Sachverhalt:
A. X._ erstattete am 10. bzw. 15. Juni 2008 Strafanzeigen gegen drei Personen. Am 9. November 2009 erhob die Anzeigerin beim Strafgericht Basel-Stadt diesbezüglich eine Verfahrensverzögerungsbeschwerde. Diese liess sie am 8. Februar 2010 (durch ihren damaligen Rechtsvertreter) ausdrücklich zurückziehen, worauf das Strafgericht die Beschwerdesache mit Verfügung vom 12. Februar 2010 als erledigt abschrieb. Am 15. April 2010 reichte die Anzeigerin den gleichen Rechtsbehelf (nunmehr als Laieneingabe) nochmals ein. Mit Entscheid vom 21. Juni 2010 wies das Strafgericht Basel-Stadt, Rekurskammer, die Verfahrensverzögerungsbeschwerde ab.
B. Gegen den Entscheid des Strafgerichtes vom 21. Juni 2010 gelangte X._ mit Beschwerde vom 15. Februar 2011 (und Ergänzung vom 24. Februar 2011) an das Bundesgericht. Sie beantragt, ihre Rechtsverzögerungsbeschwerde sei gutzuheissen, und sie rügt unter anderem eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 BV.
Das kantonale Strafgericht und die Staatsanwaltschaft haben auf Stellungnahmen je ausdrücklich verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids (etwa eines strafprozessualen Nichtanhandnahmeentscheides oder einer anderen Abschlussverfügung) kann Beschwerde geführt werden (Art. 94 BGG). Analog anfechtbar sind Beschwerden gegen kantonale Entscheide in Strafsachen (Art. 78 i.V.m. Art. 80 Abs. 1 BGG), in denen das Vorliegen einer Rechtsverzögerung (im Sinne von Art. 94 BGG) verneint wird. Die Beschwerde erscheint auch im Lichte von Art. 80 Abs. 2 i.V.m. Art. 130 Abs. 1 BGG grundsätzlich zulässig.
1.2 Der angefochtene Entscheid datiert vom 21. Juni 2010 und stützt sich auf kantonales Strafprozessrecht. Gemäss Art. 453 Abs. 1 Eidg. StPO (SR 312.0, in Kraft seit 1. Januar 2011) ist auch die vorliegende Beschwerde nach bisherigem kantonalem Recht zu beurteilen.
1.3 Weiter stellt sich die Frage, ob die Beschwerdeführerin beschwerdelegitimiert ist bzw. ob sie ein selbständiges schutzwürdiges Interesse (im Sinne von Art. 81 BGG) an der Prüfung der Rüge hat, drei ihrer Strafanzeigen würden nicht rasch genug behandelt. Die Frage kann hier jedoch offen bleiben, da sich die erhobenen Rügen ohnehin als unbegründet erweisen (vgl. E. 4).
2. Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, die am 15. April 2010 eingereichte Verfahrensverzögerungsbeschwerde sei als rechtsmissbräuchlich und trölerisch einzustufen, nachdem die Beschwerdeführerin ihren analogen Rechtsbehelf am 8. Februar 2010 (in Kenntnis aller Verfahrensakten und nach Konsultation ihres Rechtsvertreters) habe zurückziehen lassen. Zwar könne es durchaus rechtens sein, in der gleichen Sache mehrmals einen solchen Rechtsbehelf einzureichen. Dies setze jedoch voraus, dass relevante Noven eingetreten oder ein erheblicher zusätzlicher Zeitablauf erfolgt wären, was hier nicht der Fall sei. Hinzu komme noch, dass die Beschwerdeführerin seit Jahren und auf trölerische Weise ständig neue Strafanzeigen einreiche, weshalb die von den Strafverfolgungsbehörden in diesem Zusammenhang gesetzten zeitlichen und sachlichen Prioritäten nicht zu beanstanden seien.
3. Die Beschwerdeführerin macht (im Wesentlichen zusammengefasst) Folgendes geltend: Ihre erste Rechtsverzögerungsbeschwerde habe sie (am 8. Februar 2010) nur deshalb zurückgezogen, weil die kantonalen Strafverfolgungsbehörden dem Strafgericht "Polizeieinträge" zu ihrer Person hätten zukommen lassen, was Datenschutzvorschriften verletzt habe und (mangels Beschwerderückzugs) zu einer "Vermischung" von Verfahren geführt hätte. Mit ihrer zwei Monate später eingereichten identischen Beschwerde habe sie ein korrektes Verfahren einleiten wollen. Dies sei nicht rechtsmissbräuchlich. Ausserdem halte die gerügte Rechtsverzögerung weiter an. Diese verletze (neben kantonalen Prozessvorschriften) Art. 29 Abs. 1 BV. Ausserdem habe sich die Vorinstanz mit der Begründung der Beschwerde überhaupt nicht auseinandergesetzt, was vor dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) nicht standhalte.
4. Dass die kantonalen Behörden die fraglichen Strafanzeigen der Beschwerdeführerin nicht mit zeitlicher und sachlicher Priorität behandelten, sondern zurückstellten, hält vor der Verfassung stand. Es kann dabei offen bleiben, inwieweit die Verfahrensgarantie von Art. 29 Abs. 1 BV (betreffend Beurteilung innert angemessener Frist) auf Fälle wie den vorliegenden überhaupt anwendbar ist:
4.1 Wie sich aus den Akten ergibt, hat die Beschwerdeführerin zwischen 10. Juni 2008 und 25. Januar 2010 insgesamt 11 Strafanzeigen gegen diverse Personen erhoben, darunter die hier fraglichen drei Anzeigen. Diese betreffen Bagatellfälle. Zudem bestehen deutliche Anzeichen, dass die Denunziationen unbegründet sind bzw. rechtsmissbräuchlich erhoben wurden. Zahlreiche querulatorische Anzeigen gegen diverse Personen bei verschiedenen Behörden gehörten - nebst massiv selbst- und drittgefährdendem Verhalten - auch zu den psychischen Auffälligkeiten, die zwischen März und August 2005 eine fünfmonatige fürsorgerische Freiheitsentziehung der Beschwerdeführerin (gestützt auf Art. 397a ff. ZGB) nach sich zogen (vgl. dazu separates Urteil 1B_46/2011 vom 1. Juni 2011).
4.2 In Fällen wie dem vorliegenden haben die Strafverfolgungsbehörden (im Lichte von Art. 29 Abs. 1 BV) grundsätzlich ein erhebliches Ermessen, ob sie Anzeigen dieser Art entweder mittels Nichtanhandnahmeverfügung rasch erledigen oder als zeitlich und sachlich nicht prioritär ohne besondere Beschleunigung behandeln (aber dennoch innert angemessener Frist abschliessen) wollen. Im vorliegenden Fall hatte der Leitende Staatsanwalt der Beschwerdeführerin schon mit Schreiben vom 2. November 2009 ausdrücklich mitgeteilt, dass die fraglichen Anzeigen nicht prioritär behandelt, sondern zurückgestellt würden. In diesem Zusammenhang ist hier noch keine verfassungswidrige Untätigkeit der Behörden ersichtlich. Das Bundesgericht behält sich im Übrigen vor, auf rechtsmissbräuchlich erscheinende Beschwerden dieser Art künftig im vereinfachten Verfahren (Art. 108 Abs. 1 lit. c BGG) nicht einzutreten. Anderseits bleibt gegenüber den kantonalen Behörden darauf hinzuweisen, dass (nach der hierfür massgeblichen Eidg. StPO) auch hängige Bagatellfälle oder rechtsmissbräuchlich gestellte Strafanzeigen innert vernünftiger Frist formell und summarisch zu erledigen sein werden (vgl. Art. 5 Abs. 1 i.V.m. Art. 301 Abs. 2 und Art. 310 Eidg. StPO).
5. Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) erweist sich ebenfalls als unbegründet. Dem angefochtenen Entscheid lassen sich die wesentlichen Erwägungen entnehmen, weshalb die Vorinstanz keine Rechtsverzögerung feststellen konnte. Dabei brauchte sich das Strafgericht (von Verfassungs wegen) nicht mit sämtlichen Vorbringen der Beschwerdeführerin ausdrücklich und im Einzelnen zu befassen (vgl. BGE 136 I 184 E. 2.2.1 S. 188 f.; 133 I 270 E. 3.1 S. 277, E. 3.5.1 S. 283; 129 I 232 E. 3.2 S. 236; je mit Hinweisen).
6. Die Beschwerde ist als unbegründet abzuweisen.
Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Strafgericht Basel-Stadt, Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juni 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Forster