Erwägungen:
1. A._, geboren am 17. März 1989, verfügte während Jahren über eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Thurgau. Diese wurde am 19. Januar 2005 nicht mehr verlängert; der mit einer Wegweisung verbundene Entscheid ist rechtskräftig (Urteil 2A.564/2007 vom 10. Januar 2007); ein Wiedererwägungsgesuch blieb erfolglos. Am 8. Februar 2008 setzte das Migrationsamt des Kantons Thurgau A._ eine Ausreisefrist bis zum 15. März 2008. Dieser stellte am 14. März 2008 ein Asylgesuch. Das Migrationsamt des Kantons Thurgau nahm ihn am 7. Mai 2008 in Vorbereitungshaft. Nach mündlicher Verhandlung vom 8. Mai 2008 bestätigte das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Haftverfügung des Migrationsamtes für die Dauer von drei Monaten (Entscheid vom 13. Mai 2008).
Am 27. Mai 2008 reichte A._ beim Bundesgericht eine "Verwaltungsgerichtsbeschwerde" (Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten) ein mit dem Antrag, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 13. Mai 2008 aufzuheben und das Migrationsamt des Kantons Thurgau anzuweisen, ihn unverzüglich aus der Haft zu entlassen. Zudem ersuchte er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Verwaltungsgericht und das Migrationsamt des Kantons Thurgau beantragten Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer nahm zu den Vernehmlassungen Stellung und hielt an seinen Anträgen fest.
Mit Verfügung vom 2. Juni 2008 trat das Bundesamt für Migration auf das Asylgesuch des Beschwerdeführers nicht ein. Mit dieser Verfügung fielen die Voraussetzungen für die Aufrechterhaltung der Vorbereitungshaft dahin. Mit Verfügung vom 16. Juni 2008 setzte der Abteilungspräsident den Verfahrensbeteiligten Frist zur Einreichung einer allfälligen Stellungnahme zur Verfahrenserledigung wegen Dahinfallens des Rechtsschutzinteresses bzw. Gegenstandslosigkeit (inkl. Kostenfrage).
Am 20. Juni 2008 wurde der Beschwerdeführer aus der Haft entlassen. Das Verwaltungsgericht beantragt Abschreibung der Beschwerde unter Kosten- und Entschädigungsfolge zu Lasten des Beschwerdeführers. Dieser ist mit der Verfahrensabschreibung einverstanden und beantragt, es sei ihm eine Entschädigung zuzusprechen (Parteientschädigung und Genugtuung für ungerechtfertigte Haft).
2. 2.1 Mit der Entlassung des Beschwerdeführers aus der Haft ist das aktuelle Rechtsschutzinteresse an der Behandlung der Beschwerde dahingefallen bzw. diese gegenstandslos geworden. Das Verfahren ist mithin durch Entscheid des Instruktionsrichters bzw. des Abteilungspräsidenten abzuschreiben (Art. 32 Abs. 1 und 2 BGG), wobei dieser - mit summarischer Begründung - über die Gerichtskosten und die Höhe einer allfälligen Parteientschädigung und nötigenfalls über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung entscheidet (vgl. Art. 72 BZP in Verbindung mit Art. 71 BGG sowie Art. 64 Abs. 3 Satz 2 BGG). Dabei sind namentlich die Prozessaussichten zu berücksichtigen.
2.2 Das Verwaltungsgericht stützte die Vorbereitungshaft auf den Haftgrund von Art. 75 Abs. 1 lit. f AuG; dieser erscheint offensichtlich erfüllt. Ob auch der Haftgrund von Art. 75 Abs. 1 lit. d AuG gegeben wäre, worauf das Migrationsamt die Haft stützen wollte, hat das Verwaltungsgericht offen gelassen. Der vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang erhobenen Rüge der Gehörsverweigerung wäre kaum Erfolg beschieden gewesen, weil sich bei der vom Migrationsamt zur Haftbegründung vorgebrachten Sachverhaltsschilderung die Berufung auf den Haftgrund von Art. 75 Abs. 1 lit. f AuG (Asylgesuch mit dem einzigen Zweck, die sonst unvermeidliche Wegweisung zu verhindern) geradezu aufdrängte und das Plädoyer des Vertreters des Beschwerdeführers an der Haftrichterverhandlung sich durchaus auf die "Tatbestandselemente" dieses Haftgrundes bezog. Was die Haftbedingungen betrifft, waren diese nicht zum Gegenstand der Haftrichterprüfung gemacht worden, sodass deren Überprüfung im bundesgerichtlichen Verfahren höchstens beschränkt möglich war; im Übrigen sind Bemühungen der Behörden aktenkundig, den besonderen - gesundheitlich bedingten - Bedürfnissen des Beschwerdeführers gerecht zu werden; selbst die (allfällige) Feststellung von teilweise unzureichenden Haftbedingungen durch das Bundesgericht hätte nicht einfach zu einer Haftentlassung, sondern gegebenenfalls zu einer nachträglichen Verlegung in eine andere Haftanstalt geführt. Nach dem Gesagten kann der Beschwerdeführer im Hinblick auf die Kostenregelung nicht als obsiegende Partei gelten, sondern er ist als unterliegende Partei zu betrachten, und er hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Was das Begehren um Genugtuung für ungerechtfertigte Haft betrifft, fiele eine solche Forderung frühestens ab Eröffnung des negativen Asylentscheids vom 2. Juni 2008 (d.h. ab dem Wegfall der Voraussetzungen der Vorbereitungshaft) in Betracht; zudem kann ein solches Begehren grundsätzlich nicht dem Bundesgericht als erster Instanz im Haftbeschwerdeverfahren unterbreitet werden.
2.3 Der Beschwerdeführer hat um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersucht, was voraussetzt, dass seine Beschwerde nicht aussichtslos erschien (Art. 64 BGG). Die kantonalen Behörden haben den Beschwerdeführer während der Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens aus der Haft entlassen. Insbesondere haben sie nach Vorliegen des asylrechtlichen Nichteintretensentscheids davon abgesehen, gestützt auf den Vorbereitungshaftgrund des Art. 75 Abs. 1 lit. f (in Verbindung mit Art. 76 Abs. 1 lit. a AuG) oder zusätzlich gestützt auf Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 AuG Ausschaffungshaft anzuordnen; offenbar hatten sie Zweifel an der Zulässigkeit ausländerrechtlicher Haft. Unter diesen Umständen darf die Beschwerde nicht als aussichtslos gewertet werden, und dem Gesuch ist ohne weitere Erwägungen zu entsprechen.
Demnach verfügt das präsidierende Mitglied:
1. Das Verfahren wird abgeschrieben.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen.
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Rechtsanwalt Marcel Bosonnet, Zürich, wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
3. Diese Verfügung wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Hungerbühler Feller