Sachverhalt:
A. A.a Am 23. Oktober 1970 begründete A._ zu Lasten ihrer Parzelle Nr. 1 und zu Gunsten der Parzelle Nr. 2, beide gelegen auf Gebiet der Gemeinde B._, ein Fuss- und Fahrwegrecht mit folgendem Wortlaut:
"Der jeweilige Eigentümer der Parzelle 1 räumt dem jeweiligen Eigentümer der Parzelle 2 das Recht ein, den Vorplatz und Umschwung westlich seines Oekonomiegebäudes der Parzelle 1 zu begehen und zu befahren um zum Heustall der Parzelle 2 zu gelangen".
A.b Im Jahre 1991 erwarb die X._ AG von C._ und D._ die Parzelle Nr. 3 (früher: 2). Y._ ist heute Eigentümer der Parzelle Nr. 4 (früher: 1). Gemäss Grundbuchauszug vom 7. April 2005 ist auf der Parzelle Nr. 4 unter anderm folgende Dienstbarkeit eingetragen:
"a) Last: Fuss- und Fahrwegrecht zugunsten der Liegenschaft Vermessungs-Parzelle Nr. 3, 23.10.1970".
B. Y._ reichte am 2. Oktober 2006 beim Bezirksgericht E._ Klage ein gegen die X._ AG. Er beantragte im Wesentlichen, das Fuss- und Fahrwegrecht auf seiner Parzelle aufzuheben. Mit Urteil vom 27. Juni 2007 wies das Bezirksgericht seine Klage ab. Daraufhin gelangte Y._ an das Kantonsgericht von Graubünden, welches seine Berufung guthiess und die Dienstbarkeit aufhob. Es kam - im Gegensatz zum Bezirksgericht - zum Schluss, dass das Fuss- und Fahrwegrecht nach dem Wortlaut sowie dem Sinn und Zweck aus rein landwirtschaftlichen Motiven errichtet worden war. Inzwischen seien jedoch das alte Wohnhaus und der Heustall abgerissen und durch ein Mehrfamilienhaus ersetzt worden, womit die bisherige landwirtschaftliche Nutzung wegfalle und die Dienstbarkeit für das berechtigte Grundstück jedes Interesse verloren habe.
C. Die X._ AG (nachfolgend: Beschwerdeführerin) ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 24. Juni 2008 an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Urteils und die Abweisung der Klage von Y._ (nachfolgend: Beschwerdegegner).
Es sind keine Antworten eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid über den Bestand einer Dienstbarkeit. Dabei handelt es sich um eine Zivilsache mit Vermögenswert. Die gesetzliche Streitwertgrenze wird nicht erreicht (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG).
1.1 Dieser Rechtsbegriff wird vom Bundesgericht angesichts der im Verlaufe der parlamentarischen Beratungen eingeführten subsidiären Verfassungsbeschwerde restriktiv ausgelegt, weshalb nicht einfach von den in der Botschaft des Bundesrates erwähnten Anforderungen ausgegangen werden kann (BGE 134 III 115 E. 1.2, 133 III 493 E. 1.1). Ist die Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, so ist in der Rechtsschrift dazutun, weshalb diese Voraussetzung gegeben sein soll (BGE 133 III 645 E. 2.4).
1.2 Die Beschwerdeführerin ficht das kantonsgerichtliche Urteil bezüglich der Auslegung des Dienstbarkeitsvertrages, der Voraussetzung der Grundbuchberichtigungsklage, des gutgläubigen Erwerbs und der Ersitzung nach Art. 661 ZGB an. Ohne weitere Begründung geht sie davon aus, dass es sich hierbei um Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung handelt. Ihre Ausführungen entsprechen auf weiten Strecken denjenigen im kantonalen Verfahren.
1.3 Die Vorinstanz hat vorerst festgestellt, dass das strittige Fuss- und Fahrwegrecht auf einem gültigen Rechtsgrund basiere, nämlich auf dem Dienstbarkeitsvertrag vom 23. Oktober 1970, und daher zu Recht im Grundbuch eingetragen worden sei. Alsdann bestimmte sie den Inhalt und Umfang des Rechtes gemäss Art. 738 ZGB und kam daraufhin zum Schluss, dass kein Interesse im Sinne von Art. 736 Abs. 1 ZGB mehr daran bestehe. Für eine Grundbuchberichtigungsklage bestehe kein Raum, da das Bestehen der Dienstbarkeit an sich unbestritten sei. Aus dem gleichen Grunde komme ein gutgläubiger Erwerb sowie eine Ersitzung nicht in Frage. Das angefochtene Urteil erging in Anwendung der jeweiligen sachenrechtlichen Grundsätze, so dass von Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung keine Rede sein kann.
1.4 Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist damit im Verfahren nach Art. 109 Abs. 1 BGG nicht einzutreten.
2. Ausgangsgemäss trägt die Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett