Faits:
A. A.a Dès le printemps 2003, un litige a opposé A._ et B._, les deux associés de C._ SA. Dès le mois de février 2004, B._ a été conseillé et assisté par l'avocat X._.
Celui-ci a tenu une conférence de presse le 1er mars 2004. Dans l'édition du lendemain du quotidien Z._, Y._, directeur général de la société C._, a indiqué que les propos de X._ étaient "des conneries de A à Z".
A.b Au mois d'octobre 2004, B._, assisté d'un nouveau conseil, et A._ ont signé une convention mettant un terme à leur litige.
B. B.a Le 25 avril 2005, X._ a fait notifier à Y._ un commandement de payer la somme de 250'000 fr., mentionnant comme cause de l'obligation: "insulte, concurrence déloyale, atteinte à la personnalité (article de presse du 02.03.2004)".
B.b Par acte du 22 juillet 2005, Y._ a assigné X._ devant le Tribunal de première instance de Genève en constatation négative de droit et en protection de la personnalité. Par jugement du 4 avril 2007, le tribunal a, entre autres points, constaté que X._ n'était titulaire d'aucune créance en dommages-intérêts découlant des déclarations de Y._ rapportées dans l'article de presse du 2 mars 2004, et l'a condamné aux dépens. Ce jugement a été confirmé par arrêt de la Cour de justice du canton de Genève du 29 novembre 2007, aujourd'hui définitif et exécutoire.
Les dépens de cette procédure ont fait l'objet de deux états de frais, taxés et arrêtés par le Président de la cour cantonale, le 22 février 2008 à concurrence de 16'342 fr. 25, et le 15 octobre 2008 à concurrence de 2'000 fr., ces deux montants devant être versés à Y._, représenté par l'avocat Christian Luscher. Aucune opposition n'a été formée à l'encontre de ces états de frais.
C. C.a Le 13 août 2008, Y._, représenté par Me Christian Luscher, a fait notifier à X._ un commandement de payer la somme de 16'342 fr. 25 avec intérêts à 5% dès le 5 mars 2008.
C.b Statuant par défaut de X._, le Tribunal de première instance de Genève a prononcé, par jugement du 28 janvier 2009, la mainlevée définitive de l'opposition formée par le débiteur. A la suite de l'opposition de celui-ci, le tribunal a confirmé ce jugement le 3 avril 2009.
C.c Par arrêt du 9 juillet 2009, la Cour de justice du canton de Genève a rejeté l'appel déposé par le débiteur.
D. X._ interjette le 14 septembre 2009 un recours constitutionnel au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant principalement au rejet de la requête de mainlevée et, subsidiairement, à l'annulation et au renvoi de la cause à la cour cantonale. Il se plaint de violations de son droit d'être entendu et d'arbitraire dans l'appréciation des faits.
L'intimé n'a pas été invité à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision prise en matière de mainlevée de l'opposition est finale au sens de l'art. 90 LTF puisqu'elle met fin à la procédure. Elle peut faire l'objet d'un recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. a LTF) lorsque la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF; ATF 133 III 399 consid. 1.3 p. 399/400) ou, exceptionnellement et pour autant que cela soit démontré (art. 42 al. 2 LTF), lorsqu'elle soulève une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF).
En l'espèce, la valeur litigieuse est inférieure à 30'000 fr. et le recourant ne soutient pas que la décision soulèverait une question juridique de principe. Partant, la voie du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF) est ouverte. Déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) et en la forme prévue par la loi (art. 42 et 119 al. 1 LTF), par une partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente (art. 115 let. a LTF), ce recours est en principe recevable.
1.2 Le recours constitutionnel peut être formé uniquement pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 et 117 LTF), c'est-à-dire expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (principe d'allégation; ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287), les exigences de motivation correspondant à celles de l'art. 90 al. 1 let. b aOJ (ATF 133 III 439 consid. 3.2 p. 444). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 II 396 consid. 3. p. 399/400). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision est manifestement insoutenable (ATF 134 II 349 consid. 3 p. 352).
L'arbitraire prohibé par l'art. 9 Cst. ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de cette décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 133 II 257 consid. 5.1 p. 260; 133 III 462 consid. 4.4.1 p. 470).
2. 2.1 Les juges précédents ont estimé que, à teneur des pièces produites, l'intimé est titulaire d'une créance de dépens envers le recourant à l'issue d'un procès civil ayant opposé ces deux parties. Selon la cour cantonale, il appartient au recourant d'apporter la preuve que l'intimé ne possède pas la légitimation active; or, ses allégués sur le sujet se cantonnent à des pétitions de principe, voire à des déductions qu'aucun élément objectif du dossier ne vient corroborer. Aucune preuve liquide ne permettant de remettre en cause cette appréciation des faits, une comparution personnelle des parties n'avait pas lieu d'être ordonnée.
2.2 Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir admis que l'intimé dispose de la légitimation active pour requérir la mainlevée de l'opposition et se plaint à cet égard d'une violation de son droit d'être entendu, ainsi que d'une appréciation arbitraire des faits. A le suivre, l'intimé n'est pas matériellement créancier des dépens objet de la présente procédure, parce qu'il ne pouvait pas transiger sur les dépens et que les honoraires de son conseil ont été réglés par son employeur, C._ SA. Il invoque avoir prouvé ceci par pièces et se réfère à un courrier adressé à l'avocat de l'intimé - dont le contenu n'aurait pas été démenti en réponse -, qui relate une rencontre qu'il a eue le 15 janvier 2008 avec celui-ci et au cours de laquelle l'intimé aurait reconnu qu'il n'avait pas la maîtrise de la procédure faite en son nom et qu'il ne pouvait y mettre fin de son propre mouvement. Le recourant soutient que si la cour cantonale ne jugeait pas ces pièces probantes, elle devait ordonner la comparution personnelle des parties qu'il avait requise.
2.3 En vertu de l'art. 81 al. 1 LP, lorsque la poursuite est fondée sur un jugement exécutoire d'un canton, le juge ordonne la mainlevée définitive de l'opposition, à moins que l'opposant ne prouve par titre que la dette a été éteinte ou qu'il a obtenu un sursis, postérieurement au jugement, ou qu'il ne se prévale de la prescription. Dans la procédure sommaire de mainlevée définitive (cf. art. 25 ch. 2 let. a LP), le juge n'a ni à revoir ni à interpréter le titre qui lui est soumis (ATF 124 III 501 consid. 3a p. 503 et les références citées). Le juge doit vérifier d'office notamment l'identité entre le poursuivant et le créancier désigné dans le titre (Staehelin, in Basler Kommentar, SchKG I, 1998, n° 29 ad art. 80; Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, vol. I, n° 73 s. ad art. 82 LP).
2.4 En l'espèce, le jugement du 4 avril 2007 du Tribunal de première instance du canton de Genève, confirmé par l'arrêt de la Cour de justice du 29 novembre 2007, a condamné le recourant à payer des dépens à l'intimé. Il y a donc bien identité entre le poursuivant et le créancier désigné dans le jugement. Dans la mesure où le recourant soutient que l'intimé ne serait pas son créancier parce qu'il ne pouvait pas transiger sur les dépens qui lui avait été octroyés, il semble remettre implicitement en cause le jugement au fond, ce qui est inadmissible dans le cadre de la procédure de mainlevée. A supposer qu'il fasse valoir qu'il y ait eu une cession de créance, postérieure au jugement au fond, il ne le prouve pas par titre; le courrier qu'il invoque ne constitue pas, en effet, un tel titre. Partant, le grief du recourant est infondé.
En outre, en tant qu'il se plaint de la violation de son droit d'être entendu, sa critique est également infondée. En effet, si la jurisprudence a déduit de l'art. 29 al. 2 Cst., notamment, le droit pour le justiciable de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision et l'obligation, pour l'autorité, de donner suite aux offres de preuves présentées en temps utile et dans les formes requises, cette obligation ne vaut pas lorsque celles-ci sont manifestement inaptes à apporter la preuve ou qu'il s'agit de prouver un fait sans pertinence (cf. ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 124 I 241 consid. 2 p. 242; 121 I 306 consid. 1b consid. 308). Il est ainsi possible de renoncer à l'administration de certaines preuves offertes, lorsque le juge parvient à la conclusion qu'elles ne sont pas décisives pour la solution du litige ou qu'elles ne pourraient l'amener à modifier son opinion. Ce refus d'instruire ne viole le droit d'être entendu des parties que si l'appréciation anticipée de la pertinence du moyen de preuve offert, à laquelle le juge a ainsi procédé, est entachée d'arbitraire (ATF 125 I 127 consid. 6c/cc in fine p. 135, 417 consid. 7b p. 430; 124 I 208 consid. 4a p. 211, 241 consid. 2 p. 242, 274 consid. 5b p. 285 et les arrêts cités). En l'espèce, le refus des juges précédents d'ordonner la comparution personnelle des parties procède de l'appréciation anticipée des preuves. Or, dans la mesure où cette offre de preuve ne portait pas sur un fait pertinent pour la procédure de mainlevée, c'est sans arbitraire que la cour cantonale l'a refusée.
3. 3.1 Le recourant soutient ensuite que l'avocat de l'intimé ne disposerait pas de pouvoirs valables pour agir en son nom; l'intimé lui aurait déclaré qu'il ne pouvait pas transiger, malgré son désir de le faire, du fait que les honoraires de son avocat étaient payés par son employeur et que, en conséquence, ledit employeur allait lui en réclamer le remboursement. Selon le recourant, le conseil de l'intimé - qui est également celui de son employeur -, vu ces déclarations, est en conflit d'intérêt concret; il aurait dû mettre un terme à son mandat, désormais illicite. Partant, tant la procédure de poursuite que la demande de mainlevée seraient irrecevables, car constitutifs d'actes de représentation entrepris sans pouvoirs (art. 20 CO).
3.2 La cour cantonale a relevé qu'on discernait mal ce qui s'oppose à ce que le même avocat représente à la fois le groupe B._, son actionnaire et ses directeurs; le recourant ne démontre pas en quoi cette situation serait constitutive d'un conflit d'intérêt ni comment les intérêts de ces différentes entités et personnes physiques seraient objectivement opposés les uns aux autres.
3.3 L'argumentation du recourant est exclusivement appellatoire: en se bornant à affirmer que les échanges de correspondance entre le conseil de l'intimé et lui-même "établissent que l'intimé voulait transiger, mais qu'il n'a pas été libre de le faire", respectivement que "dès cet instant, il est évident qu'il y a conflit d'intérêt car l'avocat n'a plus l'indépendance nécessaire pour faire valoir les intérêts de l'employé face au gros client que représente l'employeur", il ne démontre pas que l'appréciation de la cour cantonale serait insoutenable, mais se borne à y substituer sa propre appréciation. Partant, sa critique est irrecevable (cf. supra, consid. 1.2). Il en va de même lorsqu'il reproche à la cour cantonale une violation de son droit d'être entendu, pour le motif que celle-ci n'a pas ordonné la comparution personnelle des parties, alors qu'elle aurait dû le faire si elle avait un doute sur l'existence du conflit d'intérêt. En effet, le recourant ne démontre pas en quoi l'appréciation anticipée des preuves à laquelle se sont livrés les juges précédents serait insoutenable (cf. supra, consid. 2.4).
4. 4.1 Enfin, le recourant soutient que la procédure en paiement des dépens objet de la présente cause, relèverait de l'abus de droit (art. 2 CC). Reproduisant mot pour mot l'argumentation présentée devant la cour cantonale, il fait valoir que, par convention du 7 octobre 2004, toutes les procédures pendantes entre le groupe B._, ses actionnaires ou directeurs et lui-même devaient être retirées. Or, tel n'aurait pas été le cas, ce qui serait constitutif d'un abus de droit. C'est en raison de ce "non-retrait" qu'il se serait vu contraint pour éviter la prescription de ses droits éventuels contre l'intimé de lui faire notifier une poursuite; c'est donc "la propre turpitude" de l'intimé qui l'aurait amené à préserver ses droits. La procédure de poursuite étant l'accessoire de celle en constatation négatoire de droit, "elle résulte et est le produit de l'abus de droit que constitue la violation de la convention du 7 octobre 2004".
4.2 La cour cantonale a considéré que, vu la chronologie des événements, l'accord litigieux ne pouvait concerner que les procédures alors pendantes devant les instances judiciaires ou arbitrales et non celle découlant du commandement de payer que le recourant a fait notifier à l'intimé au mois d'avril 2005. En outre, elle a estimé que le recourant n'apporte pas la preuve d'un abus de droit manifeste de sa partie adverse et que son argumentation n'est pas adaptée à une procédure de mainlevée définitive d'opposition, dans laquelle les moyens de défense du débiteur sont étroitement limités pour empêcher toute obstruction à l'exécution forcée.
4.3 Lorsque le recourant soutient que les juges précédents auraient apprécié arbitrairement les faits, en affirmant que "la procédure du 2005 (sic) initiée par Y._ fait entièrement partie de l'abus de droit que constituait le fait de ne pas mettre un terme à toutes les procédures civiles et pénales initiées contre le recourant pris en sa qualité d'avocat de B._" et que "cette procédure était donc en soi constitutive d'abus de droit parce que découlant directement de la violation des engagements d'octobre 2004", sa critique est derechef appellatoire. Le recourant ne s'en prend pas aux considérants de la cour cantonale, mais se borne à répéter l'argumentation développée devant les juges précédents. L'exposé de ce grief ne satisfait pas aux exigences légales de motivation; partant, il est irrecevable (cf. supra, consid. 1.2). Au demeurant, c'est sans arbitraire que la cour cantonale a considéré que l'examen de ce grief n'est pas de la compétence du juge de la mainlevée, vu son pouvoir d'examen limité (cf. supra, consid. 2.3).
5. Vu ce qui précède, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à se déterminer.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la 1ère Section de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 17 novembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Aguet