Faits :
A. X._ et dame X._, nés respectivement en 1953 et 1956, se sont mariés en 1974 et ont eu ensemble deux filles, A._ en 1976 et B._ en 1992. Les époux ont connu de nombreuses séparations et réconciliations. Ils vivent séparés depuis 1996 et sont actuellement en instance de divorce.
Le 28 avril 2009, la juge III du district de Sierre a rendu une décision de mesures provisoires au sens de l'art. 137 CC, aux termes de laquelle elle a notamment rejeté les prétentions en entretien de l'épouse, soit le paiement d'une « contribution d'entretien après divorce de 650 fr. jusqu'à ce que le débiteur ait atteint l'âge de la retraite légale ».
La juge de district a retenu, entre autres faits, que l'épouse faisait ménage commun avec un ami depuis le 1er mai 2007 et que, le couple partageant en principe les frais du ménage, elle participait au loyer à raison de 346 fr. sur un total de 1'350 fr. par mois, charges comprises.
B. L'épouse a formé un pourvoi en nullité contre la décision précitée en concluant notamment à l'allocation de la contribution d'entretien de 650 fr. rétroactivement au début de la procédure. Elle a sollicité également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Statuant le 8 juin 2009 par deux décisions distinctes, le Président de la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal valaisan a, d'une part, rejeté le pourvoi dans la mesure de sa recevabilité et, d'autre part, rejeté la requête d'assistance judiciaire.
Dans sa première décision, le juge cantonal a considéré en substance que, le pourvoi ne portant pas sur la violation d'une règle de procédure, la recourante pouvait uniquement faire valoir que la décision attaquée constatait arbitrairement les faits ou violait le droit d'une façon manifeste. Or, si elle se prévalait d'appréciation arbitraire des faits concernant son concubinage ou contestait avoir formé avec son compagnon une communauté qui pût être taxée de « concubinage qualifié » au sens de la jurisprudence fédérale, la recourante se contentait d'invoquer l'arbitraire sans même tenter d'en faire la démonstration et soulevait ainsi des griefs, de nature essentiellement appellatoire, irrecevables dans le cadre d'un pourvoi en nullité. Le juge cantonal a ajouté que même s'ils avaient été recevables, ces griefs auraient dû être rejetés et il en a donné les raisons. S'agissant de la notion de concubinage qualifié, prétendument retenue à tort par la première juge, il a estimé que toute l'argumentation de la recourante sur ce point reposait sur une prémisse erronée, la notion en question n'ayant de portée que dans le cadre du divorce et non dans celui des mesures provisoires, pour lesquelles seuls importent les avantages économiques retirés de la vie commune, fût-elle très récente.
C. L'épouse a déposé un seul et même recours constitutionnel contre les deux décisions cantonales du 8 juin 2009. Elle a également sollicité l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Le dépôt d'une réponse n'a pas été requis.
D. Par arrêt de ce jour (cause 5D_96/2009), le Tribunal fédéral a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours formé contre la décision cantonale de refus de l'assistance judiciaire.
Le Tribunal considère en droit :
1. La décision de mesures provisoires prise sur la base de l'art. 137 al. 2 CC est une décision en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF. Bien que provisoire et sans effet sur le fond, elle est finale au sens de l'art. 90 LTF, dès lors que son objet est différent de celui de la procédure au fond et qu'elle met fin à l'instance sous l'angle procédural (ATF 134 III 426 consid. 2.2 et les arrêts cités). La décision attaquée a été rendue par une autorité de dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF), dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse nécessaire de 30'000 fr. est atteinte (art. 51 al. 1 let. a et al. 4 LTF, art. 74 al. 1 let. b LTF).
La voie du recours en matière civile étant ouverte, celle du recours constitutionnel subsidiaire choisie par la recourante ne l'est pas (art. 113 LTF). L'intitulé erroné d'un recours ne doit toutefois pas nuire à son auteur si les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté sont réunies (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 et les arrêts cités). En l'espèce, il est possible de convertir le recours, car le grief d'arbitraire, soulevé par la recourante de façon conforme aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF, peut être invoqué de la même manière dans un recours en matière civile de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 446 consid. 3.1, 462 consid. 2.3).
Déposé dans le délai légal (art. 100 al. 1 LTF), le recours est donc en principe recevable.
2. 2.1 En ce qui concerne les faits relatifs au concubinage, le juge cantonal a rejeté le pourvoi de la recourante au terme d'une double motivation: la première - principale - repose sur l'irrecevabilité du grief d'appréciation arbitraire desdits faits; la seconde - subsidiaire - a trait au caractère mal fondé de ce grief. Lorsque la décision attaquée se fonde, comme en l'espèce, sur plusieurs motivations indépendantes, alternatives ou subsidiaires, toutes suffisantes, le recourant doit, sous peine d'irrecevabilité, démontrer que chacune d'entre elles est contraire au droit (ATF 133 IV 119 consid. 6.3 p. 120). Dans la mesure où la recourante discute uniquement du fondement de son grief sans s'en prendre aux motifs d'irrecevabilité, suffisants en soi, avancés par l'autorité cantonale, l'exigence précitée n'est pas respectée et le recours doit être déclaré irrecevable dans cette mesure.
2.2 En vertu d'une jurisprudence constante, lorsqu'il s'agit de fixer la contribution à l'entretien durant les mesures provisoires de l'art. 137 CC, il convient de prendre en considération le fait que le conjoint vit en communauté avec une autre personne et que, dans ces circonstances, il n'est pas arbitraire de considérer que son compagnon pourrait participer pour moitié aux frais communs, même si sa participation effective est moindre. A cet égard, la durée du concubinage n'est pas déterminante; sont au contraire pertinents les avantages économiques retirés de la relation. Il importe, autrement dit, que les intéressés forment une communauté de toit et de table ayant pour but de partager les frais et les dépenses (arrêts 5A_625/2007 du 26 mars 2008 consid. 2.3, 5P.463/2003 du 20 février 2004 consid. 3.2, 5P.90/2002 du 1er juillet 2002 consid. 2b aa, publié in : FamPra 2002 p. 813).
Partant de cette conception juridique des effets du concubinage en matière de mesures provisoires, le juge cantonal a confirmé le rejet des prétentions en entretien de la recourante après avoir constaté, ainsi que cette dernière l'avait elle-même relevé, qu'elle faisait ménage commun avec son ami depuis plus de deux ans, qu'ils se partageaient les frais du ménage et qu'elle ne supportait, notamment, que le quart du loyer (346 fr. sur 1'350 fr.). Cette décision, prise en conformité de la jurisprudence susmentionnée, ne saurait être taxée d'arbitraire. La recourante n'en fait en tout cas pas la démonstration.
La question qu'elle soulève de savoir s'il n'eût pas été préférable, dans le cas particulier, d'ordonner une suspension plutôt qu'une suppression de la contribution d'entretien, comme le texte actuel de l'art. 129 al. 1 CC permet de l'envisager (cf. RVJ 2006 p. 240 ss consid. 8), est dénuée de pertinence, dès lors qu'une décision prise sur la base de l'art. 137 al. 2 CC, dont les effets sont par définition provisoires, peut de toute façon être modifiée si les circonstances de fait ont changé d'une manière essentielle et durable, ou si le juge, lorsqu'il a ordonné les mesures provisoires dont la modification est sollicitée, s'est fondé sur des circonstances de fait erronées (URS GLOOR, Commentaire bâlois, 3e éd., 2006, n. 15 ad art. 137 CC; Marcel Leuenberger, FamKommentar Scheidungsrecht, 006, éd., 2005, n. 15 ad art. 137 CC).
2.3 Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
3. En instance fédérale aussi, l'échec prévisible des conclusions de la recourante commande le rejet de sa requête d'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 LTF) et sa condamnation aux frais (art. 66 al. 1 LTF).
par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Président de la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 16 septembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Fellay