Erwägungen:
1. X._ (geb. 1966) stammt aus dem Iran. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 30. Januar 2008 in Durchsetzungshaft, welche das Haftgericht III Bern-Mittelland am 1. Februar 2008 genehmigte und am 27. Februar, 25. April sowie 25. Juni 2008 jeweils um zwei Monate verlängerte. Am 4. Juli 2008 gelangte X._ mit dem singemässen Antrag an das Bundesgericht, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden, soweit darauf überhaupt einzutreten ist (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG): Das Bundesgericht hat die gegen den Beschwerdeführer angeordnete Durchsetzungshaft am 12. Februar (Urteil 2C_139/2008) und am 7. März 2008 (Urteil 2C_202/2008) geprüft und für bundesrechtskonform befunden. Der Beschwerdeführer weigert sich nach wie vor, zur Papierbeschaffung freiwillig auf der iranischen Botschaft vorzusprechen und sich mit einer Rückkehr in seine Heimat einverstanden zu erklären. Die Durchsetzungshaft, die ihn hierzu bewegen soll, kann insgesamt bis zu achtzehn Monaten dauern (Art. 78 Abs. 2 AuG). Die angefochtene Verlängerung erweist sich nach wie vor als verhältnismässig (BGE 134 I 92 E. 2.3.2). Der Beschwerdeführer hat es jederzeit in der Hand, seine Festhaltung zu beenden, indem er mit den Behörden kooperiert. Soweit er beanstandet, dass seine Haft ohne mündliche Verhandlung verlängert worden sei, verkennt er, dass eine solche nur erforderlich ist, wenn der Betroffene rechtzeitig hierum ersucht (vgl. Art. 78 Abs. 4 AuG; BGE 134 I 92 E. 4.1 S. 101), was er nicht getan hat. Sollte eine weitere Haftverlängerung nötig sein, werden die kantonalen Behörden seinem Wunsch Rechnung zu tragen haben, dass er das nächste Mal durch die richterliche Behörde mündlich angehört werden möchte. Für alles Weitere wird auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid und in den bundesgerichtlichen Urteilen vom 12. Februar und 7. März 2008 verwiesen.
3. Es kann aufgrund der besonderen Umstände davon abgesehen werden, Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichterin 2, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar