Sachverhalt:
A. Der 1952 geborene U._ zog sich am 18. November 1994 bei einem Verkehrsunfall Verletzungen zu. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer sprach ihm mit Verfügung vom 22. Januar 2001 und Einspracheentscheid vom 27. November 2001 für die verbleibenden Unfallfolgen nebst einer Integritätsentschädigung eine ab 1. Juli 1999 laufende Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von 63 % zu. Im November 2007 beantragte U._, infolge einer zwischenzeitlich eingetretenen Verschlechterung seines Gesundheitszustandes sei die Invalidenrente revisionsweise zu erhöhen. Nach medizinischen Abklärungen verneinte die SUVA die Voraussetzungen hiefür mit der Begründung, es sei keine wesentliche gesundheitliche Veränderung eingetreten (Verfügung vom 6. Mai 2009 und Einspracheentscheid vom 3. Dezember 2010).
B. Die von U._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 25. Oktober 2012 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt U._ wie bereits vorinstanzlich sinngemäss beantragen, es seien gestützt auf eine rechtskonforme Sachverhaltsabklärung revisionsweise eine (allenfalls abgestuft) erhöhte Invalidenrente und eine Entschädigung für von ihm eingeholte medizinische Gutachten zuzusprechen. Zudem wird die Zusprechung einer Genugtuung beantragt.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Rechtsschriften "in gedrängter Form" darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Diesem Grundsatz trägt die hier erhobene, mit 72 eng beschriebenen Seiten sehr ausführlich gehaltene Beschwerde nicht Rechnung. Von einer Rückweisung der Rechtsschrift zur Änderung wegen übermässiger Weitschweifigkeit im Sinne von Art. 42 Abs. 6 in Verbindung mit Abs. 5 BGG kann aber ausnahmsweise abgesehen werden, zumal der Beschwerde ohnehin kein Erfolg beschieden ist. Das zeigen die folgenden Erwägungen.
3. Gemäss Art. 99 Abs. 2 BGG sind neue Begehren im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig. Auf den erst letztlich gestellten Antrag, es sei eine Genugtuung zuzusprechen, ist daher nicht einzutreten. Es wird im Übrigen auch nicht dargetan, auf welche Rechtsgrundlage sich eine solche Forderung stützen liesse.
4. Im angefochtenen Entscheid sind die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung des streitigen Anspruchs auf eine revisionsweise Erhöhung der seit Juli 1999 bezogenen Invalidenrente zutreffend dargelegt. Das gilt auch hinsichtlich der massgeblichen verfahrens- und beweisrechtlichen Grundsätze. Darauf wird verwiesen.
Als gegebenenfalls revisionsbegründender Faktor steht eine seit der Rentenzusprechung eingetretene erhebliche Verschlechterung der unfallbedingten Gesundheitsschäden zur Diskussion.
4.1 Das kantonale Gericht hat eine solche Verschlimmerung verneint. Diese Beurteilung beruht auf einer nicht zu beanstandenden Würdigung der medizinischen Akten. Die Vorinstanz hat insbesondere auch einlässlich und überzeugend dargelegt, weshalb sie namentlich auf die fachärztlichen Untersuchungsberichte und Stellungnahmen, welche SUVA-Mediziner auf das Revisionsgesuch hin abgegeben haben, abgestellt hat.
4.2 Die Beschwerde setzt sich mit diesen in korrekter Anwendung von Art. 17 ATSG ergangenen Erwägungen höchstens summarisch auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern das kantonale Gericht damit Bundesrecht verletzt haben soll.
4.3 Hervorzuheben ist, dass entgegen der in der Beschwerde zumindest sinngemäss vertretenen Auffassung auch aus Art. 6 EMRK nicht folgt, Berichten versicherungsinterner Ärzte gehe von vornherein jeglicher Beweiswert ab (vgl. BGE 135 V 465 E. 4.4 S. 470 mit Hinweis auf die Rechtsprechung des EGMR). Es besteht hier sodann kein Anlass für auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen, welche deren Beweiswert im Sinne von BGE 135 V 465 E. 4.4 S. 470 entgegenstünden. Anhaltspunkte für eine Befangenheit der SUVA-Mediziner liegen nicht vor. Deren Beurteilungen werden auch durch die vom Versicherten aufgelegten ärztlichen Gutachten und Berichte nicht in Frage gestellt. Diese enthalten bei grundsätzlich gleicher Diagnosestellung nur eine neue ärztliche Beurteilung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Gesundheitszustandes und bieten keine verlässlichen Hinweise auf eine seit der Rentenzusprechung eingetretene gesundheitliche Verschlechterung. Das gilt auch für das im vorinstanzlichen Verfahren aufgelegte Gutachten des Dr. med. H._ vom 17. November 2011.
4.4 Weitere Einwände gehen dahin, die SUVA habe formelle Rechte des Versicherten verletzt. Namentlich habe sie kein genügendes Verzeichnis ihrer Akten erstellt und dem Beschwerdeführer die vorhandenen Röntgenbilder nicht in rechtsgenüglicher Weise zur Verfügung gestellt.
Die Vorinstanz hat erkannt, dass in Bezug auf die Röntgenbilder der Anspruch des Versicherten auf rechtliches Gehör verletzt, dieser Mangel aber im kantonalen Verfahren geheilt worden ist. Sie hat dem Beschwerdeführer aufgrund dieser Gehörsverletzung eine Parteientschädigung zugesprochen. Das kantonale Gericht ist sodann zum Ergebnis gelangt, dass im Übrigen keine Verfahrensrechte verletzt wurden und namentlich auch die Art und Weise, wie die SUVA ihre Akten an- und aufgelegt hat, den massgeblichen Rechtsvorschriften genügt.
In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was diese Beurteilung als rechtswidrig erscheinen lassen könnte. Es wird namentlich auch nicht dargetan, inwiefern der Versicherte aufgrund der geltend gemachten Umstände seine Verfahrensrechte nicht hinreichend hätte ausüben können. Vielmehr war er in der Lage, die Akten zu verarbeiten. Auch der Einwand, die CD/DVD mit den Röntgenbildern sei in einem nicht zugänglichen Format gehalten gewesen, geht fehl. Denn wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat, war der vom Versicherten beigezogene Privatgutachter H._ offensichtlich fähig, die Röntgenbilder zu betrachten und seiner fachärztlichen Beurteilung zugrunde zu legen.
4.5 Weitere Einwände betreffen das Vorgehen der Vorinstanz resp. ihres Präsidenten u.a. im Zusammenhang mit Auskunfterteilung, der Erstellung eines Gerichtsprotokolles sowie der Ansetzung von Fristen und deren Erstreckungen. Auch hier ergeben sich indessen keine Anhaltspunkte für ein rechtswidriges behördliches Verhalten und für eine Behinderung des Beschwerdeführers bei der Ausübung von Verfahrensrechten. Das gilt auch für die vorinstanzliche Behandlung der Eingabe des Versicherten vom 22. November 2011. Dass diese im angefochtenen Entscheid nur kurz ausdrücklich angesprochen wird, ist nicht zu beanstanden, zumal die in der Eingabe namentlich erwähnten Gesichtspunkte (Röntgen, Aktenverzeichnis) in den vorinstanzlichen Erwägungen einlässlich behandelt werden. Im Übrigen nimmt die Eingabe insbesondere Bezug auf die mit ihr eingereichte Privatexpertise H._. Dazu kann auf das bereits Gesagte verwiesen werden (vgl. dazu E. 4.3 hievor). Festzuhalten bleibt, dass der in diesem Zusammenhang gegenüber der Vorinstanz erhobene Vorwurf der Befangenheit ebenfalls unbegründet ist. Gleiches gilt, soweit geltend gemacht wird, das kantonale Gericht habe die vom Versicherten aufgelegten Gutachten willkürlich gewürdigt.
4.6 Der Einwand, Unfallversicherer und Vorinstanz hätten gegen das Gebot der beförderlichen Behandlung verstossen, ist ebenfalls nicht stichhaltig, zumal teils aufwändige medizinische Abklärungen zu treffen und verschiedene Eingaben des Versicherten zu berücksichtigen waren. Offensichtlich unbegründet sind auch die hier nicht einzeln abzuhandelnden weiteren Tatsachenbehauptungen, soweit diese nicht ohnehin unzulässige Noven darstellen, und Rügen, es seien weitere Rechtsgrundsätze nach Bundesrecht und der EMRK verletzt worden. Es liegt kein Anhaltspunkt dafür vor, dass der Versicherte einen Rechtsnachteil erlitten hat.
4.7 Mit dem kantonalen Gericht ist in antizipierter Beweiswürdigung von weiteren Abklärungen abzusehen, da diese keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen. Das betrifft auch die letztinstanzlich beantragte Einholung eines Ergänzungsberichts des Dr. med. H._ resp. Zeugenbefragung mit diesem. Von einem Beizug der vollständigen Akten der Invalidenversicherung kann ebenfalls abgesehen werden. Die hier streitige Revision der Rente der Unfallversicherung lässt sich verlässlich aufgrund der aufliegenden Akten beurteilen. Damit kann offen bleiben, ob diese Beweisanträge novenrechtlich überhaupt zulässig sind.
5. Zu prüfen bleibt, ob der Versicherte entgegen der vorinstanzlichen Beurteilung für die Kosten der von ihm eingeholten medizinischen Expertisen zu entschädigen ist.
Die Voraussetzungen hiefür sind nicht erfüllt, da keine pflichtwidrig unterlassene Abklärung durch den Versicherer Anlass für die Einholung der Gutachten bot und die Aussagen der Privatexperten keine relevanten neuen Erkenntnisse gebracht haben (Art. 45 Abs. 1, Art. 61 lit. g ATSG; SVR 2011 IV Nr. 13 S. 35, 9C_178/2010 E. 2; RKUV 2005 Nr. U 547 S. 221, U 85/04 E. 2.1; je mit Hinweisen).
6. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
7. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. März 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz