Erwägungen:
1.
Die Einzelrichterin am Bezirksgericht Landquart erteilte Y._ in der gegen X._ angehobenen Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes A._ gestützt auf den rechtskräftigen Vollstreckungsbescheid des Amtsgerichts Ascherleben vom 4. Dezember 2012 definitive Rechtsöffnung für Fr. 7'433.38 nebst Zins zu 4.870 % seit dem 29. Januar 2013. Das Kantonsgericht von Graubünden wies die Beschwerde von X._ mit Entscheid vom 28. August 2013 ab. Dieser hat den Entscheid mit Eingaben vom 25. September 2013 bzw. 3. Oktober 2013 beim Bundesgericht angefochten. Er ersucht sinngemäss um Aufhebung des angefochtenen Entscheids und um Verweigerung der definitiven Rechtsöffnung. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2.
2.1. Der Einzelrichter des Kantonsgerichts hat erwogen, der Beschwerdeführer mache mit seiner Beschwerde gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid geltend, er sei nicht zur Verhandlung vorgeladen worden und habe diesbezüglich keine Vor- bzw. Einladung erhalten, sodass er in vielen Punkten kein Veto habe einlegen können. Das verfahrensleitende Schriftstück, der Vollstreckungsbescheid, sowie die Vorladung zur Rechtsöffnungsverhandlung gemäss Aktenlage seien dem Beschwerdeführer nachweislich zugestellt worden. Er habe sich daher in einem früheren Stadium des Verfahrens wehren und sein im Beschwerdeverfahren weder konkretisiertes noch substanziiertes Anliegen anlässlich der Rechtsöffnungsverhandlung vor der ersten Instanz vortragen können. Der Beschwerdeführer habe dies unterlassen; neue Anträge und Beweismittel vor Kantonsgericht seien unzulässig (Art. 326 Abs. 1 ZPO). Der angefochtene Entscheid erweise sich als korrekt, sodass die offensichtlich unbegründete Beschwerde in einzelrichterlicher Kompetenz abzuweisen sei.
2.2. In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 135 III 232 E. 1.2 S. 234). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) zustande gekommen ist (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein.
2.3. Der Beschwerdeführer bringt in seiner Eingabe an das Bundesgericht gegen den angefochtenen Entscheids nichts vor. Insbesondere zeigt er nicht durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auf, inwiefern der Einzelrichter des Kantonsgerichts Bundesrecht verletzt oder den Sachverhalt in Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) bzw. anderer Bestimmungen des Bundesrechts festgestellt haben könnte.
2.4. Auf die offensichtlich nicht den in E. 2.2 aufgeführten Anforderungen entsprechend begründete und damit unzulässige Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) durch das präsidierende Mitglied der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (Art. 66 Abs. 1 BGG) nicht einzutreten.
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Graubünden, Schuldbetreibungs- und Konkurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zbinden