Erwägungen:
1.
X._ erstattete am 29. Oktober 2012 Strafanzeige gegen Y._ vom Strassenverkehrsamt Zürich wegen Amtsmissbrauchs und Begünstigung. Die Strafanzeige steht im Zusammenhang mit einem von der beschuldigten Person am 20. September 2012 verfügten vorsorglichen Führerausweisentzug. X._ ist der Ansicht, dass die Anordnung des vorsorglichen Führerausweisentzugs zu Unrecht erfolgt sei. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich überwies die Sache mit Verfügung vom 10. Dezember 2012 via Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich an das Obergericht des Kantons Zürich, um über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu entscheiden. Mit Eingabe vom 23. Januar 2013 stellte X._ ein Ausstandsbegehren gegen Oberrichter Meyer, welches die I. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 28. März 2013 abwies. In der Folge erteilte die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 9. Juli 2013 der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. die Nichtanhandnahme des Verfahrens nicht. Zur Begründung führte die III. Strafkammer zusammenfassend aus, dass von einem Anfangsverdacht auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten nicht ausgegangen werden könne.
2.
X._ führt mit Eingaben vom 14. August 2013 und 27. September 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 100 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese Frist ist nicht erstreckbar (Art. 47 Abs. 1 BGG).
3.1. Der angefochtene Beschluss der III. Strafkammer ist dem Beschwerdeführer am 19. Juli 2013 eröffnet worden. Die Frist zur Anfechtung des Beschlusses begann somit unter Berücksichtigung des Fristenstillstandes (Art. 46 BGG) am 16. August 2013 zu laufen und endete am 16. September 2013 (Art. 45 Abs. 1 BGG). Innert Frist ist somit lediglich die Eingabe vom 14. August 2013 beim Bundesgericht eingegangen. Auf die Beschwerdeergänzung vom 27. September 2013 kann somit infolge Ablaufs der Beschwerdefrist nicht eingetreten werden.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
Der Beschwerdeführer, der sich mit der der Begründung des angefochtenen Beschlusses nicht auseinandersetzt, legt mit seiner appellatorischen Kritik nicht dar, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Die vorliegende Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli