Sachverhalt:
A. C._, geboren 1976, arbeitete in der Telesales-Abteilung der Firma X._ AG und war in dieser Eigenschaft bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend "Zürich" oder Beschwerdegegnerin) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Mit Verfügung vom 7. März 2007, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 7. Mai 2007, hat die "Zürich" eine Leistungspflicht hinsichtlich des mit Bagatellunfall-Meldung vom 15. Februar 2007 angemeldeten Ereignisses vom 9. Juni 2005 verneint, weil es beim geltend gemachten "Schubser" anlässlich des Handballspieles vom 9. Juni 2005 und der angeblich damit zusammenhängenden unkontrollierten Bewegung am vorausgesetzten ungewöhnlichen äusseren Faktor fehle und somit der Unfallbegriff im Rechtssinne nicht erfüllt sei.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde der C._ und diejenige ihres obligatorischen Krankenpflegeversicherers wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 29. Februar 2008 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt C._ unter Aufhebung des kantonalen Gerichts- und des Einspracheentscheides die Ausrichtung der gesetzlichen Unfallversicherungsleistungen für die Folgen des Ereignisses vom 9. Juni 2005 beantragen.
Während die "Zürich" auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichten das Bundesamt für Gesundheit (BAG) und der als Mitinteressierter beigeladene Krankenpflegeversicherer auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Unfall ist die plötzliche, nicht beabsichtigte schädigende Einwirkung eines ungewöhnlichen äusseren Faktors auf den menschlichen Körper, die eine Beeinträchtigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Gesundheit oder den Tod zur Folge hat (Art. 4 ATSG). Das kantonale Gericht hat die hiezu von der Praxis erarbeiteten Grundsätze, insbesondere die Rechtsprechung zum Merkmal der Ungewöhnlichkeit (BGE 129 V 402 E. 2.1 S. 404, 122 V 230 E. 1 S. 233, je mit Hinweisen) zutreffend wiedergegeben. Entsprechendes gilt für die vorinstanzlichen Erwägungen zur rechtsprechungsgemässen Bejahung eines ungewöhnlichen äusseren Faktors bei Vorliegen einer unkoordinierten Bewegung - d.h. einer Störung der körperlichen Bewegung durch etwas "Programmwidriges" wie Stolpern, Ausgleiten, Anstossen oder ein reflexartiges Abwehren eines Sturzes etc. (BGE 130 V 117 E. 2.1 S. 118; RKUV 2000 Nr. U 368 S. 99 E. 2d, U 335/98, und 1999 Nr. U 345 S. 420 E. 2b, U 114/97; vgl. Alfred Maurer, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, 2. Aufl., Bern 1989, S. 176 f.). Darauf wird verwiesen.
3. Verwaltung und Vorinstanz haben die zur Erfüllung des Unfallbegriffes vorausgesetzte Ungewöhnlichkeit der äusseren Einwirkung anlässlich des geltend gemachten Ereignisses vom 9. Juni 2005 und somit einen anspruchsbegründenden Unfall verneint. Demgegenüber hält die Beschwerdeführerin an ihrer Auffassung fest, wonach der Unfallbegriff erfüllt sei und die "Zürich" hinsichtlich der in der Folge des 9. Juni 2005 geklagten rechtsseitigen Schulterbeschwerden die gesetzlichen Leistungen nach UVG zu erbringen habe.
3.1 Anlässlich eines Fussballtrainings mit Junioren spielte die Versicherte als Trainerin am 9. Juni 2005 mit ihrer Mannschaft zum Aufwärmen Handball. Gemäss der von der Beschwerdeführerin eigenhändig unterzeichneten Bagatellunfall-Meldung UVG vom 15. Februar 2007 wurde sie, als sie den Ball jemandem zuwerfen wollte und bereits den Arm oben hatte, "wie geschubst und machte eine unkontrollierte Bewegung und da hat's gezwickt." Am 18. März 2007 beschrieb sie das Ereignis gegenüber ihrem Rechtsvertreter wie folgt: "Als ich den Ball hatte und mich in der Wurfbewegung befand, wurde ich von einem der Jungs geschubst, verlor somit das Gleichgewicht und machte eine sehr unkontrollierte Bewegung mit dem Arm, als ich am Werfen war; dabei habe ich mich verletzt." Am 1. März 2006 (also knapp neun Monate nach dem angeblich ursächlichen Ereignis) begab sich die Versicherte zur Abklärung und Behandlung der seit Sommer 2005 zunehmenden Schmerzen bei Bewegungen im rechten Schultergelenk mit Einschlafgefühl des gesamten rechten Armes ambulant in die Klinik Y._. Bei einer sonographisch an der rechten Schulter festgestellten Mikrokalzifikation der Subscapularissehne, einer intakten Rotatorenmanschette und einem unauffälligen AC-Gelenk ohne Erguss diagnostizierte die Rheumatologin Dr. med. S._ unter anderem neben einem lumbovertebralen Schmerzsyndrom bei Wirbelsäulenfehlform und -Haltung, einer Skoliose und einer Hyperlordose der Lendenwirbelsäule einen Verdacht auf Psoriasisarthropathie angesichts der anamnestisch bekannten Psoriasis des Vaters und der Schwester. Als Nebendiagnosen erwähnte Dr. med. S._ eine bekannte Osteochondrose dissecans beider Sprunggelenke, einen Status nach Meniskusoperation am rechten Kniegelenk (2003/2004) sowie einen Status nach Halswirbelsäulen-Distorsion (1998 und 2002). Weder im Bericht zur ersten Konsultation vom 1. März 2006 noch in den späteren Verlaufsberichten der Klinik Y._ zu nachfolgenden Konsultationen und Untersuchungen finden sich Hinweise auf eine unfallbedingte Genese der geklagten Beschwerden im rechten Schultergelenk. Statt dessen begann die Beschwerdeführerin gemäss Bericht der Klinik Y._ vom 9. März 2006 - ohne ersichtliches Ereignis - zwischenzeitlich auch über Schmerzen im linken Schultergelenk zu klagen. Nach Physiotherapie trat im Sommer 2006 eine Besserung bei allerdings verbleibenden Restbeschwerden ein. Der sodann erstmals am 18. Januar 2007 konsultierte Chirurg Dr. med. B._ fand, dass die bei der bildgebenden Untersuchung vom 22. Januar 2007 erhobenen Befunde "zur Anamnese mit dieser Wurftraumaepisode vor zwei Jahren passen [würde]" und empfahl eine arthroskopische Labrumoperation. Zwölf Tage vor Durchführung dieser Operation unterzeichnete die Versicherte die Bagatellunfall-Meldung vom 15. Februar 2007 und ersuchte die "Zürich" gleichzeitig um Übernahme der unmittelbar bevorstehenden Operation, nachdem die bisherige Behandlung der rechtsseitigen Schulterbeschwerden zu Unrecht vom Krankenversicherer als Pflegeleistung übernommen worden sei.
3.2 Das kantonale Gericht hat mit ausführlicher und in allen Teilen zutreffender Begründung, worauf verwiesen wird (Art. 109 Abs. 3 BGG), dargelegt, dass es dem geltend gemachten Ereignis vom 9. Juni 2005 nach der unmissverständlich klaren Schilderung des konkreten Geschehensablaufs an der erforderlichen Ungewöhnlichkeit des äusseren Faktors fehlt. Abweichend vom Sachverhalt, welcher dem Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts U 96/03 vom 7. Juli 2003 (E. 4.1.1) zu Grunde lag, steht hier weder ein Regelverstoss noch sonst eine sinnfällige Programmwidrigkeit im Bewegungsablauf zur Diskussion. Dass die Beschwerdeführerin beim Ballwurf von einem Mitspieler leicht touchiert ("wie geschubst" gemäss Bagatellunfall-Meldung UVG vom 15. Februar 2007) und in ihrem Gleichgewicht gestört wurde, ändert nichts daran, dass bei der körperbetonten Sportart des Handballspiels verschiedene regelkonforme Abwehrmassnahmen gegen die Ballabgabe eines Angreifers üblicherweise mit direkten Körperkontakten zu einem Abwehrspieler verbunden sind. Ein zusätzliches Indiz für die fehlende Ungewöhnlichkeit des äusseren Faktors bei dem von der Versicherten beschriebenen Geschehen ist darin zu erblicken, dass von einer anfangs 2007 angeblich erinnerlichen, den üblichen Bewegungsablauf störenden Programmwidrigkeit oder einer unkoordinierten Bewegung, welche am 9. Juni 2005 stattgefunden haben soll, während der intensiven Abklärung des Gesundheitsschadens in der Klinik Y._ im ersten Halbjahr 2006 nie die Rede war. Schliesslich spricht auch das Auftreten von Schmerzen im linken Schultergelenk - ohne ersichtliches Trauma - während der Behandlung der rechtsseitigen Schulterbeschwerden in der Klinik Y._ angesichts der dort gestellten Diagnosen nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit dafür, dass die kontinuierlich seit Sommer 2005 im rechten Schultergelenk entstandenen Beschwerden unfallbedingt sein sollen, die ab März 2006 auch im linken Schultergelenk aufgetretenen Schmerzen jedoch offensichtlich nicht auf einen Unfall zurückzuführen sind.
3.3 Nach dem Gesagten haben Verwaltung und Vorinstanz die Ungewöhnlichkeit der äusseren Einwirkung anlässlich des geltend gemachten Ereignisses vom 9. Juni 2005 unter den gegebenen Umständen zu Recht verneint. Die vorinstanzliche Bestätigung der von der "Zürich" verfügten Ablehnung eines Anspruchs auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hinsichtlich der als Folgen des Ereignisses vom 9. Juni 2005 angemeldeten Beschwerden im rechten Schultergelenk ist nicht zu beanstanden.
4. Da die Beschwerde offensichtlich unbegründet ist, wird sie im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG erledigt.
5. Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der SWICA Gesundheitsorganisation und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Hochuli