Faits:
A. P._, née en 1949 travaillait à temps partiel comme photographe au service de X._. Atteinte d'un trouble affectif bipolaire (avec personnalité histrionique), elle a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 29 octobre 2002. Après avoir recueilli différents avis médicaux et effectué une enquête économique sur le ménage auprès de l'assurée (le 4 janvier 2005), l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a évalué le taux d'invalidité en appliquant la méthode mixte d'évaluation (incapacité de 73% dans l'activité lucrative prise en compte pour 75% [invalidité de 55%]; empêchement de 3,5% dans les travaux habituels pris en compte pour 25% [invalidité de 1%]) et l'a fixé à 56%. Se fondant sur ce résultat, il a alloué à P._ une demi-rente d'invalidité à partir du 1er avril 2005 (décision du 22 avril 2005), puis rétroactivement du 1er mai 2002 au 31 mars 2005 (décision du 11 mai 2005). A la suite de l'opposition de l'assurée contre la décision du 22 avril 2005, il a confirmé sa position le 22 août 2006.
B. Le jugement du 24 mai 2007, par lequel le Tribunal cantonal des assurances de la République et canton de Genève a admis le recours dont l'avait saisi P._, a été annulé le 20 novembre 2007 par le Tribunal fédéral sur recours de l'office AI (arrêt 9C_428/2007).
A la suite du renvoi de la cause ordonné par le Tribunal fédéral pour que l'invalidité de l'assurée soit évaluée au moyen de la méthode mixte applicable aux personnes qui exercent une activité à temps partiel, le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales a repris l'instruction de la cause. Il a notamment interpellé, puis entendu les docteurs D._ et B._, tous deux psychiatres et psychothérapeutes, sur les empêchements rencontrés par l'assurée dans ses activités habituelles (procès-verbaux d'enquêtes du 3 septembre 2008). Statuant le 10 décembre 2008, il a partiellement admis le recours. Annulant partiellement les décisions des 22 avril 2005, 11 mai 2005 et 22 août 2006 au sens des considérants (ch. 2 du dispositif), il a reconnu le droit de P._ à un trois quarts de rente d'invalidité à partir du 1er janvier 2004 (ch. 4 du dispositif) et renvoyé la cause à l'administration pour le calcul de la rente (ch. 5 du dispositif).
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation en concluant à la reconnaissance du droit de l'assurée à une demi-rente d'invalidité à partir du 1er mai 2002. Il sollicite par ailleurs l'effet suspensif à son recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 5 mai 2009.
P._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) en propose l'admission.
Considérant en droit:
1. 1.1 Bien que le dispositif du jugement entrepris renvoie la cause à l'office recourant, il ne s'agit pas d'une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF car la juridiction cantonale a statué définitivement sur les points contestés, le renvoi de la cause ne visant que le calcul de la rente d'invalidité allouée. Le recours est dès lors recevable puisqu'il est dirigé contre un jugement final (cf. art. 90 LTF; arrêt 9C_684/2007 du 27 septembre 2007 consid. 1.1, in SVR 2008 IV n° 39 p. 131).
1.2 Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments du recourant ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2. Il n'est pas contesté que l'intimée a droit à une demi-rente d'invalidité à partir du 1er mai 2002. Est seul litigieux en instance fédérale le point de savoir si elle peut prétendre un trois quarts de rente à partir du 1er janvier 2004 comme l'ont admis les premiers juges. A cet égard, leur jugement expose correctement les règles légales et la jurisprudence sur le droit à la rente d'invalidité et son étendue, ainsi que sur les différentes méthodes d'évaluation de l'invalidité, en particulier la méthode mixte que le Tribunal fédéral a jugé applicable pour évaluer le taux d'invalidité de P._ (arrêt 9C_428/2007 du 20 novembre 2007). Il suffit de renvoyer au jugement entrepris sur ces points.
3. 3.1 Constatant que l'intimée souffrait d'un trouble affectif bipolaire ainsi que d'un trouble de la personnalité histrionique et borderline entraînant une incapacité de travail de 75% dans toute activité professionnelle depuis le 4 mars 2002 et de 80% à partir du 1er mai 2004, la juridiction cantonale a fixé l'incapacité de gain dans l'exercice d'une activité lucrative à 56,25% du 1er mai 2002 au 30 avril 2004 (empêchement de 75%) et à 60% dès le 1er mai 2004 (empêchement de 80%); la part consacrée à ce champ d'activité a été fixé à 75%. Ces constatations - qui ne sont pas remises en cause par le recourant - n'apparaissent ni manifestement inexactes ni contraires au droit, quoi qu'en dise l'OFAS, au regard de l'évaluation en pour-cent de l'invalidité relative à l'activité professionnelle opérée par les premiers juges. Elles lient donc le Tribunal fédéral (consid. 1.2 supra).
Il convient en revanche de relever d'office (art. 106 al. 1 LTF) que l'augmentation du degré de l'incapacité de gain pour la part consacrée à l'exercice d'une activité lucrative ainsi constatée ne peut être prise en compte, en tant qu'elle accroît le cas échéant le droit à la rente d'invalidité, qu'à partir du 1er août 2004 - et non pas déjà du 1er mai précédent - en application de l'art. 88a al. 2 RAI.
3.2 En ce qui concerne les empêchements pour la part consacrée aux travaux ménagers, la juridiction cantonale a retenu qu'ils variaient en fonction des phases du trouble bipolaire (phase "active" maniaque, phase "passive" de dysthymie, période de stabilité) mises en évidence par la doctoresse B._ lors de son audition. Les premiers juges ont dès lors considéré qu'il y avait lieu de "pondérer l'évaluation de l'enquêtrice de l'OCAI sur la base de l'éclairage médical apporté par la doctoresse B._ en procédant à une moyenne des empêchements dans le ménage entre les périodes de crises et les autres périodes". Elle a apporté "un correctif aux conclusions du l'enquêtrice", qui avait retenu un empêchement de 3,5% dans les activités ménagères, et admis une incapacité d'accomplir les travaux habituels de 60% durant les périodes de crise. La durée de celles-ci a été évaluée à 163 jours par année en moyenne (à savoir 65 jours de prostration par crise [phase de panique ou d'angoisse de quelques jours à trois semaines, soit une moyenne de 12,5 jours, et phase dépressive de trois semaines à trois mois, soit une moyenne de 52,5 jours], en moyenne deux fois et demie par année: 65 jours x 2,5 = 163 jours), représentant 45% de l'année. Toujours selon les premiers juges, le reste de l'année (55%), l'intimée présentait en revanche une invalidité de 7% dans les activités ménagères (les conclusions de l'enquête devant être corrigées en tenant compte d'un empêchement de 20% pour l'alimentation [champ d'activité de 35%] et non pas de 10% seulement). Il en résultait une "invalidité annualisée" de 30,85% dans les travaux habituels ([7% x 55%] + [60% x 45%] = 3,85% + 27%), ce qui représentait une invalidité de 7,71% (30,85% x 25%). Au total, l'intimée présentait donc une invalidité de 64% (56,25 + 7,71) du 1er mai 2002 au 30 avril 2004 et de 67,71% (60 + 7,71) dès le 1er mai 2004, ce qui lui ouvrait le droit à un trois quarts de rente à partir du 1er janvier 2004, date de l'entrée en vigueur de la modification de l'art. 28 al. 1 LAI (4ème révision de la LAI), qui prévoit le trois quarts de rente si l'assuré est invalide à 60% au moins.
3.3 Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir évalué de manière arbitraire l'incapacité à accomplir les travaux habituels, en s'écartant à tort des conclusions de l'enquête économique sur le ménage du 5 janvier 2005, lesquelles concordent selon lui avec l'appréciation des docteurs D._ et B._. Il conteste par ailleurs le raisonnement des premiers juges qui les a conduits à admettre un empêchement de 60% en période de crise pour la part consacrée par l'intimée aux travaux ménagers.
4. 4.1 En ce qui concerne l'incapacité d'accomplir les travaux habituels en raison d'une atteinte à la santé, comme l'ont rappelé les premiers juges, l'enquête économique sur le ménage effectuée au domicile de l'assuré (cf. art. 69 al. 2 RAI) constitue en règle générale une base appropriée et suffisante pour évaluer les empêchements dans ce domaine (sur les exigences relatives à la valeur probante d'un tel rapport d'enquête, voir consid. 2.3.2 non publié au Recueil officiel mais dans VSI 2003 p. 218 de l'ATF 129 V 67 [arrêt I 90/02 du 30 décembre 2002]; ATF 128 V 93). Même si, compte tenu de sa nature, l'enquête économique sur le ménage est en premier lieu un moyen approprié pour évaluer l'étendue d'empêchements dus à des limitations physiques, elle garde cependant valeur probante lorsqu'il s'agit d'estimer les empêchements que l'intéressé rencontre dans ses activités habituelles en raison de troubles d'ordre psychique. En présence de tels troubles, et en cas de divergences entre les résultats de l'enquête économique sur le ménage et les constatations d'ordre médical relatives à la capacité d'accomplir les travaux habituels, celles-ci ont, en règle générale, plus de poids que l'enquête à domicile (arrêts 8C_671/2007 du 13 juin 2008 consid. 3.2.1 et I 311/03 du 22 décembre 2003 consid. 4.2.1, in VSI 2004 p. 137). Une telle priorité de principe est justifiée par le fait qu'il est souvent difficile pour la personne chargée de l'enquête à domicile de reconnaître et d'apprécier l'ampleur de l'atteinte psychique et les empêchements en résultant. Pour l'application du droit dans le cas concret, cela signifie qu'il convient d'évaluer à la lumière des exigences développées par la jurisprudence la valeur probante des avis médicaux (ATF 125 V 351 consid. 3 p. 352) et du rapport d'enquête économique sur le ménage (consid. 2.3.2 non publié au Recueil officiel mais dans VSI 2003 p. 218 de l'ATF 129 V 67 [arrêt I 90/02 du 30 décembre 2002]), puis, en présence de prises de position assorties d'une valeur probante identique, d'examiner si elles concordent ou se contredisent. Dans cette seconde hypothèse, elles doivent être appréciées au regard de chacune des questions particulières, plus de poids devant cependant être accordé aux rapports médicaux dans la mesure où il s'agit d'évaluer un aspect médical (arrêt I 733/03 du 6 avril 2004 consid. 5.1.3).
4.2 En l'espèce, dans son évaluation du 4 janvier 2005, l'enquêtrice a conclu à un empêchement de 3,5% dans les travaux habituels, résultant du seul empêchement de 10% pour le poste "alimentation" (pondéré à 35%). De son côté, le docteur D._, qui a suivi l'intimée d'octobre 2002 à octobre 2004, a indiqué que les problèmes psychiques n'avaient pas empêché la patiente de s'occuper de son ménage; il n'y avait eu aucun signe susceptible d'inquiéter les médecins quant à la capacité de l'assurée de s'occuper de ses affaires à domicile (procès-verbal d'enquêtes du 3 septembre 2008). La doctoresse B._, que l'assurée a consultée à partir de fin 2005, a pour sa part fait état de difficultés à effectuer les tâches ménagères (passer l'aspirateur, aller faire les courses et porter les commissions), sur lesquelles la patiente s'était exprimée "récemment" (procès-verbal d'enquêtes du 3 septembre 2008). Le médecin a expliqué que durant les phases dépressives (d'une durée de trois à huit semaines), qui pouvaient survenir deux à trois fois par année, l'assurée laissait son ménage en plan et restait probablement inactive à son domicile. Ces phases étaient précédées d'une phase maniaque où la patiente devenait euphorique et pleine d'élan, puis irritable et agressive verbalement avant de ressentir de la panique et des angoisses. Pendant cette dernière phase, qui pouvait durer de quelques jours à trois semaines, la patiente ne pouvait plus rien faire chez elle et ne se nourrissait plus que de produits laitiers. La doctoresse B._ a mentionné avoir vu l'évaluation ménagère de 2005, mais a précisé que les empêchements à domicile s'étaient selon elle aggravés depuis 2006-2007, probablement en lien avec la problématique extérieure (voisins, bruits...).
4.3 Même si la doctoresse B._ ne s'est pas prononcée de manière précise et détaillée sur les différents empêchements dans les travaux ménagers et n'en a, surtout, pas défini l'ampleur, il ressort cependant de ses déclarations que l'assurée a subi pendant les phases "actives" du trouble bipolaire des empêchements qui sont allés au-delà de celui constaté par l'enquêtrice en janvier 2005 pour le seul poste "alimentation". Il ne s'agit pas pour autant d'une contradiction entre les conclusions du médecin traitant et le résultat de l'enquête économique sur le ménage, puisque la doctoresse B._ a fait état d'une aggravation des empêchements à partir de 2006-2007 par rapport à l'évaluation ménagère que la patiente lui avait montrée. L'appréciation médicale, qui met en évidence les difficultés de l'assurée à accomplir diverses tâches ménagères pendant que se manifeste le trouble bipolaire, concernait donc une période postérieure à celle sur laquelle avait porté l'enquête économique sur le ménage. En ce qui concerne la situation antérieure aux années 2006-2007, on ne voit pas quel élément au dossier permettait de mettre en doute les conclusions de l'enquête ménagère, lesquelles sont pour l'essentiel corroborées par l'avis du docteur D._, qui a conclu à l'absence de tout empêchement pour accomplir les tâches ménagères pendant les deux années (2002 à 2004) où il avait suivi l'assurée.
Dans ces circonstances, compte tenu tant de l'enquête économique sur le ménage que des avis des médecins traitants successifs de l'intimée - qui ne mettent pas en évidence de divergence significative pour la période courant à partir du 1er janvier 2004 jusqu'à fin 2005 -, la juridiction cantonale n'était pas en droit, au regard des règles sur l'appréciation des preuves rappelées ci-avant (consid. 4.1 supra), de s'écarter du résultat du rapport de l'enquête économique sur le ménage pour la période antérieure à 2006. Par ailleurs, la constatation selon laquelle l'intimée était empêchée d'accomplir les tâches ménagères à raison de 30,85% et présentait de ce fait un taux d'invalidité de 7,71% pour la part consacrée aux travaux ménagers déjà à partir du 1er mai 2002 - respectivement dès la date du 1er janvier 2004 ici déterminante (consid. 2 supra) - apparaissent manifestement inexactes, voire insoutenables. Il convient donc de s'en écarter (art. 105 al. 2 LTF) et de fixer à 1% l'invalidité dans l'accomplissement des travaux ménagers à partir du 1er janvier 2004, en se fondant sur le résultat de l'enquête économique sur le ménage du 4 janvier 2005.
4.4 Le point de savoir si et, le cas échéant, dans quelle mesure les empêchements dans l'exécution des activités habituelles se sont modifiés par la suite au regard des déclarations de la doctoresse B._ n'a pas à être déterminé par le Tribunal fédéral. L'intimée présente en effet un taux d'invalidité de 60% dans l'exercice d'une activité professionnelle à partir du 1er août 2004 (consid. 3.1 supra), ce qui lui ouvre le droit à un trois quarts de rente d'invalidité dès cette date, indépendamment du taux d'invalidité dans l'accomplissement des travaux ménagers. Au regard de l'art. 107 al. 1 LTF et du pouvoir d'examen restreint du Tribunal fédéral (art. 105 LTF; consid. 1.2 supra), il suffit dès lors de constater que pour la période antérieure, courant du 1er janvier au 31 juillet 2004, seul le droit à une demi-rente d'invalidité peut être reconnu à P._ en fonction d'un taux d'invalidité global de 57% (56,25% + 1%). Le jugement entrepris doit être réformé dans cette mesure et le recours partiellement admis.
5. Vu l'issue du litige, les frais de justice seront supportés à raison de quatre cinquièmes par le recourant et d'un cinquième par l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). Celle-ci peut par ailleurs prétendre une indemnité de dépens réduite à la charge du recourant (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le chiffre 4 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 10 décembre 2008 est réformé en ce sens que P._ a droit à un trois quarts de rente d'invalidité à partir du 1er août 2004. Le recours est rejeté pour le surplus.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 400 fr. à la charge du recourant et pour 100 fr. à la charge de l'intimée.
3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 1500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 29 octobre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless