Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführerin) liess sich am 24. Januar 2002 im Spital X._ ein Ganglion über dem linken Daumengrundgelenk entfernen sowie das volare Ringband spalten. Die Operation dauerte 30 Minuten bei intravenöser Regionalanästhesie. Zur Erzielung der Blutleere im Operationsbereich wurde am Oberarm mit einer Doppelmanschette (Tourniquet) eine Blutsperre eingerichtet.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, seit der Operation leide sie unter einem Schmerzsyndrom im linken Arm, dessen (ausschliessliche) Ursache in der "Quetschung des Nervs durch das Tourniquet" liege, aufgrund der Handhabung des Tourniquet anlässlich bzw. während der Operation.
B. Am 20. Dezember 2006 machte die Beschwerdeführerin gegen den Zweckverband Spital X._ (Beschwerdegegner) als Träger des Spitals X._ eine Klage beim Bezirksgericht Uster anhängig. Sie verlangte angemessenen Schadenersatz, unter einem Berichtigungsvorbehalt nach § 61 Abs. 2 aZPO/ZH und einem Rektifikationsvorbehalt in Anwendung von Art. 46 Abs. 2 OR, mindestens jedoch von Fr. 50'000.-- sowie eine Genugtuung von Fr. 30'000.--. Mit Urteil vom 29. April 2010 wies das Bezirksgericht die Klage ab.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Dabei begehrte sie, der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, ihr Schadenersatz in der Höhe von Fr. 645'829.-- sowie eine Genugtuung von Fr. 30'000.-- zu bezahlen. Am 20. April 2011 wies das Obergericht die Klage ebenfalls ab. Es kam aufgrund des Beweisverfahrens zum Schluss, dass der Beschwerdeführerin der Beweis für ihre Behauptung misslungen sei, sie habe am 24. Januar 2002 im Zusammenhang mit der Operation und der Anästhesie eine Nervenverletzung bzw. -quetschung erlitten. Weil die behauptete Verletzung nicht erstellt sei, könne sie zwangsläufig nicht Ursache der Beschwerden sein, deretwegen die Beschwerdeführerin Schadenersatz und Genugtuung fordere. Nur zur Abrundung erwähnte es, die Beschwerdeführerin anerkenne zudem, dass die Operation und Anästhesie korrekt und vertragsgemäss erfolgt seien.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. April 2011 sei vollumfänglich aufzuheben.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Vorinstanz liess sich nicht vernehmen.
Mit Präsidialverfügung vom 11. Juli 2011 wurde vom Rückzug der Begehren der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren und um Erteilung der aufschiebenden Wirkung Vormerk genommen.
Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin erhebt Ansprüche nach dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht wegen einer angeblichen Körperverletzung im Zusammenhang mit der Operation in einem öffentlichen Spital. Da solche Entscheide in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, kann dagegen nach Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden (BGE 135 III 329 E. 1.1; 133 III 462 E. 2.1 S. 465). Der Streitwert beträgt Fr. 675'829.-- und überschreitet damit die Grenze nach Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG.
2. Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 107 Abs. 2 BGG), darf sich die Beschwerdeführerin grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Urteils zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen. Die Beschwerdeführerin müsste demnach angeben, welche Punkte des angefochtenen Entscheids bestritten und welche Abänderung des Dispositivs beantragt werden. Anträge auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur neuen Entscheidung oder blosse Aufhebungsanträge genügen nicht und machen die Beschwerde unzulässig. Ein blosser Rückweisungsantrag reicht ausnahmsweise aus, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (BGE 134 III 379 E. 1.3 S. 383; 133 III 489 E. 3.1).
Die Beschwerdeführerin beantragt einzig die Aufhebung des angefochtenen Urteils des Obergerichts. Einen materiellen Antrag stellt sie nicht. Die blosse Aufhebung des Urteils des Obergerichts würde ihr nicht weiterhelfen.
Die Beschwerdeführerin stellt auch kein Rückweisungsbegehren. Immerhin findet sich in der Beschwerdebegründung eine Passage, wo aus der gerügten willkürlichen Beweiswürdigung gefolgert wird, das Urteil der Vorinstanz sei somit aufzuheben. Die Vorinstanz sei anzuweisen, "im Sinne der Erwägungen das Ergebnis des Schiedsgutachtens anzuerkennen und die verlangten Beweise (Parteiaussage zum Thema Schiedsgutachten) abzunehmen und das Verfahren auch bezüglich Schadenersatz und Genugtuung vollständig zu führen". Indessen wird in der Beschwerdeschrift nicht dargetan - wie dies die Rechtsprechung verlangt (BGE 133 III 489 E. 3.2 S. 490) -, weshalb das Bundesgericht im Falle der Gutheissung der Beschwerde nicht selbst in der Lage wäre, ein Sachurteil zu fällen. Solches liegt auch nicht auf der Hand, nachdem primär eine willkürliche Beweiswürdigung gerügt wird.
Mangels rechtsgenüglichen Begehrens erscheint daher äusserst fraglich, ob auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann. Die Frage kann offen bleiben, da sich die Beschwerde ohnehin als (offensichtlich) unbegründet erweist.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin machte vor der Vorinstanz geltend, beim vorprozessual von der Beschwerdeführerin und der Versicherung Y._ in Auftrag gegebenen Gutachten von Dr. med. B._ handle es sich um ein Schiedsgutachten, an dessen Feststellungen auch das Bezirksgericht gebunden gewesen wäre. Ebenso behauptete sie, ein "Obergutachten" von Dr. med. et Dr. med. dent. C._ sei ein Schiedsgutachten.
3.2 Die Vorinstanz erwog, diese Behauptung nehme einen Vertrag der Parteien gemäss § 258 aZPO/ZH zum Sachverhalt, nachdem sich die Beschwerdeführerin vor der Erstinstanz noch auf die Standpunkte gestellt habe, es handle sich "um ein (vorprozessuales) Gutachten, auf das sie sich mit der Haftpflichtversicherung des Beklagten geeinigt habe [...] bzw. um ein Parteigutachten (sic) der Beklagten". Die Behauptung, es liege ein Schiedsgutachten vor, sei daher neu und im Lichte von § 115 aZPO/ZH unzulässig. Die Beschwerdeführerin könne damit nicht gehört werden.
3.3 Die Beschwerdeführerin erblickt darin Willkür in der Anwendung von § 258 aZPO/ZH und eine Verletzung des Grundsatzes "iura novit curia" sowie eine willkürliche Anwendung von § 114 aZPO/ZH über das Novenrecht. Sie beruft sich auf BGE 129 III 535, wonach der Schiedsgutachtervertrag dem materiellen Recht angehöre. Sie ist der Meinung, die Vorinstanz hätte als Rechtsfrage prüfen müssen, ob es sich bei den besagten Gutachten um Parteigutachten oder um Schiedsgutachten handelte.
3.4 Die Parteien können vereinbaren, über streitige Tatsachen ein Schiedsgutachten einzuholen. Dieses bildet eine Form des Privatgutachtens, indem nicht das Gericht, sondern die Parteien den Schiedsgutachter gemeinsam einsetzen. Das Schiedsgutachten bezweckt, bestimmte rechtserhebliche Tatsachen verbindlich festzustellen. Notwendiges Wesensmerkmal einer Vereinbarung zur Erstellung eines Schiedsgutachtens ist der Wille der Parteien, die Feststellungen des Schiedsgutachters als verbindlich zu anerkennen. Andernfalls liegt ein einfaches Privatgutachten vor (vgl. statt vieler GASSER/RICKLI, Schweizerische Zivilprozessordnung, Kurzkommentar, 2010, N. 1 und 2 zu Art. 189 ZPO; FRANK/STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 2 zu § 258 aZPO/ZH). Die tatsächlichen Feststellungen des Schiedsgutachters binden grundsätzlich auch das Gericht; sie sind der freien Beweiswürdigung entzogen. Schiedsgutachten sind nur einer beschränkten Überprüfung durch den Richter zugänglich (BGE 129 III 535 E. 2.1; FRANK/STRÄULI/ MESSMER, a.a.O., N. 5 und 6 zu § 258 aZPO ZH).
Schiedsspruch und Schiedsgutachten unterscheiden sich im Wesentlichen dadurch, dass mit ersterem ein Rechtsverhältnis bzw. ein Rechtsstreit verbindlich und vollstreckbar durch Richterspruch entschieden wird, während letzteres in der Regel lediglich bestimmte Sachverhaltsfragen (grundsätzlich) verbindlich klärt (FRANK/STRÄULI/ MESSMER, a.a.O., N. 2 und 3 zu § 258 aZPO/ZH; vgl. auch BGE 117 Ia 365).
3.5 Vorliegend war nicht streitig, ob ein Schiedsgutachten oder ein Schiedsspruch vorliegt. Ebenso wenig war zu entscheiden, wie eine bestimmte Vereinbarung der Parteien rechtlich zu qualifizieren sei. Die Berufung auf den Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen und die Verkennung von § 258 aZPO/ZH geht daher ins Leere. Ohne Relevanz für den vorliegenden Fall ist sodann die Frage, ob es sich beim Schiedsgutachten um ein Rechtsinstitut des materiellen Privatrechts oder des Prozessrechts handelt. Es bringt der Beschwerdeführerin daher nichts, wenn sie sich auf die (bisherige, vor Inkrafttreten der Schweizerischen ZPO begründete) Praxis des Bundesgerichts beruft, wonach der Schiedsgutachtervertrag dem materiellen Recht angehört (BGE 129 III 535 E. 2 S. 538 mit Hinweisen).
Entscheidrelevant und von der Vorinstanz zutreffend als Sachverhaltsfrage taxiert ist hingegen, ob im Verfahren überhaupt rechtzeitig eine Einigung betreffend den Abschluss einer Schiedsgutachtervereinbarung behauptet wurde. Denn der beschwerdeführerische Standpunkt, bei den beiden besagten Gutachten handle es sich um Schiedsgutachten, setzt voraus, dass die Parteien eine dahingehende Schiedsgutachtervereinbarung abgeschlossen haben. Demnach hätte die Beschwerdeführerin rechtzeitig die entsprechende Behauptung vorbringen müssen, dass beide Parteien übereinstimmend den Willen gehabt respektive geäussert hätten, die zu treffenden Feststellungen von Dr. B._ bzw. von Dr. C._ als verbindlich zu akzeptieren. Nach den Feststellungen der Vorinstanz hat sie dies aber im bezirksgerichtlichen Verfahren nicht getan. Ja, die Beschwerdeführerin gesteht in der Beschwerde selber zu, solches jedenfalls mit Bezug auf das Gutachten von Dr. B._ nie behauptet zu haben. Demnach ging die Vorinstanz zutreffend von einem Vorbringen zum Sachverhalt aus, das im Berufungsverfahren erstmals geltend gemacht wurde. Da die neuen Tatsachenbehauptungen die Voraussetzungen von § 115 aZPO/ZH nicht erfüllten, liess die Vorinstanz dieselben nicht zu. Dies ist nicht zu beanstanden. Die Beschwerdeführerin zeigt jedenfalls keine willkürliche Anwendung von §§ 114 und 115 aZPO/ZH über das Novenrecht auf.
4. In Ziffer 4 der Beschwerde moniert die Beschwerdeführerin eine Verletzung ihres Gehörsanspruchs, da ihr "der Beweis zum Gutachten Dr. C._" verweigert worden sei. Soweit sie den Vorwurf gegenüber dem Bezirksgericht erhebt, ist sie nicht zu hören, da Anfechtungsobjekt einzig das Urteil des Obergerichts bildet (Art. 75 Abs. 1 BGG). Soweit der Vorwurf an das Obergericht gerichtet ist, verfängt er nicht, sofern er überhaupt als rechtsgenüglich begründet betrachtet werden kann. Da die Vorinstanz die entsprechende Behauptung betreffend Schiedsgutachtervereinbarung als verspätet ausser Acht lassen durfte (Erwägung 3), brauchte sie auch keine Beweisanträge dazu abzunehmen. Eine Gehörsverletzung scheidet daher von vornherein aus (vgl. BGE 136 I 184 E. 2.2.1 S. 188).
5. Die Beschwerdeführerin rügt sodann eine willkürliche Beweiswürdigung. Diesen Vorwurf begründet sie hauptsächlich damit, dass die besagten Gutachten nicht als Schiedsgutachten betrachtet und deshalb die gutachterlichen Schlussfolgerungen, namentlich die Antwort von Dr. B._ auf die Frage 6, nicht als verbindliche Feststellungen angenommen worden seien. Nachdem sich jedoch erwiesen hat (Erwägung 3), dass das diesbezügliche Vorgehen der Vorinstanz nicht zu beanstanden ist, entbehrt auch der Vorwurf willkürlicher Beweiswürdigung der Grundlage. Was die Beschwerdeführerin darüber hinaus unter diesem Titel vorbringt, genügt den strengen Begründungsanforderungen an eine Willkürrüge (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.2) nicht. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
6. Da die Vorinstanz die Klage in nicht zu beanstandender Weise abgewiesen hat, erübrigen sich Ausführungen zur Rüge, die Vorinstanz sei im Zusammenhang mit ihren Erwägungen zur Klageänderung in Willkür verfallen. Ohnehin liess die Vorinstanz die Frage, ob die Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren eine unzulässige Klageänderung vornahm, letztlich offen, da sie angesichts des Beweisergebnisses, das zu einer Klageabweisung führte, nicht darüber zu entscheiden brauchte.
7. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Dem Beschwerdegegner (einem Zweckverband von _ Gemeinden aus der Region _ und Träger des Spitals X._) ist keine Parteientschädigung zuzusprechen. Gründe, um ausnahmsweise von der Regel nach Art. 68 Abs. 3 BGG abzugehen, werden weder vom Beschwerdegegner genannt noch sind solche ersichtlich.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 8'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz