Sachverhalt:
A. E.F._ (Kläger und Beschwerdegegner) mit Wohnsitz in Pakistan ist einer von vier Nachkommen des am 10. März 2004 in Pakistan verstorbenen A.F._ (Erblasser). Dieser soll nach Darstellung des Beschwerdegegners verschiedene Konto- und Depotbeziehungen zur X._ (Beklagte) unterhalten haben. Mit seinen drei Geschwistern B.F._, C.F._ und D.F._ (Nebenintervenienten und Beschwerdeführer), die alle ebenfalls in Pakistan Wohnsitz haben, liegt der Beschwerdegegner seit längerer Zeit im Streit. Die X._ verweigerte dem Beschwerdegegner im Jahre 2006 unter Berufung auf das schweizerische Bankkundengeheimnis die Auskunftserteilung über die angeblichen Beziehungen des Erblassers zu ihr und verlangte dafür ein gemeinsames Begehren sämtlicher vier Erben.
B. B.a Am 31. Oktober 2006 erhob der Beschwerdegegner beim Handelsgericht Zürich Klage mit dem Begehren, die X._ sei zu verpflichten, ihm oder einer von ihm bezeichneten Drittperson Einsicht in sämtliche sich bei der Beklagten befindenden oder ihr zugänglichen Konto- bzw. Depotunterlagen zu gewähren, die auf den Namen des Vaters des Beschwerdegegners, allein oder zusammen mit anderen Personen oder unter Nummernbezeichnung auf diesen Namen lauten bzw. lauteten, alles für den Zeitraum von zehn Jahren vor Klageanhebung und darüber hinaus hinsichtlich früherer Geschäftsjahre, über welche die Beklagte noch Unterlagen besitze.
B.b Nachdem der Beklagten Frist zur Erstattung der Klageantwort angesetzt worden war, verkündete diese den Beschwerdeführern den Streit. In der Folge erklärten die Streitberufenen ihren Beitritt als Nebenintervenienten zum Prozess, worauf die Beklagte die Fortführung des Prozesses gestützt auf § 48 ZPO/ZH den Beschwerdeführern überliess. Diese gaben in der Folge die Erklärung ab, sie wollten den Prozess auf eigene Kosten weiterführen.
B.c In ihrer Klageantwort erhoben die Beschwerdeführer namens der Beklagten die Einrede der örtlichen Unzuständigkeit. Mit Beschluss vom 8. Mai 2007 wies das Handelsgericht diese ab und erklärte sich für zuständig. Es kam zum Schluss, das Einsichtsbegehren sei vertragsrechtlicher Natur und falle nicht unter den Begriff der "erbrechtlichen Streitigkeit" im Sinne des Art. 86 Abs. 1 IPRG (SR 291). Gestützt auf Art. 2 Abs. 1 LugÜ (SR 0.275.11) i.V.m. Art. 1 Abs. 2 IPRG sei ein Gericht im Sitzstaat der Beklagten international und innerhalb der Schweiz gemäss Art. 112 Abs. 1 IPRG ein Gericht am Beklagtenwohnsitz örtlich zuständig. Das Handelsgericht des Kantons Zürich sei damit international, örtlich und gestützt auf §§ 62 und 63 Ziff. 1 GVG/ZH auch sachlich zuständig. Gegen diesen Entscheid legten die Beschwerdeführer Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich ein, in der sie im Wesentlichen die Verletzung von Art. 86 IPRG und die Verweigerung des rechtlichen Gehörs mangels genügender Begründung des angefochtenen Entscheids rügten. Das Kassationsgericht trat mit Zirkulationsbeschluss vom 26. Juni 2008 nicht auf die Nichtigkeitsbeschwerde ein. Es kam zum Schluss, dass das Bundesgericht im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen beide Rügen frei überprüfen könne, weshalb in Anwendung von § 285 Abs. 1 und 2 ZPO/ZH die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde nicht zulässig sei.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 2. September 2008 beantragen die Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es seien der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 26. Juni 2008 (Ziff. 1, 3 und 4) und der Beschluss des Handelsgerichts vom 8. Mai 2007 (Ziff. 1) aufzuheben und auf die Klage mangels Zuständigkeit nicht einzutreten. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an das Handelsgericht, subeventualiter an das Kassationsgericht zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner und sinngemäss auch das Kassationsgericht schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der Beschwerde, sofern auf sie einzutreten sei. In der Stellungnahme dazu bekräftigen die Beschwerdeführer ihre Anträge.
Mit Präsidialverfügung vom 25. September 2008 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 134 III 520 E. 1 S. 521).
1.1 Die Beschwerdeführer haben als Nebenintervenienten bzw. Streitberufene sowie als Beschwerdeführer am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Nebenintervention ist eine Teilnahmeform, die das Teilnahmeerfordernis des Art. 76 Abs. 1 lit. a BGG erfüllt. Da die Beschwerdeführer mit ihren Anträgen sowohl vor Handels- wie auch vor Kassationsgericht unterlegen sind, ist auch das Erfordernis des Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG erfüllt. Die Beschwerdeführer sind folglich zur Beschwerde in Zivilsachen legitimiert.
1.1.1 Die Stellung einer Hauptpartei, die sich wie hier nach der Streitverkündung ohne Aufgabe ihrer Parteistellung des Streits entschlagen hat und auch am Verfahren vor Bundesgericht nicht teilnimmt, wird im BGG nicht geregelt. Demgegenüber sah Art. 53 Abs. 1 OG vor, dass die Stellung der Streitverkünder und Nebenintervenienten durch das kantonale Recht bestimmt wird. Nach kantonalem Recht beurteilten sich ebenfalls die prozessualen Befugnisse der Nebenparteien im Verhältnis zu den Hauptparteien. Diesem Prinzip entspricht, dass sich umgekehrt auch die Stellung der sich des Streits entschlagenden Hauptpartei nach dem kantonalen Zivilprozessrecht richtete.
1.1.2 Grundsätzlich sind Lücken im BGG durch sinngemässe Anwendung der Vorschriften der BZP zu füllen (Art. 71 BGG). Allerdings enthält auch die BZP keine ausdrückliche Bestimmung zur Behandlung der sich ohne Aufgabe der Parteirolle des Streits entschlagenden Hauptpartei, weshalb die Lücke in Anwendung von Art. 1 Abs. 2 ZGB richterrechtlich zu schliessen ist. Dazu ist zunächst zu prüfen, ob der Entwurf einer Schweizerischen Zivilprozessordnung (E-ZPO; BBl 2006 S. 7413 ff.) eine entsprechende Regel enthält, die zur Lückenfüllung herangezogen werden könnte. Art. 77 Abs. 1 lit. b E-ZPO sieht zwar die Möglichkeit vor, dass der Streitberufene anstelle des Streitverkünders mit dessen Einverständnis den Prozess führen kann. Gemäss der Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung (BBl 2006 S. 7221/7284) wird der Streitberufene diesfalls aber zur Hauptpartei und führt den Prozess in eigenem Namen für fremdes Recht weiter (sog. Prozessstandschaft). Der Streitverkünder gibt also seine Parteistellung auf und es erfolgt ein Parteiwechsel (Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 S. 7221/7284). Dies entspricht nicht der Situation der hier zur Diskussion stehenden Streitentschlagung. Aus § 48 ZPO/ZH ergibt sich vielmehr, dass der Nebenintervenient den Prozess nicht als Partei, sondern sinngemäss als Vertreter der Hauptpartei weiterführt (BGE 112 II 38, unpublizierte E. 1). Der Endentscheid ergeht zwar nicht auf Kosten der Hauptpartei, lautet aber gleichwohl auf deren Namen (BGE 106 II 131, unpublizierte E. 1); er ergeht mithin für und gegen die Hauptpartei (Walther J. Habscheid, Schweizerisches Zivilprozess- und Gerichtsorganisationsrecht, 2. Aufl., Rz. 320).
1.1.3 Da die BZP keine Regeln zur Behandlung der sich des Streits entschlagenden Hauptpartei enthält und auch nicht andere allgemein anerkannte Prozessgrundsätze zur richterrechtlichen Lückenfüllung herangezogen werden können, ist die Lücke des BGG wie unter der Herrschaft des OG mit den entsprechenden Bestimmungen des kantonalen Rechts zu füllen. Demnach sind die Beschwerdeführer gemäss dem auf den vorliegenden Fall anwendbaren § 48 ZPO/ZH Vertreter der X._, ohne freilich bei der Wahl der Angriffs- und Verteidigungsmittel an die Interessenwahrung der X._ gebunden zu sein (FRANK/STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl., 1997, N. 2 zu § 48 ZPO/ZH). Die Handlungen der Beschwerdeführer sind der X._ zuzurechnen, weshalb diese trotz ihrer Untätigkeit im bundesgerichtlichen Verfahren als Partei zu behandeln ist. Die X._ behält Parteistellung und kann jederzeit in das Verfahren zurückkehren (FRANK/STRÄULI/MESSMER, a.a.O., N. 2 zu § 48 ZPO/ZH) und Parteirechte ausüben. Damit einhergehend erstreckt sich auch die Rechtskraft des vorliegenden Urteiles auf sie.
1.1.3 Da die BZP keine Regeln zur Behandlung der sich des Streits entschlagenden Hauptpartei enthält und auch nicht andere allgemein anerkannte Prozessgrundsätze zur richterrechtlichen Lückenfüllung herangezogen werden können, ist die Lücke des BGG wie unter der Herrschaft des OG mit den entsprechenden Bestimmungen des kantonalen Rechts zu füllen. Demnach sind die Beschwerdeführer gemäss dem auf den vorliegenden Fall anwendbaren § 48 ZPO/ZH Vertreter der X._, ohne freilich bei der Wahl der Angriffs- und Verteidigungsmittel an die Interessenwahrung der X._ gebunden zu sein (FRANK/STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl., 1997, N. 2 zu § 48 ZPO/ZH). Die Handlungen der Beschwerdeführer sind der X._ zuzurechnen, weshalb diese trotz ihrer Untätigkeit im bundesgerichtlichen Verfahren als Partei zu behandeln ist. Die X._ behält Parteistellung und kann jederzeit in das Verfahren zurückkehren (FRANK/STRÄULI/MESSMER, a.a.O., N. 2 zu § 48 ZPO/ZH) und Parteirechte ausüben. Damit einhergehend erstreckt sich auch die Rechtskraft des vorliegenden Urteiles auf sie.
1.2 1.2.1 Mit dem angefochtenen Zirkulationsbeschluss trat das Kassationsgericht des Kantons Zürich nicht auf die Nichtigkeitsbeschwerde gegen den Beschluss des Handelsgerichts ein. Betrifft die Beschwerde vor der Vorinstanz einen Zwischenentscheid, beendet der Nichteintretensentscheid zwar diesbezüglich das kantonale Verfahren, nicht aber den gesamten vor der ersten Instanz anhängigen Streit. Damit der angefochtene Entscheid der letzten kantonalen Instanz als Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG qualifiziert werden kann, muss er indessen das Verfahren vor der ersten Instanz vollständig abschliessen (Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4202/4332). Der angefochtene Nichteintretensentscheid ist daher vor Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen anfechtbar, unter denen ein Zwischenentscheid angefochten werden kann. Beim vor Kassationsgericht angefochtenen Beschluss des Handelsgerichts handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über die Zuständigkeit im Sinne von Art. 92 Abs. 1 BGG. Dagegen ist die Beschwerde grundsätzlich zulässig, weshalb auch der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vor Bundesgericht angefochten werden kann.
1.2.2 Der Beschluss des Handelsgerichts ist indessen nur insofern der Beschwerde zugänglich, als er das Erfordernis der Letztinstanzlichkeit erfüllt (Art. 75 Abs. 1 BGG). Gegen ihn kann die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich nach § 281 ZPO/ZH erhoben werden. Er ist daher insoweit nicht kantonal letztinstanzlich, als er vom Kassationsgericht überprüft werden kann. Ausgeschlossen ist die Nichtigkeitsbeschwerde, wenn das Bundesgericht einen Mangel frei überprüfen kann, wobei sie stets zulässig ist, wenn eine Verletzung von Art. 8, 9, 29 oder 30 BV oder von Art. 6 EMRK geltend gemacht wird (§ 285 Abs. 2 ZPO/ZH; vgl. dazu BGE 133 III 585 E. 3.2 S. 586 f. mit Hinweisen). Der angefochtene Beschluss des Handelsgerichts stellt also insoweit keinen kantonal letztinstanzlichen Entscheid dar, als geltend gemacht wird, das Handelsgericht habe den Anspruch der Beschwerdeführer auf rechtliches Gehör (Art. 29 BV) verletzt bzw. kantonales Recht willkürlich angewendet (Art. 9 BV). Entsprechende Rügen haben die Beschwerdeführer vor dem Kassationsgericht geltend gemacht; insofern diese vom Kassationsgericht nicht bzw. nicht richtig beurteilt wurden, haben dies die Beschwerdeführer in der Beschwerde gegen den kassationsgerichtlichen Entscheid zu rügen. Auf entsprechende Rügen gegen den Beschluss des Handelsgerichts kann nicht eingetreten werden. Soweit die Beschwerdeführer dagegen die Verletzung von Bundesrecht rügen, ist der Beschluss des Handelsgerichts ein letztinstanzlicher Entscheid.
1.3 Der Beschwerdegegner bestreitet, dass die Beschwerdeführer dem Bundesgericht die Beschwerde gegen den Beschluss des Handelsgerichts innert Frist eingereicht haben. Er ist der Ansicht, dass sich die Beschwerdeführer nicht auf Art. 100 Abs. 6 BGG stützen können, da das Kassationsgericht zum Vornherein nicht zum Entscheid berufen gewesen sei.
1.3.1 Die Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen (Art. 100 Abs. 1 BGG). Nach Art. 100 Abs. 6 BGG beginnt allerdings die Beschwerdefrist, wenn der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts mit einem Rechtsmittel, das nicht alle Rügen nach den Artikeln 95-98 BGG zulässt, bei einer zusätzlichen kantonalen Gerichtsinstanz angefochten worden ist, erst mit der Eröffnung des Entscheids dieser Instanz. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann unter dieser Voraussetzung auch das Urteil der oberen kantonalen Instanz angefochten werden, soweit im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen zulässige Rügen dem höchsten kantonalen Gericht nicht unterbreitet werden konnten (BGE 134 III 92 E. 1.1 S. 93 f.).
1.3.2 Art. 100 Abs. 6 BGG bezweckt, die vor Inkrafttreten des BGG bestehende Unzulänglichkeit zu beseitigen, gegebenenfalls gleichzeitig zwei Rechtsmittel erheben zu müssen, da unter der Herrschaft des OG das Ergreifen eines ausserordentlichen kantonalen Rechtsmittels keinen Einfluss auf die Berufungsfrist hatte. Die Bestimmung soll es dem Beschwerdeführer erlauben, mit der Anfechtung des Entscheids der oberen kantonalen Instanz bis zum Entscheid der zusätzlichen Rechtsmittelinstanz mit beschränkter Prüfungsbefugnis zuzuwarten. Dem Bestreben, gegebenenfalls unnütze Verfahren durch eine Gabelung des Rechtsmittelwegs zu vermeiden, wird die Bestimmung nur gerecht, wenn hinsichtlich des Fristenlaufs dem Gebot der Rechtssicherheit hohe Bedeutung beigemessen wird. Entsprechend sind Fälle, in denen Art. 100 Abs. 6 BGG trotz Weiterzug nicht zur Anwendung gelangt, mit Zurückhaltung anzunehmen. Zu denken ist neben dem Fall, in dem gegen den Entscheid des oberen kantonalen Gerichts nach kantonalem Prozessrecht für den Rechtssuchenden erkennbar gar kein Rechtsmittel an eine weitere kantonale Instanz mit beschränkter Kognition offen steht (BGE 134 III 92 E. 1 S. 93), auch an die Konstellation, in der die Kassationsinstanz wegen zu spät ergriffener kantonaler Beschwerde auf diese nicht eintritt, da andernfalls der Rechtsweg an das Bundesgericht nachträglich wieder geöffnet würde, sowie an den offenbaren Rechtsmissbrauch (DAVID RÜETSCHI, Wann gilt Art. 100 Abs. 6 BGG?, in: Anwaltsrevue 4/2008 S. 161).
1.3.3 Vorliegend steht ausser Frage, dass der Beschluss des Handelsgerichts nach dem anwendbaren kantonalen Zivilprozessrecht mit Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht angefochten werden konnte. Die Beschwerdeführer haben mit der Verletzung des rechtlichen Gehörs und der Dispositionsmaxime zwei Rügen vorgebracht, die das Kassationsgericht überprüfen kann. Dass die Nichtigkeitsbeschwerde in rechtsmissbräuchlicher Weise einzig in der Absicht erhoben worden wäre, die Frist zur Einreichung der Beschwerde vor Bundesgericht hinauszuzögern, lässt sich aus den gegebenen Umständen nicht schliessen. Unter Berücksichtigung des Stillstandes der Rechtsmittelfrist (Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG) wurde die Beschwerde in Zivilsachen gegen den handelsgerichtlichen Beschluss dem Bundesgericht daher fristgerecht eingereicht.
1.4 In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde in Zivilsachen - unter Vorbehalt arbeits- und mietrechtlicher Fälle (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG) sowie der Ausnahmen von Art. 74 Abs. 2 BGG - nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Der Streitwert bestimmt sich bei Beschwerden gegen Vor- und Zwischenentscheide nach den Begehren, die vor der Instanz streitig sind, wo die Hauptsache hängig ist (Art. 51 Abs. 1 lit. c BGG).
1.4.1 Das Rechtsbegehren in der Hauptsache lautet vorliegend auf Einsicht in sämtliche sich bei der Beklagten befindenden oder ihr zugänglichen Konto- bzw. Depotunterlagen. Es handelt sich dabei nicht um ein Begehren auf Bezahlung einer bestimmten Geldsumme, weshalb das Bundesgericht den Streitwert nach Ermessen festsetzt (Art. 51 Abs. 2 BGG). Diese Bestimmung entspricht Art. 36 Abs. 2 OG (Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 4300), weshalb auf die Grundsätze der Streitwertbestimmung zu Art. 36 Abs. 2 OG abgestellt werden kann (BGE 134 III 237 E. 1.2 S. 239).
1.4.2 Materiell stützt sich das Einsichtsbegehren des Beschwerdegegners auf einen Informationsanspruch gegenüber der Beklagten. Dieser bildet die Voraussetzung für eine spätere Geltendmachung allfälliger weiterer Ansprüche an den Vermögenswerten. Es liegt damit eine vermögensrechtliche Streitigkeit im Sinne von Art. 74 Abs. 1 BGG vor. Die Vorinstanz stellte bei ihrer Schätzung des Streitwertes unter anderem auf die Behauptung des Beschwerdegegners ab, dass die in Frage stehende Kundenbeziehung zwischen dem Erblasser und der X._ eine Grössenordnung von über 70 Mio. Franken erreicht habe. Schliesslich spreche auch der schon bisher auf allen Seiten betriebene anwaltliche Aufwand für einen Fr. 30'000.-- ohne weiteres erreichenden Streitwert. Auch nach dem Dafürhalten des Beschwerdegegners ist die Streitwertgrenze erreicht. Anhaltspunkte, von der Schätzung der Vorinstanz abzuweichen, sind nicht ersichtlich. Das Streitwerterfordernis gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG steht folglich dem Eintreten auf die Beschwerde nicht entgegen.
2. Die Beschwerdeführer werfen dem Kassationsgericht vor, es habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BV und auf willkürfreies Handeln im Sinne von Art. 9 BV verletzt, indem es sich mit der erhobenen Rüge der Verletzung der Dispositionsmaxime gemäss § 54 Abs. 2 ZPO/ZH und damit eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes im Sinne von § 281 Ziff. 1 ZPO/ZH zum Nachteil der Beschwerdeführer nicht auseinandergesetzt habe, sondern auf die Nichtigkeitsbeschwerde der Beschwerdeführer nicht eingetreten sei. Sie machen sinngemäss geltend, dass das Kassationsgericht auf die Rüge der Verletzung der Dispositionsmaxime hätte eintreten müssen, weil dieser Verfahrensgrundsatz ausschliesslich vom kantonalen Recht geregelt werde und seine Verletzung daher vom Bundesgericht nicht frei überprüft werden könne. Die Subsidiaritätsregel von § 285 Abs. 1 und 2 ZPO/ZH komme nicht zur Anwendung. Demgegenüber erheben die Beschwerdeführer vor Bundesgericht keine dem Erfordernis des Art. 106 Abs. 2 BGG genügende Rüge, dass das Kassationsgericht auch auf die Rüge der dem Handelsgericht ebenfalls vorgeworfenen Gehörsverletzung nicht eingetreten ist.
2.1 Der Grundsatz des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) verlangt, dass ein Entscheid so begründet wird, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Dies ist nur möglich, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite des Entscheides ein ausreichendes Bild machen können. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich das Gericht leiten liess und auf welche sich sein Entscheid stützt. Dabei muss sich die Begründung nicht mit jeder tatsächlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand ausdrücklich auseinander setzen. Es genügt vielmehr, wenn die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte genannt werden (BGE 126 I 97 E. 2b S. 102 f.; 124 II 146 E. 2a S. 149, je mit Hinweisen).
Nach der bundesgerichtlichen Praxis liegt Willkür vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 148; 132 I 175 E. 1.2 S. 177, je mit Hinweisen).
2.2 Es trifft zu, dass die Beschwerdeführer in ihrer Beschwerde an das Kassationsgericht unter anderem die Verletzung der Dispositionsmaxime gemäss § 54 Abs. 2 ZPO/ZH gerügt haben, das Kassationsgericht sich aber im Wesentlichen mit der Rüge der Gehörsverletzung auseinandergesetzt hat. Dabei hat das Kassationsgericht ausgeführt, dass das Bundesgericht die Gehörsverletzung frei überprüfen könne und auch die Streitwertgrenze der Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG erreicht sei. Aufgrund der Subsidiarität der Nichtigkeitsbeschwerde gemäss § 285 Abs. 1 und 2 ZPO/ZH könne es deshalb nicht auf das Rechtsmittel eintreten. Bezüglich des von den Beschwerdeführern angerufenen kantonalen Rechts hat es immerhin sinngemäss ausgeführt, dass dieses inhaltlich nicht über das Verbot der Gehörsverweigerung hinausgehe. Insoweit kann das Kassationsgericht so verstanden werden, dass es dabei sinngemäss die kantonalen Verfahrensgrundsätze im Sinne des § 281 Ziff. 1 ZPO/ZH mitgemeint und zum Ausdruck gebracht hat, dass auch unter dem Gesichtspunkt des kantonalen Verfahrensrechts kein Anlass bestand, auf die Beschwerde einzutreten. Damit hat sich das Kassationsgericht entgegen der Ansicht der Beschwerdeführer mit der Rüge der Verletzung der Dispositionsmaxime als kantonalem Verfahrensgrundsatz zumindest implizit auseinandergesetzt. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor. Zu prüfen bleibt damit nur, ob das Nichteintreten auf die Rüge der Verletzung der Dispositionsmaxime willkürlich ist.
2.3 Die Beschwerdeführer warfen dem Handelsgericht vor, die Dispositionsmaxime verletzt zu haben, indem es die verfahrensrechtliche Vorschrift von Art. 86 IPRG nicht richtig angewendet habe. Die Geltung der Dispositionsmaxime ist für das Verfahren vor den kantonalen Gerichten vom kantonalen Prozessrecht geregelt (BGE 109 II 452 E. 5d S. 460), weshalb das Bundesgericht ihre Anwendung nicht frei überprüfen kann. Auf eine entsprechende Rüge muss das Kassationsgericht grundsätzlich eintreten (Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl., 1997, N. 15 zu § 54 ZPO/ZH). Das gleiche gilt aufgrund des klaren Wortlauts von § 285 Abs. 2 Satz 2 ZPO/ZH auch für die Rüge der Gehörsverletzung. Danach ist die Nichtigkeitsbeschwerde stets zulässig, wenn eine Verletzung von Art. 8, 9, 29 oder 30 BV oder von Art. 6 EMRK geltend gemacht wird (vgl. auch BGE 133 III 585 E. 3.2 S. 587 f., mit Hinweisen). In der Sache rügten die Beschwerdeführer indessen nicht die Verletzung der Dispositionsmaxime, sondern die falsche Anwendung von einfachem Bundesrecht. Sie versuchten mithin, eine vor Kassationsgericht unzulässige Rüge in Gestalt einer gemäss § 281 Ziff. 1 ZPO/ZH grundsätzlich zulässigen vorzubringen. Dabei haben sie offensichtlich die Bedeutung der Dispositionsmaxime und ihr Verhältnis zum Grundsatz iura novit curia verkannt. Danach ist für die Rechtsanwendung unerheblich, ob der Beschwerdegegner sein Einsichtsbegehren auf einen erb- oder vertragsrechtlichen Titel stützt. Entscheidend ist einzig das petitum; unter welchem Rechtstitel es zu beurteilen ist, entscheidet der Richter. Das Kassationsgericht hat damit das Willkürverbot nicht verletzt, indem es auf die unzulässige Rüge der Verletzung einfachen Bundesrechts nicht eingetreten ist. Die Beschwerde gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Dem Handelsgericht werfen die Beschwerdeführer sinngemäss vor, es habe Art. 86 IPRG nicht bzw. nicht richtig angewendet, indem es das Einsichtsbegehren nicht erbrechtlich, sondern vertragsrechtlich qualifiziert und sich zu Unrecht als örtlich zuständig erklärt habe.
3.1 Hat eine Partei ihren Wohnsitz oder Sitz im Ausland, liegt nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung immer ein internationales Verhältnis im Sinne von Art. 1 Abs. 1 IPRG vor (BGE 134 III 475 E. 4 S. 477; 131 III 76 E. 2.3 S. 79 f.). Dabei ist unerheblich, welche Partei ihren Sitz oder Wohnsitz im Ausland hat (BGE 131 III 76 E. 2.3 S. 80). Da der Beschwerdegegner seinen Wohnsitz in Pakistan hat, findet das IPRG im vorliegenden Fall Anwendung, falls kein völkerrechtlicher Vertrag vorgeht (Art. 1 Abs. 2 IPRG). In Zivil- und Handelssachen ist auf die Frage der internationalen Zuständigkeit das Lugano-Übereinkommen (LugÜ; SR 0.275.11) anwendbar, sofern der hier zur Diskussion stehende Sachverhalt in den räumlich-persönlichen und sachlichen Anwendungsbereich des Übereinkommens fällt.
Welches der räumlich-persönliche Anwendungsbereich des LugÜ ist, ergibt sich nicht aus einer entsprechenden allgemeinen Norm dieses Abkommens, sondern ist anhand seiner einzelnen Zuständigkeitsbestimmungen zu prüfen (Urteil 5C.139/2002 vom 26. September 2002 E. 2.2; IVO SCHWANDER, Gerichtszuständigkeiten im Lugano-Übereinkommen, in: Das Lugano-Übereinkommen, St. Gallen 1990, S. 61/62). Vorliegend fällt die Zuständigkeit im Sitzstaat der Beklagten gemäss Art. 2 Abs. 1 LugÜ in Betracht. Dabei stellt sich die Frage, ob diese Norm auch dann zur Anwendung gelangt, wenn wie hier der Kläger (Beschwerdegegner) Wohnsitz in einem Staat hat, der nicht Lugano-Vertragsstaat ist. Mangels entsprechender Regelung ist durch Auslegung des Übereinkommens zu entscheiden, ob die Anwendung von Art. 2 Abs. 1 LugÜ einen Bezug zu mehreren Lugano-Staaten voraussetzt.
3.2 Das Lugano-Übereinkommen schliesst sich als Parallelübereinkommen sehr eng an das von den Mitgliedern der Europäischen Union unterzeichnete Brüsseler Übereinkommen (Europäisches Übereinkommen über die gerichtliche Zuständigkeit und die Vollstreckung gerichtlicher Entscheidungen in Zivil- und Handelssachen vom 27. September 1968; EuGVÜ) sowie an die dieses Abkommen für die Vertragsstaaten der EU (mit Ausnahme von Dänemark) ersetzende Verordnung Nr. 44/2001 des Rates vom 22. Dezember 2000 an (EuGVO; in Kraft seit 1. März 2002). Damit besteht Bedarf nach einer harmonisierten Auslegung der aufeinander abgestimmten Normen. Folgerichtig verpflichtet Art. 1 des Protokolls Nr. 2 zum Lugano-Übereinkommen die Gerichte der Vertragsstaaten, bei der Anwendung und Auslegung der Staatsvertragsbestimmungen den Grundsätzen gebührend Rechnung zu tragen, die in massgebenden Entscheidungen von Gerichten der anderen Vertragsstaaten entwickelt worden sind. Dies gilt in besonderem Masse auch für die Rechtsprechung des EuGH (BGE 134 III 218 E. 3.3 S. 221 f.; 131 III 398 E. 4 S. 399; 131 III 227 E. 3.1 S. 230). Dabei ist gleichermassen unerheblich, ob die europäische Rechtsprechung vor oder nach dem Inkrafttreten des Lugano-Übereinkommens, zum EuGVÜ oder zu den mit dem Lugano-Übereinkommen inhaltlich übereinstimmenden Normen der EuGVO ergangen ist (BGE 131 III 227 E. 3.1 S. 230; im Ergebnis schon BGE 129 III 626 E. 5.2.1 S. 632 f.). Eine Differenzierung verbietet sich schon deshalb, weil sonst das mit dem Lugano-Übereinkommen angestrebte Ziel, die Schweiz in einen europäischen Raum vereinheitlichter Gerichtszuständigkeiten in Zivil- und Handelssachen einzubinden, untergraben würde. Der Rechtsprechung des EuGH ist daher bei der Auslegung des Lugano-Übereinkommens grundsätzlich zu folgen. Eine abweichende Auslegung bleibt nur dann vorbehalten, wenn die europäische Rechtsprechung eindeutig an den Zielen der Europäischen Union orientiert ist, welche die Schweiz nicht mitträgt (BGE 131 III 227 E. 3.1 S. 230).
3.3 Nach der Rechtsprechung des EuGH setzt die Anwendung des dem Art. 2 LugÜ entsprechenden Art. 2 EuGVÜ lediglich den Wohnsitz des Beklagten in einem Vertragsstaat sowie ein weiteres internationales Element wie z.B. den Wohnsitz des Klägers im Ausland voraus (Urteil vom 1. März 2005 C-281/02 Owusu, Slg. 2005 I 1383, Randnrn. 24 ff.; vgl. dazu PAUL VLAS, in: Brussels I Regulation, München 2007, N. 6-7 zu Art. 2 EuGVO; BURKHARD HESS, in: The Brussels I Regulation 44/2001, München 2008, Rz. 48; PETER GOTTWALD, in: Münchener Kommentar zur Zivilprozessordnung, Bd. 3, 3. Aufl., München 2008, N. 26 zu Art. 2 EuGVO). Im Lichte dieser Rechtsprechung ist Art. 2 LugÜ auf den vorliegenden Sachverhalt anwendbar, denn die Beklagte hat ihren Sitz in der Schweiz, und aus dem klägerischen Wohnsitz in Pakistan ergibt sich ein Auslandbezug. Eine solche Konstellation wird vom räumlich-persönlichen Anwendungsbereich des harmonisiert ausgelegten Art. 2 LugÜ erfasst (so im Ergebnis auch schon das vor dem Owusu-Entscheid ergangene Urteil 4C.98/2003 vom 15. Juni 2004 E. 2.1, wenn auch im Zusammenhang mit Art. 5 Ziff. 3 LugÜ; anders demgegenüber in einem obiter dictum noch BGE 124 III 176 E. 4 S. 180). Diese Auslegung wird auch in der neueren Schweizer Lehre vertreten (GERHARD WALTER, Internationales Zivilprozessrecht der Schweiz, 4. Aufl., 2007, S. 182 f.; FELIX DASSER, in: Kommentar zum Lugano-Übereinkommen [LugÜ], 2008, N. 12 zu Art. 1 LugÜ; PAUL VOLKEN, in: Zürcher Kommentar zum IPRG, 2. Aufl. 2004, N. 17 vor Art. 2 IPRG; SCHNYDER/GROLIMUND, in: Basler Kommentar zum Internationalen Privatrecht, 2. Aufl., 2007, N. 40 zu Art. 1 IPRG).
3.4 Das Einsichtsbegehren stützt sich auf ein Rechtsverhältnis zwischen Privaten und ist daher als Zivil- oder Handelssache im Sinne von Art. 1 Abs. 1 LugÜ zu qualifizieren. Es wird vom sachlichen Anwendungsbereich des Lugano-Übereinkommens erfasst, sofern es nicht in einen nach Art. 1 Abs. 2 LugÜ ausgeschlossenen Sachbereich fällt.
3.4.1 Nach Art. 1 Abs. 2 Ziff. 1 LugÜ ist das Übereinkommen auf das Gebiet des "Erbrechts einschliesslich des Testamentsrechts" nicht anzuwenden. Die Auslegung dieser Norm hat nach den allgemeinen Grundsätzen des Staatsvertragsrechts vertragsautonom zu erfolgen (BGE 124 III 382 E. 6d S. 395; GERHARD WALTER, a.a.O., S. 167; DASSER, a.a.O., N. 50 zu Art. 1 LugÜ; grundlegend in Bezug auf die Auslegung der EuGVÜ das Urteil des EuGH vom 14. Oktober 1976 C 29-76 LTU Lufttransportunternehmen GmbH & Co. KG, Slg. 1976 01541 Randnr. 3; PIPPA ROGERSON, in: Brussels I Regulation, München 2007, N. 8 ff. zu Art. 1 EuGVO; PETER SCHLOSSER, EU-Zivilprozessrecht, 2. Aufl., München 2003, N. 13 zu Art. 1 EuGVO). Aus diesem Grund ist die von den Beschwerdeführern vorgetragene Auslegung des Begriffs der "erbrechtlichen Streitigkeit" im Sinne des Art. 86 IPRG unbeachtlich, namentlich auch die dazu ergangene, von den Beschwerdeführern mehrfach angerufene bundesgerichtliche Rechtsprechung.
In "das Gebiet des Erbrechts einschliesslich des Testamentsrechts" i.S. des Art. 1 Abs. 2 Ziff. 1 LugÜ fallen alle Ansprüche des Erben "auf und an den Nachlass" (so bezüglich des EuGVÜ PETER SCHLOSSER, Bericht zu dem Übereinkommen über die gerichtliche Zuständigkeit und die Vollstreckung gerichtlicher Entscheidungen in Zivil- und Handelssachen, unterzeichnet in Brüssel am 27. September 1968, Abl. EG 1979 Nr. C 59/71, Rz. 52). Ob ein Auskunftsrecht eines Erben gegenüber einem Dritten als ein solcher Anspruch zu qualifizieren ist, hat das Bundesgericht noch nie entschieden. Ebensowenig gibt es einschlägige europäische Rechtsprechung zu den Parallelnormen des EuGVÜ bzw. der EuGVO. Demgegenüber wird in der Doktrin zur EuGVO vertreten, dass die Verordnung in vermögensrechtliche Streitigkeiten des Erben mit Dritten immerhin dann eingreift, wenn sie ihren Grund nicht im Erbrecht haben und die Erbberechtigung nur als Vorfrage auftreten kann. So findet die EuGVO auf die Klage aus einem vom Erblasser geschlossenen Schuldvertrag Anwendung, auch wenn die Klage erst nach dem Erbfall erhoben wird (JAN KROPHOLLER, Europäisches Zivilprozessrecht, 8. Aufl., 2005, N. 28 zu Art. 1 EuGVO). Das Auftreten erbrechtlicher Vorfragen hindert die Anwendung der Verordnung nicht (SCHLOSSER, a.a.O., N. 18 zu Art. 1 EuGVO).
3.4.2 Ansprüche gegen Dritte, in die ein Erbe causa mortis nachfolgt, fallen folglich dann in den sachlichen Anwendungsbereich des Lugano-Übereinkommens, wenn sich der geltend gemachte Anspruch bereits im Vermögen des Erblassers befand, mithin nur die Aktivlegitimation des Erben auf einem erbrechtlichen Titel beruht. In solchen Fällen ist der Bestand und Inhalt des geltend gemachten Anspruchs nicht nach dem Erbstatut, sondern nach einem anderen vermögensrechtlichen Statut zu beurteilen und nur die Aktivlegitimation durch das Erbrecht im Sinne einer Vorfrage bestimmt. Macht ein angeblicher Erbe einen wie auch immer gearteten Anspruch gegen die Bank geltend, mit welcher der Erblasser in einer Kontobeziehung stand, ist nach dem auf die Bankkundenbeziehung anwendbaren Vertragsstatut zu prüfen, ob ein solcher Anspruch besteht. Ist er begründet, befand er sich bereits im Vermögen des Erblassers und beruht nur die Aktivlegitimation des Erben auf einem erbrechtlichen Titel. Ein derart geltend gemachter Anspruch fällt damit nicht unter die ausgeschlossenen Materien gemäss Art. 1 Abs. 2 Ziff. 1 LugÜ.
Freilich kann zugleich ein erbrechtlicher Anspruch gegenüber der Bank bestehen, für den das Lugano-Übereinkommen keine Zuständigkeit vorsieht (bezüglich sich direkt aus dem Erbstatut ergebender Ansprüche vgl. das Urteil der II. zivilrechtlichen Abteilung 5C.235/2004 vom 24. März 2005, E. 2.2). Das ändert aber nichts daran, dass jedenfalls der sich aus dem Vertragsstatut ergebende Anspruch nicht zu den ausgeschlossenen Materien des Lugano-Übereinkommens gehört. Insofern fällt das Einsichtsbegehren, das der Beschwerdegegner nach den Feststellungen des Handelsgerichts auf eine vorbestehende Bankkundenbeziehung des Erblassers mit der Beklagten stützt, in dem Umfang nicht unter die ausgeschlossenen Materien, als dessen Bestand und Inhalt vertragsrechtlich begründet ist.
3.5 Das Handelsgericht des Kantons Zürich hat sich in Anwendung von Art. 2 Abs. 1 LugÜ i.V.m. Art. 112 Abs. 1 IPRG zu Recht für international und örtlich zuständig erklärt. Es wird die Begründetheit des Einsichtsbegehrens hauptfrageweise gestützt auf ein Vertragsstatut und vorfrageweise gestützt auf ein Erbstatut zu beurteilen haben.
4. Aus diesen Gründen ist die Beschwerde gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts und den Beschluss des Handelsgerichts abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Die unterliegende Beklagte bleibt demgegenüber aufgrund ihrer Streitentschlagung von Kosten- und Entschädigungspflichten frei (vgl. oben. E. 1.1.2 f.).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden den Nebenintervenienten und Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung (intern je zu einem Drittel) auferlegt.
3. Die Nebenintervenienten und Beschwerdeführer haben den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftung (intern je zu einem Drittel) mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Handelsgericht des Kantons Zürich und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Dezember 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Corboz Hurni