Sachverhalt:
A.
Der chilenische Staatsangehörige A.X._ (geb. 24. April 1985) wurde 1992 von seiner Mutter nach Deutschland nachgezogen, wo er wiederholt straffällig wurde: Ab 1999 beging er Straftaten wie Diebstahl, Hausfriedensbruch, Missbrauch von Kindern und Verstösse gegen das Betäubungsmittelgesetz. Am 27. Februar 2002, im Alter von 16 Jahren und zehn Monaten, stach er im Streit um ein Fahrrad und 50 EUR zusammen mit einem Mittäter auf einen Kollegen ein, welcher kurze Zeit später an den Folgen der Messerstichverletzungen starb. Für diese Tat wurde er am 13. Juni 2002 vom Landgericht Rottweil (D) wegen gemeinschaftlichen Totschlags und gemeinschaftlicher Unterschlagung zu einer Jugendstrafe von fünf Jahren verurteilt. Am 27. Mai 2005 stach er - im Alter von 20 Jahren - erneut bewaffnet mit einem Messer (mit einer Klinge von 10-12 cm), aus nichtigem Anlass wild auf Oberkörper und Halsregion von drei Personen ein. Hierfür wurde er vom Landgericht Mosbach (D) am 11. September 2006 wegen versuchten Totschlags jeweils in Tateinheit mit gefährlicher Körperverletzung in drei Fällen und des Widerstandes gegen Vollstreckungsbeamte in Tateinheit mit vorsätzlicher Körperverletzung und Beleidigung in sechs Fällen zu einer Gesamtjugendstrafe von 8 Jahren verurteilt. A.X._ wurde zweimal aus Deutschland nach Chile abgeschoben.
B.
Am 28. August 2007 reiste A.X._ in die Schweiz ein und ersuchte im Kanton Thurgau um eine Aufenthaltsbewilligung. Die Frage nach gerichtlichen Vorstrafen verneinte er. Nachdem dem Gesuch aus arbeitsmarktlichen Gründen kein Erfolg beschieden war, blieb er nach Ablauf des bewilligungsfreien Aufenthalts rechtswidrig im Land und heiratete am 14. Dezember 2007 die Schweizer Bürgerin B.Y._ (geb. 1986), Mutter eines 2006 geborenen vorehelichen Sohnes. Gestützt auf diese Eheschliessung erhielt er - nachdem er im entsprechenden Gesuch die Frage nach gerichtlichen Vorstrafen erneut verneint hatte - im Kanton Appenzell Ausserrhoden eine Aufenthaltsbewilligung. Vom dortigen Verhöramt wurde er wegen Verstössen gegen das Ausländergesetz mit einer bedingten Geldstrafe und einer Busse verurteilt.
C.
Am 1. Mai 2008 zog A.X._ mit seiner Ehefrau von D._/AR nach E._/TG. Am 26. November 2008 erhielt er - die Frage nach gerichtlichen Vorstrafen liess er dieses Mal offen - vom Kanton Thurgau eine bis zum 13. Dezember 2009 gültige Aufenthaltsbewilligung.
Am 4. Mai 2009 wurden dem Migrationsamt des Kantons Thurgau Auszüge aus dem deutschen Strafregister zugestellt.
Per 28. August 2009 zogen die Eheleute X._ nach F._/SG. Im Gesuch um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung kreuzte der Ehemann bei der Frage nach gerichtlichen Vorstrafen erneut das Feld "Nein" an. Mit Verfügung vom 13. April 2010 lehnte das Ausländeramt des Kantons St. Gallen das Gesuch um Kantonswechsel ab und forderte A.X._ auf, das Kantonsgebiet bis zum 25. Juni 2010 zu verlassen. Das hiegegen erhobene kantonale Rechtsmittel blieb erfolglos.
D.
Am 5. Dezember 2010 brachte B.Y._ die gemeinsame Tochter C._ zur Welt. C._ ist wie ihre Mutter Schweizer Bürgerin.
Nachdem A.X._ im Kanton St. Gallen erneut eine Busse von Fr. 200.-- wegen Widerhandlung gegen das Ausländergesetz erwirkt hatte, bezog er am 1. Juli 2011 in G._/TG alleine eine Einzimmerwohnung und ist dort seit dem 14. September 2011 angemeldet. Am 15. September 2011 beantragte er die Verlängerung seiner am 13. September 2009 abgelaufenen Aufenthaltsbewilligung.
A.X._ arbeitet seit 8. Februar 2010 in ungekündigter Stellung bei der S._ GmbH in H._/SG. Nach eigenen Angaben ist er dort Polymech-Schichtführer und erzielt ein monatliches Einkommen von ca. Fr. 5'000.--. Die Ehefrau zog mit den beiden Kindern auf den 1. März 2012 von F._/SG nach I._/SG um. Sie arbeitet in J._ (FL). Schulden und Betreibungen sind nicht bekannt.
E.
Nachdem das Migrationsamt des Kantons Thurgau A.X._ das rechtliche Gehör gewährt hatte, lehnte es mit Entscheid vom 24. Mai 2012 dessen Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, der in Deutschland schwer vorbestrafte A.X._ habe sich - bei der wiederholten Verneinung gerichtlicher Vorstrafen - bewusst sein müssen, dass die Migrationsbehörden in der Schweiz nicht bloss nach Verurteilungen gemäss schweizerischem Recht gefragt hätten. Indem er die Frage wissentlich und willentlich verneint oder unbeantwortet gelassen habe, sei er in den Besitz einer Aufenthaltsbewilligung gelangt, die ihm in Kenntnis seiner im Ausland erwirkten Vorstrafen nie erteilt worden wäre. Ausserdem sei der Tatbestand einer Verurteilung zu einer langjährigen Freiheitsstrafe erfüllt, und es lägen auch - bis in die jüngste Zeit - begangene Straftaten in der Schweiz vor. Das öffentliche Interesse an der Fernhaltung des Ausländers überwiege klar dessen privates Interesse sowie dasjenige seiner Ehefrau und seiner Tochter, das Familienleben in der Schweiz führen zu können.
F.
Mit Entscheid vom 21. Januar 2013 wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau den gegen die Verfügung des Migrationsamtes gerichteten Rekurs ab. Mit Urteil vom 22. Mai 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die gegen den Rekursentscheid gerichtete Beschwerde ebenfalls ab.
G.
Mit Eingabe vom 10. Juli 2013 führt A.X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. Mai 2013 aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
H.
Die kantonalen Akten sind eingeholt, ein Schriftenwechsel ist nicht durchgeführt worden.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG).
Gemäss Art. 42 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) haben ausländische Ehegatten und ledige Kinder unter 18 Jahren von Schweizerinnen und Schweizern Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Ein analoger Anspruch besteht zudem aufgrund des in Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV garantierten Rechts auf Achtung des Familienlebens. Der Beschwerdeführer hat damit einen grundsätzlichen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, und es steht ihm die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen. Auf das im Übrigen form- und fristgerecht (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Rechtsmittel kann eingetreten werden, zumal der Beschwerdeführer als Adressat des angefochtenen Urteils ohne Weiteres hierzu legitimiert ist (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2. Das Bundesgericht prüft frei die Anwendung von Bundesrecht mit Einschluss des Verfassungs- und Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat; es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Solche Mängel müssen in der Beschwerde rechtsgenüglich gerügt werden (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Die Ansprüche nach Art. 42 AuG erlöschen gemäss Art. 51 Abs. 1 lit. b AuG unter anderem dann, wenn Widerrufsgründe nach Art. 63 AuG vorliegen. Solche sind beispielsweise gegeben, wenn eine ausländische Person oder ihr Vertreter im Bewilligungsverfahren falsche Angaben gemacht oder wesentliche Tatsachen verschwiegen hat (Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. a AuG) bzw. die ausländische Person zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe verurteilt worden ist (Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. b AuG). Von einer solchen wird praxisgemäss bei einem Freiheitsentzug von mehr als einem Jahr ausgegangen (BGE 135 II 377 E. 4.2 und 4.5 S. 379 ff.), wobei es keine Rolle spielt, ob die Freiheitsstrafe bedingt, teilbedingt oder unbedingt ausgesprochen wurde (Urteil 2C_515/2009 vom 27. Januar 2010 E. 2.1).
2.2. Der Beschwerdeführer stellt nicht in Abrede, dass er in Deutschland zweimal zu langjährigen Freiheitsstrafen (von sechs und acht Jahren) verurteilt worden ist. Er macht aber geltend, dass er irrtümlich angenommen habe, die in Deutschland begangenen Straftaten hier nicht offenbaren zu müssen. Er habe die schweizerischen Behörden nicht absichtlich getäuscht.
2.3. Aufgrund von Art. 90 lit. a AuG trifft die ausländische Person im Bewilligungsverfahren eine Mitwirkungspflicht in dem Sinne, dass sie gehalten ist, zutreffende und vollständige Angaben über die für die Regelung des Aufenthalts wesentlichen Tatsachen zu machen. Das Bundesgericht hat sich zu Umfang und Tragweite der ausländerrechtlichen Mitwirkungspflicht verschiedentlich ausgesprochen (Urteile 2C_595/2011 vom 24. Januar 2012 E. 3.3; 2C_403/2011 vom 2. Dezember 2011 E. 3.3.1 mit Hinweisen). Im Urteil 2C_136/2012 vom 17. April 2012 (E. 3.3) hielt es fest, nach Treu und Glauben werde nicht nur verlangt, dass das Bewilligungsverfahren in rechtsstaatlichen Bahnen verlaufe, sondern ebenso, dass die Gesuchstellenden alle Tatsachen bekanntgäben, die für den Entscheid von Bedeutung sein könnten. Für strafrechtlich relevantes Verhalten gelte dies in besonderem Masse, auch soweit es um Verurteilungen im Ausland oder dort hängige Strafverfahren gehe (genanntes Urteil, ebenda).
In der Tat ist bei der Handhabung von Art. 62 lit. b AuG irrelevant, ob die Verurteilung - zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe - im In- oder Ausland ausgesprochen wurde, wobei im letzteren Fall zu verlangen ist, dass es sich bei den ausländischen Delikten um Verbrechen oder Vergehen im Sinne des schweizerischen Strafrechts handelt und der Schuldspruch in einem Staat erging, in welchem die Einhaltung der rechtsstaatlichen Verfahrensgrundsätze und Verteidigungsrechte als gewährleistet erscheint (Urteile 2C_264/2011 vom 15. November 2011 E. 3.3; 2C_427/2008 vom 23. Januar 2009 E. 3.1; ferner BGE 134 II 25 E. 4.3.1 S. 29). Diese Voraussetzungen sind hier zweifelsfrei erfüllt.
Was Art. 62 lit. a AuG betrifft (Verschweigen wesentlicher Tatsachen), führt die Vorinstanz im Wesentlichen aus, hätte A.X._ seine deutschen Vorstrafen offen gelegt, wäre ihm eine Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz von allem Anfang an verweigert worden. Es habe auch dem Beschwerdeführer bewusst sein müssen, dass nicht nur nach inländischen Vorstrafen gefragt werde, zumal sich die Frage nach gerichtlichen Vorstrafen insbesondere bei erstmaliger Einreise in die Schweiz logischerweise nur auf ausländische Verurteilungen beziehen könne. Dies trifft zu; und vor diesem Hintergrund ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz den Schluss gezogen hat, der Beschwerdeführer habe die Verurteilungen in Deutschland vorsätzlich verschwiegen in der alleinigen Absicht, die hiesigen Behörden zu täuschen und sein eigenes Fortkommen zu erleichtern.
Beide Widerrufsgründe (Art. 62 lit. a und Art. 62 lit. b AuG) sind damit erfüllt.
3.
3.1. Wenn eine ausländische Person durch ihr Verhalten einen Widerrufsgrund gesetzt hat, bleibt zu prüfen, ob diese Massnahme verhältnismässig bzw. in einer demokratischen Gesellschaft erforderlich erscheint, d.h., ob die öffentlichen Interessen am Widerruf der Bewilligung die privaten Interessen am Verbleib in der Schweiz überwiegen. Hierfür sind namentlich die Schwere des Delikts und des Verschuldens des Betroffenen, der seit der Tat vergangene Zeitraum, das Verhalten des Ausländers während diesem, der Grad seiner Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die ihm und seiner Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen (Art. 8 Ziff. 2 EMRK; Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte Boultif gegen Schweiz vom 2. August 2001 [54273/00] N. 46 ff.; vgl. auch Art. 96 Abs. 1 AuG; BGE 135 II 377 E. 4.3 S. 381 f.).
Art. 8 Ziff. 2 EMRK verlangt also eine Abwägung zwischen dem widerstreitenden privaten Interesse an der Erteilung bzw. Verlängerung der Bewilligung einerseits und dem öffentlichen Interesse an deren Verweigerung anderseits; dieses muss jenes in dem Sinne überwiegen, dass sich der Eingriff in das Privat- und Familienleben als notwendig erweist (BGE 135 I 143 E. 2.1 S. 147, 153 E. 2.2.1 S. 156; 122 II 1 E. 2 S. 6; 116 Ib 353 E. 3 S. 357 ff.). Die vorzunehmende Interessenabwägung ist mit jener gemäss schweizerischem Ausländerrecht vergleichbar (BGE 122 II 1 E. 2 S. 5 f.; Urteil 2C_389/2011 vom 22. Dezember 2011 E. 3.4).
Im Zusammenhang mit der Verhältnismässigkeitsprüfung entwickelte das Bundesgericht überdies die sogenannte "Reneja-Praxis". Es geht in langjähriger Rechtsprechung davon aus, dass bei einem mit einer Schweizer Bürgerin verheirateten Ausländer, der erstmals oder nach bloss kurzer Aufenthaltsdauer um die Erneuerung seiner Bewilligung ersucht, die Grenze, von der an in der Regel dem ausländischen Gatten auch dann keine ausländerrechtliche Bewilligung mehr erteilt wird, wenn seiner schweizerischen Ehefrau die Ausreise aus der Schweiz unzumutbar oder nur schwer zumutbar ist, bei zwei Jahren Freiheitsstrafe liegt (BGE 139 I 145 E. 2.3 S. 148; 135 II 377 E. 4.4 S. 382 mit Hinweisen; grundlegend BGE 110 Ib 201). Dabei hat das Bundesgericht stets betont, dass es sich bei der "Zweijahresregel" um keine feste Grenze handelt, die nicht über- oder unterschritten werden kann.
3.2. Der Beschwerdeführer bestreitet die Verhältnismässigkeit der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und macht eine Verletzung von Art. 8 EMRK geltend, da ihm die Anwesenheit in der Schweiz untersagt und damit sein Familienleben, d.h. die Beziehung zu seiner Frau und seinem Kind, vereitelt werde. Mit Blick auf die strafrechtlichen Verurteilungen bringt der Beschwerdeführer vor, seine von ihm begangenen Gewaltdelikte lägen in der Jugendzeit und damit weit zurück. Seit der Einreise in die Schweiz habe er sich mit Ausnahme nicht ins Gewicht fallender Verstösse gegen das Ausländergesetz mehr als sechs Jahre lang straffrei verhalten; dass er die hiesige Rechtsordnung nicht respektiere, treffe schlichtweg nicht zu. Er sei vielmehr sehr gut integriert und lebe heute in stabilen persönlichen, familiären und beruflichen Verhältnissen. Er komme für seinen Unterhalt und - zusammen mit seiner Ehefrau - denjenigen seiner Familie selber auf. Müsse er das Land verlassen, würden Frau und Kinder sozialhilfeabhängig. Ausserdem sei die Beziehung zu seiner Tochter in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht besonders eng. Eine Trennung der Familie könne seiner Frau und seinem Kind nicht zugemutet werden.
3.3. Die Vorinstanz hat erwogen, zunächst sei die sechsjährige Aufenthaltsdauer des Beschwerdeführers in der Schweiz zu relativieren; er habe sich nur deshalb so lange hier aufhalten können, weil er die Behörden gezielt getäuscht habe. Sodann sei ihm ein sehr schweres Verschulden vorzuwerfen, welches sich in dem gegen ihn verhängten Strafmass äussere. Er habe wiederholt, aus nichtigem Anlass, kaltblütig und rücksichtslos den Tod von Menschen verursacht bzw. in Kauf genommen. Der Umstand, dass er - obwohl bereits einschlägig verurteilt - am 27. Mai 2005 nochmals und wiederum aus nichtigem Anlass mit einem Messer auf seine unbewaffneten Opfer eingestochen habe, zeige seine Gefährlichkeit. Selbst unter Mitberücksichtigung der Tatsache, dass er die von ihm begangenen Verbrechen als Jugendlicher bzw. junger Erwachsener verübt habe, sei nach wie vor von einer potentiellen Gefährdung der öffentlichen Ordnung und Sicherheit auszugehen. Es bestehe daher ein äusserst gewichtiges öffentliches Interesse an der Fernhaltung des Beschwerdeführers.
Weiter führte das Verwaltungsgericht aus, es sei dem Beschwerdeführer klar zumutbar, in seine Heimat zurückzukehren, dessen Sprache er spreche und wo er die ersten Lebensjahre verbracht habe. Zwar seien die familiären Nachteile erheblich, sollten Ehefrau und Kind nicht zusammen mit ihm ausreisen. Angesichts des auf dem Spiele stehenden eminenten Sicherheitsinteresses würde aber selbst eine Trennung der Familie als verhältnismässig erscheinen, wobei keine überzeugenden Gründe ersichtlich seien, welche die Ehefrau daran hindern könnten, zusammen mit der gemeinsamen Tochter und dem vorehelichen Sohn mit nach Chile auszureisen.
3.4. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was die genannten Erwägungen der Vorinstanz als bundesrechts- bzw. konventionswidrig erscheinen lassen könnte:
3.4.1. Zunächst ist daran zu erinnern, dass bei schweren Straftaten, Rückfall und wiederholter Delinquenz zum Schutz der Öffentlichkeit ausländerrechtlich selbst ein geringes Risiko weiterer Rechtsgüterverletzungen (Gesundheit, Leib und Leben usw.) nicht hingenommen werden muss. Ein gewichtiges öffentliches Interesse an der Wegweisung bzw. Fernhaltung der ausländischen Täterschaft besteht insbesondere bei Gewalt- und Betäubungsmitteldelikten (BGE 139 I 31 E. 2.3.2 S. 34; 130 II 176 E. 4.4.2 S. 190; 125 II 521 E. 4a/aa und 4a/bb S. 526 ff.; 122 II 433 E. 2c S. 436). Solche Delikte zählen im Übrigen zu den in Art. 121 Abs. 3 lit. a BV genannten Anlasstaten, deren Begehung dazu führt, dass die ausländische Person ihr Aufenthaltsrecht sowie alle Rechtsansprüche auf Aufenthalt in der Schweiz verliert (zur "praktischen Konkordanz" bei der Anwendung dieser Norm: BGE 139 I 31 E. 2.3.2 S. 34; Urteile 2C_170/2013 vom 20. Juni 2013 E. 2.3; 2C_1257/2012 vom 18. April 2013 E. 4.5). Dass die Straftaten im Ausland begangen wurden, ändert wie ausgeführt nichts (vorne E. 2.3).
Der Beschwerdeführer hat als Wiederholungstäter zwei schwere Gewaltdelikte (im Wesentlichen gemeinschaftlicher Totschlag und - drei Jahre später - versuchter Totschlag) begangen. Die Einschätzung der Vorinstanz, dass angesichts der wiederholten Tatbegehung - trotz vorheriger Bestrafung und Abschiebung nach Chile - das Risiko weiterer Delikte gegen Leib und Leben hierzulande nicht hingenommen werden kann (E. 6 des angefochtenen Entscheides), ist daher nicht zu beanstanden.
3.4.2. Mit Blick auf die "Reneja-Praxis" ist festzuhalten, dass die dort genannte, zwar nicht als feste Grenze zu handhabende "Zweijahresregel" vorliegend schon allein durch die vom Beschwerdeführer begangenen Delikte um ein Vielfaches überschritten wird. Ausserdem liegt der Widerrufsgrund im vorliegenden Fall nicht nur in der deliktischen Betätigung (Art. 62 lit. b AuG), sondern auch im Verschweigen vorbestehender, entscheidwesentlicher Tatsachen (lit. a dieser Norm). Der Unrechtsgehalt - sowohl derjenige des Verschweigens der Vorstrafen wie auch derjenige der hier begangenen ausländerrechtlichen Delikte - erreicht zwar bei Weitem nicht das Ausmass einer neuerlichen Straftat, die mit zwei Jahren Freiheitsstrafe geahndet würde, ist aber dennoch zu Ungunsten des Beschwerdeführers in Betracht zu ziehen. Zwar hält sich dieser nicht erst kurze Zeit in der Schweiz auf, doch wurde dieser Aufenthalt nur bewilligt, weil der Beschwerdeführer seine Straftaten verschwiegen hat. Verschweigt die um eine Bewilligung ersuchende ausländische Person die Existenz einer ausländischen Verurteilung zu sechs sowie zu acht Jahren Freiheitsstrafe, verletzt sie die ihr obliegende Mitwirkungspflicht in schwerwiegender Weise, was nicht zu schützen ist.
3.4.3. Was Art. 8 EMRK betrifft, kann das Recht auf Achtung des Familienlebens nur angerufen werden, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme gegen eine ausländische Person zur Trennung von Familienmitgliedern führt. Ist es den in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Familienmitgliedern "ohne Schwierigkeiten" möglich, mit der ausländischen Person auszureisen, wird der Schutzbereich der genannten Garantie normalerweise nicht berührt (BGE 116 Ib 353 E. 3c S. 357; Urteil 2A.676/2006 vom 13. Februar 2007 E. 3.1); anders kann es sich beim kombinierten Schutzbereich von Privat- und Familienleben verhalten (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.2 S. 286 ff.). Erscheint hingegen die Ausreise für die Familienangehörigen nicht von vornherein ohne Weiteres zumutbar (BGE 116 Ib 353 E. 3d S. 358), ist stets eine Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK geboten, bei der sämtliche Umstände des Einzelfalls zu berücksichtigen sind (vgl. zum Ganzen BGE 137 I 247 E. 4.1.1 S. 249; 135 I 143 E. 2.2 S. 147, 153 E. 2.1 S. 155; Urteile 2C_163/2013 vom 1. Mai 2013 E. 2.1; 2C_639/2012 vom 13. Februar 2013 E. 4.2).
Auch in dieser Hinsicht ist der angefochtene Entscheid nicht zu beanstanden: Zwar trifft zu, dass die Ausreise vorliegend für die Familienangehörigen nicht von vornherein ohne Weiteres zumutbar erscheint. Hingegen hat die Vorinstanz die in diesem Fall notwendige umfassende Interessenabwägung korrekt vorgenommen (vorne E. 3.3). Im Lichte des überwiegenden öffentlichen Interesses, den Beschwerdeführer von der Schweiz fernzuhalten, haben die Interessen seiner Ehefrau und seiner Tochter - zu welcher er gemäss der Beschwerdeschrift (S. 7) eine besonders enge Beziehung pflegt, dies (angesichts seines von der Familie getrennten Wohnsitzes) aber in keiner Weise belegt - klarerweise zurückzutreten. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Ehefrau spätestens bei der Zeugung der gemeinsamen Tochter von der schwer wiegenden Delinquenz ihres Ehemannes wissen musste und deshalb nicht damit rechnen durfte, die familiären Beziehungen in der Schweiz leben zu können. Die inzwischen drei Jahre alte Tochter befindet sich zudem noch in einem anpassungsfähigen Alter (vgl. BGE 135 I 143 E. 2.2 S. 147); dies gilt ebenso für den 2006 geborenen vorehelichen Sohn. Mit allfälligen späteren Integrationsschwierigkeiten (a.a.O E. 4.3 S. 152) ist bei ihnen - sollten sie als Schweizer Bürger je ins Land zurückkehren - nicht zu rechnen, zumal zahlreiche Gebiete Chiles notorisch durchaus westeuropäischem Standard entsprechen. Im Übrigen steht die gemeinsame Ausreise im Ermessen der Familie. Entscheidet sich die Ehefrau aufgrund ihres Schweizer Bürgerrechts zum Verbleib im Lande, kann das Familienleben besuchsweise, per Brief, Telefon oder den neueren Kommunikationsmitteln (E-Mail, Skype etc.) gepflegt werden.
4.
Die Beschwerde erweist sich nach dem Gesagten als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65/66 BGG). Parteikosten sind keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt, dem Departement für Justiz und Sicherheit und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Dezember 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein