Sachverhalt:
A. Der 1951 geborene A._, gelernter Möbelschreiner, war ab Juli 1988 als Aussendienst-Mitarbeiter (Verkauf von Haushaltgeräten) in der Firma R._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen versichert. Am 30. Juni 2000 verletzte er sich zu Hause beim Holzschneiden mit einer Kapp-Handfräse an der linken Hand "mit Amputation des Dig. IV knapp distal des Mittelgelenkes und Durchtrennung aller beugeseitigen Strukturen an Dig. III sowie Beugesehnenverletzung Dig. II". Die Erstbehandlung ("Wundversorgung und Beugesehnennaht Dig. II; Revaskularisation mit Beugesehnen- und Nervennaht Dig. III; Stumpfversorgung Dig. IV") erfolgte im Spital X._, Klinik für Orthopädische Chirurgie (Spitalbericht vom 13. Juli 2000). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). A._ konnte die Arbeit als Aussendienst-Mitarbeiter ab Oktober 2000 wieder zu 50 %, ab November 2000 zu 75 % und ab Januar 2001 voll ausüben. Mit rechtskräftiger Verfügung vom 11. August 2001 schloss die SUVA den Fall ab; sie sprach dem Versicherten für die verbleibenden Folgen der Handverletzung eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 20 % zu; einen Anspruch auf eine Invalidenrente verneinte sie mit der Begründung, die Restfolgen an der Hand beeinträchtigten die Erwerbsfähigkeit nicht wesentlich. Im Oktober 2005 meldete sich A._ unter Hinweis auf den Verlust der Arbeitsstelle und eine zwischenzeitlich aufgenommene psychiatrische Behandlung erneut bei der SUVA. Diese sprach ihm für die erwerblichen Folgen der Handverletzung rückwirkend ab 1. Februar 2006 eine Invalidenrente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 27 % zu. Einen Leistungsanspruch für die psychische Problematik verneinte sie mit der Begründung, es fehle am rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 30. Juni 2000 (Verfügung vom 9. November 2007). Die vom Versicherten hiegegen erhobene Einsprache hiess die SUVA teilweise gut, indem sie den Invaliditätsgrad in Bezug auf die physischen Unfallfolgen auf 38 % erhöhte. Einen Leistungsanspruch für die psychische Problematik verneinte sie nach wie vor (Einspracheentscheid vom 23. Januar 2008).
B. Die von A._ gegen den Einspracheentscheid eingereichte Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 17. November 2008 ab.
C. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung von Einsprache- und vorinstanzlichem Entscheid sei die Sache zur Neubeurteilung des Rentenanspruchs an die SUVA zurückzuweisen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 16. März 2009 lässt A._ nochmals Stellung nehmen.
Erwägungen:
1. Die SUVA stellt in Frage, dass die Beschwerde fristgerecht eingereicht wurde.
Die Beschwerde ist innert 30 Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen (Art. 100 Abs. 1 BGG).
Im vorliegenden Fall wurde der vorinstanzliche Entscheid am 4. Dezember 2008 versandt und vom Anwalt des Beschwerdeführers am 8. Dezember 2008 auf der Post abgeholt. Die Beschwerdefrist begann folglich am 9. Dezember 2008 zu laufen (Art. 44 BGG). Sie endete, unter Berücksichtigung des vom 18. Dezember bis und mit 2. Januar dauernden Fristenstillstandes (Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG), am 23. Januar 2009. Die Beschwerde ist an diesem Tag und somit rechtzeitig zu Handen des Bundesgerichts der Schweizerischen Post übergeben worden (vgl. Art. 48 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist einzutreten, da auch die übrigen Voraussetzungen hiefür erfüllt sind.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Der Versicherte hat unbestrittenermassen aufgrund von Folgen des Unfalls vom 30. Juni 2000 Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung der obligatorischen Unfallversicherung. Streitig und zu prüfen ist, ob der Invaliditätsgrad, nach dem sich die Invalidenrente bemisst, höher anzusetzen ist als durch den Unfallversicherer erfolgt und vom kantonalen Gericht bestätigt.
Die für die Beurteilung der Streitsache massgeblichen Bestimmungen und Grundsätze sind im Einsprache- und im vorinstanzlichen Entscheid zutreffend dargelegt. Das gilt namentlich in Bezug auf den für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden, insbesondere bei organisch objektiv ausgewiesenen Beschwerden sowie bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall, für die Bestimmung des Invaliditätsgrades mittels Einkommensvergleich und für die sich stellenden Beweisfragen. Darauf wird verwiesen.
4. Umstritten ist zunächst, ob eine psychische Unfallfolge vorliegt, welche zu einer höheren unfallbedingten Invalidität führt.
Das kantonale Gericht hat dies verneint. Eine natürlich unfallkausale psychische Störung sei nicht überwiegend wahrscheinlich. Zudem mangle es jedenfalls am adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 30. Juni 2000. Demgegenüber macht der Versicherte geltend, er leide an einem natürlich und adäquat unfallkausalen psychischen Gesundheitsschaden.
Ob eine natürlich unfallkausale psychische Störung vorliegt, muss dann nicht abschliessend beurteilt werden, wenn es ohnehin am adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis fehlt (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c [U 183/93]). Das wird nachfolgend geprüft.
4.1 Für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Zu prüfen ist im Rahmen einer objektivierten Betrachtungsweise, ob der Unfall eher als leicht, als mittelschwer oder als schwer erscheint, wobei im mittleren Bereich gegebenenfalls eine weitere Differenzierung nach der Nähe zu den leichten oder schweren Unfällen erfolgt (BGE 115 V 133 E. 6 S. 139 ff.; SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.3.1 [U 2, 3 und 4/07]).
Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 30. Juni 2000 bei den mittleren Unfällen eingeordnet. Der Versicherte macht einen schweren Unfall geltend. Er verweist dabei namentlich auf die erlittenen Verletzungen.
4.1.1 Die (nachfolgend auszugsweise wiedergegebene) Rechtsprechung hatte sich schon verschiedentlich mit der Unfallschwere bei Handverletzungen zu befassen. Dabei wurden in der Regel auch die beim Unfall erlittenen Verletzungen in die Beurteilung der Unfallschwere einbezogen. Gemäss der mit SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 (U 2, 3 und 4/07) bereinigten Rechtsprechung ist dies nicht zulässig. Massgebend ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften, nicht jedoch Folgen des Unfalles oder Begleitumstände, die nicht direkt dem Unfallgeschehen zugeordnet werden können. Derartigen dem eigentlichen Unfallgeschehen nicht zuzuordnenden Faktoren ist gegebenenfalls bei den Adäquanzkriterien Rechnung zu tragen. Dies gilt etwa für die - ein eigenes Kriterium bildenden - Verletzungen, welche sich die versicherte Person zuzieht (erwähntes Urteil E. 5.3.1). Immerhin können die erlittenen Verletzungen aber Rückschlüsse auf die Kräfte, die sich beim Unfall entwickelt haben, gestatten.
4.1.2 In der Praxis wurden als schwerere Fälle im mittleren Bereich etwa Amputationen an den Fingern III-V durch ein laufendes Fräsblatt (RKUV 1999 Nr. U 346 S. 428 E. 2b/bb [U 280/97]) und die Totalamputation an den Fingern I-III mit subtotaler Amputation an den Fingern IV und V beim Kehlen beurteilt (Urteil U 233/95 vom 13. Juni 1996 E. 3b). Demgegenüber wurden folgende Handverletzungen als mittelschweres Geschehen im Grenzbereich zu den leichten Unfällen eingestuft: Beeinträchtigung der Fingerkuppen und allenfalls des Handgelenks (Carpaltunnelsyndrom) durch rotierendes Messer des Rasenmähers (Urteil U 38/00 vom 25. Januar 2002 Sachverhalt A und E. 2c); Abtrennung der Finger II-IV auf der Höhe der Mittelgelenke sowie des Fingers V auf der Höhe der Endphalanx durch Stahlseil beim Holzführen (Urteil U 38/99 vom 7. Mai 2001 Sachverhalt A und E. 2a); Durchtrennung der Flexor pollicis longus-Sehne des linken Daumens und des radialen Gefässnervenbündels durch Glasscherben einer Milchflasche (Urteil U 386/06 vom 12. Januar 2007 Sachverhalt A und E. 3.2); durch Fräsmaschine erlittene Nerven- und Sehnenverletzungen an der linken Hand (Urteil U 325/04 vom 1. April 2005 Sachverhalt A.a und E. 3.2.1); Einklemmen der Hand in einer Walze, was zu einem massiven Quetschtrauma mit Defektrupturen der Beugesehnen dreier Finger sowie einer Fraktur des fünften Fingers führte (Urteil U 300/03 vom 30. November 2004 Sachverhalt A und E. 3.4). Als mittelschwer im engeren Sinn wurden Unfälle eingestuft, bei denen der Versicherte beim Reinigen einer Doppelwalze mit der linken Hand in die Walzenräder geriet und dabei ein Degloving des linken Daumens und Quetschwunden im Bereich der Endglieder und -gelenke der Finger II, IV und V sowie eine Zerrung und Distraktionsverletzung der gesamten linken oberen Extremität (Urteil U 82/00 vom 22. April 2002 Sachverhalt A und E. 3.1) oder beim Holzfräsen folgende Verletzungen erlitt: "Am Daumen subtotale Abtrennung knapp proximal des IP-Gelenks mit intakter 4mm breiter Weichteilbrücke dorsalseits und fraglicher Zirkulation, palmarer Weichteildefekt bis in den Bereich der Fingerkuppen-Mitte, Defektläsion im Bereich des Grundphalanxköpfchens mit Zerstörung des IP-Gelenks; am Zeigefinger 3 cm lange, schrägverlaufende ulnopalmare Rissquetschwunde mit Durchtrennung der Profundus-Beugesehne sowie des ulnaren Superficialis-Beugesehnenzügels in der Zone II, Durchtrennung des ulnopalmaren Gefäss-Nervenbündels bei intakter Zirkulation; am Mittelfinger subtotale Abtrennung Höhe PIP-Gelenk mit intakter 1 cm breiter Weichteilbrücke radiopalmar, Zirkulation intakt, Sensibilitätsstörung ulnarseits bei intakter Sensibilität radialseits und Defektläsion im Bereich der Mittelphalanxbasis mit Zerstörung von zirka der Hälfte der PIP-Gelenkfläche" (Urteil U 19/06 vom 18. Oktober 2006 Sachverhalt A und E. 3; vgl. auch die dortige Praxisübersicht).
4.1.3 Der hier zu beurteilende Unfall mit einer Kapp-Handfräse (vgl. die nähere Beschreibung in Sachverhalt A hievor) ist nach dem augenfälligen Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften sowie im Lichte der dargelegten Rechtsprechung den mittleren Unfällen und dort nicht dem Grenzbereich zu den schweren Unfällen zuzuordnen. Entgegen der Auffassung des Versicherten liegt erst recht kein schwerer Unfall vor.
4.2 Demnach müssten von den weiteren massgeblichen Kriterien (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140) für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sein (BGE 115 V 133 E. 6c/bb S. 141). Bei der Prüfung dieser Kriterien sind (anders als nach der sog. Schleudertrauma-Praxis) psychische Aspekte ausser acht zu lassen (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140.; vgl. auch BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112).
4.2.1 Gemäss dem angefochtenen Entscheid ist einzig und nicht in besonders ausgeprägter Weise das Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls erfüllt. Nach Auffassung des Beschwerdeführers sind zusätzlich die Kriterien der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen, der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung und der körperlichen Dauerschmerzen erfüllt. Die weiteren Kriterien (ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit) werden, nach Lage der Akten zu Recht, nicht geltend gemacht.
4.2.2 Das kantonale Gericht hat eine ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung zu Recht verneint, konnte doch die Heilbehandlung für die physischen Unfallfolgen bereits im Sommer 2001, ein Jahr nach dem Unfall, abgeschlossen werden. Die vom Versicherten geltend gemachte psychiatrische Behandlung kann bei der Beurteilung des Kriteriums nicht berücksichtigt werden (E. 4.2 Ingress in fine hievor).
Die Vorinstanz hat zutreffend erwogen, die hin und wieder verspürten Phantombeschwerden am Ringfingerstumpf genügten nicht für die Bejahung des Kriteriums der körperlichen Dauerschmerzen. In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was eine andere Betrachtungsweise zu rechtfertigen vermöchte. Hervorzuheben ist, dass Phantomschmerzen nur in einem geringen Teil der medizinischen Akten überhaupt erwähnt werden und ihnen von ärztlicher Seite offensichtlich keine erhebliche Bedeutung beigemessen wurde.
Um die Adäquanz für gegeben zu erachten, müsste zumindest eines der beiden verbleibenden Kriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen) in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Dies trifft nicht zu und wird auch nicht geltend gemacht. Damit kann offen bleiben, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form erfüllt wären, was die Vorinstanz beim erstgenannten Kriterium bejaht hat (E. 4.2.1 hievor).
4.3 Das kantonale Gericht hat folglich eine rechtserhebliche Bedeutung des Unfalls vom 30. Juni 2000 für die psychische Problematik und damit die Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin hiefür zu Recht verneint.
5. Für den streitigen Anspruch auf eine Invalidenrente sind somit einzig die erwerblichen Auswirkungen der Handverletzung massgebend. Dabei steht fest und ist unbestritten, dass der Invaliditätsgrad mittels Einkommensvergleich nach Art. 16 ATSG nach Massgabe der im Jahr 2006 gegebenen Verhältnissen (Rentenbeginn als massgeblicher Vergleichszeitpunkt: BGE 128 V 174; vgl. auch BGE 129 V 222) zu ermitteln ist.
5.1 Das kantonale Gericht hat das Einkommen, das der Versicherte ohne unfallbedingte Beeinträchtigung mutmasslich erzielt hätte (Valideneinkommen), gestützt auf die Angaben des früheren Arbeitgebers auf Fr. 109'381.- festgesetzt. Das trotz unfallbedingter Beeinträchtigung zumutbarerweise noch erzielbare Einkommen (Invalideneinkommen) bestimmte die Vorinstanz anhand der Tabellenlöhne gemäss der Schweizerischen Lohnerhebung (LSE). Unter Berücksichtigung eines leidensbedingten Abzuges von 20 % resultierte ein Invalideneinkommen von Fr. 67'585.50. Die Gegenüberstellung der beiden Vergleichseinkommen ergibt einen Invaliditätsgrad von (gerundet) 38 %.
5.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, es sei ungenügend abgeklärt worden, welche Tätigkeiten ihm trotz der unfallbedingten Beeinträchtigung noch zumutbar seien.
Das kantonale Gericht hat hiezu gestützt auf die kreisärztlichen Beurteilungen des Dr. med. C._ vom 27. Juni 2001 und des Dr. med. B._ vom 9. Oktober 2007 erwogen, eine mittelschwere körperliche Arbeit sei mit der linken Hand nicht mehr zu bewältigen. Feinarbeiten und auch das Bedienen von Tastaturen seien stark erschwert. Lediglich der Daumen sei gezielt einsetzbar, dann folge der Kleinfinger. Zum Bedienen von Tastaturen seien die Finger II und III kaum zu gebrauchen wegen gestörter Beweglichkeit und taktiler Gnose. Auch Stützfunktionen seien eingeschränkt. Für eine diese Beeinträchtigungen berücksichtigende Tätigkeit sei ein ganztägiger Arbeitseinsatz zumutbar.
Das dargelegte Zumutbarkeitsprofil ist mit dem kantonalen Gericht als ausreichend zu betrachten, um den Invaliditätsgrad zuverlässig bestimmen zu können (vgl. AHI 1998 S. 287 E. 3b [I 198/97] und seitherige Entscheide). Daran vermögen sämtliche Einwände in der Beschwerde nichts zu ändern. Geltend gemacht wird im Wesentlichen, die Beurteilung des Dr. med. C._ sei nicht mehr aktuell. Sodann sei der Versicherte gar nicht bei Dr. med. B._ gewesen.
Soweit mit Letzterem geltend gemacht werden soll, Dr. med. B._ habe sich seine Meinung ohne eigene Untersuchung des Beschwerdeführers gebildet, wäre dies aktenwidrig. Gemäss Bericht vom 9. Oktober 2007 hat Dr. med. B._ den Versicherten persönlich befragt und kreisärztlich untersucht. Es besteht weder aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde noch anderweitig Anlass, dies in Frage zu stellen. Dr. med. B._ konnte überdies auf die früheren Untersuchungsergebnisse und auf die Zumutbarkeitsbeurteilung des Dr. med. C._ zurückgreifen. Dessen Angaben waren durchaus auch im Zeitpunkt der kreisärztlichen Untersuchung durch Dr. med. B._ noch aussagekräftig, zumal sich der Gesundheitszustand bezüglich der Handverletzung zwischenzeitlich nicht geändert hatte. Dies zeigt sich auch an der Aussage des Versicherten vom 14. November 2006, wonach die Situation seit der ersten kreisärztlichen Untersuchung gleich geblieben sei. Die Aussagen beider Kreisärzte zum Zumutbarkeitsprofil sind überdies in sich und im Kontext mit den übrigen medizinischen Akten stimmig, weshalb mit dem kantonalen Gericht darauf abzustellen ist.
5.3 Die Invaliditätsbemessung im angefochtenen Entscheid wird im Übrigen nicht beanstandet und gibt zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Der angefochtene Entscheid ist demnach in allen Teilen rechtmässig.
6. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juni 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz