Faits:
A. G._, née en 1947, a été affiliée auprès de la Caisse cantonale genevoise de compensation en qualité de personne sans activité lucrative à partir du mois d'avril 1991, de salariée d'un employeur non tenu de cotiser dès le mois d'avril 1994, puis de personne sans activité lucrative dès le 1er janvier 2003. A la suite de ce dernier changement d'affiliation, la caisse a fixé à 437 fr. le montant annuel de ses cotisations AVS/AI/APG (décision du 12 juillet 2005). Le 13 janvier 2006, G._ a contesté le bien-fondé des acomptes ultérieurement réclamés par la caisse. Par décision du 16 mars 2006, celle-ci a déclaré irrecevable pour cause de tardiveté, l'opposition ainsi formée par l'assurée contre la décision du 12 juillet 2005.
B. Le 22 avril 2006, G._ a recouru devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève contre cette décision, contestant le changement de statut opéré par la caisse. Au cours d'une audience de comparution personnelle des parties tenue le 13 septembre 2006, la caisse a accepté pour solde de tout compte le paiement par G._, au plus tard le 30 octobre 2006, d'un montant de 1'671 fr. 70 à titre de cotisations dues par celle-ci pour la période courant de janvier 2003 à septembre 2006. Par jugement du 27 septembre 2006, le Tribunal cantonal des assurances sociales, statuant d'accord entre les parties, a ratifié les termes de cet accord.
C. Par arrêt du 31 janvier 2008, le Tribunal fédéral a admis le recours de droit administratif formé par l'Office fédéral des assurances sociales contre ce jugement et annulé celui-ci, la cause étant renvoyée à la juridiction cantonale pour nouveau jugement conformément aux considérants. Il a considéré que la transaction passée in casu devant le Tribunal cantonal des assurances sociales n'était pas compatible avec le droit fédéral, dès lors qu'elle portait exclusivement sur le paiement de cotisations AVS/AI/APG, et qu'il convenait d'annuler le jugement entrepris et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale afin qu'elle statue sur le recours du 22 avril 2006.
D. La Caisse cantonale genevoise de compensation, par courrier du 13 mars 2008, a avisé le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève que G._ s'était acquittée de la somme de 1'671 fr. 10, représentant les cotisations dues pour la période de janvier 2003 à septembre 2006. Considérant que celle-ci avait payé le montant de l'acompte afférent aux mois d'octobre à décembre 2005 qui faisait l'objet de la demande d'acompte du 8 décembre 2005 attaquée dans la présente procédure, la juridiction cantonale, par jugement du 2 avril 2008, a constaté que G._ avait fait droit aux conclusions de la caisse et que le litige était devenu sans objet et elle a radié la cause du rôle.
E. L'Office fédéral des assurances sociales interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation, la cause étant renvoyée au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève afin qu'il statue sur le fond.
Le 1er juillet 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales a déposé ses observations. Dans sa réponse du 8 juillet 2008, G._ conclut au déboutement de la demande de la partie adverse. De son côté, la Caisse cantonale genevoise de compensation conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable.
Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'art. 61 LTF, les arrêts du Tribunal fédéral acquièrent force de chose jugée le jour où ils sont prononcés.
L'autorité de la chose jugée découle de la force jugée et la complète en interdisant de remettre en discussion, dans une nouvelle procédure, ce qui a été définitivement jugé. Savoir ce qui a déjà été jugé est objectivement limité à ce qui a fait l'objet du jugement, c'est-à-dire en principe à son seul dispositif. Toutefois, dans le cas où un arrêt de renvoi est rendu, ses considérants lient aussi bien l'autorité de renvoi que le Tribunal fédéral qui ne saurait revenir sur sa décision à l'occasion d'un recours subséquent (par exemple, arrêt I 711/04 du 6 mars 2006; YVES DONZALLAZ, Commentaire de la Loi sur le Tribunal fédéral, Berne 2008, N. 1660 et 1695 ad Art. 61 LTF et les références sous notes n° 4018, 4110 et 4111). Si les juges de première instance s'écartent du contenu de l'arrêt de renvoi, ils s'exposent à une nouvelle annulation et, si le Tribunal fédéral n'est toujours pas en mesure de statuer sur le fond, à un nouveau renvoi (STEFAN HEIMGARTNER/HANS WIPRÄCHTIGER, in: Basler Kommentar zum BGG, Basel 2008, N. 18 ad Art. 61 BGG; YVES DONZALLAZ, op. cit., N. 1696 ad Art. 61 LTF). Sous réserve de l'admissibilité des nova - question qui relève du droit cantonal -, l'autorité cantonale ne saurait donc se fonder sur des motifs que le Tribunal fédéral a expressément ou implicitement rejetés, ni remettre en cause des points définitivement tranchés dans les considérants de l'arrêt, même si le dispositif prononce une annulation totale et que l'autorité cantonale doit statuer à nouveau sur l'ensemble (YVES DONZALLAZ, op. cit., N. 1697 ad Art. 61 LTF et les arrêts cités sous note n° 4117; NICOLAS VON WERDT, in: Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, N. 9 ad Art. 61 BGG).
1.2 A teneur de l'arrêt du Tribunal fédéral du 31 janvier 2008 (H 195/06), le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève devait statuer sur le recours que l'assurée avait formé le 22 avril 2006 contre la décision de la caisse du 16 mars 2006. Contrairement à ces instructions, l'autorité cantonale n'a pas examiné la légalité de cette décision. En lieu et place, elle a retenu que le montant de 1'671 fr. 70 sur lequel avait porté la transaction avait été payé entre-temps par l'assurée. Cela n'est toutefois pas admissible. En effet, le paiement de la somme de 1'671 fr. 70 fixée par transaction constitue un motif que l'arrêt de renvoi du 31 janvier 2008 a implicitement rejeté, en considérant que la transaction passée in casu n'était pas compatible avec le droit fédéral dès lors qu'elle portait exclusivement sur le paiement de cotisations AVS/AI/APG. Au lieu d'examiner la légalité de la décision du 16 mars 2006, la juridiction de première instance a porté son examen sur la demande d'acompte du 8 décembre 2005 de la caisse, en retenant que l'assurée avait fait droit aux conclusions de la caisse et que le litige était devenu sans objet.
La voie suivie par le Tribunal cantonal des assurances sociales constitue un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst. En conséquence, la cause doit à nouveau lui être renvoyée pour qu'il statue sur le recours dont il est saisi contre la décision de la caisse du 16 mars 2006, selon les formes légales, conformément à l'arrêt du 31 janvier 2008.
2. L'existence d'un déni de justice justifie que les frais judiciaires soient mis à la charge de la République et canton de Genève (art. 66 al. 3 LTF; ATF 133 V 402 consid. 5 p. 407 s. et les références; HANSJÖRG SEILER, in: Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, Bern 2007, N. 43 ad Art. 66 BGG; THOMAS GEISER, in: Basler Kommentar zum BGG, Basel 2008, N. 25 ad Art. 66 BGG).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 2 avril 2008 est annulé, la cause lui étant renvoyée pour nouveau jugement au sens des motifs.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la République et canton de Genève.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 6 avril 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner