Faits:
A. Dès le 1er mars 2007, X._ est entrée au service de A._ SA et de B._ SA, à La Chaux-de-Fonds, en qualité de comptable; elle était subordonnée à l'administrateur unique de ces deux sociétés. Ce dernier l'a licenciée le 7 décembre 2007 puis il l'a réengagée; il l'a derechef licenciée le 9 mai 2008 avant de la réengager encore. Le 4 novembre 2009, X._ a mis fin au contrat avec effet immédiat, au motif que la poursuite des rapports de travail compromettait son intégrité psychique.
B. Le 21 décembre 2009, X._ a ouvert action contre les sociétés employeuses devant le Tribunal des prud'hommes du district de La Chaux-de-Fonds. Les défenderesses devaient être condamnées au paiement de diverses sommes au total de 23'352 fr.35 à titre de salaire, et de 5'000 fr. à titre d'indemnité.
Les défenderesses ne se sont pas fait représenter à l'audience de conciliation du 11 janvier 2010. A l'issue de cette audience, le Président du tribunal a fixé pour toutes les parties un délai dans lequel elles devaient indiquer leurs moyens de preuve, échéant le 31 du même mois. Les défenderesses ont demandé la convocation d'une nouvelle audience de conciliation, ce que le Président a refusé par ordonnance du 4 mars 2010. Ce magistrat a simultanément assigné aux défenderesses un nouveau délai pour l'indication des moyens de preuve, échéant le 31 mars 2010. Elles n'ont pas produit de pièces ni réclamé de mesures probatoires dans ce délai.
A l'audience d'instruction et de jugement du 1er novembre 2010, une tentative de conciliation a échoué et les défenderesses ont conclu au rejet de l'action.
Le tribunal a interrogé deux témoins proposés par la demanderesse, puis il a interrogé les parties.
Le conseil des défenderesses a ensuite sollicité l'autorisation de déposer un lot de pièces. Le conseil de la demanderesse s'y est opposé et le Président a refusé cette autorisation au motif que le délai disponible pour les offres de preuve n'avait pas été observé.
Le Président a ordonné la clôture de l'administration des preuves, puis les parties ont plaidé; enfin, le Président a ordonné la clôture des débats.
Le tribunal a rendu son jugement le même jour; accueillant partiellement l'action, il a condamné les défenderesses à payer solidairement 21'021 fr.55 à titre de salaire brut, soumis aux déductions sociales, et 1'823 fr.30 à titre de salaire net, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 17 décembre 2009.
Les défenderesses se sont pourvues devant la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal, laquelle a rejeté leur recours par arrêt du 24 mars 2011.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, les défenderesses requièrent le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour de cassation civile en ce sens que l'action soit entièrement rejetée.
La demanderesse conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Ses auteurs ont pris part à l'instance précédente et succombé dans leurs conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF); le mémoire de recours a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et il satisfait aux exigences légales (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Cette partie ne peut toutefois pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; elle doit plutôt indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, et une critique qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; voir aussi ATF 136 II 489 consid. 2.8 p. 494; 130 I 258 consid. 1.3 p. 261/262).
2. Devant la Cour de cassation civile, les défenderesses se sont plaintes sans succès de n'avoir pas été autorisées à produire des pièces devant les premiers juges; en instance fédérale, elles persistent dans cette critique. Elles invoquent l'art. 343 al. 4 aCO, remplacé depuis le 1er janvier 2011 par l'art. 247 al. 2 let. b ch. 2 CPC; elles invoquent aussi le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst.
2.1 D'après les art. 343 al. 4 aCO et 247 al. 2 let. b ch. 2 CPC, le juge doit constater d'office les faits dans les litiges portant sur un contrat de travail, lorsque la valeur litigieuse n'excède pas 30'000 francs. Selon la jurisprudence, cette règle exige que le juge interroge les parties et qu'il les informe, au besoin, de leur devoir de collaborer à l'instruction et de fournir des preuves; si des motifs objectifs le conduisent à soupçonner que les allégations et offres de preuves d'une partie sont lacunaires, il doit inviter cette partie à compléter ses moyens (ATF 107 II 233 consid. 2c p. 236; voir aussi ATF 125 III 231 consid. 4a p. 238).
Il est constant que les prétentions litigieuses sont fondées sur un contrat de travail.
Le Président du Tribunal des prud'hommes a formellement invité les défenderesses à indiquer leurs moyens de preuve dans un délai échéant le 31 janvier 2010, puis il leur a accordé un nouveau délai au 31 mars suivant. Les défenderesses n'ont pas produit de pièces ni demandé de mesures probatoires. Elles ne contestent pas qu'elles auraient pu déposer leurs pièces dans le délai imparti. Elles ont donc négligé de procéder en temps utile. Or, la maxime inquisitoire dite sociale, consacrée par les art. 343 al. 4 aCO et 247 al. 2 let. b ch. 2 CPC, n'est pas destinée à pallier l'incurie ou la désinvolture des plaideurs, et elle ne les autorise pas à créer le désordre dans l'instruction en agissant sans égard aux ordonnances du juge et sans respecter les phases successives de la procédure. Dans les circonstances de l'espèce, le refus de recevoir les pièces hors délai est compatible avec ces dispositions de droit fédéral.
2.2 Le droit d'être entendu comporte notamment, sous certaines réserves, le droit spécifique d'obtenir l'administration des preuves valablement offertes (ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428), c'est-à-dire offertes dans le respect des formes et délais fixés par le droit de procédure applicable (Michele Albertini, Der verfassungsmässige Anspruch auf rechtliches Gehör im Verwaltungsverfahren des modernen Staates, 2000, p. 372 in fine; voir aussi Gerold Steinmann, in Die schweizerische Bundesverfassung, 2008, n° 26 ad art. 29 Cst.). En l'occurrence, les défenderesses n'ont pas respecté le délai fixé pour le dépôt des pièces et le refus d'accepter un dépôt tardif de ces documents est aussi compatible avec l'art. 29 al. 2 Cst.
3. La contestation portait notamment sur le montant du salaire mensuel ou horaire convenu entre les parties, et la demanderesse a obtenu 1'823 fr.20 à titre d'arriéré pour le mois d'octobre 2009. Les défenderesses persistent à contester cette prétention.
Les autorités précédentes jugent qu'un accord des parties sur le taux du salaire ressort d'une convention préparée par la demanderesse en juillet 2008, alors même que l'administrateur des défenderesses n'a pas signé ce document. En instance fédérale, ces dernières font vainement état de l'une des pièces dont le Tribunal des prud'hommes a valablement refusé la production tardive car il s'agit d'une preuve nouvelle aux termes de l'art. 99 al. 1 LTF. Pour le surplus, les défenderesses n'avancent que de simples dénégations et elles se bornent à opposer leur propre opinion à l'appréciation des précédents juges. L'argumentation ainsi présentée ne satisfait pas aux exigences de la jurisprudence relative à l'art. 97 al. 1 LTF et elle est donc irrecevable.
4. Les autorités précédentes jugent que le 4 novembre 2009, la demanderesse se trouvait en droit de résilier abruptement le contrat de travail, ce qu'elle a fait, et que les défenderesses lui doivent ce qu'elle aurait gagné si le contrat s'était prolongé jusqu'à l'expiration du délai de congé, soit jusqu'au 31 janvier 2010. La demanderesse obtient à ce titre 21'021 fr.55, sous réserve des déductions sociales. Les défenderesses contestent que l'adverse partie fût en droit de résilier abruptement le contrat.
4.1 Les parties étaient liées par un contrat de travail de durée indéterminée. Ce contrat était donc susceptible d'une résiliation ordinaire avec observation d'un délai de congé, selon l'art. 335c CO, ou d'une résiliation immédiate pour de justes motifs, selon les art. 337 et 337a CO.
4.2 L'art. 337 al. 1 CO consacre le droit de résilier sans délai pour de justes motifs. D'après l'art. 337 al. 2 CO, on considère notamment comme de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail. Mesure exceptionnelle, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. D'après la jurisprudence, les faits invoqués par la partie qui résilie doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave justifie le licenciement immédiat du travailleur ou l'abandon abrupt du poste par ce dernier. En cas de manquement moins grave, celui-ci ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement. Par manquement de l'une des parties, on entend en règle générale la violation d'une obligation imposée par le contrat mais d'autres faits peuvent aussi justifier une résiliation immédiate (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 31; 129 III 380 consid. 2.2 p. 382). Le cas échéant, celle-ci doit être déclarée sans retard; sous réserve de circonstances particulières, elle ne peut pas être différée au delà d'un délai de réflexion de deux à trois jours (ATF 130 III 28 consid. 4.4 p. 34).
Le juge apprécie librement, selon les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC), si le congé abrupt répond à de justes motifs (art. 337 al. 3 CO). A cette fin, il prend en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position du travailleur, la nature et la durée des rapports contractuels, et la nature et l'importance des manquements (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32; 127 III 351 consid. 4a p. 354). Le Tribunal fédéral ne contrôle qu'avec réserve une décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque la décision s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; en outre, le Tribunal fédéral redresse les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32; 130 III 213 consid. 3.1 p. 220; 129 III 380 consid. 2 p. 382).
4.3 La demanderesse a produit un certificat médical établi par le docteur Z._, spécialiste en médecine générale et médecine du sport, ainsi libellé:
Je soussigné certifie que la poursuite de son travail chez B._ SA constituerait un danger pour la santé de Madame X._.
En revanche, elle est apte à travailler à 100 % ailleurs.
De ce fait, elle doit arrêter son travail dès le 4 novembre 2009 - et ceci définitivement.
Les autorités précédentes ont jugé ce certificat concluant et convaincant, compte tenu que, selon leurs constatations, la demanderesse avait été licenciée puis réengagée deux fois, qu'elle travaillait dans des conditions difficiles en raison de la situation financière délicate des sociétés employeuses, qu'elle peinait à obtenir de l'administrateur les instructions nécessaires et qu'elle avait plusieurs fois averti celui-ci de ses difficultés.
Il est de règle qu'en cas d'empêchement de travailler pour cause de maladie ou d'accident, le travailleur apporte une preuve en principe suffisante de cet empêchement en remettant un certificat médical à l'employeur (Rémy Wyler, Droit du travail, 2e éd., 2008, p. 224), ce qui l'autorise ensuite à exiger le versement du salaire pendant la durée prévue par l'art. 324a al. 1 et 2 CO. En revanche, la déclaration d'un médecin est inapte à établir l'existence d'un juste motif de résiliation immédiate du contrat de travail, et il appartient exclusivement au juge d'effectuer l'appréciation nécessaire d'après la loi. Le certificat du docteur Z._ n'est donc pas concluant.
Pour le surplus, des conditions de travail difficiles, une ambiance de travail insatisfaisante et un encadrement déficient ne suffisent pas à justifier une résiliation immédiate; le travailleur, s'il ne s'accommode pas des modalités qui lui sont imposées, doit se départir du contrat en observant le délai de congé légal ou convenu.
Les autorités précédentes n'ont pas constaté que dans les quelques jours ayant précédé le 4 novembre 2009, la demanderesse ait subi un agissement ou un manquement particulièrement nuisible de l'administrateur, et indiscutablement contraire aux devoirs contractuels des employeuses, par suite duquel cette partie-là pût légitimement abandonner son poste sans délai de préavis. Par conséquent, la résiliation abrupte du contrat était injustifiée et la travailleuse ne pouvait prétendre à aucun dédommagement. Les défenderesses sont fondées à se plaindre d'une application incorrecte de l'art. 337 al. 2 CO, et aussi de l'art. 337b CO relatif aux conséquences pécuniaires d'une résiliation immédiate; cela conduit à la réforme de la décision attaquée.
5. Compte tenu que la défenderesse obtient gain de cause sur la plus importante des prétentions en litige, l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral, fixé à 1'000 fr., sera couvert à concurrence de 900 fr. par la demanderesse et de 100 fr. par les défenderesses. Les dépens se compensent partiellement et la demanderesse versera, en définitive, une indemnité de 1'200 fr. à ses adverses parties.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, et l'arrêt de la Cour de cassation civile est réformé en ce sens que les défenderesses doivent payer solidairement à la demanderesse 1'823 fr.30 à titre de salaire net, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 17 décembre 2009.
2. Les parties acquitteront un émolument judiciaire de 1'000 fr., à raison de 900 fr. à la charge de la demanderesse et de 100 fr. à la charge des défenderesses.
3. La demanderesse versera une indemnité de 1'200 fr. aux défenderesses, créancières solidaires, à titre de dépens.
4. La cause est renvoyée à la Cour de cassation civile pour statuer à nouveau sur les frais et dépens des instances cantonales.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 22 août 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
Le greffier: Thélin