Faits:
A. Par décision incidente du 19 septembre 2008, le Tribunal arbitral des assurances de la République et canton de Genève a déclaré recevables la demande formée le 2 juillet 2007 par Santésuisse au nom et pour le compte de trente caisses-maladie et les conclusions formées sur incident le 18 février 2008 par le défendeur P._ et, statuant sur incident, a débouté celui-ci de toutes ses conclusions sur incident (ch. 1 du dispositif de la décision attaquée), l'a condamné à payer aux demanderesses une indemnité de 1'000 fr. à titre de participation à leurs frais et dépens (ch. 2 du dispositif de la décision attaquée) et à s'acquitter des frais du Tribunal, soit 1'485 fr., ainsi que d'un émolument de 300 fr. (ch. 3 du dispositif de la décision attaquée), et a réservé le fond (ch. 4 du dispositif de la décision attaquée).
B. P._ interjette un recours en matière de droit public contre cette décision, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celle-ci, le Tribunal fédéral étant invité à dire et constater que sont nulles, non avenues et sans effet la notification de l'assignation du 2 juillet 2007, la notification des citations à comparaître, notamment des 12 juillet 2007 et 24 août 2007, la notification des ordonnances notamment des 4 octobre 2007 et 6 décembre 2007 et la notification des procès-verbaux d'audience notamment des 24 août 2007 et 3 octobre (2007). A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause au Tribunal arbitral des assurances pour qu'il rende une nouvelle décision dans le sens des considérants du Tribunal fédéral.
Considérant en droit:
1. La décision attaquée est une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Le recours contre une telle décision n'est recevable que si elle peut causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF). Si le recours n'est pas recevable au regard de ces conditions ou s'il n'a pas été utilisé, la décision incidente peut être attaquée par un recours contre la décision finale dans la mesure où elle influe sur le contenu de celle-ci (art. 93 al. 3 LTF).
1.1 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF est un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (ATF 133 V 645 consid. 2.1 p. 647 et les références). En revanche, un dommage de pur fait, tel que la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme irréparable. Il appartient au recourant d'alléguer et d'établir la possibilité que la décision incidente lui cause un préjudice irréparable, à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (ATF 133 III 629 consid. 2.3.1 p. 632 et les arrêts cités).
1.2 L'ouverture du recours, prévue pour des motifs d'économie de procédure (art. 93 al. 1 let. b LTF), contre une décision incidente constitue une exception et doit être interprétée de manière restrictive, d'autant plus que les parties ne subissent aucun préjudice lorsqu'elles n'attaquent pas immédiatement de telles décisions, qu'elles peuvent contester en même temps que la décision finale (art. 93 al. 3 LTF). Le Tribunal fédéral examine librement le point de savoir si l'admission du recours permettrait d'éviter une procédure d'administration des preuves longue et coûteuse.
2. Le Tribunal arbitral des assurances a débouté le recourant de toutes ses conclusions sur incident et réservé le fond (ch. 1 et 4 du dispositif de la décision incidente).
2.1 La simple violation alléguée du droit international public ne suffit pas à établir un préjudice irréparable.
Qu'il s'agisse de l'assignation, des citations à comparaître et de tous les actes de la procédure suivie jusqu'au dépôt du mémoire incident du 18 février 2008, le recourant ne fait que reprendre ses conclusions sur incident. A l'instar d'une décision d'organisation de la procédure (YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, Berne 2008, n. 3346 ad art. 92 et 93 et les arrêts cités sous note n° 8148), la décision incidente du 19 septembre 2008, dans la mesure où elle l'a débouté de toutes ses conclusions sur incident et réservé le fond, n'entraîne pas de préjudice irréparable.
Le caractère prétendument diffamatoire de la lettre du docteur C._ du 26 novembre 2007 adressée au Tribunal arbitral des assurances et la prétendue atteinte grave à la réputation et à l'honneur professionnels que le recourant déclare avoir subie à la suite de la publication dans la FAO à laquelle a procédé le Tribunal arbitral n'est pas un dommage de nature juridique pouvant être causé par la décision incidente du 19 septembre 2008.
2.2 En ce qui concerne la deuxième éventualité prévue à l'art. 93 al. 1 let. b LTF, il y a lieu d'examiner si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale, première des deux conditions - cumulatives - requises par cette disposition légale. Celle-ci est réalisée si le Tribunal fédéral peut mettre fin une fois pour toutes à la procédure en jugeant différemment la question tranchée dans la décision incidente (ATF 133 III 629 consid. 2.4.1 p. 633 et l'arrêt cité). Cette première condition n'est manifestement pas réalisée en l'espèce, l'admission du recours ne pouvant conduire immédiatement à une décision finale. Peut ainsi demeurer indécise la seconde condition, soit la question de savoir si une décision finale immédiate permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse.
2.3 Il résulte de ce qui précède que les conclusions du recourant visant à annuler les ch. 1 et 4 de la décision incidente sont irrecevables.
3. Les conclusions du recourant visent également à annuler les ch. 2 et 3 du dispositif de la décision attaquée, relatifs aux frais et dépens de la procédure sur incident.
3.1 La condition du dommage irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF; supra, consid. 1.1) doit être niée. En effet, le Tribunal fédéral ne peut pas se prononcer sur la répartition des frais sans examiner à titre préjudiciel le bien-fondé du ch. 1 du dispositif de la décision attaquée déboutant le recourant de toutes ses conclusions sur incident, ce qui n'est pas admissible (ATF 133 V 645 consid. 2.1 p. 647 et les arrêts cités).
Quant à la deuxième éventualité (art. 93 al. 1 let. b LTF; supra, consid. 1.2), elle n'entre pas en ligne de compte, puisqu'un arrêt du Tribunal fédéral sur la répartition des frais dans la procédure sur incident ne conduirait pas à une décision finale sur le fond.
3.2 Il s'ensuit que les conclusions du recourant tendant à l'annulation des ch. 2 et 3 du dispositif de la décision incidente relatifs aux frais et dépens de la procédure sur incident sont également irrecevables. La décision du Tribunal arbitral des assurances sur la fixation et la répartition des frais et dépens de la procédure sur incident pourra être attaquée par un recours dirigé contre la décision finale (art. 93 al. 3 LTF).
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Le dépôt du recours n'a pas occasionné de frais aux caisses-maladie intimées, toutes représentées par Santésuisse, car elles n'ont pas été invitées à répondre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal arbitral des assurances de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 9 décembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner