Sachverhalt:
A. Im September 2005 meldete der 1960 geborene A._ der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Allianz) einen Rückfall zu einem am 27. August 1995 erlittenen Unfall, bei dem er sich am linken Arm verletzt hatte. Mit Verfügung vom 26. Februar 2009 sprach ihm die Allianz eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 14 % zu. Hingegen verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente mangels einer leistungsbegründenden Invalidität. A._ reichte am 3. April 2009 vorsorglich Einsprache ein und beantragte eine Fristerstreckung zur Nachreichung der Einsprachebegründung. Mit Schreiben vom 24. April 2009 setzte ihm die Allianz eine Frist bis 8. Juni 2009, um "die Mängel der Einsprache (zu) beheben" und "zur Frage des Nichteintretens wegen bewusst mangelhafter Einsprache Stellung zu nehmen". Am 8. Juni 2009 reichte der Versicherte die Einsprachebegründung ein und äusserte sich zur Eintretensfrage. Mit Entscheid vom 7. September 2009 trat die Allianz auf die Einsprache nicht ein.
B. In Gutheissung der von A._ hiegegen erhobenen Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen den Einspracheentscheid vom 7. September 2009 auf und verpflichtete die Allianz, auf die Einsprache einzutreten, die Anträge materiell zu prüfen und darüber einen neuen Entscheid zu fällen (Entscheid vom 2. März 2010).
C. Die Allianz führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und der Einspracheentscheid zu bestätigen.
A._ und kantonales Gericht lassen je auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Der angefochtene Entscheid stellt nicht einen verfahrensabschliessenden Entscheid (Art. 90 BGG) oder einen Teilentscheid (Art. 91 BGG), sondern einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid dar, der nicht die Zuständigkeit oder den Ausstand betrifft (Art. 92 BGG) und daher nur dann mit Beschwerde anfechtbar ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG).
Die Beschwerde führende Allianz begründet nicht näher, inwiefern mit einem sofortigen Endentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG Aufwand eingespart würde. Die Zulässigkeit der Beschwerde beurteilt sich somit nach der Frage des nicht wiedergutzumachenden Nachteils gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG. Bleibt es beim vorinstanzlichen Entscheid, hat die Beschwerdeführerin einen materiellen Einspracheentscheid zu fällen. Dieser kann - durch Zusprechung von Leistungen entweder gleich im neuen Einspracheentscheid oder auf eine dagegen erhobene Beschwerde hin - eine zusätzliche Leistungspflicht des Unfallversicherers zur Folge haben, welche diesen von vornherein nicht treffen würde, wenn es bei seinem Nichteintretensentscheid bliebe. Da der Versicherer nach dem neuen Einspracheentscheid die Eintretensfrage nicht erneut rechtsmittelmässig aufgreifen könnte, ist von einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil auszugehen. Auf die Beschwerde ist demnach einzutreten, zumal auch die übrigen Voraussetzungen hiefür erfüllt sind.
2. Die Allianz hat ihren Nichteintretensentscheid damit begründet, der Versicherte habe in offensichtlich rechtsmissbräuchlicher Weise bewusst auf die Einsprachebegründung verzichtet.
Das kantonale Gericht hat das Vorliegen eines Rechtsmissbrauchs als fraglich erachtet. Abschliessend müsse dies aber nicht beurteilt werden, da der Einspracheentscheid schon aus anderen Gründen aufzuheben sei. Die Einsprachefrist sei am 20. April 2009 abgelaufen. Es sei davon auszugehen, dass die am 3. April 2009 der Post übergebene vorsorgliche Einsprache mit Fristerstreckungsgesuch rund 14 Tage vor Ablauf dieser Frist bei der Allianz eingegangen sei. Diese wäre demnach gestützt auf den Grundsatz von Treu und Glauben sowie die allgemeine Aufklärungs- und Beratungspflicht der Sozialversicherer gemäss Art. 27 ATSG gehalten gewesen, den Versicherten rechtzeitig auf den ihm ihrer Ansicht nach drohenden Rechtsnachteil aufmerksam zu machen und klar festzustellen, dass eine entsprechende Verbesserung innert der laufenden Einsprachefrist zu erfolgen habe. Unter diesen Umständen habe der Versicherte ohne weiteres davon ausgehen dürfen, dass seinem Fristerstreckungsgesuch zur Nachreichung der Einsprachebegründung stattgegeben werde. Das Schreiben der Allianz vom 24. April 2009 sei demnach so zu verstehen, als sei dem Versicherten die Frist zur Nachreichung der Einsprachebegründung ohne Androhung irgendwelcher Rechtsnachteile bis 8. Juni 2009 erstreckt worden. Die Einsprachebegründung sei an diesem Tag der Post übergeben worden, weshalb auf die Einsprache einzutreten sei.
Die Beschwerde führende Allianz verneint eine Verletzung von Treu und Glauben sowie der gesetzlichen Aufklärungs- und Beratungspflicht.
3. Das kantonale Gericht hat den Grundsatz von Treu und Glauben im Sinne des öffentlich-rechtlichen Vertrauensschutzes zutreffend erläutert. Es ist wie dargelegt zum Ergebnis gelangt, die Allianz habe diesen Grundsatz verletzt.
Diese Beurteilung ist richtig. Zwar wusste der anwaltlich vertretene Versicherte offensichtlich darum, dass die Einsprache mangels Begründung nicht den gesetzlichen Formerfordernissen entsprach. Es war aber für ihn nicht erkennbar, dass die Allianz das Fristerstreckungsgesuch geradezu als offensichtlich rechtsmissbräuchlich betrachten und daher ablehnen könnte. Bei dieser Ausgangslage hätte sich die Beschwerdeführerin nicht damit begnügen dürfen, das Ablaufen der restlichen zwei Wochen der Einsprachefrist abzuwarten und erst danach mit Schreiben vom 24. April 2009 mitzuteilen, dass sie diese Rechtsfolge in Betracht ziehe. Nach Treu und Glauben wäre sie vielmehr gehalten gewesen, dem Versicherten noch so rechtzeitig entsprechend Mitteilung zu machen, dass dieser innert der noch laufenden Einsprachefrist eine Einsprachebegründung hätte nachreichen können.
Die Vorbringen in der Beschwerde rechtfertigen keine andere Betrachtungsweise. Wohl trifft zu, dass der Versicherte schon während des gesamten Verfahrens vor dem Unfallversicherer anwaltlich vertreten war. Entgegen der Auffassung der Allianz musste aber auch der Rechtsvertreter unter den gegebenen Umständen nicht darauf schliessen, dass das Fristerstreckungsgesuch als offensichtlich rechtsmissbräuchlich betrachtet würde. Geltend gemacht wird weiter, der Rechtsvertreter hätte auch bei entsprechender Mitteilung durch die Allianz fristgerecht keine rechtsgenügliche Einsprachebegründung eingereicht. Dieses Vorbringen überzeugt ebenfalls nicht. Es kann vielmehr davon ausgegangen werden, dass der Rechtsvertreter zumindest eine kurze Einsprachebegründung nachgereicht hätte. Andernfalls hätte er sich denn auch in die Gefahr begeben, wegen Verletzung der anwaltlichen Sorgfaltspflicht zur Rechenschaft gezogen zu werden. Soweit die Allianz einzelne Aussagen des Anwalts dahingehend interpretiert, dieser hätte die Einsprache jedenfalls nicht fristgerecht begründet, kann ihr nicht gefolgt werden. Entsprechendes lässt sich namentlich auch nicht aus der Angabe des Rechtsvertreters herleiten, wonach er aus Zeitgründen keine Besprechung mit dem Klienten durchführen könne. Denn der Fall war dem Anwalt ja, wie die Allianz selber betont, im Wesentlichen bekannt. Das hätte bei wegen Nichteintretensandrohung gebotener Eile sicher genügt, um eine den formalen Anforderungen genügende Einsprachebegründung zu verfassen.
Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz zu Recht entschieden, die Allianz habe Treu und Glauben verletzt und sei daher verpflichtet, auf die - mit der nachgereichten Begründung nunmehr unbestrittenermassen formgültige - Einsprache einzutreten. Ob sich Gleiches auch aus Art. 27 ATSG ergäbe, kann offen bleiben.
4. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese hat zudem eine aufwandgemässe Parteientschädigung an den Beschwerdegegner auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1000.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Juli 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz