Faits:
A. A.a B._ est né le 8 octobre 2009, de la relation entre C._, née en 1967, ressortissante suisse et espagnole, et A._, né en 1972, de nationalité française. Le père a reconnu l'enfant le 5 novembre 2009.
Les parents vivent séparés depuis le 8 janvier 2010.
A.b Le 28 décembre 2010, l'enfant, représenté par sa mère, a ouvert action en fixation d'une contribution d'entretien à l'encontre de son père.
Par jugement du 12 mai 2011, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, sur mesures provisoires, rejeté les conclusions de l'enfant; sur le fond, il a condamné le père à verser mensuellement, dès le 8 janvier 2010, une contribution à l'entretien de son fils, indexée, d'un montant de 1'500 fr. jusqu'à l'âge de 10 ans et de 1'800 fr. de 10 à 18 ans, voire au-delà en cas d'études ou de formation sérieuses et régulières, allocations familiales non comprises. Bien que le jugement fasse mention, dans sa partie «En Faits», de la requête de provisio ad litem formée par l'enfant, le Tribunal ne s'est pas prononcé à ce sujet dans ses considérants en droit.
B. B.a Par acte déposé au greffe de la Cour de justice du canton de Genève le 23 juin 2011, le père a appelé de ce jugement, concluant à son annulation et à la fixation d'une contribution d'entretien de 850 fr. par mois jusqu'à l'âge de 10 ans, augmentée ensuite à 1'300 fr. par mois; il demandait en outre que l'autorité cantonale dise et refuse «dans son montant, dans sa quotité et son effet rétroactif, la différence à payer depuis le 10 janvier 2010 entre la somme versée par [lui] et le montant arrêté par le jugement du 12 mai 2011, soit 18'000 fr. au 30 juin 2011».
L'enfant a conclu au rejet de l'appel principal. Sur appel joint, il a notamment demandé que le montant de la contribution d'entretien soit fixé à 1'800 fr. par mois jusqu'à l'âge de 10 ans puis à 2'000 fr. par mois, et qu'une provisio ad litem de 5'000 fr. lui soit allouée. A titre préalable, il a sollicité l'exécution provisoire du jugement de première instance, subsidiairement le prononcé de mesures provisionnelles consistant dans le paiement d'une contribution d'entretien d'un montant de 1'800 fr. par mois dès le 28 décembre 2010 ou à défaut, dans la consignation de ces montants, au motif que le débirentier projetait vraisemblablement de partir définitivement pour l'Amérique latine.
B.b La Cour de justice a, par arrêt du 21 octobre 2011, ordonné l'exécution anticipée dudit jugement concernant le versement de la contribution d'entretien, à concurrence de 850 fr. par mois, allocations familiales en sus, sous déduction des montants déjà payés pour les mois de mai à octobre 2011 compris.
B.c Par arrêt du 23 mars 2012, la Cour de justice a, sur mesures provisionnelles, condamné le père à verser une contribution à l'entretien de l'enfant d'un montant de 1'500 fr. par mois, allocations familiales non comprises, dès le prononcé de son arrêt, ainsi qu'une provisio ad litem de 4'000 fr.; sur le fond, l'autorité cantonale a condamné le père à payer, à titre de contribution d'entretien en faveur de l'enfant, la somme en capital de 24'110 fr., pour la période allant du 8 janvier 2010 au 31 mars 2012 et, dès avril 2012, 1'500 fr. par mois jusqu'à l'âge de 10 ans, puis 1'800 fr. par mois de 10 à 18 ans, voire au-delà si le bénéficiaire poursuit des études ou une formation de manière sérieuse et régulière, allocations familiales en sus.
C. Par acte du 11 mai 2012, le père exerce un recours en matière civile contre l'arrêt du 23 mars 2012. Il conclut à ce que la contribution d'entretien soit réduite à 850 fr. par mois jusqu'à 10 ans et à 1'300 fr. par mois de cet âge à la majorité, voire au-delà en cas de formation ou d'études supérieures, mais au plus tard jusqu'à 25 ans. Il demande en outre au Tribunal fédéral de «dire et refuser dans son montant, sa quotité et son effet rétroactif, la différence à payer depuis le 10 janvier 2010 entre la somme versée par lui et le montant arrêté par le jugement du 12 mai 2011, soit 18'000 fr. au 30 juin 2011».
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. Interjeté en temps utile, compte tenu des féries de Pâques (art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. a LTF), par une partie qui a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale et sur recours par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 LTF), dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF) de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse de 30'000 fr. est atteinte (art. 51 al. 1 let. a et al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF), le présent recours en matière civile est en principe recevable.
2. 2.1 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4; 134 III 102 consid. 1.1). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF; ATF 137 II 305 consid. 3.3; 133 II 249 consid. 1.4.2). Si le recourant se plaint de la violation de tels droits, il doit ainsi satisfaire au principe d'allégation, en indiquant clairement quelle disposition constitutionnelle a été violée et en démontrant, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (ATF 133 IV 286 consid. 1.4; 133 II 249 consid. 1.4.2). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (AT 133 II 396 consid. 3.1).
2.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par la juridiction précédente (art. 105 al. 1 LTF); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte - à savoir arbitraire (ATF 135 II 145 consid. 8.1; 135 III 127 consid. 1.5, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut se plaindre de constatations de fait arbitraires que si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Il ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable. Une critique qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3; cf. aussi ATF 136 II 489 consid. 2.8; 130 I 258 consid. 1.3). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF; cf. ATF 133 III 393 consid. 3).
3. Le recourant prétend que l'autorité cantonale a arbitrairement apprécié les situations financières respectives des parties.
En ce qui concerne ses propres charges, il reproche en particulier aux juges précédents de n'avoir pas tenu compte de son intention de louer un appartement plus grand afin de pouvoir accueillir son fils, et d'avoir refusé de prendre en considération les frais liés à l'utilisation de son véhicule. S'écartant en outre des constatations de l'arrêt attaqué s'agissant de ses coûts d'assurance maladie et de téléphone, il soutient que ses charges mensuelles s'élèvent non pas à 4'950 fr., comme l'a retenu l'autorité cantonale, mais à 6'447 fr. 75, de sorte que, son revenu étant de 10'060 fr., son solde disponible serait en réalité de 3'612 fr. 25 et non de 5'110 fr. par mois.
La Cour de justice aurait aussi apprécié de manière arbitraire les éléments relatifs à la capacité financière de la mère de l'enfant. Selon le recourant, cette dernière serait à même de retrouver un travail et de réaliser ainsi un revenu plus élevé que les indemnités de chômage qu'elle perçoit. De plus, bien que l'enfant ait le droit de bénéficier du niveau de vie qui était le sien avant la séparation de ses parents, le loyer important que paie sa mère augmente considérablement les charges de celle-ci, ce qui réduit d'autant le solde mensuel disponible qu'elle devrait consacrer à l'entretien de son fils.
3.1 Dans le domaine de l'appréciation des preuves et de la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (ATF 120 Ia 31 consid. 4b; 118 Ia 28 consid. 1b et les références). Il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis, sans motifs objectifs, de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2; 134 V 53 consid. 4.3; 129 I 8 consid. 2.1); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF).
3.1 Dans le domaine de l'appréciation des preuves et de la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (ATF 120 Ia 31 consid. 4b; 118 Ia 28 consid. 1b et les références). Il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis, sans motifs objectifs, de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2; 134 V 53 consid. 4.3; 129 I 8 consid. 2.1); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 in fine LTF).
3.2 3.2.1 En ce qui concerne la charge de loyer mensuelle du recourant, l'autorité précédente retient que celui-ci n'a pas établi, ni même rendu vraisemblable, son intention de déménager dans un appartement plus spacieux, dès lors qu'il n'a produit à cet effet qu'une annonce datant du mois de mars 2011. Le recourant prétend que cette appréciation est insoutenable, faisant valoir, au cas où l'annonce précitée ne serait pas jugée suffisante par la cour de céans, un courrier émanant d'une régie immobilière, lequel attesterait des démarches qu'il a entreprises depuis plusieurs mois. Pour autant qu'elle soit pertinente, cette pièce, datée du 10 mai 2012, est postérieure à l'arrêt attaqué, si bien qu'elle doit être écartée d'emblée (art. 99 al. 1 LTF; ATF 133 IV 342 consid. 2.1). De toute manière, la capacité contributive du débirentier doit être appréciée en fonction de ses charges effectives. Pour le surplus, le recourant s'écarte des constatations de l'autorité cantonale relatives à ses frais d'assurance maladie, de déplacement (besoins professionnels, exercice du droit de visite et déplacements en France) et de téléphone, sans toutefois étayer ses allégations, se contentant en définitive de présenter, «pour rappel», son propre décompte de charges. Autant qu'elles sont suffisamment motivées, ses critiques ne sauraient dès lors être admises. Par conséquent, la constatation de l'arrêt attaqué selon laquelle le débirentier dispose, après paiement de ses charges admissibles, d'un solde de 5'110 fr. par mois, résiste à l'examen.
3.2.2 Le recourant prétend par ailleurs que la capacité de la mère de l'intimé de retrouver un travail et d'augmenter ainsi ses revenus, partant, «de réduire ses charges incompressibles», n'a pas été prise en compte par la Cour de justice. Ce grief est à l'évidence infondé. L'autorité cantonale retient en effet que si aucune raison ne permet de penser que l'intéressée, actuellement au chômage, ne retrouvera pas un emploi dans un autre domaine d'activité - vu la conjoncture actuelle - que le sien, soit le domaine bancaire, il n'a pas été établi qu'elle serait, le cas échéant, capable de réaliser un revenu mensuel net supérieur aux indemnités de chômage qu'elle perçoit actuellement, à savoir 6'980 fr. nets par mois, de sorte qu'il convient de se fonder sur une capacité financière de ce montant. Le recourant ne critique pas cette opinion, se contentant d'alléguer que, comme l'a précisé le jugement de première instance, la mère de l'enfant s'est retrouvée sans emploi après avoir refusé plusieurs propositions de son ancien employeur, en l'occurrence une banque. Par ces allégations, purement appellatoires, il ne démontre pas que l'autorité cantonale aurait arbitrairement apprécié les preuves concernant la situation financière de la mère de l'intimé.
La prise en compte dans les charges de la mère de l'intégralité du loyer mensuel de 2'670 fr. assumé par celle-ci - décision qui relève du droit (arrêts 5A_87/2007 du 2 août 2007 consid. 3.2.3; 5C.97/1999 du 24 juin 1997 consid. 4b et la jurisprudence citée) - n'apparaît pas non plus contraire au droit fédéral. Ledit loyer, admis par la cour cantonale à l'exclusion des 160 fr. de frais de parking liés à l'habitation, n'excède en effet que de quelque 340 fr. le tiers du revenu qu'il est habituellement conseillé de consacrer au logement (2'670 fr. - 2'326 fr. 70 [6'980 fr. :3] = 343 fr. 30). Au demeurant, l'appartement n'est pas seulement destiné à la mère, mais aussi à l'enfant dont elle a la garde. Dès lors, on ne saurait raisonnablement exiger de l'intéressée, au demeurant à la recherche d'un emploi, de tenter de se reloger à moindres frais avec son fils, la stabilité de l'environnement de l'enfant devant en outre être préservée. Quoi qu'il en soit, la cour cantonale a considéré que la mère, contribuant en nature aux besoins de son enfant, remplissait ainsi déjà son obligation, raisonnement qui n'enfreint pas le droit fédéral comme il sera exposé ci-après (consid. 4.3).
4. Se plaignant de la violation de l'art. 285 al. 1 CC, le recourant soutient en outre que la contribution est manifestement inéquitable et contribue à sa paupérisation. Il prétend que le coût d'entretien de l'enfant ne devrait pas être entièrement mis à sa charge, même si la mère contribue déjà aux besoins de celui-ci en nature.
4.1 A teneur de cette disposition, la contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère; il est tenu compte de la fortune et des revenus de l'enfant. Ces différents critères doivent être pris en considération; ils exercent une influence réciproque les uns sur les autres. Celui des parents dont la capacité financière est supérieure peut être tenu, suivant les circonstances, de subvenir à l'entier du besoin en argent si l'autre remplit son obligation à l'égard de l'enfant essentiellement en nature (ATF 120 II 285 consid. 3a/cc; cf. aussi arrêts 5A_386/2012 du 23 juillet 2012 consid. 4.2.1; 5A_497/2011 du 5 décembre 2011 consid. 7.1.3; 5A_216/2009 du 14 juillet 2009 consid. 4.2). La loi n'impose pas de méthode de calcul de la contribution d'entretien (ATF 128 III 411 consid. 3.2.2). La fixation du montant de celle-ci relève du pouvoir d'appréciation du juge, qui applique les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC); il n'y a violation du droit fédéral que si le juge a abusé de ce pouvoir, en se référant à des critères dénués de pertinence ou en ne tenant pas compte d'éléments essentiels, ou encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant arrêté apparaît manifestement inéquitable au regard des circonstances (arrêt 5A_186/2012 du 28 juin 2012 consid. 6.2.3 et les arrêts cités).
4.2 En l'espèce, la cour cantonale retient, sans que le recourant n'ait démontré d'arbitraire à ce sujet (cf. supra, consid. 3.2.1), que le père dispose d'un revenu mensuel de 10'060 fr. pour des charges de 4'950 fr., d'où un disponible de 5'110 fr. Quant à la mère, l'arrêt entrepris constate que sa capacité financière est de 6'980 fr. et ses charges, de 5'536 fr. par mois, ce qui lui laisse un solde de 1'440 fr. Les charges incompressibles mensuelles de l'enfant ont par ailleurs été arrêtées à environ 1'380 fr. jusqu'au 31 décembre 2011 et à 1'280 fr. depuis le 1er janvier 2012. L'autorité précédente a considéré que le père bénéficiait ainsi d'un solde disponible plus élevé que la mère (5'110 fr. contre 1'440 fr.). De plus, celle-ci fournissait un logement à l'enfant ainsi qu'une prestation importante en nature, en assumant son éducation et ses soins au quotidien alors que celui-ci est encore en bas âge. Sa contribution financière devait par conséquent être considérée comme secondaire. Compte tenu du fait que l'enfant a le droit de participer au train de vie de ses parents, une contribution mensuelle de 1'500 fr. par mois jusqu'à l'âge de 10 ans, puis de 1'800 fr., apparaissait adaptée à la situation financière des parties.
4.3 Ce raisonnement ne contrevient pas au droit fédéral. Vu les soldes disponibles de chacun des parents, soit 5'110 fr. pour le père et 1'440 fr. pour la mère, l'autorité cantonale n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation en estimant que cette dernière remplissait déjà son obligation à l'égard de l'enfant - âgé de moins de trois ans - en nature (cf. supra, consid. 4.1). Le recourant le conteste, considérant que les juges précédents n'ont pas veillé à ce que ses facultés soient mises à contribution de façon équilibrée par rapport à celles de la mère (cf. arrêt 5A_186/2012 du 28 juin 2012 consid. 6.2.2; ATF 107 II 406 consid. 2c). Son argumentation se fonde toutefois, de manière irrecevable, sur des revenus et des charges différents de ceux retenus par l'arrêt attaqué. Tel est le cas lorsqu'il prétend qu'après paiement de la contribution d'entretien de 1'500 fr., il ne lui reste que 2'112 fr. 25. En effet, la Cour de justice a constaté, sans arbitraire (cf. supra, consid. 3.2.1), qu'il disposait d'un solde de 5'110 fr. par mois. Dès lors, le montant dont il bénéficie après paiement de ladite pension est de 3'610 fr. Autant qu'il est recevable, le grief est par conséquent mal fondé.
5. Le recourant critique aussi l'effet rétroactif de la contribution d'entretien.
5.1 Après avoir rappelé que, selon l'art. 279 CC, l'entretien peut être réclamé pour l'avenir et pour l'année qui précède l'ouverture d'action, l'autorité cantonale a considéré qu'en 2010, le débirentier réalisait, il est vrai, un revenu mensuel inférieur de 500 fr. bruts à celui qu'il percevait actuellement. Il n'en demeurait pas moins qu'il disposait déjà, après paiement de ses charges, d'un solde disponible important s'élevant à environ 4'700 fr. (5'110 fr. - 400 fr. = 4'710 fr.), de sorte qu'une réduction de la pension pour cette période n'était pas fondée. En effet, il était alors largement en mesure de contribuer à l'entretien de son fils sans que son minimum vital ne fût entamé. Il se justifiait donc de confirmer le jugement de première instance en tant qu'il fixait le dies a quo de la contribution d'entretien au 8 janvier 2010. Compte tenu des montants versés par le débirentier de cette date au mois de mars 2012, les juges précédents ont calculé qu'il lui restait devoir, pour cette période, un arriéré de 24'110 fr.
5.2 Le recourant ne remet pas en cause ce montant, ni le principe du calcul rétroactif effectué par l'autorité cantonale. Il se borne à exposer que les juges précédents ont fait une application «inadéquate» de la jurisprudence, en ignorant la charge que cette somme fait peser sur son budget - déjà considérablement amputé suite à l'octroi d'une pension alimentaire manifestement exagérée -, et soutient que le paiement de cet arriéré le met dans une situation précaire. A l'appui de cette allégation, il fait valoir qu'après paiement de ses charges incompressibles (6'447 fr. 75) et de la pension litigieuse (1'500 fr.), il ne dispose plus que de 2'112 fr. 25 par mois (10'060 fr. - 6'447 fr. 75 - 1'500 fr.). Ainsi, en optant pour un paiement échelonné sur un an, une charge supplémentaire de 1'004 fr. 50 viendrait encore grever son disponible qui se réduirait, en définitive, à 1'107 fr. 75. Ce faisant, il s'écarte, une fois de plus, des constatations de la cour cantonale, qui a retenu que son solde disponible s'élevait à 5'110 fr. par mois (cf. supra, consid. 3.2.1). Pour autant qu'il soit recevable, son moyen est dès lors infondé.
6. En conclusion, le recours ne peut qu'être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les frais de la présente procédure seront donc mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens, des observations n'ayant pas été requises.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 11 septembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Mairot