Erwägungen:
1. Der serbische Staatsangehörige X._, geboren 1980, reiste am 20. September 1998 als Asylbewerber in die Schweiz ein. Nachdem er am 27. Juni 2000 eine Schweizer Bürgerin (geboren 1953) geheiratet hatte, wurde ihm gestützt auf Art. 7 ANAG die Aufenthaltsbewilligung erteilt und mehrmals verlängert. Seit Juni 2003 lebten die Ehegatten getrennt; das Getrenntleben wurde mit Verfügung vom 16. September 2003 gerichtlich bestätigt. Am 21. Dezember 2005 wurde die Ehe rechtskräftig geschieden.
Am 26. Juni 2006 lehnte die Ausländerbehörde des Kantons Basel-Stadt eine weitere Erneuerung der letztmals bis zum 26. Juni 2004 verlängerten Aufenthaltsbewilligung von X._ ab und ordnete seine Wegweisung aus dem Kanton an. Ein Rekurs an das Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt blieb erfolglos (Rekursentscheid vom 15. August 2007), und das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht wies die gegen den Departementsentscheid erhobene Beschwerde mit Urteil vom 19. Februar 2008 ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 27. März 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts vollumfänglich aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
2.1.1 Da im Kanton über ein vor dem 1. Januar 2008, d.h. vor dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz; AuG [SR 142.20 bzw. AS 2007 5437 ff.]) gestelltes Begehren um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung entschieden worden ist, finden vorliegend noch die materiellen Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) Anwendung (Art. 126 Abs. 1 AuG). Ob der Beschwerdeführer einen Bewilligungsanspruch im Sinne von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG hat, ergibt sich mithin aus dem ANAG.
2.1.2 Gemäss Art. 7 Abs. 1 Sätze 1 und 2 ANAG hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung; nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren hat er Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung. Dabei genügt schon der formelle Bestand der Ehe für die Annahme eines Bewilligungsanspruchs. Hat die Ehe des Ausländers mit einem Schweizer Bürger mehr als fünf Jahre gedauert und hielt er sich in dieser Zeit ununterbrochen in der Schweiz auf, so besteht grundsätzlich Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung (BGE 128 II 145 E. 1.1.4 S. 149; 122 II 145 E. 3a und 3b S. 146 ff.; 121 II 97 E. 4c S. 104 f.); ob Gründe für die Nichterneuerung der Aufenthaltsbewilligung vorliegen, ist nicht als Eintretensfrage zu prüfen, sondern bildet Gegenstand der materiellen Prüfung (BGE 128 II 145 E. 1.1.2 - 1.1.5 S. 148 f.).
2.1.3 Der Beschwerdeführer ist heute nicht mehr verheiratet. Er lebte seit seiner Heirat im Juni 2000 ununterbrochen in der Schweiz; seine Ehe mit einer Schweizer Bürgerin wurde erst Ende 2005, nach über fünf Jahren Ehedauer, rechtskräftig geschieden, sodass er gestützt auf Art. 7 Abs. 1 Satz 2 ANAG einen Bewilligungsanspruch hat. Der Unzulässigkeitsgrund von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG greift vorliegend mithin nicht, und die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig.
2.1.3 Der Beschwerdeführer ist heute nicht mehr verheiratet. Er lebte seit seiner Heirat im Juni 2000 ununterbrochen in der Schweiz; seine Ehe mit einer Schweizer Bürgerin wurde erst Ende 2005, nach über fünf Jahren Ehedauer, rechtskräftig geschieden, sodass er gestützt auf Art. 7 Abs. 1 Satz 2 ANAG einen Bewilligungsanspruch hat. Der Unzulässigkeitsgrund von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG greift vorliegend mithin nicht, und die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig.
2.2 2.2.1 Gemäss Art. 7 Abs. 2 ANAG besteht kein Bewilligungsanspruch im Sinne von Art. 7 Abs. 1 ANAG, wenn die Ehe eingegangen worden ist, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer und namentlich jene über die Begrenzung der Zahl der Ausländer zu umgehen (Ausländerrechts- oder Scheinehe). Selbst wenn ursprünglich keine Ausländerrechtsehe eingegangen worden ist, kann sich die Berufung auf die gesetzliche Anspruchsnorm als rechtsmissbräuchlich erweisen. Nach feststehender bundesgerichtlicher Rechtsprechung liegt Rechtsmissbrauch vor, wenn der Ausländer sich auf eine Ehe beruft, die nur noch formell besteht, weil entweder ihm selber jeglicher Wille zum Führen der ehelichen Gemeinschaft fehlt oder für ihn erkennbar ist, dass keine ernsthafte Aussicht auf ein (weiteres) eheliches Zusammenleben bzw. auf die Führung einer Lebensgemeinschaft mit dem schweizerischen Ehegatten mehr besteht, wobei es auf die Ursachen der Trennung nicht ankommt. Das durch die Rechtsordnung vorgesehene Anwesenheitsrecht kann nicht völlig unabhängig vom Bestand einer ehelichen Beziehung beansprucht werden, wäre dies doch mit Ziel und Zweck von Art. 7 ANAG unvereinbar (vgl. BGE 130 II 113 E. 4.2 S. 117; 128 II 145 E. 2.2 S. 151; 127 II 49 E. 5 S. 56 ff. mit Hinweisen). Da der mit einem Schweizer Bürger verheiratete Ausländer nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren einen Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung erwirbt, welcher, einmal erworben, nicht mehr untergeht (s. dazu vorne E. 2.1.2.), kann der Bewilligungsanspruch nur dann wegen Rechtsmissbrauchs erlöschen, wenn die Voraussetzungen hierfür sich vor Ablauf der massgeblichen fünf Jahre verwirklicht haben.
2.2.2 Das Appellationsgericht ist bei seinem Entscheid von diesen in der Rechtsprechung entwickelten Kriterien ausgegangen (s. E. 3.3 des angefochtenen Urteils). In tatsächlicher Hinsicht ist unbestritten, dass die Ehegatten sich nach dreijähriger Ehedauer getrennt haben. Das Appellationsgericht hat in Würdigung einer Äusserung der Ehefrau des Beschwerdeführers angenommen, dass diese die Ehe schon lange vor dem Trennungszeitpunkt als gescheitert erachtete. Wesentlich sind aber seine weiteren Feststellungen, dass die vom Beschwerdeführer behaupteten häufigen Kontakte nach der Trennung gänzlich unbewiesen und konkrete Bemühungen um Versöhnung und Wiederaufnahme eines ehelichen Zusammenlebens nicht dargetan worden seien; es kommt zum Schluss, dass es für diesen erkennbar keine Aussicht auf eine solche Entwicklung gegeben habe. Vor Bundesgericht beschränkt sich der Beschwerdeführer auf die Behauptung, es sei nach der Trennung noch lange unklar gewesen, ob die Ehe definitiv beendet würde; er nennt nicht das kleinste nach dem Juni 2003 eingetretene Ereignis, aus dem sich Hinweise auf eine auch nur vorübergehende Annäherung der Ehegatten ergeben würden. Angesichts der Bindung des Bundesgerichts an die Sachverhaltsermittlungen der Vorinstanz (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 bzw. Art. 97 BGG) genügt dies nicht, um von deren tatsächlichen Feststellungen abzuweichen. Gerade der vom Beschwerdeführer hervorgehobene Umstand, dass die Scheidung rund zweieinhalb Jahre nach der Aufgabe des gemeinsamen Haushalts rechtskräftig geworden ist, spricht für die Einschätzung des Appellationsgerichts; die Ehefrau muss das Scheidungsbegehren unmittelbar nach Ablauf von zwei Jahren Trennung, also zum frühestmöglichen Zeitpunkt (vgl. Art. 114 ZGB) eingeleitet haben.
Bei dieser Sachlage konnte die Ehe mit einer Schweizerin bereits ab Ende 2003, jedenfalls aber lange bevor sie fünf Jahre gedauert hatte, nicht mehr ernsthaft als Grundlage für die Regelung der Anwesenheit des Beschwerdeführers dienen. Das Appellationsgericht hat Bundesrecht nicht verletzt, wenn es die Berufung auf Art. 7 ANAG im Hinblick auf eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung über den 26. Juni 2004 hinaus ausschloss.
2.2.3 Soweit der Beschwerdeführer Art. 7 ANAG anruft, erweist sich seine Beschwerde als offensichtlich unbegründet (Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG).
Darüber, ob die Bewilligung unter anderem Titel hätte verlängert werden können, hatten die kantonalen Behörden nach freiem Ermessen zu entscheiden (Art. 4 ANAG); dies gilt insbesondere für die Frage, ob Ziff. 654 der Weisungen und Erläuterungen des Bundesamtes für Migration über Einreise, Aufenthalt und Arbeitsmarkt (ANAG-Weisungen) dies in Fällen wie dem vorliegenden erlaubte. Bei diesen Weisungen bzw. Richtlinien, deren unkorrekte Anwendung der Beschwerdeführer rügt, handelt es sich nicht um eigentliche Rechtsnormen (vgl. BGE 131 V 42 E. 2.3 S. 45 f.); jedenfalls können sie - noch weniger als die Bestimmungen der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (Begrenzungsverordnung, BVO), wie etwa Art. 13 lit. f BVO, worauf Ziff. 654 der ANAG-Weisung sinngemäss Bezug nimmt ("Härtefälle") - Rechtsansprüche verschaffen, die das Gesetz nicht einräumt (vgl. BGE 130 II 281 E. 2.2 S. 284). Diesbezüglich ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Beachtung von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG nicht gegeben. Das Rechtsmittel in dieser Hinsicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG entgegenzunehmen, fällt ausser Betracht, weil nicht die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt wird (s. Art. 116 BGG) und der Beschwerdeführer zur Beschwerdeführung in der Sache selbst nicht legitimiert wäre (Art. 115 lit. b BGG; dazu BGE 133 I 185).
2.3 Soweit auf die Beschwerde einzutreten ist, ist sie im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG abzuweisen. Mit diesem Endurteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.4 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, den Einwohnerdiensten (Bereich Bevölkerungsdienste und Migration) und dem Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. April 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller