Faits:
A. Par décision du 12 mai 2011, le Conseil de surveillance de l'Office cantonal AI du Valais a décidé d'ouvrir une enquête disciplinaire à l'encontre de S._, enquêteur économique. Il était reproché à ce dernier d'avoir fourni, au cours des quatre mois précédents au moins et de façon répétée, de fausses indications sur les distances réellement parcourues pour ses services extérieurs, ainsi que sur le temps réellement consacré aux différentes enquêtes réalisées au cours de la même période. Cette décision était assortie d'une suspension provisoire de l'intéressé pendant la procédure d'enquête.
B. Par écriture du 8 juin 2011, S._ a recouru contre cette décision devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais. Statuant le 22 juillet 2011, cette autorité a transmis l'affaire au Conseil d'Etat comme objet de sa compétence. Elle a considéré, en effet, que, sauf exception, inexistante dans le cas particulier, l'intéressé devait recourir préalablement devant le Conseil d'Etat, dont la décision serait quant à elle sujette à recours devant le tribunal cantonal.
C. Par écriture du 14 septembre 2011, l'Office cantonal AI et le Conseil de surveillance forment un recours en matière de droit public contre ce jugement. Principalement, ils concluent au renvoi de l'affaire au tribunal cantonal pour nouvelle décision. Subsidiairement, ils demandent au Tribunal fédéral de dire que le tribunal cantonal est compétent pour connaître directement des recours sur décision du Conseil de surveillance de l'Office AI, le tout sous suite de frais et dépens.
Les recourants déposent la décision au fond rendue le 12 septembre 2011 par le Conseil de surveillance à l'issue de l'enquête disciplinaire.
S._ n'a pas répondu au recours. Le Conseil d'Etat du Valais conclut à l'admission de celui-ci.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 1 consid. 1 p. 3 et les arrêts cités).
2. Conformément à l'article premier de la loi cantonale valaisanne d'application de la loi fédérale sur l'assurance-invalidité du 9 novembre 1993 (RS/VS 831.2), il est institué, sous la dénomination «Office cantonal AI du Valais» un office cantonal de l'assurance-invalidité dont le rayon d'activité s'étend à l'ensemble du canton (al. 1). L'office AI est un établissement autonome de droit public jouissant de la personnalité juridique, qui est rattaché administrativement au Département des affaires sociales (al. 2). Selon l'art. 4 de cette loi d'application, le directeur ou la directrice, les collaborateurs et les collaboratrices sont employés de l'Office AI (al. 1). Les dispositions relatives au personnel de l'Etat s'appliquent par analogie en ce qui concerne les rapports de service, le traitement et ses composantes, les allocations sociales, la durée du travail, le droit aux vacances et l'appartenance à la caisse de prévoyance (al. 2). Les collaborateurs et les collaboratrices de l'Office AI sont nommés par le Conseil de surveillance sur proposition du directeur ou de la directrice (al. 3).
3. L'art. 89 al. 1 LTF s'applique aux recours des particuliers (contrairement à l'art. 89 al. 2 LTF). En l'espèce, l'Office AI est un établissement de droit public, qui n'agit pas véritablement au même titre qu'un particulier, car les rapports de travail ne sont pas régis par le droit privé mais bien par le droit public. Néanmoins, la jurisprudence retient que, dans les contestations pécuniaires relevant du droit de la fonction publique, un établissement ou une collectivité publique peut être touché de façon analogue à un employeur privé et que, par conséquent, la qualité pour recourir peut lui être reconnue dans le cadre de l'art. 89 al. 1 LTF (ATF 134 I 204 consid. 2.3 p. 207). L'Office AI a donc en principe qualité pour former un recours en matière de droit public en ce domaine. Il n'en va pas de même du Conseil de surveillance, qui n'est ni un établissement public ni une collectivité publique. Bien qu'il ait rendu la décision administrative litigieuse, son recours est d'emblée irrecevable.
4. 4.1 La suspension préventive est une mesure de sûreté instituée dans l'intérêt de la bonne marche de l'administration, en vue d'une éventuelle mesure définitive de renvoi pour justes motifs. Il s'agit d'une mesure provisoire destinée à supprimer les dysfonctionnements de l'administration lorsque la situation exige une solution immédiate. Même si elle peut être ordonnée avant - ou pendant - le déroulement d'une procédure, elle ne possède aucun caractère autonome et ne constitue qu'une étape dans le cadre d'une procédure qui peut aboutir à un renvoi comme ultime mesure (arrêts 1C_459/2008 du 13 janvier 2009 consid. 1.2 et 1P.613/1999 du 24 janvier 2000 consid. 2b). Dès lors que cette décision ne met pas fin à la procédure (art. 90 LTF) et qu'elle ne statue pas sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause (art. 91 LTF), elle constitue une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF.
4.2 Par ailleurs, selon l'art. 92 LTF, les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation peuvent faire l'objet d'un recours (al. 1). Ces décisions ne peuvent plus être attaquées ultérieurement (al. 2).
4.3 En l'espèce, on est en présence d'une décision incidente portant sur la compétence, prise elle-même dans le cadre d'une procédure incidente. Elle est donc susceptible de faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral. Il va cependant de soi qu'en vertu du principe de l'unité de la procédure, le recours contre une décision incidente est exclu si le recours contre la décision finale n'est pas recevable (ATF 133 III 645 consid. 2.2 p. 647).
4.4 Pour déterminer si, au moment où il se prononce, les conditions de recevabilité sont réunies, le Tribunal fédéral peut prendre en compte des faits postérieurs à l'arrêt attaqué (cf. ATF 136 II 497 consid. 3.3 p. 500 et les arrêts cités). Il s'agit d'exceptions à l'interdiction des faits nouveaux prévue à l'art. 99 al. 1 LTF (BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2009, nos 20 et 22 ad art. 99 LTF).
En l'espèce, les recourants ont déposé la décision rendue au fond par le Conseil de surveillance en date du 12 septembre 2011. Il en ressort qu'une réprimande écrite a été infligée à S._ et que son traitement a été réduit de 10 % pour une durée de trois mois. La suspension provisoire décidée le 12 mai 2011 a été immédiatement levée.
4.5 En matière de rapports de travail de droit public - lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause - la recevabilité du recours en matière de droit public dépend, selon l'art. 83 let. g LTF, du caractère pécuniaire ou non de la contestation; si la contestation est pécuniaire, il faut encore en principe que la valeur litigieuse minimale soit atteinte en vertu de l'art. 85 al. 1 let. b LTF (15'000 fr.). Dans le cas particulier, la réprimande infligée à l'intimé n'a pas d'incidence sur son traitement, de sorte qu'elle n'a aucun caractère pécuniaire. Quant à la réduction du traitement pour trois mois, elle n'atteint à l'évidence pas le seuil requis de la valeur minimale.
Par ailleurs la présente cause ne soulève pas de question juridique de principe (art. 85 al. 2 LTF), ce qu'au demeurant, l'office recourant ne prétend pas.
4.6 Il s'ensuit qu'un recours en matière de droit public contre la décision finale n'aurait pas été recevable. Partant, il ne l'est pas non plus contre la présente décision incidente.
5. 5.1 Même si le seuil requis de la valeur litigieuse avait été atteint, le recours en matière de droit public aurait été irrecevable à un autre titre. Le recours suppose un intérêt actuel et digne de protection à recourir (art. 89 al. 1 LTF). Constitue un intérêt digne de protection tout intérêt pratique ou juridique à demander la modification ou l'annulation de la décision attaquée que peut faire valoir une personne atteinte par cette dernière. L'intérêt digne de protection consiste ainsi en l'utilité pratique que l'admission du recours apporterait au recourant en lui évitant de subir un préjudice de nature économique, idéale, matérielle ou autre que la décision attaquée lui occasionnerait (ATF 133 II 400 consid. 2.2 p. 404, 409 consid. 1.3 p. 413; 131 II 361 consid. 1.2 p. 365, 587 consid. 2.1 p. 588, 649 consid. 3.1 p. 651; 131 V 300 consid. 3 s.).
5.2 Dans le cas particulier, la décision au fond du Conseil de surveillance a mis fin à la mesure de suspension contre laquelle l'intimé avait recouru. L'Office AI n'a plus d'intérêt à ce que le Tribunal fédéral statue sur la voie de droit qui était ouverte dans ce cas. Les conditions dans lesquelles le Tribunal fédéral fait exceptionnellement abstraction de l'exigence d'un intérêt actuel ne seraient pas remplies en l'occurrence (cf. à ce sujet ATF 136 II 101 consid. 1.1 p. 103; 135 I 79 consid. 1.1 p. 81). Enfin, contrairement à ce qu'allègue l'Office AI, la circonstance qu'une «autorité de jugement devra statuer valablement sur le fait que la procédure initiée le 8 juin 2011 est devenue sans objet» ne suffit pas, à elle seule, pour conférer un intérêt actuel digne de protection. L'office recourant ne prétend pas qu'il pourrait d'une manière ou d'une autre être lésé par cette décision, du fait notamment qu'il pourrait être amené a supporter les frais et dépens de la procédure devenue sans objet. A ce stade, l'intérêt de l'office n'est que théorique et apparaîtrait insuffisant pour que le Tribunal fédéral entre en matière sur le recours.
6. En conséquence, il n'y a pas lieu d'envisager une éventuelle conversion du recours de l'office AI en matière de droit public en recours constitutionnel subsidiaire (voir à ce sujet l'arrêt 8C_1077/2009 du 17 décembre 2010 consid. 3.2). En effet, tout recours au Tribunal fédéral suppose un intérêt actuel (voir, pour le recours constitutionnel subsidiaire, arrêt 2D_15/2011 du 31 octobre 2011 consid. 1.3), intérêt dont l'Office AI ne peut, on l'a vu, se prévaloir.
7. Il s'ensuit que le recours doit être déclaré irrecevable. Les frais de la cause doivent être mis à la charge de l'Office AI (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de l'Office AI du canton du Valais.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Conseil d'Etat du canton du Valais et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lucerne, le 2 mai 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd