Erwägungen:
1. X._, serbischer Staatsangehöriger, geboren 1954, arbeitete 1987 und 1988 als Kurzaufenthalter sowie von 1989 bis 1994 als Saisonnier in der Schweiz. Ende 1994 erhielt er die Jahresaufenthaltsbewilligung (Umwandlung der Saisonbewilligung), die regelmässig, zuletzt bis zum 20. Januar 2007, verlängert wurde. Seine Familie (Ehefrau und vier volljährige Kinder) hält sich in Serbien auf. Seit Dezember 1999, als er einen Herzinfarkt erlitten hatte, bis zum Sommer 2008 ging er, abgesehen von zwei Monaten anfangs 2008, keiner Erwerbstätigkeit nach und war er im Wesentlichen Sozialhilfeempfänger. Zwei Begehren um Ausrichtung einer IV-Rente blieben erfolglos, wobei im zweiten Verfahren auf einen Invaliditätsgrad von 18 % erkannt wurde (Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 20. November 2006). Im März 2008 erlitt X._ einen neuen Herzinfarkt. Im Juli 2008 trat er eine Teilzeitstelle an, wobei er offenbar ein monatliches Nettoeinkommen zwischen 1'300 und (im besten Fall) 1'700 Franken erzielte. Am 9. September 2008 reichte er bei der IV-Stelle Luzern ein weiteres Gesuch um Ausrichtung einer (halben) IV-Rente ein, nachdem er am 29. Juli 2008 einen negativen Vorbescheid erhalten hatte.
Am 2. Juli 2008 lehnte das Amt für Migration des Kantons Luzern das am 8. Januar 2007 gestellte Gesuch von X._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und setzte ihm Frist zum Verlassen des Kantons Luzern an (Wegweisung). Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern wies am 17. November 2008 die Beschwerde gegen die Verfügung des Amtes für Migration, die es bestätigte, ab, wobei es eine neue Ausreisefrist (15. Januar 2009) ansetzte (Ziff. 1 und 2 des Entscheid-Dispositivs). Ebenso wies es das für das Beschwerdeverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes ab; die amtlichen Kosten von Fr. 1'200.-- auferlegte es X._ (Ziff. 3 und 4 des Entscheid-Dispositivs).
Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 18. Dezember 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, der Departementsentscheid sei aufzuheben und die Angelegenheit sei mit der Anweisung, die Aufenthaltsbewilligung ordentlich zu erneuern, an das Amt für Migration zurückzuweisen; der Entscheid sei auch in Ziff. 3 aufzuheben und es sei vorinstanzlich die unentgeltliche Rechtspflege inkl. -verbeiständung zu gewähren.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung wird mit dem vorliegenden Urteil gegenstandslos.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer erhebt zu Recht subsidiäre Verfassungsbeschwerde, ist doch das ordentliche Rechtsmittel, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, gestützt auf Art. 83 lit. c BGG unzulässig: Weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht räumen ihm einen Anspruch auf die (Verlängerung der) Aufenthaltsbewilligung ein (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Insbesondere ergibt sich kein Bewilligungsanspruch aus den vom Beschwerdeführer angerufenen Art. 7 und 12 BV, was er anerkennt. Gegen die Wegweisung sodann ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich ausgeschlossen (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG).
2.2 Mit der Verfassungsbeschwerde kann (bloss) die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Dass und inwiefern eine solche Rechtsverletzung vorliege, ist in der Beschwerdeschrift konkret darzulegen (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG). Sodann ist zur Verfassungsbeschwerde nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG).
2.2 Mit der Verfassungsbeschwerde kann (bloss) die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Dass und inwiefern eine solche Rechtsverletzung vorliege, ist in der Beschwerdeschrift konkret darzulegen (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG). Sodann ist zur Verfassungsbeschwerde nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG).
2.3 2.3.1 Wie dargelegt, lassen sich aus Art. 7 und 12 BV keine Rechtsansprüche des Beschwerdeführers auf Bewilligungsverlängerung ableiten; damit aber steht, anders als er meint, fest, dass diese Normen ihm - bezogen auf die Bewilligungsfrage - keine rechtlich geschützten Interessen im Sinne von Art. 115 lit. b BGG verschaffen. Dasselbe gilt für das Willkürverbot gemäss Art. 9 BV (BGE 133 I 185). Der Beschwerdeführer ist mithin unter keinem Titel zur Verfassungsbeschwerde gegen den Departementsentscheid berechtigt, soweit dieser die Ablehnung des Gesuchs um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung schützt. Insofern erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unzulässig. Legitimiert zur Verfassungsbeschwerde ist der Beschwerdeführer höchstens insofern, als er die ihm mit dem angefochtenen Entscheid auferlegte Rechtspflicht, auszureisen, d.h. die Wegweisung, anficht.
2.3.2 Der Ausländer, der sich in der Schweiz aufhalten will, bedarf gemäss Art. 1a ANAG einer Bewilligung (s. auch Art. 10 und 11 AuG). Wird seine Bewilligung nicht verlängert, ist er gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 ANAG von der zuständigen Behörde wegzuweisen (s. auch Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Wegweisung ist insofern zwingende Folge der Nichtverlängerung der Bewilligung. Dass eine derartige Ausreiseaufforderung gegen verfassungsmässige Rechte verstosse, ist nur in Ausnahmefällen denkbar. Soweit in einem solchen Fall nicht ohnehin primär auf dem von Art. 14a - 14c ANAG vorgezeichneten Weg (vorläufige Aufnahme, s. auch Art. 83 AuG) vorzugehen wäre, hat der weggewiesene Ausländer jedenfalls besonders deutlich aufzuzeigen, worin die gerügte Verfassungsverletzung bestehe. Der Beschwerdeführer tut dies nicht: Seine Ausführungen laufen darauf hinaus, die angebliche Notwendigkeit einer Bewilligungsverlängerung darzulegen, womit er nicht zu hören ist. Inwiefern die Wegweisung bei bewilligungslosem Zustand als solche gegen Art. 7, 12 oder 9 BV verstossen soll, wird nicht in einer den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Weise dargelegt. Auf die Beschwerde ist auch nicht einzutreten, soweit sie sich gegen die Wegweisung richtet.
2.4 Der Beschwerdeführer rügt schliesslich eine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV; er macht geltend, das Departement hätte sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht wegen Aussichtslosigkeit abweisen dürfen. Die diesbezüglichen Erwägungen des Departements (E. 13.2) halten verfassungsrichterlicher Prüfung stand; insbesondere ist nicht ersichtlich, inwiefern es die Kriterien der Aussichtslosigkeit (s. dazu BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135 f.; 128 I 225 E. 2.5.3 S. 235 f.; BGE 125 II 265 E. 4b S. 275; 124 I 304 E. 2c S. 306) unzutreffend gehandhabt haben könnte. Soweit in diesem Punkt auf die Beschwerde eingetreten werden kann, erweist sie sich als offensichtlich unbegründet (Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG) und ist sie im vereinfachten Verfahren abzweisen.
2.5 Dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Begehren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG).
Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Amt für Migration und dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Januar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller