Sachverhalt:
A. X._ schloss 1988 die Ausbildung zum eidg. dipl. Bücherexperten (heute eidg. dipl. Wirtschaftsprüfer) ab. Er ist (einziger) Verwaltungsrat und Aktionär mit Stimmenmehrheit an der Y._ AG (vormals A._ AG). Am 19. September 2007 gewährte ihm die Eidgenössische Revisionsaufsichtsbehörde die Zulassung als Revisionsexperte.
B. Im Oktober 2007 brachte die Stiftungsaufsichtsbehörde des Kantons Basel-Stadt der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde zur Kenntnis, dass X._ in mehrere Schadenfälle bei Vorsorgeeinrichtungen verwickelt sei. Nach verschiedenen Sachverhaltsabklärungen und Gewährung des rechtlichen Gehörs entzog die Eidgenössische Revisionsaufsichtsbehörde mit Verfügung vom 21. Oktober 2009 X._ die Zulassung als Revisionsexperte wieder, dies auf unbefristete Zeit und unter gleichzeitiger Löschung im Revisorenregister. Die Aufsichtsbehörde erwog, im Zusammenhang mit mehreren Zivilverfahren (und drei - inzwischen eingestellten - Strafverfahren) habe sich ergeben, dass sich X._ mehrfache (in einem Fall im Kernbereich seiner Aufgaben als Revisor schwere) Pflichtverletzungen habe zuschulden kommen lassen. So sei im Falle einer der Vorsorge dienenden Stiftung die Verletzung von Anlagevorschriften bewusst in Kauf genommen worden. Auch fielen mehrfache Verletzungen der Meldepflichten gegenüber der Stiftungsaufsichtsbehörde ins Gewicht. Schliesslich sei - im Zusammenhang mit je reziproker Revisionsstellentätigkeit der Y._ AG und einer weiteren Gesellschaft - erstellt, dass X._ mehrfach und über Jahre hinweg gegen die massgebenden gesetzlichen und berufsrechtlichen Unabhängigkeitsvorschriften verstossen habe. Mithin fehle es X._ am erforderlichen unbescholtenen Leumund im berufsrelevanten Bereich; er biete zum heutigen Zeitpunkt keine Gewähr für eine einwandfreie Prüftätigkeit.
Mit Urteil vom 3. Juni 2010 wies das Bundesverwaltungsgericht eine gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde ab.
C. Mit Eingabe vom 12. Juli 2010 führt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, das genannte Urteil sowie die diesem zugrunde liegende Verfügung aufzuheben, eventuell die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Eidgenössische Revisionsaufsichtsbehörde beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit.a, Art. 90 BGG), stützt sich auf das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Zulassung und Beaufsichtigung der Revisorinnen und Revisoren (Revisionsaufsichtsgesetz, RAG; SR 221.302) und die zugehörige Verordnung vom 22. August 2007 (Revisionsaufsichtsverordnung, RAV; SR 221.302.3). Die genannten Erlasse regeln die Zulassung und die Beaufsichtigung von Personen, die Revisionsdienstleistungen erbringen, mithin also eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts im Sinne von Art. 82 lit. a BGG.
Allerdings ist gemäss Art. 83 lit. t BGG die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche die Beurteilung geistiger oder körperlicher Fähigkeiten zum Gegenstand haben. Die Bundesbehörden stützen ihren Entscheid über den Entzug der Zulassung als Revisionsexperte darauf, dass sie dem Beschwerdeführer - im Rahmen ihrer Aufsicht - den unbescholtenen Leumund und damit seine Vertrauenswürdigkeit absprechen (vgl. Art. 4 Abs. 1 RAG, Urteil 2C_58/2008 vom 14. April 2008, E. 2.1). Dem angefochtenen Entscheid liegt somit nicht eine Bewertung seiner geistigen oder körperlichen Fähigkeiten zugrunde, so dass der erwähnte Ausschlussgrund keine Anwendung findet (vgl. Urteile 2C_655/2009 vom 23. März 2010, E. 1, und 2C_191/2008 vom 24. Juni 2008, E. 1). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demnach zulässig. Von Vornherein nicht eingetreten werden kann aber auf das Rechtsmittel, soweit damit die Aufhebung der Verfügung der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde verlangt wird (Devolutiveffekt, vgl. BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144).
2. 2.1 Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Appellatorische Kritik und die blosse Gegenüberstellung der eigenen Sichtweise genügen grundsätzlich nicht (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Dabei muss die Begründung in der Rechtsmitteleingabe selbst enthalten sein; Verweise auf andere Rechtsschriften, insbesondere auf solche, die im vorinstanzlichen Verfahren eingereicht wurden, genügen nicht und sind unbeachtlich (vgl. BGE 133 II 396 E. 3.2 S. 400, 130 I 290 E. 4.10 S. 302). Soweit die vorliegende Beschwerde diesen Anforderungen nicht genügt und sich in appellatorischer Kritik erschöpft bzw. darin Eingaben an Vorinstanzen zum "integrierenden Bestandteil" erklärt werden, ist darauf nicht einzutreten.
2.2 Das Bundesgericht legt sodann seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Im Bereich der Beweiswürdigung steht dem Sachgericht ein erheblicher Ermessensspielraum zu (BGE 120 Ia 31 E. 4b S. 40). Das Bundesgericht greift auf Beschwerde hin nur ein, wenn das Sachgericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. BGE 132 III 209 E. 2.1; 129 I 8 E. 2.1; 120 Ia 31 E. 4b S. 40; 118 Ia 28 E. 1b S. 30).
3. 3.1 Die vorab erhobene Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanzen hätten die Begründungspflicht verletzt, ist unbegründet: Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV folgt zwar in der Tat die grundsätzliche Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Das bedeutet indessen nicht, dass sich die Behörde mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Der Bürger soll wissen, warum die Behörde entgegen seinem Antrag entschieden hat, damit er gegebenenfalls den Entscheid sachgerecht anfechten kann (BGE 133 I 270 E. 3.1 S. 277 mit Hinweisen). Diesen Anforderungen genügen die vorinstanzlichen Entscheide. Das Bundesverwaltungsgericht war nicht gehalten, sämtliche Eingaben und Argumente des Beschwerdeführers im Detail wiederzugeben; es hat sich mit den vorgetragenen Einwänden hinreichend auseinandergesetzt, und es bestand für das Gericht - anders, als es der Beschwerdeführer angestrebt hatte - auch keine Verpflichtung, die im Zivilverfahren "Z._" vor dem Kantonsgericht Basel-Landschaft - worin die Y._ AG mit rechtskräftigem Urteil vom 17. August 2007 zu einer Schadenersatzleistung von rund Fr. 4,16 Mio. aus Verantwortlichkeit verurteilt worden war - vorgebrachten Einwände erneut zu prüfen.
3.2 Der Beschwerdeführer rügt, die Behörden hätten in unzulässiger Weise von einer persönlichen Einvernahme seiner selbst sowie von Dr. E._ (Liquidator im Verfahren "Z._") abgesehen und auf diese Weise seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
Nach der Rechtsprechung kann das Gericht das Beweisverfahren schliessen, wenn die Beweisanträge eine nicht erhebliche Tatsache betreffen oder offensichtlich untauglich sind oder wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen). Art. 29 Abs. 2 BV vermittelt sodann nicht zwingend das Recht, mündlich angehört zu werden. Eine mündliche Äusserungsmöglichkeit kann geboten sein wegen persönlicher Umstände, die sich nur aufgrund einer mündlichen Anhörung klären lassen (vgl. Gerold Steinmann, in: Kommentar BV, 2. Auflage 2008, Rz. 25 zu Art. 29 Abs. 2 BV) bzw. wenn sich eine solche Anhörung für den zu fällenden Entscheid als unerlässlich erweist (BGE 122 II 464 E. 4 S. 469 f.).
Das Bundesverwaltungsgericht hat im angefochtenen Entscheid (E. 5) eingehend dargelegt, weshalb auf eine persönliche Anhörung des Beschwerdeführers und auf die beantragte Zeugeneinvernahme verzichtet worden ist. Hiegegen dringt der Beschwerdeführer nicht durch: Einerseits war für die Beurteilung der Frage, ob der Beschwerdeführer (noch) über einen unbescholtenen Leumund verfügt, dessen persönliche Anhörung nicht notwendig. Dass für das Gericht andererseits kein Anlass bestand, eine in das rechtskräftig abgeschlossene Zivilverfahren "Z._" involvierte Person zu befragen, erscheint nachvollziehbar und im Sinne einer vorweggenommenen Beweiswürdigung nicht willkürlich. Das Ansinnen des Beschwerdeführers, mit den beantragten Anhörungen ein "Gegengewicht zum schwarz-weiss Bild des Zivilurteil(s) im Fall 'Z._' zu schaffen", ändert an dieser Beurteilung nichts.
Soweit der Beschwerdeführer seine Anträge auf persönliche Anhörung auf das bundesgerichtliche Verfahren bezieht, besteht vorliegend ebenfalls keine Anhörungspflicht (Art. 57 BGG).
4. Was der Beschwerdeführer in der Sache - soweit er dies überhaupt in einer der Begründungspflicht genügenden Form tut (vorne E. 2.1) - vortragen lässt, ist nicht geeignet, die tatsächlichen Feststellungen des Bundesverwaltungsgerichts als offensichtlich unrichtig und die von ihm daraus gezogenen rechtlichen Schlussfolgerungen als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen: Das Gericht ist zunächst zutreffend davon ausgegangen, dass einem Revisionsexperten die Zulassung entzogen werden kann, wenn dieser die Zulassungsvoraussetzungen - wozu ein unbescholtener Leumund gehört (Art. 4 Abs. 1 RAG) - nicht mehr erfüllt (Art. 17 Abs. 2 RAG). Es hat sodann die für eine Gewährs- und Leumundsprüfung (vgl. Art. 4 RAV) anwendbaren Kriterien unter Hinweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (vgl. etwa BGE 129 II 438 E. 3.3 betreffend Finanzintermediär, sowie Urteil 2C_655/ 2009 vom 23. März 2010 betreffend Notar) richtig dargestellt und angewendet; auf die entsprechenden Erwägungen des angefochtenen Urteils kann verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG). Der Beschwerdeführer hat in den Jahren 1995 bis 1999 zum Nachteil des Wohlfahrtsfonds und der Pensionskasse der Z._ AG - den Kernbereich seiner Aufgaben als Revisor betreffende - Pflichtverletzungen von erheblicher Schwere zu verantworten (vgl. die Erwägungen 5-7 des Urteils des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 17. August 2007). Zwar dürfen Widerhandlungen gegen revisionsrechtliche Vorschriften, die zu keiner strafrechtlichen Verurteilung führten und weit mehr als zehn Jahre zurückliegen, dem Revisor bzw. Revisionsexperten grundsätzlich nicht mehr entgegengehalten werden, jedenfalls dann, wenn der Betreffende seitdem die entsprechende berufliche Tätigkeit ohne jede Beanstandung weiterhin ausgeübt hat (Urteil 2C_834/2010 vom 11. März 2011, E. 6.2.4). Daraus kann der Beschwerdeführer aber nichts zu seinen Gunsten ableiten: Einerseits liegen die meisten revisionsrechtlichen Widerhandlungen des Beschwerdeführers nicht dermassen lange zurück, und andererseits hat dieser - wie das Bundesverwaltungsgericht feststellte (S. 27 und 32 des angefochtenen Entscheides) - "bis in die jüngste Vergangenheit hinein" gegen die Unabhängigkeitsvorschriften verstossen (zu welch letzterem Vorwurf der Beschwerdeführer sich im Übrigen sehr wohl hat äussern können [vgl. S. 25/26 seiner Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht] und seine Gehörsrüge deshalb auch in diesem Punkt nicht durchzudringen vermag).
Dass die Aufsichtsbehörde und die Vorinstanz bei der Leumundsprüfung sodann darüber hinaus auch Erkenntnisse aus eingestellten Strafverfahren und aus anderen, neueren Zivilverfahren - die zum Teil wegen Geldzahlungen des Beschwerdeführers an die jeweiligen Gegenparteien vergleichsweise erledigt werden konnten - mit berücksichtigt haben, ist nicht bundesrechtswidrig (vgl. Art. 4 Abs. 1 RAV), sondern erschien im Sinne einer Gesamtwürdigung der Umstände - und mit Blick auf die besonderen Erwartungen, die die Öffentlichkeit in den guten Leumund eines Revisionsexperten haben darf - vielmehr sogar geboten. Inwiefern der hier angefochtene Entzug der persönlichen Zulassung schliesslich unverhältnismässig sein könnte, ist - unter Verweis auf E. 13 des angefochtenen Entscheides - nicht ersichtlich, umso weniger, als der Beschwerdeführer gemäss den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (vorne E. 2.2) seine Gesellschaften so organisiert hat, dass "nicht von einem faktischen Berufsverbot gesprochen werden kann" (angefochtenes Urteil S. 35).
5. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. Sie ist im vereinfachten Verfahren (Art. 109 BGG) mit summarischer Begründung zu erledigen.
Bei diesem Ausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 65/66 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Eidgenössischen Revisionsaufsichtsbehörde und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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