Sachverhalt:
A. Die 1962 geborene K._ war als Hausangestellte am Universitätsspital Zürich tätig und dadurch bei der Winterthur-Versicherungen (nachfolgend: Winterthur) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 24. Januar 2000 verletzte sie sich bei einem Sturz auf Glatteis am linken Ellbogen. Nachdem sie am 18. März 2001 am linken Arm gezogen worden war, traten verstärkte Ellbogenschmerzen auf. Die Winterthur erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 3. Oktober 2005 und Einspracheentscheid vom 20. Februar 2007 stellte der Versicherer die Taggeldleistungen auf den 31. Dezember 2003 ein, und er verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente. Zur Begründung wurde ausgeführt, es bestehe keine anspruchsbegründende Arbeits- resp. Erwerbsunfähigkeit.
B. Die von K._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit dem Antrag auf Zusprechung einer behinderungsangepassten Rente wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 16. Juli 2008 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt K._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die AXA Versicherungen AG (als Rechtsnachfolgerin der Winterthur) zu verpflichten, eine behinderungsangepasste Rente auszurichten; evtl. sei die Sache zu weiteren Abklärungen zurückzuweisen. Weiter wird sinngemäss die Zusprechung einer Integritätsentschädigung verlangt und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Am 13. Oktober 2008 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
Erwägungen:
1. Die Beantwortung der Frage, ob Anspruch auf eine Integritätsentschädigung besteht, hat der Unfallversicherer in der Verfügung vom 3. Oktober 2005 und im Einspracheentscheid vom 20. Februar 2007 ausdrücklich für eine separate Verfügung vorbehalten. Ein solcher Anspruch wurde auch im kantonalen Verfahren weder geltend gemacht noch beurteilt. Auf die Beschwerde kann daher diesbezüglich mangels eines Anfechtungsgegenstandes nicht eingetreten werden.
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Invalidenrente der obligatorischen Unfallversicherung.
Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmungen und Grundsätze über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung, insbesondere auch auf eine Invalidenrente, und den hiefür erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, durch das unfallbedingte Ellbogenleiden sei die Versicherte beim Gebrauch des adominanten linken Armes eingeschränkt. Die Ausübung der angestammten Tätigkeit wäre aber nahezu gänzlich zumutbar. In einer leidensangepassten Tätigkeit bestehe eine volle Leistungsfähigkeit.
Diese Beurteilung beruht auf einer sachlich und rechtlich nicht zu beanstandenden Würdigung der von der Beschwerdegegnerin und von der Invalidenversicherung eingeholten medizinischen Akten. Das kantonale Gericht hat auch einlässlich und überzeugend dargelegt, weshalb es bei der Beurteilung der durch den Ellbogenschaden bedingten Einschränkung insbesondere auf das Gutachten des Dr. med. S._, Orthopädische Chirurgie FMH/FMS, vom 15. Februar 2006 (mit Ergänzung vom 11. März 2006) abstellt.
3.2 Was in der Beschwerde vorgebracht wird, führt zu keiner anderen Betrachtungsweise. Der Einwand, Dr. med. S._ sei von der Beschwerdegegnerin beauftragt worden und daher von dieser finanziell abhängig, geht von vornherein fehl. Das Gutachten vom 15. Februar/ 11. März 2006 ist nämlich von der Invalidenversicherung eingeholt worden. Alleine der Umstand, dass eine Expertise durch den Unfallversicherer veranlasst wird, vermöchte im Übrigen keine Zweifel an ihrem Beweiswert zu begründen. Hiefür wäre erforderlich, dass konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (BGE 125 V 351 E. 3 S. 352 ff. insbes. E. 3b/bb S. 353). Solche Indizien liegen hier bezüglich des Gutachtens vom 15. Februar/11. März 2006 nicht vor. Gleiches gilt aber auch hinsichtlich der von Dr. med. S._ mitberücksichtigten und tatsächlich von der Winterthur eingeholten Expertise des Dr. med. E._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 12. März 2002. Dieser ging bereits gestützt auf die am 27. Februar 2002 durchgeführte Untersuchung davon aus, eine volle Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit sei realisierbar.
Auch die inhaltlichen Beanstandungen an den fachärztlichen Aussagen des Dr. med. S._ verfangen nicht. Das Gutachten vom 15. Februar/11. März 2006 genügt in allen Teilen den von der Rechtsprechung umschriebenen Anforderungen an einen beweiskräftigen Arztbericht (vgl. BGE 125 V 351 E. 3a S. 352). Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung trifft nicht zu, dass relevante Aussagen der übrigen berichterstattenden Ärzte unberücksichtigt blieben. Auch ist nicht zu beanstanden, dass Dr. med. S._ die vorhandenen, umfangreichen medizinischen Akten nebst den eigenen Untersuchungsergebnissen für genügend erachtete, um sich ohne ergänzende Rückfragen bei anderen Ärzten seine Meinung bilden zu können. Das Gutachten vom 15. Februar/11. März 2006 gibt auf die sich in medizinischer Hinsicht stellenden Fragen überzeugend Antwort. An dieser Beurteilung vermögen die weiteren Vorbringen der Versicherten weder im Einzelnen noch gesamthaft etwas zu ändern. Es kann im Übrigen auf die zutreffende Auseinandersetzung mit den medizinischen Akten im angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
3.3 Die Vorinstanz hat sodann ein - gegebenenfalls anspruchsrelevantes - psychisches Leiden verneint. Dies wird in der Beschwerde nicht ausdrücklich in Frage gestellt. Dies zu Recht, denn selbst wenn ein natürlich unfallkausaler psychischer Gesundheitsschaden bejaht würde, fehlte es, wie das kantonale Gericht richtig erkannt hat, jedenfalls am adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfallgeschehen.
4. 4.1 Bezüglich der erwerblichen Auswirkungen der gesundheitsbedingten Problematik am linken Ellbogen hat das kantonale Gericht erwogen, der Arbeitgeber habe der Versicherten mehrere zumutbare Tätigkeiten angeboten. Diese habe die Beschwerdeführerin indessen unter Hinweis auf persönliche Gründe nicht annehmen wollen. Auch habe sie vom Arbeitgeber angebotene Weiterbildungsmöglichkeiten, welche ihr weitere Betätigungsfelder eröffnet hätten, ausgeschlagen. Dadurch habe die Versicherte ihrer Schadenminderungspflicht nicht genüge getan. Im Übrigen wäre ihr auch die angestammte Tätigkeit im Reinigungsdienst bei zumutbarer Willensanstrengung nahezu vollumfänglich zumutbar. Sie erleide somit keine unfallbedingte Erwerbseinbusse, weshalb die Beschwerdegegnerin einen Rentenanspruch zu Recht verneint habe.
4.2 Die vorinstanzliche Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Die Versicherte wendet zunächst ein, sie habe vor dem Unfall vom 24. Januar 2000 ein unterdurchschnittliches Einkommen erzielt. Weshalb dies zu einer anderen Betrachtungsweise führen soll, ist indessen nicht nachvollziehbar. Es wird sodann nicht begründet, inwiefern die vom Arbeitgeber unbestrittenermassen angebotenen Stellen unzumutbar gewesen sein sollten. Der Hinweis auf persönlichkeitsrechtlich geschützte familiäre Präferenzen genügt hiefür nicht, zumal der Arbeitgeber in gesprächsbereiter Weise auftrat und überdies mindestens ein Teil der angebotenen Stellen offensichtlich auch aus nichtfamiliären Gründen abgelehnt wurde. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung trifft sodann nach Lage der Akten nicht zu, dass die Ausübung der angebotenen Tätigkeiten aus gesundheitlichen Gründen unzumutbar gewesen wäre. Schon deswegen ist auch der weitere Einwand, wonach arbeitsrechtliche Probleme entstanden wären, wenn die Versicherte trotz der Ellbogenproblematik eine dieser Stellen angenommen hätte, unbegründet. Das kantonale Gericht hat daher einen Rentenanspruch zu Recht verneint.
5. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. November 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
i.V. Leuzinger Lanz