Fatti:
A. A._ è stata assunta dalla Corporazione scolastica X._ quale insegnante per la scuola dell'infanzia a partire dall'anno scolastico 1988/1989. Nei suoi compiti rientrava pure la sorveglianza della mensa scolastica durante la pausa pranzo. Con scritto non firmato, datato 22 gennaio 1998, l'insegnante si è dimessa con effetto al 31 gennaio 1998 dalla funzione di sorvegliante, rinunciando al compenso previsto per tale mansione. Su richiesta del datore di lavoro, il compito è tuttavia stato svolto sino alla fine di quell'anno scolastico, quando è stato comunicato ai docenti che, a titolo di prova per l'anno scolastico 1998/1999, per tale incombenza sarebbe stata appositamente assunta una persona e che la mensa sarebbe stata usufruibile unicamente dagli allievi. La decisione ha suscitato obiezioni da parte dell'insegnante.
B. Il 6 febbraio 2002 l'autorità scolastica prevedeva di incontrare A._ per discutere, pure in presenza dell'ispettrice delle scuole dell'infanzia, il problema delle sue regolari assenze dall'insegnamento. L'incontro non si è però tenuto a causa della malattia dell'interessata. Le parti si sono poi ritrovate il 13 dicembre 2002, essenzialmente per discutere delle difficoltà create all'insegnante da due bambini della scuola dell'infanzia. La docente è stata in seguito inabile al lavoro al 100 % dal 10 al 28 febbraio 2003 e successivamente ha presentato di mese in mese certificati medici che confermavano la sua completa inabilità lavorativa fino al termine del 2003.
C. Con decisione del 10 febbraio 2004 il Consiglio scolastico della Corporazione scolastica, preso atto che l'interessata non poteva più continuare a garantire l'insegnamento a causa dei suoi problemi di salute, ha sciolto il rapporto di lavoro con A._ per la fine dell'anno scolastico 2003/2004. L'insegnante non ha impugnato questa decisione.
D. Con azione del 6 marzo 2006 A._ ha convenuto la Corporazione scolastica dinanzi al Tribunale amministrativo del Cantone dei Grigioni, chiedendo il versamento di fr. 262'107.-- complessivi, oltre interessi. Tale importo era suddiviso in fr. 226'429.-- per il danno legato a mobbing e conseguente licenziamento abusivo, fr. 19'108.-- per la perdita di guadagno causata dalla soppressione dell'incarico di sorvegliante della mensa, fr. 5'332.-- per il mancato riconoscimento della gratifica per anzianità di servizio e fr. 11'238.-- per il mancato guadagno derivante dalla soppressione di una settimana lavorativa a partire dall'anno scolastico 1998/1999.
E. Dopo avere in particolare richiamato dall'Ufficio dell'assicurazione invalidità l'incarto AI concernente l'interessata e ordinato l'audizione testimoniale di B._, segretario della Corporazione scolastica, e di C._, membro della stessa, con sentenza del 15 novembre 2007, comunicata il 29 febbraio 2008, il Tribunale amministrativo del Cantone dei Grigioni ha respinto l'azione. La Corte cantonale ha rinunciato ad assumere le ulteriori prove richieste dall'attrice e, per quanto concerne le pretese legate all'asserito licenziamento abusivo, ha ritenuto che sarebbe occorso impugnare la decisione del 10 febbraio 2004. Ha comunque negato che l'interessata fosse stata oggetto di mobbing e che la disdetta fosse abusiva, respingendo tutte le pretese avanzate.
F. A._ impugna questa sentenza al Tribunale federale con un ricorso in materia di diritto pubblico del 15 aprile 2008, chiedendo di annullarla e di rinviare la causa alla Corte cantonale perché proceda nel senso dei considerandi. In via subordinata, chiede la riforma del giudizio impugnato nel senso che l'azione sia accolta. La ricorrente fa segnatamente valere la violazione del diritto di essere sentita e degli art. 328 e 336 segg. CO, oltre a quella dei principi della fedeltà contrattuale e della buona fede.
G. La Corte cantonale e la Corporazione scolastica chiedono entrambe la reiezione del gravame nella misura della sua ammissibilità.
Diritto:
1. 1.1 Presentato da una parte che ha partecipato al procedimento, direttamente toccata dalla decisione e avente un interesse degno di protezione al suo annullamento o alla sua modifica (art. 89 cpv. 1 LTF), il ricorso è tempestivo (art. 100 cpv. 1 in relazione con l'art. 46 cpv. 1 lett. a LTF) e diretto contro una decisione finale (art. 90 LTF), resa in una causa in materia di rapporto di lavoro di diritto pubblico concernente una controversia patrimoniale (art. 82 lett. a in relazione con l'art. 83 lett. g LTF) da un'autorità cantonale di ultima istanza (art. 86 cpv. 1 lett. d LTF). Esso è quindi di massima ammissibile. Il valore litigioso minimo previsto dall'art. 85 cpv. 1 lett. b LTF è manifestamente raggiunto.
1.2 Inoltrato prima dell'entrata in vigore, il 1° gennaio 2009, della modifica degli art. 29 cpv. 1 lett. g e 34 lett. h del regolamento del Tribunale federale (RTF; RS 173.110.131), che ha trasferito alla prima Corte di diritto sociale la competenza nel campo dei ricorsi concernenti il personale nel settore pubblico (RU 2008 6415), il gravame in esame è trattato dalla prima Corte di diritto pubblico.
1.3 Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Secondo l'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il ricorso dev'essere motivato in modo sufficiente. Il Tribunale federale esamina in linea di principio solo le censure sollevate; esso non è tenuto a vagliare, come lo farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono, se quest'ultime non sono presentate nella sede federale (DTF 133 II 249 consid. 1.4.1). Inoltre, quando, come in concreto, è invocata la violazione di diritti costituzionali del cittadino, a norma dell'art. 106 cpv. 2 LTF, il Tribunale federale esamina le censure soltanto se siano motivate in modo chiaro e preciso, conformemente alla prassi precedentemente in vigore in materia di ricorso di diritto pubblico (cfr. DTF 133 II 249 consid. 1.4.2, 133 III 393 consid. 6).
Nella misura un cui la ricorrente si limita ad elencare una serie di norme e principi costituzionali (cfr. ricorso pag. 32), senza spiegare in che consiste la violazione, il gravame non adempie le citate esigenze di motivazione ed è quindi inammissibile. Né esso può essere esaminato laddove la ricorrente, richiamando genericamente l'art. 30 cpv. 1 Cost. e l'art. 6 n. 1 CEDU, mette in dubbio la validità della deliberazione accennando alla partecipazione al giudizio di un'attuaria ad hoc e a un'incongruenza tra la data della sentenza e quella del protocollo della stessa (cfr. ricorso pag. 37). La ricorrente non spiega infatti perché sarebbero violate le citate garanzie e disattende che la possibilità di fare capo ad attuari ad hoc è esplicitamente prevista dall'art. 25 della legge cantonale sull'organizzazione giudiziaria, del 31 agosto 2006. Contrariamente a quanto sembra ritenere la ricorrente, l'applicazione d'ufficio del diritto da parte di questa Corte (art. 106 cpv. 1 LTF), non la dispensa dal fornire una motivazione del gravame conforme ai requisiti minimi di motivazione previsti dall'art. 42 cpv. 2 LTF (cfr. DTF 134 II 244 consid. 2.1). Il ricorso è inoltre parimenti inammissibile ove la ricorrente fa valere la violazione degli art. 328 e 336 segg. CO. In effetti, ritenuto che in concreto le norme federali sono state applicate quale diritto pubblico cantonale suppletivo, la censura di violazione del diritto federale giusta l'art. 95 lett. a LTF è limitata alla possibilità di invocare la violazione di diritti costituzionali: come visto, sotto questo profilo, il gravame non è però sufficientemente motivato (cfr. sentenze 1C_59/2008 del 28 novembre 2008 consid. 1.3 e 1C_195/2007 del 17 dicembre 2007 consid. 4.1 e riferimenti). Non essendo quindi in discussione l'applicazione del diritto privato federale, il richiamo dell'art. 8 CC al fine di invocare il diritto alla prova, parimenti garantito dall'art. 29 cpv. 2 Cost., è inconferente. La questione del rapporto tra queste norme si porrebbe peraltro essenzialmente nel contesto di un ricorso in materia civile ai sensi dell'art. 72 LTF, ciò che non è qui il caso (cfr. sentenze 5A_403/2007 del 25 ottobre 2007, consid. 3 e 5A_193/2008 del 13 maggio 2008, consid. 3.1).
2. 2.1 La ricorrente lamenta una violazione del suo diritto di essere sentita per il fatto che la Corte cantonale non ha assunto tutte le prove richieste e non ha sufficientemente motivato le ragioni del rifiuto. Elenca al riguardo una serie di documenti e testimoni che, a suo dire, avrebbero dovuto chiarire la natura dei problemi sorti tra le parti e i veri motivi alla base della disdetta del rapporto di lavoro. Secondo la ricorrente, il rifiuto sarebbe altresì lesivo del principio della parità di trattamento e dell'art. 37 della legge sulla giustizia amministrativa nel Cantone dei Grigioni, del 9 aprile 1967 (LTA), allora in vigore, secondo cui i fatti vanno accertati d'ufficio e le parti hanno da cooperare all'accertamento in quanto ciò si possa pretendere da esse.
2.2 Il diritto di essere sentito, sancito esplicitamente dall'art. 29 cpv. 2 Cost., comprende il diritto per l'interessato di consultare l'incarto, di offrire mezzi di prova su punti rilevanti e di esigerne l'assunzione, di partecipare alla stessa e di potersi esprimere sulle relative risultanze nella misura in cui possano influire sulla decisione (DTF 126 I 15 consid. 2a/aa, 124 I 49 consid. 3a, 241 consid. 2). Tale diritto non impedisce tuttavia all'autorità di procedere a un apprezzamento anticipato delle prove richieste, se è convinta che non potrebbero condurla a modificare la sua opinione. Nell'ambito di questa valutazione, all'autorità compete un vasto margine di apprezzamento e il Tribunale federale interviene solo in caso di arbitrio (DTF 131 I 153 consid. 3, 124 I 208 consid. 4a, 115 Ia 8 consid. 3a, 97 consid. 5b pag. 101, 106 Ia 161 consid. 2b in fine; sentenza 1C_151/2007 dell'11 ottobre 2007, consid. 2.2, in: RtiD I-2008, n. 6, pag. 559 segg.).
2.3 La Corte cantonale ha innanzitutto precisato di non essere di per sé tenuta ad esaminare nell'ambito della procedura dell'azione la fondatezza della disdetta del rapporto di lavoro, che spettava alla ricorrente impugnare tempestivamente nel caso in cui la considerasse abusiva. Questa conclusione non è arbitraria ove si consideri che la decisione 10 febbraio 2004 del Consiglio scolastico della Corporazione opponente, contenente l'indicazione del rimedio giuridico, non era stata impugnata dalla ricorrente. Alla luce di questa espressa rinuncia e tenuto conto del fatto che la procedura dell'azione era circoscritta all'esame delle pretese pecuniarie derivanti dal rapporto d'impiego, è quindi in modo sostenibile che la precedente istanza poteva di principio rifiutare l'assunzione delle prove volte ad accertare i motivi della disdetta. Ribadendo in questa sede i mezzi probatori addotti in sede cantonale e asserendo genericamente che dovrebbero consentire di chiarire le circostanze del licenziamento, la ricorrente disattende quindi che tale aspetto non è decisivo per definire l'esito della causa.
La Corte cantonale ha comunque negato a titolo abbondanziale che la ricorrente fosse stata oggetto di mobbing e che la disdetta fosse abusiva, fondandosi essenzialmente su un rapporto medico peritale disposto dall'Ufficio dell'assicurazione invalidità. Nel capitolo in cui censura la violazione del diritto di essere sentita, la ricorrente si limita ad esporre i suoi allegati scritti presentati dinanzi alla precedente istanza, senza tuttavia considerare gli accertamenti eseguiti sulla base del citato rapporto, e nemmeno spiega, con una motivazione conforme alle esposte esigenze, perché le ulteriori prove offerte, e segnatamente i testimoni indicati, sarebbero rilevanti. Né è poi dato di vedere per quali ragioni un approfondimento delle circostanze dell'incontro del 13 dicembre 2002, concernente un tema specifico di gestione scolastica, potrebbe essere idoneo a sminuire la rilevanza delle constatazioni mediche. Pur non essendosi confrontata esplicitamente con ogni singola prova offerta, la Corte cantonale ha sufficientemente motivato la propria decisione di rinunciare ad assumerle, ritenendole in sostanza superflue sulla base di quelle già disponibili e delle valutazioni esposte nei considerandi del giudizio. In ogni modo, la ricorrente ha compreso la portata dello stesso, avendolo diffusamente contestato in questa sede. Sotto il profilo formale del diritto di essere sentito, il gravame è quindi infondato.
2.4 Laddove la ricorrente sostiene che il richiamo di tutta la documentazione concernente il rapporto d'impiego avrebbe pure consentito di stabilire se la soppressione di una settimana lavorativa fosse effettivamente avvenuta con il consenso delle parti, essa non considera che la precedente istanza ha ritenuto la circostanza avvalorata dall'audizione del teste Daldini e dal fatto che l'interessata non aveva in precedenza mai sollevato pretese al riguardo. Perché queste considerazioni sarebbero arbitrarie e imporrebbero l'assunzione di ulteriori accertamenti, non è dato di sapere. I motivi della riduzione del periodo di lavoro sono d'altra parte stati esposti in modo concordante anche dall'altro testimone, con la cui deposizione la ricorrente non si confronta.
2.5 Quanto alla pretesa di fr. 5'332.-- per l'asserito mancato riconoscimento di una gratifica per anzianità di servizio, la ricorrente non contesta in questa sede le argomentazioni con cui la Corte cantonale ha respinto la richiesta.
3. 3.1 La ricorrente ritiene arbitrario l'accertamento delle sue dimissioni dalla funzione di sorvegliante della mensa scolastica con effetto al 31 gennaio 1998. Rileva che la lettera del 22 gennaio 1998 non è firmata, presenta un carattere di stampa che non si trova in altri suoi scritti e sarebbe stata prodotta dall'opponente soltanto in sede di causa. Il contenuto sarebbe inoltre contraddittorio, siccome si riferirebbe a fatti del giorno dopo e contrasterebbe con atti scritti successivi e con la deposizione del teste C._.
3.2 Per motivare l'arbitrio non basta criticare semplicemente la decisione impugnata contrapponendole una versione propria, ma occorre dimostrare per quale motivo l'accertamento dei fatti o la valutazione delle prove sarebbero manifestamente insostenibili, si trovino in chiaro contrasto con la fattispecie, si fondino su una svista manifesta o contraddicano in modo urtante il sentimento della giustizia e dell'equità (DTF 132 III 209 consid. 2.1, 129 I 173 consid. 3.1, 8 consid. 2.1 e rinvii). In concreto, la ricorrente mette sostanzialmente in dubbio l'autenticità della lettera del 22 gennaio 1998 con cui aveva comunicato all'autorità scolastica le dimissioni dall'incarico di sorveglianza della mensa. Essa non considera tuttavia, né si confronta, con la dichiarazione del teste B._, il quale ha riferito di avere ricevuto la lettera direttamente dalla ricorrente, che gli aveva pure confermato verbalmente il contenuto. Dal protocollo dell'interrogatorio del testimone risulta inoltre che, su richiesta dell'autorità scolastica, l'interessata ha comunque svolto il compito di sorveglianza fino al termine dell'anno scolastico. Questa deposizione non contrasta né con gli scritti successivi evocati nel gravame né con quanto riferito dal teste Daldini e la ricorrente non spiega perché, fondandosi sulla stessa, la Corte cantonale sarebbe incorsa nell'arbitrio o avrebbe operato deduzioni insostenibili.
3.3 La ricorrente rimprovera pure alla Corte cantonale di non averle riconosciuto, siccome non comprovato, il pregiudizio causato dalla mancata possibilità, prevista sia dal contratto sia dall'ordinamento scolastico, di continuare ad usufruire della mensa scolastica. Sostiene, che i giudici cantonali avrebbero avuto tutti gli elementi per potere statuire sulla richiesta, ritenuto ch'essa aveva indicato un importo di fr. 8.-- per pasto, che il periodo di disdetta sarebbe stato di almeno tre mesi e che un pranzo consumato al ristorante sarebbe costato almeno il doppio.
La Corte cantonale ha rilevato che il diniego di consumare i pasti presso la mensa scolastica comportava la modifica del contratto di lavoro ed avrebbe pertanto dovuto rispettare i termini di disdetta. Nella fattispecie, il provvedimento era comunque stato adottato nel corso del mese di giugno, con effetto a partire dal nuovo anno scolastico iniziato nel settembre successivo. L'eventuale maggior spesa per la ricorrente sarebbe quindi limitata al periodo di disdetta eccedente le vacanze, riguardo al quale la ricorrente non aveva tuttavia quantificato la differenza tra il costo della consumazione alla mensa e l'ammontare pagato per gli eventuali pasti sostitutivi. Premesso che la ricorrente non fa valere l'applicazione arbitraria dell'art. 37 LTA, che le imponeva di cooperare all'accertamento dei fatti, e considerato ch'essa aveva semplicemente indicato nell'azione un importo di fr. 8.-- per pasto, senza ulteriori specificazioni ed eseguendo un calcolo imprecisato, non può tutto sommato essere rimproverato alla Corte cantonale di avere pronunciato una decisione manifestamente insostenibile ritenendo non sufficientemente documentata la pretesa.
4. La ricorrente lamenta la violazione degli art. 328 e 336 segg. CO, richiamando altresì una serie di norme costituzionali. Rimprovera alla Corte cantonale di avere negato un caso di mobbing, basandosi su un'interpretazione arbitraria del rapporto medico peritale, e reputa inoltre disattesi gli obblighi contrattuali, che le garantirebbero il versamento dello stipendio per due anni in caso di malattia.
Premesso che, come visto, nella misura in cui richiama le citate disposizioni del diritto privato federale accennando semplicemente alla violazione di diritti costituzionali il gravame non adempie le esigenze di motivazione previste dagli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF (cfr. consid. 1.3), nel sollevare le citate censure la ricorrente contesta in sostanza la legittimità della disdetta, ribadendo essenzialmente ch'essa sarebbe abusiva o che sarebbe stata data inopportunamente durante la malattia. La questione non deve essere esaminata oltre, siccome spettava alla ricorrente impugnare se del caso la decisione di disdetta del 10 febbraio 2004.
5. La pubblicazione della sentenza in internet in forma anonimizzata è sufficiente a tutelare la personalità della ricorrente (cfr., sulla prassi del Tribunale federale in materia di pubblicazione delle sentenze, DTF 133 I 106 consid. 8).
6. Ne segue che il ricorso deve essere respinto in quanto ammissibile. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono pertanto poste a carico della ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF). In quanto corporazione di diritto pubblico, all'opponente non sono attribuite ripetibili della sede federale (cfr. art. 68 cpv. 3 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 3'000.-- sono poste a carico della ricorrente.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e al Tribunale amministrativo del Cantone dei Grigioni, 1a Camera.