Sachverhalt:
A. Am 31. Januar 2012 vollzog das Betreibungsamt B._ in den Betreibungen Nrn. www (Einwohnergemeinde A._), xxx (Versicherungen V._), yyy (Staat C._) und zzz (Kanton C._) gegenüber X._ eine Einkommenspfändung (Pfändungsnr. 97'225) und setzte dessen Existenzminimum auf Fr. 3'420.-- pro Monat fest.
B. B.a Dagegen gelangte X._ mit Beschwerde vom 21. März 2012 (und deren Ergänzung vom 4. Mai 2012) an die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn. Er verlangte, die Einkommenspfändung aufzuheben, ihm die bisher gepfändeten Beträge auszuzahlen und die Existenzminimumsberechnung anhand seiner Aufstellung zu korrigieren.
B.b Mit Urteil vom 9. Mai 2012 wies die Aufsichtsbehörde die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat (Ziff. 1 des Dispositivs). Sodann wies sie das Betreibungsamt an, eine Revision der Einkommenspfändung durchzuführen (Ziff. 2 des Dispositivs).
C. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Beschwerde vom 24. Mai 2012 sinngemäss, Ziff. 1 des Dispositivs des Urteils der Aufsichtsbehörde vom 9. Mai 2012 und die Einkommenspfändung vom 31. Januar 2012 seien aufzuheben. Am 8. Juni 2012 hat der Beschwerdeführer zudem um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht.
Am 27. Juni 2012 leitete die Aufsichtsbehörde dem Bundesgericht ein Schreiben des Betreibungsamts vom 22. Juni 2012 weiter.
Das Bundesgericht hat die Vorakten, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden über Verfügungen der Vollstreckungsorgane gemäss Art. 17 SchKG - wie hier die verfügte Einkommenspfändung - sind Endentscheide (Art. 90 BGG) und unterliegen unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG i.V.m. Art. 19 SchKG, Art. 74 Abs. 2 lit. c und Art. 75 BGG; BGE 135 I 187 E. 1.2 S. 189). Die fristgerecht erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist somit grundsätzlich zulässig (Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG).
1.2 Die Beschwerde ist zu begründen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Es ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Vorschriften und warum sie von der Vorinstanz verletzt worden sein sollen. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorgebracht werden, genügen nicht, da das Bundesgericht nicht gehalten ist, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen (BGE 137 III 580 E. 1.3 S. 584; 134 V 53 E. 3.3 S. 60). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und gehörig begründet wird (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig und damit willkürlich (BGE 136 III 636 E. 2.2 S. 638) oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG zustande gekommen ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
1.4 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Neu sind Tatsachen und Beweismittel im Sinne dieser Bestimmung, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt worden sind. Eine Tatsache, die sich aus den vorinstanzlichen Akten ergibt, ist nicht neu (BGE 136 V 362 E. 3.3.1 S. 364 f.).
2. 2.1 Erwerbseinkommen kann soweit gepfändet werden, als es nach dem Ermessen des Betreibungsbeamten für den Schuldner und seine Familie nicht unbedingt notwendig ist (Art. 93 Abs. 1 SchKG).
Diese Bestimmung räumt dem Betreibungsamt beziehungsweise der Aufsichtsbehörde für die Bestimmung des Existenzminimums ein Ermessen ein, in welches das Bundesgericht nur eingreift, wenn die Vorinstanz ihr Ermessen überschritten oder missbraucht hat, namentlich wenn sie sachfremde Kriterien berücksichtigt oder rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat (BGE 134 III 323 E. 2 S. 324).
2.2 Massgebend für die Beurteilung der Einkommensverhältnisse des Schuldners und der Pfändbarkeit seines Einkommens ist der Zeitpunkt der Pfändung (BGE 108 III 10 E. 4 S. 12). Zu diesem Zeitpunkt hat demnach der Schuldner aufgrund seiner Mitwirkungspflicht die zur Feststellung seines betreibungsrechtlichen Existenzminimums wesentlichen Tatsachen und Beweise vorzubringen. Im Beschwerdeverfahren nach Art. 17 SchKG ist es dafür zu spät (BGE 119 III 70 E. 1 S. 71 f.). Nachträgliche (nach der Pfändung) eingetretene Änderungen in den tatsächlichen Verhältnissen hat der Schuldner nicht auf dem Beschwerdeweg nach Art. 17 SchKG, sondern gemäss Art. 93 Abs. 3 SchKG im Rahmen einer Revision der Einkommenspfändung beim Betreibungsamt geltend zu machen (BGE 121 III 20 E. 3b S. 23; 108 III 10 E. 4 S. 13).
3. 3.1 Das Betreibungsamt hat dem Beschwerdeführer in der Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums vom 31. Januar 2012 jeweils monatlich einen Grundbetrag von Fr. 1'700.--, Wohnkosten von Fr. 1'422.--, Unterhaltsverpflichtungen von Fr. 100.-- und Fr. 200.-- für die Stellensuche zugestanden. Sodann wies es den Beschwerdeführer darauf hin, die Zahlungen an die Krankenkasse würden gegen Quittung vom gepfändeten Einkommen ausbezahlt.
3.2 Vor der Aufsichtsbehörde hat der Beschwerdeführer verlangt, dass in der Berechnung seines betreibungsrechtlichen Existenzminimums monatlich ebenfalls Fr. 1'100.-- für seine mündige Tochter, Fr. 600.-- für den mündigen Sohn seiner Ehefrau, Krankenkassenbeiträge von Fr. 663.--, Kosten für den Arbeitsweg und die auswärtige Verpflegung von Fr. 528.-- sowie die Leasingrate für sein Auto von Fr. 395.-- zu berücksichtigen seien.
3.2 Vor der Aufsichtsbehörde hat der Beschwerdeführer verlangt, dass in der Berechnung seines betreibungsrechtlichen Existenzminimums monatlich ebenfalls Fr. 1'100.-- für seine mündige Tochter, Fr. 600.-- für den mündigen Sohn seiner Ehefrau, Krankenkassenbeiträge von Fr. 663.--, Kosten für den Arbeitsweg und die auswärtige Verpflegung von Fr. 528.-- sowie die Leasingrate für sein Auto von Fr. 395.-- zu berücksichtigen seien.
3.3 3.3.1 Die Aufsichtsbehörde hat erwogen, allfällige Kosten für das Studium der mündigen Tochter des Beschwerdeführers könnten im betreibungsrechtlichen Existenzminimum nicht berücksichtigt werden, da es nicht im Sinne des Gesetzes sei, einem volljährigen Kind des betriebenen Schuldners ein Studium zulasten der Gläubiger zu ermöglichen. Was die Krankenkassenbeiträge betreffe, könnten im betreibungsrechtlichen Existenzminimum nur die tatsächlich bezahlten Beträge berücksichtigt werden. Das Betreibungsamt erstatte dem Beschwerdeführer die entsprechenden Beträge gegen Vorlage einer Quittung, was nicht zu beanstanden sei. Soweit der Beschwerdeführer Kosten für den Arbeitsweg und die auswärtige Verpflegung geltend mache, habe er darauf als Arbeitsloser keinen Anspruch.
Die Aufsichtsbehörde hat deshalb die Beschwerde gegen die Einkommenspfändung vom 31. Januar 2012 abgewiesen.
3.3.2 Was die übrigen vom Beschwerdeführer vor der Aufsichtsbehörde geltend gemachten Kosten betraf, hat ihn die Aufsichtsbehörde auf den Weg der Revision der Einkommenspfändung (Art. 93 Abs. 3 SchKG) verwiesen, da diese tatsächlichen Vorbringen allesamt neu seien (Kosten von Fr. 600.-- für den im selben Haushalt lebenden Sohn seiner Frau, der eine Integrationsschule besucht habe und nach Erhalt der Aufenthaltsbewilligung B einen Lehrvertrag abschliessen werde; anfallende Kosten im Zusammenhang mit der Arbeit in einem Beschäftigungsprogramm; Leasingrate).
4. 5. Der Beschwerdeführer unterlässt es in seiner Beschwerde, sich mit dem angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen (vgl. E. 1.2 oben). Vielmehr führt er fast ausschliesslich Tatsachen und entsprechende Beweismittel an (Beschwerdebeilagen 1-4 und 7-11), die bereits anlässlich des vorinstanzlichen Verfahrens Bestand hatten, aber nicht vorgebracht wurden (BGE 136 III 123 E. 4.4.3 S. 128 f.), oder erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind und diesen in der Sache betreffen (BGE 135 I 221 E. 5.2.4 S. 229). Diese Tatsachen und Beweismittel sind unzulässig und unbeachtlich (Art. 99 Abs. 1 BGG; vgl. E. 1.4 oben).
5.1 Soweit der Beschwerdeführer sich sodann auf Tatsachen beruft, welche die Aufsichtsbehörde als neu (nach der Pfändung eingetretene Änderungen) beurteilt hat (was der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht beanstandet), sind solche Änderungen nicht im Beschwerdeverfahren, sondern mit einer Revision der Einkommenspfändung beim Betreibungsamt geltend zu machen (Art. 93 Abs. 3 SchKG; vgl. E. 2.2 oben). Die Aufsichtsbehörde hat dies in ihrem Entscheid beachtet und dem Betreibungsamt bereits eine entsprechende Weisung erteilt (Ziff. 2 des Dispositivs; vgl. den gleich gelagerten Fall im Urteil 5A_764/2007 vom 23. Januar 2008 E. 2.4).
6. Aus den dargelegten Gründen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Beschwerdeführer wird kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig (Art. 66 und Art. 68 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann nicht entsprochen werden, zeigen doch die vorstehenden Erwägungen auf, dass seine Beschwerde von Beginn weg keinen Erfolg haben konnte (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Bettler