Sachverhalt:
A. Dr. med. X._ (geb. 1943) ist Fachärztin für Psychiatrie und Psychotherapie; seit der Erteilung der Bewilligung zur selbständigen ärztlichen Tätigkeit im Kanton Bern (10. Juli 1996) führt sie in Biel eine Praxis als Psychiaterin und Psychotherapeutin. Mit Verfügung vom 28. Dezember 2009 entzog ihr das Kantonsarztamt des Kantons Bern die Berufsausübungsbewilligung als Ärztin. Eine Beschwerde an die Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern blieb erfolglos. Die gegen den entsprechenden Beschwerdeentscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 14. Dezember 2010 ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten stellt X._ dem Bundesgericht den Antrag, das erwähnte Urteil des Verwaltungsgerichts dahingehend abzuändern, dass der Entzug der Bewilligung zur selbständigen Berufsausübung als Ärztin zu widerrufen sei.
Die Gesundheits- und Fürsorgedirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern beantragen, die Beschwerde abzuweisen.
C. Mit Verfügung vom 4. März 2011 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung teilweise gutgeheissen, indem die Beschwerdeführerin zur Betreuung der bereits bei ihr in Behandlung stehenden Patienten während der Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens ermächtigt bleibe; im Übrigen wurde das Gesuch abgewiesen.
Erwägungen:
1. Das in Anwendung von öffentlichem Recht ergangene angefochtene, kantonal letztinstanzliche Urteil kann mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (Art. 82 lit. a BGG). Ein Ausschlussgrund ist nicht gegeben.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine Verletzung ihres Anspruches auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Diese erblickt sie darin, dass weder das Kantonsarztamt, noch die kantonale Gesundheitsdirektion oder die Vorinstanz ihr Gelegenheit geboten hätten, in einer Verhandlung persönlich angehört zu werden.
2.2 Das Verfahren vor den bernischen Verwaltungs- und Verwaltungsjustizbehörden ist schriftlich, sofern das Gesetz nichts anderes vorschreibt oder die Behörde nicht "eine Instruktionsverhandlung, eine mündliche Schlussverhandlung" im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK "oder eine Urteilsberatung" anordnet (Art. 31 des Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern [VRPG/BE]). Gemäss Art. 69 Abs. 3 VRPG/BE kann im verwaltungsinternen Beschwerdeverfahren nach dem Schriftenwechsel eine Verhandlung durchgeführt werden. Diese Bestimmung gilt sinngemäss auch für das Beschwerdeverfahren vor dem Verwaltungsgericht (Art. 83 VRPG/BE).
2.3 Der von der Beschwerdeführerin angerufene Anspruch auf rechtliches Gehör ist Teilgehalt des allgemeinen Grundsatzes des fairen Verfahrens von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 29 Abs. 1 BV. Er wird auch durch Art. 29 Abs. 2 BV geschützt. Darüber hinaus garantiert Art. 6 Ziff. 1 EMRK die Öffentlichkeit des Verfahrens. Dieser Grundsatz umfasst unter anderem das Recht des Einzelnen, seine Argumente dem Gericht mündlich in einer öffentlichen Sitzung vorzutragen. Die Pflicht zur Durchführung einer (publikums-)öffentlichen Gerichtsverhandlung setzt nach der Rechtsprechung allerdings einen klaren Parteiantrag voraus. Blosse Beweisabnahmeanträge, wie die Durchführung einer persönlichen Befragung, reichen nicht aus (BGE 134 I 140 E. 5 mit Hinweisen).
2.4 Die Beschwerdeführerin hat in ihrer Beschwerde vom 28. Januar 2010 an die Gesundheits- und Fürsorgedirektion gerügt, das Kantonsarztamt habe die Vorwürfe der Anzeiger ohne nähere Prüfung übernommen, ohne ein Beweisverfahren durchzuführen, was ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletze (Art. 21 VRPG/BE). Sie machte in diesem Zusammenhang ausdrücklich geltend, sie habe "Anspruch darauf, persönlich zum Schreiben des Sanitätskollegiums (von der Vorinstanz als Gutachten bezeichnet) Stellung zu nehmen"; es werde daher nochmals beantragt, sie persönlich in einer Verhandlung (Art. 69 Abs. 3 VRG/BE) anzuhören. Der Antrag auf Ansetzung einer Verhandlung wurde abgewiesen mit der Begründung, die Beschwerdeführerin habe ihre Anliegen in der Beschwerdeschrift begründen können, womit ihrem Anspruch auf rechtliches Gehör Genüge getan sei.
Auch in ihrer Beschwerde an die Vorinstanz hat die Beschwerdeführerin - unter dem Titel "unrichtige und unvollständige Feststellung des Sachverhalts" - wiederum die unterlassene Anhörung beanstandet. Für den Fall, dass das Verwaltungsgericht nicht bereits aufgrund der Akten zum Schluss kommen sollte, dass ihr die Berufsausübungsbewilligung nicht zu entziehen sei, sei von der Vorinstanz das beantragte Beweisverfahren durchzuführen; eine Verletzung des rechtlichen Gehörs könne in oberer Instanz nicht geheilt werden. Falls das Verwaltungsgericht selber ein Beweisverfahren anordne, werde die Einvernahme der Beschwerdeführerin beantragt. In ihrer Stellungnahme vom 11. November 2010 an die Vorinstanz stellte ihre Rechtsvertreterin ausdrücklich den Beweisantrag, die Beschwerdeführerin persönlich einzuvernehmen.
2.5 Daraus ergibt sich, dass es der Beschwerdeführerin nicht nur um eine eigentliche Befragung im Sinne einer Beweismassnahme gegangen ist, sondern ebenso sehr darum, vor einem unabhängigen Gericht ihren persönlichen Standpunkt zum Beweisergebnis im Allgemeinen und zum massgebenden ärztlichen Gutachten im Speziellen mündlich vortragen zu können. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz schliesst ein solcher Antrag auf "persönliche Anhörung" den Antrag auf eine mündliche (öffentliche) Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK ein.
Im Übrigen erscheint in Verfahren betreffend den Entzug der Bewilligung zur selbständigen ärztlichen Tätigkeit, bei welchem es um die persönliche Voraussetzung der Vertrauenswürdigkeit (vgl. Art. 36 Abs. 1 lit. b MedBG; SR 811.11) des Bewerbers geht, eine mündliche Verhandlung ohnehin als grundsätzlich geeignet, zur Klärung allfälliger noch streitiger Punkte beizutragen (Urteil 2C_370/2010 vom 26. Oktober 2010 E. 2.8; vgl. auch Thomas Merkli und andere, Kommentar zum Gesetz vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern, 1997, N. 6 zu Art. 31 und N. 13 und 14 zu Art. 69 Abs. 3 VRPG/BE).
2.6 Die Vorinstanz hat zur Ablehnung des Antrages auf persönliche Anhörung auf die entsprechenden Ausführungen der Gesundheitsdirektion verwiesen. Diese hat sich darauf berufen, dass die Beschwerdeführerin vom Sanitätskollegium sowie Professor A._ angehört worden sei. Auch die Vorinstanz stützt sich namentlich auf die erfolgte Anhörung durch das Sanitätskollegium.
Die damit angesprochene mündliche Anhörung ist indessen nicht durch ein Gericht erfolgt, weshalb dadurch den Anforderungen von Art. 6 Ziff. 1 EMRK nicht entsprochen worden ist. Wenn die Beschwerdeführerin klar auf einer mündlichen Anhörung beharrte, so kann darin - entgegen der von der Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung geäusserten Auffassung - kein Verzicht auf die Durchführung einer mündlichen, öffentlichen Verhandlung im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK erblickt werden (vgl. Urteil 8C_67/2007 vom 25. September 2007 E. 3.2.5).
2.7 Indem die Vorinstanz entgegen dem Antrag um eine mündliche Anhörung bzw. Verhandlung auf eine solche verzichtete, hat sie den konventionsrechtlich gewährleisteten Verfahrensgarantien (Art. 6 Ziff. 1 EMRK) nicht hinreichend Rechnung getragen.
Die Beschwerde ist daher gutzuheissen und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese die verlangte mündliche und öffentliche (soweit der Öffentlichkeit keine wesentlichen Hinderungsgründe entgegenstehen) Verhandlung durchführe, in deren Rahmen der Beschwerdeführerin Gelegenheit zu einer mündlichen Stellungnahme einzuräumen ist.
3. Entsprechend diesem Ausgang des Verfahrens werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat der Kanton Bern die Beschwerdeführerin für das Verfahren vor Bundesgericht angemessen zu entschädigen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 14. Dezember 2010 aufgehoben. Die Sache wird zur Durchführung einer mündlichen Verhandlung und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Bern hat der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor Bundesgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Küng