Faits:
A. Le 31 janvier 2008, dame A._, née en 1961, a introduit une action en divorce contre son époux, A._, né en 1959. Ils sont les parents d'une fille majeure qui se trouve encore en formation.
Par jugement du 28 septembre 2009, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Glâne a, notamment, prononcé le divorce des parties et condamné le mari à contribuer à l'entretien de l'épouse par le versement d'un montant mensuel de 1'750 fr. jusqu'au 31 décembre 2009, puis de 1'250 fr. du 1er janvier au 31 décembre 2010.
B. Par arrêt du 16 août 2010, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a partiellement admis l'appel formé par l'épouse contre ce jugement. Elle l'a dès lors modifié en ce sens que le montant de la contribution d'entretien en faveur de l'épouse est fixé à 1'750 fr. par mois jusqu'au 31 décembre 2009, à 1'250 fr. par mois du 1er janvier au 31 décembre 2010 puis, dès cette date et jusqu'à ce que le mari atteigne l'âge de la retraite, à 600 fr. par mois si la fille des parties est encore en formation et jusqu'à la fin de cette formation, et à 1'250 fr. par mois si celle-ci a terminé sa formation ou dès la fin de cette formation.
C. Par acte du 23 septembre 2010, le mari exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 16 août 2010. Il conclut, principalement, à sa réforme en ce sens que la contribution mensuellement due pour l'épouse est fixée à 1'750 fr. jusqu'au 31 décembre 2009, puis à 1'250 fr. du 1er janvier au 31 décembre 2010, aucune contribution d'entretien n'étant mise à sa charge dès le 1er janvier 2011. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants.
L'intimée propose le rejet du recours et sollicite d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite pour la procédure fédérale.
D. Par ordonnance du 24 septembre 2010, la Présidente de la cour de céans a refusé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Seule la contribution d'entretien due par le mari en faveur de l'épouse est litigieuse. L'arrêt entrepris est une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) dans une contestation pécuniaire dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), car il a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée. Déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours est donc en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité cantonale (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 III 545 consid. 2.2 p. 550). Compte tenu des exigences de motivation posées à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine, en principe, que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Par exception à la règle d'après laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF), à savoir exposé de manière claire et détaillée (ATF 135 III 232 consid. 1.2 p. 234).
2. Le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., tant sous l'angle du droit à se déterminer sur les pièces du dossier que de celui à obtenir une décision motivée. Il s'agit là d'un grief de nature formelle, qu'il convient par conséquent d'examiner en premier lieu (ATF 124 I 49 consid. 1 p. 50) et avec une pleine cognition (ATF 121 I 54 consid. 2a p. 57 et les arrêts cités).
2.1 Le droit d'être entendu garanti à l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de prendre connaissance de toutes les pièces du dossier, et de toute observation communiquée au tribunal, ainsi que de pouvoir s'exprimer à leur propos, dans la mesure où il l'estime nécessaire (ATF 135 II 286 consid. 5.1 p. 293; 133 I 100 consid. 4.3 p. 102; 132 I 42 consid. 3.3.2 p. 46). Le droit d'être entendu comporte aussi le devoir minimum pour l'autorité d'examiner et de traiter les problèmes pertinents. Ce devoir est violé lorsque le juge ne prend pas en considération des allégués, arguments, preuves et offres de preuve présentés par l'une des parties et importants pour la décision à rendre. Il incombe à la partie soi-disant lésée d'établir que l'autorité n'a pas examiné certains éléments qu'elle avait régulièrement avancés à l'appui de ses conclusions et que ces éléments étaient de nature à influer sur le sort du litige; dans ce cas, en effet, la partie est placée dans la même situation que si elle n'avait pas eu la possibilité de présenter ses arguments (ATF 135 I 187 consid. 2.2 p. 190; 133 III 235 consid. 5.2 p. 248; 129 II 497 consid. 2.2 p. 504/505 et les arrêts cités). La jurisprudence a également déduit du droit d'être entendu le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse en saisir la portée et, le cas échéant, l'attaquer en connaissance de cause; pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'est pas tenu de discuter tous les arguments soulevés par les parties, mais peut se limiter à ceux qui lui apparaissent pertinents (ATF 136 I 229 consid. 5.2 p. 236; 136 V 351 consid. 4.2 p. 355 et les références).
2.1 Le droit d'être entendu garanti à l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de prendre connaissance de toutes les pièces du dossier, et de toute observation communiquée au tribunal, ainsi que de pouvoir s'exprimer à leur propos, dans la mesure où il l'estime nécessaire (ATF 135 II 286 consid. 5.1 p. 293; 133 I 100 consid. 4.3 p. 102; 132 I 42 consid. 3.3.2 p. 46). Le droit d'être entendu comporte aussi le devoir minimum pour l'autorité d'examiner et de traiter les problèmes pertinents. Ce devoir est violé lorsque le juge ne prend pas en considération des allégués, arguments, preuves et offres de preuve présentés par l'une des parties et importants pour la décision à rendre. Il incombe à la partie soi-disant lésée d'établir que l'autorité n'a pas examiné certains éléments qu'elle avait régulièrement avancés à l'appui de ses conclusions et que ces éléments étaient de nature à influer sur le sort du litige; dans ce cas, en effet, la partie est placée dans la même situation que si elle n'avait pas eu la possibilité de présenter ses arguments (ATF 135 I 187 consid. 2.2 p. 190; 133 III 235 consid. 5.2 p. 248; 129 II 497 consid. 2.2 p. 504/505 et les arrêts cités). La jurisprudence a également déduit du droit d'être entendu le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse en saisir la portée et, le cas échéant, l'attaquer en connaissance de cause; pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'est pas tenu de discuter tous les arguments soulevés par les parties, mais peut se limiter à ceux qui lui apparaissent pertinents (ATF 136 I 229 consid. 5.2 p. 236; 136 V 351 consid. 4.2 p. 355 et les références).
2.2 2.2.1 Le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir ignoré ses critiques, contenues dans son courrier du 19 juillet 2010, visant le certificat médical produit par l'intimée en instance d'appel. Il soutient que les juges précédents ont «retranché» cette lettre du dossier, considérant qu'elle avait été déposée hors délai, de sorte qu'il n'a jamais pu se prononcer sur la valeur probante du certificat précité, selon lequel l'intimée présenterait une incapacité de travail de l'ordre de 40% depuis le 1er juillet 2009. L'arrêt entrepris ne contiendrait en outre aucune motivation quant à la valeur probante de cette pièce, sur laquelle les juges précédents se sont fondés pour arrêter la capacité de gain de l'intimée.
L'autorité cantonale aurait aussi violé son droit d'être entendu en omettant de tenir compte, sans explication, de l'allégation, également formulée dans le courrier du 19 juillet 2010 et étayée par une liste d'hébergement touristique, selon laquelle l'intimée proposerait une chambre d'hôte dans sa villa, location qui lui permettrait d'augmenter son revenu.
2.2.2 Il appert que l'autorité cantonale n'a pas réagi au courrier du mari du 19 juillet 2010 et qu'elle a rendu son arrêt sans en tenir compte; selon le recourant, les juges précédents auraient estimé que cette lettre avait été déposée hors délai, ce qui ne ressort toutefois pas du dossier. Le certificat médical du 18 mai 2010, pris en considération par la cour cantonale sans émettre d'appréciation à son sujet, constitue un élément important dans la mesure où il atteste que l'épouse présente une incapacité de travail de 40% dès le 1er juillet 2009 et pour une durée indéterminée, ce qui a eu une influence sur la fixation de la contribution d'entretien. En ignorant, sans en exposer les motifs, la détermination du recourant, l'autorité cantonale a violé son droit d'être entendu, et ce indépendamment de la forme et du délai dans lesquels elle a été déposée. Il en va de même dans la mesure où les juges précédents ne se sont pas exprimés sur la recevabilité de l'allégué - nouveau - relatif aux revenus que l'intimée pourrait tirer de la location d'une chambre d'hôte dans sa villa.
3. En conclusion, le recours doit être admis, sans qu'il soit besoin d'examiner les autres griefs soulevés par le recourant, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle se prononce à nouveau en tenant compte de ce qui précède.
Dans les circonstances particulières de l'espèce, respectivement vu l'issue incertaine du litige dans un domaine - matrimonial - qui n'est pas toujours à la libre disposition des parties, et compte tenu de l'erreur procédurale de l'autorité précédente, il convient en équité de partager les frais judiciaires entre les parties (art. 66 al. 1 2e phrase LTF) et de compenser les dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Étant donné les conclusions prises par l'intimée en instance fédérale, sa requête d'assistance judiciaire ne saurait toutefois être admise (art. 64 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. La demande d'assistance judiciaire de l'intimée est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis pour moitié à la charge de chacune des parties.
4. Les dépens sont compensés.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 9 mai 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot