Faits:
A.
A.a. A._, B._ et C._ sont des professionnels de la construction. A la fin des années 1980, ils ont obtenu un crédit de 1'270'000 fr. que la banque X._ (ci-après: la banque) leur a octroyé comme débiteurs solidaires pour financer la construction de deux villas jumelles à W._, comportant un garage séparé pour deux véhicules. Le crédit était garanti par quatre cédules hypothécaires grevant la parcelle sur laquelle sont érigées les villas, par l'intégralité du revenu locatif de celles-ci ainsi que par le produit de la vente éventuelle de ces immeubles.
Dès le début des années 1990, les précités ont éprouvé des difficultés à amortir le prêt. En 1993, la banque a consolidé le crédit en question à hauteur de 1'350'000 fr. sous la forme d'une avance à terme fixe renouvelable de six mois en six mois.
Le 15 octobre 1998, la banque a accepté de renouveler le crédit jusqu'au 30 juin 1999, tout en précisant aux débiteurs qu'ils devaient s'efforcer de vendre les deux villas avant ce terme.
Le 2 décembre 2002, une des deux villas a été vendue, de sorte que les débiteurs ont pu rembourser partiellement la dette contractée, l'avance à terme étant réduite de 1'350'000 fr. à 730'000 fr. Après avoir renouvelé plusieurs fois l'avance à terme fixe, la banque a informé les débiteurs, qui ne parvenaient pas à vendre la seconde villa, qu'elle dénonçait le prêt et les titres hypothécaires au remboursement, les mettant en demeure de régler le montant de 730'000 fr. avec intérêts à 5,125% dès le 1er avril 2003.
Le 5 mars 2004, la seconde villa a été vendue, ce qui a permis à la banque, compte tenu des loyers perçus, de récupérer la somme de 695'416 fr.90.
Le 3 décembre 2004, la dette des débiteurs s'élevait à 87'318 fr.25. Afin de recouvrer cette créance, la banque a invité ces derniers à lui faire des propositions de remboursement.
Le 19 mai 2005, la faillite de C._ a été prononcée. La banque, qui avait produit dans celle-ci une créance de 92'117 fr.35, n'a rien pu récupérer.
A.b. La banque a ensuite entrepris des négociations avec A._ et B._. Aucun accord de remboursement n'ayant été trouvé, la banque a fait notifier à chacun d'eux des poursuites les 6 juillet 2006 et 16 août 2007, auxquelles les poursuivis ont fait opposition totale. Le 10 juillet 2008, la banque a avisé les deux débiteurs de son intention d'ouvrir action en reconnaissance de dette à leur encontre.
Par courrier du 8 septembre 2008, le conseil de la banque écrit ce qui suit à A._ et B._:
« (...)
Lors de notre rendez-vous de juillet, j'avais prononcé un chiffre médian de fr. 50'000. De votre côté, vous aviez articulé le chiffre de fr. 40'000.-. Dès lors, la banque n'accepte pas votre proposition pour solde de compte. Elle relève, au demeurant, que vous ne fixez pas de calendrier de paiement, alors que vous vous étiez engagés à le faire avant le 31 août 2008.
Cela étant, ou bien je reçois de votre part un engagement clair et net de régler fr. 50'000.-, au plus tard d'ici au 31 août 2009 ou bien j'ai reçu mission de déposer la procédure, qui est du reste déjà prête. Ma mandante n'entend plus perdre davantage de temps en discussions. J'attends, par conséquent, votre réponse ces tout prochains jours. A défaut de trouver un accord d'ici mi-septembre, je ne pourrai plus retenir l'action judiciaire qui sera engagée.
(...) ».
Le 9 septembre 2008, A._, invoquant l'absence de B._, a demandé à la banque de reporter à la fin septembre ou au début octobre son « ultimatum de mi-septembre ».
Par lettre du 10 septembre 2008, le conseil de la banque a répondu à A._ de la manière suivante:
« La banque est lasse de devoir toujours repousser les délais, dans l'hypothétique espoir d'un arrangement amiable (...).
Il vous faut contacter Monsieur B._ où il est avant le 15 septembre prochain. A défaut, je procéderai, ce qui ne nous empêche pas évidemment de rechercher une transaction en cours de procès.
Je dois toutefois vous aviser que ma mandante va très probablement durcir sa position et demander, en tout cas, en sus le remboursement de ses frais d'avocat et de justice.
Dans l'espoir que nous parviendrons, néanmoins, in extremis à une solution amiable, je vous prie de croire, Monsieur, à l'assurance de mes sentiments distingués. ».
Par pli daté du 20 septembre 2008, A._ et B._ ont accepté la proposition de la banque en ces termes:
« (...)
Bien malgré nous, nous nous plions à la contrainte de la banque pour le montant de frs. 50'000.- au 31 août 2009 ».
B.
B.a. Le 24 février 2009, la banque a ouvert action en reconnaissance de dette contre A._ et B._ devant le Tribunal d'arrondissement de Lausanne, concluant à ce que ces derniers lui doivent solidairement paiement de 87'318 fr.25 avec intérêts à 5,125% dès le 4 mai 2004.
Les défendeurs ont conclu principalement à libération, subsidiairement à ce qu'ils soient condamnés à verser à la demanderesse la somme de 50'000 fr. « d'ici au 30 août 2009 ».
Le 18 août 2009, le conseil des défendeurs a écrit ce qui suit à la banque:
« (...)
Je me réfère à la convention que nos clients ont conclue et par laquelle MM. B._ et A._ s'engageaient à verser à la banque un montant de fr. 50'000.- au 31 août 2009 pour solde de tout compte et tout (sic) prétention.
Mes clients vous proposent d'exécuter leur prestation sur le compte bancaire que vous leur indiquerez; la banque retirera sa demande en prenant en charge les frais de la procédure, chaque partie renonçant à des dépens. Cette proposition est limitée au 25 août 2009 et ne constitue pas une reconnaissance d'une quelconque obligation dans le cadre du procès qui les oppose.
Vu son contenu, mes clients se réservent de faire usage de la présente en procédure.
Dans l'attente de votre réponse, je vous prie de croire, cher Confrère, à l'assurance de mes sentiments dévoués. ».
Le 19 août 2009, la banque, par l'entremise de son conseil, a répondu en ces termes aux défendeurs:
« (...)
Vos clients ne sont pas cohérents. Ils soutiennent qu'une convention a été conclue l'an dernier et que celle-ci prévoit le paiement de Fr. 50'000.- d'ici au 31 août 2009, pour solde de tout compte.
Si tel est le cas, ils n'ont pas à poser de conditions pour l'exécution de leurs engagements. A contrario, en ne versant pas le montant de Fr. 50'000.-, ils reconnaissent ipso facto l'absence de la convention qu'ils allèguent.
(...) ».
Aucun paiement n'est intervenu le 31 août 2009.
B.b. Les 16 et 18 décembre 2009, la banque et B._ ont conclu la transaction suivante:
« I. B._ se reconnaît débiteur de la banque X._ d'un montant de Fr. 50'000.- (...), qu'il s'engage à régler d'ici au 22 décembre 2009 sur le compte no ... auprès de cet établissement.
II. Moyennant exécution du chiffre I ci-dessus, la banque X._ abandonne à B._ le solde de la dette mentionnée dans le préambule, objet du présent procès et lui donne quittance de ce chef.
III. La banque X._ réduira les conclusions prises dans ledit procès, qui se poursuit contre A._, du montant de Fr. 50'000.- à recevoir, à la valeur du jour du paiement.
IV. La banque X._ et B._ renoncent réciproquement à des dépens.
V. La présente transaction sera communiquée au président du tribunal d'arrondissement de Lausanne, pour qu'il prenne acte de l'accord partiel intervenu, l'annexe au procès-verbal pour valoir jugement, déclare B._ hors de cause et de procès, celui-ci se poursuivant entre la banque X._ et A._. ».
B._ a versé 50'000 fr. à la banque le 22 décembre 2009.
Le 24 décembre 2009, le Tribunal d'arrondissement de Lausanne a annexé la transaction susmentionnée au procès-verbal des opérations pour valoir jugement entre la banque et B._, déclaré ce dernier hors de cause et dit que le procès se poursuivrait entre la banque et le seul défendeur A._.
A l'audience de jugement qui s'est tenue le 14 juin 2010, la banque a précisé ses conclusions en ce sens que A._ est son débiteur du montant de 87'318 fr.25, plus intérêts à 5,125% l'an dès le 5 mai 2004, sous déduction de 50'000 fr., valeur au 22 décembre 2009, versé par B._ en exécution de la transaction judiciaire conclue les 16 et 18 décembre 2009.
A._ a conclu à sa libération.
B.c. Par jugement du 12 juillet 2010, le Tribunal d'arrondissement de Lausanne a condamné le défendeur A._ à payer à la banque la somme de 87'318 fr.25, plus intérêts à 5,125% l'an dès le 5 mai 2004, sous déduction du montant de 50'000 fr., valeur au 22 décembre 2009, versé par B._ en exécution de la transaction judiciaire conclue les 16 et 18 décembre 2009 dans le cadre de ce procès.
B.d. Statuant sur le recours interjeté par A._ contre ce jugement, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 25 mai 2011, l'a rejeté, la décision attaquée étant confirmée.
C.
A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Invoquant la violation des art. 3, 5 et 18 CO, le recourant conclut au rejet entier des conclusions de la demanderesse.
Le recourant sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Par ordonnance du 14 novembre 2011, la Présidente de la Ire Cour de droit civil a accordé l'effet suspensif requis par le recourant.
Considérant en droit:
1.
1.1. Interjeté par la partie défenderesse qui a entièrement succombé dans ses conclusions libératoires et qui a ainsi la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. de l'art. 74 al. 1 let. b LTF, le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2. Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 et l'arrêt cité). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. (ATF 136 II 304 consid. 2.4; 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 136 I 184 consid. 1.2 p. 187; 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'occurrence, le recourant ne s'en prend pas aux faits retenus par la cour cantonale. Il n'apparaît d'ailleurs pas que l'état de fait a été arrêté de manière arbitraire ou en violation du droit. L'examen des moyens soulevés se fera ainsi sur la base des faits constatés par la Chambre des recours.
1.4. Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2.
La cour cantonale a retenu que l'offre transactionnelle de l'intimée du 8 septembre 2008 était soumise à une durée de validité limitée. Comme l'acceptation du recourant et de B._ était parvenue cinq jours après le terme fixé pour accepter la proposition, aucun contrat n'avait été passé entre parties sur la base de l'offre du 8 septembre 2008. Les magistrats vaudois ont encore considéré que si l'intimée et B._ avaient transigé en cours de procès les 16 et 18 décembre 2009, une transaction judiciaire n'avait pas été conclue entre le recourant et l'intimée. Ils en ont déduit que le recourant ne pouvait rien déduire de ce règlement transactionnel, qui ne le concernait pas. En conséquence, la banque était fondée à lui demander paiement de la somme litigieuse, en capital et intérêts.
3.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir transgressé les art. 3, 5 et 18 CO. Il prétend que lui-même et B._, par lettre du 20 septembre 2008, ont accepté l'offre de l'intimée du 8 septembre 2008, de sorte qu'un accord est intervenu pour solde de tout compte entre parties. Comme B._ a payé à la banque le montant restant dû selon cette transaction, par 50'000 fr., celle-ci ne pouvait plus rien lui réclamer.
Le recourant soutient que l'offre de l'intimée, qui attendait acceptation, portait sur l'engagement clair de régler 50'000 fr. au plus tard le 31 août 2009 et que cette offre ne précisait pas qu'elle serait caduque à défaut d'être acceptée dans un délai déterminé. En indiquant qu'une action judiciaire serait engagée si un accord n'était pas trouvé d'ici à mi-septembre 2008, l'intimée a seulement voulu inciter vivement les débiteurs à payer, mais nullement fixer un délai d'acceptation de l'offre.
Selon le recourant, cette offre a été acceptée au moyen du pli adressé à la banque le 20 septembre 2008 par le recourant et B._. Il fait valoir que l'intimée n'a pas réagi à la réception de ce pli pour prétendre que l'acceptation serait arrivée tardivement, alors que la bonne foi et la loyauté en affaires imposaient qu'elle informât notamment le recourant si elle estimait qu'aucun accord transactionnel n'était survenu en raison de la réponse tardive à son offre. L'intimée n'a ainsi pas écrit immédiatement au recourant et au susnommé pour leur faire part de la tardivité de l'acceptation, ni ouvert sans délai action à leur encontre. La banque, en attendant plus de cinq mois pour déposer sa demande en justice, a laissé croire au recourant qu'une transaction avait été conclue. Et le recourant de conclure que le versement de 50'000 fr. opéré par B._ au profit de la banque l'a libéré de sa dette.
3.1. Il a été constaté en fait (art. 105 al. 1 CO) qu'au 3 décembre 2004 le recourant était débiteur à l'endroit de l'intimée, solidairement avec B._, d'une dette atteignant la somme de 87'318 fr.25 en capital. Dès cette époque, des négociations se sont engagées entre la banque et les débiteurs solidaires pour le règlement total de cette dette. Comme les tractations n'avaient pas abouti, l'intimée a fait notifier des poursuites aux deux débiteurs solidaires, les 6 juillet 2006 et 16 août 2007, puis les a avisés, le 10 juillet 2008, de son intention de déposer prochainement une action en reconnaissance de dette.
Vers la fin juillet 2008, la banque a rencontré les deux débiteurs solidaires pour d'ultimes discussions. A cette occasion, la première a demandé aux seconds de lui verser 50'000 fr. pour solde de toute prétention, alors que ceux-ci ont proposé un paiement de 40'000 fr. pour liquider la querelle.
Par pli du 8 septembre 2008, la banque a écrit au recourant et à B._ qu'elle ne pouvait accepter leur proposition de régler le montant de 40'000 fr. pour solde de tout compte, sans même que soit fixé un calendrier de paiement; l'intimée leur a en conséquence fait savoir sans détour que seul l'engagement clair de leur part de payer la somme de 50'000 fr. au plus tard le 31 août 2009 ferait obstacle à l'ouverture d'une action en justice à leur encontre, pour autant qu'un accord en ce sens puisse être trouvé « d'ici mi-septembre ».
Le 9 septembre 2008, le recourant a informé la banque qu'il souhaitait un report à la fin septembre ou au début octobre 2008 de l' « ultimatum de mi-septembre », au motif que B._ était absent.
Le 10 septembre 2008, l'intimée a répondu au recourant qu'elle était désormais lasse de « toujours repousser les délais » fixés pour parvenir à un arrangement à l'amiable; elle a ainsi indiqué au recourant qu'il lui fallait contacter B._ avant le 15 septembre prochain et qu'à ce défaut elle procéderait en justice.
Par un pli daté du 20 septembre 2008, le recourant et B._ ont déclaré à l'intimée qu'ils acceptaient, à contrecoeur, la proposition de verser à celle-ci 50'000 fr. au 31 août 2009.
3.2.
3.2.1. Il résulte de l'enchaînement des faits relatés ci-dessus que les parties, qui étaient en litige depuis la fin 2004 quant au règlement à la banque d'une somme de 87'318 fr.25 en capital, ont eu l'intention de mettre fin à ce différend en faisant réciproquement des concessions. L'intimée a proposé d'abandonner la créance précitée contre le paiement d'une somme de 50'000 fr., intérêts compris, alors que le recourant et B._ ont affirmé consentir à payer à la banque non plus 40'000 fr. comme ils l'avaient proposé en juillet 2008, mais bien un montant augmenté à 50'000 fr.
Autrement dit, le recourant et B._, d'un côté, et l'intimée, de l'autre, sont entrés en discussion en vue de conclure une transaction. D'après la jurisprudence, la transaction ou règlement transactionnel constitue un contrat sui generis par lequel les parties mettent fin par des concessions réciproques à un litige ou à une incertitude dans laquelle elles se trouvent au sujet d'un rapport de droit (ATF 130 III 49 consid 1.2 p. 51 et la jurisprudence citée).
La négociation d'une transaction en cas de litige, à l'instar de celle de tout contrat, est soumise en particulier aux dispositions ancrées aux art. 3 à 10 CO, qui règlent le mécanisme de la conclusion du contrat.
A teneur de l'art. 1 al. 1 CO, le contrat est parfait lorsque les parties ont, réciproquement et d'une manière concordante, manifesté leur volonté. En d'autres termes, le contrat n'est conclu qu'à partir du moment où les parties contractantes ont échangé des manifestations de volonté concordantes.
La loi distingue ainsi deux manifestations de volonté, qui se suivent dans le temps et sont distinctes: il s'agit de l'offre (ou pollicitation) et de l'acceptation.
3.2.2. L'offre constitue la proposition ferme de conclure un contrat, qui lie son auteur (cf. par ex. PIERRE ENGEL, Traité des obligations en droit suisse, 2e éd., 1997, p. 194; PIERRE TERCIER, Le droit des obligations, 4e éd., 2009, ch. 605 à 609, p. 137/138). La perfection de la convention ne dépend alors plus que de l'acceptation par l'autre partie.
La durée de validité de l'offre diffère selon que la négociation a lieu « entre présents » (cf. titre marginal de l'art. 4 CO) ou « entre absents » (cf. titre marginal de l'art. 5 CO).
L'offre est faite entre présents lorsque les parties sont en contact direct, lors d'un entretien ou d'une séance par exemple (art. 4 al. 1 CO), ou à l'occasion d'une conversation téléphonique (art. 4 al. 2 CO). Dans ce cas, l'acceptation doit être immédiate, à défaut de quoi l'offre perd tout effet (art. 4 al. 1 CO), à moins que les parties aient convenu autre chose.
Si l'offre est faite entre absents, elle a une certaine durée de validité, toutefois nécessairement limitée (art. 3 al. 1 et 5 CO; BRUNO SCHMIDLIN, Berner Kommentar, 1986, n° 1-5 ad art. 5 CO).
In casu, il est indubitable que l'offre de l'intimée de conclure une transaction avec le recourant et B._ a été opérée entre absents, dès l'instant où elle a été communiquée aux intéressés par courrier du 8 septembre 2008.
3.2.3. Lorsqu'il y a une offre entre absents, elle peut être faite sans limite de temps, auquel cas son auteur est lié jusqu'au moment où il peut s'attendre à l'arrivée d'une réponse expédiée à temps et régulièrement (art. 5 al. 1 CO), compte tenu d'un délai de réflexion adéquat dont la durée est fonction des circonstances du cas particulier et du type d'affaires concerné (ATF 134 II 297 consid. 4.3.1 et l'arrêt cité).
L'offre entre absents peut également avoir une durée de validité limitée, qui est fixée librement par le pollicitant (art. 3 al. 1 CO; ALFRED KOLLER, Schweizerisches Obligationenrecht, Allgemeiner Teil, 3e éd., 2009, § 7, ch. 27/28 p. 113/114). L'acceptation de l'offre de contracter doit parvenir au pollicitant avant l'expiration du délai de validité de l'offre que ce dernier a déterminé (théorie de la réception consacrée par l'art. 3 al. 2 CO; ATF 84 II 187 consid. 4 p. 197). L'auteur de l'offre est délié si l'acceptation ne lui parvient pas avant l'expiration dudit délai (art. 3 al. 2 CO); l'offre est alors caduque, sans que le pollicitant ait besoin de la déclarer telle ( ENGEL, op. cit., p. 197 en haut; KOLLER, op. cit., § 7, ch. 46, p. 117).
Le recourant soutient que l'offre transactionnelle de l'intimée a été effectuée sans fixation d'un délai pour l'accepter. Il a tort. Dans son courrier du 8 septembre 2008, l'intimée a déclaré au recourant et à B._ qu'elle entendait recevoir de leur part l'engagement « clair et net » de lui payer la somme de 50'000 fr. jusqu'au 31 août 2009, qu'elle attendait leur réponse ces prochains jours et que si un accord n'était pas trouvé « d'ici mi-septembre », elle déposerait une action en reconnaissance de dette.
Le recourant a parfaitement compris que l'intimée lui avait imparti un délai d'acceptation au 15 septembre 2008, puisque, par lettre du 9 septembre 2008, il a demandé à la banque un report de deux à trois semaines de ce qu'il a qualifié lui-même d' « ultimatum de mi-septembre ». Le contenu de cette déclaration du recourant met à néant sa thèse que l'offre de la banque a été opérée sans limite de temps.
3.2.4. Il a été retenu que l'acceptation du recourant et de B._ a été envoyée à l'intimée par un pli portant la date du 20 septembre 2008.
Cette acceptation, écrite cinq jours après l'expiration du délai de validité de l'offre - délai que l'intimée a explicitement refusé de prolonger par courrier du 10 septembre 2008 - est manifestement tardive. Le recourant n'a pas prouvé, alors que la charge lui en aurait incombé (cf. SCHMIDLIN, op. cit., n° 28 ad art. 5 CO), que la date portée sur la déclaration d'acceptation serait inexacte et que l'acceptation serait parvenue à temps (i.e. jusqu'au 15 septembre 2008) en mains de la banque.
Le recourant prétend toutefois que la banque, si elle n'entendait pas être liée par son offre de transaction, se devait de réagir en informant les destinataires de l'offre que leur acceptation était tardive.
Il n'en est rien. Ce n'est que si l'acceptation d'une offre avec fixation d'un délai pour accepter a été envoyée à temps, mais est parvenue trop tard chez le pollicitant que ce dernier a le devoir de réagir rapidement pour n'être pas lié par le contrat ( SCHMIDLIN, op. cit., n° 87 ad art. 3 CO; EUGEN BUCHER, Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 5e éd., 2011, n° 22 ad art. 5 CO).
Or, dans le cas présent, l'acceptation, ainsi qu'on l'a vu, n'a pas été envoyée à temps.
3.2.5. Du moment que l'offre transactionnelle de l'intimée n'a pas été acceptée dans le délai imparti, le recourant et B._ sont restés, dès le 16 septembre 2008, débiteurs solidaires de la banque de la somme de 87'318 fr.25 en capital. Après que la banque a ouvert action contre les précités par demande du 24 février 2009, B._ et la banque ont conclu une transaction judiciaire les 16 et 18 décembre 2009, par laquelle le premier consentait à verser à la seconde la somme de 50'000 fr. jusqu'au 22 décembre 2009. B._ s'est exécuté le 22 décembre 2009 et a été déclaré hors de cause par le tribunal d'arrondissement le 24 décembre 2009.
3.2.6. Ce versement a libéré le recourant de sa dette à l'endroit de la banque à concurrence de 50'000 fr. (art. 147 al. 1 CO). C'est donc en parfaite conformité avec le droit fédéral que la cour cantonale a confirmé le jugement du tribunal d'arrondissement, qui a condamné le recourant à payer à la banque la somme de 87'318 fr.25, plus intérêts à 5,125% l'an dès le 5 mai 2004, sous déduction du montant de 50'000 fr., valeur au 22 décembre 2009.
Les moyens dirigés contre l'arrêt attaqué sont sans fondement.
4.
Il suit de là que le présent recours doit être rejeté.
Comme le recours était voué à l'échec, la requête d'assistance judiciaire du recourant doit aussi être rejetée (art. 64 al. 1 LTF).
A considérer la situation économique précaire du recourant, qui résulte des pièces qu'il a produites, l'émolument de justice sera arrêté à 500 fr.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
2.
Le recours est rejeté.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 1er décembre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet