Sachverhalt:
A. X._ hat bereits wiederholt ohne Erfolg um Wechsel seines Offizialverteidigers ersucht (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1B_75/2008 vom 30. April 2008 mit weiteren Hinweisen). Am 29. April 2008 verurteilte das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, X._ zweitinstanzlich zu einer mehrjährigen Freiheitsstrafe. Das Urteil wurde vorerst im Dispositiv eröffnet. Während der Zwischenzeit bis zur Ausfertigung des begründeten Urteils stellte X._ am 23. Juni 2008 wiederum einen Antrag auf Verteidigerwechsel. Ebenso beantragte sein Verteidiger am 1. Juli 2008, aus seinem Mandat entlassen zu werden. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, lehnte beide Begehren mit Verfügung vom 2. Juli 2008 ab.
B. Gegen die Verfügung vom 2. Juli 2008 legt X._ beim Bundesgericht Beschwerde ein. Er verlangt im Wesentlichen die Aufhebung der angefochtenen Verfügung und die Anordnung des vorinstanzlich verweigerten Anwaltswechsels. Ausserdem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren.
Das Kantonsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid stützt sich auf kantonales Strafprozessrecht. In Betracht fällt einzig die Beschwerde in Strafsachen. Die angefochtene Verfügung schliesst das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht ab; sie bildet einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG. Die von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG erfasste Konstellation ist hier nicht betroffen. Es stellt sich indessen die Frage, ob der angefochtene Entscheid im Lichte von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG selbstständig anfechtbar ist. Nach dieser Bestimmung ist die Beschwerde an das Bundesgericht zulässig, wenn der angefochtene Zwischenentscheid dem Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dieser Nachteil muss nach der Rechtsprechung nicht nur tatsächlicher, sondern rechtlicher Natur sein (BGE 134 IV 43 E. 2.1 S. 45 mit Hinweisen).
1.2 Im vorliegenden Fall hat die Vorinstanz das Begehren des Beschwerdeführers materiell beurteilt und einen Verteidigerwechsel abgelehnt. In der Beschwerde an das Bundesgericht begnügt sich der Beschwerdeführer damit, die bisherige Prozessführung durch seinen Verteidiger zu kritisieren und diesbezüglich Verfassungsrügen gegen den angefochtenen Entscheid zu erheben. Dabei tut er keinen Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG dar. Deshalb erweist sich die vorliegende Beschwerde als unzulässig.
1.3 Zur Vermeidung unnötiger Weiterungen im Hinblick auf künftige Verfahren ist Folgendes anzumerken: Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, bei allfälliger Erhebung einer Beschwerde an das Bundesgericht gegen das kantonsgerichtliche Strafurteil werde das Bundesgericht für die Beurteilung eines Verteidigerwechsels zuständig sein. Es gilt jedoch festzuhalten, dass die amtliche Verteidigung nur für das kantonale Verfahren gilt. Im Rahmen einer Beschwerde an das Bundesgericht kommt hingegen Art. 64 BGG zum Zug. Danach bestellt das Bundesgericht der Partei unter den Voraussetzungen von Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG einen unentgeltlichen Rechtsbeistand.
2. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Angesichts der Aussichtslosigkeit der Beschwerde ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Auf eine Kostenauflage kann aber verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Landschaft und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, sowie Advokat Y._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. September 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet