Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführer) wurde am 27. Mai 2003 bei einem Verkehrsunfall auf der Autobahn A13 schwer verletzt. Der ausländische Versicherer des Unfallverursachers betraute die Versicherung X._ AG (Beschwerdegegnerin) mit der Regulierung des Schadens in der Schweiz.
B. B.a Am 11. Januar 2006 machte der Beschwerdeführer beim Kreisgericht Rheintal eine (Teil-)Klage anhängig mit dem Begehren, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm für den in der Zeit vom 28. Mai 2003 bis zum 31. Dezember 2005 erlittenen Haushaltschaden - unter Abzug einer Akontozahlung und zuzüglich Zins - einen nach dem Beweisverfahren zu beziffernden Betrag, mindestens aber Fr. 66'342.70 zu bezahlen. Das Verfahren wurde auf Ersuchen beider Parteien bis zum Vorliegen eines von der SUVA bei der "Academy of Swiss Insurance Medicine" (asim) in Auftrag gegebenen polydisziplinären Gutachtens sistiert. Das entsprechende von PD Dr. med. B._ verfasste Gutachten vom 31. Dezember 2007 (nachfolgend: asim-Gutachten) wurde dem Kreisgericht am 27. März 2009 vom Beschwerdeführer zugestellt, worauf das Verfahren wieder aufgenommen wurde. Am 12. Mai 2011 fand die Hauptverhandlung statt.
Am 17. Mai 2011 teilte der vorsitzende Richter den Parteien mit, das Gericht habe beschlossen, Dr. B._ eine Ergänzungsfrage zu stellen, die sich aus dem beigelegten Schreiben an diesen ergebe. Im Rahmen der nachfolgenden Korrespondenz beanstandete der Beschwerdeführer dieses Vorgehen, wobei er unter anderem geltend machte, die Ergänzungsfrage sei suggestiv gestellt und er habe kein Verständnis dafür, dass Dr. B._ keine Prozessakten unterbreitet würden. Am 23. Juni 2011 beantwortete Dr. B._ die Ergänzungsfrage, wozu sich der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 1. Juli 2011 äusserte.
Am 1. September 2011 wies das Kreisgericht die Klage ab.
B.b Gegen diesen Entscheid erhob der Beschwerdeführer Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen. Darin beanstandete er unter anderem, das Kreisgericht habe im Zusammenhang mit der Ergänzungsfrage die Mitwirkungsrechte der Parteien bei der Ernennung des Gutachters und der Formulierung der Expertenfragen verletzt und dem Gutachter im Alleingang eine Suggestivfrage gestellt; zudem habe es den Gutachter weder instruiert noch in die Pflicht genommen und ihm die einschlägigen Prozessakten nicht überlassen.
B.c Mit Beweisbeschluss vom 31. August 2012 ordnete das Kantonsgericht im Hinblick auf den vom Beschwerdeführer zu beweisenden Grad seiner Haushaltsarbeitsunfähigkeit in der Zeit vom 28. Mai 2003 bis zum 31. Dezember 2005 die Einholung einer Ergänzung zum asim-Gutachten vom 31. Dezember 2007 an. Gleichentags teilte der verfahrensleitende Richter den Parteien unter Einräumung einer Frist zur Stellungnahme mit, es sei beabsichtigt, Dr. B._ mit dieser Ergänzung zu betrauen, worauf der Beschwerdeführer am 14. September 2012 Einwendungen gegen den Gutachter erhob. Am 8. Januar 2013 erklärte die asim-Geschäftsführung gegenüber dem Kantonsgericht, Dr. B._ sei bereit, "allenfalls unter Beizug zweier Fachdisziplinen" die Ergänzung zum Gutachten vom 31. Dezember 2007 zu erstellen. Hierüber wurden die Parteien informiert, und der Beschwerdeführer wurde aufgefordert, zu erklären, ob seine Eingabe vom 14. September 2012 als blosse Stellungnahme oder als Ausstandsbegehren zu verstehen sei, worauf dieser am 11. Januar 2013 Letzteres bejahte.
Mit Entscheid vom 11. Februar 2013 wies das Kantonsgericht das Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers gegen den vom Gericht vorgeschlagenen Gutachter PD Dr. med. B._ ab und bestimmte denselben zum Experten für die mit Beweisbeschluss vom 31. August 2012 angeordnete Ergänzung des asim-Gutachtens.
C. Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, den Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen vom 11. Februar 2013 aufzuheben und das Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers gegen Dr. B._ gutzuheissen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Der Beschwerdeführer brachte zur Beschwerdeantwort eine Bemerkung an, auf welche die Beschwerdegegnerin duplizierte.
Mit Präsidialverfügung vom 2. April 2013 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 138 III 46 E. 1).
1.1 Der angefochtene Entscheid bildet einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren. Dagegen ist die Beschwerde zulässig (Art. 92 Abs. 1 BGG). Bei Entscheiden über Ausstandsbegehren geht es in der Regel um solche betreffend den Ausstand von Gerichtspersonen. Nach der Rechtsprechung fallen aber auch Entscheide über den Ausstand von Gerichtsexperten unter Art. 92 BGG (Urteile 4A_631/2012 vom 4. Februar 2013 E. 1; 4A_256/2010 vom 26. Juli 2010 E. 1.1, in: sic! 2010 S. 917; 1B_22/2007 vom 29. Mai 2007 E. 2.2).
1.2 Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (BGE 133 III 645 E. 2.2). In der Hauptsache geht es um eine Zivilrechtsstreitigkeit mit einem Streitwert von über 30'000 Franken. Demnach ist die Beschwerde in Zivilsachen gegen den angefochtenen Zwischenentscheid gegeben (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.3 Nach Art. 75 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Bei der letzten kantonalen Instanz muss es sich um ein oberes Gericht handeln (Art. 75 Abs. 2 Satz 1 BGG). Zudem muss dieses obere Gericht als Rechtsmittelinstanz entscheiden (Art. 75 Abs. 2 Satz 2 BGG), es sei denn, es liege einer der Ausnahmefälle von Art. 75 Abs. 2 lit. a bis c BGG vor. Eine allgemeine Ausnahme vom Erfordernis der double instance für Zwischenentscheide besteht nicht. Vorbehalten bleibt folgender Fall: Ist ein oberes Gericht mit einem Rechtsmittelverfahren befasst und fällt es in diesem Rahmen einen Zwischenentscheid (z.B. über den Ausstand eines Mitglieds des oberen Gerichts), so ist die direkte Beschwerde an das Bundesgericht bei im Übrigen gegebenen Voraussetzungen zulässig (BGE 138 III 41 E. 1.1; 137 III 424 E. 2.2).
Diese Konstellation liegt hier vor. Das Kantonsgericht hat im Rahmen des Berufungsverfahrens eine Ergänzung des Gutachtens angeordnet und mit dem angefochtenen Entscheid ein gegen den vorgesehenen Gutachter eingereichtes Ausstandsgesuch des Beschwerdeführers abgewiesen.
1.4 Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 183 Abs. 2 i.V.m. Art. 47 ZPO (SR 272), wobei er Befangenheit des Gerichtsgutachters aufgrund von dessen Mitwirkung als Gutachter vor dem Kreisgericht geltend macht.
2.1 Nach Art. 183 Abs. 2 ZPO gelten für sachverständige Personen die gleichen Ausstandsgründe wie für Gerichtspersonen. Art. 47 ZPO zählt die Ausstandsgründe auf und bestimmt in Abs. 1 lit. f, dass die Gerichtsperson auch in den Ausstand zu treten hat, wenn sie aus anderen Gründen befangen sein könnte. Gerichtsexperten können von einer Partei abgelehnt werden, wenn Umstände vorliegen, die nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (BGE 125 II 541 E. 4a; 120 V 357 E. 3a S. 365; Urteil 4A_631/2012 vom 4. Februar 2013 E. 3.2). Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Sachverständige tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken (BGE 138 I 1 E. 2.2; 136 I 207 E. 3.1; 135 I 14 E. 2).
Der Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit kann auch dadurch erweckt werden, dass die sachverständige Person in einem früheren Zeitpunkt in amtlicher Funktion mit der konkreten Sache schon zu tun hatte (sogenannte Vorbefassung). Die blosse wiederholte Begutachtung durch denselben Sachverständigen vermag indessen für sich allein nicht den Anschein der Befangenheit hervorzurufen. Eine unzulässige Vorbefassung liegt auch dann nicht vor, wenn der Sachverständige zu (für eine Partei) ungünstigen Schlussfolgerungen gelangt ist. Anderes gilt, wenn Umstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit objektiv zu begründen vermögen, so etwa, wenn der Sachverständige seinen Bericht nicht neutral und sachlich abgefasst hat (BGE 132 V 93 E. 7.2.2 S. 110 mit Hinweis; Urteile 1B_414/2012 vom 20. September 2012 E. 2.2; 8C_781/2010 vom 15. März 2011 E. 7.1).
Eine Vorbefassung des Experten infolge einer vorangegangenen Begutachtung begründet demnach nicht zwingend den Anschein der Befangenheit. Vielmehr ist danach zu fragen, ob das Ergebnis der Begutachtung nach wie vor als offen und nicht vorherbestimmt erscheint. Kann die Offenheit bejaht werden, ist die Besorgnis der Voreingenommenheit trotz Vorbefassung unbegründet. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn der Experte andere Fragen zu beantworten oder sein erstes Gutachten lediglich zu erklären, zu erläutern oder zu ergänzen hat, nicht aber, wenn er die Schlüssigkeit seiner früheren Expertise zu überprüfen oder objektiv zu kontrollieren hat (Urteile 8C_781/2010 vom 15. März 2011 E. 7.1; 8C_89/2007 vom 20. August 2008 E. 6.2 mit Hinweis).
2.2 Der Beschwerdeführer begründet seine Rüge der Befangenheit von Dr. B._ mit dem Umstand, dass das erstinstanzliche Gericht ihn veranlasst habe, sich in der Sache unrichtig festzulegen. Die entsprechende gutachterliche Äusserung könne "zwar" nicht verwertet werden, mache den Gutachter aber befangen infolge Vorbefassung. Wohl sei es richtig, dass Dr. B._ theoretisch von seiner bisherigen Beurteilung abweichen könnte, ohne dass er sich zu dieser zwingend in Widerspruch setzen müsste. "Eher aber" sei zu befürchten, dass er wenn irgend möglich an seiner vorgefassten - ihm suggerierten - Meinung festhalten werde.
2.3 Der Beschwerdeführer gibt in der Beschwerde an, Dr. B._ sei vor der Erstinstanz statt als Gutachter "informell" befragt worden, die entscheidenden Aktenstücke seien ihm vorenthalten worden, und es sei ihm eine Suggestivfrage gestellt worden, und er zieht daraus den Schluss, das Kreisgericht habe Dr. B._ irregeführt ("vergiftet"). Damit scheint er geltend machen zu wollen, Dr. B._ sei angesichts des fehlerhaften Vorgehens des Kreisgerichts generell nicht mehr als unbefangen in der vorliegenden Angelegenheit. Seine nicht weiter erläuterten, pauschalen Vorwürfe lassen indessen diesen Schluss nicht zu, und auch aus dem angefochtenen Entscheid ergeben sich keine entsprechenden Umstände.
2.4 Indessen stellt sich die Frage, ob Dr. B._ sich durch seine Antwort auf die ihm vom erstinstanzlichen Gericht unterbreitete Erläuterungsfrage bereits in einem Mass festgelegt hat, dass er mit Bezug auf die vom Kantonsgericht angeordnete Ergänzung des Gutachtens nicht mehr als unvoreingenommen und diese demnach nicht mehr offen erscheint.
Die Vorinstanz setzte sich mit dieser Frage einlässlich auseinander. Sie führte aus, dass die am 31. August 2012 angeordnete Ergänzung des asim-Gutachtens vom 31. Dezember 2007 gerade (auch) darauf abziele, allfällige verfahrensrechtliche Unzulänglichkeiten im erstinstanzlichen Verfahren zu bereinigen. Unter anderem würden die Parteien die Gelegenheit haben, bei der Fragestellung mitzuwirken, und es sei insbesondere beabsichtigt, dem Gutachter den Bericht von Dr. med. C._, Facharzt für Physikalische Medizin und Rehabilitation sowie Rheumatologie an der Klinik I._, vom 8. Dezember 2004 vorzulegen. Denn dieser Bericht, der Dr. B._ bei der Ausarbeitung des Gutachtens vom 31. Dezember 2007 soweit ersichtlich nicht vorgelegen habe, scheine hinsichtlich der Haushaltsarbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers für die Zeit ab Dezember 2003 mit der Einschätzung von Dr. B._ nicht in Einklang zu stehen. Damit werde Dr. B._ die ihm zu stellenden Ergänzungsfragen aufgrund einer neuen Aktenlage zu beantworten haben, weshalb er, wenn und soweit er dies für sachlich gerechtfertigt halte, auch von seiner bisherigen Beurteilung abweichen könne, ohne dass er sich zu dieser zwingend in Widerspruch setzen müsste. Dies gelte umso mehr, als Dr. B._ eigene zusätzliche Erhebungen vorbehalte (Beizug zweier Fachdisziplinen) und er zudem die Haushaltsarbeits(un)fähigkeit des Beschwerdeführers bislang - soweit ersichtlich - nur retrospektiv beurteilt habe, während der Bericht von Dr. C._ auf einer zeitnahen Beurteilung basiere.
Aufgrund dieser Überlegungen, namentlich dem Umstand, dass Dr. B._ seine Beurteilung aufgrund einer neuen und erweiterten Aktenlage (Vorlage des Berichts von Dr. C._) und allenfalls eigener zusätzlicher Erhebungen (Beizug zweier Fachdisziplinen) vornehmen wird, ist der Auffassung der Vorinstanz ohne weiteres beizupflichten, dass objektiv betrachtet nicht gesagt werden kann, Dr. B._ habe sich bereits in einer Art und Weise festgelegt, dass er nicht mehr in der Lage wäre, das angeordnete Ergänzungsgutachten zur Haushaltsarbeitsfähigkeit unbefangen und gegebenenfalls auch abweichend von seiner bisherigen Beurteilung zu erstatten.
Der Beschwerdeführer hält den überzeugenden Erwägungen der Vorinstanz einzig die vage "Befürchtung" entgegen, Dr. B._ werde an seiner bisherigen Meinung festhalten. Mit einer blossen - nicht weiter substanziierten - Befürchtung lässt sich ein Anschein der Befangenheit jedoch nicht begründen. Eine solche Befürchtung liegt auch nicht auf der Hand, wird sich doch der Gutachter umso weniger an seine Antwort vom 23. Juni 2011 auf die Ergänzungsfrage der ersten Instanz gebunden fühlen, als das Kantonsgericht die Ergänzung des Gutachtens gerade (auch) deshalb anordnete, um in jenem Zusammenhang erfolgte verfahrensrechtliche Unzulänglichkeiten zu beheben.
2.5 Der Beschwerdeführer hält Dr. B._ überdies infolge Vorbefassung für befangen, weil er in der gleichen Sache anfänglich bereits als Gutachter für die Unfallversicherung und als - zwar gemeinsamer - Parteigutachter tätig gewesen sei.
Auch diese Rüge verfängt nicht. Das Gutachten wurde bei der asim von der SUVA in Auftrag gegeben, und zwar unter Mitwirkung beider Parteien. Der Beschwerdeführer reichte es im vorliegenden Zivilprozess, der auf Antrag beider Parteien bis zum Vorliegen des Gutachtens sistiert worden war, im Übrigen selber ein. Er kann unter diesen Umständen aus der Tatsache, dass das Gutachten von der SUVA in Auftrag gegeben wurde, nichts betreffend Befangenheit des Gutachters ableiten. Insbesondere handelt es sich bei Dr. B._ nicht um einen Privatgutachter der einen Partei. Bei einem solchen müsste allenfalls vom Anschein der Befangenheit ausgegangen werden, weil er von der einen Partei nach ihren eigenen Kriterien ausgewählt und bezahlt würde und zu dieser in einem Auftrags- und Treueverhältnis stünde (vgl. BGE 127 I 73 E. 3f/bb S. 82). Eine solche Konstellation liegt hier aber nicht vor. Wie der Beschwerdeführer selber einräumt, war Dr. B._ als gemeinsamer Gutachter tätig.
2.6 Die Vorinstanz hat demnach Art. 183 Abs. 2 i.V.m. Art. 47 ZPO nicht verletzt, indem sie den Anschein der Befangenheit des Experten Dr. B._ verneinte und das gegen ihn gerichtete Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers ablehnte.
3. Die Beschwerde ist demzufolge abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, III. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. April 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz