Faits:
A. Par contrat du 19 juin 2006, X._ (la bailleresse) a cédé à V._ (la locataire, qui a désormais pour nom Y._) l'usage d'un appartement en duplex dans l'immeuble sis rue du ... à Neuchâtel, moyennant un loyer mensuel de 2'200 fr. auquel s'ajoute 250 fr. pour les frais accessoires. Par contrat séparé conclu à la même date, X._ a également cédé à Y._ l'usage d'une place de stationnement pour un loyer net mensuel de 110 fr. Le montant total à payer s'élevait donc à 2'560 fr. par mois (2'200 fr. + 250 fr. + 110 fr.). La relation contractuelle nouée entre les parties prenait effet le 1er octobre 2006 et arrivait à échéance le 30 septembre 2007; sauf résiliation donnée six mois à l'avance, le bail se renouvelait ensuite tacitement pour une durée indéterminée, chacune des parties ayant la faculté de résilier par avis signifié six mois à l'avance pour le 31 mars, le 30 juin ou le 30 septembre de chaque année.
Par lettre recommandée du 29 septembre 2009, la locataire a résilié le contrat pour le 30 octobre 2009, date qu'elle a rectifié par la suite en précisant qu'elle visait le 31 octobre 2009.
Lorsque la locataire a quitté les lieux en octobre 2009, la bailleresse a établi un rapport de remise de l'appartement faisant état de différents défauts qui seraient imputables à la locataire, étant observé que les documents rédigés lors de l'emménagement et signés par les deux parties établissaient que l'appartement était alors en bon état. Y._ a refusé de signer ce rapport. La bailleresse a fait établir un constat par un notaire le 9 novembre 2009. Elle a fait procéder ensuite à divers travaux de remise en état.
B. Par demande du 12 juillet 2010, précédée d'une vaine tentative de conciliation, la bailleresse a ouvert action à l'encontre de la locataire devant le Tribunal civil du district de Neuchâtel, réclamant à cette dernière la somme de 20'000 fr. avec intérêts à 5% dès le jour du dépôt de la demande. Elle a fait valoir que le bail ne pouvait être résilié que pour la prochaine échéance contractuelle, à savoir le 31 mars 2010, et que la locataire lui était redevable des sommes convenues jusqu'à cette date. Par ailleurs, elle a demandé le remboursement de diverses factures de réparations qui, selon elle, avaient été rendues nécessaires par des dégâts imputables à la locataire.
La locataire s'est opposée à la demande en totalité. Elle a conclu reconventionnellement à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme de 2'288 fr. avec intérêts à 5% dès le 1er octobre 2009 en raison d'une réduction de loyer qui lui serait due pour de prétendus défauts de la chose louée; elle a demandé également le remboursement d'une facture d'électricité, s'élevant à 158 fr.75, qui se rapporte à la période du 1er janvier au 31 mars 2010 (appelée dans la procédure " facture A._ ").
La bailleresse a conclu à l'irrecevabilité et subsidiairement au rejet de la demande reconventionnelle.
Statuant par jugement du 16 septembre 2011, le Tribunal civil du Littoral et du Val-de-Travers a admis la demande principale et rejeté la demande reconventionnelle. En conséquence, il a condamné la locataire à payer à la bailleresse la somme de 20'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 12 juillet 2010, mettant à la charge de la première les frais et dépens de la procédure.
Statuant sur appel de la locataire, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois, par arrêt du 16 août 2012, n'a admis que partiellement la demande principale et a également admis partiellement la demande reconventionnelle (pour la facture A._), fixant à 7'997 fr.45 avec intérêts à 5% dès le 12 juillet 2010 la somme due par la locataire à la bailleresse.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'appréciation des preuves, une violation des art. 8 CC, 264 et 267 CO, ainsi que de l'art. 144 de l'ancien Code de procédure civile neuchâtelois, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce que sa partie adverse soit condamnée à lui verser la somme de 20'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 12 juillet 2010; subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale.
L'intimée propose le rejet du recours, pour autant qu'il soit recevable.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par une partie qui a succombé partiellement dans ses conclusions en paiement et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. requis en matière de droit du bail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut être formé pour violation d'un droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 138 II 331 consid. 1.3 p. 336; 137 II 313 consid. 4 p. 317 s.). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 137 III 580 consid. 1.3 p. 584; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Si la recourante entend se plaindre d'arbitraire dans l'appréciation des preuves, elle doit motiver ce grief d'une manière répondant aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
Si le Tribunal fédéral admet le recours, il peut statuer lui-même sur le fond ou renvoyer l'affaire à l'autorité cantonale pour qu'elle prenne une nouvelle décision (art. 107 al. 2 LTF).
2. 2.1 Il résulte des constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - que les parties ont conclu, par deux actes séparés, un contrat de bail à loyer au sens de l'art. 253 CO, portant d'une part sur un appartement (donc une habitation au sens de la loi) et, d'autre part, sur une place de stationnement.
Alors que le bail était prolongé pour une durée indéterminée, la locataire a donné congé sans respecter le délai de préavis et le terme convenus (cf. art. 266a al. 1 CO). Il en résulte, vu les clauses contractuelles, que la résiliation ne peut déployer ses effets qu'au 31 mars 2010 (cf. art. 266a al. 2 CO). La locataire reste donc en principe tenue de payer les sommes mensuelles convenues jusqu'à cette date.
Selon l'art. 264 al. 1 CO, le locataire qui restitue la chose sans observer les délai ou terme de congé, est néanmoins libéré de ses obligations envers le bailleur s'il lui présente un nouveau locataire qui soit solvable et que le bailleur ne puisse raisonnablement refuser; le nouveau locataire doit en outre être disposé à reprendre le bail aux mêmes conditions.
Pour que le locataire soit libéré, il est donc essentiel que le successeur proposé soit prêt à reprendre le bail aux mêmes conditions. L'idée sous-jacente est que le bailleur doit se trouver dans la même situation que celle qui aurait été la sienne si le bail s'était poursuivi avec le même preneur (arrêt 4A_504/2009 du 6 janvier 2010 consid. 2.4, in SJ 2010 I p. 491; cf. également ATF 117 II 156 consid. 3b p. 159 s.). Le locataire de remplacement doit donc accepter les locaux dans l'état où ils se trouvent; il ne peut prétendre à leur remise en état que si le locataire sortant était en droit de la réclamer (DAVID LACHAT, Le bail à loyer, 2008, n° 5.3.2 p. 615).
En l'espèce, si la locataire a articulé le nom d'un successeur, elle a été dans l'incapacité de fournir des coordonnées permettant de joindre une personne disposée à reprendre le bail. Il n'est donc pas établi, dans ce premier cas, qu'elle ait donné à la bailleresse l'occasion de conclure un nouveau bail aux mêmes conditions. Ce point n'est d'ailleurs pas contesté.
La locataire invoque ensuite le cas d'un couple qui était disposé à reprendre l'appartement, mais pas dans l'état où il se trouvait. Ces personnes n'étaient en conséquence pas disposées à reprendre le bail " aux mêmes conditions " au sens de l'art. 264 al. 1 CO. Dans la mesure où elles demandaient des travaux de nettoyage, il est clair que l'intimée ne pouvait pas les réclamer à la bailleresse, puisque les travaux de nettoyage lui incombaient (art. 259 CO). Elle ne pouvait pas non plus réclamer la réparation de dégâts qui lui sont imputables, tels que ceux qui ont été constatés. Dès lors que le couple exigeait une remise en état de l'appartement, il faut constater qu'il n'était pas disposé à conclure un bail aux mêmes conditions, c'est-à-dire à occuper les locaux comme l'aurait fait l'intimée jusqu'au 31 mars 2010. En ne tenant pas compte du fait que ce couple réclamait une remise en état, la cour cantonale a violé l'art. 264 al. 1 CO.
Partant, il faut constater que la locataire n'a présenté aucun successeur disposé à conclure un bail aux mêmes conditions, de sorte qu'elle reste tenue de payer les sommes convenues (2'560 fr. par mois) jusqu'à l'échéance contractuelle (le 31 mars 2010), d'où un solde à payer de 12'800 fr. (2'560 fr. pendant les cinq mois courant de novembre à mars).
2.2 A la fin du bail, le locataire doit restituer la chose dans l'état qui résulte d'un usage conforme au contrat (art. 267 al. 1 CO). Lors de la restitution, le bailleur doit vérifier l'état de la chose et aviser immédiatement le locataire des défauts dont celui-ci répond (art. 267a al. 1 CO). Il appartient ainsi au locataire de prendre en charge les dégâts qui excèdent l'usure normale de la chose. L'usure normale de la chose est fonction de sa destination et s'apprécie sur la base de tabelles déterminant la durée de vie moyenne des installations, même s'il reste possible d'apporter des preuves concrètes. Il s'ensuit que le locataire doit supporter les frais de réparation de l'installation qui est affectée d'un défaut dû à l'usage anormal de la chose louée; il ne répond cependant pas de la valeur à neuf de l'installation, mais de sa valeur actuelle compte tenu de la dépréciation de la chose due à l'écoulement du temps, le fardeau de la preuve incombant au bailleur (arrêt 4C.261/2006 du 1er novembre 2006 consid. 3.1, in SJ 2007 I p. 365; sur l'usage de la tabelle: cf. également arrêt 4C.131/1995 du 15 novembre 1995 consid. 2, in SJ 1996 p. 322).
Il sied maintenant d'examiner chacun des postes du dommage qui reste litigieux devant le Tribunal fédéral. Il convient cependant d'observer que certains postes ne sont plus discutés, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'y revenir. Tel est le cas d'une première facture du peintre B._, du 7 mars 2010, s'élevant à 904 fr.90, qui a été mise à la charge de la locataire à raison de 518 fr., de la facture de robinetterie de 326 fr.80, dont la locataire a été tenue redevable, et des frais de constat, par 600 fr., que la locataire a été condamnée à régler.
Ainsi, les montants mis à la charge de la locataire qui ne sont plus discutés s'élèvent à 1'444 fr.80 (518 fr. + 326 fr.80 + 600 fr.).
2.2.1 En ce qui concerne la seconde facture du peintre B._, du 7 mars 2010, s'élevant à 1'240 fr., la recourante soutient que ce montant aurait dû être mis à la charge de la locataire en totalité.
La cour cantonale a constaté que le constat notarié ne parlait de taches et de trous grossièrement rebouchés qu'à propos du salon. Elle a ainsi uniquement pris en compte les travaux de peinture relatifs à cette pièce, par 244 fr.25, puis réduit ce montant en vertu de l'amortissement depuis l'entrée en jouissance, pour parvenir à un reliquat de 140 fr. pouvant être mis à la charge de la locataire.
On ne voit pas ce qu'il y aurait d'arbitraire à croire le constat dressé par le notaire (pour la définition de l'arbitraire: cf. ATF 138 I 49 consid. 7.1 p. 51; 138 III 378 consid. 6.1 p. 379 s.; 138 IV 13 consid. 5.1 p. 22; pour le cas particulier de l'arbitraire dans l'appréciation des preuves: cf. ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9). Il doit être rappelé qu'il incombe à la partie qui invoque l'arbitraire dans l'appréciation des preuves d'en faire la démonstration par une argumentation précise répondant aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62). En l'espèce, il ne ressort pas de l'argumentation de la recourante que le notaire aurait constaté la présence de taches ou de trous mal rebouchés dans d'autres pièces ou que ce fait - contrairement aux constatations du notaire - ressortirait du résultat univoque de l'appréciation des preuves. On ne voit donc pas que la cour cantonale ait statué arbitrairement en concluant que les dégâts ici en cause n'affectaient que le salon. Quant à la réduction due à la dépréciation résultant de l'écoulement du temps, elle est - comme on vient de le voir - conforme à la jurisprudence. La recourante ne discute d'ailleurs pas les chiffres intervenant dans ce calcul (cf. art. 42 al. 1 et 2 LTF). Il faut donc s'en tenir au montant admis par la cour cantonale, soit 140 fr.
2.2.2 La recourante conteste également le montant retenu par la cour cantonale sur la facture du menuisier C._ datée du 26 avril 2010 et s'élevant à 5'454 fr.25.
La contestation de la recourante ne porte que sur le poste de vitrification et ponçage du parquet, soit 4'062 fr.20 (106,9 m2 à 38 fr.). Il est reproché à la cour cantonale de n'avoir pris en compte que la surface du salon (36,9 m2) et d'avoir admis une longévité de l'installation de dix ans.
Il ressort effectivement de l'arrêt attaqué que la cour cantonale n'a pris en compte que la surface du salon. On ne parvient cependant pas à comprendre, en lisant son arrêt, pourquoi elle s'est limitée à cette seule pièce. Elle a noté que le constat authentique relève des trous, des taches et des traces de talons de chaussures dans la chambre nord-ouest au rez-de-chaussée, des griffures et des traces de talons de chaussures dans la chambre nord-est, tandis qu'au premier étage dans la chambre nord-est, le parquet était griffé. On ne voit dès lors pas pourquoi la cour cantonale a admis que seul le salon avait subi ces dégâts. Cette constatation de fait, qui semble en contrariété avec le constat du notaire, doit donc être qualifiée d'arbitraire.
S'agissant de la longévité, la cour cantonale s'est référée à la tabelle d'amortissement commune aux associations de bailleurs et de locataires (LACHAT, op. cit., p. 869 ss). Elle a cependant perdu de vue - ce qui est également arbitraire - que la durée de dix ans ne concerne que les travaux de vitrification, et non pas les travaux de ponçage. Le menuisier, entendu comme témoin, a affirmé que le ponçage ne devait être effectué que tous les vingt ans et il n'y a aucune raison d'écarter cette affirmation. Comme les constatations cantonales (à l'instar de la facture) ne permettent pas de distinguer entre les frais de ponçage et ceux de vitrification, il y a lieu de répartir la somme de 4'062 fr.20 par moitié et de retenir, en arrondissant les chiffres, qu'il faut mettre à la charge de la locataire 1'421 fr. pour la vitrification (70% de 2'030 fr., délai de longévité de dix ans) et 1'725 fr. pour le ponçage (85% de 2'030 fr., délai de longévité de vingt ans), soit un total de 3'146 fr.
Comme le démontage et la remise des plinthes, facturés 535 fr., étaient nécessaires pour faire ces travaux, il y a lieu de mettre cette somme à la charge de la locataire en considérant que le travail étant déjà nécessaire pour la vitrification, donc tous les dix ans. On retiendra ainsi 70% de 535 fr., soit 374 fr. en chiffres ronds.
2.2.3 Ainsi, la somme totale due par la locataire en relation avec les dégâts qui excèdent l'usure normale se décompose de la manière suivante:
- 518 fr. pour la première facture du peintre B._
- 140 fr. pour la seconde facture du peintre B._
- 326 fr.80 pour la robinetterie
- 600 fr. pour les frais de notaire
- 3'146 fr. pour les frais du menuisier C._
- 374 fr. pour l'enlèvement et la remise des plinthes
total: 5'104 fr.80.
Si on ajoute à cette somme les 12'800 fr. correspondant au montant dû pour la période de novembre 2009 à mars 2010, on parvient à un total de 17'904 fr.80.
2.3 La cour cantonale a admis, sur demande reconventionnelle, que la bailleresse devait rembourser la facture de l'entreprise d'électricité pour la période de janvier à mars 2010, soit 158 fr.75, ce que la recourante conteste.
Dans la perspective de l'art. 53 LTF, il faut préciser que l'on ne se trouve plus en présence d'une demande reconventionnelle, mais seulement d'une créance compensatoire invoquée par l'intimée pour réduire le montant de la créance que la recourante fait valoir.
Il ressort des constatations cantonales (et des pièces mentionnées) que la locataire avait conclu un contrat d'abonnement avec l'entreprise d'électricité A._. La question débattue est de savoir si la locataire avait ou non résilié ce contrat d'abonnement et si oui pour quelle date. Il s'agit d'une question sans pertinence. En effet, si la locataire n'avait pas résilié le contrat d'abonnement, elle restait débitrice, sur la base de ce contrat, des prestations fournies par A._; si elle avait résilié le contrat, l'entreprise A._ ne pouvait plus rien lui facturer après la date d'échéance. S'il y a un litige à ce propos, il concerne le contrat d'abonnement, c'est-à-dire les relations entre la locataire et A._. Pour la bailleresse, il s'agit d'une res inter alios acta. On ne voit pas à quel titre la bailleresse pourrait être redevable d'une facture fondée sur un contrat conclu entre des tiers (la locataire et A._). En admettant une obligation de rembourser de la recourante, la cour cantonale a violé le principe de la relativité des conventions. Ainsi, la créance compensatoire doit être entièrement rejetée.
2.4 En relation avec les frais et dépens de la procédure cantonale, la recourante reproche à l'autorité précédente d'avoir violé l'art. 144 de l'ancien Code de procédure civile neuchâtelois. Tout en souhaitant compléter l'état de fait, elle pose en réalité une question - comme cela ressort de sa motivation - qui relève de l'interprétation et de l'application de cette disposition cantonale. Or le recours en matière civile n'est pas ouvert pour se plaindre d'une violation du droit cantonal (art. 95 et 96 LTF; ATF 138 V 67 consid. 2.2 p. 69). Comme la recourante n'invoque aucune violation du droit fédéral, notamment pas l'interdiction de l'arbitraire (cf. art. 106 al. 2 LTF), ce grief est irrecevable.
3. Sur les sommes qui restent litigieuses devant le Tribunal fédéral, la recourante obtient gain de cause pour environ 80%. Les frais et dépens seront donc fixés selon cette clé de répartition (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis et l'arrêt attaqué est annulé.
2. L'intimée est condamnée à payer à la recourante la somme de 17'904 fr.80 avec intérêts à 5% l'an dès le 12 juillet 2010.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de l'intimée à concurrence de 1'200 fr. et à la charge de la recourante à concurrence de 300 fr.
4. L'intimée versera à la recourante une indemnité de 1'200 fr. à titre de dépens réduits.
5. La cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour fixer à nouveau les frais et dépens de la procédure cantonale
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 7 janvier 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet