Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgericht wies mit Urteil 6B_380/2010 vom 8. Juni 2010 eine Beschwerde des Gesuchstellers ab, soweit darauf eingetreten wurde. Teilweise genügte die Eingabe den Begründungsanforderungen nicht (E. 2). Soweit sie den Vorsatz betraf, waren die Erwägungen des angefochtenen Urteils nicht zu beanstanden (E. 3). Nachdem der Gesuchsteller das Urteil erhalten hatte, bemängelte er mit Eingabe vom 15. Juni 2010, dass er keine Gelegenheit erhalten habe, seine Eingabe noch zu ergänzen, wie er dies aufgrund seiner Erfahrungen mit den kantonalen Gerichten habe erwarten dürfen (6B_380/2010 act. 16). Das Bundesgericht teilte ihm mit Schreiben vom 22. Juni 2010 mit, dass innert der Frist von Art. 100 Abs. 1 BGG eine vollständig begründete Beschwerde eingereicht werden müsse und eine Frist zur Beschwerdeergänzung nicht angesetzt werde (6B_380/2010 act. 18).
Der Gesuchsteller wendet sich mit Eingabe vom 2. Juli 2010 erneut an das Bundesgericht. Da er sich auf Art. 121 lit. c und d BGG bezieht (Gesuch S. 3), ist die Eingabe als Revisionsgesuch entgegenzunehmen. Indessen sind weder einzelne Anträge unbeurteilt geblieben (Art. 121 lit. c BGG), noch hat das Bundesgericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt (Art. 121 lit. d BGG). Es mag angemerkt werden, dass der Gesuchsteller in seiner Beschwerde vom 30. April 2010 gar keinen Antrag, es sei ihm eine Frist zur Beschwerdeergänzung einzuräumen, gestellt hat (6B_380/2010 act. 1).
Wie sich aus dem oben erwähnten Schreiben vom 15. Juni 2010 und nun erneut aus seinem Revisionsgesuch ergibt, hat sich der Gesuchsteller ohne weiteres auf seine kantonalen Erfahrungen verlassen und deshalb übersehen, dass vor Bundesgericht andere Regeln gelten. Dies hat er sich selber zuzuschreiben. Es wäre an ihm gewesen, sich über die Rechtslage zu informieren. Davon, dass aus der Formulierung in der Eingangsanzeige einer Beschwerde, die notwendigen prozessleitenden Anordnungen würden später folgen, geschlossen werden könnte, es werde noch eine Frist zur Begründung der Beschwerde angesetzt, kann nicht die Rede sein. Ein Irrtum des Betroffenen über die Rechtslage stellt indessen keinen Revisionsgrund dar.
Das Revisionsgesuch ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten sind dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Art der Prozessführung ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
3. Der Gesuchsteller wird darauf aufmerksam gemacht, dass weitere Eingaben in dieser Sache ohne Antwort zu den Akten gelegt werden müssten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. September 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn