Sachverhalt:
A. A.a X._, aus Indien stammend, gelangte im Oktober 1997 in die Schweiz und ersuchte um Asyl. Das zuständige Bundesamt trat auf das Asylgesuch am 7. Januar 2000 nicht ein und forderte X._ auf, das Land sofort zu verlassen. Die Wegweisung konnte damals nicht durchgesetzt werden. Am 16. Juni 2000 heiratete X._ in Zürich die Schweizer Bürgerin Y._, welche er Ende 1999 in einer Diskothek kennengelernt hatte. Y._ stammt ursprünglich aus Italien und erwarb das Schweizer Bürgerrecht durch Heirat. Ihre zweite Ehe mit einem italienischen Staatsangehörigen war am 8. Februar 2000 geschieden worden.
In der Folge erhielt X._ von der kantonalen Migrationsbehörde eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib in der Schweiz.
A.b Am 25. Juni 2003 ersuchte X._ gestützt auf die Ehe mit Y._ um erleichterte Einbürgerung. Die Eheleute unterzeichneten am 16. Juli 2004 eine gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Die Ehegatten nahmen ferner unterschriftlich zur Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich ist, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt hat oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr besteht, und dass die Verheimlichung dieser Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen kann.
Am 27. Juli 2004 wurde X._ erleichtert eingebürgert. Nebst dem Schweizer Bürgerrecht erwarb er die Bürgerrechte des Kantons St. Gallen und der Gemeinde Grabs/SG.
A.c Nachdem die Ehefrau am 3. Januar 2005 aus der gemeinsamen Wohnung ausgezogen war, reichten die Eheleute am 16. Januar 2005 beim zuständigen Zivilgericht gemeinsam einen Scheidungsantrag ein. Seit dem 27. April 2005 ist die Ehe von X._ und Y._ rechtskräftig geschieden.
A.d Vom Amt für Bürgerrecht und Zivilstand des Kantons St. Gallen auf die erwähnten Sachumstände aufmerksam gemacht, teilte das Bundesamt für Migration (BFM) X._ am 25. September 2006 mit, dass gegen ihn ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung eröffnet worden sei. Am 5. März 2007 erteilte der Kanton St. Gallen als Heimatkanton von X._ seine Zustimmung zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung. Mit Verfügung vom 19. März 2007 erklärte das BFM die erleichterte Einbürgerung von X._ für nichtig.
X._ beschwerte sich am 2. Mai 2007 gegen die Verfügung des BFM beim Bundesverwaltungsgericht. Dieses wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 19. Mai 2009 ab. Es ging dabei von der tatsächlichen Vermutung aus, dass während des Einbürgerungsverfahrens keine stabile eheliche Gemeinschaft zwischen dem Beschwerdeführer und seiner schweizerischen Ehefrau mehr bestanden habe und die erleichterte Einbürgerung erschlichen worden sei, und hielt dafür, dass diese tatsächliche Vermutung nicht habe umgestossen werden können.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben, "und es sei auf die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung zu verzichten." Des Weitern sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
C. Das Bundesverwaltungsgericht und das BFM verzichten auf Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung vom 14. Juli 2009 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG), betrifft eine Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung gestützt auf Art. 27 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0), somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss Art. 83 lit. b BGG erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung. Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2. 2.1 Gemäss Art. 27 Abs. 1 BüG kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizer Bürgerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizer Bürgerin lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist (BGE 130 II 169 E. 2.3.1 S. 172). Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin oder eines Schweizer Bürgers die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (BGE 135 II 161 E. 2 S.165.; 130 II 482 E. 2 S. 484).
2.2 Nach Art. 41 Abs. 1 BüG kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt daher nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (BGE 132 II 113 E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (BGE 135 II 161 E. 2 S. 165; 132 II 113 E. 3.1 S. 115).
Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (BGE 130 II 482 E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (BGE 135 II 161 E. 2 S. 166; 130 II 482 E. 3.2 S. 486).
2.3 Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehr der Beweislast. Der Betroffene muss nicht den Beweis des Gegenteils erbringen (BGE 130 II 482 E. 3.2 S. 486). Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung. Dem Gesagten zufolge liegt die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr besteht, bei der Verwaltung. Es genügt deshalb, dass der Betroffene einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit der Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder der Betroffene kann darlegen, aus welchem Grund er die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als er die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit der Schweizer Ehepartnerin auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (vgl. zum Ganzen BGE 135 II 161 E. 2 S. 166 mit Hinweisen).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, er habe hinreichende Gründe angegeben, weshalb es zum raschen Zerfall des Ehewillens im Anschluss an die Einbürgerung und schliesslich zur Scheidung kam. Ursache sei sein berufliches Engagement gewesen. Er habe am 1. Juli 2004 eine neue Arbeitsstelle als Koch angetreten und sei ab 1. November 2004 einer selbständigen Erwerbstätigkeit nachgegangen. Seine berufliche Belastung habe zu Streitereien in der Ehe und schliesslich zur Scheidung geführt.
3.2 Das Bundesverwaltungsgericht hat (in E. 6) auf die Umstände hingewiesen, wie der Beschwerdeführer zu einer erleichterten Einbürgerung gelangte: Einreise in die Schweiz im Oktober 1997; Nichteintretensentscheid auf das Asylgesuch im Januar 2000; Heirat mit einer Schweizer Bürgerin im Juni 2000, die der Beschwerdeführer rund ein halbes Jahr vorher kennengelernt hatte; Gesuch um erleichterte Einbürgerung wenige Tage nach Erfüllung der zeitlichen Voraussetzungen am 25. Juni 2003; gemeinsame Erklärung über den Zustand der Ehe und erleichterte Einbürgerung im Juli 2004; gemeinsames Scheidungsbegehren im Januar 2005, wobei die Ehefrau den besagten Scheidungsantrag dem zuständigen Scheidungsgericht überbracht und gesagt habe, sie sei mit den Nerven am Ende und möchte, dass die Scheidung so schnell wie möglich ausgesprochen werde; Scheidung im April 2005.
Das Bundesverwaltungsgericht schloss aus diesen Eckdaten, namentlich der Korrelation zwischen dem Asylverfahren und der Aufnahme einer Beziehung zu einer um 14 Jahre älteren Schweizer Bürgerin mit nachfolgender Heirat nach kurzer Bekanntschaft, der Einreichung eines gemeinsamen Scheidungsbegehrens nach nur gerade fünf Monaten nach Erhalt des Bürgerrechts und dem Ausmass der ehelichen Zerrüttung zu Beginn des Scheidungsverfahrens, dass im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung des Ehepaares bzw. der erleichterten Einbürgerung keine stabile, auf die Zukunft gerichtete eheliche Gemeinschaft mehr bestanden haben könne.
3.3 Der Beschwerdeführer beschränkt sich über weite Strecken darauf, seine gegenteilige Meinung derjenigen der Vorinstanz gegenüberzustellen. Seine Ausführungen bezüglich der Streitereien wegen den beruflichen Veränderungen, die in nur fünf Monaten seit der Einbürgerung zur Scheidung geführt haben sollen, stehen aber offenkundig im Widerspruch zur Behauptung, die eheliche Gemeinschaft sei im Zeitpunkt der Einbürgerung am 27. Juli 2004 noch intakt gewesen.
Es ist aktenkundig, dass der Beschwerdeführer ab dem 15. August 2003 bis Ende Juni 2004, abgesehen von einem kleinen Unterbruch in der Zeit vom 5. bis 30. November 2003, arbeitslos und die Kinderlosigkeit des Ehepaares bereits zu Beginn der Ehe ein Thema war. Gestützt auf diese Sachlage ist anzunehmen, dass sich der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Einbürgerung seiner seit längerem andauernden beruflichen Probleme bewusst war und den für die Ehe bedeutsamen Kinderwunsch erkannte (vgl. dazu auch das Urteil des Bundesgerichts 1C_292/2008 vom 10. Juni 2009 E. 2.5). Ein ausserordentliches Ereignis, dass zum raschen Zerfall des Ehewillens im Anschluss an die Einbürgerung geführt hätte, ist nicht ersichtlich.
Die Vorinstanz durfte deshalb ohne Weiteres davon ausgehen, dass die Ehe aufgrund der beruflichen Schwierigkeiten des Beschwerdeführers und des unerfüllten Kinderwunsches bereits während des Einbürgerungsverfahrens zerrüttet war und der Beschwerdeführer die Einbürgerung im Sinne der Rechtsprechung erschlichen hat.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Zusprechung einer Parteientschädigung fällt ausser Betracht (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. September 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder