Fatti:
A. Per decisione del 23 novembre 2011 l'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha respinto una domanda di prestazioni di P._, nato nel 1976, per carenza di invalidità pensionabile.
Il 10 gennaio 2012 l'interessato si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino al quale ha chiesto il rinvio degli atti all'amministrazione per complemento istruttorio e per nuova decisione. Pendente lite, l'UAI ha emesso il 23 gennaio 2012 una nuova decisione - poi comunicata il 26 gennaio 2012 all'autorità giudiziaria cantonale - con la quale, annullando e sostituendo quella del 23 novembre 2011, assegnava all'interessato una rendita intera dal 1° aprile 2007 al 30 settembre 2008 e poi dal 1° luglio 2009 al 28 febbraio 2011. Anche la nuova decisione indicava alla voce "Mezzi di diritto" la possibilità di impugnarla entro 30 giorni dalla sua notifica. Con atto pervenuto il 26 gennaio 2012 al Tribunale cantonale la patrocinatrice dell'assicurato ha quindi comunicato che "considerata la nuova decisione emessa dall'Ufficio AI in data 23.01.2012 in sostituzione della decisione 23.11.2011 e rilevato che il gravame è diventato privo di effetto, si chiede il relativo stralcio, previa assegnazione delle ripetibili a favore della scrivente". A seguito di tale comunicazione, la Corte cantonale ha rilevato che la nuova decisione accoglieva integralmente le richieste ricorsuali e che l'assicurato aderiva alla nuova decisione del 23 gennaio 2012 rendendo così privo di oggetto il ricorso. Di conseguenza ha stralciato dai ruoli la causa e ha attribuito a P._ fr. 800.- a titolo di ripetibili (decreto del 30 gennaio 2012).
B. Il 17 febbraio 2012 l'assicurato si è aggravato al Tribunale cantonale delle assicurazioni avverso la decisione del 23 gennaio 2012 chiedendo (nuovamente) il rinvio degli atti all'UAI per complemento istruttorio e per nuova decisione.
Statuendo il 29 agosto 2012, la Corte cantonale ha dichiarato inammissibile il nuovo ricorso. Il giudice di prime cure ha infatti ritenuto che con la richiesta di stralcio del ricorso del 10 gennaio 2012, riconosciuto privo di effetto, l'assicurato aveva integralmente aderito anche alla nuova decisione del 23 gennaio 2012 la quale, essendo stata emanata pendente lite, doveva considerarsi impugnata unitamente a quella del 23 novembre 2011. Per il resto, ha rilevato l'assenza di contestazione, entro il termine di 30 giorni, davanti al Tribunale federale del decreto di stralcio del 30 gennaio 2012 come pure l'impossibilità di qualificare la nuova richiesta ricorsuale alla stregua di una domanda di revisione processuale della medesima decisione di stralcio.
C. P._ ha presentato ricorso al Tribunale federale al quale chiede di annullare la pronuncia cantonale del 29 agosto 2012 e di rinviare gli atti all'istanza precedente affinché entri nel merito del ricorso 17 febbraio 2012 contro la decisione amministrativa del 23 gennaio 2012.
L'UAI propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali (UFAS) ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. Il ricorso è diretto contro una decisione d'inammissibilità pronunciata da un'autorità cantonale d'ultima istanza. Esso è ammissibile poiché è riferito al tema specifico della causa e più precisamente perché contesta i motivi che hanno indotto la Corte cantonale a ritenere irricevibile il gravame cantonale del 17 febbraio 2012 (v. DTF 123 V 335).
2. 2.1 Oggetto del contendere è unicamente la pronuncia del 29 agosto 2012 con cui il Tribunale cantonale ha dichiarato irricevibile il nuovo ricorso contro la decisione del 23 gennaio 2012. Non fa per contro parte dell'oggetto della lite il decreto di stralcio del 30 gennaio 2012 contro il quale l'assicurato non ha ricorso. Va dunque verificato se la Corte cantonale ha a ragione negato la possibilità di impugnare la decisione del 23 gennaio 2012.
2.2 Il ricorrente ribadisce sostanzialmente quanto già sostenuto in sede di ricorso cantonale, ovvero che avendo fatto affidamento sull'indicazione dei rimedi di diritto nella decisione del 23 gennaio 2012 e quindi sulla sua impugnabilità, egli ha ritenuto di dovere chiedere lo stralcio del ricorso che non aveva più oggetto "visto che la decisione AI del 23.11.2011 era stata annullata e visto che erano stati nuovamente accordati i mezzi di diritto". Ritenendo in buona fede, in virtù di tale indicazione, che la nuova decisione fosse impugnabile, egli non ha contestato il decreto di stralcio, benché erroneo. A sostegno della propria tesi, rinvia alla circolare dell'UFAS sul contenzioso in materia di AVS/AI/IPG e PC, che ricorda come una nuova decisione emanata dall'amministrazione pendente lite sia (ugualmente) soggetta a ricorso, e soprattutto alla giurisprudenza elaborata dal Tribunale federale delle assicurazioni in DTF 109 V 234 che garantisce a un amministrato il diritto di ricorrere qualora egli abbia ritirato un gravame in seguito a un'affermazione dell'autorità assicurantegli segnatamente la resa di una nuova decisione a sua volta impugnabile.
3. 3.1 Come rettamente esposto dal giudice di prime cure, giusta l'art. 53 cpv. 3 LPGA, l'assicuratore può riconsiderare una decisione o una decisione su opposizione, contro le quali è stato inoltrato ricorso, fino all'invio del suo preavviso all'autorità di ricorso. Tale principio - peraltro già sancito dalla legge federale sulla procedura amministrativa (PA) al suo art. 58 cpv. 1 - è ripreso dall'art. 6 cpv. 1 della legge ticinese di procedura per le cause davanti al Tribunale cantonale delle assicurazioni del 23 giugno 2008 (Lptca; RL/TI 3.4.1.1), il quale, inoltre, al suo cpv. 3 precisa in particolare che il Tribunale cantonale continua la trattazione del ricorso in quanto non sia divenuto senza oggetto per effetto della nuova decisione. Anche questa disposizione ricalca quanto già previsto dalla PA all'art. 58 cpv. 3.
3.2 Se l'autorità inferiore (in casu: l'UAI) emana pendente lite una nuova decisione (in casu: quella del 23 gennaio 2012), questa annulla e sostituisce la decisione impugnata (in casu: quella del 23 novembre 2011) e viene perlopiù considerata come ugualmente impugnata ("als mitangefochten"; DTF 107 V 250 consid. 3 pag. 252 seg.; Andrea Pfleiderer, in: Waldmann/Weissenberger, Praxiskommentar VwVG, 2009, n. 44 e 46 ad art. 58; Franz Schlauri, Die Neuverfügung lite pendente in der Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts, in: Aktuelle Rechtsfragen der Sozialversicherungspraxis, 2001, pag. 193). Ciò significa che di principio il giudice non può, a causa della litispendenza, entrare nel merito di un nuovo ricorso (cautelativamente) inoltrato contro la nuova decisione, ma può tutt'al più considerarlo come una proposta di giudizio (Pfleiderer, op. cit., n. 46 ad art. 58; Roger Hischier, Die Wiedererwägung pendente lite im Sozialversicherungsrecht, in RSAS 1997, pag. 451; cfr. pure sentenza inedita del Tribunale federale delle assicurazioni H 131/99 del 19 ottobre 1999).
3.3 Nel caso di specie, dopo l'emissione della nuova decisione da parte dell'UAI, l'assicurato ha chiesto di stralciare la causa, lasciando intendere al giudice di prime cure di non avere più un interesse giuridico attuale a che quest'ultimo statuisse sul ricorso. È vero che la patrocinatrice di P._ nell'atto pervenuto il 26 gennaio 2012 al Tribunale cantonale delle assicurazioni non ha espressamente indicato di aderire alla nuova decisione e che ciò avrebbe dovuto indurre il giudice di prime cure a maggior prudenza. Nondimeno, come già ricordato, il decreto di stralcio con il quale il Tribunale cantonale delle assicurazioni ha ritenuto il 30 gennaio 2012 che la nuova decisione dell'UAI del 23 gennaio 2012 accoglieva integralmente le richieste ricorsuali e che l'assicurato aderiva a questo nuovo provvedimento, è rimasto formalmente incontestato. Ciò significa che nel dichiarare privo di oggetto il ricorso e nel stralciarlo dai ruoli, l'oggetto controverso è di per sé stato sottratto alla competenza del giudice (v. per analogia DTF 109 V 234 consid. 3 pag. 238). Analogamente a quanto si è già avuto modo di affermare per il ritiro del ricorso e per il suo conseguente stralcio, è come se il gravame non fosse stato presentato (cfr. sentenza 1C_19/2010 del 17 settembre 2010 consid. 3.1 in fine; sulle analogie tra ritiro del ricorso in seguito a riesame pendente lite e transazione extra-giudiziaria cfr. inoltre Kölz/Bosshart/Röhl, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 2a ed., 1999, n. 16 e 23 ad § 28).
3.4 Ciò posto, rimangono tuttavia riservate, come già stabilito proprio nel predetto ambito, le situazioni soggette alla protezione della buona fede o inficiate da un vizio di volontà (DTF 109 V 234 consid. 3 pag. 237 seg.; sentenza citata 1C_19/2010 consid. 3.1 in fine).
3.4.1 Così, in DTF 109 V 234 consid. 3 pag. 238 il Tribunale federale delle assicurazioni ha effettivamente osservato, come rileva il ricorrente, che un amministrato non deve subire pregiudizio qualora egli, a dipendenza di un comportamento dell'amministrazione idoneo a suscitare un affidamento degno di essere tutelato, si astiene dal fare valere i propri diritti omettendo di continuare normalmente la procedura incoata. La rinuncia o la perdita di diritti nella procedura sono senza effetto giuridico per l'amministrato qualora esse siano state determinate da un comportamento affidante dell'autorità. In particolare l'amministrato deve essere mantenuto nel suo diritto di ricorrere qualora egli abbia rinunciato ad interporre ricorso o ritirato un gravame in seguito ad un'affermazione dell'autorità assicurantegli la prossima resa di una nuova decisione a sua volta impugnabile o che la precedente decisione non avrebbe esplicato effetti. Nella succitata decisione, il Tribunale federale delle assicurazioni ha applicato questi principi al caso di un assicurato il quale, per la resa di una decisione nulla e di cui egli ignorava la nullità, era stato indotto a ritirare un rimedio giuridico. Lo stesso Tribunale ha concluso che il principio dell'affidamento vuole che in siffatte circostanze il ritiro del gravame vada considerato come non avvenuto.
3.4.2 Mutatis mutandis, nulla osta di ritenere che, per avere confidato - conformemente all'indicazione dei rimedi giuridici nella decisione del 23 gennaio 2012 - nella possibilità di impugnare separatamente il nuovo provvedimento emanato pendente lite, l'assicurato sia effettivamente stato indotto a chiedere lo stralcio del ricorso. In tali circostanze è però evidente che - quantomeno nelle (erronee) intenzioni dell'assicurato - la richiesta di stralcio fosse diretta contro la sola decisione del 23 novembre 2011 e che dunque lo stralcio del ricorso sia - in virtù del predetto affidamento - da considerare come non avvenuto nei confronti della decisione del 23 gennaio 2012.
3.4.3 Del resto il principio secondo cui l'inesatta indicazione dei rimedi giuridici non può cagionare alle parti alcun pregiudizio, ha una portata generale. Se questa indicazione è dunque errata o incompleta, il ricorrente ha di massima il diritto di prevalersene secondo il principio della buona fede, diritto che tuttavia non gli compete se l'inesattezza dell'indicazione gli fosse conosciuta o, comunque, facilmente riconoscibile in ragione di elementi non solo oggettivi ma anche soggettivi, e usando la dovuta diligenza. Soltanto una grave negligenza processuale può ostare alla protezione della buona fede. La giurisprudenza ha stabilito che, in particolare, non merita protezione la parte il cui avvocato avrebbe potuto scoprire l'omissione o l'errore, rispettivamente colmare la lacuna dell'indicazione, attraverso la sola lettura dei testi legali, senza ricorrere alla consultazione della giurisprudenza e della dottrina (DTF 138 I 49 consid. 8.3.2 pag. 53 seg.; 135 III 374 consid. 1.2.2.1 pag. 376; 134 I 199 consid. 1.3.1 pag. 202 seg.). Orbene, laddove sostiene che la patrocinatrice dell'assicurato, prestando la dovuta diligenza e attenzione, non poteva dalla erronea indicazione dei rimedi giuridici essere indotta a misconoscere gli effetti dello stralcio richiesto dopo l'emanazione pendente lite della nuova decisione, il primo giudice non può essere seguito poiché tale valutazione è contraria ai succitati principi. In realtà, la misconoscenza della reale situazione processuale non deriva da una grave negligenza processuale. L'impossibilità di una impugnazione separata della decisione emessa pendente lite - contrariamente all'erronea indicazione - non risulta infatti dalla sola lettura dei testi legali. È vero che dall'art. 6 cpv. 3 Lptca/TI si evince che l'emanazione pendente lite di una nuova decisione non rende automaticamente privo di oggetto un ricorso (bensì solo in caso di corrispondenza con le richieste ricorsuali) e che in questo modo il nuovo provvedimento risulta integrato nell'oggetto della lite rendendo così di per sé superflua una nuova impugnazione. Tuttavia, da simile lettura non si deduce, quantomeno direttamente, anche l'impossibilità per l'interessato di impugnare separatamente la nuova decisione. Addirittura, simile eventualità sembra trovare sostegno in una parte (ancorché minoritaria) della dottrina. Ci si limita qui a rinviare alla tesi (benché ormai datata e isolata) di Felix Bendel (Die pendente lite erlassene neue Verfügung, in: RSAS 1978, pag. 21 seg.), secondo il quale la nuova decisione emessa pendente lite in annullamento e sostituzione di quella impugnata, oltre a rendere - conformemente a quanto ha inteso la patrocinatrice di P._ - privo di oggetto il ricorso (contro la prima decisione), renderebbe necessaria una nuova impugnazione con i rimedi giuridici indicati se l'interessato non intende accettarla (cfr. pure Hischier, op. cit., pag. 452, il quale neppure sembra del tutto escludere la possibilità per l'amministrato di impugnare anche la nuova decisione, ancorché ciò non gli sembri conforme al senso e allo scopo dell'art. 58 PA).
3.5 Avendo per il resto l'assicurato impugnato la decisione del 23 gennaio 2012 nei termini da essa indicati, l'autorità giudiziaria cantonale non poteva negare di entrare nel merito del ricorso del 17 febbraio 2012. Ne segue che, in accoglimento del ricorso, il giudizio impugnato dev'essere annullato e la causa rinviata al Tribunale cantonale delle assicurazioni affinché si pronunci sul merito del gravame interposto contro la decisione del 23 gennaio 2012.
4. Le spese seguono la soccombenza e vanno a carico dell'opponente (art. 66 cpv. 1 LTF). Vincente in lite, il ricorrente, patrocinato da una legale di un'assicurazione di protezione giuridica, ha diritto a ripetibili (art. 68 cpv. 1 LTF; DTF 135 V 473; SVR 2011 IV n. 13 pag. 35 [9C_178/2010]).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è accolto. La sentenza del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 29 agosto 2012 è annullata. La causa è rinviata a detto Tribunale perché statuisca sul merito del ricorso 17 febbraio 2012 di P._ contro la decisione amministrativa del 23 gennaio 2012.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico dell'opponente.
3. L'opponente verserà al ricorrente la somma di fr. 2800.- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.