Sachverhalt:
A. A.a Die 1953 geborene Y._ ist deutsche Staatsbürgerin und von Beruf Kauffrau. Sie lebt in München. Die X._ AG ist eine schweizerische Aktiengesellschaft mit Sitz in Zürich, deren Zweck die Vermögens- und Liegenschaftenverwaltung sowie die Beratung in Finanzierungs- und Grundstücksangelegenheiten einschliesslich deren Abwicklung und Betreuung ist.
Y._ und die X._ AG schlossen im Herbst 1996 einen Vermögensverwaltungsvertrag ab, wobei nicht feststeht, ob sie einen schriftlichen Vertrag unterzeichneten. In diesem Zusammenhang wurden auf den Namen von Y._ ein Konto und ein Depot bei der Bank A._ eröffnet, wofür Y._ dem Geschäftsführer der X._ AG, W._, eine Vollmacht erteilte. Am 15. November 1996 überwies Y._ DM 1'000'000.--, am 28. Januar 1997 weitere DM 500'000.-- zur Verwaltung auf das neu eröffnete Konto.
A.b Am 12. Juni bzw. 3. August 2000 schlossen Y._ als Auftraggeberin, Dr. V._ sowie die U._ Inc., Panama, als Beauftragte und die X._ AG als Vermögensverwalterin einen schriftlichen Mandats- und Treuhandvertrag ab. Der Vertrag enthält die folgenden Bestimmungen:
"1. Die Auftraggeberin beauftragt die Beauftragten mit der Errichtung und der Betreuung einer Foundation (Stiftung) nach dem Recht des Staates Panama mit dem Namen T._ Fondation (nachstehend "Foundation"). Die Beauftragten sind bereit, treuhänderisch für den Auftraggeber die Errichtung der Foundation zu veranlassen und für deren laufende Betreuung zu sorgen. Die Firma U._, Inc. handelt als einziger Stiftungsrat der Foundation.
[...]
5. Die Auftraggeberin betraut die mitunterzeichnende X._ AG als Vermögensverwalterin mit allgemeiner Vollmacht und entbindet die Beauftragten diesbezüglich von jeder Verantwortung. Die Auftraggeberin wird überdies weder direkt noch indirekt gegen die Beauftragten in deren Eigenschaft als Beauftragte, Treuhänder oder Stiftungsrat der Foundation Ansprüche, insbesondere Verantwortlichkeitsansprüche geltend machen; vorbehalten bleiben Fälle von Vorsatz oder grober Fahrlässigkeit.
[...]
11. Dieser Vertrag untersteht schweizerischem Recht.
Alle sich aus oder im Zusammenhang mit dem vorliegenden Vertrag ergebenden Streitigkeiten werden durch einen Einzelschiedsrichter gemäss der internationalen Schiedsgerichtsordnung der Zürcher Handelskammer mit Sitz in Zürich unter Ausschluss der ordentlichen Gerichte entschieden."
(Hervorhebungen weggelassen)
Y._ macht geltend, die T._ Fondation (nachfolgend: Stiftung) sei bereits am 20. März 2000 auf Anraten von W._ gegründet worden. Sie selber sei Stifterin und alleinige Erstbegünstigte und ihr Sohn S._ alleiniger Zweitbegünstigter der neu gegründeten Stiftung gewesen. Am 3. Mai 2000 habe die Stiftung, handelnd durch Dr. V._ als Vertreter des Stiftungsrates, ein Konto und ein Depot bei der Bank A._ eröffnet. Weiter bringt Y._ vor, im August 2000 habe sie auf dieses Konto eine Einlage von EUR 446'521.-- getätigt. Sie habe gewünscht, dass das Stiftungsvermögen, wie bereits ihr eigenes Vermögen, durch die X._ AG konservativ angelegt werde.
Unbestritten ist, dass die bereits vor der Stiftungsgründung von der X._ AG verwalteten Vermögenswerte von Y._ nicht in die Stiftung eingebracht, sondern weiterhin über ein separates Konto und Depot verwaltet wurden.
B. Am 17. Juni 2011 reichte Y._ beim Handelsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die X._ AG ein mit den folgenden Rechtsbegehren:
"1. Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin den Betrag von EUR 282'632.-- zuzüglich 5% Zins seit dem 8. Juli 2011 und den Betrag von EUR 69'867.-- zuzüglich 5% Zins seit dem 8. Juni 2011 zu bezahlen.
2. Eventualiter sei der nicht ziffernmässig nachweisbare Schaden per Urteilszeitpunkt der Klägerin im Sinne von Art. 42 OR nach richterlichem Ermessen zu bestimmen und die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin diesen zuzüglich 5% Zins seit dem Urteilszeitpunkt zu bezahlen.
3. Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin den Betrag von EUR 20'787.90 zuzüglich 5% Zins seit dem 28. Oktober 2008 zu bezahlen.
4. Es sei die Beklagte unter Androhung der Überweisung ihrer verantwortlichen Organe an den Strafrichter nach Art. 292 StGB zu verpflichten, der Klägerin vollständig Rechenschaft abzulegen (mit entsprechend dokumentierten Nachweisen und Hinweisen zur Aufschlüsselung) über sämtliche Honorare, Provisionen, Kickbacks, Retrozessionen, Finder's Fees und andere indirekte Vorteile, die die Beklagte im Zusammenhang mit der Verwaltung des Vermögens der T._ Fondation (Panama) von Dritten erhalten hat oder allenfalls noch von Dritten zu fordern berechtigt ist. Diese Rechenschaftsablage hat innert einer vom Gericht anzusetzenden Frist an das Gericht zu Handen der Klägerin zu erfolgen.
5. Es sei die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin, zusätzlich zu den Forderungen gemäss Ziff. 1 bzw. Ziff. 2 und gemäss Ziff. 3, den sich aus der Abrechnung gemäss Ziff. 4 ergebenden Betrag respektive einen nach Abschluss des Beweisverfahrens durch die Klägerin zu beziffernden Betrag, mindestens jedoch EUR 10'000.--, nebst Zins zu 5% seit dem 28. Oktober 2008 zu bezahlen."
Die X._ AG erhob Schiedseinrede und beantragte, auf die Klage sei nicht einzutreten.
Am 23. Januar 2012 fasste das Handelsgericht den folgenden Beschluss:
"1. In Bezug auf die Ansprüche, welche die Verwaltung des Vermögens der Klägerin betreffen, wird die von der Beklagten erhobene Unzuständigkeitseinrede abgewiesen und das Verfahren weitergeführt.
2. In Bezug auf die Ansprüche der Klägerin, welche die Verwaltung des Vermögens der T._ Fondation betreffen, wird auf die Klage nicht eingetreten, insoweit diese aus dem Mandats- und Treuhandvertrag vom 12. Juni bzw. 3. August 2000 abgeleitet werden. Im Übrigen wird die von der Beklagten erhobene Unzuständigkeitseinrede abgewiesen und das Verfahren weitergeführt."
C. Die X._ AG (Beschwerdeführerin) verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, Dispositiv-Ziffer 2 des Beschlusses des Handelsgerichts aufzuheben. Es sei auf die in der Klage vom 17. Juni 2011 gestellten Rechtsbegehren 4 und 5 insgesamt, auf das Rechtsbegehren 1, soweit die Verurteilung der Beschwerdeführerin zur Zahlung von EUR 69'867.-- zuzüglich Zins zu 5% seit dem 8. Juni 2011 verlangt werde sowie auf das Rechtsbegehren 2, soweit es sich auf Ansprüche beziehe, die im Zusammenhang mit der Verwaltung des Vermögens der T._ Fondation stehen, nicht einzutreten. Eventualiter sei auf die Klage in Bezug auf sämtliche Ansprüche, welche die Verwaltung des Vermögens der T._ Fondation betreffen oder damit in Zusammenhang stehen, nicht einzutreten. Subeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Y._ (Beschwerdegegnerin) beantragt, die Beschwerde vollumfänglich abzuweisen. Das Handelsgericht verzichtete auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde richtet sich gegen Dispositiv-Ziffer 2 des vorinstanzlichen Beschlusses, mit der die Unzuständigkeitseinrede der Beschwerdeführerin teilweise (nämlich mit Bezug auf Ansprüche der Beschwerdegegnerin, welche die Verwaltung des Vermögens der Stiftung betreffen, soweit diese nicht aus dem Mandats- und Treuhandvertrag abgeleitet werden) abgewiesen wurde. Insoweit handelt es sich dabei um einen selbständig eröffneten Vor- bzw. Zwischenentscheid über die Zuständigkeit, gegen den die Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 92 Abs. 1 BGG grundsätzlich zulässig ist. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (BGE 137 III 380 E. 1.1 S. 382; 133 III 645 E. 2.2). Bei dieser handelt es sich um eine Zivilsache mit einem Streitwert von über Fr. 30'000.--, und der darin ergehende Endentscheid ist mit Beschwerde in Zivilsachen anfechtbar (Art. 72 Abs. 1 und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
Da auch die übrigen formellen Voraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde - unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) - grundsätzlich einzutreten.
2. Mit ihren Klagebegehren machte die Beschwerdegegnerin vor der Vorinstanz Schadenersatzansprüche wegen der Verletzung von Sorgfalts- und Treuepflichten durch die Beschwerdeführerin sowie Ansprüche auf Herausgabe und Rechenschaftsablage geltend. Zur Begründung bringt sie vor, nachdem die konservative Anlagestrategie und die vereinbarte Vermögensaufteilung bei ihrem eigenen Portfolio und demjenigen der Stiftung zwischen Anfang 2000 und Ende 2005 eingehalten worden sei, habe die Beschwerdeführerin sie ab 2006 bei beiden Portfolios verlassen. Im Verlauf des Jahres 2008 seien erhebliche Verluste auf den Vermögen eingetreten. Ihr damaliger Rechtsvertreter habe darauf W._ um den 28. Oktober 2008 beauftragt, alle ihre verbleibenden eigenen Vermögenswerte sowie diejenigen der Stiftung bei der Bank A._ an die Bank B._ in Österreich zu übertragen, was denn auch geschehen sei. Die Stiftung sei am 25. Mai 2009 durch den Stiftungsrat auf Instruktion der Beschwerdeführerin - ohne entsprechende Instruktion durch die Beschwerdegegnerin und ohne Absprache mit ihr - aufgelöst worden.
Vor Bundesgericht ist die Zuständigkeit der Vorinstanz nur noch mit Bezug auf diejenigen Ansprüche streitig, welche die Verwaltung des Vermögens der Stiftung betreffen und sich nicht auf den Mandats- und Treuhandvertrag stützen. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den sachlichen Anwendungsbereich der Schiedsvereinbarung verletzt, indem sie sich bezüglich der Beurteilung dieser Ansprüche nicht für unzuständig erklärt habe. Eine Auslegung der Schiedsvereinbarung nach dem Vertrauensprinzip ergebe, dass sämtliche von der Beschwerdegegnerin behaupteten Ansprüche in Bezug auf die Verwaltung des Vermögens der Stiftung darunter fielen. Es bestehe kein Grund, hinsichtlich der Zuständigkeit zwischen den Anspruchsgrundlagen zu differenzieren, wie es die Vorinstanz getan habe. Die Vorinstanz - so die Beschwerdeführerin - hätte stattdessen auf die entsprechenden Ansprüche insgesamt nicht eintreten dürfen.
3. 3.1 Die Beschwerdegegnerin wohnt in Deutschland, die Beschwerdeführerin hat ihren Sitz in Zürich. Es liegt mithin ein internationales Verhältnis im Sinne von Art. 1 IPRG (SR 291) vor. Die strittige Frage, ob und inwieweit die Vorinstanz angesichts der Schiedseinrede der Beschwerdeführerin zur Entscheidung der ihr unterbreiteten Streitsache zuständig ist, ist damit nach den einschlägigen Bestimmungen des IPRG zu entscheiden, unter Vorbehalt völkerrechtlicher Verträge (Art. 1 Abs. 1 lit. a und Art. 1 Abs. 2 IPRG).
Da die Beschwerdeführerin eine Schiedsvereinbarung anruft, laut der das vereinbarte Schiedsgericht seinen Sitz in der Schweiz hat, ist die Schiedseinrede nach Art. 7 IPRG zu beurteilen (BGE 122 III 139 E. 2a). Gemäss dieser Bestimmung lehnt das angerufene schweizerische Gericht seine Zuständigkeit ab, falls die Parteien über eine schiedsfähige Streitsache eine Schiedsvereinbarung getroffen haben, es sei denn, a. der Beklagte habe sich vorbehaltlos auf das Verfahren eingelassen, b. das Gericht stelle fest, die Schiedsvereinbarung sei hinfällig, unwirksam oder nicht erfüllbar, oder c. das Schiedsgericht könne nicht bestellt werden aus Gründen, für die der im Schiedsverfahren Beklagte offensichtlich einzustehen hat. Der Umstand, dass eine gültige und auf den Streitgegenstand anwendbare Schiedsvereinbarung vorliegt, führt also mangels Einlassung des Beklagten grundsätzlich dazu, dass das staatliche Gericht den Kläger auf das Schiedsverfahren zu verweisen hat, und zwar unabhängig davon, ob dieses bereits eingeleitet wurde oder nicht (vgl. BGE 124 III 83 E. 5b S. 87; Urteil 4A_279/2010 vom 25. Oktober 2010 E. 2).
3.2 Wird vor dem angerufenen staatlichen Gericht der Einwand seiner Unzuständigkeit zugunsten eines Schiedsgerichts mit Sitz in der Schweiz erhoben, steht dem staatlichen Gericht nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nur eine beschränkte Kognition zu. Es hat seine Zuständigkeit abzulehnen, wenn nicht eine summarische Prüfung der Schiedsvereinbarung deren Hinfälligkeit, Unwirksamkeit oder Nichterfüllbarkeit ergibt (BGE 122 III 139 E. 2b). Damit soll verhindert werden, dass der Entscheid des Schiedsgerichts über seine eigene Zuständigkeit (Art. 186 Abs. 1 und 1bis IPRG) durch den Entscheid des staatlichen Gerichts präjudiziert wird.
Diese Rechtsprechung ist in der Lehre teilweise auf Kritik gestossen, die hauptsächlich damit begründet wird, dass sich aus dem Gesetzestext keine Beschränkung der Kognition ergebe und dass eine solche auch nicht angebracht sei, da das mit einer Schiedseinrede befasste staatliche Gericht in erster Linie über seine eigene Zuständigkeit und nur indirekt über diejenige des Schiedsgerichts entscheide (so etwa BERGER/KELLERHALS, International and Domestic Arbitration in Switzerland, 2. Aufl. 2010, S. 87 f. Rz. 316 f.; BERTI, in: Basler Kommentar IPRG, 2. Aufl. 2007, N. 8 zu Art. 7 IPRG; LIATOWITSCH, Die Anwendung der Litispendenzregeln von Art. 9 IPRG durch schweizerische Schiedsgerichte: Ein Paradoxon?, ASA Bulletin 2001, S. 422 ff., S. 434 Fn. 36; POUDRET, Exception d'arbitrage et litispendance en droit suisse, ASA Bulletin 2006, S. 230 ff., S. 232-236; POUDRET/BESSON, Comparative Law of International Arbitration, 2. Aufl. 2007, S. 431-434 Rz. 502-504; zustimmend dagegen GAILLARD, L'effet négatif de la compétence-compétence, in: Études de procédure et d'arbitrage en l'honneur de Jean-François Poudret, 1999, S. 387 ff., S. 393 f.; derselbe, La reconnaissance, en droit suisse, de la seconde moitié du principe d'effet négatif de la compétence-compétence, in: Liber Amicorum in honour of Robert Briner, 2005, S. 311 ff., S. 322 f.; KAUFMANN-KOHLER/RIGOZZI, Arbitrage international, 2. Aufl. 2010, S. 247 Rz. 443; MAYER, Die Überprüfung internationaler Schiedsvereinbarungen durch staatliche Gerichte (...), ASA Bulletin 1996, S. 361 ff., S. 363, 379; PFISTERER/SCHNYDER, International Arbitration in Switzerland, 2012, S. 44; vgl. nun auch WENGER/SCHOTT, in: Basler Kommentar IPRG, 2. Aufl. 2007, N. 7a f. zu Art. 186 IPRG).
Das Bundesgericht hat die in BGE 122 III 139 E. 2b begründete Rechtsprechung seither wiederholt bestätigt (Urteile 4A_436/2007 vom 9. Januar 2008 E. 3; 4C.44/1996 vom 31. Oktober 1996 E. 2; vgl. auch Urteil 4A_279/2010 vom 25. Oktober 2010 E. 2). Gerechtfertigt ist die in diesem Stadium beschränkte Kognition des staatlichen Gerichts dadurch, dass später im Rahmen der Anfechtung des Schiedsspruchs die staatliche Rechtsmittelinstanz mit voller Kognition überprüfen kann, ob sich das Schiedsgericht zu Recht für zuständig oder unzuständig erklärt hat (Art. 190 Abs. 2 lit. b IPRG). Daher ist es richtig, wenn das staatliche Gericht bei der Beurteilung einer Schiedseinrede aufgrund einer beschränkten Prüfung der Wirksamkeit und Erfüllbarkeit der Schiedsvereinbarung im Zweifel zu Gunsten des Schiedsgerichts entscheidet. Zu erwähnen bleibt, dass auf den 1. Januar 2011 für den Bereich der Binnenschiedsgerichtsbarkeit Art. 61 der Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO; SR 272) in Kraft getreten ist, gemäss dem das angerufene staatliche Gericht, wenn die Parteien über eine schiedsfähige Streitsache eine Schiedsvereinbarung getroffen haben, sich für unzuständig zu erklären hat, es sei denn, die Schiedsvereinbarung sei "offensichtlich ungültig oder nicht erfüllbar" (lit. b). Damit wurde nach verbreiteter Ansicht die für Art. 7 lit. b IPRG geltende Rechtsprechung für den Bereich der Binnenschiedsgerichtsbarkeit kodifiziert (s. DOMEJ, in: Kurzkommentar Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, N. 3 zu Art. 61 ZPO; MÜLLER-CHEN, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2010, N. 13 zu Art. 61 ZPO; STACHER, in: Kommentar Schweizerische Zivilprozessordnung, 2011, N. 11 zu Art. 61 ZPO; anders SCHWEIZER, in: Code de procédure civile commenté, 2011, N. 11 und 17 zu Art. 61 ZPO). Jedenfalls ist dem staatlichen Richter im Bereich der Binnenschiedsgerichtsbarkeit nun durch explizite Gesetzesbestimmung Zurückhaltung bei der Prüfung der Schiedsvereinbarung auferlegt (vgl. auch die am 20. März 2008 eingereichte parlamentarische Initiative von Nationalrat Lüscher, welche die lediglich summarische Prüfungsbefugnis des staatlichen Gerichts für den Bereich der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit, unabhängig vom Sitz des Schiedsgerichts, im Text von Art. 7 IPRG verankern möchte).
An der dargelegten Rechtsprechung zu Art. 7 lit. b IPRG ist vor diesem Hintergrund festzuhalten. Das staatliche Gericht, das eine Schiedsvereinbarung zugunsten eines Schiedsgerichts mit Sitz in der Schweiz zu beurteilen hat, darf und muss folglich auch weiterhin bloss summarisch prüfen, ob diese seine eigene Zuständigkeit für die eingeklagten Ansprüche ausschliesst. Dies bedeutet, dass sich das Gericht nur für zuständig erklären darf, wenn zwischen den Parteien offensichtlich keine wirksame Schiedsvereinbarung vorliegt. Die beklagte Partei obsiegt mithin bereits dann, wenn die Zuständigkeit des staatlichen Gerichts auf den ersten Blick als durch die Schiedsvereinbarung derogiert erscheint.
3.3 Die beschränkte Kognition des staatlichen Richters betrifft nicht nur die Konstellation, in der das Zustandekommen oder die Gültigkeit der Schiedsvereinbarung umstritten ist, sondern auch den Fall, dass Uneinigkeit darüber besteht, ob sich die Schiedsvereinbarung auf die vor dem staatlichen Gericht geltend gemachten Ansprüche erstreckt. Denn auch die Frage der inhaltlichen Tragweite der Schiedsvereinbarung kann später im Rahmen der Anfechtung des Schiedsspruchs gemäss Art. 190 Abs. 2 lit. b IPRG überprüft werden (BGE 116 II 639 E. 3 S. 642; Urteil 4A_210/2008 vom 29. Oktober 2008 E. 3.1), weshalb dem staatlichen Gericht auch insofern bei der Beurteilung einer Schiedseinrede nur eine summarische Prüfungsbefugnis zusteht (Urteil 4A_436/2007 vom 9. Januar 2008 E. 3).
Die Vorinstanz hat die Frage, ob die streitgegenständlichen Ansprüche respektive Anspruchsgrundlagen von der vorliegenden Schiedsvereinbarung erfasst sind, soweit erkennbar frei geprüft. Nachfolgend ist zu untersuchen, ob die gebotene summarische Prüfung zu einem abweichenden Ergebnis geführt hätte und ob die Vorinstanz somit im Ergebnis Bundesrecht verletzt hat.
4. 4.1 Die Vorinstanz legte die Schiedsvereinbarung in Anwendung von Art. 178 Abs. 2 IPRG nach schweizerischem Recht aus, was von keiner Partei in Frage gestellt wird. Die Auslegung einer Schiedsvereinbarung folgt den für die Auslegung privater Willenserklärungen allgemein geltenden Grundsätzen. Massgebend ist in erster Linie der übereinstimmende tatsächliche Wille der Parteien. Kann ein solcher nicht festgestellt werden, ist die Schiedsvereinbarung objektiviert auszulegen, d.h. der mutmassliche Parteiwille ist so zu ermitteln, wie er vom jeweiligen Erklärungsempfänger nach den gesamten Umständen in guten Treuen verstanden werden durfte und musste (BGE 138 III 29 E. 2.2.3; 130 III 66 E. 3.2 S. 71). Dabei ist der Zeitpunkt des Vertragsschlusses massgebend, weshalb bei der Auslegung nach dem Vertrauensprinzip nachträgliches Parteiverhalten nicht von Bedeutung ist (BGE 129 III 675 E. 2.3 S. 680 mit Hinweis).
4.2 Mangels substanziierter Behauptung einer tatsächlichen Willenseinigung über die Tragweite der Schiedsvereinbarung nahm die Vorinstanz eine objektivierte Vertragsauslegung vor, d.h. sie ermittelte den mutmasslichen Parteiwillen. Dabei stellte sie zunächst fest, der Wortlaut der in Ziff. 11 Abs. 2 des Mandats- und Treuhandvertrages enthaltenen Schiedsvereinbarung ("alle sich aus oder im Zusammenhang mit dem vorliegenden Vertrag ergebenden Streitigkeiten" werden der Schiedsgerichtsbarkeit unterstellt) liefere keine Antwort auf die Frage, welche Streitigkeiten erfasst würden. Sie befand, es müsse daher durch Einbezug des weiteren Vertragsinhalts ermittelt werden, wie die Schiedsklausel nach Treu und Glauben zu verstehen sei.
Nach den streitgegenständlichen Rechtsbegehren differenzierend, folgerte sie, die Ansprüche der Beschwerdegegnerin hinsichtlich ihres eigenen (von der Beschwerdeführerin seit 1996 verwalteten und nicht in die Stiftung eingebrachten) Vermögens fielen insgesamt nicht unter die Schiedsklausel. Dieses Vermögen werde nämlich im Mandats- und Treuhandvertrag mit keinem Wort erwähnt und sei folglich nicht davon betroffen. Die entsprechenden Ansprüche würden somit von der Schiedsvereinbarung nicht erfasst und fielen in die Zuständigkeit der staatlichen Gerichte. Dies ist unbestritten.
Was die Ansprüche betreffend die Verwaltung des Stiftungsvermögens anbelangt, unterschied die Vorinstanz demgegenüber weiter nach der rechtlichen Grundlage, auf die sie von der Beschwerdegegnerin gestützt werden:
Einerseits befand sie, nach Treu und Glauben könne kein Zweifel daran bestehen, dass die Schiedsklausel den Mandats- und Treuhandvertrag in seiner Gesamtheit erfasse. Es sei nicht nachvollziehbar, weshalb sich die Schiedsklausel - wie die Beschwerdegegnerin geltend mache - lediglich auf dessen Hauptthema, nämlich die Errichtung und Betreuung der Stiftung, beschränken sollte. Soweit die Beschwerdegegnerin ihre Ansprüche auf diesen Vertrag stütze, fielen diese daher ohne Weiteres unter die Schiedsvereinbarung, zumal die Beschwerdeführerin Partei des Vertrags sei und in dessen Ziffer 5 explizit erwähnt werde. Ob Ziffer 5 Satz 1 des Vertrages, gemäss dem die Beschwerdegegnerin die Beschwerdeführerin als Vermögensverwalterin mit allgemeiner Vollmacht "betraue", einen Vermögensverwaltungsvertrag mit Bezug auf das Stiftungsvermögen darstelle oder ob die Beschwerdegegnerin, wie sie selber behaupte, darin lediglich ihr Einverständnis zum Abschluss eines (selbständigen) Vermögensverwaltungsvertrages zwischen der Beschwerdeführerin und der Stiftung erteilt habe, könne in diesem Verfahrensstadium offen bleiben. Die Bezeichnung "Mandats- und Treuhandvertrag" schliesse aber nicht aus, dass in diesem Vertrag unter anderem die Vermögensverwaltung geregelt werde. Soweit die Ansprüche aus dem Mandats- und Treuhandvertrag abgeleitet werden, erklärte sich die Vorinstanz für unzuständig, was nicht angefochten wird.
Andererseits führte die Vorinstanz aus, die Beschwerdegegnerin stütze ihren Anspruch in erster Linie nicht auf den Mandats- und Treuhandvertrag. Sie leite ihn vielmehr aus einem anderen Auftragsverhältnis oder aus Geschäftsführung ohne Auftrag im Zusammenhang mit der Auflösung der Stiftung ab: Sie mache geltend, hinsichtlich des Vermögensverwaltungsvertrags betreffend das Stiftungsvermögen sei nicht sie, sondern die Stiftung Vertragspartei, und dieser stünden auch die entsprechenden vertraglichen Ansprüche zu. Da aber die Stiftung, deren alleinige Erstbegünstigte die Beschwerdegegnerin sei, ohne deren Wissen aufgelöst worden sei und nicht mehr existiere, könne sie den durch die unsorgfältige Vermögensverwaltung der Beschwerdeführerin entstandenen Schaden nicht mehr geltend machen. Den eigenen Anspruch stütze die Beschwerdegegnerin daher auf die nicht autorisierte Instruktion der Beschwerdeführerin zur Auflösung der Stiftung.
Die Vorinstanz erwog, weil mit Bezug auf ein solches anderes Auftragsverhältnis sowie mit Bezug auf Geschäftsführung ohne Auftrag keine Schiedsklausel vorliege, seien die staatlichen Gerichte zuständig, wobei unerheblich sei, ob sich die Behauptung der Beschwerdegegnerin als zutreffend erweise.
4.3 Die Beschwerdeführerin beanstandet in diesem Zusammenhang eine zu enge Auslegung der Schiedsvereinbarung. Nach dem Text der Klausel seien nämlich nicht nur Streitigkeiten in Bezug auf Ansprüche, die aus dem Mandats- und Treuhandvertrag "abgeleitet werden", sondern auch solche, die damit "im Zusammenhang stehen", erfasst. Es handle sich somit um eine breite und umfassende Schiedsvereinbarung, die nicht nur vertragliche Ansprüche erfasse, sondern namentlich auch ausservertragliche. Die Instruktion zur Liquidation der Stiftung sei in Ausübung der Rechte und Pflichten aus dem Vermögensverwaltungsvertrag erfolgt, da mit der Übertragung der Vermögenswerte auf die Bank B._ die Stiftung für das Halten der Vermögenswerte nicht mehr benötigt worden sei. Die dahin gehenden ausservertraglichen Ansprüche der Beschwerdegegnerin stünden somit im Zusammenhang mit dem Mandats- und Treuhandvertrag und seien von der Schiedsvereinbarung erfasst. Selbst wenn sich die Ansprüche aber, wie die Beschwerdegegnerin unsubstanziiert darlege, aus einem "anderen Auftragsverhältnis" ergeben sollten, würde dieses den gleichen Sachverhalt, nämlich das Halten von Vermögenswerten durch die Stiftung bzw. deren Verwaltung betreffen und somit bloss einen Neben- bzw. ergänzenden Aspekt der Vermögensverwaltung und einen Teil eines gesamtheitlichen oder zumindest verknüpften Gefüges von Verträgen bilden. Nach Treu und Glauben sei davon auszugehen, dass die Parteien zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses in Bezug auf diesen Sachverhaltskomplex eine Beurteilung sämtlicher Ansprüche in einem Verfahren gewollt und keine unterschiedlichen Zuständigkeiten gewünscht hätten.
4.4 Aufgrund der gebotenen summarischen Prüfung (Erwägung 3) vermag die Auffassung der Vorinstanz, die Schiedsvereinbarung erstrecke sich nicht auf die von der Beschwerdegegnerin geltend gemachten alternativen Anspruchsgrundlagen ("anderes Auftragsverhältnis" respektive "Geschäftsführung ohne Auftrag"), nicht zu überzeugen:
Ist wie hier unbestritten, dass eine Schiedsvereinbarung vorliegt, so besteht kein Anlass zu einer besonders restriktiven Auslegung. Vielmehr ist dem Anliegen der Parteien Rechnung zu tragen, die Streitsache durch ein Schiedsgericht entscheiden zu lassen (BGE 129 III 675 E. 2.3 S. 681). In diesem Sinne ist, wenn die Parteien schon eine Schiedsabrede getroffen haben, davon auszugehen, dass sie eine umfassende Zuständigkeit des Schiedsgerichts wünschen (BGE 116 Ia 56 E. 3b mit Hinweisen).
Wenn eine Schiedsvereinbarung so formuliert ist, dass sie auch die sich "im Zusammenhang mit dem" Vertrag ergebenden Streitigkeiten erfassen soll, muss dies nach Treu und Glauben so verstanden werden, dass die Parteien nicht wünschten, über die aus ihrer vertraglich geregelten Beziehung resultierenden Ansprüche unter verschiedenen Rechtstiteln einerseits vor dem Schiedsgericht und andererseits vor staatlichen Gerichten zu prozessieren. Vielmehr ist im Sinne des mutmasslichen Parteiwillens davon auszugehen, dass die Parteien alle Ansprüche, die sich aus dem vom Vertrag geregelten Sachverhalt ergeben oder diesen unmittelbar berühren, der ausschliesslichen Zuständigkeit des Schiedsgerichts zuweisen wollten (vgl. Urteil 4A_220/2007 vom 21. September 2007 E. 6.2; WENGER/SCHOTT, a.a.O., N. 35 zu Art. 178 IPRG).
Inhaltlich macht die Beschwerdegegnerin vor der Vorinstanz Ansprüche aus einer Geschäftsbeziehung geltend, deren Zweck darin bestand, dass die Beauftragten eine Stiftung nach panamaischem Recht errichten, deren von der Auftraggeberin (Beschwerdegegnerin) eingebrachten Vermögenswerte durch die Vermögensverwalterin (Beschwerdeführerin) verwaltet werden. Die Beschwerdegegnerin betraute die Beschwerdeführerin "als Vermögensverwalterin mit allgemeiner Vollmacht". Die Ansprüche der Beschwerdegegnerin, die damit begründet werden, dass die Beschwerdeführerin instruktionslos die Auflösung der Stiftung veranlasst habe, weshalb die Stiftung den durch die unsorgfältige Vermögensverwaltung der Beschwerdeführerin entstandenen Schaden sowie die Ansprüche auf Herausgabe und Rechenschaftsablage nicht mehr geltend machen könne, betreffen ohne Weiteres dieses vertraglich begründete Dreiparteienverhältnis und stehen somit im Zusammenhang mit dem Mandats- und Treuhandvertrag, unabhängig davon, ob sie nun auf diesen selbst oder auf eine andere vertragliche oder ausservertragliche Grundlage gestützt werden. Für eine gemeinsame Behandlung der von der Beschwerdegegnerin geltend gemachten Ansprüche betreffend die Verwaltung des Stiftungsvermögens sprechen auch praktische Gründe, da voraussichtlich unter den verschiedenen Titeln jeweils zu prüfen sein wird, ob die Beschwerdeführerin in Verletzung ihrer Sorgfalts- und Treuepflichten das Stiftungsvermögen geschädigt hat. Da die Beschwerdegegnerin auch nicht geltend macht, mit Bezug auf das behauptete "andere Auftragsverhältnis" sei explizit eine abweichende Zuständigkeit vereinbart worden, fallen diese Ansprüche somit zumindest auf den ersten Blick ohne Weiteres in den weiten Anwendungsbereich der Schiedsvereinbarung.
Nach summarischer Prüfung der Schiedsvereinbarung ist folglich davon auszugehen, dass die Parteien mutmasslich auch die von der Beschwerdegegnerin auf ein anderes Auftragsverhältnis oder Geschäftsführung ohne Auftrag gestützten Ansprüche gegen die Beschwerdeführerin, die sich auf das Vermögen der Stiftung beziehen, der ausschliesslichen Zuständigkeit des Schiedsgerichts zuweisen wollten. Indem die Vorinstanz befand, die Beurteilung der das Vermögen der Stiftung betreffenden Ansprüche falle nicht unter die Schiedsvereinbarung, insoweit diese nicht aus dem Mandats- und Treuhandvertrag abgeleitet würden, und in diesem Umfang die Unzuständigkeitseinrede der Beschwerdeführerin abwies, hat sie Art. 7 lit. b IPRG verletzt. Die Beschwerde ist somit gutzuheissen, und Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids ist aufzuheben und insoweit neu zu fassen, als auf die Klage in Bezug auf die Ansprüche der Beschwerdegegnerin, welche die Verwaltung des Vermögens der Stiftung betreffen, nicht eingetreten wird.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, und Dispositiv-Ziffer 2 des Beschlusses des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 23. Januar 2012 wird aufgehoben und wie folgt neu gefasst:
"Auf die klägerischen Rechtsbegehren 4 und 5, auf das klägerische Rechtsbegehren 1, soweit darin die Verurteilung der Beschwerdeführerin zur Zahlung von EUR 69'867.-- zuzüglich 5% Zins seit dem 8. Juni 2011 verlangt wird, sowie auf das klägerische Rechtsbegehren 2, soweit darin Ansprüche geltend gemacht werden, die sich auf die Verwaltung des Vermögens der T._ Fondation beziehen, wird nicht eingetreten."
2. Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2012
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz