Faits:
Faits:
A. B._, née le 19 janvier 1944, a travaillé en qualité de secrétaire au service de l'Agence principale X._ de C._ à partir du 1er mars 1999, à 50 % jusqu'au 31 octobre 1999 et à 30 % dès le 1er juillet 2000. Le 17 octobre 2000, elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité.
Dans une expertise du 1er mai 2001, le docteur O._, privat-docent et rhumatologue FMH à N._, a posé le diagnostic de douleur coxofémorale droite chronique consécutive à des complications survenues après la pose d'une prothèse totale le 30 novembre 1999 pour coxarthrose, consistant en deux luxations de l'implant prothétique les 3 décembre et 22 décembre 1999, de status après changement de la tige fémorale le 27 décembre 1999, de lombalgies chroniques sur lombarthrose L4-L5 et L5-S1 et de dépression modérée. Il estimait à 50 % l'incapacité de travail de l'assurée, rejoignant ainsi les conclusions du docteur D._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique à N._, qui proposait d'admettre comme possible sur le plan médical une capacité de travail de 50 % depuis le 1er janvier 2001 (expertise du 26 décembre 2000, effectuée pour l'assureur-maladie Wincare).
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a conclu à une invalidité de 100 % depuis le 1er juin 2000 et de 50 % depuis le 1er janvier 2001. Dans un projet d'acceptation de rente du 26 juillet 2001, il a avisé B._ que son état de santé et sa capacité de travail s'étaient améliorés, comme cela ressortait des deux expertises médicales précitées, et qu'à partir du 1er janvier 2001 elle était en mesure de reprendre son activité professionnelle antérieure à 50 %, recouvrant ainsi une capacité de gain équivalente.
Par décision du 16 novembre 2001, l'office AI a alloué à B._ une rente entière d'invalidité du 1er juin au 31 décembre 2000 et une demi-rente d'invalidité à partir du 1er janvier 2001.
Par décision du 16 novembre 2001, l'office AI a alloué à B._ une rente entière d'invalidité du 1er juin au 31 décembre 2000 et une demi-rente d'invalidité à partir du 1er janvier 2001.
B. B._, dans un mémoire du 21 décembre 2001 sur papier à l'entête de X._ et signé par elle et par A._ - membre de l'Agence X._ de L._, a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci. Elle demandait que l'aspect orthopédique soit réévalué et requérait la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique, l'aspect dépressif devant être examiné dans le cadre d'une expertise complémentaire et son rôle pris en compte dans l'évaluation de l'incapacité de travail.
Par jugement du 2 juillet 2002, le Tribunal administratif a admis partiellement le recours et annulé la décision attaquée en tant qu'elle réduisait la rente entière d'invalidité à une demi-rente dès le 1er janvier 2001 en lieu et place du 1er avril 2001. Sous ch. 3 du dispositif, il a alloué à B._ une indemnité de dépens partielle de 400 fr.
Par jugement du 2 juillet 2002, le Tribunal administratif a admis partiellement le recours et annulé la décision attaquée en tant qu'elle réduisait la rente entière d'invalidité à une demi-rente dès le 1er janvier 2001 en lieu et place du 1er avril 2001. Sous ch. 3 du dispositif, il a alloué à B._ une indemnité de dépens partielle de 400 fr.
C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel interjette recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant à l'annulation de celui-ci, à titre subsidiaire à l'annulation du ch. 3 de son dispositif.
Le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel s'est déterminé sur la question des dépens. Représentée par l'Agence X._ de L._, B._ conclut, sous suite de dépens, au rejet du recours. Elle invite le Tribunal fédéral des assurances à se prononcer sur une révision de son droit à la rente, compte tenu de la nette aggravation de son état de santé, tant sur le plan physique que psychique. L'office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Dans ses déterminations, l'intimée conclut à la révision de son droit à la rente. Elle invoque une nette aggravation de son état de santé, tant sur le plan physique que psychique.
La conclusion de l'intimée n'a pas à être examinée, dans la mesure où l'aggravation invoquée porte sur des faits postérieurs à la décision litigieuse (p. ex.: ATF 121 V 366 consid. 1b).
La conclusion de l'intimée n'a pas à être examinée, dans la mesure où l'aggravation invoquée porte sur des faits postérieurs à la décision litigieuse (p. ex.: ATF 121 V 366 consid. 1b).
2. Il est constant, et les parties ne le contestent pas, que les conditions de la révision du droit à la rente, auxquelles est soumis l'octroi rétroactif d'une rente d'invalidité dégressive (ATF 125 V 418 consid. 2d), sont remplies et que la rente entière à laquelle a droit l'intimée depuis le 1er juin 2000 doit être réduite à une demi-rente à la suite de l'amélioration sensible de son état de santé et de sa capacité de travail constatée par les docteurs D._ et O._ dans leurs expertises. Est litigieux le point de savoir si la réduction du droit à la rente doit intervenir à partir du 1er janvier 2001 ou à partir du 1er avril 2001.
2.1 Se référant à l'arrêt R.S. du 26 octobre 2000 (VSI 2001 p. 158 consid. 3c), les premiers juges ont considéré que le droit à la rente pouvait être supprimé trois mois après la diminution de l'invalidité, conformément à l'art. 88a al. 1 deuxième phrase RAI, et que la réduction de la rente entière à une demi-rente ne pouvait donc intervenir qu'à partir du 1er avril 2001, soit trois mois depuis l'amélioration de la capacité de travail de l'intimée, dont le taux a été fixé à 50 % par les experts à compter du 1er janvier 2001.
2.2 Le recourant fonde l'essentiel de son argumentation sur le sens et la ratio legis de l'art. 88a al. 1 première phrase RAI. Il fait valoir que la première phrase de cette disposition réglementaire est applicable en l'espèce, puisque l'office disposait rétrospectivement de données suffisantes pour admettre que l'amélioration de la capacité de gain était durable. Preuve en est «le temps qui s'est écoulé entre le 1er janvier 2001, date à partir de laquelle (au moins) l'invalidité économique de l'assurée n'atteignait plus 66 2/3 %, et le 16 novembre 2001, date de la décision de rente litigieuse», qui était amplement suffisant pour admettre que l'amélioration constatée se maintenait durant une assez longue période au sens de la première phrase de l'art. 88a al. 1 RAI.
2.3 L'art. 88a RAI a été introduit par le ch. I de l'ordonnance du 29 novembre 1976, en vigueur depuis le 1er janvier 1977. Aux termes de l'art. 88a al. 1 RAI, si la capacité de gain d'un assuré s'améliore ou que son impotence s'atténue, il y a lieu de considérer que ce changement supprime, le cas échéant, tout ou partie de son droit aux prestations dès qu'on peut s'attendre à ce que l'amélioration constatée se maintienne durant une assez longue période (première phrase). Il en va de même lorsqu'un tel changement déterminant a duré trois mois déjà, sans interruption notable et sans qu'une complication prochaine soit à craindre (deuxième phrase).
La révision du RAI par l'ordonnance précitée du Conseil fédéral du 29 novembre 1976 a fait l'objet d'un commentaire de l'OFAS, paru à la RCC 1977 p. 7 s. En ce qui concerne l'art. 88a (nouveau) RAI, il en ressort ce qui suit (RCC 1977 p. 26) :
Les prescriptions valables jusqu'ici ne précisaient pas d'une manière vraiment satisfaisante ce qui advient du délai d'attente lorsqu'une modification des droits de l'assuré entre en ligne de compte par suite d'un changement survenu dans la situation personnelle. Selon ces prescriptions, il fallait appliquer ici par analogie, conformément à la jurisprudence du TFA, les mêmes règles que celles de l'article 29 LAI qui concernent la naissance du droit à la rente (immédiate, en cas de modification durable; dans les autres cas, après 360 jours d'incapacité de travail). Afin d'assurer une application du droit aussi uniforme que possible, on a réglementé la question dans le RAI. Les principes énoncés ici s'inspirent de la jurisprudence du TFA; on indique clairement que les modifications qui seront durables, selon toute vraisemblance, doivent être prises en considération immédiatement, au plus tard au bout de 3 mois. D'autre part, les diminutions du revenu sont prises en considération aussi au bout de 3 mois et non pas seulement après 4 à 6 mois.
2.4 La règle énoncée à l'art. 88a RAI par la novelle du 29 novembre 1976 ne sort pas du cadre de la loi et elle est propre à garantir que le droit à la rente sera fixé de manière équitable et en tenant compte des circonstances telles qu'elles se présentent effectivement. Selon la pratique suivie jusque-là, il fallait, dans les affections évoluant par poussées où l'on voyait souvent se succéder à des brefs intervalles des périodes de capacité de travail et d'incapacité totale ou partielle, se fonder, pour évaluer l'invalidité en cas de révision, sur la variante II de l'art. 29 al. 1 LAI, en considérant la diminution de la capacité de travail pendant une durée assez longue (deux ans). On évitait ainsi de devoir réduire ou supprimer la rente uniquement parce que l'empêchement de travailler (qui est important, considéré à long terme) était interrompu par de brèves périodes où la capacité de travail ou de gain s'était améliorée; l'assuré aurait pu alors être exclu indéfiniment du bénéfice de la rente parce que les diverses poussées de la maladie entravant sa capacité de travail duraient régulièrement moins de 360 jours. Avec la règle énoncée à l'art. 88a RAI, la possibilité subsiste, voire s'est accrue de réduire ou de supprimer la rente pour cause d'amélioration passagère de la capacité de travail. Cette disposition est aussi applicable en cas d'affection évoluant par poussées, si l'amélioration de la capacité de travail a duré trois mois, sans interruption notable (ATF 104 V 147 consid. 2). Lorsque l'invalidité a diminué dans une mesure suffisante pour influencer le droit à la rente, celui-ci doit être supprimé ou réduit avec effet immédiat si la modification paraît durable et par conséquent stable; en revanche, on attendra trois mois au cas où le caractère évolutif de l'atteinte à la santé, notamment la possibilité d'une aggravation, ne permettrait pas un jugement immédiat (RCC 1984 p. 138 consid. 3).
2.5 En l'occurrence, le docteur D._, dans son expertise du 26 décembre 2000 pour l'assureur-maladie Wincare, a indiqué qu'on pouvait s'attendre à une augmentation progressive de la capacité mais vraisemblablement, et ceci malgré le succès final du remplacement prothétique, en raison de l'arthrose avancée lombo-sacrée, guère supérieure à 50 %. Il proposait d'admettre comme possible sur le plan médical une capacité de travail de 50 % depuis le 1er janvier 2001. A long terme, il lui paraissait raisonnable de mettre l'assurée au bénéfice d'une rente d'invalidité de 50 %. Sur le plan subjectif, la spondylarthrose lombaire était responsable à 50 % de la symptomatologie actuelle. On pouvait s'attendre à une inversion de cette proportion, la hanche pouvant encore s'améliorer et la colonne lombaire ne pouvant que se dégrader progressivement.
Le recourant n'a pas invité le docteur O._, qui, dans son expertise du 1er mai 2001, rejoint les conclusions du docteur D._, à se prononcer sur le caractère durable de l'amélioration constatée. Or, si l'on se fonde sur l'appréciation du docteur D._, force est de constater que la possibilité d'une aggravation existe en ce qui concerne la colonne lombaire.
On ne pouvait donc pas s'attendre dès le 1er janvier 2001 à ce que l'amélioration constatée se maintienne durant une assez longue période. En tant qu'il applique l'art. 88a al. 1 deuxième phrase RAI et réforme la décision administrative litigieuse en ce sens que la rente entière d'invalidité est réduite à une demi-rente à partir du 1er avril 2001, le jugement entrepris est conforme à la jurisprudence et n'est dès lors pas critiquable. Le fait que l'on est en présence d'une allocation simultanée d'une rente entière, puis d'une demi-rente qui lui succède n'est pas déterminant (cf. VSI 2001 p. 277 consid. 3b). Sur ce point, le recours est mal fondé.
On ne pouvait donc pas s'attendre dès le 1er janvier 2001 à ce que l'amélioration constatée se maintienne durant une assez longue période. En tant qu'il applique l'art. 88a al. 1 deuxième phrase RAI et réforme la décision administrative litigieuse en ce sens que la rente entière d'invalidité est réduite à une demi-rente à partir du 1er avril 2001, le jugement entrepris est conforme à la jurisprudence et n'est dès lors pas critiquable. Le fait que l'on est en présence d'une allocation simultanée d'une rente entière, puis d'une demi-rente qui lui succède n'est pas déterminant (cf. VSI 2001 p. 277 consid. 3b). Sur ce point, le recours est mal fondé.
3. Le recourant, qui conclut à titre subsidiaire à l'annulation du ch. 3 du dispositif du jugement attaqué, nie tout droit de l'intimée à une indemnité de dépens pour l'instance cantonale.
3.1 S'agissant des dépens, on peut tout d'abord mentionner que le droit aux dépens pour la procédure cantonale reste soumis à l'art. 85 LAVS dans la mesure où le jugement entrepris a été rendu avant le 1er janvier 2003 (ATF 129 V 113). Ensuite, le droit aux dépens comme tel est réglé par le droit fédéral. Un tel droit existe en procédure cantonale pour la partie représentée par une assurance de protection juridique; on prend en effet en considération la pratique du Tribunal fédéral des assurances en matière de dépens selon l'art. 159 OJ (ATF 126 V 11). En l'occurrence, sur le vu du mémoire de recours du 21 décembre 2001 signé par l'intimée et par A._, dans lequel il est fait référence à une procuration datée du 23 juillet 2001 donnant mandat à l'Agence X._ de L._ de la représenter devant les tribunaux, B._ était bel et bien représentée devant la juridiction cantonale par une assurance de protection juridique. Qu'elle travaille en qualité de secrétaire au service de l'Agence X._ de C._ ne change rien au fait qu'il s'agit en l'occurrence d'une représentation qualifiée (cf. ATF 126 V 11 consid. 2).
3.2 Pour la quotité des dépens, le pouvoir d'examen se limite à l'arbitraire (SVR 2001 AHV 4 11).
L'interdiction de l'arbitraire, déduite de l'art. 4 aCst., est expressément consacrée à l'art. 9 Cst. La jurisprudence rendue sous l'ancien droit est toujours valable (ATF 128 I 182 consid. 2.1, 127 I 41 consid. 2a, 56 consid. 2b, 70 consid. 5a, 126 I 170 consid. 3a). Une décision est arbitraire lorsqu'elle méconnaît gravement une règle de droit ou un principe juridique clair et indiscuté, ou qu'elle contredit de manière choquante le sentiment de l'équité. La violation incriminée doit être manifeste et reconnaissable d'emblée. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale apparaît concevable ou même préférable. Enfin, une décision ne sera annulée que si elle est arbitraire dans son résultat, mais non lorsque seuls ses motifs sont insoutenables, ou encore qu'elle n'est pas motivée (ATF 125 I 168 consid. 2a, 125 II 15 consid. 3a, 124 I 316 consid. 5a, 124 V 139 consid. 2b et les références).
3.3 Le recourant reproche aux premiers juges de n'avoir pas motivé le jugement en ce qui concerne le mode de calcul de l'indemnité de dépens de 400 fr. Se référant à la jurisprudence (ATF 120 Ia 169; VSI 1999 p. 191 consid. 4e), il fait valoir pour l'essentiel que l'on ne saurait vérifier si ce montant a été fixé de manière arbitraire.
3.3 Le recourant reproche aux premiers juges de n'avoir pas motivé le jugement en ce qui concerne le mode de calcul de l'indemnité de dépens de 400 fr. Se référant à la jurisprudence (ATF 120 Ia 169; VSI 1999 p. 191 consid. 4e), il fait valoir pour l'essentiel que l'on ne saurait vérifier si ce montant a été fixé de manière arbitraire.
3.4 3.4.1 Selon la jurisprudence, la décision touchant le montant des dépens n'a, en principe pas besoin d'être motivée, du moins lorsque le juge ne sort pas des limites fixées par un tarif ou une règle légale et que des circonstances extraordinaires ne sont pas alléguées par les parties (ATF 111 Ia 1 consid. 2a).
3.4.2 En vertu de l'art. 48 al. 2 de la loi neuchâteloise sur la procédure et la juridiction administratives, du 27 juin 1979 (LPJA), l'autorité de recours s'inspire du tarif des frais entre plaideurs.
Les dépens doivent être fixés en fonction de l'importance et de la difficulté de la cause, ainsi que du travail qu'elle nécessite et du temps que l'avocat y a consacré (art. 4 du tarif des frais entre plaideurs). La valeur litigieuse, notamment celle exprimée en francs, telle qu'elle se détermine selon le droit de procédure civile (art. 4 in initio du tarif) n'est en règle générale pas décisive en procédure administrative, de sorte qu'il y a en principe lieu, pour les causes administratives, de se référer à l'art. 6 let. b du tarif qui prévoit des dépens situés entre 100 fr. et 4'000 fr. (RJN 1996 p. 271 consid. 3).
En l'occurrence un montant de 400 fr. n'apparaît pas arbitraire, le travail nécessaire à la défense de l'intimée en procédure cantonale ayant consisté dans la rédaction d'un mémoire de recours de sept pages, accompagné d'un bordereau de douze pièces (voir aussi RJN 1996 p. 271 consid. 3 in fine, où l'indemnité a été fixée à 300 fr.).
En l'occurrence un montant de 400 fr. n'apparaît pas arbitraire, le travail nécessaire à la défense de l'intimée en procédure cantonale ayant consisté dans la rédaction d'un mémoire de recours de sept pages, accompagné d'un bordereau de douze pièces (voir aussi RJN 1996 p. 271 consid. 3 in fine, où l'indemnité a été fixée à 300 fr.).
4. Représentée par une assurance de protection juridique, l'intimée, qui obtient gain de cause, a droit à une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 159 al. 1 en corrélation avec l'art. 135 OJ; voir par ex. arrêt du 28 février 2003, I 840/02).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 800 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 800 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 octobre 2003
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre: Le Greffier: