Faits:
A. Au début de l'année 2004, la Commission scolaire de X._ a mis au concours un poste à 100 % de maîtresse d'école enfantine. Le poste a été attribué à D._ et à T._, à raison de 13 périodes hebdomadaires chacune (2 fois 50 %). Les deux enseignantes ont été engagées dès le 16 août 2004 à titre provisoire. Le 14 février 2006, à l'occasion d'une séance organisée par le service de l'enseignement obligatoire, D._, de même que les deux autres maîtresses de l'école enfantine, T._ et C._, ont appris qu'un demi-poste allait être supprimé pour l'année scolaire 2006/2007. La commission scolaire de X._ s'est réunie le 9 mars 2006. Elle a décidé, par un vote à bulletins secrets, de licencier D._. Par décision du 19 avril 2006, la commission scolaire a confirmé à D._ la suppression de son poste avec effet au 31 juillet 2006, en raison, d'une part, de la situation économique du canton et, d'autre part, de la diminution du nombre d'élèves pour la rentrée scolaire 2006/2007. D._ a recouru devant le Département de l'éducation, de la culture et des sports de la République et canton de Neuchâtel (ci-après : le département), qui a rejeté son recours le 17 août 2006.
Saisi à son tour d'un recours de l'intéressée, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel a annulé les décisions précédentes et renvoyé la cause à la commission scolaire pour nouvelle décision au sens des considérants (jugement du 1er février 2007). Il a retenu que D._, bien qu'ayant été avertie le 14 février 2006 des intentions des autorités de supprimer un poste à mi-temps n'avait été entendue par la commission que le 13 mars 2006, soit 4 jours après que celle-ci eut décidé de la suppression de son poste. L'autorité de nomination n'avait donc pas entendu D._ avant de prendre sa décision, ce qui constituait une violation de son droit d'être entendue. L'autorité de nomination était invitée à informer l'intéressée de sa décision de supprimer son poste et à lui accorder un délai pour être entendue (oralement ou par écrit), puis à rendre une nouvelle décision. Il était précisé que le droit d'être entendu pourrait se limiter aux moyens que l'enseignante engagée à titre provisoire pouvait faire valoir, soit le caractère éventuellement abusif de son licenciement.
B. A la suite de ce jugement, la commission scolaire a envoyé à D._ une lettre du 5 février 2007 intitulée «Décision» et dont le contenu était le suivant :
"Par la présente, nous vous informons avoir décidé de vous signifier votre congé en application de l'article 12 al. 3 de la loi sur le statut de la fonction publique pour les raisons invoquées dans notre lettre-signature du 19 avril 2006, soit : suppression d'un demi-poste, demandée par le Département de l'instruction publique et insuffisance d'élèves pour la rentrée 2006-2007.
Afin de respecter votre droit d'être entendue, nous vous remercions d'avance de bien vouloir nous faire parvenir vos remarques dans un délai de 10 jours.
Sans nouvelle de votre part, dans le délai imparti, nous considérerons que vos observations n'ont pas d'incidence sur notre décision
(...)."
Considérant cette lettre comme une décision, D._ a recouru le 22 février 2007 devant le département. Le 23 février 2007, la commission scolaire a indiqué à D._ que sa lettre du 5 février 2007 n'était pas une décision mais une invitation à exercer son droit d'être entendue. La commission lui a accordé un nouveau délai de 10 jours pour lui faire part de ses remarques éventuelles. D._ n'a pas réagi à cette communication. Le 26 mars 2007, la commission a confirmé sa décision de licenciement, pour les mêmes motifs qu'invoqués précédemment, en précisant toutefois que le contrat de travail prendrait fin le 31 mai 2007. D._ a interjeté un nouveau recours devant le département. Par décision du 13 juillet 2007, celui-ci a constaté que le recours du 22 février 2007 était irrecevable, ou du moins sans objet, et il a rejeté le recours contre la décision du 26 mars 2007.
C. D._ a recouru devant le tribunal administratif en concluant à l'annulation de la décision du département ainsi que de la décision de la commission scolaire du 26 mars 2007. Statuant le 26 mars 2010, le tribunal administratif a rejeté le recours.
D. D._ exerce un recours en matière de droit public dans lequel elle conclut à l'annulation du jugement cantonal.
La commission scolaire, au nom de laquelle agit le Conseil communal de X._, ainsi que le département, concluent au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Sous le titre «Engagement provisoire», l'art. 12 de la loi cantonale neuchâteloise sur le statut de la fonction publique du 28 juin 1995 (LSt; RSN 152.510), dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2008, prévoyait ceci :
1La nomination est précédée d'un engagement provisoire d'une durée de deux ans qui constitue la période probatoire.
2La période probatoire peut être abrégée ou supprimée lorsque l'autorité de nomination estime qu'elle ne se justifie pas.
3Durant la période probatoire, chaque partie peut signifier son congé à l'autre moyennant un avertissement donné par écrit au moins deux mois à l'avance pour la fin d'un mois. Le congé ne doit pas être abusif au sens de l'article 336 du code des obligations.
4La durée de l'engagement provisoire peut être prolongée à cinq ans pour le personnel enseignant dont l'activité est partielle; le Conseil d'Etat fixe les modalités.
5Sont réservées les dispositions spéciales prévues par d'autres lois.
L'art. 4 du règlement général d'application de la loi sur le statut de la fonction publique dans l'enseignement du 21 décembre 2005 (RSten; RSN 152.513) prévoit que dans les établissements cantonaux et communaux d'enseignement public, l'autorité de nomination ou, par délégation, la direction d'école est compétente pour procéder à l'engagement provisoire du personnel enseignant (al. 1). Si la situation de l'emploi le justifie, la durée de l'engagement, de deux ans, peut être prolongée à cinq ans pour le personnel enseignant dont l'activité est partielle (1/3 à 2/3 de poste; al. 2).
2. Comme cela résulte de la réglementation précitée, l'art. 12 al. 3 LSt permet ainsi à l'autorité de résilier l'engagement provisoire sans indication de motifs, sous réserve du congé abusif au sens de l'art. 336 CO. La recourante conclut à l'annulation de la décision attaquée ce qui, selon elle, entraîne l'obligation pour l'employeur de continuer à verser le salaire dû. La contestation est donc de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La revendication de la recourante porte sur plusieurs mois de salaire au moins. On doit ainsi admettre que le seuil de la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. est atteint (art. 85 al. 1 let. b LTF). La voie du recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF est donc ouverte pour contester la décision attaquée.
3. 3.1 La recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue. Selon elle, la communication de la commission scolaire du 5 février 2007 constituait une décision formelle, contre laquelle elle n'avait d'autre choix que de recourir pour sauvegarder ses droits en temps utile. Elle soutient dès lors qu'elle n'a pas eu l'occasion d'exercer devant la commission le droit d'être entendue qui lui avait été pourtant reconnu par le jugement du tribunal administratif du 1er février 2007.
3.2 Ce grief n'est pas fondé. Comme l'ont relevé les premiers juges, il ressortait clairement de la communication précitée, qui est intervenue quelques jours seulement après le jugement de renvoi du tribunal administratif, que la recourante était invitée à déposer des observations quant à la suppression de son poste. A réception de la lettre de la commission scolaire du 23 février 2007, elle devait en tout cas comprendre que la commission n'attribuait aucun caractère décisionnel à son courrier du 5 février 2007. Dès ce moment, elle avait la possibilité de se déterminer dans le nouveau délai de 10 jours qui lui avait été imparti à cet effet. Rien ne l'empêchait, au demeurant, de présenter ses observations à l'intention de la commission, tout en maintenant à titre préventif le recours qu'elle avait formé devant le département le 22 février 2007. Dans ces conditions, le principe de la bonne foi en procédure s'opposait à ce que la recourante renonce à exercer son droit d'être entendue et attende de recevoir la décision sur recours pour dénoncer alors seulement, si l'issue du litige lui était défavorable, une violation de ce droit (ATF 119 II 386 consid. 1a p. 388; 119 Ia 221 consid. 5a p. 228 ss).
4. 4.1 La recourante fait valoir que le courrier du 5 février 2007 indique clairement que la décision de licenciement a été prise par la commission. Or, pour être respecté, le droit d'être entendu devait être exercé avant le prononcé de la décision. Selon la recourante, la situation aurait été différente si l'autorité avait indiqué qu'elle se voyait dans l'obligation de supprimer un demi-poste de travail et qu'elle désirait l'entendre à ce propos, à l'instar de ses deux collègues, T._ et C._.
4.2 Il est vrai que le droit d'être entendu doit par principe s'exercer avant le prononcé de la décision. Ainsi, en matière de rapports de travail de droit public, il n'est pas admissible, sous l'angle du droit d'être entendu, de remettre à l'employé une décision de résiliation des rapports de service en se contentant de lui demander de s'exprimer s'il le désire (GABRIELLE STEFFEN, Le droit d'être entendu du collaborateur de la fonction publique : juste une question de procédure?, in RJN 2005, p. 51 ss, plus spécialement p. 64; arrêt 8C_158/2009 du 2 septembre 2009 consid. 5.2 et 6.2 non publiés aux ATF 136 I 39). En lisant les communications de la commission des 5 et 23 février 2007, on s'aperçoit toutefois d'emblée que la commission entendait donner suite au jugement du tribunal administratif en accordant à l'intéressée - dûment représentée - l'occasion d'exercer son droit d'être entendue conformément aux considérants de ce jugement. A cette fin, la commission lui a donné successivement deux délais de 10 jours, ce qui paraît approprié (cf. STEFFEN, op. cit., p. 64). Comme l'a relevé le tribunal administratif dans son jugement de renvoi, le droit d'être entendu devait se limiter aux moyens que l'enseignante, engagée à titre provisoire, pouvait valablement invoquer, à savoir le caractère éventuellement abusif de son congé. La recourante devait comprendre que c'était à cette occasion qu'elle avait la possibilité de faire valoir ses droits éventuels à ce propos. Rien ne laisse supposer que ses déterminations n'auraient pas fait l'objet d'un examen par la commission si elles avaient été présentées et qu'elles auraient pu, au besoin, amener celle-ci à revoir sa décision. La recourante ne pouvait guère tabler sur le fait que l'autorité de recours - au mépris du principe de l'économie de la procédure - annulerait une nouvelle fois la décision de licenciement pour violation du droit d'être entendu, obligeant ainsi la commission à modifier les termes de sa lettre du 5 février 2007, par exemple en remplaçant les mots «avoir décidé» par «avoir l'intention». Ici également, le principe de la bonne foi en procédure commandait que la recourante exerce son droit d'être entendue, en dépit de la rédaction pour le moins maladroite de cette lettre. Enfin, il ne faut pas perdre de vue que la lettre du 5 février 2007 s'inscrivait dans le prolongement d'une procédure dans laquelle la commission avait déjà fait savoir à la recourante, de manière non équivoque, qu'elle serait touchée par la décision de suppression d'un demi-poste. Sauf à tomber dans un formalisme excessif, il était difficilement concevable que la commission feigne de l'ignorer uniquement pour sauver les apparences. Sur ce point également, le grief soulevé est mal fondé.
5. 5.1 La recourante voit encore une violation de son droit d'être entendue dans le fait que la décision de la commission scolaire ne serait pas suffisamment motivée. Si elle ne conteste pas qu'une réduction du nombre d'élèves peut entraîner une suppression de poste, elle soutient que la commission aurait dû indiquer les raisons pour lesquelles c'est elle plutôt qu'une autre enseignante en place qui devait être licenciée. De cette manière, les autorités successives de recours auraient été en mesure d'apprécier le caractère abusif ou non du licenciement.
5.2 Conformément au droit d'être entendu, l'autorité doit indiquer dans son prononcé les motifs qui la conduisent à sa décision. Elle n'est pas tenue de discuter de manière détaillée tous les arguments soulevés par les parties ni de statuer séparément sur chacune des conclusions qui lui sont présentées. Elle peut se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige; il suffit que le justiciable puisse apprécier correctement la portée de la décision et l'attaquer à bon escient (ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88; 130 II 530 consid. 4.3 p. 540).
5.3 En l'espèce, la motivation de la décision est certes très succincte. La commission y relève simplement que le poste occupé par l'intéressée est supprimé en raison de la fermeture d'une demi-classe, elle-même consécutive à une diminution d'effectif. On ne saurait toutefois reprocher à la commission scolaire de n'avoir pas exposé plus en détail les motifs qui ont motivé son choix. Comme l'ont retenu les premiers juges, la recourante s'est elle-même privée d'une motivation détaillée en renonçant à exercer son droit d'être entendue à ce stade de la procédure. Au reste, la recourante a eu la possibilité de faire valoir tous ses arguments devant le département puis devant le tribunal administratif. Le moyen soulevé ici n'est dès lors pas davantage fondé que les précédents.
6. La recourante soutient que son licenciement était abusif.
6.1 L'art. 336 al. 1 et 2 CO énumère des cas dans lesquels la résiliation est abusive; cette liste n'est toutefois pas exhaustive et une résiliation abusive peut aussi être admise dans d'autres circonstances. Il faut cependant que ces autres situations apparaissent comparables, par leur gravité, aux cas expressément envisagés par l'art. 336 CO (ATF 132 III 115 consid. 2.1 p. 116 s.; 131 III 535 consid. 4.2 p. 538). Ainsi, un congé peut être abusif en raison de la manière dont il est donné (ATF 132 III 115 consid. 2.2 p. 117; 131 III 535 consid. 4.2 p. 538), parce que la partie qui donne le congé se livre à un double jeu, contrevenant de manière caractéristique au principe de la bonne foi (ATF 135 III 115 consid. 2.2 p. 117; 131 III 535 consid. 4.2 p. 538; 125 III 70 consid. 2b p. 73), lorsqu'il est donné par un employeur qui viole les droits de la personnalité du travailleur (ATF 132 III 115 consid. 2.2 p. 117; 131 III 535 consid. 4.2 p. 538 s.), quand il y a une disproportion évidente des intérêts en présence ou lorsqu'une institution juridique est utilisée contrairement à son but (ATF 132 III 115 consid. 2.4 p. 118; 131 III 535 consid. 4.2 p. 539).
6.2 En application de l'art. 8 CC, il appartient, en principe, à la partie qui a reçu son congé de démontrer que celui-ci est abusif. En ce dernier domaine, certes, la jurisprudence a tenu compte des difficultés qu'il pouvait y avoir à apporter la preuve d'un élément subjectif, à savoir le motif réel de celui qui a donné le congé. Selon la jurisprudence, le juge peut présumer en fait l'existence d'un congé abusif lorsque l'employé parvient à présenter des indices suffisants pour faire apparaître comme non réel le motif avancé par l'employeur. Si elle facilite la preuve, cette présomption de fait n'a pas pour résultat d'en renverser le fardeau. Elle constitue, en définitive, une forme de «preuve par indices» (ATF 130 III 699 consid. 4.1 p. 703).
6.3 La réglementation du code des obligations à laquelle renvoie l'art. 12 al. 3 LSt s'applique à titre de droit cantonal supplétif (ATF 118 II 213 consid. 4 p. 220 et les références; arrêts 8C_838/2009 du 17 février 2010 consid. 3.2, 1C_404/2008 du 5 décembre 2008 consid. 2.2 et 1C_174/2007 du 16 octobre 2007 consid. 2.2). Selon l'art. 95 LTF, la violation du droit cantonal ne constitue en principe pas un motif de recours. Une telle violation peut en revanche être constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF, telle que l'interdiction de l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17; 131 I 217 consid. 2.1 p. 219; 129 I 173 consid. 3.1 p. 178). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; 127 I 38 consid. 2a p. 41; arrêt 8C_176/2009 du 14 septembre 2009 consid. 5).
6.3 La réglementation du code des obligations à laquelle renvoie l'art. 12 al. 3 LSt s'applique à titre de droit cantonal supplétif (ATF 118 II 213 consid. 4 p. 220 et les références; arrêts 8C_838/2009 du 17 février 2010 consid. 3.2, 1C_404/2008 du 5 décembre 2008 consid. 2.2 et 1C_174/2007 du 16 octobre 2007 consid. 2.2). Selon l'art. 95 LTF, la violation du droit cantonal ne constitue en principe pas un motif de recours. Une telle violation peut en revanche être constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF, telle que l'interdiction de l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17; 131 I 217 consid. 2.1 p. 219; 129 I 173 consid. 3.1 p. 178). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; 127 I 38 consid. 2a p. 41; arrêt 8C_176/2009 du 14 septembre 2009 consid. 5).
6.4 6.4.1 En l'espèce, les premiers juges ont retenu qu'il n'existait aucun indice au dossier propre à corroborer les allégations de la recourante selon lesquelles la procédure de licenciement engagée au début de l'année 2006 reposerait sur des motifs autres que des restrictions budgétaires et la diminution du nombre d'élèves annoncés pour l'année scolaire 2006/2007. Ils relèvent que dans un rapport de la commission scolaire pour l'année 2005/2006, la présidente de la commission avait indiqué que seraient proposées pour la suppression d'un demi-poste les deux enseignantes qui correspondaient le moins à ses attentes de par leur fonctionnement et leur comportement (en l'occurrence la recourante et T._). Enfin, ils considèrent qu'il ne suffit pas qu'une autre solution, en l'espèce faire porter le licenciement sur une autre enseignante, paraisse concevable, voire préférable, pour que la décision de licenciement soit annulée.
6.4.2 On ne voit pas que les premiers juges aient fait preuve d'arbitraire en considérant qu'en l'absence d'indices suffisants le licenciement reposait sur des motifs liés à des contingences financières et structurelles et qu'il n'était pas abusif du seul fait que le choix de la commission aurait pu éventuellement se porter sur une autre personne. La recourante, au demeurant, n'explicite pas les raisons pour lesquelles le choix de la commission aurait dû en priorité se porter sur une autre enseignante.
6.4.2 On ne voit pas que les premiers juges aient fait preuve d'arbitraire en considérant qu'en l'absence d'indices suffisants le licenciement reposait sur des motifs liés à des contingences financières et structurelles et qu'il n'était pas abusif du seul fait que le choix de la commission aurait pu éventuellement se porter sur une autre personne. La recourante, au demeurant, n'explicite pas les raisons pour lesquelles le choix de la commission aurait dû en priorité se porter sur une autre enseignante.
6.5 6.5.1 La recourante, du reste, ne conteste pas sérieusement ces considérations du jugement attaqué. En revanche, elle fait valoir que la commission n'avait plus aucune raison valable de la licencier en 2007, en raison d'une augmentation du nombre d'élèves pour l'année scolaire 2007/2008. Elle allègue que le poste (à 50 %) de T._ a été supprimé, la commission scolaire ayant mis fin aux rapports de travail de cette dernière le 14 février 2007. Elle relève que, par la suite, un poste à 100 % a été mis au concours les 9 et 10 mai 2007. Il n'y avait donc plus de raison de supprimer son demi-poste.
6.5.2 Les premiers juges ont considéré à ce propos qu'il convenait de se fonder sur la situation existant au moment de l'ouverture de la procédure de résiliation, soit en l'occurrence en 2006. On ne voit pas en quoi cette solution serait contraire au droit fédéral ou violerait de manière arbitraire une norme de droit cantonal. D'ailleurs, la recourante ne le prétend pas. Au demeurant, l'objet du litige portait sur une résiliation intervenue en 2006, pour la période scolaire 2006/2007. La violation du droit d'être entendu commise par la commission scolaire en 2006 et le renvoi à ladite commission prononcé par le tribunal administratif n'a pas eu pour effet d'imposer un nouvel examen au regard de l'évolution future de l'effectif des élèves : il s'agissait de permettre à l'intéressée de se prononcer sur les motifs invoqués par la commission à l'appui de sa décision prise en 2006. La recourante n'était du reste plus en fonction durant la période scolaire 2006/2007. Il est vrai que la commission scolaire, dans sa décision du 26 mars 2007, a résilié l'engagement de la recourante pour le 31 mai 2007, ce qui impliquait un droit au salaire jusqu'à cette date. Cette circonstance ne permet toutefois pas de conclure que la commission a procédé - ou était tenue de procéder - à un nouvel examen en fonction de la situation du moment. Le grief soulevé ici doit ainsi être écarté.
7. Il résulte de ce qui précède que la conclusion à laquelle a abouti le tribunal administratif, à savoir l'absence de caractère abusif du licenciement, échappe à toute critique sous l'angle de l'arbitraire. Le recours se révèle mal fondé.
8. Vu l'issue du litige, les frais de justice doivent être supportés par la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1, première phrase, LTF). Bien qu'obtenant gain de cause, la partie intimée n'a pas droit à des dépens (arrêt 8C_151/2010 du 31 août 2010 consid. 6).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, Cour de droit public.
Lucerne, le 24 janvier 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd