Considérant en fait et en droit:
1. 1.1 Par arrêt du 17 juin 2009 (cause 4A_272/2009), la Présidente de la Ire Cour de droit civil du Tribunal fédéral, appliquant la procédure simplifiée de l'art. 108 al. 1 let. a LTF, n'est pas entrée en matière sur le recours en matière civile formé par X._ contre l'arrêt rendu le 24 mars 2009 par le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel dans le litige divisant le recourant d'avec l'Etablissement hospitalier Y._. La magistrate a considéré qu'à la date d'expiration du délai de recours instauré par l'art. 100 al. 1 LTF, soit le lundi 11 mai 2009, le Tribunal fédéral n'avait reçu qu'une lettre de X._ du 11 mai 2009, laquelle, à la suite d'un oubli expressément reconnu par le précité, ne contenait pas le mémoire de recours supposé y avoir été annexé. Elle en a déduit que le recours, dont le mémoire n'a été déposé à la poste que le 25 mai 2009, a été interjeté après l'expiration du délai non prolongeable fixé à l'art. 100 al. 1 LTF, d'où son irrecevabilité. Elle a ajouté que dès l'instant où le recourant avait reconnu avoir oublié de joindre le mémoire à sa lettre du 11 mai 2009, une restitution de délai au sens de l'art. 50 al. 1 LTF n'entrait pas en ligne de compte.
1.2 Le 20 juillet 2009, X._ a déposé une demande de révision de l'arrêt fédéral précité, qui lui a été notifié le 6 juillet 2009, laquelle comporte également une requête de restitution de délai telle que l'entend l'art. 50 LTF. Il a également requis l'octroi de l'effet suspensif.
La demande de révision n'a pas été communiquée à l'opposant.
2. En vertu de l'art. 61 LTF, les arrêts du Tribunal fédéral acquièrent force de chose jugée le jour où ils sont prononcés. Ils ne peuvent donc être modifiés que par le moyen de la révision, voire par le moyen de la restitution d'un délai dont le non-respect a conduit à une décision d'irrecevabilité. Les conséquences sont les mêmes dans les deux cas, car si l'un des moyens est fondé, le Tribunal fédéral est tenu d'annuler son arrêt et de statuer à nouveau (art. 128 al. 1 et 50 al. 2 LTF). Il convient donc de se demander si la circonstance dont se prévaut le requérant, à savoir l'omission d'insérer un mémoire de recours dans l'enveloppe contenant sa lettre du 11 mai 2009, constitue un motif de révision ou justifie une restitution de délai.
2.1 La révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée pour les motifs énumérés aux art. 121 à 123 LTF.
Le requérant ne se prévaut d'aucun des motifs, exhaustifs, énoncés dans ces trois articles de la LTF. A supposer qu'il entende se prévaloir de l'art. 123 al. 2 let. a LTF, seul motif pouvant entrer en considération, norme qui prévoit que la révision peut être demandée, dans les affaires civiles notamment, si le requérant découvre après coup des faits pertinents ou des moyens de preuve concluants qu'il n'avait pas pu invoquer dans la procédure précédente, à l'exclusion des faits ou moyens de preuve postérieurs à l'arrêt, sa demande serait privée de tout fondement. En effet, le fait qu'il invoque, soit l'oubli d'envoyer un mémoire de recours avec sa lettre du 11 mai 2009, a été découvert par lui bien avant la reddition de l'arrêt dont est révision du 17 juin 2009, puisque le Tribunal fédéral avait mentionné cette circonstance dans une écriture envoyée à l'intéressé le 15 mai 2009, que celui-ci n'a jamais contesté avoir reçue.
2.2 Il reste à examiner si le requérant peut obtenir l'annulation de l'arrêt du 17 juin 2009 par la voie de la restitution de délai au sens de l'art. 50 LTF. Selon l'alinéa 1 de cette disposition, la restitution de délai est subordonnée à la condition que la partie ou son mandataire qui a été empêché d'agir dans le délai fixé n'ait pas commis de faute. Il n'y a donc pas matière à restitution lorsque l'inobservation du délai est due à la faute de la partie elle-même, de son mandataire ou d'un auxiliaire (ATF 114 Ib 67 consid. 2 p. 69 ss et les références citées).
Or c'est précisément le cas en l'espèce, puisque le non-respect du délai pour former le recours en matière civile est dû à la seule négligence du requérant qui a oublié « d'introduire le recours... dans l'enveloppe de transmission envoyée le 11 mai 2009 », ainsi qu'il le réitère dans sa demande de révision.
Cet élément exclut toute restitution de délai en vertu de l'art. 50 LTF et, partant, toute annulation de l'arrêt d'irrecevabilité sur la base de l'alinéa 2 de cette disposition.
3. La demande du requérant, qu'elle porte sur un motif de révision ou qu'elle concerne la restitution de délai, doit donc être rejetée, selon la procédure prévue aux art. 121 ss LTF. En vertu de l'art. 66 al. 1 LTF, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du requérant. N'ayant pas été invité à se déterminer sur la demande de révision, l'opposant n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 2 LTF).
La présente décision sur le fond prive d'objet la requête d'effet suspensif du requérant.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande de révision, respectivement de restitution de délai, est rejetée.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du requérant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 28 juillet 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet