Faits:
A. A._ a travaillé au service de la société X._ SA en qualité d'employée de banque qualifiée jusqu'au 31 juillet 2004, date à laquelle elle a été licenciée. La Caisse cantonale genevoise de chômage (ci-après : la caisse) lui a alloué quatre cents indemnités de chômage durant la période du 1er août 2004 au 17 février 2006.
Le 17 avril 2007, la caisse a soumis le cas à l'Office cantonal de l'emploi du canton de Genève (ci-après: l'OCE) afin qu'il statue sur l'aptitude au placement de l'assurée durant la période du 1er août 2004 au 17 février 2006, étant donné ses nombreux déplacements à l'étranger, ainsi que les activités éventuelles exercées pendant ladite période.
Après avoir entendu l'assurée, ainsi que son conseiller en personnel, B._, l'OCE a rendu une décision le 2 mai 2008, confirmée sur opposition le 23 octobre suivant, par laquelle il a constaté que l'assurée était inapte au placement "rétroactivement depuis le 1er août 2004".
B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a entendu notamment en qualité de témoins D._, à l'époque administrateur unique de la société Y._ SA, B._ et I._, citoyen étranger qui avait chargé D._ d'administrer sa société de gestion du patrimoine familial.
La juridiction cantonale a rejeté le recours par jugement du 1er septembre 2009.
C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation en concluant, sous suite de dépens, à ce que soient reconnus son aptitude au placement à partir du 2 août 2004, ainsi que son droit à l'indemnité de chômage. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement.
L'OCE conclut au rejet du recours, tandis que le Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF.
2. Le litige porte sur le droit de la recourante à l'indemnité de chômage durant la période du 1er août 2004 au 17 février 2006, singulièrement sur son aptitude au placement.
Le jugement attaqué expose de manière exacte et complète la réglementation légale et la jurisprudence applicables en l'occurrence, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 La juridiction cantonale a considéré que la recourante était inapte au placement durant la période litigieuse. Pour cela, elle a constaté que l'intéressée avait exercé une intense activité correspondant à un travail à plein temps dans les locaux de la société Y._ SA. Cette activité consistait essentiellement à trouver en Suisse des débouchés pour des sociétés appartenant à I._ et son frère J._. Selon une convention, elle devait rapporter à la recourante un montant annuel de 200'000 fr. En outre, les premiers juges ont constaté que l'intéressée avait renoncé à cette rétribution en faveur de D._, afin que celui-ci lui paye un salaire par le biais de sa société Y._ SA. Selon la juridiction cantonale, l'assurée bénéficie cependant d'une créance correspondante contre cette société ou, éventuellement I._, du moment que cette activité était exercée sur la base d'un contrat de courtage, de mandat, voire d'agent d'affaires sans mandat.
En ce qui concerne ses recherches de travail, la juridiction précédente a constaté que l'assurée n'avait pas accompli effectivement la plupart des recherches d'emploi mentionnées dans les formules ad hoc remises à l'OCE et qu'au demeurant, le contenu des lettres de candidature n'avait jamais varié et ne satisfaisait pas aux exigences minimales compte tenu du niveau des emplois visés. En outre, selon les premiers juges, l'intéressée se portait candidate à des postes auxquels sa formation universitaire ne la destinait pas a priori, en particulier dans le domaine financier, alors que les circonstances accompagnant la fin des rapports de travail avec la société X._ SA avaient été désastreuses pour sa réputation et qu'elle n'avait pas les compétences requises en matière de comptabilité. Enfin, l'assurée avait effectué neuf déplacements à l'étranger entre le mois d'août 2004 et le mois de septembre 2005, sans en avertir l'OCE et sans que le nombre et la durée de ces déplacements soient justifiés par la volonté de trouver un nouvel emploi.
3.2 La recourante invoque une constatation arbitraire des faits par les premiers juges, dans la mesure où ils n'ont pas tenu compte d'une lettre rédigée par K._ le 19 novembre 2008 et versée par elle au dossier de la cause, ni du témoignage de I._, en raison de ses liens personnels avec l'assurée. Dans le courrier précité, K._ a indiqué qu'il dirigeait le département des pays de l'Est à la Banque Z._, laquelle avait conclu un contrat de commissionnement avec la société Y._ SA au titre d'apporteur d'affaires. Selon K._, l'assurée aurait dû être engagée par D._ au service de la société susmentionnée. Comme cela n'avait pas été le cas, celui-ci avait mis à la disposition de l'intéressée un bureau pour effectuer ses recherches d'emploi. Quant à I._, il a déclaré que l'assurée jouait parfois le rôle d'interprète parlant étranger et qu'elle apportait des conseils de gestion à la société W._ SA qui appartenait à deux anciens clients de D._. Selon le témoin, l'intéressée avait toutefois renoncé à toute commission en faveur de la société Y._ SA, dans le but que D._ lui verse un salaire, ce qu'il n'avait pas fait. La recourante est d'avis que la lettre de K._ et le témoignage de I._ infirment la conclusion des premiers juges selon laquelle elle n'avait pas activement recherché un emploi salarié.
3.3 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références). Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
3.4 En l'espèce, le recours ne contient toutefois aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait du jugement attaqué. En effet, la recourante n'expose pas en quoi l'appréciation des preuves par le tribunal cantonal est manifestement insoutenable. Son argumentation tend plutôt à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente. En particulier, les témoignages invoqués n'infirment pas les constatations de fait du jugement attaqué selon lesquelles l'assurée exerçait dans les locaux de la société Y._ SA une activité suffisamment importante pour équivaloir à une rémunération annuelle de 200'000 fr. Ils ne contiennent pas non plus d'éléments qui permettraient de s'écarter des constatations des premiers juges au sujet de l'insuffisance quantitative et qualitative des recherches d'emploi effectuées par l'intéressée durant la période en cause.
3.5 Sur le vu des faits établis dans le jugement attaqué, il apparaît que les diverses activités indépendantes exercées par l'assurée pour le compte des sociétés des frères I._ et J._ ne lui laissaient pas une disponibilité suffisante quant au temps qu'elle aurait dû consacrer à un emploi. Peu importe, à cet égard, que l'intéressée n'aie finalement pas perçu de rémunération pour ces activités. Certes, l'intention d'un assuré d'entreprendre une activité indépendante est conforme à son devoir légal de diminuer le dommage. Si, dans ce but il omet de prendre toutes les mesures exigibles pour retrouver un emploi, cela peut avoir cependant des conséquences sur son aptitude au placement et, partant, sur son droit à l'indemnité de chômage (arrêts 8C_662/2009 du 9 décembre 2009 consid. 3 et C 307/05 du 3 novembre 2006 consid. 2.1). En effet, il n'appartient pas à l'assurance-chômage de couvrir les risques de l'entrepreneur. Le fait qu'en général l'intéressé ne réalise pas de revenu ou seulement un revenu modique en commençant une activité indépendante est typiquement un risque qui n'est pas assuré (DTA 2002 no 5 p. 54, C 353/00 consid. 2b; 2000 no 5 p. 22, C 117/98 consid. 2a; arrêts 8C_619/2009 du 23 juin 2010 consid. 3.3.2 et C 88/02 du 17 décembre 2002 consid. 1). Il n'en va pas différemment lorsque, comme en l'espèce, l'assuré renonce finalement à poursuivre son activité indépendante pour reprendre un emploi salarié. Si donc l'intéressée n'avait pas une disponibilité suffisante quant au temps à consacrer à un emploi, elle n'avait pas non plus une réelle volonté d'accepter un travail convenable au sens de l'article 16 LACI, étant donné l'insuffisance des recherches d'emploi constatée par la juridiction cantonale.
Vu ce qui précède, la juridiction cantonale était fondée à nier l'aptitude au placement de la recourante durant la période du 1er août 2004 au 17 février 2006. Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
4. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al.1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 5 août 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd