Faits:
A. Le mardi 7 janvier 2004 vers 00 h.50, X._, qui conduisait sa voiture Audi A3 sur la route reliant A._ à B._ dans le canton du Jura, a heurté plusieurs chevaux, dont la détentrice est Y._, qui étaient sortis de leur enclos et se sont élancés sur la chaussée. X._ a été grièvement blessé dans l'accident et en subit encore de nombreuses séquelles.
B. Par mémoire du 26 août 2008, X._ a déposé auprès du Tribunal cantonal jurassien une demande en paiement dirigée contre Y._, lui réclamant réparation d'un dommage supérieur à 300'000 fr. Le demandeur a soutenu que les installations du pâturage n'étaient pas adaptées, que la fermeture de la barrière de l'enclos avait été négligée et que les animaux n'avaient pas été correctement surveillés.
Y._ s'est opposée à la demande.
Par arrêt du 20 février 2009, le Tribunal cantonal a débouté le demandeur de toutes ses conclusions avec suite de frais et dépens. Se fondant sur le rapport de police (dont l'auteur a été entendu dans la procédure), la cour cantonale a retenu que deux autres propriétaires avaient déclaré que leur portail avait également été ouvert durant cette nuit; elle en a déduit qu'un tiers non identifié avait ouvert les portails, sans doute par malveillance, et que la diligence de la défenderesse n'aurait pas pu empêcher ce fait, la libération des chevaux étant imputable exclusivement à la faute grave de ce tiers.
C. Ayant reçu cet arrêt le 5 mars 2009, X._ a déposé dans un bureau de poste suisse, le 3 avril 2009, un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, concluant, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à l'admission de la responsabilité de la défenderesse, subsidiairement au renvoi de la cause à la cour cantonale.
L'intimée a conclu, sous suite de frais et dépens, à l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (sinon à son rejet) et au rejet du recours en matière civile dans la mesure où il est recevable.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans son action en paiement (art. 76 al. 1 LTF) et dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours en matière civile est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. On peut certes observer que la cour cantonale a statué en instance unique et non pas sur recours comme le prescrit l'art. 75 al. 2 LTF, mais cette disposition n'est actuellement pas en vigueur, le canton disposant d'un délai d'adaptation (art. 130 al. 2 LTF).
S'agissant de la forme du recours, il faut rappeler que le recours en matière civile est un recours en réforme et que le recourant doit en principe, sous peine d'irrecevabilité, prendre des conclusions sur le fond du litige; il ne peut s'en dispenser et ne conclure qu'à l'annulation de la décision et au renvoi de la cause à l'autorité précédente que si le Tribunal fédéral, dans l'hypothèse où il admet le recours, n'est de toute manière pas en mesure de statuer lui-même sur le fond (ATF 134 III 379 consid. 1.3 p. 383; 133 III 489 consid. 3.1 p. 489 s.). En l'espèce, le recourant n'a pas pris de conclusions en paiement; il faut cependant constater que l'arrêt cantonal ne contient aucune constatation sur le montant du dommage, de sorte que le Tribunal fédéral, s'il admet le recours, ne peut rendre lui-même une décision finale sur la prétention du demandeur; en conséquence, les conclusions prises sont admissibles.
Le recourant a produit, en annexe à son recours, différentes pièces à l'appui de sa prétention. Dans la mesure où ces pièces ne figurent pas déjà dans le dossier cantonal, il s'agit de moyens de preuve nouveaux qui sont irrecevables (art. 99 al. 1 LTF).
Dès lors que le recours en matière civile est ouvert en raison d'une valeur litigieuse suffisante, il en résulte que le recours constitutionnel, qui lui est subsidiaire (art. 113 LTF), n'est pas recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le recourant peut donc faire valoir notamment la violation de droits constitutionnels (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 134 III 102 consid. 1.1 p. 104). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 134 III 102 consid. 1.1 p. 105). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire: ATF 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 134 V 53 consid. 4.3 p. 63 - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. ATF 130 III 138 consid. 1.4 p. 140). Une correction de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
Les principes rappelés ici jouent un rôle déterminant dans l'examen du recours d'espèce, puisque celui-ci consiste, pour l'essentiel, à contester la version des faits retenue par la cour cantonale.
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. 2.1 La cour cantonale a retenu (arrêt attaqué consid. 4.2) que les chevaux sont arrivés sur la route parce que deux portails successifs étaient ouverts. Elle s'est fondée pour cela sur les déclarations du policier qui a constaté les traces laissées par les chevaux. Sachant par ailleurs que deux autres éleveurs de la région ont déclaré, lors de l'enquête de police, que leur portail respectif avait également été ouvert et que leurs chevaux s'étaient échappés durant la même nuit, la cour cantonale en a déduit qu'un tiers non identifié, probablement par malveillance, a ouvert les portails et que c'est pour cette raison que les chevaux sont parvenus jusqu'à la chaussée.
Savoir ce qui s'est vraiment passé est une pure question de fait. Elle relève de l'administration des preuves et de leur appréciation. Le Tribunal fédéral, qui est en principe lié par l'état de fait contenu dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF), ne peut entrer en matière sur une telle question que dans les limites étroites tracées par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF.
Le recourant ne prétend pas qu'il aurait été entravé dans son droit de poser des questions pertinentes au policier qui a établi le rapport sur lequel la cour cantonale s'est fondée. Il ne soutient pas non plus qu'il aurait contesté les déclarations des deux autres éleveurs et demandé leur audition pour les interroger. Vu le temps écoulé, une inspection locale n'aurait manifestement pas permis de contrôler ou de mettre en doute les constatations du policier sur les traces laissées par les chevaux. D'autres mesures probatoires n'apparaissent pas nécessaires. On ne voit donc pas que les faits auraient été établis en violant le droit à la preuve du recourant (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF). Il doit être rappelé, s'agissant d'une prétention de droit privé fédéral, que le droit à la preuve est régi par l'art. 8 CC en tant que disposition spéciale, et non pas par le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. (arrêt 5A_141/2007 du 21 décembre 2007 consid. 2.2). Le recourant invoque aussi dans ce contexte des dispositions du droit cantonal, mais le recours en matière civile n'est pas ouvert pour se plaindre d'une violation du droit cantonal (art. 95 LTF). Il serait cependant possible de se plaindre d'une violation arbitraire du droit cantonal, c'est-à-dire d'une violation de l'art. 9 Cst. (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 s.; 133 I 201 consid. 1 p. 203; 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Un tel grief doit cependant être motivé de manière précise (art. 106 al. 2 LTF). Le recourant n'explique cependant pas en quoi le droit cantonal lui accorderait un droit allant au-delà de celui déduit de l'art. 8 CC et en quoi ce droit aurait été arbitrairement violé, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'entrer en matière.
Dès lors qu'il n'y a pas eu de violation du droit dans l'administration des preuves, il reste à examiner si la manière dont les preuves ont été appréciées par la cour cantonale peut être qualifiée d'arbitraire. Le Tribunal fédéral ne peut en effet revenir sur les constatations cantonales que si elles sont manifestement inexactes (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF). Le juge dispose d'un large pouvoir d'appréciation dans l'examen des preuves et l'établissement des faits; sa décision ne peut être qualifiée d'arbitraire que s'il n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore, si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
Le recourant n'invoque aucune circonstance qui permettrait de mettre en doute la crédibilité du policier ou des deux autres éleveurs; il ne tente pas non plus de montrer que leurs propos auraient été mal compris par la cour cantonale. S'il estimait que les déclarations étaient imprécises ou sujettes à discussion, le recourant aurait dû faire citer les témoins et leur poser les questions utiles. Dès lors qu'il a été retenu sans arbitraire que plusieurs portails appartenant à des propriétaires différents sont restés ouverts et que des chevaux s'en sont échappés durant la même nuit, il faut bien en déduire que quelqu'un l'a fait. On ne voit pas pourquoi - et le recourant ne tente pas de démontrer le contraire - l'intimée ou ses auxiliaires auraient ouvert ou laissé ouvert le portail d'autres éleveurs. Conclure dans ces circonstances que le portail de l'intimée a été ouvert peu auparavant par un tiers non identifié ne peut pas être qualifié d'arbitraire.
Il faut donc s'en tenir à l'état de fait dressé par la cour cantonale (art. 105 al. 1 LTF).
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir retenu arbitrairement la présence d'un véhicule non identifié. Ce grief est dépourvu de tout objet, parce que la cour cantonale n'a pas constaté la présence d'un tel véhicule. Elle a clos la discussion à ce sujet en se référant à l'enquête de police et en observant: "l'agent n'a toutefois pas constaté de traces de véhicule de sorte que sa présence n'est pas établie. Il n'a pas constaté non plus de traces de piéton". Le recourant s'en prend donc à une constatation que la cour cantonale n'a pas faite. S'agissant d'un lieu isolé, on ne peut tirer aucune déduction du fait que personne n'a remarqué de voiture, d'individu ou de traces (le policier a relevé que des traces de pas pouvaient avoir été couvertes par les traces des sabots). Ces arguments ne sont pas propres à faire apparaître comme arbitraire le raisonnement adopté par la cour cantonale.
Que les autres éleveurs soient plus ou moins éloignés est également impropre à démontrer l'arbitraire. Le recourant n'établit pas qu'il était impossible qu'une même personne ouvre ces différents portails.
Dès lors qu'il a été retenu sans arbitraire qu'un tiers non identifié a ouvert et laissé ouvert les portails et que c'est par cette voie que les chevaux sont sortis, toute la discussion sur l'état des clôtures ou du portail est sans pertinence, puisqu'un éventuel défaut serait sans rapport de causalité naturelle avec l'accident.
2.2 Le recourant a fondé sa demande sur la responsabilité du détenteur d'animaux (art. 56 CO) et sur la responsabilité pour des bâtiments et autres ouvrages (art. 58 CO).
S'agissant de la responsabilité du détenteur d'animaux, l'art. 56 al. 1 CO prévoit que le détenteur est libéré notamment s'il prouve que sa diligence n'eût pas empêché le dommage de se produire. Ce second moyen libératoire revient à démontrer qu'il n'y a pas de relation de causalité adéquate entre le comportement reproché au détenteur et le dommage qui est survenu (cf. ATF 131 III 115 consid. 3.1 p. 119; Franz Werro, in Commentaire romand, 2003, n° 16 ad art. 56 CO; Anton K. Schnyder, in Commentaire bâlois, 2007, n° 17 ad art. 56 CO; Roland Brehm, in Commentaire bernois, 2006, n° 85 ad art. 56 CO, Oftinger/Stark, Schweizerisches Haftpflichtrecht, vol. II/1, 4e éd. 1987, p. 349 no 146 et p. 411 no 97; Deschenaux/Tercier, La responsabilité civile, 2e éd. 1982, p. 106 no 62 et p. 119 no 31).
Dans le cas de la responsabilité pour des bâtiments ou autres ouvrages, il résulte du texte clair de l'art. 58 al. 1 CO qu'il faut un rapport de causalité entre, d'une part, les vices de construction ou le défaut d'entretien et, d'autre part, le dommage invoqué.
Ainsi, quel que soit le fondement juridique de l'action, il se pose en l'espèce un problème de causalité. La cour cantonale a retenu en fait - d'une manière qui lie le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - que les portails ont été ouverts et laissés ouverts peu auparavant par un tiers non identifié (qui n'est ni l'intimée ni un de ses auxiliaires) et que c'est par cette voie que les chevaux sont sortis et ont pu arriver sur la route. Sur la base d'un tel état de fait, on ne voit pas qu'un défaut des installations ou un manque de surveillance de la part de l'intimée aurait pu être en relation de causalité avec le dommage qui est survenu. Même si les clôtures et le portail étaient parfaitement adaptés et bien entretenus, on ne voit pas comment l'intimée pouvait empêcher un tiers d'ouvrir le portail, étant rappelé que l'accès aux pâturages est en principe libre (art. 699 al. 1 CC). S'agissant de vastes étendues isolées, on ne peut évidemment pas attendre d'un éleveur qu'il fasse surveiller en permanence, par une présence physique ou des caméras, les chevaux qui paissent. Le recourant soutient que l'on pouvait exiger de l'intimée qu'elle place un portail d'accès aux pâturages que l'on ne peut pas laisser ouvert, qui ne permet donc pas aux animaux de s'échapper, et dont il affirme qu'il ne coûte pas très cher. Cet argument n'est pas dépourvu d'intérêt. Toutefois, savoir si de tels dispositifs existent et quel en est le coût relève des faits. Or, on ne trouve aucune constatation de fait à ce sujet dans l'arrêt cantonal et le recourant ne prétend pas avoir allégué et offert en preuve les faits pertinents en temps utile dans la procédure cantonale. Son argumentation juridique repose donc sur des faits nouveaux, de sorte qu'il n'est pas possible de la prendre en considération (art. 99 al. 1 LTF; ATF 134 III 643 consid. 5.3.2 p. 651; 129 III 135 consid. 2.3.1 p. 144).
Ainsi, sur la base de l'état de fait retenu par la cour cantonale, on ne voit pas qu'une éventuelle violation par l'intimée de son devoir de diligence ou un éventuel défaut de ses installations puisse être en relation de causalité adéquate avec le dommage invoqué. En rejetant la demande, la cour cantonale n'a donc pas violé le droit fédéral.
3. Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière civile est rejeté.
3. Les frais judiciaires fixés à 6'000 fr. sont mis à la charge du recourant.
4. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton du Jura.
Lausanne, le 7 juillet 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Crittin