Faits:
A. Ressortissante ukrainienne, X._ est entrée en Suisse le 1er décembre 2004 et a obtenu des autorisations de séjour de courte durée. Elle a épousé un Suisse le 7 septembre 2005 et s'est par conséquent vu accorder, au titre du regroupement familial, une autorisation de séjour qui a été prolongée jusqu'au 6 septembre 2008. Le 25 juillet 2007, son mari a définitivement quitté la Suisse sans elle pour s'installer aux Etats-Unis puis, apparemment, au Brésil. Par lettre du 21 février 2008, le Service de la population et des migrants du canton de Fribourg (ci-après: le Service cantonal) a fixé à X._ un délai de 10 jours pour se prononcer sur une éventuelle révocation de son autorisation de séjour accompagnée de son renvoi de Suisse. L'intéressée n'y a pas donné suite mais a demandé, le 12 août 2008, la prolongation de ladite autorisation.
Le 8 septembre 2008, le Service cantonal a rejeté la requête de X._ et imparti à celle-ci un délai de départ de 30 jours dès la notification de cette décision. Il a considéré que l'intéressée ne pouvait plus se prévaloir du droit au regroupement familial pour obtenir la prolongation de son autorisation de séjour et que rien ne justifiait une telle prolongation.
Le divorce de X._ a été prononcé le 2 décembre 2008 et est entré en force le 25 janvier 2009.
B. Par arrêt du 6 mars 2009, la Ie Cour administrative du Tribunal cantonal fribourgeois (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours de X._ contre la décision prise le 8 septembre 2008 par le Service cantonal. Le Tribunal cantonal a repris, en la développant, l'argumentation de ce dernier.
C. Le 6 avril 2009, X._ a recouru au Tribunal fédéral contre l'arrêt du Tribunal cantonal du 6 mars 2009 en concluant, sous suite de frais, à l'admission de son recours cantonal. Elle demande de reconnaître le bien-fondé de son recours cantonal, de sorte que la décision du Service cantonal du 8 septembre 2009 soit annulée et que le renouvellement de son autorisation de séjour soit ordonné.
Le Tribunal cantonal n'a pas déposé de déterminations dans le délai imparti. Le Service cantonal a renoncé à formuler des observations. L'Office fédéral des migrations propose de rejeter le recours.
Considérant en droit:
1. La procédure concernant l'autorisation de séjour de la recourante a été initiée après le 1er janvier 2008, date de l'entrée en vigueur de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20). Il y a donc lieu d'appliquer le nouveau droit en l'espèce (art. 126 al. 1 LEtr a contrario; cf. arrêts 2C_416/2009 du 8 septembre 2009 consid. 1 et 2C_745/2008 du 24 février 2009 consid. 1.2.3).
2. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 II 94 consid. 1 p. 96).
2.1 L'intéressée n'a pas indiqué expressément par quelle voie de recours elle voulait procéder au Tribunal fédéral. Toutefois, cette imprécision ne saurait lui nuire si son mémoire peut être considéré comme un recours remplissant les conditions de la voie de droit qui lui est ouverte (cf. ATF 133 I 300 consid. 1.2 p. 302 s.). Le présent recours est formé contre un arrêt cantonal rendu dans une cause de droit public; il convient donc d'examiner s'il est recevable comme recours en matière de droit public au sens des art. 82 ss LTF.
2.2 D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
2.2.1 Selon l'art. 42 al. 1 LEtr, le conjoint d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui.
Le divorce de la recourante est entré en force le 25 janvier 2009. Par conséquent, l'intéressée ne peut plus se prévaloir d'un droit à une autorisation de séjour sur la base de l'art. 42 al. 1 LEtr.
2.2.2 Selon l'art. 50 al. 1 LEtr, après la dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu de l'art. 42 LEtr subsiste lorsque l'union conjugale a duré au moins trois ans et que l'intégration est réussie (let. a) ou lorsque la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures (let. b). L'art. 50 al. 2 LEtr - repris du reste à l'art. 77 al. 2 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201) - précise qu'il existe de telles raisons notamment lorsque le conjoint est victime de violence conjugale et que la réintégration sociale dans le pays de provenance semble fortement compromise. D'après le message du 8 mars 2002 concernant la loi sur les étrangers (FF 2002 3510 s. ch. 1.3.7.6), il s'agit de motifs personnels graves exigeant la poursuite du séjour en Suisse, notamment lorsque le conjoint demeurant en Suisse est décédé ou lorsque la réinsertion familiale et sociale dans le pays d'origine s'avérerait particulièrement difficile en raison de l'échec du mariage.
L'union conjugale de la recourante a pris fin le 25 juillet 2007. Elle n'a pas duré trois ans, de sorte que l'intéressée ne peut déduire aucun droit de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr.
En ce qui concerne l'application de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, la recourante a invoqué en vain cette disposition devant le Tribunal cantonal. En pareilles circonstances, il convient d'admettre un droit, sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, permettant à la recourante de former un recours en matière de droit public, le point de savoir si c'est ou non à juste titre que les juges cantonaux ont nié l'existence de raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr ressortissant au fond et non à la recevabilité (cf. arrêts 2C_416/2009 du 8 septembre 2009 consid. 2.1.2 et 2C_216/2009 du 20 août 2009 consid. 1.4).
2.3 Au surplus, dans la mesure où il s'en prend à l'arrêt du Tribunal cantonal du 6 mars 2009, le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF); en outre, il a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. a LTF) par la destinataire de l'acte attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), de sorte qu'il convient d'entrer en matière.
En revanche, dans la mesure où la recourante s'en prend à la décision du Service cantonal du 8 septembre 2008, dont elle demande l'annulation, le recours n'est pas recevable en raison de l'effet dévolutif complet du recours déposé auprès du Tribunal cantonal (cf. arrêt 2C_98/2009 du 10 juin 2009 consid. 1.2).
3. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. Sans cela, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4 p. 254 s.; 133 IV 286 consid. 6.2 p. 288).
La recourante s'en prend aux faits retenus dans l'arrêt attaqué. Toutefois, son argumentation est essentiellement appellatoire, de sorte qu'elle ne remplit pas les conditions rappelées ci-dessus. Pour le surplus, l'intéressée critique en réalité l'appréciation juridique de ces faits, ce qui est une question de droit, que le Tribunal fédéral revoit librement.
4. La recourante reproche au Tribunal cantonal de n'avoir pas procédé à son audition et se plaint dès lors que l'arrêt attaqué ne soit pas suffisamment motivé.
4.1 On peut se demander si la violation du droit d'être entendu dont se prévaut la recourante est un moyen suffisamment motivé au regard des exigences de l'art. 106 al. 2 LTF. La question peut demeurer indécise dès lors que, de toute façon, le grief est infondé.
4.2 Le droit d'être entendu garanti constitutionnellement comprend notamment le droit pour l'intéressé de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou, à tout le moins, de s'exprimer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 124 II 132 consid. 2b p. 137 et la jurisprudence citée). A lui seul, l'art. 29 al. 2 Cst. ne confère pas le droit d'être entendu oralement, ni celui d'obtenir l'audition de témoins (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428 s.). Au surplus, la jurisprudence admet que le droit d'être entendu n'empêche pas l'autorité de mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 130 II 425 consid. 2.1 p. 429). Par ailleurs, le droit d'être entendu implique pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision. Il ne lui impose cependant pas d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuves et griefs invoqués par les parties; l'autorité peut, au contraire, se limiter à ceux qui, sans arbitraire, lui paraissent pertinents (ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88; 133 III 439 consid. 3.3 p. 445 et la jurisprudence citée). Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée (arrêt 2D_12/2009 du 18 juin 2009 consid. 4.1).
4.3 La recourante a demandé son audition par le Tribunal cantonal pour établir des faits, ayant notamment trait à son intégration, qui figuraient déjà au dossier et n'étaient pas contestés. Les juges cantonaux n'ont pas donné suite à la demande d'instruction de l'intéressée, conformément à la jurisprudence rappelée ci-dessus. Ce faisant, ils n'ont pas violé le droit d'être entendue de la recourante.
4.4 En ce qui concerne la motivation de l'arrêt entrepris, le Tribunal cantonal a examiné systématiquement les dispositions de la LEtr qui pouvaient entrer en ligne de compte pour résoudre le cas de la recourante et il a développé une argumentation expliquant sans ambiguïté la solution à laquelle il est arrivé. Dans ces conditions, on ne saurait lui reprocher d'avoir failli à l'obligation de motivation précisée par la jurisprudence exposée ci-dessus.
5. A l'appui de son recours, l'intéressée invoque son intégration sociale et professionnelle ainsi que les circonstances dans lesquelles son mari l'a quittée. Elle fait valoir que ces éléments constituent des raisons personnelles majeures.
Les faits évoqués par l'intéressée ne sont pas contestés. Quant à la définition de "raisons personnelles majeures", elle ressort de l'art. 50 al. 2 LEtr et du message précité (FF 2002 3510 s. ch. 1.3.7.6), comme on l'a vu ci-dessus (cf. consid. 2.2.2). Le Tribunal cantonal a admis que la recourante pouvait ressentir durement la séparation d'avec son mari, tout en relevant qu'une telle situation n'était pas comparable avec le décès d'un conjoint - qui survient indépendamment de la volonté des deux époux. Il a en outre souligné que la recourante n'avait pas été victime de violence conjugale, ce que l'intéressée ne conteste pas. En outre, le Tribunal cantonal a estimé que l'intéressée, qui avait vécu dans son pays d'origine jusqu'à 26 ans, n'aurait pas de problème de réintégration dans sa patrie si elle y retournait, argument que la recourante ne réfute pas. Le Tribunal cantonal est ainsi arrivé à la conclusion que la poursuite du séjour en Suisse de l'intéressée ne s'imposait pas pour des raisons personnelles majeures. L'interprétation qu'il a ainsi donnée de l'art. 50 LEtr n'est pas critiquable; elle correspond notamment aux explications fournies dans le message susmentionné (cf. consid. 2.2.2, ci-dessus). En rendant l'arrêt attaqué, le Tribunal cantonal a donc respecté le droit fédéral.
6. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 65 et 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué à la recourante, au Service de la population et des migrants et à la Ie Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Fribourg, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 19 octobre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Müller Dupraz