Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Die Beschwerde wendet sich dagegen, dass im angefochtenen Entscheid auf eine Berufung nicht eingetreten wurde, weil die Berufungsanmeldung mehrere Tage verspätet zur Post gegeben worden war. Der Beschwerdeführer macht vor Bundesgericht geltend, der Grund für die Verspätung liege darin, dass er zum fraglichen Zeitpunkt wegen seiner Krankheit seinen Verpflichtungen nicht habe nachkommen können (Beschwerde Ziff. 1).
Das Vorbringen ist unzulässig. Dem Beschwerdeführer war aus dem Urteil des Bezirksgerichts bekannt, dass er eine Berufung binnen zehn Tagen ab Zustellung des begründeten Urteils anmelden muss. Das Urteil ging ihm bzw. seinem damaligen Anwalt am 15. Februar 2010 zu. Die Frist zur Anmeldung der Berufung lief folglich am 25. Februar 2010 ab. Die Eingabe des Beschwerdeführers, die am 4. März 2010 der Post übergeben wurde, war verspätet. In dieser verspäteten, drei Seiten langen Eingabe machte der Beschwerdeführer nicht geltend, er sei vom 15. bis zum 25. Februar 2010 aus gesundheitlichen Gründen nicht in der Lage gewesen, die Berufung anzumelden. Unter diesen Umständen ist das Vorbringen neu und der Beschwerdeführer in Anwendung von Art. 99 Abs. 1 BGG mit seinem neuen Vorbringen vor Bundesgericht nicht zu hören.
Die Vorinstanz hat sich materiell mit der Sache nicht befasst. Folglich kann dies auch das Bundesgericht nicht tun (vgl. Beschwerde Ziff. 2-7).
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Nachdem er zur Leistung eines Kostenvorschusses aufgefordert wurde, wandte er sich mit Eingabe vom 12. Juli 2010 ans Bundesgericht. Diese Eingabe kann als sinngemässes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entgegengenommen werden. Das Gesuch ist indessen in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG). Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung auszurichten, weil er vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juli 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn