Sachverhalt:
A. Der 1978 geborene M._ meldete sich im Januar 2002 in der Gemeinde Y._ (GR) an, nachdem er seinen Aufenthalt in der Psychiatrischen Klinik abgebrochen und sich in der Stadt A._ abgemeldet hatte. Seit dem 3. Februar 2002 hielt er sich mit Unterbrüchen in verschiedenen Stationen der Psychiatrischen Dienste auf. Die Amtsvormundschaft, welche mit Beschluss vom 14. Juni 2004 für M._ eine kombinierte Beiratschaft errichtet hatte, meldete diesen am 12. Oktober 2004 in der Gemeinde X._ an. Diese stellte am 9. November 2004 den Schriftenempfangsschein aus und bescheinigte am 19. April 2007 den gesetzlichen Wohnsitz in X._ seit dem Zuzug von Y._ am 11. Oktober 2004. Seit Juni 2008 lebt M._ im Rahmen eines begleiteten Wohnens in einem Wohnheim der Stadt Z._. Mit Schreiben vom 6. Februar 2009 ersuchte sein Beirat die Stadt X._ um Übernahme von ausstehenden Rechnungen in Höhe von insgesamt rund Fr. 17'000.-. Diese trat am 26. Februar 2009 auf das Gesuch mit der Begründung nicht ein, M._ verzeichne in der Gemeinde X._ keinen Wohnsitz.
B. Dagegen erhob M._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden. Dieses hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 17. November 2009 gut und wies die Stadt X._ an, das Unterstützungsgesuch materiell zu behandeln.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die Stadt X._ beantragen, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei zu erkennen, dass M._ nie in der Stadt X._ Wohnsitz hatte.
Das Verwaltungsgericht und M._ schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Denselben Antrag stellen auch die Stadt Z._ und die Gemeinde Y._ als Beigeladene.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 135 III 1 E. 1.1 S. 3).
2. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich aufgrund der dispositivmässigen Verpflichtung der Stadt X._ zur materiellen Prüfung des Unterstützungsgesuchs um einen Rückweisungsentscheid und damit um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG. Die Voraussetzung für eine selbständige Anfechtung des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von lit. a ist erfüllt, da die Stadt X._ gezwungen wird, entgegen ihrer Rechtsauffassung eine neue Anordnung zu erlassen (BGE 133 V 477 E. 5.2.2. S. 484).
Bei der hier streitigen innerkantonalen Unterstützungssache handelt es sich sodann um eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Da keiner der Ausschlussgründe gemäss Art. 83 BGG vorliegt, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (vgl. Art. 82 lit. a BGG). Nachfolgend zu prüfen ist jedoch, ob die Stadt X._ zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert ist.
3. 3.1 Unter der Herrschaft des bis Ende 2006 in Kraft gestandenen OG (BS 3 531) war die Verwaltungsgerichtsbeschwerde unzulässig, wenn sich der angefochtene Entscheid nicht auf öffentliches Recht des Bundes, sondern auf kantonales Recht stützte. Soweit es um Fragen der nach kantonalem Recht zu erbringenden Unterstützungsleistungen ging, stand den Gemeinden als Rechtsmittel daher einzig die staatsrechtliche Beschwerde zur Verfügung und zwar auch dann, wenn der Unterstützungswohnsitz innerkantonal gestützt auf die analoge Anwendung des Zuständigkeitsgesetzes begründet wurde (ZBl 98/1997 S. 414, 2P.240/1995 E. 1d; Urteile 1P.481/1998 vom 11. März 1999 E. 1d; 2A.452/1996 vom 17. Juni 1997 E. 2 und E. 3). Soweit die Gemeinde durch den angefochtenen Entscheid als Schuldnerin von Fürsorgeleistungen und somit als Trägerin hoheitlicher Gewalt betroffen war, konnte sie sich auf ihre Autonomie berufen. Zur reinen Willkürbeschwerde war sie indessen nicht legitimiert (ZBl 98/1997 S. 414, 2P.240.1995 E. 1e; Urteile 1P.247/2002 vom 12. August 2002 E. 2; 1P.481/1998 vom 11. März 1999 E. 3a; 2A.452/1996 vom 17. Juni 1997 E. 3b; 2P.424/1995 vom 23. Mai 1996 E. 3b).
Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG berechtigt Gemeinden und öffentlich-rechtliche Körperschaften zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt. Für das Eintreten ist allein entscheidend, dass die Beschwerde führende Gemeinde durch einen Akt in ihrer Eigenschaft als Trägerin hoheitlicher Gewalt berührt ist und eine Verletzung der Autonomie geltend macht (Urteil 8C_650/2009 vom 21. Januar 2010 E. 1.2.1 und E. 6 zur Gemeindeautonomie im Fürsorgebereich). Die Stadt X._ rügt keine Verletzung ihrer Autonomie und legt insbesondere nicht dar, inwiefern ihr das kantonale Recht im betroffenen Sachbereich eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräume und weshalb der angefochtene Entscheid ihren geschützten Autonomiebereich verletze. Eine Beschwerdelegitimation unter diesem Titel besteht daher nicht.
3.2 Nach Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG sind Personen, Organisationen und Behörden zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten befugt, wenn ihnen ein Bundesgesetz dieses Recht einräumt. Gemäss dem unter dem Randtitel "Streitigkeiten" stehenden Art. 13 Abs. 2 des Gesetzes des Kantons Graubünden vom 3. Dezember 1978 über die Unterstützung Bedürftiger (Kantonales Unterstützungsgesetz; BR 546.250; nachfolgend: UG) entscheidet das Verwaltungsgericht über Streitigkeiten, die sich aus der Anwendung des UG ergeben. Nach Abs. 3 derselben Bestimmung gelten die Grundsätze des Bundesgesetzes vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1) sinngemäss, soweit das UG nicht selbst Vorschriften enthält. Seit der Aufhebung von Art. 34 Abs. 3 ZUG durch Anhang Ziff. 119 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht (Verwaltungsgerichtsgesetz, VGG; SR 173.32) mit Wirkung auf 1. Januar 2007 ist bundesrechtlich keine Beschwerdemöglichkeit ans Bundesgericht mehr ausdrücklich vorgesehen. Es fehlt somit an einer Beschwerdelegitimation gestützt auf Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG.
3.2 Nach Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG sind Personen, Organisationen und Behörden zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten befugt, wenn ihnen ein Bundesgesetz dieses Recht einräumt. Gemäss dem unter dem Randtitel "Streitigkeiten" stehenden Art. 13 Abs. 2 des Gesetzes des Kantons Graubünden vom 3. Dezember 1978 über die Unterstützung Bedürftiger (Kantonales Unterstützungsgesetz; BR 546.250; nachfolgend: UG) entscheidet das Verwaltungsgericht über Streitigkeiten, die sich aus der Anwendung des UG ergeben. Nach Abs. 3 derselben Bestimmung gelten die Grundsätze des Bundesgesetzes vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1) sinngemäss, soweit das UG nicht selbst Vorschriften enthält. Seit der Aufhebung von Art. 34 Abs. 3 ZUG durch Anhang Ziff. 119 des Bundesgesetzes vom 17. Juni 2005 über das Bundesverwaltungsgericht (Verwaltungsgerichtsgesetz, VGG; SR 173.32) mit Wirkung auf 1. Januar 2007 ist bundesrechtlich keine Beschwerdemöglichkeit ans Bundesgericht mehr ausdrücklich vorgesehen. Es fehlt somit an einer Beschwerdelegitimation gestützt auf Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG.
3.3 3.3.1 Die Stadt X._ beruft sich auf die allgemeine Legitimationsklausel von Art. 89 Abs. 1 BGG, wonach zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt ist, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und überdies ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c).
3.3.2 Die allgemeine Beschwerdebefugnis ist auf Privatpersonen zugeschnitten; sie bezweckt in erster Linie den Schutz des Bürgers und der Bürgerin gegen fehlerhafte Verwaltungsakte und nicht den Schutz des Gemeinwesens. Das Gemeinwesen kann sich dann darauf stützen, wenn es durch den angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie eine Privatperson betroffen ist (BGE 136 II 274 E. 4.1 S. 278 mit Hinweisen).
In bestimmten Fällen kann das Gemeinwesen auch in hoheitlichen Interessen derart berührt sein, dass die Rechtsprechung von einem schutzwürdigen Interesse im Sinne von Art. 89 Abs. 1 BGG ausgeht (BGE 134 II 45 E. 2.2.1 S. 46 f.; zur Heranziehung der früheren Praxis bei der Auslegung BGE 133 II 400 E. 2.4.1 S. 405 f.). Bei Eingriffen in spezifische eigene Sachanliegen wird die Beschwerdebefugnis des Gemeinwesens etwa dann bejaht, wenn ein Hoheitsakt wesentliche öffentliche Interessen in einem Politikbereich betrifft, der ihm zur Regelung zugewiesen ist (BGE 135 II 12 E. 1.2 S. 15 f.). Bejaht wurde das schutzwürdige Interesse sodann bei wichtigen vermögensrechtlichen Interessen wie dem interkommunalen Finanzausgleich, der für den Handlungsspielraum einer Gemeinde von zentraler Bedeutung ist (BGE 135 I 43 E. 1.3 S. 46 f.), bei namhaften Subventionsbeträgen (BGE 122 II 382 E. 2b S. 383 f.), wenn das Gemeinwesen in seiner Funktion als lohnzahlungspflichtiger öffentlicher Arbeitgeber berührt ist (BGE 124 II 409 E. 1e S. 417 f.) oder wenn das kantonale Recht der Gemeinde den gesamten Ertrag einer Spezialsteuer überlässt und ihr besondere Kompetenzen bei deren Erhebung zuweist, wie es in einigen Kantonen bei der Grundstückgewinnsteuer vorgesehen ist (Urteil 2P.204/2006 vom 21. Mai 2007 E. 6; vgl. im Übrigen die Beispielkataloge bei SEILER UND ANDERE, Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 35 f. zu Art. 89 BGG; BERNHARD WALDMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 43 f. zu Art. 89 BGG; ALAIN WURZBURGER, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 40 ff. zu Art. 89 BGG). Generell gilt jedoch, dass Gemeinwesen, wenn sie die Durchsetzung hoheitlicher Anliegen anstreben, nur restriktiv gestützt auf die allgemeine Legitimationsklausel von Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerdeführung zugelassen werden dürfen (BGE 135 I 43 E. 1.3 S. 46 f.). Das allgemeine Interesse an der richtigen Rechtsanwendung oder der Einbezug in das Verfahren als Mitbetroffener oder -adressat reicht hierfür nicht aus (BGE 136 II 274 E. 4.2 S. 279 mit Hinweisen).
3.4 Das Bundesgericht hat die Beschwerdelegitimation einer Gemeinde bejaht, welche die Drittauszahlung von Nachzahlungen der Invalidenversicherung geltend machte. Durch die Verweigerung der von der bevorschussenden Sozialhilfebehörde verlangten Drittauszahlung von Sozialversicherungsleistungen ist die Gemeinde direkt in ihren vermögensrechtlichen Interessen berührt und zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt (BGE 135 V 2 E. 1.1 S. 4 mit Hinweisen). Bereits mit Urteil 8C_105/2007 vom 24. Juli 2008 war es auf die Beschwerde einer Gemeinde eingetreten, welche eine leistungsablehnende Verfügung getroffen hatte und sich vor Bundesgericht gegen den kantonalen Entscheid zur Wehr setzte, welcher sie dazu verpflichtet hatte, für Ausstände von Krankheitskosten der während der massgebenden Zeit bei ihr Wohnsitz verzeichnenden Person aufzukommen. Hingegen hat das Bundesgericht im Urteil 8C_650/2009 vom 21. Januar 2010 offengelassen, ob sich die Gemeinde bezüglich der Erbringung von kantonalen Sozialhilfeleistungen auf die allgemeine Beschwerdelegitimation von Art. 89 Abs. 1 BGG berufen kann.
3.5 Die Beschwerdeführerin wird durch den angefochtenen Entscheid verpflichtet, finanzielle Leistungen zu erbringen. Aufgrund der Inanspruchnahme für Sozialhilfe hat die vorinstanzliche Anordnung direkte Auswirkungen auf ihr Finanz- oder Verwaltungsvermögen. Als Erbringerin von Fürsorgeleistungen ist sie in ihren schutzwürdigen eigenen hoheitlichen Interessen in qualifizierter Weise betroffen (vgl. ZBl 98/1997 S. 414, 2P.240/1995 E. 1c sowie Urteil 2A.300/1999 vom 17. Januar 2000 E. 1b zu Art. 103 lit. a OG, an welche Regelung Art. 89 Abs. 1 BGG im Wesentlichen anknüpft [BGE 134 V 53 E. 2.3.3.1 S. 58]). Da eine Gemeinde am Recht steht, geht es hier nicht um einen innerorganischen Konflikt (sog. Organstreitigkeit) zwischen der obersten Exekutive und der obersten Justizbehörde eines Kantons (vgl. Urteil 8C_1025/2009 vom 19. August 2010 E. 3.3.2 und 3.3.4.1 f. betreffend die Auslegung des kantonalen Rechts), welcher nicht vor das Bundesgericht getragen werden könnte (vgl. BGE 134 V 53 E. 2.3 S. 57).
3.6 Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerdelegitimation gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG zu bejahen und auf die Beschwerde einzutreten.
4. 4.1 Das Bundesgericht kann angefochtene Entscheide nicht uneingeschränkt, sondern nur hinsichtlich der im Gesetz (Art. 95 ff. BGG) genannten Beschwerdegründe überprüfen. Ist auf die zu beurteilenden Fragen ausschliesslich kantonales Recht anwendbar, sind die Bundesrechtsrügen gemäss Art. 95 lit. a BGG auf Verfassungsrügen beschränkt. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG). Es obliegt der Beschwerdeführerin, namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 262).
4.2 In Ergänzung zu den Rügen, die sich auf Art. 95 f. BGG stützen, sind unter den engen Voraussetzungen von Art. 97 Abs. 1 BGG auch Vorbringen gegen die Sachverhaltsfeststellung zulässig. Ein solcher Einwand kann nach der letztgenannten Bestimmung nur erhoben werden, wenn die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. Willkür liegt nach der Praxis nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung als die von der Vorinstanz gewählte ebenfalls vertretbar oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur dann, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133, mit Hinweisen).
Soweit es um die Frage geht, ob der Sachverhalt willkürlich oder unter verfassungswidriger Verletzung einer kantonalen Verfahrensvorschrift ermittelt worden ist, gelten strenge Anforderungen an die Begründung der Beschwerde, vergleichbar mit der Rügepflicht nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Entsprechende Beanstandungen müssen präzise vorgebracht und begründet werden. Es genügt nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift darzulegen, inwiefern die Feststellungen willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.3. S. 255).
5. Die Frage des innerkantonalen Unterstützungswohnsitzes beurteilt sich unabhängig vom zivilrechtlichen Wohnsitz nach den Bestimmungen des UG. Gemäss Art. 5 Abs. 1 UG obliegt die Unterstützung der politischen Gemeinde, in welcher der Bedürftige seinen Wohnsitz hat (Abs. 1). Der Unterstützungswohnsitz liegt nach Art. 5 Abs. 2 UG in der Gemeinde, in welcher sich der Bedürftige mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält. Laut Art. 6 Abs. 1 UG richten sich Begründung und Aufgabe des Wohnsitzes nach den Grundsätzen, die gemäss ZUG im interkantonalen Verhältnis gelten. Der Aufenthalt in einem Heim, einem Spital oder in einer anderen Anstalt sowie behördliche oder vormundschaftliche Versorgung in Familienpflege begründen keinen Unterstützungswohnsitz (Art. 6 Abs. 3 UG; vgl. auch Art. 5 ZUG). Gemäss dem innerkantonal analog anwendbaren Art. 4 Abs. 2 ZUG gilt die polizeiliche Anmeldung grundsätzlich als Wohnsitzbegründung. Wer wegzieht, verliert den bisherigen Unterstützungswohnsitz (Art. 9 Abs. 1 ZUG), doch beendet der Eintritt in ein Heim, ein Spital oder eine andere Anstalt sowie die behördliche oder vormundschaftliche Versorgung einer mündigen oder entmündigten Person in Familienpflege einen bestehenden Unterstützungswohnsitz nicht (Abs. 3).
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin wirft dem kantonalen Gericht im Zusammenhang mit der Sachverhaltsfeststellung vor, das rechtliche Gehör verletzt (Art. 29 Abs. 2 BV) und die Beweise willkürlich gewürdigt (Art. 9 BV) zu haben. Zur Begründung führt sie im Wesentlichen aus, die Vorinstanz habe ausser Acht gelassen, dass sich der Beschwerdegegner nie mit der Absicht des dauernden Verbleibens in der Stadt X._ aufgehalten habe. Belegt sei vielmehr zumindest ab dem 27. September 2004 - und somit noch vor der Anmeldung in X._ - ein ununterbrochener Aufenthalt in Kliniken in B._ und Z._ sowie in Wohngruppen in C._ und Z._. Im April 2006 seien wohl rund Fr. 17'000.- an die Vormundschaftsbehörde überwiesen worden, doch sei diese Zahlung nicht gestützt auf das Fürsorgerecht und überdies ohne Anerkennung einer Leistungspflicht zugunsten des Beschwerdegegners erfolgt.
6.2 Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ging das Verwaltungsgericht ebenfalls davon aus, dass die Begründung des unterstützungsrechtlichen Wohnsitzes den tatsächlichen Aufenthalt in der Gemeinde voraussetzt. Es stellte in diesem Zusammenhang fest, dass der Beschwerdegegner gemäss Anmeldung der Amtsvormundschaft vom 12. Oktober 2004 in die Wohnung seiner Partnerin in X._ eingezogen war. Weiter stützte sich das kantonale Gericht in seiner Sachverhaltsfeststellung auf folgende Indizien: Polizeiliche Anmeldung in X._ durch die Vormundschaftsbehörde vom 12. Oktober 2004, Ausstellung eines Schriftenempfangsscheins durch die Einwohnerkontrolle X._, im Protokoll vom 21. September 2004 über die Besprechung zwischen dem Beschwerdegegner, seiner Partnerin und der Vormundschaftsbehörde festgehaltene Absicht des Umzugs zur Freundin nach X._. Die Vorschusszahlung der Beschwerdeführerin war für die Vorinstanz dagegen nicht streitentscheidend. Mit deren Erwähnung wollte das Gericht nur zum Ausdruck bringen, dass die Beschwerdeführerin selber von einer Wohnsitznahme in X._ ausging. Da dem Verwaltungsgericht die Aktenlage klar erschien, sah es von den vorinstanzlich beantragten Zeugeneinvernahmen ab. Darin liegt keine Verletzung des rechtlichen Gehörs begründet. Die Beschwerdeführerin legt denn auch nicht substanziiert dar, sie sei nicht zum Beweis zugelassen worden. Inwiefern das kantonale Gericht den massgebenden Sachverhalt nicht korrekt erstellt haben sollte, ist nicht ersichtlich.
7. 7.1 Soweit die Beschwerdeführerin dem kantonalen Gericht unter Hinweis auf das ZUG sowie Art. 23 ff. ZGB eine Verletzung von Bundesrecht vorwirft, erweist sich der Einwand als unbehelflich. Denn zum einen kommt das ZGB mangels Verweises im UG nicht zur Anwendung und zum andern macht der Verweis des UG bezüglich Begründung und Aufgabe des Wohnsitzes auf das ZUG (Art. 6 Abs. 1 UG) die betreffende Regelung nicht zur bundesrechtlichen (Urteil 2A.452/1996 vom 17. Juni 1997 E. 2). Daran ändert nichts, dass die zu Art. 23 Abs. 1 ZGB sowie zu Art. 5 und Art. 6 ZUG ergangene Rechtsprechung als Auslegungshilfe beigezogen werden kann.
7.2 Inwiefern der angefochtene Entscheid sodann in stossender Weise ungerecht wäre oder eine kantonalrechtliche Norm krass verletzen würde (vgl. E. 4.2 hievor), wird von der Beschwerdeführerin nicht aufgezeigt. Insbesondere vermag sie aus dem Urteil 2A.714/2006 vom 10. Juli 2007 nichts zu ihren Gunsten abzuleiten. Gemäss E. 3.2 jenes Urteils dient die - aufgrund von Art. 6 Abs. 1 UG hier analog zur Anwendung kommende - Regelung von Art. 9 Abs. 3 ZUG unter anderem dem Schutz der Standortkantone und soll dabei den Anreiz nach kantonsexterner Unterbringung unterstützungspflichtiger Personen verringern. Dabei geht die Regelung von Art. 5 und Art. 9 ZUG derjenigen von Art. 4 Abs. 2 ZUG grundsätzlich vor. Der Unterstützungswohnsitz kann sich damit insbesondere bei Heiminsassen vom Ort der tatsächlichen Anwesenheit unterscheiden. Weiter führte das Bundesgericht in E. 3.3 desselben Urteils aus, der Unterstützungswohnsitz könne trotz ununterbrochenen Aufenthalts in einem Heim oder einer Klinik wechseln. Dies könne dann der Fall sein, wenn die unterstützungsbedürftige Person ihre Beziehungen zum bisherigen Wohnort abbreche und in subjektiver sowie objektiver Hinsicht ein neues Verhältnis zu einem neuen Wohnort begründet habe, beispielsweise weil ihre wichtigste Bezugsperson an einen neuen Wohnort gezogen sei.
7.3 Für die Ermittlung der subjektiven Absicht des dauernden Verbleibens sind alle Elemente der äusserlichen Gestaltung der Lebensverhältnisse zu berücksichtigen. Dazu gehört auch, dass vor allem bei suchtkranken Personen die oft unsichere Wohnsituation für sich allein nicht ausschlaggebend sein kann, da diese ansonsten kaum je einen Unterstützungswohnsitz zu begründen vermöchten (Urteil 8C_223/2010 vom 5. Juli 2010 E. 4.1 f. mit Hinweisen). Indem das Verwaltungsgericht im angefochtenen Entscheid davon ausging, nach dem Umzug der Partnerin des Beschwerdegegners von Y._ nach X._ habe sich dieser im Oktober/November 2004 in der erklärten Absicht in X._ angemeldet, dort ebenfalls auf unbestimmte Zeit zu verbleiben, ist sie mit Blick darauf, dass die Klinik- und Heimaufenthalte einen Unterstützungswohnsitz weder zu begründen noch zu beenden vermögen (Art. 6 Abs. 3 UG; Art. 5 und Art. 9 Abs. 3 ZUG) und die durch die Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht widerlegte gesetzliche Vermutung der Begründung eines Unterstützungswohnsitzes infolge polizeilicher Anmeldung (Art. 4 Abs. 2 ZUG), nicht in Willkür verfallen, wenn sie auf einen Unterstützungswohnsitz des Beschwerdegegners in X._ geschlossen hat.
8. Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Die unterliegende Stadt X._ hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG), da es um ihr Vermögensinteresse geht und sie sich folglich nicht auf Art. 66 Abs. 4 BGG berufen kann (vgl. Urteil 8C_223/2010 vom 5. Juli 2010 E. 5). Sie hat dem obsiegenden Beschwerdegegner zudem eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 BGG). Hingegen haben die beigeladenen Gemeinden Y._ und Stadt Z._ keinen Anspruch auf Parteientschädigung, da sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätig waren (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Y._, der Stadt Z._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. September 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer