Faits:
A. Par décision du 21 mai 2008, confirmée sur opposition le 10 juillet suivant, le Service de l'emploi du canton de Neuchâtel a nié le droit à T._ à une indemnité de chômage, motif pris que son mari était dans une situation comparable à celle d'un employeur.
B. L'assurée a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel.
Statuant le 9 juin 2009, la Cour des assurances sociales de ce tribunal a annulé les décisions des 21 mai et 10 juillet 2008 et renvoyé la cause à la Caisse de chômage Unia pour nouvelle décision au sens des considérants.
C. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (ci-après: le seco) interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement cantonal. Subsidiairement, il demande que le droit de l'assurée à l'indemnité de chômage soit reconnu à partir du 1er octobre 2008, «pour autant que les autres conditions du droit soient remplies». En outre, il requiert l'octroi de l'effet suspensif du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
1.2 Dans un arrêt ATF 133 V 477, le Tribunal fédéral a précisé les notions de décisions finales, partielles, préjudicielles et incidentes au sens des art. 90 à 93 LTF. Il a considéré qu'un jugement de renvoi ne met pas fin à la procédure, de sorte qu'il ne constitue pas une décision finale au sens de la LTF. Les jugements de renvoi qui tranchent une question de droit matériel ne sont pas non plus des décisions partielles au sens de l'art. 91 let. a LTF car il ne s'agit pas de décisions qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause. Ils constituent bien plutôt des décisions incidentes qui peuvent être attaquées séparément aux conditions prévues à l'art. 93 al. 1 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.2 p. 481 et les références). En outre, le Tribunal fédéral a considéré que l'assureur auquel la cause a été renvoyée par la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision ne subit pas un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Enfin, la règle prévue à l'art. 93 al. 1 let. b LTF - dont les conditions peuvent être examinées librement par l'autorité de dernière instance - ne justifie en principe pas non plus que l'on entre en matière sur des recours dirigés contre des jugements de renvoi par lesquels la juridiction cantonale a ordonné uniquement un complément d'instruction. En effet, les parties ne perdent pas un droit même si elles n'attaquent pas un jugement incident, dès lors qu'il leur reste la possibilité de recourir contre la décision finale dans la mesure où le jugement en question influe sur le contenu de celle-ci (art. 93 al. 3 LTF). Aussi le recours séparé contre une décision incidente pour des motifs d'économie de procédure reste-t-il une exception qui doit être appliquée de manière restrictive (arrêts 8C_969/2008 du 2 mars 2009 consid. 1.2 et 9C_446/2007 du 5 décembre 2007 consid. 3; sur ces questions, cf. Hansjörg Seiler, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in : Schaffhauser/ Schlauri [éd.], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, St-Gall 2009, p. 9 ss).
2. Par son jugement du 9 juin 2009, la juridiction cantonale a annulé les décisions des 21 mai et 10 juillet 2008 par lesquelles le service de l'emploi avait nié le droit à T._ à une indemnité de chômage et elle a renvoyé la cause à la Caisse de chômage Unia pour nouvelle décision au sens des considérants. Elle a exposé, en résumé, que le droit de l'assurée à l'indemnité de chômage ne pouvait lui être nié au motif que son mari était dans une situation comparable à celle d'un employeur. Aussi incombait-il à la caisse de chômage d'examiner si les autres conditions du droit aux prestations étaient réalisées à partir de la date à laquelle l'intéressée les avait demandées (à savoir le 1er avril 2008). Le seco interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en faisant valoir que le droit éventuel de l'intéressée à des prestations ne peut prendre naissance avant le 1er octobre 2008.
2.1 En vertu de l'art. 102 LACI, le seco a qualité pour recourir devant les tribunaux cantonaux des assurances contre les décisions des autorités cantonales, des offices régionaux de placement et des caisses (al. 1) et devant le Tribunal fédéral contre les décisions de ces tribunaux (al. 2). Conformément au principe de l'unité de la procédure, l'autorité de surveillance est également admise à participer à la procédure par la voie de l'opposition (ATF 134 V 306 consid. 3.3.1 p. 311; Thomas Nussbaumer, Arbeitslosenversicherung, in : Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], 2e éd. 2007, p. 2450 n. 890 et note de bas de page 1881, et les références).
2.2 Le jugement cantonal attaqué n'est pas une décision finale au sens de l'art. 90 LTF, puisque la juridiction cantonale considère que le motif de refus des prestations invoqué par le service de l'emploi n'est pas fondé et qu'elle invite la caisse de chômage à examiner si les autres conditions du droit sont réalisées. Comme le renvoi ne concerne pas seulement un simple calcul de prestations qui auraient été reconnues par la juridiction cantonale mais porte sur la question du droit éventuel à des prestations, le jugement cantonal est une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Aussi le recours du seco n'est-il admissible qu'aux conditions posées à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF.
2.2.1 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF s'entend du dommage juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement, notamment par la décision finale. Le Tribunal fédéral considère qu'il y a un préjudice irréparable au sens de cette disposition légale lorsqu'une autorité dotée du pouvoir de décision est contrainte par un jugement de renvoi de rendre une décision à ses yeux contraire au droit. Comme elle n'a pas qualité pour attaquer sa propre décision, celle-ci pourrait entrer en force sans que l'autorité puisse la déférer au Tribunal fédéral. Pour pallier cet inconvénient, il convient qu'une autorité ayant qualité pour recourir puisse, en vertu de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, attaquer d'emblée la décision de renvoi, ou le prononcé qui la confirme, devant le Tribunal fédéral. Selon la jurisprudence, cela vaut également pour des autorités, qui ne doivent pas elles-même rendre une nouvelle décision ensuite d'un jugement de renvoi, lorsqu'elles ont certes qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral dans la cause en question, mais pas devant l'autorité judiciaire immédiatement inférieure (arrêts 2C_258/2008 du 27 mars 2009 consid. 3.5 ss, 8C_969/2008 du 2 mars 2009 consid. 3.2, 2C_420/2008 du 3 février 2009 consid. 4.4 ss et 2C_275/2008 du 19 juin 2008 consid. 1.2, et les références). Dans un arrêt récent (8C_817/2008 du 19 juin 2009 consid. 4.2.1; voir aussi arrêts 8C_1019/2008 du 28 juillet 2009 et 8C_853/2008 du 25 juin 2009), le Tribunal fédéral a considéré que le seco ne comptait pas au nombre des autorités susmentionnées, du moment qu'il a qualité tant pour former opposition à des décisions des caisses de chômage que pour recourir contre leurs décisions sur opposition devant le tribunal cantonal des assurances (cf. consid. 2.1 ci-dessus).
2.2.2 Vu ce qui précède, le seco ne peut se prévaloir de l'art. 93 al. 1 LTF pour pouvoir recourir déjà contre le jugement cantonal de renvoi devant le Tribunal fédéral, sans attendre le jugement cantonal final. Le recours est dès lors manifestement irrecevable et il doit être traité selon la procédure simplifiée (art. 108 al. 1 let. a et al. 2 LTF).
3. Le recourant, qui succombe, ne peut se voir imposer des frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF).
4. Le présent arrêt rend sans objet la requête d'effet suspensif présentée par le recourant.
Par ces motifs, le Juge unique prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. La requête d'effet suspensif est sans objet.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif de la République et Canton de Neuchâtel, Cour des assurances sociales.
Lucerne, le 25 août 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge unique: Le Greffier:
Frésard Beauverd