Faits:
A.a X._, de nationalité camerounaise, s'est vu refuser, par décision du 5 janvier 2009 du Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des migrations), l'octroi d'une autorisation d'établissement ou de séjour. Il a recouru contre ce prononcé devant le Département de l'économie du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département de l'économie) par l'intermédiaire de son mandataire, Me A._, avocat. Par envoi recommandé du 28 mai 2009, notifié à cet avocat le 3 juin 2009, le Département de l'économie a requis une avance de frais de 550 fr., payable jusqu'au 29 juin 2009, avec l'avertissement qu'à défaut de versement de l'avance dans le délai indiqué il ne serait pas entré en matière sur le recours. Cette avance de frais n'a pas été payée. De ce fait, par décision du 19 mars 2010, le Département de l'économie a déclaré le recours irrecevable, sous suite de frais.
Cette décision a été envoyée à Me A._ sous pli recommandé avec accusé de réception le 24 mars 2010, mais n'a pas pu lui être notifiée, l'avocat n'étant plus atteignable, de sorte que le pli a été retourné par la poste au Département de l'économie. Celui-ci a envoyé la décision sous pli recommandé à X._, qui l'a reçue le 8 avril 2010. Le prénommé a consulté Me B._ le 16 avril 2010. Ce mandataire a écrit le même jour au Département de l'économie, indiquant que X._ semblait n'avoir jamais été informé de l'existence d'une demande d'avance de frais et demandant à pouvoir consulter le dossier.
A.b Par requête du 30 avril 2010 de Me B._, X._ a demandé au Département de l'économie de réviser la décision d'irrecevabilité du 19 mars 2010 et de lui accorder un nouveau délai pour payer l'avance requise. Il a fait valoir qu'il avait été victime d'une faute grave de Me A._, qui ne lui avait jamais communiqué la demande d'avance de frais et qui avait disparu, puis apparemment été radié du barreau; qu'il s'agissait-là de faits nouvellement découverts justifiant une révision; que la demande d'avance de frais, avec le bulletin de versement y relatif, pourtant libellés au nom de X._, ne lui avaient jamais été envoyés, ce qui constituait une erreur de l'administration.
Par décision du 21 mai 2010, le Département de l'économie a déclaré la demande de révision irrecevable. Il a exposé en résumé qu'il avait l'obligation de notifier la demande d'avance de frais à l'avocat de l'intéressé et non à l'intéressé lui-même, qu'une partie répondait de la faute de son mandataire comme de sa propre faute et que l'incurie de l'avocat ne permettait donc pas, en l'espèce, de restituer le délai de paiement de l'avance de frais. Il n'y avait ainsi pas de motif pertinent pour réexaminer la décision du 19 mars 2010.
B. X._ a interjeté recours devant le Tribunal administratif du canton de Neuchâtel contre la décision du 21 mai 2010, concluant à l'annulation de celle-ci et au renvoi de la cause au Département de l'économie pour que lui soit accordé un nouveau délai afin de payer l'avance de frais. Il a fait valoir, en substance, qu'il avait découvert des faits nouveaux en recevant, le 8 avril 2010, la décision du 19 mars 2010, puisque c'est à cette occasion qu'il avait appris l'existence d'une demande d'avance de frais et la disparition de l'avocat qu'il avait mandaté. Selon lui, ce mandat avait forcément été résilié postérieurement au dépôt du recours contre la décision du 5 janvier 2009, puisqu'il n'avait plus eu, depuis lors, de nouvelles de l'avocat. Au plus tard, la résiliation serait intervenue après que cet avocat eut été radié du barreau. Il estimait encore qu'aucune faute de l'avocat ne pouvait lui être imputée et que l'irrecevabilité de son recours avait pour conséquence choquante et disproportionnée son expulsion de Suisse. Le 13 octobre 2011, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté ce recours.
C. X._ forme un recours en matière de droit public, subsidiairement un recours constitutionnel subsidiaire, auprès du Tribunal fédéral. Outre l'octroi de l'effet suspensif, il requiert l'annulation de l'arrêt du Tribunal cantonal et le renvoi de la cause à celui-ci pour nouvelle décision "au sens du présent recours", le tout sous suite de frais et dépens.
Le Département de l'économie et le Tribunal cantonal concluent au rejet du recours. L'Office fédéral des migrations a renoncé à se déterminer.
Le 17 novembre 2011, le Président de la IIème Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Cette restriction vaut également pour les décisions de nature procédurale, notamment les décisions d'irrecevabilité (cf. arrêts 2C_197/2009 du 28 mai 2009 consid. 6 et 2C_64/2007 du 29 mars 2007 consid. 2.1) ou pour celles de restitution de délai (arrêt 2C_511/2009 du 18 janvier 2010), de refus de révision ou de réexamen (arrêt 2A.169/2003 du 24 avril 2003, pour l'ancien droit).
Le recourant ne motive pas la recevabilité du recours en matière de droit public et, en particulier, ne démontre pas qu'il aurait un droit potentiel à une autorisation de séjour, alors que, selon la jurisprudence (ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179, 497 consid. 3.3 p. 500 s.), il lui appartenait de le faire. Quant au jugement entrepris, il indique simplement que X._ s'est vu refuser, par décision du 5 janvier 2009 du Service des migrations, l'octroi d'une autorisation d'établissement ou de séjour. La question de savoir si le recours doit être analysé par le Tribunal fédéral comme un recours en matière de droit public ou comme un recours constitutionnel subsidiaire peut toutefois demeurer ouverte, dans la mesure où seules sont invoquées des dispositions de droit constitutionnel, à savoir les garanties générales de procédure (art. 29 Cst.), ainsi que l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits et dans l'application du droit cantonal. Les conditions de motivation sont, en effet, les mêmes, s'agissant de ces normes, pour les deux recours et le pouvoir de cognition du Tribunal fédéral ne diffère pas, étant précisé que même s'il n'a pas qualité pour agir au fond, le recourant peut se plaindre par la voie du recours constitutionnel subsidiaire de la violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel, pour autant qu'il s'agisse de moyens pouvant être séparés du fond (ATF 137 II 305 consid. 2 p. 308; 137 I 128 consid. 3.1.1 p. 130; 114 Ia 307 consid. 3c p. 312 s.).
2. Le Tribunal fédéral ne peut examiner que les droits constitutionnels qui ont été invoqués; en vertu de l'art. 106 al. 2 LTF (applicable par renvoi de l'art. 117 LTF), l'acte de recours doit, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation (ATF 136 I 229 consid. 4.1 p. 235; 135 III 670 consid. 1.5 p. 674, 232 consid. 1.2 p. 234). Le Tribunal fédéral n'a pas à vérifier lui-même si l'acte entrepris est en tous points conforme au droit et à l'équité. Il n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans le mémoire de recours. Le recourant ne saurait se contenter de soulever de vagues griefs ou de renvoyer aux actes cantonaux (ATF 136 II 304 consid. 2.5 p. 314; 133 II 249 consid. 1.4 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397).
3. 3.1 Le recourant estime que le Tribunal cantonal a constaté les faits de façon manifestement inexacte (art. 97 LTF) en tant que celui-ci a appliqué la règle voulant que le mandant doit se voir opposer les actes de son mandataire, ceci malgré l'existence d'un éventuel empêchement non fautif de sa part.
3.2 La question ne relève manifestement pas du fait mais du droit. Or, le recourant n'expose pas la norme juridique cantonale régissant le droit de la notification qui aurait fait l'objet d'une application arbitraire par le Tribunal cantonal (art. 106 al. 2 LTF). Le grief est donc irrecevable.
4. 4.1 Le recourant considère que l'autorité aurait dû se saisir de sa demande de révision dès lors qu'il la motivait par des faits importants inconnus de lui auparavant, ou dont il n'avait pas eu la faculté de se prévaloir. Les faits en question tiendraient en ceci qu'il a appris que son avocat de l'époque, Me A._, n'était plus inscrit au registre cantonal des avocats, de sorte que celui-ci n'était "de jure et de facto plus légitimé à représenter un justiciable, si bien qu'une notification à son intention ne pouvait pas (lui) être opposée (...)". Le refus par le Tribunal cantonal d'admettre son recours constituerait une violation de l'art. 29 Cst. et une application arbitraire de l'art. 6 de la loi neuchâteloise du 27 juin 1979 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RS/NE 152.130).
4.2 Au chapitre 2, "La décision et les parties", l'art. 6 al. 1 let. a LPJA, intitulé "Reconsidération, révision", prévoit que l'autorité qui a pris la décision peut la reconsidérer ou la réviser, d'office ou sur requête, lorsque, notamment, des faits nouveaux se sont produits ou ont été découverts.
L'art. 57 LPJA "Révision" dispose:
"1 La cour concernée du Tribunal cantonal procède, d'office ou à la demande d'une partie, à la révision de sa décision lorsqu'un crime ou un délit l'a influencé.
2 Elle procède en outre à la révision, à la demande d'une partie, lorsque celle-ci:
a) allègue des faits nouveaux importants ou produit de nouveaux moyens de preuve, ...
3 Les moyens mentionnés à l'alinéa 2 n'ouvrent pas la révision, lorsqu'ils eussent pu être invoqués dans la procédure précédant la décision sur recours ou par la voie du recours contre cette décision."
4.3 L'arrêt attaqué a pour objet le rejet de la demande de révision de la décision d'irrecevabilité du 19 mars 2010 du Département de l'économie; le recourant n'avait pas payé l'avance de frais réclamée à la suite du dépôt de son recours auprès de cette autorité. Le Tribunal cantonal a d'abord rappelé que les autorités de recours ne pouvaient pas reconsidérer leurs décisions. Cependant, les cas de l'art. 6 al. 1 LPJA comprenaient implicitement les causes de "révision procédurale" de l'art. 57 LPJA. Le fait nouveau pouvant donner lieu à une telle révision était celui survenu avant la décision attaquée et susceptible de modifier la situation de fait sur laquelle celle-ci était fondée. Dans le présent cas, les seuls faits déterminants à la base de la décision d'irrecevabilité étaient la notification de la demande du 19 mars 2010 d'avance de frais, qui avait été faite de façon régulière au mandataire, et le défaut de paiement de cette avance; par conséquent, toujours selon le Tribunal cantonal, "les explications relatives aux raisons du défaut de paiement ne pouvaient pas constituer des faits pouvant justifier une révision" de la décision en cause.
4.4 Toute l'argumentation du recourant est basée sur l'art. 6 LPJA et sur l'art. 29 Cst. et il explique pourquoi les conditions du réexamen sont réunies, alors que, précisément l'autorité précédente a écarté cette procédure. Si, contrairement au Tribunal cantonal, le recourant estimait que sa cause devait être examinée sous l'angle du réexamen et non celle de la révision, il lui appartenait d'invoquer ce point et de le motiver dans une argumentation adéquate (cf. consid. 2); il devait donner les raisons pour lesquelles le Tribunal cantonal aurait appliqué le droit cantonal de façon arbitraire, ou violé toute autre disposition constitutionnelle qu'il considérait applicable, en jugeant que le Département de l'économie ne pouvait pas réexaminer sa décision. Cela n'a pas été fait. Au contraire, il ressort de la motivation du recours que le recourant ne distingue pas la révision du réexamen; il utilise d'ailleurs indifféremment les deux termes, alors qu'il s'agit de deux procédures différentes. Il ne mentionne pas l'art. 57 LPJA ni la révision procédurale.
Le recourant s'en prend à la conclusion du Tribunal cantonal selon laquelle les conditions de la révision procédurale ne seraient pas remplies. A cet égard, il se borne à affirmer que si son précédent mandataire "n'était plus inscrit au registre cantonal des avocats, il n'était de jure et de facto plus légitimé à représenter un justiciable, si bien qu'une notification à son attention ne pouvait être opposée à Monsieur X._". Le recourant n'étaie pas cette affirmation dans une motivation qui satisfait aux exigences tirées de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. consid. 2) et ne démontre pas que la conclusion relative à la validité de la notification résulte d'une application arbitraire du droit cantonal. L'intéressé n'établit, en particulier, nullement que la représentation devant les autorités administratives ne peut être le fait, en droit cantonal neuchâtelois, que d'avocats inscrits au registre cantonal de la profession. Il est même fort douteux que ce soit le cas dans la mesure où telle n'est pas la règle en général en Suisse; même devant le Tribunal fédéral, la représentation par le biais d'un avocat n'est pas obligatoire en matière de droit public (art. 40 al. 1 LTF a contrario).
Finalement, le recours ne contient rien sur la question, il est vrai laissée ouverte par le Tribunal cantonal, de la recevabilité d'une requête en révision dès lors qu'un recours ordinaire était encore possible.
Compte tenu de ce qui précède, dans la mesure où il n'est pas établi, dans une motivation adéquate, que l'autorité précédente a nié un cas de révision obligatoire, en violation d'un droit constitutionnel, au vu des faits découverts tardivement, le Tribunal fédéral ne peut pas entrer en matière sur ce grief.
5. Le recourant estime enfin que tant le Tribunal cantonal que le Département de l'économie auraient dû considérer la demande de révision comme une requête de restitution de délai.
Le Tribunal cantonal expose qu'il aurait été loisible au recourant de déposer une telle requête. Celle-ci aurait toutefois nécessité, pour pouvoir aboutir, le paiement de l'avance de frais dans les dix jours à compter du 8 avril 2010, date à laquelle l'intéressé a reçu la décision d'irrecevabilité du Département de l'économie. La règle ressort en effet de l'art. 115 al. 2 du code de procédure civile neuchâtelois du 30 septembre 1991 (ci-après: aCPCN), en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010, en relation avec l'art. 20 LPJA. La requête en restitution de délai aurait aussi dû être formée dans ce délai (art. 115 al. 1 aCPCN). Or, le recourant ne discute pas (cf. consid. 2) l'application de ces dispositions ni les arguments exposés par le Tribunal cantonal, ce qui rend le grief irrecevable. De plus, outre qu'il n'est ni allégué ni établi qu'il aurait effectué le paiement en question dans les délais, il n'a saisi le Département de l'économie que le 30 avril 2010, soit bien après l'échéance du délai de dix jours pour agir en ce sens. A cela s'ajoute que le nouvel avocat a été constitué le 16 avril 2010, date à laquelle la requête de restitution de délai aurait encore valablement pu être formée.
Tel que formulé, le grief est donc également irrecevable.
6. Le recours s'avère ainsi irrecevable.
Succombant, le recourant doit supporter les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service des migrations, au Département de l'économie et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 7 juin 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Kurtoglu-Jolidon