Faits:
A. Jusqu'en été 1998, le champ d'aviation de Payerne était exclusivement affecté à un usage militaire. Le 30 juin 1998, la Confédération a signé avec la Communauté régionale de la Broye (ci-après: la COREB) - une association de promotion régionale représentant les intérêts des districts vaudois et fribourgeois de la Broye - une convention prévoyant d'ouvrir l'aérodrome militaire de Payerne à l'aviation civile d'affaire et au transport de marchandises. Le 14 juillet 2000, cet accord a été remplacé par une convention d'une durée indéterminée. Celle-ci faisait de la COREB l'exploitant civil autorisé de certaines parties de l'aérodrome militaire; elle limitait en outre l'utilisation civile de l'aérodrome à huit cents mouvements annuels, plafonnés à seize mouvements par jour.
Par décision du 18 octobre 2000, le Conseil fédéral a intégré l'aérodrome militaire de Payerne dans le réseau des aérodromes militaires avec utilisation civile relevant du Plan sectoriel de l'infrastructure aéronautique (ci-après: PSIA). Cette décision prévoyait notamment que lorsque les valeurs limites d'immission fixées par les annexes 5 et 8 de l'ordonnance du 15 décembre 1986 sur la protection contre le bruit (OPB; RS 814.41) étaient déjà dépassées du fait de l'utilisation militaire de l'aérodrome, le bruit dû à l'utilisation civile ne devait pas entraîner une augmentation perceptible des émissions sonores totales.
B. Le 1er mai 2007, la COREB a soumis pour approbation à l'Office fédéral de l'aviation civile (ci-après: l'OFAC) les plans relatifs à la création de trois nouvelles infrastructures sur l'aérodrome de Payerne.
La première construction prévue est une halle destinée aux activités de la compagnie A._. Cette construction comprendrait un bâtiment administratif avec un restaurant d'entreprise, des logements et des salles de repos, ainsi qu'un hangar permettant d'installer des ateliers de maintenance et de stationner des avions. L'emprise au sol serait de 4'860 m2. Les aménagements extérieurs comprendraient plus de cent places de stationnement, une surface de manoeuvre pour l'accès au hangar, une surface de stationnement pour essais moteurs avec écrans paraphones ainsi que 4'800 m2 de surface réservée pour de nouveaux hangars. La deuxième infrastructure projetée est un tarmac pour l'aviation civile accompagné d'une voie de roulage; l'emprise au sol de ce projet atteindrait 18'000 m2. Le tarmac permettrait le transbordement de passagers et de marchandises du trafic aérien civil à l'écart des infrastructures militaires et le stationnement temporaire des avions. La fonction de la voie de roulage serait essentiellement d'assurer le passage des avions entre la partie militaire de l'aérodrome et le tarmac civil. Quant au troisième projet, il s'agit d'un bâtiment administratif comprenant un hangar réservé au Bureau fédéral d'enquêtes sur les accidents d'avions.
Simultanément au dépôt des plans, la COREB a soumis à l'OFAC une demande d'approbation d'un nouveau règlement d'exploitation destiné à permettre le développement des vols civils sur l'aérodrome de Payerne.
Les plans des constructions susmentionnées et le règlement d'exploitation ont été mis à l'enquête publique conjointement par avis publiés dans la Feuille fédérale du 8 mai 2007 et dans les organes de publication officiels des cantons de Vaud et Fribourg les 8 et 11 mai 2007. Diverses autorités fédérales ainsi que les cantons concernés ont été consultés par l'OFAC. Le projet a en outre fait l'objet d'une étude d'impact sur l'environnement. Cet impact a été jugé supportable à condition que les mesures intégrées aux projets soient mises en oeuvre.
C. Le 7 décembre 2007, le Conseil fédéral a adopté la fiche par installation "Payerne" du PSIA. Il a en particulier envisagé l'hypothèse d'un dépassement des valeurs limites d'immission en raison des opérations militaires dans le cadre d'une co-utilisation civile de l'aérodrome. Il a décidé que, dans ce cas, l'exploitation civile devait se dérouler du lundi au vendredi de 7h00 à 19h00; en dehors de ces heures, le nombre d'aéronefs civils devait être contingenté. Le 18 décembre 2007, la COREB et la Confédération ont conclu une nouvelle convention relative à la co-utilisation de l'aérodrome militaire de Payerne par l'aviation civile. Cette convention prévoit notamment une utilisation civile limitée à dix mille mouvements par an.
D. Les 31 janvier et 2 avril 2008, l'OFAC a rendu trois décisions par lesquelles il a approuvé les plans relatifs aux trois ouvrages envisagés sur l'aérodrome de Payerne, écartant ainsi les oppositions formulées à l'encontre de ces projets, dont celle de la Commune de Morens. L'Office fédéral n'a en revanche pas statué sur le règlement d'exploitation, la COREB devant encore fournir un complément relatif à la sécurité.
La Commune de Morens a recouru auprès du Tribunal administratif fédéral contre les décisions du 2 avril 2008 portant approbation des plans de la halle pour la société A._ et de ceux du nouveau tarmac. En revanche, elle ne contestait pas l'approbation des plans relatifs au troisième projet. La Commune de Morens se plaignait en substance d'un défaut de coordination des procédures et d'une violation de la législation fédérale sur la protection de l'environnement.
Par arrêt du 16 juin 2009, le Tribunal administratif fédéral a rejeté ce recours. Il a considéré qu'aucune règle de coordination n'avait été violée. Quant aux griefs relatifs à la protection de l'environnement, ils se rapportaient à l'exploitation de l'aérodrome de sorte qu'ils apparaissaient prématurés dans le cadre de la procédure d'approbation des plans. Le Tribunal administratif fédéral a néanmoins décidé de "les écarter comme mal fondés". L'arrêt attaqué précise encore que les ouvrages litigieux "respectent les prescriptions en matière de protection de l'environnement, sous réserve des questions relatives aux nuisances sonores qui sont l'objet de la procédure d'approbation du règlement d'exploitation" si bien que les griefs y relatifs doivent être rejetés.
E. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la Commune de Morens demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de prononcer le refus de l'approbation des plans, subsidiairement de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour complément d'instruction et nouvelle décision. La Communauté régionale de la Broye et l'Office fédéral de l'aviation civile concluent au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. L'Office fédéral de l'environnement a présenté des observations alors que le Tribunal administratif fédéral a renoncé à se déterminer. Au terme d'un second échange d'écritures, les parties persistent dans leurs conclusions.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 136 I 42 consid. 1 p. 43; 135 III 329 consid. 1 p. 331 et les arrêts cités).
1.1 Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), prise par le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF) dans une procédure d'approbation de plans d'infrastructures aéroportuaires (art. 82 let. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public au sens des art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée.
1.2 Selon l'art. 89 al. 1 LTF, la qualité pour former un recours en matière de droit public est reconnue à quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire, est particulièrement atteint par la décision ou l'acte normatif attaqué et a un intérêt digne de protection à son annulation ou sa modification. Si cette disposition est en premier lieu conçue pour des particuliers, les collectivités publiques peuvent s'en prévaloir à certaines conditions. D'après la jurisprudence, une collectivité publique peut se prévaloir de la qualité pour recourir sur cette base lorsqu'elle agit en tant que détentrice de la puissance publique et qu'elle dispose d'un intérêt public propre digne de protection à l'annulation ou la modification de la décision attaquée (ATF 135 II 156 consid. 3.1 p. 158; 133 II 400 consid. 2.4.2 p. 406; 131 II 58 consid. 1.3 p. 62 et les arrêts cités). Tel est notamment le cas lorsqu'une commune, représentant les intérêts de ses habitants, s'oppose à un projet provoquant des immissions importantes sur le territoire communal et touchant l'ensemble ou une grande partie de ses habitants (cf. ATF 131 II 753 consid. 4.3.3 p. 759; 123 II 371 consid. 2c p. 374 s. et les références). Ainsi, une commune sise à proximité d'un aéroport peut se voir reconnaître la qualité pour agir sur cette base (ATF 124 II 293 consid. 3b p. 304 et les arrêts cités).
En l'espèce, la commune recourante est située à proximité immédiate de l'aérodrome de Payerne et il est incontestable que les nuisances sonores générées par l'exploitation de celui-ci ont des répercussions importantes sur l'ensemble du territoire communal. La recourante peut donc légitimement se prévaloir de la défense des intérêts d'une grande partie de ses habitants et elle a un intérêt digne de protection à obtenir l'annulation ou la modification de la décision d'approbation des plans de nouvelles infrastructures sur ce site, dans la mesure où elle allègue que celles-ci entraîneraient des nuisances sonores supplémentaires. Partant, elle dispose de la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF.
1.3 Pour le surplus, déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prévues par la loi (art. 42 LTF), le recours est recevable.
2. A l'appui de son recours au Tribunal administratif fédéral, la recourante invoquait une violation du principe de la coordination formelle des procédures, au motif que le nouveau règlement d'exploitation n'avait pas été approuvé en même temps que les plans des installations litigieuses. Elle renonce expressément à reprendre ce grief dans le cadre du présent recours. L'objet du litige se limite donc aux griefs relatifs à la législation sur la protection de l'environnement.
3. La recourante soutient que l'arrêt attaqué viole l'art. 8 al. 2 OPB et l'art. 18 al. 1 de la loi fédérale du 7 octobre 1983 sur la protection de l'environnement (LPE; RS 814.01). En substance, elle fait valoir que la construction des infrastructures litigieuses sur l'aérodrome de Payerne constituerait une modification notable de cette installation. Pour cette raison, elle soutient que les plans n'auraient pas dû être approuvés car le projet ne prévoyait pas de travaux d'assainissement simultanés, destinés à limiter les émissions de bruit de l'ensemble de l'installation aux valeurs limites d'immission.
3.1 Aux termes de l'art. 18 al. 1 LPE, la transformation ou l'agrandissement d'une installation sujette à assainissement est subordonnée à l'exécution simultanée de celui-ci. Sont sujettes à assainissement les installations qui ne satisfont pas aux prescriptions de la LPE et des autres lois applicables à la protection de l'environnement (art. 16 al. 1 LPE). En matière de protection contre le bruit, l'art. 8 al. 1 OPB prévoit que lorsqu'une installation fixe déjà existante est modifiée, les émissions de bruit des éléments d'installation nouveaux ou modifiés devront, conformément aux dispositions de l'autorité d'exécution, être limitées dans la mesure où cela est réalisable sur le plan de la technique et de l'exploitation, et économiquement supportable. Selon l'art. 8 al. 2 OPB, lorsque l'installation est notablement modifiée, les émissions de bruit de l'ensemble de l'installation devront au moins être limitées de façon à ne pas dépasser les valeurs limites d'immission. L'art. 8 al. 3 OPB précise que les transformations, agrandissements et modifications d'exploitation provoqués par le détenteur de l'installation sont considérés comme des modifications notables d'une installation fixe lorsqu'il y a lieu de s'attendre à ce que l'installation même ou l'utilisation accrue des voies de communication existantes entraînera la perception d'immissions de bruit plus élevées.
3.2 Pour déterminer si la modification est notable au sens de l'art. 8 al. 2 et 3 OPB, il convient en principe de tenir compte de l'augmentation prévisible des immissions sonores (cf. ATF 119 Ib 463 consid. 7a p. 476; 115 Ib 446 consid. 4b p. 455; arrêt 1A.2/1996 du 7 août 1996, consid. 3b). Ce critère n'est cependant pas le seul à prendre en considération et il est possible qu'une modification soit qualifiée de notable même si elle n'entraîne pas d'augmentation significative de la charge sonore, mais qu'elle entraîne par exemple une augmentation de la capacité d'utilisation (ATF 133 II 181 consid. 7.2 p. 201 et les références citées; cf. ATF 117 Ib 101 consid. 4 p. 104 s.). Selon la doctrine, il peut en aller de même s'il s'agit de travaux d'une grande ampleur, qui modifient l'installation dans sa substance ou qui entraînent des coûts considérables (cf. ANNE-CHRISTINE FAVRE, La protection contre le bruit dans la loi sur la protection de l'environnement, 2002, p. 314; SCHRADE/WIESTNER, in Kommentar zum Umweltschutzgesetz, 2001, n. 17 et n. 22 ad art. 18 LPE; HEINZ AEMISEGGER, Aktuelle Fragen des Lärmschutzrechts in der Rechtsprechung des Bundesgerichts, in DEP 1994, p. 454).
S'agissant en particulier d'installations aéroportuaires, le Tribunal fédéral a qualifié de modification notable un agrandissement de l'installation impliquant la construction de nombreuses infrastructures qui permettraient une augmentation considérable des mouvements de ligne (ATF 125 II 643 consid. 17b p. 671). Il a également estimé qu'un agrandissement de l'aéroport de Zurich-Kloten entraînant une augmentation de ses capacités de 13 à 14% constituait une modification notable au sens de l'art. 8 al. 2 OPB (ATF 124 II 293 consid. 16b p. 328). En revanche, n'a pas été qualifiée de modification notable la construction d'un certain nombre de bâtiments sur le site de l'aérodrome de Berne-Belp - entre autres un bâtiment de la sécurité aérienne, une halle de stationnement pour avions, des aires de stationnement extérieures et l'amélioration des installations de distribution de carburant - notamment parce que rien n'indiquait que ces nouvelles installations auraient comme conséquence une augmentation des mouvements aériens (arrêt 1A.2/1996 précité, consid. 3b/cc).
En l'espèce, les travaux à entreprendre pour réaliser les installations litigieuses apparaissent importants. Il s'agit en effet d'une halle aux dimensions imposantes et d'aménagements extérieurs d'une grande emprise au sol. L'ampleur de ces installations doit cependant être relativisée au regard des installations militaires existantes et de la piste elle-même, qui sont largement plus étendues. Il s'agit en outre d'infrastructures nécessaires à l'exploitation d'un aérodrome, de sorte qu'on ne saurait considérer que les travaux litigieux modifieront l'installation dans sa substance. Par ailleurs, s'il est possible que le projet entraîne une utilisation accrue des voies de communication vers l'aérodrome et que les activités de maintenance au sol génèrent du bruit, ces immissions sonores devraient rester d'une importance très secondaire par rapport au bruit provoqué par les mouvements aériens (cf. ATF 125 II 643 consid. 15a p. 663). Dans ces conditions, les constructions projetées ne sont pas d'une importance telle qu'elles puissent à elles seules entraîner une modification notable de l'installation.
Compte tenu de la situation actuelle, il est évident qu'un éventuel accroissement significatif de la charge sonore ne pourrait résulter que d'une augmentation des vols sur le site de l'aérodrome de Payerne. En effet, comme le relèvent l'Office fédéral de l'environnement et l'Office fédéral de l'aviation civile dans leurs observations, ce ne sont pas les infrastructures elles-mêmes qui produiront du bruit, mais bien l'utilisation qui en sera faite si elle induit un accroissement du trafic aérien sur le site en question. Or, les nouvelles installations projetées n'entraîneront pas à elles seules une augmentation des vols civils. Certes, les parties admettent, du moins implicitement, que l'objectif des projets litigieux est de permettre une intensification de l'utilisation de l'aérodrome pour le trafic aérien civil. Le nombre et la fréquence des vols sont toutefois strictement encadrés par le règlement d'exploitation, soumis à l'approbation de l'autorité.
Ainsi, même si les travaux tendent à améliorer les capacités d'utilisation de l'aérodrome, une seconde procédure d'approbation devra être menée avant que l'exploitant puisse mettre à profit cette capacité d'utilisation accrue. Tant qu'aucune décision n'est rendue au sujet du nouveau règlement d'exploitation, les installations litigieuses ne pourront être utilisées pour le trafic aérien civil que dans la mesure permise par le règlement actuel. Il convient encore de relever à cet égard que les participants à la présente procédure n'allèguent pas que le trafic aérien pourrait être augmenté dans le cadre du règlement d'exploitation actuel.
En définitive, l'approbation des plans ne préjuge en rien de l'utilisation qui pourra être faite des installations en cause, cette question étant l'objet du règlement d'exploitation qui reste à approuver. L'exploitant prend donc un risque s'il entreprend les travaux avant d'avoir obtenu l'assurance qu'il pourra utiliser les installations conformément à ses plans. On aurait donc pu souhaiter, pour des raisons d'ordre pratique, que les plans soient approuvés en même temps que le règlement d'exploitation. Il n'y a cependant pas lieu d'examiner cette question plus avant, la recourante ayant expressément renoncé à présenter un grief relatif au principe de coordination. Dans ces conditions, on ne saurait retenir que les nouvelles infrastructures provoqueront, à elles seules, une augmentation de la charge sonore due aux mouvements de l'aviation civile. Elles ne peuvent donc pas être qualifiées de modification notable de l'installation au sens de l'art. 8 al. 2 OPB.
3.3 Les constructions projetées par l'intimée sur le site de l'aérodrome de Payerne ne constituant pas une modification notable de l'installation, la question d'un assainissement simultané de celle-ci ne se pose pas à ce stade. C'est donc bien dans le cadre de la procédure d'approbation du règlement d'exploitation qu'il conviendra d'examiner si une éventuelle utilisation accrue de l'aérodrome en raison des vols civils supplémentaires entraîne une modification notable de l'installation donnant lieu à assainissement (cf. ATF 129 II 331 consid. 2.1 p. 337 et la jurisprudence citée).
4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. La recourante, qui succombe, ayant agi dans l'exercice de ses attributions officielles, il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée, qui est une organisation partiellement chargée de tâches de droit public (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, à l'Office fédéral de l'aviation civile, au Tribunal administratif fédéral, Cour I, et à l'Office fédéral de l'environnement.
Lausanne, le 18 août 2010
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener