Faits:
A.
A.a. A._ est titulaire du permis de conduire pour véhicule automobile (catégorie B) depuis avril 2006. Selon le registre fédéral des mesures administratives, le prénommé a fait l'objet de plusieurs mesures de retrait du permis de conduire pour infraction légère et infraction moyennement grave.
A.b. Le 17 octobre 2012, vers 17h, sur l'autoroute A1, entre les sorties de Rolle et de Gland, des gendarmes ont surpris un véhicule qui zigzaguait sur sa voie de circulation et empiétait par moment sur la bande d'arrêt d'urgence. Selon le rapport de dénonciation, le conducteur A._ manipulait le système GPS de son téléphone portable qu'il tenait dans sa main droite, de sorte qu'il quittait par instants la route du regard.
A.c. Dénoncé au Préfet du district de Nyon, A._ a été condamné, par ordonnance pénale du 9 novembre 2012, à 350 fr. d'amende pour violation simple des règles de la circulation routière au sens de l'art. 90 al. 1 de la loi fédérale sur la circulation routière du 19 décembre 1958 (LCR, RS 741.01), l'intéressé ayant contrevenu aux art. 3 al. 1 et 36 al. 3 de l'ordonnance du 13 novembre 1962 sur les règles de la circulation routière (OCR, RS 741.11). A._ a formé opposition contre cette ordonnance.
A.d. Le 20 décembre 2012, le Service des automobiles et de la navigation du canton de Vaud (ci-après: le SAN) a indiqué à A._ qu'il envisageait, au vu des faits dénoncés, de prononcer une mesure de retrait de permis; la procédure a été suspendue dans l'attente du prononcé préfectoral sur opposition.
A.e. Le 21 janvier 2013, le Préfet, après avoir entendu l'intéressé, a rendu une nouvelle ordonnance pénale aux termes de laquelle il maintenait sa condamnation pour violation simple des règles de la circulation routière, avec la précision suivante: "Le Préfet tient compte que Monsieur A._ ne manipulait pas son téléphone portable mais consultait son GPS pour retrouver une adresse à Gland mais que l'inattention était réalisée"; l'amende a été ramenée à 250 fr. Cette ordonnance n'a pas été attaquée par l'intéressé et est ainsi entrée en force de chose jugée.
A.f. Le 10 avril 2013, le SAN a retiré le permis de conduire de A._ pour une durée d'un mois, l'infraction constatée étant moyennement grave. La réclamation interjetée par l'intéressé contre cette décision a été rejetée le 30 mai 2013.
B.
Statuant par arrêt du 19 août 2013, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours de A._ formé contre la décision du 30 mai 2013. Elle a considéré en substance que la faute devait être qualifiée de moyennement grave, de même que la mise en danger.
C.
A._ forme un recours de droit public contre l'arrêt du Tribunal cantonal et conclut à ce qu'il soit renoncé à toute mesure administrative à son encontre.
Le Tribunal cantonal se réfère à son arrêt. Le SAN ne s'est pas prononcé.
Par ordonnance du 14 octobre 2013, le Président de la Ire Cour de droit public a octroyé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1.
La voie du recours en matière de droit public, au sens des art. 82 ss LTF, est ouverte contre les décisions prises en dernière instance cantonale au sujet de mesures administratives de retrait du permis de conduire. Aucun motif d'exclusion au sens de l'art. 83 LTF n'entre en considération. Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et en la forme prévue (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celui-ci (art. 89 al. 1 LTF), le présent recours est recevable.
2.
Invoquant une violation du droit fédéral, plus précisément de son droit d'être entendu, ainsi que du principe de la présomption d'innocence, le recourant fait grief au juge pénal de ne pas avoir constaté correctement les faits pertinents, de ne pas avoir élucidé toutes les questions de droit et d'avoir statué à l'issue d'une procédure non contradictoire. Il reproche en particulier au juge pénal de ne pas avoir procédé à l'audition des agents de police qui l'avaient dénoncé et de ne pas avoir retenu, eu égard aux doutes existants, sa version des faits selon laquelle il n'avait pas zigzagué et n'avait pas franchi la ligne d'urgence. Compte tenu des circonstances précitées, il soutient que l'autorité administrative aurait dû s'écarter des constatations de fait retenues au pénal et procéder à l'administration des preuves.
2.1. En principe, l'autorité administrative statuant sur un retrait du permis de conduire ne peut pas s'écarter des constatations de fait d'un jugement pénal entré en force. La sécurité du droit commande en effet d'éviter que l'indépendance du juge pénal et du juge administratif ne conduise à des jugements opposés, rendus sur la base des mêmes faits (ATF 137 I 363 consid. 2.3.2 p. 368 et les références).
L'autorité administrative ne peut s'écarter du jugement pénal que si elle est en mesure de fonder sa décision sur des constatations de fait inconnues du juge pénal ou qui n'ont pas été prises en considération par celui-ci, s'il existe des preuves nouvelles dont l'appréciation conduit à un autre résultat, si l'appréciation à laquelle s'est livré le juge pénal se heurte clairement aux faits constatés, ou si le juge pénal n'a pas élucidé toutes les questions de droit, en particulier celles qui touchent à la violation des règles de la circulation (ATF 139 II 95 consid. 3.2 p. 101 s. et les références). Cela vaut non seulement lorsque le jugement pénal a été rendu au terme d'une procédure publique ordinaire au cours de laquelle les parties ont été entendues et des témoins interrogés, mais également, à certaines conditions, lorsque la décision a été rendue à l'issue d'une procédure sommaire, même si la décision pénale se fonde uniquement sur le rapport de police. Il en va notamment ainsi lorsque la personne impliquée savait ou aurait dû prévoir, en raison de la gravité des faits qui lui sont reprochés, qu'il y aurait également une procédure de retrait de permis. Dans cette situation, la personne impliquée est tenue, en vertu des règles de la bonne foi, de faire valoir ses moyens dans le cadre de la procédure pénale, le cas échéant en épuisant les voies de recours à sa disposition. Elle ne peut pas attendre la procédure administrative pour exposer ses arguments (ATF 123 II 97 consid. 3c/aa p. 104; 121 II 214 consid. 3a p. 217 s.).
2.2. En l'espèce, l'instance précédente ne s'est pas écartée des faits constatés par le juge pénal. Ce dernier a retenu, après avoir procédé à l'audition du recourant, que celui-ci avait circulé au volant d'un véhicule en ayant une occupation accessoire et qu'il avait de surcroît empiété sur la bande d'arrêt d'urgence (violation des art. 3 al. 1 et 36 al. 3 OCR). Le recourant savait que le SAN envisageait de prononcer une mesure de retrait du permis de conduire pour l'infraction dénoncée et que la procédure administrative avait été suspendue jusqu'à droit connu sur le plan pénal. Par conséquent, si le recourant désapprouvait les faits établis au pénal, il lui appartenait de faire valoir ses moyens dans le cadre de la procédure pénale conformément à la jurisprudence précitée. C'est dans ce cadre uniquement qu'il pouvait remettre en cause les constatations des gendarmes. S'il entendait en outre critiquer la manière dont s'est déroulée la procédure pénale devant le Préfet, il aurait dû faire valoir ses moyens dans le cadre d'un recours dirigé contre l'ordonnance préfectorale sur opposition. Dans la mesure où le recourant n'a pas attaqué l'ordonnance préfectorale sur opposition, il ne pouvait plus revenir sur les faits constatés au pénal. Au demeurant, contrairement à ce que soutient le recourant, l'ordonnance pénale du 21 janvier 2013 a été prise à l'issue d'une procédure contradictoire, le recourant ayant pu se déterminer oralement devant le Préfet sur les faits dénoncés par les agents de police.
Par conséquent, l'autorité administrative n'a pas violé le droit fédéral en se considérant comme étant liée par l'état de fait à la base du jugement pénal. Elle n'a en particulier pas violé le droit d'être entendu du recourant en ne procédant pas à une nouvelle administration des preuves. Les griefs de l'intéressé doivent dès lors être rejetés. Au surplus, le recourant ne formule aucune critique à l'encontre de l'appréciation de la faute et de la mise en danger effectuée par l'instance précédente sur la base des faits établis.
3.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté aux frais du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 francs, sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Service des automobiles et de la navigation du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et à l'Office fédéral des routes.
Lausanne, le 27 février 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Arn