Faits:
A. Le 6 septembre 2011, le Conseil d'Etat de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Conseil d'Etat) a adopté un "Arrêté fixant la liste des conditions à remplir par un hôpital pour pouvoir figurer sur la liste hospitalière cantonale 2012-2014" (ci-après: l'Arrêté). Cet acte, qui a été publié dans la Feuille officielle de la République et canton de Neuchâtel n° 36 du 9 septembre 2011 (FO 11/36) et est entré en vigueur avec effet rétroactif au 1er septembre 2011 (art. 4 al. 1 Arrêté), dispose notamment:
"Art. 1: al. 1 Dans le cadre de l'élaboration de la planification hospitalière et de la liste hospitalière au sens de l'art. 39 al. 1 let. e de la loi fédérale du 18 mars 1994 sur l'assurance-maladie [LAMal; RS 832.10], le Conseil d'Etat tient compte de deux types de critères pour l'octroi de mandats de prestations:
1. Les critères impératifs que tous les fournisseurs de prestations doivent remplir pour pouvoir participer à la procédure d'octroi;
2. Les critères d'adjudication qui doivent permettre au Conseil d'Etat d'effectuer un choix définitif pour l'octroi des mandats parmi les fournisseurs de prestations remplissant les critères impératifs.
al. 2 Le Conseil d'Etat privilégiera, en règle générale, l'octroi de mandats de prestations à un seul établissement par domaine de prestations.
al. 3 Le Conseil d'Etat se conformera, dans l'octroi de mandats de prestations, aux options stratégiques s'inscrivant dans le cadre de la planification sanitaire prises par [l'Etablissement hospitalier multisite cantonal - EHM] et le [Centre neuchâtelois de psychiatrie - CNP] et approuvés par le Grand Conseil.
Art. 2: al. 1 Les critères impératifs sont:
a. Autorisation d'exploiter (...). b. Disponibilité et capacité (...). c. Pérennité et solvabilité (...).
d. Obligation d'admission: dans les limites de son mandat et de ses capacités disponibles, l'établissement est tenu de prendre en charge tous les patients LAMal résidant dans le canton de Neuchâtel; l'obligation d'admission sera considérée comme remplie si les prestations sont financées pour au moins 50% de ces patients exclusivement par l'assurance obligatoire des soins.
e. Qualité: l'établissement doit être membre de l'Association nationale pour le développement de la qualité dans les hôpitaux et les cliniques (ANQ) et avoir adhéré au contrat qualité national. Au surplus, l'établissement doit justifier d'une masse critique et d'une activité suffisantes; sur les trois dernières années, il doit avoir fourni un nombre de prestations minimum équivalant à 5% de tous les cas de la population neuchâteloise durant l'année de référence (2008) et avoir traité au moins 10 cas dans le domaine de prestations considéré.
f. Conditions de travail (...). g. Formation (...).
h. Investissements: l'établissement est tenu de créer un fonds d'investissements alimenté par les recettes y relatives provenant de l'assurance obligatoire des soins et de l'Etat et de soumettre à ce dernier une planification pluriannuelle de ses investissements (...).
i. Principes comptables (...). j. Facturation (...). k. Transparence, accès aux données (...). l. Statistiques (...).
al. 2 En cas de non respect de l'un ou l'autre des critères fixés à l'al. 1, le Conseil d'Etat peut retirer son mandat de prestations à l'établissement concerné.
al. 3 A titre exceptionnel, le Conseil d'Etat peut admettre sur la liste hospitalière des établissements qui ne remplissent pas tous les critères fixés à l'al. 1, notamment certains établissements situés hors du canton de Neuchâtel, pour autant qu'ils soient nécessaires à la couverture des besoins.
Art. 3: al. 1 Les critères d'adjudication sont: a. Qualité (...). Economicité (...). Accessibilité (...). Variété des prestations (...)."
B. Par acte du 6 octobre 2011, l'Hôpital de X._, une fondation de droit privé sise à Neuchâtel dont le but social consiste à "accueillir les malades, les blessés et les infirmes de toute confession religieuse et de toute nationalité", a déposé un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral à l'encontre de l'Arrêté du 6 septembre 2011. Il conclut, sous suite de frais et dépens, principalement, à son annulation, subsidiairement à l'annulation de l'art. 1 al. 2 et 3, ainsi que de l'art. 2 al. 1 let. d, e et h de l'Arrêté. Le Conseil d'Etat conclut au rejet du recours.
Dans ses observations du 10 janvier 2012, le recourant a informé le Tribunal fédéral de ce qu'il figurait sur la liste hospitalière cantonale du 21 décembre 2011 valant pour la période 2012-2014, pour les mandats de prestations sollicités, mais qu'il persistait à contester les critères de sélection fixés dans l'Arrêté entrepris. Le Conseil d'Etat s'est déterminé le 6 février 2012, en estimant que l'intérêt actuel du recourant aurait disparu du fait de son admission sur la liste hospitalière cantonale.
C. Par ordonnance présidentielle du 21 octobre 2011, le Tribunal fédéral a rejeté la requête de suspension de la procédure que l'Hôpital de X._ avait déposée au motif qu'un recours parallèle avait été introduit devant le Tribunal administratif fédéral contre l'Arrêté. La demande d'effet suspensif formée par le recourant a été rejetée par ordonnance présidentielle du 9 novembre 2011.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 136 II 101 consid. 1 p. 103). Pour déterminer si, au moment où il se prononce, les conditions de recevabilité sont réunies, le Tribunal fédéral peut prendre en compte des faits postérieurs à l'acte attaqué; il s'agit d'exceptions à l'interdiction des faits nouveaux prévue à l'art. 99 al. 1 LTF (cf. ATF 136 II 497 consid. 3.3 p. 500; arrêt 2C_811/2011 du 5 janvier 2012 consid. 1.1).
1.1 Exception faite du recours en matière de droits politiques, qui n'entre pas en ligne de compte en l'espèce, le Tribunal fédéral connaît, en vertu de l'art. 82 LTF, des recours contre les décisions rendues dans des causes de droit public (let. a) ainsi que des recours contre les actes normatifs cantonaux (let. b). Sous réserve des décisions revêtant un caractère politique prépondérant, le Tribunal fédéral ne peut revoir que les décisions qui émanent d'une autorité judiciaire cantonale supérieure (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). En revanche, il peut être saisi directement d'un recours contre un acte normatif cantonal lorsque celui-ci ne peut, comme dans le canton de Neuchâtel, faire l'objet d'un recours cantonal préalable (cf. ATF 135 V 309 consid. 1.3 p. 313; arrêt 2C_728/2011 du 23 décembre 2011 consid. 1.1).
1.2 L'acte attaqué est un "arrêté" émanant du Conseil d'Etat, à savoir d'un exécutif cantonal, rendu dans une cause de droit public, car il concerne la planification hospitalière selon l'assurance sociale obligatoire des soins.
1.2.1 Comme la cause ne revêt pas un caractère politique prépondérant (sur cette notion: ATF 136 II 436 consid. 1.2 p. 439), il est nécessaire de qualifier au préalable l'acte entrepris, dès lors que, son auteur n'étant pas une autorité judiciaire cantonale supérieure, le recours immédiat au Tribunal fédéral n'est ouvert que s'il s'agit d'un acte normatif et non d'une décision.
1.2.2 Les actes normatifs cantonaux au sens de l'art. 82 let. b LTF comprennent toutes les lois et ordonnances édictées par les autorités cantonales ou communales, voire dans une certaine mesure, les ordonnances administratives de portée externe (cf. Message du Conseil fédéral du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, in: FF 2001 4000, p. 4118 ch. 4.1.3.3; ATF 125 I 313 consid. 2a p. 316). Ils contiennent par définition des règles générales et abstraites destinées à s'appliquer à un nombre indéterminé de personnes qui rentreront ultérieurement dans leur champ d'application. Ils s'opposent à la décision administrative, qui est un acte individuel et concret s'adressant à une ou plusieurs personnes déterminées dans un cas d'espèce (cf. ATF 135 II 38 consid. 4.3 p. 45; arrêt 2C_609/2010 du 18 juin 2011 consid. 1.1.1).
1.2.3 En l'occurrence, l'Arrêté querellé énonce les critères impératifs et les critères d'adjudication qu'un établissement hospitalier doit remplir afin d'être inclus, pour les années 2012 à 2014, dans la planification hospitalière et dans la liste hospitalière, et pour se voir confier des mandats de prestations au sens de l'art. 39 al. 1 let. e LAMal. Ce faisant, l'Arrêté réunit les caractéristiques propres à un acte normatif cantonal et non à une décision.
D'une part, en effet, l'acte attaqué revêt un caractère général, en ce qu'il vise un nombre indéterminé d'hôpitaux, soit l'ensemble des établissements potentiellement désireux de figurer sur la liste hospitalière neuchâteloise. Le fait qu'en sus de sa publication officielle, l'Arrêté ait été préalablement notifié par courrier postal au recourant n'y change rien; il se laisse expliquer par l'inscription, sous l'ancien droit neuchâtelois, du recourant sur la liste des institutions reconnues d'utilité publique, soit par les liens que l'Etat entretenait d'ores et déjà avec cet établissement avant l'adoption de l'Arrêté. De plus, même si l'Arrêté ne concerne de facto qu'un nombre limité d'établissements dans le canton de Neuchâtel, il ne s'adresse pas moins à tout hôpital estimant remplir les conditions pour être inscrit sur la liste LAMal.
D'autre part, et bien qu'il se concentre sur une période de trois ans (2012 à 2014), l'Arrêté régit une situation abstraite. Les conditions que doit remplir tout hôpital afin de pouvoir être inclus dans la planification sanitaire cantonale sont en effet rédigées dans un langage normatif général, sujet à interprétation et laissant une marge d'appréciation à l'autorité cantonale (cf. Rapport du Département neuchâtelois de la santé et des affaires sociales au Conseil d'Etat, du 30 août 2011, p. 4, art. 2 al. 3); ces conditions devront donc encore être concrétisées, dans une étape ultérieure, par le biais d'une ou plusieurs décision(s) tenant compte de la situation particulière de chacun des candidats à l'admission.
1.2.4 Il découle de ce qui précède que l'Arrêté attaqué constitue un acte normatif cantonal qui est, s'agissant du canton de Neuchâtel, directement attaquable par un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral (art. 82 let. b et 87 al. 1 LTF).
Il convient de préciser à cet égard que la liste d'exceptions figurant à l'art. 83 LTF ne s'applique pas aux actes normatifs, mais uniquement aux décisions (cf. arrêts 2C_728/2011 du 23 décembre 2011 consid. 1.1; 2C_230/2010 du 12 avril 2011 consid. 1.1, non publié in ATF 137 I 167). Contrairement donc à ce qu'affirme le recourant, le Tribunal administratif fédéral n'est pas compétent s'agissant d'un contrôle normatif abstrait. Il en va différemment des décisions. En effet, l'art. 53 al. 1 LAMal prévoit notamment que les décisions des gouvernements cantonaux en matière de planification sanitaire selon l'art. 39 LAMal peuvent faire l'objet d'un recours au Tribunal administratif fédéral. De plus, l'art. 83 let. r LTF exclut la compétence du Tribunal fédéral s'agissant des décisions en matière d'assurance-maladie qui ont été rendues par le Tribunal administratif fédéral sur la base de l'art. 34 LTAF. Cette dernière disposition a certes été formellement abrogée ensuite de la révision de la loi fédérale sur l'assurance-maladie (financement hospitalier) du 21 décembre 2007 (cf. RO 2008 2049, p. 2055; FF 2004 5207 ss); toutefois, elle est à présent incorporée aux art. 33 let. i LTAF et 53 al. 1 LAMal, à l'aune desquels le Tribunal administratif fédéral est notamment compétent pour connaître des décisions des gouvernements cantonaux visées à l'art. 39 LAMal et concernant les planification et liste hospitalières (cf. THOMAS HÄBERLI, ad art. 83 let. r LTF, in: Basler Kommentar - Bundesgerichtsgesetz, 2e éd., Bâle 2011, p. 1094 N 271 s.; ALAIN WURZBURGER, ad art. 83 LTF, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, p. 814 N 149 s.).
1.3 Pour le surplus, le recours a été formé en temps utile (art. 101 LTF), soit dans les 30 jours suivant la notification de l'Arrêté par courrier postal du 6 septembre 2011 et suivant la publication officielle, conformément au droit cantonal, de l'acte attaqué dans la Feuille officielle de la République et canton de Neuchâtel du 9 septembre 2011 (cf. ATF 130 I 82 consid. 1.2 p. 84 s.; arrêt 2C_728/2011 du 23 décembre 2011 consid. 1.1).
Par conséquent, dirigé contre un acte normatif cantonal, le recours en matière de droit public formé par les recourants est en principe ouvert devant la Cour de céans.
1.4 Reste à examiner si le recourant dispose de la qualité pour agir devant le Tribunal fédéral au sens de l'art. 89 al. 1 LTF, ce que conteste l'intimé.
1.4.1 La qualité pour recourir contre un acte normatif cantonal se satisfait, selon l'art. 89 al. 1 let. b et c LTF, d'une atteinte virtuelle; il suffit donc que l'on puisse prévoir avec un minimum de vraisemblance que les recourants puissent un jour être touchés directement par l'acte normatif attaqué (ATF 136 I 17 consid. 2.1 p. 21) afin que ceux-ci soient à même d'agir.
Cela étant, la qualité pour recourir auprès du Tribunal fédéral suppose un intérêt actuel et pratique à obtenir l'annulation de l'acte attaqué. Cet intérêt doit exister tant au moment du dépôt du recours qu'à celui où l'arrêt est rendu (ATF 137 I 296 consid. 4.2 p. 299; 136 II 101 consid. 1.1 p. 103).
Le Tribunal fédéral fait abstraction de l'exigence de l'intérêt actuel à recourir lorsque la contestation peut se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues, que sa nature ne permet pas de la trancher avant qu'elle ne perde son actualité et que, en raison de sa portée de principe, il existe un intérêt public suffisamment important à la solution de la question litigieuse (ATF 136 II 101 consid. 1.1 p. 103).
1.4.2 D'après les informations fournies par le recourant dans ses observations du 10 janvier 2012, auxquelles a été joint l'arrêté du Conseil d'Etat fixant la liste des hôpitaux neuchâtelois admis à pratiquer à charge de l'assurance obligatoire des soins (loi fédérale sur l'assurance-maladie [LAMal]) du 21 décembre 2011, l'Hôpital de X._ a été inscrit sur la liste cantonale des hôpitaux admis à pratiquer à charge de la LAMal pour la période allant du 1er janvier 2012 au 31 décembre 2014 (art. 2 let. a et 7 de l'arrêté du 21 décembre 2011); de son propre aveu, cet établissement s'est en outre vu attribuer des mandats pour l'ensemble des "prestations pour lesquelles il avait dûment requis son inscription" (cf. observations du 10 janvier 2012, p. 3 ch. 1; art. 3 et annexe de l'arrêté du 21 décembre 2011).
1.4.3 Il en résulte que le recourant a obtenu, en application des critères fixés dans l'Arrêté attaqué, son admission au sein de la planification cantonale neuchâteloise s'agissant de l'ensemble des mandats de prestations sollicités, ainsi que pour l'intégralité de la durée de validité dudit Arrêté. Partant, l'acte normatif entrepris ne l'affecte plus, pas même virtuellement, dans ses intérêts dignes de protection, au sens de l'art. 89 al. 1 let. c LTF.
Au demeurant, tel que l'expose de manière convaincante l'autorité intimée, l'Arrêté n'est de surcroît "pas destiné à perdurer au-delà de 2014", de sorte que le Conseil d'Etat pourra, voire devra déterminer de nouvelles conditions en vue de l'établissement de la liste hospitalière à arrêter à partir de l'année 2015, aux fins de pouvoir au mieux tenir compte de "l'évolution possible dans l'interprétation de la LAMal" et de "celle des conditions-cadre du système hospitalier national" (cf. observations de l'intimé du 6 février 2012, p. 2). A ce titre, le recourant se contente d'alléguer, sans fournir le moindre indice probant, que les critères qui sont actuellement retenus dans l'Arrêté seraient par la suite fidèlement repris dans le futur acte normatif fixant les conditions à l'admission sur la liste hospitalière dès 2015. On ne se trouve ainsi pas en présence d'une contestation susceptible de se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues, justifiant de déroger à l'intérêt actuel (cf. ATF 137 II 40 consid. 2.1 p. 41; 136 II 101 consid. 1.1 p. 103).
Dans ces circonstances, le recourant ne possède donc plus, contrairement à ce qu'il plaide dans ses observations du 10 janvier 2012, d'intérêt actuel à l'annulation, même partielle, de l'Arrêté litigieux.
1.5 Il convient encore de déterminer les conséquences de l'absence d'intérêt actuel par rapport au présent recours.
Lorsque l'intérêt pour recourir fait défaut au moment du dépôt du recours, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur le recours et le déclare irrecevable. En revanche, si cet intérêt juridique disparaît en cours de procédure, le litige est déclaré sans objet et la cause radiée du rôle (cf. ATF 118 Ia 488 consid. 1a p. 490; arrêt 2C_811/2011 du 5 janvier 2012 consid. 2).
En l'occurrence, l'arrêté fixant la liste des hôpitaux neuchâtelois admis à pratiquer à charge de l'assurance obligatoire des soins, sur lequel figure expressément le nom du recourant, a été adopté par le Conseil d'Etat le 21 décembre 2011 (FO 11/51), tandis que l'Arrêté querellé date du 6 septembre 2011 et que le recours à son encontre a été introduit le 6 octobre 2011. L'intérêt digne de protection du recourant a dès lors disparu en cours de procédure devant le Tribunal fédéral. Par conséquent, il y a lieu de rayer le présent recours du rôle au motif qu'il est devenu sans objet.
2. 2.1 Lorsqu'un procès devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, le Tribunal fédéral statue néanmoins sur les frais afférents à la procédure engagée par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (art. 72 PCF applicable par renvoi de l'art. 71 LTF) et de l'issue probable de celui-ci (ATF 125 V 373 consid. 2a p. 374 s.; arrêts 6B_118/2009 du 20 décembre 2011 consid. 11.2, non publié; 2C_201/2008 du 14 juillet 2008 consid. 2.3). Cette décision porte à la fois sur les frais judiciaires (cf. art. 66 LTF) et sur les dépens (cf. art. 68 LTF; cf. arrêts 2C_237/2009 du 28 septembre 2009 consid. 3; 2C_201/2008 du 14 juillet 2008 consid. 2.4).
La décision à prendre au sujet des frais de la procédure ne saurait toutefois conduire la Cour de céans à rendre un arrêt de fond, voire à préjuger d'une question juridique sensible. Si l'issue probable de la procédure n'apparaît pas évidente, il y a donc lieu de recourir aux critères généraux de la procédure civile, d'après lesquels il convient en première ligne de mettre les frais à la charge de la partie qui est à l'origine de la perte d'objet de la procédure (cf. arrêts 2C_237/2009 du 28 septembre 2009 consid. 3.1; 2C_201/2008 du 14 juillet 2008 consid. 2.3).
Les principes susmentionnés valent tant pour les recours dirigés contre une décision individuelle et concrète qu'en matière de recours portant sur une norme générale et abstraite (pour un exemple, cf. arrêt 2C_77/2007 du 2 avril 2009). Il n'en demeure pas moins que lorsqu'il se prononce sur l'issue probable d'un recours dirigé contre un acte normatif, le Tribunal fédéral doit prendre en compte que, s'il avait dû trancher au fond, il se serait imposé en tout état une certaine retenue eu égard notamment aux principes découlant du fédéralisme et de la proportionnalité; il n'aurait annulé les dispositions cantonales attaquées que si celles-ci ne se seraient prêtées à aucune interprétation conforme au droit constitutionnel ou si, en raison des circonstances, leur teneur aurait fait craindre avec une certaine vraisemblance qu'elles auraient été interprétées de façon contraire à la Constitution et au droit fédéral (cf. ATF 137 I 31 consid. 2 p. 39 s.; 135 II 243 consid. 2 p. 248).
2.2 Il convient d'examiner sommairement les griefs du recourant en fonction de ces principes.
2.2.1 Dans un grief portant sur l'art. 1 al. 2 Arrêté, le recourant affirme que les critères d'admission imposés dans l'Arrêté litigieux auraient pour but et pour effet d'évincer les hôpitaux privés de la planification hospitalière, en ne laissant plus que subsister les hôpitaux publics cantonaux, ce qui serait notamment contraire à la LAMal. Dans ses observations, l'intimé a admis que "le canton de Neuchâtel a retenu que la sécurité sanitaire pouvait être assurée à l'ensemble de la population du canton sur un seul site de [l'Hôpital de Neuchâtel] fournissant des prestations stationnaires pour l'ensemble du canton" et que ledit hôpital public était "un partenaire privilégié de l'Etat dans le domaine des soins physiques" (p. 7); cette affirmation peut s'interpréter comme un objectif du canton de Neuchâtel d'exclure tout établissement privé de la liste LAMal. Dans cette mesure, il est susceptible d'entrer en contradiction avec l'art. 39 al. 1 let. d LAMal, selon lequel la planification cantonale doit prendre en considération de manière adéquate les organismes privés, ainsi qu'avec les art. 58a et 58b de l'ordonnance fédérale du 27 juin 1995 sur l'assurance-maladie (OAMal; RS 832.102) relatifs à la prise en compte des besoins en soins réels de la population. Cela étant, dès lors que l'évaluation des critères et les possibilités de dérogation fixés par l'Arrêté concèdent une marge d'appréciation au Conseil d'Etat, et que ce dernier en a fait usage pour accueillir un hôpital privé, à savoir le recourant, sur la liste cantonale, l'Arrêté serait a priori accessible à une interprétation conforme au droit supérieur, de sorte que les griefs auraient probablement été écartés dans le cadre d'un contrôle abstrait, sans que ce déboutement ne préjuge toutefois de la conformité des actes d'application concrets de l'Arrêté contesté.
2.2.2 Se recoupant avec les griefs liés à l'art. 1 al. 2 Arrêté, les griefs relatifs à l'art. 1 al. 3 Arrêté, selon lesquels la prise en compte, dans le cadre de la planification sanitaire cantonale, des "options stratégiques" définies par les seuls établissements hospitaliers publics cantonaux violerait les art. 39 LAMal, 58a et 58b OAMal et serait de plus arbitraire (art. 9 Cst.), seraient également accessibles à une interprétation conforme aux principes de planification fixés par le droit social fédéral, lequel concède au demeurant une grande liberté aux cantons en la matière (cf. arrêt 2C_727/2011 du 19 avril 2012 consid. 4.3, destiné à la publication).
2.2.3 A juste titre, le recourant a relevé que l'art. 2 al. 1 let. d in fine Arrêté, qui prévoit que le critère de l'obligation d'admission est réputé rempli en cas de financement des prestations pour au moins 50% des patients par l'assurance obligatoire des soins, pourrait être interprété de manière à exclure de la liste hospitalière tout nouvel établissement privé désireux de pratiquer à charge de la LAMal, et qui ne serait partant pas à même de répondre à de telles statistiques. Une interprétation conforme au droit supérieur de cette disposition serait néanmoins envisageable en vertu de l'adage "à l'impossible nul n'est tenu" (cf. ATF 137 I 167 consid. 6.2 p. 180 s.), si bien que les griefs relatifs à l'art. 2 al. 1 let. d Arrêté auraient probablement été écartés.
2.2.4 En revanche, le recourant aurait vraisemblablement obtenu gain de cause s'agissant de la violation alléguée de la liberté d'association négative (art. 23 al. 3 Cst.) par l'art. 2 al. 1 let. e in initio Arrêté. L'obligation imposée aux hôpitaux désireux d'être admis dans la planification cantonale de devenir membres de l'Association nationale pour le développement de la qualité dans les hôpitaux et les cliniques constitue en effet une restriction grave à la liberté associative, ne se justifiant que dans des cas exceptionnels (cf. arrêt 2C_116/2011 du 29 août 2011 consid. 9.1, in: SJ 2011 I 405) et devant en tout état figurer dans une base légale formelle (art. 36 al. 1, 2e phr., Cst.). Quand bien même ladite association servirait, comme l'affirme l'intimé, de "plateforme qualité" de référence, d'autres moyens moins incisifs qu'une adhésion obligatoire seraient a priori envisageables afin de garantir que les hôpitaux figurant sur la liste remplissent des standards qualitatifs élevés.
2.2.5 Il n'est pas évident au premier abord que l'obligation faite aux établissements hospitaliers, et incorporée à l'art. 2 al. 1 let. e in fine Arrêté, de justifier d'une masse critique de prestations médicales et d'une activité suffisantes, serait contraire ou conforme au droit fédéral. Pour pouvoir se prononcer à ce sujet, la Cour de céans aurait dû procéder à un examen approfondi qu'il n'y a pas lieu d'effectuer dans le cadre de la présente analyse sommaire (cf. arrêt 2C_237/2009 du 28 septembre 2009 consid. 3.2.1). Il en va de même s'agissant des griefs formulés à l'encontre de l'art. 2 al. 1 let. h Arrêté, en particulier de la conformité avec l'art. 58c let. a OAMal (planification liée aux prestations) de l'obligation d'alimenter un fonds d'investissement que l'Arrêté instaure.
2.2.6 Pour le surplus, les autres griefs invoqués par le recourant auraient probablement soit été rejetés - en particulier celui relatif à la violation de la liberté économique (cf. arrêt 2C_728/2011 du 23 décembre 2011 consid. 6.1) -, soit déclarés irrecevables pour défaut de motivation suffisante (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF). A ce titre, il est très probable que le Tribunal fédéral ne serait pas entré en matière sur la conclusion principale du recours tendant à l'annulation globale de l'Arrêté, dans la mesure où le recourant a concentré l'ensemble de ses griefs sur un nombre limité de dispositions précises, dont il requiert par ailleurs l'annulation dans sa conclusion subsidiaire.
2.3 Compte tenu des éléments qui précèdent, il est probable que le recourant n'aurait obtenu que partiellement gain de cause. Il convient dès lors de mettre des frais judiciaires réduits à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF), ainsi que de condamner le canton de Neuchâtel à lui verser des dépens réduits (art. 68 al. 1 LTF), aucun frais n'étant mis à la charge du canton et aucun dépens ne lui étant alloué (art. 66 al. 4 et 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral ordonne:
1. Le recours est devenu sans objet et la cause est rayée du rôle.
2. Des frais judiciaires réduits, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 2'000 fr. est allouée au recourant à titre de dépens, à la charge de la République et canton de Neuchâtel.
4. La présente ordonnance est communiquée aux mandataires du recourant et au Conseil d'Etat de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 25 avril 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Chatton