Faits:
A. X._, né le 21 juin 1969, et dame X._, née le 16 février 1977 au Sénégal, tous deux originaires de Perly-Certoux (Genève), ont contracté mariage le 26 août 2000. Deux enfants sont issus de leur union: A._, née le 22 mars 2001, et B._, né le 29 octobre 2002.
B. Sur requête de mesures protectrices de l'union conjugale du mari, le Tribunal de première instance de Genève a, par jugement du 15 mars 2007, autorisé les époux à vivre séparés, attribué à l'époux la jouissance du domicile conjugal, l'épouse s'étant engagée à le quitter au plus tard le 30 avril 2007, fixé les modalités d'une garde alternée sur les deux enfants, condamné l'époux à verser chaque mois, dès le 2 février 2007, une contribution d'entretien de 400 fr. pour chacun des enfants, allocations familiales non comprises, l'épouse devant acquitter leurs cotisations d'assurance-maladie (ch. 5), et de 1'200 fr. pour l'entretien de l'épouse (ch. 7), et dit que les allocations familiales seraient acquises à l'épouse (ch. 6).
Sur appel du mari, la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 16 novembre 2007, réformé le jugement de première instance en ce sens, notamment, qu'elle a condamné l'époux à verser une somme de 1'350 fr. par mois du 2 février à fin octobre 2007, puis de 1'800 fr. dès novembre 2007, à titre de contribution à l'entretien de la famille, allocations familiales non comprises (ch. 5 et 7), ainsi qu'un montant de 1'200 fr. (correspondant aux allocations familiales de février à avril 2007) et l'équivalent de toute allocation familiale que l'époux aurait pu toucher depuis mai 2007 ou qu'il pourrait toucher à l'avenir pour les deux enfants (ch. 6).
C. Contre cet arrêt, qui lui a été notifié le 21 novembre 2007, l'époux a interjeté, le 17 décembre 2007, un recours en matière civile au Tribunal fédéral, assorti d'une requête d'effet suspensif. Il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens qu'il ne doit verser aucune contribution à l'entretien de la famille (ch. 5 et 7) et que les allocations familiales sont dues à l'épouse dès le 1er mai 2007 (ch. 6). Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale. Il invoque la violation des art. 9 et 29 Cst.
Par ordonnance du 8 janvier 2008, le Président de la Cour de céans a admis la requête d'effet suspensif pour les contributions d'entretien dues jusqu'en novembre 2007 et l'a rejetée pour le surplus.
L'intimée a requis l'octroi de l'assistance judiciaire.
Des observations n'ont pas été demandées.
Considérant en droit:
1. La décision de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 ss CC) est une décision en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF (ATF 133 III 393 consid. 2). Elle est finale selon l'art. 90 LTF, dès lors que son objet est différent de celui de la procédure de divorce qui pourrait suivre et qu'elle met fin à l'instance sous l'angle procédural (ATF 133 III 393 consid. 4). La décision attaquée a en outre été rendue en dernière instance et sur recours par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 LTF), dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4 LTF, art. 74 al. 1 let. b LTF). Le présent recours en matière civile est donc en principe recevable.
2. Les mesures protectrices de l'union conjugale étant considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5), seule peut être invoquée à leur encontre la violation de droits constitutionnels.
2.1 Lorsque la décision attaquée comporte plusieurs motivations indépendantes et suffisantes pour sceller le sort d'une question litigieuse, le recourant doit, sous peine d'irrecevabilité, démontrer que chacune d'entre elles est contraire au droit (ATF 133 IV 119 consid. 6.3).
2.2 Lorsque le recourant se plaint d'arbitraire dans les constatations de fait (art. 9 Cst.), il doit, comme sous l'empire de l'art. 90 al. 1 let. b OJ, satisfaire au principe d'allégation: il doit démontrer par une argumentation précise en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'examine en effet un tel grief que s'il a été invoqué et motivé (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (ATF 133 III 585 consid. 4.1; 133 II 249 consid. 1.4.2). Ainsi, le recourant qui se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.) ne peut se contenter de critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où la juridiction supérieure jouit d'une libre cognition; en particulier, il ne saurait se limiter à opposer son opinion à celle de l'autorité cantonale, mais il doit démontrer par une argumentation précise que la décision en cause se fonde sur une appréciation des preuves manifestement insoutenable (cf. ATF 129 I 113 consid. 2.1 et les arrêts cités).
Selon la jurisprudence constante, les autorités cantonales jouissent d'une grande liberté en matière d'appréciation des preuves. Le Tribunal fédéral n'intervient que si leur appréciation est arbitraire, c'est-à-dire manifestement insoutenable ou en contradiction évidente avec la situation de fait, repose sur une inadvertance manifeste ou heurte de façon choquante le sentiment de la justice (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40 et les arrêts cités). Statuant sur recours contre une décision de mesures protectrices de l'union conjugale, le Tribunal fédéral fait preuve d'une retenue d'autant plus grande que, compte tenu du but assigné à cette procédure particulière, le juge n'examine la cause que de manière sommaire, se contentant de la preuve de la vraisemblance des faits (ATF 127 III 474 consid. 2b/bb p. 478 et les références).
Pour que la décision attaquée soit annulée, il faut qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (ATF 132 III 209 consid. 2.1 et les arrêts cités).
3. Le recourant invoque dans un même grief la violation de l'interdiction de l'arbitraire et la violation du droit d'être entendu, reprochant à la cour cantonale d'avoir refusé de procéder à l'audition de témoins pour déterminer le revenu accessoire de son épouse et de n'avoir pas tenu pour établi, sur la base de la pièce 15 (rapport du détective privé), que son épouse exerce une activité annexe, dont les revenus doivent être pris en considération. Il estime en outre qu'il n'est pas arbitraire de retenir un revenu hypothétique de son épouse au vu de son train de vie, évoquant à cet égard trois voyages de celle-ci au Sénégal et sa propriété de plusieurs immeubles dans ce pays. En l'empêchant de faire la preuve de ces faits par pièces, la Cour de justice aurait violé les art. 9 et 29 Cst. Selon le recourant, il ne serait pas arbitraire de tenir pour établi un gain accessoire de son épouse d'au minimum 2'000 fr. par mois.
La cour cantonale a retenu que l'épouse avait travaillé à 100% durant la vie commune, réalisant alors un salaire régulier de 3'946 fr. net par mois, ce jusqu'à fin octobre 2007, et que, licenciée récemment par l'entreprise familiale de son époux, elle touchait des indemnités mensuelles de chômage d'environ 3'021 fr. depuis novembre 2007. Selon la cour, il n'y avait pas lieu de procéder à une enquête par témoins pour déterminer si l'épouse exerçait une autre activité rémunérée supplémentaire, puisque le témoignage du détective privé engagé par l'époux n'aurait pas permis de chiffrer ces revenus éventuels et qu'il était donc peu utile, ce d'autant plus que la procédure était de type sommaire où les enquêtes par témoignage doivent rester exceptionnelles; qui plus était, tenir compte de revenus (prétendument) réalisés par une activité supplémentaire aurait signifié la pérennisation d'une situation défavorable tant à la santé de l'épouse qu'à sa disponibilité personnelle pour les enfants puisque, dès son placement sur le marché du travail, celle-ci aurait alors été obligée de travailler durablement à plus de 100%. Il n'y avait donc pas lieu d'ordonner des enquêtes, par témoin, ni de tenir compte de revenus hypothétiques plus élevés.
Ainsi, pour refuser de procéder à une audition de témoin (détective privé) destinée à déterminer les prétendus revenu accessoire et train de vie plus élevé de l'épouse, la cour s'est fondée sur une double motivation: elle a estimé, d'une part, que le témoignage du détective ne permettrait pas de chiffrer un éventuel revenu, d'autre part qu'il ne pouvait être exigé de l'épouse qu'elle travaille à plus de 100%. Dès lors que le recourant ne s'en prend pas également à cette seconde motivation, son grief est de toute façon irrecevable (cf. consid. 2.1 ci-dessus).
4. Le recourant soutient ensuite que la Cour de justice a fait preuve d'arbitraire en écartant certaines de ses charges et en ajoutant à son salaire une (éventuelle) prime de fin d'année. Il présente un budget personnel, dont sept postes ne correspondraient pas à la réalité, d'où un disponible à partager de 1'788 fr. (et non de 3'584 fr. 95).
4.1 S'agissant des revenus de l'époux, la cour cantonale a retenu un montant de 7'893 fr. net par mois, tout en relevant qu'elle le soupçonnait de percevoir un montant encore plus élevé, compte tenu de ses fonctions dans les sociétés familiales. Le recourant soutient que c'est un montant de 7'459 fr. 10 qui doit être retenu. Il reproche à la Cour de justice d'avoir divisé son salaire annuel net 2006 par 12, sans tenir compte du fait que, en l'état, on ne connaît pas la prime annuelle 2007 qui lui sera peut-être versée.
Dès lors qu'il se contente de se prévaloir de ce fait, sans établir ni même prétendre que la prime en question ne lui sera pas versée, ou qu'elle serait inférieure à celle de 2006, ou encore qu'elle n'aurait souvent pas été versée au cours des années précédentes, le recourant ne démontre pas en quoi l'estimation du salaire effectuée par la cour cantonale, sur la base des chiffres 2006, serait arbitraire. Son grief est donc irrecevable.
4.2 La cour cantonale a calculé les charges incompressibles de l'époux selon les normes d'insaisissabilité en vigueur à Genève en 2007, normes calquées sur les Lignes directrices pour le calcul du minimum d'existence en matière de poursuite selon l'art. 93 LP du 24 novembre 2000 (BlSchK 2001 p. 19 ss), et elle y a ajouté les impôts courants. Elle en a fait de même pour les charges de l'épouse. Elle a précisé que les arriérés d'impôts n'en faisaient pas partie. Elle a ensuite déduit ces charges des revenus des deux époux et a réparti l'excédent par moitié, dès lors que les époux se partageaient la garde des enfants. Cette méthode dite du minimum vital avec répartition de l'excédent, généralement appliquée par les tribunaux cantonaux pour déterminer les contributions d'entretien, est considérée comme non arbitraire et même comme conforme au droit fédéral, en cas de situation financière moyenne et tant que dure le mariage (art. 176 al. 1 ch. 1 et 137 al. 2 CC en relation avec l'art. 163 al. 1 CC), pour autant qu'elle n'ait pas pour effet de faire bénéficier l'intéressée d'un niveau de vie supérieur à celui mené par le couple durant la vie commune (arrêts 5P.253/2006 du 8 janvier 2007, consid. 3.2 et 5P.52/2005 du 10 mai 2005, consid. 2.3).
Il en découle qu'il n'était pas arbitraire de ne pas prendre en considération les postes d'assurance-maladie complémentaire pour les enfants, d'arriérés d'impôts concernant les années 2004 à 2006, et d'assurance-accident individuel et famille. Le montant réel des impôts courants (1'239 fr. 20) étant inférieur au montant retenu par la cour (1'300 fr.), le recourant n'a pas d'intérêt au recours sur ce point; il en va de même pour les frais de transport. Quant au montant de 1'100 fr., il correspond au montant de base mensuel applicable à chacun des époux séparé; le même montant a d'ailleurs été pris en considération pour l'épouse.
5. Le recourant s'en prend également à deux postes de charges de son épouse, ainsi qu'au revenu de celle-ci.
5.1 Il soutient avoir démontré, en produisant une simulation de taxation de l'épouse, que celle-ci devrait payer 136 fr. 70 par mois au titre des impôts cantonaux, communaux et fédéraux, et non 600 fr. comme retenu par la cour cantonale.
Dans la partie en droit de son arrêt, la cour cantonale a effectivement pris en compte le montant de 600 fr. par mois (arrêt p. 11, 4e par.) après avoir exposé, en fait, que l'épouse avait déclaré s'attendre "à devoir payer des impôts courants de 600 fr. par mois, ce que son époux admet" (p. 6, 6e par.). Dès lors que le recourant ne démontre pas que c'est arbitrairement que la cour cantonale a retenu un aveu de sa part sur cet allégué de l'épouse, son grief ne peut qu'être rejeté.
Quant au montant de base de 1'100 fr., non seulement le recourant ne motive pas sa critique -, ce qui la rend irrecevable -, mais ce montant est conforme aux Lignes directrices pour le calcul du minimum d'existence lorsqu'elles sont appliquées au cas d'époux séparés.
5.2 La cour cantonale a tenu compte d'un revenu de l'épouse de 3'946 fr. jusqu'à fin octobre 2007, fixant une contribution d'entretien de la famille de 1'350 fr. pour cette période, et d'indemnités de chômage de 3'021 fr. dès novembre 2007, arrêtant la contribution à 1'800 fr. dès cette date.
Le recourant lui reproche d'être partie du principe que les revenus de l'épouse resteraient figés au montant de 3'021 fr. et, ce faisant, d'avoir fait preuve d'arbitraire puisqu'il serait établi que l'épouse a toujours travaillé à 100%. Il n'aurait pas à supporter le choix fait par celle-ci de ne pas rechercher activement un nouvel emploi et de profiter du système de chômage pour suivre une formation. Son épouse aurait les compétences requises pour assumer un poste lui permettant d'avoir une activité identique à celle exercée précédemment et lui procurant un revenu au moins équivalent.
L'épouse ayant perdu son emploi auprès de l'entreprise familiale de son époux et étant actuellement au chômage, il n'est pas arbitraire de se baser sur ses indemnités de chômage pour arrêter son revenu.
6. Le recourant reproche encore à la cour cantonale d'avoir erré en incluant dans le minimum vital des enfants le coût de l'assurance-maladie qu'il prend lui-même en charge.
La cour cantonale a correctement calculé le minimum vital des enfants, en y incluant leurs cotisations d'assurance-maladie (2 x 86 fr. 50 = 173 fr.), qu'elle a ensuite déduites comme charges, pour arrêter l'excédent disponible des époux à 3'314 fr. jusqu'à fin octobre 2007, et à 2'389 fr. depuis lors, excédent qu'elle a réparti par moitié, pour fixer ensuite la contribution à l'entretien de la famille à 1'519 fr., respectivement à 1'982 fr. Tenant compte de la volonté du père de payer directement lui-même les cotisations d'assurance-maladie des enfants, la cour cantonale les a donc entièrement déduites de la contribution, d'où la condamnation de celui-ci à payer finalement 1'350 fr. (montant arrondi) jusqu'en octobre 2007, respectivement 1'800 fr. (montant arrondi) ensuite.
Le grief du recourant - incompréhensible dans sa formulation - est donc infondé.
7. La cour cantonale a fixé le point de départ du paiement de la contribution de 1'350 fr. au mois de février 2007, quand bien même les frais de ménages séparés avaient été moins importants jusqu'en mai 2007 du fait que l'époux habitait chez ses parents. Elle a considéré que l'excédent plus élevé durant ces trois mois devait profiter aussi à l'épouse et que celle-ci avait dû assumer des frais de déménagement et acheter de nombreux objets pour monter un deuxième ménage pour elle-même et les enfants. Il se justifiait donc de négliger l'économie temporaire réalisée par la famille du fait que l'époux vivait provisoirement et gratuitement chez ses parents, laissant le logement conjugal à son épouse.
Certes, l'épouse n'a pas payé le loyer de 1'311 fr. pendant ces trois mois. Le recourant ne conteste toutefois pas le montant de 13'000 fr. qu'elle a dû emprunter pour couvrir ses frais de déménagement et d'installation. Au vu de ce chiffre, la décision de faire bénéficier l'épouse de la moitié des 1'311 fr. en plus pendant trois mois ne peut pas être qualifiée d'arbitraire, contrairement à ce que soutient le recourant.
Selon ce dernier, l'épouse aurait en outre bénéficié d'un avantage durant la période de mars 2006 à fin janvier 2007. Cet avantage n'étant pas l'objet de la présente procédure, le grief y relatif - au demeurant incompréhensible - est irrecevable.
8. En ce qui concerne les allocations familiales, le recourant conclut à ce qu'elles soient dues à l'épouse dès le 1er mai 2007.
8.1 La cour cantonale a considéré que l'épouse avait eu de nombreux frais de déménagement et de création d'un deuxième foyer familial en mai 2007, frais qu'elle avait assumés seule au moyen d'un emprunt bancaire de presque 13'000 fr., alors qu'ils concernaient aussi en partie les enfants. La cour a donc estimé justifié que l'épouse touche, dès février 2007 déjà, les allocations familiales de 200 fr. par enfant et par mois, ou les montants encaissés à ce titre par l'époux. Partant, elle a donné acte à ce dernier de son engagement de faire verser à son épouse les allocations dès le mois de mai 2007, l'y condamnant en tant que de besoin, et l'a en outre astreint à lui verser les allocations qu'il avait perçues de février à avril 2007, soit 1'200 fr. (3 x 2 x 200 fr.).
8.2 Le recourant conteste que les allocations familiales soient versées à son épouse pour ces trois mois (février-avril 2007); il consent en revanche et conclut même à ce qu'elles le soient à partir du mois de mai 2007. Il ressort toutefois de ses calculs qu'il voudrait que les allocations familiales soient considérées comme un revenu supplémentaire de l'épouse, puisque celle-ci ne supporte l'entretien des enfants qu'une semaine sur deux; selon son calcul, il ne devrait verser aucune contribution pour l'entretien de sa famille.
Ce faisant, le recourant - qui ne conteste pas le montant de 13'000 fr. qu'a dû emprunter son épouse - ne s'en prend pas à la motivation de la cour cantonale et ne démontre pas en quoi le résultat serait arbitraire. Même si la garde partagée des enfants aurait pu conduire en soi à un partage des allocations familiales, force est de constater que le recourant a conclu à ce qu'elles soient attribuées à l'épouse et que le résultat auquel est arrivée l'autorité cantonale, vu les frais de 13'000 fr. assumés par l'épouse, n'aboutit pas à un partage arbitraire des ressources pour une période relativement longue.
9. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les frais de la procédure doivent par conséquent être mis à la charge du recourant (art. 66 al.1 LTF). Cela étant, la demande d'assistance judiciaire de l'intimée est devenue sans objet. Le dispositif communiqué aux parties le 6 mars 2008 étant manifestement erroné en tant qu'il prévoit le rejet de la demande d'assistance judiciaire du recourant, alors que celui-ci n'a pas formé une telle demande, et omet de statuer sur celle qui a été présentée par l'intimée, doit être rectifié d'office en vertu de l'art. 129 al. 1 LTF.
La requête d'effet suspensif, à laquelle l'intimée s'était opposée ayant été partiellement admise, et l'intimée n'ayant pas été invitée à répondre sur le fond, il ne lui est pas alloué de dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est devenue sans objet.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 5 mars et 15 mai 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Raselli Fellay