Erwägungen:
1. Gemäss Übernahmebestätigung vom 26. Januar 2008 übernahm X._ vom Tierheim R._ eine Hündin der Rasse Dobermann; es wurde ausdrücklich vermerkt, dass das Tier nur in Pflege gegeben werde; das Tierheim könne die Tierhaltung prüfen und das Tier bei festgestellten Mängeln entschädigungslos zurücknehmen. Am 1. Juli 2008 nahm das Tierheim die Hündin zurück. X._ beschwerte sich darüber in verschiedenen Schreiben, unter anderem beim Veterinärdienst des Volkswirtschaftsdepartements des Kantons Solothurn. Dieser hatte bereits in einem an X._ adressierten Schreiben vom 2. Juli 2008 festgehalten, dass angesichts einer am 23. Juni 2008 durchgeführten Kontrolle mehrere Gründe gegen die weitere Haltung der Hündin durch sie sprächen; das Halten eines Listenhundes würde ihr nicht mehr bewilligt. In einem weiteren Schreiben vom 19. August 2008, das mit "Entzug der Bewilligung zur Haltung eines bewilligungspflichtigen Hundes" betitelt war, nahm der Veterinärdienst nochmals Bezug auf den Kontrollbesuch vom 23. Juni 2008 und auf die damals geführte und protokollierte Besprechung. X._ gelangte hierauf ans Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und verlangte, dass sie die Dobermann-Hündin wieder heimholen dürfe. Dieses trat mit Urteil vom 29. August 2008 auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte es an, beim Schreiben des Veterinärdienstes handle es sich nicht um eine - mit Beschwerde anfechtbare - Verfügung; die Rückübernahme der Hündin durch das Tierheim sei aufgrund eines privatrechtlichen Vertrags erfolgt; ob die vertragliche Rückübernahme zu Recht erfolgt sei, könne das Verwaltungsgericht mangels Zuständigkeit nicht prüfen, X._ müsste sich diesbezüglich an den Zivilrichter wenden.
Mit Schreiben vom 29. September 2009 fordert X._ vom Bundesgericht die Rückgabe ihres Hundes, wobei der Veterinärdienst für den Aufenthalt im Tierheim bezahlen solle.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Wer ein Urteil mit Beschwerde anfechten will, muss innert der nicht erstreckbaren (vgl. Art. 47 Abs. 1 BGG) Frist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1 BGG) eine Rechtsschrift einreichen, welche die Begehren und deren Begründung enthält, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletze (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein; die Partei hat sich mit dem Inhalt bzw. zumindest rudimentär mit den das Resultat des angefochtenen Entscheids rechtfertigenden Erwägungen der Vorinstanz zu befassen; wird ein Nichteintretensentscheid angefochten, ist eine Auseinandersetzung mit den von der Vorinstanz angeführten Nichteintretensgründen erforderlich. Die Beschwerdeführerin bestreitet in ihrer Eingabe vom 29. September 2008, dass Gründe vorliegen könnten, die gegen eine Hundehaltung durch sie sprechen würden. Mit keinem Wort geht sie auf die vom Verwaltungsgericht als ausschlaggebend erachtete Frage nach der Verfügungsnatur des Schreibens des Veterinäramtes vom 19. August 2008 oder auf die Feststellung des Verwaltungsgerichts ein, dass der Streit über die Rücknahme der Hündin nicht auf verwaltungsrechtlichem Weg auszutragen, sondern vom Zivilrichter zu entscheiden sei.
Fehlt es offensichtlich an einer hinreichenden, innert der Beschwerdefrist vorgetragenen Beschwerdebegründung, ist gestützt auf Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG im vereinfachten Verfahren (Art. 108 BGG) auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Ergänzend ist festzuhalten, dass aufgrund der vorliegenden Akten ohnehin nicht ersichtlich ist, inwiefern der Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts bzw. die diesbezüglich von ihm angestellten Erwägungen schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletzen könnten.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin sowie dem Volkswirtschaftsdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller