Sachverhalt:
A. X._ ist Willensvollstrecker im Nachlass von Z._, die am 19. September 2011 in Zürich starb. Am 17. Februar 2012 erhoben die Erbinnen vor dem Einzelgericht-Aufsicht des Bezirksgerichts Zürich eine Beschwerde gegen X._. Mit Urteil vom 30. April 2012 setzte das Einzelgericht X._ als Willensvollstrecker ab. Das begründete Urteil wurde X._ am 7. Juni 2012 zugestellt.
B. B.a Gegen diesen Entscheid legte X._ am 15. Juni 2012 beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde ein. Mit Verfügung vom 21. Juni 2012 setzte ihm Oberrichter S._ unter Mitwirkung von Gerichtsschreiberin T._ eine Frist von zehn Tagen, um für die Gerichtskosten des Beschwerdeverfahrens einen Vorschuss von Fr. 6'000.-- zu leisten.
B.b Hierauf machte X._ geltend, Oberrichter S._ und Gerichtsschreiberin T._ seien beim Erlass der Verfügung vom 21. Juni 2012 "schwer befangen" gewesen; sie dürften daher im Beschwerdeverfahren nicht mehr tätig werden. Zudem sei der Gerichtskostenvorschuss auf Fr. 4'000.-- zu reduzieren (Eingabe vom 9. Juli 2012).
B.c Ohne Mitwirkung der abgelehnten Gerichtspersonen entschied die II. Zivilkammer des Obergerichts mit Beschluss vom 13. Juli 2012, auf das Ablehnungsbegehren nicht einzutreten. Sie setzte X._ eine einmalige Nachfrist von fünf Tagen, um den am 21. Juni 2012 verfügten Kostenvorschuss von Fr. 6'000.-- zu leisten, und drohte ihm für den Fall der Nichtleistung an, auf seine Beschwerde vom 15. Juni 2012 nicht einzutreten.
B.d Mit Schreiben vom 30. Juli 2012 teilte X._ dem Obergericht mit, dass er an der Befangenheit von Oberrichter S._ und Gerichtsschreiberin T._ festhalte; ausserdem seien auch sämtliche am Beschluss vom 13. Juli 2012 mitwirkenden Personen "schwer befangen". Überdies stellte er in Aussicht, dass er an das Bundesgericht gelangen werde.
B.e Am 7. August 2012 stellte die II. Zivilkammer des Obergerichts fest, dass bis zum Ablauf der fünftägigen Nachfrist (Bst. B.d) kein Kostenvorschuss geleistet wurde, und beschloss, auf die Beschwerde vom 15. Juni 2012 (Bst. B.a) nicht einzutreten. An diesem Entscheid wirkten die Oberrichter S._ (Vorsitz), U._ und V._ sowie Gerichtsschreiberin T._ mit.
C. Mit als "Verfassungsbeschwerde + Beschwerde in Zivilsachen" bezeichneter Eingabe vom 21. August 2012 (Datum der Postaufgabe) wendet sich X._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung vom 21. Juni 2012 (Bst. B.a) sowie die Beschlüsse vom 13. Juli 2012 (Bst. B.c) und vom 7. August 2012 (Bst. B.e) aufzuheben. Das Bundesgericht hat für jeden der drei angefochtenen Entscheide ein separates Verfahren eröffnet (5A_599/2012, 5A_600/2012 und 5A_601/2012. Im vorliegenden Verfahren 5A_599/ 2012 ist die Gerichtskostenvorschussverfügung vom 21. Juni 2012 zu beurteilen.
Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Am 9. November 2012 hat der Beschwerdeführer am Bundesgericht Einsicht in die Akten genommen.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde richtet sich gegen die Verfügung einer oberen kantonalen Instanz, mit der diese den Vorschuss für die Gerichtskosten des Rechtsmittelverfahrens auf Fr. 6'000.-- bestimmt und dem Beschwerdeführer eine Zahlungsfrist von 10 Tagen setzt. Hierbei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, gegen den die Beschwerde nach Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zulässig wäre, zumal das Obergericht dem Beschwerdeführer mit Beschluss vom 13. Juli 2012 (s. Urteil 5A_600/ 2012 vom 16. November 2012) für den Fall der Nichtleistung androhte, auf die Beschwerde vom 15. Juni 2012 nicht einzutreten (vgl. Urteil 4A_100/2009 vom 15. September 2009 E. 1.3 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 III 603). Die Hauptsache betrifft einen Entscheid aus dem Gebiet der Aufsicht über die Willensvollstrecker, welcher der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 BGG). Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Angelegenheit, deren Streitwert den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) übersteigt (s. Urteil 5A_601/2012 vom 16. November 2012 E. 1.3). Die Beschwerde in Zivilsachen wäre daher (BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 382) auch gegen die Verfügung des Obergerichts vom 21. Juni 2012 an sich zulässig.
2. 2.1 Nach Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG ist zur Beschwerde in Zivilsachen nur berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt der Fällung des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (vgl. BGE 131 I 153 E. 1.2 S. 157). Am Erfordernis des praktischen Interesses fehlt es insbesondere dann, wenn der Rechtsstreit gegenstandslos geworden ist. Liegt das praktische Interesse im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung vor, fällt es aber nachträglich weg, ist der Rechtsstreit gemäss Art. 72 BZP (SR 273) in Verbindung mit Art. 71 BGG als erledigt abzuschreiben (s. Urteil 5A_608/2010 vom 6. April 2011 E. 3.1).
2.2 Am 7. August 2012 - noch bevor die Frist zur Beschwerde gegen die Kostenvorschussverfügung vom 21. Juni 2012 an das Bundesgericht abgelaufen war (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. 46 Abs. 1 lit. b BGG) - beschloss das Obergericht, auf die kantonale Beschwerde vom 15. Juni 2012 mangels rechtzeitiger Leistung des Kostenvorschusses nicht einzutreten (s. Sachverhalt Bst. B.e). In seiner Eingabe vom 21. August 2012 ficht der Beschwerdeführer sowohl die Kostenvorschussverfügung als auch den Nichteintretensentscheid an (Sachverhalt Bst. C). Der zuletzt genannte Entscheid war im Zeitpunkt der Erhebung der Beschwerde gegen die Verfügung vom 21. Juni 2012 beim Bundesgericht also noch nicht rechtskräftig. Deshalb hatte der Beschwerdeführer zu diesem Zeitpunkt auch noch ein aktuelles praktisches Interesse daran, den Streit um die Höhe des am 21. Juni 2012 verfügten Kostenvorschusses vor das Bundesgericht zu tragen. Mit Urteil 5A_601/2012 vom 16. November 2012 hat das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gegen den Beschluss vom 7. August 2012 nun abgewiesen. Erst damit steht rechtskräftig (Art. 61 BGG) fest, dass der Beschluss des Obergerichts vom 7. August 2012 Bestand hat. Ist das Obergericht auf die Beschwerde vom 15. Juni 2012 aber zu Recht nicht eingetreten, weil der Kostenvorschuss nicht geleistet wurde, so hat der Beschwerdeführer kein schutzwürdiges Interesse mehr daran, dass das Bundesgericht die Höhe dieses Gerichtskostenvorschusses überprüft. Deshalb ist der vor Bundesgericht hängige Rechtsstreit um die Verfügung vom 21. Juni 2012 als gegenstandslos abzuschreiben.
3. 3.1 Bei diesem Ausgang des Verfahrens richtet sich der Entscheid über die Prozesskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens nach Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 72 BZP. Demnach entscheidet das Gericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes. Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (zum Ganzen BGE 118 Ia 488 E. 4a S. 494 f.).
3. 3.1 Bei diesem Ausgang des Verfahrens richtet sich der Entscheid über die Prozesskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens nach Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 72 BZP. Demnach entscheidet das Gericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes. Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (zum Ganzen BGE 118 Ia 488 E. 4a S. 494 f.).
3.2 3.2.1 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, es wolle ihn mit einem hohen Gerichtskostenvorschuss vom Prozessieren abhalten. Seiner Ansicht nach hätte das Obergericht bei der Bemessung des Gerichtskostenvorschusses auf das von ihm geltend gemachte Honorar von Fr. 30'000.-- abstellen müssen. Ausgehend von diesem Streitwert hätte es gemäss § 4 der Gebührenverordnung des Obergerichts vom 8. September 2011 (GebVO OG/ZH; LS 211.11) nur einen Vorschuss von Fr. 3'950.-- verlangen dürfen. Zu Unrecht habe es den Vorschuss auf Fr. 6'000.-- bestimmt mit der Begründung, dass die Erbinnen mit der Absetzung des Beschwerdegegners die Durchführung des zwischen ihnen geschlossenen Erbteilungsvertrages vom 30. November 2011 erreichen wollen. Mit diesen Vorbringen wäre der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht durchgedrungen.
3.2.2 Die Festsetzung des Streitwerts richtet sich nach den erwähnten, auch dem Beschwerdeführer bekannten kantonalen Vorschriften der Gebührenverordnung. Unter Vorbehalt von hier nicht gegebenen Ausnahmen (Art. 95 lit. c-e BGG) könnte das Bundesgericht lediglich prüfen, ob die Anwendung des kantonalen Rechts durch das Obergericht das Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG - namentlich das Willkürverbot (Art. 9 BV) oder andere verfassungsmässige Rechte - oder das Völkerrecht im Sinne von Art. 95 lit. b BGG verletzt (BGE 133 III 462 E. 2.3 S. 466; 133 II 249 E. 1.2.1 S. 251 f.). Soweit die Verletzung verfassungsmässiger Rechte in Frage steht, gälte das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüfen, auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid hingegen nicht eintreten könnte (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
Zwar hat das Bundesgericht in einem Zürcher Fall vor noch nicht langer Zeit entschieden, dass der Wert des Nachlasses als solcher ein sachfremdes Kriterium ist, wenn einzig und spezifisch die Absetzungsfrage zu beurteilen ist, und dass es demnach unhaltbar, das heisst im Sinne von Art. 9 BV willkürlich ist, im Absetzungsverfahren den Nachlasswert als Streitwert anzunehmen (BGE 135 III 578 E. 6.5 S. 582). In der angefochtenen Verfügung hat das Obergericht bei der Bestimmung des Streitwerts aber offensichtlich nicht auf den Nachlasswert als solchen, sondern auf das Interesse der Erbinnen abgestellt, mittels Durchführung ihres Erbteilungsvertrages über diesen Nachlass verfügen zu können. Dass dieses Interesse mit dem Nachlasswert gleichzusetzen wäre, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Dazu kommt, dass das Obergericht bei der Festsetzung des Gerichtskostenvorschusses nicht nur die in § 4 Abs. 1 GebVO OG/ZH enthaltene Vorschrift über die Bestimmung der Grundgebühr angewendet hat, sondern auch Absatz 2 dieser Norm, wonach die Grundgebühr unter Berücksichtigung des Zeitaufwandes des Gerichts und der Schwierigkeit des Falls ermässigt werden kann. Des Weitern stützt sich die Verfügung auf § 8 Abs. 1 GebVO OG/ZH, wonach die Gebühr im summarischen Verfahren die Hälfte bis drei Viertel der ordentlichen Gebühr beträgt, und auf § 12 Abs. 1 und 2 GebVO OG/ZH. Demnach wird die Gebühr im Berufungs- und Beschwerdeverfahren grundsätzlich nach den für die Vorinstanz geltenden Bestimmungen bemessen (Absatz 1). Dabei bestimmt sich die Gebühr nach Massgabe dessen, was vor der Rechtsmittelinstanz noch im Streit liegt (Absatz 2). Inwiefern das Obergericht diese Vorschriften in qualifiziert unrichtiger und damit verfassungswidriger Weise angewendet hätte, zeigt der Beschwerdeführer in seinem Schriftsatz nicht auf. Insbesondere tut er auch nicht dar, warum das Obergericht den Vorschuss gestützt auf die genannten Bestimmungen nicht auf Fr. 6'000.-- hätte festsetzen dürfen, der verlangte Kostenvorschuss seiner Höhe nach also auch im Ergebnis offensichtlich unhaltbar wäre. Denn nur unter dieser Voraussetzung könnte das Bundesgericht die Verfügung als willkürlich aufheben; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
3.2.3 Nach dem Gesagten wäre es dem Beschwerdeführer also nicht gelungen, die angefochtene Verfügung als willkürlich oder in anderer Hinsicht verfassungswidrig auszuweisen. Wenn es die Sache nicht als gegenstandslos abschreiben müsste, würde das Bundesgericht die Beschwerde demnach abweisen, soweit es überhaupt darauf eintreten könnte. Bei diesem mutmasslichen Verfahrensausgang rechtfertigt es sich, die Gerichtsgebühr vor Bundesgericht dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Obergericht des Kantons Zürich ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn