Faits:
A. A.a C._, né en 1951, a été engagé par Y._ en qualité de représentant avec effet au 1er février 2001, date à partir de laquelle il a été affilié à la Caisse de retraite Y._, et a travaillé en tant que chef de vente auprès de cette entreprise. Le 14 février 2005, il a signé un contrat de travail pour le 1er juin 2005 avec la société Z._ SA. Le 20 février 2005, il a informé Y._ qu'une opportunité qu'il ne pouvait refuser s'était offerte à lui, raison pour laquelle il résiliait les rapports de travail pour le 31 mai 2005. Le 23 mai 2005, C._ a été victime d'un accident en conduisant un petit tracteur («tracasset»; cf. la déclaration de sinistre LAA du 30 mai 2005, où il est indiqué que le tracteur s'était renversé et l'avait blessé aux mains gauche et droite, aux jambes et au dos). Le 25 mai 2005, il a consulté le docteur H._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant du patient depuis le 24 août 2004, qui a posé un diagnostic traumatologique et attesté dans un certificat médical une incapacité de travail à partir du 25 mai 2005, d'une durée probable de trois jours.
A.b Le 1er juin 2005, C._ a commencé son nouvel emploi auprès de la société Z._ SA. Le même jour, il a rempli une demande d'affiliation en tant que chef d'exploitation auprès du Fonds d'assurance-retraite X._ en apposant une croix dans la case "oui" au regard des questions relatives à la déclaration de santé, confirmant par sa réponse qu'il jouissait actuellement de sa pleine capacité de travail, qu'il n'avait pas subi une incapacité de travail, partielle ou totale, supérieure à trois semaines, pour cause de maladie ou d'accident, au cours des 12 derniers mois, et qu'il ne souffrait, à sa connaissance, bien que jouissant de sa pleine capacité de travail, ni d'une infirmité, ni d'une maladie, ni des suites d'un accident. Sur cette base, le Fonds d'assurance-retraite X._ lui a confirmé son admission avec effet au 1er juin 2005.
Dès le 10 juin 2005, C._ a été admis d'office à l'Hôpital psychiatrique W._, où il a séjourné jusqu'au 22 juin 2005 pour un épisode maniaque. Le 23 juin 2005, il a été licencié par la société Z._ SA, qui a annoncé au Fonds d'assurance-retraite X._ le départ de son employé au 31 juillet 2005 (avis de mutation du 5 août 2005). Du 12 juillet au 13 octobre 2005, il a séjourné à nouveau à l'Hôpital psychiatrique W._.
A.c Le 12 septembre 2006, C._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant l'octroi d'une rente d'invalidité. Dans un rapport du 24 octobre 2006, le docteur A._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie et chef de clinique de l'Hôpital W._, a posé les diagnostics de trouble affectif bipolaire, épisode "actuel" maniaque, avec symptômes psychotiques ([CIM-10] F31.2) existant depuis le 10 juin 2005 et de syndrome de dépendance à l'alcool existant au moins depuis novembre 1994, "actuellement" abstinent mais dans un environnement protégé (F10.21). Dans un rapport du 31 octobre 2006, le docteur H._ a posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de troubles affectifs bipolaires et de syndrome de dépendance à l'alcool. A la question de savoir à partir de quand le patient présentait une incapacité de travail de 20 % au moins, il a répondu que celui-ci avait été en arrêt de travail à 100 % du 25 mai 2005 jusqu'à "actuellement". De son côté, la doctoresse L._, médecin associée de psychiatrie à la Clinique V._, qui a établi les arrêts de travail de C._ depuis le 1er avril 2007, a posé dans un rapport du 5 juin 2007 les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de trouble bipolaire, épisode "actuel" de dépression moyenne avec syndrome somatique (F31.31) depuis janvier 2005 et de syndrome de dépendance à l'alcool (F10.2) depuis une dizaine d'années.
Dans un rapport d'examen du 4 octobre 2007, la doctoresse M._, médecin SMR, a noté que l'assuré souffrait d'un trouble bipolaire "actuellement" marqué par un épisode dépressif d'intensité moyenne, associé à un syndrome de dépendance à l'alcool. Après discussion avec le docteur N._, médecin psychiatre au SMR, compte tenu de l'évolution peu favorable de la maladie depuis mai 2005 malgré un traitement bien conduit, et compte tenu de la sévérité des limitations fonctionnelles et de l'important risque de rechutes, elle a conclu que l'exercice d'une activité lucrative n'était pas envisageable. Niant toute capacité de travail exigible dans l'activité habituelle et dans une activité adaptée, elle a fixé le début de l'incapacité de travail durable au 25 mai 2005.
Dans un préavis du 20 novembre 2007, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a informé C._ que sa capacité de travail était considérablement restreinte depuis le 25 mai 2005 et qu'il présentait une invalidité de 100 % depuis le 25 mai 2006, de sorte qu'il avait droit à une rente entière dès le 1er mai 2006. Par décision du 20 mars 2008, il lui a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er mai 2006, assortie dans une deuxième décision datée du même jour d'une rente pour enfant pendant la période du 1er mai 2006 au 31 janvier 2007.
A.d Le 26 février 2008, le Fonds d'assurance-retraite X._ - aujourd'hui: le Fonds de prévoyance X._ (ci-après: le Fonds de prévoyance) -- a avisé C._ qu'il n'avait pas droit à des prestations d'invalidité du Fonds de prévoyance, ni pour la part obligatoire selon la LPP, ni pour la part surobligatoire dépassant celle-ci. Relevant que ses problèmes de santé dataient de plusieurs années et qu'il avait notamment subi une hospitalisation en novembre 2004, il lui reprochait d'avoir commis une réticence en ne répondant pas de façon exacte à la déclaration de santé. Se référant à l'art. 2 du règlement du Fonds de prévoyance, il informait C._ que s'il avait eu connaissance de cet élément lors de l'affiliation, il aurait admis celui-ci avec une réserve pour la couverture des risques de décès ou d'invalidité liée à cette pathologie se déclarant dans les cinq ans. Par conséquent, il excluait la partie surobligatoire des prestations d'invalidité ou de décès du Fonds de prévoyance et les limitaient à celles découlant de l'assurance obligatoire selon la LPP. Le Fonds de prévoyance n'était toutefois pas tenu à prestation, puisque l'incapacité de travail de 100 % dès le 25 mai 2005 dont le docteur H._ avait fait état dans son rapport du 31 octobre 2006 était à l'origine de son invalidité et qu'elle était antérieure à son affiliation à partir du 1er juin 2005.
Le 27 mars 2008, le Service de psychiatrie de liaison de V._, tout en relevant que le diagnostic psychiatrique posé lors de la première hospitalisation était postérieur au 1er juin 2005 et que de ce fait la bonne foi du patient dans sa déclaration de santé ne saurait être mise en doute, a communiqué au Fonds de prévoyance une prise de position de C._ datée également du 27 mars 2008 niant toute réticence de sa part. Il produisait également une lettre du docteur H._ du 13 mars 2008, où ce médecin relevait que le diagnostic des troubles affectifs bipolaires avait été posé après le 1er juin 2005 et que sur le vu de ses notes et de son dossier, le patient ne pouvait être au courant du diagnostic lorsqu'il avait signé la demande d'affiliation au Fonds de prévoyance. Il relevait aussi qu'à l'époque du 1er juin 2005 et ceci depuis 2004, le patient présentait effectivement des problèmes d'alcool avec un syndrome de dépendance qui avait justifié d'ailleurs l'hospitalisation en 2004. Pour autant, le docteur H._ était très loin d'être sûr qu'à l'époque où C._ avait signé la demande d'affiliation, il était conscient de ce diagnostic et ceci très certainement en raison de la comorbidité psychiatrique dont le diagnostic n'avait été posé qu'après juin 2005.
Le 17 juillet 2008, le Fonds de prévoyance a communiqué une copie des décisions de rentes de l'office AI du 20 mars 2008 à la Caisse de retraite Y._, en l'invitant à se déterminer par rapport aux prétentions de C._ à des prestations d'invalidité. Le 5 août 2008, l'office AI a remis le dossier de l'assuré à la Caisse de retraite Y._. Après étude du dossier, celle-ci a informé le Fonds de prévoyance le 1er octobre 2008 qu'elle ne pouvait entrer en matière pour une quelconque rente d'invalidité, attendu que l'incapacité de travail consécutive à l'accident du 23 mai 2005 avait pris fin le 27 mai 2005 et que la cause accidentelle de cette incapacité de travail n'était donc pas à l'origine de l'invalidité de C._. Par lettre du 27 octobre 2008, le Fonds de prévoyance a informé C._ qu'il maintenait sa position.
Le 21 octobre 2008, la Caisse de retraite Y._ a invité l'office AI à réexaminer le cas de C._, en fixant le début de l'incapacité de travail durable au 10 juin 2005. Le 27 novembre 2008, l'office AI a refusé d'entrer en matière sur sa requête, au motif que le courrier du 21 octobre 2008 considéré comme un recours était tardif et que les conditions d'une reconsidération des décisions de rentes du 20 mars 2008 n'étaient pas réalisées. Le 19 décembre 2008, la Caisse de retraite Y._ a saisi la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud de deux recours contre les décisions de rentes du 20 mars 2008 et le refus de l'office AI du 27 novembre 2008 d'entrer en matière sur sa requête, ce dont elle a informé C._ par lettre du 19 janvier 2009.
B. Le 3 février 2009, C._ a saisi la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud d'une demande contre la Caisse de retraite Y._ et le Fonds de prévoyance X._, en prenant, sous suite de frais et dépens, des conclusions alternatives à leur encontre en ce sens que soit la Caisse de retraite Y._ était débitrice à son égard dès le 1er mai 2006 d'une rente entière d'invalidité d'un montant que justice dira, avec intérêts moratoires de 5 % l'an dès l'ouverture de l'action, soit le Fonds de prévoyance X._ était débiteur à son égard dès le 1er juin 2006 d'une rente entière d'invalidité d'un montant que justice dira, avec intérêts moratoires de 5 % l'an dès l'ouverture de l'action.
Dans sa réponse du 13 mars 2009, la Caisse de retraite Y._ a conclu, sous suite de frais et dépens, au rejet de la demande, la juridiction cantonale étant invitée à fixer le début de l'incapacité de travail au 10 juin 2005. Dans sa réponse du 6 avril 2009, le Fonds de prévoyance X._, concluant au rejet de la demande, a relevé qu'il n'était pas tenu à prestation puisque le début de l'incapacité de travail fixé par l'office AI était antérieur à son affiliation dès le 1er juin 2005. Le 10 juillet 2009, il a confirmé sa prise de position, tout en indiquant, pour répondre à la requête de C._ du 13 mai 2009, que la rente d'invalidité à laquelle celui-ci aurait droit si le Fonds de prévoyance devait prendre en charge son invalidité s'élevait à 2'178 fr. par mois (30 % du salaire annuel assuré de 87'100 fr.). Sur requête du juge instructeur, la Caisse de retraite Y._, par lettre du 27 août 2009, a communiqué au Tribunal à titre indicatif le montant de la rente d'invalidité réglementaire maximale à laquelle C._ aurait droit si elle devait prendre en charge le cas, lequel s'élevait à 34'140 fr. par année (valeur 2005) et correspondait à 60 % du salaire annuel assuré de 56'900 fr., compte tenu de la déduction de coordination de 17'200 fr.
Par jugement du 27 juillet 2010, la juridiction cantonale a prononcé que le Fonds de prévoyance X._ devait verser à C._ une rente d'invalidité de 2'178 fr. (deux mille cent septante-huit francs) par mois dès le 1er juin 2006, plus intérêt moratoire sur les arrérages échus au taux de 5 % l'an dès le 12 février 2009 (ch. I du dispositif), que la demande formée par C._ contre la Caisse de retraite Y._ était rejetée (ch. II du dispositif), qu'il n'était pas perçu de frais de justice (ch. III du dispositif) et qu'une indemnité de 1'500 fr. (mille cinq cents francs), à verser à C._ à titre de dépens, était mise à la charge du Fonds de prévoyance X._ (ch. IV du dispositif).
C. Le Fonds de prévoyance X._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, la Caisse de retraite Y._ étant condamnée à verser à C._ une rente d'invalidité réglementaire incluant la rente d'invalidité minimale LPP dès le 1er juin 2006, plus intérêt moratoire sur les arrérages échus au titre de 5 % l'an dès le 12 février 2009. A titre subsidiaire, il demande que la cause soit renvoyée à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud pour nouvelle décision dans le sens des considérants en ce qui concerne le début de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité de C._, la réticence qu'il lui reproche d'avoir commise et les intérêts moratoires. Par lettre du 13 octobre 2010, il a demandé que l'effet suspensif soit attribué au recours.
Dans sa réponse du 18 novembre 2010, C._ conclut, sous suite de frais et dépens, à l'admission du recours en ce sens que le jugement entrepris est annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire sur le début de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de son invalidité. Dans sa réponse du 19 novembre 2010, la Caisse de retraite Y._, qui s'est déterminée les 15 octobre et 4 novembre 2010 sur la requête d'effet suspensif présentée par le Fonds de prévoyance X._, conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours.
Par ordonnance du 23 novembre 2010, le Juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif.
Considérant en droit:
1. 1.1 La deuxième Cour de droit social du Tribunal fédéral est compétente pour statuer sur le point de savoir si c'est avec raison que la juridiction cantonale a admis que le Fonds de prévoyance X._ (le recourant) était tenu de verser à l'intimé une rente d'invalidité et a rejeté la demande de C._ contre la Caisse de retraite Y._ (art. 73 LPP et art. 35 let. e du Règlement du Tribunal fédéral du 20 novembre 2006; arrêt 9C_182/2007 du 7 décembre 2007 consid. 1 et les arrêts cités).
1.2 Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La correction du vice doit être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF).
2. 2.1 L'art. 23 LPP, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2004, disposait qu'ont droit à des prestations d'invalidité les personnes qui sont invalides à raison de 50 % au moins au sens de l'AI, et qui étaient assurées lorsqu'est survenue l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité. L'art. 23 let. a LPP (nouvelle teneur selon le ch. I de la novelle du 3 octobre 2003 [1re révision LPP], en vigueur depuis le 1er janvier 2005) dispose qu'ont droit à des prestations d'invalidité les personnes qui sont invalides à raison de 40 % au moins au sens de l'AI, et qui étaient assurées lorsqu'est survenue l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité.
2.2 Le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle obligatoire suppose que l'incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de l'invalidité, soit survenue pendant la durée du rapport de prévoyance (y compris la prolongation prévue à l'art. 10 al. 3 LPP), conformément au principe d'assurance (art. 23 LPP ancienne teneur, art. 23 let. a LPP nouvelle teneur; ATF 135 V 13 consid. 2.6 p. 17, 134 V 20 consid. 3 p. 21 s., 123 V 262 consid. 1c p. 264). L'événement assuré est uniquement la survenance d'une incapacité de travail d'une certaine importance, indépendamment du point de savoir à partir de quel moment et dans quelle mesure un droit à une prestation d'invalidité est né. La qualité d'assuré doit exister au moment de la survenance de l'incapacité de travail, mais pas nécessairement lors de l'apparition ou de l'aggravation de l'invalidité (ATF 136 V 65 consid. 3.1 p. 68, 123 V 262 consid. 1a p. 263). Ces principes trouvent aussi application en matière de prévoyance plus étendue, si - comme c'est le cas en ce qui concerne le Fonds de prévoyance X._ (arrêt 9C_700/2007 du 26 juin 2008) - le règlement de l'institution de prévoyance ne prévoit rien d'autre (ATF 136 V 65 consid. 3.2 p. 69, 123 V 262 consid. 1b p. 264, 120 V 112 consid. 2b p. 116 s.).
2.3 La détermination du moment de la survenance de l'incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de l'invalidité, est une question de fait. En revanche, le point de vue sur la base duquel intervient la décision relative au moment de la survenance de l'incapacité de travail déterminante relève du droit (arrêts 9C_297/2010 du 23 septembre 2010 consid. 2.3 (in SVR 2011 BVG n° 14 p. 51) et 9C_127/2008 du 11 août 2008 consid. 2.2 (in SVR 2008 BVG n° 34 p. 143).
2.4 Pour que l'ancienne institution de prévoyance reste tenue à prestations, il faut non seulement que l'incapacité de travail ait débuté à une époque où l'assuré lui était affilié, mais encore qu'il existe entre cette incapacité de travail et l'invalidité une relation d'étroite connexité. La connexité doit être à la fois matérielle et temporelle (ATF 130 V 270 consid. 4.1 p. 275). Il y a connexité matérielle si l'affection à l'origine de l'invalidité est la même que celle qui s'est déjà manifestée durant l'affiliation à la précédente institution de prévoyance (et qui a entraîné une incapacité de travail). La connexité temporelle implique qu'il ne se soit pas écoulé une longue interruption de l'incapacité de travail; elle est rompue si, pendant une certaine période, l'assuré est à nouveau apte à travailler (ATF 123 V 262 consid. 1c p. 264, 120 V 112 consid. 2c/aa p. 117 s.).
2.5 Pour la survenance de l'incapacité de travail au sens de l'art. 23 (à partir du 1er janvier 2005: let. a) LPP, c'est la diminution de la capacité fonctionnelle de rendement dans la profession exercée jusque-là ou le champ d'activités habituelles qui est déterminante (ATF 134 V 20 consid. 3.2.2 p. 23 et les références). La connexité temporelle avec l'invalidité ultérieure - en tant que condition supplémentaire du droit aux prestations d'invalidité de l'institution de prévoyance concernée - se définit en revanche d'après l'incapacité de travail, respectivement la capacité résiduelle de travail dans une activité raisonnablement exigible adaptée à l'atteinte à la santé. Une telle activité doit cependant permettre de réaliser, par rapport à l'activité initiale, un revenu excluant le droit à une rente (ATF 134 V 20 consid. 5.3 p. 27).
S'agissant de la diminution de la capacité fonctionnelle de rendement dans la profession exercée jusque-là, elle doit être de 20 % au moins (arrêts 9C_297/2010 du 23 septembre 2010 consid. 2.1 et 9C_127/2008 du 11 août 2008 consid. 2.3). Elle doit se manifester au regard du droit du travail et avoir été remarquée par l'employeur (arrêt 9C_339/2007 du 5 mars 2008 consid. 5.2). Une incapacité de travail médico-théorique qui n'a été constatée que des années après ne suffit pas (arrêt 9C_54/2008 du 9 octobre 2008 résumé in RSAS 2009 p. 143 et la référence à l'arrêt B 13/01 du 5 février 2003 [SZS 2003 p. 434]; voir aussi MARC HÜRZELER, Invaliditätsproblematiken in der beruflichen Vorsorge: unter Berücksichtigung ihrer Stellung im Sozialversicherungs- und Schadenausgleichsystem, thèse Bâle 2005, p. 142 s.). Il existe une incapacité de travail au sens de l'art. 23 (à partir du 1er janvier 2005: let. a) LPP non seulement lorsque, pour des raisons de santé, la personne ne peut plus exercer l'activité exercée jusque-là ou ne le peut encore que dans une mesure restreinte, mais aussi lorsqu'elle ne peut continuer son activité professionnelle qu'en s'exposant à une aggravation de son état de santé (arrêt 9C_127/2008 du 11 août 2008 consid. 3.3).
3. En l'espèce, l'atteinte principale à la santé qui est du ressort de l'assurance-invalidité et dont résulte l'invalidité de l'intimé selon la décision de rente entière de l'office AI du 20 mars 2008, consiste dans le diagnostic de trouble affectif bipolaire, épisode "actuel" de dépression moyenne avec syndrome somatique, posé par la doctoresse M._ dans son rapport du 4 octobre 2007.
3.1 La juridiction cantonale a relevé que l'intimé avait présenté une brève incapacité de travail en raison d'un accident de «tracasset» survenu le 23 mai 2005, qui avait causé des blessures aux mains, aux jambes et au dos, laquelle avait pris fin le 28 mai 2005, et qu'il avait présenté depuis le 10 juin 2005, date de son hospitalisation en milieu psychiatrique, une incapacité totale de travail de longue durée en raison d'un trouble affectif bipolaire, épisode "actuel" maniaque avec syndromes psychotiques. Il résultait de la lettre du docteur H._ du 13 mars 2008 que l'incapacité de travail de 100 % dès le 25 mai 2005 était d'étiologie traumatologique et qu'elle n'avait strictement rien à voir avec le trouble bipolaire à l'origine de l'invalidité. Considérant que l'intimé avait présenté successivement deux incapacités de travail dont les causes étaient parfaitement distinctes et indépendantes l'une de l'autre, l'autorité précédente a retenu que l'incapacité de travail, dont la cause était à l'origine de l'invalidité de l'intimé, était survenue pour la première fois le 10 juin 2005, date à laquelle l'intimé était affilié au Fonds de prévoyance X._. Il appartenait dès lors à cette institution de prévoyance de verser des prestations d'invalidité selon l'art. 23 let. a LPP.
3.2 Le Fonds de prévoyance X._ reproche à l'autorité précédente de s'être écartée de la date du 25 mai 2005 à laquelle l'assurance-invalidité a fixé le début de l'incapacité de travail durable de l'intimé. Il fait valoir que celui-ci, avant de commencer son emploi auprès de la société Z._ SA, présentait déjà un état de santé gravement déficient, dont l'incidence sur sa capacité de travail était bien antérieure au 1er juin 2005.
4. Le fait que l'office AI, dans la décision de rente entière d'invalidité du 20 mars 2008, a fixé au 25 mai 2005 le début de l'incapacité de travail durable au sens de l'art. 29 al. 1 LAI (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), n'a pas la portée que lui prête le recourant. Du jugement entrepris, il ressort que dans sa lettre du 13 mars 2008, le docteur H._ a indiqué que l'incapacité de travail de 100 % dès le 25 mai 2005 (attestée dans son certificat daté du même jour) n'avait absolument rien à faire avec le diagnostic de troubles affectifs bipolaires posé après le 1er juin 2005 ni avec les problèmes d'alcool avec syndrome de dépendance ayant justifié une hospitalisation en 2004, mais concernait l'accident de «tracasset» qui avait justifié une consultation le 25 mai 2005 et dont le diagnostic était un diagnostic traumatologique. Sur le vu de la lettre du docteur H._ du 13 mars 2008 mentionnée ci-dessus, cette incapacité de travail, transitoire puisqu'elle a pris fin le 28 mai 2005, était d'étiologie traumatologique et sa cause n'est donc pas à l'origine de l'invalidité de l'intimé résultant du trouble affectif bipolaire dont il est atteint. La date du 25 mai 2005 à partir de laquelle le docteur H._ a attesté l'incapacité de travail de 100 % d'étiologie traumatologique ne joue dès lors aucun rôle dans le cadre de l'art. 23 let. a LPP. Sur ce point, le jugement entrepris est conforme au droit fédéral.
5. Devant l'autorité précédente, le litige portait sur le point de savoir auprès de quelle institution de prévoyance l'intimé était assuré lorsqu'est survenue l'incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de son invalidité.
5.1 Le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel l'intimé a présenté successivement deux incapacités de travail dont les causes étaient parfaitement distinctes et indépendantes l'une de l'autre, ne permet pas de conclure que l'incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de l'invalidité, remonte au plus tôt au 10 juin 2005. Au préalable, l'autorité précédente aurait dû examiner si l'intimé avait présenté une incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de son invalidité, avant le début de son affiliation au Fonds de prévoyance X._.
5.2 Du jugement entrepris, il ressort que dans son rapport du 24 octobre 2006, le docteur A._ a relevé que l'intimé, lorsqu'il travaillait au service de Y._, avait augmenté sa consommation d'alcool, devant souvent boire une bouteille de vin avant de rencontrer les premiers clients, et qu'il avait pris peu à peu conscience de ce problème et opté finalement pour un sevrage en novembre 2004, qu'il avait effectué sur son temps de vacances afin d'éviter d'impliquer son travail. Il n'était resté que quelques jours à la Clinique U._, puisqu'il était arrivé déjà sevré. De la lettre de sortie, qui mentionnait un diagnostic d'état dépressif, il résultait qu'un traitement antidépresseur avait été proposé, qui sauf erreur avait été prescrit jusqu'au début 2005 et interrompu à ce moment-là.
Il ressort également du jugement entrepris que dans son rapport du 5 juin 2007, la doctoresse L._ a posé notamment le diagnostic de trouble bipolaire, épisode "actuel" de dépression moyenne avec syndrome somatique (F31.31) depuis janvier 2005, et que dans son rapport du 4 octobre 2007, la doctoresse M._ a conclu à un trouble affectif bipolaire, épisode "actuel" de dépression moyenne avec syndrome somatique (F31.31), en relevant que dans la discussion du cas avec le docteur N._, l'évolution peu favorable de la maladie depuis mai 2005 malgré un traitement bien conduit avait été prise en compte.
C'est à la lumière de ce qui précède que la juridiction cantonale, à laquelle la cause doit être renvoyée pour instruction complémentaire, examinera si l'intimé a présenté une incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de son invalidité, avant le début de son affiliation au Fonds de prévoyance X._. Il importe notamment de savoir si celui-ci se trouvait dans la situation où il ne pouvait continuer son activité professionnelle de représentant en vins au service de Y._ qu'en s'exposant à une aggravation de son état de santé (supra, consid. 2.5 et la référence à l'arrêt 9C_127/2008 du 11 août 2008). On relèvera sur ce point que dans son rapport du 24 octobre 2006, le docteur A._ a indiqué que l'intimé, après avoir pris conscience que son problème d'alcool était devenu incompatible avec sa profession de représentant en vins, s'était rapidement mis à la recherche d'un autre emploi et avait signé en février 2005 un contrat de travail avec la société Z._ SA. Dans le rapport du 24 octobre 2006 mentionné ci-dessus, ce médecin a aussi relevé que début mai 2005, Y._ avait demandé à l'intimé de former son successeur en une semaine alors qu'il comptait sur deux mois, que celui-ci dormait de moins en moins, jusqu'à ne dormir qu'une heure par nuit, absorbé par cette formation et par son futur emploi, que le 19 mai 2005, il avait eu une altercation avec ses collègues, sauf erreur son chef de qui il recevait des critiques totalement injustifiées, et qu'il s'était retiré par la suite dans un autre canton (où il avait eu un accident de «tracasset»). S'il se révèle que l'intimé présentait dans l'exercice de sa profession de représentant en vins une incapacité de travail, l'autorité précédente examinera à la lumière des principes exposés aux considérants 2.4 et 2.5 du présent arrêt s'il existe entre cette incapacité de travail et l'invalidité ultérieure une relation d'étroite connexité. Le recours est bien fondé de ce chef.
5.3 A ce stade de la procédure, le point de savoir si l'intimé a commis une réticence en remplissant la demande d'affiliation au Fonds de prévoyance X._ et la question des intérêts moratoires peuvent demeurer indécis.
6. La procédure étant onéreuse, les frais judiciaires sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1, première phrase LTF en corrélation avec l'art. 65 al. 2 et 3 let. b LTF). Le recourant obtient gain de cause dans sa conclusion subsidiaire tendant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants de l'arrêt du Tribunal fédéral. L'intimé, qui a conclu à l'admission du recours pour ce qui est de la conclusion subsidiaire du recourant et à l'annulation du jugement entrepris, obtient également gain de cause. La Caisse de retraite Y._, qui a pris des conclusions indépendantes et a un intérêt dans cette procédure, est assimilée à une partie (ATF 127 V 107 consid. 6b p. 111). Ayant conclu au rejet du recours, la Caisse de retraite Y._ succombe. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à sa charge. Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 et al. 3 LTF). Le Fonds de prévoyance X._, bien qu'obtenant gain de cause, ne saurait non plus prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 3 LTF; ATF 128 V 124 consid. 5b p. 133). L'intimé a droit à une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 27 juillet 2010 (PP 2/09 - 36/2010) dans la cause entre C._ (demandeur) et la Caisse de retraite Y._ et le Fonds de prévoyance X._ (défenderesses) est annulé, la cause étant renvoyée à la juridiction de première instance pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge de la Caisse de retraite Y._.
3. La Caisse de retraite Y._ versera à l'intimé la somme de 2'800 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Caisse de retraite Y._, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 mai 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner