Sachverhalt:
A. K._ (Jg. 1966) wurde am 3. Juli 2002 im Spital T._ von der chirurgischen Notfallstation in die Klinik für Rheumatologie und Rehabilitation verlegt, wo sie sich bis am 5. Juli 2002 zur Commotio-Überwachung aufhielt. Laut Unfallmeldung war sie am 3. Juli 2002 während ihrer Arbeit in der Alterspension A._, wo sie als Raumpflegerin und Betreuerin angestellt war, auf der Treppe zwischen Hochparterre und Erdgeschoss gestürzt. Gemäss Diagnose der Klinikärztin Frau Dr. med. H._ hat sich K._ bei diesem Sturz eine Commotio cerebri und eine Wirbelsäulenkontusion zugezogen. Seither klagt sie über Nacken- und Kopfschmerzen sowie über Beschwerden im lumbalen Bereich. Hinzu kamen Steissbeinschmerzen, Schwindel, Konzentrationsschwierigkeiten, ein Erschöpfungsgefühl und vegetative Symptome mit Albträumen und nächtlichem Schwitzen. Die Commotio-Überwachung im Spital T._ verlief komplikationslos, sodass die Entlassung mit vorgesehener Nachbetreuung durch Frau Dr. med. L._ erfolgen konnte. Auf Anfrage der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachstehend: Allianz), bei welcher K._ unfallversichert war, vom 5. September 2002 hin berichtete diese am 24. Mai (recte wohl: September) 2002 von einem prolongierten Verlauf mit Schwindelresistenz, Kopf- und Rückenschmerzen, zu deren Bekämpfung sie eine Physiotherapie vorsah. Weil sich eine solche wegen sofort auftretenden Schwindels nicht durchführen liess, wies Frau Dr. med. L._ ihre Patientin am 17. Oktober 2002 auf Grund des ungünstigen Verlaufs mit anhaltender 100%iger Arbeitsunfähigkeit zufolge therapieresistenter Kopf-, Nacken- und Kreuzschmerzen erneut in die Klinik für Rheumatologie und Rehabilitation des Spitals T._ zur weiteren Abklärung und Therapie ein. Von dort wurde K._ wegen schwerer Depression und akuter Suizidalität am 22. Oktober 2002 in die psychiatrische Klinik G._ verlegt, welche sie nach einer Krisenintervention mit zweitägiger Aufenthaltsdauer zur ambulanten psychotherapeutischen Nachbehandlung durch Frau Dr. med. S._ wieder verlassen konnte.
Nach Einholung eines Berichts ihres Vertrauensarztes Dr. med. W._ vom 10. Juli 2003 eröffnete die Allianz, welche zunächst für die Heilbehandlung aufgekommen war und Taggelder ausgerichtet hatte, K._ am 10. Juli 2003, sie werde ihre Leistungen mangels Unfallkausalität voraussichtlich auf den 17. Oktober 2002 einstellen. Nachdem die Invalidenversicherung mit Verfügung vom 23. Januar 2004 bei einem Invaliditätsgrad von 100 % rückwirkend ab 1. Juli 2003 eine ganze Invalidenrente zugesprochen hatte, erliess die Allianz am 21. September 2004 wie angekündigt eine auf den 17. Oktober 2002 wirksam werdende Einstellungsverfügung. Die hiegegen von K._ wie auch von deren Krankenversicherer, der Sanitas Grundversicherungen AG (nachstehend: Sanitas AG), erhobenen Einsprachen wies die Allianz mit Entscheid vom 23. März 2005 ab.
B. Die dagegen von K._ und von der Sanitas AG erhobenen Beschwerden hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich nach erfolgter Verfahrensvereinigung mit Entscheid vom 30. April 2007 in dem Sinne gut, dass es die Sache unter Aufhebung des Einspracheentscheids vom 23. März 2005 an die Allianz zurückwies, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und über den Leistungsanspruch nach dem 17. Oktober 2002 neu verfüge.
C. Die Allianz erhebt Beschwerde mit dem Begehren um Aufhebung des kantonalen Entscheids und Bestätigung ihres Einspracheentscheids vom 23. März 2005.
K._ (nachstehend: Beschwerdegegnerin I oder Versicherte) lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Die Sanitas AG und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.
D. In BGE 134 V 109 hat das Bundesgericht seine Praxis zur Kausalitätsprüfung bei Unfällen mit Schleudertrauma, äquivalenter Verletzung der Halswirbelsäule oder Schädel-Hirntrauma ohne organisch objektiv ausgewiesene Beschwerden (so genannte Schleudertrauma-Praxis) präzisiert (Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008). Den Parteien wurde am 12. März 2008 Gelegenheit gegeben, sich zu dieser Präzisierung und allfälligen Auswirkungen derselben auf ihre bisher eingenommenen Standpunkte zu äussern. Davon haben die Allianz wie auch K._ je am 10. April 2008 Gebrauch gemacht, während die Sanitas AG mit Schreiben vom 9. April 2008 ausdrücklich auf eine Stellungnahme verzichtet hat.
Erwägungen:
1. Wie schon vor dem kantonalen Gericht ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Unfall vom 3. Juli 2002 über den 17. Oktober 2002 hinaus streitig.
1.1 Die Vorinstanz hat die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsabklärung an die heutige Beschwerdeführerin zurückgewiesen. Ein solcher Entscheid stellt einen Zwischenentscheid dar, der nur unter den eingeschränkten Voraussetzungen der Art. 92 f. BGG selbstständig anfechtbar ist (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481 f. mit Hinweisen). Ob die Voraussetzungen für ein Eintreten nach Art. 92 f., namentlich Art. 93 Abs. 1 BGG gegeben sind, kann dahingestellt bleiben. Die Beschwerdeführerin konnte bei Einreichung ihrer Beschwerde vom 8. Juni 2007 noch nicht wissen, dass die langjährige Praxis im Sozialversicherungsverfahren, wonach ein (kantonaler) Rückweisungsentscheid noch einen selbstständig anfechtbaren Endentscheid darstellte (BGE 133 V 477 E. 3.1 S. 479 mit Hinweisen), nach Inkrafttreten des BGG nicht weitergeführt würde, erging der die Rechtslage klärende BGE 133 V 477 doch erst am 25. Juli 2007. Im Sinne einer schonenden Einführung des BGG ist deshalb auf die Beschwerde einzutreten (vgl. Urteil 8C_37/2007 vom 8. Januar 2008, E. 2.3).
1.2 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
1.3 Soweit sich der zu beurteilende Sachverhalt vor dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) am 1. Januar 2003 verwirklicht hat, sind, wie die Vorinstanz richtig erkannt hat, die materiellrechtlichen Bestimmungen dieses Erlasses und die damit einhergehenden Gesetzes- und Verordnungsänderungen im Unfallversicherungsbereich nicht anwendbar (RKUV 2005 Nr. U 536 S. 57 [U 126/04]). Das ATSG hat im Übrigen zu keinen inhaltlichen Änderungen der massgeblichen Grundlagen für die Beurteilung von Unfallfolgen geführt, welche allenfalls Versicherungsleistungen begründen. Die nachfolgenden Ausführungen gelten daher auch unter der Herrschaft des ATSG, soweit Versicherungsleistungen nach dem 31. Dezember 2002 zur Diskussion stehen sollten.
2. 2.1 Hinsichtlich der Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der umstrittenen Leistungspflicht des Unfallversicherers (Art. 6 Abs. 1 UVG) wird auf die zutreffenden Erwägungen im kantonalen Entscheid verwiesen. Es betrifft dies insbesondere die von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätze zu dem für einen Leistungsanspruch grundsätzlich erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen Unfall und eingetretenem Schaden (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181 mit Hinweisen).
2.2 Die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers spielt bei organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen praktisch keine Rolle, weil sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen). Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Adäquanzbeurteilung vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nach Schweregrad des Unfalles weitere unfallbezogene Kriterien mit einzubeziehen (BGE 117 V 359 E. 6 S. 366 ff. und 369 E. 4 S. 382 ff., 115 V 133 E. 6 S. 138 ff.). Bei nach einem Unfall auftretenden psychischen Fehlentwicklungen werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der Halswirbelsäule sowie bei Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (BGE 134 V 109 E. 6.2.1 S. 116 f. in fine, mit Hinweisen).
2.3 Auch nach der erwähnten Präzisierung der Schleudertrauma-Praxis in BGE 134 V 109 ist am Erfordernis einer besonderen Adäquanzprüfung bei Unfällen mit Schleudertrauma, äquivalenter Verletzung der Halswirbelsäule oder Schädel-Hirntrauma ohne organisch objektiv ausgewiesene Beschwerden festzuhalten (BGE 134 V 109 E. 7 S. 118 f. bis E. 9 S. 121 ff.). Ebenso besteht keine Veranlassung, die bewährten Grundsätze über die bei dieser Prüfung vorzunehmende Einteilung der Unfälle nach deren Schweregrad und den abhängig von der Unfall-
schwere gegebenenfalls erforderlichen Einbezug weiterer Kriterien in die Adäquanzbeurteilung zu ändern (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f.). Das Bundesgericht hat hingegen die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertigt, erhöht (BGE 134 V 109 E. 9 S. 121 ff.) und die adäquanzrelevanten Kriterien teilweise modifiziert (BGE 134 V 109 E. 10 S. 126 ff.). Unverändert bestehen gelassen hat das Gericht die Grundsätze, die bei psychischen Fehlentwicklungen nach einem Unfall zur Anwendung gelangen (BGE 134 V 109 E. 6.1 S. 116).
2.4 Richtig sind schliesslich die vorinstanzlichen Ausführungen zum nach einmal anerkannter Unfallkausalität dem Versicherungsträger obliegenden Nachweis für das Dahinfallen jeglicher kausalen Bedeutung des Unfalles für das noch vorhandene Beschwerdebild (RKUV 2000 Nr. U 363 S. 46 E. 2 [U 355/98], 1994 Nr. U 206 S. 328 f. E. 3b [U 180/93], je mit Hinweisen). Zu ergänzen ist in diesem Zusammenhang, dass die Beweislastregel, wonach der Unfallversicherer und nicht der Versicherte die Beweislast für das Dahinfallen der natürlichen Unfallkausalität trägt, erst Platz greift, wenn es sich als unmöglich erweist, im Rahmen des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigung einen Sachverhalt zu ermitteln, der zumindest die Wahrscheinlichkeit für sich hat, der Wirklichkeit zu entsprechen (BGE 117 V 261 E. 3b in fine S. 264 mit Hinweisen).
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin schloss in ihrem Einspracheentscheid vom 23. März 2005 zwar nicht aus, dass die heutige Beschwerdegegnerin I anlässlich ihres Sturzes auf einer Treppe eine Commotio cerebri erlitten und sich in der Folge eine zervicozephale Problematik entwickelt hat. Sie ging jedoch davon aus, dass die somatischen Beschwerden schon in den ersten drei Monaten nach dem Unfallereignis von der psychischen Entwicklung in den Hintergrund gedrängt worden seien. Die Prüfung der Adäquanzfrage nahm sie angesichts der Dominanz des psychischen Beschwerdebildes - ohne abschliessende Beantwortung der Frage nach der natürlichen Kausalität - nach den für rein psychische Gesundheitsschäden geltenden Kriterien vor, wie sie in BGE 115 V 133 umschrieben sind. Dabei gelangte sie zunächst zum Schluss, dass die Adäquanz schon deshalb ohne weiteres zu verneinen sei, weil lediglich eine leichter Unfall vorliege, prüfte dann aber dennoch die Adäquanzfrage auch noch für den Fall, dass ein mittelschweres, aber im Grenzbereich zu den leichteren Fällen liegendes Ereignis angenommen werden könnte. Auch unter dieser Voraussetzung erachtete sie die Adäquanz als nicht gegeben, weil von den in die Prüfung mit einzubeziehenden weiteren objektiv fassbaren Kriterien, welche mit dem Unfall unmittelbar in Zusammenhang stehen oder als Folgen davon erscheinen, kein einziges erfüllt sei.
3.2 Das kantonale Gericht nahm demgegenüber eine differenziertere Betrachtung der einzelnen gesundheitlichen Beeinträchtigungen vor.
3.2.1 In einem ersten Schritt setzte es sich mit dem psychischen Aspekt des Beschwerdebildes auseinander. Dabei befand es, eine abschliessende Prüfung der natürlichen Unfallkausalität des psychischen Leidensbildes, das als posttraumatische Belastungsstörung interpretierte schwere Depressions- und Angstsymptomatik mit teilweise wahnhaften Zügen umschrieben wird, erübrige sich, weil jedenfalls die adäquate Kausalität des Sturzes auf einer Treppe für die doch schweren psychischen Symptome selbst dann verneint werden müsse, wenn man das versicherte Ereignis als mittelschwer, an der Grenze zu den leichten Unfällen qualifizieren wollte; die verschiedenen von der Rechtsprechung aufgestellten Adäquanzkriterien seien - wie im angefochtenen Einspracheentscheid eingehend ausgeführt - weder in gehäufter Form gegeben noch sei eines davon in besonders ausgeprägter Weise erfüllt. Damit gelangte die Vorinstanz zum Schluss, die rein psychischen Symptome führten nicht zu einer Leistungspflicht des Unfallversicherers.
3.2.2 Weiter erwog das kantonale Gericht, auch nach dem 17. Oktober 2002 hätten somatische Befunde vorgelegen, welche sich von der psychischen Problematik klar abgrenzen liessen und insofern bei der Beurteilung der Unfallkausalität gesondert zu betrachten seien. Im Einzelnen nannte es - als direkte oder indirekte Folgen der am 3. Juli 2002 erlittenen Wirbelsäulenkontusion - einen deutlichen Muskelhartspann mit Myogelosen im Nacken- und Schultermuskulaturbereich, lumbale Schmerzen, welche durch eine muskuläre Verkürzung infolge Schonhaltung bewirkt würden, sowie Steiss- und Sitzbeinschmerzen. Die Vorinstanz ging davon aus, dass das Unfallereignis vom 3. Juli 2002 für diese somatischen Beschwerden natürlich und adäquat kausal sei, sodass der Unfallversicherer auf jeden Fall auch für die Zeit nach dem 17. Oktober 2002 für die Kosten der ärztlich empfohlenen, auf die Behandlung rein somatischer Befunde abzielenden Physiotherapie aufzukommen habe.
3.2.3 Was die nach der Entlassung aus dem nach dem Unfall vom 3. Juli 2002 notfallmässig angetretenen Spitalaufenthalt persistierenden Kopf- und Nackenschmerzen, die in der Folge aufgetretenen Schwindelgefühle und Konzentrationsstörungen sowie die von der behandelnden Psychotherapeutin Dr. med. S._ erwähnte enorme Müdigkeit und Erschöpfung, die Übelkeit, die gedrückte Stimmungslage sowie die Lärmempfindlichkeit und innere Unruhe anbelangt, warf das Gericht die Frage auf, ob dieser vielfältige, an das für ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule typische Beschwerdebild erinnernde Symptomenkomplex als - im Sinne der natürlichen Kausalität - direkte Folge der erlittenen Commotio cerebri anzusehen sei. Da bei der gegenwärtigen Aktenlage eine zufriedenstellende Anwort nicht möglich sei, erachtete das Gericht zusätzliche fachärztliche Untersuchungen mit dem Ziel einer genaueren diagnostischen Zuordnung der vorhandenen Symptome als unumgänglich. Zu deren Veranlassung wies es die Sache an den Unfallversicherer zurück.
3.2.4 Abschliessend äusserte sich das kantonale Gericht zum Zeitpunkt, in welchem eine Adäquanzprüfung vorgenommen werden dürfe, und gelangte auch diesbezüglich zum Schluss, für eine zuverlässige Beantwortung der Frage nach der Zulässigkeit der streitigen Leistungseinstellung seien weitere ärztliche Auskünfte einzuholen. Zu bedenken gab es, dass die verfügte und im Einspracheverfahren bestätigte Leistungseinstellung bereits drei Monate nach dem Unfall angesichts der in solchen Fällen üblichen Behandlungsdauer als eher zu knapp bemessen erscheine.
4. Über den genauen Geschehensablauf anlässlich des Sturzes auf einer Treppe am 3. Juli 2002 ist nichts Genaueres bekannt, weil die Versicherte im damaligen Zeitpunkt offenbar alleine war, sodass keine direkten Zeugen existieren, welche ihre Angaben bestätigen könnten. Den Schilderungen der heutigen Beschwerdegegnerin I zufolge war sie nach ihrem Sturz kurz bewusstlos und konnte sich später nicht mehr an den Vorfall, insbesondere den eigentlichen Sturzmechanismus, erinnern. Ihr Unfallversicherer, die heutige Beschwerdeführerin, kam für die Kosten des Transportes mit der Ambulanz ins Spital T._ auf und beglich den dort in Rechnung gestellten Betrag für den vom 3. bis am 5. Juli 2002 dauernden Spitalaufenthalt. Anschliessend war sie auch bereit, die Kosten für die weitere ärztliche Betreuung durch Frau Dr. med. L._ zu übernehmen. Erst ab dem 17. Oktober 2002, dem Tag des erneuten Eintritts ins Spital T._, wollte die Beschwerdeführerin keine weiteren Leistungen mehr erbringen. Diese Spitaleinweisung erfolgte zur genaueren Abklärung (rheumatologisch, neurologisch und psychiatrisch) und zwecks stationärer Durchführung einer Physiotherapie. Auf Grund der Feststellungen im Rahmen eines psychiatrischen Konsiliums kam es - unerwartet - zu einer sofortigen Verlegung in die psychiatrische Klinik G._, wo eine Anpassungsstörung mit depressiver Reaktion und Suizidalität diagnostiziert wurde. Als Verdachtsdiagnose nannten die Ärzte zudem eine beginnende posttraumatische Belastungsstörung nach Arbeitsunfall und belastender Vorgeschichte.
4.1 Während die Beschwerdeführerin die natürliche Unfallkausalität der noch vorhandenen Beschwerden in ihrer Verfügung vom 21. September 2004 ausdrücklich verneinte, liess sie die Frage nach der natürlichen Kausalität der im Vordergrund stehenden psychischen Beeinträchtigung im Einspracheentscheid vom 23. März 2005 offen, weil sie zum Schluss gelangt war, dass insoweit zumindest keine adäquate Kausalität gegeben sei. Auch die Vorinstanz gelangte zur Auffassung, die Leistungspflicht des Unfallversicherers falle mangels adäquaten Kausalzusammenhanges zwischen versichertem Unfallereignis und psychischem Beschwerdebild dahin, weshalb auch sie diesbezüglich von einer Prüfung der natürlichen Kausalität absah.
4.1.1 Bis zur Einweisung in die psychiatrische Klinik G._ war in den ärztlichen Berichten nie von einem Leiden psychischer Art die Rede. Die Leistungen nach dem Vorfall vom 3. Juli 2002 wurden ausschliesslich auf Grund somatischer Befunde erbracht. Erst die psychiatrische Exploration durch Dr. med. R._ im Spital T._ mit der anschliessenden Einweisung in die psychiatrische Klinik G._ förderte ein psychisches Beschwerdebild zu Tage, das von den Ärzten als schwerwiegend eingestuft wurde. Diese Einschätzung bestätigte sich im Laufe der nachfolgenden psychotherapeutischen Behandlung durch Frau Dr. med. S._, welche auch in ihrem Bericht vom 19. April 2003 darauf hinwies, dass es sich "zur Zeit um eine schwere psychische Erkrankung" handle. Angesichts der näheren Umstände, unter welchen dieses psychische Beschwerdebild entdeckt wurde, und vor allem des Ausmasses dieser plötzlich bekannt gewordenen Beeinträchtigung ist verständlich, dass die Beschwerdeführerin nicht ohne weiteres bereit war, auch diese nunmehr zusätzliche psychische Behinderung als Folge des Treppensturzes vom 3. Juli 2002 zu anerkennen. Für die Zeit bis zur streitigen Leistungseinstellung verfügte der Unfallversicherer zwar nur über Auskünfte der behandelnden Frau Dr. med. L._ und einzelne Berichte des Spitals T._, namentlich dessen Austrittsberichte vom 5. und 11. Juli 2002. Diese Unterlagen aber enthielten keinerlei Anhaltspunkte für ein problematisches oder gar behandlungsbedürftiges psychisches Geschehen, sodass sie auch keine Veranlassung boten, in dieser Richtung nähere Abklärungen in die Wege zu leiten. Auf einen ursächlichen Zusammenhang zwischen versichertem Unfallereignis und psychischer Störung liessen auch die nach der Leistungseinstellung auf den 17. Oktober 2002 hin noch eingeholten medizinischen Unterlagen nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit schliessen. Daran ändert nichts, dass die Ärzte der psychiatrische Klinik G._ in ihrem Austrittsbericht vom 4. November 2000 als denkbare Verdachtsdiagnose - unter gleichzeitigem Hinweis auf eine belastende Vorgeschichte - von einer posttraumatischen Belastungsstörung nach Arbeitsunfall sprechen, wird damit doch lediglich auf die zeitliche Abfolge hingewiesen, nicht aber eine Ursächlichkeit des Treppensturzes vom 3. Juli 2002 für das psychische Beschwerdebild schlüssig begründet. Unter diesen Umständen kann schon der natürliche Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und psychischer Beeinträchtigung nicht als erstellt gelten.
4.2 Damit aber hat das psychische Beschwerdebild bei der Prüfung der nach Ansicht des kantonalen Gerichts noch zusätzlicher Abklärungen bedürftigen Frage nach dem Zeitpunkt des Fallabschlusses ausser Acht zu bleiben. Mangels natürlicher Unfallkausalität ist in diesem Zusammenhang nie ein Leistungsanspruch entstanden, sodass es auch nicht zu einer Einstellung der Leistungen kommen kann. Zu prüfen ist demnach noch, ob die Einstellung der Leistungen bezüglich der übrigen Beschwerden bereits auf den 17. Oktober 2002 hin zulässig war.
Nicht gefolgt werden kann der Erwägung des kantonalen Gerichts, wonach die relativ kurze Dauer von rund drei Monaten seit dem versicherten Ereignis bis zur Leistungseinstellung als zu knapp bemessen erscheine, um die Adäquanzprüfung vornehmen zu können. In BGE 134 V 109 E. 3.2 S. 113 hat das Bundesgericht klargestellt, dass nicht danach zu fragen ist, in welchem Zeitpunkt die Adäquanzprüfung vorgenommen werden darf, sondern wann der Unfallversicherer einen Fall abzuschliessen hat. Im Zeitpunkt, auf welchen hin die Beschwerdeführerin ihre Leistungen einstellte (17. Oktober 2002), standen ausser einer therapeutischen Behandlung des - nicht zu Lasten der Unfallversicherung gehenden - psychischen Beschwerdebildes keine weiteren medizinischen Massnahmen zur Diskussion. Die bisherigen Erfahrungen hatten gezeigt, dass die ärztlicherseits im Hinblick auf die Schmerzproblematik empfohlene Physiotherapie vor einer erfolgreichen Psychotherapie gar nicht durchführbar war. Abgesehen davon ist einem Bericht der Frau Dr. med. L._ vom 30. August 2004 zu entnehmen, dass prognostisch nicht mit einer Heilung gerechnet werden könne, sondern "bestenfalls eine Stabilisierung über Jahre" zu erwarten sei. Auch Frau Dr. med. S._ hatte bereits in ihrer Stellungnahme vom 19. April 2003 erklärt, eine psychotherapeutische Behandlung sei notwendig, um eine wesentliche Verschlechterung des Gesundheitszustandes zu vermeiden. Selbst die vor einer allfälligen physiotherapeutischen Vorkehr in erster Linie durchzuführende Psychotherapie war demnach nicht auf eine namhafte Verbesserung des Gesundheitszustandes mit entsprechender Auswirkung auf die erwerbliche Leistungsfähigkeit ausgerichtet. Eine physiotherapeutische Massnahme kam nicht mehr in Frage, nachdem sich eine solche wegen der primär anzugehenden psychischen Problematik als nicht durchführbar erwiesen hatte. Einem Fallabschluss auf den 17. Oktober 2002 hin stand daher nichts im Wege.
4.3 Das kantonale Gericht hat das gesamte Beschwerdebild in drei voneinander abgrenzbare Teilbereiche aufgeteilt. Nebst der psychischen Symptomatik unterzog sie die Leistungspflicht des Unfallversicherers im Zusammenhang mit Nacken- und Kreuzschmerzen einerseits und mit eventuellen Folgen der diagnostizierten und von ihr als leichtes Schädel-Hirntrauma qualifizierten Commotio cerebri andererseits je einer gesonderten Prüfung. Im Sinne des in vorstehender E. 4.1 Gesagten, lässt sich gegen die Abgrenzung des psychischen Leidensbildes gegenüber den Beschwerden eher somatischer Natur entgegen der Argumentation in der Beschwerdeschrift zumindest im Ergebnis nichts einwenden. Ob eine Aufteilung des rein körperlichen Beschwerdebildes in Befunde, die sich eher mit der diagnostizierten Wirbelsäulenkontusion erklären lassen, und solche, die allenfalls auf ein leichtes Schädel-Hirntrauma zurückzuführen sind, rechtfertigt, kann letztlich dahingestellt bleiben (vgl. nachstehende E. 4.3.2 in fine). Ebenso bedarf die Frage, ob das vielschichtige Beschwerdebild vorliegt, das nach einem Schleudertrauma der Halswirbelsäule, einer diesem äquivalenten Verletzung oder einem Schädel-Hirntrauma als "typisch" bezeichnet wird, keiner abschliessenden Klärung. Sofern keine organisch objektivierbaren Befunde gegeben sind, wäre Letzteres unabdingbare Voraussetzung für eine allfällige Bejahung des Leistungspflicht des Unfallversicherers. Nur wenn ein solches typisches Beschwerdebild überhaupt gegeben ist, hat bei Fehlen objektivierbarer organischer Befunde eine Prüfung der für die Leistungspflicht der Unfallversicherers ausschlaggebenden Adäquanzfrage nach den dafür in BGE 117 V 359 entwickelten und in BGE 134 V 109 im Wesentlichen bestätigten Grundsätzen zu erfolgen.
4.3.1 Die Vorinstanz ist offenbar der Ansicht, bei dem im Bericht des Spitals T._ vom 30. Oktober 2002 erwähnten Muskelhartspann mit Myogelosen im Nacken- und Schultermuskulaturbereich und den von Frau Dr. med. L._ am 15. Juli 2003 gegenüber einer Rechtsschutzversicherung genannten lumbalen Schmerzen, welche durch eine - nicht genauer lokalisierte - muskuläre Verkürzung infolge Schonhaltung bewirkt werden sollen, sowie den Steiss- und Sitzbeinschmerzen handle es sich um organisch objektivierte Befunde, welche auf den Treppensturz vom 3. Juli 2002 zurückzuführen seien. Nur so lässt sich erklären, wie sie zum Schluss gelangen konnte, es sei "ohne weiteres" davon auszugehen, dass das Unfallereignis vom 3. Juli 2002 für diese somatischen Beschwerden natürlich und adäquat kausal war. Nur bei organisch klar ausgewiesenen Unfallfolgen kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Von solchen klar ausgewiesenen Unfallfolgen kann bei den von der Vorinstanz angeführten ärztlichen Feststellungen indessen nicht die Rede sein. Abgesehen davon, dass der Zusammenhang mit dem Treppensturz vom 3. Juli 2002 nicht näher belegt wird, ist der klinisch festgestellte Muskelhartspann mit Myogelosen als Teil des vorhandenen Schmerzsyndroms zu sehen und kann nicht im Sinne eines organischen Befundes als körperliche Ursache desselben gelten (vgl. Urteile 8C_220/2007 vom 4. Februar 2008 E. 3 und U 13/07 vom 7. Februar 2008 E. 3.3). Auch erklärt eine infolge einer Schonhaltung eingetretene Muskelverkürzung die geklagten Schmerzen ebenso wenig wie den relativ häufig auftretenden Schwindel. Nicht ersichtlich ist schliesslich, inwiefern Steiss- und Sitzbeinbeschwerden als solche organisch nachgewiesene Befunde darstellen sollten.
4.3.2 Für die geklagten Beschwerden lässt sich keine organisch objektivierbare Erklärung ausmachen. Anzeichen für ein nach Schleudertraumen der Halswirbelsäule, äquivalenten Verletzungen oder Schädel-Hirntraumen im Sinne der Rechtsprechung typisches Beschwerdebild liegen zwar vor, belegen aber, wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat, das Vorliegen eines solchen nicht mit hinreichender Zuverlässigkeit. Dennoch können die von der Vorinstanz verlangten zusätzlichen Abklärungen unterbleiben. Sollten solche die Annahme des typischen Beschwerdebildes belegen, wäre jedenfalls die Adäquanz der noch vorhandenen Beschwerden zu verneinen. Es kann diesbezüglich weitestgehend auf die überzeugenden Ausführungen der Beschwerdeführerin in ihrem Einspracheentscheid vom 23. März 2005 verwiesen werden, sind doch nach dem in E. 4.1.1 hievor Gesagten auch hier auf die psychische Beeinträchtigung zurückzuführende Faktoren auszuklammern. An der dortigen Beurteilung ändert die Modifizierung einzelner Adäquanzkriterien in BGE 134 V 109 E. 10.2 S. 127 ff. und E. 10.3 S. 130) im Ergebnis nichts. Für die Beantwortung der Adäquanzfrage gelten im Übrigen unabhängig davon, ob das typische Beschwerdebild einem Schleudertrauma der Halswirbelsäule, einer äquivalenten Verletzung oder einem Schädel-Hirntrauma zuzuordnen ist, die gleichen Grundsätze und insbesondere die gleichen Einzelkriterien, weshalb insofern von einer abschliessenden Klärung abgesehen werden kann (vgl. E. 4.3.1 hievor).
5. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten von den Bescherdegegnerinnen als unterliegenden Parteien zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 30. April 2007 wird aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden je zur Hälfte den Beschwerdegegnerinnen auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl