Faits:
A. Par décision du 25 mars 2009, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Valais (ci-après: l'office AI) a nié le droit de P._ à une mesure de reclassement professionnel. Le 13 mai 2009, l'office AI a rendu une seconde décision par laquelle il a mis le prénommé au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité du 1er septembre au 31 décembre 2007 et d'une rente entière du 1er janvier au 30 avril 2008.
B. L'assuré a déféré ces deux décisions au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales. Dans le cadre de l'échange d'écritures ordonné par le Tribunal cantonal, l'office AI a répondu au recours formé contre sa première décision par détermination du 28 mai 2009, puis à la réplique de l'assuré dans une prise de position datée du 25 juin 2009. Dans la seconde procédure, le 16 juillet 2009, le Tribunal cantonal a transmis à P._ la réponse de l'office AI (datée du même jour) et clôt l'échange d'écritures, en l'informant que "sous réserve d'éventuels moyens de preuve encore administrés d'office, la cause [était] en état d'être jugée selon les disponibilités du rang des causes". Après avoir joint les procédures, le Tribunal cantonal a rejeté les deux recours de l'assuré et confirmé les décisions administratives par jugement du 1er septembre 2009.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, P._ conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal valaisan pour qu'elle ordonne une expertise pluridisciplinaire, puis statue à nouveau.
L'office AI conclut au rejet du recours. La Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal valaisan et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recourant voit une violation de son droit d'être entendu garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., dans le fait que la juridiction cantonale a clôturé l'instruction de la procédure portant sur le droit à la rente d'invalidité sans lui donner préalablement l'occasion de s'exprimer sur la réponse de l'intimé du 16 juillet 2009. Dans ce courrier, celui-ci se référait par ailleurs à sa duplique du 25 juin précédent produite dans l'autre affaire, sur laquelle le recourant n'avait pas non plus été prié de se déterminer. P._ se plaint également de n'avoir pas été invité à consulter les pièces du dossier produit par l'intimé et de n'avoir ainsi pas eu accès à une note d'entretien téléphonique datée du 23 juin 2009.
2. 2.1 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu, garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., celui pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision soit prise à son détriment, celui de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision, celui d'avoir accès au dossier et celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (ATF 132 V 368 consid. 3.1 p. 370 et les références). Une partie à un procès doit pouvoir prendre connaissance de toute observation ou pièce soumise au tribunal et se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement de nature à influer sur le jugement à rendre. Il appartient en effet d'abord aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Elles doivent à cette fin pouvoir s'exprimer dans le cadre de la procédure, ce qui suppose que la possibilité leur soit concrètement offerte de faire entendre leur point de vue. En ce sens, il existe un véritable droit à la réplique qui vaut pour toutes les procédures judiciaires (ATF 133 I 98 consid. 2.1 p. 99, 100 consid. 4.3 - 4.6 p. 102 ss).
Les exigences liées au droit à la réplique ne sont pas respectées lorsque le tribunal communique une prise de position (ou une pièce nouvelle) à une partie, mais lui signifie dans le même temps que l'échange d'écritures est terminé, privant ainsi la partie de toute possibilité de présenter ses observations (cf. ATF 132 I 42 consid. 3.3.2 p. 46 et les références citées). Que le tribunal, tout en annonçant la clôture de l'échange d'écritures, réserve néanmoins la possibilité d'actes d'instruction supplémentaires, n'a pas pour effet de sauvegarder le droit de réplique de la partie, quand bien même celle-ci serait assistée d'un avocat (cf. les arrêts de la Cour européenne des droits de l'homme dans les causes Contardi c./Suisse, du 12 juillet 2005, requête no 7020/02, par. 16, 23, 35 et 45 et Spang c./Suisse, du 11 octobre 2005, requête no 45228/99, par. 24 et 33, partiellement reproduits respectivement in: VPB 2005 no 131 p. 1582 et Plädoyer 2005/6 p. 82). Lorsque le droit de procédure applicable prévoit qu'il n'y a en principe qu'un seul échange d'écritures - comme c'est le cas devant le Tribunal fédéral (cf. art. 102 LTF) -, l'autorité peut se limiter, dans un premier temps, à communiquer la prise de position à titre d'information, sans avis formel de la possibilité de répliquer; pour autant que le juge n'ait pas clôturé l'échange d'écritures, la partie est ainsi mise en situation de faire ou non usage de son droit de réplique; si elle s'en abstient, elle est censée y avoir renoncé après l'écoulement d'un délai raisonnable (cf. ATF 133 I 98 consid. 2.2 p. 99 s., 132 I 42 consid. 3.3.3 - 3.3.4 p. 46 sv. et les références citées; voir également les arrêts 2C_688/2007 du 11 février 2008 consid. 2.2 et 8C_408/2008 du 4 août 2008 consid. 4.1).
2.2 En l'espèce, dans la procédure portant sur le droit de l'assuré à une rente d'invalidité, la juridiction cantonale a formellement clôturé l'instruction en même temps qu'elle communiquait au recourant la réponse de l'intimé du 16 juillet 2009. La procédure cantonale valaisanne prévoit notamment que "les réponses au recours sont portées à la connaissance du recourant" et que "l'autorité de recours invite les parties à un nouvel échange d'écritures, si elle le juge utile" (cf. art. 54 al. 2 et 55 première phrase de la loi cantonale du 6 octobre 1976 sur la procédure et la juridiction administratives [LPJA; RS-VS 172.6], en relation avec les art. 3 al. 1 du Règlement cantonal du 2 octobre 2001 régissant la procédure devant le Tribunal cantonal des assurances [RS-VS 173.400] et 61 LPGA). Le Tribunal cantonal n'était donc, dans le cas présent, pas tenu d'organiser un deuxième échange d'écritures, mais pouvait se contenter, conformément à la pratique du Tribunal fédéral (cf. ATF 133 I 98, consid. 2.2 p. 100, 132 I 42 consid. 3.3.2 p. 47), de communiquer au recourant "pour information" la réponse de l'office AI; de même n'avait-il pas l'obligation d'informer expressément l'assuré de la possibilité de se déterminer sur cette réponse. Dès l'instant, cependant, où la juridiction cantonale déclarait simultanément à sa communication qu'elle mettait fin à l'instruction, elle privait le recourant de toute possibilité de présenter des observations. A cet égard, il importe peu, comme on l'a vu, que l'avis de clôture réservât en l'espèce "d'éventuels moyens de preuve encore administrés d'office".
En ce qui concerne la procédure qui avait pour objet les mesures de reclassement professionnel, il ressort des pièces du dossier cantonal que l'autorité de recours de première instance n'a apparemment pas transmis au recourant la duplique de l'office AI du 25 juin 2006, au terme du second échange d'écritures. Par cette omission, elle empêchait là encore le recourant de s'exprimer, au besoin, sur la seconde détermination de l'intimé, puisqu'il n'en a pas eu connaissance, ne serait-ce que "pour information".
2.3 Dans ces conditions, il s'impose de constater que la juridiction cantonale a violé le droit d'être entendu du recourant. Cette violation ne peut être réparée en instance fédérale compte tenu du pouvoir d'examen restreint du Tribunal fédéral dans un litige qui a trait au droit du recourant à des prestations de l'assurance-invalidité (cf. art. 95 à 97 et 105 LTF). Elle entraîne l'annulation du jugement entrepris, sans qu'il y ait lieu d'examiner les griefs du recourant sur le fond (cf. ATF 132 V 387 consid. 5.1 p. 390), et le renvoi de l'affaire au Tribunal cantonal pour nouvelle décision prise à l'issue d'une procédure respectant les garanties de l'art. 29 al. 2 Cst.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et la décision rendue le 1er septembre 2009 par le Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, est annulée. La cause est renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera au recourant la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless