Faits:
A. A.a Le 9 avril 2001, les parents de S._, né le 22 décembre 1991, ont présenté pour lui une demande de prestations de l'assurance-invalidité, tendant à l'octroi de mesures médicales. Selon le rapport du docteur D._, chef de clinique à l'Unité O._ de l'Hôpital X._, du 4 mai 2001, l'enfant présentait une volumineuse tumeur de la fosse postérieure avec hydrocéphalie (médulloblastome) qui provoquait des troubles locomoteurs (incapacité de marcher seul) et oculomoteurs et nécessitait un traitement de radiothérapie avec chimiothérapie concomitante; l'assistance et la surveillance découlant du handicap entraînaient des frais supplémentaires par rapport à une personne handicapée du même âge.
L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a recueilli divers rapports médicaux dont il ressort notamment que le traitement de chimiothérapie a pris fin au mois de mai 2002 et que l'assuré a repris l'école de façon plus ou mois régulière à partir du mois d'août 2002 (rapport du docteur D._ du 11 novembre 2002). Par la suite, le docteur B._, médecin-associé à l'Hôpital ophtalmique J._, a indiqué que l'assuré était très handicapé par l'atteinte de sa fonction visuelle et ne pouvait suivre de formation professionnelle de manière normale; l'assuré n'avait pas besoin d'appareils de traitement ou de moyens auxiliaires, mais il était possible que des moyens d'aide visuelle devinssent nécessaires dans le futur (rapport du 7 janvier 2004).
Par sept décisions successives, rendues entre le 11 avril 2002 et le 10 janvier 2006, l'office AI a reconnu le droit de S._ à différentes prestations de l'assurance-invalidité (notamment des mesures médicales, des moyens auxiliaires et des mesures de formation scolaire spéciale).
A.b Entre-temps, le 30 décembre 2005, S._ a, par l'intermédiaire de son père, requis le versement d'une allocation pour impotent. Après que Pro Infirmis Vaud eut indiqué que l'assuré nécessitait depuis 2001 une aide régulière et importante pour accomplir de nombreux actes ordinaires de la vie (questionnaire du 20 avril 2006), le docteur R._ a fait état d'une aggravation de l'état de santé de l'enfant (récidive de la tumeur mise en évidence en avril 2005) et confirmé que les renseignements fournis sur le besoin d'assistance lui paraissaient adéquats (rapport du 23 août 2006). Par décision du 30 novembre 2006, l'office AI a mis l'assuré au bénéfice d'une allocation pour impotence moyenne à partir du 1er décembre 2004 jusqu'au 31 décembre 2009, ainsi que d'un supplément pour soins intenses.
B. L'assuré, toujours représenté par son père, a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à ce que l'allocation pour impotence lui fût versée rétroactivement depuis le mois de mars 2001. Il a été débouté par jugement du 26 novembre 2007.
C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Sous suite de frais et dépens, il en demande la réforme en ce sens que le droit à une allocation pour impotence de degré moyen lui soit reconnu dès le 1er décembre 2000.
L'office AI conclut implicitement au rejet du recours en renvoyant à ses écritures déposées en instance cantonale, tandis que l'Office fédéral de l'assurance-invalidité (OFAS) a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. Les parties ne contestent pas le droit du recourant à une allocation pour impotence moyenne du 1er décembre 2004 au 30 décembre 2009, ainsi qu'à un supplément pour soins intenses. Est en revanche litigieux le point de savoir si le droit à l'allocation pour impotence moyenne existait déjà avant cette date et dans quelle mesure cette prestation doit, le cas échéant, être versée pour la période antérieure.
C'est le lieu de préciser que le recourant demande en instance fédérale que l'allocation pour impotence lui soit accordée à partir du 1er décembre 2000 déjà, alors qu'il concluait en procédure cantonale à la reconnaissance de son droit à partir du 1er mars 2001 seulement. La conclusion formée par le recourant devant la Cour de céans, en tant qu'elle porte sur une période antérieure au 1er mars 2001 est dès lors nouvelle et, partant, irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
3. 3.1 Le jugement entrepris expose correctement les conditions du droit à une allocation pour impotence dans le cas des mineurs, si bien qu'on peut y renvoyer. En ce qui concerne le début du droit à la prestation en cause, on ajoutera que selon l'art. 48 al. 2 première phrase LAI (dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007, applicable en l'espèce [ATF 131 V 9 consid. 1 p. 11 et les arrêts cités]), si l'assuré présente sa demande plus de douze mois après la naissance du droit, les prestations ne sont allouées que pour les douze mois précédant le dépôt de la demande.
3.2 En principe, les prestations d'assurance sociale sont servies à la demande de l'ayant droit: celui qui ne s'annonce pas à l'assurance n'obtient pas de prestations, même si le droit à celles-ci découle directement de la loi (ATF 101 V 261 consid. 2 p. 265). Aussi, l'art. 29 al. 1 LPGA prévoit-il que celui qui fait valoir un droit à des prestations doit s'annoncer à l'assureur compétent, dans la forme prescrite par l'assurance sociale concernée.
Selon la jurisprudence, en s'annonçant à l'assurance-invalidité, l'assuré sauvegarde en règle générale tous ses droits à des prestations d'assurance, même s'il n'en précise pas la nature exacte, l'annonce comprenant toutes les prétentions qui, de bonne foi, sont liées à la survenance du risque annoncé. Cette règle ne vaut cependant pas pour les prestations qui n'ont aucun rapport avec les indications fournies par le requérant et à propos desquelles il n'existe au dossier aucun indice permettant de croire qu'elles pourraient entrer en considération. L'obligation de l'administration d'examiner le cas s'étend seulement aux prestations qui, sur le vu des faits et des pièces du dossier, peuvent entrer normalement en ligne de compte. Lorsque par la suite l'assuré fait valoir qu'il a encore droit à une autre prestation, il y a lieu d'examiner selon l'ensemble des circonstances du cas particulier, au regard du principe de la bonne foi, si l'imprécise annonce antérieure comprend également la prétention que l'assuré fait valoir ultérieurement (ATF 121 V 195 consid. 2 p. 196 et les arrêts cités).
3.3 L'annonce à l'assureur social permet en principe de sauvegarder le délai de l'art. 24 al. 1 LPGA (art. 48 al. 1 aLAI dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002), selon lequel le droit à des prestations arriérées s'éteint cinq ans après la fin du mois pour lequel la prestation était due. Toutefois, lorsque l'administration a manqué à son devoir d'instruction malgré une demande suffisamment précise de l'assuré, le paiement de prestations arriérées est soumis au délai de cinq ans prévu à l'art. 24 al. 1 LPGA: seules les prestations dues pour les cinq dernières années à partir de la nouvelle demande de prestations sont versées, le droit aux prestations antérieures s'étant éteint (ATF 121 V 195 consid. 5d p. 201 s.; arrêt M 12/06 du 23 novembre 2007 consid. 5.3).
3.4 Conformément à la situation de droit présentée ci-avant, lorsqu'un assuré présente des demandes successives à l'assurance-invalidité, deux éventualités peuvent se présenter (comp. arrêt du Tribunal fédéral des assurances I 317/94 du 3 novembre 1995):
- soit l'assuré a préservé tous ses droits par une première requête, en ce sens que l'administration devait examiner si le versement des prestations en cause entrait éventuellement en ligne de compte; dans l'affirmative, les prestations arriérées peuvent être octroyées pour les cinq ans qui précèdent la demande ultérieure de l'assuré;
- soit l'administration n'était pas tenue de procéder à cet examen d'office et les prestations ne peuvent être allouées, conformément à l'art. 48 al. 2 première phrase LAI, que pour les douze mois précédant le dépôt de cette même demande.
4. 4.1 La juridiction cantonale a considéré que la seconde éventualité était réalisée dans le cas du recourant. Elle a retenu que l'intimé ne pouvait pas inférer des rapports médicaux produits au dossier - singulièrement les rapports du docteur D._ des 4 mai 2001, 11 novembre 2002 et 26 mai 2003, du docteur G._ du 9 mai 2003 et du docteur B._ du 7 janvier 2004 - que le recourant avait besoin de l'aide importante et régulière d'un tiers pour accomplir au moins deux actes de la vie. Selon les premiers juges, ce fait n'avait été établi que par l'instruction consécutive à la demande de prestations du 30 décembre 2005, de sorte qu'ils se sont référés à l'art. 48 al. 2 première phrase LAI pour fixer au 1er décembre 2004 le point de départ de l'allocation pour impotence.
4.2 En constatant que le besoin de l'aide importante et régulière d'un tiers pour accomplir au moins deux actes de la vie n'avait été établi que par l'instruction menée à la suite de la seconde demande de prestations et en fixant le début du droit en cause au 1er décembre 2004, la juridiction cantonale en a admis - du moins implicitement - le bien-fondé à partir de cette date. Considérant que seul le point de départ du droit était litigieux, elle n'a en revanche pas statué sur l'existence de la prétention pour la période antérieure. Ce point peut demeurer ouvert, pour autant que les considérations des premiers juges, selon lesquelles la prestation accordée ne peut être allouée que pour les douze mois précédant le dépôt de la demande du 30 décembre 2005, soient conformes au droit.
Le recourant conteste cela en invoquant une violation de la maxime d'office et du principe de la bonne foi. Il soutient que l'intimé aurait dû instruire le point de savoir s'il avait droit à la contribution en cause déjà au moment de sa première demande en 2001, compte tenu de la présence à l'époque d'indices concrets sur l'existence d'une impotence.
4.3 Si les différents éléments au dossier retenus par les premiers juges relèvent de constatations de fait, le point de savoir si sur la base de ceux-ci l'administration devait examiner plus avant le droit à une allocation pour impotent est une question de droit que le Tribunal fédéral examine librement.
4.3.1 Même si la demande initiale du recourant ne portait expressément que sur l'octroi de mesures médicales, son annonce comprenait toutes les prétentions qui, de bonne foi, étaient liées à la survenance du risque annoncé (consid. 3.2 supra).
4.3.2 En l'espèce, il ne peut être reproché à l'administration de ne pas avoir instruit la question du droit à l'allocation pour impotent sur la base du rapport médical daté du 4 mai 2001 qu'elle avait recueilli. En effet, comme l'ont retenu tour à tour l'intimé et la juridiction cantonale, l'attestation par le docteur D._ de l'existence d'une assistance et d'une surveillance personnelle permanente accrue à ce moment-là - soit trois mois après l'apparition de l'atteinte à la santé mise en évidence le 15 mars 2001 - ne permettait pas (encore) d'admettre le caractère durable du besoin d'aide d'autrui.
4.3.3 En revanche, il n'en allait plus de même à l'examen du rapport médical de ce praticien du 11 novembre 2002. En effet, celui-ci réitérait ses indications de mai 2001 selon lesquelles l'assistance et la surveillance personnelle découlant du handicap entraînaient des frais supplémentaires par rapport à une personne non handicapée du même âge. Cet élément constituait un indice qui permettait de croire que la prestation en cause pouvait alors entrer en considération et obligeait l'intimé à instruire d'office la question d'une éventuelle impotence de l'assuré. La mention que l'évolution était favorable et que l'enfant avait repris l'école de façon plus ou moins régulière ne suffisait pas pour nier d'emblée toute relation avec une éventuelle impotence, puisqu'on ne pouvait rien en déduire quant aux capacités du recourant d'accomplir les actes ordinaires de la vie déterminants. En outre, le docteur D._ mentionnait la nécessité de mesure de physiothérapie et d'ergothérapie afin d'améliorer notamment "l'indépendance physique au niveau familial (habillement, déplacements)", ce qui laissait entendre que l'enfant rencontrait des difficultés liées à une certaine dépendance pour l'accomplissement de ces actes. Par la suite, le docteur N._ a également fait état de l'existence de frais supplémentaires liés à l'assistance et la surveillance personnelle, en indiquant par ailleurs qu'un traitement à domicile (support nutritionnel sous forme d'un bouton de gastrotomie) avait été prescrit (rapport du 22 mai 2003). Il s'agit là d'éléments supplémentaires qui supposaient l'intervention d'office de l'intimé pour examiner de manière précise l'existence d'une éventuelle impotence.
Dans ces circonstances, en présence d'indices suffisants au dossier à ce sujet, on doit admettre que l'intimé était tenu d'instruire d'office la question d'une éventuelle impotence du recourant dans les suites de la première requête à l'assurance-invalidité.
5. En conséquence de ce qui précède, dans la mesure où l'administration devait examiner d'office si le versement d'une contribution pour impotence entrait éventuellement en ligne de compte, la prestation litigieuse pourrait être allouée pour les cinq ans qui précèdent la demande de l'assuré du 30 décembre 2005 (consid. 3.4 supra), à la condition toutefois que les conditions du droit fussent remplies pour cette période. Compte tenu du pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (consid. 1 supra), il ne lui appartient cependant pas, en tant qu'autorité de deuxième et dernière instance, de statuer d'une manière définitive sur cette question. Celle-ci doit être examinée par la juridiction cantonale, à qui la cause doit être renvoyée dans ce but. Dans cette mesure, le recours se révèle bien fondé.
6. Vu l'issue du litige, les frais de justice doivent être supportés par l'intimé qui succombe (art. 66 al. 1 première phrase LTF en relation avec l'art. 65 al. 4 let. a LTF). Il en va de même de l'indemnité de dépens à laquelle a droit le recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Dans la mesure où il est recevable, le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 26 novembre 2007 est annulé et la cause renvoyée à ce même tribunal pour nouveau jugement au sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2000 fr. à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 24 novembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless