Faits:
A. De nationalité nigériane, X._ (ci-après: le recourant), né en 1985, a épousé le 17 août 2005 Y._, ressortissante suisse. A la suite de cette union, il a bénéficié d'une autorisation de séjour pour rejoindre son épouse en Suisse. L'autorisation a été renouvelée jusqu'au 15 septembre 2008.
Le recourant a été arrêté à Neuchâtel le 25 mai 2007 en possession de deux kilos de cocaïne et a été condamné pour ces faits, par jugement du 19 décembre 2007 du Tribunal correctionnel du district de Neuchâtel, à une peine privative de liberté de trois ans, dont dix-huit mois avec sursis pendant deux ans. Au vu de cette condamnation, le Service des migrations du canton de Neuchâtel a informé l'intéressé, en date du 22 janvier 2008, qu'il envisageait de révoquer son autorisation de séjour et de lui fixer un délai de départ. La révocation a été prononcée le 25 août 2008 et le délai de départ fixé au jour de sa libération. Le 11 juin 2009, le Département de l'économie du canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé par X._ contre cette décision.
B. Saisi d'un recours contre cette décision, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif) l'a rejeté par arrêt du 6 octobre 2009. En substance, il a retenu que la peine privative de liberté à laquelle le recourant avait été condamné ainsi que les motifs de cette condamnation, à savoir le trafic de stupéfiants dans un but exclusif de lucre, n'autorisaient pas le renouvellement de son autorisation de séjour, indépendamment des conséquences que cette décision pourrait avoir pour lui et son épouse suisse. Les circonstances mises en avant par le recourant pour s'opposer à ce résultat étaient, pour l'essentiel, l'intensité des liens l'unissant à son épouse, sa bonne conduite au cours de l'exécution de sa peine, le fait qu'il était sur le point de conclure un contrat d'apprentissage sur trois ans avec la commune de Z._, qu'il n'y avait aucun risque de récidive, qu'il n'avait que peu de liens sociaux, culturels et familiaux avec son pays d'origine et qu'il bénéficiait d'une éducation européenne et ne maîtrisait pas la langue de son pays, ne s'exprimant qu'en anglais et en français. Son renvoi aurait dès lors conduit à un déracinement complet et à la rupture définitive du lien conjugal, au mépris de son droit au respect de la vie privée.
C. A l'encontre de ce jugement, le recourant interjette un recours au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif du 6 octobre 2009 et à la prolongation de son autorisation de séjour, sous suite de frais et dépens.
Le Tribunal administratif a déclaré ne pas avoir d'observations à formuler sur le recours. Le Service cantonal des migrations ainsi que l'Office fédéral des migrations ont conclu à son rejet.
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 126 al. 1 de la loi fédérale sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de cette loi, le 1er janvier 2008, sont régies par l'ancien droit, à savoir la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113 et les modifications ultérieures). Selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, il n'y a pas lieu de se fonder sur la date de la décision de l'autorité précédente pour déterminer le droit applicable, mais sur celle de l'ouverture de la procédure (arrêts 2C_98/2009 du 10 juin 2009 consid. 1.4; 2C_329/2009 du 14 septembre 2009 consid. 2). Peu importe que la procédure ait été ouverte d'office ou sur demande de l'étranger (arrêt 2C_745/2008 du 24 février 2009 consid. 1.2.3).
En l'espèce, c'est par courrier du 22 janvier 2008 que le Service cantonal des migrations a averti le recourant qu'il envisageait, au vu de la gravité de la condamnation pénale dont il avait fait l'objet, de révoquer son autorisation de séjour et de lui fixer un délai de départ. C'est cette date qui est déterminante du point de vue du droit applicable. Ainsi que l'a justement relevé le Tribunal administratif, c'est donc la loi fédérale sur les étrangers qui régit le fond de l'affaire.
2. 2.1 Selon l'art. 61 al. 1 let. c LEtr, l'autorisation prend fin à son échéance. Tel a été le cas en l'espèce le 15 septembre 2008.
Lorsque le recours a pour objet une décision confirmant la révocation d'une autorisation de séjour qui a expiré dans l'intervalle, la personne concernée n'a plus d'intérêt (actuel) à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée, de sorte que la condition de recevabilité de l'art. 89 al. 1 LTF n'est plus remplie. Selon une pratique constante, le Tribunal fédéral entre toutefois exceptionnellement en matière lorsque, comme en l'espèce, la décision attaquée se prononce aussi sur le renouvellement de ladite autorisation (arrêts 2C_663/2009 du 23 février 2010 consid. 2.2; 2C_91/2009 du 10 juin 2009 consid. 4).
2.2 Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
2.2.1 Le recourant se prévaut de l'art. 8 CEDH. L'invocation de cette norme implique l'analyse de l'existence des conditions y relatives au stade de la recevabilité déjà. L'examen de fond porte alors sur la présence d'une éventuelle cause de refus découlant de l'art. 8 § 2 CEDH (arrêts 2C_266/2009 du 2 février 2010 consid. 2.1; 2D_138/2008 du 10 juin 2009 consid. 2.2; ATF 122 II 289 consid. 1c p. 292 s.).
Un étranger peut invoquer la protection de la vie familiale découlant de l'art. 8 CEDH à condition qu'il entretienne une relation étroite et effective (cf. ATF 131 II 265 consid. 5 p. 269; 129 II 193 consid. 5.3.1 p. 211) avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse (ce qui suppose que cette personne ait la nationalité suisse, une autorisation d'établissement en Suisse ou un droit certain à une autorisation de séjour en Suisse, cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.1 p. 145 s.; 130 II 281 consid. 3.1 p. 285). Les relations familiales qui peuvent fonder, en vertu de l'art. 8 par. 1 CEDH, un droit à une autorisation de police des étrangers sont avant tout les rapports entre époux ainsi qu'entre parents et enfants mineurs vivant ensemble (ATF 127 II 60 consid. 1d/aa p. 65; 120 Ib 257 consid. 1d p. 261).
En tant qu'époux d'une citoyenne suisse, le recourant peut se prévaloir de l'art. 8 CEDH, de sorte que la voie du recours en matière de droit public est ouverte sous cet angle.
2.2.2 Le recourant n'invoque pas expressément l'art. 42 al. 1 LEtr, selon lequel le conjoint d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui. Cette norme ressortit pourtant au droit fédéral que le Tribunal fédéral a pour mission d'appliquer d'office (art. 106 al. 1 LTF), dans la mesure où la motivation du grief est suffi- sante (art. 42 LTF), ce qui est le cas en l'espèce. De ce point de vue, le recours en matière de droit public est donc également recevable (cf. arrêts 2C_618/2009 du 27 janvier 2010 consid. 2.2 et 2C_388/2009 du 9 décembre 2009 consid. 1, selon lesquels il suffit, du point de vue de la recevabilité, que l'étranger soit marié à un[e] ressortissant[e] suisse).
2.3 Sous réserve de la violation des droits fondamentaux et des dispositions du droit cantonal et intercantonal, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 LTF). Conformément aux exigences de motivation prévues par l'art. 42 LTF, il n'examine en principe que les griefs qui ont été dûment motivés, pour autant que le vice juridique ne soit pas manifeste (ATF 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254; arrêt 4A_399/2008 du 12 novembre 2008 consid. 2.1).
Toutefois, lorsqu'un recourant a rédigé lui-même son mémoire, la jurisprudence considère comme suffisante une motivation brève, mais permettant de déceler les raisons pour lesquelles la décision attaquée serait contraire à la Constitution (arrêt 6B_317/2007 du 16 octobre 2007 consid. 2 avec renvoi à l'ATF 115 Ia 12 consid. 2b p. 14). Il n'est alors en particulier pas nécessaire que le recourant cite expressément une disposition constitutionnelle, l'invocation indirecte d'une telle norme pouvant, suivant les circonstances, satisfaire aux exigences de motivation. En revanche, les exigences de motivation ne sont à l'évidence pas remplies lorsque le recourant se borne à citer des dispositions de la Constitution fédérale (ou de la CEDH), sans exposer les circonstances de la cause, ni ses reproches à l'encontre du jugement entrepris (arrêt 1B_276/2008 du 17 novembre 2008 consid. 5).
En l'espèce, le recourant se présente comme étant formellement l'auteur de son écriture de recours, de sorte qu'il peut bénéficier de la jurisprudence exposée ci-dessus permettant dans une certaine mesure de faire abstraction de certaines faiblesses de motivation. Ce n'est toutefois que dans la mesure où les griefs cités en vrac en page 2 in fine du mémoire de recours peuvent clairement être rattachés à des motifs développés dans la suite de son écriture qu'il sera possible d'en tenir compte.
Ainsi, le grief d'inégalité (art. 8 Cst. et 14 CEDH) et celui de violation du principe de la légalité (art. 5 Cst.), insuffisamment motivés, ne seront pas analysés. Celui de violation de l'art. 8 CEDH sera en revanche traité. Quant au grief d'arbitraire soulevé en relation avec la constatation prétendument incomplète des faits, il ressort des explications du recourant que celui-ci entend pour l'essentiel se plaindre de la violation de son droit d'être entendu, au motif que certains moyens de preuve n'auraient pas été administrés par le Tribunal administratif. Dans les limites rappelées ci-dessus, le Tribunal fédéral examinera donc cette question dans le contexte du respect du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst.
2.4 Au surplus, en tant qu'il s'en prend à l'arrêt du Tribunal administratif du 6 octobre 2009, le recours est dirigé contre une décision finale (cf. art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF); en outre, il a été déposé en temps utile (cf. art. 100 al. 1 LTF) par le destinataire de l'acte attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (cf. art. 89 al. 1 LTF), de sorte qu'il convient d'entrer en matière.
3. Eu égard à la nature formelle du droit d'être entendu, sa violation prétendue doit être examinée avant les griefs d'atteinte aux art. 8 CEDH et 42 al. 1 LEtr.
Le recourant semble estimer que l'autorité précédente a violé l'art. 29 al. 2 Cst. en ne requérant pas auprès de la direction des Etablissements pénitenciaires de Bellechasse l'édition d'un rapport destiné à établir tant son bon comportement lors de l'exécution de sa peine que la fréquence des visites de son épouse.
Le droit d'être entendu comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuve pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 126 I 15 consid. 2a et les arrêts cités). Le juge peut cependant refuser une mesure probatoire parce qu'il considère qu'elle est inapte à apporter la preuve ou lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, il a la certitude qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428; 125 I 127 consid. 6c/cc in fine p. 135).
En l'espèce, le recourant se plaint manifestement en vain de la violation de la garantie constitutionnelle en question. En effet, le Tribunal administratif pouvait sans arbitraire, au vu des éléments du dossier, renoncer à poursuivre l'administration des preuves dans le sens requis. En effet, le rapport de comportement émanant de la direction des Etablissements de Bellechasse, si élogieux soit-il, n'aurait pas été de nature à influer de manière significative sur la pesée des intérêts effectuée par la Cour cantonale, au regard de la gravité des infractions commises par le recourant. Quant à l'intensité des liens que ce dernier entretient avec son épouse, elle n'est pas contestée.
Ce grief doit donc être rejeté.
4. 4.1 Le recourant reproche au Tribunal administratif de n'avoir pas pris en considération l'ensemble des circonstances dans l'application qu'il a faite de l'art. 8 CEDH; ce faisant, il ne dénonce pas de violation de la loi fédérale sur les étrangers, mais le Tribunal fédéral doit d'office veiller au respect de celle-ci (cf. art. 106 al. 1 LEtr et consid. 2.2.2 ci-dessus). En relation avec l'art. 8 CEDH, le recourant se plaint en particulier de ce que l'autorité précédente aurait donné une importance déterminante à la condamnation pénale dont il a fait l'objet, par rapport à d'autres faits de la cause. Au nombre de ces faits figurent notamment l'intérêt de son épouse à demeurer en Suisse, son bon comportement durant sa période de détention et dès sa mise en liberté, ainsi que le déracinement que lui causerait un retour au Nigéria, dans la mesure où il aurait bénéficié d'une "éducation européenne" et ne connaîtrait pas "la langue africaine" et du fait qu'il a débuté un apprentissage en Suisse.
4. 4.1 Le recourant reproche au Tribunal administratif de n'avoir pas pris en considération l'ensemble des circonstances dans l'application qu'il a faite de l'art. 8 CEDH; ce faisant, il ne dénonce pas de violation de la loi fédérale sur les étrangers, mais le Tribunal fédéral doit d'office veiller au respect de celle-ci (cf. art. 106 al. 1 LEtr et consid. 2.2.2 ci-dessus). En relation avec l'art. 8 CEDH, le recourant se plaint en particulier de ce que l'autorité précédente aurait donné une importance déterminante à la condamnation pénale dont il a fait l'objet, par rapport à d'autres faits de la cause. Au nombre de ces faits figurent notamment l'intérêt de son épouse à demeurer en Suisse, son bon comportement durant sa période de détention et dès sa mise en liberté, ainsi que le déracinement que lui causerait un retour au Nigéria, dans la mesure où il aurait bénéficié d'une "éducation européenne" et ne connaîtrait pas "la langue africaine" et du fait qu'il a débuté un apprentissage en Suisse.
4.2 4.2.1 L'art. 51 al. 1 let. b LEtr établit que les droits prévus à l'art. 42 LEtr (droits des membres étrangers de la famille d'un ressortissant suisse à l'octroi d'une autorisation de séjour et à sa prolongation) s'éteignent s'il existe des motifs de révocation au sens de l'art. 63 LEtr. Cette dernière disposition classe les cas de révocation en trois catégories dont la première (al. 1 let. a) comprend les situations où les conditions visées à l'art. 62 let. a et b LEtr sont réalisées. Selon ce dernier article, la révocation est possible notamment si l'étranger a été condamné à une peine privative de liberté de longue durée ou a fait l'objet d'une mesure pénale prévue aux art. 64 ou 61 CP (let. b). Dans un arrêt récent, le Tribunal fédéral a jugé qu'une peine privative de liberté est de longue durée lorsqu'elle dépasse un an d'emprisonnement (arrêt 2C_295/2009 du 25 septembre 2009 consid. 4.2, qui évoque la genèse de l'art. 62 let. b LEtr). Les motifs de révocation de l'art. 63 LEtr correspondent en principe aux motifs d'expulsion prévus à l'art. 10 LSEE (arrêt 2C_418/2009 du 30 novembre 2009 consid. 4.1). Ainsi, comme sous l'empire de l'ancienne loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers, le refus - ou la révocation - de l'autorisation ne se justifie que si la pesée des intérêts à effectuer dans le cas d'espèce fait apparaître cette mesure comme proportionnée (arrêts 2C_295/2009 précité consid. 4.3; 2C_793/2008 du 27 mars 2009 consid. 2.1 et les références). Il convient donc de prendre en considération la gravité de la faute commise, le degré d'intégration respectivement la durée du séjour effectué en Suisse et le préjudice que l'intéressé et sa famille auraient à subir du fait de la mesure (cf. art. 96 al. 1 LEtr; arrêt 2C_36/2009 du 20 octobre 2009 consid. 2.1; arrêts précités 2C_295/2009 consid. 4.3 et 2C_793/2008 consid. 2.1). Quand le refus d'octroyer une autorisation de séjour se fonde sur la commission d'une infraction, la peine infligée par le juge pénal est le premier critère servant à évaluer la gravité de la faute et à procéder à la pesée des intérêts en présence (cf. arrêt 2C_464/2009 du 21 octobre 2009 consid. 5).
4.2.2 En l'occurrence, la condition de l'art. 62 let. b LEtr est réalisée, car le recourant a été condamné à une peine privative de liberté de longue durée. En effet, par jugement du 19 décembre 2007, il s'est vu infliger une peine de 3 ans de privation de liberté, dont 18 mois avec sursis pendant deux ans, pour infraction grave à la loi fédérale sur les stupéfiants, après avoir été arrêté en possession de deux kilos de cocaïne. Le Tribunal administratif a du reste confirmé que le recourant avait agi exclusivement dans un dessein de lucre. Or, il s'agit d'un domaine où la jurisprudence se montre particulièrement rigoureuse (ATF 122 II 436 consid. 2c p. 436). La protection de la collectivité publique face au développement du marché de la drogue constitue incontestablement un intérêt public prépondérant justifiant l'éloignement d'un étranger qui s'est rendu coupable d'infraction grave à la législation sur les stupéfiants. Les étrangers qui sont mêlés au commerce des stupéfiants doivent donc s'attendre à faire l'objet de mesures d'éloignement (jurisprudence constante: arrêts 2C_418/2009 du 30 novembre 2009 consid. 4.1; 2C_464/2009 du 21 octobre 2009 consid. 6.1; 2C_277/2009 du 20 août 2009 consid. 4.2).
Une cause de non-renouvellement de l'autorisation de séjour existe donc très clairement en l'espèce. Il reste à savoir si, sur la base d'une pesée des intérêts prenant en considération toutes les circonstances du cas particulier, elle doit concrètement conduire à un tel résultat (cf. art. 96 LEtr). Cette question sera traitée ci-dessous en relation avec l'art. 8 § 2 CEDH.
4.3 Le droit au respect de la vie privée et familiale garanti par l'art. 8 § 1 CEDH n'est pas absolu. Une ingérence dans l'exercice de ce droit est possible, selon l'art. 8 § 2 CEDH, à certaines conditions, notamment lorsqu'une telle mesure est nécessaire à la défense de l'ordre et à la prévention des infractions pénales. L'application de cette disposition implique aussi la pesée des intérêts en présence et l'examen de la proportionnalité de la mesure (cf. ATF 135 I 153 consid. 2.1 et 2.2 p. 154 ss; arrêt 2C_295/2009 du 25 septembre 2009 consid. 4.3). En ce qui concerne l'intérêt public, il faut retenir que la Suisse mène une politique restrictive en matière de séjour des étrangers, pour assurer un rapport équilibré entre l'effectif de la population suisse et celui de la population étrangère résidante, ainsi que pour améliorer la situation du marché du travail et assurer un équilibre optimal en matière d'emploi. Ces buts sont légitimes au regard de l'art. 8 § 2 CEDH (cf. ATF 135 I 143 consid. 2.2 p. 147 et 153 consid. 2.2.1 p. 156; 120 Ib 1 consid. 3b p. 4 s. et 22 consid. 4a p. 24 s.).
La solution n'est pas différente du point de vue de la mise en oeuvre de l'art. 8 CEDH qu'en ce qui concerne l'art. 96 al. 1 LEtr. Normalement, en cas de peine d'au moins deux ans de détention, l'intérêt public à l'éloignement de l'étranger l'emporte sur l'intérêt privé de celui-ci - et de sa famille - à pouvoir rester en Suisse (ATF 134 II 10 consid. 4.3 p. 24; 130 II 176 consid. 4.1 p. 185). Cette limite de deux ans ne vaut certes pas de manière absolue. Elle doit au contraire être appréciée au regard de toutes les circonstances du cas et, en particulier, de la durée du séjour en Suisse de l'étranger (arrêt 2C_651/2009 du 1er mars 2010 consid. 4). On doit aussi prendre en compte la nature du délit commis et, en ce sens, il s'agit de se montrer particulièrement rigoureux avec les ressortissants étrangers qui se livrent au trafic de drogue, surtout s'ils ne sont pas eux-mêmes consommateurs de drogue, mais agissent par pur appât du gain (arrêt 2C_651/2009 précité consid. 4.3). Un bon pronostic de resocialisation n'exclut pas une expulsion (arrêt 2C_282/2008 du 11 juillet 2008 consid. 3.2).
En l'espèce, la peine privative de liberté est de trois ans. Le délit en cause est le trafic de drogue motivé par l'appât du gain. Le recourant vit légalement en Suisse depuis le 15 septembre 2005 et il a vécu dans son pays natal jusqu'à l'âge de vingt ans. En outre, son intégration en Suisse n'a rien d'exceptionnel dans la mesure où le recourant en est, à 24 ans, à débuter un apprentissage et qu'il s'est livré à des activités criminelles. Son éloignement ne l'empêcherait pas d'entretenir des contacts par téléphone, lettres ou messagerie électronique avec son épouse. A cela s'ajoute que la recourante pourrait venir voir son conjoint lors de séjours touristiques qui pourraient aussi avoir lieu en sens inverse. Enfin, rien n'empêche le recourant de déposer une nouvelle requête d'autorisation de séjour, lorsqu'il aura quitté la Suisse depuis un laps de temps significatif et fait la preuve par l'acte d'une durable réintégration sociale (cf. ATF 130 II 493 consid. 5 p. 504).
Pour le reste, contrairement à ce que prétend le recourant, le Tribunal administratif a procédé à une juste pesée des intérêts, à laquelle il peut être renvoyé. En particulier, l'importance accordée à la gravité des infractions commises et à l'absence d'intégration du recourant doit être qualifiée d'appropriée. Les autres points soulevés dans le recours, outre qu'ils s'écartent en grande partie des faits qui lient le Tribunal fédéral (cf. art. 105 al. 1 LTF), sont largement dénués de pertinence.
4.4 Ainsi, compte tenu de l'ensemble des circonstances, il apparaît que l'intérêt public à éloigner le recourant l'emporte sur l'intérêt privé de celui-ci et de son conjoint à pouvoir vivre ensemble en Suisse. Par conséquent, en rendant l'arrêt attaqué, le Tribunal administratif a respecté le droit. En particulier, il a procédé à une pesée des intérêts correcte et n'a porté atteinte ni à la loi fédérale sur les étrangers, ni à l'art. 8 CEDH.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la limite de sa recevabilité. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'a en outre pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF a contrario), sans compter qu'une partie qui défend elle-même ses intérêts ne peut en principe prétendre à une telle indemnité (cf. arrêt 4A_579/2008 du 26 février 2009 consid. 3).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, Cour de droit public, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 8 juin 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Zünd Vianin