Considérant en fait et en droit:
1. Par arrêt du 29 août 2012, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, a rejeté le recours formé par T._ contre une décision sur opposition de la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation du 24 février 2012 en matière de remise de l'obligation de restituer des prestations indues. Le 29 septembre 2012, T._ a interjeté un recours contre ce jugement devant le Tribunal fédéral.
Par ordonnance du 1er octobre 2012, la Cour de céans a invité T._ à verser une avance de frais jusqu'au 16 octobre 2012. Vu que le versement n'avait pas été fait dans ce délai, elle lui a imparti par ordonnance du 25 octobre 2012 un délai supplémentaire non prolongeable au 5 novembre 2012 pour verser l'avance de frais requise, avec l'avertissement qu'à défaut, le recours serait déclaré irrecevable. Le montant de l'avance de frais a été débité le 12 novembre 2012 d'un compte au nom de T._ auprès de la Banque Cantonale Neuchâteloise, pour le compte de la Caisse du Tribunal fédéral. Par lettre du 12 novembre 2012 (timbre postal), T._ a informé le Tribunal fédéral qu'elle n'avait pas reçu l'ordonnance du 1er octobre 2012 et que des problèmes de santé l'avaient empêchée de verser l'avance de frais requise dans le délai imparti au 5 novembre 2012. Le 16 novembre 2012, la Cour de céans a avisé T._ qu'une demande de restitution du délai de paiement de l'avance de frais devait satisfaire à une exigence de motivation, en étant au besoin accompagnée des moyens de preuves éventuels permettant d'attester l'empêchement, et qu'il ne semblait pas que sa demande du 12 novembre 2012 remplisse ces conditions, tout en attirant son attention sur le fait qu'il pouvait être remédié à cette irrégularité dans les trente jours à partir du moment où l'empêchement avait cessé. Par lettre du 19 décembre 2012 (timbre postal), T._ a produit un certificat médical du docteur G._ du 11 décembre 2012.
2. La partie qui saisit le Tribunal fédéral doit fournir une avance de frais d'un montant correspondant aux frais judiciaires présumés (art. 62 al. 1 première phrase LTF). Le juge instructeur - soit le Président de la Cour, aussi longtemps que la cause n'a pas été attribuée à un autre juge (art. 32 al. 1 LTF; BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, n° 45 ad art. 62 LTF) - fixe un délai approprié pour fournir l'avance de frais; si le versement n'est pas fait dans ce délai, il fixe un délai supplémentaire; si l'avance n'est pas versée dans ce second délai, le recours est irrecevable (art. 62 al. 3 LTF).
En l'espèce, l'avance de frais a été versée après que le second délai imparti au 5 novembre 2012 fut échu. Au regard de l'art. 62 al. 3 LTF, le recours est donc irrecevable.
3. La lettre de la recourante du 12 novembre 2012 (timbre postal) doit être considérée comme une demande de restitution de délai.
3.1 L'art. 50 al. 1 LTF dispose que si, pour un autre motif qu'une notification irrégulière, la partie ou son mandataire a été empêché d'agir dans le délai fixé sans avoir commis de faute, le délai est restitué pour autant que la partie en fasse la demande, avec indication du motif, dans les 30 jours à compter de celui où l'empêchement a cessé; l'acte omis doit être exécuté dans ce délai.
Il faut que l'empêchement de la partie ou de son mandataire ne présente aucun caractère fautif (KATHRIN AMSTUTZ/PETER ARNOLD, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgestz, Basel 2011, 2ème éd., N. 5 zu Art. 50 BGG et les arrêts cités sous note 14). C'est avant tout la nature de l'empêchement qui est déterminante dans ce contexte. On se montrera plus exigeant si l'acte à accomplir consiste, par exemple, dans une simple avance de frais que dans la rédaction d'un mémoire de recours pour une affaire complexe (JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Commentaire de la LTF, n° 7 ad art. 50 LTF). La maladie ou l'accident peuvent, selon le moment où ils surviennent et selon leur gravité, représenter un motif légitime de restitution (FRÉSARD, in op. cit., n° 8 ad art. 50 LTF).
3.2 La recourante fait valoir dans sa demande de restitution de délai qu'elle n'a pu retirer à la poste pour raison de santé durant la période du 2 au 9 octobre 2012 l'ordonnance du 1er octobre 2012 et qu'elle a versé l'avance de frais après que le second délai non prolongeable imparti au 5 novembre 2012 fut échu, des problèmes de santé l'ayant empêchée de s'acquitter de cette tâche. Dans sa lettre du 19 décembre 2012 (timbre postal), elle produit un certificat médical du docteur G._ du 11 décembre 2012, dont elle déclare qu'il couvre la période du 2 au 9 octobre 2012, ainsi que les jours courant de la réception de l'acte judiciaire du 25 octobre 2012 jusqu'au 11 novembre 2012 où elle s'est occupée du paiement de l'avance de frais et a rédigé la demande de restitution de délai, expédiée le 12 novembre 2012 (timbre postal).
Il convient avant tout d'objecter à ces affirmations de la recourante que l'impossibilité alléguée de n'avoir pu pour des raisons de santé retirer le courrier pendant la période du 2 au 9 octobre 2012, n'entre de prime abord pas en ligne de compte comme motif de restitution de délai, attendu que ce prétendu empêchement ne se trouve pas en relation de cause à effet avec le fait que la recourante n'a pas observé le second délai fixé dans l'ordonnance du 25 octobre 2012. En définitive, ce que la recourante laisse entendre, c'est qu'après réception le 2 novembre 2012 de cette ordonnance, elle était encore ou derechef pour des raisons de santé dans l'impossibilité de s'en tenir au délai supplémentaire courant jusqu'au 5 novembre 2012 et pour ce motif n'a versé l'avance de frais requise que le 11 novembre 2012. Cette présentation du déroulement des faits ne convainc guère, même si la recourante a produit un certificat médical du 11 décembre 2012 dans lequel le docteur G._ a indiqué que l'état psychique instable de la patiente durant les mois d'octobre et de novembre 2012 expliquait son désordre dans la gestion de ses affaires et les retards de ses paiements. De toute façon, la recourante n'a donné suite à la lettre du Tribunal fédéral du 16 novembre 2012 que le 19 décembre 2012 (timbre postal), soit plus de trente jours après que l'empêchement eut cessé le 11 novembre 2012, sans pour autant remédier dans sa lettre du 20 décembre 2012 aux irrégularités de sa demande de restitution de délai du 12 novembre 2012, laquelle ne répond pas à l'exigence de motivation de l'art. 42 al. 2 LTF, singulièrement en ce qui concerne le point de savoir si ses problèmes de santé ont revêtu une certaine gravité.
4. Il résulte de ce qui précède que la demande de restitution de délai doit être rejetée et que, conformément à l'art. 62 al. 3 LTF, il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur le recours.
En application de l'art. 66 al. 1, 2ème phrase, LTF, il convient de renoncer à la perception des frais judiciaires, vu les circonstances.
par ces motifs, le Président prononce:
1. La demande de restitution de délai est rejetée.
2. Le recours est irrecevable.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 28 décembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Wagner