Faits:
A. A.a Y._ SA (ci-après: Y._), à Genève, avait depuis novembre 2005 comme but statutaire notamment le commerce de devises, principalement par le biais d'internet, le courtage en devises et les transactions usuelles sur le marché des changes, avec ou pour le compte d'investisseurs privés ou institutionnels.
A partir d'octobre 2006, Y._ a mis à disposition de X._, domicilié à ... (VD), une plateforme de négoce en ligne pour lui permettre d'effectuer lui-même des transactions sur devises, en spéculant sur l'évolution des taux de change, sans bénéficier de conseils ou d'une quelconque assistance de Y._ à cet égard. Il a été retenu qu'en cas d'évolution défavorable, il incombait à X._ d'apporter à Y._ des fonds supplémentaires pour couvrir la perte (virtuelle) et maintenir la position ouverte, à défaut de quoi Y._ clôturait la position en perte, non provisionnée. Les modalités d'appel de marge et d'apport de fonds supplémentaires pratiquées entre Y._ et X._ n'ont pas été établies.
Comme Y._ ne pouvait plus continuer son activité au-delà du 1er avril 2008 sans solliciter une licence bancaire, elle a choisi de cesser d'opérer sur le marché des devises.
Par lettre circulaire du 17 mars 2008 rédigée en anglais, Y._ a ainsi informé ses clients, dont X._, de cette décision, en leur indiquant qu'ils avaient la possibilité de continuer leurs transactions sur devises sur une plateforme internet exploitée par la société chypriote E._ Ltd (ci-après: E._), qu'elle présentait comme une « société soeur (sister company) ». Y._ promettait à chaque client désireux de recourir aux services de E._ qu'elle mettrait tout en oeuvre pour transférer à cette société, sans aucune interruption, les positions de change ouvertes sur leur compte auprès de Y._, avec le solde en liquidités; à la demande du client, Y._ se chargeait d'ouvrir pour lui un nouveau compte client auprès de E._ et de lui envoyer un nouveau login (nom de connexion) avec mot de passe.
Pour recourir à ce service de transfert, le client devait retourner à Y._, après l'avoir signé, un formulaire ad hoc préparé par celle-ci, qui reprenait les engagements qu'elle avait explicités dans la lettre-circulaire susmentionnée, précisant que le client acceptait la fermeture de son compte de trading auprès de Y._ (art. 105 al. 2 LTF).
Le 20 mars 2008, X._ a signé le formulaire préparé par Y._; il a convenu plus tard avec celle-ci, par téléphone, que le transfert serait opéré le week-end des 22 et 23 mars 2008 (week-end de Pâques en Suisse).
Il a été retenu que les sociétés Y._ et E._ avaient un important actionnaire commun.
Le transfert a été opéré le lundi de Pâques 24 mars 2008, jour qui n'est pas férié à Chypre; il portait sur un solde de liquidités de 34'216,71 EUR et sur trois positions de change encore ouvertes. Les liquidités ont été transférées par virement bancaire, alors que le transfert des positions s'est opéré par l'ouverture nouvelle des mêmes positions dans les livres de E._, après appel téléphonique de Y._ à la société chypriote.
Y._ a enregistré ce jour-là à 15h.15 (heure suisse) la sortie des liquidités et des trois positions de change encore ouvertes. Pour sa part, E._ a enregistré le même jour à 15h. à Chypre (correspondant à 16h. en Suisse) l'arrivée desdites liquidités, par 34'216,71 EUR, puis les trois positions de change ouvertes, lesquelles totalisaient à ce moment une perte globale de 33'966,93 EUR, encore couverte par les liquidités transférées.
Par courriel adressé le 25 mars 2008 à 13h.15 à X._, E._ lui a fourni son code de login (soit «1205») et le mot de passe nécessaires pour se connecter par internet sur son compte client auprès d'elle. E._ a encore averti le prénommé qu'il devait approvisionner son compte avant de pouvoir opérer des transactions, qu'il pouvait choisir à cette fin un transfert bancaire ou payer par carte de crédit s'il souhaitait initier des opérations de change immédiatement; E._ lui a enfin donné ses coordonnées (téléphone et fax) pour toute question éventuelle. Egalement le 25 mars 2008, à 17h.27, E._ a communiqué par courriel à X._ les détails du compte bancaire qu'elle avait ouvert auprès de la banque V._, à Chypre, sur lequel des liquidités pouvaient être versées.
Par courriel envoyé toujours le 25 mars 2008, à 17 h.25, Y._ a confirmé à X._ la clôture de son compte client auprès d'elle, en raison du transfert à E._ des liquidités restantes et des positions de change ouvertes.
A.b Le 26 mars 2008, entre 11h.19 et 12h.51 (heure chypriote), E._ a fermé successivement les trois positions de change de X._. Selon un organe de E._, ces positions ont été fermées « automatiquement par le système »; préalablement il y aurait eu trois appels de marge, car les fonds propres n'étaient pas suffisants pour maintenir ouvertes les positions.
Il résulte d'un relevé informatique produit par E._ qu'une personne se serait connectée le 26 mars 2008 au compte client de X._ auprès de E._ avec le login «1205 », trois fois avant 09h.00 (heure chypriote) et une fois à 13h.14 (heure chypriote). Ultérieurement, des connexions ont été faites avec le login «1205 » à trois reprises le 27 mars 2008, une fois le 2 avril 2008, une fois le 1er mai 2008 et deux fois le 5 mai 2008. Après cette dernière date, il n'y a plus eu de connexion avec le login «1205 ».
X._ a contesté avoir pu se connecter avec succès avec le login en question et avoir pu consulter son compte client chez E._. Il a prétendu que ses positions étaient toujours couvertes lors de leur clôture le 26 mars 2008, compte tenu des taux de change alors en vigueur.
A.c Toujours le 26 mars 2008, en tout cas avant 12h.54, X._ a requis la banque W._ en Suisse, par voie électronique («e-banking »), de transférer à partir de son compte auprès de cette banque la somme de 50'000 EUR sur le compte bancaire de E._ à Chypre. Il a été retenu que la date d'exécution figurant sur l'ordre de transfert électronique était le 31 mars 2008.
Par courriel envoyé aussi le 26 mars 2008 à 12h.54 (heure suisse) à Y._, X._ a informé celle-ci du transfert d'argent ordonné à Chypre, non sans insister auprès de Y._ sur le fait que, pour des « raisons techniques », le transfert de ladite somme ne pouvait avoir lieu que le 31 mars 2008. Par courriel du même jour de 13h.55 (heure suisse), un administrateur de Y._ a répondu à X._ qu'il allait transmettre son message à E._ à Chypre.
Le 31 mars 2008, E._ a crédité le compte de X._ des fonds que ce dernier avait virés à partir de son compte à la banque W._.
Le 29 avril 2008, E._ a enregistré l'arrivée d'un deuxième virement effectué par l'intéressé, d'un montant de 50'000 EUR.
A.d Le 5 mai 2008, Y._ est entrée en liquidation.
Par courriel du 13 juin 2008, X._ a écrit à un administrateur de Y._ en liquidation pour lui indiquer avoir rencontré des problèmes avec son ordinateur nécessitant peut-être de réinstaller la plateforme de négoce en ligne; le précité requérait qu'on lui communique son mot de passe ainsi que la façon d'accéder à son compte à Chypre. Ledit administrateur lui a répondu, le 18 juin 2008, qu'il avait transmis son message à Chypre pour que le nécessaire soit effectué.
Le 15 août 2008 et le 8 septembre 2008, X._ s'est plaint auprès de Y._ en liquidation de la fermeture de toutes ses positions de change. Y._ en liquidation lui a fait savoir, le 19 septembre 2008, qu'elle n'avait pas accès à son compte chez E._, de sorte qu'il devait prendre langue directement avec cette société.
Un échange de courriers n'a pas fait évoluer la situation.
B. Après lui avoir fait notifier une poursuite, frappée d'opposition, X._ (le demandeur) a ouvert action devant les autorités genevoises contre Y._ en liquidation (la défenderesse), par demande déposée le 6 mars 2009, requérant paiement de 710'752 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 29 octobre 2008 et sollicitant la mainlevée définitive de l'opposition.
La défenderesse a conclu à libération.
Par jugement du 14 janvier 2010, le Tribunal de première instance a admis la légitimation passive de la défenderesse.
Par jugement du 26 mai 2011, le Tribunal de première instance a débouté le demandeur de toutes ses conclusions.
Statuant sur l'appel formé par le demandeur, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève, par arrêt du 10 février 2012, a confirmé le jugement du 26 mai 2011.
En substance, la cour cantonale a retenu que les parties, en octobre 2006, avaient conclu un contrat innomé comportant des éléments de mandat. A partir du 22 mars 2008, le demandeur devait s'attendre à la fin de sa relation contractuelle avec la défenderesse, puisque le transfert de ses positions et liquidités à la société soeur de celle-ci avait été convenu pour le week-end des 22 et 23 mars 2008. C'est donc le demandeur qui, dès la date précitée, devait surveiller la couverture de ses positions auprès de la société chypriote, de sorte qu'il n'est pas en droit de reprocher à la défenderesse d'avoir violé une obligation d'information à propos de l'exécution effective du transfert et de son moment précis. Le demandeur ne peut pas davantage faire grief à la défenderesse de n'avoir pas transmis à la société chypriote le message qu'il a adressé à la première le 26 mars 2008, ni de n'avoir pas tout entrepris pour obtenir de la société soeur un crédit. Enfin le demandeur ne saurait imputer à la partie adverse la fermeture de ses positions et la perte financière qui en serait résulté. Tout au plus devait-il s'en prendre à cet égard à la société chypriote si cette dernière avait réellement clôturé ses positions en dépit de l'existence d'une couverture suffisante.
C. Le demandeur exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Principalement, il reprend ses conclusions de première instance. Subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle instruction et nouveau jugement.
L'intimée propose le rejet du recours.
Le recourant a répliqué, alors que l'intimée a renoncé à dupliquer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie demanderesse qui a entièrement succombé dans ses conclusions en paiement et qui a ainsi la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse dépasse largement le seuil de 30'000 fr. de l'art. 74 al. 1 let. b LTF, le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 137 II 313 consid. 1.4 p. 317 s.; 135 III 397 consid. 1.4 et l'arrêt cité). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 137 III 580 consid. 1.3 p. 584; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire telle que l'entend l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 II 304 consid. 2.4) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui veut s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, le recourant présente sa propre version des faits, sans se prévaloir de l'une des exceptions prévues par l'art. 105 al. 2 LTF, de sorte qu'il n'y pas lieu d'en tenir compte. Dans la mesure où il ajoute des faits qui ne sont pas contenus dans l'arrêt déféré, il ne convient pas de les prendre en considération. Il sied de conduire la réflexion juridique sur la base des constatations figurant dans l'arrêt attaqué.
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. Invoquant une violation de l'art. 398 CO, le recourant fait valoir que les faits de l'espèce n'ont rien à voir avec le contrat par lequel l'intimée avait mis à sa disposition dès 2006 une plateforme informatique. Ils se rattacheraient bien plutôt à la mission spécifique qu'il a confiée postérieurement à l'intimée, à savoir mettre tout en oeuvre pour transférer, sans aucune interruption, les positions de change qu'il avait ouvertes ainsi que le solde de liquidités sur une nouvelle plateforme exploitée par la société soeur de l'intimée. Le recourant, qui se déclare novice dans le domaine financier, prétend que l'intimée, prestataire du service de transfert, avait le devoir de veiller au bon déroulement de l'opération de transfert, en particulier de s'assurer qu'il soit tenu informé avec exactitude du moment du transfert et du début des opérations sur la nouvelle plateforme. Elle devait également lui délivrer les informations nécessaires pour qu'il soit à même de verser à temps des liquidités supplémentaires pour parer à une fermeture des positions de change. Il allègue que puisque l'intimée a présenté la société chypriote comme une société soeur faisant partie du même groupe, il appartenait à la première d'assumer le fait que la seconde ait traité le versement de fonds ordonné à la banque W._ le 26 mars 2008 en tant qu'apport financier destiné à l'acquisition de nouvelles positions, et non de fonds apportés pour couvrir les positions existantes. A l'en croire, on ne saurait lui reprocher d'avoir choisi la date du 31 mars 2008 pour l'exécution de son virement bancaire, dès l'instant où, faute d'avoir reçu des renseignements adéquats, il n'était pas en mesure de donner l'ordre de virement plus tôt. Enfin, le recourant soutient que les fonds supplémentaires qu'il a versés étaient propres à compenser d'éventuels mouvements défavorables du taux de change et qu'il n'avait ainsi pas à vérifier constamment l'état de ses positions.
3. 3.1 Il est constant que, dès octobre 2006, l'intimée a mis à disposition du recourant une plateforme de négoce en ligne afin que celui-ci puisse réaliser lui-même des transactions sur devises, sans bénéficier de conseils ou d'assistance de celle-là.
La cour cantonale a considéré qu'il s'agissait d'un contrat innomé « proche du mandat ou comportant des éléments de mandat ». Cet accord bilatéral est en effet un contrat innomé, mais qui contient plutôt des éléments du contrat de licence (octroi du droit d'utiliser des logiciels), du bail à ferme (cession de droits productifs) et du mandat (maintenance de la plateforme). Mais peu importe, car, ainsi qu'on le verra ci-dessous, la résolution du litige est indépendante de cette qualification contractuelle.
La cour cantonale a considéré qu'il s'agissait d'un contrat innomé « proche du mandat ou comportant des éléments de mandat ». Cet accord bilatéral est en effet un contrat innomé, mais qui contient plutôt des éléments du contrat de licence (octroi du droit d'utiliser des logiciels), du bail à ferme (cession de droits productifs) et du mandat (maintenance de la plateforme). Mais peu importe, car, ainsi qu'on le verra ci-dessous, la résolution du litige est indépendante de cette qualification contractuelle.
3.2 3.2.1 Il a été retenu (art. 105 al. 1 LTF) que l'intimée, contrainte d'obtenir une licence bancaire si elle entendait opérer sur le marché des devises au-delà du 1er avril 2008, a décidé de cesser cette activité.
Par lettre-circulaire du 17 mars 2008 écrite en langue anglaise, elle a informé ses clients, au nombre desquels figurait le recourant, qu'ils avaient la possibilité de poursuivre leurs transactions sur devises au moyen d'une autre plateforme internet exploitée par la société chypriote E._, qu'elle a présentée en tant que société soeur. D'après les constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral -, cette société chypriote et l'intimée avaient un important actionnaire commun.
Dans ce document, l'intimée promettait à chaque client souhaitant recourir aux services de E._ qu'elle mettrait tout en oeuvre pour transférer auprès de cette dernière, sans qu'il n'y ait aucune interruption, les positions de change qu'ils avaient ouvertes avec le solde de liquidités y afférent; l'intimée se chargeait d'ouvrir pour chaque client un nouveau compte client chez E._ et d'adresser au client un nouveau login et un mot de passe pour qu'il puisse se connecter sur ledit compte.
Pour obtenir le service de transfert en question, le client devait signer le formulaire ad hoc préparé par l'intimée, lequel reprenait les engagements qu'elle avait détaillés dans la lettre-circulaire, ajoutant que le client acceptait la fermeture du compte de trading ouvert auprès d'elle.
Le recourant a signé le 20 mars 2008 ce formulaire et convenu postérieurement avec l'intimée, par téléphone, que le transfert serait réalisé le week-end des 22 et 23 mars 2008, dates qui correspondaient au week-end de Pâques en Suisse.
3.2.2 En signant le 20 mars 2008 le formulaire précité, le recourant a accepté les propositions mentionnées par l'intimée dans la lettre-circulaire du 17 mars 2008, de sorte qu'un contrat a été conclu entre les parties (art. 1 al. 1 CO).
Selon ce contrat, le transfert (positions ouvertes et avoirs en compte) devait être opéré les 22 et 23 mars 2008, soit pendant le week-end pascal de cette année, jours où les banques sont en principe fermées. Le transfert a pu été effectué néanmoins le lundi de Pâques 24 mars 2008, car ce jour n'est pas férié à Chypre. Dans un tel contexte, le recourant ne saurait donc reprocher à l'intimée une exécution tardive.
Le même 24 mars 2008, à 15 h. à Chypre (correspondant à 16 h. en Suisse), la société chypriote a enregistré, dans le compte client ouvert au nom du recourant, l'arrivée des liquidités, par 34'216,71 EUR, ainsi que des trois positions de change qui étaient auparavant ouvertes chez l'intimée et totalisaient à ce moment une perte globale de 33'966,93 EUR. Trois quarts d'heure plus tôt, l'intimée avait pour sa part enregistré dans ses comptes la sortie des fonds et desdites positions de change. Il n'y a donc eu aucune interruption dans le processus de transfert mis sur pied par la défenderesse, qui n'a ainsi pas violé le contrat du 20 mars 2008.
Le lendemain 25 mars 2008, à 13 h. 15 (apparemment heure de Chypre), la société chypriote a communiqué au recourant son code de login et un mot de passe, éléments nécessaires pour que ce dernier puisse se connecter par internet sur son nouveau compte client. Cette société lui a encore envoyé, le même jour après 17 h., les détails du compte bancaire qu'elle avait ouvert auprès d'un établissement tiers afin que le recourant puisse verser des liquidités pour couvrir ses positions de change. Toujours le 25 mars 2008, après 17 h., l'intimée a confirmé au recourant la clôture de son compte client auprès d'elle, en raison du transfert des liquidités et des positions qui avait été opéré le jour précédent.
Il suit de là que l'intimée a exécuté l'ensemble des engagements qu'elle avait assumés contractuellement à l'endroit du recourant. Partant, ce dernier ne dispose d'aucune action en dommages-intérêts pour inexécution ou mauvaise exécution d'une obligation contractuelle (art. 97 al. 1 CO).
L'action ouverte par le recourant le 6 mars 2009 devait ainsi être rejetée.
4. En définitive, le recours doit être rejeté et l'arrêt attaqué doit être confirmé.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 9'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 10'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 26 juillet 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet