Faits :
A.
[A._, né en _, perçoit actuellement une rente entière d'invalidité.] Le décès de son père ainsi que divers événements consécutifs, notamment la survenance de plusieurs cambriolages à son domicile [...] ou la réception de courriels en lien avec [un Etat étranger], ont renforcé la conviction de A._ qu'il était lui-même surveillé, voire menacé par les services secrets [dudit Etat]. Depuis le 28 février 2005, l'intéressé est en traitement auprès d'une psychiatre-psychothérapeute pour soigner la schizophrénie paranoïde diagnostiquée sur sa personne.
B.
B.a. En 2004, A._ a commencé des études [...] à l'école B._ (ou : la Haute école). En dépit de sa maladie, un certificat médical l'a "considéré comme apte à passer des examens à l'école B._, en particulier dans les six prochains mois" (certificat médical non daté envoyé par le Dr C._ à la Commission de recours, pièce 4 dem.).
B.b. Par décision du 25 février 2010 concernant la session d'examens d'hiver 2010 à laquelle s'était présenté A._, l'école B._ a admis deux certificats médicaux à propos de deux examens qui devaient dès lors être présentés une nouvelle fois et rejeté un autre certificat médical comme tardif à propos de deux autres examens, qui ont été considérés comme non acquis. L'intéressé a interjeté recours contre cette décision; celle-ci a été confirmée par un arrêt de la Commission de recours de l'école B._) du 29 juin 2010. Le 11 septembre 2010, A._ a formé recours contre cet arrêt auprès du Tribunal administratif fédéral.
B.c. Par décision du 30 juillet 2010, l'école B._ a prononcé l'échec définitif de A._ après la session d'examens d'été 2010, ensuite de la production tardive de certificats médicaux relatifs aux examens auxquels l'intéressé ne s'était pas présenté. Cette décision a été confirmée sur recours par un arrêt de la Commission de recours du 22 février 2011. Le 28 mars 2011, A._ a interjeté recours contre cet arrêt auprès du Tribunal administratif fédéral.
B.d. Par décisions incidentes du 27 mai, respectivement du 28 juillet 2011, le Tribunal administratif fédéral a rejeté les demandes de A._ tendant à la désignation d'un défenseur d'office et à la récusation du juge D._. L'instance précitée a motivé son refus du 27 mai 2011 d'attribuer un avocat par bénéfice de l'assistance judiciaire à A._ par le fait que le dossier ne contenait aucun élément individuel et concret laissant penser que l'intéressé avait souffert d'incapacité de discernement lors des sessions d'hiver et d'été 2010, si bien que les conclusions tendant à l'annulation des notes obtenues pour les examens litigieux paraissaient d'emblée vouées à l'échec. Quant au rejet de la demande de récusation du juge D._ et de son greffier du 28 juillet 2011, le Tribunal administratif fédéral a notamment considéré que le fait que A._ ne partageait pas les arguments développés par le juge instructeur dans sa décision du 27 mai 2011, qui rejetait l'assistance gratuite d'un mandataire, ou dans d'autres ordonnances rejetant des offres de preuves de l'intéressé ne constituait pas un motif de récusation. En outre, ces décisions de refus critiquées étaient motivées de façon compréhensible et rationnelle, de sorte qu'aucun élément objectif susceptible de fonder une apparence de prévention du juge ou de son greffier n'avait pu être décelé.
Après avoir obtenu les décisions incidentes des 27 mai et 26 juillet 2011, A._ a plusieurs fois pris contact avec le Tribunal administratif fédéral, notamment dans le but de consulter son dossier. Le personnel de ce tribunal a avisé la police cantonale bernoise, au motif que l'intéressé avait parfois, dans ce contexte, fait preuve d'agressivité verbale et évoqué la possession d'une arme (cf. rapport de police du 5 juillet 2011, p. 303 du chargé de la défenderesse). Au moment de se présenter, le 17 juin 2011, soit au jour convenu, auprès du Tribunal administratif fédéral pour consulter son dossier, respectivement pour y déposer une écriture, A._ a été interpellé par les forces de l'ordre bernoises, qui l'ont conduit au poste de police pour l'y interroger, avant de le laisser partir en soirée. A cette occasion, A._ a admis qu'il avait dû mentionner la possession d'une arme lors de l'une de ses conversations avec le personnel du Tribunal administratif fédéral; il a cependant contesté avoir voulu proférer des menaces.
Contre les décisions incidentes du Tribunal administratif fédéral lui refusant l'assistance judiciaire gratuite et la récusation du juge D._, A._ a recouru au Tribunal fédéral. Par arrêt de septembre 2011 joignant les causes www, la Cour de céans a jugé le recours contre la décision en matière d'assistance judiciaire tardif et donc irrecevable, et rejeté le recours en tant qu'il demandait la récusation du juge D._.
B.e. Sur le fond, après avoir joint les recours de A._ du 11 septembre 2010 et du 28 mars 2011 (lit. B.a et B.b supra), le Tribunal administratif fédéral les a rejetés par arrêt du 21 septembre 2011, confirmant ainsi l'échec définitif de l'étudiant au terme de la session d'examens d'été 2010. Dans ce cadre, les juges fédéraux de première instance ont notamment considéré que la capacité de discernement du recourant devait être présumée. Son état d'anxiété durant la session d'examens d'hiver 2010 était certes attesté par certificat médical, mais le certificat du 17 février 2010, sur lequel se fondait le recourant pour justifier le retard dans le dépôt des certificats concernant les examens des 15 et 22 janvier 2010 n'indiquait pas une inaptitude médicale à passer des examens ni une incapacité à agir pour faire valoir une telle inaptitude médicale. Durant la session d'examens d'été 2010, le recourant avait produit onze certificats médicaux dont cinq immédiatement, de sorte que le retard à produire les six autres certificats ne tenait pas à une situation d'incapacité médicale d'agir à temps. Au demeurant, même en prenant en compte les six certificats tardifs, le recourant n'obtenait que 55 crédits sur les 60 requis pour réussir.
A._ a interjeté recours devant le Tribunal fédéral contre l'arrêt du 21 septembre 2011. Il reprochait notamment au Tribunal administratif fédéral de ne pas avoir ordonné une expertise médicale. Ce recours a été déclaré irrecevable par arrêt xxx de novembre 2011.
La demande de révision que A._ a introduite auprès du Tribunal fédéral contre l'arrêt xxx de novembre 2011 précité, au motif que le juge fédéral E._ et son greffier auraient dû se récuser, a été déclarée irrecevable par arrêt yyy de décembre 2011.
B.f. A._ s'est adressé les 20 et 28 septembre de même que le 5 octobre 2012 au Département fédéral des finances (ci-après: le Département fédéral) afin de réclamer des dommages-intérêts et une indemnité à titre de réparation morale à la Confédération suisse, en raison des prétendues activités illicites commises par les juges E._, [juge au Tribunal fédéral], et D._, juge au Tribunal administratif fédéral, dans les procédures de recours concernant l'échec définitif aux examens de l'école B._ auxquels l'intéressé s'était présenté. Estimant que l'activité reprochée aux deux juges fédéraux précités s'était uniquement concrétisée dans les décisions entrées en force du Tribunal administratif fédéral, respectivement du Tribunal fédéral concernant A._, que celui-ci ne pouvait dès lors remettre en cause dans le cadre d'une demande de dommages-intérêts et d'indemnité pour tort moral, le Conseil fédéral a pris la position, le 14 décembre 2012, de rejeter la demande.
C.
C.a. Dans une lettre de 90 pages du 15 juin 2013 (à laquelle était jointe une déclaration formulant plusieurs requêtes, dont la récusation de plusieurs juges du Tribunal fédéral, ainsi qu'une annexe fragmentaire et un volumineux classeur de pièces), A._ a, en se référant à la position prise par le Conseil fédéral, déposé auprès du Tribunal fédéral une action demandant le versement par la Confédération de dommages-intérêts et d'une indemnité pour tort moral. Par courrier du 7 juillet 2013, incluant plusieurs annexes, A._ a en particulier souhaité connaître l'identité des juges chargés de son affaire et demandé à être entendu par le Tribunal fédéral.
C.b. Par ordonnance présidentielle du 8 juillet 2013, le Tribunal fédéral a retenu que l'action rédigée par A._ ne satisfaisait pas aux exigences formelles prévues par la loi et que le demandeur n'était manifestement pas en mesure de procéder lui-même, de sorte qu'un délai lui était imparti pour désigner un mandataire, à défaut de quoi un avocat lui serait attribué par le Tribunal fédéral. Le 24 juillet 2013, Maître F._ a annoncé au Tribunal fédéral que A._ l'avait mandaté comme avocat. Les 1er septembre et 6 octobre 2013, le demandeur a informé le Tribunal fédéral de ce qu'il révoquait le mandat de son représentant - ce que ce dernier a confirmé par courrier du 6 septembre 2013 - et sollicité la désignation d'un nouvel avocat. Par ordonnance présidentielle du 14 octobre 2013, le Tribunal fédéral a désigné Maître Nicolas Blanc comme avocat d'office du demandeur; un délai prolongé lui a été imparti pour reformuler le mémoire d'action conformément aux exigences légales de nature formelle.
Le 28 février 2014, A._, par l'intermédiaire de son avocat désigné, a fait parvenir au Tribunal fédéral une demande d'indemnisation reformulant l'acte du 15 juin 2013, accompagnée d'un bordereau de 18 pièces. Il requiert, à titre de mesures d'instruction immédiates, la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique de sa personne ainsi que la tenue de débats oraux; il demande le paiement par la Confédération d'un montant de 15'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 20 septembre 2010 à titre de dommages-intérêts et d'un montant de 20'000 fr. avec intérêts à partir de cette même date à titre d'indemnité pour tort moral.
C.c. Dans sa réponse du 15 avril 2014, à laquelle a été joint un chargé de pièces numéroté de 1 à 312, la Confédération suisse a, sous suite de frais, conclu au rejet de la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique du demandeur ainsi qu'au rejet, dans la mesure de sa recevabilité, de la demande de dommages-intérêts et d'indemnité pour tort moral.
C.d. A._ a répliqué le 16 juin 2014, en produisant trois pièces additionnelles. Confirmant les conclusions prises dans son mémoire du 28 février 2014, il a pour le surplus conclu, principalement, à ce que le futur arrêt 2E_2/2013 ne soit pas publié sur le site Internet du Tribunal fédéral, ni sur un quelque autre site Internet et, subsidiairement, à ce que ledit arrêt soit publié et rendu accessible au public "sous une forme anonymisée accrue, toute mention relative à l'identité, la nationalité et le domicile du demandeur, ainsi qu'à l'école B._ étant supprimée".
C.e. La Confédération suisse a dupliqué le 30 juin 2014, en concluant au rejet de la demande, sous suite de frais.
D.
D.a. Le 11 septembre 2014, la juge chargée de l'instruction de la procédure d'action 2E_2/2013 a tenu une audience de débats préparatoires pour fixer la suite de la procédure. A cette occasion, le demandeur a, en particulier, persisté dans sa requête tendant à la mise en oeuvre d'une expertise judiciaire. Il a de plus sollicité l'audition en qualité de témoins du Préposé fédéral à la protection des données ainsi que d'un représentant du Ministère public de la Confédération, en relation avec les activités d'espionnage ayant eu cours à l'école B._ comme, de manière plus générale, en Suisse et, selon l'intéressé, responsables de l'obtention tardive de certains certificats médicaux indispensables à la poursuite de ses études. Les parties ont par ailleurs renoncé à solliciter l'interrogatoire de A._ par la Cour de céans.
D.b. La procédure probatoire a été clôturée par ordonnance du 12 septembre 2014. A ce titre, la juge chargée de l'instruction a informé les parties de ce qu'elle renonçait, en l'état, à mettre en oeuvre l'expertise psychiatrique et l'audition des deux témoins sollicitées par le demandeur, celui-ci obtenant l'occasion d'exprimer oralement son point de vue lors d'une audience publique de plaidoiries.
D.c. Par lettre motivée de son conseil du 25 septembre 2014, le demandeur a conclu à la réouverture de la procédure préparatoire et réitéré sa requête tendant à la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique ainsi qu'à l'audition des deux témoins précités (let. D.a supra).
D.d. Par ordonnance du 9 octobre 2014, le Tribunal fédéral a réservé sa décision quant aux offres de preuves formulées par le demandeur jusqu'à la clôture des débats, a convoqué les parties à une audience de débats principaux et a, par le prononcé du huis clos partiel ne s'appliquant pas aux journalistes accrédités auprès du Tribunal fédéral, en partie accédé à la demande de huis clos formée par A._ concernant l'audience de débats principaux et l'éventuelle séance publique de délibération subséquente.
D.e. Le 30 octobre 2014, le Tribunal fédéral a tenu une audience de débats principaux, dans le cadre de laquelle les parties ont confirmé leurs positions respectives. Le demandeur a pu s'exprimer personnellement. Le conseil de A._ a remis sa note de frais au Tribunal fédéral.
La Cour de céans a ensuite délibéré. Les juges étant parvenus à un résultat unanime, il a été statué par voie de circulation (cf. art. 58 al. 2 LTF, sur renvoi de l'art. 1 al. 2 PCF). Cela fait, le Tribunal fédéral a procédé à la lecture publique du dispositif de l'arrêt.
Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 120 al. 1 let. c LTF, le Tribunal fédéral connaît par voie d'action en instance unique des prétentions portant sur des dommages-intérêts ou sur une indemnité à titre de réparation morale résultant de l'activité officielle de personnes visées à l'art. 1 al. 1 let. a à c de la loi fédérale du 14 mars 1958 sur la responsabilité de la Confédération, des membres de ses autorités et de ses fonctionnaires (Loi sur la responsabilité; LRCF; RS 170.32). L'art. 10 al. 2 LRCF a une teneur identique. L'art. 1 al. 1 LRCF prévoit que les dispositions de la loi sur la responsabilité s'appliquent à toutes les personnes investies d'une fonction publique de la Confédération, y compris les membres et les suppléants des tribunaux fédéraux (cf. let. c).
Tel est le cas en l'espèce, puisque le demandeur fonde son action en responsabilité contre la Confédération sur des actes ou omissions illicites qu'auraient commis le juge du Tribunal administratif fédéral D._ et [le.juge du Tribunal fédéral E._].
Le demandeur s'en prend également au comportement de la Commission de recours [...] de l'école B._. Consacrée en tant qu'instance de recours impartiale [...], la Commission de recours est assimilable à une commission fédérale indépendante (cf. [...]), au sens de l'art. 1 al. 1 let. d LRCF, voire à une institution indépendante selon l'art. 19 LRCF, dont les actes ou omissions ne peuvent, de manière générale, pas être directement contestés par voie d'action devant le Tribunal fédéral (art. 120 al. 1 let. c LTF et 10 al. 2 LRCF a contrario). Une attraction de compétences en faveur du Tribunal fédéral (qui connaîtrait en dernière instance des recours formés contre les prononcés relatifs à la responsabilité de la Commission de recours) est toutefois admise lorsque l'action soulève, comme en l'espèce, des questions identiques tant par rapport à l'activité des juges fédéraux concernés qu'à celle de la Commission de recours (ATF 126 II 145 consid. b/bb p. 150).
1.2. Aucune loi fédérale ne permet de régler ce type de différend par une décision sujette à recours jusqu'au Tribunal fédéral (cf. art. 120 al. 2 LTF a contrario; voir, concernant la Commission de recours, consid. 1.1 supra), si bien que la règle de subsidiarité de l'action devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 136 IV 139 consid. 3.4 p. 143 s.) est respectée.
1.3. En procédure d'action au sens de l'art. 120 LTF, les conclusions ne doivent pas nécessairement être chiffrées (ATF 112 Ib 334 consid. 1 p. 335 s.; arrêt 2E_3/2010 du 1er décembre 2010 consid. 1). En l'espèce les prétentions en dommages-intérêts et indemnisation du tort moral que fait valoir le demandeur s'élèvent à 15'000 fr. et 20'000 fr., avec intérêt.
Pour le surplus, la présente action a été déposée dans les formes prévues par la loi (art. 120 al. 3 LTF en relation avec l'art. 23 de la loi fédérale du 4 décembre 1947 de procédure civile fédérale [PCF; RS 273]) et dans le délai de péremption (ATF 136 II 187 consid. 6 p. 192) de six mois dès la prise de position du 14 décembre 2012, par laquelle le Conseil fédéral a contesté la demande, déposée par le demandeur le 20 septembre 2012 et complétée les 28 septembre et 5 octobre 2012 (art. 20 al. 3 LRCF et art. 3 al. 2 de l'ordonnance du 30 décembre 1958 relative à la loi sur la responsabilité [ci-après: OLRCF; RS 170.321]). L'action a été formée par une personne physique se prétendant victime des agissements d'organes de la Confédération dans l'exercice de leurs fonctions, de sorte qu'il convient de lui reconnaître la qualité pour agir devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 116 II 196 consid. 1b p. 198; arrêt 4C.45/2006 du 26 avril 2007 consid. 5, non publié in ATF 133 III 453). Partant, l'action est en principe recevable.
2.
2.1. Statuant en instance unique dans le cadre de la procédure d'action selon l'art. 120 LTF, le Tribunal fédéral dispose d'un plein pouvoir d'examen en fait comme en droit (cf. ATF 129 I 419 consid. 1 p. 421, confirmé in ATF 136 IV 139 consid. 1.4 p. 142; 131 I 266 consid. 2.3 p. 269; cf., s'agissant des faits, art. 37 et 40 PCF; Alain Wurzburger, ad art. 120 LTF, in Commentaire de la LTF, 2e éd., 2014, n. 18 p. 1402).
2.2. L'action que le demandeur a déposée - avec son volumineux chargé de pièces - devant le Tribunal fédéral le 15 juin 2013 ne respectait pas les exigences formelles requises par ce type de procédure et était en tant que telle irrecevable. Considérant le demandeur comme étant manifestement incapable de procéder lui-même (cf. art. 41 LTF; ordonnance présidentielle du 8 juillet 2013), le juge présidant du Tribunal fédéral lui a toutefois désigné un avocat, qu'il a invité à reformuler la demande de son mandant, soit à remplacer - et non seulement à compléter (ATF 95 II 280 a contrario; Laurent Merz, ad art. 41 LTF, in Basler Kommentar - Bundesgerichtsgesetz, 2e éd., 2011, n. 24 p. 462) - le précédent mémoire par une écriture répondant aux exigences de forme. En conséquence, seront examinées par le Tribunal fédéral la motivation et les conclusions que le demandeur a prises, sous la plume de son avocat, dans le mémoire reformulé du 28 février 2014, de même que dans ses écritures subséquentes.
3.
A titre liminaire, le demandeur formule plusieurs requêtes de procédure.
3.1. En tant que le demandeur conclut à la tenue de débats préparatoires devant le Tribunal fédéral (cf. art. 35 PCF), sa requête a été exaucée moyennant l'audience du 11 septembre 2014. Quant à la demande portant sur la tenue de débats principaux (cf. art. 68 PCF), le Tribunal fédéral y a donné suite le 30 octobre 2014. Accueillant en partie la requête du demandeur tendant à ce que la séance de débats principaux se déroule à l'écart du public, la Cour de céans a prononcé le huis clos partiel; seuls étaient admis à assister à l'audience les journalistes accrédités auprès du Tribunal fédéral.
3.2. Dans sa réplique, puis dans ses interventions subséquentes, le demandeur a prié le Tribunal fédéral de renoncer à publier le futur arrêt 2E_2/2013 sur Internet, subsidiairement, de publier cet arrêt sous une "forme anonymisée accrue", en supprimant toute mention relative à l'identité, la nationalité et le domicile du demandeur, ainsi qu'à l'école B._. Il redoutait des mesures d'intimidation, voire une atteinte à son intégrité, comme cela aurait été le cas ensuite de la publication, sous une forme selon lui insuffisamment anonymisée, de l'arrêt xxx de novembre 2011.
3.2.1. Conformément à l'art. 27 LTF, applicable sur renvoi de l'art. 1er al. 2 PCF, le Tribunal fédéral informe le public sur sa jurisprudence (al. 1); les arrêts sont en principe publiés sous une forme anonyme (al. 2). L'art. 57 du règlement du Tribunal fédéral du 20 novembre 2006 (RTF; RS 173.110.131), auquel renvoie l'art. 27 al. 3 LTF, désigne notamment l'Internet comme moyen d'information du public sur la jurisprudence (al. 1 let. b). L'art. 59 RTF instaure l'obligation de publier tous les arrêts rendus par le Tribunal fédéral sur Internet (al. 1); le président de la cour concernée prend les mesures appropriées pour la protection de la personnalité des parties (al. 2). Il découle de ce principe, qui concrétise le principe constitutionnel de la publicité des procédures judiciaires (cf. art. 30 al. 3 Cst.; art. 6 par. 1 CEDH; art. 14 ch. 1 Pacte ONU II [RS 0.103.2]; ATF 137 I 16 consid. 2.2 p. 18 s.), que le défaut de publication d'un arrêt est seulement envisageable dans des circonstances exceptionnelles où une personne qui serait reconnaissable malgré la publication sous forme anonyme serait sinon exposée à un péril de la plus extrême gravité ( ALAIN WURZBURGER, ad art. 27 LTF, in Commentaire de la LTF, 2e éd., 2014, n. 4 p. 191 et 11 p. 194; cf. aussi PAUL TSCHÜMPERLIN, ad art. 27 LTF, in Basler Kommentar - Bundesgerichtsgesetz, 2e éd., 2011, n. 12 s. p. 362 s.).
Quant à l'anonymisation des arrêts, elle vise en principe les noms des particuliers, à l'exclusion de la désignation de leurs mandataires, des instances précédentes, des autorités et collectivités ou des localités (cf. arrêt 2E_1/2013 du 4 septembre 2014 consid. 4.3.1; TSCHÜMPERLIN, op. cit., n. 16 p. 365; WURZBURGER, op. cit., n. 13 p. 195). L'arrêt doit en outre rester intelligible, même s'il n'est pas exclu qu'une personne déjà au fait des détails de l'affaire puisse reconnaître le nom d'une partie (ATF 133 I 106 consid. 8.3 p. 109; arrêts 2E_1/2013 précité, consid. 4.3.4; zzz de juillet 2012 consid. 6.2).
3.2.2. Dans ses écritures, le demandeur ne fait valoir aucun élément extraordinaire justifiant que la cour suprême helvétique déroge au principe selon lequel tous ses arrêts doivent être publiés. Pour compréhensibles que soient, à la suite [...] de la maladie psychique diagnostiquée sur sa personne, les craintes du demandeur d'être observé, voire menacé par des agents [...], celles-ci ne permettent pas de retenir, d'un point de vue objectif et même à supposer que le demandeur fasse effectivement partie des cibles potentielles [du régime d'un Etat tiers], que la publication, qui plus est sous une forme anonymisée, du présent arrêt l'exposerait à un quelconque risque pour sa personne. La conclusion tendant à ce que le Tribunal fédéral renonce à publier cet arrêt sera partant rejetée.
3.2.3. Au titre de la requête subsidiaire du demandeur tendant à ce que l'arrêt 2E_2/2013 soit anonymisé de façon accrue, il sied d'abord de prendre en considération la circonstance que, dans la cause xxx de novembre 2011, le Secrétaire général du Tribunal fédéral (cf. sa réponse au demandeur du 7 mars 2012, à laquelle celui-ci s'est référé en l'espèce) avait, en dérogation au principe de l'anonymisation standardisée de l'identité des parties, accepté de caviarder, respectivement de supprimer la mention des données supplémentaires relatives à l'intéressé, en particulier la section de la [Haute école] dans laquelle celui-ci avait étudié. Au demeurant, la LTF ne s'oppose pas catégoriquement à un tel procédé (cf. TSCHÜMPERLIN, op. cit., n. 17 p. 365, notamment pour des motifs de protection des mineurs ou de la victime d'infractions à l'intégrité sexuelle). En outre, il y a lieu de tenir compte des troubles psychiques, non contestés, dont souffre le demandeur et qui ont pour corollaire sa crainte que, prenant connaissance de l'arrêt, des agents des services secrets [...] l'identifient et cherchent à lui nuire. Compte tenu de ces éléments, il sera exceptionnellement fait droit à la requête d'anonymisation accrue formulée par l'intéressé, en ce qu'elle a trait à l'identité, à la nationalité et au domicile du demandeur, de même qu'à l'établissement d'études et à la filière suivie.
4.
Le demandeur formule certaines offres de preuves devant le Tribunal fédéral.
4.1. L'art. 6 par. 1 CEDH, dans son volet civil, et les garanties liées à un procès équitable s'appliquent aux actions en responsabilité que les particuliers diligentent contre la collectivité publique (ATF 136 II 187 consid. 8.2.1 p. 201 s.; 134 I 331 consid. 2.1 p. 333; 126 I 144 consid. 3a p. 150 s.). Cela étant, cette disposition ne réglemente pas l'admissibilité des preuves ou leur appréciation, matière qui relève dès lors au premier chef du droit interne et des juridictions nationales (arrêts de la Cour européenne des droits de l'Homme Colak et Tsakiridis c. Allemagne, du 5 mars 2009, req. 77144/01 et 35493/05, par. 40; Garcia Ruiz c. Espagne [GC], du 21 janvier 1999, req. 30544/96, Rec. 1999-I, par. 28; cf. aussi arrêt Centro Europa 7 Srl et Di Stefano c. Italie [GC], du 7 juin 2012, req. 38433/09, Rec. 2012, par. 197).
Selon l'art. 36 al. 1 PCF, la preuve n'est admise que pour établir des faits pertinents; elle ne porte que sur des faits contestés. En vertu de l'art. 37 PCF, le juge n'est pas lié par les offres de preuves des parties; il ne retient que les preuves nécessaires. Il peut ordonner des preuves que les parties n'ont pas offertes. L'art. 40 PCF in initio prévoit que le juge apprécie les preuves selon sa libre conviction (cf. aussi, pour ce principe, ATF 138 IV 47 consid. 2.3 p. 50; 137 II 266 consid. 3.2 p. 270; 133 I 33 consid. 2.1 p. 36).
4.2. Le demandeur conclut à la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique qui permette "d'établir si, et dans quelle mesure, le traitement réservé par les autorités fédérales aux procédures par lui menées devant celles-ci ont influé sur son état de santé mentale et lui ont causé des souffrances particulières". La défenderesse estime que la détermination de la souffrance du demandeur peut demeurer indécise étant donné que la demande d'indemnité à titre de réparation morale doit être rejetée sur la base de l'art. 12 LRCF et pour défaut de violation d'un devoir par les juges fédéraux dans l'exercice de leur fonction.
4.2.1. D'après l'art. 57 al. 1 PCF in initio, lorsque le juge doit être éclairé sur des circonstances de la cause qui exigent des connaissances spéciales, il se fait assister par un ou plusieurs experts.
4.2.2. En l'espèce, la Cour de céans peut se dispenser de mettre en oeuvre une expertise psychiatrique du demandeur. Premièrement, en effet, la question qui se pose dans le cadre de la présente procédure n'est pas tant celle de déterminer si le demandeur se trouvait empêché sans sa faute de se présenter aux examens organisés par la Haute école, voire de justifier à temps ses absences à l'aide de certificats médicaux; comme il sera vu (consid. 5 infra), il s'agit davantage d'établir si les juges auraient pu et dû se rendre compte d'un tel état d'incapacité de procéder devant eux et, par voie de conséquence, désigner un avocat d'office à l'intéressé. Or, on ne voit pas en quoi une expertise psychiatrique pourrait répondre, du moins clairement, à une telle interrogation, qui fait davantage appel à des concepts juridiques et à des notions découlant de l'expérience générale de la vie qu'à des questions d'ordre médical. Deuxièmement, l'on peut s'interroger au sujet de la fiabilité d'une expertise qui chercherait à établir si l'état mental du demandeur lui permettait, durant des périodes déterminées du passé, lesquelles remontent parfois à plusieurs années auparavant, d'agir devant les juridictions mises en cause. Troisièmement, quoi qu'en ait dit le demandeur au cours des séances de débats préparatoires et principaux ou dans sa lettre du 25 septembre 2014 réitérant ses requêtes de preuves, la notion juridique d'incapacité de procéder diffère de ou, à tout le moins, ne se recoupe pas entièrement avec celle de l'incapacité de discernement, de sorte que la pertinence d'une expertise médicale relative à la seconde notion, qui est de plus juridiquement présumée, devrait être fortement relativisée (consid. 5 infra). Quatrièmement et dernièrement, il n'est pas nécessaire de faire suite à la demande d'expertise, en tant qu'elle vise à faire établir le degré des souffrances prétendument subies par le demandeur en raison de l'absence d'avocat pour l'assister au cours des procédures litigieuses; comme il sera en effet vu ultérieurement, l'absence d'illicéité dispensera le Tribunal fédéral de traiter de la question du dommage, de la causalité ou du tort moral (consid. 5 infra).
4.3. Au cours de la séance de débats préparatoires du 11 septembre 2014 et dans sa lettre du 25 septembre 2014, le demandeur a sollicité l'audition par le Tribunal fédéral du Préposé fédéral à la protection des données et d'un représentant du Ministère public de la Confédération, afin qu'ils corroborent ses allégués et témoignent au sujet des activités d'espionnage [...] au sein de l'école B._ et sur territoire helvétique ainsi que de l'utilisation abusive de ses données personnelles que le demandeur dit avoir subie durant ses études. Dans le cadre des plaidoiries du 30 octobre 2014, le demandeur a encore précisé que l'audition de témoins requise était essentielle dans le but d'établir les raisons de sa peur. La défenderesse s'est opposée à cette requête.
Il ne sera pas donné suite à la requête du demandeur. En tant que celui-ci entend établir sa conviction d'avoir été la cible potentielle d'un Etat étranger et d'avoir eu affaire à ses agents durant son séjour et ses études en Suisse, ces éléments ne sont pas pertinents dans le contexte de la présente demande. Dans la mesure où ils seraient pertinents, les "faits troublants" (par ex. les cambriolages, la réception de courriels en provenance de la diaspora [...]) dont le demandeur a été la victime ont déjà été établis par pièces et ne doivent donc pas encore être corroborés oralement. La maladie psychique dont souffre l'intéressé ainsi que les crises d'angoisse que ce dernier a subies résultent des différents certificats et attestations médicaux au dossier, notamment produits en lien avec les examens non présentés à la [Haute école], si bien que ses craintes et leurs origines ne sont pas remises en cause. On ne voit dès lors pas, et le demandeur ne le démontre pas, en quoi les témoignages du Préposé fédéral à la protection des données ou d'un représentant du Ministère public de la Confédération sur les activités d'espionnage d'Etats tiers en Suisse pourraient apporter un éclairage nouveau ou pertinent sur la présente affaire.
5.
Sur le fond, le demandeur reproche [à un juge] du Tribunal fédéral, à un juge du Tribunal administratif fédéral ainsi qu'à la Commission de recours interne de l'école B._ d'avoir, dans le cadre de leur activité judiciaire, commis divers actes ou omissions préjudiciables à sa personne et à ses intérêts.
5.1.
5.1.1. Aux termes de l'art. 3 al. 1 LRCF, la Confédération répond du dommage causé sans droit à un tiers par un fonctionnaire dans l'exercice de ses fonctions, sans égard à la faute de celui-ci. Selon l'art. 1er al. 1 let. c et let. d LRCF, ladite loi s'applique également aux membres et aux suppléants des tribunaux fédéraux, ainsi qu'aux membres des commissions fédérales indépendantes. L'art. 3 al. 1 LRCF consacre une responsabilité primaire, exclusive et causale de l'État, en ce sens que le tiers lésé ne peut rechercher que l'État, à l'exclusion du fonctionnaire ou de l'agent responsable, et qu'il n'a pas à établir l'existence d'une faute de ce dernier; il lui suffit d'apporter la preuve d'un acte illicite, d'un dommage ainsi que d'un rapport de causalité entre ces deux éléments. Ces conditions doivent être remplies cumulativement (ATF 139 IV 137 consid. 4.1 p. 140 et les arrêts cités).
La condition de l'illicéité au sens de l'art. 3 al. 1 LRCF ("sans droit") suppose que l'Etat, au travers de ses organes ou de ses agents, ait violé des prescriptions destinées à protéger un bien juridique. Selon les circonstances, un excès ou un abus du pouvoir d'appréciation conféré par la loi peut réaliser cette condition. En présence d'une atteinte à un droit absolu, la jurisprudence a également considéré comme illicite la violation de principes généraux du droit, telle l'obligation, pour celui qui crée une situation dangereuse, de prendre les mesures propres à prévenir un dommage. Une omission peut aussi, le cas échéant, constituer un acte illicite, mais il faut alors qu'il ait existé, au moment déterminant, une norme juridique qui sanctionnait explicitement l'omission commise ou qui imposait à l'Etat de prendre en faveur du lésé la mesure omise; un tel chef de responsabilité suppose donc que l'Etat ait eu une position de garant vis-à-vis du lésé et que les prescriptions qui déterminent la nature et l'étendue de ce devoir aient été violées. Si le fait dommageable consiste dans l'atteinte à un droit absolu (comme la vie ou la santé humaines, ou le droit de propriété), l'illicéité est d'emblée réalisée, sans qu'il soit nécessaire de rechercher si et de quelle manière l'auteur a violé une norme de comportement spécifique; on parle à ce propos d'illicéité par le résultat ("Erfolgsunrecht"). Si, en revanche, le fait dommageable constitue une atteinte à un autre intérêt (par exemple le patrimoine), l'illicéité suppose qu'il existe un "rapport d'illicéité", soit que l'auteur ait violé une norme de comportement ayant pour but de protéger le bien juridique en cause; c'est ce que l'on appelle l'illicéité par le comportement ("Verhaltensunrecht"). L'illicéité peut être levée en présence de motifs justificatifs, tels que la légitime défense, le consentement du lésé ou l'accomplissement d'un devoir légal (ATF 139 IV 137 consid. 4.2 p. 140 s., et les arrêts cités; cf. aussi ATF 139 V 176 consid. 8.2 p. 188 s.).
5.1.2. Tandis que la responsabilité étatique prévue dans la LRCF est de nature causale, une indemnité pour tort moral est, quant à elle, subordonnée à une faute (cf. art. 6 LRCF; ATF 136 II 187 consid. 4.1 p. 191; arrêt 8C_510/2007 du 3 octobre 2008 consid. 10). L'art. 6 LRCF prévoit en effet que, en cas de faute du fonctionnaire, l'autorité compétente peut, en tenant compte de circonstances particulières, allouer à la victime de lésions corporelles ou, en cas de mort d'homme, à la famille, une indemnité équitable à titre de réparation morale (al. 1). Celui qui subit une atteinte illicite à sa personnalité a droit à une somme d'argent à titre de réparation morale, pour autant que la gravité de l'atteinte le justifie et que l'auteur ne lui ait pas donné satisfaction autrement (al. 2).
5.2.
5.2.1. Tel qu'il l'expose surtout dans le cadre de sa demande d'indemnité pour tort moral, le demandeur se plaint de son appréhension par la police bernoise lorsqu'il s'était, le 17 juin 2011, rendu au siège du Tribunal administratif fédéral, afin de consulter son dossier de recours, ou y déposer une écriture. D'après le demandeur, qui nie avoir fait preuve d'un comportement violent à l'égard de l'autorité judiciaire, cette interpellation, injustifiée, aurait procédé d'un "guet-apens" tendu par le Tribunal administratif fédéral et aurait, de par sa durée, son intensité et le désarroi dans lequel il s'était déjà trouvé à ce moment, porté atteinte à sa santé mentale. La police étant intervenue à la demande de cette juridiction, ses actes lui seraient imputables.
A cet argument, la défenderesse oppose celui que la consultation du dossier "avec une présence de la police bernoise" aurait été ordonnée par le juge D._ à titre de mesure d'instruction, dont la validité ne saurait être remise en cause en vertu de l'art. 12 LRCF. De plus, ledit juge s'était senti menacé par le demandeur et l'activité de la police cantonale n'entrerait pas dans le champ de la LRCF.
5.2.2. D'après le rapport de la police bernoise du 5 juillet 2011, auquel se réfèrent les parties (pièce 14 dem.; p. 303 ss déf.), le Tribunal administratif fédéral a dénoncé des propos, ressemblant à des menaces ("drohähnliche Äusserungen"), que le demandeur aurait proférées à l'encontre de son personnel, et indiqué à la police les date et heure convenues pour la consultation de son dossier par l'intéressé, redoutant des problèmes de sécurité. Malgré l'usage quelque peu ambigu du pronom impersonnel "on" pour désigner l'autorité à l'origine de la décision d'interpeller et d'interroger le demandeur et quoi qu'en pensent les parties, le contexte du rapport (cf. notamment: "Aufgrund dieser Informationen wurde entschieden") permet de retenir que la décision d'interpeller et d'interroger l'intéressé a été prise de façon autonome par les autorités de police compétentes, et non pas - en tant qu'il disposerait d'un tel pouvoir - sur ordre du Tribunal administratif fédéral, dans le contexte d'un rapport de subordination. L'assimilation de la police à un auxiliaire du tribunal susmentionné, par application analogique de l'art. 101 CO (RS 220; sur renvoi de l'art. 9 al. 1 LRCF), voire en vertu de l'art. 19 al. 1 LRCF, ne saurait dès lors entrer en considération. N'étant pas imputables à la juridiction fédérale, les actes que le demandeur reproche à la police cantonale échappent donc à la présente procédure, qui vise les personnes qui sont investies d'une fonction publique de la Confédération (art. 1 al. 1 LRCF).
Reste le point de savoir si le Tribunal administratif fédéral a commis un acte illicite en dénonçant à la police des comportements potentiellement menaçants. Tel n'est manifestement pas le cas, dès lors qu'il résulte du rapport de police que le demandeur a concédé, tout en précisant que ses explications avaient été mal interprétées, qu'il avait probablement mentionné la possession d'une arme au cours de l'un de ses appels téléphoniques au tribunal précité. L'existence d'un chef de responsabilité à ce titre ne peut donc être retenue.
5.3. Le demandeur identifie un autre chef de responsabilité de la Confédération dans les refus successifs des autorités fédérales - selon lui contraires à la loi et aux devoirs essentiels des magistrats - de lui désigner un défenseur d'office. Il prétend que, de manière clairement reconnaissable pour les autorités judiciaires mises en cause, il était sans ressources financières suffisantes et souffrait de troubles psychiques. Partant, il aurait été incapable de procéder devant elles, voire aurait été par moments incapable de discernement. Les refus de lui désigner un avocat l'auraient ainsi contraint à mener seul les procédures de recours contre les décisions de l'école B._, ce qui aurait débouché sur l'irrecevabilité ou le rejet des procédures engagées, en violation de la garantie à un accès effectif à la justice et quand bien même ces causes n'auraient pas été d'emblée vouées à l'échec. Cette situation aurait plongé le demandeur dans un état d'épuisement et de détresse psychologique.
Selon la défenderesse, le refus des juridictions fédérales de désigner un défenseur d'office au demandeur résulte de décisions judiciaires entrées en force de chose jugée, qui ne peuvent dès lors être revues dans le cadre de la présente procédure en responsabilité. En outre, les magistrats mis en cause n'auraient en tout état pas gravement manqué à leurs devoirs de fonction essentiels.
5.3.1. Le comportement, par commission ou par omission, que le demandeur reproche aux juridictions fédérales trouve son fondement dans diverses décisions de justice de la Commission de recours de l'école B._, du Tribunal administratif fédéral et du Tribunal fédéral.
En font partie, en premier lieu, les décisions des 29 juin 2010 et 22 février 2011, par lesquelles la Commission de recours a rejeté au fond les recours formés par A._ contre les décisions de la Haute école n'admettant que partiellement les certificats médicaux présentés pour la session d'examens d'hiver 2010 et prononçant l'échec définitif de l'étudiant. Les deux recours formés par l'étudiant contre ces deux arrêts ont été rejetés, à l'issue d'un examen au fond approfondi, par arrêt du Tribunal administratif fédéral du 21 septembre 2011. Par arrêt du Tribunal fédéral de novembre 2011 (cause xxx), le recours formé contre ce dernier arrêt a quant à lui été déclaré irrecevable, car manifestement mal motivé, et la demande d'assistance judiciaire rejetée pour absence de chances de succès.
En deuxième lieu, il sied de mentionner la décision incidente du 27 mai 2011, par laquelle le juge instructeur du Tribunal administratif fédéral a rejeté la demande de l'intéressé tendant à l'attribution d'un avocat notamment dans le but de faire valoir que la production tardive des certificats médicaux relatifs aux examens de l'école B._ auxquels l'intéressé ne s'était pas présenté aurait été imputable à une incapacité de discernement de sa part. Le recours contre cette décision a été déclaré irrecevable par le Tribunal fédéral pour cause de non-respect du délai de recours légal et le recours contre le refus de récusation du juge D._ rejeté en tant que recevable (arrêt de septembre 2011 dans les causes jointes www).
En troisième et dernier lieu, le Tribunal fédéral a, par arrêt de décembre 2011 (cause yyy), déclaré irrecevable la requête de A._, traitée en tant que recours ou demande de révision de l'arrêt xxx de novembre 2011, et rejeté la demande d'assistance judiciaire pour défaut de chances de succès.
5.3.2. Selon l'art. 12 LRCF, qui consacre la primauté de la protection juridictionnelle par rapport à une procédure en responsabilité de l'Etat (ou principe de la protection juridique unique [en all.: "Einmaligkeit des Rechtsschutzes"]; cf. Florence Aubry Girardin, Responsabilité de l'Etat: un aperçu de la jurisprudence du Tribunal fédéral, in La responsabilité de l'Etat [Favre/Martenet/Poltier (éd.) ], 2012, p. 113 ss, 128; Etienne Poltier, La responsabilité de l'Etat pour acte illicite: l'exigence de l'illicéité, in ibidem, p. 45 ss, 62), la légalité des décisions, d'arrêtés et de jugements ayant force de chose jugée ne peut pas être revue dans une procédure en responsabilité. Le législateur a voulu, à travers cette disposition, consacrer la fiction juridique selon laquelle "les décisions passées en force de chose jugée doivent être considérées comme conformes au droit" (Message du Conseil fédéral, du 29 juin 1956, concernant un projet de loi sur la responsabilité de la Confédération, des membres de ses autorités et de ses fonctionnaires, in FF 1956 I 1420, ad art. 10 du projet, p. 1428, plus précis en all.: "Die Rechtmässigkeit formell rechtskräftiger Verfügungen..."; cf. aussi ATF 119 Ib 208 consid. 3c p. 212; BO CE 1956 p. 327 s.; CN 1957 p. 830 ss). Ce principe connaît cependant certaines exceptions, en particulier lorsque la décision prétendument illicite n'était pas susceptible de recours devant un tribunal indépendant et impartial disposant d'une pleine cognition au sens de l'art. 6 par. 1 CEDH, ou lorsqu'aucun recours effectif n'était disponible, selon l'art. 29a Cst. (cf. ATF 129 I 139 consid. 3.1 p. 142; 126 I 144 consid. 3 p. 150 ss; Fridolin Hunold, Staatshaftung für judikatives Unrecht, 2013, n. 281 ss p. 99 ss; Poltier, op. cit., p. 63 s.; Thierry Tanquerel, Manuel de droit administratif, 2011, n. 1647 p. 551).
5.3.3. Les décisions précitées se sont pour la plupart préoccupées de la question de savoir si les troubles psychiques invoqués par le demandeur, voire son incapacité de discernement alléguée permettaient de considérer qu'il n'avait pas été à même de présenter à temps des justificatifs médicaux concernant son absence aux examens, respectivement si les faits de la cause nécessitaient la désignation d'un avocat d'office et/ou l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite en sa faveur. Qui plus est, ces décisions de justice, qu'elles aient débouché sur un jugement de rejet au fond ou prononcé l'irrecevabilité d'un recours, ont toutes acquis force formelle de chose jugée après l'épuisement des voies de recours par l'intéressé, ce qui signifie qu'elles ne peuvent plus être remises en cause par un moyen de droit ordinaire (cf., concernant les arrêts du Tribunal fédéral, art. 61 LTF; Jean-Maurice Frésard, ad art. 61 LTF, in Commentaire de la LTF, 2e éd., 2014, n. 6 s. p. 483).
Il suit des précédents éléments qu'en tant que le demandeur veut déduire un chef de responsabilité des décisions des 29 juin 2010 et 22 février 2011 rendues par la Commission de recours de l'école B._, son action doit être rejetée sur la base de l'art. 12 LRCF. En effet, ces décisions ont déjà fait l'objet d'un examen détaillé (et ne sauraient donc être revues dans le cadre de la présente procédure) par le Tribunal administratif fédéral, soit le tribunal administratif ordinaire de la Confédération (art. 1 al. 1 de la loi sur le Tribunal administratif fédéral du 17 juin 2005 [LTAF; RS 173.32]; s'agissant de son indépendance, cf. art. 2 LTAF), qui exerce d'office un examen complet en fait, en droit tout comme en opportunité (art. 37 LTAF cum art. 2 al. 4 et 49 de la loi fédérale sur la procédure administrative du 20 décembre 1968 [PA; RS 172.021]; arrêt 2C_426/2007 du 22 novembre 2007 consid. 4.3, RDAF 2008 II 20).
5.3.4. En tant que le demandeur s'en prend à la décision incidente du juge du Tribunal administratif fédéral D._ du 27 mai 2011 rejetant sa requête d'attribution d'un avocat d'office, au rejet par le Tribunal fédéral, en novembre 2011 (cause xxx), de la demande d'assistance judiciaire formée par A._ pour absence de chances de succès, ainsi qu'à l'arrêt du 18 septembre 2011 par lequel le Tribunal fédéral, sous la présidence du juge E._, avait déclaré irrecevable le recours formé contre cette décision pour cause de non-respect du délai de recours légal, l'application stricte de l'exception prévue à l'art. 12 LRCF apparaît douteuse. Dans la mesure où, tel que le prétend le demandeur, les magistrats en cause auraient d'emblée dû se rendre compte de son incapacité à procéder, leur refus de commettre un défenseur d'office ou d'accorder l'assistance judiciaire à l'intéressé pouvait en effet potentiellement déboucher sur un déni de justice formel ou la violation du droit à un recours effectif, pour autant que la tardiveté du recours contre la décision du 27 mai 2011 devant le Tribunal fédéral eût également été imputable à l'état de santé mental de l'intéressé et non pas à une simple négligence de sa part. L'applicabilité de l'art. 12 LRCF en ce qui concerne l'arrêt sur révision yyy de décembre 2011, au titre duquel le Tribunal fédéral a rejeté la nouvelle demande d'assistance judiciaire de l'intéressé pour défaut de chances de succès, est incertaine pour les mêmes motifs que ci-dessus mentionnés et, de surcroît, parce qu'aucune voie de recours ordinaire n'est disponible contre les décisions du Tribunal fédéral (cf. Hunold, op. cit., n. 289 p. 101 s.); cela valait également pour l'arrêt xxx de novembre 2011 en tant qu'il rejetait la requête d'assistance judiciaire formulée par l'intéressé. Pour cette raison, la barrière juridique instaurée par l'art. 12 LRCF doit a priori être considérée comme inopérante pour ce qui est de l'examen des décisions entrées en force précitées. La Cour de céans pourra donc connaître des griefs soulevés en rapport avec ces dernières dans le cadre de la présente action en dommages-intérêts, mais dans les limites qui seront mentionnées ci-après (consid. 5.4 infra; cf. aussi arrêt 2E_1/2013 du 4 septembre 2014 consid. 4.1).
5.4.
5.4.1. Si l'examen des décisions et arrêts susmentionnés quant à leur conformité au droit n'est ainsi pas exclu d'emblée en vertu de l'art. 12 LRCF, cela ne signifie pas encore qu'une éventuelle méconnaissance d'une règle de droit matériel par les juges concernés suffirait pour qualifier ces décisions d'illicites au regard de la présente procédure. De jurisprudence constante en effet, lorsque l'illicéité reprochée procède d'un acte juridique (une décision, un jugement, en particulier), seule la violation d'une prescription importante des devoirs de fonction (en all.: "Verletzung einer wesentlichen Amtspflicht") par l'autorité est susceptible d'engager la responsabilité de la Confédération, le fait de rendre une décision qui se révèle par la suite inexacte, contraire au droit ou même arbitraire ne suffisant pas (cf. ATF 139 IV 137 consid. 4.2 p. 141; 132 II 305 consid. 4.1 p. 318; 118 Ib 163 p. 164; arrêts 2C_397/2012 du 19 novembre 2012 consid. 3.3; 2C_158/2010 du 18 août 2010 consid. 3.1; 2A.578/2003 du 10 mai 2004 consid. 5.2). L'exigence que, quand est en cause un acte juridique, le magistrat concerné ait commis une violation caractérisée de ses devoirs de fonction s'applique indépendamment de la nature de l'atteinte (Hunold, op. cit., n. 441 s. p. 147 s.; cf. aussi Poltier, op. cit., p. 73; Tanquerel, op. cit., n. 1642 p. 549; e contrario, ATF 123 II 577 consid. 4d/dd p. 582 s.; arrêts 2A.511/2005 du 16 février 2009 consid. 5.1 in fine; 2A.493/2000 du 2 mars 2001 consid. 5a), sous réserve des dispositions particulières qui prévalent en matière de détention administrative (question laissée ouverte: ATF 129 I 139 consid. 4.1.2 p. 145) ou pénale (cf. arrêt 6B_17/2014 du 1er juillet 2014 consid. 2.5 s., destiné à la publication).
5.4.2. Selon le demandeur, les refus, voire l'omission de la part des autorités fédérales de lui désigner un défenseur d'office et de restituer de ce fait le délai pour recourir auprès du Tribunal fédéral auraient aggravé son état mental et l'auraient privé d'un accès effectif à la justice. Ces actes résulteraient de la violation crasse du devoir des magistrats concernés de commettre un avocat à une partie qui était manifestement incapable de procéder elle-même devant les tribunaux déjà en 2011.
D'après la défenderesse, on ne peut reprocher aux juges fédéraux, qui disposent d'un large pouvoir d'appréciation s'agissant de déterminer si un plaideur est apte à procéder devant eux, d'avoir commis un manquement caractérisé à leurs devoirs de fonction en ne constatant pas d'office la prétendue incapacité du demandeur de procéder lui-même en 2011 déjà.
5.4.3. Aux termes de l'art. 41 al. 1 LTF, disposition instaurant un cas de représentation obligatoire (cf. Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, in FF 2001 4000, p. 4092; voir déjà Message à l'appui d'une nouvelle loi sur l'organisation judiciaire, du 9 février 1943, in FF 1943 101, p. 117 et 185), si une partie est manifestement incapable de procéder elle-même, le Tribunal fédéral peut l'inviter à commettre un mandataire. Si elle ne donne pas suite à cette invitation dans le délai imparti, il lui attribue un avocat. Cette disposition vise tant à protéger les intérêts de la partie concernée et son droit à une procédure équitable qu'à garantir la bonne administration de la justice (Yves Donzallaz, ad art. 41 LTF, in Loi sur le Tribunal fédéral - Commentaire, 2008, n. 850 p. 389; Merz, op. cit., n. 7 p. 457 s.).
La capacité de procéder ("Postulationsfähigkeit" ou, selon les termes employés par l'art. 41 LTF, "Fähigkeit zur Prozessführung"), qui est présumée (Donzallaz, op. cit., n. 851 p. 389), est l'aptitude à défendre de manière autonome ses droits devant le tribunal, à présenter ses conclusions et à prendre position par écrit ou oralement (cf. ATF 132 I 1 consid. 3.2 p. 5; Florence Aubry Girardin, ad art. 41 LTF, in Commentaire de la LTF, 2e éd., 2014, n. 8 p. 291). Elle se distingue, même si certains recoupements sont envisageables, de la capacité - elle aussi présumée (ATF 98 Ia 324 consid. 3 p. 325) - de discernement (art. 16 CC; RS 210; ATF 132 I 1 consid. 3.1 p. 5), dont la négation, notamment parce qu'une partie entend mener son procès de manière entièrement déraisonnable, qu'elle est totalement incapable de concevoir les limites de ses droits ou qu'elle agit sous l'emprise d'idées délirantes (cf. ATF 132 I 1 consid. 3 p. 5 s.), imposerait la prise de mesures en matière de protection de l'adulte (cf. art. 390 ss CC; Aubry Girardin, op. cit., n. 10 p. 292; Donzallaz, op. cit., n. 858 p. 391).
Pour permettre l'application de l'art. 41 LTF, l'incapacité de procéder doit être manifeste; elle doit en principe ressortir de l'acte déposé par la partie concernée. A ce propos, le Tribunal fédéral dispose d'un large pouvoir d'appréciation; il ne saurait admettre l'incapacité trop facilement (cf. arrêts 4A_45/2014 du 19 mai 2014 consid. 2.2.1; 5A_618/2012 du 27 mai 2013 consid. 3.1; 1B_163/2012 du 28 mars 2012 consid. 3 ; Aubry Girardin, op. cit., n. 11 p. 292; Donzallaz, op. cit., n. 855 p. 390). Lorsque le Tribunal fédéral retient que la partie concernée est manifestement incapable de procéder, il lui incombe de veiller à ce qu'un mandataire défende les intérêts de cette partie, si besoin en lui en désignant un d'office (cf. Aubry Girardin, op. cit., n. 4a p. 290 s.; Merz, op. cit., n. 6 s. p. 457).
La procédure devant le Tribunal administratif fédéral est régie par la loi fédérale sur la procédure administrative, par renvoi de l'art. 37 LTAF. Le Tribunal fédéral a précisé que la règle prévue à l'art. 41 LTF (anc. art. 29 al. 5 aOJ) s'applique également, par analogie, à la PA, en raison d'une lacune proprement dite de cette loi (cf. arrêt 1E.4/2004 du 1er mars 2004 consid. 6).
5.4.4. Dans sa décision incidente du 27 mai 2011 rejetant la requête de A._ relative à l'attribution d'un avocat d'office, le juge du Tribunal administratif fédéral D._ a fait état des "nombreuses écritures" (décision, consid. 3), en partie produites sans l'autorisation préalable du tribunal (consid. 1) et rédigées dans un français parfois laborieux dont des passages ont été cités (consid. 2.1), que l'intéressé lui avait adressées dans le cadre de ses procédures contre les décisions de la Haute école. Il est vrai, tel que l'indique le demandeur (qui avait expressément allégué son "incapacité de discernement" afin d'excuser la tardiveté de la présentation de certains certificats médicaux à la Haute école), que ces éléments constituent potentiellement des indices pour une incapacité de procéder à l'époque de la procédure litigieuse devant le Tribunal administratif fédéral. La portée de ces indices doit néanmoins être relativisée fortement dans la mesure où, tel que l'a relevé à juste titre le juge D._ dans sa décision incidente du 27 mai 2011, il résultait des écritures de A._, dont les arguments et conclusions étaient au demeurant suffisamment intelligibles pour pouvoir être repris et traités par le juge précité dans un ordre logique, que "la situation juridique déterminante au fond" était connue de l'intéressé (consid. 2.5). Or, en principe, une partie qui est à même de prendre position par écrit et de prendre des conclusions est réputée être capable de défendre ses droits de manière autonome devant un tribunal. Du reste, la situation alléguée n'a pas empêché l'intéressé d'obtenir un arrêt sur le fond.
Par ailleurs, la question de la capacité de procéder d'une partie doit se déterminer en fonction du contexte procédural en jeu. Les éléments qui sont susceptibles de corroborer une incapacité de procéder dans le cadre d'une procédure complexe ne permettent donc pas automatiquement d'aboutir au même constat face à une procédure qui présente un degré de difficulté moindre. Or, tel est bien le cas s'agissant des procédures menées par A._ devant le Tribunal administratif fédéral, dont l'objet se confine, en substance, à l'évaluation d'examens universitaires, respectivement à la question de savoir si les autorités de la Haute école ont à tort refusé de tenir compte de certains des certificats médicaux que l'intéressé leur avait présentés hors délai (les autres ayant en revanche été présentés à temps) dans le but d'excuser ses absences aux examens, au motif qu'ils l'avaient été de façon tardive. Ces procédures étant intrinsèquement liées aux études entreprises par le demandeur - dont le psychiatre traitant avait attesté à l'attention de la Commission de recours de l'école B._ qu'il pouvait "être considéré comme apte à passer des examens à l'école B._, en particulier dans les six prochains mois" - il était, quoi qu'en dise le demandeur, permis aux magistrats mis en cause de considérer que l'intéressé disposait de la capacité suffisante pour procéder en cette matière.
Tout autre est le degré de complexité pour mener à bien une procédure en responsabilité de l'Etat, qui plus est dans le cadre d'une action directe devant le Tribunal fédéral. Au niveau procédural, celle-ci est gouvernée par une série de lois spécifiques, qui interagissent à la faveur de renvois correspondants; au fond, elle requiert la preuve que plusieurs conditions (acte illicite, dommage, causalité naturelle et adéquate), dont le contenu a en partie été précisé par la jurisprudence, sont cumulativement réunies. Ce n'est donc pas parce que, dans la présente cause, un avocat a été désigné au demandeur en application de l'art. 41 LTF que l'intéressé aurait dû être reconnu comme manifestement incapable de procéder dans le cadre d'autres procédures plus simples.
S'agissant de l'incapacité de discernement alléguée par le demandeur, il sera rappelé que, d'une part, le juge D._ avait réfuté qu'un "élément individuel et concret laissa[i]t à penser que le recourant souffrait d'incapacité de discernement lors des sessions d'hiver et d'été 2010" et que, d'autre part, la capacité de discernement est présumée de par la loi. Le juge mis en cause ne saurait donc avoir commis un manquement, qui plus est caractérisé, à ses devoirs de fonction, ce d'autant que, tel qu'il résulte du dossier, le demandeur était à l'époque parvenu à remettre à temps des certificats médicaux excusant ses absences aux examens à l'administration de la Haute école.
5.4.5. Pour ce qui est de l'arrêt du 18 septembre 2011 par lequel le Tribunal fédéral, sous la présidence du juge E._, avait notamment déclaré irrecevable le recours formé contre la décision du 27 mai 2011 pour cause d'inobservation du délai de recours légal, le fait pour A._ d'avoir agi hors délai ne permettait pas non plus, à lui seul, d'en déduire une incapacité de procéder évidente de sa part. En premier lieu, il résulte de l'arrêt du 18 septembre 2011 que le recours de l'intéressé visait avant tout la décision incidente du 28 juillet 2011 portant sur la demande de récusation du juge D._ et seulement accessoirement, tout au plus (cf. arrêt précité, consid. 2: "le mémoire du recourant semble également être dirigé contre la décision incidente du 27 mai 2011"), le refus de lui désigner un défenseur d'office; or, la partie principale du recours concernant la récusation du juge D._ a été introduite de manière recevable, ce qui invalide l'image d'une partie manifestement désorientée à l'époque des faits litigieux que le demandeur tente de peindre de sa personne. En deuxième lieu, la procédure de recours précitée s'inscrivait dans le cadre d'autres procédures, en soi peu complexes et facilement intelligibles par un non-juriste, qui concernaient les échecs éliminatoires aux examens que l'intéressé avait essuyés pour cause, notamment, d'absences non excusées (cf. consid. 5.4.4 supra). En troisième et dernier lieu, si le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours en tant qu'il aurait porté sur la décision incidente du 27 mai 2011, son arrêt n'en tient pas moins compte du fait que le recours a été formulé par un particulier non représenté, puisqu'il a rendu ce dernier attentif à la possibilité de contester le refus de désignation d'un avocat dans le cadre de son éventuel recours contre l'arrêt final que le Tribunal administratif fédéral serait amené à rendre ultérieurement (cf. arrêt rendu dans les causes jointes www de septembre 2011 consid. 2, rendant le recourant attentif à l'art. 93 al. 3 LTF).
5.4.6. Restent l'arrêt xxx de novembre 2011, déclarant irrecevable, car manifestement mal motivé, le recours de A._ et rejetant sa demande d'assistance judiciaire pour absence de chances de succès, de même que l'arrêt yyy de décembre 2011, par lequel le Tribunal fédéral a rejeté la nouvelle demande d'assistance judiciaire de l'intéressé pour défaut de chances de succès.
En termes de causalité, il est douteux, s'agissant de l'arrêt yyy de novembre 2011, que la désignation d'un avocat en faveur de l'intéressé, à ce stade de la procédure, dans le cadre du moyen de droit extraordinaire qu'est la révision, eût été à même de lui éviter de subir un hypothétique dommage, étant précisé que les motifs de révision admissibles sont limités (cf. art. 121 ss LTF). Quoi qu'il en soit, si la requête de révision du 17 décembre 2011 pouvait effectivement passer pour prolixe (33 pages), était rédigée dans un français haché et contenait de nombreux propos non directement liés à l'objet du litige, elle n'en permettait pas moins au Tribunal fédéral de saisir que A._ demandait, expressis verbis, la révision de l'arrêt xxx de novembre 2011 du fait que, selon lui, [...] E._ et son greffier auraient dû se récuser. Par ailleurs, il résulte du mémoire de requête en révision que la "demande d'assistance judiciaire immédiate au Tribunal fédéral et aide d'un conseil compte tenu de la complexité de la procédure" formulée par l'intéressé visait spécifiquement à se voir attribuer, aux frais de l'Etat et selon les règles gouvernant l'assistance judiciaire gratuite (art. 64 LTF), un défenseur d'office. Le même raisonnement s'impose pour l'arrêt xxx de novembre 2011, étant donné qu'au titre de son recours relatif à ladite procédure, l'intéressé était parvenu, en dépit de défaillances certaines, à présenter ses griefs de façon intelligible et structurée. Même à supposer que certains indices aient permis de faire douter de la capacité de procéder en justice du demandeur, la prétendue incapacité n'était donc à l'évidence pas "manifeste", de sorte que l'on ne saurait reprocher au juge E._ d'avoir implicitement, au vu de la présomption de cette capacité et des éléments contrebalançant un tel soupçon (clarté des conclusions et leur motif, énonciation univoque de la procédure diligentée), rejeté une telle hypothèse et de n'avoir retenu ni un motif de récusation justifiant la révision de l'arrêt entrepris, ni un cas d'assistance judiciaire (requête paraissant d'emblée vouée à l'échec).
5.4.7. En conséquence, même à supposer que les procédures examinées ci-dessus aient pu contenir de quelconques indices susceptibles d'établir une incapacité de procéder du demandeur préalablement déjà à la constatation de cette incapacité dans l'ordonnance présidentielle du Tribunal fédéral du 8 juillet 2013 (cause 2E_2/2013), il ne saurait en tout état être reproché aux juges fédéraux D._ et E._ de ne pas avoir retenu, dans les limites de la marge d'appréciation dont ils disposaient à cet égard, que le demandeur était manifestement incapable de procéder devant les juridictions respectives qu'ils présidaient. En effet, l'erreur d'appréciation que l'on aurait tout au plus pu leur reprocher à ce propos ne suffirait pas encore à fonder un acte de responsabilité de la Confédération vis-à-vis du demandeur. Celle-ci requerrait que les juges mis en cause aient violé leurs devoirs de fonction, qui découlent en l'occurrence de l'art. 41 LTF et du principe correspondant dans la PA, d'une manière particulièrement grossière. Or, comme indiqué, tel n'est pas le cas au vu des pièces au dossier.
Il s'ensuit qu'aucun acte illicite ne peut être reproché aux juges fédéraux D._ et E._, au sens de la LRCF.
5.4.8. S'agissant d'une action en responsabilité soumise à des conditions cumulatives (ATF 139 IV 137 consid. 4.1 p. 140), dont l'une n'est pas remplie, il n'y a pas lieu d'instruire plus avant le dossier pour savoir si les autres conditions du dommage et de la causalité sont ou non réunies (cf. arrêts 2C_84/2012 du 15 décembre 2012 consid. 3.3.4, non publié in ATF 139 IV 137; 2C_834/2009 du 19 octobre 2010 consid. 3.5; 2A.321/2004 du 11 avril 2006 consid. 3.2, non publié in ATF 132 II 305). Il en découle que la demande doit être rejetée en ce qu'elle porte sur l'octroi de dommages et intérêts.
6.
A défaut d'un acte illicite imputable aux juges D._ et E._, le demandeur ne peut pas non plus prétendre au versement d'une indemnité pour tort moral (cf. art. 6 LRCF; arrêts 2C_834/2009 du 19 octobre 2010 consid. 3.5; 2A.578/2003 du 10 mai 2004 consid. 4.1 et 5.4, résumé in RF 59/2004 p. 788; 2A.402/2000 du 23 août 2001 consid. 3d).
Partant, l'action en responsabilité que le demandeur a intentée contre la Confédération sera rejetée, tant en ce qui concerne les dommages-intérêts que le tort moral.
7.
En vertu de l'art. 41 al. 2 LTF, l'avocat désigné par le Tribunal fédéral a droit à une indemnité appropriée versée par la caisse du tribunal pour autant que les dépens alloués ne couvrent pas ses honoraires et qu'il n'ait pas pu obtenir le paiement de ces derniers en raison de l'insolvabilité de la partie. Si celle-ci peut rembourser ultérieurement la caisse, elle est tenue de le faire. Il en découle que le Tribunal fédéral est le débiteur subsidiaire des honoraires de l'avocat désigné pour défendre les intérêts de la partie manifestement incapable de procéder (cf. FF 2001 4000, p. 4092; Aubry Girardin, op. cit., n. 18 s. p. 294 s.).
7.1. En l'espèce, la cause a été perdue, si bien que l'avocat désigné par le Tribunal fédéral pour défendre les intérêts du demandeur ne peut être rémunéré par les dépens alloués à son client. Par ailleurs, il résulte des pièces produites à l'appui de l'action reformulée du 28 février 2014 que le demandeur perçoit une rente entière d'invalidité à raison de 18'720 fr. par an, qui était, en 2013, complétée par le versement de 2'744 fr. de prestations complémentaires afin de lui permettre de couvrir ses besoins vitaux selon le droit des assurances sociales (cf. LPC; RS 831.30; ATF 137 II 328 consid. 5.2 p. 335). Il en découle que le demandeur n'est, en l'état, pas en mesure de prendre à sa charge les honoraires de son conseil, qui devront partant lui être versés par la caisse du Tribunal fédéral.
7.2. Le montant à verser à l'avocat au titre d'honoraires et de débours doit être déterminé en application du règlement du 31 mars 2006 sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral (ci-après: le Règlement; RS 173.110.210.3). A cet égard, l'art. 5 du Règlement relatif au tarif en matière de demandes, applicable sur renvoi de l'art. 3 al. 1 du Règlement, établit les honoraires dans une fourchette entre 3'000 fr. et 10'000 fr. lorsque la valeur litigieuse se situe, comme en l'espèce (soit des prétentions totalisant 35'000 fr., plus intérêt), entre 20'000 fr. et 50'000 fr. Il sera encore précisé que, d'une part, l'art. 8 al. 1 du Règlement permet au Tribunal fédéral, dans les causes qui ont nécessité un travail extraordinaire, de fixer des honoraires supérieurs à ceux prévus par le présent règlement et que, d'autre part, l'art. 10 du Règlement prévoit que les honoraires des avocats d'office désignés par le Tribunal fédéral (art. 64 LTF) peuvent être réduits d'un tiers au maximum.
7.3. A teneur du bordereau et du relevé d'activités qu'il a produits en audience de débats principaux du 30 octobre 2014, l'avocat désigné pour la défense des intérêts du demandeur évalue son activité facturable à 86 heures et dix minutes, pour un montant de 20'735 fr. 90, TVA comprise, et un tarif horaire de 220 fr.; s'y ajoutent 99 fr. 95 de débours, soit au total 20'835 fr. 85, TVA comprise. Compte tenu, d'une part, des spécificités du dossier litigieux et de la procédure y afférente qui consiste en une action directe, des interventions du client de l'avocat désigné, du nombre d'écritures et de leur qualité satisfaisante, des séances préparatoire et principale tenues devant le Tribunal fédéral, mais aussi, d'autre part, du fait que plusieurs prestations de l'avocat doivent être considérées comme sortant du cadre ordinaire de l'activité d'un avocat (en particulier, la proportion importante de contacts et d'échanges épistolaires avec le client) ou avaient trait à des recherches juridiques générales sur le droit de la responsabilité, l'allocation à l'avocat d'un montant global de 15'000 fr., plus TVA, à la charge de la caisse du Tribunal fédéral, apparaît à la fois comme adéquate et équitable.
7.4. Pour le surplus, il sera renoncé à percevoir des frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF, sur renvoi de l'art. 69 al. 1 PCF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les requêtes de preuves sont rejetées.
2.
La demande est rejetée.
3.
La requête tendant à l'absence de publication du présent arrêt sur Internet est rejetée. La requête demandant l'anonymisation accrue de l'arrêt 2E_2/2013 est admise.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Une indemnité de 15'000 fr., plus la TVA, est allouée à Me Nicolas Blanc, avocat désigné comme avocat d'office pour la procédure fédérale, à titre d'honoraires, à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
6.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du demandeur ainsi qu'à la défenderesse, p.a. le Département fédéral des finances.
Lausanne, le 30 octobre 2014
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Seiler
Le Greffier : Chatton