Sachverhalt:
A.
X._ und Y._ haben 1998 geheiratet. Am xx.xx.2000 sind die beiden gemeinsamen Kinder A._ und B._ geboren.
B.
Im Juli 2011 haben die Parteien vor dem Richteramt Bucheggberg-Wasseramt ein Eheschutzverfahren anhängig gemacht, das auf gemeinsamen Antrag der Parteien mit Verfügung vom 28. September 2011 als Ehescheidungsverfahren weitergeführt wurde. Mit Urteil vom 14. März 2013 schied das Richteramt die Ehe auf Antrag beider Parteien, stellte die beiden Kinder unter die elterliche Sorge der Mutter und regelte die Kinderbelange einschliesslich der Kinderalimente. Bezüglich der weiteren Folgen der Scheidung entschied das Gericht, soweit vor Bundesgericht noch relevant, was folgt:
"6. Der Ehemann hat der Ehefrau ab Rechtskraft des Ehescheidungsurteils einen monatlich vorauszahlbaren, ab Verfall zu 5 % verzinslichen Unterhaltsbeitrag im Sinne von Art. 125 ZGB von monatlich CHF 500.00 bis 30. Juni 2020 zu bezahlen.
Die Ehegatten nehmen zur Kenntnis, dass mit dem festgelegten Unterhaltsbeitrag der gebührende Unterhalt der Ehefrau im Betrag von CHF 1'950.00 bis 30. Juni 2016 im Sinne von Art. 129 Abs. 3 ZGB nicht gedeckt ist.
- ..]
9. Der Ehemann hat der Ehefrau aus Güterrecht den Betrag von CHF 35'379.00 zu bezahlen.
Im Übrigen wird der heutige Besitzstand unter den Ehegatten gewahrt. Jeder Ehegatte behält zu Eigentum, was er zur Zeit besitzt."
C.
Gegen dieses Urteil gelangten der Ehemann mit Berufung und die Ehefrau mit Anschlussberufung an das Obergericht des Kantons Solothurn. Mit Urteil vom 18. November 2013 stellte das Obergericht zunächst fest, welche Teile des erstinstanzlichen Urteils in Rechtskraft erwachsen sind. Sodann wies es die Berufung des Ehemannes ab und änderte in teilweiser Gutheissung der Anschlussberufung die Dauer der Unterhaltspflicht dahin gehend ab, dass es den Ehemann verpflichtete, der Ehefrau "bis zu seiner ordentlichen Pensionierung" einen Beitrag von monatlich CHF 500.00 zu bezahlen. Zudem hielt das Obergericht fest, dass die Unterhaltsbeiträge auf monatlichen Einkünften des Ehemannes von Fr. 5'243.00 netto und der Ehefrau (ab 1. Juli 2016) von CHF 3'033.00 netto beruhen. Im Übrigen wies es auch die Anschlussberufung ab und verteilte die Prozesskosten, wobei es beiden Parteien die unentgeltliche Rechtspflege gewährte.
D.
Gegen dieses Urteil gelangt X._ mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Januar 2014 an das Bundesgericht. Der Beschwerdeführer beantragt in der Sache, die Unterhaltspflicht gegenüber Y._ (Beschwerdegegnerin) zeitlich bis zum 30. Juni 2016 zu begrenzen und festzustellen, dass er der Beschwerdegegnerin aus Güterrecht "keine Zahlung zu leisten hat". Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Schliesslich ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Zur Begründung dieses Gesuchs sandte er dem Bundesgericht am 25. April 2014 weitere Unterlagen zu.
Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Angefochten sind die Fr. 30'000.-- übersteigenden vermögensrechtlichen Folgen eines kantonal letztinstanzlichen Ehescheidungsurteils; auf die Beschwerde ist somit einzutreten (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 Bst. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Vorbringen (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 134 III 102 E. 1.1 S. 104 f.). Das Bundesgericht legt zudem seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Will der Beschwerdeführer eine vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung beanstanden, muss er in der Beschwerdeschrift darlegen, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig und damit willkürlich (BGE 136 III 636 E. 2.2 S. 638) oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG zustande gekommen ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Die Sachverhaltsfeststellung beziehungsweise Beweiswürdigung erweist sich dabei nur dann als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (BGE 137 III 226 E. 4.2 S. 234).
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Er wirft dem Obergericht vor, sein Urteil nicht genügend begründet zu haben. Die Begründung sei zu wenig ausführlich. Insbesondere habe das Obergericht nicht rechtsgenüglich dargelegt, welches der für den Anspruch auf nachehelichen Unterhalt massgeblichen Kriterien für eine Rente bis zur Pensionierung des Pflichtigen gesprochen habe.
Der Grundsatz des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des Betroffenen tatsächlich hört, sorgfältig und ernsthaft prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Die Behörde darf sich in ihrem Entscheid auf die wesentlichen Gesichtspunkte und Leitlinien beschränken. Sie braucht sich nicht einlässlich mit jedem sachverhaltlichen oder rechtlichen Einwand auseinanderzusetzen (vgl. BGE 135 III 670 E. 3.3.1 S. 677 mit Hinweisen). Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. BGE 133 III 439 E. 3.3 S. 445; 130 II 530 E. 4.3 S. 540; 129 I 232 E. 3.2 S. 236; 126 I 97 E. 2b S. 102 f.; je mit Hinweisen). Zu begründen ist das Ergebnis des Entscheides, das im Urteilsdispositiv zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (Urteil 5A_382/2013 vom 12. September 2013 E. 3.1).
Der angefochtene Entscheid entspricht den geschilderten Anforderungen sehr wohl. Er ist im Lichte des erstinstanzlichen Urteils zu lesen. Zu Ausführungen, die in diesem gemacht worden sind und mit denen sich der Beschwerdeführer in der Berufung nicht weiter auseinandergesetzt hat, brauchte die Vorinstanz nicht mehr Stellung zu nehmen. Wie seine Beschwerdeschrift an das Bundesgericht zeigt, hat der Beschwerdeführer ohne Weiteres erfassen können, welche Überlegungen das Obergericht geleitet haben. Dass er sie nicht teilt, belegt in keiner Weise eine ungenügende Begründung. Die Beschwerde ist folglich in diesem Punkt unbegründet.
3.
Der Beschwerdeführer widersetzt sich der Verpflichtung, der Beschwerdegegnerin bis zum Erreichen seines ordentlichen AHV-Alters einen monatlichen Unterhalt von Fr. 500.-- zu bezahlen. Er hält dem Obergericht entgegen, es habe in Verkennung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung der Beschwerdegegnerin nicht zugemutet, ein Arbeitspensum von 50 % aufzunehmen, obwohl die Kinder bereits über elf Jahre alt seien. Zudem könne die Beschwerdegegnerin aufgrund ihrer bisherigen Ausbildung erheblich mehr verdienen, als das Obergericht angenommen habe.
3.1. Zu beachten ist, dass vor Bundesgericht ausschliesslich die Unterhaltsbeiträge ab 1. Juli 2016 streitig sind. Vor Obergericht hatte der Ehemann beantragt, "er sei zu monatlichen, richterlich zu bestimmenden Unterhaltsbeiträgen an die Ehefrau, längstens bis 30. Juni 2016 zu verpflichten". Weil auf Geldzahlungen gerichtete Berufungsanträge zu beziffern sind, konnte das Obergericht dieses Begehren nicht im Sinne einer beantragten Abänderung der Höhe der Frauenalimente beachten, sondern nur bezüglich deren Befristung. Insofern war der Anspruch der Beschwerdegegnerin auf nachehelichen Unterhalt von monatlich Fr. 500.-- bis zum 30. Juni 2016 vor Obergericht nicht mehr bestritten. Er kann damit auch vor Bundesgericht nicht mehr in Frage gestellt werden. Daran ändert der Umstand nichts, dass das obergerichtliche Urteil auch Ausführungen zur Unterhaltsberechnung bis zum 30. Juni 2016 enthält. Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht auf seine Unterhaltspflicht bis zum 30. Juni 2016 zurückkommt, sind seine Ausführungen daher unbeachtlich.
3.2. Der Beschwerdeführer wendet sich auch gegen die im vorinstanzlichen Entscheid wiederholte gerichtliche Feststellung, wonach die Parteien zur Kenntnis nehmen, dass mit den festgesetzten Frauenalimenten der gebührende Unterhalt der Beschwerdegegnerin bis zum 30. Juni 2016 im Sinne von Art. 129 Abs. 3 ZGB im Betrag von Fr. 1'950.-- nicht gedeckt ist (s. Sachverhalt Bst. B). Der Beschwerdeführer macht geltend, der Beschwerdegegnerin sei ab Rechtskraft des Scheidungsurteils ohne weiteres eine Anstellung im Rahmen einer 50%-Stelle zuzumuten. Er verweist diesbezüglich auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach einer Mutter eine Teilzeitstelle grundsätzlich zuzumuten sei, wenn das jüngste Kind das zehnte Altersjahr zurückgelegt habe. Gehe man mit den kantonalen Instanzen davon aus, dass die Beschwerdegegnerin mit einer Vollzeitstelle monatlich Fr. 3'000.-- verdienen könne, sobald die Kinder das 16. Altersjahr zurückgelegt hätten, sei ihr für die fragliche Zeit (hypothetisch) ein monatliches Einkommen von Fr. 1'500.-- anzurechnen, so dass sich der gerichtlich festgestellte Fehlbetrag auf Fr. 450.-- monatlich reduziere.
Die gerichtliche Feststellung der Höhe der Deckungslücke in Dispositivziffer 6 des erstinstanzlichen bzw. Dispositivziffer 3 des obergerichtlichen Urteils erlangt freilich nur dann Bedeutung, wenn sich das Einkommen einer Partei in der entsprechenden Zeitspanne erheblich und dauerhaft verbessert oder wenn sich der Bedarf einer Partei erheblich und dauerhaft reduziert. Auch wenn der streitigen Feststellung damit nur bedingt eine konkrete rechtliche Bedeutung zukommt, hat der Beschwerdeführer doch ein schutzwürdiges Interesse an der beantragten Änderung des angefochtenen Entscheids (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG).
Mit seiner Kritik am angefochtenen Entscheid verkennt der Beschwerdeführer, dass der Richter hinsichtlich der Festsetzung des nachehelichen Unterhalts in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. 4 ZGB; BGE 127 III 136 E. 3a S. 141 mit Hinweisen). Bei der Überprüfung solcher Entscheide auferlegt sich das Bundesgericht Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 128 III 161 E. 2c/aa S. 162; 131 III 12 E. 4.2 S. 15; 132 III 97 E. 1 S. 99). Das Gesagte gilt auch für die vom Beschwerdeführer angerufene Rechtsprechung betreffend den Zeitpunkt, von dem an einer Mutter die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit zuzumuten ist. Das Bundesgericht hat damit blosse Richtlinien aufgestellt, von denen in begründeten Fällen sowohl nach oben wie nach unten abgewichen werden kann. Es ist der Betreuungsbedarf konkret abzuschätzen (BGE 137 III 102 E. 4.2.2.2 S. 109; Urteile 5A_70/2013 vom 11. Juni 2013 E. 5.1; 5A_6/2009 vom 30. April 2009 E. 2.2; 5A_100/2007 vom 4. Juli 2007 E. 4; 5C.43/2006 vom 8. Juni 2006 E. 6.3, nicht publ. in: BGE 132 III 593). Die kantonalen Instanzen sind sehr wohl von dieser Rechtsprechung ausgegangen. Im vorliegenden Fall steht fest, dass die Beschwerdegegnerin nicht ein, sondern zwei gleichaltrige Kinder betreut, die beide noch nicht 16-jährig sind. Sodann liegt den kantonalen Entscheiden die Erkenntnis zugrunde, dass die Beschwerdegegnerin während der Ehe nur sporadisch erwerbstätig war. Inwiefern der Sachverhalt damit offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 BGG) festgestellt worden wäre, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Müsste die Beschwerdegegnerin sich aber neu auf eine Erwerbstätigkeit einstellen und gegebenenfalls eine Teilzeitstelle finden, die sich nach Möglichkeiten überdies nach dem 30. Juni 2016 auch noch auf eine Vollzeitstelle ausbauen lässt, so ist keine unrichtige Ausübung des Ermessens auszumachen, wenn das Obergericht im Ergebnis von einer Deckungslücke im genannten Umfang ausgeht. Der Beschwerde kann folglich auch in diesem Punkt kein Erfolg beschieden sein.
3.3. Das Obergericht hat den 1965 geborenen Beschwerdeführer verpflichtet, eine Scheidungsrente "bis zu seiner ordentlichen Pensionierung" auszurichten. Vorbehaltlich einer Gesetzesänderung ist damit wohl das Erreichen des 65. Altersjahres, das heisst das Jahr 2030 gemeint. Das Obergericht ist mit der ersten Instanz davon ausgegangen, dass der Ehefrau ab dem 1. Juli 2016 eine Vollzeitstelle zuzumuten sei und sie damit auf ein monatliches Einkommen von Fr. 3'033.-- komme. Bei einem monatlichen Bedarf von Fr. 3'634.-- belaufe sich der monatliche Fehlbetrag damit immer noch auf Fr. 601.--. Dem Beschwerdeführer sei es von seinem Einkommen und Bedarf her ohne weiteres möglich, bis zu seiner Pensionierung mit Fr. 500.-- zur Deckung dieser Lücke beizutragen.
3.4. Soweit sich der Beschwerdeführer in grundsätzlicher Weise gegen die Fortführung der Scheidungsrente über den Zeitpunkt der Kinderbetreuung hinaus wendet, sind seine Ausführungen nur teilweise nachvollziehbar. Dass sich eine nacheheliche Unterhaltspflicht auch anders als mit Kinderbetreuung rechtfertigen kann, ergibt sich bereits aus dem Wortlaut von Art. 125 Abs. 2 ZGB, der neben der Kinderbetreuung eine Vielzahl anderer Gründe für eine Scheidungsrente aufführt. Hier haben die Ehegatten 1998 geheiratet; die Ehe ist 2011 geschieden worden. Sie hat somit rund 12 Jahre gedauert. Die Parteien sind Eltern zweier Kinder, deren Betreuung über die Dauer der Ehe hinausgeht. Mit Blick auf die andauernden Kinderbetreuungsaufgaben kann es entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht darauf ankommen, ab wann die Ehe nicht mehr intakt war. Auch das Alter der Ehefrau im Zeitpunkt der Scheidung (43 Jahre) ist insofern vorliegend ohne grosse Bedeutung, weil ihr die kantonalen Instanzen den Wiedereinstieg in die Erwerbstätigkeit unabhängig davon zumuten und ein entsprechendes Einkommen auch anrechnen. Entscheidend ist - wie sich aus dem angefochtenen Entscheid klar ergibt - vielmehr, dass die Beschwerdegegnerin trotz des vollständigen Wiedereinstiegs in die Erwerbstätigkeit nicht in der Lage sein wird, für ihren eigenen gebührenden Unterhalt vollumfänglich selbst aufzukommen. Sie wird also auf Dauer eine Unterdeckung verzeichnen. Unter diesen Umständen ist es nicht zu beanstanden, wenn die kantonalen Instanzen davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer angesichts seiner eigenen wirtschaftlichen Verhältnisse bis zu seiner ordentlichen Pensionierung in der Lage sein wird, der Beschwerdegegnerin monatliche Alimente von Fr. 500.-- zu bezahlen. Diese Praxis, wonach das Ende der Unterhaltspflicht an das Erreichen des AHV-Alters des Unterhaltspflichtigen geknüpft wird, beruht zum einen auf dem Grundsatz, dass bei einer lebensprägenden Ehe beide Ehegatten Anspruch auf eine vergleichbare Lebenshaltung haben, und zum andern auf der Erkenntnis, dass sich die verfügbaren Mittel häufig verringern, sobald der Leistungspflichtige das Rentenalter erreicht, mit der Folge, dass der während der Aktivitätsphase gepflegte Lebensstandard nicht uneingeschränkt fortgesetzt werden kann und auch bei fortgesetzter Ehe sinken würde (dazu BGE 132 III 593 E. 7.2 S. 596).
3.5. Die kantonalen Instanzen haben der Ehefrau ab 1. Juli 2016 ein hypothetisches Monatseinkommen von Fr. 3'033.-- angerechnet. Sie sind davon ausgegangen, dass die Ehefrau zwar in ihrem Heimatland eine Berufsausbildung genossen, sich aber in der Schweiz namentlich sprachlich nicht integriert hat, so dass sie - wie in den vergangenen Jahren - nur eine Arbeit im Tieflohnbereich ausüben können wird. Der Beschwerdeführer stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, die Beschwerdegegnerin könne auch einen besser bezahlten Beruf im Gesundheitsbereich oder im Bereich der Kinderbetreuung ausüben und damit Fr. 4'000.-- bis Fr. 5'000.-- monatlich verdienen.
Mit Bezug auf das hypothetische Einkommen ist Rechtsfrage, welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint. Ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist, bildet hingegen eine Tatfrage, die durch entsprechende Feststellungen oder durch die allgemeine Lebenserfahrung beantwortet wird. Auch im letzteren Fall müssen aber jene Tatsachen als vorhanden festgestellt sein, die eine Anwendung von Erfahrungssätzen überhaupt erst ermöglichen (vgl. zum Ganzen BGE 137 III 118 E. 2.3 S. 121; 137 III 102 E. 4.2.2.2 S. 108; 128 III 4 E. 4c/bb S. 7).
Bezüglich der Frage, welche Erwerbstätigkeit die Beschwerdegegnerin wird ausüben können, stützten sich die kantonalen Instanzen nicht auf Erfahrungsgrundsätze, sondern auf die konkreten Besonderheiten des zu beurteilenden Falles. Es handelt sich damit um Sachverhaltsfeststellungen, welche der Überprüfung durch das Bundesgericht im Beschwerdeverfahren grundsätzlich entzogen sind. Dass die diesbezüglichen Feststellungen der Vorinstanz willkürlich seien, legt der Beschwerdeführer in keiner Weise dar. Er stellt nur seine Sachverhaltswürdigung jener der Vorinstanz entgegen. Das genügt indessen den Anforderungen an eine Willkürrüge nicht (s. E. 1). Auf diese Vorbringen ist damit nicht einzutreten.
4.
4.1. In güterrechtlicher Hinsicht hat die erste Instanz die vorhandenen Vermögenswerte aufgelistet. Wesentlichster Vermögenswert ist dabei die auf den Ehemann lautende Liegenschaft, die er während der Ehe mit Fr. 83'811.50 in bar und mit einem Hypothekarkredit gekauft hatte. Ausgehend davon, dass die Parteien unbestrittenermassen dem Güterstand der Errungenschaftsbeteiligung unterstehen, ordnete der erstinstanzliche Richter die Liegenschaft der Errungenschaft des Ehemannes zu, nahm eine Ersatzforderung dessen Eigenguts in der Höhe von Fr. 38'918.-- an und gelangte damit zu einem Vorschlag von Fr. 70'760.--. Daraus ergab sich ein Anspruch der Ehefrau gegenüber dem Ehemann aus Güterrecht im Betrag von Fr. 35'379.-- (Dispositivziffer 9 des erstinstanzlichen Urteils). Bereits vor Obergericht machte der Beschwerdeführer geltend, sein Eigengut sei erheblich höher gewesen, so dass er der Beschwerdegegnerin aus Güterrecht nichts schulde. Das Obergericht lässt zunächst offen, ob die Vorbringen des Ehemannes in Bezug auf das Güterrecht überhaupt den Anforderungen an eine Berufung genügen und ob folglich auf die Berufung, soweit sie die Dispositivziffer 9 des erstinstanzlichen Urteils betreffe, überhaupt eingetreten werden könne. Insofern ist fraglich, ob das Güterrecht vor Bundesgericht überhaupt noch streitig sein kann. Mit Blick darauf, dass das Obergericht dann aber doch auf die Vorbringen des Beschwerdeführers eingeht, sind seine Vorbringen betreffend die güterrechtliche Auseinandersetzung als grundsätzlich zulässig anzusehen.
4.2. Was der Beschwerdeführer dann allerdings vorträgt, beschränkt sich weitgehend auf eine rein appellatorische Kritik an der Beweiswürdigung der Vorinstanz. Sowohl die erste Instanz wie auch das Obergericht haben die von den Parteien vorgebrachten Beweismittel und Parteiaussagen ausführlich gewürdigt. Ob diese Beweiswürdigung richtig oder falsch ist, kann nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens vor Bundesgericht sein. Dieses ist an die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz gebunden (Art. 105 BGG; s. E. 1). Dass die Beweiswürdigung willkürlich sei, behauptet selbst der Beschwerdeführer zu Recht nicht.
Soweit der Beschwerdeführer geltend machen will, die Beschwerdegegnerin habe nicht bewiesen, dass die für den Liegenschaftskauf aufgewendeten Barmittel aus während der Ehe erzielten Ersparnissen stammen und damit Errungenschaft seien, verkennt er die Beweislastverteilung. Die Beschwerdegegnerin muss nicht den Nachweis der Errungenschaft erbringen sondern der Beschwerdeführer jenen des Eigengutes. Bleiben Zweifel, ob bestimmte Geldmittel während der Ehe erspart wurden oder ob es sich dabei um vor der Ehe erworbene bzw. während der Ehe geschenkt erhaltene Vermögenswerte handelt, ist Errungenschaft anzunehmen (Art. 200 Abs. 3 ZGB). Dem Beschwerdeführer ist es aber gemäss den Feststellungen der Vorinstanz nicht gelungen, zweifelsfrei nachzuweisen, dass es sich um sein Eigengut handelt. Das Obergericht hat folglich zu Recht Errungenschaft angenommen.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz schliesslich vor, sie hätte mit Blick auf die zweifelhafte Herkunft der Mittel weitere Abklärungen treffen müssen. Er erblickt darin offenbar eine Verletzung der prozessualen Bestimmungen. Damit übersieht er aber, dass auch im Scheidungsverfahren bezüglich des Güterrechts (und des Scheidungsunterhaltes) nicht die Untersuchungsmaxime, sondern der Verhandlungsgrundsatz gilt (Art. 277 Abs. 1 ZPO). Das Gericht hat somit nur jene Beweismittel zu beachten, die von den Parteien formgültig und rechtzeitig beantragt worden sind. Bleibt der Sachverhalt aufgrund der von den Parteien vorgelegten Beweismittel unklar, ist das Gericht nicht gehalten, von sich aus weitere Nachforschungen zu betreiben. Vielmehr hat es zu Lasten jener Partei zu entscheiden, welche die Beweislast trägt. Das hat die Vorinstanz auch getan, indem sie feststellte, dass die ordentlich vorgebrachten Beweismittel nicht ausreichen, um zweifelsfrei Eigengut nachzuweisen, und entsprechend auf Errungenschaft schloss. Die Beschwerde erweist sich somit auch bezüglich des Güterrechts als unbegründet, soweit überhaupt darauf einzutreten ist.
5.
Zusammengefasst ist die Beschwerde abzuweisen. Der Beschwerdeführer unterliegt und hat damit grundsätzlich die Verfahrenskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat indessen wie schon in den kantonalen Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt und seine Bedürftigkeit ausgewiesen. Die Beschwerde war auch nicht von vornherein aussichtslos. Dem Gesuch ist somit zu entsprechen. Nachdem der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht anwaltlich vertreten ist, erübrigt es sich, ein Honorar an einen anwaltlichen Vertreter auszurichten. Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, sofern er später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG). Eine Entschädigung an die Gegenpartei ist nicht auszusprechen, da bei dieser gar keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, jedoch vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn