Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 9. Oktober 2014 Strafanzeige gegen den Altregierungsrat "Dr. B._ und Komplizen". Die Strafanzeige steht im Zusammenhang mit der Wiederwahl von A._ als Sekundarlehrer anfangs der 90er-Jahre. Die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis teilte A._ mit Schreiben vom 17. November 2014 mit, dass für die Staatsanwaltschaft kein Handlungsbedarf bestehe, da die beanzeigten Straftaten verjährt seien. In der Folge wandte sich A._ an die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich, welches das Schreiben zur direkten Erledigung der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis überwies. Diese teilte A._ am 21. Januar 2015 mit, dass sich an der Ausgangslage seit dem Schreiben der Staatsanwaltschaft vom 17. November 2014 nichts geändert habe. Die behaupteten Straftatbestände seien allesamt verjährt, weshalb eine Strafverfolgung unterbleiben werde.
2.
A._ wandte sich mit Beschwerde vom 6. Juli 2015 an das Obergericht des Kantons Zürich. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich nahm die Eingabe als Rechtsverweigerungsbeschwerde entgegen und wies sie mit Beschluss vom 25. August 2015 ab. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass die Strafverfolgung der angeblichen Straftat wegen Verjährung nicht mehr möglich sei. Die Staatsanwaltschaft habe deshalb zu Recht keine Strafuntersuchung eröffnet.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 8. September 2015 (Postaufgabe 9. September 2015) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit seiner hauptsächlich appellatorischen Kritik nicht mit der Begründung der Strafkammer auseinander, die zur Abweisung seiner Beschwerde führte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- oder verfassungswidrig sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli