Erwägungen:
1. Der aus dem Kosovo stammende R._, geboren 1983, lebt seit 1993 mit einer Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz. Er ist seit Mai 2006 mit einer Schweizer Bürgerin, der Mutter seines 2005 geborenen Kindes, verheiratet. Die Sicherheitsdirektion (Migrationsamt) des Kantons Zürich lehnte am 27. Juni 2007 sein Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und verfügte seine Wegweisung; begründet wurde dies mit den zahlreichen Verstössen des Ausländers gegen die Rechtsordnung, welche Freiheitsstrafen von insgesamt 39 Monaten und 14 Tagen zur Folge hatten. Der Regierungsrat des Kantons Zürich wies den gegen diese Verfügung der Sicherheitsdirektion erhobenen Rekurs am 5. März 2008 ab; einer allfälligen Beschwerde entzog er die aufschiebende Wirkung. R._ erhob gegen den Rekursentscheid am 4. April 2008 Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und stellte das Begehren, es sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. Der Präsident der 2. Abteilung des Verwaltungsgerichts wies das Begehren um aufschiebende Wirkung (Genehmigung des Aufenthalts im Kanton Zürich für die Dauer des verwaltungsgerichtlichen Verfahrens) am 7. April 2008 ab (Ziff. 1 des Verfügungsdispositivs).
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 2. Mai 2008 stellt R._ dem Bundesgericht den Antrag, Ziff. 1 der Verfügung vom 7. April 2008 aufzuheben und seinem Begehren um Erteilung der aufschiebenden Wirkung für die Beschwerde an das Verwaltungsgericht (Genehmigung des Aufenthaltes im Kanton Zürich für die Dauer des Verwaltungsgerichtsverfahrens) aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Angefochten ist eine Zwischenverfügung über vorsorgliche Massnahmen. Gegen den Endentscheid stünde die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario), sodass dieses Rechtsmittel auch zur Anfechtung der Verfügung vom 7. April 2008 zulässig ist, soweit die Voraussetzungen zur Anfechtung von Zwischenentscheiden erfüllt sind (insbesondere Art. 93 BGG). Weiteres Eintretenserfordernis ist, dass zulässige Rügen erhoben und in einer den gesetzlichen Anforderungen genügenden Weise begründet werden. Die Beschwerdegründe werden durch Art. 98 BGG beschränkt: Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Dies setzt voraus, dass in der Beschwerdeschrift dargelegt wird, welches verfassungsmässige Recht und inwiefern es durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein soll (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG).
2.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, "dass die durch die Vorinstanzen verfügte Wegweisung des Beschwerdeführers sowie die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung in qualifiziertem Ausmass unverhältnismässig ist, mithin also eine Rechtsverletzung von Art. 5 Abs. 2 BV vorliegt, welche gegen das verfassungsmässige Recht des Beschwerdeführers gemäss Art. 13 Abs. 1 BV bzw. Art. 8 Abs. 1 EMRK verstösst."
Art. 5 Abs. 2 BV ist zwar ein von allen Behörden einzuhaltendes verfassungsmässiges Prinzip, stellt aber kein verfassungsmässiges Recht (im Sinne von Art. 98 BGG) dar (vgl. BGE 126 I 112 E. 5b S. 119; 125 I 161 E. 2b S. 163). Wohl erhebt der Beschwerdeführer die Rüge der Unverhältnismässigkeit im Zusammenhang mit Art. 13 BV und Art. 8 EMRK. Was er im Einzelnen dazu ausführt, entspricht im Wesentlichen aber dem, was gegen einen die Aufenthaltsbewilligung verweigernden und die Wegweisung bestätigenden Endentscheid vorgebracht werden kann; dies zeigt insbesondere der vorstehend wortwörtlich wiedergegebene Passus aus seiner Beschwerdeschrift. Der Beschwerdeführer verliert dabei aus den Augen, dass selbst die Möglichkeit einer Gutheissung der Beschwerde durch das Verwaltungsgericht gestützt auf Art. 8 EMRK die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung nicht als unzulässig bzw. als verfassungswidrig erscheinen lässt, wäre doch sonst jeder nicht aussichtslos erscheinenden Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das Bundesgericht könnte die angefochtene Zwischenverfügung jedenfalls nur dann aufheben, wenn sie auf einer willkürlichen Anwendung kantonalen Verfahrensrechts beruhte bzw. sich auf keinen nachvollziehbaren Grund stützen liesse, d.h. im Ergebnis willkürlich wäre (vgl. Urteil 2C_11/2007 vom 21. Juni 2007 E. 2.3.2 und 2.3.3 mit Hinweisen spezifisch zur Frage der vorsorglichen Anwesenheitsregelung in ausländerrechtlichen Beschwerdeverfahren im Anwendungsbereich von Art. 8 EMRK). Dass es sich so verhalte, legt der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde nicht in einer den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Weise dar. Insbesondere setzt er sich in keiner Weise mit den in der angefochtenen Verfügung angestellten Überlegungen zur möglicherweise von ihm ausgehenden Gefahr für die öffentliche Sicherheit auseinander; auch genügt der nun vor Bundesgericht gemachte Hinweis darauf, dass der Arbeitsvertrag irrtümlich vom 12. März 2007 statt vom 12. März 2008 datiert sei, nicht, um eine im Hinblick auf die Erwerbsmöglichkeiten des Beschwerdeführers willkürliche Sachverhaltsermittlung durch das Verwaltungsgericht darzutun.
2.3 Nach dem Gesagten enthält die Beschwerde insgesamt offensichtlich keine hinreichende Begründung, und es ist darauf im vereinfachten Verfahren nicht einzutreten (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
2.4 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Sicherheitsdirektion, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Mai 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller