Faits:
A. Le 29 juin 2004, X._, domicilié à Genève, a transmis à l'Administration fiscale cantonale du canton de Genève (ci-après: l'Administration cantonale) sa déclaration fiscale 2003 faisant état d'un revenu et d'une fortune nuls.
Sous pli simple, l'Administration cantonale a envoyé à X._ un bordereau de taxation daté du 21 février 2005, fixant le total des impôts cantonaux et communaux 2003 exigibles au 22 mars 2005 à 524,25 fr., sur la base d'un revenu imposable de 17'525 fr.
Par lettre postée le 31 mars 2005, Z._, au bénéfice d'une procuration de X._, a transmis à l'Administration cantonale une réclamation datée du 29 mars 2005 que le contribuable avait envoyée par fax de l'Erythrée, où il séjournait alors. X._ concluait à la reconsidération de sa taxation, soutenant que le bordereau ne tenait pas compte de sa situation personnelle, en particulier du fait qu'il ne percevait aucun salaire.
Par décision du 14 avril 2005, l'Administration cantonale a maintenu sa taxation au motif que la réclamation formée le 31 mars 2005 était tardive.
Le 1er mai 2005, X._ a recouru contre cette décision auprès de la Commission cantonale de recours en matière d'impôts (ci-après la Commission de recours). Il n'a produit aucun exemplaire de la décision attaquée.
Le 28 février 2007, la Commission de recours a imparti un délai à X._ pour qu'il lui fasse parvenir un recours complet, comportant une motivation claire et des conclusions. Il lui était également demandé de préciser s'il contestait le motif retenu par l'Administration cantonale concernant la tardiveté de sa réclamation.
Le 10 mars 2007, X._ a remis un courrier expliquant qu'il ne touchait aucun revenu et ne disposait d'aucune fortune. Il exerçait une activité auprès d'une organisation humanitaire non gouvernementale, qui prenait ses frais en charge, mais sans le payer. Il a par ailleurs précisé qu'il serait normal que son recours datant de 2005 soit pris en considération, "malgré sa réclamation tardive".
Par décision du 7 mai 2007, la Commission de recours a rejeté le recours de X._, au motif que le contribuable n'avait pas contesté la tardiveté de la réclamation et n'avait invoqué aucun motif pouvant excuser cette irrégularité. Elle a laissé ouverte la question de la recevabilité du recours en raison de la non-production de la décision attaquée.
B. Contre cette décision, X._ a recouru auprès du Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif).
Par arrêt du 2 octobre 2007, le Tribunal administratif a admis le re-cours, annulé la décision de la Commission de recours du 7 mai 2007, ainsi que la décision sur réclamation du 14 avril 2005 de l'Administration cantonale, et renvoyé la cause à la Commission de recours pour qu'elle tranche le fond du litige. Il a estimé en substance que, comme l'Administration cantonale n'envoie pas les bordereaux par plis recommandés, elle se trouve dans l'incapacité d'apporter la preuve de la date de la remise du bordereau 2003; le tableau informatique produit par l'administration en cours de procédure n'était à cet égard pas pertinent. Cette notification étant irrégulière, il ne pouvait en résulter aucun préjudice pour le justiciable, de sorte qu'il fallait considérer que le délai de réclamation de 30 jours n'avait pas commencé à courir et que la réclamation postée le 31 mars 2005 n'était pas tardive. Il importait peu que le contribuable ait admis, dans son courrier du 10 mars 2007, la tardiveté de sa réclamation, car le Tribunal administratif établissait d'office les faits.
C. Contre l'arrêt du 2 octobre 2007, l'Administration cantonale interjette un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Invoquant une violation du droit fédéral et l'arbitraire dans l'interprétation des faits, elle conclut à l'annulation de l'arrêt du 2 octobre 2007 et à la confirmation de sa décision sur réclamation du 14 avril 2005.
X._ a indiqué qu'il considérait sa requête initiale comme étant toujours légitime et qu'il n'était pas d'accord avec le recours de l'Administration cantonale. Le Tribunal administratif a déclaré persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Quant à l'Administration fédérale des contributions, elle propose l'admission du recours.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence en vertu de l'art. 29 al. 1 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110; ci-après: loi sur le Tribunal fédéral); il revoit donc librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 133 I 185 consid. 2 p. 188 et les arrêts cités).
1.1 Le présent recours a été interjeté par l'Administration cantonale et concerne la taxation fiscale 2003 en matière d'impôts cantonaux et communaux. Le litige revient à déterminer si le Tribunal administratif pouvait retenir que la réclamation contre la taxation fiscale avait été formée par l'intimé dans le délai légal de 30 jours prévu par l'art. 39 de la loi genevoise du 4 octobre 2001 de procédure fiscale (RSG D 3 17). Cette disposition correspond à l'art. 48 al. 1 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes (LHID; RS 642.14; ci-après: loi sur l'harmonisation fiscale). La matière est ainsi réglée dans le titre 5 de cette loi et porte sur une période fiscale postérieure au délai accordé par l'art. 72 al. 1 LHID aux cantons pour adapter leur législation. Par conséquent, la recevabilité du recours et le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral doivent être examinés non seulement sous l'angle de la loi sur le Tribunal fédéral, mais aussi compte tenu de la loi sur l'harmonisation fiscale et plus particulièrement de son art. 73.
1.2 L'arrêt attaqué est une décision de renvoi, soit une décision incidente qui ne met pas fin à la procédure au sens de l'art. 90 LTF (cf. ATF 133 V 477 consid. 4.2 p. 482). Le recours est néanmoins ouvert, car son admission peut conduire - ce que le Tribunal fédéral examine librement (cf. ATF 133 II 409 consid. 1.2 p. 412) - immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF).
Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF) contre un jugement rendu dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) par l'autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), de sorte que la voie du recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral est en principe ouverte au sens des art. 82 ss LTF.
1.3 L'art. 73 al. 1 LHID réserve également la voie du recours en matière de droit public contre la décision attaquée. Cette situation s'explique historiquement. En effet, sous l'empire de l'ancienne loi d'organisation judiciaire (OJ; RO 3 521), le recours de droit administratif n'était en principe pas recevable pour se plaindre d'une décision se fondant sur du droit cantonal (cf. ATF 126 II 171 consid. 1a p. 173). Afin de permettre au Tribunal fédéral, dans les domaines visés par la loi sur l'harmonisation fiscale, de revoir avec un plein pouvoir d'examen la compatibilité du droit cantonal et de son application avec les règles fédérales d'harmonisation, le législateur a ouvert la voie du recours de droit administratif en la matière (cf. Ulrich Cavelti, in Zweifel/Athanas, Bundesgesetz über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und der Gemeinden [StHG], Kommentar zum schweizerischen Steuerrecht, 2ème éd., Bâle 2002, n. 1 ad art. 73; Danielle Yersin, Harmonisation fiscale: procédure, interprétation et droit transitoire, RDAF 2003 II p. 1 s.). L'art. 73 LHID était ainsi, sous l'ancienne loi d'organisation judiciaire, une clause spéciale dérogeant aux règles de procédure en vigueur (cf. Thomas Meister, Rechtsmittelsystem der Steuerharmonisierung, thèse St-Gall 1994, p. 294), puisque seul un recours de droit public pour violation des droits constitutionnels aurait été normalement envisageable (cf. Message du 25 mai 1983 concernant les lois fédérales sur l'harmonisation directe des cantons et des communes ainsi que sur l'impôt fédéral [ci-après: Message sur l'harmonisation fiscale], FF 1983 III 1, p. 154). Avec l'entrée en vigueur de la loi sur le Tribunal fédéral et l'introduction du recours en matière de droit public, toutes les décisions rendues dans une cause de droit public, peu importe qu'elles soient fondées sur le droit cantonal ou fédéral, peuvent désormais faire l'objet d'un recours en matière de droit public (cf. art. 82 let. a LTF; François Bellanger, Le recours en matière de droit public, in Les nouveaux recours fédéraux en droit public, Zurich 2006, p. 43 ss, 47). En conséquence, l'art. 73 al. 1 LHID, qui réserve expressément cette nouvelle voie de droit, n'apparaît plus comme une lex specialis dérogeant aux règles ordinaires de procédure, mais seulement comme une confirmation de ces dernières.
1.4 L'art. 73 al. 2 LHID prévoit que le contribuable, l'administration fiscale cantonale et l'Administration fédérale des contributions ont le droit de recourir. Cette disposition constitue une base légale conférant aux autorités qu'elle désigne la qualité pour recourir conformément à l'art. 89 al. 2 let. d LTF (cf. Bernhard Waldmann, in Niggli/Uebersax/ Wiprächtiger, Bundesgerichtsgesetz, Bâle 2008, n. 66 ad art. 89 LTF); du moment que la décision attaquée concerne une matière relevant du droit fédéral harmonisé, cette qualité existe, y compris pour les autorités désignées à l'art. 73 al. 2 LHID, indépendamment de la marge d'autonomie cantonale dans le domaine considéré et des griefs soulevés (cf. ATF 134 II 124 consid. 2.3 et 2.6). Partant, il faut admettre que l'Administration can-tonale est en droit de déposer un recours en matière de droit public en l'espèce.
1.5 La recourante ne se limite pas à des conclusions cassatoires, mais propose, outre l'annulation de l'arrêt du Tribunal administratif du 2 octobre 2007, la confirmation de sa propre décision sur réclamation du 14 avril 2005.
1.5.1 Aux termes de l'article 73 al. 3 LHID, en cas d'acceptation du recours, le Tribunal fédéral annule la décision attaquée et renvoie l'affaire pour nouvelle décision à l'autorité inférieure. Sur la base de cette disposition, le Tribunal fédéral, sous l'empire de l'ancienne loi d'organisation judiciaire, déclarait irrecevables les conclusions prises dans le cadre d'un recours de droit administratif en matière d'harmonisation fiscale qui n'étaient pas purement cassatoires (cf. ATF 131 II 710 consid. 1.1 p. 713).
Avec l'entrée en vigueur de la loi sur le Tribunal fédéral, le contexte s'est modifié, car la voie du recours en matière de droit public est ou-verte contre les décisions cantonales de dernière instance portant sur une matière réglée dans les titre 2 à 5 et 6 chap. 1 LHID, tant en vertu de l'art. 73 al. 1 LHID que des règles ordinaires de procédure (cf. supra consid. 1.2 et 1.3). Or, l'art. 107 al. 2 LTF autorise le Tribunal fédéral à statuer lui-même sur le fond, s'il admet le recours. L'art. 107 al. 2 LTF et l'art. 73 al. 3 LHID posent donc deux règles contradictoires. Pour déterminer celle qui l'emporte, il faut s'interroger sur la portée de l'art. 73 al. 3 LHID en regard du nouveau droit.
1.5.2 Comme déjà rappelé (cf. supra consid. 1.3), le législateur a créé, avec l'art. 73 LHID, une base légale spéciale, afin d'ouvrir à titre exceptionnel la voie du recours de droit administratif contre les décisions rendues en matière de droit cantonal dans les domaines harmonisés par la loi sur l'harmonisation fiscale. Il a toutefois limité, à l'alinéa 3, la cognition du Tribunal fédéral en l'empêchant de trancher lui-même (cf. Cavelti, op. cit., n. 13 ad art. 73 LHID). Cette réserve témoigne de l'hésitation du législateur fédéral entre la volonté, d'une part, de garantir une réelle harmonisation et, d'autre part, de préserver l'autonomie des cantons (cf. Danielle Yersin, Harmonisation fiscale: la dernière ligne droite, Archives 69 p. 305 ss, 316). Celui-ci a finalement opté pour un recours de droit administratif hybride conservant le caractère cassatoire propre au recours de droit public (cf. ATF 127 II 1 consid. 2c p. 5; 126 II 377 consid. 8b p. 395), à savoir la voie de droit alors normalement prévue contre ce type de décision (cf. Message sur l'harmonisation fiscale, p. 154). En ouvrant de manière générale le recours en matière de droit public et, par voie de conséquence, la règle figurant à l'art. 107 al. 2 LTF à l'ensemble des décisions rendues en application du droit public fédéral ou cantonal, le nouveau droit a fait perdre toute portée à la règle de l'art. 73 al. 3 LHID, qui était de maintenir une certaine autonomie cantonale.
L'art. 73 al. 3 LHID est du reste devenu anachronique dans le système de recours mis en place par la loi sur le Tribunal fédéral, car il fait subsister le caractère cassatoire propre à l'ancien recours de droit public, alors que cette restriction n'existe plus, même dans le recours constitutionnel subsidiaire (cf. art. 117 LTF qui renvoie à l'art. 107 LTF; Michel Hottelier, Entre tradition et modernité: le recours constitutionnel subsidiaire, in Les nouveaux recours fédéraux en droit public, Zurich 2006, p. 71 ss, 99).
Lors de l'adaptation de l'art. 73 LHID à la LTF, le législateur n'a pas cherché délibérément à s'écarter des nouvelles règles de procédure en maintenant le caractère cassatoire du recours prévu par la loi sur l'harmonisation fiscale. Il n'a procédé à aucune analyse des conséquences de l'introduction du nouveau droit sur cette disposition. C'est dans le cadre d'une simple "adaptation rédactionnelle" que la mention du recours de droit administratif figurant à l'art. 73 al. 1 LHID a été remplacée par celle du recours en matière de droit public (cf. Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 p. 4000, 4239). On ne peut donc y voir la volonté de créer une exception par rapport à l'art. 107 al. 2 LTF. Il semble plutôt que la problématique liée au maintien de l'art. 73 al. 3 LHID dans le contexte du recours en matière de droit public ait tout simplement échappé au législateur. Or, un tel maintien conduirait à la conséquence absurde que, pour les décisions fondées sur le droit public cantonal non harmonisé, le Tribunal fédéral pourrait statuer lui-même en vertu de l'art. 107 al. 2 LTF, alors qu'il en serait empêché par l'art. 73 al. 3 LHID dans les domaines pour lesquels le législateur a précisément voulu permettre un contrôle judiciaire accru en promulguant la loi sur l'harmonisation fiscale.
1.5.3 En conséquence, l'interprétation historique et logique de l'art. 73 al. 3 LHID démontre que cette disposition ne peut se concevoir comme une lex specialis de l'art. 107 al. 2 LTF. Il s'agit bien plutôt du maintien, par une inadvertance du législateur, d'une norme qui avait sa raison d'être sous l'ancienne loi d'organisation judiciaire, mais qui a perdu toute portée avec l'introduction de la loi sur le Tribunal fédéral.
En pareilles circonstances, il convient de privilégier l'application de la lex posterior, soit de l'art. 107 al. 2 LTF, de sorte que, comme pour tout recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral peut, en cas d'admission du recours dans une cause visée par l'art. 73 al. 1 LHID, statuer lui-même sur le fond s'il l'estime opportun.
Les conclusions de la recourante sont donc recevables, même si elles ne sont pas purement cassatoires.
1.5.4 L'art. 73 al. 3 LHID relève de la situation visée par le législateur à l'art. 131 al. 3 LTF, à savoir la survivance d'une disposition matériellement contraire à la loi sur le Tribunal fédéral, qui ne constitue pas une lex specialis, mais qui n'a - par inadvertance - pas été modifiée lors de l'introduction de la loi sur le Tribunal fédéral. Dans cette hypothèse, la loi sur l'harmonisation fiscale peut être adaptée par l'Assemblée fédérale par voie d'ordonnance. Il ne s'agit en effet que d'une mesure cosmétique, puisqu'en vertu de l'adage lex posterior derogat legi priori, l'art. 107 al. 2 LTF est quoi qu'il en soi déjà directement applicable (cf. Denise Brühl-Moser, in Niggli/Uebersax/Wiprächtiger, Bundesgerichtsgesetz, Bâle 2008, n. 15 ad art. 131 LTF).
2. La recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement interprété les faits en n'admettant pas que la réclamation de l'intimé était tardive, bien que ce dernier l'ait expressément reconnu.
2.1 Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours peut critiquer la constatation des faits à la double condition que ceux-ci aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause, ce que le recourant doit rendre vraisemblable par une argumentation répondant aux exigences de motivation de la loi sur le Tribunal fédéral (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.). La notion de "manifestement inexacte" figurant à l'art. 97 al. 1 LTF correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252, 384 consid. 4.2.2 p. 391).
2.2 S'agissant de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier sa décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur le sens et la portée d'un tel élément, ou encore lorsque, en se fondant sur le résultat de l'administration des preuves, elle en tire des constatations insoutenables (cf. ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; 127 I 38 consid. 2a p. 41).
2.3 En l'espèce, il ressort de l'arrêt attaqué que la recourante a envoyé au contribuable son bordereau de taxation 2003 sous pli simple et soutient que la notification est intervenue le 21 février 2005. Pour sa part, l'intimé, en réponse à la Commission de recours qui lui demandait s'il contestait la tardiveté de sa réclamation, a indiqué, le 10 mars 2007, qu'il était normal que son recours datant de 2005 soit pris en considération, "malgré sa réclamation tardive".
En faisant abstraction du contenu de la lettre de l'intimé du 10 mars 2007 pour retenir que la réclamation n'était pas tardive, force est d'admettre que le Tribunal administratif a constaté un fait manifestement contraire à une pièce du dossier. Pourtant, il ne disposait d'aucun autre élément de preuve de nature à démontrer que la réclamation aurait été formée dans les délais et l'intimé n'a invoqué aucun motif pour excuser la tardiveté de son envoi.
2.4 De plus, le Tribunal administratif a justifié son ignorance de la déclaration de l'intimé du 10 mars 2007 en se fondant sur une motivation juridique qui ne peut être suivie.
2.4.1 Les juges ont appliqué les règles sur le fardeau de la preuve et en particulier la jurisprudence selon laquelle, si une autorité envoie une décision soumise à recours par pli simple, c'est à elle de supporter le risque de l'absence de preuve de la date de notification (cf. notamment ATF 129 I 8 consid. 2.2 p. 10; 124 V 400 consid. 2a p. 402; 122 I 97 consid. 3b p. 2). Si la notification même d'un acte envoyé sous pli simple ou sa date sont contestées et qu'il existe effectivement un doute à ce sujet, il y a lieu de se fonder sur les déclarations du destinataire de la communication (cf. ATF 124 V 400 consid. 2a p. 402 et les références citées). Comme toutes les règles sur le fardeau de la preuve, cette jurisprudence tend en particulier à régir les conséquences d'une absence de preuve; elle ne permet cependant pas au juge d'occulter les éléments propres à établir le fait pertinent pour trancher en défaveur de la partie qui avait la charge de la preuve (cf. ATF 114 II 289 consid. 2a p. 291).
En l'occurrence, si l'on peut admettre qu'il existe un doute sur la date de la notification par pli simple du bordereau de taxation 2003 à l'intimé, l'autorité cantonale devait tenir compte, pour déterminer si la réclamation avait ou non été déposée dans le délai légal de 30 jours, des déclarations du destinataire de cet envoi. Or, dans sa lettre du 10 mars 2007, l'intimé a expressément indiqué que sa réclamation devait être prise en compte, malgré son caractère tardif. Cette lettre est un moyen de preuve pertinent qui établit le caractère tardif de la réclamation déposée le 31 mars 2005. En faisant néanmoins application de la règle sur le fardeau de la preuve, pour qualifier la notification d'irrégulière et en déduire que la réclamation avait été formée à temps, l'arrêt attaqué aboutit à un résultat en contradiction avec les propres déclarations du destinataire du bordereau fiscal contesté, ce qui n'est pas admissible.
2.4.2 Le Tribunal administratif a également invoqué son pouvoir d'établir les faits d'office pour ne pas retenir la déclaration écrite de l'intimé. Selon cette maxime, l'autorité dirige la procédure et définit elle-même les faits qu'elle considère comme pertinents et les preuves nécessaires (cf. Pierre Moor, Droit administratif, vol. II, 2e éd. Berne 2002, p. 259). Il ne s'agit toutefois pas d'un blanc-seing qui permet à l'autorité d'occulter à sa guise les éléments de preuve déterminants qui figurent au dossier. Le Tribunal administratif ne pouvait ainsi se re-trancher derrière la maxime d'office pour écarter la déclaration de l'intimé.
2.5 Dans ces circonstances, force est d'admettre que le Tribunal administratif est tombé dans l'arbitraire en ne retenant pas que la réclamation formée le 31 mars 2005 par l'intimé l'avait été tardivement. L'arrêt attaqué, qui annule pour ce motif la décision de la Commission de recours et la décision de l'Administration cantonale, est donc égale-ment insoutenable dans son résultat.
3. Le grief d'arbitraire s'avérant bien-fondé, il y a lieu d'admettre le re-cours et d'annuler l'arrêt attaqué.
En application de l'art. 107 al. 2 LTF (cf. supra consid. 1.5.3), la Cour de céans confirmera la décision rendue le 7 mai 2007 par la Commission de recours, qui maintient la taxation 2003 de l'intimé en matière d'impôts cantonaux et communaux, au motif que la réclamation formée le 31 mars 2005 était tardive.
4. Compte tenu des circonstances et de la situation financière modeste de l'intimé, aucuns frais ne seront mis à sa charge pour la procédure devant le Tribunal fédéral (art. 66 al. 1 LTF).
Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
L'admission du recours implique une autre répartition des frais devant l'instance inférieure. S'agissant d'apprécier si et dans quelle mesure il se justifie de faire supporter ceux-ci par l'intimé, la Cour de céans renoncera à la faculté offerte par l'art 67 LTF (cf. Hansjörg Seiler, Bundesgerichtsgesetz: Bundesgesetz über das Bundesgericht, Berne 2007, n. 5 ad art. 67 LTF) et renverra l'affaire au Tribunal administratif pour qu'il statue à nouveau sur les frais de la procédure accomplie devant lui.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis.
2. L'arrêt attaqué du 2 octobre 2007 est annulé. La décision rendue le 7 mai 2007 par la Commission cantonale de recours en matière d'impôts du canton de Genève est confirmée.
3. Il n'est pas perçu de frais ni alloué de dépens.
4. La cause est renvoyée au Tribunal administratif pour nouvelle décision sur les frais de la procédure cantonale.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Genève et à l'Administration fédérale des contributions, Division principale de l'impôt fédéral direct, de l'impôt anticipé, des droits de timbre.
Lausanne, le 4 avril 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Merkli Addy