Fatti:
A. Il cavallo B._, di proprietà di C._ e alloggiato presso la scuderia X._ di Y._, della quale è responsabile A._, è stato ricoverato diverse volte presso la Clinica veterinaria dell'Università di Zurigo tra il luglio 1999 e il settembre 2002. Il pagamento delle cure ha suscitato un contenzioso sfociato nella sentenza 2 giugno 2009 del Pretore di Bellinzona, che ha condannato A._ a pagare all'Università di Zurigo fr. 12'718.95.
L'appello del convenuto è stato respinto il 27 settembre 2010 dalla seconda Camera civile del Tribunale di appello ticinese.
B. A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia costituzionale del 2 novembre 2010. Chiede in via principale la riforma della sentenza cantonale, ossia la reiezione della petizione dell'Università di Zurigo, in via subordinata il suo annullamento e il rinvio della causa all'autorità cantonale per nuovo giudizio nel senso dei considerandi.
L'Università di Zurigo ha proposto di dichiarare il ricorso inammissibile, in via subordinata di respingerlo. L'autorità cantonale non ha preso posizione.
L'effetto sospensivo è stato negato con decreto del 23 novembre 2010.
Diritto:
1. Contro le sentenze di ultima istanza cantonale pronunciate nelle cause civili di carattere pecuniario il cui valore litigioso non raggiunge fr. 30'000.-- è proponibile il ricorso sussidiario in materia costituzionale, ad esclusione del rimedio ordinario (art. 113 e 74 cpv. 1 lett. b LTF). Il gravame è ammissibile per tempestività e legittimazione (art. 100 cpv. 1 e 115 lett. a LTF).
2. Con il ricorso sussidiario in materia costituzionale può essere censurata la violazione dei diritti costituzionali (art. 116 LTF).
2.1 L'art. 117 LTF rimanda per la motivazione all'art. 106 cpv. 2 LTF, in forza del quale la violazione di diritti fondamentali può essere esaminata soltanto se il ricorrente propone e motiva debitamente la censura (Rügeprinzip). Come già sotto l'egida dell'art. 90 cpv. 1 lett. b della legge federale sull'organizzazione giudiziaria (OG), anche secondo l'art. 106 cpv. 2 LTF l'atto di ricorso deve contenere i fatti essenziali ed esporre in modo conciso in quale modo la decisione impugnata abbia leso quali diritti fondamentali o principi giuridici. Il Tribunale federale esamina solo censure chiare e dettagliate e dichiara inammissibili quelle di carattere appellatorio (DTF 136 I 49 consid. 1.4.1 p. 53; 133 III 639 consid. 2 pag. 639 seg.).
2.2 Il ricorrente che lamenta una violazione del divieto d'arbitrio non può pertanto limitarsi a criticare la decisione impugnata come in una procedura d'appello, nell'ambito della quale l'autorità di ricorso gode di cognizione libera, opponendo semplicemente la propria opinione a quella dell'autorità cantonale; deve dimostrare, attraverso un'argomentazione precisa, che la decisione impugnata è arbitraria - nel suo risultato, non soltanto nella motivazione - ossia manifestamente insostenibile, in palese contrasto con la situazione di fatto, con una norma, con un principio giuridico riconosciuto oppure con il sentimento di equità (DTF 133 III 585 consid. 4.1 pag. 589; 130 I 258 consid. 1.3 pag. 262).
2.3 Aggiungasi che nel campo dell'apprezzamento delle prove (o dell'accertamento dei fatti in genere) il giudice cantonale fruisce di un grande potere discrezionale. Chi invoca l'arbitrio deve pertanto dimostrare che la sentenza impugnata ha ignorato il senso e la portata di un mezzo di prova preciso, ha omesso senza ragioni valide di tenere conto di una prova importante suscettibile di modificare l'esito della lite, oppure ha ammesso o negato un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
3. Per buona parte - come obietta con ragione la resistente - il ricorso non rispetta le suddette regole. Nel capitolo intitolato "Sentenza impugnata e commenti" il ricorrente contrappone liberamente il proprio punto di vista alle valutazioni che hanno portato la Corte cantonale a concludere che il convenuto avesse ammesso tacitamente il credito dell'attrice: la sentenza è discussa liberamente passo dopo passo, relativizzando la portata delle prove considerate e proponendo in modo appellatorio fatti diversi da quelli che vi sono accertati. Il tutto senza che siano articolate censure precise di arbitrio nel senso definito sopra, non potendo considerarsi sufficienti, sotto questo profilo, né la semplice menzione dell'art. 90 CPC/TI, che consente al giudice di apprezzare liberamente le prove, né il breve commento su questo argomento che il ricorrente espone più avanti (cfr. consid. 4.2).
Questa prima parte del gravame è pertanto tutta inammissibile.
4. Le critiche sono un poco più precise nel capitolo "Norme lese nella sentenza impugnata - Arbitrio", ove sono in effetti indicate diverse disposizioni del diritto cantonale e federale.
4.1 Il ricorrente sostiene in primo luogo che l'autorità d'appello ha violato - parrebbe di capire in modo tanto grave da commettere arbitrio - sia l'art. 78 cpv. 1 CPC/TI che "consacra il principio attitatorio", sia le regole del diritto federale sull'onere "di specificazione". Asserisce che, di fronte alle sue contestazioni di replica, i giudici ticinesi avrebbero dovuto pretendere che l'attrice sostanziasse la propria pretesa nelle comparse introduttive, non solo nei documenti prodotti, "con articolazione e precisione tale da consentire una contestazione e, se del caso, una verifica probatoria punto per punto".
Il grado di precisione con il quale devono essere sostanziati i fatti posti a fondamento di una pretesa, affinché possano essere sussunti nel diritto materiale, è definito dal diritto federale; la procedura cantonale stabilisce invece il momento e la forma delle allegazioni (DTF 127 III 365 consid. 2b pag. 368; 108 II 337 consid. 2c pag. 340).
La decisione cantonale rileva che le fatture dell'attrice indicavano "dettagliatamente" le prestazioni eseguite. Il ricorrente non censura per arbitrio tale accertamento. Si limita ad asserire che la Corte cantonale avrebbe dovuto esigere di più, senza tuttavia spiegare cosa. Non dice nemmeno quali sarebbero le prestazioni o i prezzi che avrebbe contestato invano nella procedura di appello (in realtà non lo aveva fatto neppure in quella sede). Così stando le cose, i giudici ticinesi non hanno leso in modo insostenibile il diritto federale per avere considerato sufficienti le allegazioni dell'attrice concernenti l'esecuzione delle prestazioni per le quali essa chiede di essere retribuita: le fatture prodotte (doc. C, I e T) - integrate dai rapporti medici doc. G, S e Z ai quali rinvia lo scritto di replica - esponevano infatti singolarmente e in modo chiaro tutte le posizioni di cura e degenza con il relativo costo e fornivano senz'altro al convenuto gli elementi necessari per opporvi contestazioni dettagliate.
Sotto questo profilo le censure ricorsuali sono pertanto infondate. Sono invece inammissibili laddove sono rivolte contro la forma delle allegazioni in questione, poiché il ricorrente non spiega quali sarebbero le disposizioni precise della procedura ticinese, violate arbitrariamente, che escluderebbero il rinvio ai documenti di causa nell'esposizione dei fatti.
4.2 In secondo luogo il ricorrente invoca l'art. 6 CO. A suo giudizio l'autorità cantonale l'avrebbe leso equiparando ad accettazione il silenzio, ossia l'assenza di contestazioni delle fatture.
Alla Corte ticinese non è sfuggita la DTF 112 II 500, nella quale il Tribunale federale ha stabilito che la mancata reazione durante alcuni mesi di fronte a un estratto-conto o a una fattura (si trattava di un contratto di appalto) non vale accettazione tacita e non preclude perciò al destinatario il diritto di contestare in seguito le basi di calcolo, anche nell'ambito di una procedura giudiziaria. Essa ha però ricordato le particolarità del caso in esame, ove le prime contestazioni "in termini peraltro generici" sono avvenute nell'atto di duplica, dopo tre anni, mentre in precedenza, comunque dopo un anno dal ricevimento della prima fattura, il convenuto aveva mosso solo qualche obiezione sull'operato dell'attrice ma "non in relazione all'ammontare delle fatture e all'effettiva esecuzione delle prestazioni". Per finire l'autorità d'appello ha lasciato aperta la questione, concedendo solo che sulla base di tali considerazioni si potrebbe essere "indotti" a concludere per l'accettazione "di massima" del credito dell'attrice da parte del convenuto.
Il fondamento del credito è invece stato giudicato "ampiamente" provato dagli atti dell'istruttoria, in particolare da un documento e due testimonianze. È pertanto quest'ultima motivazione, fondata sull'apprezzamento delle prove, a essere stata determinante, non l'applicazione dell'art. 6 CO. Contro di essa il ricorrente non formula valide censure d'arbitrio; dopo averla criticata in modo inammissibile nel capitolo commentato sopra (cfr. consid. 3) non vi aggiunge qui che alcune considerazioni teoriche staccate da accertamenti specifici, con richiami agli art. 8 CC e 400 CO, l'uno senza efficacia quando un fatto è accertato per apprezzamento delle prove (DTF 134 II 235 consid. 4.3.4 p. 241), l'altro privo di pertinenza con la causa sotto esame.
5. Nell'ultimo capitolo del gravame il ricorrente affronta il tema del dovere d'informazione del mandatario. Davanti alle istanze cantonali egli ha in effetti sostenuto che l'attrice non aveva dato informazioni sui mali di cui soffriva il cavallo già nel 1999 e sull'opportunità di una castrazione a quel momento e ha posto in compensazione il credito, cedutogli dalla proprietaria dell'animale, per i danni consecutivi a tale violazione contrattuale.
5.1 La sentenza cantonale, dopo un'approfondita analisi dei requisiti della responsabilità derivati dagli art. 398 cpv. 1 e 321e CO, ha stabilito che, contrariamente a quanto vale per il medico, "in ambito veterinario non si giustifica un'inversione dell'onere della prova per stabilire se il mandatario abbia correttamente adempiuto al proprio obbligo di informazione". In seguito essa ha dato atto all'attrice che la perizia giudiziaria, considerata a torto dal Pretore, non poteva chiarire fatti di natura non tecnico-scientifica. Valutando due testimonianze è nondimeno giunta alla conclusione che "permangono seri dubbi sulla validità della tesi sostenuta dal convenuto" e in applicazione dell'art. 8 CC ha fatto sopportare a lui le conseguenze della mancata prova.
5.2 Il ricorrente afferma espressamente di non poter definire arbitraria l'opinione dei giudici ticinesi quanto all'onere della prova. Ritiene invece che, trattandosi della prova di un fatto negativo indefinito, gli dovesse essere concesso "un significativo alleggerimento". Tuttavia, invece di cercare di dimostrare l'arbitrio nell'applicazione di questa regola, si addentra di nuovo in una mera discussione appellatoria delle valutazioni delle prove effettuate dalla Corte cantonale, alle quali oppone liberamente il proprio punto di vista. Censure simili non sono ammissibili (cfr. consid. 2.3).
6. Ne viene che il gravame è per buona parte inammissibile, per il resto infondato.
Gli oneri processuali seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso, nella misura in cui è ammissibile, è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico del ricorrente, il quale rifonderà all'opponente fr. 1'500.-- per ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.