Sachverhalt:
A. Der 1949 geborene R._ war im April 2007 am rechten Oberschenkel von einer Zecke gebissen worden. Die Basler Versicherungen AG (nachfolgend: Basler) erbrachte die Versicherungsleistungen. Mit Verfügung vom 11. Juni 2010 stellte sie die Heilkosten- und Taggeldleistungen mit sofortiger Wirkung ein und verneinte einen Anspruch auf weitere Leistungen gemäss UVG, da die noch geklagten Beschwerden nicht überwiegend wahrscheinlich kausal zum Zeckenbiss seien. An ihrem Standpunkt hielt sie mit Einspracheentscheid vom 11. Januar 2011 fest.
B. Dagegen liess R._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau Beschwerde erheben und die Ausrichtung der gesetzlichen Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung beantragen. Mit nachträglicher Eingabe vom 4. April 2011 wies sein Rechtsvertreter darauf hin, dass der Rechtsvertreter der Basler, Rechtsanwalt Simon Krauter, als nebenamtlicher Richter am Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau tätig sei, und verlangte die Überweisung der Sache an das Versicherungsgericht eines andern Kantons. Nachdem der Gerichtspräsident mit Schreiben vom 11. April 2011 mitgeteilt hatte, Simon Krauter sei lediglich Ersatzrichter und dürfe vor Verwaltungsgericht grundsätzlich auftreten, liess R._ mit Eingabe vom 26. April 2011 am Ausstandsbegehren gegen das Verwaltungsgericht festhalten. Nach Durchführung einer Plenarsitzung wies das Verwaltungsgericht das Ausstandsbegehren mit Entscheid vom 1. Juni 2011 ab.
C. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde lässt R._ beantragen, der Entscheid vom 1. Juni 2011 sei aufzuheben und es sei ein unbefangenes Richtergremium als Ersatzgericht zum Entscheid über den Ausstand der ordentlichen Verwaltungsrichter des Kantons Thurgau sowie zum Entscheid über die Beschwerde des R._ gegen den Einspracheentscheid vom 11. Januar 2011 zu berufen, eventualiter sei die Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen zur Bestellung eines Ersatzgerichts zum Entscheid über den Ausstand der ordentlichen Verwaltungsrichter sowie zum Entscheid über die Beschwerde des R._.
Das Verwaltungsgericht und die Basler schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 1. Juni 2011 handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren im Sinne von Art. 92 BGG. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsmittelweg demjenigen in der Hauptsache (BGE 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.). Vorliegend ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da es in der Hauptsache um eine Beschwerde gegen einen Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts geht (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG) und kein Ausnahmefall gegeben ist. Die mit Verfassungsbeschwerde überschriebene Eingabe wird daher ungeachtet ihrer Bezeichnung als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegen genommen.
2. Der Beschwerdeführer hat im vorinstanzlichen Verfahren mit den Eingaben vom 4. und 26. April 2011 ein Ausstandsbegehren gegen sämtliche Mitglieder des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau gestellt, weil der Rechtsvertreter der Gegenpartei gleichzeitig nebenamtlicher Richter an diesem Gericht sei. Dieses Ausstandsbegehren hat das Verwaltungsgericht mit Entscheid vom 1. Juni 2011 abgewiesen. Der Beschwerdeführer beanstandet zunächst, dass das Gericht selber über das Ausstandsbegehren und somit in eigener Sache entschieden habe, was den Anspruch auf ein unparteiisches und unabhängiges Gericht nach Art. 30 Abs. 1 BV verletze.
3. 3.1 Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, die in dieser Hinsicht dieselbe Tragweite besitzen, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem durch Gesetz geschaffenen, zuständigen, unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird (BGE 135 I 14 E. 2 S. 15, 133 I 1 E. 5.2 S. 3, je mit Hinweisen). Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sind verletzt, wenn bei einem Mitglied des Gerichts - objektiv betrachtet - Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (BGE 135 I 14 E. 2 S. 15, 133 I 1 E. 6.2 S. 6, je mit Hinweisen). Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Gerichtsmitglieds oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Richter oder die Richterin tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Mit andern Worten muss gewährleistet sein, dass der Prozess aus Sicht aller Betroffenen als offen erscheint (BGE 134 I 238 E. 2.1 S. 240, 133 I 1 E. 6.2 S. 6, je mit Hinweisen).
3.2 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kann eine Behörde selber über ihren eigenen Ausstand bzw. über denjenigen ihrer Mitglieder bestimmen, wenn die gestellten Ablehnungsbegehren von vornherein unzulässig oder offensichtlich unbegründet sind (vgl. BGE 105 Ib 301 E. 1c S. 304; Pra 1997 Nr. 118 S. 631 E. 3d; Urteile 2C_305/2011 vom 22. August 2011 E. 2.6 und 2C_8/2007 vom 27. September 2007 E. 2.4, je mit Hinweis).
4. 4.1 Zur Begründung des Ausstandsbegehrens macht der Beschwerdeführer im Wesentlichen geltend, durch den Anwaltsauftritt eines nebenamtlichen Richters vor dem eigenen Gericht werde der Anschein der Unbefangenheit der andern Richterkollegen getrübt, was den Anspruch auf ein unvoreingenommenes und unabhängiges Gericht nach Art. 30 Abs. 1 BV verletze. Nebstdem führe die Anwalt-Richter-Doppelrolle des Rechtsvertreters der Beschwerdegegnerin zu einer fehlenden Waffengleichheit und damit zu einer Verletzung des Anspruchs auf ein faires Verfahren nach Art. 29 BV und auf Rechtsgleichheit nach Art. 8 Abs. 1 BV.
4.2 Unter dem Gesichtswinkel von Art. 30 Abs. 1 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK wird meist die Frage aufgeworfen, ob besondere Umstände betreffend das Verhältnis zwischen einem Richter und einer Partei bei objektiver Betrachtung geeignet seien, den Anschein der Befangenheit des Richters zu erwecken. Indessen ist es denkbar und von der Rechtsprechung ebenso anerkannt, dass - wie hier - besondere Gegebenheiten hinsichtlich des Verhältnisses zwischen einem Richter und einem Parteivertreter die Voreingenommenheit des Ersteren begründen können (BGE 133 I 1 E. 5.2 S. 3 mit Hinweisen).
4.3 In BGE 133 I 1 hat das Bundesgericht geprüft, ob der Anspruch auf einen unbefangenen Richter und das Gebot der Waffengleichheit verletzt sind, wenn der Rechtsvertreter einer Partei gleichzeitig Vizepräsident einer allfälligen Rechtsmittelinstanz der zuständigen Einzelrichterin ist. Für die zu beurteilende Konstellation ist das Bundesgericht zum Schluss gekommen, dass die Ausstandsfrage unter dem Gesichtswinkel der Waffengleichheit nicht überprüft werden müsse, weil es einerseits den Parteien frei stehe, unter den zugelassenen Rechtsanwälten denjenigen zu mandatieren, der ihnen am besten geeignet erscheine, ihre Interessen wirksam zu verfolgen, und andrerseits in Anbetracht des selbstbewussten Vortragens des Ausstandsbegehrens durch den Anwalt kein Anzeichen für eine Einschüchterung vorliege (E. 5.3). Bezüglich der Frage der Befangenheit eines hauptberuflichen Richters gegenüber einem Anwalt, der am gleichen Gericht nebenamtlich als Richter wirkt, hat es festgehalten, dass die Möglichkeit kollegialer Gefühle in der Regel noch nicht den Anschein der Befangenheit erwecke. Für den zu beurteilenden Fall hat es sodann darauf hingewiesen, dass der Anwalt nicht am gleichen Gericht, sondern in einer Rechtsmittelinstanz richterlich tätig sei (E. 6.4-6.6).
4.4 Im erwähnten BGE 133 I 1 hat sich das Bundesgericht einerseits mit der eigenen und mit der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte, andererseits mit der Literatur auseinandergesetzt. Es hat die Gefahr der Befangenheit bei hauptberuflich als Anwalt tätigen Richtern bis zu einem gewissen Grad als systemimmanent bezeichnet (E. 6.4.2) und aufgezeigt, dass verschiedene Autoren die Unparteilichkeit von Richtern in Verfahren, in denen nebenamtliche Mitglieder desselben Gerichts als Anwälte beteiligt sind, kritisch betrachten, weil die berufliche Beziehung zwischen dem als Anwalt auftretenden Richter und seinen mit der Sache befassten Richterkollegen über die üblichen sozialen Bindungen hinausgehe (E. 6.6.1 mit Hinweisen). Dieser Kritik sprach das Bundesgericht nicht jede Berechtigung ab, da es für Rechtsuchende, die nur punktuell an ein Gericht gelangen, schwierig abzuschätzen sei, ob aufgrund der langjährigen Zusammenarbeit der Gerichtsmitglieder die Gefahr einer sachfremden Solidarisierung bestehe (E. 6.6.2). Unter Berücksichtigung der Umstände, dass die Mitglieder eines Kollegialgerichts in ihrer Stellung voneinander unabhängig seien, dass die Gerichtsmitglieder persönlich - nicht als Team - dem Recht verpflichtet seien, dass die individualisierte Grundstruktur der Kollegialgerichte ihren sichtbaren Ausdruck in der öffentlichen Urteilsberatung fände und dass die grosszügige Veröffentlichung der Rechtsprechungsgrundsätze eine rasche und differenzierte Orientierung über die Gerichtspraxis ermöglichten, hat das Bundesgericht im zu beurteilenden Fall dann aber an der bisherigen Praxis festgehalten, wonach die blosse Kollegialität unter Gerichtsmitgliedern keine Ausstandspflicht gebiete (E. 6.6.3).
4.5 Zusammenfassend kann bei der vorliegenden Konstellation, wo der Anwalt am gleichen Gericht als Richter tätig ist, vor diesem Hintergrund - namentlich auch in Anbetracht der vom Bundesgericht geäusserten Bedenken - nicht von einem offensichtlich unbegründeten oder unzulässigen Ausstandsbegehren gesprochen werden. Der Umstand, dass der Anwalt der Beschwerdegegnerin Ersatzrichter, nicht nebenamtlicher Richter ist, spielt dabei keine Rolle, handelt es sich doch regelmässig lediglich um einen quantitativen Unterschied der Anzahl Einsätze. Die Vorinstanz begründet ihr Eintreten denn auch nicht mit der Unbegründetheit oder Unzulässigkeit des Begehrens, sondern mit Zweckmässigkeitsüberlegungen. Solche vermögen indessen nicht zu begründen, dass die von der Ausstandsfrage betroffenen Mitglieder des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau selber über das Ausstandsbegehren hätten entscheiden dürfen. Die Sache ist daher an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit ein nach dem Recht des Kantons Thurgau zuständiger Spruchkörper über das Ausstandsbegehren entscheide. Nicht abwegig erscheint diesbezüglich Antrag 2 der Beschwerde, wonach drei Präsidenten von kantonalen Rekurskommissionen beizuziehen seien, sind diese doch gemäss § 31 Abs. 2 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Thurgau ausserordentliche Ersatzmitglieder des Verwaltungsgerichts.
5. Bei Gutheissung der Beschwerde sind die Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren an sich der gegnerischen Verfahrenspartei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Bei einer Verletzung der Pflicht zur Justizgewährleistung, wovon vorliegend auszugehen ist, richtet sich die Verlegung der Gerichtskosten und der Parteientschädigung hingegen nach dem Verursacherprinzip (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz, Art. 66 Abs. 3 und Art. 68 Abs. 4 BGG; BGE 129 V 335 E. 4 S. 342; SZS 2009 S. 397, 9C_867/2008, E. 8; SVR 2006 KV Nr. 3 S. 6 E. 7 mit Hinweisen, K 27/04 [willkürliche Auslegung gerichtsorganisatorischer Vorschriften]; RKUV 1999 Nr. U 331 S. 128 E. 4).
Abweichend vom Grundsatz der Kostenbefreiung von Gemeinwesen (Art. 66 Abs. 4 BGG) hat somit der Kanton Thurgau die Gerichtskosten zu tragen und dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 1. Juni 2011 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Kanton Thurgau auferlegt.
3. Der Kanton Thurgau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Februar 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch