Sachverhalt:
A. Die 1974 geborene R._, gelernte Kinderkrankenschwester, war als Arzthelferin in einer Gemeinschaftspraxis angestellt und dadurch bei der Basler Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Basler) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 28. April 2000 verunfallte. Sie beschleunigte den von ihr gelenkten Citroën AX aus einem Kreisel und übersah, dass vor ihr ein Nissan Primera verkehrsbedingt angehalten hatte. Der Citroën prallte trotz noch eingeleiteter Vollbremsung ins Heck des Nissan. R._ erlitt dabei eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS). Die Basler gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach Abklärungen zum Unfallereignis und zum medizinischen Sachverhalt (u.a. Einholung eines verkehrstechnischen Gutachtens vom 2. April 2002 sowie polydisziplinärer medizinischer Gutachten des Instituts X._, vom 21. Januar 2003 und des Zentrum Y._, vom 3. September 2009) eröffnete die Basler der Versicherten mit Verfügung vom 22. September 2009, die Leistungen würden per 3. September 2009 eingestellt. Denn spätestens seit diesem Zeitpunkt bestehe zwischen dem Unfall vom 28. April 2000 und den geklagten Beschwerden kein natürlicher Kausalzusammenhang mehr. Einspracheweise beantragte R._, es seien weitere medizinische Abklärungen zu treffen und die gesetzlichen Leistungen, insbesondere Heilbehandlung, Taggeld, Invalidenrente und Integritätsentschädigung, auszurichten. Der Unfallversicherer wies die Einsprache ab, wobei er nebst der natürlichen nunmehr auch die adäquate Unfallkausalität der noch geklagten Beschwerden verneinte (Entscheid vom 25. März 2010).
B. Die von R._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab. Es begründete dies im Wesentlichen damit, die noch bestehende Symptomatik sei mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbar (Entscheid vom 10. August 2011).
C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei die Basler zu verpflichten, für die Folgen des Unfalls vom 28. April 2000 über den 3. September 2009 hinaus die gesetzlichen Leistungen auszurichten; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung und Neubeurteilung an das kantonale Gericht oder an die Basler zurückzuweisen. Zudem seien dem Unfallversicherer die Kosten des neuroophtalmologischen Gutachtens des PD Dr. med. W._, Klinik Z._, vom 25. September 2011 aufzuerlegen.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254; Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Das Gutachten des PD Dr. med. W._ vom 25. September 2011 wurde erst letztinstanzlich und ohne, dass erst der angefochtene kantonale Entscheid dazu Anlass gegeben hätte, eingereicht. Es handelt sich daher um ein unzulässiges neues Beweismittel, welches bei der Beurteilung nicht berücksichtigt werden kann (Art. 99 Abs. 1 BGG). Damit entfällt auch von vornherein die beantragte Überbindung der Gutachterkosten an die Beschwerdegegnerin.
3. Streitig und zu prüfen ist, ob die Versicherte aus dem Unfall vom 28. April 2000 über den 3. September 2009 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Im Einsprache- und im vorinstanzlichen Entscheid sind die nachfolgend hauptsächlich interessierenden Grundsätze zum für einen solchen Leistungsanspruch erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181) und bei HWS-Schleudertraumen ohne organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge im Besonderen (BGE 134 V 109 E. 6 ff. S. 116 ff.; 117 V 359), zur nur ausnahmsweise, unter bestimmten Voraussetzungen, gegebenen invalidisierenden Wirkung von anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen (BGE 130 V 352) und anderen pathogenetisch unklaren syndromalen Zuständen, wie etwa Beschwerden nach HWS-Schleudertraumen ohne organisch objektiv ausgewiesene Funktionsausfälle (BGE 136 V 279), zum Zeitpunkt des Fallabschlusses durch den Unfallversicherer (Art. 19 Abs. 1 UVG; BGE 137 V 199 E. 2 S. 201 ff.; 134 V 109 E. 4 S. 113 ff.) sowie zum Beweisrecht, namentlich mit Blick auf die Würdigung ärztlicher Berichte und Gutachten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232; 125 V 351 E. 3a S. 352), zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4. Umstritten ist zunächst, ob die noch bestehenden Beschwerden mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls vom 28. April 2000 im Bereich der HWS zu erklären sind.
4.1 Ob eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vorliegt, beurteilt sich nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181; Urteil 8C_310/2011 vom 5. September 2011 E. 4.1). Rechtsprechungsgemäss kann von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (Urteil 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 2 mit Hinweis, nicht publ. in: BGE 135 V 465, aber in: SVR 2010 UV Nr. 6 S. 25; SVR 2009 UV Nr. 18 S. 69, 8C_744/2007 E. 4.5 erwähntes Urteil 8C_310/2011 E. 4.1). Nicht als organisch hinreichend nachweisbare Unfallfolgen zu betrachten sind beispielsweise das Thoracic-outlet-Syndrom oder myofasziale und tendinotische bzw. myotendinotische Befunde für sich allein. Auch Verhärtungen und Verspannungen der Muskulatur, Druckdolenzen im Nacken sowie Einschränkungen der HWS-Beweglichkeit können für sich allein nicht als klar ausgewiesenes organisches Substrat der Beschwerden qualifiziert werden. Gleiches gilt für Nackenverspannungen bei Streckhaltung der HWS mit Retrohaltung (erwähntes Urteil SVR 2009 UV Nr. 18, E. 4.5; erwähntes Urteil 8C_310/2011 E. 4.1).
4.2 Das kantonale Gericht ist wie bereits der Unfallversicherer zum Ergebnis gelangt, hier liege keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge im dargelegten Sinne vor.
Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Soweit die Beschwerdeführerin unter Berufung auf das von ihr im kantonalen Verfahren aufgelegte Gutachten des Dr. med. M._ vom 22. Oktober 2010 Gegenteiliges postuliert, kann ihr nicht gefolgt werden. Namentlich geht aus dieser Expertise nicht überzeugend hervor, dass die bildgebenden Untersuchungen entgegen medizinischen Vorberichten (u.a. Gutachten des Zentrums Y._ vom 3. September 2009; Bericht Institut J._ vom 20. Juli 2000 über die MRI-Untersuchung der HWS vom 4. Juli 2000) verlässliche Hinweise für eine unfallbedingte organische Schädigung ergeben haben.
5. Ausgehend vom Fehlen einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge hat der Unfallversicherer einen weiteren Leistungsanspruch mit der Begründung verneint, es fehle am natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 28. April 2000 und den noch geklagten Beschwerden.
Das kantonale Gericht ist mit anderer Begründung (Überwindbarkeitspraxis im Sinne von BGE 136 V 279 und 130 V 352) ebenfalls zum Ergebnis gelangt, es bestehe kein Leistungsanspruch mehr.
Es rechtfertigt sich, zunächst den Gesichtspunkt der Unfalladäquanz zu betrachten. Ist diese zu verneinen, erübrigen sich Weiterungen zur natürlichen Unfallkausalität (vgl. BGE 135 V 465 E. 5.1 S. 472) und zur Überwindbarkeit der Beschwerden (vgl. BGE 136 V 279 E. 3.2.3 S. 283). Auch braucht diesfalls nicht auf die - mindestens sinngemäss vorgebrachten - Einwände der Versicherten zum Zeitpunkt des Fallabschlusses eingegangen zu werden. Denn liegen keine unfallkausalen Beschwerden mehr vor, ergibt sich ohne Weiteres, und namentlich ohne dass auch noch auf die Grundsätze zum Fallabschluss (im Sinne des Übergangs von den vorübergehenden Leistungen Heilbehandlung und Taggeld zu den - allfälligen - Ansprüchen auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung; vgl. dazu Art. 19 Abs. 1 UVG und BGE 134 V 109 E. 4 S. 113 ff.) einzugehen wäre, dass kein Leistungsanspruch aus dem Unfall mehr besteht.
6. Der Unfallversicherer hat den adäquaten Kausalzusammenhang nach der sog. Schleudertrauma-Praxis (BGE 134 V 109; 117 V 359) geprüft. Von deren Anwendbarkeit geht offensichtlich auch die Beschwerdeführerin aus.
6.1 Für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Zu prüfen ist im Rahmen einer objektivierten Betrachtungsweise, ob der Unfall eher als leicht, als mittelschwer oder als schwer erscheint, wobei im mittleren Bereich gegebenenfalls eine weitere Differenzierung nach der Nähe zu den leichten oder schweren Unfällen erfolgt. Massgebend ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften, nicht jedoch Folgen des Unfalles oder Begleitumstände, die nicht direkt dem Unfallgeschehen zugeordnet werden können (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 12 f.; SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1; Urteil 8C_100/2011 vom 1. Juni 2011 E. 3.4 Ingress, nicht publ. in: BGE 137 V 199).
Der Unfallversicherer hat erwogen, der Unfall vom 28. April 2000 sei (maximal) bei den mittelschweren Unfällen im Grenzbereich zu den leichten Unfällen einzuordnen. Das ist nicht zu beanstanden. Mit Blick darauf, dass die unfallbedingte Geschwindigkeitsänderung (Delta-v) lediglich im Bereich von 11 - 17 km/h lag (Polizeiprotokolle; verkehrstechnisches Gutachten vom 2. April 2002), mithin unter den 20 - 30 km/h, welche bei Frontalkollisionen als sog. Harmlosigkeitsgrenze für HWS-Beschwerden gelten (Urteil 8C_327/2010 vom 22. Juli 2010 E. 5.2.1 mit Hinweisen), wäre allenfalls auch eine Einstufung bei den leichten Unfallereignissen zu prüfen. Davon kann hier abgesehen werden, da der adäquate Kausalzusammenhang auch bei der von der Basler angenommenen Unfallschwere zu verneinen ist. Das zeigen die folgenden Erwägungen.
6.2 Bei dieser Unfallschwere sind weitere Kriterien (gemäss BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen) in die Beurteilung einzubeziehen. Von diesen Kriterien müsste für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere - mindestens vier (vgl. SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100, 8C_897/2009 E. 4.5) - in gehäufter Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. mit Hinweis).
6.2.1 Der Unfallversicherer ist zum Ergebnis gelangt, es sei einzig, und auch nur knapp, das Kriterium der belastenden ärztlichen Behandlung erfüllt. Die Versicherte macht letztinstanzlich geltend, es seien mindestens drei Kriterien erfüllt, zwei davon (erhebliche Beschwerden und Arbeitsunfähigkeit) in besonders ausgeprägter Weise. Mit dem dritten, in der Beschwerde nicht ausdrücklich genannten Kriterium ist offenbar das vom Unfallversicherer bejahte (belastende ärztliche Behandlung) gemeint. Inwiefern auch die restlichen vier Kriterien (vgl. E. 6.2 Ingress hievor) erfüllt sein sollen, wird nicht dargetan, ist aus den Akten nicht ersichtlich und bedarf keiner Weiterungen.
Von den drei postulierten Kriterien müsste mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein, um den adäquaten Kausalzusammenhang bejahen zu können (E. 6.2 hievor). Die Versicherte macht dies - nach Lage der Akten zu Recht - nicht bezüglich des Kriteriums der belastenden ärztlichen Behandlung geltend, wohl aber hinsichtlich der Kriterien der erheblichen Beschwerden und der Arbeitsunfähigkeit. Dazu ergibt sich im Einzelnen Folgendes:
6.2.2 Das Kriterium der erheblichen Beschwerden beurteilt sich nach den glaubhaften Schmerzen und nach der Beeinträchtigung, welche die verunfallte Person durch die Beschwerden im Lebensalltag erfährt (BGE 134 V 109 E. 10.2.4 S. 128). Die üblicherweise mit Schleudertraumen verbundenen Beschwerden können nicht genügen, ansonsten das Kriterium bei jeder solchen Verletzung bejaht werden müsste und damit keine Bedeutung als Differenzierungsmerkmal mehr hätte (Urteil 8C_46/2011 vom 18. April 2011 E. 5.2.2). Im vorliegenden Fall übersteigen nach Lage der Akten die unfallbedingt aufgetretenen Schmerzen und die Beeinträchtigung, welche die Versicherte dadurch im Lebensalltag erfahren hat, das bei derartigen Verletzungen Übliche sicher nicht in einem Masse, dass das Kriterium der erheblichen Beschwerden als in besonders ausgeprägter Weise erfüllt erscheint. Das gilt erst recht, wenn berücksichtigt wird, dass auch unfallfremden Beschwerden eine erhebliche Bedeutung zukam. Darauf wird in den folgenden Erwägungen näher eingegangen.
6.2.3 Nach Lage der Akten konnte die Arbeitsfähigkeit schon bald nach dem Unfall wieder auf 25 %, dann auf 40 %, auf 60 % und ab September 2001 auf 70 % gesteigert werden. Überdies war die Versicherte in der Lage, ab Mai 2002 berufsbegleitend eine Zusatzausbildung zu besuchen. Ab Juni 2002 wurde zwar erneut eine volle Arbeitsunfähigkeit bescheinigt, und im Juni 2003 folgte gemäss dem behandelnden Arzt eine akute Dekompensation. Für diese erst über zwei Jahre nach dem Ereignis vom 28. April 2000 eingetretene Entwicklung waren aber nach Lage der medizinischen Akten massgeblich unfallfremde Faktoren verantwortlich. Auslöser der Verschlimmerung im Juni 2000 war offensichtlich, dass die Arbeitgeberin der Versicherten ihre - später auch umgesetzte - Absicht eröffnete, das Anstellungsverhältnis zu kündigen. Sodann wäre gemäss Gutachten des Zentrums Y._ vom 3. September 2009 rein von den Unfallfolgen her eine weitere Steigerung der bereits 70 %igen Arbeitsfähigkeit zu erwarten gewesen und standen einer solchen Verbesserung insbesondere gesundheitliche Probleme entgegen, welche nicht mehr auf den Unfall zurückzuführen waren. Diese interdisziplinäre fachärztliche Einschätzung überzeugt, zumal die Versicherte bereits vor dem Unfall seit Jahren wegen chronisch rezidivierender Migräne und Nackenproblemen in ärztlicher Behandlung gestanden hatte (u.a. Röntgenbericht Spital A._ vom 30. November 1999; Berichte Dr. med. W._, FMH für Innere Medizin, vom 8. und 22. Juni 2000), mithin wegen Beschwerden, welchen auch im längerfristigen Verlauf nach dem Unfall eine erhebliche Bedeutung zukam. Für die vorliegende Beurteilung ergibt sich, dass die Arbeitsunfähigkeit ab Juni 2002 höchstens teilweise mit dem Unfall vom 28. April 2000 zu erklären war. Bei der gebotenen gesamthaften Betrachtung folgt, dass das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise bejaht werden kann. Das gilt auch unter Berücksichtigung der anerkennenswerten Bemühungen der Versicherten, sich wieder im Erwerbsprozess einzugliedern.
6.2.4 Sind die besagten Kriterien demnach nicht in besonders ausgeprägter Weise erfüllt, kann offen bleiben, ob sie überhaupt in der einfachen Form vorliegen. Denn auch bejahendenfalls bliebe es dabei, dass dem Unfall vom 28. April 2000 keine rechtserhebliche Bedeutung für die noch bestehenden Beschwerden zukommt. Der Unfallversicherer hat den Anspruch auf weitere Leistungen demnach zu Recht verneint. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde, ohne dass noch geprüft werden müsste, ob auch die Begründung der Vorinstanz hiezu führen würde und wie es sich bezüglich natürlicher Unfallkausalität sowie den Grundsätzen zum Fallabschluss verhält (vgl. E. 5 hievor).
7. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Dezember 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz