Sachverhalt:
A. Die 1970 geborene A._ war als Sachbearbeiterin in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 29. Oktober 2003 einen Verkehrsunfall erlitt. Der von ihr gelenkte Peugeot 405 kam ausgangs einer Kurve bei einer Geschwindigkeit von ca. 60 km/h ins Schleudern, geriet rechts der Fahrbahn an eine ansteigende Böschung, überschlug sich und rutschte auf dem Dach liegend auf die andere Seite der Fahrbahn, wo er zum Stillstand kam. A._ wurde zur ambulanten Abklärung und Behandlung ins Spital Y._ überführt. Dort wurden eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS), Grad I, eine Kontusion der Brust- und der Lendenwirbelsäule sowie Hautabschürfungen an der linken Handinnenfläche und am rechten Mittelfinger diagnostiziert, und es wurde eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 31. März 2005 eröffnete sie der Versicherten die Einstellung der Leistungen auf den 17. April 2005; zudem wurde ein Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung verneint. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 29. Oktober 2003. Daran hielt die SUVA auf die von A._ und deren Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 10. November 2006).
B. A._ erhob Beschwerde. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft hiess diese gut, hob den Einspracheentscheid vom 10. November 2006 auf und verpflichtete die SUVA, über den 17. April 2005 hinaus Leistungen zu erbringen (Entscheid vom 8. August 2007).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die SUVA die Aufhebung des kantonalen Entscheids.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 7. März und 9. April 2008 resp. 2. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109.
Am 24. April und 3. Juni 2008 lässt sich die Versicherte erneut vernehmen.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin aus dem Unfall vom 29. Oktober 2003 über den 17. April 2005 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat. Dabei ist umstritten, ob der Unfall in einem rechtserheblichen Zusammenhang zu den noch vorhandenen gesundheitlichen Beschwerden steht.
Die massgeblichen Rechtsgrundlagen sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der sog. Schleudertrauma-Praxis, welche bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen zur Anwendung gelangt, auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen). Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die Schleudertrauma-Praxis präzisiert hat (BGE 134 V 109). Die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze (BGE 115 V 133) liess es hingegen unverändert bestehen (vgl. BGE 134 V 109 E. 6.1 S. 116).
2. Das kantonale Gericht hat erwogen, dass keine organisch objektiv ausgewiesene Folge des Unfalles vom 29. Oktober 2003 besteht, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchte. Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten richtig und auch nicht umstritten.
Demnach hat eine besondere Adäquanzprüfung zu erfolgen (E. 1 hievor). Dabei gehen die Meinungen darüber auseinander, ob diese Prüfung nach der Rechtsprechung zu den psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall oder nach der Schleudertrauma-Praxis zu erfolgen hat. Während Vorinstanz und Versicherte letzteres postulieren, fehlt es nach Auffassung der Beschwerde führenden SUVA an einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis rechtfertigen könnte.
Welche dieser Meinungen zutrifft, muss indessen nicht abschliessend beurteilt werden. Denn der adäquate Kausalzusammenhang ist auch nach der Schleudertrauma-Praxis zu verneinen, wie die folgenden Erwägungen zeigen.
3. 3.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen, wobei zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird. Während der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel bei schweren Unfällen ohne Weiteres bejaht und bei leichten Unfällen verneint werden kann, lässt sich die Frage der Adäquanz bei Unfällen aus dem mittleren Bereich nicht aufgrund des Unfallgeschehens allein schlüssig beantworten. Es sind weitere, objektiv erfassbare Umstände, welche unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehen oder als direkte bzw. indirekte Folgen davon erscheinen, in eine Gesamtwürdigung einzubeziehen. Je nachdem, wo im mittleren Bereich der Unfall einzuordnen ist und abhängig davon, ob einzelne dieser Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sind, genügt zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs ein Kriterium oder müssen mehrere gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. mit Hinweisen).
Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07, E. 5.2 und 5.3.1; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.1).
3.2 Der Unfall vom 29. Oktober 2003 ist unstreitig im mittleren Bereich einzuordnen. Dort ist er im Lichte der Rechtsprechung zu im Wesentlichen vergleichbaren Ereignissen (vgl. Urteil 8C_609/2007 vom 22. August 2008, Sachverhalt A und E. 4.1.3 mit Hinweisen) den mittelschweren Ereignissen zuzurechnen.
Von den weiteren in die Beurteilung einzubeziehenden Kriterien müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6 S. 367 f.). Darauf schliessen richtigerweise auch die Vorinstanz und die Parteien. Das kantonale Gericht spricht in diesem Zusammenhang zwar von einem schwereren Unfall im mittleren Bereich, womit grundsätzlich ein einzelnes, nicht notwendigerweise in besonders ausgeprägter Weise erfülltes Kriterium genügen würde (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6b S. 367). Es verlangt aber im Weiteren die gehäufte oder besonders ausgeprägte Erfüllung von Kriterien und geht mithin von der vorgenannten, zutreffenden Qualifikation der Unfallschwere aus.
3.3 Die massgeblichen Kriterien wurden teilweise durch BGE 134 V 109 modifiziert. Das kantonale Gericht hat sie noch in ihrer früheren Fassung geprüft und ist zum Ergebnis gelangt, es seien fünf erfüllt. Die SUVA verneint sämtliche Kriterien nach den bei psychischen Fehlentwicklungen geltenden Grundsätzen wie auch nach der mit BGE 134 V 109 präzisierten Schleudertrauma-Praxis. Die Beschwerdegegnerin bejaht mehrere der nach dieser Praxis massgebenden Kriterien.
3.3 Die massgeblichen Kriterien wurden teilweise durch BGE 134 V 109 modifiziert. Das kantonale Gericht hat sie noch in ihrer früheren Fassung geprüft und ist zum Ergebnis gelangt, es seien fünf erfüllt. Die SUVA verneint sämtliche Kriterien nach den bei psychischen Fehlentwicklungen geltenden Grundsätzen wie auch nach der mit BGE 134 V 109 präzisierten Schleudertrauma-Praxis. Die Beschwerdegegnerin bejaht mehrere der nach dieser Praxis massgebenden Kriterien.
3.4 3.4.1 Zu Recht nicht geltend gemacht wird das (unveränderte) Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert.
Entgegen der Auffassung von Vorinstanz und Beschwerdegegnerin können die (ebenfalls unveränderten) Kriterien der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen sowie des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen nicht bejaht werden. Die angeführten Umstände (Andauern schleudertraumatypischer Beschwerden trotz durchgeführter Therapien; leichte bis mittelschwere neuropsychologische Defizite) genügen weder zur Bejahung des einen noch des anderen Kriteriums. Es ergeben sich auch aus den Akten keine Anhaltspunkte, welche eine andere Betrachtungsweise gestatteten. Vor allem sind keine besonderen Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben, erkennbar (vgl. SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81, U 479/05, E. 8.5; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.3.5 mit Hinweisen).
An medizinischer Behandlung sind zunächst eine knapp vierwöchige stationäre Rehabilitation im Frühjahr 2004, die zeitweise Verordnung von Schmerzmitteln sowie die ambulante Durchführung von Physiotherapie zu verzeichnen. Weiter wurden im Wesentlichen vorübergehend Chiropraktik und Psychotherapie (in Form einer Gesprächstherapie) sowie kurzzeitig Akupunktur angewendet, und es fanden periodische Beratungen beim Hausarzt statt. Im Juni 2005 gab die Versicherte dann an, es finde lediglich noch eine Shiatsu-Therapie statt. Dies alles genügt nicht, um auf eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung (frühere Umschreibung des Kriteriums: ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung) schliessen zu können (vgl. Urteile 8C_687/2007 vom 26. August 2008, E. 5.3, und 8C_500/2007 vom 16. Mai 2008, E. 5.4).
Das frühere Kriterium des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit lautet neu: erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen. Nicht mehr die Dauer der Arbeitsunfähigkeit soll massgebend sein, sondern eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit als solche, die zu überwinden die versicherte Person ernsthafte Anstrengungen unternimmt. Darin liegt der Anreiz für die versicherte Person, alles daran zu setzen, wieder ganz oder teilweise arbeitsfähig zu werden (BGE 134 V 109 E. 10.2.7 S. 129). Selbst wenn im vorliegenden Fall von einer erheblichen Arbeitsunfähigkeit ausgegangen würde, fehlt es doch an Anhaltspunkten für besondere Anstrengungen der Versicherten, sich wieder in den Arbeitsprozess einzugliedern. Nachdem der Kreisarzt eine 50%ige Arbeitsfähigkeit attestiert hatte, beschränkte sich die Versicherte auf einen halbtägigen Arbeitsversuch im Februar 2004. Dies, obschon sich der Arbeitgeber ausdrücklich bereit erklärt hatte, einen nur stundenweisen und den gesundheitlichen Beschwerden angepassten Einsatz zu ermöglichen. Auf den 31. März 2004 wurde das Arbeitsverhältnis durch den Betrieb aufgelöst. Anlässlich der stationären Rehabilitation im Mai 2004 wurde dann vorläufig eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigt, bei dringender Empfehlung, für den beruflichen Wiedereinstieg eine Psychotherapie durchzuführen (Bericht Klinik Z._ vom 9. Juli 2004). Diese wurde zwar begonnen, wobei sich die Versicherte gemäss Bericht der behandelnden Psychologin vom 28. August 2004 kooperativ und sehr motiviert zeigte. Anlässlich einer vom Hausarzt veranlassten neurologischen Abklärung bei Dr. med. M._ vom 4. Mai 2005 gab die Beschwerdeführerin dann aber an, sie habe die Psychotherapie vor einiger Zeit abgebrochen (Bericht Dr. M._ vom 6. Juni 2005). Dies, obschon sich an der Indikation für eine solche Behandlung nichts geändert hatte, wie aus dem von der Invalidenversicherung eingeholten psychiatrischen Gutachten des Dr. med. W._ vom 18. Oktober 2005 hervorgeht. Zudem erklärte die Versicherte gegenüber Dr. med. M._, gänzlich arbeitsunfähig zu sein, was dem Neurologen als nicht nachvollziehbar erschien (Bericht Dr. M._ vom 6. Juni 2005) und auch aus psychiatrischer Sicht nicht bestätigt wurde (Gutachten Dr. med. W._ vom 18. Oktober 2005). Insgesamt kann nicht gesagt werden, die Versicherte habe sich in besonderer Weise bemüht, die Arbeitsunfähigkeit zu überwinden. Daran vermögen die - erst im Juni 2005 - erfolgte Anmeldung bei der Arbeitslosenversicherung und der spätere Besuch eines von dieser angebotenen Kurses ebensowenig zu ändern wie die Aussagen in der hausärztlichen Stellungnahme vom 6. Februar 2007 sowie die weiteren Akten. Das Kriterium ist daher nicht erfüllt.
3.4.2 Ob das (unveränderte) Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls bejaht werden könnte, erscheint mit Blick auf die Rechtsprechung zu einigermassen vergleichbaren Ereignissen (vgl. Urteile 8C_609/2007 vom 22. August 2008, Sachverhalt A, E. 4.1.3 und 4.2.1, U 186/ und U 213/06 vom 29. Oktober 2007, Sachverhalt A und E. 7.3, U 258/06 vom 15. März 2007, Sachverhalt A und E. 5.3, sowie RKUV 2003 Nr. U 481 S. 203, U 161/01, in BGE 129 V 323 nicht publizierte E. 3.3.2) diskutabel.
Gleiches gilt für das Kriterium der erheblichen Beschwerden (früher: Dauerbeschwerden): Zwar ergibt sich aus den Akten, dass glaubhafte Schmerzen vorliegen und zu einer Beeinträchtigung im Lebensalltag geführt haben. Die Versicherte war aber dennoch in der Lage, verschiedene private Aktivitäten weiterzuführen und auch noch Auto zu fahren. Zudem hat sie nach dem Unfall eine offenbar problemlose zweite Schwangerschaft mit der Geburt eines Sohnes im Dezember 2004 durchlebt.
In besonders ausgeprägter Weise liegt jedenfalls keines der beiden letztgenannten Kriterien vor. Es muss daher nicht abschliessend beurteilt werden, ob sie in der einfachen Form erfüllt sind. Denn auch bejahendenfalls wäre keine Häufung von Kriterien gegeben und fehlt es demnach an einem adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 29. Oktober 2003 und den noch bestehenden Beschwerden. Die SUVA ist daher hiefür nicht leistungspflichtig, weshalb ihre Beschwerde gutzuheissen ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, vom 8. August 2007 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. September 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz