Sachverhalt:
A. X._ betrieb mit Zahlungsbefehl Nr. 1 des Betreibungsamtes A._ vom 23. April 2009 Y._ für den Betrag von Fr. 45'160.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 22. April 2009. Als Grund der Forderung gab sie an:
"Differenz aus persönlichen Unterhaltsbeiträgen gemäss Entscheid des Präsidenten des Bezirksgerichts Steckborn betreffend Eheschutz vom 12. Januar 2009 per 24. April 2009
geschuldet: CHF 48'200.00
bezahlt: CHF 3'040.00"
Ziffer 4 des Dispositivs des erwähnten Eheschutzentscheides lautet wie folgt:
"Der Gesuchsgegner [Y._] wird verpflichtet, der Gesuchstellerin [X._] ab dem 01. Januar 2008 einen Unterhaltsbeitrag im voraus bis Juni 2008 von CHF 2'800.00 bzw. ab Juli 2008 monatlich CHF 3'100.00 zu bezahlen. Bereits geleistete Unterhaltszahlungen sind zu verrechnen."
B. Nach erfolgtem Rechtsvorschlag erhob X._ am 3. August 2009 Klage beim Gerichtspräsidium Rheinfelden auf Erteilung definitiver Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 45'160.-- nebst Zins zu 5 % seit 22. April 2009 und die Betreibungskosten. Am 19. Oktober 2009 erteilte die Gerichtspräsidentin definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 10'796.83 nebst Zins zu 5 % seit 29. April 2009 sowie die Zahlungsbefehlskosten von Fr. 100.-- und die anteilige Gerichtsgebühr von Fr. 100.--.
C. Gegen dieses Urteil führte X._ am 9. November 2009 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau. Sie wiederholte dabei ihr Begehren um definitive Rechtsöffnung über den Betrag von Fr. 45'160.--. Eventualiter verlangte sie die Zurückweisung an die Vorinstanz infolge Verweigerung des rechtlichen Gehörs. In seiner Anschlussbeschwerde vom 23. November 2009 beantragte Y._ die vollumfängliche Verweigerung der definitiven Rechtsöffnung, eventualiter ihre Erteilung über Fr. 5'938.20 nebst Zins. In Abweisung der Beschwerde und teilweiser Gutheissung der Anschlussbeschwerde erteilte das Obergericht mit Urteil vom 22. Februar 2010 die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 6'260.-- nebst 5 % Zins seit 29. April 2009 sowie anteilige Zahlungsbefehlskosten von Fr. 15.-- und anteilige Gerichtsgebühren von Fr. 57.--.
D. Gegen dieses Urteil hat X._ (fortan: Beschwerdeführerin) am 30. März 2010 Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Zurückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung.
Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Y._ (fortan: Beschwerdegegner) schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 133 III 489 E. 3 mit Hinweis).
1.1 Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 107 Abs. 2 BGG), darf sich der Beschwerdeführer grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Der Beschwerdeführer muss demnach angeben, welche Punkte des Entscheids angefochten und welche Abänderungen beantragt werden. Grundsätzlich ist ein materieller Antrag erforderlich; Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, etwa weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (BGE 134 III 379 E. 1.3 S. 383; 133 III 489 E. 3.1 S. 489 f. mit Hinweisen).
1.2 Die Beschwerdeführerin stellt ein Aufhebungs- und ein Rückweisungsbegehren, jedoch keinen materiellen Antrag. Dass das Bundesgericht nicht selber in der Lage wäre, einen materiellen Entscheid zu fällen, ergibt sich weder aus dem angefochtenen Urteil noch wird solches in der Beschwerde behauptet oder begründet. Insbesondere macht die Beschwerdeführerin nicht geltend, der Sachverhalt sei durch die Vorinstanz lückenhaft und willkürlich erhoben worden, so dass die Sache zur weiteren Abklärung an das Obergericht zurückzuweisen sei. Ebensowenig hält sie an der vor dem Obergericht erhobenen Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs fest, welche allenfalls Anlass zu einer Rückweisung bilden könnte. Vielmehr dreht sich die Beschwerde einzig um die Rechtsfrage, ob in der zitierten Ziffer 4 des Eheschutzentscheides vom 12. Januar 2009 die Unterhaltsbeiträge hinreichend bestimmt sind, so dass dieser Entscheid als definitiver Rechtsöffnungstitel taugt (dazu BGE 135 III 315). Diese Frage könnte das Bundesgericht reformatorisch entscheiden.
1.3 Demnach ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin keinen rechtsgenüglichen Antrag gestellt hat und mithin auf ihre Beschwerde nicht eingetreten werden kann.
2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat dem Beschwerdegegner überdies eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zingg