Erwägungen:
1. X._ macht die Stadt Zürich verantwortlich für Schäden, die ihm namentlich im Bereich Sozialhilfewesen verursacht worden sein sollen. Er reichte im Hinblick auf eine diesbezügliche Klageerhebung gegen die Stadt beim Friedensrichteramt der Stadt Zürich Kreise 1 + 2 ein Schlichtungsgesuch ein. Das Friedensrichteramt trat mit Verfügung vom 19. März 2012 auf die Klage nicht ein; begründet wurde dies unter anderem damit, dass die Zuständigkeit des Friedensrichters für Forderungen aus Staatshaftung nicht gegeben sei. Die gegen diese Verfügung erhobene Berufung wies die II. Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Urteil vom 7. Mai 2012 ab; zugleich beschloss das Obergericht Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege. Gegen dieses Erkenntnis gelangte X._ mit als Beschwerde in Zivilsachen inklusive subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneter Eingabe an das Bundesgericht. Er stellt zahlreiche Begehren. Unter anderem beantragt er, Beschluss bzw. Urteil des Obergerichts seien vollständig aufzuheben; der Sachverhalt sei der Problemlösung zuzuführen bzw. formell und materiell durch das Bundesgericht zu klären und zu korrigieren, da die Zürcher Justiz dies offensichtlich nicht könne und die Dinge für X._ bei blockierter Justiz nicht justiziabel seien.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Das Bundesgericht ist keine allgemeine Aufsichtsbehörde, die auf Anzeige hin tätig wird. Es behandelt im Wesentlichen Beschwerden gegen Entscheidungen (Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 72 ff. BGG, Beschwerde in Strafsachen gemäss Art. 78 ff. BGG, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 82 ff. BGG sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG). Natur und Gegenstand der Beschwerden werden grundsätzlich bestimmt und begrenzt durch das vom angefochtenen Akt Geregelte.
Ausgangspunkt des vorliegenden Verfahrens ist, dass der Beschwerdeführer von der Stadt Zürich Ersatz für behaupteten Schaden in der Höhe von mehreren Millionen Franken erhältlich machen will, der ihm durch angebliches Fehlverhalten ihrer Organe verursacht worden sein soll. Die Haftung der Gemeinwesen (Gemeinden, Kantone, Bund) richtet sich nach Bestimmungen, die gestützt auf Art. 61 Abs. 1 OR ergehen und grundsätzlich öffentlich-rechtlicher Natur sind. Als ordentliches bundesrechtliches Rechtsmittel kommt mithin die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, nur subsidiär die Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte in Betracht. Da vorliegend die Streitwertgrenze von Art. 85 Abs. 1 lit. a BGG überschritten wird, ist das ordentliche Rechtsmittel gegeben und die Verfassungsbeschwerde unzulässig.
2.2 Für das Bundesgericht bestimmte Rechtsschriften haben gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht (schweizerisches Recht, vgl. Art. 95 BGG) verletze. Ist kantonales Recht Grundlage des angefochtenen Entscheids, kann auch im Rahmen des ordentlichen Rechtsmittels im Wesentlichen bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 95 lit. a und c BGG); entsprechende Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 135 III 513 E. 4.3 S. 521 f.; 134 I 153 E. 4.2.2 S. 158; 134 II 349 E. 3 S. 351 f.; 133 III 462 E. 2.3 S. 466). Die Begründung hat sachbezogen zu sein; ist ein Nichteintretensentscheid oder ein Entscheid, womit ein Nichteintretensentscheid einer unteren Instanz bestätigt wird, angefochten, muss der Beschwerdeführer darlegen, inwiefern die das Ergebnis des angefochtenen Entscheids rechtfertigenden Erwägungen rechtsverletzend seien.
Das Obergericht hat zunächst erkannt, dass es an einer Zivilsache fehle, weshalb die Zivilprozessordnung nicht als eidgenössisches Recht Anwendung finde (Art. 1 lit. a ZPO); der Rechtsstreit sei öffentlich-rechtlicher Natur, für welchen das kantonalzürcherische Haftungsgesetz vom 14. September 1969 (HG) massgeblich sei; daran ändere die Zuständigkeit der kantonalen Zivilgerichte nichts. Weiter erläutert das Obergericht, dass die Verfahrensregelung gemäss §§ 19 bis 26 HG keinen Raum für ein Schlichtungsverfahren vor dem Friedensrichteramt belasse, weshalb dieses sich zu Recht für unzuständig erklärt habe. Inwiefern es damit schweizerisches Recht, etwa durch willkürliche Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts, verletzt haben könnte, lassen die Ausführungen in der Beschwerdeschrift nicht erkennen. Die Hinweise auf eine abweichende Auffassung des Bezirksgerichts, welches auf eine vorgängige Durchführung eines Sühneverfahrens beharren soll, ändern nichts; gegebenenfalls wäre ein entsprechender Entscheid beim Obergericht anzufechten. Über Weiteres hat das Obergericht nicht entschieden und hatte es nicht zu befinden.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), und zwar auch nicht hinsichtlich der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch die Vorinstanz. Es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.3 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien (Art. 64 BGG).
Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadt Zürich, dem Bezirksgericht Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juni 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller