Faits:
A. P._ a travaillé comme cuisinier au service du restaurant X._ depuis le 1er septembre 2003. A ce titre, il était assuré contre le risque d'accident auprès de Allianz Suisse Société d'Assurances (ci-après : Allianz). Le 30 septembre 2003, alors qu'il travaillait dans la cuisine de son employeur, l'assuré a glissé et chuté sur le côté droit. Le docteur D._, de la Permanence Y._, qui a examiné le prénommé le jour même, a diagnostiqué une entorse du genou et de la cheville droits. Dans un rapport du 4 décembre suivant, ce médecin a relevé que l'assuré s'était plaint après l'accident de douleurs à l'épaule droite et à la colonne lombaire qui ont disparu en quelques jours. Le cas a été pris en charge par l'assureur-accidents.
Les troubles douloureux persistant, le docteur O._, chirurgien orthopédique, a demandé une imagerie par résonance magnétique du genou droit de P._. Dans le rapport qu'il a établi le 6 novembre 2003 à la suite de cet examen, le radiologue A._ a conclu à une chondropathie rotulienne modérée, une déchirure complexe de grade III des cornes postérieure et moyenne du ménisque interne avec dégénérescence de la corne antérieure, une déchirure de même grade des cornes moyenne et postérieure du ménisque externe, à un status après ancienne rupture du ligament croisé antérieur, une chondropathie condylienne modérée dans sa partie centrale et à des épines tibiales acérées entrant dans le cadre d'une gonarthrose. Au vu de ce tableau, le docteur O._ a procédé sur le genou en question à une arthroscopie, le 18 décembre 2003, pratiquant une méniscectomie partielle des cornes antérieure et moyenne du ménisque externe, ainsi qu'une méniscectomie partielle des cornes postérieure et moyenne du ménisque interne. Il a constaté, à cette occasion, une déchirure en anse de seau des cornes antérieure et moyenne du ménisque externe, une pareille déchirure des cornes moyenne, antérieure et postérieure du ménisque interne (précisant qu'il y avait une probable ancienne lésion avec anse de seau en «flap tear» de la corne antérieure du ménisque interne), ainsi qu'une lésion chronique du ligament croisé antérieur avec résorption complète de celui-ci (rapport opératoire du 18 décembre 2003). L'assuré, qui avait dû s'aider dans la marche avec des cannes depuis l'accident, s'étant plaint de lombalgies, son médecin traitant, la doctoresse I._, a demandé en janvier 2004 à Allianz de soumettre son patient à une expertise. Celle-ci a été confiée au docteur T._, chirurgien orthopédique. Dans son rapport du 30 mars 2004, ce spécialiste a retenu les diagnostics de status après résection méniscale interne et externe au genou droit ainsi que de lombalgies sur phénomènes dégénératifs de la colonne lombaire et une hernie discale L4-L5. Il a en outre noté la comorbidité d‘obésité. L'expert a indiqué qu'au jour de son examen (le 23 mars 2004) le genou droit pouvait être considéré comme rétabli en ce qui concerne les atteintes causées par la chute du 30 septembre 2003 ; que cet événement pouvait avoir contusionné la colonne lombaire, mais que l'état dégénératif et la hernie discale étaient préexistants. Selon le docteur T._, l'assuré était apte à travailler normalement dès le 23 mars 2004 soit comme cuisinier, soit dans une activité allégée ou adaptée à son obésité.
Fort de ces conclusions, l'assureur-accidents a informé l'assuré, par courrier du 8 avril 2004, qu'il entendait mettre un terme à ses prestations dès le 23 mars 2004. Une fois les observations de l'intéressé recueillies, Allianz a confirmé cette position dans une décision formelle du 27 mai 2004. Contestant la valeur probante de l‘expertise du docteur T._, faisant valoir qu'il demeurait totalement incapable de travailler et que son état de santé exigeait la poursuite de traitements, P._ s'est opposé à ce prononcé. L'assureur-accidents a soumis à l'expert précité les divers arguments de l'assuré et les pièces médicales déposées par ce dernier. Dans un rapport complémentaire du 6 décembre 2004, le docteur T._ a confirmé ses conclusions d'expertise. Le 4 avril 2005, Allianz a rejeté l'opposition de l'assuré.
Le 10 juin 2004, P._ s'est tordu le genou gauche en descendant du bus, événement dont Allianz ne répond pas.
B. Par jugement du 29 novembre 2006, le Tribunal des assurances sociales du canton de Genève a annulé la décision sur opposition du 4 avril 2005 et condamné l'assureur à prendre en charge les suites de l'accident du 30 septembre 2003 qui concernent l'affection au genou droit de l'intéressé, à l'exclusion de ses troubles lombaires, jusqu'à une semaine après l'arthroscopie subie par l'assuré le 1er février 2005 (chiffre 3 du dispositif et considérants 14 à 19 du jugement attaqué).
C. P._ interjette recours contre ce jugement, dont il requiert l'annulation partielle. Il conclut, sous suite de dépens, à ce que soit reconnue la responsabilité de l'assureur-accidents sur la base d'une incapacité de travail de 100 % postérieurement au 8 février 2005 et sans limitation de temps. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Allianz propose le rejet du recours, sous suite de frais et dépens, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (Art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
2. Le litige porte sur la question de savoir si l'intimée était fondée à supprimer avec effet au 8 février 2005 le droit du recourant à des prestations pour les suites de l'accident du 30 septembre 2003.
3. 3.1 En procédure fédérale, P._ a produit, en annexe à son recours, des photographies de son genou et de sa cheville droits prises les 8 et 11 février 2005 ; huit certificats médicaux du docteur B._, attestant d'incapacités de travail du prénommé, établis entre le 17 juin 2006 et le 17 janvier 2007 ; un rapport médical de la doctoresse E._, spécialiste en anesthésiologie et en thérapie neurale, du 19 octobre 2006 et des réponses, portant la même date, aux questions posées par l'avocat du recourant ; un échange de correspondances entre les mêmes des 18 et 22 janvier 2007.
P._ a encore déposé, avec une écriture du 8 février 2007, soit après l'échéance du délai de recours, deux lettres adressées à son avocat par le docteur F._ le 18 janvier 2007 et par le docteur B._ le 29 janvier 2007.
3.2 La jurisprudence n'admet en principe pas la production de nouvelles pièces après l'échéance du délai de recours, sauf dans le cadre d'un nouvel échange d'écriture. Néanmoins, de telles pièces sont prises en considération lorsqu'elles constituent des faits nouveaux importants ou des preuves concluantes au sens de l'art. 137 let. b OJ et pourraient dès lors justifier la révision de l'arrêt du Tribunal (ATF 127 V 353 consid. 4 p. 357). Tel n'est pas le cas en l'occurrence. En effet, il ne suffit pas qu'un nouveau rapport médical donne une appréciation différente des faits ; il faut des éléments de fait nouveaux, dont il résulte que les bases de la décision entreprise comportaient des défauts objectifs. Pour justifier la révision d'une décision, il ne suffit pas que le médecin ou expert tire ultérieurement, des faits connus au moment du jugement principal, d'autres conclusions que le tribunal. Il n'y a pas non plus motif à révision du seul fait que le tribunal paraît avoir mal interprété des faits connus déjà lors de la procédure principale. L'appréciation inexacte doit être la conséquence de l'ignorance ou de l'absence de preuve de faits essentiels pour le jugement (ATF 127 V 353 consid. 5b p. 358 et les références). Or, la lettre du docteur F._ du 18 janvier 2007 et celle du docteur B._ du 29 janvier 2007 ne comportent que des affirmations non motivées sur les points de savoir - qui ont été examinés par les premiers juges - si le recourant est guéri des suites de l'accident du 30 septembre 2003, si son incapacité de travail est en lien de causalité avec cet événement et s'il serait apte à exercer une activité professionnelle. Ces pièces ne peuvent donc pas être prises en considération dans la présente procédure.
4. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la nécessité d'une atteinte à la santé, physique ou psychique, et d'un rapport de causalité naturelle et adéquate entre celle-ci et un accident pour que l'assureur-accidents soit tenu à fournir des prestations. Il convient donc d'y renvoyer.
On rappellera cependant que, dans le contexte de la suppression du droit à des prestations, la règle selon laquelle le fardeau de la preuve appartient à la partie qui invoque la suppression du droit (RAMA 2000 n° U 363 p. 46 consid. 2, arrêt U 355/98 du 9 septembre 1999) entre seulement en considération s'il n'est pas possible, dans les limites du principe inquisitoire, d'établir sur la base d'une appréciation des preuves un état de fait qui au degré de vraisemblance prépondérante corresponde à la réalité (ATF 117 V 261 consid. 3b p. 264). La preuve de la disparition du lien de causalité naturelle ne doit pas être apportée par la preuve de facteurs étrangers à l'accident. Il est encore moins question d'exiger de l'assureur-accidents la preuve négative qu'aucune atteinte à la santé ne subsiste plus ou que la personne assurée est dorénavant en parfaite santé. Est seul décisif le point de savoir si les causes accidentelles d'une atteinte à la santé ne jouent plus de rôle et doivent ainsi être considérées comme ayant disparu (arrêt 8C.233/2007 du 25 mars 2008, consid. 2 et la référence).
5. Selon la jurisprudence et la doctrine, l'autorité administrative ou le juge ne doivent considérer un fait comme prouvé que lorsqu'ils sont convaincus de sa réalité (Kummer, Grundriss des Zivilprozessrechts, 4ème éd., Berne 1984, p. 136; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2ème éd., Berne 1983, p. 278, ch. 5). Dans le domaine des assurances sociales, le juge fonde sa décision, sauf dispositions contraires de la loi, sur les faits qui, faute d'être établis de manière irréfutable, apparaissent comme les plus vraisemblables, c'est-à-dire qui présentent un degré de vraisemblance prépondérante. Il ne suffit donc pas qu'un fait puisse être considéré seulement comme une hypothèse possible. Parmi tous les éléments de fait allégués ou envisageables, le juge doit, le cas échéant, retenir ceux qui lui paraissent les plus probables (ATF 126 V 360 consid. 5b, 125 V 195 consid. 2 et les références; cf. ATF 130 III 324 consid. 3.2 et 3.3). Aussi n'existe-t-il pas, en droit des assurances sociales, un principe selon lequel l'administration ou le juge devrait statuer, dans le doute, en faveur de l'assuré (ATF 126 V 322 consid. 5a).
6. 6.1 Les premiers juges ont considéré qu'il convenait de s'éloigner des conclusions de l'expert mandaté par l'administration, sur lesquelles se fondait cette dernière pour mettre un terme à ses prestations dès le 23 mars 2004. Ce point n'a pas été remis en cause et il n'y a pas lieu d'y revenir.
6.2 Pour déterminer la date à compter de laquelle l'intimée n'aurait plus à répondre des suites de l'accident du 23 mars 2004, à savoir une semaine après l'arthroscopie au genou droit du 1er février 2005, les juges cantonaux ont tenu pour probant l'avis que le docteur U._, médecin-conseil d'Allianz, a exprimé dans un rapport du 7 juillet 2005. Selon ce praticien, la suspicion d'une redéchirure du ménisque interne droit justifiait que soit pratiquée l'arthroscopie en question et l'assuré devait être considéré théoriquement en incapacité totale de travail durant une semaine après l'intervention, étant donné que celle-ci n'avait pas confirmé une telle lésion. Dans les faits, l'intéressé demeurait inapte à exercer une activité lucrative après ce laps de temps, mais, selon le docteur U._, de façon prépondérante en raison de lésions méniscales au genou gauche dont n'avait pas à répondre l'intimée. Aux termes du jugement entrepris, «cette solution est corroborée par les explications fournies par le docteur F._, qui a indiqué que la seconde arthroscopie avait permis d'améliorer la situation, le genou ayant évolué favorablement, alors que d'autres facteurs, notamment aussi l'accident au genou gauche, étant entrés en ligne de compte». Une telle confirmation de l'avis du médecin-conseil de l'assureur-accidents par le professeur F._ ne ressort toutefois pas des pièces du dossier.
En effet, si, dans la lettre qu'il a adressée le 14 juin 2005 au docteur U._, le professeur F._ a bien indiqué que lors de l'arthroscopie pratiquée le 1er février 2005 il n'avait pas trouvé de nouvelle déchirure du ménisque, ce spécialiste a cependant précisé qu'il avait mis en évidence une lésion cartilagineuse de stade II sur le condyle interne. Le professeur F._ a par ailleurs mentionné que le lavage effectué par cette intervention avait permis d'améliorer les symptômes douloureux du patient et que, lors d'un contrôle du 13 juin 2005, le genou droit ne montrait plus d'état inflammatoire, en outre que les douleurs avaient diminué. Entendu par le Tribunal cantonal des assurances sociales le 17 mai 2006, le professeur F._ a apporté d'autres précisions. D'une part, il a indiqué que la lésion cartilagineuse susmentionnée était apparue postérieurement à la première arthroscopie (du 18 décembre 2003), qu'elle avait pu être provoquée par celle-ci, qu'une telle affection ne peut pas apparaître spontanément et qu'elle peut être à l'origine d'une partie de la souffrance du genou. D'autre part, ce spécialiste a déclaré que l'évolution postopératoire avait été d'abord défavorable puis lentement favorable. Enfin, le professeur F._ a estimé que le recourant se trouvait, au moment de l'audience, en incapacité totale de travail dans son activité de cuisinier en raison de douleurs aux deux genoux et qu'une activité en position assise était sûrement compatible avec son état de santé.
Cette appréciation de l'activité exigible du recourant a été confirmée par un autre médecin traitant de ce dernier, le docteur B._, qui l'a soigné depuis le 10 novembre 2004. Entendu dans le cadre de la procédure cantonale, ce spécialiste en médecine de rééducation, a estimé que les douleurs chroniques dont souffre l'intéressé au genou droit le rendent incapable d'exercer sa profession de cuisinier, comme cela a été objectivé par des tests en atelier, tandis qu'une activité assise, en alternant les positions, devait être possible à plein temps.
Ainsi, il n'est pas établi que les suites de l'accident du 30 septembre 2003 ne jouaient plus de rôle dans l'état de santé du recourant dès le 8 février 2005. L'assureur-accidents répond en effet aussi des complications les plus singulières et les plus graves qui ne se produisent habituellement pas selon l'expérience médicale (Frésard/Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in : Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], 2ème éd., no 87 et les références).
6.3 Cela étant, la documentation médicale qui figure au dossier n'apparaît pas suffisante pour permettre de trancher de façon sûre la question litigieuse de savoir si et, le cas échéant, à compter de quelle date l'intimée était fondée à supprimer le droit du recourant à des prestations pour les suites de l'accident du 30 septembre 2003. Au regard de la complexité du cas, les symptômes présentés par l'assuré au genou droit s'intégrant notamment dans un tableau clinique plus diffus, comprenant des douleurs du rachis ou de l'épaule, et de l'imprécision des données médicales recueillies, il s'imposait de procéder à un complément d'instruction sous la forme d'une nouvelle expertise médicale.
Le jugement entrepris doit être réformé en ce sens que la cause sera renvoyée à l'intimée à cet effet.
7. La procédure porte sur l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, de sorte qu'elle est gratuite (art. 134 OJ). Par ailleurs, le recourant peut prétendre une indemnité de dépens à la charge de l'intimée (art. 159 al. 1 OJ). Cette indemnité rend sans objet la demande d'assistance judiciaire qu'il a présentée.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit administratif est admis en ce sens que le jugement du Tribunal des assurances sociales du Canton de Genève du 29 novembre 2006 et la décision sur opposition de l'Allianz Suisse Société d'Assurances du 4 avril 2005 sont annulés, la cause étant renvoyée à l'intimée pour instruction complémentaire au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. L'intimée versera au recourant la somme de 2'500 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. La cause est renvoyée au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 23 juin 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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