Sachverhalt:
A. Die 1966 geborene J._ meldete sich im Juni 2006 wegen eines chronischen Schmerzsyndroms bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen verneinte die IV-Stelle mit Vorbescheid vom 8. Mai 2007 einen Rentenanspruch. Am 21. Mai 2007 erhob J._ schriftlich Einwand und stellte weitere Berichte und zusätzliche Beweismittel in Aussicht. Mit Verfügung vom 15. Juni 2007 wies die Verwaltung das Leistungsbegehren ab.
Mit Schreiben vom 4. Juli 2007 an die IV-Stelle wiederholte J._ unter Bezugnahme auf die "Mahnung vom 15. 06. 2007" den Einwand gegen den Vorbescheid, bat unter Hinweis auf den für den 11. Juli 2007 vereinbarten Termin beim Spezialisten um Geduld und kündigte an, medizinische Berichte nach Erhalt weiterzuleiten. Am 12. Juli 2007 teilte ihr die IV-Stelle mit, die Frist für das Einreichen von Einwänden sei nun abgelaufen; sie habe die Möglichkeit, gegen die Verfügung vom 15. Juni 2007 Beschwerde beim Versicherungsgericht einzureichen.
B. Am 17. Oktober 2007 liess J._ Beschwerde beim Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen erheben, welches mit Entscheid vom 21. Januar 2008 darauf nicht eintrat.
C. J._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 21. Januar 2008 sei aufzuheben und die Sache sei an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Versicherungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Streitig und als Rechtsfrage frei zu prüfen ist, ob die Vorinstanz das Verbot des überspitzten Formalismus verletzte, indem sie die Frist zur Anfechtung der Verfügung vom 15. Juni 2007 als versäumt betrachtet und insbesondere das an die IV-Stelle gerichtete Schreiben der Versicherten vom 4. Juli 2007 nicht als Beschwerde gegen die Verfügung vom 15. Juni 2007 aufgefasst hat.
1.2 Überspitzter Formalismus ist eine besondere Form der Rechtsverweigerung. Eine solche liegt vor, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und den Bürgern und Bürgerinnen den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt. Wohl sind im Rechtsgang prozessuale Formen unerlässlich, um die ordnungsgemässe und rechtsgleiche Abwicklung des Verfahrens sowie die Durchsetzung des materiellen Rechts zu gewährleisten. Nicht jede prozessuale Formstrenge steht demnach mit Art. 29 Abs. 1 BV im Widerspruch. Überspitzter Formalismus ist nur gegeben, wenn die strikte Anwendung der Formvorschriften durch keine schutzwürdigen Interessen gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder verhindert. Er kann in den Verhaltensvorgaben an die Rechtsuchenden oder in den daran geknüpften Rechtsfolgen begründet sein (BGE 132 I 249 E. 5 S. 253; 130 V 177 E. 5.4.1 S. 183).
2. 2.1 Die Beschwerde muss eine gedrängte Darstellung des Sachverhaltes, ein Rechtsbegehren und eine kurze Begründung enthalten. Genügt sie diesen Anforderungen nicht, so setzt das Versicherungsgericht der Beschwerde führenden Person eine angemessene Frist zur Verbesserung und verbindet damit die Androhung, dass sonst auf die Beschwerde nicht eingetreten wird (Art. 61 lit. b ATSG). Dabei wird vorausgesetzt, dass ein Beschwerdeverfahren überhaupt anhängig gemacht wurde, indem der Anfechtungswille rechtzeitig und in prozessual gehöriger Form klar bekundet worden ist (BGE 116 V 353 E. 2b S. 356; Urteile 9C_853/2007 vom 15. April 2008 E. 2 und 8C_442/2007 vom 5. Mai 2008 E. 1.1).
Gelangt eine rechtzeitig erhobene Beschwerde an eine unzuständige Behörde, ist sie von dieser ohne Verzug dem zuständigen Versicherungsgericht zu überweisen (Art. 58 Abs. 3 ATSG) und die Beschwerdefrist gilt als gewahrt (Art. 60 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 39 Abs. 2 ATSG). Die unzuständige Behörde ist auch bei zweifelhaftem Anfechtungswillen grundsätzlich zur Weiterleitung der Eingabe verpflichtet, denn es ist Sache des zuständigen Gerichts zu entscheiden, ob eine Eingabe den rechtlichen Anforderungen an eine Beschwerde entspricht (Urteil 8C_442/2007 vom 5. Mai 2008 E. 2.3). Die Verletzung der Weiterleitungspflicht ändert - bei gegebenem Anfechtungswillen - nichts an der fristwahrenden Wirkung der rechtzeitig erhobenen Beschwerde.
2.2 Vorab ist festzuhalten, dass die Verfügung vom 15. Juni 2006 mit einer korrekten Rechtsmittelbelehrung versehen war. Mit dem als "Antwort auf Ihre Mahnung vom 15. 06. 2007" betitelten Schreiben vom 4. Juli 2007 an die IV-Stelle wiederholte die Beschwerdeführerin ihren bereits gegen den Vorbescheid erhobenen Einwand und bat um etwas Geduld für die Einreichung weiterer Beweismittel. Nach Auffassung der Vorinstanz kann dies nur als Gesuch um Verlängerung der Einwandfrist gegenüber der IV-Stelle verstanden werden. Es ist fraglich, ob die Beschwerdeführerin damit nicht ihren Anfechtungswillen hinreichend klar bekundet hat und das Schreiben vom 4. Juli 2007 daher als bei einer unzuständigen Behörde eingereichte Beschwerde aufzufassen ist. Dies kann indessen offen bleiben, da es am Ergebnis nichts ändert (E. 2.3). Jedenfalls hätte die IV-Stelle auch bei diesbezüglichen Zweifeln die Eingabe vom 4. Juli 2007 an das zuständige Gericht weiterleiten müssen. Stattdessen teilte sie der Beschwerdeführerin am 12. Juli 2007 mit, die Frist für das Einreichen von Einwänden sei nun abgelaufen. Sie habe die Möglichkeit, gegen die Verfügung vom 15. Juni 2007 Beschwerde beim Versicherungsgericht einzureichen.
2.3 Der Verfassungsgrundsatz von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 BV), der Behörden und Private gleichermassen bindet, gilt insbesondere auch im Prozess (BGE 125 V 373 E. 2b/aa S. 375; Urteil 8C_738/2007 vom 26. März 2008 E. 6.2). Danach konnte die Mitteilung der IV-Stelle vom 12. Juli 2007 auch von der offensichtlich rechtsunkundigen Versicherten nur so verstanden werden, dass sie die Verfügung vom 15. Juni 2007 - rechtzeitig - beim kantonalen Versicherungsgericht anfechten kann und muss. Sie beauftragte denn auch Ende August 2007 einen Rechtsanwalt mit der Wahrung ihrer Interessen.
Nach unbestrittener Feststellung der Vorinstanz dauerte die Frist zur Anfechtung der Verfügung vom 15. Juni 2007 bei Erhalt des Schreibens vom 12. Juli 2007 noch über einen Monat und lief "ca." Mitte August 2007 ab. Bis zu diesem Zeitpunkt blieb die Beschwerdeführerin untätig. Ist zu Gunsten der Versicherten davon auszugehen, dass mit Erhalt der Mitteilung vom 12. Juli 2007 eine neue 30-tägige Anfechtungsfrist ausgelöst wurde, so lief diese unter Berücksichtigung der Gerichtsferien spätestens am 17. September 2007 ab (Art. 60 Abs. 2 in Verbindung mit 38 Abs. 4 lit. b ATSG). Nachdem dem Rechtsvertreter die Akten bereits am 5. September 2007 zugestellt worden sind, erhob er die Beschwerde, mit welcher u.a. die Verletzung der Weiterleitungspflicht gerügt wird, erst am 17. Oktober 2007. Dies muss als verspätet bezeichnet werden. Der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid verletzt somit im Ergebnis Bundesrecht nicht.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, der Ausgleichskasse EXFOUR, Basel, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juni 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Dormann