Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. xxxx 1994) lebte bei ihrer Mutter Z._ in A._. Nachdem sie in der Schule durch Undiszipliniertheiten und Schulverweigerung aufgefallen war, führte die Vormundschaftsbehörde A._ mit ihr und ihren Eltern Gespräche. Mit Verfügung vom 14. Dezember 2009 errichtete die Behörde eine Erziehungsbeistandschaft und bestellte Y._ zur Beiständin von X._.
A.b Gestützt auf ihren Bericht vom 2. Februar 2010 beantragte die Beiständin der Vormundschaftsbehörde A._, der Mutter die elterliche Obhut zu entziehen und X._ ab 22. Februar 2010 für sechs Monate im Aufnahmeheim B._ zu platzieren. Nach Anhörung der Eltern und der Tochter entsprach die Vormundschaftsbehörde diesem Antrag. Mit Beschluss vom 15. Februar 2010 entzog sie beiden Eltern die Obhut über X._, platzierte das Kind im Aufnahmeheim B._ und beauftragte die Beiständin mit der Vorbereitung weiterer Massnahmen. Sodann bestimmte die Vormundschaftsbehörde, X._ dürfe nur mit Zustimmung der Beiständin oder der Vormundschaftsbehörde vom Aufnahmeheim B._ weggeholt oder umplatziert werden. Einer allfälligen Beschwerde entzog sie die aufschiebende Wirkung. Am 16. Februar 2010 versandte die Vormundschaftsbehörde ihren Beschluss mit eingeschriebener Post an die Eltern und brachte ihn auch der Beiständin von X._ zur Kenntnis. Die Mutter Z._ reichte beim Bezirksamt Baden umgehend Beschwerde ein.
B. B.a Mit Schreiben vom 17. Februar 2010 ersuchte W._, Case Managerin bei der Genossenschaft "v._" in C._, im Namen von X._ bei der Gemeinde A._ um Akteneinsicht und um Zustellung des "zurzeit in Ausarbeitung" befindlichen Beschlusses. Sie wies sich durch eine von X._ am 16. Februar 2010 unterzeichnete Vollmacht aus. Mit Schreiben vom 19. Februar 2010 sandte die Gemeinde die Verfahrensakten mitsamt dem gemeinderätlichen Entscheid vom 15. Februar 2010 in Kopie an W._. Diese bedankte sich am 11. März 2010 für die Zustellung der Unterlagen, ersuchte die Gemeinde A._ in ihrer Eigenschaft als Vormundschaftsbehörde "um Gewährung der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung und um meine Einsetzung als unentgeltliche Rechtsbeiständin" und bat darum, für den weiteren Schriftverkehr auf den Verteiler genommen zu werden. Der Gemeinderat trat nicht auf das Begehren ein (Beschluss vom 22. März 2010). Er erwog, die Tochter stehe unter der elterlichen Sorge ihrer Eltern, die ihre Interessen wahrnehmen würden; eine Interessenkollision liege nicht vor, und eine Rechtsvertretung sei gemäss den Gesetzesnormen nicht vorgesehen. Dieser Beschluss blieb unangefochten.
B.b Mit einer weiteren Eingabe richtete sich W._ am 11. März 2010 an das Bezirksamt Baden. Darin stellte sie im Zusammenhang mit dem hängigen Beschwerdeverfahren betreffend Obhutsentzug und Unterbringung ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Sie bat das Bezirksamt, ihr eine Kopie der von X._s Mutter eingereichten Beschwerdeschrift zuzustellen und ihr vor Erlass des Beschwerdeentscheids Gelegenheit zur Stellungnahme zu geben. Das Bezirksamt Baden teilte W._ mit Schreiben vom 16. März 2010 mit, als minderjähriges Kind sei X._ "nicht in der Lage", sie rechtsgültig mit der Wahrung ihrer Interessen zu beauftragen. X._ werde von ihren Eltern vertreten; ohnehin komme dem Kind im vormundschaftlichen Beschwerdeverfahren keine Parteistellung zu. Das Bezirksamt wies weiter darauf hin, das geltende Vormundschaftsrecht sehe zwar keinen Kinderanwalt vor; eine Vertretung des Kindes wie im Scheidungsverfahren sei grundsätzlich möglich, in X._s Fall jedoch nicht notwendig. Mit Verfügung vom 31. März 2010 wies das Bezirksamt Baden das - nach seiner Auffassung von der Genossenschaft "v._" gestellte - Gesuch betreffend unentgeltliche Rechtspflege und Einsetzung von W._ als X._s Rechtsvertreterin ab. Einer allfälligen Beschwerde gegen diese Verfügung entzog das Bezirksamt die aufschiebende Wirkung.
C. C.a Am 21. April 2010 bevollmächtigte X._ den Rechtsanwalt Jürg Oskar Luginbühl und liess durch diesen beim Obergericht des Kantons Aargau Beschwerde gegen die bezirksamtliche Verfügung vom 31. März 2010 führen (Eingabe vom 26. April 2010). Sie beantragte, die Verfügung sei nichtig zu erklären und das Verfahren sei an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Sinne eines Eventualantrages ersuchte X._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Einsetzung von W._ als unentgeltliche Vertreterin, subeventuell um Einsetzung des Anwalts als unentgeltlichen Rechtsbeistand. Weiter stellte sie das Begehren, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, es sei ihr für das obergerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu gewähren, die Vorinstanz sei zu verpflichten, ihrem Anwalt Akteneinsicht zu gewähren, und die Frist zur Beschwerdebegründung sei ihr alsdann wiederherzustellen.
C.b Das Bezirksamt Baden beantragte die kostenfällige Abweisung der Beschwerde (Stellungnahme vom 4. Mai 2010). Das Obergericht übermittelte die Stellungnahme X._s Anwalt. Dieser bat mit Eingabe vom 18. Mai 2010 um Ansetzung einer Frist zur Replik.
C.c Mit Urteil vom 31. Mai 2010 wies die Kammer für Vormundschaftswesen des Obergerichts des Kantons Aargau als zweitinstanzliche Aufsichtsbehörde X._s Beschwerde ab. Zusammengefasst erwog sie, X._ sei als "nicht 16-jähriges Kind weder an sich noch in einem Kindesschutzverfahren befugt, selbständig Rechtsvertreter zu beauftragen und sich durch diese unabhängig von der Verfahrensbeteiligung der sorgeberechtigten Eltern oder des allein sorgeberechtigten Elternteils vertreten zu lassen." Von Amtes wegen änderte das Obergericht die angefochtene Verfügung des Bezirksamts Baden vom 31. März 2010 dahingehend ab, dass im bezirksamtlichen Verfahren nicht die Genossenschaft "v._", sondern X._ als gesuchstellende Partei aufgeführt wird. Auf das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung trat das Obergericht nicht ein; das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das obergerichtliche Verfahren wies es ab.
D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. Juli 2010 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Handelnd durch ihren Rechtsanwalt beantragt sie, das Urteil der Kammer für Vormundschaftswesen des Obergerichts des Kantons Aargau vom 31. Mai 2010 aufzuheben und die Nichtigkeit der Verfügung des Bezirksamtes Baden vom 31. März 2010 festzustellen. Weiter sei unter Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils festzustellen, dass ihr im hängigen Obhutsverfahren Parteistellung zukommt und sie deshalb berechtigt ist, einen Vertreter zu beauftragen. Schliesslich wiederholt die Beschwerdeführerin ihre Anträge betreffend die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für die beiden kantonalen Verfahren und stellt auch für das bundesgerichtliche Verfahren ein entsprechendes Gesuch.
Die Kammer für Vormundschaftswesen des Obergerichts des Kantons Aargau verzichtete auf eine Vernehmlassung; das Bezirksamt beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht überprüft die Zulässigkeit der ihm unterbreiteten Beschwerden von Amtes wegen und mit freier Kognition (BGE 134 III 115 E. 1 S. 117 mit Hinweisen).
1.2 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (Art. 75 Abs. 1 BGG) betreffend die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gut zu machenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 129 I 129 E. 1.1 S. 131). In der Hauptsache geht es um eine vormundschaftliche Obhutsregelung und (vorübergehende) Unterbringung in einem Heim, womit die Beschwerde in Zivilsachen auch gegen den Zwischenentscheid gegeben ist (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 7 BGG; vgl. BGE 133 III 645 E. 2.2 S. 647).
1.3 Die Beschwerdeführerin ist beschwerdelegitimiert (Art. 76 Abs. 1 BGG). Sie hat ein rechtlich geschütztes Interesse an der Klärung der Frage, ob sie im kantonalen Verfahren als prozessfähig zu gelten hat bzw. als Unmündige in einem Kindesschutzverfahren befugt ist, selbständig einen Rechtsvertreter zu beauftragen und sich durch diesen vertreten zu lassen (vgl. BGE 135 II 145 E. 3.1 S. 148; Urteil 5D_136/2009 vom 11. Dezember 2009 E. 1.4). Daran ändert auch der Umstand nichts, dass die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung unmündig war (Art. 14 ZGB). Mit Bezug auf die Frage ihrer eigenen Handlungs- und Prozessfähigkeit hat die Beschwerdeführerin als prozessfähig zu gelten (vgl. BGE 118 Ia 236 E. 3a S. 239 f.; 99 III 4 E. 5 S. 8; Urteil 5P.214/1996 vom 28. Juni 1996 E. 2, publ. in: Rep. 1996 S. 4 f.).
1.4 Soweit die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht beantragt, die Nichtigkeit der ursprünglichen bezirksamtlichen Verfügung festzustellen, weil das Bezirksamt nicht sie selbst, sondern die Genossenschaft "v._" als gesuchstellende Partei bezeichnet habe, ist sie von vornherein nicht zu hören. Anfechtungsobjekt der Beschwerde ist vor Bundesgericht einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Nachdem die Vorinstanz den erstinstanzlichen Fehler in der Parteibezeichnung bereits von Amtes wegen berichtigt hat, fehlt es der Beschwerdeführerin an einem Rechtsschutzinteresse, die Nichtigkeit der Verfügung des Bezirksamtes aus diesem Grund vom Bundesgericht feststellen zu lassen. Inwiefern der angefochtene Entscheid selbst hinsichtlich der Parteibezeichnung mit einem rechtlichen Mangel behaftet sein soll, ist nicht ersichtlich. Insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.5 Erst vor Bundesgericht lässt die Beschwerdeführerin beantragen, es sei festzustellen, dass ihr im hängigen Obhutsverfahren Parteistellung zukommt und dass sie berechtigt ist, eine Vertretung zu beauftragen. Dabei handelt es sich indessen um Rechtsbegehren, welche die Vorinstanz nicht zu beurteilen hatte. Vor dem Obergericht ersuchte die Beschwerdeführerin nur um Feststellung der Nichtigkeit der bezirksamtlichen Verfügung, Rückweisung des Verfahrens an das Bezirksamt und eventuell Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Bst. C.a). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin beinhaltet ihr Begehren betreffend die unentgeltliche Rechtspflege auch nicht "an sich" schon den Antrag, ihr im Obhutsverfahren Parteistellung zuzuerkennen. Das Begehren um Zulassung als Partei im Obhutsverfahren ist neu. Es führt zu einer Ausdehnung des Streitgegenstandes und ist daher unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG).
1.6 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), das heisst, es prüft behauptete Rechtsverletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) mit freier Kognition.
Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft demnach nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
2. Als Verletzung ihres verfassungsmässigen Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) macht die Beschwerdeführerin geltend, das Obergericht habe ihr Gesuch vom 18. Mai 2010 um Ansetzung einer Frist zur Replik auf die Stellungnahme des Bezirksamts Baden vom 4. Mai 2010 bewusst ignoriert. Obwohl das Obergericht rechtzeitig über ihren Wunsch zur Replik unterrichtet worden sei, habe es ihr weder eine entsprechende Frist angesetzt noch unverzüglich mitgeteilt, sie habe die Replik sofort zu erstatten. In Anbetracht der formellen Natur des Gehörsanspruches ist diese Rüge vorweg zu prüfen (BGE 122 II 464 E. 4a S. 469; 121 I 230 E. 2a S. 232).
2.1 Unter Hinweis auf BGE 133 I 98 E. 2 S. 99 erwog das Obergericht, ein Verfahrensbeteiligter, der eine Eingabe eines anderen Verfahrensbeteiligten ohne Fristansetzung zur Kenntnis erhalte und zum Schluss komme, er möchte nochmals zur Sache Stellung nehmen, soll dies aus Gründen des Zeitgewinns tun, ohne vorher darum nachzusuchen. Deshalb habe der Anwalt der Beschwerdeführerin sogleich eine Replik einreichen müssen, ohne vorher um Ansetzung einer entsprechenden Frist nachzusuchen.
2.2 Aus dem verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) folgt das Recht einer Partei, sich im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu den Stellungnahmen bzw. Vernehmlassungen der anderen Verfahrensparteien, unteren Instanzen und weiteren Stellen zu äussern (BGE 133 I 98 E. 2.1 S. 99, 102 E. 4.3; Urteil 9C_557/2008 vom 3. April 2009 E. 3.2, nicht publ. in: BGE 135 III 289). Dieses Äusserungsrecht steht einer Prozesspartei unabhängig davon zu, ob eine eingereichte Eingabe neue Tatsachen oder rechtliche Argumente enthält und ob sie im Einzelfall geeignet ist, den richterlichen Entscheid zu beeinflussen, denn es ist allein Sache der Parteien zu beurteilen, ob eine neue Eingabe oder ein neues Beweismittel Bemerkungen erfordert (BGE 133 I 98 E. 2.1 S. 99, 102 E. 4.3; Urteil 5P.385/2005 vom 17. Januar 2006 E. 2.1 mit Hinweisen). Es genügt daher nicht, wenn das Gericht eine Prozesspartei über den Eingang solcher Eingaben lediglich orientiert; vielmehr ist der Prozesspartei jede eingereichte Stellungnahme zur Kenntnis zu bringen und die konkrete Möglichkeit zur Replik einzuräumen, andernfalls das Prinzip der Waffengleichheit verletzt ist, das Bestandteil des Rechts auf ein faires Gerichtsverfahren bildet (BGE 133 I 100 E. 4.3.-4.6 S. 102 ff. mit Hinweisen; Urteil 9C_557/2008 vom 3. April 2009 E. 3.2, nicht publ. in: BGE 135 III 289).
2.3 Der vom Obergericht angeführte BGE 133 I 98 setzt sich mit der Situation auseinander, in welcher die Beschwerdeführer schon von vornherein in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht den Verfahrensantrag stellen, es seien ihnen "allfällige Vernehmlassungen der Beschwerdegegner zur Stellungnahme, jedenfalls aber zur Kenntnisnahme zuzustellen". Das Bundesgericht erwog, sämtliche eingegangenen Stellungnahmen seien den Beschwerdeführern zur Kenntnisnahme zugestellt und damit das Hauptanliegen des Verfahrensantrages erfüllt worden. Da die Beschwerdeführer auf die Zustellung hin nicht reagiert hätten, sei anzunehmen, sie hätten auf weitere Äusserungen verzichtet.
Vorliegend stellte das Obergericht des Kantons Aargau der Beschwerdeführerin die Vernehmlassung des Bezirksamts im beschriebenen Sinne mit Verfügung vom Montag, 10. Mai 2010, zur Kenntnisnahme zu. Auf diese obergerichtliche Verfügung, die sie frühestens am Dienstag, 11. Mai 2010, erhalten haben konnte, reagierte die Beschwerdeführerin am 18. Mai 2010, indem sie um Ansetzung einer Frist zur Replik ersuchte. Damit ist die Ausgangslage des vorliegenden Falles nicht mit derjenigen vergleichbar, die BGE 133 I 98 zugrunde lag. Vielmehr hätte das Obergericht seinem Entscheid BGE 133 I 100 zugrunde legen müssen. Danach ist der Partei, die nach erfolgter Zustellung von Eingaben anderer Verfahrensbeteiligter eine Stellungnahme hiezu für notwendig erachtet und einen entsprechenden Antrag stellt, das Recht auf Stellungnahme zu gewähren (BGE 133 I 100 E. 4.7 S. 104). Die betreffende Partei muss einen allfälligen Antrag indessen unverzüglich einreichen, ansonsten davon auszugehen ist, sie habe auf eine Stellungnahme verzichtet (BGE 132 I 42 E. 3.3.3 und 3.3.4 S. 47; 133 I 98 E. 2.2 S. 99 f.).
Die Beschwerdeführerin hat - unter Berücksichtigung des Auffahrtstages vom 13. Mai 2010 und des Wochenendes vom 15./16. Mai 2010 - innert vier Arbeitstagen auf die Zustellung der Vernehmlassung des Bezirksamts reagiert. Unter diesen Umständen kann weder ein Verzicht auf das Recht zur Stellungnahme noch eine Verwirkung desselben angenommen werden. Nach dem Gesagten hat das Obergericht das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin verletzt.
2.4 Der Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV ist formeller Natur, weshalb seine Verletzung grundsätzlich ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides führt (BGE 135 I 187 E. 2.2 S. 190, mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung kann eine - nicht besonders schwerwiegende - Verletzung des rechtlichen Gehörs indessen auch noch im Verfahren vor der Rechtsmittelinstanz geheilt werden, wenn die betroffene Person sich vor einer Beschwerdeinstanz äussern kann, der mit Bezug auf die streitige Tat- oder Rechtsfrage die gleiche Überprüfungsbefugnis zusteht. Von einer Rückweisung an die Vorinstanz ist ferner dann abzusehen, wenn und soweit die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären. Die Heilung eines - allfälligen - Mangels soll aber in jedem Fall die Ausnahme bleiben (BGE 133 I 201 E. 2.2 S. 204; 127 V 431 E. 3d/aa S. 437 f.). Eine Heilung der Gehörsverletzung kommt nach dem Gesagten auch (noch) im Verfahren vor Bundesgericht in Frage, allerdings nur, wenn ausschliesslich Rechtsfragen streitig sind, die das Bundesgericht mit freier Kognition beurteilen kann (BGE 133 I 100 E. 4.9 S. 105). Soweit Sachverhaltsrügen erhoben werden oder die Anwendung kantonalen Rechts in Frage steht, ist eine Heilung im Verfahren vor Bundesgericht ausgeschlossen (a.a.O.; s. auch Urteil 1C_435/2010 vom 6. Dezember 2010 E. 2.3.2.).
Streitig ist vorliegend ausschliesslich die Rechtsfrage, ob die Beschwerdeführerin berechtigt sei, den sie unmittelbar betreffenden Entscheid der Vormundschaftsbehörde A._ selbständig, das heisst in eigener Person anzufechten bzw. an dem bereits von ihrer Mutter eingeleiteten Rechtsmittelverfahren selbständig als Partei teilzunehmen und als Folge daraus um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nachzusuchen. Wie sich aus der nachfolgenden Erwägung 3 ergibt, ist die Berechtigung eines Kindes zur Anfechtung des fraglichen Beschlusses in Art. 314a ZGB bundesrechtlich geregelt. Die Anwendung dieser Bestimmung prüft das Bundesgericht, selbst wenn es in der Hauptsache um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege geht, mit freier Kognition (vorne E. 1.2 und E. 1.6). Dass ihr gestützt auf kantonales Recht mehr Rechte zustehen als nach Bundesrecht, behauptet die Beschwerdeführerin nicht. Damit kann die festgestellte Verletzung des rechtlichen Gehörs (s. E. 2.3) im Verfahren vor Bundesgericht geheilt werden. Wie ihren Ausführungen in der Beschwerde an das Bundesgericht entnommen werden kann, war die Beschwerdeführerin denn auch in der Lage, sämtliche Rechtsfragen zu erörtern und ihren Standpunkt umfassend darzulegen. Aus diesen Gründen kann das Bundesgericht auf die Aufhebung und Rückweisung des angefochtenen Entscheids verzichten.
3. 3.1 Zur Hauptsache wirft die Beschwerdeführerin dem Obergericht vor, es habe sie im Kindesschutzverfahren nicht als selbständige Partei zugelassen und ihr verwehrt, W._ bzw. ihren Anwalt Jürg Oskar Luginbühl als ihre Vertreter zu mandatieren. Die Beschwerdeführerin macht geltend, als urteilsfähige unmündige Person im Sinne von Art. 19 Abs. 2 ZGB könne sie ohne elterliche Zustimmung ihre absolut höchstpersönlichen Rechte ausüben. Dazu zähle auch die Befugnis, in einem Verfahren betreffend Obhutsentzug ihre Rechte selbst wahrzunehmen und eine Vertretung zu bestellen, denn als urteilsfähiges Kind sei sie vom Obhutsentzug ausserordentlich stark betroffen.
3.2 Mit ihrem Entscheid vom 15. Februar 2010 hat die Vormundschaftsbehörde A._ beiden Eltern der Beschwerdeführerin die Obhut entzogen, die Beschwerdeführerin selbst - vorübergehend - im Aufnahmeheim B._ platziert und den Eltern verboten, ihre Tochter ohne Zustimmung der Beiständin oder der Vormundschaftsbehörde von dort wegzuholen oder umzuplatzieren. Bei dieser Massnahme handelt es sich um eine fürsorgerische Freiheitsentziehung im Sinne von Art. 314a ZGB (zur Abgrenzung gegenüber der Unterbringung im Sinne von Art. 310 Abs. 1 ZGB s. das Urteil 5P.140/2001 vom 10. Juli 2001 E. 2a). Demnach kann das betroffene Kind, wenn es das 16. Altersjahr noch nicht zurückgelegt hat, nicht selbst richterliche Beurteilung verlangen (Art. 314a Abs. 2 ZGB). Die Beschwerdeführerin war weder im Zeitpunkt der Anordnung der Massnahme (15. Februar 2010) noch im Zeitpunkt des Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (11. März 2010) sechzehnjährig. Nach dem klaren Wortlaut des Gesetzes konnte sie daher nicht selbst ins Verfahren eingreifen, und zwar selbst dann nicht, wenn sie mit Bezug auf die Problemstellung urteilsfähig war. Deshalb kann unter dem Gesichtspunkt des verfassungsmässigen Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege nicht beanstandet werden, dass das Bezirksamt Baden das Gesuch - wenn auch mit einer anderen Begründung - abgewiesen hat. Dasselbe gilt mutatis mutandis für die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor Obergericht.
3.3 Nach dem Gesagten hat der Gesetzgeber die prozessualen Rechte eines unmündigen Kindes im Rahmen einer fürsorgerischen Freiheitsentziehung ausdrücklich geregelt. Daher bleibt für die von der Beschwerdeführerin beantragte sinngemässe Anwendung von Art. 146 ZGB kein Platz.
4. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin als unterliegende Partei kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG), nicht hingegen entschädigungspflichtig, weil der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegende Kanton und die Gemeinde in der Regel keine Parteientschädigung zugesprochen erhalten (Art. 68 Abs. 3 BGG). Angesichts der besonderen Umstände verzichtet das Bundesgericht darauf, Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, kann der Prozess, den die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht gegen die vorinstanzliche Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Rekursverfahren führt, nicht als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Daher ist das entsprechende Gesuch, soweit nicht gegenstandslos, gutzuheissen und Rechtsanwalt Jürg Oskar Luginbühl aus der Gerichtskasse angemessen zu entschädigen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird Rechtsanwalt Jürg Oskar Luginbühl als deren unentgeltlicher Rechtsbeistand eingesetzt.
4. Rechtsanwalt Jürg Oskar Luginbühl wird aus der Gerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Vormundschaftswesen als zweitinstanzliche vormundschaftliche Aufsichtsbehörde, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. März 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn