Faits:
A. Le père de X._ est décédé à l'Hôpital cantonal de Fribourg le 14 mai 2005.
Le 22 février 2006, X._ a ouvert action devant le Tribunal administratif du canton de Fribourg contre l'établissement public actuellement dénommé Réseau Hospitalier Fribourgeois. Le demandeur alléguait que plusieurs erreurs médicales se trouvaient à l'origine du décès de son père; l'action tendait au paiement de 20'000 fr. pour réparation morale et de 16'959 fr. pour dommages-intérêts. Le demandeur requérait une expertise. L'établissement défendeur a conclu au rejet de l'action.
Le docteur A._, neurologue à Lausanne, fut désigné en qualité d'expert le 14 juillet 2006. Les parties furent invitées à proposer les questions qui lui seraient soumises. Le défendeur communiqua ses questions le 12 janvier 2007.
Le 29 avril 2007, le demandeur s'adressa au juge délégué afin de savoir si la mission de l'expert était fixée. Faute de réponse, il insista le 12 juin, le 9 juillet et le 18 octobre; le 5 novembre 2007, il insista encore et annonça que, si le silence perdurait, il exercerait un recours pour retard injustifié.
Le 14 novembre 2007, le juge délégué remit un questionnaire à l'expert et confirma son mandat. Le défendeur éleva une objection au sujet du questionnaire, sur laquelle le demandeur prit position le 22 novembre 2007.
Depuis le 1er janvier 2008, le Tribunal administratif est intégré au Tribunal cantonal du canton de Fribourg; la cause reste attribuée au même juge.
Le 26 mars 2008, le demandeur s'adressa au juge délégué afin de savoir si l'expert avait pu commencer son travail. Faute de réponse, il renouvela cette demande le 1er octobre 2008 et il annonça derechef un recours pour retard injustifié.
B. Le 17 novembre 2008, le demandeur a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile pour retard injustifié. Selon ses conclusions, le Tribunal cantonal doit être invité à s'exprimer sur les demandes de renseignements qui lui ont été adressées, et à faire diligence pour que la cause soit jugée dans un délai raisonnable.
Le défendeur renonce à présenter une réponse et déclare s'en remettre à justice.
Le juge délégué présente des observations par lesquelles il explique que le docteur A._ a « renoncé à son mandat, nonobstant une tentative de le relancer »; que, depuis novembre 2007, des contacts ont été pris oralement afin de trouver un autre expert, et que, le 20 novembre 2008, les parties ont été invitées à en proposer un. La procédure s'étant poursuivie depuis, le juge délégué considère que le recours pour retard injustifié n'a plus d'objet.
Informé de ces observations et averti que la cause sera éventuellement rayée du rôle, le demandeur reproche de longues périodes d'inaction au juge délégué et, en conséquence, il conteste que le recours soit maintenant dépourvu d'objet. Au cas où l'instance fédérale prendrait fin sans jugement, il requiert que les frais et dépens soient imputés au canton de Fribourg.
Le défendeur s'en rapporte à justice quant à la poursuite de l'instance; si elle prend fin sans jugement, il propose que les frais soient imputés au demandeur et que les dépens soient compensés.
Considérant en droit:
1. Le recours est formé au motif que le Tribunal cantonal tarde à instruire la cause qui lui est soumise et, partant, à rendre une décision (art. 94 LTF). Celle-ci doit porter sur une matière connexe au droit civil (art. 72 al. 2 let. b LTF), soit la responsabilité d'un hôpital public envers un patient pour les actes d'un médecin employé de l'établissement (ATF 133 III 462 consid. 2.1 p. 465); elle sera rendue en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF) et elle est attendue par une partie dont les conclusions demeurent pendantes (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a, art. 74 al. 1 let. b LTF). Introduit dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF) et soumis à aucun délai (art. 100 al. 7 LTF), le recours en matière civile est recevable devant le Tribunal fédéral, notamment pour violation des droits constitutionnels fédéraux (art. 95 let. a LTF).
2. Selon l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit traitée équitablement et jugée dans un délai raisonnable. Le caractère raisonnable ou adéquat du délai de décision s'apprécie au regard de la nature de l'affaire et de l'ensemble des circonstances (ATF 130 I 312 consid. 5.1 p. 331; 129 V 411 consid. 1.2 p. 416). Sur recours de la partie instante, lorsque l'autorité tarde sans justification à instruire ou à se prononcer, le Tribunal fédéral lui enjoint de le faire sans délai (ATF 31 I 379 p. 384; voir aussi ATF 124 I 327 consid. 4b/bb p. 333).
Pour le surplus, le Tribunal fédéral n'est pas, aux termes de la loi, chargé de surveiller l'instruction en cours devant l'autorité cantonale de dernière instance; il ne lui appartient donc pas de constater, le cas échéant, un dysfonctionnement autre qu'un retard actuel et persistant.
Selon les observations présentées par le Tribunal cantonal sous la signature du juge délégué, l'instruction de la cause a été reprise devant ce tribunal après l'introduction du recours au Tribunal fédéral, par des démarches de ce magistrat tendant à la désignation d'un expert apte à remplacer le docteur Hungerbühler. Ces démarches ont mis fin à un éventuel retard dans l'instruction, de sorte que, conformément à l'opinion du juge délégué, le recours au Tribunal fédéral a perdu son objet. En pareil cas, la cause est rayée du rôle conformément aux art. 32 al. 2 LTF, 71 LTF et 72 PCF.
3. Compte tenu que le recours présentait certaines chances de succès, il se justifie que le Tribunal fédéral renonce à prélever l'émolument judiciaire et que le canton de Fribourg prenne en charge les dépens du demandeur.
Par ces motifs, vu l'art. 32 al. 2 LTF, la Présidente de la Cour ordonne:
1. La cause est rayée du rôle.
2. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
3. Le canton de Fribourg versera, à titre de dépens, une indemnité de 2'500 fr. au demandeur.
4. La présente ordonnance est communiquée aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 6 février 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin