Faits:
A. A.a Dans le cadre de la procédure de divorce qui l'oppose à Dame X._, X._ a sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire le 30 juillet 2009 et la désignation de Me Kathrin Gruber, avocate à Vevey, en qualité de défenseur d'office.
Par ordonnance du 31 juillet 2009, le Président du Tribunal civil de la Glâne a rejeté cette requête, pour le motif que le défenseur d'office est désigné d'ordinaire parmi les avocats inscrits au registre ou au tableau fribourgeois. Aucun recours n'a été interjeté contre cette décision et Me Kathrin Gruber a continué à assister l'époux.
A.b Dans le cadre d'un recours contre une ordonnance de mesures provisionnelles rendue le 8 octobre 2009, l'époux a sollicité à nouveau, le 30 octobre 2009, le bénéfice de l'assistance judiciaire. Par ordonnance du 6 novembre 2009, le Président a rejeté cette requête.
A.c Par arrêt du 5 janvier 2010, la IIe Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a rejeté le recours déposé par l'époux contre cette décision.
B. L'époux interjette le 21 janvier 2010 un "recours" au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à sa réforme "en ce sens que l'assistance judiciaire complète lui est accordée dans le cadre de la procédure en divorce qui l'oppose à Dame X._ en ce sens qu'il est dispensé des frais judiciaires et mis au bénéfice d'un avocat d'office en la personne de Me Kathrin Gruber, avocate à Vevey; subsidiairement X._ est mis au bénéfice de l'assistance judiciaire partielle et dispensé des frais judiciaires, si le Tribunal fédéral devait admettre que c'est à juste titre que les autorités fribourgeoises ont refusé de désigner [Me Kathrin Gruber] comme avocate d'office". Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 29 al. 3 Cst. et d'une application arbitraire (art. 9 Cst.) des art. 8 et 3a de la loi fribourgeoise sur l'assistance judiciaire du 4 octobre 1999 (LAJ/FR; RSF 136.1).
Le Président du Tribunal civil de la Glâne s'est déterminé sur le recours par courrier du 5 février 2010. La IIe Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a indiqué, dans le délai qui lui a été imparti à cet effet, qu'elle n'avait pas d'observations à formuler.
Par ordonnance du 11 février 2010, l'effet suspensif a été octroyé au recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le refus de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente puisqu'elle est l'accessoire de la demande principale (art. 93 al. 1 LTF; arrêt 5A_496/2009 du 21 octobre 2009 consid. 1.1). De jurisprudence constante, une telle décision est susceptible de causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF; ATF 129 I 281 consid. 1.1 p. 283, 129 consid. 1.1 p. 131; 126 I 207 consid. 2a p. 210 ss).
1.2 Le recours contre une décision préjudicielle ou incidente est soumis à la même voie de droit que celle qui est ouverte contre la décision principale (arrêt 5A_496/2009 du 21 octobre 2009 consid. 1.2). En l'espèce, la décision attaquée se rapporte à une procédure de divorce, c'est-à-dire à une affaire civile non pécuniaire. Le recourant a qualité pour recourir, car il a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF). Le recours a par ailleurs été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme requise (art. 42 LTF) contre une décision prise par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF).
1.3 Le recours en matière civile peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), qui comprend les droits constitutionnels (ATF 133 III 446 consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2.3 p. 466).
Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral applique en principe le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Toutefois, si le recourant se plaint de la violation de droits fondamentaux ou de dispositions de droit cantonal, il doit satisfaire au principe d'allégation (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287), à savoir indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle ou légale a été violée et démontrer par une argumentation précise en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'examine en effet de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée. Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 585 consid. 4.1 p. 588, 589 consid. 2 p. 591).
1.4 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte, à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252), ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2. La cour cantonale a considéré que, selon l'art. 3a LAJ/FR, le défenseur d'office est désigné d'ordinaire parmi les avocats inscrits au registre ou au tableau fribourgeois. La constitutionnalité de cette norme cantonale a été admise par le Tribunal fédéral. En outre, l'introduction de la Loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (LLCA; RS 935.61) n'est d'aucun secours s'agissant de la désignation d'un défenseur d'office. Selon la jurisprudence, il n'existe aucun droit au libre choix de son avocat dans le cadre de l'assistance judiciaire et il n'y a pas de libre accès aux mandats officiels dans les autres cantons. En l'espèce, aucune circonstance spéciale ne justifie la désignation d'un avocat qui n'est pas inscrit au registre fribourgeois et le recourant ne le prétend pas.
3. Le recourant se plaint d'une violation des art. 29 al. 3 Cst. et d'une application arbitraire des art. 8 et 3a LAJ/FR.
3.1 Aux termes de l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite; elle a en outre droit à l'assistance gratuite d'un défenseur, dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert.
Selon l'art. 8 al. 1 LAJ/FR, suivant les circonstances, l'assistance judiciaire comprend, pour le bénéficiaire, la dispense totale ou partielle des frais judiciaires ou de faire des avances (a), la dispense totale ou partielle de fournir des sûretés (b) et, si la difficulté de l'affaire la rend nécessaire, la désignation d'un défenseur d'office et la prise en charge totale ou partielle par l'Etat des honoraires et débours de ce défenseur (c). Le défenseur d'office est désigné d'ordinaire parmi les avocats inscrits au registre ou au tableau fribourgeois; si les circonstances l'exigent, une personne inscrite au registre d'un autre canton peut être désignée (art. 3a LAJ/FR).
3.2 Selon la jurisprudence, il n'existe pas, dans le cadre de l'assistance judiciaire, un droit au libre choix de son mandataire (ATF 125 I 161 consid. 3b p. 164; 114 Ia 101 consid. 3 p. 104). En outre, le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de trancher que la réglementation en vigueur dans plusieurs cantons, selon laquelle peuvent seuls être désignés comme défenseurs d'office les avocats qui sont domiciliés dans le canton ou qui y exercent régulièrement leur profession, est en principe compatible avec l'art. 4 aCst (désormais art. 29 al. 3 Cst.; cf. ATF 125 I 161 consid. 3b p. 164 et l'arrêt cité). En effet, seuls les avocats du canton sont soumis à la surveillance générale et au pouvoir disciplinaire du canton, ainsi qu'à l'obligation d'accepter une défense d'office; de plus, ils ont une meilleure connaissance de la procédure cantonale que leurs confrères de l'extérieur; enfin, cette réglementation se justifie par des aspects financiers (étude de la procédure cantonale étrangère, frais de déplacements). Toutefois, dans certaines circonstances, le refus de désigner un avocat d'office hors du canton peut rendre illusoire ou très difficile la protection découlant de l'art. 4 aCst., en particulier lorsqu'un rapport de confiance particulier existe entre le plaideur et un avocat déterminé, qu'un avocat s'est déjà occupé des affaires du plaideur dans une procédure antérieure, ou que le plaideur ne connaît pas la langue du tribunal et celle du défenseur d'office qu'on lui désignerait et qu'il devrait de ce fait se sentir lésé dans la défense de ses droits. Encore faut-il toutefois que l'avocat de choix offre une garantie suffisante qu'il peut mener correctement la procédure et que son activité n'entraîne pas, pour le canton, des frais plus élevés (ATF 125 I 161 consid. 3b p. 163 s.; 113 Ia 69 consid. 5c p. 70 s.; 95 I 409 consid. 5 p. 411 s.; arrêt 2P.287/1997 du 25 novembre 1997, in SJ 1998 p. 189).
Dans un arrêt plus récent, le Tribunal fédéral a précisé que l'argument relatif à la meilleure connaissance de la procédure cantonale est pratiquement sans objet du fait de l'entrée en vigueur de la LLCA - et perdra au demeurant toute pertinence avec l'entrée en vigueur, prévue le 1er janvier 2011, du code de procédure civile fédéral du 19 décembre 2008 - et que celui des coûts n'est guère pertinent dans la mesure où un avocat domicilié dans son canton d'exercice peut être plus éloigné du tribunal qu'un avocat d'un canton voisin. Seuls les motifs relatifs à l'obligation d'accepter des mandats d'office et au pouvoir de surveillance et de discipline du canton restent ainsi pertinents (arrêt 5A_175/2008 du 8 juillet 2008 consid. 5.1).
3.3 Le recourant soutient que la loi fribourgeoise ne limiterait pas l'obligation d'accepter les mandats d'office aux avocats fribourgeois. En effet, elle prévoit à son art. 11, qu'est passible des sanctions disciplinaires prévues par la LLCA l'avocat désigné d'office qui refuse son ministère sans excuse légitime. Selon le recourant, il s'ensuit que, si l'autorité compétente est d'avis que les circonstances exigent la désignation d'un avocat d'office inscrit dans un autre canton (cf. art. 3a, 2e phrase, LAJ/FR), elle pourrait le désigner comme avocat d'office et ce dernier devrait accepter le mandat aux conditions de l'art. 11 LAJ/FR. Le monopole ne serait ainsi pas justifié dans le canton de Fribourg, du fait que tous les avocats suisses devraient accepter les mandats d'office selon la loi fribourgeoise et, par conséquent, pouvoir demander à être désignés d'office aux mêmes conditions qu'un avocat fribourgeois.
Le recourant fait ainsi une interprétation erronée de la LAJ/FR. Conformément à l'art. 12 let. g LLCA, l'avocat est tenu d'accepter les défenses d'office et les mandats d'assistance judiciaire dans le canton au registre duquel il est inscrit. On ne voit dès lors pas comment le canton de Fribourg pourrait obliger, sous menace des sanctions disciplinaires de la LLCA, un avocat non inscrit à son registre cantonal d'accepter un mandat d'office fribourgeois. Le fait que, si les circonstances l'exigent, une personne inscrite au registre d'un autre canton puisse être désignée n'y change rien.
3.4 Le recourant soutient ensuite que l'art. 3a LAJ/FR n'institue pas un monopole des mandats d'office en faveur des avocats inscrits au registre fribourgeois, mais prévoit que l'avocat d'office est "d'ordinaire" désigné parmi ceux-ci, admettant ainsi expressément la désignation d'une personne inscrite au registre d'un autre canton si les circonstances l'exigent. A cet égard, ce serait à tort que la cour cantonale a estimé que le recourant ne prétendait pas à une telle circonstance. Il soutient qu'il a toujours relevé, dans ses requêtes successives et dans son recours auprès de la cour cantonale, que cette circonstance serait réalisée en l'espèce, parce qu'il avait consulté son avocate vaudoise bien avant l'ouverture de la procédure en divorce dans le cadre de ses difficultés conjugales; en outre, il avait l'intention de déménager chez son amie à B._ et de déposer une demande en divorce sur sol vaudois, son épouse ayant toutefois pris les devants. Un lien de confiance spécial se serait ainsi instauré avec son mandataire qui justifierait qu'il ne soit pas contraint "de raconter une nouvelle fois son histoire à un autre conseil".
En l'espèce, il résulte de l'arrêt attaqué que le recourant avait sollicité une première fois le bénéfice de l'assistance judiciaire et la désignation de son avocate vaudoise comme conseil d'office le 31 juillet 2009, à savoir au moment de déposer sa réponse en divorce. Cette requête avait été rejetée déjà pour le motif que son mandataire n'était pas inscrit au registre fribourgeois; or, aucun recours n'avait été interjeté contre cette décision. En outre, la procédure de divorce et de mesures provisionnelles n'a pas été précédée de mesures protectrices de l'union conjugale, dans le cadre desquelles le recourant aurait déjà été assisté de Me Kathrin Gruber. Enfin, l'arrêt entrepris n'indique pas - sans que le recourant ne soutienne que les faits auraient été établis de manière manifestement incorrecte ou incomplète (cf. supra, consid. 1.4) - quand il a consulté son mandataire, ni ne constate sa volonté initiale d'ouvrir action dans le canton de Vaud. Dans ces circonstances, il n'est pas établi qu'un lien de confiance spécial se soit créé avec Me Kathrin Gruber avant le début de la procédure en divorce. Or, la désignation de son mandataire vaudois en qualité de conseil d'office lui avait été refusée dès ce moment-là. Le recourant ne peut dès lors se prévaloir, sans commettre un abus de droit, du fait qu'un lien de confiance se serait instauré par la suite, lequel justifierait que son conseil vaudois soit désigné d'office, alors qu'il savait cette désignation refusée. Partant, les juges précédents n'ont ni violé l'art. 29 al. 3 Cst., ni appliqué arbitrairement les dispositions cantonales sur l'assistance judiciaire en refusant de désigner Me Kathrin Gruber comme conseil d'office du recourant.
4. A titre subsidiaire, le recourant fait grief à la cour cantonale de n'avoir pas statué sur la dispense des frais judiciaires également requise, alors que celle-ci constitue le premier volet de l'assistance judiciaire.
A cet égard, c'est à tort que le Président du Tribunal civil de la Glâne soutient, dans ses déterminations, que le recours adressé par l'intéressé à la cour cantonale ne portait que sur le refus de désigner son conseil vaudois en qualité de défenseur d'office et non sur le rejet d'une requête d'assistance judiciaire "partielle" limitée à la dispense des frais judiciaires. Les conclusions du recourant tendaient, en effet, à ce que l'"assistance judiciaire complète" lui soit accordée et à ce que Me Kathrin Gruber lui soit désignée comme avocate d'office. Or, l'assistance judiciaire complète comprend en premier lieu la dispense des frais judiciaires et de leur avance (art. 8 al. 1 let. a LAJ/FR). Ainsi, l'intimé ne pouvait se dispenser de l'examen de l'octroi de la dispense des frais judiciaires, quand bien même il rejetait la requête tendant à la désignation de Me Gruber. Le recours est bien fondé sur ce point et il y a lieu de renvoyer la cause à la cour cantonale pour qu'elle examine cette question.
5. Vu ce qui précède, le recours est partiellement admis et la décision attaquée est annulée; la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle rende une nouvelle décision dans le sens des considérants. Compte tenu des revenus et charges du recourant tels que retenus par l'intimé dans sa décision sur mesures provisionnelles, celui-là apparaît indigent, de sorte que sa requête d'assistance judiciaire présentée devant la cour de céans doit être admise (art. 64 al. 1 LTF). Par conséquent, il ne sera pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF). Me Kathrin Gruber, avocate à Vevey, est désignée comme avocate d'office du recourant; il lui est alloué une indemnité de 500 fr. à titre d'honoraires (art. 64 al. 2 LTF), qui vient compléter les dépens réduits auxquels le recourant a droit, à charge du canton de Fribourg (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. La requête d'assistance judiciaire du recourant est admise.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Une indemnité de 1'000 fr., à payer au recourant à titre de dépens réduits, est mise à la charge du canton de Fribourg.
5. Me Kathrin Gruber est désignée en tant qu'avocate d'office du recourant pour la procédure devant le Tribunal fédéral et une indemnité de 500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, supportée par la caisse du Tribunal fédéral.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la IIe Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 29 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Aguet