Sachverhalt:
A. X._ erstattete am 15. September 2005 Strafanzeige und Strafantrag gegen einen Dritten wegen diverser Delikte und konstituierte sich gleichzeitig als Privatkläger. Gegen den Angezeigten wurde eine gerichtliche Strafverfolgung wegen versuchter Erpressung (evtl. Nötigung), Sachentziehung (evtl. unbefugter Datenbeschaffung) und übler Nachrede (evtl. Verleumdung) eröffnet.
Aufgrund der mit der Strafanzeige eingereichten Belege geriet X._ selber in Verdacht der ungetreuen Geschäftsbesorgung und Urkundenfälschung. Anlässlich der Einvernahme vom 13. November 2007 war neben dem Untersuchungsrichter auch der Polizeibeamte Y._ anwesend. X._ stellte gegen beide Beamte ein Ablehnungsgesuch, da sie bereits mit dem Strafverfahren gegen den angezeigten Dritten befasst seien. Wegen des Zusammenhangs zwischen den beiden Strafverfahren, an denen X._ einmal als Anzeiger bzw. Privatkläger, einmal als Angeschuldigter beteiligt ist, dürften die Beamten im Verfahren gegen X._ nicht mitwirken.
B. Mit Beschluss vom 5. Februar 2008 trat die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern auf das Ablehnungsgesuch nicht ein. Zur Begründung wurde ausgeführt, das Ablehnungsbegehren werde mit Umständen begründet, die X._ bereits seit längerer Zeit bekannt seien. Die Ablehnung sei verspätet; überdies müsse ihr die juristische Ernsthaftigkeit abgesprochen werden.
C. X._ führt mit Eingabe vom 10. März 2008 Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, der Nichteintretensentscheid der Anklagekammer sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei das Ausstandsbegehren gegen die beiden abgelehnten Beamten gutzuheissen. Zur Begründung wird ausgeführt, an der Einvernahme vom 13. November 2007 sei X._ von der Anwesenheit des Polizeibeamten überrascht worden, der beabsichtigt habe, X._ zu befragen. Damit hätten die Beamten die Vorschrift umgehen wollen, wonach die Befragten bei polizeilichen Befragungen erklären können, dass sie nur bereit sind, vor der Untersuchungsbehörde auszusagen (Art. 208 Abs. 2 kantonales Gesetz über das Strafverfahren, StrV/BE). Im Zusammenwirken der beiden Beamten anlässlich der Einvernahme vom 13. November 2007 liege der eigentliche Ausstandsgrund. Daher hätte die Anklagekammer auf das Ablehnungsbegehren eintreten müssen.
D. Die beiden abgelehnten Beamten haben je auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Anklagekammer beantragt Beschwerdeabweisung.
Erwägungen:
1. Gemäss Art. 109 BGG entscheiden die Abteilungen des Bundesgerichts in Dreierbesetzung bei Einstimmigkeit über die Abweisung offensichtlich unbegründeter Beschwerden (Abs. 2 lit. a). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
2. Die Anklagekammer ist auf das Ablehnungsbegehren nicht eingetreten, weil der Beschwerdeführer die Ablehnung verspätet geltend gemacht habe. Der Beschwerdeführer hat das Ablehnungsbegehren anlässlich der Einvernahme vom 13. November 2007 gestellt. Vor Bundesgericht behauptet er, die Anklagekammer hätte das Gesuch jedenfalls wegen der Vorgänge vom 13. November 2007 nicht als verspätet bezeichnen dürfen. Im Zusammenwirken der beiden Beamten anlässlich der Einvernahme liege ein Verstoss kantonalen Prozessrechts. Der Polizeibeamte hätte anlässlich dieser Einvernahme nicht anwesend sein bzw. keine Fragen stellen dürfen (Art. 208 Abs. 2 StrV/BE).
3. Nach der Rechtsprechung beurteilt sich das Ausstandsgesuch wegen der Verfahrensführung des Untersuchungsrichters nach Art. 29 Abs. 1 BV. Die Erwägungen zur Garantie des unabhängigen Richters gemäss Art. 30 Abs. 1 BV können allenfalls sinngemäss herangezogen werden (BGE 112 Ia 142 E. 2b S. 145 f.; 127 I 196 E. 2b S. 198).
Verfahrens- und Einschätzungsfehler und falsche Sachentscheide sind für sich allein nicht Ausdruck einer Voreingenommenheit. Für eine Ausstandspflicht müssen objektiv gerechtfertigte Gründe dafür bestehen, dass sich in Fachfehlern gleichzeitig eine Haltung zeigt, die auf fehlender Distanz und Neutralität beruht (Regina Kiener, Richterliche Unabhängigkeit, Bern 2001, S. 105 f.). Dies ist nur dann anzunehmen, wenn besonders krasse und wiederholte Irrtümer vorliegen, die einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zu Lasten einer der Prozessparteien auswirken können (BGE 125 I 119 E. 3e S. 124; 116 Ia 135 E. 3a S. 138).
4. Es ist eine Frage der Auslegung des kantonalen Rechts, ob der Polizeibeamte bei der untersuchungsrichterlichen Einvernahme anwesend sein darf. Die vom Beschwerdeführer angerufene kantonale Norm schliesst dies nicht ausdrücklich aus. Würde ein solcher Ausschluss per Auslegung begründet, kann in der Anwesenheit bzw. Mitwirkung des Polizeibeamten allenfalls ein Verfahrensfehler liegen. Isolierte Verfahrensfehler genügen nach der zitierten Rechtsprechung jedoch nicht, um einen Ausstand zu begründen. Im vorliegenden Fall kann offen bleiben, ob ein Verfahrensfehler vorliegt, denn es läge jedenfalls kein besonders krasser und wiederholter Irrtum vor. Da diese Voraussetzung fehlt, wäre das Ausstandsgesuch selbst dann abzuweisen, wenn darauf einzutreten wäre. Demnach sind die Vorbringen des Beschwerdeführers unbegründet.
5. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen. Da er unterliegt, hat der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland, Untersuchungsrichter 3, und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juni 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Thönen