Sachverhalt:
A. In einem zwischen X._ und Y._ hängigen Eheschutzverfahren stellte der Einzelrichter im summarischen Verfahren am Bezirksgericht Z._ mit Verfügung vom 20. Dezember 2007 fest, dass die Parteien zum Getrenntleben berechtigt seien und bereits seit dem 30. Juli 2007 getrennt leben (Ziff. 1). Die gemeinsamen Kinder der Parteien, A._ (geb. 2004) und B._ (geb. 2007) wurden für die Dauer des Getrenntlebens unter die elterliche Obhut der Ehefrau gestellt (Ziff. 2). Der Ehemann wurde berechtigt, die Kinder jeweils am zweiten Sonntag jeden Monats von 11.00 Uhr bis 17.00 Uhr für die Dauer von vier Monaten auf eigene Kosten im Besuchstreff C._ zu besuchen (begleitetes Besuchsrecht) und nach Ablauf dieser vier Monate, jeweils nach Abklärung mit dem Besuchsrechtsbeistand bzw. der Besuchsrechtsbeiständin in den Wochen mit gerader Wochenzahl am Samstag und in den Wochen mit ungerader Wochenzahl am Sonntag, jeweils von 13.00 Uhr bis 17.00 Uhr auf eigene Kosten unbegleitet zu besuchen. Dem Ehemann wurde befohlen, seine schweizerischen und tschechischen Reisedokumente vor Ausübung des Besuchsrechts während dessen Dauer der Ehefrau auszuhändigen (Ziff. 3). Ihm wurde ferner mit sofortiger Wirkung unter Androhung der Strafen nach Art. 292 StGB (Haft oder Busse bis Fr. 10'000.--) verboten, die Kinder zusammen oder eines von beiden allein mit sich ins Ausland zu nehmen (Ziff. 4). Für die beiden Kinder wurde eine Besuchsrechtsbeistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 2 ZGB errichtet (Ziff. 5) und der Beistand bzw. die Beiständin beauftragt, das in Ziffer 3 angeordnete Besuchsrecht zu überwachen, insbesondere sicherzustellen, dass es während der Dauer gemäss Ziff. 3 im Beisein einer Drittperson ausgeübt werde, sowie unter Beizug aller Beteiligten die Modalitäten des Besuchsrechts festzulegen und diese jeweils der veränderten Situation anzupassen (Ziff. 6). Ferner wies der Einzelrichter den Antrag der Ehefrau auf Begutachtung des Ehemannes ab (Ziff. 7). Des Weiteren verpflichtete der Einzelrichter den Ehemann, der Ehefrau für die Dauer des Getrenntlebens monatlich und im Voraus für September 2007 Fr. 2'047.--, nämlich Fr. 747.-- für die Ehefrau und je Fr. 650.-- zuzüglich Kinderzulagen für die beiden Kinder, ferner ab Oktober 2007 Fr. 2'137.--, nämlich Fr. 837.-- für die Ehefrau sowie je Fr. 650.-- plus Kinderzulagen für die beiden Kinder zu bezahlen (Ziff. 8). Die eheliche Liegenschaft samt Mobiliar und Hausrat wurde für die Dauer des Getrenntlebens der Ehefrau zur alleinigen Benützung zugewiesen (Ziff. 9). Ferner regelte der Einzelrichter die Nutzung der Fahrzeuge (Ziff. 10) sowie die Herausgabe diverser Gegenstände (Ziff. 11 und 12). Dem Ehemann wurde ferner aufgetragen, der Ehefrau auf erstes Verlangen sämtliche Auskünfte zu erteilen und Belege herauszugeben, welche seine sämtlichen Einkünfte, SUVA-Renten und sein Vermögen (inkl. Geschäft und Liegenschaften) betreffen (Ziff. 13). Schliesslich ordnete der Einzelrichter Gütertrennung mit Wirkung ab 26. Juli 2007 an (Ziff. 14).
B. B.a Mit Beschluss vom 22. April 2009 wies das Obergericht des Kantons Zürich den vom Ehemann gegen die einzelrichterliche Verfügung erhobenen Rekurs ab, soweit darauf einzutreten war (Ziff. 1), hob die Ziffern 3 und 4 der erstinstanzlichen Verfügung in teilweiser Gutheissung des Anschlussrekurses der Ehefrau auf und fasste diese Ziffern neu. Danach wurde der Ehemann neu berechtigt, die beiden Kinder für die Dauer von einem Jahr jeweils am ersten und dritten Sonntag eines jeden Monats für die Dauer von vier Stunden - aufbauend, je nach Verlauf - auf eigene Kosten im Besuchstreff D._ zu besuchen (begleitetes Besuchsrecht); nach der einjährigen Übergangsfrist wurde der Ehemann berechtigt, die Kinder jeweils jeden ersten und dritten Sonntag pro Monat, jeweils am zweiten Tag der Doppelfeiertage Weihnachten und Neujahr sowie jeweils am Ostermontag und am Pfingstmontag auf eigene Kosten zu sich oder mit sich auf Besuch zu nehmen. Dem Ehemann wurde aufgetragen, seine schweizerischen und tschechischen Reisedokumente vor Ausübung des (unbegleiteten) Besuchsrechts während dessen Dauer der Ehefrau auszuhändigen (neue Ziff. 3). Dem Ehemann wurde unter Hinweis auf die Strafen nach Art. 292 StGB (Busse bis Fr. 10'000.--) für den Widerhandlungsfall mit sofortiger Wirkung verboten, die Kinder gegen den Willen der Ehefrau zusammen oder einzeln mit sich ins Ausland zu nehmen.
B.b Mit Zirkulationsbeschluss vom 13. November 2009 trat das Kassationsgericht des Kantons Zürich auf ein Ausstandsbegehren vom Ehemann gegen Oberrichter E._ nicht ein. Ferner wies es die vom Ehemann gegen den obergerichtlichen Beschluss erhobene kantonale Nichtigkeitsbeschwerde ab und regelte die Kosten.
C. Der Ehemann (fortan Beschwerdeführer) hat beim Bundesgericht sowohl gegen den Beschluss des Obergerichts als auch gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts Beschwerde in Zivilsache bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde eingereicht. Er beantragt, die Ziffern 1-5 des obergerichtlichen Urteils aufzuheben, ferner festzustellen, dass Bezirksrichterin F._ und Oberrichter E._ befangen waren, deshalb die Gerichtsverfahren unfair gewesen und aufzuheben seien. Die Kinder seien dem Beschwerdeführer zuzuweisen, eventuell sei ihm ein unbeaufsichtigter Umgang mit seinen Kindern zu gestatten, der Feiertage, Ferien und Auslandreisen beinhalte. Die Beschwerdegegnerin sei zu angemessenem Unterhalt zu verpflichten. Dem Beschwerdeführer seien seine persönlichen Sachen sowie sein Mercedes herauszugeben. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese sämtliches Einkommen und Vermögen der Beschwerdegegnerin gemäss Art.170 ZGB erhebe und mittels Gutachten die Erziehungsfähigkeit beider Parteien unter besonderer Beachtung des psychischen Zustandes der Beschwerdegegnerin beurteile und den Beschwerdeführer für seine erlittenen Schädigungen angemessen entschädige. Ferner sei der Beschwerdeführer für alle Verfahren angemessen zu entschädigen, insbesondere für den Beziehungsverlust zu seinen beiden Kindern während zweieinhalb Jahren sowie für die Vorenthaltung der persönlichen Sachen. Die Gerichts- und Parteikosten seien in allen Verfahren neu zu bestimmen unter Berücksichtigung, dass für alle Gerichtsverfahren die Kinderbelange mit 50% zu gewichten seien, unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten der Beschwerdegegnerin. Ferner beantragt der Beschwerdeführer, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
D. Nach Einholung von Vernehmlassungen zur aufschiebenden Wirkung wurde der Beschwerde mit Verfügung vom 15. Januar 2010 für die bis und mit November 2009 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt.
In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer stellt grundsätzlich die Zulässigkeit des Eheschutzverfahrens infrage, da die Beschwerdegegnerin ihren eigenen Angaben zufolge schnellstens geschieden werden wolle und ihr somit nicht am Erhalt der ehelichen Gemeinschaft gelegen sei. Er hält die Bestimmungen über die Trennung (Art. 117 f. ZGB) für anwendbar und bezweifelt zudem, ob ein Endentscheid im Sinn von Art. 90 BGG vorliege. Seiner Ansicht nach kommt nicht nur die Beschwerde in Zivilsachen, sondern allenfalls auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht.
1.2 Im vorliegenden Fall hat das Bezirksgericht ein Eheschutzverfahren nach Art. 175 ff. ZGB durchgeführt. Das Obergericht des Kantons Zürich hat den erstinstanzlichen Entscheid mit Ausnahme der Dispositiv-Ziffern 3 und 4 bestätigt und das Kassationsgericht des Kantons Zürich hat die gegen den obergerichtlichen Beschluss erhobene kantonale Nichtigkeitsbeschwerde abgewiesen. Gegen diese beiden Beschlüsse wendet sich der Beschwerdeführer mit seiner Eingabe. Angefochten sind demnach zwei Entscheide kantonaler Vorinstanzen betreffend Erlass von Eheschutzmassnahmen. Es liegt damit eine Zivilsache im Sinn von Art. 72 Abs. 1 BGG nicht vermögensrechtlicher Art vor, zumal es vorliegend nicht ausschliesslich um vermögensrechtliche Belange geht (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gelten Entscheide über Eheschutzmassnahmen als Endentscheide im Sinn von Art. 90 BGG (BGE 133 III 393 E. 4). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich damit entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers als unzulässig (Art. 113 BGG).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer hat fristgerecht (Art. 100 Abs. 6 BGG) gleichzeitig mit dem Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts den obergerichtlichen Beschluss angefochten. Die Beschwerde in Zivilsachen ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen (Art. 75 Abs. 1 BGG). Soweit der Beschwerdeführer die Bestimmungen über den Ausstand (Art. 30 Abs. 1 BV) bzw. den Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) als verletzt rügt oder den Sachverhalt als willkürlich beanstandet (Art. 9 BV), ist die Beschwerde in Zivilsachen einzig gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts zulässig, prüft doch das Kassationsgericht die entsprechenden Rügen frei und damit nicht mit geringerer Kognition als das Bundesgericht (§ 281 Ziffern 1 und 2 ZPO/ZH; BGE 133 III 585 E. 3 E. 3.4; Art. 97 Abs. 1 BGG). Gleiches gilt mit Bezug auf die als verletzt gerügten Bestimmungen über den Eheschutz (Art. 176 ff ZGB). Eheschutzmassnahmen gelten als vorsorgliche Massnahmen im Sinn von Art. 98 BGG (BGE 133 II 395 E. 5), weshalb vor Bundesgericht einzig eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, vorab eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV), geltend gemacht werden kann (BGE 133 III 585 E. 3.3 S. 587). Das Bundesgericht prüft somit im Bereich vorsorglicher Massnahmen die Anwendung von Bundeszivilrecht grundsätzlich nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür; diesbezüglich prüft das Kassationsgericht, ob eine Verletzung klaren materiellen Rechts vorliegt (§ 281 Ziff. 3 ZPO/ ZH), welche Prüfung in etwa der Willkürprüfung entspricht (BGE 133 III 585 E. 3.4 S. 588). Für die genannten Rügen gilt daher einzig der Beschluss des Kassationsgerichts als letztinstanzlich (Art. 75 Abs. 1 BGG; vgl. BGE 135 III 127 E. 1.1 S. 128; 133 II 585 E. 3 S. 586 ff.; Urteil 5A_316/2009 vom 2. Juli 2009 E. 1).
2.2 Der Beschwerdeführer rügt im Zusammenhang mit der Regelung der elterlichen Obhut und des Besuchsrechts eine Verletzung von Art. 7 BV (Menschenwürde), Art. 8 BV (Rechtsgleichheit), ferner von Art. 8 EMRK (Schutz des Familienlebens) in Verbindung mit Art. 14 EMRK (Diskriminierungsverbot). Das Bundesgericht prüft entsprechende Grundrechtsverletzungen an sich frei. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kommt indes Art. 8 BV im Bereich des Eheschutzes (Art. 175 ff ZGB) keine selbständige Bedeutung zu (BGE 133 II 585 E. 3.4 S. 587). Das gilt ebenso für die behauptete Verletzung der Menschenwürde (Art. 7 BV) sowie für die Verletzung von Art. 14 EMRK (Urteil 5P.103/2004 vom 7. Juli 2004 E. 2.2). Die Aufhebung der elterlichen Obhut und die Beschränkung des Besuchsrechts stellen grundsätzlich einen schweren Eingriff in die Elternrechte des Beschwerdeführers dar. Die bei der Regelung der Obhut und des Besuchsrechts vorgeschriebene Interessenabwägung auferlegen dem Bundesgericht allerdings Zurückhaltung bei der Überprüfung des kantonalen Entscheids, die im Ergebnis einer Willkürprüfung gleichkommt (BGE 120 II 384 E. 5; 5P.103/2004 vom 7. Juli 2004, E. 2.3). Im Übrigen legt der Beschwerdeführer auch nicht den Begründungsanforderungen entsprechend dar, inwiefern das Bundeszivilrecht mit Art. 8 EMRK nicht vereinbar sein soll (vgl. E. 2.3 hiernach). In den genannten Punkten ist somit auf die Beschwerde nicht einzutreten. Gegenstand der Prüfung bildet somit ausschliesslich der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts (E. 1.2 hiervor).
2.3 Bei der Prüfung vorsorglicher Massnahmen wendet das Bundesgericht das Recht nicht von Amtes wegen an, sondern prüft die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und hinreichend begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Es gilt das Rügeprinzip entsprechend der bisherigen Praxis zur staatsrechtlichen Beschwerde. In der Beschwerdeschrift ist deshalb anzuführen, welches verfassungsmässige Recht verletzt sein soll und kurz darzulegen, worin die behauptete Verletzung besteht. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 444). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es nicht aus, die Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 117 Ia 10 E. 4b S. 11 f.).
2.4 Die Beschwerdeschrift enthält eine Reihe von Anträgen zur Sache, deren Zulässigkeit fraglich erscheint. Da der Beschwerdeführer auch einen Antrag auf Rückweisung an die Vorinstanz stellt, wird auf die Zulässigkeit der materiellen Anträge nicht eingegangen. Was die Begründung anbelangt, hält der Beschwerdeführer die Rügen gegen den Beschluss des Obergerichts und jene gegen den kassationsgerichtlichen Zirkulationsbeschluss nicht deutlich auseinander. Sodann erschöpft sie sich über weite Strecken in einer appellatorischen Aufzählung von Fakten und entbehrt jeglicher Auseinandersetzung mit dem Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts. Die nachfolgenden Ausführungen beschränken sich daher auf erkennbar gegen den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts gerichtete Rügen. Im Übrigen wird auf die Beschwerde von vornherein nicht eingetreten.
3.1 3.1.1 Der Beschwerdeführer macht zur Begründung des Vorwurfs der Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV geltend, während des hängigen Eheschutzverfahrens vor dem Bezirksgericht Z._ habe er an den Bezirksrichterwahlen an dieses Gericht teilgenommen, wobei er während des feindseligen Wahlkampfes vom Ehemann der Bezirksrichterin F._ angeblicher Straftaten bezichtigt worden sei. Das entsprechende Strafverfahren sei am 13. Juli 2009 eingestellt und die Strafverfügung sei am 13. Mai 2009 aufgehoben worden, sodass feststehe, dass er vom Ehemann der Bezirksrichterin zu Unrecht einer Straftat bezichtigt worden sei, was die Feindschaft zwischen den Parteien (gemeint ist wohl zwischen dem Beschwerdeführer und Richterin F._) belege. Die Handlungsweise des Ehemannes der Bezirksrichterin sei von dieser mitgetragen worden, sodass sie im Eheschutzverfahren hätte in den Ausstand treten müssen. Das Kassationsgericht stelle nun aber auf S. 10 des Zirkulationsbeschlusses vom 13. November 2009 fest, dass die Rüge (der Verletzung der Vorschriften über den Ausstand) bei den Vorinstanzen hätten eingebracht werden müssen. Dabei habe das Gericht aber übersehen, dass die unechte Bezichtigung einer Straftat durch den Ehemann der Bezirksrichterin erst feststand (13. Mai 2009 und 13. Juli 2009), als das Rechtsmittelverfahren vor dem Kassationsgericht bereits rechtshängig gewesen sei und deshalb zurecht erst nach dem Bekanntwerden im Verfahren vor dem Kassationsgericht geltend gemacht worden sei.
3.1.2 Das Kassationsgericht hat in diesem Punkt erwogen, mit seinen weitgehend unbelegten und unsubstanziierten Behauptungen übergehe der Beschwerdeführer den Beschluss der Verwaltungsrekurskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 18. Dezember 2007, setze sich damit nicht auseinander und könne deshalb keinen Nichtigkeitsgrund nachweisen. Sodann zeige der Beschwerdeführer nicht auf, dass er die im Fall der Richterin F._ behaupteten Ausstandsgründe bereits bei den Vorinstanzen vorgebracht hätte. Auf diese Rüge könne mangels Auseinandersetzung mit dem Beschluss der Verwaltungskommission und mangels genügender Substanziierung und zufolge unzulässigen Vorbringens von Noven nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer setzt mit seinen Ausführungen nicht auseinander, welche Vorschrift des kantonalen Prozessrechts das Kassationsgericht verpflichtet hätte, das Novum zu behandeln. Die Rüge erweist sich damit nicht als den Begründungsanforderungen entsprechend begründet. Darauf ist nicht einzutreten.
3.1.2 Das Kassationsgericht hat in diesem Punkt erwogen, mit seinen weitgehend unbelegten und unsubstanziierten Behauptungen übergehe der Beschwerdeführer den Beschluss der Verwaltungsrekurskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 18. Dezember 2007, setze sich damit nicht auseinander und könne deshalb keinen Nichtigkeitsgrund nachweisen. Sodann zeige der Beschwerdeführer nicht auf, dass er die im Fall der Richterin F._ behaupteten Ausstandsgründe bereits bei den Vorinstanzen vorgebracht hätte. Auf diese Rüge könne mangels Auseinandersetzung mit dem Beschluss der Verwaltungskommission und mangels genügender Substanziierung und zufolge unzulässigen Vorbringens von Noven nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer setzt mit seinen Ausführungen nicht auseinander, welche Vorschrift des kantonalen Prozessrechts das Kassationsgericht verpflichtet hätte, das Novum zu behandeln. Die Rüge erweist sich damit nicht als den Begründungsanforderungen entsprechend begründet. Darauf ist nicht einzutreten.
3.2 3.2.1 Betreffend das Verfahren vor Obergericht macht der Beschwerdeführer geltend, der "Präsident" des Obergerichts, E._, habe ihm bis heute, also während mehr als zwei Jahren, den Kontakt zu seinen Kindern verunmöglicht. Dieses amtswidrige und völlig unbegründete Vorenthalten der beiden Kinder habe ihn (den Beschwerdeführer) dazu bewogen, bei der Oberstaatsanwaltschaft Zürich gegen den fehlbaren Richter ein Strafverfahren einzuleiten. In seiner Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht habe er den Ausstand des fehlbaren Oberrichters verlangt. Das Kassationsgericht sei auf die Einwände nicht eingetreten mit der Begründung, entgegen den eingereichten Akten sei nicht klar, um welchen Ausstandsgrund es sich handle.
3.2.2 Das Kassationsgericht hat erwogen, der Beschwerdeführer zeige nicht auf, dass er bereits vor der Instanz, deren Mitglied abgelehnt werde, ein Ablehnungsbegehren gegen E._ gestellt habe. Sodann mache er auch nicht geltend, er habe den behaupteten Ausstandsgrund erst nachträglich entdeckt, weshalb auf das Ausstandsbegehren bzw. die Rüge nur eingetreten werden könne, wenn ein Ausschlussgrund gemäss § 95 Abs. 1 GVG vorläge; der Beschwerdeführer behaupte dies zwar, zeige aber nicht auf, welchen der in § 95 Abs. 1 GVG aufgeführten Ausschlussgründe er meine. Ein solcher sei weder aufgrund des Gesuchs der Oberstaatsanwaltschaft vom 24. März 2009 an den Kantonsrat um Ermächtigung zur Einleitung einer Strafuntersuchung gegen Oberrichter E._ noch sonstwie ersichtlich. Aus dem zitierten Schreiben der Oberstaatsanwaltschaft ergebe sich nicht, aufgrund welcher Umstände um eine solche Ermächtigung nachgesucht werde. § 95 Abs. 1 Ziff. 1 GVG umfasse nicht die Fälle, in denen eine Zivilklage oder ein Strafverfahren eingeleitet worden sei, hätte es doch sonst die entsprechende Prozesspartei in der Hand, nach Belieben einen Justizbeamten in den Ausstand zu beordern. Ein Gesuch der Staatsanwaltschaft um Ermächtigung zur Einleitung einer Strafuntersuchung gegen einen Richter sei in der abschliessenden Aufzählung von § 95 GVG nicht als Ausschlussgrund genannt.
Mit dieser Erwägung setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, sodass auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann. Abgesehen davon ist bei der gegebenen, nicht als verfassungswidrig beanstandeten Sachlage eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV nicht ersichtlich.
Mit dieser Erwägung setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, sodass auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann. Abgesehen davon ist bei der gegebenen, nicht als verfassungswidrig beanstandeten Sachlage eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV nicht ersichtlich.
3.3 3.3.1 Eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV erblickt der Beschwerdeführer ferner im Umstand, dass der Präsident des Kassationsgerichts eine Anwaltskanzlei betreibe. Dass sich ein Richter "bei Instanzen" gewerblich betätige, über die er als Oberinstanz die Aufsicht innehabe, schaffe ein Abhängigkeitsverhältnis mit der Folge, dass es nicht im Interesse des Präsidenten des Kassationsgerichts sei, das Obergericht zu massregeln. Der Kassationsgerichtspräsident sei daher nicht unabhängig im Sinn von Art. 30 Abs. 1 BV.
3.3.2 Der Beschwerdeführer hat die entsprechende Rüge erstmals vor Bundesgericht erhoben.
Die Geltendmachung von Ausstandsgründen setzt die Kenntnis der personellen Zusammensetzung des Gerichts voraus. Das verfassungsmässige Recht auf einen unabhängigen und unparteiischen Richter umfasst deshalb auch den Anspruch auf Bekanntgabe, welche Richter am Entscheid mitwirken. Das bedeutet indessen nicht, dass dem Rechtsuchenden die Namen der entscheidenden Richter ausdrücklich genannt werden müssen. Es genügt vielmehr, dass er die Namen aus einer allgemein zugänglichen Quelle (Staatskalender oder Internet) entnehmen kann. Nach der Rechtsprechung müssen die Parteien damit rechnen, dass das Gericht in seiner ordentlichen Besetzung tagen wird. Ausstandsgründe sind deshalb gegenüber den ordentlichen Gerichtsmitgliedern sofort zu erheben und können nicht erst nach dem Entscheid in einem anschliessenden Rechtsmittelverfahren geltend gemacht werden (BGE 132 II 485 E. 4.3 S. 496 f. mit Hinweisen; 128 V 82 E. 2; Urteile 5P.138/2002 vom 31. Mai 2002 E.2a und 2C_164/2008 vom 28. Juli 2008 E. 3.1; BGE 114 Ia 278 E. 3c S. 280). Im vorliegenden Fall war es dem Beschwerdeführer möglich, via Internet auf den Staatskalender des Kantons Zürich zuzugreifen und so bereits mit Blick auf die Einreichung der Nichtigkeitsbeschwerde von der Zusammensetzung des Kassationsgerichts Kenntnis zu nehmen, was ihm ermöglicht hätte, den Ausstand von Gerichtspräsident G._ in der Beschwerdeschrift selbst zu verlangen. Die erstmals vor Bundesgericht erhobene Rüge erweist sich damit als verspätet und unbeachtlich. Unter diesen Umständen kann offenbleiben, ob die Rüge nicht bereits am Fehlen eines auf die Rüge bezogenen Antrages scheitert.
4.1 4.1.1 Im Zusammenhang mit der Frage der elterlichen Obhut macht der Beschwerdeführer zusammengefasst geltend, das Kassationsgericht habe auf den S. 11-13 willkürlich die Beschwerde mit der pauschalen Bemerkung abgewiesen, er habe sich mit den im Urteil des Bezirksgerichts dargelegten Gründen nicht auseinandergesetzt. Ferner habe es seine Ausführungen zur Beschneidung des Sohnes willkürlich als obsolet betrachtet. Nicht nachvollziehbar sei, wie das Kassationsgericht entgegen dem Verfahren vor dem Bezirksgericht zur Ansicht habe gelangen können, dass die Beschwerdegegnerin keine Beschneidung des Sohnes beabsichtigt habe. Die entsprechende Annahme des Kassationsgerichts sei willkürlich.
4.1.2 Das Kassationsgericht hat erwogen, die Vorinstanzen hätten bei der Obhutszuteilung nicht nur berücksichtigt, dass die Kinder aufgrund ihres Alters auf die Mutter angewiesen seien. Sie hätten sich im Weiteren auch nicht dahingehend geäussert, die Frau gehöre an den Herd und zu den Kindern und der Mann bringe das Geld nach Hause. Sie hätten vielmehr verschiedene Kriterien mitberücksichtigt, womit sich der Beschwerdeführer nicht auseinandersetze. Mit dieser Begründung setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Seine Beschwerde erweist sich in diesem Punkt appellatorisch.
Mit Bezug auf die Beschneidung hat das Kassationsgericht erwogen, die Behauptung des Beschwerdeführers, die Beschwerdegegnerin habe den Sohn wegen ihres jüdischen Glaubens beschneiden lassen wollen, sei angesichts der Akten abwegig. Gemäss Bericht des Kinderspitals Zürich vom 13. August 2009 und der Einholung einer Zweitmeinung sei die Beschwerdegegnerin einer nach einer medizinischen Erstmeinung aus medizinischer Sicht angezeigten Zirkumzision insgesamt kritisch gegenübergestanden und wäre froh gewesen, wenn eine Operation mit Vollnarkose hätte umgangen werden können. Offenbar sei auf eine solche Operation verzichtet worden. Auch mit dieser Erwägung setzt sich der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich auseinander. Insbesondere wird nicht erörtert, inwiefern der Entscheid aufgrund der darin aufgeführten Tatsachen (aus medizinischer Sicht angezeigte Zirkumzision; unterbliebene Zirkumzision) hinsichtlich der Zuteilung der Obhut willkürlich sein soll. Darauf ist insgesamt nicht einzutreten.
4.2 Gesamthaft betrachtet setzt sich der Beschwerdeführer, was die Frage der Obhut anbelangt, nicht rechtsgenüglich mit den Erwägungen des Kassationsgerichts auseinander. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als ungenügend begründet.
4.3 Was die Vorwürfe der Verletzung des rechtlichen Gehörs bzw. der Rechtsverweigerung angelangt, so hat das Kassationsgericht dazu bemerkt, der Beschwerdeführer liste seine gegen die Beschwerdegegnerin gerichteten Vorwürfe auf, ohne indes aufzuzeigen, wo er diese bereits vor den Vorinstanzen aufgezeigt habe, und bezeichne dies als Rechtsverweigerung. Darauf sei mangels genügender Substanziierung nicht einzutreten. Damit setzt sich der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auseinander. Auf die insoweit ungenügend begründete Beschwerde ist nicht einzutreten. Im Übrigen wäre der Vorwurf auch unbegründet: Hat der Beschwerdeführer nicht dargetan, dass er die behaupteten Tatsachen frist- und formgerecht geltend gemacht hat, so kann von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs keine Rede sein.
5.1 5.1.1 Das Kassationsgericht hat in E. 11 S. 14 des angefochtenen Beschlusses erwogen, wenn der Beschwerdeführer für die Behauptung, seine Ausführungen über den Zustand der Beschwerdegegnerin seien gerechtfertigt, erwiesen und belegt, einzig und pauschal auf seine eigenen Rechtsschriften verweise (KG act. 2. S. 11 mit Verweisung auf OG act. 2 und 113), vermöge er damit keinen Nichtigkeitsgrund darzutun.
5.1.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Ausführungen des Kassationsgerichts seien willkürlich. Der Verweis auf OG act. 113 betreffe zwar seine Rechtsschrift; doch werde in diesem Aktenstück (S. 8) auf weitere Aktenstücke (wie BG act. 11, S. 4 und BG act. 15, S. 20) verwiesen. Dabei handle es sich um Aktenstücke der Beschwerdegegnerin, worin sie selbst erkläre, depressiv zu sein und sich in ärztliche Behandlung begeben zu haben. Weiter werde auf BG act. 41/9 verwiesen, wo die Polizei den Zustand der Beschwerdegegnerin als ängstlich und akut überfordert bezeichnet habe. Die Behauptung des Kassationsgerichts, es handle sich nur um Behauptungen des Beschwerdeführers, sei willkürlich und aktenwidrig. Mit seiner Erwägung habe das Kassationsgericht das rechtliche Gehör (Art. 29 Abs. 2 BGG) verletzt.
5.1.3 Mit der Erwägung des Kassationsgerichts wird einzig der für die Nichtigkeitsbeschwerde geltende Grundsatz wiedergegeben, dass die Beschwerde in der Beschwerdeschrift selbst begründet werden muss und Verweise auf andere Akten den Begründungsanforderungen nicht genügen (Frank und andere, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 4 zu § 288). Dass dabei nicht alle Aktenstücke erwähnt werden, auf die der Beschwerdeführer in unzulässiger Weise verwiesen hat, ist unbeachtlich und ist weder willkürlich, noch verletzt es das rechtliche Gehör.
5.2 Soweit der Beschwerdeführer rügt, neu und willkürlich sei die Behauptung des Kassationsgerichts, dass sich der Beschwerdeführer bei der Vormundschaftsbehörde und beim Besuchsrechtsbeistand hätte bemühen müssen, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Es bleibt unerfindlich, auf welche Erwägung des Beschlusses des Kassationsgerichts sich diese Rüge bezieht.
5.3 Mit Bezug auf die weiteren Rügen im Zusammenhang mit dem Besuchsrecht legt der Beschwerdeführer nicht unter genauem Verweis auf die Erwägungen des Kassationsgerichts dar, inwiefern diese Instanz das Willkürverbot bzw. das rechtliche Gehör verletzt haben soll. Darauf ist nicht einzutreten.
6. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde ferner, soweit der Beschwerdeführer darin dem Kassationsgericht des Kantons Zürich im Zusammenhang mit der Bemessung des Unterhalts Willkür bzw. eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorwirft. Der Beschwerdeführer verweist auf seine angeblich geltend gemachten Tatsachenbehauptungen bezüglich der Festsetzung des Unterhalts. Dabei geht er aber überhaupt nicht konkret auf die Erwägungen des kassationsgerichtlichen Urteils ein und zeigt nicht anhand dessen Ausführungen auf, inwiefern das Kassationsgericht in Willkür verfallen sein oder das rechtliche Gehör verletzt haben soll. Darauf ist nicht einzutreten.
7. 7.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, das Kassationsgericht habe sein Gesuch um Herausgabe der Gegenstände mit der Begründung abgewiesen, er habe die Herausgabeangebote der Beschwerdegegnerin nicht angenommen. Dies sei willkürlich und aktenwidrig, habe er doch mehrmals um Herausgabe der Gegenstände ersucht.
7.2 Das Kassationsgericht hat dazu erwogen, nach den Erwägungen des Obergerichts habe der Beschwerdeführer immer wieder behauptet, ihm würden seine Kleidung und andere persönliche Effekten rechtswidrig vorenthalten. Es sei aber aktenkundig, dass ihm die Beschwerdegegnerin mehrmals angeboten habe, er könne seine persönlichen Effekten abholen; auf diese Angebote sei er nicht eingegangen. Das Kassationsgericht hielt dazu fest, der Beschwerdeführer beanstande auch diese Erwägungen, ohne sich aber damit auseinanderzusetzen. Insbesondere lege er nicht dar, dass die vorinstanzliche Feststellung nicht zutreffe (und woraus sich dies ergebe), dass er auf die aktenkundigen Angebote der Beschwerdegegnerin nicht eingegangen sei. Die Herausgabe des PW Mercedes bilde nicht Gegenstand des Beschlusses. Die diesbezüglichen Ausführungen gingen an der Sache vorbei. Der Beschwerdeführer zeigt nicht durch Auseinandersetzung mit dieser Erwägung auf, inwiefern das Kassationsgericht damit in Willkür verfallen sein oder das rechtliche Gehör verletzt haben soll. Darauf ist nicht einzutreten.
8. 8.1 Mit Bezug auf die Gerichtskosten und die Parteientschädigungen macht der Beschwerdeführer geltend, diese seien für alle Verfahren neu festzusetzen, wobei die Kinderbelange zu 50% entsprechend den Ausführungen des Obergerichts zu gewichten und entsprechende Parteientschädigungen gegeneinander aufzurechnen seien. Insbesondere müsse die Schädigung des Beschwerdeführers durch die Vorenthaltung seiner Sachen, seiner Kinder und seines Eigentums angemessen entschädigt werden. Allenfalls sei festzuhalten, dass der Staat Zürich den Beschwerdeführer für Vorenthaltung der Kinder und seiner Sachen angemessen zu entschädigen habe.
8.2 Das Kassationsgericht hat auf seine Praxis verwiesen, wonach die obergerichtliche Rechtsprechung bezüglich der Regelung der Kosten- und Entschädigungen bei Streitigkeiten über Kinderbelange für das Kassationsverfahren nicht gelte. Der Beschwerdeführer sagt nicht, inwiefern mit der Abweichung von der obergerichtlichen Praxis im Rahmen der Nichtigkeitsbeschwerde kantonales Recht willkürlich angewendet bzw. Verfassungsrecht verletzt worden sein soll. Darauf ist nicht einzutreten.
9. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). In der Sache ist keine Vernehmlassung eingeholt worden und damit auch keine Entschädigung geschuldet. Der Beschwerdeführer ist mit seinem Gesuch um aufschiebende Wirkung nur teilweise durchgedrungen, wurde doch der Beschwerde lediglich für die bis und mit November 2009 geschuldeten Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung gewährt. Aber auch die Beschwerdegegnerin, die Abweisung des Gesuchs beantragt hatte, ist mit ihrem Antrag nicht durchgedrungen. Damit rechtfertigt es sich, für die Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung keine Entschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Februar 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden