Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 V._ (Beschwerdegegner) betreibt eine Schule für künstlerischen Tanz. Für diese Tanzschule mietete er von der C._ GmbH (Beschwerdeführerin) Räumlichkeiten am X._-platz in Luzern. Nach der Kündigung des Mietvertrages durch die Beschwerdeführerin entstanden Meinungsverschiedenheiten, worauf die Parteien am 24. April 1999 einen Vergleichsvertrag schlossen. Ziffer 17 dieses Vertrages bestimmt unter anderem Folgendes:
"Kann der Mieter ein geeignetes Ersatzlokal finden und räumt er seine bisherigen Mietlokalitäten bis spätestens 31. Juli 1999 (...), so bezahlt die Vermieterin Fr. 70'000.-- (...) "
1.2 Mit Klage vom 17. März 2000 forderte der Beschwerdegegner von der Beschwerdeführerin Fr. 70'000.-- nebst Zins. Die Beschwerdeführerin widersetzte sich diesem Begehren, da der Vertrag infolge eines Grundlagenirrtums unverbindlich sei, denn im Zeitpunkt des Vertragsabschlusses habe sie keine Kenntnis davon gehabt, dass der Beschwerdegegner bereits einen Mietvertrag für ein Nachfolgelokal abgeschlossen hatte. Das Amtsgericht Luzern-Stadt hiess die Klage mit Urteil vom 10. Januar 2002 vollumfänglich gut. Dieser Entscheid wurde vom Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer als Appellationsinstanz, mit Urteil vom 28. Februar 2003 bestätigt.
1.3 Gegen das obergerichtliche Urteil hat die Beschwerdeführerin sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch eidgenössische Berufung erhoben. Mit staatsrechtlicher Beschwerde beantragt sie, Ziffer 1 und 2 des angefochtenen Urteils seien aufzuheben. Der Beschwerdegegner beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Obergericht Luzern verweist in der Vernehmlassung auf die Begründung des angefochtenen Entscheides und beantragt ebenfalls die Abweisung der staatsrechtliche Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
1.3 Gegen das obergerichtliche Urteil hat die Beschwerdeführerin sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch eidgenössische Berufung erhoben. Mit staatsrechtlicher Beschwerde beantragt sie, Ziffer 1 und 2 des angefochtenen Urteils seien aufzuheben. Der Beschwerdegegner beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Das Obergericht Luzern verweist in der Vernehmlassung auf die Begründung des angefochtenen Entscheides und beantragt ebenfalls die Abweisung der staatsrechtliche Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Beschwerdeführerin rügt, das Obergericht habe kantonales Verfahrensrecht verletzt und willkürlich nicht angewendet. Es habe sich auf den Standpunkt gestellt, ihr sei die Geltendmachung mangelhafter Willensübereinkunft verwehrt, da sie vor Friedensrichter lediglich die Vertragsunverbindlichkeit infolge Willensmangels vorgebracht habe. Das Obergericht hat die Willensübereinstimmung im angefochtenen Entscheid dennoch geprüft. Da insofern die mit Berufung angefochtene Alternativbegründung vor Bundesrecht standhält (siehe Urteil 4C.111/ 2003 vom 21. Juli 2003), fehlt der Beschwerdeführerin ein aktuelles, praktisches Interesse an der Prüfung der mit staatsrechtlicher Beschwerde vorgebrachten Rüge, womit auf diese insoweit nicht einzutreten ist.
2. Die Beschwerdeführerin rügt, das Obergericht habe kantonales Verfahrensrecht verletzt und willkürlich nicht angewendet. Es habe sich auf den Standpunkt gestellt, ihr sei die Geltendmachung mangelhafter Willensübereinkunft verwehrt, da sie vor Friedensrichter lediglich die Vertragsunverbindlichkeit infolge Willensmangels vorgebracht habe. Das Obergericht hat die Willensübereinstimmung im angefochtenen Entscheid dennoch geprüft. Da insofern die mit Berufung angefochtene Alternativbegründung vor Bundesrecht standhält (siehe Urteil 4C.111/ 2003 vom 21. Juli 2003), fehlt der Beschwerdeführerin ein aktuelles, praktisches Interesse an der Prüfung der mit staatsrechtlicher Beschwerde vorgebrachten Rüge, womit auf diese insoweit nicht einzutreten ist.
3. Mit der Beschwerde wird geltend gemacht, das Obergericht sei in Willkür verfallen, wenn es zum Schluss komme, nicht die zukünftige Suche nach einem Ersatzlokal sei Motiv für die versprochene Zahlung von Fr. 70'000.-- gewesen, denn dies stehe in offensichtlichem Widerspruch zu Ziffer 17 der Vergleichsvereinbarung. Zudem bringt sie vor, der Schluss des Obergerichts, dass es nicht relevant sei, ob der Beschwerdegegner zum Zeitpunkt des Vergleichsabschlusses schon ein Ersatzlokal gefunden habe, sei unhaltbar. Feststellungen zum subjektiven Parteiwillen können zwar mit staatsrechtlicher Beschwerde gerügt werden (BGE 121 III 118 E. 4b/aa; 118 II 365 E. 1, je mit Hinweisen), was die Beschwerdeführerin jedoch zum angeblich "real übereinstimmenden Willen" vorbringt, beschränkt sich auf ihre eigene Sicht der Dinge und ihren eigenen Willen, ohne dass sie begründet, inwiefern das Obergericht den tatsächlichen Willen des Beschwerdegegners in schlechterdings nicht vertretbarer Weise festgestellt hätte.
3. Mit der Beschwerde wird geltend gemacht, das Obergericht sei in Willkür verfallen, wenn es zum Schluss komme, nicht die zukünftige Suche nach einem Ersatzlokal sei Motiv für die versprochene Zahlung von Fr. 70'000.-- gewesen, denn dies stehe in offensichtlichem Widerspruch zu Ziffer 17 der Vergleichsvereinbarung. Zudem bringt sie vor, der Schluss des Obergerichts, dass es nicht relevant sei, ob der Beschwerdegegner zum Zeitpunkt des Vergleichsabschlusses schon ein Ersatzlokal gefunden habe, sei unhaltbar. Feststellungen zum subjektiven Parteiwillen können zwar mit staatsrechtlicher Beschwerde gerügt werden (BGE 121 III 118 E. 4b/aa; 118 II 365 E. 1, je mit Hinweisen), was die Beschwerdeführerin jedoch zum angeblich "real übereinstimmenden Willen" vorbringt, beschränkt sich auf ihre eigene Sicht der Dinge und ihren eigenen Willen, ohne dass sie begründet, inwiefern das Obergericht den tatsächlichen Willen des Beschwerdegegners in schlechterdings nicht vertretbarer Weise festgestellt hätte.
4. Des Weiteren rügt die Beschwerdeführerin, durch den Entscheid werde ihr Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, denn das Obergericht habe ihre Beweisanträge ohne Begründung nicht gehört. Der Beschwerde ist nicht zu entnehmen, dass es entweder für die Beurteilung des Vorhandenseins der Willensübereinstimmung, die Prüfung des Grundlagenirrtums, oder die Beurteilung der culpa in contrahendo erheblich wäre, ob das Ersatzlokal erst nach der Unterzeichnung der Vergleichsvereinbarung gefunden wurde. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist nicht verletzt, wenn Beweise über nicht erhebliche Tatsachen nicht abgenommen werden. Sollte die kantonale Instanz die Erheblichkeit dieser Tatsachen in Verletzung von Bundesrecht verneint haben, wäre dies in der vorliegenden berufungsfähigen Streitsache im Rahmen der Berufung zu rügen.
4. Des Weiteren rügt die Beschwerdeführerin, durch den Entscheid werde ihr Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, denn das Obergericht habe ihre Beweisanträge ohne Begründung nicht gehört. Der Beschwerde ist nicht zu entnehmen, dass es entweder für die Beurteilung des Vorhandenseins der Willensübereinstimmung, die Prüfung des Grundlagenirrtums, oder die Beurteilung der culpa in contrahendo erheblich wäre, ob das Ersatzlokal erst nach der Unterzeichnung der Vergleichsvereinbarung gefunden wurde. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist nicht verletzt, wenn Beweise über nicht erhebliche Tatsachen nicht abgenommen werden. Sollte die kantonale Instanz die Erheblichkeit dieser Tatsachen in Verletzung von Bundesrecht verneint haben, wäre dies in der vorliegenden berufungsfähigen Streitsache im Rahmen der Berufung zu rügen.
5. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, das Obergericht habe willkürlich Schlüsse gezogen, welche sich auf keinerlei Akten stützten, was im Ergebnis dazu geführt habe, dass die Vorinstanz aufgrund der angeblichen Zweifel der Beschwerdeführerin einen Irrtum verneint und diesen nicht sachgemäss geprüft habe. Im angefochtenen Urteil hat das Obergericht auf Belege in den Akten Bezug genommen und daraus willkürfrei geschlossen, dass die Beschwerdeführerin nicht mit Sicherheit annehmen konnte, der Beschwerdegegner habe sein Interesse am Ersatzlokal Y._-strasse aufgegeben. Auch geht aus dem Schreiben vom 29. März 1999 hervor, dass der damalige Vertreter der Beklagten noch zwei Wochen vor Abschluss des Vergleichs auf den bevorstehenden Abschluss des Mietvertrages an der Y._-strasse Bezug nahm.
5. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, das Obergericht habe willkürlich Schlüsse gezogen, welche sich auf keinerlei Akten stützten, was im Ergebnis dazu geführt habe, dass die Vorinstanz aufgrund der angeblichen Zweifel der Beschwerdeführerin einen Irrtum verneint und diesen nicht sachgemäss geprüft habe. Im angefochtenen Urteil hat das Obergericht auf Belege in den Akten Bezug genommen und daraus willkürfrei geschlossen, dass die Beschwerdeführerin nicht mit Sicherheit annehmen konnte, der Beschwerdegegner habe sein Interesse am Ersatzlokal Y._-strasse aufgegeben. Auch geht aus dem Schreiben vom 29. März 1999 hervor, dass der damalige Vertreter der Beklagten noch zwei Wochen vor Abschluss des Vergleichs auf den bevorstehenden Abschluss des Mietvertrages an der Y._-strasse Bezug nahm.
6. Die staatsrechtliche Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang hat die Beschwerdeführerin die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 1 und 2 OG). Gebühr und Entschädigung richten sich nach dem Streitwert.
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 3'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2003
Im Namen der I. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin: