Sachverhalt:
Mit Entscheid vom 2. September 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine Beschwerde des Dr. S._ ab, soweit darauf eingetreten wurde. Dagegen erhob Dr. S._ mit Eingabe vom 10. Oktober 2008 Beschwerde. Nach einer Mitteilung des Bundesgerichts vom 13. Oktober 2008 reichte er am 15. Oktober 2008 nebst einer Eingabe "Pro memoria" und einem "Begleitbrief" eine ergänzte Beschwerde ein. - Das Bundesgericht wies mit Verfügung vom 7. November 2008 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren wegen Aussichtslosigkeit ab. Dr. S._ hat in der Folge den vom Gericht einverlangten Kostenvorschuss am 15. Dezember 2008 geleistet und ist mit weiteren Eingaben an das Gericht gelangt. - Auf die Begehren und deren Begründung wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen.
Erwägungen:
1. Die nach der Mitteilung des Bundesgerichts vom 13. Oktober 2008 ergänzte Beschwerde vom 15. Oktober 2008 richtet sich gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 2. September 2008 betreffend Sozialhilfe, mit dem die Vorinstanz die Übernahme von Anwaltskosten durch die Sozialhilfebehörde ablehnte und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege infolge Aussichtslosigkeit der Begehren abwies, soweit darauf einzutreten war. Insoweit der Beschwerdeführer im letztinstanzlichen Verfahren andere Begehren stellt, so u.a. die Überprüfung von "Rechtsmittelbelehrungen der Vorinstanzen" verlangt, fehlt es an einem Anfechtungsgegenstand (BGE 122 V 34 E. 2a S. 36 mit Hinweisen). Diesbezüglich kann auf die Beschwerde zum Vornherein nicht eingetreten werden.
2. Fraglich und zu prüfen ist nach dem in E. 1 hievor Gesagten, ob das kantonale Gericht das gegen die Nichtübernahme von Anwaltskosten durch die Sozialhilfebehörde gestellte Begehren und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege infolge Aussichtslosigkeit der Begehren zu Recht abgewiesen hat, soweit es darauf eintrat.
2.1 Bezüglich der Kostenübernahme für anwaltliche Beratung stützt sich der vorinstanzliche Entscheid auf das Sozialhilfegesetz vom 14. Juni 1981 (SHG/ZH), mithin auf kantonales Recht. Bei der Anfechtung eines solchen Entscheides, bei dem allenfalls auch eine Verletzung von Grundrechten in Frage steht, kann die Überpüfung durch das Bundesgericht nur insofern erfolgen, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 95 und 106 Abs. 2 BGG; vgl. nunmehr BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246 mit weiteren Hinweisen). Diesen Anforderungen genügen die Eingaben des Beschwerdeführers offensichtlich nicht, obwohl das Bundesgericht auf die entsprechenden Formerfordernisse in der Mitteilung vom 13. Oktober 2008 noch eigens hingewiesen hatte. Dabei vermag der Beschwerdeführer auch aus dem geltend gemachten Zeitmangel - er führt aus, "gerade einmal 24 h Zeit zur Verfügung" (gehabt) zu haben - nichts für sich abzuleiten, hat er es doch selbst zu vertreten, wenn er sich "nicht sofort um diese Angelegenheit (gekümmert)" hat. Ebenfalls ist es nicht Sache des Bundesgerichts, ihm "unverzüglich" einen unentgeltlichen Rechtsbeistand beizugeben, zumal die Voraussetzungen hiefür nicht gegeben sind (vgl. nachstehende E. 2.2 sowie Verfügung des Bundesgerichts vom 7. November 2008).
2.2 Was die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (im Sinne der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung) anbelangt, hat die Vorinstanz das Begehren zufolge Aussichtslosigkeit der Verfahren abgewiesen (vgl. Art. 29 Abs. 3 BV; § 16 Abs. 1 VRG/ZH). Die vom Beschwerdeführer dagegen vorgebrachten Einwände, welche sich - soweit wesentlich - in rein appellatorischer Kritik erschöpfen, vermögen hieran nichts zu ändern. Im Übrigen sind die nach dem 20. Oktober 2008 dem Bundesgericht zugestellten Eingaben nach Ablauf der Rechtsmittelfrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereicht worden, weshalb darauf nicht einzutreten ist. Es muss daher bei den Erwägungen des vorinstanzlichen Entscheides sein Bewenden haben.
3. Die Beschwerde erweist sich - soweit nicht unzulässig (vgl. E. 1 und E. 2.1 f. hievor) - als offensichtlich unbegründet und ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG (summarische Begründung) und ohne Schriftenwechsel (Art. 102 BGG) zu erledigen.
4. Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, dem Bezirksrat Meilen, der Sicherheitsdirektion (Kantonales Sozialamt) und dem Regierungsrat des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Januar 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz