Sachverhalt:
A. A.a Der 1961 geborene T._ erlebte während der Infanterie-Rekrutenschule im Sommer 1981, wie sich ein Rekrut bei einer Gefechtsübung mit dem Rakrohr eine zweitgradig offene Luxationsfraktur des linken Handgelenks mit geschlossener Fraktur des Ulnaschaftes zugezogen hat. Anlässlich eines Nachschiesskurses am 19. November 1987 erlitt er ein akustisches Trauma, welches zu einer Verschlimmerung einer vorbestehenden Hochtoninnenohrschwerhörigkeit rechts und zu einem Tinnitus rechts führte. Das bis 30. Juni 2005 für die Durchführung der Militärversicherung zuständige Bundesamt für Militärversicherung (BAMV; ab 1. Juli 2005: Schweizerische Unfallversicherungsanstalt, Abteilung Militärversicherung [nachfolgend: SUVA-MV]) sprach ihm für die Folgen der Schiesslärmexposition im November 1987 mit Verfügung vom 15. Dezember 1997 eine Integritätsschadenrente von 5 % ab 1. August 1992 zu. Am 27. Juli 2000 liess T._ durch seinen Hausarzt Dr. med. E._, Arzt für Allgemeine Medizin, eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes in psychischer Hinsicht, welche seit dem Jahr 1996 eine volle Arbeitsunfähigkeit zur Folge habe, geltend machen. Mit Verfügung vom 6. November 2003 verneinte das BAMV die Haftung für die im Jahr 2000 gemeldete psychische Erkrankung, weil sie nicht überwiegend wahrscheinlich mit einem militärversicherten Anlass oder einer militärversicherten Gesundheitsschädigung zusammenhänge. Im Übrigen lehnte es die Berücksichtigung eines Jahresrentenansatzes von Fr. 30'618.- als Grundlage für die Auskaufsberechnung der mit Verfügung vom 15. Dezember 1997 zugesprochenen Integritätsschadenrente ab. Daran hielt es auf Einsprache hin fest (Dispositiv-Ziffern 1 und 2) und gewährte im Rahmen der unentgeltlichen Verbeiständung eine Entschädigung von pauschal Fr. 3'700.- (Dispositiv-Ziffer 3; Einspracheentscheid vom 17. Juni 2004).
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hiess die dagegen erhobene Beschwerde in dem Sinne gut, als es den Einspracheentscheid teilweise aufhob und die Sache an die Militärversicherung zurückwies, damit diese "nach erfolgtem Vorgehen im Sinne der Erwägungen 4 und 5" über die Leistungsansprüche des T._ sowie die Höhe der Entschädigung im Einspracheverfahren neu verfüge. Soweit weitergehend wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 11. April 2006). In den Erwägungen hielt das kantonale Gericht fest, zur Beantwortung der Frage, ob die Militärversicherung Anlass dazu habe, die formell rechtskräftige Verfügung vom 15. Dezember 1997 in Revision zu ziehen, sei eine sämtliche Aspekte umfassende interdisziplinäre Begutachtung, eine psychiatrische und neurootologische sowie audiologische Testung, welche zur Frage der psychischen Beschwerden als Auswirkung des primär unfallbedingten Tinnitus Stellung zu nehmen habe, zu veranlassen. Gestützt auf die Ergebnisse der Aktenergänzung habe die Militärversicherung über die natürliche und adäquate Kausalität zu befinden und alsdann gestützt darauf eine neue Verfügung über die Leistungsansprüche zu erlassen (E. 4); zudem sei die Höhe der T._ im Einspracheverfahren unter dem Titel der unentgeltlichen Verbeiständung zugesprochenen Entschädigung neu festzusetzen (E. 5). Die von T._ dagegen geführte Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Bundesgericht ab, während es den Entscheid des kantonalen Gerichts vom 11. April 2006 in teilweiser Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde der SUVA-MV insoweit aufhob, als das kantonale Gericht die Sache zur Neufestsetzung der Entschädigung aus unentgeltlicher Verbeiständung für das Einspracheverfahren an die Militärversicherung zurückgewiesen hatte, und es stellte fest, dass auf die Beschwerde vom 3. September 2004, soweit damit Dispositiv-Ziffer 3 des Einspracheentscheides vom 17. Juni 2004 angefochten wurde, nicht einzutreten sei (Urteil vom 17. September 2007, M 2/06 und M 4/06).
A.b In der Folge holte die SUVA-MV das bidisziplinäre Gutachten des Spitals X._ vom 11./31. März 2010 (mit otologischem und psychiatrischem Teilgutachten) ein. Mit Verfügung vom 1. März 2011 lehnte sie eine Haftung für die Folgen der im Jahr 2000 gemeldeten psychischen Erkrankung mangels adäquaten Kausalzusammenhangs mit dem 1987 erlittenen Knalltrauma ab. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie ab, soweit sie darauf eintrat (Einspracheentscheid vom 26. März 2012).
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern lehnte die gegen den Einspracheentscheid vom 26. März 2012 geführte Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Entscheid vom 19. November 2012).
C. T._ erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem sinngemässen Antrag, es seien ihm eine Invalidenrente, entsprechend einer Erwerbseinbusse von 30 %, und eine Integritätsentschädigung in noch zu beziffernder Höhe zuzusprechen.
Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft indessen - unter Beachtung der Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Fragen, also auch solche, die vor Bundesgericht nicht mehr aufgeworfen werden, zu untersuchen (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2. Das kantonale Gericht hat die gemäss Gesetz und Rechtsprechung massgebenden Grundlagen für die Beurteilung der Haftung der Militärversicherung für im Zusammenhang mit Dienstleistungen stehende Schädigungen (Art. 4 Abs. 1 und Art. 6 MVG) zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird. Dies gilt namentlich für den bei nachdienstlich festgestellten und gemeldeten Schäden erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (Art. 6 Abs. 1 MVG) und die Bedeutung ärztlicher Auskünfte im Rahmen der Prüfung von Leistungsansprüchen (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232, 125 V 256 E. 4 S. 261 und 351 E. 3 S. 352 ff. mit Hinweisen).
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Militärversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181). Um zu entscheiden, ob zwischen dem Unfall und den psychischen Störungen ein adäquater Kausalzusammenhang besteht, sind in der Militärversicherung dieselben Grundsätze anzuwenden, die von der Rechtsprechung im Unfallversicherungsbereich entwickelt worden sind (BGE 123 V 137). Im Sozialversicherungsrecht spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Militärversicherers im Bereich klar ausgewiesener organischer Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen). Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Nach der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (BGE 115 V 133), während nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen anwendbaren sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (vgl. zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Der Versicherte beantragt die Zusprechung von Leistungen auch im Zusammenhang mit dem Erlebnis im Sommer 1981. Auf die Gründe für das diesbezügliche Nichteintreten der Vorinstanz geht er nicht ein. Setzt sich eine Beschwerdeschrift gegen einen Nichteintretensentscheid in diesem Sinne lediglich mit der materiellen Seite des Falles auseinander, weist sie nach der Rechtsprechung keine sachbezogene Begründung auf und stellt damit keine rechtsgenügliche Beschwerde dar (vgl. BGE 123 V 335; 118 Ib 134; vgl. auch in BGE 136 III 102 nicht publ. E. 2.1 des Urteils 4A_330/2008 vom 27. Januar 2010). Auf die Beschwerde kann insoweit nicht eingetreten werden.
4. 4.1 Nach eingehender, sorgfältiger und gründlicher Prüfung der medizinischen Aktenlage ist die Vorinstanz mit in allen Teilen überzeugender Begründung zum Schluss gelangt, dass der natürliche Kausalzusammenhang zwischen den im Jahr 2000 gemeldeten psychischen Beschwerden und dem Knalltrauma aus dem Jahr 1987 zwar teilweise gegeben sei, die weitere Leistungspflicht der Militärversicherung aber aufgrund fehlender Adäquanz zu verneinen sei.
4.2 Die vom Beschwerdeführer dagegen vorgebrachten Einwendungen führen zu keinem anderen Resultat.
4.2.1 Die Vorinstanz geht im Wesentlichen gestützt auf das Gutachten des Spitals X._ vom 11./31. März 2010 davon aus, dass das Knalltrauma von 1987 mit nachfolgendem Tinnitus überwiegend wahrscheinlich zumindest als Teilursache für die Anpassungsstörung, die leichte depressive Episode und den Verlauf der (vorbestehenden) Persönlichkeitsstörung feststehe. Entgegen der Auffassung des Versicherten nimmt das kantonale Gericht zu Recht eine psychische Fehlentwicklung an, bei welcher eine eigenständige Adäquanzbeurteilung nach BGE 115 V 133 durchzuführen ist (E. 2 hiervor), weil weder organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolgen noch ein Schleudertrauma, eine äquivalente Verletzung der HWS oder ein Schädel-Hirntrauma vorliegen. Soweit er den Tinnitus oder seine Folgen als somatisches Leiden einstuft, kann ihm mit Blick auf die Ausführungen in BGE 138 V 248, wonach keine medizinisch gesicherte Grundlage bestehe, um einen Tinnitus als körperliches Leiden zu betrachten oder ihn (zwingend) einer organischen Ursache zuzuordnen, und dass sich auch nicht vom Schweregrad eines Tinnitus auf eine organische Unfallfolge als Ursache schliessen lasse (E. 5.10 S. 257), nicht gefolgt werden.
4.2.2 Der Beschwerdeführer verkennt, dass sich das kantonale Gericht im Rahmen der Adäquanzprüfung nicht über die Erkenntnisse der medizinischen Fachpersonen hinweggesetzt hat. Weder stellt es in Frage, dass der Versicherte im Jahr 1987 ein Knalltrauma erlitten hat, noch wird durch die vorinstanzliche Verneinung der Adäquanz der ärztlicherseits festgestellte natürliche Kausalzusammenhang mit den psychischen Beschwerden negiert.
Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet - wie im angefochtenen Entscheid dargelegt wird - das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. An die medizinischen Gutachter gerichtete Fragen zum Hergang des Knalltraumas sind demgemäss entgegen der Auffassung des Versicherten zu Recht unterblieben. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 115 V 133 E. 6 S. 138 ff.; SVR 2010 UV Nr. 3 S. 11, 8C_283/2009 E. 9.1; 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (erwähnte Urteile SVR 2010 UV Nr. 3 E. 9.1 und 2008 UV Nr. 8 E. 5.3.1). Das kantonale Gericht hat offen gelassen, ob das Knalltrauma von 1987 als banales bzw. leichtes oder als mittelschweres Ereignis im Grenzbereich zu den leichten Unfällen einzustufen ist. Für den Ausgang des Prozesses spielt die Einordnung des Vorfalls in einen dieser Bereiche tatsächlich keine Rolle, da, wie im angefochtenen Entscheid zutreffend ausgeführt wird, weder ein einzelnes Kriterium in besonders ausgeprägter Weise gegeben ist noch die massgebenden Kriterien in gehäufter oder besonders auffallender Weise erfüllt sind.
4.2.3 Schliesslich rügt der Beschwerdeführer, die unterschiedliche Behandlung von somatischen und psychischen Unfallfolgen lasse sich "weder sachlich, rechtlich noch ethisch" begründen. Darin sei eine Verletzung des Diskriminierungsverbots resp. Gleichbehandlungsgebots zu sehen. Die Formel "nach dem allgemeinen Lauf der Dinge" sei unsachlich, gehe von falschen Annahmen betreffend Charakter der Krankheit aus und sei statistisch nicht überprüfbar.
4.2.3.1 Der Begriff der adäquaten Kausalität ist in allen Rechtsgebieten identisch (BGE 127 V 102 E. 5b/aa; 123 III 110 E. 3a S. 112). Als adäquate Ursache eines Erfolgs hat ein Ereignis dann zu gelten, wenn es nach dem gewöhnlichen Lauf der Dinge und nach der allgemeinen Lebenserfahrung an sich geeignet ist, einen Erfolg von der Art des eingetretenen herbeizuführen, der Eintritt dieses Erfolgs also durch das Ereignis allgemein als begünstigt erscheint (129 V 177 E. 3.2 S. 181 mit Hinweis; 123 III 110 E. 3a S. 112; 119 Ib 334 E. 3c S. 343; Urteil 4C.222/2004 vom 14. September 2004 E. 3, nicht publ. in: BGE 131 III 12, aber in: Pra 2005 Nr. 119 S. 829). Hingegen unterscheiden sich die gesetzlichen Haftungsvoraussetzungen. Dies führt mit Rücksicht auf die Besonderheiten des jeweiligen Rechtsgebietes notwendigerweise dazu, dass der Grundsatz der adäquaten Kausalität unterschiedlich angewendet wird, und hat namentlich auch zur Folge, dass im Recht der sozialen Unfallversicherung (und in der Militärversicherung: BGE 123 V 137) der Adäquanz als Wertungselement im Hinblick auf eine versicherungsmässig vernünftige und gerechte Abgrenzung haftungsbegründender und haftungsausschliessender Unfälle andere Beurteilungskriterien und Massstäbe zugrunde gelegt werden als im Haftpflichtrecht (vgl. BGE 127 V 102 E. 5b/aa S. 102 f. mit Hinweisen; BGE 123 III 110 E. 3 S. 111 ff.; siehe auch BGE 134 V 109 E. 8.1 S. 119 mit weiteren Hinweisen).
4.2.3.2 In der sozialen Unfallversicherung kann bei klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden (E. 2 hiervor). Das von der Rechtsprechung definierte Erfordernis einer besonderen Adäquanzprüfung kommt bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden nach Unfall zur Anwendung. Es gilt sowohl für die Schleudertrauma-Praxis (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen), als auch - mutatis mutandis - nach den für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten Grundsätzen (BGE 115 V 133). Der Grund für dieses Erfordernis ist darin zu sehen, dass eine solche Gesundheitsschädigung rechtlich weniger leicht einem Unfallereignis zugeordnet werden kann als eine organisch objektiv ausgewiesene. Soweit der Versicherte bei fehlendem organischem Korrelat den adäquaten Kausalzusammenhang voraussetzungslos zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejahen möchte, ist er darauf hinzuweisen, dass für die besondere Adäquanzprüfung vernünftige Gründe vorliegen, weshalb der Einwand einer Diskriminierung resp. rechtsungleichen Behandlung fehlgeht (vgl. Urteil 8C_29/2010 vom 27. Mai 2010 E. 6.2).
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten (Art. 65 Abs. 1 und 4 lit. a BGG) vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. März 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz