Faits:
A. Le 1er mai 2001, X._ est entré au service de C._ SA, à Genève, en qualité de directeur (chief operating officer) membre de la direction générale. En contrepartie de son activité, le contrat prévoyait un salaire de base, une indemnité pour frais de représentation, un bonus et un bonus complémentaire.
Ce contrat fut modifié par avenant du 18 décembre 2001, avec effet rétroactif au jour de l'entrée en service. Le salaire annuel était désormais fixé à 1'500'000 fr., y compris une indemnité pour frais de représentation; aucun bonus n'était plus prévu. Un contrat de partenariat était alors en préparation et serait proposé au directeur; ce contrat aurait également effet rétroactif.
Le contrat de travail fut encore modifié par avenant du 30 juin 2003, avec effet dès le lendemain. Deux tiers de la rémunération antérieure, soit 1'000'000 de francs, demeureraient acquis au directeur; un bonus maximum de 500'000 fr. lui serait versé « en tout ou partie, d'année en année, en fonction du niveau d'atteinte des objectifs fixés pour son secteur de responsabilité, dans le budget annuel de la banque pour la période considérée ».
Par lettre du 25 mars 2004, C._ SA informa le directeur qu'elle lui accordait un bonus de 225'000 fr. « pour l'associer aux résultats atteints en 2003 » grâce à son « engagement personnel et à la performance de [sa] PME/Unité ». Ce bonus était, selon l'employeuse, dépourvu de tout « caractère obligatoire et répétitif », et il était octroyé « à bien plaire ». Le directeur reçut simultanément un « bonus complémentaire » de 25'000 francs.
Le contrat de travail fut résilié par C._ SA le 10 septembre 2004, avec effet au 30 septembre 2005. Dès le 1er octobre 2004, le directeur fut libéré de son obligation de travailler.
B. A._ SA est l'actionnaire principal de B._ SA, laquelle détient tout le capital-actions de C._ SA.
Un plan d'intéressement fut élaboré par A._ SA et proposé au directeur en mars 2003, puis, dans une version nouvelle, en juin de la même année.
Le directeur adhéra par écrit à ce plan, en même temps qu'il accepta, le 30 juin 2003, le deuxième avenant à son contrat de travail. Il acquit ainsi cent dix mille actions de B._ SA au prix de 54 fr.18 l'unité, au moyen d'un prêt de C._ SA dont le remboursement serait garanti par ces mêmes titres. Ceux-ci demeureraient de toute manière bloqués durant six ans, soit jusqu'au 30 juin 2009. Si les rapports de travail prenaient fin, pour une cause quelconque, avant l'expiration du blocage, le directeur et A._ SA pourraient, l'un ou l'autre, exiger le rachat de toutes les actions par cette dernière.
Deux prix étaient définis pour ce rachat: le prix de base et le prix d'exercice. Le prix de base correspondrait au prix d'acquisition, diminué des dividendes reçus par le directeur et augmenté des intérêts payés par lui sur le capital emprunté; en conséquence, il ne subirait aucune perte et il ne réaliserait non plus aucun bénéfice. Le prix d'exercice correspondrait à la valeur intrinsèque des actions à l'époque du rachat, déterminée d'après les comptes les plus récents de B._ SA.
Le plus bas de ces deux prix serait applicable à toutes les actions si, par suite de la fin des rapports de travail, le rachat était exigé avant le 1er juillet 2005.
Le plus bas des deux prix serait appliqué à la moitié des actions, et le prix d'exercice à l'autre moitié, si le rachat était exigé après le 30 juin 2005 mais avant le 1er juillet 2006.
Le plus bas des deux prix serait appliqué au quart des actions, et le prix d'exercice aux trois autres quarts, si le rachat était exigé après le 30 juin 2006 mais avant le 1er juillet 2007.
Le prix d'exercice serait appliqué à toutes les actions si le rachat était exigé après le 30 juin 2007.
Pendant la durée du blocage, le dividende attribué aux actions était affecté au paiement des intérêts et au remboursement du prêt.
Le 17 octobre 2005, A._ SA fit savoir qu'en raison de la fin des rapports de travail, elle rachetait la moitié des cent dix mille actions au prix de base de 29 fr.61, et l'autre moitié au prix d'exercice de 70 fr.19. Le prix de rachat total s'élevait à 5'488'851 fr.52; sur ce montant, C._ SA préleva 4'373'460 fr. pour remboursement du solde qui lui était encore dû.
C. Le 3 juillet 2006, X._ a ouvert action contre C._ SA devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. La défenderesse devait être condamnée à lui payer 3'107'048 fr.50, soit 500'000 fr. à titre de bonus pour l'année 2004, 375'000 fr. à titre de bonus pour l'année 2005, et 2'232'048 fr.50 à titre de participation au plan d'intéressement. Ces trois montants devaient porter intérêts au taux de 5% par an, respectivement dès le 31 décembre 2004, le 30 septembre 2005 et le 28 octobre 2005.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action.
Le tribunal s'est prononcé le 29 juin 2007; il a rejeté l'action.
La Cour d'appel a statué le 2 octobre 2008 sur l'appel du demandeur; elle a confirmé le jugement.
D. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur saisit le Tribunal fédéral de conclusions semblables à celles déjà prises devant le Tribunal de prud'hommes et la Cour d'appel.
La défenderesse conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Il est formé par une partie qui a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF). Introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours est en principe recevable.
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); en règle générale, les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2. Le demandeur revendique le bonus maximum de 500'000 fr. prévu par l'avenant au contrat du 30 juin 2003, en entier pour l'année 2004 et pro rata temporis pour l'année 2005. Il fait valoir que les secteurs dont il assumait la responsabilité, dans l'entreprise de la défenderesse, ont pleinement respecté les montants prévus pour les frais généraux et les investissements de ces secteurs, selon le budget annuel auquel il était fait référence dans l'avenant, de sorte que, à suivre son argumentation, le contrat n'autorise la défenderesse à aucun refus ni à aucune réduction de ce bonus.
La Cour d'appel constate que la défenderesse attendait du demandeur, en particulier, la mise en place et la surveillance de structures adéquates pour limiter les mauvaises exécutions de prestations fournies aux clients, et, ainsi, limiter les pertes consécutives à ces dysfonctionnements. En 2003, la défenderesse avait subi des pertes de ce genre au total de 558'000 fr.; le défendeur avait pour objectif de réduire, ou même éviter totalement ces pertes en 2004; or, elles s'étaient au contraire aggravées pour atteindre 1'760'000 francs. Selon la Cour, cette évolution négative justifiait de n'accorder aucun bonus pour la période du 1er janvier au 30 septembre 2004. Dans la période subséquente, jusqu'à la fin des rapports de travail, le demandeur ne travaillait plus et il ne contribuait donc plus à la réalisation des objectifs fixés par la défenderesse; cela justifiait aussi le refus du bonus.
Le litige porte d'abord sur l'interprétation de l'avenant du 30 juin 2003: le demandeur soutient que seuls des objectifs quantitatifs, exprimés dans le budget annuel, pouvaient influencer l'évaluation du bonus. Subsidiairement, en tant que des objectifs qualitatifs pouvaient aussi entrer en considération, le demandeur affirme qu'il a pleinement fourni ce qui était attendu de lui. A ce sujet, il reproche à la Cour d'appel d'avoir constaté arbitrairement les faits déterminants et d'avoir violé son droit d'être entendu en omettant d'apprécier et de discuter certaines des preuves offertes par lui.
D'après les conclusions présentées, le recours porte aussi sur le refus de tout bonus pour l'année 2005, mais le demandeur ne tente pas d'expliquer pourquoi il aurait dû recevoir cette prestation alors qu'il ne travaillait plus. Sur ce point, le recours est donc irrecevable au regard de l'art. 42 al. 1 LTF, faute de motivation.
3. Il est constant que les parties se sont liées par un contrat de travail et que la défenderesse s'est obligée à payer au demandeur, outre le salaire qui lui était dû selon l'art. 322 al. 1 CO, la gratification éventuellement convenue selon l'art. 322d CO.
3.1 Une gratification se distingue du salaire en ceci qu'elle dépend au moins partiellement du bon vouloir de l'employeur. Si la gratification n'est pas convenue, il s'agit d'une prestation entièrement facultative. En l'absence d'un accord explicite, la gratification est considérée comme convenue lorsque l'employeur l'a versée durant plus de trois années consécutives sans en réserver, par une déclaration adressée au travailleur, le caractère facultatif; néanmoins, l'employeur conserve une certaine liberté dans la fixation du montant à allouer (ATF 131 III 615 consid. 5.2 p. 621).
3.2 Confronté à un litige sur l'interprétation d'une convention, le juge doit tout d'abord s'efforcer de déterminer la commune et réelle intention des parties, sans s'arrêter aux expressions ou dénominations inexactes dont elles ont pu se servir, soit par erreur, soit pour déguiser la nature véritable de la convention (art. 18 al. 1 CO). S'il y parvient, le juge procède à une constatation de fait qui ne peut être contestée, en instance fédérale, que dans la mesure restreinte permise par l'art. 97 al. 1 LTF (cf. ATF 131 III 606 consid. 4.1 p. 611; 129 III 618 consid. 3 p. 620, 129 III 664 consid. 3.1 p. 667). Déterminer ce que les parties savent ou veulent au moment de conclure relève en effet de la constatation des faits (ATF 131 III 606, ibidem; 128 III 419 consid. 2.2 p. 422).
Si le juge ne parvient pas à établir la commune et réelle intention des parties, il lui incombe d'interpréter leurs déclarations et comportements selon la théorie de la confiance. Il doit rechercher comment une déclaration ou une attitude pouvait être comprise de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances (ATF 132 III 24 consid. 4 p. 27/28). Le principe de la confiance permet d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même si celui-ci ne correspond pas à sa volonté intime (ATF 131 III 606 consid. 4.1 p. 611; 130 III 417 consid. 3.2 p. 424; 129 III 118 consid. 2.5 p. 123, 664 consid. 3.1 p. 667). L'application du principe de la confiance est une question de droit que le Tribunal fédéral examine librement. Pour résoudre cette question de droit, il doit cependant se fonder sur le contenu de la manifestation de volonté concernée et sur les circonstances dans lesquelles elle est intervenue, points qui relèvent du fait (ATF 132 III 24 consid. 4 p. 28; 131 III 606 consid. 4.1 p. 611; 130 III 417 consid. 3.2 p. 425).
3.3 En ce qui concerne spécialement l'appréciation des preuves et la constatation des faits, une décision est arbitraire, donc contraire à l'art. 9 Cst., lorsque l'autorité ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier l'issue de l'affaire, lorsqu'elle se trompe manifestement sur le sens ou la portée d'une preuve, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle parvient à des constatations insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1).
3.4 Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. confère à toute personne le droit de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, d'avoir accès au dossier, d'offrir des preuves quant aux faits de nature à influer sur la décision, de participer à l'administration des preuves et de se déterminer à leur propos (ATF 129 II 497 consid. 2.2 p. 504; 127 I 54 consid. 2b p. 56; 126 I 97 consid. 2b p. 102). Cette garantie inclut le droit à l'administration des preuves valablement offertes, à moins que le fait à prouver ne soit dépourvu de pertinence ou que la preuve apparaisse manifestement inapte à la révélation de la vérité. Par ailleurs, le juge est autorisé à effectuer une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles et, s'il peut admettre de façon exempte d'arbitraire qu'une preuve supplémentaire offerte par une partie serait impropre à ébranler sa conviction, refuser d'administrer cette preuve (ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428; 125 I 417 consid. 7b p. 430).
L'art. 29 al. 2 Cst. confère également le droit d'exiger, en principe, qu'une décision soit motivée. Cette garantie-ci tend à donner à la personne touchée les moyens d'apprécier la portée du prononcé et de le contester efficacement, s'il y a lieu, dans une instance supérieure. Elle tend aussi à éviter que l'autorité ne se laisse guider par des considérations subjectives ou étrangères à la cause; elle contribue, par là, à prévenir une décision arbitraire. L'objet et la précision des indications que l'autorité doit fournir dépend de la nature de l'affaire et des circonstances particulières du cas. Néanmoins, en règle générale, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée, sans qu'elle soit tenue de répondre à tous les arguments présentés (ATF 112 Ia 107 consid. 2b p. 109; voir aussi ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88; 133 III 439 consid. 3.3 p. 445).
4. Le demandeur se prévaut d'une lettre qu'il a lui-même adressée à l'autre partie le 19 mai 2003, au cours des pourparlers qui ont précédé la conclusion de l'avenant au contrat de travail et de la convention relative au plan d'intéressement. La demandeur revenait sur l'issue d'un récent entretien et espérait obtenir un « salaire de 1'000'000 de francs par an et [un] bonus de 500'000 fr. par an, le bonus étant lié au budget de la banque [et] donc réduit si le budget n'est pas atteint (plus ou moins 10%) ». Il affirme que cet écrit exprimait la réelle et commune intention des deux cocontractants, et que la Cour d'appel a violé les art. 9 Cst. et 18 al. 1 CO en omettant de constater ce fait et de retenir l'engagement correspondant des parties.
Rien n'indique que le 30 juin 2003, lors de la conclusion de l'avenant, la volonté de la défenderesse portât sur la formule précitée plutôt que sur le texte effectivement signé. On peut en revanche admettre que le demandeur, lui, souhaitait obtenir une promesse correspondant à ladite formule. La Cour d'appel retient donc sans arbitraire qu'il n'existait pas de volonté commune aux deux parties. Pour le surplus, il s'impose de mettre en oeuvre le principe de la confiance: le demandeur ayant finalement signé l'avenant, la défenderesse a pu croire de bonne foi que son cocontractant se ralliait à ce texte et renonçait à obtenir une stipulation différente au sujet du bonus. C'est donc l'avenant qui est décisif au regard de l'art. 18 al. 1 CO.
Il reste à élucider la portée du budget annuel auquel l'avenant faisait référence. Le demandeur était responsable des secteurs ressources humaines, risques, services généraux (« supports ») et contrôle financier. Il admet que ceux-ci n'apportaient directement aucun revenu à la défenderesse et que, du point de vue d'un résultat à atteindre, le budget ne leur assignait aucun objectif. Il admet aussi que la défenderesse attendait de ces mêmes secteurs une meilleure surveillance des activités exercées dans l'entreprise, avec l'élimination des pertes qui survenaient par suite d'erreurs dans les prestations à la clientèle. Il insiste en particulier, dans son argumentation, sur les erreurs du département des fonds de placement (fund desk) qui lui étaient reprochées de façon « particulièrement virulente » déjà au premier semestre de 2003. Dans ce contexte, à la signature de l'avenant, le demandeur n'a pas pu croire de bonne foi que la défenderesse lui promettait un bonus de 500'000 fr. sans aucun égard à l'efficacité des services placés sous sa direction, et à la seule condition que le budget soit respecté quant aux frais généraux et aux investissements dans ces services. Au contraire, la Cour d'appel applique sainement le principe de la confiance en retenant que des aspects extérieurs au budget pouvaient aussi intervenir dans l'évaluation du bonus. Compte tenu que celui-ci dépendait d'une appréciation de l'employeuse, il s'agissait d'une gratification aux termes de l'art. 322d CO.
Le demandeur ne conteste pas que les pertes entraînées par des erreurs non décelées se soient accrues d'environ 560'000 fr., en 2003, à plus de 1'700'000 fr. l'année suivante. Au regard de ce résultat très défavorable, conformément à l'opinion de la Cour d'appel, la défenderesse n'avait aucune obligation d'accorder un bonus pour cette année-ci. Le demandeur allègue que les difficultés du département des fonds de placement étaient bien antérieures à son entrée en fonction et qu'il a mis en oeuvre des mesures aptes à y remédier. Sur la base de l'art. 29 al. 2 Cst., il fait grief à la Cour d'appel de n'avoir pas administré les preuves offertes à ce sujet et, dans sa décision, de n'avoir pas discuté son argumentation. Or, compte tenu que l'aggravation des pertes, en 2004, suffit manifestement à justifier le refus du bonus, la Cour d'appel n'a aucunement violé cette disposition constitutionnelle en se dispensant d'étudier les autres éléments que le demandeur prétendait apporter au débat.
Le demandeur se prévaut aussi vainement du bonus que l'autre partie lui a accordé pour l'année 2003. Il est possible que la défenderesse lui ait alors consenti une prestation excédant ce à quoi elle s'était obligée aux termes de l'avenant conclu le 30 juin 2003; de toute manière, cette prestation est demeurée unique et elle n'a donc pas pu devenir une gratification convenue selon la jurisprudence relative à l'art. 322d CO.
5. A titre de participation au plan d'intéressement, le demandeur réclame à peu près la différence, sur cinquante-cinq mille actions de B._ SA, entre le prix d'exercice de 70 fr.19 et le prix de base de 29 fr.61. Il fonde cette prétention sur l'art. 323b al. 3 CO, aux termes duquel les accords sur l'utilisation du salaire dans l'intérêt de l'employeur sont nuls. Cette disposition est hors de cause car le demandeur n'a acquis aucune des cinquante-cinq mille actions avec des deniers qu'il aurait reçus en contrepartie de son travail; en effet, l'opération était entièrement financée par un prêt de la banque employeuse, dont les conditions d'intérêts et de remboursement, correspondant aux conditions du marché des capitaux, n'étaient pas spécialement favorables. Le prêt n'était pas non plus remboursable avec des prélèvements à opérer sur le salaire. Certes, en relation avec son entrée dans le plan d'intéressement, le demandeur a accepté une réduction de son salaire annuel de 1'500'000 fr. à 1'000'000 de francs, et sans doute espérait-il compenser cette diminution, à son avantage, avec le dividende et une plus-value des actions. Néanmoins, son adhésion au plan n'a rien de comparable avec un accord sur l'utilisation du salaire, lequel était partiellement remplacé, désormais, par une participation aux profits de l'entreprise. Les prétentions ou expectatives d'un actionnaire, alors même que celui-ci se trouve simultanément employé par la société ou le groupe, ne sont pas soumises aux règles du contrat de travail.
6. Le recours se révèle privé de fondement, dans la mesure où les conclusions présentées sont recevables. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Le demandeur acquittera un émolument judiciaire de 15'000 francs.
3. Le demandeur versera une indemnité de 17'000 fr. à la défenderesse, à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 11 février 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin