Faits :
A.
A.a. R._, née en 1948, a été engagée en qualité de psychologue par les Institutions Y._ à dater du 1er mars 1990. Celles-ci ont été par la suite intégrées aux Établissements X._. R._ a été nommée fonctionnaire avec effet au 1er mars 1993. Elle a été absente de son poste depuis le 26 octobre 2009 pour raison de santé, sous réserve d'une tentative de reprise entre le 8 et le 23 mars 2010. Un litige étant survenu entre l'employeur et la fonctionnaire au sujet du bien-fondé de cette absence de longue durée, le conseil d'administration des Établissements X._ a signifié à l'intéressée, par lettre du 22 octobre 2010, qu'il avait décidé de la licencier pour le 31 janvier 2011.
A.b. Par mémoire du 1er décembre 2010, R._ a déféré cette décision au Tribunal administratif de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève). Au cours de la procédure cantonale, il est apparu que la prénommée avait été mise à la retraite anticipée avec effet au 1er février 2011.
Par jugement du 21 août 2012, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours. Elle a constaté que la décision des Établissements X._ du 22 octobre 2010 violait le droit d'être entendue de l'intéressée et condamné l'employeur à verser à celle-ci une indemnité correspondant à vingt-quatre mois de son dernier traitement brut, sous déduction des rentes perçues entre le 1er février 2011 et le 31 janvier 2013.
A.c. Saisi d'un recours en matière de droit public par les Établissements X._, le Tribunal fédéral a annulé le jugement de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève et lui a renvoyé la cause, en application de l'art. 112 al. 3 LTF, pour qu'elle complète la motivation en fait et en droit de sa décision (arrêt 8C_785/2012 du 5 mars 2013).
B.
Reprenant l'instruction de la cause, la cour cantonale a établi qu'à la suite de la décision de licenciement litigieuse, R._ avait reçu une lettre de la Caisse de prévoyance du personnel des établissements publics médicaux du canton de Genève (ci-après: la caisse de prévoyance), datée du 27 janvier 2011, lui indiquant ses droits à l'égard de cette institution et que l'intéressée avait répondu en remplissant une demande de prestations, optant de la sorte pour une pension ordinaire de retraite à compter du 1er février 2011.
Dans son nouveau jugement, du 1er avril 2014, la cour cantonale a derechef retenu que le droit d'être entendue de l'intéressée avait été violé par la décision entreprise devant elle, sans qu'une réparation de ce vice soit possible en procédure de recours. Les juges cantonaux ont considéré qu'ils ne pouvaient pas annuler ce prononcé, mais seulement proposer à l'autorité intimée la réintégration de R._. Ils ont cependant constaté que cette dernière était à la retraite anticipée, ce qui empêchait une telle réintégration. Ils ont, malgré cela, fixé en faveur de l'intéressée une indemnité de quinze mois de son dernier traitement brut, à la charge des Établissements X._.
C.
Les Établissements X._ ont déposé un recours en matière de droit public. Sous suite de frais et dépens, ils concluent à l'annulation du jugement du 1er avril 2014, subsidiairement avec renvoi à la juridiction cantonale. Les recourants ont sollicité en outre l'octroi de l'effet suspensif à leur pourvoi.
R._ a conclu au rejet du recours et s'en est rapportée à justice en ce qui concerne l'attribution de l'effet suspensif.
D.
Par ordonnance du 6 octobre 2014, le juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif.
Considérant en droit :
1.
Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public, lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. Devant la juridiction précédente, R._, mettant en cause la validité de son licenciement, a conclu à sa réintégration, à défaut au paiement d'une indemnité équivalant à vingt-quatre mois de traitement, soit plusieurs dizaines de milliers de francs. De leur côté, les Établissements X._ se sont opposés à toute indemnité. Dans cette mesure, il s'agit d'une contestation pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération.
La valeur litigieuse est déterminée, en cas de recours contre une décision finale, par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF). On doit ainsi admettre que le seuil requis par l'art. 85 al. 1 let. b LTF est largement dépassé.
Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise par un tribunal cantonal, le recours respecte a priori les exigences des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF. Il est par conséquent recevable.
2.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par la juridiction précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - à savoir arbitraire ( ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356).
3.
Les recourants font valoir que la cour cantonale a fait une application arbitraire de l'art. 31 de la loi générale relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux (LPAC; RSG B 5 05). Singulièrement, ils lui font grief d'avoir procédé à un changement de jurisprudence injustifié à propos de cette disposition légale cantonale.
3.1. Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal n'est pas un motif de recours. Elle peut en revanche être constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF, telle que l'interdiction de l'arbitraire à teneur de l'art. 9 Cst. (cf. par ex. ATF 138 V 67 consid. 2.2 p. 69; 134 II 349 consid. 3 p. 351; 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Appelé à revoir l'application faite d'une norme cantonale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou encore si elle a été adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153). En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4), ce qu'il revient au recourant de démontrer conformément aux exigences de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 396 consid. 3.2 p. 400).
3.2. L'art. 31 LPAC prévoit que peut recourir à la Chambre administrative de la Cour de justice pour violation de la loi tout membre du personnel dont les rapports de service ont été résiliés (al. 1). Si la Chambre administrative de la Cour de justice retient que la résiliation des rapports de service est contraire au droit, elle peut proposer à l'autorité compétente la réintégration (al. 2). En cas de décision négative de l'autorité compétente, la Chambre administrative de la Cour de justice fixe une indemnité dont le montant ne peut être inférieur à un mois et supérieur à vingt-quatre mois du dernier traitement brut à l'exclusion de tout autre élément de rémunération (al. 3, 1ère phrase).
3.3.
3.3.1. Ainsi que le Tribunal fédéral a eu l'occasion de le constater dans l'arrêt 8C_785/2012 du 5 mars 2013 susmentionné, la Chambre administrative de la Cour de justice avait, de manière constante, considéré que la LPAC, à son art. 31, prévoit le versement d'une indemnité, non pas dans le but de réparer un éventuel tort moral ou de sanctionner un licenciement abusif, mais uniquement dans celui de pallier le refus de l'employeur de réintégrer la personne qui aurait été licenciée à tort (ATA/530/2012 du 21 août 2012, consid. 8; ATA/335/2012 du 5 juin 2012, consid. 4; ATA/525/2011 du 30 août 2011, consid. 7; ATA/413/2011 du 28 juin 2011, consid. 3; v. aussi ATA/755/2012 du 6 novembre 2012, consid. 4h et 8). Elle avait en outre posé pour principe que les conclusions en paiement d'une indemnité sont prises en considération uniquement si la réintégration peut encore intervenir (ATA/530/2012 précité, consid. 8 in initio et les références). En outre, appliquant l'art. 60 let. b de la loi cantonale genevoise sur la procédure administrative (LPA/GE; RSG E 5 10), aux termes duquel a qualité pour recourir toute personne qui est touchée directement par une décision et a un intérêt personnel digne de protection à ce qu'elle soit annulée ou modifiée, l'autorité de recours cantonale avait diversement jugé la recevabilité des prétentions d'un agent public à être indemnisé selon l'art. 31 al. 3 LPAC. Dans le cas d'une fonctionnaire dont les rapports de service avaient été résiliés pour le 30 avril 2011 et qui avait retrouvé un emploi dès le 1er juin suivant, la Chambre administrative de la cour de justice - sans entrer en matière sur la conformité au droit de la résiliation en cause -, a déclaré irrecevables les conclusions de l'intéressée tendant au paiement d'une telle indemnité, faute d'intérêt actuel, au motif que sa réintégration n'était plus possible au moment du jugement (ATA/413/2011 précité). Le 21 avril 2009, le Tribunal administratif de la République et canton de Genève avait rendu un arrêt allant dans le même sens à propos d'une employée de la Ville de Genève dont l'engagement avait été résilié pour le 30 septembre 2008 et qui avait été engagée par une autre collectivité publique à compter du 1er février 2009; dans ce cas, l'intéressée prétendait être indemnisée à raison de la perte de salaire découlant de la différence entre son dernier traitement et les indemnités de chômage perçues (ATA/192/2000).
Par la suite, la Chambre administrative a modifié cette dernière jurisprudence. Lorsqu'il s'était écoulé un certain temps entre la fin des rapports de service résiliés de manière contraire au droit et l'entrée en fonction dans un nouvel emploi de la personne concernée, les conclusions de cette dernière ont été jugées recevables pour ce laps de temps; des indemnités, au sens de l'art. 31 LPAC, ont été allouées à raison d'un montant équivalent au dernier traitement brut, prorata temporis (ATA/525/2011 précité, ATA/335/2012 précité, ATA/336/2012 du 5 juin 2012). Ainsi, qu'elle examine une cause sous l'angle du but de la norme ou sous celui de l'intérêt pour recourir, la Chambre administrative avait toujours considéré qu'une des conditions essentielles de l'octroi d'une indemnité, au sens de l'art. 31 al. 3 LPAC, était la possibilité effective pour l'agent public de réintégrer sa fonction.
3.3.2. Dans le jugement entrepris, la Chambre administrative a procédé à une nouvelle interprétation de l'art. 31 al. 3 LPAC. Elle a tout d'abord indiqué qu'elle avait régulièrement rappelé, dans ses derniers arrêts en matière de licenciement d'agents publics cantonaux, que cette disposition n'avait pas pour but de réparer un éventuel tort moral ou de sanctionner un licenciement abusif, mais de pallier le refus de l'employeur de réintégrer une personne licenciée à tort; que, par conséquent, il n'y avait lieu d'entrer en matière sur le paiement d'une telle indemnité que si la réintégration du collaborateur licencié pouvait encore intervenir. Elle a ensuite considéré que les travaux législatifs préparatoires ayant conduit à l'adoption de la disposition en question (tout comme à celle de la disposition antérieure qui avait une teneur similaire) n'apportent pas d'information permettant d'appréhender le but poursuivi par cette indemnité; qu'en revanche, il ressort clairement des débats parlementaires la volonté de prévoir des procédures de résiliation des rapports de service qui protègent les agents publics contre l'arbitraire, en échange d'un certain assouplissement du droit de licenciement. La Chambre administrative a estimé qu'une application trop stricte de la jurisprudence qu'elle avait récemment développée au sujet du lien entre le droit à une indemnité et l'absence d'emploi reviendrait à écarter par trop l'aspect sanctionnateur (dont elle voyait un rappel dans un arrêt du Tribunal fédéral [2P.181/2006 du 28 novembre 2006, in SJ 2007 I p. 393]) de ce moyen d'obtenir réparation du caractère infondé d'un licenciement. Selon la cour cantonale, une telle restriction dans l'application du droit à l'indemnité pourrait par trop conduire l'employeur étatique à ne pas respecter ses obligations légales et le fonctionnaire licencié à ne pas rechercher le plus rapidement possible un emploi. Elle a encore estimé pouvoir se référer à une jurisprudence du Tribunal fédéral en matière de droit disciplinaire des fonctionnaires pour revenir sur l'absence d'intérêt pour agir en indemnisation qu'elle voyait antérieurement chez la personne licenciée ayant retrouvé un emploi. En conclusion, la Chambre administrative a considéré que, dans la fixation de l'indemnité en question, il y avait lieu désormais de tenir compte de l'ensemble des circonstances du cas d'espèce et de les apprécier sans donner une portée automatiquement prépondérante à certains aspects, comme le fait d'avoir ou non retrouvé un emploi en cours de procédure.
3.4.
3.4.1. Un changement de jurisprudence ne contrevient pas à la sécurité du droit, au droit à la protection de la bonne foi ni à l'interdiction de l'arbitraire lorsqu'il s'appuie sur des motifs sérieux et objectifs, tels qu'une connaissance plus exacte ou plus approfondie de l'intention du législateur, la modification des circonstances extérieures, une évolution des conceptions juridiques ou des moeurs (ATF 135 II 78 consid. 3.2 p. 85; 130 V 492 consid. 4.1 p. 495 et les arrêts cités; 122 I 57 consid. 3c/aa p. 59 et les arrêts cités), afin de rétablir une pratique conforme au droit et de mieux tenir compte des divers intérêts en présence (ATF 135 I 79 consid. 3 p. 82; 132 III 770 consid. 4 p. 777).
3.4.2. En l'occurrence, le changement de jurisprudence concernant l'art. 31 al. 3 LPAC est inspiré avant tout par le souci d'éviter que l'employeur étatique ne respecte pas ses obligations légales et que la personne licenciée renonce à rechercher activement un emploi, même moins bien rémunéré, pour ne pas risquer de perdre son droit à l'indemnité. En outre tout licenciement injustifié est susceptible de causer un préjudice à l'intéressé. L'indemnité apparaît dès lors comme la contrepartie de l'absence d'un droit à la réintégration et du refus de l'employeur public de réintégrer l'employé. Si celui-ci retrouve un emploi, c'est un élément qui pourrait être pris en considération dans la fixation du montant de l'indemnité, en plus des autres circonstances, comme la durée des rapports de service, la gravité des manquements de l'employé, la profession de monopole, l'âge, etc. D'ailleurs, la nouvelle jurisprudence de la cour cantonale s'inscrit dans les solutions récentes de la loi fédérale du 24 mars 2000 sur le personnel de la Confédération (LPers; RS 172. 220.1), en particulier l'art. 34b LPers (en vigueur depuis le 1er juillet 2013). Sous l'empire des anciennes dispositions de cette loi - qui conféraient un droit à la réintégration -, le Tribunal fédéral a jugé que ce droit pouvait être exercé même si l'employé avait retrouvé entretemps un nouvel emploi (arrêt 8C_808/2010 du 28 juin 2011 consid. 5). En d'autres termes, un employé est réintégrable même dans cette éventualité.
Vu ce qui précède, on ne saurait dire que ce changement de jurisprudence soit dénué de motifs sérieux et objectifs, de sorte qu'il n'apparaît pas critiquable. Les griefs soulevés par les recourants se révèlent ainsi mal fondés.
4.
Par un autre moyen, les recourants font valoir que l'octroi d'une indemnité correspondant à quinze mois de traitement viole les principes de proportionnalité, d'égalité de traitement et d'interdiction de l'arbitraire.
4.1. En ce qui concerne l'indemnité allouée, la juridiction précédente a constaté que les Établissements X._ refusaient d'emblée toute idée de réintégration si d'aventure le licenciement était annulé. Ils ont d'ailleurs averti la caisse de prévoyance que l'intimée cessait ses activités. Cette constatation n'est pas remise en cause par les recourants. Aussi bien la cour cantonale a-t-elle fixé directement le montant de l'indemnité. Cette manière de faire - qui peut trouver une justification dans des impératifs d'économie de procédure - ne procède pas d'une application arbitraire de l'art. 31 LPAC.
4.2. Quant au montant de l'indemnité, il y a lieu de relever que le licenciement prononcé par les recourants a été invalidé par la cour cantonale en raison de la violation d'une garantie de procédure. Sur le fond, il n'a pas été constaté que ce licenciement était injustifié. En outre, l'intéressée a été mise au bénéfice d'une pension de retraite, ce qui est de nature à atténuer les conséquences de la perte de son emploi. Étant donné ces circonstances, le montant de l'indemnité - correspondant à quinze mois de son dernier traitement brut - fixé par la juridiction précédente va au-delà des limites admissibles sous l'angle de l'arbitraire. En l'occurrence, il y a lieu d'admettre une indemnisation correspondant à six mois de traitement (voir p. ex. arrêt 8C_158/2009 du 2 septembre 2009 consid. 6.6, non publié in ATF 136 I 39).
Le recours se révèle ainsi partiellement bien fondé.
5.
Vu l'issue du litige, il se justifie de répartir les frais entre les parties à raison de la moitié chacune (art. 66 al. 1 LTF) et d'allouer à l'intimée une indemnité de dépens réduite à la charge des recourants (68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis partiellement et le jugement du 1er avril 2014 de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève est réformé en ce sens que les recourants doivent verser à l'intimée une indemnité d'un montant correspondant à six mois de son dernier traitement brut.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3000 fr., sont mis à la charge des parties à raison de la moitié chacune.
3.
Une indemnité de dépens de 1800 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) est allouée à l'intimée à la charge des recourants.
4.
La cause est renvoyée à la juridiction cantonale pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 17 août 2015
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Leuzinger
Le Greffier : Beauverd