Faits:
A. Le 11 mars 2003, le Service de la population du canton de Vaud a octroyé une autorisation de séjour à X._, ressortissante canadienne née en 1963, afin qu'elle puisse vivre auprès de son amie Y._, de nationalité suisse. X._ a par la suite été autorisée à exercer une activité lucrative. Le couple s'est séparé en 2004, ce dont le Service de la population n'a eu connaissance qu'en 2007, par l'intermédiaire des autorités de La Tour-de-Peilz.
Le 27 juin 2008, X._ a demandé à bénéficier d'une autorisation d'établissement ainsi que d'une autorisation d'exercer une activité lucrative, en relation avec le nouvel emploi qu'elle avait trouvé auprès du collège de Z._.
Le 30 octobre 2008, le Service de la population a informé X._ qu'en raison de sa séparation d'avec Y._, il envisageait de révoquer son autorisation de séjour. Après que l'intéressée se fut déterminée à ce sujet, l'autorité cantonale de police des étrangers a rendu une décision, le 9 février 2009, par laquelle elle a refusé de prolonger son autorisation de séjour et lui a imparti un délai d'un mois pour quitter le territoire suisse.
B. Saisi d'un recours à l'encontre de cette décision, le Tribunal cantonal vaudois l'a rejeté par arrêt du 20 juillet 2009. Il a réfuté l'argumentation de la recourante selon laquelle, l'autorisation de séjour du 11 mars 2003 lui ayant été accordée en vertu de l'art. 13 lettre f de l'ordonnance fédérale du 6 octobre 1986 limitant le nombre des étrangers (OLE; RO 1986 1791 et les modifications ultérieures; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), disposition applicable dans les cas personnels d'extrême gravité, il ne serait pas possible - sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce - de la remettre en cause. En outre, les juges cantonaux ont considéré que X._ ne pouvait prétendre au maintien de son autorisation de séjour en vertu des dispositions de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20; en vigueur depuis le 1er janvier 2008) relatives au regroupement familial (Chapitre 7). De leur point de vue, la prénommée ne pouvait non plus bénéficier d'une dérogation aux conditions d'admission en vertu de l'art. 30 al. 1 lettre b LEtr, disposition applicable dans les cas individuels d'une extrême gravité. Elle ne pouvait pas davantage prétendre à l'octroi d'une autorisation d'établissement, comme elle le demandait à titre subsidiaire, car cela supposait un séjour légal ininterrompu de cinq ans; or, la recourante n'avait plus séjourné légalement en Suisse depuis sa séparation d'avec Y._.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, de réformer l'arrêt du 20 juillet 2009 en ce sens qu'"ordre est donné à l'autorité administrative cantonale et fédérale" de renouveler son autorisation de séjour et, subsidiairement, d'annuler la décision en question et de renvoyer la cause à l'autorité de première instance pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants. A titre préalable, elle requiert l'octroi de l'effet suspensif.
L'Office fédéral des migrations propose le rejet du recours. L'autorité précédente et le Service de la population renoncent à se déterminer.
Par ordonnance présidentielle du 20 août 2009, la requête d'effet suspensif a été admise.
Considérant en droit:
1. Le 1er janvier 2008 est entrée en vigueur la loi fédérale sur les étrangers, qui a remplacé la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 113; en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007). En vertu de l'art. 126 al. 1 LEtr, les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la loi sont régies par l'ancien droit.
En l'occurrence, la recourante fait grief à l'autorité précédente d'avoir violé le principe de non-rétroactivité en appliquant la loi sur les étrangers à la présente cause. Elle relève en effet qu'en vertu de ce principe, le nouveau droit ne saurait être appliqué à des faits qui étaient entièrement révolus lors de son entrée en vigueur. Or, en l'espèce, "les faits pertinents s'agissant de l'octroi d'une autorisation fondée sur les art. 13 let. f et 36 OLE sont entièrement antérieurs à l'entrée en vigueur du nouveau droit des étrangers". L'autorisation en question ne pourrait être révoquée à la suite d'une modification des circonstances.
La recourante se méprend en évoquant la révocation de son autorisation de séjour, car, lorsqu'elle se rapporte à une autorisation d'une durée limitée, la révocation suppose que celle-ci ne soit pas encore échue. Or, le présent litige porte sur le renouvellement de l'autorisation de séjour - laquelle est par nature d'une durée limitée - de la recourante, prolongée pour la dernière fois le 20 février 2008 et arrivée à échéance le 19 août 2008. Lorsque la décision administrative a été rendue, le 9 février 2009, l'autorisation en cause était par conséquent échue, de sorte qu'il ne saurait être question de sa révocation.
Au demeurant, la recourante a rempli le 4 février 2008 une formule d'avis de fin de validité de l'autorisation de séjour et de demande de prolongation, où elle a requis l'octroi d'un permis C. Elle a par la suite déposé une demande de permis de séjour avec activité lucrative, datée du 27 juin 2008, où elle a à nouveau demandé à bénéficier d'un permis d'établissement. Ces requêtes étant postérieures au 1er janvier 2008, c'est à juste titre que l'autorité précédente a appliqué le nouveau droit.
2. 2.1 Selon l'art. 83 lettre c ch. 2 LTF, en droit des étrangers, le recours en matière de droit public est irrecevable à l'encontre des décisions qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
En l'occurrence, la recourante prétend qu'elle dispose d'un droit au renouvellement de son autorisation de séjour en vertu du droit constitutionnel à la protection de la bonne foi (art. 9 Cst.). Du moment qu'elle détermine la recevabilité du recours, cette question doit être examinée à ce stade déjà (arrêt 2C_126/2007 du 18 juin 2007 consid. 2.2; cf. aussi ATF 126 II 377 consid. 3a p. 387, jugement rendu sous l'ancien droit), étant précisé que les autres conditions de recevabilité sont réunies: le recours a été interjeté par une partie directement touchée par la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification (cf. art. 89 al. 1 LTF); il est dirigé contre un jugement final (cf. art. 90 LTF) rendu dans une cause de droit public (cf. art. 82 lettre a LTF) par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (cf. art. 86 al. 1 lettre d et al. 2 LTF); il a été déposé dans le délai (cf. art. 100 al. 1 LTF) et la forme (cf. art. 42 LTF) prévus par la loi.
2.2 La recourante fait valoir qu'après s'être séparée de son amie en 2004, elle a annoncé son changement de domicile à la commune de Montreux le 10 mai 2005. L'autorisation de séjour renouvelée le 1er juin 2005 mentionnait sa nouvelle adresse, ce qui démontrerait que le Service de la population était depuis lors au courant de sa situation personnelle, fait déterminant qui aurait été occulté par l'autorité précédente. Or, l'autorité administrative aurait attendu le 9 février 2009 pour "révoquer" l'autorisation de séjour de la recourante, en lui laissant croire dans l'intervalle qu'elle séjournait régulièrement en Suisse en dépit de sa séparation. Ce comportement contradictoire porterait atteinte au droit de la recourante à la protection de la bonne foi, violation que l'autorité précédente aurait omis de sanctionner.
2.3 L'autorité précédente a retenu que le Service de la population n'avait eu connaissance de la séparation qu'en 2007. Cette constatation de fait lie le Tribunal de céans (cf. art. 105 al. 1 LTF), sauf si elle est manifestement inexacte, c'est-à-dire pour l'essentiel arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252), ou procède d'une violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 97 al. 1, 105 al. 2 LTF).
Le fait que la recourante a annoncé son changement de domicile à la commune de Montreux le 10 mai 2005 n'est pas de nature à faire apparaître arbitraire la constatation selon laquelle le Service de la population n'a eu connaissance de la séparation qu'en 2007. En effet, la communication a été faite à la commune de Montreux, et non pas au Service de la population. En outre, elle portait sur le changement de domicile de la recourante et non sur sa séparation. Le Service de la population a été apparemment informé du changement de domicile, puisque l'autorisation de séjour renouvelée le 1er juin 2005 mentionnait la nouvelle adresse. En revanche, l'autorité précédente a retenu - certes en le déplorant - que "les autorités communales compétentes" n'avaient pas averti le service en question de la séparation de la recourante, de sorte que celui-ci n'en avait eu connaissance qu'en 2007 (décision attaquée, p. 5).
2.4 Le droit à la protection de la bonne foi (art. 9 Cst.) peut selon les circonstances, mais à des conditions strictes, conférer un droit à l'autorisation. Tel est le cas notamment si l'étranger s'est fondé sur des renseignements erronés de l'autorité compétente et a pris en conséquence des dispositions irréversibles (ATF 126 II 377 consid. 3a p. 387; arrêt 2C_126/2007 précité consid. 2.7; Peter Uebersax, in Ausländerrecht, 2e éd., 2009, no 7.148; Marc Spescha, in Migrationsrecht, 2e éd., 2009, p. 499 no 29; Alain Wurzburger, La jurisprudence récente du Tribunal fédéral en matière de police des étrangers, RDAF 1997 I p. 305 s.). Le fait qu'une autorité ait connaissance d'une situation illicite et la tolère temporairement ne l'empêche en principe pas, sous réserve de cas exceptionnels, d'exiger des personnes concernées qu'elles mettent un terme à cet état de choses et rétablissent une situation conforme au droit (Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5e éd., 2006, no 652).
En l'occurrence, le Service de la population n'a donné aucune assurance à la recourante quant au renouvellement de son autorisation de séjour. Dans un courrier du 20 février 2008 faisant suite au dépôt de la demande d'autorisation d'établissement par la recourante, il a au contraire relevé qu'il ne disposait pas de tous les éléments nécessaires pour statuer sur sa requête et a expressément attiré l'attention de celle-ci sur le fait qu'il avait décidé de renouveler temporairement son autorisation de séjour pour une durée de six mois, mais que "ce renouvellement temporaire ne préjuge[ait] pas de [sa] décision définitive et qu'[elle] ne saur[ait] en tirer aucun droit pour l'avenir". Au demeurant, comme on l'a vu ci-dessus, il n'est pas arbitraire d'admettre que le Service de la population n'a eu connaissance qu'en 2007 de la séparation de la recourante. Pour ce qui est de la période allant depuis lors jusqu'au prononcé de la décision de non-renouvellement du permis de séjour, le 9 février 2009, il n'y a pas lieu de s'écarter de la règle selon laquelle le fait que l'autorité a toléré une situation illicite ne l'empêche pas d'exiger le rétablissement de l'état conforme au droit et ne confère pas un droit tiré du principe de la bonne foi (art. 9 Cst.) au maintien de la première. Dans le cas particulier, cela vaut d'autant plus que le Service de la population a assorti le (dernier) renouvellement de l'autorisation de séjour de la recourante de la réserve mentionnée précédemment. Il s'ensuit que la recourante ne peut déduire un droit à une autorisation de séjour du principe de la bonne foi, de sorte que son recours est irrecevable en vertu de l'art. 83 lettre c ch. 2 LTF.
2.5 La recourante se prévaut encore de l'art. 13 lettre f OLE.
Outre que ce n'est pas l'ancien, mais bien le nouveau droit qui est applicable en l'espèce (cf. consid. 1), l'art. 13 lettre f OLE ne saurait conférer un droit à une autorisation de séjour (cf. p. ex. arrêt 2D_18/2007 du 23 mai 2007 consid. 3.2). Il en va d'ailleurs de même de l'art. 30 al. 1 lettre b LEtr, qui est la disposition correspondante du nouveau droit. La recourante ne saurait par conséquent disposer d'un droit à une autorisation de séjour en vertu de l'une ou l'autre de ces dispositions. Partant, le recours en matière de droit public est irrecevable à cet égard aussi.
3. Au vu de ce qui précède, le recours est irrecevable.
Succombant, la recourante supporte les frais judiciaires (cf. art. 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Des frais judiciaires de 2'000 fr. sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 8 janvier 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Müller Vianin