Sachverhalt:
A. Die 1974 geborene A._ war von Januar 2005 bis Dezember 2007 zu einem Pensum von 70 % als Direktorin des Istituto S._ angestellt und deshalb bei der C._ Sammelstiftung (nachfolgend: Pensionskasse) für die berufliche Vorsorge versichert. Im Februar 2008 meldete sie sich unter Verweis auf posttraumatische Belastungsstörung und Dissoziation bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens ermittelte die IV-Stelle des Kantons Thurgau eine Einschränkung von 100 resp. 87 %, weshalb sie A._ mit Verfügungen vom 16. Juli 2009 eine ganze Invalidenrente ab 1. Juni 2008 zusprach. Vorbescheid und Verfügung stellte sie auch der Pensionskasse zu.
Mit Schreiben vom 8. Juni 2010 verneinte die Pensionskasse eine Leistungspflicht aus beruflicher Vorsorge mit der Begründung, die Erwerbsfähigkeit der Versicherten sei bereits beim Eintritt in die Kasse erheblich eingeschränkt gewesen.
B. In Gutheissung der von A._ erhobenen Klage verpflichtete das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 13. November 2012 die Pensionskasse, ihr ab dem 1. Juni 2008 eine ganze Invalidenrente aus obligatorischer beruflicher Vorsorge zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 1. Mai 2012 bzw. ab späterem Fälligkeitsdatum auszurichten.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Pensionskasse, der Entscheid vom 13. November 2012 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass der IV-Entscheid keine Bindungswirkung entfalte und sie nicht zuständig sei zur Ausrichtung von Invalidenleistungen.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.1 2.1.1 Nach Art. 23 lit. a BVG (SR 831.40) hat Anspruch auf eine Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge, wer im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 40 % invalid ist und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war. Entscheidend im Rahmen von Art. 23 BVG ist einzig der Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit (zu diesem Begriff vgl. BGE 130 V 343 E. 3.1 S. 345 f. mit Hinweisen; SZS 2003 S. 521, B 49/00 E. 3), unabhängig davon, in welchem Zeitpunkt und in welchem Masse daraus ein Anspruch auf Invalidenleistungen entsteht. Die Versicherteneigenschaft muss nur bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit gegeben sein, dagegen nicht notwendigerweise auch im Zeitpunkt des Eintritts oder der Verschlimmerung der Invalidität. Für eine einmal aus - während der Versicherungsdauer aufgetretener - Arbeitsunfähigkeit geschuldete Invalidenleistung bleibt die Vorsorgeeinrichtung somit leistungspflichtig, selbst wenn sich nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses der Invaliditätsgrad ändert. Entsprechend bildet denn auch der Wegfall der Versicherteneigenschaft keinen Erlöschungsgrund (Art. 26 Abs. 3 BVG e contrario; BGE 123 V 262 E. 1a S. 263; 118 V 35 E. 5 S. 45). Umgekehrt entfällt im Anwendungsbereich von Art. 23 lit. a BVG die Leistungspflicht einer Vorsorgeeinrichtung, wenn die massgebliche Arbeitsunfähigkeit bereits vor der Entstehung des Versicherungsverhältnisses eintrat (Urteil 9C_536/2012 vom 28. Dezember 2012 E. 2.1.1; HANS-ULRICH STAUFFER, Berufliche Vorsorge, 2. Aufl. 2012, S. 333 f. N. 914; derselbe, Die berufliche Vorsorge, in: Murer/Stauffer [Hrsg.], Die Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, 2. Aufl. 2006, S. 52 und 56; ISABELLE VETTER-SCHREIBER, Kommentar zum BVG, Zürich 2009, N. 8 zu Art. 23 BVG).
2.1.2 Die Arbeitsunfähigkeit ist relevant, wenn sie mindestens 20 % beträgt (Urteil 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 3.2; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 48/97 vom 7. Oktober 1998 E. 1) und sich auf das Arbeitsverhältnis sinnfällig auswirkt oder ausgewirkt hat. Es muss arbeitsrechtlich in Erscheinung treten, dass die versicherte Person im bisherigen Beruf (BGE 134 V 20 E. 5.3 S. 27) an Leistungsvermögen eingebüsst hat, so etwa durch einen Abfall der Leistungen mit entsprechender Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte, gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle. Der Zeitpunkt des Eintritts der berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit muss mit dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 126 V 353 E. 5b S. 360; 125 V 146 E. 2c S. 150 mit Hinweisen; Plädoyer 2009/6 S. 68, 9C_717/2009 E. 3.3; Urteil 8C_635/2012 vom 11. Februar 2013 E. 2, je mit Hinweisen) echtzeitlich nachgewiesen sein. Dieser Nachweis darf nicht durch nachträgliche Annahmen und spekulative Überlegungen ersetzt werden (Urteile 9C_273/2012 vom 20. November 2012 E. 4.1.1; 9C_368/2008 vom 11. September 2008 E. 2).
2.1.2 Die Arbeitsunfähigkeit ist relevant, wenn sie mindestens 20 % beträgt (Urteil 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 3.2; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 48/97 vom 7. Oktober 1998 E. 1) und sich auf das Arbeitsverhältnis sinnfällig auswirkt oder ausgewirkt hat. Es muss arbeitsrechtlich in Erscheinung treten, dass die versicherte Person im bisherigen Beruf (BGE 134 V 20 E. 5.3 S. 27) an Leistungsvermögen eingebüsst hat, so etwa durch einen Abfall der Leistungen mit entsprechender Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte, gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle. Der Zeitpunkt des Eintritts der berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit muss mit dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 126 V 353 E. 5b S. 360; 125 V 146 E. 2c S. 150 mit Hinweisen; Plädoyer 2009/6 S. 68, 9C_717/2009 E. 3.3; Urteil 8C_635/2012 vom 11. Februar 2013 E. 2, je mit Hinweisen) echtzeitlich nachgewiesen sein. Dieser Nachweis darf nicht durch nachträgliche Annahmen und spekulative Überlegungen ersetzt werden (Urteile 9C_273/2012 vom 20. November 2012 E. 4.1.1; 9C_368/2008 vom 11. September 2008 E. 2).
2.2 2.2.1 Vorinstanzliche Feststellungen zur Art des Gesundheitsschadens (Befund, Diagnose etc.) und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, sind für das Bundesgericht grundsätzlich bindend (E. 1; vgl. BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397). Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126, 9C_182/2007 E. 4.1.1). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung darüber erfolgt (SVR 2009 BVG Nr. 7 S. 22, 9C_65/2008 E. 2.2; Urteil 9C_670/2010 vom 23. Dezember 2010 E. 1.2).
2.2.2 Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (BGE 132 I 42 E. 3.1 S. 44). Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf (Botschaft des Bundesrates vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4338; MARKUS SCHOTT, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 9 f. zu Art. 97 BGG). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (Urteil 9C_570/2007 vom 5. März 2008 E. 4.2). Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9; Urteile 8C_5/2010 vom 24. März 2010 E. 1.2; 9C_368/2008 vom 11. September 2008 E. 4.2).
3. 3.1 Es steht fest, dass die Versicherte an einem invalidisierenden Gesundheitsschaden leidet und ihr deswegen spätestens seit 22. Juni 2007 die bisherige Tätigkeit nicht mehr zumutbar ist. Ferner werden der Invaliditätsgrad von 100 resp. 87 % und der allfällige Rentenbeginn (vgl. Art. 26 Abs. 1 BVG; vgl. BGE 129 V 73 E. 4.2.2 S. 76; SVR 2011 BVG Nr. 12 S. 44, 9C_693/2009 E. 5.1) nicht in Abrede gestellt. Streitig und zu prüfen ist die Leistungspflicht der Pensionskasse nur mit Blick auf den Zeitpunkt, in welchem die relevante Arbeitsunfähigkeit eintrat. Mangels Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids durch die Versicherte bildet lediglich der Rentenanspruch aus obligatorischer, nicht aber aus weitergehender beruflicher Vorsorge Streitgegenstand.
3.2 Die Vorinstanz hat gestützt auf die medizinischen Unterlagen festgestellt, dass - abgesehen von einer knapp zweimonatigen abgestuften Arbeitsunfähigkeit im Jahr 2005 - eine länger dauernde Einschränkung der Arbeitsfähigkeit erst ab 22. Juni 2007 bescheinigt werde. Die Versicherte sei bei einer Anstellungsdauer von insgesamt drei Jahren während mehr als zwei Jahren beim Istituto S._ tätig gewesen. Eine frühere ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % sei einzig für die Zeit vom 16. April bis 15. Mai 2000 aktenkundig. Die Versicherte habe im Jahr 2001 die Eidgenössische Maturitätsprüfung abgelegt und berufsbegleitend zur Tätigkeit beim Istituto S._ eine Zusatzausbildung zur Heimleiterin absolviert, was einen guten Gesundheitszustand voraussetze. Durch die gleichzeitige Bewältigung des Arbeitspensums und der Ausbildung sei sie nahezu vollzeitlich ausgelastet gewesen. Somit sei die nachmalig zur Invalidität führende Arbeitsunfähigkeit während des Versicherungsverhältnisses mit der Beschwerdeführerin eingetreten.
3.2 Die Vorinstanz hat gestützt auf die medizinischen Unterlagen festgestellt, dass - abgesehen von einer knapp zweimonatigen abgestuften Arbeitsunfähigkeit im Jahr 2005 - eine länger dauernde Einschränkung der Arbeitsfähigkeit erst ab 22. Juni 2007 bescheinigt werde. Die Versicherte sei bei einer Anstellungsdauer von insgesamt drei Jahren während mehr als zwei Jahren beim Istituto S._ tätig gewesen. Eine frühere ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % sei einzig für die Zeit vom 16. April bis 15. Mai 2000 aktenkundig. Die Versicherte habe im Jahr 2001 die Eidgenössische Maturitätsprüfung abgelegt und berufsbegleitend zur Tätigkeit beim Istituto S._ eine Zusatzausbildung zur Heimleiterin absolviert, was einen guten Gesundheitszustand voraussetze. Durch die gleichzeitige Bewältigung des Arbeitspensums und der Ausbildung sei sie nahezu vollzeitlich ausgelastet gewesen. Somit sei die nachmalig zur Invalidität führende Arbeitsunfähigkeit während des Versicherungsverhältnisses mit der Beschwerdeführerin eingetreten.
3.3 3.3.1 Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin hat die Vorinstanz die Feststellung betreffend den Eintritt der massgeblichen Arbeitsunfähigkeit (E. 2.1.2) ohne Bindung (vgl. BGE 129 V 73 E. 4.2.2 S. 76; SVR 2011 BVG Nr. 12 S. 44, 9C_693/2009 E. 5.1) an den - in dieser Hinsicht nicht aussagekräftigen - Entscheid der IV-Stelle, sondern als Ergebnis freier Beweiswürdigung getroffen. Daran ändert nichts, dass im Ergebnis der festgestellte Zeitpunkt übereinstimmt mit jenem, den die IV-Stelle als Beginn des Wartejahres gemäss Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG betrachtete. Weiter ist es bundesrechtkonform, für den Eintritt der massgeblichen Arbeitsunfähigkeit grundsätzlich auf echtzeitliche ärztliche Einschätzungen abzustellen (E. 2.1.2) und nicht auf subjektive Angaben und Auffassungen der versicherten Person, zumal solche auch nicht genügten, wenn daraus eine Leistungspflicht abgeleitet werden könnte. Zudem hat die Vorinstanz nebst den ärztlich attestierten Einschränkungen weitere Aspekte berücksichtigt, sodass diesbezüglich nicht von Willkür (vgl. E. 2.2.2) gesprochen werden kann. Ferner ist nicht von Belang, dass die Versicherte bereits seit der Kindheit resp. seit Jahren gesundheitlich beeinträchtigt ist; ausschlaggebend ist nicht ein Gesundheitsschaden an sich, sondern die daraus resultierende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Sodann spielt keine Rolle, aus welchen Gründen die früheren Tätigkeiten lediglich im Teilzeitpensum ausgeübt wurden; entscheidend ist, ob die Versicherte bei Stellenantritt im Istituto S._ und seither ununterbrochen (vgl. Art. 88a Abs. 1 IVV [SR 831.201]; BGE 134 V 20 E. 3.2.1 S. 22) in ihrer Arbeitsfähigkeit erheblich eingeschränkt war. Aus der Bestätigung der U._ vom 20. Februar 2012 ergibt sich, dass die Beschwerdegegnerin neben ihrem Arbeitspensum im Umfang von 70 % zwischen dem 19. April 2005 und 29. Juni 2006 rund 120 Arbeitstage - d.h. durchschnittlich rund zwei Tage pro Woche - für die erfolgreich abgeschlossene Weiterbildung zur Heimleiterin aufwendete. Inwiefern schliesslich unter diesen Umständen der vorinstanzliche Verzicht auf weitere Abklärungen eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (vgl. Art. 73 Abs. BVG) darstellen und nicht in zulässiger antizipierender Beweiswürdigung (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236; 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 124 V 90 E. 4b S. 94) erfolgt sein soll, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht dargelegt.
3.3.2 Nach dem Gesagten beruhen die vorinstanzlichen Feststellungen (E. 3.2) nicht auf einer Rechtsverletzung. Sie sind auch nicht offensichtlich unrichtig (E. 2.2.2), weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich bleiben (E. 1).
3.4 Schliesslich kann die Beschwerdeführerin nichts für sich ableiten, indem sie sich auf die objektive Beweislast beruft. Nachdem die Arbeitsunfähigkeit spätestens ab 22. Juni 2007 feststand, stellt die Behauptung, dass die Versicherte bereits ab Stellenantritt und seither ununterbrochen erheblich arbeitsunfähig gewesen sein soll, eine rechtsaufhebende Tatsache (vgl. Art. 8 ZGB; AJP 2012 S. 1472, 4A_709/2011 E. 3.3) dar. Ist sie - wie hier (E. 3.3) - nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit (E. 2.1.2) erstellt, hat die Pensionskasse die Folgen der Beweislosigkeit zu tragen. Die Beschwerde ist unbegründet.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. April 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann