Nach Einsicht
in die als Beschwerde gemäss § 113 BGG bezeichnete und daher als Verfassungsbeschwerde entgegengenommene Eingabe gegen den Zwischen-Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt (Ausschuss) vom 4. Mai 2010,
in Erwägung,
dass die Beschwerdeführer mit Nachfristansetzungen gemäss Art. 62 Abs. 3 BGG vom 21. Juli 2010 (unter Androhung des Nichteintretens bei Säumnis und unter ausdrücklichem Hinweis auf das Nichtgelten der Gerichtsferien auf Grund von Art. 46 Abs. 2 BGG) aufgefordert worden sind, den (ihnen mit Verfügungen vom 9. Juli 2010 auferlegten, jedoch nicht eingegangenen) Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- innerhalb einer nicht erstreckbaren Nachfrist von 10 Tagen seit der am 27. Juli 2010 erfolgten Zustellung dem Bundesgericht in bar zu zahlen oder zu Gunsten der Bundesgerichtskasse (Postkonto 10-674-3) entweder an einem Schalter der Schweizerischen Post zu übergeben oder (bei Erteilung eines Zahlungsauftrags an die Post oder an eine Bank) einem in der Schweiz befindlichen Post- bzw. Bankkonto der Beschwerde führenden Partei oder ihres Vertreters zu belasten (Art. 48 Abs. 4 BGG) und ausserdem (bei Erteilung eines Zahlungsauftrags) der Bundesgerichtskasse innerhalb von 10 Tagen seit Ablauf der nicht erstreckbaren Nachfrist eine Bestätigung der Postfinance bzw. der Bank einzureichen, wonach der Vorschussbetrag fristgerecht dem Post- bzw. Bankkonto belastet worden ist,
dass die Beschwerdeführer den Kostenvorschuss auch innerhalb der Nachfrist weder bei der Bundesgerichtskasse in bar geleistet noch zu deren Gunsten an einem Postschalter übergeben und auch nicht den (für den Fall eines Zahlungsauftrags) ihnen obliegenden Nachweis der rechtzeitigen Vorschussleistung durch Belastungsbestätigung erbracht haben, weshalb androhungsgemäss gestützt auf Art. 62 Abs. 3 BGG im Verfahren nach Art. 117 BGG i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG auf die Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten ist und die solidarisch haftenden Beschwerdeführer kostenpflichtig werden (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG),
erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 400.-- werden den Beschwerdeführern unter Solidarhaft auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (Ausschuss) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Füllemann