Sachverhalt:
A. Der 1961 geborene M._ war als Objektleiter im Reinigungsbereich der Firma X._ AG bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als er am 26. Februar 2006 auf einer Treppe stürzte. Auf der Notfallstation des Universitätsspitals Z._ wurden eine Commotio cerebri und multiple Prellungen diagnostiziert. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 16. Mai 2008 und Einspracheentscheid vom 15. September 2008 sprach sie M._ ab 1. Juni 2008 aufgrund unfallbedingter Einschränkungen der rechten Hand und der linken Schulter eine Invalidenrente gestützt auf einen Invaliditätsgrad von 18 % und eine Integritätsentschädigung bei einem Integritätsschaden von 20 % zu.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 15. Oktober 2009 ab.
C. Mit Beschwerde lässt M._ beantragen, die Sache sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides an die SUVA zur Durchführung weiterer medizinischer Abklärungen und anschliessendem neuen Entscheid über den Rentenanspruch und die Integritätsentschädigung zurückzuweisen. Ferner wird um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung ersucht.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Unter Berücksichtigung der für Beschwerden bestehenden allgemeinen Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es indessen grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese letztinstanzlich nicht mehr aufgegriffen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2. Wird durch einen Unfall ein krankhafter Vorzustand verschlimmert oder überhaupt erst manifest, entfällt die Leistungspflicht des Unfallversicherers erst, wenn der Unfall nicht die natürliche und adäquate Ursache des Gesundheitsschadens darstellt, wenn also Letzterer nur noch und ausschliesslich auf unfallfremden Ursachen beruht. Dies trifft dann zu, wenn entweder der (krankhafte) Gesundheitszustand, wie er unmittelbar vor dem Unfall bestanden hat (Status quo ante), oder aber derjenige Zustand, wie er sich nach dem schicksalsmässigen Verlauf eines krankhaften Vorzustandes auch ohne Unfall früher oder später eingestellt hätte (Status quo sine), erreicht ist (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 326, U 180/93 E. 3b mit Hinweisen). Ebenso wie der leistungsbegründende natürliche Kausalzusammenhang muss das Dahinfallen jeder kausalen Bedeutung von unfallbedingten Ursachen eines Gesundheitsschadens mit dem im Sozialversicherungsrecht allgemein üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen sein. Die blosse Möglichkeit nunmehr gänzlich fehlender ursächlicher Auswirkungen des Unfalles genügt nicht. Da es sich hierbei um eine anspruchsaufhebende Tatfrage handelt, liegt die Beweislast - anders als bei der Frage, ob ein leistungsbegründender natürlicher Kausalzusammenhang gegeben ist - nicht bei der versicherten Person, sondern beim Unfallversicherer (SVR 2009 UV Nr. 3 S. 9 8C_354/2007, E. 2.2). Der Beweis des Wegfalls des natürlichen Kausalzusammenhangs muss nicht durch den Nachweis unfallfremder Ursachen erbracht werden. Ebenso wenig geht es darum, vom Unfallversicherer den negativen Beweis zu verlangen, dass kein Gesundheitsschaden mehr vorliege oder die versicherte Person nun bei voller Gesundheit sei. Entscheidend ist allein, ob unfallbedingte Ursachen des Gesundheitsschadens ihre kausale Bedeutung verloren haben, also dahingefallen sind (Urteil 8C_963/2009 vom 10. März 2010 E. 2.1).
3. Streitig ist, ob die Anspruchsvoraussetzungen für Leistungen der Unfallversicherung in Bezug auf die geltend gemachten Rückenbeschwerden ab dem 1. Juni 2008 noch vorhanden sind. Zu prüfen ist dabei das Vorliegen eines Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis vom 26. Februar 2006 und den geklagten Rückenbeschwerden.
3. Streitig ist, ob die Anspruchsvoraussetzungen für Leistungen der Unfallversicherung in Bezug auf die geltend gemachten Rückenbeschwerden ab dem 1. Juni 2008 noch vorhanden sind. Zu prüfen ist dabei das Vorliegen eines Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis vom 26. Februar 2006 und den geklagten Rückenbeschwerden.
3.1 3.1.1 Es entspricht einer medizinischen Erfahrungstatsache im Bereich des Unfallversicherungsrechts, dass praktisch alle Diskushernien bei Vorliegen degenerativer Bandscheibenveränderungen entstehen und ein Unfallereignis nur ausnahmsweise, unter besonderen Voraussetzungen, als eigentliche Ursache in Betracht fällt. Ist die Diskushernie bei degenerativem Vorzustand durch den Unfall nur aktiviert, nicht aber verursacht worden, so hat die Unfallversicherung nur Leistungen für das unmittelbar im Zusammenhang mit dem Unfall stehende Schmerzsyndrom zu erbringen. Nach derzeitigem medizinischem Wissensstand kann das Erreichen des Status quo sine bei posttraumatischen Lumbalgien und Lumboischialgien nach drei bis vier Monaten erwartet werden, wogegen eine allfällige richtunggebende Verschlimmerung röntgenologisch ausgewiesen sein und sich von der altersüblichen Progression abheben muss; eine traumatische Verschlimmerung eines klinisch stummen degenerativen Vorzustandes an der Wirbelsäule ist in der Regel nach sechs bis neun Monaten, spätestens aber nach einem Jahr als abgeschlossen zu betrachten (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 354/04 vom 11. April 2005 E. 2.2, mit Hinweisen auf die medizinische Literatur; vgl. diesbezüglich auch neuere Urteile 8C_523/2009 vom 1. Oktober 2009 E. 2.2, 8C_346/2008 vom 11. November 2008 E. 3.2 und 8C_412/2008 vom 3. November 2008 E. 5.1).
3.1.2 Die Hausärztin Dr. med. G._ und die Ärzte der Klinik Y._ wiesen in ihren Berichten vom 29. September 2006 und 15. November 2006 auf eine bereits zehn Jahre vor dem Unfallereignis vom 26. Februar 2006 erlittene Diskushernie L5/S1 des Beschwerdeführers hin. Die Hausärztin reichte hierzu mit Schreiben vom 29. Juni 2006 Röntgenaufnahmen der Lendenwirbelsäule (LWS) vom 10. Juni 1996 und CT-Aufnahmen der LWS vom 7. November 1997 ein. Nach dem Unfallereignis vom 26. Februar 2006 wurde im Bericht des Spitals B._ vom 28. Juli 2006 zunächst ein chronisches lumboradikuläres Reiz- und sensibles Ausfallsyndrom L5 rechts bei medio-rechtslateraler, nach kaudal luxierter Diskushernie L4/5 mit recessaler Beeinträchtigung der Nervenwurzel L5 rechts diagnostiziert. Im Austrittsbericht der Klinik Y._ vom 15. November 2006 bestätigten die Ärzte dann noch ein fragliches lumboradikuläres Reizsyndrom L5 rechts ohne Ausfallsymptomatik. Ca. ein Jahr nach dem Unfallereignis hielt Dr. med. W._ in der kreisärztlichen Untersuchung vom 7. März 2007 fest, Beschwerden im lumbosacralen Übergang seien noch denkbar, jedoch schlecht bis gar nicht mit dem Röntgenbefund korrelierend. Jedenfalls ergäben sich keine harten Kriterien für ein Radiculärsyndrom. In der abschliessenden kreisärztlichen Untersuchung vom 7. April 2008, über zwei Jahre nach dem Unfallereignis, diagnostizierte Dr. med. W._ schliesslich noch ein discogenes Lumbovertebralsyndrom bei degenerativen Veränderungen L4/5 sowie lumbosacral, und gab an, die Rückenkontusion vom 26. Februar 2006 sei auskuriert, nachdem keine strukturellen Schäden verursacht worden seien.
3.1.3 Der von Dr. med. W._ festgestellte abschliessende Befund einer degenerativen Veränderung ohne strukturelle Schäden stimmt mit der dargelegten medizinischen Erfahrungstatsache bei Diskushernien (E. 3.1.1 hievor) überein. Auch auf Berichte versicherungsinterner Ärzte kann rechtsprechungsgemäss abgestellt werden, wenn keine Zweifel an der Zuverlässigkeit ihrer Schlussfolgerungen bestehen (BGE 135 V 465 E. 4.7 S. 471). Solche liegen nicht vor. Die in den übrigen Arztberichten beschriebene Entwicklung der objektiv begründeten Beschwerden entspricht ebenfalls den Erfahrungswerten bei posttraumatisch ausgelösten Rückenbeschwerden. Spätestens zum Zeitpunkt der abschliessenden kreisärztlichen Untersuchung vom 7. April 2008 muss nach dem Gesagten der Status quo sine der durch das Unfallereignis ausgelösten Rückenbeschwerden überwiegend wahrscheinlich angenommen werden. Das in den verschiedenen Arztberichten erwähnte, ausgeprägte Symptomausweitungsverhalten stellt nach Beurteilung der psychiatrischen Fachärzte der Klinik Y._ keine psychische Störung von Krankheitswert dar. Die Beschwerdegegnerin erbrachte bis 31. Mai 2008 die gesetzlichen Leistungen auch für die geklagten Rückenbeschwerden. Die anschliessende Nichtberücksichtigung der Rückenbeschwerden bei der Zusprache der Invalidenrente und bei der Integritätsentschädigung erweist sich somit als rechtens. Auf ein beantragtes polydisziplinäres Gutachten zur weiteren Abklärung der Rückenbeschwerden kann unter diesen Voraussetzungen in antizipierter Beweiswürdigung verzichtet werden. Die Beschwerde ist demgemäss abzuweisen.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Rechtsvertretung) kann entsprochen werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 125 V 201 E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Advokat Dr. Andreas Bernoulli wird als unentgeltlicher Anwalt des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Mai 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Kathriner