Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1964) stammt aus Armenien. Er reiste am 15. Oktober 2005 mit seiner Frau (geb. 1973) und seinen beiden Kindern (geb. 1998 und 2002), welche (wie die Gattin) über die russische Staatsbürgerschaft verfügen, in die Schweiz ein. X._ erhielt im Kanton Luzern eine kontingentierte Kurzaufenthaltsbewilligung zu Erwerbszwecken (Geschäftsführung der Q._ AG in A._), während seinen Angehörigen Kurzaufenthaltsbewilligungen zum Verbleib beim Gatten bzw. beim Vater erteilt wurden. Die Bewilligungen sind am 9. November 2006 bis zum 13. Oktober 2007 verlängert worden.
1.2 In der Folge bemühte sich die Familie X._ wiederholt und erfolglos um die Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen. Mit Entscheid vom 21. August 2008 verweigerte das Bundesamt für Migration seine Zustimmung zum Vorentscheid über die Bewilligung einer Erwerbstätigkeit, da die gesetzlichen Voraussetzungen nicht erfüllt seien. Das Bundesverwaltungsgericht wies eine hiergegen gerichtete Beschwerde am 11. August 2011 ab (Urteil C-6135/2008).
1.3 Am 8. November 2011 ersuchte X._ erneut um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung (Aufenthaltszweck: Geschäftsführung der Firma R._ GmbH). Das Amt für Migration teilte ihm am 5. Dezember 2011 mit, dass eine Prüfung des (neuen) Gesuchs um Bewilligungserteilung erst nach der Ausreise der Familie erfolgen könne (Art. 17 AuG [SR 142.20]). Nachdem X._ am 8. Februar 2012 um materielle Behandlung seiner Eingabe ersucht hatte, trat das Amt für Migration des Kantons Luzern am 9. März 2012 auf das Gesuch vom 8. November 2011 nicht ein und forderte ihn und seine Familie auf, die Schweiz zu verlassen und die Erwerbstätigkeit sofort einzustellen. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement hiess die hiergegen gerichtete Beschwerde teilweise gut (Festsetzung der Ausreisefrist), wies die Familie X._ jedoch ebenfalls weg und forderte sie auf, das Land bis zum 16. Juli 2012 zu verlassen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies am 11. September 2012 die von der Familie X._ hiergegen eingereichte Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat; es hielt die Familie X._ an, das Land bis zum 31. Oktober 2012 zu verlassen.
1.4 Mit Beschwerde vom 8. Oktober 2012 beantragen X._, X.Y._ sowie X.A._ und X.B._, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern aufzuheben und festzustellen, dass der Vollzug der Wegweisung gegen ihre verfassungsmässigen Rechte verstosse und als unzumutbar zu gelten habe.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig, die Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Sie ist ausgeschlossen gegen Entscheide über die vorläufige Aufnahme (Ziff. 3) sowie über die Abweichung von den Zulassungsvoraussetzungen (Ziff. 5 i.V.m. Art. 20 AuG) und die Wegweisung (Ziff. 4). Gegen kantonale Urteile bezüglich der Wegweisung bzw. hinsichtlich des Zwischenentscheids, den Ausgang des Bewilligungsverfahrens im Ausland abwarten zu müssen, steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (Urteile 2D_67/2009 vom 4. Februar 2010 E. 2.1, 2D_98/2008 vom 12. Dezember 2008 E. 1). Der Betroffene kann in diesem Rahmen - in dem es nicht mehr um den negativen Sach-, sondern mit der Wegweisung lediglich noch um den damit verbundenen Vollzugsentscheid geht - keine Rügen mehr erheben, die Gegenstand des Entscheids über den Widerruf bzw. über die Nichtverlängerung oder die Erteilung der Bewilligung gebildet haben oder hätten bilden müssen (BGE 137 II 305 E. 1.1; Urteile 2C_425/2010 vom 17. August 2010 E. 4 und 2D_67/2009 vom 4. Februar 2010 E. 2.4 und 5).
2.2 Die betroffene ausländische Person muss sich gegen den Wegweisungsentscheid auf besondere verfassungsmässige Rechte berufen können, die ihr unmittelbar ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 115 lit. b BGG verschaffen (vgl. BGE 137 II 305 E. 3.3). Zu denken ist dabei etwa an den Schutz des Lebens (Art. 10 Abs. 1 BV/Art. 2 EMRK), an das Verbot jeder Art grausamer, unmenschlicher oder erniedrigender Behandlung oder Bestrafung (Art. 10 Abs. 3 BV/Art. 3 EMRK) oder an das Verbot einer Ausschaffung in einen Staat, in welchem dem Betroffenen Folter oder eine andere Art grausamer und unmenschlicher Behandlung oder Bestrafung droht (Art. 25 Abs. 3 BV) bzw. an das Gebot, Flüchtlinge nicht in einen Staat auszuschaffen oder auszuliefern, in dem sie verfolgt werden (Art. 25 Abs. 2 BV). Die entsprechenden Rügen müssen jeweils rechtsgenügend begründet werden (Art. 116 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur soweit diese klar, sachbezogen und falls möglich belegt geltend gemacht wird (Art. 106 Abs. 2 BGG; "qualifizierte Rügepflicht"; vgl. BGE 137 II 305 S. 311, 136 I 229 E. 4.1).
3. 3.1 Die Beschwerdeführer berufen sich auf keines der in BGE 137 II 305 ff. genannten Rechte, sondern machen ausschliesslich geltend, der Vollzug der Wegweisung sei für ihre beiden Kinder, die hier eingeschult seien, unzumutbar und verstosse gegen Art. 3 der Kinderrechtskonvention (SR 0.107; vorrangige Berücksichtigung der Kindsinteressen) bzw. Art. 11 Abs. 1 BV (Schutz der Kinder und Jugendlichen). Das Kindeswohl sei durch die Vorinstanzen falsch gewichtet worden. Die einzige Heimat, welche die Kinder kennen würden, sei die Schweiz, weshalb sie und die sorgeberechtigten Eltern hier bleiben müssten.
3.2 Die Beschwerdeführer verkennen die Tragweite der angerufenen konventions- und verfassungsrechtlichen Garantien: Sie sind im Rahmen von kontingentierten Kurzaufenthaltsbewilligungen in die Schweiz gekommen und mussten von Anfang davon ausgehen, dass sie das Land wieder zu verlassen haben würden. Ihre Bewilligungen sind am 13. Oktober 2007 abgelaufen, seither halten sie sich gestützt auf die aufschiebenden Wirkungen der von ihnen eingereichten Rechtsmittel in der Schweiz auf. Das erste Bewilligungsverfahren ist mit dem Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 11. August 2011 abgeschlossen worden; das zweite ist hängig, wobei nunmehr aber Art. 17 AuG gilt, wonach Ausländerinnen und Ausländer, die - wie die Beschwerdeführer - für einen vorübergehenden Aufenthalt rechtmässig eingereist sind und die nachträglich eine Bewilligung für einen dauerhaften Aufenthalt beantragen, den Entscheid im Ausland abzuwarten haben, wenn die Zulassungsvoraussetzungen nicht offensichtlich erfüllt erscheinen (vgl. Art. 6 VZAE [SR 142.201]). Ob dies der Fall ist, kann das Bundesgericht nur insoweit prüfen, als ein konventions- oder verfassungsrechtlicher Bewilligungsanspruch besteht (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG), hingegen nicht hinsichtlich der von den Bundesbehörden zu beurteilenden Zulassungsvoraussetzungen ausserhalb eines solchen (Art. 83 lit. c Ziff. 5 und Art. 113 BGG).
3.3 Der Anspruch wäre im Übrigen im Bewilligungsverfahren und nicht im Vollzugsverfahren gegen den mit dem ersten negativen Entscheid automatisch verbundenen Wegweisungsentscheid (vgl. Art. 64 Abs. 1 lit. d AuG) geltend zu machen. Im Rahmen von Art. 17 Abs. 2 AuG durfte die Vorinstanz ohne Konventions- oder Verfassungsverletzung davon ausgehen, dass ein solcher hier nicht als offensichtlich gelten kann: Aus dem Schutz des Rechts auf Familienleben können die Beschwerdeführer nichts zu ihren Gunsten ableiten, da niemand von ihnen hier über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügt und sie das Land zusammen zu verlassen haben (vgl. BGE 135 I 153 E. 2.1 S. 155). Aus Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV ergibt sich weder ein Recht auf Einreise oder Aufenthalt in einem bestimmten Staat noch auf Wahl des für das Familienleben am geeignetsten erscheinenden Orts (BGE 130 II 281 E. 3.1 S. 285 mit Hinweisen; bezüglich der Rechtsprechung des EGMR: Nichtzulassungsentscheid i.S. Biraga gegen Schweden vom 3. April 2012 [1722/10] § 49 ff.; Urteile Antwi gegen Norwegen vom 14. Februar 2012 [Nr. 26940/10] § 89 ff.; Arvelo Ponte gegen Niederlande vom 3. November 2011 [Nr. 28770/05] § 54 f.). Aus dem Schutz des Privatlebens lässt sich ein Recht auf Verbleib im Land bloss unter besonderen Umständen ableiten; eine mehr oder weniger lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration genügen hierzu für sich allein nicht; es bedarf vielmehr besonders intensiver, über eine normale Integration hinausgehender privater Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. entsprechender vertiefter sozialer Beziehungen zum ausserfamiliären Bereich (BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286; 126 II 377 E. 2c S. 384 ff.; 120 Ib 16 E. 3b S. 22). Von solchen kann bei einem zum Vornherein bloss zeitlich beschränkt bewilligten Aufenthalt von lediglich zwei Jahren nicht ausgegangen werden, auch wenn Kinder eingeschult wurden und es diesen, wegen der Dauer der verschiedenen Rechtsmittelverfahren, inzwischen schwerfallen mag, das Land mit ihren Eltern zu verlassen (vgl. Art. 6 Abs. 2 VZAE).
3.4 Zwar hat das Bundesgericht festgestellt, dass bei ausländerrechtlichen Entscheiden im Rahmen von Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 (i.V.m. Art. 36) BV auch den Kindsinteressen angemessen Rechnung zu tragen ist, es hat es indessen abgelehnt, daraus einen eigenständigen Bewilligungsanspruch abzuleiten, wie ihn die Beschwerdeführer im Rahmen der angeblichen Unzumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs für ihre Kinder geltend zu machen versuchen (BGE 137 I 247 E. 4.2.3 und 5.1.3; 126 II 377 E. 5d S. 391 f.; 124 II 361 E. 3b S. 367). Das Kindeswohl ist ausländerrechtlich bloss ein im Rahmen von Art. 8 EMRK zu berücksichtigender Faktor unter mehreren und nicht wie beim zivilrechtlichen Zuteilungsentscheid (vgl. Art. 133 Abs. 2 und 3 ZGB) der allein ausschlaggebende Aspekt (Urteil 2C_250/2012 vom 28. März 2012 E. 2.2.3). Als widerstreitendes öffentliches Interesse gilt auch das Durchsetzen einer restriktiven Einwanderungspolitik; eine solche ist im Hinblick auf ein ausgewogenes Verhältnis zwischen der schweizerischen und der ausländischen Wohnbevölkerung, auf die Schaffung günstiger Rahmenbedingungen für die Eingliederung der in der Schweiz bereits ansässigen Ausländer und die Verbesserung der Arbeitsmarktstruktur sowie auf eine möglichst ausgeglichene Beschäftigung zulässig (BGE 137 I 247 E. 4.1.2; 135 I 143 E. 2.2 S. 147, 153 E. 2.2.1 S. 156).
4. 4.1 Soweit die Beschwerdeführer hinreichend begründete Konventions- oder Verfassungsrügen gegen den Wegweisungsentscheid erheben, verletzt der angefochtene Entscheid somit weder nationales noch internationales Recht. Die Beschwerde kann im Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden. Ergänzend wird auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG). Mit dem vorliegenden Urteil in der Sache selber wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
4.2 Dem Verfahrensausgang entsprechend haben die unterliegenden Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Oktober 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar