Sachverhalt:
A. A.a X._ (Beschwerdeführerin) und Y._ (Beschwerdegegner) sind die unverheirateten Eltern von A._, geboren im 2000. Der Beschwerdegegner hatte die Vaterschaft bereits vor der Geburt der Tochter anerkannt. Am 16. März 2001 schlossen die damals als Familie zusammenlebenden Eltern einen Unterhaltsvertrag, welcher von der zuständigen Vormundschaftsbehörde Z._ am 18. April 2001 genehmigt wurde. Mit Schreiben vom 12. August 2003 liessen die Eltern durch die Jugend- und Familienberatung Z._ der Vormundschaftsbehörde Z._ eine Elternvereinbarung betreffend gemeinsame elterliche Sorge und Unterhaltsvertrag zur Genehmigung einreichen. In Ziffer 1 dieser Vereinbarung bekunden die Eltern - nach kurzer Darlegung ihrer persönlichen Lebensumstände - den Willen, die Elternverantwortung für A._ gemeinsam wahrzunehmen. Für den Fall der Auflösung des gemeinsamen Haushaltes soll die Obhut über A._ der Mutter zukommen, wobei die Aufteilung der Betreuung unter Berücksichtigung der tatsächlichen Lebensverhältnisse der Eltern im Zeitpunkt der Auflösung des gemeinsamen Haushaltes vereinbart werden soll (Ziffer 3). Diese Vereinbarung wurde von der Vormundschaftsbehörde am 28. August 2003 genehmigt. Im Februar 2005 kam es zur Trennung der Eltern. A._ lebte fortan im Haushalt ihrer Mutter.
A.b Am 10. September 2006 gelangte die Beschwerdeführerin an die Vormundschaftsbehörde Z._ und ersuchte um Auflösung der seinerzeit vereinbarten Sorgerechtsregelung für A._. Zur Begründung führte sie an, sie sei seit der Trennung vom Beschwerdegegner eine neue Beziehung eingegangen und habe zwischenzeitlich auch geheiratet (D._). Die Kommunikation mit Y._ beschränke sich inzwischen auf das Nötigste. Des Weiteren gedenke sie, mit ihrer Familie (die Beschwerdeführerin ist Mutter zweier weiterer Töchter), in absehbarer Zeit eine Weile im Ausland zu leben. Sie wolle A._ dem Vater nicht vorenthalten und ihr Ferien und Besuchstage bei ihm ermöglichen. Die Vormundschaftsbehörde Z._ beauftragte daraufhin die Jugend- und Familienberatung Z._ mit der Abklärung des Sachverhaltes. Am 3. November 2006 legte der beauftragte Sozialarbeiter den einverlangten Bericht vor. Mit Schreiben vom 15. November 2006 teilte die Vormundschaftsbehörde Z._ den Eltern mit, dass sie die Einschätzung dieses Berichtes teile, keinen Handlungsbedarf sehe und daher die Angelegenheit als erledigt betrachte.
A.c Mit Schreiben vom 6. März 2007 orientierte die Beschwerdeführerin die Vormundschaftsbehörde Z._ dahingehend, dass sie vorhabe, bereits im Sommer 2007 mit ihrer Familie ins Ausland zu ziehen, und alles daran setze, mit ihrer Familie sobald als möglich ausreisen zu können, da sie der festen Überzeugung sei, ihren Kindern im Ausland eine bessere Zukunft bieten zu können; zudem seien die beruflichen Möglichkeiten für ihren Ehemann im Ausland günstiger. Die Vormundschaftsbehörde teilte der Beschwerdeführerin mit, dass eine Ausreise von A._ ins Ausland nur mit ausdrücklichem Einverständnis des Vaters erfolgen dürfe. Am 22. März 2007 fanden getrennt die Anhörungen der Eltern statt.
A.d Am 19. April 2007 erstattete E._ von der Erziehungsberatung Z._ ihren Bericht über die Anhörung von A._. Mit Beschluss vom 8. Mai 2007 errichtete die Vormundschaftsbehörde Z._ für das Kind eine Beistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 2 ZGB und ernannte F._, Sozialarbeiterin, Jugend- und Familienberatung Z._, zur Beiständin. Ihr übertrug sie eine Reihe an Aufgaben, einerseits in Bezug auf das Besuchsrecht und anderseits im Hinblick auf die Ausreise ins Ausland bzw. das gemeinsame Sorgerecht.
B. B.a Am 15. Juni 2007 gelangte die Beschwerdeführerin an den Bezirksrat Z._ und ersuchte um Auflösung der Vereinbarung zum gemeinsamen Sorgerecht. Zur Begründung verwies sie auf die für das laufende Jahr geplante Ausreise in ihr Heimatland, die Philippinen. Als Beweggründe für ihren Wegzug nannte sie neben den kulturellen und sprachlichen Aspekten die Möglichkeit, den Kindern dort ein besseres Leben auf wesentlich höherem Standard ermöglichen zu können. Mit Schreiben vom 8. Juli 2007 eröffnete die Beschwerdeführerin der Vormundschaftsbehörde Z._, dass sie im Hinblick auf den bevorstehenden Schulbeginn A._ bereits auf den Philippinen in einer Schule angemeldet habe; zugleich ersuchte sie um eine provisorische Bewilligung zur Ausreise. Bereits zuvor war A._ in Z._ für das Schuljahr 2007/ 2008 in die 1. Klasse eingeteilt worden. Die Beiständin erstattete ihren Bericht über ihre bisherigen Gespräche mit den Eltern und mit A._.
In seiner Stellungnahme zu diesem Bericht liess der Beschwerdegegner die Auflösung der Elternvereinbarung betreffend gemeinsames Sorgerecht und Übertragung der alleinigen Sorge auf sich beantragen. Die Mutter ihrerseits liess in ihrer Antwort ebenfalls die Aufhebung des gemeinsamen Sorgerechts und die alleinige Übertragung auf sie selber beantragen. In der Folge hörte die Vormundschaftsbehörde Z._ beide Eltern noch einmal an.
B.b Mit Beschluss vom 2. Oktober 2007 beantragte die Vormundschaftsbehörde Z._ dem Bezirksrat Z._ die Aufhebung des gemeinsamen Sorgerechts und seine Übertragung auf die Beschwerdeführerin. Zugleich regelte sie das Besuchsrecht für den Fall der Gutheissung des Antrages und zwar alternativ bei einem Verbleib der Beschwerdeführerin in der Schweiz und bei einer Ausreise nach den Philippinen. Für den Fall eines gegenteiligen Entscheides des Bezirksrates Z._ erklärte die Vormundschaftsbehörde das von ihr geregelte Besuchsrecht auch für die Mutter für verbindlich.
Gestützt auf diesen Antrag beschloss der Bezirksrat Z._ mit Entscheid vom 6. November 2007 die Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge und übertrug diese auf die Beschwerdeführerin. Weiter stellte er fest, dass sich das Besuchsrecht nach dem Beschluss der Vormundschaftsbehörde Z._ vom 2. Oktober 2007 richte. Den Antrag der Beschwerdeführerin auf Entzug der aufschiebenden Wirkung eines allfälligen Rekurses wies der Bezirksrat ab.
B.c Der Beschwerdegegner erhob dagegen Rekurs beim Obergericht des Kantons Zürich. Am 11. Januar 2008 wurden die Parteien und die Beiständin von A._ von der Kammer angehört. Die Parteivertreter erhielten zudem Gelegenheit zur Stellungnahme. Die Anhörung von A._ fand in Anwesenheit ihrer Beiständin F._ am 6. Februar 2008 statt; die Parteien erhielten Gelegenheit, sich zur Anhörung von A._ zu äussern.
Mit Beschluss vom 30. April 2008 entschied das Obergericht, die gemeinsame elterliche Sorge von der Beschwerdeführerin und dem Beschwerdegegner für A._ werde aufgehoben. Die alleinige elterliche Sorge für A._ werde dem Beschwerdegegner übertragen (Ziff. 1). Das Besuchsrecht der Beschwerdeführerin richte sich nach dem Beschluss der Vormundschaftsbehörde Z._ vom 2. Oktober 2007, d.h. die Beschwerdeführerin sei berechtigt, A._ während insgesamt vier Wochen Schulferien im Jahr auf eigene Kosten zu sich oder mit sich auf Besuch zu nehmen (Ziff. 2). Die bei der Kammer aufbewahrten Ausweisschriften von A._ (Schweizer und Philippinischer Reisepass) werden nach Eintritt der Rechtskraft dieses Beschlusses dem Beschwerdegegner auf erstes Verlangen ausgehändigt (Ziff. 3).
C. C.a Mit Eingabe vom 9. Juni 2008 hat die Beschwerdeführerin die Sache an das Bundesgericht weitergezogen. Sie beantragt, der angefochtene Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 30. April 2008 sei vollumfänglich aufzuheben und es sei in Bestätigung des Beschlusses des Bezirksrats Z._ vom 6. November 2007 der Beschwerdeführerin die alleinige elterliche Sorge über A._ zu übertragen. Eventualiter sei die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung und neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
C.b Sodann ersuchte die Beschwerdeführerin um Erlass von vorsorglichen Massnahmen in dem Sinne, dass die von der Vorinstanz aufbewahrten Ausweisschriften von A._ (Schweizer und philippinischer Reisepass) der Beschwerdeführerin herauszugeben seien; eventualiter seien die Ausweisschriften von A._ der Beschwerdeführerin für die Dauer der Sommerferien von A._ vom 14. Juli 2008 bis zum 17. August 2008 herauszugeben. Im Gegensatz zum Obergericht widersetzte sich der Beschwerdegegner den beantragten Massnahmen.
Mit Präsidialverfügung vom 24. Juni 2008 wurde das Gesuch abgewiesen.
C.c In der Sache hat das Obergericht auf Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdegegner schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Am 16. Juli 2008 und am 31. Juli 2008 sind weitere Eingaben der Parteien eingegangen.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid des Obergerichts ist letztinstanzlich im Sinne von Art. 75 Abs. 1 BGG. Gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 BGG steht die Beschwerde in Zivilsachen auf dem Gebiet der Aufsicht über die Vormundschaftsbehörden sowie auf dem Gebiet des Kindesschutzes (Ziff. 7) offen. Auf das Rechtsmittel ist demnach grundsätzlich einzutreten.
1.2 Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (Art. 95 BGG). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine "offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts" entspricht der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung (Botschaft, BBl 2001 IV 4338; BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252; 133 III 393 E. 7.1 S. 398). Dabei genügt es aber nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sein sollen (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255). Eine materielle Rechtsverweigerung ist nicht schon dann gegeben, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar oder gar zutreffender erschiene, sondern nur dann, wenn das Ergebnis schlechterdings mit vernünftigen Gründen nicht zu vertreten ist (BGE 124 IV 86 E. 2a mit Hinweisen; 120 Ia 369 E. 3a S. 373).
Soweit sich auch der Beschwerdegegner gegen tatsächliche Feststellungen der Vorinstanz wendet, gelten diese formellen Anforderungen an die Begründung auch für ihn.
1.3 Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz wiederholt willkürliche Tatsachenfeststellungen vor, ohne den Vorwurf hinreichend zu begründen. Die Parteien verkennen, dass das Bundesgericht - wie soeben ausgeführt - auf den Sachverhalt abstellt, wie er von der Vorinstanz festgehalten wurde und nur eingreifen kann, wenn dieser mit sachlichen Gründen schlicht nicht vertreten werden kann. Diese Voraussetzung ist vorliegend nicht erfüllt, auch wenn die Parteien in ihren nicht einverlangten Eingaben immer detaillierter auf einzelne Sachverhaltselemente eingehen. Das betrifft etwa die Vorbringen, es sei willkürlich, dass die Vorinstanz annehme, es gehe der Beschwerdeführerin offenkundig darum, ihren Kindern ein materiell besseres Leben zu bieten, wenn sie von einem "besseren Leben" spreche; oder es sei willkürlich, dass A._ lediglich wenig Englisch spreche, und es sei für sie kritisch, gleichzeitig zwei neue Sprachen, Englisch und Tagalog (die auf den Philippinen gebräuchliche Sprache), erlernen zu müssen; oder es sei unhaltbar, dass die Vorinstanz das Betreuungskonzept des Beschwerdegegners nicht als realitätsfremd bezeichnet habe.
1.4 Die Beschwerdeführerin hat dem Bundesgericht ein Schreiben ihres Ehemannes vom 31. Mai 2008 eingereicht, worin er u.a. bestätigt, dass er diverse Arbeiten von zuhause aus erledigen könne.
Gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (im gleichen Sinne schon die Praxis zur staatsrechtlichen Beschwerde: BGE 128 I 354 E. 6c S. 357 mit Hinweisen). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die erwähnte Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Beweismitteln erfüllt sein soll (BGE 133 III 393 E. 3). Da die Beschwerdeführerin nicht darlegt, der angefochtene Entscheid habe Anlass zur Nachreichung des Dokuments gegeben, ist das neu ins Recht gelegte Schriftstück unbeachtlich.
Nicht entgegengenommen werden kann auch die neu ins Feld geführte Tatsache des Beschwerdegegners, dass er derzeit netto rund Fr. 5'800.-- verdiene.
1.5 Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht wiederholt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor.
1.5.1 Gemäss Art. 29 Abs. 2 BV haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, anderseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheids dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache zu äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (BGE 127 I 54 E. 2c S. 56; 124 I 241 E. 2 mit Hinweisen). Sodann muss die Begründung eines Entscheids so abgefasst sein, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Dies ist nur möglich, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite des Entscheides ein Bild machen können. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde leiten liess und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Das bedeutet indessen nicht, dass sich diese ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (BGE 126 I 97 E. 2b S. 102; 112 Ia 109 E. b, mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat den angefochtenen Entscheid einlässlich begründet und im Einzelnen dargelegt, welche Elemente für ihren Entscheid massgeblich waren. Bei dieser Sachlage ist der Anspruch auf rechtliches Gehör nicht verletzt. Auf Einzelheiten wird im Sachzusammenhang zurückzukommen sein.
1.5.2 Die Beschwerdeführerin macht insbesondere geltend, in Verletzung des rechtlichen Gehörs sei nicht berücksichtigt worden, dass mit Eingabe ihres Anwalts vom 17. Januar 2008 ausdrücklich darauf hingewiesen worden sei, dass nicht nur (sprachliche) Verständigungsprobleme zu falschen Antworten wie etwa betreffend die Beziehungsdauer mit dem Beschwerdegegner etc. führten. Darin hat die Beschwerdeführerin darauf hingewiesen, dass sie sich teilweise nicht klar auszudrücken vermöge bzw. offensichtlich gar schon die Fragen nicht richtig erfassen könne. Diese Eingabe - wie die weiteren - wurde gemäss dem angefochtenen Entscheid dem Rechtsvertreter des Beschwerdegegners formlos zugestellt bzw. zur Kenntnis gegeben (Beschluss, S. 6, B. Ziff. 3). Die Beschwerdeführerin räumt selber ein, dass die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz den Protokollen entsprächen. Diese wären zu ergänzen und zu berichtigen gewesen, wenn Unzutreffendes protokolliert worden wäre, was die durch einen Anwalt vertretene Partei wissen musste. Es kommt hinzu, dass die Vorinstanz die protokollierten Aussagen der Beschwerdeführerin nicht in offensichtlicher Verkennung ihrer sprachlichen Schwierigkeiten verwendet hat. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor.
2. Wie für alle Zivilverfahren, welche die Regelung von Belangen unmündiger Kinder zum Gegenstand haben, gilt auch im Anwendungsbereich von Art. 298a ZGB die Untersuchungsmaxime. Dementsprechend hat das Gericht - selbst ohne entsprechenden Parteiantrag - jene Abklärungen zu treffen, die nötig und geeignet sind, den massgeblichen Sachverhalt zu erstellen. In diesem Zusammenhang ist auf Art. 145 ZGB hinzuweisen, welcher die prozessrechtliche Grundnorm für die Ermittlung des Sachverhaltes in Kinderbelangen darstellt. Unter dem Randtitel "Abklärung der Verhältnisse" wird bestimmt, dass das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen und nötigenfalls Sachverständige beizuziehen hat (Urteil 5P.212/2002 vom 12. November 2002, E. 2.2.4, publiziert in Pra 2003 Nr. 103, S. 555, und FamPra.ch 2003 S. 449).
Die in der Praxis erarbeiteten Kriterien der Kindeszuteilung nach Scheidung kommen bei unverheirateten Eltern ebenso zur Anwendung (Isabelle Egli/Annatina Wirz, in: FamKommentar Scheidung, Hrsg. Ingeborg Schwenzer, Bern 2005, N. 23 zu Art. 298a ZGB , S. 970; Ingeborg Schwenzer, Basler Kommentar, ZGB I, 3. Aufl., N. 16 zu Art. 298a ZGB, S. 1576). Für die Zuteilung der Kinder sind deshalb die vom Bundesgericht in der langjährigen Rechtsprechung zum früheren Art. 156 ZGB umschriebenen Gesichtspunkte wegleitend. Entscheidend ist das Kindeswohl. Die Interessen der Eltern haben in den Hintergrund zu treten. Ausser Betracht zu bleiben haben auch emotionale Widerstände des einen Ehegatten gegenüber dem die Scheidung oder Trennung begehrenden anderen Ehegatten (BGE 115 II 206 E. 4a S. 209 und 317 E. 2 S. 319; 117 II 353 E. 3 S. 354 f.). Gleichwohl ist das Verhältnis zwischen den Eltern bei der Zuteilung der elterlichen Sorge von Bedeutung, ist doch im Zweifelsfall demjenigen Elternteil der Vorzug zu geben, bei welchem die Bereitschaft grösser ist, dem Kind den Kontakt zum anderen Elternteil zu ermöglichen. Den Bedürfnissen der Kinder ist entsprechend ihrem Alter, ihren Neigungen und ihrem Anspruch auf elterliche Fürsorglichkeit, Zuwendung und Erziehung bestmöglich zu entsprechen. Als massgebliche Gesichtspunkte stehen dabei im Vordergrund die persönlichen Beziehungen der Eltern zu den Kindern, ihre erzieherischen Fähigkeiten und ihre Bereitschaft, die Kinder in eigener Obhut zu haben und sie weitgehend persönlich zu betreuen und zu pflegen. Auch dem Bedürfnis der Kinder nach der für eine harmonische Entfaltung in körperlicher, seelischer und geistiger Hinsicht notwendigen Stabilität der Verhältnisse ist Rechnung zu tragen (BGE 114 II 200 E. 3 S. 201 f.; 112 II 381 E. 3 S. 382 f.). Das letztgenannte Kriterium erhält bei ungefähr gleicher Erziehungs- und Betreuungsfähigkeit besonderes Gewicht (BGE 115 II 206 E. 4a S. 209). Bei der Beurteilung steht den kantonalen Behörden, welche die Parteien und die Verhältnisse besser kennen als das Bundesgericht, ein erhebliches Ermessen zu. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn einschlägige Kriterien grundlos ausser Betracht geblieben oder offenkundig falsch gewichtet worden sind, oder wenn die Zuteilung auf Überlegungen abgestützt worden ist, die unter dem Gesichtswinkel des Kindeswohls bedeutungslos sind oder gegen die dargelegten bundesgerichtlichen Grundsätze verstossen (BGE 117 II 353 E. 3 S. 355; 115 II 317 E. 2 S. 319).
3. 3.1.1 Die Vorinstanz führt zur Beziehung der beteiligten Personen - zusammengefasst - aus, die Aussagen des Beschwerdegegners über die Zeit des Zusammenlebens mit der Beschwerdeführerin, die dabei aufgetauchten und mit der Zeit zunehmenden Schwierigkeiten, sein Bemühen, für alle drei Kinder verlässlich zu sein, seine Anstrengungen in der alltäglichen Betreuung von A._ auch bereits als Säugling und ihre Empfindungen bei seinem Auszug aus dem gemeinsamen Haushalt erschienen als authentisch, emotional spürbar, nachvollziehbar und lebensnah. Umgekehrt wirkten die Ausführungen der Beschwerdeführerin über das Zusammenleben mit dem Beschwerdegegner, ihren beiden Mädchen aus erster Ehe und mit A._ tendenziell eher farblos, emotional wenig teilnehmend und belastende Umstände und Schwierigkeiten in der Paarbeziehung bzw. im Umgang mit und im Verhältnis zu den beiden heranwachsenden Töchtern C._ und B._ verharmlosend bzw. beschönigend, auch wenn möglicherweise ihre Ausdrucksweise weniger differenziert sein möge und durch die Übersetzung zusätzlich behindert worden sei. Es sei daher davon auszugehen, dass der Beschwerdegegner seit der Geburt von A._ zu ihr ein inniges Verhältnis aufgebaut, sie zumindest während der Dauer des Zusammenlebens (August 2000 bis ca. Februar 2005) teilweise betreut und gepflegt und die Beziehung zu ihr vertieft und gestärkt habe, sich für sie als verlässliche Bezugsperson erwiesen habe. Die Beschwerdeführerin habe selber ohne weitere Erläuterung oder Erklärung eingeräumt, der Beschwerdegegner sei zu A._ ein guter Vater gewesen, der aber ausser am Wochenende keine Zeit gehabt habe und dann immer nur habe spazieren gehen wollen. Diese Einschränkungen seien angesichts der vom Beschwerdegegner einfühlsam geschilderten Beziehung zu A._ mit einer gewissen Zurückhaltung aufzunehmen. Aus dem Abklärungsbericht der Jugend- und Familienberatung Z._ vom 3. November 2006, welcher wegen der von der Beschwerdeführerin ins Auge gefassten Rückwanderung auf die Philippinen und der damit zusammenhängenden zwischenzeitlich aktuell gewordenen Anpassung der Elternvereinbarung in Auftrag gegeben worden sei, ergebe sich, dass sich der Beschwerdegegner nach der Trennung von der Beschwerdeführerin aktiv um seine Tochter A._ gekümmert habe.
Die Vorinstanz hat aus den vorgelegenen Berichten und den soweit übereinstimmenden Äusserungen der Parteien geschlossen, sie hätten sich auch nach ihrer Trennung während längerer Zeit einvernehmlich über ein regelmässiges und eher ausgedehntes Besuchsrecht einigen können, welches auch gelebt worden sei bzw. vom Beschwerdegegner habe ausgeübt werden können. Aus den Akten ergäben sich auch keinerlei Hinweise auf ein verschlechtertes Verhältnis von A._ zu ihrem Vater seit der Trennung ihrer Eltern. Nach dem von der Beiständin F._ am 21. August 2007 verfassten Bericht, der auf Gesprächen mit beiden Elternteilen und mit A._ basiere, fühle sich A._ bei beiden Elternteilen wohl. Keinen anderen Eindruck habe die Anhörung von A._ vermittelt, auch wenn sie dabei vornehmlich über die geplante Ausreise nach den Philippinen und die Umstände, die sie dort antreffen werde, berichtet habe. Es sei demnach festzuhalten, dass A._ zu beiden Elternteilen eine tiefe, innige und stabile Beziehung habe, und tiefgreifende und unüberwindliche Uneinigkeiten, welche der gedeihlichen Entwicklung von A._ abträglich wären, hätten sich durch die Trennung ihrer Eltern nicht ergeben.
3.1.2 Die Beschwerdeführerin rügt vorerst, die Vorinstanz habe unterlassen zu gewichten, dass der Beschwerdegegner mit der im vorliegenden Verfahren gezeigten "Schlechtmacherei der Kindsmutter" keinerlei Gewähr dafür biete, dass bei einer Zuteilung der elterlichen Sorge an den Vater die Gefahr bestünde, dass aufgrund seiner Haltung die Beziehung zwischen A._ und ihrer Mutter nachhaltig gestört und geschädigt würde. Damit wende die Vorinstanz nicht nur Art. 298a Abs. 2 ZGB falsch an, sie verletze auch den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör, indem sie ohne Begründung auf die von ihr ausführlich vorgetragene Problematik nicht eingehe. Die Beschwerdeführerin verweist dabei auf act. 13 Rz. 5.
Verweisungen auf Eingaben im kantonalen Verfahren zur Begründung der Beschwerde sind unzulässig (BGE 133 II 396 E. 3.2 S. 400; 114 Ia 317 E. 2b S. 318). Im Übrigen ergibt sich insbesondere aus der verwiesenen Randziffer 5 von act. 13, dass sich auch die Beschwerdeführerin mit Vorwürfen an die Adresse des Beschwerdegegners nicht zurückhält. Insgesamt kann jedenfalls nicht gesagt werden, die Vorinstanz habe die "Schlechtmacherei der Beschwerdeführerin" durch den Beschwerdegegner in unhaltbarer Weise nicht gewürdigt. Sie ist vielmehr auf beiden Seiten auf persönliche Anwürfe nicht eingegangen.
3.1.3 Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, es sei unbestritten, dass sie seit Geburt die Hauptbezugsperson von A._ sei und sich ausschliesslich der Betreuung von A._ (und deren Halbschwestern) gewidmet habe. Während der Beschwerdegegner zwar in den ersten Lebensjahren von A._ im gemeinsamen Haushalt gelebt habe, sich dabei aber alleine schon aufgrund seiner Arbeitsauslastung nur sehr eingeschränkt an der Betreuung von A._ beteiligt habe, habe sich sein Kontakt zu ihr seit der Trennung der Parteien im Februar 2005 in einem Wochenendbesuchsrecht erschöpft, welches alle 2 Wochen ausgeübt werde. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Anspruch auf rechtliches Gehör und das Willkürverbot verletzt mit Bezug auf die Feststellung, es treffe in der geschilderten Schärfe nicht zu, dass das gemeinsame elterliche Sorgerecht nach der Trennung nicht mehr im ursprünglich vereinbarten Sinn gelebt worden sei, sondern die Funktion des Beschwerdegegners habe sich auf die eines Besuchsrechtsvaters beschränkt.
Nach den verbindlichen obergerichtlichen Feststellungen hatten die Parteien während der Dauer ihres Zusammenlebens je eine gute tragfähige Beziehung zu A._ und hat die Tatsache, dass sich die Parteien getrennt haben und die Beschwerdeführerin sich wieder verheiratet hat, an der guten Beziehung zwischen dem Beschwerdegegner und seiner Tochter nichts Wesentliches geändert. Abgesehen davon, dass die Beschwerdeführerin den angefochtenen Entscheid diesbezüglich hat anfechten können, und deshalb keine Gehörsverletzung vorliegt, trifft auch der konnexe Willkürvorwurf nicht zu. Denn gestützt auf die amtlichen Berichte hat das Obergericht nach der Trennung der Parteien keine Schwächung der Vater-Tochter-Beziehung feststellen dürfen; diese Feststellung erscheint auch aufgrund der Einwände der Beschwerdeführerin nicht als willkürlich.
3.1.4 Sodann macht die Beschwerdeführerin geltend, es sei in Lehre und Rechtsprechung unbestritten, dass die elterliche Sorge in der Regel demjenigen Elternteil zugesprochen werde, der sich auch bis anhin im Rahmen des gemeinsamen Haushaltes vorwiegend der Kinderbetreuung gewidmet habe und dem dies auch in Zukunft möglich sei. Der Beschwerdegegner sei jedoch nur während eineinhalb Jahren Mitinhaber der elterlichen Sorge gewesen.
Die Vorinstanz hat sowohl dem Vater als auch der Mutter Erziehungsfähigkeit attestiert und dabei auch willkürfrei abgeklärt, welcher Elternteil sich inwiefern der Kinderbetreuung gewidmet hat. Im Übrigen hat sich die Neuregelung der elterlichen Sorge nach Aufhebung der gemeinsamen elterlichen Sorge ausschliesslich am Kindeswohl zu orientieren. Ein Vorrang der Mutter, wie er in Art. 298 Abs. 1 ZGB niedergelegt ist, besteht nach Art. 298a Abs. 2 ZGB nicht. Dies liesse sich mit dem Kindeswohl, das eine Beurteilung des jeweiligen Einzelfalles gebietet, nicht vereinbaren (Ingeborg Schwenzer, Basler Kommentar, ZGB I, 3. Aufl., N. 16 zu Art. 298a ZGB, S. 1576). Die Vorinstanz hat kein Bundesrecht verletzt, wenn sie der Mutter nicht von vorneherein den Vorrang gegeben hat, sondern die Umstände umfassend im Lichte des Kindswohls gewürdigt hat.
3.1.5 Ferner rügt die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe erwogen, dass sie zusammen mit ihrem Ehemann ein gemeinsames Familienleben eher auf Distanz führen werde und den Alltag hauptsächlich alleine werde bewältigen müssen. Diese Annahme erfolge in Verletzung des rechtlichen Gehörs der Beschwerdeführerin sowie der Untersuchungsmaxime und sei willkürlich.
Im angefochtenen Beschluss wird dazu erwähnt (S. 20), nach den Angaben des Ehemannes der Beschwerdeführerin habe er per Ende Januar 2008 seine Arbeitsstelle in Singapur angetreten. Gemäss dem vorliegenden Dienstleistungsvertrag mit der G._ AG, Vaduz/FL, und dem zugehörigen Aktenvermerk sei die Dauer des Einsatzes bis Ende 2008 befristet, wobei eine weitere Zusammenarbeit vorgesehen sei. Da Singapur als Arbeitsort und die Philippinen als Wohnort nicht in nächster Nachbarschaft lägen, dürfte daher ein gemeinsames Familienleben eher auf Distanz geführt werden müssen, d.h. die Beschwerdeführerin dürfte auch bei Rückkehr auf die Philippinen wenigstens teilweise ohne ihren Ehemann leben und den Alltag hauptsächlich alleine bewältigen müssen. Ihr Ehemann wolle zwar teilweise von zu Hause aus seiner Arbeitstätigkeit nachgehen (Protokoll S. 37), was der erwähnte Dienstleistungsvertrag aber lediglich als Eventualität vorsehe.
Einen Anspruch darauf, für rechtserhebliche Sachvorbringen zum Beweis zugelassen zu werden - wenn der Beweisantrag nach Form und Inhalt den Vorschriften des kantonalen Rechts entspricht - geben sowohl Art. 29 Abs. 2 BV als auch Art. 8 ZGB, wobei bei der Beurteilung zivilrechtlicher Ansprüche Art. 8 ZGB zum Zuge kommt. Eine Verletzung des Rechts auf Beweis gemäss Art. 8 ZGB liegt nicht deswegen vor, weil dem Antrag der Beschwerdeführerin auf Befragung ihres Ehemannes nicht entsprochen wurde, denn Art. 8 ZGB schliesst die antizipierte Beweiswürdigung nicht aus (BGE 114 II 289 E. 2a S. 291). Und inwiefern Letztere willkürlich sein soll, wird nicht rechtsgenüglich dargetan.
3.1.6 In diesem Zusammenhang bringt die Beschwerdeführerin sodann vor, ihr Ehemann führe mit seiner Firma Aufträge aus, welche insbesondere die Beratung und Implementation betreffend Informatiksysteme im Banken- und Finanzbereich beträfen. Es sei eine Zusammenarbeit mit der Firma H._ vereinbart, wobei im Vertrag (Ziff. 6) vorgesehen sei, dass die Arbeit (vergleichbar mit Arbeit für G._) "remotely" - also nicht in der Firma selber, sondern eben z.B. von Zuhause aus - und von den Örtlichkeiten der Auftraggeberin in Manila aus erledigt werden könne. Es könne keinesfalls davon ausgegangen werden, dass sich das bisherige Verhältnis des Ehemannes zu den Kindern durch die Auswanderung verändern und die Beschwerdeführerin vermehrt mit den Kindern alleine gelassen werde. Das Obergericht hat die Tätigkeit des Ehemannes ausserhalb der Philippinen weder nach Tagen noch nach Wochen festgelegt. Mit der blossen Behauptung, die Abwesenheiten würden deutlich weniger umfangreich sein als von der Vorinstanz angenommen, kann Willkür nicht begründet werden.
3.1.6 In diesem Zusammenhang bringt die Beschwerdeführerin sodann vor, ihr Ehemann führe mit seiner Firma Aufträge aus, welche insbesondere die Beratung und Implementation betreffend Informatiksysteme im Banken- und Finanzbereich beträfen. Es sei eine Zusammenarbeit mit der Firma H._ vereinbart, wobei im Vertrag (Ziff. 6) vorgesehen sei, dass die Arbeit (vergleichbar mit Arbeit für G._) "remotely" - also nicht in der Firma selber, sondern eben z.B. von Zuhause aus - und von den Örtlichkeiten der Auftraggeberin in Manila aus erledigt werden könne. Es könne keinesfalls davon ausgegangen werden, dass sich das bisherige Verhältnis des Ehemannes zu den Kindern durch die Auswanderung verändern und die Beschwerdeführerin vermehrt mit den Kindern alleine gelassen werde. Das Obergericht hat die Tätigkeit des Ehemannes ausserhalb der Philippinen weder nach Tagen noch nach Wochen festgelegt. Mit der blossen Behauptung, die Abwesenheiten würden deutlich weniger umfangreich sein als von der Vorinstanz angenommen, kann Willkür nicht begründet werden.
3.2 3.2.1 Das Obergericht hat mit Bezug auf die Gründe der Beschwerdeführerin, in ihre frühere Heimat zurückzukehren, - zusammengefasst - Folgendes festgestellt und erwogen:
Die Beschwerdeführerin stelle in den Vordergrund, ihre älteste Tochter C._ habe die Schweizer Mentalität angenommen, sei hier voll integriert und habe nichts Philippinisches mehr an sich. Dies wolle sie bei B._ und A._ vermeiden. Sie möchte, dass die beiden jüngeren Kinder lernten, Philippininnen zu sein, ihre Mutter zu respektieren und nicht immer nur von ihr Leistungen zu erwarten. B._ habe nicht besonders gute Schulleistungen, sie besuche die Sekundarstufe B. Auf den Philippinen stünden ihr mehr Chancen offen; sie könnte eine internationale Privatschule besuchen, was sie sich hier niemals leisten könnten, und hätte allenfalls die Möglichkeit, auf ein College zu gehen. An der Anhörung vor der Kammer habe die Beschwerdeführerin zudem ausgeführt, sie wolle auf den Philippinen ein neues Leben aufbauen. Zu arbeiten beabsichtige sie vielleicht später, wenn die Kinder gut versorgt seien. Anlässlich ihrer Befragung bei der Vormundschaftsbehörde im September 2007 habe sie angegeben, das Wichtigste für sie sei, A._ und B._ bei sich zu haben und mit ihnen in die Philippinen ausreisen zu können. Da ihre Familie in ihrer Nähe wohne und ihr im Bedarfsfall helfe, würde A._ nötigenfalls von der eigenen Familie betreut werden oder könnte mit ihren Cousins spielen. Weiter meinte sie, A._ würde in der vorgesehenen Schule sehr gut betreut und gefördert werden und hätte mit einem Abschluss einer Privatschule bessere Chancen auf dem Arbeitsmarkt. Sie möchte bei B._ und A._ nicht die gleichen Fehler begehen wie bei ihrer Tochter C._. Sie möchte den beiden Töchtern A._ und B._ ein besseres Leben mit mehr Zusammengehörigkeitsgefühl bieten, mit mehr Familiensinn und Respekt vor den Erwachsenen, insbesondere älteren Erwachsenen gegenüber. Dies würde aber bei einem Verbleib in der Schweiz nicht der Fall sein.
Das Obergericht fährt fort, es sei zwar ohne weiteres einfühlbar und verständlich, sinnvoll und legitim, dass die Beschwerdführerin ihren Kindern ihre eigene Herkunft und ihre Familie, ihre Kultur und Sprache bekannt und ihnen vertraut machen wolle. Tatsache sei hingegen, dass sie mit ihren Kindern bis anhin kaum in ihrer eigenen Muttersprache gesprochen und ihnen diese nicht gelehrt habe bzw. nur bruchstückhaft, so dass eine Verständigung in ihrer Muttersprache bisher nicht möglich gewesen sei. Da die Beschwerdeführerin mit ihren Kindern bisher fast ausschliesslich in der Schweiz gelebt habe und die beiden älteren Töchter hier die Schule besucht und C._ auch eine Ausbildung absolviert hätten, liege es auf der Hand, dass die Töchter sich den hier geltenden gesellschaftlichen Gepflogenheiten angepasst hätten. Daneben sei aber anzunehmen, dass die Beschwerdeführerin in der Erziehung und Betreuung ihrer Töchter ihre ihr wichtig scheinenden und durch ihre eigene kulturelle und soziale Herkunft geprägten Ideen und Vorstellungen über Normen und Regeln des Zusammenlebens in der Familie und der weiteren Gesellschaft habe einfliessen lassen und ihren Töchtern auf diese Weise ihre ihr als zentral und unverzichtbar scheinenden Werte vermittelt habe. Die Option regelmässiger Ferienbesuche und der Erwerb einer Liegenschaft auf den Philippinen habe sich erst mit der Heirat ihres jetzigen Ehemannes gegeben. Die Vermittlung der eigenen ethischen und kulturellen Werte hänge aber nicht schwergewichtig vom Wohnort ab.
3.2.2 Von vornherein unbegründet ist der Einwand, die Tochter B._ werde im angefochtenen Entscheid nicht erwähnt, denn entgegen der Behauptung der Beschwerdeführerin ist von ihr wiederholt die Rede. Wenn sie behauptet, für A._ sei die Beziehung zu ihrer Halbschwester von besonderer Bedeutung und die beiden dürften nicht getrennt werden, dann ist dieser Einwand zwar von Bedeutung und er muss mitbeachtet werden. Immerhin ist in diesem Zusammenhang darauf hinzuweisen, dass B._ nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz die Schweiz bereits vor Weihnachten 2007 verlassen hat und seither auf den Philippinen wohnt und dort eine Privatschule besucht. Zudem besteht ein erheblicher Altersunterschied zwischen den beiden.
3.2.3 Sodann führt die Beschwerdeführerin aus, der Kopie des Kaufvertrags vom 29. Juni 2006 sowie das "Acceptance Sheet" vom 30. April 2007 (eine Art Abnahme-/Übergabeprotokoll) ergebe sich zweifelsfrei, dass sie Eigentümerin der betreffenden Liegenschaft auf den Philippinen sei. Es ist nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz gestützt auf die ihr unterbreiteten Beweismittel annahm, der Hauskauf in Manila sei nicht nachgewiesen. Die dem Bundesgericht eingereichten Dokumente wurden lange vor Ausfällung des angefochtenen Entscheids verfasst und können nicht entgegengenommen werden (E. 1.4 hiervor). Zudem ist dieser Aspekt nicht entscheidwesentlich, ging doch auch die Vorinstanz nicht davon aus, das Wohnen biete im Fall der Auswanderung Probleme.
3.2.4 Im Weiteren beanstandet die Beschwerdeführerin, die Vorinstanz stelle infrage, ob ihre Wertvorstellungen der philippinischen Gesellschaft in den Philippinen noch so vorhanden seien, wie sie sich dies vorstelle. Sie führt aus, sie könne das philippinische Selbstverständnis weit besser beurteilen, als die Vorinstanz, weil sie in den vergangenen Jahren regelmässig in den Philippinen war. Die in keiner Weise auf irgendwelche objektiven Anhaltspunkte abgestützte Auffassung der Vorinstanz erweise sich daher als willkürlich. Die Mutmassung des Obergerichts, die Vorstellung über den Alltag auf den Philippinen stimme möglicherweise nicht in jeder Beziehung mit der Wirklichkeit überein, ist für sich nicht entscheidend und stellt nur ein Begründungselement dar, mit welchem das Obergericht die von der Beschwerdeführerin vorgetragenen Motive für die beabsichtigte Emigration mit Blick auf das Kindeswohl relativierte. Die kantonalen Richter haben dabei vorab in Zweifel gezogen, dass (teuer bezahlte) Privatschulen eher Gewähr böten für eine erfolgreiche berufliche Karriere, wo die Kinder zudem in einer ihr nicht als Muttersprache geläufigen Fremdsprache unterrichtet würden (Urteil Obergergicht, E. 4.1.3.3 S. 25/26). Diese Argumentation ist nicht willkürlich, zumal ihre Auswirkung auf das Ergebnis beschränkt ist (BGE 131 I 217 E. 2.1 mit Hinweisen).
3.2.5
3.2.5.1 Die Beschwerdeführerin ist ferner der Meinung, es sei dem Beschwerdegegner möglich, seine Tochter auf den Philippinen zu besuchen. Wenn die Vorinstanz nun ungeachtet des beruflichen Aufstiegs des Beschwerdegegners die von ihm im Jahr 2003 rudimentär angegebenen finanziellen Verhältnisse als aktuell massgebend heranziehe, habe sie den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt (Art. 97 Abs. 1 BGG) und willkürlich gehandelt. Dabei sei zu berücksichtigen, dass der Beschwerdegegner eine kleine Wohnung bewohne und alleinstehend sei. Die Beschwerdeführerin habe ihm angeboten, die Unterhaltszahlungen für A._ zumindest teilweise - Fr. 250.-- pro Monat - für die Finanzierung der Flugreisen zu verwenden.
3.2.5.2 Zu den persönlichen Verhältnissen des Beschwerdegegners wird im obergerichtlichen Entscheid festgehalten (S. 29 Ziff. 4.2.1), dieser sei als operativer Leiter des Expertisen-Center der Zürich Versicherung tätig. Das Einkommen habe er bei Vereinbarung der gemeinsamen elterlichen Sorge im August 2003 mit monatlich Fr. 4'800.-- netto beziffert, wobei er damals als Automechaniker erwerbstätig gewesen sei. Das momentane Einkommen sei zwar nicht bekannt, doch dürfe nach allgemeiner Lebenserfahrung angenommen werden, dass dieses heute nicht tiefer sei als 2003. Der Beschwerdegegner sei nach seinen Ausführungen an der Anhörung vor der Kammer in einem üblichen Umfang berufstätig und in der Einteilung seiner Arbeitszeit frei. Er wohne in I._, einem Ortsteil von Z._, wo die Beschwerdeführerin bisher wohnhaft (gewesen) sei, und lebe seit der Trennung (anfangs 2005) alleine. Im Falle der Zuteilung der elterlichen Sorge an ihn plane er, in Z._ Wohnsitz zu nehmen, möglichst in der Nähe des bisherigen Wohnortes von A._, um den Verbleib in der bisherigen Schule zu erhalten.
Die Vorinstanz fährt fort (S. 31 E. 4.3), dass die finanziellen Verhältnisse des Beschwerdegegners ihm kaum eine oder gar mehrmalige Reise(n) samt Aufenthalt pro Jahr auf die Philippinen erlaubten, um den direkten Kontakt mit seiner Tochter beibehalten und pflegen zu können. Bei einer Übersiedlung von A._ auf die Philippinen sei daher damit zu rechnen, dass der persönliche Kontakt zwischen ihr und ihrem Vater nur noch spärlich oder sporadisch werde stattfinden können und sich tendenziell eher auf die Formen moderner Kommunikationsmittel beschränken werde. Für eine gedeihliche Entwicklung eines Kindes sei eine gelebte Beziehung und ein direkter unmittelbarer Kontakt zu beiden Elternteilen nicht nur erwünscht, sondern unabdingbar. Dies sei bei Übertragung der elterlichen Sorge an die Beschwerdeführerin weniger gewährleistet als bei Zuteilung der elterlichen Sorge an den Beschwerdegegner. Die Beschwerdeführerin sei wie erwähnt seit Eingehen ihrer Partnerschaft und Heirat mit D._ bereits verschiedentlich auf die Philippinen gereist, was ihr zuvor nicht möglich gewesen sei. Unter diesen Umständen dürfe angenommen werden, dass sie auch in Zukunft einmal oder mehrmals pro Jahr in die Schweiz reisen könne, um den persönlichen Kontakt und die Beziehung zu A._ aufrechtzuerhalten. Diese Annahme rechtfertige sich umso mehr, als die älteste Tochter der Beschwerdeführerin in der Schweiz lebe.
3.2.5.3 Die Beschwerdeführerin rügt, der Beschwerdegegner habe selber gar nie geltend gemacht, er verfüge nicht über die finanziellen Möglichkeiten, in die Philippinen zu reisen bzw. die Reise von A._ in die Schweiz zu bezahlen; und dieser Punkt habe im Verfahren bis vor Obergericht nie Thema gebildet. Dass der Beschwerdeführerin keine Möglichkeit geboten worden sei, zu diesem Umstand Stellung zu nehmen, sei als Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör zu qualifizieren.
Der Einwand geht fehl. Es trifft zwar zu, dass in Kinderbelangen uneingeschränkt der Untersuchungsgrundsatz gilt (zu Begriff und Tragweite: BGE 128 III 411 E. 3.2.1). Mit der Untersuchungsmaxime geht aber nicht die Plicht des Richters einher, auf alle Beweismittel zu reagieren. Demnach ist er nicht gehalten weitere Nachforschungen anzustellen, sofern er sich bereits aufgrund der erbrachten Beweise ein Bild hat machen können (Peter Breitschmid, Basler Kommentar, ZGB I, 3. Aufl., N. 1 zu Art. 145 ZGB, S. 912 mit Hinweis auf das Urteil des Bundesgerichts vom 23. Mai 2005 [5C.22/2005], E. 2.2, publiziert in FamPra.ch 2005 S. 950). Die kantonalen Richter durften (implizite) in Betracht ziehen, dass die Beschwerdeführerin durch ihre Heirat bedeutend besser gestellt ist als der Beschwerdegegner (ihr Ehemann verdient 28'000 bis 30'000 Franken pro Monat, Protokoll S. 32). Das Obergericht war damit nicht gehalten abzuklären, wieviel mehr als den zuletzt ausgewiesenen Monatslohn von Fr. 4'800.-- der Beschwerdegegner nun heute verdient. Es durfte zudem ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs und des Willkürverbots die ihm wesentlich scheinenden tatsächlichen Schlussfolgerungen im Hinblick auf die Reisemöglichkeiten der Eltern ziehen.
3.2.5.4 Mit Bezug auf die Aufrechterhaltung des persönlichen Kontaktes haben die Eltern alles zu unterlassen, was das Verhältnis des Kindes zum andern Elternteil beeinträchtigt (vgl. BGE 115 II 317 E. 3 S. 319 f. betreffend den Wegzug der Mutter nach Norddeutschland). Aus der Wohlverhaltensklausel des Art. 274 Abs. 1 ZGB kann jedoch grundsätzlich keine Pflicht des Obhutsberechtigten abgeleitet werden, den Wohnort nicht zu wechseln, selbst wenn dies zu gewissen Nachteilen bei der Ausübung des Besuchsrechts führt (Urteil 5P.14/2004 vom 23. Februar 2004, FamPra.ch 2005 S. 155 E. 4.2). Allenfalls in Ausnahmefällen (Auswanderung nach Übersee ohne triftige Gründe) wird man einen Verstoss gegen die Loyalitätspflicht bejahen können (Ingeborg Schwenzer, Basler Kommentar, ZGB I, 3. Aufl., N. 3 zu Art. 274 ZGB, S. 1470). Der Beschwerdegegner beruft sich denn auch auf diese Autorin. Das Obergericht hat nirgends festgestellt, die Beschwerdeführerin wolle die Schweiz sachfremden Überlegungen z.B. mit dem Zweck verlassen, das Besuchsrecht des Beschwerdegegners zu vereiteln.
Wie ausgeführt (E. 2 hiervor), kommen die in der Praxis erarbeiteten Kriterien der Kindeszuteilung nach Scheidung bei unverheirateten Eltern ebenso zur Anwendung, und das gilt auch für die Regelung des persönlichen Kontakts (vgl. statt vieler: Peter Breitschmid, a.a.O, N. 9 zu Art. 133 ZGB, S. 857). Die Kostentragung durch den Besuchsberechtigten erscheint richtig, wenn er wirtschaftlich günstiger gestellt ist als der Inhaber der Obhut (Cyril Hegnauer, Berner Kommentar, 4. Aufl. 1997, N. 146 zu Art. 273 ZGB; vgl. auch die umfassende Darstellung von Yvo Biderbost, in: Kind und Scheidung, Symposium zum Familienrecht 2005 der Universität Freiburg, Hrsg. Rumo-Jungo/Pichonnaz, S. 163 ff.). Das Obergericht hat demnach ohne Verletzung von Bundesrecht die im vorliegenden Fall ungewöhnlich hohen Besuchskosten bei der Zuteilung der elterlichen Sorge (zu den anderen Faktoren: E. 3.2.6 nachfolgend) mitberücksichtigen dürfen.
3.2.6 Bei der Zuteilung der elterlichen Sorge an den Vater hat das Obergericht folgende Gesichtspunkte gegeneinander abgewogen: Nicht zu übersehen sei, dass die Zuteilung der elterlichen Sorge über A._ an den Beschwerdegegner für sie insofern einschneidend sei, als sie von ihrer Mutter, mit der sie seit Geburt zusammengelebt habe, getrennt werde, während sie mit ihrem Vater nur ihre ersten rund 4 1/2 Jahre verbracht und ihn seit nunmehr gut 3 Jahren ziemlich regelmässig vierzehntäglich an den Wochenenden besucht habe. Die anfänglich innige Beziehung dürfte durch die Trennung der Eltern aufgeweicht oder lockerer geworden sein; ebenso sei anzunehmen, dass der Rekursgegner (recte: Rekurrent) aktuell nicht mehr die erste oder Hauptbezugsperson von A._ sei. Wie bereits erwähnt sei aber von einer fortbestehenden emotional verwurzelten Vater-Tochter-Beziehung auszugehen. Insofern käme A._ bei einer Übertragung der elterlichen Sorge an den Beschwerdegegner nicht in für sie "fremde Hände". Gleiches gelte auch für ihre Grossmutter väterlicherseits. Ein Verbleib von A._ in der Schweiz bzw. eine Übertragung der elterlichen Sorge an den Beschwerdegegner verlangte von ihr nicht das Erlernen zweier Fremdsprachen; ebenso wenig müsste sie sich an eine gänzlich neue Umgebung (Wohnort, Schule, Kameradinnen) gewöhnen, auch wenn ihr Tagesablauf sich mit der Betreuung durch die Grossmutter in der unterrichtsfreien Zeit verändern werde. Insgesamt betrachtet bringe eine Zuteilung der elterlichen Sorge an den Beschwerdegegner für A._ weniger Veränderungen mit sich als eine Zuteilung der elterlichen Sorge an die Beschwerdeführerin mit der vorgesehen Auswanderung auf die Philippinen und den damit für A._ verbundenen und nicht restlos zu beurteilenden Belastungen.
3.2.6.1 Die Beschwerdeführerin macht dagegen schliesslich geltend, in Verletzung der Untersuchungsmaxime und des Anspruchs der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör sei die Beziehung zwischen A._ und der Mutter des Beschwerdegegners von der Vorinstanz bzw. die Eignung von A._s Grossmuter als Hauptbetreuungsperson von A._ nicht weiter abgeklärt worden. Die Beschwerdeführerin habe darauf hingewiesen, dass die Beziehung nicht unproblematisch sei. Auf diese Kritik, die mit einem blossen Aktenhinweis begründet wird, kann von vornherein nicht eingetreten werden (BGE 133 II 396 E. 3.2 S. 400).
Gemäss dem angefochtenen Entscheid hat A._ mit ihrer Grossmutter häufig Kontakt (Protokoll S. 49). Diese hat sich bereit erklärt, für die Mittagsverpflegung von A._ besorgt zu sein und sie während der beruflichen Abwesenheit des Vaters zu betreuen. Anhand des eingereichten aktuellen Stundenplanes von A._ ist sie jeden Vormittag von 08.20 Uhr bis 11.50 Uhr in der Schule und ausserdem zweimal an einem Nachmittag für je zwei Lektionen und einmal für eine Lektion. Dass in der Zeit von A._s Pubertät Probleme auftreten könnten, da die Grossmutter schon alt sei, ist eine Behauptung seitens der Beschwerdeführerin, die nichts an deren Betreuungsfähigkeit zu ändern vermag, zumal der Vater nach wie vor die Haupterziehungslast trägt. Im Übrigen hat das Obergericht zu Recht darauf hingewiesen, die vom Beschwerdegegner angestrebte Zuteilung der elterlichen Sorge bringe ihn in die Situation zahlreicher alleinstehender Frauen mit Kinderbetreuungspflichten, welche häufig aus wirtschaftlichen Gründen gezwungen seien, einer ausserhäuslichen Erwerbstätigkeit nachzugehen und für die Dauer ihrer Abwesenheit von zu Hause auf irgend eine Form von Fremdbetreuung für ihre Kinder angewiesen seien, seien dies Familienangehörige, Nachbarn, Freunde, Bekannte, Tagesmütter, Kinderkrippen oder Horte.
3.3 Die Vorinstanz hat die Kriterien der Rechtsprechung betreffend die Zuteilung des Sorgerechts richtig und sorgfältig angewendet. Sie hat auch die Gewichtung der einzelnen Elemente korrekt vorgenommen. Sie durfte insbesondere die beträchtlichen Anforderungen von A._ an eine gänzlich neue, ihr in ihrem bisherigen Alltag (Schule, Freizeit, Kameradinnen) unvertraute Umgebung berücksichtigen, wozu auch das Erlernen zweier Fremdsprachen gehört, was von ihr eine erhebliche Anpassungsleistung verlangt. Damit hat das Obergericht das ihm zustehende Ermessen nicht überschritten.
4. Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird damit kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. August 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett