Faits:
A.
A._, ressortissant somalien né en 1970, a travaillé en qualité d'employé d'exploitation. Le 13 octobre 2009, il a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI), invoquant une atteinte dégénérative de la colonne lombaire.
Dans le cadre de l'instruction de la demande, l'office AI a recueilli des renseignements auprès du docteur H._, spécialiste FMH en médecine interne générale, médecin traitant, qui a transmis un rapport de la doctoresse B._, spécialiste FMH en médecine physique et réadaptation, médecin traitant, du 19 janvier 2009. L'administration a alors interpellé celle-ci (rapport du 26 octobre 2009), les docteurs L._, spécialiste FMH en médecine du travail, et C._, spécialiste FMH en médecine interne, médecins auprès de l'unité de médecine du personnel de l'Hôpital X._ (rapport du 5 novembre 2009), et le professeur K._, chef de service auprès de la Division de l'Hôpital X._. Ce médecin a mis en évidence un ralentissement, des difficultés attentionnelles ainsi que des troubles mnésiques antérogrades modérés (rapport non daté faisant suite à un examen neuropsychologique réalisé le 10 novembre 2009). Pour compléter ces données, l'administration a chargé le Centre Z._ de la réalisation d'une expertise. Les docteurs J._, spécialiste FMH en rhumatologie, et S._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, ont retenu les diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail de pied bot congénital droit opéré à l'âge de 3 ans, de rachialgies communes sans lésion anatomique susceptible de les expliquer, de syndrome douloureux somatoforme persistant ainsi que de troubles anxieux et dépressifs mixtes. L'assuré disposait selon eux d'une capacité de travail entière dans toute activité (rapport du 12 octobre 2010).
Sur la base de ces éléments, l'office AI a envisagé de refuser à A._ l'octroi de toute prestation au motif qu'il ne présentait pas d'atteinte invalidante à la santé (projet de décision du 16 mars 2011).
Faisant part à l'administration de ses objections, l'assuré lui a transmis des rapports médicaux émanant des doctoresses M._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 30 juin 2011) et B._ (rapport du 22 juillet 2011). La première a retenu un trouble anxieux dépressif mixte ainsi qu'un état de stress post-traumatique et la seconde des rachialgies chroniques dans un contexte de discopathies sévères L3-L4, discopathies modérées L4-L5 et L5-S1 et protrusion discale L5-S1 médiane et médio-bilatérale sans conflit radiculaire, des douleurs sacro-coccygiennes sur probable ancienne subluxation des dernières pièces coccygiennes, des arthralgies multiples d'origine indéterminée, des séquelles de pied bot à droite avec amyotrophie du membre inférieur droit, status après intervention chirurgicale dans l'enfance au niveau de l'arrière pied et du tendon d'Achille, une carence en vitamine D corrigée, un état de stress post-traumatique et des troubles neuropsychologiques d'origine indéterminée. L'office AI a maintenu sa position (décision du 10 octobre 2011).
B.
L'assuré a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales. Il a produit un rapport de la doctoresse P._, médecin auprès de la clinique Y._ (rapport du 4 octobre 2011). Le tribunal cantonal l'a débouté, considérant qu'il présentait une capacité de travail entière dans toute activité (jugement du 25 février 2013).
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut au renvoi de la cause au tribunal cantonal, subsidiairement à l'office AI, pour instruction complémentaire et nouvelle décision.
Considérant en droit:
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2.
2.1. Compte tenu du dispositif du jugement attaqué ainsi que des conclusions du recours, le litige porte sur le droit du recourant à des prestations de l'assurance-invalidité, singulièrement sur l'évaluation de sa capacité de travail.
2.2. Le jugement attaqué expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels nécessaires à la solution du litige, en particulier ceux relatifs à la valeur probante des documents médicaux et aux troubles somatoformes douloureux. Il suffit donc d'y renvoyer.
3.
3.1. Par un premier grief de nature formelle, le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu par la juridiction cantonale, à qui il reproche de n'avoir pas mis en oeuvre une expertise médicale compte tenu des moyens de preuves qu'il avait produits, ni répondu à l'ensemble de ses griefs.
3.2. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour le justiciable d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, ainsi que le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Le droit d'être entendu ne s'oppose cependant pas à ce que l'autorité mette un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui permettent de se forger une conviction et que, procédant d'une façon non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient plus l'amener à modifier son opinion (ATF 136 I 229 consid. 5.3 p. 236; 134 I 140 consid. 5.3 p. 148). Par ailleurs, pour répondre aux exigences de motivation, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision; elle n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties (ATF 129 I 232 consid. 3.2 p. 236; 126 I 97 consid. 2b p. 102 s.).
3.3. En l'occurrence, le jugement attaqué indique de manière suffisamment claire les motifs qui ont conduit la juridiction cantonale à admettre une capacité de travail entière dans toute activité. Le recourant ne soutient du reste pas qu'il n'aurait pas été en mesure de discerner la portée du jugement entrepris et de l'attaquer en connaissance de cause. Sous l'angle de l'obligation de motivation, le grief de violation du droit d'être entendu se révèle ainsi mal fondé. Par ailleurs, en reprochant aux premiers juges d'avoir écarté les rapports de ses médecins traitants pour privilégier celui des docteurs J._ et S._ sans donner suite à sa requête en expertise, le recourant soulève un grief qui se confond avec le moyen tiré d'une mauvaise appréciation des preuves. Il convient donc de l'examiner avec le fond du litige.
4.
Invoquant en substance une constatation manifestement inexacte des faits pertinents, le recourant soutient que le rapport des médecins du Centre Z._ ne permettait pas à la juridiction cantonale de déterminer valablement sa capacité de travail. Ce document ne répondrait pas aux réquisits jurisprudentiels en matière de valeur probante et aurait été dépassé au moment où l'office intimé a statué en raison d'une détérioration de son état de santé, mise en évidence par ses médecins traitants, survenue entre le moment où les experts l'ont examiné et la date de la décision litigieuse.
5.
Les docteurs J._ et S._ ont rendu leurs conclusions en se fondant sur l'ensemble des pièces médicales collectées par l'assureur intimé, une anamnèse établie avec l'aide d'un interprète, un relevé complet des plaintes du recourant (comprenant la mention de réveils nocturnes en lien avec des cauchemars consécutifs à des épisodes de guerre vécus par l'intéressé dans son pays d'origine) ainsi que des constatations objectives résultant de l'examen clinique et de l'étude de rapports d'imagerie. Les spécialistes en question ont exclu l'existence d'un trouble du cours de la pensée, d'un trouble cognitif, notamment sur le plan de la mémoire et de la concentration, et d'un ralentissement psychomoteur. Ils se sont en cela écartés partiellement des conclusions du professeur K._, dont ils ont relativisé la portée en raison d'une compréhension linguistique limitée entre ce médecin et le recourant. Les experts ont retenu un trouble somatoforme douloureux, qu'ils ont considéré comme non invalidant étant donné que le diagnostic psychiatrique associé était d'intensité légère, qu'il n'y avait pas de facteurs de comorbidité associés, que des contacts sociaux subsistaient (l'intéressé ayant déclaré que, s'il sortait moins qu'auparavant, il voyait encore des amis et vivait en colocation avec un compatriote qui invitait souvent des personnes à son domicile) et qu'il n'y avait pas de cristallisation psychique. La doctoresse M._ n'a quant à elle pas posé le diagnostic de trouble somatoforme douloureux; elle a précisé que les symptômes dépressifs avaient diminué et conclu à l'existence d'un état de stress post-traumatique en se fondant essentiellement sur les plaintes du recourant - superposables à celles exprimées dans le cadre de l'expertise -, sans rapporter aucune observation clinique ni indiquer en quoi cette atteinte affecterait la capacité de travail. La doctoresse B._ a également retenu un état de stress post-traumatique mais n'a motivé son opinion que de manière extrêmement succincte et ne s'est référée à aucun élément clinique objectif. Sur le plan somatique, elle n'a formulé aucune proposition thérapeutique et a noté l'absence d'une pathologie grave ou évolutive. Enfin, la doctoresse P._ a relevé dans son rapport du 4 octobre 2011 qu'une radiographie lombaire et du coccyx montrait une situation inchangée par rapport à juin de cette année et n'a pas exposé les motifs qui l'ont conduite à retenir une péjoration de la subluxation coccygienne; elle ne s'est de plus pas prononcée sur la capacité de travail. Dans ces conditions, le seul fait que la médication du recourant a été augmentée entre le moment où il a été examiné par les médecins du Centre Z._ et la date de la décision litigieuse ne saurait être considéré comme une indication en faveur d'une péjoration de l'état de santé propre à remettre en cause les conclusions des spécialistes en question. Il s'ensuit que l'argumentation du recourant ne révèle ni violation du droit fédéral ni appréciation arbitraire des preuves.
6.
Compte tenu de ce qui précède, le recours se révèle mal fondé.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par le recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF) et ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 novembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Bouverat