Sachverhalt:
A. Mit Eingabe vom 1. Dezember 2010 liess H._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG und die Pensionskasse der Generali Versicherungen erheben mit dem Rechtsbegehren, es sei eine der beklagten Vorsorgeeinrichtungen zur Ausrichtung der gesetzlichen und reglementarischen Invalidenrentenleistungen aus beruflicher Vorsorge rückwirkend seit 1. September 2004 zu verpflichten. Mit Entscheid vom 24. März 2011 trennte das Gericht die beiden Klagen und trat mit Entscheid vom 24. März 2011 auf die Klage gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG mangels örtlicher Zuständigkeit nicht ein. Dieser Entscheid blieb unangefochten.
B. Mit Eingabe vom 6. April 2011 liess H._ die Klage gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern einreichen. Dieses trat mit Entscheid vom 3. Januar 2012 auf die Klage ebenfalls nicht ein.
C. H._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zu verpflichten, auf die Klage einzutreten und es sei das Verfahren zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei festzustellen, dass das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zur materiellen Beurteilung der Klage gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG zuständig sei. Subeventuell sei festzustellen, welches Gericht zur materiellen Beurteilung der Klage gegen die beiden Beschwerdegegnerinnen örtlich zuständig sei. Ferner sei im Rahmen vorsorglicher Massnahmen unverzüglich zu verfügen, dass das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich den dort hängigen Prozess gegen die Pensionskasse der Generali Versicherungen zu sistieren habe, bis die angerufene Instanz die Frage der örtlichen Zuständigkeit im vorliegenden Verfahren geklärt haben wird.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG, mit welchem das kantonale Gericht seine örtliche Zuständigkeit verneint hat (BGE 135 V 153 E. 1.3 S. 156; Urteil 9C_1000/2009 vom 6. Januar 2010 E. 1.2 mit Hinweisen, publiziert in SVR 2010 IV Nr. 40 S. 126). Hiergegen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a und 90 BGG).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden, weshalb es die Beschwerde auch aus anderen als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder abweisen kann (BGE 134 III 102 E. 1.1 S. 104; 132 II 47 E. 1.3 S. 50 mit Hinweisen).
2. 2.1 Nach Art. 100 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen. Bei Beschwerden wegen interkantonaler Kompetenzkonflikte beginnt die Beschwerdefrist gemäss Abs. 5 derselben Bestimmung spätestens dann zu laufen, wenn in beiden Kantonen Entscheide getroffen worden sind, gegen welche beim Bundesgericht Beschwerde geführt werden kann (AMSTUTZ/ARNOLD, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl., Basel 2011, S. 1336 N. 19 zu Art. 100).
2.2 Nach dem im Abschnitt Rechtspflegeverfahren unter der Überschrift Zuständigkeit stehenden Art. 58 Abs. 3 ATSG überweist die Behörde, die sich als unzuständig erachtet, die Beschwerde ohne Verzug dem zuständigen Versicherungsgericht. Mit der Einreichung der Beschwerde bei der unzuständigen Behörde wird die Beschwerdefrist gewahrt (Art. 60 Abs. 2 ATSG in Verbindung mit Art. 39 Abs. 2 ATSG). Dabei kann das sich als unzuständig betrachtende kantonale Versicherungsgericht einen Nichteintretensentscheid erlassen oder sich darauf beschränken, die Sache an das als zuständig betrachtete Versicherungsgericht eines anderen Kantons weiterzuleiten. Unabhängig davon, ob das erste Gericht die Beschwerde formlos weiterleitet oder einen förmlichen Nichteintretensentscheid erlässt, welcher von der rechtsuchenden Person im Hinblick auf die vorgenommene Weiterleitung der Sache an das zweite Gericht unangefochten blieb, ist bei Verneinung der örtlichen Zuständigkeit in einem Nichteintretensentscheid des zweiten Gerichts im Rahmen des dagegen eingeleiteten Beschwerdeverfahrens die Zuständigkeit beider in Frage kommenden Gerichte vom Bundesgericht ohne Bindung an den Nichteintretensentscheid des ersten kantonalen Gerichts zu prüfen. Da bei fehlender Zuständigkeit des zweiten Gerichts keine Instanz nach Art. 58 ATSG zur Verfügung stünde, kann bei einer solchen Verfahrenskonstellation die Rechtskraft des Nichteintretensentscheids des ersten kantonalen Gerichts nicht eintreten (BGE 135 V 153 E. 1.2 S. 155 f. mit Hinweis auf ULRICH MEYER-BLASER, Die Rechtspflegebestimmungen des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts [ATSG], in: HAVE 5/2002 S. 330; anders noch altrechtlich die Urteile U 356/01 vom 24. September 2002 und H 236/00 vom 29. Januar 2001, welche von der Nichtigkeit des ersten rechtskräftigen kantonalen Nichteintretensentscheids ausgingen).
2.3 Wiewohl das ATSG die berufliche Vorsorge grundsätzlich nicht erfasst, sind die vorstehend dargelegten Grundsätze zur fehlenden Rechtskraft des ersten Nichteintretensentscheides sinngemäss auch im Klageverfahren nach Art. 73 BVG anzuwenden. Massgebend für die Fristwahrung ist somit der am 5. Januar 2012 versandte Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 3. Januar 2012. Die Beschwerdeeinreichung erfolgte daher fristgerecht.
3. 3.1 Nach Art. 73 Abs. 1 Satz 1 BVG bezeichnet jeder Kanton ein Gericht, das als letzte kantonale Instanz über Streitigkeiten zwischen Vorsorgeeinrichtungen, Arbeitgebern und Anspruchsberechtigten entscheidet. Zu den Vorsorgeeinrichtungen gehört u.a. die Auffangeinrichtung, soweit sie die obligatorische berufliche Vorsorge für die Risiken Tod und Invalidität der Bezüger von Taggeldern der Arbeitslosenversicherung wahrnimmt (Art. 2 Abs. 3, Art. 10 Abs. 1, Art. 60 Abs. 2 lit. e BVG; Art. 22a Abs. 3 AVIG).
3.2 Art. 73 Abs. 3 BVG regelt die örtliche Zuständigkeit für die Entscheidung von Streitigkeiten berufsvorsorgerechtlicher Natur. Gerichtsstand ist demnach der schweizerische Sitz oder Wohnsitz des Beklagten oder der Ort des Betriebes, bei dem der Versicherte angestellt wurde. Die Bestimmung überlässt der jeweils klagenden Partei die Wahl des Gerichtsstandes (SVR 2006 BVG Nr. 17 S. 61 E. 2.3, B 93/04, mit Hinweisen auf die Doktrin).
3.3 Die bernische Vorinstanz verneinte ihre örtliche Zuständigkeit unter Hinweis auf das Urteil des Bundesgerichts 9C_546/2011 vom 31. Oktober 2011.
3.3.1 In diesem Urteil hat das Bundesgericht unter Bezugnahme auf das Urteil 9C_1016/2010 vom 30. Mai 2011 (auszugsweise publiziert in SZS 2011 S. 519) erwogen, es habe im Zusammenhang mit Streitigkeiten der gebundenen Vorsorge festgestellt, dass der Verfahrensgrundsatz des einfachen und raschen Verfahrens und der in Art. 73 Abs. 3 BVG zum Ausdruck kommende gesetzgeberische Wille, einen alternativen Gerichtsstand zur Verfügung zu stellen, es nicht zuliessen, dass die rechtsuchende Person auf einen alleinigen Gerichtsstand am Sitz der beklagten Partei verwiesen werde (Urteil 9C_944/2008 vom 30. März 2009). Bei Inkrafttreten des BVG sei die Gerichtsstandsregelung von Art. 73 Abs. 3 BVG auf die damalige sachliche Zuständigkeit gemäss Abs. 1 (Streitigkeiten zwischen Vorsorgeeinrichtungen, Arbeitgebern und Anspruchsberechtigten) abgestimmt gewesen. Spätere Gesetzesrevisionen erweiterten diese zunächst auf Streitigkeiten über Verantwortlichkeitsansprüche nach Art. 52 BVG und über den Rückgriff nach Art. 56a Abs. 