Erwägungen:
1. X._ meldete sich bei der Einwohnerkontrolle Stüsslingen nach Thailand ab. Diese anerkannte die Abmeldung nicht und stellte fest, dass der Wohnsitz weiterhin Stüsslingen sei. Der Gemeinderat Stüsslingen wies am 12. März 2008 die diesbezügliche Beschwerde ab. Sie wurde gleichentags an die von X._ bezeichnete Kontaktadresse versandt und am 13. März 2008 von dessen Bruder entgegengenommen. X._ erhob am 28. April 2008 Beschwerde an den Regierungsrat des Kantons Solothurn; die Verspätung erklärte er damit, dass er nach einer Auslandreise erst am 27. April 2008 Kenntnis vom Beschwerdeentscheid erhalten haben, weshalb er die Beschwerdefrist von zehn Tagen nicht habe einhalten können.
Mit Beschluss vom 1. Juli 2008 wies der Regierungsrat das sinngemäss gestellte Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist ab; entsprechend trat er auf die Beschwerde vom 28. April 2008 wegen Verspätung nicht ein. Gegen diesen Beschluss hat X._ am 3. August 2008 beim Bundesgericht Beschwerde erhoben mit den Anträgen, den angefochtenen Beschluss aufzuheben und den Regierungsrat zu verpflichten, auf die Beschwerde vom 28. April 2008 einzutreten.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Das im Hinblick auf ein hängiges Steuereinspracheverfahren gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung wird mit dem vorliegenden Urteil gegenstandslos, sodass sich erübrigt zu klären, ob ein solches Gesuch den Beschwerdegegenstand sprengte.
2. 2.1 Die Beschwerdeschrift hat die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG), wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (Art. 42 Abs. 2 BGG). Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren selbständigen Begründungen, die je für sich den Ausgang des Rechtsstreits besiegeln, so hat der Beschwerdeführer darzulegen, dass und inwiefern jede dieser Begründungen Recht verletzt, andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (BGE 133 IV 119 E. 6.3 S. 120). Die unter der Herrschaft des auf den 31. Dezember 2006 ausser Kraft gesetzten Bundesrechtspflegegesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (Bundesrechtspflegegesetz, OG [BS 3 531]) begründete langjährige Rechtsprechung behält mithin unter der Herrschaft des am 1. Januar 2007 in Kraft getretenen Bundesgerichtsgesetzes vom 17. Juni 2005 unverändert Geltung.
2.2 Der Nichteintretensbeschluss beruht darauf, dass der Regierungsrat das Bestehen von Gründen für die Wiederherstellung der verpassten Beschwerdefrist verneinte. Er tat dies in Anwendung von § 10bis Abs. 1 des Solothurner Gesetzes vom 15. November 1970 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen (Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRG), wonach eine nicht eingehaltene Frist auf Gesuch hin wiederhergestellt werden kann, wenn der Gesuchsteller oder sein Vertreter unverschuldet abgehalten worden ist, innert der Frist zu handeln. Der Regierungsrat hat namentlich erkannt, dass die Zustellung an der vom Beschwerdeführer bezeichneten Adresse seinem Bruder rechtmässig zugestellt worden sei, der zur Entgegennahme der Post bevollmächtigt war; es wäre zumutbar und möglich gewesen, den Bruder auch dahingehend zu instruieren, den Beschwerdeführer über den Eingang des nunmehr angefochtenen Entscheids zu orientieren und diesem den Entscheid zu mailen. Zudem hat der Regierungsrat festgehalten, dass der Beschwerdeführer am 17. März 2008 gegen die Staatssteuerveranlagung 2006 vom 21. Februar 2008 Einsprache erhoben habe; dem Gemeinderat von Stüsslingen sei zuzustimmen, dass es nicht nachvollziehbar sei, weshalb der Beschwerdeführer gegen die Steuerveranlagung fristgerecht Einsprache erheben könne, nicht jedoch gegen die Verfügung vom 12. März 2008. Diese letzte Begründung ist geeignet, für sich allein das Vorliegen eines unverschuldeten Hindernisses zu verneinen und die Abweisung des Fristwiederherstellungsgesuchs selbständig zu rechtfertigen. Der Beschwerdeführer geht in seiner Beschwerde mit keinem Wort darauf ein. Nach dem vorstehend (E. 2.1) Gesagten kommt er seiner Begründungspflicht gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG nicht nach, und auf die Beschwerde ist gestützt auf Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Ergänzend ist beizufügen, dass die Abweisung des Fristwiederherstellungsgesuchs bzw. die einschlägigen Erwägungen im angefochtenen Beschluss (insbesondere E. 2.3.2 und 2.3.3 sowie E. 2.4) vor dem vom Beschwerdeführer angerufenen Willkürverbot standhalten und nicht ersichtlich ist, inwiefern der Nichteintretensbeschluss unter den gegebenen Umständen sonstwie verfassungsmässige Rechte (etwa das vom Beschwerdeführer sinngemäss angerufene Gebot der Verfahrensfairness gemäss Art. 29 Abs. 1 BV) verletzen könnte.
2.3 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gemeinderat von Stüsslingen und dem Regierungsrat des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. August 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller