Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 12. März 2003 sprach die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich, IV-Stelle, der 1977 geborenen Z._ für die Zeit ab 1. Juni 2000 eine ganze Rente zu. Sie stützte sich dabei insbesondere auf ein Gutachten des Zentrums X._ vom 10. Juni 2002. Der ermittelte Invaliditätsgrad betrug 100 %.
Im Rahmen einer Rentenrevision holte die IV-Stelle unter anderem ein Gutachten der Ärztliches Begutachtungsinstitut GmbH, vom 26. September 2006 ein. Anschliessend zog sie mit Verfügung vom 9. Mai 2007 diejenige vom 12. März 2003 in Wiedererwägung und hob die laufende Rente auf das Ende des der Zustellung der neuen Verfügung folgenden Monats (also auf Ende Juni 2007) auf.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ab (Entscheid vom 5. Januar 2009).
C. Z._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr ab 1. Juli 2007 weiterhin eine ganze Rente auszurichten; eventuell sei ein multidisziplinäres Gutachten in Auftrag zu geben, um die Beschwerden der Beschwerdeführerin und ihre Arbeitsfähigkeit abzuklären. Subeventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz bzw. die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. des Bundesgesetzes über das Bundesgericht, BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Verwaltung und Vorinstanz haben die Bestimmungen und Grundsätze über das intertemporale Recht (BGE 127 V 466 E. 1 S. 467; 126 V 134 E. 4b S. 136), die Voraussetzungen und den Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 IVG), die Bemessung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der Einkommensvergleichsmethode (Art. 16 ATSG in Verbindung mit Art. 28 Abs. 2 IVG; BGE 130 V 343 E. 3.4.2 S. 349), die Aufgabe des Arztes oder der Ärztin im Rahmen der Invaliditätsbemessung (BGE 125 V 256 E. 4 S. 261; vgl. auch BGE 115 V 133 E. 2 S. 134, 114 V 310 E. 3c S. 314, 105 V 156 E. 1 S. 158), den Beweiswert und die Würdigung ärztlicher Berichte und Gutachten (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) sowie die Revision und Wiedererwägung rechtskräftiger Verfügungen (Art. 17 Abs. 1 und Art. 53 Abs. 2 ATSG) und die zeitliche Wirkung eines derartigen Entscheides (Art. 88a IVV) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Die IV-Stelle hat mit der vorinstanzlich bestätigten Verfügung vom 9. Mai 2007 die der Beschwerdeführerin mit rechtskräftiger Verfügung vom 12. März 2003 zugesprochene, laufende ganze Rente auf Ende Juni 2007 aufgehoben. Dieses Vorgehen setzt einen Abänderungstitel voraus. Als solche gelten die Rentenrevision (Art. 17 Abs. 1 ATSG), die prozessuale Revision (Art. 53 Abs. 1 ATSG), die Wiedererwägung (Art. 53 Abs. 2 ATSG) sowie die gesetzlich nicht geregelte Anpassung an geänderte Rechtsgrundlagen (zum Ganzen BGE [8C_502/2007] E. 5.1 und BGE [9C_1009/2008] E. 4.1, je mit Hinweisen).
3.1 Das kantonale Gericht hat für das Bundesgericht verbindlich (E. 1 hiervor) festgestellt, der Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin habe sich zwischen dem Erlass der Verfügung vom 12. März 2003 und der Verfügung vom 9. Mai 2007 nicht erheblich verändert. Die Akten enthalten auch keine Hinweise auf andere anspruchserhebliche Sachverhaltsänderungen. Unter diesen Umständen scheidet eine Rentenrevision gemäss Art. 17 Abs. 1 ATSG aus.
3.2 Neue erhebliche Tatsachen oder Beweismittel, welche bei Erlass der Verfügung vom 12. März 2003 bereits bestanden, aber erst später entdeckt wurden, wobei ihre Beibringung zuvor nicht möglich war, werden nicht geltend gemacht. Die Voraussetzungen einer prozessualen Revision (Art. 53 Abs. 1 ATSG) sind daher nicht erfüllt.
3.3 Die IV-Stelle stützte die Rentenaufhebung auf den Rückkommenstitel der Wiedererwägung. Sie ging davon aus, die Zusprechung einer ganzen Rente durch die Verfügung vom 12. März 2003 sei zweifellos unrichtig gewesen. Damals habe eine Restarbeitsfähigkeit von 30-50 % bestanden, welche unbeachtet geblieben bzw. ohne Begründung weggelassen worden sei. Das kantonale Gericht hat dazu in ausführlicher Würdigung der damaligen medizinischen Unterlagen festgehalten, es sei von einer Arbeitsfähigkeit - in einer angepassten Tätigkeit - von mindestens 25 % auszugehen. Auf dieser Basis kann jedoch nicht von einer zweifellosen Unrichtigkeit der ursprünglichen Verfügung gesprochen werden: Auch wenn die Ermittlung des Invaliditätsgrades aufgrund eines konkreten Einkommensvergleichs prinzipiell vorzuziehen gewesen wäre, hätte die IV-Stelle unter den gegebenen Umständen ausgehend von einer Arbeitsunfähigkeit in Verweisungstätigkeiten von 75 % vertretbarerweise auf einen Invalditätsgrad von mindestens 66 2/3 % (vgl. Art. 28 Abs. 1 IVG in der bis 31. Dezember 2003 gültig gewesenen Fassung) schliessen und den Anspruch auf eine ganze Rente bejahen können. Die SUVA hatte der Versicherten denn auch mit Verfügung vom 7. Januar 2003 eine Invalidenrente von 70 % zugesprochen. Den Akten ist überdies zu entnehmen, dass die IV-Stelle bei der seinerzeitigen Anspruchsbeurteilung davon ausging, neben den im (dem Unfallversicherer erstatteten) Gutachten des Zentrums X._ vom 10. Juni 2002 behandelten unfallkausalen Beschwerden (mit einer Restarbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit von 30-50 %) lägen zusätzlich unfallfremde Faktoren vor, deren Anteil im Gutachten auf rund 35 % beziffert werde. Diese Interpretation des Gutachtens ist zwar nicht zwingend, kann aber auch nicht als eindeutig falsch bezeichnet werden. Vor diesem Hintergrund lässt sich die vom IV-Arzt geteilte Schlussfolgerung, unter Einbezug aller durch die Invalidenversicherung zu berücksichtigenden Elemente resultiere keine verwertbare Restarbeitsfähigkeit, mit der damaligen medizinischen Aktenlage vereinbaren, auch wenn eine andere Würdigung ebenfalls möglich und allenfalls vorzuziehen gewesen wäre. Die ursprüngliche Rentenzusprechung lässt sich auch aus diesem Grund nicht als zweifellos unrichtig bezeichnen. Eine Wiedererwägung scheidet aus.
3.4 Das kantonale Gericht hat die Verfügung vom 9. Mai 2007 unter Berufung auf den Anpassungsgrund der veränderten Rechtsgrundlagen bestätigt. Es hielt fest, die zur Diskussion stehende gesundheitliche Beeinträchtigung liege sehr nahe bei den Somatisierungsstörungen. Es rechtfertige sich daher, die mit BGE 130 V 352 eingeleitete Rechtsprechung zur somatoformen Schmerzstörung anzuwenden. Auf dieser Grundlage bestehe kein Rentenanspruch. Die Rente sei daher in Anpassung an die seit dem Jahr 2004 bestehende Rechtsprechung zu entziehen. Das Bundesgericht hat diesen Rechtsstandpunkt jedoch inzwischen verworfen (BGE [8C_502/2007]). Daher bietet auch diese Argumentation keine Grundlage für die umstrittene Rentenaufhebung. Dasselbe gilt für den vorliegend nicht anwendbaren, am 1. Januar 2008 in Kraft getretenen Art. 7 Abs. 2 ATSG (BGE [9C_1009/2008]).
3.5 Zusammenfassend ergibt sich, dass für die auf Ende Juni 2007 verfügte, vorinstanzlich bestätigte Rentenaufhebung kein hinreichender Anpassungstitel besteht. Die Beschwerde ist daher gutzuheissen, und der kantonale Entscheid sowie die Verfügung vom 9. Mai 2007 sind aufzuheben.
4. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind der IV-Stelle als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die obsiegende Beschwerdeführerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung zu Lasten der IV-Stelle (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 5. Januar 2009 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 9. Mai 2007 werden aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juni 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger