Sachverhalt:
A.
Der 1983 geborene A._ war zuletzt von November 2007 bis Januar 2009 als Mitarbeiter Informatik Support bei der von B._ AG tätig. Am 8. August 2012 meldete er sich wegen einer Depression zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich veranlasste berufliche und medizinische Abklärungen und holte unter anderem das psychiatrische Gutachten des Prof. Dr. med. C._, Facharzt für Neurologie und Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 1. Mai 2013 ein. Mit Vorbescheid vom 24. Juni 2013 stellte die IV-Stelle die Ablehnung des Leistungsanspruchs in Aussicht. Vom 22. August bis 6. September 2013 wurde A._ im Sanatorium D._ stationär psychiatrisch behandelt (Berichte vom 6. und 13. September 2013). Die Verwaltung unterbreitete die neuen Unterlagen Prof. Dr. med. C._, welcher am 12. September 2013 Stellung nahm. Mit Verfügung vom 14. April 2014 wies die IV-Stelle das Leistungsbegehren ab.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 29. Juni 2015 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihm eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Verwaltung zurückzuweisen. Ferner wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Streitig ist, ob das kantonale Gericht den Anspruch auf eine Invalidenrente zu Recht verneint hat.
2.1. Im angefochtenen Entscheid werden die Bestimmungen zur Invalidität im Allgemeinen (vgl. Art. 4 IVG in Verbindung mit Art. 8 Abs. 1 ATSG), zur Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG) und zum nach dem Grad der Invalidität abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente (mit dem hierfür erforderlichen Invaliditätsgrad von mindestens 40 Prozent; Art. 28 Abs. 2 IVG) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.2.
2.2.1. Nach der Rechtsprechung führt Drogensucht (wie auch Alkoholismus und Medikamentenmissbrauch) als solche nicht zu einer Invalidität im Sinne des Gesetzes. Dagegen wird sie im Rahmen der Invalidenversicherung relevant, wenn sie eine Krankheit oder einen Unfall bewirkt hat, in deren Folge ein körperlicher oder geistiger, die Erwerbsfähigkeit beeinträchtigender Gesundheitsschaden eingetreten ist, oder wenn sie selber Folge eines körperlichen oder geistigen Gesundheitsschadens ist, dem Krankheitswert zukommt (BGE 124 V 265 E. 3c S. 268). Aus letzterem Leitsatz folgt nicht, dass die Auswirkungen einer Drogensucht, die ihrerseits auf einen Gesundheitsschaden zurückgeht, per se invaliditätsbegründend sind. Die zitierte Praxis setzt vielmehr den Grundsatz um, dass funktionelle Einschränkungen nur anspruchsbegründend sein können, wenn sie sich als Folgen selbstständiger Gesundheitsschädigungen darstellen (Art. 6 ff. ATSG und Art. 4 Abs. 1 IVG). Insofern verhält es sich ähnlich wie im Verhältnis zwischen psychosozialen oder soziokulturellen Umständen und fachärztlich festgestellten psychischen Störungen von Krankheitswert (BGE 127 V 294 E. 5a S. 299) : Wo die Gutachter im Wesentlichen nur Befunde erheben, welche in der Drogensucht ihre hinreichende Erklärung finden, gleichsam in dieser aufgehen, ist kein invalidisierender psychischer Gesundheitsschaden gegeben. Dies trifft zu, wenn davon auszugehen ist, dass sich beispielsweise ein depressives Zustandsbild bei einer (angenommenen) positiven Veränderung der suchtbedingten psychosozialen Problematik wesentlich bessern (und die damit verbundene Beeinträchtigung des Leistungsvermögens sich entsprechend verringern) würde (Urteile 8C_580/2014 vom 11. März 2015 E. 2.2.1; 9C_856/2012 vom 19. August 2013 E. 2.2.1).
2.2.2. Angesichts der insoweit finalen Natur der Invalidenversicherung (BGE 120 V 95 E. 4c S. 103; MEYER/REICHMUTH, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung, 3. Aufl. 2014, Rz. 51 zu Art. 4 IVG) ist nicht entscheidend, ob die Drogensucht Folge eines körperlichen oder geistigen Gesundheitsschadens ist oder ob die Sucht ausserhalb eines Kausalzusammenhangs mit dem versicherten Gesundheitsschaden steht. In beiden Konstellationen sind reine Suchtfolgen IV-rechtlich irrelevant, soweit sie als solche allein leistungsmindernd wirken. Hingegen sind sie gleichermassen IV-rechtlich relevant, soweit sie in einem engen Zusammenhang mit einem eigenständigen Gesundheitsschaden stehen. Dies kann der Fall sein, wenn die Drogensucht - einem Symptom gleich - Teil eines Gesundheitsschadens bildet (BGE 99 V 28 E. 3b S. 30); dies unter der Voraussetzung, dass nicht allein die unmittelbaren Folgen des Rauschmittelkonsums, sondern wesentlich auch der psychiatrische Befund selber zu Arbeitsunfähigkeit führt. Sodann können selbst reine Suchtfolgen invalidisierend sein, wenn daneben ein psychischer Gesundheitsschaden besteht, welcher die Betäubungsmittelabhängigkeit aufrecht erhält oder deren Folgen massgeblich verstärkt. Umgekehrt können die Auswirkungen der Sucht (unabhängig von ihrer Genese) wie andere psychosoziale Faktoren auch mittelbar zur Invalidität beitragen, wenn und soweit sie den Wirkungsgrad der Folgen eines Gesundheitsschadens beeinflussen (Urteile 8C_580/2014 vom 11. März 2015 E. 2.2.2; 9C_856/2012 vom 19. August 2013 E. 2.2.2 mit Hinweisen).
3.
Das kantonale Gericht stützte sich auf das psychiatrische Gutachten des Prof. Dr. med. C._ vom 1. Mai 2013. Darin wird - mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit - eine passiv-aggressive (negativistische) Persönlichkeitsstörung (ICD-10:F60.81) diagnostiziert. Der Gutachter hält dazu fest, das Reifungsdefizit sei erheblich und wirke sich auf Teile der Arbeitsfähigkeit aus (Umgang mit Autoritätspersonen und Kunden, psychische Belastungssituationen). Die Persönlichkeitsstörung bewirkt Einschränkungen im beruflichen Leistungsspektrum, indem Tätigkeiten mit sozialem Kontext und Umgang mit Autoritätspersonen erschwert sind und die Frustrationstoleranz vermindert ist. Ohne Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit sind die gutachterlich diagnostizierten psychischen und Verhaltensstörungen durch Alkohol, Cannabis und Kokain (ICD-10:F10.1; F12.1; F14.1, je ohne Komplikationen). Diese psychischen Störungen sind als sekundär im Rahmen einer Selbsttherapie zu betrachten und können vom Versicherten zumutbarerweise überwunden werden. Gesamthaft betrachtet sind laut Einschätzung des Gutachters im Rahmen des positiven Leistungsbildes (Arbeiten in konfliktarmem Umfeld, mit geringen autoritären beruflichen Hierarchien, an Sachaufgaben im erlernten beruflichen Umfeld, verständnisvolle Arbeitgeber und Kollegen) Tätigkeiten im angestammten Beruf und in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit vom Versicherten durchführbar. Eine quantitative Einschränkung zur Wahrnehmung einer intensiven Therapie (anfänglich mit der Möglichkeit einer tagesklinischen Behandlung zur Strukturierung der beginnenden Auflösung des Tag-Nacht-Rhythmuses) erachtet der Gutachter als sinnvoll. Die Arbeitsfähigkeit in der zuletzt ausgeübten und adaptierten Tätigkeit beziffert er auf 20 Prozent eines Vollpensums auf dem ersten Arbeitsmarkt.
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz hätte die von Prof. Dr. med. C._ im Gutachten vom 1. Mai 2013 angenommene Überwindbarkeit der durch den schädlichen Gebrauch von Alkohol, Cannabis und Kokain verursachten Störungsbilder im Lichte der gemäss BGE 141 V 281 (Urteil 9C_492/2014 vom 3. Juni 2015) neu massgebenden Indikatoren prüfen müssen. Mit diesem Urteil hat das Bundesgericht seine Rechtsprechung zur invalidenversicherungsrechtlichen Relevanz unklarer Beschwerdebilder (BGE 130 V 352 und seitherige Rechtsprechung), namentlich zu den Voraussetzungen, unter denen anhaltende somatoforme Schmerzstörungen und vergleichbare psychosomatische Leiden (vgl. BGE 141 V 281 E. 4.2 S. 298; 140 V 8 E. 2.2.1.3 S. 13) eine rentenbegründende Invalidität zu bewirken vermögen, grundlegend überdacht und teilweise geändert. Da beim Beschwerdeführer keine solche Gesundheitsstörung zur Diskussion steht und der vorinstanzliche Entscheid sich zu Recht nicht auf BGE 130 V 352 stützt, hat die neue Rechtsprechung keine Auswirkungen auf den hier zu beurteilenden Fall, weshalb nicht weiter darauf einzugehen ist. Die vom Gutachter erwähnte Suchtproblematik ist vielmehr nach Massgabe der in E. 2.2 hievor wiedergegebenen Rechtsprechung zu beurteilen, wovon auch die Vorinstanz ausging.
5.
5.1. Laut Beschwerdeführer hat die Vorinstanz den Untersuchungsgrundsatz verletzt (Art. 61 lit. c ATSG) und den Sachverhalt unter offensichtlich unrichtiger Sachverhaltswürdigung (Art. 9 BV) beurteilt. Das kantonale Gericht sei nicht umfassend auf den gesamten Sachverhalt eingegangen und habe sich nicht mit den Ungereimtheiten im psychiatrischen Gutachten vom 1. Mai 2013 und den Divergenzen zwischen dem Gutachten und den Austrittsberichten des Sanatoriums D._ vom 6. und 13. September 2013 bezüglich suchtanamnestischen Angaben, Diagnosen und Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit auseinandergesetzt.
5.2. Die bundesgerichtliche Überprüfung der vorinstanzlichen Beweiswürdigung hat sich darauf zu beschränken, ob mit Blick auf die vorgebrachten Rügen die Sachverhaltsfeststellung im angefochtenen Entscheid offensichtlich unrichtig ist oder eine Rechtsverletzung, namentlich hinsichtlich der Regeln über den Beweiswert von ärztlichen Berichten, vorliegt (vgl. E. 1). Zu beachten ist hier der Grundsatz, dass das Gericht Gutachten externer Spezialärzte, welche - wie in Bezug auf das Gutachten des Prof. Dr. med. C._ - von Versicherungsträgern im Verfahren nach Art. 44 ATSG eingeholt wurden und den Anforderungen der Rechtsprechung entsprechen, vollen Beweiswert zuerkennen darf, solange nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (BGE 137 V 210 E. 1.3.4 S. 227; 135 V 465 E. 4.4 S. 470; 125 V 351 E. 3b/bb S. 353).
5.3. Das kantonale Gericht hat sich hinsichtlich des Gesundheitsschadens und der Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit einlässlich mit den im kantonalen Beschwerdeverfahren erhobenen Einwendungen des Versicherten auseinandergesetzt. Es hat zudem in Nachachtung seiner Pflicht zu umfassender, sorgfältiger, objektiver und inhaltsbezogener Beweiswürdigung (BGE 132 V 393 E. 4.1 S. 400) willkürfrei dargelegt, weshalb das Gutachten des Prof. Dr. med. C._ als voll beweiskräftig einzustufen ist. Mit den teils divergierenden medizinischen Angaben hat sich die Vorinstanz auseinander gesetzt, ohne diesen eine den Beweiswert des Gutachtens in Frage stellende Bedeutung beizumessen.
5.4. Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, wenn sie auf die gutachterlichen Schlussfolgerungen abgestellt hat. Dem Gutachten kann hinreichend zuverlässig entnommen werden, dass der Versicherte unter Weiterführung der bisherigen ambulanten psychotherapeutischen Behandlung im Zeitpunkt der Untersuchung vom 30. April 2013 als zu 80 Prozent arbeitsfähig zu betrachten war. Wenn der Gutachter eine tagesklinische Behandlung zur besseren Strukturierung des Tag-Nacht-Rhythmus und das Anstreben von Drogenfreiheit empfiehlt und in diesem Zusammenhang darauf hinweist, dass mit Zwang zur Behandlung kein therapeutischer Erfolg erzielt werden kann, steht dies keineswegs im Widerspruch zur attestierten Arbeitsfähigkeit. Laut Gutachter würde nämlich eine Berentung zur Chronifizierung des Leidens beitragen, indem der Versicherte keine Möglichkeit zur Einübung sozialer Konventionen hätte mit der Folge, dass die den Krankheitsverlauf manifestierenden Verhaltensabnormitäten durch cerebrale Bahnung beibehalten würden. Unbegründet ist auch der beschwerdeführerische Einwand, die Vorinstanz habe ihren Entscheid unter Missachtung der von Prof. Dr. med. C._ vorausgesetzten Prämissen für eine 80 prozentige Arbeitsfähigkeit getroffen und damit dem Umstand nicht Rechnung getragen, dass genügend Zeit zur Wahrnehmung einer psychotherapeutischen Behandlung unter anfänglicher Einhaltung einer Tagesstruktur (am besten in einer Tagesklinik) eingeräumt werden sollte. Selbst wenn nämlich zur Behandlung der beginnenden Auflösung des Tag-Nacht-Rhythmus ein kurzer Klinikaufenthalt erfolgen sollte, führte dies nicht zu einem befristeten Rentenanspruch (vgl. zur Entstehung des Rentenanspruchs Art. 28 Abs. 1 IVG).
5.5. Laut Beschwerdeführer hat die Vorinstanz aktenwidrig festgestellt, dass die anamnestischen Angaben in den Berichten des Sanatoriums D._ und im psychiatrischen Gutachten sich nicht massgeblich unterscheiden würden. Die vorinstanzliche Feststellung ist jedoch nicht willkürlich. Der Gutachter hält in seiner Stellungnahme vom 12. September 2013 fest, diagnostisch habe er in seinem Gutachten vom 1. Mai 2013 ebenso wie die Ärzte des Sanatoriums D._ ein Abhängigkeitssyndrom beschrieben. Trotz der zwischenzeitlich durchgemachten Krise mit fürsorgerischer Unterbringung im Sanatorium D._ sah er keinen Anlass für eine vom Gutachten vom 1. Mai 2013 abweichende Beurteilung. Der Suchtmittelkonsum variert offenbar. In den Arztberichten des behandelnden Psychiaters Dr. med. E._ vom 10. Oktober 2012 und 26. Februar 2013 sowie in dessen Schreiben an den Rechtsvertreter des Versicherten vom 13. September 2013 findet die Suchtproblematik beispielsweise keine Erwähnung.
5.6. Weiter kritisiert der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Erwägung, wonach gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung Alkoholismus und Drogensucht für sich allein keine Invalidität zu begründen vermöchten, als im vorliegenden Kontext nicht zutreffend. Aus gutachterlicher Sicht sei das psychische Krankheitsgeschehen auf eine protrahierte Reifungsstörung zurückzuführen und das Abgleiten in den Drogenkonsum eine Reaktion auf die misslichen persönlichen Umstände. Dem Gutachten ist zu entnehmen, dass der Suchtmittelmissbrauch durch belastende Faktoren ausgelöst und zur Selbsttherapie eingesetzt wird. Die Durchsetzung einer Drogenabstinenz im Rahmen der dem Versicherten zukommenden Schadenminderungspflicht führt laut Prof. Dr. med. C._ nicht zu einer wesentlichen Verbesserung der Arbeitsfähigkeit. Auch wenn somit ein Zusammenhang zwischen dem Suchtmittelkonsum und der krankheitswertigen Persönlichkeitsstörung besteht, führt dies laut Gutachten gesamthaft betrachtet nicht zu einer 20 Prozent übersteigenden Arbeitsunfähigkeit. Davon ist im Ergebnis auch die Vorinstanz ausgegangen.
5.7. Der psychiatrische Gutachter hat sich am 12. September 2013 hinreichend zu den Angaben in den Austrittsberichten des Sanatoriums D._ geäussert. Die Vorinstanz konnte daher auf ergänzende Abklärungen beim Gutachter oder die Anordnung einer neuen Begutachtung verzichten, ohne den Untersuchungsgrundsatz zu verletzen.
5.8. Körperliche Einschränkungen werden von Prof. Dr. med. C._ ausdrücklich verneint und ergeben sich auch nicht aus den weiteren medizinischen Unterlagen. Da keine Anhaltspunkte für somatische Folgeschäden aufgrund des Drogenkonsums vorliegen, bestand für die Vorinstanz kein Anlass zur Klärung der Frage, ob somatische Schädigungen mit Auswirkung auf die Erwerbsfähigkeit eingetreten sind. Der Beschwerdeführer begründet seinen Einwand nicht näher und nennt insbesondere keine somatischen Leiden, welche bei der Beurteilung des zumutbaren Leistungsvermögens hätten berücksichtigt werden müssen, weshalb sich Weiterungen zu diesem Punkt erübrigen.
5.9. Der Gutachter hat hinreichend präzis aufgezeigt, welche therapeutischen Massnahmen aus psychiatrischer Sicht in Frage kommen. Der Beschwerdeführer vermag nicht darzutun, weshalb sich die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid näher mit den gutachterlichen Therapievorschlägen hätte auseinandersetzen müssen. Vielmehr durfte sie sich in den Erwägungen auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (zur Begründungspflicht: BGE 138 I 232 E. 5.1 S. 237 mit Hinweisen).
5.10. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, weder der psychiatrische Gutachter noch die Vorinstanz hätten sich mit dem Umstand auseinandergesetzt, dass gemäss Mitteilung der IV-Stelle vom 30. August 2012 aufgrund des Gesundheitzustandes keine beruflichen Eingliederungsmassnahmen durchgeführt werden könnten, ist darauf hinzuweisen, dass die berufliche Eingliederung nicht Gegenstand der hier streitigen Verfügung vom 14. April 2014 bildet. Es fehlt somit an einem Anfechtungsgegenstand und damit an einer Sachurteilsvoraussetzung (BGE 125 V 413 E. 1a S. 414). Die Vorinstanz musste sich daher nicht näher damit befassen.
5.11. Laut Beschwerdeführer ist die Annahme willkürlich, dass er auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt trotz seiner psychischen Einschränkungen und seiner Suchtproblematik eingegliedert werden könne. Das vom Gutachter gezeichnete Anforderungsprofil an einen möglichen Arbeitsplatz sei höchstens in einem geschützten Rahmen vorhanden. Auch diese Rüge ist unbehelflich. Gestützt auf das Gutachten des Prof. Dr. med. C._ ist dem Versicherten eine angepasste Tätigkeit im angestammten beruflichen Umfeld in der Informatik zuzumuten, zumal sich die psychische Problematik im Rahmen der beruflichen Leistungsfähigkeit vor allem im zwischenmenschlichen Bereich auswirkt. Den erwähnten Schwächen des Versicherten kann durch Arbeiten ausserhalb eines hierarchischen Umfeldes mit wenig beruflich-sozialen Kontakten Rechnung getragen werden. Für die Invaliditätsbemessung ist nicht massgebend, ob eine invalide Person unter den konkreten Arbeitsmarktverhältnissen vermittelt werden kann, sondern einzig, ob sie die ihr verbliebene Arbeitskraft noch wirtschaftlich nutzen könnte, wenn ein Gleichgewicht von Angebot und Nachfrage nach Arbeitsplätzen bestünde (ausgeglichener Arbeitsmarkt, Art. 16 ATSG; BGE 134 V 64 E. 4.2.1 S. 70 f.; 110 V 273 E. 4b S. 276). Der ausgeglichene Arbeitsmarkt umfasst auch sogenannte Nischenarbeitsplätze, also Stellen- und Arbeitsangebote, bei welchen Behinderte mit einem sozialen Entgegenkommen von Seiten des Arbeitgebers rechnen können (Urteile 9C_485/2014 vom 28. November 2014 E. 2.2; 8C_514/2013 vom 29. August 2013 E. 4.2). Eine Unverwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit ist erst anzunehmen, wenn die zumutbare Tätigkeit nur in so eingeschränkter Form möglich ist, dass sie der ausgeglichene Arbeitsmarkt praktisch nicht kennt oder sie nur unter nicht realistischem Entgegenkommen eines durchschnittlichen Arbeitgebers möglich wäre und das Finden einer entsprechenden Stelle daher von vornherein als ausgeschlossen erscheint (z.B. Urteil 8C_1050/2009 vom 28. April 2010 E. 3.3 mit Hinweisen). Eine derartige Konstellation liegt mit Bezug auf den Beschwerdeführer nicht vor. Es ist daher davon auszugehen, dass er nicht bloss an einem geschützten Arbeitsplatz ein Einkommen erzielen könnte.
5.12. Insgesamt vermögen die Vorbringen des Beschwerdeführers keine offensichtliche Unrichtigkeit oder Rechtsfehlerhaftigkeit des angefochtenen Entscheides zu begründen. Mit dem kantonalen Gericht ist ihm die Ausübung einer Erwerbstätigkeit im angestammten Beruf an einer seinen psychischen Beeinträchtigungen angepassten Arbeitsstelle im Rahmen eines Pensums von 80 Prozent zuzumuten und ein entsprechendes Einkommen anzurechnen. Es besteht daher kein Rentenanspruch. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Seinem Ersuchen um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Verbeiständung (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) kann jedoch entsprochen werden, da die Bedürftigkeit als ausgewiesen gelten kann, das Rechtsbegehren nicht als von vornherein aussichtslos anmutet und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt oder eine Rechtsanwältin als geboten erscheint (BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135 f.; 128 I 225 E. 2.5.3 S. 235 f.). Es wird aber ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Michael Ausfeld wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Oktober 2015
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Hofer