Erwägungen:
1. X._, 1981 geborene Staatsangehörige von Nigeria, reiste Ende Oktober 2005 in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch. Am 2. Februar 2006 wurde das Gesuch abgewiesen unter gleichzeitiger Anordnung der Wegweisung; eine vorläufige Aufnahme wurde nicht verfügt. Dieser Asylentscheid ist mit dem Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 3. Februar 2009 rechtskräftig geworden.
X._ gebar im Mai 2006 einen Sohn und am 9. Januar 2008 die Tochter Y._. Am 28. Mai 2009 anerkannte der in Frankreich wohnhafte französische Staatsangehörige Z._ die Letztere als sein Kind. X._, welche der asylrechtlichen Wegweisung keine Folge geleistet hatte, ersuchte am 9. Juli 2009 um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung für den Kanton St. Gallen. Mit Verfügung vom 17. August 2009 erklärte das Kantonale Ausländeramt St. Gallen in Anwendung von Art. 14 Abs. 1 AsylG, es werde kein Verfahren um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung eingeleitet. Der gegen diese Verfügung erhobene Rekurs an das Sicherheits- und Justizdepartement blieb erfolglos, und mit Urteil vom 15. April 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die gegen den Rekursentscheid des Departements erhobene Beschwerde ab.
Mit Rechtsschrift vom 25. Mai 2010 beantragen X._ sowie Y._ und Z._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und eine Niederlassungs- bzw. Aufenthaltsbewilligung "zuzusprechen".
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit, die Zulässigkeit eines Rechtsmittels sowie die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 135 II 94 E. 1 S. 96; 135 III 1.1 S. 3; 135 IV 162 E. 1 S. 163; je mit Hinweisen). Immerhin ist die Beschwerde gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG hinreichend zu begründen. Die Begründungspflicht beschlägt - in einem gewissen Masse - auch die Eintretensvoraussetzungen. Es kann jedenfalls nicht Sache des Bundesgerichts sein, umfassend nach entsprechenden Hinweisen zu forschen, wenn sie nach den konkreten Umständen nicht ohne weiteres erfüllt scheinen (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 403 f.).
2.2 Streitig ist die Erteilung einer ausländerrechtlichen Bewilligung an die im Asylverfahren rechtskräftig weggewiesene Beschwerdeführerin 1 und ihre Tochter, die Beschwerdeführerin 2. Als bundesrechtliches Rechtsmittel fallen die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) in Betracht.
2.2.1 Gemäss Art. 14 AsylG kann eine asylsuchende Person ab Einreichung des Asylgesuches bis zur Ausreise nach einer rechtskräftig angeordneten Wegweisung, nach einem Rückzug des Asylgesuches oder bis zur Anordnung einer Ersatzmassnahme bei nicht durchführbarem Vollzug kein Verfahren um Erteilung einer ausländerrechtlichen Aufenthaltsbewilligung einleiten, ausser es bestehe ein Anspruch auf deren Erteilung (Abs. 1). Der Kanton kann mit Zustimmung des Bundesamtes für Migration einer ihm zugewiesenen Person eine Aufenthaltsbewilligung erteilen, wenn die betroffene Person sich seit Einreichung des Asylgesuches mindestens fünf Jahre in der Schweiz aufhält (Abs. 2). Die Beschwerdeführerin 1 ist rechtskräftig weggewiesene Asylbewerberin, wobei noch nicht fünf Jahre seit Einreichung ihres Asylgesuches verstrichen sind. Bereits die Einleitung eines ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahrens ist für sie nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ihr ein Bewilligungsanspruch zusteht. Das Bestehen eines solchen Anspruchs für zumindest eine der Beschwerdeführerinnen ist sodann Voraussetzung für die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG).
2.2.2 Als Anknüpfungspunkt für einen Bewilligungsanspruch käme die familiäre Beziehung zwischen der Beschwerdeführerin 2 und ihrem Vater, dem Beschwerdeführer 3, in Betracht, was indirekt auch zu einem Recht auf Bewilligungserteilung an die Beschwerdeführerin 1 in ihrer Eigenschaft als Mutter der Beschwerdeführerin 2 führen könnte.
In der Beschwerde wird, wie schon im kantonalen Verfahren, geltend gemacht, dass angesichts der französischen Staatsbürgerschaft des Beschwerdeführers 3 gestützt auf Art. 7 (namentlich lit. d) FZA ein Recht auf Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 2 im Sinne eines Nachzugsrechts bestehe. Das Verwaltungsgericht hat dargelegt, dass diesbezüglich eine Berufung auf das Freizügigkeitsabkommen, insbesondere Art. 3 Anhang I FZA, ausser Betracht falle; ein "Nachzugsrecht" für die Tochter setzte voraus, dass der Beschwerdeführer 3 zu einem der im FZA genannten Zwecke einen Aufenthalt in der Schweiz begründete und die Beschwerdeführerin 2 bei ihm Wohnung nehmen könnte. Es kann auf die zutreffenden Darlegungen in E. 2.2 des angefochtenen Urteils verwiesen werden. Die tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Urteil lassen nicht auf das Bestehen eines anderen FZA-Anspruchstatbestand schliessen; ein solcher wird in der Beschwerdeschrift nicht geltend gemacht. Sodann fällt eine Berufung auf Art. 8 EMRK ausser Betracht, um zwecks Pflege der familiären Beziehung zum in Frankreich domizilierten Beschwerdeführer 3 eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton St. Gallen zu beanspruchen. Dem Verwaltungsgericht ist beizupflichten, dass allenfalls aus Art. 8 EMRK fliessende Ansprüche bei der gegebenen Konstellation im Domizil- und Heimatland des Vaters, in Frankreich, geltend zu machen wären.
2.2.3 Mangels Bewilligungsanspruchs kann das Urteil des Verwaltungsgerichts nicht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden; diese ist nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG), weshalb als bundesrechtliches Rechtsmittel nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht fällt. Damit kann allein die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG), wobei entsprechende Rügen spezifisch zu begründen sind (Art. 106 Abs. 2 und 42 Abs. 2 BGG). Zur Verfassungsbeschwerde berechtigt ist sodann nur, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG). Die Beschwerdeführer erwähnen nebst Art. 8 EMRK, woraus sich - wie vorstehend dargestellt - im vorliegenden Bewilligungsstreit keine Rechte ergeben und sich keine im Sinne von Art. 115 lit. b BGG rechtlich geschützte Position ableiten lässt, auch Art. 3 und 13 EMRK. Inwiefern diese beiden Konventionsnormen verletzt worden sein könnten, wird mit den Ausführungen in der Beschwerdeschrift nicht in einer den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise dargetan. Namentlich bleibt unerfindlich, inwiefern angesichts der umfassenden Erwägungen des Verwaltungsgerichts das Recht auf wirksame Beschwerde verletzt worden sein sollte. Als Verfassungsbeschwerde entbehrt das von den Beschwerdeführern erhobene Rechtsmittel offensichtlich einer hinreichenden Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
2.3 Auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) der Beschwerdeführerin 1 und dem Beschwerdeführer 3 zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz und Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden je zur Hälfte der Beschwerdeführerin 1 und dem Beschwerdeführer 3 auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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