Faits:
A. R._ a été engagée dès février 1993 en qualité d'ouvrière par l'entreprise X._ SA, auprès de laquelle elle est devenue responsable d'un atelier de décalque. A l'arrêt de travail à partir du 23 février 2004 pour des raisons de santé, elle a perdu son emploi qui a pris fin le 30 novembre 2004 à la suite de la fermeture de ce secteur d'activité par son employeur.
Le 3 mars 2005, R._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 9 mai 2005, la doctoresse U._, chef de clinique du Centre Y._, a posé les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent, épisode actuel sévère avec symptômes somatiques ([CIM-10] F33) et de dysthymie (F34.1). Elle relevait que la patiente présentait depuis le 9 mars 2004 une incapacité de travail totale pour toute activité professionnelle. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a confié une expertise psychiatrique au docteur E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 10 avril 2006, l'expert a posé les diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen, avec syndrome somatique ([CIM-10] F31.11), et de personnalité dépressive ou dysthymie (F34.1), en indiquant que ces troubles semblaient représenter une incapacité de travail d'un degré de 40 %. La doctoresse B._ a conclu que l'assurée avait souffert d'un épisode dépressif sévère justifiant une incapacité totale de travail du 25 février 2004 au 31 mars 2006, qu'il y avait eu amélioration de l'état de santé et que la capacité de travail exigible dans l'activité habituelle était de 60 % depuis le 1er avril 2006 (rapport d'examen SMR du 2 juin 2006). Interpellé par l'office AI, le docteur E._, dans un rapport complémentaire du 16 août 2006, a répondu que l'on pouvait retenir l'incapacité de travail à 100 % depuis le 9 mars 2004, comme l'avait fait la doctoresse U._, et qu'ensuite, grâce au traitement médicamenteux, l'état dépressif avait évolué d'une manière favorable à tel point que l'on pouvait considérer l'assurée incapable de travailler à 40 % depuis le 1er janvier 2006.
Dans un préavis du 19 janvier 2007, l'office AI a informé R._ qu'elle avait droit à partir du 1er mars 2005 à une rente entière d'invalidité, réduite à un quart de rente dès le 1er janvier 2006, attendu qu'elle avait présenté une incapacité totale de travail et de gain dans toute profession depuis le 9 mars 2004 et qu'elle aurait été en mesure de reprendre son activité précédente à 60 %, sans diminution de rendement, à partir du 1er janvier 2006. Le 23 février 2007, l'assurée a fait part à l'office AI de ses observations, en relevant qu'elle n'était plus à même d'assumer le poste à responsabilité exercé avant l'atteinte à la santé et qu'il y avait lieu de se fonder sur un revenu annuel d'invalide de 26'709 fr. calculé pour une activité simple et sans exigence particulière, de sorte que la comparaison des revenus donnait une invalidité de 63 % (compte tenu d'un revenu sans invalidité de 72'849 fr. en 2003). Par décision du 18 avril 2007, l'office AI, réfutant les arguments de R._ au motif qu'elle présentait une capacité de travail exigible de 60 % dans sa profession habituelle et qu'il n'y avait pas lieu de procéder à une comparaison des revenus, lui a alloué à partir du 1er mars 2005 une rente entière d'invalidité, réduite à un quart de rente dès le 1er janvier 2006.
B. Le 16 mai 2007, R._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de celle-ci et à l'octroi d'une rente entière d'invalidité de mars à décembre 2005 et de trois-quarts de rente à partir du 1er janvier 2006.
Par arrêt du 25 mars 2009, le Tribunal administratif a rejeté le recours.
C. R._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, le Tribunal fédéral étant invité à dire et juger qu'elle a droit à trois-quarts de rente à partir de janvier 2006.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel n'a pas d'observations à formuler sur le recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
2. Le litige porte sur la réduction à un quart de rente dès le 1er janvier 2006 du droit de la recourante à une rente entière d'invalidité, singulièrement sur l'incidence de son état de santé sur sa capacité de gain à partir de ce moment-là et sur le taux d'invalidité fondant le droit à la prestation.
2.1 Le jugement attaqué expose correctement les dispositions légales relatives aux notions d'incapacité de gain (art. 7 LPGA) et d'invalidité (art. 8 al. 1 LPGA), ainsi que les règles et principes jurisprudentiels sur la révision du droit à une rente d'invalidité (art. 17 al. 1 LPGA; ATF 130 V 343 consid. 3.5 p. 349 s.), applicables lorsque la décision de l'assurance-invalidité accordant une rente avec effet rétroactif prévoit en même temps la réduction ou la suppression de cette rente (ATF 131 V 164 consid. 2.2 p. 165, 125 V 413 consid. 2d p. 417 s. et les références). On peut ainsi y renvoyer.
2.2 Les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 s. (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité - dans la mesure où elle dépend d'une évaluation de la personne concrète, de son état de santé et de ses capacités fonctionnelles - relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398). Dans la mesure cependant où il en va de l'évaluation de l'exigibilité d'une activité professionnelle au regard de l'expérience de la vie, il s'agit d'une question de droit qui peut être examinée librement en instance fédérale. Ces principes s'appliquent également en ce qui concerne la question de savoir si la capacité de travail, respectivement l'incapacité de travail, de l'assuré s'est modifiée d'une manière déterminante sous l'angle de la révision au cours d'une certaine période (arrêts 9C_413/2008 du 14 novembre 2008 et 9C_270/2008 du 12 août 2008).
3. Les premiers juges ont retenu que par rapport aux circonstances ayant justifié l'octroi d'une rente entière à partir du 9 mars 2005, la situation de la recourante s'était notablement améliorée au regard de son état de santé et de la capacité de travail qui en découlait. Relevant que la doctoresse B._, dans le rapport d'examen SMR du 2 juin 2006, avait admis une capacité de travail exigible de 60 % dans l'activité habituelle dès le 1er avril 2006, ils ont fait leurs les conclusions du docteur E._, dûment motivées, dont le rapport d'expertise des 10 avril et 16 août 2006 avait pleine valeur probante. Ainsi, l'assurée présentait une capacité de travail de 60 % sans limitation fonctionnelle ni diminution de rendement, depuis le 1er janvier 2006. Avec l'office AI, ils ont admis qu'après une amélioration de son état de santé, elle présentait depuis janvier 2006 une capacité de travail de 60 % dans sa précédente activité professionnelle, sans diminution de rendement.
3.1 Devant la juridiction cantonale, la recourante reprochait à l'intimé de n'avoir pas procédé à une comparaison des revenus et demandait que son invalidité soit évaluée sur la base d'un revenu annuel sans invalidité de 75'732 fr. d'une part, et, d'autre part, d'un revenu d'invalide de 26'709 fr. par année calculé sur la base d'une activité simple et sans exigence particulière, au motif qu'elle n'était plus en mesure avec une capacité résiduelle de travail de 60 % d'occuper le poste de responsable d'atelier de décalque qui était le sien avant l'atteinte à la santé.
3.2 Les premiers juges, relevant que les objections de l'assurée n'étaient pas décisives, ont confirmé la comparaison en pour-cent effectuée par l'office AI, dont il résultait un taux d'invalidité de 40 %, laquelle échappait à la critique, puisque la recourante devait être considérée comme capable de reprendre une activité identique à celle qu'elle exerçait auparavant (ATF 114 V 310 consid. 3a p. 313). Ainsi, le revenu d'invalide qu'elle pourrait escompter gagner en mettant à profit sa capacité de travail correspondait à 60 % du revenu réalisable sans invalidité, dès lors que l'expert E._ n'avait attesté aucune diminution de rendement, ce qui ouvrait le droit à un quart de rente d'invalidité.
La recourante objecte qu'avec une capacité résiduelle de travail de 60 %, elle n'est plus en mesure d'exercer une activité identique à celle qui était la sienne avant l'atteinte à la santé et que seule une activité simple et sans exigences particulières doit être prise en compte pour calculer le revenu d'invalide. Il est notoire, dit-elle, que les exigences pour les postes à responsabilité sont plus importantes que celles pour un travail subordonné. Il est ainsi très peu probable qu'un employeur accepte d'engager une personne avec des problèmes psychiques et ne pouvant travailler qu'à temps partiel à un poste de responsable d'atelier qui exige une présence régulière et fiable et un investissement personnel important.
Toutefois, au regard du rapport d'expertise du docteur E._ du 10 avril 2006 et du rapport d'examen SMR du 2 juin 2006, il n'apparaît pas que les constatations de fait des premiers juges en ce qui concerne l'exigibilité soient manifestement inexactes ou aient été établies de manière contraire au droit. La doctoresse B._, qui a conclu dans le rapport d'examen SMR du 2 juin 2006 à une capacité de travail exigible de 60 % dans l'activité habituelle, a relevé que le docteur E._ avait retenu une capacité de travail de 60 %, sans nécessité d'une adaptation de l'activité. Le fait qu'avant l'atteinte à la santé, la recourante oeuvrait en qualité de responsable d'un atelier de décalque ne permet pas non plus de conclure que les conclusions juridiques des premiers juges en ce qui concerne l'évaluation de son invalidité soient contraires au droit fédéral. Au regard de l'art. 16 LPGA (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398), il importe seul de savoir si l'on peut raisonnablement exiger de la part de l'assurée qu'elle mette en valeur sur le marché équilibré du travail la capacité de travail exigible de 60 % qu'elle présente dans son activité habituelle. Or, dans les circonstances concrètes du cas, où elle a travaillé en qualité d'ouvrière et est devenue responsable d'un atelier de décalque avant l'atteinte à la santé, la recourante a la possibilité de mettre à profit sa capacité résiduelle de gain sur le marché équilibré du travail, où les places de travail disponibles correspondent à l'offre de la main d'oeuvre (ATF 110 V 273 consid. 4b p. 276; arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 198/97 du 7 juillet 1998, consid. 3b in VSI 1998 p. 296; cf. ATF 130 V 343 consid. 3.2 p. 346 s.). Le revenu d'invalide à prendre en compte dans la comparaison des revenus est ainsi le revenu que l'assurée pourrait réaliser si elle mettait à profit sur le marché équilibré du travail la capacité de travail exigible de 60 % qu'elle présente dans son activité habituelle. En retenant que le revenu d'invalide correspond à 60 % du revenu réalisable sans invalidité, qui équivaut à 100 %, le jugement attaqué est dès lors conforme au droit fédéral (comparaison en pour-cent; ATF 114 V 310 consid. 3a p. 313, 104 V 135 consid. 2b p. 136 s.).
L'invalidité de 40 % qui résulte de la comparaison des revenus en pour-cent ouvre le droit à un quart de rente d'invalidité (art. 28 al. 1 LAI, teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007). La réduction à un quart de rente dès le 1er janvier 2006 du droit de la recourante à une rente entière d'invalidité est ainsi conforme au droit fédéral (supra, consid. 2.1). Le recours est mal fondé.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, à l'Office fédéral des assurances sociales et à la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation.
Lucerne, le 12 février 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner