Faits:
A. B.X._ était propriétaire de la parcelle n° xxx du cadastre de la commune de St-Gingolph, au lieu-dit "D._". L'Etat du Valais est propriétaire de la parcelle n° yyy, attenante au sud à la parcelle n° xxx et au nord au lac Léman. Bénéficiaire d'une concession d'utilisation de cette portion du sol depuis 1995, B.X._ y a renoncé en 2004, lorsque le plan de quartier "D._" a été élaboré. Ce plan, approuvé par la commune de St-Gingolph le 14 novembre 2005, réglemente un secteur composé de dix parcelles, dont les n° xxx et n° yyy. La parcelle n° yyy, sise en zone d'intérêt général pour développer des activités d'intérêt général en liaison avec le lac notamment, a été placée en zone de non-bâtir et zone de quai.
Envisageant de construire une villa sur la parcelle n° xxx, dont elle est devenue propriétaire, A.X._ a dès le mois de juillet 2008 contacté le Département des transports, de l'équipement et de l'environnement (DTEE) du canton du Valais pour s'assurer qu'elle pourrait bénéficier d'une concession sur la parcelle n° yyy. En réponse, la Section juridique du DTEE lui a indiqué que sa demande serait traitée une fois qu'elle habiterait la future villa, tout en l'informant que l'utilisation de la parcelle en question avait été accordée en 2008 à la société C._ Sàrl (courrier du 2 février 2009). Le 2 juin 2009, le DTEE a une nouvelle fois accordé à la société C._ Sàrl une autorisation d'utiliser, à certaines conditions et à bien plaire, la parcelle n° yyy pour une durée indéterminée.
Ayant obtenu de la commune de St-Gingolph le permis de construire pour une villa de deux appartements, A.X._ a, par courrier du 11 mai 2010, demandé au DTEE de lui confirmer qu'elle avait la priorité pour la location du terrain attenant au sien. Par décision du 2 septembre 2010, le DTEE a rejeté la demande. Il a considéré que l'utilisation de la surface prévue par la requérante l'était à titre privé; en revanche, l'usage qu'en faisait C._ Sàrl allait dans le sens d'un intérêt général, à savoir l'organisation de camps de vacances pour enfants et personnes handicapées offrant des activités en liaison avec le lac.
B. A.X._ a recouru contre cette décision, en concluant à ce que la demande d'utilisation du domaine public du 11 mai 2010 relative à la parcelle n° yyy soit acceptée et à ce que l'autorisation octroyée le 2 juin 2009 à C._ Sàrl ne soit pas renouvelée. Par décision du 28 mars 2012, le Conseil d'Etat du canton du Valais l'a déboutée de ses conclusions.
A.X._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public, qui a rejeté son recours par arrêt du 30 août 2012. Les juges cantonaux ont retenu pour l'essentiel que la demande d'utilisation n'entrait pas dans le cadre voulu par le plan de quartier et que la requérante n'était pas en mesure de se prévaloir d'une promesse de délivrance, de la part du chef du DTEE, d'une autorisation d'utiliser le domaine public visé.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande principalement au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, de réformer l'arrêt cantonal en ce sens que l'autorisation octroyée le 2 juin 2009 à C._ Sàrl n'est pas renouvelée et que sa demande d'utilisation du domaine public du 11 mai 2010 relative à la parcelle n° yyy est acceptée. A titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause au Tribunal cantonal, voire, à titre très subsidiaire au DTEE, pour nouvelle décision au sens des considérants.
Le Tribunal cantonal valaisan renonce à se déterminer sur le recours. Le Conseil d'Etat valaisan conclut au rejet du recours en renvoyant à la motivation de l'arrêt cantonal, tandis que le DTEE n'a pas d'observation particulière à formuler. La commune de St-Gingolph s'est également exprimée, en rappelant que la parcelle n° yyy se situait en zone d'intérêt général.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale dans une cause de droit public au sens de l'art. 82 let. a LTF, sans qu'aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF ne soit réalisée. Il est dès lors recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF. La recourante a par ailleurs pris part à la procédure devant le Tribunal cantonal. Elle est particulièrement touchée par l'arrêt attaqué, qui confirme qu'elle n'est pas autorisée à utiliser la parcelle n° yyy au bord du lac Léman, et a un intérêt digne de protection à sa modification ou à son annulation. Sa qualité pour agir au regard de l'art. 89 al. 1 LTF est à l'évidence donnée. Les autres conditions de recevabilité étant par ailleurs remplies, il convient d'entrer en matière sur le recours.
2. A titre de moyen de preuve, la recourante requiert l'édition du dossier cantonal par le Tribunal cantonal. Sa requête est satisfaite, la cour cantonale ayant déposé le dossier complet dans le délai que le Tribunal fédéral lui avait imparti à cette fin (cf. art. 102 al. 2 LTF).
3. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral fonde en principe son raisonnement juridique sur les faits retenus par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF. Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF; ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 135 II 313 consid 5.2.2 p. 322 s.).
Au début de son mémoire (ch. 1 à 77, p. 2 à 15), la recourante reprend tous les faits ayant conduit à la contestation qui l'oppose au canton du Valais et apporte de nombreuses précisions aux constatations de la juridiction cantonale. Une telle argumentation, dans la mesure où elle s'écarte des faits établis dans l'arrêt attaqué ou les complète, sans qu'il soit indiqué que ceux-ci seraient manifestement inexacts ou auraient été établis de manière arbitraire, est irrecevable, le Tribunal fédéral n'étant pas une instance d'appel (ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104 s.; 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322).
4. La recourante reproche tout d'abord à la juridiction cantonale d'avoir fait une application arbitraire du droit cantonal, respectivement communal, en ne prenant pas en considération qu'elle disposait, en tant que propriétaire d'une parcelle concernée par le plan de quartier D._, d'un droit préférable à celui d'un tiers (en l'occurrence, C._ Sàrl) à l'utilisation de la parcelle n° yyy. Elle se plaint pour l'essentiel d'une mauvaise application de l'art. 4 du Règlement du plan de quartier D._.
4.1 Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal ou communal ne constitue pas un motif de recours. Elle peut en revanche être constitutive d'une violation du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF, telle que l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Appelé à revoir l'application faite d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou encore si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 134 II 124 consid. 4.1 p. 133; 133 II 257 consid. 5.1 p. 260), ce qu'il revient au recourant de démontrer en vertu de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 396 consid. 3.2 p. 400).
4.2 L'art. 4 du Règlement du plan de quartier D._, qui aurait été appliqué de manière insoutenable, prévoit que "la parcelle n° yyy pourra être aménagée en front de lac, sur la zone de quai, par les propriétaires des parcelles du Plan de Quartier exclusivement, comme espace de détente et de loisirs. L'accès est assuré par la servitude sur parcelle n° xxx et un prolongement sur parcelle n° yyy (par. 2). La location, l'aménagement et l'entretien de cette zone sont à la charge de ses utilisateurs. Un règlement d'utilisation spécifique sera établi à cet effet (par. 3)".
4.3 Examinant la situation sous l'angle des règles en matière d'usage du domaine public, le Tribunal cantonal a retenu que l'usage particulier du domaine public, soit notamment une utilisation dépassant l'usage commun, était soumis à autorisation, l'autorité compétente pour accorder celle-ci disposant d'un pouvoir discrétionnaire, limité seulement par l'interdiction de l'arbitraire et le principe de l'égalité de traitement. La demande de la recourante, qui visait à louer la parcelle n° yyy relevant du domaine public, n'entrait pas dans le cadre voulu par le plan de quartier D._ et son Règlement. Il ne s'agissait en effet pas d'une requête commune des utilisateurs et des propriétaires du périmètre de ce quartier, accompagnée d'un règlement, d'une demande de location et d'un projet d'aménagement. A défaut d'une telle requête commune des propriétaires, la demande de C._ Sàrl, qui utilisait avant l'année 2000 les lieux pour les besoins de camps de vacances qu'elle organisait, ne semblait pas contraire aux règles sur l'usage du domaine public. L'autorisation y relative prévoyait en effet des conditions concernant les ayants droit et les activités qui pouvaient se dérouler sur la parcelle en cause.
4.4 Quoi qu'en dise la recourante, ces considérations sont exemptes d'arbitraire. Il ressort en effet de la disposition du Règlement du plan de quartier D._ invoquée que l'aménagement de la parcelle n° yyy doit être le fait des propriétaires des parcelles comprises dans le plan de quartier D._ en vue d'agencer un espace de détente et de loisirs, ce qui suppose une action commune de tous les propriétaires. Tel n'est précisément pas le cas ici, puisque la recourante a agi seule, sans l'aval des autres propriétaires des parcelles du plan de quartier D._, et a fait valoir un usage privatif dans sa demande initiale. Sa requête ne répondait donc pas aux conditions prévues par l'art. 4 du Règlement du plan de quartier D._.
Pour le reste, l'argumentation de la recourante relative au but lucratif poursuivi par C._ Sàrl, ainsi qu'aux allégations de la société sur le type d'activités proposées ne lui est d'aucun secours. Le fait qu'un tiers ne pourrait pas se prévaloir d'un intérêt public pour utiliser la parcelle n° yyy ne donnerait aucunement à la recourante un droit préférable à user exclusivement du domaine public. Un tel droit ne peut se déduire de l'art. 4 du Règlement du plan de quartier D._, qui porte sur les modalités d'aménagement de la parcelle n° yyy sans créer de droits en faveur d'un propriétaire de parcelles attenantes en particulier. La juridiction cantonale a par ailleurs relevé qu'aucune prescription ne contraignait l'autorité compétente à réserver ses autorisations à des organismes poursuivant des buts non lucratifs, ce que la recourante ne remet pas en cause. Les juges cantonaux ont également constaté, en se fondant sur les photographies versées au dossier, que l'utilisation par la société du domaine public ne sortait alors pas du cadre pour lequel l'autorisation lui avait été délivrée le 2 juin 2009. Quant aux critiques de la recourante à l'encontre des activités de C._ Sàrl - la société n'accueillerait pas d'enfants handicapés contrairement à ce qu'elle aurait fait valoir pour obtenir l'autorisation -, il suffit de renvoyer à la décision du Conseil d'Etat du 28 mars 2012, selon laquelle ces griefs revêtent le caractère d'une dénonciation qui devra être examinée par le DTEE dans une autre procédure.
Dans ces conditions, on ne saurait reprocher à la juridiction cantonale un abus de son pouvoir d'appréciation, en ce qu'elle n'a pas reconnu à la recourante un droit préférable à celui d'un tiers à l'usage accru du domaine public.
5. 5.1 Invoquant ensuite une violation des art. 47 al. 4 et 79 de la loi valaisanne du 6 octobre 1976 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA/VS; RS VS 172.6), la recourante soutient que la juridiction cantonale était tenue de reconnaître qu'elle poursuivait un but d'intérêt public dès lors que son fils souhaitait développer des activités sportives en rapport avec le lac sur la parcelle n° yyy. Le Tribunal cantonal aurait dû admettre les nouveaux faits qu'elle avait allégués devant lui à ce sujet, au lieu de rejeter son argument au motif qu'elle ne les avait pas invoqués dans sa requête initiale.
5.2 Il est vrai que le droit cantonal de procédure autorise l'allégation de faits nouveaux devant le Tribunal cantonal en tant que juridiction de recours. L'art. 79 al. 3 LPJA/VS prévoit que la présentation de moyens nouveaux en fait et en droit est recevable, sauf disposition légale contraire (pour le recours devant l'autorité administrative, voir l'art. 47 al. 4 LPGA/VS). Comme l'a toutefois constaté la juridiction cantonale, la recourante a invoqué uniquement un intérêt privé à l'appui de sa requête en autorisation, puisqu'elle entendait se réserver l'utilisation de la parcelle n° yyy, indispensable selon elle à la réalisation de son projet immobilier. On peut dès lors se demander si l'argumentation présentée ultérieurement par la recourante en relation avec les activités de son fils, qualifiées par elle d'intérêt public, ne relève pas d'une modification de la requête en autorisation que la juridiction cantonale n'avait pas à examiner dans le cadre du litige.
En tout état de cause, l'appréciation (anticipée) des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale pour nier que le projet du fils de la recourante fût suffisamment étayé pour être pris en considération dans l'examen de l'autorisation sollicitée n'est pas insoutenable. La recourante s'est en effet limitée à affirmer que son fils était prêt à développer les activités d'une association de sports nautiques sur la parcelle n° yyy et à proposer son audition. Elle n'a cependant apporté aucun élément à l'appui de ses allégations qui aurait permis de rendre vraisemblable le projet invoqué et la volonté de concrétiser celui-ci. Au demeurant, à défaut d'être présenté par l'ensemble des propriétaires des parcelles concernées par le plan de quartier D._, il est douteux qu'un tel projet eût satisfait aux exigences d'aménagement prévue par le Règlement du plan de quartier D._. Le fait que la famille X._ a par le passé bénéficié d'une concession sur la parcelle n° yyy ne saurait rien y changer, puisque cette situation ne correspond plus à la situation légale actuelle. Mal fondées, les critiques de la recourante doivent par conséquent être rejetées.
6. La recourante se plaint pour finir de violations du principe de la protection de la bonne foi et de son droit d'être entendue. Elle affirme que le DTEE, par son juriste E._, lui avait donné une garantie de priorité sur la parcelle n° yyy. Elle aurait cependant été empêchée de prouver cette garantie, parce que le Tribunal cantonal a rejeté son offre de preuve visant à auditionner F._, vice-juge de la commune de St-Gingolph.
6.1 Ancré à l'art. 9 Cst. et valant pour l'ensemble de l'activité étatique, le principe de la bonne foi confère à l'administré, à certaines conditions, le droit d'exiger des autorités qu'elles se conforment aux promesses ou assurances précises qu'elles lui ont faites lorsque, sur la foi de celles-ci, il a pris des dispositions sur lesquelles il ne peut pas revenir sans subir de préjudice (cf. ATF 131 II 627 consid. 6.1 p. 636 s.; 129 I 161 consid. 4.1 p. 170; 128 II 112 consid. 10b/aa p. 125).
Comme l'a retenu la juridiction cantonale, aucun élément ne permet de conclure à l'existence d'assurances ou d'un comportement au regard desquels A.X._ devait s'attendre à ce que l'autorisation d'utilisation de la parcelle n° yyy telle que sollicitée lui soit accordée. Il n'est pas non plus établi que le DTEE, par le biais de l'un de ses collaborateurs, lui aurait fait des promesses dans ce sens. L'argumentation de la recourante à cet égard est essentiellement appellatoire, puisqu'elle se limite à opposer sa propre version des faits à celle des juges cantonaux, sans exposer en quoi ceux-ci auraient constaté les faits de manière manifestement inexacte ou autrement contraire au droit. En particulier, elle prétend à nouveau que le courrier de son conseil du 2 octobre 2009, adressé au collaborateur de la Section juridique du DTEE et demeuré sans réponse, démontrerait l'existence d'une promesse dans le sens voulu. Tel n'est manifestement pas le cas. L'autorité en cause n'avait pas à réagir à cette lettre, dans laquelle le conseil de la recourante exposait prendre note de la réponse du collaborateur "à savoir que le jour où la parcelle sera construite, mes mandants auront la priorité pour la location du terrain attenant". La Section juridique du DTEE avait en effet expressément indiqué à la recourante que la garantie voulue ne pouvait lui être donnée et mentionné à diverses reprises que la requête de la recourante serait examinée en temps voulu, parallèlement à l'examen de l'autorisation de construire (cf. courriers des 31 juillet 2008, 12 février 2009 et 24 août 2009).
A défaut de promesse ou d'assurance sur laquelle la recourante pouvait se fonder, le grief relatif à la violation de la protection de la bonne foi est donc mal fondé. Au demeurant, on ne voit pas - et la recourante ne l'explique pas - quel "préjudice considérable" elle aurait subi. On peut certes concevoir que la recourante profiterait mieux de sa parcelle en disposant d'un accès privatif jusqu'au lac, mais un tel intérêt contreviendrait au but poursuivi par le plan de quartier D._, qui vise à une utilisation d'intérêt général.
6.2 Dans ces conditions, le motif tiré de la violation du droit d'être entendue de la recourante tombe également à faux. Au regard des pièces au dossier qui contredisaient les allégations de la recourante, les premiers juges étaient en droit de renoncer à entendre le témoin dont elle sollicitait l'audition. Il ressort de leurs considérations que même dans l'hypothèse où le témoin avait "assisté à une séance entre le chef du DTEE et la recourante", comme elle le fait valoir, son compte-rendu de l'entretien n'aurait pas suffi à modifier leur conviction sur l'inexistence d'une promesse de la part de l'autorité compétente fondée sur les preuves écrites produites par les parties. On ne saurait dès lors voir dans le refus de donner suite à l'offre de preuve de la recourante une violation de son droit d'être entendue. L'appréciation anticipée des preuves à laquelle a procédé le Tribunal cantonal n'apparaît en effet nullement arbitraire, ce que la recourante ne prétend du reste pas (sur la notion d'appréciation anticipée des preuves, cf. ATF 136 I 229 consid. 5.3 p. 236; 131 I 153 consid. 3 p. 157).
7. Il résulte de ce qui précède que le recours, entièrement mal fondé, doit être rejeté. Vu l'issue de la procédure, la recourante, qui succombe, doit prendre en charge les frais judiciaires y afférents (art. 65 et 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à la Commune de St-Gingolph, au Conseil d'Etat du canton du Valais et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 17 avril 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Moser-Szeless