Faits:
A. Né en 1957 et ressortissant d'Irak, A.X._ est entré en Suisse le 31 mai 1998, avec son épouse, B._, née en 1964, et leurs deux enfants, C._, née en 1994, et D._, né en 1996.
Leur demande d'asile, déposée en août 1998, a été rejetée le 25 novembre 1999 et le renvoi de la famille prononcé. Reconsidérant sa décision initiale sous l'angle du renvoi, l'Office fédéral des réfugié (devenu l'Office fédéral des migrations; ci-après l'Office fédéral) a mis les membres de la famille X._ au bénéfice d'une admission provisoire (permis F) le 10 août 2001.
Entre le 28 septembre 2000 et le 24 novembre 2006, A.X._ et/ou son épouse ont déposé à cinq reprises des demandes tendant à la délivrance d'un certificat d'identité ou d'un visa, afin de pouvoir se rendre à l'étranger. L'Office fédéral a rejeté ces demandes.
Le 26 octobre 2006, A.X._ a demandé la transformation du permis F en permis B pour lui, sa femme et ses deux enfants, en invoquant des raisons humanitaires (cas d'extrême gravité). Il a fait valoir de graves problèmes de santé, la difficulté d'un retour dans leur pays pour ses enfants, leur bonne intégration en Suisse et le fait que la famille ne faisait l'objet d'aucune poursuite.
L'instruction de la requête a mis en évidence que la famille X._ avait bénéficié de prestations d'assistance s'élevant au total, pour la période du 1er janvier 2004 au 30 novembre 2006, à 133'019 fr. 95.
Par décision du 8 mai 2007, entrée en force, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a refusé l'octroi d'un permis B à la famille X._ en raison de leur dépendance à l'assistance publique.
B. Le 27 janvier 2009, A.X._ a déposé, pour lui et sa famille, une nouvelle demande de permis B, en faisant notamment valoir qu'il était malade. Selon une attestation de décembre 2008 de la Policlinique Médicale Universitaire du canton de Vaud, il est en traitement depuis juillet 1998 pour une obésité de stade IV, un diabète de type 2, une hypertension artérielle, une dyslipidémie traitée, une maladie coronarienne, un syndrome d'apnée du sommeil, un glaucome à l'oeil gauche et une probable maladie de Berger. De l'avis des médecins, un suivi médical en Suisse est indispensable.
Le 11 mars 2009, la fille de A.X._, C._, a obtenu la nationalité suisse, alors que la naturalisation de son frère, D._, est en cours de procédure.
Le 6 avril 2009, le Service cantonal, traitant la requête précitée du 27 janvier 2009 comme une demande de reconsidération de sa première décision du 8 mai 2007, l'a déclarée irrecevable, subsidiairement l'a rejetée.
Par arrêt du 28 octobre 2009, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public (ci-après: le Tribunal cantonal), a rejeté le recours interjeté par A.X._ contre la décision du Service cantonal du 6 avril 2009 et a confirmé celle-ci. Tout en laissant ouverte la question de savoir si le refus d'entrer en matière du Service cantonal sur la demande du 27 janvier 2009 était justifié, les juges cantonaux ont considéré que, de toute façon, sur le fond, l'octroi d'une autorisation de séjour à A.X._ et à son épouse devait être refusé, en raison de leur dépendance à l'aide sociale. L'arrêt cantonal souligne en outre que la décision attaquée n'implique pas que les intéressés doivent quitter la Suisse, le recourant pouvant continuer à y résider avec famille et à s'y faire soigner.
C. Contre l'arrêt du 28 octobre 2009, A.X._ forme un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de la décision entreprise et, à titre provisionnel, à l'octroi de l'assistance judiciaire partielle ainsi qu'à la suspension de l'exécution du renvoi jusqu'à droit connu sur son recours.
Par ordonnance du 23 novembre 2009, le Président de la IIe Cour de droit public a informé le recourant qu'il serait statué ultérieurement sur sa demande d'assistance judiciaire. Il a également déclaré la demande de suspension sans objet, car le recourant continuait à pouvoir résider en Suisse.
Le Tribunal cantonal a renoncé à répondre, se référant aux considérants de l'arrêt attaqué. Dans ses déterminations, le Service cantonal conclut au rejet du recours, à l'instar de l'Office fédéral.
Considérant en droit:
1. La demande d'autorisation de séjour qui est à la base de la présente affaire est postérieure au 1er janvier 2008, de sorte qu'elle est régie par la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20; art. 126 al. 1 LEtr a contrario).
2. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 1 consid. 1.1 p. 3).
2.1 Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, en droit des étrangers, le recours en matière de droit public est irrecevable à l'encontre des décisions qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
Le recourant invoque l'art. 8 CEDH. En tant que père d'une fille mineure de nationalité suisse avec laquelle il vit, celui-ci, ainsi que son épouse, peuvent a priori se prévaloir d'un droit de présence en Suisse en vertu de l'art. 8 CEDH, respectivement 13 Cst. (regroupement familial à rebours - umgekehrter Familiennachzug; cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.2 p. 146). Le recours en matière de droit public est donc ouvert, étant précisé que savoir si l'art. 8 CEDH justifie d'accorder au recourant une autorisation de séjour relève du fond et non de la recevabilité (arrêt 2C_499/2009, du 2 février 2010, consid. 1.1 destiné à la publication).
2.2 Dirigé contre un jugement final (cf. art. 90 LTF) rendu par une autorité judiciaire cantonale supérieure de dernière instance (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours a été déposé dans le délai prévu par la loi (cf. art. 100 al. 1 LTF). Le recourant est actuellement au bénéfice d'une admission provisoire (permis F) et demande une autorisation de séjour (permis B). Dès lors qu'un tel changement entraîne une amélioration de statut du point de vue du droit des étrangers (cf. Peter Bolzli, Migrationsrecht, Komm., 2e éd. actualisée, Berne 2009, n. 10 ad art. 84 LEtr.; concernant la situation de l'étranger admis provisoirement, cf. ATF 135 II 10 consid. 2.3), l'intéressé dispose de la qualité pour recourir contre une décision qui a pour effet de lui refuser une telle autorisation (art. 89 al. 1 LTF).
2.3 Le recourant conclut uniquement à l'annulation de l'arrêt attaqué. Une telle conclusion, purement cassatoire, n'est en principe pas suffisante (art. 107 al. 2 LTF). Toutefois, il y a lieu de ne pas se montrer trop formaliste (cf. ATF 133 II 409 consid. 1.4 p. 414 s. et les références citées), car on comprend du mémoire produit que le recourant conteste le refus de lui octroyer une autorisation de séjour. Il sera donc entré en matière.
3. Le Service cantonal, envisageant la requête du 27 janvier 2009 comme une demande de réexamen, l'a déclarée irrecevable, subsidiairement l'a rejetée. L'arrêt attaqué laisse ouverte la question de savoir si l'autorité administrative pouvait, comme elle l'a fait, refuser d'entrer en matière sur la demande de réexamen du recourant. Les juges cantonaux ont en effet tranché la cause au fond. Partant, il y a lieu d'admettre que l'objet de la contestation ne se limite pas à la recevabilité de la demande de réexamen, mais porte bien sur le fond.
4. Le recourant, requérant d'asile débouté, a été admis provisoirement depuis août 2001. Il tombe ainsi sous le coup de l'art. 84 al. 5 LEtr., disposition qui impose aux autorités d'examiner de manière approfondie les demandes d'autorisation de séjour déposées par un étranger admis provisoirement et résidant en Suisse depuis plus de cinq ans. L'art. 84 al. 5 LEtr. ne constitue pas pour autant un fondement juridique autorisant l'octroi d'une autorisation de séjour; celle-ci est décernée, dans un tel cas, sur la base de l'art. 30 LEtr (dérogations aux conditions d'admission; Bolzli, op. cit. n. 10 ad art. 84 LEtr). Or, le recours en matière de droit public ne permet pas de revoir les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent les dérogations aux conditions d'admission (art. 83 let. c ch. 5 LTF; Alain Wurzburger, Commentaire de la LTF, n. 59 ad art. 83). Dans la mesure où le recourant reproche aux autorités cantonales de n'avoir pas admis qu'il se trouvait dans un cas de rigueur justifiant de lui octroyer, ainsi qu'à son épouse, une autorisation de séjour en application de l'art 30 LEtr, il formule des critiques qui ne peuvent être examinées dans la présente procédure.
5. Le recourant invoque une violation de l'art. 42 LEtr., en soutenant que cette disposition comporte une lacune et qu'il devrait, en tant que père d'une enfant suisse, pouvoir bénéficier d'un droit à une autorisation de séjour en vertu de l'art. 42 al. 1 LEtr.
Comme le recourant l'admet lui-même, il ressort du texte de l'art. 42 al. 1 LEtr que le droit au regroupement familial en faveur des membres de la famille d'un ressortissant suisse n'est prévu que pour le conjoint ainsi que pour les enfants célibataires de moins de 18 ans, mais non pour les ascendants. En vertu de l'art. 42 al. 2 let. b LEtr, un tel droit n'existe en faveur des ascendants (regroupement familial inversé; umgekehrte Familiennachzug) d'un ressortissant suisse qu'à la double condition que leur entretien soit garanti et qu'ils soient titulaires d'une autorisation de séjour durable délivrée par un Etat avec lequel la Suisse a conclu un accord sur la libre circulation des personnes (ci-après: un Etat membre). Or, le recourant ne remplit manifestement aucune de ces conditions. Par ailleurs, il n'y a pas lieu de s'interroger sur l'existence d'une éventuelle discrimination des ressortissants suisses par rapport aux membres de l'UE et de l'AELE (discrimination à rebours; Inländerdiskriminierung) qui peuvent, selon la dernière jurisprudence rendue en application de l'art. 3 Annexe I ALCP (ATF 136 II 5, qui revient sur les arrêts publiés aux ATF 130 II 1 et 134 II 10), faire venir leurs ascendants en Suisse même si ces derniers n'ont pas, préalablement à la demande, déjà séjourné légalement dans un Etat membre. En effet, la disposition précitée de l'accord subordonne également le droit au regroupement familial des ascendants à la condition que leur entretien soit garanti (ATF 135 II 369 consid. 3.1 p. 372 s.), ce qui n'est pas le cas du recourant.
6. Le recourant soutient également que l'arrêt attaqué porte atteinte à son droit au respect de la vie familiale garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH.
Pour que cette garantie puisse être invoquée, il faut être en présence d'une mesure étatique d'éloignement qui aboutit à la séparation des membres d'une famille (cf. ATF 135 I 153 consid. 2.1 p. 155 s.; arrêt 2C_505/2009 du 29 mars 2010 destiné à la publication, consid. 5.1). Or, comme les juges cantonaux l'ont déjà relevé, la décision de refus litigieuse n'empêche pas le recourant et son épouse de demeurer en Suisse auprès de leurs enfants, puisque l'admission provisoire dont ils bénéficient n'est aucunement levée. A cet égard, la situation n'est nullement comparable à l'arrêt 2A.2/2005 du 4 mai 2005 invoqué par le recourant. En effet, dans cette affaire, la décision attaquée avait pour conséquence, contrairement à la présente espèce, de séparer la famille. Par ailleurs, le seul fait que les membres de la famille X._ ne puissent voyager ensemble à l'étranger n'est pas suffisant pour en conclure à une atteinte à l'art 8 CEDH.
Partant, l'arrêt attaqué ne constitue pas une ingérence dans la vie privée et familiale du recourant contraire à l'art. 8 CEDH.
7. En dernier lieu, le recourant se plaint d'une violation des art. 7 et 8 Cst.
7.1 Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
En l'espèce, la motivation confuse développée par le recourant sous l'angle des art. 7 et 8 Cst. ne remplit que dans une faible mesure les exigences de motivation prévues à l'art. 106 al. 2 Cst., en ce sens que l'on peine à saisir précisément l'objet de ses griefs. Il ne sera donc entré en matière sur son recours qu'à l'égard des critiques présentant un lien intelligible avec les articles 7 ou 8 Cst.
7.2 En relation avec l'art. 7 Cst., le recourant soutient qu'il se trouve dans une situation précaire qui porterait atteinte à sa dignité humaine.
Une telle critique confine à la témérité. En effet, le recourant semble perdre de vue qu'il peut toujours demeurer dans notre pays, que lui et sa famille sont entièrement assistés par l'Etat depuis plusieurs années et qu'il bénéficie des traitements qui lui sont nécessaires en raison de son état de santé. Dans cette situation, on ne voit pas que le seul fait de lui refuser une autorisation de séjour porterait atteinte à sa dignité humaine protégée par 7 Cst.
7.3 Quant à la violation de l'art. 8 Cst., le recourant, d'après ce que l'on parvient à saisir (cf. supra consid. 7.1), considère que, compte tenu de son état de santé et du fait qu'il est titulaire d'un permis F, il est discriminatoire de lui opposer sa dépendance à l'aide sociale pour lui refuser l'octroi d'une autorisation de séjour.
7.3.1 Pour démontrer que sa situation justifierait un traitement différencié, le recourant s'écarte des faits ressortant de l'arrêt attaqué. Il présente son appréciation personnelle sans tenir compte des constatations cantonales et sans démontrer que celles-ci seraient manifestement inexactes ou arbitraires, comme le lui impose l'art. 97 al.1 LTF.
Partant, le Tribunal de céans, qui est lié par les faits constatés (art. 105 al. 1 LTF), examinera le bien-fondé des violations alléguées uniquement en fonction des éléments ressortant de l'arrêt attaqué.
7.3.2 Selon la décision entreprise, aucun élément n'établit que le recourant, souffrant certes de graves ennuis de santé, serait incapable de travailler. Par ailleurs, son épouse n'a elle non plus jamais occupé d'emploi, alors que rien ne paraissait s'y opposer. Elle a seulement participé au programme d'occupation "Techniques d'entretien" de l'EVAM depuis janvier 2009.
Puisque l'état de santé du recourant ne l'empêche pas de travailler et que son épouse serait aussi à même d'exercer une activité lucrative, on ne voit pas que l'entière dépendance de la famille à l'aide sociale durant des années n'aurait pas dû être prise en compte sous l'angle de l'art. 8 Cst.
Certes, le fait d'être au bénéfice d'une admission provisoire n'avantage pas le couple sur le marché du travail. La détention d'un permis F n'interdit toutefois pas de travailler. Or, aucun élément ne permet de retenir que le recourant ou son épouse auraient fait des efforts particuliers pour s'insérer dans le monde du travail. Que l'épouse ait suivi un programme d'occupation en 2009 est certes un point positif, mais, comme l'a retenu à juste titre le Tribunal cantonal, n'est toutefois pas déterminant, dès lors que l'intéressée est titulaire d'un permis F depuis 2001. En réalité, il apparaît que la famille s'est résignée, puisque, selon l'arrêt attaqué, elle indique elle-même que sa situation financière ne va pas s'améliorer.
En pareilles circonstances, on ne voit pas que le refus d'accorder une autorisation de séjour au recourant et à son épouse en raison de leur dépendance complète à l'aide sociale soit constitutif d'une discrimination au sens de l'art. 8 al. 2 Cst.
Le recours doit donc être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
8. Compte tenu de l'absence de chances de succès du recours, la demande d'assistance judiciaire requise doit également être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Par conséquent, les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant, mais ils seront fixés en tenant compte de sa situation financière (art. 66 al. 1 et 2 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Des frais judiciaires réduits, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au représentant du recourant, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 26 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Zünd Addy