1 BVG (Änderung des BVG vom 21. Juni 1996, AS 1996 3069; Art. 73 Abs. 1 lit. c und d BVG in der heute geltenden Fassung), sodann auf Streitigkeiten mit Einrichtungen, welche der Erhaltung der Vorsorge im Sinne der Art. 4 Abs. 1 und 26 Abs. 1 FZG dienen, sowie auf Streitigkeiten mit Einrichtungen, welche sich aus der Anwendung von Art. 82 Abs. 2 BVG ergeben (Änderung des BVG vom 3. Oktober 2003 [1. BVG-Revision], AS 2004 1693; Art. 73 Abs. 1 lit. a und b BVG). Bei diesen Revisionen sei über Anpassungen von Art. 73 Abs. 3 BVG nicht diskutiert worden (erwähntes Urteil 9C_944/2008 E. 5.3 mit Hinweisen auf die Materialien). Mit Bezug auf Streitsachen betreffend die gebundene Vorsorge (vgl. Art. 1 BVV 3; SR 831.461.3) gemäss Art. 73 Abs. 1 lit. b BVG habe das Bundesgericht geschlossen, es sei dem Gesetzgeber entgangen, dass die Gerichtsstandsalternative "Ort des Betriebes, bei dem der Versicherte angestellt wurde" in diesem Rahmen nicht anwendbar sei. Art. 73 Abs. 3 BVG verfolge - vor dem Hintergrund des Prinzips des einfachen und raschen Verfahrens (Abs. 2) - den Zweck, den Zugang zum Gericht im sachlichen Zuständigkeitsbereich gemäss Abs. 1 möglichst zu vereinfachen. Aus diesem Grund werde hinsichtlich von Streitigkeiten im Gebiet der gebundenen Vorsorge entgegen dem Wortlaut von Art. 73 Abs. 3 BVG ein alternativer Gerichtsstand am Wohnsitz des Versicherungsnehmers anerkannt (Urteil 9C_944/2008 E. 5.4). Infolge der verfahrensmässig vergleichbaren Ausgangslage müsse auch mit Bezug auf eine Streitigkeit mit einer Freizügigkeitseinrichtung (Art. 73 Abs. 1 lit. a BVG) gelten, dass die versicherte Person - respektive hier deren Rechtsnachfolgerin - bei dem am eigenen Wohnsitz zuständigen Berufsvorsorgegericht Klage führen kann (erwähntes Urteil 9C_1016/2010 vom 30. Mai 2011).
3.3.2 Aufgrund dieser Überlegungen hat das Bundesgericht im Urteil 9C_546/2011 vom 31. Oktober 2011 erwogen, dass bei Bezügern von Arbeitslosenentschädigung für die Bestimmung des alternativen Gerichtsstands der Ort der Erfüllung der Kontrollvorschriften und des Bezugs von Arbeitslosenentschädigung dem Ort des Betriebes im Sinne von Art. 73 Abs. 3 BVG gleichzustellen ist, da im Rahmen der 2. Revision des Arbeitslosenversicherungsgesetzes (AVIG) die Bezügerinnen und Bezüger von Arbeitslosenentschädigung mit Wirkung ab 1. Januar 1997 für die Risiken Tod und Invalidität der obligatorischen beruflichen Vorsorge unterstellt und bei der Auffangeinrichtung versichert worden sind (Art. 2 Abs. 3, Art. 10 Abs. 1, Art. 60 Abs. 2 lit. e BVG; Art. 22a Abs. 3 AVIG).
3.4 Als entscheidend betrachtete das Bundesgericht im Urteil 9C_546/2011 vom 31. Oktober 2011, dass der Versicherte - wie hier - in der gleichen Eingabe Klage gegen zwei verschiedene Einrichtungen der beruflichen Vorsorge erhoben hatte, wobei hinsichtlich der Pensionskasse seiner früheren Arbeitgeberin der alternative Wahlgerichtsstand des Betriebsortes gegeben war. Nach Rechtsprechung und Schrifttum ist die passive subjektive Klagenhäufung (Art. 15 ZPO) im Rahmen der Gerichtsstandsregelung von Art. 73 Abs. 3 BVG zulässig mit der Folge eines einheitlichen Gerichtsstandes (BGE 133 V 488 E. 4 S. 491 ff.; Urteil B 35/96 vom 8. Juli 1997, publiziert in SZS 1998 S. 440; Meyer/Uttinger, in: Schneider/Geiser/Gächter [Hrsg.], Handkommentar zum BVG und FZG, Art. 73 N 99; a.M. THOMAS ACKERMANN, Verfahrensrechtliche Aspekte des prekären Leistungsverhältnisses, in: Schaffhauser/Kieser [Hrsg.], Das prekäre Leistungsverhältnis im Sozialversicherungsrecht, St. Gallen 2008, S. 38 ff.). Namentlich bei Streitigkeiten über die Abgrenzung der Leistungspflicht mehrerer Vorsorgeeinrichtungen gestützt auf Art. 23 BVG drängt sich ein einheitlicher Gerichtsstand auf (erwähntes Urteil B 35/96 vom 8. Juli 1997 E. 3c). So verhält es sich auch hier. Mit dem Ausscheiden aus der bisherigen Vorsorgeeinrichtung infolge Verlustes des Arbeitsplatzes geht im Falle des Bezugs von Arbeitslosenentschädigung der Wechsel zur Auffangeinrichtung BVG einher. Bei gesundheitlich angeschlagenen Personen ergeben sich in der Praxis mit Blick auf Art. 23 BVG oft Probleme, welche Einrichtung der beruflichen Vorsorge für die Ausrichtung von Invalidenleistungen zuständig ist. Für die entsprechende Klage bedarf es - um sich widersprechende Urteile zu vermeiden und aus prozessökonomischen Gründen - eines einheitlichen Gerichtsstandes. Es macht denn im vorliegenden Fall auch keinen Sinn, wenn die Beschwerdeführerin die beiden Einrichtungen der beruflichen Vorsorge in verschiedenen Kantonen ins Recht fassen müsste. Den Verfahrensgrundsätzen des Art. 73 Abs. 2 BVG (einfach, rasch, kostenlos) widerspricht insbesondere das vom Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gewählte Vorgehen, den Prozess mit der Auffangeinrichtung abzutrennen, diese aber ins Verfahren gegen die Pensionskasse der Arbeitgeberin beizuladen. Folge davon ist, dass beide Vorsorgeeinrichtungen in zwei verschiedenen Kantonen in zwei Prozesse um die gleiche Frage verwickelt sind. Schliesslich ist auch auf das verfassungsrechtliche Gebot der Einheit und Widerspruchsfreiheit des Verfahrens (Art. 9 BV; Urteil 1B_442/2011 vom 4. Januar 2012, E. 2) hinzuweisen.
3.5 Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz, das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, zu Recht seine Zuständigkeit verneint. Dies führt zur Abweisung des Hauptantrages der Beschwerde. Demgegenüber hat das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zu Unrecht seine örtliche Zuständigkeit verneint und damit Bundesrecht verletzt. Sein Nichteintretensentscheid vom 24. März 2011 wird daher in Gutheissung des Eventualantrages aufgehoben.
4. Da sogleich in der Hauptsache entschieden werden kann, ist das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos.
5. 5.1 Das Verfahren ist grundsätzlich kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Aufgrund der besonderen Umstände (negativer Kompetenzkonflikt zweier kantonaler Versicherungsgerichte) ist indessen ausnahmsweise auf eine Kostenerhebung zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG; nicht publizierte E. 5.1 von BGE 135 V 153 [8C_769/2008]).
5.2 Die Beschwerdeführerin hat mit Eingabe vom 10. Dezember 2010 gegen beide Vorsorgeeinrichtungen gemeinsam Klage auf Ausrichtung von Invalidenleistungen eingereicht. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG hat gegen die örtliche Zuständigkeit keine Einwände erhoben, sondern das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat von sich aus die Klage gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG abgetrennt und ist darauf nicht eingetreten. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG hat daher die Kosten der Beschwerdeführerin für die Prozessführung vor Vorinstanz und vor Bundesgericht nicht veranlasst. Daher hat der Kanton Zürich die Beschwerdeführerin für die Prozessführung vor Vorinstanz und vor Bundesgericht zu entschädigen (Art. 68 Abs. 4 BGG in Verbindung mit Art. 66 Abs. 1 und 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 24. März 2011 aufgehoben und die Sache an dieses zurückgewiesen wird, damit es materiell über die Klage vom 1. Dezember 2010 gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG entscheide. Die Beschwerde gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 3. Januar 2012 wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das vorinstanzliche und das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 4'000.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der Pensionskasse der Generali Versicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. März 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Nussbaumer