Faits:
A. Employée de la société A._ Sàrl, Z._, domiciliée à ... (VD), était au bénéfice d'un contrat d'assurance maladie collective conclu en 2002 par son employeur avec W._ SA, contrat qui a été ensuite repris, à la suite d'une fusion, par X._ SA. Ce contrat prévoyait notamment le versement d'une indemnité journalière en cas de maladie correspondant à 90% du salaire pendant une durée maximale de 700 jours à compter après un délai d'attente de 30 jours.
Par une déclaration du 8 septembre 2005, l'employeur a annoncé à l'assureur que Z._ se trouvait en état d'incapacité de travail dès le 18 juillet 2005.
Sur demande de l'assureur, le médecin traitant de l'assurée a expliqué que celle-ci souffrait de lombalgies chroniques et d'un état dépressif. A la suite d'un examen par un neuro-chirurgien, il a été établi que les problèmes lombaires n'avaient pas d'influence sur la capacité de travail de l'employée, laquelle souffrait d'un "burn-out". Un spécialiste en médecine interne mandaté par l'assureur a constaté que la capacité de travail de l'assurée n'était pas affectée par des troubles somatiques, mais par des problèmes psychiques; ce praticien a ajouté : "à partir du début du mois de juin 2006, la question d'une reprise professionnelle pleine et entière dans le cadre du chômage devra être posée". Un spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, également commis par l'assureur, a estimé "qu'avec l'évolution normale des choses, en étant encore ménageant, la reprise de travail est possible à 100% au 1er août 2006".
Se fondant sur ce dernier avis, l'assureur, qui a payé les indemnités journalières du 17 août 2005 jusqu'au 31 juillet 2006, a cessé ses versements après cette date.
L'assurée a contesté l'arrêt des versements dès le 1er août 2006.
Le médecin traitant de l'assurée a exprimé son désaccord avec l'opinion du psychiatre mandaté par l'assureur, estimant que Z._ était toujours en état d'incapacité de travail. Un médecin-psychiatre, traitant l'assurée, a également émis une opinion divergente de celle du psychiatre mandaté par l'assureur. L'assurée a chargé un autre médecin-psychiatre d'établir une expertise privée et ce praticien a conclu à une incapacité de travail totale du 18 juillet 2005 au 1er mars 2007.
Après la cessation des versements par l'assureur, Z._ s'est adressée au Centre social régional de l'Est vaudois et a obtenu, à titre d'avance, la somme de 16'001 fr.95, moyennant cession, à concurrence de cette somme, de ses droits à l'encontre de l'assureur.
Z._ n'a pas demandé de prestations de l'assurance invalidité ou d'une institution de prévoyance professionnelle.
B. Le 21 décembre 2007, Z._ a déposé auprès du Tribunal des assurances du canton de Vaud une demande en paiement dirigée contre X._ SA, concluant à ce que cette dernière soit condamnée à lui payer la somme (après rectification d'une erreur) de 54'240 fr.20 avec intérêts à 5% dès le 1er novembre 2006, correspondant aux indemnités journalières dues pour la période du 1er août 2006 au 28 février 2007. En cours de procédure, elle a formé une demande additionnelle portant sur la somme de 61'536 fr.25, augmentée ensuite à 74'633 fr.70, avec intérêts à 5% dès le 3 octobre 2007.
L'assureur a conclu au rejet de la demande en totalité.
Par jugement du 21 décembre 2011, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal (à laquelle la cause a été transmise) a accueilli la demande concernant les indemnités journalières, mais rejeté celle concernant le dommage additionnel; partant, elle a condamné X._ SA à payer à Z._ la somme de 54'240 fr.20 avec intérêts à 5% dès le 1er novembre 2006.
X._ SA a appelé de ce jugement, concluant principalement au rejet de la demande dirigée conte elle. Z._, concluant au rejet de l'appel principal, a formé un appel joint en reprenant ses conclusions pour le dommage additionnel.
Statuant par arrêt du 2 août 2012, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a également admis la demande pour les indemnités journalières et rejeté celle concernant le dommage additionnel. Toutefois, à la différence du juge de première instance, elle a déduit, sur le montant dû à Z._, la somme de 16'001 fr.95, valeur au 15 novembre 2006, qu'elle a reçue du Centre social régional de l'Est vaudois.
C. X._ SA exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant une violation des art. 18 et 156 CO, elle reproche exclusivement à la cour cantonale de ne pas avoir déduit de la somme due un montant de 17'320 fr. que l'assurée aurait pu - selon la recourante - obtenir de l'assurance-invalidité. Elle conclut à ce qu'elle soit condamnée à payer la somme de 36'920 fr .20 (54'240,20 sous déduction de 17'320) avec intérêts à 5% dès le 1er novembre 2006 sous déduction de 16'001 fr.95 valeur au 15 novembre 2006. Sa requête d'effet suspensif a été rejetée par ordonnance présidentielle du 18 octobre 2012.
L'intimée propose l'irrecevabilité, subsidiairement le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 L'arrêt attaqué n'a pas été rendu en instance cantonale unique, de sorte que le recours en matière civile n'est pas dispensé de l'exigence d'une valeur litigieuse minimale (ATF 138 III 2 consid. 1.2.2 p. 5). S'agissant d'un recours dirigé contre une décision finale, la valeur litigieuse est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF). Les divers chefs de conclusions formés dans une affaire pécuniaire par la même partie sont additionnés, à moins qu'ils ne s'excluent (art. 52 LTF). Les intérêts, les frais judiciaires et les dépens réclamés à titre accessoire n'entrent pas en ligne de compte (art. 51 al. 3 LTF). En l'espèce, l'intimée demandait devant la cour cantonale le paiement de 54'240 fr.20 à titre d'indemnités journalières et le paiement de 74'633 fr.70 à titre de dommage additionnel. La recourante s'opposait à ces deux conclusions en totalité. Il n'est donc pas douteux - contrairement à ce que soutient l'intimée - que la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. requis par l'art. 74 al. 1 let. b LTF.
Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions libératoires et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF) et dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF; ATF 133 III 439 consid. 2.1 p. 441s.) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art.100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut donc être formé, comme c'est le cas en l'espèce, pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF).
Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 138 II 331 consid. 1.3 p. 336; 137 II 313 consid. 4 p. 317 s.). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 137 III 580 consid. 1.3 p. 584; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5. 1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). La partie qui entend se plaindre d'arbitraire dans l'appréciation des preuves doit présenter une motivation qui réponde aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, la recourante présente son propre état de fait, mais sans invoquer l'arbitraire dans l'appréciation des preuves, ni tenter d'en démontrer l'existence. On ne voit d'ailleurs pas que l'état de fait contenu dans l'arrêt cantonal ait été établi de façon manifestement inexacte (art. 105 al. 2 LTF), de sorte que le raisonnement juridique doit être mené exclusivement sur cette base.
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF). Une partie peut toutefois réduire ses prétentions devant le Tribunal fédéral (ATF 136 V 362 consid. 3.4.2 p. 365).
In casu, il résulte clairement des conclusions prises par la recourante qu'elle ne conteste plus devant le Tribunal fédéral son obligation portant sur la somme de 54'240 fr.20 à titre d'indemnités journalières pour la période du 1er août 2006 au 28 février 2007. Cette question ne fait donc plus l'objet du litige soumis au Tribunal fédéral.
A des fins de clarification, il faut aussi observer que l'intimée n'a pas recouru au Tribunal fédéral, de sorte que sa prétention portant sur la somme de 74'633 fr.70 à titre de dommage additionnel a été définitivement rejetée par la cour cantonale. Pour la même raison, l'imputation de la somme de 16'001 fr.95 reçue du Centre social régional n'est plus en cause.
2. 2.1 La recourante reproche exclusivement à la cour cantonale de ne pas avoir déduit de la somme qu'elle doit à l'intimée le montant de 17'320 fr. que celle-ci aurait pu - selon la recourante - obtenir de l'assurance-invalidité.
Il n'est cependant pas contesté que l'intimée n'a rien reçu de l'assurance-invalidité. L'argument repose sur l'idée qu'elle aurait pu obtenir cette somme.
La recourante ne revient pas sur la jurisprudence du Tribunal fédéral selon laquelle la renonciation à une indemnisation possible n'est pas un problème de violation de l'obligation de diminuer le dommage selon l'art. 61 al. 1 LCA, mais éventuellement un problème de surindemnisation en relation avec la réparation d'un seul et même dommage (cf. ATF 133 III 527 consid. 3.2.2 et 3.2.3 p. 532, ainsi que consid. 3.2.5 p. 533). Il n'y a donc pas lieu d'y revenir.
3. La recourante soutient que l'art. 23f des conditions générales incorporées au contrat lui permet de réduire ses prestations du montant des rentes que l'assurée aurait pu obtenir de l'assurance-invalidité. Elle fait valoir que la cour cantonale aurait violé l'art. 18 CO en interprétant mal cette clause contractuelle.
Les conditions générales d'assurance qui ont été expressément incorporées au contrat doivent être interprétées selon les mêmes principes juridiques que les autres dispositions contractuelles (ATF 135 III 1 consid. 2 p.6; 133 III 675 consid. 3.3 p. 681).
En présence d'un litige sur l'interprétation d'une clause contractuelle, le juge doit tout d'abord s'efforcer de déterminer la commune et réelle intention des parties, sans s'arrêter aux expressions ou dénominations inexactes dont elles ont pu se servir, soit par erreur, soit pour déguiser la nature véritable de la convention (art. 18 al. 1 CO); s'il y parvient, il s'agit d'une constatation de fait qui lie en principe le Tribunal fédéral conformément à l'art. 105 LTF. Si la volonté réelle des parties ne peut pas être établie ou si leur volonté intime diverge, le juge doit interpréter les déclarations faites et les comportements selon la théorie de la confiance; il doit donc rechercher comment une déclaration ou une attitude pouvait être comprise de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances. Le principe de la confiance permet d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même s'il ne correspond pas à sa volonté intime. L'application du principe de la confiance est une question de droit que le Tribunal fédéral peut examiner librement (art. 106 al. 1 LTF); cependant, pour trancher cette question, il doit se fonder sur le contenu de la manifestation de volonté et sur les circonstances, dont la constatation relève du fait (ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 412 s.).
Lorsque l'assureur, au moment de conclure, présente des conditions générales, il manifeste la volonté de s'engager selon les termes de ces conditions; si une volonté réelle concordante n'a pas été constatée, il faut donc se demander comment le destinataire de cette manifestation de volonté pouvait la comprendre de bonne foi. Cela conduit à une interprétation objective des termes contenus dans les conditions générales, même si elle ne correspond pas à la volonté intime de l'assureur. Dans le domaine particulier du contrat d'assurance, l'art. 33 LCA précise d'ailleurs que l'assureur répond de tous les événements qui présentent le caractère du risque contre les conséquences duquel l'assurance a été conclue, à moins que le contrat n'exclue certains événements d'une manière précise, non équivoque; si l'assureur entendait apporter des restrictions ou des exceptions, il lui incombait de le dire clairement. Conformément au principe de la confiance, c'est à l'assureur qu'il incombe de délimiter la portée de l'engagement qu'il entend prendre et le preneur n'a pas à supposer des restrictions qui ne lui ont pas été clairement présentées (ATF 133 III 675 consid. 3.3 p.682; sous une forme résumée: ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 413). La validité d'une clause contenue dans des conditions générales est de surcroît limitée par la règle de la clause insolite (ATF 135 III 1 consid. 2.1 p. 7).
Les constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - ne permettent pas d'établir que les parties auraient négocié ou discuté le contenu de l'art. 23f des conditions générales. Aucun élément dans l'état de fait déterminant ne conduit à dégager une volonté réelle de l'une ou l'autre des parties quant au contenu de cette disposition. Il faut donc procéder à une interprétation objective selon la théorie de la confiance.
Dans sa partie décisive, l'art. 23f a la teneur suivante: "Si l'assuré a également droit à des prestations d'assurances fédérales ou d'assurances d'entreprise, ou qu'un tiers responsable l'a indemnisé, W._ complète ces prestations jusqu'à concurrence du montant de l'indemnité journalière assurée de l'assuré (§ 1)"; "Si W._ paie une indemnité journalière de couverture de la perte de gain à la place d'un tiers responsable, elle est subrogée, pour la part de ses prestations, dans les droits de l'assuré ou de l'ayant droit (§ 2)".
On déduit de cette clause que l'assureur peut réduire sa prestation en fonction de l'indemnisation ou d'une autre prestation reçue d'un tiers et que, s'il paie en premier, il est subrogé, à concurrence du montant de sa prestation, dans les droits de l'assuré contre le tiers. Cette clause correspond plus ou moins à celle déjà examinée dans la jurisprudence (ATF 133 III 527 consid. 3.3.2 et 3.3.3 p. 534). Quant à la formule "a droit", qui s'attache notamment aux assurances sociales, elle implique, si ce n'est que la prestation soit effectivement versée, au moins que le droit soit reconnu par l'organe compétent. On ne peut pas tirer de cette expression que l'assuré devrait solliciter toutes les prestations qu'il pourrait peut-être obtenir et encore moins que l'assureur pourrait, sans qu'aucune démarche n'ait été faite auprès de l'assurance sociale, déduire le montant de prestations dont on ne sait pas en définitive, sur la base des faits établis, si elles auraient ou non été accordées à l'époque. En concluant que cette clause ne permettait pas à l'assureur de déduire de ses prestations une rente hypothétique de l'assurance- invalidité qui n'a en réalité pas été touchée, la cour cantonale a procédé à une interprétation objective qui ne viole pas les règles du droit fédéral sur l'interprétation des manifestations de volonté.
3.1 Subsidiairement, la recourante soutient que l'autorité cantonale a violé l'art. 156 CO, parce que l'intimée, en ne sollicitant pas une rente de l'assurance-invalidité, aurait empêché au mépris des règles de la bonne foi l'avènement de la condition qui aurait permis à l'assureur, en vertu de l'art. 23f des conditions générales, de réduire ses prestations.
Cette argumentation juridique est directement reprise de l'arrêt déjà cité, où un assuré, sommé par l'assureur de solliciter une rente de l'assurance-invalidité, s'y était refusé sans raison sérieuse, probablement pour nuire à l'assureur (ATF 133 III 527 consid. 3.3.3 p. 535).
Selon l'art 156 CO, une condition est réputée accomplie quand l'une des parties en a empêché l'avènement au mépris des règles de la bonne foi. L'art 156 CO crée une fiction qui concrétise l'art. 2 CC et représente un cas d'application de l'adage "nemo auditur propriam turpitudinem allegans" (arrêt C.254/1987 du 16 novembre 1987 consid. 2a, in SJ 1988 p. 158). Pour que cette disposition soit applicable, il n'est pas nécessaire que l'auteur ait agi intentionnellement; il suffit qu'il ait contrevenu aux règles de la bonne foi (ATF 113 II 31 consid. 2b p. 36; 109 II 20 consid. 2b p. 21 ss). Pour dire si le cocontractant a agi au mépris des règles de la bonne foi, il faut examiner l'ensemble des circonstances, notamment ses motifs et les buts poursuivis. Il faut garder à l'esprit que le contractant n'a pas l'obligation de favoriser l'avènement de la condition et de sacrifier ses propres intérêts à cette fin; l'art 156 CO n'est applicable que lorsque le comportement adopté revêt un caractère déloyal (arrêt C.254/1987 du 16 novembre 1987 déjà cité, ibidem).
En l'espèce, il ne ressort pas des constatations cantonales que l'assureur - à la différence du cas de jurisprudence invoqué (ATF 133 III 527) - aurait sommé l'intimée de solliciter une rente de l'assurance- invalidité. Personne d'autre ne lui a adressé une telle sommation. Il n'est même pas établi qu'elle ait su qu'elle avait droit, de façon certaine, à une telle rente. Selon l'état de fait déterminant, la question n'a été discutée qu'avec son médecin traitant, qui a déclaré, dans son rapport du 16 avril 2010, ce qui suit:
"Nous avons abordé ce sujet à plusieurs reprises et elle en a parlé à l'assistante sociale du Centre Social Patronal (sic) à .... Finalement, les démarches n'ont pas été faites, en espérant à une évolution favorable, vu le jeune âge de la patiente. Sur le plan somatique, nous n'avions pas d'argument pour une telle démarche. A noter que la cinquième révision de l'AI avec ses directives de détection précoce n'est entrée en vigueur que le 1er janvier 2008".
On peut certes penser que le médecin a voulu éviter à sa patiente une démarche démoralisante ou qu'il n'a pas voulu lui donner l'impression que lui-même n'espérait plus une guérison rapide. La question pertinente n'est cependant pas de savoir ce que pensait le médecin, mais ce que la patiente pouvait comprendre. L'invalidité suppose une situation présumée permanente ou de longue durée (art. 8 al. 1 LPGA; art. 4 al. 1 LAI). Il résulte de plusieurs avis médicaux reproduits dans l'arrêt attaqué (p. 7, 8, 12 et 23) que les médecins espéraient, vu le jeune âge de l'intimée, qu'elle récupère sa capacité de travail dans un avenir plus ou moins proche. Il n'est pas établi que l'intimée ait eu une vision différente de sa situation. On ne peut donc pas dire qu'elle devait savoir qu'elle avait droit à une rente de l'assurance-invalidité. On ne saurait dire qu'elle a agi de façon déloyale en s'abstenant de toute demande dans ces circonstances.
La cour cantonale n'a nullement violé le droit fédéral en refusant de faire application de l'art. 156 CO.
Le recours doit être rejeté.
4. Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 23 janvier 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet