Faits:
A. X._ est propriétaire de quatre bien-fonds de la commune de Conthey, classés en zone de mayens par le plan d'affectation communal approuvé le 10 juin 1997 par le Conseil d'Etat du canton du Valais.
Au mois de février 2004, le propriétaire a reçu l'autorisation d'y transformer et agrandir un mayen où il vit durant toute l'année avec sa famille; les abords immédiats de ce bâtiment sont aménagés en pelouses, terrasses et accès pour véhicules.
Dès le 20 mars 2008, le propriétaire est entré en pourparlers avec l'autorité communale afin d'obtenir l'autorisation de construire une remise a proximité du mayen. Se référant au règlement applicable, l'autorité envisageait d'autoriser une modeste remise qui n'excéderait pas 15 m3, ce que le propriétaire tenait pour insuffisant au regard de ses besoins. L'autorité n'était pas disposée à accorder une dérogation. En définitive, le 7 décembre 2009, elle a autorisé une remise carrée de 2m50 de côté, haute de 2m40 au faîte, totalisant 13 m3 75; la demande correspondante avait été publiée et elle n'avait pas suscité d'opposition.
B. Le 23 février 2010, la police municipale a constaté la présence d'une remise en bois style « chalet », de 4m54 par 3m05, pourvue d'un couvert long de 3m64.
Le 11 mars suivant, l'autorité communale a ordonné la modification de cet ouvrage afin de le rendre conforme à l'autorisation de construire déjà délivrée; le propriétaire pouvait toutefois introduire une nouvelle demande destinée à régulariser le bâtiment existant. X._ a présenté une nouvelle demande le 9 avril 2010; il a fait valoir que l'ordre de remise en état ne répondait à aucun intérêt public et qu'une dérogation se justifiait en considération des besoins d'une habitation occupée durant toute l'année et des nécessités d'une activité viticole annexe. Il a également fait valoir que le territoire communal comportait de nombreuses constructions illégales.
Le 19 mai 2010, l'autorité communale a confirmé l'ordre de remise en état et elle a assigné au propriétaire un nouveau délai d'exécution. Elle considérait que les couverts et autres installations fixes sont interdits en zone de mayens et que celle-ci n'est destinée ni à l'habitation permanente ni au dépôt de matériel viticole.
X._ ayant recouru au Conseil d'Etat, la commune a admis qu'elle aurait dû se prononcer formellement sur la demande de régularisation présentée le 9 avril 2010. Elle l'a fait par décision du 22 septembre 2010; elle a alors confirmé l'ordre de remise en état.
X._ a derechef saisi le Conseil d'Etat, lequel a rejeté le recours le 28 septembre 2011.
La Cour de droit public du Tribunal cantonal a rejeté le recours ultérieur du propriétaire le 30 mars 2012.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du Tribunal cantonal en ce sens que la demande de régularisation introduite le 9 avril 2010 soit accueillie. A titre subsidiaire, le recourant demande d'être autorisé à conserver la remise existante, sans le couvert.
La commune de Conthey a conclu au rejet du recours; les autorités cantonales ont renoncé à présenter des observations.
Invité à prendre position, l'Office fédéral du développement territorial propose au Tribunal fédéral de déclarer les autorités communales incompétentes au motif que la construction se trouve hors de la zone à bâtir; pour le surplus, il propose « au minimum » la confirmation de l'ordre de remise en état.
Ayant pris connaissance de cet avis, le recourant et la commune de Conthey ont persisté dans leurs conclusions respectives.
Considérant en droit:
1. En règle générale, le recours en matière de droit public est recevable contre les décisions des autorités cantonales de dernière instance rendues dans des causes de droit public (art. 82 let. a, 86 al. 1 let. d LTF). La décision présentement attaquée est susceptible de ce recours.
2. Le propriétaire visé par un ordre de remise en état a qualité pour recourir selon l'art. 89 al. 1 LTF.
En tant que la contestation porte sur l'application du droit fédéral de l'aménagement du territoire, l'Office fédéral du développement territorial a également qualité pour recourir selon les art. 89 al. 2 let. a LTF et 48 al. 4 de l'ordonnance sur l'aménagement du territoire (OAT; RS 700.1). C'est pourquoi le recours lui a été transmis pour prise de position, conformément à l'art. 102 al. 1 LTF.
La loi sur le Tribunal fédéral ne prévoit pas de recours joint; en conséquence, l'autorité fédérale ainsi consultée n'est pas autorisée à proposer, dans ses conclusions, des modifications de la décision attaquée de plus grande ampleur ou différentes de celles réclamées par la ou les parties recourantes (Bernard Corboz, in Commentaire de la LTF, 2009, nos 29, 33 et 34 ad art. 102 LTF).
En l'espèce, le recours est dirigé contre un ordre de remise en état. L'autorisation communale du 7 décembre 2009, relative à une construction de 2m50 de côté, indique le résultat auquel les travaux exigés doivent aboutir. Le Tribunal fédéral peut évidemment rejeter le recours, le cas échéant pour les motifs avancés par l'Office fédéral, mais il ne saurait modifier l'ordre de remise en état en ce sens que les travaux devraient aboutir à la suppression complète de toute construction, sans égard à l'autorisation communale. Cette mesure n'entrerait en considération que si l'Office fédéral avait lui aussi recouru contre l'arrêt du Tribunal cantonal et pris les conclusions correspondantes. Sous ce point de vue, il est sans importance que l'autorisation communale soit éventuellement nulle, selon l'opinion de l'Office fédéral, faute de compétence de l'autorité qui l'a délivrée.
En revanche, dans le cadre des conclusions présentées par le recourant, le Tribunal fédéral peut éventuellement annuler l'ordre de remise en état au motif que les autorités l'ayant émis sont incompétentes.
3. Dans sa teneur d'origine, l'art. 25 al. 2 de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700) prévoyait que l'autorisation ou l'approbation d'une autorité cantonale était nécessaire pour toute autorisation exceptionnelle de construire hors de la zone à bâtir (RO 1979 1573). Dans sa teneur actuelle, en vigueur depuis le 1er septembre 2000, cette disposition prévoit que pour tous les projets de construction situés hors de la zone à bâtir, l'autorité cantonale compétente décide s'ils sont conformes à l'affectation de la zone ou si une dérogation peut être accordée. Une simple autorisation communale est donc insuffisante; le cas échéant, s'il n'apparaît pas que cette décision puisse être confirmée ou approuvée par l'autorité cantonale compétente, elle est entachée de nullité absolue (ATF 111 Ib 213 consid. 5b p. 220; arrêt 1A.17/1992 du 4 décembre 1992, consid. 2b, RDAF 1993 p. 313; voir aussi ATF 132 II 21 consid. 3.2 p. 27).
L'Office fédéral expose qu'en raison de ses caractéristiques, la zone de mayens délimitée par le plan d'affectation communal de Conthey n'est pas une zone à bâtir aux termes de l'art. 15 LAT. L'Office mentionne notamment que la collectivité publique n'y assume pas d'obligation d'équipement et que les constructions, loin de former un tissu bâti, s'y trouvent dispersées dans un vaste territoire utilisé par l'agriculture. En conséquence, l'Office estime que cette zone est soumise à l'art. 25 al. 2 LAT et que les autorités communales ne sont donc compétentes ni pour délivrer des autorisations de construire ni pour intimer des ordres de remise en état.
Selon la jurisprudence relative à l'art. 24 LAT, cette disposition-ci exige en principe le rétablissement de l'état antérieur des lieux en cas de travaux réalisés sans autorisation hors de la zone à bâtir, et elle constitue la base légale d'un ordre de remise en état (ATF 111 Ib 213 consid. 6c p. 225/226). Le droit fédéral ne fixe pas de règles particulières concernant la compétence d'ordonner la remise en état; en particulier, il n'exclut pas que le droit cantonal puisse éventuellement prévoir une compétence concurrente des autorités communales. L'exclusion d'une compétence communale ne ressort en tous cas pas explicitement de l'art. 25 al. 2 LAT et on ne peut donc pas, comme l'Office fédéral semble le faire, assimiler simplement les ordres de remise en état aux autorisations de construire. L'Office ne tente pas d'expliquer pourquoi la compétence communale devrait être tenue pour implicitement exclue.
En conséquence, il n'est pas nécessaire d'examiner si la zone de mayens est ou n'est pas une zone à bâtir selon l'art. 15 LAT. Même dans la négative, l'ordre de remise en état présentement contesté n'est pas celui d'une autorité incompétente au regard de l'art. 25 al. 2 LAT. De plus, à supposer que l'autorisation communale du 7 décembre 2009 ne puisse pas recevoir l'approbation cantonale et qu'elle se révèle donc nulle au regard du droit fédéral, on a vu que la Cour de céans ne peut de toute manière pas modifier l'ordre de remise en état au détriment du recourant.
4. L'autorité communale a refusé d'autoriser une construction d'un volume supérieur à 15 m3. Le recourant affirme que cette limite ne repose sur aucune base légale ou réglementaire et qu'il est arbitraire de la fixer de manière générale et abstraite, sans tenir compte des circonstances particulières à chaque cas.
En règle générale, d'après l'art. 95 LTF, le recours au Tribunal fédéral n'est pas recevable pour violation du droit cantonal ou communal. En tant que la partie recourante invoque la protection contre l'arbitraire conférée par l'art. 9 Cst., il lui incombe d'indiquer de façon précise en quoi la décision attaquée présente un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; 133 II 396 consid. 3.2 p. 400; 136 II 489 consid. 2.8 p. 494). En l'occurrence, le recourant aurait dû désigner précisément les dispositions de la loi cantonale ou du règlement communal qui imposaient de manière certaine, le cas échéant, d'autoriser aussi une construction excédant 15 m3. Son argumentation est à cet égard lacunaire, donc irrecevable.
5. D'après la décision attaquée, l'ordre de remise en état est fondé sur l'art. 51 de la loi cantonale sur les constructions. Le recourant ne met pas en doute la pertinence de cette base légale. Il invoque surtout le principe de la proportionnalité consacré par les art. 5 al. 2 et 36 al. 3 Cst. Il fait valoir que l'autorité compétente doit éventuellement renoncer à exiger la remise en état lorsque la construction illégale ne présente que des divergences mineures par rapport à l'ouvrage que l'autorité pourrait autoriser d'après les règles applicables (ATF 132 II 21 consid. 6 p. 35).
Le Tribunal cantonal retient sans plus de précision que la remise construite à proximité du mayen présente des dimensions « bien supérieures » à celles autorisées , « [dépassant] largement la limite de 15 m3 tolérée par les autorités communales pour ce type de constructions ».
Le recourant fait état de dimensions (longueurs des côtés et hauteur au faîte) qui ne ressortent pas de la décision attaquée, et qui ne s'inscrivent donc pas dans les constatations de fait déterminantes d'après l'art. 105 al. 1 LTF.
Certes, le recourant se plaint de constatations manifestement inexactes; ce moyen est en principe recevable selon l'art. 97 al. 1 LTF. En particulier, le recourant se plaint de graves erreurs dans le constat de police du 23 février 2010. Il omet cependant de désigner les pièces du dossier sur la base desquelles l'autorité précédente aurait pu ou dû constater les dimensions qu'il prétend conformes à la vérité. Il a fait établir un plan de situation le 14 mai 2012, soit après que le Tribunal cantonal eut statué, et il produit ce document devant le Tribunal fédéral. Or, contrairement à son opinion, cette preuve nouvelle est irrecevable au regard de l'art. 99 al. 1 LTF. Si le recourant entendait arguer d'une comparaison entre les dimensions exactes de la construction réalisée et celles de l'ouvrage autorisé, ce qu'il ne paraît pas avoir fait devant les autorités précédentes, il lui incombait d'alléguer ces dimensions et d'offrir les preuves correspondantes en temps utile selon le droit cantonal de procédure; ce procédé est tardif devant le Tribunal fédéral.
Le recourant échoue ainsi à mettre en évidence une violation du principe de la proportionnalité.
6. Devant le Tribunal cantonal, le recourant a revendiqué l'égalité de traitement sur la base de vingt-trois cas qu'il a désignés, dans lesquels l'autorité communale avait prétendument autorisé ou toléré des constructions illégales dans la zone de mayens; à titre de moyen de preuve, il a réclamé la production des dossiers administratifs correspondants. Le tribunal a rejeté cette réquisition de preuves. Il a retenu que seize de ces cas, pour divers motifs, n'étaient pas pertinents. Dans six autres cas, la commune de Conthey avait fourni des explications que le recourant a contestées; pour le dernier cas, la commune ne s'est pas expliquée. Le tribunal n'a pas enquêté davantage sur ces sept cas; il a jugé qu'ils ne dénotaient de toute manière ni une pratique de l'autorité, constante et clairement affirmée, tendant à ne pas faire respecter les prescriptions applicables à la zone de mayens, ni la volonté de l'autorité de persister dans cette pratique à l'avenir. Le tribunal a ainsi rejeté le moyen tiré de la garantie constitutionnelle de l'égalité de traitement.
En instance fédérale, le recourant tient le rejet de son offre de preuve pour contraire au droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. Il expose qu'il n'a pas pu vérifier les explications avancées par l'autorité communale et que « seule la production des différents dossiers aurait permis un examen sérieux d'une pratique constante et clairement affirmée » de cette autorité. Il est vrai que l'art. 8 al. 1 Cst. permet d'exiger, dans certaines conditions, aussi l'égalité de traitement dans l'illégalité (ATF 136 I 65 consid. 5.6 p. 78), mais cette règle n'oblige pas pour autant les organes de la justice administrative à entreprendre des investigations systématiques, approfondies et contradictoires dans le but de découvrir d'hypothétiques manquements à la loi. En l'occurrence, le Tribunal cantonal s'est prononcé de manière suffisante et concluante sur le moyen qui lui était soumis. De surcroît, le recourant se plaint d'une application prétendument arbitraire de la législation valaisanne sur l'accès du public aux documents officiels mais son argumentation est là aussi lacunaire.
Le Tribunal cantonal a également rejeté des réquisitions de preuve tendant à l'interrogatoire des parties et à l'inspection des lieux. Selon le recourant, ces mesures probatoires auraient notamment permis aux juges de « se rendre compte de l'emprise effective et de l'utilisation de la construction litigieuse ». Or, compte tenu que d'autres preuves étaient présentes au dossier et que cette affaire de construction illégale ne se distinguait pas notablement de celles dont les tribunaux connaissent habituellement, le Tribunal cantonal a pu renoncer sans arbitraire auxdites mesures. Sur ce point encore, sa décision est donc compatible avec l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428).
7. Le recours se révèle privé de fondement, dans la mesure où les griefs présentés sont recevables. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral. Conformément à l'art. 68 al. 3 LTF, il n'est pas alloué de dépens à la commune de Conthey.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Le recourant acquittera un émolument judiciaire de 3'000 francs.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la commune de Conthey, au Conseil d'Etat et au Tribunal cantonal du canton du Valais, et à l'Office fédéral du développement territorial.
Lausanne, le 25 mars 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le juge présidant: Aemisegger
Le greffier: Thélin