Erwägungen:
1. A._, geboren 1961, aus Sri Lanka, reiste im Mai 1985 als Asylbewerber in die Schweiz ein. Sein Asylgesuch wurde im November 1986 abgewiesen, und seine Wegweisung wurde verfügt. Mit Zustimmung der zuständigen Bundesbehörde erteilte der Kanton Luzern ihm per 11. März 1991 eine Aufenthaltsbewilligung infolge eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls. Die Bewilligung wurde letztmals bis 23. März 2008 verlängert.
Am 14. Juli 2000 heiratete A._ in seiner Heimat eine Landsfrau, B._, welche im Rahmen des Familiennachzugs eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Das Ehepaar hat drei Kinder, die alle in der Schweiz geboren sind (2003, 2004 und 2009).
Mit Verfügung vom 1. Juni 2010 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung(en) ab; zugleich wies es die Familie aus der Schweiz weg. Zur Begründung wurde auf die langjährige fortdauernde Fürsorgeabhängigkeit der Familie verwiesen. Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern am 17. November 2010 ab. Mit Urteil vom 8. April 2011 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die Beschwerde gegen den Rechtsmittelentscheid des Departements ab; es setzte eine Ausreisefrist auf den 31. August 2011 an.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 13. Mai 2011 beantragen A._ und B._ sowie ihre Kinder dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern aufzuheben, ihr Gesuch vom 12. Februar 2008 um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gutzuheissen und ihnen die Aufenthaltsbewilligung B zu verlängern.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil gegenstandslos.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt, sowie betreffend die Wegweisung (Art. 83 lit. c Ziff. 2 und 4 BGG).
Die Beschwerdeführer haben keinen bundesgesetzlichen Anspruch auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligungen. Auch das Völkerrecht räumt ihnen keinen solchen ein. Wohl weilt der Beschwerdeführer 1 schon seit gut 25 Jahren in der Schweiz. Die lange Anwesenheit führt für sich allein nicht zu einem Bewilligungsanspruch etwa gestützt auf Art. 8 EMRK, welcher das Recht auf Achtung des Privatlebens garantiert; der Beschwerdeführer 1, dem namentlich beruflich die Integration in keiner Weise gelungen ist (nach nicht substantiiert bestrittener Darstellung des Verwaltungsgerichts hatte er schon vor Auftreten seiner Krankheit nie eine Arbeitsstelle länger halten können, wobei er schon früh Sozialhilfe beanspruchte), erfüllt die Voraussetzungen, um aus dieser Konventionsnorm einen Bewilligungsanspruch ableiten zu können (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.2 S. 286 ff.), offensichtlich nicht. Es ist auch nicht ersichtlich, gestützt auf welche Rechtsnorm seine vor gut zehn Jahren eingereiste Ehefrau, die Beschwerdeführerin 2, eine Bewilligung beanspruchen könnte. Was die sich noch in einem anpassungsfähigen Alter befindenden drei Töchter (acht-, sieben- bzw. zweijährig) betrifft, verschafft ihnen die Kinderrechtekonvention unter den gegeben Umständen prima vista keinen Bewilligungsanspruch; ausländerrechtlich teilen sie grundsätzlich das Los ihrer Eltern. Wohl prüft das Bundesgericht seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit eines Rechtsmittels vom Amtes wegen mit freier Kognition (BGE 136 II 497 E. 3 S. 499; 135 II 22 E. 1 S. 24; 135 III 1 E. 1.1 S. 3; 134 II 186 E. 1 S. 188). Ist jedoch die Zulässigkeit eines Rechtsmittels zweifelhaft, was hier im höchsten Grade der Fall ist, beschlägt die den Beschwerdeführern obliegende Begründungspflicht gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG auch die Eintretensvoraussetzungen (vgl. BGE 134 II 45 E. 2.2.3 S. 48; 133 II 249 E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404). Zu den Ausschlusstatbeständen von Art. 83 lit. c Ziff. 2 und 4 BGG lässt sich der Beschwerdeschrift jedoch nichts entnehmen.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG). Da nicht spezifisch dargelegt wird, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch das angefochtene Urteil verletzt worden sein sollen (vgl. Art. 116 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG), kann die Beschwerde auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden. Es ist darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.2 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann schon wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) den Beschwerdeführern 1 und 2, die auch für ihre minderjährigen Kinder handeln, zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz und Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführern 1 und 2 je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Mai 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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