Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Im angefochtenen Entscheid wurde auf einen Rekurs nicht eingetreten, weil der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss von Fr. 500.-- verspätet geleistet habe. Die Vorinstanz stellte fest, die Frist sei am 18. August 2008 abgelaufen, der Vorschuss indessen erst am 20. August 2008 bezahlt worden (angefochtener Entscheid S. 2). Der Beschwerdeführer reicht vor Bundesgericht indessen einen Empfangsschein der Post ein, woraus sich ergibt, dass er der Zentralen Gerichtskasse Solothurn am 18. August 2008 einen Betrag von Fr. 500.-- überwiesen hat (Beschwerdebeilage 7). Die Vorinstanz anerkennt in ihrer Vernehmlassung ans Bundesgericht, dass der angefochtene Beschluss auf einem Irrtum beruht (act. 6). Die Beschwerdegegner opponieren dieser Darstellung nicht (act. 11 und 12). Folglich ist die Beschwerde begründet. Sie ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. b BGG gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben.
2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben. Der Beschwerdeführer ist zu Lasten des Kantons Solothurn angemessen zu entschädigen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Beschluss des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 5. September 2008 aufgehoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Solothurn hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn