Sachverhalt:
A. Der 1955 geborene F._ war bei der Einwohnergemeinde X._ angestellt und bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch unfallversichert. Im Jahre 2001 erlitt er einen Zeckenbiss, worauf eine Borreliose diagnostiziert wurde. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht und erbrachte bis 2. Januar 2004 die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Am 30. Mai 2008 reichte die Arbeitgeberin wegen Spätfolgen des Zeckenbisses erneut eine Unfallmeldung ein. Nach medizinischen Abklärungen verneinte die SUVA ihre Leistungspflicht, da die geklagten Beschwerden nicht überwiegend wahrscheinlich auf den Zeckenbiss im Jahre 2001 zurückzuführen seien (Verfügung vom 7. Dezember 2009). Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 16. August 2010 ab.
B. Hiegegen führte der Versicherte beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Beschwerde. Dieses holte ein Gutachten des Dr. med. S._, Facharzt für Infektiologie und Allgemeine Innere Medizin, Institut für Infektionskrankheiten, Spital A._, vom 15. Juni 2011 ein. Der Versicherte legte eine Stellungnahme des Dr. med. T._, Facharzt für Innere Medizin FMH, vom 5. August 2011 auf, wozu sich Dr. med. S._ am 14. Dezember 2011 vernehmen liess. Der Versicherte reichte eine weitere Stellungnahme des Dr. med. T._ vom 22. Dezember 2011 ein. Mit Entscheid vom 21. Mai 2012 wies die Vorinstanz die Beschwerde ab.
C. Mit Beschwerde beantragt der Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides seien die Akten zur weiteren Abklärung seiner gesetzlichen Ansprüche an die Vorinstanz oder an die SUVA weiterzuleiten bzw. es sei ein gerichtliches Gutachten in Auftrag zu geben; für das vorinstanzliche Verfahren sei ihm eine Parteientschädigung zuzusprechen bzw. die Akten seien zur Neuverlegung der Kosten an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die SUVA schliesst auf Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f.) und den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232) richtig dargelegt. Gleiches gilt zur Rechtsprechung, wonach der Zeckenstich sämtliche Merkmale des Unfallbegriffs (Art. 4 ATSG) erfüllt (BGE 122 V 230; SVR 2008 UV Nr. 3 S. 11 E. 3 [U 155/06]). Darauf wird verwiesen.
Nach der Rechtsprechung zu den Gerichtsgutachten weicht das Gericht "nicht ohne zwingende Gründe" von den Einschätzungen des medizinischen Experten ab. Auch der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) hat diesbezüglich erwogen, der Meinung eines von einem Gericht ernannten Experten komme bei der Beweiswürdigung vermutungsweise hohes Gewicht zu (BGE 135 V 465 E. 4.4 S. 469 mit Hinweisen).
3. 3.1 Die Vorinstanz hat in Würdigung der medizinischen Akten mit einlässlicher Begründung richtig erkannt, dass das Gutachten des Dr. med. S._ vom 15. Juni 2011 die Anforderungen an eine rechtsgenügliche medizinische Beurteilungsgrundlage erfülle, weshalb darauf abzustellen sei. Demnach sei der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem gemeldeten Unfall (Zeckenbiss) und den bestehenden gesundheitlichen Beschwerden nicht als überwiegend wahrscheinlich zu betrachten. Auf die vorinstanzlichen Erwägungen wird verwiesen.
3.2 Der Versicherte erhebt keine Rügen, welche die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen zur Unfallkausalität des Gesundheitsschadens als unrichtig oder unvollständig (Art. 97 Abs. 2 BGG) oder den angefochtenen Entscheid als rechtsfehlerhaft nach Art. 95 BGG erscheinen lassen.
Die Einschätzung des behandelnden Arztes Dr. med. T._ - der die gesundheitlichen Beschwerden des Versicherten auf einen Zeckenbiss zurückführt - erscheint nicht als triftig genug, um die Schlüssigkeit des Gerichtsgutachtens des Dr. med. S._ in Frage zu stellen (vgl. BGE 125 V 352 E. 3b/aa S. 353). Dieses Gutachten wird denn auch gestützt durch die Aktenstellungnahmen der Dres. med. R._, Facharzt FMH für Innere Medizin und Arbeitsmedizin, SUVA Abteilung Arbeitsmedizin, vom 2. August 2010 sowie B._, Facharzt für Neurologie FMH, Facharzt für Psychiatrie, SUVA Versicherungsmedizin, vom 30. September 2011. Zudem ist zu beachten, dass behandelnde Ärzte mitunter im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung in Zweifelsfällen eher zugunsten ihrer Patienten aussagen, weshalb ihre Berichte mit Vorbehalt zu würdigen sind (BGE 135 V 465 E. 4.5. S. 470).
Von weiteren medizinischen Abklärungen ist abzusehen, da hievon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind (antizipierte Beweiswürdigung; BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236; SVR 2011 IV Nr. 47 S. 142 E. 5.3 [9C_591/2010]).
4. 4.1 Der Versicherte macht geltend, die Vorinstanz habe ihm keine Parteientschädigung zugesprochen, weil er unterlegen sei. Allerdings habe sie mit der Anordnung des Gerichtsgutachtens seinem Eventualantrag, die Sache zu weiteren Abklärungen an die Verwaltung zurückzuweisen, de facto entsprochen. Es könne keinen Unterschied machen, ob die ungenügenden Abklärungen des Sozialversicherers eine Rückweisung zur Folge hätten oder ob deswegen ein Gerichtsgutachten nötig werde. Er habe somit unabhängig vom materiellen Entscheid der Vorinstanz Anspruch auf eine Parteientschädigung.
4.2 Obsiegen liegt vor, wenn das Gericht die angefochtene Verfügung oder den angefochtenen Entscheid aufhebt und einen für die betroffene Person günstigeren Entscheid trifft oder die Sache zum Erlass einer neuen Verfügung zurückweist (BGE 132 V 215 E. 6.2 S. 235; Urteil 8C_167/2012 vom 15. Juni 2012 E. 8.3). Die auf Antrag einer Partei durchgeführte Abnahme von Beweisen, deren Ergebnis zu keinem für sie günstigeren Ergebnis führt, stellt kein Obsiegen dar, auch nicht im Sinne eines "Zwischen-Obsiegens" (RKUV 2003 Nr. U 485 S. 253 E. 9.3 [U 307/01]). Mit seinem Antrag auf Zusprechung der gesetzlichen Leistungen ist der Versicherte vollumfänglich unterlegen. Die Vorinstanz hat ihm somit zu Recht keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Der unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. September 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Jancar