Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Gemäss § 12 Abs. 1 und 2 des Luzerner Gesetzes vom 24. Januar 1995 über die Verbilligung der Krankenversicherung (Prämienverbilligungsgesetz, PVG) haben Personen, die Anspruch auf Prämienverbilligung erheben, spätestens bis Ende April des Jahres, für welches der Anspruch geltend gemacht wird, das Anmeldeformular mitsamt den notwendigen Beilagen bei der AHV-Zweigstelle der Wohnsitzgemeinde einzureichen. Gemäss § 12 Abs. 3 PVG kann die Ausgleichskasse auf Gesuche eintreten, die aus wichtigen Gründen nach Ablauf der Frist, jedoch spätestens Ende Juli des massgeblichen Jahres eingereicht werden.
1. Gemäss § 12 Abs. 1 und 2 des Luzerner Gesetzes vom 24. Januar 1995 über die Verbilligung der Krankenversicherung (Prämienverbilligungsgesetz, PVG) haben Personen, die Anspruch auf Prämienverbilligung erheben, spätestens bis Ende April des Jahres, für welches der Anspruch geltend gemacht wird, das Anmeldeformular mitsamt den notwendigen Beilagen bei der AHV-Zweigstelle der Wohnsitzgemeinde einzureichen. Gemäss § 12 Abs. 3 PVG kann die Ausgleichskasse auf Gesuche eintreten, die aus wichtigen Gründen nach Ablauf der Frist, jedoch spätestens Ende Juli des massgeblichen Jahres eingereicht werden.
2. Am 16. Juli 2003 ging bei der Ausgleichskasse Luzern ein vom 27. März 2003 datiertes Gesuch um individuelle Prämienverbilligung von A._ für sich und seine Familie ein, von wo aus es an die AHV-Zweigstelle der Stadt Luzern weitergeleitet wurde. Mit Verfügung vom 31. Juli 2003 stellte die Ausgleichskasse Luzern fest, dass kein Anspruch auf eine Prämienverbilligung für das Jahr 2003 bestehe, weil das Gesuch verspätet bei der Behörde eingetroffen sei und kein wichtiger Grund für diese Verspätung vorliege.
Gegen diese Verfügung erhob A._ am 21. August 2003 Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Er machte geltend, er habe am 16. Juli 2003 nur eine Kopie des Gesuchs nachgereicht; dieses sei bereits am 27. März 2003 im Original eingereicht worden. Das Verwaltungsgericht holte eine Vernehmlassung der Ausgleichskasse Luzern ein, zu welcher A._ am 15. September 2003 Stellung nahm. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 29. September 2003 ab.
Mit Schreiben vom 9. Oktober 2003 ans Verwaltungsgericht erklärte A._, dass er mit dem Urteil nicht einverstanden sei. Insbesondere wies er darauf hin, dass das Formular für ihn von einer Drittperson noch im März 2003 ausgefüllt und rechtzeitig zur Post gegeben worden sei; diese Person könne als Zeuge aussagen. In seiner Antwort vom 13. Oktober 2003 wies das Verwaltungsgericht A._ darauf hin, dass es nach Abschluss des Verfahrens keine Korrespondenz darüber führe und dass gegen das Urteil vom 29. September 2003 ausschliesslich noch staatsrechtliche Beschwerde ans Bundesgericht wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte erhoben werden könne.
Mit Schreiben vom 23. Oktober 2003 gelangte A._ ans Bundesgericht. Er erklärte, mit dem Urteil des Verwaltungsgerichts nicht einverstanden zu sein. Im Schreiben berief er sich im Wesentlichen auf eine diesem beigelegte schriftliche Bestätigung von X._, wohnhaft in Luzern, wonach diese das fragliche Formular am 23. März 2003 eigenhändig ausgefüllt, kopiert und in Luzern in den Briefkasten geworfen habe. Am 28. Oktober 2003, innert der ihm hiefür angesetzten Frist, reichte A._ das angefochtene Urteil ein.
Das Verwaltungsgericht hat die kantonalen Akten eingereicht. Ein Schriftenwechsel ist nicht angeordnet worden. Das Urteil ergeht im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 36a OG.
Das Verwaltungsgericht hat die kantonalen Akten eingereicht. Ein Schriftenwechsel ist nicht angeordnet worden. Das Urteil ergeht im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 36a OG.
3. 3.1 Wer staatsrechtliche Beschwerde erhebt, hat in der Beschwerdeschrift darzulegen, welche verfassungsmässigen Rechte und inwiefern sie durch das angefochtene Urteil verletzt worden sein sollen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG).
3.2 Das Verwaltungsgericht hat festgehalten, der Beweis dafür, dass das Gesuch, wie behauptet, bereits Ende März 2003 eingereicht worden sei, obliege dem Beschwerdeführer; dieser Beweis sei nicht erbracht worden. Nach feststehender Rechtsprechung ist der allgemeine Grundsatz von Art. 8 ZGB, wonach derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache beweisen muss, der aus ihr Rechte ableitet, auch im Prozessrecht massgeblich. So trifft die Beweislast für die Rechtzeitigkeit einer Parteihandlung im Verfahren grundsätzlich diejenige Partei, welche diese Handlung vorzunehmen hat (BGE 92 I 253 E. 3 S. 257); dies gilt insbesondere für die Frage, ob eine Eingabe noch innert Frist bei der Post aufgegeben worden ist (vgl. BGE 109 Ia 183 E. 3b S. 184/185; Urteil 2A.500/2001 vom 30. Januar 2002, E. 2b, publiziert in StR 57/2000 668). Davon im vorliegenden Fall abzuweichen, hatte das Verwaltungsgericht keinen Anlass, da es dem Beschwerdeführer ohne weiteres möglich gewesen wäre, die rechtzeitige Gesuchseinreichung nachzuweisen, entweder durch die Postaufgabe des Gesuchs als eingeschriebene Sendung oder durch die Benennung eines Zeugen. Von der Möglichkeit der Einschreibesendung hat er nicht Gebrauch gemacht. Im Verlaufe des kantonalen Verfahrens sodann hat er konkret keinen Zeugen benannt, obwohl ihm ausreichend Gelegenheit eingeräumt worden war, zur Frage der Rechtzeitigkeit Stellung zu nehmen. Erst in seinem Schreiben an das Verwaltungsgericht vom 9. Oktober 2003, nach Abschluss des kantonalen Verfahrens, erwähnte er erstmals eine Zeugin, und eine entsprechende schriftliche Erklärung hat er seiner staatsrechtlichen Beschwerde beigelegt. Neue tatsächliche Behauptungen bzw. neue Beweismittel sind indessen im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nicht zulässig (BGE 127 I 145 E. 5c/aa; 124 I 208 E. 4b S. 212).
Die vom Beschwerdeführer neu vorgebrachte Zeugenaussage erweist sich als unzulässiges Novum. Inwiefern das Verwaltungsgericht, welches von dem möglichen Beweismittel der Zeugenaussage nicht Kenntnis hatte, durch die Annahme, die Rechtzeitigkeit der Gesuchseinreichung sei nicht bewiesen worden, verfassungsmässige Rechte haben könnte, ist nicht ersichtlich. Dasselbe gilt in Bezug auf die Feststellung im angefochtenen Urteil, in den Akten finde sich keine Stütze für die Notwendigkeit, im Sinne von § 12 Abs. 3 PVG eine Notfrist bis Ende Juli 2003 anzusetzen.
Eine Verfassungsverletzung ist in einer den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügenden Weise nicht dargetan worden. Auf die staatsrechtliche Beschwerde kann nicht eingetreten werden.
3.3 Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 OG). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr (Art. 153 Abs. 1 OG) kann insbesondere seiner finanziellen Lage Rechnung getragen werden (Art. 153a Abs. 1 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die staatsrechtliche Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 200.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 200.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. November 2003
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: