Sachverhalt:
A.
A.X._ erstattete am 17. Februar 2012 zusammen mit weiteren Personen Strafanzeige gegen mehrere Personen wegen verschiedener Delikte. Unter anderem sollen sich die Mitarbeiter der ehemaligen Abteilung Kindes- und Jugendschutz (AKJS; seit 1. Januar 2013 Kinder- und Jugenddienst, KJD) des Kantons Basel-Stadt der Kindsentführung und der Entziehung von Unmündigen schuldig gemacht haben, da sie sich den zehnjährigen Sohn B.X._ von A.X._ durch dessen Schwester (C.X._) und ihre Mitbewohnerin (G._) nach der Schule zuführen liessen, ihn in der Folge für mehrere Tage in die Obhut der Jugendlichen übergaben und sich weigerten, A.X._ den Aufenthaltsort des Kindes bekanntzugeben.
B.
Die Jugendanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt verfügte am 27. Februar 2013 die Nichtanhandnahme der Strafuntersuchung gegen C.X._, G._ und H._. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 5. August 2013 ab. Das Bundesgericht trat auf die Beschwerde von A.X._ gegen diesen Entscheid am 16. Juni 2014 nicht ein (Urteil 6B_1116/2013).
C.
Am 19. September 2013 erliess die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt bezüglich dreier Mitarbeiter der AKJS, welche mit der strittigen Angelegenheit betraut waren (Beschwerdegegner 2-4), eine Nichtanhandnahmeverfügung. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies die von A.X._ dagegen gerichtete Beschwerde am 23. April 2015 ab.
D.
A.X._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der Entscheid vom 23. April 2015 sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, eine Strafuntersuchung zu eröffnen. Zudem sei festzustellen, dass die Vorinstanz mit einer ungerechtfertigten Verfahrensdauer von 20 Monaten gegen das Beschleunigungsgebot verstossen hat. Eventualiter sei die Sache zwecks Neubegründung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde gegen eine Nichtanhandnahmeverfügung legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Als Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus Staatshaftung, können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (BGE 131 I 455 E. 1.2.4 S. 461; 128 IV 188 E. 2.2 f. S. 191 f.; Urteil 6B_990/2015 vom 29. Oktober 2015 E. 3 mit Hinweis).
1.2. Bei der ehemaligen AKJS handelte es sich um eine Dienststelle des Erziehungsdepartements des Kantons Basel-Stadt. Gemäss § 3 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 17. November 1999 über die Haftung des Staates und seines Personals (Haftungsgesetz, SG 161.100) haftet der Staat für den Schaden, den sein Personal in Ausübung seiner amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich zufügt (Abs. 1). Gegenüber dem fehlbaren Personal steht der geschädigten Person kein Anspruch zu (Abs. 2). Wo der Staat gemäss § 3 für Schaden haftet, hat die geschädigte Person Anspruch auf Genugtuung, wenn sie in ihren Persönlichkeitsrechten schwer verletzt worden ist (§ 5).
1.3. Allfällige Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche der Beschwerdeführerin, welche aus dem behaupteten strafrechtlich relevanten Verhalten der Beschwerdegegner 2-4 resultieren könnten, beurteilen sich daher ausschliesslich nach dem kantonalen Haftungsgesetz und sind öffentlich-rechtlicher Natur. Da der Beschwerdeführerin keine zivilrechtlichen Ansprüche gegen die Beschwerdegegner 2-4 zustehen, ist sie in der Sache nicht zur Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung legitimiert.
2.
2.1. Ungeachtet der Legitimation in der Sache im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG kann die Privatklägerschaft mit Beschwerde in Strafsachen eine Verletzung ihrer Parteirechte rügen, die ihr nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Das nach Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen (BGE 141 IV 1 E. 1.1 S. 5; 138 IV 78 E. 1.3 S. 79 f.; 136 IV 29 E. 1.9 S. 40). Auf die formellen Rügen der Beschwerdeführerin, die sich ausdrücklich als Privatklägerin konstituierte, ist daher grundsätzlich einzutreten.
2.2. Zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt ist zudem die Person, die einen Strafantrag stellt, soweit es um das Strafantragsrecht als solches geht (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 6 BGG).
2.3. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 139 I 229 E. 2.2 S. 232 mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt in formeller Hinsicht, der angefochtene Entscheid sei ungenügend begründet, da darin weitgehend auf ein anderes Verfahren verwiesen werde. Die Verfahren seien untereinander nicht vergleichbar, weshalb nebst Art. 29 Abs. 2 BV auch Art. 8 BV verletzt sei. Die Vorinstanz argumentiere widersprüchlich und damit willkürlich (Art. 9 BV). Sie mache einerseits geltend, die Verfahrenstrennung sei unproblematisch, andererseits mache sie die Trennung der Verfahren durch die Querverweise wieder hinfällig. Damit erweise sich die Vorinstanz als befangen, da sie den Sachverhalt nicht mehr unabhängig und unvoreingenommen geprüft habe.
3.2. Die Vorinstanz verweist in verschiedener Hinsicht auf ihren Beschwerdeentscheid vom 5. August 2013 betreffend die Nichtanhandnahmeverfügung der Jugendstaatsanwaltschaft. Aus der einlässlichen Begründung dieses Entscheids ergibt sich gemäss der Vorinstanz namentlich, dass es am objektiven Tatbestand von Art. 183 Ziff. 2 oder Art. 220 StGB fehle; die Beschwerdeführerin sei ausdrücklich damit einverstanden gewesen, dass B.X._ eine Nacht bei seiner Schwester verbringe. Ergänzend nimmt die Vorinstanz auf die Pflichten der Mitarbeiter der damaligen AKJS Bezug und begründet, weshalb von Kindsentführung oder Entziehung von Unmündigen keine Rede sein kann (vgl. angefochtener Entscheid S. 4 f.). Art. 82 Abs. 4 StPO sieht zwar lediglich vor, dass die Rechtsmittelinstanz auf die Begründung der Vorinstanz verweisen kann. Dennoch erscheinen auch Verweise auf frühere Entscheide der Rechtsmittelinstanz betreffend die gleiche Sache und die gleichen Verfahrensbeteiligten mit der Pflicht zur gehörigen Begründung des Beschwerdeentscheids, wie sie sich u.a. aus Art. 29 Abs. 2 BV ergibt, nicht von vornherein als unvereinbar. Entscheidend ist, dass die Begründung des Gerichts sowohl in tatsächlicher als auch in rechtlicher Hinsicht nachvollziehbar ist (vgl. BGE 141 IV 244 E. 1.3.1) und dass die Rechtsmittelinstanz auf neue tatsächliche oder rechtliche Vorbringen dennoch eingeht (BGE 141 IV 244 E. 1.2.3 mit Hinweis). Beides war vorliegend der Fall.
3.3. Inwiefern die Vorinstanz mit dem Verweis auf den Entscheid vom 5. August 2013 den Anspruch auf einen unabhängigen und unvoreingenommenen Richter (Art. 6 Ziff. 1 EMRK; Art. 30 Abs. 1 BV) oder die in Art. 8 BV verankerte Rechtsgleichheit verletzt haben könnte, ist nicht ersichtlich und zeigt die Beschwerdeführerin auch nicht substanziiert auf (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG).
3.4. Soweit die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang auch geltend macht, die Vorinstanz habe das Fehlverhalten der Behördenmitglieder nicht genau analysiert (vgl. Beschwerde Ziff. 1.1 S. 7), zielt ihre Kritik auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids ab. Darauf ist nicht einzutreten, da die Beschwerdeführerin in der Sache nicht beschwerdelegitimiert ist.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin moniert, die Vorinstanz habe ihre Kognition in Verletzung von Art. 393 Abs. 2 StPO eingeschränkt. Sie habe erst am 30. Dezember 2011 wieder gewusst, wo sich ihr Sohn befinde. Die Vorinstanz habe wie die Staatsanwaltschaft nur die Zeit vom 19. Dezember 2011 bis am 22. Dezember 2011 auf ein strafbares Verhalten untersucht.
4.2. Die Staatsanwaltschaft und die Vorinstanz prüften den Vorwurf der Kindsentführung und der Entziehung von Unmündigen gegenüber den Mitarbeitern der AKJS in der Nichtanhandnahmeverfügung vom 19. September 2013 bzw. im angefochtenen Entscheid abschliessend. Daran ändert nichts, dass sie den diesbezüglich von der Beschwerdeführerin zur Anzeige gebrachten Sachverhalt in ihren Entscheiden nur rudimentär wiedergaben. Anders als die Beschwerdeführerin ging die Staatsanwaltschaft allerdings davon aus, dass sich B.X._ ab dem 21. Dezember 2011 bei seinem Vater befand, der nebst der Beschwerdeführerin sorgeberechtigt war, und die Beschwerdeführerin am 22. Dezember 2011 Kenntnis vom Aufenthaltsort ihres Sohnes hatte (vgl. Nichtanhandnahmeverfügung vom 19. September 2013 S. 2 f.). Soweit die Beschwerdeführerin vorbringt, der Aufenthaltsort ihres Sohnes sei ihr auch nach dem 22. Dezember 2011 verheimlicht worden, verlangt sie eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids, auf welche sie keinen Anspruch hat.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin kritisiert weiter, der Strafantrag sei unteilbar und gelte für den ganzen Sachverhalt. Indem die Vorinstanz ihr die Beweislast für den beanzeigten Personenkreis auferlege, verletze sie ihr Recht, wirksam Strafantrag zu stellen.
5.2. Der Einwand ist unbegründet. Die Vorinstanz erwägt, die Strafuntersuchung könne sich nicht gegen die ehemalige AKJS richten, sondern nur gegen die dort tätigen natürlichen Personen. Die Staatsanwaltschaft habe die Nichtanhandnahmeverfügung mit Bezug auf die Mitarbeiter erlassen, welche mit der Angelegenheit betraut gewesen seien. Der so festgelegte Personenkreis werde von der Beschwerdeführerin nicht beanstandet (angefochtener Entscheid E. 1.2 S. 3). Inwiefern die Vorinstanz damit das Strafantragsrecht der Beschwerdeführerin missachtet haben könnte, ist nicht ersichtlich.
6.
6.1. Die Beschwerdeführerin macht schliesslich eine unzulässige Rechtsverzögerung geltend. Die Staatsanwaltschaft habe sich zwar an die vom Appellationsgericht im Entscheid vom 12. August 2013 festgesetzte Frist gehalten, nicht jedoch an die bereits zuvor vom Bundesgericht im Urteil 1B_549/2012 vom 12. November 2012 angeordnete Frist. Indem sich die Vorinstanz für das Beschwerdeverfahren 20 Monate Zeit gelassen habe, obwohl zuvor eine Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde gutgeheissen worden sei, habe sie selber das Beschleunigungsgebot verletzt.
6.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung wird der Anspruch gemäss Art. 29 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf Beurteilung innert angemessener Frist missachtet, wenn eine Sache über Gebühr verschleppt wird. Die Beurteilung der angemessenen Verfahrensdauer entzieht sich starren Regeln. Es ist vielmehr in jedem Einzelfall zu prüfen, ob sich die Dauer unter den konkreten Umständen als angemessen erweist (BGE 130 I 312 E. 5.2 S. 332, 269 E. 3.1 S. 273; Urteil 1B_549/2012 vom 12. November 2012 E. 2.3). Anspruch auf Verfahrensbeschleunigung haben primär beschuldigte Personen, in etwas geringerem Mass jedoch auch die übrigen Verfahrensbeteiligten wie die Privatklägerschaft (Urteil 1B_549/2012 vom 12. November 2012 E. 2.3 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin hat trotz des zwischenzeitlich ergangenen Beschwerdeentscheids ein schutzwürdiges Interesse an der Behandlung der Beschwerde betreffend die geltend gemachte Rechtsverzögerung (Urteile 6B_411/2015 vom 9. September 2015 E. 3.2; 1C_439/2011 vom 25. Mai 2012 E. 2.1, nicht publ. in: BGE 138 I 256; je mit Hinweisen).
6.3. Die Beschwerdeführerin beanstandet, das Verfahren vor der Staatsanwaltschaft habe zu lange gedauert. Diesbezüglich geht aus der Beschwerde und dem angefochtenen Entscheid hervor, dass eine entsprechende Rüge mit dem Beschwerdeentscheid BES.2013.54 vom 12. August 2013 bereits beurteilt wurde. Der Staatsanwaltschaft wurde in Gutheissung der Beschwerde eine Frist bis zum 20. September 2013 angesetzt, um einen Entscheid über den Abschluss bzw. Fortgang des Strafverfahrens betreffend die leitenden oder angestellten Personen der AKJS zu treffen oder eine Nichtanhandnahmeverfügung mit einer Rechtsmittelbelehrung zu erlassen (vgl. angefochtener Entscheid E. 1.3 S. 3; Beschwerde Ziff. 1.1 S. 9). Dieser Aufforderung ist die Staatsanwaltschaft mit dem Entscheid vom 19. September 2013 nachgekommen. Für eine erneute Feststellung, dass das Beschleunigungsgebot im Verfahren vor der Staatsanwaltschaft verletzt wurde, besteht kein Anlass.
6.4. Die Verfahrensdauer von rund 19 Monaten für die Beurteilung der Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung vom 19. September 2013 erscheint isoliert betrachtet zwar lange. Allerdings erliess das Appellationsgericht bezüglich der Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung wegen Kindsentführung und Entziehung von Unmündigen betreffend C.X._, G._ und H._ in der gleichen Sache bereits am 5. August 2013 einen Entscheid. In der Folge war dieses parallele Verfahren aufgrund der Beschwerde in Strafsachen von A.X._ bis im Juni 2014 vor Bundesgericht hängig (vgl. Urteil 6B_1116/2013 vom 16. Juni 2014), was zu einer gewissen Verfahrensverzögerung beigetragen haben könnte. Die Vorinstanz blieb zudem auch in der Zeit nach Juni 2014 nicht gänzlich untätig, da sie am 28. und 30. Januar 2015 über sieben Beschwerden betreffend Einstellungs- bzw. Nichtanhandnahmeverfügungen befand, die ebenfalls die Strafanzeige vom 17. Februar 2012 betrafen (vgl. Urteil 6B_411/2015 vom 9. September 2015). Die Beschwerdeführerin setzt sich damit nicht auseinander. Sie legt nicht dar, dem Anspruch auf Beurteilung ihrer Beschwerde innert angemessener Frist sei auch in Berücksichtigung der konkreten Umstände ungenügend Rechnung getragen worden. Ihre Rüge vermag den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht zu genügen (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG).
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Den Beschwerdegegnern 2-4 ist keine Entschädigung zuzusprechen, da sie im bundesgerichtlichen Verfahren keine Auslagen hatten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld