Erwägungen:
1. X._ focht am 25. August 2008 den Rekursentscheid des Departements für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau vom 31. Juli 2008 betreffend Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und Wegweisung beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau an. Mit Schreiben vom 26. August 2008 wurde ihm durch den Präsidenten des Verwaltungsgerichts eine Frist von 14 Tagen zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 500.-- angesetzt, verbunden mit dem Hinweis, dass im Falle einer nicht fristgerechten Bezahlung mit einem kostenpflichtigen Nichteintretensentscheid zu rechnen sei. Das Schreiben wurde von seinem (damaligen) Rechtsvertreter am 27. August 2008 entgegengenommen; der Kostenvorschuss wurde am 12. September 2008 einbezahlt. Nach Einholen einer Stellungnahme beim Rechtsvertreter trat das Verwaltungsgericht mit Entscheid vom 29. Oktober 2008 mangels rechtzeitiger Leistung des Kostenvorschusses auf die Beschwerde nicht ein.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 1. Dezember 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau aufzuheben.
2. 2.1 Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Dabei ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Es muss sich dabei um schweizerisches Recht im Sinne von Art. 95 BGG handeln (nebst Bundesrecht einschliesslich Bundesverfassungsrecht unter anderem auch Völkerrecht und kantonale verfassungsmässige Rechte). Nicht unmittelbar gerügt werden kann daher die Auslegung und Anwendung von kantonalem Recht. Stützt sich ein Entscheid auf kantonales Recht, muss in der Beschwerdeschrift aufgezeigt werden, inwiefern dessen Anwendung zu einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG führt, wobei im Wesentlichen die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten in Betracht fällt; die Verletzung von solchen Rechten (Grundrechte) ist spezifisch zu rügen (Art. 106 Abs. 2 BGG); appellatorische Ausführungen genügen nicht.
2.2 Der angefochtene Entscheid betrifft eine bundesrechtlich geregelte Aufenthaltsbewilligung; da ein - bedingter - Rechtsanspruch auf deren Erneuerung besteht, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Grundlage des Nichteintretensentscheids ist indessen - ausschliesslich - kantonales Verfahrensrecht. Den Ausführungen in der Beschwerdeschrift lässt sich nicht entnehmen, inwiefern bei dessen Anwendung im beschriebenen Sinn schweizerisches Recht, insbesondere ein verfassungsmässiges Recht verletzt worden sei. Die Beschwerdeschrift enthält mithin offensichtlich keine hinreichende, den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügende Begründung (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), weshalb auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
2.3 Ergänzend ist darauf hinzuweisen, dass der Beschwerde im Eintretensfall offensichtlich kein Erfolg beschieden gewesen wäre: Nachdem der Beschwerdeführer, trotz Hinweises auf die Säumnisfolgen, den Kostenvorschuss unbestrittenermassen verspätet bezahlt hat, ist unerfindlich, inwiefern der angefochtene Nichteintretensentscheid im Sinne von Art. 95 BGG rechtsverletzend kantonales Recht (vorab § 79 des Thurgauer Gesetzes vom 23. Februar 1981 über die Verwaltungsrechtspflege [VRG]) missachtet haben könnte. Sodann ist keine Rechtsnorm bzw. kein Rechtsgrundsatz ersichtlich, der die Rechtsmittelbehörde dazu verpflichtete, im Rahmen der Kostenvorschussverfügung eine Partei ausdrücklich auf die Möglichkeit der unentgeltlichen Rechtspflege hinzuweisen; ohnehin war der Beschwerdeführer im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht rechtskundig vertreten, und die Kostenvorschussverfügung war denn auch nicht ihm selber, sondern seinem Rechtsvertreter zugestellt worden.
2.4 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Sollte er angesichts seiner Bemerkungen zur Frage der unentgeltlichen Rechtspflege im kantonalen Beschwerdeverfahren sinngemäss auch für das bundesgerichtliche Verfahren um Kostenbefreiung ersucht haben wollen, wäre einem solchen Gesuch nicht zu entsprechen, da die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien (vgl. Art. 64 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 300.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt, dem Departement für Justiz und Sicherheit sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller