Fatti:
A. Il 30 novembre 2006 B._ ha donato la part. xxx di X._ alla figlia C._, la quale lo ha in seguito gravato con un diritto di usufrutto vita naturale durante a favore del marito A._. In precedenza C._ aveva concesso in locazione al padre B._ un appartamento di 8 locali e mezzo situato nell'immobile, adibito ad abitazione e studio medico, per una pigione mensile di fr. 4'750.--.
Il 18 aprile 2008 A._ ha disdetto il rapporto di locazione seguendo la procedura prevista dall'art. 257d CO; asseriva che il conduttore non aveva pagato le pigioni da giugno 2007 a febbraio 2008, per un importo totale scoperto di fr. 42'750.--.
B. Con sentenza del 28 agosto 2009 il Pretore di Locarno-Città ha accertato la nullità della disdetta e respinto l'istanza di sfratto di A._.
L'appellazione interposta da A._ è stata respinta dalla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino il 30 gennaio 2010. La Corte cantonale ha respinto anche la domanda di assistenza giudiziaria presentata da A._ per la procedura d'appello.
C. Il 1° marzo 2010 A._ è insorto davanti al Tribunale federale con un ricorso in materia civile. Chiede che, in riforma della sentenza impugnata, sia respinta l'istanza di contestazione della disdetta, sia accolta quella di sfratto, sia sovvertito il giudizio su spese e ripetibili e sia concessa l'assistenza giudiziaria per la procedura d'appello.
Con istanza separata, allegata all'atto di ricorso, A._ chiede inoltre di essere posto al beneficio del gratuito patrocinio anche per la procedura federale.
Non sono state chieste osservazioni.
Diritto:
1. Interposto tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF in relazione con l'art. 46 cpv. 1 lett. b LTF) dalla parte soccombente in sede cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF) contro una decisione finale (art. 90 LTF) pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 cpv. 1 LTF) in una causa civile in materia di diritto di locazione il cui valore litigioso supera fr. 15'000.-- (art. 74 cpv. 1 lett. a LTF), il ricorso è ricevibile, perlomeno sotto questo profilo.
2. A mente del Pretore il convenuto ha provato per mezzo di "indizi concordanti" che "alla scadenza del termine di 30 giorni non vi era nessuna mora in relazione ai canoni di locazione per fr. 42'750.--".
Il Tribunale di appello ha dapprima passato in rassegna criticamente gli indizi valutati dal primo giudice. In seguito ha osservato che, a prescindere da quelli, "altre circostanze parlano a favore del convenuto": la conferma da parte della moglie dell'istante del pagamento regolare delle pigioni; l'ammessa corrispondenza tra gli importi elencati nel libretto delle ricevute e i giustificativi di cassa dei prelievi bancari del convenuto, la cui destinazione poteva essere solo il pagamento delle pigioni; l'impiego di somme analoghe nei medesimi giorni da parte dell'istante per fare fronte ai propri impegni; il versamento di somme superiori alla pigione mensile per aiutare la famiglia del convenuto; l'assenza di divergenze tra le parti, in particolare di reclamazioni del convenuto prima del marzo 2008.
Questi indizi, per ognuno dei quali sono indicate le prove che li sorreggono (per lo più documenti e testimonianze), hanno portato la Corte d'appello a confermare che il convenuto avesse pagato le pigioni in discussione, "sulla base beninteso di un giudizio comunque solo indiziario".
3. Il ricorrente si duole innanzitutto di una violazione dell'art. 8 CC. Ritiene che il Tribunale di appello abbia ripartito l'onere della prova in modo errato: invece di esigere dal convenuto la prova del pagamento degli arretrati avrebbe chiesto a lui di provare come avesse potuto fare fronte ai propri impegni finanziari, in quel medesimo periodo, se non con i soldi delle pigioni.
La censura è infondata. L'art. 8 CC regola, per tutti i rapporti giuridici retti dal diritto civile federale, la ripartizione dell'onere probatorio, in particolare le conseguenze dell'assenza di ogni prova (DTF 134 III 224 consid. 5 pag. 2 seg; 130 III 321 consid. 3.1 pag. 323). Questa norma non disciplina per contro l'apprezzamento delle prove, non prescrive al giudice né quali prove assumere, né come valutarle (DTF 122 III 219 consid. 3c pag. 223). Quando un fatto è accertato per apprezzamento delle prove, la questione della ripartizione dell'onore della prova non si pone più e la censura fondata sulla violazione dell'art. 8 CC diviene senza oggetto (DTF 134 II 235 consid. 4.3.4 pag. 241; 130 III 591 consid. 5.4 pag. 601 seg).
È ciò che si verifica nel caso in esame. S'è visto che i giudici cantonali hanno accertato positivamente, apprezzando le prove raccolte, che il convenuto aveva pagato le pigioni contestate. Non v'è pertanto spazio per l'applicazione dell'art. 8 CC.
4. Le rimanenti argomentazioni del ricorrente sono tutte volte contro i fatti accertati nella sentenza impugnata. È pertanto opportuno ricordare alcune regole.
4.1 Il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF). Tali accertamenti possono essere censurati unicamente se sono stati svolti in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF oppure in maniera manifestamente inesatta (art. 97 cpv. 1 LTF). Quest'ultima definizione corrisponde a quella di arbitrio (DTF 133 II 249 consid. 1.2.2 pag. 252) e configura a sua volta una violazione del diritto (art. 9 Cost.; DTF 134 IV 36 consid. 1.4.1 pag. 39). Poiché il divieto d'arbitrio rientra fra i diritti fondamentali, la censura relativa a una sua violazione va proposta espressamente e motivata in modo qualificato (art. 106 cpv. 2 LTF; DTF 135 III 232 consid. 1.2, con rinvii; 134 II 244 consid. 2.2). Il ricorrente che lamenta una violazione del divieto d'arbitrio non può limitarsi a criticare la decisione impugnata come in procedura d'appello, nell'ambito della quale l'autorità di ricorso fruisce di cognizione libera, opponendo semplicemente la propria opinione a quella dell'autorità cantonale (DTF 133 III 585 consid. 4.1 pag. 589; 130 I 258 consid. 1.3 pag. 262); deve dimostrare, attraverso un'argomentazione precisa, che la decisione impugnata si fonda su un'applicazione della legge o un apprezzamento delle prove manifestamente insostenibile (DTF 134 II 349 consid. 3; 133 III 638 consid. 2 pag. 639; 133 IV 286 consid. 1.4).
4.2 Non va altresì dimenticato che il giudice cantonale dispone di un ampio margine di apprezzamento nel campo della valutazione delle prove e dell'accertamento dei fatti. Egli incorre nell'arbitrio solo se ignora manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tenere conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 129 I 8 consid. 2.1 pag. 9).
5. Il ricorrente scrive di conoscere l'essenza di queste regole, ma non riesce ad applicarle concretamente. Il suo ricorso è in effetti un atto d'appello, nel quale si distanzia dal giudizio impugnato discutendo liberamente la portata di alcune prove o elementi di giudizio, a suo dire ignorati o male interpretati dai giudici ticinesi (la sua dichiarazione fiscale, il reddito per prestazioni complementari, il comportamento processuale del convenuto, il calcolo del fabbisogno famigliare). Egli contrappone semplicemente la propria versione dei fatti agli accertamenti articolati e giustificati della sentenza cantonale, senza nemmeno confrontarsi con tutti gli indizi ch'essa ha valutato (cfr. consid. 2). In definitiva il ricorrente non si premura affatto di dimostrare l'arbitrio. Anzi, verso la fine del gravame sembra perfino ritenere possibile che il convenuto gli avesse versato fr. 48'000.-- tra il mese di luglio 2007 e il mese di febbraio 2008, sia pure a valere quale rimborso di un mutuo concessogli da tale D._, non per pagare le pigioni.
Censure di questa natura contro i fatti non sono ammissibili.
6. La Corte cantonale ha negato al ricorrente l'assistenza giudiziaria per la procedura di appello in applicazione dell'art. 14 cpv. 1 lett. a della legge ticinese sul patrocinio d'ufficio e sull'assistenza giudiziaria del 3 giugno 2002 (assenza di probabilità di esito favorevole). Il ricorrente chiede che il giudizio cantonale sia riformato anche su questo punto, ma omette completamente di motivare la domanda, che è di conseguenza irricevibile.
7. Per i motivi che precedono il ricorso, nella misura limitata in cui è ammissibile, è infondato.
Ciò esclude la possibilità di concedere al ricorrente l'auspicata assistenza giudiziaria per la procedura davanti al Tribunale federale. Anche l'art. 64 cpv. 1 LTF presuppone infatti, oltre alla mancanza di mezzi, la parvenza di probabilità di successo. Le spese giudiziarie sono pertanto poste a carico del ricorrente (art. 66 cpv. 1 LTF), tenendo però conto della sua situazione finanziaria (art. 65 cpv. 2 LTF).
Non sono assegnate ripetibili, non essendo stato chiesto al convenuto di pronunciarsi sul ricorso.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso in materia civile, nella misura in cui è ammissibile, è respinto.
2. La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3. Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
4. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.