Faits:
A. A._ est propriétaire de la parcelle n° 736 sur le territoire de la commune de Finhaut. B._, propriétaire de terrains voisins, a obtenu le 5 avril 2004 du conseil municipal l'autorisation de construire une habitation. Dès le mois de mai 2004, B._ a demandé des modifications du projet autorisé. A._ s'y est opposé. Aucune de ces demandes n'a abouti à une décision entrée en force.
Le Conseil d'Etat du canton du Valais a été saisi le 31 mars 2005 d'une plainte formée par plusieurs voisins de B._, dont A._. Cette plainte visait la commune de Finhaut, à qui il incombait de contrôler l'exécution des travaux sur la base de l'autorisation du 5 avril 2004. Le 21 décembre 2005, le Conseil d'Etat a partiellement admis la plainte, en se référant à certains éléments de la construction (agrandissement d'un bûcher, création d'une porte, "surhauteurs" sur trois façades, forme d'une toiture), et il a renvoyé le dossier au conseil municipal. A._ a recouru en vain contre la décision du Conseil d'Etat auprès du Tribunal cantonal (arrêt A1 06 19 du 25 avril 2006 de la Cour de droit public du Tribunal cantonal).
B. Après la décision du Conseil d'Etat, B._ a requis du conseil municipal, le 19 septembre 2006, une autorisation de construire pour aménager un cabinet médical dans son bâtiment et pour régulariser diverses modifications apportées au projet initial. Cette demande d'autorisation a été mise à l'enquête publique et A._ a formé opposition. Le conseil municipal a écarté l'opposition le 12 octobre 2006 et accordé l'autorisation requise. Par une décision séparée du 2 novembre 2006, cette autorité a renoncé à exiger la démolition d'une "surhauteur" de 6 cm en façade sud.
A._, avec d'autres opposants, a recouru auprès du Conseil d'Etat contre la décision communale du 12 octobre 2006. Il a également déposé devant le gouvernement cantonal une plainte contre la commune de Finhaut, qu'il dénonçait pour avoir négligé ses obligations en matière de police des constructions; il demandait à l'autorité de surveillance de constater certaines violations du droit. Le Conseil d'Etat, statuant le 16 mai 2007, a admis les recours et la plainte puis annulé la décision du conseil municipal du 12 octobre 2006. Il a notamment considéré que certaines exigences en matière de coefficient d'occupation du sol n'étaient pas respectées et que, sur différents points, le dossier n'était pas conforme à des prescriptions formelles du droit cantonal.
A._ a recouru au Tribunal cantonal contre la décision du Conseil d'Etat. La Cour de droit public du Tribunal cantonal a rejeté ce recours, dans la mesure où il était recevable, par un arrêt rendu le 28 septembre 2007 (arrêt A1 07 113). Il a mis à la charge de A._ les frais de justice (par 1'200 fr.) ainsi que des dépens dus à B._ (1'800 fr.).
C. Le 30 octobre 2007, A._ a adressé au Tribunal cantonal une demande d'interprétation de l'arrêt du 28 septembre 2007. Il voyait trois contradictions entre les motifs de cet arrêt et son dispositif (notamment au sujet du changement d'affectation de locaux en cabinet médical et d'autres "informalités").
La Cour de droit public du Tribunal cantonal, dans la même composition, a rejeté la demande d'interprétation par un arrêt rendu le 30 novembre 2007 (arrêt A2 07 179). Elle a appliqué l'art. 64 al. 1 de la loi cantonale sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA), qui dispose qu'"à la demande écrite d'une partie, l'autorité de recours interprète sa décision lorsqu'elle contient des obscurités ou des contradictions dans le dispositif ou entre le dispositif et les motifs". Elle a considéré, sur la base du dispositif de l'arrêt du 28 septembre 2007, que les incertitudes alléguées par le requérant n'existaient pas. Les frais de justice, arrêtés à 500 fr., ont été mis à la charge A._ en application de l'art. 88 al. 1 LPJA, aux termes duquel "celui qui provoque ou requiert une démarche de l'administration acquitte l'émolument fixé par l'autorité".
D. A._ a adressé au Tribunal fédéral un "recours de droit administratif" ("ricorso in diritto amministrativo") contre l'arrêt A1 07 113 de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du 28 septembre 2007, définitivement interprété par cette même Cour dans son arrêt A2 07 179 du 30 novembre 2007. Le mémoire est rédigé en italien. Il a été déposé, sous pli recommandé, le 11 janvier 2008 dans un office de la poste italienne à Milan et il a été enregistré le 16 janvier 2008 par un office de La Poste Suisse (Zürich Briefzentrum International) pour être acheminé au Tribunal fédéral. Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. En vertu de l'art. 42 al. 1 LTF, les mémoires destinés au Tribunal fédéral doivent être rédigés dans une langue officielle. Cette exigence est respectée dans le cas particulier. Le présent arrêt doit être rédigé en français, langue de la décision attaquée, conformément à la règle de l'art. 54 al. 1 LTF.
2. L'art. 42 al. 1 LTF exige que le mémoire de recours indique des conclusions et des motifs. Les conclusions du recourant ne sont pas, en l'espèce, formulées de manière claire. Il y a lieu cependant de considérer que son recours tend à l'annulation des deux arrêts que le Tribunal cantonal a rendus les 28 septembre et 30 novembre 2007.
3. Il convient d'examiner en premier lieu si le recours, dirigé contre ces deux décisions, a été formé en temps utile.
3.1 En vertu de l'art. 100 al. 1 LTF - applicable au recours en matière de droit public dirigé contre la décision d'un tribunal cantonal dans le domaine du droit des constructions (cf. art. 82 let. a LTF) - , le recours doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les 30 jours qui suivent la notification de l'expédition complète de la décision attaquée. Une situation spéciale est traitée à l'art. 100 al. 6 LTF: "Si la décision d'un tribunal cantonal supérieur peut être déférée à une autre autorité judiciaire cantonale pour une partie seulement des griefs visés aux art. 95 à 98, le délai de recours commence à courir à compter de la notification de la décision de cette autorité" (en allemand: " Wenn der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts mit einem Rechtsmittel, das nicht alle Rügen nach den Artikeln 95-98 zulässt, bei einer zusätzlichen kantonalen Gerichtsinstanz angefochten worden ist, so beginnt die Beschwerdefrist erst mit der Eröffnung des Entscheids dieser Instanz"; en italien: "Se la decisione di un tribunale superiore cantonale è impugnata dinanzi a un'ulteriore autorità giudiziaria cantonale mediante un rimedio giuridico che consente di sollevare soltanto parte delle censure di cui agli articoli 95-98, il termine di ricorso decorre dalla notificazione della decisione di tale autorità"). L'art. 100 al. 6 LTF s'applique lorsque le canton connaît une instance supplémentaire de recours (soit, généralement, une troisième instance) où seuls certains griefs sont traités, après le recours "ordinaire" au tribunal cantonal où tous les griefs recevables devant le Tribunal fédéral peuvent être examinés sans restriction (cf. art. 95 à 98 LTF, en relation avec l'art. 111 al. 3 LTF; pour des cas d'application de l'art. 100 al. 6 LTF, lorsqu'un recours en nullité cantonal a été formé parallèlement au recours en matière civile selon les art. 72 ss LTF, cf. arrêts 4A_221/2007, du 20 novembre 2007, et 5A_86/2007, du 3 septembre 2007, tous deux destinés à la publication).
3.2 Certaines lois connaissent une procédure où l'autorité de recours elle-même est habilitée à interpréter sa propre décision, à la demande d'une partie. C'est le cas de la loi sur le Tribunal fédéral (art. 129 al. 1 LTF, correspondant à l'ancien 145 al. 1 OJ) et, également, de la loi cantonale valaisanne sur la procédure et la juridiction administratives (art. 64 al. 1 LPJA). La partie qui demande l'interprétation ne défère pas la décision concernée "à une autre autorité judiciaire", au sens de l'art. 100 al. 6 LTF; elle n'attaque pas ("anfechten", "impugnare") la décision dont elle veut obtenir une reformulation claire et complète. La demande d'interprétation n'est pas à proprement parler un recours (en allemand: ce n'est pas un "Rechtsmittel" mais plutôt un "Rechtsbehelf" - cf. Oscar Vogel/Karl Spühler, Grundriss des Zivilprozessrechts, 8e éd. Berne 2006, p. 379). En conséquence, il faut considérer que l'art. 100 al. 6 LTF n'est pas applicable quand la partie attaque, devant le Tribunal fédéral, d'une part une décision rendue en dernière instance par un tribunal cantonal et, d'autre part, la décision de ce même tribunal, dans la même cause, sur une demande d'interprétation.
3.3 Il s'ensuit que le recours en matière de droit public est irrecevable en tant qu'il est dirigé contre l'arrêt de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du 28 septembre 2007. Cet arrêt a été notifié au recourant au plus tard le 30 octobre 2007 (date du dépôt de la demande d'interprétation) et le délai de trente jours de l'art. 100 al. 1 LTF était échu le 16 janvier 2008, date de la remise du recours à La Poste Suisse (cf. art. 48 al. 1 LTF).
En revanche, en tant qu'il est dirigé contre l'arrêt du 30 novembre 2007 de la Cour de droit public du Tribunal cantonal, rejetant la demande d'interprétation, le recours n'est pas tardif, étant précisé que le délai de l'art. 100 al. 1 LTF était suspendu du 18 décembre au 2 janvier inclus (art. 46 al. 1 let. c LTF).
4. Vu l'objet de la décision attaquée, le seul grief concevable est celui d'une application contraire au droit fédéral - y compris le droit constitutionnel fédéral (art. 95 let. a LTF; cf. ATF 133 II 249 consid. 1.2.1 p. 252; 133 III 446 consid. 3.1 p. 447) - des normes pertinentes pour l'interprétation d'un arrêt du Tribunal cantonal. En d'autres termes, une partie à la procédure peut en pareil cas se plaindre devant le Tribunal fédéral d'une violation des garanties formelles du droit constitutionnel fédéral (par exemple du droit d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst.) ou d'une application arbitraire (art. 9 Cst.) du droit cantonal concernant l'interprétation des jugements. S'agissant des griefs de violation des droits fondamentaux (art. 7 à 36 Cst.), l'art. 106 al. 2 LTF prévoit pour la motivation du recours des exigences qualifiées, qui correspondent à celles prescrites par l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ. Le Tribunal fédéral, qui n'est pas une juridiction d'appel, n'examine pas d'office si la décision attaquée retient les faits pertinents ni si elle est conforme aux règles de droit applicables; il incombe au recourant d'expliquer de manière claire et précise en quoi cette décision pourrait être contraire aux garanties de la Constitution (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 III 439 consid. 3.2 p. 444; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287).
Le présent recours n'est manifestement pas motivé conformément à ces exigences. Il ne contient aucune référence expresse à l'actuelle Constitution fédérale, du 18 avril 1999. Il ne critique pas de manière claire et précise l'application de l'art. 64 al. 1 LPJA. En réalité, le recourant développe une fois encore les arguments qu'il avait soumis au Tribunal cantonal, dans son recours contre la décision du Conseil d'Etat du 16 mai 2007, et il critique le rejet de ses conclusions; comme cela a été exposé ci-dessus (consid. 3), le Tribunal fédéral ne peut pas entrer en matière à ce propos à cause de la tardiveté du recours. Les griefs contre sa condamnation aux frais de justice sont, eux aussi, dirigés principalement contre le premier arrêt du Tribunal cantonal, du 28 septembre 2007. A tout le moins, il n'est pas exposé de manière claire et précise en quoi il serait contraire au droit constitutionnel fédéral de mettre les frais d'une décision rejetant entièrement une demande d'interprétation à la charge de l'auteur de cette demande. A défaut de respecter les prescriptions de l'art. 106 al. 2 LTF (en relation avec l'art. 42 al. 2 LTF), le recours doit donc être déclaré irrecevable.
5. Le recourant, dont l'acte est entièrement irrecevable, succombe; conformément à la règle de l'art. 66 al. 1, 1ère phrase LTF, il doit supporter les frais judiciaires. Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens, les autres parties n'ayant pas été invitées à se déterminer.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, le cas échéant par l'intermédiaire de leurs mandataires, et au Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 29 janvier 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Jomini