Sachverhalt:
A. Mit Eingaben vom 2., 8., 14. und 29. Oktober sowie vom 4. Dezember 2008 reichte X._ bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Aargau Strafanzeigen gegen Prof. Dr. A._, Direktionspräsident der [Bildungseinrichtung] F._, und B._, Leiter Personal der F._, wegen Nötigung und Mobbings, gegen C._, [Abteilung] E._ der F._, ebenfalls wegen Mobbings, gegen die F._ wegen Verstosses gegen Art. 59 des Bundesgesetzes über die Arbeit in Industrie, Gewerbe und Handel (Arbeitsgesetz, ArG; SR 822.11) sowie gegen Unbekannt wegen (versuchten) Betrugs ein.
B. Am 18. Dezember 2008 überwies die Staatsanwaltschaft die Eingaben von X._ dem Bezirksamt Brugg zur Behandlung. Dieses trat mit Verfügung vom 4. Januar 2009 auf die Strafanzeigen nicht ein. Es erwog zusammenfassend, das Strafrecht pönalisiere nur besonders qualifizierte Verletzungen eines Arbeitsvertrags. Solche seien vorliegend nicht ersichtlich.
Die von X._ gegen diese Nichteintretensverfügung erhobene Beschwerde wies die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts des Kantons Aargau mit Entscheid vom 13. Februar 2009 ab.
C. X._ führte gegen diesen Entscheid Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht, welches diese mit Urteil vom 25. Juni 2009 abwies, soweit es auf sie eintrat (Urteil 6B_237/2009).
X._ ersucht mit Eingabe vom 22. Juli 2009 um Revision des bundesgerichtlichen Urteils wegen Verletzung der Vorschriften über die Besetzung des Gerichts.
Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer beruft sich auf den Revisionsgrund von Art. 121 lit. a BGG. Er führt aus, das Bundesgericht habe ausser Acht gelassen, dass es im zu beurteilenden Verfahren um Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 20 Abs. 2 BGG gehe, welche in Fünfer- statt in Dreierbesetzung hätten entschieden werden müssen. Demzufolge seien die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts verletzt worden, weshalb der Revisionsgrund von Art. 121 lit. a BGG erfüllt sei.
1.2 Urteile des Bundesgerichts sind letztinstanzlich und werden mit der Ausfällung rechtskräftig. Das bedeutet, dass das Bundesgericht auf ein eigenes Urteil bzw. die darin beurteilten Fragen grundsätzlich nicht mehr zurückkommen kann. Eine Überprüfung ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrunds in den engen Grenzen der Art. 121, 122 und 123 BGG möglich.
Gemäss der Bestimmung von Art. 121 lit. a BGG, auf welche sich der Beschwerdeführer beruft, kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt wurden.
Nach Art. 20 Abs. 2 BGG entscheiden die Abteilungen des Bundesgerichts über Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung oder auf Antrag eines Richters oder einer Richterin in Fünferbesetzung.
Die Konkretisierung des unbestimmten Rechtsbegriffs "Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung" im Sinne von Art. 20 Abs. 2 BGG obliegt dem Bundesgericht. Aus dieser Bestimmung lässt sich kein individueller Rechtsanspruch der Parteien auf eine bestimmte Besetzung ableiten. Der Entscheid über die Besetzung beruht auf einer materiell-rechtlichen Beurteilung und nicht auf der Anwendung von Verfahrensrecht. Diese rechtliche Würdigung kann im Revisionsverfahren nicht in Frage gestellt werden.
Der vom Gesuchsteller geltend gemachte Revisionsgrund von Art. 121 lit. a BGG ist damit nicht gegeben. Das Revisionsgesuch ist abzuweisen.
2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, und der F._, Beschwerdekommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Stohner