Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer erstattete am 31. Juli 2014 bei der Staatsanwaltschaft Bischofszell Anzeige gegen eine Schulgemeinde wegen widerrechtlicher Enteignung. Die Gemeinde habe am 8. Juli 1991 auf Enteignung geklagt, und das Verwaltungsgericht habe das Urteil der Enteignungskommission vom 1. Juni 1992 am 28. Mai 1993 bestätigt. Der grundbuchamtliche Eintrag der Enteignung basiere auf einer fehlerhaften Entscheidung, und das in Frage stehende Grundstück stehe immer noch in seinem Eigentum.
Am 15. August 2014 erstattete der Beschwerdeführer bei der Staatsanwaltschaft Bischofszell Anzeige gegen die Kantonalbank Thurgau wegen Nötigung und Unterschlagung. Der zuständige Mitarbeiter habe am 1. Oktober 1993 die Entschädigungszahlungen der Schulgemeinde für das enteignete Grundstück entgegengenommen und unterschlagen. Zudem habe die Bank ihn genötigt, auf eine Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts zu verzichten, indem sie ihm gedroht habe, die laufenden Konkursandrohungen für aufgelaufene Zinsen durchzusetzen.
Am 16. bzw. 17. Juli 2015 nahm die Staatsanwaltschaft Frauenfeld, welcher die Verfahren überwiesen worden waren, diese infolge Verjährung nicht an die Hand. Dagegen gerichtete Beschwerden wies das Obergericht des Kantons Thurgau am 26. August 2015 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt unter anderem, der angefochtene Entscheid sei inhaltlich sowie wegen Befangenheit aufzuheben (Beschwerde S. 4).
2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vizepräsidentin der Vorinstanz sei befangen, da sie die rechtswidrigen Forderungen der Kantonalbank durch ihre Entscheidungen tatkräftig unterstützt habe (Beschwerde S. 4). Indessen stellt der Umstand, dass eine Gerichtsperson an früheren Urteilen mitwirkte, mit denen der Betroffene nicht einverstanden ist, für sich allein keinen Befangenheitsgrund dar.
3.
Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG ist der Privatkläger zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann. Als Zivilansprüche im Sinne dieser Bestimmung gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen. Nicht in diese Kategorie gehören Ansprüche, die sich aus öffentlichem Recht ergeben. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus Staatshaftungsrecht, können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (Urteil 6B_669/2015 vom 30. Juni 2015 mit Hinweis).
Der Beschwerdeführer erhebt strafrechtliche Vorwürfe gegen Mitarbeiter einer Schulgemeinde und der Kantonalbank Thurgau. Folglich dürfte es nicht um Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG gehen, sondern um Ansprüche, die sich aus öffentlichem Recht ergeben und die nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden können. Der Beschwerdeführer verweist denn auch selber ausdrücklich auf seinen "Anspruch auf Staatshaftung" (Beschwerde S. 4). Da es ihm um die Staatshaftung geht, ist mangels Legitimation auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
4.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: C. Monn