Faits:
A. Le 7 mai 2009, B._ SA a fait notifier à A._ SA un commandement de payer la somme de 3'910 fr. 30 avec intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2009, que la poursuivie a frappé d'opposition. Lors de l'audience de mainlevée du 8 juin 2009, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine a pris acte du retrait de l'opposition formée par la débitrice. Celle-ci s'est vu notifier une commination de faillite le 30 septembre 2009.
B. Le 8 février 2010, la poursuivante a requis la faillite.
Par jugement du 12 avril 2010, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine a déclaré la faillite de A._ SA, avec effet dès ce jour à 15h04. Statuant le 21 juin 2010, la IIe Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg a confirmé l'ouverture de la faillite, avec effet dès ce jour à 12h00.
C. Par acte du 23 août 2010, A._ SA exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt; elle conclut à l'annulation de la faillite.
L'autorité cantonale renonce à formuler des observations. L'intimée s'en remet à justice au sujet de la «question d'un versement intervenu avant la date de l'audience de faillite et du délai possible pour prouver ce fait sans que dite faillite soit prononcée».
D. Par ordonnance du 13 septembre 2010, la Présidente de la IIe Cour de droit civil a attribué l'effet suspensif au recours, en ce sens qu'aucun acte d'exécution de la décision attaquée ne doit être entrepris pendant la procédure fédérale.
Considérant en droit:
1. 1.1 Déposé dans le délai légal (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF; ATF 133 III 687 consid. 1.2) qui confirme, en dernière instance cantonale et sur recours (art. 75 LTF), l'ouverture de la faillite de la recourante (art. 72 al. 2 let. a LTF), le recours en matière civile est en principe recevable, indépendamment de la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. d LTF); la société débitrice, qui a succombé devant la juridiction précédente, a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF).
1.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF); la partie recourante ne peut critiquer les constatations de fait que si ces faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (FF 2001 p. 4135; ATF 135 III 127 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
En l'espèce, dans son exposé de la «chronologie des faits», la recourante se réfère à de nombreux faits qui ne résultent pas de la décision attaquée, sans se plaindre pour autant d'arbitraire dans leur établissement (art. 106 al. 2 LTF); on ne saurait donc en tenir compte (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3). Au demeurant, pour démontrer sa solvabilité, elle se fonde sur des pièces postérieures à l'arrêt entrepris, lesquelles sont d'emblée irrecevables (ATF 133 IV 342 consid. 2.1).
2. En vertu de l'art. 174 al. 1 LP, la décision du juge de la faillite peut être déférée à l'autorité judiciaire supérieure dans les dix jours à compter de sa notification; les parties peuvent faire valoir des faits nouveaux lorsqu'ils se sont produits avant le jugement de première instance. La loi vise ici les faits nouveaux improprement dits (ou «pseudo-nova»), à savoir qui existaient déjà au moment de l'ouverture de la faillite et dont le premier juge n'a pas eu connaissance pour quelque raison que ce soit (ATF 38 I 383 consid. 2; 46 I 365 consid. 2; 102 Ia 153 consid. 2a; GILLIÉRON, Poursuite pour dettes, faillite et concordat, 4e éd., n° 1466); ces faits peuvent être invoqués sans restriction devant la juridiction de recours (FF 1991 III 130).
2.1 Aux termes de l'art. 172 ch. 3 LP, le juge rejette la réquisition de faillite lorsque le débiteur justifie par titre que la créance a été acquittée en capital, intérêts et frais ou que le créancier lui a accordé un sursis.
La cour cantonale a constaté que la citation à comparaître à l'audience de faillite invitait la débitrice à verser la somme de 4'268 fr. 50, frais de greffe compris (158 fr. 50). Or, si l'intéressée a prouvé avoir payé «le montant de la dette et des intérêts» à la date du prononcé de faillite, elle ne s'est pas acquittée des «frais de greffe», si bien que la condition de l'art. 172 ch. 3 LP n'est pas remplie.
Cette opinion échappe à la critique. Il ressort de la décision attaquée que la débitrice a payé à l'Office des poursuites de la Sarine 3'000 fr. le 22 mars 2010 et 1'123 fr. 10 le 6 avril suivant; ces constatations ne sont pas critiquées (art. 106 al. 2 LTF) et sont expressément confirmées par l'administrateur de la débitrice dans son courrier du 20 avril 2010. Cela étant, le total des versements (= 4'123 fr. 10) ne couvre pas la somme réclamée. La recourante ne s'en prend pas aux motifs de la juridiction précédente (art. 42 al. 2 LTF; cf. ATF 134 II 244 consid. 2.1), mais se borne à présenter sa propre argumentation, par ailleurs peu intelligible et reposant sur des faits nouveaux (cf. supra, consid. 1.2); elle concède du reste que les frais, qui s'élèveraient en réalité à 145 fr. 40, ont été versés «au Greffe le 18 août 2010», à savoir postérieurement à l'arrêt attaqué (cf. supra, consid. 1.2).
2.2 En revanche, c'est avec raison que la recourante fait valoir - en termes maladroits - que l'autorité précédente a violé l'art. 174 al. 1 LP en ne tenant pas compte de la lettre par laquelle la poursuivante avait retiré sa réquisition de faillite.
L'autorité cantonale a retenu que la lettre du 12 avril 2010 par laquelle la poursuivante avait demandé l'«annulation» de la poursuite ayant abouti à la faillite devait être tenue pour un «retrait par le créancier de sa réquisition de faillite». Toutefois, elle ne s'est pas demandé si un tel retrait constituait un «pseudo-novum» faisant obstacle à l'ouverture de la faillite (art. 172 ch. 3 in fine LP). Or, tel est bien le cas: la déclaration de la créancière avait été émise le jour même de l'audience de faillite en première instance et était constatée par un titre établi à cette date (cf. arrêts 5P.129/1994 du 26 mai 1994 consid. 2b, et 5P.428/1994 du 28 novembre 1994 consid. 2b; cf. également: arrêt de la Cour d'appel du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg du 12 mai 1975, in: Extraits FR 1975 p. 45 consid. 4); peu importe que, mise à la poste le jour de l'audience, le président du tribunal civil n'ait pu en avoir connaissance à ce moment (cf. PIERRE-YVES BOSSHARD, Le recours contre le jugement de faillite, in: JdT 2010 II p. 126 et la jurisprudence citée [i.c. retrait de la réquisition de faillite égarée par la poste]).
2.3 Comme la recourante peut se prévaloir en l'espèce d'un «pseudo-novum» qui fait obstacle au prononcé de la faillite, elle n'a pas à rendre au surplus vraisemblable sa solvabilité (arrêt du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg du 20 avril 2005, in: BlSchK 2007 p. 148 consid. 3b); les griefs soulevés dans ce contexte n'ont dès lors plus d'objet.
3. En conclusion, le recours est admis dans la mesure de sa recevabilité et l'arrêt attaqué réformé en ce sens que la faillite de la recourante est annulée. L'intimée ne s'est pas opposée au recours et n'a pas non plus occasionné la décision déférée, en sorte qu'elle ne peut être qualifiée de «partie qui succombe». Les dépens doivent être mis à la charge du canton de Fribourg (art. 68 al. 1 et 2 LTF), mais à l'exclusion des frais de justice (art. 66 al. 4 LTF). Contrairement au recourant, l'intimée a agi sans le concours d'un avocat; dès lors, elle ne saurait prétendre à des dépens (ATF 133 III 439 consid. 4).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis dans la mesure où il est recevable et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que la faillite de la recourante est annulée.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'Etat de Fribourg.
4. Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office cantonal des faillites de l'Etat de Fribourg, à la IIe Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'État de Fribourg, au Registre foncier du district de la Sarine et au Service du Registre du commerce du canton de Fribourg.
Lausanne, le 2 février 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Braconi