Sachverhalt:
A. A.a Die 1974 geborene R._ lebte seit ihrer Geburt im Kanton Bern, seit Juli 1999 bei einer befreundeten Familie in A._. Von Dezember 1999 bis April 2000 und von April bis Mai 2000 wurde sie in der Klinik für Psychiatrie und Psychotherapie S._ stationär behandelt (Diagnose: Schwere depressive Entwicklung mit Somatisierung und zeitweise ausgeprägter Suizidalität, Anorexia nervosa). Mit Verfügung vom 28. August 2000 sprach ihr die Ausgleichskasse des Kantons Bern eine ganze Invalidenrente ab 1. August 1999 zu. Ab Mai 2000 lebte R._ in der therapeutischen Wohngemeinschaft "C._" (heute: Wohngruppe V._) in X._, Gemeinde Y._, im Kanton Thurgau. Ab diesem Monat richtete ihr die Ausgleichskasse des Kanons Bern auch Ergänzungsleistungen (EL) aus.
A.b Mit Schreiben vom 4. Januar 2008 teilte R._ mit, sie wohne neu am Weg B._ in X._, und sie deponiere ihren Heimatschein ab 1. Januar 2008 in der Gemeinde Y._. Daraufhin stellte die Ausgleichskasse des Kantons Bern die Ergänzungsleistung zufolge "Kantonswechsel TG" vorsorglich auf Ende Dezember 2007 ein und forderte unter Hinweis auf den am 4. Januar gemeldeten Austritt aus der "WG C._" die für die Monate Januar und Februar 2008 zu Unrecht ausbezahlten Fr. 746.- zurück (Verfügungen vom 19. und 20. Februar 2008).
A.c Am 12. Februar 2008 meldete sich R._ beim Amt für AHV und IV des Kantons Thurgau zum EL-Bezug ab 1. Januar 2008 an. Die Amtsstelle stufte die Gesuchstellerin nicht (mehr) als Heimbewohnerin ein, was in der EL-Berechnung zu einem Einnahmenüberschuss führte. Sie wies daher mit Verfügung vom 20. März 2008 das Leistungsbegehren ab, wogegen R._ Einsprache erhob.
A.d Am 3. November 2008 meldete sich R._ bei der Ausgleichskasse des Kantons Bern an und beantragte Ergänzungsleistungen ab dem 1. Januar 2008. Diese trat mit Verfügung vom 18. November 2008 mangels örtlicher Zuständigkeit nicht auf das Gesuch ein, woran sie mit Einspracheentscheid vom 24. April 2009 festhielt.
B. Die Beschwerde der R._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid vom 12. Oktober 2009 ab.
C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 12. Oktober 2009 sei aufzuheben und die Ausgleichskasse des Kantons Bern zu verpflichten, sie weiterhin als Heimbewohnerin zu behandeln und ihr rückwirkend ab 1. Januar 2008 Ergänzungsleistungen auszurichten und insofern auf die EL-Anmeldung vom 3. November 2008 einzutreten.
Die Ausgleichskasse beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
In einer nachträglichen Eingabe weist R._ unter Auflage entsprechender Belege darauf hin, dass sie seit dem 1. Dezember 2009 in Z._ im Kanton Bern angemeldet ist.
Erwägungen:
1. Im Streite liegt die Zuständigkeit der Beschwerdegegnerin für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung ab 1. Januar 2008.
2. 2.1 Nach Art. 1a Abs. 3 aELG (in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2007) ist der Kanton, in dem der Bezüger seinen Wohnsitz hat, zuständig für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung. Der Wohnsitz im Sinne dieser Vorschrift bestimmt sich nach den Art. 23-26 ZGB (Art. 13 Abs. 1 ATSG in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 ELG). Der (zivilrechtliche) Wohnsitz einer Person befindet sich an dem Orte, wo sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält (Art. 23 Abs. 1 ZGB). Der Aufenthalt an einem Ort zum Zweck des Besuchs einer Lehranstalt und die Unterbringung einer Person in einer Erziehungs-, Versorgungs-, Heil- oder Strafanstalt begründen keinen Wohnsitz (Art. 26 ZGB).
2.2 Gemäss Art. 21 Abs. 1 ELG (in Kraft seit 1. Januar 2008) ist der Kanton, in dem die Bezügerin oder der Bezüger Wohnsitz hat, zuständig für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung (Satz 1). Der Aufenthalt in einem Heim, einem Spital oder einer andern Anstalt und die behördliche oder vormundschaftliche Versorgung einer mündigen oder entmündigten Person in Familienpflege begründen keine neue Zuständigkeit (Satz 2). Diese Bestimmung ist mangels einer anders lautenden Übergangsbestimmung mit ihrem Inkrafttreten grundsätzlich sofort anwendbar.
3. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen die formellen Gültigkeitserfordernisse des Verfahrens in Sozialversicherungsangelegenheiten vor den kantonalen Versicherungsgerichten (BGE 135 V 124 E. 3.1 S. 127).
Die Beschwerdegegnerin hatte der seit Mai 2000 in der therapeutischen Wohngemeinschaft "C._" (heute: Wohngruppe V._) im thurgauischen X._ lebenden Beschwerdeführerin ab Mai 2000 Ergänzungsleistungen ausgerichtet. Nach deren Mitteilung vom 4. Januar 2008, sie wohne an einer neuen Adresse in X._ und sie deponiere ihren Heimatschein ab 1. Januar in der zuständigen Gemeinde Y._, stellte sie die Leistungen zufolge Kantonswechsel auf Ende Dezember 2007 ein und forderte unter Hinweis auf den Austritt aus der "WG C._" den für die Monate Januar und Februar 2008 ausbezahlten Betrag zurück.
Die Beschwerdegegnerin ging somit offensichtlich davon aus, dass die Beschwerdeführerin spätestens seit 1. Januar 2008 nicht mehr in der Wohngemeinschaft "C._" lebte, nicht mehr Heimbewohnerin war, jedoch weiterhin im Kanton Thurgau wohnhaft blieb. Daraus schloss sie auf die Absicht dauernden Verbleibens in diesem Kanton und dass sich die Beschwerdeführerin den Aufenthaltsort zum Mittelpunkt ihrer Lebensinteressen gemacht und somit Wohnsitz im (zivilrechtlichen) Sinne von Art. 1a Abs. 3 aELG resp. Art. 21 Abs. 1 Satz 1 ELG begründet hatte (BGE 133 V 309 E. 3.1 S. 312), weshalb sie sich ab diesem Zeitpunkt nicht mehr als zuständig für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung erachtete.
4. 4.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
4.2 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Dies ist dann der Fall, wenn eine bereits bei Erlass des angefochtenen Entscheids bestandene Tatsache erst durch den angefochtenen Entscheid rechtswesentlich wird (Hansjörg Seiler und andere, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 3 und 6 zu Art. 99 BGG; Urteil 8C_205/2010 vom 1. Juli 2010 E. 3.3). Inwiefern diese Voraussetzung gegeben ist und das neue Vorbringen nicht bereits im vorinstanzlichen Verfahren eingebracht werden konnte und musste, ist näher darzulegen (SVR 2009 AHV Nr. 9 S. 33, 9C_219/2009 E. 1.3).
Die Beschwerdeführerin hat im bundesgerichtlichen Verfahren zwei Arztberichte eingereicht, welche aufzeigen sollen, dass sie entgegen der Auffassung der Vorinstanz im Jahre 2000 nicht freiwillig in die therapeutische Wohngemeinschaft "C._" eingetreten war, sondern weil keine andere Lebensform möglich gewesen sei. Da das kantonale Versicherungsgericht der Frage der Freiwilligkeit des Heimeintrittes eine massgebliche Bedeutung zugemessen habe, habe erst der angefochtene Entscheid Anlass gegeben, dazu Stellung zu nehmen und entsprechende Beweismittel einzureichen. Wie es sich damit verhält und ob die erwähnten ärztlichen Berichte nicht schon im vorangegangenen Verfahren hätten eingereicht werden müssen, kann offen bleiben, weil die Freiwilligkeit des Heimeintritts nicht entscheidrelevant ist (vgl. hinten E. 5.2.2). Ebenso unbeachtlich ist die - nach Ablauf der Rechtsmittelfrist - mitgeteilte (Wieder-)Anmeldung im Kanton Bern auf den 1. Dezember 2009. Es handelt sich dabei um eine nach Erlass des Einspracheentscheids vom 24. April 2009 eingetretene Tatsache (BGE 131 V 407 E. 2.1.2.1 S. 412; 116 V 246 E. 1a S. 248).
4.3 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann unter Berücksichtigung der den Parteien obliegenden Begründungs- resp. Rügepflicht eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254; BGE 9C_448/2010 vom 16. August 2010 E. 2.2).
5. 5.1 Die Vorinstanz hat zur streitigen Zuständigkeitsfrage erwogen, die Versicherte sei freiwillig im Mai 2000 in die Wohngemeinschaft "C._" eingetreten. Mit ihrem freien Entschluss, ab 1. Januar 2008 die Nächte ausserhalb der Wohngemeinschaft in einem möblierten Zimmer am selben Ort zu verbringen und den Heimatschein bei der Gemeinde Wuppenau zu hinterlegen, habe sie den Willen dokumentiert, ihren Lebensmittelpunkt auch längerfristig dorthin zu verlegen, und habe damit am Aufenthaltsort X._ zivilrechtlichen Wohnsitz genommen. Dementsprechend habe sie sich am 12. Februar 2008 bei der EL-Durchführungsstelle des Kantons Thurgau zum Leistungsbezug ab 1. Januar 2008 angemeldet. Dass zuvor ein Aufenthalt in der Wohngemeinschaft "C._" bestanden habe, sei nicht von Bedeutung. Nach der zu Art. 1a Abs. 3 aELG ergangenen Rechtsprechung (BGE 133 V 309 E. 3.1 S. 312) sei auch bei einem Heimaufenthalt eine neue Wohnsitznahme nicht ausgeschlossen. Ebenfalls spiele es keine Rolle, ob sie in der Institution selber wohne oder extern in einem möblierten Zimmer. Die Beschwerdegegnerin sei daher zu Recht nicht auf die Anmeldung vom 3. November 2008 eingetreten.
Die Beschwerdeführerin bringt vor, es habe sich nicht um eine freiwillige Entscheidung gehandelt, in eine therapeutische Wohngemeinschaft einzutreten. Vielmehr sei aus gesundheitlichen Gründen nur ein betreutes Wohnen in einem Heim in Frage gekommen. Dass sie vorübergehend die Nacht jeweils extern in einem möblierten Zimmer verbracht habe, habe zu keinem Zeitpunkt einen Heimaustritt im materiellen Sinne dargestellt, sondern den temporären Versuch, "die Lebensweise als Heimbewohnerin (...) zurück in die Selbständigkeit zu führen". Es habe nie die Absicht dauernden Verbleibens ausserhalb des Heims durch Miete einer eigenen Wohnung mit selbständigem Wohnen bestanden. Vielmehr arbeite sie immer noch darauf hin, eines Tages aus dem Heim austreten zu können. Soweit sei sie aber noch nicht. Im Gegenteil verbringe sie seit September 2008 die Nächte nicht mehr auswärts. Im Übrigen sei die Hinterlegung des Heimatscheins auf der Gemeinde am Aufenthaltsort für die Bestimmung des zivilrechtlichen Wohnsitzes nicht massgebend. Unter den gegebenen Umständen habe sie seit ihrem Heimeintritt im Mai 2000 bis heute gar nie einen eigenen Wohnsitz im Kanton Thurgau begründen können, weshalb die bisherige Regelung weiterzuführen sei und die Beschwerdegegnerin ihr nach wie vor Ergänzungsleistungen auszurichten habe.
5.2 Mit der Feststellung, der Eintritt in die therapeutische Wohngemeinschaft "C._" im Mai 2000 sei freiwillig erfolgt, wirft die Vorinstanz (auch) die Frage auf, ob die Beschwerdegegnerin überhaupt zuständig war für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung ab diesem Monat. Indem die Beschwerdegegnerin ab Mai 2000 Ergänzungsleistungen ausrichtete, ging sie davon aus, dass der Eintritt ins "C._" und der Aufenthalt dort keinen neuen Wohnsitz im Kanton Thurgau begründeten. Darauf könnte nur unter den Voraussetzungen für eine Wiedererwägung oder prozessuale Revision der jeweiligen Leistungsabrechnungen zurückgekommen werden. Es bestehen indessen keine genügenden Anhaltspunkte dafür, dass die Annahme, die Beschwerdeführerin habe nach wie vor Wohnsitz im Kanton Bern, zweifellos unrichtig gewesen war oder auf einem unvollständigen Sachverhalt beruhte. Die Beschwerdegegnerin hat denn auch weder im vorinstanzlichen noch in diesem Verfahren ihre Zuständigkeit zur Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung bis Ende 2007 bestritten.
5.2 Mit der Feststellung, der Eintritt in die therapeutische Wohngemeinschaft "C._" im Mai 2000 sei freiwillig erfolgt, wirft die Vorinstanz (auch) die Frage auf, ob die Beschwerdegegnerin überhaupt zuständig war für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung ab diesem Monat. Indem die Beschwerdegegnerin ab Mai 2000 Ergänzungsleistungen ausrichtete, ging sie davon aus, dass der Eintritt ins "C._" und der Aufenthalt dort keinen neuen Wohnsitz im Kanton Thurgau begründeten. Darauf könnte nur unter den Voraussetzungen für eine Wiedererwägung oder prozessuale Revision der jeweiligen Leistungsabrechnungen zurückgekommen werden. Es bestehen indessen keine genügenden Anhaltspunkte dafür, dass die Annahme, die Beschwerdeführerin habe nach wie vor Wohnsitz im Kanton Bern, zweifellos unrichtig gewesen war oder auf einem unvollständigen Sachverhalt beruhte. Die Beschwerdegegnerin hat denn auch weder im vorinstanzlichen noch in diesem Verfahren ihre Zuständigkeit zur Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung bis Ende 2007 bestritten.
5.3 5.3.1 Art. 21 Abs. 1 ELG hat gegenüber der bis Ende 2007 geltenden Regelung gemäss Art. 1a Abs. 3 aELG insofern eine Änderung gebracht, als er neu die Zuständigkeit für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung u.a. bei einem Aufenthalt in einem Heim, einem Spital oder einer anderen Anstalt ordnet. Solche Tatbestände wurden unter dem bisherigen Recht anknüpfend an den zivilrechtlichen Wohnsitzbegriff durch Anwendung von Art. 26 ZGB geregelt (vorne E. 2.1). Nach der Rechtsprechung wird in dieser Bestimmung jedoch lediglich die Vermutung angestellt, wonach der Aufenthalt am Studienort oder in einer Anstalt nicht bedeutet, dass auch der Lebensmittelpunkt an den fraglichen Ort verlegt worden ist, was für die Begründung eines neuen Wohnsitzes erforderlich ist (BGE 127 V 237 E. 1 S. 238). Diese Vermutung ist widerlegbar, insbesondere wenn eine urteilsfähige mündige Person freiwillig und selbstbestimmt, allenfalls vom "Zwang der Umstände" (etwa Angewiesensein auf Betreuung, finanzielle Gründe) diktiert sich zu einem Anstaltsaufenthalt unbeschränkter Dauer entschlossen hat (BGE 133 V 309 E. 3.1 S. 312 mit weiteren Hinweisen; vgl. auch BGE 135 III 49 E. 6.2 S. 56). Die Widerlegung der Vermutung in Art. 26 ZGB unter Annahme eines neuen Wohnsitzes konnte somit zu einem Wechsel der Zuständigkeit des Kantons zur Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung führen. Soweit durch diese Regelung Standortgemeinden von Institutionen zur Betreuung und Pflege Invalider benachteiligt werden konnten, wies das Bundesgericht darauf hin, es bleibe Sache des Gesetzgebers, Abhilfe zu schaffen und gegebenenfalls ergänzungsleistungsrechtlich eine vom zivilrechtlichen Wohnsitz abweichende Lösung vorzusehen (BGE 133 V 309 E. 3.3 in fine S. 314).
5.3.2
5.3.2.1 Der neue Art. 21 Abs. 1 ELG knüpft die kantonale Zuständigkeit für die Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung zwar nach wie vor am Wohnsitz der bezugsberechtigten Person an. Satz 2 der Bestimmung stellt nun aber klar, dass der Aufenthalt in einem Heim, einem Spital oder einer anderen Anstalt und die behördliche oder vormundschaftliche Versorgung einer mündigen oder entmündigten Person in Familienpflege keine neue Zuständigkeit begründen. Die Materialien (zu deren Bedeutung für die Gesetzesauslegung BGE 133 III 273 E. 3.2.2 S. 278) zur Totalrevision des Ergänzungsleistungsrechts im Rahmen der Neugestaltung des Finanzausgleichs und der Aufgabenteilung zwischen Bund und Kantonen (NFA) machen deutlich, dass die Zuständigkeit bei einem Heim- oder Anstaltsaufenthalt gegenüber dem früheren Rechtszustand anders geregelt werden sollte. In der Vorlage zuhanden des Parlaments wurde dem Bundesrat die Kompetenz eingeräumt, nach Anhörung der Kantone besondere Zuständigkeitsbestimmungen für in Heimen oder Spitälern lebende Personen zu erlassen (Botschaft vom 7. September 2005 zur Ausführungsgesetzgebung zur Neugestaltung des Finanzausgleichs und der Aufgabenteilung zwischen Bund und Kantonen [NFA], BBl 2005 S. 6029 ff., 6357). Zur Begründung wurde ausgeführt, bei Heimbewohnern habe sich in der Praxis immer wieder gezeigt, dass zwischen den Kantonen Streitigkeiten über die Zuständigkeit entstanden seien, weil die Wohnsitzfrage nicht immer ohne weiteres zu beantworten gewesen sei (BBl 2005 S. 6233). Auf Antrag seiner vorberatenden Kommission (Protokoll der Sitzung vom 18./19. Januar 2006 S. 69 ff.) schlug der Ständerat als Erstrat vor, die Kompetenz des Bundesrates zu streichen und durch den nunmehr geltenden Satz 2 von Art. 21 Abs. 1 ELG zu ersetzen. In der parlamentarischen Beratung führte der Kommissionssprecher aus, die neue Regelung stimme mit derjenigen im Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (ZUG; SR 851.1) überein. Die zum ZUG entwickelte Praxis für Heim- und Anstaltsinsassen sowie Familienpfleglinge solle auch im ELG grundsätzlich Anwendung finden. Zuhanden der Materialien werde mit aller Deutlichkeit festgehalten, dass die Änderung keine Auswirkungen auf die Festlegung des zivilrechtlichen Wohnsitzes habe. Dieser bestimme sich einzig und allein nach dem Schweizerischen Zivilgesetzbuch (AB 2006 S 212). Der Nationalrat stimmte dem gegenüber der bundesrätlichen Vorlage neu gefassten Art. 21 Abs. 1 ELG diskussionslos zu (AB 2006 N 1255).
5.3.2.2 Nach dem klaren Willen des Gesetzgebers, wie er auch im Wortlaut seinen Niederschlag gefunden hat, ist somit der Eintritt in ein Heim, ein Spital oder eine andere Anstalt oder die behördliche oder vormundschaftliche Versorgung einer mündigen oder entmündigten Person in Familienpflege unabhängig davon, ob am Aufenthaltsort zivilrechtlicher Wohnsitz begründet wird, ohne Bedeutung für die Frage der Zuständigkeit zur Festsetzung und Auszahlung der Ergänzungsleistung. Zuständig ist resp. bleibt der Kanton, in welchem die EL-beziehende Person unmittelbar vor dem Heim- oder Anstaltseintritt Wohnsitz hatte. Insoweit stellt sich die in der Praxis häufig schwierige Abgrenzung von wohnsitzbegründendem freiwilligen Eintritt in ein Heim oder eine Anstalt und nicht wohnsitzrelevanter Unterbringung nicht. Ob Wohnsitz am Standort des Heims oder der Anstalt besteht, ist lediglich dann von Bedeutung, wenn der EL-Anspruch erst während des Aufenthalts in der Institution entsteht. Für den Fall eines Aufenthalts in einem Heim, einem Spital oder einer andern Anstalt hat der Gesetzgeber somit eine Regelung getroffen, bei welcher - ähnlich wie im Fürsorgebereich (vgl. BGE 135 V 134 E. 2.1 S. 136) - der zivilrechtliche Wohnsitz und die Zuständigkeit zur Festsetzung und Auszahlung der (Ergänzungs-)Leistung auseinanderfallen können.
5.4 Vorliegend ist daher nicht entscheidend, ob die Beschwerdeführerin ab 1. Januar 2008 zivilrechtlichen Wohnsitz im Kanton Thurgau hatte, sondern ob auch ab diesem Zeitpunkt von einem Heimaufenthalt im ergänzungsleistungsrechtlichen Sinne auszugehen ist. Die Vorinstanz hat diese Frage nicht geprüft und auch keine diesbezüglichen Feststellungen getroffen. Da die Akten insoweit nicht spruchreif sind, ist die Sache zur entsprechenden Sachverhaltsermittlung und anschliessender neuer Verfügung an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG).
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichtes des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 12. Oktober 2009 und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse des Kantons Bern vom 24. April 2009 werden aufgehoben. Die Sache wird an die Verwaltung zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Ausgleichskasse des Kantons Bern auferlegt.
3. Die Ausgleichskasse des Kantons Bern hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, hat die Parteientschädigung für des vorangegangene Verfahren neu festzusetzen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Januar 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler