Sachverhalt:
A. Die 1945 geborene S._ meldete sich im Juni 1994 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an und zog diese Anmeldung im Februar 1996 wieder zurück.
Am 30. März 2005 meldete sich S._ erneut zum Leistungsbezug an, wobei sie - wie anlässlich der ersten Anmeldung - auf die Folgen eines am 21. Januar 1988 erlittenen Auffahrunfalls mit Distorsion der Halswirbelsäule hinwies. Am 12. April 2006 erlitt die Versicherte einen weiteren Auffahrunfall.
Die IV-Stelle des Kantons Zürich nahm zahlreiche Arztberichte zu den Akten, zog die Unterlagen des Unfallversicherers bei, veranlasste beim Zentrum X._ eine Begutachtung (Gutachten vom 14. Juni 2009) und nahm eine Haushaltsabklärung vor. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte sie mit Verfügung vom 1. Juli 2010 einen Leistungsanspruch.
B. S._ liess hiegegen Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihr eine Invalidenrente zuzusprechen; eventualiter seien weitere medizinische Abklärungen durchzuführen. Mit Entscheid vom 10. Oktober 2011 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde ab, wobei es S._ die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) gewährte.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, ihr rückwirkend eine Invalidenrente nach den gesetzlichen Bestimmungen zu erbringen. Des Weitern ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für den letztinstanzlichen Prozess.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Rente der Invalidenversicherung (Art. 28 Abs. 1 und 2 IVG; Art. 8 ATSG) und in diesem Zusammenhang namentlich deren Arbeitsfähigkeit (Art. 6 ATSG).
2.1 Die Vorinstanz stützte sich für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit auf das Gutachten des Zentrums X._ vom 14. Juni 2009. Dieses erwähnt keine Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit und folgende Diagnosen ohne Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit (in verkürzter Form): chronisches cervikovertebrales, cervikocephales und cervikospondylogenes Schmerzsyndrom linksbetont, chronisches lumbovertebrales bis lumbospondylogenes Schmerzsyndrom aktuell rechtsbetont, rezidivierende Lungenembolien 2004 und im Januar 2008, paroxysmale supraventrikuläre Tachykardien, essentielle arterielle Hypertonie (medikamentös behandelt) und eine bekannte Penicilin-Allergie. In der Gesamtbeurteilung wird ausgeführt, es könne weder aus internistischer noch aus rheumatologischer oder psychiatrischer Sicht eine gesundheitliche Störung objektiviert werden, welche die Arbeitsfähigkeit der Versicherten als Sekretärin und Sachbearbeiterin im Rechnungswesen begründen könnte. Die Versicherte sei für alle leichten bis intermittierend mittelschweren Verweisungstätigkeiten voll arbeitsfähig. Auch im Haushaltsbereich bestehe keine Einschränkung.
Gestützt auf diese gutachterlichen Ausführungen gelangte das kantonale Gericht zum Ergebnis, die Arbeitsfähigkeit der Versicherten sei für Bürotätigkeiten, die der angestammten Tätigkeit entsprechen, nicht eingeschränkt und es fehle damit an einer Invalidität im Rechtssinne. Die Beurteilung des Zentrums X._ vom 14. Juni 2009 erweise sich auch bezogen auf frühere Zeitpunkte als überzeugend. Denn es handle sich bei der Rückenproblematik um ein degeneratives und damit in der Tendenz progredientes Leiden, welches in früheren Zeitpunkten höchstens gleich oder sogar weniger, nicht aber stärker ausgeprägt hätte sein können wie im Beurteilungszeitpunkt.
2.2 Die in der Beschwerde gegen die Beweistauglichkeit des Gutachtens des Zentrums X._ vom 14. Juni 2009 (vgl. dazu BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) vorgebrachten Einwände vermögen weder eine offensichtliche Unrichtigkeit oder Unvollständigkeit der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung noch eine Bundesrechtswidrigkeit der Beweiswürdigung darzutun (vgl. E. 1 hiervor):
2.2.1 Vorab ist nicht ersichtlich, weshalb an der Beweiskraft des Gutachtens des Zentrums X._ etwas ändern sollte, dass die Versicherte knapp einen Monat nach dessen Erstattung das AHV-Alter erreichte (zu welchem Zeitpunkt ein allfälliger Anspruch auf eine Invalidenrente wegen der Entstehung des Anspruches auf eine Altersrente gemäss Art. 30 IVG erloschen wäre). Entscheidend ist, dass die Gutachter über die Unterlagen der vorangegangenen ärztlichen Untersuchungen verfügten und sich mit diesen einlässlich und nachvollziehbar auseinandersetzten. Sie waren damit ohne weiteres in der Lage, den Gesundheitszustand der Versicherten im massgebenden Zeitraum (ab März 2004) zu beurteilen.
2.2.2 Nicht gefolgt werden kann der Versicherten auch, wenn sie vorbringt, den echtzeitlichen Dokumenten sei nach dem Urteil 9C_810/2010 vom 16. September 2011 im Zweifel der Vorrang vor einer späteren Einschätzung zu geben. Denn der Grund, weshalb auf die damalige rückwirkende gutachterliche Beurteilung nicht abgestellt werden konnte, lag darin, dass sie - anders als diejenige des Zentrums X._ vom 14. Juni 2009 - ungenau war und sich mit den echtzeitlichen Berichten nicht auseinandersetzte (E. 4.2 des zitierten Urteils). Hinzu kommt, dass die Versicherte - wie zu zeigen ist (E. 2.2.3-2.2.6) - zu Unrecht davon ausgeht, den echtzeitlichen Berichten lasse sich entnehmen, dass ihre Arbeitsfähigkeit erheblich eingeschränkt (gewesen) sei.
2.2.3 Soweit sich die Beschwerdeführerin auf das neurologische Gutachten des Prof. Dr. med. M._, Spezialarzt FMH für Neurologie, vom 14. Oktober 1995 beruft, übersieht sie, dass sich dieses nicht auf den zeitlich massgebenden Sachverhalt (vgl. E. 2.2.1 am Ende) bezieht, sondern fast zehn Jahre davor erstellt worden ist.
2.2.4 Dass der in der Beschwerde weiter erwähnte Rheumatologe Dr. med. R._, Spezialarzt FMH für physikalische Medizin, spez. Rheumaerkrankungen, Leitender Arzt für Rheumatologie Krankenhaus Y._, am 13. und 14. Mai 2005 eine Arbeitsfähigkeit von 50 % attestierte, vermag nicht zu überzeugen, weil der Einschätzung im Wesentlichen dieselbe Diagnose wie dem Gutachten des Zentrums X._ zugrundeliegt. Demgegenüber begründeten die Gutachter des Zentrums X._, denen der Bericht des Dr. med. R._ vom 13. und 14. Mai 2005 vorlag, einlässlich und nachvollziehbar, weshalb sie nur in mittelschweren und schweren Tätigkeiten von einer Einschränkung der Arbeitsfähigkeit ausgingen. Des Weitern verwiesen sie auf die Diskrepanz in den Untersuchungsbefunden bei Ablenkung.
2.2.5 Aus den Berichten des Dr. med. H._, Facharzt FMH für Neurologie, vom 17. November 2006 und 3. Oktober 2007 vermag die Beschwerdeführerin schon deshalb nichts zu ihren Gunsten abzuleiten, weil sie keine Arbeitsunfähigkeitsschätzungen enthalten. Soweit Dr. med. H._ im Bericht vom 19. November 2008 schliesslich von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit ab 25. Februar 2008 ausgeht, steht diese im Zusammenhang damit, dass die Versicherte am 25. Februar 2008 wegen einer Synkope notfallmässig hospitalisiert werden musste; die (aufgrund der damals erlittenen Lungenembolie) attestierte Einschränkung war jedoch nach den Akten vorübergehender Natur.
2.2.6 Sodann enthält auch die sich mit Kausalitätsfragen befassende Aktenbeurteilung des Dr. med. E._, Spezialarzt FMH für Neurologie, vom 13. April 2008 keine echtzeitliche Einschätzung. Dr. med. E._ führte darin aus, dass die Versicherte in gleichem Masse arbeitsfähig sei wie vor dem ersten Unfall 2005 und dass hinsichtlich der Arbeitsfähigkeit aus unfallfremden Ursachen auf das Gutachten des Dr. med. M._ von 1995 zurückgegriffen werden könne, nach welchem die Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit "im Beruf als Sekretärin bei grosszügiger Wertung der subjektiven Angaben" mit 30 % angegeben werde. Auch der Verweis auf diese vor allem auf unmassgeblichen subjektiven Gesichtspunkten basierende Einschätzung vermag an der Beweiskraft des Gutachtens des Zentrums X._ vom 14. Juni 2009, welches die subjektiven Angaben der Versicherten, wie erforderlich, berücksichtigt, ohne sie unkritisch zu übernehmen, nichts zu ändern.
2.3 Zusammenfassend ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz auf das Gutachten des Zentrums X._ vom 14. Juni 2009 abgestellt hat. Der von einer vollen Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit im Bürobereich ausgehende, den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung verneinende kantonale Entscheid verletzt Bundesrecht nicht.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat grundsätzlich die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 BGG; BG 125 V 201 E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Advokat Nicolai Fullin wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juli 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann