Faits:
A.
A la suite d'une agression survenue le 23 décembre 2012, X._ a été interpellé par la police genevoise le 26 décembre 2012 et placé en détention provisoire jusqu'au 20 mars 2013, prévenu de lésions corporelles graves et d'omission de prêter secours. Dès sa première audition de police le 26 décembre 2012, il a bénéficié de l'assistance de Me Y._, qui a été nommé le 27 décembre 2012 avocat d'office. L'assistance judiciaire a également été octroyée au prévenu.
Le 15 janvier 2013, Me Z._ a informé le Ministère public de la République et canton de Genève qu'il était désormais en charge des intérêts de X._. Par ordonnance du 18 janvier 2013, cette autorité a donc révoqué la défense d'office assurée par Me Y._ et relevé celui-ci de ses fonctions d'avocat d'office.
Par requête du 30 mars 2013, Me Z._ a sollicité, au nom de son client, l'octroi de l'assistance judiciaire, ainsi que sa nomination en tant qu'avocat d'office. A l'appui de sa demande, l'avocat a expliqué que son client, toujours incapable de travailler, ne bénéficiait d'aucune indemnité de l'assurance perte de gain et se trouvait ainsi durablement démuni sur le plan financier, ses ressources se limitant à une allocation de logement (237 fr.) et à une rente de la SUVA (428 fr.). Le 2 avril 2013, le Ministère public a refusé cette requête, expliquant qu'il avait immédiatement nommé un avocat d'office au prévenu lors de son arrestation. Le Procureur lui avait également accordé l'assistance judiciaire, compte tenu de la "supposée situation financière précaire du prévenu". Le magistrat a finalement retenu que dès lors que X._ avait voulu changer de mandataire, il avait fait le choix d'une défense privée, assumant les frais y relatifs.
B.
Par jugement du 31 mai 2013, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours intenté par X._ contre l'ordonnance du Procureur. Elle a considéré que les divergences d'appréciation et le souhait de confier à Me Z._ la défense de ses intérêts ne constituaient pas un cas où la défense alors assurée par l'avocat nommé d'office aurait été inefficace; le prévenu n'avait d'ailleurs pas déposé une demande tendant au changement du mandataire d'office. Quant à la situation financière de X._, elle ne s'était pas notablement aggravée depuis le moment où l'avocat d'office avait été relevé.
C.
Par acte du 4 juillet 2013, X._ forme un recours en matière pénale contre cette décision, concluant à son annulation et au renvoi de la cause au Tribunal cantonal pour nouvelle décision au sens des considérants.
Le Ministère public a conclu au rejet du recours. Quant à la juridiction précédente, elle s'est référée aux considérants de sa décision. Le 2 octobre 2013, le recourant a persisté dans ses conclusions, confirmant que sa situation financière était identique à celle indiquée dans son recours.
Considérant en droit:
1.
Le refus de nommer un avocat d'office dans le cadre d'une procédure pénale constitue une décision incidente. Le recours en matière pénale (art. 78 ss LTF) n'est donc recevable que si la décision entreprise est susceptible de causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (ATF 133 IV 335 consid. 4; 129 I 129 consid. 1.1; l'hypothèse de l'art. 93 al. 1 let. b LTF n'entre manifestement pas en en considération).
Si le recourant agit seul devant le Tribunal de céans, il ne prétend pas que Me Z._ aurait résilié son mandat et ne l'assisterait plus dans le cadre de la procédure pénale ouverte à son encontre. Le recourant continue donc de bénéficier de l'assistance de son défenseur choisi (art. 129 CPP; défense privée). Il est en outre incontesté que le recourant, soupçonné notamment de lésions corporelles graves se trouve dans un cas de défense obligatoire (art. 130 let. b CPP), dès lors que l'art. 122 CP prévoit une peine privative de liberté de dix ans au plus. Il en résulte que dans l'hypothèse où son avocat choisi mettrait un terme à son mandat, la direction de la procédure devrait ordonner une défense d'office si le recourant ne désigne pas un autre défenseur privé (art. 132 al. 1 let. a ch. 2 CPP). La défense du recourant est ainsi garantie dans tous les cas de figure. La décision attaquée paraît en conséquence ne pas causer de préjudice irréparable au recourant, à qui il appartenait de le démontrer dès lors qu'il n'était pas manifeste (ATF 136 IV 92 consid. 4 p. 95).
2.
Il s'ensuit que le recours est irrecevable.
Les conclusions du recourant étant dépourvues de chances de succès, sa requête d'assistance judiciaire doit être rejetée. Il supporte donc en principe les frais judiciaires (art. 66 al. 1 1 ère phrase LTF); compte tenu toutefois des circonstances, il se justifie exceptionnellement de statuer sans frais (art. 66 al. 1 2 ème phrase LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 6 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf