Sachverhalt:
A. Die 1974 geborene deutsche Staatsangehörige S._ war seit Juni 2002 als Pflegefachfrau im Spital X._ tätig und somit bei der AXA Versicherungen AG obligatorisch gegen Unfall versichert. Am 30. Juni 2003 verdrehte sie sich bei einem Sturz auf der Treppe das rechte Knie, wobei sie sich am Innenmeniskus und am Vorderband verletzte. Aufgrund einer unglücklichen Bewegung in der Physiotherapie erlitt sie im Oktober 2003 eine mediale Meniskushinterhornläsion am linken Knie, welche am 26. November 2003 arthroskopisch behandelt wurde. Am 13. Juli 2004 erfolgte ein weiterer operativer Eingriff am linken Knie. Nachdem die AXA Versicherungen AG mit Verfügung vom 8. Oktober 2004 zunächst die Übernahme weiterer Leistungen ab August 2004 abgelehnt hatte, da keine Unfallfolgen mehr vorlägen, anerkannte sie mit Einspracheentscheid vom 17. März 2006 den Meniskusriss am linken Knie als Unfallfolge. Auf das Gesuch der Versicherten vom 25. September 2006 hin sprach sie dieser mit Verfügung vom 7. Mai 2007 Taggelder im Rahmen einer 20-prozentigen Arbeitsunfähigkeit zu, welche sie auf den Zeitraum vom 1. August 2004 bis zum Beginn der Umschulung zum "Eurokaufmann" in Deutschland und somit auf den 22. Februar 2006 befristete. Die dagegen erhobene Einsprache wies der Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 10. Dezember 2007 ab.
B. Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt hiess die von S._ eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 25. März 2009 gut, soweit es darauf eintrat, hob den Einspracheentscheid vom 10. Dezember 2007 auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung im Sinne der Erwägungen an die AXA Versicherungen AG zurück.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die AXA Versicherungen AG beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben, soweit das kantonale Gericht auf die Beschwerde eingetreten sei, und es sei die vorinstanzliche Beschwerde abzuweisen; eventuell sei die Sache zur neuen Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem ersucht sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
S._ schliesst auf Nichteintreten, eventuell auf Abweisung der Beschwerde und beantragt zudem unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das vom Bundesgericht zur Vernehmlassung aufgeforderte Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV), Geschäftsfeld internationale Angelegenheiten, nimmt in abweisendem Sinne Stellung.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 135 III 1 E. 1.1 S. 3 mit Hinweisen).
2. 2.1 Das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt hat erwogen, die Beschwerdeführerin habe entweder auf das bei den Akten liegende ärztliche Gutachten des Dr. med. C._ abzustellen oder die Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin durch ein die verschiedenen Arztmeinungen einlässlich würdigendes Obergutachten klären zu lassen, und die Sache daher zu weiteren Abklärungen im Sinne der Erwägungen an den Unfallversicherer zurückgewiesen (sog. Rückweisungsentscheid). Es beurteilte im angefochtenen Entscheid zwar einige materiellrechtliche Teilfragen, jedoch nicht einzelne Rechtsbegehren. Demnach schliesst dieser Entscheid das Verfahren weder insgesamt noch über einzelne Rechtsbegehren ab, weshalb es keinen End- oder Teilentscheid im Sinne von Art. 90 und 91 BGG darstellt, sondern einen Zwischenentscheid (vgl. BGE 133 V 477 E. 4.2 und 4.3 S. 481 f.), der nicht im Sinne von Art. 92 BGG die Zuständigkeit oder den Ausstand betrifft und somit nur unter den Voraussetzungen des Art. 93 BGG selbständig anfechtbar ist.
2.2 Voraussetzung für die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden ist gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zunächst, dass sie selbständig eröffnet worden sind, was hier zutrifft. Erforderlich ist sodann alternativ, dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
2.2 Voraussetzung für die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden ist gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zunächst, dass sie selbständig eröffnet worden sind, was hier zutrifft. Erforderlich ist sodann alternativ, dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
2.3 2.3.1 Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG liegt vor, wenn der Nachteil auch mit einem für die beschwerdeführende Partei günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollständig behebbar wäre. Die Verpflichtung zur Vornahme weiterer oder ergänzender Abklärungen und neuer Entscheidung durch das kantonale Gericht stellt regelmässig keinen im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht wieder gutzumachenden Nachteil dar. Denn sie führt bloss zu einer dieses Kriterium nicht erfüllenden Verlängerung und Verteuerung des Verfahrens, ohne dass die Zulassung der Rückweisung für sich allein eine Verbesserung des Rechtsschutzes darstellt (BGE 133 V 477 E. 5.2.2 S. 483). Nur so lässt sich der Zweck der Ausnahmeregelung des Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG erreichen, dass das Bundesgericht sich nicht mehr als ein Mal mit derselben Streitsache befassen muss (vgl. BGE 131 III 404 E. 3.3 S. 407), zumal infolge oder anlässlich von zusätzlichen Sachverhaltsabklärungen neue Rechtsfragen auftreten können. In diesem Sinne ist ein nicht wieder gutzumachender Nachteil zu verneinen, wenn und soweit die Rügen die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung betreffen.
2.3.2 Das kantonale Gericht hat kein weitläufiges Beweisverfahren angeordnet, welches einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG mit sich bringen würde, was auch von der Beschwerdeführerin nicht behauptet wird. Diese macht jedoch geltend, bei einer richtigen Sachverhaltsfeststellung aufgrund der bestehenden Aktenlage erübrige sich eine ergänzende Begutachtung, und es könne ohne weiteres sofort ein Endentscheid herbeigeführt werden. Im vorinstanzlichen Entscheid wurde einlässlich dargelegt, dass die medizinischen Unterlagen eine weitgehende bis vollständige Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin in ihrer angestammten Tätigkeit über den 1. August 2004 hinaus indizieren würden, wobei die Vorinstanz der Beschwerdeführerin die Möglichkeit einräumte, diese Vermutung durch eine neuerliche, eingehende Begutachtung zu entkräften (oder zu erhärten) und gestützt auf deren Ergebnis die Höhe des Taggelds ab dem 1. August 2004 festzusetzen. Lässt sich aufgrund der vorhandenen medizinischen Akten die Höhe des Taggeldanspruchs nicht ohne weiteres beurteilen, ist nicht ersichtlich, wie das Bundesgericht ohne weitere Sachverhaltsabklärungen unmittelbar einen Endentscheid herbeiführen könnte.
2.3.2 Das kantonale Gericht hat kein weitläufiges Beweisverfahren angeordnet, welches einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG mit sich bringen würde, was auch von der Beschwerdeführerin nicht behauptet wird. Diese macht jedoch geltend, bei einer richtigen Sachverhaltsfeststellung aufgrund der bestehenden Aktenlage erübrige sich eine ergänzende Begutachtung, und es könne ohne weiteres sofort ein Endentscheid herbeigeführt werden. Im vorinstanzlichen Entscheid wurde einlässlich dargelegt, dass die medizinischen Unterlagen eine weitgehende bis vollständige Arbeitsunfähigkeit der Beschwerdegegnerin in ihrer angestammten Tätigkeit über den 1. August 2004 hinaus indizieren würden, wobei die Vorinstanz der Beschwerdeführerin die Möglichkeit einräumte, diese Vermutung durch eine neuerliche, eingehende Begutachtung zu entkräften (oder zu erhärten) und gestützt auf deren Ergebnis die Höhe des Taggelds ab dem 1. August 2004 festzusetzen. Lässt sich aufgrund der vorhandenen medizinischen Akten die Höhe des Taggeldanspruchs nicht ohne weiteres beurteilen, ist nicht ersichtlich, wie das Bundesgericht ohne weitere Sachverhaltsabklärungen unmittelbar einen Endentscheid herbeiführen könnte.
2.4 2.4.1 Das Bundesgericht nimmt einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG an, wenn eine beschwerdebefugte Behörde durch einen Rückweisungsentscheid gezwungen wird, eine ihrer Ansicht nach rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Ihren eigenen Entscheid kann die Behörde nicht anfechten. Er könnte dadurch rechtskräftig werden, ohne dass sie je Gelegenheit hatte, ihn dem Bundesgericht zu unterbreiten. Um dies zu vermeiden, darf die Behörde unter Berufung auf Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bereits gegen den Rückweisungsentscheid oder den ihn bestätigenden Entscheid an das Bundesgericht gelangen (vgl. BGE 133 V 477 E. 5 S. 482 ff.; in BGE 134 V 392 nicht publizierte Erwägung 1 des Urteils 8C_682/2007 vom 30. Juli 2008). Keine Rolle spielt dabei, ob die Vorinstanz sich zu allen entscheidwesentlichen Fragen geäussert hat und ob sie auch noch Sachverhaltsabklärungen verlangt (vgl. BGE 133 V 477).
2.4.2 Die Beschwerdeführerin begründet das Vorliegen eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG mit dem Argument, die Vorinstanz habe in Erwägung 3.4 verbindlich festgehalten, der Anspruch der Beschwerdegegnerin auf das Übergangstaggeld der Deutschen Rentenversicherung schliesse den Anspruch auf ein schweizerisches Unfalltaggeld nicht aus. In Erwägung 4.3 des angefochtenen Entscheids habe das kantonale Gericht zudem ausgeführt, eine Verweistätigkeit dürfe bei der Bemessung der Taggelder nicht berücksichtigt werden. Erwägung 5 enthalte überdies die Anweisung, Art. 19 UVG bei der Bemessung des Taggeldanspruchs zu berücksichtigen, wobei diese Bestimmung frühestens seit Abschluss der beruflichen Eingliederungsmassnahmen im Ausland Geltung erlangen könne.
2.4.3 Soweit der kantonale Rückweisungsentscheid den Unfallversicherer verpflichtet, den Anspruch auf das schweizerische Unfalltaggeld unabhängig vom Anspruch auf deutsche Sozialversicherungsleistungen zu prüfen, hat er aufgrund der Verbindlichkeit des auf seine Motive verweisenden Dispositivs insofern einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zur Folge, als die Beschwerdeführerin damit gezwungen wäre, eine ihres Erachtens rechtswidrige neue Verfügung zu erlassen, ohne das falsche Ergebnis später bundesgerichtlich überprüfen lassen zu können. In diesem Punkt ist auf die Beschwerde demnach einzutreten.
2.4.4 Hinsichtlich der Frage, ob bei der Bemessung der Höhe des Taggeldanspruchs allenfalls auf die Arbeitsfähigkeit in einer alternativen Tätigkeit abzustellen ist, enthält der Rückweisungsentscheid keine den Beurteilungsspielraum des Versicherungsträgers wesentlich einschränkende Vorgaben. Mit diesem Punkt wird sich die Beschwerdeführerin im Rahmen der Neubeurteilung nochmals befassen müssen, zumal nicht auszuschliessen ist, dass sich anlässlich der Gesamtbeurteilung neue Sachverhaltsaspekte ergeben werden. Damit erwächst ihr in diesem Zusammenhang kein nicht wieder gutzumachender Nachteil, weshalb diesbezüglich auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
2.4.5 Zur streitigen Dauer des Taggeldanspruchs hat das kantonale Gericht festgehalten, dieser erlösche mit der Wiedererlangung der vollen Arbeitsfähigkeit oder mit dem Beginn einer Rente (Art. 16 Abs. 2 Satz 2 UVG). Da möglicherweise im Sinne von Art. 19 Abs. 1 UVG von der ärztlichen Behandlung keine wesentliche Besserung mehr zu erwarten und die Massnahmen zur beruflichen Eingliederung abgeschlossen seien, habe der Unfallversicherer auch die Rentenfrage zu prüfen. Diese bilde zwar nicht Gegenstand des Verfahrens, doch habe sie Auswirkungen auf die Dauer des Taggeldanspruchs. Die zu diesem Zweck erfolgte vorinstanzliche Rückweisung enthält ebenfalls keine Vorgaben, welche die Beschwerdeführerin in ihrer Verfügungsbefugnis einschränken und es rechtfertigen würden, dass sich das Bundesgericht bereits in diesem Verfahren damit befasst. Auch diesbezüglich ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.5 Zusammenfassend ist die Beschwerde nach Art. 93 Abs. 1 BGG somit zulässig und darauf einzutreten, da auch die übrigen formellen Gültigkeitserfordernisse gegeben sind, soweit die Beschwerdeführerin sich gegen die verbindliche Vorgabe im angefochtenen Rückweisungsentscheid der Beurteilung des Anspruchs auf ein schweizerisches Unfalltaggeld unabhängig vom Anspruch auf das deutsche Übergangstaggeld wehrt. Dagegen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, soweit gerügt wird, die vorinstanzliche Rückweisung zu weiterer Abklärung sei unnötig und die Sache spruchreif und soweit der vorinstanzliche Entscheid Ausführungen zur Höhe und zur Dauer der Arbeitsunfähigkeit und damit des Taggeldanspruchs enthält.
3. 3.1 Nach Art. 1 Abs. 1 des auf der Grundlage des Art. 8 des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedern andererseits über die Freizügigkeit (FZA; SR 0.142.112.681) ausgearbeiteten und Bestandteil des Abkommens bildenden (Art. 15 FZA) Anhangs II ("Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit") FZA in Verbindung mit Abschnitt A dieses Anhangs wenden die Vertragsparteien untereinander insbesondere die Verordnung (EWG) Nr. 1408/71 des Rates vom 14. Juni 1971 zur Anwendung der Systeme der sozialen Sicherheit auf Arbeitnehmer und Selbständige sowie deren Familienangehörige, die innerhalb der Gemeinschaft zu- und abwandern (nachfolgend: Verordnung Nr. 1408/71; SR 0.831.109.268.1), und die Verordnung (EWG) Nr. 574/72 des Rates vom 21. März 1972 über die Durchführung der Verordnung (EWG) Nr. 1408/71 über die Anwendung der Systeme der sozialen Sicherheit auf Arbeitnehmer und Selbständige sowie deren Familienangehörige, die innerhalb der Gemeinschaft zu- und abwandern (SR 0.831.109.268.11), oder gleichwertige Vorschriften an. Art. 115a UVG verweist in Abs. 1 lit. a auf das FZA und die erwähnten Koordinationsbestimmungen.
3.2 Das Abkommen und die Koordinationsverordnungen sind in persönlicher Hinsicht auf die Beschwerdegegnerin anwendbar, weil sie als deutsche Staatsbürgerin Angehörige eines Mitgliedstaates ist und als Arbeitnehmerin den Rechtsvorschriften eines oder mehrerer Mitgliedstaaten untersteht oder unterstand (Art. 2 Abs. 1 Verordnung Nr. 1408/71). Auch der sachliche Anwendungsbereich ist gegeben. Dieser bezieht sich gemäss Art. 4 Abs. 1 Verordnung Nr. 1408/71 auf alle Rechtsvorschriften der sozialen Sicherheit, welche unter anderem Leistungen bei Krankheit und Mutterschaft (lit. a) und bei Arbeitsunfällen und Berufskrankheiten (lit. e) betreffen. Dabei sind die in dieser Bestimmung enthaltenen Leistungsumschreibungen nicht nach Massgabe des innerstaatlichen Rechts, sondern nach gemeinschaftsrechtlichen Kriterien zu verstehen (BGE 134 V 284 E. 3.2 S. 288 mit Hinweisen). Sowohl Leistungen aus Berufs- wie auch solche aus Nichtberufsunfällen gemäss UVG fallen unter den Geltungsbereich der Verordnung Nr. 1408/71 (JEAN-MAURICE FRÉSARD/MARGIT MOSER-SZELESS, L'assurance-accidents obligatoire, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2007, S. 854 Rz. 50 ff.; EDGAR IMHOF, Eine Anleitung zum Gebrauch des Personenfreizügigkeitsabkommens und der Vo 1408/71, in: Aktuelles im Sozialversicherungsrecht, 2001, S. 74 f.; PATRICIA USINGER-EGGER, Die Unfallversicherung und ihre Auslandswirkung, SZS 2008 S. 253; vgl. zudem JEAN MÉTRAL/MARGIT MOSER-SZELESS, L'accord sur la libre circulation des personnes: coordination des systèmes de sécurité sociale et jurisprudence du Tribunal fédéral [II], HAVE 2007, S. 164). Da die Schweiz als einziges Land der Vertragsstaaten des FZA Nichtberufsunfälle grundsätzlich obligatorisch durch das Unfallversicherungsrecht abdeckt, koordiniert die Verordnung Nr. 1408/71 das Risiko der Nichtberufsunfälle nicht (FRÉSARD/MOSER-SZELESS, a.a.O., S. 854 Rz. 51; USINGER-EGGER, a.a.O., S. 253).
3.3 Wie das Bundesgericht in BGE 135 V 339 E. 4.4.1 S. 346 festgehalten hat, besteht weitgehende Übereinstimmung darin, dass medizinische Sachleistungen der Nichtberufsunfallversicherung den Bestimmungen von Titel III Kapitel I Verordnung Nr. 1408/71 ("Krankheit und Mutterschaft"; Art. 18 bis 36) zuzuordnen sind. Dasselbe gilt auch bezüglich der Taggeldleistungen (BETTINA KAHIL-WOLFF, La coordination européenne des systèmes nationaux de sécurité sociale, in: Soziale Sicherheit, a.a.O., S. 200 Rz. 74; FRÉSARD/MOSER-SZELESS, a.a.O., S. 855 Rz. 52; vgl. auch Kreisschreiben Nr. 19 des BSV zur Unfallversicherung vom 18. Januar 2002, Rz. 5.2.3; IMHOF, Eine Anleitung zum Gebrauch des Personenfreizügigkeitsabkommens, a.a.O., S. 60 schliesst dies zumindest nicht aus; anderer Meinung: USINGER-EGGER, a.a.O., welche davon ausgeht, dass die Leistungen des UVG für Nichtberufsunfälle gesamthaft Titel III Kapitel 4 ["Arbeitsunfälle und Berufskrankheiten"] zu unterstellen sind).
3.4 Der zu den allgemeinen Vorschriften von Titel I Verordnung Nr. 1408/71 gehörende Art. 12 Abs. 2 mit der Überschrift "Verbot des Zusammentreffens von Leistungen", auf den sich die Parteien berufen, hat folgenden Wortlaut: "Ist in den Rechtsvorschriften eines Mitgliedstaates für den Fall des Zusammentreffens einer Leistung mit anderen Leistungen der sozialen Sicherheit oder mit jederlei sonstigen Einkünften vorgesehen, dass die Leistung gekürzt, zum Ruhen gebracht oder entzogen wird, so sind, sofern in dieser Verordnung nichts anderes bestimmt ist, diese Vorschriften einem Berechtigten gegenüber auch dann anwendbar, wenn es sich um Leistungen, die nach den Rechtsvorschriften eines anderen Mitgliedstaats erworben wurden, oder um Einkünfte handelt, die im Gebiet eines anderen Mitgliedstaats bezogen werden."
3.4 Der zu den allgemeinen Vorschriften von Titel I Verordnung Nr. 1408/71 gehörende Art. 12 Abs. 2 mit der Überschrift "Verbot des Zusammentreffens von Leistungen", auf den sich die Parteien berufen, hat folgenden Wortlaut: "Ist in den Rechtsvorschriften eines Mitgliedstaates für den Fall des Zusammentreffens einer Leistung mit anderen Leistungen der sozialen Sicherheit oder mit jederlei sonstigen Einkünften vorgesehen, dass die Leistung gekürzt, zum Ruhen gebracht oder entzogen wird, so sind, sofern in dieser Verordnung nichts anderes bestimmt ist, diese Vorschriften einem Berechtigten gegenüber auch dann anwendbar, wenn es sich um Leistungen, die nach den Rechtsvorschriften eines anderen Mitgliedstaats erworben wurden, oder um Einkünfte handelt, die im Gebiet eines anderen Mitgliedstaats bezogen werden."
3.5 3.5.1 Art. 12 Verordnung Nr. 1408/71 enthält Vorschriften zur Verhinderung der Kumulierung von sog. Verordnungsleistungen. Darunter sind Leistungen zu verstehen, die nicht schon allein aufgrund der Anwendung landesrechtlicher Sozialversicherungsgesetze, sondern erst durch das Zusammenwirken landesrechtlicher Gesetze und der Verordnung Nr. 1408/71 und der darin enthaltenen Zusammenrechnungsregeln, des Diskriminierungsverbots und des Leistungsexportgebots erworben oder aufrechterhalten wurden. Landesrechtliche Antikumulierungsvorschriften mit innerstaatlichem Geltungsbereich finden somit auch dann Anwendung, wenn die zweite Leistung von einem anderen Mitgliedstaat bezogen wird. Art. 12 Abs. 2 Verordnung Nr. 1408/71 entterritorialisiert rein landesinterne Antikumulierungsvorschriften für Leistungen unterschiedlicher Art, indem er den Bezug einer ausländischen Leistung jenem einer inländischen Leistung gleichstellt (sog. Exterritorialisierung von nationalen Kürzungsvorschriften mit internem Anwendungsbereich).
3.5.2 Handelt es sich jedoch bei der zu kürzenden Leistung um eine solche, die allein aufgrund innerstaatlicher Vorschriften, ohne Zuhilfenahme von Anrechnungsbestimmungen der Verordnung Nr. 1408/71 erworben oder aufrechterhalten wurde (sog. nationale Leistung), untersagt das Günstigkeits- oder Petroni-Prinzip (vgl. Urteil des EuGH vom 21. Oktober 1975 24/75 PETRONI, Slg. 1975 S. 1149) die Ausdehnung des Anwendungsbereichs einer landesrechtlichen Kürzungsbestimmung durch die Verordnung Nr. 1408/71. In diesem Urteil hielt der EuGH fest, gemeinschaftsrechtlich bestehe bloss die Kompetenz zur Erweiterung von Ansprüchen von Wandererwerbstätigen mittels Koordinationsvorschriften, nicht aber eine solche zur Kürzung von Leistungen, die schon allein aufgrund nationalen Rechts, d.h. ohne Heranziehen der gemeinschaftsrechtlichen Koordinationsvorschriften entstanden sind oder aufrechterhalten werden. Das Gemeinschaftsrecht darf sich im Verhältnis zum Landesrecht somit nur rechtserweiternd, nicht aber rechtsverengend auswirken. Insbesondere schafft Art. 12 Abs. 2 Verordnung Nr. 1408/71 nicht anstelle der im Recht des zuständigen Staates fehlenden Kürzungs-, Änderungs- und Ruhensvorschriften eigenständige Regelungen. Allerdings steht das Gemeinschaftsrecht der Anwendung nationaler Antikumulierungsvorschriften nicht entgegen, die auch fremdstaatliche Leistungen und Einkünfte als Ruhens- oder Kürzungsgründe erfassen. Die Mitgliedstaaten können somit bezüglich nationaler Leistungen international umfassende Antikumulierungsregeln erlassen, die fremdmitgliedstaatliche Leistungsansprüche mitberücksichtigen (sog. externe landesrechtliche Antikumulierungsbestimmungen). Art. 46a bis 46c Verordnung Nr. 1408/71, auf welche Bestimmungen Art. 12 Abs. 2 mit dem Hinweis "sofern diese Verordnung nichts anderes vorsieht" abzielt, enthalten betreffend der genannten Renten eine spezielle Regelung (vgl. zum Ganzen: IMHOF, Eine Anleitung zum Gebrauch des Personenfreizügigkeitsabkommens, a.a.O., S. 39 f. und S. 91 f.; DERSELBE, Schweizerische Leistungen bei Mutterschaft und FZA/Europarecht, in: Das europäische Koordinationsrecht der sozialen Sicherheit und die Schweiz, 2006, S. 156 ff.; ROLF SCHULER, in: Europäisches Sozialrecht, 4. Aufl. 2005, S. 163 f.; GÖRG HAVERKATE/STEFAN HUSTER, Europäisches Sozialrecht, 1999, S. 123 Rz. 152; EBERHARD EICHENHOFER, Sozialrecht der Europäischen Union, 3. Aufl. 2006, S. 93 f.).
4. 4.1 Nach den insoweit unbestrittenen Feststellungen des kantonalen Gerichts bezog die Beschwerdegegnerin während der Umschulung zum "Eurokaufmann" und drei Monate darüber hinaus, somit vom 23. Februar 2006 bis 19. Mai 2008 ein deutsches Übergangstaggeld. Das schweizerische Unfalltaggeld belaufe sich bei vollständiger Arbeitsunfähigkeit auf Fr. 143.75 pro Tag und übertreffe damit das deutsche Übergangstaggeld von rund Euro 30.- pro Tag. Weiter hat die Vorinstanz erwogen, die nationale Antikumulierungsregel von Art. 16 Abs. 3 UVG beschränke sich auf nationale Sozialversicherungsleistungen. Beim schweizerischen UVG-Taggeld handle es sich zudem um einen Anspruch, der sich auf rein nationales Recht stütze, weshalb Art. 12 Abs. 2 Verordnung Nr. 1408/71 nicht zur Anwendung gelange mit der Folge, dass der Anspruch auf das deutsche Übergangstaggeld den Anspruch auf ein schweizerisches Unfalltaggeld nicht ausschliesse. Diese Auffassung teilt auch das BSV.
4.2 Nach Ansicht der Beschwerdeführerin verkennt die Vorinstanz, dass das UVG-Taggeld aufgrund von Art. 115a Abs. 1 lit. a UVG in Verbindung mit Art. 19 Abs. 1 Verordnung Nr. 1408/71 und damit nur unter Berücksichtigung des gemeinschaftsrechtlichen Koordinationsrechts ins Ausland exportiert werde. Daher handle es sich nicht um einen rein im innerstaatlichen Recht begründeten Anspruch. Erst das gemeinschaftsrechtliche Koordinationsrecht, d.h. Art. 19 Abs. 1 Verordnung Nr. 1408/71 lasse den Anspruch auf UVG-Taggelder der in Deutschland wohnhaften Beschwerdegegnerin entstehen. Das kantonale Gericht habe die deutschen Übergangstaggelder fälschlicherweise nicht berücksichtigt und damit Art. 16 Abs. 3 UVG in Verbindung mit Art. 12 Abs. 2 Verordnung Nr. 1408/71 verletzt.
5. 5.1 Nach Art. 1a Abs. 1 UVG sind alle nach diesem Gesetz in der Schweiz beschäftigten Personen obligatorisch gegen Unfälle versichert. Soweit das Gesetz nichts anderes bestimmt, werden die Versicherungsleistungen bei Berufs- und Nichtberufsunfällen gewährt (Art. 6 Abs. 1 UVG). Der versicherte Unfall der Beschwerdegegnerin hat sich nicht im Rahmen ihrer Erwerbstätigkeit ereignet, weshalb nicht von einem Berufsunfall (vgl. Art. 7 UVG), sondern von einem Nichtberufsunfall (Art. 8 UVG) auszugehen ist. Ist die versicherte Person infolge des Unfalles voll oder teilweise arbeitsunfähig, so hat sie Anspruch auf ein Taggeld (Art. 16 Abs. 1 UVG). Dieses wird nicht gewährt, wenn ein Anspruch auf ein Taggeld der Invalidenversicherung oder eine Mutterschaftsentschädigung nach dem Erwerbsersatzgesetz vom 25. September 1952 besteht (Art. 16 Abs. 3 UVG).
5.2 Das UVG enthält keine Vorschrift, welche - wie etwa der bis 31. Dezember 2003 in Kraft gestandene Art. 28 Abs. 1ter IVG bezüglich der Viertelsrenten (vgl. BGE 130 V 253) - vorsieht, dass Taggelder nur an Versicherte ausgerichtet werden, die ihren Wohnsitz oder ihren gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz haben. Diese sind nicht "standortgebunden", so dass der schweizerische Unfallversicherer unabhängig von einer entsprechenden gemeinschaftsrechtlichen Koordinationsbestimmung (vgl. Art. 19 Abs. 1 lit. b Verordnung Nr. 1408/71) einer versicherten Person, welche in einem EU-Staat wohnt, diese direkt ausbezahlt (IMHOF, Eine Anleitung zum Gebrauch des Personenfreizügigkeitsabkommens, a.a.O., S. 39; FRÉSARD/MOSER-SZELESS, a.a.O., S. 927 Rz. 284; bereits erwähntes Kreisschreiben Nr. 19 des BSV, Rz. 5.2.2.1. lit. b). Beim Anspruch auf schweizerisches UVG-Taggeld handelt es sich somit um einen allein auf nationalem Recht beruhenden Anspruch. Die obligatorisch gegen Unfall versicherten Arbeitnehmenden in der Schweiz haben unabhängig davon Anspruch auf die Leistungen, ob sie ihren Wohnsitz in der Schweiz oder im Ausland haben. Die Exportierbarkeit der UVG-Taggelder erfolgt unabhängig von Art. 19 Abs. 1 lit. b Verordnung Nr. 1408/71. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin handelt es sich daher um nationale Leistungen und nicht um sog. Versicherungsleistungen, die erst durch das Zusammenwirken von Landesrecht und Gemeinschaftsrecht erworben oder aufrechterhalten werden (vgl. E. 3.5 hievor).
5.3 Das deutsche Übergangstaggeld könnte daher nur dann angerechnet werden, wenn die schweizerische Gesetzgebung dies in einer sog. externen Antikumulierungsbestimmung vorsehen würde. Beim von der Beschwerdeführerin angerufenen Art. 16 Abs. 3 UVG handelt es sich jedoch um eine rein nationale Antikumulierungsbestimmung, die nur zum Zuge kommt, wenn der Anspruch auf UVG-Taggeld mit IVG-Taggeld zusammentrifft. Die Bestimmung erwähnt ausdrücklich nur das "Taggeld der Invalidenversicherung". Dasselbe gilt gestützt auf Art. 20 Abs. 2 UVG im Übrigen auch in Bezug auf die Renten. Wie das BSV ausführt, ist im Rahmen der laufenden Revision des UVG vorgesehen, für Unfallrenten eine "externe" Antikumulierungsvorschrift zu schaffen, die es ermöglichen soll, auch ausländische Renten zu berücksichtigen (vgl. Botschaft vom 30. Mai 2008 über Änderungen des Bundesgesetzes über die Unfallversicherung, BBl 2008 5395 Ziff. 2.2).
5.4 Zusammenfassend ergibt sich somit, dass es sich beim UVG-Taggeld sowie bei der Antikumulierungsregelung von Art. 16 Abs. 3 UVG um rein nationale Ansprüche bzw. Regelungen handelt, weshalb Art. 12 Abs. 2 Verordnung Nr. 1408/71 nicht zur Anwendung kommt. Es stellt daher keine Rechtsverletzung dar, wenn die Vorinstanz davon ausging, das deutsche Übergangstaggeld schliesse den Anspruch auf das UVG-Taggeld nicht aus.
6. Mit dem Entscheid in der Hauptsache wird das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
7. Dem Prozessausgang entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen und der anwaltlich vertretenen Versicherten eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 66 Abs. 1 Art. 68 Abs. 2 BGG), was zur Gegenstandslosigkeit ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege führt.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Mai 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer