Erwägungen:
1. Am 20. Juni 2007 verfügte der Veterinärdienst des Kantons Bern gegenüber X._ tierschutzrechtliche Massnahmen; am 19. Juli 2007 ordnete er die vorsorgliche Beschlagnahme seiner Dobermannhündin an. Nachdem X._ auf dieses Tier verzichtet hatte, schrieb der Veterinärdienst das Verfahren ab. Je mangels zureichender Begründung traten das Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Urteil vom 4. Januar 2008) und das Bundesgericht (Urteil 2C_65/2008 vom 8. Februar 2008) auf diesbezügliche Beschwerden nicht ein.
Bereits am 8. August 2007 hatte der Veterinärdienst gegenüber X._ mit unangefochten gebliebener Verfügung ein unbefristetes Hundeverbot angeordnet. Am 2. Mai 2008 beantragte X._, das ihm auferlegte Verbot sei aufzuheben; das Gesuch erneuerte er am 15. September sowie am 6. und 26. Oktober 2008. Der Veterinärdienst wies das Gesuch mit Verfügung vom 25. November 2008 ab. Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies die Volkswirtschaftsdirektion des Kantons Bern am 31. März 2009 ab. Mit Urteil vom 11. Mai 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen den Direktionsentscheid erhobene Beschwerde von X._ ab, soweit es darauf eintrat.
Mit als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegengenommener Rechtsschrift vom 3. Juni 2009 bittet X._ das Bundesgericht um Aufhebung des Hundehalteverbots. Auf Aufforderung hin hat er am 11. Juni 2009 das angefochtene Urteil nachgereicht.
2. Gemäss Art. 42 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Abs. 1). Dabei ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Abs. 2); es muss sich um schweizerisches Recht handeln (Art. 95 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids, die für dessen Ergebnis ausschlaggebend sind, auseinandersetzen.
Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Urteil unter anderem festgehalten, dass auf die Frage der Rechtmässigkeit des ursprünglichen, unangefochten gebliebenen, am 8. August 2007 angeordneten Hundehalteverbots nicht zurückzukommen sei; es gehe allein darum, ob eine Lockerung oder Aufhebung des Hundehalteverbots in Betracht komme, wobei dem Beschwerdeführer die entsprechenden Voraussetzungen erläutert worden seien, ihn die zu erfüllenden Bedingungen nicht unverhältnismässig treffen würden, er diese bisher nicht erfüllt habe und diesbezügliche blosse Absichtserklärungen nicht genügten.
Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf darzulegen, dass das gegen ihn ausgesprochene Hundeverbot nicht rechtmässig gewesen sei, er fähig sei, Hunde zu halten, und er die Auflagen des Tierschutzes erfüllen werde. Mit diesen Ausführungen tut er nicht dar, inwiefern das Verwaltungsgericht mit seinen Erwägungen bzw. mit seinem Urteil im Ergebnis schweizerisches Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzt haben könnte.
Auf die offensichtlich einer hinreichenden Begründung entbehrende Beschwerde (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Soweit der Beschwerdeführer mit seinem Gesuch um totalen Erlass der Verfahrenskosten um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht, kann dem Begehren wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Damit sind, dem Verfahrensausgang entsprechend, die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Veterinärdienst, der Volkswirtschaftsdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie dem Bundesamt für Veterinärwesen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller