Sachverhalt:
A. Die 1953 geborene B._ war ab November 2004 mit einem Pensum von 80 % als Mitarbeiterin im Aussendienst in der Firma P._ SA tätig und dadurch bei der "Schweizerische National-Versicherungs-Gesellschaft" (nachfolgend: National) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 24. Januar 2005 hatte sie den von ihr gelenkten Mazda MX6 auf der Hauptstrasse in Rorschach vor einem Fussgängerstreifen angehalten. Der nachfolgende Ford Maverick prallte ins Heck des Mazda. B._ suchte gleichentags die Hausärztin auf. Diese diagnostizierte eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und bestätigte ab dem Unfallzeitpunkt eine Arbeitsunfähigkeit (hausärztlicher Bericht vom 5. April 2004). Die National gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 7. Januar 2008 stellte sie die Leistungen auf den 30. November 2007 ein und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch bestehenden Beschwerden stünden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 24. Januar 2005. Daran hielt die National auf die von der Versicherten erhobene Einsprache hin mit Entscheid vom 18. Juli 2008 fest.
B. Die von B._ hiegegen einreichte Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gut. Es erkannte, die National habe die Adäquanz zu früh geprüft, hob den Einspracheentscheid auf und wies die Sache zur weiteren Ausrichtung der Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen an den Versicherer zurück (Entscheid vom 13. Januar 2010).
C. Die National führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und der Einspracheentscheid zu bestätigen; eventuell sei die Sache zur Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Weiter wird darum ersucht, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
B._ lässt auf Abweisung der Beschwerde sowie des Gesuchs betreffend aufschiebende Wirkung schliessen und die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren beantragen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin aus dem Unfall vom 24. Januar 2005 über den 30. November 2007 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Im Einspracheentscheid vom 18. Juli 2008 sind die massgeblichen Bestimmungen und die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang im Allgemeinen (vgl. BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181) sowie bei klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103), bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (sog. Psycho-Praxis; BGE 115 V 133) sowie bei nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge verbundenen Schleudertraumen, äquivalenten Verletzungen der HWS und Schädel-Hirntraumen (sog. Schleudertrauma-Praxis; BGE 117 V 359 und 369; 134 V 109) mit den zu beachtenden beweisrechtlichen Regeln zutreffend dargelegt. Darauf kann mit der Vorinstanz verwiesen werden.
3. Die National anerkannte im Einspracheentscheid vom 18. Juli 2008, dass die über den 30. November 2007 hinaus bestehenden Beschwerden (mindestens im Sinne einer Teilursächlichkeit) natürlich kausal auf den Unfall vom 24. Januar 2005 zurückzuführen sind. Sie verneinte im Weiteren eine organisch objektiv ausgewiesene Folge des Unfalls, welche die Beschwerden zu erklären vermöchte.
Der Einspracheentscheid ist insoweit im kantonalen Verfahren unbestritten geblieben und von der Vorinstanz bestätigt worden. Das wird letztinstanzlich von keiner Seite in Frage gestellt.
4. 4.1 Die National hat im Einspracheentscheid sodann die Adäquanzfrage geprüft. Sie hat erwogen, es stelle sich die Frage, ob es bereits früh nach dem Unfall zu einer psychischen Überlagerung gekommen sei. Zu Gunsten der Versicherten könne aber offen bleiben, ob dies zutreffe und deswegen die Adäquanzprüfung nach der Psycho-Praxis zu erfolgen hätte. Denn der adäquate Kausalzusammenhang sei auch nach der Schleudertrauma-Praxis zu verneinen, da die bei der gegebenen Unfallschwere in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehenden Kriterien nicht in genügender Weise vorlägen. Für die über den 30. November 2007 hinaus bestehenden Beschwerden bestehe daher mangels eines adäquaten Kausalzusammenhangs zum Unfall vom 24. Januar 2005 kein Leistungsanspruch.
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die National habe die Adäquanz zu früh geprüft und den Fall abgeschlossen, sei doch von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes der Versicherten zu erwarten gewesen. Hiegegen wendet sich die Beschwerde der National.
4.2 Die Vorinstanz beruft sich in ihrem Entscheid auf BGE 134 V 109. Gemäss diesem Urteil ist nicht danach zu fragen, in welchem Zeitpunkt die Adäquanzprüfung vorgenommen worden darf, sondern wann der Unfallversicherer gestützt auf Art. 19 Abs. 1 UVG einen Fall (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und mit Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat. Der Zeitpunkt hiefür ist gekommen, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind (BGE 134 V 109 E. 3 und 4 S. 112 ff.).
Eingliederungsmassnahmen der IV stehen im vorliegenden Fall nicht zur Diskussion. Die Rechtmässigkeit des Fallabschlusses beurteilt sich demzufolge danach, ob von weiterer ärztlicher Behandlung eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden konnte. Das kantonale Gericht hat dies bejaht. Die National vertritt die gegenteilige Auffassung.
4.3 Die Frage, ob eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden kann, beurteilt sich namentlich nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit unfallbedingt beeinträchtigt. Dabei verdeutlicht die Verwendung des Begriffes "namhaft" durch den Gesetzgeber, dass die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen muss. Unbedeutende Verbesserungen genügen nicht (BGE 134 V 109 E. 4.3 S. 115 mit Hinweisen).
Das kantonale Gericht begründet seine Betrachtungsweise mit dem von der National - zusammen mit dem für den Unfall zuständigen Haftpflichtversicherer und der Invalidenversicherung - eingeholten polydisziplinären Gutachten des Instituts X._ vom 24. Oktober 2007. Die darin enthaltenen fachärztlichen Aussagen stützen indessen bei genauer Betrachtung die vorinstanzliche Beurteilung nicht. Zwar führen die Experten aus, die Behandlung sei noch nicht abgeschlossen und es könne von weiteren Heilmassnahmen noch eine wesentliche Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden. An anderer Stelle im Gutachten wird hingegen lediglich bestätigt, es bestehe die Chance einer nennenswerten Besserung. Das wirft zumindest Fragen auf, zumal sich schon mit den vorangegangenen Therapien offensichtlich kein nachhaltiger Erfolg hatte erzielen lassen, obschon dabei gemäss Bericht des Dr. med. E._ vom 5. Januar 2007 und den von diesem gestellten Rechnungen im Wesentlichen auch die von den Experten des Instituts X._ empfohlenen Behandlungen anwendet worden waren. Hinzu kommt, dass die Experten des Instituts X._ ausdrücklich bestätigen, es bleibe auch bei Durchführung der von ihnen empfohlenen Behandlungsmassnahmen (als dringendste Massnahme der Stopp der Schmerzbehandlung mit Dafalgan; sodann eine schmerzdistanzierende Schmerzbehandlung mit einem tricyclischen Antidepressivum, eine aktive muskelaufbauende Therapie und eine psychiatrische Evaluation mit einer wöchentlichen kognitiven Verhaltenstherapie) bei der attestierten aktuellen Arbeitsunfähigkeit. Eine zu erwartende namhafte gesundheitliche Besserung, welche im Sinne der dargelegten Grundsätze dem Fallabschluss entgegenstehen könnte, ergibt sich somit nicht aus dem Gutachten. Den übrigen medizinischen Akten lassen sich ebenfalls keine entsprechenden Anhaltspunkte entnehmen. Schliesslich deutet auch der Umstand, dass zwischen dem Unfall und dem Fallabschluss durch die Beschwerdeführerin 2 3⁄4 Jahre lagen, darauf hin, dass von einer Fortsetzung der Behandlung keine namhafte Besserung zu erwarten war.
4.4 Entgegen dem angefochtenen Entscheid ist daher nicht zu beanstanden, dass die National den Fall unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld) auf den 30. November 2007 abgeschlossen hat.
Damit bleibt offen, ob ab dem Zeitpunkt des Fallabschlusses Anspruch auf eine Invalidenrente und/oder auf eine Integritätsentschädigung besteht. Die National hat dies mit der Begründung verneint, es fehle am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den noch bestehenden Beschwerden und dem Unfall vom 24. Januar 2005. Ob dies zutrifft, hat die Vorinstanz nicht geprüft. Es ist entgegen dem Hauptantrag der National nicht angezeigt, dass das Bundesgericht diese Beurteilung selber - als erste Gerichtsinstanz - vornimmt, zumal sich die Beschwerdegegnerin dazu im vorliegenden Verfahren nicht geäussert hat. Die Sache wird hiefür im Sinne des Eventualantrages der Beschwerdeführerin an das kantonale Gericht zurückgewiesen.
5. Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen, gegenstandslos.
6. Dem Ausgang des Prozesses entsprechend gilt die Beschwerdeführerin als obsiegend, weshalb die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen hat (Art. 66 Abs. 1 BGG) und keine Parteientschädigung zugesprochen erhält (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Die Beschwerdegegnerin ersucht um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung). Dies setzt unter anderem voraus, dass sie bedürftig ist (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Gemäss ihren Angaben und den dazu eingereichten Belegen verfügen die Beschwerdegegnerin und ihr Ehemann über monatliche Einkünfte aus Löhnen und Renten von gesamthaft Fr. 4'814.-. Dem stehen Ausgaben von Fr. 2'520.- (Mietzins Fr. 1'780.-; Krankenkassenprämien Fr. 340.-; Steuern Fr. 400.-) gegenüber. Dieser Summe ist der Grundbetrag für das Ehepaar (Fr. 1'550.-) mit einem prozessualen Zuschlag von 25 % (Fr. 387.-) hinzuzurechnen. Aus der Gegenüberstellung der resultierenden Gesamtauslagen von Fr. 4'457.- und der Einkünfte von Fr. 4'814.- ergibt sich ein monatlicher Einkommensüberschuss von Fr. 357.-. Das genügt, um die Prozesskosten in vernünftiger Frist zu bezahlen (Pra 2006 Nr. 143 S. 987, 5P.441/2005; Urteil 8C_758/2009 vom 12. Februar 2010 E. 4 mit Hinweis). Damit ist keine Bedürftigkeit gegeben, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist.
Der Beschwerdeführerin als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauter Institution steht entgegen ihrem Antrag und ungeachtet ihres Obsiegens keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen, Abteilung III, vom 13. Januar 2010 aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen über die Beschwerde neu entscheide. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Juni 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz