Erwägungen:
1. 1.1 X._ ist Staatsangehöriger der Republik Senegal. Er wurde im Jahr 1977 geboren. Ab April 2000 hielt X._ sich während ca. zwei Jahren in der Schweiz auf. Das Asylverfahren, das er nach seiner Einreise eingeleitet hatte, endete mit einem Nichteintretensentscheid. Der Beziehung mit einer Schweizerbürgerin, geboren 1975, entsprang im Dezember 2001 ein Sohn. Im Jahr 2002 verliess X._ die Schweiz vorübergehend, ehe er im März 2003 zurückkehrte. Am 2. Mai 2003 heiratete er hier eine Schweizerbürgerin, die im Jahr 1980 geboren wurde. Im November 2004 und im Dezember 2007 kamen zwei aussereheliche Töchter X._s zur Welt, die in Frankreich bzw. in Senegal leben. Die Ehefrau von X._ beantragte im März 2009 beim Amtsgericht A._ die Scheidung. Die Ehe wurde in der Folge am 30. September 2010 durch das Bezirksgericht B._/ZH geschieden. Wie zuvor die Friedensrichterin in C._/ZH war das Bezirksgericht davon ausgegangen, dass die Eheleute seit Juli 2007 getrennt gelebt hätten. X._ ist in der Schweiz zu einer Freiheitsstrafe von 22 Monaten und in einem anderen Strafverfahren zu einer Busse von Fr. 60.-- verurteilt worden.
1.2 Zum Verbleib bei seiner Ehefrau erhielt X._ nach dem Eheschluss die Aufenthaltsbewilligung. Bis im Juni 2009 bzw. Oktober 2010 war den Migrationsbehörden die aussereheliche Vaterschaft X._s über seine zwei im Ausland lebenden Töchter nicht bekannt. Mit Verfügung vom 29. März 2011 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern die weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab, verweigerte die Erteilung der Niederlassungsbewilligung und ordnete die Wegweisung zum 31. Mai 2011 an. Mit Entscheiden vom 16. November 2011 und vom 8. Juni 2012 bestätigten zunächst das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern und anschliessend das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, die Verfügung der Migrationsbehörde.
1.3 Mit Eingabe vom 13. Juli 2012 erhebt X._ (hienach: der Beschwerdeführer) beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er lässt beantragen, das Urteil vom 8. Juni 2012 sei aufzuheben; es sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. sie sei zu erstrecken. Weiter beantragt er für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
1.4 Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt (Art. 102 Abs. 1 BGG). Über das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege vor Bundesgericht ist mit dem vorliegenden Urteil zu entscheiden.
1.5 Die Eintretensvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Indessen erweist sich das Rechtsmittel als offensichtlich unbegründet, sodass die Beschwerde ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren zu erledigen ist (Art. 109 BGG).
2. Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Erhebung bzw. Würdigung des Sachverhalts (E. 3 hienach). Zudem macht er geltend, die Vorinstanz habe Bundesrecht dadurch verletzt, dass sie seinen Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung verkannt habe (E. 4).
3. 3.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen, soweit rechtserheblich, können nur gerügt werden, falls sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dies ist dann der Fall, wenn der Sachverhalt willkürlich ermittelt worden ist (Art. 9 BV) oder die Sachverhaltsfeststellungen unter Verletzung verfassungsmässiger Rechte und Grundsätze zustande gekommen sind (BGE 135 II 145 E. 8.1 S. 153; Urteil 2C_705/2011 vom 26. April 2012 E. 1.5.1). Zudem muss aufgezeigt werden, dass die Behebung des Mangels für das Verfahren entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
3.2 Der Beschwerdeführer bringt im Wesentlichen vor, seiner Gattin sei die Existenz der beiden Töchter durchaus bekannt gewesen, was auch aus ihren Schreiben vom 11. Mai 2011 bzw. vom 21. Juni 2011 an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern hervorgehe. Die Töchter hätten keinen Scheidungs- oder Trennungsgrund gesetzt. Seine ehemalige Gattin und er hätten nicht den Eindruck, den Migrationsbehörden etwas verschwiegen oder sie gar getäuscht zu haben. In ihrem Schreiben vom 6. Dezember 2011 an seine Anwältin erkläre die frühere Ehefrau, trotz Krisen hätten sie beide eine intakte Ehe geführt. Wenn die Vorinstanz zu einem anderen Schluss gelange und davon absehe, die einstige Gattin als Zeugin einzuvernehmen, obwohl dies mehrfach beantragt worden sei, würdige sie den Sachverhalt einseitig zu seinen Ungunsten und willkürlich. Im Schreiben vom 6. Dezember 2011 habe die geschiedene Ehefrau plausibel dargelegt, dass sie im Scheidungsverfahren einzig deshalb ausgesagt habe, der Beschwerdeführer und sie seien bereits seit zwei Jahren getrennt, weil ihre Anwältin ihr dies empfohlen habe und sie die Scheidung baldmöglichst gewollt habe. Die früheren Schwiegereltern hätten bestätigt, dass die Ehe mehrere Jahre bestanden habe. Von Gefälligkeitsaussagen auszugehen, widerspräche jeder Logik. Zudem habe es die Vorinstanz unterlassen, die Beziehung zu seinem Sohn zu untersuchen, was ebenfalls willkürlich sei.
3.3 Die gerichtliche Beweiswürdigung, selbst wenn sie auf Indizien beruht, und die sich daraus ergebenden tatsächlichen Schlussfolgerungen sind Tatfragen (BGE 133 V 477 E. 6.1 S. 485; 504 E. 3.2 S. 507; 132 V 393 E. 3.3 S. 399; vgl. auch BGE 124 IV 81 E. 2a S. 83 und 122 III 219 E. 3b S. 223 [zum OG]). Als solche sind sie für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (Art. 97 Abs. 1, 105 Abs. 1 und 2 BGG). Nachdem der Sachverhalt im vorliegenden Fall nicht offensichtlich unrichtig erhoben wurde (BGE 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62), liegt es am Beschwerdeführer, die Verfassungsverletzungen nachzuweisen, die er in der Beweiswürdigung zu erkennen glaubt (Art. 106 Abs. 2 BGG). Einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten, genügt nicht (BGE 132 II 249 E. 1.4.3 S. 255). Das Bundesgericht tritt auf rein appellatorische Kritik nicht ein (BGE 136 II 489 E. 2.8 S. 494; Urteil 2C_20/2012 vom 24. April 2012 E. 1.2).
Die beweisbezogenen Vorbringen des Beschwerdeführers sind allgemein gehalten und stellen im Wesentlichen seine Sicht der Dinge dar. Er führt zwar verschiedentlich aus, die Vorinstanz habe das Beweisrecht willkürlich gehandhabt, zeigt aber nicht auf, dass die angebliche Fehlerhaftigkeit unhaltbar im Sinne des Willkürbegriffs sei (Art. 9 BV; BGE 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62). Soweit sich die Ausführungen auf Beweismittel beziehen, die erst nach dem Erlass des angefochtenen Urteils entstanden sind, fallen diese unter das Novenverbot (Art. 99 Abs. 1 BGG). Sie sind nicht zu berücksichtigen. Dementsprechend bleibt es dabei, dass die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich sind. Insbesondere ist für das Bundesgericht massgebend, dass die Eheleute seit Juli 2007 getrennt gelebt haben.
4. 4.1 Der Anspruch ausländischer Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wie ihn Art. 42 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2006 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) unter Vorbehalt von Art. 51 Abs. 1 AuG statuiert, besteht nach Auflösung der Ehe weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre bestanden hat und die betroffene ausländische Person sich hier erfolgreich integriert hat (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG). Mindestdauer und Integration sind kumulativ erforderlich (BGE 136 II 113 E. 3.3.3 S. 119; Urteil 2C_95/2012 vom 13. März 2012 E. 2.2.1).
4.2 Die Mindestdauer ist mit Blick auf die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz gegeben (Mai 2003 bis Juli 2007; Urteil 2C_821/2011 vom 22. Juni 2012 E. 2, zur Publ. bestimmt; BGE 137 II 345 E. 3.1.2 S. 347). Der Beschwerdeführer begründet seine Integration namentlich mit der "sehr intensiven Beziehung" zu seinem Sohn und dem freundschaftlichen Verhältnis zu seinen einstigen Schwiegereltern. Er beabsichtige, die Zahlung der Unterhaltsbeiträge an den Sohn wieder aufzunehmen, sobald er Arbeit gefunden habe. Die Alimenteninkassostelle sei "dem Grundsatz nach" mit dem Vorschlag einverstanden. Die Freiheitsstrafe habe sich auf weniger als zwei Jahre belaufen und liege weit zurück. Seither verhalte er sich rechtsgetreu. Der Strafbefehl bewege sich im Bereich der Bagatelldelinquenz. Die Vorinstanz verweist demgegenüber auf die Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von 22 Monaten, den Strafbefehl, das Vorliegen von Verlustscheinen und insgesamt die "Schuldenwirtschaft", wie sie dies bezeichnet, sowie die mangelnde berufliche Integration und die beschränkte Sprachkompetenz.
4.3 Die Rechtsfrage, ob eine erfolgreiche Integration bestehe (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG), ist vor dem Hintergrund von Art. 77 Abs. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) und Art. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über die Integration von Ausländerinnen und Ausländern (VIntA; SR 142.205) zu klären (Urteil 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 3.2). Dies erfordert eine "appréciation globale des circonstances" (a.a.O.; Urteil 2C_839/2010 vom 25. Februar 2011 E. 7.1.2). Gemäss Art. 4 VIntA, der detaillierter gehalten ist als Art. 77 Abs. 4 VZAE, zeigt sich der Beitrag der Ausländerinnen und Ausländer zu ihrer Integration namentlich in der Respektierung der rechtsstaatlichen Ordnung und der Werte der Bundesverfassung, im Erlernen der am Wohnort gesprochenen Landessprache, in der Auseinandersetzung mit den Lebensbedingungen in der Schweiz und im Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb von Bildung. Mit Blick auf die für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz folgt, dass dem Beschwerdeführer insofern kein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zusteht. Er ist zu einer namhaften Freiheitsstrafe verurteilt worden, trägt erhebliche Schulden und verfügt in der Schweiz über ein eingeschränktes Beziehungsnetz. Er beruft sich einzig auf die Nähe zu seinem Sohn und seinen früheren Schwiegereltern. Mit Recht beanstandet die Vorinstanz, dass er, der sich seit dem Jahr 2000 nahezu ausschliesslich hier aufgehalten hat, in der Befragung durch die Migrationsbehörden auf einen Dolmetscher angewiesen war. Die vorzunehmende Gesamtbeurteilung der Umstände lässt keinen Schluss auf eine erfolgreiche Integration im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG zu. Hinzu kommt, dass das Verschweigen seiner zwei im Ausland lebenden Töchter einen selbständigen Grund für das Erlöschen eines Anspruchs auf eine Aufenthaltsbewilligung setzt (Art. 51 Abs. 2 lit. a AuG; Urteil 2C_915/2011 vom 24. April 2012 E. 3.2), ebenso wie die Freiheitsstrafe von 22 Monaten (Art. 51 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 62 lit. b AuG; Urteil 2C_932/2011 vom 7. Juni 2012 E. 3.1).
4.4 Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss ein Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens im Sinne von Art. 8 Ziff. 1 EMRK anruft, führt dies zu keinem anderen Ergebnis. Ein Anspruch des nicht sorge- bzw. obhutsberechtigten ausländischen Elternteils ist ausnahmsweise anzunehmen, wenn zwischen ihm und seinem im Inland lebenden Kind in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht besonders enge Beziehungen bestehen, die - würde eine Bewilligung verweigert - wegen der Entfernung zum Land, in welches der ausländische Elternteil vermutlich auszureisen hätte, praktisch nicht aufrechterhalten werden könnten. Zudem muss sich der ausländische Elternteil in der Schweiz tadellos verhalten haben. Nur unter diesen Voraussetzungen kann das private Interesse am Verbleib im Land gestützt auf ein Besuchsrecht ausnahmsweise das öffentliche Interesse an einer einschränkenden nationalen Einwanderungspolitik im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK überwiegen (BGE 120 Ib 1 E. 3c S. 5; 22 E. 4a/b S. 25 f.; Urteil 2C_1031/2011 vom 22. März 2012 E. 4.1.4; Urteil des EGMR i.S. Rodrigues da Silva gegen Niederlande vom 31. Januar 2006 [50435/99], Ziff. 42 f., in: EuGRZ 2006 S. 562). Der Beschwerdeführer hat sich schon mit Blick auf die verwirkte Freiheitsstrafe keineswegs "tadellos" verhalten. Die Beziehung zu seinem Sohn ist zumindest in wirtschaftlicher Hinsicht nicht ausnehmend eng, kommt er der Unterhaltspflicht noch nicht vollumfänglich nach. Die Rechtsgüterabwägung im Sinne von Art. 8 Ziff. 2 EMRK kann anhand der landesrechtlich relevanten Kriterien durchgeführt werden (BGE 122 II 1 E. 2 S. 5 f.; Urteil 2C_389/2011 vom 22. Dezember 2011 E. 3.4) und ergibt ein überwiegendes öffentliches Interesse an seiner Fernhaltung.
5. 5.1 Dem angefochtenen Entscheid ist keine Rechtsverletzung zu entnehmen. Die Beschwerde ist unbegründet und abzuweisen.
5.2 Bei diesem Ausgang musste sich die Angelegenheit schon im vorinstanzlichen Verfahren als aussichtslos darstellen (BGE 138 III 217 E. 2.2.4 S. 218). Die Überlegungen der Vorinstanz zur unentgeltlichen Rechtspflege sind auch diesbezüglich nicht zu beanstanden und das Gesuch im vorliegenden Verfahren abzuweisen. Die von der Vorinstanz vorgenommene Kostenregelung erweist sich als bundesrechtskonform.
5.3 Für alles Weitere kann auf die Begründung des angefochtenen Entscheides verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
5.4 Mit dem vorliegenden Sachentscheid wird das Gesuch um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
5.5 Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG). Dem obsiegenden Kanton Luzern ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher