Sachverhalt:
A. A._ steht am Grundstück xxxx in B._ ein bis 30. Juni 2011 befristetes, im Grundbuch vorgemerktes Vorkaufsrecht zu. Mit Vertrag vom 22. Dezember 2006 erwarb die X._ AG (Beschwerdeführerin) das Grundstück. Die Ausübung des Vorkaufsrechts bzw. das Eigentum an diesem Grundstück ist zwischen A._ und der Beschwerdeführerin streitig und gab bereits Anlass zu mehreren Gerichtsverfahren.
B. B.a In einer dringlichen Anordnung vom 27. Juni 2007 wies das Landgerichtspräsidium Uri das kantonale Grundbuchamt an, zu Lasten des umstrittenen Grundstücks eine Verfügungsbeschränkung nach Art. 960 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB zur Sicherung des Anspruchs von A._ auf Übereignung im Grundbuch vorzumerken (Verfahren LGP 07 202).
B.b Im anschliessenden Verfahren betreffend vorsorgliche Massnahmen unterzeichneten die Parteien am 25. Juli / 8. August 2007 einen Vergleich. Gemeinsam beauftragten sie das Gericht, (1.) die dringlich angeordnete Vormerkung im Grundbuch gerichtlich zu bestätigen und (2.) dem Beschwerdeführer eine rechtszerstörliche, nicht erstreckbare Frist von zwei Monaten zur Anhebung des Hauptprozesses anzusetzen. Das Landgerichtspräsidium erteilte dem Grundbuchamt die entsprechende Anweisung, die dringlich angeordnete Vormerkung der Verfügungsbeschränkung vorläufig zu bestätigen. Es setzte A._ zur Anhebung des Hauptprozesses auf Übereignung des Grundstücks beim zuständigen Gericht eine rechtszerstörliche, nicht erstreckbare Frist von zwei Monaten verbunden mit der Androhung, dass die vorläufige Verfügungsbeschränkung dahinfällt, wenn die Klage nicht innert Frist angehoben wird. Das Gesuch um Vormerkung der Verfügungsbeschränkung wurde als durch Vergleich erledigt abgeschrieben und der Vergleich zum integrierenden Bestandteil des Erledigungsbeschlusses erklärt (Entscheid vom 13. August 2007; Verfahren LGP 07 201).
B.c Am 6. September 2007 erhob A._ - ohne vorgängig eine Vermittlungsverhandlung durchgeführt zu haben - Klage mit dem Antrag, er sei als Eigentümer des Grundstücks xxxx im Grundbuch einzutragen (Verfahren LGZ 07 25). Das Landgericht trat auf die Klage nicht ein, überwies die Klage von Amtes wegen an den Vermittler und hielt fest, dass die im Verfahren LGP 07 201 angesetzte Klagefrist als eingehalten gelte und die vorsorgliche Verfügungsbeschränkung bestehen bleibe (Entscheid vom 14. Februar 2008). Auf Berufung von A._ hin hob das Obergericht des Kantons Uri die Überweisung der Klage an den Vermittler ersatzlos auf und trat auf die Klage nicht ein (Entscheid vom 22. Januar 2009; Verfahren OGZ 08 5). Am 6. April 2009 wies das Landgerichtspräsidium das Grundbuchamt an, die Vormerkung der Verfügungsbeschränkung vom 27. Juni 2007 zu löschen.
B.d Auf erneutes Gesuch von A._ vom 3. April 2009 wies das Landgerichtspräsidium das Grundbuchamt mit dringlicher Anordnung vom 6. April 2009 an, zu Lasten des Grundstücks xxxx eine Verfügungsbeschränkung nach Art. 960 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB zur Sicherung des Anspruchs auf Übereignung dieses Grundstücks im Grundbuch vorzumerken (Verfahren LGP 09 107). Im anschliessenden Verfahren betreffend vorsorgliche Massnahmen (Verfahren LGP 09 106; Besetzung: Landgerichtspräsidentin Y._ und Landgerichtsschreiberin Z._) erteilte das Landgerichtspräsidium dem Grundbuchamt am 3. Juli 2009 die Anweisung, die dringlich angeordnete Vormerkung der Verfügungsbeschränkung vorläufig zu bestätigen und die Vormerkung nach Vorlage des rechtskräftigen und vollstreckbaren letztinstanzlichen Entscheids im vor Landgericht hängigen Verfahren (LGZ 09 13) um Übertragung des Eigentums am Grundstück xxxx auf A._ zu löschen. Das Obergericht hiess einen dagegen geführten Rekurs der X._ AG am 18. Dezember 2009 gut und trat auf das Vormerkungsgesuch nicht ein. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid am 16. August 2010 (Urteil 5A_353/2010).
C. C.a Bereits am 29. April 2009 hatte A._ Klage auf Grundeigentumsübertragung erhoben (Verfahren LGZ 09 13).
C.b Am 20. August 2009 beantragte die X._ AG den Ausstand von Landgerichtspräsidentin Y._ und von Landgerichtsschreiberin Z._. Mit Entscheid vom 10. Dezember 2009 wies das Landgericht Uri die Ausstandsbegehren ab.
C.c Dagegen erhob die X._ AG am 18. Januar 2010 Rekurs an das Obergericht des Kantons Uri, welcher mit Entscheid vom 11. Juni 2010 abgewiesen wurde (Verfahren OGZ 10 2).
D. Am 25. August 2010 hat die X._ AG Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Gutheissung der Ausstandsbegehren gegen Landgerichtspräsidentin Y._ sowie Landgerichtsschreiberin Z._ betreffend das vor Landgericht Uri hängige Verfahren LGZ 09 13. Zudem ersucht sie um Beizug sämtlicher relevanter Akten, namentlich der Verfahren vor Landgerichtspräsidium Uri (LGP 07 201; 07 202; 09 106; 09 107; 09 109), vor Landgericht Uri (LGZ 07 25; 09 13) und vor Obergericht Uri (OGZ 08 5; 09 13; 10 2).
Das Bundesgericht hat die Akten des Verfahrens OGZ 10 2 (inkl. des vorinstanzlichen Verfahrens LGZ 09 13) beigezogen. Vernehmlassungen sind keine eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist binnen Frist (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG) ein kantonal letztinstanzlicher (Art. 75 Abs. 1 ZPO), selbständig eröffneter Zwischenentscheid über den Ausstand von Gerichtspersonen (Art. 92 Abs. 1 BGG). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). In der Hauptsache geht es um eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) vermögensrechtlicher Natur. Entgegen Art. 112 Abs. 1 lit. d BGG enthält der angefochtene Entscheid keine Streitwertangabe. Es kann jedoch weiterhin auf den mutmasslichen Vorkaufspreis von Fr. 1.15 Mio. abgestellt werden (Urteil 5A_353/2010 vom 16. August 2010 E. 1), so dass der gesetzliche Mindestbetrag bei weitem überschritten ist (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.2 Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Wird die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht, gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (BGE 135 III 127 E. 1.6 S. 130; 134 I 83 E. 3.2 S. 88; je mit Hinweisen). Die Begründung muss in der Beschwerde selber enthalten sein; der blosse Verweis auf andere Rechtsschriften oder Akten genügt nicht (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 400 mit Hinweisen). Soweit die Beschwerdeführerin auf ihre Eingaben vor den Vorinstanzen verweist, kann darauf nicht eingetreten werden.
2. Die Beschwerdeführerin begründet ihr Ausstandsbegehren im Wesentlichen damit, dass die Beschwerdegegnerinnen im Entscheid vom 3. Juli 2009 (LGP 09 106) bereits in apodiktischer Weise eine Rechtsfrage entschieden hätten, die auch Gegenstand des hängigen Hauptverfahrens (LGZ 09 13) sei (dazu unten E. 4). Des Weiteren wirft sie den Beschwerdegegnerinnen vor, im Laufe der verschiedenen Verfahren alles unternommen zu haben, um A._ zu helfen (dazu unten E. 5).
3. Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, die im einschlägigen Punkt dieselbe Tragweite aufweisen, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird (BGE 135 I 14 E. 2 S. 15 mit Hinweis). Die Garantie des verfassungsmässigen Richters ist verletzt, wenn bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (BGE 135 I 14 E. 2 S. 15; 131 I 113 E. 3.4 S. 116 mit Hinweisen).
Eine gewisse Besorgnis der Voreingenommenheit und damit Misstrauen in das Gericht kann bei den Parteien immer dann entstehen, wenn einzelne Gerichtspersonen in einem früheren Verfahren mit der konkreten Streitsache schon einmal befasst waren. In einem solchen Fall so genannter Vorbefassung stellt sich die Frage, ob sich ein Richter durch seine Mitwirkung an früheren Entscheidungen in einzelnen Punkten bereits in einem Mass festgelegt hat, das ihn nicht mehr als unvoreingenommen und dementsprechend das Verfahren als nicht mehr offen erscheinen lässt. Ob eine unzulässige, den Verfahrensausgang vorwegnehmende Vorbefassung einer Gerichtsperson vorliegt, kann nicht generell gesagt werden; es ist vielmehr in jedem Einzelfall zu untersuchen, ob die konkret zu entscheidende Rechtsfrage trotz Vorbefassung als noch offen erscheint, und zwar anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände, den in beiden Verfahrensstadien aufgeworfenen Fragen, dem Entscheidungsspielraum sowie der Bedeutung der jeweiligen Entscheidungen (BGE 131 I 113 E. 3.4 S. 116 f. mit Hinweisen; BGE 114 Ia 50 E. 3d S. 59). Mehrfache Funktionen des Zivilrichters, der sich in demselben Verfahren wiederholt mit einer Streitsache zu befassen hat, begründen für sich allein jedoch nicht ohne weiteres einen Ausstandsgrund (BGE 131 I 113 E. 3.6 S. 119; 131 I 24 E. 1.3 S. 26 f.; je mit Hinweisen).
Zur Vorbefassung in der Konstellation der Personalunion zwischen dem Richter, der über vorsorgliche Massnahmen entscheidet, und dem in der Hauptsache entscheidenden Richter hat sich das Bundesgericht bereits mehrfach geäussert (dazu BGE 131 I 113 E. 3.6 S. 119 mit Hinweis auf Urteil 4C.514/1996 vom 15. Dezember 1997; vgl. auch BGE 114 Ia 50 E. 3d S. 57). Es bejaht die Zulässigkeit der Doppelfunktion unter Heranziehung von Sinn und Zweck der verfahrensrechtlichen Institution des vorläufigen Rechtsschutzes. Dieser soll die Parteien vor oder während der Hängigkeit des Prozesses dagegen schützen, dass der Streitgegenstand während des Prozesses dem späteren Zugriff entzogen wird (Sicherungsfunktion); er soll Rechte und Pflichten während der Prozessdauer im Dauerrechtsverhältnis regeln (Regelungsfunktion), und er soll verhindern, dass das angestrebte Prozessziel durch den Zeitablauf bis zum Urteil ganz oder teilweise illusorisch gemacht wird (Leistungsfunktion). Obschon der vorläufige Rechtsschutz insofern stets den materiellrechtlichen Anspruch zum Gegenstand hat, dient er allein den erwähnten besonderen Zielen. Er beruht zudem auf bloss glaubhaft gemachten Tatsachen und präjudiziert den Entscheid im Hauptprozess nicht. Nach der massgebenden Verfahrensordnung kann der Instruktionsrichter eine vorsorgliche Massnahme ohne weiteres von sich aus oder auf Antrag der Parteien bei geänderten Umständen modifizieren, und er hat sie aufzuheben, wenn sie sich nachträglich als ungerechtfertigt erweist (vgl. Art. 238 der Urner Zivilprozessordnung vom 23. März 1994, ZPO; RB 9.2211).
4. Dass es im Massnahmeverfahren LGP 09 106 und im Hauptverfahren LGZ 09 13 um denselben materiellen Anspruch geht, genügt mithin für sich alleine nicht, um eine unzulässige Vorbefassung der abgelehnten Gerichtspersonen anzunehmen. Zu untersuchen bleibt aber, ob sich die Beschwerdegegnerinnen im Massnahmeentscheid LGP 09 106 in einer Art und Weise geäussert haben, die sie als nicht mehr offen und damit als befangen hinsichtlich des Hauptprozesses erscheinen lässt.
4.1 Die Beschwerdeführerin leitet die Voreingenommenheit der Beschwerdegegnerinnen aus den Erwägungen 1.3 und 2.3.2 des Massnahmeentscheides (LGP 09 106) ab. In E. 1.3 wird insbesondere Folgendes ausgeführt: "Die Bezeichnung der Frist zur Klageeinleitung im Verfahren LGP 07 201 als rechtszerstörlich bedeutet nicht, dass später das gleiche Recht nicht noch einmal angerufen werden kann, sondern lediglich, dass das Recht, sich auf die konkrete, im Verfahren LGP 07 201 angeordnete Massnahme zu berufen, mit Ablauf der Frist dahinfällt." Laut Beschwerdeführerin sei damit ihr Nichteintretensantrag im Hauptverfahren, in welchem sich gerade die Frage der Bedeutung der "rechtszerstörlichen" Frist stelle, bereits negativ entschieden. In E. 2.3.2, wo die Hauptsachenprognose gestellt werde, sei die entsprechende Frage zudem bewusst ausser Acht gelassen und damit stillschweigend eine neue Klage als möglich statuiert worden.
4.2 Die Beschwerdeführerin wendet sich damit gegen die Rechtsauffassung des Landgerichtspräsidiums über die Natur der ehedem angesetzten "rechtszerstörlichen" Frist. Erwägung 1.3 des Massnahmeentscheides bezieht sich zunächst in unmittelbarer Weise einzig auf die Frage der Rechtskraft von vorsorglichen Massnahmen. Konkret geht es darum, ob nach ungenutztem Ablauf der (im Verfahren LGP 07 201 angesetzten) Prosequierungsfrist ein identisches Massnahmegesuch noch einmal eingereicht werden kann. Während das Landgerichtspräsidium diese Frage bejahte, hat das Obergericht eine gegenteilige, vom Bundesgericht bestätigte Auffassung vertreten (Urteil 5A_353/2010 vom 16. August 2010 E. 3.2). Aus der sehr engen Auslegung des Begriffs "rechtszerstörlich" durch das Landgerichtspräsidium kann aber durchaus der Schluss gezogen werden, dass es eine weite Auslegung implizit ablehnt, welche die rechtszerstörende Wirkung der damaligen Frist (auch) auf die materielle Klage beziehen würde. Die Frage hätte bei der Hauptsachenprognose in E. 2.3.2 des Massnahmeentscheides erörtert werden können, wurde dort jedoch - wie die Beschwerdeführerin zu Recht festhält - nicht angesprochen. Aus dem Schweigen bzw. Vermutungen über die diesbezügliche Haltung des Landgerichtspräsidiums kann jedoch nicht auf eine mangelnde Offenheit für das Hauptverfahren geschlossen werden. Die Auslegung der entsprechenden Klausel aus dem Verfahren LGP 07 201 spielt sowohl für die Zulässigkeit des Massnahmegesuchs wie der Klage eine Rolle. Eine gewisse Festlegung in die eine oder andere Richtung im Massnahmeverfahren war somit unumgänglich. Wie bereits erwähnt, kann jedoch der Entscheid im Massnahmeverfahren die Beurteilung im Hauptverfahren nicht präjudizieren. Die Ausführungen im Massnahmeentscheid lassen denn auch nicht erkennen, dass auf die Eintretensfrage im Hauptverfahren nicht mehr eingegangen werden könnte. Es wird in E. 2.3.2 des Massnahmeentscheides bloss festgehalten, es bestehe zumindest eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass die Klage Aussicht auf Erfolg haben könnte. Damit ist der definitive Entscheid in genügendem Umfang offen gelassen worden.
Die Ansicht des Landgerichtspräsidiums hinsichtlich der Zulässigkeit des Massnahmegesuchs hat sich zwischenzeitlich als irrig herausgestellt. Auch daraus kann nicht ohne weiteres auf Befangenheit geschlossen werden. Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung vermögen grundsätzlich weder Verfahrensmassnahmen eines Richters als solche, seien sie richtig oder falsch, noch ein allenfalls materiell falscher Entscheid einen objektiven Verdacht der Befangenheit des zuständigen Richters zu erregen (BGE 114 Ia 153 E. 3b/bb S. 158 mit Hinweis; 115 Ia 400 E. 3b S. 404; Urteil 5P.280/2006 vom 5. Dezember 2006 E. 3.2). Anders liegt es nur, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, die als schwere Verletzung der Richterpflichten bewertet werden müssen (BGE 116 Ia 135 E. 3a S. 138; 115 Ia 400 E. 3b S. 404; Urteil 1P.760/2004 vom 10. Februar 2005 E. 3.1). Solche schwerwiegenden Mängel werden jedoch in Bezug auf die Verfahren LGP 09 106 und LGZ 09 13 nicht geltend gemacht. Im Übrigen hat die Aufhebung des Massnahmeentscheids aber faktisch zur Folge, dass das Landgericht die umstrittene Klausel im Hauptverfahren insofern nicht mehr völlig frei auslegen kann, als die höheren Instanzen seinem engen Verständnis derselben widersprochen haben. Auch in dieser Hinsicht können seine Ausführungen im Massnahmeentscheid deshalb nicht präjudizierend wirken.
Unter dem Gesichtswinkel der Vorbefassung allein besteht deshalb kein objektiv genügender Verdacht der Befangenheit der abgelehnten Gerichtspersonen.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin bringt des Weiteren vor, die abgelehnten Gerichtspersonen hätten bereits im ersten Verfahren und auch in der Folge ganz offensichtlich alles Mögliche unternommen, um der Gegenpartei zu helfen. Sie verweist dazu auf ein Schreiben, worin das Landgerichtspräsidium dem Grundbuchverwalter untersagt habe, die nach dem ersten Verfahren von selber dahingefallene erste Verfügungsbeschränkung zu löschen, sowie auf ein Schreiben im Zusammenhang mit der ersten Klage, worin erklärt worden sei, dass auf die verspätete Klage nicht eingetreten, jedoch die Sache an das Vermittleramt weitergeleitet würde.
5.2 Weder das angefochtene Urteil noch der Ausstandsentscheid des Landgerichts Uri vom 10. Dezember 2009, auf welchen das Obergericht weitgehend verweist, enthalten diesbezügliche Tatsachenfeststellungen. Die Befangenheit der Gerichtspersonen wurde in diesen Entscheiden einzig anhand ihrer Äusserungen im Verfahren LGP 09 106 beurteilt und nicht anhand ihres Verhaltens in den vorangegangenen Prozessen. Die Beschwerdeführerin macht weder geltend, die Vorinstanzen seien auf ihre allfälligen entsprechenden Vorbringen nicht eingegangen, noch rügt sie eine in willkürlicher Weise lückenhafte Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 III 127 E. 1.5 S. 130). Demgemäss kann auf die entsprechenden Ausführungen nicht eingetreten werden. Es erübrigt sich deshalb auch, zur Sachverhaltsergänzung weitere Akten früherer Verfahren einzufordern.
6. Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Uri, Zivilrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. November 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zingg