Faits:
A. Depuis 1971, X._ est locataire d'un appartement de cinq pièces au premier étage d'un bâtiment d'habitation sis à Meyrin. Le contrat a prévu dès l'origine que les frais de chauffage et d'eau chaude seraient remboursés à la bailleresse en sus du loyer, le locataire versant des acomptes mensuels, et que la bailleresse établirait chaque année le décompte des frais. A la fin de 1999, le contrat fut modifié en ce sens que le locataire acquitterait un forfait mensuel pour les frais d'eau chaude, fixé à 33 fr.; le régime des frais de chauffage demeura inchangé, à ceci près que l'acompte mensuel fut augmenté à 60 francs.
Le 3 février 2006, la bailleresse a présenté un décompte des frais de chauffage pour un laps de sept mois, soit du 1er juin au 31 décembre 2004, au montant de 518 fr.60. Après déduction des acomptes correspondants, le locataire était débiteur du solde par 98 fr.60.
Celui-ci a versé cette somme « sous réserve » et, le 3 mars 2006, il a porté son « opposition au décompte » devant la Commission de conciliation en matière de baux et loyers du canton de Genève. La conciliation a échoué.
B. X._ a poursuivi la contestation devant le Tribunal des baux et loyers. Selon ses conclusions, la société Y._ SA, qui était alors la bailleresse et défenderesse, devait être condamnée à rembourser, outre le solde précité, les acomptes de chauffage et les forfaits d'eau chaude encaissés de juin 2004 à décembre 2005.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action. Elle a produit un décompte modifié, pour la période de juin à décembre 2004, selon lequel le demandeur restait débiteur de 152 fr.90. Le débat a aussi porté sur le décompte des frais de chauffage de janvier à décembre 2005, présenté par la défenderesse en juillet 2006.
Après l'audience du 2 octobre 2006, la défenderesse a produit un important lot de pièces relatives aux frais de chauffage et d'eau chaude. Elle a produit un deuxième lot après une nouvelle audience.
Par ordonnance du 20 février 2008, au motif que ces documents ne permettaient pas de vérifier l'exactitude des comptes de chauffage, le tribunal a requis la défenderesse d'établir et de présenter un nouveau décompte des frais, cela en écartant toutes les factures relatives aux réparations ou à l'entretien du bâtiment et de sa chaufferie, en imputant les forfaits d'eau chaude dans la mesure où le chauffage et l'eau chaude proviennent de la même source d'énergie, en limitant les frais d'administration à quatre pour cent du total et en déterminant de manière précise la répartition des charges entre les locataires concernés.
La défenderesse n'a pas donné suite à cette ordonnance.
Les parties ont plaidé à l'audience du 21 avril 2008. Le tribunal s'est prononcé le 12 janvier 2009. Il a jugé que les justificatifs de la défenderesse sont totalement incompréhensibles et que ses décomptes des frais de chauffage ne satisfont manifestement pas aux exigences légales. Il a également jugé, toutefois, que les conclusions du demandeur tendant au remboursement d'acomptes et de forfaits étaient irrecevables faute d'avoir été soumises à la Commission de conciliation; le jugement ne pouvait donc porter que sur le solde au montant de 98 fr.60. En conséquence, selon le dispositif de cette décision, le demandeur « ne doit pas » cette dernière somme.
C. X._ a maintenu ses prétentions devant la Chambre d'appel en matière de baux et loyers, laquelle a statué le 15 février 2010; elle a confirmé le jugement. En raison d'une valeur litigieuse inférieure à 8'000 fr., elle ne contrôlait les constatations de fait du tribunal qu'avec un pouvoir d'examen limité à l'arbitraire.
Contrairement à l'opinion des premiers juges, la Chambre d'appel retient que les conclusions articulées devant eux étaient entièrement recevables parce que les faits de la cause avaient été discutés devant la Commission de conciliation; l'autorisation d'introduire la demande, délivrée par cet organe, portait donc sur le solde du décompte présenté le 3 février 2006 et aussi sur le remboursement des acomptes et des forfaits de la période concernée. Les acomptes et forfaits de l'année 2005 sont l'objet d'une demande additionnelle qui, selon le droit cantonal de procédure, est recevable sans essai préalable de conciliation. Cependant, le tribunal n'avait pas pour tâche de dresser ni de redresser lui-même les décomptes des frais de chauffage et le demandeur avait omis d'indiquer avec précision en quoi les justificatifs de l'adverse partie n'étaient pas suffisants ou devaient être retranchés. Le demandeur n'avait pas non plus, en appel, contesté de manière suffisamment motivée le montant du forfait d'eau chaude.
D. Agissant par la voie du recours constitutionnel, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Chambre d'appel en ce sens que la défenderesse soit condamnée à lui payer 231 fr. et 420 fr. avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er octobre 2004, pour remboursement des forfaits d'eau chaude et des acomptes de chauffage de juin à décembre 2004; 98 fr.60 avec intérêts dès le 1er mars 2006 pour remboursement du solde du décompte afférent à la même période; enfin, 396 fr. et 720 fr. avec intérêts dès le 1er juillet 2005, pour remboursement des forfaits et des acomptes de janvier à décembre 2005. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la Chambre d'appel pour nouvelle décision.
La défenderesse conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). La valeur litigieuse n'atteint pas le minimum légal de 15'000 fr. exigé en matière de droit du bail à loyer (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF) et aucun des cas de dispense prévus par la loi ne se trouve réalisé (art. 74 al. 2 LTF); en conséquence, la cause n'est susceptible que du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF), à l'exclusion du recours ordinaire en matière civile. Le recours est dirigé contre un jugement final rendu en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1, 90 et 117 LTF). Le demandeur a pris part à l'instance précédente et il a succombé dans des conclusions concernant son patrimoine personnel (art. 115 LTF); il a recouru en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours constitutionnel ne peut être exercé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF) et le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 et 117 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 III 439 consid. 3.2 p. 444).
2. Le demandeur invoque surtout la protection contre l'arbitraire conférée par l'art. 9 Cst.
Une décision est arbitraire, donc contraire à cette disposition constitutionnelle, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
3. En matière de bail à loyer, pour autant que la convention des parties le prévoie spécialement, le locataire doit rembourser en sus du loyer les dépenses effectives supportées par le bailleur en rapport avec l'usage de la chose louée, telles que les frais de chauffage et de consommation d'eau chaude pour les habitations ou les locaux commerciaux (art. 257a et 257b al. 1 CO). Le bailleur peut percevoir ces frais - dits accessoires - de manière forfaitaire, sur la base de la moyenne des dépenses effectives calculée sur une période de trois ans (art. 4 al. 2 OBLF; RS 221.213.11). Il peut également se faire rembourser les dépenses effectives sur la base d'un décompte; il doit alors établir ce document au moins une fois par année et le présenter au locataire (art. 4 al. 1 OBLF). La convention peut prévoir que dans l'intervalle des décomptes successifs, le locataire versera des acomptes. Ces deux systèmes peuvent être juxtaposés en ce sens que le locataire remboursera certains frais - en l'occurrence, ceux d'eau chaude - de manière forfaitaire et d'autres - ici ceux de chauffage - sur la base d'un décompte (David Lachat, Le bail à loyer, 2008, p. 336 nos 2.4 à 2.7).
Les clauses contractuelles relatives aux frais accessoires, ayant pour objet de spécifier les dépenses imputables au locataire et les montants que celui-ci doit verser périodiquement à titre de forfait ou d'acomptes, sont modifiables à l'initiative du bailleur ou du locataire selon les art. 269d, 270a et 270b CO qui visent au premier chef l'augmentation ou la diminution du loyer (Lachat, op. cit., p. 336 nos 3.1 et ss; cf. ATF 121 III 460 consid. 2a/bb p. 462).
4. Le forfait mensuel destiné à couvrir les frais d'eau chaude est une obligation du demandeur que la bailleresse a introduite dans le contrat déjà à la fin de 1999. Le demandeur ne l'a pas contestée, alors, de la manière et dans le délai prévus par l'art. 270b CO. S'il s'y croit fondé, il peut réclamer la diminution du montant exigible à l'avenir, de la manière et dans le délai prévus par l'art. 270a al. 1 et 2 CO avant chaque terme de résiliation du contrat. En revanche, le décompte des frais de chauffage n'est pas l'occasion de contester le montant du forfait d'eau chaude. Dans son résultat au moins, la décision refusant le remboursement des sommes versées au titre du forfait d'eau chaude se révèle pleinement compatible avec l'art. 9 Cst.
5. Aux termes de l'art. 8 CC, chaque plaideur doit, si la loi ne prescrit le contraire, prouver les faits qu'il allègue pour en déduire son droit. Lorsque le juge ne parvient pas à constater un fait dont dépend le droit litigieux, il doit statuer au détriment de la partie qui aurait dû prouver ce même fait (ATF 126 III 189 consid. 2b p. 191/192; voir aussi ATF 132 III 689 consid. 4.5 p. 701/702; 129 III 18 consid. 2.6 p. 24). Lorsque le locataire conteste un décompte présenté par le bailleur et agit en justice afin de recouvrer les acomptes et autres sommes versées pour la couverture des frais concernés, la disposition précitée impose à ce plaideur-ci, soit au bailleur, de prouver les dépenses qu'il a incorporées au décompte litigieux et dont il prétend conserver la contre-valeur (Lachat, op. cit., p. 338 ch. 4.1).
La Chambre d'appel refuse le remboursement des acomptes de chauffage au motif que le demandeur a omis d'indiquer avec précision en quoi les justificatifs produits par l'adverse partie n'étaient pas suffisants ou devaient être retranchés. Cela consacre une violation flagrante de l'art. 8 CC car il appartenait au contraire à la défenderesse de démontrer la pertinence de ses propres moyens de preuve. Par son ordonnance du 20 février 2008, le tribunal l'a d'ailleurs invitée à le faire. Il a ensuite retenu que les justificatifs produits par elle sont totalement incompréhensibles. Il incombait à la Chambre d'appel de contrôler cette appréciation, dans les limites du pouvoir d'examen limité qui lui est reconnu par le droit cantonal de procédure lorsque la valeur litigieuse n'atteint pas 8'000 fr., puis de statuer, d'après le résultat, conformément à l'art. 8 CC. Sa décision se révèle arbitraire et elle sera donc annulée; la cause doit lui être renvoyée afin qu'elle procède à ce contrôle et rende une nouvelle décision au sujet des acomptes de chauffage.
6. A titre de partie qui succombe, la défenderesse doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels le demandeur peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis; l'arrêt de la Chambre d'appel est annulé et la cause est renvoyée à cette autorité pour nouvelle décision.
2. La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 800 francs.
3. La défenderesse versera une indemnité de 1'200 fr. au demandeur à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
Lausanne, le 31 mai 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin