Sachverhalt:
A. X._ (hienach: der Beschwerdeführer), geboren 1977, ist Staatsangehöriger der Republik Bangladesch. Im März 2004 reiste er illegal in die Schweiz ein. Sein Asylgesuch, das er hier stellte, wurde rechtskräftig abgewiesen und ihm eine Frist bis zum 27. August 2004 gesetzt, um die Schweiz zu verlassen. Am 17. August 2004 heiratete er eine Staatsangehörige der Dominikanischen Republik, geboren 1962, die aufgrund einer früheren Ehe mit einem Schweizerbürger hier über die Niederlassungsbewilligung verfügt. In der Folge erhielt der Beschwerdeführer vom Kanton Zürich zunächst die Aufenthalts- und am 19. August 2009 die Niederlassungsbewilligung.
B. Mit Verfügung vom 15. September 2010 widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich die Niederlassungsbewilligung und setzte dem Beschwerdeführer eine Frist zum Verlassen der Schweiz bis zum 30. November 2010. Anlass hierzu bildeten verschiedene Anhaltspunkte, die eine Scheinehe nahelegten. Insbesondere war es der Stadtpolizei Zürich, die ihn zunächst zu einem Verkehrsdelikt befragen wollte, bei rund zwei Dutzend Anläufen zwischen 2008 und 2010 nicht gelungen, den Beschwerdeführer in der ehelichen Wohnung anzutreffen, wenngleich die Besuche zu verschiedenen Tages- und Nachtzeiten abgestattet worden waren. Weitere Zweifel an einem ehelichen Zusammenleben drängten sich der Behörde auf, nachdem die getrennte Anhörung der Ehegatten durch die Migrationsbehörde zunächst zu divergierenden Schilderungen geführt hatte, während die später vorgetragene Version eine weitgehende Übereinstimmung erkennen liess. Gegen die Verfügung vom 15. September 2010 gelangte der Beschwerdeführer an den Regierungsrat bzw. die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, die das Rechtsmittel am 2. Mai 2011 abwies. Das hiegegen angerufene Verwaltungsgericht des Kantons Zürich erkannte mit Urteil vom 3. Oktober 2011 auf Abweisung der Beschwerde.
C. Mit Eingabe vom 4. November 2011 an das Bundesgericht erhebt der Beschwerdeführer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er lässt beantragen, das angefochtene Urteil vom 3. Oktober 2011 sei aufzuheben, eventualiter sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, subeventualiter sei ihm eine Frist bis mindestens zum 30. Juni 2012 anzusetzen, um die Schweiz zu verlassen.
Die Vorinstanz verzichtet auf eine Vernehmlassung, während das Bundesamt für Migration (BFM) die Abweisung der Beschwerde beantragt. Mit Präsidialverfügung vom 9. Oktober 2011 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist auf dem Gebiet des Ausländerrechts gegen Entscheide betreffend Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Gegen Entscheide über den Widerruf oder die Feststellung des Erlöschens einer Niederlassungsbewilligung (Art. 63 i.V.m. Art. 62 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG; SR 142.20]) ist sie zulässig, nachdem grundsätzlich ein Anspruch auf den Fortbestand der Bewilligung besteht (BGE 135 II 1 E. 1.2.1 S. 4; Urteil 2C_839/2011 vom 28. Februar 2012 E. 1.1). Gestützt darauf ist auf die Beschwerde unter Vorbehalt des Nachfolgenden einzutreten, zumal die allgemeinen Sachurteilsvoraussetzungen (Art. 112 Abs. 1 AuG i.V.m. Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 und Art. 100 Abs. 1 BGG) zu keinen Bemerkungen Anlass geben.
1.2 Nicht einzutreten ist auf das Rechtsmittel zunächst, soweit der Beschwerdeführer den Eventualantrag stellt, es sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Erweist sich der Widerruf der Niederlassungsbewilligung als zulässig, so erlischt auch der Anspruch auf Aufenthaltsbewilligung (Art. 51 AuG). Vermag er keinen Rechtsanspruch auf Erteilung der Aufenthaltsbewilligung anzurufen, entfällt die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten aufgrund des bereits zitierten Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG.
Ebenfalls unzulässig ist das Rechtsmittel insofern, als der Beschwerdeführer subeventualiter beantragt, es sei ihm die Frist zum Verlassen der Schweiz bis mindestens zum 30. Juni 2012 zu erstrecken. Die "Wegweisung nach bewilligtem Aufenthalt" (so noch Art. 66 AuG in der Fassung vom 16. Dezember 2005, per 1. Januar 2011 aufgehoben und ersetzt durch die revidierten Art. 64 ff. AuG) ist gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG vom sachlichen Anwendungsbereich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgenommen. Hingegen unterliegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen in Wegweisungssachen an sich der subsidiären Verfassungsbeschwerde im Sinne von Art. 113 ff. BGG. Neben der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhebt der Beschwerdeführer zwar auch eine solche. Mit ihr kann allerdings bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Aufgrund von Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten zudem nur unter Rüge- und Begründungsvorbehalt (BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Die bundesgerichtliche Praxis verlangt, dass die Verfassungsverletzung "klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids" dargelegt wird (BGE 133 III 393 E. 6 S. 397 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 136 II 489 E. 2.8 S. 494; zum Ganzen Urteil 2C_1031/2011 vom 22. März 2012 E. 1.2 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer beschränkt sich weitgehend darauf, den Subeventualantrag anhand seiner praktischen Bedürfnisse zu begründen und zu erläutern. Er bringt vor, eine Ausreise lasse sich nicht binnen Monatsfrist bewerkstelligen. Sieht er davon ab, die anberaumte Frist, die im Übrigen aufgrund der Beschwerdeverfahren und der erteilten aufschiebenden Wirkung ohnehin neu anzusetzen sein wird, vor dem Hintergrund verletzter Verfassungsbestimmungen zu rügen, ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde von vornherein nicht einzutreten.
1.3 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet dabei das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dessen ungeachtet prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), an sich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389; 134 III 102 E. 1.1 S. 104; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.4 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Sachverhaltsfeststellungen, soweit rechtserheblich, können nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dies ist dann der Fall, wenn der Sachverhalt willkürlich ermittelt worden ist (Art. 9 BV) oder die Sachverhaltsfeststellungen unter Verletzung verfassungsmässiger Rechte und Grundsätze zustande gekommen sind (BGE 135 II 145 E. 8.1 S. 153; Urteil 2C_1031/2011 vom 22. März 2012 E. 1.3). Auch hierbei gilt, dass die angeblichen Verfassungsverletzungen klar und detailliert anhand des angefochtenen Entscheids vorzubringen sind (vorne, E. 1.3).
2. Streitgegenstand ist der Widerruf der Niederlassungsbewilligung durch die Migrationsbehörden des Kantons Zürich. Die Beschwerde befasst sich im Wesentlichen mit der vorinstanzlichen Feststellung und Würdigung des Sachverhalts. In Abweichung vom angefochtenen Urteil kommt der Beschwerdeführer zum Schluss, es fehle an den tatsächlichen Voraussetzungen für eine Scheinehe (dazu E. 3 hienach), was zur Folge hätte, dass der Widerrufsgrund der falschen Angaben oder des Verschweigens wesentlicher Tatsachen im Bewilligungsverfahren entfiele. Für den Fall, dass der Tatbestand dennoch erfüllt wäre, bemängelt der Beschwerdeführer, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Treu und Glauben (E. 4) bzw. erweise sich insofern als unverhältnismässig, als die Vorinstanz die massgebenden Bestimmungen des AuG sowie der EMRK unrichtig angewendet und damit die Interessenabwägung (Art. 96 AuG, Art. 8 Ziff. 2 EMRK) unzutreffend vorgenommen habe (E. 5).
3. 3.1 Zur Frage der Scheinehe ist in der Regel kein direkter Beweis möglich, sodass auf Indizien zurückgegriffen werden muss (BGE 122 II 289 E. 2b S. 295; 121 II 101 E. 3b S. 101 f.; Urteile 2C_400/2011 vom 2. Dezember 2011 E. 3.1; 5A_201/2011 vom 26. Juli 2011 E. 3.1.1). Bei Anhaltspunkten dieser Art handelt es sich um Tatfragen (BGE 128 II 145 E. 2.3 mit Hinweisen; Urteile 2C_400/2011 vom 2. Dezember 2011 E. 3.1; 2C_244/2010 vom 15. November 2010 E. 2.3), sodass das Bundesgericht grundsätzlich an die vorinstanzlichen Feststellungen gebunden ist (Art. 105 Abs. 1 BGG; vorne E. 1.4). Frei zu prüfen ist dagegen die Rechtsfrage, ob die festgestellten Tatsachen (Indizien) zum Schluss führen, die Berufung auf die Ehe sei rechtsmissbräuchlich oder bezwecke die Umgehung ausländerrechtlicher Vorschriften (BGE 128 II 145 E. 2.3 S. 152; Urteil 2C_244/2010 vom 15. November 2010 E. 2.3).
3.2 Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe sich von einer Anzahl von "Scheinindizien" leiten lassen. Richtigerweise dürfe - "analog dem strafrechtlichen Grundsatz in dubio pro reo" - bloss von einer Scheinehe ausgegangen werden, soweit eine solche mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit vorliege. Tatsache sei jedoch, dass sich die Ehegatten "von Anfang an bestens verstanden" hätten, wenngleich die Ehe erst kurz vor Ablauf der ersten Ausreisefrist geschlossen worden sei und ein beträchtlicher Altersunterschied zwischen den Eheleuten bestehe. Dieser sei freilich "optisch nicht ersichtlich", wie der Beschwerdeführer vortragen lässt, sodass das Paar "in der Öffentlichkeit in keiner Weise auffalle". Unwahr sei, dass die Eheleute "rudimentäre Kenntnis voneinander" besässen. Sie stammten zwar aus unterschiedlichen Kulturkreisen, verständigten sich aber auf Deutsch. Missverständnisse seien nie auszuschliessen, wobei die von den Migrationsbehörden gestellten Fragen "Suggestivcharakter" gehabt hätten. Im Übrigen stimmten die Aussagen "im Grossen und Ganzen" überein. Der Beschwerdeführer wirke im Gastgewerbe und sei langen Präsenzzeiten ausgesetzt, was es schwierig mache, ihn zuhause anzutreffen. Wohl verbringe er die Nacht gelegentlich bei seinem Kollegen in der Nähe des Arbeitsplatzes, sein Wohnsitz befinde sich trotzdem nicht dort. Dass eine Drittperson einen Schlüssel zur Wohnung besitze, sei nicht erstaunlich, handle es sich doch um den Kindsvater und unterstütze dieser die Gattin des Beschwerdeführers bei administrativen Arbeiten.
Unstreitig ist, dass das Vorliegen einer Scheinehe als Rechtsfrage nicht leichthin angenommen wird und die erhobenen Tatsachen im Rahmen einer Gesamtbetrachtung zu würdigen sind (BGE 128 II 145 E. 2.2 S. 151; Urteil 2C_244/2010 vom 15. November 2010 E. 2.2). Über die recht untypischen Umstände der Heirat hinaus - kurze Dauer der Bekanntschaft vor Abschluss der Ehe, empfindlicher Altersunterschied - zieht die Vorinstanz nach rund sieben Jahren Ehe eine Art Bilanz. Nicht nur fehlten vertiefte Kenntnisse über die gegenseitigen Freundes-, Familien- und finanziellen Verhältnisse, sondern hätten sich die Eheleute in der getrennten Befragung anfänglich divergierend über Bereiche wie etwa die Freizeitaktivitäten geäussert. Der Beschwerdeführer räumt zwar ein, dass die "eheliche Beziehung von aussen betrachtet als ungewöhnlich erscheinen mag", hält dem aber entgegen, sie beide seien eine eigentliche "Liebesheirat" eingegangen. Selbst wenn sich die Art, wie sie die Ehe lebten, "von einer hiesigen, in der Schweiz als herkömmlich betrachteten Ehe unterscheiden" möge, sei dies nicht zu beanstanden, da die Ehepartner bei der Ausgestaltung ihrer Beziehung "generell frei" seien.
Wenngleich dieser letzten Aussage nicht zu widersprechen ist, erscheint die Beziehung unter den Eheleuten insgesamt als auffällig locker und unverbindlich. Allein die Tatsache, dass der Beschwerdeführer nie am ehelichen Domizil angetroffen werden konnte, ist merkwürdig, zumal die Stadtpolizei auf einen Dritten stiess, der scheinbar freien Zugang zur Wohnung hat. Vor diesem Hintergrund ist es nachvollziehbar und verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz meint, es liege zumindest die Vermutung nahe, dass der Beschwerdeführer seinen Wohnsitz anderswo habe, nämlich beim angeblichen Onkel.
3.3 Bringt der Beschwerdeführer weiter vor, "entlastende Momente [seien] schlicht nicht berücksichtigt" worden, geht dies an den Tatsachen vorbei. Allein die Bemühungen der Stadtpolizei verdeutlichen, dass die Behörden bei der Ermittlung der Umstände ausserordentliche Sorgfalt und Umsicht walten liessen. Insofern ist verständlich, dass die Vorinstanz auf die schriftliche Erklärung des Hauswartes nicht weiter einging. So hält vor den Verfahrensgarantien von Art. 29 BV nicht nur stand, wenn das Gericht einen Beweisantrag abweist, der eine unerhebliche Tatsache betrifft und damit von vornherein untauglich ist, über die streitige Tatsache Klarheit zu schaffen. Die Abweisung des Beweisantrags geht auch an, wenn das Gericht sich aufgrund zuvor abgenommener Beweise seine Überzeugung bereits gebildet hat und es ohne Willkür in vorweggenommener, antizipierter Beweiswürdigung annehmen darf, die gewonnene Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236; 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 131 I 153 E. 3 S. 157; Urteile 8C_888/2011 vom 7. Mai 2012 E. 4.3; 2C_899/2011 vom 20. April 2012 E. 4; 1P.90/2006 vom 13. April 2006 E. 2.1). Angesichts der grossen Zahl überzeugender Indizien war die Würdigung der Stellungnahme des Hauswartes jedenfalls nicht zwingend. Die Vorgehensweise des Gerichts erweist sich auch diesbezüglich als verfassungskonform.
3.4 Schliesslich geht die Kritik des Beschwerdeführers dahin, es könne nicht sein, dass sich die Vorinstanz auf Tatsachen berufe, die schon im Zeitpunkt der Erteilung der Niederlassungsbewilligung bekannt gewesen seien. Der Beschwerdeführer lässt freilich unerwähnt, dass die massgebenden Indizien - so namentlich die auffällig häufige Abwesenheit vom ehelichen Domizil, die beschränkten Kenntnisse der Eheleute über das persönliche und familiäre Umfeld des jeweiligen Partners oder die Verständigungsschwierigkeiten - dem Migrationsamt erst nach Erteilung der Niederlassungsbewilligung zur Kenntnis gelangten. Die Rüge zielt damit am Kern der Sache vorbei.
3.5 An der Art der Erhebung und Würdigung der massgebenden Tatsachen ist damit verfassungsrechtlich nichts auszusetzen. Mit freier Kognition zu prüfen bleibt der Schluss, die Berufung auf die Ehe sei rechtsmissbräuchlich oder bezwecke die Umgehung ausländerrechtlicher Vorschriften (vorne, E. 3.1). Vor dem Hintergrund der gewonnenen Indizien ist diese Schlussfolgerung ohne Weiteres nachvollziehbar und erscheint als durchaus sachrichtig. Sie drängt sich geradezu auf und ist damit keinesfalls bundesrechtswidrig.
4. 4.1 Nach Art. 63 Abs. 1 lit. a in Verbindung mit Art. 62 lit. a AuG, die einen Eingriffsgrund im Sinne von Art. 8 Ziff. 2 EMRK darstellen, kann eine Niederlassungsbewilligung widerrufen werden, soweit die ausländische Person im Bewilligungsverfahren falsche Angaben gemacht oder wesentliche Tatsachen verschwiegen hat. Die zum Widerruf früheren Rechts (Art. 9 Abs. 2 lit. a und Abs. 4 lit. a des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer [ANAG; BS 1 121]) entwickelte Rechtsprechung gilt sinngemäss weiter (Urteil 2C_136/2012 vom 17. April 2012 E. 3.1).
4.2 Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, er sei in seinem Vertrauen auf den Bestand der erteilten Niederlassungsbewilligung zu schützen, zumal der "plötzliche Widerruf" gegen Treu und Glauben verstosse. Es mag zutreffen, dass die Migrationsbehörden bis zur Erteilung der Niederlassungsbewilligung nicht den Verdacht auf Scheinehe äusserten, so wie es der Beschwerdeführer geltend macht. Soweit er aber vorbringt, die Sachlage habe sich seither nicht verändert, ist dies unzutreffend: Die polizeilichen Erhebungen, auf die sich die Vorinstanz stützt, erfolgten in Wahrheit erst im Anschluss an die Erteilung der Niederlassungsbewilligung und mussten zwangsläufig zu einer Neubeurteilung durch die Migrationsbehörden führen. Grundbedingung des Gebots von Treu und Glauben gemäss Art. 9 BV ist denn auch, dass die Darstellung des Sachverhalts durch die um Auskunft oder Bewilligung nachsuchende Person überhaupt "vollständig und richtig" erfolgt (Urteile 2C_123/2010 vom 5. Mai 2010 E. 4.1; 2C_463/2008 vom 27. Januar 2009 E. 2.3; FRITZ GYGI, Verwaltungsrecht, Bern 1986, S. 160). Daran fehlte es hier gerade, sodass die Rüge von vornherein nicht schlüssig ist.
5. 5.1 Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung ist somit anzuordnen, soweit nicht die Verhältnismässigkeitsprüfung zu einem andern Schluss führt. Mit Recht verwirft die Vorinstanz die Anwendbarkeit von Art. 8 Ziff. 1 EMRK unter dem Aspekt des Schutzes des Familienlebens, kann diese Norm doch bloss angerufen werden, soweit eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme überhaupt zur Trennung von "Familienmitgliedern" führt (BGE 135 I 153 E. 2.1 S. 155; 126 II 335 E. 3a S. 342). Handelt es sich um eine Scheinehe, mangelt es an einer (Kern-)Familie im eigentlichen Sinn und kann Art. 8 Ziff. 1 EMRK unter dem Aspekt des Schutzes des Familienlebens nicht angerufen werden.
5.2 Nichts Anderes ergibt sich unter dem Gesichtspunkt des Schutzes des Privatlebens. Aus einer rein faktischen Anwesenheit kann im Lichte von Art. 8 Ziff. 1 EMRK grundsätzlich kein Aufenthaltsrecht abgeleitet werden (zum Ganzen Urteil 2C_730/2011 vom 24. Februar 2012 E. 4.2; Nichtzulassungsentscheid des EGMR Chandra gegen Niederlande vom 13. Mai 2003 [53102/99] und Urteile des EGMR Rodrigues da Silva gegen Niederlande vom 31. Januar 2006 [50435/99], Ziff. 43 sowie Darren Omoregie gegen Norwegen vom 31. Juli 2008 [265/07], Ziff. 64). Zu verlangen wäre eine besonders intensive, über eine normale Integration hinausgehende private Bindung gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. entsprechend vertiefte soziale Beziehung zum ausserfamiliären oder ausserhäuslichen Bereich (BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286), was hier nicht ersichtlich ist. Die finanzielle Unabhängigkeit, ebenso wie die straf- und betreibungsrechtliche Unbescholtenheit sind zwar durchaus zu Gunsten des Beschwerdeführers zu werten, vermögen aber letztlich das öffentliche Interesse an der Fernhaltung einer ausländischen Person, welche die Migrationsbehörde bewusst in einen Grundlagenirrtum versetzte, um auf diese Weise zunächst eine Aufenthalts- und später eine Niederlassungsbewilligung zu erlangen, nicht aufzuwiegen.
5.3 Die vorinstanzliche Rechtsgüterabwägung ist mithin nicht zu beanstanden und verletzt weder Völker- (Art. 8 EMRK) noch Landesrecht (Art. 96 AuG). Das angefochtene Urteil ist insofern zu bestätigen und die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
6. Bei diesem Ausgang sind dem Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. Art. 65 BGG). Dem Kanton Zürich, der obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Mai 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher