Sachverhalt:
A. Die 1958 geborene H._ erlitt am 5. September 2003 als Beifahrerin eines Personenwagens einen Verkehrsunfall. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) erbrachte die gesetzlichen Leistungen, u.a. Taggelder. Mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Entscheid vom 30. Mai 2007 bestätigte das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die vom obligatorischen Unfallversicherer mit Einspracheentscheid vom 5. Oktober 2006 verfügte Leistungseinstellung ab 9. Mai 2006. Im November 2004 hatte sich H._ bei der Invalidenversicherung angemeldet und eine Rente beantragt. Nach Abklärungen (u.a. Beizug der UV-Akten und Einholung eines rheumatologischen Gutachtens) und nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens lehnte die IV-Stelle des Kantons Thurgau mit Verfügung vom 10. Oktober 2007 das Leistungsbegehren ab.
B. Die Beschwerde der H._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht mit Entscheid vom 27. Februar 2008 ab.
C. H._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 27. Februar 2008 sei aufzuheben und ihr mit Wirkung ab 5. September 2004 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen, eventualiter die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsermittlung (Einholung eines polydisziplinären Gutachtens) an das kantonale Gericht oder an die IV-Stelle zurückzuweisen.
Die IV-Stelle äussert sich nicht materiell und stellt keinen Antrag zur Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat die den Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung verneinende Verfügung vom 10. Oktober 2007 mit der Begründung bestätigt, aufgrund des Gutachtens der Frau Dr. med. S._ vom 14. November 2005, welchem grundsätzlich voller Beweiswert zukomme, und der übrigen Akten bestehe in einer leichten wechselbelastenden Tätigkeit, wozu auch die frühere Arbeit als Kontrolleurin in der Reinigung und die in Aussicht genommene Arbeit als Kassiererin zu rechnen seien, eine Arbeitsfähigkeit von 100 % (vgl. BGE 115 V 133 E. 2 S. 133, 105 V 139 E. 1b S. 141).
2. In der Beschwerde wird gerügt, das kantonale Gericht habe zu Unrecht dem Gutachten vom 14. November 2005 Beweiswert zuerkannt. Im Weitern hätten Vorinstanz und IV-Stelle den Untersuchungsgrundsatz verletzt, indem sie trotz Beweisuntauglichkeit der Expertise keine weiteren Abklärungen vorgenommen hätten. Die darauf gestützten vorinstanzlichen Feststellungen seien Ergebnis willkürlicher Beweiswürdigung und insofern offensichtlich unrichtig.
3. 3.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Eine solche Rechtsverletzung stellen insbesondere eine unvollständige (gerichtliche) Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen und die Nichtbeachtung des Untersuchungsgrundsatzes nach Art. 61 lit. c ATSG durch das kantonale Versicherungsgericht dar (Urteil 9C_534/2007 vom 27. Mai 2008 E. 1 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 133 IV 293 E. 3.4.2 S. 295 f.).
3.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil - von hier nicht interessierenden Ausnahmen abgesehen - den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG), und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (BGE 132 I 42 E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (vgl. BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9). Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9; Urteile 9C_570/2007 vom 5. März 2008 E. 4.2 und 9C_882/2007 vom 11. April 2008 E. 5.1).
3.3 Einem ärztlichen Bericht ist (voller) Beweiswert zuzuerkennen, wenn er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt und in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, wenn die Beschreibung der medizinischen Situation und Zusammenhänge einleuchtet und die Schlussfolgerungen des Arztes begründet sind (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352; Urteil 9C_55/2008 vom 26. Mai 2008 E. 4.2).
4. 4.1 Gegen den Beweiswert des Gutachtens vom 15. November 2005 wird in formaler Hinsicht vorgebracht, die Expertin habe auf den Seiten 2-27 nur Vorakten, die Anamnese und einen knappen, eine Seite umfassenden rheumatologischen Befund abgegeben. Ihre ganze Eigenleistung finde sich auf Seite 29 unter «5. Beurteilung und Prognose» auf einer knappen Dreiviertelseite. Diese Vorbringen sind nicht stichhaltig. Vorab wird nicht geltend gemacht, die Untersuchung und Begutachtung sei nicht lege artis erfolgt. Sodann greift der Hinweis auf den seitenmässigen Umfang des Befundes offensichtlich zu kurz. Die Gutachterin hatte die Versicherte durch dritte Fachärzte u.a. neurologisch und elektrophysiologisch sowie radiologisch untersuchen lassen. Insbesondere war am 24. Oktober 2005 eine Magnetresonanztomographie der HWS nativ im Spital X._ durchgeführt worden.
4.2 Im Weitern trifft zu, dass Dr. med. S._ fälschlicherweise davon ausgegangen war, die Beschwerdeführerin habe tatsächlich weniger Schmerzmittel (Novalgin) eingenommen als verordnet worden war und für die Erzielung einer analgetischen Wirkung notwendig wäre. Die Vorinstanz hat diesem Mangel keine entscheidende Bedeutung beigemessen, was nicht zu beanstanden ist. Die Gutachterin erachtete die Beschwerdeführerin ausdrücklich unter der - gemäss Vorbringen in der Beschwerde als erfüllt zu betrachtenden - Bedingung einer adäquaten Schmerzmitteldosierung als zu 100 % arbeitsfähig in einer adaptierten Tätigkeit. Diese Einschätzung weicht von derjenigen des behandelnden Arztes Dr. med. A._ ab, welcher laut Gutachten bei seiner Beurteilung der Arbeitsfähigkeit davon ausging, dass die Versicherte «das Novalgin in adäquater Dosierung gemäss ihrer Aussage einnahm». Die Folgerung von Dr. med. S._, die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit des Dr. med. A._ beruhe auf falschen Grundlagen, trifft somit nicht zu. Nach nicht offensichtlich unrichtiger und für das Bundesgericht verbindlicher Feststellung der Vorinstanz (E. 3.2) bestätigen aber die weiteren medizinischen Unterlagen die auf Anamnese, Befund und Diagnose gestützte Zumutbarkeitsbeurteilung im Gutachten vom 14. November 2005 im Grundsatz. Daraus ergibt sich insbesondere und unbestrittenermassen, dass die geklagten Beschwerden sich durch kein organisches Substrat erklären lassen. Selbst Dr. med. A._ verwarf eine anfänglich angenommene Instabilität C2 bis C7 als Folge der Verletzung des contralateralen Ligamentum alare (Stellungnahme vom 21. Februar 2006 zum Gutachten vom 14. November 2005 und zur Ärztlichen Beurteilung des Dr. med. K._ vom 18. Januar 2006). Offensichtlich unbegründet ist im Übrigen der Einwand, in der Expertise finde keine Auseinandersetzung mit dem einige Tage später erstellten Bericht der Klinik Y._ vom 18. November 2005 statt.
4.3 Schliesslich wird geltend gemacht, Dr. med. S._ habe das im Austrittsbericht der Klinik Z._ vom 25. Mai 2004 und auch im Bericht der Klinik Y._ vom 18. November 2005 diagnostizierte chronische zervikocephale Syndrom, Status nach Auffahrkollision vom 5. September 2003, klinisch als nicht mehr nachweisbar bezeichnet. Dies belege, dass sich die Gutachterin offensichtlich nicht mit der Problematik von HWS-Verletzungen auseinandergesetzt habe. Gemäss BGE 117 V 359 sei bei einem Schleudertrauma der HWS der natürliche Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Arbeits- resp. Erwerbsunfähigkeit auch ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle anzunehmen, sofern das typische Beschwerdebild mit einer Häufung von Symptomen vorliege. Wie im Bereich der Unfallversicherung sei eine interdisziplinäre (neurologische/ orthopädische und psychiatrische) Begutachtung erforderlich. Demgegenüber sei Dr. med. S._ als Rheumatologin zur Beurteilung von HWS-Verletzungen nicht geeignet und mit solchen Verletzungen ohnehin nicht vertraut.
4.3.1 Es ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin beim Auffahrunfall vom 5. September 2003 ein HWS-Schleudertrauma erlitten hatte. Ob die in der Folge aufgetretenen Symptome natürlich kausale Folge dieses Ereignisses darstellten, ist unklar. Die Vorinstanz liess die Frage in ihrem unangefochtenen gebliebenen Entscheid vom 30. Mai 2007 offen. In Anwendung von BGE 117 V 359 verneinte sie die Adäquanz und bestätigte die von der SUVA verfügte Einstellung der Leistungen der Unfallversicherung ab 9. Mai 2006.
4.3.2 Der Beschwerdeführerin ist darin beizupflichten, dass die Verneinung der adäquaten Unfallkausalität eines Gesundheitsschadens im invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren nicht von Bedeutung ist. Dies gilt aber auch in Bezug auf den natürlichen Kausalzusammenhang, soweit es um den invalidisierenden Charakter der gesundheitlichen Beeinträchtigung geht. Auch hier besteht grundsätzlich keine Bindungswirkung der Invaliditätsschätzung der Unfallversicherung für die Invalidenversicherung (vgl. BGE 133 V 549). Ob eine Invalidität im Sinne von Art. 4 IVG sowie Art. 3 und 6 ff. ATSG besteht, beurteilt sich losgelöst von den (möglichen) Ursachen des Gesundheitsschadens resp. nicht objektivierbarer Beschwerden. Dass ein Leiden als natürlich und adäquat kausal im Sinne der Rechtsprechung zum UVG zu betrachten ist, bedeutet invalidenversicherungsrechtlich (und übrigens auch unfallversicherungsrechtlich) noch nicht, dass dieses Leiden invalidisierend (Art. 6-8 und 16 ATSG) ist. Die gerügte fehlende Auseinandersetzung mit der Problematik von HWS-Verletzungen spricht somit nicht gegen die Schlüssigkeit des Gutachtens vom 14. November 2005. Der in diesem Zusammenhang erhobene Vorwurf, die Vorinstanz habe die Frage der Notwendigkeit eines organischen Nachweises der geklagten Beschwerden mit keiner Silbe thematisiert, was eine Verletzung der Begründungspflicht als Ausfluss des Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV darstelle, ist unbegründet.
4.3.3 Gemäss dem behandelnden Arzt Dr. med. A._ weisen die im Vordergrund stehenden Beschwerden im Hals- und Nackenbereich im Wesentlichen eine myofasciale Symptomatik auf (Bericht vom 19. Juli 2005 und Stellungnahme vom 21. Februar 2006). Es bestehen jedoch auch hiefür keine objektivierbaren Befunde, sodass in Bezug auf die betreffende Schmerzproblematik lediglich allenfalls von einer funktionellen Störung ausgegangen werden kann (Urteil U 49/06 vom 22. November 2007 E. 3.3.1). Gemäss Vorinstanz sind die Voraussetzungen für die ausnahmsweise Bejahung des invalidisierenden Charakters einer Schmerzverarbeitungsstörung (vgl. dazu Urteil 9C_578/2007 vom 13. Februar 2008 E. 2.2 mit Hinweisen auf die publizierte Rechtsprechung) klar nicht gegeben, was die Beschwerdeführerin nicht bestreitet. Eine allfällige durch die myofasciale Symptomatik bedingte Arbeitsunfähigkeit ist somit unbeachtlich. Demzufolge kann auch nicht von einem unauflösbaren Widerspruch gesprochen werden, wenn die Vorinstanz im Entscheid vom 30. Mai 2007 bei der Adäquanzprüfung beim Kriterium Dauer und Grad der Arbeitsunfähigkeit (vgl. BGE 117 V 359 E. 6a S. 367) aufgrund der geklagten Beschwerden - ohne erklärende objektive Befunde - von einer 100 % Arbeitsunfähigkeit ausging.
Der angefochtene Entscheid verletzt Bundesrecht nicht.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. August 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler