Sachverhalt:
Mit Entscheid vom 26. Februar 2009 wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen eine Beschwerde des B._ gegen den Einspracheentscheid der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) vom 10. April 2008 (betreffend Versicherungsleistungen) ab.
Diesen Entscheid lässt B._ mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 21. April 2009 (Postaufgabe) an das Bundesgericht weiterziehen. Am 1. Mai 2009 hat das Gericht dem Rechtsvertreter des Versicherten Gelegenheit eingeräumt, zur Frage der Rechtzeitigkeit der Beschwerde Stellung zu nehmen. Darauf ist mit Eingabe vom 18. Mai 2009 ein Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist eingereicht worden. Auf dessen Begründung wird, soweit erforderlich, in den Erwägungen eingegangen.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid vom 26. Februar 2009 wurde am 5. März 2009 versandt und dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers gemäss eigener Darstellung in der Beschwerde und im Wiederherstellungsgesuch am 6. März 2009 zugestellt. Die Frist zur Einreichung der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beträgt gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG 30 Tage. Daher hätte die vorliegende Beschwerde unter Berücksichtigung des Fristenstillstands über Ostern (Art. 46 Abs. 1 lit. a BGG) spätestens am 20. April 2009 dem Bundesgericht eingereicht werden müssen. Da sie aber erst am 21. April 2009 auf der Post aufgegeben wurde, ist sie verspätet. Dies wird denn auch vom Beschwerdeführer an sich nicht mehr bestritten.
1.2 Zur Begründung der Verspätung macht der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers in seinem - nach der ihm vom Gericht eingeräumten Gelegenheit zur Stellungnahme eingereichten - Wiederherstellungsgesuch vom 18. Mai 2009 im Wesentlichen geltend, nach Eingang des vorinstanzlichen Entscheides am 6. März 2009 sei auf dem Titelblatt desselben von der Sekretärin bzw. Mitarbeiterin Frau T._ der Stempel mit den Daten des Eingangs (6. März 2009) sowie des Endes der Frist ("irrtümlicherweise ... der 21. 4. 2009") angebracht und gleichzeitig das Fristende (21. April 2009) in der Agenda des Vertreters vermerkt worden (s.a. Bestätigung der T._ vom 18. Mai 2009). Dieser "Irrtum bei der Fristberechnung" sei zunächst nicht erkannt worden, so insbesondere auch deshalb nicht, weil der Rechtsvertreter vom 9. bis 15. April 2009 im Urlaub geweilt habe.
Diese Einwendungen vermögen indessen nicht zur Wiederherstellung der versäumten Rechtsmittelfrist zu führen (Art. 50 Abs. 1 BGG). Eine Partei muss sich nämlich Fehler ihrer Vertreter oder Erfüllungsgehilfen wie eigene anrechnen lassen; Erfüllungsgehilfe ist nicht nur, wer der Autorität der Partei oder ihres Vertreters untersteht, sondern jede Hilfsperson, ohne dass ein ständiges Rechtsverhältnis zu ihr nötig ist (BGE 114 Ib 67 E. 2 und 3 S. 69 ff.; 107 Ia 168 E. 2a S. 169; SZS 2004 S. 470; ASA 60 (1991/92) S. 633; vgl. auch ZAK 1989 S. 222 E. 2a und RKUV 1997 Nr. U 279 S. 270 mit weiteren Hinweisen). Vorliegend steht denn auch fest, dass der kantonale Entscheid dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers am 6. März 2009 ordnungsgemäss und rechtsgültig zugestellt worden ist. Wenn der kantonale Entscheid an diesem Tag von der Sekretärin bzw. Mitarbeiterin mit dem Eingangsstempel vom 6. März 2009 und dem - zugegebenermassen irrtümlicherweise erfolgten - Stempel Fristende "21.4.2009" statt richtigerweise "20.4.2009" versehen worden ist und dadurch der Vertreter in einen "Irrtum" versetzt wurde, so stellt dies kein unverschuldetes Hindernis im Sinne von Art. 50 Abs. 1 BGG dar (s.a. 1P.438/1993 vom 9. November 1993 und 2P.343/1990 vom 7. Oktober 1991). Vielmehr hat der Prozessvertreter für den Fehler der mit dem Posteingang resp. mit der Anbringung des unzutreffenden Friststempels und Agendaeintrags Betrauten einzustehen. Auch die übrigen Vorbringen im Gesuch vom 18. Mai 2009 - so namentlich jene über die vom 9. bis 15. April 2009 dauernde Urlaubsabwesenheit des Rechtsvertreters und über die Anwendbarkeit des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) - erweisen sich als offensichtlich unerheblich bzw. unzutreffend.
Fehlt es somit an einem Grund, welcher die Wiederherstellung der versäumten Frist rechtfertigen würde, ist das diesbezügliche Gesuch des Beschwerdeführers abzuweisen. Demzufolge kann auf die Beschwerde infolge verspäteter Einreichung nicht eingetreten werden.
2. Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Wiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. Juni 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz