hat sich ergeben:
A.- R._ (im Folgenden: die Klägerin) war langjährige Angestellte der Genossenschaft X._ (im Folgenden: die Beklagte). Zuletzt versah sie die Funktion einer Rayonleiterin. Am 25. September 1999 tätigte die Klägerin einen Privateinkauf für total Fr. 36.35. Dieser Betrag setzte sich zusammen aus Fr. 15.30 für Lebensmittel und Fr. 21.05 für einen Karton Wein à 6 Flaschen (Fr. 23.40 abzüglich Personalrabatt von Fr. 2.35). Einen zweiten Karton Wein ebenfalls im Wert von Fr. 21.05 beliess die Klägerin im Einkaufswagen. Dieser Karton wurde von der Kassiererin nicht beachtet und nicht getippt. Anlässlich einer Personalausgangskontrolle wurde festgestellt, dass die Klägerin nach Ladenschluss einen Karton Wein mit nach Hause nehmen wollte, den sie nicht bezahlt hatte.
Mit Schreiben vom 28. September 1999 kündigte die Beklagte das Arbeitsverhältnis mit der Klägerin unter Einhaltung der 3-monatigen Kündigungsfrist per 31. Dezember 1999. Auf Nachfrage begründete die Beklagte die Kündigung am 8. Dezember 1999 damit, dass die Klägerin am 25. September 1999 bei der Personalausgangskontrolle einen Karton Wein mit nach Hause habe nehmen wollen, ohne diesen bezahlt zu haben.
Für sie sei das Vertrauensverhältnis dadurch gestört worden, weshalb die Kündigung unter Einhaltung der Frist ausgesprochen worden sei.
B.-In der Folge gelangte die Klägerin am 23. Dezember 1999 ans Arbeitsgericht und stellte folgende Begehren:
"1.Die Beklagte sei zu verurteilen, das Personal
der Genossenschaft X._/Filiale Y._
schriftlich dahin zu informieren, der Umstand,
dass am 25. September 1999 in der Genossenschaft
X._/Filiale Y._ ein Teil der Ware
der Klägerin an der Kasse nicht getippt wurde,
sei auf ein Versehen seitens der involvierten
Kassiererin und der Klägerin zurückzuführen; es
gebe keine Anhaltspunkte für eine Diebstahlsabsicht
der Klägerin, alles unter Androhung von
Strafe (Haft und Busse) im Widerhandlungsfalle.
2. Die Beklagte sei zu verurteilen, der Klägerin
eine gerichtlich zu bestimmende Geldsumme als Genugtuung zu bezahlen.
3. Die Beklagte sei zu verurteilen, der Klägerin
die X._-internen schriftlichen Richtlinien,
Weisungen oder Reglementsbestimmungen,
auf die sich die Vorgesetzten Herren A._
und B._ für die Entlassung der Klägerin
stützten, genau zu bezeichnen und dieselben der
Klägerin herauszugeben, unter Androhung von
Strafe (Haft und Busse) im Widerhandlungsfalle.
4. Die Beklagte sei zu verurteilen, der Klägerin
wegen Missbräuchlichkeit der Kündigung vom 28. September 1999 eine Entschädigung in gerichtlich
bestimmter Höhe zu bezahlen.
unter Kosten- und Entschädigungsfolge.. "
Mit Urteil vom 27. Juni 2000 wies das Arbeitsgericht die Klage ab. Eine von der Klägerin erhobene Nichtigkeitsbeschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 25. Oktober 2001 ab.
C.-Mit Berufung beantragt die Klägerin dem Bundesgericht, das angefochtene Urteil aufzuheben (Ziff. 1). Die Beklagte sei zu verpflichten, dem Personal der Filiale Y._ schriftlich mitzuteilen, dass der Vorfall vom 25. September 1999 auf ein Versehen der Klägerin und der involvierten Kassiererin und nicht auf eine Diebstahlsabsicht der Klägerin zurückzuführen sei (Ziff. 2). Schliesslich sei die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin Fr. 2'000.-- als Genugtuung zu bezahlen (Ziff. 3).
Sowohl die Beklagte als auch das Obergericht beantragen die Abweisung der Berufung.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.-Wenn wie im vorliegenden Fall verlangt wird, dass der Beklagte nicht nur zu einer Bezahlung einer Genugtuungssumme, sondern auch zur Beseitigung einer Persönlichkeitsverletzung zu verpflichten sei, liegt diesbezüglich eine nicht vermögensrechtliche Zivilrechtsstreitigkeit gemäss Art. 44 OG vor. In diesen Fällen ist ungeachtet der Frage, ob der Streitwert von Fr. 8'000.-- gemäss Art. 46 OG erreicht wird, eine Berufung zulässig (BGE 95 II 481 E. 1 S. 486 mit Hinweis). Insoweit ist auf die Berufung einzutreten.
Demgegenüber kann auf die Berufung insoweit nicht eingetreten werden, als die Klägerin in ihrem Rechtsbegehren beantragt, die Beklagte habe ihrem Personal mitzuteilen, der Vorfall vom 25. September 1999 "sei auf ein Versehen der involvierten Kassiererin und der Klägerin zurückzuführen".
Die Vorinstanz hat sich nicht zum Vorliegen eines "Versehens" geäussert, sondern festgehalten, die Kündigung sei auf ein gestörtes Vertrauensverhältnis und nicht auf ein strafbares Verhalten zurückzuführen. Mit ihrer ergänzenden Tatsachenbehauptung, es liege ein Versehen vor, ist die Beklagte nicht zu hören (Art. 55 Abs. 1 lit. cOG).
2.- Im Verfahren vor Bundesgericht macht die Klägerin nicht mehr geltend, dass die am 28. September 1999 ausgesprochene Kündigung missbräuchlich sei und die Beklagte daher zu verpflichten sei, eine Entschädigung im Sinn von Art. 336a OR zu bezahlen. Umstritten ist nur noch, ob die Beklagte aus Gründen des Persönlichkeitsschutzes verpflichtet ist, die Mitarbeiter der Filiale Y._ über die Gründe der Kündigung in Kenntnis zu setzen (nachfolgend Erw. 3) und ob sie wegen einer Verletzung der Persönlichkeit der Klägerin zu einer Genugtuungszahlung verpflichtet werden kann (nachfolgend Erw. 4).
3.-Zunächst ist zu prüfen, ob die Beklagte unter dem Gesichtspunkt der allgemeinen Fürsorgepflicht des Arbeitgebers verpflichtet ist, ihr Personal schriftlich über die Gründe der Kündigung zu informieren. Gemäss Art. 328 Abs. 1 OR hat der Arbeitgeber im Arbeitsverhältnis unter anderem die Persönlichkeit des Arbeitnehmers zu achten und zu schützen.
Die arbeitsrechtliche Fürsorgepflicht geht nicht über den allgemeinen Persönlichkeitsschutz gemäss Art. 28 ff.
ZGB hinaus, sondern konkretisiert diese Bestimmungen. Der Arbeitgeber hat einerseits alle Eingriffe in die Persönlichkeit des Arbeitnehmers zu unterlassen, die nicht durch das Anstellungsverhältnis gerechtfertigt sind. Andrerseits hat er dafür zu sorgen, dass andere Mitarbeiter oder Dritte die Persönlichkeitsgüter des Arbeitnehmers, die durch Art. 28 ZGB geschützt sind, nicht verletzen. Bei Persönlichkeitsverletzungen stehen dem Arbeitnehmer die Rechtsbehelfe von Art. 28a ff. OR offen (Urteil 5C.211/1994 vom 19. Dezember 1994, publ. in SJ 1995, S. 669, E. 3a, m.w.H.; Urteil 4C.128/1999 vom 25. Juni 1999, E. 2, m.w.H.; Manfred Rehbinder, Schweizerisches Arbeitsrecht, 15. Aufl. , Bern 2002, 109 f.).
a)Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass der Beklagten keine Persönlichheitsverletzung durch eigenes Handeln vorgeworfen werden kann. Die Beklagte hat der Klägerin keinen Diebstahl bzw. Diebstahlversuch unterstellt, sondern die Kündigung mit dem gestörten Vertrauensverhältnis begründet.
Dass diese Begründung der Kündigung missbräuchlich sei, wird nunmehr auch von der Klägerin nicht mehr behauptet.
b) Damit stellt sich nur noch die Frage, ob die Beklagte verpflichtet ist, gegen angebliche Persönlichkeitsverletzungen durch das Personal der Filiale Y._ einzuschreiten, weil dieses davon ausgegangen sein soll, der Klägerin sei wegen Diebstahls oder Diebstahlversuchs gekündigt worden. Dazu ist zunächst festzuhalten, dass sich das Obergericht nicht explizit zur Frage geäussert hat, ob beim Personal der Filiale Y._ effektiv das Gerücht kursiere, der Klägerin sei wegen einer strafbaren Handlung - und nicht wegen gestörtem Vertrauensverhältnis - gekündigt worden. Die Vorinstanz hat nur festgehalten, falls "das Personal der Filiale Y._ (wie die Klägerin behaupte) davon ausgehen [sollte], der Klägerin sei wegen Diebstahls oder -versuchs gekündigt worden, [sei] dies auf dessen falsche Kombinatorik zurückzuführen". Entgegen der Meinung der Klägerin könnte selbst für den Fall, dass das Personal die Kündigung auf eine strafbare Handlung zurückführen sollte, aufgrund der konkreten Umstände keine Informationspflicht der Beklagten abgeleitet werden. Einerseits hat das Obergericht zu Recht festgehalten, dass die Beklagte eine ordentliche Kündigung ausgesprochen habe, womit sie auch gegenüber dem Personal zum Ausdruck gebracht habe, dass die Voraussetzungen für eine einschneidendere Massnahme - wie etwa eine fristlose Kündigung wegen strafbaren Handlungen - nicht gegeben waren. Andrerseits hat das Arbeitsgericht - auf dessen Erwägungen im Urteil des Obergerichtes verwiesen wird - zutreffend festgehalten, dass die Klägerin selbst Anlass gegeben habe für das gestörte Vertrauensverhältnis, weil der Grund für die Kündigung ausschliesslich von ihr gesetzt worden sei. Wenn die Klägerin aber durch ihr fahrlässiges Verhalten selbst Anlass für die angeblichen Gerüchte gegeben hat, kann sie von der Beklagten, die sie nie eines deliktischen Fehlverhaltens bezichtigt hatte, keine Richtigstellung verlangen. Insoweit unterscheidet sich der vorliegende Fall grundlegend von der Situation, in der ein Arbeitnehmer Opfer von persönlichkeitsverletzenden Gerüchten wird, für die er keinen Anlass gegeben hat.
In dieser Situation wäre der Arbeitgeber - im Unterschied zum vorliegenden Fall - gehalten, im Rahmen seiner Fürsorgepflicht (Art. 328 Abs. 1 OR) für die Beseitigung einer Persönlichkeitsverletzung zu sorgen (Art. 28a Abs. 1 Ziff. 2 ZGB) (vgl. Urteil 4C.128/1999 vom 25. Juni 1999, E. 2a, publ. in JAR 1999, S. 223 ff. [betr. "Mobbing"]).
c) Soweit die Beklagte die Beseitigung einer angeblichen Persönlichkeitsverletzung verlangt, ist die Berufung daher abzuweisen.
4.-Unter diesen Umständen ist die Berufung aber auch insoweit abzuweisen, als die Klägerin gestützt auf Art. 49 OR die Zusprechung einer Genugtuung von Fr. 2'000.-- verlangt.
Die Pflicht zur Zahlung einer Genugtuung entfällt schon deshalb, weil der Beklagten weder eine Persönlichkeitsverletzung vorgeworfen werden kann (vgl. oben, E. 3a) noch eine Pflicht besteht, im Rahmen der Fürsorgepflicht gegen allfällige Persönlichkeitsverletzungen einzuschreiten (vgl. oben, E. 3b).
5.-Aus diesen Gründen ist die Berufung abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei Streitigkeiten aus dem Arbeitsverhältnis bis zu einem Streitwert von Fr. 30'000.-- können weder Gebühren noch Auslagen des Gerichts auferlegt werden (Art. 343 Abs. 3 OR). Da sich die Beklagte darauf beschränkt hat, ohne weitere Ausführungen die Abweisung der Berufung zu verlangen, ist ihr mangels Aufwands keine Entschädigung zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist, und das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 25. Oktober 2001 (Zivilkammer) wird bestätigt.
2.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn (Zivilkammer) schriftlich mitgeteilt.
_
Lausanne, 1. Februar 2002
Im Namen der I. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident:
Der Gerichtsschreiber: