Erwägungen:
1. Die X._ SA ist im Besitz einer Bewilligung der Oberzolldirektion als "Ermächtigte Ausführerin"; sie ist daher befugt, selbständig den Nachweis der Ursprungseigenschaft in Form eines Ursprungszeugnisses auszustellen, um in den Genuss der zollmässigen Präferenzbehandlung zu gelangen. Im Rahmen der Ausfuhr von Goldbarren in die Republik Korea (Südkorea) im Umfang von ca. 23.85 Tonnen bestätigte sie, dass es sich um Ursprungswaren im Sinne des Anhangs I zum Freihandelsabkommen zwischen den EFTA-Staaten und der Republik Korea vom 15. Dezember 2005 (Freihandelsabkommen EFTA-Korea [SR 0.632.312.811]) handle. Die Eidgenössische Zollverwaltung kam nach Durchführung einer Untersuchung zur Auffassung, die Beschwerdeführerin sei nicht in der Lage nachzuweisen, dass es sich bei den fraglichen exportierten Goldbarren um solche schweizerischen Ursprungs handle, weshalb die betreffenden Ursprungsnachweise ungültig und die Voraussetzungen für die zollmässige Präferenzbehandlung nicht erfüllt seien (Verfügung der Zollkreisdirektion Lugano vom 25. März 2008). Die Oberzolldirektion wies am 23. Oktober 2008 die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde der X._ SA ab. Ebenso wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 8. September 2009 die gegen den Entscheid der Oberzolldirektion erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Die X._ SA gelangte am 14. Oktober 2009 mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht; sie beantragte die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts.
Nachdem die Eidgenössische Zollverwaltung am 4. Dezember 2009 mitgeteilt hatte, dass derzeit ein Nachprüfungsverfahren im Ursprungsbereich bei einem weiteren Schweizer Edelmetallverarbeitungsunternehmen durchgeführt werde, wurde das bundesgerichtliche Verfahren wegen der möglichen Auswirkungen dieser Nachprüfung mit Verfügung vom 11. Dezember 2009 bis zum 1. Juni 2010 sistiert. Mit Eingabe vom 31. Mai 2010 legte die Oberzolldirektion dem Bundesgericht einen vom gleichen Tag datierenden Widerrufsentscheid vor, womit sie die ursprüngliche, Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bildende Verfügung der Zollkreisdirektion Lugano vom 25. März 2008 aufhob und entschied, dass die in Frage stehenden Goldbarren als schweizerische Ursprungswaren im Sinne des Anhangs I zum Freihandelsabkommen EFTA-Korea angesehen würden.
Mit Verfügung vom 4. Juni 2010 wurden die Verfahrensbeteiligten eingeladen, sich zur Verfahrenserledigung bzw. zur entsprechenden Kostenregelung zu äussern. Die Eidgenössische Zollverwaltung beantragt Abschreibung des Verfahrens wegen Gegenstandslosigkeit und stellt die Kostenregelung ins Ermessen des Bundesgerichts. Die Beschwerdeführerin vertritt ebenfalls die Ansicht, dass das Verfahren vor Bundesgericht in der Hauptsache abzuschreiben wäre, was aber eine Neuverteilung der vorinstanzlichen Prozesskosten verunmögliche oder erschwere. Sie stellt daher den Antrag, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sei gutzuheissen und das Urteil der Vorinstanz sei in Bezug auf die Kostenfolgen aufzuheben, wobei ihr die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens zu erlassen seien; eventualiter sei die Sache zur Neufestsetzung der Kostenfolgen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Auf eine Parteientschädigung verzichtet die Beschwerdeführerin. Das Bundesverwaltungsgericht hat sich zur Verfahrenserledigung nicht geäussert.
2. 2.1 Zu Recht ist unter den Verfahrensbeteiligten unbestritten, dass der materielle Rechtsstreit durch die neue Verfügung der Zollverwaltung gegenstandslos geworden ist. Es kann insofern durch Verfügung des Abteilungspräsidenten (Art. 32 Abs. 1 und 2 BGG) abgeschrieben werden, wobei er mit summarischer Begründung über die Gerichtskosten und die Höhe einer allfälligen Parteientschädigung entscheidet (vgl. Art. 72 BZP in Verbindung mit Art. 71 BGG).
2.2 Für die Kostenregelung ist die Beschwerdeführerin als obsiegende Partei zu betrachten. Die Zollverwaltung hat in ihrer neuen Verfügung im Sinne der von der Beschwerdeführerin vor Bundesgericht gestellten Begehren entschieden. Unter den gegebenen Umständen ist auf die Erhebung von Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu verzichten (vgl. Art. 66 Abs. 2 BGG); eine Parteientschädigung wird von der Beschwerdeführerin nicht beansprucht.
2.3 Die Kosten des vorangegangenen Verfahrens kann das Bundesgericht nur anders verteilen, wenn es den angefochtenen Entscheid ändert (Art. 67 BGG). Das ist hier, wo die Sache gegenstandslos geworden ist, gerade nicht der Fall. Da allerdings durch die neue Verfügung der Zollverwaltung auch das Urteil der Vorinstanz letztlich "gegenstandslos" geworden ist, ist ihr die Sache zur allfälligen Neuregelung der Kostenfolgen des vor ihr durchgeführten Verfahrens zu unterbreiten (s. Beschlüsse 1A.164/2005 vom 15. November 2005 E. 5; 2A.135/1996 vom 24. Oktober 1996 E. 4; 1A.192/1994 E. 3; je zum mit Art. 67 BGG übereinstimmenden Art. 157 des per Ende 2006 ausser Kraft gesetzten Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 [OG]).
Demnach verfügt der Präsident:
1. Das Verfahren wird abgeschrieben.
2. Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3. Die Sache wird zur Überprüfung der Kostenregelung des vorinstanzlichen Verfahrens dem Bundesverwaltungsgericht übermittelt.
4. Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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