Sachverhalt:
A. X._ (Arbeitnehmerin) arbeitete seit dem 1. Februar 2000 als Teilzeitangestellte in der Filiale Z._ der Y._ (Arbeitgeberin). Das Arbeitsverhältnis gestaltete sich zunächst problemlos. Im September 2008 wechselte die Arbeitnehmerin zur neu eröffneten Filiale A._. Am 23. September 2008 fand auf Veranlassung ihres Vorgesetzten ein Gespräch statt, namentlich zu den Themen Teamfähigkeit, Leistungswillen, Ausdruck bzw. Verständigung und Einsatzbereiche. Am 20. Oktober 2008 wurde die Arbeitnehmerin schriftlich ermahnt und am 10. November 2008 unter Kündigungsandrohung verwarnt, unter anderem wegen mangelnder Arbeitsqualität und -quantität, fehlender Kritikakzeptanz, Respektlosigkeit gegenüber Vorgesetzten und mangelnder Effizienz beim Einkassieren. Am 12. Dezember 2008 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf den 31. März 2009. Die Arbeitnehmerin erhob Einsprache gegen die Kündigung und bestritt sämtliche Vorwürfe.
B. Am 28. April 2009 belangte die Arbeitnehmerin (Klägerin) die Arbeitgeberin (Beklagte) vor dem Arbeitsgericht der Stadt Bern auf Zahlung einer Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung. Anlässlich der Verhandlung vom 26. November 2009 verlangte die Klägerin von der Beklagten die Zahlung von Fr. 6'264.-- nebst Zins sowie die Ausstellung eines berichtigten Arbeitszeugnisses.
Das Arbeitsgericht gab dem letztgenannten Antrag am 3. Dezember 2009 teilweise statt und wies die Klage im Übrigen ab. Die dagegen eingereichte Nichtigkeitsklage der Klägerin wies das Obergericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 7. April 2010 ab.
C. Die Klägerin (Beschwerdeführerin) erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit den Anträgen, den Entscheid des Obergerichts vom 7. April 2010 aufzuheben und die Beklagte (Beschwerdegegnerin) zur Zahlung von Fr. 6'264.-- nebst Zins zu 5 % seit 29. April 2009 zu verpflichten, eventuell die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde.
Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung von verfassungsmässigen Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Bezüglich solcher Rechte gilt das Rügeprinzip (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht untersucht den angefochtenen Entscheid nicht von Amtes wegen auf seine Verfassungsmässigkeit, sondern beschränkt sich auf die Prüfung der in der Beschwerde klar und detailliert vorgebrachten Rügen (BGE 133 III 393 E. 6 S. 397; 133 III 493 E. 3.2 S. 444).
1.2 Gemäss Art. 9 BV hat jede Person Anspruch darauf, von den staatlichen Behörden ohne Willkür behandelt zu werden. Soweit Willkür in der Ermittlung des Sachverhalts geltend gemacht wird, ist zu beachten, dass dem Sachrichter in der Beweiswürdigung ein breiter Ermessensspielraum zusteht. Der Beschwerdeführer hat daher darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen oder erhebliche Beweise übersehen oder willkürlich ausser Acht gelassen habe (BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9; 118 Ia 28 E. 1b S. 30; 98 Ia 140 E. 3a S. 142, mit Hinweisen). Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
2. 2.1 Das Arbeitsgericht kam gestützt auf die Würdigung von Beweisen zum Schluss, dass Uneinsichtigkeit, mangelnde Team- und Kritikfähigkeit und Effizienz sowie Misstrauen und Respektlosigkeit der Beschwerdeführerin gegenüber den Vorgesetzten zur Kündigung geführt hätten. Das Obergericht erachtete diese Beweiswürdigung als nicht willkürlich.
2.2 Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht in diesem Zusammenhang vor, gegen das Willkürverbot gemäss Art. 9 BV verstossen zu haben. Zur Begründung schildert sie zunächst den Sachverhalt aus ihrer Sicht. Alsdann rügt sie, das Obergericht habe die Parteivorbringen einseitig zu Gunsten der Beschwerdegegnerin gewürdigt und in den Aussagen eine Bestätigung für seinen ablehnenden Entscheid gesucht. Die Beschwerdegegnerin sei formell lehrbuchhaft vorgegangen, habe aber die Gespräche und Ermahnungen einzig mit dem Zweck durchgeführt, in einer gerichtlichen Auseinandersetzung den vorbildhaften Arbeitgeber zu spielen. Für das Obergericht sei völlig normal gewesen, dass die Beschwerdeführerin plötzlich nicht mehr teamfähig und belastbar und ohne Leistungswillen sei. Deren Argumente seien unbeachtet geblieben.
2.3 Die Ausführungen in der Beschwerde genügen den Anforderungen an die Begründung einer Willkürrüge kaum (vgl. E. 1.2). Dass die Beschwerdeführerin früher zur Zufriedenheit der Beschwerdegegnerin gearbeitet hat, schliesst nicht aus, dass zu einem späteren Zeitpunkt Probleme auftauchen können. Inwiefern die Vorinstanz mit der entsprechenden Annahme in Willkür verfallen sein soll und welche prozesskonform vorgetragenen Tatsachen zu Unrecht missachtet worden sein sollen, legt die Beschwerdeführerin nicht hinreichend klar dar. Auch die allgemein gehaltene Behauptung, die Beschwerdeführerin habe anhand einzelner Ereignisse aufgezeigt, dass man versucht habe, sie bei der Beschwerdegegnerin hinauszumobben, stellt keine rechtsgenügende Begründung eines Willkürvorwurfs dar. Auf derartige pauschale Kritik am angefochtenen Urteil kann nicht eingetreten werden. Soweit die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht darlegt, die Aussagen eines Zeugen hätten auch anders gewürdigt werden können, übt sie appellatorische Kritik am angefochtenen Urteil. Damit lässt sich der Willkürvorwurf nicht begründen.
3. Insgesamt ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde abzuweisen, soweit angesichts der mangelhaften Begründung darauf überhaupt eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig, wobei in der vorliegenden arbeitsrechtlichen Streitigkeit die Gerichtsgebühr nach Art. 65 Abs. 4 lit. c BGG zu bestimmen ist. Die Beschwerdegegnerin ist nicht anwaltlich vertreten. Es ist ihr daher keine Parteientschädigung zuzusprechen (BGE 133 III 439 E. 4 S. 446 mit Hinweis).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juli 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Gelzer