Sachverhalt:
A. Die 1982 geborene X._ ist kroatische Staatsangehörige. Sie heiratete am 28. Oktober 2005 ihren in der Schweiz niederlassungsberechtigten Landsmann Z._. Am 10. November 2005 wurde die gemeinsame Tochter Y._ geboren, welcher ebenfalls die Niederlassungsbewilligung für die Schweiz erteilt wurde. X._ erhielt aufgrund der Ehe mit Z._ eine bis zum 13. Februar 2008 gültige Aufenthaltsbewilligung.
Mit Entscheid vom 4. April 2007 hob das Kantonsgericht Schaffhausen im Rahmen eines Eheschutzverfahrens den gemeinsamen Haushalt von X._ und Z._ auf und stellte fest, dass die Parteien seit dem 22. Dezember 2006 getrennt lebten. Die gemeinsame Tochter wurde für die Dauer des Getrenntlebens unter die Obhut der Kindsmutter gestellt. Dem Vater wurde das Recht zuerkannt, seine Tochter jeden zweiten Samstag am Wohnort der Mutter zu besuchen.
Infolge der Aufhebung der ehelichen Gemeinschaft von X._ und Z._ widerrief das Ausländeramt des Kantons Schaffhausen am 23. August 2007 die Aufenthaltsbewilligung von X._.
B. Gegen den Entscheid des Ausländeramtes rekurrierte X._ an den Regierungsrat des Kantons Schaffhausen. Dieser wies den Rekurs am 4. Dezember 2007 ab. Gegen den abschlägigen Rekursentscheid erhob X._ sowohl in ihrem eigenen Namen als auch namens der Tochter Y._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Obergericht des Kantons Schaffhausen. Dieses erwog in seinem Urteil vom 30. Dezember 2008, dass die Aufenthaltsbewilligung von X._ am 13. Februar 2008 abgelaufen und die sich gegen den Widerruf dieser Bewilligung richtende Beschwerde somit an sich gegenstandslos geworden sei; weil der angefochtene Entscheid aber auch die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ verweigere, sei weiterhin ein aktuelles und schutzwürdiges Interesse der Beschwerdeführerinnen am ergriffenen Rechtsmittel zu erkennen. Soweit es in der Folge auf die Beschwerde eintrat, wies das Obergericht die Beschwerde jedoch ab.
C. Mit Eingabe vom 5. Februar 2009 führen X._ und Y._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventualiter subsidiäre Verfassungsbeschwerde, beim Bundesgericht. Sie beantragen darin im Wesentlichen, es sei der angefochtene Entscheid des Obergerichts Schaffhausen aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung von X._ zu verlängern. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen. Beide Beschwerdeführerinnen rügen eine Verletzung von Art. 8 EMRK und Art. 13 BV.
Während das Obergericht des Kantons Schaffhausen auf eine Vernehmlassung verzichtet, schliessen das Bundesamt für Migration und der Regierungsrat des Kantons Schaffhausen auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 20. Februar 2009 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu.
Erwägungen:
1.1 1.1.1 Nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts über Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Gemäss Art. 4 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; in Kraft gewesen bis 31. Dezember 2007; hier aber noch anwendbar gemäss Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG; SR 142.20]) entscheiden die zuständigen Behörden, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrages berufen.
1.1.2 Die Beschwerdeführerin 1 beruft sich zu Recht nicht auf Art. 17 Abs. 2 ANAG, wonach der ausländische Ehegatte eines in der Schweiz niedergelassenen Ausländers grundsätzlich Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung hat, solange die Ehegatten zusammen wohnen. Unbestrittenermassen wurde die eheliche Gemeinschaft per 22. Dezember 2006 aufgehoben, was ein Erlöschen des gesetzlichen Bewilligungsanspruchs nach sich zog.
1.1.3 Ein möglicher Anspruch der Beschwerdeführerin 1 auf eine Bewilligungserteilung besteht dagegen wegen ihrer intakten und gelebten Beziehung zu ihrer minderjährigen Tochter, der Beschwerdeführerin 2: Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 BV) garantiert zwar kein Recht auf Aufenthalt in einem bestimmten Staat. Es kann aber das geschützte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens verletzen, wenn einem Ausländer, dessen Familienangehörige hier weilen, die Anwesenheit untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird. Der sich hier aufhaltende Angehörige muss über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügen; dies ist praxisgemäss der Fall, wenn er das Schweizer Bürgerrecht besitzt, ihm die Niederlassungsbewilligung gewährt wurde oder er über eine Aufenthaltsbewilligung verfügt, die ihrerseits auf einem gefestigten Rechtsanspruch beruht (BGE 2C_353/2008 vom 27. März 2009 E. 1.1.3; BGE 2C_693/2008 vom 2. Februar 2009 E. 1.3; BGE 130 II 281 E. 3.1 S. 285 f.). Da die Beschwerdeführerin 2 die Niederlassungsbewilligung und damit ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz besitzt, können sich die Beschwerdeführerinnen auf Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 BV) berufen. Gemäss dem Gesagten steht deshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen. Es bleibt eine Frage der materiellen Beurteilung, ob es unter den konkreten Umständen mit Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV vereinbar ist, dass die Schaffhauser Behörden die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 1 widerrufen, bzw. die Verlängerung derselben abgelehnt haben.
1.2 Die Beschwerde wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) und Form (Art. 42 BGG) eingereicht. Da das vorliegende Verfahren den Widerruf bzw. die Nichtverlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung zum Gegenstand hat, ist die Beschwerdeführerin 1 von der Entscheidung der Vorinstanz besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 BGG). Der Aufenthaltstitel der Beschwerdeführerin 2 wird dagegen durch das vorliegende Verfahren nicht direkt tangiert. Dennoch ist auch ihre Beschwerdelegitimation zu bejahen, da ein Erlöschen der Aufenthaltsbewilligung ihrer obhutsberechtigten Mutter faktisch eine Reflexwirkung auf die Möglichkeiten der Beschwerdeführerin 2 hat, in der Schweiz zu verbleiben. Auf die Beschwerde kann daher grundsätzlich eingetreten werden (unter Vorbehalt von E. 1.3 und 1.4 hiernach).
1.3 Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
1.4 Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG hat die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Vorbringen müssen sachbezogen sein, damit aus der Beschwerdeschrift ersichtlich ist, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird. Dies setzt voraus, dass sich ein Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt (BGE 134 II 244). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254).
2. 2.1 Wie bereits ausgeführt, garantiert die Europäische Menschenrechtskonvention in der Regel keinen Anspruch auf Aufenthalt in einem Konventionsstaat. Es ergibt sich daraus weder ein Recht auf Einreise noch auf Wahl des für das Familienleben am geeignetsten erscheinenden Orts. Das in Art. 8 EMRK geschützte Recht auf Achtung des Familienlebens kann nur angerufen werden, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme zur Trennung von Familienmitgliedern führt. Selbst dann gilt dieser Anspruch jedoch nicht absolut. Vielmehr ist nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung und zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutze der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Pflichten anderer notwendig ist. Die Konvention verlangt insofern eine Abwägung der sich gegenüberstehenden individuellen Interessen an der Erteilung der Bewilligung und der öffentlichen Interessen an deren Verweigerung, wobei letztere in dem Sinne überwiegen müssen, dass sich der Eingriff als notwendig erweist (vgl. BGE 2C_693/2008 vom 2. Februar 2009 E. 2.1; BGE 122 II 1 E. 2 S. 6; 116 Ib 353 E. 3 S. 357 ff.). Analoge Voraussetzungen ergeben sich aus Art. 36 BV im Hinblick auf einen Eingriff in den Schutzbereich von Art. 13 BV. Als zulässiges öffentliches Interesse fällt dabei insbesondere das Durchsetzen einer restriktiven Einwanderungspolitik in Betracht. Eine solche ist im Hinblick auf ein ausgewogenes Verhältnis zwischen schweizerischer und ausländischer Wohnbevölkerung, auf die Schaffung günstiger Rahmenbedingungen für die Eingliederung der in der Schweiz fest ansässigen Ausländer und die Verbesserung der Arbeitsmarktstruktur sowie auf eine möglichst ausgeglichene Beschäftigung im Lichte von Art. 8 Ziff. 2 EMRK zulässig (vgl. aber bei Schweizer Staatsangehörigkeit des Kindes: BGE 2C_353/2008 vom 27. März 2009; BGE 2C_693/2008 vom 2. Februar 2009 E. 2.2, jeweils mit Hinweisen).
Ob das von Art. 8 Ziff. 1 EMRK und Art. 13 BV geschützte Rechtsgut im vorliegenden Fall überhaupt tangiert wird, kann offen bleiben, wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen.
2.2 Die Beschwerdeführerinnen begründen ihre Beschwerde einzig damit, dass eine gemeinsame Ausreise aufgrund der besonderen Beziehung der Beschwerdeführerin 2 zu ihrem in der Schweiz wohnhaften Vater unzumutbar und unverhältnismässig sei.
In diesem Zusammenhang machen sie geltend, dass sich das Verhältnis der Tochter zu ihrem Vater seit September 2008 intensiviert habe. Die Tochter sei jetzt jeweils von Freitagabend bis Samstagabend bei ihrem Vater, welcher sie nun auch täglich in die Kinderkrippe fahre. Ebenso habe sich in der Zwischenzeit auch das Verhältnis der Beschwerdeführerin 1 zum Kindsvater normalisiert. Zum Beleg dieser Angaben reichen die Beschwerdeführerinnen jeweils ein Schreiben von der "Kinderkrippe Rinkengässchen" und vom Ehemann bzw. Vater ein.
Die Beschwerdeführerinnen berufen sich mithin ausschliesslich auf neue Tatsachen und Beweismittel, welche der Vorinstanz noch nicht bekannt waren oder sich überhaupt erst nach deren Entscheid zugetragen haben bzw. entstanden sind. Die Berufung auf solche Noven ist grundsätzlich unzulässig, ausser der vorinstanzliche Entscheid habe hierzu erst Anlass gegeben (Art. 99 Abs. 1 BGG; vgl. E. 1.3). Letzteres wird von den Beschwerdeführerinnen zwar pauschal behauptet, jedoch nicht begründet. Indes steht ohnehin fest, dass sich Tatsachen oder Beweismittel, welche sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden, von vornherein nicht durch das weitergezogene Urteil veranlasst worden sein können. Aber auch insoweit, als sich die von den Beschwerdeführerinnen behauptete Intensivierung der Beziehung zwischen Vater und Tochter bereits vor dem am 30. Dezember 2008 ergangenen Entscheid des Obergerichts zugetragen haben soll, ist es nicht erst die Begründung des angefochtenen Urteils, welche zur Anrufung dieses Umstands Anlass gegeben hat; die familiären Beziehungen der Beschwerdeführerinnen bildeten vielmehr bereits zentraler Gegenstand des kantonalen Rechtsmittelverfahrens.
Es folgt daraus, dass die neuen tatsächlichen Vorbringen und Beweismittel der Beschwerdeführerinnen vom Bundesgericht nicht berücksichtigt werden können.
2.3 Ausgehend von den dem Obergericht bekannt gewesenen Tatsachen und Beweismitteln ist dessen Schlussfolgerung nachvollziehbar, dass die Beziehung zwischen Tochter und Vater weder von besonderer Intensität noch in derartigem Mass tangiert sei, dass den Beschwerdeführerinnen die Rückkehr ins gemeinsame Heimat- oder Herkunftsland nicht zuzumuten wäre:
Der Eingabe der Beschwerdeführerinnen an das Obergericht vom 27. Dezember 2007 ist zu entnehmen, dass der gemeinsame Haushalt bereits zu einem Zeitpunkt aufgelöst wurde, als die Tochter gerade erst ein Jahr alt war. Zwischen April und Mitte August 2007 hat sich die Tochter zudem während mehreren Monaten ununterbrochen bei ihren Grosseltern mütterlicherseits in Bosnien aufgehalten, ohne dass es zu aktenkundigen persönlichen Kontakten zum Vater gekommen wäre. Die Beschwerdeführerinnen erklären in der erwähnten Eingabe sodann, dass es zwar nach ihrer Rückkehr in die Schweiz zwischenzeitlich zu regem Kontakt zwischen dem Vater einerseits und Mutter und Tochter andererseits gekommen sei, der Vater dann aber bereits im Oktober und November 2007 sein Besuchsrecht nicht mehr wahrgenommen habe; bei zwei Gelegenheiten hätten Mutter und Tochter sogar vergeblich auf ihn gewartet. Erst nach einer zufälligen Begegnung Ende November 2007 sei es erneut zu einer Annäherung zwischen Mutter und Vater gekommen, mit der Folge, dass dieser auch sein Besuchsrecht wieder ausgeübt habe (S. 4 der Beschwerdeschrift vom 27. Dezember 2007).
Bei dieser Sachlage erscheint ein Eingriff in das Privat- und Familienleben der Beschwerdeführerinnen - soweit das geschützte Rechtsgut denn überhaupt berührt ist - jedenfalls als verhältnismässig und ist eine Verletzung von Art. 8 EMRK und Art. 13 BV durch den angefochtenen Entscheid nicht zu erkennen.
3. Es ergibt sich aus den genannten Gründen, dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann. Entsprechend diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Beschwerdeführerinnen unter Solidarhaft aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Dem Gesuch der Beschwerdeführerinnen um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, da die eingereichte Beschwerde als aussichtslos zu bezeichnen ist (vgl. Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführerinnen unter Solidarhaft auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführerinnen, dem Ausländeramt, dem Regierungsrat und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Zähndler