Sachverhalt:
A. A.a Der 1969 geborene P._ ist seit Mai 1995 bei der IV-Stelle des Kantons Solothurn zum Leistungsbezug angemeldet. Diese sprach ihm mit Verfügung vom 13. Juli 2000 bei einem Invaliditätsgrad von 46 Prozent ab 1. April 1995 unter Annahme eines Härtefalles eine halbe Invalidenrente zu.
Im Rahmen eines Revisionsverfahrens verfügte die Verwaltung am 21. Februar 2008 die Aufhebung der Invalidenrente. Die dagegen eingereichte Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 6. Februar 2009 gut und wies die Sache zur Durchführung ergänzender Abklärungen im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück.
A.b Gestützt auf die neuen medizinischen Unterlagen verfügte die IV-Stelle am 26. Januar 2011 bei einem Invaliditätsgrad von 46 Prozent den Anspruch auf eine Viertelsrente ab 1. November 2009. Zum weitergehenden Anspruch auf eine Härtefallrente äusserte sich die Verwaltung nicht.
B. P._ liess am 7. März 2011 hiegegen beim Versicherungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, unter Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung sei die IV-Stelle zu verpflichten, die Rentenleistungen (halbe Invalidenrente und Kinderrente) umgehend auszuzahlen; zudem seien auch weiterhin mindestens die bisherigen Leistungen zuzüglich Verzugszins auszurichten. Eventualiter wurde die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zur Neubeurteilung beantragt.
Der Instruktionsrichter wies mit Verfügung vom 29. März 2011 das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ab. Mit separatem Schreiben gleichen Datums wurde dem Versicherten eine reformatio in peius angedroht.
Mit Rentenverfügung vom 6. April 2011 setzte die Verwaltung die monatlichen Leistungen ab 1. April 2011 betraglich auf Fr. 1'044.- fest (ordentliche Viertelsrente und zwei Kinderrenten). In diese Verfügung wurde der Hinweis aufgenommen, die Verfügung für die Zeit vom 1. April 2008 bis 31. März 2011 werde nach erfolgter Prüfung des Anspruchs auf eine halbe Rente im Härtefall zugestellt. Am 7. April 2011 sistierte der Instruktionsrichter das Verfahren bis zum Vorliegen des Ergebnisses der Härtefallprüfung der Ausgleichskasse. Mit Eingabe vom 7. April 2008 liess P._ um unentgeltliche Rechts-verbeiständung ersuchen.
Mit Verfügung vom 6. Oktober 2011 setzte die Verwaltung die halbe Rente im Härtefall nebst Zusatzrenten für die Zeit ab 1. April 2008 auf monatlich insgesamt Fr. 2'088.- fest mit dem Hinweis, diese Verfügung ersetze jene vom 6. April 2011 und hebe sie auf. Am 7. November 2011 stellte P._ entsprechend Antrag. Zudem reichte er dem Gericht die Honorarnote vom gleichen Tag über einen Totalbetrag von Fr. 7'121.20 ein. Am 23. November 2011 stimmte er der vom Gericht vorgesehenen Abschreibung des Verfahrens zu, wobei die Kosten der IV-Stelle aufzuerlegen und zu deren Lasten eine Parteientschädigung zuzusprechen seien.
Mit Entscheid vom 31. Januar 2012 erklärte das Versicherungsgericht das Beschwerdeverfahren als erledigt (Dispositiv-Ziffer 1) und verpflichtete die IV-Stelle zur Entrichtung einer Parteientschädigung von pauschal Fr. 2'000.- an den Versicherten (Dispositiv-Ziffer 2). Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wies es ab, soweit dieses nicht gegenstandslos wurde (Dispositiv-Ziffer 3). Überdies auferlegte es der IV-Stelle und P._ Verfahrenskosten von je Fr. 150.- (Dispositiv-Ziffer 4 und 5) und erstattete diesem den Kostenvorschuss im Umfang von Fr. 450.- zurück (Dispositiv-Ziffer 6).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt P._ die Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 2 bis 6 des angefochtenen Entscheids und die Zusprechung einer Parteientschädigung nach Massgabe der Honorarnote vom 7. November 2011 in Höhe von Fr. 7'121.20 beantragen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese über den Anspruch auf Parteientschädigung für das kantonale Beschwerdeverfahren neu entscheide. Subeventuell sei für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Verbeiständung zu bewilligen. Des Weitern sei festzustellen, dass ihm für das kantonale Beschwerdeverfahren keine Verfahrenskosten aufzuerlegen seien.
Während das kantonale Gericht auf Abweisung der Beschwerde schliesst, haben sich IV-Stelle und Bundesamt für Sozialversicherungen nicht vernehmen lassen.
P._ hat am 5. Juli 2012 eine ergänzende Eingabe eingereicht, zu welcher sich die IV-Stelle am 10. Juli 2012 geäussert hat.
Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid schreibt das Verfahren in einer invalidenversicherungsrechtlichen Angelegenheit als gegenstandslos von der Geschäftskontrolle ab und regelt die Kosten- und Entschädigungsfolge. Es handelt sich dabei um einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG).
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden (Art. 82 ff. BGG). Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG) - Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 105 Abs. 2 BGG).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob der vorinstanzliche Entscheid bezüglich der Kosten- und Entschädigungsfolge vor Bundesrecht standhält.
3.1 Nach Art. 61 lit. g ATSG hat die obsiegende Beschwerde führende Partei Anspruch auf Ersatz der Parteikosten, wobei diese vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen wird.
Nach der Rechtsprechung gilt es unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf eine Parteientschädigung als Obsiegen, wenn die Rechtsstellung der Partei durch den Entscheid im Vergleich zu derjenigen im Administrativverfahren verbessert wird. Massgebend sind dabei die im Beschwerdeverfahren gestellten Anträge (BGE 132 V 215 E. 6.2 S. 235; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 117 zu Art. 61 ATSG).
3.2 Bei Gegenstandslosigkeit des kantonalen Beschwerdeverfahrens besteht ein bundesrechtlich begründeter (Art. 61 lit. g ATSG) Entschädigungsanspruch der Beschwerde führenden Partei, wenn es die Prozessaussichten rechtfertigen, wie sie sich vor Eintritt der Gegenstandslosigkeit darboten (SVR 2004 ALV Nr. 8 S. 21, C 56/05 E. 3.1; Urteil 8C_652/2009 vom 7. Juni 2010). Entscheidend ist demnach in erster Linie der mutmassliche Ausgang des Prozesses (BGE 125 V 373 E. 2a S. 374).
3.3 Das Bundesgericht prüft frei, ob der vorinstanzliche Entscheid hinsichtlich der Bemessung der Parteientschädigung den in Art. 61 lit. g ATSG statuierten bundesrechtlichen Anforderungen genügt. Weil die Bemessung der Parteientschädigung für das kantonale Verfahren im Übrigen dem kantonalen Recht überlassen ist (Art. 61 Satz 1 ATSG), prüft das Bundesgericht darüber hinaus nur, ob die Höhe der Parteientschädigung vor dem Willkürverbot standhält. Dies gilt insbesondere mit Bezug auf den vom kantonalen Versicherungsgericht angewendeten Tarif (SVR 2011 AHV Nr. 7 S. 23, 9C_338/2010 E. 3.2; Urteil 9C_688/2009 vom 19. November 2009 E. 3.2.1 mit Hinweisen). Dem erstinstanzlichen Gericht ist bei der Bemessung der Entschädigung praxisgemäss ein weiter Ermessensspielraum einzuräumen (Urteil 9C_284/2012 vom 18. Mai 2012 E. 2; vgl. die Zusammenfassung der Rechtsprechung in SVR 2000 IV Nr. 11 S. 31, I 308/98 E. 2b).
4. 4.1 Das kantonale Gericht hat erwogen, die Beschwerde habe keine Aussicht auf Erfolg gehabt, soweit argumentiert worden sei, es sei keine Verbesserung des Gesundheitszustandes eingetreten. Aufgrund der angekündigten reformatio in peius habe vielmehr mit einer gänzlichen Aufhebung der Rente gerechnet werden müssen. Es könne daher nur der mit dem geltend gemachten Anspruch auf eine Härtefallrente in Zusammenhang stehende Vertretungsaufwand vergütet werden. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wies die Vorinstanz ab, soweit dieses damit nicht gegenstandslos wurde, weil es für den Antrag auf Wiederherstellung der halben Rente im Härtefall keiner anwaltlichen Vertretung bedurft habe. Die Verfahrenskosten von Fr. 300.- auferlegte sie den Parteien je zur Hälfte.
4.2 Der Beschwerdeführer kritisiert die Ausführungen der Vorinstanz zu den Gründen einer Reduktion der Parteientschädigung und der Auferlegung von Verfahrenskosten als tatsachenwidrig. Seiner Ansicht nach wird damit verkannt, dass er mit seinem Hauptantrag auf Zusprache unveränderter Rentenleistungen durchgedrungen sei. Die Wiedererwägungsverfügung der Verwaltung vom 6. Oktober 2011 entspreche einem vollumfänglichen Obsiegen.
4.3 Hinsichtlich der für die Beurteilung des Entschädigungsanspruchs des Beschwerdeführers massgebenden Prozessaussichten ist der Sachverhalt zu berücksichtigen, wie er sich bis unmittelbar vor Eintritt der Gegenstandslosigkeit verwirklicht hat (vgl. E. 3.2 hievor). Diese trat ein, als die Verwaltung mit Verfügung vom 6. Oktober 2011 die Rentenberechnung für die Zeit ab 1. April 2008 vorgenommen und dabei den Anspruch auf eine halbe Härtefallrente bejaht hatte.
4.4 Damit wurde dem vom Beschwerdeführer gestellten Antrag entsprochen, es sei weiterhin mindestens eine halbe Invalidenrente auszurichten. Entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts ist somit von einem vollständigen Obsiegen mit entsprechender Kosten- und Entschädigungsfolge auszugehen. Der Beschwerdeführer hat daher für das kantonale Beschwerdeverfahren keine Gerichtskosten zu bezahlen (Art. 69 Abs. 1bis IVG), und er hat grundsätzlich Anspruch auf volle Parteientschädigung (Art. 61 lit. g ATSG). Sein im vorinstanzlichen Verfahren gestelltes Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbei-ständung wird demzufolge nicht nur für einen Teilbereich, sondern gänzlich gegenstandslos.
5. 5.1 Zu prüfen bleibt der Anspruch auf Parteientschädigung in masslicher Hinsicht. Der Beschwerdeführer hat für die Mandatsausübung in der Zeit vom 7. März bis 7. November 2011 der Vorinstanz Rechnung in Höhe von Fr. 7'121.20 gestellt. Darin berücksichtigt ist ein Zeitaufwand von 27.29 Stunden. Im angefochtenen Entscheid hat die Vorinstanz, ohne auf die eingereichte Kostennote Bezug zu nehmen, ausgeführt, der Aufwand für die Geltendmachung der Härtefallrente bei einem unveränderten Invaliditätsgrad habe sich auf einen kurzen Hinweis in der Beschwerdeschrift beschränkt. Die Beschwerdegegnerin habe dem Beschwerdeführer daher pauschal, einschliesslich Auslagen und Mehrwertsteuer, eine Entschädigung von Fr. 2'000.- zu bezahlen.
5.2 Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe die eingereichte Kostennote mit willkürlicher und nicht nachvollziehbarer Begründung gekürzt. Damit habe sie seinen Anspruch auf ein faires Verfahren nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK und den Grundsatz der gleichen und gerechten Behandlung der Prozessparteien (Art. 29 Abs. 1 BV) verletzt.
5.3 Nach der Rechtsprechung muss der Entscheid über die zu entrichtende Parteientschädigung in der Regel nicht begründet werden (BGE 111 Ia 1; RKUV 2005 Nr. U 547 S. 221, U 85/04 E. 3.2). Eine grundsätzliche Verpflichtung zur Entscheidbegründung (BGE 136 I 184 E. 2.2.1 S. 188) besteht aber namentlich, wenn die Festsetzung der Parteientschädigung nicht mit der vom Rechtsvertreter eingereichten Kostennote übereinstimmt (vgl. SVR 2009 IV Nr. 48 S. 144, 9C_991/2008 E. 3.1.2).
5.4 Im angefochtenen Entscheid gibt das kantonale Gericht rechtsgenüglich zu erkennen, von welchen Überlegungen es sich bei der Kürzung der Parteientschädigung leiten liess, weshalb dieser der richterlichen Begründungspflicht zu genügen vermag. Indessen halten die vorinstanzlichen Überlegungen, welche dazu geführt haben, das geforderte Honorar auf fast einen Viertel zu reduzieren, in der Begründung und im Ergebnis vor Bundesrecht (Art. 61 lit. g ATSG) nicht stand, weil sie auf der Annahme eines teilweisen Obsiegens des Beschwerdeführers basieren. Mit dem materiellen Verfahrensausgang lässt sich eine Kürzung der Parteikosten jedoch nicht begründen (vgl. E. 4.4 hievor).
5.5 Aus prozessökonomischen Gründen ist die Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren direkt neu festzusetzen (vgl. Art. 107 Abs. 2 BGG). Dabei erweist sich ein Abstellen auf den vom Beschwerdeführer geltend gemachten Aufwand von über 27 Stunden mit Blick auf den zu beurteilenden Sachverhalt und die nicht besonders schwierigen Fragen des Prozesses als nicht gerechtfertigt. Immerhin hat sein Rechtsvertreter ihn bereits im Verwaltungsverfahren vertreten, weshalb dessen Arbeitsaufwand entsprechend geringer ausfiel. In Rechnung zu stellen ist der Umstand, dass die Verfügung vom 26. November 2011 in dispositiv- und begründungsmässiger Hinsicht keine Ausführungen zur Frage enthielt, ob die Voraussetzungen für die Weiterausrichtung der Härtefallrente im Sinne der Schlussbestimmungen zur Änderung des IVG vom 21. März 2003 (4. IVG-Revision, gültig seit 1. Januar 2004) gegeben waren. Der vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang geltend gemachte, insgesamt sehr hohe Aufwand lässt sich jedoch selbst dann nicht nachvollziehen, wenn zusätzlich berücksichtigt wird, dass die Verwaltung in der ursprünglichen Verfügung noch von einer Verbesserung des Gesundheitszustandes ausging. Unter Berücksichtigung der gesamten Umstände rechtfertigt sich eine rund 50-prozentige Kürzung, was bedeutet, dass die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer für das kantonale Gerichtsverfahren mit Fr. 3'500.- zu entschädigen hat.
6. Demnach ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten teilweise gutzuheissen und die Ziffern 2 bis 6 des angefochtenen Entscheids müssen aufgehoben werden. Die Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren ist neu auf pauschal Fr. 3'500.- (inkl. Auslagen und MWST) festzusetzen. Dem Beschwerdeführer werden für das kantonale Verfahren keine Gerichtskosten auferlegt, und es ist ihm der gesamte Kostenvorschuss zurückzuerstatten. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das erstinstanzliche Verfahren wird damit gegenstandslos. Im Übrigen muss die Beschwerde abgewiesen werden.
7. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens beiden Parteien aufzuerlegen, wobei sie die Gerichtsgebühr je hälftig zu tragen haben (Art. 66 Abs. 1 BGG). Überdies hat die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Bundesgericht eine reduzierte Parteientschädigung auszurichten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziffer 2 bis 6 des Dispositivs des Entscheids des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 31. Januar 2012 werden aufgehoben mit der Feststellung, dass für das kantonale Gerichtsverfahren die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 3'500.- (inkl. MWST) auszurichten hat, das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung gegenstandslos wird, der Beschwerdeführer keine Gerichtskosten zu tragen hat und der geleistete Kostenvorschuss vollumfänglich zurückzuerstatten ist. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer Fr. 250.- und der Beschwerdegegnerin Fr. 250.- auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Gerichtskosten an das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Oktober 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Hofer