Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn stellte am 29. November 2013 die Strafuntersuchung gegen die Mitglieder des Gemeinderats Y._ wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses, eventualiter wegen Veröffentlichung amtlicher geheimer Verhandlungen ein. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Solothurn am 9. April 2014 ab. Die Beschwerdeführer beantragen beim Bundesgericht, die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, das eingestellte Verfahren wieder aufzunehmen.
2.
Der Privatkläger ist zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Dies verlangt grundsätzlich von ihm, dass er adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht hat. Auf dieses Erfordernis kann bei Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens verzichtet werden. Indessen ist erforderlich, dass der Privatkläger im Verfahren vor Bundesgericht darlegt, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt insoweit strenge Anforderungen (BGE 127 IV 185 E. 1a; Urteil 1B_695/2012 vom 14. Februar 2013 E. 1.2).
Dem angefochtenen Entscheid und der Beschwerde ist nicht zu entnehmen, dass die Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren eine Zivilforderung gestellt hätten. Aufgrund der untersuchten Straftat ist dies auch nicht offensichtlich. In ihrer Eingabe ans Bundesgericht führen die Beschwerdeführer zur Legitimation nur aus, sie hätten Anzeige erstattet und seien als Geschädigte im Strafverfahren zugelassen worden, weshalb sie zur Anhebung der vorliegenden Beschwerde legitimiert seien (Beschwerde, S. 4 Ziff. 4). Daraus ergibt sich nicht ansatzweise, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken könnte. Mangels hinreichender Begründung der Legitimation ist auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Offen bleiben kann daher, ob und inwiefern die Beschwerdeführer gegen die in Ausübung ihres öffentlichen Amtes handelnden Gemeinderäte überhaupt Zivilforderungen geltend machen könnten (vgl. § 2 des Verantwortlichkeitsgesetzes des Kantons Solothurn vom 26. Juni 1966 [BSG 124.21]).
3.
Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst können die Privatkläger die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen. Das nach Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich in diesem Fall aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Als Partei des kantonalen Verfahrens können die Privatkläger die Verletzung jener Parteirechte rügen, die ihnen nach dem kantonalen Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung bedeutet. Unzulässig sind allerdings Rügen, deren Beurteilung von der Prüfung in der Sache nicht getrennt werden kann und die im Ergebnis auf eine materielle Prüfung des angefochtenen Entscheids hinauslaufen (BGE 136 IV 41 E. 1.4).
Die Vorinstanz verneint ein schützenswertes privates Geheimhaltungsinteresse. Sie nimmt an, der Gemeinderat Y._ habe die Interessenabwägung im Sinne einer öffentlichen Beratung vornehmen dürfen. Das Interesse der Beschwerdeführer an der Geheimhaltung des Aufsichtsberichts habe das Interesse der Öffentlichkeit an der Klärung der Vorwürfe um das Betreuungs- und Pflegezentrum Z._ nicht zu überwiegen vermögen (Entscheid, S. 8 Ziff. 2.4). Die Beschwerdeführer rügen diesbezüglich eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Die im angefochtenen Entscheid unter Ziff. 2.4 getroffenen Annahmen seien ergangen, ohne dass sie dazu hätten Stellung nehmen können (Beschwerde, S. 9 Ziff. 10). Das Vorbringen läuft auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids hinaus. Die Rüge ist somit unzulässig.
4.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill