Sachverhalt:
A.
X._ erstattete am 30. März 2010 Strafanzeige gegen A._ wegen Ehrverletzung im Sinne von Art. 173 f. StGB. Am 2. Mai 2014 stellte das Bezirksgericht Zürich das entsprechende Verfahren infolge Verjährung ein. Es auferlegte X._ die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- und verpflichtete ihn zur Zahlung einer Prozessentschädigung von Fr. 8'000.-- sowie einer Umtriebsentschädigung von Fr. 500.-- an A._.
Die dagegen erhobene Beschwerde von X._ wies das Obergericht des Kantons Zürich am 2. März 2015 ab.
B.
X._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 2. März 2015 sei (in Bezug auf Ziffer 3 und 4 der erstinstanzlichen Verfügung vom 2. Mai 2014) aufzuheben. A._ sei zur Zahlung der gesamten Gerichtskosten sowie einer Prozessentschädigung und Genugtuung an ihn, X._, zu verpflichten, eventualiter sei er aus der Staatskasse zu entschädigen. X._ stellt ausserdem die Anträge, die zuständige Instanz sei anzuweisen, seine Rechtsverzögerungs- und Rechtsverweigerungsbeschwerde als Aufsichtsbeschwerde zu behandeln, und seine Anzeige gegen die Bezirksrichter wegen Begünstigung von A._ sei vom Obergericht zur Eröffnung einer strafrechtlichen Untersuchung an die zuständige Instanz weiterzuleiten.
C.
Obergericht und Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich verzichten auf eine Vernehmlassung. A._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten respektive sei diese abzuweisen, soweit darauf eingetreten werde.
Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdegegner 2 beantragt das Nichteintreten auf die Beschwerde mit der Begründung, die Beschwerdefrist sei nicht eingehalten worden. Dabei übersieht er, dass diese gemäss Art. 46 Abs. 1 lit. a BGG vom 29. März bis 12. April 2015 still stand und die Eingabe des Beschwerdeführers vom 10. April 2015 somit fristgerecht erfolgte.
1.2.
1.2.1. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat.
1.2.2. Der Beschwerdeführer ist durch den vorinstanzlichen Beschluss, der den erstinstanzlichen Kostenentscheid zu seinen Lasten bestätigt und ihn im zweitinstanzlichen Verfahren ebenfalls zur Zahlung der gesamten Kosten sowie einer Parteientschädigung an den Beschwerdegegner 2 verpflichtet, unmittelbar betroffen und hat ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG an dessen Aufhebung (vgl. BGE 138 IV 248 E. 2 mit Hinweisen). Die Beschwerdelegitimation ist gegeben, auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.3. Nicht einzutreten ist auf die Anträge des Beschwerdeführers, die zuständige Instanz sei anzuweisen, seine Rechtsverzögerungs- und Rechtsverweigerungsbeschwerde als Aufsichtsbeschwerde zu behandeln, und seine Anzeige wegen Begünstigung sei an die zuständige Instanz weiterzuleiten. Diesbezüglich ist der Beschwerde kein tauglicher Beschwerdegrund nach Art. 95 ff. BGG zu entnehmen, weshalb sie den Begründungsanforderungen gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG nicht genügt.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz bestätige die erstinstanzliche Kostenauflage sowie seine Verpflichtung zur Zahlung einer Entschädigung an den Beschwerdegegner 2 zu Unrecht (vgl. Antrag 1 und Beschwerde, S. 24 ff.).
2.2. Die Vorinstanz erwägt, das Ehrverletzungsverfahren sei gestützt auf Art. 456 StPO noch gemäss der früheren kantonalen Strafprozessordnung zu führen gewesen, weshalb sich auch dessen Kosten- und Entschädigungsfolgen nach dieser bestimmten (Beschluss, S. 9). Dabei übersieht sie, dass dies nur bis zum Abschluss des erstinstanzlichen Verfahrens gilt und im Rechtsmittelverfahren gegen einen nach Inkrafttreten der eidgenössischen StPO gefällten erstinstanzlichen Entscheid grundsätzlich diese Anwendung findet (Art. 454 Abs. 1 und Art. 456 StPO; vgl. auch Art. 448 Abs. 1 StPO). Dieser Grundsatz gilt gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung uneingeschränkt in Bezug auf die Verlegung von Verfahrenskosten sowie die Entschädigung von Anwaltskosten (BGE 137 IV 352 E. 1.2 und 138 IV 248 E. 1 und 4.1; Urteil 6B_690/2012 vom 4. Februar 2013 E. 1; je mit Hinweisen). Über die dem Beschwerdeführer auferlegten Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- und seine Verpflichtung zur Leistung einer Prozesskostenentschädigung von Fr. 8'000.-- an den Beschwerdegegner 2 hätte die Vorinstanz demnach - anders als noch die erste Instanz - gemäss neuem Recht befinden müssen.
Hinsichtlich anderer Entschädigungen wie Schadenersatz oder Genugtuung hat das Bundesgericht hingegen festgehalten, diese unterstünden weiterhin dem kantonalen Recht (vgl. Urteile 6B_668/2012 vom 11. April 2013 E. 2.4.1, nicht publ. in: BGE 139 IV 206; 6B_265/2012 vom 10. September 2012 E. 2.2.1; 6B_169/2012 vom 25. Juni 2012 E. 2; 6B_618/2011 vom 22. März 2012 E. 1.2 und 6B_428/2011 vom 21. November 2011 E. 2.2.2; je mit Hinweisen). Allerdings hat es auch die Möglichkeit bejaht, dass aus Gründen der Vereinfachung das neue Recht angewandt werden könne, wenn dies dem Betroffenen nicht zum Nachteil gereiche (Urteil 6B_668/2012 vom 11. April 2013 E. 2.4.1 mit Hinweisen). Vorliegend ist die StPO deshalb der Einfachheit halber auch bezüglich der Frage anzuwenden, ob der Beschwerdeführer zur Leistung einer Umtriebsentschädigung von Fr. 500.-- an den Beschwerdegegner 2 zu verpflichten sei, zumal die neue Regelung für den Beschwerdeführer nicht nachteilig ist.
Indem sich die Vorinstanz bei ihrer Entscheidfindung auf die ehemalige kantonale Strafprozessordnung stützt, verletzt sie Bundesrecht.
2.3. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als begründet. Der angefochtene Beschluss ist aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird gestützt auf die einschlägigen Bestimmungen der StPO neu zu prüfen haben, ob die Verfahrenskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen sind und dieser zur Leistung einer Parteientschädigung an den Beschwerdegegner 2 zu verpflichten ist.
3.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen. Die Parteien werden im Umfang ihres Unterliegens kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer und der Beschwerdegegner 2 haben die Gerichtskosten zu je einem Viertel zu tragen. Dem Kanton Zürich sind keine Verfahrenskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 4 BGG).
Grundsätzlich sind als teilweise unterliegende Parteien einerseits der Kanton Zürich und der Beschwerdegegner 2 dem Beschwerdeführer und andererseits der Beschwerdeführer dem Beschwerdegegner 2 gegenüber zur Zahlung einer reduzierten Parteientschädigung verpflichtet (Art. 68 Abs. 2 BGG). Bei den vorliegenden Verhältnissen rechtfertigt es sich, keine Entschädigungen zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 2. März 2015 wird aufgehoben und die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird auf die Beschwerde nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten werden im Umfang von je Fr. 500.-- dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner 2 auferlegt.
3.
Parteientschädigungen werden keine gesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Siegenthaler