Sachverhalt:
A. Der 1958 geborene A._ hatte sich am 22. Januar 2003 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet. Im Rahmen von beruflichen Massnahmen war er in der Folge vom 12. Januar 2004 bis 11. März 2005 für die Firma X._ tätig. Mit Verfügung vom 1. Juni 2005 lehnte die IV-Stelle des Kantons Solothurn einen Rentenanspruch unter Hinweis auf einen Invaliditätsgrad von 10 % ab.
A._ hat ausserdem am 17. März 2005 Antrag auf Arbeitslosenentschädigung gestellt und angegeben, er sei bereit und in der Lage, vollzeitlich erwerbstätig zu sein. Die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn ermittelte einen versicherten Verdienst von Fr. 4'102.- und erbrachte ab 14. März 2005 Arbeitslosentaggelder. Ab Juli 2005 leistete sie lediglich noch Taggelder auf der Basis eines versicherten Verdienstes von Fr. 3'692.- (90 % von Fr. 4'102.-). Dies bestätigte sie mit Verfügung vom 28. April 2006 und wies darauf hin, dass der "Vermittlungsgrad" bei einem Invaliditätsgrad von 10 % noch 90 % betrage, womit der versicherte Verdienst entsprechend zu kürzen sei. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 7. Juli 2006).
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn hiess die dagegen erhobene Beschwerde in dem Sinne gut, als es den Einspracheentscheid vom 7. Juli 2006 und die Verfügung vom 28. April 2006 aufhob und die Sache an die Arbeitslosenkasse zurückwies, damit diese, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Höhe des versicherten Verdienstes ab Juli 2005 neu verfüge (Entscheid vom 3. März 2008).
C. Das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Solothurn (AWA) führt namens der Arbeitslosenkasse Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und stellt den Antrag, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben; eventualiter sei die Sache an die Kasse zurückzuweisen, damit sie, nach erfolgter Abklärung der Erwerbsfähigkeit, ab Januar 2006 über die Höhe des versicherten Verdienstes neu verfüge.
A._ lässt sich nicht vernehmen. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Stellungnahme.
Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat eine Rückweisung an die Verwaltung vorge-nommen, damit sie noch abkläre, ob der Versicherte in der Zeit ab Juli 2005 wieder eine volle Erwerbsfähigkeit erlangt hat. Dies musste von der Invalidenversicherung nicht untersucht werden, weil sie nur die Entwicklung bis zum Erlass der rentenablehnenden Verfügung vom 1. Juni 2005 zu prüfen hatte. Beim vorliegend angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (vgl. Urteil 9C_684/2007 vom 27. Dezember 2007, E. 1.1 mit Hinweisen), um einen - selbstständig eröffneten - Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481 f. mit Hinweisen). Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit unter anderem - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
2. Ein im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht wieder gutzumachender Nachteil ist gegeben, wenn er auch mit einem für die Beschwerdeführerin günstigen Endentscheid nicht behoben werden kann (Urteil 8C_481/2007 vom 5. März 2008, E. 2). Die Rückweisung der Sache an die Arbeitslosenkasse zu ergänzender oder weiterer Abklärung und neuer Entscheidung bewirkt in der Regel keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (BGE 133 V 477 E. 5.2.1 und 5.2.2 S. 483 sowie Urteil I 126/07 vom 6. August 2007 E. 1.2 [in BGE 133 V 504 nicht publiziert]), was von der Beschwerdeführerin auch nicht geltend gemacht wird. Gegen einen Zwischenentscheid ist die Beschwerde nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG ferner zulässig, wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführt und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Verfahren erspart würde, was in der Beschwerde nicht dargetan wird und auch sonst nicht ersichtlich ist. Das im vorinstanzlichen Entscheid Angeordnete wird durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar sein, soweit es sich auf dessen Inhalt auswirkt (Art. 93 Abs. 3 BGG). Die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a und b BGG sind demnach nicht gegeben.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 133 V 637 E. 4.6 S. 639).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn, dem Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Juni 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz