Faits:
A.
A._ est chef de service auprès de X._. A ce titre, il était assuré pour la prévoyance professionnelle par la Caisse de pensions de la ville de Neuchâtel (CPVN).
Son divorce a été prononcé en 1998; sur injonction du tribunal civil du district de Neuchâtel, la CPVN a transféré la somme de 33'880 fr. à l'institution de prévoyance de l'ex-épouse pour satisfaire au principe du partage des prestations de sortie acquises durant le mariage. Le transfert a été effectué mais n'a jamais été enregistré sur le compte de l'intéressé; la CPVN en a informé A._ le 21 juillet 2009 et lui a transmis une fiche de prévoyance corrigée. L'assuré a exprimé sa volonté de racheter les années d'assurance perdues aux conditions de 1998. La CPVN a accédé à la demande le 24 décembre 2009 et a proposé à l'intéressé de racheter avant le 31 décembre 2009 les trois ans et un mois d'assurance perdus pour le montant de 43'674 fr. 50 au lieu d'un montant de 77'892 fr. 85 calculé aux coûts de 2009. Invoquant un temps de réflexion indispensable ainsi que l'impossibilité de réunir l'argent dans le bref délai imparti, A._ a annoncé à la CPVN le 30 décembre 1999 qu'il lui donnerait définitivement réponse avant la fin du mois de janvier 2010. L'assuré s'est enquis le 12 juillet 2010 de savoir si la proposition tenait toujours. La Caisse de pensions de la fonction publique du canton de Neuchâtel (ci-après: la caisse), qui a repris la CPVN à partir du 1er janvier 2010, a répondu par la négative le 17 décembre 2010 et s'en est expliquée.
B.
L'intéressé a ouvert action contre la caisse devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, en date du 7 avril 2011. Au terme de deux échanges d'écritures, il a finalement conclu à ce que le montant du rachat soit fixé à 33'880 fr., à ce que les intérêts dont aurait profité l'avoir de vieillesse depuis le jour du divorce soient assumés par l'institution de prévoyance et à ce qu'il soit constaté qu'il était disposé à verser le montant en question dans les quatorze jours suivant le prononcé de la décision. La caisse a conclu au rejet de la demande.
La juridiction cantonale a admis la demande de A._ dans le sens des considérants. Elle a renvoyé la cause à l'institution de prévoyance pour qu'elle fixe le montant du rachat et des intérêts compensatoires jusqu'au 31 décembre 2009, de manière à ce que l'assuré soit replacé dans la même situation que s'il avait procédé sans délai au rachat de la prestation de sortie transférée dans le cadre de son divorce. Elle a également pris acte du fait que l'assuré s'engageait à s'acquitter du montant du rachat et des intérêts (jugement du 17 juin 2013). Elle a estimé qu'une juste application du principe de la bonne foi contraignait la caisse à octroyer à l'intéressé la possibilité de reconstituer son avoir de vieillesse par un rachat opéré aux conditions existant à l'époque du transfert d'une partie de sa prestation de sortie, comme le lui avait proposé la CPVN le 24 décembre 2009.
C.
L'institution de prévoyance recourt contre ce jugement. Elle en requiert l'annulation pure et simple, sous suite de frais. Elle conclut accessoirement au renvoi du dossier au tribunal cantonal pour nouveau jugement au sens des considérants.
A._ conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens, et l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (cf. art. 82 ss LTF) interjeté pour violation du droit fédéral (comprenant les droits fondamentaux) au sens de l'art. 95 let. a LTF, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), revoit librement les dispositions de droit public cantonal ou communal en matière de prévoyance professionnelle (ATF 134 V 199; voir également Markus Schott, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2ème éd. 2011, n° 46 ad art. 95 LTF), statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes ou des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (art. 105 al. 2 LTF), examine en principe seulement les griefs allégués et motivés (art. 42 al. 2 LTF), spécialement s'il portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF), et ne peut trancher ultra petita (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant n'est habilité à critiquer la constatation des faits qui influent sur le sort du litige que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Est litigieux le rachat d'années d'assurance; compte tenu des considérants et du dispositif de l'acte critiqué, des griefs et des conclusions de la caisse recourante ainsi que des exigences d'allégation et de motivation de l'art. 42 al. 2 LTF ( ATF 133 III 545 consid. 2.2 p. 550; voir aussi Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 25 ad art. 42 LTF), il s'agit en particulier de déterminer si, à l'instar de ce que les premiers juges ont constaté, le principe constitutionnel de la protection de la bonne foi donnait à l'intimé la possibilité de racheter la part de sa prestation de sortie transférée à l'époque du divorce aux conditions de 1998. Le jugement attaqué cite justement les dispositions légales ainsi que les principes jurisprudentiels nécessaires à la résolution du cas de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3.
La juridiction cantonale a considéré que la caisse recourante avait violé son devoir d'informer l'assuré sur la possibilité de racheter la prestation de sortie transférée lors du divorce et avait communiqué des informations erronées à l'intimé en établissant jusqu'en 2009 des certificats de prévoyance ne mentionnant pas le montant transféré. Dans ces circonstances, elle a interprété l'offre de l'institution de prévoyance de replacer l'assuré dans la situation qui eût été la sienne si aucune prestation de sortie n'avait été versée comme étant une proposition d'endosser la responsabilité du préjudice causé. Elle a en outre relevé que les dispositions légales et réglementaires applicables ne permettaient pas le rachat d'années d'assurance à des conditions passées. Elle a toutefois indiqué que, dans le cas particulier, le principe de la légalité devait céder le pas à celui de la bonne foi. Elle estimait en effet que la caisse recourante avait manqué à son obligation de renseigner (absence d'information sur la possibilité de reconstituer la prestation de sortie, communications incorrectes sur l'avoir de vieillesse disponible), que la violation de cette obligation était manifestement à l'origine d'un dommage qui ne pouvait désormais plus être corrigé légalement (impossibilité de rétablir la prévoyance telle qu'elle s'offrait à l'intimé avant son divorce), qu'il n'importait pas que l'assuré ait pu ou dû s'apercevoir du caractère erroné des renseignements fournis et intervenir pour en obtenir de justes ou les faire rectifier dans la mesure où on ne pouvait pas exiger de lui qu'il connaisse les possibilités de rachat et que le délai accordé afin de payer le montant du rachat le 24 décembre 2009 pour la fin de l'année par la CPVN était impossible à respecter selon toute vraisemblance de sorte que l'erreur commise par l'institution de prévoyance ne devait pas avoir de conséquences sur la situation de l'intimé, lequel avait manifesté au plus tard en novembre 2009 sa volonté d'effectuer un rachat.
4.
4.1. La caisse recourante considère que les conditions d'application du principe constitutionnel de la protection de la bonne foi ne sont en l'occurrence pas réunies, contrairement à ce que le tribunal cantonal a retenu. Elle soutient que le seul fait d'avoir envoyé des certificats de prévoyance contenant un renseignement inexact ne saurait être constitutif d'une intervention conduite dans une situation concrète à l'égard d'une personne déterminée du moment que l'engagement des institutions de prévoyance ne peut pas découler que de tels certificats et qu'il n'existe pas d'obligation légale directe et spontanée d'information. Elle prétend aussi que l'attitude de l'assuré au sujet de la correction des renseignements obtenus ne saurait être qualifiée de "sans importance" dès lors que le fait de ne pouvoir se rendre immédiatement compte de l'inexactitude d'une information est justement l'une des conditions du droit à la protection de la bonne foi et que l'intimé ne pouvait en aucun cas ignorer que le transfert d'une partie de sa prestation de sortie engendrerait forcément une diminution de celle-ci. Elle souligne enfin que l'absence d'un quelconque contact, écrit ou oral, entre les parties avant 2009 démontre que l'assuré n'avait pas l'intention de racheter les années d'assurance perdues avant cette date et que ce ne sont pas les indications erronées des certificats de prévoyance qui l'auraient conduit à prendre des dispositions irréversibles sur lesquelles il ne peut pas revenir sans subir de préjudices (ne pas procéder immédiatement au rachat évoqué aux conditions de l'époque).
4.2. Conformément à ce qu'a correctement indiqué le tribunal cantonal, le principe de la bonne foi, ancré à l'art. 9 Cst., protège le citoyen dans la confiance placée dans les assurances reçues des autorités (lorsqu'il règle sa conduite d'après les décisions, les déclarations ou le comportement de l'administration); un renseignement ou une décision erronés peuvent contraindre l'administration à consentir à l'administré un avantage contraire à la réglementation en vigueur; il faut alors que l'autorité soit intervenue dans une situation concrète envers une personne particulière, qu'elle ait agi, ou soit censée avoir agi, dans les limites de ses compétences, que l'administré n'ait pas pu immédiatement réaliser l'inexactitude de l'information obtenue, qu'il se soit fondé sur les assurances ou sur le comportement dont il se prévaut pour prendre des dispositions auxquelles il ne peut renoncer sans subir de préjudice et que la loi n'ait pas changé depuis le moment où l'assurance a été donnée (cf. ATF 131 II 627 consid. 6.1 p. 636 sv. et les références); ces conditions doivent aussi être remplies lorsque l'administration omet de renseigner l'administré alors qu'elle était légalement tenue de le faire (cf. ATF 136 V 331 consid. 4.3 p. 338; 131 V 472 consid. 5 p. 480 sv. et les références); elles sont en outre cumulatives (cf. arrêt 8C_901/2011 consid. 3.3).
4.3. A supposer qu'il existe en l'espèce une obligation légale d'information ou que la communication régulière de certificats de prévoyance ne mentionnant pas la part de la prestation de sortie transférée lors du divorce puisse correspondre à ce que la jurisprudence entend par transmission d'une information ou d'une décision erronées, encore faudrait-il que les conditions cumulatives du droit constitutionnel à la protection de la bonne foi soient toutes remplies pour que l'intimé puisse racheter des années d'assurance à des conditions passées. Or, tel n'est à l'évidence pas le cas. En effet, il paraît d'une part que, conformément à ce que relève l'institution de prévoyance, les premiers juges ne pouvaient s'abstenir de déterminer si l'assuré pouvait ou devait se rendre compte de l'inexactitude des renseignements obtenus au moyen des certificats de prévoyance dans la mesure où il est patent et où il n'est pas nécessaire d'être juriste ou actuaire pour comprendre que l'amputation d'une partie de la prestation accumulée dans un but de prévoyance a nécessairement des répercussions sur les prestations versées lorsqu'un cas de prévoyance se réalise. Une telle constellation de faits aurait pour le moins dû pousser l'intimé à se renseigner sur les conséquences éventuelles, d'autant plus qu'il travaille pour X._ en qualité de chef de service, ce qui laisse à penser des connaissances au minimum basiques en la matière. D'autre part, il apparaît de toute manière que l'assuré n'a dans sa requête ou dans sa réplique adressées à la juridiction cantonale pas esquissé la plus petite allusion au fait que, si la caisse recourante avait pleinement satisfait à son obligation d'informer ou lui avait transmis des indications fiables, il aurait sans délai procédé au rachat des années d'assurance perdues à l'époque de son divorce. Si les exigences en matière de preuve à cet égard sont certes atténuées, comme le mentionne correctement le tribunal cantonal (cf. ATF 121 V 65 consid. 2b p. 67), il appartient toutefois à l'assuré de rendre vraisemblable qu'il aurait agi de la sorte en invoquant notamment des projets concrets que la diminution des prestations ou la prise de conscience de cette diminution ne permettrait plus de mettre en oeuvre. L'absence totale d'éléments ou même d'allusions allant dans ce sens conduit à faire supporter le fardeau de la preuve et l'échec de celle-ci à l'intimé, même si l'art. 73 al. 2 LPP prévoit l'obligation d'instruction d'office, d'autant plus que celui-ci était assisté d'un avocat (cf. ATF 138 V 86 consid. 5.2.3 p. 97).
4.4. L'une des conditions d'application du principe constitutionnel de la protection de la bonne foi au moins n'étant pas remplie, il convient par conséquent d'annuler le jugement entrepris.
5.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'assuré (art. 66 al. LTF); les parties ne sauraient prétendre des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et le jugement du 17 juin 2013 du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, est annulé.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 9 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Cretton