Erwägungen:
1. X._ bezog von einer Vorsorgestiftung eine Kapitalleistung von Fr. 552'142.34. Hierfür wurde er für die Staats- und Gemeindesteuern 2006 gestützt auf § 37 StG/ZH gesondert mit einer steuerbaren Kapitalleistung aus Vorsorge von Fr. 552'100.-- zum Satz von Fr. 55'200.-- und für die direkte Bundessteuer 2006 gestützt auf Art. 38 DBG gesondert mit einer steuerbaren Kapitalleistung aus Vorsorge von Fr. 552'100.-- (ein Fünftel davon zum Steuersatz 11.343 %, Steuerbetrag von Fr. 12'525.--) veranlagt. Gegen die entsprechenden Veranlagungen gelangte der Steuerpflichtige mit Rekurs und mit Beschwerde an die Steuerrekurskommission I des Kantons Zürich. Deren Präsident vereinigte das Rekurs- und das Beschwerdeverfahren und setzte dem Betroffenen mit Verfügung vom 16. März 2009 Frist, um die Kosten beider Verfahren durch einen Vorschuss von Fr. 4'500.-- sicherzustellen. X._ stellte am 6. April 2009 unter Hinweis auf die angeblich mangelhafte Eröffnung der Kostenvorschussverfügung ein Ausstandsbegehren gegen den Präsidenten der Rekurskommission I und den mitwirkenden juristischen Sekretär. Die Steuerrekurskommission I trat mit Beschluss vom 17. Juni 2009 auf das Ausstandsbegehren nicht ein und wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab. Diesen ihm am 13. Juli 2010 eröffneten Beschluss focht X._ am 21. September 2009 beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich an. Mit Entscheid vom 3. Februar 2010 wies dieses die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern ab, soweit es darauf eintrat. Mit Beschluss vom gleichen Tag trat es auf die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer wegen Verspätung nicht ein. In beiden Fällen lehnte es das auch für das verwaltungsgerichtliche Verfahren gestellte Begehren um unentgeltliche Prozessführung ab.
X._ reichte am 29. April 2010 beim Bundesgericht gegen beide Erkenntnisse des Verwaltungsgerichts ein als "National wirksame Self-executing-Völkerrecht-Beschwerde" bezeichnetes Rechtsmittel ein.
Mit Schreiben des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 7. Mai 2010 wurde der Beschwerdeführer auf Mängel seiner Rechtsschrift hingewiesen (ungebührliche Äusserungen über verschiedene Personen, gemessen am durch die angefochtenen Entscheide vorgegebenen begrenzten Streitthema übermässige Weitschweifigkeit); gestützt auf Art. 42 Abs. 5 und 6 BGG wurde ihm Frist bis 20. Mai 2010 zur Einreichung einer verbesserten Rechtsschrift angesetzt. Am 25. Mai 2010 ging beim Bundesgericht eine vom 20. Mai 2010 datierte modifizierte Rechtsschrift des Beschwerdeführers ein.
2. Die zwei bundesgerichtlichen Verfahren weisen einen engen Zusammenhang auf. So stehen sich die gleichen Verfahrensbeteiligten gegenüber. Es rechtfertigt sich daher, die Verfahren 2C_373/2010 und 2C_374/2010 zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu entscheiden (vgl. Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 24 BZP; BGE 128 V 192 E. 1 S. 194 mit Hinweisen).
3. 3.1 Rechtsschriften haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Gerügt werden kann die Verletzung von schweizerischem Recht (Art. 95 BGG). Dazu gehören namentlich Bundesrecht und verfassungsmässige Rechte. Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. sich zumindest rudimentär mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen. Die Rüge, Grundrechte seien verletzt worden, bedarf besonderer Geltendmachung und spezifischer Begründung (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Ungebührliche Rechtsschriften können unter Ansetzung einer angemessenen Frist zur Änderung zurückgewiesen werden, versehen mit der Androhung, dass die Rechtsschrift sonst unbeachtet bleibe (Art. 42 Abs. 5 und 6 BGG). Keine Nachfrist ist anzusetzen zur Verbesserung von Rechtsschriften, die den vorerwähnten Begründungsanforderungen nicht genügen; eine formgerechte Beschwerde ist dem Bundesgericht grundsätzlich innert der gesetzlichen Beschwerdefrist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1 BGG) vorzulegen.
3.2 Die Rechtsschrift vom 29. April 2010 enthielt Äusserungen wie "Zürcher Todesdirektion", "vorsätzliche Regierungs- und RichterIn-kriminalität", "lächerlichste Justizterroristen", "hochleistungskriminelles, vorsätzlich menschenrechtswidriges (...) Verhalten". Dass es sich dabei um im Sinne von Art. 42 Abs. 6 BGG ungebührliche Äusserungen handelt und eine verbesserte Rechtsschrift einverlangt werden durfte, bedarf keiner näheren Erläuterung. Nur die zweite, vom 20. Mai 2010 datierte Rechtsschrift ist zu berücksichtigen.
3.3 Die Beschwerde betreffend Staats- und Gemeindesteuern (Entscheid SB.2009.00092) hat das Verwaltungsgericht insofern für unzulässig erklärt, als die Rekurskommission I dem Beschwerdeführer die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands verweigerte (E. 1.2 letzter Satz des Entscheids). Abgewiesen hat es sie, soweit die Rekurskommission I auf das Ausstandsbegehren nicht eingetreten ist (E. 2.2 und 2.3) und soweit sie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen bzw. auf der Leistung eines Prozesskostenvorschusses beharrt hat (E. 3). Auf die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer (Beschluss SB.2009.00093) ist es mit der Begründung nicht eingetreten, dass diese verspätet erhoben worden sei, weil sie nicht innert 30 Tagen seit Eröffnung des Beschlusses der Rekurskommission I beim Verwaltungsgericht eingereicht worden sei; im Rechtsmittelverfahren betreffend die direkte Bundessteuer gelte, anders als für die kantonalen Steuerstreitigkeiten, der Friststillstand vom 10. Juli bis und mit 20. August nicht (E. 1 des vorinstanzlichen Nichteintretensbeschlusses).
Inwiefern diese Erwägungen des Verwaltungsgerichts respektive sein Entscheid bzw. sein Beschluss im Ergebnis schweizerisches Recht verletzt haben könnten, lässt sich den Ausführungen des Beschwerdeführers auch im Ansatz nicht entnehmen. Seine Eingaben genügen den gesetzlichen Begründungsanforderungen gemäss Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG offensichtlich nicht (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), weshalb auf die Beschwerde(n) und die damit verbundenen zahlreichen Anträge mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
4. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren des Beschwerdeführers abzuweisen (Art. 64 BGG). Damit sind ihm dem Verfahrensausgang entsprechend die Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 65 und 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Die Verfahren 2C_373/2010 und 2C_374/2010 werden vereinigt.
2. Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Kammer, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juli 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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