Sachverhalt:
A. Der 1956 geborene G._ war als Heizungsmonteur bei der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 30. September 2005 bei der Arbeit aus einer Höhe von ca. 3 m auf einen Betonboden fiel. Dabei zog er sich eine Acetabulumfraktur links, eine Vorderpfeilerfraktur mit posteriorer hemitransverser Komponente, eine subcapitale Humerusfraktur links, nicht disloziert, leicht verkürzt, Rippenserienfrakturen 5 - 7 links und eine Verletzung am Zahn Nr. 31 zu. Am 7. und 10. Oktober 2005 wurde er operiert. Postoperativ trat eine Meralgia paraesthetica durch Läsion von Nervus cutaneus femoris lateralis links auf (Berichte Spital Y._ vom 7. Oktober 2010, Spital Z._ vom 13. und 21. Oktober 2005, Dr. med. dent. F._, vom 1. Februar 2006 und Klinik B._ vom 2. Februar 2006; kreisärztlicher Untersuchungsbericht vom 24. Mai 2007). Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 30. November 2009 schloss sie den Fall ab. Sie verneinte ihre Leistungspflicht für die zwischenzeitlich gemeldeten Beschwerden im Bereich der Halswirbelsäule (HWS) mangels natürlicher Unfallkausalität und für psychische Beschwerden mangels adäquater Unfallkausalität. Sodann bestimmte sie, für die Unfallfolgen an linker Schulter und linker Hüfte werde mangels genügender Invalidität resp. eines Integritätsschadens keine Invalidenrente und keine Integritätsentschädigung zugesprochen. Die vom Krankenpflegeversicherer des G._ vorsorglich gegen die Verfügung der SUVA eingereichte Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies der Unfallversicherer mit Entscheid vom 6. Dezember 2010 ab.
B. Die von G._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 8. März 2011 ab.
C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides seien der natürliche und der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 30. September 2005 und den HWS-Beschwerden zu bejahen und seien eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung zuzusprechen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist es nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Letztinstanzlich streitig und zu prüfen ist, ob hinsichtlich der HWS-Beschwerden aus dem Unfall vom 30. September 2005 ein Leistungsanspruch nach UVG besteht.
2.1 Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, die für die Beurteilung der Streitsache massgeblichen Bestimmungen und Grundsätze zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die für einen Leistungsanspruch erforderlichen kausalen Zusammenhänge und die zu beachtenden Beweisregeln. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht eines Unfallversicherers gemäss UVG nebst anderem einen natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) voraussetzt. Ob ein solcher Kausalzusammenhang besteht, ist eine Tatfrage, worüber die Verwaltung bzw. im Beschwerdefall das Gericht im Rahmen der ihm obliegenden Beweiswürdigung nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu befinden hat. Die blosse Möglichkeit eines Zusammenhangs genügt nicht für die Begründung eines Leistungsanspruches (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen).
2.2 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, eine natürlich kausal auf den Unfall vom 30. September 2005 zurückzuführende Verletzung, welche die geklagten HWS-Beschwerden zu erklären vermöchte, sei höchstens möglich, nicht aber überwiegend wahrscheinlich.
2.2.1 Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Würdigung der medizinischen Akten. Sie stützt sich namentlich auf die ärztlichen Beurteilungen des Dr. med. K._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie FMH, von der Abteilung Versicherungsmedizin der SUVA vom 25. November 2009 und 17. November 2010. Darin wird eingehend und schlüssig dargelegt, weshalb die Unfallkausalität zu verneinen ist. Dr. med. K._ begründet dies namentlich auch damit, dass zwischen dem Unfall und der Angabe von HWS-Beschwerden mehrere Jahre verstrichen sind.
2.2.2 Dr. med. K._ hat als versicherungsinterner Arzt Stellung genommen. Es bestehen aber keine Anhaltspunkte, welche im Sinne von BGE 125 V 351 E. 3b/33 S. 353 f. Zweifel an seiner Unparteilichkeit zu begründen vermöchten. Der Beschwerdeführer macht auch nichts Entsprechendes geltend. Er beruft sich zur Begründung seines abweichenden Standpunktes vielmehr auf die Äusserungen des Dr. med. H._, FMH Radiologie, speziell Interventionelle Radiologie, FA Interventionelle Schmerztherapie, FA Phlebologie USGG/SGP, insbesondere in dessen Bericht vom 30. September 2009. Darin wird ausgeführt, der Versicherte habe sich beim Unfall vom 30. September 2005 "eine unilaterale (monosegmentäre) Facettengelenksdislokalisation mit Fraktur des Processus articularis superior links von HWK6 zugezogen". Dr. med. K._ hat sich mit dieser Einschätzung auseinandergesetzt und sie verworfen. Es liege vielmehr "eine seltene kongenitale Anomalie des 6. Halswirbels, die das linke Gelenkmassiv tangiert", vor. Diese fachärztliche Beurteilung ist nachvollziehbar begründet und mit der Vorinstanz als überzeugend zu betrachten. Zu beachten ist dabei namentlich auch, dass Dr. med. H._ in seinem Folgebericht vom 21. Februar 2010, nach Einsicht in die ärztliche Beurteilung des Dr. med. K._ vom 25. November 2009, seine frühere Einschätzung stark relativierte, indem er nunmehr ausführte, er halte es nach wie vor für "möglich", dass sich der Versicherte die genannte Verletzung beim Unfall vom 30. September 2005 "zugezogen haben könnte". Eine überzeugte und überzeugende ärztliche Stellungnahme, welche die Beurteilung des Dr. med. K._ zu entkräften und den Schluss auf eine überwiegend wahrscheinliche unfallbedingte Verletzung zu stützen vermöchte, kann darin nicht gesehen werden.
2.2.3 Aus den übrigen medizinischen Akten ergeben sich ebenfalls keine Anhaltspunkte, welche für eine natürlich unfallkausale Verletzung im Bereich der HWS sprechen. Zu erwähnen ist, dass die HWS-Beschwerden im kreisärztlichen Untersuchungsbericht des Dr. med. R._, FMH für Orthopädische Chirurgie FMH und Traumatologie des Bewegungsapparates, vom 6. Juli 2009 als unfallfremd beurteilt wurden. Sodann ging Dr. med. L._, FMH Innere Medizin und Rheumaerkrankungen, Manuelle Medizin SAMM, Neuraltherapie, in seinem - vom Taggeldversicherer des Arbeitgebers des Versicherten eingeholten - Gutachten vom 27. Mai 2010 von einem chronischen Schmerzsyndrom im Bereich der HWS aus, ohne eine Unfallbeteiligung zu erwähnen. Auch Dr. med. S._, Facharzt FMH für Neurochirurgie, teilte gemäss seinem Bericht vom 18. Januar 2010 offenbar eher die Auffassung des Dr. med. K._.
2.2.4 Festzuhalten bleibt, dass das kantonale Gericht zu Recht von den - eventualiter beantragten - ergänzenden medizinischen Abklärungen abgesehen hat, lassen diese doch keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten. Die Beschwerde ist somit in allen Teilen abzuweisen.
3. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Juli 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz