Faits:
Faits:
A. A.a Lors d'un cours de répétition accompli en octobre 1988, P._, né en 1961, contracta une trachéo-bronchite, avec toux spastique. Depuis cette époque, il souffre d'un asthme bronchique, ainsi que d'une pathologie oto-rhino-laryngologique et respiratoire devenue chronique (en particulier de rhinite congestive et de pharyngite). Ces atteintes l'ont rendu à plusieurs reprises partiellement ou totalement inapte au travail. Son cas fut pris en charge par l'assurance militaire.
Le 25 février 1999, il subit une conchotomie (cautérisation) des deux cornets nasaux moyen et inférieur avec méatotomie bilatérale visant à élargir le méat du sinus maxillaire des deux côtés. Le lendemain de cette opération, il se plaignit d'importantes douleurs au niveau des maxillaires supérieurs. En raison de la persistance de cette symptomatologie, il fut adressé, entre autres médecins, à trois spécialistes en oto-rhino-laryngologie (ORL), les docteurs M._, du service ORL et de chirurgie cervico-faciale du Centre hospitalier X._, W._, médecin à la Clinique Y._, et A._, médecin à U._.
Se fondant notamment sur les avis de ces médecins, l'Office fédéral de l'assurance-militaire (ci-après : OFAM) avisa P._ que le syndrome douloureux n'était pas en relation avec l'affection ORL et qu'il serait mis fin au versement des indemnités journalières le 30 juin 2000 (lettre du 16 mai 2000).
Par écriture du 31 mai 2000, l'assuré s'opposa à ce refus. L'OFAM versa au dossier, notamment, un nouvel avis du docteur M._, ainsi qu'une appréciation du docteur R._, médecin-chef du service d'anesthésiologie et antalgie de l'Hôpital Z._ (rapports des 13 et 20 novembre 2000). Par ailleurs, il confia deux expertises, l'une au docteur H._, spécialiste ORL à l'Hôpital V._ et l'autre au docteur T._, spécialiste en neurologie à la policlinique neurologique du même établissement hospitalier.
P._ s'étant plaint dans l'intervalle d'un déni de justice au Département fédéral de l'intérieur pour obtenir la reprise du versement des indemnités journalières, l'OFAM se vit enjoindre par cette autorité, (le 13 décembre 2001) de statuer jusqu'au 31 janvier 2002 sur la demande de l'intéressé. Par décision du 30 janvier 2002, l'OFAM refusa derechef toute prestation, dès le 1er juillet 2000, au motif que le syndrome douloureux présenté par l'intéressé n'était pas en relation avec l'opération assurée. Il accorda par ailleurs l'assistance juridique gratuite à l'assuré.
A.b Par acte du 22 février 2002, P._ fit opposition à la décision précitée. Alléguant que l'instruction n'était pas terminée lorsque l'OFAM a statué, il conclut à l'annulation de la décision incriminée, à l'octroi des prestations requises après le dépôt des deux expertises et à la mise en oeuvre d'une décision incidente relative à la prise en charge du syndrome douloureux jusqu'à la fin de la procédure. Entre-temps, le docteur T._ rendit son expertise le 31 janvier 2002.
Par décision incidente du 27 mars 2002, l'OFAM suspendit la procédure d'opposition jusqu'à réception de l'expertise du docteur H._ et déclara au surplus irrecevable la requête du 22 février 2002.
Le 16 avril 2002, le docteur H._ communiqua son expertise. En outre, les deux experts répondirent à des questions complémentaires (le 1er mai 2002 pour le spécialiste ORL et le 6 août 2002 pour le spécialiste en neurologie).
A.c Le 5 juillet 2002, P._ sollicita le retrait du dossier du rapport du docteur H._ et la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise, au motif que ce médecin s'était entretenu à plusieurs reprises avec le docteur N._, médecin-conseil de l'OFAM. Par la suite, il produisit une lettre du 24 septembre 2002 de la doctoresse G._, alors assistante en neurologie à l'Hôpital V._.
Le 9 janvier 2003, il déposa une plainte contre le docteur N._ auprès de la direction de l'OFAM, alléguant que ce médecin avait influencé l'expert H._ et qu'il était partial et incompétent. Cette plainte fut écartée par le directeur de l'OFAM le 9 avril 2003.
Par décision du 8 mai 2003, l'OFAM rejeta l'opposition, aux motifs que le grief de prévention était mal fondé (sinon tardif) et qu'il n'existait aucun lien de causalité entre le syndrome douloureux et l'opération du 25 février 1999.
Par décision du 8 mai 2003, l'OFAM rejeta l'opposition, aux motifs que le grief de prévention était mal fondé (sinon tardif) et qu'il n'existait aucun lien de causalité entre le syndrome douloureux et l'opération du 25 février 1999.
B. Saisi d'un recours de P._ contre cette décision, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel l'a rejeté par jugement du 25 mai 2004.
B. Saisi d'un recours de P._ contre cette décision, le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel l'a rejeté par jugement du 25 mai 2004.
C. P._ interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation, sous suite de dépens. Il conclut, principalement, à la prise en charge par l'assurance militaire du syndrome douloureux dont il souffre depuis février 1999. A titre subsidiaire, il demande la mise en oeuvre préalable d'une surexpertise à la charge de l'assurance militaire et réitère sa conclusion principale. Il sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite.
L'OFAM, compétent pour la gestion de l'assurance militaire jusqu'au 30 juin 2005 (depuis le 1er juillet 2005 : la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents), a conclu au rejet du recours.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Est litigieuse la responsabilité de l'assurance militaire pour les suites de l'opération du 25 février 1999.
1. Est litigieuse la responsabilité de l'assurance militaire pour les suites de l'opération du 25 février 1999.
2. A l'appui de sa requête de contre-expertise, le recourant renouvelle le grief de partialité qu'il a précédemment soulevé à l'encontre du docteur H._. Il reproche en particulier à ce médecin de s'être entretenu à plusieurs reprises avec le médecin-conseil de l'OFAM et demande que le rapport de cet expert soit écarté du dossier.
Selon la jurisprudence relative aux art. 29 al. 1 Cst., 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH, les parties à une procédure ont le droit d'exiger la récusation d'un expert dont la situation ou le comportement sont de nature à faire naître un doute sur son impartialité. Cette garantie tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas de récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie, car une disposition interne de l'expert ne peut guère être prouvée; il suffit que des circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale. Seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (ATF 127 I 198 consid. 2b, 126 I 73 consid. 3a, 169 consid. 2a, 125 II 544 consid. 4a, 120 V 364 consid. 3a).
Avec les premiers juges, il convient d'admettre que les griefs que le recourant soulève à l'encontre de l'expert H._, qui n'est au demeurant pas lié à l'assurance militaire, ne sont nullement objectivés (cf. consid. 3b du jugement attaqué). C'est dire que ces griefs, qui constituent de simples allégués, ne sauraient à eux seuls justifier a posteriori la récusation de l'expert. Le fait que l'expert s'est entretenu avec le docteur N._ - dans les circonstances évoquées par la juridiction cantonale - n'est en soi pas suffisant pour admettre un motif de prévention.
Avec les premiers juges, il convient d'admettre que les griefs que le recourant soulève à l'encontre de l'expert H._, qui n'est au demeurant pas lié à l'assurance militaire, ne sont nullement objectivés (cf. consid. 3b du jugement attaqué). C'est dire que ces griefs, qui constituent de simples allégués, ne sauraient à eux seuls justifier a posteriori la récusation de l'expert. Le fait que l'expert s'est entretenu avec le docteur N._ - dans les circonstances évoquées par la juridiction cantonale - n'est en soi pas suffisant pour admettre un motif de prévention.
3. En vertu de l'art. 18 al. 6 LAM, l'assurance supporte le risque de toutes les mesures médicales. Selon la jurisprudence, cette disposition institue une responsabilité sui generis pour toutes les mesures médicales ou thérapeutiques en rapport avec l'atteinte assurée, qu'elles aient ou non été ordonnées par l'assurance militaire, ayant des effets indésirables pour une raison quelconque. L'art. 18 al. 6 LAM impose l'existence d'un lien de causalité naturelle et adéquate (le cas échéant) entre les séquelles invoquées et l'événement assuré. La question de la causalité naturelle, quant à elle, s'apprécie au regard du principe général de vraisemblance prépondérante applicable en matière d'assurance militaire également (ATF 122 V 32 et sv. consid. 2/bb; voir aussi Maeschi, Kommentar zum Bundesgesetz über die Militärversicherung, [MVG] vom 19. Juni 1992, Berne 2000, n. 38 ss ad art 18). En d'autres termes, l'assurance militaire supporte le risque de mesures médicales uniquement s'il est établi au degré de vraisemblance prépondérante que les atteintes invoquées par l'assuré sont en relation de causalité avec ces mesures.
Le seul fait que des symptômes douloureux ne se sont manifestés qu'après la survenance d'un événement ne suffit pas à établir un rapport de causalité avec celui-là (raisonnement «post hoc, ergo propter hoc»; cf. ATF 119 V 341 sv. consid. 2b/bb; RAMA 1999 no U 341 p. 408 sv. consid. 3b). Il convient en principe d'en rechercher l'étiologie et de vérifier, sur cette base, l'existence du rapport de causalité avec l'événement assuré.
Le seul fait que des symptômes douloureux ne se sont manifestés qu'après la survenance d'un événement ne suffit pas à établir un rapport de causalité avec celui-là (raisonnement «post hoc, ergo propter hoc»; cf. ATF 119 V 341 sv. consid. 2b/bb; RAMA 1999 no U 341 p. 408 sv. consid. 3b). Il convient en principe d'en rechercher l'étiologie et de vérifier, sur cette base, l'existence du rapport de causalité avec l'événement assuré.
4. Le recourant allègue en substance que lorsqu'un syndrome douloureux apparaît après une intervention chirurgicale, il suffirait de démontrer l'existence d'un simple lien temporel pour engager la responsabilité de l'assurance militaire. Autrement dit, il conviendrait dans un premier temps de prendre en considération la présomption de l'homme selon laquelle l'atteinte est liée à l'opération et dans un deuxième temps de rechercher s'il existe des circonstances propres à renverser cette présomption.
Ce point de vue ne saurait être suivi, dès lors qu'il ne se concilie pas avec les règles régissant la responsabilité de l'assurance militaire ci-dessus exposées (cf. consid. 3), auxquelles s'est correctement tenue la juridiction cantonale. Ainsi que le relève l'OFAM, la thèse du recourant revient à présumer l'existence d'un lien de causalité en se basant sur l'expérience de la vie, à savoir en examinant la question de la causalité adéquate, puis à imposer à l'assurance d'apporter la preuve de l'existence de circonstances permettant de renverser cette présomption. De fait, le recourant applique la méthode inverse de celle qui est utilisée pour examiner l'existence d'un lien de causalité. Ce mode de procéder aurait pour effet d'appliquer à l'art. 18 al. 6 LAM, contre la volonté du législateur, la présomption de la responsabilité prévue par l'art. 5 LAM pour les affections constatées et annoncées pendant le service. Accepter l'argumentation du recourant dans le domaine de l'art. 18 al. 6 LAM reviendrait en définitive à appliquer le principe « in dubio pro assicurato ». Or, il n'existe pas en droit des assurances sociales un principe selon lequel l'administration ou le juge devrait statuer, dans le doute, en faveur de l'assuré (cf. ATF 126 V 322 consid. 5a).
Ce point de vue ne saurait être suivi, dès lors qu'il ne se concilie pas avec les règles régissant la responsabilité de l'assurance militaire ci-dessus exposées (cf. consid. 3), auxquelles s'est correctement tenue la juridiction cantonale. Ainsi que le relève l'OFAM, la thèse du recourant revient à présumer l'existence d'un lien de causalité en se basant sur l'expérience de la vie, à savoir en examinant la question de la causalité adéquate, puis à imposer à l'assurance d'apporter la preuve de l'existence de circonstances permettant de renverser cette présomption. De fait, le recourant applique la méthode inverse de celle qui est utilisée pour examiner l'existence d'un lien de causalité. Ce mode de procéder aurait pour effet d'appliquer à l'art. 18 al. 6 LAM, contre la volonté du législateur, la présomption de la responsabilité prévue par l'art. 5 LAM pour les affections constatées et annoncées pendant le service. Accepter l'argumentation du recourant dans le domaine de l'art. 18 al. 6 LAM reviendrait en définitive à appliquer le principe « in dubio pro assicurato ». Or, il n'existe pas en droit des assurances sociales un principe selon lequel l'administration ou le juge devrait statuer, dans le doute, en faveur de l'assuré (cf. ATF 126 V 322 consid. 5a).
5. 5.1 Le recourant fait également grief aux premiers juges de s'être fondés sur les expertises des docteurs T._ et H._. Comme en procédure cantonale, il invoque les graves lacunes de l'expertise neurologique et le manque de diligence du spécialiste ORL. Par ailleurs, il reproche aux experts de ne pas s'être appuyés sur la littérature médicale.
5.2 En l'occurrence, les points litigieux ont fait l'objet d'une étude circonstanciée de la part des deux experts et leurs rapports se fondent sur des examens complets; ils ont été établis en pleine connaissance de l'anamnèse; la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale sont claires. Enfin les conclusions des deux experts sont dûment motivées. En d'autres termes, les rapports d'expertise des 31 janvier 2002 et 16 avril 2002 ainsi que leur complément des 1er mai 2002 (docteur H._) et 6 août 2002 (docteur T._) remplissent toutes les conditions auxquelles la jurisprudence soumet la valeur probante de tels documents (cf. ATF 125 V 352 consid. 3a et la référence).
5.2 En l'occurrence, les points litigieux ont fait l'objet d'une étude circonstanciée de la part des deux experts et leurs rapports se fondent sur des examens complets; ils ont été établis en pleine connaissance de l'anamnèse; la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale sont claires. Enfin les conclusions des deux experts sont dûment motivées. En d'autres termes, les rapports d'expertise des 31 janvier 2002 et 16 avril 2002 ainsi que leur complément des 1er mai 2002 (docteur H._) et 6 août 2002 (docteur T._) remplissent toutes les conditions auxquelles la jurisprudence soumet la valeur probante de tels documents (cf. ATF 125 V 352 consid. 3a et la référence).
6. 6.1 Dans son rapport du 31 janvier 2002, le docteur T._, pose le diagnostic de syndrome douloureux non neurogène et de status après conchotomie et méatotomie sur sinusites récidivantes. Il précise que lors d'une lésion du ganglion de ptérygo-palatin, le patient présente, en plus, une réduction de la sécrétion lacrymale (non constatée en l'espèce). Il déclare qu'une chonchotomie et une méatotomie pratiquées dans les règles de l'art ne peuvent causer une lésion d'une branche majeure du nerf maxillaire et que les lésions de petites branches terminales provoquées par une cautérisation ne peuvent pas entraîner une problématique douloureuse persistante. Il conclut à l'absence d'indice permettant de retenir l'existence de symptômes neurologiques ou séquelles de l'affection ORL ou de l'intervention ORL. Il considère que d'un point de vue neurologique, les douleurs sont inexplicables et ne peuvent être mises en relation avec l'opération du 25 février 1999. Il indique que la probabilité de l'existence d'un lien de causalité entre le syndrome douloureux et l'opération n'atteint même pas le degré de preuve de la possibilité.
6.2 Les griefs du recourant tirés de l'absence à la fois de références à la littérature, d'étiologie différentielle et de prise en compte d'une diminution de la sécrétion lacrymale/transpiration accrue au niveau de la tête doivent être écartés pour les motifs pertinents retenus par la juridiction cantonale (cf. consid. 4b du jugement entrepris). Il en va de même du grief d'imprécision de diagnostic. A cet égard, contrairement à ce que prétend le recourant, le diagnostic d'algie faciale atypique posé par la doctoresse G._, proche de l'intéressé, n'est guère plus précis. Par ailleurs, le recourant s'en prend, pour la première fois, à la déclaration du docteur T._, selon laquelle l'expert n'a, à son souvenir, pas rencontré au cours des douze dernières années un patient souffrant d'un syndrome douloureux chronique à la suite d'une opération des sinus comparable à celle de l'intéressé (réponses aux questions complémentaires du 6 août 2002). Il lui oppose la table des matières d'un cours sur la névralgie trigéminale donné à l'Université de Zurich au semestre d'hiver 2001-2002 - document produit sous forme de recherche sur internet attestée par notaire - qu'il interprète en ce sens qu'une opération des sinus peut engendrer une névralgie trigéminale. Or, ce document ne saurait porter atteinte à la crédibilité des propos de l'expert, pour le motif qu'il ne concerne en rien le recourant. Ainsi que l'explique l'OFAM, de manière convaincante, la névralgie trigéminale post-opératoire évoquée par le recourant est consécutive à une lésion du nerf trijumeau, lequel est situé beaucoup plus haut que le nerf maxillaire (à l'intérieur de la boîte crânienne). Il est exclu que lors d'une méatotomie pratiquée à l'intérieur du nez, au niveau des cornets nasaux, l'opérateur lèse un nerf situé dans le cerveau, sans avoir effectué un geste chirurgical à cet endroit.
6.3 Dans son rapport d'expertise du 16 avril 2002, le docteur H._ conclut à l'existence d'un syndrome douloureux chronique bilatéral au niveau de la tête, d'origine inconnue. D'un point de vue clinique, il estime qu'aucun indice objectif n'explique ce syndrome et qu'il n'y a pas davantage d'indice d'une mauvaise exécution de l'intervention chirurgicale techniquement simple. L'expert précise qu'une lésion nerveuse après une opération, telle celle que le recourant a subie, n'est pas décrite dans la littérature médicale existante et qu'il n'en a jamais rencontrée, ni dans son expérience professionnelle, ni dans celle d'autres spécialistes ORL questionnés à ce sujet. En outre, dans ses réponses aux questions complémentaires, l'expert déclare que la persistance des douleurs faciales bilatérales après quelques semaines ne peut pas être imputée à l'intervention. Il ajoute qu'après des traumatismes non spécifiques, il arrive que des douleurs faciales essentielles apparaissent, sans origine explicable. Il constate qu'il est encore plus fréquent que de telles douleurs se manifestent spontanément, sans cause apparente et sans qu'il soit possible de reconstituer par la suite le processus de causalité. Il estime tout à fait possible qu'une algie faciale essentielle ait pu se développer chez le patient (même) sans l'intervention nasale banale du 25 février 1999. Il conclut à une simple relation temporelle entre le syndrome douloureux et l'intervention nasale, mais à l'absence de tout lien de causalité.
6.4 Le grief du recourant tiré l'absence de références à des publications scientifiques doit à nouveau être écarté pour le motifs exposés par les premiers juges (cf. consid. 4b et 4c du jugement cantonal). Par ailleurs, le recourant invoque également le manque de diligence de l'expert. Se prévalant d'un article d'une revue médicale versé au dossier de la procédure cantonale, il reproche à l'expert de ne pas l'avoir discuté. Or l'article en question concerne la lésion du nerf sphéno-palatin dont le diagnostic n'a été sérieusement retenu par aucun spécialiste. Dans un premier temps, le docteur R._, anesthésiologiste, consulté à titre privé par le recourant, a évoqué l'origine neurogène des douleurs (rapports des 17 août 1999 et 3 avril 2002). Cependant ce point de vue a été infirmé sans ambiguïté par un spécialiste de la branche, le docteur E._, neurologue auquel le docteur R._ avait adressé entre-temps son patient. Dans un rapport du 10 janvier 2002, le docteur E._ a en effet écarté l'hypothèse d'une atteinte au ganglion sphéno-palalatin, faute de symptômes neurovégétatifs dans ce sens et en raison du caractère bilatéral de l'atteinte.
6.5 Le recourant fait grief à la juridiction cantonale de n'avoir pas examiné les arguments médicaux contraires et d'avoir statué en dépit de leur existence. Contrairement à ce que semble croire le recourant, le juge statue en matière de fait au regard de la vraisemblance prépondérante (cf. consid. 4 supra). Par ailleurs, ainsi que le relève l'OFAM, les considérations que la juridiction cantonale a émises au sujet des avis médicaux divergents démontrent qu'elle a examiné avec sérieux les appréciations produites par le recourant et qu'elle s'est interrogée sur leur portée réelle au regard de la spécialisation des différents médecins, des circonstances dans lesquelles ces rapports ont été demandés, des examens auxquels le recourant a été soumis, des qualités personnelles et de l'expérience du médecin consulté, de son indépendance ou non à l'égard de l'intéressé. Elle s'est en particulier interrogée sur la valeur de l'appréciation de la doctoresse G._(rapport du 24 septembre 2002, complété le 17 février 2004), au regard des liens de proximité qu'elle entretient avec le recourant et sur la valeur des déclarations peu rigoureuses du 2 juin 2003 du docteur I._. Après avoir examiné l'ensemble des pièces médicales, la juridiction cantonale a considéré, à juste titre, que pour les experts et pour la majorité des spécialistes, le recourant souffre d'un syndrome algique dont l'origine n'est pas explicable objectivement et que l'existence d'un lien temporel avec l'intervention pratiquée dans les règles de l'art est seulement possible, ce qui est insuffisant au regard de la règle de vraisemblance prépondérante.
Dans ces conditions, les pièces médicales versées au dossier permettent de statuer en pleine connaissance de cause sur le présent litige, si bien que la mise en oeuvre d'une surexpertise s'avérait superflue. A l'instar de la Cour de céans, les premiers juges pouvaient s'en dispenser par appréciation anticipée des preuves (cf. ATF 122 II 469 consid. 4a, 122 III 223 consid. 3c).
Il résulte de ce qui précède que le recours est mal fondé.
Il résulte de ce qui précède que le recours est mal fondé.
7. 7.1 S'agissant d'un litige qui concerne l'octroi ou le refus de prestations d'assurance, la procédure est en principe gratuite (art. 134 OJ). Dans la mesure où elle vise à la dispense des frais de justice, la demande d'assistance judiciaire est dès lors sans objet.
7.2 Selon la loi (art. 152 OJ) et la jurisprudence, les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite sont en principe remplies si les conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec, si le requérant est dans le besoin et si l'assistance d'un avocat est nécessaire ou du moins indiquée (ATF 125 V 202 consid. 4a, 372 consid. 5b et les références).
Une partie est dans le besoin, au sens de l'art. 152 al. 1 OJ, lorsqu'elle n'est pas en état de supporter les frais de procédure sans entamer les moyens nécessaires à son entretien et à celui de sa famille (ATF 128 I 232 consid. 2.5.1, 127 I 205 consid. 3b, 125 IV 164 consid. 4a). Sont déterminantes les circonstances économiques existant au moment de la décision sur la requête d'assistance judiciaire (ATF 108 V 269 consid. 4).
Sur le vu des pièces produites, le recourant disposait selon la taxation fiscale provisoire 2002 d'une fortune, principalement immobilière, imposable nette de 333'000 fr. certifiée par le service des contributions de la ville de Neuchâtel. Il n'y a pas de raison de penser que la situation se soit modifiée depuis lors. Cette fortune nette à disposition lui permet, le cas échéant, d'obtenir un prêt garanti par l'immeuble (cf. ATF 119 Ia 11). Dans ces circonstances, on doit admettre que le recourant dispose de ressources suffisantes pour supporter les honoraires de son avocat pour la procédure fédérale. La demande d'assistance judiciaire doit dès lors être rejetée.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties et au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 31 octobre 2005
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
p. le Président de la IIe Chambre: La Greffière: