Sachverhalt:
A. Die 1972 geborene W._ war als Mitarbeiterin der Firma Y._ bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Sie erlitt am 11. Juni 1998 als Autolenkerin bei einem Heckauffahrunfall eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS). W._ war deswegen bis 15. Juni 1998 arbeitsunfähig und bis Ende 1998 in ärztlicher Betreuung, wobei zuletzt nurmehr periodische Kontrollen stattfanden. Am 22. November 2000 verunfallte die Versicherte erneut. Der Personenwagen, in welchem sie als Beifahrerin sass, wurde beim Abbiegen von einem anderen Personenwagen im mittleren Bereich der Fahrerseite gerammt. Von ärztlicher Seite wurde erneut eine HWS-Distorsion sowie eine Schulterkontusion diagnostiziert. Die SUVA erbrachte, wie schon nach dem ersten Unfall, die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 6. Oktober 2005 verneinte sie ihre Leistungspflicht ab 28. April 2005 mangels eines kausalen Zusammenhanges der ab diesem Zeitpunkt bestandenen Beschwerden mit dem Unfall vom 22. November 2000. Daran hielt die SUVA auf Einsprache der Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 1. März 2006).
B. Die von W._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 28. Februar 2007 ab.
C. W._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids sei die SUVA zu verpflichten, ab 28. April 2005 weiterhin die gesetzlichen Leistungen zu erbringen.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne weitere Ausführungen zu machen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 1. resp. 10. April 2008 äussern sich die Parteien im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist die Frage der Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers aus den Unfällen vom 11. Juni 1998 und 22. November 2000 für die ab 28. April 2005 bestandenen Beschwerden.
Das kantonale Gericht hat die von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätze zu dem für einen Leistungsanspruch vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) im Allgemeinen (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181 je mit Hinweisen) sowie bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall (BGE 115 V 133) und bei Schleudertraumen der Halswirbelsäule (HWS) ohne organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolgen (BGE 117 V 359; vgl. auch SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2 und BGE 117 V 369 zu den kausalrechtlich gleich behandelten schleudertraumaähnlichen Verletzungen der HWS und Schädel-Hirntraumen) im Besonderen zutreffend darlegt.
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die sog. Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (noch nicht in der Amtlichen Sammlung veröffentlichtes Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008, E. 9 und 10).
2. Gemäss dem angefochtenen Entscheid lassen sich die zur Diskussion stehenden Beschwerden nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge erklären. Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Würdigung der medizinischen Akten und wird zu Recht nicht beanstandet. Sie hat zur Folge, dass anders als bei Gesundheitsschädigungen mit einem klaren unfallbedingten organischen Substrat, bei welchen der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel mit dem natürlichen bejaht werden kann (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen), eine besondere Adäquanzprüfung zu erfolgen hat.
3. Das kantonale Gericht hat weiter erwogen, selbst wenn der natürliche Kausalzusammenhang zumindest im Sinne einer Teilursache bejaht werde, bestehe bei mangelndem adäquatem Kausalzusammenhang keine Leistungspflicht des Unfallversicherers. Die Adäquanz sei aufgrund der gegebenen Umstände nach der Schleudertrauma-Praxis zu prüfen.
Die von der Versicherten hiegegen erhobenen Einwendungen richten sich in erster Linie darauf, es sei eine interdisziplinäre medizinische Begutachtung anzuordnen. Dies ergebe sich namentlich auch aus dem erwähnten Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008, wonach eine solche medizinische Abklärung bereits sechs Monate nach dem Unfall zu erfolgen habe.
Vorab ist festzuhalten, dass die Frage der natürlichen Kausalität dann keiner weiteren Abklärungen bedarf, wenn ohnehin der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen ist (Urteil 8C_42/2007 vom 14. April 2008, E. 2 Ingress mit Hinweisen). Zu letzterem Ergebnis ist die Vorinstanz gelangt, was es nachfolgend zu prüfen gilt.
Was sodann das Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 betrifft, wird darin, abhängig vom zeitlichen Verlauf und weiteren Voraussetzungen, eine polydisziplinäre Begutachtung zur Beurteilung der Frage verlangt, ob eine Verletzung vorliegt, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis bei der Adäquanzprüfung zu beurteilen vermag (erwähntes Urteil, E. 9). Im vorliegenden Fall hat das kantonale Gericht indessen bereits die Schleudertrauma-Praxis angewandt, was unbestritten ist und keiner weiteren medizinischen Abklärung bedarf.
4. 4.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen (BGE 117 V 359 E. 6a S. 366 f.; Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008, E. 10.1). Die beiden Unfälle vom 11. Juni 1998 und 22. November 2000 sind aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes (höchstens) im mittleren Bereich der mittelschweren Unfälle einzuordnen. Im Grenzbereich zu den schweren Unfällen oder gar als solche sind sie jedenfalls nicht einzustufen. Das ist insoweit auch nicht umstritten.
Von den weiteren, objektiv fassbaren und unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehenden oder als Folge davon erscheinenden Umständen, welche als massgebende Kriterien in die Gesamtwürdigung einzubeziehen sind (BGE 117 V 359 E. 6a S. 367), müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 117 V 359 E. 6b S. 367 f.). Daran hat sich mit dem Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 nichts geändert (besagtes Urteil, E. 10.1).
4.2 Das kantonale Gericht hat die nach der bisherigen Rechtsprechung massgeblichen Kriterien geprüft und alle verneint. Demgegenüber erachtet die Beschwerdeführerin mehrere der Kriterien nach der bisherigen wie auch nach der mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 präzisierten Praxis in teilweise ausgeprägter Weise für gegeben.
4.2.1 Begründet wird dies von der Versicherten zunächst damit, die aufgetretenen Beschwerden hätten zu einer erheblichen Einbusse an Lebensqualität geführt. Dieser Gesichtspunkt ist indessen unter dem Kriterium der erheblichen Beschwerden (bisher: Dauerbeschwerden) zu prüfen. Eine selbstständige Bedeutung als eigenständiges Kriterium kommt ihm nicht zu.
4.2.2 Zu Recht nicht geltend gemacht werden die drei Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls, der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, sowie der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (bisher: Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit).
4.2.3 Ohne Weiteres zu verneinen ist sodann das - unveränderte - Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen. Es liegt entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin erst recht nicht in besonders ausgeprägter Weise vor. Die gesundheitliche Entwicklung nach den beiden Unfällen hielt sich im Rahmen des bei derartigen Ereignissen Üblichen. Die beiden zwischenzeitlichen Schwangerschaften lassen das Kriterium ebenfalls nicht erfüllt erscheinen. Sodann ist der Umstand, dass wiederholt medizinische Massnahmen empfohlen und durchgeführt wurden, nicht hier, sondern beim Kriterium der ärztlichen Behandlung zu berücksichtigen.
4.2.4 Ob das Kriterium der erheblichen Beschwerden (bisher: Dauerbeschwerden) als erfüllt zu betrachten wäre, erscheint mit Blick auf die verschiedenen Intervalle mit geringer Beschwerdeintensität eher fraglich. In besonders ausgeprägter Weise liegt es jedenfalls nicht vor. Gleiches gilt für die beiden verbleibenden Kriterien der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen sowie der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung (bisher: ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung). Dass die HWS durch zwei Unfälle belastet wurde, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Und die angewandte Heilbehandlung beschränkte sich im Wesentlichen auf wiederholte Physiotherapien und die Einnahme von Schmerzmitteln. Selbst wenn daher diese drei Kriterien - ohne abschliessende Prüfung - grundsätzlich bejaht würden, lägen die adäquanzrelevanten Faktoren gesamthaft nicht in gehäufter oder auffallender Weise vor und wäre keines in besonders ausgeprägter Weise gegeben. Die Vorinstanz hat folglich den adäquaten Kausalzusammenhang und damit eine Leistungspflicht des Versicherers für die ab 28. April 2005 bestandenen Beschwerden zu Recht verneint.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. April 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz