Faits:
A. A.a D._ est infirmier diplômé. Domicilié en Suisse depuis 1987, il a exercé sa profession, tout en accédant à une formation de gestion hospitalière. Dès 1991, il a exploité une société privée de soins à domicile, avant que celle-ci dépose son bilan. Au cours de l'année 1997, il a travaillé auprès de plusieurs établissements. Dès novembre 1997, souffrant d'état dépressif, il a été pris en charge par les médecins de la Clinique X._.
Alors qu'il oeuvrait en qualité d'infirmier auprès de la Maison de repos de Y._, D._ a été mis à l'arrêt de travail par le docteur E._ à partir du 12 mai 1998.
A.b Le 12 mai 1999, D._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 24 août 1999, la doctoresse I._, chef de clinique adjointe, et le docteur H._, médecin assistant, ont posé le diagnostic d'état dépressif moyen avec symptôme somatique ([ICD-10] F32.11). Ils indiquaient que le patient avait besoin d'un traitement médical antidépresseur depuis novembre 1997 et qu'il avait présenté une incapacité de travail de 100 % du 17 novembre à décembre 1997 et dès le 22 juin 1998, date à partir de laquelle ces médecins l'avaient à nouveau pris en charge.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a confié une expertise au docteur A._, chef de clinique adjoint de la Clinique Z._, qui a posé le diagnostic de trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen sans syndrome somatique (F33.10), et de traits de personnalité narcissique (rapport du 18 mars 2002). Interpellé par le docteur L._ (avis SMR du 8 avril 2002), il a répondu que la présence d'une comorbidité de personnalité sous la forme de trait de personnalité narcissique était l'élément qui prévalait par rapport à l'incapacité de travail "actuelle" (complément d'expertise du 23 avril 2002).
Dans un avis SMR du 8 mai 2002, le docteur L._ a considéré que l'état dépressif réactionnel "actuel" était suffisamment sévère pour justifier une incapacité de travail totale dans le métier de l'assuré. Cependant, l'état de santé était susceptible d'amélioration avec un traitement bien suivi (et peut-être plus intensif), ce qui justifiait une révision dans un an.
Par décision du 7 juin 2002, l'office AI a alloué à D._ une rente entière d'invalidité à partir du 1er mai 1999, au motif qu'il avait présenté une incapacité totale de travail depuis le 12 mai 1998 et que l'exercice d'une activité lucrative n'était "actuellement" pas raisonnablement exigible de sa part.
Dès le 27 mai 2005, l'office AI a procédé à la révision du droit de D._ à une rente entière d'invalidité. Dans un rapport du 14 juillet 2005, les docteurs V._ et S._ ont déposé leurs conclusions. Le 10 octobre 2007, l'assuré a été examiné au SMR par le docteur U._, spécialiste FMH en psychiatrie. Dans un rapport du 22 octobre 2007, ce médecin a conclu que la capacité de travail exigible était nulle dans l'activité habituelle et dans une activité adaptée depuis le 12 mai 1998. Dans un avis médical SMR du 1er novembre 2007, le docteur C._ a repris les conclusions du docteur U._. Le 2 novembre 2007, l'office AI a avisé D._ que le degré de son invalidité n'avait pas changé au point d'influencer son droit à la rente et qu'il continuait de bénéficier d'une rente entière.
A.c La Maison de repos de Y._ a fait parvenir à la «Zurich» Compagnie d'Assurances sur la Vie une notification à la prévoyance du personnel datée du 19 janvier 1998 pour l'affiliation de D._ à la Fondation collective LPP.
Le 28 novembre 2007, D._ a informé la «Zurich» Compagnie d'Assurances sur la Vie qu'il bénéficiait d'une rente d'invalidité de l'assurance-invalidité et l'a invitée à lui verser des prestations d'invalidité.
Par lettre du 7 janvier 2008, la «Zurich» Compagnie d'Assurances sur la Vie a avisé D._ qu'il n'avait pas droit à des prestations d'invalidité, attendu que l'événement assuré était survenu en novembre 1997 déjà et que le contrat avec la Fondation collective LPP n'avait débuté qu'en mai 1998 en ce qui le concerne.
B. Le 8 janvier 2008, D._ a saisi le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève d'une demande à l'encontre de la Fondation collective LPP de la «Zurich» Compagnie d'Assurances sur la Vie, en concluant à l'allocation d'une rente d'invalidité. Dans un mémoire du 29 février 2008, la Fondation collective VITA a conclu au rejet de la demande.
Le 15 octobre 2008, la juridiction cantonale a entendu les parties en audience de comparution personnelle. Le 28 novembre 2008, la Fondation collective VITA a déposé ses observations, sur lesquelles D._ s'est déterminé par lettre du 5 décembre 2008.
Par jugement du 14 janvier 2009 rendu en la cause D._ (demandeur) contre Zurich Suisse (défenderesse), le Tribunal cantonal des assurances sociales a admis la demande (ch. 2 du dispositif), condamné la défenderesse à octroyer au demandeur une rente d'invalidité entière à compter du 1er mai 1999 (ch. 3 du dispositif) et renvoyé la cause à la défenderesse pour le calcul de la rente (ch. 4 du dispositif).
C. La Fondation collective VITA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à son annulation, la cause étant renvoyée au Tribunal cantonal des assurances sociales pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le 23 mars 2009, D._ a déposé sa réponse. Le 22 mai 2009, il a produit une lettre de la Fondation institution supplétive LPP du 6 avril 2009 relative à son compte de libre passage et un relevé de compte pour la fin de l'année 2008.
Par lettre du 24 mars 2009, la juridiction cantonale a déposé ses observations sur le recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. La recourante conteste la légitimation passive de "Zurich Suisse" dans la cause devant le Tribunal cantonal des assurances sociales, attendu que seule la Fondation collective VITA peut être partie à la procédure, et conclut à l'annulation pour ce motif du jugement attaqué. Dans ses observations du 24 mars 2009, la juridiction cantonale relève que c'est par erreur que "Zurich Suisse" figure en qualité de défenderesse sur la page de garde et qu'à l'intérieur du jugement attaqué, seule la Fondation collective de prévoyance professionnelle de la Zurich Vie est mentionnée sous ch. 5 de l'état de fait. Il convient dès lors de corriger l'indication des parties en ce sens que la Fondation collective VITA a qualité de partie, ce qui se justifie d'autant plus qu'au dossier la Fondation collective LPP (lettre du 7 janvier 2008) puis la Fondation collective VITA (réponse du 29 février 2008, observations du 28 novembre 2008) ont été représentées par la «Zurich» Compagnie d'Assurances sur la Vie (arrêt B 93/05 du 21 mars 2007 consid. 2, in SVR 2007 BVG Nr. 31 p. 112).
2. Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
3. 3.1 Il est constant que l'intimé a souffert d'une dépression importante en novembre et décembre 1997, engendrant une incapacité de travail totale. Le litige porte sur le point de savoir si son aptitude à exercer une activité lucrative s'est rétablie en 1998 de manière suffisamment durable pour interrompre le lien de connexité temporelle entre l'incapacité de travail survenue en novembre 1997 et l'invalidité survenue ultérieurement.
3.2 La relation de connexité temporelle suppose qu'après la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité, la personne assurée n'ait pas à nouveau été capable de travailler pendant une longue période. L'existence d'un tel lien doit être examinée au regard de l'ensemble des circonstances du cas d'espèce, tels la nature de l'atteinte à la santé, le pronostic médical, ainsi que les motifs qui ont conduit la personne assurée à reprendre ou ne pas reprendre une activité lucrative. En ce qui concerne la durée de la capacité de travail interrompant le rapport de connexité temporelle, on peut s'inspirer de la règle de l'art. 88a al. 1 RAI comme principe directeur. Conformément à cette disposition, il y a lieu de prendre en compte une amélioration de la capacité de gain ayant une influence sur le droit à des prestations lorsqu'elle a duré trois mois, sans interruption notable, et sans qu'une complication prochaine soit à craindre. Lorsque l'intéressé dispose à nouveau d'une pleine capacité de travail pendant au moins trois mois et qu'il apparaît ainsi probable que la capacité de gain s'est rétablie de manière durable, il existe un indice important en faveur de l'interruption du rapport de connexité temporelle. Il en va différemment lorsque l'activité en question, d'une durée éventuellement plus longue que trois mois, doit être considérée comme une tentative de réinsertion ou repose de manière déterminante sur des considérations sociales de l'employeur et qu'une réadaptation durable apparaissait peu probable (ATF 134 V 20 consid. 3.2.1 p. 22 et les références, 123 V 262 consid. 1c p. 264, 120 V 112 consid. 2c/aa p. 117; arrêt 9C_768/2008 du 15 mai 2009, consid. 3).
4. Les premiers juges ont relevé que fin décembre de l'année 1997, l'état de santé de l'intimé s'était amélioré, au point que celui-ci avait été en mesure de rechercher un nouvel emploi et de se faire engager par l'EMS de Y._, établissement où il avait travaillé d'abord pendant le mois de janvier 1998 et qui, selon les déclarations de l'employeur, l'avait engagé en tant qu'employé fixe pendant une durée indéterminée à partir du 1er mars 1998. Ils ont retenu que l'intimé avait travaillé auprès de la Maison de repos de Y._ en janvier 1998, ainsi qu'à partir du 1er mars jusqu'au 11 mai 1998, date à laquelle il avait présenté une incapacité totale de travail.
4.1 Ainsi que cela ressort d'un certificat de travail du 29 janvier 1998 de la Maison de repos de Y._, l'intimé a effectué un remplacement auprès de cet établissement du 1er au 31 janvier 1998. Le point de savoir s'il a travaillé également en janvier 1998 au service de la Fondation de la Commune de T._ n'est pas déterminant en ce qui concerne le litige. Contrairement à ce que laisse entendre la recourante, la situation de l'intimé en janvier 1998 ne nécessite pas une instruction complémentaire (cf. consid. 4.3 ci-dessous).
4.2 Au regard du questionnaire pour l'employeur du 14 juin 1999, il n'apparaît pas que les premiers juges, en retenant que l'intimé avait été engagé par la Maison de repos de Y._ à partir du 1er mars 1998 en qualité d'infirmier et qu'il avait travaillé jusqu'au 11 mai 1998 - dernier jour de travail effectif -, date à partir de laquelle il avait présenté une incapacité totale de travail, aient établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit.
4.3 Les premiers juges, relevant que l'intimé avait pu travailler en 1998 pendant plus de trois mois, ont considéré que "l'interruption de l'incapacité de travail d'une telle durée est en principe considérée par la loi comme une amélioration durable. Par conséquent, la connexité temporelle avec une incapacité de travail antérieure doit être niée".
Toutefois, avant de conclure à l'interruption du lien de connexité temporelle entre l'incapacité de travail survenue en novembre 1997 et l'invalidité survenue ultérieurement, il aurait fallu que la juridiction cantonale examine si la symptomatologie dépressive ayant entraîné une incapacité de travail dès le 17 novembre 1997 s'était amendée à partir du 1er janvier 1998 dans une mesure propre à permettre à l'intimé de reprendre durablement l'exercice de sa profession d'infirmier.
Il ressort d'un rapport de la Clinique X._ du 10 août 1998 que dans un premier temps, en début d'année 1998, l'intimé avait interrompu son suivi, ainsi que son traitement médicamenteux, mais qu'il était revenu à la Clinique en juin 1998 dans un état encore plus critique qu'en fin 1997. En effet, la symptomatologie dépressive était à nouveau floride, avec une inhibition psychomotrice marquée, un état d'anxiété permanent. Au regard de ce document, il apparaît que la symptomatologie dépressive ayant entraîné l'incapacité de travail dès le 17 novembre 1997 ne s'était pas amendée pendant la période du 1er janvier au 11 mai 1998 dans une mesure propre à permettre à l'intimé de reprendre durablement l'exercice de sa profession d'infirmier. Au contraire, la rapidité de la réaction dépressive à la suite de son engagement à partir du 1er mars 1998 par la Maison de repos de Y._ tend à démontrer qu'il n'était pas totalement guéri des troubles qui l'avaient affecté auparavant et, par conséquent, qu'il n'avait pas entièrement recouvré sa capacité de travail au moment de son engagement. Il n'est pas non plus prouvé qu'il ait présenté une capacité de travail d'une durée de trois mois (art. 88a al. 1 RAI par analogie) sans interruption notable, à partir de janvier 1998. Il existe suffisamment d'indices objectifs qui permettent d'établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, un lien de connexité temporelle entre l'incapacité de travail survenue en novembre 1997 et l'invalidité survenue postérieurement. Il ne se justifie donc pas de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle procède à un complément d'instruction.
4.4 Il s'ensuit que la recourante, à laquelle il est constant que l'intimé n'était pas affilié en novembre 1997, n'est pas tenue à prestations. Cela conduit à l'annulation pure et simple du jugement attaqué.
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimé, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). La recourante, bien qu'obtenant gain de cause, ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 3 LTF; ATF 128 V 124 consid. 5b p. 133).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, du 14 janvier 2009, est annulé et l'action de D._ du 8 janvier 2008 rejetée
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, Chambre 5, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 1er décembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner