Sachverhalt:
A. Die 1957 geborene S._ war seit 1. Oktober 2000 als Hausdienstangestellte für das Spital X._ tätig und bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Zürich) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als ihr am 8. Oktober 2004 ein Teil einer Putzmaschine auf die linke Hand fiel. Die Versicherte klagte über massiven Berührungsschmerz über dem linken Handgelenk mit ausgeprägter Bewegungseinschränkung. Der Röntgenbefund war unauffällig. Trotz mehrerer medizinischer Untersuchungen liess sich der Hauptgrund für die andauernden Handgelenksschmerzen nicht eruieren. Am 13. März 2006 diagnostizierte die Schulthess Klinik eine deutliche (mittelschwere) depressive Episode. Anlässlich der daraufhin in Auftrag gegebenen psychosomatischen Begutachtung stellte Frau Dr. med. K._, FMH für Arbeitsmedizin und Psychosomatik, im Gutachten vom 15. September 2006 die Diagnose einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung sowie Angst und depressive Störung gemischt, wobei sie hinsichtlich der Unfallkausalität festhielt, das Ereignis vom 8. Oktober 2004 habe als Auslöser ca. 20 % Anteil. Mit Verfügung vom 31. Oktober 2006 stellte die Zürich daraufhin ihre Leistungen per 1. November 2006 ein. Die von der SwissLife als BVG-Versicherer und von S._ dagegen erhobenen Einsprachen wies sie nach Einholung eines Berichts der Psychiatrischen Klinik Y._ vom 26. März 2007 sowie eines Gutachtens des Dr. med. I._, Facharzt für Chirurgie, speziell Handchirurgie, Leitender Arzt der Chirurgischen Klinik des Spitals A._, vom 28. Dezember 2007 mit Einspracheentscheid vom 25. April 2008 ab, soweit sie darauf eintrat.
B. Die namens der Versicherten hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 25. November 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Eine öffentliche Gerichtsverhandlung wurde trotz gestelltem Antrag nicht durchgeführt.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ sinngemäss beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung in einem fairen Verfahren gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK, namentlich zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung, an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Gleichzeitig lässt sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchen. Der Vertreter der Versicherten legt zudem dar, dass eine weitere Vertretung durch ihn über die Anhebung der Beschwerde hinaus ausgeschlossen sei.
Die Zürich lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Beschwerdeführerin macht u.A. geltend, das kantonale Gericht habe Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt, indem es keine öffentliche Verhandlung durchgeführt habe. Diese formellrechtliche Rüge ist zuerst zu behandeln.
3. 3.1 Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich und innerhalb einer angemessenen Frist von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, das über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen oder über die Stichhaltigkeit der gegen ihn erhobenen strafrechtlichen Anklage zu entscheiden hat (Satz 1). Dieselbe Konventionsbestimmung sieht Ausnahmen vom Öffentlichkeitsgrundsatz vor im Interesse der Sittlichkeit, der öffentlichen Ordnung oder der nationalen Sicherheit oder wenn die Interessen von Jugendlichen, der Schutz des Privatlebens von Prozessparteien oder die Gefahr einer Beeinträchtigung der Rechtspflege es gebieten (Satz 2).
3.2 Im Sozialversicherungsprozess hat das erstinstanzliche Gericht grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung anzuordnen, wenn eine solche beantragt wird. Als Gründe für eine Ausnahme von diesem Prinzip fallen nebst den im zitierten Art. 6 Ziff. 1 Satz 2 EMRK genannten Umständen namentlich in Betracht, dass der Antrag nicht frühzeitig genug gestellt wurde, als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwider läuft oder gar rechtsmissbräuchlich ist. Weiter erscheint der Verzicht auf eine beantragte öffentliche Verhandlung durch das erstinstanzliche Gericht als zulässig, wenn sich auch ohne eine solche mit hinreichender Zuverlässigkeit erkennen lässt, dass eine Beschwerde offensichtlich unbegründet oder unzulässig ist. Dasselbe gilt, wenn eine Materie hochtechnischen Charakters zur Diskussion steht, wobei darunter etwa rein rechnerische, versicherungsmathematische oder buchhalterische Probleme zu verstehen sind, nicht aber andere dem Sozialversicherungsprozess inhärente Fragestellungen wie beispielsweise die Würdigung medizinischer Gutachten. Schliesslich kann von einem nachträglichen Verzicht auf eine zunächst verlangte öffentliche Verhandlung ausgegangen werden, wenn das kantonale Gericht allein schon aufgrund der Akten zum Schluss gelangt, den materiellen Rechtsbegehren der die Verhandlung beantragenden Partei sei zu entsprechen (BGE 122 V 47 E. 3b S. 55 ff.; Urteil 8C_842/2009 vom 26. Januar 2010 E. 3.2 mit Hinweisen).
4. Nach den dargelegten Gesichtspunkten ist zu prüfen, ob das kantonale Gericht von der Anordnung einer öffentlichen Verhandlung absehen durfte, ohne damit Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu verletzen.
4.1 Der Antrag auf Durchführung einer öffentlichen Gerichtsverhandlung wurde in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift und damit rechtzeitig gestellt (BGE 122 V 47 E. 3b/bb S. 56; Urteil 8C_842/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.1). Der Antrag war zudem klar und unmissverständlich.
4.2 Zu prüfen ist somit, ob das kantonale Gericht seinen Entscheid gestützt auf einen der rechtsprechungsgemäss vorgesehenen Ausnahmegründe (vgl. E. 3.2 hievor) trotz Vorliegens eines entsprechenden Antrags ohne öffentliche Verhandlung fällen durfte.
4.3 In materieller Hinsicht ist streitig, ob die Beschwerdeführerin über den 31. Oktober 2006 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat. Dies hängt im Wesentlichen davon ab, ob die über dieses Datum hinaus geklagten Beschwerden noch natürlich und adäquat kausal durch das Unfallereignis vom 8. Oktober 2004 verursacht sind. Vorinstanz und Verwaltung verneinten aufgrund der medizinischen Aktenlage hinsichtlich der geklagten Handgelenks- sowie Schulterbeschwerden den natürlichen und hinsichtlich der psychischen Beschwerden den adäquaten Kausalzusammenhang. Die für das Sozialversicherungsrecht typische Thematik des Kausalzusammenhangs zwischen geklagten Beschwerden und einem versicherten Unfallereignis lässt sich nicht als "hochtechnisch" im Sinne der Rechtsprechung bezeichnen (vgl. BGE 122 V 47 E. 2d S. 52, 3b/ee S. 57 f.). Auch kann nicht gesagt werden, dass unter solchen Umständen eine zuverlässige Urteilsfindung eher in einem ausschliesslich schriftlichen Verfahren gewährleistet wäre und von einer zusätzlich durchgeführten mündlichen Verhandlung ohnehin keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären. Vielmehr erscheint eine mündliche Verhandlung gerade in solchen Fällen als grundsätzlich geeignet, zur Klärung allfälliger noch streitiger Punkte beizutragen (vgl. auch Urteile 8C_842/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.3 und 8C_442/2009 vom 28. August 2009 E. 4.3). Triftige Gründe, welche dennoch gegen eine öffentliche Verhandlung sprechen würden, sind nicht ersichtlich und werden denn auch weder von der Vorinstanz noch von der Beschwerdegegnerin namhaft gemacht. Schliesslich kann - wie sich bereits aus dem Umfang der vorinstanzlichen Erwägungen ergibt - nicht von einer offensichtlich unbegründeten oder unzulässigen Beschwerde gesprochen werden.
5. Indem das kantonale Gericht unter den gegebenen Umständen von der ausdrücklich beantragten mündlichen Verhandlung gemäss Art. 6 Abs. 1 EMRK absah, hat es der konventionsrechtlich gewährleisteten Verfahrensgarantie nicht hinreichend Rechnung getragen. Es erweist sich deshalb als unumgänglich, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie den Verfahrensmangel behebe und die verlangte öffentliche Verhandlung, in deren Rahmen der Beschwerdeführerin auch Gelegenheit zu einer mündlichen Stellungnahme einzuräumen ist, durchführe.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 133 V 642 E. 5) und der bis zur Beschwerdeerhebung durch Adrian J. Bacchini, Bacchus Consulting, vertretenen Beschwerdeführerin überdies eine den erforderlichen Aufwand deckende Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist damit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 25. November 2009 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 25. April 2008 neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. April 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch