Faits:
A. X._, né en 1962, et dame X._, née en 1950, se sont mariés le 18 novembre 2005. Aucun enfant n'est issu de cette union.
B. Par acte du 20 avril 2009, l'épouse a déposé devant le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine une requête de mesures protectrices de l'union conjugale. Statuant le 14 octobre 2009, le Président du Tribunal a notamment astreint l'époux à contribuer à l'entretien de son épouse par le versement d'une pension mensuelle de 1'220 fr., à partir du 1er avril 2009.
Statuant le 4 août 2010 sur recours de l'époux, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine a réduit la contribution d'entretien mensuelle à 1'150 fr. du 1er avril au 31 décembre 2009, à 1'120 fr. du 1er janvier au 31 mai 2010 et à 970 fr. dès le 1er juin 2010. Par arrêt du 26 novembre 2010, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg a rejeté l'appel de l'époux et confirmé le jugement du 4 août 2010.
C. Par acte du 3 janvier 2011, X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à ce que l'arrêt attaqué soit réformé en ce sens qu'il est dispensé de toute contribution d'entretien. A titre préalable, il requiert d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire. A l'appui de ses conclusions, il se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits, ainsi que dans l'application du droit fédéral.
Des déterminations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. 1.1 L'arrêt de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 ss CC) est une décision en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF. Il est final selon l'art. 90 LTF (ATF 133 III 393 consid. 4 p. 395-396). Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue sur recours par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF) dans une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, 74 al. 1 let. b LTF), le recours est recevable au regard de ces dispositions. Le recourant, qui a succombé devant l'autorité précédente, a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 aLTF, dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010).
1.2 Les mesures protectrices de l'union conjugale sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5 p. 396), de sorte que seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de ces droits que si de tels moyens sont invoqués et motivés par le recourant (principe d'allégation; art. 106 al. 2 LTF), à savoir s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 349 consid. 3 p. 352). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 589 consid. 2 p. 591 s.). Le recourant qui se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.) ne saurait se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition. Il ne peut se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que la décision attaquée repose sur une appréciation des preuves ou une application de la loi manifestement insoutenables, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, ou encore qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté (ATF 134 II 349 consid. 3 p. 352 et les références citées). L'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même serait préférable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 I 316 consid. 2.2.2 p. 318 s.; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 134 II 124 consid. 4.1 p. 133 et les arrêts cités).
2. La cour cantonale a d'abord rappelé que, statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale, elle revoyait la cause librement en droit et sous l'angle de l'arbitraire s'agissant de la constatation des faits. A l'instar du tribunal de première instance, elle a retenu que le revenu mensuel de l'épouse se montait à 1'500 fr. et a renoncé à lui imputer un revenu hypothétique. Observant que le mari a systématiquement gagné plus que l'épouse, l'autorité précédente a admis que le mariage, même bref, avait eu un certain impact sur le niveau de vie de l'intimée. Ainsi, le montant mensuel de la contribution d'entretien en faveur de l'épouse a été arrêté à 1'150 fr. jusqu'au 31 décembre 2009, à 1'120 fr. du 1er janvier au 31 mai 2010 et à 970 fr. depuis le 1er juin 2010.
3. Le recourant soutient que l'autorité cantonale a fait preuve d'arbitraire dans la constatation des faits, en ce qui concerne la détermination du revenu de l'intimée indépendamment de l'augmentation possible de son temps de travail. Les juges précédents auraient dû ordonner des mesures d'instruction complémentaires et non pas se contenter des seules fiches de salaire et décomptes de chômage produits par l'intimée.
3.1 Dans le cadre d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels par l'autorité cantonale. Les art. 95 et 97, ainsi que l'art. 105 al. 2 LTF ne s'appliquent pas directement puisqu'ils ne sont pas des droits constitutionnels (ATF 133 III 393 consid. 7.1 p. 398; 133 III 585 consid. 4.1 p. 588). Toutefois, l'application de l'art. 9 Cst. aboutit pratiquement au même résultat (arrêt 5A_392/2010 du 2 novembre 2010 consid. 2.1). Le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière aux autorités cantonales (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40; 118 Ia 28 consid. 1b p. 30 et les références); il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p.560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause. Cette retenue est d'autant plus grande lorsque le juge n'examine la cause que d'une manière sommaire et provisoire. Ainsi en va-t-il dans le domaine des mesures protectrices de l'union conjugale, qui sont ordonnées à la suite d'une procédure sommaire, avec administration restreinte des moyens de preuve et limitation du degré de la preuve à la simple vraisemblance (ATF 127 III 474 consid. 2b/bb p. 478 et les références).
3.2 Il ressort de l'arrêt entrepris que les faits constatés se fondent "sur les pièces produites par la requérante, attestant un revenu mensuel global moyen de 1500 fr. pour les mois de février à mai 2010". L'autorité cantonale précise que l'augmentation du taux d'occupation de l'épouse a bien été prise en considération, mais que cette augmentation n'a pas d'incidence sur son revenu, en raison de la diminution corrélative des indemnités de chômage qui lui sont versées. L'autorité précédente a renoncé à ordonner des mesures complémentaires d'instruction pour déterminer le revenu de l'intimée, dès lors qu'elle s'est fondée sur des preuves littérales immédiatement disponibles et a tenu compte des arguments soulevés par les parties. L'établissement des faits et l'appréciation des preuves effectués par l'autorité cantonale ne sauraient être qualifiés d'arbitraires au vu de la limitation du degré de la preuve à la simple vraisemblance, ce d'autant que les pièces produites par l'intimée sont probantes. Cela étant, le recourant se limite à présenter ses calculs théoriques du revenu de l'intimée, fondés respectivement sur des déclarations de l'intimée et sur l'extrapolation de données fiscales. Dans la mesure où les faits émanant de la situation fiscale dont il se prévaut ne ressortent pas de l'arrêt querellé, sans qu'il n'émette de critique à cet égard, son argumentation ne saurait être prise en considération (art. 99 al. 1 LTF), le moyen n'ayant au demeurant pas été soulevé ni discuté en instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Pour le surplus, le recourant ne remet pas en cause le raisonnement de l'arrêt attaqué retenant un revenu mensuel moyen et tenant compte des incidences du taux d'occupation sur les indemnités de chômage. Dès lors qu'il n'indique pas en quoi l'autorité précédente aurait constaté (ou omis de constater) ou apprécié ces faits et preuves de façon insoutenable, ni ne démontre l'arbitraire du raisonnement des juges cantonaux, sa critique sur l'évaluation arbitraire du revenu de l'intimée est appellatoire, partant, irrecevable (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF).
4. Le recourant se plaint ensuite d'arbitraire dans l'application du droit fédéral, à savoir les art. 163 et 176 al. 1 CC. Selon lui, c'est à tort que les juges précédents n'ont pas pris en considération un revenu hypothétique à l'endroit de l'intimée et qu'ils ont admis que le mariage avait eu un impact sur la situation financière des époux. A l'appui de ses griefs, le recourant expose que l'intimée pourrait augmenter son taux d'occupation auprès de son employeur, dès lors que celui-ci est à la recherche d'employés et qu'elle ne travaille pas à un taux de 100 % alors qu'elle n'a aucun enfant à garder. Selon le recourant, le travail de téléphoniste ne requiert aucun effort physique et, partant, cet emploi ne peut être qualifié de pénible.
4.1 Pour fixer la contribution d'entretien due au conjoint à titre de mesures provisionnelles pour la durée de la procédure de divorce selon l'art. 176 al. 1 ch. 1 CC, auquel l'art. 137 al. 2 aCC renvoie par analogie, le juge doit partir de la convention, expresse ou tacite, que les époux ont conclue au sujet de la répartition des tâches et des ressources entre eux (art. 163 al. 2 CC). L'art. 163 CC demeure en effet la cause de l'obligation d'entretien réciproque des époux (ATF 130 III 537 consid. 3.2 p. 541-542). Le juge doit ensuite prendre en considération qu'en cas de suspension de la vie commune (art. 175 s. CC), le but de l'art. 163 CC, soit l'entretien convenable de la famille, impose à chacun des époux le devoir de participer, selon ses facultés, notamment par la reprise ou l'augmentation de son activité lucrative, aux frais supplémentaires qu'engendre la vie séparée. Si la situation financière des époux le permet encore, le standard de vie antérieur, choisi d'un commun accord, doit être maintenu pour les deux parties. Quand il n'est pas possible de conserver ce niveau de vie, les époux ont droit à un train de vie semblable (ATF 119 II 314 consid. 4b/aa p. 318; arrêt 5A_710/2009 consid. 4.1 non publié aux ATF 136 III 257). Le juge peut donc devoir modifier la convention conclue pour la vie commune, pour l'adapter à ces faits nouveaux (arrêts 5A_62/2011 du 26 juillet 2011 consid. 3.1; 5A_502/2010 du 25 juillet 2011 consid. 3.2.1). Il s'agit d'examiner, dans chaque cas concret, si et dans quelle mesure on peut exiger du conjoint qu'il ait une activité lucrative, ou augmente celle qu'il exerce déjà, compte tenu de son âge, de son état de santé, de sa formation et, le cas échéant, du temps plus ou moins long durant lequel il a été éloigné de la vie professionnelle (ATF 114 II 13 consid. 5 p. 17; 301 consid. 3a p. 302). L'autorité peut prendre en considération un revenu hypothétique supérieur à celui que le crédirentier tire effectivement de son travail. Il s'agit d'inciter la personne à réaliser le revenu qu'elle est en mesure de se procurer et dont on peut raisonnablement attendre d'elle qu'elle l'obtienne afin de remplir ses obligations (ATF 128 III 4 consid. 4a p. 5; 117 II 16 consid. 1b p. 17). Selon la jurisprudence, on ne peut cependant plus exiger d'un époux qu'il se réintègre professionnellement ou augmente son taux d'activité au-delà de 45 ans, mais cette règle n'est pas stricte et la limite d'âge tend à être portée à 50 ans (ATF 137 III 102 consid. 4.2.2.2 p. 108-109 avec les références citées).
Le juge des mesures protectrices de l'union conjugale ne doit pas trancher, même sous l'angle de la vraisemblance, les questions de fond, objet du procès en divorce, en particulier celle de savoir si le mariage a influencé concrètement la situation financière du conjoint (arrêts précités 5A_62/2011 consid. 3.1; 5A_502/2010 consid. 3.2.1).
4.2 L'autorité précédente a considéré qu'on ne pouvait exiger de l'intimée qu'elle travaille davantage, compte tenu de son âge - elle a soixante ans - du fait qu'elle n'a jamais occupé un emploi à un taux d'occupation supérieur à 50 %, et de l'activité qu'elle occupe depuis l'an 2000, soit depuis son arrivée en Suisse et la fin de sa formation en télémarketing. Les juges précédents ont également admis que le métier de téléphoniste requérait beaucoup d'énergie; à cet égard, ils se sont fondés sur les déclarations de l'employeur selon lesquelles il ne serait pas possible d'employer l'intimée à un taux d'occupation supérieur, dès lors que deux "blocs horaires journaliers" représentent "déjà beaucoup". Finalement, l'autorité cantonale a relevé qu'il n'était pas établi que le changement d'activité de l'intimée puisse être de nature à augmenter ses revenus, au vu de sa formation et de ses compétences, notamment du fait qu'elle ne maîtrise pas la langue allemande. Au vu de la motivation contenue dans la décision querellée, il n'apparaît pas que l'autorité cantonale ait fait preuve d'arbitraire en ce qui concerne la fixation de la capacité contributive de l'intimée. Pour le surplus, la critique du recourant en relation avec le caractère pénible de l'emploi de l'intimée est appellatoire (cf. supra consid. 1.2), dès lors qu'il se contente de qualifier d'"aberrant[e]" l'appréciation des juges cantonaux. Ces allégations, qui ne reposent sur aucun élément de preuve, ne permettent pas de taxer d'arbitraire l'opinion des juges précédents. Le recourant n'établit pas que le travail de téléphoniste serait aisé et peu fatiguant, ni en quoi l'appréciation des preuves à ce sujet aboutirait à un résultat arbitraire. Faute de motivation suffisante, ce moyen est irrecevable (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF; supra consid. 1.2).
4.3 S'agissant du grief tiré de l'absence d'impact du mariage, le recourant se réfère à l'ATF 135 III 59 consid. 4.1 p. 61-62, dont il ressort qu'un mariage qui a duré moins de cinq ans est présumé ne pas avoir eu d'influence sur la vie des époux. La jurisprudence a laquelle se réfère le recourant ne lui est, en l'espèce, d'aucun secours: elle a trait à la question de l'influence du mariage sur l'octroi d'une contribution d'entretien après divorce (art. 125 CC), aspect qui n'a pas à être tranché dans le cadre du régime des mesures protectrices de l'union conjugale (cf. supra consid. 4.1 in fine). S'agissant de l'organisation de la vie durant le mariage, il ressort de l'arrêt entrepris que le revenu de l'époux a toujours constitué la principale source financière du ménage. La cour cantonale a aussi admis que l'épouse avait cherché à augmenter son revenu postérieurement à la séparation, ce qui indique que le train de vie de l'épouse se serait péjoré depuis que les parties vivent séparées (consid. 4b p. 5 de l'arrêt entrepris). L'autorité précédente a déduit de ces constatations que l'épouse bénéficiait d'un train de vie plus élevé pendant la vie commune. Considérant qu'il ne peut être exigé de l'intimée qu'elle augmente ses revenus (cf. supra consid. 3.2), il y a donc, au moment de statuer sur les mesures protectrices de l'union conjugale, des faits nouveaux découlant de la séparation et justifiant de modifier la convention des parties. En conséquence, il faut admettre l'allocation d'une contribution d'entretien à l'épouse. La solution de l'autorité cantonale ne consacre aucun arbitraire. Le recourant, qui ne s'en prend pas à l'appréciation des juges précédents selon laquelle son salaire constituait la principale source de revenu du couple pendant la vie commune, n'en fait en tout état de cause pas la démonstration.
5. En conclusion, le recours apparaît mal fondé et ne peut qu'être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les conclusions du recourant étant dépourvues de chances de succès, sa requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'octroyer une indemnité de dépens à l'intimée qui n'a pas été invitée à se déterminer (art. 68 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 9 août 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Carlin