Faits:
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A. Ressortissante de Serbie et Monténégro, S._, née en 1976, a obtenu en 1999 un bachelor scientifique en ingénierie électrique à l'Université Z._. A partir du 1er novembre 2002, elle a travaillé à 75 % comme assistante technique au laboratoire d'imagerie biomédicale de l'Ecole X._. Elle était alors au bénéfice d'une autorisation de séjour de type « B », valable jusqu'au 30 octobre 2004 avec la mention, pour ce qui était du but du séjour: « Séjour temporaire/assistante-doctorante ». Son contrat de travail avec l'Ecole X._ a pris fin le 31 décembre 2003, faute d'inscription à la thèse de doctorat.
S._ a demandé à bénéficier des indemnités de chômage à partir du 1er avril 2004. Elle a bénéficié des indemnités légales d'avril à juin 2004.
Par décision du 16 juillet 2004, l'Office régional de placement (ORP) a déclaré l'assurée inapte au placement dès le 1er avril 2004, au motif qu'elle n'était pas au bénéfice d'une autorisation de travail. Saisi d'une opposition, le Service de l'emploi, instance juridique chômage, l'a rejetée par une décision du 25 octobre 2005.
Entre-temps, le 30 août 2004, la Caisse de chômage de la FTMH (devenue dans l'intervalle la Caisse de chômage Unia) a rendu une décision, par laquelle elle a réclamé à l'assurée la restitution des prestations versées pour la période d'avril à juin 2004, par 7'244 fr. 85. L'assurée a formé opposition. La procédure a été suspendue jusqu'à droit connu sur le sort de la procédure relative à l'aptitude au placement.
Entre-temps, le 30 août 2004, la Caisse de chômage de la FTMH (devenue dans l'intervalle la Caisse de chômage Unia) a rendu une décision, par laquelle elle a réclamé à l'assurée la restitution des prestations versées pour la période d'avril à juin 2004, par 7'244 fr. 85. L'assurée a formé opposition. La procédure a été suspendue jusqu'à droit connu sur le sort de la procédure relative à l'aptitude au placement.
B. S._ a recouru contre la décision du 25 octobre 2005. Statuant le 22 septembre 2006, le Tribunal administratif du canton de Vaud a rejeté son recours.
B. S._ a recouru contre la décision du 25 octobre 2005. Statuant le 22 septembre 2006, le Tribunal administratif du canton de Vaud a rejeté son recours.
C. S._ a interjeté un recours de droit administratif contre ce jugement, dont elle a requis l'annulation, en concluant à la reconnaissance de son aptitude au placement.
L'ORP et le Service de l'emploi, instance juridique chômage, s'en remettent à justice. La caisse de chômage déclare renoncer à se prononcer sur le recours. Le Secrétariat d'Etat à l'économie a renoncé à se déterminer.
L'ORP et le Service de l'emploi, instance juridique chômage, s'en remettent à justice. La caisse de chômage déclare renoncer à se prononcer sur le recours. Le Secrétariat d'Etat à l'économie a renoncé à se déterminer.
D. Depuis le 1er septembre 2004, S._ travaille au service de Y._ SA. Le canton de Berne lui a délivré à cet effet une autorisation de séjour et de travail
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L' acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L' acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
2. 2.1 Seule est litigieuse la question de l'aptitude au placement de la recourante à partir du 1er avril 2004. Il s'agit, plus précisément, de savoir si l'aptitude au placement de la recourante, ressortissante étrangère, devait être niée du fait qu'elle ne possédait pas l'autorisation d'exercer une activité salariée en Suisse. En effet, l'aptitude au placement suppose, logiquement, que l'intéressé soit au bénéfice d'une autorisation de travail, qui lui permette, le cas échéant, d'accepter l'offre d'un employeur potentiel. A défaut d'une telle autorisation, l'aptitude au placement et, partant, le droit à l'indemnité, doivent être niés (ATF 120 V 392 consid. 2 p. 395). Pour trancher cette question, il s'agit de déterminer - de manière prospective, sur la base des faits tels qu'ils se sont déroulés jusqu'au moment de la décision sur opposition (ATF 120 V 385 consid. 3 p. 387) - si la recourante pouvait ou non compter sur l'obtention d'une autorisation de travail au moment où elle s'est annoncée à l'assurance-chômage (Thomas Nussbaumer, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SVBR], Soziale Sicherheit, 2ème édition, no 269; Boris Rubin, Assurance-chômage, Droit fédéral, Survol des mesures cantonales, Procédure, 2ème éd., 2006, ch. 3.9.7 p. 211).
Dans une lettre du 6 juillet 2004 à l'ORP, l'Office cantonal vaudois de la main d'oeuvre et du placement a indiqué que l'assurée était titulaire d'une autorisation de séjour « temporaire assistante-doctorante » valable jusqu'au 30 octobre 2004. Par conséquent, elle avait la possibilité d'exercer une activité accessoire au maximum de quinze heures par semaine et sous réserve d'une demande préalable dûment approuvée par ledit office et le Service de la Population à Lausanne. Par la suite, dans une lettre du 21 octobre 2005, ce même office a apporté les explications suivantes :
Le permis accordé à l'assurée étant strictement limité à l'emploi explicitement mentionné, n'autorisait pas son titulaire à changer d'activité ou d'employeur. Il a perdu toute validité à partir du moment où le but du séjour était atteint, soit à la fin des rapports de travail avec l'Ecole X._, le 31 décembre 2003. L'assurée ne pouvait pas s'attendre avec certitude, en avril 2003 (recte: avril 2004), à l'octroi d'un titre de séjour lui permettant de travailler. La dotation de base annuelle de permis « B » contingentée pour le canton de Vaud s'élevait à 165 unités. Ce nombre, très restreint en regard des besoins de l'économie cantonale, montrait clairement que toutes les demandes transmises aux autorités cantonales ne pouvaient pas être satisfaites.
2.2 Sur la base de ces éléments, les premiers juges étaient fondés à considérer que la recourante ne pouvait pas s'attendre à recevoir une autorisation de travail en avril 2004.
La recourante objecte qu'elle avait la possibilité - contrairement à ce qu'affirment les premiers juges - de trouver un nouveau poste d'assistante à l'Ecole X._ ou dans une autre institution de même rang. Cette objection n'est pas fondée. Lorsqu'elle s'est annoncée à l'assurance-chômage, la recourante n'était plus inscrite pour une thèse de doctorat. Elle recherchait - comme le montre le dossier - des emplois qui étaient certes en relation avec sa formation, mais en dehors du milieu académique. Elle ne tablait aucunement sur la possibilité d'obtenir un nouveau poste d'assistante-doctorante. Quant au fait que l'autorisation de séjour mentionnait qu'elle était autorisée à travailler quinze heures par semaine, il ne saurait être déterminant. Cette possibilité était étroitement liée à son statut d'assistante-doctorante. Comme le relèvent les premiers juges, les directives (de juin 2000) de l'Office fédéral des étrangers (devenu entre-temps l'Office fédéral des migrations [OFM]) précisent à ce propos que l'assistant-doctorant assume, parallèlement à sa thèse, un assistanat à temps partiel ou à temps complet. En cas de charge partielle, une activité lucrative peut être autorisée hors de l'Université, pour autant qu'elle entre dans le domaine visé par la thèse. Si tel n'est pas le cas, l'activité ne devra pas dépasser quinze heures hebdomadaires afin de ne pas retarder les travaux liés à la thèse (consid. 4 du jugement attaqué). Or, dans le cas particulier, la recourante n'était plus soumise à ce régime à partir de la fin de l'année 2003. Enfin, il n'est pas décisif que la recourante ait obtenu un emploi dès le 1er septembre 2004, assorti d'une autorisation de séjour et de travail délivrée par le canton de Berne. Cet élément ne permet pas de considérer, rétroactivement, qu'elle aurait obtenu un permis de travail en avril 2004 (arrêt du 18 octobre 2000, C 109/00, consid. 2c).
La recourante objecte qu'elle avait la possibilité - contrairement à ce qu'affirment les premiers juges - de trouver un nouveau poste d'assistante à l'Ecole X._ ou dans une autre institution de même rang. Cette objection n'est pas fondée. Lorsqu'elle s'est annoncée à l'assurance-chômage, la recourante n'était plus inscrite pour une thèse de doctorat. Elle recherchait - comme le montre le dossier - des emplois qui étaient certes en relation avec sa formation, mais en dehors du milieu académique. Elle ne tablait aucunement sur la possibilité d'obtenir un nouveau poste d'assistante-doctorante. Quant au fait que l'autorisation de séjour mentionnait qu'elle était autorisée à travailler quinze heures par semaine, il ne saurait être déterminant. Cette possibilité était étroitement liée à son statut d'assistante-doctorante. Comme le relèvent les premiers juges, les directives (de juin 2000) de l'Office fédéral des étrangers (devenu entre-temps l'Office fédéral des migrations [OFM]) précisent à ce propos que l'assistant-doctorant assume, parallèlement à sa thèse, un assistanat à temps partiel ou à temps complet. En cas de charge partielle, une activité lucrative peut être autorisée hors de l'Université, pour autant qu'elle entre dans le domaine visé par la thèse. Si tel n'est pas le cas, l'activité ne devra pas dépasser quinze heures hebdomadaires afin de ne pas retarder les travaux liés à la thèse (consid. 4 du jugement attaqué). Or, dans le cas particulier, la recourante n'était plus soumise à ce régime à partir de la fin de l'année 2003. Enfin, il n'est pas décisif que la recourante ait obtenu un emploi dès le 1er septembre 2004, assorti d'une autorisation de séjour et de travail délivrée par le canton de Berne. Cet élément ne permet pas de considérer, rétroactivement, qu'elle aurait obtenu un permis de travail en avril 2004 (arrêt du 18 octobre 2000, C 109/00, consid. 2c).
3. Il en résulte que le recours est mal fondé. La question d'une restitution n'est pas litigieuse en l'espèce. Comme on l'a vu, la décision de la caisse a fait l'objet d'une opposition. Il appartiendra au Service de l'emploi de statuer sur cette opposition. Il examinera, en particulier, si les conditions qui président à la reconsidération (notamment l'inexactitude manifeste [art. 53 al. 2 LPGA]) sont réunies.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, à Unia, Lausanne, au Tribunal administratif du canton de Vaud, à l'Office régional de placement et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 24 avril 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
p. le Président: La Greffière: