Faits:
A.
A.a. Le 28 février 2013, la situation des époux A._ (1929) et B._ (1933) a été signalée au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève par une assistante sociale de l'Unité de gériatrie des Hôpitaux universitaires de Genève. Celle-ci demandait qu'une mesure de curatelle de portée générale soit instituée. Elle expliquait que l'époux n'était plus en mesure de trier et de régler spontanément ses factures, et qu'il reconnaissait ne plus pouvoir assumer la gestion de ses affaires administratives et financières compte tenu de sa santé fragile. Or, le couple dispose d'une grande fortune, dont une partie ne serait pas déclarée. Il ressort du signalement que l'intéressé souhaite intégrer un établissement médico-social (EMS) avec son épouse et qu'il n'a pas proposé de personne de son entourage susceptible d'être désignée comme curateur.
Selon un certificat médical établi le 13 février 2013 par le Dr C._, A._ est incapable de gérer ses affaires administratives et financières. Il peut valablement être entendu et choisir un mandataire, mais ne semble pas en mesure d'en contrôler l'activité, en raison d'un trouble cognitif débutant.
A.b. Par décision du 7 mars 2013, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant de Genève (ci-après: le Tribunal) a désigné Me D._ en qualité de curatrice de A._, en application de l'art. 449a CC, afin qu'elle le représente dans le cadre de cette procédure.
Lors de l'audience du 25 mars 2013, A._ a déclaré qu'il souhaitait pouvoir bénéficier de l'aide d'un curateur dans la gestion de ses affaires, notamment pour ses factures médicales. Il a ajouté qu'il souhaitait intégrer un EMS avec son épouse et qu'il était titulaire d'un compte bancaire non déclaré sur lequel se trouvait une somme de 1'300'000 fr.
Interrogé lors de cette audience, le Dr C._ a confirmé la teneur de son certificat médical, précisant que A._ avait gardé une " bonne curiosité du monde qui l'entourait ", mais qu'il était très fatigué par les soins quotidiens qu'il devait apporter à son épouse. Il a ajouté que, " s'il est capable de se déterminer quant à son propre état de santé (...), il n'est pas capable de se déterminer pour autrui, par exemple pour son épouse ". En outre, il n'était pas exclu qu'il puisse être influencé par des tiers.
B.
B.a. Par ordonnance du 11 avril 2013, le Tribunal a instauré une " curatelle de représentation avec gestion " en faveur de A._ (1), désigné Me E._, avocat, en qualité de curateur (2), dit que le curateur aura pour tâches de le représenter dans ses rapports juridiques envers les tiers en matière administrative, notamment dans les procédures fiscales et pour son admission dans un EMS, et de veiller à la gestion de ses revenus et de sa fortune, d'administrer ses biens avec diligence et d'accomplir les actes juridiques liés à la gestion (3), privé A._ de la faculté d'accéder aux comptes bancaires ou postaux ouverts à son nom, ou dont il est l'ayant droit économique (4), et autorisé le curateur à prendre connaissance de sa correspondance et à pénétrer, en cas de nécessité, dans son appartement (5).
B.b. Par acte déposé le 15 mai 2013, A._ a recouru contre cette décision, concluant à l'annulation des chiffres 2, 4 et 5 de son dispositif; il a également conclu à la désignation de Me D._ en qualité de curatrice, celle-ci étant autorisée à prendre connaissance de sa correspondance et à pénétrer, en cas de nécessité, dans son appartement.
Par courrier du 24 mai 2013, Me D._ a demandé à Me E._ de cesser toute activité dans l'attente de la décision sur recours, A._ ne souhaitant pas qu'il continue à gérer ses affaires.
Dans ses déterminations du 3 juin 2013, le Tribunal s'est référé à son ordonnance du 11 avril 2013, estimant qu'il n'y avait pas lieu de désigner un autre curateur, et précisant que Me E._ avait également été désigné en qualité de curateur de l'épouse de l'intéressé, celle-ci n'ayant par ailleurs pas recouru contre cette désignation.
Par courrier du 10 juin 2013 adressé à la Chambre de surveillance, Me D._ a indiqué que A._ sollicitait son audition.
C.
Statuant le 14 juin 2013, la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Chambre de surveillance) a rejeté le recours ainsi que la requête d'audition.
D.
Par acte du 17 juillet 2013, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cette décision. Il conclut principalement à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle procède à son audition et rende une nouvelle décision. Subsidiairement, il conclut à la réforme de l'arrêt entrepris, en ce sens qu'une " curatelle de représentation avec gestion " est instaurée en sa faveur (1), que Me D._ lui est désignée comme curatrice (2), que le curateur est autorisé à prendre connaissance de sa correspondance et à pénétrer, en cas de nécessité, dans son appartement (3), et qu'il a pour tâches de le représenter dans ses rapports juridiques avec les tiers "en matière administrative, notamment dans les procédures fiscales ", et de veiller à la gestion de ses revenus et de sa fortune (4). Il conclut enfin à ce qu'il conserve la libre disposition de ses comptes bancaires ou postaux, qu'il en soit le titulaire ou l'ayant droit économique (5). Plus subsidiairement, il reprend ses conclusions 1 et 3 à 5 et demande qu'un curateur " autre que Me E._ " soit désigné (2).
Invités à se déterminer, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant a conclu au rejet du recours, sans formuler de plus amples observations, alors que la Chambre de surveillance s'est référée aux considérants de son arrêt.
E.
Par ordonnance présidentielle du 14 août 2013, la requête d'effet suspensif a été rejetée.
Considérant en droit:
1.
Déposé dans le délai légal (art. 100 al. 1 LTF), par l'intéressé dont le recours a été rejeté par l'autorité précédente (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF) dans le domaine de la protection de l'adulte (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF), le présent recours en matière civile est en principe recevable.
2.
Devant l'autorité précédente, le recourant s'est opposé à ce que Me E._ soit désigné comme curateur et a proposé la nomination de Me D._ en cette qualité. Il a également critiqué le fait d'avoir été privé de la faculté d'accéder à ses comptes bancaires.
La Chambre de surveillance, rappelant au préalable que l'art. 401 CC reprend le principe posé par l'art. 381 aCC, a constaté que, à teneur du signalement de l'assistante sociale du 28 février 2013, A._ n'avait proposé aucune personne de son entourage susceptible d'être désignée comme curatrice, pas plus qu'il ne l'a fait lors de son audition par le Tribunal le 25 mars 2013, alors qu'il était déjà assisté de Me D._. Dans ces conditions, on ne saurait faire grief au Tribunal d'avoir nommé Me E._ en qualité de curateur, celui-ci ayant par ailleurs également été désigné comme curateur de l'épouse de l'intéressé. La cour cantonale a relevé que le recourant n'avait fait valoir aucun grief sérieux à l'encontre de Me E._, se contentant d'affirmer qu'un lien de confiance ne s'était pas créé entre eux et d'exposer son souhait de voir Me D._ désignée à sa place.
Examinant ensuite le voeu du recourant quant à la personne de Me D._, les juges précédents ont retenu qu'il convenait d'éviter que le curateur désigné d'office pour la procédure de protection, en application de l'art. 449a CC, soit par la suite désigné en qualité de curateur dans le cadre de la mesure de protection (art. 400 ss CC). Dès lors que le curateur de représentation doit représenter la personne concernée durant la procédure de protection lorsqu'elle n'est pas en mesure de défendre elle-même ses intérêts et de désigner un représentant, sa mission est limitée, et il ne peut pas être désigné en qualité de curateur dans le cadre de la mesure de protection, car il se trouverait alors dans une situation de conflit d'intérêts avec sa mission première. Or, en l'espèce, une curatelle de représentation a été instaurée parce que l'intéressé n'était " pas capable de désigner valablement un représentant ". Enfin, si un conflit survenait entre les intérêts de A._ et ceux de son épouse, dont il est également curateur, Me E._ devrait en informer le Tribunal.
En ce qui concerne la privation de la faculté d'accéder aux comptes bancaires, la cour cantonale a constaté, sur la base du certificat médical du 13 février 2013, que l'intéressé est incapable de gérer ses affaires administratives et financières, qu'il souffre d'un trouble cognitif débutant et qu'il n'est pas exclu qu'il puisse être influencé par des tiers. Pour ces motifs, la mesure ordonnée a été considérée comme proportionnée et nécessaire pour le protéger, même s'il est admis qu'il n'a pas dilapidé ses biens à ce jour. Les juges cantonaux ont précisé qu'il incombait au curateur de veiller à ce qu'un montant mensuel soit laissé à la libre disposition de A._.
Enfin, la Chambre de surveillance a rejeté la requête d'audition du recourant; celui-ci a déjà été entendu par le Tribunal en présence de sa curatrice de représentation et a donc pu, lors de cette audition, " se déterminer sur les points essentiels du litige ".
3.
Le recourant fait grief au Tribunal d'avoir violé son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) et de s'être rendu coupable de déni de justice formel, dès lors qu'il n'aurait pas été interrogé quant à la personne à nommer comme curateur et que son attention n'aurait pas été formellement attirée sur la possibilité de formuler une proposition à ce sujet. Ce manquement n'aurait pas été réparé par la cour cantonale, celle-ci ayant refusé sa demande d'audition. On comprend de son argumentation que le recourant entend soulever la violation de l'art. 447 CC en relation avec l'art. 401 CC.
3.1.
3.1.1. Le droit d'être entendu est une garantie de nature formelle, dont la violation entraîne l'annulation de la décision attaquée sans égard aux chances de succès du recours sur le fond (ATF 137 I 195 consid. 2.2 p. 197; 135 I 279 consid. 2.6.1 p. 285). Ce moyen doit par conséquent être examiné en premier lieu (ATF 124 I 49 consid. 1 p. 50; 121 I 230 consid. 2a p. 232) et avec un plein pouvoir d'examen (ATF 127 III 193 consid. 3 p. 194 et la jurisprudence citée).
Tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend notamment pour le justiciable le droit de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique (ATF 133 I 270 consid. 3.1 p. 277; 126 I 15 consid. 2a/aa p. 16 s.; 124 I 49 consid. 3a p. 51), mais il ne garantit pas le droit de s'exprimer oralement (ATF 125 I 209 consid. 9b p. 219; arrêt 5A_916/2012 du 12 février 2013 consid 3.1). Par exception, une violation du droit d'être entendu, pour autant qu'elle ne soit pas particulièrement grave, peut être réparée lorsque l'intéressé a la possibilité de s'exprimer devant une autorité de recours disposant du même pouvoir d'examen que l'autorité inférieure (ATF 137 I 195 consid. 2.3.2 p. 197 s.; 133 I 201 consid. 2.2 p. 204; 129 I 129 consid. 2.2.3 p. 135).
En matière de protection de l'adulte, le droit d'être entendu de la personne concernée va au-delà des prérogatives qui découlent de cette disposition. L'art. 447 al. 1 CC garantit à la personne concernée par la mesure de curatelle - non pas au curateur, ni aux autres intéressés (Auer/Marti, in Basler Kommentar, Erwachsenenschutz, 2012, n° 13 ss ad art. 447 CC) - le droit d'être entendue personnellement et oralement par l'autorité de protection de l'adulte qui prononce la mesure. Des exceptions à ce principe sont toutefois admissibles si l'audition paraît disproportionnée au vu de l'ensemble des circonstances (Message du 28 juin 2006 concernant la révision du code civil suisse [Protection de l'adulte, droit des personnes et droit de la filiation], FF 2006 6711 ad art. 447 CC). L'audition n'est pas seulement un droit inhérent à la défense de l'intéressé, mais constitue également un moyen pour l'autorité d'élucider les faits et de se forger une opinion personnelle tant sur la disposition mentale de la personne concernée que sur la nécessité d'ordonner ou de maintenir une mesure de protection de l'adulte (FF 2006 6711 ad art. 447 CC; AUER/MARTI, op. cit., 2012, n° 4 ss ad art. 447 CC; pour l'ancien droit: ATF 117 II 379 consid. 2 p. 380 s.; arrêt 5A_916/2012 du 12 février 2013 consid. 3.1). Lors de son audition, l'intéressé doit pouvoir se déterminer sur tous les faits essentiels qui pourraient conduire à l'instauration d'une mesure de protection (ATF 96 II 15 consid. 3 p. 16; arrêt 5A_457/2010 du 11 octobre 2010 consid. 2.1). Pour le surplus, notamment quant à la personne du curateur, l'étendue de l'art. 447 al. 1 CC dépend des circonstances de l'espèce.
Le droit à l'audition n'existe que devant l'autorité de protection de l'adulte; contrairement à ce qui prévaut en matière de placement à des fins d'assistance (art. 426 ss CC; ATF 139 III 257 consid. 4.3 p 260ss), la personne concernée par une mesure de curatelle n'a pas de droit à être de nouveau entendue oralement devant l'autorité de recours (a rt. 450e al. 4 CC a contrario; d'un autre avis: AUER/MARTI, op. cit., n° 2 et 39 ad art. 447 CC).
3.1.2. L'art. 401 CC, en vigueur depuis le 1 er janvier 2013, prévoit la possibilité, pour l'intéressé, de proposer à l'autorité de protection de l'adulte qu'une personne déterminée soit désignée comme curatrice (al. 1). L'intéressé peut également faire valoir ses objections quant à la personne que l'autorité entend nommer comme telle (al. 3).
D'après le Message du Conseil fédéral, l'art. 401 CC correspond à l'art. 381 aCC (FF 2006 6684 ad art. 401 CC). Rien n'indique, ni dans les travaux parlementaires, ni dans le Message précité, que le législateur entendait se distancer de cette disposition et de la jurisprudence y relative dans le cadre du nouveau droit de la protection de l'adulte. Dès lors, il y a lieu de reprendre le principe selon lequel l'autorité a le devoir de s'enquérir de la proposition de l'intéressé quant à la personne du curateur (sous l'empire de l'art. 381 aCC: ATF 107 Ia 343 consid. 3 p. 345; arrêt 5P.394/2002 du 17 janvier 2003 consid. 2.2; à propos de l'art. 401 CC: Ruth E. Reusser, in Basler Kommentar, Erwachsenenschutz, 2012, n° 23 ad art. 401 CC; Christoph Häfeli, in Commentaire du droit de la famille, Protection de l'adulte, 2013, n° 1 ad art. 401 CC). Si l'attention de la personne concernée n'a pas été attirée sur sa possibilité de formuler une proposition, son droit d'être entendu est violé. Le point de savoir s'il y a lieu de l'interroger oralement sur cette question ou si une prise de position écrite suffit doit être examiné à la lumière de l'ensemble des circonstances (cf. supra consid. 3.1.1).
Une violation de l'art. 401 CC peut être réparée en instance de recours (sous l'empire de l'art. 381 aCC: arrêt 5P.394/2002 du 17 janvier 2003consid. 2.2). Dans le cadre du recours contre la désignation du curateur, l'autorité de recours dispose d'une pleine cognition, qui s'étend au contrôle de l'opportunité (art. 450a al. 1 ch. 3 CC).
3.2. Dans le cas présent, le recourant a été entendu oralement par l'autorité de protection de l'adulte. Il a pu s'exprimer sur l'ensemble des éléments déterminants pour sa mise sous curatelle, indiquant d'ailleurs lui-même qu'il souhaitait bénéficier de l'aide d'un curateur pour la gestion de ses affaires, notamment ses factures médicales. En revanche, il n'est pas établi que le Tribunal ait attiré son attention sur la possibilité de proposer une personne comme curateur. Le procès-verbal d'audience du 25 mars 2013 ne contient aucune indication à ce propos. Par ailleurs, rien ne démontre que le recourant aurait eu connaissance de l'intention du Tribunal de nommer Me E._ en qualité de curateur; il n'a donc pas été en mesure de faire valoir les objections qu'il avait à l'encontre du prénommé avant que la décision ne soit prise. Cela étant, il ressort des faits de la cause que l'intéressé a fait usage, dans son recours, de sa possibilité de proposer un curateur. A cette occasion, il a également soulevé les objections qu'il avait à l'encontre de la nomination de Me E._. Les juges précédents ont d'ailleurs tenu compte de ses arguments, puisqu'ils les ont examinés dans l'arrêt entrepris.
S'il n'est certes pas exclu que certaines situations imposent une audition orale de la personne concernée quant à la désignation du curateur (cf. supra consid. 3.1.1), on ne voit pas, en l'occurrence, quelle circonstance particulière aurait justifié un tel procédé. Pour ces motifs, il y a lieu de considérer que les manquements du Tribunal ont été réparés par la prise de position écrite de l'intéressé, nonobstant le rejet de la requête d'audition par la Chambre de surveillance (cf. supra consid. 3.1.1 in fine), qui dispose du même pouvoir d'examen que l'autorité inférieure (cf. supra consid. 3.1.2 in fine). Au demeurant, la cause doit être de toute manière renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur ce point (cf. infra consid. 4.3.1).
4.
Le recourant reproche à la Chambre de surveillance, d'une part de ne pas avoir désigné Me D._ comme curatrice de gestion, contrairement à ce qu'il souhaitait, et, d'autre part, de ne pas avoir tenu compte des objections qu'il avait soulevées à l'encontre de Me E._, alors même qu'il s'opposait pour la première fois à la nomination de ce curateur. Ce faisant, il soutient que l'art. 401 CC n'a pas été respecté.
Le recourant affirme encore qu'il n'existe aucun conflit d'intérêts entre les fonctions de curateur de représentation en procédure et de curateur de gestion, de sorte que Me D._ pouvait parfaitement être nommée comme sa curatrice, d'autant qu'il ne s'est pas opposé à ce qu'une curatelle de gestion soit ordonnée en sa faveur. Au surplus, contrairement à ce qu'affirme la cour cantonale, ce ne serait pas parce qu'il n'était pas capable de désigner valablement un représentant qu'un curateur de représentation lui a été désigné pour la durée de la procédure; il ressortirait en effet du certificat médical du Dr C._ qu'il est en mesure de choisir un mandataire. Enfin, le fait d'avoir nommé le même curateur pour lui et son épouse apparaîtrait inopportun, leurs intérêts respectifs étant susceptibles de diverger, notamment en matière successorale.
4.1. Sous l'empire du droit antérieur, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2012, l'art. 381 aCC prévoyait qu'en principe l'autorité tutélaire nomme comme tuteur la personne proposée par l'intéressé (selon le texte allemand: " soll " Folge leisten). Elle pouvait toutefois s'écarter du voeu de l'incapable, pour autant que de " justes motifs " s'opposent à la désignation de cette personne; elle devait alors exposer les motifs ayant fondé le rejet de la proposition (ATF 107 II 504 consid. 3 p. 506; arrêts 5A_559/2012 du 17 janvier 2013 consid. 5.2; 5A_17/2011 du 20 juillet 2011 consid. 4.1; 5P.332/2000 du 5 octobre 2000 consid. 3a). Cette disposition a été introduite exclusivement dans l'intérêt public, non pas dans l'intérêt privé du bénéficiaire de la mesure (arrêt 5A_443/2008 du 14 octobre 2008 consid. 2.2).
La possibilité pour l'intéressé de proposer une personne en qualité de curateur a été reprise dans le nouveau droit à l'art. 401 al. 1 CC. Lorsque la personne concernée propose une personne comme curateur, l'autorité de protection de l'adulte accède à son souhait (entspricht; acconsente) à condition que la personne proposée remplisse les conditions requises et accepte la curatelle (art. 401 al. 1 CC). La prise en considération des voeux de la personne qui a besoin d'aide permet de tenir compte du fait que, si celle-ci choisit une personne en qui elle a confiance, les chances de succès de la curatelle augmentent. Le principe de l'autonomie de la personne (Selbstbestimmungsrecht; autodeterminazione) est au centre de cette disposition (FF 2006 6684 ad art. 401 CC), plus encore qu'il ne l'était sous l'empire de l'art. 381 aCC (Reusser, op. cit., n° 26 ad art. 401 CC).
4.2. Le curateur doit être une personne physique qui possède les aptitudes et les connaissances nécessaires à l'accomplissement des tâches qui lui seront confiées (art. 400 al. 1 CC). Parmi les éléments déterminants pour juger de l'aptitude figurent notamment le fait de posséder les qualités professionnelles et relationnelles, ainsi que les compétences professionnelles requises pour les accomplir (FF 2006 6683 ad art. 400 CC), de disposer du temps nécessaire et d'exécuter les tâches en personne (art. 400 al. 1 CC), mais aussi de ne pas se trouver en situation de conflit d'intérêts. Ce dernier critère doit permettre au curateur de se dédier à sa tâche sans que l'exécution de celle-ci ne soit rendue impossible ou difficile à l'excès par une autre activité qui lui serait contraire, ou par tout autre intérêt dont il aurait la charge, et de respecter son devoir de diligence ainsi que le secret professionnel auquel il est tenu en vertu de l'art. 413 al. 1 et 2 CC.
La loi envisage expressément les cas dans lesquels les intérêts du curateur et ceux de l'intéressé entreraient en conflit (art. 403 al. 1 CC). La notion de " conflit d'intérêts " peut aussi englober les cas dans lesquels le mandataire est en charge, successivement, de deux mandats contradictoires. En l'occurrence, se pose la question de l'existence d'un conflit d'intérêts, pour la curatrice, entre sa mission de représentation durant la procédure (art. 449a CC) et la mission subséquente de curatrice de représentation avec gestion (art. 394 s. CC). Cette question ne peut être résolue de façon uniforme, mais doit être analysée dans chaque cas d'espèce en tenant compte de l'ensemble des circonstances. En principe, dans le cas où l'intéressé s'oppose au principe même de la curatelle, il n'est pas opportun de confier le mandat de curatelle à celui qui avait été nommé pour l'assister au cours de la procédure. En effet, l'intéressé ne peut en général pas avoir une relation de confiance avec cette personne, si celle-ci assume par la suite le mandat (arrêt 5A_221/2007 du 28 août 2007 consid. 3), ce qui compromet les chances de succès de la mesure. En revanche, lorsque l'intéressé a consenti à la curatelle, il n'est pas forcément inopportun de confier les deux mandats successifs à la même personne.
4.3.
4.3.1. En l'occurrence, le recourant souhaitait bénéficier d'une mesure de curatelle. Au cours de la procédure, il a pu nouer un lien de confiance avec Me D._, celle-ci ayant été nommée comme curatrice pour l'aider dans ses démarches, qui ont d'ailleurs abouti puisque l'autorité a ordonné la mesure sollicitée. Dès lors, on ne voit pas pourquoi la curatrice se trouverait en conflit d'intérêts si elle devait assumer successivement les deux missions. Peu importe, à cet égard, de savoir si elle a été nommée pour assister l'intéressé en procédure parce qu'il n'était pas en mesure de défendre lui-même ses intérêts et de désigner un représentant, ou pour d'autres motifs.
Par conséquent, pour autant qu'aucun autre motif ne s'oppose à la désignation de Me D._ (cf. supra consid. 4.2), et que celle-ci accepte sa mission, elle doit en principe être désignée comme curatrice. La Cour de céans ne disposant pas de tous les éléments nécessaires pour déterminer si elle remplit toutes les autres conditions requises, la cause doit être renvoyée à l'autorité précédente pour instruction complémentaire et nouvelle décision sur ce point (art. 107 al. 2 LTF).
4.3.2. A toutes fins utiles, il convient d'examiner le grief de violation de l'art. 401 al. 3 CC, pour le cas où l'autorité cantonale retiendrait que Me D._ ne possède pas les qualités requises pour être désignée, et déciderait de confirmer Me E._ dans ses fonctions.
En vertu de cette disposition, l'autorité de protection de l'adulte doit tenir compte autant que possible des objections que la personne concernée soulève à la nomination d'une personne déterminée. Le droit de l'intéressé de refuser la nomination d'une personne n'est cependant pas absolu, car il y a lieu d'éviter que des refus répétés n'empêchent d'instituer la curatelle (FF 2006 6684 ad art. 401 CC). Lorsque l'intéressé formule des objections, l'autorité de protection de l'adulte doit examiner si celles-ci sont objectivement plausibles. Il y a lieu de se montrer moins strict dans l'appréciation des objections lorsque la personne s'oppose, pour la première fois, à ce qu'une personne soit désignée comme curatrice et qu'elle ne conteste pas la mesure en tant que telle.
En l'espèce, l'autorité précédente ne pouvait donc pas se contenter de rejeter les objections du recourant à l'encontre de la désignation de Me E._ pour le seul motif qu'il n'avait allégué " aucun grief sérieux " à l'encontre de celui-ci; elle devait tout au moins expliquer en quoi ces critiques, qui ne sont pas explicitées dans la décision attaquée, ne seraient pas objectivement plausibles. Elle devait également tenir compte, d'une part, du fait que le recourant ne semble pas vouloir empêcher la mise en place de la curatelle, puisqu'il a lui-même proposé un curateur, et, d'autre part, du fait qu'il n'avait encore jamais formulé d'objections. Quant à l'éventuel conflit d'intérêts qui résulterait du double mandat de Me E._, curateur de l'intéressé et de son épouse, la question n'est plus d'actualité, l'épouse étant désormais décédée.
5.
Dans un dernier grief, le recourant soutient que le fait d'avoir été privé d'accéder à ses comptes bancaires violerait l'art. 395 CC. Il prétend n'avoir jamais dilapidé sa fortune, ni avoir eu l'intention de le faire. Il posséderait par ailleurs d'importantes économies. Résidant actuellement dans un EMS, il serait protégé de l'influence de tiers. Enfin, il expose qu'il ne s'agit pas de déterminer s'il y a un risque qu'il soit influencé par des tiers, mais plutôt " s'il existe des éléments concrets qui permettent de penser qu' [il] pourrait être amené à dépenser son argent de manière inconsidérée, sous l'influence de tiers ", ce qui ne serait pas le cas en l'espèce. Dès lors, la mesure de blocage des comptes ne respecterait pas le principe de la proportionnalité.
5.1.
5.1.1. L'art. 395 CC dispose que, lorsque l'autorité de protection de l'adulte institue une curatelle de représentation ayant pour objet la gestion du patrimoine, elle détermine les biens sur lesquels portent les pouvoirs du curateur. Elle peut soumettre à la gestion tout ou partie des revenus ou de la fortune, ou l'ensemble des biens (al. 1). A moins que l'autorité n'en décide autrement, les pouvoirs de gestion du curateur s'étendent à l'épargne constituée sur la base des revenus et du produit de la fortune gérée (al. 2). Même si elle décide de ne pas limiter l'exercice des droits civils de la personne concernée, l'autorité de protection de l'adulte peut la priver de la faculté d'accéder à certains éléments de son patrimoine (al. 3), afin de la protéger. La mesure de curatelle de représentation en relation avec la gestion du patrimoine a pour but de protéger les personnes qui ne sont pas capable de gérer seules leurs biens sans porter atteinte à leurs propres intérêts (Helmut Henkel, in Basler Kommentar, Erwachsenenschutz, 2012, n° 5 ad art. 395 CC; Philippe Meier, in Commentaire du droit de la famille, Protection de l'adulte, 2013, n° 6 ad art. 395 CC). Les biens bloqués sont accessibles au curateur, qui peut les utiliser dans l'intérêt de son pupille. Ils ne constituent pas un patrimoine séparé, dès lors qu'ils continuent de répondre des obligations contractées par la personne mise sous curatelle (FF 2006 6680 ad art. 395 CC).
Lorsqu'elle détermine les biens sur lesquels portent les pouvoirs du curateur, l'autorité de protection de l'adulte doit tenir compte des besoins de la personne concernée, en application du principe général de l'art. 391 al. 1 CC. Elle jouit d'un large pouvoir d'appréciation. Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec retenue l'exercice du pouvoir d'appréciation par l'autorité cantonale. Il n'intervient que si la décision s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou repose sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou encore si elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient dû être pris en considération; en outre, il sanctionnera les décisions rendues en vertu du pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 138 III 252 consid. 2.1 p. 253 s.; 136 III 278 consid. 2.2.1 p. 279).
5.1.2. En considération des principes de la proportionnalité et de l'autonomie de la personne concernée, le curateur est tenu de mettre des montants appropriés à la libre disposition de cette personne (art. 409 CC). Pour déterminer, concrètement, quels montants sont appropriés, il faut notamment tenir compte des revenus et de la fortune de l'intéressé, ainsi que des éléments patrimoniaux qu'il continue d'administrer lui-même ou auxquels il continue d'avoir accès (FF 2006 6686 ad art. 409 CC). Ses besoins et son niveau de vie doivent également être pris en compte. Tous ces éléments sont susceptibles d'évoluer; partant, il en va de même du montant considéré comme " approprié ". Dès lors que la curatelle de représentation avec gestion poursuit un but de protection de l'intéressé (cf. supra consid. 5.1.1) et ne vise pas les intérêts publics ou privés au maintien, voire à l'accroissement, du patrimoine, la fortune pourra, selon les circonstances, être entamée. Le principe de la proportionnalité exige, en outre, que l'on revienne sur les mesures prises dans l'hypothèse où elles ne se révéleraient plus nécessaires. L'intéressé peut en appeler à l'autorité de protection de l'adulte contre les actes ou les omissions du curateur (art. 419 CC).
5.2. En l'occurrence, la Chambre de surveillance n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation. Elle a tenu compte du risque existant, pour le recourant, d'être influencé par des tiers, et du fait qu'il souffre d'un trouble cognitif débutant, ces deux éléments ressortant du certificat médical ainsi que de l'audition du Dr C._. La mesure de curatelle ayant pour but de protéger l'intéressé (cf. supra consid. 5.1.1), il se justifiait précisément, à ce stade, de prévenir tout acte de sa part tendant à mettre en péril sa fortune, de sorte que l'argument selon lequel il n'a pas encore procédé à de tels actes est sans pertinence. Au demeurant, le seul fait de résider dans un EMS n'écarte pas le risque d'être influencé par des tiers.
L'autorité cantonale a précisé à juste titre (cf. supra consid. 5.1.2) qu'il incombait au curateur de " laisser au recourant un montant mensuel librement disponible ". La mesure de blocage ordonnée ne concerne que les comptes dont le recourant était titulaire ou ayant droit économique au moment où l'autorité de protection de l'adulte a rendu sa décision, à savoir le 11 avril 2013. Ainsi, dans la mesure et aussi longtemps qu'il l'estime adéquat en fonction de l'ensemble des circonstances, le curateur peut par exemple ouvrir un nouveau compte et le laisser à la libre disposition du pupille; le cas échéant, il veillera à l'alimenter régulièrement du montant approprié, qui sera déterminé en tenant compte, notamment, des revenus et de la fortune de l'intéressé, ainsi que de son niveau de vie (cf. supra consid. 5.1.2).
6.
En conclusion, le recours doit être admis, et l'arrêt attaqué annulé en tant qu'il concerne la personne désignée en qualité de curateur et rejeté pour le surplus. Dans ces circonstances, il convient en équité de réduire les frais de justice à la charge du recourant (art. 66 al. 1, 2 e phr. LTF). Le canton de Genève n'a pas à supporter de frais (art. 66 al. 4 LTF), mais doit verser au recourant une indemnité de dépens réduite (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé en ce qui concerne la désignation de Me E._ en qualité de curateur et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de 1'500 fr., à verser au recourant à titre de dépens, est mise à la charge du canton de Genève.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant de Genève, à la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève et à Me E._.
Lausanne, le 3 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Bonvin