Sachverhalt:
A. Die 1966 geborene S._ war als Teilzeit-Verkäuferin der Firma X._, bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 8. Februar 2002 beim Putzen der Glastablare in der mit der Hand in eine defekte Glasscheibe stiess und sich am Mittelfinger der Hand rechts schnitt. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Gemäss den Angaben des Hausarztes Dr. med. K._, allgemeine Medizin FMH, ergab eine kleine Revision am Abend des Unfalltages keine Glassplitterreste und es kam rasch zur Heilung. Da S._ über ein Fremdkörpergefühl mit entsprechend starken Schmerzen klagte, wurde am 20. Februar 2002 durch Dr. med. B._, Oberarzt und Dr. med. D._, Assistenzarzt des Spitals Y._ eine Fremdkörperexzision vorgenommen. Am 4. Juni 2002 fand eine weitere Revision (Fremdkörperentfernung) durch Dr. med. F._, leitender Arzt plastische Chirurgie und Dr. med. Z._ von der Abteilung für Hand- und plastische Chirurgie der Chirurgischen Klinik des Spitals Q._ statt. Die Versicherte teilte am 17. Juni 2002 der SUVA mit, dass sie seit der Operation vom 4. Juni 2002 kein Gefühl mehr im rechten Arm habe. Am 10. Juni und 3. Juli 2002 wurde sie von Dr. med. M._, leitender Arzt Neurologie der medizinischen Klinik des Spitals Q._ untersucht. Am 16. Oktober 2002 wurde eine neurologische-neurochirurgische Untersuchung durch Dr. med. R._, Oberarzt Neurologie und Dr. med. E._, Assistenzarzt Neurologie von der neurologischen-neurochirurgischen Klinik T._, durchgeführt. Am 26. September 2003 gab die SUVA bei Dr. med. H._, Facharzt FMH für Neurologie eine neurologische Beurteilung in Auftrag, die am 18. Juni 2004 abgeliefert wurde. Dr. med. K._, Facharzt FMH für Neurologie von der SUVA Versicherungsmedizin, gab am 23. Juni 2005 eine neurologische Beurteilung ab. Mit Verfügung vom 6. Juli 2005 und Einspracheentscheid vom 22. Februar 2006 stellte die SUVA ihre Leistungen per 14. Juli 2005 ein, da die über dieses Datum hinaus anhaltend geklagten Beschwerden nicht mehr adäquat kausal durch das Unfallereignis vom 8. Februar 2002 verursacht worden seien.
B. Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 18. April 2008 gut, hob den angefochtenen Einspracheentscheid auf und verpflichtete die SUVA, die im Zusammenhang mit der Plegie geschuldeten gesetzlichen Leistungen über den 14. Juli 2005 hinaus zu erbringen.
C. Mit Beschwerde beantragt die SUVA, es sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides ihr Einspracheentscheid vom 11. Februar 2006 und damit die Leistungseinstellung per 14. Juli 2005 zu bestätigen.
S._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde, eventuell sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die SUVA zurückzuweisen. Gleichzeitig beantragt die Versicherte die unentgeltliche Prozessführung. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. 2.1 Die Zusprechung von Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung setzt grundsätzlich das Vorliegen eines Berufsunfalles, eines Nichtberufsunfalles oder einer Berufskrankheit voraus (Art. 6 Abs. 1 UVG [SR 832.20]). Der Unfallversicherer haftet jedoch für einen Gesundheitsschaden nur insoweit, als dieser nicht nur in einem natürlichen, sondern auch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis steht (BGE 129 V 177 E. 3 S. 181). Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (BGE 134 V 109 E. 2 S. 111 f.; 127 V 102 E. 5b/bb S. 103). Objektivierbar sind Untersuchungsergebnisse, die reproduzierbar sind und von der Person des Untersuchenden und den Angaben des Patienten unabhängig sind. Von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen kann somit erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (Urteil 8C_806/2007 vom 7. August 2008 E. 8.2 mit zahlreichen Hinweisen). Sind die geklagten Beschwerden natürlich unfallkausal, nicht aber in diesem Sinne objektiv ausgewiesen, so ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind gegebenenfalls weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f.). Hat die versicherte Person einen Unfall erlitten, welcher die Anwendung der Schleudertrauma-Rechtsprechung rechtfertigt, so sind hierbei die durch BGE 134 V 109 E. 10 S. 126 ff. präzisierten Kriterien massgebend. Ist diese Rechtsprechung nicht anwendbar, so sind grundsätzlich die Adäquanzkriterien, welche für psychische Fehlentwicklungen nach einem Unfall entwickelt wurden (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140), anzuwenden (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f.; vgl. auch Urteil 8C_583/2007 vom 10. Juni 2008 E. 2.2).
2.2 Gemäss Art. 6 Abs. 3 UVG erbringt die Unfallversicherung ihre Leistungen ausserdem für Schäden, die dem Verunfallten bei der Heilbehandlung zugefügt werden. Die Leistungspflicht der Versicherung besteht hiebei, ohne dass diese behandlungsbedingte Schadensverursachung den Unfallbegriff, den Tatbestand des haftpflichtrechtlichen Kunstfehlers oder der strafrechtlich relevanten Körperschädigung erfüllen müsste (BGE 118 V 286 E. 3b S. 292 f.). Ein Anspruch der versicherten Person besteht indessen nur für die Folgen von Schäden, die natürlich und adäquat kausal durch die nicht lege artis durchgeführte ärztliche Behandlung verursacht wurden. Anders als bei der Leistungspflicht gemäss Art. 6 Abs. 1 UVG ist die Adäquanz eines allfälligen Kausalzusammenhanges auch bei psychischen Folgeschäden nach der allgemeinen Adäquanzformel zu prüfen. Es ist demnach stets zu fragen, ob die schädigende Behandlung nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und nach der allgemeinen Lebenserfahrung an sich geeignet ist, einen Erfolg von der Art des eingetretenen herbeizuführen, der Eintritt dieses Erfolges also durch das Ereignis allgemein als begünstigt erscheint (SVR 2007 UV Nr. 37 S. 125, U 292/05 E. 3.1).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin zu Recht ihre Leistungen per 14. Juli 2005 eingestellt hat. Da lediglich die SUVA gegen den vorinstanzlichen Entscheid innert Frist Beschwerde erhoben hat, ist entgegen den Ausführungen in der Beschwerdeantwort nicht mehr Gegenstand des letztinstanzlichen Verfahrens, ob die Versicherte im Einspracheverfahren allenfalls Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung bzw. auf Ausrichtung einer Parteientschädigung gehabt hätte.
4. 4.1 Das kantonale Gericht bejahte gestützt auf Art. 6 Abs. 3 UVG eine Leistungspflicht der Beschwerdeführerin über den 14. Juli 2005 hinaus, da die von der Versicherten weiterhin beklagte Plegie überwiegend wahrscheinlich bei der zur Behandlung der Folgen des Ereignisses vom 8. Februar 2002 durchgeführten Plexusanästhesie vom 4. Juni 2002 zugefügt worden sei. Eine solche Leistungspflicht setzt zunächst voraus, dass mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit eine Schädigung im Sinne von Art. 6 Abs. 3 UVG erstellt ist. Ist sie nachgewiesen, so wäre in einem zweiten Schritt zu untersuchen, ob die über den 14. Juli 2005 anhaltend geklagte Plegie überwiegend wahrscheinlich noch natürlich kausal durch die fehlerhafte Behandlung verursacht wurde. Wäre auch ein solcher Kausalzusammenhang hinreichend erstellt, müsste schliesslich die Adäquanz des Kausalzusammenhanges nach der allgemeinen Adäquanzformel geprüft werden (vgl. E. 2.2 hievor).
4.2 Die Versicherte wurde verschiedenen Neurologen vorgestellt. Während Dr. med. M._ in seinem Bericht vom 10. Juni 2002 noch annahm, dass es bei der Plexusanästhesie am 4. Juni 2002 zu einer intraneuralen Injektion gekommen ist, hielt er am 4. Juli 2002 fest, er habe keine neurogenen Veränderungen nachweisen können, so dass er für eine Plexusschädigung keine weiteren Anhaltspunkte habe. Am 16. Oktober 2002 konnten die Dres. med. R._ und E._ eine neurogene Ursache der von der Versicherten geklagten Plegie mittels einer elektrophysiologischen Untersuchung ausschliessen. Zum gleichen Resultat kam auch Dr. med. S._ in seinen elektromyographischen und elektroneurographischen Untersuchungen vom 8. Juli 2003. Dr. med. A._ führte am 17. September 2003 eine native und KM-verstärkte, teilweise fettsaturierte MR-Untersuchung des Plexus durch. Auch dieser Arzt beurteilte die angefertigten Bilder als unauffällig, es hätten weder eine Läsion des Plexus noch Vernarbungen nachgewiesen werden können. Allerdings gelinge es trotz grossem Aufwand fast nie, eine Plexus-Läsion bildgebend zu erfassen. Aufgrund dieser Abklärungen ist festzustellen, dass die geklagte Plegie neurologisch weder objektiviert noch erklärt werden konnte. Wie der SUVA-Arzt Dr. med. K._ in seiner Akten-Beurteilung vom 23. Juni 2005 überzeugend darlegt, wären auch von weiteren neurologischen Abklärungen keine neuen Resultate zu erwarten.
4.3 Trotz fehlender neurologischer Objektivierbarkeit geht Dr. med H._ in seinem Gutachten vom 18. Juni 2004 von einem überwiegend wahrscheinlichen Kausalzusammenhang zwischen der Plexusanästhesie vom 4. Juni 2002 und der anhaltenden Plegie aus; er bejaht damit sinngemäss, dass die Armlähmung der Versicherten durch die Heilbehandlung ausgelöst wurde.
4.3.1 Da die Versicherte offenbar bereits vor der Erteilung des Gutachter-Auftrages bei Dr. med. H._ in Behandlung stand, erscheint es aus formeller Sicht als fraglich, ob das Gutachten dieses Arztes als vollwertiges Gutachten im Sinne der Rechtsprechung von BGE 125 V 351 E. 3a/bb S. 353 zu betrachten ist. Die Frage kann vorliegend allerdings offenbleiben, da selbst Parteigutachten nicht von vorneherein ohne Beweiswert sind (BGE 125 V 351 E. 3a/dd S. 353) und der Umstand, dass der Gutachter auch behandelnd tätig war, bei der Beweiswürdigung allenfalls angemessen mitberücksichtigt werden kann.
4.3.2 Dr. med. H._ verneint in seinem Gutachten die Möglichkeit einer psychogenen Entstehung der Lähmung. Dazu ist indessen festzuhalten, dass Äusserungen von medizinischen Fachpersonen nur in ihrem eigenen Fachgebiet gesteigerter Beweiswert zukommt (vgl. auch Urteil 9C_270/2008 vom 12. August 2008 E. 3.3). Eine psychiatrische Begutachtung der Versicherten fand nicht statt. Eine solche ist indessen vorliegend entbehrlich, da aus nachstehender Erwägung selbst dann, wenn heute keine psychische Erkrankung der Versicherten exploriert werden könnte, nicht mit dem notwendigen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt ist, dass es am 6. Juni 2002 zu einer behandlungsbedingten Schädigung der Versicherten im Sinne von Art. 6 Abs. 3 UVG kam.
4.3.3 Als Begründung dafür, dass er die Plegie der Versicherten als überwiegend wahrscheinlich durch die Plexusanästhesie verursacht erachtet, verweist Dr. med. H._ auf den klinischen und den beobachteten Verlauf, ohne allerdings den Schädigungsmechanismus angeben zu können. Damit schliesst der Gutachter, gleich wie das kantonale Gericht, welches auf den engen zeitlichen Zusammenhang zwischen Auftreten der Lähmung und der Anästhesie hinweist, unzulässigerweise alleine daraus, dass der Gesundheitsschaden in der Folge der Behandlung eingetreten ist, auf eine Verursachung des Schadens durch die Behandlung ("post hoc ergo propter hoc"; vgl. dazu auch BGE 119 V 335 E. 2b/bb S. 341 f. und das Urteil 8C_590/2007 vom 6. Oktober 2008 E. 7.2.4). Da jedoch kein neurologischer Schaden objektiv nachgewiesen ist und ausser dem zeitlichen Zusammenhang keine weitere Indizien für eine fehlerhafte Injektion des Anästhetikums vorliegen, erscheint es nicht als überwiegend wahrscheinlich, dass es im Rahmen der Anästhesie tatsächlich zu einer Schädigung der Versicherten kam. Ohne zugefügten Schaden entfällt eine Haftung der SUVA nach Art. 6 Abs. 3 UVG, ohne dass abgeklärt werden müsste, ob die Beschwerdegegnerin auf die Operation allenfalls psychisch fehlreagiert hat.
5. Besteht keine Leistungspflicht nach Art. 6 Abs. 3 UVG so ist zu prüfen, ob die geklagte Plegie allenfalls eine mittelbare Unfallfolge darstellt und die SUVA somit gestützt auf Art. 6 Abs. 1 UVG Leistungen zu erbringen hat. Letzteres ist zu verneinen: Da die Plegie nicht als objektiv nachgewiesen im Sinne der in E. 2.1 hievor dargelegten Rechtsprechung gelten kann (vgl. auch E. 4.2 hievor), wäre die Adäquanz eines allfälligen Kausalzusammenhanges zwischen dem Unfallereignis vom 8. Februar 2002 und der Plegie nach den Kriterien von BGE 115 V 133 zu prüfen. Wie die SUVA zutreffend ausgeführt hat und von der Versicherten auch nie bestritten wurde, wäre die Adäquanz nicht gegeben. Somit kann auf weitere Abklärungen betreffend dem natürlichen Kausalzusammenhang verzichtet werden.
6. Besteht weder nach Art. 6 Abs. 1 noch nach Art. 6 Abs. 3 UVG eine Leistungspflicht der SUVA für die über den 14. Juli 2005 hinaus anhaltende Plegie, so war die Leistungseinstellung der Beschwerdeführerin und somit ihr Einspracheentscheid rechtens. Die Beschwerde ist somit gutzuheissen und der kantonale Entscheid ist aufzuheben.
7. 7.1 Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
7.2 Die Beschwerdegegnerin stellt für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung. Eine der Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltliche Rechtspflege ist gemäss Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG die Bedürftigkeit der gesuchstellenden Partei. Eine Person ist bedürftig, wenn sie ohne Beeinträchtigung des für sie und ihre Familie nötigen Lebensunterhaltes nicht in der Lage ist, die Prozesskosten zu bestreiten (BGE 128 I 225 E. 2.5.1 S. 232, 127 I 202 E. 3b S. 205, 125 IV 161 E. 4a S. 164), wobei die wirtschaftlichen Verhältnisse im Zeitpunkt des Entscheides über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege massgebend sind (BGE 108 V 265 E. 4 S. 269) und bei der Beurteilung der Bedürftigkeit das Einkommen beider Ehegatten zu berücksichtigen ist (BGE 115 Ia 193 E. 3a S. 195, 108 Ia 9 E. 3 S. 10, 103 Ia 99 S. 101 mit Hinweisen). Aus den eingereichten Unterlagen ergibt sich, dass sowohl die Tochter N._ wie auch der Sohn C._ ihre Lehre am 31. Juli 2008 beendet haben. Somit sind die Nachkommen, da nicht länger in Ausbildung befindlich, nicht mehr in die Berechnung mit einzubeziehen. Ob unter den gegebenen Voraussetzungen ein Teil der Einkünfte der mündigen Kinder für ihre Kost und Logis bei den Einkünften der Eltern anzurechnen wäre, kann aufgrund der nachstehenden Berechnung offenbleiben: Der Grundnotbedarf für die Gesuchstellerin und ihren Ehemann beträgt Fr. 1'550.-. Praxisgemäss erhöht um 25 % resultiert eine Summe von Fr. 1'937.50. Hinzu kommt der Hypothekarzins inklusive Nebenkosten von Fr. 2'100.-. Ebenfalls zu berücksichtigen sind die Krankenkassenprämien (KVG) von Fr. 230.20 und Fr. 247.20, die Steuern von Fr. 446.20 und die Fahrtkosten von Fr. 432.-. Die übrigen, von der Gesuchstellerin angeführten Auslagen sind entweder im Grundnotbedarf enthalten oder sind in der Berechnung der Bedürftigkeit im Rahmen der unentgeltlichen Prozessführung nicht zu berücksichtigen. Die Beschwerdegegnerin hat somit zusammen mit ihrem Ehemann insgesamt einen zu berücksichtigenden Bedarf von Fr. 5'393.10. Dem stehen folgende Einkünfte gegenüber: Die Gesuchstellerin bezieht Renteneinkünfte der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft in der Höhe von Fr. 500.-. Das monatliche Einkommen des Ehemannes beläuft sich - bereinigt um die mittlerweile weggefallenen Ausbildungs- und Familienzulagen und unter Berücksichtigung des 13. Monatslohnes - auf Fr. 5'856.25. Somit haben die Gesuchstellerin und ihr Ehemann zusammen ein monatliches Einkommen von Fr. 6'356.25 zur Verfügung, aus dem die anerkannten Auslagen von Fr. 5'393.10 zu bestreiten sind. Es resultiert somit ein Überschuss von Fr. 963.15 pro Monat. Mit dieser Summe ist die Gesuchstellerin in der Lage, sowohl die eigenen Anwaltskosten zu bezahlen als auch die Gerichtskosten von Fr. 750.- zu begleichen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher mangels Bedürftigkeit abzuweisen.
7.3 Die Vorinstanz wird aufgrund der der Beschwerdegegnerin in jenem Verfahren im Grundsatz am 19. September 2006 bereits bewilligten unentgeltlichen Verbeiständung noch die Höhe der Entschädigung an Rechtsanwalt Dr. iur. Thür, Zürich, zu bestimmen haben.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 18. April 2008 aufgehoben.
2. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Dezember 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer