Erwägungen:
1. 1.1 Mit Verfügung vom 14. Januar 2008 entzog das Bauinspektorat Basel-Stadt die Bewilligung, die es X._ im Mai 2005 zur Führung des Restaurants "E._" in Basel erteilt hatte. Zur Begründung wies es auf das über X._ eröffnete Konkursverfahren hin, das am 5. Juli 2007 mangels Aktiven eingestellt worden war. Auch bestünden zehn offene Verlustscheine im Betrage von Fr. 83'522.85, die im Zeitraum von Oktober 2006 bis März 2007 ausgestellt worden seien. Die von X._ gegen den Entzug der Betriebsbewilligung im Kanton erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos.
1.2 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 28. September 2009 beantragt X._ dem Bundesgericht, das in dieser Sache zuletzt ergangene, ihr am 27. August 2009 zugestellte Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 9. Juni 2009 aufzuheben. Die Angelegenheit sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
1.3 Das kantonale Bauinspektorat hat sich nicht vernehmen lassen. Das Bau- und Verkehrsdepartement des Kantons Basel-Stadt beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten sei. Das Appellationsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
1.4 Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde am 28. Oktober 2009 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
2. 2.1 Dem Gesetz des Kantons Basel-Stadt vom 15. September 2004 über das Gastgewerbe (Gastgewerbegesetz, GGG/BS) zufolge bedarf derjenige, der einen Betrieb zur entgeltlichen Abgabe von Speisen und Getränken zum Konsum an Ort und Stelle führen will, einer Bewilligung (vgl. §§ 2 und 4 GGG/BS). Diese wird nach § 28 Abs. 1 lit. b GGG/BS wieder entzogen, wenn die gesetzlichen Voraussetzungen, unter denen sie erteilt wurde, nicht mehr gegeben sind. Eine Bewilligung erhalten gemäss § 17 GGG/BS nur Personen, die handlungsfähig sind, einen guten Leumund haben und für eine einwandfreie sowie ordentliche Betriebs- und Geschäftsführung Gewähr bieten. Gemäss § 21 Abs. 1 lit. c GGG/BS wird die Bewilligung nicht erteilt an Personen, deren Konkursverfahren in den letzten fünf Jahren mangels Aktiven eingestellt werden musste, oder gegen die im gleichen Zeitraum infolge Konkurses oder fruchtloser Pfändung Verlustscheine ausgestellt wurden, wenn die verurkundeten Forderungen nicht untergegangen sind. Absatz 2 dieser Bestimmung zufolge sind in "begründeten Fällen [...] Ausnahmen möglich".
2.2 Die Beschwerdeführerin räumt ausdrücklich ein, dass sie den Entzugsgrund nach § 28 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit § 21 Abs. 1 lit. c GGG/BS erfüllt. Sie beanstandet hingegen, dass die Vorinstanzen bei ihr nicht eine Ausnahmesituation im Sinne von § 28 Abs. 2 GGG/BS angenommen haben.
2.3 Die Rüge der falschen Auslegung von kantonalem Recht kann vor Bundesgericht nicht als solche erhoben werden. Hingegen ist es möglich, geltend zu machen, dass bei der Anwendung von kantonalen Normen Bundesrecht, namentlich das von der Beschwerdeführerin angerufene Willkürverbot nach Art. 9 BV, verletzt wurde (vgl. Art. 95 BGG und BGE 134 II 349 E. 3 S. 351). Allerdings ist in der Beschwerdeschrift präzise aufzuzeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen das Bundesrecht verstösst (vgl. Art. 42 Abs. 2, 97 Abs. 1 und 106 Abs. 2 BGG; vgl. auch Hinweise in E. 2.5 hienach).
2.4 Der Vorinstanz zufolge dient § 28 Abs. 2 GGG/BS dazu, Härtefälle zu berücksichtigen. Das soll auf Konstellationen zutreffen, in denen ein Wirt unverschuldet in Konkurs geraten ist, ansonsten aber ausreichend Gewähr für eine ordentliche und einwandfreie Betriebsführung bietet. Das Appellationsgericht kommt zum Schluss, dass bei der Beschwerdeführerin keine derartige Ausnahmesituation gegeben ist. Sie habe ohne zureichenden Grund während längerer Zeit offenbar systematisch ihre Schulden nicht mehr bezahlt und ausserdem eingestanden, sich schlicht nicht um administrative Belange gekümmert zu haben.
2.5 Die Beschwerdeführerin meint sinngemäss, sie trage kein Verschulden an ihren finanziellen Problemen. Sie weist auf Streitigkeiten mit dem Vormieter des erwähnten Lokals hin, der sie "arglistig" getäuscht habe. Das Appellationsgericht gehe aus "unerklärlichen Gründen" auf die diesbezüglichen finanziellen Folgen nicht ein. Hierdurch verneine es in Verletzung des Willkürverbots das Vorliegen eines Härtefalls (vgl. allg. zum Willkürbegriff BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 148).
Das Appellationsgericht legt (in E. 3.2 des angefochtenen Entscheids) ausführlich und in nachvollziehbarer Weise dar, warum die Streitigkeiten mit dem Vormieter höchstens am Rande Einfluss auf die Nichterfüllung der finanziellen Verpflichtungen hatten. Hierauf geht die Beschwerdeführerin nicht ein. Sie meint bloss, der Umstand, dass sie bis April 2005 in einem anderen Restaurant gearbeitet habe, tue "nichts zur Sache". Warum das der Fall sein soll, erklärt sie allerdings nicht. Immerhin hat das Appellationsgericht damit ihre Behauptung widerlegt, sie sei seit Anfang des Jahres 2005 wegen den Problemen mit dem Vormieter ohne Einkommen gewesen, was ihren Angaben zufolge die Hauptursache gewesen sein soll, dass sie ihre Schulden in der Folge nicht mehr bezahlen konnte. Es ist entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin auch nicht zu beanstanden, dass das Appellationsgericht ihre Tätigkeit im anderen Restaurant berücksichtigt hat, da dieser Umstand aktenkundig war.
Will die Beschwerdeführerin willkürliche Rechtsanwendung oder Beweiswürdigung geltend machen, darf sie sich nicht mit appellatorischer Kritik begnügen. Sie muss vielmehr präzise darlegen, inwiefern der angefochtene Entscheid an einem qualifizierten Mangel leidet bzw. offensichtlich unhaltbar ist (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246, 349 E. 3 S. 351 f.; 133 II 249 E. 1.4 S. 254 f., 396 E. 3.2 S. 400, je mit Hinweisen). Das hat sie nicht getan. Auch der pauschale Verweis auf andere, bei den Akten liegende Dokumente - hier ein Schreiben der Beschwerdeführerin vom 15. Dezember 2007 - genügt nicht den Begründungsanforderungen für das bundesgerichtliche Verfahren (BGE 133 II 396 E. 3.2 S. 400; 131 III 384 E. 2.3 S. 387). Im Übrigen widerlegt das erwähnte Schreiben nicht die Darstellungen und Schlussfolgerungen der Vorinstanz. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin zu den Problemen mit dem Vormieter und den finanziellen Auswirkungen bleiben dort ebenfalls vage. Nach dem Dargelegten geht auch ihr nicht näher erläuterter Einwand fehl, die Vorinstanz blende geflissentlich Tatsachen aus bzw. würdige den Sachverhalt äusserst selektiv.
2.6 Die Beschwerdeführerin rügt, das Appellationsgericht habe den Zivilgerichtspräsidenten, der am 10. Oktober 2005 den von ihr mit dem Vormieter geschlossenen Vergleich protokolliert hatte, nicht einvernommen. Es ist fraglich, ob insoweit eine rechtsgenügliche Rüge erhoben wurde. Jedenfalls bemerkt die Vorinstanz zu Recht, dass der Zivilgerichtspräsident nichts zum schlechten Geschäftsgang während der Zeit nach Vergleichsabschluss sagen könnte. Dem widerspricht die Beschwerdeführerin übrigens nicht. Inwiefern ein entscheidender Bezug zwischen den Problemen mit dem Vormieter und den ihr nach Vergleichsabschluss angelasteten Vorfällen der Jahre 2006 und 2007 bestehen soll, hat sie nach dem in Erwägung 2.5 hievor Dargelegtem nicht ausgeführt. Deshalb geht auch diesbezüglich der Vorwurf der willkürlichen Anwendung von § 28 Abs. 2 GGG/BS fehl.
2.7 Die Beschwerdeführerin macht sodann geltend, seit dem Jahr 2007 habe eine kontinuierliche Amortisation der Schulden stattgefunden und sei "ausreichende Gewähr für eine ordentliche und einwandfreie Betriebsführung wiederhergestellt". Das Appellationsgericht hält demgegenüber fest, dass sich ihre Schulden bis August 2008 "inzwischen gar auf Fr. 95'000.-- belaufen", während ihr persönliches Einkommen bei knapp Fr. 2'000.-- pro Monat liegt. Dabei stützt es sich auf Unterlagen, welche die Beschwerdeführerin eingereicht hatte. Diese hat weder behauptet noch dargelegt, dass die von der Vorinstanz erwähnten Zahlen unzutreffend seien. Demnach ist nicht zu beanstanden, wenn das Appellationsgericht eine gute Entwicklung des Geschäfts der Beschwerdeführerin sowie eine entsprechend günstige Prognose verneint. Damit ist es ebenso wenig willkürlich, wenn der Beschwerdeführerin die Gewährung einer Ausnahme nach § 21 Abs. 2 GGG/BS verweigert wird.
2.8 Das Appellationsgericht bemerkt lediglich ergänzend, dass sich Zweifel an der Eignung der Beschwerdeführerin auch deshalb ergeben, weil sie monatelang die Entgegennahme amtlicher Post verweigerte bzw. eingeschriebene Post nicht abholte, was bei einem Wirt nicht angehe. Dieser Schluss ist nicht willkürlich. Die Beschwerdeführerin begnügt sich wiederum mit dem unsubstantiierten Einwand, es hätten "auch externe Gründe" bestanden, "dass amtliche Post nicht immer sofort ankam". Dass sie nach Entzug der Bewilligung bzw. seit Rechtshängigkeit der Rechtsmittelverfahren Sendungen wieder entgegennimmt, macht die frühere Weigerungshaltung im Übrigen nicht einfach ungeschehen.
3. 3.1 Dem Dargelegten zufolge erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden kann. Die Eingabe kann daher im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG behandelt werden unter ergänzendem Verweis auf das angefochtene Urteil.
3.2 Dem Ausgang entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen, welche mit Blick auf ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse reduziert werden (Art. 65 f. BGG). Ihr Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung muss abgewiesen werden, da ihr beim Bundesgericht eingereichtes Rechtsbegehren gemäss obigen Ausführungen keine ernsthaften Erfolgsaussichten besass (vgl. Art. 64 BGG; BGE 133 III 614 E. 5 S. 616). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Merz