Erwägungen:
1.
1.1. Am 23./24. Januar 2014 ersuchten die Eheleute A._ für sich und ihre Kinder um Familienzusammenführung. Das Migrationsamt des Kantons St. Gallen verweigerte am 3. Februar 2014 der Gattin und den beiden Kindern, sich während seines Bewilligungsverfahrens beim Gatten bzw. Vater aufzuhalten ("prozeduraler Aufenthalt"), und forderte sie auf, den Bewilligungsentscheid in Bulgarien abzuwarten. Der Präsident des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen wies kantonal letztinstanzlich die Beschwerde gegen diesen verfahrensrechtlichen Zwischenentscheid am 11. Juli 2014 ab, wogegen die Eheleute A._ am 15. September 2014 an das Bundesgericht gelangten. Der Abteilungspräsident legte ihrer Eingabe am 23. September 2014 aufschiebende Wirkung bei.
1.2. Am 11. Mai 2015 teilte der Rechtsvertreter der Eheleute A._ dem Bundesgericht mit, dass das Migrationsamt des Kantons St. Gallen das Gesuch um Familiennachzug am 26. November 2014 abgewiesen habe, wogegen beim Sicherheits- und Justizdepartement Beschwerde eingereicht worden sei. In der Folge wurde den Verfahrensbeteiligten am 3. Juni 2015 Gelegenheit gegeben, sich zur Frage zu äussern, ob das bundesgerichtliche Verfahren als gegenstandslos geworden abgeschrieben werden könne. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen ersuchte "aus verfahrensökonomischen Gründen" darum, dass das Bundesgericht sich "zumindest obiter auch in der Sache" äussere. Das Sicherheits- und Justizdepartement erklärte, die ins Auge gefasste Abschreibung entspreche dem Recht und sei "nach der Verfügung des Migrationsamtes St. Gallen vom 26. November 2014 folgerichtig". Das Migrationsamt geht seinerseits davon aus, es bestehe nach wie vor ein aktuelles Interesse an der Beurteilung der Frage, ob die Familie A._ den definitiven Entscheid in der Schweiz abwarten dürfe oder nicht, woran ihre negative Verfügung in der Sache nichts geändert habe.
2.
2.1. Gemäss Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG ist zur Beschwerde berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Erforderlich ist grundsätzlich ein persönliches aktuelles praktisches Interesse an der Beschwerdeführung; fehlt ein solches bei Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten, fällt es nach Beschwerdeerhebung dahin, wird die Sache für erledigt erklärt (BGE 139 I 206 E. 1.1 S. 208), wobei der Instruktionsrichter im Abschreibungsentscheid gleichzeitig die Kosten- und Entschädigungsfrage regelt.
2.2. Beim Entscheid über den prozeduralen Aufenthalt im Sinne von Art. 17 AuG handelt es sich um einen kantonalen Zwischenentscheid über eine vorsorgliche Massnahme mit materiellrechtlichen Vorgaben im Bundesrecht (vgl. das Urteil 2C_1130/2013 vom 23. Januar 2015 E. 2.2 und 2.3). Als solche fällt sie mit dem Entscheid in der Sache selber und dem Abschluss des entsprechenden Verfahrens dahin; soweit die materiellrechtliche Verfügung ihrerseits angefochten wird, gelten danach die kantonalen verfahrensrechtlichen Bestimmungen hinsichtlich der aufschiebenden Wirkung bzw. anderer vorsorglicher Massnahmen. Mit dem materiellrechtlichen Abschluss des erstinstanzlichen Bewilligungsverfahrens, ist die für dieses unter Beachtung von Art. 17 AuG verweigerte vorsorgliche Massnahme dahingefallen, weshalb kein aktuelles praktisches Interesse mehr an der Beurteilung der vorliegenden Beschwerde besteht.
2.3. Das vorliegende Verfahren ist als gegenstandslos geworden abzuschreiben. Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben und keine Entschädigungen zuzusprechen (vgl. Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz und Art. 68 BGG).
Demnach verfügt der Präsident:
1.
Das Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Es werden keine Kosten erhoben und keine Entschädigungen zugesprochen.
3.
Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2015
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar