Faits:
A. Le 19 avril 2007, le Tribunal de première instance du canton de Genève a prononcé le divorce des époux L._ et réglé les effets accessoires.
Par acte du 25 mai 2007, L._ a appelé de ce jugement auprès de la Chambre civile de la Cour de justice.
Le 30 mai 2007, L._ a été invité par le greffe à payer un émolument de 15'720 fr. dans les « 30 jours net à compter du 30 mai 07 ». L'invitation précisait que le défaut de paiement dans le délai imparti entraînerait l'irrecevabilité de l'appel.
Par lettre du 29 juin 2007, le mandataire de l'appelant a sollicité un délai supplémentaire au 30 juillet 2007 pour s'acquitter des droits de greffe. La taxatrice de la Cour de justice a apposé sur ce courrier une note manuscrite précisant « Dde déposée hors dl. Tél. à Me [...], Dl au 3.7.07 pour payer ».
Le 3 juillet 2007, le mandataire de l'appelant s'est à nouveau adressé au greffe de l'autorité cantonale. Indiquant notamment que sa stagiaire s'était trompée dans la computation du délai de trente jours, il a demandé une restitution exceptionnelle du délai et une prolongation de celui-ci jusqu'au 13 juillet 2007 au moins.
Par lettre du même jour, la greffière a refusé la prolongation et a imparti à l'appelant un unique délai au 4 juillet 2007 pour justifier avoir effectué ledit versement. Elle a maintenu pour le surplus les termes de la lettre du 30 mai 2007.
Les droits de greffe ont été payés le 4 juillet 2007.
Le mémoire d'appel a été transmis à l'intimée, qui a conclu à l'irrecevabilité du recours pour tardiveté de l'avance de frais.
Par arrêt du 16 novembre 2007, la Chambre civile de la Cour de justice a déclaré l'appel irrecevable. Elle a considéré en substance que la demande de prolongation de délai du 29 juin 2007 était intervenue après l'expiration (le 28 juin 2007) des trente jours impartis pour effectuer l'avance, qu'une restitution de délai ne pouvait entrer en considération, le mandataire n'ayant pas été empêché, sans sa faute, d'agir dans le délai fixé, que l'échange de courrier avec le greffe ne pouvait pas être compris comme un accord pour une prolongation ou restitution de délai et que, partant, l'émolument payé le 4 juillet 2007 ne l'avait pas été dans le délai imparti.
B. L._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause pour nouvelle décision.
Par ordonnance du 28 janvier 2008, le Président de la cour de céans a refusé la demande d'effet suspensif.
Invitée à répondre sur le fond l'intimée propose le rejet du recours. L'autorité cantonale se réfère à ses considérants. L'enfant des parties ayant dans l'intervalle déménagé avec sa mère à Zurich et n'ayant de ce fait provisoirement plus de curateur, il n'a pas été en mesure de déposer de réponse. Toutefois, dans la réponse sur la requête d'effet suspensif, la curatrice - qui lui était alors désignée et qui, devant l'autorité cantonale, s'en était remise à justice notamment quant à la recevabilité de l'appel et à l'attribution des droits parentaux et de la garde ainsi qu'à la fixation des relations personnelles - avait déclaré persister dans cette ligne devant le Tribunal fédéral.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 133 I 206 consid. 2 p. 210; 133 II 249 consid. 1.1 p. 251).
1.1 Le recours a été interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions devant l'autorité cantonale (art. 76 al. 1 LTF), contre un arrêt prononcé en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). Au vu des conclusions prises sur le fond en appel, la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recours - par ailleurs déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) - est donc en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. En vertu de l'exception ancrée à l'art. 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante. Pour le reste, il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), cela sans être limité par les moyens du recours ni par le raisonnement de la cour cantonale, ce qui implique qu'il peut admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en substituant une nouvelle argumentation à celle de l'autorité précédente (ATF 134 III 102 consid. 1.1 p. 104 et l'arrêt cité).
2. Entre autres griefs, le recourant soutient que la manière dont le délai de paiement lui a été communiqué était de nature à l'induire en erreur et que, si l'on suit la façon de calculer de l'autorité cantonale, le délai effectif n'a été que de vingt-huit jours.
2.1 Le 30 mai 2007, le recourant a été invité à s'acquitter d'un émolument d'appel de 15'720 fr. dans les « 30 jours net à compter du 30 mai 2007 ». Les considérations de l'autorité cantonale sur la tardiveté de l'avance de frais reposent sur la prémisse selon laquelle le premier jour du délai de paiement était le 30 mai et que, partant, celui-là était arrivé à échéance le 28 juin suivant.
2.2 Comme le relève le recourant, les termes mêmes de l'invitation à payer sont singuliers. En effet, l'expression « 30 jours net » est inhabituelle et peut être comprise comme trente jours pleins. Dans ce contexte, compte tenu du temps nécessaire à la réception de l'invitation, laquelle était datée du 30 mai 2007, seul un terme au 29 juin suivant préservait un tel délai de paiement.
La façon de computer de l'autorité cantonale, selon laquelle le premier jour du délai serait le 30 mai 2007, est par ailleurs contraire aux règles de computation habituelles tant fédérales que cantonales, en vertu desquelles le « dies a quo » ne compte pas (cf. notamment art. 32 al. 1 OJ, 44 al. 1 LTF, 77 al. 1 ch. 1 CO, 132 al. 1 CO; pour le canton de Genève: art. 29 al. 1 LPC/GE), dispositions qui sont au demeurant conformes au standard international en la matière, plus particulièrement à la Convention européenne sur la computation des délais du 16 mai 1972 (Message du Conseil fédéral du 9 mai 1979 concernant deux conventions du Conseil de l'Europe, in FF 1979 II p. 116, n. 212), entrée en vigueur pour la Suisse le 28 avril 1983 (RS 0.221.122.3).
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Selon l'art. 3 par. 1 de cette convention, les délais exprimés en jours, semaines, mois ou années, courent à partir du « dies a quo », minuit, jusqu'au « dies ad quem », minuit. Cette disposition pose la règle selon laquelle le jour où le délai commence à courir (dies a quo) n'entre pas en ligne de compte dans le calcul du délai alors qu'il est tenu compte du jour où il expire, autrement dit du dies ad quem (voir le rapport explicatif du Conseil de l'Europe concernant cette Convention, Strasbourg 1973, p. 10, ch. 21 ad art. 3).
Calculé selon cette règle conventionnelle, le délai a donc commencé à courir, en l'espèce, le 30 mai 2007 à minuit et a expiré le 29 juin suivant à minuit. En considérant la demande de prolongation effectuée ce dernier jour comme tardive, l'autorité cantonale a ainsi violé le droit international ratifié par la Suisse (art. 95 let. b LTF) que la cour de céans peut appliquer d'office (cf. supra, consid. 1.2).
3. Cela étant, le recours doit être admis - sans qu'il n'y ait lieu d'examiner les autres griefs du recourant -, l'arrêt entrepris annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. L'intimée, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens au recourant ainsi qu'à l'enfant intimé, qui a été invité à se déterminer sur la requête d'effet suspensif.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt du 16 novembre 2007 de la Chambre civile de la Cour de justice est annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
4. Une indemnité de 500 fr., à payer à l'enfant P._ à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 25 avril 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Jordan