Faits:
A.
B._ a travaillé à temps partiel (58 %) comme gouvernante et masseuse jusqu'en mai 2007. Victime le 2 avril 2009 d'un accident de la circulation dont les suites ont été prises en charge par l'assurance-accident, elle s'est annoncée le 21 janvier 2010 auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI), invoquant un traumatisme cervical indirect.
L'administration a joint à la cause le dossier constitué par la SUVA, qui comprenait un rapport du docteur O._, spécialiste FMH en chirurgie, médecin d'arrondissement de la SUVA (rapport du 2 novembre 2009) ainsi qu'une évaluation interdisciplinaire des docteurs G._, spécialiste FMH en neurologie, et U._, spécialiste FMH en médecine interne et en rhumatologie, de la Clinique X._. Ces derniers, s'étant adjoint les services du docteur E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, ont retenu au titre de diagnostics primaires un traumatisme cervical indirect, une tendinite calcifiante du sus-épineux gauche et un état dépressif majeur de gravité moyenne avec syndrome somatique et en tant que comorbidités un status après opération d'une hernie discale C5-C6 gauche avec fusion en 1997, une cervicarthrose étagée, un status après correction chirurgicale des avant-pieds en 2002, une hypercholestérolémie traitée, une insuffisance veineuse des membres inférieurs, un trouble dépressif, un tremblement essentiel ainsi qu'un tabagisme chronique; les résultats des tests effectués, qui laissaient à penser que l'assurée ne pouvait effectuer que des activités exigeant un niveau d'effort inférieur à sédentaire ou essentiellement assis, s'expliquaient par une auto-limitation de l'intéressée, qui sous-estimait de façon considérable ses capacités fonctionnelles (rapport du 22 juin 2009).
Pour compléter ces données, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise à la doctoresse L._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Celle-ci a posé les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail de personnalité dépendante, mal compensée, depuis jeune adulte, et sans répercussion sur la capacité de travail de syndrome douloureux somatoforme persistant depuis avril 2009, de trouble anxieux et dépressif mixte depuis mai 2007, de syndrome de dépendance au tabac, utilisation continue, depuis jeune adulte et d'utilisation nocive pour la santé d'alcool depuis avril 2009; l'assurée, limitée par un besoin de réassurance, un sentiment d'incompétence et des conduites d'évitement, disposait d'une capacité résiduelle de travail de 70 % en tant que gouvernante et masseuse (rapport du 8 novembre 2010). L'office AI a également fait réaliser une enquête économique sur le ménage qui a mis en évidence un statut mixte (60 % active; 40 % ménagère) et l'absence d'empêchement dans la sphère ménagère (rapport du 27 mars 2011). L'administration a envisagé de refuser l'octroi de toute prestation, considérant que l'assurée présentait un taux d'invalidité nul (projet de décision du 16 mai 2011).
B._ a fait valoir des objections à l'encontre de ce projet et transmis à l'administration un rapport du docteur R._, spécialiste FMH en médecine physique et réadaptation auprès de la Clinique Y._ (rapport du 22 juin 2006). Sollicité par l'office AI, celui-ci a retenu avec effet sur la capacité de travail un syndrome douloureux complexe cervico-brachial (cervico-brachialgies gauches, sans irritabilité neurogène [dans un contexte de séquelles de whiplash 2009 degré II selon le Québec Task Force, de cervicarthrose avec composante de micro-instabilité segmentaire C4-C5, de déconditionnement physique global et locorégional, de troubles statiques et posturaux et de status après cure d'hernie discale C5-C6 et spondylodèse en 1997], état dépressif majeur) ainsi que des lombopygialgies (dans un contexte de troubles statiques et posturaux, de souffrances algodysfonctionnelles et de déconditionnement physique) et sans effet sur la capacité de travail un status après stripping étagé et un trémor essentiel droit. Selon ce médecin, la capacité de travail était nulle (rapport du 27 août 2011).
L'assurée a confié la réalisation d'une expertise privée au docteur W._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Celui-ci a posé les diagnostics de syndrome douloureux somatoforme persistant, d'épisode dépressif moyen sans syndrome somatique, évolution prolongée, de trouble de la personnalité dépendante, mal compensée, ainsi que de trouble lié à l'utilisation nocive pour la santé de substances (alcool), et estimé que B._ présentait une incapacité totale de travail dans toute activité (rapport du 31 octobre 2011). L'office AI a soumis ce document à l'appréciation de son Service médical régional, lequel s'est écarté de cette conclusion, déniant notamment toute influence du trouble somatoforme sur la capacité de travail (rapport du docteur M._ du 21 novembre 2011). L'administration a maintenu sa position (décision du 13 avril 2012).
B.
Le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, a rejeté le recours, tendant à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, formé par l'assurée contre cette décision (jugement du 12 juin 2013).
C.
B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut à l'octroi d'un trois quarts de rente à partir du 1er juillet 2010 ou au renvoi de la cause au tribunal cantonal, éventuellement à l'office AI, pour instruction complémentaire puis nouvelle décision.
Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral, qui applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Il appartient au recourant de démontrer précisément en quoi les faits ont été constatés de manière arbitraire et en quoi la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause au sens de l'art. 97 al. 1 LTF (cf. ATF 136 II 508 consid. 1.2 p. 511; 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322 et les arrêts cités). L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou encore lorsque le juge ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'il se trompe manifestement sur son sens ou sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, il en tire des conclusions insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 1.2 p. 9). Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle adoptée par l'autorité intimée serait concevable, voire préférable (ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités).
2.
Le litige porte sur le droit de la recourante à un trois quarts de rente de l'assurance-invalidité à partir du 1er juillet 2010, singulièrement sur le taux d'invalidité et plus particulièrement sur la capacité de travail.
Le jugement entrepris expose correctement les règles applicables à la résolution du cas, notamment les conditions posées par la jurisprudence pour admettre le caractère invalidant d'un trouble somatoforme douloureux (ATF 130 V 352). Il suffit donc d'y renvoyer
3.
3.1. Considérant que la recourante souffrait d'un trouble somatoforme douloureux n'affectant pas sa capacité de travail, les premiers juges ont retenu en se fondant sur les conclusions de la doctoresse L._ que celle-ci s'élevait à 70 % dans l'activité habituelle. L'intéressée, qui travaillait à 58 % avant d'être atteinte dans sa santé, ne subissait ainsi aucune perte de gain. Étant donné qu'elle ne présentait pas d'empêchement dans la sphère ménagère, le taux d'invalidité global était nul, si bien qu'elle n'avait pas droit à une rente d'invalidité.
3.2. La recourante se plaint d'une constatation manifestement inexacte et incomplète des faits pertinents, consécutive à une mauvaise appréciation des preuves, ainsi que d'une violation du droit fédéral. Elle reproche aux premiers juges d'avoir nié le caractère invalidant de son trouble somatoforme douloureux et de ne pas avoir examiné les répercussions sur la capacité de travail de ses troubles rhumatologiques. En tout état de cause, on ne pourrait pas exiger qu'elle mette en valeur une éventuelle capacité résiduelle de travail, compte tenu de son âge et de son éloignement prolongé du marché du travail.
4.
4.1. Selon les premiers juges, le trouble de la personnalité que présentait la recourante depuis de nombreuses années ne l'avait jamais empêchée d'exercer une activité professionnelle. L'état dépressif dont elle souffrait ne se distinguait en outre pas de son trouble somatoforme et n'avait été qualifié de grave par aucun des médecins l'ayant examinée. Il n'y avait ainsi pas de comorbidité psychiatrique suffisamment importante, d'autant que l'intéressée n'était pas suivie par un psychiatre. Par ailleurs, à l'exception d'un état psychique cristallisé, aucun des autres critères retenus par la jurisprudence pour admettre le caractère invalidant d'un trouble somatoforme douloureux n'était rempli.
La recourante affirme que la coexistence d'une personnalité dépendante mal compensée et d'un trouble dépressif, qui selon le docteur W._ s' "auto-alimentent", "provoque une situation d'extrême fragilité, qui aurait vraisemblablement abouti à une incapacité de travail indépendamment de l'accident". Elle n'expose toutefois pas sur quels éléments elle se fonde pour parvenir à une telle conclusion, si bien que ses allégations ne sont pas propres à établir que le raisonnement des premiers juges relatif à l'absence de comorbidité psychiatrique significative serait contraire au droit ou constitutif d'une appréciation des preuves insoutenable dans son résultat. C'est le lieu de rappeler que depuis la fin du mois de juin 2011 la recourante n'est plus suivie par un psychiatre. En complétant les faits retenus par les premiers juges (art. 105 al. 2 LTF), on peut préciser que, jusqu'à cette date, elle avait été prise en charge par le Secteur psychiatrique Z._ (cf. rapport du docteur M._ du 21 novembre 2011). Le Tribunal cantonal a mentionné dans son jugement que l'absence de suivi relativiserait l'importance du trouble psychiatrique, ce que la recourante conteste en faisant valoir que, comme l'indique le docteur E._ dans son analyse du 18 juin 2009, elle n'est pas responsable de ce fait. Le manque de motivation, qui justifierait son refus de suivre un traitement psychiatrique, serait en effet directement lié à son état pathologique. La thèse de la recourante ne résiste toutefois pas l'examen. Tout d'abord, le Tribunal cantonal ne fonde pas son argumentation exclusivement sur ce fait, bien au contraire l'absence de suivi psychiatrique ne joue qu'un rôle assez secondaire dans sa motivation. Ensuite, le Tribunal cantonal se réfère surtout aux examens médicaux versés au dossier, en particulier à celui de la doctoresse L._, pour retenir une capacité de travail de 70 %. Cette appréciation n'est pas arbitraire. S'agissant des autres paramètres à prendre en compte pour juger du caractère invalidant d'un trouble somatoforme douloureux, la recourante ne développe pas non plus une argumentation de nature à remettre en cause le jugement attaqué, concédant qu'elle ne présente ni affection corporelle chronique ni processus maladif s'étendant sur plusieurs années et qu'elle entretient des contacts sociaux réguliers avec sa mère et son frère.
4.2. Concernant les troubles somatiques de la recourante, les premiers juges ont retenu qu'aucun médecin n'avait observé d'atteintes organiques sévères à la suite de l'accident de 2009 et l'intéressée ne cherche pas à démontrer que cette constatation serait manifestement inexacte, étant précisé que selon les docteurs G._ et U._, les conséquences physiques de l'événement en question devaient être minimisées si on s'en tenait aux données objectives. En outre, bien que ces derniers aient retenu l'existence de troubles dégénératifs, ils n'ont pas mis en évidence d'éléments objectifs en faveur de leur caractère invalidant. A noter que d'après les spécialistes de la Clinique X._ et le docteur R._, la recourante avait bien récupéré de l'opération en 1997 d'une hernie discale C5-C6 gauche, n'ayant pas eu recours à un traitement spécifique dans les années qui avaient suivi. De plus, ce dernier médecin - qui a effectué un examen clinique détaillé de l'appareil locomoteur et des membres inférieurs et supérieurs ainsi qu'un bilan radiologique - a souligné qu'il était difficile d'interpréter les résultats obtenus, en raison de l'interférence du syndrome dépressif combiné à un état anxieux. La juridiction cantonale pouvait donc sans tomber dans l'arbitraire renoncer par une appréciation anticipée des preuves à la mise en oeuvre d'une instruction complémentaire sous forme d'expertise rhumatologique (sur l'appréciation anticipée des preuves: ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2 p. 428).
4.3. L'argumentation de la recourante tirée de l'impossibilité de mettre en valeur toute capacité résiduelle de travail n'est pas non plus fondée. L'exigibilité médicale de l'exercice d'une activité lucrative à temps partiel a été constatée au plus tard lors de la prise de position du docteur M._, soit en novembre 2011. La recourante, qui à cette époque - déterminante (ATF 138 V 457 consid. 3.3 et 3.4 p. 461 s.) - venait tout juste de fêter ses 59 ans, n'atteignait de loin pas l'âge à partir duquel la jurisprudence considère généralement qu'il n'existe plus de possibilité réaliste de mettre en valeur la capacité résiduelle de travail sur un marché du travail supposé équilibré (cf. par exemple arrêt 9C_393/2008 du 27 janvier 2009 consid. 3.5). Si son éloignement prolongé du marché du travail peut limiter dans une certaine mesure ses possibilités de retrouver un emploi, on ne saurait considérer qu'il rend cette perspective illusoire, étant précisé qu'un marché du travail équilibré offre un large éventail d'activités légères dont un nombre significatif sont adaptées aux limitations fonctionnelles retenues par la doctoresse L._ et accessibles sans aucune formation particulière.
5.
Il suit de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans toutes ses conclusions.
Vu l'issue du litige, la recourante, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF) sans pouvoir prétendre de dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 24 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Bouverat