Erwägungen:
1. Der aus Pakistan stammende X._ reiste seinen Angaben zufolge im Oktober 2005 in die Schweiz ein, wo er sich bis zu seiner Verhaftung im Dezember 2007 illegal aufhielt. Das Migrationsamt des Kantons Zürich wies ihn am 14. Dezember 2007 formlos weg und nahm ihn in Ausschaffungshaft, welche der Haftrichter am Bezirksgericht Zürich zunächst bis zum 13. März 2008 bewilligte und am 12. März und 10. Juli (recte: Juni) 2008 bis zum 13. Juni bzw. 13. September 2008 verlängerte. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die zuletzt genannte haftrichterliche Verfügung vom 10. Juni 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, ihn unverzüglich aus der Haft zu entlassen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung. Das Bundesgericht hat die Akten des Bezirksgerichts und des Migrationsamts beigezogen, jedoch auf die Einholung von Vernehmlassungen verzichtet.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer erhebt gegen die angefochtene Verlängerung der Ausschaffungshaft den Einwand, dass er eine Schweizer Bürgerin zu heiraten gedenke. Zudem habe er mit ihr einen Sohn, der im April 2008 geboren sei. Insoweit sei die weitere Haft nicht mehr verhältnismässig. Auch sei Art. 80 Abs. 4 AuG (SR 142.20) von der Vorinstanz missachtet worden.
2.2 Der Haftrichter hat festgestellt, dass die für eine Eheschliessung notwendigen Papiere nicht vorlägen, demzufolge kein konkreter Heiratstermin feststehe und daher auch nicht binnen Kurzem mit der Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zu rechnen sei. Es sei auch nach wie vor nicht davon auszugehen, dass sich der Beschwerdeführer für die beabsichtigte Ausschaffung zur Verfügung halten werde.
Dem ist aufgrund der gesamthaften Umstände zuzustimmen. Der Haftrichter hat bei seinem Entscheid die familiären Verhältnisse gemäss Art. 80 Abs. 4 AuG hinreichend berücksichtigt. Gegenstand des Verfahrens der Ausschaffungshaft bildet grundsätzlich nicht die Frage der Wegweisung oder der Bewilligung des Aufenthalts. Mit Blick darauf ist die Haftgenehmigung nur zu verweigern, wenn sich der zu sichernde Wegweisungsentscheid als offensichtlich unzulässig erweist (BGE 125 II 217 E. 2 S. 220). Bei blosser Absicht, sich zu verheiraten, ist das nicht der Fall; es besteht damit noch keine Aufenthaltsberechtigung (vgl. BGE 130 II 56 E. 2 S. 58; Urteil 2C_132/2007 vom 24. April 2007, E. 2.2.2). Da der Beschwerdeführer bisher offenbar nicht über Ausweispapiere verfügt, konnte er weder das Kind anerkennen noch die angeblichen Heiratsabsichten vorantreiben, so dass eine Eheschliessung nicht unmittelbar bevorsteht. Weder die Fürsorgeabhängigkeit der Verlobten noch das pauschal angerufene Kindeswohl lassen den Vollzug der Wegweisung und damit die Haft unverhältnismässig erscheinen, zumal auch keine lang dauernde, tatsächlich gelebte Beziehung zum Kind vorliegt. Ausserdem bildet die Frage, ob aus dem Verwandtschaftsverhältnis zum Sohn ein Anwesenheitsrecht abzuleiten ist, nicht Gegenstand des Verfahrens der Ausschaffungshaft (vgl. auch Urteil 2C_424/2007 vom 4. September 2007, E. 4).
Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG mit summarischer Begründung behandelt werden kann.
3. Bei diesem Ausgang hat der Beschwerdeführer an sich die Gerichtskosten zu tragen. Mit Blick auf seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse wird aber praxisgemäss auf die Erhebung von Kosten verzichtet (Art. 66 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird damit gegenstandslos, während dasjenige um Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens abzuweisen ist (Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt des Kantons Zürich, dem Bezirksgericht Zürich, Haftrichter, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Hungerbühler Merz