Sachverhalt:
A. Auf Gesuch von X._ (nachfolgend: Beschwerdeführer) vom 18. April 2006 stellte die Einzelrichterin im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Bülach am 26. September 2006 im Rahmen von Eheschutzmassnahmen das gemeinsame Kind der Eheleute X._ und Y._, Z._, geb. 2006, unter die Obhut von Y._ (nachfolgend: Beschwerdegegnerin) und räumte dem Beschwerdeführer ein Besuchsrecht von je vier Stunden am ersten und dritten Samstag pro Monat ein. Ferner verfügte sie, die am 11. Mai 2006 angeordnete Beistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 2 ZGB werde für die Dauer des Getrenntlebens beibehalten, und umschrieb den Auftrag an die Beiständin neu. Der Beschwerdeführer wurde alsdann verpflichtet, an den Unterhalt des Sohnes ab dem 1. Mai 2006 für die Dauer des Getrenntlebens monatlich und zum voraus Fr. 800.-- zuzüglich allfälliger gesetzlicher oder vertraglicher Kinder- und Familienzulagen zu zahlen. Ferner wurde er dazu verhalten, an den Unterhalt der Beschwerdegegnerin Fr. 1'930.-- für Mai 2006, Fr. 2'630.-- für Juni 2006 sowie ab Juli 2006 monatlich und zum voraus Fr. 2'820.-- zu leisten. Zudem wurde der Beschwerdeführer angewiesen, der Beschwerdegegnerin auf erstes Verlangen bestimmte Gegenstände herauszugeben. Das Begehren des Beschwerdeführers um Anordnung der Gütertrennung wurde abgewiesen. Die Kosten des Verfahrens wurden dem Beschwerdeführer auferlegt, wobei er im internen Verhältnis der Parteien die Hälfte der Kosten im Sinne der ehelichen Beistandspflicht gemäss Art. 159 Abs. 3 ZGB trägt. Den Parteien wurde keine Prozessentschädigung zugesprochen. Schliesslich wurde der Beschwerdeführer verpflichtet, im Sinne von Art. 159 Abs. 3 ZGB die Anwaltskosten der Beschwerdegegnerin im Umfang von Fr. 8'000.-- zu bezahlen, unter Anrechnung des gemäss Verfügung der Einzelrichterin vom 11. Mai 2006 bereits geleisteten Kostenvorschusses.
B. In teilweiser Gutheissung eines Rekurses des Beschwerdeführers bzw. von Amtes wegen ergänzte das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 16. Januar 2007 die Regelung des Besuchsrechts dahingehend, dass die ersten vier Besuchstage begleitet durchzuführen sind. Ferner umschrieb es den Auftrag an die Beiständin neu. Sodann verpflichtete es den Beschwerdeführer, an den Unterhalt der Beschwerdegegnerin für den Monat Mai 2006 mit Fr. 1'899.--, für Juni 2006 mit Fr. 2'456.--, für die Monate Juli und August 2006 sowie vom 1. Oktober 2006 bis 31. Dezember 2006 mit Fr. 2'680.-- monatlich, für September 2006 mit Fr. 2'284.-- und ab Januar 2007 mit Fr. 2'652.-- pro Monat beizutragen. Des weiteren wurde der Beschwerdeführer verpflichtet, der Beschwerdegegnerin auf erstes Verlangen bestimmte Gegenstände herauszugeben. Ferner wurde zwischen den Parteien per 18. April 2006 die Gütertrennung angeordnet. Die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens wurden den Parteien zur Hälfte auferlegt. In Ergänzung von Ziffer 15 der erstinstanzlichen Verfügung erkannte das Obergericht, der Beschwerdeführer werde im Sinne von Art. 159 Abs. 3 ZGB weiter verpflichtet, der Beschwerdegegnerin die von ihr zu tragenden Gerichtskosten im Umfang von Fr. 1'866.-- zu bezahlen. Im Übrigen wurde der Rekurs abgewiesen und die erstinstanzliche Verfügung bestätigt.
C. Der Beschwerdeführer hat diesen Beschluss mit Beschwerde vom 19. Februar 2007 beim Bundesgericht angefochten. Er beantragt darin, den Sohn unter seine elterliche Sorge (eventuell Obhut) zu stellen, die Regelung betreffend das Besuchsrecht, die Anordnung der Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB und den damit verbundenen Auftrag an die Beiständin sowie die Verpflichtung zu Unterhaltsbeiträgen an die Beschwerdegegnerin und den Sohn aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner sei die Anordnung zur Herausgabe von Gegenständen sowie die gestützt auf Art. 159 Abs. 3 ZGB angeordnete Verpflichtung zur Bezahlung von Gerichts- und Anwaltskosten der Beschwerdegegnerin ersatzlos aufzuheben (5A_36/2007 act. 1).
D. Mit Verfügung vom 21. Februar 2007 des Präsidenten der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts ist das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung abgewiesen worden (act. 4).
E. Der Beschwerdeführer hat den obergerichtlichen Beschluss auch mit kantonaler Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich angefochten, mit der er identische Anträge wie vor Obergericht erhob. Die Nichtigkeitsbeschwerde ist mit Beschluss des Kassationsgerichts vom 4. Juni 2007 mit Bezug auf das Begehren um Herausgabe von Gegenständen gutgeheissen, im Übrigen aber abgewiesen worden (act. 5).
F. In einer weiteren Eingabe vom 11. Juli 2007 an das Bundesgericht (beim Bundesgericht eingegangen am 12. Juli 2007) richtet sich der Beschwerdeführer einerseits erneut gegen den obergerichtlichen Beschluss, anderseits auch gegen den Beschluss des Kassationsgerichts. Mit Bezug auf den Beschluss des Kassationsgerichts beantragt er sinngemäss, den Sohn unter seine elterliche Sorge (eventuell Obhut) zu stellen, die Regelung betreffend das Besuchsrecht, die Anordnung der Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB und den damit verbundenen Auftrag an die Beiständin sowie die Verpflichtung zu Unterhaltsbeiträgen an die Beschwerdegegnerin und den Sohn aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner sei die Anordnung zur Herausgabe von Gegenständen sowie die gestützt auf Art. 159 Abs. 3 ZGB angeordnete Verpflichtung zur Bezahlung von Gerichts- und Anwaltskosten der Beschwerdegegnerin ersatzlos aufzuheben. In einem zusätzlichen Eventualantrag ersucht er darum, das Besuchsrecht zumindest auf Freitag Abend 19.00 Uhr bis Sonntag Abend 19.00 Uhr (an geraden oder ungeraden Wochenenden) auszudehnen (5A_391/2007 act. 1 S. 3).
G. In beiden Verfahren ist keine Vernehmlassung eingeholt worden.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht in Kraft getreten (BGG; SR 173.110; AS 2006 1205, 1243). Die angefochtenen Beschlüsse sind nach Inkrafttreten des Gesetzes ergangen, weshalb dieses Gesetz anzuwenden ist (Art. 132 Abs. 1 BGG).
2. An den Verfahren 5A_36/2007 und 5A_391/2007 sind dieselben Parteien beteiligt. Den Beschwerden liegt derselbe Sachverhalt zu Grunde und der Beschwerdeführer stellt identische Anträge. Es rechtfertigt sich daher, beide Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden in einem Urteil zu behandeln (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 24 BZP).
3. 3.1 Die Beschwerde 5A_36/2007 vom 19. Februar 2007 richtet sich gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich. Die Beschwerde in Zivilsachen ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Nicht erforderlich ist die Einlegung eines ausserordentlichen Rechtsmittels, mit welchem nicht alle vor Bundesgericht zulässigen Rügen erhoben werden können. Wird das ausserordentliche kantonale Rechtsmittel aber ergriffen, beginnt die Beschwerdefrist gegen den Entscheid des oberen kantonalen Gerichts erst mit der Eröffnung des Entscheids der zusätzlichen Rechtsmittelinstanz (Art. 100 Abs. 6 BGG). Können allerdings mit dem ausserordentlichen kantonalen Rechtsmittel alle vor Bundesgericht zulässigen Rügen geltend gemacht werden, erfordert Art. 75 Abs. 1 BGG die Erschöpfung dieses kantonalen Rechtsmittelzuges und ist die Beschwerde gegen den Entscheid des oberen kantonalen Gerichts unzulässig.
3.2 Zu prüfen ist daher zunächst, ob vor dem Kassationsgericht alle vor Bundesgericht zulässigen Rügen geltend gemacht werden konnten. Nach § 281 ZPO/ZH kann gegen Vor-, Teil-, und Endentscheide sowie gegen Rekursentscheide und Rückweisungen im Berufungsverfahren Nichtigkeitsbeschwerde erhoben werden, wenn geltend gemacht wird, der angefochtene Entscheid beruhe zum Nachteil des Nichtigkeitsklägers auf einer Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes (Ziff. 1), auf einer aktenwidrigen oder willkürlichen tatsächlichen Annahme (Ziff. 2) oder auf einer Verletzung klaren materiellen Rechts (Ziff. 3). Ausgeschlossen ist die Nichtigkeitsbeschwerde, wenn das Bundesgericht einen Mangel frei überprüfen kann (§ 285 Abs. 2 ZPO/ZH; Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. Zürich 2000, N. 6 zu § 285 ZPO).
3.3 Eheschutzentscheide gelten nach der Rechtsprechung als vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5), so dass nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich des Willkürverbots (Art. 9 BV), geltend gemacht werden kann.
3.4 Mit der gegen den Beschluss des Obergerichts erhobenen Beschwerde in Zivilsachen rügt der Beschwerdeführer unter anderem die Verletzung von Art. 8 Abs. 3 (Gleichberechtigung von Mann und Frau), Art. 29 Abs. 1, Art. 11 Abs. 1 (Anspruch der Kinder auf Unversehrtheit) und Art. 27 BV (Wirtschaftsfreiheit). Verfassungsrügen überprüft das Bundesgericht an sich frei. Artikel 8 Abs. 3, Art. 11 Abs. 1 und Art. 27 BV kommt indes hinsichtlich des im ZGB geregelten Eheschutzes und der Kinderbelange keine eigenständige Bedeutung zu, was vom Beschwerdeführer auch nicht behauptet wird. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
Nach herrschender Auffassung ist eine eher weite Auslegung des Begriffes des wesentlichen Verfahrensgrundsatzes gemäss § 281 Ziff. 1 ZPO/ZH angezeigt. Darunter fallen nicht nur Vorschriften des kantonalen Zivilprozessrechts, sondern ebenso bundesrechtliche Verfahrensgrundsätze (Frank/Sträuli/Messmer, a.a.O., N. 16 und 17 zu § 281 Ziff. 1 ZPO/ZH). Artikel 29 BV handelt von den Verfahrensgarantien. Dessen Absatz 1 umschreibt allgemeine Rechte, wie etwa das Verbot der Rechtsverweigerung und -verzögerung sowie das Verbot des überspitzten Formalismus (Mahon, in: Aubert/Mahon, Petit commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse, 2003, N. 4 zu Art. 29 BV), während Absatz 2 den Anspruch auf rechtliches Gehör beinhaltet. Absatz 3 schliesslich regelt die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Bezug auf die Ansprüche gemäss den Absätzen 2 und 3 gehen Lehre und Rechtsprechung davon aus, es handle sich um vom Kassationsgericht frei zu prüfende wesentliche Verfahrensgrundsätze im Sinne von § 281 Ziff. 1 ZPO (für das rechtliche Gehör: Spühler/Vock, Rechtsmittel in Zivilsachen im Kanton Zürich und im Bund, 1999, S. 67; BGE 104 Ia 408 E. 3b S. 411; für die unentgeltliche Rechtspflege: Spühler/Vock, a.a.O., S. 67; ZR 97/1998 Nr. 31 S. 92 f. E. 2; 104/2005 Nr. 9 S. 26 f. E. 2.2b). Die in Art. 29 Abs. 1 BV umschriebenen Verfahrensgarantien gelten somit wie die vorgenannten Ansprüche als wesentliche Verfahrensgrundsätze im Sinne von § 281 Ziff. 1 ZPO/ZH.
Auch die übrigen Rügen konnten mit der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde geltend gemacht werden. Das gilt für die aktenwidrigen oder willkürlichen Annahmen (§ 281 Ziff. 2 ZPO/ZH) ebenso wie für die bezüglich der Bestimmungen des Eheschutzes und der Kinderbelange erhobene Kritik der Verletzung klaren materiellen Rechts (§ 281 Ziff. 3 ZPO/ZH), die im Wesentlichen der Rüge der Verletzung des Willkürverbots entspricht (vgl. dazu Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 4. Juni 2007, II. E. 2 S. 6).
3.5 Konnten aber mit dem kantonalen ausserordentlichen Rechtsmittel alle vor Bundesgericht zulässigen Rügen geltend gemacht werden, ist die gegen den Beschluss des Obergerichts erhobene Beschwerde vom 19. Februar 2007 mangels Erschöpfung des kantonalen Instanzenzuges unzulässig; darauf ist nicht einzutreten. Da bei dieser Rechtslage insbesondere auch Art. 100 Abs. 6 BGG nicht zur Anwendung gelangt (E. 3.1 hiervor), ist auf die Ergänzung der Beschwerde vom 19. Februar 2007 durch die Eingabe vom 11. Juli 2007 nicht einzutreten.
4. 4.1 Mit der Beschwerde 5A_391/2007 vom 11. Juli 2007 richtet sich der Beschwerdeführer gegen den Beschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 4. Juni 2007. Da gegen Eheschutzentscheide nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden kann, gelangen die Art. 95 und 97 BGG und auch Art. 105 Abs. 2 BGG nicht zur Anwendung. Die hier gegebenen Verhältnisse entsprechen denjenigen bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG). Wie dort (Art. 118 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 116 BGG) kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen ebenfalls hier nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat. Wird Letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich (Art. 9 BV), offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f.; 128 I 81 E. 2 S. 86; 120 Ia 31 E. 4b S. 40, mit Hinweisen). Demnach prüft das Bundesgericht auch weiterhin nur klar und einlässlich erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Hingegen tritt es auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht ein. Macht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbotes geltend, muss er anhand des angefochtenen Entscheides im Einzelnen darlegen, inwiefern dieser im Ergebnis an einem qualifizierten Mangel leidet (BGE 130 I 258 E. 1.3). Allgemeine Einwendungen gegen den angefochtenen Entscheid und Ausführungen zur Arbeitsweise der Vorinstanz werden hingegen nicht berücksichtigt.
4.2 Der Beschwerdeführer rügt in seiner Eingabe den Entscheid des Kassationsgerichts zwar als willkürlich und gegen Art. 29 Abs. 2 BV verstossend. Seine allgemeinen Ausführungen zum Kindeswohl, zur eigenen Erziehungsfähigkeit und zur Vaterrolle bleiben indes hinsichtlich der Obhutszuteilung appellatorisch. Dies gilt auch für die Vorbringen zum Restwert des Fahrzeuges und zur Parteientschädigung. Darauf ist nicht einzutreten.
5. Zusammenfassend ist auf die Beschwerden nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des vereinigten Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist keine Entschädigung zu entrichten, da keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 5A_36/2007 und 5A_391/2007 werden vereinigt.
2. Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtsgebühr von gesamthaft Fr. 3'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: