Faits:
A. Par décision du 23 septembre 2008, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a alloué à V._, pour les suites de l'accident survenu le 13 septembre 2004, une rente d'invalidité LAA fondée sur une incapacité de gain de 29 % dès le 1er mai 2008, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un taux de 15 %. Saisie d'une opposition, la CNA l'a écartée dans une nouvelle décision du 12 décembre 2008.
B. Le 28 janvier 2009, l'assuré a déféré cette dernière décision à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois. Sous suite de dépens, il a conclu à ce qu'il soit mis au bénéfice d'une rente fondée sur une invalidité d'au moins 50 %. La CNA a répondu au recours le 10 mars 2009. Par mémoire de réplique du 28 avril 2009, V._ a demandé la mise en oeuvre d'une expertise. La CNA a déposé une duplique le 2 juin 2009.
Par lettre du 11 mars 2010, V._ s'est adressé au tribunal cantonal pour lui demander de reprendre l'instruction de la cause. Celui-ci lui a répondu le 22 mars suivant qu'en l'état du dossier, des mesures d'instruction n'apparaissaient pas nécessaires et qu'un jugement serait notifié ultérieurement et dans les meilleurs délais pour autant que d'autres affaires plus anciennes ou plus urgentes le permettent. L'assuré a réservé ses droits en matière d'administration des preuves et requis qu'un jugement soit notifié jusqu'à fin septembre 2010 (lettre du 30 juin 2010).
C. Le 12 octobre 2010, V._ a interjeté un recours en matière de droit public. Il conclut à la constatation d'un déni de justice de la part de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois, à la fixation d'un délai à cette autorité pour rendre son jugement, et à la condamnation de l'Etat de Vaud au paiement des dépens.
D. Le 18 octobre 2010, le tribunal cantonal a rendu son jugement dans la cause qui oppose V._ à la CNA.
Considérant en droit:
1. Le recours, formé au motif que la juridiction cantonale tardait à rendre une décision (art. 94 LTF) sur des prétentions en matière d'assurance-accidents, concerne une cause qui relève sur le fond du droit public, de sorte qu'il est en principe recevable. Il doit cependant être déclaré sans objet et rayé du rôle comme l'admet à juste titre le recourant. Ce dernier ne dispose plus, en effet, d'un intérêt juridiquement protégé à ce qu'il soit fixé un délai à l'autorité cantonale pour statuer puisqu'un jugement a été notifié postérieurement à l'ouverture de l'instance fédérale.
2. 2.1 Lorsque, comme en l'espèce, un procès devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue néanmoins sur les frais afférents à la procédure engagée par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (art. 72 PCF applicable par renvoi de l'art. 71 LTF) et de l'issue probable de celui-ci (cf. ATF 125 V 373 consid. 2a p. 375).
2.2 Aux termes de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Le caractère raisonnable de la durée de la procédure s'apprécie en fonction des circonstances particulières de la cause et, entre autres critères, sont notamment déterminants le degré de complexité de l'affaire, l'enjeu que revêt le litige pour l'assuré ainsi que le comportement de celui-ci et des autorités intimées. A cet égard, il appartient au justiciable d'entreprendre certaines démarches pour inviter l'autorité à faire diligence, notamment en incitant celle-ci à accélérer la procédure ou en recourant pour retard injustifié. Si on ne saurait reprocher à l'autorité quelques "temps morts", elle ne peut invoquer une organisation déficiente ou une surcharge structurelle pour justifier la lenteur de la procédure (ATF 130 I 312 consid. 5.1 et 5.2 p. 331 s. et les références).
2.3 On ajoutera qu'en droit des assurances sociales, la procédure de première instance est gouvernée par le principe de célérité. Ce principe est consacré à l'art. 61 let. a LPGA qui exige des cantons que la procédure soit simple et rapide; il constitue l'expression d'un principe général du droit des assurances sociales (ATF 110 V 54 consid. 4b p. 61).
3. En l'espèce, le recours contre la décision sur opposition de l'assureur-accidents a été interjeté devant l'autorité cantonale le 28 janvier 2009. L'échange d'écritures - il y en a eu deux - s'est achevé avec le dépôt de la duplique de la CNA en date du 2 juin 2009. Il n'y a pas eu d'autre mesure d'instruction. V._ a adressé une lettre au tribunal cantonal pour s'informer de l'avancement de la procédure. Il a saisi le Tribunal fédéral d'un recours pour déni de justice le 12 octobre 2010, avant que la juridiction cantonale n'ait rendu son jugement le 18 octobre 2010.
Sur le fond, le litige porte essentiellement sur le droit du recourant à une rente d'invalidité d'un montant supérieur en raison d'une aggravation de son état de santé, de nature psychique, dès le mois de janvier 2007. Il s'agit plus particulièrement d'examiner le lien de causalité naturelle et adéquate entre cette affection psychique et l'accident assuré.
Compte tenu de ces éléments, un délai de 17 mois entre la fin de l'échange d'écritures et le dépôt du présent recours n'apparaît pas excessif, surtout si l'on considère que la juridiction a statué dans ce même laps de temps. A titre de comparaison, le Tribunal fédéral a admis, au vu des circonstances, un retard inadmissible à statuer dans un cas où il s'était écoulé 24 mois entre la fin de l'échange d'écritures et le prononcé du jugement cantonal, tout en relevant qu'un tel délai représentait une situation limite (arrêt 9C_831/2008 du 12 décembre 2008 consid. 2.2, in Plädoyer 3/2009 p. 62; voir également arrêt 8C_613/2009 du 22 février 2010). En revanche, dans deux autres affaires analogues à la présente cause (soit sans acte d'instruction médicale), le Tribunal fédéral a jugé qu'un intervalle d'un peu plus de 18 mois se situait dans les limites admissibles (voir les arrêts 9C_433/2009 du 19 août 2009 et 8C_615/2009 du 28 septembre 2009).
Dans ces conditions, le recourant n'aurait pas été fondé à se plaindre d'un retard inadmissible à statuer.
4. Il s'ensuit que le recourant n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF). Le Tribunal fédéral ne percevra pas de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La cause, devenue sans objet, est rayée du rôle.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 29 novembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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