Sachverhalt:
A. Die 1957 geborene R._, gelernte Tierarztgehilfin, war zuletzt von April 1983 bis April 2008 teilzeitlich als Reinigungsmitarbeiterin bei der X._ AG angestellt. Daneben war sie vorübergehend im Telemarketing tätig. Im Juni 2000 meldete sich R._ erstmals zum Leistungsbezug bei der Invalidenversicherung an, wobei sie, unter Hinweis auf Haut- und Knieprobleme, eine Umschulung beantragte. Die IV-Stelle Schwyz wies das Leistungsbegehren mit rechtskräftiger Verfügung vom 18. März 2003 ab und verneinte auch einen Anspruch auf eine Invalidenrente.
Im Februar 2008 machte R._ erneut Leistungen (Massnahmen für die berufliche Eingliederung) geltend. Sie verwies dabei auf "Kopfschmerzen, Schwindel, Übelkeit, Ohrensausen, Druck hinter Auge, Migräne, Tumor in der Sella turcia (Mikroadenom)". An der Migräne leide sie seit Jahren. Seit ca. 2006 lägen massive Einschränkungen vor und seit Juli 2007 bestehe eine volle Arbeitsunfähigkeit. Die IV-Stelle Schwyz gewährte Berufsberatung und Abklärung der beruflichen Eingliederungsmöglichkeiten und prüfte die Rentenfrage. Gestützt namentlich auf medizinische Abklärungen, einen Haushaltabklärungsbericht vom 18. November 2009 (mit Ergänzung vom 1. März 2011) und einen BEFAS-Abklärungsbericht vom 16. November 2010 sprach sie der Versicherten mit Verfügung vom 7. Juli 2011 rückwirkend ab 1. Juli 2008 eine halbe Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 58 % zu. Bei der Invaliditätsbemessung ging die Verwaltung davon aus, die Versicherte wäre im Gesundheitsfall teils erwerblich und teils im Aufgabenbereich Haushalt tätig. Sie bestimmte den Invaliditätsgrad dementsprechend nach der sog. gemischten Methode.
B. Die von R._ hiegegen erhobene Beschwerde auf Zusprechung einer ganzen Invalidenrente wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 14. September 2011 ab.
C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung der Verwaltungsverfügung vom 7. Juli 2011 und des vorinstanzlichen Entscheids sei eine ganze Invalidenrente zuzusprechen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Das Bundesgericht hat am 11. Oktober 2012 eine publikumsöffentliche Beratung durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389 mit Hinweisen; Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
2. Die Beschwerdeführerin hat unbestrittenermassen ab 1. Juli 2008 Anspruch auf eine Invalidenrente. Streitig ist, ob Anspruch auf eine halbe Rente besteht, wie von der IV-Stelle verfügt und vom kantonalen Gericht bestätigt, oder aber auf eine ganze Rente, wie die Versicherte geltend macht.
Das kantonale Gericht hat die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die Bestimmungen und Grundsätze zu den Begriffen Invalidität (Art. 4 Abs. 1 IVG in Verbindung mit Art. 8 Abs. 1 ATSG) und Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 ATSG in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung), zum nach dem Grad der Invalidität abgestuften Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 28 Abs. 2 IVG in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung) sowie zur Ermittlung des Invaliditätsgrades mittels Einkommensvergleich (Art. 28a Abs. 1 IVG in Verbindung mit Art. 16 ATSG) resp. nach der sog. gemischten Methode (Art. 28a Abs. 3 in Verbindung mit Abs. 2 IVG sowie mit Art. 16 ATSG) und der dazu ergangenen Rechtsprechung. Darauf wird verwiesen.
3. Vorab ist festzustellen, dass sich der angefochtene Entscheid entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung hinreichend mit den relevanten Gesichtspunkten und den diesbezüglichen Vorbringen der Versicherten auseinandersetzt. Der Vorwurf, das kantonale Gericht habe die Pflicht zur rechtsgenüglichen Begründung seines Entscheides und damit den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör verletzt, geht daher fehl.
4. Materiell umstritten ist zunächst, ob die Invalidität mittels Einkommensvergleich oder nach der gemischten Methode zu bestimmen ist.
4.1 Beim auf Erwerbstätige anwendbaren Einkommensvergleich wird für die Bestimmung des Invaliditätsgrades das Erwerbseinkommen, das die versicherte Person nach Eintritt der Invalidität und nach Durchführung der medizinischen Behandlung und allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihr zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte, in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das sie erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre (vgl. Art. 16 ATSG).
Zur gemischten Methode gilt gemäss Gesetz und Praxis Folgendes: Bei Versicherten, die nur zum Teil erwerbstätig sind, wird für diesen Teil die Invalidität nach Art. 16 ATSG festgelegt (Art. 28a Abs. 3 IVG). Waren sie daneben auch im Aufgabenbereich tätig, so wird die Invalidität für diese Tätigkeit nach Art. 28a Abs. 2 IVG festgelegt. Zunächst wird der Anteil der Erwerbstätigkeit und derjenige der Tätigkeit im Aufgabenbereich (so unter anderem im Haushalt) ermittelt. Im Rahmen der gemischten Methode bestimmt sich die Invalidität dadurch, dass im Erwerbsbereich ein Einkommens- und im Aufgabenbereich ein Betätigungsvergleich vorgenommen wird, wobei sich die Gesamtinvalidität aus der Addierung der in beiden Bereichen ermittelten und gewichteten Teilinvaliditäten ergibt (BGE 130 V 393 E. 3.3 S. 396 mit Hinweisen; vgl. BGE 134 V 9).
Ob eine versicherte Person als ganztägig oder zeitweilig erwerbstätig oder als nichterwerbstätig einzustufen ist, ergibt sich aus der Prüfung, was sie bei im Übrigen unveränderten Umständen täte, wenn keine gesundheitliche Beeinträchtigung bestünde. Entscheidend ist somit nicht, welches Ausmass der Erwerbstätigkeit der versicherten Person im Gesundheitsfall zugemutet werden könnte, sondern in welchem Pensum sie hypothetisch erwerbstätig wäre (BGE 133 V 504 E. 3.3 S. 507 mit Hinweisen; Urteil 9C_335/2012 vom 17. Juli 2012 E. 3.1). Bei im Haushalt tätigen Versicherten im Besonderen sind die persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse ebenso wie allfällige Erziehungs- und Betreuungsaufgaben gegenüber Kindern, das Alter, die beruflichen Fähigkeiten und die Ausbildung sowie die persönlichen Neigungen und Begabungen zu berücksichtigen. Die Statusfrage beurteilt sich praxisgemäss nach den Verhältnissen, wie sie sich bis zum Erlass der Verwaltungsverfügung entwickelt haben, wobei für die hypothetische Annahme einer im Gesundheitsfall ausgeübten (Teil-)Erwerbstätigkeit der im Sozialversicherungsrecht übliche Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erforderlich ist (BGE 130 V 393 E. 3.3 S. 396; 125 V 146 E. 2c S. 150 mit Hinweisen; Urteil 9C_335/2012 E. 3.2).
Die auf eine Würdigung konkreter Umstände gestützte Festsetzung des hypothetischen Umfanges der Erwerbstätigkeit ist eine Tatfrage, welche das Bundesgericht lediglich in den genannten Schranken (E. 1) überprüft. Eine Rechtsfrage läge nur vor, wenn die Festlegung des Umfangs der Erwerbstätigkeit im Gesundheitsfall ausschliesslich gestützt auf die allgemeine Lebenserfahrung erfolgt wäre (Urteil 9C_335/2012 E. 3.2 mit Hinweisen), was jedoch hier nicht der Fall ist. Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar (Urteile 8C_763/2008 vom 19. Juni 2009 E. 1, nicht publiziert in: BGE 135 V 306, aber in: SVR 2009 IV Nr. 52 S. 161, und 9C_335/2012 E. 3.2 mit weiterem Hinweis).
4.2 Verwaltung und Vorinstanz sind zum Ergebnis gelangt, die Versicherte wäre im Gesundheitsfall zu 78 % erwerblich und zu 22 % im Aufgabenbereich Haushalt tätig. Daher gelange die gemischte Methode zur Anwendung.
4.3 Die Beschwerdeführerin wendet hauptsächlich ein, sie wäre ohne gesundheitliche Beeinträchtigung entgegen der vorinstanzlichen Beurteilung nicht teilzeitlich, sondern voll erwerbstätig.
4.3.1 Die Versicherte begründet ihr Vorbringen damit, das kantonale Gericht habe verschiedene Gesichtspunkte erwähnt, welche für die Annahme einer Vollzeiterwerbstätigkeit im Gesundheitsfall sprächen. Es habe daraus aber die falschen Schlussfolgerungen gezogen, indem es dennoch entschieden habe, im Gesundheitsfall würde weiterhin eine Teilzeittätigkeit ausgeübt, weshalb die gemischte Methode anzuwenden sei.
4.3.2 Die vorinstanzlichen Erwägungen hiezu sind in der Tat nicht ganz widerspruchsfrei. Selbst wenn das Bundesgericht dies aber zum Anlass nähme, den Sachverhalt hinsichtlich des im Gesundheitsfall mutmasslich ausgeübten Erwerbspensums ohne Bindung an den vorinstanzlichen Entscheid frei zu überprüfen, vermöchte dies, wie nachfolgend aufgezeigt wird, den angefochtenen Entscheid im Ergebnis nicht in Frage zu stellen.
Hervorzuheben ist, dass die Versicherte nach Lage der Akten seit 1983, mithin viele Jahre vor Eintritt des Gesundheitsschadens, lediglich teilzeitlich gearbeitet hat. Es ist wenig wahrscheinlich, dass sie die so lange ausgeübte Teilzeittätigkeit im Gesundheitsfall auf ein volles Erwerbspensum ausgebaut hätte, zumal keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass veränderte finanzielle Verhältnisse dies geboten hätten. Sodann sind auch keine familiären Gesichtspunkte, wie etwa der Wegfall von Betreuungsaufgaben, erkennbar, welche den Schluss auf eine Erhöhung des Erwerbspensums im Gesundheitsfall gestatten könnten. Keine andere Betrachtungsweise rechtfertigen als wenig aussagekräftig zu beurteilende Aussagen der Beschwerdeführerin betreffend die vorübergehend - mit einem geringen Pensum - zusätzlich ausgeübte Tätigkeit im Telemarketing sowie im Laufe der Jahre absolvierte Kurse insbesondere im Bereich EDV-Anwendung. Insgesamt überwiegen, namentlich aufgrund der Berufslaufbahn, die Gesichtspunkte, welche dafür sprechen, dass die Versicherte im Gesundheitsfall weiterhin nur teilzeitlich erwerbstätig gewesen wäre.
4.4 Die Versicherte macht für den Fall, dass nicht auf einen Vollzeiterwerb im Gesundheitsfall geschlossen werde, geltend, sie sei vor Eintritt der Invalidität neben der Erwerbstätigkeit keinem Aufgabenbereich nachgegangen, weil sie hobbymässig und in erheblichem (den Anteil der Haustierbetreuung beim Aufgabenbereich Haushalt bei weitem übersteigenden) Ausmass eigene und fremde Tiere betreue. In Anwendung von BGE 131 V 51 sei daher die Einkommensvergleichsmethode anzuwenden.
Nach der erwähnten Rechtsprechung bestimmt sich die Invalidität bei einer hypothetisch (im Gesundheitsfall) lediglich teilerwerbstätigen versicherten Person ohne einen Aufgabenbereich (wie etwa Haushalt) nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (oder einer Untervariante davon [Schätzungs- oder Prozentvergleich, ausserordentliches Bemessungsverfahren]). Wäre die versicherte Person gesundheitlich in der Lage, voll erwerbstätig zu sein, reduziert sie aber das Arbeitspensum aus freien Stücken, insbesondere um mehr Freizeit (für Hobby etc.) zu haben, hat dafür nicht die Invalidenversicherung einzustehen (vgl. BGE 131 V 51 E. 5.1.2 S. 53 mit Hinweisen; in FamPra 2010 S. 134 zusammengefasstes Urteil 9C_265/2007 vom 4. Januar 2008 E. 5.4).
Die Argumentation der Versicherten geht somit dahin, dass sie im Gesundheitsfall freiwillig ein reduziertes Erwerbspensum ausüben würde, um Zeit für die intensive Ausübung eines Hobbies zu haben. Das stellt nun aber einen klaren Widerspruch zu ihrer bereits behandelten Darstellung dar, wonach sie im Gesundheitsfall voll erwerbstätig wäre. Abgesehen davon vermag die Berufung auf BGE 131 V 51 ohnehin nicht zu überzeugen. Die Versicherte hat seit 1983 und mithin bereits viele Jahre vor Beginn der intensiven Tierbetreuung nur teilzeitlich gearbeitet. Sie hat das Erwerbspensum demnach nicht etwa wegen des Hobbies reduziert. Die Freizeitaktivität steht der Annahme einer Teilzeittätigkeit im Gesundheitsfall daher auch im Lichte von BGE 131 V 51 nicht entgegen (vgl. Urteil 8C_485/2009 vom 7. August 2009 E. 2.2.2 mit Hinweis). Hinzu kommt, dass die Beschwerdeführerin immerhin alleine eine 4.5-Zimmerwohnung zu betreuen hat, was doch auf einen gewissen Aufwand für die Verrichtung des Haushalts hindeutet (vgl. Urteil I 609/05 vom 1. Februar 2006 E. 4.3.2). Dass die Vorinstanz erkannt hat, die Versicherte wäre neben der Teilerwerbstätigkeit im Aufgabenbereich Haushalt tätig, ist daher rechtens. Damit bleibt es auch unter diesem Gesichtswinkel bei der Anwendbarkeit der gemischten Methode.
4.5 Die Beschwerdeführerin wendet schliesslich ein, das im Gesundheitsfall ausgeübte Erwerbspensum sei nicht auf 78 %, sondern auf 86.17 % anzusetzen.
Die vorinstanzliche Beurteilung beruht auf einer einlässlichen Würdigung der Akten, insbesondere auch der Angaben der Arbeitgeberin. Die Vorbringen in der Beschwerde sind nicht geeignet, diese Sachverhaltsfeststellung als offensichtlich unrichtig oder sonst rechtswidrig erscheinen zu lassen. Es trifft namentlich nicht zu, dass das kantonale Gericht hiebei auf unzulässige Beweismittel abgestellt und Mitwirkungsrechte der Versicherten im Rahmen des Anspruchs auf rechtliches Gehör verletzt hätte. Damit bleibt es bei einem hypothetischen Erwerbspensum von 78 % im Gesundheitsfall.
5. Verwaltung und Vorinstanz haben den Invaliditätsgrad im erwerblichen Betätigungsbereich durch Einkommensvergleich ermittelt. Die Versicherte erhebt auch diesbezüglich Einwände.
5.1 Nicht umstritten ist, dass gesundheitsbedingt nur mehr eine Arbeitsfähigkeit von 30 % in angepassten Tätigkeiten besteht.
5.2 Die IV-Stelle hat das ohne Gesundheitsschaden bei einem Pensum von 78 % mutmasslich weiter erzielte Einkommen (Valideneinkommen) gestützt auf Angaben der früheren Arbeitgeberin auf Fr. 52'696.95 festgesetzt. Zur Bestimmung des trotz gesundheitsbedingter Beeinträchtigung zumutbarerweise noch erzielbaren Einkommens (Invalideneinkommen) zog sie Tabellenlöhne heran. Ausgehend von dem in angepassten Tätigkeiten noch zumutbaren Pensum von 30 % und unter Berücksichtigung eines leidensbedingten Abzuges von 10 % gelangte die Verwaltung auf ein Invalideneinkommen von Fr. 14'001.95. Die Gegenüberstellung der Vergleichseinkommen ergibt einen Invaliditätsgrad im erwerblichen Betätigungsbereich von 73.4 %.
Das kantonale Gericht ermittelte geringfügig andere Werte, nämlich ein Valideneinkommen von Fr. 52'222.- und ein Invalideneinkommen (bei ebenfalls 30 %-Pensum und 10%igem Leidensabzug) von Fr. 13'869.-. Dem Vergleich der beiden Einkommen legte es dann aber, wie die Beschwerdeführerin zu Recht einwendet, ein Invalideneinkommen von Fr. 15'410.- zugrunde. Dieser Wert entspricht dem Invalidenlohn vor Anrechnung des leidensbedingten Abzuges. Der Vergleich des korrekten, diesen Abzug berücksichtigenden Invalideneinkommens von Fr. 13'869.- mit dem Valideneinkommen von Fr. 52'222.- führt zu einem Invaliditätsgrad im erwerblichen Bereich von 73.4 %, wie ihn auch die IV-Stelle ermittelt hat. Im Ergebnis hat die Vorinstanz somit gleich wie diese entschieden.
5.3 Die Versicherte wendet weiter ein, die angenommene Restarbeitsfähigkeit von 30 % in angepassten Tätigkeiten sei wirtschaftlich nicht verwertbar.
Das kantonale Gericht hat in einlässlicher Würdigung der Sach- und Rechtslage, unter Berücksichtigung auch der Erkenntnisse aus dem BEFAS-Bericht vom 16. November 2010, erkannt, dass der massgebliche ausgeglichene Arbeitsmarkt (Art. 16 ATSG), welcher auch sogenannte Nischenarbeitsplätze umfasst (zuletzt: Urteil 8C_357/2012 vom 17. August 2012 E. 5.2.5 mit Hinweisen), den Fähigkeiten der Versicherten entsprechende Stellen bereithält. Diese Beurteilung ist rechtmässig. Daran vermögen die Vorbringen in der Beschwerde nichts zu ändern. Es liegt insbesondere auch keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör vor. Im Übrigen kann vollumfänglich auf die vorinstanzlichen Erwägungen verwiesen werden.
5.4 Beanstandet wird sodann, der leidensbedingte Abzug bei der Bestimmung des Invalideneinkommens sei zu niedrig angesetzt worden.
Ob und in welcher Höhe statistische Tabellenlöhne herabzusetzen sind, hängt nach den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid von sämtlichen persönlichen und beruflichen Umständen des Einzelfalles ab, die nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen sind. Relevante Merkmale sind leidensbedingte Einschränkung, Alter, Dienstjahre, Nationalität/Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad (BGE 126 V 75 E. 5b/bb S. 80). Ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Abzug vom hypothetischen Invalideneinkommen vorzunehmen sei, ist eine Rechtsfrage. Demgegenüber stellt die Höhe des Abzuges eine typische Ermessensfrage dar, deren Beantwortung letztinstanzlicher Korrektur nur dort zugänglich ist, wo das kantonale Gericht das Ermessen rechtsfehlerhaft ausgeübt hat, d.h. bei Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung (vgl. BGE 137 V 71 E. 5.1 S. 72 f. mit Hinweis auf BGE 132 V 393 E. 3.3 in fine S. 399).
Eine solche qualifiziert falsche Ermessensausübung liegt hier jedenfalls nicht vor, zumal auch nach Darstellung in der Beschwerde als abzugsrelevante Faktoren einzig die leidensbedingten Anforderungen, welchen ein zumutbarer Arbeitsplatz hinsichtlich Tätigkeit und Pensum zu genügen hat, in Betracht kommen.
5.5 Es bleibt demnach bei einem Invaliditätsgrad von 73.4 % im erwerblichen Bereich.
6. Die gesundheitsbedingte Einschränkung im Aufgabenbereich Haushalt wurde gestützt auf entsprechende Abklärungen auf 3 % festgesetzt. Das ist unbestritten und gibt keinen Anlass zu weiteren Bemerkungen.
7. Zusammenfassend beträgt die gesundheitsbedingte Einschränkung 73.4 % im erwerblichen Bereich und 3 % im Aufgabenbereich Haushalt. Gewichtet nach dem Anteil an der Gesamttätigkeit (78 % resp. 22 %) ergeben sich für die beiden Tätigkeitsbereiche Teilinvaliditäten von 57.25 % und 0.66 %. Der Gesamtinvaliditätsgrad beträgt demnach (gerundet) 58 %, womit Anspruch auf die von der Verwaltung zugesprochene und von der Vorinstanz bestätigte halbe Invalidenrente besteht (Art. 28 Abs. 2 IVG). Die Beschwerde ist daher abzuweisen.
8. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, der Ausgleichskasse Schwyz und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Oktober 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz