Sachverhalt:
A.
Am 9. Dezember 2005 schlossen die X._ AG (Vermieterin) und A._ (Mieter) einen Mietvertrag über ein Loft/Atelier an der Y._strasse 6f in Z._ zum Mietzins von monatlich Fr. 650.-- inklusive Fr. 25.-- akonto Heiz- und Nebenkosten. Mietbeginn war am 15. Dezember 2005.
B.
B.a. Mit Klagebegründung vom 22. April 2010 an den Einzelrichter am Bezirksgericht Höfe beantragte A._ (Kläger), die X._ AG (Beklagte) sei zu verpflichten, dem Kläger einen korrigierten detaillierten Heiz-/Nebenkostenschlüssel mitsamt den dazugehörigen sachdienlichen Originalunterlagen und Einzelheiten vorzulegen; dem Kläger eine korrigierte Heizkostenaufteilung der Liegenschaften Y._strasse 4 bis Y._strasse 10 mitsamt den dazugehörigen sachdienlichen Unterlagen und Einzelheiten vorzulegen; dem Kläger den Anfangs- bzw. Endbestand des Heizölvorrates am 1. Januar 2008 bzw. am 31. Dezember 2008 mitsamt den dazugehörigen verifizierten sachdienlichen Originalunterlagen und Einzelheiten vorzulegen, sowie dem Kläger eine korrigierte detaillierte Abrechnung der Heiz- und Nebenkosten für 2008 mitsamt den dazugehörigen sachdienlichen Originalunterlagen und Einzelheiten vorzulegen und einen allfälligen Saldo zu Gunsten des Klägers nebst Zins zu 5 % seit dem 1. Juli 2008 zu bezahlen, alles unter Kosten und Entschädigungsfolgen zulasten der Beklagten.
Mit Urteil vom 20. September 2011 wies der Einzelrichter am Bezirksgericht Höfe die Klage ab, "soweit sie nicht infolge Klageanerkennung als gegenstandslos geworden abgeschrieben wird und darauf eingetreten werden kann. "
B.b. Dagegen erhob der Kläger mit Eingabe vom 31. Oktober 2011 Beschwerde an das Kantonsgericht Schwyz. Er beantragte die Aufhebung des angefochtenen Entscheids; ferner sei die Beklagte zu verpflichten, dem Kläger eine korrekte detaillierte Abrechnung der Heiz- und Nebenkosten für 2008, mitsamt den dazugehörigen sachdienlichen Originalunterlagen und Einzelheiten, vorzulegen und einen allfälligen Saldo zu seinen Gunsten nebst Zins zu 5 % zu bezahlen; dem Kläger einen korrigierten detaillierten Heiz-/Nebenkostenschlüssel, mitsamt den dazugehörigen sachdienlichen Originalunterlagen, Planzeichnungen und Einzelheiten, vorzulegen; eine korrekte Heizkostenaufteilung der Liegenschaften Y._strasse 4 bis Y._strasse 10, mitsamt den dazugehörigen sachdienlichen Originalunterlagen, Planzeichnungen und Einzelheiten, vorzulegen, alles unter Kosten-und Entschädigungsfolgen zulasten der Beklagten.
Mit Beschluss vom 5. März 2013 wies das Kantonsgericht Schwyz die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit einer mit "Beschwerde" überschriebenen Rechtsmitteleingabe vom 8. Mai 2013 an das Bundesgericht beantragt A._ (Beschwerdeführer) Aufhebung des Beschlusses des Kantonsgerichts Schwyz vom 5. März 2013 sowie des Urteils des Bezirksgerichts Höfe vom 27. September 2011; überdies sei die X._ AG zu verurteilen, dem Beschwerdeführer eine korrekte Abrechnung der Heiz- und Nebenkosten für das Jahr 2008, mitsamt den sachdienlichen Unterlagen, vorzulegen und einen allfälligen Saldo zu seinen Gunsten nebst Zins zu 5 % zu bezahlen.
Mit Vernehmlassung vom 13 September 2013 beantragt die Beschwerdegegnerin Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, und Abweisung des Verfahrensantrages. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 139 III 249 E. 1 S. 250; 139 III E. 1; 137 III 417 E. 1).
1.1. Soweit sich die Beschwerde gegen das Urteil des Bezirksgerichts richtet, kann darauf mangels Letztinstanzlichkeit zum Vornherein nicht eingetreten werden (Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.2. Soweit der Beschwerdeführer den Beschluss des Kantonsgerichts anficht, richtet sich die Beschwerde gegen einen verfahrensabschliessenden Rechtsmittelentscheid eines oberen kantonalen Gerichts (Art. 113, Art. 114 i.V.m. Art. 75 BGG) und ist innert der Beschwerdefrist (Art. 117 i.V.m. Art. 100 BGG) von der mit ihren Rechtsbegehren unterlegenen Partei (Art. 115 BGG) eingereicht worden.
1.3. Bei der Streitsache handelt es sich um eine (mietrechtliche) Zivilsache mit einem Streitwert von weniger als Fr. 15'000.--. Mithin kann die Rechtsmitteleingabe als Beschwerde in Zivilsachen nur dann entgegengenommen werden, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG e contrario i.V.m. Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
Dieser Begriff ist sehr restriktiv auszulegen (BGE 137 III 580 E. 1.1 S. 582; 135 III 397 E. 1.2 S. 399; 133 III 493 E. 1.1 S. 495). Die Voraussetzung von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG ist erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (BGE 139 III 182 E. 1.2 S. 185, 209 E. 1.2 S. 210; 138 I 232 E. 2.3; 137 III 580 E. 1.1 S. 582; je mit Hinweisen). Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (Art. 42 Abs. 2 BGG), ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (vgl. BGE 136 II 489 E. 2.6 S. 494; 135 III 1 E. 1.3 S. 5; 133 III 439 E. 2.2.2.1, 645 E. 2.4 S. 648).
Dergleichen enthält die Rechtsmitteleingabe nicht. In Ermangelung einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) kann die Rechtsmitteleingabe mithin nicht als Beschwerde in Zivilsachen entgegengenommen werden und ist in der Folge als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) zu behandeln.
1.4. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG).
1.4.1. In seiner Rechtsmitteleingabe rügt der Beschwerdeführer in verschiedener Hinsicht, der angefochtene Entscheid sei willkürlich bzw. verletze seinen Anspruch auf rechtliches Gehör.
Wer eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) geltend macht, darf sich nicht darauf beschränken, einfach zu behaupten, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (BGE 134 II 349 E. 3 S. 352; 133 I 1 E. 5.5 S. 5). Überdies hat der Beschwerdeführer darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann, und dies auch, wenn im Zusammenhang mit einer Sachverhaltsrüge eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend gemacht wird, wobei glaubhaft zu machen ist, dass bei korrekter Vorgehensweise der Entscheid anders hätte ausfallen müssen (BGE 137 II 122 E. 3.4 S. 125).
Die Rechtsmitteleingabe enthält keine Verfassungsrüge, welche diesen Vorgaben genügt. Der Beschwerdeführer unterlässt es durchwegs, im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern der Entscheid bei seiner Ansicht nach verfassungskonformem Vorgehen anders hätte ausfallen müssen. Mithin kann auf die Rechtsmitteleingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht eingetreten werden.
1.5. Zusammenfassend kann auf die Rechtsmitteleingabe weder als Beschwerde in Zivilsachen noch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde eingetreten werden.
2.
Diesem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Januar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni