Sachverhalt:
A. Die aus Kamerun stammende Y._, geb. ***1968, reiste im Juni 2003 illegal in die Schweiz ein. Am 12. August 2003 heiratete sie den Schweizer Bürger Z._, worauf ihr eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann erteilt wurde. Kurz darauf, am 2. September 2003, trat Z._ den Vollzug einer gegen ihn ausgesprochenen Freiheitsstrafe von 28 Monaten an. Am 4. November 2005 schlossen die Ehegatten eine gerichtlich genehmigte Trennungsvereinbarung ab, worin sie die Auflösung des gemeinsamen Haushaltes seit dem 1. Oktober 2004 feststellten und das Getrenntleben auf unbestimmte Zeit vereinbarten. Im *** Dezember 2005 wurde der gemeinsame Sohn X._ geboren.
B. Mit Verfügung vom 23. Januar 2006 verweigerte die Fremdenpolizeibehörde der Einwohnergemeinde Biel Y._ die Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung und setzte ihr eine Ausreisefrist bis zum 6. März 2006. Zur Begründung führte die Fremdenpolizeibehörde im Wesentlichen aus, das Ehepaar habe nie zusammengelebt und es bestünden keine Aussichten auf eine Wiedervereinigung. Die Rückkehr in die Heimat sei ohne weiteres möglich und zumutbar.
Eine dagegen erhobene Beschwerde bei der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern blieb erfolglos (Entscheid vom 22. Mai 2007).
C. Mit Urteil vom 22. Oktober 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, die von Y._ erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab.
D. Mit Eingabe vom 21. November 2007 erhebt Y._ (Beschwerdeführerin 2) zusammen mit ihrem Sohn, X._ (Beschwerdeführer 1), beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, mit welcher sie um Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts sowie um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin 2, eventualiter um Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Abklärung des Sachverhalts, ersuchen.
Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde, das Verwaltungsgericht des Kantons Bern auf Abweisung, soweit darauf einzutreten sei.
E. Dem von den Beschwerdeführern gestellten Gesuch um aufschiebende Wirkung wurde mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung vom 27. November 2007 entsprochen.
Erwägungen:
1. 1.1 Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Gemäss Art. 126 Abs. 1 des neuen Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20), welches am 1. Januar 2008 in Kraft getreten ist, bleibt für Gesuche, die vor diesem Zeitpunkt gestellt worden sind, das bisherige Recht anwendbar. Das muss auch gelten für Entscheide über die Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, wenn sie - wie hier - noch unter der Herrschaft des bisherigen Rechts ergangen sind (vgl. Urteil 2C_654/2007 vom 4. April 2008, E. 1.2).
1.3 Nach Art. 7 Abs. 1 Satz 1 des Bundesgesetzes vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; in der Fassung vom 23. März 1990) hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers grundsätzlich Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Für die Eintretensfrage ist im Zusammenhang mit Art. 7 ANAG einzig darauf abzustellen, ob formell eine Ehe besteht; anders als bei Art. 8 EMRK ist nicht erforderlich, dass die Ehe intakt ist und tatsächlich gelebt wird (BGE 128 II 145 E. 1.1.2 S. 148 f. mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin 2 ist nach wie vor mit ihrem Schweizer Ehemann verheiratet, womit nach dem Gesagten das Vorliegen eines Rechtsanspruches aus Art. 7 ANAG im Grundsatz zu bejahen ist. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich insoweit als zulässig.
Im Weiteren kann sich die Beschwerdeführerin 2 im Verhältnis zu ihrem (vorliegend als Beschwerdeführer 1 auftretenden) minderjährigen Kind, welches über das Schweizer Bürgerrecht verfügt und damit ein gefestigtes Anwesenheitsrecht besitzt und zu welchem sie eine intakte, gelebte Beziehung unterhält, auf das in Art. 8 EMRK (bzw. Art. 13 Abs. 1 BV) gewährleistete Recht auf Achtung des Familienlebens berufen und daraus einen potentiellen Bewilligungsanspruch ableiten (BGE 122 II 289 E. 1c S. 292 ff.; Urteil 2A.562/2006 vom 16. Februar 2007, E. 2.3).
1.4 Die Beschwerdeführerin 2 ist als abgewiesene Gesuchstellerin und vor Verwaltungsgericht unterliegende Partei zur Ergreifung des vorliegenden Rechtsmittels legitimiert. Soweit die Beschwerde auch im Namen des Kindes (Beschwerdeführer 1) erhoben wird, welches am vorinstanzlichen Verfahren nicht teilgenommen hat, ist auf sie nicht einzutreten (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG). Das schliesst nicht aus, dass die Interessen des Kindes im Zusammenhang mit der Situation der Mutter berücksichtigt werden.
1.5 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verletze Bundesrecht - inklusive Bundesverfassungsrecht -, Völkerrecht sowie kantonale verfassungsmässige Rechte (Art. 95 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels sich für den Ausgang des Verfahrens als entscheidend erweist (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Dass die Ehe der Beschwerdeführerin 2, wie das Verwaltungsgericht in zutreffender Wiedergabe der massgeblichen Rechtsprechung und mit schlüssiger Begründung erkennt (E. 2 des angefochtenen Entscheids), als definitiv gescheitert anzusehen ist und damit aufgrund des Rechtsmissbrauchsverbotes keinen Anspruch mehr zu verschaffen vermag, wird im Verfahren vor Bundesgericht nicht mehr in Frage gestellt.
Die Beschwerdeführerin 2 beruft sich demgegenüber auf ihre Beziehung zum minderjährigen, über das Schweizer Bürgerrecht verfügenden Sohn. Es stellt sich somit einzig die Frage, ob sie daraus gestützt auf Art. 8 EMRK ein Anwesenheitsrecht ableiten kann.
2.2 Der Anspruch auf Achtung des Familienlebens gilt nicht absolut. Vielmehr ist nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung und zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutze der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Pflichten anderer notwendig ist. Die Konvention verlangt insofern eine Abwägung der sich gegenüberstehenden Interessen an der Erteilung der Bewilligung und der öffentlichen Interessen an deren Verweigerung, wobei letztere in dem Sinne überwiegen müssen, dass sich der Eingriff als notwendig erweist (BGE 122 II 1 E. 2 S. 6 mit Hinweis). Als zulässiges öffentliches Interesse fällt insbesondere das Durchsetzen einer restriktiven Einwanderungspolitik in Betracht. Eine solche ist im Hinblick auf ein ausgewogenes Verhältnis zwischen schweizerischer und ausländischer Wohnbevölkerung, die Schaffung günstiger Rahmenbedingungen für die Eingliederung der in der Schweiz fest ansässigen Ausländer und die Verbesserung der Arbeitsmarktstruktur sowie eine möglichst ausgeglichene Beschäftigung im Lichte von Art. 8 Ziff. 2 EMRK zulässig (BGE 120 Ib 1 E. 4b S. 5, 22 E. 4a S. 25).
Eine Verletzung von Art. 8 EMRK liegt von vornherein nicht vor, wenn es (auch) den fest anwesenheitsberechtigten Familienmitgliedern zumutbar ist, ihr Familienleben im Ausland zu führen. Einem Kind im anpassungsfähigen Alter kann grundsätzlich zugemutet werden, dem für ihn sorgenden Elternteil ins Ausland zu folgen (BGE 122 II 289 E. 2c S. 298; vgl. auch Niccolò Raselli/Christine Hausammann, in: Uebersax/Münch/Geiser/Arnold, Ausländerrecht, Basel 2002, Rz. 13.61). Dies gilt insbesondere für Kleinkinder. Dass ein Kleinkind das schweizerische Bürgerrecht oder eine Niederlassungsbewilligung besitzt, schliesst nicht aus, dass es den Eltern oder dem obhutsberechtigten Elternteil, wenn diesen bzw. diesem der weitere Aufenthalt in der Schweiz verweigert wird, ins Ausland zu folgen hat (BGE 127 II 60 E. 2b S. 67; 122 II 289 E. 2c S. 298; Urteile 2A.562/2006 vom 16. Februar 2007, E. 3.2, und 2C_185/2007 vom 12. Juni 2007, E. 3.3.2).
2.3 Die Beschwerdeführerin 2 befindet sich erst seit knapp fünf Jahren in der Schweiz und hat ihre Heimat im Alter von 35 Jahren verlassen, wo sie drei Kinder zurückgelassen hat. Sie darf insofern ohne weiteres als mit den dortigen Verhältnissen nach wie vor bestens vertraut bezeichnet werden. Ihr in der Schweiz geborener Sohn, welcher erst nach der Trennung von ihrem Ehemann zur Welt kam und für welchen sie sorgt, ist zwei Jahre alt und befindet sich somit noch in einem anpassungsfähigen Alter, womit ihm - wie das Verwaltungsgericht ohne Verletzung von Bundesrecht annehmen durfte - zumutbar ist, seiner Mutter in die Heimat zu folgen.
2.4 Die Vorbringen in der Beschwerdeschrift vermögen die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz und die daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse nicht zu entkräften.
2.4.1 Dass bis anhin noch keine gerichtlich genehmigte Zuteilung der Obhuts- bzw. Sorgeberechtigung betreffend den Beschwerdeführer 1 vorliegt, ist, wie das Verwaltungsgericht zutreffend annehmen durfte, irrelevant. Die Beschwerdeführerin 2 übt die Obhut und Sorge über ihren Sohn faktisch bereits von allem Anfang an alleine aus, wogegen der Kindsvater sich heute in Thailand aufhält und an Beziehungen zu seinem Sohn bisher kein oder nur wenig Interesse gezeigt hat. Ein richterlicher oder vormundschaftsbehördlicher Entscheid über die Zuteilung bzw. den Entzug der Obhuts- und Sorgeberechtigung braucht unter den gegebenen Umständen nicht abgewartet zu werden, ansonsten der Fortgang des ausländerrechtlichen Verfahrens seitens der Eheleute nach Belieben hinausgezögert werden könnte.
Angesichts der Tatsache, dass der Kindsvater auf die Ausübung des an sich nach wie vor beiden Ehegatten und Elternteilen gemeinsam zustehenden Obhuts- und Sorgerechts offensichtlich keinen Wert legt bzw. faktisch darauf verzichtet, dürfte eine Übersiedelung der Beschwerdeführerin 2 zusammen mit ihrem Sohn ins Heimatland keine widerrechtliche Verbringung im Sinne von Art. 3 des Übereinkommens vom 25. Oktober 1980 über die zivilrechtlichen Aspekte internationaler Kindesentführung (SR 0.211.230.02) darstellen. Im Übrigen hat die zuständige Vormundschaftsbehörde offenbar namentlich mit Blick auf die Ungewissheit des Ausgangs der ausländerrechtlichen Bewilligungssache auf Kindesschutzmassnahmen verzichtet (S. 11 unten des angefochtenen Urteils).
2.4.2 Entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin 2 wird das Kind durch den angefochtenen Entscheid nicht aus der Schweiz "weggewiesen" (S. 10 f. der Beschwerde). Sein Recht, hier zu bleiben oder jederzeit in die Schweiz zurückzukehren, bleibt unangetastet. Die Niederlassungsfreiheit (Art. 24 BV) ist lediglich insoweit eingeschränkt, als bei einem unmündigen Kind die Eltern bzw. der mit der elterlichen Sorge betraute Elternteil über Niederlassung, Ein- oder Ausreise zu entscheiden haben (vgl. Art. 301 Abs. 3 ZGB), was verfassungsrechtlich zulässig ist (vgl. Urteil 2C_31/2007 vom 27. Juli 2007, E. 2.5). Wohl wird der künftige Lebensweg des Beschwerdeführers 1, insbesondere was die mögliche Ausbildung und die Beziehung zum Vater anbetrifft, durch die Wegweisung der Mutter, welche die Obhut über ihn allein wahrnimmt, faktisch beeinflusst. Dies ist aber vorab die schicksalhafte Folge des Verhaltens seiner Eltern sowie der damit verbundenen Aufhebung bzw. Nichtexistenz einer Familiengemeinschaft. Der Anspruch auf Grundschulunterricht (Art. 19 BV) gilt für Kinder (jeglicher Nationalität), die sich in der Schweiz aufhalten, schützt aber nicht vor ausländerrechtlichen Anordnungen und daraus folgenden, direkten oder indirekten Auswirkungen.
2.4.3 Auch die Möglichkeit des Kindes, bei Trennung der Eltern den Kontakt zum nicht mit der Obhut betrauten anderen Elternteil aufrecht zu erhalten, hängt weitgehend von den faktischen Verhältnissen, d.h. insbesondere von der (freien) Wohnsitzwahl der beiden Elternteile ab. Der obhutsberechtigte ausländische Elternteil kann seinerseits nur unter ganz besonderen Voraussetzungen ein dauerndes Aufenthaltsrecht beanspruchen, um dem ihm zugewiesenen Kind die Ausübung des Besuchsrechtes gegenüber dem hier fest anwesenheitsberechtigten anderen Elternteil zu ermöglichen oder zu erleichtern. Erforderlich ist einerseits eine besondere Intensität der Beziehung zwischen dem hier anwesenden besuchsberechtigten Elternteil und dem Kind in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht, andererseits ein tadelloses Verhalten des obhutsberechtigten Elternteils, welcher um Bewilligung ersucht (vgl. zu dieser Konstellation das Urteil 2A.508/2005 vom 16. September 2005, E. 2.2.3 letzter Absatz, mit Hinweisen; ferner: Urteile 2C_185/2007 vom 12. Juni 2007, E. 3.3.4, sowie 2A.562/2006 vom 16. Februar 2005, E. 3.4.1). Diese Voraussetzungen sind hier, wie im angefochtenen Entscheid zutreffend angenommen, nicht gegeben. Der Vater des Kindes hat die Schweiz im Juli 2006 verlassen und lebt seither in Thailand. Regelmässige persönliche Kontakte zwischen ihm und seinem Sohn fanden nicht statt. Im Gegenteil soll es im April/Mai 2007, als der Vater einige Tage in der Schweiz weilte und dabei auch seinen Sohn besuchte, zu Vorkommnissen gekommen sein, welche auf ein "gestörtes und gewaltzentriertes Verhältnis" schliessen lassen. Es gebricht mithin vorliegend bereits an der Voraussetzung einer besonders engen affektiven Beziehung zwischen Vater und Sohn. Im Übrigen fehlen auch Hinweise darauf, dass der Vater Beiträge an den Unterhalt des Kindes leistet. Nichts anderes ergibt sich in diesem Zusammenhang aus der in der Beschwerde ebenfalls angerufenen Bestimmung von Art. 10 Abs. 2 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (SR 0.107), wonach ein Kind, dessen Eltern ihren Aufenthalt in verschiedenen Staaten haben, das Recht hat, regelmässige persönliche Beziehungen und unmittelbare Kontakte zu beiden Elternteilen zu pflegen, soweit nicht aussergewöhnliche Umstände vorliegen.
2.4.4 Die von den Beschwerdeführern ins Feld geführte Beziehung des Kindes zu seiner Patin, bei welcher es während der Woche lebt, während die Beschwerdeführerin 2 erwerbstätig ist, mag eine gewisse Bedeutung haben, doch handelt es sich nicht um eine durch Art. 8 EMRK geschützte familiäre Beziehung. Wenn die kantonalen Behörden diesem Aspekt keine Bedeutung beimassen und entsprechende Abklärungen unterliessen, liegt hierin weder eine Gehörsverletzung noch ein Verstoss gegen Bundesrecht oder gegen staatsvertragliche Garantien.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Entsprechend dem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt, unter solidarischer Haftung.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Fremdenpolizei der Stadt Biel, der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Mai 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Moser