Faits:
A. Par jugement du 6 novembre 2008, le Tribunal pénal de la Glâne a condamné X._ pour assassinat à une peine privative de liberté de dix-huit ans, sous déduction de la détention avant jugement.
En bref, il a retenu que, le 3 décembre 2006, X._, né en 1967, a asséné 26 coups de couteau dans l'abdomen, le dos et la nuque de A._, née en 1978. Atteinte dans ses organes vitaux, la victime a succombé à ses blessures et est décédée sur les lieux. Mariée avec Y._, elle connaissait X._ depuis plusieurs années. Elle avait décidé de mettre un terme définitif à cette liaison extraconjugale, ce que son amant n'a pas accepté.
B. Par arrêt du 14 décembre 2009, la Cour d'appel pénal du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg a partiellement admis l'appel formé par X._ et réduit à quinze ans la peine privative de liberté.
C. Contre ce dernier arrêt, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, au prononcé d'une peine privative de liberté de dix ans et, subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.
Le Ministère public fribourgeois conclut au rejet du recours. La cour cantonale renonce à déposer des déterminations, et les intimés s'abstiennent de participer à la procédure devant le Tribunal fédéral.
D. Le Ministère public du canton de Fribourg forme également un recours en matière pénale. Il conclut, principalement, au prononcé d'une peine privative de liberté de dix-huit ans et, subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale.
X._ conclut au rejet du recours. La cour cantonale renonce à formuler des observations.
Considérant en droit:
1. Il se justifie de joindre les deux causes et de traiter les deux recours, qui ont le même objet, dans un seul arrêt (art. 24 PCF, applicable par renvoi de l'art. 71 LTF).
2. X._ s'en prend à la mesure de la peine, estimant que celle-ci est trop sévère. Il reproche à la cour cantonale d'avoir retenu une diminution légère de la responsabilité pénale, alors que l'expertise avait estimé que celle-ci était légère à moyenne. Selon lui, la cour cantonale aurait dû le mettre au bénéfice d'une diminution moyenne de la responsabilité pénale et réduire de 50 % la peine qui lui eut été infligée s'il avait été pleinement responsable. X._ ne conteste en revanche pas les autres éléments pris en considération par la cour cantonale dans la fixation de la peine.
Pour sa part, le Ministère public considère que la peine infligée à X._ n'est pas assez sévère. Il estime que le crime reproché devrait valoir à X._ une peine privative de liberté à vie si celui-ci avait été pleinement responsable et que cette peine aurait dû être réduite à 18 ans compte tenu de la restriction de sa responsabilité.
2.1 Selon l'art. 47 CP, le juge fixe la peine d'après la culpabilité de l'auteur. Celle-ci doit être évaluée en fonction de tous les éléments objectifs pertinents, qui ont trait à l'acte lui-même, à savoir notamment la gravité de la lésion, le caractère répréhensible de l'acte et son mode d'exécution (objektive Tatkomponente); du point de vue subjectif, sont pris en compte l'intensité de la volonté délictuelle ainsi que les motivations et les buts de l'auteur (subjektive Tatkomponente). A ces composantes de la culpabilité, il faut ajouter les facteurs liés à l'auteur lui-même (Täterkomponente), à savoir les antécédents (judiciaires et non judiciaires), la réputation, la situation personnelle (état de santé, âge, obligations familiales, situation professionnelle, risque de récidive, etc.), la vulnérabilité face à la peine, de même que le comportement après l'acte et au cours de la procédure pénale (ATF 129 IV 6 consid. 6.1).
Dans sa décision, le juge doit exposer les éléments essentiels - relatifs à l'acte et à l'auteur - qu'il prend en compte (art. 50 CP). Ainsi, le condamné doit connaître les aspects pertinents qui ont été pris en considération, et comment ils ont été appréciés. Le juge peut passer sous silence les éléments qui, sans abus du pouvoir d'appréciation, lui paraissent non pertinents ou d'une importance mineure. La motivation doit justifier la peine prononcée, en permettant de suivre le raisonnement adopté. Cependant, le juge n'est nullement tenu d'exprimer en chiffres ou en pourcentage l'importance qu'il accorde à chacun des éléments qu'il cite (ATF 134 IV 17 consid. 2.1 p. 19; 129 IV 6 consid. 6.1 p. 20). Plus la peine est élevée, plus la motivation doit être complète (ATF 117 IV 112 consid. 2b/cc p. 117).
L'art. 47 CP confère un large pouvoir d'appréciation au juge. Par conséquent, celui-ci ne viole le droit fédéral en fixant la peine que s'il sort du cadre légal, s'il se fonde sur des critères étrangers à l'art. 47 CP, s'il omet de prendre en considération des éléments d'appréciation prévus par cette disposition ou, enfin, si la peine qu'il prononce est exagérément sévère ou clémente au point de constituer un abus du pouvoir d'appréciation (ATF 134 IV 17 consid. 2.1; 129 IV 6 consid. 6.1 et les références citées).
2.2 Selon l'art. 19 al. 2 CP, le juge atténue la peine si, au moment d'agir, l'auteur ne possédait que partiellement la faculté d'apprécier le caractère illicite de son acte ou de se déterminer d'après cette appréciation. Dans un arrêt du 8 mars 2010 destiné à la publication (6B_238/2009), le Tribunal fédéral expose les principes qui président à la fixation de la peine en cas de diminution de la responsabilité pénale. Ce faisant, il s'écarte de la jurisprudence, développée notamment à l'ATF 134 IV 132.
2.2.1 Selon l'ancienne jurisprudence, il appartenait au juge de déterminer une peine de base fondée sur la gravité objective du comportement et la faute subjective (Tatkomponente) et de la réduire en fonction de la diminution de la responsabilité; les critères liés à l'auteur (Täterkomponente) étaient en principe appréciés indépendamment (ATF 134 IV 132 consid. 6.1 p. 135 ss). Dans plusieurs arrêts, le Tribunal fédéral avait déclaré que le juge ne devait pas opérer de réduction linéaire, de sorte qu'une diminution légère, respectivement moyenne ou forte, de la responsabilité ne devait pas nécessairement entraîner une réduction de 25 %, respectivement de 50 % ou de 75 %, de la peine. Il précisait qu'il devait néanmoins exister une certaine corrélation entre la diminution de responsabilité constatée et ses conséquences sur la peine (ATF 129 IV 22 consid. 6.2 p. 35). Une partie de la doctrine a interprété cette jurisprudence dans le sens qu'une motivation particulière était nécessaire lorsque la diminution de la responsabilité n'entraînait pas une réduction linéaire (par exemple SCHWARZENENGGER/HUG/JOSITSCH, Strafrecht II, 8e éd., 2007, p. 97).
2.2.2 Dans l'arrêt du 8 mars 2010, le Tribunal fédéral a jugé que la réduction purement mathématique d'une peine hypothétique, comme le permettait l'ancienne jurisprudence, était contraire au système, qu'elle restreignait de manière inadmissible le pouvoir d'appréciation du juge et conduisait à accorder un poids trop important à la diminution de la capacité cognitive ou volitive telle qu'elle a été constatée par l'expert. Aussi, dorénavant, le juge devra suivre la méthode suivante pour fixer la peine en cas de diminution de la responsabilité pénale (arrêt du 8 mars 2010 6B_238/2009 consid. 5.6).
Partant de la gravité objective de l'acte (objektive Tatschwere), le juge doit apprécier la faute (subjective; subjektives Tatverschulden). Il doit mentionner, dans le jugement, les éléments qui augmentent ou diminuent la faute dans le cas concret et qui permettent d'apprécier la faute en relation avec l'acte. Le législateur mentionne plusieurs critères, qui jouent un rôle important pour apprécier la faute et peuvent même conduire à diminuer celle-ci de telle manière qu'il convient de prononcer une peine inférieure au cadre légal ordinaire de la peine. Parmi ceux-ci, figure notamment la diminution de la responsabilité au sens de l'art. 19 CP. Dans ce cas, contrairement à la lettre de la disposition et en modification de la jurisprudence en vigueur (ATF 134 IV 132 consid. 6.1 p. 136 s.), il s'agit de diminuer la faute et non la peine; la réduction de la peine n'est que la conséquence de la faute plus légère (arrêt du 8 mars 2010 6B_238/2009 consid. 5.5).
La restriction de la responsabilité ne constitue qu'un critère parmi d'autres pour déterminer la faute liée à l'acte, qui peut toutefois avoir un grand poids selon le degré de la diminution de la responsabilité. Le Code pénal mentionne diverses circonstances qui peuvent réduire la faute: par exemple, le mobile honorable, la détresse profonde, la menace grave, l'ascendant d'une personne à laquelle l'auteur devait obéissance ou de laquelle il dépendait (art. 48 let. a CP); la tentation grave (art. 48 let. b CP); l'émotion violente excusable ou le profond désarroi (art. 48 let. c CP). La faute peut aussi être restreinte en cas de délit par omission (art. 11 al. 4 CP), d'excès de la légitime défense (art. 16 al. 1 CP), d'état de nécessité excusable (art. 18 al. 1 CP), d'erreur évitable sur l'illicéité (art. 21 CP), de désistement (art. 23 al. 1 CP) et de complicité (art. 25 CP). Dans tous ces cas, ces éléments de l'état de fait diminuent la faute, ce qui entraîne une peine plus clémente. D'autres circonstances peuvent aussi augmenter la faute et compenser la diminution de la capacité cognitive ou volitive. On peut citer par exemple des motifs blâmables. Le juge jouit d'un large pouvoir d'appréciation pour apprécier ces éléments (arrêt du 8 mars 2010 6B_238/2009 consid. 5.6).
Le juge n'est pas tenu d'exprimer en chiffres ou en pourcentage l'importance qu'il accorde à chacun des éléments qu'il cite. Pour cette raison déjà, il ne peut opérer une réduction linéaire de la peine selon un tarif particulier. Du reste, il n'existe pas de méthode scientifique exacte permettant de définir objectivement le taux de réduction de responsabilité, de sorte que la pratique distingue simplement selon que la diminution est légère, moyenne ou grave. Lorsque l'expert évalue le degré de la diminution de la responsabilité, il dispose d'une grande liberté d'appréciation. Cela peut certes constituer un point de départ lors de la fixation de la peine, mais celui-ci doit être affiné en fonction des particularités du cas. En d'autres termes, le juge doit apprécier juridiquement une expertise psychiatrique. Il est libre et n'est pas lié par les conclusions de l'expertise. Il doit aussi tenir compte de la cause de la diminution de la responsabilité (arrêt du 8 mars 2010 6B_238/2009 consid. 5.6).
Le juge dispose également d'un large pouvoir d'appréciation lorsqu'il détermine l'effet de la diminution de la responsabilité sur la faute (subjective) au vu de l'ensemble des circonstances. Il peut appliquer l'échelle habituelle: une faute (objective) très grave peut être réduite à une faute grave jusqu'à très grave en raison d'une diminution légère de la responsabilité, à une faute moyenne à grave en cas d'une diminution moyenne et à une faute légère à moyenne en cas de diminution grave. Sur la base de cette appréciation, le juge doit prononcer la peine en tenant compte des autres critères de fixation de la peine. Un tel procédé permet de tenir compte de la diminution de la responsabilité, sans lui attribuer une trop grande importance (arrêt du 8 mars 2010 6B_238/2009 consid. 5.6).
En résumé, le juge doit procéder comme suit en cas de diminution de la responsabilité pénale: dans un premier temps, il doit décider sur la base des constatations de fait de l'expertise dans quelle mesure la responsabilité pénale de l'auteur doit être restreinte sur le plan juridique et comment cette diminution de la responsabilité se répercute sur l'appréciation de la faute. La faute globale doit être qualifiée et désignée expressément dans le jugement (art. 50 CP). Dans un second temps, il convient de déterminer la peine hypothétique, qui correspond à cette faute. La peine ainsi fixée peut enfin être modifiée en raison de facteurs liés à l'auteur (Täterkomponente) ainsi qu'en raison d'une éventuelle tentative selon l'art. 22 al. 1 CP (arrêt du 8 mars 2010 6B_238/2009 consid. 5.7).
3. Dans le cas d'espèce, la cour cantonale a fixé la peine de base à vingt ans en tenant compte de la gravité de l'infraction et du manque particulier d'empathie du condamné. Considérant que la diminution de la responsabilité était légère, elle a réduit cette peine de base de 25 % pour prononcer une peine de quinze ans. Ce faisant, elle a appliqué la méthode préconisée selon l'ancienne jurisprudence (ATF 134 IV 132), qui n'est aujourd'hui plus valable. Ces considérations ne conduisent toutefois pas nécessairement à l'annulation de l'arrêt attaqué. Il faut en effet se demander si la peine de quinze ans correspond encore à la culpabilité de l'auteur.
3.1 Dans un premier temps, il convient de déterminer le degré de la diminution de la responsabilité pénale de X._.
Le juge n'est pas lié par l'expertise psychiatrique, dans la mesure où la tâche du psychiatre ne consiste qu'à établir l'état psychologique et physiologique de l'accusé et son effet sur la capacité de discernement et la volonté au moment des faits. La question de savoir si ces éléments permettent de conclure à une diminution de la responsabilité pénale au sens de l'art. 19 CP est une question de droit qui ne peut être tranchée que par le juge (ATF 107 IV 3 consid. 1a p. 4; 102 IV 225 consid. 7b p. 226). Celui-ci peut notamment tenir compte, autrement que l'expert, de la nature des actes incriminés pour mesurer l'ampleur de la diminution de la responsabilité.
L'expert a conclu à une altération de la capacité de se déterminer par rapport au discernement et estimé la diminution de la responsabilité légère à moyenne. La cour cantonale s'est écartée de l'expertise, retenant une diminution légère de la responsabilité. Elle motive sa position comme il suit: "le recourant aurait dû demander de l'aide dès lors qu'il savait qu'il était fragile psychiquement (...) et ce manque de réaction, par rapport à un désarroi grandissant, a interféré sur son degré de responsabilité (...). Le recourant aurait eu tout loisir de consulter un psychiatre au lieu de laisser le désarroi s'installer et se muer en intentions funestes. En outre, il est faux de prétendre que le recourant était seul et isolé, puisqu'il pouvait compter sur sa soeur, son beau-frère qu'il voyait tous les jours, et des amis (...)" (arrêt attaqué p. 8). Ces considérations peuvent certes concerner la faute et intervenir dans la fixation de la peine. La cour de céans ne voit toutefois pas en quoi elles influent sur le degré de la responsabilité pénale. C'est donc indûment que la cour cantonale s'est écartée de l'expertise et a retenu une diminution légère de la responsabilité.
C'est en vain que X._ se plaint du fait que son état alcoolisé n'aurait pas été pris en compte. En effet, selon la jurisprudence, une concentration d'alcool de 2 à 3 g o/oo entraîne une présomption de diminution de responsabilité, alors qu'une concentration supérieure à 3 g o/oo pose la présomption d'une irresponsabilité totale (ATF 122 IV 49 consid. 1b p. 50/51; 119 IV 120 consid. 2b p. 123/124; cf. arrêt 6S.17/2002 du 7 mai 2002, publié in JT 2003 I 561, consid. 1c/aa). Cependant, en l'espèce, il a été retenu que X._ avait un taux d'alcool de 0,83 g o/oo à 21h10 et qu'il a encore bu une bière entre 18h50 et 21h10, à savoir juste après l'assassinat.
En conséquence, les motifs invoqués par la cour cantonale (pour admettre une diminution légère de la responsabilité) et ceux avancés par X._ (pour reconnaître une diminution moyenne) ne sont pas pertinents. Conformément aux conclusions de l'expertise, il convient de retenir une diminution de la responsabilité de légère à moyenne. Cela étant, il y a lieu d'examiner l'effet de cette diminution de responsabilité sur la culpabilité de X._.
3.2 La cour cantonale parle de faute particulièrement grave (arrêt attaqué p. 9). La cour de céans considère toutefois que l'acte est objectivement grave (et non très grave). Certes, le mode d'exécution était extrêmement brutal. On peut toutefois imaginer des façons d'agir encore plus odieuses que celle de X._, par exemple en cas de préméditation. Dans ce sens, le grief du Ministère public, selon lequel la faute de X._ serait d'une gravité exceptionnelle et, partant, mériterait une peine privative de liberté à vie, est mal fondé. Compte tenu de la diminution de responsabilité de moyenne à légère (cf. ci-dessus), la faute (objective) doit être réduite à une faute (subjective) moyenne à grave. Or, compte tenu d'une telle faute et au vu de l'ensemble des circonstances, qui ne sont pas contestées en l'espèce, une peine privative de liberté de quinze ans est encore équitable.
4. Les deux recours doivent être rejetés.
X._ a requis le bénéfice de l'assistance judiciaire. Les revenus dont il dispose et les conclusions qu'il a prises, qui n'étaient pas vouées à l'échec, justifient qu'il soit fait droit à sa requête (art. 64 al. 1 LTF). Il peut, en conséquence, être dispensé des frais judiciaires, bien qu'il succombe sur le fond. La complexité de la cause et les intérêts en jeu justifient qu'un avocat d'office lui soit désigné (art. 64 al. 2 LTF).
Aucun frais ne sera mis à la charge de l'accusateur public, qui succombe (art. 66 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 6B_1092/2009 et 6B_67/2010 sont jointes.
2. Les recours de X._ et du Ministère public fribourgeois sont rejetés.
3. La requête d'assistance judiciaire de X._ est admise et Me Jean Lob, avocat à B._, désigné conseil d'office du recourant.
4. Une indemnité de 2'000 fr. est allouée à Me Jean Lob par la caisse du Tribunal fédéral, au titre de l'assistance judiciaire.
5. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénal du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 22 juin 2010
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: La Greffière:
Schneider Kistler Vianin