Faits:
A. Durant le sommet du G8 qui s'est tenu à Evian en France du 1er au 3 juin 2003, diverses manifestations ont eu lieu à Genève.
Le 1er juin 2003, un défilé a été organisé entre le Jardin anglais et la douane de Thônex-Vallard. Après la dissolution de la manifestation, certains participants sont retournés en ville. X._, photographe de presse de nationalité britannique, vêtu d'habits de couleur sombre et d'un foulard, s'est mêlé à des manifestants qui se trouvaient près du poste de police de Rive, rue Adrien-Lachenal.
Dans une situation confuse, un groupe de casseurs a commencé à démonter une palissade qui entourait un chantier à proximité du poste de police précité. D'autres manifestants, dont certains avaient le visage dissimulé, ont entrepris d'ériger une barricade sur la rue Adrien-Lachenal. De là, ils ont ensuite lancé des projectiles sur des policiers qui se trouvaient alignés en haut de la rue, sur la Place Guyenot.
Afin de disperser ces groupes, la police a tiré, après sommation, des grenades détonantes. Une partie des manifestants s'est engagée en courant dans l'escalier qui monte de la rue Adrien-Lachenal à la rue de Villereuse. Cet escalier est composé de deux volées de cinq à six marches chacune.
X._, resté sur les lieux jusqu'à l'ultime limite, a été le dernier du groupe à s'enfuir, alors que les policiers lançaient des grenades détonantes. Il a été atteint au mollet par un projectile qui, lancé en l'air en direction du haut de l'escalier, a explosé à proximité immédiate de sa jambe, alors qu'il venait de rejoindre le niveau de la rue de Villereuse. Il a été transporté à "l'Hôpital cantonal" où il a subi deux interventions. Son traitement s'est poursuivi ultérieurement à Londres.
X._ a réclamé la réparation de son dommage au Département de justice, police et sécurité du canton de Genève, qui a considéré que la responsabilité de l'Etat n'était pas engagée.
B. Le 20 mai 2005, X._ a assigné l'Etat de Genève en paiement de 85'275 fr. plus intérêts à titre de réparation du dommage subi à la suite de la lésion corporelle précitée.
Par jugement du 6 décembre 2007, le Tribunal de première instance du canton de Genève a constaté que la responsabilité de l'Etat de Genève était engagée (ch. 1 du dispositif), retenu une importante faute concomitante de X._ (ch. 2 du dispositif) et réservé la suite de la procédure relativement à la détermination du dommage (ch. 3 du dispositif).
L'Etat de Genève a formé un appel en concluant à l'annulation du jugement de première instance et à la constatation que sa responsabilité n'était pas engagée. X._ a formé un appel incident, en concluant à l'annulation du chiffre 2 du dispositif du jugement attaqué et à la constatation qu'il n'avait pas commis de faute concomitante.
Par arrêt du 17 octobre 2008, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a annulé le jugement du 6 décembre 2007 puis, statuant à nouveau, elle a constaté que la responsabilité de l'Etat de Genève n'était pas engagée et débouté X._ de toutes ses conclusions.
C. Le 26 novembre 2008, X._ a interjeté un "recours de droit public" au Tribunal fédéral contre l'arrêt de la Cour de justice du 17 octobre 2008. Il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué, à la constatation que la responsabilité de l'Etat de Genève est engagée et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour qu'elle confirme le jugement du 6 décembre 2007, dans la mesure où il établit la responsabilité de l'Etat de Genève, et pour qu'elle statue sur l'appel incident ainsi que sur les frais et dépens de la procédure cantonale. X._ requiert par ailleurs l'assistance judiciaire et la désignation comme avocat d'office de Me Raymond de Morawitz, auprès duquel il déclare élire domicile.
La Cour de justice se réfère aux considérants de l'arrêt entrepris. L'Etat de Genève conclut à la confirmation de l'arrêt attaqué, avec suite de frais et dépens.
D. Le 20 novembre 2009, la Cour de céans a délibéré sur le présent recours en séance publique.
Considérant en droit:
1. 1.1 La présente cause, qui porte sur l'éventuelle responsabilité de l'Etat de Genève à l'égard du recourant, relève du droit public. Sous réserve des décisions relatives à la responsabilité de l'Etat pour les activités médicales, qui peuvent exceptionnellement faire l'objet d'un recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. b LTF en relation avec l'art. 31 al. 1 let. d du règlement du 20 novembre 2006 du Tribunal fédéral [RTF; RS 173.110.131], les litiges en matière de responsabilité de l'Etat doivent être portés devant le Tribunal fédéral par la voie du recours en matière de droit public (art. 82 let. a et 86 al. 1 let. d LTF en relation avec l'art. 30 al. 1 let. c ch. 1 RTF). Il importe peu que, sur le plan cantonal, la compétence relève des autorités judiciaires civiles (cf. ATF 133 III 462 consid. 2.1 p. 465; arrêt 2C_25/2008 du 18 juin 2008 consid. 1.1, in SJ 2008 I p. 481).
1.2 La voie de droit mentionnée à la fin de l'arrêt attaqué, conformément à l'art. 112 al. 1 let. d LTF, n'est pas correcte, dans la mesure où elle précise qu'un recours en matière civile pourrait être interjeté au Tribunal fédéral. Cette fausse indication est cependant sans conséquence pour le recourant, qui s'est lui-même trompé en intitulant son mémoire "recours de droit public" (au lieu de "recours en matière de droit public"). En effet, selon la jurisprudence, l'intitulé erroné d'un recours n'influence pas sa recevabilité, à condition que l'écriture réponde aux exigences de la voie de droit appropriée (cf. ATF 133 I 300 consid. 1.2 p. 302 s.), ce qui est le cas en l'espèce.
1.3 L'arrêt entrepris constate que la responsabilité de l'Etat n'est pas engagée et déboute le recourant de toutes ses conclusions. Il s'agit ainsi d'une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). La valeur litigieuse minimale de l'art. 85 al. 1 let. a LTF est par ailleurs dépassée. Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celui-ci (art. 89 al. 1 LTF), le présent mémoire, envisagé comme un recours en matière de droit public, est en principe recevable.
2. 2.1 Lorsqu'il vérifie l'application du droit, le Tribunal fédéral se fonde sur les faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer ceux-ci que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire selon l'art. 9 Cst. (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Celui qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière arbitraire doit le démontrer par une argumentation précise conforme aux exigences accrues de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF, qui valent en particulier pour le grief d'arbitraire (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 III 638 consid. 2 p. 639 s.; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287 s.).
2.2 Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c à e LTF), les dispositions cantonales ne peuvent pas être attaquées comme telles devant le Tribunal fédéral (art. 95 LTF a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que l'application qui en a été faite viole le droit fédéral, par exemple la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels (cf. ATF 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils satisfont aux exigences de motivation qualifiées prévues à l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 243 consid. 1.4.2 p. 254).
3. 3.1 Dans le canton de Genève, la responsabilité de l'Etat est régie par la loi genevoise du 24 février 1989 sur la responsabilité de l'Etat et des communes (LREC; RS/GE A 2 40). En vertu de l'art. 2 al. 1 LREC, l'Etat de Genève et les communes du canton sont tenus de réparer le dommage résultant pour des tiers d'actes illicites commis soit intentionnellement, soit par négligence ou imprudence par leurs fonctionnaires ou agents dans l'accomplissement de leur travail. Comme le relève la Cour de justice, il ressort du texte de loi que la disposition précitée institue une responsabilité pour faute (cf. THIERRY TANQUEREL, La responsabilité de l'Etat sous l'angle de la loi genevoise sur la responsabilité de l'Etat et des communes du 24 février 1989, SJ 1997 p. 355), qui implique la réalisation des quatre conditions cumulatives suivantes: un acte illicite commis par un agent ou un fonctionnaire, une faute de la part de celui-ci, un dommage causé à un tiers et un lien de causalité (naturelle et adéquate) entre l'acte illicite et le dommage. Ces conditions correspondent à celles qui figurent à l'art. 41 CO. L'art. 2 LREC fait du reste partie des dispositions que l'art. 6 LREC déclare expressément "soumises aux règles générales du code civil suisse appliquées à titre de droit cantonal supplétif".
3.2 L'application du code civil suisse à titre de droit cantonal supplétif n'oblige en principe pas le juge administratif à interpréter les normes concernées comme elles le sont en droit privé; il peut tenir compte des spécificités du droit public (cf. PIERRE MOOR, Droit administratif, vol. I, 2e éd. 1994, p. 151 n. 2.4.2.1). En outre, le renvoi au droit fédéral ne change rien à la nature cantonale des normes de responsabilité en cause (cf. ATF 126 III 370 consid. 5 p. 372; 79 II 424 consid. 1 p. 432), si bien que le Tribunal fédéral ne peut en contrôler l'application que sous l'angle restreint de l'arbitraire ou d'autres droits constitutionnels, ce qu'il n'examine pas d'office (cf. supra, consid. 2.2; arrêt 4A_235/2009 du 13 octobre 2009 consid. 3.2).
4. Il ressort de l'arrêt attaqué que le recourant a subi une atteinte à son intégrité corporelle lors des événements du 1er juin 2003. La Cour de justice a par ailleurs admis, suivant en cela l'appréciation du premier juge, l'existence d'un acte illicite, car l'emploi qui avait été fait de la grenade détonante ayant blessé le recourant n'était pas conforme aux prescriptions d'utilisation ni, partant, au principe de précaution. La grenade avait en effet été jetée en l'air, alors que de tels engins devaient, en raison de leur masse, être lancés "vers le bas", soit en direction du sol, afin d'éviter au maximum les risques de blessures. Examinant ensuite l'existence d'un lien de causalité entre l'acte illicite et la blessure du recourant, les juges cantonaux ont certes reconnu un lien de cause à effet entre le jet de la grenade et la blessure occasionnée au recourant. En vertu de la théorie de l'objection du comportement de substitution licite, ils ont toutefois retenu que, si la grenade avait été lancée correctement, soit au ras du sol et non pas en l'air, le dommage se serait tout de même produit, dès lors que l'impact et l'explosion à l'origine de la blessure avaient eu lieu au sol. Par conséquent, faute de lien de causalité naturelle, la responsabilité de l'Etat de Genève ne pouvait être engagée.
5. Le recourant fait valoir qu'en concluant à l'absence de causalité naturelle, les juges cantonaux seraient tombés dans l'arbitraire et auraient adopté un raisonnement juridique erroné. Il soutient en particulier que l'objection du comportement de substitution licite a été admise en contradiction manifeste avec la situation de fait.
5.1 Selon la conception généralement admise en droit privé - et implicitement reprise par la Cour de justice -, un fait est la cause naturelle d'un résultat s'il en constitue l'une des conditions sine qua non. En d'autres termes, il existe un lien de causalité naturelle entre deux événements lorsque, sans le premier, le second ne se serait pas produit. Il n'est pas nécessaire que l'événement considéré soit la cause unique ou immédiate du résultat. L'existence d'un lien de causalité naturelle entre le fait générateur de responsabilité et le dommage est une question de fait que le juge doit apprécier selon la règle du degré de vraisemblance prépondérante (ATF 133 III 462 consid. 4.4.2 p. 470 et la jurisprudence citée). Il y a toutefois violation du droit si l'autorité cantonale méconnaît le concept même de causalité naturelle (ATF 122 IV 17 consid. 2c/aa p. 23).
5.2 Il ressort de la jurisprudence que la théorie du comportement de substitution licite ("rechtmässiges Alternativverhalten") peut, dans certaines circonstances, être invoquée pour démontrer l'absence de causalité entre le dommage et l'acte illicite. Elle revêt le caractère d'une objection, par laquelle le défendeur à l'action en responsabilité fait valoir que le dommage serait également survenu s'il avait agi conformément au droit (cf. ATF 131 III 115 consid. 3.1 p. 119; 122 III 229 consid. 5a/aa p. 233 s.; arrêts 2C_147/2007 du 23 janvier 2008 consid. 8.1 et 4C.156/2005 du 28 septembre 2005 consid. 3.5.6, in SJ 2006 I p. 221).
Comme le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de le constater (cf. ATF 122 III 229 consid. 5a/aa p. 233 in fine et s.), il n'y a pas unanimité en doctrine sur la nature et la portée exactes de cette objection, en particulier lorsque l'illicéité n'est pas due à une simple omission, mais résulte d'un acte positif de l'auteur. Un courant doctrinal nie même la possibilité d'invoquer l'objection du comportement de substitution licite dans une telle hypothèse, compte tenu du but préventif prioritaire de la norme violée. D'autres auteurs estiment qu'il faut rattacher cette objection à l'examen de la causalité naturelle voire du dommage. Quant à la majorité de la doctrine, elle propose de l'envisager plutôt sous l'angle de la causalité adéquate, en lien avec le but protecteur ("Schutzzweck") de la norme violée ou par rapport à la relation existant entre le comportement contraire au droit et le dommage subséquent (relation d'illicéité; "Rechtswidrigkeitszusammenhang") (cf. les auteurs mentionnés dans l'ATF 122 III 229 précité, en particulier BERNHARD STUDHALTER, Die Berufung des präsumtiven Haftpflichtigen auf hypothetische Kausalverläufe, thèse Zurich 1995, p. 186 et 205 ss; plus récemment, voir aussi HEINZ REY, Ausservertragliches Haftpflichtrecht, 4e éd. 2008, n. 648 s.; FRANZ WERRO, L'objection du comportement de substitution licite: de son utilité et de sa place, in Les causes du dommage, 2007, p. 60 ss). Selon Werro, qui rattache plutôt l'examen du comportement de substitution licite à la question de la causalité naturelle, il n'y a pas place pour cette objection lorsque le rapport de cause à effet entre l'acte illicite et le préjudice est clairement établi et qu'il ne résulte pas seulement de la vraisemblance (WERRO, op. cit., p. 71 et 73).
Le Tribunal fédéral a surtout examiné l'objection du comportement de substitution licite en lien avec des actes illicites résultant d'une omission. Il a alors abordé le problème par rapport à la causalité naturelle, si ce n'est expressément du moins implicitement, notamment en relation avec le consentement hypothétique du patient (cf. ATF 133 III 121 consid. 4.1.3 p. 129 s.; 122 III 229 consid. 5a/aa p. 234; 117 Ib 197 consid. 5 p. 206 ss). En outre, il a admis la prise en compte de l'objection du comportement de substitution licite en lien avec la violation positive de contrats, dans le cadre de l'examen de la causalité naturelle (arrêts 4C.322/1998 du 11 mai 1999 consid. 2 et 4C.217/1988 du 24 avril 1990 consid. 3c). Récemment, il a encore envisagé la possibilité d'opposer cette objection en matière de responsabilité délictuelle (faux certificat médical), toujours sous l'angle de la causalité naturelle, mais a finalement estimé que la question ne se posait pas dans le cas d'espèce, car le défendeur ne l'avait pas soulevée (cf. arrêt précité 4C.156/2005 du 28 septembre 2005 consid. 3.5.6). En matière pénale, il a évoqué cette objection en relation avec le but protecteur de la norme violée, tantôt dans le cadre de l'examen de la causalité naturelle (cf. ATF 133 IV 158 consid. 6.1 p. 167 s.), tantôt sous l'angle de la causalité adéquate (cf. arrêt 6B_60/2008 du 23 avril 2008, consid. 2.2).
5.3 En l'espèce, l'acte reproché à l'Etat de Genève ne consiste pas en une omission, mais en une action, et l'existence d'un lien de cause à effet entre le lancer de la grenade en hauteur, suivi de son explosion, et les blessures du recourant a été établie. Peu importe qu'une partie de la doctrine se refuse à appliquer l'objection du comportement de substitution licite dans de telles circonstances (cf. supra, consid. 5.2 deuxième alinéa, en particulier in fine), car cette question n'a de toute façon pas à être examinée ici. Elle relève en effet du droit cantonal supplétif (art. 6 LREC), dont le Tribunal fédéral ne peut revoir l'application que sous l'angle de l'arbitraire et pour autant que le principe de l'allégation des griefs soit respecté (cf. supra, consid. 2.2 et 3.2). Or, en ce qui concerne l'objection du comportement de substitution licite, le recourant reproche uniquement aux juges cantonaux de s'être fondés sur une constatation arbitraire des faits. En revanche, il ne soulève le grief d'arbitraire ni quant au principe de cette objection ni quant à ses conditions d'application.
5.4 Une constatation de fait est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. lorsqu'elle se trouve clairement en contradiction avec la situation réelle, qu'elle repose sur une erreur manifeste ou qu'elle est dénuée de toute justification objective (ATF 133 III 393 consid. 7.1 p. 398 et la jurisprudence citée). En outre, pour que la décision critiquée soit annulée, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable, il faut encore qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 134 I 263 consid. 3.1 p. 266 et la jurisprudence citée).
5.5 Sur la base d'un film versé au dossier, la Cour de justice a constaté que, bien que la grenade détonante ayant blessé le journaliste eût été lancée en hauteur, l'impact et l'explosion avaient eu lieu au sol. Elle en a déduit que si l'engin avait été jeté au sol, conformément aux instructions d'utilisation et au principe de précaution, il y aurait également eu risque que la grenade explosât dans les membres inférieurs du recourant, soit comme en l'espèce au niveau du mollet. Autrement dit, les juges cantonaux ont estimé que si la grenade détonante avait été utilisée correctement, la même blessure aurait pu survenir. En application de l'objection du comportement de substitution licite, apparemment analysée en lien avec le but protecteur de la norme violée (cf. arrêt attaqué, consid. 2.2.3 in fine en relation avec le consid. 2.2.4), la Cour de justice a conclu à l'absence de causalité naturelle entre le comportement reproché à l'Etat de Genève et l'atteinte subie par le recourant.
Un tel résultat est arbitraire. En effet, la Cour de justice a raisonné dans l'abstrait, retenant que, comme le recourant avait été blessé au mollet, une grenade détonante lancée à terre lui aurait causé la même blessure. Or, selon les faits retenus dans l'arrêt attaqué - confirmés par le film sur lequel se sont fondés les juges cantonaux -, lorsqu'il a été atteint par la grenade lancée en l'air dans sa direction, le recourant avait fini de gravir en courant les deux volées de marches de l'escalier séparant les rues Adrien-Lachenal et de Villereuse, et il se trouvait en amont des forces de police situées au bas de l'escalier. Il est inconcevable, dans un tel contexte, qu'une grenade lancée à terre, conformément aux prescriptions de sécurité, eût pu franchir les deux volées de marches de l'escalier pour atteindre le sol au niveau de la rue de Villereuse, que le recourant venait de rejoindre. L'Etat de Genève l'admet du reste lui-même dans sa réponse au recours (p. 5), lorsqu'il indique: "..., il est évident que pour atteindre le sol au sommet des escaliers où se trouvaient les manifestants, dès lors que les policiers qui lançaient les grenades se trouvaient au bas desdits escaliers, ceux-ci ont dû lancer les grenades détonantes vers le haut; ...". Par conséquent, en retenant que, si la police avait lancé les grenades au sol, conformément aux prescriptions de sécurité, le recourant aurait tout de même été blessé, les juges cantonaux ont apprécié les faits de façon insoutenable. Cette constatation a influencé le résultat de l'arrêt attaqué, car elle a conduit la Cour de justice à nier, de manière arbitraire, l'existence d'un lien de causalité naturelle entre le lancer de la grenade détonante et la blessure du recourant, et à débouter ce dernier de sa demande.
5.6 Par conséquent, le recours doit être admis et l'arrêt attaqué annulé, la cause étant renvoyée à la Cour de justice (art. 107 al. 2 LTF), afin qu'elle réexamine, à la lumière de ce qui précède et des normes applicables, l'éventuelle responsabilité de l'Etat de Genève.
Dans ce cadre, les juges cantonaux tiendront compte, dans la mesure utile, des griefs qui ont été soulevés par les parties (dans l'appel et l'appel incident), mais n'ont pas été traités en raison de l'issue du litige.
6. Les frais judiciaires seront mis à la charge de l'Etat de Genève, dont l'intérêt patrimonial est en cause (art. 66 al. 1 et 4 LTF). Le recourant a droit à des dépens, supportés par l'Etat de Genève (art. 68 al. 1 LTF), ce qui rend sans objet sa demande d'assistance judiciaire.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. L'arrêt de la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève du 17 octobre 2008 est annulé.
2. La cause est renvoyée à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge de l'Etat de Genève.
4. L'Etat de Genève versera au recourant une indemnité de 5'000 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 20 novembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Müller Dupraz