Faits:
A. A._ a exercé l'activité d'employée de maison, effectuant à l'extérieur des travaux de ménage tout en s'occupant de la garde d'enfants. Atteinte de cervicalgies et de lombalgies, elle a présenté le 13 juillet 2009 une demande de prestations de l'assurance-invalidité, produisant une attestation de la doctoresse E._ (spécialiste FMH en rhumatologie et en médecine interne générale) du 10 juillet 2009 selon laquelle il ne lui était plus possible d'assumer ses activités professionnelles. Dans un rapport du 2 septembre 2009, le docteur N._ (spécialiste FMH en médecine interne générale) a attesté une incapacité de travail de 75 % dans l'activité d'employée de maison depuis le 8 juillet 2009. Dans un rapport du 2 octobre 2009, la doctoresse E._ a admis que l'incapacité de travail était de 50 à 60 % depuis plusieurs années.
Une enquête économique sur le ménage a été effectuée (rapport du 26 mars 2010). Le 1er décembre 2010, les docteurs U._ (spécialiste FMH en médecine physique et réadaptation) et C._ (spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie), tous deux médecins du Service médical régional de l'AI (ci-après: SMR), ont procédé à un examen clinique rhumatologique et psychiatrique. Dans un rapport du 21 février 2011, ils ont posé les diagnostics avec répercussion durable sur la capacité de travail de cervicobrachialgies gauches chroniques, de troubles statiques et dégénératifs avancés du rachis cervical, de lombalgies communes prédominant à gauche, de troubles dégénératifs modérés du rachis lombaire, d'arthrose nodulaire déformant du 2ème rayon de la main droite et de gonalgies gauches mécaniques sur gonarthrose débutante. Ces médecins ont indiqué que l'assurée présentait les limitations fonctionnelles suivantes: pas de port de charges supérieures à 3 kg de façon répétitive et au-delà de 7.5 kg de façon occasionnelle; pas d'activité en antépulsion au-delà de 60° de façon répétitive et formelle au-delà de 90° contre résistance; pas de mouvement d'extension du rachis cervical de façon formelle avec absence de mouvement de rotation brusque droite/gauche; pas de position statique prolongée du rachis cervical; pas de position statique assise au-delà de 45 minutes sans possibilité de varier les positions assise/debout de préférence à la guise de l'assurée; pas de position en porte-à-faux en antéflexion du rachis lombaire contre résistance; pas de montée ou descente d'escaliers; pas de position en genou flexion ou accroupie à répétition. Ils concluaient à une capacité de travail exigible de 50 % dans l'activité habituelle et de 100 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles depuis novembre 2008.
Dans un préavis de refus de rente du 12 mai 2011, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a informé A._ qu'elle présentait depuis le mois de novembre 2008 une capacité de travail entière dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles et que l'invalidité résultant de la comparaison des revenus était de 18 %, taux qui ne donnait pas droit à une rente. Il a également nié tout droit à un reclassement dans un préavis daté du même jour. L'assurée, dans des observations du 15 juin 2011, est arrivée à la conclusion qu'elle présentait une invalidité de 67 %, taux donnant droit à un trois-quarts de rente. Par décision du 29 août 2011, l'office AI, tout en prenant position sur les observations de A._, a refusé toute rente d'invalidité pour le motif exposé dans le préavis. Par une autre décision datée du même jour, il a refusé tout reclassement.
B. A._ a formé un recours contre la décision en matière de refus de rente devant le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, en concluant, sous suite de frais et dépens, à son annulation, subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a conclu au rejet du recours. Par lettre du 30 janvier 2012, A._ a fait état d'une aggravation de son état de santé, singulièrement de poussées d'arthrose, et produit deux attestations des docteurs N._ du 20 janvier 2012 et D._ (spécialiste FMH en chirurgie orthopédique) du 24 janvier 2012. L'office AI a pris position sur ces documents dans des observations du 9 février 2012.
Par arrêt du 11 octobre 2012, la juridiction cantonale a admis le recours en ce sens que la décision entreprise était annulée et la cause renvoyée à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel pour instruction complémentaire et nouvelle décision selon les considérants (ch. 1 du dispositif).
C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant, sous suite de frais, à son annulation avec ou sans renvoi de la cause à l'instance judiciaire précédente, la décision du 29 août 2011 en matière de refus de rente d'invalidité étant confirmée.
A._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. Elle requiert l'octroi de l'assistance judiciaire. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le jugement entrepris, en tant qu'il renvoie la cause à l'office AI pour instruction complémentaire (ch. 1 du dispositif), constitue une décision incidente, contre laquelle un recours n'est recevable qu'aux conditions de l'art. 93 al. 1 LTF (ATF 135 V 141 consid. 1.1 p. 143, 133 V 477 consid. 4.2 p. 481 s.), soit si la décision incidente peut causer un préjudice irréparable (al. 1 let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (al. 1 let. b).
1.1 Le renvoi de la cause à l'administration pour instruction complémentaire et nouvelle décision ne cause en règle générale aucun préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (ATF 137 V 314 consid. 2.1 p. 316 et les références; ATF 133 V 477 consid. 5.2.1 et 5.2.2 p. 483, 645 consid. 2.1 p. 647). L'autorité inférieure à laquelle la cause est renvoyée subit cependant un préjudice irréparable au sens de cette disposition légale si l'arrêt de renvoi ne lui laisse plus aucune latitude de jugement pour le reste de la procédure (ATF 134 II 124 consid. 1.3 p. 127 et les références).
1.2 La juridiction cantonale a retenu que l'intimée était, au moment déterminant de la décision entreprise, âgée de 60 ans et 5 mois. Elle a considéré que l'office AI n'avait pas pris position quant à la question de savoir si et dans quelle mesure cet âge réduisait concrètement la possibilité de l'intéressée de mettre à profit sa capacité de gain dans une activité adaptée et que cela justifiait en soi le renvoi de la cause au recourant, le Tribunal n'ayant pas à faire prévaloir son propre point de vue sur un aspect qu'il appartenait en premier lieu à l'office AI d'examiner et de trancher.
1.3 Le renvoi de la cause à l'office AI par la juridiction cantonale pour instruction complémentaire sur le point de savoir si et dans quelle mesure l'âge de 60 ans et 5 mois réduit concrètement la possibilité de l'assurée de mettre à profit sa capacité de gain dans une activité adaptée ne laisse plus aucune latitude de jugement pour la suite de la procédure. Singulièrement, il ne laisse pas à l'office AI toute latitude pour examiner si on pouvait exiger de l'intimée qu'elle mît en valeur sa capacité de travail résiduelle dans une activité adaptée à un autre âge que celui qui était le sien lors de la décision de refus de rente d'invalidité du 29 août 2011. Sous cet angle, la condition du préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF apparaît réalisée (ATF 134 II 124 consid. 1.3 p. 128 et les références). Le recours est ainsi recevable.
2. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140).
3. Le litige a trait au droit de l'intimée à une rente d'invalidité et porte sur le point de savoir s'il est exigible de la part de l'assurée qu'elle mette en valeur sa capacité de travail résiduelle dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles, singulièrement sur l'activité adaptée et le revenu d'invalide.
3.1 Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les règles légales et la jurisprudence sur les notions d'incapacité de travail (art. 6 LPGA), d'invalidité (art. 8 al. 1 LPGA, art. 4 al. 1 LAI) et d'incapacité de gain (art. 7 al. 1 et 2 LPGA), et sur l'évaluation de l'invalidité selon la méthode générale de comparaison des revenus (art. 16 LPGA). On peut ainsi y renvoyer.
3.2 S'agissant en particulier de l'évaluation de l'invalidité (art. 16 LPGA), le jugement entrepris expose correctement les principes développés dans l'arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 198/97 du 7 juillet 1998 consid. 3b et les références (in VSI 1998 p. 293) et dans l'arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 377/98 du 28 juillet 1999 consid. 1 et les références (in VSI 1999 p. 246). Toutefois, ainsi que l'a indiqué également la juridiction cantonale, lorsqu'il s'agit d'évaluer l'invalidité d'un assuré qui se trouve proche de l'âge donnant droit à la rente de vieillesse, il faut procéder à une analyse globale de la situation et se demander si, de manière réaliste, cet assuré est en mesure de retrouver un emploi sur un marché équilibré du travail. Cela revient à déterminer, dans le cas concret qui est soumis à l'administration ou au juge, si un employeur potentiel consentirait objectivement à engager l'assuré, compte tenu notamment des activités qui restent exigibles de sa part en raison d'affections physiques ou psychiques, de l'adaptation éventuelle de son poste de travail à son handicap, de son expérience professionnelle et de sa situation sociale, de ses capacités d'adaptation à un nouvel emploi, du salaire et des contributions patronales à la prévoyance professionnelle obligatoire, ainsi que de la durée prévisible des rapports de travail (par ex. arrêt 9C_913/2012 du 9 avril 2013 consid. 5.2).
3.3 Le Tribunal fédéral a longtemps laissé ouverte la question de savoir à quel moment il convient de se placer pour apprécier les chances d'un assuré proche de l'âge de la retraite de mettre en valeur sa capacité résiduelle de travail sur le marché de l'emploi. Il y a apporté une réponse dans l'arrêt 9C_149/2011 du 25 octobre 2012, publié aux ATF 138 V 457. Il a statué que ce moment correspond à celui où l'on constate que l'exercice (en plein ou partiel) d'une activité lucrative est exigible du point de vue médical, soit dès que les documents médicaux permettent d'établir de manière fiable les faits y relatifs (ATF 138 V 457 consid. 3.3 et 3.4 p. 461 s.; arrêt 9C_913/2012 du 9 avril 2013 consid. 5.3).
4. Les premiers juges, à l'appui du renvoi pour instruction complémentaire, ont considéré que le SMR et l'office AI n'avaient pas précisé les postes adaptés aux limitations de l'intimée, que les limitations dont les médecins préconisaient le strict respect étaient plutôt contraignantes et qu'une appréciation concrète de l'activité adaptée aurait dû être faite, le renvoi aux activités simples et répétitives selon les statistiques de l'Enquête suisse sur la structure des salaires ne pouvant suffire.
4.1 Même si le docteur N._ dans un questionnaire du 2 septembre 2009 et la doctoresse E._ dans un même questionnaire du 2 octobre 2009 ont indiqué quels travaux ne pouvaient plus être exigés de l'assurée, ils ne se sont pas exprimés dans leur rapport y relatif sur la capacité de travail de l'intimée dans une activité adaptée. C'est le rapport des docteurs U._ et C._ du 21 février 2011 qui a permis de constater de manière fiable les faits déterminants quant à la capacité résiduelle de travail de l'assurée et l'exigibilité de l'exercice d'une activité adaptée. Sous cet angle, les conclusions des docteurs U._ et C._ sont dûment motivées et le rapport mentionné ci-dessus du 21 février 2011 remplit les critères jurisprudentiels qui permettent de reconnaître à un rapport médical pleine valeur probante (ATF 134 V 231 consid. 5.1 p. 232, 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469, 125 V 351 consid. 3a p. 352). C'est ainsi à la date du 21 février 2011 qu'il convient d'examiner si on pouvait exiger de l'intimée qu'elle mît en valeur sa capacité de travail résiduelle dans une activité adaptée. L'assurée était alors âgée de 59 ans et 11 mois. Elle se trouvait à quatre ans et un mois de l'âge ouvrant le droit à une rente de vieillesse de l'AVS (art. 21 al. 1 let. b LAVS). On pouvait donc attendre de l'intimée qu'elle mette en valeur sa capacité de travail dans une activité adaptée (arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 293/05 du 17 juillet 2006, consid. 5.2.2).
Il n'est pas irréaliste de considérer que l'intimée, alors âgée de 59 ans et 11 mois, était en mesure de retrouver un emploi sur un marché équilibré du travail. Il ressort du rapport d'enquête économique sur le ménage du 26 mars 2010 que l'assurée a fréquenté dans son pays d'origine l'école obligatoire, le gymnase et l'université et y a appris la profession de maîtresse de gymnastique et qu'elle a exercé en Suisse de janvier 2003 à octobre 2005 l'activité d'aide-comptable pour le compte d'une pharmacie. Une activité d'aide-comptable pratiquée par exemple pour le compte d'une ou de plusieurs pharmacies apparaît comme étant adaptée aux limitations fonctionnelles décrites par les médecins du SMR dans leur rapport du 21 février 2011.
4.2 Le revenu d'invalide doit être évalué avant tout en fonction de la situation professionnelle concrète de la personne assurée. Lorsque l'activité exercée après la survenance de l'atteinte à la santé repose sur des rapports de travail particulièrement stables, qu'elle met pleinement en valeur la capacité de travail résiduelle exigible et que le gain obtenu correspond au travail effectivement fourni et ne contient pas d'éléments de salaire social, c'est le revenu effectivement réalisé qui doit être pris en compte pour fixer le revenu d'invalide. En l'absence d'un revenu effectivement réalisé - soit lorsque la personne assurée, après la survenance de l'atteinte à la santé, n'a pas repris d'activité lucrative ou alors aucune activité normalement exigible -, le revenu d'invalide peut être évalué sur la base de salaires fondés sur les données statistiques résultant de l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ESS) ou sur les données salariales résultant des descriptions de postes de travail établies par la CNA (ATF 135 V 297 consid. 5.2 p. 301; 129 V 472 consid. 4.2.1 p. 475).
4.3 Les médecins du SMR ont noté dans leur rapport du 21 février 2011 que sur le plan ostéoarticulaire, l'intimée avait présenté une incapacité de travail de 50 % dans son activité habituelle depuis novembre 2008 au moins, date de l'investigation radiologique. Avec raison, l'office AI s'est fondé sur la situation existant en 2009, soit à l'échéance du délai de carence d'un an, pour procéder à l'évaluation de l'invalidité.
On se trouve en l'espèce dans la situation où le revenu d'invalide pouvait être évalué sur la base de salaires fondés sur les données statistiques résultant de l'ESS (supra, consid. 4.2). Ainsi, l'office AI a calculé le revenu d'invalide sur la base du salaire auquel peuvent prétendre les femmes effectuant des activités simples et répétitives (niveau 4) dans le secteur privé, toutes activités confondues, à savoir un montant de 4'116 fr. par mois - valeur 2008 - (ESS 2008, Tableau TA1 p. 26), soit 49'392 fr. par année. A juste titre, le recourant a ajusté le salaire à la moyenne de 41.7 de la durée hebdomadaire du travail dans les entreprises en 2009 (La Vie économique 11-2010 p. 98, tabelle B9.2) et a tenu compte de l'évolution moyenne des salaires de 2.1 % en 2009 (La Vie économique 11-2010 p. 99, tabelle B10.2), ce qui donnait un revenu de 52'572 fr. 47. Procédant à un abattement sous la forme d'une déduction globale maximale de 25 % (ATF 126 V 75), l'office AI a fixé le revenu d'invalide à 39'429 fr. par année.
Compte tenu d'un revenu de la personne valide de 48'250 fr. par année (valeur 2009), la comparaison des revenus donne une invalidité de 18 % ([48'250 fr. - 39'429 fr.] x 100 : 48'250 fr.), le taux de 18.28 % étant arrondi au pour cent inférieur (ATF 130 V 121 consid. 3.2 p. 122 s.; SVR 2004 UV n° 12 p. 44). Le taux d'invalidité de 18 % ne confère aucun droit à une rente d'invalidité (art. 28 al. 2 LAI).
4.4 Sur le vu de ce qui précède, le recours est bien fondé, sans qu'il y ait lieu d'examiner la question évoquée par la juridiction cantonale de l'examen de l'aptitude réelle de l'intimée d'effectuer (nonobstant les limitations physiques importantes) à 50 % d'un plein temps les tâches normales attendues d'une femme de ménage.
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci est accordée à l'intimée, son attention étant attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, du 11 octobre 2012, est annulé.
2. L'assistance judiciaire est accordée à l'intimée et Me Carole Aubert lui est désignée comme avocat d'office.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Une indemnité supportée provisoirement par la caisse du Tribunal de 1'800 fr. est allouée à Me Carole Aubert à titre d'honoraires.
5. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 mai 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Wagner