Sachverhalt:
A. V._ (geb. 1962) meldete sich im November 2003 wegen der Folgen einer HWS-Distorsion (Auffahrunfall vom 24. April 2000) und einer koronaren Herzkrankheit bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Solothurn klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab. Dazu holte sie unter anderem bei der Medizinischen Abklärungsstelle der Invalidenversicherung (MEDAS) am Spital X._ ein polydisziplinäres Gutachten (erstellt am 18. Juli 2006) ein und zog die Akten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) bei, welche eine Leistungspflicht mangels Versicherteneigenschaft der V._ rechtskräftig verneint hatte (Einspracheentscheid vom 5. Dezember 2003, bestätigt mit Entscheid des Versicherungsgerichtes des Kantons Solothurn vom 11. April 2005). Des Weitern nahm sie den von der Versicherten im Rahmen des Vorbescheidverfahrens eingereichten, sich mit dem MEDAS-Gutachten vom 18. Juli 2006 auseinandersetzenden Bericht des Instituts Y._ vom 21. November 2006 zu den Akten, welchen sie der MEDAS zur Stellungnahme unterbreitete (Berichte der am Gutachten beteiligten Ärzte vom 19., 21. und 23. Februar sowie 14. März 2007). Mit Verfügung vom 28. Mai 2007 verneinte die IV-Stelle einen Anspruch auf berufliche Massnahmen und eine Invalidenrente.
B. V._ liess hiegegen Beschwerde erheben mit dem Antrag auf Aufhebung der Verfügung. Die IV-Stelle sei zu verpflichten, ihr die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Es sei ein interdisziplinäres medizinisches und ein das funktionelle Leistungsvermögen ermittelndes Gutachten einzuholen. Mit Entscheid vom 20. Mai 2008 wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde ab.
C. In ihrer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt V._ die Aufhebung des kantonalen Entscheides beantragen und ihr im vorinstanzlichen Verfahren gestelltes Rechtsbegehren erneuern.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 132 V 393 zur auch unter der Herrschaft des BGG gültigen Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen im Bereich der Invaliditätsbemessung [Art. 16 ATSG] für die Ermittlung des Invaliditätsgrades nach Art. 28 Abs. 1 IVG). Noven sind unzulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin Anspruch auf Leistungen der Invalidenversicherung (Rente, berufliche Massnahmen) hat, und in diesem Zusammenhang namentlich die Frage, ob der medizinische Sachverhalt genügend abgeklärt ist.
2.1 Die Vorinstanz gelangte, insbesondere gestützt auf das MEDAS-Gutachten des Spitals X._ vom 18. Juli 2006 und unter Berücksichtigung der dasselbe kritisierenden Stellungnahme des Instituts Y._ vom 21. November 2006, zum Ergebnis, dass die Beschwerdeführerin für körperlich leichte Arbeiten, insbesondere für eine Bürotätigkeit, wie sie sie im Betrieb des Ehemannes ausübe, vollständig arbeitsfähig sei.
2.2 Entgegen der in der Beschwerde geäusserten Auffassung ist diese Sachverhaltsfeststellung weder offensichtlich unrichtig noch beruht sie auf einer qualifiziert unrichtigen oder gar willkürlichen Beweiswürdigung. Namentlich hat bereits das kantonale Gericht einlässlich dargetan, weshalb die Kritik des Instituts Y._ vom 21. November 2006 den Beweiswert des MEDAS-Gutachtens vom 18. Juli 2006 nicht zu schmälern vermag. Soweit in der Beschwerde gerügt wird, die Experten der MEDAS hätten sich nicht explizit mit den Vorakten, welche sie zudem in unübersichtlicher Weise zusammengefasst hätten, auseinandergesetzt, sei darauf hingewiesen, dass dies von der Rechtsprechung auch nicht verlangt wird. Vielmehr ist in diesem Zusammenhang nur - aber immerhin - erforderlich, dass das Gutachten in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben wurde (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352). Es ist daher auch nicht von Belang, dass die Vorakten teilweise ohne Angaben zum Inhalt nur aufgelistet wurden, wie in der Beschwerde kritisiert wird. Sodann wird weder geltend gemacht noch ist sonst ersichtlich, dass ein Haupt- oder Teilgutachter ein relevantes medizinisches Aktenstück übersehen hätte. Unzutreffend ist des Weitern die Behauptung, dass die Teilgutachter nur über die Aktenzusammenfassung verfügt oder die Akten jedenfalls nicht konsultiert hätten (vgl. internistisches Teilgutachten vom 16. Juni 2006 und Stellungnahme der MEDAS vom 19. Februar 2007). Unbegründet sind auch die an der Interdisziplinarität der MEDAS-Begutachtung geäusserten Zweifel; dass den beigezogenen Fachärzten bereits vor ihrer eigenen Stellungnahme ein Entwurf des Hauptgutachtens zur Verfügung gestellt worden ist, wie die Beschwerdeführerin geltend macht, gibt zu keinen Beanstandungen Anlass, soweit die Beurteilungsgrundlage für die betreffenden Teilgutachter dadurch nicht unvollständig ist (vgl. auch Urteil 9C_531/2007 vom 3. Juni 2008 E. 2.2.2). Letztes ist hier offensichtlich nicht der Fall, nachdem sich die psychiatrische und die internistische Teilgutachterin ebenso wie der neurologische Teilgutachter auf eigene Untersuchungen gestützt haben.
2.3 Da nach dem Gesagten der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt nach beweisrechtlichen Gesichtspunkten hinlänglich abgestützt ist, entfällt die Notwendigkeit der in der Beschwerde beantragten weiteren Begutachtungen. Sind die vorinstanzlichen Feststellungen zur Arbeitsfähigkeit der Beschwerdeführerin für das Bundesgericht mithin verbindlich (E. 1), ist die im angefochtenen Entscheid bestätigte Verneinung eines Leistungsanspruchs bundesrechtskonform.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. März 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann