Sachverhalt:
A. Mit Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 7. Mai 2008 wurde X._ des gewerbsmässigen Betrugs schuldig erklärt und zu einer Freiheitsstrafe von 31⁄2 Jahren verurteilt.
Die vom Verurteilten erhobene Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht mit Urteil vom 17. März 2009 ab (6B_807/2008).
B. Am 24. September 2009 reichte X._ dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt einen ärztlichen Bericht ein und beantragte, der Strafvollzug sei einzustellen.
Mit Urteil vom 4. Januar 2010 entschied das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, der Vollzug der mit Urteil vom 7. Mai 2008 gegen X._ ausgesprochenen Freiheitsstrafe von 31⁄2 Jahren werde nicht eingestellt.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 4. Januar 2010 sei aufzuheben, und es sei die Aussetzung des Vollzugs gemäss Art. 92 StGB anzuordnen. Eventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ferner sei seiner Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt verzichtet auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt reicht eine Stellungnahme zur Beschwerde ein, ohne ausdrücklich Anträge zu stellen.
Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, zwei der beim angefochtenen Entscheid mitwirkenden Richter - A._ und B._ - seien zum Urteilszeitpunkt nicht mehr im Amt gewesen, sondern per Ende 2009 aus diesem ausgeschieden. Ihre Mitwirkung verletze damit seinen in Art. 30 Abs. 1 BV verankerten Anspruch auf den gesetzlichen Richter. Diese Rüge ist vorweg zu behandeln.
1.2 Gemäss Art. 30 Abs. 1 BV hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Ausnahmegerichte sind untersagt.
Die Parteien haben insbesondere Anspruch auf die richtige Besetzung des Gerichts, das heisst, nebst der Zuständigkeit muss auch die Zusammensetzung des Gerichts den geltenden Vorschriften entsprechen (vgl. BGE 134 I 125 E. 3.3; 129 V 196 E. 4.1).
1.3 Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt besteht aus drei Präsidenten und sechs Richtern (§ 57 Abs. 1 des Gesetzes betreffend Wahl und Organisation der Gerichte sowie der Arbeitsverhältnisse des Gerichtspersonals und der Staatsanwaltschaft [Gerichtsorganisationsgesetz, GOG]/BS; SG 154.100). Die Präsidenten und die Richter werden auf die Dauer von sechs Jahren gewählt (§ 58 Abs. 1 GOG/BS).
Seit dem 1. Januar 2010 amtieren als Gerichtspräsidenten C._, D._ und E._. Ordentliche Richterinnen und Richter sind F._, G._, H._, I._, J._ und K._.
Die beim angefochtenen Entscheid mitwirkenden A._ und B._ waren somit, wie der Beschwerdeführer zutreffend ausführt, am 4. Januar 2010 nicht mehr im Amt. Dass die beiden Richter ihre Zustimmung zum Urteilsvorschlag der Referentin (möglicherweise) zu einem früheren Zeitpunkt erklärten, ist nicht von Relevanz. Rechtliche Bedeutung kommt insoweit einzig dem Zeitpunkt zu, in welchem das Kollegialgericht sein Urteil fällt. Zu diesem Zeitpunkt aber war die Amtszeit der beiden Richter bereits abgelaufen, weshalb sie auch nicht mehr gültig als Richter tätig werden konnten. Ihr Mitwirken verletzt daher den Anspruch des Beschwerdeführers auf ordentliche Besetzung des Gerichts gemäss Art. 30 Abs. 1 BV (vgl. insoweit auch das Urteil des Bundesgerichts 2A.575/2005 vom 17. Januar 2006 E. 2.1).
2. Die Beschwerde ist gutzuheissen und das angefochtene Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 4. Januar 2010 aufzuheben. Auf die materiellrechtlichen Fragen ist unter diesen Umständen nicht einzugehen. Vielmehr ist die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Basel-Stadt hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG), die seinem Rechtsvertreter zuzusprechen ist. Die Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege und um aufschiebende Wirkung werden gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 4. Januar 2010 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Basel-Stadt hat Advokat Stefan Suter für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. März 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Stohner