Sachverhalt:
A. X._ (nachfolgend: Vater) und Y._ (nachfolgend: Mutter) sind die nicht verheirateten Eltern des am 26. November 2000 geborenen Sohnes Z._, den der Vater bereits am 3. August 2000 im Sinne von Art. 260 ZGB vor dem Zivilstandsbeamten anerkannt hatte. Am 15. Januar 2001 unterzeichneten die in einem gemeinsamen Haushalt wohnenden Eltern eine Vereinbarung betreffend gemeinsame elterliche Sorge, in der sie überdies den gemeinsamen Unterhalt und die Betreuung des Sohnes regelten. Mit Beschluss vom 15. Februar 2001 übertrug die Vormundschaftsbehörde der Stadt Zürich gestützt auf Art. 298a Abs. 1 ZGB den nicht verheirateten Eltern die gemeinsame elterliche Sorge über den Sohn und genehmigte ihre Vereinbarung über die Anteile an der Betreuung des Kindes und die Verteilung der Unterhaltskosten.
B. Im Verlaufe des Jahres 2002 zog der Vater wegen Beziehungsschwierigkeiten aus dem gemeinsamen Haushalt der Parteien aus, worauf die Mutter am 6. August 2004 den Bezirksrat Zürich als untere vormundschaftliche Aufsichtsbehörde darum ersuchte, ihr das alleinige Sorgerecht zu übertragen. Im nachfolgenden Verfahren stellte die Vormundschaftsbehörde entsprechend Antrag. Nachdem überdies die Parteien angehört worden waren, beschloss der Bezirksrat, die gemeinsame elterliche Sorge aufzuheben und die alleinige Sorge über den Sohn der Mutter zu übertragen. Die Parteien wurden sodann eingeladen, binnen 30 Tagen eine Vereinbarung über den Unterhalt des Kindes und das Besuchsrecht des Vaters einzureichen (Beschluss vom 25. August 2005).
Den dagegen erhobenen Rekurs des Vaters wies das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, mit Beschluss vom 15. Dezember 2005 ab und bestätigte den bezirksrätlichen Beschluss. Die Parteien wurden darauf hingewiesen, die 30tägige Frist zur Einreichung der Vereinbarung betreffend Elternrechte laufe ungeachtet der Gerichtsferien ab Mitteilung des Beschlusses.
C. Gegen den obergerichtlichen Beschluss hat der Vater sowohl eidgenössische Berufung beim Bundesgericht als auch kantonale Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich erhoben. Mit eidgenössischer Berufung beantragt er sinngemäss, den angefochtenen Beschluss aufzuheben und die elterliche Sorge beiden Eltern gemeinsam zu übertragen. Das Obergericht hat auf Gegenbemerkung verzichtet. Es ist keine Berufungsantwort eingeholt worden.
D. Mit Zirkular-Erledigungsbeschluss vom 28. April 2006 ist das Kassationsgericht des Kantons Zürich auf die Nichtigkeitsbeschwerde nicht eingetreten.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die Berufung richtet sich gegen einen Beschluss eines oberen kantonalen Gerichts betreffend Übertragung der elterlichen Sorge. Sie erweist sich daher als zulässig (Art. 44 lit. d OG).
1.1 Aufgrund der Berufungseingabe ist im vorliegenden Fall zunächst strittig, ob die gemeinsame elterliche Sorge aufgehoben werden muss. Nach der massgebenden Bestimmung des Art. 298a Abs. 2 ZGB ist die Zuteilung der elterlichen Sorge auf Begehren eines Elternteils oder der Vormundschaftsbehörde durch die vormundschaftliche Aufsichtsbehörde neu zu regeln, wenn sich die Verhältnisse wesentlich verändert haben. Diese Bestimmung entspricht inhaltlich Art. 134 Abs. 1 ZGB (Botschaft über die Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches vom 15. November 1995, BBl 1996 I 1 Ziff. 244.41, S. 164 [nachfolgend: Botschaft]). Voraussetzung für die Umteilung der elterlichen Sorge bzw. die Aufhebung des gemeinsamen Sorgerechts ist demnach, dass eine Neuregelung wegen wesentlicher Veränderung der Verhältnisse zum Wohl des Kindes geboten ist. Weil aber stabile Lebensverhältnisse im Interesse des Kindes liegen, genügt einerseits nicht jede Veränderung, insbesondere nicht jede Uneinigkeit der Eltern in Bezug auf Kinderbelange; die gemeinsame elterliche Sorge kann nicht einfach gekündigt werden. Anderseits gelten auch nicht die gleich strengen Voraussetzungen wie beim Entzug der elterlichen Sorge. Notwendig, aber auch ausreichend ist, dass die wesentlichen Grundlagen für eine gemeinsame Elternverantwortung nicht mehr vorhanden sind, sodass das Kindeswohl eine Zuweisung des Sorgerechts an einen Elternteil erfordert. Das kann der Fall sein, wenn die Kooperationsfähigkeit der Eltern nicht mehr vorhanden ist. Ob eine wesentliche Veränderung im dargelegten Sinn vorliegt, lässt sich nur aufgrund sämtlicher Umstände des konkreten Einzelfalles beurteilen (Botschaft, Ziff. 233.63, S. 132; Sutter/Freiburghaus, Kommentar zum neuen Scheidungsrecht, 1999, N. 10 und 15 zu Art. 134 ZGB; Wirz, in: Praxiskommentar Scheidungsrecht, 2000, N. 19 f. zu Art. 134 und Art. 315a/b ZGB). Wie für alle Zivilverfahren, welche die Regelung von Belangen unmündiger Kinder zum Gegenstand haben, gilt auch im Anwendungsbereich von Art. 298a ZGB die Untersuchungsmaxime (Sutter/Freiburghaus, a.a.O., N. 18 und 39 zu Art. 134 ZGB). Dementsprechend hat das Gericht bzw. die Vormundschaftsbehörde - selbst ohne entsprechenden Parteiantrag - jene Abklärungen zu treffen, die nötig und geeignet sind, den massgeblichen Sachverhalt zu erstellen.
Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen beruht die gemeinsame elterliche Sorge auf einer Vereinbarung, welche am 15. Januar 2001 und damit zu einem Zeitpunkt abgeschlossen worden ist, als die Eltern und heutigen Parteien in einem gemeinsamen Haushalt lebten. Eine wichtige Veränderung seit Abschluss dieser Vereinbarung ist dadurch eingetreten, dass der Berufungskläger im Laufe des Jahres 2002 wegen Beziehungsschwierigkeiten aus dem gemeinsamen Haushalt ausgezogen ist. Nach den weiteren Feststellungen des Obergerichts bestehen zwischen den Parteien Kommunikationsprobleme und fehlt es an einem guten Konfliktmanagement mit Bezug auf unterschiedliche Meinungen. So haben sich die Parteien unter anderem nicht darüber einigen können, wie ausgefallene Betreuungszeiten kompensiert werden können. Vom Berufungskläger wurde sodann eingeräumt, dass es bei der Übergabe des Kindes zu Schwierigkeiten gekommen ist, wobei insbesondere auf die hässliche Auseinandersetzung anlässlich der Übergabe des Kindes am 27. Mai 2004 im Restaurant A._ hingewiesen wird. Das Obergericht erwähnt sodann auch die Tatsache, dass die Übergabe des Kindes in Restaurants stattfinde, weil sie bei den Parteien nicht durchgeführt werden könne. Aus alldem schliesst das Obergericht, dass es an einer für die gemeinsame elterliche Sorge notwendigen Konfliktfähigkeit der Eltern fehle. Der Berufungskläger, so das Obergericht weiter, verlange die Aufrechterhaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge, wobei er gleichzeitig fordere, dass den Eltern Hilfe in Form einer weiteren Mediation zuteil werden müsse.
Bereits aus diesen Ausführungen ergibt sich, dass die Grundlagen für eine gemeinsame Elternverantwortung nicht mehr vorliegen, zumal die Parteien nicht in der Lage sind, im Interesse des Kindeswohls zusammenzuwirken. Der angefochtene Beschluss, welcher sich ausführlich zur fehlenden Grundlage einer gemeinsamen Elternverantwortung äussert und stichhaltig begründet ist, erweist sich als mit dem Bundesrecht vereinbar. Es kann daher im Weiteren auf dessen zutreffende Erwägungen verwiesen werden (Art. 36a Abs. 3 OG).
1.2 Nach Art. 298 Abs. 1 ZGB steht die elterliche Sorge bei nicht verheirateten Eltern der Mutter zu. Dieser Grundsatz kommt aber nicht mehr zum Tragen, wenn - wie hier - beide Eltern die elterliche Sorge gemeinsam ausgeübt haben und veränderte Verhältnisse eine Neuordnung der elterlichen Sorge erheischen (Wirz/Egli, in: FamKommentar Scheidung, Bern 2005, N. 22 zu Art. 298a ZGB; Schwenzer, Basler Kommentar ZGB I, 2. Aufl. 2002, N. 16 zu Art. 298a ZGB). Die Neuordnung hat sich vielmehr am Kindeswohl zu orientieren; im Ergebnis kommen somit die Kriterien für die Zuteilung der Sorge im Scheidungsfall zur Anwendung (Schwenzer, a.a.O., N. 16 zu Art. 298a ZGB; zu den Kriterien gemäss Art. 133 ZGB siehe BGE 117 II 353 E. 3; 115 II 206).
Nach den Feststellungen des erstinstanzlichen Beschlusses äussert sich die starke Bindung des sechsjährigen Sohnes zu seiner Mutter vor allem im mehrmals thematisierten Heimweh des Kindes während der Aufenthalte beim Vater. Sodann steht die Mutter nach den Feststellungen des erstinstanzlichen Beschlusses auf Kontinuität, während der Vater eher - beschäftigungsbedingt oder reisehalber - abwesend war. Kein Elternteil äussert sich über die Betreuung des Kindes durch den anderen. Berücksichtigt hat die erste kantonale Instanz überdies den Umstand, dass allein die Berufungsbeklagte um die alleinige Zuteilung der Sorge ersucht hat, während der Berufungskläger lediglich auf einer gemeinsamen Sorge bestanden hat (Beschluss Bezirksrat vom 25. August 2005, S. 9 f. E. 7). Das Obergericht hat sich diese Überlegungen zu eigen gemacht (angefochtener Beschluss S. 18. E. 5.4.). Angesichts der geschilderten Umstände erweist sich die Übertragung der Sorge an die Mutter als im Wohl des Sohnes und damit als bundesrechtskonform.
2. Was der Berufungskläger gegen den gut begründeten Beschluss vorbringt, verfängt nicht:
Der Berufungskläger setzt sich über weite Strecken nicht mit der Argumentation des angefochtenen Beschlusses auseinander, sodass insoweit auf die Berufung von vornherein nicht eingetreten werden kann (Art. 55 Abs. 1 lit. c OG; BGE 131 III 26 E. 12.3 S. 32). Im Weiteren legt der Berufungskläger in seinen Ausführungen verschiedene Tatsachen dar, wonach die Berufungsbeklagte nicht an einer Kooperation mit ihm und an einer weiteren Mediation interessiert sei. Das Obergericht hat indes für die Beantwortung der sich stellenden Frage festgestellt, dass beide Seiten nicht mehr zu einer Zusammenarbeit im Interesse des Kindes fähig sind. Ob die Berufungsbeklagte nicht mehr an einer weiteren Mediation interessiert ist, vermag an dieser Feststellung nichts zu ändern und ist auch nicht entscheidend, da ein Zusammenwirken der Parteien im Interesse des Sohnes laut Obergericht zurzeit nicht mehr möglich ist und somit die Grundlage für eine gemeinsame elterliche Sorge weggefallen ist und sich im Interesse des Kindeswohls Massnahmen aufdrängen. Soweit der Berufungskläger die erste Mediation als nicht gescheitert betrachtet, richtet er sich gegen anderslautende, für das Bundesgericht verbindliche Feststellungen des angefochtenen Beschlusses (Art. 63 Abs. 2 OG). Als unzulässig erweist sich die Berufung ferner, soweit der Berufungskläger die Beweiswürdigung kritisiert, kann doch die entsprechende Rüge nur mit staatsrechtlicher Beschwerde vorgetragen werden (BGE 126 III 189 E. 2a S. 191).
Der Berufungskläger wirft dem Obergericht vor, nicht abgeklärt zu haben, ob er als alleiniger Inhaber der elterlichen Sorge in Frage komme. Der Berufungskläger hat im kantonalen Verfahren immer an der gemeinsamen elterlichen Sorge festgehalten und hat den bezirksrätlichen Beschluss in dieser Hinsicht nicht angefochten. Es bestand daher für das Obergericht kein Anlass, Abklärungen bezüglich seiner Eignung zur alleinigen Sorge vorzunehmen.
Der Berufung ist sodann kein Erfolg beschieden, soweit der Berufungskläger aus der Untersuchungsmaxime die Verpflichtung des Obergerichts ableitet, die ohne Wissen der Berufungsbeklagten aufgenommenen Gespräche bzw. die entsprechenden Tonbandaufnahmen als Beweismittel zuzulassen: Die erste Instanz hat die Parteien angehört und sich aufgrund dieser Anhörung ein Bild über die Verhältnisse gemacht, welches als Urteilsgrundlage gedient hat. Die obere kantonale Instanz hat sich diesen Überlegungen angeschlossen. Haben aber die kantonalen Instanzen aufgrund der durchgeführten Beweismassnahmen den massgebenden Sachverhalt feststellen können, bestand für sie kein Anlass, weitere Beweise abzunehmen. Auch die Untersuchungsmaxime verpflichtet das Gericht nicht zu weiteren Beweiserhebungen, wenn es den Sachverhalt als durch die abgenommenen Beweise erstellt erachtet (vgl. 114 II 200 E. 2b S. 201 sowie BGE 125 III 401 E. 1b, je nicht veröffentlicht). Ebenso wenig verleiht die Untersuchungsmaxime den Parteien einen Anspruch auf Zulassung eines bestimmten Beweismittels (BGE 125 III 231 E. 4a S. 238).
3. Damit ist die Berufung abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Berufungskläger kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Eine Entschädigung ist nicht geschuldet, da keine Berufungsantwort eingeholt worden ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die Berufung wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Berufungskläger auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juni 2006
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber: