Sachverhalt:
A. X._ und A._ sind die unverheirateten Eltern von B._. Das Kind kam am 6. Februar 2000 zur Welt. Im Mai desselben Jahres vereinbarten die Eltern, die elterliche Sorge gemeinsam auszuüben. Im Juli 2008 trennten sie sich und begannen, über ihren Sohn zu streiten. Schliesslich wurde B._ im Januar 2010 befristet im Schulheim C._ in D._ untergebracht. Die Auseinandersetzungen der Eltern wurden vor den Behörden und Gerichten des Kantons Bern ausgetragen. Sie dauern bis heute an.
B. Gestützt auf ein Sorgerechtsgutachten des kinder- und jugendpsychiatrischen Dienstes E._ teilte das Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland mit Verfügung vom 17. Mai 2010 dem Vater die alleinige elterliche Sorge und Obhut über B._ zu. Die von der Mutter hiergegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Bern am 27. Juli 2010 ab. Die Konflikte zwischen den Eltern hielten an. Am 10. November 2010 beschloss die Sozial- und Vormundschaftsbehörde Z._ ("Vormundschaftsbehörde"), die Beistandschaft über B._ zu übernehmen und zu erweitern. Sie ermahnte die Eltern und erteilte ihnen Weisungen nach Art. 307 ZGB. Erfolglos wehrte sich X._ gegen diesen Entscheid. Das Regierungsstatthalteramt Emmental wies ihre Beschwerde am 16. März 2011 ab, ebenso ihre Begehren, B._ erneut im Schulheim C._ in D._ zu platzieren und über ihn sowie über die Erziehungsfähigkeit des Vaters und dessen Partnerin ein Gutachten zu erstellen.
C. Im Sommer 2011 thematisierte X._ die Sorgerechtsfrage erneut. Gestützt auf einen Zwischenbericht der Beiständin vom 23. September 2011 verfügte die Vormundschaftsbehörde Z._ - zunächst provisorisch und nach Anhörung von X._ definitiv - unter anderem die Sistierung des persönlichen Verkehrs zwischen B._ und seiner Mutter für mindestens neun Monate (Beschlüsse vom 28. September und 6. Oktober 2011).
D. Auf Beschwerde der Mutter hin bestätigte das Regierungsstatthalteramt Emmental die Sistierung des persönlichen Verkehrs, bis die Mutter glaubhaft zeige, "dass sie ihre Rolle als Mutter verlässlich wahrnimmt und in der Lage ist, auf die Bedürfnisse von B._ einzugehen sowie den anderen Elternteil unterstützt." Regelmässige Kontakte in einem geschützten Rahmen, wie etwa überwachte Telefongespräche oder kürzere begleitete Besuche, würden jedoch weiterhin möglich bleiben. Das Regierungsstatthalteramt ordnete an, die Sistierung des persönlichen Verkehrs spätestens nach neun Monaten zu überprüfen und die Situation neu zu beurteilen. Überdies wies es die Mutter nach Art. 307 ZGB an, alles zu unterlassen, was das Verhältnis von B._ zu seinem Vater trübt (Entscheid vom 7. März 2012).
E. In ihrer Beschwerde an das Obergericht vom 19. März 2012 verlangte X._ neben der Aufhebung der Besuchsrechtssistierung die Anordnung einer psychologischen Therapie für B._ sowie dessen ärztliche Abklärung bzw. Begutachtung, weiter ein zeitlich festgelegtes Besuchs- und Kontaktrecht und die Begutachtung der Erziehungs- und Betreuungsfähigkeit von A._. Ihr in einer weiteren Eingabe gestelltes Begehren, das Besuchs- und Kontaktrecht sofort anzuordnen und die Sistierung des Besuchsrechts im Sinne einer superprovisorischen Massnahme aufzuheben, wies der Instruktionsrichter des Obergerichts mit Verfügung vom 5. April 2012 ab. Im Rahmen des Schriftenwechsels verlangte die Vormundschaftsbehörde, das persönliche Kontaktrecht weitergehend zu beschränken. Auf diese Rechtsbegehren trat das Obergericht nicht ein; im Übrigen wies es die Beschwerde von X._ ab (Entscheid vom 21. Juni 2012).
F. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. Juli 2012 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie verlangt, den Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern vom 21. Juni 2012 aufzuheben und ihr und ihrem Sohn "wieder ein normales Kontakt- und Besuchsrecht zu ermöglichen". Mit Eingabe vom 25. Juli 2012 stellt sie überdies ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1 S. 216; 134 III 115 E. 1 S. 117, je mit Hinweisen).
1.2 Die fristgerecht (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 BGG), der die Sistierung des persönlichen Verkehrs zwischen der nicht obhutsberechtigten Mutter und ihrem Kind zum Gegenstand hat. Dabei handelt es sich um eine vormundschaftliche Massnahme, also um einen öffentlich-rechtlichen Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6). Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig. Von vornherein nicht einzutreten ist jedoch auf die Kritik, welche die Beschwerdeführerin unmittelbar an den Entscheiden der Vormundschaftsbehörde und des Regierungsstatthalters übt, denn Anfechtungsobjekt vor Bundesgericht kann einzig der obergerichtliche Entscheid sein (Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.3 Der angefochtene Entscheid betrifft eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 98 BGG. Von dieser Vorschrift sind auch Massnahmen erfasst, die zwar losgelöst von einem Hauptverfahren angeordnet werden, in zeitlicher Hinsicht jedoch einen bloss vorübergehenden Charakter aufweisen, ein Rechtsverhältnis also lediglich vorläufig regeln (Urteil 4A_640/2009 vom 2. März 2010 E. 3, nicht publ. in: BGE 136 III 178). Dies trifft hier zu. Das Obergericht schützt einen Entscheid des Regierungsstatthalters, der den persönlichen Verkehr zwischen der Beschwerdeführerin und ihrem Sohn B._ für die Dauer von höchstens neun Monaten sistiert (s. Sachverhalt Bst. D), mithin provisorischer Natur ist. Gemäss der in Art. 98 BGG enthaltenen Vorschrift kann mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (vgl. BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588). Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip. Das bedeutet, dass die rechtssuchende Partei präzise angeben muss, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darzulegen hat, worin die Verletzung besteht (BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.).
2. Soweit die Beschwerde den geschilderten Begründungsanforderungen überhaupt genügt, vermag die Beschwerdeführerin jedenfalls nicht darzutun, dass der angefochtene Entscheid sie in ihren verfassungsmässigen Rechten verletzen würde.
2.1 So beruft sich die Beschwerdeführerin unter Hinweis auf den Protokollauszug der Vormundschaftsbehörde vom 28. September 2011 darauf, dass die Beiständin eine gänzliche Sistierung des Besuchsrecht nie gewollt, sondern die Vormundschaftsbehörde lediglich um eine schriftliche Ermahnung gebeten habe. Sie legt jedoch nicht dar, inwiefern auch das Obergericht an die Empfehlung der Beiständin gebunden gewesen wäre und dadurch, dass es eine weitergehende Regelung schützte, eine Gesetzesnorm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt, also willkürlich im Sinne von Art. 9 BV entschieden hätte. Vergeblich bemängelt die Beschwerdeführerin auch, die Sistierung des Besuchsrechts sei ohne vorherige schriftliche Mahnung erfolgt. Dem angefochtenen Entscheid zufolge wurde die Beschwerdeführerin von Seiten der Behörden jeweils auf die Interessenlage von B._ respektive auf den Schaden hingewiesen, welchen sie diesem mit einem neuen Sorgerechtsprozess zufügen würde. Zu dieser vorinstanzlichen Feststellung äussert sich die Beschwerdeführerin nicht. Namentlich zeigt sie nicht auf, warum sie in Anbetracht des bereits Geschehenen zusätzlich noch einer schriftlichen Mahnung bedurft hätte. Schliesslich wirft die Beschwerdeführerin dem Obergericht vor, es habe die von ihr eingereichten Chat-Protokolle entgegen ihrer ausdrücklichen Bitte nicht vertraulich behandelt, sondern der Gegenpartei zugestellt. Sie legt jedoch nicht näher dar, inwiefern das Obergericht durch diese Vorgehensweise eine Verfahrensvorschrift in offensichtlich unhaltbarer, stossender und damit willkürlicher Weise angewendet hätte.
2.2 In der Sache macht die Beschwerdeführerin geltend, dass B._ von sich aus den Kontakt zu ihr gesucht habe und sie ihren Sohn angesichts seiner schwierigen Situation nicht habe abweisen wollen. In Anbetracht der Tatsache, dass ihr lediglich zwei kurze begleitete Besuche am 16. Dezember 2011 und 14. Januar 2012 gewährt worden seien und B._ sie gegen seinen Willen seither weder anrufen noch sehen durfte, sei es nicht erstaunlich, dass ihr Sohn weiterhin Kontaktmöglichkeiten zu ihr gesucht habe. Indes weist das Obergericht in diesem Kontext ausdrücklich darauf hin, es sei weniger entscheidend, ob der Kontakt von B._ oder von der Mutter ausging; jedenfalls habe die Beschwerdeführerin die heimliche Kommunikation unterstützt, was dem Zweck der Kontaktsperre gerade zuwiderlief. Dem hat die Beschwerdeführerin nichts Substantielles entgegenzusetzen. Wenn sie sich darauf beruft, dass ihr gemäss dem angefochtenen Entscheid beliebige überwachte Telefonate und begleitete Besuche zustünden, übersieht sie, dass geheime Kontakte von dieser Regelung offensichtlich nicht gedeckt sein können. Sodann beklagt sich die Beschwerdeführerin darüber, dass sie trotz entsprechender Zusicherungen der Beiständin nie Einsicht in das Schulzeugnis von B._ vom Juli 2011 erhalten habe und auch nicht zu den Elterngesprächen vom Januar 2012 eingeladen worden sei. Nachdem B._ ihr geschrieben habe, dass ihm in der Schule "alles den Bach runter" gehe und der Lehrer die Wiederholung der Klasse in Aussicht gestellt habe, könne ihr ein Loyalitätskonflikt oder eine Instrumentalisierung nicht angelastet werden. In ähnlicher Weise verwahrt sich die Beschwerdeführerin dagegen, ihren Sohn mit neuen Kleidern instrumentalisiert zu haben, und rechtfertigt sich damit, dass ihr Sohn an den Besuchswochenenden nie Ersatzkleider bei sich gehabt habe. Ebenso weist sie den Vorwurf zurück, sie selbst habe B._ wieder im Schulheim C._ in D._ platzieren wollen. All diese Einwände gehen an der Sache vorbei. Denn wie das Obergericht in aller Deutlichkeit zum Ausdruck bringt, liegt der Grund für die Sistierung des persönlichen Verkehrs darin, dass die Beschwerdeführerin B._ in ihre Pläne, ein erneutes Sorgerechtsverfahren einzuleiten, einweihte und dem Kind die Entscheidung zwischen seinen Eltern aufbürdete. Auch dies bestreitet die Beschwerdeführerin zwar vehement. Allein mit solchen Gegenbehauptungen ist eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte aber nicht darzutun. Das Obergericht stützt seine Erkenntnisse auf den besagten Zwischenbericht vom 23. September 2011, der seinerseits die entsprechende Aussage von B._ wiedergibt, die dieser am 31. August 2011 gemacht hatte. Dass das Obergericht diesen Zwischenbericht in qualifizierter Weise falsch gewürdigt hätte, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend.
2.3 Von vornherein unbeachtlich sind schliesslich diejenigen Vorbringen, welche die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht neu vorträgt. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nämlich nur so weit vorgetragen werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Soweit die Beschwerdeführerin Geschehnisse ins Spiel bringt, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid zugetragen haben, ist schon begrifflich ausgeschlossen, dass diese Voraussetzung erfüllt ist. Im Übrigen mochte der Umstand, dass das Kind per 27. Mai 2012 distanzplatziert worden war, im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids zwar schon Bestand haben. Die Beschwerdeführerin zeigt jedoch nicht auf, inwiefern die Voraussetzung gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG für eine nachträgliche Berücksichtigung erfüllt sein soll.
3. 3.1 Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, erschöpfen sich die Ausführungen der Beschwerdeführerin grösstenteils darin, dem Bundesgericht ihre eigene Sichtweise zu schildern oder blosse Behauptungen aufzustellen, ohne im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern ein konkretes verfassungsmässiges Recht verletzt wäre. Insbesondere geht die Beschwerdeführerin auch nicht auf den rechtlichen Schluss des Obergerichts ein, wonach sie gerade nicht im Sinne des Kindes gehandelt und den persönlichen Kontakt pflichtwidrig ausgeübt habe. Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3.2 Klarzustellen bleibt, dass für die Berechnung der Frist von neun Monaten, bei deren Ablauf die Sistierung des persönlichen Verkehrs spätestens zu überprüfen und die Situation neu zu beurteilen ist, nicht das Datum des regierungsstatthalterlichen Entscheides (7. März 2012) massgeblich ist. Aus Ziffer 2 dieses Entscheids ergibt sich, dass das Regierungsstatthalteramt nicht in Aufhebung des vormundschaftsbehördlichen Beschlusses einen neuen Entscheid gefällt, sondern die Verfügung der Vormundschaftsbehörde ausdrücklich "abgeändert" hat. Daraus folgt, dass das Regierungsstatthalteramt auch zur Bemessung der besagten Frist auf den Zeitpunkt des abgeänderten Entscheides abgestellt hat. Dies ergibt sich im Übrigen aus der Erwägung, wonach die Sistierung des Besuchsrechts mit der Abänderung des Beschlusses vom 6. Oktober 2011 "in sachlicher und zeitlicher Hinsicht verhältnismässig" sei. Demnach begann die Frist spätestens mit der Vollstreckbarkeit des Beschlusses der Vormundschaftsbehörde vom 6. Oktober 2011 zu laufen. Massgeblich ist der Tag, an dem die Zwischenverfügung des Regierungsstatthalteramts vom 10. November 2011 über die Verweigerung der Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der gegen diesen Beschluss erhobenen Beschwerde in Rechtskraft erwuchs. Soweit aus den Akten ersichtlich, hat die Beschwerdeführerin gegen diese Verfügung kein Rechtsmittel ergriffen. Es ist deshalb davon auszugehen, dass die besagte Frist spätestens Ende August 2012 abgelaufen ist, so dass die Vormundschaftsbehörde die Sistierung des persönlichen Verkehrs ohne Verzug zu überprüfen und die Situation neu zu beurteilen hat.
3.3 Als unterliegende Partei ist die Beschwerdeführerin an sich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Angesichts der besonderen Umstände verzichtet das Bundesgericht jedoch darauf, Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Damit wird das Gesuch der anwaltlich nicht vertretenen Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos. Die Einwohnergemeinde Y._ hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Einwohnergemeinde Y._, handelnd durch die Sozial- und Vormundschaftskommission Z._, dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 2. Zivilkammer, und A._, Y._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn