Faits:
A. A._ a travaillé dès le 1er juillet 2002 auprès de Y._ SA en qualité de consultante internationale en ressources humaines. Elle a été affiliée auprès de la Fondation de prévoyance X._. Son salaire annuel s'élevait à 180'000 fr.
L'employeur a résilié le contrat de travail pour le 29 février 2004. Le dernier jour de travail a été accompli le 28 novembre 2003 et le salaire payé jusqu'à l'échéance du contrat. Le 27 février 2004, A._ a versé la somme de 60'000 fr. à la fondation X._ à titre de rachat. Un délai-cadre d'indemnisation de l'assurance-chômage a été ouvert du 1er mars 2004 au 28 février 2006.
Dans un rapport du 6 septembre 2004, la doctoresse R._ a attesté les périodes d'incapacités de travail suivantes pour cause de maladie : 50 % du 13 janvier au 23 mars 2003, 100 % du 24 mars au 14 avril 2003, 50 % du 15 avril au 30 juin 2003, 20 % du 14 juillet au 14 août 2003, 100 % du 28 novembre au 1er décembre 2003, 100 % à partir du 15 juillet 2004 pour une durée indéterminée.
Par décision du 1er septembre 2005, notifiée à A._ et à la fondation X._, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève a mis l'assurée au bénéfice d'une rente entière d'invalidité depuis le mois de juillet 2005, considérant notamment que l'incapacité de travail avait débuté le 15 juillet 2004. Cette décision n'a pas été attaquée.
Le 16 septembre 2005, A._ a demandé le versement d'une rente d'invalidité à la fondation X._. Le 4 août 2006, l'institution de prévoyance lui a fait savoir qu'elle reconnaissait le droit à une rente d'invalidité à partir du 1er janvier 2005, d'un montant 90'004 fr. pour l'année 2005, compte tenu d'une incapacité de travail survenue 24 mois auparavant, le 1er janvier 2003. La fondation X._ a précisé que le rachat de 60'000 fr., effectué le 27 février 2004, n'était pas pris en compte dans le calcul de la rente.
B. Le 27 février 2007, A._ a porté le cas devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui : Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal), en concluant à ce que la fondation X._ fût condamnée à lui payer une rente d'invalidité annuelle de 100'964 fr. à partir du 1er juillet 2004, le rachat de 60'000 fr. étant pris en compte dans le calcul de la rente.
La fondation X._ a conclu au rejet de la demande.
Par jugement du 28 octobre 2009, la juridiction cantonale a admis partiellement la demande. Elle a condamné la fondation X._ à verser une rente entière d'invalidité à la demanderesse depuis le 1er mars 2004, avec intérêts, sous réserve de surindemnisation, la défenderesse étant invitée à calculer le montant des arriérés de rente du 1er mars au 31 décembre 2004. Le tribunal cantonal a jugé que le rachat de 60'000 fr. ne devait pas être pris en compte dans le calcul de la rente.
C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut derechef au versement d'une rente entière d'invalidité dès le 1er juillet 2004, le rachat de 60'000 fr. devant être pris en compte dans le calcul de cette prestation.
La fondation intimée et l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le jour à partir duquel la recourante a droit à une rente d'invalidité de l'intimée, ainsi que sur la prise en compte d'un rachat de 60'000 fr. dans le calcul de cette prestation.
2. Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige, si bien qu'il suffit de renvoyer au jugement attaqué.
3. La juridiction cantonale a considéré, avec la fondation intimée, que l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité était survenue antérieurement à la date du 15 juillet 2004 que l'assurance-invalidité avait retenue à l'appui de sa décision de rente. Le tribunal cantonal a arrêté ce moment au mois de janvier 2003 à la lecture du dossier médical, des nombreuses périodes d'incapacité de travail et de la dégradation de l'état de santé de la recourante. Dans ces conditions, les premiers juges ont admis que le rachat de 60'000 fr. avait été effectué à une époque où le risque assuré était déjà survenu, si bien que ce capital ne pouvait pas être pris en considération dans le calcul de la rente.
De son côté, la fondation défenderesse avait fait observer, dans sa réponse à la demande en justice du 27 février 2007, que le droit à une rente d'invalidité selon la LPP devrait être nié si l'on fixait le début de l'incapacité de travail au 15 juillet 2004. En effet, à ce moment-là, le rapport de prévoyance avait pris fin depuis plusieurs mois (cf. art. 10 al. 3 LPP) et la demanderesse n'était donc plus assurée.
4. En procédure fédérale, la recourante conteste à nouveau le moment de la survenance de l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité, alléguant qu'il ne doit pas être fixé au mois de janvier 2003 ainsi que le tribunal cantonal l'a constaté, mais en juillet 2004. Par ce discours, la recourante s'en prend aux constatations de fait de l'autorité précédente.
D'après l'art. 97 al. 1 LTF, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95, et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause. Ces deux éventualités, cumulatives, ne sont pourtant pas réalisées. D'une part, la recourante n'expose pas en quoi les constatations du tribunal cantonal relatives à la fixation du début de son incapacité de travail seraient manifestement inexactes ou qu'elles auraient été établies en violation du droit. D'autre part, si l'incapacité de travail avait réellement débuté en juillet 2004 comme la recourante le soutient, la correction de ce constat de fait ne serait pas susceptible d'influencer le sort de la cause en sa faveur; au contraire, cela reviendrait à arrêter le moment déterminant de la survenance du risque à une époque où la recourante n'était plus assurée par la fondation intimée (cf. art. 10 al. 3 LPP), si bien que la rente ne devrait pas être augmentée mais simplement refusée. En ce sens, on pourrait se demander si la recourante a bien un intérêt digne de protection à recourir afin d'obtenir un jugement en sa défaveur (voir MARKUS SCHOTT, Bundesgerichtsgesetz, Commentaire bâlois, n. 22 ad art. 97).
5. Sur la base des faits constatés (art. 105 al. 1 LTF), il est constant que le risque assuré (la naissance d'une incapacité de travail à l'origine de l'invalidité) est survenu plus d'un an avant le rachat de 60'000 fr. Celui-ci ne doit donc pas être pris en compte dans le calcul de la rente, à peine de contrevenir au principe d'assurance qui est un élément structurel de la prévoyance professionnelle (ATF 123 V 262 consid. 2b p. 266; cf. également arrêt B 116/04 du 26 août 2005, publié in SVR 2006 BVG n° 9 p. 33 consid. 3.2, cité par l'intimée dans ses déterminations du 5 novembre 2007). Le recours est mal fondé.
Par ailleurs, il n'incombe pas à la Cour de céans de statuer sur le sort du rachat de 60'000 fr. Cependant, on observera que l'intimée avait invité la recourante, par lettre du 25 janvier 2007, à lui transmettre les références d'un compte de libre passage (compte bloqué) ou d'une police de libre passage, afin de pouvoir lui rembourser ce montant et les intérêts de retard jusqu'à la date du paiement.
6. La recourante, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 6 octobre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud