Faits:
A. J._, ressortissante française, a obtenu un doctorat en chimie à l'Université X._ (I). Pendant ses études, elle a exercé une activité lucrative du 1er décembre 2003 au 31 mai 2009 au service du Centre Y._, à R._ (I).
A son arrivée en Suisse, elle a exercé un emploi de durée déterminée en qualité de femme de ménage durant la période du 18 août au 4 septembre 2009. Ensuite elle a requis des prestations de l'assurance-chômage.
Le 24 septembre 2009, la Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage (ci-après: la caisse de chômage) a invité le Service de l'emploi du Département de l'économie de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le service de l'emploi) à statuer sur le droit éventuel de l'intéressée à une indemnité de chômage.
Par décision du 8 juin 2011, confirmée sur opposition le 23 août suivant, le service de l'emploi, par son Office juridique et de surveillance (OJSU), a reconnu le droit de l'intéressée à une indemnité de chômage et enjoint à la caisse de chômage de fixer le gain assuré déterminant pour le calcul de l'indemnité de chômage sur la base du salaire réalisé en Suisse dans l'activité de femme de ménage.
B. Saisie d'un recours, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel a réformé la décision sur opposition du 23 août 2011 dans le sens des considérants. Elle a considéré, en résumé, que l'activité accomplie en Suisse ayant duré moins de quatre semaines, le gain assuré ne devait pas être calculé sur la base du salaire perçu dans l'emploi de femme de ménage. Conformément à l'art. 68 § 1 du règlement (CEE) n° 1408/71 du Conseil du 14 juin 1971 relatif à l'application des régimes de sécurité sociale - applicable en vertu de l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP) -, le gain assuré devait correspondre au salaire hypothétique qu'aurait obtenu l'assurée en Suisse pour l'activité exercée en Italie, à savoir un emploi de chercheuse au Centre Y._ (jugement du 28 août 2012).
C. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation sous suite de frais et dépens.
Considérant en droit:
1. 1.1 Aux termes de l'art. 90 LTF, le recours en matière de droit public est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure. Il est notamment recevable contre toute décision qui statue sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause ou qui met fin à la procédure à l'égard d'une partie des consorts (décision partielle; art. 91 let. a et b LTF). Le recours est également recevable contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Les autres décisions préjudicielles ou incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. a et b LTF).
1.2 Un jugement qui ne tranche que certains aspects d'un rapport juridique litigieux n'est en règle générale pas un jugement partiel, mais un jugement incident qui ne peut faire l'objet d'un recours qu'aux conditions de l'art. 93 LTF. Tel sera généralement le cas, par exemple, d'un jugement par lequel un tribunal renvoie la cause à un assureur social pour nouvelle décision, en lui donnant des instructions sur la manière de trancher certains aspects du rapport de droit litigieux (ATF 133 V 477 consid. 4 p. 480 ss). Cela étant, l'assureur social qui voit sa décision initiale annulée et doit statuer à nouveau à la suite de ce jugement subit un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. En effet, il ne pourra plus recourir contre sa propre décision après avoir suivi les instructions du jugement de renvoi. Il peut donc recourir immédiatement contre ce jugement (ATF 133 V 477 consid. 5.2 p. 483; arrêts 8C_227/2010 du 7 avril 2010 consid. 1.2 et 8C_682/2007 du 30 juillet 2008 consid. 1, non publié in ATF 134 V 392).
1.3 Dans le domaine de l'assurance-chômage, la jurisprudence a considéré qu'un jugement incident par lequel la cause est renvoyée à l'autorité cantonale ou à la caisse de chômage compétente n'entraîne en principe pas, pour le seco, de préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. En effet, ce dernier dispose de la qualité pour recourir contre la décision à rendre, conformément au jugement de renvoi, par l'autorité cantonale ou la caisse de chômage concernée (art. 102 al. 1 LACI; cf. arrêts 8C_227/2010 du 7 avril 2010 consid. 1.3; 8C_817/2008 du 16 juin 2009; 8C_1019/2008 du 28 juillet 2009).
2. 2.1 Aux termes du jugement cantonal attaqué, il appartiendra à la caisse de chômage - qui a invité le service de l'emploi à statuer sur le droit éventuel de l'intéressée à une indemnité de chômage - de rendre une décision elle-même sujette à opposition. Si la caisse de chômage apparaît d'ores et déjà liée par ce jugement en ce qui concerne le droit de l'assurée à une indemnité de chômage, sa latitude de décision, en revanche, n'est pas restreinte de manière importante quant au montant de cette indemnité. En ce qui concerne la fixation du gain assuré, elle bénéficie en effet d'un large pouvoir d'appréciation pour établir le montant du salaire hypothétique qu'aurait obtenu l'assurée en exerçant en Suisse l'activité accomplie en Italie, à savoir un emploi de chercheuse au Centre Y._. On ne saurait dès lors nier le caractère incident du jugement attaqué, qui ne met pas un point final à la procédure. Aussi, le recours n'est-il admissible qu'à la condition que ce prononcé puisse entraîner pour le recourant un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF), l'éventualité que ce jugement implique une procédure probatoire longue et coûteuse à mettre en oeuvre par la caisse de chômage (art. 93 al. 1 let. b LTF) pouvant être d'emblée exclue.
2.2 Selon la jurisprudence, conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, dans la mesure où elles ne sont pas immédiatement données, la partie recourante doit exposer en quoi les conditions de recevabilité sont réunies. Il lui appartient notamment d'alléguer et d'établir la possibilité qu'une décision incidente lui cause un dommage irréparable (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 428 s. et les références citées), à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (arrêts 8C_780/2011 du 4 décembre 2012 consid. 1.2.1; 2C_8/2011 du 3 mars 2011 consid. 2.2; 2C_687/2009 du 17 février 2010 consid. 1.3.2).
2.3 Le recourant n'allègue pas que l'acte attaqué puisse entraîner pour lui un préjudice irréparable et cette possibilité n'apparaît pas d'emblée réalisée.
Au demeurant, le seco pourra aussi bien former opposition contre la décision qui devra être rendue par la caisse de chômage, que recourir contre la décision sur opposition devant le tribunal cantonal des assurances (art. 102 al. 1 LACI; ATF 130 V 560 consid. 3.2 p. 562 s.). En outre, dans la mesure où il lui est loisible d'exiger, à réception d'un jugement incident qu'elle entend contester, la notification de la décision à rendre en application de ce jugement (cf. art. 76 al. 2 et 110 LACI; ATF 114 V 358 consid. 3 p. 360), l'autorité de surveillance n'encourt pas le risque de voir s'éteindre son droit de faire opposition à la décision qui devra être rendue.
Cela étant, le jugement attaqué n'est pas susceptible d'entraîner un préjudice irréparable pour le recourant et le recours en matière de droit public est irrecevable.
2.4 Il n'y a pas lieu de mettre les frais de procédure à charge du recourant (art. 66 al. 4 LTF), ni de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Service de l'emploi du Département de l'économie de la République et canton de Neuchâtel, à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel et à la Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage.
Lucerne, le 25 janvier 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
Le Greffier: Beauverd