Faits:
A.
C._, né hors mariage le 30 septembre 2009, est le fils de A._ et de B._. Le couple s'est séparé au mois de mai 2012; l'enfant demeure avec sa mère, qui réside à D._.
Depuis le mois de novembre 2012, les contacts entre l'enfant et son père, actuellement domicilié à E._, ont été interrompus.
B.
Le 29 novembre 2012, la mère a sollicité du Tribunal tutélaire (dorénavant Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant) du canton de Genève qu'il fixe les modalités du droit de visite du père, exposant en substance craindre que le désintérêt de ce dernier pour son fils ne mette en danger le bien de l'enfant, lequel souffre, depuis sa naissance, de problèmes de santé nécessitant régulièrement des hospitalisations et occasionnant des crises difficiles à gérer.
Le père a requis de pouvoir exercer son droit de visite un week-end sur deux, d'avoir libre accès à l'enfant lorsque celui-ci se trouve au Jardin d'enfants thérapeutique (ci-après: JETH) et de pouvoir le contacter téléphoniquement tous les mardis à 19h20, précisant que les modalités de son droit aux relations personnelles avec son fils, telles qu'elles avaient été convenues avec la mère, n'étaient pas respectées par celle-ci.
La mère s'est opposée à l'exercice d'un droit de visite du père un week-end sur deux, et a indiqué avoir toujours informé le père des éléments relatifs à la santé de leur enfant, alors que celui-ci ne se montrait pas régulier dans ses contacts avec l'enfant, d'une part, et avec les équipes soignantes et éducatives, d'autre part.
Le Service de protection des mineurs (ci-après: SPMi), qui a établi un rapport d'évaluation à la demande du Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant, a relevé des difficultés de communications importantes entre les parents, une rupture des relations père-fils et néanmoins une bonne évolution de l'enfant. Le SPMi a préconisé que le droit de visite du père soit progressivement réinstauré à raison d'une reprise de contact de deux heures au JETH, de deux droits de visite de trois heures au Chalet Savigny, structure intégrée par l'enfant, puis un samedi sur deux de 9 heures à 18 heures.
B.a. Par ordonnance du 1 er juillet 2013, le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant a fixé le droit de visite du père, après une reprise de contact de deux heures au JETH et une visite de trois heures avec passage de 30 minutes en début et fin de visite au JETH, à un samedi sur deux de 9 heures à 18 heures (ch. 1), a instauré une curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles et désigné deux responsables du SPMi aux fonctions de curateurs (ch. 2 et 3), invitant ces derniers à établir un rapport de situation à la fin du mois de septembre 2013 en vue d'un éventuel élargissement du droit de visite du père (ch. 4).
Le 17 juillet 2013, la mère a formé recours contre cette ordonnance, concluant à ce que le droit de visite du père soit en l'état limité à une reprise de contact de deux heures au JETH, le chiffre 1 de l'ordonnance attaquée étant annulé pour le surplus et les chiffres 2 à 4 étant confirmés. La mère a admis que le droit de visite du père soit progressivement repris et que celui-ci est apte à gérer les crises de l'enfant, mais faisait valoir que la progression prévue était trop rapide au vu des problèmes de l'enfant et que la reprise d'un droit de visite à la journée ne devait pas être envisagée avant 2014; le père habitant à E._, il n'était pas envisageable, selon elle, de déplacer l'enfant en ce lieu pour 9 heures seulement.
Le SPMi a persisté dans les conclusions prises dans son rapport.
Le père a qualifié de " farfelue " l'hypothèse d'un aller/retour de l'enfant de D._ à E._ en 9 heures et a exposé que le JETH avait donné son accord pour les modalités de visite prévues en son sein ou avec passage en son sein.
B.b. Statuant par décision du 11 septembre 2013, la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours de la mère et confirmé l'ordonnance du 1 er juillet 2013.
C.
Par acte du 16 octobre 2013, A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris, en ce qu'il confirme l'ordonnance du 1 er juillet conférant au père de l'enfant une reprise de contact avec l'enfant de deux heures, puis d'un droit de visite de trois heures avec passage de 30 minutes au début et à la fin, et enfin un droit de visite un samedi sur deux de 9 heures à 18 heures. La recourante a sollicité au préalable que l'effet suspensif soit octroyé à son recours.
Invités à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, le père a conclu à son rejet, l'autorité précédente a exposé que l'octroi de cette mesure retarderait de plusieures semaines la reprise des contacts entre père et fils - dont le premier rendez-vous doit de toute manière se dérouler en milieu protégé -, et le SPMi s'est déclaré non favorable à la requête, expliquant qu'il était important que l'enfant puisse revoir son père, qu'il n'a pas revu depuis mi-novembre 2012.
D.
Par ordonnance du 5 novembre 2013, le Président de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours pour maintenir les choses en l'état existant durant la procédure fédérale et éviter que le recours ne devienne illusoire.
Des réponses au fond n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1.
1.1. L'arrêt entrepris, qui a pour objet la réglementation du droit de visite du parent non marié qui n'a pas la garde de l'enfant, est une décision prise en application de normes de droit public dans une matière connexe au droit civil (art. 72 al. 2 let. b ch. 7 LTF; arrêts 5A_763/2011 du 7 mars 2012 consid. 1; 5A_457/2009 du 9 décembre 2009 consid. 1.1). La question soumise au Tribunal fédéral est de nature non pécuniaire (arrêts 5A_366/2010 du 4 janvier 2011 consid. 1.1, 5D_41/2007 du 27 novembre 2007 consid. 2.3). Par ailleurs, le recours a été interjeté dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et justifiant d'un intérêt digne de protection à la modification ou à l'annulation de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue sur recours par une autorité supérieure (art. 75 al.1 et 2 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
1.2. Le recours en matière civile des art. 72 ss LTF étant une voie de réforme (art. 107 al. 2 LTF), le recourant ne doit pas se borner à demander l'annulation de la décision attaquée et le renvoi de la cause à l'instance cantonale; il doit également, sous peine d'irrecevabilité, prendre des conclusions sur le fond du litige. Les conclusions réformatoires doivent en outre être déterminées et précises, c'est-à-dire indiquer exactement quelles modifications sont demandées (arrêts 5A_623/2011 du 20 février 2012 consid. 1.2, 5A_359/2011 du 7 septembre 2011 consid. 1.2.1). Exceptionnellement, des conclusions indéterminées et imprécises suffisent lorsque la motivation du recours ou la décision attaquée permet de comprendre d'emblée la modification requise (ATF 134 III 235 consid. 2 p. 236 s.; arrêt précité 5A_359/2011 consid. 1.2.1 in fineet les références).
En l'espèce, la recourante se limite à prendre une seule conclusion cassatoire, sans même conclure au renvoi de la cause à une autorité inférieure. Or, l'annulation, sans réforme, de l'arrêt cantonal aurait pour effet que, dans ce cas, le droit de visite du père de l'enfant ne serait soumis à aucune réglementation ratifiée par une autorité, en contradiction avec la requête en fixation des modalités du droit aux relations personnelles du père introduite par la recourante elle-même le 29 novembre 2012. Toutefois, vu l'ensemble du dossier de la cause, notamment du rapprochement de ses conclusions d'appel et des présentes écritures, l'on comprend que le recours tend à ce que le droit de visite du père soit limité à une seule reprise de contact de quelques heures dans un endroit surveillé et que ce droit aux relations personnelles soit élargi uniquement ultérieurement sur nouvelle requête du père, en fonction de l'évolution de la situation. En dépit de l'absence de toute conclusion réformatoire sur le fond du litige, l'on comprend ce à quoi tend globalement le recours, mais sans que l'on ne parvienne à identifier une conclusion précise. La question de la recevabilité du présent recours au regard de l'exigence de la prise d'au moins une conclusion réformatoire précise est ainsi douteuse, mais peut cependant demeurer indécise, dès lors que le recours doit de toute manière être rejeté au fond ( cf. infra consid. 4).
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité, à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 134 III 102 consid. 1.1 p. 104 s.). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si un grief a été soulevé et motivé à cet égard (ATF 137 II 305 consid. 3.3 p. 310 s.; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254); le recourant qui se plaint de la violation d'un tel droit doit ainsi indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle a été violée et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation ("principe d'allégation"; art. 106 al. 2 LTF; ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254).
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de fait ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 135 II 145 consid. 8.1 p. 153; 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 97 al. 1 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui entend se plaindre d'un établissement manifestement inexact - c'est-à-dire arbitraire (art. 9 Cst.) - des faits doit satisfaire au "principe d'allégation" susmentionné ( cf. supra consid. 2.1).
2.2. Selon l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Il s'ensuit que le courrier électronique du 7 octobre 2013 de la logopédiste, produit par la recourante à l'appui du présent recours, est d'emblée irrecevable.
3.
Le présent recours a pour objet les modalités d'exercice du droit de visite du parent non gardien sur son fils né hors mariage.
Statuant sur le recours de la mère, la Chambre de surveillance a relevé qu'il ne fallait pas négliger les appréhensions manifestées par celle-ci au sujet de la capacité du père à gérer les crises de l'enfant, mais relevé que la mère admettait, dans ses dernières écritures, que le père était apte à gérer les problèmes de santé de leur fils, d'une part, et qu'une reprise progressive du droit de visite de celui-là s'imposait, d'autre part. La cour cantonale a constaté que la progression des visites, telle qu'ordonnée par le premier juge était largement inspirée des modalités suggérées par le SPMi et qu'aucun élément invoqué par la mère ne conduisait à considérer que ces modalités seraient contraires à l'intérêt de l'enfant ou mettrait ce dernier en danger. L'autorité précédente a de surcroît relevé que l'exercice du droit de visite était soumis à une curatelle d'organisation et de surveillance, en sorte que les curatrices étaient immédiatement en mesure d'intervenir si l'exercice effectif du droit aux relations personnelles tel que défini dans l'ordonnance du 1 er juillet 2013 devait poser problème.
4.
La recourante soutient que les juges cantonaux ont fait preuve d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves. La mère reproche à l'autorité précédente de n'avoir pas examiné les conditions concrètes dans lesquelles le père de l'enfant serait appelé à exercer le droit de visite et de ne pas non plus s'être interrogée sur la compatibilité du dispositif par rapport au père, dont on ne connaît pas le domicile effectif. Reconnaissant que les horaires du droit de visite sont usuels, la mère critique le caractère inapproprié ou préjudiciable de telles modalités dans le cas d'espèce, considérant que l'exercice du droit aux relations personnelles suppose de pouvoir accueillir son enfant chez soi, dans l'intérêt de l'équilibre de l'enfant, spécialement dans le cas de leur fils qui souffre " d'un trouble de la régulation important ", en sorte que ce dernier a besoin d'horaires réguliers, de moments de repos et de stabilité. En définitive, la recourante critique l'arrêt entrepris qui prévoit un droit de visite comme " pour n'importe quel enfant simplement perturbé ", dès lors que les juges cantonaux n'ont pas pris en considération la problématique de son enfant, le " mutisme " du père au sujet de son lieu de vie et de l'animosité forte et constante de celui-ci à son égard. Elle considère donc que la décision de la Chambre de surveillance qui laisse l'enfant avec son père dans ces conditions est arbitraire, l'enfant étant " lâché dans la nature", alors que l'appréciation de toutes les circonstances de fait devait conduire à une " solution proportionnée ".
4.1. Dans le domaine de l'appréciation des preuves et de la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière au juge du fait (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si l'autorité cantonale n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.). La partie recourante qui se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits doit motiver son grief d'une manière correspondant à l'exigence de l'art. 106 al. 2 LTF ("principe d'allégation", cf. supra consid. 2; ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62).
Lorsque l'autorité cantonale se rallie au résultat d'une expertise, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'appréciation arbitraire des preuves que si l'expert n'a pas répondu aux questions, si ses conclusions sont contradictoires ou si, de quelque autre manière, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même en l'absence de connaissances ad hoc, qu'il n'était tout simplement pas possible de les ignorer. Il ne lui appartient pas de vérifier que toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire. Sa tâche se limite à examiner si l'autorité cantonale pouvait, sans arbitraire, faire siennes les conclusions de l'expertise (ATF 128 I 81 consid. 2 in fine p. 86; arrêts 5A_507/2013 du 29 octobre 2013 consid. 2.1 et 5A_212/2013 du 5 septembre 2013 consid. 2.1).
4.2. En l'occurrence, la recourante ne démontre pas que l'autorité cantonale aurait versé dans l'arbitraire en confirmant le droit de visite octroyé au père par le premier juge, les modalités de ce droit étant largement inspirées des conclusions de l'expertise du SPMi. La recourante ne démontre pas que certains éléments du cas d'espèce, en particulier la problématique spécifique liée à la santé de son enfant ou les incidences de sa mésentente avec le père de son fils, auraient été manifestement omis par les juges cantonaux dans leur raisonnement, ce qui n'est d'ailleurs pas le cas, l'autorité précédente ayant explicitement relevé dans son arrêt qu'il y avait lieu de ne pas négliger les appréhensions manifestées par la mère au sujet de la capacité du père à gérer les crises de l'enfant, mais que celle-ci avait toutefois admis que, désormais, le père était apte à gérer les problèmes de santé de leur fils ( cf. supra consid. 3). La recourante se limite en outre, de manière générale, à présenter sa propre appréciation de la cause, en ignorant sciemment certains faits retenus dans l'arrêt attaqué - ainsi lorsqu'elle prétend que le domicile du père est inconnu et reproche le "mutisme" du père au sujet de son lieu de vie -, dès lors qu'il est établi que le père est domicilié à E._.
Au demeurant, la recourante ne saurait reprocher à l'autorité précédente de s'être largement inspirée du rapport du SPMi, dès lors qu'elle n'a émis aucune critique concernant l'expertise effectuée par ce service. A fortiori, elle ne saurait se plaindre de ce que la cour cantonale ait adapté les modalités du droit aux relations personnelles préconisé par le SPMi à l'évolution des circonstances, singulièrement au fait que l'enfant ne se trouve plus au Chalet Savigny, institution au sein de laquelle deux droits de visite de trois heures étaient proposés, dès lors qu'elle requiert précisément que l'évolution de la situation soit prise en considération et affirme elle-même dans son mémoire que ce droit de visite de deux fois trois heures " n'avait plus lieu d'être puisqu'il était lié au placement de l'enfant au Chalet Savigny " et que son fils a quitté cette institution le 19 mars 2013.
Autant qu'il est suffisamment motivé (art. 106 al. 2 LF, cf. supra consid. 2 et 4.1), le grief d'appréciation arbitraire (art. 9 Cst.) des faits et preuves est par conséquent infondé.
5.
Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires arrêtés à 2'000 fr. (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé qui n'a pas été invité à déposer d'observations.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Service de protection des mineurs et à la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 9 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Gauron-Carlin