Faits:
A. M._ a travaillé du 24 septembre 2002 au 30 novembre 2005 au service de la société X._ S.A. à raison d'un horaire de travail de 50 %.
Le 17 août 2004, elle a requis des prestations de l'assurance-chômage. Elle désirait trouver une activité avec un horaire de travail de 80 % afin de compenser la perte économique résultant de la réduction de la contribution d'entretien versée par son ex-mari. Un délai-cadre d'indemnisation a alors été ouvert pour la période du 17 août 2004 au 16 août 2006 et l'assurée a bénéficié de la compensation de la perte de gain subie après déduction du gain intermédiaire réalisé au service de la société X._ S.A.
Dans une attestation de gain intermédiaire concernant le mois de juin 2005, l'employeur a indiqué que l'assurée avait reçu une gratification d'un montant de 1'020 fr. pour l'année 2004. Aussi la Caisse cantonale de chômage du Canton de Vaud (ci-après: la caisse) a-t-elle effectué un nouveau calcul des prestations dues. Par décision du 6 juillet 2005, confirmée le 22 mai 2006, elle a alors réclamé à l'intéressée la restitution d'un montant de 2'914 fr. 90, somme représentant des prestations perçues en trop durant la période du mois d'octobre 2004 au mois de mai 2005. L'assurée ayant recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal administratif du Canton de Vaud, la caisse a rendu une décision sur opposition rectificative le 30 août 2006, par laquelle elle a annulé la décision sur opposition attaquée afin d'effectuer un nouveau calcul des prestations perçues en trop durant la période du mois de janvier au mois de mai 2005, étant donné que l'intéressée n'avait pas bénéficié en 2005 d'une gratification comme en 2004. Par décision du 1er septembre 2006, le juge instructeur de la Chambre des prestations sociales du tribunal administratif a alors rayé la cause du rôle.
Par décision du 19 octobre 2006, confirmée sur opposition le 21 mars 2007, la caisse a annulé la décision du 6 juillet 2005 et réclamé à l'assurée la restitution d'un montant de 517 fr. 40, somme représentant des prestations perçues en trop du mois d'octobre 2004 au mois de mai 2005.
B. L'assurée a recouru contre la décision sur opposition. Statuant le 12 novembre 2008, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud a réformé la décision sur opposition du 21 mars 2007 en ce sens que l'opposition est admise et il a annulé la décision du 19 octobre 2006; il a renvoyé la cause à la caisse pour qu'elle statue à nouveau, conformément au considérant 5 de son jugement, sur le montant des indemnités compensatoires dues à l'assurée pour la période du mois d'août 2005 (recte: 2004) au mois de mai 2005, ainsi que sur le remboursement des prestations perçues en trop. La juridiction cantonale a considéré, en résumé, que la perte de gain déterminant le montant de l'indemnité compensatoire devait être calculée sur la base d'un gain assuré invariable de 3'343 fr. et non pas compte tenu d'un gain déterminant variant chaque mois en fonction du nombre de jours indemnisables pour le mois en question.
C. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (ci-après: le seco) interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement cantonal.
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que la caisse s'en remet à justice. De son côté, la juridiction cantonale a présenté des déterminations aux termes desquelles elle propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
Dans un arrêt ATF 133 V 477, le Tribunal fédéral a précisé les notions de décisions finales, partielles, préjudicielles et incidentes au sens des art. 90 à 93 LTF. Il a considéré qu'un jugement de renvoi ne met pas fin à la procédure, de sorte qu'il ne constitue pas une décision finale au sens de la LTF. Les jugements de renvoi qui tranchent une question de droit matériel ne sont pas non plus des décisions partielles au sens de l'art. 91 let. a LTF car il ne s'agit pas de décisions qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause. Ils constituent bien plutôt des décisions incidentes qui peuvent être attaquées séparément aux conditions prévues à l'art. 93 al. 1 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.2 p. 481 et les références). En outre, le Tribunal fédéral a considéré que l'assureur auquel la cause a été renvoyée par la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision ne subit pas un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Enfin, la règle prévue à l'art. 93 al. 1 let. b LTF - dont les conditions peuvent être examinées librement par l'autorité de dernière instance - ne justifie en principe pas non plus que l'on entre en matière sur des recours dirigés contre des jugements de renvoi par lesquels la juridiction cantonale a ordonné uniquement un complément d'instruction. En effet, les parties ne perdent pas un droit même si elles n'attaquent pas un jugement incident, dès lors qu'il leur reste la possibilité de recourir contre la décision finale dans la mesure où le jugement en question influe sur le contenu de celle-ci (art. 93 al. 3 LTF). Aussi le recours séparé contre une décision incidente pour des motifs d'économie de procédure reste-t-il une exception qui doit être appliquée de manière restrictive (arrêts 8C_969/2008 du 2 mars 2009 consid. 1.2 et 9C_446/2007 du 5 décembre 2007 consid. 3; sur ces questions, cf. Hansjörg Seiler, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in : Schaffhauser/ Schlauri [éd.], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, St-Gall 2009, p. 9 ss).
1.2 Par sa décision sur opposition du 21 mars 2007, la caisse a réclamé à l'assurée la restitution d'un montant de 517 fr. 40, somme représentant des prestations perçues en trop du mois d'octobre 2004 au mois de mai 2005. Par le jugement attaqué du 12 novembre 2008, le tribunal cantonal a «réformé» cette décision sur opposition en ce sens que l'opposition de l'intéressée du 21 novembre 2006 a été admise et il a renvoyé la cause à la caisse pour qu'elle effectue un nouveau calcul du montant des prestations à restituer. Pour ce faire, elle devra se conformer au considérant 5 du jugement, selon lequel la perte de gain déterminant le montant de l'indemnité compensatoire (et, par conséquent, le montant des prestations perçues en trop) doit être calculée sur la base d'un gain assuré invariable de 3'343 fr. en lieu et place d'un gain déterminant variant chaque mois en fonction du nombre de jours indemnisables pour le mois en question.
Ce jugement est une décision finale au sens de l'art. 90 LTF. Certes, la juridiction cantonale renvoie la cause à la caisse pour nouveau calcul du montant des prestations à restituer. Cependant, ce renvoi ne laisse aucune latitude à la caisse mais concerne un simple calcul du montant en question. En effet, il incombe uniquement à l'administration de remplacer les montants retenus au titre du gain déterminant (cf. le tableau figurant sous lettre D de l'état de fait du jugement cantonal) situés entre 1'694 fr. 61 pour le mois d'août 2004 (pour 11 jours indemnisables) et 3'543 fr. 27 pour les mois de décembre 2004 et mars 2005 (pour 23 jours indemnisables) par le montant unitaire de 3'343 fr.
Le recours du seco est ainsi recevable.
2. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans l'établissement de celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
3. Par la décision sur opposition litigieuse de restitution d'indemnités de chômage perçues en trop, la caisse est revenue sur l'octroi de prestations qui avaient été accordées sans avoir fait l'objet d'une décision formelle (décision implicite prise dans le cadre d'une procédure simplifiée au sens de l'art. 51 al.1 LPGA; cf. ATF 132 V 412 consid. 5 p. 417). Elle s'est fondée pour cela sur le fait, révélé par l'attestation de gain intermédiaire relatif au mois de juin 2005, reçue le 27 de ce mois-là, selon laquelle l'assurée avait reçu de son employeur une gratification d'un montant de 1'020 fr. pour l'année 2004. Dans la mesure où elle avait pour effet de modifier tant le gain intermédiaire (art. 24 LACI) réalisé cette année-là que le gain assuré déterminant pour le délai-cadre d'indemnisation (art. 23 LACI et art. 37 OACI), cette circonstance constituait indéniablement un fait nouveau justifiant la révision des décisions matérielles d'octroi des prestations (art. 53 al. 1 LPGA) et, partant, la restitution des prestations perçues en trop (art. 25 LPGA en relation avec l'art. 95 al. 1 LACI; cf. ATF 130 V 318 consid. 5.2. p. 319 s. et les références de jurisprudence et de doctrine). Du reste, le principe de la restitution des prestations perçues en trop ne fait pas l'objet d'une controverse entre les parties, pas plus d'ailleurs que le montant du gain assuré, à savoir 3'343 fr.
4. Ce qui, en revanche, est litigieux, c'est la façon de prendre en compte ce montant pour calculer l'indemnité compensatoire allouée à un assuré qui obtient un gain intermédiaire au sens de l'art. 24 LACI.
4.1 Selon l'art. 24 al. 1 LACI, est réputé intermédiaire tout gain que le chômeur retire d'une activité salariée ou indépendante durant une période de contrôle. L'assuré qui perçoit un gain intermédiaire a droit à la compensation de la perte de gain. Est réputée perte de gain la différence entre le gain assuré («versicherter Verdienst»); («guadagno assicurato») et le gain intermédiaire, ce dernier devant être conforme, pour le travail effectué, aux usages professionnels et locaux (art. 24 al. 3 LACI). Lorsque l'assuré réalise un revenu inférieur à son indemnité de chômage, il a droit à des indemnités compensatoires pendant le délai-cadre d'indemnisation (art. 41a al. 1 OACI).
Aux termes de l'art. 23 al. 1 LACI, est réputé gain assuré le salaire déterminant au sens de la législation sur l'AVS qui est obtenu normalement au cours d'un ou de plusieurs rapports de travail durant une période de référence, y compris les allocations régulièrement versées et convenues contractuellement, dans la mesure où elles ne sont pas des indemnités pour inconvénients liés à l'exécution du travail (première phrase). Sous le titre «conversion du gain mensuel en gain journalier», l'art. 40a OACI dispose que le gain journalier se détermine en divisant le gain mensuel par 21,7.
4.2 Dans sa décision sur opposition litigieuse, la caisse a fixé le gain déterminant pour calculer l'indemnité compensatoire en divisant le gain assuré par 21,7 et en multipliant le quotient ainsi obtenu par le nombre de jours contrôlés pour le mois en cause. Par exemple, le gain déterminant pour le mois de septembre 2004 a été fixé à 3'050 fr. 29 (3'343 fr. : 21,7 x 19,8) et celui du mois de mars 2005 à 3'543 fr. 27 (3'343 fr. : 21,7 x 23). Les montants ainsi fixés varient donc entre 1'694 fr. 61 (août 2004) et 3'543 fr. 27 (décembre 2004 et mars 2005). Ce mode de calcul est fondé sur la circulaire relative à l'indemnité de chômage établie par le seco, dans sa teneur en vigueur depuis le 1er janvier 2007 (ci-après: IC 2007), en particulier le ch. m. C 135.
La juridiction cantonale a considéré que le mode de calcul de la caisse ne trouve appui ni dans la loi ni dans la jurisprudence. Selon les premiers juges, en recalculant pour chaque période de contrôle un «gain assuré déterminant mensuel» qui varie en fonction du nombre de jours indemnisables durant le mois en question, mais en ne procédant pas de la même manière pour le gain intermédiaire, la caisse met en relation des grandeurs qui ne sont pas comparables et introduit ainsi dans ses calculs des distorsions, certes minimes, mais injustifiables. Ce mode de calcul confond l'application de l'art. 41a OACI, où le revenu réalisé durant la période de contrôle doit effectivement être comparé aux indemnités journalières qui auraient été normalement obtenues sans ce gain, et l'application de l'art. 24 al. 3 LACI, où c'est par référence au gain assuré qu'est calculée la perte de gain qui sert de base au calcul de l'indemnité compensatoire. A cet égard, la juridiction cantonale se réfère à l'avis et à un exemple de calcul donnés par Boris Rubin, Assurance-chômage, 2° éd. 2006, p. 330 s.
De son côté, le seco soutient que contrairement au point de vue de la juridiction cantonale, le mode de calcul de la caisse repose bel et bien sur un gain assuré invariable. En revanche, comme elle doit avoir lieu sur la base de l'art. 21 LACI, c'est-à-dire en fonction du nombre de jours indemnisables par mois, l'indemnisation varie de mois en mois. Cette disposition légale implique en effet une méthode de calcul de l'indemnisation applicable à l'indemnité indépendamment du fait de savoir si l'assuré obtient ou non un gain intermédiaire.
De son côté, le seco soutient que contrairement au point de vue de la juridiction cantonale, le mode de calcul de la caisse repose bel et bien sur un gain assuré invariable. En revanche, comme elle doit avoir lieu sur la base de l'art. 21 LACI, c'est-à-dire en fonction du nombre de jours indemnisables par mois, l'indemnisation varie de mois en mois. Cette disposition légale implique en effet une méthode de calcul de l'indemnisation applicable à l'indemnité indépendamment du fait de savoir si l'assuré obtient ou non un gain intermédiaire.
4.3 4.3.1 La différence entre les deux méthodes de calcul de l'indemnisation réside dans la fixation de la perte de gain. Pour la juridiction cantonale, celle-ci correspond à la différence entre le gain assuré mensuel et le gain intermédiaire obtenu durant un mois. Pour le mois de septembre 2004, par exemple, la perte de gain est égale à 755 fr. 50 (3'343 fr. - 2'587 fr. 50); pour le mois de mars 2005, elle est de 710 fr. 50 (3'343 fr. - 2'632 fr. 50).
En revanche, selon le seco et la caisse, la perte de gain correspond à la différence entre le «gain déterminant» et le gain intermédiaire, le gain déterminant représentant le gain assuré journalier (i.c. 3'343 fr. : 21,7), multiplié par le nombre de jours contrôlés au cours d'un mois. Pour le mois de septembre 2004, par exemple, la perte de gain est égale à 462 fr. 79 ([3'343 fr. : 21,7 x 19,8] - 2'587 fr. 50); pour le mois de mars 2005, elle est de 910 fr. 77 ([3'343 fr. : 21,7 x 23] - 2'632. fr. 50).
Cela étant, on constate que ni l'une ni l'autre des deux méthodes est plus favorable à l'assurée; celle du seco lui est plus favorable pour les mois durant lesquels le nombre de jours contrôlés est supérieur à 21,7; celle de la juridiction cantonale lui est plus avantageuse lorsque ce nombre est inférieur à 21,7. Lorsque le nombre de jours contrôlés est égal à 21,7, les deux méthodes aboutissent au même résultat.
4.3.2 Dans un arrêt ATF 125 V 480 consid. 4c/aa p. 488, le Tribunal fédéral des assurances a précisé le mode de fixation du gain assuré déterminant pour un deuxième délai-cadre d'indemnisation lorsque l'assuré a été précédemment au bénéfice d'une indemnité compensatoire, pour le calcul de laquelle il a posé la formule suivante:
(GA - GI) x t x nj/jc
GA = gain assuré dans le premier (ou le précédent) délai-cadre d'indemnisation
GI = gain intermédiaire obtenu au cours de la période de contrôle
t = taux d'indemnisation (art. 22 LACI)
nj = nombre de jours de travail effectifs au cours de la période de contrôle
jc = jours de contrôle au cours de la période de contrôle
Ce mode de calcul a été repris dans des arrêts rendus postérieurement (arrêts C 82/03 du 12 octobre 2004 consid. 2.2.2.; C 4/02 du 15 avril 2002 consid. 3b/bb; C 15/01 du 28 août 2001 consid. 2; C 403/97 du 7 juillet 1999). Il repose sur la teneur - valable depuis le 1er janvier 1996 et en vigueur jusqu'au 30 juin 2003 - de l'art. 24 al. 2 LACI, selon lequel l'assuré avait droit à une «compensation de la perte de gain pour les jours où il réalise un gain intermédiaire» («des Verdienstausfalls für Tage, ...»; «perdita di guadagno per i giorni...»). Cette formulation signifiait que la perte de gain devait être indemnisée compte tenu du nombre de jours (contrôlés) où l'assuré avait travaillé en relation avec le nombre de jours de contrôle (ATF 125 V 480 consid. 4c/aa p. 487). Comme cette réglementation conduisait à des résultats insatisfaisants et à des inégalités de traitement que la jurisprudence précitée du Tribunal fédéral des assurances n'avait pas pu éliminer entièrement (cf. Message du Conseil fédéral du 28 février 2001 concernant la révision de la loi sur l'assurance-chômage, FF 2001 2160 s. ch. 2.1), la référence aux jours de travail effectifs a été abandonnée et l'art. 24 al. 2 LACI supprimé par la novelle du 22 mars 2002 (RO 2003 1733).
Si cette modification légale implique que la perte de gain ne doit plus être indemnisée en fonction du nombre de jours où l'assuré a travaillé, il n'en demeure pas moins que le gain assuré doit toujours être converti en gain journalier, lequel est ensuite multiplié par le nombre de jours de contrôle. En effet, dans l'arrêt déjà cité C 82/03 du 12 octobre 2004, le Tribunal fédéral des assurances a déclaré compatible avec la loi et la jurisprudence ci-dessus exposée une méthode de calcul du seco - exposée au ch. m. C 49 de la circulaire relative à l'indemnité de chômage et correspondant au ch. m. C 135 IC 2007 - , reposant sur le montant du gain journalier (GA/21,7) conformément à l'art. 40a OACI. Cette méthode implique que le gain assuré est multiplié par le facteur «jc / 21,7». En d'autres termes, le calcul de la perte de gain est effectué selon la formule «GA x jc / 21,7 - GI», ce qui correspond au mode de calcul appliqué en l'occurrence par la caisse.
Cela étant, les motifs pour lesquels la juridiction cantonale a réformé la décision sur opposition du 21 mars 2007 et renvoyé la cause à la caisse pour nouvelle décision ne sont pas fondés. Certes, la méthode de calcul de la perte de gain prônée par la juridiction cantonale et celle de l'administration n'aboutissent pas à des résultats très différents lorsqu'un assuré perçoit des indemnités compensatoires durant une assez longue période. Il n'en demeure pas moins que sur de courtes périodes de chômage, les différences résultant du mode de calcul peuvent être très importantes (cf. consid. 4.3.1). Par ailleurs, la méthode de l'administration est plus conforme au système de l'indemnisation du chômage fondé sur cinq indemnités journalières par semaine (cf. art. 21 LACI), ce qui correspond aux jours pour lesquels les prescriptions de contrôle peuvent être remplies (THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in : Schweizeriches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], 2° éd. 2007, p. 2282 n. 345).
4.4 Vu ce qui précède, la décision sur opposition de la caisse du 21 mars 2007 n'est pas critiquable et le recours se révèle bien fondé.
5. L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 12 novembre 2008 est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lucerne, le 8 septembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd