Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 1973) und Z._ (geb. 1968) sind die seit 2003 verheirateten Eltern der Kinder S._ (geb. 2003) und T._ (geb. 2005). Seit dem 1. Januar 2010 leben die Parteien getrennt. Mit Eheschutzentscheid vom 27. Oktober 2010 genehmigte der Familienrichter des Kreisgerichts Wil eine umfassende Vereinbarung der Parteien. Er stellte die Kinder S._ und T._ unter die Obhut des Vaters und räumte der Mutter ein Besuchsrecht ein. Weiter wurde die Mutter mit Wirkung ab 1. November 2010 verpflichtet, an den Unterhalt ihrer Kinder je Fr. 1'100.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen und an denjenigen ihres Ehemannes Fr. 2'400.-- zu bezahlen. Überdies verpflichtete sich X._, die indirekte Amortisation der Hypothekarschulden von Fr. 5'000.-- bei der Bank Y._ zu übernehmen.
B. B.a Am 19. September 2011 gebar X._ den Sohn U._. Die Parteien stimmen darin überein, dass nicht der Ehemann, sondern der neue Lebenspartner der Ehefrau der Vater ist.
B.b Bereits am 3. Juni 2011 hatte X._ einen Prozess zur Abänderung des Eheschutzentscheids vom 27. Oktober 2010 anhängig gemacht und die Neuregelung der Obhutszuteilung sowie des Kinder- und Ehegattenunterhalts verlangt. Soweit vor Bundesgericht noch relevant, bestimmte der Familienrichter des Kreisgerichts Wil die Unterhaltsbeiträge für die Kinder S._ und T._ auf je Fr. 160.-- pro Monat (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen). Die Unterhaltspflicht der Ehefrau gegenüber ihrem Ehemann hob er mit Wirkung ab Januar 2012 auf (Entscheid vom 2. November 2011).
C. Z._ erhob am 12. Dezember 2011 Berufung beim Kantonsgericht St. Gallen. Er beantragte, seine Ehefrau zu verpflichten, an den Unterhalt der Kinder S._ und T._ ab Januar 2012 je Fr. 1'100.-- (zuzüglich allfällige Kinderzulagen) sowie an seinen eigenen Unterhalt Fr. 800.-- zu bezahlen. Mit Entscheid vom 28. März 2012 verurteilte der Einzelrichter im Familienrecht des Kantonsgerichts St. Gallen X._, rückwirkend ab 1. Januar 2012 an den Unterhalt der Kinder S._ und T._ monatlich im Voraus je Fr. 1'000.-- zuzüglich allfälliger Kinderzulagen zu bezahlen. Im Übrigen wies es die Berufung ab.
D. D.a Hiergegen setzt sich X._ (Beschwerdeführerin) vor Bundesgericht zur Wehr. In ihren Anträgen hält sie an der Unterhaltsregelung gemäss dem erstinstanzlichen Urteil (s. Bst. B.b) fest. Weiter stellt sie das Begehren, die Kosten des oberinstanzlichen Verfahrens ihrem Ehemann aufzuerlegen und diesen zur Bezahlung einer Parteientschädigung von Fr. 2'250.-- zu verurteilen. In prozessualer Hinsicht ersucht sie darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
D.b Mit Verfügung vom 21. Mai 2012 erkannte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu.
D.c In seiner Beschwerdeantwort vom 14. August 2012 beantragt Z._ (Beschwerdegegner), die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen; überdies ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege. Das Kantonsgericht St. Gallen hat sich zur Beschwerde vernehmen lassen, ohne einen Antrag zu stellen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin ficht einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) über die Abänderung von Unterhaltsbeiträgen im Eheschutzverfahren (Art. 179 ZGB) an. Diese zivilrechtliche Streitigkeit (Art. 72 Abs. 1 BGG) ist vermögensrechtlicher Natur. Sie übersteigt die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4; 74 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
1.2 Eheschutzentscheide unterstehen nach der Rechtsprechung der Vorschrift von Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann in der Beschwerde nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (s. dazu BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) beruft, kann sich daher nicht darauf beschränken, die Rechtslage aus seiner Sicht darzulegen und den angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
2. 2.1 In tatsächlicher Hinsicht ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin bis zur Geburt ihres Sohnes U._ (s. Sachverhalt Bst. B.a) zu 100 % als Lehrerin beim Verein A._ erwerbstätig war und ein monatliches Nettoeinkommen von Fr. 8'590.-- (inkl. 13. Monatslohn und Familienzulage; zuzüglich Kinderzulagen) erzielte. Seit 1. Januar 2012 - nach dem Ende ihres Mutterschaftsurlaubs - ist sie beim Verein A._ nur mehr zu rund 31 % erwerbstätig. Ihr jetziges Einkommen beläuft sich inkl. 13. Monatslohn und Familienzulage auf monatlich Fr. 2'550.-- netto (zuzüglich Kinderzulagen). Der Beschwerdegegner betreut die Kinder S._ und T._ und erzielt kein nennenswertes Erwerbseinkommen. Der Lebenspartner der Beschwerdeführerin arbeitet zu 100 % bei der Bank V._ AG in B._ und verdient pro Monat Fr. 8'000.--, wovon er bis 2013 Fr. 4'200.-- an seine geschiedene Frau und seine beiden Kinder zu bezahlen hat und auch den Barbedarf des Sohnes U._ bestreitet. Auch die dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegenden Bedarfszahlen sind nicht streitig: Der Bedarf des Beschwerdegegners beträgt Fr. 3'680.-- (Grundbetrag Ehemann Fr. 1'230.--; Grundbetrag S._ und T._ je Fr. 400.--; Wohnkosten Fr. 1'200.--; Krankenkassenprämien Fr. 450.--), derjenige der Beschwerdeführerin beläuft sich auf Fr. 2'230.-- (Grundbetrag Ehefrau Fr. 890.--; Wohnkosten Fr. 950.--; Krankenkasse Fr. 290.--; Berufskosten Fr. 100.--).
2.2 Anlass zur Beschwerde an das Bundesgericht gibt der Entscheid des Kantonsgerichts, seitens der Beschwerdeführerin rückwirkend ab 1. Januar 2012 von einem hypothetischen monatlichen Nettoeinkommen von Fr. 5'150.-- auszugehen, was "in etwa einem Beschäftigungsgrad der Ehefrau von 60 %" entspreche. Gestützt auf diesen Entscheid errechnet das Kantonsgericht - unter Berücksichtigung von Fremdbetreuungskosten für den Sohn U._ - einen Einkommensüberschuss von rund Fr. 2'000.-- (hypothetisches Einkommen von Fr. 5'150.-- abzüglich Bedarf von Fr. 2'230.-- und Fremdbetreuungskosten von Fr. 900.--) und kommt zum Schluss, die Beschwerdeführerin sei damit in der Lage, an den Unterhalt von S._ und T._ monatlich je Fr. 1'000.-- zu bezahlen. Diesen Entscheid erachtet die Beschwerdeführerin als willkürlich.
3. 3.1 Willkür erblickt die Beschwerdeführerin zur Hauptsache darin, dass das Kantonsgericht ihr als Mutter eines gut drei Monate alten Säuglings zumute, ihre Erwerbstätigkeit per 1. Januar 2012 von 31 % auf 60 % auszudehnen, und ihr von diesem Datum an ein entsprechendes hypothetisches Einkommen anrechne. Sie stellt sich auf den Standpunkt, auch der Mutter eines Kleinkindes aus einer Drittbeziehung könne die Aufnahme eines Teilzeitpensums erst nach dem ersten Altersjahr des Kindes, in ihrem Fall also frühestens ab September 2012 zugemutet werden. Entsprechend einem unterhaltsrechtlichen Grundsatz sei die Annahme eines hypothetischen Einkommens unzulässig, wenn dieses selbst bei gutem Willen nicht erzielbar ist. Auch der Mutter eines nicht vom Ehemann stammenden Kindes müsse nach der Geburt im Hinblick auf die geforderte Wiederaufnahme respektive Ausweitung der Erwerbstätigkeit eine angemessene Übergangsfrist gewährt werden. Die Beschwerdeführerin argumentiert, mit Blick auf den Aufbau der Mutter-Kind-Beziehung sowie ihre physische und psychische Gesundheit sei die Aufnahme eines Teilpensums von 60 % ab dem 1. Januar 2012 ohne Gewährung einer angemessenen Übergangsfrist beim besten Willen nicht zumutbar. Vielmehr erbringe sie schon heute eine "überobligatorische Leistung", indem sie nach Beendigung des Mutterschaftsurlaubs ein Arbeitspensum von 31 % aufgenommen habe.
3.2 Bei der Festsetzung der zu leistenden Unterhaltsbeiträge ist grundsätzlich vom tatsächlich erzielten Einkommen des Unterhaltspflichtigen auszugehen. Soweit dieses Einkommen allerdings - wie hier - nicht ausreicht, um den ausgewiesenen Bedarf zu decken, kann ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden, sofern dieses zu erreichen zumutbar und möglich ist. Dabei handelt es sich um zwei Voraussetzungen, die kumulativ erfüllt sein müssen (BGE 137 III 118 E. 2.3 S. 120 f. mit Hinweisen). Ein hypothetisches Einkommen kann auch bei unverschuldeter Einkommensverminderung angerechnet werden, denn die gesetzliche Unterhaltspflicht hat zur Folge, dass der Pflichtige alles Zumutbare unternehmen muss, um das erforderliche Einkommen zu generieren. Rechtsprechungsgemäss hängt die Zulässigkeit der Anrechnung eines hypothetischen Einkommens nur davon ab, ob der Pflichtige bei gutem Willen bzw. bei ihm zuzumutender Anstrengung mehr zu verdienen vermöchte als er effektiv verdient (BGE 128 III 4 E. 4a S. 5). Bejaht der Richter die Pflicht zur Aufnahme oder Ausweitung der Erwerbstätigkeit und verlangt er vom Unterhaltspflichtigen durch die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens eine Umstellung seiner Lebensverhältnisse, so hat er ihm grundsätzlich auch hinreichend Zeit zu lassen, die rechtlichen Vorgaben in die Tat umzusetzen (BGE 114 II 13 E. 5 S. 17). Diese Überlegung gilt nach der Rechtsprechung auch mit Bezug auf die Frage, ab welchem Zeitpunkt einer Ehefrau, die nach der Geburt eines nicht vom Ehemann stammenden Kindes gegen diesen Ansprüche auf Ehegattenunterhalt geltend macht, im Hinblick auf die von ihr geforderte Wiederaufnahme ihrer Erwerbstätigkeit ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden darf (BGE 129 III 417 E. 2.2 S. 421).
3.3 Das Kantonsgericht erwog, die zuletzt erwähnte Rechtsprechung sei im vorliegenden Fall nicht anwendbar: Erstens beziehe sie sich auf die Festsetzung des Ehegatten- und nicht des Kinderunterhalts. Zweitens sei nicht der Unterhaltsanspruch, sondern die Unterhaltspflicht der erneut Mutter gewordenen Ehefrau zu beurteilen. Zur Begründung führt das Kantonsgericht aus, die Ansprüche aller unmündigen Geschwister, auch Halbgeschwister, bezüglich Unterhalt "und wohl auch Betreuung" seien gleichrangig. Gemäss der Lehre geniesse der Unterhaltsanspruch unmündiger Kinder überdies gegenüber allen anderen Unterhaltsverbindlichkeiten Vorrang.
3.4 Soweit das Kantonsgericht damit sagen will, der Unterhaltsanspruch (der beiden ehelichen Kinder) auf Geldzahlung gehe demjenigen (des ausserehelichen Kindes) auf Pflege und Erziehung vor, übersieht es, dass sich ein derartiger Primat des Geldunterhaltsanspruchs der von ihm angegebenen Literaturstelle nicht entnehmen lässt. Die zitierten Autoren sprechen sich für eine Priorisierung des Unterhaltsanspruchs unmündiger Kinder gegenüber den Unterhaltsansprüchen Erwachsener und mündiger Kinder aus (HAUSHEER/SPYCHER, Handbuch des Unterhaltsrechts, 2. Aufl. 2010, Rz. 08.28). Wie es sich damit verhält, ist hier nicht weiter zu erörtern, da ausschliesslich Unterhaltsansprüche unmündiger Kinder in Frage stehen. Zu beachten ist aber Art. 276 Abs. 2 ZGB. Danach ist der Kindesunterhalt durch Pflege und Erziehung oder, wenn das Kind nicht unter der Obhut der Eltern steht, durch Geldzahlung zu leisten. Eine Rangordnung unter diesen verschiedenen Arten der Leistung besteht nicht. Die Gleichrangigkeit der Unterhaltsansprüche der unmündigen Kinder gilt aber auch nicht in einem absoluten Sinn. Vielmehr sind die Kinder im Verhältnis zu ihren objektiven Bedürfnissen gleich zu behandeln. Der Grundsatz, dass sich diese Gleichbehandlung an den konkreten (Erziehungs-, Gesundheits- und Ausbildungs-)Bedürfnissen der betroffenen Kinder messen lassen muss, gilt nicht nur hinsichtlich der Bemessung des Unterhaltsbeitrages in Geld nach Art. 285 ZGB (dazu BGE 137 III 59 E. 4.2.1 S. 62 mit Hinweis), sondern auch im Verhältnis zwischen Natural- und Geldleistung. Schuldet ein Elternteil sowohl Natural- als auch Geldunterhalt, so ist eine ungleiche Verteilung auch dieser verschiedenartigen Leistungen nicht von vornherein ausgeschlossen, bedarf aber - wie die Festsetzung ungleicher Geldbeträge (a.a.O.) - einer Rechtfertigung.
Nach dem Gesagten kann dem Kantonsgericht und auch dem Beschwerdegegner insofern nicht gefolgt werden, als sie die Gleichrangigkeit der Kinderunterhaltsansprüche ins Feld führen, um der Beschwerdeführerin eine (längere) Übergangsfrist zur Wiederaufnahme ihrer Erwerbstätigkeit abzusprechen. Ebenso wenig kommt es darauf an, dass die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt, als sie mit U._ schwanger wurde, wohl wissen musste, dass sie als unterhaltspflichtige Mutter für S._ und T._ weiterhin Unterhaltsleistungen würde erbringen müssen. Die Frage, ob (und gegebenenfalls in welchem Umfang) der Ehefrau in einer Konstellation wie der vorliegenden zur Wiederaufnahme bzw. Ausdehnung ihrer Erwerbstätigkeit eine Übergangsfrist eingeräumt werden muss, ist bei genauer Betrachtung gar keine solche der Bevorteilung des neugeborenen ausserehelichen Kindes gegenüber seinen älteren ehelichen Halbgeschwistern. Vielmehr betrifft diese Frage - so wie diejenige nach der Anrechnung eines hypothetischen Einkommens überhaupt - die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit. Für deren Beurteilung kommt es auf die konkrete Situation der unterhaltspflichtigen Partei an. Gilt es die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit einer Mutter unmittelbar nach der Geburt ihres Kindes zu beurteilen, so ist dem Kindeswohl nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung besondere Beachtung zu schenken. Nach kinderpsychiatrischen und entwicklungspsychologischen Erkenntnissen reagieren Kleinkinder in den ersten Lebensmonaten nämlich empfindlich auf jeden Wechsel der Bezugsperson, insbesondere wenn damit auch ein Wechsel in der häuslichen Umgebung verbunden ist. Je jünger ein Kind ist, desto besser muss gesichert sein, dass eine geeignete und voraussichtlich nicht wechselnde Person zur persönlichen Betreuung zur Verfügung steht (BGE 121 III 441 E. 3b/aa S. 443 f. mit Hinweisen).
Gestützt auf diese Erkenntnisse befand das Bundesgericht in einem neueren Urteil, der zweiten Ehefrau eines unterhaltspflichtigen Vaters sei aus Gründen des Kindeswohls grundsätzlich nicht zuzumuten, bereits ab dem 2. Lebensjahr ihres Kindes eine Teilzeitarbeit von 40 % aufzunehmen, um ihrem Ehemann in der Erfüllung seiner Unterhaltspflicht gegenüber den erstehelichen Kindern beistehen zu können (Urteil 5A_241/2010 vom 9. November 2010 E. 5.6). Zwar steht im vorliegenden Fall nicht die eheliche Beistandspflicht einer Ehefrau des Unterhaltsschuldners, sondern die Unterhaltspflicht einer Mutter in Frage. Dieser Unterschied - und auch die vom Kantonsgericht vorgenommene Differenzierung (E. 3.3) - vermag aber nichts daran zu ändern, dass auch in Fällen wie dem vorliegenden, wo die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit der Mutter im Hinblick auf die Festsetzung von ihr selbst geschuldeter Unterhaltsbeiträge zu beurteilen ist, der von der Rechtsprechung entwickelte Grundsatz gelten muss, dass der Mutter zum Aufbau ihrer Beziehung zum Neugeborenen und zum Schutz ihrer körperlichen und seelischen Gesundheit für die Wiederaufnahme ihrer Erwerbstätigkeit eine angemessene Übergangsfrist zu gewähren ist (BGE 129 III 417 E. 2.2 S. 422).
3.5 Im Lichte des Gesagten lässt es sich mit Art. 9 BV nicht vereinbaren, wenn das Kantonsgericht der Beschwerdeführerin ohne Einräumung einer Übergangsfrist bereits ab dem 1. Januar 2012 - rund drei Monate nach der Geburt von U._ - ein Arbeitspensum von 60 % zumutet und ihr von diesem Zeitpunkt an ein entsprechendes hypothetisches Einkommen anrechnet. Die Beschwerdeführerin hat ihre Erwerbstätigkeit am 1. Januar 2012 bereits zu 31 % wieder aufgenommen. Von der Beschwerdeführerin schon so kurze Zeit nach der Geburt des Kindes mehr zu verlangen, ist offensichtlich unhaltbar und läuft insbesondere dem Kindeswohl des Neugeborenen in stossender Weise zuwider. Entgegen dem, was der Beschwerdegegner anzunehmen scheint, ändert sich an dieser Erkenntnis nichts durch den Umstand, dass die Kinder S._ und T._ hinsichtlich ihrer auf Geldleistung gerichteten Unterhaltsansprüche vorläufig eine Einbusse in Kauf nehmen müssen. Denn diese ungleiche Verteilung der geschuldeten Unterhaltsleistungen ist durch das erhöhte Bedürfnis ihres Halbbruders U._ nach persönlicher Pflege und Betreuung durch seine Mutter gerechtfertigt. Nicht gefolgt werden kann dem Beschwerdegegner schliesslich, wenn er einwendet, auch der Anspruch auf die gesetzliche Mutterschaftsentschädigung bestehe nur während 14 Wochen, und daraus den Schluss zieht, dass weder die Mutter noch das Kind physische oder psychische Schäden davontrügen, falls die Mutter gut drei Monate nach der Geburt eine Erwerbstätigkeit - noch dazu von lediglich 60 % - aufnehme, wie dies aus finanziellen Gründen "tausende von Müttern" tun müssten. Die Mutterschaftsentschädigung gemäss Art. 16b ff. EOG (SR 834.1) dient dazu, der Frau die Beibehaltung einer Erwerbstätigkeit bei Mutterschaft zu erleichtern (Parlamentarische Initiative Revision Erwerbsersatzgesetz, Ausweitung der Erwerbsersatzansprüche auf erwerbstätige Mütter, Bericht der Kommission für soziale Sicherheit und Gesundheit des Nationalrates vom 3. Oktober 2002, BBl 2002 7526) und die wirtschaftlichen Folgen des durch die Geburt bedingten Arbeitsunterbruchs der Mutter sozial abzusichern (Stellungnahme des Bundesrates zur parlamentarischen Initiative und zum erwähnten Bericht der Nationalratskommission vom 6. November 2002, BBl 2003 1114). In der familienrechtlichen Auseinandersetzung steht indessen nicht die Verankerung der Frau im Erwerbsleben, sondern das Kindeswohl im Vordergrund (s. E. 3.4). Entsprechend kann aus der gesetzlichen Regelung des Mutterschaftsurlaubs auch nicht gefolgert werden, dass die Dauer von lediglich 14 Wochen, die der Bundesrat selbst als "eher bescheidene" Lösung bezeichnet (Stellungnahme des Bundesrates vom 6. November 2002, BBl 2003 1115), dem Kindeswohl genügt.
3.6 Kann von der Beschwerdeführerin zur Ausschöpfung ihrer wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit nicht mehr verlangt werden, als sie seit 1. Januar 2012 ohnehin schon leistet, so erübrigt es sich, auf ihre weiteren Vorwürfe einzugehen, das Kantonsgericht habe ihr das hypothetische Einkommen in Verletzung von Art. 9 BV rückwirkend aufgerechnet und den Umfang des zumutbaren Arbeitspensums mit 60 % in willkürlicher Weise zu hoch angesetzt.
4. 4.1 Gestützt auf die vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Entsprechend dem Antrag der Beschwerdeführerin bleibt es damit hinsichtlich der ab Januar 2012 geschuldeten Unterhaltsbeiträge für die Kinder S._ und T._ bei Ziffer 2 des erstinstanzlichen Entscheids. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdegegner als unterliegende Partei für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdeführerin eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
4.2 Der Beschwerdegegner ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Aus seinem Gesuch geht hinreichend hervor, dass er nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, um den vor Bundesgericht geführten Prozess aus eigenen Mitteln zu finanzieren. Nachdem er im kantonalen Berufungsverfahren mit seinen Anträgen teilweise durchgedrungen ist und sich mit dem angefochtenen Entscheid auch abgefunden hatte, kann sein Begehren auf Abweisung der Beschwerde nicht als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sind mithin erfüllt, und das entsprechende Gesuch für das bundesgerichtliche Verfahren ist gutzuheissen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Damit sind die Gerichtskosten einstweilen auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen; der Vertreterin des Beschwerdegegners ist aus der Bundesgerichtskasse eine reduzierte Entschädigung zu entrichten. Die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung steht unter dem Vorbehalt, dass der Beschwerdegegner der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts St. Gallen, Einzelrichter im Familienrecht, vom 28. März 2012 wird aufgehoben. In Abänderung von Ziffer 1.5 des Eheschutzentscheids des Kreisgerichts Wil vom 27. Oktober 2010 wird die Beschwerdeführerin verpflichtet, ab Januar 2012 an den Unterhalt der Kinder S._ und T._ monatlich im Voraus je Fr. 160.-- zu bezahlen, zuzüglich allfälliger Kinderzulagen.
2. Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdegegner Rechtsanwältin Linda Keller als Rechtsbeiständin beigegeben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Rechtsanwältin Linda Keller wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
6. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter im Familienrecht, zurückgewiesen.
7. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter im Familienrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn