Faits:
A. Par demande déposée le 14 mars 2006 devant le Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, X._ a ouvert action contre l'Ordre des avocats vaudois. Le demandeur a notamment conclu à la constatation que le refus du défendeur d'autoriser Me Y._, avocat à Lausanne, à témoigner à l'audience tenue le 26 octobre 2005 devant le Tribunal de police de l'arrondissement de la Broye et du Nord vaudois constituait une atteinte illicite à sa personnalité (ch. 1), à ce qu'interdiction soit faite au défendeur de refuser à cet avocat de témoigner dans toute procédure le concernant (ch. 2), sous la menace des peines de l'art. 292 CP (ch. 3), et à ce que le défendeur soit condamné à lui payer la somme de 20'000 fr., plus intérêts à 5% dès le 15 mars 2006, à titre de réparation du dommage et de tort moral (ch. 4).
Le défendeur s'est déclaré d'accord avec la proposition du demandeur de requérir un jugement sur moyen séparé limité aux conclusions 1 à 3 de la demande. Le Tribunal cantonal s'est rallié à cette façon de procéder (art. 324 al. 2 CPC/NE).
Par ordonnance du 3 octobre 2007, la procédure probatoire relative au moyen séparé a été clôturée.
Un délai au 30 novembre 2007 a été accordé aux parties pour le dépôt de leurs conclusions en cause dans le cadre du moyen séparé. A la demande du défendeur, ce délai a été ultérieurement prolongé au 15 janvier 2008.
En réponse à la lettre du Tribunal cantonal du 31 janvier 2008, le défendeur a indiqué qu'il acceptait que le jugement soit rendu par voie de circulation (art. 334 al. 1 CPC/NE). Le demandeur a, en revanche, fait savoir par courrier du 15 février 2008, reçu le 18 février suivant, qu'il souhaitait que la cause soit citée pour plaidoiries et jugement.
Par lettre du 28 juillet 2008, le demandeur a requis le Tribunal cantonal de fixer les plaidoiries le plus rapidement possible, en invoquant son droit à un jugement dans un délai raisonnable (art. 29 Cst. et art. 6 § 1 CEDH). Invoquant sa surcharge, le Tribunal cantonal lui a répondu, le 5 août 2008, que les plaidoiries et le jugement en question ne devraient pas intervenir dans les prochains mois.
Le 24 août 2008, le demandeur a derechef écrit au Tribunal cantonal pour le prier de mettre la cause au rôle de l'audience du 29 septembre 2008. Cette autorité lui a répondu, le 28 août 2008, qu'il ne pouvait donner suite à sa demande.
B. Par acte du 15 octobre 2008, déposé le lendemain, X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral pour déni de justice. Il conclut à ce que le Tribunal cantonal soit invité à fixer plaidoiries et jugement dans l'affaire qui l'oppose à l'Ordre des avocats vaudois d'ici au 15 novembre 2008 au plus tard.
Dans ses observations, l'autorité intimée déclare que la cause sera citée pour plaidoiries à la session de janvier 2009, dont les dates n'ont cependant pas encore été arrêtées. Par conséquent, une citation sera notifiée aux parties ultérieurement, au plus tard dans le courant du mois de décembre 2008.
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 94 LTF, le recours ordinaire est recevable si, sans en avoir le droit, la juridiction saisie s'abstient de rendre une décision sujette à recours ou tarde à le faire. Ledit recours peut être formé en tout temps (art. 100 al. 7 LTF). Compte tenu du domaine du droit auquel se rapporte l'objet du litige - protection de la personnalité -, la décision à rendre par l'autorité cantonale pourrait conduire les parties à interjeter un recours en matière civile après épuisement des instances cantonales (art. 72 al. 2 LTF). Dans cette mesure, la voie du recours en matière civile est en l'espèce ouverte pour déni de justice ou retard injustifié.
Comme, dans le canton de Neuchâtel, aucun recours de droit cantonal n'est prévu dans le cas particulier, la règle de l'épuisement des instances cantonales est respectée (art. 75 al. 1 LTF). Partant, il y a lieu d'entrer en matière sur le présent recours.
2. Le recourant invoque son droit à un jugement dans un délai raisonnable.
2.1 L'art. 29 al. 1 Cst. dispose que toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. A l'instar de l'art. 6 § 1 CEDH - qui n'offre, à cet égard, pas une protection plus étendue -, cette disposition consacre le principe de la célérité, autrement dit prohibe le retard injustifié à statuer. Viole la garantie ainsi accordée l'autorité qui ne rend pas une décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire et les circonstances font apparaître comme raisonnable (ATF 130 I 312 consid. 5.1 p. 331 s.; 124 I 139 consid. 2c p. 141/142; 119 Ib 311 consid. 5 p. 323 ss et les références). Il faut se fonder à ce propos sur des éléments objectifs (ATF 103 V 190 consid. 3c p. 195). Doivent notamment être pris en compte le type de procédure, le degré de complexité de l'affaire, l'enjeu que revêt le litige pour l'intéressé ainsi que le comportement des parties et celui de l'autorité. Si on ne saurait reprocher à l'autorité quelques «temps morts», qui sont inévitables dans une procédure, une organisation judiciaire déficiente ou une surcharge structurelle ne peuvent justifier la lenteur excessive d'une procédure, l'Etat ayant à organiser ses juridictions de manière à garantir aux citoyens une administration de la justice conforme au droit constitutionnel (ATF 130 I 312 consid. 5.2 p. 332 et les références citées).
2.1.1 En l'espèce, la procédure initiée le 14 mars 2006 n'a pas subi de temps morts significatifs jusqu'à la clôture de la procédure probatoire, le 3 octobre 2007. Le recourant ne le prétend du reste pas. Il reproche cependant à l'autorité intimée de n'avoir pas fixé l'audience de plaidoiries et jugement plus tôt, malgré ses réitérées demandes. A l'appui de son grief, il allègue que la présente cause est extrêmement simple et ne nécessite pas un travail important de la part d'un juge, l'état de fait étant clair: l'Ordre des avocats vaudois a interdit à un de ses membres, Me Y._, de témoigner dans une procédure le concernant. Or, le fait d'être privé du témoignage de son ancien avocat a des conséquences très graves. La procédure qu'il a intentée contre l'Etat de Vaud a en effet dû être suspendue en attente du jugement neuchâtelois et il ne peut introduire l'autre procès qu'il envisage s'il ne peut compter sur le témoignage de l'avocat concerné.
Le grief apparaît fondé. Il convient en effet de relever que la cause a été en état d'être citée pour plaidoiries et jugement à partir de la réception par le Tribunal cantonal, le 18 février 2008, du courrier du recourant du 15 février précédent. Depuis lors, l'autorité cantonale est demeurée inactive et elle ne fournit aucune explication propre à justifier sa lenteur à statuer, des circonstances étrangères au problème à résoudre, telles qu'une surcharge de la juridiction concernée et le retard qui en résulte dans le traitement des affaires pendantes devant elle, étant sans pertinence (cf. supra, consid. 2.1). Comme aucune circonstance objectivement justifiée ne rendait nécessaire la prolongation de la procédure, le délai - de près d'une année - pour citer la cause à une audience de plaidoiries et jugement, ainsi que la durée globale du procès introduit le 14 mars 2006, doivent être qualifiés d'excessifs au regard du principe de célérité posé par la législation fédérale.
Quant au recourant, il n'est pas resté inactif, puisqu'il a sollicité à deux reprises que le Tribunal cantonal rende une décision, et l'a menacé dans sa lettre du 24 août 2008 d'un recours pour déni de justice formel en raison du déroulement, d'après lui trop lent, de l'instance. Par conséquent, on ne saurait lui reprocher de n'avoir pas entrepris ce qui était en son pouvoir pour que l'autorité fasse diligence. Par ailleurs, il n'apparaît pas que son attitude ait ralenti le déroulement du procès.
Force est ainsi de constater que, sans motifs suffisants, l'autorité cantonale n'a pas statué dans un délai raisonnable sur la demande dont elle était saisie, en violation des art. 29 al. 1 Cst. et 6 § 1 CEDH.
3. Le recours en matière civile doit ainsi être admis et le Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel invité à statuer dans les plus brefs délais sur la demande formulée par le recourant.
Conformément à l'art. 66 al. 4 LTF, le canton de Neuchâtel sera dispensé des frais. Il versera en revanche une indemnité de dépens au recourant pour la procédure devant le Tribunal fédéral (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel est invité à statuer sans délai sur la demande du recourant.
2. Il est statué sans frais.
3. Le canton de Neuchâtel versera au recourant une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant et à la Ie Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 11 décembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Mairot