Faits:
A. A.a G._ a travaillé en qualité de nurse. A la suite d'un accident de la circulation routière dont elle a été victime le 3 août 1987, elle a présenté un status après fracture ouverte longitudinale de la rotule droite. Se fondant sur un prononcé présidentiel du 11 juin 1990 de la Commission AI du canton de Genève concluant à une invalidité de 100 % depuis le 1er août 1988 et prévoyant que la rente devait être allouée pour une durée limitée jusqu'au 31 août 1988, la Caisse de compensation FRSP-CIAM, par décision du 24 octobre 1990, lui a octroyé une rente entière d'invalidité pour le mois d'août 1988.
A.b Le 5 octobre 1998, G._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport du 1er juillet 1999, le docteur W._, spécialiste FMH en médecine interne, a posé le diagnostic de polyarthrite rhumatoïde séropositive (découverte en 1998) et celui de fibromyalgie (déjà posé en 1996). L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a conclu à une invalidité de 100 % depuis le 1er mai 1998, date à partir de laquelle il a alloué à l'assurée une rente entière d'invalidité (décision du 14 février 2000). Dès juin 2006, il a procédé à la révision de son droit à la rente. Le 29 septembre 2006, il a informé G._ que le degré d'invalidité n'avait pas changé et qu'elle continuait d'avoir droit à une rente entière d'invalidité.
A.c Le 4 octobre 2000, G._ a présenté une demande d'allocation pour personnes impotentes, en répondant à un questionnaire. Au cours de l'année 2004, elle a renouvelé sa demande, en remplissant à nouveau le questionnaire figurant sous la rubrique relative aux indications concernant l'impotence. L'office AI a procédé à une enquête au domicile de l'assurée le 4 octobre 2004 (rapport daté du même jour). Le docteur P._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin traitant de G._, a indiqué dans un rapport du 17 décembre 2004 que la maladie était évolutive, que les crises étaient de plus en plus fréquentes et difficilement maîtrisables et que dans ces moments-là la patiente était presque totalement impotente, ne pouvait s'habiller ni conduire de véhicule. Dans un avis du 10 janvier 2005, le docteur L._, spécialiste FMH en médecine interne et médecin de l'office AI, a admis que l'assurée présentait lors des crises qui étaient assez fréquentes un handicap pouvant être important qui l'empêchait "actuellement" d'accomplir trois actes ordinaires de la vie. Le 13 janvier 2005, l'office AI a informé G._ qu'elle réalisait depuis septembre 2000 les conditions ouvrant le droit à une allocation pour impotent dans le cas d'une impotence de degré faible, vu qu'elle avait besoin d'aide pour se vêtir et se dévêtir, couper les aliments, se coiffer et se doucher. Elle avait droit à l'allocation pour impotent dès le 1er septembre 2001, date à partir de laquelle celle-ci lui a été octroyée (décision du 21 février 2005).
A.d Dès le 25 novembre 2008, l'office AI a procédé à la révision du droit de G._ à une rente entière d'invalidité. Le professeur A._, médecin-chef du Service de rhumatologie de l'Hôpital X._, a consigné les renseignements demandés dans un rapport médical intermédiaire du 12 décembre 2008. Le docteur P._ en a fait de même dans un rapport médical intermédiaire du 19 décembre 2008. Dans un rapport du 25 mars 2009, le docteur J._, spécialiste FMH en neurologie, a posé le diagnostic avec effet sur la capacité de travail de polyarthrite rhumatoïde séropositive et de cervicalgies et lombalgies droites.
A partir du 5 mai 2009, l'office AI a procédé à la révision du droit de G._ à l'allocation pour impotent. Dans un questionnaire du 8 mai 2009, celle-ci a indiqué que son état de santé s'était aggravé et qu'elle avait besoin de l'aide régulière et importante d'autrui pour accomplir la plupart des actes ordinaires de la vie. Elle a aussi répondu à un questionnaire du 8 mai 2009 relatif à l'accompagnement pour faire face aux nécessités de la vie. Le 13 août 2009, l'office AI a procédé à une enquête au domicile de l'assurée. Dans un rapport daté des 13 et 14 août 2009, l'enquêtrice a indiqué que G._ n'avait pas besoin d'une aide régulière et importante pour les actes de la vie quotidienne. Ce rapport, qui concluait que les conditions du droit à une allocation pour impotent n'étaient plus remplies, relevait que la situation de l'assurée s'était nettement améliorée par rapport à l'enquête précédente et que son regain d'autonomie constituait un motif de révision. Dans un préavis du 7 octobre 2009, l'office AI a informé G._ que les conditions de la régularité, de la durée et de l'intensité de l'accompagnement n'étaient plus remplies par rapport à l'enquête précédente et que sa situation s'était réellement améliorée, de sorte que son droit à l'allocation pour impotent devait être supprimé. Le 18 octobre 2009, celle-ci a fait part à l'office AI de ses observations, qu'elle a complétées le 3 décembre 2009. Par décision du 7 décembre 2009, l'office AI, tout en s'exprimant sur les observations de l'assurée, a supprimé son droit à l'allocation pour impotent dès le premier jour du 2ème mois suivant la notification de la décision.
B. Par lettre du 4 janvier 2010 (timbre postal), G._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant implicitement à son annulation et au maintien de son droit à l'allocation pour impotent.
Dans sa réponse du 2 février 2010, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a informé la juridiction cantonale que dans le cadre de la procédure de révision du droit de G._ à une rente d'invalidité entamée à partir du 25 novembre 2008, il avait remis le 19 janvier 2010 une demande d'expertise pluridisciplinaire au Centre d'Expertise Médicale (CeMed) Y._.
B.a Par arrêt incident du 16 mars 2010, la juridiction cantonale a suspendu l'instance dans l'attente du rapport d'expertise du CeMed.
L'expertise du CeMed a été effectuée par les docteurs S._ (spécialiste FMH en rhumatologie) et B._ (spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie). Dans leur rapport du 18 mai 2010, ces médecins ont posé le diagnostic ayant une répercussion sur la capacité de travail de polyarthrite rhumatoïde séropositive érosive dès 1998. Ils ont posé les diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail de fibromyalgie (présente depuis 1996), de discopathies cervicales (présentes depuis 2004) et lombaires (présentes depuis 2007), de gonarthrose tri-compartimentale du genou droit (présente depuis 2007) - status après fracture de la rotule du genou droit (survenue en 1987) - et de tendinopathie achilléenne droite (présente depuis 2004). Ils ont considéré que la fibromyalgie n'était accompagnée d'aucune comorbidité psychique et que la capacité de travail était entière sur le plan strictement psychiatrique dans toute activité respectant les limitations fonctionnelles somatiques.
Dans un avis médical du 29 juillet 2010, la doctoresse U._, médecin SMR, a retenu que depuis mai 2009 l'évolution de la polyarthrite rhumatoïde était parfaitement maîtrisée et que l'état de santé de l'assurée s'était amélioré. Elle a soumis un questionnaire aux experts du CeMed, lesquels, dans un rapport complémentaire du 2 septembre 2010, ont répondu que les limitations fonctionnelles étaient uniquement somatiques et ne concernaient pas la fibromyalgie et que les atteintes à la santé somatique retenues et détaillées étaient en rapport avec la maladie rhumatismale inflammatoire chronique évolutive, soit la polyarthrite rhumatoïde, et entraînaient une incapacité de travail complète et définitive dans l'activité de nurse exercée auparavant ainsi que dans toute autre activité. Ils ont relevé que l'affirmation de la doctoresse U._ selon laquelle l'assurée, bien qu'étant atteinte d'une maladie chronique, ne présentait plus de besoin d'aide pour les actes de la vie quotidienne était en contradiction avec ce qu'ils avaient indiqué dans leur rapport du 18 mai 2010 en ce qui concerne les activités quotidiennes. Dans un avis du 14 septembre 2010, la doctoresse U._ a considéré que son appréciation du 29 juillet 2010 restait valable.
Le 21 septembre 2010, l'office AI a informé G._ que le degré d'invalidité n'avait pas changé et qu'elle continuait d'avoir droit à une rente entière d'invalidité.
B.b Dès la reprise de l'instance le 13 octobre 2010, les parties ont eu la possibilité de déposer leurs observations. Dans sa réponse du 9 novembre 2010, l'office AI a conclu au rejet du recours. Dans ses déterminations du 11 novembre 2010, G._ a déclaré persister dans les termes et conclusions de son recours.
Par arrêt du 18 janvier 2011, la juridiction cantonale a admis le recours (ch. 2 du dispositif), annulé la décision du 7 décembre 2009 (ch. 3 du dispositif) et dit que G._ avait droit à l'allocation d'impotent de degré faible dès le 1er septembre 2001 sans discontinuité (ch. 4 du dispositif).
C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à ce qu'il soit annulé et à ce que la décision de suppression du droit à l'allocation pour impotent du 7 décembre 2009 soit confirmée. Il a également sollicité l'octroi de l'effet suspensif au recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 17 mai 2011.
G._ conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que l'arrêt entrepris du 18 janvier 2011 soit confirmé. Elle sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La correction du vice doit être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF).
2. Le litige a trait au droit de l'intimée à l'allocation pour impotent et porte sur le point de savoir si, comme l'a admis la juridiction cantonale, l'intimée a droit à l'allocation pour une impotence de faible degré sans discontinuité depuis le 1er septembre 2001, singulièrement si les conditions étaient réunies pour que l'office AI procède à la révision de son droit à l'allocation pour impotent.
2.1 Aux termes de l'art. 9 LPGA, est réputée impotente toute personne qui, en raison d'une atteinte à sa santé, a besoin de façon permanente de l'aide d'autrui ou d'une surveillance personnelle pour accomplir des actes élémentaires de la vie quotidienne. L'art. 42 al. 1 première phrase LAI dispose que les assurés impotents (art. 9 LPGA) qui ont leur domicile et leur résidence habituelle (art. 13 LPGA) en Suisse ont droit à une allocation pour impotent.
L'impotence est faible si l'assuré, même avec des moyens auxiliaires, a besoin de façon régulière et importante, de l'aide d'autrui pour accomplir au moins deux actes ordinaires de la vie (art. 37 al. 3 let. a RAI). Selon la jurisprudence (ATF 127 V 94 consid. 3c p. 97, 125 V 297 consid. 4a p. 303, et les références), sont déterminants les six actes ordinaires suivants: se vêtir et se dévêtir; se lever, s'asseoir, se coucher; manger; faire sa toilette (soins du corps); aller aux W.-C.; se déplacer à l'intérieur ou à l'extérieur, établir des contacts.
L'aide est réputée importante, par exemple lorsque l'assuré peut certes manger seul, mais ne peut couper ses aliments lui-même, ou lorsqu'il peut les porter à sa bouche seulement avec les doigts (ATF 106 V 153 consid. 2b p. 158 s.); lorsque l'assuré ne peut se laver tout seul, ou se peigner, ou se raser, ou prendre un bain ou une douche (arrêts [du Tribunal fédéral des assurances] I 35/88 du 12 décembre 1988 consid. 1b in RCC 1989 p. 229, I 25/85 du 11 juin 1985 consid. 1b in RCC 1986 p. 508 et I 410/84 du 23 avril 1985 consid. 1a in RCC 1986 p. 512). Si l'accomplissement d'un acte ordinaire est seulement rendu plus difficile ou ralenti par l'infirmité, cela ne signifie pas qu'il y ait une impotence (arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 25/85 du 11 juin 1985, consid. 2b in RCC 1986 p. 509). Le point de savoir si l'aide est importante est une question de droit (ATF 107 V 136 consid. 2b p. 143).
2.2 Le jugement entrepris expose correctement la règle relative à la révision du droit à une allocation pour impotent (art. 17 al. 2 LPGA) et les principes jurisprudentiels applicables (ATF 130 V 343 consid. 3.5.2 p. 350). On peut ainsi y renvoyer.
3. La juridiction cantonale a constaté qu'il n'y avait pas eu de changements notables entre les faits tels qu'ils se présentaient lors de la décision du 21 février 2005 d'octroi de l'allocation pour impotent dès le 1er septembre 2001 et ceux existant lors de la décision du 7 décembre 2009 de suppression du droit de l'intimée à l'allocation pour impotent. Relevant que les constatations des enquêtes ménagères du 4 octobre 2004 et du 13 août 2009 étaient superposables et que la situation entre la première et la seconde enquête n'avait guère évolué, le besoin d'aide de l'intimée pour les actes ordinaires de la vie étant sensiblement le même que lors de la première enquête, elle a retenu que l'intimée avait besoin d'aide pour se vêtir et boutonner ses vêtements, pour couper les aliments, pour se coiffer et se laver.
3.1 L'autorité précédente a nié que les experts du CeMed aient constaté une amélioration de l'état de santé de l'intimée.
Le recourant, qui se réfère à une communication du 5 février 2008 du professeur A._, au rapport du docteur J._ du 25 mars 2009 et aux avis de la doctoresse U._ des 29 juillet et 14 septembre 2010, fait valoir que l'état de santé de l'intimée s'est amélioré pendant la période déterminante.
Il convient toutefois de relever que les explications de la doctoresse U._ dans son avis du 29 juillet 2010, selon lesquelles l'adaptation constante de la médication de fond de l'assurée et l'évolution de la polyarthrite rhumatoïde parfaitement maîtrisée à partir de mai 2009 permettent de retenir une amélioration de l'état de santé depuis cette époque-là, ne correspondent pas aux conclusions des experts du CeMed dans leur rapport du 18 mai 2010 en ce qui concerne la polyarthrite rhumatoïde séropositive érosive dont est atteinte l'intimée. Du jugement entrepris, il ressort que les experts du CeMed ont conclu que le suivi régulier auprès du Service de rhumatologie de l'Hôpital Z._ avait confirmé qu'il s'agissait dans le cas de l'assurée d'une maladie grave, sévère et évolutive, que plusieurs médicaments avaient été successivement administrés et que malgré l'importante médication, les atteintes structurales étaient apparues comme cela était démontré par les bilans radiologiques avec de multiples érosions aux mains et aux pieds dès 2004 et que ces altérations fonctionnelles, avec les atteintes structurales de la polyarthrite rhumatoïde étaient invalidantes. Sur le vu des conclusions mentionnées ci-dessus des experts du CeMed dans leur rapport du 18 mai 2010, sur lesquelles ceux-ci ne sont pas revenus dans leur rapport complémentaire du 2 septembre 2010, il apparaît que la juridiction cantonale, en niant toute amélioration de l'état de santé de l'intimée pendant la période déterminante pour les motifs retenus par les experts du CeMed en ce qui concerne les atteintes structurales de la polyarthrite rhumatoïde et les altérations fonctionnelles que constituent les érosions aux mains, n'a pas établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Le recours est mal fondé sur ce point.
3.2 Le recourant invoque l'arrêt 9C_155/2009 du 15 avril 2010, où le diagnostic de polyarthrite primaire chronique était demeuré inchangé pendant la période déterminante et où la juridiction de première instance avait retenu que les limitations dues à l'invalidité dans l'accomplissement des actes élémentaires de la vie quotidienne avaient notablement diminué. L'office AI en infère que l'assurée avait recouvré une certaine autonomie dans les actes ordinaires de la vie et qu'il en va de même en l'espèce, où l'intimée ne fait plus état d'une situation de douleurs qui l'empêcherait de s'occuper d'elle-même quasiment quotidiennement et n'est plus traitée en milieu hospitalier et où elle a de nombreuses activités. Il fait valoir que l'intimée peut assumer l'essentiel de son ménage, s'occuper d'elle-même et de ses enfants de façon autonome et que son état de santé est tel qu'il lui permet d'avoir une vie sociale épanouie et surtout très active, notamment dans l'association de scrabble dont elle est la présidente.
3.3 Il convient de relever que la juridiction cantonale a pris position sur les conclusions du rapport d'enquête daté des 13 et 14 août 2009 selon lesquelles la situation de l'intimée s'était nettement améliorée par rapport à l'enquête précédente et le regain d'autonomie de l'assurée constituait un motif de révision, en considérant qu'elles n'étaient nullement motivées et que l'enquêtrice n'expliquait aucunement en quoi l'assurée avait gagné en autonomie, ce que le recourant ne discute pas.
Quoi qu'en dise le recourant, les déclarations de l'intimée aux experts du CeMed indiquant qu'elle s'habille le matin avec l'aide de ses enfants à cause d'une raideur dans les mains (rapport du 18 mai 2010, page 11) sont corroborées par les conclusions des experts du CeMed selon lesquelles l'atteinte des mains due à la polyarthrite rhumatoïde empêche l'intimée d'effectuer des mouvements fins ou nécessitant de la dextérité ainsi que ceux nécessitant de la force. Le fait que les experts du CeMed ont noté dans leur rapport (en page 14), sous la rubrique relative aux données objectives, que les gestes pour le déshabillage et l'habillage étaient relativement fluides alors que les gestes durant l'examen clinique proprement dit étaient plus lents, d'amplitude moins bonne, ne les a pas amenés à formuler autrement les conclusions mentionnées ci-dessus.
3.4 Du jugement entrepris, il ressort que lors de l'enquête du 4 octobre 2004, la personne chargée de l'instruction avait noté que l'assurée avait parfois tellement mal qu'elle devait se faire aider à enfiler et boutonner certains vêtements, pulls, collants (etc.) et qu'il en allait de même pour se dévêtir.
Dans le cadre de l'enquête du 13 août 2009, il ressort du jugement entrepris que la personne chargée de l'instruction a noté que l'assurée disait avoir besoin d'aide pour fermer des boutons ou attacher des sandales et que c'était pareil pour se dévêtir. Elle a aussi noté que le jour de l'enquête (le 13 août 2009), l'assurée était habillée d'un pantalon à taille élastique et d'un teeshirt, deux de ses enfants dormaient encore et le troisième avait dormi chez un ami. Cela est un indice que, comme l'a relevé l'enquêtrice, l'intimée pouvait s'habiller seule. Par ailleurs, il y a lieu d'exiger de l'assurée qu'elle conserve son indépendance par des mesures appropriées, par exemple en portant des vêtements sans boutons ou des chaussures qui ne nécessitent pas d'être attachées (RCC 1986 consid. 2a p. 509, 1989 consid. 2b p. 230). Contrairement à l'avis de la juridiction cantonale, il ne se justifie pas de s'écarter des conclusions de l'enquêtrice dans son rapport daté des 13 et 14 août 2009 niant tout besoin d'aide pour se vêtir et se dévêtir. En effet, compte tenu des informations mentionnées plus haut que l'enquêtrice a consignées dans ce rapport, il n'apparaît pas que l'intimée ait besoin de façon régulière de l'aide d'autrui pour se vêtir et se dévêtir. L'aide dont elle a besoin pour se vêtir et se dévêtir ne saurait non plus être qualifiée d'importante (ATF 107 V 136 consid. 2b p. 143). Il s'ensuit que l'autorité précédente, en retenant que l'intimée avait besoin d'aide pour se vêtir et boutonner ses vêtements et qu'il n'y avait eu aucune modification notable à ce sujet pendant la période déterminante, a établi les faits de façon manifestement inexacte. Le recours est bien fondé de ce chef.
3.5 La juridiction cantonale a relevé que lors de la première enquête, la personne chargée de l'instruction avait admis que l'intimée avait besoin d'aide pour couper les aliments. Du jugement entrepris, il ressort que dans le rapport du 4 octobre 2004, l'enquêtrice avait noté que l'assurée n'avait pas la force de couper certains aliments durs tels qu'une côtelette par exemple, qu'elle ne parvenait pas à découper un poulet ou à couper un rôti et que l'aide lui était apportée environ cinq fois par semaine.
Dans le cadre de la seconde enquête du 13 août 2009, l'intimée a déclaré qu'elle avait de la peine à couper les aliments depuis six mois, qu'elle cuisinait des légumes apprêtés et que ses enfants lui préparaient les fruits et coupaient le pain. L'enquêtrice a noté que l'intimée avait divers moyens pour l'aider à couper, mais qu'ils étaient introuvables à la cuisine.
Même si, comme le relève le recourant, l'intimée n'a pas déclaré à l'enquêtrice le 13 août 2009 qu'elle était dans l'impossibilité de couper les aliments, le fait qu'elle a déclaré qu'elle avait de la peine à couper les aliments et que l'enquêtrice a noté que l'intimée avait divers moyens pour l'aider à couper ne permet pas de conclure que les limitations dues à l'invalidité dans l'accomplissement de l'acte consistant à couper les aliments auraient diminué de manière notable par rapport à la situation décrite plus haut qui était la sienne lors de la première enquête. Ainsi que l'a relevé la juridiction cantonale, c'est sans explications ni fondement que l'enquêtrice a conclu dans son rapport daté des 13 et 14 août 2009 que l'assurée n'avait pas besoin d'aide pour couper les aliments. En outre, les déclarations de l'intimée lors de l'enquête du 13 août 2009 sont corroborées par les conclusions des experts du CeMed selon lesquelles l'atteinte des mains l'empêche d'effectuer des mouvements fins ou nécessitant de la dextérité ainsi que ceux nécessitant de la force. Il apparaît que la juridiction cantonale, en retenant que l'intimée avait besoin d'aide pour couper les aliments et qu'il n'y avait aucune modification notable par rapport à la situation qui était la sienne lors de l'enquête du 4 octobre 2004, n'a pas établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit. Le recours est mal fondé sur ce point.
3.6 Il ressort du jugement entrepris que lors de l'enquête du 4 octobre 2004, la personne chargée de l'instruction a admis que l'intimée avait besoin d'aide pour se coiffer, en indiquant que surélever les bras en période de crise était impossible. Retenant que l'assurée avait également besoin d'aide pour se doucher, elle a noté que celle-ci n'allait plus dans une baignoire et ne prenait que des douches (elle disposait d'une vraie douche) et que selon son état, elle devait faire appel à un proche pour se faire laver le dos, était incapable de se shampooiner la tête elle-même et devait aller chez le coiffeur une fois par semaine.
Dans le cadre de la seconde enquête du 13 août 2009, l'intimée a déclaré qu'elle pouvait se laver les dents et faire sa toilette. Elle arrivait à se coiffer. Parfois cela était un peu plus difficile. Elle allait chez le coiffeur une fois par semaine pour se laver les cheveux et se coiffer. Elle a aussi déclaré à l'enquêtrice qu'elle ne pouvait plus prendre de bain. Néanmoins, dans son appartement, il y avait une douche avec un rebord d'environ 30 cm et là elle pouvait se doucher seule. Elle demandait parfois de l'aide à ses enfants pour laver le dos.
La juridiction cantonale a considéré qu'il n'y avait aucun changement de circonstances notable entre les deux enquêtes. La Cour de céans ne saurait partager ce point de vue. Il convient de relever que lors de la première enquête, il était impossible pour l'intimée de se coiffer en période de crise, ce qui n'était plus le cas lors de la seconde enquête. Le fait que se coiffer est parfois un peu plus difficile ne constitue pas une impotence (RCC 1989 consid. 2b p. 230). Par ailleurs, il résulte des déclarations de l'intimée lors de l'enquête du 13 août 2009 qu'elle peut se doucher seule. Le fait qu'elle demande parfois de l'aide à ses enfants pour se laver le dos n'est pas décisif. On peut exiger de l'intimée qu'elle se lave le dos à l'aide d'une longue brosse (RCC 1989 consid. 2b p. 230 s.). Il n'y a dès lors aucune raison de s'écarter des conclusions de l'enquêtrice dans son rapport daté des 13 et 14 août 2009, selon lesquelles l'intimée n'a pas besoin d'aide pour se laver, se coiffer et se doucher. Il apparaît que l'autorité précédente, en retenant que l'intimée avait besoin d'aide pour se coiffer et se laver et qu'il n'y avait eu aucun changement de circonstances notable pendant la période déterminante, a établi les faits de façon manifestement inexacte. Le recours est bien fondé de ce chef.
3.7 Il résulte de ce qui précède qu'au moment déterminant, soit lors de la décision du 7 décembre 2009, l'intimée ne présentait plus une impotence de degré faible, vu qu'elle n'avait plus besoin de façon régulière et importante de l'aide d'autrui pour accomplir au moins deux actes ordinaires de la vie (supra, consid. 2.1). Les conditions étant ainsi réunies pour supprimer par la voie de la révision son droit à l'allocation pour impotent, le jugement entrepris n'est pas conforme au droit fédéral (supra, consid. 2.2). Le recours est bien fondé.
4. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF). Les conditions d'octroi de l'assistance judiciaire gratuite étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci est accordée à l'intimée, son attention étant attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 18 janvier 2011, est annulé.
2. L'assistance judiciaire est accordée à l'intimée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Les honoraires de Me Pierre Savoy sont fixés à 1'800 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée). Ils sont supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
5. La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 27 décembre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Wagner