Sachverhalt:
A. Durch Erkanntnis vom xxxx 2009 eröffnete der Präsident des Zivilgerichts Basel-Stadt aufgrund der von Z._ eingereichten Betreibung Nr. ... den Konkurs über die X._ AG. Von der Konkurseröffnung erfuhr diese durch die Publikation im Schweizerischen Handelsamtsblatt, worauf sie mit einer Eingabe vom 16. Juni 2009 beim Zivilgerichtspräsidenten die Berufung an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt einreichte. Gleichzeitig ersuchte sie um Zustellung einer Ausfertigung des konkursrichterlichen Entscheids.
Mit einem Schreiben vom 30. Juni 2009 an das Appellationsgericht erneuerte die X._ AG das Begehren um Zustellung des Konkurserkanntnisses. Die Appellationsgerichtspräsidentin hielt in einer am 6. Juli 2009 erlassenen Verfügung unter anderem fest, dass es eine schriftliche Begründung der Konkurseröffnung nicht gebe und eine solche deshalb auch nicht zugestellt werden könne.
Die X._ AG gelangte mit zwei Schreiben vom 23. und vom 25. August 2009 erneut an das Appellationsgericht und ersuchte wiederum um Zustellung des begründeten (Konkurs-)Entscheids. Am 23. August 2009 stellte sie das gleiche Begehren erneut beim Zivilgerichtspräsidenten, der es zur Behandlung an das Appellationsgericht weiterleitete.
Am 3. September 2009 fand die Verhandlung vor Appellationsgericht statt. Mit Urteil vom gleichen Tag wies dieses die Berufung ab.
B. B.a Mit einer als "Zivilrechtliche Beschwerde und vorsorgliche Verfassungsbeschwerde" bezeichneten Eingabe vom 15. September 2009 (Postaufgabe: 16. September 2009) an das Bundesgericht erhebt die X._ AG unter Hinweis darauf, dass sie das Konkurserkanntnis noch immer nicht erhalten habe, gegenüber dem Appellationsgericht die Rüge der Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung (Verfahren 5A_620/2009). Sie verlangt die Zustellung des konkursrichterlichen Entscheids. Im Übrigen sei zu prüfen, ob eine Verbindung des Beschwerdeverfahrens mit dem Verfahren 5A_543/2009, dem eine ebenfalls von ihr eingereichte Beschwerde zugrunde liegt, geboten sei.
Eine Vernehmlassung zur Beschwerde ist im Verfahren 5A_620/2009 nicht eingeholt worden.
B.b Mit der Begründung, sie habe das mit Schreiben vom 19. September 2009 beim Appellationsgericht angeforderte Protokoll der Berufungsverhandlung vom 3. September 2009, auf das in dessen Urteil verwiesen werde, (noch) nicht erhalten, erhebt die X._ AG durch eine weitere, vom 5. Oktober 2009 datierte, am 12. Oktober 2009 zur Post gebrachte und als "Zivilrechtliche Beschwerde und vorsorgliche Verfassungsbeschwerde" bezeichnete Eingabe gegenüber dem Appellationsgericht wiederum die Rüge der Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung (Verfahren 5A_674/2009). Sie beantragt, dieses Verfahren mit dem Verfahren 5A_620/2009 (s. oben lit. B.a) zu vereinigen.
In seiner Vernehmlassung vom 26. Oktober 2009 erklärt das Appellationsgericht, es sei am 24. September 2009 der Beschwerdeführerin eine Kopie des fraglichen Protokolls zugesandt worden.
Eine Kopie der Vernehmlassung ist der Beschwerdeführerin gestützt auf eine Verfügung vom 2. November 2009 (an die von ihr angegebene Zustelladresse) gesandt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Im Verfahren 5A_543/2009 wurde am 13. Oktober 2009 das Urteil gefällt und die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. Dem Antrag auf allfällige Vereinigung des Verfahrens 5A_620/2009 mit jenem Verfahren ist die Grundlage damit entzogen.
1.2 Im Verfahren 5A_620/2009 wie auch im Verfahren 5A_674/2009 wirft die Beschwerdeführerin der gleichen Instanz (Appellationsgericht) Rechtsverweigerung bzw. -verzögerung vor, weil Schriftstücke, um deren Zustellung sie bei dieser nachgesucht habe, ihr nicht zugegangen seien. Es rechtfertigt sich unter den gegebenen Umständen, die beiden Verfahren zu vereinigen.
2. Nach Art. 94 BGG kann gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids Beschwerde geführt werden. Eine Rechtsverweigerung liegt vor, wenn es eine Behörde ausdrücklich ablehnt, eine Entscheidung zu treffen, obwohl sie dazu verpflichtet ist (BGE 124 V 130 E. 4 S. 133 mit Hinweisen). Um eine Rechtsverzögerung handelt es sich demgegenüber, wenn die zuständige Behörde sich zwar bereit zeigt, einen Entscheid zu treffen, diesen aber nicht binnen der Frist fasst, die nach der Natur der Sache und nach der Gesamtheit der übrigen Umstände als angemessen erscheint (BGE 107 Ib 160 E. 3b S. 164 mit Hinweisen).
3. 3.1 Einerseits ersuchte die Beschwerdeführerin im Rahmen des beim Appellationsgericht durchgeführten Konkursberufungsverfahrens um Zustellung des (begründeten) Konkurserkanntnisses, das gegen sie erlassen worden war. Wie sie in ihren Ausführungen selbst erwähnt, hat die Appellationsgerichtspräsidentin das Begehren mit Verfügung vom 6. Juli 2009 abgelehnt (weil es eine schriftliche Begründung der Konkurseröffnung nicht gebe). Wurde aber das Zustellungsgesuch der Beschwerdeführerin somit formell behandelt, ist der Vorwurf der Rechtsverweigerung bzw. -verzögerung gegenstandslos.
3.2 Was andererseits das Protokoll der Berufungsverhandlung betrifft, so ist das Vorbringen des Appellationsgerichts, eine Kopie sei der Beschwerdeführerin am 24. September 2009 (und damit ohne Verzug) zugesandt worden, unwidersprochen geblieben. Der Vorwurf der Rechtsverweigerung bzw. -verzögerung ist mithin auch in diesem Punkt gegenstandslos. Im Übrigen ist zu bemerken, dass der von der Beschwerdeführerin gegenüber dem Appellationsgericht erhobene Vorwurf letztlich die Rüge enthält, dieses habe in seinem Urteil auf ein Schriftstück abgestellt, von dessen Inhalt sie keine Kenntnis gehabt habe. Die Beschwerdeführerin macht denn auch einen Verstoss gegen ihren Anspruch auf rechtliches Gehör geltend. Diese Rüge wäre indessen mit einer Beschwerde gegen den appellationsgerichtlichen Entscheid zu erheben und ist hier nicht zu hören.
4. Beide Beschwerden sind nach dem Gesagten als gegenstandslos abzuschreiben. Die Gerichtskosten sind bei diesem Ausgang der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 5A_620/2009 und 5A_674/2009 werden vereinigt.
2. Beide Beschwerden werden als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel