Faits:
A. A.a Le 15 janvier 2002, F._, né en 1959, a fait une chute, au cours de laquelle il s'est cogné la tête et a probablement perdu connaissance quelques instants. La Bâloise Compagnie d'Assurances (ci-après: la Bâloise), auprès de laquelle il était assuré contre le risque d'accident, a pris en charge le cas.
L'assuré n'ayant plus repris son travail en raison de la persistance de ses troubles (vertiges, vision altérée, cervicalgies, lombalgies, céphalées avec aura, troubles mnésiques et problèmes de concentration), la Bâloise a requis plusieurs expertises médicales, en particulier des rapports du docteur M._, ophtalmologue, médecin à l'Hôpital ophtalmique X._ (du 1er juillet 2003), ainsi que des docteurs N._, orthopédiste, O._, psychiatre, et P._, neurologue, médecins au Centre V._, à ._ (du 26 mars 2004).
Se fondant sur ce dernier rapport d'expertise, la Bâloise a supprimé le droit aux prestations d'assurance avec effet au 31 mars 2004 - à l'exception du droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un taux de 5% - motif pris de l'absence d'un lien de causalité entre l'événement du 15 janvier 2002 et les troubles persistant après le 31 mars 2004 (décision du 4 février 2005). Saisie d'une opposition, elle a réformé cette décision en ce sens qu'elle a également nié le droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité (décision sur opposition du 19 mai 2005).
A.b Par jugement du 9 février 2006, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition.
A.c Saisi d'un recours de droit administratif, le Tribunal fédéral l'a admis en ce sens que le jugement du 9 février 2006 et la décision sur opposition de la Bâloise du 19 mai 2005 ont été annulés et la cause renvoyée à l'assureur-accidents pour complément d'instruction au sens des considérants et nouvelle décision sur le droit éventuel de l'assuré aux prestations litigieuses (arrêt du 21 septembre 2007 [U 371/06]).
B. B.a La Bâloise ayant voulu confier un complément d'expertise aux médecins du Centre V._, l'assuré s'y est opposé en proposant que cette mesure fût confiée au docteur M._. Finalement, l'intéressé a accepté la proposition de l'assureur-accidents de mandater en qualité d'expert le docteur Q._, neurologue, lequel n'a toutefois pas pu accepter ce mandat. Avec l'assentiment de l'assuré, l'expertise a été confiée au docteur R._, neurologue, lequel a rendu son rapport le 12 janvier 2010.
Par décision du 22 juin 2010, confirmée sur opposition le 9 août suivant, la Bâloise a supprimé le droit aux prestations d'assurance au 31 mars 2004.
B.b Saisie d'un recours contre la décision sur opposition, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 16 mai 2011.
C. F._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à son annulation et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction.
L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. La juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 9 août 2010, à supprimer le droit du recourant à des prestations d'assurance (traitement médical et indemnités journalières) à compter du 31 mars 2004 et lui dénier le droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
Lorsque le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (arrêts 8C_115/2011 du 26 janvier 2012 consid. 2; 8C_39/2010 du 7 septembre 2010 consid. 2).
3. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales applicables (art. 6 LAA et art. 4 LPGA), de même que les principes jurisprudentiels concernant la notion de causalité naturelle, ainsi que ceux qui concernent l'appréciation des preuves. Il suffit dès lors d'y renvoyer.
4. 4.1 La juridiction cantonale a considéré que l'assuré ne souffre plus, postérieurement au 31 mars 2004, de troubles de caractère invalidant en relation de causalité avec l'événement survenu le 15 janvier 2002. Elle s'est fondée pour cela sur les conclusions du docteur R._, selon lequel il n'existe pas de lien de causalité naturelle entre cet événement et la symptomatologie persistant après le 31 mars 2004 (troubles visuels atypiques suivis de céphalées intenses et invalidantes, ainsi que de nausées et de rares vomissements).
4.2 Par un premier moyen, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir étendu l'instruction au lien de causalité et statué sur ce point, alors que selon lui, le Tribunal fédéral a fait siennes, dans son arrêt du 21 septembre 2007 (U 371/06), les conclusions du docteur M._, d'après lesquelles les troubles en cause sont dus à l'accident. En outre, alléguant que les seuls aspects nécessitant un complément d'instruction selon l'arrêt du Tribunal fédéral portaient sur la nature des traitements prodigués et sur le point de savoir dans quelle mesure ils avaient augmenté la capacité de travail, le recourant soutient que le complément d'expertise devait être confié impérieusement au docteur M._.
Ce grief est mal fondé. Il ressort en effet de l'arrêt du 21 septembre 2007 que les éclaircissements nécessitant le renvoi à l'assureur-accidents concernaient non seulement la nature et les effets des traitements administrés, mais également la nature des céphalées et leur incidence sur la capacité de travail, ainsi que l'existence éventuelle d'un lien de causalité naturelle. Ainsi, le Tribunal fédéral n'a pas fait siennes les conclusions du docteur M._ mais a uniquement considéré qu'à défaut d'une motivation sur ces points, il n'était pas possible de suivre les conclusions des médecins du Centre V._ qui avaient donné un avis opposé sur la question de la causalité naturelle entre les céphalées et l'accident. Cela étant, il était nécessaire que l'instruction complémentaire ordonnée à l'assureur-accidents portât sur l'ensemble des aspects déterminants pour le droit à prestations, y compris sur l'existence éventuelle d'un lien de causalité. Comme il subsistait sur ces points une controverse entre le docteur M._ et les médecins du Centre V._, il était justifié, par ailleurs, de confier la nouvelle expertise à une tierce personne.
Ce grief est mal fondé. Il ressort en effet de l'arrêt du 21 septembre 2007 que les éclaircissements nécessitant le renvoi à l'assureur-accidents concernaient non seulement la nature et les effets des traitements administrés, mais également la nature des céphalées et leur incidence sur la capacité de travail, ainsi que l'existence éventuelle d'un lien de causalité naturelle. Ainsi, le Tribunal fédéral n'a pas fait siennes les conclusions du docteur M._ mais a uniquement considéré qu'à défaut d'une motivation sur ces points, il n'était pas possible de suivre les conclusions des médecins du Centre V._ qui avaient donné un avis opposé sur la question de la causalité naturelle entre les céphalées et l'accident. Cela étant, il était nécessaire que l'instruction complémentaire ordonnée à l'assureur-accidents portât sur l'ensemble des aspects déterminants pour le droit à prestations, y compris sur l'existence éventuelle d'un lien de causalité. Comme il subsistait sur ces points une controverse entre le docteur M._ et les médecins du Centre V._, il était justifié, par ailleurs, de confier la nouvelle expertise à une tierce personne.
4.3 4.3.1 Par un second moyen, le recourant conteste la valeur probante des conclusions du docteur R._. Il allègue qu'en privilégiant l'avis du docteur M._ par rapport à celui du docteur P._, neurologue et médecin au Centre V._, le Tribunal fédéral a considéré qu'un neuro-ophtalmologue est mieux apte à apprécier la situation qu'un neurologue. Par ailleurs, le recourant reproche au docteur R._ de n'avoir pas pris position au sujet des conclusions du docteur M._ ni indiqué en quoi celles-ci seraient invalides, lacunaires ou erronées.
4.3.2 Il convient tout d'abord de rappeler que dans son arrêt du 21 septembre 2007, le Tribunal fédéral n'a pas privilégié l'avis d'un expert plutôt qu'un autre mais a ordonné un complément d'instruction précisément afin d'élucider les circonstances du cas particulier, compte tenu des conclusions divergentes des experts. Par ailleurs, l'atteinte à la santé persistant après le 31 mars 2004 est essentiellement de nature neurologique, comme l'a relevé le docteur M._, selon lequel les troubles strictement ophtalmologiques (métamorphopsies très modérées et très légère diminution de l'acuité visuelle de l'?il droit) ne sont pas suffisamment importants pour entraver de manière significative la capacité de travail de l'assuré dans son activité habituelle (rapport du 1er juillet 2003). Rien ne s'opposait dès lors à ce que le complément d'instruction fût confié à un neurologue.
En outre, on ne saurait reprocher au docteur R._ de n'avoir pas suffisamment pris position sur les conclusions du docteur M._. Le rapport d'expertise du docteur R._ traite de tous les aspects déterminants pour le droit éventuel à des prestations et contient des réponses soigneusement motivées aux questions posées. En ce qui concerne en particulier l'absence de lien de causalité, ce rapport contient suffisamment d'éléments pour mettre en doute la fiabilité des conclusions du docteur M._, selon lesquelles le lien de causalité entre l'accident et les céphalées pulsatiles accompagnées de troubles visuels doit être admis au seul motif que l'assuré ne souffrait pas de céphalées avant cet événement.
4.4 Vu ce qui précède, l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident et la symptomatologie persistant après le 31 mars 2004 doit être niée, sans qu'il soit nécessaire de compléter l'instruction, comme le demande le recourant. L'intimée était dès lors fondée, par sa décision sur opposition, à supprimer le droit de l'intéressé à des prestations d'assurance à partir de cette date et à nier le droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité.
Cela étant, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
5. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée ne peut se voir allouer des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 8 juin 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd