Faits:
A. C._, a travaillé en qualité de femme de chambre au service de l'Association X._ (ci-après: l'Association) à raison de 37,5 heures par semaine, ce qui correspondait à un horaire de travail complet. A ce titre, elle était assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Compagnie d'Assurances Nationale Suisse SA (ci-après: la Nationale). Elle était en outre employée, à raison de deux heures par jour et cinq jours par semaine, par la société J._ SA pour le nettoyage de bureaux.
Le 4 juin 2001, l'assurée a été victime d'un accident de la circulation: alors qu'il était arrêté à un feu rouge, le véhicule dans lequel elle avait pris place a été percuté à l'arrière par une autre voiture. L'intéressée a été désincarcérée du véhicule et transportée au département de chirurgie de l'Hôpital Y._, où les médecins ont fait état d'une fracture du plateau supérieur marginal antérieur de D12 avec une cyphose locale à 14°. L'assurée, qui a quitté l'hôpital le 18 juin 2001, a subi une incapacité de travail dont le taux a été variable.
La Nationale a pris en charge le cas et a confié une expertise au docteur Z._, spécialiste en chirurgie orthopédique. Dans des rapports des 5 juin 2003 et 29 janvier 2004, ce médecin a indiqué une incapacité de travail définitive dans l'activité accessoire de nettoyeuse. En revanche, la capacité de travail était entière (8 heures par jour) dans l'activité de femme de chambre - qui avait été adaptée par l'employeur - au service de l'Association, ainsi que dans une autre profession n'exigeant pas le port de charges trop importantes ni une station debout prolongée.
Par décision du 23 juillet 2004, la Nationale a supprimé le droit de l'assurée à l'indemnité journalière à partir du 1er août suivant, ainsi qu'à la prise en charge du traitement médical, à l'exception d'un traitement par anti-inflammatoires et antalgiques et de deux à trois séances annuelles de physiothérapie. En outre, elle a refusé l'octroi d'une rente et alloué une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 %.
Saisie d'une opposition contre cette décision, la Nationale a confié une expertise au docteur P._, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapport du 20 décembre 2005).
Saisi d'une demande de prestations, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève a notifié à l'assurée, le 3 mars 2008, un projet d'acceptation de rente par lequel il a fixé à 66 % le taux d'invalidité ouvrant droit à une demi-rente pour la période du 4 juin 2002 au 31 décembre 2003 et à trois quarts de rente à partir du 1er janvier 2004.
De son côté, la Nationale a rendu une décision, le 7 août 2008, par laquelle elle a alloué une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 15 % et rejeté l'opposition pour le surplus.
B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition de la Nationale, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) a ordonné une audience de comparution personnelle des parties le 11 mars 2009 et requis des renseignements complémentaires auprès du docteur P._ (rapport du 23 octobre 2009).
Par jugement du 23 juin 2010, la juridiction cantonale a annulé la décision sur opposition attaquée en tant qu'elle nie le droit à une rente d'invalidité. Il a reconnu le droit de l'assurée, dès le 1er janvier 2005, à une rente fondée sur un taux d'incapacité de gain de 51,9 % et renvoyé la cause à la Nationale pour calculer le montant de ladite prestation.
C. La Nationale interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle demande au Tribunal fédéral de constater que l'intimée n'a pas droit à des prestations de l'assurance-accidents obligatoire, singulièrement à une rente d'invalidité, au-delà du 31 décembre 2004. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours en matière de droit public, dans la mesure où il est recevable.
L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public remplit les conditions de recevabilité posées par les art. 82 à 85 LTF. Partant, en raison de son caractère subsidiaire, le recours constitutionnel n'est pas recevable (art. 113 LTF).
2.1 2.1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
2.1.2 Dans son jugement, le tribunal cantonal a reconnu le droit de l'assurée à une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 51,9 % depuis le 1er janvier 2005 et il a renvoyé la cause à l'assureur pour qu'il en fixe le montant. D'un point de vue purement formel, il s'agit donc d'une décision de renvoi, soit une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Aussi, le recours n'est-il admissible qu'aux conditions posées à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF.
2.1.2 Dans son jugement, le tribunal cantonal a reconnu le droit de l'assurée à une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 51,9 % depuis le 1er janvier 2005 et il a renvoyé la cause à l'assureur pour qu'il en fixe le montant. D'un point de vue purement formel, il s'agit donc d'une décision de renvoi, soit une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Aussi, le recours n'est-il admissible qu'aux conditions posées à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF.
2.2 2.2.1 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF s'entend du dommage qui ne peut pas être réparé ultérieurement, notamment par la décision finale.
Selon la jurisprudence, conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, dans la mesure où elles ne sont pas immédiatement données, la partie recourante doit exposer en quoi les conditions de recevabilité sont réunies. Il lui appartient notamment d'alléguer et d'établir la possibilité qu'une décision incidente lui cause un dommage irréparable (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 428 s. et les références citées), à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (arrêts 2C_8/2011 du 3 mars 2011 consid. 2.2; 2C_687/2009 du 17 février 2010 consid. 1.3.2).
Le Tribunal fédéral considère qu'il y a un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF lorsqu'une autorité dotée du pouvoir de décision est contrainte par un jugement de renvoi de rendre une décision à ses yeux contraire au droit. Comme elle n'a pas qualité pour attaquer sa propre décision, celle-ci pourrait entrer en force sans que l'autorité puisse la déférer au Tribunal fédéral. Pour pallier cet inconvénient, il convient qu'une autorité ayant qualité pour recourir puisse, en vertu de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, attaquer d'emblée la décision de renvoi, ou le prononcé qui la confirme, devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 133 V 477 consid. 5.2.4 p. 484 s.; arrêts 8C_478/2010 du 25 mars 2011 consid. 1.2; 8C_607/2009 du 25 août 2009 consid. 2.2.1; 2C_258/2008 du 27 mars 2009 consid. 3.6.1).
2.2.2 En l'espèce, le jugement cantonal attaqué a un effet contraignant pour la recourante en ce sens qu'elle doit statuer sur le montant de la rente d'invalidité tout en étant liée par l'obligation d'allouer ladite prestation. Dans ces conditions, le jugement incident entraîne sans aucun doute un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Il y a donc lieu d'entrer en matière sur le recours, bien que la recourante n'allègue pas l'existence d'un tel préjudice.
3. Le litige porte sur le droit éventuel de l'intimée à une rente d'invalidité à partir du 1er janvier 2005.
Le Tribunal fédéral n'est dès lors pas lié par l'état de fait constaté par l'autorité précédente (art. 105 al. 3 LTF).
4. 4.1 En l'occurrence, la Nationale a nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité, motif pris que l'intéressée ne subissait pas une perte de gain de 10 % au moins. Elle a considéré que seule la fracture du plateau supérieur marginal antérieur de D12 était due à l'accident et que les douleurs dorsales qui en découlaient n'empêchaient pas l'exercice d'une activité légère.
De son côté, la juridiction cantonale a considéré que les séquelles de la lésion de la vertèbre D12 entraînent une diminution de rendement de 37,5 % dans une activité sédentaire. Elle s'est fondée pour cela sur les conclusions du docteur P._ (rapports des 20 décembre 2005 et 23 octobre 2009) qui a attesté une diminution de rendement de 25 % à 50 % dans des activités permettant des changements de position et n'exigeant pas de flexion du tronc en avant, ni port de charges de plus de 5 kg, ni déplacement en terrain accidenté. Aussi, la juridiction cantonale a-t-elle retenu la valeur moyenne de la fourchette indiquée par le docteur P._.
4.2 Par un premier moyen, la recourante reproche à la juridiction cantonale de s'être fondée exclusivement sur les conclusions du docteur P._ - dont elle conteste la valeur probante - sans les avoir confrontées à celles du docteur Z._ (rapports des 5 juin 2003 et 29 janvier 2004). En particulier, elle fait valoir que le docteur P._ n'a pas tenu compte de l'écart entre l'atteinte objectivement constatée et les plaintes de l'intimée. En outre, elle relève une inconséquence en ce sens que le docteur P._, tout en indiquant que l'incapacité de travail était due à l'accident, a tenu compte, pour évaluer celle-ci, de certaines douleurs découlant de troubles étrangers à la lésion de la vertèbre D12. Par ailleurs, la recourante soutient que l'indication d'une fourchette de valeurs (ici, 25 % à 50 %) est trop vague pour permettre de connaître la capacité de travail de l'assurée.
4.2 Par un premier moyen, la recourante reproche à la juridiction cantonale de s'être fondée exclusivement sur les conclusions du docteur P._ - dont elle conteste la valeur probante - sans les avoir confrontées à celles du docteur Z._ (rapports des 5 juin 2003 et 29 janvier 2004). En particulier, elle fait valoir que le docteur P._ n'a pas tenu compte de l'écart entre l'atteinte objectivement constatée et les plaintes de l'intimée. En outre, elle relève une inconséquence en ce sens que le docteur P._, tout en indiquant que l'incapacité de travail était due à l'accident, a tenu compte, pour évaluer celle-ci, de certaines douleurs découlant de troubles étrangers à la lésion de la vertèbre D12. Par ailleurs, la recourante soutient que l'indication d'une fourchette de valeurs (ici, 25 % à 50 %) est trop vague pour permettre de connaître la capacité de travail de l'assurée.
4.3 4.3.1 L'élément décisif pour apprécier la valeur probante d'un avis médical n'est en principe ni son origine, ni sa désignation sous la forme d'un rapport ou d'une expertise, mais bel et bien son contenu. Il importe, pour lui conférer pleine valeur probante, que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352 et les références; VSI 2001 p. 106, I 128/98 consid. 3a).
4.3.2 Dans ses rapports des 5 juin 2003 et 29 janvier 2004, le docteur Z._ a indiqué que l'assurée avait une capacité de travail entière (8 heures par jour) dans son activité de femme de chambre au service de l'Association mais qu'elle était totalement incapable d'exercer son activité accessoire de nettoyage de bureaux. Selon cet expert, il était toutefois possible que la symptomatologie douloureuse s'aggrave à la longue, mais il n'y avait pas lieu de craindre une dégradation rapide tant que l'assurée garderait une bonne musculature. Dans son rapport du 20 décembre 2005, le docteur P._ a indiqué l'existence d'une hypomobilité dorsale, d'une hyperlordose lombaire avec une contracture, ainsi que d'une hyper-réactivité de la musculature para-vertébrale à droite. Selon ce médecin, ces constatations objectives expliquaient les plaintes de l'intéressée. Comme, par ailleurs, le docteur P._ a nié l'existence d'un état antérieur, étranger, concomitant, ainsi que d'une maladie intercurrente, il faut considérer que l'aggravation envisagée par le docteur Z._ a effectivement eu lieu. On doit ainsi rejeter le grief de la recourante, selon lequel le docteur P._ n'a pas pris en considération l'écart entre l'atteinte objective et les plaintes, d'une part, et a évalué l'incapacité de travail compte tenu de troubles étrangers à l'accident, d'autre part. Pour le reste, l'intéressée se contente de critiquer l'appréciation du médecin prénommé en lui substituant sa propre appréciation de la situation médicale. Ses allégations ne sont toutefois pas de nature à mettre en cause la valeur probante des conclusions du docteur P._, lesquelles répondent pleinement aux exigences de la jurisprudence ci-dessus exposée.
La juridiction cantonale était dès lors en droit de se fonder sur l'appréciation du docteur P._ et il n'est pas nécessaire de compléter l'instruction par la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise médicale, comme le demande la recourante.
4.3.3 Par ailleurs, on ne saurait reprocher aux premiers juges d'avoir fixé le taux de la diminution de rendement à 37,5 %, soit un taux situé au milieu de la fourchette indiquée par l'expert. En effet, lorsque, comme en l'occurrence, un rapport médical atteste une incapacité de travail sous la forme d'une fourchette de valeurs (ici, 25 % à 50 %), il convient en règle générale de se fonder sur la valeur moyenne, ce qui permet d'éviter les inégalités de traitement résultant de ce genre d'évaluation (ATF 9C_280/2010 du 12 avril 2011 consid. 4.2; arrêts 9C_776/2009 du 11 juin 2010 consid. 3.3 et I 822/04 du 21 avril 2005 consid. 4.4 et les références). Contrairement à ce que soutient la recourante, cette jurisprudence rendue dans des affaires d'assurance-invalidité est également applicable en matière d'assurance-accidents lorsque, comme en l'espèce, l'indication de la capacité ou de l'incapacité de travail sous la forme d'une fourchette de valeurs tient compte exclusivement des séquelles de l'accident.
5. Par un deuxième moyen, la recourante conteste le revenu sans invalidité de 57'522 fr. retenu par la juridiction cantonale dans la comparaison des revenus déterminants. Elle reproche aux premiers juges d'avoir pris en compte la totalité des revenus perçus par l'intimée avant l'accident dans ses activités principale et accessoire, ce qui, d'après la recourante, représente un taux d'activité de 120 %.
5.1 Selon la jurisprudence, qui prévaut notamment en matière d'assurance-accidents, tant les revenus tirés d'une activité principale que les revenus obtenus par l'exercice d'activités accessoires sont pris en compte dans la fixation du revenu sans invalidité, si l'on peut admettre que l'intéressé aurait, selon toute vraisemblance, continué à percevoir des gains accessoires s'il était resté en bonne santé. La prise en compte de ces gains accessoires intervient sans égard au rendement et au temps consacré pour leur obtention. Elle s'étend donc aux revenus obtenus dans une activité accomplie en supplément d'un emploi exercé dans les limites d'un horaire de travail normal. A la différence du revenu d'invalide, la question de l'exigibilité ne joue pas de rôle pour la détermination du revenu sans invalidité: seul est décisif le fait que l'assuré obtenait un revenu qu'il continuerait à percevoir s'il n'était pas devenu invalide (RAMA 2005 no U 538 p. 115 consid. 4.1.2, 2003 no U 476 p. 107 ss; PETER OMLIN, Die Invalidität in der obligatorischen Unfallversicherung, thèse Fribourg 1995, p. 182; JÜRG MAESCHI, Kommentar zum Bundesgesetz über die Militärversicherung [MVG] vom 19. Juni 1992, Berne 2000, n. 34 ad art. 40; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, Zurich 2003, n. 11 ad art. 16). La seule limitation est celle prévue à l'art. 28 al. 2, 2ème phrase, OLAA, selon lequel l'incapacité subie dans une activité lucrative indépendante non assurée, exercée en plus d'une activité salariée, n'est pas prise en considération (voir à ce sujet RAMA 1999 no U 329 p. 119).
5.2 En l'espèce, on doit admettre que l'intimée continuerait, selon toute vraisemblance, à percevoir le revenu accessoire réalisé au service de la société J._ SA si elle n'était pas limitée par les séquelles de l'accident. On ne saurait dès lors y voir un cumul d'activités allant dans son ensemble au-delà de limites humainement supportables au point qu'elles ne pussent pas être exercées durablement. Partant, le revenu que l'intimée a obtenu dans son activité accessoire doit être pris en compte pour le calcul du revenu hypothétique d'invalide, comme l'ont retenu avec raison les premiers juges.
6. 6.1 Au surplus, la juridiction cantonale a correctement fixé le revenu hypothétique d'invalide (27'629 fr.) en se référant au salaire statistique auquel peuvent prétendre les femmes effectuant des activités simples et répétitives dans le secteur privé (Enquête suisse sur la structure des salaires 2004, tableau TA1, niveau de qualification 4), compte tenu d'un taux de rendement de 62,5 % et d'une augmentation de 1,1 % des salaires nominaux en 2005. Quant au taux de réduction du salaire statistique (10 %) fixé par les premiers juges compte tenu de l'ensemble des circonstances personnelles et professionnelles du cas particulier, il n'est pas contesté par la recourante.
6.2 Le résultat exact du calcul du degré d'invalidité (51,96 %) doit néanmoins être arrondi au chiffre en pour cent supérieur (ATF 130 V 121), ce qui fait 52 %.
Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours en matière de droit public se révèle mal fondé.
7. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). En outre, l'intimée a droit à une indemnité de dépens (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté au sens du consid. 6.2.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Celle-ci versera à l'intimée une indemnité de dépens de 2800 fr. pour l'instance fédérale.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 5 juillet 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd