Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Die 1951 geborene F._ leidet an einer schizoaffektiven Psychose und war deswegen in den Jahren 1979, 1989 und 1992 in der Psychiatrischen Klinik Y._ hospitalisiert. Vom 1. Oktober 1989 bis zur Auflösung des Anstellungsverhältnisses aus gesundheitlichen Gründen auf Ende Februar 1992 arbeitete sie als Schwesternhilfe in der Psychiatrischen Klinik Y._ und war bei der Sammelstiftung W._ für die berufliche Vorsorge versichert. Im Juni 1992 trat sie eine Teilzeitstelle mit einem Pensum von 60 % im Spital und Pflegezentrum Z._ an, gab diese Tätigkeit aber innerhalb der Probezeit wieder auf. Am 1. Juni 1993 nahm sie eine Teilzeitarbeit von 50 % als Hausangestellte im Altersheim der Bürgergemeinde Q._ auf. Seit 1. April 1995 war F._ vollzeitlich als Büroangestellte beim Steueramt der Gemeinde X._ tätig und für die berufliche Vorsorge bei der Pensionskasse der Gemeinde X._ versichert.
Mit Verfügung vom 14. Februar 1994 sprach die IV-Stelle F._ rückwirkend ab 1. März 1993 bei einem Invaliditätsgrad von 50 % eine halbe Rente der Invalidenversicherung zu. Die Rentenzahlungen wurden auf Ende November 1996 eingestellt. Nachdem die Versicherte ihr Arbeitspensum beim Steueramt X._ im April 1999 aus gesundheitlichen Gründen auf 50 % hatte reduzieren müssen, sprach ihr die IV-Stelle ab 1. April 1999 wiederum eine halbe Invalidenrente zu (Verfügung vom 24. November 1999). Ende Juli 1999 endete das Anstellungsverhältnis krankheitsbedingt.
Mit Schreiben vom 1. März 2000 eröffnete die Sammelstiftung W._ F._, dass sie für die Zeit vom 18. November 1994 bis 30. Juni 1996 Anspruch auf eine Invalidenrente von 50 % habe. Für die Zeit ab 1. April 1999 lehnte die Sammelstiftung W._ ihre Leistungspflicht ab.
Mit Schreiben vom 1. März 2000 eröffnete die Sammelstiftung W._ F._, dass sie für die Zeit vom 18. November 1994 bis 30. Juni 1996 Anspruch auf eine Invalidenrente von 50 % habe. Für die Zeit ab 1. April 1999 lehnte die Sammelstiftung W._ ihre Leistungspflicht ab.
B. Nachdem die Pensionskasse der Gemeinde X._ (im Folgenden: Pensionskasse) am 11. April 2001 zu einem Gesuch von F._ um Zusprechung einer Invalidenrente der beruflichen Vorsorge in ablehnendem Sinne Stellung genommen hatte, gelangte die Versicherte an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und liess mit Klage vom 21. Mai 2001 beantragen, die Pensionskasse sei zu verpflichten, ihr ab 1. April 1999 eine Invalidenrente von 50 % auszurichten. Das Verwaltungsgericht lud die Sammelstiftung W._ zum Verfahren bei. Mit Entscheid vom 19. März 2003 verpflichtete es die Pensionskasse in Gutheissung der Klage, F._ ab 1. April 1999 eine halbe Invalidenrente auszurichten.
B. Nachdem die Pensionskasse der Gemeinde X._ (im Folgenden: Pensionskasse) am 11. April 2001 zu einem Gesuch von F._ um Zusprechung einer Invalidenrente der beruflichen Vorsorge in ablehnendem Sinne Stellung genommen hatte, gelangte die Versicherte an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und liess mit Klage vom 21. Mai 2001 beantragen, die Pensionskasse sei zu verpflichten, ihr ab 1. April 1999 eine Invalidenrente von 50 % auszurichten. Das Verwaltungsgericht lud die Sammelstiftung W._ zum Verfahren bei. Mit Entscheid vom 19. März 2003 verpflichtete es die Pensionskasse in Gutheissung der Klage, F._ ab 1. April 1999 eine halbe Invalidenrente auszurichten.
C. Die Pensionskasse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Begehren, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei die Klage der Versicherten abzuweisen.
Während F._ und die als Mitinteressierte beigeladene Sammelstiftung W._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherung (BSV) auf einen Antrag hinsichtlich der Leistungspflicht, verlangt jedoch für den Fall, dass die Verwaltungsgerichtsbeschwerde abgewiesen wird, die Rückweisung der Sache an das kantonale Gericht, damit es die von ihm zugesprochenen Leistungen in betraglicher Hinsicht festlege.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Anspruch auf Invalidenleistungen haben gemäss Art. 23 BVG Personen, die im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 50 % invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren. Nach Art. 24 IVG hat der Versicherte Anspruch auf eine volle Invalidenrente, wenn er im Sinne der Invalidenversicherung mindestens zu zwei Dritteln, auf eine halbe Rente, wenn er mindestens zur Hälfte invalid ist. Nach der Rechtsprechung bleibt bei einer nach dem Wechsel der Vorsorgeeinrichtung eingetretenen Invalidität die alte Vorsorgeeinrichtung zur Ausrichtung von Leistungen verpflichtet, wenn die Arbeitsunfähigkeit zu einem Zeitpunkt begonnen hat, als der Versicherte ihr angehörte, und wenn zwischen dieser Arbeitsunfähigkeit und der Invalidität ein sachlicher und zeitlicher Zusammenhang besteht; umgekehrt ist die neue Einrichtung von jeglicher Rentenleistungspflicht befreit (BGE 120 V 117 Erw. 2c). In sachlicher Hinsicht liegt ein solcher Zusammenhang vor, wenn der Gesundheitsschaden, welcher der Invalidität zu Grunde liegt, im Wesentlichen der selbe ist, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat. Sodann setzt die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs voraus, dass der Versicherte nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig wurde. Die frühere Vorsorgeeinrichtung hat nicht für Rückfälle oder Spätfolgen einer Krankheit einzustehen, die erst Jahre nach Wiedererlangung der vollen Arbeitsfähigkeit eintreten. Andererseits darf nicht bereits eine Untebrechung des zeitlichen Zusammenhangs angenommen werden, wenn der Versicherte bloss für kurze Zeit wieder an die Arbeit zurückgekehrt ist. Ebenso wenig darf die Frage des zeitlichen Zusammenhanges zwischen Arbeitsunfähigkeit und Invalidität in schematischer (analoger) Anwendung der Regeln von Art. 88a Abs. 1 IVV beurteilt werden, wonach eine anspruchsbeeinflussende Verbesserung der Erwerbsfähigkeit in jedem Fall zu berücksichtigen ist, wenn sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate gedauert hat und voraussichtlich weiterhin andauern wird. Nach der Rechtsprechung sind bei der Frage des zeitlichen Zusammenhangs die gesamten Umstände des konkreten Einzelfalles zu berücksichtigen, namentlich die Art des Gesundheitsschadens, dessen prognostische Beurteilung durch den Arzt und die Beweggründe, die den Versicherten zur Wiederaufnahme der Arbeit veranlasst haben (BGE 123 V 264 Erw. 1c, 120 V 117 f. Erw. 2c/aa und bb mit Hinweisen).
1. Anspruch auf Invalidenleistungen haben gemäss Art. 23 BVG Personen, die im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 50 % invalid sind und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert waren. Nach Art. 24 IVG hat der Versicherte Anspruch auf eine volle Invalidenrente, wenn er im Sinne der Invalidenversicherung mindestens zu zwei Dritteln, auf eine halbe Rente, wenn er mindestens zur Hälfte invalid ist. Nach der Rechtsprechung bleibt bei einer nach dem Wechsel der Vorsorgeeinrichtung eingetretenen Invalidität die alte Vorsorgeeinrichtung zur Ausrichtung von Leistungen verpflichtet, wenn die Arbeitsunfähigkeit zu einem Zeitpunkt begonnen hat, als der Versicherte ihr angehörte, und wenn zwischen dieser Arbeitsunfähigkeit und der Invalidität ein sachlicher und zeitlicher Zusammenhang besteht; umgekehrt ist die neue Einrichtung von jeglicher Rentenleistungspflicht befreit (BGE 120 V 117 Erw. 2c). In sachlicher Hinsicht liegt ein solcher Zusammenhang vor, wenn der Gesundheitsschaden, welcher der Invalidität zu Grunde liegt, im Wesentlichen der selbe ist, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat. Sodann setzt die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs voraus, dass der Versicherte nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig wurde. Die frühere Vorsorgeeinrichtung hat nicht für Rückfälle oder Spätfolgen einer Krankheit einzustehen, die erst Jahre nach Wiedererlangung der vollen Arbeitsfähigkeit eintreten. Andererseits darf nicht bereits eine Untebrechung des zeitlichen Zusammenhangs angenommen werden, wenn der Versicherte bloss für kurze Zeit wieder an die Arbeit zurückgekehrt ist. Ebenso wenig darf die Frage des zeitlichen Zusammenhanges zwischen Arbeitsunfähigkeit und Invalidität in schematischer (analoger) Anwendung der Regeln von Art. 88a Abs. 1 IVV beurteilt werden, wonach eine anspruchsbeeinflussende Verbesserung der Erwerbsfähigkeit in jedem Fall zu berücksichtigen ist, wenn sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate gedauert hat und voraussichtlich weiterhin andauern wird. Nach der Rechtsprechung sind bei der Frage des zeitlichen Zusammenhangs die gesamten Umstände des konkreten Einzelfalles zu berücksichtigen, namentlich die Art des Gesundheitsschadens, dessen prognostische Beurteilung durch den Arzt und die Beweggründe, die den Versicherten zur Wiederaufnahme der Arbeit veranlasst haben (BGE 123 V 264 Erw. 1c, 120 V 117 f. Erw. 2c/aa und bb mit Hinweisen).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin gegenüber der Pensionskasse ab 1. April 1999 Anspruch auf eine halbe Invalidenrente hat. Da die sachliche Konnexität zwischen dem Eintritt der Arbeitsunfähigkeit und der Invalidität offenkundig ist, hängt die Entscheidung dieser Frage einzig davon ab, ob der enge zeitliche Zusammenhang zwischen der Arbeitsunfähigkeit und der Invalidität, für welche ihr mit dem angefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichts ab 1. April 1999 Leistungen zugesprochen wurden, unterbrochen worden ist, was die Vorinstanz annimmt, die Pensionskasse hingegen bestreitet.
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin gegenüber der Pensionskasse ab 1. April 1999 Anspruch auf eine halbe Invalidenrente hat. Da die sachliche Konnexität zwischen dem Eintritt der Arbeitsunfähigkeit und der Invalidität offenkundig ist, hängt die Entscheidung dieser Frage einzig davon ab, ob der enge zeitliche Zusammenhang zwischen der Arbeitsunfähigkeit und der Invalidität, für welche ihr mit dem angefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichts ab 1. April 1999 Leistungen zugesprochen wurden, unterbrochen worden ist, was die Vorinstanz annimmt, die Pensionskasse hingegen bestreitet.
3. 3.1 Die Pensionskasse wendet gegen die Annahme des kantonalen Gerichts, der enge zeitliche Zusammenhang sei auf Grund des Arbeitsverhältnisses mit dem Steueramt der Gemeinde X._ unterbrochen worden, im Wesentlichen ein, dass die Beschwerdegegnerin während der Dauer der Anstellung bei der Gemeinde X._ ihr arbeitsvertragliches Pensum nie über längere Zeit habe erfüllen können. Auch an Tagen, an denen sie theoretisch zu 100 % gearbeitet habe, sei sie nie in der Lage gewesen, eine volle Leistung zu erbringen. Beim ausbezahlten Gehalt habe es sich teilweise um Soziallohn gehandelt. Da die Versicherte nie für längere Zeit die volle Arbeitsfähigkeit wiedererlangt habe, sei der zeitliche Zusammenhang zwischen der im Verlauf des früheren Vorsorgeverhältnisses eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der Invalidität nicht unterbrochen worden.
