Faits:
A. X._ est inscrit au registre des avocates et des avocats du canton de Neuchâtel.
L'Association de surveillance des avocates et des avocats du canton de Neuchâtel (ci-après l'ASA) a été saisie des plaintes et dénonciations suivantes concernant X._ :
le 24 octobre 2008, la présidente du Tribunal civil de district de Neuchâtel a dénoncé l'avocat en raison d'un conflit entre les intérêts privés de X._ et son client A._;
le 12 octobre 2009, F._ et B._ se sont plaints de la façon dont X._ avait assuré un mandat;
le 6 janvier 2010, C._ a indiqué qu'il n'était pas satisfait des services de l'avocat;
le 20 avril 2010, un avocat valaisan a demandé à l'ASA d'examiner la question des honoraires et du respect des devoirs professionnels de X._ envers D._ en relation avec la succession de l'époux de cette dernière;
le 12 mai 2010, E._ s'est plainte de la manière dont elle avait été défendue par X._ dans une affaire d'escroquerie à l'aide sociale et d'un litige avec un propriétaire de chiens.
B. Par décision du 9 novembre 2010, l'ASA a statué sur les dénonciations précitées. Elle a estimé que les dénonciations de B._ et de C._ devaient être classées. En revanche, s'agissant des trois autres dénonciations, elle a retenu des manquements graves à la charge de l'avocat et lui a retiré l'autorisation de plaider pour une durée de quinze mois.
Par arrêt du 23 septembre 2011, la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois a partiellement admis le recours interjeté par X._ à l'encontre de la décision du 9 novembre 2010, en réduisant l'interdiction de pratiquer de quinze à six mois. Les juges ont admis en substance que les manquements de l'avocat à ses devoirs professionnels devaient être qualifiés de graves et justifiaient sans conteste une mesure d'interdiction temporaire de pratiquer. Toutefois, les quinze mois prononcés étaient excessifs à l'endroit d'un avocat qui faisait l'objet pour la première fois d'une sanction disciplinaire.
C. X._ forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 23 septembre 2011. Il conclut à la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens qu'un blâme, éventuellement cumulé avec une amende soi(en)t prononcé(s) en lieu et place d'une interdiction temporaire de pratiquer. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité intimée pour nouveau jugement dans le sens des considérants. Plus subsidiairement encore, à supposer qu'une interdiction temporaire de pratiquer soit prononcée, il requiert qu'un délai raisonnable lui soit imparti pour prendre toutes les mesures utiles.
Le Tribunal cantonal n'a pas formulé d'observations; il s'est référé au motifs de l'arrêt attaqué et a conclu au rejet du recours. L'ASA n'a pas pris position sur le fond.
Par ordonnance présidentielle du 1er décembre 2011, le Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif formée par X._.
Considérant en droit:
1. Le présent litige concerne une sanction disciplinaire infligée à un avocat sur la base de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (LLCA; RS 935.61). Il relève donc du droit public au sens de l'art. 82 let. a LTF (cf. arrêt 2C_247/2010 du 16 février 2011 consid. 1). Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par l'avocat destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Aucune des exceptions mentionnées à l'art. 83 LTF n'étant en outre applicable, il convient d'entrer en matière.
2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire de l'art. 9 Cst. (ATF 136 II 304 consid. 2.4 p. 313 s.) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF), ce qu'il appartient au recourant de démontrer de manière claire et circonstanciée. La correction du vice soulevé doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104 s.; 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322).
Sous réserve d'un reproche lié à la rédaction d'une convention incompréhensible à propos duquel il se plaint d'arbitraire et qui sera examiné ci-après (cf. infra consid. 4), le recourant méconnaît à l'évidence ces principes. Il présente sa propre version des faits en rapport avec les trois dénonciations à propos desquelles les autorités cantonales ont retenu qu'il avait manqué à ses devoirs d'avocat. Une telle argumentation, essentiellement appellatoire, dans laquelle le recourant décrit un comportement qui lui est favorable sans expliquer en quoi l'appréciation des faits des juges cantonaux qui s'en écarte serait manifestement inexacte, n'est pas admissible et il n'en sera pas tenu compte dans l'examen au fond.
3. Le recourant invoque l'existence d'un déni de justice, reprochant aux juges cantonaux de ne pas être entrés en matière sur son grief selon lequel un retard de l'avocat serait dépourvu de conséquences disciplinaires.
L'arrêt attaqué indique que l'ASA avait reproché au recourant d'avoir transmis tardivement une décision judiciaire à une cliente, mais ce retard n'a pas été pris en compte lors de l'examen des violations mises à la charge de l'avocat. Cet élément n'ayant pas joué de rôle dans la sanction disciplinaire prononcée par le Tribunal cantonal, l'argumentation du recourant sur ce point avait perdu toute pertinence. On ne voit donc manifestement pas que les juges cantonaux aient commis un déni de justice en n'examinant pas une critique devenue sans fondement (cf. arrêt 9C_528/2010 du 11 juillet 2011 consid. 4.1).
4. Le recourant considère que le Tribunal cantonal a arbitrairement constaté qu'il avait rédigé "des actes et des conventions pratiquement incompréhensibles".
Il appartient à celui qui invoque l'arbitraire dans l'appréciation des preuves de démonter, par une argumentation précise, en quoi consiste l'arbitraire (cf. art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 II 244 consid. 2.2 p. 246). A l'appui de son grief, le recourant se focalise sur une convention qu'il a rédigée et passée avec D._ le 28 octobre 2006. Ce faisant, il perd de vue que l'arrêt attaqué ne retient pas le caractère incompréhensible de ce seul acte; il renvoie à trois passages de la décision de l'ASA, qui se réfèrent non seulement à la convention précitée, mais aussi à l'activité de l'avocat en relation avec A._. S'agissant de ce client, il a été retenu que le recourant avait donné des instructions à un notaire qui avait refusé d'instrumenter l'acte, car il n'avait rien compris. Toujours à propos de ce client, les juges ont en outre retenu que l'avocat avait effectué des démarches qui se signalaient par leur manque de pertinence, par leur prolixité et par une absence de structure (...), de sorte que le lecteur en vient régulièrement à douter du fait que leur auteur maîtrise véritablement les concepts juridiques de base et qu'il soit en mesure d'exprimer en termes juridiquement appropriés un état de fait au fond pas si compliqué qu'il n'y paraît. (cf. consid. 10 de la décision de l'ASA à laquelle l'arrêt attaqué renvoie). Ces éléments, dont le recourant ne démontre pas qu'ils auraient été arbitrairement retenus, suffisent à faire apparaître comme soutenable le reproche lié à la formulation d'actes et de conventions pratiquement incompréhensibles. Partant, le grief d'arbitraire doit être rejeté, sans qu'il y ait lieu au surplus de revoir l'appréciation de la convention du 28 octobre 2006.
5. Le recourant admet avoir contrevenu à certaines règles professionnelles prévues à l'art. 12 LLCA. Il reconnaît ainsi avoir violé son devoir d'indépendance (disposition précitée let. b), l'interdiction de conflits d'intérêts (let. c) et l'obligation d'informer son client des modalités de facturation et de le renseigner périodiquement ou à sa demande sur le montant des honoraires dus (let. d). En revanche, il conteste les violations de l'art. 12 let. a LLCA qui lui sont reprochées.
5.1 Selon l'art. 12 let. a LLCA, l'avocat exerce sa profession avec soin et diligence. Cette disposition constitue une clause générale (cf. MICHEL VALTICOS, in Commentaire romand de la loi sur les avocats, 2010, n° 6 ad art. 12 LLCA). L'obligation de diligence imposée à l'art. 12 let. a LLCA est directement déduite de l'art. 398 al. 2 CO (cf. VALTICOS, op. cit., n° 8 ad art. 12 LLCA); elle interdit à l'avocat d'entreprendre des actes qui pourraient nuire aux intérêts de son client (cf. WALTER FELLMANN, in Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2e éd. 2011, n° 25 ad art. 12 LLCA). Pour qu'un comportement tombe sous le coup de l'art. 12 let. a LLCA, il suppose toutefois l'existence d'un manquement significatif aux devoirs de la profession (cf. arrêts 2C_452/2011 du 25 août 2011 consid. 5.1; 2C_379/2009 du 7 décembre 2009 consid. 3.2).
5.2 En l'espèce, l'arrêt attaqué fait tout d'abord grief au recourant d'avoir, par son intervention, entraîné l'ouverture d'une procédure pénale contre un client. Selon l'arrêt attaqué, qui renvoie à la décision de l'ASA pour la description des faits, le recourant a suggéré à son client de rénover les studios situés dans un immeuble dont il était copropriétaire pour les louer à titre d'équipements hôteliers, sans demander l'accord écrit de l'autre copropriétaire ni exiger la tenue d'une comptabilité stricte de la gestion hôtelière des studios. En outre, il n'a pas fait cesser cette activité au moment de la saisie de la part de copropriété de son client par l'office des poursuites. Contrairement à ce que soutient le recourant, l'avocat qui assiste et conseille son client dans de telles démarches, qui ont abouti à l'ouverture d'une procédure pénale à l'encontre de ce dernier, viole de manière significative son obligation de diligence. Le recourant ne soutient pas que ces faits seraient arbitraires ou manifestement inexacts, mais il tente de les minimiser dans une argumentation appellatoire qui n'est pas admissible (cf. supra consid. 2). Le recourant expose que la procédure pénale n'a finalement pas abouti. Outre qu'il s'agit d'un fait nouveau irrecevable (art. 99 al. 1 LTF), elle ne change rien au fait qu'un avocat qui provoque l'ouverture d'une procédure pénale contre l'un de ses clients en raison de conseils particulièrement inadéquats viole l'art. 12 let. a LLCA.
Il est également reproché au recourant d'avoir rédigé des actes et des conventions pratiquement incompréhensibles. Comme on l'a vu, c'est à tort que le recourant invoque l'arbitraire de cette constatation (cf. supra consid. 4), de sorte que l'existence de tels actes doit être tenue pour acquise. Or, un avocat qui fournit à plusieurs reprises des actes et des conventions incompréhensibles, dépourvus de structure et qui font douter de la maîtrise des concepts juridiques de base par leur auteur n'apporte à l'évidence pas le soin et la diligence que l'on peut attendre de lui.
Quant au fait que le recourant ait tardé dans la remise d'un jugement à une ancienne cliente, celui-ci perd de vue que le Tribunal cantonal n'a pas retenu de violation de l'art. 12 let. a LLCA sur ce point (cf. supra consid. 3).
5.3 En conclusion, l'arrêt attaqué, qui retient à la charge du recourant des manquements significatifs aux devoirs de la profession pour avoir donné des conseils inadéquats ayant abouti au dépôt d'une plainte pénale à l'encontre d'un client et avoir formulé des actes et des mémoires incompréhensibles, ne viole pas l'art. 12 LLCA.
6. Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir retenu à sa charge une violation du secret professionnel au sens de l'art. 13 LLCA, dans le cadre d'une procédure menée par une cliente qui contestait le montant de ses honoraires.
6.1 Selon l'art. 13 LLCA, l'avocat est soumis au secret professionnel pour toutes les affaires qui lui sont confiées par ses clients dans l'exercice de sa profession; cette obligation n'est pas limitée dans le temps et est applicable à l'égard des tiers. La procédure permettant à l'avocat d'être délié du secret professionnel n'est pas réglée par le droit fédéral; elle est du ressort des autorités cantonales de surveillance (art. 14 LLCA; arrêt 2C_157/2008 du 28 avril 2008 consid. 2.3.3). Il existe des pratiques cantonales différentes s'agissant de la levée du secret professionnel en cas de litiges entre l'avocat et son client en matière d'honoraires (cf. FRANÇOIS BOHNET/VINCENT MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, n° 1933 ss; PASCAL MAURER/JEAN-PIERRE GROSS, in Commentaire romand de la loi sur les avocats, 2010, n° 300 ss ad art. 13 LLCA; HANS NATER/GAUDENZ G. ZINDEL, in Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2e éd. 2011, n° 145 ad art. 13 LLCA). La doctrine tend à considérer que, s'agissant des honoraires, l'avocat peut utiliser certaines informations couvertes par le secret professionnel sans devoir demander à en être délié, mais exclusivement dans la mesure nécessaire à faire valoir ses propres droits (cf. MAURER/GROSS, op. cit., n° 299 ad art. 13 LLCA; BOHNET/MARTENET, op. cit., n° 1939 et les références; pour une position nuancée selon les procédures, NATER/ZINDEL, op. cit., n° 146 ss ad art. 13 LLCA). Le Tribunal fédéral ne s'est pas directement prononcé sur l'admissibilité d'une levée implicite du secret professionnel en relation avec un litige concernant les honoraires de l'avocat. La question n'a toutefois pas à être examinée plus avant, car, que l'on admette ou non le principe d'une libération implicite du secret professionnel de l'avocat dans un litige concernant ses honoraires, celui-ci ne saurait être autorisé à révéler dans ce cadre des faits couverts par le secret qui ne sont pas indispensables à la défense de sa cause.
Tel est bien ce qui est reproché au recourant. En effet, selon les constatations cantonales, celui-ci a émis des considérations sur la personne de sa cliente sans aucune pertinence avec le montant contesté de ses honoraires. Il ressort de la décision de l'ASA à laquelle l'arrêt attaqué se réfère une nouvelle fois, que l'avocat, à la place de justifier sa note d'honoraires en expliquant le caractère technique des problèmes posés et éventuellement quelques difficultés inhérentes à la personnalité de ses clientes, a révélé toute une série de faits dénués d'intérêt: il a expliqué les circonstances dans lesquelles le mandat confié à un précédent avocat avait été résilié, les liens entre sa cliente et le président du conseil d'administration d'une banque, les réflexions de la fille de sa cliente à propos de la justice neuchâteloise, ainsi que celles de sa cliente à l'égard de sa fille, le besoin en argent de sa cliente etc. Comme l'a retenu le Tribunal cantonal, on ne voit pas que ces éléments, qui sont couverts par le secret professionnel (ATF 97 I 831 consid. 4 p. 838), soient propres à établir le bien-fondé des honoraires facturés en fonction du travail fourni par l'avocat. En retenant une violation du secret professionnel, l'arrêt attaqué ne viole donc pas l'art. 13 LLCA.
7. En dernier lieu, le recourant conteste le choix de la mesure disciplinaire et la quotité de la sanction prononcée. Il reproche au Tribunal cantonal d'avoir méconnu l'art. 17 LLCA, le principe de la proportionnalité, l'égalité de traitement et l'interdiction de l'arbitraire.
7.1 L'art. 17 al. 1 LLCA prévoit qu'en cas de violation d'une règle professionnelle, l'autorité de surveillance (cantonale) peut prononcer à l'encontre d'un avocat plusieurs mesures disciplinaires qui vont de l'avertissement (let. a) à l'interdiction définitive de pratiquer (let. e). L'interdiction de pratiquer (définitive ou temporaire) constitue la mesure la plus sévère et ne peut en principe être prononcée qu'en cas de récidive, lorsqu'il apparaît que des sanctions plus légères n'ont pas permis à l'avocat de se conformer aux règles professionnelles (cf. arrêts 2C_889/2008 du 21 juillet 2009 consid. 7.2; 2A.499/2006 du 11 juin 2007 consid. 5.1). Si le Tribunal fédéral revoit librement l'application des règles professionnelles, il s'impose en revanche une certaine retenue lors de l'examen de la sanction disciplinaire prononcée. Il n'intervient que lorsque l'autorité compétente a excédé les limites de son pouvoir d'appréciation, au point que la sanction apparaît clairement disproportionnée et confine à l'arbitraire (cf. arrêts 2C_257/2010 du 23 août 2010 consid. 6 et les arrêts cités).
7.2 En l'occurrence, le recourant a été sanctionné d'une interdiction temporaire de pratiquer, alors qu'il ne s'était encore jamais vu infliger une sanction disciplinaire plus légère. Si, sur le principe, l'interdiction de pratiquer est réservée aux cas de récidive, ni la loi ni la jurisprudence n'excluent de prononcer une telle interdiction comme première sanction disciplinaire. Il faut toutefois être en présence de manquements particulièrement graves et répétés. Il se trouve que le recourant remplit ces conditions. Il ressort de l'arrêt attaqué que celui-ci ne s'est pas vu reprocher un manquement isolé, mais de nombreuses et graves violations aux règles professionnelles de nature à porter une atteinte sévère aux intérêts de ses clients, ainsi qu'à la réputation de la profession d'avocat et propres à faire douter de l'entière probité de leur auteur. Le prononcé d'une interdiction temporaire de pratiquer en pareilles circonstances n'apparaît ainsi pas, dans son principe, comme procédant d'un abus du pouvoir d'appréciation du Tribunal cantonal.
Quant à la durée de l'interdiction, la jurisprudence considère qu'une peine de quatre mois constitue la limite maximale admissible en présence d'une violation certes substantielle des devoirs professionnels, mais qui ne constitue toutefois pas un manquement particulièrement grave qui peut justifier une interdiction de plus longue durée (cf. arrêt 2A.499/2006 du 11 juin 2007 consid. 5.3; ALAIN BAUER/PHILIPPE BAUER, in Commentaire romand de la loi sur les avocats, 2010, n° 69 ad art. 17 LLCA).
En l'espèce, l'autorité de surveillance avait prononcé une interdiction de pratiquer de quinze mois. Le Tribunal cantonal, considérant, à juste titre, cette mesure comme disproportionnée, l'a ramenée à six mois. Compte tenu du nombre, de la diversité et de la gravité des manquements, qui se sont répétés avec plusieurs clients, la durée de l'interdiction finalement infligée est certes sévère, mais peut encore être confirmée, eu égard à la retenue dont le Tribunal fédéral fait preuve dans l'examen des sanctions disciplinaires prononcées (cf. supra consid. 7.1).
7.3 La motivation du recourant n'est au demeurant pas propre à établir l'arbitraire de cette appréciation ni l'existence d'une inégalité de traitement. Celui-ci se contente de citer des arrêts dans lesquels des peines disciplinaires inférieures ont été prononcées, mais sans expliquer précisément en quoi les violations aux règles professionnelles sanctionnées moins sévèrement seraient similaires, dans leur nature et leur intensité, aux manquements qui lui sont reprochés.
8. Dans une conclusion subsidiaire, le recourant demande, pour le cas où une interdiction de pratiquer serait prononcée, qu'un délai raisonnable lui soit imparti afin de lui permettre de prendre les mesures utiles. Devant le Tribunal cantonal, le recourant pouvait déjà demander un tel délai, puisqu'il contestait l'interdiction de pratiquer prononcée par l'autorité de surveillance, mais il n'a formulé aucune conclusion en ce sens. Il s'agit donc d'une conclusion nouvelle qui est irrecevable en vertu de l'art. 99 al. 2 LTF.
9. Dans ces circonstances, le recours ne peut qu'être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les frais seront mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, fixés à CHF 2'500.-, sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'autorité de surveillance des avocates et des avocats et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 28 février 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Beti