Sachverhalt:
A. Mit unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 4. Mai 2007 sprach die IV-Stelle Luzern dem 1982 geborenen A._ rückwirkend ab 1. Februar 2003 eine ganze und ab 1. Juni 2005 eine halbe Invalidenrente zu.
Am 26. Januar 2010 bejahte die IV-Stelle den Anspruch des A._ auf eine ganze Rente für die Zeit vom 1. Januar bis 30. April 2008 und auf eine halbe Rente ab 1. Mai 2008. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern teilweise gut, hob die Verfügung auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit diese nach erfolgten Abklärungen im Sinne der Erwägungen über den Anspruch neu verfüge (Entscheid vom 20. August 2010).
Nach Observierung des Versicherten stellte die Verwaltung vorbescheidsweise die vorsorgliche Einstellung der Invalidenrente in Aussicht. Sie teilte A._ mit, dass beim Instiitut X._ eine medizinische Abklärung vorgesehen sei. An dieser Gutachtensstelle hielt die IV-Stelle auf die vom Versicherten dagegen erhobenen Einwände hin fest (Verfügung vom 3. Oktober 2011). Mit Verfügung vom 23. November 2011 stellte sie die Invalidenrente vorsorglich ein und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
B. Beschwerdeweise liess A._ das Rechtsbegehren stellen, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihm die bisherige Invalidenrente weiterhin auszurichten. Die aufschiebende Wirkung sei wiederherzustellen. Eventuell seien die Akten mit zusätzlichen medizinischen Abklärungen zu ergänzen, wobei weiterhin die bisherige Invalidenrente auszurichten sei. Gleichzeitig ersuchte A._ um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Entscheid vom 15. März 2012 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Beschwerde ab. Es wurden keine Gerichtskosten erhoben. Dem Versicherten wurde die unentgeltliche Verbeiständung gewährt.
C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und das im kantonalen Verfahren gestellte Rechtsbegehren erneuern. Des Weitern ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung).
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 135 III 1 E. 1.1 S. 3).
2. 2.1 Die Vorinstanz wies die vom Versicherten gegen die sofortige vorsorgliche Renteneinstellung (Verfügung vom 23. November 2011; Art. 55 Abs. 1 ATSG in Verbindung mit Art. 56 VwVG; vgl. auch Urteil 9C_45/2010 vom 12. April 2010 E. 2, in: SVR 2011 IV Nr. 12 S. 32) erhobene Beschwerde ab. Da ihr Entscheid das Verfahren nicht abschliesst, liegt kein Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG vor, sondern ein Vor- oder Zwischenentscheid über die Anordnung einer vorsorglichen Massnahme im Sinne von Art. 93 BGG (BGE 137 III 324 E. 1.1 S. 327 unten f.).
Derartige Zwischenentscheide sind beim Bundesgericht anfechtbar, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) und wenn auch in der Hauptsache die Beschwerde an das Bundesgericht offensteht (Grundsatz der Einheit des Prozesses; BGE 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.). Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne des Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG muss grundsätzlich rechtlicher Natur sein, d.h. auch durch einen günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden können (BGE 137 III 324 E. 1.1 S. 328); eine rein tatsächliche oder wirtschaftliche Erschwernis genügt in der Regel nicht (BGE 134 I 83 E. 3.1. S. 87 mit Hinweisen).
2.2 Vorsorgliche Massnahmen begründen einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil, wenn dadurch ein bestimmtes Handeln verboten wird, welches faktisch nicht nachträglich rückgängig gemacht werden kann. Als Beispiele können etwa ein provisorischer Führerausweisentzug (Urteil 1C_420/2007 vom 18. März 2008 E. 1 [publ. in: JdT 2008 I 466]) oder allgemein Verbote, bestimmte Handlungen vorzunehmen (vgl. Urteil 4D_71/2007 vom 7. Februar 2008 E. 1.1; 5A_202/2007 vom 13. Juni 2007 E. 1.1 [Publikationsverbot]), genannt werden (vgl. auch BGE 134 I 83 E. 3.1 S. 86 f.). Demgegenüber hat der blosse vorläufige Entzug finanzieller Leistungen in der Regel keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge (vgl. Urteil 8C_473/2009 vom 3. August 2009 E. 4.3 [publ. in: SJ 2010 I S. 37]; 5A_270/2008 vom 20. November 2008 E. 3, nicht publ. in: BGE 135 III 238, aber in: FamPra.ch 2009 S. 486; 2C_309/2008 vom 13. August 2008 E. 2.3). Das gilt auch für die vorsorgliche Einstellung einer Rentenzahlung (Urteil 9C_45/2010 vom 12. April 2010 E. 1.2, in: SVR 2011 IV Nr. 12 S. 32; vgl. auch Urteil 9C_1016/2009 vom 3. März 2010 E. 1). Denn wenn sich im Revisionsverfahren ergibt, dass die Rente nicht eingestellt wird, erfolgt für die ganze Dauer der vorsorglichen Einstellung eine Rentennachzahlung samt Zins (zum Ganzen: Urteil 9C_45/2010 vom 12. April 2010 E. 1.2, in: SVR 2011 IV Nr. 12 S. 32; Hansjörg Seiler, in: Waldmann/Weissenberger [Hrsg.], VwVG, Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2009, N. 70 f. zu Art. 55 und N. 54 f. zu Art. 56 VwVG).
3. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, weshalb die sofortige vorsorgliche Renteneinstellung bei ihm - abweichend von der Rechtsprechung (E. 2.2) - einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zur Folge haben soll. Die Beschwerde setzt sich mit der Eintretensvoraussetzung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils, in Verletzung der Substanziierungspflicht, nicht genügend auseinander (BGE 137 III 324 E. 1.1 S. 328 unten f.; vgl. dazu auch Urteile 9C_167/2012 und 9C_171/2012 vom 23. Mai 2012 E. 3.3; 5A_175/2009 vom 9. Juni 2009 E. 1.3; 4A_92/2007 vom 8. Juni 2007 E. 2 in fine; Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 13 zu Art. 93 BGG). Auf das Rechtsmittel ist deshalb, da es bezüglich der Eintretensvoraussetzungen offensichtlich nicht hinreichend begründet ist, gestützt auf Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten.
4. Umständehalber sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Damit ist das beschwerdeführerische Gesuch um unentgeltliche Prozessführung gegenstandslos. Zufolge Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels besteht kein Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Juni 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann