Faits:
A. V._, né en 1964, a travaillé en qualité de machiniste au service de la société Y._ SA. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). En plus de cette activité, il s'occupait de la conciergerie d'un immeuble locatif et accomplissait certaines tâches rémunérées pour Z._.
Le 8 juin 1997, il a été victime d'une lésion du ligament croisé antérieur du genou droit en jouant au football avec des enfants. Il a subi diverses périodes d'incapacité de travail du 2 au 23 juillet 1997, date à partir de laquelle il a pu reprendre son activité à 100 %. La CNA a pris en charge le cas.
Etant donné la persistance des douleurs, l'assuré a été soumis à une intervention de plastie du ligament croisé antérieur le 11 décembre 1997. Des symptômes d'algoneurodystrophie ont ensuite nécessité un traitement de physiothérapie intensive, ainsi qu'un séjour en clinique de rééducation du 2 au 16 décembre 1998.
Au mois d'octobre 2002, l'intéressé a subi une entorse au genou gauche. L'évolution du cas a été ensuite influencée défavorablement par l'apparition d'un oedème des parties molles au genou droit. Le 3 décembre 2002, l'intéressé a subi une arthrolyse arthroscopique du genou droit. Dès le 16 février 2005, il a repris son activité de machiniste à plein temps.
L'assuré a annoncé une rechute qui a entraîné une incapacité de travail de 50 % à partir du 18 avril 2005. La CNA a alors requis l'avis du docteur P._, spécialiste en chirurgie et médecin d'arrondissement de la CNA (rapports des 23 juin et 15 juillet 2005).
L'intéressé ayant requis des prestations de l'assurance-invalidité, l'Office cantonal AI du Valais a confié une expertise aux docteurs L._ et A._, médecins au service d'orthopédie et de traumatologie de l'appareil moteur du Centre hospitalier B._ (Centre hospitalier B._; rapport du 28 juillet 2006). Du 26 au 29 juillet 2006, l'assuré a séjourné au Centre hospitalier C._ en raison d'une dermo-hypodermite du membre inférieur droit.
Par décision du 21 novembre 2006, la CNA a alloué à l'intéressé, à partir du 1er novembre précédent, une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 27 % pour les suites de l'accident du 8 juin 1997. Par une autre décision, du 29 mars 2007, elle a refusé d'allouer ses prestations pour des troubles aux hanches et au dos, motif pris qu'ils n'étaient pas en relation avec l'accident ou un autre événement engageant sa responsabilité.
Saisie d'oppositions contre ces décisions, la CNA les a rejetées par décision du 21 décembre 2007, après avoir requis l'avis du docteur P._ (rapport du 24 juillet 2007).
De son côté, l'office AI a requis l'avis du docteur H._, médecin responsable au Service médical régional de l'assurance-invalidité (SMR; rapport du 27 juillet 2007). Par décision du 16 janvier 2008, l'office AI a alloué une rente entière et une demi-rente pour diverses périodes d'incapacité de gain à partir du 1er décembre 1998. Considérant que le taux d'invalidité n'était plus que de 22 % dès le 20 juin 2005, il a supprimé tout droit à une telle prestation à compter du 1er octobre 2005. L'assuré a déféré cette décision à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais (cause n° S1 08 52).
B. Le 30 janvier 2008, l'intéressé a recouru également contre la décision sur opposition de la CNA du 21 décembre 2007 devant la juridiction cantonale (cause n° S2 08 11).
Par jugement du 16 février 2009, celle-ci a annulé la décision entreprise et renvoyé la cause à la CNA pour qu'elle alloue à l'assuré une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 34 %. En outre, elle a condamné la CNA au paiement à l'intéressé d'une indemnité de dépens de 200 fr.
C. V._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux supérieur à 34 %. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'intimée pour instruction complémentaire et nouvelle décision.
L'intimée conclut au rejet du recours. Par écriture du 5 mai 2009, la juridiction cantonale a pris position sur certains griefs du recourant. De son côté, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office, mais n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal ou intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 LTF; sur les exigences quant à la motivation, cf. ATF 133 II 396 consid. 3.1 p. 399 et arrêt 9C_722/2007 du 11 avril 2008 consid. 1.2).
2. 2.1 Le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu pour défaut de motivation du jugement cantonal. Il reproche aux premiers juges de ne pas s'être prononcés sur ses griefs soulevés contre le fait qu'il n'avait pas été invité à se déterminer au sujet des informations, déterminantes pour les conclusions du docteur H._, fournies lors d'un simple entretien téléphonique par le docteur O._.
2.2 Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit entraîner l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recourant sur le fond (ATF 135 I 187 consid. 2.2 p. 190; 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437; 126 V 130 consid. 2b p. 132 et les arrêts cités).
En l'espèce, le docteur H._, qui a rédigé un rapport complémentaire le 8 septembre 2008, a recueilli des renseignements par téléphone auprès du docteur O._. Le contenu de cet entretien a été néanmoins consigné dans une note du 2 septembre 2008 - signée par le docteur O._ -, laquelle a été soumise à l'assuré et sur laquelle il a exprimé ses griefs le 10 octobre 2008 dans le cadre de la procédure de recours contre la décision de l'office AI du 16 janvier 2008 (cause n° S1 08 52). Aussi, dans la mesure où il n'a pas fait valoir de tels griefs dans le litige l'opposant à la CNA devant la juridiction cantonale, l'intéressé ne peut pas reprocher à la juridiction cantonale de ne pas y avoir répondu dans le jugement attaqué. Le grief de violation du droit d'être entendu se révèle ainsi mal fondé.
3. Le litige porte sur le taux de la rente d'invalidité de l'assurance-accidents allouée au recourant depuis le 1er novembre 2006 pour les lésions aux genoux, en particulier au genou droit, d'une part, et sur le montant de l'indemnité de dépens accordée par la juridiction cantonale, d'autre part.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par l'autorité précédente (art. 97 al. 2 LTF).
4. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels concernant le droit à une rente d'invalidité de l'assurance-accidents (art. 18 al. 1 LAA), la notion et l'évaluation de l'invalidité (art. 8 al. 1 et 16 LPGA), ainsi que la force probante des rapports médicaux. Il suffit donc d'y renvoyer.
5. 5.1 La juridiction cantonale est d'avis que la capacité de travail de l'assuré est entière dans une activité tenant compte des troubles au genou droit, soit une activité assortie des limitations suivantes: pas de positions statiques prolongées mais des positions alternées (assis/debout); pas de port de charges de plus de 10 kg; pas d'ascension ou de descente d'escaliers; pas de position accroupie ou à genou; pas de déplacements en terrains irréguliers; pas d'utilisation d'échelles ni de déplacements sur des échafaudages. Les premiers juges se sont fondés pour cela sur les conclusions du docteur P._ (rapports des 23 juin et 15 juillet 2005), confirmées par les experts du Centre hospitalier B._ L._ et A._ (rapport du 28 juillet 2006), ainsi que par le docteur H._ (rapport du 27 juillet 2007). En ce qui concerne le lymphoedème chronique, apparu ensuite de l'algodistrophie et ayant ocasionné l'apparition de dermo-hypodermites à plusieurs reprises, la juridiction cantonale considère, sur l'avis du docteur H._, qu'elle n'est pas de nature à entraîner une incapacité de travail de longue durée mais seulement des interruptions occasionnelles de l'activité professionnelle.
Le recourant conteste le point de vue des premiers juges au sujet de sa capacité de travail résiduelle dans une activité adaptée. En particulier, il conteste la valeur probante des appréciations des docteurs P._, L._ et A._ au motif que ces médecins ne discutent pas des incidences du lymphoedème chronique sur sa capacité de travail. Quant aux conclusions du docteur H._, le recourant leur reproche un défaut d'approche globale des séquelles orthopédiques et des problèmes veineux. Il en déduit que les premiers juges ont manqué à leur obligation d'établir les faits déterminants pour la solution du litige (art. 61 let. c LPGA) en se fondant sur les avis médicaux susmentionnés.
5.2 Si l'administration ou le juge, se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves fournies par les investigations auxquelles ils doivent procéder d'office, sont convaincus que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation, il est superflu d'administrer d'autres preuves (appréciation anticipée des preuves; Kieser, Das Verwaltungsverfahren in der Sozialversicherung, p. 212, n° 450; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2e éd., p. 39, n° 111 et p. 117, n° 320; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2e éd., p. 274; cf. aussi ATF 122 II 464 consid. 4a p. 469; 122 III 219 consid. 3c p. 223; 120 Ib 224 consid. 2b p. 229; 119 V 335 consid. 3c p. 344 et la référence). Une telle manière de procéder ne viole pas le droit d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst. (SVR 2001 IV n° 10 p. 28 consid. 4b), la jurisprudence rendue sous l'empire de l'art. 4 aCst. étant toujours valable (ATF 124 V 90 consid. 4b p. 94; 122 V 157 consid. 1d p. 162 et l'arrêt cité).
En l'espèce, le recourant ne fait valoir aucun moyen de nature à démontrer que d'autres mesures probatoires pouvaient modifier l'appréciation des premiers juges. Il se contente, en effet, de substituer sa propre appréciation à celle des différents médecins auxquels s'est référée la juridiction cantonale et dont les conclusions ne sont remises en cause par aucun des autres médecins qui se sont prononcés sur le cas. Aussi, les premiers juges étaient-ils fondés, sur la base des conclusions des docteurs P._, H._, L._ et A._, à renoncer à administrer d'autres preuves et à considérer que la capacité de travail de l'intéressé est entière dans une activité adaptée.
6. Par un autre moyen, le recourant reproche à la juridiction cantonale de ne pas avoir tenu compte, dans la fixation du revenu sans invalidité, du gain réalisé dans l'accomplissement de ses tâches pour Z._ jusqu'à la fin de l'année 2007.
Ce grief est mal fondé. Selon la jurisprudence, les revenus réalisés dans des activités accessoires ne sont pris en compte dans le revenu sans invalidité que si l'on peut admettre que l'assuré aurait continué, selon toute vraisemblance, à les percevoir sans la survenance de l'atteinte à la santé (RAMA 2005 n° U 538 p. 112 consid. 4.1.2; 2003 n° U 476 p. 107 consid. 3.2.1; arrêt 8C_676/2007 du 11 mars 2008 consid. 3.3.2 et les références). En d'autres termes, la prise en compte d'un revenu accessoire suppose un lien entre l'atteinte à la santé et la cessation de l'activité s'y rapportant. Du moment que - comme il l'allègue - l'assuré a mis un terme à son engagement pour des raisons indépendantes de son état de santé, un tel lien n'existe pas et le gain accessoire correspondant ne doit pas être pris en compte dans la fixation du revenu sans invalidité.
7. En ce qui concerne la fixation du revenu d'invalide, le recourant allègue qu'aucune activité ressortant des descriptions de poste de travail (DPT) retenues par la CNA ne convient à son état de santé.
Ce moyen est sans pertinence, du moment que la juridiction cantonale a correctement fixé le revenu d'invalide sur la base des données statistiques ressortant de l'Enquête sur la structure des salaires (ESS) de l'Office fédéral de la statistique. Renvoi soit à cet égard au jugement entrepris.
8. Le recourant, représenté par son beau-père, lequel n'a pas la qualité de mandataire professionnel, conteste le montant de 200 fr. alloué par la juridiction cantonale à titre de dépens en raison de l'admission partielle du recours.
Aux termes de l'art. 61 let. g LPGA, le recourant qui obtient gain de cause a droit au remboursement de ses frais et dépens dans la mesure fixée par le tribunal; leur montant est déterminé sans égard à la valeur litigieuse d'après l'importance et la complexité du litige. Selon la jurisprudence, le point de savoir si et à quelles conditions une partie a droit à des dépens en instance cantonale de recours lorsqu'elle obtient gain de cause relève du droit fédéral (cf. ATF 129 V 113 consid. 2.2 p. 115 et les arrêts cités). La fixation du montant de l'indemnité de dépens ressortit en revanche au droit cantonal. Or, le Tribunal fédéral ne peut revoir les questions de droit cantonal que sous l'angle restreint de l'arbitraire (sur cette notion : ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9), dans le cadre d'un moyen pris de la violation d'un droit constitutionnel (cf. art. 95 et 96 LTF, a contrario), expressément soulevé et développé avec la précision requise à l'art. 106 al. 2 LTF.
En l'espèce, le recourant ne se réfère à aucune disposition légale et n'expose pas d'argumentation tendant à démontrer que les premiers juges auraient appliqué le droit cantonal d'une manière arbitraire, de sorte que le Tribunal fédéral n'a pas à entrer en matière sur ce grief.
9. Le recourant, qui succombe dans toutes ses conclusions, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 décembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd