Erwägungen:
1. Mit Schreiben vom 3. Juni 2011 erklärte X._ dem Bundesgericht, gegen einen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 20. April 2011, von ihm am 5. Mai 2011 bei der Post abgeholt, Nichtigkeits- und Befangenheitsbeschwerde zu erheben. Mit Verfügung vom 6. Juni 2011 wurde er aufgefordert, bis spätestens am 17. Juni 2011 den fehlenden angefochtenen Entscheid nachzureichen, ansonsten die Rechtsschrift unbeachtet bleibe. Mit Eingabe vom 16. Juni (Postaufgabe 17. Juni) 2011 erhob der Beschwerdeführer "Beschwerde gegen Ihre Verfügung vom 6. Juni 2011". Er beantragte, das Bundesgericht habe sämtliche Unterlagen bei der Vorinstanz zu beziehen; wenn das Gericht nur von dem Vorinstanz-Entscheid abschreibe, so gerate sein Entscheid nur einseitig und willkürlich; zur fairen Begutachtung müsse es Einsicht in die ganzen Akten nehmen; zudem verletze die Vorgehensweise mit dem Abschreiben des Vorinstanz-Entscheides den Anspruch auf ein faires Verfahren.
2. Verfahrensleitende Verfügungen - um eine solche handelt es sich bei der Aufforderung vom 6. Juni 2011 zur Nachreichung des angefochtenen Entscheids - sind nicht anfechtbar (Art. 32 Abs. 3 BGG). Die Eingabe vom 16./17. Juni 2011 kann nicht als Beschwerde entgegengenommen werden.
3. Gemäss Art. 42 Abs. 3 BGG ist der Rechtsschrift unter anderem der Entscheid beizulegen, gegen den sie sich richtet. Bei Fehlen der vorgeschriebenen Beilagen wird eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels angesetzt mit der Androhung, dass die Rechtsschrift sonst unbeachtet bleibe (Art. 42 Abs. 5 BGG). Der Beschwerdeführer ist dieser unmissverständlichen, leicht zu erfüllenden Auflage, die es dem Bundesgericht überhaupt erst ermöglichen soll, den Verfahrensgegenstand definitiv zu bestimmen und die Anordnung - allfälliger - Instruktionsmassnahmen zu prüfen, bewusst und ohne hinreichenden Entschuldigungsgrund nicht nachgekommen; schon damit ist ein Nichteintretensgrund gesetzt worden. Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer sich in der am Ende der Beschwerdefrist eingereichten Beschwerde vom 3. Juni 2011 damit begnügt, verschiedene (Grund-)Rechte zu erwähnen, die missachtet worden sein sollen, ohne aufzuzeigen, inwiefern das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen solche Rechte verletzt haben könnte; dieser Mangel kann nach Ablauf der Beschwerdefrist nicht mehr behoben werden (vgl. Art. 47 Abs. 1 BGG); es fehlt somit auch an einer hinreichenden Beschwerdebegründung (Art. 42 Abs. 2 BGG). Auf die Beschwerde ist mithin mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
4. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG), weshalb die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen sind (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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