Faits:
A. A.a Dès octobre 1993, T._ a travaillé en qualité de gérant de magasin au service de la société X._ SA, qui avait affilié son personnel en prévoyance professionnelle auprès de la fondation Mutuelle Valaisanne de prévoyance (ci-après: la fondation). Le prénommé était également assuré contre le risque de perte de salaire en cas de maladie, par une police d'assurance collective du personnel de X._ SA auprès de la fondation Mutuel Assurances, liée au Groupe Mutuel Assurances GMA SA.
Après avoir subi, depuis août 1999, plusieurs périodes d'incapacité de travail, totale ou partielle, pour cause de maladie, T._ a été mis en arrêt de travail à partir du 19 août 2002 et n'a plus repris son activité. Son contrat de travail a été résilié avec effet au 31 août 2003. Dès le lendemain, T._ a bénéficié du libre passage dans une assurance individuelle de perte de gain et a, par la suite, perçu des indemnités journalières pendant 730 jours d'incapacité de travail (jusqu'au 17 août 2004).
A.b Par décision du 9 juin 2006 (entrée en force), l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a reconnu à T._ le droit à une rente entière d'invalidité, assortie de rentes complémentaires pour son épouse et deux enfants, à partir du 1er août 2003. Un montant de 45'067 fr. était retenu en faveur de l'assureur d'indemnités journalières, qui avait au préalable informé l'intéressé qu'il se ferait directement verser ce montant par l'assurance-invalidité en raison des paiements effectués pour la période du 1er août 2003 au 17 août 2004 (courrier du 5 mai 2006).
De son côté, la fondation a versé à T._ une rente annuelle de la prévoyance professionnelle et deux rentes annuelles pour enfants depuis le 19 août 2004. Elle a en revanche refusé de lui allouer ces prestations à partir du 1er août 2003 déjà (courrier du 23 juin 2006).
B. B.a Le 6 novembre 2006, T._ a ouvert action contre Groupe Mutuel Assurances SA devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud. Sa demande tendait au versement de rentes d'invalidité de la prévoyance professionnelle à fixer par justice, du 1er août 2003 au 18 août 2004, avec intérêts au taux de 5 % par an; la demande visait en outre au paiement de 45'076 fr. 10 avec intérêts au même taux dès le 15 juin 2006, à titre d'indemnités pour perte de gain en cas de maladie.
Deux procédures distinctes ont été ouvertes et le juge instructeur a substitué à la partie Groupe Mutuel Assurances GMA SA la fondation Mutuelle valaisanne de prévoyance en qualité de défenderesse dans l'action concernant les rentes d'invalidité; il a substitué la fondation Mutuel Assurances en qualité de défenderesse dans l'autre action. Dans la procédure portant sur les prestations de la prévoyance professionnelle, la fondation a conclu implicitement à l'admission partielle de la demande. Elle a admis devoir une rente de la prévoyance professionnelle obligatoire du 1er septembre 2003 au 18 août 2004, dont les arrérages s'élevaient à hauteur de 21'133 fr. 15.
B.b Le Tribunal vaudois des assurances sociales a suspendu l'instance concernant la prévoyance professionnelle jusqu'à droit connu sur l'action relative aux indemnités journalières. Par jugement du 27 septembre 2007, il a entièrement rejeté cette action.
Saisi d'un recours de T._ contre ce jugement, le Tribunal fédéral l'a rejeté, dans la mesure où il était recevable (arrêt 4A_518/2007 du 29 février 2008).
B.c Après avoir repris l'instruction de la seconde cause, le Tribunal vaudois des assurances sociales a, par jugement du 9 octobre 2008, rejeté la demande de T._ contre la fondation.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, T._ conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation du jugement cantonal du 9 octobre 2008 et requiert le Tribunal fédéral de condamner la fondation à lui verser "les rentes LPP pour la période du 1er août 2003 au 18 août 2004 pour un montant que justice dira" avec intérêts au taux de 5 % par an. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause au Tribunal des assurances "pour qu'il statue dans le sens des considérants".
La fondation conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui.
2. Le litige porte sur le droit du recourant au versement d'une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire et surobligatoire pour la période du 1er août 2003 au 18 août 2004. Il s'agit, en particulier, de savoir si la juridiction cantonale était en droit de nier toute prétention du recourant envers l'intimée pour cause de surindemnisation, la fondation contestant en tout état de cause être tenue de prester avant le 1er septembre 2003.
3. 3.1 Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales (dans leur teneur jusqu'au 31 décembre 2004 applicable en l'espèce) visant à empêcher un avantage injustifié pour l'assuré ou ses survivants résultant du cumul de prestations (art. 24 OPP 2 en relation avec l'art. 34a al. 1 LPP [en vigueur depuis le 1er janvier 2003]), applicables au présent litige. Il suffit d'y renvoyer.
A l'art. 22 al. 1er du Règlement de prévoyance de la Mutuelle valaisanne de prévoyance, dont la teneur a été exposée dans le jugement entrepris auquel il convient également de renvoyer, la fondation a fait usage de la possibilité prévue par l'art. 24 al. 1 OPP 2, de fixer la limite de surindemnisation à 90 % du gain annuel dont on peut présumer que l'intéressé est privé.
3.2 Le règlement de l'intimée contient par ailleurs une disposition prévoyant la possibilité de différer le versement des prestations d'invalidité. Selon l'art. 15 al. 4, première phrase, du règlement, "le droit aux prestations d'invalidité débute au moment où le salaire ou les indemnités journalières qui le remplacent cessent d'être versés mais au plus tôt après le délai fixé dans la confirmation d'affiliation".
Selon les constatations des premiers juges - lesquelles ne sont pas remises en cause par le recourant -, ce délai d'attente a été fixé à 24 mois en l'occurrence (cf. également le certificat de prévoyance professionnelle du 28 mars 2002), alors que l'incapacité de travail déterminante a débuté le 19 août 2002. Aussi, conformément à l'art. 15 al. 4 du règlement, et indépendamment du moment où aurait cessé le versement du salaire ou d'indemnités journalières de remplacement, le recourant n'a droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle surobligatoire qu'à partir du 19 août 2004. Compte tenu du cadre temporel de la contestation soumise au Tribunal fédéral (consid. 2 supra), il convient d'examiner le litige uniquement sous l'angle du droit du recourant à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire.
4. Procédant au calcul de surindemnisation pour la période du 1er août 2003 au 17 août 2004, la juridiction cantonale a fixé la limite de surindemnisation à 86'697 fr. (soit 90 % du gain annuel présumé perdu de 96'330 fr.). Elle a constaté que ce montant était inférieur à celui (de 88'956 fr. 30) composé des rentes d'invalidité allouées au recourant par l'assurance-invalidité (53'172 fr. au total) et des prestations de l'assurance-maladie complémentaire versées par la fondation Mutuel Assurances (à savoir 35'784 fr. 30 [soit 80'851 fr. 30 - 45'067 fr. "à restituer par compensation auprès des organes de l'AI"]). Les premiers juges en ont déduit que le cas de surindemnisation était réalisé pour la période déterminante, de sorte que l'intimée n'avait pas à verser de prestations de la prévoyance professionnelle.
5. Contrairement à ce que prétend le recourant dans un premier moyen, on ne saurait reprocher à la juridiction cantonale un vice dans l'établissement des faits déterminants, puisque les faits dont il invoque le défaut de mention dans la partie "en fait" du jugement entrepris ont été retenus dans la partie droit de la décision attaquée, comme il le relève du reste lui-même. Pour le surplus, si l'établissement des faits pertinents suppose que l'autorité judiciaire de première instance présente les faits de manière aussi fidèle et précise que possible, la loi - en particulier, la LPGA, la LTF ou encore les art. 8 CC et 9 Cst. invoqués par le recourant - ne prescrit pas de manière impérative à l'autorité de recours de première instance de présenter les faits déterminants dans l'état de fait proprement dit de sa décision (et non pas aussi ou seulement dans la partie droit de celle-ci).
6. Dans un second moyen, sans contester que la limite de surindemnisation s'élève à 86'697 fr. 30, le recourant se plaint d'une violation de l'art. 24 OPP 2, en ce sens que la juridiction cantonale aurait à tort pris en compte dans son calcul les indemnités journalières versées par l'assurance-maladie complémentaire. Ce grief est bien fondé pour les raisons qui suivent.
6.1 Selon la jurisprudence, la règle de coordination matérielle de l'art. 24 OPP 2 (en application de laquelle la juridiction cantonale a admis la surindemnisation) n'autorise la réduction des prestations issues de la prévoyance obligatoire qu'en cas de concours avec celles d'une assurance sociale; les indemnités journalières d'un assureur privé couvrant la perte de salaire en cas de maladie ne constituent par ailleurs pas des "revenus à prendre en compte" au sens de cette disposition (ATF 128 V 243 consid. 3b p. 248 sv.).
En l'espèce, il est constant que les indemnités journalières versées par la fondation Mutuel Assurances reposent sur une base contractuelle de droit privé (cf. arrêt 4A_518/2007 du 29 février 2008) et qu'elles relèvent de la LCA et non de la LAMal. Partant, elles ne peuvent être assimilées à une assurance sociale au sens de l'art. 24 OPP 2, ni être considérées comme un revenu à prendre en compte selon l'al. 2 de cette disposition.
6.2 En conséquence, il n'y a pas lieu de tenir compte, dans le calcul de surindemnisation, des indemnités journalières versées au recourant par la fondation Mutuel Assurances, mais uniquement des rentes de l'assurance-invalidité. Celles-ci doivent être prises en compte pour un montant de 53'172 fr. selon les constatations de la juridiction cantonale. Dans la mesure où le recourant entend contester ce montant, en invoquant n'avoir "touché aucune rente d'invalidité", il ne peut être suivi. L'éventualité d'une surindemnisation selon l'art. 24 al. 2 OPP 2 doit être examinée en tenant compte des rentes de l'assurance-invalidité "accordées à l'ayant droit en raison de l'événement dommageable", indépendamment du fait que l'assurance-invalidité n'a versé qu'indirectement les prestations à l'assuré en opérant une compensation avec des créances d'une autre assurance. Admettre le contraire reviendrait à faire supporter à l'institution de prévoyance professionnelle la différence entre le montant des prestations que l'assurance-invalidité a allouées à l'intéressé et celles qui lui ont effectivement été versées, alors qu'elle n'est pas concernée par le rapport de compensation entre l'assurance-invalidité, l'assuré et la tierce institution d'assurance privée.
Compte tenu des montants déterminants retenus par la juridiction cantonale pour les prestations (53'172 fr.), il apparaît que la limite de surindemnisation (de 86'697 fr.) n'est pas atteinte. C'est donc à tort que le versement des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire au recourant a été nié pour cause de surindemnisation.
7. Il reste encore à examiner si, en tout état de cause, l'intimée était en droit de différer ses prestations pendant la période concernée en raison de la règle de coordination temporelle au sens des art. 26 al. 2 LPP et 27 OPP 2, ce que conteste le recourant.
7.1 En ce qui concerne le droit aux prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle, la loi et l'ordonnance autorisent les institutions de prévoyance à prévoir dans leurs dispositions réglementaires que le droit aux prestations est différé aussi longtemps que l'assuré reçoit un salaire entier (art. 26 al. 2 LPP) ou des indemnités journalières de l'assurance-maladie (art. 27 OPP 2). Selon cette disposition, l'institution de prévoyance peut différer le droit aux prestations d'invalidité jusqu'à épuisement des indemnités journalières, lorsque l'assuré reçoit, en lieu et place du salaire entier, des indemnités journalières de l'assurance-maladie équivalant à au moins 80 % du salaire dont il est privé (let. a) et que les indemnités journalières ont été financées au moins pour moitié par l'employeur (let. b). Il s'agit là d'une règle de coordination dans le temps, destinée à éviter que l'assuré - parce qu'il perçoit son salaire ou des prestations qui, s'y substituant, libèrent l'employeur de le verser - ne dispose de moyens financiers plus importants après qu'avant la survenance de l'invalidité. La prétention à une pension d'invalidité ne peut toutefois être différée que si les dispositions réglementaires de l'institution de prévoyance le prévoient expressément (ATF 128 V 243 consid. 2b p. 247; 123 V 193 consid. 5c/cc p. 199 et les références).
Comme on l'a vu (consid. 3.2 supra), le règlement de l'intimée prévoit, à son art. 15 al. 4, première phrase, la possibilité de différer le versement des prestations d'invalidité jusqu'au moment où cesse le versement du salaire ou des indemnités journalières qui le remplacent.
7.2 Nonobstant la possibilité prévue par le règlement, l'intimé n'est pas en droit de différer les prestations d'invalidité, dès lors que les conditions d'application de l'art. 27 OPP 2 - qui concernent aussi bien les indemnités journalières LAMal que celles de la LCA, contrairement à ce que prétend le recourant - ne sont pas réalisées. Selon les constatations de la juridiction cantonale, qui lient le Tribunal fédéral, le recourant est resté seul débiteur des primes de l'assurance perte de gain à partir du 1er septembre 2003. Les indemnités journalières en cause n'ont donc pas été financées au moins par moitié par l'employeur à partir du 1er septembre 2003, comme il le fait valoir à juste titre dans ce contexte.
Par ailleurs, selon les constatations de la juridiction cantonale, la fondation Mutuel Assurances s'est vu restituer un montant de 45'067 fr. (sur un total de 80'851 fr. 30) par l'assurance-invalidité, pour la période du 1er août 2003 au 17 août 2004; d'après le décompte de l'assureur privé, ledit montant correspondait à des indemnités journalières versées en trop, compte tenu de la rente d'invalidité ultérieurement allouée au recourant. Le solde des indemnités journalières (de 35'784 fr. 30) est inférieur au "80 % du salaire dont [il] est privé" au sens de l'art. 27 let. a OPP 2. Les conditions pour différer le versement des prestations d'invalidité n'étaient donc pas réalisées sous l'angle de l'ordonnance (comp. arrêt B 27/04 du 21 février 2005 consid. 2), pour la période débutant le 1er août 2003 déjà et non pas seulement dès le 1er septembre 2003 comme le soutient l'intimée.
8. Vu ce qui précède, c'est à tort que le versement des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire au recourant a été nié du 1er août 2003 au 18 août 2004. Il convient par conséquent d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle fixe le montant du droit à la rente d'invalidité selon les dispositions légales applicables. S'il ressort de la réponse de l'intimée qu'elle reconnaît devoir un montant de 21'133 fr. 15 au titre de "rente LPP" à partir du 1er septembre 2003, le jugement entrepris ne contient cependant aucune constatation à cet égard. Aussi, appartient-il à la juridiction cantonale d'établir la quotité des prestations d'invalidité dues et d'examiner ensuite si une réduction est éventuellement justifiée pour cause de surindemnisation, compte tenu des rentes d'invalidité qui ont été allouées au recourant.
Le recours se révèle dès lors bien fondé.
9. Compte tenu de l'issue de la procédure, les frais de justice seront mis à la charge de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). Celle-ci versera également au recourant, qui obtient gain de cause, une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 9 octobre 2008 est annulé, la cause étant renvoyée à cette autorité pour nouveau jugement au sens des motifs.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera au recourant la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 24 août 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless