Faits:
A. Dès le 1er novembre 2007, X._ est entré au service de la Banque Z._ en qualité de juriste, au taux d'occupation de soixante pour cent. Le salaire annuel convenu était fixé à 58'500 francs. A teneur du contrat conclu par écrit le 17 septembre 2007, X._ s'obligeait à la discrétion la plus stricte vis-à-vis des tiers sur toute information portée à sa connaissance dans le cadre de ses activités. Le 22 septembre, il a souscrit une déclaration de discrétion qui comportait notamment le passage ci-après:
Cette déclaration concerne toutes les informations, qu'elles soient communiquées au/à la soussigné(e) par Z._ Suisse, par Z._ Informatique SA, par une banque Z._ ou par une autre entreprise du groupe Z._.
Si le/la soussigné(e) prend possession de documents, de supports de données ou de données sauvegardées par voie électronique contenant des informations soumises à l'obligation de garder le secret, il/elle est personnellement responsable de leur conservation et de leur gestion en propre et due forme. Il/elle s'engage à rendre ces documents ou données à son employeur et à n'en conserver aucune copie dès qu'ils ne sont plus nécessaires à l'exécution de ses tâches.
Le/la soussignée déclare expressément avoir pris connaissance du fait que toute indiscrétion - ne serait-ce qu'une information donnée à un proche ou à toute autre personne non autorisée - constitue une grave violation de son contrat et autorise l'employeur à y mettre fin immédiatement.
Au cours de son emploi, X._ a souffert du comportement hostile de l'un de ses supérieurs, lequel usait avec lui d'un ton méprisant, critiquait son travail sans justification, le disait « incompétent » en parlant de lui aux autres collaborateurs, et le fixait du regard lorsqu'il se trouvait à la photocopie. Un autre supérieur, informé de cette attitude, n'a pris aucune mesure pour y remédier.
Dès le 8 juillet 2008, X._ a exprimé le souhait d'être nommé au comité de direction dont l'employeuse annonçait la création dès le 1er janvier 2009. Son v?u n'a pas été exaucé. L'employeuse lui offrait cependant une formation universitaire complémentaire en gestion déontologique (« compliance management »), à suivre entre janvier et décembre 2009, et la nomination souhaitée interviendrait éventuellement à l'issue de cette formation.
Dès le 17 décembre 2008, et semble-t-il jusqu'en novembre 2009, X._ s'est trouvé en incapacité totale de travailler pour cause de maladie. Avec l'assistance d'un avocat, il a vainement réclamé d'être nommé sans délai au comité de direction; à ce sujet, l'employeuse a confirmé sa position le 28 janvier 2009.
B. Le 27 mai 2009, l'employeuse a résilié le contrat de travail avec effet au 31 août suivant. Dans l'intervalle, X._ était libéré de l'obligation de travailler. Lors d'un entretien, ses interlocuteurs avaient constaté qu'il détenait, en violation flagrante de ses obligations contractuelles, des copies de documents internes impliquant des clients; il était sommé de les restituer aussitôt.
La banque envoya une nouvelle sommation le 10 juin 2009, avec menace de résiliation immédiate du contrat, puis elle mit cette menace à exécution le 17 juin. Par lettre du même jour, X._ lui retourna la copie d'un unique document confidentiel, en affirmant qu'il n'en détenait aucun autre.
X._ s'est opposé aux deux résiliations qui lui avaient été signifiées.
C. Le 16 décembre 2009, X._ a ouvert action contre l'employeuse devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. La défenderesse devait être condamnée à lui payer diverses sommes au total de plus de 300'000 fr. en capital. Le demandeur affirmait notamment que son employeuse l'avait nommé à son comité de direction et il réclamait le salaire correspondant. Il réclamait aussi une indemnité pour licenciement abusif ou pour licenciement immédiat injustifié, et une indemnité de réparation morale par suite de harcèlement psychologique. En outre, par une demande additionnelle, il a réclamé des modifications au certificat de travail que l'employeuse lui avait remis.
La défenderesse a reconnu devoir 2'128 fr. à titre d'indemnité de vacances; pour le surplus, elle a conclu au rejet de l'action. Elle a également conclu reconventionnellement à ce que le demandeur fût condamné à lui restituer tous les documents qu'il avait prélevés au sein de l'établissement.
Après audition des parties ou de leurs représentants, et de divers témoins, le tribunal s'est prononcé le 31 août 2010. Il a constaté que le demandeur avait subi un harcèlement psychologique et il lui a alloué, de ce chef, une indemnité au montant de 2'000 francs. Il a également alloué la somme reconnue par la défenderesse à titre d'indemnité de vacances; pour le surplus, il a rejeté l'action principale. La défenderesse est donc condamnée à payer 2'000 fr., montant net, et 2'128 fr., montant soumis aux déductions sociales, l'un et l'autre avec intérêts au taux de 5% par an dès le 17 juin 2009. Le tribunal a accueilli l'action reconventionnelle et condamné le demandeur à restituer l'ensemble des documents qu'il détient encore et qui sont couverts par le secret bancaire, le secret des affaires ou la protection des données ou de la personnalité.
D. Le demandeur a appelé du jugement afin d'obtenir des indemnités aux montants de 10'000 fr. pour réparation morale et 29'250 fr. pour résiliation abusive ou injustifiée. Il a aussi conclu au rejet de l'action reconventionnelle.
A l'audience du 4 avril 2011, devant la Chambre des prud'hommes de la Cour de justice, le demandeur était représenté par son avocat; celui-ci a alors annoncé que les documents réclamés par l'adverse partie, dont certains étaient produits à titre de moyen de preuve, seraient restitués à l'issue de la procédure. Les juges ont aussi entendu le médecin psychiatre du demandeur.
La Chambre des prud'hommes a statué par arrêt du 15 avril 2011; elle a confirmé le jugement.
E. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de lui allouer, en sus des sommes déjà obtenues devant le Tribunal de prud'hommes, une indemnité au montant de 29'500 fr. pour licenciement immédiat injustifié, ou, subsidiairement, pour licenciement abusif.
La défenderesse conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF); le mémoire de recours a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et il satisfait aux exigences légales (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Cette partie ne peut toutefois pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; elle doit plutôt indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, et une critique qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; voir aussi ATF 136 II 489 consid. 2.8 p. 494; 130 I 258 consid. 1.3 p. 261/262).
2. Il est constant que les parties se sont liées par un contrat de travail et que celui-ci était conclu pour une durée indéterminée. Ledit contrat était donc susceptible d'une résiliation ordinaire avec observation d'un délai de congé, selon l'art. 335c CO, ou d'une résiliation immédiate pour de justes motifs, selon les art. 337 et 337a CO. La défenderesse a d'abord usé de la résiliation ordinaire, le 27 mai 2009, avec effet au 31 août suivant, puis de la résiliation immédiate, le 17 juin 2009. Le demandeur tient cette résiliation-ci pour injustifiée et cette résiliation-là pour abusive.
3. L'art. 337 al. 1 CO consacre le droit de résilier sans délai pour de justes motifs. D'après l'art. 337 al. 2 CO, on considère notamment comme de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail. Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués par la partie qui résilie doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave justifie le licenciement immédiat du travailleur ou l'abandon abrupt du poste par ce dernier. En cas de manquement moins grave, celui-ci ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement. Par manquement de l'une des parties, on entend en règle générale la violation d'une obligation imposée par le contrat mais d'autres faits peuvent aussi justifier une résiliation immédiate (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 31; 129 III 380 consid. 2.2 p. 382).
Le juge apprécie librement, selon les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC), si le congé abrupt répond à de justes motifs (art. 337 al. 3 CO). A cette fin, il prend en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position du travailleur, la nature et la durée des rapports contractuels, et la nature et l'importance des manquements (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32; 127 III 351 consid. 4a p. 354). Le Tribunal fédéral ne contrôle qu'avec réserve une décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque la décision s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; en outre, le Tribunal fédéral redresse les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32; 130 III 213 consid. 3.1 p. 220; 129 III 380 consid. 2 p. 382).
Lorsque l'employeur a résilié abruptement le contrat sans justes motifs, le travailleur peut notamment réclamer, sur la base de l'art. 337c al. 3 CO, une indemnité dont le juge fixe librement le montant en tenant compte de toutes les circonstances; cette indemnité ne peut toutefois pas excéder l'équivalent de six mois de salaire.
4. Le demandeur ne met pas sérieusement en doute que conserver des documents de son employeuse alors qu'il n'avait plus d'activité au sein de l'établissement bancaire, en violation de la déclaration de discrétion souscrite le 22 septembre 2007, puisse constituer un juste motif de résiliation abrupte du contrat de travail. Il affirme d'abord que les documents détenus par lui encore après la résiliation ordinaire du contrat, le 27 mai 2009, ne contiennent pas d'informations confidentielles et qu'ils ne sont donc pas visés par la déclaration de discrétion; il soutient aussi que ces documents lui étaient nécessaires pour prouver que l'employeuse l'avait nommé à son comité de direction, ce qu'il a tenté de faire devant le Tribunal de prud'hommes, et que pour ce motif, il était en droit de les conserver jusqu'au terme du procès.
La Chambre des prud'hommes constate que le demandeur a conservé puis produit en justice des procès-verbaux de réunions de responsables de la banque et que ces documents contenaient notamment des informations sur l'évolution de la clientèle, l'évaluation de la masse sous gestion, le remplacement de collaborateurs et les objectifs de rendement. Elle juge que ces informations sont couvertes par le secret des affaires. Par ailleurs, sur la base de son appréciation des déclarations recueillies par les premiers juges, la Chambre constate également que le demandeur a conservé des documents relatifs à l'évaluation du risque présenté par certaines personnes morales, révélant l'identité des clients concernés.
Le demandeur concède que les procès-verbaux de réunions contiennent « quelques informations potentiellement protégées par le secret des affaires » mais, à son avis, ces informations « relèvent plutôt de l'anecdote que de l'information stratégique » et elles sont « généralement sans portée ». Cette discussion est vaine. Contrairement à l'opinion développée à l'appui du recours, il ne s'imposait pas de constater et d'évaluer plus précisément le contenu des procès-verbaux car de pareils documents étaient de toute évidence visés de manière absolue par la déclaration de discrétion, sans égard à l'importance plus ou moins considérable des sujets traités.
Le demandeur affirme qu'il n'a conservé que les dernières pages, seulement, des documents relatifs à l'évaluation des risques, afin de prouver qu'il avait signé en qualité de « membre de la direction », et que l'identité des clients n'apparaissait pas dans ces pages. Cette version des faits diverge de celle retenue par la Chambre des prud'hommes, fondée sur l'appréciation des preuves. Cette version-ci est seule déterminante au regard de l'art. 105 al. 1 LTF car la critique élevée contre elle - une simple dénégation - n'est pas suffisamment motivée. Le demandeur se réfère inutilement à l'art. 8 CC car cette disposition ne régit pas l'appréciation des preuves (ATF 131 III 222 consid. 4.3 p. 226; 129 III 18 consid. 2.6 p. 24/25). Au demeurant, représenté par son conseil, le demandeur a admis à l'audience de la Chambre des prud'hommes qu'il conservait des documents dont l'adverse partie était fondée à exiger la restitution.
Contrairement l'argumentation présentée, le projet d'entreprendre une action judiciaire contre l'employeuse ne justifiait pas une violation de la déclaration de discrétion. Il était loisible au demandeur d'établir et de conserver une liste des documents qu'il croyait utiles à sa cause, puis de requérir préalablement, dans le procès, que l'adverse partie fût astreinte à les produire elle-même. Le demandeur pouvait donc satisfaire à ses obligations contractuelles sans compromettre ses propres prétentions. Avant de résilier le contrat avec effet immédiat, l'employeuse a formellement sommé le demandeur de lui restituer les documents. Au regard de l'ensemble de ces circonstances, la Chambre des prud'hommes n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation en tenant la résiliation du 17 juin 2009 pour valable selon l'art. 337 al. 1 et 2 CO.
5. La résiliation ordinaire du contrat de travail est abusive lorsqu'elle intervient dans l'une des situations énumérées à l'art. 336 al. 1 CO, situations qui se rapportent aux motifs de la partie qui résilie. Cette disposition restreint, pour chaque cocontractant, le droit de mettre unilatéralement fin au contrat (ATF 132 III 115 consid. 2.4 p. 118; 131 III 535 consid. 4.2 p. 539 in medio). L'énumération de l'art. 336 al. 1 CO n'est d'ailleurs pas exhaustive et un abus du droit de résiliation peut se révéler aussi dans d'autres situations qui apparaissent comparables, par leur gravité, aux hypothèses expressément visées (ATF 132 III 115 consid. 2 p. 116; 131 III 535 consid. 4 p. 537). La résiliation est éventuellement abusive si elle est motivée par une baisse des prestations du travailleur et que celle-ci est la conséquence d'un harcèlement psychologique, car l'employeur qui tolère le harcèlement viole les devoirs imposés par l'art. 328 CO et il n'est pas admis à se prévaloir, pour justifier la résiliation, des conséquences de sa propre violation du contrat (ATF 125 III 70 consid. 2a p. 72/73). La situation juridique n'est pas différente lorsqu'après l'échéance de la période de protection prévue par l'art. 336c al. 1 let. b CO, l'employeur résilie au motif que le travailleur est durablement absent en raison d'une maladie, quand celle-ci est la conséquence d'un harcèlement (arrêt 4C.320/2005 du 20 mars 2006, consid. 3.2).
Lorsque l'une des parties a résilié abusivement le contrat, l'art. 336a al. 1 et 2 CO autorise l'autre partie à réclamer une indemnité dont le juge fixe librement le montant en tenant compte de toutes les circonstances; cette indemnité ne peut toutefois pas excéder l'équivalent de six mois de salaire.
Il est établi que le demandeur a subi un harcèlement psychologique; en revanche, les autorités précédentes n'ont pas constaté un lien de cause à effet entre ce harcèlement et la maladie - un état dépressif - qui a empêché le demandeur de travailler après le 16 décembre 2008. Ce lien de cause à effet n'est d'ailleurs pas vraisemblable car selon la déposition du médecin psychiatre, partiellement reproduite dans la décision de la Chambre des prud'hommes, son patient ne s'est guère plaint des actes d'hostilité de son supérieur et il a surtout souffert d'une grande déception pour n'avoir pas été nommé au comité de direction. Les constatations déterminantes ne permettent donc pas de tenir la résiliation du 27 mai 2009 pour abusive. De toute évidence, les juges d'appel ont apprécié la déposition du médecin et ils n'ont pas vu de lien de causalité entre le harcèlement et la maladie; quoiqu'ils ne se soient pas explicitement prononcés sur ce point, le demandeur n'est pas fondé à leur reprocher un déni de justice.
6. Le demandeur ne peut prétendre à aucune des indemnités prévue par les art. 336a ou 337c al. 3 CO, ce qui conduit au rejet du recours. A titre de partie qui succombe, il doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Le demandeur acquittera un émolument judiciaire de 1'500 francs.
3. Le demandeur versera une indemnité de 2'000 fr. à la défenderesse, à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 11 octobre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
Le greffier: Thélin