Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. A._ ist seit 1982/83 als Musiklehrerin an der Musikschule X._ tätig. Am 15. Juni 2006 erliess der Schulrat X._ eine an A._ gerichtete Verfügung, welche u.a. Massnahmen zur Verbesserung der Qualität ihres Unterrichtes zum Gegenstand hatte. Die Betroffene erhob hiegegen am 7./11. Juli 2006 Rekurs, worauf der Schulrat X._ am 10./17. August 2006 seine Verfügung vom 15. Juni 2006 widerrief und durch eine neue Anordnung ersetzte. Das Erziehungsdepartement des Kantons St. Gallen schrieb am 6. September 2006 den Rekurs vom 11. Juli 2006 teilweise als gegenstandslos geworden ab, hiess das Rechtsmittel aber insoweit gut, als es den Schulrat X._ anwies, eine Verfügung über das Anstellungsverhältnis von A._ zu erlassen. Auf eine zweite Beschwerde vom 28. August 2006, mit der verlangt worden war, die Widerrufsverfügung vom 10./17. August 2006 als nichtig zu erklären und den ursprünglichen Streitpunkt materiell zu behandeln, trat das Erziehungsdepartement nicht ein. Dem Begehren um Erlass vorsorglicher Massnahmen gab es keine Folge.
A._ erhob mit Eingaben vom 12. und 21. September 2006 bezüglich der von ihr verlangten vorsorglichen Massnahmen Beschwerde beim Präsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen, welche dieser mit Entscheid vom 11. Oktober 2006 abwies. Hiegegen führt A._ am 16. November 2006 beim Bundesgericht staatsrechtliche Beschwerde (Verfahren 2P.304/2006).
Mit Eingabe vom 21. September 2006, ergänzt am 9. Oktober 2006, zog A._ den erwähnten Entscheid des Erziehungsdepartementes auch in der Sache an das Verwaltungsgericht weiter. Mit Urteil vom 14. Dezember 2006 korrigierte dieses den Kostenspruch des Erziehungsdepartementes und wies die Beschwerde im Übrigen ab, soweit es darauf eintrat. Mit Eingabe vom 31. Januar 2007 führt A._ auch gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 14. Dezember 2006 staatsrechtliche Beschwerde (Verfahren 2P.37/2007).
Das Erziehungsdepartement und das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen stellen den Antrag, die beiden staatsrechtlichen Beschwerden abzuweisen bzw. diese abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Schulrat der Stadt X._ beantragt, die Entscheide des Verwaltungsgerichts zu bestätigen.
Das Erziehungsdepartement und das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen stellen den Antrag, die beiden staatsrechtlichen Beschwerden abzuweisen bzw. diese abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Schulrat der Stadt X._ beantragt, die Entscheide des Verwaltungsgerichts zu bestätigen.
2. Das Verfahren vor Bundesgericht richtet sich, da die angefochtenen kantonalen Entscheide vor dem 1. Januar 2007, d.h. vor dem Inkrafttreten des neuen Bundesgerichtsgesetzes vom 17. Juni 2005 (BGG) ergangen sind, noch nach den bisher geltenden Vorschriften des OG (Art. 132 Abs. 1 BGG). Aufgrund des engen sachlichen Zusammenhanges sind die beiden Verfahren zu vereinigen.
2. Das Verfahren vor Bundesgericht richtet sich, da die angefochtenen kantonalen Entscheide vor dem 1. Januar 2007, d.h. vor dem Inkrafttreten des neuen Bundesgerichtsgesetzes vom 17. Juni 2005 (BGG) ergangen sind, noch nach den bisher geltenden Vorschriften des OG (Art. 132 Abs. 1 BGG). Aufgrund des engen sachlichen Zusammenhanges sind die beiden Verfahren zu vereinigen.
3. Gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss die staatsrechtliche Beschwerde die wesentlichen Tatsachen sowie eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein sollen. Das Bundesgericht prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (BGE 110 Ia 1 E. 2 S. 3 f; 119 Ia 197 E. 1d S. 201, mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbotes (Art. 9 BV) geltend gemacht, genügt es nicht, wenn der Beschwerdeführer bloss den angefochtenen Entscheid kritisiert, wie er dies in einem appellatorischen Verfahren tun könnte, bei dem die Rechtsmittelinstanz die Rechtsanwendung frei überprüfen kann. Er muss dartun, dass und inwiefern die Rechtsanwendung durch die kantonale Behörde an einem qualifizierten Mangel leiden soll. Willkür liegt nicht bereits vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 131 I 467 E. 3.1 S. 473 f. mit Hinweisen). Auf staatsrechtliche Beschwerden, welche diesen Begründungsanforderungen nicht genügen, tritt das Bundesgericht nicht ein.
3. Gemäss Art. 90 Abs. 1 lit. b OG muss die staatsrechtliche Beschwerde die wesentlichen Tatsachen sowie eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sein sollen. Das Bundesgericht prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (BGE 110 Ia 1 E. 2 S. 3 f; 119 Ia 197 E. 1d S. 201, mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbotes (Art. 9 BV) geltend gemacht, genügt es nicht, wenn der Beschwerdeführer bloss den angefochtenen Entscheid kritisiert, wie er dies in einem appellatorischen Verfahren tun könnte, bei dem die Rechtsmittelinstanz die Rechtsanwendung frei überprüfen kann. Er muss dartun, dass und inwiefern die Rechtsanwendung durch die kantonale Behörde an einem qualifizierten Mangel leiden soll. Willkür liegt nicht bereits vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 131 I 467 E. 3.1 S. 473 f. mit Hinweisen). Auf staatsrechtliche Beschwerden, welche diesen Begründungsanforderungen nicht genügen, tritt das Bundesgericht nicht ein.
4. Die Ausführungen in den beiden Beschwerdeschriften sind zum Teil schwer verständlich und jedenfalls nicht geeignet, den Vorwurf der Willkür oder der Verletzung des rechtlichen Gehörs zu begründen.
4.1 Das gilt vorab für den Einwand der Beschwerdeführerin, sie sei durch die Verfügung des Schulrates X._ vom 15. Juni 2006, weil sie darin als "psychisch krank" bezeichnet worden sei, trotz des Widerrufes dieser Anordnung nach wie vor beschwert, weshalb die kantonalen Behörden das dagegen erhobene Rechtsmittel zu Unrecht als gegenstandslos betrachtet hätten (vgl. staatsrechtliche Beschwerde 2P.37/2007 vom 31. Januar 2007 gegen den Sachentscheid des Verwaltungsgerichts, S. 8-10). Die Beschwerdeführerin setzt sich mit dem Standpunkt des Verwaltungsgerichts, wonach die allenfalls rechtsverletzenden Feststellungen in der genannten Verfügung mit deren Widerruf aufgehoben worden seien und auf eine weitergehende Berichtigung kein Anspruch bestehe, nicht rechtsgenüglich auseinander; es ist jedenfalls nicht ersichtlich, wieso der erwähnte prozessrechtliche Standpunkt der kantonalen Behörden unhaltbar und willkürlich sein sollte. Es wird des Weiteren nicht dargetan, aufgrund welcher kantonalen Vorschriften es dem Schulrat verwehrt gewesen sein sollte, die betreffende Verfügung nach Erhebung eines Rekurses zurückzunehmen und durch eine andere Anordnung "auszuwechseln" (S. 10-13 der staatsrechtlichen Beschwerde vom 31. Januar 2007); auch in diesem Zusammenhang wird nichts vorgebracht, was geeignet sein könnte, den Vorwurf der Willkür zu begründen. Schliesslich ist weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern die Auffassung des Verwaltungsgerichts, wonach die Beschwerdeführerin in ihrer gestützt auf eine Nachfrist eingereichten Beschwerdeergänzung keine neuen Anträge habe stellen dürfen, willkürlich sein soll (S. 13 der Beschwerde). Die angerufenen kantonalen Verwaltungsrechtspflegeinstanzen wären im Übrigen, wie im angefochtenen Urteil (S. 18) festgehalten, zur Beurteilung der betreffenden Begehren (Zusprechung von Genugtuung und Schadenersatz) ohnehin nicht zuständig; die staatsrechtliche Beschwerde übergeht diese Frage.
Nach dem Gesagten ist die staatsrechtliche Beschwerde 2P.37/2007 als unbegründet abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist.
4.2 Die erste staatsrechtliche Beschwerde 2P.304/2006 vom 1. November 2006, welche die im kantonalen Rechtsmittelverfahren beantragten vorsorglichen Massnahmen betrifft, dürfte mit dem erwähnten, erfolglos angefochtenen Sachentscheid des Verwaltungsgerichts gegenstandslos geworden sein. Jedenfalls vermögen die in dieser Eingabe enthaltenen (zum Teil gleich lautenden) Vorbringen den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG nicht zu genügen, weshalb schon aus diesem Grunde auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
5. Die beiden Beschwerden sind im Verfahren nach Art. 36a OG (summarische Begründung) zu erledigen. Bei diesem Ausgang gehen die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu Lasten der Beschwerdeführerin (Art. 156 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die Verfahren 2P.304/2006 und 2P.37/2007 werden vereinigt.
1. Die Verfahren 2P.304/2006 und 2P.37/2007 werden vereinigt.
2. Auf die staatsrechtliche Beschwerde 2P.304/2006 wird nicht eingetreten.
2. Auf die staatsrechtliche Beschwerde 2P.304/2006 wird nicht eingetreten.
3. Die staatsrechtliche Beschwerde 2P.37/2007 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die staatsrechtliche Beschwerde 2P.37/2007 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
4. Die Gerichtsgebühr von insgesamt Fr. 3'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Die Gerichtsgebühr von insgesamt Fr. 3'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
5. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Schulrat der Stadt X._, dem Erziehungsdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Mai 2007
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: