Faits:
A. P._, née en 1988, est assurée depuis le 1er janvier 1996 auprès d'Assura, assurance maladie et accident (ci-après: Assura) pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie.
Le 28 novembre 2006, la prénommée a informé Assura qu'elle entendait résilier son contrat d'assurance au 31 décembre 2006 afin de pouvoir changer d'assureur. Elle s'est acquittée par la même occasion de la somme de 345 fr. 95 correspondant aux primes dues pour la période courant du 13 août au 31 décembre 2006.
Par décision du 8 février 2007, confirmée sur opposition le 3 avril suivant, Assura a refusé la résiliation, motif pris qu'il subsistait un solde impayé résultant du contrat d'assurance de 2'434 fr. 65 correspondant à différents arriérés de primes et de participations aux coûts, ainsi qu'à des frais de rappel et de poursuites.
B. Par jugement du 3 juillet 2007, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé par l'assurée contre la décision sur opposition du 3 avril 2007.
C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande la réforme, en ce sens qu'il soit constaté qu'elle n'est pas débitrice des montants échus antérieurement à sa majorité et que son contrat d'assurance a été valablement résilié au 31 décembre 2006. Elle assortit son recours d'une demande d'assistance judiciaire.
Assura conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. 2.1 Se fondant sur l'art. 64a al. 4 LAMal, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a jugé que l'intimée était en droit de refuser la résiliation du contrat d'assurance, puisque la recourante ne s'était pas acquittée de l'entier de ses arriérés de primes et de participations aux coûts échus au moment de la résiliation.
2.2 La recourante estime pour sa part que l'intimée n'est pas fondée à lui réclamer le paiement desdites sommes, du moment qu'elles ont été échues pendant sa minorité, période où seule sa mère en était la débitrice, conformément aux art. 276 ss CC. Elle ajoute par ailleurs qu'il serait parfaitement inéquitable d'imposer à un enfant devenu majeur le remboursement d'arriérés échus durant sa minorité, alors même qu'il ne pouvait exercer durant cette période aucune influence sur le contenu du contrat d'assurance.
3. 3.1 En dérogation de l'art. 7 LAMal, l'assuré en retard de paiement ne peut pas changer d'assureur tant qu'il n'a pas payé intégralement les primes ou les participations aux coûts arriérées ainsi que les intérêts moratoires et les frais de poursuite (art. 64a al. 4 LAMal).
3.2 En leur qualité de représentants légaux (art. 304 CC), les parents sont tenus selon la loi d'assurer leurs enfants pour les soins en cas de maladie (art. 3 al. 1 LAMal), en concluant, à leur nom et pour leur compte, un contrat d'assurance avec l'assureur de leur choix. Sont débiteurs à l'égard de l'assureur non seulement l'enfant mineur, en sa qualité de preneur d'assurance, mais également les parents, à titre solidaire, dès lors que les cotisations d'assurance et les participations aux coûts relèvent des besoins courants de la famille au sens de l'art. 166 CC (arrêt K 142/95 du 29 mai 1996, consid. 3b in fine et la référence; voir également arrêt K 132/01 du 18 février 2002, consid. 3b/bb). La responsabilité solidaire des parents prend fin de plein droit à la majorité de l'enfant concerné. Les assureurs n'en demeurent pas moins libres de poursuivre l'enfant pour les coûts échus avant sa majorité, la solidarité parentale ne libérant pas l'enfant de sa propre responsabilité à l'égard de l'assureur (RAMA 2000 n° KV 129 p. 232, consid. 2b, K 5/00; voir également Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2ème éd., Bâle 2007, p. 745, n. 1021 sv.).
3.3 Les art. 276 et 277 CC ont pour but de déterminer l'objet, l'étendue et la durée du devoir d'entretien des père et mère dans le cadre des effets généraux de la filiation. Ces dispositions ne permettent en revanche pas de tirer des conclusions quant au point de savoir qui est le débiteur à l'égard d'un assureur des cotisations d'assurance, cette question ne pouvant être tranchée qu'au regard des dispositions légales, statutaires et contractuelles régissant le rapport d'assurance. Ce n'est en particulier pas à l'assureur - pas plus qu'au juge des assurances sociales - qu'il appartient de dire jusqu'à quelle date les père et mère de la personne assurée sont tenus d'assumer son entretien et, notamment, de pourvoir au paiement de ses cotisations d'assurance. Cette question concerne exclusivement la personne assurée et ses père et mère et doit, le cas échéant, être tranchée par le juge civil (RAMA 2000 n° KV 129 p. 232, consid. 2b, K 5/00).
4. Sur le vu de ce qui précède, la recourante est personnellement débitrice des arriérés de cotisations d'assurance et de participations aux coûts résultant de l'exécution du contrat d'assurance conclu en sa faveur par sa mère alors qu'elle n'était encore que mineure. C'est ainsi à bon droit que l'intimée s'est opposée, conformément à l'art. 64a al. 4 LAMal, au changement d'assureur, dès lors que la recourante ne s'était pas acquittée intégralement des sommes échues durant sa minorité au moment de la résiliation du contrat.
5. On ajoutera pour le surplus que la minorité de la recourante ne constituait pas un obstacle absolu à la conclusion par elle-même d'un nouveau contrat d'assurance. Si le mineur n'a pas l'exercice des droits civils (art. 17 CC), il peut néanmoins s'obliger par ses propres actes, lorsque son représentant légal y consent (art. 19 al. 1 CC). Qui plus est, l'acte accompli par le mineur sans le consentement (préalable) de son représentant légal n'est pas frappé de nullité absolue; il est au contraire valable (avec effet ex tunc) si le représentant légal le ratifie après coup ou si le mineur acquiert entre-temps l'exercice des droits civils (Henri Deschenaux/Paul-Henri Steinauer, Personnes physiques et tutelle, 4ème éd., Berne 2001, n. 255, p. 78).
6. La recourante, qui succombe, devrait en principe supporter les frais judiciaires de la présente procédure (art. 66 al. 1 1ère phrase LTF). Compte tenu des circonstances, il sera exceptionnellement renoncé à les percevoir (art. 66 al. 1 2ème phrase in fine LTF), ce qui rend la demande d'assistance judiciaire sans objet. Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 25 avril 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Piguet