Faits:
A.
C._, née en 1982, a été victime de deux accidents le 26 avril 2011, l'un à 13h40, qui lui a provoqué un «claquage» à l'épaule droite alors qu'elle déplaçait de la vaisselle, et l'autre à 22h40, quand la voiture dans laquelle elle avait pris place, a été heurtée à l'arrière par un autre véhicule.
A la suite du premier accident, le docteur F._, du service des urgences de l'Hôpital Z._, a diagnostiqué une cervico-brachialgie non déficitaire. Après le second accident, le docteur L._, du même service, a posé le diagnostic de contusions multiples au thorax et à la colonne lombaire.
La Mobilière Suisse, Société d'assurances SA, (ci-après: la Mobilière), assureur-accidents de C._, a ouvert le dossier N° xxx pour le sinistre de 13h40 (ci-après: sinistre N° 1) et le dossier N° yyy pour celui de 22h40 (ci-après: sinistre N° 2). Elle a décidé de traiter ces affaires par courriers séparés.
Par lettre du 30 janvier 2012, l'assurance a informé C._ que le sinistre N° 1, dénommé «sinistre xxx à 13h40», ne constituait ni un accident, faute de facteur extérieur dommageable, ni une lésion corporelle assimilée à un accident, si bien qu'elle refusait de le prendre en charge. Elle a estimé que la rupture du tendon du sus- et sous-épineux dont souffrait C._ relevait de la maladie et a imparti à celle-ci un délai de 20 jours pour faire valoir ses objections motivées.
Par lettre du même jour, la Mobilière a admis de prendre en charge le sinistre N° 2, dénommé «sinistre yyy à 22h40». Elle a considéré que les lésions diagnostiquées (contusion thoracique et colonne lombaire) n'avaient pas entraîné d'incapacité de travail, de sorte qu'elle avait l'intention de limiter son intervention aux seuls frais médicaux engendrés par ces troubles.
Par lettre du 8 février 2012, C._ a contesté la «décision» de l'assureur-accidents, en faisant valoir que la déchirure de la coiffe des rotateurs était traumatique et non dégénérative.
Par décision du 10 février 2012 concernant le sinistre N° 1, dont l'entête était semblable à celui de la lettre du 30 janvier 2012, c'est-à-dire faisait référence aux deux accidents, la Mobilière a confirmé le refus de prise en charge.
Le 2 mars 2012, l'assurance s'est adressée à C._ en lui rappelant qu'elle avait été victime d'un accident sur la voie publique le 26 avril 2011 à 22h40 (sinistre N° 2) et que celui-ci n'était pas la cause de la pathologie de l'épaule droite. En présence d'une contusion à l'épaule droite, accompagnée d'une distorsion cervicale, elle a admis une incapacité de travail jusqu'au 10 juillet 2011 et précisé qu'«au-delà du 10 juillet 2011, toutes les affections liées aux événements accidentels du 26 avril 2011 seraient (sont) à considérer comme guéries».
Dans une lettre du 8 mars 2012, C._ s'est référée au courrier de la Mobilière du 2 mars 2012 et a contesté la «décision», en se fondant sur divers courriers du docteur N._, son chirurgien traitant, et en rappelant que les déchirures des rotateurs ne pouvaient pas être dégénératives chez une personne de son âge. Par décision du 23 mars 2012, la Mobilière a estimé que ces éléments n'étaient pas susceptibles de modifier sa prise de position du 2 mars 2012, selon laquelle la pathologie de l'épaule droite ne résultait pas de l'accident sur la voie publique. Par ailleurs, l'assurance a réitéré que toutes les affections liées aux événements accidentels du 26 avril 2011 devaient être considérées comme guéries à partir du 10 juillet 2011.
Par lettre du 3 avril 2012, C._ a formé opposition à la décision du 23 mars 2012, réaffirmant que les lésions à l'épaule droite étaient d'origine traumatique.
Par décision sur opposition du 16 juillet 2012, la Mobilière a retenu que la décision du 10 février 2012 concernant le sinistre N° 1 était définitive et exécutoire faute d'avoir fait l'objet d'une opposition motivée dans le délai de 30 jours. Pour le surplus, elle a rejeté l'opposition formée contre la décision du 23 mars 2012 concernant le sinistre N° 2.
B.
C._ a déféré la décision sur opposition du 16 juillet 2012 à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois. Celle-ci a informé les parties qu'elle allait ouvrir deux dossiers, l'un concernant la recevabilité de l'opposition (sinistre N° 1) et l'autre concernant le rejet de l'opposition (sinistre N° 2). Par jugement du 25 mars 2013, la juridiction cantonale a statué sur la recevabilité de l'opposition. Elle a admis le recours et annulé la décision sur opposition dans la mesure où elle concernait cette question. Par ailleurs, elle a renvoyé la cause à la Mobilière pour nouvelle décision concernant le sinistre N° 1.
C.
La Mobilière interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à la confirmation de sa décision sur opposition du 16 juillet 2012. A titre préalable, elle requiert que l'effet suspensif soit accordé au recours.
C._ a conclu au rejet du recours et déposé une demande d'assistance judiciaire. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
D.
Par ordonnance du 2 septembre 2013, la requête d'effet suspensif a été admise.
Considérant en droit:
1.
Le litige porte sur le point de savoir si la recourante était fondée à nier la recevabilité de l'opposition de l'intimée dans sa décision sur opposition du 16 juillet 2012. Ainsi, le jugement querellé ne concerne pas l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents et le Tribunal fédéral doit statuer sur la base des faits établis par l'autorité précédente, sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF, les art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF n'étant pas applicables.
2.
La juridiction cantonale a retenu que la Mobilière avait clairement informé l'intimée de sa volonté de traiter les deux sinistres séparément mais qu'elle avait malgré tout fait figurer dans la plupart des correspondances ainsi que dans les décisions des 10 février et 23 mars 2012 une référence aux deux sinistres, certes avec une police un peu plus grande pour le sinistre plus particulièrement concerné. Pour la juridiction cantonale, cette manière de faire n'était pas suffisante pour lever toute ambiguïté. En outre, dans une lettre du 2 mars 2012 concernant le sinistre N° 2, la recourante avait indiqué que les affections liées aux événements accidentels du 26 avril 2011 devaient être considérées comme guéries. Selon la juridiction cantonale, cette formulation équivoque pouvait donner à penser que la recourante se référait aux deux sinistres. Dans un tel contexte, la juridiction cantonale a estimé que nonobstant la référence à la lettre de la recourante du 2 mars 2012, la lettre de l'intimée du 8 mars 2012 devait être considérée comme l'expression de la volonté de l'assurée de s'opposer au refus de prestations pour les lésions à l'épaule droite (objet de la décision du 10 février 2012) et que cette manifestation de volonté était intervenue dans le délai de 30 jours. Pour la juridiction cantonale, cette appréciation devait s'imposer d'autant plus à la recourante que, dans le délai d'opposition, le docteur N._ lui avait écrit en se référant aux deux numéros de sinistre (lettre du 5 mars 2012). Ainsi, la juridiction cantonale a admis que l'intimée avait contesté, avant la fin du délai d'opposition, la décision du 10 février 2012. Si la recourante avait eu des doutes sur la recevabilité de l'opposition, elle devait interpeler l'assurée. Enfin, en l'absence d'un intérêt digne de protection à une stricte application des règles de procédure, la juridiction cantonale a reproché à la recourante un formalisme excessif.
3.
La recourante conteste le point de vue des juges cantonaux, en invoquant une violation du droit fédéral, en particulier une mauvaise application de l'art. 10 al. 5 OPGA. Selon elle, le contenu de la lettre du 8 mars 2012 ne devait pas être considéré comme une manifestation de volonté de l'assurée de s'opposer à la décision du 10 février 2012. De ce fait, il ne lui était pas nécessaire d'engager la procédure de l'art. 10 al. 5 OPGA. Elle conteste également avoir agi avec un formalisme excessif.
4.
Selon l'art. 52 al. 1 LPGA, les décisions rendues en matière d'assurance sociale peuvent être attaquées dans les trente jours par voie d'opposition auprès de l'assureur qui les a rendues, à l'exception des décisions d'ordonnancement de la procédure.
L'art. 10 al. 1 OPGA, édicté sur la base de la délégation de compétence prévue à l'art. 81 LPGA, prévoit que l'opposition doit contenir des conclusions et être motivée. Si elle ne satisfait pas à ces exigences ou si elle n'est pas signée, l'assureur impartit un délai convenable pour réparer le vice, avec l'avertissement qu'à défaut, l'opposition ne sera pas recevable (art. 10 al. 5 OPGA).
L'opposition est un moyen de droit permettant au destinataire d'une décision d'en obtenir le réexamen par l'autorité, avant qu'un juge ne soit éventuellement saisi. Elle assure la participation de l'assuré au processus de décision. Dans ce cadre, la procédure d'opposition ne revêt de véritable intérêt que si l'opposant doit exposer les motifs de son désaccord avec la décision le concernant de manière implicite ou explicite (ATF 119 V 347 consid. 1b p. 350).
5.
En l'espèce, la recourante, après avoir manifesté une volonté claire de traiter séparément les deux sinistres survenus le même jour, a continué de faire référence aux deux numéros de sinistres dans sa correspondance avec une police légèrement plus grande pour le sinistre directement concerné. Comme l'a retenu à juste titre la juridiction cantonale, ce procédé n'était pas de nature à lever toute ambiguïté dans l'esprit de l'intimée. Par ailleurs, cette confusion entre les sinistres avait été entretenue par le fait que chaque sinistre avait d'abord été désigné par la partie du corps concernée, à savoir l'épaule droite pour le sinistre N° 1 et une contusion au thorax et à la colonne lombaire pour le sinistre N° 2. La décision du 10 février 2012 portait d'ailleurs expressément une telle référence. En revanche, la lettre du 2 mars 2012, qui concernait le sinistre N° 2, ne comportait pas la référence à la partie du corps concernée et elle revenait sur la lésion à l'épaule droite, en précisant que seule une contusion de celle-ci pouvait avoir été causée par l'accident du 26 avril 2011 à 22h40. Enfin, la recourante a mentionné dans ce document que «toutes les affections liées aux événements accidentels du 26 avril 2011 étaient «sont» à considérer comme guéries». Il s'agit ici manifestement d'une référence aux deux sinistres.
Dans sa lettre du 8 mars 2012, intitulée «opposition et demande de réévaluation de dossier», C._ a fait état de déchirures de la coiffe des rotateurs relatives à l'épaule droite et s'est référée à deux lettres du docteur N._ (des 10 janvier et 1er février 2012, adressées directement à la recourante par ce médecin), lesquelles avaient également trait à la pathologie de l'épaule droite. Compte tenu de ces éléments, la circonstance que l'assurée a fait référence - dans sa lettre du 8 mars 2012 - au (seul) «courrier du 2 mars 2012», ne suffisait pas pour retenir que cette prise de position concernait uniquement le sinistre N° 2.
Sur le vu de ce qui précède, on doit admettre que la juridiction cantonale n'a pas violé le droit fédéral en considérant que l'intimée avait manifesté, dans un délai de 30 jours depuis la décision du 10 février 2012, sa volonté de s'opposer aux refus de prestations pour les lésions subies à l'épaule droite résultant du sinistre N° 1.
En tout état de cause, en présence de telles ambiguïtés, la recourante aurait dû procéder conformément à l'art. 10 al. 5 OPGA et fixer un délai à l'intimée pour corriger les imperfections de son opposition (cf. arrêt I 25/06 du 27 mars 2007 consid. 4.2).
6.
Le moyen de la recourante tiré d'un éventuel formalisme excessif n'a pas à être examiné, compte tenu de l'issue du litige sur le fond.
7.
Le recours doit dès lors être rejeté.
8.
La recourante, qui succombe, supportera les frais de procédure (art. 66 al. 1 LTF), ainsi qu'une indemnité de dépens allouée à l'intimée qui obtient gain de cause (art. 68 al. 2 LTF). Le versement de dépens rend sans objet la demande d'assistance judiciaire déposée en instance fédérale.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée la somme de 2'200 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal vaudois, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 19 décembre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: Berset