difficultés apparues au cours de la guérison et des complications importantes;
- le degré et la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques.
Tous ces critères ne doivent pas être réunis pour que la causalité adéquate soit admise. Un seul d'entre eux peut être suffisant, notamment si l'on se trouve à la limite de la catégorie des accidents graves. Inversement, en présence d'un accident se situant à la limite des accidents de peu de gravité, les circonstances à prendre en considération doivent se cumuler ou revêtir une intensité particulière pour que le caractère adéquat du lien de causalité soit admis (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140, 403 consid. 5c/aa p. 409).
4.2 En cas d'atteintes à la santé sans preuve de déficit organique consécutives à un traumatisme de type «coup du lapin» à la colonne cervicale, un traumatisme analogue ou un traumatisme cranio-cérébral, la jurisprudence apprécie le caractère adéquat du rapport de causalité en appliquant, par analogie, les mêmes critères que ceux dégagés à propos des troubles d'ordre psychique. L'examen de ces critères est toutefois effectué sans faire de distinction entre les composantes physiques ou psychiques : les critères relatifs à la gravité ou à la nature particulière des lésions subies, aux douleurs persistantes ou à l'incapacité de travail sont déterminants, de manière générale, sans référence aux seules lésions ou douleurs physiques (ATF 117 V 359 consid. 6a sv. p. 366 ss; voir également ATF 123 V 98 consid. 2a p. 99; RAMA 2002 n. U 470 p. 531 [U 249/01]). Par ailleurs, toujours en relation avec l'appréciation du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident de type «coup du lapin» et des atteintes à la santé sans preuve de déficit organique, le Tribunal fédéral a précisé que le critère faisant référence au traitement médical était rempli en cas de traitement prolongé spécifique et pénible, que les douleurs prises en considération devaient revêtir une certaine intensité et que l'incapacité de travail devait être importante, en dépit des efforts reconnaissables de l'assuré (ATF 134 V 109 consid. 10 p. 126).
Nonobstant ce qui précède, il convient d'appliquer la jurisprudence exposée au consid. 4.1 ci-avant (ATF 115 V 133 et 403), en particulier en distinguant entre atteintes d'origine psychique et atteintes organiques, même en cas de traumatisme de type «coup du lapin», de traumatisme analogue ou de traumatisme cranio-cérébral, lorsque les troubles psychiques apparus après l'accident constituent clairement une atteinte à la santé distincte et indépendante du tableau clinique consécutif à un traumatisme de ce type (RAMA 2001 n. U 412 p. 79 consid. 2b [U 96/00]; cf. également ATF 134 V 109 consid. 9.5 p. 125 sv.; arrêts 8C_124/2007 du 20 mai 2008, consid. 3.2, et 8C_591/2007 du 14 mai 2008 consid. 3.1).
5. 5.1 La juridiction cantonale a nié que la recourante ait subi un traumatisme de type « coup du lapin » lors de l'accident du 22 avril 2001, dès lors qu'elle n'avait pas présenté un tableau clinique typique d'un tel traumatisme. On ne saurait partager ce point de vue, compte tenu, en particulier, du rapport établi le 22 octobre 2001 par le groupe de travail spécialisé chargé par l'intimée d'analyser l'accident, d'un point de vue biomécanique. Au terme d'un rapport relativement détaillé, les responsables de ce groupe de travail ont exposé que les plaintes de l'assurée à l'époque étaient tout a fait explicables par l'accident subi, compte tenu de son déroulement. La modification de vitesse (delta-v) subie par le véhicule dans lequel se trouvait L._, ensuite d'un choc subi par l'arrière, était de l'ordre de 10 à 15 km/heure, voire légèrement plus élevée. Par ailleurs, la recourante s'est immédiatement plainte de douleurs cervicales et s'est vue prescrire le port d'une collerette cervicale pendant plusieurs mois. Dans cette mesure, le seul fait qu'elle n'a pas présenté d'autres symptômes tels que des troubles de la concentration, une perte de mémoire, des nausées ou des vertiges ne permet pas de nier la survenance d'un traumatisme de type « coup du lapin ».
5.2 Cela ne signifie toutefois pas, contrairement à ce que soutient la recourante, qu'un tel traumatisme explique encore les symptômes présentés lorsque l'intimée a mis fin aux prestations. Sur ce point, les docteurs R._, U._, P._ et V._ sont unanimes à considérer que le tableau clinique constaté en 2004 n'était vraisemblablement plus la conséquence d'un traumatisme par accélération cervicale. La plupart des symptômes dont souffre désormais l'assurée sont apparus et se sont amplifiés dès le milieu de l'année 2003, soit près de deux ans et demi après l'accident, au terme d'une longue période pendant laquelle son état de santé était resté relativement stable. Pour expliquer ces symptômes, les docteurs P._ et V._ ne se sont pas référés à un traumatisme cervical, mais ont fait état de troubles somatoformes douloureux persistants et de troubles de l'adaptation avec réaction dépressive d'intensité modérée. Ils ont précisé avoir constaté une nette discordance entre les plaintes de l'assurée et les constatations cliniques, qui n'avaient révélé aucun syndrome cervical, en particulier aucune contracture de la musculature paracervicale, pourtant décrite comme douloureuse. Les troubles dégénératifs préexistants à l'accident pouvaient provoquer des cervicalgies occasionnelles, mais ne permettaient pas d'expliquer les limitations constatées. Par ailleurs, si une instabilité disco-ligamentaire est encore attestée par le docteur F._, dans un rapport du 30 mars 2004 auquel se réfère la recourante, ce médecin précise qu'il ne se prononce pas sur le point de savoir si une telle atteinte était d'origine accidentelle, entièrement ou partiellement.
La doctoresse L._, à laquelle se réfère la recourante en instance fédérale, pose les diagnostics de cervicarthrose étagée avec discopathies C4/C5, C5/C6 et C6/C7, protrusion discale C4/C5 paramédiane droite, sténose dégénérative des trous de conjugaison C5/C6 et C6/C7 gauches, de dysbalances musculaires et déconditionnement global, ainsi que d'état anxio-dépressif et troubles de l'adaptation. Elle précise que les plaintes de l'assurée sont multiples et tiennent, d'une part, du registre physique, et d'autre part, du registre psychologique. Il s'agit de douleurs au niveau cervical, du rachis dorso-lombaire, du bassin et des membres inférieurs, l'assurée se trouvant « bloquée », vivant avec la crainte de ne plus pouvoir marcher et souffrant de troubles du sommeil et de cauchemars. Comme les docteurs P._ et V._, la doctoresse L._ expose que les lésions dégénératives constatées (cervicarthrose) peuvent entraîner des douleurs, mais que la symptomatologie douloureuse reste subjective et amplifiée par le contexte émotionnel.
5.3 En se fondant sur ces renseignements médicaux, il convient de constater que la recourante souffre de troubles dégénératifs qui ne peuvent expliquer qu'une partie des symptômes qu'elle présente et qui ne sont pas d'origine accidentelle. Elle ne présente pas d'autre atteinte à la santé physique objectivable consécutive à l'accident du 22 avril 2001. Par ailleurs, les docteurs R._, U._, P._ et V._, en particulier, n'attribuent plus les symptômes qu'elle présente à un traumatisme de type «coup du lapin», de sorte qu'il n'y a pas lieu de considérer qu'elle souffre encore, postérieurement au 31 janvier 2005, des séquelles d'un tel traumatisme. En revanche, la recourante présente des troubles psychiques qui constituent clairement une atteinte à la santé indépendante d'éventuelles séquelles d'un tel traumatisme, et qui influencent désormais le tableau clinique de manière déterminante. Dans ces conditions, il convient de laisser ouverte la question du rapport de causalité naturelle entre ces atteintes et l'accident assuré. En effet, même en cas de réponse positive à cette question, il conviendrait de nier le droit aux prestations litigieuses en raison du défaut de causalité adéquate avec l'accident du 22 avril 2001, pour les motifs exposés ci-après.
6. En l'occurrence, compte tenu des troubles psychiques présentés par la recourante, de leur caractère indépendant du traumatisme cervical subi par l'assurée lors de l'accident assuré et de leur influence déterminante sur l'état de santé de l'assuré postérieurement au mois de janvier 2005, il convient d'examiner la question de la causalité adéquate en appliquant la jurisprudence exposée au considérant 4.1 ci-avant. L'accident dont a été victime la recourante était de gravité moyenne, sans être à la limite ni d'un accident grave, ni d'un accident banal, comme l'ont constaté à juste titre les premiers juges. La recourante ne le conteste d'ailleurs pas.
L'accident était relativement impressionnant, mais ne s'est pas déroulé dans des circonstances particulièrement dramatiques. La recourante et les personnes impliquées ont pu sortir des véhicules accidentés par leurs propres moyens et ne présentaient pas de blessures graves. Par la suite, L._ a subi des douleurs à la nuque pendant une longue durée, mais celles-ci étaient légères à modérées et n'ont pas entraîné d'incapacité de travail jusqu'au 9 mars 2004, sauf pendant quinze jours après l'accident, puis pendant onze jours en septembre 2002. L'incapacité de travail due aux séquelles physiques laissées par l'accident a donc été brève. Comme cela ressort des rapports des 22 avril et 19 mai 2004 du docteur U._, du 25 mai 2004 du docteur R._ et du 15 novembre 2004 de la Clinique Z._, l'incapacité de travail attestée par le docteur C._ dès le 9 mars 2004 en raison d'une exacerbation des douleurs ne pouvait plus être expliquée par une atteinte à la santé physique d'origine accidentelle. Enfin, la recourante n'a pas été victime d'une erreur médicale, ni de complications importantes. Les critères posés par la jurisprudence pour établir un rapport de causalité adéquate entre une atteinte à la santé psychique et un accident assuré ne sont donc pas remplis.
7. 7.1 En l'absence de rapport de causalité adéquate entre les symptômes présentés par la recourante pour la période litigieuse et l'accident assuré, ses conclusions sont mal fondées. Les premiers juges pouvaient renoncer à un complément d'instruction, sous la forme d'une nouvelle expertise médicale, et confirmer la décision sur opposition litigieuse.
7.2 La recourante doit en principe supporter les frais judiciaires, vu l'issue du litige (art. 66 al. 1 LTF). Elle a demandé, en cours de procédure, un délai supplémentaire pour payer l'avance de frais qui avait été exigée ou pour déposer une demande d'assistance judiciaire. Dans la mesure où elle a finalement versé cette avance en temps utile, et dès lors qu'elle n'a pas demandé la désignation de son mandataire comme avocat d'office, il convient de considérer que la demande d'assistance judiciaire pour l'instance fédérale est sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 9 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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