3.2 Den Ausführungen der Pensionskasse ist beizupflichten. In der Tat finden sich genügend Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdegegnerin während der gesamten Anstellungsdauer bei der Steuerverwaltung X._ nie über eine längere Zeitspanne voll arbeitsfähig war. So bestätigte die Gemeinde auf dem Fragebogen zuhanden der Invalidenversicherung am 24. Juni 1999, dass der ausgerichtete Lohn nicht der Arbeitsleistung der Versicherten entsprochen habe. L._, Abteilungsleiterin Steuern, wies in einer vorinstanzlich eingereichten Notiz vom 21. März 2001 darauf hin, die Arbeitsproduktivität der Versicherten sei aus gesundheitlichen Gründen reduziert gewesen. Es sei auf die jeweilige Verfassung Rücksicht genommen worden und der Versicherten sei während der Präsenzzeit die Verlängerung der Pausen bewilligt worden. Gleichlautende Aussagen hat der zuständige Gemeinderat A._ gemacht (Bestätigung vom 19. März 2001). Diese Angaben finden ihr Korrelat im Bericht des Dr. med. I._ vom 28. Mai 1999. Der Arzt stellt fest, dass die Versicherte mit dem Beschäftigungsgrad von 100 % überfordert gewesen sei. Es sei immer wieder zu psychischen Dekompensationen gekommen, die zwar ambulant hätten aufgefangen werden können, aber immer wieder zu kurzfristigen und partiellen Absenzen vom Arbeitsplatz geführt hätten. Nach einer schwereren Krise Anfang 1998 habe die Versicherte die Arbeitszeit reduziert und werde im August 1999 eine Teilzeitstelle zu 50 % antreten. Dass die Versicherte mit der Vollzeitbeschäftigung bei der Gemeinde X._ infolge ihres Gesundheitsschadens überfordert war und keine volle Leistung erbringen konnte, ergibt sich schliesslich auch aus dem Bericht des Berufsberaters der Invalidenversicherung vom 6. August 1999.
Auf Grund der erwähnten Unterlagen ist in Würdigung der gesamten Umstände des konkreten Falles (Erw. 1 hievor) als erstellt zu betrachten, dass der enge zeitliche Zusammenhang zwischen der Arbeitsunfähigkeit, welche der Zusprechung einer Invalidenrente durch die Sammelstiftung W._ zu Grunde lag, und der Arbeitsunfähigkeit, die sich während der Anstellung bei der Gemeindeverwaltung X._ manifestierte, nicht unterbrochen wurde. Die Beschwerdeführerin ist daher nicht leistungspflichtig. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz ist es sachfremd und rechtlich nicht haltbar, aus der Weiterführung des vorerst befristeten Arbeitsverhältnisses unter Ausrichtung von Soziallohn (vgl. dazu BGE 117 V 17 f. Erw. 2c/aa) über längere Zeit auf eine Unterbrechung des engen zeitlichen Zusammenhanges zu schliessen.
Auf Grund der erwähnten Unterlagen ist in Würdigung der gesamten Umstände des konkreten Falles (Erw. 1 hievor) als erstellt zu betrachten, dass der enge zeitliche Zusammenhang zwischen der Arbeitsunfähigkeit, welche der Zusprechung einer Invalidenrente durch die Sammelstiftung W._ zu Grunde lag, und der Arbeitsunfähigkeit, die sich während der Anstellung bei der Gemeindeverwaltung X._ manifestierte, nicht unterbrochen wurde. Die Beschwerdeführerin ist daher nicht leistungspflichtig. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz ist es sachfremd und rechtlich nicht haltbar, aus der Weiterführung des vorerst befristeten Arbeitsverhältnisses unter Ausrichtung von Soziallohn (vgl. dazu BGE 117 V 17 f. Erw. 2c/aa) über längere Zeit auf eine Unterbrechung des engen zeitlichen Zusammenhanges zu schliessen.
4. Zufolge Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist der Antrag des BSV auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz gegenstandslos.
4. Zufolge Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist der Antrag des BSV auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz gegenstandslos.
5. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG). Die obsiegende Pensionskasse hat als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 159 Abs. 2 OG; BGE 126 V 149 Erw. 4a mit Hinweisen), was auch für das erstinstanzliche Verfahren der beruflichen Vorsorge gilt (BGE 126 V 150 Erw. 4b).
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 19. März 2003 aufgehoben, und die Klage der Beschwerdegegnerin vom 21. Mai 2001 wird abgewiesen.
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 19. März 2003 aufgehoben, und die Klage der Beschwerdegegnerin vom 21. Mai 2001 wird abgewiesen.
2. Es werden weder Gerichtskosten erhoben noch Parteientschädigungen zugesprochen.
2. Es werden weder Gerichtskosten erhoben noch Parteientschädigungen zugesprochen.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, dem Bundesamt für Sozialversicherung und der Sammelstiftung W._ zugestellt.
Luzern, 15. September 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: