(Ehescheidung: Verfahrensgarantien und Beweiswürdigung), hat sich ergeben:
A.- R._, Jahrgang 1943, und S._, Jahr- gang 1950, heirateten am 7. August 1971 in Arbon. Sie sind italienische Staatsangehörige. Zur Familie R.S._ gehören drei heute volljährige Kinder. Auf Begehren der Ehefrau trennte das Bezirksgericht Arbon die Ehe der Parteien für ein Jahr und regelte die unterhalts- und güterrechtlichen Nebenfolgen (Urteil vom 16. Oktober 1998). Im Dezember 1999 machte die Ehefrau die Scheidungsklage anhängig.
Der Vize-Präsident des Bezirksgerichts Arbon verpflichtete R._ im Rahmen vorsorglicher Massnahmen während des Scheidungsverfahrens zu Unterhaltsbeiträgen an seine Ehefrau, hob dann aber die Unterhaltspflicht ab 1. Juli 2000 wieder auf, nachdem R._ seine Arbeitsstelle auf den
30. Juni 2000 gekündigt hatte und nach Italien zurückgekehrt war (Verfügungen vom 16. März 2000 und vom 28. Juni 2001).
Den anschliessenden Rekurs von S._ hiess das Obergericht des Kantons Thurgau gut und stellte die Unterhaltspflicht wieder her (Rekursentscheid vom 27. Juli 2001). Die II. Zivilabteilung des Bundesgerichts hat die von R._ dagegen erhobene staatsrechtliche Beschwerde mit Urteil vom heutigen Tag gutgeheissen und den obergerichtlichen Rekursentscheid aufgehoben (5P. 379/2001).
B.- Die Bezirksgerichtskommission Arbon schied die Ehe der Parteien und regelte die Scheidungsfolgen (Urteil vom 30. Juni 2000). Von den Berufungen beider Parteien hielt das Obergericht des Kantons Thurgau diejenige von S._ für teilweise begründet und setzte den monatlichen Unterhaltsbeitrag fest auf Fr. 1'300.-- bis zum Eintritt von R._ in die AHV-Berechtigung und danach auf Fr. 200.-- bis zum Eintritt von S._ in die AHV-Berechtigung. Das Obergericht legte seinen Berechnungen Einkünfte von R._ von insgesamt Fr. 3'030.-- pro Monat zugrunde, bestehend aus einem hypothetischen Erwerbseinkommen von Fr. 1'500.-- (bzw. einer in der Schweiz hypothetisch erhältlichen Invalidenrente), einer AHV-Rente von Fr. 900.--, einer Nutzungsentschädigung für Wohnung und Garagen von Fr. 430.-- und einem Ertrag auf dem BVG-Guthaben von Fr. 200.-- (E. 2a/cc S. 15 und E. 3a-c S. 17 ff. sowie Dispositiv-Ziffer 2 des Urteils vom 10. Mai 2001).
C.- R._ hat gegen die obergerichtliche Verpflichtung zu Unterhaltsleistungen eidgenössische Berufung eingelegt und staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9 (Willkürverbot), Art. 29 Abs. 2 (Anspruch auf rechtliches Gehör) und Art. 30 Abs. 1 BV (Garantie eines unabhängigen und unparteiischen Gerichts) erhoben. Mit der staatsrechtlichen Beschwerde beantragt R._ dem Bundesgericht, Dispositiv-Ziffer 2 des obergerichtlichen Urteils, einschliesslich der Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen aufzuheben. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.- In der Regel wird die Entscheidung über die Berufung bis zur Erledigung der gleichzeitig gegen das nämliche Urteil erhobenen staatsrechtlichen Beschwerde ausgesetzt (Art. 57 Abs. 5 OG). Davon ausnahmsweise abzuweichen, besteht hier kein Grund. Der Beschwerdeführer rügt Tatsachenfeststellungen und Beweiswürdigung als willkürlich, die im Berufungsverfahren grundsätzlich verbindlich bzw. unüberprüfbar sein werden (Art. 63 f. OG; BGE 126 III 189 E. 2a S. 191), sowie die Verletzung verfassungsmässiger Garantien im Verfahren, derentwegen die staatsrechtliche Beschwerde gegenüber der Berufung vorbehalten ist (Art. 43 Abs. 1 OG, Satz 2).
2.- Nach Art. 30 Abs. 1 BV hat jede Person unter anderem Anspruch auf ein "unabhängiges und unparteiisches Gericht".
Nach Auffassung des Beschwerdeführers zeigt sich die Befangenheit des Obergerichts in der Wortwahl (z.B. E. 2a/aa S. 12 a.E.: "Der Ehemann verkündete schliesslich in der Instruktionseinvernahme ..."; z.B. E. 3a S. 17 Abs. 2: "wie dem Gericht weisgemacht werden soll", Hervorhebungen in der Beschwerdeschrift) und offenbar auch im Hinweis auf die Berücksichtigung seiner "süditalienischen Mentalität" (E. 2a/ aa S. 12). Solche und ähnliche Formulierungen - wie etwa die "übergewichtige Italienerin" (E. 2b S. 16) - mögen allgemein und vom Sachzusammenhang losgelöst als in einem gerichtlichen Urteil ungewöhnlich erscheinen, begründen aber in der Regel keinen Verdacht auf Parteilichkeit (zuletzt: BGE 127 I 196 E. 2d Abs. 3 S. 200). Bei objektiver Betrachtung ist auch vorliegend nicht erkennbar, dass das Gericht in der Sache selbst eine vorgefasste Meinung gehabt hätte oder in seiner Urteilsfindung von sachfremden Elementen beeinflusst gewesen wäre.
3.- Der Beschwerdeführer macht geltend, das Obergericht habe sich auf einen Bericht der Schweizerischen Ausgleichskasse vom 1. März 2001 gestützt, wonach er Anspruch auf eine IV-Rente von Fr. 1'777. 00 haben soll. Am 2. Oktober 2001 habe er beim Obergericht die gesamten Akten angefordert, denen dieser Bericht aber nicht beigelegen habe. Sofern er dennoch existiere, sei das angefochtene Urteil unter Missachtung des Grundsatzes des rechtlichen Gehörs zustande gekommen.
Die Rüge ist unbegründet. Zum einen ist unerfindlich, was der Beschwerdeführer aus einer Einsichtnahme in die Akten am 2. Oktober 2001 herleiten will, nachdem das obergerichtliche Urteil bereits am 10. Mai 2001 gefällt worden ist. Zum anderen bestreitet der Beschwerdeführer nicht, dass im Scheidungsverfahren die Akten des Massnahmenverfahrens beigezogen werden durften, wie er selber ja im Massnahmenverfahren immer wieder auf seine Beweisurkunden im Scheidungsverfahren verwiesen hat. Den Akten im Massnahmenverfahren kann nun aber entnommen werden, dass der Vize-Präsident des Bezirksgerichts betreffend IV-Leistungen und betreffend allfällige nach Italien übertragene Beiträge am 4. Januar 2001 eine Anfrage an die Schweizerische Ausgleichskasse richtete und dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers eine Kopie dieser Anfrage gleichentags zustellte.
Am 13. März 2001 verdankte der Vize-Präsident der Schweizerischen Ausgleichskasse die "eingegangene Antwort vom 1. März 2001 mit der provisorischen Rentenberechnung" und erneuerte seine Anfrage betreffend übertragene Beiträge; auch dieses Schreiben wurde dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers in Kopie mitgeteilt.
Auf Grund der Verfahrenslage muss der Beschwerdeführer von der provisorischen Berechnung der IV-Leistungen vom 1. März 2001 vor der Berufungsverhandlung vom 10. Mai 2001 Kenntnis gehabt haben. Das Gericht hat nicht ohne sein Wissen Beweise erhoben und ihn über die unternommenen Abklärungen regelmässig orientiert. Unter diesen Umständen musste das Gericht den Beschwerdeführer nicht eigens dazu einladen, die Akten einzusehen; vielmehr wäre es seine Sache gewesen, rechtzeitig ein entsprechendes Begehren zu stellen, und wenn er es unterlassen hat, kann er sich nicht hinterher über eine Verweigerung des rechtlichen Gehörs beklagen (vgl.
BGE 98 Ib 167 E. 2 S. 170; Haefliger, Alle Schweizer sind vor dem Gesetze gleich, Bern 1985, S. 143, und seither:
Albertini, Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör im Verwaltungsverfahren des modernen Staates, Diss.
Bern 1999, S. 248, mit weiteren Nachweisen).
4.- Gegenüber der obergerichtlichen Sachverhaltsermittlung erhebt der Beschwerdeführer mehrere Verfassungsrügen.
Er macht eine willkürliche Beweiswürdigung und eine willkürliche Anwendung der kantonal-rechtlichen Untersuchungsmaxime geltend (Art. 9 BV). Weiter erblickt er in der obergerichtlichen Vorgehensweise eine vielfache Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör, und zwar in den Teilgehalten Begründungspflicht und Beweisanspruch (Art. 29 Abs. 2 BV).
Aus nachstehenden Gründen sind die Einwände teils unbegründet, überwiegend aber unzulässig:
a) Zur Hauptsache richtet sich die staatsrechtliche Beschwerde gegen die Beurteilung des Gesundheitszustandes, die für die Frage wesentlich ist, ob der Beschwerdeführer arbeitsfähig ist oder nicht und ihm gegebenenfalls ein hypothetisches Erwerbseinkommen oder eine hypothetische IV-Rente angerechnet werden kann. Denn sachverhaltsmässig ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer im März per Ende Juni 2000 seine Arbeitsstelle gekündigt und seinen Wohnsitz nach Italien verlegt hat. Im Massnahmenverfahren hatte das Obergericht dazu festgehalten, die gesundheitlichen Probleme könnten jedenfalls nicht der Anlass der Kündigung gewesen sein, habe doch Dr. J._ noch am 20. Juni 2000, also zehn Tage vor der Hauptverhandlung vor Vorinstanz, eine gänzliche Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers bescheinigt (E. 3b/aa S. 9 und E. 3b/bb S. 10 des Rekursentscheids). Im Gegensatz dazu liegt im Hauptprozess kein Beweisergebnis vor, der Beschwerdeführer sei trotz gesundheitlicher Probleme voll arbeitsfähig. Das Obergericht hat zwar die verschiedenen ärztlichen Befunde wiederum ausführlich dargestellt und erörtert und seinem Erstaunen über das Verhalten des Beschwerdeführers während der Hängigkeit des Hauptprozesses Ausdruck gegeben (E. 2a S. 11 ff.). Zusammenfassend ist das Obergericht jedoch davon ausgegangen, der Beschwerdeführer habe sich "somit entweder ein hypothetisches Einkommen wegen freiwilliger Aufgabe seiner Arbeitstätigkeit oder aber ein Einkommen aus der von ihm behaupteten derzeitigen Invalidität anrechnen zu lassen" (E. 2a/cc S. 15).
Der Beschwerdeführer hat nicht übersehen, dass das Obergericht die Frage nach dem Gesundheitszustand und damit der Arbeitsfähigkeit in tatsächlicher Hinsicht letztlich gar nicht beantwortet hat. In seiner eidgenössischen Berufung macht er denn auch geltend, es sei unzulässig, dass sich das Obergericht auf blosse Vermutungen stütze, obwohl bezüglich der (umstrittenen) Arbeits(un)fähigkeit eine konkrete Beweisführung möglich gewesen wäre und von den Parteien beantragt worden sei.
Liegt in der eigentlichen Streitfrage kein Beweisergebnis vor, gehen auch die gesamten, auf die Tatbestandsermittlung bezogenen Verfassungsrügen des Beschwerdeführers an der Sache vorbei. Mit eidgenössischer Berufung kann vorgebracht werden, das Obergericht habe eine entscheidwesentliche Tatfrage zu Unrecht offengelassen (Art. 84 Abs. 2 OG):
Zum einen bestimmt Bundesrecht, welche Tatsachen festgestellt sein müssen, damit die behauptete Rechtsfolge eintritt; der Sachverhalt ist deshalb nach Massgabe von Art. 64 OG zu ergänzen, wenn entscheidwesentliche Sachvorbringen der Parteien vom Obergericht zu Unrecht für unerheblich gehalten worden sein sollten. Zum andern wird Art. 8 ZGB verletzt, wenn das Obergericht taugliche und formgültig beantragte Beweise zu als rechtserheblich erachteten Tatsachen nicht abgenommen haben sollte, obwohl es von einem offenen Beweisergebnis ausgegangen ist (BGE 123 III 35 E. 2b S. 40; vgl. etwa Münch, Berufung und zivilrechtliche Nichtigkeitsbeschwerde, in: Prozessieren vor Bundesgericht, 2.A. Basel 1998, N. 4.44 S. 136 und N. 4.67 S. 144 f.). Desgleichen ist mit Berufung geltend zu machen, das Obergericht habe die Voraussetzungen für die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens nicht beurteilt (Art. 125 ZGB) oder die einschlägigen Bestimmungen des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung (SR 831. 20) nicht angewendet (Art. 6 Abs. 2 IVG).
b) Im Zusammenhang mit der Möglichkeit des Beschwerdeführers, sein nicht selber bewohntes Eigenheim mit Garagen in Italien zu vermieten, hat das Obergericht dafürgehalten, keine Rücksicht könne auf die italienischen Mieterschutzbestimmungen genommen werden, die wohl in der Praxis nicht derart drastisch sein dürften, wie dem Gericht weisgemacht werden soll (E. 3a S. 17). Das Obergericht hat sich also mit dem daherigen Einwand des Beschwerdeführers befasst und entgegen dessen Rüge die verfassungsmässige Begründungspflicht nicht verletzt (Art. 29 Abs. 2 BV; zuletzt:
BGE 126 I 97 E. 2b S. 102). Ob Mieteinnahmen und damit Mieterschutzbestimmungen berücksichtigt werden müssen, wenn es um die Leistungsfähigkeit des Unterhaltsschuldner geht, ist Bundesrechtsfrage (Art. 125 ZGB) und daher mit Berufung aufzuwerfen, was der Beschwerdeführer im Übrigen auch tut (Art. 84 Abs. 2OG).
c) Das Obergericht hat dem Beschwerdeführer eine Rente von Fr. 900.-- angerechnet (E. 3b S. 18 f.). Der Beschwerdeführer wendet ein, damit werde ihm zugemutet, die Unterhaltsbeiträge an die Beschwerdegegnerin vorzufinanzieren, während ihm selber nicht einmal das Existenzminimum verbleibe; es werde ihm eine AHV-Altersrente bis zum heutigen Tag nicht ausbezahlt, was aus bekl. act. 23 hervorgehe.
Eine Rüge wegen willkürlicher Sachverhaltsfeststellung wird damit nicht begründet und vielmehr im Sinne eines Versehens nach Art. 63 Abs. 2 OG geltend gemacht, das Obergericht habe das besagte Aktenstück nicht einbezogen und schlicht vergessen (statt vieler: Münch, a.a.O., N. 4.66 S. 144). Kann das Versehen im Verfahren der eidgenössischen Berufung korrigiert werden, ist die staatsrechtliche Beschwerde unzu- lässig (Art. 84 Abs. 2 OG; vgl. BGE 96 I 193 E. 3 und 4 S. 197 ff.). Dasselbe gilt für die in diesem Zusammenhang angeschnittenen Rechtsfragen (Vorfinanzierung und Eingriff in das Existenzminimum des Unterhaltsschuldners).
5.- Aus den dargelegten Gründen muss die staatsrechtliche Beschwerde - soweit zulässig - abgewiesen werden. Der Beschwerdeführer wird kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.- Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.- Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.- Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
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Lausanne, 18. Februar 2002
Im Namen der II. Zivilabteilung
des SCHWEIZERISCHEN BUNDESGERICHTS
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: