Sachverhalt:
A. Am 12. Oktober 2006 ging der damals viereinhalbjährige X._ nach dem Mittagessen in die Toilette der Kindertagesstätte A._ in Münchenbuchsee, um sich die Hände zu waschen. Ein vier Jahre älterer Spielkamerad hielt sich gleichzeitig in der Toilette auf und hinderte ihn am Öffnen der Tür und Verlassen des Raumes. Als X._ Hilfe herbeirufen wollte, urinierte ihm der Spielkamerad in den Mund und an die Brust. X._ berichtete zunächst nicht über den Vorfall, da ihm der Spielkamerad Nachteile angedroht hatte, wenn er etwas sage. In der Folge wurde das Geschehen aber trotzdem bekannt und beanspruchte X._ - meist in Begleitung seiner Mutter - verschiedene Therapieangebote, deren Kosten von der Opferhilfe des Kantons Bern übernommen wurden.
B. Am 11. September 2008 reichte die Mutter von X._, Y._, in Vertretung ihres Sohnes bei der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern ein Gesuch um Ausrichtung einer opferhilferechtlichen Genugtuung im Betrag von Fr. 4'500.-- ein. Mit Verfügung vom 6. Juli 2009 sprach die Direktion X._ eine Genugtuung von Fr. 1'000.-- zu; soweit weitergehend wies sie das Gesuch ab.
C. Hiergegen beschwerte sich X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Dieses holte bei der behandelnden Psychotherapeutin, B._, einen zusätzlichen Behandlungsbericht ein. In der Folge wies der Einzelrichter des Verwaltungsgerichts die Beschwerde mit Urteil vom 6. Juli 2010 ab.
D. Mit Eingabe vom 14. September 2010 führt Y._ für ihren Sohn X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Zusprechung einer Genugtuung von Fr. 4'500.--, die Feststellung, dass die erlittene Unbill keine konkurrierenden Ursachen habe, die Einholung eines medizinischen Fachgutachtens, die Zulassung verschiedener Noven und die Kostenfreiheit des Beschwerdeverfahrens.
E. Das Verwaltungsgericht und die Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer hat mit Eingabe vom 4. Januar 2011 zu den Vernehmlassungen Stellung genommen.
Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil betrifft finanzielle Leistungen nach dem Opferhilfegesetz und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit gemäss Art. 82 lit. a BGG. Ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG liegt nicht vor. Das Verwaltungsgericht hat als oberes Gericht kantonal letztinstanzlich entschieden (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d i.V.m. Abs. 2 BGG) und einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG gefällt. Gegen sein Urteil ist daher die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig.
1.2 Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist - vertreten durch seine Mutter (vgl. Art. 18 ZGB) - zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Diese wurde form- und fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art 46 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist unter den nachfolgenden Vorbehalten einzutreten.
1.3 Der Beschwerdeführer beantragt, es sei festzustellen, dass keine andere Ursache zur erlittenen immateriellen Unbill beigetragen hat. An der Beurteilung von Feststellungsbegehren kann ein schutzwürdiges Interesse nach ständiger Rechtsprechung nur bejaht werden, wenn dieses nicht ebenso gut mit einem Leistungs- oder einem Gestaltungsbegehren gewahrt werden kann (BGE 128 V 41 E. 3a S. 48; 126 II 300 E. 2c S. 303). Die vom Beschwerdeführer verlangte Feststellung geht in seinem weiteren (Leistungs-)Begehren auf, es sei eine höhere Genugtuung auszurichten, weil keine anderen Umstände als der schädigende Vorfall zu seinem Leiden beigetragen hätten. Das Feststellungsbegehren hat somit keine selbstständige Bedeutung und ist als Rechtsbegehren unzulässig. Auf den Einwand ist nachfolgend im Zusammenhang mit den erhobenen Rügen einzugehen.
1.4 Der Beschwerdeführer hat verschiedene neue Beweismittel eingereicht. Gemäss Art. 99 BGG dürfen vor dem Bundesgericht keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben. Diese Einschränkung steht im Zusammenhang mit der Regelung, dass das Bundesgericht von wenigen Ausnahmen abgesehen nur eine Rechtskontrolle ausübt (vgl. Art. 95 BGG) und deshalb grundsätzlich an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt gebunden ist (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 BGG). Die neu eingereichten Unterlagen sind alle vor dem vorinstanzlichen Urteil entstanden und hätten schon dem Verwaltungsgericht vorgelegt werden können. Jedenfalls behauptet der Beschwerdeführer nicht, diese Beweismittel hätten nicht schon früher beschafft und eingebracht werden können. Er lässt bloss durchblicken, dass er von seinem Akteneinsichtsrecht nicht früher Gebrauch gemacht hat (Beschwerde Ziff. 3 S. 11). Die Vorinstanz hat im weiteren keine rechtlichen Argumente als massgebend erachtet, zu denen der Beschwerdeführer sich nicht schon vor ihr äussern konnte; insbesondere hat schon die Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern der Straftat keine sexuelle Bedeutung zugemessen und sie als Tätlichkeit qualifiziert (Verfügung vom 6. Juli 2009 E. 2). Die eingereichten Noven erweisen sich damit als unzulässig und müssen unbeachtlich bleiben.
2. Der Beschwerdeführer rügt eine offensichtlich unrichtige bzw. unvollständige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Diese hätte für die Frage der Ursachen und Wirkungen seines Leidens nicht vornehmlich auf die Aussagen der zur Zeit therapierenden Psychologin abstellen dürfen, sondern hätte auch eine vertiefte medizinische Abklärung veranlassen müssen. Die Überprüfung der damit zusammenhängenden Fragen von neutraler Seite, beispielsweise durch Einholen eines medizinischen Gutachtens bei C._, welche die Familiensituation kenne, sei unumgänglich, zumal die Vorinstanz dem Mitwirken anderer Faktoren eine genugtuungsmindernde Bedeutung zugemessen habe (angefochtenes Urteil E. 6.2).
Das Verwaltungsgericht hat nicht bloss auf den Bericht der aktuell therapierenden Fachpsychologin abgestellt, sondern die Erkenntnisse weiterer mit dem Fall befasster Fachleute (unter ihnen auch C._) beigezogen und sich auf die umfangreichen schriftlichen Unterlagen in den Akten (mit weiteren Fachmeinungen) gestützt (vgl. insbesondere E. 4.2 des angefochtenen Urteils). Darunter befanden sich auch medizinische Daten, wie der Beschwerdeführer selber einräumt (Beschwerde Ziff. 2 S. 10). Dass das Verwaltungsgericht unter Würdigung aller Beweismittel zur Erkenntnis gelangt ist, der Vorfall vom 12. Oktober 2006 sei nur eine Teilursache für dessen psychischen Schwierigkeiten, erscheint keineswegs als offensichtlich unrichtig oder ungenügend abgestützt, umso weniger, als der Beschwerdeführer aktenkundig schon vor der Straftat in therapeutischer Behandlung war und seine Mutter aufgrund eigener traumatisierender Erlebnisse in ihrer Jugend und Adoleszenz mit der Verarbeitung des Geschehens besondere, das Kind zusätzlich belastende Schwierigkeiten bekundete. Die Vorinstanz ist daher bei der Beweiswürdigung nicht in Willkür (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252) verfallen, wenn sie die Abklärungen als genügend und eine weitere Begutachtung als entbehrlich beurteilt und namentlich die vom Beschwerdeführer bevorzugte Fachmeinung nicht als allein massgebend erachtet hat. Der Einwand der offensichtlich falschen bzw. ungenügenden Erhebung und Würdigung der Geschehnisse geht deshalb fehl. Das Bundesgericht hat seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde zu legen (Art. 105 Abs. 1 BGG). Bei dieser Sachlage besteht auch kein Anlass zu einer erneuten Begutachtung im Rahmen des vorliegenden Verfahrens.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer ist Opfer einer am 12. Oktober 2006 gegen ihn verübten strafbaren Handlung. Gemäss Art. 48 des Bundesgesetzes vom 23. März 2007 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (OHG; SR 312.5) gilt das bisherige Recht für Ansprüche unter anderem auf Genugtuung für Straftaten, die vor Inkrafttreten dieses Gesetzes verübt worden sind. Es ist daher das alte Bundesgesetz vom 4. Oktober 1991 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (aOHG; AS 1992 2465 ff.) anwendbar.
3.2 Gemäss Art. 2 aOHG kann jede Person nach diesem Gesetz Hilfe beanspruchen, die durch eine Straftat in ihrer körperlichen, sexuellen oder psychischen Integrität unmittelbar beeinträchtigt worden ist (Opfer), und zwar unabhängig davon, ob der Täter ermittelt worden ist und ob er sich schuldhaft verhalten hat. Laut Art. 12 Abs. 2 aOHG kann dem Opfer unabhängig von seinem Einkommen eine Genugtuung ausgerichtet werden, wenn es schwer betroffen ist und besondere Umstände dies rechtfertigen.
3.3 Die kantonalen Behörden haben einen Genugtuungsanspruch des Beschwerdeführers bejaht. Er sei Opfer einer strafbaren Handlung geworden, die als Tätlichkeit im Sinne von Art. 126 StGB qualifiziert werden könne (angefochtenes Urteil E. 2.2.1 S. 4). Die Gesundheits- und Fürsorgedirektion hat die Tat als eine Machtdemonstration gewertet, die anstössig, geschmacklos und unanständig gewesen sei und das tolerierbare Mass klar überschritten habe. Der Vorfall habe - im Zusammenwirken mit anderen Faktoren - zu Verhaltensauffälligkeiten und psychosomatischen Reaktionen geführt, die auf eine nicht unerhebliche Beeinträchtigung der psychischen Integrität schliessen liessen. Das Verwaltungsgericht hat als fraglich erachtet, ob derartige Vorfälle im Allgemeinen genügend gewichtig sind, um einen Genugtuungsanspruch zu begründen. Im vorliegenden Fall müsse aber mit Blick auf das Alter des Beschwerdeführers und seine von Fachleuten bezeugte besondere Verletzbarkeit davon ausgegangen werden, dass der Vorfall eine schwere Betroffenheit des Beschwerdeführers habe auslösen können (angefochtenes Urteil E. 2.2.2 S. 5). Die Frage der Adäquanz könne jedoch letztlich offen bleiben, da die Rechtsstellung des Beschwerdeführers oberinstanzlich ohnehin nicht zu seinem Nachteil verschlechtert werden dürfe (angefochtenes Urteil E. 2.2.2 S. 6).
3.4 Der Beschwerdeführer hält die rechtliche Qualifikation der Straftat durch die kantonalen Behörden für unzutreffend. Nach seiner Auffassung rechtfertigt eine grosse Wahrscheinlichkeit die Annahme, dass die Straftat einen sexuellen Bezug hatte. Es handle sich richtig besehen um eine sexuelle Handlung mit bzw. unter Kindern, die von Art. 187 Abs. 1 StGB erfasst werde. Dem Täter sei es darum gegangen, durch eine sexuelle Handlung oraler Art einen Lustgewinn oder Erregung zu empfinden.
3.5 Soweit der Beschwerdeführer damit die sachverhaltlichen Grundlagen für die Beurteilung in Frage stellen will, muss er auf das in Erwägung 2 hiervor Ausgeführte verwiesen werden; das Bundesgericht ist an den von der Vorinstanz willkürfrei festgestellten Sachverhalt gebunden. Dass der Täter mit seinem Glied den Mundbereich des Opfers berührt habe oder sogar damit in dessen Mund eingedrungen sei, hat die Vorinstanz nicht festgestellt und kann daher der rechtlichen Qualifikation der Straftat nicht zugrunde gelegt werden. Es lassen sich den umfangreichen Akten im Übrigen auch keine verlässlichen Hinweise für eine solche Verhaltensweise entnehmen. Im Vordergrund stand eindeutig die Erniedrigung des Opfers, das den Übergriff des Spielkameraden wegen dessen überlegener Körperkräfte und der Art der Tatbegehung weitgehend hilflos über sich ergehen lassen musste und dadurch traumatisiert wurde. Erst diese besonderen Umstände der Tatbegehung haben zu einem Grad der Betroffenheit geführt, der eine Genugtuung rechtfertigen kann. Die Schwere der Straftat, ob sie allenfalls sogar wegen einer sexuellen Komponente als eine Form sexueller Handlungen mit Kindern (Art. 187 Abs. 1 StGB) erscheinen könnte, ist nicht entscheidend (vgl. BGE 131 I 455 E. 1.2.2 S. 459 f.). Ein allfälliger Bezug zu kindlichem Sexualverhalten müsste jedenfalls als untergeordnet bezeichnet werden und ginge auf in der Bezeichnung des Übergriffs als eine besonders schwer zu ertragende Form der Erniedrigung, die eine das Mass des noch Hinzunehmenden übersteigende Beeinträchtigung der Integrität des Beschwerdeführers zur Folge hatte. Die Einwände des Beschwerdeführers zur rechtlichen Einordnung der Straftat ändern an deren Bedeutung unter dem Blickwinkel der Genugtuung deshalb nichts Wesentliches.
4. Der Beschwerdeführer hält die Genugtuung nach wie vor als zu niedrig bemessen und beansprucht einen Betrag von Fr. 4'500.--.
4.1 Das alte Opferhilfegesetz enthält keine Bestimmungen über die Bemessung der Genugtuung. Nach der Rechtsprechung sind die von den Zivilgerichten entwickelten Bemessungsgrundsätze zu Art. 47 und 49 OR sinngemäss heranzuziehen (BGE 132 II 117 E. 2.2.1 S. 119 mit Hinweisen). Allerdings besteht bei der Bemessung der Genugtuung nach Opferhilferecht im Unterschied zum Zivilrecht die Besonderheit, dass es sich nicht um eine Leistung aus Verantwortlichkeit, sondern um eine staatliche Hilfeleistung handelt. Nach der Rechtsprechung erreicht sie deshalb nicht ohne Weiteres die gleiche Höhe wie die zivilrechtliche, sondern kann unter Umständen davon abweichen oder gar wegfallen. Insbesondere kann berücksichtigt werden, dass die Genugtuung nicht vom Täter, sondern von der Allgemeinheit bezahlt wird. Die Festsetzung der Höhe der Genugtuung ist eine Entscheidung nach Billigkeit. Schematische Massstäbe sind insoweit abzulehnen. Die Genugtuung darf nicht nach festen Tarifen bemessen, sondern muss dem Einzelfall angepasst werden (BGE 132 II 117 E. 2.2.3 und 2.2.4 S. 120 f.; 128 II 49 E. 4.3 S. 55; je mit Hinweisen).
Der kantonalen Behörde steht bei der Bemessung der Genugtuung ein weiter Ermessensspielraum zu. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn sie grundlos von den in Lehre und Rechtsprechung entwickelten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle spielen oder wenn sie umgekehrt Tatsachen ausser Acht gelassen hat, die sie hätte berücksichtigen müssen; ebenso, wenn sich ihr Entscheid als offensichtlich ungerecht erweist (BGE 132 II 117 E. 2.2.5 S. 121 mit Hinweisen).
4.2 Die kantonalen Behörden sind bei der Bewertung der immateriellen Unbill in zwei Phasen vorgegangen: Sie haben zunächst aufgrund vergleichbarer Taten und anhand der dabei ausgerichteten Genugtuungen einen Basisbetrag als Orientierungspunkt angenommen (vgl. angefochtenes Urteil E. 5) und in einem zweiten Schritt die Besonderheiten des Einzelfalls gewürdigt (angefochtenes Urteil E. 6). Ein solches Vorgehen ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zulässig und geeignet (BGE 132 II 117 E. 2.2.3 S. 120).
Das Verwaltungsgericht hat im Rahmen der ersten Phase nicht nur auf die - wenig zahlreichen - Genugtuungsleistungen für Tätlichkeiten abgestellt, sondern auch die Praxis zu Fällen von einfacher Körperverletzung herangezogen. Es hat damit den besonderen Tatumständen hinreichend Rechnung getragen, selbst wenn man dem Übergriff noch eine sexuelle Komponente zuordnen wollte. Die Tat, von einem Neunjährigen verübt, ist zwar nicht zu verharmlosen, steht aber in keinem Verhältnis zu den Auswirkungen sexueller Nötigung und vergewaltigungsähnlicher Handlungen durch Jugendliche in der Adoleszenz oder gar Erwachsene, d.h. durch Personen, deren Sexualität entwickelt ist. Der von den kantonalen Behörden in einem ersten Schritt herbeigezogene Bemessungsrahmen liegt somit innerhalb des ihnen zustehenden Ermessensspielraums und ist nicht zu beanstanden.
Auch die Berücksichtigung genugtuungserhöhender und - mindernder Faktoren gibt zu keiner Kritik Anlass. Der Beschwerdeführer wendet sich zwar gegen den Einbezug konkurrierender Ursachen, doch dringen seine Rügen betreffend die entsprechenden Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz nicht durch (vgl. E. 2 hiervor) und leuchtet deshalb ein, dass die kantonalen Behörden die Disposition des Beschwerdeführers zur Tatzeit und weitere, ausserhalb der Straftat liegende erschwerende Umstände in minderndem Sinne berücksichtigt haben. Ergänzend kann angeführt werden, dass der Beschwerdeführer recht grosszügige therapeutische Hilfeleistungen der Opferhilfe in Anspruch nehmen konnte. Staatliche Leistungen sind damit (auch) erbracht worden, um die Beeinträchtigung der Integrität des Beschwerdeführers möglichst klein zu halten. Umso weniger lässt sich sagen, die kantonalen Behörden hätten das ihnen zustehende Ermessen bei der Bemessung der Entschädigung missbraucht.
5. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ergebnis wird der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Beschwerdeverfahren vor dem Bundesgericht in Opferhilfesachen ist indessen kostenlos (Art. 16 aOHG; vgl. auch Art. 30 OHG). Es sind deshalb keine Gerichtskosten zu erheben; das Begehren um Kostenfreiheit ist damit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Kanton Bern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, sowie dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Mattle