Faits:
A. A.a V._ exerçait l'activité de carreleur à plein temps au service de l'entreprise X._ SA. Le 11 mai 2006, il a été victime d'un accident de moto. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a pris en charge les suites de cet accident, lequel a causé une fracture du plateau tibial interne gauche.
Par décision du 30 janvier 2009, confirmée sur opposition le 30 mars 2009, la CNA a alloué à l'assuré, en raison des séquelles accidentelles au genou gauche, une rente d'invalidité de 30 % dès le 1er janvier 2009, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité (IPAI) de 15 %.
A.b Entre-temps, le 12 décembre 2007, l'assuré a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (OAI). Par décision du 10 juin 2009, l'OAI a rejeté cette demande.
B. V._ a déféré les décisions respectives de la CNA (recours du 6 mai 2009) et de l'OAI (recours du 9 juillet 2009) à la Cour des assurances sociales du Tribunal vaudois. Dans une écriture du 6 janvier 2010, l'assuré a demandé que les causes soient jointes. Après avoir entendu les parties, le Juge instructeur a ordonné la jonction des causes (décision du 14 janvier 2010).
Par écriture du 26 mai 2010, le recourant a requis la tenue d'une « audience publique » en exposant qu'une telle mesure serait de nature à débloquer la situation et à obtenir une clarification des positions des uns et des autres. Par lettre du 2 juin 2010, le Juge instructeur a répondu qu'il ne voyait pas ce qu'une telle audience serait susceptible d'apporter du moment qu'il s'agissait de trancher entre des appréciations juridiques divergentes sur la base d'un dossier dont l'instruction se révélait complète; en conséquence, il a informé les parties que la cause était gardée à juger et que le dossier serait mis en circulation auprès de la cour dès que l'état du rôle le permettrait.
Statuant le 13 septembre 2010, la juridiction cantonale a rejeté les deux recours.
C. V._ interjette un recours en matière de droit public.
Le Tribunal fédéral a séparé les procédures de l'assurance-invalidité (cause 8C_973/2010) de l'assurance-accidents (cause 8C_974/2010).
Le recourant conclut à l'annulation du jugement entrepris, au motif que les premiers juges n'ont pas donné suite à sa demande de mise en oeuvre des débats publics formulée dans son écriture du 26 mai 2010.
La juridiction cantonale s'est déterminée sur le recours en se référant notamment, à un courrier du 2 juin 2010. Elle expose que le Juge instructeur a compris la requête du recourant comme une demande d'audience d'instruction et de conciliation et non comme une audience de jugement publique au sens de l'art. 6 § 1 CEDH. Elle estime en substance que dans la mesure où le recourant n'a pas réagi à ce courrier, il ne saurait se plaindre d'une violation de l'art. 6 § 1 CEDH. En effet, il aurait encore eu la possibilité de requérir la tenue d'une audience publique au sens de cette disposition (lettre du 23 décembre 2010).
L'OAI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux invoqués et le rejeter par une argumentation autre que celle de l'autorité précédente (cf. ATF 133 V 515 consid. 1.3 p. 519; 130 III 136 consid. 1.4 p. 140). Il n'examine en principe que les griefs allégués, eu égard à l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, auquel cas il peut les rectifier ou les compléter d'office (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (cf. ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Conformément à la pratique qui prévalait en matière de recours de droit public, l'art. 106 al. 2 LTF exige que la violation des droits fondamentaux soit explicitement soulevée et clairement exposée dans le mémoire de recours (cf. ATF 130 I 26 consid. 2.1 p. 31, 258 consid. 1.3 p. 261).
2. Le recourant reproche à la juridiction cantonale de ne pas avoir donné suite à sa demande d'audience publique et se prévaut de l'art. 6 § 1 CEDH.
2.1 L'art. 30 al. 3 Cst., selon lequel l'audience et le prononcé du jugement sont publics, ne confère pas au justiciable de droit à une audience publique. Il se limite à garantir qu'une telle audience se déroule publiquement lorsqu'il y a lieu d'en tenir une. Le droit à des débats existe seulement pour les causes qui bénéficient de la protection de l'art. 6 § 1 CEDH, lorsque la procédure applicable le prévoit ou lorsque sa nécessité découle des exigences du droit à la preuve (cf. ATF 128 I 288 consid. 2 p. 290 ss). L'art. 6 § 1 CEDH garantit notamment à chacun le droit à ce que sa cause soit entendue publiquement. L'obligation d'organiser des débats publics au sens de cette disposition suppose une demande formulée de manière claire et indiscutable. Une requête de preuve (demande tendant à la comparution personnelle, à l'interrogatoire des parties, à l'audition de témoins ou à une inspection locale) ne suffit pas à fonder une telle obligation (cf. ATF 122 V 47 consid. 2c p. 52 sv. et 3a p. 55). Saisi d'une demande tendant à la mise en oeuvre de débats publics, le juge cantonal doit en principe y donner suite. Il peut cependant s'abstenir dans les cas prévus par l'art. 6 § 1 seconde phrase CEDH, lorsque la demande est abusive (chicanière ou dilatoire), lorsqu'il apparaît clairement que le recours est infondé, irrecevable ou, au contraire, manifestement bien fondé ou lorsque l'objet du litige porte sur des questions hautement techniques (cf. ATF 122 V 47 consid. 3b p. 55 ss). Le Tribunal fédéral a récemment précisé qu'il ne pouvait être renoncé à des débats publics au motif que la procédure écrite convenait mieux pour discuter de questions d'ordre médical, même si l'objet du litige porte essentiellement sur la confrontation d'avis spécialisés au sujet de l'état de santé et de l'incapacité de travail d'un assuré en matière d'assurance-invalidité (cf. ATF 136 I 279 consid. 3 p. 283 sv.).
2.2 En l'espèce, les premiers juges ne pouvaient pas renoncer à organiser des débats publics pour les motifs invoqués (position des parties clairement exprimées dans les écritures, instruction du dossier complète) sous peine de violer le droit. Il s'agissait d'une procédure bénéficiant de la protection de l'art. 6 § 1 CEDH (cf. ATF 125 V 499 consid. 2a p. 501; 122 V 47 consid. 2a p. 50) et qui ne tombait pas sous le coup d'une exception prévue par la jurisprudence (cf. consid. 2.1). Il ne s'agissait en particulier pas de questions hautement techniques (cf. arrêt 8C_950/2010 du 28 janvier 2011 consid. 2.1). Il existait en outre une demande claire et indiscutable dans ses termes (« audience publique ») qui ne pouvait être guère confondue avec une simple requête de preuve. Par ailleurs, la circonstance que le recourant n'a pas réagi à la lettre du 2 juin 2010 n'est pas décisive. En effet, dans la mesure où l'intéressé avait fait une demande claire, on ne saurait admettre qu'il y a renoncé tacitement en ne la réitérant pas. En outre, devant le refus qui lui a été signifié par le Juge instructeur, le recourant était fondé à considérer qu'une nouvelle requête en ce sens suivrait le même sort que la précédente. Dans ces circonstances, l'acte attaqué doit être annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale afin qu'elle organise des débats publics et rende un nouveau jugement.
3. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'office intimé (art. 66 al. 1 LTF) qui versera à l'assuré une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Dans la mesure où le recourant a adressé une seule écriture dans les deux causes, il se justifie d'en tenir compte en fixant les dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois du 13 septembre 2010 est annulé dans la mesure où il concerne la procédure relative à l'assurance-invalidité. La cause est renvoyée à cette Cour pour qu'elle procède conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'office intimé.
3. L'office intimé versera au recourant la somme de 300 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 avril 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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