Sachverhalt:
A. Der spanische Staatsangehörige X._, geb. 1966, arbeitete von 1989 bis 1994 als Saisonnier in der Schweiz. Am 6. März 1994 wurde seine Saisonbewilligung in eine Jahresaufenthaltsbewilligung umgewandelt. Mittlerweile besitzt er die Niederlassungsbewilligung. Er ist ledig und kinderlos.
X._ wurde mehrfach straffällig, wobei es zu den folgenden Verurteilungen kam:
Am 5. Januar 2000 wegen grober Verletzung von Verkehrsregeln zu einer Busse von Fr. 1'800.--;
am 7. März 2001 wegen Führens eines Motorfahrzeugs in angetrunkenem Zustand zu 15 Tagen Gefängnis und einer Busse von Fr. 1'000.--;
am 10. März 2006 wegen mehrfacher Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz, mengenmässig qualifiziert und bandenmässig begangen, mehrfacher Geldwäscherei sowie Widerhandlungen gegen das Waffengesetz zu drei Jahren Zuchthaus und fünf Jahren Landesverweisung mit bedingtem Vollzug bei einer Probezeit von drei Jahren.
Am 29. Juni 2006 wurde X._ bedingt aus dem Strafvollzug entlassen, unter Ansetzung einer Probezeit von zwei Jahren.
B. Mit Verfügung vom 21. August 2006 wies das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern, Migrationsdienst, X._ für unbestimmte Zeit aus der Schweiz aus und ordnete an, er habe das Land bis zum 15. Oktober 2006 zu verlassen.
Dagegen erhob X._ erfolglos Beschwerde bei der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (Entscheid vom 13. September 2007).
C. Mit Urteil vom 24. Juni 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, die von X._ hiegegen eingereichte Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
D. Mit Eingabe vom 28. August 2008 erhebt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die gegen ihn verfügte und mit Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. Juni 2008 bestätigte Ausweisung aufzuheben.
Die Polizei- und Militärdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wie auch das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Der Migrationsdienst des Kantons Bern verzichtet auf eine Stellungnahme.
E. Dem vom Beschwerdeführer gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 8. September 2008 entsprochen.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid über eine gestützt auf Art. 10 Abs. 1 lit. a des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) verfügte Ausweisung, wogegen das ordentliche Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (Art. 83 lit. c BGG e contrario). Der Beschwerdeführer ist hierzu legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2 Zwar ist am 1. Januar 2008 das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG, SR 142.20) in Kraft getreten. Praxisgemäss bleibt indessen, in analoger Anwendung von Art. 126 Abs. 1 AuG, das bisherige Recht anwendbar, wenn - wie hier - ein Ausweisungsverfahren noch vor Inkrafttreten des neuen Rechts eröffnet worden ist (vgl. Urteile 2C_745/2008 vom 24. Februar 2009, E. 1.2.2-1.2.4, und 2C_701/2008 vom 26. Februar 2009, E. 2).
1.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt u.a. hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 IV 286 E. 1.4 S. 287).
1.4 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Die Niederlassungsbewilligung erlischt u.a. mit der Ausweisung (Art. 9 Abs. 3 lit. b ANAG). Gemäss Art. 10 Abs. 1 lit. a ANAG kann ein Ausländer aus der Schweiz oder aus einem Kanton ausgewiesen werden, wenn er wegen eines Verbrechens oder Vergehens gerichtlich bestraft wurde. Die Ausweisung soll jedoch nur verfügt werden, wenn sie nach den gesamten Umständen angemessen erscheint (Art. 11 Abs. 3 ANAG). Für die Beurteilung der Angemessenheit, d.h. der Verhältnismässigkeit (vgl. BGE 125 II 521 E. 2a S. 523) der Ausweisung erklärt Art. 16 Abs. 3 der Vollziehungsverordnung vom 1. März 1949 zum Bundesgesetz über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAV) namentlich als wichtig die Schwere des Verschuldens des Ausländers, die Dauer seiner Anwesenheit in der Schweiz und die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile. Da bei der vorzunehmenden Interessenabwägung die persönlichen und familiären Verhältnisse zu berücksichtigen sind, hält eine im Sinne von Art. 11 Abs. 3 ANAG verhältnismässige Ausweisung grundsätzlich auch vor Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV (Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens) stand.
2.2 Der Beschwerdeführer wurde mit rechtskräftigem Urteil des Kreisgerichts VIII Bern-Laupen vom 10. März 2006 der Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, mehrfach, mengenmässig qualifiziert und bandenmässig begangen, der Geldwäscherei, mehrfach begangen, sowie der Widerhandlung gegen das Waffengesetz schuldig erklärt und zu drei Jahren Zuchthaus verurteilt. Er hat damit den Ausweisungsgrund von Art. 10 Abs. 1 lit. a ANAG erfüllt.
2.3 Die kantonalen Behörden haben die für die Beurteilung der Verhältnismässigkeit der Ausweisung relevanten Kriterien zutreffend dargelegt. Der Beschwerdeführer wurde hauptsächlich wegen schweren Drogendelikten verurteilt. Das Bundesgericht verfolgt im Zusammenhang mit derartigen Straftaten - in Übereinstimmung mit der in Europa herrschenden Rechtsüberzeugung (vgl. BGE 129 II 215 E. 6 u. E. 7 S. 220 ff.) - eine strenge Praxis (BGE 125 II 521 E. 4a/aa S. 527). Das im Strafmass von drei Jahren Zuchthaus zum Ausdruck kommende Verschulden des Beschwerdeführers ist mit der Vorinstanz als erheblich zu bezeichnen. Aus dem Strafurteil vom 10. März 2006 ergibt sich, dass der Beschwerdeführer in der Zeit von Herbst 2003 bis zu seiner Verhaftung Ende Juni 2004 zusammen mit zwei weiteren Personen in den illegalen Drogenhandel verstrickt war. Er beteiligte sich am Verkauf von insgesamt mindestens 2'000 g Kokaingemisch. Zwar war der Beschwerdeführer hierbei nicht die treibende Kraft; er verfügte jedoch über Kontakte in Spanien, welche ihm ermöglichten, eine grosse Drogenmenge von verhältnismässig guter Qualität zu organisieren. So kaufte er zusammen mit einem Komplizen im März und im Mai 2004 in Spanien 1'800 g Kokaingemisch, welches sie durch einen weiteren Tatbeteiligten in die Schweiz einführen und hier lagern liessen. Die in Frage stehenden Drogenmengen überschritten die Grenze zum schweren Fall von 18 g reinem Kokain um ein Mehrfaches, womit von qualifizierten Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz auszugehen war. Sodann kommt das Strafurteil zum Ergebnis, dass der Beschwerdeführer den Drogenhandel aus finanziellen und somit rein egoistischen Beweggründen bzw. trotz geregelter Einkommensverhältnisse betrieben hat. Strafreduzierend wurde berücksichtigt, dass der Beschwerdeführer im Verlaufe des Verfahrens weitgehend geständig war. Was der Beschwerdeführer vorbringt, ist nicht geeignet, die Tatsachenfeststellungen der Vorinstanz, welche sich vornehmlich auf das genannte rechtskräftige Strafurteil stützt, und die daraus in rechtlicher Hinsicht gezogenen Schlüsse zu entkräften. Dass die schriftliche Begründung des Strafurteils möglicherweise in einzelnen Punkten von den anlässlich der mündlichen Urteilseröffnung gemachten Ausführungen des Gerichts zu Ungunsten des Beschwerdeführers abweicht, wie dieser behauptet, spielt keine entscheidende Rolle, da dieser Aspekt nichts an der gegen ihn verhängten Strafe ändert, welche Ausgangspunkt und Massstab für die Schwere des Verschuldens und die fremdenpolizeiliche Interessenabwägung bildet (vgl. BGE 129 II 215 E. 3.1 S. 216). Auch hat die Vorinstanz zu Recht dem Umstand kein entscheidendes Gewicht beigemessen, dass der Beschwerdeführer im Zeitraum seiner Delinquenz selber Kokain konsumierte, da Hinweise auf eine schwere Drogenabhängigkeit fehlten und er den Eigenkonsum dank einer geregelten Erwerbstätigkeit aus seinem Einkommen hätte finanzieren können bzw. es dazu des Handels mit derart grossen Drogenmengen nicht bedurft hätte. Auch der Versuch der Verschleierung der Herkunft der Gelder aus dem Drogenhandel durch Einzahlung auf ein Konto im Ausland, weswegen der Beschwerdeführer der Geldwäscherei schuldig gesprochen wurde, deuten auf eine wohldurchdachte Vorgehensweise und damit auf einen primär finanziellen Antrieb. Schliesslich ist auch in der Widerhandlung gegen das Waffengesetz, bei welcher es um den gesetzwidrigen Erwerb bzw. die Übertragung einer Faustfeuerwaffe ging, ein ernstzunehmender Verstoss gegen die öffentliche Ordnung zu erblicken; gleiches gilt für die in den Jahren 2000 und 2001 sanktionierten Delikte im Bereich des Strassenverkehrs. Auch kann eine Rückfallgefahr - wie noch weiter unten in anderem Zusammenhang näher dargelegt wird - nicht ausgeschlossen werden. Es besteht nach dem Gesagten ein erhebliches Interesse, den Beschwerdeführer von der Schweiz fernzuhalten.
2.4 Die gegenläufigen privaten Interessen des Beschwerdeführers am Verbleib in der Schweiz fallen demgegenüber nicht schwer ins Gewicht. Der Beschwerdeführer ist kein "Ausländer der zweiten Generation", sondern lebt erst seit seinem 28. Altersjahr ununterbrochen in der Schweiz, wobei seine 14-jährige Anwesenheit durch die Zeit im Strafvollzug (zwei Jahre) zu relativieren ist. Er ist ledig und kinderlos. Seine nächsten Verwandten (Eltern und Brüder) leben in Spanien. Nach unbestrittener Feststellung im angefochtenen Urteil hat der Beschwerdeführer zwar seit kurzem eine Freundin in der Schweiz, doch ist er diese Beziehung erst zu einem Zeitpunkt eingegangen, als sein weiterer Aufenthalt hierzulande bereits ungewiss war; zudem besteht auch kein gemeinsamer Haushalt. Der Beschwerdeführer verfügt somit über keine unter dem Gesichtswinkel des Rechts auf Familienleben massgebliche familiäre Verbindungen in der Schweiz. Auch pflegt er hierzulande überwiegend Kontakte zu spanischen und italienischen Gemeinschaften. Von einer besonders starken Bindung zum Gaststaat oder einer überdurchschnittlichen, besonderen Integration ist mithin nicht auszugehen. Eine Rückkehr in sein Heimatland Spanien, wo er aufgewachsen und sozialisiert wurde, erscheint für ihn zumutbar. Daran vermag auch nichts entscheidend zu ändern, dass der Beschwerdeführer seit seiner bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug zu keinen Klagen Anlass gegeben hat und seit April 2007 wieder über eine feste Anstellung verfügt, womit er momentan in der Lage ist, seinen finanziellen Verpflichtungen nachzukommen sowie - nach eigenen Angaben - seine Schulden zu vermindern. Es liegen gegen ihn, gemäss einem vor Bundesgericht eingereichten Betreibungsregisterauszug, indessen nach wie vor Betreibungen in der Höhe von Fr. 28'742.60 sowie offene Verlustscheine über Fr. 78'457.25 vor, womit von einer nennenswerten und nachhaltigen Verbesserung seiner finanziellen Situation nicht ausgegangen werden kann.
2.5 Die Ausweisung des Beschwerdeführers erscheint unter den gegebenen Umständen nach den Grundsätzen des ANAG daher nicht unverhältnismässig.
3. 3.1 Als spanischer Staatsbürger kann sich der Beschwerdeführer zudem auf die Bestimmungen des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (Freizügigkeitsabkommen, FZA; SR 0.142.112.681) berufen, welches ihm in seiner Eigenschaft als erwerbstätiger Vertragsstaatsangehöriger ein originäres Anwesenheitsrecht in der Schweiz verschafft (Art. 2 Anhang I FZA). Dieses Recht darf gemäss Art. 5 Abs. 1 Anhang I FZA "nur durch Massnahmen, die aus Gründen der öffentlichen Ordnung, Sicherheit und Gesundheit gerechtfertigt sind, eingeschränkt werden". Nach der Rechtsprechung, welche sich an der (gemäss Art. 5 Abs. 2 Anhang I FZA hiefür massgeblich erklärten) gemeinschaftsrechtlichen Richtlinie 64/221/EWG vom 25. Februar 1964 und der diesbezüglichen Praxis des Gerichtshofes der Europäischen Gemeinschaften (EuGH) orientiert, setzen Entfernungs- oder Fernhaltemassnahmen eine hinreichend schwere und gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung durch den betreffenden Ausländer voraus. Eine strafrechtliche Verurteilung darf dabei nur insofern zum Anlass für eine derartige Massnahme genommen werden, als die ihr zugrunde liegenden Umstände ein persönliches Verhalten erkennen lassen, das eine gegenwärtige Gefährdung der öffentlichen Ordnung darstellt. Art. 5 Anhang I FZA steht somit Massnahmen entgegen, die (allein) aus generalpräventiven Gründen verfügt werden (vgl. BGE 130 II 176 E. 3.4 S. 182 ff.; 129 II 215 E. 7 S. 221 ff., je mit Hinweisen). Während die Prognose über das künftige Wohlverhalten im Rahmen der Interessenabwägung nach Art. 11 Abs. 3 ANAG zwar mitzuberücksichtigen jedoch nicht ausschlaggebend ist, kommt es bei Art. 5 Anhang I FZA entscheidend auf das Rückfallrisiko an (BGE 130 II 176 E. 4.1 S. 185 mit Hinweisen). Zu verlangen ist eine nach Art und Ausmass der möglichen Rechtsgüterverletzung zu differenzierende hinreichende Wahrscheinlichkeit, dass der Ausländer künftig die öffentliche Sicherheit und Ordnung stören wird. Je schwerer die möglichen Rechtsgüterverletzungen sind, desto niedriger sind die Anforderungen an die in Kauf zu nehmende Rückfallgefahr (BGE 130 II 176 E. 4.3.1 S. 186).
3.2 Das Verwaltungsgericht durfte zulässigerweise davon ausgehen, dass vom Beschwerdeführer aufgrund der von ihm begangenen Straftaten eine hinreichend schwere Gefährdung der öffentlichen Ordnung im Sinne der dargestellten Rechtsprechung ausgeht, welche mit Blick auf die bestehende Rückfallgefahr auch als gegenwärtig zu bezeichnen ist: Der Beschwerdeführer ist über einen längeren Zeitraum und wiederholt an der Beschaffung und am Absatz grosser Mengen an Kokain beteiligt gewesen und hat sich - nebst den qualifizierten und mehrfachen Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz - auch weiterer strafbarer Handlungen (Geldwäscherei, Widerhandlung gegen das Waffengesetz) schuldig gemacht. Die deliktische Tätigkeit hat sich dabei nahezu über ein Jahr erstreckt und wäre - nach Einschätzung im Strafurteil des Kreisgerichts, auf welche die Vorinstanz Bezug nimmt - ohne polizeiliche Intervention zweifellos fortgesetzt worden. Zu Recht verneint der angefochtene Entscheid daher das Vorliegen einer "einmaligen Entgleisung". Der Beschwerdeführer musste denn auch bereits früher wegen Strassenverkehrsdelikten strafrechtlich zur Verantwortung gezogen werden, wobei ihn die betreffenden Verurteilungen nicht vor weiterer Delinquenz haben abzuhalten vermögen. Auch soll der Beschwerdeführer über einen Zeitraum von fast 20 Jahren mit gewisser Regelmässigkeit Drogen konsumiert haben, weshalb von einem ansonsten unbescholtenen Leumund nicht die Rede sein kann. Dass er sich nach der bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug, wie sich den Berichten der Bewährungshilfe entnehmen lässt, korrekt verhalten hat und keine Verstösse gegen das Strafgesetz bekannt sind, lässt angesichts der in der Probezeit drohenden Rückversetzung bei Nichtbewährung sowie dem laufenden fremdenpolizeilichen Ausweisungsverfahren noch nicht ohne weiteres auf ein künftiges Wohlverhalten schliessen. Auch die günstig verlaufende berufliche Integration des Beschwerdeführers ist im Rahmen der Prognose insofern zu relativieren, als er auch zur Zeit des illegalen Drogenhandels in geregelten Verhältnissen lebte und einer Erwerbstätigkeit nachging. Hinzu kommt die nach wie vor ungünstige finanzielle Situation des Beschwerdeführers, welche durch eine hohe Verschuldung gekennzeichnet ist.
3.3 Damit erweist sich die verfügte Ausweisung als im Sinne von Art. 5 Anhang I FZA gerechtfertigt und insofern auch mit dem Freizügigkeitsabkommen vereinbar.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet abzuweisen.
Entsprechend dem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und Personenstand, der Polizei- und Militärdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juni 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Moser