Sachverhalt:
A. A.X._, (Beschwerdeführer) und B.Y._, (Beschwerdegegnerin) schlossen am 31. Juli 2002 einen Vertrag betreffend die "Übertragung des Notariatsbüros A.X._". Für den Fall, dass sich aus diesem Vertrag Streitigkeiten ergeben sollten, verpflichteten sich die Parteien, Dr. iur. Z._ als Schiedsrichter anzurufen.
B. B.a Mit Eingabe vom 30. April 2007 rief die Beschwerdegegnerin Z._ als Einzelschiedsrichter an mit dem Rechtsbegehren, es sei der Beschwerdeführer zur Zahlung von Fr. 225'237.10 zuzüglich Zins zu 5 % seit 31. Dezember 2006 zu verpflichten.
Der Beschwerdeführer reichte am 23. Mai 2007 ein Ablehnungsbegehren gegen den Schiedsrichter Z._ ein, das er mit der geschäftlichen Verbindung der Beschwerdegegnerin mit dem Einzelschiedsrichter begründete. Dieser bestritt das Vorliegen eines Ablehnungsgrunds. Das in der Folge angerufene Obergericht des Kantons Aargau wies das Ausstandsbegehren mit Urteil vom 9. Januar 2008 ab. Es hielt unter anderem fest, dass die Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt der Unterzeichnung des Vertrags vom 31. Juli 2002 zwar in Bürogemeinschaft mit dem Einzelschiedsrichter tätig war, der Beschwerdeführer jedoch nicht geltend gemacht habe, Z._ in Unkenntnis dieses Umstands als Schiedsrichter benannt zu haben. Die Tatsache, dass die Beschwerdegegnerin auch nach der Übernahme des Notariatsbüros des Beschwerdeführers noch immer auf dem Briefkopf der Kanzlei des Einzelschiedsrichters als Notarin aufgeführt werde, stelle insoweit keine Veränderung der Verhältnisse im Vergleich zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses dar. Zudem habe der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich dargelegt, dass die Bestellung von Z._ an die Bedingung geknüpft gewesen sei, dass nach der Übertragung des Notariatsbüros die Geschäftsbeziehungen zwischen diesem und der Beschwerdegegnerin aufgelöst würden.
B.b Mit Eingabe vom 4. Mai 2009 verlangte der Beschwerdeführer in einer weiteren Eingabe, der Einzelschiedsrichter habe in Ausstand zu treten und berief sich darauf, er habe von seiner vormaligen Sekretärin nunmehr erfahren, dass die Z._ AG deren Vizepräsident des Verwaltungsrats Z._ sei, der Beschwerdegegnerin im Juli 2005 ein Darlehen über Fr. 100'000.-- gewährt habe. Dabei sei dem Darlehensvertrag zu entnehmen, dass das Darlehen "zur Überbrückung eines Liquiditätsengpasses im Notariatsbüro des Borgers (entstanden im Zusammenhang mit dem Kauf des Notariatsbüros 'Y._ & X._' in C._)" dienen solle. Der Einzelschiedsrichter stellte die Darlehensgewährung nicht in Abrede, bestritt jedoch das Vorliegen eines Ablehnungsgrunds und setzte das Verfahren mit Verfügung vom 22. Mai 2009 fort.
Mit Urteil vom 3. Februar 2010 wies das Obergericht des Kantons Aargau das Ausstandsbegehren gegen den Einzelschiedsrichter Z._ ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 3. Februar 2010 aufzuheben und es sei festzustellen, dass sich Z._ infolge Ablehnung in den Ausstand zu begeben habe.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
D. Mit Verfügung vom 14. April 2010 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Entscheid des Obergerichts handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen (Art. 75 BGG), selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren, gegen den nach Art. 92 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Zivilsachen zulässig ist (vgl. BGE 133 III 634 E. 1.1 S. 635). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2 Art. 107 Abs. 2 BGG erlaubt dem Bundesgericht, im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen in der Sache selbst zu entscheiden, wobei seine Entscheidbefugnis im Zusammenhang mit der Rüge einer Verletzung des Konkordats vom 27. März 1969 über die Schiedsgerichtsbarkeit (KSG) nicht weiter gehen kann, als diejenige des staatlichen kantonalen Gerichts, dessen Entscheid angefochten wird (BGE 133 III 634 E. 1.1.3 S. 636 f.). Im zu beurteilenden Fall war die Vorinstanz nach Art. 21 KSG befugt, über das gegen den Einzelschiedsrichter gerichtete Ablehnungsbegehren zu befinden. Da sie als zuständige staatliche Behörde selbst über den Ausstand hätte entscheiden können und noch kein Schiedsentscheid ergangen ist, kann das Bundesgericht bei Gutheissung der Beschwerde selbst über das Ablehnungsbegehren befinden.
2. Der Beschwerdeführer bringt unter Berufung auf Art. 18 Abs. 1 KSG in Verbindung mit Art. 34 Abs. 1 BGG sowie sowie Art. 30 Abs. 1 BV vor, die Vorinstanz habe einen Ablehnungsgrund zu Unrecht verneint.
2.1 Die Vorinstanz hielt fest, es sei im Verfahren unbestritten geblieben, dass die Z._ AG der Beschwerdegegnerin im Juli 2005 ein Darlehen über Fr. 100'000.-- gewährt habe; dies ergebe sich auch aus dem vom Beschwerdeführer eingereichten schriftlichen Darlehensvertrag. Es sei auch nicht bestritten, dass der Schiedsrichter als Vizepräsident des Verwaltungsrats dieser Gesellschaft mit Einzelunterschrift amte. Der Beschwerdeführer habe die Darstellung des Schiedsrichters in der Verfügung vom 22. Mai 2009, wonach dieser keine Aktien der Gesellschaft besitze, jedoch nicht bestritten. Ein besonderes persönliches, indirektes wirtschaftliches Interesse des Schiedsrichters an diesem Darlehen und insbesondere an dessen Rückzahlung bestehe somit nicht.
Zudem treffe zwar zu, dass eine Gutheissung der Klage der Beschwerdegegnerin - unter der Voraussetzung, dass die aus einem Urteil fliessenden Verpflichtungen auch erfüllt würden - die Zahlungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin verbessern würde und damit letztlich auch im Interesse der Z._ AG als Darlehensgläubigerin liege. Dieses Interesse sei jedoch nicht vergleichbar mit dem Interesse der unmittelbar Verfahrensbeteiligten am Prozessausgang. Es sei auch "sehr viel geringer und anderer Qualität" als das Interesse einer nicht verfahrensbeteiligten Person, die sich wegen weiterer rechtlicher Verknüpfungen bei einem bestimmtem Verfahrensausgang unmittelbar damit konfrontiert sehe, für die einer Partei mit dem Urteil auferlegten Pflichten einstehen zu müssen. Aus dem zwischen der Beschwerdegegnerin und der Z._ AG abgeschlossenen Darlehensvertrag sei deshalb nicht auf ein persönliches Interesse des Schiedsrichters an der zu beurteilenden Sache im Sinne von Art. 34 Abs. 1 lit. a BGG zu schliessen.
Hinsichtlich der Umstände der Darlehensgewährung durch die Z._ AG hielt die Vorinstanz fest, es sei zwar naheliegend, dass die Gewährung des Darlehens durch die Gesellschaft im Zusammenhang damit stehe, dass der Einzelschiedsrichter und die Beschwerdegegnerin miteinander bekannt seien und in geschäftlicher Beziehung stünden. Dies reiche jedoch nicht aus, um den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit zu erwecken.
2.2 Nach Art. 18 Abs. 1 KSG können die Parteien die Schiedsrichter aus den im OG genannten Gründen für die Ausschliessung und Ablehnung der Bundesrichter sowie aus den in einer von ihnen anerkannten Schiedsordnung oder in der Schiedsabrede vorgesehenen Gründen ablehnen. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog und auch die Parteien nicht in Frage stellen, ist die Bestimmung nach Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes als Verweis auf die in Art. 34 BGG genannten Ausstandsgründe auszulegen (so auch BERGER/KELLERHALS, Internationale und interne Schiedsgerichtsbarkeit in der Schweiz, Bern 2006, Rz. 787). Art. 34 BGG beinhaltet eine Konkretisierung von Art. 30 Abs. 1 BV, wonach jede Person Anspruch darauf hat, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird (Urteil 2C_755/2008 vom 7. Januar 2009 E. 3; vgl. auch BGE 4A_118/2010 vom 19. April 2010 E. 3.1; BGE 135 I 14 E. 2 S. 15; 134 I 238 E. 2.1 S. 240; 131 I 113 E. 3.4 S. 116; je mit Hinweisen).
Nach Art. 34 Abs. 1 lit. a BGG hat eine Gerichtsperson unter anderem dann in Ausstand zu treten, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse hat. Dazu gehören nicht nur Interessen, welche die Gerichtsperson direkt, sondern auch solche, die sie indirekt betreffen (FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 14 zu Art. 34 BGG; ISABELLE HÄNER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 8 zu Art. 34 BGG; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, 2007, Rz. 541). Dabei ist vorausgesetzt, dass die Gerichtsperson eine spürbare persönliche Beziehungsnähe zum Streitgegenstand aufweist. Das Interesse kann materiell oder ideell sein und es kann die rechtliche oder die tatsächliche Situation beeinflussen. Es muss aber, um die richterliche Unabhängigkeit in Frage zu stellen, die betreffende Gerichtsperson nicht nur allgemein berühren, sondern die persönliche Interessensphäre spürbar und mehr als diejenige anderer Gerichtspersonen tangieren (REGINA KIENER, Richterliche Unabhängigkeit, 2001, S. 92 f.; vgl. BGE 111 Ia 72 E. 2a S. 74 mit Hinweisen).
Von einem persönlichen Interesse in der Sache ist etwa auszugehen, wenn jemand Organ einer Partei, Intervenient, Mitberechtigter oder Mitverpflichteter, Bürge einer Partei oder Eigentümer der Sache ist, die für die Verbindlichkeit der Partei haftet (vgl. BGE 97 I 1 E. 2a S. 5; DONZALLAZ, a.a.O., Rz. 541; JEAN-FRANÇOIS POUDRET, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Bd. I, 1990, N. 2.1 zu Art. 22 OG, S. 109). Das Interesse kann auch über die Beziehung zu einer Drittpartei gegeben sein, sei dies eine natürliche oder eine juristische Person, die dem Richter einen Vor- oder Nachteil im Zusammenhang mit dem Ausgang des Rechtsstreits verschaffen kann (vgl. DONZALLAZ, a.a.O., Rz. 541 a.E.; SPÜHLER/DOLGE/VOCK, Bundesgerichtsgesetz, Kurzkommentar, 2006, N. 3 zu Art. 34 BGG). Hätte der Richter beispielsweise damit zu rechnen, die finanziellen Folgen eines Prozessverlusts aufgrund einer bedeutenden Kapitalbeteiligung an einer prozessführenden Gesellschaft indirekt tragen zu müssen, würde dies Anlass zu berechtigten Zweifeln an seiner Unparteilichkeit geben (BGE 111 Ia 72 E. 2a S. 74). Von einem indirekten Interesse ist auch bei einem Anwalt auszugehen, der als nebenamtlicher Richter in einer Sache mitwirkt, die für ein gleichgelagertes Verfahren, in dem er eine Partei vertritt, eine erhebliche präjudizielle Bedeutung haben kann (vgl. BGE 128 V 82 E. 2a S. 85; 124 I 121 E. 3 S. 123 ff.; Urteil 2C_171/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 6.1.2).
2.3 Es blieb im vorinstanzlichen Verfahren unbestritten, dass der Einzelschiedsrichter Z._ als Vizepräsident des Verwaltungsrats der Z._ AG amtet und diese der Beschwerdegegnerin im Juli 2005, mithin drei Jahre nach Abschluss des Vertrags zwischen den Verfahrensparteien, ein Darlehen über Fr. 100'000.-- gewährt hat. Dieses steht in direktem Zusammenhang mit dem Streitgegenstand des von der Beschwerdegegnerin eingeleiteten Schiedsverfahrens, in dem über Ansprüche aus dem zwischen den Parteien abgeschlossenen Vertrag vom 31. Juli 2002 betreffend die "Übertragung des Notariatsbüros A.X._" gestritten wird, zumal das Darlehen gemäss Vertragsurkunde ausdrücklich zur Überbrückung eines Liquiditätsengpasses bei der Beschwerdegegnerin dient, der "im Zusammenhang mit dem Kauf des Notariatsbüros 'Y._ & X._' in C._" entstanden sein soll.
Die Vorinstanz hat es zudem als naheliegend erachtet, dass die Darlehensgewährung durch die Z._ AG darauf zurückzuführen ist, dass sich der Einzelschiedsrichter Z._ und die Beschwerdegegnerin kennen und miteinander in einer Geschäftsbeziehung stehen. Die Beschwerdegegnerin behauptet vor Bundesgericht lediglich pauschal, der Schiedsrichter habe mit der Gewährung des Darlehens "nichts zu tun", erhebt jedoch keine substantiierte Sachverhaltsrüge. Die Vorinstanz hat zudem zutreffend festgehalten, dass die Gutheissung der von der Beschwerdegegnerin erhobenen Klage deren Zahlungsfähigkeit verbessern würde und damit im Interesse der Z._ AG als Darlehensgläubigerin läge.
Der Beschwerdeführer beruft sich zu Recht darauf, dass vor diesem Hintergrund nicht mehr gewährleistet ist, dass das Schiedsverfahren aus Sicht aller Beteiligten als offen erscheint. Der Einzelschiedsrichter hat als Verwaltungsrat der Darlehensgeberin die Gesellschaftsinteressen zu wahren (Art. 717 Abs. 1 OR) und trägt im Rahmen der unentziehbaren und unübertragbaren Aufgaben die Finanzverantwortung (Art. 716a Abs. 1 Ziff. 3 OR). Als verantwortliches Organ hat er damit auch ohne massgebliche Aktienbeteiligung ein mittelbares Interesse an der Rückzahlung des gewährten Darlehens. Aufgrund der Tatsache, dass das Darlehen im Nachgang zum Praxiskauf infolge finanzieller Schwierigkeiten benötigt wurde, die auf diesen Kauf zurückzuführen sind, besteht ein direkter Zusammenhang zur Streitsache. Damit steht der Einzelschiedsrichter in einer spürbaren persönlichen Beziehungsnähe zum Streitgegenstand, die seine richterliche Unabhängigkeit in Frage stellt. Hinzu kommt, dass er den Beschwerdeführer nicht von sich aus über die beschriebenen Tatsachen informiert hat, wie dies seine Pflicht als Schiedsrichter gewesen wäre (BGE 111 Ia 72 E. 2c S. 75 f.).
Damit liegen Umstände vor, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Einzelschiedsrichters zu erwecken. Die Vorinstanz hat ein mittelbares persönliches Interesse des Einzelschiedsrichters im Sinne von Art. 34 Abs. 1 lit. a BGG zu Unrecht verneint.
3. Die Beschwerde ist gutzuheissen, der Entscheid der Vorinstanz vom 3. Februar 2010 ist aufzuheben und dem Ausstandsbegehren gegen den Einzelschiedsrichter Z._ ist stattzugeben. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 3. Februar 2010 wird aufgehoben und dem Ausstandsbegehren gegen den Einzelschiedsrichter Z._ wird stattgegeben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juni 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann