Faits:
A. A la suite d'une demande de prestations à l'assurance-invalidité présentée le 1er septembre 2005, B._, infirmière de profession, a bénéficié d'indemnités journalières d'attente à partir du 1er mars 2007 et suivi (en partie) un stage d'orientation professionnelle en automne 2007. Par courriers du 19 février 2008, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) l'a informée qu'elle avait droit à une orientation professionnelle et un soutien dans ses recherches d'emploi; en revanche, il ne prenait pas en charge un perfectionnement professionnel et lui proposait de choisir entre trois formations ou une aide au placement. Le 4 mars suivant, l'office AI a indiqué à l'assurée que dans la mesure où elle disposait des qualifications nécessaires pour obtenir un poste d'infirmière cheffe ou de clinicienne (ces deux activités étant compatibles avec ses limitations fonctionnelles), une nouvelle formation professionnelle n'avait pas à être prise en charge par l'assurance-invalidité. Le lendemain, il l'a par ailleurs avertie qu'il entendait supprimer le droit à l'indemnité journalière d'attente au 29 février 2008 (projet de décision du 5 mars 2008). B._ a fait valoir ses objections par courrier du 10 mars suivant, en requérant un réexamen rapide de son cas compte tenu de sa situation économique difficile. Après avoir soumis le dossier de l'intéressée à son Service médical régional AI (SMR), qui a établi un rapport le 2 avril 2008, l'office AI a pris des renseignements auprès de l'Hôpital X._, le 8 avril suivant. Un rapport final a été établi le 17 avril 2008 par la division administrative de l'office AI.
Après qu'une lettre du 16 avril 2008 (par laquelle elle renouvelait une requête du 6 mars précédent visant à obtenir des mesures de réadaptation), fut restée sans réponse, B._ a, par courrier du 6 mai 2008, imparti à l'office AI un délai au 30 mai suivant pour qu'il prenne position et rende les décisions utiles, faute de quoi elle saisirait les autorités judiciaires.
B. Par acte du 6 juin 2008, l'assurée a interjeté un recours pour déni de justice auprès du Tribunal des assurances du canton de Vaud. De son côté, le 4 juillet 2008, l'office AI a mis fin aux indemnités journalières d'attente avec effet au 29 février 2008, en considérant que le droit aux mesures professionnelles était sans objet.
Invitée à communiquer au Tribunal si elle entendait retirer son recours à la suite de la décision de l'administration, l'assurée l'a expressément maintenu en formulant des conclusions constatatoires sous suite de frais et dépens. Le 6 août 2008, le Tribunal a statué que le recours était sans objet; il n'a pas alloué de dépens, ni prélevé de frais.
C. Par acte de recours daté du 31 août 2008, B._ demande sous suite de dépens au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal, de constater le déni de justice et de renvoyer le dossier au Tribunal des assurances du canton de Vaud afin que celui-ci fixe des dépens pour la procédure cantonale. Le Tribunal fédéral a renoncé à procéder à un échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Le jugement entrepris a été rendu dans une cause de droit public par une autorité cantonale de dernière instance, dans une matière où aucune des clauses d'exception de l'art. 83 LTF ne s'applique. La voie du recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), qui peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (qui comprend les droits fondamentaux) ou du droit international (art. 95 let. a et b LTF), est ouverte. Aussi, le recours de l'assurée - qui entend se plaindre par le biais d'un recours en matière de droit public d'une violation des art. 42 et 56 LPGA, ainsi que par la voie du recours constitutionnel subsidiaire d'une violation des art. 29 Cst. et 6 § 1 CEDH - doit-il être traité exclusivement comme un recours en matière de droit public. En raison de son caractère subsidiaire, la voie du recours constitutionnel n'est pas ouverte (art. 113 LTF).
2. Qualifiant d'inadmissible le silence de l'intimé, la recourante se plaint d'un déni de justice, dès lors que l'administration n'a répondu ni à ses objections du 10 mars 2008, ni à son rappel du 16 avril suivant et à sa lettre de sommation du 6 mai 2008. Elle reproche à la juridiction cantonale d'avoir manqué de constater la violation invoquée et de lui reconnaître en conséquence le droit à des dépens.
3. 3.1 Le droit de recours de l'art. 56 al. 2 LPGA sert à mettre en oeuvre l'interdiction du déni de justice formel prévue par l'art. 29 al. 1 Cst. Le retard injustifié à statuer, également prohibé par l'art. 6 § 1 CEDH (qui n'offre à cet égard pas une protection plus étendue que la disposition constitutionnelle [ATF 103 V 190 consid. 2 p. 192]), est une forme particulière du déni de justice formel (ATF 119 Ia 237 consid. 2 p. 238). Il y a retard injustifié à statuer lorsque l'autorité administrative ou judiciaire compétente ne rend pas la décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prévu par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire ainsi que toutes les autres circonstances font apparaître comme raisonnable (ATF 131 V 407 consid. 1.1 p. 409 et les références). Entre autres critères sont notamment déterminants le degré de complexité de l'affaire, l'enjeu que revêt le litige pour l'intéressé ainsi que le comportement de ce dernier et celui des autorités compétentes (ATF 130 I 312 consid. 5.2 p. 332; 125 V 188 consid. 2a p. 191).
3.2 Nonobstant les termes utilisés dans le dispositif du jugement entrepris, la juridiction cantonale est entrée en matière sur le recours, puisqu'elle a exposé les raisons pour lesquelles il n'y avait pas lieu d'admettre un retard injustifié de la part de l'intimé. Elle a retenu qu'au regard du déroulement de la procédure administrative (du dépôt de la demande de prestations [le 1er septembre 2005] à la notification de la décision du 4 juillet 2008), ainsi que de la relative complexité du dossier, on ne pouvait reprocher à l'intimé de ne pas avoir encore statué au moment du dépôt du recours, dans une cause dont l'instruction s'était achevée en avril 2008. Selon elle, un délai de trois mois entre le projet de décision et la décision formelle y relative ne constituait pas un retard injustifié, respectivement un déni de justice, dès lors que l'administration devait dans l'intervalle apprécier la pertinence des objections présentées par l'assurée contre son projet de décision.
3.3 Les considérations de la juridiction cantonale ne prêtent pas flanc à la critique. Si la recourante a pu ressentir le défaut de réaction de l'intimé à ses lettres envoyées à la suite du projet de décision comme un oubli aux règles de la bienséance, l'absence de réponse ne correspond pas à un retard injustifié ou une violation du principe de la célérité de la procédure. A l'instar de l'autorité de recours de première instance, on doit admettre que le temps écoulé entre le projet de décision (du 5 mars 2008) et le prononcé formel de celle-ci (le 4 juillet 2008) apparaît encore comme raisonnable. Afin de répondre aux objections de la recourante, l'intimé a en effet procédé à de nouvelles mesures d'instruction (rapport du SMR du 2 avril 2008; demande de renseignements à l'Hôpital X._; rapport final du 17 avril 2008), dont il devait encore évaluer les résultats avant de se prononcer sur les arguments présentés. C'est dès lors à juste titre que la juridiction cantonale n'a pas admis un déni de justice de la part de l'intimé et n'a pas alloué de dépens à l'assurée, qui succombait en procédure cantonale. Tout au plus aurait-elle pu expliciter ce résultat en disposant que le recours était rejeté, dans la mesure où il n'était pas sans objet.
On ajoutera que la recourante ne peut rien tirer d'une prétendue violation de l'art. 42 LPGA - grief du reste irrecevable, faute de motivation au sens de l'art. 42 al. 2 LTF -, le droit d'être entendu n'ayant pas de portée propre sous l'angle de l'interdiction constitutionnelle du déni de justice.
3.4 En conséquence de ce qui précède, le recours est mal fondé.
4. Compte tenu de l'issue du litige, les frais de justice doivent être supportés par la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 première phrase) et ne peut donc prétendre des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless