Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene K._ meldete sich im März 2004 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Die IV-Stelle Luzern klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. Unter anderem liess sie die Versicherte durch die Medizinische Abklärungsstelle (MEDAS) polydisziplinär, insbesondere viszeralchirurgisch und psychiatrisch, begutachten. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 19. Juli 2007 den Anspruch auf eine Invalidenrente.
B. Die Beschwerde der K._ hiess die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern mit Entscheid vom 2. Dezember 2008 in dem Sinne gut, dass es die Verfügung vom 19. Juli 2007 aufhob und die IV-Stelle verpflichtete, der Versicherten für die Zeit vom 1. November 2003 bis 31. August 2005 eine halbe Rente und ab 1. September 2005 eine ganze Rente auszurichten.
C. Die IV-Stelle Luzern führt Beschwerde in öffentlichen-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 2. Dezember 2008 sei aufzuheben.
K._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen, soweit darauf einzutreten ist. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Mit Verfügung vom 5. Februar 2009 hat die Instruktionsrichterin im Sinne einer provisorischen Anordnung der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen sowie die Nichtbeachtung des Untersuchungsgrundsatzes nach Art. 61 lit. c ATSG durch das kantonale Versicherungsgericht stellen eine solche Verletzung dar (Urteil 9C_802/2008 vom 22. Dezember 2008 E. 1.1 mit Hinweisen). Der Verzicht der Vorinstanz auf weitere Abklärungen oder Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zu diesem Zwecke in antizipierter Beweiswürdigung (Urteil 9C_561/2007 vom 11. März 2008 E. 5.2.1) im Besonderen verletzt etwa dann Bundesrecht, wenn der festgestellte Sachverhalt unauflösbare Widersprüche enthält oder wenn eine entscheidwesentliche Tatfrage, wie namentlich Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit einer versicherten Person, auf unvollständiger Beweisgrundlage beantwortet wird (Urteil 9C_410/ 2008 vom 8. September 2008 E. 3.3.1 mit Hinweisen).
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil - von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen - den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen oder auf Rüge hin (Art. 97 Abs. 1 BGG) berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Die konkrete Beweiswürdigung ist wie die darauf beruhende Sachverhaltsfeststellung ebenfalls nur unter diesem eingeschränktem Blickwinkel überprüfbar (Urteile 9C_410/2008 vom 8. September 2008 E. 3.3.1 und 9C_801/2008 vom 6. Januar 2009 E. 2.2).
Die Beweiswürdigung durch das kantonale Gericht verletzt Bundesrecht, namentlich wenn es den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9; Urteile 9C_689/2008 vom 25. Februar 2009 E. 3.1 und 9C_1025/2008 vom 19. Januar 2009 E. 4.1).
Geht es im Besonderen um den Gesundheitszustand und die Arbeitsfähigkeit einer versicherten Person, ist auf die Rechtsprechung hinzuweisen, wonach einem ärztlichen Bericht Beweiswert zukommt, wenn er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt und in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, wenn die Beschreibung der medizinischen Situation und Zusammenhänge einleuchtet und die Schlussfolgerungen des Arztes begründet sind (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352; Urteil 9C_55/2008 vom 26. Mai 2008 E. 4.2).
2. 2.1 Invalidität ist die voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde, ganze oder teilweise Erwerbsunfähigkeit (Art. 8 Abs. 1 ATSG in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 IVG). Die Invalidität kann Folge von Geburtsgebrechen, Krankheit oder Unfall sein (Art. 4 Abs. 1 IVG). Krankheit ist jede Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit, die nicht Folge eines Unfalles ist und die eine medizinische Untersuchung oder Behandlung erfordert oder eine Arbeitsunfähigkeit zur Folge hat (Art. 3 Abs. 1 ATSG in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 IVG).
Ist ein Versicherter zu mindestens 40 % invalid, so hat er Anspruch auf eine nach dem Grad der Invalidität abgestufte Rente (Art. 28 Abs. 2 IVG).
2.2 Grundlage für die Bemessung der Invalidität bildet die trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung noch bestehende Arbeitsfähigkeit im versicherten Tätigkeitsbereich. Die Annahme eines psychischen Gesundheitsschadens im Sinne von Art. 4 Abs. 1 IVG sowie Art. 3 Abs. 1 und Art. 6 ATSG im Besonderen setzt grundsätzlich eine lege artis auf die Vorgaben eines anerkannten Klassifikationssystems abgestützte psychiatrische Diagnose voraus (vgl. BGE 130 V 396). Eine solche Diagnose ist eine rechtlich notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für einen invalidisierenden Gesundheitsschaden (BGE 132 V 65 E. 3.4 S. 69). Entscheidend ist, ob und inwiefern, allenfalls bei geeigneter therapeutischer Behandlung, von der versicherten Person trotz des Leidens willensmässig erwartet werden kann zu arbeiten (BGE 127 V 294 E. 5a S. 299). Diese Frage beurteilt sich nach einem weitgehend objektivierten Massstab (BGE 127 V 294 E. 4b/cc S. 297 f. in fine) Dies gilt insbesondere auch bei anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen im Sinne von ICD-10 F45.4 (BGE 130 V 352 E. 2.2.3 und 2.2.4 S. 353 ff.; vgl. zur objektivierenden Betrachtungsweise auch RENATO MARELLI, Nicht können oder nicht wollen?, in SZS 2007 S. 326 ff.). Umstände, welche bei Vorliegen dieses Krankheitsbildes die Verwertung der verbliebenen Arbeitskraft auf dem Arbeitsmarkt als unzumutbar erscheinen lassen, sind die erhebliche Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer des psychischen Leidens, chronische körperliche Begleiterkrankungen mit mehrjährigem Krankheitsverlauf bei unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerfristige Remission, sozialer Rückzug, ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung, unbefriedigende Ergebnisse von konsequent durchgeführten Behandlungen (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) und gescheiterte Rehabilitationsmassnahmen bei vorhandener Motivation und Eigenanstrengung der versicherten Person (vgl. BGE 132 V 65 E. 4.2.2 S. 71; 130 V 352 E 2.2.3 S. 353 ff.; Urteil 9C_578/2007 vom 13. Februar 2008 E. 2.2).
Bei anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen im Besonderen ist zu beachten, dass diese wesentlich durch psychosoziale Probleme und/oder emotionale Konflikte verursacht werden (vgl. BGE 130 V 396 E. 6.1 S. 400). Dabei ist zu differenzieren: Soweit psychosoziale und soziokulturelle Faktoren selbständig und insofern direkte Ursache der Einschränkung der Arbeitsfähigkeit sind, liegt keine Krankheit im Sinne der Invalidenversicherung vor. Wenn und soweit solche Umstände zu einer eigentlichen Beeinträchtigung der psychischen Integrität führen, indem sie einen verselbständigten Gesundheitsschaden aufrechterhalten oder den Wirkungsgrad seiner - unabhängig von den invaliditätsfremden Elementen bestehenden - Folgen verschlimmern, können sie sich mittelbar invaliditätsbegründend auswirken (Urteil 9C_578/2007 vom 13. Februar 2008 E. 2.2 und I 514/06 vom 25. Mai 2007 E. 2.2.2.2 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 127 V 294 E. 5a S. 299 und SVR 2008 IV Nr. 62, 9C_830/2007 E. 4.2).
3. Ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung vorliegt und bejahendenfalls, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände und in welcher Intensität gegeben sind, die eine Schmerzbewältigung mit zumutbarer Willensanstrengung behindern, betreffen den rechtserheblichen Sachverhalt. Diesbezügliche Feststellungen der Vorinstanz prüft das Bundesgericht somit lediglich unter eingeschränktem Blickwinkel (E. 1.2). Dagegen überprüft es frei, ob Art und Ausmass der festgestellten psychischen Komorbidität sowie Intensität und Konstanz einzelner oder mehrerer weiterer Kriterien ausreichen, um den invalidisierenden Charakter der somatoformen Schmerzstörung zu bejahen (SVR 2008 IV Nr. 23, I 683/06 E. 2.2; vgl. auch BGE 132 V 393 E. 3.2 in fine S. 399).
4. Das kantonale Gericht hat festgestellt, gemäss dem Gutachten der MEDAS vom 15. Januar 2007 und dem ergänzenden Bericht der Abklärungsstelle vom 20. Juni 2007 leide die Versicherte an einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (fibromyalgieformes Ganzkörper-Schmerzsyndrom und linksseitiges funktionelles Halbseiten-Syndrom). Daneben bestünden chronische Unterbauchschmerzen, welche aus somatischer Sicht durchaus erklärbar seien. Wegen der Abdominalbefunde (Status nach mehreren operativen Eingriffen mit Öffnung der Bauchdecke und Entzündung der Gebärmutteradnexe) sei für den viszeralchirurgischen Experten der MEDAS klar gewesen, dass die Versicherte in der Arbeitsfähigkeit hochgradig eingeschränkt sei, wie im Bericht vom 20. Juni 2007 festgehalten werde. Somit liege eine langjährige chronische physische Begleiterkrankung vor, welche in der Zwischenzeit eine gewisse Schwere und Intensität erreicht habe. Sodann bestehe eine relevante psychische Begleiterkrankung in Form einer rezidivierenden Depression, welche im Zeitpunkt der Begutachtung zwar weitgehend remittiert gewesen sei. Die Störung sei jedoch schmerzabhängig. Da die Therapiemöglichkeiten für die Unterbauchschmerzen ausgeschöpft seien, bestehe eine hohe Rückfallgefahr. Das Auftreten einer weiteren Depression sei daher imminent. Der psychiatrische Gutachter der MEDAS habe wenig Hoffnung auf eine erfolgreiche Therapie geäussert, insbesondere wegen der eingeschränkten Coping-Möglichkeiten der Explorandin. Damit seien Therapien für die Depression kaum durchführbar. Die Beurteilung im MEDAS-Gutachten, wonach die Versicherte weder über physische noch über genügend psychische Ressourcen verfüge, die es ihr erlauben würden, mit ihren Schmerzen umzugehen und trotz Schmerzen einer Arbeit nachzugehen, leuchte somit durchaus ein.
Gestützt auf die Angaben zur Arbeitsfähigkeit im MEDAS-Gutachten, im Bericht des Hausarztes Dr. med. W._ vom 3. Mai 2004 sowie im Gutachten der psychiatrischen Klinik X._ vom 5. September 2005 setzte die Vorinstanz den Rentenbeginn fest (Art. 29 Abs. 1 lit. b IVG, in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung, und Art. 29 Abs. 2 IVG) und ermittelte durch Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG in Verbindung mit Art. 28a Abs. 1 IVG) den Umfang des Rentenanspruchs (ein Zweitel vom 1. November 2003 bis 31. August 2005, ein Eintel ab 1. September 2005; Art. 28 Abs. 2 IVG und Art. 88a Abs. 2 IVV).
5. Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt, die Vorinstanz habe die gesetzlichen Bestimmungen auf den umfassend und vollständig abgeklärten Sachverhalt unrichtig angewendet und damit Bundesrecht verletzt. Es werde eine Arbeitsunfähigkeit von 100 % anerkannt, obschon die versicherungsrechtlichen Kriterien dafür nicht gegeben seien. Die geklagten Unterbauchschmerzen seien nicht durch korrelierende, fachärztlich schlüssig feststellbare Befunde hinreichend erklärbar. Die Schmerzen seien denn auch keiner spezifischen Organläsion zuzuordnen, wie auch die Vorinstanz festgestellt habe. Dass sie vom viszeralchirurgischen Gutachter der MEDAS als nachvollziehbar bezeichnet worden seien, genüge nicht. Sodann habe der psychiatrische Experte der Abklärungsstelle keine Komorbidität festgestellt. Die im Gutachten der psychiatrischen Klinik X._ vom 5. September 2005 diagnostizierte Depression (mittelgradige Episode) sei zwischenzeitlich remittiert. In Anwendung der Förster-Kriterien habe der psychiatrische Facharzt der MEDAS die Schmerzstörung für überwindbar betrachtet bei einer dadurch bedingten Reduktion der Leistungsfähigkeit von 20 %.
6. 6.1 Im viszeralchirurgischen MEDAS-Teilgutachten vom 17. November 2006 wurde aufgrund der Bauchschmerzen, welche bereits beim Heben kleinerer Lasten sowie bei Druck auf das Abdomen durch Möbelstücke und beim Bücken aufträten, der Müdigkeit sowie der vom Ehemann berichteten Aufmerksamkeitsdefizite eine Arbeitsfähigkeit ausser Haus verneint. Es wurde eine intensivierte Schmerztherapie und psychologische Begleitung empfohlen. Im psychiatrischen Teilgutachten vom 6. November 2006 wurden (mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit) eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) und psychologische Faktoren oder Verhaltensfaktoren bei andernorts klassifizierten Erkrankungen (ICD-10 F54) sowie (ohne Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit) eine rezidivierende Depression, gegenwärtig weitgehend remittiert (ICD-10 F33.4), diagnostiziert. Es wurde festgehalten, auf Grund der Akten sei davon auszugehen, dass die Bauchbeschwerden zu einem wesentlichen Teil auf körperliche Veränderungen (Operationen) zurückzuführen seien. Für diese Beschwerden sei daher die Diagnose einer somatoformen Schmerzstörung nicht zulässig. Vielmehr sei die Diagnose von psychologischen Faktoren oder Verhaltensfaktoren bei andernorts klassifizierten Erkrankungen zu stellen. Diese hätten vor allem den Verlauf beeinflusst im Sinne einer psychischen Überlagerung. Die neu aufgetretene Schmerzausweitung auf den Rücken und schliesslich auf fast den ganzen Körper entspreche hingegen einer somatoformen Schmerzstörung. Die Arbeitsfähigkeit aus psychiatrischer Sicht wurde auf rund 80 % in der bisherigen und einer den Schmerzen angepassten Tätigkeit sowie im Haushalt festgelegt. Als Begründung wurde ausgeführt, wenn die Erwägungen in BGE 130 V 352 zu Grunde gelegt würden, vermöchte die somatoforme Schmerzstörung in diesem Fall eine gewisse Einschränkung der Arbeitsfähigkeit aus psychiatrischer Sicht zu bewirken. Es finde sich ein mehrjähriger Krankheitsverlauf, ein leichter sozialer Rückzug und unbefriedigende ambulante Behandlungsergebnisse. Es lasse sich zwar kein verfestigter, therapeutisch kaum mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, aber entlastenden Konfliktbewältigung herausarbeiten; es lägen aber ausgeprägte Belastungen (Zerstörung von Haus und Dorf sowie Tod von Angehörigen im Krieg im Kosovo, Ehemann seit zehn Jahren invalid, Unterstützung durch das Sozialamt nach Sistierung der Rente, Kündigung der langjährigen Arbeitsstelle) vor. Die Behandlungsoptionen seien aber noch nicht ausgeschöpft worden. Insbesondere fehle der Versuch einer psychiatrisch-psychotherapeutischen und einer stationären Behandlung.
Im Unterschied zum psychiatrischen Teilgutachten vom 6. November 2006 wurde im Gutachten vom 15. Januar 2007 neben der anhaltenden somatoformen Schmerzstörung auch die rezidivierende Depression unter den Diagnosen mit wesentlicher Einschränkung der Arbeitsfähigkeit aufgeführt. Die Arbeitsfähigkeit wurde auf 0 % in jeder erwerblichen Tätigkeit und auf 50 % im Aufgabenbereich Haushalt festgelegt. Dazu wurde ausgeführt, diese Einschätzung beruhe auf einer ganzheitlichen Beurteilung der Gesamtsituation anhand der Kriterien von Winckler und Foerster. Es bestünden eine chronische körperliche Begleiterkrankung (Bauchschmerzen) des Syndroms anhaltende somatoforme Schmerzstörung sowie eine psychiatrische Komorbidität ([unter einem Antidepressivum in guter Remission stehende] Depression). Ebenfalls bestehe eine für anhaltende somatoforme Schmerzstörungen charakteristische psychosoziale und soziokulturelle Belastungssituation. Die Versicherte sei in ihren Ressourcen, arbeitstätig zu sein, in vielfacher Weise eingeschränkt. Im ergänzenden Bericht vom 20. Juni 2007 wurde eine Diskrepanz zwischen der psychiatrischen Einschätzung und der Gesamteinschätzung der Arbeitsfähigkeit verneint. Zur Begründung wurde ausgeführt, für die Diagnose einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung sei überhaupt keine psychiatrische Diagnose notwendig. Sodann halte der psychiatrische Gutachter zwar fest, dass die Depression abgeklungen resp. in Remission sei. Er betone jedoch, die Krankengeschichte zeige, dass die Depression erst nach langjährigen Schmerzen eingetreten und somit psychoreaktiver Natur sei. Da es für die Schmerzen keine Therapieoptionen gebe, bestehe die Gefahr des Rückfalls. Der psychiatrische Gutachter schlage dementsprechend die Fortsetzung der antidepressiven Therapie sowie eine Psychotherapie vor. Bei der Explorandin sei somit zumindest eine Tendenz zur depressiven Verarbeitung vorhanden, wobei die Gefahr laut dem psychiatrischen Gutachter hoch sei. Gleichzeitig töne er aber die enormen Schwierigkeiten an, da die Versicherte über keine Introspektionsfähigkeit verfüge und die Behandlung durch eine albanisch sprechende Psychiaterin, welche Erfahrung mit Schmerzpatienten habe, durchgeführt werden müsste. Alle diese Einwände zeigten, dass kaum Hoffnung auf eine erfolgreiche Therapie der Depression bestehe.
6.2 Die vorstehenden ärztlichen Aussagen lassen nicht willkürfrei den Schluss auf eine zur somatoformen Schmerzstörung hinzutretende eigenständige psychische Begleiterkrankung zu. Im Zeitpunkt der Begutachtung bestand unbestrittenermassen keine krankheitswertige Depression. Entgegen der Auffassung der Verfasser des Gutachtens vom 15. Januar 2007 ist (invalidenversicherungs-)rechtlich eine fachärztlich gestellte Diagnose eines von der anhaltenden somatoformen Schmerzstörung losgelösten psychischen Leidens unabdingbar, jedenfalls wenn eine erhebliche psychosoziale und soziokulturelle Belastungssituation besteht (BGE 127 V 294 E. 5a S. 299), was hier unbestrittenermassen zutrifft. Sodann kann nicht von der Erfolglosigkeit einer psychotherapeutischen Behandlung ausgegangen werden. Gegen diese prognostische Beurteilung spricht vorab, dass die im Gutachten der psychiatrischen Klinik X._ vom 5. September 2005 diagnostizierte rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig mittelgradige Episode mit somatischen Symptomen, erfolgreich mit Antidepressiva behandelt werden konnte. Der psychiatrische Gutachter der MEDAS seinerseits bezeichnete den bisherigen Verlauf und, wenn keine neuen Belastungen auftreten, auch die Prognose als günstig. Im Übrigen wird nirgends gesagt, es gebe keine geeignete Fachperson, welche eine Psychotherapie lege artis vornehmen könnte. Unter diesen Umständen ist die vorinstanzliche Feststellung, Therapien zur Behandlung der Depression seien kaum durchführbar, das Ergebnis unhaltbarer Beweiswürdigung und somit nicht verbindlich. Selbst wenn der rezidivierenden Depression aufgrund der immer bestehenden latenten Rückfallgefahr die Qualität einer psychischen Begleiterkrankung zuerkannt werden wollte, könnte ihr keine ausschlaggebende Bedeutung für die Frage des invalidisierenden Charakters der somatoformen Schmerzstörung beigemessen werden.
7. Nicht offensichtlich unrichtig ist hingegen die vorinstanzliche Feststellung, bei den Bauchschmerzen handle es sich um eine körperliche Erkrankung. Daran ändert nichts, dass die Schmerzen nicht einer spezifischen Organläsion zugeordnet werden konnten. Dies schliesst eine körperliche Ursache der Beschwerden nicht aus, wie der konsiliarisch beigezogene Viszeralchirurge Dr. med. B._ in seinem Bericht vom 17. November 2006 schlüssig und nachvollziehbar darlegte. Von einer lediglich auf den subjektiven Angaben der Versicherten beruhenden Beurteilung kann nicht gesprochen werden. Die Schmerzen waren auch nach Ablenkung der Patientin wiederholt reproduzierbar, was gemäss Dr. med. B._ deren Echtheit bestätigte. Mit der Begründung, dass bereits beim Heben kleinerer Lasten sowie bei Druck auf das Abdomen durch Möbelstücke und beim Bücken Schmerzen aufträten, schloss der viszeralchirurgische Gutachter eine ausserhäusliche Arbeitsfähigkeit aus. Diese Einschätzung wurde im ergänzenden Bericht der Gutachtensstelle vom 20. Juni 2007 bestätigt, wonach die Arbeitsfähigkeit wegen der Bauchschmerzen hochgradig eingeschränkt sei. Nach dieser Beurteilung bestand somit eine chronische Begleiterkrankung, welche für sich alleine genommen auch ohne psychiatrische Komorbidität eine erwerblich verwertbare Arbeitsfähigkeit ausschloss. Darauf ist abzustellen. Die vorinstanzliche Annahme einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % seit 24. Juni 2005 ist daher im Ergebnis nicht offensichtlich unrichtig. Rentenbeginn und Umfang des Rentenanspruchs (E. 4 in fine) sind unbestritten. Die Beschwerde ist somit unbegründet.
8. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die IV-Stelle die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Deren Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist somit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle Luzern auferlegt.
3. Die IV-Stelle Luzern hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. April 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler