Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Die Mitwirkung in einem früheren Verfahren des Bundesgerichts bildet für sich allein keinen Ausstandsgrund (Art. 34 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer ist offenbar mit der früheren Tätigkeit eines "einseitig begabten ̈ Bundesrichters und eines Gerichtsschreibers am Bundesgericht nicht zufrieden, denen er eine falsche Interpretation und eine falsche Anwendung des Rechts vorwirft (vgl. Beschwerde S. 8 Ziff. 23). Auf dieses Ausstandsbegehren ist nicht einzutreten.
2. Es kann zur Hauptsache auf das im Urteil 6B_227/2010 vom 11. März 2010 betreffend Strafantritt Gesagte und insbesondere auf dessen E. 4 und 6 zu den Begründungsanforderungen einer Beschwerde ans Bundesgericht verwiesen werden. Zu E. 5 ist zu ergänzen, dass das Ausstandsbegehren gegen den Verwaltungsrichter, der den angefochtenen Entscheid gefällt hat, und gegen die mitwirkende Gerichtssekretärin offensichtlich trölerisch ist (vgl. Anträge 4 und 20). Weiter ist zu ergänzen, dass der Hinweis auf das Verbot des Schuldverhafts (Beschwerde S. 5) an der Sache vorbei geht, da es vorliegend nicht um einen Schuldverhaft geht (angefochtener Entscheid S. 12 E. 4.4). Im Übrigen sagt der Beschwerdeführer selber, dass er auf die "pseudojuristische Rabulistik" der Vorinstanz nicht eingehe (Beschwerde S. 8 Ziff. 21). Auf eine derartige Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
3. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehen aussichtslos erschienen. Infolge der rechtsmissbräuchlichen Art der Prozessführung kommt eine Herabsetzung der Gerichtsgebühr nicht in Betracht (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf das Ausstandsbegehren gegen einen Bundesrichter und einen Gerichtsschreiber am Bundesgericht wird nicht eingetreten.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juli 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn