Erwägungen:
1. 1.1 Der aus dem Kosovo stammende X._ (geb. 1976) erhielt gestützt auf die mit der Schweizer Bürgerin A._ (geb. 1971) am 16. Juni 2000 geschlossene Ehe eine - zuletzt bis zum 15. Juni 2008 - verlängerte Aufenthaltsbewilligung. Aus einer ausserehelichen Beziehung ging am 2. Januar 2005 seine Tochter B._ hervor. Die Ehe wurde am 28. August 2008 geschieden. Nach diversen strafrechtlichen Verurteilungen aus den Jahren 2005 bis 2007 - zu insgesamt vier Jahren und zehn Monaten Freiheitsstrafe - lehnte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern es am 3. Juni 2009 ab, die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und wies X._ auf den Zeitpunkt der Haftentlassung aus der Schweiz weg. Die dagegen im Kanton erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos.
1.2 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 8. Dezember 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht, das im Kanton zuletzt ergangene Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. Oktober 2010 aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur neuen Beurteilung zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern sowie das Bundesamt für Migration beantragen ebenfalls Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Amt für Migration und Personenstand liess dem Bundesgericht ohne weiteren Kommentar eine Kopie ihrer Verfügung vom 15. Dezember 2010 zukommen, mit welcher sie die Ausschaffungshaft über X._ anordnete.
1.3 Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 14. Dezember 2010 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung hinsichtlich der Ausreiseverpflichtung zuerkannt.
2. 2.1 Die Vorinstanz geht davon aus, dass der Beschwerdeführer nach seiner Scheidung einen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung allenfalls nach Art. 50 AuG (SR 142.20) oder mit Blick auf seine Beziehung zu seiner Tochter Lara, welche die Schweizer Staatsangehörigkeit besitzt, nach Art. 8 EMRK geltend machen kann. Angesichts der formellen Dauer der Ehe käme vorab auch ein Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung nach Art. 42 Abs. 3 AuG in Betracht (vgl. BGE 135 II 1 E. 1.2.2 S. 4; 128 II 145 E. 1.1.4 und 1.1.5 S. 149 f. mit Hinweisen). Die Vorinstanz klärt nicht, ob die erwähnten Anspruchstatbestände jeweils erfüllt sind. Sie begnügt sich - was nicht zu beanstanden ist - mit der Prüfung, ob die etwaigen Ansprüche nicht ohnehin wegen des Vorliegens von Widerrufsgründen erloschen sind (vgl. Art. 51 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 lit. b AuG).
2.2 Alle erwähnten Ansprüche erlöschen, wenn sie rechtsmissbräuchlich geltend gemacht werden oder wenn Widerrufsgründe nach Art. 62 bzw. 63 AuG vorliegen (Art. 51 AuG). Werden Widerrufsgründe angerufen, darf der weitere Aufenthalt nur verweigert werden, wenn sich diese Massnahme aufgrund einer Gesamtabwägung als verhältnismässig erweist (vgl. BGE 135 II 377 E. 4.3 S. 381 f.). Im Übrigen ist nach der ständigen Praxis zu Art. 8 EMRK dem Beschwerdeführer der weitere Aufenthalt allein gestützt auf das Verhältnis zu seiner Tochter, mit welcher er nicht zusammenlebt, nur dann zu gestatten, wenn zwischen beiden in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht, die wegen der Distanz zu seinem Heimatland praktisch nicht aufrecht erhalten werden könnte, und wenn zusätzlich sein bisheriges Verhalten zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat (vgl. BGE 120 Ib 1 E. 3c S. 5, 22 E. 4a und b S. 25 f.; zuletzt Urteile des Bundesgerichts 2C_195/2010 vom 23. Juni 2010 E. 6.6 und 2C_877/ 2010 vom 17. März 2011 E. 2.2.2). Hier ist schon die letztgenannte Voraussetzung mit Blick auf die diversen, vom Beschwerdeführer begangenen Delikte nicht erfüllt.
2.3 Der Beschwerdeführer räumt ein, dass er den Widerrufsgrund des Art. 62 lit. b AuG (ggf. in Verbindung mit Art. 63 Abs. 1 lit. a AuG) erfüllt hat. Er meint aber, es sei unverhältnismässig, seine Aufenthaltsbewilligung nicht zu verlängern. Die Vorinstanzen hätten den Sachverhalt ungenügend abgeklärt, wenn sie bei ihm noch immer von einer nicht hinzunehmenden Rückfallgefahr ausgingen. Auch seien sie "zu leichtfertig und oberflächlich mit dem sehr stark zu gewichtenden Interesse der Tochter" umgegangen. Im Übrigen verweist er pauschal auf seine vorinstanzlichen Rechtsschriften, was als Beschwerdebegründung jedoch nicht genügt (vgl. BGE 134 I 303 E. 1.3 S. 306).
2.4 Der Beschwerdeführer hatte sich unter anderem mehrfache räuberische Erpressung, teils unter Offenbarung besonderer Gefährlichkeit, zuschulden kommen lassen. Mit seinen Delikten finanzierte er namentlich seine Spielsucht. Die Vorinstanzen berücksichtigen zu Recht auch generalpräventive Erwägungen (vgl. Urteil 2C_13/2011 vom 22. März 2011 E. 2.2). Zudem gehen sie unter zutreffendem Hinweis auf die Umstände, unter denen der Beschwerdeführer die Delikte begangen hatte, von einer Rückfallgefahr aus. Zwar nehmen sie auch an, dass sich diese sukzessive vermindert habe, falls der Beschwerdeführer erfolgreich an sich gearbeitet und dadurch seiner Spielsucht entgegengewirkt habe. Allerdings sei diese Sucht im Strafverfahren so gewürdigt worden, dass sie bloss eine leicht verminderte Zurechnungsfähigkeit zur Folge gehabt habe. Daher schliesst die Vorinstanz, auch eine erfolgreiche Auseinandersetzung mit der Spielsucht sei nicht geeignet, jegliche Rückfallgefahr auszuschliessen. Dieses verbleibende Risiko sei mit Blick auf die Art der Delinquenz nicht hinzunehmen.
Mit dieser Argumentation setzt sich der Beschwerdeführer nicht näher auseinander. Er verweist zwar darauf, dass er bei den Vorinstanzen die Einholung diverser Berichte beantragt hatte. Er legt jedoch nicht dar, was sich aus diesen konkret ergeben sollte, das zu einer anderen Beurteilung führen könnte (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG). Unter Hinweis auf die von ihm im bundesgerichtlichen Verfahren vorgelegten Dokumente führt er bloss aus, dass er Krankheitseinsicht gezeigt habe sowie therapiemotiviert und -fähig sei; auch übernehme er zunehmend Verantwortung für das eigene emotionale Befinden und die daraus resultierenden Handlungen und zeige eine verbesserte Fähigkeit, vorausschauender zu agieren. Diese vagen Ausführungen sind nicht geeignet, eine Rechtsverletzung seitens der Vorinstanz zu begründen. Es kann offen gelassen werden, ob die erwähnten Unterlagen als Noven aus dem Recht zu weisen sind (vgl. Art. 99 und 105 BGG). Obwohl der Beschwerdeführer schon an vielen therapeutischen Gesprächen teilgenommen hat, besteht jedenfalls noch immer ein gesteigerter Therapiebedarf. Gemäss dem Bericht des Forensisch-Psychiatrischen Dienstes der Universität Bern seien Persönlichkeitsstörungen nur schwer zu behandeln. Es hätten zwar "erste Ansätze" einer Verantwortungsübernahme für seine Taten erreicht werden können. Die Fortschritte seien bisher aber noch nicht auf die Probe gestellt worden und eine weitere therapeutische Begleitung sei unabdingbar. Unter diesen Umständen ist der Schluss der Vorinstanz, es bestehe noch eine gewisse Rückfallgefahr, nicht zu beanstanden. Aus dem Umstand, dass der Beschwerdeführer bedingt aus dem Strafvollzug entlassen wurde, kann - entgegen seiner Behauptung - mitnichten geschlossen werden, es gehe von ihm keine Gefahr mehr aus (vgl. BGE 130 II 176 E. 4.3.3 S. 188, 493 E. 4.2 S. 500; Urteil 2C_494/2008 vom 8. Dezember 2008 E. 3.5 mit Hinweisen; s. auch BGE 133 IV 201 E. 2 S. 202 ff.). Angesichts der Schwere der begangenen Delikte und des Umstands, dass der Beschwerdeführer erst als Erwachsener in die Schweiz gelangt ist, fragt sich im Übrigen, ob das Rückfallrisiko hier noch ausschlaggebend sein kann (vgl. BGE 130 II 176 E. 4.2 S. 185; 125 II 105 E. 2c S. 110).
2.5 Mit seiner Tochter führte der Beschwerdeführer nie ein Familienleben und er wird auch künftig allenfalls im Rahmen eines Besuchsrechts die Kontakte pflegen. Dieses hatte er allerdings schon vor Strafantritt nicht einwandfrei ausgeübt und für die Tochter auch keine monatlichen Unterhaltszahlungen erbracht. Gemäss Bericht der Strafanstalt Thorberg vom 22. September 2010 hatte er auch in der Folge kein Interesse gezeigt, sich mit einem angemessenen Beitrag an ihrem Unterhalt zu beteiligen. Der Beschwerdeführer macht zwar geltend, er hätte intensiven telefonischen und schriftlichen Kontakt zu ihr. Nach dem Dargelegten (s. auch E. 2.2 hievor) und mit Blick auf die Gesamtumstände ist es jedoch nicht bundesrechtswidrig, wenn die Vorinstanz zum Ergebnis gelangt, die Aufenthaltsbewilligung sei trotzdem nicht zu verlängern. Ergänzend wird auf die ausführlichen Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen.
3. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann daher im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG abgewiesen werden. Der Beschwerdeführer würde damit kostenpflichtig. Mit Blick auf seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse wird allerdings auf die Erhebung von Kosten verzichtet (vgl. Art. 65 f. BGG). Sein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wird hingegen wegen Aussichtslosigkeit seines Begehrens - wie schon bei der Vorinstanz - abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist (vgl. Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. April 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Merz