Faits:
A. Propriétaire d'un bâtiment sis 7-9, route de la Poste aux Avants, C._ a déposé le 26 juillet 2011 une demande de permis de construire portant sur la transformation dudit bâtiment en vue de créer un bar pour le compte de D._. L'opposition formée au projet par "A._ - B._" exploitant le Buffet de la Gare, sis 3, route de la Poste aux Avants, a été levée par décision du 9 décembre 2011 de la Municipalité de Montreux, qui a délivré le permis de construire requis.
Le 12 janvier 2012, "A._ - B._" a interjeté recours contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: le Tribunal cantonal). A la demande de D._, le Juge instructeur du Tribunal cantonal a sollicité de A._ un extrait du registre du commerce la concernant ou, à défaut, une copie de ses statuts et de l'acte de fondation, ainsi qu'une procuration écrite justifiant des pouvoirs de B._ (signée par les fondateurs de la société ou par les membres du conseil d'administration ou encore par toute personne ayant le pouvoir de représenter la société). Un délai pour ce faire a été imparti au 14 mars 2012, à défaut de quoi le recours serait réputé retiré et, partant, irrecevable (art. 16 en relation avec l'art. 27 al. 5 de la loi cantonale vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative [ci-après: la LPA/VD; RS/VD 173.36]).
Par courrier du 14 mars 2012, le conseil nouvellement constitué pour A._ et B._ a expliqué que A._ en formation "était actuellement en cours d'inscription dans le canton de Vaud"; il a en outre produit diverses pièces relatives à A._, domiciliée aux Seychelles; enfin, il a ajouté que si la qualité pour ester en justice devait être déniée à A._, elle devait être accordée à B._, seule exploitante du restaurant.
B. Par arrêt du 28 mars 2012, le Tribunal cantonal a déclaré le recours irrecevable.
Le Tribunal cantonal a estimé, d'une part, que B._ n'avait pas produit de procuration justifiant de ses pouvoirs de représentation, ce qui rendait le recours irrecevable. D'autre part, il est arrivé à la conclusion que A._ n'avait pas la capacité d'être partie ni celle d'ester en justice; enfin, B._ n'avait pas agi à titre individuel, mais au nom de la société en formation.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du Tribunal cantonal du 28 mars 2012, en ce sens que le recours formé le 12 janvier 2012 est recevable et que A._ et B._ ont la capacité d'être partie et d'ester en justice et, partant, la légitimité pour s'opposer au permis de construire litigieux. Subsidiairement, ils concluent à l'annulation de l'arrêt attaqué, la cause étant renvoyée au Tribunal cantonal pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer et se réfère aux considérants de son arrêt. La Commune de Montreux renonce à se déterminer sur la question de la recevabilité du recours cantonal. D._ conclut à l'irrecevabilité du recours. De son côté, le Service de la promotion économique et du commerce (SPECo) a renoncé à s'exprimer sur la recevabilité du recours; en revanche, il a indiqué avoir délivré un constat d'exploitation pour la période gérée par la société A._ du 1er avril 2011 au 21 mai 2012 et une licence provisoire pour l'exploitation du café-restaurant "Buffet de la Gare" depuis que l'entreprise individuelle "E._, B._" est inscrite au registre du commerce du canton de Vaud.
A la suite de l'ordonnance du 6 juin 2012 du Président de la Ire Cour de droit public rejetant la requête d'effet suspensif des recourantes, le SPECo a informé le Tribunal fédéral qu'une autorisation d'exploiter avait été délivrée au café-bar "D._ Café". Les parties se sont encore exprimées ultérieurement, persistant dans leurs précédentes conclusions.
Considérant en droit:
1. 1.1 L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public des constructions (art. 82 let. a LTF). L'instance inférieure a dénié à A._, société anonyme en formation, la qualité d'être partie à la procédure et a en conséquence déclaré irrecevable son recours. La société anonyme en formation et son administratrice sont habilitées à recourir contre un telle décision, dans la mesure où elles affirment avoir été privées de la possibilité de recourir sur le plan cantonal (art. 89 al. 1 let. a LTF). Leur recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée.
1.2 L'arrêt attaqué contient deux motivations indépendantes qui, toutes deux, ont conduit à l'irrecevabilité du recours cantonal. En pareil cas, conformément à la jurisprudence relative à l'art. 42 al. 2 LTF, il incombe au recourant, sous peine d'irrecevabilité, de démontrer que chacune d'elles est contraire au droit (ATF 133 IV 119 consid. 6.3 p. 120 s.; 132 I 13 consid. 3 p. 17). En outre, lorsque l'une de ces motivations permet de confirmer la décision entreprise, le recours doit être rejeté (ATF 133 III 221 consid. 7 p. 228).
2. Les recourantes critiquent d'abord, sous l'angle de l'art. 16 al. 1 et 3 LPA/VD, l'obligation qui a été faite à B._ de produire une procuration pour représenter la société anonyme en formation. Ce faisant, les recourantes invoquent une violation du droit cantonal.
2.1 Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - même préférable - paraît possible (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560). Dans ce contexte, le recourant est soumis aux exigences accrues de motivation de l'art. 106 al. 2 LTF.
En outre, pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (136 III 552 consid. 4.2 p. 560).
2.2 Lorsque l'autorité saisie éprouve des doutes sur l'existence de la personne morale partie à la procédure et, par voie de conséquence, sur les pouvoirs de représentation de celle-ci, elle peut l'interpeller sur ce point et exiger une procuration écrite (cf. art. 11 al. 2 PA; Kiener/ Rütsche/ Kuhn, Öffentliches Verfahrensrecht, n. 603). Dans ce domaine, les parties sont soumises à un véritable devoir de collaboration, dont la sanction peut être l'irrecevabilité de l'acte en question (cf. art. 13 PA; Kiener/ Rütsche/Kuhn, op. cit., n. 548). Ces principes, également connus en procédure civile (art. 132 al. 1 CPC) et devant le Tribunal fédéral (art. 42 al. 5 LTF), sont concrétisés en droit cantonal vaudois par l'art. 16 en lien avec l'art. 27 al. 5 LPA/VD. Aux termes de ces dispositions, l'autorité impartit un bref délai à la partie pour justifier de ses pouvoirs par une procuration écrite, à défaut de quoi son acte est réputé retiré.
En l'espèce, les recourantes ne soutiennent pas que ces dispositions de droit cantonal auraient été appliquées de manière arbitraire ni que la solution de la cour cantonale serait choquante ou inique. Elles ne prétendent pas non plus que leur application serait constitutive d'un formalisme excessif proscrit par l'art. 29 al. 1 Cst. Dans un style essentiellement appellatoire, elles se contentent d'avancer que B._ n'avait pas à produire de procuration pour représenter la société en formation, puisqu'elle était de plein droit l'unique représentante de celle-ci. Cette dernière affirmation ne repose cependant pas sur les constatations de fait de l'autorité cantonale: cette instance a retenu que A._ n'avait produit ni la prétendue réquisition d'inscription au registre du commerce du canton de Vaud, ni l'acte constitutif en la forme authentique, ni ses statuts qui auraient permis de constater que B._ était effectivement habilitée à la représenter. Devant le Tribunal fédéral, les recourantes admettent ne pas avoir produit ces documents, estimant que ceux-ci n'avaient aucune pertinence pour l'issue du litige. Or, on ne saurait raisonnablement contester que savoir si une partie possède la qualité pour recourir - ou en est dépourvue - constitue un point absolument déterminant pour l'issue d'une procédure.
Pour le surplus, le procédé adopté par la cour cantonale pour lever les incertitudes relatives à l'existence de la personne morale et aux pouvoirs de représentation de B._ n'apparaît pas contraire au sens et au but des art. 16 et 27 LPA/VD, ce d'autant qu'il existait des informations contradictoires sur le lieu d'inscription de la société en formation. Les recourantes n'ont sur ce point pas été en mesure d'indiquer si la société serait en définitive inscrite au registre du commerce de Genève - comme prévu à l'origine - ou à celui du canton de Vaud - comme annoncé dans leur détermination du 14 mars 2012. En tout état, elles ne prétendent pas que le délai octroyé par la cour cantonale pour fournir les informations utiles les auraient empêchées d'exercer leurs droits de procédure. Par conséquent, la décision d'irrecevabilité résiste au grief d'arbitraire et le recours doit être rejeté sur ce point.
2.3 Les recourantes soutiennent également que la capacité pour agir aurait dû être reconnue à la seule B._, celle-ci ayant agi en son propre nom dans la procédure. Sur ce point, la cour cantonale a retenu que la société en formation avait été "représentée" par B._ au stade de l'opposition, puis qu'elle avait "agi" par B._ pour interjeter recours auprès d'elle; elle a précisé que l'acte de recours cantonal était "très clair" et que, bien que signé par B._, il n'avait pas été déposé au nom de celle-ci, mais "uniquement au nom et pour le compte de A._ en formation". La décision cantonale comporte d'ailleurs comme seule partie recourante "A._, représentée par B._".
Devant le Tribunal fédéral, les recourantes ne démontrent pas en quoi ces constatations des juges cantonaux seraient arbitraires au sens des art. 105 al. 2 LTF et 9 Cst.; elles n'exposent en particulier pas que l'autorité inférieure aurait manifestement mal compris le sens et la portée d'un moyen de preuve; elles ne font pas non plus valoir que la cour cantonale aurait omis de prendre en compte, sans raison sérieuse, un élément de fait propre à modifier la décision. En réalité, les recourantes se limitent à affirmer, de manière péremptoire, que B._ aurait formé recours en sa qualité de personne physique auprès du Tribunal cantonal. Une telle argumentation ne satisfait pas aux exigences de motivation relative à la critique des faits contenus dans une décision cantonale (art. 106 al. 2 LTF; cf. ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356). De toute manière, l'intitulé de l'acte de recours - en tant qu'il visait d'abord la société en formation - était compatible avec une une appréciation selon laquelle B._ - qui apparaissait dans l'en-tête de l'acte en dessous de la société en formation - agissait en tant que représentante de la société en formation et non pour elle-même; d'ailleurs, le contenu de l'acte de recours n'apportait aucune précision supplémentaire qui aurait permis de retenir sans ambiguïté que le recours émanait également de B._. En adoptant la solution présentement querellée, qui apparaît tout autant acceptable que celle soutenue par les recourantes, la cour cantonale n'a donc pas versé dans l'arbitraire. Dès lors, l'argumentation des recourantes fondée sur la capacité personnelle de B._ à être partie à la procédure se révèle sans objet.
2.4 Au vu de ce qui précède, la cour cantonale pouvait, sans verser dans l'arbitraire, déclarer le recours cantonal irrecevable.
Dans la mesure où cette motivation est suffisante pour rejeter le présent recours, il n'y a pas lieu d'examiner les autres griefs soulevés par les recourantes (cf. supra consid. 1.2). Il en va en particulier de toutes les critiques relatives à l'application du droit matériel ou du déni de justice en relation avec l'application de ce droit.
3. Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires sont mis à la charge des recourantes, qui succombent (art. 66 al. 1 LTF). Celles-ci verseront en outre une indemnité de dépens à l'intimée D._, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimé C._ qui n'a pas déposé d'écritures.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge des recourantes.
3. Une indemnité de 2'000 fr. est allouée à l'intimée D._ à titre de dépens, à la charge des recourantes.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Municipalité de Montreux, au Service de la promotion économique et du commerce et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 1er octobre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Mabillard