Erwägungen:
1. Mit Schreiben vom 1. Juni 2011 forderte das Strassenverkehrsamt des Kantons Zug X._ auf, sich im Sinne von Art. 27 VZV innert drei Monaten der vorgeschriebenen periodischen verkehrsmedizinischen Untersuchung zu unterziehen und sich zu diesem Zweck mit dem beigelegten amtlichen Formular an einen praktizierenden Arzt oder einen auf der Liste des Strassenverkehrsamtes aufgeführten Vertrauensarzt im Kantons Zug zu wenden. Dabei wurde darauf hingewiesen, dass die Untersuchungskosten zu seinen Lasten gingen und direkt zu bezahlen seien.
Gegen diese Verfügung reichte X._ beim Strassenverkehrsamt eine Beschwerde ein. Dieses erläuterte ihm in der Folge die rechtlichen Grundlagen des Aufgebots zur ärztlichen Untersuchung. Sodann wurde er aufgefordert, das verlangte Arztzeugnis bis spätestens am 9. September 2011 einzureichen.
Hiergegen erhob X._ Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Zug. Der Vorsitzende der Verwaltungsrechtlichen Kammer forderte ihn mit Verfügung vom 19. Juli 2011 auf, bis zum 10. August 2011 einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu bezahlen, ansonsten werde das Beschwerdeverfahren als gegenstandslos abgeschrieben. Auch gegen diese Verfügung reichte X._ eine Beschwerde ein.
Mit Entscheid vom 25. November 2011 hat die Verwaltungsrechtliche Kammer des Verwaltungsgerichts die beiden Beschwerden abgewiesen.
2. Mit Eingabe vom 3. Januar (Postaufgabe: 5. Januar) 2012 und Ergänzung vom 11. Januar (Postaufgabe: 13. Januar) 2012 führt X._ der Sache nach Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Hauptbegehren, der Entscheid vom 25. November 2011 sei aufzuheben.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Strengere Anforderungen gelten, wenn - wie im vorliegenden Fall - (u.a.) die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird, einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung. Das Bundesgericht prüft Solches nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine derartige Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Der Beschwerdeführer übt wie in früheren Verfahren ganz allgemein Kritik an einer Vielzahl namentlich eidgenössischer und kantonaler Justizbehörden sowie an verschiedenen politischen Behörden bzw. Institutionen, die in irgend einem Bezug zu ihn betreffenden früheren Verfahren stehen. Sodann beruft er sich auch nur ganz allgemein auf eine Vielzahl von Rechtsbestimmungen, deren Verletzung er den genannten Behörden bzw. Institutionen zur Last legt. Dabei legt er indes - soweit seine Eingabe überhaupt verständlich ist und den prozessualen Anstandsregeln zu genügen vermag (s. Art. 33 und Art. 42 Abs. 6 BGG) - nicht dar, inwiefern der angefochtene, ausführlich begründete Entscheid Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzen soll. Vielmehr beschränkt er sich auf die Wiedergabe der bereits im kantonalen Verfahren vorgetragenen Behauptungen und übt im Übrigen appellatorische Kritik am verwaltungsgerichtlichen Entscheid, ohne sich mit den diesem zugrunde liegenden, seine Vorbringen widerlegenden Erwägungen rechtsgenüglich auseinanderzusetzen. Auf solche Kritik tritt das Bundesgericht gemäss ständiger Rechtsprechung nicht ein (s. die vorstehend bereits zitierten Urteile).
Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darstellen, ist bereits mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die vorliegende Beschwerde nicht einzutreten. Damit erübrigt es sich, auch noch die weiteren Eintretensvoraussetzungen zu erörtern. Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Verwaltungsrechtliche Kammer, sowie dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Januar 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Bopp