Faits:
A. Le 30 mai 2007, l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) a rendu une décision par laquelle il a refusé des mesures de réadaptation professionnelle et une rente d'invalidité à P._, au motif qu'elle se considérait inapte à reprendre une activité lucrative et que le degré d'invalidité qu'elle présentait s'élevait à 20%.
B. Saisi d'un recours de l'assurée contre cette décision, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a confié une expertise bidisciplinaire aux docteurs C._, et B._. Après que les parties se sont déterminées sur les deux rapports d'expertise dans le délai accordé par le Tribunal cantonal, celui-ci a posé des questions complémentaires au docteur C._ concernant notamment la capacité de travail de l'assurée depuis le 1er novembre 2003. Le médecin y a répondu par courrier du 2 décembre 2008, que le Tribunal cantonal a remis pour information aux parties le 16 décembre suivant. Statuant le 5 janvier 2009, le Tribunal cantonal a admis partiellement le recours, annulé la décision de l'office AI et lui a renvoyé la cause pour nouvelle décision au sens des considérants.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, l'office AI conclut à l'annulation du jugement cantonal et à la confirmation de sa décision du 30 mai 2007. Il sollicite par ailleurs l'effet suspensif à son recours, ce qui lui a été refusé par ordonnance du 2 juin 2009.
P._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales en propose l'admission.
Considérant en droit:
1. Dans les considérants de son jugement, auxquels renvoie le ch. 3 du dispositif, la juridiction cantonale a retenu que l'intimée avait subi différentes périodes d'incapacité de travail (de 100%, de 0% puis de 50%) et disposait d'une capacité de travail de 50% dans une activité adaptée depuis le 15 mars 2006, cette limitation relevant d'une problématique somatique uniquement. Elle a ordonné le renvoi de la cause au recourant, pour qu'il rende une nouvelle décision qui tienne compte de l'incapacité de travail de l'assurée ainsi constatée.
Le jugement entrepris doit dès lors être qualifié de décision incidente qui peut être attaquée aux conditions de l'art. 93 LTF. En tant que la juridiction cantonale a rendu un arrêt de renvoi qui restreint considérablement la latitude de jugement du recourant quant à l'un des aspects essentiels des rapports juridiques litigieux - de sorte qu'il est tenu de rendre une décision qui, selon lui, est contraire au droit fédéral -, il subit un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (cf. ATF 133 V 477 consid. 5.2 p. 483 ss et les arrêts cités). Il convient dès lors d'entrer en matière sur son recours.
2. Dans un premier moyen tiré d'une violation du droit d'être entendu, le recourant reproche aux premiers juges de l'avoir empêché de participer à l'administration de preuves essentielles et de s'exprimer sur leur résultat, parce qu'ils ont rendu leur jugement quelques jours après avoir transmis aux parties le complément d'expertise du docteur C._, sans qu'elles aient pu se prononcer sur cette pièce.
2.1 Si un office cantonal de l'assurance-invalidité ne saurait se prévaloir directement des garanties de procédure que la Constitution fédérale accorde aux particuliers, il dispose néanmoins de la faculté de se plaindre de la violation de ses droits de partie, comme le ferait un justiciable, dès lors que la qualité pour former un recours en matière de droit public contre un jugement cantonal lui est reconnu (art. 89 al. 2 let. d LTF, 201 RAVS en corrélation avec l'art. 89 RAI). En tant qu'autorité ayant rendu la décision initiale, l'administration conserve sa qualité de partie tout au long de la procédure de recours et jouit ainsi de tous les droits attribués par la loi aux parties (ATF 105 V 186 consid. 1 p. 188; arrêt du Tribunal fédéral 9C_245/2007 du 24 septembre 2007 et les références).
2.2 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu, garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., celui pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision soit prise à son détriment, celui de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision, celui d'avoir accès au dossier et celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (ATF 132 V 368 consid. 3.1 p. 370 et les références). Une partie à un procès doit pouvoir prendre connaissance de toute observation ou pièce soumise au tribunal et se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement de nature à influer sur le jugement à rendre. Il appartient en effet d'abord aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Elles doivent à cette fin pouvoir s'exprimer dans le cadre de la procédure, ce qui suppose que la possibilité leur soit concrètement offerte de faire entendre leur point de vue. En ce sens, il existe un véritable droit à la réplique qui vaut pour toutes les procédures judiciaires (ATF 133 I 98 consid. 2.1 p. 99, 100 consid. 4.3 - 4.6 p. 102 ss).
Les exigences liées au droit à la réplique ne sont pas respectées lorsque le tribunal communique une prise de position (ou une pièce nouvelle) à une partie, mais lui signifie dans le même temps que l'échange d'écritures est terminé, privant ainsi la partie de toute possibilité de présenter ses observations (cf. ATF 132 I 42 consid. 3.3.2 p. 46 et les références citées). Lorsque le droit de procédure applicable prévoit qu'il n'y a en principe qu'un seul échange d'écritures - comme c'est le cas devant le Tribunal fédéral (cf. art. 102 LTF) -, l'autorité peut se limiter, dans un premier temps, à communiquer la prise de position à titre d'information, sans avis formel de la possibilité de répliquer; pour autant que le juge n'ait pas clôturé l'échange d'écritures, la partie est ainsi mise en situation de faire ou non usage de son droit de réplique; si elle s'en abstient, elle est censée y avoir renoncé après l'écoulement d'un délai raisonnable (cf. ATF 133 I 98 consid. 2.2 p. 99 s., 132 I 42 consid. 3.3.3 - 3.3.4 p. 46 sv. et les références citées; voir également les arrêts 2C_688/2007 du 11 février 2008 consid. 2.2 et 8C_408/2008 du 4 août 2008 consid. 4.1).
2.3 En l'occurrence, la juridiction cantonale a communiqué aux parties le complément d'expertise du docteur C._, par envoi du 16 décembre 2008, sans préciser que l'instruction était close ni leur fixer un délai pour une éventuelle détermination. Elle a rendu son jugement le 5 janvier 2009, soit quatre jours utiles après la communication de la nouvelle pièce, compte tenu des féries du 18 décembre au 2 janvier inclusivement prévues par l'art. 38 al. 4 LPGA en relation avec l'art. 60 al. 2 LPGA. Ce délai était clairement insuffisant pour considérer que les parties avaient implicitement renoncé à déposer une nouvelle détermination (à défaut de réaction de leur part pendant cette période). Dans cette mesure, la juridiction cantonale n'a pas respecté le droit d'être entendu du recourant, qui n'a pas pu s'exprimer à propos du complément d'expertise avant qu'elle ne rende son jugement. Le grief de violation du droit d'être entendu soulevé par le recourant est donc bien fondé.
2.4 Cette violation, qui ne peut être réparée en instance fédérale compte tenu du pouvoir d'examen restreint du Tribunal fédéral dans un litige qui a trait à l'octroi ou le refus de prestations de l'assurance-invalidité (cf. art. 95 à 97 et 105 LTF), entraîne l'annulation du jugement entrepris, sans qu'il y ait lieu d'examiner les griefs du recourant sur le fond, et le renvoi de la cause à la juridiction cantonale (cf. ATF 132 V 387 consid. 5.1 p. 390). Celle-ci donnera au recourant la possibilité de s'exprimer, puis statuera à nouveau.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et la décision du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 5 janvier 2009 est annulée, la cause étant renvoyée à l'autorité judiciaire de première instance pour qu'elle statue à nouveau en procédant conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 8 septembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless