Erwägungen:
1. Die Amtsstatthalterin von Luzern führt gegen X._ eine Strafuntersuchung u.a. wegen Körperverletzung nach Art. 122 und 123 StGB, mehrfachem Angriff nach Art. 134 StGB, Drohung nach Art. 180 StGB sowie Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte nach Art. 285 StGB. Am 23. August 2007 erteilte die Amtsstatthalterin Dr. Y._ den Auftrag, X._ psychiatrisch zu begutachten. Vorgängig hatte Dr. Y._ einen von ihr einverlangten Bericht über die Fremdgefährdung des Angeschuldigten verfasst; dieser Bericht datiert vom 22. August 2007.
Mit Eingabe vom 7. September 2007 liess X._ durch seinen Rechtsbeistand beantragen, der genannte Bericht vom 22. August 2007 sei aus dem Recht zu weisen und Dr. Y._ sei in den Ausstand zu versetzen; es sei ein anderer Sachverständiger mit der psychiatrischen Begutachtung bzw. der Beurteilung der Frage der Fremdgefährdung zu beauftragen.
Nachdem sich die Amtsstatthalterin und Dr. Y._ zur Eingabe des Verteidigers nicht in dessen Sinne geäussert hatten, reichte dieser Beschwerde bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern ein. Mit Entscheid vom 2. November 2007 wies die Staatsanwaltschaft die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat. Die Verfahrenskosten von Fr. 500.-- wurden dem Beschwerdeführer auferlegt, und eine Parteientschädigung wurde ihm nicht zugesprochen.
X._ erhob gegen diesen Entscheid am 13. November 2007 Beschwerde ans Obergericht des Kantons Luzern. Mit Stellungnahme vom 29. November 2007 teilte die Staatsanwaltschaft dem Obergericht mit, sie habe den Ausführungen im angefochtenen Entscheid an sich nichts beizufügen, abgesehen davon, dass die Beschwerde zwischenzeitlich insofern gegenstandslos geworden sei, als die Amtsstatthalterin den Dr. Y._ erteilten Auftrag am 13. November 2007 zurückgenommen habe, um den Fortgang der Untersuchung nicht unnötig zu verzögern bzw. zu belasten. Neu wurde in der Folge der Psychiatrisch Psychologische Dienst des Justizvollzugs des Kantons Zürich beauftragt, ein psychiatrisches Gutachten über den Angeschuldigten zu erstellen.
In Anbetracht dessen erachtete die II. Kammer des Obergerichts als Beschwerdeinstanz nach StPO das Verfahren mit Entscheid vom 28. Januar 2008 als erledigt. Unter den gegebenen Umständen bestätigte das Obergericht den staatsanwaltschaftlichen Kostenentscheid. Für das obergerichtliche Verfahren wurde dem Beschwerdeführer eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 400.-- auferlegt, wobei die auf Fr. 1'076.-- (inkl. 7,6 % MWST) bestimmten Verteidigerkosten auf die Staatskasse genommen wurden.
Mit Eingabe vom 11. März 2008 führt X._ Beschwerde in Strafsachen mit den Begehren, der Entscheid vom 28. Januar 2008 sei im Kosten- und Entschädigungspunkt (Dispositiv-Ziff. 2) aufzuheben; der Kanton Luzern habe mindestens 5/7 der amtlichen Kosten der beiden kantonalen Beschwerdeverfahren zu tragen, und es sei ihm, dem Beschwerdeführer, für die beiden Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Vernehmlassungen zur Beschwerde einzuholen.
2. Der Beschwerdeführer ficht den obergerichtlichen Entscheid in Bezug auf den Kosten- und Entschädigungspunkt an. Es handelt sich insoweit um einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid. Dieser schliesst aber das gegen den Beschwerdeführer laufende Strafverfahren nicht ab und stellt daher keinen End-, sondern einen blossen Zwischenentscheid dar (vgl. BGE 117 Ia 251, 115 Ia 313, in diesem Zusammenhang auch 122 I 39).
Gegen Vor- und Zwischenentscheide - die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (s. dazu Art. 92 BGG) - ist die Be-schwerde ans Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kön-nen (lit. a) oder - was indes hier von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Soweit der Vor- oder Zwischenentscheid mit der Beschwerde in Strafsachen anzufechten ist, muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht bloss tatsächlicher, sondern rechtlicher Natur sein (BGE 133 IV 139 E. 4 und 335 E. 4). Dies ergibt sich daraus, dass die Legitimation zur Beschwerde in Strafsachen gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids voraussetzt.
Eine bloss tatsächliche Beeinträchtigung wie beispielsweise eine Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens genügt somit nicht. Der Nachteil ist nur dann rechtlicher Natur, wenn er auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden kann. Dabei ist es nicht nötig, dass sich der Nachteil schon im kantonalen Verfahren durch einen günstigen Endentscheid beheben lässt. Es genügt, wenn er in einem anschliessenden bundesgerichtlichen Verfahren beseitigt werden kann (s. die bereits zitierte Rechtsprechung).
Der hier in Frage stehende Zwischenentscheid, d.h. die vor Bundes-gericht angefochtene Kosten- und Entschädigungsregelung, hat für den Beschwerdeführer keinen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im dargelegten Sinne zur Folge. Wie auch immer das Hauptverfahren endet, kann der Betroffene gegen die in einem vorgängigen Zwischenentscheid getroffene Kosten- und Entschädigungsregelung im Anschluss an den kantonalen Endentscheid praxisgemäss Beschwerde ans Bundesgericht führen; denn durch den Kosten- bzw. Entschädigungsentscheid wird er persönlich und unmittelbar in seinen Interessen betroffen (s. BGE 117 Ia 251).
Nach dem Gesagten vermag der hier angefochtene Zwischenentscheid für den Beschwerdeführer keinen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zu bewirken. Auf die vorliegende Beschwerde ist daher nicht einzutreten. Da das Fehlen der Eintretensvoraussetzungen nach Art. 93 BGG offensichtlich ist, kann über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG entschieden werden.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Amtsstatthalterin von Luzern, der Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. März 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp