Faits:
A. A.a Y._ SA (ci-après: Y._), à Genève, inscrite au registre du commerce depuis le 24 mars 2009, est active dans le commerce maritime, notamment le transport de marchandises et l'affrètement de bateaux et cargaisons. Cette société, dont le capital-actions s'élève à 4'000'000 fr., a pour administrateur-président A._ et compte au nombre de ses administrateurs en particulier B._.
Par contrat de travail signé le 27 mars 2009, Y._ a engagé dès le 1er avril 2009 X._, alors domicilié à Genève, en qualité de directeur général, doté d'un pouvoir de signature individuelle, pour un salaire annuel brut d'au moins 378'000 fr.; le contrat, d'une durée d'une année, était reconductible tacitement d'année en année, sauf dénonciation donnée par écrit six mois avant l'échéance de l'accord.
Pendant que X._ travaillait à son service, Y._ a créé son site internet sous l'adresse " Y.ch ".
Par pli recommandé du 30 octobre 2009, Y._ a résilié avec effet immédiat le contrat de X._ en invoquant la commission par celui-ci d'actes répréhensibles.
A la suite de ce congé abrupt, X._ a ouvert action le 6 avril 2010 contre Y._ devant le Tribunal des prud'hommes de Genève, requérant notamment le versement de son salaire pendant quatorze mois ainsi que le paiement d'une indemnité pour licenciement immédiat injustifié.
Il a été constaté que le travailleur avait annoncé, lors d'une audience de comparution personnelle des parties tenue le 14 juillet 2010 devant l'autorité prud'homale, qu'il était désormais domicilié à Hong-Kong (Chine).
La procédure prud'homale est actuellement pendante devant les autorités genevoises.
A.b Au début 2010, Y._ a découvert l'existence et le contenu du site internet " Y.com ". Les pages de ce site, dont le nom de domaine avait été acquis par X._ le 20 mars 2009, avaient été partiellement modifiées par ce dernier le 7 décembre 2009, soit après la notification du congé sans délai précité.
Il a été retenu que le site " Y.com " présentait en anglais en date du 2 février 2010 le contenu suivant:
" En page 1 : le titre du site est " Welcome [trad. : " bienvenue "] Y._ ". Au milieu de la page se trouve le texte suivant : " Shipmanagement & technical expertise in order to prevent accident we maintain experts of the highest standard ", soit traduit en français " Management maritime et expertise technique afin de prévenir des accidents - nous gardons des experts du plus haut niveau ". Au-dessus de ce texte figure une photographie - la 2ème de la page - prise depuis la capitainerie d'un bateau de transport maritime et montrant le point avant affrontant de hautes vagues; au-dessous dudit texte figure une autre photographie - la 3ème de la page - montrant un navire de transport maritime droit et à flot, à l'arrêt sur une eau bleue turquoise peu profonde, et attenant à une bande de terre escarpée et rocailleuse.
En page 3 : sur deux photographies figure un bateau de transport maritime - à moins qu'il s'agisse d'un navire différent sur chaque photographie - dont le bas de la coque est rouge et le haut bleu; sur la partie avant du bateau, sur la face horizontale de couleur rouge, ressort une couleur jaunâtre différente du rouge, tandis que sur la surface horizontale bleue sont visibles des marques étendues et compactes de couleur foncée difficile à déterminer, plutôt brunâtre. Ce navire présente un aspect usé, ancien. Sur la 3ème photographie de la page (la même photographie - mais en plus grand - que la 1ère photographie de la page 1) est présentée une cheminée de bateau avec le logo de Y._.
En page 6 : une photographie montre A._ et B._ à l'arrière d'un véhicule; tous deux habillés en jeans et en polo et paraissent attendre quelque chose; A._ croise les bras, tandis que B._, qui regarde en direction de l'objectif de l'appareil-photo, tient un fruit dans la main. L'autre photographie montre B._ dans la même tenue, avec un appareil-photo, devant un paysage semi-urbain. Il est écrit qu'il est directeur exécutif, de nationalité russe.
En page 7 (avant-dernière page) : sous " Contact ", " Y._ SA " et son logo, sont indiquées les références suivantes :
" ... "
L'adresse pour courriels était celle de X._ ".
Quant au site web " Y.ch ", s'il mentionne les noms des trois navires composant la flotte de Y._, il ne contient pas de photographies de ceux-ci; les numéros de téléphone et téléfax qui y sont indiqués correspondent à des appareils fixes, à Genève, l'adresse pour courriels étant celle de Y._.
Par lettre et télécopie du 3 février 2010, Y._, estimant que le site " Y.com " la dénigrait, a imparti à X._ un délai au 8 février 2010 pour mettre ce site hors service et entamer les démarches en vue de céder à la société la titularité dudit nom de domaine. Le 5 février 2010, X._ s'est déclaré prêt à vendre l'adresse du site à Y._, non sans nier toute intention d'avoir provoqué une confusion avec le site officiel de ladite société (i.e. " Y.ch ") et tout caractère dénigrant des informations contenues dans le site " Y.com ". Y._ ayant réitéré sa requête par courrier du 5 février 2010, X._ lui a fait savoir le 8 février 2010 que le site " Y.com " avait été désactivé.
B. B.a Par demande déposée le 14 septembre 2010 devant la Cour de justice du canton de Genève, Y._ a actionné X._. La société a conclu à ce que la cour cantonale constate que le site " Y.com " dont le défendeur est titulaire constitue, dans sa version au 2 février 2010, un acte de concurrence déloyale commis à son détriment, à ce qu'elle interdise au défendeur d'utiliser ledit nom de domaine, à ce qu'elle le condamne à réparer le dommage pécuniaire subi par la demanderesse au moyen du paiement d'un montant équitable, avec intérêts, et, enfin, à ce qu'elle le condamne également à verser à la demanderesse la somme de 50'000 fr. plus intérêts à titre de tort moral.
Le défendeur a conclu, à la forme, à l'irrecevabilité de l'action pour en particulier nullité de l'assignation qui aurait indiqué un domicile erroné et, au fond, au rejet entier des conclusions de la demanderesse.
Au cours de l'audience de comparution personnelle du 7 avril 2011, le défendeur, par la bouche de son conseil, s'est engagé à ne pas réactiver le site " Y.com " et à transférer ce nom de domaine à la demanderesse, sans réclamer de montant en contrepartie, étant précisé que cet engagement ne constituait aucune reconnaissance de responsabilité de sa part. Le juge délégué a informé les parties que dans l'arrêt à rendre, il serait donné acte au défendeur de son engagement.
Dans ses conclusions motivées du 13 mai 2011, Y._ a pris acte de l'engagement du défendeur de lui transférer gracieusement le nom de domaine " Y.com " et de ne pas réactiver ce site. S'agissant de son préjudice pécuniaire, la demanderesse a précisé qu'une perte de 5'000 US$ par jour correspondait à un montant de 200'000 fr. pour deux mois d'activité.
B.b La Cour de justice, statuant en instance unique en vertu du droit cantonal par arrêt du 4 novembre 2011, rectifié par arrêt du 2 février 2012, a déclaré irrecevable la conclusion en constatation d'acte de concurrence déloyale formée par la demanderesse, a donné acte au défendeur de son engagement de ne pas réactiver le site internet " Y.com " et de transférer gratuitement le nom de domaine dudit site à la demanderesse et a condamné le défendeur à verser à cette dernière la somme de 25'000 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 8 janvier 2010 à titre d'indemnité pour tort moral.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Principalement, il conclut au déboutement de la demanderesse de toutes ses conclusions. Subsidiairement, il requiert que le montant de l'indemnité pour tort moral soit fixé équitablement, la demanderesse étant déboutée de toutes autres ou contraires conclusions. Encore plus subsidiairement, il sollicite le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle statue dans le sens des considérants.
L'intimée propose principalement que le recours soit déclaré irrecevable, subsidiairement qu'il soit rejeté, la décision attaquée étant confirmée.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le Tribunal fédéral examine librement et d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 137 III 261 consid. 1 p. 262, 417 consid. 1).
1.2 Dès l'instant où le recours en matière civile - tout comme d'ailleurs le recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF) - n'est ouvert contre une décision cantonale que si celle-ci a été rendue en dernière instance (art. 75 al. 1 LTF), il sied de contrôler si la décision attaquée a été rendue en dernière instance cantonale.
Le Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RS 272) est entré en vigueur le 1er janvier 2011 (RO 2010 p. 1835). Selon la disposition transitoire figurant à l'art. 405 al. 1 CPC, les recours sont régis par le droit en vigueur au moment de la communication de la décision aux parties.
In casu, l'arrêt attaqué a été rendu le 4 novembre 2011 et notifié le 7 novembre 2011. Le CPC est ainsi applicable pour déterminer les voies de recours ouvertes contre cette décision. Le CPC prévoit, hormis les exceptions de l'art. 309 CPC qui n'entrent pas en ligne de compte, la possibilité d'interjeter un appel contre les décisions finales de première instance, si la valeur litigieuse, au dernier état des conclusions, est de 10'000 fr. au moins (art. 308 CPC). Si cette valeur litigieuse n'est pas atteinte, le CPC prévoit que les décisions finales de première instance sont susceptibles d'un recours (art. 319 let. a CPC).
Dans le cas présent, la Cour de justice genevoise a statué en première instance, de sorte que sa décision devrait en principe pouvoir faire l'objet, suivant la valeur litigieuse, d'un appel cantonal ou d'un recours cantonal. Les cantons sont de fait tenus en principe d'instituer un tribunal supérieur statuant sur recours pour les causes susceptibles d'un recours en matière civile (art. 75 al. 2 LTF entré en vigueur en même temps que le CPC: art. 130 al. 2 LTF).
Reste à se demander si la Cour de justice, par exception, pouvait néanmoins statuer valablement en instance cantonale unique. Les cas sont énumérés à l'art. 75 al. 2 LTF et aux art. 5 à 8 CPC. Au considérant 3 de l'arrêt déféré, la cour cantonale a fondé sa compétence à raison de la matière pour statuer en instance unique en se référant exclusivement à des dispositions de droit cantonal genevois désormais abrogées (ancien art. 1 de la loi genevoise du 3 mai 1991 sur la concurrence déloyale, l'indication et la surveillance des prix et sur les jeux-concours publicitaires; art. 31 de l'ancienne loi du 22 novembre 1941 sur l'organisation judiciaire). Mais les voies de recours, pour une décision communiquée après l'entrée en vigueur du CPC, sont régies exclusivement par le nouveau droit (art. 405 al. 1 CPC). Pour les affaires civiles contentieuses portées devant une juridiction cantonale, les règles sont désormais celles du CPC (art. 1 let. a CPC). Les cantons ne peuvent y déroger et exclure une voie de recours ouverte par le droit fédéral (art. 49 al. 1 Cst.).
La Cour de justice ne pouvait ainsi statuer en instance cantonale unique que dans la mesure où était réalisée une des hypothèses prévues par les art. 75 al. 2 LTF et 5 à 8 CPC.
Seul entre en considération l'art. 5 al. 1 let. d CPC, qui impose désormais une instance cantonale unique pour les litiges relevant de la loi fédérale du 19 décembre 1986 contre la concurrence déloyale (LCD; RS 241) lorsque la valeur litigieuse dépasse 30'000 fr. ou que la Confédération exerce son droit d'action (arrêt 4A_584/2010 du 1er février 2011 consid. 2.1, in SJ 2011 I p. 262 et les références doctrinales). En effet, il résulte de la page 5 in medio du mémoire de demande que l'action exercée par l'intimée est fondée essentiellement sur les dispositions de la LCD.
Puisqu'il est évident que la Confédération n'a pas exercé son droit d'action (cf. art. 10 al. 2 let. c LCD), la cour cantonale ne pouvait statuer en instance cantonale unique que si la valeur litigieuse dépassait 30'000 fr.
En vertu de l'art. 74 al. 1 LTF, la recevabilité du recours en matière civile dépend directement de l'atteinte d'une valeur litigieuse minimale selon les domaines du droit concernés par l'affaire pécuniaire à juger. Etant donné que la possibilité d'exercer un recours en matière civile au Tribunal fédéral découlait donc de l'atteinte d'une certaine valeur litigieuse, la décision attaquée, conformément à l'art. 112 al. 1 let. d LTF, a dûment constaté que la valeur litigieuse des conclusions formulées dépassait 30'000 fr. A juste titre, du moment que, parmi les conclusions prises par l'intimée, figure une prétention en paiement de 50'000 fr. à titre du tort moral éprouvé par celle-ci.
La valeur litigieuse de la demande déposée par l'intimée se montant à plus de 30'000 fr., la Cour de justice pouvait dès lors valablement statuer en qualité d'instance cantonale unique.
1.3 Interjeté pour le reste par la partie défenderesse qui a succombé dans ses conclusions libératoires et qui a ainsi la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF) et dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF), le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.4 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 137 II 313 consid. 1.4 p. 317 s.; 135 III 397 consid. 1.4 et l'arrêt cité). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 137 III 580 consid. 1.3 p. 584; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.5 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
1.6 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. Il a été constaté qu'à partir du 14 juillet 2010 au plus tard, le recourant a pris domicile à Hong-Kong (Chine). Son domicile se trouvait donc à l'étranger lorsque l'intimée a ouvert action à son encontre le 14 septembre 2010 devant la Cour de justice genevoise. La cause revêt ainsi un caractère international, si bien que la question du droit applicable doit être examinée d'office (ATF 137 III 481 consid. 2.1; 136 III 142 consid. 3.2 p. 144 et les arrêts cités).
La question doit être tranchée selon le droit international privé du for, soit en l'occurrence la loi fédérale du 18 décembre 1987 sur le droit international privé (LDIP, RS 291; ATF 137 III 481 consid. 2.1).
L'intimée a invoqué des faits qui tombent principalement sous le coup de la LCD, comme l'ont admis les magistrats genevois. S'agissant des prétentions de droit privé fondées sur un acte de concurrence déloyale dans les causes internationales, l'art. 136 al. 1 LDIP instaure le principe de l'effet sur le marché ou du marché affecté (Marktauswirkungsprinzip), d'après lequel lesdites prétentions sont soumises au droit de l'Etat sur le marché duquel l'activité illicite a déployé ses effets (ATF 136 III 23 consid. 6.1 p. 29; arrêt 4A_39/2011 du 8 août 2011 consid. 13.1, in sic! 2/2012 p. 109). Par marché, il faut comprendre le territoire sur lequel le concurrent offre ses biens ou ses services, se trouve en concurrence avec d'autres et s'adresse à de potentiels acheteurs (ATF 136 III 23 ibidem).
L'art. 136 al. 2 LDIP instaure une exception au principe du marché affecté lorsque le comportement déloyal se dirige exclusivement contre l'entreprise d'un concurrent déterminé. En l'espèce, il convient d'admettre que cette exception est réalisée, dès lors, ainsi qu'on le verra ci-dessous, que le recourant a entendu délibérément nuire à l'intimée, laquelle l'avait licencié abruptement quelques semaines avant qu'il ne modifie le site internet " Y.com ". L'intimée lésée ayant son siège à Genève, le droit suisse est applicable au litige. La solution ne serait de toute manière pas différente au regard du principe de l'effet sur le marché de l'art. 136 al. 1 LDIP, puisque les pages du site internet en question étaient consultables en Suisse par les partenaires commerciaux et/ou concurrents de l'intimée.
3. Dans l'arrêt attaqué, la cour cantonale a retenu en premier lieu qu'il n'est ni établi ni exclu que le défendeur, après son licenciement immédiat, soit devenu un concurrent de la demanderesse ou ait travaillé pour une société concurrente de cette dernière dans le transport maritime, mais que si les griefs de la demanderesse à l'endroit du défendeur étaient fondés, cela impliquerait qu'elle ait subi un préjudice dans ses rapports avec des partenaires commerciaux et des concurrents, consistant notamment dans une atteinte à son honneur professionnel sur le marché du transport maritime. A considérer ces incidences éventuelles sur le jeu de la concurrence, la Cour de justice a reconnu qu'étaient applicables les normes de la LCD.
L'autorité cantonale a déclaré irrecevable, faute d'intérêt digne de protection de la demanderesse, la conclusion de celle-ci tendant au constat de la commission par le défendeur d'un acte de concurrence déloyale par la mise en ligne du site " Y.com " dont il est titulaire. Elle a ensuite rejeté la conclusion de la demanderesse tendant à la réparation d'un dommage pécuniaire, au motif que cette société n'avait pas allégué avec précision les faits qui auraient constitué le préjudice invoqué, ni même de simples indices.
La Cour de justice a enfin examiné la prétention de la demanderesse en paiement d'une somme de 50'000 fr. à titre de réparation morale. Elle a considéré, en se référant aux ATF 95 II 481 consid. 12 et 64 II 14 consid. 4 ainsi qu'à l'opinion exprimée par un auteur, que le tort moral, s'agissant d'une entreprise, peut résider dans l'atteinte à son honneur professionnel et à la considération dont elle jouit, c'est-à-dire à des intérêts qui ne sont pas uniquement l'apanage d'une personne physique. Se fondant sur une appréciation des éléments qui figuraient dans le site internet précité, elle a jugé que le défendeur, en mettant sur ce site internet des photographies d'un ou de deux navires usés, lesquels présentaient d'importantes taches de rouille sur la coque ou naviguaient en mauvaise posture, ainsi que des photographies de deux membres du conseil d'administration en tenue décontractée, a causé à la société qui l'avait précédemment licencié une atteinte à son honneur professionnel, voire à son crédit et à son droit de libre épanouissement économique, protégés tant par les dispositions de la LCD que par l'art. 28 CC. La cour cantonale a ainsi admis que ce comportement relevait du dénigrement au sens de l'art. 3 let. a LCD, qu'il était au surplus déloyal et illicite selon la norme générale de l'art. 2 LCD et qu'aucun motif ne légitimait l'usurpation du nom de domaine et l'atteinte à la personnalité - qui avaient existé entre le 7 décembre 2009 et le 8 février 2010, date où le site avait été désactivé -, sinon la volonté du défendeur de nuire à la réputation, à l'honneur et aux affaires de son ancien employeur. Elle en a déduit que le tort subi par la société était suffisamment grave pour justifier l'octroi d'une indemnité satisfactoire.
Passant à la fixation du montant de cette indemnité, les juges cantonaux, à défaut d'avoir trouvé des précédents où des indemnités pour tort moral ont été versées à des personnes juridiques, a arrêté le montant de l'indemnité à 25'000 fr., en considération de l'intensité du tort moral porté à la personnalité de la demanderesse, de la volonté de nuire du défendeur et des " enjeux très élevés dans le domaine du transport maritime ", non sans relever que la durée de l'atteinte n'a pas dépassé deux mois et que le site litigieux ne s'adressait pas à un large public.
4. 4.1 Dans son recours en matière civile, le recourant ne conteste plus que la mise sur internet du site " Y.com ", après qu'il en a délibérément modifié le contenu le 7 décembre 2009, constituait un comportement illicite et fautif contrevenant aux règles de la bonne foi, tel que l'entend l'art. 2 LCD, lequel de surcroît a conduit à dénigrer de façon déloyale, au sens de l'art. 3 let. a LCD, les affaires menées dans le transport maritime par l'intimée. Il ne disconvient pas davantage que cette attitude déloyale était propre, selon le cours ordinaire des choses, à entraîner un dommage pour l'intimée. Ces points ne sont désormais plus litigieux.
Les conditions permettant l'octroi de dommages-intérêts sont identiques dans le droit de la propriété intellectuelle à celles qui prévalent dans la responsabilité délictuelle de l'art. 41 CO. L'art. 9 al. 3 LCD renvoie d'ailleurs explicitement au code des obligations. Constituent ainsi des conditions pour réparer le préjudice résultant d'un acte de concurrence déloyale, le dommage, l'illicéité, la faute et le rapport de causalité adéquate entre la conduite illicite et le préjudice (ATF 132 III 379 consid. 3.1). Dès l'instant où les conditions de l'illicéité, de la faute et du rapport adéquat de causalité ne font plus débat, seule la question de l'existence d'un dommage est à juger.
La cour cantonale a nié que l'intimée ait subi un dommage pécuniaire et celle-ci n'a pas recouru, de sorte qu'il n'y a pas à revenir là-dessus.
En revanche, cette autorité a considéré que l'atteinte à la personnalité dont a été victime l'intimée lui a fait subir un tort suffisamment grave pour justifier le versement d'une indemnité pour tort moral.
Le recourant s'en prend uniquement à ce pan du raisonnement des juges cantonaux.
4.2 Invoquant une première violation de l'art. 49 CO, le recourant fait valoir que par sa condamnation au versement d'une indemnité satisfactoire, la cour cantonale a voulu réparer un dommage hypothétique et non prouvé de l'intimée " par le biais d'une réparation morale ", la-quelle ne trouve aucune justification dans les faits de la cause.
Il reproche ensuite aux magistrats genevois d'avoir enfreint l'art. 8 CC en retenant que la mise en service du site litigieux avait entraîné pour l'intimée une atteinte objectivement et subjectivement grave à la personnalité de celle-ci. Il soutient que s'il y a eu atteinte, celle-ci était insignifiante, dès lors que l'intimée n'avait alors que quelques mois d'existence et était donc peu connue, que les affaires de " shipping " ne se concluent pas par internet et que le site litigieux n'était pas destiné au grand public.
Finalement, sous le couvert d'une seconde entorse à l'art. 49 CO, il fait grief à la Cour de justice d'avoir arrêté la quotité de l'indemnité satisfactoire à un montant beaucoup trop élevé au regard de la jurisprudence applicable en matière de réparation du tort moral. Il insiste sur le fait que le site internet en question n'a été actif que pendant deux mois et répète que l'atteinte à réparer, à supposer qu'elle existât dans le cas particulier, ne saurait être qualifiée de grave.
5. L'analyse du cas, compte tenu des critiques soulevées par le recourant, doit se faire en bonne logique dans l'ordre suivant.
Premièrement, il faut se demander si une personne morale, à l'instar d'une personne physique, peut se voir allouer une indemnité pour tort moral. Comme on le verra, la jurisprudence est ancienne à ce propos et une controverse doctrinale subsiste sur la question. Il sied ainsi de procéder à un nouvel examen de la question.
Deuxièmement, à supposer qu'il ait été répondu affirmativement à la première question, il sied de contrôler si l'intimée, en raison du comportement déloyal adopté par le recourant, a subi une atteinte à sa personnalité suffisamment grave pour justifier l'octroi d'une indemnité satisfactoire.
Troisièmement, il convient de contrôler si la fixation de l'indemnité pour tort moral est conforme au droit fédéral en l'occurrence.
6. 6.1 Il n'est pas contesté que l'intimée a ouvert action contre le recourant en se fondant sur l'art. 9 LCD, norme qui permet à celui qui, par un acte de concurrence déloyale, subit une atteinte dans sa clientèle, son crédit ou sa réputation professionnelle, ses affaires ou ses intérêts économiques en général notamment d'intenter, conformément au code des obligations, une action en réparation du tort moral (art. 9 al. 3 LCD). La règle générale de l'art. 49 al. 1 CO prévoit ainsi la réparation du tort moral en faveur de celui qui subit une atteinte illicite à sa personnalité, pour autant que la gravité de l'atteinte le justifie et que l'auteur ne lui ait pas donné satisfaction autrement.
Les actions basées sur la loi contre la concurrence déloyale s'inscrivent dans la protection générale de la personnalité instituée par l'art. 28 CC; les actions reposant sur cette dernière disposition sont toutefois subsidiaires à celles qui sont fondées sur des lois spéciales, telles singulièrement la LCD (ATF 121 III 168 consid 3b/aa p. 173).
Selon la jurisprudence constante, la protection de la personnalité peut être invoquée tant par une personne physique que par une personne morale, dans la mesure où elle ne touche pas à des caractéristiques qui, en raison de leur nature, appartiennent seulement aux personnes physiques (ATF 121 III 168 consid. 3a p. 171; 108 II 241 consid. 6 p. 244 et l'arrêt cité). Au nombre des droits de la personnalité dont peuvent se prévaloir les personnes juridiques figurent notamment le sentiment de l'honneur (cf. ATF 96 IV 148/149), la protection de la sphère privée ou secrète (ATF 97 II 97 consid. 2 p. 100), le droit à la considération sociale (ATF 121 III 168 consid. 3a p. 171) et le droit au libre développement économique, qui est assuré actuellement dans une large mesure par la LCD (ATF 121 III 168 ibidem).
Le Tribunal fédéral, à l'occasion d'un obiter dictum de l'ATF 60 II 326 consid. 2 p. 331, a jugé qu'une société anonyme, dont une publicité avait été taxée de bobards (" Schwindel "), était en principe en droit de réclamer à l'auteur de l'atteinte une indemnité pour tort moral selon les réquisits de l'art. 49 aCO (disposition qui, dans sa teneur avant le 1er juillet 1985, outre la gravité particulière de l'atteinte au sens de l'art. 49 CO, faisait de celle de la faute une condition du versement de l'indemnité). Dans l'ATF 64 II 14 consid. 4 p. 21/22, il a admis, en se référant au précédent précité, que les personnes juridiques ont droit à une satisfaction morale, pourvu que l'atteinte frappe des intérêts qui ne sont pas uniquement l'apanage d'une personne physique. A l'ATF 95 II 481 consid. 12b p. 502, où une société anonyme faisait valoir une atteinte à ses intérêts personnels par la voie de la presse, le Tribunal fédéral a reconnu implicitement que cette société pouvait se prévaloir de l'art. 49 aCO, mais que les conditions exigées par cette norme pour obtenir une réparation morale n'étaient pas réunies. Enfin, dans un arrêt publié aux ATF 108 II 422 ss où il était question de l'indemnisation du tort moral en cas de lésions corporelles, instaurée spécialement par l'art. 47 CO, le Tribunal fédéral a fait une brève allusion, au considérant 4c p. 431, au principe jurisprudentiel de l'allocation d'indemnités satisfactoires aux personnes juridiques.
Cette jurisprudence a suscité les critiques de plusieurs auteurs. PIERRE TERCIER (le nouveau droit de la personnalité 1984, ch. 2041 p. 269) est d'avis que si le tort moral est défini strictement, on ne voit pas comment les personnes morales pourraient ressentir des souffrances, ni surtout comment il serait possible d'apaiser celles-ci par le versement d'une somme d'argent. Pour FRANZ WERRO (La responsabilité civile, 2e éd., 2011, ch. 172 p. 55), les personnes morales n'ayant pas de perception de la souffrance, il est contestable d'admettre qu'elles puissent subir un tort moral. Le MÊME AUTEUR (in Commentaire romand, Code des obligations, vol. I, 2003, n° 4 ad Intro. art. 47-49 CO et n° 8 ad art. 49 CO) n'avait fait auparavant que citer la jurisprudence et relever l'existence de divergences doctrinales, mais sans prendre position. HANS MERZ (Traité de droit privé suisse, VI/1, 1993, Traduction française de PIERRE GIOVANNONI, § 18, Le tort moral et sa réparation, p. 215) professe que l'on devrait refuser une indemnité pour tort moral à une personne morale, qui, par nature, n'a pas de conscience propre, et donc conscience d'une atteinte à ses intérêts personnels. VITO ROBERTO/STÉPHANIE HRUBESCH-MILLAUER (Offene und neue Fragestellungen im Bereich des Persönlichkeitsschutzes, in Festschrift Jean Nicolas Druey, 2002, p. 241) affirment que, s'agissant des personnes morales, les atteintes au droit de la personnalité ne peuvent provoquer que des dommages patrimoniaux. MAX KELLER/SONJA GABI (Haftpflichtrecht, 2e éd., 1988, p. 123), avec une référence à l'art. 53 CC, déclarent qu'il est discutable d'admettre que les personnes morales ont la capacité de souffrir de tort moral.
D'autres auteurs approuvent la jurisprudence susmentionnée du Tribunal fédéral. Ainsi, ROLAND BREHM (Berner Kommentar, 3e éd. 2006, nos 42/43 ad art. 49 CO) souligne que dès l'instant où une personne juridique agit et donne expression à sa volonté par ses organes, peu importe qu'elle ne soit pas à même de ressentir une souffrance, puisque ses organes peuvent éprouver pour elle une atteinte à la personnalité; il faut toutefois tenir compte, ajoute-t-il, qu'un organe social ressent normalement moins fortement une atteinte aux droits de la personnalité si elle est dirigée contre la personne morale que si elle est dirigée contre sa propre personne, de sorte que l'octroi d'une indemnité satisfactoire à une personne juridique doit être soumise à des critères plus stricts que si la victime est une personne physique. CHRISTIAN HEIERLI/ANTON K. SCHNYDER (in Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 5e éd. 2011, n° 7 ad art. 49 CO) et HARDY LANDOLT (Zürcher Kommentar, 3e éd. 2007, nos 15/16 ad art. 49 CO), reconnaissant que les personnes morales peuvent être atteintes dans leurs intérêts personnels, tels le droit au nom, la protection de l'honneur et celle de la sphère privée et secrète, adhérent à la jurisprudence qui permet d'accorder à celles-ci une indemnité pour tort moral sur la base de l'art. 49 CO. HEINZ REY (Ausservertragliches Haftpflichtrecht, 4e éd. 2008, ch. 484 p. 111), rappelant qu'il existe à ce sujet une controverse doctrinale, expose que s'il va de soi qu'une personne morale ne peut pas obtenir une indemnité pour tort moral d'après l'art. 47 CO, celle-ci peut parfaitement y avoir droit en vertu de l'art. 49 CO.
Les critiques émises par une partie de la doctrine contre la jurisprudence publiée du Tribunal fédéral telle qu'elle a été évoquée n'emportent pas la conviction.
En effet, comme le relève pertinemment CLAIRE HUGUENIN (in Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 4e éd. 2010, n° 5 ad Vor. Art. 52-59 CC), l'étendue de la capacité juridique des personnes morales n'a cessé de se développer en droit suisse depuis la promulgation du Code civil, et cela dans le sens d'une attribution toujours plus grande à ces dernières de droits de la personnalité étendus. Permettre à une personne juridique de requérir paiement d'une indemnité satisfactoire pour réparer une atteinte à ses intérêts personnels non patrimoniaux ne constitue dès lors qu'une étape qui s'inscrit dans ce processus.
A cela s'ajoute que la personne morale, comme création de l'ordre juridique, agit exclusivement par l'entremise de personnes physiques, qui sont ses organes; ces derniers sont des parties de la personne morale elle-même (ATF 121 III 176 consid. 4d p. 182; 112 II 172 consid. II/2c p. 190). Autrement dit, l'acte de l'organe est en règle générale assimilé à celui de la personne juridique, de sorte qu'il existe en principe une unité d'action en ce sens que l'organe et la personne morale sont considérés comme une personne identique (cf. arrêt 4C.44/1998 du 28 septembre 1999 consid. 2d, in sic! 5/2000 p. 407). De par cet emprunt à la théorie de la réalité de la personne morale, il faut admettre, en suivant un raisonnement analogique, qu'un organe d'une personne morale, lorsque celle-ci est victime d'une atteinte à sa personnalité, ressent pour elle une souffrance, qui habilite la personne juridique à réclamer en son nom propre une réparation pour tort moral.
En résumé, il convient de confirmer la jurisprudence, selon laquelle une personne juridique peut faire valoir en justice une demande en réparation du tort moral en application de l'art. 49 CO.
6.2 Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 8 CC qu'aurait commise la cour cantonale pour avoir retenu, sans allégations ni preuves, que la mise en service du site internet litigieux aurait concrètement porté une atteinte grave aux droits de la personnalité de l'intimée.
6.2.1 En l'absence d'une disposition spéciale instituant une présomption, l'art. 8 CC répartit le fardeau de la preuve pour toutes les prétentions fondées sur le droit fédéral et détermine, sur cette base, laquelle des parties doit assumer les conséquences de l'échec de la preuve (ATF 129 III 18 consid. 2.6 p. 24; 127 III 519 consid. 2a p. 522). Il en résulte que la partie demanderesse doit prouver les faits qui fondent sa prétention, tandis que la partie adverse doit prouver les faits qui entraînent l'extinction ou la perte du droit (ATF 130 III 321 consid. 3.1 p. 323). L'art. 8 CC ne prescrit cependant pas comment les preuves doivent être appréciées et sur quelles bases le juge peut forger sa conviction (ATF 128 III 22 consid. 2d p. 25 s.; 127 III 248 consid. 3a p. 253). Savoir si, à l'issue de l'appréciation des preuves, l'existence ou l'inexistence d'un fait doit être considérée comme établie ou douteuse est une question qui ne relève pas de l'art. 8 CC, mais exclusivement de l'appréciation des preuves.
6.2.2 En l'occurrence, la cour cantonale a constaté, notamment sur la base des photographies incorporées par le recourant sur le site " Y.com ", montrant des bateaux de transport maritime en mauvaise posture sur mer ou usés par la rouille, ainsi que deux membres du conseil d'administration de l'intimée en tenue décontractée, dont l'un croise les bras tandis que l'autre tient un fruit à la main, qu'il ressortait une image négative et fort peu professionnelle de l'intimée; le contenu du site était du reste attentatoire à l'honneur de la société et nuisait fortement à son droit au libre épanouissement économique. A partir de ces données, les magistrats genevois ont ad-mis que l'intimée avait subi un préjudice par une atteinte à ses droits personnels et que ce préjudice était suffisamment grave pour permettre l'octroi d'une indemnité satisfactoire.
On voit donc que l'appréciation des preuves produites, singulièrement des éléments visuels introduits par le recourant dans le site en question, a convaincu la cour cantonale de la réalité d'une atteinte grave à la personnalité de l'intimée. Le problème de la répartition du fardeau de la preuve ne se pose ainsi plus. Seule pouvait être invoquée une appréciation arbitraire des preuves, moyen que le recourant n'a pas soulevé et qui ne peut en conséquence être examiné (art. 105 al. 2 et 106 al. 2 LTF).
La critique prise d'une transgression de l'art. 8 CC est dénuée de fondement.
6.3 Il reste à vérifier si la quotité de l'indemnité pour tort moral accordée à l'intimée, par 25'000 fr., respecte les principes juridiques régissant la fixation d'une telle indemnité.
6.3.1 La fixation de l'indemnité pour tort moral est une question d'application du droit fédéral, que le Tribunal fédéral examine donc librement (cf. art. 106 al. 1 LTF). Dans la mesure où celle-ci relève pour une part importante de l'appréciation des circonstances, le Tribunal fédéral intervient avec retenue. Il le fait notamment si l'autorité cantonale a mésusé de son pouvoir d'appréciation, en se fondant sur des considérations étrangères à la disposition applicable, en omettant de tenir compte d'éléments pertinents ou encore en fixant une indemnité inéquitable parce que manifestement trop faible ou trop élevée (ATF 123 III 306 consid. 9b p. 315). Comme il s'agit toutefois d'une question d'équité - et non pas d'une question d'appréciation au sens strict, qui limiterait son examen à l'abus ou à l'excès du pouvoir d'appréciation -, le Tribunal fédéral examine librement si la somme allouée tient suffisamment compte de la gravité de l'atteinte ou si elle est disproportionnée par rapport à l'intensité des souffrances morales causées à la victime (ATF 130 III 699 consid. 5.1 p. 705; arrêt 2C_294/2010 du 28 avril 2011 consid. 3.2).
6.3.2 Au considérant 10.4 de l'arrêt déféré, l'autorité cantonale a écrit que la jurisprudence fédérale ne contient que peu d'exemples où des indemnités pour tort moral ont été versées à des personnes juridiques. Relevant que le montant accordé est généralement plutôt modeste, elle se réfère à un précédent ancien (ATF 79 II 409 consid. 5) et fait allusion à une somme de 5'000 fr. Toutefois, il appert d'emblée, à la lecture du considérant 5 de cet arrêt rendu en 1953 (cf. ATF 79 II 422), que la somme de 5'000 fr. octroyée à la personne morale demanderesse recouvrait globalement la réparation tant du dommage subi que du tort moral éprouvé. Ce précédent n'est donc pas déterminant pour la question à résoudre.
6.3.3 S'agissant de la fixation du tort moral en cas d'atteinte à la personnalité, que le lésé soit une personne physique ou une personne juridique, KLAUS HÜTTE ET AL. (Le tort moral, 3e éd. 2005, n° I/118a, ch. 12) avertissent que celui qui cherche de la jurisprudence en la matière se heurtera à des difficultés, car une présentation comparative ou seulement informative des arrêts sur le tort moral dans ce domaine n'est pas connue.
A propos du montant alloué en réparation du tort moral, une comparaison avec d'autres affaires ne doit intervenir qu'avec circonspection, puisque le tort moral ressenti dépend de l'ensemble des circonstances du cas d'espèce. Cela étant, une comparaison n'est néanmoins pas dépourvue d'intérêt et peut se révéler, suivant les occurrences, un élément utile d'orientation (ATF 130 III 699 consid. 5.1 p. 705). A défaut d'études comparatives fouillées sur l'octroi d'indemnités satisfactoires en cas d'atteintes aux droits de la personnalité, il sied de se pencher sur des décisions (rendues après 2000) se rapportant au tort moral lors de décès ou de lésions corporelles au sens de l'art. 47 CO, norme qui n'est qu'un cas particulier d'application de la règle générale de l'art. 49 CO (ATF 123 III 204 consid. 2e p. 210 et l'arrêt cité).
6.3.4 En 2001, l'Obergericht du canton de Zurich a rendu un arrêt par lequel il a alloué une indemnité satisfactoire de 20'000 fr. à un enfant de six ans dont la mère a été victime d'un meurtre (cf. KLAUS HÜTTE ET AL., Le tort moral, Tableaux de jurisprudence comprenant des décisions judiciaires rendues de 1990 à 2005, 3e éd., 8/05, IV/3, ch. 7).
Il résulte d'un arrêt 6S.295/2003 du 10 octobre 2003, consid. 2.2, que le Tribunal fédéral a accordé 25'000 fr. pour tort moral à chacun des enfants à la suite du meurtre de leur père. Le Tribunal fédéral a précisé qu'un des enfants, âgé alors de quatre ans, a durement ressenti la perte de son père et doit suivre une thérapie, ajoutant encore que pour chacun d'entre eux le fait de grandir sans leur père pèsera sur leur vie future.
Dans le cas d'un automobiliste blessé dans un accident de la circulation lui ayant causé un traumatisme crânio-cérébral et une contusion cervicale avec troubles sensitifs, troubles ayant généré une incapacité de travail (totale, puis partielle) de huit mois, le Tribunal fédéral a arrêté l'indemnité pour tort moral à 15'000 fr., précisant que cette somme s'inscrit dans la pratique judiciaire actuelle relative à des événements dont la victime peut se remettre en dépit de certaines séquelles (arrêt 4C.433/2004 du 2 mars 2005 consid. 4.3).
Plus récemment, le Tribunal fédéral, dans un arrêt 4A_77/2011 du 20 décembre 2011 consid. 4.7, a jugé conforme au droit l'allocation d'une indemnité de base de 20'000 fr. à un automobiliste de 63 ans ayant subi une fracture ouverte du genou droit, qui a entraîné des douleurs chroniques justifiant l'allocation ultérieure d'une demi-rente d'invalidité du premier pilier.
6.3.5 A la lumière de ces précédents, la somme de 25'000 accordée à l'intimée par l'autorité cantonale pour réparer son tort moral apparaît trop élevée, à telle enseigne qu'elle doit être considérée comme inéquitable et disproportionnée. Selon les constatations cantonales, qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF), le site internet litigieux n'a pu être consulté par le public que pendant deux mois (i.e. du 7 décembre 2009 au 8 février 2010), ce qui est une période relativement brève. Il est donc exclu d'assimiler l'atteinte aux intérêts personnels qui en est résulté à des préjudices immatériels que peut causer la perte d'un parent ou qui provoquent chez le lésé des atteintes physiques durables, à tout le moins des séquelles. Or, dans de telles circonstances, qui suscitent à l'évidence chez le lésé d'importantes souffrances psychiques, il n'a été accordé aux victimes que des montants oscillant entre 15'000 fr. et 25'000 fr. En conséquence, l'indemnité pour tort moral, telle qu'elle a été arrêtée en instance cantonale, n'est pas conforme au droit fédéral. Il convient de la réduire en valeur.
Mais sur quelles bases doit-elle être évaluée dans le cas présent ?
6.3.6 BREHM (op. cit., n° 86 ad art. 49 CO) indique deux critères qui devraient être suivis lorsqu'une autorité judiciaire est amenée à fixer le montant d'une indemnité satisfactoire. Premièrement, cet auteur est d'avis qu'il faut distinguer entre les atteintes qui créent un état durable (à l'instar d'une invalidité qui affecte le lésé sa vie durant) et celles qui s'effacent avec le temps, comme c'est le cas la plupart du temps pour les atteintes à la personnalité; les premières doivent être indemnisées par le versement de sommes plus importantes que celles accordées pour réparer les secondes. Secondement, lorsqu'il existe une atteinte à l'honneur ou au crédit, une différence doit se faire selon que l'atteinte procède d'un acte unique ou selon qu'elle a été propagée dans les médias; dans cette dernière hypothèse, l'atteinte aux droits de la personnalité pèse d'un poids plus important que dans la première, ce qui doit se répercuter sur la quotité de l'indemnité satisfactoire attribuée.
Ces deux critères sont pertinents et peuvent être suivis, à tout le moins lorsqu'une personne juridique est en droit d'obtenir, comme dans le cas présent, réparation pour le tort moral engendré par des atteintes à la personnalité.
D'un côté, il faut prendre en compte que le site internet modifié par le recourant a été accessible au public seulement pendant deux mois, de sorte qu'aucun effet durable n'a été généré. De l'autre, il y a lieu de ne pas perdre de vue que l'atteinte à la personnalité de l'intimée a été diffusée par internet, qui est un système d'interconnexion de réseaux informatiques accessible à toute heure dans le monde entier, par le moyen de communications électroniques toujours plus développées. Ce paramètre est particulièrement important pour une entreprise active dans le transport international de marchandises, dont le marché n'est en principe pas circonscrit à un espace géographique limité.
Tout bien pesé, à considérer encore la volonté délibérée du recourant de nuire à son ancien employeur, il convient d'accorder à l'intimée une indemnité pour tort moral se montant à 10'000 fr., somme qui portera intérêts à 5% l'an dès le 8 janvier 2010.
7. 7.1 En définitive, le recours doit être partiellement admis sur la question de la fixation de l'indemnité satisfactoire. Au titre du tort moral, le recourant sera condamné à verser à l'intimée la somme de 10'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 8 janvier 2010.
L'arrêt attaqué sera confirmé pour le surplus, hormis en ce qui a trait à la fixation des frais et dépens d'instance cantonale, sur laquelle la Cour de justice devra se prononcer à nouveau (art. 67 et 68 al. 5 LTF).
7.2 S'agissant des frais de la procédure fédérale, le recourant voit l'indemnité qu'il avait été condamné à verser à son adverse partie réduite de 60%. Il se justifie ainsi de mettre trois cinquièmes des frais de justice à la charge de l'intimée, le recourant devant en supporter pour sa part deux cinquièmes (art. 66 al. 1, 2e phrase, LTF). L'intimée versera au recourant une indemnité à titre de dépens réduite selon cette proportion (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que le recourant est condamné à verser à l'intimée à titre de tort moral la somme de 10'000 fr., avec intérêts à 5% l'an dès le 8 janvier 2010. L'arrêt attaqué est confirmé pour le reste, hormis en ce qui concerne la fixation des frais et dépens d'instance cantonale.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à concurrence de 1'200 fr. à la charge de l'intimée et de 800 fr. à la charge du recourant.
3. L'intimée versera au recourant une indemnité réduite de dépens arrêtée à 500 fr.
4. La cause est retournée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens d'instance cantonale.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 11 avril 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet