Sachverhalt:
A. X._ erhob am 17. September 2009 gegen A._ eine Ehrverletzungsklage beim zuständigen Friedensrichteramt Zürich. Am 9. Dezember 2009 reichte sie dessen Weisung beim Bezirksgericht Zürich ein und stellte gleichzeitig den Antrag, ihr eine angemessene Frist zur Ergänzung der Anklageschrift anzusetzen, um zusätzliche Zeugen nennen zu können. Das Bezirksgericht Zürich wies diesen Antrag am 15. Dezember 2009 ab und liess die Klage nicht zu.
B. X._ erhob gegen diesen Entscheid Rekurs beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies den Rekurs am 9. August 2010 ab.
C. X._ erhebt Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht. Sie beantragt, die Verfügung des Bezirksgerichts Zürich vom 15. Dezember 2009 sei aufzuheben, und ihre Anklage sei zuzulassen. Zudem sei ihrem Gesuch vom 9. Dezember 2009 zur Ergänzung der Anklageschrift zu entsprechen und die Kosten dem Angeklagten A._ aufzuerlegen.
X._ verlangt damit sinngemäss die Aufhebung des vorinstanzlichen Beschlusses vom 9. August 2010 sowie die Zulassung ihrer (noch zu ergänzenden) Ehrverletzungsklage gegen A._.
D. Die Vorinstanz verzichtet auf eine Vernehmlassung. A._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten von X._.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde vom 15. September 2010 ging am Bundesgericht am 16. September 2010 ein. In Bezug auf die Frage der Legitimation sowie des anwendbaren Prozessrechts sind das BGG sowie die kantonale StPO in der bis zum 31. Dezember 2010 geltenden Fassung anwendbar.
1.2 Gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (...) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die Privatklägerschaft, wenn sie nach dem kantonalen Recht die Anklage ohne Beteiligung der Staatsanwaltschaft vertreten hat (lit. a und lit. b Ziff. 4).
1.3 Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 aBGG betrifft jene Fälle, in denen der Privatstrafkläger von Beginn weg an die Stelle des öffentlichen Anklägers tritt, weil die Verfolgung der Straftat wegen ihres geringen Unrechtsgehalts oder mit Rücksicht auf das vorwiegend private Interesse an der Bestrafung dem Geschädigten überlassen wird. Massgebend ist, ob der öffentliche Ankläger nach dem kantonalen Prozessrecht befugt und zuständig ist, darüber zu entscheiden, ob Anklage erhoben wird oder nicht. Nur wenn diese Entscheidung allein dem Privatstrafkläger zusteht, hat dieser im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 aBGG die Anklage ohne Beteiligung der Staatsanwaltschaft zu vertreten (Urteil des Bundesgerichts 1B_320/2009 vom 5. Juli 2010 E. 1.3.1 mit Hinweisen).
Gestützt auf § 287 aStPO/ZH sind Ehrverletzungsklagen auf dem Weg der Privatstrafklage zu betreiben. Die Beschwerdeführerin ist somit zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt.
2. Die Beschwerdeführerin arbeitete in leitender Position als Juristin in der Rechtsabteilung der Bank B._, zuletzt als "Head C._ Services". Gegenstand des vorliegenden Ehrverletzungsverfahrens bildet einerseits das vom Beschwerdegegner gegenüber Dritten verbreitete Memorandum zu ihrem Führungsstil, andererseits die Äusserung des Beschwerdegegners, es seien über die Beschwerdeführerin geschäftsintern eine Abklärung beziehungsweise eine Untersuchung durchgeführt worden, weshalb er über Beweismittel verfüge, die ihre Kündigung rechtfertigen würden.
3.1 3.1.1 Nach Auffassung der Beschwerdeführerin habe sich die Vorinstanz mit den konkreten Umständen und den relevanten Sachverhaltselementen zu wenig auseinandergesetzt und sei daher zum falschen Schluss gelangt, die Behauptungen des Beschwerdegegners beträfen nicht den strafrechtlich geschützten Bereich der Ehre. Sie berücksichtige nicht, dass sie in der Rechtsabteilung einer Bank gearbeitet habe. Dort seien neben dem kaufmännischen Personal ausschliesslich Juristen und Rechtsanwälte beschäftigt worden. Zur Beurteilung der Ehrverletzung sei nicht von der Durchschnittsauffassung irgendeines unbefangenen Hörers auszugehen. Entscheidend seien die konkreten Umstände. Jeder "Hörer" bei der Bank B._ wisse, dass die disziplinarische Kündigung eines Mitarbeiters die letztmögliche Massnahme bei schweren Verstössen gegen die internen Regeln oder gesetzeswidriges Verhalten darstelle (Beschwerde, S. 4 ff. und S. 8).
3.1.2 Die Äusserung des Beschwerdegegners habe sich keineswegs nur auf ihre berufliche Ehre bezogen, sondern auch ihren Privatbereich betroffen. Die sofortige Entlassung werde mit einer gravierenden Verletzung gesetzlicher oder reglementarischer Vorschriften verknüpft. Die Wortwahl im konkreten Zusammenhang habe den Eindruck erweckt, sie habe mit grosser Wahrscheinlichkeit gesetzeswidrig gehandelt beziehungsweise in grober Weise gegen bankinterne Reglemente verstossen (Beschwerde, S. 6 f.).
3.1.3 Der Beschwerdegegner habe auch ein ehrverletzendes Memorandum verfasst. Dieses habe den Eindruck erweckt, sie habe Mitarbeiter gemobbt und ihre Fürsorgepflicht als Vorgesetzte missachtet, indem sie ein Klima der Angst geschaffen habe. Diese Vorwürfe seien ebenfalls nicht bloss beruflicher Natur. Die ihr vorgeworfene berufliche Unfähigkeit sei auch als - ehrverletzendes - sittliches Versagen zu werten, indem sie ihren Beruf trotz fehlender Eignung ausgeübt habe. Die Bank B._ habe dem Beschwerdegegner im Übrigen verboten, die gerügten Behauptungen zu verbreiten oder gegenüber Dritten zu wiederholen (Beschwerde, S. 9 f.).
3.1.3 Der Beschwerdegegner habe auch ein ehrverletzendes Memorandum verfasst. Dieses habe den Eindruck erweckt, sie habe Mitarbeiter gemobbt und ihre Fürsorgepflicht als Vorgesetzte missachtet, indem sie ein Klima der Angst geschaffen habe. Diese Vorwürfe seien ebenfalls nicht bloss beruflicher Natur. Die ihr vorgeworfene berufliche Unfähigkeit sei auch als - ehrverletzendes - sittliches Versagen zu werten, indem sie ihren Beruf trotz fehlender Eignung ausgeübt habe. Die Bank B._ habe dem Beschwerdegegner im Übrigen verboten, die gerügten Behauptungen zu verbreiten oder gegenüber Dritten zu wiederholen (Beschwerde, S. 9 f.).
3.2 3.2.1 Die Vorinstanz erwägt, die vom Beschwerdegegner gegenüber Dritten geäusserte Behauptung, eine Abklärung bzw. Untersuchung über die Beschwerdeführerin durchgeführt zu haben und über Beweismittel zur Rechtfertigung einer Kündigung zu verfügen, tangiere den Ruf der Beschwerdeführerin, ein ehrbarer Mensch zu sein, nicht. Die Äusserung enthalte keinen konkreten Vorwurf, der die sittliche Ehre betreffe, sondern beziehe sich ausschliesslich auf ihre berufliche Tätigkeit. Dieser Bereich der Ehre sei aber nicht strafrechtlich geschützt. Der Umstand, dass sie ihr Privat- vom Berufsleben nicht mehr habe klar trennen können, vermöge hieran nichts zu ändern. Die Äusserungen in einem überdurchschnittlich "normierten" Umfeld spielten zur Beantwortung der Frage, ob eine Ehrverletzung vorliege, keine Rolle. Massgeblich sei der Sinn der Äusserung, wie sie ein unbefangener Hörer oder Leser verstehe (angefochtenes Urteil, S. 3 f.).
3.2.2 Das vom Beschwerdegegner verfasste Memorandum betreffe den Führungsstil der Beschwerdeführerin, was sie höchstens als Berufsfrau herabsetze. Eine sittliche oder ethische Würdigung sei damit nicht verbunden. Sie werde keiner Eigenschaft bezichtigt, die geeignet sei, sie als Mensch verächtlich zu machen oder ihren Charakter in ein ungünstiges Licht zu rücken. Von "beruflicher Untauglichkeit" oder "Mobbing" sei im Memorandum auch indirekt nicht die Rede. Das Verbot der Bank B._, das Memorandum zu verbreiten, sei für die strafrechtliche Beurteilung des Inhalts bedeutungslos. Die Ehrverletzungsklage sei mangels strafrechtlicher Relevanz der inkriminierten Äusserungen nicht zuzulassen (angefochtenes Urteil, S. 4 f.).
3.3 Gemäss Art. 173 Ziff. 1 StGB macht sich der üblen Nachrede schuldig, wer jemanden bei einem anderen eines unehrenhaften Verhaltens oder anderer Tatsachen, die geeignet sind, seinen Ruf zu schädigen, beschuldigt oder verdächtigt oder wer eine solche Beschuldigung oder Verdächtigung weiterverbreitet (vgl. auch Art. 174 Ziff. 1 StGB). Nach ständiger Rechtsprechung beschränkt sich der strafrechtliche Schutz von Art. 173 Ziff. 1 StGB auf den menschlich-sittlichen Bereich. Die Bestimmung schützt somit den Ruf, ein ehrbarer Mensch zu sein, d.h. sich so zu benehmen, wie nach allgemeiner Anschauung ein charakterlich anständiger Mensch sich zu verhalten pflegt (sittliche Ehre bzw. ethische Integrität). Den Tatbestand erfüllen nur Behauptungen sittlich vorwerfbaren, unehrenhaften Verhaltens. Äusserungen, die geeignet sind, jemanden in anderer Hinsicht, z.B. als Geschäfts- oder Berufsmann, als Politiker oder Künstler in seiner gesellschaftlichen Geltung oder sozialen Funktion herabzusetzen (gesellschaftliche oder soziale Ehre), sind demgegenüber nicht ehrverletzend, solange die Kritik an den strafrechtlich nicht geschützten Seiten des Ansehens jedenfalls nicht zugleich die Geltung als ehrbarer Mensch trifft. Für die Frage, ob die Äusserung ehrenrührig ist, ist massgeblich, welcher Sinn ihr ein unbefangener Adressat unter den konkreten Umständen beilegt (BGE 128 IV 53 E. 1a mit Hinweisen). Unerheblich ist, ob der Dritte die Beschuldigung oder Verdächtigung für wahr hält oder nicht (Urteil 6B_1058/2009 vom 15. März 2010 E. 3.2 mit Hinweis auf BGE 103 IV 22). Die sittliche Ehre ist namentlich tangiert beim Vorwurf, vorsätzlich eine strafbare Handlung begangen zu haben (FRANZ RIKLIN, in: Basler Kommentar, Strafrecht, 2. Aufl. 2007, N. 18 vor Art. 173 StGB).
3.4 Massgebend für die Beurteilung einer Ehrverletzung sind weder die Wertmassstäbe der Beschwerdeführerin oder des Beschwerdegegners, sondern der (unbefangenen) Personen, die von der in Frage stehenden "Ehrverletzung" konkret Kenntnis erhalten haben (Urteil 6B_1058/2009 15. März 2010 E. 3.2 mit Hinweis auf BGE 128 IV 53 E. 1a). Entsprechend ist das von zahlreichen juristisch ausgebildeten Mitarbeitern geprägte Umfeld der Beschwerdeführerin, welche die Äusserung des Beschwerdegegners oder sein Memorandum zur Kenntnis genommen haben, bei der Beurteilung der Ehrverletzung zu berücksichtigen.
3.5 Die vorinstanzliche Erwägung, die Äusserung des Beschwerdegegners beziehe sich auf die berufliche Tätigkeit, ist grundsätzlich nicht zu beanstanden. Die Beschwerdeführerin wendet allerdings mit ebenfalls vertretbarer Argumentation ein, die Äusserung habe sich nicht nur auf ihre berufliche Ehre bezogen, sondern sie auch in ihrem Privatbereich getroffen. Die Abgrenzung der beruflichen zur strafrechtsrelevanten sittlichen Ehre ist im vorliegenden Fall denn auch nur schwer zu ziehen, zumal die Beschwerdeführerin in ihrer leitenden Stellung innerhalb der Rechtsabteilung der Bank B._ massgeblich mit der Einhaltung und Durchsetzung zahlreicher gesetzlicher und betrieblicher Vorschriften beschäftigt war. In ihrer Position kann eine fristlose Entlassung durchaus mit der Verletzung gesetzlicher oder reglementarischer Vorschriften verknüpft werden. Es scheint daher nicht von vornherein ausgeschlossen, dass der Beschwerdegegner den Eindruck erwecken wollte, sie habe mit grosser Wahrscheinlichkeit gesetzeswidrig gehandelt beziehungsweise in grober Weise gegen bankinterne Reglemente und Weisungen verstossen. Diesfalls wäre neben ihrer beruflichen auch die sittliche Ehre betroffen, da sie einer strafbaren Handlung bezichtigt würde.
3.6 Im Kanton Zürich befindet der Präsident respektive der Einzelrichter des zuständigen Bezirksgerichts bei Ehrverletzungen, die nicht durch die Medien begangen wurden, auf Grundlage der Weisung und der Anklageschrift über die Zulassung der Anklage (§ 313 aStPO/ZH). Der Inhalt der Anklage ist auf ihre formale Ordnungsmässigkeit zu prüfen. Anklagen, bei denen die behaupteten Äusserungen gar nicht ehrenrührig sind, oder klarerweise ein Rechtfertigungsgrund gegeben ist, sind nicht zuzulassen. Es kann jedoch nicht Aufgabe der Zulassungsbehörde sein, in Zweifelsfällen dem Urteil des Sachrichters vorzugreifen (Urteil 6B_1058/2009 vom 15. März 2010 E. 2 mit Hinweisen). Entsprechend sind Ehrverletzungsklagen bei nicht eindeutiger Ehrenrührigkeit der zugrundeliegenden Äusserungen - wie im vorliegenden Fall - als zulässig zu betrachten.
4. Die Beschwerde ist gutzuheissen. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 9. August 2010 ist aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang sind dem Beschwerdegegner die Verfahrenskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegner unterliegt mit seinem Antrag auf Nichteintreten, eventualiter kostenfällige Abweisung der Beschwerde, weshalb er der Beschwerdeführerin eine angemessene Entschädigung auszurichten hat (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 9. August 2010 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Der Beschwerdegegner hat der Beschwerdeführerin eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2011
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Keller