Fatti:
A. A._ (1984), cittadino dominicano, è entrato in Svizzera il 29 novembre 1997 per ricongiungersi con la madre ivi domiciliata ed è stato posto al beneficio di un permesso di dimora, rinnovato l'ultima volta fino al 5 luglio 2006. A partire dal 2001 ha iniziato ad interessare le autorità di polizia, giudiziarie e amministrative, venendo condannato cinque volte nonché essendo ammonito due volte dalla Sezione dei permessi e dell'immigrazione del Cantone Ticino. Il 5 novembre 2007 detta autorità, richiamando l'ultima condanna penale e il secondo ammonimento, ha rifiutato di rinnovargli il permesso di dimora e l'ha invitato a lasciare il territorio cantonale.
Questa decisione è stata confermata su ricorso dal Consiglio di Stato ticinese il 19 dicembre 2007.
B. Il 23 gennaio 2008 A._ ha presentato dinanzi al Tribunale federale un ricorso in materia di diritto pubblico, con cui chiede che il giudizio governativo sia annullato e che gli venga rilasciata un'autorizzazione di soggiorno. Censura la violazione dell'art. 8 CEDU nonché del principio della proporzionalità. Postula inoltre il beneficio dell'assistenza giudiziaria.
Il Tribunale federale non ha ordinato uno scambio di allegati scritti.
Diritto:
1. Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (art. 29 cpv. 1 LTF), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (DTF 133 I 185 consid. 2 con riferimenti).
2. 2.1 Giusta l'art. 83 lett. c n. 2 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni in materia di diritto degli stranieri concernenti i permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto. In concreto il ricorrente non può prevalersi di una disposizione specifica dell'ordinamento legislativo federale o di un accordo internazionale, da cui potrebbe derivargli un diritto al rilascio dell'autorizzazione sollecitata. In particolare, e contrariamente a quanto sostenuto, non può appellarsi all'art. 8 CEDU, dato che non si trova in un particolare stato di dipendenza dalla madre, suscettibile di fondare un diritto al permesso di soggiorno nonostante la sua maggiore età (DTF 129 II 11 consid. 2; 120 Ib 257 consid. 1d-e). Il ricorso in materia di diritto pubblico è quindi inammissibile.
2.2 Non essendo dato il ricorso in materia di diritto pubblico, il Consiglio di Stato è quindi l'ultima istanza cantonale (art. 113 LTF combinato con l'art. 10 lett. a della legge ticinese di applicazione alla legislazione federale in materia di persone straniere, dell'8 giugno 1998). Rimane da vagliare se il gravame sia ricevibile come ricorso sussidiario in materia costituzionale.
2.3 Giusta l'art. 115 lett.b LTF è legittimato a proporre questo rimedio di diritto chi ha un interesse legittimo all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata. Sennonché in concreto il ricorrente non può prevalersi di una situazione giuridica tutelata dalla legge (su questa nozione, cfr. DTF 133 I 185) che gli conferirebbe un diritto al rilascio di un'autorizzazione di soggiorno. La censura relativa all'asserita lesione del principio della proporzionalità è quindi inammissibile. Osservato poi che il ricorrente non fa valere la disattenzione dei suoi diritti di parte, la cui violazione costituirebbe un diniego di giustizia formale (DTF 133 I 185 consid. 6.2), anche trattato quale ricorso sussidiario in materia costituzionale, il gravame è inammissibile.
3. Per i motivi illustrati, il gravame si avvera pertanto manifestamente inammissibile (art. 108 cpv. 1 lett. a LTF) e va deciso secondo la procedura semplificata dell'art. 108 LTF. Dal momento che il gravame era sin dall'inizio privo di possibilità di esito favorevole, la domanda di assistenza giudiziaria dev'essere parimenti respinta (art. 64 LTF). Le spese seguono pertanto la soccombenza (art. 65 e 66 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Presidente pronuncia:
1. Il ricorso è inammissibile.
2. Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Sezione dei permessi e dell'immigrazione del Dipartimento delle istituzioni e al Consiglio di Stato del Cantone Ticino, nonché all'Ufficio federale della migrazione.