Sachverhalt:
A. Der 1959 geborene S._ war im Polizeidienst tätig und dadurch bei der Helvetia Unfall Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Helvetia) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 22. April 1986 einen Unfall erlitt. Er sass auf dem Beifahrersitz und seine Verlobte auf dem Rücksitz eines Personenwagens. Aufgrund eines Bedienungsfehlers der Lernfahrerin, welche den Wagen lenkte, geriet dieser über den Strassenrand und fiel in einen Fluss. Die Lernfahrerin blieb unverletzt. Die Verlobte ertrank. S._ konnte sich aus dem Fahrzeug befreien, wobei er schwere Verletzungen am linken Unterschenkel erlitt. Die Helvetia gewährte ihm Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 12. Oktober 1988 sprach sie S._ für die verbleibende Schädigung am Bein eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 13.3 % zu. Mit Verfügung vom 11. September 1990 schloss die Elvia Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia) als Rechtsnachfolgerin der Helvetia den Fall ab, wobei sie dem Versicherten für die Zeit vom 1. Oktober 1989 bis 30. September 1994 eine befristete Invalidenrente auf der Grundlage eines Invaliditätsgrades von anfänglich 30 %, ab 1. Oktober 1992 von 15 %, zusprach. S._ war in der Folge für verschiedene Arbeitgeber tätig. Im März 2002 meldete er Schmerzen im linken Unterschenkel als Rückfall zum Unfall vom 22. April 1986. Die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) als Rechtsnachfolgerin der Elvia erbrachte zunächst erneut die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld) und traf medizinische Abklärungen (u.a. Einholung des Gutachtens des PD Dr. med. A._, Spezialarzt für Chirurgie FMH, vom 18. Dezember 2003 mit mehreren Ergänzungen). Mit Verfügung vom 22. März 2004 stellte sie die Leistungen (bis auf die Zusicherung der Übernahme von Stützstrümpfen) auf den 1. März 2004 ein und lehnte es ab, eine Invalidenrente auszurichten und die Integritätsentschädigung zu erhöhen. Daran hielt die Allianz auf die vom Versicherten erhobene Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2004).
B. Beschwerdeweise beantragte S._, der Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2004 sei aufzuheben, soweit nur Stützstrümpfe übernommen würden. Es sei, nötigenfalls nach ergänzenden medizinischen Abklärungen, eine (Rest-)Erwerbsfähigkeit von 50 % anzuerkennen und festzustellen, dass der Integritätsschaden, welcher der Integritätsentschädigung zugrunde zu legen sei, gesamthaft 40 % betrage. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn sistierte das Verfahren mehrfach, zuletzt bis zum Vorliegen eines am 13. Juni 2008 gefällten Entscheides des Kantonsgerichtes Basel-Landschaft. Darin wurde festgestellt, dass S._ Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung (bei noch zu bestimmendem und in der Folge auf den 1. Februar 2003 festgelegtem Zeitpunkt des Rentenbeginns) habe. Das Versicherungsgericht zog sodann die IV-Akten (worunter das polydisziplinäre medizinische Gutachten des Instituts X._ vom 3. November 2006 und die psychiatrische Expertise des Dr. med. B._ vom 3. April 2005) bei. Mit Entscheid vom 3. Juni 2009 hob es die Verfügung vom 22. März 2004 und den Einspracheentscheid der Allianz vom 6. Dezember 2004 auf. Es wies die Sache mit verschiedenen Vorgaben zur neuen Verfügung über den Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Erhöhung der Integritätsentschädigung an den Unfallversicherer zurück.
C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2004 zu bestätigen.
S._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Für den Fall, dass anders entschieden werde, beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, um einen selbstständig eröffneten Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG. Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Im Umstand, dass der vorinstanzliche Entscheid materiell verbindliche Anordnungen an den Unfallversicherer für die erneute Prüfung des Rentenanspruchs enthält, und der darauf beruhende Endentscheid praktisch nicht angefochten und das Ergebnis nicht mehr korrigiert werden könnte, ist ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne des Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zu erblicken (zum Ganzen: Urteil 8C_531/2008 vom 8. April 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 279, aber in: SVR 2009 UV Nr. 40 S. 137). Auf die Beschwerde ist daher im Rentenpunkt einzutreten. Das rechtfertigt sich unter den gegebenen Umständen auch in Bezug auf die Integritätsentschädigung.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Bestimmungen und Grundsätze über den Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung der obligatorischen Unfallversicherung, über den für einen solchen Leistungsanspruch erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Allgemeinen sowie bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall im Besonderen und über die besonderen Revisionstatbestände des Rückfalls und der Spätfolge zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für den Untersuchungsgrundsatz und die zu beachtenden beweisrechtlichen Regeln. Richtig ist auch, dass das Sozialversicherungsgericht bei der Beurteilung in der Regel auf den Sachverhalt abstellt, der sich bis zum Erlass des streitigen Einspracheentscheids (hier: 6. Dezember 2004) verwirklicht hat.
4. Zu prüfen ist vorab die Rentenfrage. Massgeblich ist, ob seit der rechtskräftigen Verfügung vom 11. September 1990, mit welcher eine Rentenberechtigung über den 30. September 1994 hinaus verneint worden war, eine anspruchsrelevante Veränderung eingetreten ist.
4.1 Das kantonale Gericht hat dies mit der Begründung bejaht, es liege nunmehr ein die Arbeitsfähigkeit beeinträchtigender psychischer Gesundheitsschaden vor, für welchen der Unfall vom 22. April 1986 natürlich und adäquat kausal sei.
4.1.1 Die Beschwerde führende Allianz verneint sowohl die natürliche als auch die adäquate Unfallkausalität des diagnostizierten psychischen Gesundheitsschadens. Das gilt es zu prüfen. Dabei ist mit der diesbezüglich nicht umstrittenen, auf den fachärztlichen Aussagen der Dr. med. B._ (in der psychiatrischen Expertise vom 3. April 2005) und C._ (im Gutachten des Instituts X._vom 3. November 2006) beruhenden Beurteilung des kantonalen Gerichts davon auszugehen, dass es sich bei diesem Gesundheitsschaden um eine zeitweise Anpassungsstörung (ICD-10 Nr. F43.2) handelt.
4.1.2 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die Anpassungsstörung sei gemäss Definition dieses Gesundheitsschadens und aufgrund der konkret gegebenen Umstände zumindest teilursächlich auf den Unfall vom 22. April 1986 zurückzuführen, womit die natürliche Unfallkausalität gegeben sei.
Diese Beurteilung überzeugt nicht. Zwar trifft zu, dass eine Teilursächlichkeit des Unfalls zur Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs genügen würde (BGE 134 V 109 E. 9.5 S. 125 f. mit Hinweisen). Zu beachten ist aber, dass an den - mit dem Grad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu erbringenden (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) - Nachweis dieses Zusammenhangs umso strengere Anforderungen zu stellen sind, je grösser der zeitliche Abstand zwischen dem Unfall und dem Rückfall resp. der Spätfolge ist (SVR 2005 MV Nr. 1 S. 1, M 1/02 E. 1.2; Urteil 8C_179/2009 vom 3. August 2009 E. 2.1 mit Hinweisen). Das gilt insbesondere auch bei psychischen Störungen. Bei diesen nimmt die Wahrscheinlichkeit eines ursächlichen Zusammenhangs mit einem Unfall entsprechend dem zeitlichen Abstand zwischen diesem und dem Auftreten von psychischen Symptomen ab, weil das Unfallerlebnis in der Regel mit der Zeit verarbeitet und verkraftet wird (SVR 2003 UV Nr. 12 S. 35 S. 4.3.1 mit Hinweisen; Urteil 8C_148/2009 vom 20. April 2009 E. 3.1 mit weiterem Hinweis).
Im vorliegenden Fall war zwar nach dem Unfall vom 22. April 1986 anfänglich und vorübergehend von einer posttraumatischen Belastungsstörung ausgegangen worden. In der Folge bestanden aber über viele Jahre hinweg keine verlässlichen Anzeichen mehr für eine - gegebenenfalls unfallkausale - psychisch bedingte Einschränkung. Vielmehr war der Versicherte in der Lage, bei verschiedenen Arbeitgebern u.a. als Monteur, Lehrlingsbetreuer und im Bereich Qualitätssicherung voll erwerbstätig zu sein. Zudem konnte er in dieser Zeit auch mehrere mehrmonatige Auslandaufenthalte absolvieren und erfolgreich die Handelsschule besuchen. Die Anpassungsstörung trat nach diesem langen, psychisch unauffälligen Intervall auf. Eine Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit wird ihr erst ab April 2004 zugeschrieben. Das spricht gegen ihre natürliche Unfallkausalität. Verlässliche Anhaltspunkte für eine ursächliche Bedeutung des Unfalls vom 22. April 1986 lassen sich auch den begründenden Ausführungen in den besagten Arztberichten oder den übrigen medizinischen Akten nicht entnehmen. Dass die psychiatrischen Experten, auf deren Aussagen das kantonale Gericht abstellt, die Diagnose einer Anpassungsstörung gewählt haben, spricht vielmehr gegen einen kausalen Zusammenhang zum besagten Unfall, treten doch solche Störungen gemäss medizinischer Definition im Allgemeinen innerhalb eines Monats nach dem belastenden Ereignis oder der Lebensveränderung auf (DILLING/MOMBOUR/SCHMIDT [Hrsg.], Internationale Klassifikation psychischer Störungen, ICD-10 Kapitel V [F], Klinisch-diagnostische Leitlinien, 6. Aufl. 2008, S. 185). Bei fehlender Nachweisbarkeit einer zeitlichen Abhängigkeit (weniger als drei Monate) ist die Störung an anderer Stelle zu qualifizieren (DILLING/MOMBOUR/SCHMIDT, a.a.O., S. 186).
Die Vorinstanz hat die natürliche Unfallkausalität der Anpassungsstörung somit zu Unrecht bejaht. Es fragt sich, ob der erforderliche Wahrscheinlichkeitsbeweis mittels ergänzender psychiatrischer Abklärungen zu erbringen wäre. Das ist in antizipierter Beweiswürdigung unter den hier gegebenen Verhältnissen zu verneinen, zumal medizinische Aussagen über den Kausalverlauf bei psychischen Beschwerden, welche - bei beschwerdefreiem Intervall - erst mehrere Jahre nach einem Unfall auftreten, mit zunehmender zeitlicher Distanz zum Unfall immer schwieriger und hypothetischer werden (Urteil 8C_148/2009 vom 20. April 2009 E. 3.1 mit Hinweisen; vgl. auch Urteile U 17/04 vom 5. Mai 2004 E. 3.2 und U 180/02 vom 8. Mai 2003 E. 3.3.2).
4.2 Das kantonale Gericht ist sodann zum Ergebnis gelangt, aus rein somatischer Sicht bestehe in angepassten körperlich leichten Tätigkeiten keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit.
Damit wäre keine Veränderung gegenüber dem Zustand dargetan, welcher der am 11. September 1990 rechtskräftig verfügten Verneinung eines Rentenanspruchs über den 30. September 1994 hinaus zugrunde lag.
Diese Folgerung trifft nach Lage der Akten zu. Besonderer Betrachtung bedarf einzig die Frage einer neurologischen Schädigung. Denn im Gutachten des Instituts X._ vom 3. November 2006 wird ausgeführt, es bestehe aus neurologischen Gründen in angepassten Tätigkeiten eine Arbeitsunfähigkeit von 20 %. Diese Beeinträchtigung sei zu verstehen als eine Leistungsreduktion in diesem Umfang wegen erhöhten Pausenbedarfs bei ganztägiger Präsenz. Die neurologisch bedingte Einschränkung gehe allerdings in der aufgrund der psychischen Gesundheitsstörung attestierten, ebenfalls mit einem erhöhten Pausenbedarf erklärten Arbeitsunfähigkeit von 30 % auf. Das kantonale Gericht hat sich, offensichtlich gestützt auf die letztgenannte Expertenaussage und in der Annahme, das psychische Leiden sei unfallkausal, nicht weiter mit der neurologischen Komponente befasst. In der Beschwerde wird eine rentenrelevante Verschlimmerung in neurologischer Hinsicht verneint. Dies erfolgt, jedenfalls für den hier zu betrachtenden Zeitraum bis zum Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2004, zu Recht, zumal im Bericht des Spitals Y._ vom 26. März 2004 bestätigt wurde, es bestehe wieder Beschwerdefreiheit. Die Begutachtung des Instituts X._ erfolgte erst deutlich nach dem Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2004 und gestattet keine verlässlichen Schlüsse auf den Zeitraum bis dahin. In der Beschwerde wird weiter vorgebracht, die neurologische Einschätzung in der Expertise des Instituts X._ vom 3. November 2006 stelle ohnehin lediglich eine - gegenüber den ärztlichen Aussagen, welche der Verfügung vom 11. September 1990 zugrunde lagen - andere Beurteilung der Arbeitsfähigkeit bei gleich gebliebenem medizinischem Befund dar. Ob dies zutrifft, kann offen bleiben, da eine rentenrelevante Veränderung in neurologischer Hinsicht für den hier interessierenden Zeitraum schon nach dem zuvor Gesagten zu verneinen ist.
4.3 Zusammenfassend ist für den zu beurteilenden Zeitraum keine natürlich unfallkausale psychische oder somatische Veränderung des Gesundheitszustandes ausgewiesen, welche gegebenenfalls einen erneuten Rentenanspruch zu begründen vermöchte. Der vorinstanzliche Entscheid ist somit im Rentenpunkt aufzuheben, ohne dass die Frage des - für einen Leistungsanspruch kumulativ zum natürlichen erforderlichen - adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall vom 22. April 1986 und einem allfälligen Gesundheitsschaden zu prüfen wäre. Weiterungen zu den vorinstanzlichen Erwägungen über die erwerblichen Auswirkungen des diagnostizierten psychischen Gesundheitsschadens erübrigen sich. Gleiches gilt bezüglich der übrigen Einwände der Allianz, welche u.a. die Unüberwindbarkeit der psychischen Störung in Frage stellt und geltend macht, das kantonale Gericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
5. Zu prüfen bleibt die Frage der Integritätsentschädigung. Dabei steht einzig ein Integritätsschaden aus dem unfallbedingten Beinleiden zur Diskussion.
5.1 Mit unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 12. Oktober 1988 wurde dem Beschwerdegegner für die verbleibende Schädigung am Bein eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage eines Integritätsschadens von 13.3 %, entsprechend einem Drittel der bei Verlust eines Beines im Kniegelenk angenommenen Integritätseinbusse von 40 %, zugesprochen. Der Unfallversicherer stützte sich dabei auf das Gutachten des Dr. med. D._, Spezialarzt FMH für Orthopädische Chirurgie, vom 19. September 1988.
Mit Verfügung vom 22. März 2004 und Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2004 verneinte die Allianz die Voraussetzungen für eine Erhöhung der Integritätsentschädigung. Sie begründete dies mit den Aussagen im Gutachten des PD Dr. med. A._ vom 18. Dezember 2003. Darin wird die damalige Einschätzung des Dr. med. D._ bestätigt und eine seither eingetretene Zunahme des Netto-Integritätsschaden verneint.
5.2 Das kantonale Gericht hat erwogen, PD Dr. med. A._ bestätige lediglich die Einschätzung des Dr. med. D._. Diese vermöge aber ihrerseits nicht zu überzeugen. Es bedürfe daher ergänzender medizinischer Abklärungen, damit der Integritätsschaden masslich festgesetzt werden könne.
5.3 Die Revision einer Integritätsentschädigung - im Sinne der nachträglichen Anpassung an geänderte Verhältnisse - ist nur im Ausnahmefall möglich, wenn die Verschlimmerung von grosser Tragweite ist und nicht voraussehbar war (Art. 36 Abs. 4 UVV; vgl. auch FRÉSARD/MOSER-SZELESS, L'assurance-accidents obligatoire, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2007, S. 919 Rz. 244). Anhaltspunkte für eine solche Verschlimmerung liegen im hier zu beurteilenden Fall nicht vor und wären auch von ergänzenden medizinischen Abklärungen nicht zu erwarten.
5.4 Bei genauer Betrachtung besteht die vorinstanzliche Beurteilung denn auch darin, dass bereits die mit Verfügung vom 12. Oktober 1988 zugesprochene Integritätsentschädigung in Frage gestellt wird. Ein Rückkommen auf die besagte, formell rechtskräftige Verfügung wäre indessen nur auf dem Wege der prozessualen Revision (Art. 53 Abs. 1 ATSG) oder der Wiedererwägung (Art. 53 Abs. 2 ATSG) zulässig.
Zu einer Wiedererwägung kann der Versicherer vom Gericht nicht verhalten werden (BGE 133 V 50). Dieser Rückkommenstitel fällt daher ausser Betracht, bietet die Beschwerdeführerin doch dazu offensichtlich nicht Hand. Abgesehen davon setzte eine Wiedererwägung der Verfügung vom 12. Oktober 1988 deren offensichtliche Unrichtigkeit voraus. Davon kann hier keine Rede sein.
Es fehlt sodann auch an erheblichen neuen Tatsachen oder Beweismitteln, welche im Sinne von Art. 53 Abs. 1 ATSG eine prozessuale Revision der Verfügung vom 12. Oktober 1988 rechtfertigen könnten.
5.5 Der angefochtene Entscheid ist somit auch bezüglich Integritätsentschädigung, und demnach vollumfänglich, aufzuheben. Die Einwände des Versicherten vermögen weder bezüglich dieses Leistungsanspruchs noch im Rentenpunkt ein anderes Ergebnis zu rechtfertigen.
6. 6.1 Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdegegner auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden. Es fehlt mit Blick auf die Einkünfte aus einem hälftigen Erwerbspensum und der halben IV-Rente sowie auf den Umstand, dass der Versicherte nach eigenen Angaben keine Schulden mehr hat, schon an der hiefür nebst anderem vorausgesetzten Bedürftigkeit (Art. 64 BGG). Das gilt auch ohne Berücksichtigung einer allfälligen BVG-Invalidenrente.
6.2 Die Beschwerdeführerin beantragt eine Parteientschädigung. Darauf hat sie als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation ungeachtet ihres Obsiegens keinen Anspruch (Art. 68 Abs. 3 BGG; SVR 2009 UV Nr. 11 S. 45, 8C_606/2007 E. 11 mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 3. Juni 2009 aufgehoben.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
4. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Februar 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz