Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Der 1935 geborene M._ war seit 1972 im Planungsbüro seiner Ehefrau tätig. Auf Ende März 1998 kündigte die Firmeninhaberin das Arbeitsverhältnis mit ihrem Ehemann.
Mit Verfügung vom 16. Juni 1998 lehnte die Arbeitslosenkasse des Kantons Luzern einen Antrag von M._ auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. April 1998 ab, weil er als mitarbeitender Ehegatte der Firmeninhaberin und Betriebsleiter die Entscheidungen der Arbeitgeberin massgeblich habe mitbestimmen und beeinflussen können, sodass er eine arbeitgeberähnliche Stellung innehabe; dies gelte auch für die Zeit nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses, indem er sich bei Bedarf jederzeit wieder als Arbeitnehmer einstellen könne. Unter den gegebenen Umständen laufe die Geltendmachung von Arbeitslosenentschädigung auf eine Umgehung der Vorschriften über die Kurzarbeitsentschädigung hinaus. Diese Verfügung wurde vom Eidgenössischen Versicherungsgericht letztinstanzlich mit Urteil vom 26. Juli 1999 bestätigt.
Auf den 30. April 1999 wurde die Firma X._ aufgelöst. Am 31. Mai 1999 stellte M._ Antrag auf Arbeitslosenentschädigung ab 28. Mai 1999. Nachdem das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 14. Februar 2000 eine Verfügung des Arbeitsamtes des Kantons Luzern (vom 14. Oktober 1999) in Gutheissung einer Beschwerde von M._ aufgehoben und dessen Vermittlungsfähigkeit ab 28. Mai 1999 bejaht hatte, lehnte die Arbeitslosenkasse den ab diesem Zeitpunkt geltend gemachten Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab; M._ habe durch nichts belegt, dass er während der massgebenden Rahmenfrist tatsächlich Lohn bezogen habe, weshalb die Mindestbeitragszeit nicht erfüllt sei (Verfügung vom 3. August 2000, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 12. Dezember 2000).
Auf den 30. April 1999 wurde die Firma X._ aufgelöst. Am 31. Mai 1999 stellte M._ Antrag auf Arbeitslosenentschädigung ab 28. Mai 1999. Nachdem das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 14. Februar 2000 eine Verfügung des Arbeitsamtes des Kantons Luzern (vom 14. Oktober 1999) in Gutheissung einer Beschwerde von M._ aufgehoben und dessen Vermittlungsfähigkeit ab 28. Mai 1999 bejaht hatte, lehnte die Arbeitslosenkasse den ab diesem Zeitpunkt geltend gemachten Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab; M._ habe durch nichts belegt, dass er während der massgebenden Rahmenfrist tatsächlich Lohn bezogen habe, weshalb die Mindestbeitragszeit nicht erfüllt sei (Verfügung vom 3. August 2000, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 12. Dezember 2000).
B. In Gutheissung der hiegegen eingereichten Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Beizug der Steuerakten den angefochtenen Einspracheentscheid auf, indem es die Erfüllung der Beitragszeit bejahte, und wies die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück, damit sie, nach erfolgter Abklärung der weiteren Anspruchsvoraussetzungen, über den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung neu verfüge (Entscheid vom 2. Mai 2002).
B. In Gutheissung der hiegegen eingereichten Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern nach Beizug der Steuerakten den angefochtenen Einspracheentscheid auf, indem es die Erfüllung der Beitragszeit bejahte, und wies die Sache an die Arbeitslosenkasse zurück, damit sie, nach erfolgter Abklärung der weiteren Anspruchsvoraussetzungen, über den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung neu verfüge (Entscheid vom 2. Mai 2002).
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Arbeitslosenkasse, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben.
Während M._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen lässt, verzichtet das Staatssekretariat für Wirtschaft auf eine Vernehmlassung.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Die Vorinstanz hat die Bestimmungen über die Erfüllung der Beitragszeit als Voraussetzung für den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung (Art. 8 Abs. 1 lit. e in Verbindung mit Art. 13 Abs. 1 AVIG) sowie die Rahmenfrist für die Beitragszeit (Art. 9 AVIG) zutreffend dargelegt. Darauf kann verwiesen werden.
Gemäss BGE 113 V 352 ist im Rahmen des Art. 13 Abs. 1 AVIG einzig vorausgesetzt, dass der Versicherte effektiv eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt hat, nicht aber, dass der Arbeitgeber als Organ des Beitragsbezugsverfahrens die Arbeitnehmerbeiträge tatsächlich der Ausgleichskasse überwiesen hat. Diese Rechtsprechung wurde unlängst dahin präzisiert, dass im Anwendungsbereich von Art. 13 Abs. 1 AVIG nicht nur die effektive Ausübung einer beitragspflichtigen Beschäftigung verlangt wird, sondern auch, dass der Arbeitgeber der versicherten Person für diese Beschäftigung tatsächlich einen Lohn entrichtet hat (ARV 2002 S. 116, 2001 S. 228 Erw. 4c).
Gemäss BGE 113 V 352 ist im Rahmen des Art. 13 Abs. 1 AVIG einzig vorausgesetzt, dass der Versicherte effektiv eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt hat, nicht aber, dass der Arbeitgeber als Organ des Beitragsbezugsverfahrens die Arbeitnehmerbeiträge tatsächlich der Ausgleichskasse überwiesen hat. Diese Rechtsprechung wurde unlängst dahin präzisiert, dass im Anwendungsbereich von Art. 13 Abs. 1 AVIG nicht nur die effektive Ausübung einer beitragspflichtigen Beschäftigung verlangt wird, sondern auch, dass der Arbeitgeber der versicherten Person für diese Beschäftigung tatsächlich einen Lohn entrichtet hat (ARV 2002 S. 116, 2001 S. 228 Erw. 4c).
2. 2.1 Wie das kantonale Gericht zutreffend festgehalten hat, sind die AHV-Lohnblätter, die vom Beschwerdegegner selbst unterzeichnet wurden, nicht geeignet, einen auf die Rahmenfrist für die Beitragszeit (28. Mai 1997 bis 27. Mai 1999) entfallenden, tatsächlichen Lohnbezug nachzuweisen. Einen Beweis für die erfolgte Lohnzahlung erblickt die Vorinstanz hingegen in der Steuererklärung 1999/2000, in welcher der Beschwerdegegner für das Jahr 1997 ein Einkommen aus unselbstständiger Erwerbstätigkeit von Fr. 37'037.- und 1998 ein solches von Fr. 48'407.- deklariert hatte.
2.2 Der Beschwerdegegner hat die Steuererklärung 1999/2000, in welcher die erwähnten Einkommen aus den Jahren 1997/1998 deklariert sind, erst am 30. November 2001 unterschrieben und von der Treuhand Y._ dem Steueramt Z._ einreichen lassen. Gemäss Veranlagungsprotokoll wurden die deklarierten Einkommen von der Steuerbehörde übernommen, und am 17. Januar 2002 erging die definitive Veranlagungsverfügung der kantonalen Steuerverwaltung. In die Steuererklärung wurden die vom Beschwerdegegner auf den AHV-Lohnblättern zuhanden der Ausgleichskasse bestätigten Lohnsummen übernommen. Da diesen Lohnblättern nach den richtigen Ausführungen der Vorinstanz hinsichtlich eines tatsächlich erfolgten Lohnbezuges in der vorliegend interessierenden Periode kein Beweiswert zukommt, ist nicht ersichtlich, inwiefern die Steuererklärung, in welche die nämlichen Lohnsummen übertragen wurden, beweistauglich sein soll. Da sowohl die Buchhaltung der Treuhand Y._ als auch die Steuererklärung auf den nicht beweiskräftigen, vom Beschwerdegegner selbst unterzeichneten AHV-Lohnblättern beruhen, und Belege für eine Lohnüberweisung, wie z.B. Post- oder Bankkontoauszüge oder Quittungen für Lohnzahlungen in bar, fehlen, ist eine tatsächlich erfolgte Lohnentrichtung im Sinne der Rechtsprechung (Erw. 1 hievor) nicht mit der erforderlichen Wahrscheinlichkeit erstellt. Eine Urkunde, welcher die Beweiskraft abgeht, wird nicht dadurch zum tauglichen Beweismittel, dass in anderen Aktenstücken wiederum von deren Inhalt ausgegangen wird.
Wie die Arbeitslosenkasse sodann richtig bemerkt, wurde die Steuererklärung 1999/2000 erst am 30. November 2001 und somit zu einem Zeitpunkt eingereicht, als dem Beschwerdeführer aufgrund des Einspracheentscheides der Kasse vom 12. Dezember 2000 die Anforderungen an den Nachweis der behaupteten Lohnzahlungen bekannt waren. Dass darin die Lohnsummen gemäss AHV-Lohnblättern und Buchhaltung übernommen wurden, ist folgerichtig und kann unter den gegebenen Umständen nicht als Hinweis auf eine tatsächlich erfolgte Lohnzahlung aufgefasst werden. Ferner ist auch der vom Beschwerdegegner selbst unterzeichnete Lohnausweis für die Jahre 1997 und 1998, der das Datum vom 31. Dezember 1998 trägt, indessen erst mit der Steuererklärung 1999/2000 am 30. November 2001 eingereicht wurde, nicht geeignet, die geltend gemachten Lohnzahlungen zu belegen. Soweit das kantonale Gericht des Weiteren aus dem Umstand, dass der Beschwerdegegner auch für die Jahre 1995 und 1996 ein Einkommen aus unselbstständiger Erwerbstätigkeit versteuert habe, auf die Richtigkeit des behaupteten Sachverhalts in den Jahren 1997 und 1998 schliessen will, kann ihm nicht gefolgt werden. Das steuerbare Einkommen des Beschwerdegegners und seiner Ehefrau in den Bemessungsjahren 1995/1996 wurde von der Steuerbehörde am 3. Februar 2000 zunächst ermessensweise auf Fr. 82'800.- festgelegt. Auf Einsprache gegen diese Ermessenstaxation hin setzte die Staatssteuerkommission für Gewerbebetriebe und freie Berufe, Kreis II, des Kantons Luzern, das steuerbare Einkommen in der Steuerperiode 1997/1998 rechtskräftig auf Fr. 25'400.- fest (Einspracheentscheid vom 12. April 2001). Abgesehen davon, dass dieses Einkommen aus den Jahren 1995 und 1996 wesentlich tiefer ist als das steuerbare Einkommen in den hier interessierenden Jahren 1997/1998 (Fr. 34'300.-), ist den Steuerakten nicht zu entnehmen, welcher Anteil dieser Einkommen auf den Beschwerdegegner selbst und welcher auf seine Ehefrau als Geschäftsinhaberin entfallen ist. Immerhin ist festzustellen, dass in der später korrigierten Ermessenseinschätzung der weit überwiegende Teil der Einkünfte nicht dem Beschwerdegegner, sondern seiner Ehefrau zugeschrieben wurde. Aufgrund der Steuerakten kann somit entgegen den Erwägungen im angefochtenen Entscheid nicht von einem gleichen fortgesetzten Sachverhalt während eines Zeitraumes von vier Jahren gesprochen werden. Schliesslich kann der Beschwerdegegner auch aus dem Umstand, dass er nach der Kündigung des Anstellungsverhältnisses teilzeitlich weiter für das Planungsbüro seiner Ehegattin tätig war und der Arbeitslosenkasse entsprechende Bescheinigungen über Zwischenverdienst einreichte, nichts zu seinen Gunsten ableiten. Denn in den Formularen wird nicht die effektive Lohnzahlung bescheinigt.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 2. Mai 2002 aufgehoben.
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 2. Mai 2002 aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, dem Kantonalen Arbeitsamt Luzern und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 28. Februar 2003
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der II. Kammer: Der Gerichtsschreiber: