Erwägungen:
1. Das Bundesamt für Migration erklärte mit Verfügung vom 7. Mai 2010 die X._ am 11. Mai 2005 erteilte erleichterte Einbürgerung als nichtig. Dagegen erhob X._ Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Instruktionsrichterin des Bundesverwaltungsgerichts wies das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mit Zwischenverfügung vom 20. Juli 2010 ab und forderte X._ auf, bis zum 20. August 2010 einen Kostenvorschuss zu leisten, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Dagegen erhob X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, auf welche das Bundesgericht mit Urteil vom 6. September 2010 nicht eintrat (Verfahren 1C_364/2010). Mit Urteil vom 28. September 2010 trat das Bundesverwaltungsgericht auf die Beschwerde vom 3. Juni 2010 nicht ein. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass der Beschwerdeführer innert Frist (20. August 2010) weder den Kostenvorschuss geleistet noch um entsprechende Fristerstreckung ersucht habe. Die gegen die Zwischenverfügung erhobene Beschwerde könne nicht als Fristerstreckungsgesuch angesehen werden, da sie erst nach Ablauf der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses (24. August 2010) erhoben worden sei.
2. X._ führt mit Eingabe vom 20. Oktober 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 28. September 2010. Sein Rechtsvertreter im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht reichte am 21. Oktober 2010 eine Beschwerdeergänzung ein. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer nennt keinen zulässigen Beschwerdegrund und legt nicht dar, inwiefern das Bundesverwaltungsgericht, als es auf die Beschwerde nicht eintrat, Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt haben sollte. Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Urteils darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem sinngemäss gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 64 BGG) nicht zu entsprechen. Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli