Fatti:
A. A.A._, la moglie B.A._ e il figlio C.A._, cittadini turchi, sono entrati illegalmente in Svizzera il 10 settembre 1999, chiedendo asilo il 30 settembre successivo. Durante il loro soggiorno nel nostro Paese sono nati due altri figli, D.A._ e E.A._. Il 22 febbraio 2002 l'Ufficio federale dei rifugiati ha respinto la domanda d'asilo della famiglia A._, decisione confermata il 23 settembre 2003 dalla Commissione svizzera di ricorso in materia d'asilo (CRA). Il 12 novembre 2003 A.A._, B.A._, C.A._, D.A._ e E.A._ hanno inoltrato una domanda di riesame, chiedendo nel contempo la sospensione del termine di partenza loro fissato, l'ammissione provvisoria e la concessione dello statuto di apolide.
B. L'11 marzo 2004 l'Ufficio federale degli stranieri (ora: Ufficio federale della migrazione, UFM) ha respinto la domanda di riesame e, con scritto del 15 marzo successivo, ha informato gli interessati che la domanda di concessione dello statuto di apolide sarebbe stata evasa solo dopo la crescita in giudicato della decisione dell'11 marzo 2004. Con giudizio del 14 novembre 2005, rimasto incontestato, la CRA ha confermato la reiezione dell'istanza di riesame.
C. Il 28 febbraio 2006 l'UFM ha rifiutato di concedere ai membri della famiglia A._ lo statuto di apolide. Detto rifiuto è stato confermato su ricorso dal Tribunale amministrativo federale, Corte III, con sentenza del 30 maggio 2008. Respinte le eccezioni di natura formale sollevate, la citata autorità ha precisato in primo luogo che solo A.A._ poteva chiedere di essere riconosciuto quale apolide: gli altri membri della famiglia possedevano infatti delle carte d'identità turche, rispettivamente dei certificati di nascita in base ai quali potevano essere rilasciati dei documenti di legittimazione. Essa ha poi osservato che parte dei documenti prodotti erano dei falsi e che, quand'anche si ammettesse che A.A._ era stato privato della propria nazionalità perché si era sottratto all'obbligo del servizio militare, questi non aveva però intrapreso tutto quanto si poteva ragionevolmente pretendere da lui per ricuperarla. Il Tribunale amministrativo federale ha quindi concluso giudicando che A.A._ aveva intenzionalmente abbandonato la propria nazionalità per potere beneficare dello statuto privilegiato di apolide, ciò che costituiva un abuso di diritto.
D. Il 9 luglio 2008 A.A._ e B.A._, per sé e in rappresentanza dei figli C.A._, D.A._ e E.A._, hanno presentato dinanzi al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico, con cui chiedono che la sentenza impugnata sia annullata e che venga loro riconosciuto lo statuto di apolide. Adducono, in sostanza, un accertamento manifestamente inesatto dei fatti e la violazione della Convenzione sullo statuto degli apolidi. Chiedono inoltre la concessione dell'effetto sospensivo nonché il beneficio dell'assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio.
Il Tribunale federale non ha ordinato uno scambio di allegati scritti, limitandosi a chiedere alle competenti autorità federali la trasmissione dell'incarto di causa, avvenuta il 22 luglio 2008.
Diritto:
1.1 Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (art. 29 cpv. 1 LTF), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (DTF 134 IV 36 consid. 1; 133 II 249 consid. 1.1; 133 I 185 consid. 2 e rispettivi riferimenti).
1.2 Esperito contro una sentenza emanata dal Tribunale amministrativo federale (art. 86 cpv. 1 lett. a LTF) che concerne la concessione dello statuto di apolide, ossia un ambito che non soggiace ai motivi di esclusione di cui all'art. 83 lett. c LTF, il presente ricorso, tempestivo (art. 100 cpv.1 LTF) e presentato da persone legittimate ad agire (art. 89 cpv. 1 LTF), è quindi di massima ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico.
2. Il 1° gennaio 2008 è entrata in vigore la legge federale sugli stranieri, del 16 dicembre 2005 (LStr; RS 142.20). In virtù dell'art. 126 cpv. 1 LStr alla procedura in esame, che trae origine da un'istanza presentata il 12 novembre 2003, rimane tuttavia applicabile la pregressa legge federale del 26 marzo 1931 concernente la dimora ed il domicilio degli stranieri (LDDS; cfr. la cifra I dell'Allegato alla LStr).
3. 3.1 Secondo i ricorrenti l'istanza di concessione dello statuto di apolide dovrebbe contemplare tutti i membri della famiglia. In effetti se il marito rispettivamente padre, venisse riconosciuto come apolide, gli altri membri della famiglia non potrebbero comunque più richiedere documenti di legittimazione turchi. Inoltre solo lui beneficerebbe di un permesso di dimora ai sensi dell'art. 31 cpv. 1 LStr, mentre la moglie e i figli potrebbero risiedere in Svizzera unicamente nell'ambito del ricongiungimento familiare, ciò che non conferirebbe loro alcun diritto al rilascio anticipato di un permesso di domicilio, contrariamente a quanto previsto per gli apolidi dall'art. 31 cpv. 3 LStr. Di conseguenza accordare lo statuto di apolide solo a A.A._ instaurerebbe un'ingiustificata disparità di trattamento tra i membri della famiglia.
3.2 Nella decisione contestata, ai cui pertinenti considerandi si rinvia, il Tribunale amministrativo federale, richiamandosi alla giurisprudenza di questa Corte, ha esposto in modo dettagliato i requisiti da adempiere affinché una persona possa beneficiare dello statuto di apolide (cfr. decisione del 30 maggio 2008, consid. 4 pag. 8 seg.). Ci si limita pertanto a ricordare che vanno considerate apolidi le persone che, senza intervento da parte loro, sono state private della loro nazionalità e non hanno alcuna possibilità di recuperarla. In concreto, è incontestato che la moglie e i figli del ricorrente sono titolari di carte d'identità turche, rispettivamente posseggono dei certificati di nascita in base ai quali possono essere rilasciati dei documenti di legittimazione: essi non soddisfano quindi le esigenze poste per beneficiare del citato statuto. Riguardo poi alla lamentata impossibilità di ottenere in futuro dei documenti di legittimazione (se a A.A._ fosse concesso lo statuto di apolide), tale affermazione non è tuttavia sostanziata né documentata e va, quindi, disattesa. Infine va precisato che, in caso di concessione dello statuto di apolide, le condizioni di soggiorno dei vari membri della famiglia andrebbero disciplinate dalla pregressa legge federale concernente la dimora ed il domicilio degli stranieri, del 26 marzo 1931, che non contiene una norma simile all'art. 31 LStr: il richiamo a quest'ultimo disposto e le pretese ineguaglianze derivanti dalla sua applicazione sono quindi privi di pertinenza.
4. 4.1 I ricorrenti lamentano un accertamento manifestamente inesatto dei fatti (cfr. art. 97 cpv. 1 LTF). Fanno valere che la cittadinanza turca è stata revocata a A.A._ perché ha disertato dall'esercito turco. Per tal motivo egli non potrebbe più riacquistarla, ciò che è comprovato dal fatto che i suoi scritti 18 giugno e 16 dicembre 2004, tesi al riconoscimento della propria nazionalità ed indirizzati all'Ambasciata turca, sono rimasti senza risposta. È quindi a torto che gli è stato rimproverato di non intraprendere nulla per riottenere la cittadinanza d'origine. I ricorrenti adducono poi la violazione dell'art. 1 della Convenzione sullo statuto degli apolidi (RS 0.142.40) in quanto A.A._ non ha abbandonato volontariamente la propria cittadinanza ma vi è stato costretto a seguito delle accuse di appartenere al movimento rivoluzionario PKK.
4.2 Il Tribunale amministrativo federale, richiamandosi alle decisioni emanate dalle competenti autorità nell'ambito della procedura d'asilo avviata in precedenza dai ricorrenti (cfr. giudizio del 30 maggio 2008, consid. 5.1 pag. 10) ha constatato che il documento prodotto dal ricorrente concernente i problemi riscontrati a seguito delle accuse di appartenenza al PKK era un falso. Nel caso di specie non è stata data alcuna spiegazione atta a confutare tale tesi, motivo per cui su questo punto il ricorso va disatteso. Per quanto concerne poi la problematica della revoca della cittadinanza turca a causa della diserzione dall'esercito, ci si limita ad osservare che la prassi su questo tema, richiamata dall'autorità inferiore (cfr. decisione del 30 maggio 2008 consid. 5.2), è chiara e che non è stato fornito alcun valido argomento atto a rimetterla in discussione. Inoltre A.A._ non ha provato né dimostrato di aver intrapreso tutto quanto si poteva ragionevolmente da lui pretendere per riacquistare la cittadinanza d'origine. Anche al riguardo il ricorso si rivela privo di pertinenza.
5. 5.1 Ne discende che il ricorso in materia di diritto pubblico si avvera manifestamente infondato. L'impugnativa può essere evasa secondo la procedura semplificata dell'art. 109 LTF, limitandosi alle considerazioni esposte e rinviando per il resto alle pertinenti argomentazioni del giudizio impugnato (art. 109 cpv. 3 LTF).
5.2 Con l'evasione del gravame la richiesta di conferimento dell'effetto sospensivo è divenuta priva d'oggetto.
5.3 La domanda di assistenza giudiziaria e gratuito patrocinio presentata dai ricorrenti non può trovare accoglimento, atteso che le loro conclusioni erano sin dall'inizio prive di probabilità di successo (art. 64 LTF). Le spese giudiziarie vanno quindi addossate ai ricorrenti, soccombenti (art. 66 cpv. 1 e 5 LTF). Non si assegnano ripetibili ad autorità vincenti intervenute in causa nell'esercizio delle loro attribuzioni ufficiali (art. 68 cpv. 3 LTF).
Il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è respinto.
2. La domanda di assistenza giudiziaria e di gratuito patrocinio è respinta.
3. Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico dei ricorrenti, in solido.
4. Comunicazione al patrocinatore dei ricorrenti, all'Ufficio federale della migrazione e al Tribunale amministrativo federale, Corte III.