Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. A._ (geb. 1964), bosnisch-herzegowinischer Staatsangehöriger, reiste am 10. Februar 1990 erstmals in die Schweiz ein und erhielt die Aufenthaltsbewilligung, welche in der Folge jeweilen verlängert wurde, zuletzt bis zum 13. Januar 2005. Am 15. Dezember 2000 zog seine Ehefrau B._, kroatische Staatsangehörige, mit der gemeinsamen Tochter C._ (geb. 2000) zu ihm; beide erhielten ebenfalls eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Luzern. Zwei weitere, in der Schweiz geborene gemeinsame Kinder des Ehepaars (D._, geb. 2001, und E._, geb. 2003) wurden in die Aufenthaltsbewilligung ihrer Eltern einbezogen.
Am 2. April 2004 wurde A._ vom Kriminalgericht des Kantons Luzern wegen versuchten Betrugs, Irreführung der Rechtspflege, Veruntreuung sowie mehrfacher Urkundenfälschung, begangen im Zeitraum vom 26. August 1996 bis 31. Oktober 1997, zu einer bedingten Gefängnisstrafe von 18 Monaten und zu einer bedingten Landesverweisung von fünf Jahren verurteilt. Gestützt auf diese Verurteilung des Ehemanns und Vaters sowie in Berücksichtigung der finanziellen Verhältnisse der Familie lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern am 13. Dezember 2005 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung für sämtliche Familienmitglieder ab; zugleich setzte es ihnen eine Frist zur Ausreise aus dem Kanton an.
A._ und B._ sowie die drei Kinder gelangten am 3. Januar 2006 mit Verwaltungsbeschwerde an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern. In Ziff. 4 der Rechtsbegehren beantragten sie, es sei ihnen eine angemessene Frist für die Nachreichung der offerierten, mit der Beschwerdeschrift noch nicht eingereichten Beweisurkunden anzusetzen, und in Ziff. 5 der Rechtsbegehren ersuchten sie darum, es sei ihnen Frist zur Replik zu geben. Am 17. und 20. Januar sowie am 2. Februar 2006 reichten sie weitere Unterlagen nach, und nach Kenntnisnahme von der Vernehmlassung des Amtes für Migration vom 13. Februar 2006 äusserten sie sich dazu in einer Replik vom 22. Februar 2006. Unterlagen reichten sie letztmals am 17. März 2006 ein. Am 31. März 2006 wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern die Verwaltungsbeschwerde ab; gleichzeitig bestätigte es die Verfügung des Amtes für Migration vom 13. Dezember 2005 und setzte die Ausreisefrist neu auf den 10. Mai 2006 an. Die erwähnten Beschwerdeanträge Ziff. 4 und 5 erklärte es unter Hinweis auf die Eingaben der Beschwerdeführer vom 17. und 20. Januar, vom 2. Februar und vom 17. März 2006 sowie auf die Replik vom 22. Februar 2006 für gegenstandslos.
Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 2. Mai 2006 beantragen A._ und B._ für sich und ihre Kinder dem Bundesgericht, den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 31. März 2006 aufzuheben.
Es ist weder ein Schriftenwechsel, noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Es ist weder ein Schriftenwechsel, noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Die Beschwerdeführer haben keinen Rechtsanspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Durch den negativen Bewilligungsentscheid erleiden sie keine Rechtsverletzung im Sinne von Art. 88 OG, und sie sind zur staatsrechtlichen Beschwerde in der Sache selbst nicht legitimiert (BGE 126 I 81 E. 3b S. 85 ff., mit Hinweisen). Sie fechten denn auch nicht die Bewilligungsverweigerung als solche an, sondern machen eine Verletzung von ihnen zustehenden Parteirechten gemäss Art. 29 BV, insbesondere des Anspruchs auf rechtliches Gehör, geltend. Zu solchen Rügen sind sie grundsätzlich legitimiert:
Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist der Ausländer, der keinen Bewilligungsanspruch hat, zur staatsrechtlichen Beschwerde berechtigt, soweit er - in einer den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügenden Weise - die Verletzung von ihm im kantonalen Verfahren zustehenden Parteirechten rügt, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (grundlegend BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 312 f.; vgl. auch BGE 128 I 218 E. 1.1 S. 220; 127 II 161 E. 3b S. 167; 126 I 81 E. 3b S. 86 sowie E. 7b S. 94). Nicht zu hören sind dabei aber Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des Bewilligungsentscheids abzielen, wie die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei oder sich nicht mit sämtlichen von der Partei vorgetragenen Argumenten auseinandersetze oder dass die Parteivorbringen willkürlich gewürdigt worden seien. Ebenso wenig ist der Vorwurf zu hören, der Sachverhalt sei unvollständig oder sonstwie willkürlich ermittelt worden. Unzulässig ist auch die Rüge, Beweisanträge seien wegen willkürlicher antizipierte Beweiswürdigung abgelehnt worden (vgl. BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313; 126 I 81 E. 7b S. 94; 118 Ia 232 E. 1c S. 236; 117 Ia 90 E. 4a S. 95).
2.2 Die Rüge der Beschwerdeführer, Parteirechte seien verletzt worden, läuft teilweise auf den Vorwurf hinaus, das Departement habe durch unzulässige antizipierte Beweiswürdigung auf die Abnahme weiterer Beweise verzichtet und den Sachverhalt unvollständig festgestellt (s. etwa Ziff. 2.3 der Beschwerdeschrift am Ende). Insofern ist auf die staatsrechtliche Beschwerde nicht einzutreten. Soweit auf die Gehörsverweigerungsrüge einzutreten ist, erweist sie sich als offensichtlich unbegründet:
Nachdem die Beschwerdeführer in der Beschwerdeschrift vom 3. Januar 2006 um Ansetzung einer Frist zur Nachreichung von nicht näher bestimmten Beweisurkunden ersucht hatten, legten sie im Laufe der Monate Januar und Februar 2006 verschiedene Schriftstücke vor. In ihrer Replik vom 22. Februar 2006, worin sie abschliessend die Aufhebung der Verfügung vom 13. Dezember 2006 beantragten, stellten sie keine weiteren Beweise mehr in Aussicht. Unter diesen Umständen durften sie nicht damit rechnen, dass ihnen erstmals eine Frist zur Nachreichung der "offerierten" Beweismittel angeboten würde. Vielmehr konnte das Departement annehmen, dass die Sache nach Durchführung des Schriftenwechsels spruchreif war, dies umso mehr, als die Beschwerdeführer auch zuvor zu keinem Zeitpunkt konkrete Beweismittel genannt hatten, insbesondere auch nicht in den Ziff. 4.3a und Ziff. 6 der kantonalen Beschwerdeschrift, auf welche sie vor Bundesgericht speziell hinweisen. Entgegen ihrer in der staatsrechtlichen Beschwerde vertretenen Auffassung ist das Ausbleiben solcher Anträge, erst recht beim eben dargestellten Verfahrensverlauf, von entscheidender Bedeutung für die Beurteilung der Gehörsverweigerungsrüge. Der Verzicht des Departements auf eine Fristansetzung beruht unter den gegebenen Umständen auf der Annahme, dass die Beschwerdeführer nichts Entscheidwesentliches mehr vorzutragen hatten, d.h. auf nachvollziehbarer antizipierter Beweiswürdigung, die bundesgerichtlicher Überprüfung nach dem vorstehend Gesagten ohnehin entzogen wäre. Der Anspruch auf rechtliches Gehör wurde durch das Vorgehen des Departements offensichtlich nicht verletzt (vgl. zu Art. 29 Abs. 2 BV und dabei zur Frage des Rechts, erhebliche Beweisanträge zu stellen, bzw. der gehörigen Beweisofferte und deren Ablehnung BGE 131 I 153 E. 3 S. 157 f. mit Hinweisen). Aus den von den Beschwerdeführern ausdrücklich erwähnten kantonalrechtlichen Bestimmungen (Art. 46, 55 Abs. 3 und 139 des Luzerner Gesetzes vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege) ergeben sich keine weitergehenden Garantien.
2.3 Die staatsrechtliche Beschwerde ist, soweit darauf eingetreten werden kann, im vereinfachten Verfahren (Art. 36a OG) abzuweisen.
2.4 Dem Gesuch der Beschwerdeführer um vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege (einschliesslich Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsanwalts) ist schon wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht zu entsprechen (Art. 152 OG). Das Ansetzen einer Nachfrist zur Begründung des Gesuchs erübrigt sich damit.
Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten den Beschwerdeführern 1 und 2 (den Eltern der minderjährigen Beschwerdeführer 3-5) je zur Hälfte unter Solidarhaft aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 und Abs. 7 OG). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr (Art. 153 Abs. 1 OG) ist einerseits der ans Trölerische grenzenden Art der Prozessführung, andererseits der finanziellen Situation der Beschwerdeführer Rechnung zu tragen (Art. 153a OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtsprechung und Verbeiständung wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtsprechung und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird den Beschwerdeführern 1 und 2 unter Solidarhaft auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird den Beschwerdeführern 1 und 2 unter Solidarhaft auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern und dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2006
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber: