Sachverhalt:
A. A.a Am 13. Dezember 2007 errichtete die Vormundschaftsbehörde Y._ über X._ eine Beistandschaft auf eigenes Begehren gemäss Art. 394 ZGB. Vom 18. Februar bis zum 15. August 2008 hielt sich X._ in der Klinik A._ in B._ auf. Seither ist sein Aufenthaltsort unbekannt. Am 5. September 2008 erstattete die Klinik A._ im Auftrag der Vormundschaftsbehörde ein Gutachten über den Gesundheitszustand von X._ und über die weiteren zu treffenden Massnahmen.
A.b Am 7. November 2008 teilte Rechtsanwalt Andreas Howald der Vormundschaftsbehörde mit, dass die Schwester von X._ ihn beauftragt habe, die Interessen ihres Bruders zu wahren. X._ unterzeichnete am 17. Oktober 2008 eine Anwaltsvollmacht für Rechtsanwalt Howald.
A.c Ende 2008 erhob X._ Vorwürfe gegen die Klinik A._ und die Vormundschaftsbehörde und reichte Beschwerden beim Bezirksgericht Maloja ein. Rechtsanwalt Howald verfasste für ihn zwischen Anfang und Mitte 2009 mehrere Schreiben zuhanden der Vormundschaftsbehörde.
A.d Am 24. November 2008 schied das Amtsgericht Sursee die Ehe von X._ und seiner Ehefrau. Gegen das Scheidungsurteil erklärte X._ Appellation. Das Obergericht des Kantons Luzern gewährte X._ am 30. April 2009 die unentgeltliche Rechtspflege und bestellte Rechtsanwalt C._, als Rechtsbeistand.
A.e Am 1. Oktober 2009 teilte Rechtsanwalt C._ der Vormundschaftsbehörde Y._ mit, dass X._ ihn mit der Interessenwahrung beauftragt habe, und ersuchte um Aufhebung der Beistandschaft. Dem Schreiben lag eine Vollmacht vom 29. September 2009 bei. Am 23. Oktober 2009 stellte Rechtsanwalt C._ für seinen Klienten bei der Vormundschaftsbehörde ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und ersuchte darum, ihn (Rechtsanwalt C._) zum unentgeltlichen Rechtsbeistand zu bestellen.
A.f Mit Beschluss vom 17. August 2010 hob die Vormundschaftsbehörde die Beistandschaft auf (Dispositivziffer 1), genehmigte den Schlussbericht des Beistands (Dispositivziffer 2), entliess ihn aus seinem Amt und entlastete ihn (Dispositivziffer 3), wies die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung ab (Dispositivziffer 4), setzte die Entschädigung des Beistands, Amtskosten, Gebühren und die Kosten für das Gutachten der Klinik A._ fest und auferlegte alle diese Kosten X._ (Dispositivziffern 5 und 6).
B. B.a Gegen diesen Beschluss erhob X._, vertreten durch Rechtsanwalt Howald, am 13. September 2010 Beschwerde beim Bezirksgerichtsausschuss Maloja. Er beantragte die Aufhebung der Ziffern 2, 3, 5 und 6 des angefochtenen Beschlusses. Gleichentags stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung von Rechtsanwalt Howald als unentgeltlichen Rechtsbeistand für das Beschwerdeverfahren vor dem Bezirksgerichtsausschuss.
B.b Am 22. September 2010 reichte X._, vertreten durch Rechtsanwalt Howald, beim Kantonsgericht Graubünden Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung durch die Vormundschaftsbehörde ein. Er beantragte die Aufhebung von Ziffer 4 des Beschlusses der Vormundschaftsbehörde vom 17. August 2010 und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung unter Beiordnung des Unterzeichneten (d.h. Rechtsanwalt Howald).
B.c Mit Urteil vom 9. Dezember 2010 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat, und auferlegte X._ die Verfahrenskosten. In einer Verfügung vom selben Tage wies der Einzelrichter in Zivilsachen des Kantonsgerichts das sinngemäss erhobene Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab, da die Beschwerde offensichtlich aussichtslos gewesen sei.
C. Am 31. Januar 2011 hat X._ (Beschwerdeführer), vertreten durch Rechtsanwalt Howald, gegen das Urteil und die Verfügung des Kantonsgerichts vom 9. Dezember 2010 subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Er beantragt, das angefochtene Urteil und die angefochtene Verfügung aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Zudem ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil und die angefochtene Verfügung haben die unentgeltliche Rechtspflege zum Gegenstand. Es handelt sich somit um Zwischenentscheide, die einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 129 I 129 E. 1.1). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache. In der Hauptsache geht es um vormundschaftliche Massnahmen und somit um eine der Beschwerde in Zivilsachen unterliegende Angelegenheit (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) ohne Vermögenswert (Urteil 5A_493/2007 vom 20. August 2008 E. 1). Die unrichtige Bezeichnung des Rechtsmittels als subsidiäre Verfassungsbeschwerde schadet dem Beschwerdeführer jedoch nicht, sofern die Eintretensvoraussetzungen des zulässigen Rechtsmittels - vorliegend der Beschwerde in Zivilsachen - erfüllt sind (BGE 134 III 379 E. 1.2 S. 382 mit Hinweisen). Die Beschwerde ist rechtzeitig erhoben worden (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG).
1.2 Der Beschwerdeführer macht die willkürliche Anwendung des kantonalen Prozessrechts, die Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und Abs. 3 BV und insbesondere überspitzten Formalismus geltend.
Eine Verfassungsrüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 135 III 397 E. 1.4 S. 400 f.; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils aufgezeigt werden, in welcher Hinsicht der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 135 III 513 E. 4.3 S. 522; 134 II 244 E. 2.2 S. 246; je mit Hinweis).
2. Die Vorinstanz ist auf die Beschwerde insofern nicht eingetreten, als mit ihr die Befreiung von den Verfahrenskosten der Vormundschaftsbehörde beantragt worden ist. Zur Beurteilung dieser Frage sei der Bezirksgerichtsausschuss Maloja zuständig. Obschon der Antrag des Beschwerdeführers vor Bundesgericht dem Wortlaut nach auf vollumfängliche Aufhebung des angefochtenen Urteils des Kantonsgerichts zielt, geht er in der Begründung mit keinem Wort auf die Verfahrenskosten der Vormundschaftsbehörde ein. Selbst wenn dieser Punkt nach dem Willen des Beschwerdeführers Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bilden sollte, so könnte darauf mangels Begründung jedenfalls nicht eingetreten werden.
3. Näher untersucht hat das Kantonsgericht einzig die Frage der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters. Zunächst hat es festgestellt, dass der Vormundschaftsbehörde einzig ein Gesuch um Einsetzung von Rechtsanwalt C._ als unentgeltlicher Rechtsbeistand vorgelegen habe, jedoch kein Gesuch um Einsetzung von Rechtsanwalt Howald. In der Beschwerde werde aber um Einsetzung von Rechtsanwalt Howald ersucht. Dies sei unzulässig, da nach dem damals noch massgeblichen kantonalen Verfahrensrecht (Art. 233 Abs. 2 der Zivilprozessordnung des Kantons Graubünden [ZPO]; früher BR 320.000; AGS 1985, S. 1516 ff.) im Beschwerdeverfahren keine neuen Rechtsbegehren gestellt werden dürften. Die Nichtberücksichtigung von Rechtsanwalt C._ sei nicht angefochten worden. Für den Fall, dass die Voraussetzungen der unentgeltlichen Verbeiständung dennoch geprüft werden müssten, hat das Kantonsgericht ausgeführt, dass der Rechtssuchende im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege den Vertreter nicht frei wählen oder sich sogar gleichzeitig durch mehrere Anwälte vertreten lassen könne. Ausgeschlossen sei auch ein beliebiger Anwaltswechsel. Vorliegend hätten zwei Anwälte den Beschwerdeführer vertreten, wobei von einem Zusammenwirken im Sinne einer Arbeitsteilung oder einer zeitlichen Abgrenzung nicht gesprochen werden könne. Vielmehr hätten beide ohne sichtbare Absprache mit den gleichen Zielen bei der Vormundschaftsbehörde interveniert, wobei aber nur Rechtsanwalt C._ bei der Vormundschaftsbehörde ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt habe. Da der Staat nicht verpflichtet sei, mehrere parallel tätige Anwälte zu honorieren, sei das in der Beschwerde gestellte Gesuch von Rechtsanwalt Howald auch aus diesem Grunde unzulässig. Wohl sei zwar nicht ausgeschlossen, dass ein anderer Anwalt eine Beschwerde gegen die Abweisung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege führe als jener, welcher das Gesuch gestellt habe. Dabei könne er aber nicht sich selbst als unentgeltlichen Vertreter für einen Verfahrensabschnitt einsetzen lassen, in welchem der andere mit seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gescheitert sei. Im Ergebnis gehe es Rechtsanwalt Howald schliesslich um sein eigenes Honorar und er wolle im Grunde genommen nicht die Abweisung des Gesuchs von Rechtsanwalt C._ anfechten, sondern er versuche im Beschwerdeverfahren, ein neues Gesuch zu stellen, um sich selber als unentgeltlichen Beistand einsetzen zu lassen. In der Folge hat das Kantonsgericht die Beschwerde abgewiesen, soweit es darauf eingetreten ist. Da die Beschwerde in der Hauptsache offensichtlich aussichtslos gewesen sei, könne für das Beschwerdeverfahren keine unentgeltliche Rechtspflege gewährt werden.
4. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, genügt den Begründungsanforderungen nicht. Er äussert sich in allgemeiner Weise zu den Voraussetzungen der unentgeltlichen Verbeiständung und anerkennt etwa, dass kein Anspruch auf Beiordnung mehrerer Rechtsanwälte bestehe. Er zeigt aber zunächst nicht im Einzelnen auf, inwiefern die vorinstanzliche Anwendung von Art. 233 Abs. 2 ZPO/GR über das Verbot neuer Anträge im Beschwerdeverfahren willkürlich sein soll. Diesbezüglich beschränkt er sich im Wesentlichen darauf, aus der Geltung des Untersuchungsgrundsatzes auf die Zulässigkeit der Ausdehnung des Streitgegenstands zu schliessen. Soweit der Beschwerdeführer dabei auch der Ansicht zu sein scheint, dass das ursprüngliche Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung von Rechtsanwalt C._ auch auf Rechtsanwalt Howald bezogen werden könne, verkennt er, dass Rechtsanwalt C._ ausdrücklich darum ersucht hat, ihn (Rechtsanwalt C._) zum Rechtsbeistand zu ernennen. Wieso es sich bei einer solchen Namensnennung nicht um einen formellen Antrag, sondern bloss - wie der Beschwerdeführer offenbar meint - um einen Vorschlag handeln soll, der beliebig, und zwar auch noch im Rechtsmittelstadium ausgetauscht werden könnte, legt er nicht ausreichend dar. Auch auf die weiteren Erwägungen der Vorinstanz geht er nicht in genügender Weise ein. Er bringt vor, dass er das Verfahren gegen den abschlägigen Entscheid der Vormundschaftsbehörde betreffend unentgeltliche Rechtspflege durch einen anderen Anwalt führen lassen konnte als jenen, welcher das ursprüngliche Gesuch eingereicht hatte. Dies mag zutreffen, hat aber nichts mit der vorinstanzlichen Erwägung zu tun, dass der neue Anwalt diesfalls nicht selber als unentgeltlicher Beistand für das vorangegangene Verfahren beantragt werden darf. Keine Stellung nimmt der Beschwerdeführer zur Beurteilung, dass es Rechtsanwalt Howald im Ergebnis um sein eigenes Honorar gehe. Insbesondere macht er nicht geltend, dass mit der Beschwerdeführung die Einsetzung von Rechtsanwalt C._ für das Verfahren vor der Vormundschaftsbehörde angestrebt werde. Die in diesem Zusammenhang erhobene Behauptung, dass Rechtsanwalt C._ den Beschwerdeführer seit Herbst 2010 einstweilen nicht mehr unterstütze und ein Anwaltswechsel deshalb nötig gewesen sei, findet im angefochtenen Urteil keine Stütze. Soweit es schliesslich um die unentgeltliche Rechtspflege vor der Vorinstanz geht, entbehrt die Beschwerde einer Auseinandersetzung mit der Beurteilung des Kantonsgerichts, wonach das kantonale Rechtsmittel aussichtslos gewesen sei. Auf die insgesamt nicht leicht verständliche Beschwerde kann deshalb nicht eingetreten werden. Auf eine Umwandlung der Verfassungsbeschwerde in eine Beschwerde in Zivilsachen ist deshalb zu verzichten (Urteil 4A_465/2008 vom 28. November 2008 E. 2.3; Urteil 5A_601/2010 vom 27. Dezember 2010 E. 3.6).
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, da die Verfassungsbeschwerde von vornherein aussichtslos gewesen ist (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. März 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zingg