Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Im angefochtenen Entscheid wurde auf eine kantonale Beschwerde nicht eingetreten, weil der Beschwerdeführer das mit seiner Originalunterschrift versehene Rechtsmittel verspätet der Vorinstanz nachgereicht hatte. Die Kosten wurden ihm auferlegt. Soweit er sich vor Bundesgericht nicht mit der Verspätung und der Kostenauflage im kantonalen Verfahren befasst, ist darauf nicht einzutreten, weil nur die beiden erwähnten Punkte Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht sein können.
In Bezug auf die kantonale Zustellung und den dadurch ausgelösten Fristenlauf merkt der Beschwerdeführer auf dem angefochtenen Entscheid an, der Sachverhalt sei in Tat und Wahrheit ganz anders und die Beweise dafür habe er beim Bundesamt für Justiz hinterlegt (angefochtener Entscheid S. 3). Mit dieser reinen Behauptung, die er nicht vor Bundesgericht, sondern angeblich beim Bundesamt für Justiz bewiesen hat, kann die Beschwerde nicht begründet werden. Ein Beweis muss, soweit er für das bundesgerichtliche Verfahren überhaupt wesentlich ist, beim Bundesgericht selber geführt werden.
In Bezug auf die Kostenauflage merkt der Beschwerdeführer auf dem angefochtenen Entscheid an, es könne und dürfe nicht sein, dass ihm aus einer berechtigten Einsprache Kosten verrechnet werden (angefochtener Entscheid S. 5). Ob seine Einsprache berechtigt gewesen wäre, kann indessen nicht Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht sein. Zur Frage, ob ihm die Kosten auferlegt werden durften, nachdem er das unterschriebene Rechtsmittel nicht fristgemäss eingereicht hatte, äussert er sich nicht.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seiner finanziellen Situation ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. November 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn