Sachverhalt:
A. Der 1958 geborene M._ war ab Dezember 2005 als Taxifahrer tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 20. Oktober 2007 erlitt er einen Verkehrsunfall. Ein Mitsubishi Colt prallte innerorts frontal gegen die rechte vordere Ecke des von ihm gelenkten Taxi des Typs Toyota Avensis Verso. M._ suchte anderntags das Spital X._ auf, wo eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt wurde (Spitalbericht vom 21. Oktober 2007 mit Unfallschein). Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 22. August 2008 eröffnete sie dem Versicherten, die Leistungen würden per 30. September 2008 eingestellt und es bestehe kein Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Begründet wurde dies damit, dass keine adäquaten Unfallfolgen mehr gegeben seien. Die vom Krankenpflegeversicherer des M._ hiegegen erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA mit Entscheid vom 24. Februar 2009 ab.
B. Beschwerdeweise beantragte M._, der Einspracheentscheid sei aufzuheben und die SUVA sei zu verpflichten, weiterhin Heilbehandlung zu gewähren und Taggeld auszuzahlen, eventuell mit Wirkung ab 1. Oktober 2008 eine Invalidenrente auf der Basis einer Erwerbsunfähigkeit von mindestens 50 % sowie eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von mindestens 20 % auszurichten. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Entscheid vom 11. März 2010 ab.
C. M._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des kantonalen Entscheids beantragen und seine vorinstanzlichen Leistungsbegehren erneuern.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 20. Oktober 2007 über den 30. September 2008 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung (Heilbehandlung und Taggeld, eventuell Invalidenrente und Integritätsentschädigung) besteht.
Im Einsprache- und im vorinstanzlichen Entscheid sind die Bestimmungen über diesen Leistungsanspruch und die Rechtsprechung über die hiefür erforderlichen kausalen Zusammenhänge zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden mit den jeweils zu beachtenden Beweisregeln zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181). Dabei spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen). Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Nach der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (BGE 115 V 133), während nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen anwendbaren sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (vgl. zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Mit der Beschwerde wird neu ein zuhanden der Invalidenversicherung erstattetes orthopädisch-psychiatrisches Gutachten des medizinischen Zentrums Y._ aufgelegt. Dieses wurde am 26. Oktober 2009 erstattet, mithin nach dem Erlass des Einspracheentscheides vom 24. Februar 2009, welcher den gerichtlich zu prüfenden Sachverhalt grundsätzlich zeitlich begrenzt (BGE 130 V 445 E. 1.2 S. 446 mit Hinweisen). Für die vorliegende Beurteilung könnten daher nur Aussagen der Experten zum Sachverhalt, welcher sich bis 24. Februar 2009 verwirklicht hat, bedeutsam sein.
Es stellt sich sodann die Frage, ob die Einreichung des Gutachtens des medizinischen Zentrums Y._ und die darauf gestützten Vorbringen des Versicherten novenrechtlich zulässig sind. Das muss aber nicht abschliessend beantwortet werden, da die Expertise entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung einen Leistungsanspruch über den 30. September 2008 hinaus ohnehin nicht zu stützen vermag.
4. 4.1 Das kantonale Gericht hat einen Leistungsanspruch über den 30. September 2008 hinaus mit der Begründung verneint, die noch bestehenden Beschwerden stünden zwar in einem natürlichen, nicht aber in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 20. Oktober 2007.
4.2 Trifft diese Beurteilung zu, erübrigt sich, auf den Einwand des Versicherten einzugehen, die SUVA habe die Heilbehandlung und das Taggeld zu früh eingestellt, da eine Fortsetzung der ärztlichen Behandlung noch eine namhafte Besserung seines Gesundheitszustandes habe erwarten lassen. Denn Letzteres könnte nur dann (im Sinne von Art. 19 Abs. 1 UVG und BGE 134 V 109 E. 4 S. 113 ff.) dem Fallabschluss (mit Einstellung von Heilbehandlung und Taggeld sowie Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung) entgegenstehen, wenn die ärztliche Behandlung einem unfallkausalen Gesundheitsschaden galt.
Immerhin ist festzuhalten, dass die Behandlungsmethoden, die der Versicherte gestützt auf medizinische Lehrmeinungen erwähnt und welche noch eine Besserung erbringen sollen, von keinem der Fachärzte, welche hier Bericht erstattet haben, je auch nur in Erwägung gezogen wurden. Der Beschwerdeführer erwähnt sodann die im März 2008 begonnene Psychotherapie. Der durchführende Therapeut bestätigte indessen zwar im Bericht vom 7. September 2008, die Prognose sei "grundsätzlich besserungsfähig". Zugleich hielt er aber fest, die Psychotherapie habe bis zum Zeitpunkt der Berichterstattung nur "kleine Fortschritte bezüglich des seelischen Gesundheitszustandes" erbracht und er bezeichnete die Befunde als "weitestgehend ohne Veränderung". Aufgrund dieser Gesichtspunkte ist als unwahrscheinlich zu betrachten, dass eine Fortsetzung der Behandlung, ob nun mittels Psychotherapie oder durch die übrigen, vom Versicherten erwähnten Methoden, noch eine namhafte Besserung erwarten liess.
5. 5.1 Die Vorinstanz ging bei der Kausalitätsprüfung davon aus, die persistierenden Beschwerden seien nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge zu erklären. Die Untersuchungen an HWS und Schädel mittels Röntgen und MRI hätten keine Anzeichen unfallbedingter Veränderungen ergeben. Eine richtunggebende Verschlimmerung des Vorzustandes an der HWS sei zu verneinen. Soweit überhaupt von einer Verschlimmerung auszugehen sei, wäre diese nur vorübergehend gewesen und jedenfalls nach Ablauf eines Jahres nicht mehr für Beschwerden verantwortlich zu machen.
In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was diese Erkenntnisse in Frage stellen könnte. Namentlich wird nicht begründet, inwiefern eine unfallbedingte richtunggebende Verschlimmerung im HWS-Bereich ausgewiesen sein soll. Sodann ist zwar richtig, dass die im angefochtenen Entscheid ebenfalls erwähnten, vorbestandenen lumbalen Rückenbeschwerden keine Rückschlüsse auf die Ursache der HWS-Beschwerden zulassen. Das war aber auch nicht das entscheidende Kriterium für die vorinstanzliche Beurteilung. Ansonsten beschränkt sich der Versicherte bei seiner Kritik an der vorinstanzlichen Erwägung auf das Vorbringen, im HWS-Bereich hätten vor dem Unfall keine Beschwerden bestanden. Dies genügt, wie das kantonale Gericht richtig erkannt hat, nicht, um eine unfallkausale Gesundheitsschädigung darzutun (vgl. BGE 119 V 335 E. 2b/bb S. 341 f.; SVR 2008 UV Nr. 11 S. 34, U 290/06 E. 4.2.3).
In anderem Zusammenhang verweist der Beschwerdeführer überdies auf die Aussage im MRI-Bericht vom 18. Dezember 2007, wonach auf Höhe C5/C6 eine "wahrscheinlich traumatisierte" (Hervorhebung im vorliegenden Urteil) Osteochondrose festgestellt worden sei. Dies steht indessen der vorinstanzlichen Beurteilung einer allfälligen nur vorübergehenden Verschlimmerung nicht entgegen. Aus dem MRI-Bericht geht auch nicht hervor, dass eine eigentliche Verschlimmerung der Osteochondrose bildgebend nachgewiesen werden konnte. Die übrigen medizinischen Akten lassen entsprechende Schlüsse ebenfalls nicht zu. Es findet sich zudem keine Aussage, wonach die angenommene Traumatisierung der Osteochondrose länger dauernde Beschwerden zu begründen vermocht hätte.
5.2 Fehlt es nach dem Gesagten an einer organisch objektiv nachweisbaren Unfallfolge, welche die noch bestehenden Beschwerden zu erklären vermöchte, kann der adäquate Kausalzusammenhang nicht ohne besondere Prüfung zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden (E. 2 hievor). Die Adäquanzfrage ist gemäss dem diesbezüglich nicht umstrittenen vorinstanzlichen Entscheid nach der Schleudertrauma-Praxis zu beurteilen.
5.2.1 Den Ausgangspunkt der Adäquanzprüfung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126). Massgebend für die Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2010 UV Nr. 3 S. 11, 8C_283/2009 E. 9.1 Ingress; 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1).
Die Vorinstanz hat den Unfall vom 20. Oktober 2007 den mittelschweren Ereignissen im Grenzbereich zu den leichten Unfällen zugerechnet. Das wird in der Beschwerde nicht explizit in Frage gestellt. In anderem Zusammenhang wird aber vorgebracht, das kantonale Gericht habe die kollisionsbedingte Geschwindigkeitsänderung (Delta-v), welcher das Fahrzeug des Versicherten gemäss Unfallanalyse vom 13. März 2008 ausgesetzt war, falsch gewürdigt. Der ausgewiesene Delta-v-Wert von 14-16 km/h liege weit über der sog. Harmlosigkeitsgrenze. Hinzu komme, dass die Kollision von rechts erfolgt sei, was der HWS des Beschwerdeführers zusätzlich einen Drall versetzt habe.
Dieses Vorbringen vermag indessen eine Unfallschwere über dem Grenzbereich zu den leichten Unfällen nicht darzutun. Festzuhalten ist, dass die Fahrzeuge gemäss Unfallanalyse vom 13. März 2008 "unter einem Winkel zwischen den Längsachsen von rd. 140-150 °" kollidierten und somit nahezu von einer Frontalkollision auszugehen ist. Bei Frontalkollisionen liegt die sog. Harmlosigkeitsgrenze für HWS-Beschwerden bei einem Delta-v-Wert von 20-30 km/h und demnach deutlich höher als bei den klassischen Heckauffahrunfällen (vgl. Urteile 8C_786/2009 vom 4. Januar 2010 E. 4.6.1 und 8C_582/2007 vom 29. April 2008 E. 4.1 mit Hinweisen). Dass die Kollision aus der Perspektive des Versicherten nicht ganz frontal erfolgte, rechtfertigt kein Abweichen von diesem Grundsatz, zumal der Toyota dabei gemäss Unfallanalyse nur eine geringe Rotation erfuhr.
5.2.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien (gemäss BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen) müssten bei der gegebenen Unfallschwere für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. mit Hinweis).
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es seien lediglich und nicht in besonders ausgeprägter Weise die Kriterien der erheblichen Beschwerden und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit gegeben. In der Beschwerde wird dies zwar in Frage gestellt. Es wird aber nicht begründet, welche Kriterien denn in welcher Form erfüllt sein sollen. Aufgrund der Akten besteht kein Anlass, von der vorinstanzlichen Beurteilung abzuweichen. Es liesse sich zwar fragen, ob aufgrund der Vorschädigung an der HWS nicht auch die besondere Art der erlittenen Verletzung zu bejahen wäre (vgl. SVR 2009 UV Nr. 30 S. 105, 8C_413/2008 E. 6.3.2 mit Hinweisen). Das muss aber nicht abschliessend geprüft werden. Denn in besonders ausgeprägter Weise wäre jedenfalls auch dieses Kriterium nicht erfüllt.
5.2.3 Von den sieben relevanten Kriterien sind demnach höchstens drei in jeweils nicht besonders ausgeprägter Weise erfüllt. Das genügt beim gegebenen Schweregrad des Unfalls nicht für die Bejahung der Adäquanz (vgl. in Plädoyer 2/2010 S. 53 zusammengefasstes Urteil 8C_897/2009 vom 29. Januar 2010 E. 4.5 mit Hinweisen). Das kantonale Gericht hat demnach die rechtserhebliche Bedeutung des Unfalls vom 20. Oktober 2007 für die noch bestehenden Beschwerden, und damit die Leistungspflicht der SUVA hiefür, zu Recht verneint. Das gilt auch in Bezug auf die geltend gemachte psychische Problematik.
An diesem Ergebnis vermag auch der weitere Einwand nichts zu ändern, es sei kein Tatbestand der Leistungskürzung nach Art. 36 Abs. 1 und 2 UVG gegeben. Es geht hier nicht um einen dieser Kürzungstatbestände. Die weitere Leistungspflicht der SUVA wird verneint, weil kein adäquater Kausalzusammenhang zwischen den noch bestehenden Beschwerden und dem Unfall vom 20. Oktober 2007 vorliegt.
6. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Juli 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz