Faits:
A.
A.a. Dans ses plaintes pénales du 7 avril et du 11 mai 2011, C._ (ci-après la partie adverse) a allégué avoir été la victime d'atteintes à l'honneur par le biais de trois sites internet. Il a expliqué que l'une des adresses de ces sites correspondait à une société dirigée par A._ (ci-après le recourant ou le requérant), personne avec qui il était en litige pour des problèmes de bail. Le 10 juin 2011, le Ministère public de la République et canton de Genève, représenté par la Procureure B._, a ouvert une instruction pénale contre inconnu pour diffamation, calomnie et injure (référence P_1). Le 10 novembre 2011, C._ a déposé plainte pénale contre A._ pour insoumission à une décision rendue dans une cause civile les opposant.
Le 9 janvier 2012, A._ a porté plainte contre C._ pour gestion déloyale, banqueroute, frauduleuse, diminution effective de l'actif au préjudice des créanciers et violation de l'obligation de tenir une comptabilité (référence P_2). La Procureure B._ a également été chargée de ce dossier.
Au cours de l'instruction pénale P_1, il a été procédé à des perquisitions et à des séquestres dans les locaux de la société de A._, ainsi qu'au domicile de ce dernier. C._ et A._ ont été entendus à différentes reprises par la police et/ou la Procureure, soit le 7 juin, le 22 août, le 20 décembre 2011 - date à laquelle A._ a été mis en prévention pour diffamation, voire calomnie, ainsi que pour insoumission à une décision de l'autorité -, le 6 janvier et le 26 septembre 2012. Lors de ces trois dernières séances, le prévenu a fait valoir son droit de se taire. L'inspecteur de la Brigade de criminalité informatique de la police genevoise a été entendu le 25 février, le 2 et le 8 avril 2013. C._ et A._ se sont également déterminés à maintes reprises par écrit, produisant de nombreuses pièces à l'appui de leurs allégations et formulant un certain nombre de réquisitions de preuve. Les deux parties se sont plaintes de la magistrate, en particulier de son inactivité (cf. les courriers des 10 novembre 2011, 9 mars, 23 avril, 8 juin, 19 juin, 4 juillet, 31 août et 24 septembre 2012 pour C._ dans la cause P_1 et des 21 décembre 2011, 14 juin, 2 octobre 2012, 20 février 2013 et 20 mars 2013 pour A._ en référence aux deux procédures pénales), et celle-ci a notamment répondu aux critiques de A._ le 27 mars 2013.
A.b. Confirmant les déclarations faites en audience le 2 avril 2013, A._ a déposé le 9 avril 2013 une requête de récusation de la magistrate, ainsi qu'une demande de répétition des actes de procédure accomplis par cette dernière. Il lui a reproché de n'avoir pas instruit à charge et à décharge, ainsi que de n'avoir pas statué sur les actes d'instruction sollicités. La Procureure aurait également violé des règles de procédure en suspendant de facto la cause P_2 sans rendre d'ordonnance et en autorisant l'administration de preuves sur la base d'informations "vraisemblablement illicites". Le requérant a encore allégué que la magistrate n'aurait pas respecté son "droit au silence" en le soumettant à un interrogatoire de plus d'une heure le 26 septembre 2012, attitude constitutive d'une tentative d'intimidation. Il a encore soutenu qu'il ne lui aurait été octroyé que des délais très brefs, que son droit d'accès au dossier aurait été compliqué et que la Procureure n'aurait pas répondu à ses nombreux courriers.
La magistrate s'est opposée à cette demande. Quant à C._, il a conclu, sous suite de dépens, à l'irrecevabilité de la requête et, subsidiairement, à son rejet. Le 8 mai 2013, il a chiffré ses prétentions pour la procédure de récusation à 12'888.50 fr. A._ a répliqué le 13, puis le 16 mai 2013, persistant dans ses conclusions et s'opposant à la participation de C._, ainsi qu'à sa requête d'indemnité.
B.
Par arrêt du 28 mai 2013, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté la requête de récusation et condamné A._ au paiement des frais de procédure (2'105 fr.), ainsi qu'à celui d'une indemnité de 4'000 fr. (TVA en sus) en faveur de C._. Sans déterminer si la requête de récusation concernait l'une ou/et l'autre des deux procédures (P_1 et P_2), la cour cantonale a confirmé la qualité de partie de A._ dans les deux causes, soit en tant que prévenu dans la première et en qualité de plaignant dans la seconde. Elle a également considéré qu'au vu du motif de récusation allégué, elle était en droit de procéder à des actes d'instruction, notamment en recueillant les déterminations de la partie adverse. Les juges cantonaux ont estimé que A._ avait renoncé à demander la récusation de la magistrate après chacune des démarches où il l'en avait menacée et qu'ainsi, seule la lettre de la Procureure du 27 mars 2013 devait être examinée. Or, le contenu de ce courrier démontrait que la magistrate refusait, non pas d'instruire la cause P_2, mais d'entremêler les deux procédures pénales. Se référant ensuite à la procédure P_1, la juridiction précédente a considéré que la requête était infondée, dès lors que les impressions de prévention de la part du Ministère public à l'égard du recourant étaient purement individuelles.
C.
Par acte du 28 juin 2013, A._ forme un recours en matière pénale, concluant à l'annulation de l'arrêt cantonal et à la récusation de la Procureure.
La cour cantonale s'est référée à ses considérants, sans formuler d'observation. Quant au Ministère public, il a conclu au rejet du recours, renvoyant notamment aux déterminations déposées devant l'instance précédente. C._ a conclu à l'irrecevabilité du recours et, à titre subsidiaire, à son rejet. Il a produit une copie du courrier de la Chambre pénale de recours du 16 avril 2013 l'invitant, dans le cadre de la procédure cantonale, à déposer des observations dans un délai de dix jours. Le recourant a persisté dans ses conclusions sans formuler d'observation complémentaire.
Considérant en droit:
1.
Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision incidente relative à la récusation d'un magistrat pénal peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, qui a formulé la requête de récusation, a qualité pour recourir (art. 81 al. 1 LTF). Il a agi dans le délai de trente jours (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (art. 80 al. 2 LTF) et il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant reproche aux juges cantonaux une violation de l'art. 58 al. 1 CPP. Il soutient en substance que le fait d'avoir invoqué la question de la récusation dans de précédents courriers ne lui ferait pas perdre le droit de se prévaloir ultérieurement des motifs qui y étaient relevés.
2.1. Conformément à l'art. 58 al. 1 CPP, la récusation doit être demandée sans délai, dès que la partie a connaissance du motif de récusation. Celui qui omet de se plaindre immédiatement de la prévention d'un magistrat et laisse la procédure se dérouler sans intervenir agit contrairement à la bonne foi et voit son droit se périmer (ATF 138 I 1 consid. 2.2 p. 4; 134 I 20 consid. 4.3.1 p. 21 et les références). Il est en effet contraire aux règles de la bonne foi de garder ce moyen en réserve pour ne l'invoquer qu'en cas d'issue défavorable ou lorsque l'intéressé se serait rendu compte que l'instruction ne suivait pas le cours désiré (ATF 139 III 120 consid. 3.2.1 p. 124; 136 III 605 consid. 3.2.2 p. 609; 129 III 445 consid. 3.1 p. 449 et les arrêts cités; arrêt 4A_110/2012 du 9 octobre 2012 consid. 2.1.2; Verniory, in Commentaire romand CPP, 2011, no 5 et 6 ad art. 58 CPP). Dès lors, même si la loi ne prévoit aucun délai particulier, il y a lieu d'admettre que la récusation doit être demandée aussitôt, c'est-à-dire dans les jours qui suivent la connaissance de la cause de récusation (arrêts 1B_202/2013 du 23 juillet 2013 consid. 2.2.1; 1B_203/2011 du 18 mai 2011 consid. 2.1). Il convient de prendre en compte les circonstances d'espèce. Ainsi, selon notamment la fréquence des actes d'instruction, on peut se montrer plus large dans le temps de réaction lorsque le moment déterminant intervient dans une phase moins active de la procédure (Verniory, op. cit., no 8 ad art. 58 CPP).
2.2. En l'occurrence, le raisonnement de la Chambre pénale de recours tendant à retenir que seule la lettre du Ministère public du 27 mars 2013 pourrait être constitutive d'un motif de récusation ne prête pas le flanc à la critique.
En effet, il ressort du mémoire du recourant que la Procureure n'aurait rien entrepris pour lever les "doutes légitimes" qu'il pouvait "avoir quant à la manière dont elle conduis[sait] la procédure", cela malgré ses "multiples courriers de relance" (cf. p. 17). Ce faisant, il reconnaît qu'antérieurement au courrier du 27 mars 2013, il avait déjà connaissance des motifs de récusation invoqués à l'appui de sa requête du 9 avril 2013. En particulier, il n'excluait déjà pas de faire une telle demande le 14 juin 2012, hypothèse réitérée le 2 octobre 2012. De plus, dans son courrier du 20 février 2013, le recourant a résumé les manquements allégués de la Procureure dans les deux procédures pénales. Il y faisait notamment état d'une instruction "marquée d'une partialité surprenante en faveur de C._ et en [sa] défaveur", mentionnant une possible saisine du Conseil Supérieur de la Magistrature (CSM). Enfin, le 20 mars 2013, le Ministère public est avisé qu'à défaut d'une prise de position écrite circonstanciée avant l'audience du 2 avril 2013, le conseil du recourant se verrait contraint de requérir sa récusation et de saisir le CSM, ajoutant que les silences de l'intimée constituaient "la démonstration d'une prévention en faveur de la partie adverse et viol[aient] de façon flagrante les devoirs de [sa] charge". Ayant ainsi identifié à plusieurs reprises de possibles motifs de récusation, le recourant se devait d'agir, sous peine de voir son droit se périmer.
Partant, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en retenant que le recourant avait renoncé à demander la récusation de la magistrate après chacune de ses démarches où il faisait allusion à ce moyen et celles-ci apparaissent finalement davantage comme des menaces afin d'obtenir les actes et/ou réponses souhaitées.
3.
Le recourant prétend ensuite que la juridiction cantonale a contrevenu à l'art. 58 al. 2 CPP. Selon lui, elle aurait dû exiger de la Procureure une prise de position sur la demande de récusation dans la procédure P_2.
3.1. Selon l'art. 58 al. 2 CPP, la personne concernée prend position sur la demande. Cette dernière disposition est impérative. Elle tend à permettre l'établissement des faits et à garantir le respect du droit d'être entendu, tant de la personne concernée que de l'auteur de la demande de récusation auquel un droit de réplique doit, le cas échéant, être accordé. Cette mesure d'instruction a toute son importance, puisque l'administration d'autres preuves est en principe limitée, voire exclue (art. 59 al. 1 CPP) et qu'aucune autorité cantonale de recours n'est susceptible de revoir les faits (ATF 138 IV 222 consid. 2.1 p. 224). Il s'agira en principe d'une prise de position écrite au sujet des faits allégués dans la demande, d'une conclusion sur le sort à réserver à celle-ci et, au choix de la personne concernée, d'une argumentation juridique. Ces observations peuvent être brèves, mais le fait de refuser, explicitement ou implicitement, d'y procéder constituerait, selon VERNIORY, une faute disciplinaire ( VERNIORY, op. cit., n o 9 ad art. 58 CPP).
3.2. En l'espèce, le recourant a été invité, conformément au droit d'être entendu, à se déterminer sur les observations déposées par la Procureure, ce qu'il a fait par courrier du 13 mai 2013. Certes, il y soutient, dans un premier point, que la magistrate ne se serait pas prononcée dans ses écritures sur les griefs soulevés à son encontre dans la cause P_2. Toutefois et alors qu'il mentionne dans ce même courrier à son second point l'art. 58 al. 2 CPP en lien avec les déterminations déposées par la partie adverse, le recourant ne requiert pourtant pas de la Chambre pénale de recours qu'elle demande une prise de position supplémentaire à la magistrate intimée sur cette question. Il invoque uniquement cet élément à titre de motif supplémentaire venant appuyer sa requête de récusation, faisant même expressément référence à l'art. 56 let. f CPP. On ne saurait par conséquent reprocher aux juges cantonaux de n'avoir pas examiné ce grief sous l'angle de l'art. 58 al. 2 CPP.
4.
Selon le recourant, la Chambre pénale de recours aurait également violé l'art. 59 al. 1 CPP en admettant que la partie adverse se détermine sur la requête de récusation.
4.1. Les demandes de récusation font partie des incidents de procédure qui doivent, conformément au principe de célérité, être tranchés sans retard ( DONATSCH/HANSJAKOB/LIEBER, Kommentar zur StPO, 2010, n° 10 ad art. 59). L'art. 59 al. 1 CPP prévoit donc que le litige est tranché "sans administration supplémentaire de preuves" (1) lorsque les motifs prévus à l'art. 56 let. a ou f CPP sont invoqués (par le magistrat) ou (2) lorsque la demande de récusation d'une partie est fondée sur l'art. 56 let. b à e CPP. Dans ces hypothèses en effet, le motif de récusation ressort de la demande formée par le magistrat lui-même ou peut être facilement établi par la partie qui demande la récusation (notamment les liens résultant du mariage ou de la parenté). La procédure est écrite et le seul acte d'instruction semble ainsi être la détermination de la personne concernée par la demande de récusation (art. 58 al. 2 CPP; arrêt 1B_131/2011 du 2 mai 2011 consid. 2.2), sous réserve du droit de réplique (ATF 133 I 100).
Lorsqu'en revanche une partie demande la récusation d'un magistrat en se fondant sur l'art. 56 let. a (intérêt personnel dans l'affaire) ou f CPP (rapport d'amitié ou d'inimitié avec une partie ou son représentant), la loi n'empêche pas une instruction plus complète, sous réserve néanmoins des exigences de célérité qui prévalent en procédure pénale (arrêt 1B_131/2011 du 2 mai 2011 consid. 2.2).
4.2. En l'occurrence, le recourant, agissant par l'intermédiaire de deux mandataires professionnels, se prévaut de l'art. 56 let. f CPP dans sa requête de récusation, demande à laquelle la magistrate intimée s'est opposée. Dans une telle situation, l'autorité cantonale est autorisée à procéder à des actes d'instruction. En invitant la partie adverse à déposer dans les dix jours ses observations, la cour cantonale a agi de manière conforme au droit fédéral et en respect du principe de célérité. En conséquence, ce grief, dénué de toute substance, doit être rejeté.
5.
Le recourant reproche à l'autorité précédente une violation des art. 56 let. f CPP, 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH. Il prétend que la magistrate intimée aurait autorisé une instruction se fondant sur des éléments de preuve dont la licéité avait été remise en cause par la police, l'aurait mis en prévention sur cette base, l'aurait convoqué à des audiences de confrontation, aurait entendu à trois reprises un témoin à charge (dossier P_1), n'aurait accompli aucun acte d'instruction et n'aurait rendu aucune décision (dossier P_2). Il soutient encore que dans les deux causes, la Procureure n'aurait ni statué sur les actes d'instruction sollicités, ni répondu aux multiples courriers de relance qu'il lui avait adressés. Selon lui, ces manquements seraient objectivement susceptibles de susciter l'apparence d'une prévention de la part de la magistrate à son égard.
5.1. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH permet d'exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à faire naître un doute sur son impartialité (ATF 138 IV 142 consid. 2.1 p. 144; 127 I 196 consid. 2b p. 198; 126 I 68 consid. 3a p. 73). Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du juge est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (ATF 138 IV 142 consid. 2.1 p. 144 s. et les arrêts cités).
Les motifs de récusation mentionnés à l'art. 56 CPP concrétisent ces garanties. Ils imposent en particulier la récusation d'un magistrat lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention (let. f). Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres a à e de l'art. 56 CPP (ATF 138 I 425 consid. 4.2.1 p. 428; IV 142 consid. 2.1 p. 144).
Dans la phase de l'enquête préliminaire et de l'instruction, les principes applicables à la récusation du ministère public sont ceux qui ont été dégagés à l'égard des juges d'instruction avant l'introduction du Code de procédure pénale. Selon l'art. 61 CPP, le ministère public est l'autorité investie de la direction de la procédure jusqu'à la mise en accusation. A ce titre, il doit veiller au bon déroulement et à la légalité de la procédure (art. 62 al. 1 CPP). Durant l'instruction il doit établir, d'office et avec un soin égal, les faits à charge et à décharge (art. 6 CPP); il doit statuer sur les réquisitions de preuves et peut rendre des décisions quant à la suite de la procédure (classement ou mise en accusation), voire rendre une ordonnance pénale pour laquelle il assume une fonction juridictionnelle. Dans ce cadre, le ministère public est tenu à une certaine impartialité même s'il peut être amené, provisoirement du moins, à adopter une attitude plus orientée à l'égard du prévenu ou à faire état de ses convictions à un moment donné de l'enquête. Cela est en particulier le cas lorsqu'il décide de l'ouverture d'une instruction (qui suppose l'existence de soupçons suffisants au sens de l'art. 309 al. 1 CPP) ou lorsqu'il ordonne des mesures de contrainte. Tout en disposant, dans le cadre de ses investigations, d'une certaine liberté, le magistrat reste tenu à un devoir de réserve. Il doit s'abstenir de tout procédé déloyal, instruire tant à charge qu'à décharge et ne point avantager une partie au détriment d'une autre (ATF 138 IV 142 consid. 2.2.1 p. 145 et les arrêts cités).
5.2. Distinguant les deux procédures pénales, les juges cantonaux ont retenu que, dans l'affaire P_2, il ne pouvait être déduit du courrier du 27 mars 2013 que la magistrate aurait refusé d'instruire ladite cause; cette dernière avait par ailleurs transmis le dossier à la police le 26 janvier 2012 et la partie adverse avait été entendue le 16 mai 2012. Par rapport à la seconde procédure (P_1), l'autorité précédente a relevé que les griefs soulevés par le recourant consistaient en une critique systématique de la manière dont la Procureure menait l'instruction afin de lui imposer une orientation qui lui convenait, cherchant à faire pression sur la personne plutôt que d'utiliser les moyens juridictionnels existants et permettant d'infléchir le cours de l'instruction.
Le recourant n'apporte aucun élément propre à remettre en cause ces appréciations. En effet, dans son courrier du 27 mars 2013, la magistrate intimée constatait que les éléments reprochés à la partie adverse par le recourant (cause P_2) ne seraient examinés que "s'il ressort[ait] des enquêtes avec suffisamment de vraisemblance que [le recourant était] bien l'auteur des propos attentatoires à l'honneur" (P_1). Elle précisait ensuite que si tel n'était pas le cas, l'instruction desdits actes seraient alors effectuée séparément (P_2). Cette manière de procéder n'est pas critiquable. Ainsi, contrairement à ce que voudrait soutenir le recourant, il ne se trouve nullement privé de faire valoir ses moyens, tant dans la procédure pénale ouverte à son encontre où il pourra apporter la preuve de la vérité devant l'autorité pénale (P_1) que dans celle intentée contre C._ (P_2). La démarche suivie par la Procureure se justifie également du point de vue des principes d'économie de procédure et de célérité, dès lors que certains moyens requis par le recourant pour se disculper dans la cause P_1 sont similaires, voire identiques, à ceux invoqués à l'appui de sa propre plainte pénale (P_2 [cf. en particulier son courrier du 2 octobre 2012 p. 2]). Au demeurant, si la magistrate tarde réellement à agir ou à rendre des décisions, le recourant n'est pas dénué de moyens légaux pour défendre ses droits procéduraux, pouvant à tout moment déposer un recours pour déni de justice ou refus injustifié (art. 393 al. 2 let. a CPP).
Partant, vu l'absence manifeste de prévention de la part de la magistrate à l'encontre du recourant, le grief de violation de l'art. 56 let. f CPP doit être rejeté.
6.
Le recourant soutient que l'art. 59 al. 4 CPP réglerait exclusivement la question des frais en matière de récusation et ainsi, la cour cantonale violerait le droit fédéral en accordant une indemnité à la partie adverse sur la base de l'art. 433 CPP.
6.1. Selon l'art. 59 al. 4 CPP, "si la demande [de récusation] est admise, les frais de procédure sont mis à la charge de la Confédération ou du canton" (1ère phrase); "si elle est rejetée ou qu'elle est manifestement tardive ou téméraire, les frais sont mis à la charge du requérant" (2ème phrase).
6.2. Contrairement à ce que soutient le recourant, l'art. 59 al. 4 CPP ne traite, à la teneur claire de sa lettre, que de la répartition des frais de procédure (Verfahrenskosten, spese procedurali) au sens de la notion définie à l'art. 422 CPP (Schmid, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 2009, no 10 ad art. 59 CPP). En revanche, l'art. 59 al. 4 CPP ne donne aucune indication s'agissant des éventuelles indemnités de partie. Si Donatsch/Hansjakob/Lieber voient dans cette disposition une lex specialis par rapport aux art. 416 ss CPP, c'est uniquement dans la mesure où la partie intimée ne peut être astreinte aux frais (Donatsch/Hansjakob/Lieber, op. cit., no 13 ad art. 59 CP). S'agissant donc des indemnités, cette question doit être examinée au regard des règles ordinaires, soit celles figurant au Titre 10 du Code de procédure pénale ("Frais de procédure, indemnités de partie et réparation du tort moral"). Selon l'art. 416 CPP, les dispositions de ce Titre s'appliquent à toutes les procédures prévues par le Code de procédure pénale. Il en résulte que les chapitres 1 ("Dispositions générales") et 3 ("Indemnités et réparation du tort moral") de ce Titre sont applicables à la procédure de récusation. Si le requérant obtenant gain de cause peut prétendre à une indemnité pour ses frais d'avocat en application analogique des art. 429 ss CPP (arrêt 1B_51/2013 du 27 septembre 2013 consid. 3.2; Donatsch/Hansjakob/Lieber, op. cit., no 14 ad art. 59 CPP; Schmid, op. cit., no 10 ad art. 59 CPP), la partie adverse - sollicitée de surcroît formellement en l'espèce par l'autorité appelée à statuer - doit également pouvoir demander une juste indemnité pour les dépenses obligatoires occasionnées par cette procédure lorsqu'elle obtient gain de cause (cf. art. 433 al. 1 let. a CPP) ou lorsque le requérant se voit astreint aux frais de procédure en application de l'art. 59 al. 4 CPP (cf. art. 433 al. 1 let. b CPP).
En vertu de l'art. 421 al. 2 let. a CPP, l'autorité peut fixer les frais de manière anticipée dans les décisions intermédiaires, telles celles relatives à des requêtes de récusation (Domeisen, in BSK StPO, 2011, no 8 ad art. 421 CPP; Schmid, op. cit., no 5 ad art. 421 CPP).
Il apparaît que, si l'une des hypothèses prévues à l'art. 433 CPP est réalisée - ce que ne conteste d'ailleurs pas en l'occurrence le recourant -, l'autorité cantonale est en droit de statuer dans sa décision relative à la récusation sur la requête d'indemnité déposée par la partie adverse. En conséquence, la Chambre pénale de recours n'a pas violé le droit fédéral en faisant application de l'art. 433 CPP et ce grief doit être rejeté.
7.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Une indemnité de 2'000 fr., à titre de dépens, est allouée à C._, assisté par deux avocats, à charge du recourant (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de dépens de 2'000 fr. est allouée à C._ à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève, aux mandataires de C._ et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 15 octobre 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf