Faits:
A. Le 21 septembre 2010, la société A._ SA a introduit devant le juge des districts d'Hérens et Conthey (VS) une action en responsabilité dirigée contre W._, X._ et Z._, pris en leur qualité d'associés-gérants de la société B._ Sàrl, laquelle avait loué à A._ SA des locaux appartenant à celle-ci.
Dans le cadre de cette procédure, X._ a présenté une requête d'assistance judiciaire datée du 12 janvier 2011.
Par décision du 5 mai 2011, le juge de district a rejeté la requête d'assistance judiciaire. Il a retenu que le requérant réalisait, au moment du dépôt de la requête, un revenu mensuel net de 2'649 fr.15, qu'il était entièrement entretenu par ses parents au domicile desquels il logeait et qu'il pouvait donc, même en tenant compte du minimum vital, constituer, pendant la durée probable du procès de 24 mois, des économies suffisantes pour en assumer les frais prévisibles.
Statuant sur recours par décision du 28 novembre 2011, le Président de la Chambre civile du Tribunal cantonal valaisan a rejeté le recours formé contre cette décision par X._.
B. X._ exerce un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant une constatation manifestement inexacte des faits pertinents ayant entraîné un refus de l'assistance judiciaire dans un cas où le droit cantonal lui en donnait le droit, le recourant conclut à l'annulation de la décision attaquée, à sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire avec effet au 12 janvier 2011 et à la désignation de son avocat actuel comme conseil d'office. Il sollicite par ailleurs l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
Un échange d'écritures n'a pas été ordonné.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision qui refuse l'assistance judiciaire est une décision incidente qui peut causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, de sorte que le recours au Tribunal fédéral est immédiatement ouvert (arrêt 5A_108/2007 du 11 mai 2007 consid. 1.2; déjà sous l'ancien droit: ATF 125 I 161 consid. 1 p. 162).
La requête d'assistance judiciaire se greffe comme un accessoire sur une procédure au fond, dans le but d'obtenir l'aide de l'Etat pour mener le procès en question. En raison de ce caractère accessoire, le recours qui peut être interjeté au Tribunal fédéral est déterminé par la procédure sur le fond. En conséquence, le recours qui pouvait être déposé in casu est un recours en matière civile (art. 72 ss LTF). L'erreur de dénomination commise par le recourant reste cependant sans conséquence et son recours sera traité comme un recours en matière civile (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382).
Lorsque le recours - comme c'est le cas en l'espèce - est dirigé contre une décision incidente, la valeur litigieuse est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité compétente sur le fond (art. 51 al. 1 let. c LTF). Selon les constatations cantonales, l'action en responsabilité porte sur un montant en capital de 145'863 fr.65, de sorte qu'il n'est pas douteux que la valeur litigieuse requise par l'art. 74 al. 1 let. b LTF est atteinte.
Interjeté par la partie qui a succombé dans sa demande d'assistance judiciaire et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF) et dirigé contre une décision rendue sur recours par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 75 LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 al. 1 et 2 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313).
En principe, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Toutefois, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. ( ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. 2.1 La demande sur le fond a été introduite avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2011, du Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RS 272). En conséquence, la procédure se déroule selon l'ancien droit jusqu'au jugement final en première instance (art. 404 al. 1 CPC).
La requête d'assistance judiciaire devait ainsi être examinée à la lumière du droit cantonal, dont le Tribunal fédéral ne peut contrôler l'application que sous l'angle restreint de l'arbitraire; il fallait par ailleurs tenir compte des garanties minimales découlant de l'art. 29 al. 3 Cst., dont le Tribunal fédéral vérifie en revanche librement le respect, sous réserve de l'état de fait qui ne peut être contrôlé qu'au regard de l'arbitraire (ATF 134 I 12 consid. 2.3 p. 14; 130 I 180 consid. 2.1 p. 182). Le recourant se réfère à juste titre au droit cantonal, qu'il cite avec précision. Il en résulte néanmoins clairement que l'assistance judiciaire ne peut être accordée qu'à deux conditions cumulatives, dont l'une est que le requérant ne dispose pas de ressources suffisantes (art. 2 al. 1 let. a de la loi valaisanne sur l'assistance judiciaire du 11 février 2009; LAJ, 177.7). Cette condition ne se distingue pas de celle formulée par l'art. 29 al. 3 Cst.
Comme on vient de le voir, le recours en matière civile n'est pas ouvert pour se plaindre d'une violation du droit cantonal (cf. art. 95 et 96 LTF). Le recourant n'a pas invoqué l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'interprétation du droit cantonal, de sorte qu'il est d'emblée exclu d'examiner un grief constitutionnel qui n'est pas soulevé (art. 106 al. 2 LTF). Le recourant ne se prévalant pas plus d'une violation de l'art. 29 al. 3 Cst., la question n'a pas à être examinée sous cet angle (art. 106 al. 2 LTF).
Au demeurant, on ne voit pas en quoi la notion des "ressources suffisantes", que l'on trouve aussi bien dans la disposition cantonale que dans la norme constitutionnelle, aurait été mal interprétée.
Il faut rappeler qu'une personne est considérée comme sans ressources suffisantes lorsqu'elle n'est pas en mesure d'assumer les frais de la procédure sans porter atteinte au minimum nécessaire à son entretien et à celui de sa famille; pour déterminer s'il y a indigence, il faut prendre en considération l'ensemble de la situation financière du requérant au moment où la demande est présentée, celui-ci devant indiquer de manière complète et établir autant que faire se peut ses revenus, sa situation de fortune et ses charges (ATF 135 I 221 consid. 5.1 p. 223). Il incombe donc au requérant d'apporter la preuve, normalement au moyen de pièces, de sa situation financière (ATF 125 IV 161 consid. 4 p. 164; 120 Ia 179 consid. 3a p. 181 s.). La situation financière du requérant doit être analysée au moment du dépôt de la requête (ATF 135 I 221 consid. 5.1 p. 223), à partir de données individuelles et globales (ATF 135 I 221 consid. 5.1 p. 224 et les arrêts cités). Il est d'usage d'augmenter le montant de base du droit des poursuites de 25% (ATF 124 I 1 consid. 2a p. 3). Lorsque le disponible a été établi, il faut se demander si le requérant disposerait des fonds nécessaires en temps utile pour mener la procédure (ATF 135 I 221 consid. 5.1 p. 224; 120 Ia 179 consid. 3a p. 181). En règle générale, le disponible doit permettre d'amortir les frais judiciaires et les frais d'avocat en une année, pour les procès relativement simples, et en deux ans pour les autres (ATF 135 I 221 consid. 5.1 p. 224).
En l'espèce, on ne voit pas que le juge cantonal ait méconnu ces principes sur la base de l'état de fait qu'il a retenu. Le recourant ne le prétend d'ailleurs pas. Il semble en effet évident que le requérant, qui gagne 2'649 fr.15 nets par mois alors que tous ses frais d'entretien sont assumés par ses parents, disposait des fonds nécessaires pour assumer, en temps utile, les frais prévisibles de la procédure.
2.2 Le recours est formé exclusivement pour le motif que le juge cantonal aurait établi l'état de fait de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF; cf. consid. 1.3 ci-dessus).
Ainsi qu'on l'a rappelé précédemment, la situation financière du requérant devait être établie au moment de la requête. Il incombait à l'intéressé d'alléguer et d'établir tous les éléments de fait utiles. Le Tribunal fédéral, pour sa part, ne peut revenir sur une question d'appréciation des preuves et d'établissement des faits que sous l'angle restreint de l'arbitraire.
Il ressort de la requête d'assistance judiciaire du 12 janvier 2011, produite par le recourant sous ch. 13 de son chargé de pièces, qu'il a lui-même déclaré qu'il ne percevait qu'une maigre rémunération, qu'il vivait chez ses parents et qu'il dépendait entièrement de l'aide financière de ces derniers (p. 2 ch. 4 à 6); il y a aussi précisé qu'il était étudiant et que la fin de sa formation était prévue pour le mois de septembre 2012 (p. 5).
A aucun moment, il n'a allégué dans sa requête les faits qu'il invoque aujourd'hui. Il n'a pas exposé qu'il effectuait un stage temporaire en Valais et qu'il n'aurait plus de revenus en 2012; il n'a pas davantage expliqué qu'il devrait par la suite suivre des cours à Fribourg et assumer une partie des frais de sa formation. Dans ses observations du 1er mars 2011 (ch. 15 du même chargé de pièces), il n'a pas davantage parlé de la disparition de ses revenus et il n'a donné aucune précision sur des frais qu'il assumerait lui-même. On ne peut pas reprocher au juge de première instance de ne pas avoir recherché des faits qui n'étaient même pas allégués. En conséquence, on ne saurait dire que l'état de fait qu'il a dressé a été établi de manière arbitraire, ou, d'une quelconque manière, de façon contraire au droit.
2.3 La décision de première instance a été notifiée aux parties après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2011, du CPC, de sorte que les voies de recours étaient régies par le nouveau droit (art. 405 al. 1 CPC). C'est donc à juste titre que le juge cantonal a considéré que cette décision (le refus de l'assistance judiciaire en première instance) pouvait faire l'objet d'un recours (art. 121 CPC). Saisie d'un recours, l'autorité doit examiner s'il y a eu violation du droit ou constatation manifestement inexacte des faits (art. 320 CPC). Cependant, des allégations de fait et des preuves nouvelles ne sont pas recevables en procédure de recours (art. 326 al. 1 CPC). Le juge cantonal pouvait dès lors se limiter, sans enfreindre le droit fédéral, à examiner si l'état de fait critiqué avait été établi de façon manifestement inexacte, question à laquelle, faute d'arbitraire, il a répondu par la négative. En revanche, c'est à bon droit qu'il a refusé de prendre en compte des allégués et des moyens de preuve nouveaux (art. 326 al. 1 CPC).
Des faits ou des moyens de preuve nouveaux ne sont pas davantage recevables devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF).
En conséquence, il n'y a pas lieu de rectifier l'état de fait (art. 105 al. 2 LTF), parce qu'il n'a pas été établi que celui-ci ait été dressé arbitrairement (en fonction des allégués et des moyens de preuve fournis en première instance) ou de manière contraire au droit (le juge cantonal et le Tribunal fédéral ne devant pas tenir compte de faits ou de moyens de preuve nouveaux).
2.4 Le recourant reproche encore au juge cantonal de ne pas avoir tenu compte d'une dette de 27'000 fr.
S'il est vrai que cette dette était alléguée, le recourant ne prétend pas avoir fourni la moindre pièce à l'appui de cette affirmation. On ne peut pas imaginer qu'une dette de cette ampleur ne fasse pas l'objet d'un document. Le juge cantonal n'est en conséquence pas tombé dans l'arbitraire en ne retenant pas cet allégué, étayé par aucune pièce.
2.5 Il résulte de ce qui précède que le recours en matière civile était dépourvu de chances de succès. En conséquence, l'assistance judiciaire doit également être refusée pour la procédure devant le Tribunal fédéral (art. 64 al. 1 LTF).
3. Les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
En revanche, il n'y a pas lieu d'allouer des dépens au canton qui obtient gain de cause (art. 68 al. 3 LTF), d'autant plus qu'il n'a pas été amené à présenter des observations devant le Tribunal fédéral.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La requête d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties.
Lausanne, le 23 février 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet