Faits:
A. S._ a travaillé en qualité d'aide de ménage au service de la Ville X._, activité qu'elle a cessé d'exercer dès le 24 juin 2003 à la suite d'une chute. Les rapports de service avec l'employeur ont pris fin le 24 juin 2004.
Le 8 juin 2004, S._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant l'allocation d'une rente. Dans un rapport du 13 juillet 2004, le docteur R._, spécialiste FMH en médecine générale, a retenu la présence de troubles lombaires invalidants. Evoquant un possible syndrome somatoforme douloureux et un état dépressif modéré consécutif au syndrome douloureux chronique, il considérait comme utile la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg a confié une expertise au docteur L._, médecin adjoint du Service Y._. Dans un rapport d'expertise psychiatrique du 15 avril 2005, complété et confirmé les 21 septembre et 12 octobre 2005, ce spécialiste a retenu le diagnostic de trouble dépressif récurrent, avec une chronification de celui-ci, lequel excluait toute reprise du travail du point de vue psychiatrique.
Sur requête des médecins du SMR (rapports des 20 octobre et 13 décembre 2005), l'office AI a mandaté le Centre d'expertise médicale Z._ pour une expertise interdisciplinaire. Le 7 mars 2006, les médecins ont procédé à un examen rhumatologique et psychiatrique. Dans leur rapport d'expertise interdisciplinaire du 18 juillet 2006, comprenant une expertise psychiatrique effectuée par le docteur A._, spécialiste FMH en psychiatrie et en psychothérapie, les médecins ont retenu que S._ souffrait d'un syndrome douloureux somatoforme persistant ([CIM-10] F45.4) et qu'elle était capable de travailler à 100 % au plan psychiatrique.
Par décision du 2 octobre 2006, l'office AI a rejeté la demande, au motif que S._ était en mesure d'exercer une activité adaptée selon un horaire de 5 à 6 heures par jour, correspondant à 65 % d'un horaire hebdomadaire de 41,7 heures, et qu'elle présentait une invalidité de 33 %, taux ne conférant pas droit à une rente.
B. Par arrêt du 19 décembre 2008, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg a rejeté le recours formé par S._ contre cette décision.
C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation et à l'octroi d'une rente entière d'invalidité. A titre subsidiaire, elle demande que la cause soit renvoyée à la juridiction cantonale pour qu'elle statue dans le sens des considérants.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg n'a pas de remarques particulières à formuler différentes des considérants du jugement attaqué. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Est seul litigieux le point de savoir si la recourante, au moment déterminant de la décision administrative du 2 octobre 2006, présentait un état dépressif chronique excluant par sa constance et sa sévérité toute activité lucrative ou si elle souffrait uniquement d'un syndrome douloureux somatoforme persistant qui lui permettait encore de mettre à profit sa capacité résiduelle de travail dans une mesure excluant tout droit à une rente d'invalidité (art. 6, 7 et 8 LPGA en liaison avec les art. 4 et 28 LAI dans leur version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007).
2. 2.1 Le Tribunal cantonal, examinant si l'on est en présence d'une atteinte psychique invalidante dans le cas d'espèce, a résumé au consid. 3a de l'arrêt attaqué les pièces d'ordre médical du dossier, dont notamment les deux expertises contradictoires. Au consid. 3b du jugement entrepris, il a dûment motivé les raisons pour lesquelles il se ralliait aux conclusions du rapport d'expertise interdisciplinaire du 18 juillet 2006, qui remplissait les critères jurisprudentiels (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352) permettant de reconnaître aux rapports médicaux pleine valeur probante, et non à l'appréciation psychiatrique du docteur L._ exprimée dans son rapport du 15 avril 2005 et confirmée dans les compléments des 21 septembre et 12 octobre 2005. Il ne peut donc être reproché à la juridiction de première instance une violation du principe de la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c in fine LPGA en liaison avec les art. 95 let. a et 105 al. 2 LTF; ATF 132 V 393 consid. 4.1 p. 400).
2.2 L'argumentation développée par la recourante en instance fédérale perd totalement de vue que les antécédents négatifs (périodes de douleurs déjà vécues, épisodes dépressifs avec tentative de suicide en 1996, immigration en Suisse comme personne analphabète avec longue séparation de l'une de ses filles jumelles, etc.) n'ont pas empêché la recourante d'exercer une activité lucrative en-dehors de chez elle depuis 1999 jusqu'au 24 juin 2003 (une semaine après son accident). D'autre part, les signes de tristesse et la disthymie constatés par le docteur A._ et les pleurs pendant l'examen clinique du 7 mars 2006, même s'ils n'ont pas été discutés plus avant dans l'appréciation médicale finale, ne constituent de loin pas une dépression grave, apte à entraver de façon permanente l'assurée dans la mise à profit de ses capacités fonctionnelles et des ressources psychiques qui sont les siennes, restées intactes dans une large mesure (ATF 130 V 352 consid. 3.3.1 in fine p. 358 et la référence).
Les autres arguments avancés par la recourante ne changent rien au fait que le tableau clinique esquissé par le docteur L._ pour retenir une dépression de degré modéré à sévère excluant toute possibilité de reprendre un travail est peu abondant, voire insuffisant. Au contraire, les facteurs socioculturels et psychosociaux (in casu, les difficultés financières déclenchent et entretiennent aussi le processus dépressif) - auxquels l'assurance-invalidité n'a pas à répondre - sont au premier plan, ce qui justifie une grande retenue en ce qui concerne le point de savoir si l'on est en présence d'un état dépressif invalidant (ATF 127 V 294 consid. 5a p. 299).
Quoi qu'il en soit, l'on ne peut pas, en l'état du dossier, reprocher à la juridiction cantonale d'avoir constaté l'état de santé de la recourante de façon manifestement inexacte ou d'avoir apprécié les preuves de manière arbitraire. Le sort du litige serait différent si l'expertise élaborée par le docteur L._ remplissait les critères jurisprudentiels (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352) permettant de reconnaître au rapport médical pleine force probante, car dans ce cas le fait que l'office AI a poursuivi des investigations sur le plan médico-psychiatrique aurait constitué un abus de droit incompatible avec la neutralité et l'objectivité auxquelles l'administration doit s'attacher dans l'instruction d'un cas d'assurance selon le principe inquisitoire (art. 43 LPGA; ATF 104 V 209 let. c p. 211 s.).
3. Cela étant, le grief de violation de l'art. 16 LPGA tombe à faux dans la mesure où par une comparaison des revenus en pour-cent (ATF 114 V 310 consid. 3a p. 313, 104 V 135 consid. 2b p. 136 s.), on peut d'emblée exclure une diminution de la capacité de gain de 40 % au moins.
4. La décision de refus de rente du 2 octobre 2006 ne se prononce pas sur l'octroi de mesures d'ordre professionnel (art. 15 s. LAI). La conclusion subsidiaire de la recourante n'est pas admissible, dans la mesure où elle peut être comprise comme une demande tendant à l'allocation de telles mesures. Rien ne l'empêche de s'adresser à l'intimé pour son intégration professionnelle, compte tenu du degré d'invalidité de 34 % retenu par les premiers juges.
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, à l'Office fédéral des assurances sociales et à la Caisse de compensation du canton de Fribourg.
Lucerne, le 29 avril 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner