Sachverhalt:
A. Der mazedonische Staatsangehörige A.X._, geb. 1959, reiste im Jahre 1981 in die Schweiz ein. Seine Ehefrau B.X._, geb. 1966, ebenfalls mazedonische Staatsangehörige, gelangte 1987 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz. 1986 wurde der Sohn C._, 1991 die Tochter D._ geboren. Die ganze Familie erhielt in der Folge die Niederlassungsbewilligung.
B. Am 30. November 2007 verfügte das Migrationsamt des Kantons Thurgau die Ausweisung von A. und B.X._ sowie der gemeinsamen Tochter D._ für die Dauer von drei Jahren wegen fortgesetzter und erheblicher Sozialhilfeabhängigkeit. Das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau wies am 23. Dezember 2008 einen dagegen erhobenen Rekurs ab.
C. Am 23. September 2009 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau eine bei ihm eingereichte Beschwerde hinsichtlich der Tochter D.X._ gut, wies sie hingegen betreffend die Eltern A. und B.X._ ab.
D. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde, an das Bundesgericht stellen A. und B.X._ die folgenden Anträge:
"1. Das Urteil des Verwaltungsgerichts Thurgau vom 23.9.09 (...) (gleich wie die vorangegangenen Entscheidungen des Migrationsamtes Thurgau vom 30.11.07 sowie des Departements für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau vom 23.12.08) betreffend Ausweisung seien aufzuheben.
2. a) Von einer Ausweisung sei abzusehen, und es sei den erwähnten Personen die Niederlassungsbewilligung erneut zu erteilen.
b) Eventualiter sei ihnen die Niederlassungsbewilligung mit geeigneten Auflagen und Vorbehalten bzw. auf Zusehen hin zu gewähren.
c) Subeventualiter sei ihnen zu allermindest eine Jahresaufenthaltsbewilligung (soweit erforderlich mit Bedingungen und Auflagen) zu gewähren.
3. Eventuell sei die Angelegenheit zur neuen Entscheidung im Sinne der vorstehenden Anträge (...) an die kantonalen Instanzen zurückzuweisen. (...)"
E. Zur Begründung wird im Wesentlichen geltend gemacht, das Urteil des Verwaltungsgerichts verstosse gegen Gesetzesrecht des Bundes und verletze verschiedene Grund- und Menschenrechte wie Art. 8 EMRK sowie Art. 7, 8, 9, 13 und 29 Abs. 2 BV.
F. Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
G. A. und B.X._ reichten mehrere weitere Eingaben unter Beilegung verschiedener Unterlagen nach, die meist aus parallelen sozialversicherungsrechtlichen Verfahren stammen.
H. Mit Verfügung vom 20. November 2009 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
I. Am 11. Januar 2010 wies der Instruktionsrichter ein Begehren der Beschwerdeführer um Sistierung des Beschwerdeverfahrens ab.
Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2008 ist das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) in Kraft getreten. Art. 126 Abs. 1 AuG bestimmt jedoch, dass auf Gesuche, die vor dem Inkrafttreten dieses Gesetzes eingereicht worden sind, noch das bisherige Recht anwendbar bleibt. Gleiches gilt in analoger Anwendung der genannten Übergangsregelung auch für behördlich eingeleitete ausländerrechtliche Massnahmen wie die Ausweisung. Im vorliegenden Fall ist die strittige Ausweisung ohnehin noch unter der Geltung des alten Rechts - d.h. des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) und der dazu gehörigen Verordnung (ANAV; AS 1949 228) - und gestützt darauf verfügt worden. Dieses bleibt damit in der Sache anwendbar (vgl. das Urteil 2C_329/2009 vom 14. September 2009 E. 2.1 mit Hinweisen). Das Verfahren richtet sich jedoch nach dem neuen Recht (Art. 126 Abs. 2 AuG).
2. 2.1 Gegen letztinstanzlich gerichtlich beurteilte kantonale Ausweisungsentscheide steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 ff. BGG, insbes. Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG e contrario). Auf die frist- und formgerecht eingereichte entsprechende Beschwerde der hierzu legitimierten Beschwerdeführer ist somit grundsätzlich einzutreten, soweit sie sich gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 23. September 2009 richtet (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG).
2.2 Die Verfügung des Migrationsamts vom 30. November 2007 bzw. der Rekursentscheid des Departements für Justiz und Sicherheit vom 23. Dezember 2008 gelten hingegen lediglich inhaltlich als mitangefochten, bilden aber nicht unmittelbar selber Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens und können deshalb - entgegen dem Antrag der Beschwerdeführer - nicht aufgehoben werden (vgl. BGE 129 II 438 E. 1 S. 441; 125 II 29 E. 1c S. 33). Insoweit ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten.
2.3 Nach Art. 83 lit. c Ziff. 5 BGG ist die Beschwerde unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Abweichungen von den Zulassungsvoraussetzungen. Die Beschwerdeführer berufen sich unter anderem darauf, sie befänden sich in einer Härtefall-Situation nach Art. 13 lit. f bzw. Art. 36 der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (BVO; AS 1986 1791) oder Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG in Verbindung mit Art. 31 VZAE. Da sich das Verfahren nach dem neuen Recht richtet, greift der Ausschluss von Art. 83 lit. c Ziff. 5 BGG, denn bei der Beurteilung des Härtefalles handelt es sich - sowohl alt- als auch neurechtlich - um einen Tatbestand der Abweichungen von den Zulassungsvoraussetzungen. Auch insofern kann auf die Beschwerde daher nicht eingetreten werden.
2.4 Steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, ist die vorsorglich eingereichte subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG unzulässig, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann. Ob hier die subsidiäre Verfassungsbeschwerde hinsichtlich der Frage der allfälligen Erteilung einer Härtefallbewilligung zulässig sein könnte, kann offen bleiben. Zunächst ist fraglich, ob die Vorinstanzen über diesen Punkt überhaupt entschieden haben und insofern ein anfechtbarer Entscheid vorliegt. So oder so wären die Beschwerdeführer aber lediglich legitimiert, die Verletzung von Parteirechten zu rügen, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft, da ihnen kein Anspruch auf Erteilung einer Härtefallbewilligung zusteht (vgl. BGE 133 I 185 E. 6 S. 197 ff.). Solche Rügen bringen die Beschwerdeführer nicht vor, weshalb sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde auch hinsichtlich des allfälligen Streitpunktes der Härtefallbewilligung als unzulässig erweist.
3. 3.1 Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an, prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht werden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). Dabei gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten, insbesondere des Willkürverbots, eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254, 396 E. 3.1 S. 399). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252).
3.2 Die Beschwerdeführer rügen unter anderem, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Art. 7 BV (Garantie der Menschenwürde), Art. 8 Abs. 2 BV (Diskriminierungsverbot) und Art. 9 BV (Willkürverbot). Ihre entsprechenden Begründungen sind aber sehr allgemein gehalten und beschränken sich im Wesentlichen auf die Behauptung, die Beschwerdeführer würden diskriminiert und willkürlich behandelt und die Behörden hätten ihre Menschenwürde missachtet. Worin genau die Diskriminierung gegenüber anderen Menschen und die Verletzung der Menschenwürde liegen sollen, wird nicht dargetan. Es versteht sich von selbst, dass die Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid als hart empfinden. Das genügt aber nicht, um die fraglichen Rügen zu begründen. Die Beschwerdeführer hätten ausführen müssen, worin die spezifischen Grundrechtsverletzungen liegen sollen und inwieweit die von der Vorinstanz verfolgte Auslegung und Anwendung des Gesetzesrechts mit den angerufenen Grundrechten nicht vereinbar sein sollten. Rechtsgenügliche Ausführungen finden sich einzig zur Frage der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung sowie allenfalls zur angeblich willkürlichen Vorgehensweise der Behörden. Im Übrigen kann auf die entsprechenden Rügen mangels genügender Begründung nicht eingetreten werden.
4. 4.1 Nach Art. 99 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt.
4.2 Die Beschwerdeführer berufen sich wiederholt auf Entwicklungen in den parallel hängigen sozialversicherungsrechtlichen Verfahren und reichten dazu nachträglich auch mehrere ergänzende Eingaben und Beweisstücke ein. Die fraglichen Umstände und Unterlagen stellen indessen neue Tatsachen und Beweismittel dar, in der Regel im Sinne so genannt echter, d.h. erst nach dem angefochtenen Entscheid eingetretener Noven, für deren Massgeblichkeit nicht erst der Entscheid der Vorinstanz Anlass gab. Sie können daher im vorliegenden Verfahren nicht berücksichtigt werden und sind allesamt aus dem Recht zu weisen.
5. 5.1 Die Beschwerdeführer rügen in verschiedenem Zusammenhang, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich festgestellt.
5.2 Anhaltspunkte für eine falsche Sachverhaltsfeststellung gibt es freilich einzig im Zusammenhang mit dem Jahr der Einreise des Beschwerdeführers. Nach dem angefochtenen Entscheid ist der 1959 geborene Beschwerdeführer im Alter von 23 Jahren, also frühestens 1982, in die Schweiz gelangt. Gemäss dem Entscheid des Migrationsamts vom 30. November 2007 erfolgte die Einreise, wie dies auch die Beschwerdeführer darstellen, bereits 1981. Auf diesen Unterschied kommt es allerdings nicht wesentlich an, weshalb offen bleiben kann, ob es sich dabei um eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung handelt.
5.3 Was die Einschätzung der gesundheitlichen und sozialversicherungsrechtlichen Situation der Beschwerdeführer betrifft, besticht das angefochtene Urteil durch ausführlich begründete, eingehende Erläuterungen. Was daran offensichtlich falsch sein sollte, ist nicht ersichtlich. Wohl musste sich das Verwaltungsgericht teilweise auf eine Prognose der wahrscheinlichen Entwicklung stützen. Es tat dies aber mit vertieften Erwägungen, deren Ansatz nicht unhaltbar erscheint. Die Beschwerdeführer vermögen diese Einschätzung nicht fundiert zu widerlegen.
5.4 Nicht offensichtlich falsch sind auch die Feststellungen, wonach die Beschwerdeführer mangelnde Bereitschaft zeigten, sich in der Schweiz zu integrieren und hier angemessene Arbeit zu suchen. Zweifellos spielten hier der Gesundheitszustand des Ehemannes und die Arbeitsmarktlage ebenfalls eine wesentliche Rolle. Dennoch durfte das Verwaltungsgericht willkürfrei davon ausgehen, dass die Beschwerdeführer nicht alle möglichen Anstrengungen unternommen haben, um die wirtschaftliche Selbständigkeit zu erlangen und sich hier zu integrieren. Ohnehin nicht zu beanstanden ist die Feststellung als solche, die Beschwerdeführer gingen - aus welchen Gründen auch immer - seit Jahren keiner Beschäftigung mehr nach und hätten auch schon früher nicht immer gearbeitet.
6. 6.1 Die Beschwerdeführer sehen darin einen Verstoss gegen das Willkürverbot nach Art. 9 BV sowie den Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV, dass das Verwaltungsgericht das Ergebnis der hängigen sozialversicherungsrechtlichen Verfahren nicht abwartete. Die Beschwerdeführer machen nicht geltend, die Vorinstanz habe in verfassungswidriger Weise kantonales Verfahrensrecht angewendet. Zu prüfen ist daher lediglich die Vereinbarkeit des Verfahrens mit dem Verfassungsrecht des Bundes.
6.2 Mit Blick auf Art. 29 BV ist eine Sistierung nur dann erforderlich, wenn zwingende Gründe dafür sprechen (vgl. etwa BGE 133 III 139 E. 6). Das trifft hier nicht zu. Sollte sich die tatsächliche Ausgangslage durch das Ergebnis der sozialversicherungsrechtlichen Verfahren in massgeblicher Weise ändern, stünde es den Beschwerdeführern, falls der angefochtene Entscheid zu schützen sein sollte, frei, ein Gesuch um Wiedererwägung bzw. um Wiedererteilung einer ausländerrechtlichen Anwesenheitsbewilligung zu stellen. Einzig wenn ihnen das Abwarten des Ergebnisses der sozialversicherungsrechtlichen Verfahren angesichts der damit verbundenen schwer abschätzbaren Dauer im Ausland nicht zumutbar wäre, hätte sich eine Sistierung allenfalls gerechtfertigt. Diese Voraussetzung ist vorliegend aber nicht erfüllt (vgl. die nachfolgende E. 7.3).
6.3 Was die Vorgehensweise der Vorinstanzen betrifft, so deckt sich die entsprechende Rüge der Beschwerdeführer weitgehend mit derjenigen der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung. Ergänzend ist hier einzig zu erwähnen, dass es im Kanton Thurgau - unter der Geltung des alten Rechts - offenbar üblich war, bei Niedergelassenen ein Verfahren um Ausweisung einzuleiten, wenn ihre Sozialhilfebezüge Fr. 100'000.-- überstiegen. Bei den Beschwerdeführern war dies im Sommer 2007 der Fall, nachdem sie von Dezember 1997 bis zum Januar 2000 sowie vom Oktober 2004 bis zum Juli 2007 öffentliche Unterstützungsleistungen bezogen hatten. Der Antrag auf Aufhebung der Anwesenheitsbewilligung bzw. sinngemäss auf Ausweisung erging Anfang September 2007 vom Fürsorgeamt der Stadt Amriswil und damit unmittelbar nachdem der fragliche Schwellenwert erreicht worden war. Die Einleitung des Verfahrens erscheint daher als praxisgemäss, und es gibt keine Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdeführer willkürlich ausgewählt wurden. Dass sodann im ausländerrechtlichen Verfahren eine gewisse Prognose über den Ausgang der sozialversicherungsrechtlichen Verfahren unerlässlich war und dass diese jedenfalls nicht in unhaltbarer Weise zustande gekommen ist, wurde bereits dargelegt (vgl. E. 5.3).
7. 7.1 Nach Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG darf ein Ausländer unter anderem dann aus der Schweiz ausgewiesen werden, wenn er oder eine Person, für die er zu sorgen hat, der öffentlichen Wohltätigkeit fortgesetzt und in erheblichem Masse zur Last fällt. Die Ausweisung soll indessen nur verfügt werden, wenn sie nach den gesamten Umständen "angemessen", d.h. verhältnismässig erscheint (Art. 11 Abs. 3 ANAG, vgl. BGE 125 II 521 E. 2a S. 523). Dabei sind namentlich die Schwere des Verschuldens, die Dauer der Anwesenheit in der Schweiz sowie die dem Betroffenen und seiner Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen (Art. 16 Abs. 3 ANAV). Die Ausweisung wegen einer erheblichen Fürsorgeabhängigkeit darf überdies nur verfügt werden, wenn dem Ausgewiesenen die Heimkehr in seinen Heimatstaat möglich und zumutbar ist (Art. 10 Abs. 2 ANAG). Für die Einschätzung einer Fürsorgeabhängigkeit als fortgesetzt im Sinne von Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG ist nicht so sehr von Bedeutung, ob gegenwärtig eine Abhängigkeit von der Sozialhilfe besteht. Entscheidend ist vielmehr, ob die Abhängigkeit zurückblickend einige Zeit andauerte, und ob die Befürchtung berechtigt ist, dass auch für die weitere Zukunft Unterstützung geleistet werden muss (vgl. BGE 125 II 633 E. 3c S. 641; 122 II 1 E. 3c S. 8; 119 Ib 1 E. 3b S. 6 sowie das Urteil des Bundesgerichts 2C_795/2008 vom 25. Februar 2009 E. 4.3).
7.2 Die Beschwerdeführer bezogen über den Zeitraum von mehreren Jahren öffentliche Sozialhilfe von insgesamt mehr als Fr. 100'000.--. Das Bundesgericht hat bei der Beurteilung der Erheblichkeit der Unterstützungsleistungen immer eine auf die ganze Familie bezogene Gesamtbeurteilung vorgenommen und den fraglichen Betrag nicht, wie die Beschwerdeführer vorrechnen, auf die betroffenen Einzelpersonen aufgeteilt. Umgekehrt sind dafür die Einkommensmöglichkeiten aller Familienmitglieder mitzuberücksichtigen (vgl. BGE 119 Ib 1 E. 3c S. 6 f.; Urteil 2C_210/2007 vom 5. September 2007 E. 3.1 in: SJ 2008 I S. 153 und 165). Von untergeordneter Bedeutung ist, dass die Beschwerdeführer im Moment ohne Unterstützung auskommen (BGE 119 Ib 1 E. 3b S. 6; Urteil 2A.70/2001 vom 7. Mai 2001 E. 4a in: RDAT 2001 II Nr. 60 S. 240). Hingegen waren sie bereits zweimal während längerer Zeit nicht in der Lage, für ihren Lebensbedarf aufzukommen, und sie mussten in erheblichem Ausmass vom Gemeinwesen unterstützt werden. Sodann erweist sich die Arbeits- und Einkommenssituation beider Beschwerdeführer insgesamt als sehr instabil. Weder verfügen sie über ein konstantes Erwerbseinkommen, noch erscheinen die von ihnen angestrebten sozialversicherungsrechtlichen Leistungen gesichert, schon gar nicht im erhofften Umfang. Dass der Sohn Hilfe leistet und bei der Tochter eine gewisse Entlastung zu erwarten ist, ist zwar zu berücksichtigen, vermag das wahrscheinliche Defizit aber nicht zu beheben. Mit Grund beurteilte daher das Verwaltungsgericht die Prognose der Einkommensentwicklung als ungünstig. Dabei spielte zu Recht auch eine Rolle, dass die Beschwerdeführer sich trotz mehr als 20-jähriger Anwesenheit nicht durch besondere Anstrengungen auszeichneten, sich hier zu integrieren. Immerhin besuchte die Beschwerdeführerin nunmehr einen Deutschkurs, doch erfolgte dies nicht nur reichlich spät, sondern es zeichneten sich bisher auch keine erkennbaren Auswirkungen auf die Erwerbssituation ab.
7.3 Angesichts der langjährigen Anwesenheit trifft die Ausweisung die Beschwerdeführer zweifellos hart. Dass sie ihnen aber nicht zumutbar wäre, ist nicht ersichtlich. Sie sind hier nicht besonders gut integriert, und es bestehen keine speziellen Bindungen zur Schweiz. Aufgewachsen sind sie im Heimatland, und sie sprechen noch immer vorwiegend die dortige Sprache. Schliesslich sind beide Kinder inzwischen volljährig und nicht mehr auf die unmittelbare Betreuung durch die Eltern angewiesen. Das führt auch dazu, dass die Beschwerdeführer zu Unrecht eine Verletzung von Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV geltend machen, können sich doch im Zusammenhang mit ausländerrechtlichen Massnahmen grundsätzlich nur die Eheleute und die minderjährigen Kinder auf diese Bestimmungen berufen. Anhaltspunkte für massgebliche Abhängigkeiten, die ausnahmsweise eine weitere Anwendbarkeit rechtfertigen (vgl. BGE 120 Ib 257; 115 Ib 1), bestehen nicht. Dass den Beschwerdeführern allein gestützt auf das Privatleben ein Anwesenheitsrecht zustünde (vgl. dazu das Urteil des Bundesgerichts 2C_266/2009 vom 22. Februar 2010 mit Hinweisen), machen sie ohnehin nicht geltend, zumal die entsprechenden Voraussetzungen angesichts ihrer mangelhaften Integration offensichtlich nicht erfüllt wären.
7.4 Die Beschwerdeführer beantragen als mildere Massnahme die befristete und an Auflagen gebundene Erteilung einer Niederlassungs-, eventuell Aufenthaltsbewilligung.
7.4.1 Nach Art. 6 Abs. 1 ANAG ist die Niederlassungsbewilligung unbefristet, und sie darf nicht mit Bedingungen verbunden werden. Damit erweist sich der Eventualantrag der Beschwerdeführer auf Erteilung einer Niederlassungsbewilligung auf Zusehen hin und allenfalls verbunden mit Auflagen von vornherein als gesetzeswidrig, weshalb ihm schon aus diesem Grunde nicht Folge geleistet werden kann.
7.4.2 Ebenfalls ausgeschlossen ist die Erteilung einer mit Auflagen verbundenen Aufenthaltsbewilligung, auch wenn eine solche stets befristet ist und insofern Auflagen und Bedingungen zulässig sind (vgl. Art. 5 ANAG). Bei der Ausweisung handelt es sich um eine Massnahme mit grundsätzlich drei Rechtswirkungen: Sie bringt eine bestehende Anwesenheitsbewilligung zum Erlöschen (vgl. Art. 9 Abs. 1 lit. d ANAG [betreffend Aufenthaltsbewilligung] und Art. 9 Abs. 3 lit. b ANAG [betreffend Niederlassungsbewilligung]), und sie führt dazu, dass die betroffene Person die Schweiz zu verlassen hat und für eine bestimmte Dauer nicht mehr in die Schweiz einreisen darf (vgl. Art. 10 und 11 ANAG). Wollten die Behörden im vorliegenden Fall die Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführer beseitigen, mussten sie nur schon deshalb auf die Ausweisung zurückgreifen, weil kein anderer Erlöschens- oder Widerrufsgrund erfüllt ist. Angesichts der zusätzlichen Rechtsnatur der Ausweisung als Entfernungs- und Fernhaltemassnahme erschiene es sodann widersprüchlich, diese anzuordnen und gleichzeitig doch wieder eine Anwesenheitsbewilligung zu erteilen, wie das die Beschwerdeführer beantragen; als Alternative bestünde lediglich die Möglichkeit, die Ausweisung anzudrohen (vgl. Art. 16 Abs. 3 ANAV sowie BGE 98 Ib 177; Urteil 2A.70/2001 vom 7. Mai 2001 E. 4d in: RDAT 2001 II Nr. 60 S. 240). Die Anordnung der Ausweisung, die hier im Übrigen nicht auf unbestimmte Dauer, sondern für drei Jahre ausgesprochen wurde, ist aber nicht unverhältnismässig. Sie erweist sich vielmehr als erforderliche Massnahme, nachdem die Beschwerdeführer während vielen Jahren die Sozialhilfe in erheblichem Umfang beansprucht und keine sichtbaren Anstrengungen unternommen haben, von der entsprechenden Abhängigkeit loszukommen, obwohl ihnen klar sein musste, dass ihr ausländerrechtlicher Status bei fortgesetzter erheblicher Sozialhilfeabhängigkeit in Gefahr geraten könnte. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanzen die Ausweisung ausgesprochen und nicht lediglich angedroht haben.
7.5 Der angefochtene Entscheid verstösst somit nicht gegen Bundesrecht.
8. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten (vgl. E. 2.4).
Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer unter Solidarhaft kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5, Art. 65 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter Solidarhaft auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Migrationsamt, dem Departement für Justiz und Sicherheit sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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