Faits:
A. C._, née le 25 janvier 2006, est la fille de A._, née le 2 septembre 1986, et de B._, né le 15 avril 1981. Celui-ci a reconnu sa paternité le 10 mars 2006.
B. Par décision du 12 juillet 2006, la Justice de paix du 5ème cercle de la Sarine, au Mouret (FR), a ordonné le retrait de la garde de l'enfant à sa mère pour la confier au père et a instauré une curatelle au sens de l'art. 308 CC en faveur de l'enfant. Par décisions des 16 novembre, 4 décembre 2006 et 5 février 2007, cette autorité a confirmé l'octroi de la garde de l'enfant au père et fixé le droit de visite de la mère.
Mandaté par la justice de paix, le Service de l'enfance et de la jeunesse (SEJ) a déposé le 28 juin 2007 un rapport sur la situation de l'enfant. Il propose le maintien de la garde par le père, tout en évoquant l'utilité d'une expertise psychiatrique sur la mère.
Par décision du 3 septembre 2007, la justice de paix a restauré le droit de garde de l'enfant à la mère et déclaré sa décision immédiatement exécutoire, nonobstant recours.
C. Sur requête de B._, la Chambre des tutelles de la Sarine a, par ordonnance d'urgence du 27 septembre 2007, rétabli l'effet suspensif et dit que l'enfant restait confiée au père pour sa garde et son entretien jusqu'à droit connu sur le fond.
B._ a recouru devant cette autorité contre la décision au fond du 3 septembre 2007.
D. A._ a recouru contre l'ordonnance d'urgence du 27 septembre 2007.
Par arrêt du 14 novembre 2007, la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal a rejeté ce recours et confirmé le rétablissement de l'effet suspensif.
E. Agissant par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, A._ conclut au fond à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce qu'il soit constaté que la demande de restitution de l'effet suspensif est irrecevable, subsidiairement infondée.
Elle sollicite également l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
B._ n'a pas été invité à formuler des observations.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 133 I 185 consid. 2).
1.1 Déposé en temps utile à l'encontre d'une décision de nature non pécuniaire rendue en matière civile par une autorité cantonale de dernière instance, le recours est recevable sous l'angle des art. 72 al. 1, 75 al. 1 et 100 al. 1 LTF.
1.2 Le refus ou la restitution d'un effet suspensif est une décision incidente qui cause un préjudice irréparable (arrêt 5A.17/2007 du 6 mars 2007 consid. 2.2), de sorte que le recours est aussi ouvert au regard de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (cf. pour l'art. 87 al. 2 OJ: ATF 120 Ia 260 consid. 2b et les références).
1.3 S'agissant en l'espèce d'une décision incidente en matière de mesures provisionnelles, le recours ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 98 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF). Comme sous l'empire de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, dont les exigences demeurent valables pour les griefs soumis au principe d'allégation (ATF 133 III 393 consid. 6, 638 consid. 2), le recourant qui se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.) ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours dispose d'une libre cognition; il ne saurait, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais il doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision est fondée sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 585 consid. 4.1, 589 consid. 2). Ces exigences de motivation s'appliquent non seulement lorsque la question à trancher est soumise à la maxime des débats par le droit cantonal, mais également lorsqu'elle est soumise à la maxime inquisitoire par le droit fédéral (cf. pour l'art. 55 al. 1 let. c OJ: arrêt 5C.226/2004 du 2 mars 2005, consid. 1.3).
2. L'arrêt attaqué relève que la mesure de protection ordonnée le 12 juillet 2006, soit le retrait de la garde de l'enfant à la mère, a été supprimée par l'autorité tutélaire. Bien qu'elle ait ordonné l'exécution immédiate de la décision en invoquant des circonstances particulières, cette autorité n'a pas expliqué en quoi ces circonstances consistaient. L'autorité tutélaire de surveillance a en revanche exposé que l'exécution immédiate de la décision, soit la restauration du droit de garde de la mère, était contraire à l'intérêt de l'enfant qui vivait depuis seize mois chez son père. Elle l'exposait, en cas d'admission du recours, à être ballotté entre ses parents. L'autorité précédente a par conséquent considéré que, puisque la justice de paix n'avait pas expliqué en quoi le bien de l'enfant justifiait l'exécution immédiate de la décision, le rétablissement de l'effet suspensif devait être confirmé.
3. La recourante se plaint d'une application arbitraire de l'art. 314 ch. 2 CC en relation avec l'article 27 al. 5 de la loi d'organisation tutélaire du 23 novembre 1949 du canton de Fribourg (ci-après: LOT/FR; RSF 212.5.1).
3.1 L'art. 314 CC dispose que la procédure est réglée par la législation cantonale, sous réserve des prescriptions des ch. 1 et 2. Aux termes de l'art. 314 ch. 2 CC, lorsqu'un recours contre une mesure de protection de l'enfant a un effet suspensif - ce qui est le cas dans le canton de Fribourg (art. 27 al. 5 ab initio LOT/FR) -, l'autorité qui l'a ordonnée ou l'autorité de recours peut le priver de cet effet. L'art. 27 al. 5 LOT/FR, qui ne fait que reprendre la réglementation du droit fédéral, n'a donc pas de portée propre. L'argumentation de la recourante revient ainsi à reprocher à l'autorité précédente une application arbitraire de l'art. 314 ch. 2 CC.
Le législateur, lors de l'adoption de l'art. 314 ch. 2 CC, a relevé que l'intérêt de l'enfant peut exiger des mesures immédiates; il a donc habilité l'autorité qui a ordonné la mesure ou l'autorité de recours à priver le recours de l'effet suspensif que pourrait lui attacher le droit cantonal (FF 1974 II p. 87s). L'intérêt de l'enfant constitue la condition d'application de la norme. La jurisprudence récente (arrêts 5P.461/2006 du 16 janvier 2007 et 5A.17/2007 du 6 mars 2007), qui se réfère aussi à la doctrine (Breitschmid, Basler Kommentar, 3e éd., n. 6 ad art. 314/314a CC), a retenu que la règle permettant au juge de retirer l'effet suspensif l'autorise également à le restituer, dans la mesure où il faut pouvoir rendre effective toute mesure prise dans l'intérêt de l'enfant. L'autorité de jugement dispose d'un large pouvoir d'appréciation (arrêt 5P.461/2006 du 16 janvier 2007 consid. 5).
3.2 La recourante fait valoir que le texte légal de l'art. 314 ch. 2 CC permet la suppression de l'effet suspensif d'un recours, mais pas sa restitution. Ce grief est infondé. Cette solution reviendrait à empêcher l'autorité de recours d'examiner si les conditions d'application de l'art. 314 ch. 2 CC sont remplies. Au vu de la jurisprudence et de la doctrine précitées (cf. consid. 3.1 supra), il n'est en tous les cas pas arbitraire de considérer que l'autorité de recours peut rétablir l'effet suspensif qui a été retiré en première instance.
3.3 La recourante prétend que la cour cantonale a omis de tenir compte de son évolution personnelle. Bien qu'elle rattache ce grief à une constatation arbitraire des faits, cette critique relève également d'une application arbitraire des art. 314 ch. 2 CC et 27 al. 5 LOT/FR; la recourante soutient en effet que l'autorité cantonale a déduit à tort des faits de l'arrêt attaqué que l'intérêt de l'enfant commandait la restitution de l'effet suspensif. Elle fait valoir en particulier que sa situation est stable, que le droit de visite de trois jours par semaine se déroule normalement depuis de nombreux mois et qu'elle donne satisfaction dans sa fonction de maman de jour. Elle reproche aussi à l'autorité précédente de n'avoir pas pris en considération le fait que la période d'observation durant laquelle le SEJ devait vérifier le déroulement des visites chez la mère ne devait durer que jusqu'à fin janvier 2007 et qu'ensuite, l'enfant devait être restituée à la mère. Elle relève enfin qu'une période de séparation prolongée avec la mère peut avoir des conséquences néfastes pour un enfant en bas âge. Par ces affirmations, la recourante se borne à opposer son opinion à celle de l'autorité cantonale et formule des critiques de nature appellatoire sur lesquelles le Tribunal fédéral n'entre pas en matière (cf. consid. 1.3 et réf.). Il est en outre inexact de parler d'une longue période de séparation entre l'enfant et la mère puisque celle-ci bénéficie d'un droit de visite de trois jours par semaine. Au demeurant, même en tenant compte des éléments dont se prévaut la mère (situation stable, droit de visite qui se déroule bien) et au vu du recours pendant concernant l'attribution de la garde, il existe un risque que l'enfant doive changer deux fois son principal lieu de vie. Dans ces conditions, il n'est pas insoutenable de conserver la situation actuelle en maintenant l'enfant chez son père dans l'attente de l'issue de la procédure au fond. En confirmant le rétablissement de l'effet suspensif par la Chambre des tutelles, le Tribunal cantonal n'a donc pas interprété les art. 314 ch. 2 CC et 27 al. 5 LOT/FR de manière arbitraire.
4. En conclusion, le recours doit donc être rejeté dans la mesure où il est recevable. Les conclusions de l'intéressée étant dépourvues de toutes chances de succès, la requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF) et les frais judiciaires mis à sa charge (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à répondre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 4 février 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Rey-Mermet