Erwägungen:
1. X._ (geb. 1977) will nach eigenen Angaben aus dem Irak stammen, dürfte jedoch algerischer Staatsbürger sein. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 25. Juni 2008 in Ausschaffungshaft, welche das Haftgericht III Bern-Mittelland tags darauf prüfte und bis zum 24. September 2008 genehmigte. Am 4. Juli 2008 leitete die Haftrichterin ein Schreiben an das Bundesgericht weiter, worin X._ darum ersucht, freigelassen zu werden.
2. Die Eingabe ist - soweit sich der Beschwerdeführer darin überhaupt sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt (Art. 42 Abs. 2 BGG) - offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden:
2.1 Der Beschwerdeführer hat sein Asylgesuch am 8. Juni 2005 zurückgezogen und wurde in der Folge angehalten, die Schweiz unverzüglich zu verlassen, was er in Verletzung seiner Mitwirkungspflichten nicht tat. Er wurde hier vielmehr straffällig (Diebstahl, mehrfache sexuelle Nötigung usw.) und erklärte wiederholt, auf keinen Fall bereit zu sein, in seine Heimat zurückzukehren. Er hat zudem widersprüchliche Angaben zu seiner Identität und Herkunft gemacht; nach den behördlichen Abklärungen ist er in Europa insgesamt unter mindestens 22 Alias-Namen bekannt. Gestützt hierauf besteht bei ihm "Untertauchensgefahr" im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; BGE 130 II 56 E. 3.1 S. 58 f.). Es kann nicht davon ausgegangen werden, dass er sich ohne Haft für den Vollzug seiner Wegweisung freiwillig zur Verfügung halten wird. Die schweizerischen Behörden bemühen sich bei den algerischen Instanzen nach wie vor um die Erstellung seiner Identität; die dabei eingetretenen Verzögerungen hat der Beschwerdeführer wegen seines renitenten Verhaltens selber zu verantworten. Er kann seine Festhaltung verkürzen, indem er mit dem Migrationsdienst zusammenarbeitet.
2.2 Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Entgegen seinen Behauptungen dürfte er nicht aus dem Irak, sondern aus Algerien stammen; im Übrigen bildet die Rechtmässigkeit des Wegweisungsentscheids nicht (mehr) Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens (vgl. BGE 128 II 193 E. 2.2 S. 197 ff.; 125 II 217 E. 2 S. 220). Bezüglich des Einwands, bei einer Haftentlassung bereit zu sein, sich in einen Drittstaat zu begeben, ist nicht ersichtlich, wie er dies ohne gültige Reisepapiere rechtmässig tun könnte; nur sein Heimatstaat ist verpflichtet, ihn gegebenenfalls auch ohne solche zurückzunehmen (vgl. BGE 133 II 97 E. 4.2.2). Sollte der Beschwerdeführer gültige Reisepapiere vorlegen, werden die schweizerischen Behörden prüfen können, ob ein legaler Wegweisungsvollzug in einen anderen Staat möglich ist (Art. 69 Abs. 2 AuG). Wenn der Beschwerdeführer darauf hinweist, dass er sich bereits seit acht Monaten in Haft befinde, verkennt er, dass er erst seit dem 25. Juni 2008 ausländerrechtlich motiviert festgehalten wird; vorher befand er sich im Strafvollzug. Für alles Weitere wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. Aufgrund der Umstände rechtfertigt es sich, keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (vgl. Art. 68 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichterin 7, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar