Sachverhalt:
A. Der Kanton Graubünden, vertreten durch die Finanzverwaltung, stellte in der gegen X._ eingeleiteten Betreibung (Nr. 1, Betreibungsamt Bülach) am 21. Januar 2008 beim Bezirksgericht Bülach das Begehren um definitive Rechtsöffnung für die Forderung von Fr. 3'036.-- nebst Zinsen und weiteren Kosten. Der Gläubiger stützte sein Begehren auf das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 17. Oktober 2006, mit welchem dem Betriebenen die Gerichtskosten des Rechtsstreites zwischen ihm und der Wegkorporation B._, C._, auferlegt wurden. Mit Verfügung vom 19. März 2008 erteilte der Einzelrichter des Bezirksgerichts in der Betreibung die definitive Rechtsöffnung.
B. Gegen den Rechtsöffnungsentscheid erhob X._ Nichtigkeitsbeschwerde, welche das Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, mit Beschluss vom 29. September 2008 abwies.
C. Mit Eingabe vom 12. November 2008 (Postaufgabe) ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt sinngemäss, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und das Begehren um Rechtsöffnung abzuweisen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Rechtsöffnungsentscheide sind Endentscheide im Sinne von Art. 90 BGG (BGE 133 III 399 E. 1.4 S. 400) und unterliegen grundsätzlich der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers handelt es sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit. Der hierfür erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) ist vorliegend nicht erreicht, weshalb nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen steht (Art. 113 BGG). Als solche kann die Eingabe des Beschwerdeführers entgegengenommen werden.
1.2 Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG), wobei das Rügeprinzip gilt (BGE 133 III 589 E. 2 S. 591). Das Bundesgericht prüft daher nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
2. Vor dem Obergericht war umstritten, ob der Rechtsöffnung die Einrede des Beschwerdeführers entgegenstehe, dass das Urteil des Verwaltungsgerichts Graubünden vom 17. Oktober 2006 nicht in der gesetzlich vorgeschriebenen Form eröffnet worden sei. Die Vorinstanz hat festgehalten, dass der Beschwerdeführer den Empfang der Abholungseinladung der Post bestreite, und sich im Fall, in dem sich die Bestreitung nicht klar widerlegen lasse, auch bei bestehendem Prozessrechtsverhältnis nicht von der (nach Ablauf der siebentätigen Frist) fiktiven Zustellung ausgegangen werden dürfe. Der Nachweis der Zustellung könne aber aufgrund von weiteren Indizien oder der gesamten Umstände erbracht werden. Hier sei unwahrscheinlich, aber nicht auszuschliessen, dass der Beschwerdeführer weder die Abholungseinladung für das Urteil des Verwaltungsgerichts noch die uneingeschriebe versandte Rechnung für die Verfahrenskosten noch die erste Mahnung erhalten habe. Mit Empfang und Kenntnisnahme der zweiten Mahnung vom 15. Februar 2007 habe er jedoch gewusst und wissen können, dass sich diese auf das von ihm beim Verwaltungsgericht angehobene Rekursverfahren bezogen habe. Dass er sich nach Erhalt der zweiten Mahnung mit Schreiben vom 22. Februar 2007 an die Finanzverwaltung gewandt und eine Rechtsmittelbelehrung verlangt habe, ändere nichts daran. Vielmehr hätte er sich an das Verwaltungsgericht wenden müssen, um sich über das Urteil bzw. dessen unterbliebene Zustellung zu erkundigen und allfällige rechtliche Schritte zu unternehmen. Das gesamte Vorgehen des Beschwerdeführers widerspreche dem Grundsatz des Handelns nach Treu und Glauben. Das Obergericht hat die vom Rechtsöffnungsrichter erkannte rechtswirksame Zustellung bestätigt und die definitive Rechtsöffnung geschützt.
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht "unterschlage", dass er nach der zweiten Mahnung vom 15. Februar 2007 bei der Finanzverwaltung des Kantons Graubünden eine Rechtsmittelbelehrung verlangt habe. Er wirft der Vorinstanz sinngemäss Willkür (Art. 9 BV) vor, weil es dennoch eine rechtswirksame Zustellung des Verwaltungsgerichtsurteils angenommen hat.
3.1 Es ist zu Recht unbestritten, dass der Beschwerdeführer vor dem Rechtsöffnungsrichter (Art. 80 SchKG) die Einrede erheben kann, dass ihm der Entscheid einer Verwaltungsbehörde eines anderen Kantons nicht in der gesetzlich vorgeschriebenen Form eröffnet worden sei (Art. 6 lit. d des Konkordates über die Gewährung gegenseitiger Rechtshilfe zur Vollstreckung öffentlich-rechtlicher Ansprüche vom 28. Oktober 1971; vgl. BGE 105 III 43 E. 2a S. 44). Zu Recht geht die Vorinstanz davon aus, dass dem Beschwerdegegner die Beweislast für den Empfang des Verwaltungsgerichtsurteils obliegt (BGE 105 III 43 E. 2a S. 44). Dass nach den massgeblichen Bestimmungen des Kantons Graubünden das Verwaltungsgerichtsurteil durch eine andere Form als durch einmalige schriftliche Mitteilung zu eröffnen ist, wird nicht behauptet.
3.2 Nach der Rechtsprechung kann der Nachweis der Zustellung, welche nicht durch eingeschriebene Post erfolgt, auch durch weitere Indizien erbracht werden (BGE 105 III 41 E. 3 S. 46; D. STAEHELIN, in: Basler Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, N. 124 zu Art. 80). Vorliegend steht fest, dass das Verwaltungsgerichtsurteil dem Beschwerdeführer mit eingeschriebener Post (Gerichtsurkunde) zugesandt wurde. Nach der Rechtsprechung gilt eine eingeschriebene Briefpostsendung oder Gerichtsurkunde am letzten der siebentägigen Abholfrist zugestellt, wenn der Empfänger nicht angetroffen und ihm daher eine Abholungseinladung in seinen Briefkasten oder sein Postfach gelegt wird und die Sendung auf der Poststelle nicht abgeholt wird (BGE 123 III 492 E. 1 S. 493; 130 III 396 E. 1.2.3 S. 399). Der Empfänger hat die Sachumstände nachzuweisen, aus denen die Nichtzustellung der Abholungseinladung gefolgert werden kann (vgl. BGE 85 IV 115 S. 117).
3.2.1 Der Beschwerdeführer rügt zunächst, das Obergericht übergehe, dass aus der zweiten Mahnung vom 17. Februar 2007 kein Hinweis auf ein Verfahren vor dem Verwaltungsgericht hervorgehe. Entgegen seiner Behauptung steht im Briefkopf der betreffenden Mahnung "Kanton Graubünden, Verwaltungsgericht". Soweit er sich gegen die Tatsachenfeststellungen der Vorinstanz wendet, dass er gewusst habe, die Mahnung beziehe sich auf das von ihm erhobene Verfahren vor dem Verwaltungsgericht, ist sein Vorbringen unbehelflich. Der sinngemässe Vorwurf der Willkür (Art. 9 BV) in der Tatsachenfeststellung ist unbegründet.
3.2.2 Weiter bringt der Beschwerdeführer vor, die Vorinstanz habe übergangen, dass er sich nach Erhalt der zweiten Mahnung am 22. Februar 2007 an die Finanzverwaltung gewendet habe. Damit vermag er keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung darzutun. Die Vorinstanz hat dieses Schreiben an die Finanzverwaltung gewürdigt, und zwar - was der Beschwerdeführer übergeht - vor dem Hintergrund der gesamten Umstände. Sie hat festgehalten, dass die Nichtzustellung sowohl der Abholungseinladung des Urteils als auch der Rechnung für die Verfahrenskosten und der ersten Mahnung sehr unwahrscheinlich sei, der Beschwerdeführer gestützt auf die zweite Mahnung - aus welcher "Verwaltungsgericht" hervorgeht - jedoch gewusst habe, dass sich diese auf den vor dem Verwaltungsgericht hängigen Prozess bezog. Sodann hat das Obergericht geschlossen, dass das Gesuch um eine Rechtsmittelbelehrung an die Finanzverwaltung als Reaktion auf die zweite Mahnung die Zustellung der Abholungseinladung nicht in Frage stelle, weil ohne weiteres die Reaktion an das Verwaltungsgericht auf der Hand gelegen hätte.
3.2.3 Die Würdigung der Umstände und Indizien zum Nachweis der Zustellung stellt einen Schluss des Obergerichts in tatsächlicher Hinsicht dar. Darauf geht der Beschwerdeführer in seinen Ausführungen nicht ein. Willkürliche Beweiswürdigung liegt nicht schon dann vor, wenn vom Sachrichter gezogene Schlüsse nicht mit der Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmen. Er legt insbesondere nicht dar, inwiefern vor dem Hintergrund, dass er in einem Prozessrechtsverhältnis zum Verwaltungsgericht stand und sich nach Empfang der zweiten Mahnung nicht an ebendieses Verwaltungsgericht gewendet hat, der Schluss des Obergerichts, die Nichtzustellung der Abholungseinladung sei nicht nachgewiesen, geradezu unhaltbar sein soll. Der Beschwerdeführer setzt nicht auseinander, inwiefern diese Beweiswürdigung mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe oder auf einem offenbaren Versehen beruhe (BGE 105 Ia 190 E. 2a mit Hinweisen; 116 Ia 85 E. 2b S. 88; 128 I 81 E. 2 S. 86). Mit Bezug auf die Würdigung der Umstände betreffend die Zustellung des Verwaltungsgerichtsurteils genügt der Beschwerdeführer den Begründungsanforderungen nicht. In diesem Punkt kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
3.2.4 Damit bleibt es beim Ergebnis der Vorinstanz, dass mangels Anhaltspunkte, dass der Beschwerdeführer die Abholungseinladung nicht erhalten habe, die Zustellungsfiktion greift. Dass die Einrede der nicht gesetzeskonformen Zustellung (Art. 6 lit. d des Konkordates) unter diesen Umständen der Rechtsöffnung nicht entgegensteht, wird vom Beschwerdeführer nicht in Frage gestellt. Soweit er sich im Weiteren gegen die Begründetheit der Forderung der Wegkorporation B._, C._, wendet, gehen seine Vorbringen an der Sache vorbei, da der Rechtsöffnungsrichter den zu vollstreckenden Entscheid nicht materiell überprüfen kann (vgl. Art. 81 SchKG; BGE 99 Ia 423 E. 3 S. 429).
3.3 Die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern. Er macht vergeblich geltend, das Obergericht habe seinen Einwand, dass die Finanzverwaltung des Kantons Graubünden für das Rechtsöffnungsbegehren nicht befugt sei, nicht widerlegt. Dass der Beschwerdeführer in seiner Nichtigkeitsbeschwerde entsprechende Ausführungen getroffen habe, geht aus dem angefochtenen Beschluss nicht hervor, und dass in diesem Zusammenhang frist- und formgerechte Vorbringen übergangen worden seien, behauptet er selber nicht. Das Gleiche gilt für die Korrespondenz mit dem Verwaltungsgericht vom 10. Juli 2008 (nach Erlass des Rechtsöffnungsentscheid vom 19. März 2008), auf die sich der Beschwerdeführer beruft. Von einer (sinngemäss gerügten) Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) kann keine Rede sein. Die Ausführungen des Beschwerdeführers zur Korrespondenz mit der Finanzverwaltung und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, welche er nach Erlass des angefochtenen Beschluss geführt hat, können schliesslich nicht berücksichtigt werden. Tatsachen und Beweismittel, die sich - wie die eingereichten - nach dem angefochtenen Entscheid (vom 29. September 2008) ereignen oder entstehen, sind von Art. 99 Abs. 1 BGG nicht erfasst. Insoweit ist die Beschwerde unzulässig.
4. Nach dem Dargelegten ist die Verfassungsbeschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Über eine Parteientschädigung ist nicht zu befinden, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist und dem Beschwerdegegner im bundesgerichtlichen Verfahren keine Kosten entstanden sind.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante