Faits:
A. M._, né en 1965, travaillait dans le commerce de voitures. Il a été victime d'un accident de la circulation routière en date du 20 avril 2000. Alléguant souffrir des suites totalement incapacitantes d'un traumatisme de type «coup du lapin», il a requis des prestations de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après : l'office AI) le 27 juillet 2001.
Se référant pour l'essentiel aux mêmes renseignements médicaux que l'office AI a obtenus de l'assureur-accidents, le docteur K._, généraliste traitant, a fait état d'un syndrome douloureux chronique cervico-scapulaire persistant après un accident de type whiplash en avril 2000 et d'une réaction anxio-dépressive marquée dans le cadre d'un état de stress post-traumatique engendrant une incapacité totale de travail depuis le jour de l'accident (rapport du 20 août 2001). Suivant l'appréciation de son médecin-conseil, qui n'avait observé aucune atteinte invalidante à la santé (rapport du 13 novembre 2001), l'administration a nié le droit de l'assuré à des prestations (décision du 14 décembre 2001), malgré les critiques formulées à l'encontre du projet de décision.
Le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (désormais, Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel) a été saisi d'un recours. Il a suspendu la procédure afin que l'office AI puisse compléter l'instruction du dossier par la réalisation d'une expertise. Le docteur V._, psychiatre, a diagnostiqué un épisode dépressif moyen avec syndrome somatique et un syndrome douloureux somatoforme persistant à l'origine d'une incapacité de travail de 60% (rapport du 4 juillet 2007). L'administration a maintenu son appréciation dans la mesure où une comparaison des revenus intégrant le taux d'incapacité mentionné ne donnait droit à aucune prestation. L'intéressé a souligné que le travail de l'expert psychiatre ne tenait pas compte de l'incidence des troubles physiques qui, combinée à celle des affections psychiatriques, empêchait la reprise de toute activité. Jugeant les investigations de l'office AI incomplètes, notamment sur le point de savoir si M._ s'était contenté d'un revenu notablement plus modeste que celui qu'il aurait pu prétendre ou sur l'impact du taux d'incapacité retenu par le docteur V._ sur l'activité habituelle exercée par l'assuré, la juridiction cantonale a admis le recours, annulé la décision litigieuse et renvoyé la cause à l'administration pour complément d'instruction et nouvelle décision (jugement du 2 avril 2003).
Au terme d'une enquête ayant porté sur les salaires réalisés par l'intéressé durant les années qui ont précédé son accident, l'office AI a procédé à une nouvelle comparaison des revenus, dont le résultat (degré d'invalidité de 28%) l'a amené à rejeter la demande de prestations (décision du 21 octobre 2004). Durant la procédure d'opposition qui a suivi, l'administration a confié la réalisation d'un examen pluridisciplinaire à son service médical (SMR). Les docteurs R._, spécialiste en médecine physique et réadaptation, et H._, psychiatre, ont classé tous les troubles observés (hypercholestérolémie, occipito-cervicalgies chroniques sans substrat anatomique et trouble douloureux somatoforme indifférencié, dysthymie) dans les affections sans répercussion sur la capacité de travail (rapport du 27 octobre 2006). En dépit des griefs soulevés par M._, l'administration a rejeté l'opposition (décision du 10 avril 2007).
B. L'assuré a recouru à la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel concluant, en substance, au renvoi de la cause à l'office AI pour que soit prise en compte l'opinion du docteur V._ ou pour que soient réalisées des mesures complémentaires d'instruction dès lors que l'examen effectué par les médecins du SMR, partiaux, n'était pas probant.
La juridiction cantonale a rejeté le recours, considérant pour l'essentiel que les reproches formels énoncés contre le rapport du SMR n'étaient pas fondés et que celui-ci n'était pas valablement mis en doute par les avis divergents, seulement quant à l'impact des troubles diagnostiqués sur la capacité de travail et non quant aux diagnostics en soi, des docteurs K._ et V._ (jugement du 6 mai 2009).
C. L'intéressé interjette dans le même acte un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire à l'encontre de ce jugement. Il en requiert l'annulation et conclut, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une rente d'invalidité ou, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause aux premiers juges pour qu'ils rendent une nouvelle décision au sens des considérants ou pour qu'ils procèdent à des mesures complémentaires d'instruction et rendent une nouvelle décision. Il sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale.
Le Tribunal fédéral a dispensé M._ de l'avance de frais.
L'administration, hors délai, et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours interjeté céans est formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), qui comprend les droits fondamentaux. Il est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF), dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), sans qu'aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF ne soit réalisée. La voie du recours en matière de droit public est dès lors ouverte. Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF).
2. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'examine en principe que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF auquel cas il peut les rectifier ou les compléter d'office (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
3. Dans la mesure où elle aurait privilégié l'avis du SMR au détriment de celui du docteur V._, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir fait abstraction du contenu de son premier jugement, par lequel elle aurait dû être liée, dans lequel il était mentionné que l'appréciation de l'expert psychiatre fixant son incapacité de travail à 60% n'était pas contestable. Il soutient que ce mode de procéder viole le droit cantonal de procédure et est arbitraire (art. 9 Cst.).
3.1 Bien qu'invoqué en relation avec l'art. 118 LTF, qui relève de l'institution du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF), ce grief est recevable dans un recours en matière de droit public dès lors que, si un tel recours ne peut être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier que ladite application est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (cf. notamment ATF 133 III 462 consid. 2.3 p. 466; sur la portée de l'intitulé erroné d'un recours, voir ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 sv. et les références).
3.2 Les autorités inférieures étant liées par les considérants et le dispositif de leur jugement (art. 56 al. 3 de la loi neuchâteloise du 27 juin 1979 sur la procédure et la juridiction administrative [RSN 152.130]), il convient dès lors d'analyser le contenu de l'acte du 2 avril 2003.
Contrairement à ce que prétend l'assuré, l'élément incontestable cité à l'époque par les premiers juges, en relation avec le rapport d'expertise du docteur V._, n'était pas le taux d'incapacité de 60%, mais uniquement la valeur probante du document mentionné. Il apparaît concrètement que la juridiction cantonale avait alors comparé l'appréciation de l'expert psychiatre avec celle de la doctoresse F._, neurologue, ainsi qu'avec celles des docteurs T._ et B._, Service d'orthopédie de l'Hôpital X._, E._ et G._, Centre psycho-social Y._, et O._ et S._, neurologues auprès de la Clinique Z._, en ce qui concernait seulement l'exclusion d'une cause somatique aux troubles dont souffrait le recourant. Une interprétation qui conclurait au caractère incontestable du taux d'incapacité de 60% est impossible dans la mesure où elle se heurterait à une contradiction insurmontable puisque les médecins de l'Hôpital X._ et ceux du Centre psycho-social Y._, notamment, attestaient une incapacité totale de travail. Il ressort de ce qui précède que ni l'office intimé ni les premiers juges n'ont fait preuve d'arbitraire dans l'application du droit cantonal en s'écartant du taux d'incapacité de 60% retenu par le docteur V._. Le recours est donc mal fondé sur ce point.
4. L'assuré fait encore implicitement grief à la juridiction cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu dès lors que ni celle-ci ni l'administration n'auraient exposé les raisons qui les avaient conduites à privilégier les conclusions du SMR par rapport à celles du docteur V._ alors même qu'il avait expressément requis des explications à ce propos à chaque étape de la procédure.
Ce grief n'est pas recevable céans dans la mesure où le Tribunal fédéral n'examine les moyens fondés sur la violation d'un droit constitutionnel que s'ils ont été invoqués et motivés de manière précise conformément à la pratique qui prévalait en matière de recours de droit public (cf. art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF; voir également ATF 130 I 26 consid. 2.1 p. 31, 258 consid. 1.3 p. 261 sv.). Or, l'argumentation développée par le recourant ne fait pas allusion à l'art. 29 al. 2 Cst. ni ne mentionne explicitement une violation du droit d'être entendu.
5. L'assuré reproche enfin aux premiers juges de ne s'être fondés que sur le rapport d'examen du SMR, qui n'avait pas la force probante requise et dont les auteurs avaient fait preuve de partialité.
5.1 D'une manière générale, on constatera que l'avis des médecins du SMR et celui des autres spécialistes consultés sont fondamentalement concordants quant à la nature et l'origine des troubles observés, selon la juridiction cantonale, et que seule l'appréciation de l'effet des affections diagnostiquées sur la capacité de travail du recourant diverge en fonction des praticiens qui ont été interrogés au cours de la procédure. Comme le leur commandait la jurisprudence élaborée en matière d'appréciation des preuves, correctement citée dans le jugement entrepris, les premiers juges ont exposé les motifs qui les ont conduits à préférer les conclusions des médecins du SMR par rapport à celles du docteur K._ ou celles du docteur V._.
5.2 Contrairement à ce que soutient l'assuré qui conteste uniquement l'analyse de l'aspect psychiatrique de son cas par la juridiction cantonale, on ne peut parler de l'élaboration d'une construction alambiquée par cette dernière afin d'évincer l'avis de l'expert psychiatre. En effet, l'argument selon lequel l'autorité administrative et l'autorité judiciaire de première instance étaient liées par les considérants du jugement rendu le 2 avril 2003, qui constatait selon le recourant que l'appréciation chiffrée de la capacité résiduelle de travail par le docteur V._ n'était pas contestable, n'est pas pertinent (cf. consid. 3). Il en va pareillement du raisonnement fondé sur la durée des entretiens ayant permis au docteur H._ (0h45) et au docteur V._ (3x1h30) de réunir les éléments nécessaires à la rédaction de leur rapport. En plus du fait qu'il s'agit d'un point qui a déjà été développé tel quel en première instance, auquel il a été répondu précisément (cf. consid. 5b du l'acte attaqué) et qui ne peut par conséquent pas logiquement remettre en question la réponse des premiers juges du point de vue du devoir d'allégation (art. 42 al. 2 LTF), on ajoutera que d'autres éléments, tels que l'analyse du dossier médical ou l'étude du comportement du recourant durant toute l'expertise, y compris durant l'examen rhumatologique, sont intervenus dans l'évaluation des médecins du SMR. Enfin, si le fait pour la juridiction cantonale d'avoir formellement écarté le travail du docteur V._ au motif qu'il ne s'était pas prononcé sur les critères permettant de juger le caractère invalidant d'un trouble somatoforme douloureux semble discutable, dans la mesure où l'on ne saurait reprocher à un médecin de ne pas avoir pris position sur une liste de critères établis dans un cadre juridique, il n'y a pas lieu d'annuler l'acte attaqué dès lors que les premiers juges ont motivé leur choix d'avantager les conclusions du SMR quant à l'influence des affections diagnostiquées sur la capacité de travail au détriment de celles de l'expert psychiatre sur le même sujet conformément à leurs obligations découlant du principe de la libre appréciation des preuves, qu'ils se sont fondés sur un rapport décrit comme médicalement concordant à celui qu'ils ont formellement écarté et qu'ils ont de toute façon constaté que le docteur V._ n'avait pas mis en évidence la présence d'une comorbidité psychiatrique grave, d'un état psychique cristallisé, d'une affection corporelle chronique ou d'une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie, ce qui n'a pu se faire qu'au terme d'un examen concret du contenu (anamnèse, constatations objectives, appréciation) du rapport d'expertise.
5.3 Pour le surplus, on relèvera que la partialité dont auraient fait preuve les médecins du SMR n'est pas établie. Le fait de ne pas avoir examiné certains éléments n'est pas relevant puisque le juge n'est pas tenu d'exposer et de discuter tous les faits ressortant de l'instruction; il peut effectivement se limiter à retranscrire ceux qui, sans arbitraire, paraissent pertinents pour la solution du litige (cf. ATF 121 I 54 consid. 2c p. 57 et les références). Tel n'est pas le cas du traitement à la Clinique Z._ dès lors que les médecins qui y ont été consultés ont exclu l'existence d'une cause somatique conformément à l'avis de leurs confrères et qu'ils ne se sont pas prononcés sur la capacité de travail. Tel n'est pas le cas non plus de l'absorption de doses plus importantes de médicaments et de la pratique plus fréquente d'injections afin de lutter contre la douleur dès lors que ces éléments ne changent rien aux conclusions médicales et qu'ils ne nécessitent donc pas d'être corroborés par des examens sanguins. On ne saurait pas plus parler d'interprétations abusives lorsque les médecins du SMR évoquent la vie sexuelle ou familiale du recourant. Outre le fait que ces questions n'ont pas eu d'incidence sur leurs conclusions médicales, on relèvera qu'elles illustrent parfaitement les nombreuses contradictions que l'assuré a formulées tout au long de l'instruction du dossier et qu'elles constituent une tentative a posteriori et sans fondement objectif de les corriger. Enfin, on ne voit pas en quoi la recherche d'éléments permettant à la juridiction cantonale de statuer sur l'existence des critères conférant au trouble somatoforme douloureux un caractère invalidant ou de déterminer l'impact des facteurs psychosociaux ou socioculturels constituerait un exercice de dialectique dans la mesure où ce travail lui est imposé par la jurisprudence. Le recours est donc intégralement mal fondé.
6. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF) qui ne peut prétendre des dépens (art. 68 LTF). Toutefois, les conditions auxquelles l'art. 64 al. 1 et 2 LTF subordonne l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées, celle-ci lui est accordée. L'attention de l'assuré est encore attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière de droit public est rejeté.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
4. Les frais judiciaires arrêtés à 500 fr. sont mis à la charge du recourant. Il sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
5. Une indemnité de 2'800 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à Me Vicente Diaz à titre d'honoraires.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 31 décembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Cretton