Sachverhalt:
A. Die X._ AG führt in A._/SG einen Bio-Obstbaubetrieb. Mit Verfügung vom 25. August 2005 stellte das Landwirtschaftsamt des Kantons St. Gallen fest, die X._ AG sei "in ihrer heutigen Organisationsform" berechtigt für den Bezug von Direktzahlungen. Als bäuerliche Bewirtschafter traten Y._ und C.Q._ auf. Dieser Verfügung lagen die folgenden Beteiligungsverhältnisse (in Prozenten des Aktienkapitals) zugrunde:
- Y._: 66.89%
- B. und C.Q._: 15.89%
- R._ AG: 15.89%
- S._: 0.66%
- T._: 0.66%
Im Dezember 2004 kündigten B. und C.Q._ das Pachtverhältnis für die von ihnen zur Verfügung gestellten landwirtschaftlichen Nutzflächen mit der X._ AG; das zuständige Kreisgericht setzte den Kündigungstermin auf den 31. März 2007 fest, was letztinstanzlich mit Urteil des Bundesgerichts vom 18. April 2007 bestätigt wurde (4A_10/2007). Y._ gab seine Tätigkeit auf dem Betrieb der X._ AG per Ende 2007 auf und verkaufte mit Vertrag vom 27. Februar 2008 seine Aktien der X._ AG an Z._.
Gemäss den von den Beschwerdeführern eingereichten Aktionärsverzeichnissen präsentierten sich die Beteiligungsverhältnisse an den hier interessierenden Gesellschaften per 29. Februar 2008 wie folgt:
X_ AG:
- Z._: 66.89% (gemäss Kaufvertrag vom 27. Februar 2008)
- B. und C.Q._: 15.89%
- R._ AG: 15.89%
- S._: 0.66%
- T._: 0.66%
U._ AG:
- D.V._: 74.26%
- W._: 24.75%
- S._: 0.99%
R._ AG:
- D.V._: 49.00%
- E.V._: 49.00%
- S._: 2.00%
B. Am 26. Januar 2009 verfügte das Landwirtschaftsamt des Kantons St. Gallen wie folgt:
"1. Der Betrieb der X._ AG in A._ wird für die Jahre 2007 und 2008 nicht als selbständiger Betrieb anerkannt.
2. Y._ wie auch Z._ werden für die Jahre 2007 respektive 2008 nicht als beitragsberechtigte Bewirtschafter der X._ AG anerkannt.
(...)"
Zur Begründung brachte das Landwirtschaftsamt vor, mit C.Q._ sei im Jahr 2007 eine unabhängige Person aus dem Betrieb der X._ AG ausgeschieden und die Aktienverkäufe an Y._ bzw. Z._ seien massiv unter Preis erfolgt und damit bloss "vorgeschoben" worden. Die X._ AG sei aufgrund der verschiedenen Eigen- und Fremdkapitalleistungen zwischen ihr und D.V._, der U._ AG und der R._ AG nicht finanziell unabhängig. Eine gegen diesen Entscheid erhobene Einsprache der X._ AG wies das Landwirtschaftsamt mit Verfügung vom 9. März 2009 ab; es verweigerte zudem die beantragte Akteneinsicht in die Unterlagen bezüglich Betriebsanerkennung von C.Q._ sowie weiterer Betriebe mit Beteiligung juristischer Personen. Mit Entscheid vom 17. Dezember 2009 wies das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons St. Gallen den dagegen erhobenen Rekurs ab. Mit Urteil vom 7. Dezember 2010 bestätigte das Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, diesen Entscheid und wies die dagegen erhobene Beschwerde ab.
C. Mit Eingabe vom 19. Januar 2011 führen die X._ AG, Y._ und Z._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie stellen den Antrag, das Urteil vom 7. Dezember 2010, der Rekursentscheid vom 17. Dezember 2009 und der Einspracheentscheid vom 9. März 2009 seien aufzuheben. Weiter sei festzustellen, dass der Betrieb der X._ AG für die Jahre 2007 und 2008 als selbständiger Betrieb anerkannt und für den Bezug von Beträgen nach Direktzahlungsverordnung berechtigt sei; als beitragsberechtigte Bewirtschafter der X._ AG seien Y._ für das Jahr 2007 und Z._ für das Jahr 2008 anzuerkennen. Das Landwirtschaftsamt sei anzuweisen, den Beschwerdeführern die "rückständigen" Beträge nach Direktzahlungsverordnung für die Jahre 2007 und 2008 zuzüglich Verzugszinsen zu 5% seit 1. Dezember 2007 bzw. 2008 auszubezahlen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur neuen Entscheidung an das Landwirtschaftsamt zurückzuweisen. Schliesslich sei das Landwirtschaftsamt anzuweisen, den Beschwerdeführern Einsicht in die Betriebsanerkennung Q._ sowie sämtlicher weiterer Betriebe mit Beteiligung juristischer Personen zu erteilen.
D. Das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons St. Gallen stellt den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Landwirtschaftsamt des Kantons St. Gallen und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Landwirtschaft, dessen Stellungnahme sich das Eidgenössische Volkswirtschaftsdepartement anschliesst, beantragt sinngemäss die Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Entscheid über die Ausrichtung von Direktzahlungen gemäss Art. 70 ff. des Bundesgesetzes vom 29. April 1998 über die Landwirtschaft (Landwirtschaftsgesetz, LwG; SR 910.1). Es handelt sich um einen Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht grundsätzlich zulässig ist (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Auf die fraglichen bundesrechtlich geregelten Beiträge besteht Anspruch, und es gilt insofern kein gesetzlicher Ausschlussgrund (vgl. Art. 83 lit. k und s BGG; BGE 2C_560/2010 vom 18. Juni 2011 E. 1.1 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer haben vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen, sind als direkte Adressaten des angefochtenen Urteils von diesem besonders berührt und haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung, weshalb sie zur Beschwerde berechtigt sind (vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2 Unzulässig ist das Rechtsmittel, soweit es sich gegen die kantonal vorinstanzlichen Entscheide (Rekursentscheid vom 17. Dezember 2009 bzw. Einspracheentscheid vom 9. März 2009) richtet, da diese durch das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts ersetzt worden sind und als mit angefochten gelten (sog. Devolutiveffekt; vgl. BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144; 129 II 438 E. 1 S. 441).
1.3 Mit Beschwerde an das Bundesgericht kann im Wesentlichen, von hier nicht interessierenden anderen Beschwerdegründen abgesehen, die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (vgl. Art. 95 BGG). Dazu zählt auch das Bundesverfassungsrecht. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide grundsätzlich aber nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht werden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG).
1.4 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig, unvollständig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt wurde (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Gemäss Art. 70 Abs. 1 LwG richtet der Bund Bewirtschaftern von bodenbewirtschaftenden bäuerlichen Betrieben unter der Voraussetzung des ökologischen Leistungsnachweises allgemeine Direktzahlungen aus.
2.2 Nach Art. 2 Abs. 1 lit. a-c der Verordnung vom 7. Dezember 1998 über die Direktzahlungen an die Landwirtschaft (Direktzahlungsverordnung, DZV; SR 910.13) erhalten Bewirtschafter, die einen Betrieb führen, ihren zivilrechtlichen Wohnsitz in der Schweiz haben und über eine landwirtschaftliche Ausbildung verfügen, solche Direktzahlungen. Gemäss Art. 2 Abs. 1 der Verordnung vom 7. Dezember 1998 über landwirtschaftliche Begriffe und die Anerkennung von Betriebsformen (Landwirtschaftliche Begriffsverordnung, LBV; SR 910.91) gilt als Bewirtschafter eine natürliche oder juristische Person oder Personengesellschaft, die einen Betrieb auf eigene Rechnung und Gefahr führt.
Als Betrieb gilt dabei gemäss Art. 6 Abs. 1 lit. a-e LBV ein landwirtschaftliches Unternehmen, das Pflanzenbau oder Nutztierhaltung oder beide Betriebszweige betreibt, eine oder mehrere Produktionsstätten umfasst, rechtlich, wirtschaftlich, organisatorisch und finanziell selbständig sowie unabhängig von anderen Betrieben ist, ein eigenes Betriebsergebnis ausweist und während eines ganzen Jahres bewirtschaftet wird. Landwirtschaftliche Betriebe müssen vom Kanton anerkennt werden, wobei unter anderem die Voraussetzungen von Art. 6 LBV zu prüfen sind (Art. 30 Abs. 1 LBV). Die Kantone überprüfen periodisch, ob die Betriebe die Voraussetzungen noch erfüllen; ist dies nicht der Fall, so widerrufen sie die Anerkennung (Art. 30a LBV).
3. 3.1 Das Bundesverwaltungsgericht hat zunächst eine Verletzung des Akteneinsichtsrechts durch die Vorinstanzen verneint und das Akteneinsichtsbegehren der Beschwerdeführer abgewiesen (vgl. angefochtener Entscheid E. 3). Weiter kam es zum Schluss, dass die X._ AG nicht als rechtlich, wirtschaftlich, organisatorisch und finanziell selbständig sowie unabhängig von anderen Betrieben im Sinne von Art. 6 Abs. 1 lit. c LBV betrachtet werden kann. Zur Begründung führte das Bundesverwaltungsgericht aus, der Umstand, dass das Ehepaar V._ zusammen mit 98% an der R._ AG beteiligt sei und diese wiederum über 15.89% des Aktienkapitals der X._ AG verfüge, sei ein Indiz für die fehlende Selbständigkeit (vgl. angefochtener Entscheid E. 6.6). Ein weiteres Indiz, das gegen die Selbständigkeit spreche, erblickte die Vorinstanz im Umstand, dass S._ im entscheidrelevanten Zeitraum als Verwaltungsratspräsident der X._ AG, der U._ AG und der R._ AG fungierte (vgl. angefochtener Entscheid E. 6.7). Schliesslich stützte sich die Vorinstanz auf enge wirtschaftliche Verbindungen zwischen der X._ AG, der U._ AG und der R._ AG (vgl. angefochtener Entscheid E. 6.8) sowie die Umstände der Veräusserung der Aktienanteile von den Eheleuten V._ auf Y._ (Vertrag vom 3. Juli 2005), bzw. von Y._ auf Z._ (Vertrag vom 27. Februar 2008), insbesondere die niedrigen Verkaufspreise (vgl. angefochtener Entscheid E. 6.9).
3.2 Die Beschwerdeführer rügen vorab eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV (Anspruch auf rechtliches Gehör), Art. 9 BV (Willkürverbot, Gebot von Treu und Glauben) sowie des Öffentlichkeitsprinzips. Sie führen aus, es sei ihnen zu Unrecht Einsicht in die Betriebsanerkennung Q._ sowie sämtlicher weiterer Betriebe mit Beteiligung juristischer Personen verweigert worden. Zudem sei ihnen keine Einsicht in den E-Mail-Verkehr zwischen dem kantonalen Landwirtschaftsamt und dem Bundesamt für Landwirtschaft gewährt worden, was eine Verletzung des Rechts auf Akteneinsicht darstelle. Schliesslich habe das Landwirtschaftsamt ohne ihr Wissen und ohne Gelegenheit zur Einsicht- und Stellungnahme zwei Aktenstücke angefertigt, welche aus dem Recht zu weisen seien.
3.2.1 Die Parteien haben im Verfahren vor Bundesverwaltungsgericht Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV; Art. 29 VwVG i.V.m. Art. 37 VGG). Dazu gehört, dass die Behörde alle erheblichen und rechtzeitigen Vorbringen der Parteien würdigt (Art. 32 VwVG) und die ihr angebotenen Beweise abnimmt, wenn diese zur Abklärung des Sachverhalts tauglich erscheinen (Art. 33 Abs. 1 VwVG). Umgekehrt folgt daraus, dass angebotene Beweise nicht abgenommen werden müssen, wenn sie entweder eine rechtlich nicht erhebliche Frage betreffen oder wenn sie von vorneherein am festgestellten Ergebnis nichts zu ändern vermögen (antizipierte Beweiswürdigung). Ferner haben die Parteien in ihrer Sache Einsicht in die Eingaben von Parteien und Vernehmlassungen von Behörden, in alle als Beweismittel dienenden Akten sowie in Niederschriften eröffneter Verfügungen (Art. 26 Abs. 1 VwVG). Die Einsicht darf nur verweigert werden, wenn wesentliche öffentliche oder private Interessen oder das Interesse einer noch nicht abgeschlossenen amtlichen Untersuchung es erfordern (Art. 27 Abs. 1 VwVG).
3.2.2 Wird der Sachverhalt unter Verletzung des rechtlichen Gehörs festgestellt, liegt darin eine Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 lit. a BGG, was vor Bundesgericht gerügt werden kann, sofern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
3.2.3 Das Bundesverwaltungsgericht hat in Bezug auf die Akten, welche die Anerkennung des Betriebs von C.Q._ betreffen, zu Recht ausgeführt, die Beschwerdeführer hätten kein Recht auf Akteneinsicht in Akten, die Verfahren betreffen, an denen sie nicht als Partei beteiligt seien. Die beiden vom Landwirtschaftsamt erstellten Aktenstücke (handschriftliche Aufzeichnungen eines Augenscheins bzw. einer Besprechung) seien zudem nicht entscheidend in die Sachverhaltsermittlung und Beweiswürdigung der Vorinstanzen eingeflossen.
Es ist nicht ersichtlich, inwiefern diese Umstände für den Ausgang des Verfahrens erheblich sein sollen: Im vorliegenden Verfahren geht es einzig um die Anerkennung der X._ AG als landwirtschaftlicher Betrieb, der Anspruch auf Direktzahlungen hat; diese Frage ist unter Berücksichtigung aller Umstände des Einzelfalls zu prüfen. Ob allenfalls andere Betriebe in ähnlichen oder ganz anderen Konstellationen vom Kanton anerkannt worden sind oder nicht, kann für sich allein keinen Anspruch für die Beschwerdeführer begründen. Die entsprechenden Vorbringen und Beweisanträge waren daher für den Ausgang des Verfahrens von vorneherein nicht erheblich, so dass in der Nichtabnahme der Beweise (Edition der Akten Q._ wie auch der beiden Aktenstücke des Landwirtschaftsamts) keine Gehörsverletzung liegt.
3.2.4 Das Akteneinsichtsrecht erstreckt sich grundsätzlich auf alle Akten, die geeignet sind, Grundlage für die spätere Entscheidung zu bilden, d.h. entscheidrelevant sind oder sein könnten. Art. 29 Abs. 2 BV vermittelt allerdings keinen Anspruch auf Einsicht in verwaltungsinterne Akten (BGE 132 II 485 E. 3.4 S. 495). Als solche gelten Unterlagen, denen für die Behandlung eines Falls kein Beweischarakter zukommt, welche vielmehr ausschliesslich der verwaltungsinternen Meinungsbildung dienen und somit für den verwaltungsinternen Gebrauch bestimmt sind (z.B. Entwürfe, Anträge, Notizen, Mitberichte, Hilfsbelege usw.). Mit dem Ausschluss des Einsichtsrechts in diese Akten soll verhindert werden, dass die interne Meinungsbildung der Verwaltung über die entscheidenden Aktenstücke und die erlassenen begründeten Verfügungen hinaus vollständig vor der Öffentlichkeit ausgebreitet wird (BGE 125 II 473 E. 4a S. 474 mit Hinweisen). Massgeblich sind vorliegend die Verfügungen bzw. Schreiben des Landwirtschaftsamts, welche sich in den Akten finden. Die Vorinstanz hat somit zu Recht einen Anspruch der Beschwerdeführer auf Einsicht in den verwaltungsinternen E-Mail-Verkehr verneint.
3.2.5 Nichts zu ihren Gunsten ableiten können die Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang ferner aus dem von ihnen angerufenen Art. 6 des Bundesgesetzes vom 17. Dezember 2004 über das Öffentlichkeitsprinzip in der Verwaltung (Öffentlichkeitsgesetz; BGÖ; SR 152.3), da das BGÖ weder auf kantonale Behörden (Art. 2) noch auf Verfahren der Staats- und Verwaltungsrechtspflege (Art. 3 Abs. 1 lit. a) Anwendung findet. Inwiefern Art. 60 der Verfassung des Kantons St. Gallen vom 10. Juni 2001 (KV/SG; SR 131.225) den Beschwerdeführern einen weitergehenden Anspruch verschaffen soll, ist weder ersichtlich noch rechtsgenüglich dargelegt (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Übrigen vermag die blosse Rüge, Art. 9 BV sei verletzt, der qualifizierten Begründungspflicht ebenfalls nicht zu genügen.
3.2.6 Die Rügen betreffend Gehörsverletzung und Akteneinsicht erweisen sich damit als unbegründet.
3.3 Soweit die Beschwerdeführer ausführen, im vorliegenden Verfahren sei nie ein Widerruf der bestehenden Betriebsanerkennung in Aussicht gestellt bzw. ausgesprochen worden, ist ihnen Folgendes entgegenzuhalten: Die Betriebsbewilligung im Sinne von Art. 29a LBV gilt bis zu einem allfälligen Widerruf (Art. 30a Abs. 1 Satz 2 LBV). Hier hat das Landwirtschaftsamt als Widerrufsgrund eine "grundsätzlich veränderte Betriebssituation", konkret das Ausscheiden des Bewirtschafters Q._, genannt (vgl. Verfügung vom 26. Januar 2009 E. 1). Die Kantone prüfen gemäss Art. 30a Abs. 1 Satz 1 LBV periodisch, ob die Betriebe die Voraussetzungen noch erfüllen. In diesem Zusammenhang durfte das Landwirtschaftsamt alle Voraussetzungen, also auch die Unabhängigkeit bzw. Selbständigkeit gemäss Art. 6 Abs. 1 lit. c LBV, prüfen und gestützt auf das Ergebnis dieser Prüfung die bisherige Anerkennung widerrufen, was hier mit der angefochtenen Verfügung vom 26. Januar 2009 geschehen ist.
Die Beschwerdeführer gehen auch fehl, wenn sie ausführen, das Landwirtschaftsamt wäre nicht zuständig, einen solchen Widerruf auszusprechen. Es versteht sich von selbst, dass mit "Kanton" gemäss Art. 30a Abs. 1 LBV nicht der kantonale Gesetzgeber, sondern eine kantonale Verwaltungsbehörde, hier das Landwirtschaftsamt, gemeint ist (vgl. auch Art. 2 der Landwirtschaftsverordnung [des Kantons St. Gallen] vom 17. September 2002 [sGS 610.11], wonach der Vollzug der Landwirtschaftsgesetzgebung dem Landwirtschaftsamt zugewiesen wird).
3.4 Die Beschwerdeführer bringen vor, die Schlussfolgerung der Vorinstanzen, die X._ AG sei nicht selbständig und nicht unabhängig im Sinne von Art. 6 Abs. 1 lit. c LBV, erweise sich als unhaltbar. In der Tat hält der angefochtene Entscheid einer näheren Prüfung nicht stand:
3.4.1 Zunächst vermag der Schluss der Vorinstanz, die Beteiligung der Eheleute V._ bzw. der R._ AG an der X._ AG sei ein Indiz für die fehlende Selbständigkeit bzw. Unabhängigkeit (vgl. angefochtener Entscheid E. 6.6) nicht zu überzeugen. Die Bestimmung von Art. 6 Abs. 4 lit. b LBV ("Die Anforderung von Absatz 1 Buchstabe c ist insbesondere nicht erfüllt, wenn der Bewirtschafter [...] eines anderen Betriebs, oder deren Gesellschafter, Genossenschafter, Aktionär oder Vertreter zu 25 oder mehr Prozent am Kapital des Betriebs beteiligt ist") kann hier mit einer Beteiligung von nur 15.89% der R._ AG an der X._ AG keine entscheidende Rolle spielen. Zudem hat die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid nirgends festgestellt, dass es sich bei der R._ AG um einen landwirtschaftlichen Betrieb bzw. beim Ehepaar V._ um Bewirtschafter im Sinne von Art. 6 Abs. 4 lit. b LBV handeln solle, was Voraussetzung für die Anwendung dieser Bestimmung wäre (vgl. Weisungen und Erläuterungen 2011 zur LBV des Bundesamts für Landwirtschaft S. 5).
Die Frage, ob ein Betrieb im Sinne von Art. 6 Abs. 1 lit. c LBV rechtlich, wirtschaftlich, organisatorisch und finanziell selbständig sowie unabhängig von anderen Betrieben ist, muss unter Berücksichtigung aller Umstände des Einzelfalls geprüft werden, worunter auch die Beteiligungsverhältnisse fallen. Hier ist indes zu berücksichtigen, dass die von der Vorinstanz ins Feld geführten Beteiligungsverhältnisse bereits zum Zeitpunkt des Erlasses der Verfügung vom 25. August 2005 bestanden, weshalb es sich ohnehin nicht um ein entscheidendes Indiz handeln kann.
3.4.2 Auch der Umstand, dass S._ im entscheidrelevanten Zeitpunkt Verwaltungsratspräsident der X._ AG, der U._ AG und der R._ AG war (vgl. angefochtener Entscheid E. 6.7), vermag die Selbstständigkeit bzw. Unabhängigkeit der Beschwerdeführerin 1 nicht entscheidend in Frage zu stellen: Bei S._ handelt es sich nicht um einen Bewirtschafter, sondern um einen professionellen Treuhänder. Auch wenn zwischen den oben erwähnten Gesellschaften gewisse personelle und organisatorische Verflechtungen bestehen, weisen diese nicht eine derartige Intensität auf, dass auf eine Abhängigkeit geschlossen werden müsste. Dazu kommt, dass der Sohn von D.V._, F.V._, erst zu einem späteren Zeitpunkt in den Verwaltungsrat der X._ AG eingetreten ist.
3.4.3 Als ebenso wenig stichhaltig erweist sich der Schluss der Vorinstanz, aufgrund der vorhandenen (und später ausgeglichenen) Darlehen bzw. Kontokorrentpositionen zwischen der X._ AG, D.V._ und der R._ AG sei von erheblichen finanziellen Verflechtungen der betroffenen Gesellschaften auszugehen (vgl. angefochtener Entscheid E. 6.8). Wie bereits in E. 3.4.1 erwähnt, steht nicht fest, dass es sich bei der R._ AG um einen landwirtschaftlichen Betrieb bzw. beim Ehepaar V._ um Bewirtschafter im Sinne der LBV handelt. Ausserdem bestanden die geltend gemachten wirtschaftlichen Verflechtungen - wie auch die Vorinstanz einräumt - nur im Jahr 2007, aber nicht mehr im Jahr 2008.
3.4.4 Schliesslich führt der Umstand, dass die Eheleute V._ ein Darlehensguthaben von Fr. 250'000.-- gegenüber der X._ AG in Aktien umwandelten, ihre 202 Aktien à Fr. 1'000.-- (total Fr. 202'000.--) mit Vertrag vom 3. Juli 2005 zu einem Preis von Fr. 47'268.-- an Y._ veräusserten und dieser wiederum mit Vertrag vom 27. Februar 2008 die Aktien zu Fr. 40'400.-- weiterverkaufte (vgl. angefochtener Entscheid E. 6.9) - entgegen der Ansicht der Vorinstanz - nicht zwingend zur Schlussfolgerung, dass hier eine Abhängigkeit von den Eheleuten V._ vorliegt. Zwar ist ein genereller Einfluss nicht auszuschliessen, doch gibt es keine klaren Hinweise darauf, dass allenfalls D.V._ Betriebsinhaber oder Bewirtschafter sein könnte; die Vorinstanz hat diesbezüglich denn auch keine konkreten betrieblichen Einflüsse feststellen können. Zudem datiert die Darlehensumwandlung vom 19. April 2005 und der erste Aktienverkauf vom 3. Juli 2005, mithin vor Erlass der Verfügung des Landwirtschaftsamts des Kantons St. Gallen am 25. August 2005, in welcher die Beschwerdeführerin "in ihrer heutigen Organisationsform" als für den Bezug von Direktzahlungen berechtigt bezeichnet worden ist.
3.4.5 Insgesamt bestehen zwar gewisse Anhaltspunkte, welche für eine Abhängigkeit der X._ AG von anderen vom Ehepaar V._ beherrschten Gesellschaften sprechen. Diese genügen aber unter Berücksichtigung sämtlicher Umstände nicht, um auf den Tatbestand der fehlenden Selbständigkeit bzw. Unabhängigkeit zu schliessen. Damit erweist sich die Schlussfolgerung der Vorinstanz, die Beschwerdeführerin 1 sei in den Beitragsjahren 2007 und 2008 nicht selbständig und unabhängig im Sinne von Art. 6 Abs. 1 lit. c LBV gewesen, als bundesrechtswidrig.
4. 4.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich demnach als begründet und ist gutzuheissen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache im Sinne der Erwägungen an das Landwirtschaftsamt des Kantons St. Gallen zurückzuweisen (vgl. Art. 107 Abs. 2 BGG). Dieses wird nochmals zu prüfen haben, ob auf der Basis der Anerkennung der X._ AG als selbständiger Betrieb im Sinne von Art. 6 Abs. 1 lit. c LBV dieser Direktzahlungen (inkl. Zins) zu gewähren sind. Insbesondere ist noch die - im vorliegenden Verfahren nicht Beschwerdegegenstand bildende - Frage zu prüfen, ob Y._ bzw. Z._ als beitragsberechtigte Bewirtschafter anzuerkennen sind. Gestützt darauf wird über die Gewährung der Direktzahlungen für die Beitragsjahre 2007 und 2008 neu zu befinden sein. Für die Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens geht die Angelegenheit im Übrigen zurück an das Bundesverwaltungsgericht.
4.2 Bei diesem Verfahrensausgang und angesichts der auf dem Spiel stehenden finanziellen Interessen sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Kanton St. Gallen aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Ausserdem hat der Kanton St. Gallen die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, und der Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 7. Dezember 2010 wird aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zur weiteren Abklärung und Neubeurteilung an das Landwirtschaftsamt des Kantons St. Gallen bzw. zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Kanton St. Gallen auferlegt.
3. Der Kanton St. Gallen hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Volkswirtschaftsdepartement des Kantons St. Gallen, dem Landwirtschaftsamt des Kantons St. Gallen, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, sowie dem Eidgenössischen Volkswirtschaftsdepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Oktober 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Winiger