Faits:
A. Par jugement du 25 janvier 2010, le Tribunal de police du canton de Genève a acquitté X._ des chefs d'accusation de gestion déloyale et d'abus de confiance. Il a considéré que la plupart des infractions de gestion déloyale aggravée étaient prescrites et, pour le surplus, que le dommage n'avait pas pu être établi, les parties civiles se fondant sur des comptabilités " reconstituées " pour les exercices 2001 et 2002.
B. Par arrêt du 14 novembre 2011, la Chambre pénale de la Cour de justice genevoise a admis l'appel formé par l'association A._ et annulé le jugement de première instance. Statuant à nouveau, elle a reconnu X._ coupable de gestion déloyale aggravée (art. 158 ch. 1 al. 3 CP) et d'abus de confiance (art. 138 ch. 1 al. 2 CP). Elle l'a condamné à une peine pécuniaire de nonante jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à 60 fr., et a suspendu l'exécution de cette peine pendant une durée de deux ans. Sur le plan civil, elle a constaté que les prétentions en dommages-intérêts formulées par l'association A._ étaient fondées dans leur principe et l'a renvoyée à agir devant la juridiction civile.
En substance, la condamnation de X._ repose sur les faits suivants:
B.a A._ est une association dont le but est de permettre à ses membres de s'associer à un projet humanitaire, tel que la construction d'une école, dans une région du monde (art. 1 des statuts). Les ressources de l'association proviennent des cotisations annuelles, des bénéfices réalisés lors de manifestations, des dons et des montants versés par les participants aux voyages (art. 4 des statuts).
Le bureau, qui est composé d'un trésorier et de trois membres au moins, est chargé notamment de coordonner les activités et de nommer les responsables de voyages ainsi que les coordinateurs locaux. Il définit les mesures à prendre pour un bon déroulement des voyages. Le trésorier est responsable de la tenue et de la présentation des comptes, également avec les responsables de voyages. Ceux-ci s'engagent à suivre et à faire respecter toutes les consignes transmises par le bureau. Ils ont la responsabilité de la préparation du voyage et de l'encadrement sur place. Les coordinateurs locaux organisent l'activité sur le terrain (art. 10 des statuts).
B.b X._ était responsable du voyage " Tanzanie ". Durant l'année 2001, il a effectué divers achats privés au moyen de l'argent dévolu au projet, en particulier des achats à la FNAC (144 fr. 90, 137 fr. 50 et 1'059 fr.), des achats de carburant, le paiement d'amendes d'ordre et de photos (1'500 fr.) (chiffres I 2, I 5 et I 9 de la feuille d'envoi). En outre, il a encaissé un don de 9'000 fr. remis par l'entreprise B._ SA, destiné à la construction d'une école en Tanzanie, sur le compte de chèques postaux n° xxx qu'il avait ouvert à son nom et portant la dénomination " Tanzanie 2001 ", puis " Tanzanie 2002 " (chiffre I 3 de la feuille d'envoi). Enfin, il a totalisé, à titre de frais de voyage, sur le compte CCP " Tanzanie 2002 " un montant de 26'000 fr., alors que le montant versé aurait dû s'élever à 32'500 fr., à savoir la participation de 13 personnes au prix de 2'500 fr. (chiffre I 8 de la feuille d'envoi). Pour ces faits, il a été reconnu coupable de gestion déloyale aggravée (art. 158 ch. 1 al. 3 CP).
En outre, X._ a retiré 10'000 fr. en espèces de son CCP " Tanzanie 2002 " le 18 juillet 2002 et versé, sur le compte de C._, devenue son épouse depuis lors, un montant de 6'000 fr. le 25 juillet 2002. Le 3 septembre 2002, il a effectué un transfert de 12'000 fr. du CCP " Tanzanie 2002 " en faveur de sa future épouse. Pour ces faits, il a été reconnu coupable d'abus de confiance (art. 138 ch. 1 al. 2 CP).
C. Contre ce dernier arrêt, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à son acquittement et, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement.
Appelés à se déterminer, l'association A._ et le Ministère public genevois ont conclu au rejet du recours. La cour cantonale a renvoyé à ses considérants et renoncé à formuler des observations.
Le recourant n'a pas présenté de déterminations sur les observations des autres parties.
Considérant en droit:
1. Le recourant dénonce une violation des art. 70 ss aCP sur la prescription. Selon lui, les infractions de gestion déloyale aggravée qui lui sont reprochées (art. 158 ch. 1 al. 3 CP) seraient prescrites. En effet, seules les circonstances aggravantes de la partie spéciale, qui se fondent sur des critères objectifs, seraient déterminantes pour calculer le délai de la prescription de l'action pénale. La circonstance aggravante du dessein d'enrichissement (art. 158 ch. 1 al. 3 CP), qui se réfère à l'élément subjectif, serait sans influence. L'infraction de gestion déloyale (infraction de base) étant passible de l'emprisonnement (art. 158 aCP), la prescription absolue serait de sept ans et demi (art. 70 al. 2 aCP), et les infractions de gestion déloyale reprochées qui ont été commises entre 2001 et 2003 seraient donc manifestement prescrites.
1.1 La prescription se détermine selon la peine maximale prévue pour l'infraction en cause, c'est-à-dire en fonction de la peine dont l'auteur est menacé, et non pas d'après la peine qu'il mérite concrètement dans le cas d'espèce (méthode dite abstraite). Le juge ne tient pas compte des circonstances atténuantes et aggravantes de la partie générale du Code pénal, mais de celles qui aggravent ou atténuent la peine d'après la partie spéciale du Code pénal. Ainsi, lorsque la loi prévoit, par rapport à l'infraction de base, une peine maximale réduite ou aggravée en présence de certaines conditions, objectives ou subjectives, qui sont précisément décrites, c'est la peine maximale prévue pour l'infraction qualifiée ou privilégiée, concrètement en cause, qui sera déterminante pour fixer le délai de prescription, et non celle de l'infraction de base (ATF 108 IV 41 consid. 2a p. 42 s.; KOLLY, in Commentaire romand, Code pénal I, n. 53 ad art. 97 CP). Ces principes s'appliquent également lorsque l ́aggravation de la peine n'est que facultative (ATF 136 IV 117 consid. 4.3.3).
La situation est plus délicate lorsque la loi ne fixe pas elle-même les critères déterminants pour qualifier ou privilégier une infraction, mais renvoie à l'appréciation du juge en prévoyant une peine maximale différente dans des cas dits " graves " ou " particulièrement graves " (art. 266 ch. 2 al. 2, 185 ch. 3 CP) ou de " très peu de gravité " (art. 240 al.2 CP). Certains auteurs proposent de ne pas tenir compte de ces circonstances aggravantes, qui ne seraient que des critères d'aggravation ou d'atténuation de la peine, et de se fonder sur la peine que la loi prévoit pour l'infraction de base (STRATENWERTH, Schweizerisches Strafrecht, allgemeiner Teil I: Die Straftat, 4e éd., n. 8 ad § 6). Pour sa part, la jurisprudence considère que le législateur a renoncé à énumérer les " cas graves " et a laissé au juge le soin d'interpréter cette notion, en raison des nombreuses causes possibles d'aggravation. Ce faisant, il n'a pas conféré au juge un pouvoir d'appréciation identique à celui dont il dispose pour fixer la peine, compte tenu des circonstances atténuantes ou aggravantes de la partie générale. Pour déterminer si l'on est en présence d'un cas grave, le juge devra en conséquence examiner la gravité objective de l'infraction, en faisant abstraction des éléments subjectifs inhérents au cas d'espèce (ATF 108 IV 41 consid. 2e p. 45 s.; cf. aussi ATF 136 IV 117 consid. 4.3.3 p. 121).
1.2 La gestion déloyale au sens strict est punie d'une peine privative de liberté de trois ans au plus ou d'une peine pécuniaire (art. 158 ch. 1 al. 1 CP). L'existence d'un dessein d'enrichissement illégitime élargit vers le haut le cadre légal de la peine en donnant au juge la faculté de prononcer une peine privative de liberté de cinq ans (art. 158 ch. 1 al. 3 CP). La circonstance aggravante du dessein d'enrichissement illégitime est une circonstance aggravante, que la loi décrit précisément et qui ne renvoie pas à l'appréciation du juge. Contrairement à ce que soutient le recourant, il convient donc d'en tenir compte pour déterminer la gravité de l'infraction (crime ou délit, art. 10 CP) et calculer le délai de prescription (art. 97 CP et 70 aCP).
Dans les cas où il y a dessein d'enrichissement, l'infraction est ainsi passible d'une peine privative de liberté jusqu'à cinq ans, ce qui en fait un crime (art. 10 al. 2 CP; CORBOZ, Les infractions en droit suisse, vol. I, 3e éd., 2010, n. 23 ad art. 158 CP) et le délai de prescription de l'action pénale sera de quinze ans, selon le nouveau droit (art. 97 al. 1 let. b CP), ou, selon l'ancien droit, de dix ans (délai relatif; art. 70 al. 2 aCP) et de quinze ans (délai absolu; art. 72 ch. 2 al. 2 aCP ). Que l'on applique l'ancien ou le nouveau droit, les infractions de gestion déloyale aggravée commises entre 2001 et 2003 ne sont dès lors manifestement pas prescrites. Mal fondé, le grief soulevé doit être rejeté.
2. Le recourant conteste sa condamnation pour gestion déloyale (art. 158 CP). Il fait notamment valoir qu'il ne revêt pas la qualité de gérant.
2.1 L'art. 158 CP punit celui qui, en vertu de la loi, d'un mandat officiel ou d'un acte juridique, est tenu de gérer les intérêts pécuniaires d'autrui ou de veiller sur leur gestion et qui, en violation de ses devoirs, aura porté atteinte à ces intérêts ou aura permis qu'ils soient lésés (ch. 1 al. 1). Le cas de la gestion déloyale aggravée est réalisé lorsque l'auteur a agi dans le dessein de se procurer ou de procurer à un tiers un enrichissement illégitime (ch. 1 al. 3).
L'infraction réprimée par l'art. 158 ch. 1 CP ne peut être commise que par une personne qui revêt la qualité de gérant. Selon la jurisprudence, il s'agit d'une personne à qui incombe, de fait ou formellement, la responsabilité d'administrer un complexe patrimonial non négligeable dans l'intérêt d'autrui (ATF 129 IV 124 consid. 3.1 p. 126). Le devoir de sauvegarder des intérêts pécuniaires ou de veiller sur de tels intérêts doit représenter un aspect caractéristique et essentiel du rapport liant l'auteur au titulaire du patrimoine géré (arrêt 6B_223/2010 du 13 janvier 2011, consid. 3.3.2; arrêt 6B_294/2008 du 1er septembre 2010, consid. 5.3.2). La qualité de gérant suppose, en outre, un degré d'indépendance suffisant et un pouvoir de disposition autonome sur les biens administrés. Ce pouvoir peut aussi bien se manifester par la passation d'actes juridiques que par la défense, au plan interne, d'intérêts patrimoniaux, ou encore par des actes matériels, l'essentiel étant que le gérant se trouve au bénéfice d'un pouvoir de disposition autonome sur tout ou partie des intérêts pécuniaires d'autrui, sur les moyens de production ou le personnel d'une entreprise (ATF 123 IV 17 consid. 3b p. 21). L'activité du gérant peut ainsi avoir trait à la gestion d'intérêts pécuniaires dans des rapports externes ou dans des rapports internes (ATF 129 IV 124 consid. 3.1 p. 126).
2.2 En l'espèce, le recourant ne faisait pas partie des organes de l'association, mais avait été désigné, par le bureau, comme responsable de voyage. En cette qualité, il avait la responsabilité de la préparation d'un voyage en Tanzanie et de l'encadrement des participants sur place (art. 10 des statuts). Il était certes chargé de rechercher les fonds, en récoltant des dons (institutionnels ou privés) et en organisant des manifestations. Il ne pouvait toutefois pas disposer librement de l'argent récolté, mais devait le transférer sur le compte de l'association, en vue de son affectation au projet humanitaire. En outre, il était autorisé à organiser des manifestations, destinées à diminuer le coût du voyage. Là aussi, il ne pouvait pas disposer librement des recettes récoltées. Ni les statuts ni le cahier des charges n'octroyaient au recourant l'administration des intérêts pécuniaires de l'association. En l'absence de tâche de gestion, le recourant ne peut être qualifié de gérant, de sorte que l'un des éléments constitutifs de l'infraction n'est pas réalisé. L'arrêt attaqué doit donc être annulé sur ce point et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouveau jugement.
3. Le recourant critique également sa condamnation pour abus de confiance (art. 138 CP). Il s'en prend à l'établissement des faits, qu'il qualifie d'arbitraire (art. 9 Cst.), et dénonce la violation de la présomption d'innocence (art. 32 al. 1 Cst.).
3.1 Le Tribunal fédéral est un juge du droit. Il ne peut revoir les faits établis par l'autorité précédente que si ceux-ci l'ont été de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356). On peut renvoyer, sur la notion d'arbitraire, aux principes maintes fois exposés par le Tribunal fédéral (voir par ex: ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560 ; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4/5; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités). En bref, pour qu'il y ait arbitraire, il ne suffit pas que la décision attaquée apparaisse discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation, mais aussi dans son résultat.
Le grief d'arbitraire doit être invoqué et motivé de manière précise (art. 106 al. 2 LTF). Le recourant doit exposer, de manière détaillée et pièces à l'appui, que les faits retenus l'ont été d'une manière absolument inadmissible, et non seulement discutable ou critiquable. Il ne saurait se borner à plaider à nouveau sa cause, contester les faits retenus ou rediscuter la manière dont ils ont été établis comme s'il s'adressait à une juridiction d'appel (ATF 133 IV 286). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356 ; 133 III 393 consid. 6 p. 397).
Dans la mesure où, comme en l'espèce, l'appréciation des preuves est critiquée en référence avec la présomption d'innocence, celle-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (ATF 127 I 38 consid. 2a p. 41).
Dans la mesure où, comme en l'espèce, l'appréciation des preuves est critiquée en référence avec la présomption d'innocence, celle-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (ATF 127 I 38 consid. 2a p. 41).
3.2 3.2.1 La cour cantonale a constaté que les extraits du CCP du recourant révélaient un retrait en espèces de 10'000 fr. le 18 juillet 2002 et un virement de 12'000 fr. en faveur de C._ le 3 septembre 2002. En outre, les extraits du CCP de C._ montraient un versement de 6'000 fr. le 25 juillet 2002 (valeur au 18 juillet 2002) et un autre de 12'000 fr. le 4 septembre 2002. La cour cantonale a considéré que ces mouvements laissaient apparaître que le recourant avait versé, sur le compte de son épouse, un montant total de 18'000 fr. provenant de l'association.
3.2.2 Le recourant soutient que son épouse avait accordé à l'association A._ une avance de 21'290 fr. pour payer les billets d'avion des participants au voyage, de sorte que la somme de 18'000 fr. qu'il a versée à cette dernière en date des 25 juillet et 4 septembre 2002 correspondrait au remboursement partiel de ce montant. Il se fonde sur une pièce attestant un prélèvement de 26'000 fr. effectué par son épouse quelques jours à peine avant son remboursement partiel, ainsi que sur les déclarations de celle-ci.
La cour cantonale a admis que la date du retrait en espèces de 26'000 fr. effectué par l'épouse correspondait à celle de l'acquisition des billets d'avion qui a eu lieu le 18 juillet 2002. En revanche, ce montant de 26'000 fr. ne correspondait pas au prix des billets de 21'920 fr., ni au montant de 18'000 fr. versé sur le compte de l'épouse au titre de remboursement. En outre, la cour cantonale a expliqué qu'elle ne comprenait pas pourquoi le recourant avait effectué un retrait de 10'000 fr. sur son CCP le 18 juillet 2002, le jour même où son épouse lui aurait remis 26'000 fr. pour payer les billets d'avion, ni pourquoi il aurait reversé à celle-ci quelques jours plus tard 6'000 fr. La cour cantonale n'a donc pas jugé crédibles les déclarations du recourant et de son épouse et a admis que le recourant avait employé, à son propre profit et à celui de son épouse, les valeurs qui lui avaient été confiées.
3.2.3 Dans son mémoire de recours, le recourant reprend la version des faits qu'il a présentée devant la cour cantonale et soutient que les versements effectués à son épouse constituaient un remboursement partiel d'un prêt qu'elle avait accordé à l'association en vue d'acheter les billets d'avion. Cette argumentation est purement appellatoire, en ce sens que le recourant ne démontre pas en quoi le raisonnement de la cour cantonale serait arbitraire (versement d'un montant de 18'000 fr. à son épouse), mais se borne à lui opposer sa propre version des faits (remboursement d'un prêt partiel). Le grief est dès lors irrecevable.
4. Dénonçant l'application arbitraire de l'art. 97 CPP/GE, le recourant critique l'ampleur des frais et dépens mis à sa charge.
Sauf dans les cas cités expressément à l'art. 95 LTF, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels. A cet égard, le Tribunal fédéral n'examinera le moyen fondé sur la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (art. 106 al. 2 LTF).
En l'espèce, le recourant ne motive pas son grief, se bornant à affirmer que la longueur et la durée de la procédure n'est nullement de son fait. Son grief est dès lors irrecevable, étant précisé que la cause est renvoyée pour nouveau jugement sur la peine et, partant, sur les frais et dépens.
5. Le recours doit être partiellement admis en ce qui concerne la condamnation pour gestion déloyale, l'arrêt attaqué, annulé et la cause, renvoyée à la cour cantonale pour nouveau jugement. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant obtient partiellement gain de cause. L'intimée, Association A._, succombe partiellement également. Les frais sont mis pour 2'000 fr. à la charge du recourant et pour 1'000 fr. à la charge de l'association intimée, le Procureur général ne pouvant être condamné aux frais (art. 66 al. 4 LTF). Les dépens sont compensés entre le recourant et l'association intimée (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis partiellement, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouveau jugement. Pour le surplus, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis pour 2'000 fr. à la charge du recourant et pour 1'000 fr. à la charge de l'intimée.
3. Les dépens sont compensés.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre pénale.
Lausanne, le 9 octobre 2012
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Mathys
La Greffière: Kistler Vianin