Erwägungen:
1. Im Strafverfahren gegen Herrn X._ wegen übler Nachrede und Beschimpfung teilte die Staatsanwaltschaft Frauenfeld am 31. Oktober 2011 Herrn X._ mit, dass die Strafuntersuchung vorerst abgeschossen sei. Die beschuldigte Person erhalte bis am 15. November 2011 Akteneinsicht. Allfällige Beweisanträge seien ebenfalls innerhalb dieser Frist zu stellen. Weiter teilte die Staatsanwaltschaft der beschuldigten Person mit, dass sie sich aufgrund der Aktenlage der üblen Nachrede und der Beschimpfung schuldig gemacht habe. Sie habe sich bis zum 15. November 2011 zu äussern, ob sie eine gütliche Einigung im Sinne von Art. 173 Ziff. 4 StGB mit der Anzeigeerstatterin anstrebe.
2. Gegen die Verfügung der Staatsanwaltschaft Frauenfeld reichten die Eheleute X._ am 14. November 2011 eine als "Staatsrechtliche Beschwerde" bezeichnete Eingabe sowohl beim Bundesgericht als auch beim Bundesstrafgericht und der Staatsanwaltschaft Frauenfeld ein. Das Bundesgericht teilte den Beschwerdeführern mit Schreiben vom 18. November 2011 u.a. mit, dass eine Beschwerde in Strafsachen erst gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen zulässig sei. Da ein solcher Entscheid nicht ersichtlich sei und die Beschwerde an mehrere Instanzen gesandt wurde, nehme das Bundesgericht die Eingabe, ohne gegenteilige Antwort, nicht als Beschwerde entgegen. Mit Schreiben vom 21. November 2011 teilten die Beschwerdeführer dem Bundesgericht sinngemäss mit, dass sie an einer Beschwerdebehandlung festhalten wollen. Eine weitere Eingabe reichten sie am 14. Dezember 2011 ein.
3. Das Bundesgericht kann nur im Rahmen von gesetzlich genau umschriebenen Verfahren tätig werden. Soweit die Beschwerdeführer beim Bundesgericht die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen die Staatsanwaltschaft Frauenfeld beantragen, kann deshalb von vornherein mangels Zuständigkeit auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
4. Bei der angefochtenen Verfügung der Staatsanwaltschaft Frauenfeld handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der das Strafverfahren gegen die beschuldigte Person nicht abschliesst. Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (vgl. Art. 92 BGG), ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Dabei ist es Sache der Beschwerdeführer, die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG darzulegen. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, von Amtes wegen Nachforschungen anzustellen, inwiefern ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG gegeben sein sollte (BGE 134 III 426 E. 1.2; 133 III 629 E. 2.3.1).
Die Beschwerdeführer legen nicht ansatzweise dar und es ist denn auch nicht ersichtlich, inwiefern die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG vorliegen sollten; dies ist auch nicht ersichtlich. Auf die Beschwerde ist somit nicht einzutreten. Da diese in Bezug auf Art. 93 BGG offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält, kann über sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden.
Somit kann offen bleiben, ob die Beschwerde die übrigen Eintretensvoraussetzungen zu erfüllen vermag.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern und der Staatsanwaltschaft Frauenfeld schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli