Faits:
A. Le 8 mai 2007, A.X._, ressortissant suisse né en 1955, a reconnu devant le Service de l'Etat civil de Chêne-Bougeries (GE) l'enfant porté par B.Y._, ressortissante marocaine et française née en 1975, divorcée d'avec D.Y._. Le père a un autre fils, E._, né en 1988 d'un précédent mariage. Les parents vivent en concubinage depuis quelques années; ils ont encore eu un enfant, F._, âgé d'une année.
L'enfant C.Y._ est né à Chêne-Bougeries le 30 mai 2007. L'acte de reconnaissance a été transcrit par le Consulat général de France à Genève dans les registres de l'état civil français le 25 juin suivant; un passeport français et européen a été établi le 17 décembre 2007 au nom de C.X._.
Les parents ont passé le 11 avril 2008 une «convention de partage de l'autorité parentale» sur l'enfant C._, que la Justice de paix des districts de Nyon et Rolle a ratifiée le 18 septembre 2008.
B. Le 23 février 2009, A.X._ et B.Y._, agissant pour le compte de l'enfant C._, ont déposé une requête tendant à ce que celui-ci soit autorisé à porter le nom de famille de son père, à savoir «X._».
Statuant le 28 septembre 2009, le Département de l'Intérieur du canton de Vaud a rejeté la requête. Par arrêt du 30 avril 2010, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (CDAP) a confirmé cette décision.
C. Par acte du 2 juin 2010, les requérants, agissant «en leur nom personnel et pour le compte de leur fils C._», forment un recours en matière civile au Tribunal fédéral; sur le fond, ils reprennent les conclusions de leur requête.
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. 1.1 À la date du dépôt de la requête (23 février 2009), l'enfant n'avait pas encore deux ans, en sorte qu'il n'était manifestement pas capable, au sens de l'art. 16 CC, de saisir l'enjeu d'une procédure de changement de nom (arrêt 5A_61/2008 du 16 juin 2008 consid. 1.2); dans un tel cas, les parents peuvent déposer la requête, respectivement recourir (arrêts 5C.233/2004 du 21 janvier 2005 consid. 1; 5C.84/2003 du 20 mai 2003 consid. 1), au nom du mineur en qualité de représentants légaux (ATF 117 II 6 consid. 1b, avec les références). Il n'en demeure pas moins que la qualité pour recourir (sur le fond) appartient à l'enfant lui-même, et non aux parents; en tant qu'il est formé par ces derniers «en leur nom personnel», le présent recours est dès lors irrecevable.
1.2 Le recours a été déposé dans le délai légal (art. 100 al. 1 LTF) à l'encontre d'une décision finale (art. 90 LTF) qui confirme, en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF), un refus de changement de nom (art. 72 al. 2 let. b ch. 3 LTF). La présente cause étant de nature non pécuniaire (cf. parmi plusieurs: arrêt 5A_712/2009 du 25 janvier 2010 consid. 1.1, non publié aux ATF 136 III 168 ss), le recours en matière civile - et non le recours en matière de droit public comme l'a indiqué la cour cantonale - est ouvert sans restriction (Corboz, in: Commentaire de la LTF, 2009, n° 12 ad art. 74); partant, le recours constitutionnel subsidiaire, déposé par précaution, est irrecevable (art. 113 LTF).
1.3 Conformément à l'art. 75 al. 1 LTF, le recours n'est recevable qu'à l'encontre des décisions rendues en dernière instance cantonale, ce qui signifie que la partie recourante «doit avoir épuisé toutes les voies de droit cantonales pour les griefs qu'elle entend invoquer devant le Tribunal fédéral» (FF 2001 p. 4109; ATF 135 III 1 consid. 1.2 et 424 consid. 3.2; 134 III 524 consid. 1.3, avec la jurisprudence citée).
En l'occurrence, le recourant se plaint notamment d'une violation des art. 13 Cst. et 8 CEDH (droit au respect de la vie privée et familiale), des art. 8 Cst. et 14 CEDH (interdiction de la discrimination) ainsi que des art. 3, 6 et 18 de la Convention relative aux droits de l'enfant du 20 novembre 1989 (CDE). Or, ces moyens n'ont été soulevés ni dans le recours du 26 octobre 2009, ni dans le mémoire complémentaire du 17 décembre 2009 consécutif aux observations de la Direction de l'état civil du canton de Vaud; en conséquence, ils sont irrecevables.
2. En vertu de l'art. 30 al. 1 CC, le gouvernement du canton de domicile peut, s'il existe de justes motifs, autoriser une personne à changer de nom. Savoir si cette condition est réalisée est une question d'appréciation que l'autorité cantonale doit trancher d'après les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC; ATF 136 III 161 consid. 3.1); dès lors, le Tribunal fédéral n'intervient que si la décision attaquée s'écarte sans raison des principes dégagés par la doctrine et la jurisprudence, retient des facteurs dépourvus de pertinence ou, au contraire, omet des éléments essentiels (ATF 132 III 497 consid. 2 et la jurisprudence citée).
2.1 Il y a de justes motifs lorsque l'intérêt du requérant - en tant qu'individu et de lui seul - à porter un nouveau nom l'emporte sur l'intérêt de l'administration et de la collectivité à l'immutabilité du nom acquis et inscrit à l'état civil, et sur l'intérêt public à la fonction d'individualisation du nom (ATF 136 III 161 consid. 3.1.1); l'autorisation de changer de nom peut être justifiée par des considérations d'ordre moral, spirituel ou affectif (ATF 126 III 401 consid. 2b), par le caractère inadapté, ridicule, choquant ou odieux du nom (ATF 108 II 247 consid. 4c), voire par des motifs professionnels ou administratifs (ATF 136 III 161 consid. 3.1.1); en toute hypothèse, cet intérêt doit être apprécié sur la base de critères objectifs (ATF 136 III 161 consid. 3.1.1).
Dans sa dernière jurisprudence, le Tribunal fédéral s'est montré plus strict en matière de changement de nom d'enfants nés de parents non mariés (sur cette évolution: Bühler, in: Basler Kommentar, 3e éd., 2006, n° 17 ad art. 270 CC, avec les citations). Se référant au nombre et à la diversité des situations familiales, ainsi qu'à l'évolution des conceptions sur la condition des enfants nés hors mariage, il a jugé que l'existence d'un lien de concubinage durable entre la mère et le père biologique ne constituait plus, à lui seul, un juste motif au sens de la loi; l'enfant doit désormais démontrer concrètement en quoi le fait de porter le nom de sa mère en vertu de l'art. 270 al. 2 CC lui cause, sur un plan social, des désavantages suffisamment sérieux pour être tenus pour de justes motifs de changement de nom (ATF 121 III 145 consid. 2; 124 III 401 consid. 2b/bb; 126 III 1 consid. 3a; pour la jurisprudence récente: arrêts 5A_374/2007 du 28 août 2007 consid. 2, in: FamPra.ch 2008 p. 168; 5A_61/2008 du 16 juin 2008, in: FamPra.ch 2008 p. 883).
2.2 Comme l'a retenu la cour cantonale, la double nationalité - suisse et française - de l'enfant n'a pas d'incidence sur le droit d'option prévu par l'art. 37 al. 2 LDIP, en sorte que le droit suisse est exclusivement applicable en l'espèce (art. 23 al. 2 LDIP; ATF 126 III 1 consid. 4; pour le nom de la femme mariée: ATF 136 III 168 consid. 3.1). Le recourant ne le conteste d'ailleurs pas (art. 42 al. 2 LTF).
3. 3.1 La juridiction précédente a constaté que les parents invoquaient, à l'appui du recours, les justes motifs suivants: ils vivent en concubinage stable et forment, avec l'enfant, une famille; le père jouit de l'autorité parentale conjointe avec la mère, assume l'entretien des siens et participe à l'éducation de l'enfant; celui-ci a un demi-frère qui porte le nom de son père; la mère consent au changement de nom de son fils. Les intérêts concordants de l'État et de l'enfant parlent aussi en faveur de l'unicité du nom, afin qu'une personne possède un seul et même nom sur ses papiers officiels suisses et étrangers. En audience, les parents ont insisté sur l'importance, pour le demi-frère aîné, que toute la fratrie porte le même nom de famille que lui, et sur des aspects pratiques liés notamment aux déplacements à l'étranger.
Les juges cantonaux ont estimé que ces motifs ne justifiaient toutefois pas un changement de nom, car ils ne démontraient pas de préjudice sérieux et durable, ou des inconvénients majeurs sur le plan social, que l'enfant subirait en portant le nom de sa mère. Si on peut comprendre les raisons invoquées par les parents, on ne voit guère quel préjudice sérieux subirait l'enfant en portant le nom de sa mère plutôt que celui de son père. Depuis une quinzaine d'années, le Tribunal fédéral n'admet plus que le concubinage stable des parents constitue à lui seul un juste motif; de même, ni l'autorité parentale conjointe sur l'enfant ni la participation personnelle et financière à son éducation ne confèrent un droit au sujet du nom de famille. Le désir de porter le même nom que son père et son demi-frère ne représentent pas non plus un juste motif; à cet égard, les parents ne sont pas mariés et ne portent pas le même nom, en sorte que l'intégration de l'enfant au sein de la famille ne serait pas mieux réalisée s'il portait le nom de son père au lieu de celui de sa mère. Le consentement, voire le souhait, de cette dernière quant au changement de nom de son enfant ne joue aucun rôle. Le fait qu'un enfant domicilié en Suisse porte le nom de sa mère, alors qu'il est inscrit sous le nom de son père dans les actes officiels de l'État étranger dont il est également ressortissant, n'est pas davantage un juste motif de changement de nom; les difficultés qui peuvent résulter du fait que père et fils ont des passeports suisses établis à des noms différents, et que l'enfant possède deux passeports (français/européen et suisse) sur lesquels il ne porte pas le même patronyme, ne semblent pas être des obstacles insurmontables pour les déplacements à l'étranger; en tous cas, cela ne limite pas les droits de libre circulation dont bénéficie l'enfant en raison de sa double nationalité. Enfin, l'enfant a la possibilité d'acquérir le nom de son père par le mariage de ses parents, puisque le changement de nom des enfants (communs) est l'un des effets du mariage civil.
3.2 Aux termes de l'art. 42 al. 2 LTF, les motifs du recours doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit. Le Tribunal fédéral a dit à maintes reprises que cette disposition impose à la partie recourante de discuter, au moins de façon sommaire, les considérants de la décision attaquée (ATF 134 II 244 consid. 2.1; arrêt 5A_774/2008 du 2 novembre 2009 consid. 3 et les références). Or, le recourant se borne, pour l'essentiel, à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente, sans démontrer en quoi celle-ci aurait retenu des critères qui ne jouaient aucun rôle ou omis de tenir compte de facteurs essentiels. Quoi qu'il en soit, l'argumentation de l'autorité précédente apparaît complète et convaincante; on peut donc y renvoyer (art. 109 al. 3 LTF [d'application générale: arrêts 4A_365/2010 du 13 septembre 2010 consid. 4; 4A_329/2010 du 17 août 2010 consid. 3.3]).
Il convient, néanmoins, d'apporter les précisions suivantes:
Comme le relève à juste titre le recourant, l'existence de justes motifs doit faire l'objet d'une «appréciation globale». Cependant, même si on peut se montrer moins strict à l'égard d'enfants en bas âge (cf. ATF 117 II 6 consid. 3a), encore faut-il démontrer en quoi le fait de porter le nom de la mère entraîne des désavantages au plan social (cf. supra, consid. 2.1; cf. aussi: Bühler, ibid., n° 29), faute de quoi la requête doit être rejetée d'emblée (arrêt 5C.84/2003 précité consid. 2). Or, en l'occurrence, le recourant insiste sur les avantages qu'il aurait à porter le nom de son père, mais sans établir les inconvénients que lui cause sa situation actuelle; comme l'a rappelé avec raison l'autorité précédente, le fait qu'il porte en Suisse un nom différent de celui qui est inscrit dans ses papiers français n'est pas déterminant sous cet angle (ATF 136 III 168 consid. 3.4; Bühler, ibid., n° 26). Enfin, l'argument tiré du constat que l'enfant porte le nom (Y._) de «l'ex-mari de sa mère, qu'il ne connaît/connaîtra pas» se fonde sur des prémisses erronées. Aux fins de la présente affaire, ce nom est avant tout celui de sa mère (art. 270 al. 2 CC), qu'elle a conservé après le divorce (art. 119 al. 1 CC); cela ne dispense pas l'enfant d'établir en quoi le fait de ne pas porter le nom de son père lui ferait subir des désavantages sur le plan social (cf. arrêt 5C.84/2003 ibid.), même si le père exerce l'autorité parentale conjointe avec la mère (arrêt 5A_374/2007 précité consid. 5.3.1 [non publié sur ce point in: FamPra.ch 2008 p. 168]).
4. Vu ce qui précède, le recours des parents est irrecevable; le recours constitutionnel subsidiaire de l'enfant l'est aussi, alors que son recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable. Les frais judiciaires incombent aux recourants, solidairement entre eux (art. 66 al. 1 et 5 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de A.X._ et B.Y._ est irrecevable.
2. 2.1 Le recours constitutionnel subsidiaire de C.Y._ est irrecevable.
2.2 Le recours en matière civile de C.Y._ est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis solidairement à la charge des recourants.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 2 novembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Braconi