Faits:
A. Par décision du 12 novembre 2007, l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande de prestations de l'assurance-invalidité présentée par F._.
B. Saisi d'un recours de l'assurée contre cette décision, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a entendu les docteurs D._ et R._ en tant que témoins (audience du 21 novembre 2008). Il a ensuite donné la possibilité à l'office AI de soumettre les procès-verbaux d'enquêtes à son Service médical régional AI (SMR) et de se déterminer dans le délai imparti. Par jugement du 20 août 2009, il a débouté l'assurée.
C. F._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle demande l'annulation en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi "de prestations de l'AI pleines et entières".
Dans sa détermination du 16 octobre 2009, le Président suppléant de la Chambre 8 du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales indique qu'en raison d'une erreur de classement (corrigée depuis lors) il n'a pas eu connaissance de la réponse de l'office AI datée du 6 janvier 2009; le Tribunal n'ayant pas statué sur certaines conclusions et n'ayant pas pris en considération des faits pertinents ressortant en particulier du courrier du 6 janvier 2009, il propose l'admission du recours. Pour sa part, l'office AI conclut à l'admission partielle du recours, en ce sens que le jugement entrepris soit annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale pour nouvelle décision. L'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 133 V 515 consid. 1.3 p. 519, 130 III 136 consid. 1.4 p. 140).
2. Il ressort de la détermination de la juridiction cantonale du 16 octobre 2009 et des pièces qu'elle a transmises au Tribunal fédéral - également produites par l'assurée à l'appui de son recours et qui sont recevables au regard de l'art. 99 al. 1 LTF - qu'au moment de statuer les premiers juges n'avaient pas connaissance de la réponse de l'intimé du 6 janvier 2009, ni, partant, de l'avis médical du SMR du 19 décembre précédent (cf. aussi la partie "en fait" du jugement entrepris, consid. 27 p. 8). Par inadvertance - cette réponse et son annexe n'ayant pas été classées au dossier -, l'autorité de recours de première instance a ainsi rendu son jugement sur la base d'un dossier incomplet et sans se prononcer sur les conclusions de l'intimé, qui demandait que la cause lui soit renvoyée pour instruction complémentaire sur le plan médical. Au regard du droit d'être entendues des parties et du devoir du juge d'administrer les preuves nécessaires, le jugement entrepris n'est dès lors pas conforme au droit fédéral. Il convient par conséquent de l'annuler et de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle se prononce à nouveau en prenant en considération les pièces qui manquaient au dossier le 20 août 2009.
3. Les frais de la procédure, qui n'est pas gratuite (art. 65 al. 4 LTF), seront supportés par l'intimé qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Représentée par un avocat, la recourante qui obtient gain de cause a par ailleurs droit à des dépens à la charge de l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, en ce sens que le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 20 août 2009 est annulé; la cause est renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour qu'elle statue à nouveau en procédant conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 1500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 23 février 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless