Sachverhalt:
A. Der 1989 geborene P._ war bis 31. Mai 2005 Lehrling bei der Firma S._ AG. Am 30. August 2005 stellte er Antrag auf Arbeitslosenentschädigung. Mit Verfügung vom 23. September 2005 verneinte die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn (nachfolgend Arbeitslosenkasse) den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. September 2005. Seit 7. November 2005 nahm P._ an einem im Auftrag des Amtes für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Solothurn durchgeführten Jugendprogramm (JUP) des Vereins X._ teil. Dieses JUP wurde auf den 31. Juli 2006 aufgelöst, da er am 6. Juli 2006 einen Lehrvertrag mit Beginn ab 1. August 2006 unterzeichnet hatte. Am 23. Juli 2006 erlitt er einen Verkehrsunfall, bei dem er verletzt wurde. Mit Verfügung vom 9. Juli 2007 eröffnete ihm die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), als JUP-Teilnehmer ohne Taggeldberechtigung der Arbeitslosenkasse gehöre er nicht zum Kreis der SUVA-versicherten Personen; eine SUVA-Versicherungsdeckung lasse sich auch nicht aus dem Schnuppereinsatz vom 2. Juni 2006 ableiten, da sich der Unfall nach Ablauf der 30-tägigen Nachdeckungsfrist zugetragen habe. Die Einsprache des P._ wies sie mit Entscheid vom 13. September 2007 ab. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 13. Januar 2009 ab. In teilweiser Gutheissung der dagegen eingereichten Beschwerde hob das Bundesgericht diesen Entscheid auf. Es wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen über die Beschwerde neu entscheide. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Urteil 8C_286/2009 vom 5. November 2009, publ. in ARV 2010 S. 50).
B. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde hob das kantonale Gericht den Einspracheentscheid der SUVA vom 13. September 2007 auf und bejahte grundsätzlich die Versicherungsdeckung des P._ durch die SUVA für den Unfall vom 23. Juli 2006 (Entscheid vom 24. August 2010).
C. C.a Mit Beschwerde beantragt die SUVA die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
P._ verzichtet unter Verweis auf den kantonalen Entscheid auf eine Vernehmlassung und verlangt die Vereinigung dieses Verfahrens mit dem Verfahren 8C_816/2010. Das kantonale Gericht schliesst auf Beschwerdeabweisung. Die Arbeitslosenkasse und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.
C.b Die Arbeitslosenkasse erhob gegen den kantonalen Entscheid vom 24. August 2010 ebenfalls Beschwerde. Diese ist Gegenstand des Verfahrens 8C_816/2010.
Erwägungen:
1. Da auf die Beschwerde der Arbeitslosenkasse gemäss heutigem Urteil im Verfahren 8C_816/2010 nicht einzutreten ist, rechtfertigt sich eine Vereinigung desselben mit dem vorliegenden Verfahren nicht.
2. 2.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2.2 Im vorliegenden Streit, ob für das Unfallereignis des Beschwerdegegners vom 23. Juli 2006 Versicherungsdeckung durch die SUVA besteht, kommt die Ausnahmeregelung des Art. 105 Abs. 3 (in Verbindung mit Art. 97 Abs. 2) BGG ungeachtet dessen, dass von der Beurteilung der Streitfrage auch Ansprüche auf Geldleistungen der obligatorischen Unfallversicherung abhängen können, nicht zur Anwendung. Das Bundesgericht kann somit die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nur im Rahmen von Art. 105 Abs. 1 und 2 (in Verbindung mit Art. 97 Abs. 1) BGG überprüfen (BGE 135 V 412 E. 1.2 S. 413). Demnach legt es seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dies ist auf Grund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen (nicht. publ. E. 1 des Urteils BGE 135 V 306; ARV 2010 S. 50 E. 1.2).
3. Die Vorinstanz hat die Rechtsprechung über das Prinzip des öffentlich-rechtlichen Vertrauensschutzes (Art. 9 BV; nicht publ. E. 5.2 des Urteils BGE 135 V 412, nicht publ. E. 8.3 f des Urteils BGE 135 V 339; BGE 131 V 472 E. 4 S. 480 f.; ARV 2010 S. 50 E. 10.2 und 12.2.2) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4. Das Bundesgericht erwog im Urteil ARV 2010 S. 50 in E. 9.4, der Beschwerdegegner sei im Zeitpunkt seines Unfalls vom 23. Juli 2006 nicht bei der SUVA obligatorisch unfallversichert gewesen. Weiter führte es in E. 12.2.2 aus, nach ständiger Rechtsprechung betreffend die Abredeversicherung einer arbeitslosen Person gemäss Art. 3 Abs. 3 UVG und Art. 8 UVV in Verbindung mit Art. 2 und 3 UVAL treffe die Informationspflicht nach Art. 72 UVV grundsätzlich die Organe der Arbeitslosenversicherung, welche in diesem Regelungszusammenhang als Organe der Unfallversicherungsdurchführung tätig seien. Verletzten demnach die Organe der Arbeitslosenversicherung ihre Pflicht, eine versicherte Person über die Möglichkeit einer Verlängerung des Unfallversicherungsschutzes durch Abschluss einer Abredeversicherung zu orientieren, habe dies unter bestimmten Voraussetzungen eine Leistungspflicht der SUVA zur Folge. Diese Rechtsprechung sei entsprechend auch anwendbar, wenn die Organe der Arbeitslosenversicherung bezüglich der Frage des Bestehens oder Nichtbestehens der Versicherungsdeckung der arbeitslosen Person bei der SUVA die Informationspflicht verletzten oder eine falsche Auskunft erteilten. Falls diesbezüglich die Voraussetzungen des Vertrauensschutzes erfüllt seien, habe dies demnach eine Leistungspflicht der SUVA zur Folge. Die Sache sei somit an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie den Leistungsanspruch des Beschwerdeführers in diesem Lichte prüfe.
5. Die Vorinstanz erwog, anlässlich der Anmeldung bei der Arbeitslosenversicherung am 30. August 2005 habe der Beschwerdegegner die Broschüre des Staatssekretariats für Wirtschaft (seco) "Info-Service Arbeitslosigkeit - ein Leitfaden für Versicherte" erhalten. Daraus gehe hervor, dass der Versicherungsschutz für Unfall noch längstens 30 Tage nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses gelte und bei fehlendem Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung nicht gegeben sei; für diesen Fall werde empfohlen, bei der Unfallversicherung des letzten Arbeitgebers eine Abredeversicherung abzuschliessen. Mit der Verfügung der Arbeitslosenkasse betreffend Verneinung des Arbeitslosenentschädigungsanspruchs vom 23. September 2005 habe der Beschwerdegegner das Merkblatt des Amtes für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Solothurn (AWA) "Kein Anspruch mehr auf Arbeitslosenentschädigung. Was Sie beachten müssen" bekommen, womit er orientiert worden sei, dass Personen, die keinen Anspruch auf Arbeitslosentaggelder mehr hätten, noch 30 Tage nach dem letzten Arbeitslosenentschädigungsbezug SUVA-versichert seien; danach müssten sie die Unfallversicherungsdeckung bei ihrer Krankenkasse einschliessen lassen oder könnten innerhalb von 30 Tagen nach der Aussteuerung eine Abredeversicherung während maximal 6 Monaten bei der SUVA abschliessen. Am 7. November 2005 habe er die Teilnahmebestätigung des Vereins X._ betreffend das JUP erhalten, wonach im Auftrag des AWA ein Motivationssemester für nach der obligatorischen Schulzeit lehrstellenlose Jugendliche durchgeführt werde; hierin heisse es fälschlicherweise, die Teilnehmer würden gemäss den Richtlinien der Arbeitslosenversicherung entschädigt; davon würden die gesetzlich verlangten, ordentlichen Sozialversicherungsbeiträge (AHV, ALV, NBUV) abgezogen. Die Abrechnungen der Arbeitslosenkasse betreffend das JUP vom 9. Januar 2006 (Dezember 2006), 19. Mai 2006 (April 2006), 7. Juni 2006 (Mai 2006), 7. Juli 2006 (Juni 2006) und 26. Juli 2006 (Juli 2006) hätten folgenden Passus enthalten: "Unfallschutz: Bei Beendigung oder Unterbrechung der Arbeitslosigkeit bitte bei der Krankenkasse melden! (Art. 10 KVG)". Art. 10 Abs. 1 KVG laute wie folgt: "Der Arbeitgeber informiert eine aus dem Arbeitsverhältnis oder aus der Nichtberufsunfallversicherung nach dem UVG ausscheidende Person schriftlich darüber, dass sie dies ihrem Versicherer nach diesem Gesetz zu melden hat. Die gleiche Pflicht trifft die Arbeitslosenversicherung, wenn der Anspruch auf Leistungen ihr gegenüber erlischt und die betreffende Person kein neues Arbeitsverhältnis eingeht". Mit der JUP-Teilnahmebestätigung vom 7. November 2005, worin wöchentliche Arbeitszeiten aufgelistet seien, habe der unzutreffende Eindruck der versicherungstechnisch relevanten Arbeitnehmerqualität hervorgerufen werden können; die darin enthaltene, nicht auf den konkreten Beschwerdegegner zugeschnittene Feststellung des Abzugs von ALV- und NBUV-Beiträgen habe die Fehleinschätzung ebenso verstärkt wie die Bemerkung betreffend Unfallschutz in den Abrechnungen der Arbeitslosenkasse. Diese und der Verein X._ (im Auftrag des AWA) hätten in hinreichend konkreten Situationen in Bezug auf den Beschwerdegegner gehandelt; sie seien für die gemachten Angaben zuständig gewesen oder hätten aus zureichenden Gründen als zuständig erachtet werden dürfen. Er habe die Unrichtigkeit der Kombination von Falschangaben (Teilnahmebestätigung des Vereins X._ vom 7. November 2005 und Abrechnungen der Arbeitslosenkasse) nicht ohne Weiteres erkennen können. Hieran ändere nichts, dass er am 30. August 2005 den seco-Leitfaden und am 23. September 2005 das AWA-Merkblatt erhalten habe, woraus hervorgegangen sei, dass er über keine Unfallversicherungsdeckung verfüge; denn inzwischen habe sich die Situation insofern geändert, als er gegenüber der Arbeitslosenkasse Anspruch auf Spesenentschädigung gehabt habe. Es sei überwiegend wahrscheinlich, dass er im Vertrauen auf die Richtigkeit der Falschangaben vorläufig auf den Abschluss einer Unfallversicherung verzichtet und damit Dispositionen getroffen habe, die nicht ohne Nachteil rückgängig gemacht werden könnten. Die Tatsache, dass er zwischen der Ablehnungsverfügung der Arbeitslosenkasse vom 23. September 2005 und der ersten Falschangabe des Vereins X._ vom 7. November 2005 keine Unfallversicherung abgeschlossen habe, lasse nicht auf grundsätzlich mangelnde Versicherungsabsicht schliessen. Die gesetzliche Ordnung sei seit der Auskunftserteilung unverändert. Zusammenfassend hätten die Organe der Arbeitslosenversicherung gegenüber dem Beschwerdegegner falsche bzw. irreführende Angaben zum Bestehen oder Nichtbestehen einer Unfallversicherung gemacht, weshalb im Lichte des Vertrauensschutzes - abweichend vom materiellen Recht - die Versicherungsdeckung durch die SUVA für seinen Unfall vom 23. Juli 2006 grundsätzlich zu bejahen sei.
6. 6.1 Allgemein kann sich auf berechtigtes Vertrauen nur berufen, wer bei der Aufmerksamkeit, wie sie nach den Umständen von ihm verlangt werden darf, selber als gutgläubig gelten kann (BGE 130 III 396 E. 1.2.3 S. 399). Keinen Vertrauensschutz kann somit beanspruchen, wer nicht selber die zur Wahrung seiner Rechte notwendigen Schritte unverzüglich unternommen hat, die ihm Treu und Glauben geboten hätten (BGE 127 II 230 E. 1b S. 230; Urteil U 187/06 vom 13. November 2006 E. 3.3.1; vgl. auch SVR 2007 AlV Nr. 21 S. 69 E. 3.4 [C 180/06]). Das Mass der pflichtgemässen Sorgfalt bestimmt sich nach den Umständen des Einzelfalles, wobei dem Bürger umso eher eine Rückfrage zuzumuten ist, je unklarer Sinn und Bedeutung einer behördlichen Auskunft sind (Urteil K 71/92 vom 25. November 1992 E. 4c/bb). Wer trotz sich gebieterisch aufdrängender Zweifel ohne Rückfrage eine ihm erteilte Auskunft in dem für ihn günstigen Sinne auslegt, ist nicht gutgläubig und kann sich deshalb nicht auf den aus dem Grundsatz von Treu und Glauben fliessenden Vertrauensschutz berufen (Urteil C 122/92 vom 24. Mai 1993 E. 5c).
6.2 Wie die Vorinstanz richtig erkannt hat, ging aus dem seco-Leitfaden und dem AWA-Merkblatt - die dem Beschwerdegegner am 30. August 2005 bzw. am 23. September 2005 abgegeben wurden - klar hervor, dass er bei fehlendem Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung über keine Unfallversicherungsdeckung verfüge und selber eine solche abschliessen müsse. Mit der Abgabe dieser Unterlagen wurde der in Art. 27 Abs. 1 ATSG stipulierten Aufklärungspflicht Rechnung getragen (nicht publ. E. 5.2 des Urteils BGE 133 V 249, in SVR 2007 AlV Nr. 20 S. 64 [C 36/06]).
Aus der Teilnahmebestätigung des Vereins X._ vom 7. November 2005 betreffend das JUP konnte der Beschwerdegegner nicht schliessen, er habe Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung, da darin lediglich ausgeführt wurde, die Teilnehmer würden gemäss den Richtlinien der Arbeitslosenversicherung entschädigt, nicht aber, welcher Art diese Entschädigung sein werde. Den von der Vorinstanz aufgeführten Abrechnungen der Arbeitslosenkasse vom 9. Januar, 19. Mai, 7. Juni sowie 7. und 26. Juli 2006 war ausdrücklich zu entnehmen, dass der versicherte Verdienst des Beschwerdegegners Fr. 0.- betrug und er keinen Anspruch auf entschädigungsberechtigte Taggelder, sondern lediglich Anspruch auf Verpflegungskostenersatz hatte.
Unter diesen Umständen hätte der Beschwerdegegner wohl mit der gebotenen Aufmerksamkeit spätestens ab Erhalt der Abrechnung der Arbeitslosenkasse vom 9. Januar 2006 mangels Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung daran zweifeln müssen, dass er bei der SUVA obligatorisch unfallversichert sei. Der in den Abrechnungen der Arbeitslosenkasse angebrachte allgemeine Hinweis "Unfallschutz: Bei Beendigung oder Unterbrechung der Arbeitslosigkeit bitte bei der Krankenkasse melden! (Art. 10 KVG)" vermochte jedenfalls kaum eine Vertrauensgrundlage zu schaffen; Gleiches gilt für die Ausführungen des Vereins X._ in der JUP-Teilnahmebestätigung vom 7. November 2005, die wöchentliche Arbeits-/Unterrichtszeit betrage 40 Stunden und von der Entschädigung gemäss den Richtlinien der Arbeitslosenversicherung würden die gesetzlich verlangten, ordentlichen Sozialversicherungsbeiträge (AHV, ALV, NBUV) abgezogen. Auch wenn diese Angaben in den Abrechnungen und in der Teilnahmebestätigung unklar waren, kann letztlich offen bleiben, ob der Beschwerdegegner bei den gegebenen Verhältnissen ohne Rückfrage bei der Arbeitslosenkasse davon ausgehen durfte, für ihn bestehe Unfallversicherungsschutz. Seine Berufung auf den öffentlich-rechtlichen Vertrauensschutz betreffend die Leistungspflicht der SUVA für seinen Unfall vom 23. Juli 2006 scheitert ohnehin aus anderen Gründen (E. 7).
7. Selbst wenn von falscher bzw. irreführender Auskunft der Arbeitslosenkasse und berechtigter Gutgläubigkeit des Beschwerdegegners ausgegangen würde, könnte er daraus nichts zu seinen Gunsten ableiten.
7.1 Weitere Voraussetzung für eine erfolgreiche Berufung auf den Vertrauensschutz ist, dass die betroffene Person nachteilige, nicht mehr rückgängig zu machende Dispositionen getroffen hat. Zwischen diesen und der behördlichen Vertrauensgrundlage muss ein Kausalzusammenhang bestehen, wofür kein strikter Beweis verlangt wird. Es genügt vielmehr, wenn das Gericht zur Überzeugung gelangt, dass die überwiegende Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Geschehensablauf spricht (nicht publ. E. 5.2 f. des Urteils BGE 135 V 412, in SVR 2010 UV Nr. 2 S. 7 [8C_784/2008]; SVR 2010 UV Nr. 28 S. 113 E. 5.3 [8C_475/2009]).
7.2 Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdegegner habe im Vertrauen auf die Richtigkeit der Falschangaben vorläufig auf den Abschluss einer Unfallversicherung verzichtet und damit zu berücksichtigende Dispositionen getroffen.
Aufgrund der Akten steht fest, dass der Beschwerdegegner im Zeitraum zwischen der Beendigung seines Lehrverhältnisses per 31. Mai 2005 und der JUP-Teilnahmbestätigung vom 7. November 2005 - die nach vorinstanzlicher Auffassung erstmals eine Falschangabe betreffend den Unfallversicherungsschutz enthalten habe - keine Unfallversicherung abschloss. Selbst nach Verneinung seines Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. September 2005 mit Verfügung der Arbeitslosenkasse vom 23. September 2005 blieb er diesbezüglich untätig. Hieraus ist zu folgern, dass er sich in Versicherungsangelegenheiten nachlässig verhielt und auch dann nicht rechtzeitig eine Unfallversicherung vereinbart hätte, wenn er auf die Auskünfte der Arbeitslosenkasse vertraut hätte. Damit mangelt es an einer kausalen Disposition als Voraussetzung für den Vertrauensschutz, wie die SUVA zu Recht vorbringt.
8. Der unterliegende Beschwerdegegner trägt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die SUVA hat keinen Parteientschädigungsanspruch (Art. 68 Abs. 3 BGG; SVR 2009 UV Nr. 11 S. 45 E. 11 [8C_606/2007]).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 24. August 2010 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Öffentlichen Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Februar 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Leuzinger Jancar