Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Unternehmer, Kläger, Beschwerdeführer) ist Inhaber der seit 1984 im Handelsregister eingetragenen Einzelfirma "A._ bauhandwerklicher Betrieb, C._". Die Unternehmung hat die Ausführung von bauhandwerklichen Arbeiten, insbesondere von Schreinerei-Innenausbau, Deckenverkleidungen, Schall- und Wärmeisolationen sowie Brandschutz zum Zweck; sie beschäftigt nach Angaben des Unternehmers 14 Mitarbeiter und erzielt einen Umsatz von rund 3 Mio. Franken pro Jahr. Die Ehefrau des Unternehmers führt das Büro und betreut insbesondere Debitoren und Kreditoren, während die Buchhaltung im Übrigen von D._ geführt wird.
B._ (Bestellerin, Beklagte, Beschwerdegegnerin) ist Geschäftsführerin der E._ Immobilien GmbH, die in der Liegenschaft F._ in G._ domiziliert ist, wo die Bestellerin wohnt. Sie ist Alleineigentümerin dieser Liegenschaft, die sie im Jahre 2004 aus der Erbschaft ihres Grossvaters übernahm. Sie renovierte die Liegenschaft nach deren Erwerb durch einen "grossen Umbau". Die Einzelfirma des Unternehmers führte in diesem Rahmen zwischen Herbst 2006 und Ende 2007 verschiedene Schreinerarbeiten aus.
H._ (Zeuge) war von 2004 bis 2008 Lebenspartner der Bestellerin, mit der er jedoch nicht zusammenwohnte. Er betreibt mehrere (unter anderem Bordell-) Betriebe. Er betraute den Unternehmer im Laufe der Jahre mehrmals mit Schreinerarbeiten in verschiedenen seiner Betriebe. Der Unternehmer stellte dafür keine Rechnungen, sondern wurde jeweils bar bezahlt, ohne dass Quittungen ausgestellt wurden.
A.b. Am 11. April 2011 stellte der Unternehmer der Bestellerin für seine in den Jahren 2006 und 2007 geleisteten Arbeiten Rechnung in Höhe von Fr. 166'287.35, von der er eine Akontozahlung von Fr. 10'000.-- in Abzug brachte. Den Betrag von Fr. 156'287.35 setzte er in der Folge mit Zahlungsbefehl vom 1. Juni 2011 (Betr. Nr. xxxxx BA Horgen) in Betreibung.
A.c. Die Bestellerin bestritt ihre Zahlungspflicht mit der Begründung, nicht sie, sondern ihr damaliger Lebenspartner habe die Schreinerarbeiten in ihrer Liegenschaft bestellt. Ausserdem sei für die entsprechenden Arbeiten ein Kostendach zwischen Fr. 120'000.-- und Fr. 150'000.-- vereinbart worden. Sie brachte vor, ihr damaliger Lebenspartner habe die Arbeiten mit zwei Barzahlungen in Höhe von Fr. 70'000.-- und Fr. 80'000.-- abgegolten, wobei er den ersten Betrag von Fr. 70'000.-- zu Beginn des Jahres 2007 und den zweiten von Fr. 80'000.-- anfangs 2008 bezahlt habe. Sie machte geltend, sie habe von ihrem ehemaligen Lebenspartner ein Darlehen von Fr. 180'000.-- erhalten, wovon Fr. 150'000.-- die Schreinerarbeiten beträfen.
B.
B.a. Mit Klageschrift vom 28. Dezember 2011 gelangte der Unternehmer unter Beilage der Klagebewilligung vom 4. Oktober 2011 an das Bezirksgericht Horgen mit dem Rechtsbegehren, die Bestellerin sei zu verpflichten, ihm Fr. 156'287.35 zuzüglich Zins von 5 % seit dem 12. Mai 2011 sowie Fr. 203.-- Betreibungskosten und die Kosten des Schlichtungsverfahrens in der Höhe von Fr. 870.-- zu bezahlen (Ziffer 1); der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. xxxxx des Betreibungsamtes Horgen sei zu beseitigen und es sei ihm definitive Rechtsöffnung zu erteilen (Ziffer 2).
B.b. Mit Urteil vom 18. November 2013 verpflichtete das Bezirksgericht Horgen die Beklagte, dem Kläger Fr. 156'287.35 nebst Zins zu 5 % seit 21. Mai 2011 sowie Fr. 203.-- Betreibungskosten zu bezahlen. In diesem Umfang erteilte es in der Betreibung Nr. xxxxx des Betreibungsamtes Horgen (Zahlungsbefehl vom 1. Juli 2011) definitive Rechtsöffnung. Im Mehrbetrag (Zins) wies es die Klage ab. Das Gericht bejahte die Passivlegitimation der Beklagten und wies den Einwand ab, es sei ein Kostendach vereinbart worden. Den Nachweis der Bezahlung hielt das Gericht nicht für erbracht.
B.c. Das Obergericht des Kantons Zürich hiess mit Urteil vom 5. März 2015 die Beschwerde der Beklagten teilweise gut und hob den materiellen Entscheid des Bezirksgerichts Horgen auf; die Beklagte wurde verpflichtet, dem Kläger den Betrag von Fr. 6'287.35 nebst Zins zu 5 % seit dem 7. Juni 2011 zu bezahlen und in diesem Umfang wurde der Rechtsvorschlag in der Betreibung aufgehoben; im Mehrbetrag wurde die Klage abgewiesen. Das Obergericht bestätigte zunächst die Passivlegitimation der Beklagten und kam mit dem Bezirksgericht zum Schluss, dass kein Kostendach vereinbart worden sei. Entgegen der Erkenntnis des Bezirksgerichts gelangte das Obergericht jedoch zum Schluss, die Beklagte habe den Beweis für die behauptete Barzahlung von insgesamt Fr. 150'000.-- durch ihren ehemaligen Lebenspartner an den Kläger erbracht.
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt der Kläger die Rechtsbegehren, (1) das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. März 2015 sei aufzuheben und die Beklagte sei zu verpflichten, ihm Fr. 156'287.35 zuzüglich Zins von 5 % seit dem 21. Mai 2011 sowie Fr. 203.-- Betreibungskosten zu bezahlen; (2) eventualiter sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. März 2015 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; (3) subeventualiter sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. März 2015 aufzuheben und die Beklagte zu verpflichten, ihm Fr. 16'287.35 zuzüglich Zins von 5 % seit dem 21. Mai 2011 sowie Fr. 203.-- Betreibungskosten zu bezahlen. Den Haupt- und Eventualantrag begründet er mit der Rüge, die Vorinstanz habe Art. 9 BV verletzt und die Beweise willkürlich gewürdigt mit dem Schluss, die Rechnung sei im Umfang von insgesamt Fr. 150'000.-- in zwei Barzahlungen durch den ehemaligen Lebenspartner der Beklagten bezahlt worden; jedenfalls habe das Obergericht die Anforderungen an das Regelbeweismass verkannt. Zum Subeventualantrag bringt er vor, das Obergericht sei zum Schluss gekommen, die auf der Rechnung in Abzug gebrachte Akontozahlung von Fr. 10'000.-- sei nicht erfolgt. Weshalb sich diese Feststellung nicht auf den geschuldeten Restbetrag auswirken solle, habe das Obergericht nicht begründet und damit Art. 9 BV verletzt; auf der Grundlage des angefochtenen Entscheides hätte das Obergericht bei korrektem Vorgehen einen Betrag von Fr. 16'287.35 zusprechen müssen.
C.b. Die Beschwerdegegnerin schliesst in der Antwort auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
C.c. Der Beschwerdeführer hat repliziert.
Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil betrifft eine Zivilsache (Art. 72 BGG) und ist von einer oberen kantonalen Instanz erlassen worden, die auf ein Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich entschieden hat (Art. 75 BGG). Der Beschwerdeführer ist mit seinen Begehren unterlegen (Art. 76 Abs. 1 BGG), der massgebende Streitwert beträgt mehr als Fr. 30'000.-- (Art. 51 i.V.m. Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG), die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) und ist innert der Beschwerdefrist eingereicht worden (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. a BGG). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist unter Vorbehalt einer gehörigen Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
2.
Soweit der Beschwerdeführer beantragt, die Beschwerdegegnerin sei zur Zahlung der Betreibungskosten von Fr. 203.-- zu verurteilen, wird auf die zutreffenden vorinstanzlichen Ausführungen verwiesen, wonach der Beschwerdeführer diese Kosten nach Art. 68 Abs. 2 SchKG von den Zahlungen der Beschwerdegegnerin vorab erheben kann (vgl. auch Urteil 5A_455/2012 vom 5. Dezember 2012 E. 3). Da der Beschwerdeführer gegen diese Erwägungen nichts vorbringt, mithin seinen Antrag nicht begründet, ist darauf nicht einzutreten.
3.
Gemäss Art. 97 BGG kann die Feststellung des Sachverhalts und damit die Beweiswürdigung nur gerügt werden, wenn die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich (Art. 9 BV; BGE 135 III 127 E. 1.5 S. 130 mit Hinweis) - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (BGE 140 III 115 E. 2 S. 117). Zum Sachverhalt gehört auch der Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 17 f.).
3.1. Die offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung prüft das Bundesgericht nur auf klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 137 II 353 E. 5.1 S. 356). Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung i.S.v. Art. 95 BGG beruhen (BGE 136 II 508 E. 1.2 S. 511; 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254; 133 III 350 E. 1.3 S. 351). Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 138 IV 13 E. 5.1 S. 22 mit Hinweisen). In der Beschwerde ist darzutun und zu belegen, dass diese Voraussetzungen vorliegen; dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmen, belegt keine Willkür (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Überdies ist in der Beschwerde darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, namentlich auf rein appellatorische Kritik an der Beweiswürdigung, ist nicht einzutreten (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255).
3.2. Die Vorinstanz ist im angefochtenen Entscheid entgegen dem erstinstanzlichen Gericht zum Schluss gelangt, dass der Beschwerdegegnerin der Beweis gelungen ist, wonach ihr ehemaliger Lebenspartner dem Beschwerdeführer zweimal Barbeträge an die hier umstrittene Rechnung für Schreinerarbeiten in der Liegenschaft der Beschwerdegegnerin bezahlt hat, nämlich einmal Fr. 70'000.-- und einmal Fr. 80'000.--. Das Obergericht ging zunächst davon aus, dass die Frage, ob Geld vom Zeugen an den Beschwerdeführer geflossen sei, aufgrund der Aussagen der beiden Beteiligten zu entscheiden sei, wobei beide am Verfahrensausgang interessiert seien - der Beschwerdeführer als Partei und der Zeuge als Vertrauter der anderen Partei, der nicht nur während des Baus deren Interessen vertreten habe, sondern der möglicherweise die Rückzahlung seines Darlehens gegen die Beschwerdegegnerin im Falle deren Unterliegens in diesem Prozess nur schwer durchsetzen könnte. Das Obergericht berücksichtigte, dass auch in der unkonventionellen Geschäftsbeziehung, welche der Zeuge und der Beschwerdeführer über Jahre pflegten, die Übergabe von Barbeträgen in der Grössenordnung von Fr. 70'000.-- und Fr. 80'000.-- kein alltägliches Ereignis gewesen sei, weshalb sich beide daran erinnern müssten. Das Obergericht hielt schliesslich die Aussage des Zeugen für glaubwürdig, nicht nur wegen des persönlichen Eindrucks bei seiner Aussage vor Gericht, sondern auch aufgrund von Indizien, aus denen es einerseits auf die Glaubhaftigkeit der Aussagen des Zeugen und anderseits auf die Unglaubhaftigkeit der Aussagen des Beschwerdeführers schloss.
3.3. Der Beschwerdeführer verkennt die Kognition des Bundesgerichts und insbesondere die Tragweite des Willkürverbotes, wenn er die Beweiswürdigung der Vorinstanz mit der Begründung kritisiert, das Obergericht habe einerseits zu Unrecht auf den persönlichen Eindruck der Beteiligten abgestellt, denn diesem dürfe als diffuses Kriterium keine entscheidende Bedeutung zukommen, und wenn er anderseits die Indizien oder Hilfstatsachen, auf welche die Vorinstanz ihre Beurteilung stützt, entweder als offensichtlich nicht gegeben oder als nicht rechtsgenüglich nachgewiesen oder als nicht schlüssig kritisiert. Die Kriterien, welche das Obergericht für die Würdigung der Beweislage herangezogen hat, sind nicht schlechterdings unvertretbar und der Beschwerdeführer vermag mit seiner appellatorischen Kritik an den einzelnen Feststellungen nicht aufzuzeigen, dass diese mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, woran nichts ändert, dass die Begründung der Vorinstanz zum Teil mit deplatzierten Qualifikationen versehen ist. Willkür lässt sich entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers auch nicht mit der Heranziehung von Umständen begründen, welche die Vorinstanz angeblich hätte berücksichtigen müssen. Abgesehen davon, dass diese Umstände im angefochtenen Urteil festgestellt sind und damit von der Vorinstanz nicht einfach übergangen wurden, ist weder unhaltbar noch einseitig, wenn die Vorinstanz nicht als entscheidend ansah, dass keine der Parteien die umstrittenen Vorgänge in ihrer Steuererklärung deklariert hatte, dass der Zeuge in nebensächlichen Belangen falsch aussagte und zuweilen in späteren Einvernahmen präzisere Aussagen formulierte; auch dass der Zeuge hohe pauschale Beträge bezahlte, ohne bereits die definitive Abrechnung zu kennen, widerspricht den im angefochtenen Urteil gezogenen Schlüssen nicht derart, dass sich daraus die Willkürrüge begründen liesse. Soweit der Beschwerdeführer im Übrigen sinngemäss die Ansicht vertritt, die Vorinstanz hätte den Gegenbeweis als erbracht ansehen müssen, weil z.B. als ebenso wahrscheinlich erscheine, dass die beiden Beträge von Fr. 70'000.-- und Fr. 80'000.-- für Arbeiten in den Betrieben des Zeugen bezahlt worden seien, vermag er eine derartige Mutmassung nicht durch festgestellte Tatsachen im angefochtenen Entscheid zu stützen - im Gegenteil hält die Vorinstanz ausdrücklich fest, dass die Höhe der Beträge auch für den Beschwerdeführer und den Zeugen das Übliche sprengten.
3.4. Die Rüge, die Vorinstanz habe die Beweise willkürlich gewürdigt und die Anforderungen an das Regelbeweismass verkannt, ist unbegründet, soweit darauf überhaupt einzutreten ist.
4.
In seinem Subeventualbegehren rügt der Beschwerdeführer, dass ihm für den Fall, dass mit der Vorinstanz von der Bezahlung von Fr. 150'000.-- für die gemäss Rechnung vom 11. April 2011 ausgeführten Arbeiten ausgegangen werde, nur ein Restbetrag von Fr. 6'287.35 statt Fr. 16'287.35 nebst Zins zugesprochen worden sei.
4.1. Nach den Feststellungen im angefochtenen Entscheid stellte der Beschwerdeführer am 11. April 2011 für ausgeführte Arbeiten in der Höhe von Fr. 166'287.35 Rechnung. Angerechnet bzw. in Abzug gebracht wurde von diesem Betrag in der Rechnung eine geleistete Akontozahlung von Fr. 10'000.--. Die Vorinstanz stellt - wie der Beschwerdeführer zutreffend vorbringt - fest, dass die Beschwerdegegnerin betreffend jede Position der Rechnung bestätigt hat, dass die Arbeiten der Bestellung entsprachen und die Höhe der Rechnung nicht bestritten wurde. Die Vorinstanz hat sodann beweiswürdigend geschlossen, dass die in der Rechnung erwähnte Anzahlung gerade nicht geleistet wurde.
4.2. Der Beschwerdeführer rügt zu Recht, dass unter diesen Umständen nicht erkennbar ist und die Vorinstanz auch nicht begründet, weshalb von den ausgeführten Arbeiten im unbestrittenen Wert von Fr. 166'287.35 nach Bezahlung von Fr. 150'000.-- nur ein Restbetrag von Fr. 6'287.35 und nicht von Fr. 16'287.35 unbezahlt sein soll. Wenn die Beschwerdegegnerin in der Antwort bemerkt, die Vorinstanz habe begründet, dass sie vom Rechnungsbetrag von Fr. 156'287.35 ausgegangen sei und davon die als erwiesen angesehenen Barzahlungen im Gesamtumfang von Fr. 150'000.-- abgezogen habe, so vermag sie damit nicht zu erklären, weshalb die Vorinstanz nicht von den als unbestritten festgestellten Rechnungspositionen von insgesamt Fr. 166'287.35 ausgegangen ist und davon die Barzahlungen in Abzug gebracht hat. Nachdem ausdrücklich festgestellt ist, dass der Abzug von Fr. 10'000.-- auf der Rechnung zu Unrecht erfolgt ist, ist in der Tat nicht nachvollziehbar, weshalb dieser zu Unrecht erfolgte Abzug dennoch für die Ermittlung des unbezahlten Restbetrags für die unbestritten ausgeführten Arbeiten berücksichtigt wird.
4.3. Der Subeventualantrag der Beschwerde auf Zusprechung von Fr. 16'287.35 ist begründet, denn aus der Feststellung, dass die ausgeführten Arbeiten und deren Wert von insgesamt Fr. 166'287.35 anerkannt sind und dass an diesen Betrag tatsächlich Fr. 150'000.-- (in Teilbeträgen von Fr. 70'000.-- und Fr. 80'000.--) bezahlt worden sind, ergibt sich ohne Weiteres, dass der Restbetrag Fr. 16'287.35 und nicht bloss Fr. 6'287.35 beträgt. Die Klage - mit welcher der Beschwerdeführer Fr. 156'287.35 nebst Zins fordert - ist in diesem Umfang gutzuheissen. Immerhin hat die Vorinstanz festgehalten, dass der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin zur Bezahlung des in Rechnung gestellten Betrages eine Frist bis 6. Juni 2011 einräumte, woraus die Vorinstanz schloss, dass Verzugszinsen erst ab 7. Juni 2011 geschuldet seien - dagegen wird nichts eingewendet.
5.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen und Dispositiv-Ziffern 1b und 1c des angefochtenen Entscheids sind wie folgt neu zu fassen: Die Beklagte wird verpflichtet, dem Kläger den Betrag von Fr. 16'287.35 nebst Zins zu 5 % seit dem 7. Juni 2011 zu bezahlen, und die Klage wird im Mehrbetrag abgewiesen (b); der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. xxxxx des Betreibungsamtes Horgen (Zahlungsbefehl vom 1. Juli 2011) im Betrag von Fr. 16'287.35 nebst Zins zu 5 % seit dem 7. Juni 2011 wird aufgehoben (c). Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Die Sache ist zur Neuverlegung der Kosten des kantonalen Verfahrens entsprechend diesem Ausgang an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für die Kostenverlegung des vorliegenden Verfahrens ist zu berücksichtigen, dass der Beschwerdeführer vom Mehrbetrag von Fr. 150'000.--, den er gegenüber dem angefochtenen Entscheid zugesprochen erhalten wollte, nur mit Fr. 10'000.-- durchdringt, also im Umfang von gut 5 % obsiegt. Entsprechend sind die Kosten des vorliegenden Verfahrens zu verlegen. Nach Verrechnung der gegenseitigen, reduzierten Parteientschädigungen hat der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin deren Parteikosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu 90 % zu ersetzen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und Dispositiv-Ziffern 1b und 1c des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. März 2015 werden wie folgt neu gefasst:
"b) wird die Beklagte verpflichtet, dem Kläger den Betrag von
Fr. 16'287.35 nebst Zins zu 5 % seit dem 7. Juni 2011 zu bezahlen, und die Klage im Mehrbetrag abgewiesen;
c) wird der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. xxxxx des
Betreibungsamtes Horgen (Zahlungsbefehl vom 1. Juni 2011) im Betrage von Fr. 16'287.35 nebst Zins zu 5 % seit dem
7. Juni 2011 aufgehoben."
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'500.-- werden in Höhe von Fr. 5'225.-- dem Beschwerdeführer und in Höhe von Fr. 275.-- der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit einem reduzierten Betrag von Fr. 5'850.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2015
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier