Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 15. Juli 2009 und Einspracheentscheid vom 14. Dezember 2009 verneinte die Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung der 1959 geborenen C._, da diese die Beitragszeit von zwölf Monaten nicht erfüllt habe.
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess mit Entscheid vom 25. August 2010 die von C._ hiegegen erhobene Beschwerde gut, hob den angefochtenen Einspracheentscheid mit der Feststellung auf, dass die Versicherte die Beitragszeit von zwölf Monaten erfüllt habe und wies die Sache zur Prüfung der übrigen Anspruchsvoraussetzungen an die Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich zurück.
C. Mit Beschwerde beantragt die Arbeitslosenkasse des Kantons Zürich, es sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides ihr leistungsablehnender Einspracheentscheid vom 14. Dezember 2009 zu bestätigen.
Während C._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Staatssekretariat für Wirtschaft auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG. Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Die Vorinstanz hob den Entscheid der Beschwerdeführerin mit der Feststellung auf, die Beschwerdegegnerin habe die Mindestbeitragszeit für den Bezug der Arbeitslosenentschädigung erfüllt. Hätte der vorinstanzliche Entscheid Bestand, so wäre die Arbeitslosenkasse unter Umständen gezwungen, eine ihres Erachtens rechtswidrige, leistungszusprechende Verfügung zu erlassen. Diese könnte sie in der Folge nicht selber anfechten; da die Gegenpartei in der Regel kein Interesse haben wird, den allenfalls zu ihren Gunsten rechtswidrigen Endentscheid anzufechten, könnte der kantonale Vorentscheid nicht mehr korrigiert werden und würde zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil für die Verwaltung führen (vgl. BGE 133 V 477 E. 5.2 S. 483 ff.). Auf ihre Beschwerde ist demnach einzutreten.
1.2 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die Beweiswürdigung durch das kantonale Gericht verletzt namentlich dann Bundesrecht, wenn es den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9; Urteil 8C_727/2009 vom 19. November 2009 E. 1.2).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdegegnerin die zwölfmonatige Beitragszeit nach Art. 13 Abs. 1 AVIG erfüllt hat.
3. 3.1 Gemäss Art. 8 Abs. 1 lit. e AVIG besteht ein Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung nur dann, wenn die versicherte Person die Beitragszeit erfüllt hat oder von der Erfüllung der Beitragszeit befreit ist. Die Beitragszeit hat nach Art. 13 Abs. 1 AVIG erfüllt, wer innerhalb der dafür vorgesehenen Rahmenfrist (Art. 9 Abs. 3 AVIG) während mindestens zwölf Monaten eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt hat.
3.2 Sinn und Zweck des Erfordernisses, eine Mindestbeitragszeit zu erfüllen, ist es, einen gewissen Ausgleich zwischen den bezahlten Beiträgen und dem Anspruch auf Leistungen zu schaffen (vgl. BORIS RUBIN, Assurance-chômage, 2. Aufl. 2006, S. 177, insbesondere Fn. 414). Bei der Bestimmung der Beitragszeit wird auf den formellen Bestand des Arbeitsverhältnisses abgestellt (Urteil C 267/02 vom 19. Mai 2005 E. 3.2), insbesondere zählen auch die Zeiten, für welche die versicherte Person vor Ende des Arbeitsverhältnisses Ferienlohn bezogen hat, als Beitragszeit (vgl. Art. 11 Abs. 3 AVIV; dazu: THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2. Aufl., Basel 2007, Rz. 217 S. 2242 f.). Wichtiges Indiz für das Bestehen bzw. das Nicht-Bestehen eines Arbeitsverhältnisses ist es, ob es der versicherten Person gelingt, nachzuweisen, dass tatsächlich Lohn geflossen ist (Barbara Kupfer Bucher, Der Nachweis des Lohnflusses als Voraussetzung für den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung: eine zusammenfassende Darstellung der Grundlagen und der Praxis mit einer kritischen Würdigung, in SZS 2005 S. 125 ff. mit zahlreichen Hinweisen).
4. 4.1 Gemäss den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Feststellungen des kantonalen Gerichts schloss die Beschwerdegegnerin am 21. Juli 2008 einen Arbeitsvertrag mit ihrer Arbeitgeberin. Darin wurde als Datum für den Stellenantritt der Montag, den 18. August 2008 festgesetzt. Am 7. April 2009 löste die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis per Ende Juli 2009 auf. Der letzte tatsächlich geleistete Arbeitstag war der 10. Juli 2009. In der Zeit zwischen August 2008 und Juli 2009 erhielt die Arbeitnehmerin zwölf Zahlungen in der Höhe des vereinbarten Monatssalärs; insbesondere erhielt sie auch für die Monate August 2008 und Juli 2009 einen vollen Monatslohn. Aus diesen Feststellungen schloss die Vorinstanz, die Beschwerdegegnerin sei während des gesamten Schuljahres bei ihrer Arbeitgeberin angestellt gewesen und habe somit die Beitragszeit von zwölf Monaten erfüllt. Die Beschwerdeführerin macht demgegenüber geltend, da die Beschwerdegegnerin ihre Lehrtätigkeit erst am 18. August 2008 aufgenommen habe, seien lediglich 11,5 Monate als Beitragszeit anrechenbar; damit habe die Beschwerdegegnerin die Beitragszeit nicht erfüllt.
4.2 Auch wenn die versicherte Person und ihre Arbeitgeberin auf den Formularen der Arbeitslosenkasse als Beginn des Arbeitsverhältnisses zunächst den ersten Schultag des neuen Semesters (18. August 2008) angegeben haben, steht fest, dass bereits für den Monat August 2008 ein voller Monatslohn ausbezahlt wurde. Es ist somit davon auszugehen, dass das Arbeitsverhältnis formell bereits seit dem 1. August 2008 bestand. Da die Beschwerdegegnerin unbestrittenermassen noch im August 2008 tatsächlich ihre Unterrichtstätigkeit aufgenommen hat, spielt keine Rolle, ob sie - wovon die Vorinstanz ausgeht - in der Zeit zwischen dem 1. und dem 17. August 2008 Vorbereitungsarbeiten im Hinblick auf ihre Unterrichtstätigkeit verrichtete, oder ob es sich bei dieser Zeit um bezahlte Ferien handelte. Anders zu entscheiden und den Beginn des Arbeitsverhältnisses auf den Stellenantritt festzusetzen würde bedeuten, versicherte Personen, welche auf zwölf Monatslöhnen Beiträge entrichtet haben, anders zu behandeln, je nachdem, ob sie am Monatsersten des ersten Monates tatsächlich Arbeit leisteten, oder ob der Monatserste arbeitsfrei war. Somit würde der Leistungsanspruch letztlich von kalendarischen Zufälligkeiten abhängen; einen sachlichen Grund für eine solche Ungleichbehandlung ist indessen nicht ersichtlich.
4.3 Zählt bei der Beschwerdegegnerin bereits der Monat August 2008 als voller Beitragsmonat, so hat sie die Beitragszeit gemäss Art. 13 Abs. 1 AVIG erfüllt; die Beschwerde der Arbeitslosenkasse ist abzuweisen.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Amt für Wirtschaft und Arbeit, Zürich, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer