Sachverhalt:
A. Der serbische Staatsangehörige X._ (geb. 1966) war in den Jahren 1990 bis 1994 in der Schweiz als Saisonnier erwerbstätig. Sein in der Folge gestelltes Gesuch um Umwandlung der Saison- in eine Aufenthaltsbewilligung wurde rechtskräftig abgewiesen.
1993 hatte X._ seine Landsfrau Y._ (geb. 1972) geheiratet. Aus dieser Ehe, die im Januar 1996 geschieden wurde, gingen die beiden Kinder A._ (geb. 1993) und B._ (geb. 1995) hervor.
Am 23. April 1995 reiste X._ erneut in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Dieses zog er zurück, nachdem er am 27. September 1996 die um elf Jahre ältere Schweizerin Z._ (geb. 1955) geheiratet hatte und gestützt darauf eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Mit Urteil des Bezirksgerichts Winterthur vom 1. November 2002 wurde diese (kinderlos gebliebene) Ehe geschieden. Wenige Monate später, am 30. Mai 2003, heiratete X._ seine frühere Ehefrau Y._ erneut und stellte für sie und ihre mittlerweile vier Kinder - hinzu gekommen waren C._ (geb. 1998) und D._ (geb. 2001) - ein Familiennachzugsgesuch. Nach eigenen Angaben ist sich X._ bei C._ "ziemlich sicher", dessen leiblicher Vater zu sein, "mit Bezug auf die am 25. Mai 2001 geborene Tochter D._ jedoch nicht".
Am 13. September 2001 war X._ erleichtert eingebürgert worden. Mit Verfügung vom 1. Juli 2004 erklärte das Bundesamt für Zuwanderung, Integration und Auswanderung (heute: Bundesamt für Migration) diese Einbürgerung für nichtig mit der Begründung, X._ habe im Rahmen des Einbürgerungsverfahrens falsche Angaben gemacht bzw. wesentliche Tatsachen verheimlicht (u.a. Verschweigen der Kinder von der früheren Ehefrau). Dieser Entscheid erwuchs in Rechtskraft.
B. Mit Verfügung vom 20. Januar 2005 wies die Direktion für Soziales und Sicherheit des Kantons Zürich (Migrationsamt) das Gesuch von X._ um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung bzw. Niederlassungsbewilligung sowie das Gesuch um Nachzug der Ehefrau Y._ mit den vier Kindern A._, B._, C._ und D._ ab, im Wesentlichen mit der Begründung, X._ habe die Behörden jahrelang über seine familiären Verhältnisse getäuscht und sich dergestalt sowohl die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung als auch das Schweizer Bürgerrecht erschlichen. Die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung falle ausser Betracht. Demzufolge seien auch die Voraussetzungen für den Nachzug der Ehefrau und der vier Kinder nicht erfüllt.
Den hiegegen erhobenen Rekurs wies der Regierungsrat des Kantons Zürich mit Beschluss vom 1. September 2006 ab. Die gegen den regierungsrätlichen Beschluss erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 16. Mai 2007 ebenfalls ab, soweit es darauf eintrat.
C. Mit Eingabe vom 6. Juli 2007 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 16. Mai 2007 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen bzw. den Regierungsrat oder das zuständige kantonale Amt aufzufordern, die Aufenthaltsbewilligung zu erneuern.
Die Staatskanzlei des Kantons Zürich beantragt - für den Regierungsrat - Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
D. Mit Verfügung vom 12. Juli 2007 hat der Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
Da der Beschwerdeführer während rund sieben Jahren mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet war und er während dieser Zeit ordnungsgemäss und ununterbrochen in der Schweiz gelebt hat, besitzt er nach Massgabe von Art. 7 Abs. 1 ANAG einen potentiellen Anspruch auf die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung, den er auch nach erfolgter Scheidung geltend machen kann (BGE 128 II 145 E. 1.1 S. 148 f.). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist insoweit zulässig und der Beschwerdeführer hierzu legitimiert (Art. 89 BGG).
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Die gestützt auf die Ehe mit einer Schweizer Bürgerin erwirkte erleichterte Einbürgerung des Beschwerdeführers wurde mit Entscheid des zuständigen Bundesamtes vom 1. Juli 2004 rechtskräftig für nichtig erklärt (vgl. vorne "A."). Damit ist aufgrund der neuen Sachlage über das allfällige Anwesenheitsrecht des Beschwerdeführers zu befinden; die frühere Aufenthaltsbewilligung (deren Geltungsdauer ohnehin abgelaufen wäre) lebt nicht wieder auf (vgl. etwa Urteil 2A.431/2005 vom 14. November 2005 E. 1.1.2). Das Verwaltungsgericht schien demgegenüber davon auszugehen, der Beschwerdeführer sei nach der Nichtigerklärung seiner Einbürgerung wenigstens noch im Besitze einer Aufenthaltsbewilligung, um deren allfälligen Widerruf es sich heute handle (vgl. S. 8 unten des angefochtenen Urteils). Es prüfte, ob der Beschwerdeführer während seiner sieben Jahre dauernden Ehe mit der Schweizer Bürgerin einen Niederlassungsanspruch erworben habe. Es verneinte dies mit der Begründung, dass das gemäss Art. 7 ANAG erworbene Anwesenheitsrecht wegen der unwahren Angaben des Beschwerdeführers über seine Familienverhältnisse mit einem Widerrufsgrund gemäss Art. 9 ANAG behaftet sei und der Regierungsrat eine entsprechende Anordnung zulässigerweise als verhältnismässig habe ansehen dürfen.
2.2 Dem Beschwerdeführer wurde, soweit ersichtlich, nie eine Niederlassungsbewilligung erteilt. Es geht daher nicht um den Widerruf einer solchen, sondern allein darum, ob ein Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung während der Ehe gültig entstanden ist. Die Gründe, welche zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung führten, standen grundsätzlich auch der Entstehung des Anspruches auf die Niederlassungsbewilligung entgegen: Der Beschwerdeführer hat die mit seiner früheren Ehefrau weitergeführte Parallelbeziehung und die Zeugung weiterer Kinder mit ihr gegenüber den schweizerischen Behörden verschwiegen. Insbesondere bei Berücksichtigung des späteren Ablaufs der Dinge (Scheidung von der schweizerischen Ehefrau kurz nach Erhalt des Bürgerrechts, Wiederheirat der früheren Ehefrau, Nachzugsgesuch für Frau und Kinder), welcher für die (nachträgliche) Beurteilung der Ansprüche aus Art. 7 ANAG bei der Würdigung der Motivation des Beschwerdeführers mit einbezogen werden darf und muss, drängt sich der Schluss auf, dass der Beschwerdeführer mit seiner schweizerischen Ehefrau keine auf Dauer ausgerichtete Lebensgemeinschaft begründen, sondern lediglich die ausländerrechtlichen Voraussetzungen für einen späteren Nachzug der Parallelfamilie schaffen wollte. Damit ist der Anspruch auf eine Niederlassungsbewilligung aufgrund des Vorbehaltes in Art. 7 Abs. 2 ANAG nie entstanden, so dass sich die Frage der Verhältnismässigkeit eines Widerrufes - entgegen der Betrachtungsweise des Verwaltungsgerichts (und des Beschwerdeführers) - gar nicht stellt. Aus den im angefochtenen Urteil angeführten Gründen, auf die verwiesen werden kann, wären aber selbst die Voraussetzungen für den Widerruf einer allfällig erteilten Niederlassungsbewilligung zu bejahen (vgl. dazu ausführlich Urteil 2A.346/2004 vom 10. Dezember 2004, E. 2.2 mit Hinweisen, in: Pra 2005 Nr. 100 S. 716 ff.). Die Verweigerung des beanspruchten Anwesenheitsrechts verstösst damit nicht gegen Bundesrecht.
3. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht (2. Abteilung, 2. Kammer) des Kantons Zürich sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Dezember 2007
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein