Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Amtsstatthalteramt Luzern verurteilte X._ mit Entscheid vom 18. Juni 2003 wegen Urkundenfälschung zu vier Wochen Gefängnis unbedingt. Am 21. August 2003 stellte X._ ein Gesuch um Verbüssung der Strafe in Form der gemeinnützigen Arbeit, dem entsprochen wurde. In den Monaten März und April 2004 leistete X._ einige Stunden gemeinnützige Arbeit. Mit Entscheid vom 28. September 2004 stellte das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern die Verbüssung der Strafe in Form der gemeinnützigen Arbeit ein und ersuchte das Amtsstatthalteramt Luzern, die Reststrafe im normalen Strafvollzug zu vollziehen. Dagegen erhob X._ am 19. Oktober 2004 Verwaltungsbeschwerde, welche der Regierungsrat des Kantons Luzern mit Entscheid vom 18. Januar 2005 abwies.
1. Das Amtsstatthalteramt Luzern verurteilte X._ mit Entscheid vom 18. Juni 2003 wegen Urkundenfälschung zu vier Wochen Gefängnis unbedingt. Am 21. August 2003 stellte X._ ein Gesuch um Verbüssung der Strafe in Form der gemeinnützigen Arbeit, dem entsprochen wurde. In den Monaten März und April 2004 leistete X._ einige Stunden gemeinnützige Arbeit. Mit Entscheid vom 28. September 2004 stellte das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern die Verbüssung der Strafe in Form der gemeinnützigen Arbeit ein und ersuchte das Amtsstatthalteramt Luzern, die Reststrafe im normalen Strafvollzug zu vollziehen. Dagegen erhob X._ am 19. Oktober 2004 Verwaltungsbeschwerde, welche der Regierungsrat des Kantons Luzern mit Entscheid vom 18. Januar 2005 abwies.
2. Am 9. Februar 2005 erhob X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den Entscheid des Regierungsrats. Mit Verfügung vom 10. Februar 2005 forderte das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern X._ auf, bis zum 25. Februar 2005 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'200.-- zu bezahlen, ansonsten auf die Beschwerde unter Kostenfolgen nicht eingetreten werde. Mit Verfügung vom 16. März 2005 wurde die Zahlungsfrist auf Gesuch des Beschwerdeführers hin bis spätestens 3. April 2005 erstreckt. Mit Urteil vom 13. April 2005 trat das Verwaltungsgericht auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde infolge Nichtleistens des Kostenvorschusses nicht ein.
2. Am 9. Februar 2005 erhob X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegen den Entscheid des Regierungsrats. Mit Verfügung vom 10. Februar 2005 forderte das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern X._ auf, bis zum 25. Februar 2005 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'200.-- zu bezahlen, ansonsten auf die Beschwerde unter Kostenfolgen nicht eingetreten werde. Mit Verfügung vom 16. März 2005 wurde die Zahlungsfrist auf Gesuch des Beschwerdeführers hin bis spätestens 3. April 2005 erstreckt. Mit Urteil vom 13. April 2005 trat das Verwaltungsgericht auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde infolge Nichtleistens des Kostenvorschusses nicht ein.
3. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts erhob X._ mit Eingabe vom 17. Mai 2005 staatsrechtliche Beschwerde. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Er habe den einverlangten Kostenvorschuss fristgerecht geleistet. Weiter ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung, da er mit Verfügung des Amtstatthalteramts Luzern vom 27. April 2004 bereits auf den 30. Mai 2005 zum Strafantritt vorgeladen worden sei.
3. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts erhob X._ mit Eingabe vom 17. Mai 2005 staatsrechtliche Beschwerde. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils. Er habe den einverlangten Kostenvorschuss fristgerecht geleistet. Weiter ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung, da er mit Verfügung des Amtstatthalteramts Luzern vom 27. April 2004 bereits auf den 30. Mai 2005 zum Strafantritt vorgeladen worden sei.
4. Das Verwaltungsgericht beantragt in seiner Vernehmlassung vom 23. Mai 2005 sinngemäss die Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 25. Mai 2005 nahm X._ fristgerecht Stellung zur Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts.
4. Das Verwaltungsgericht beantragt in seiner Vernehmlassung vom 23. Mai 2005 sinngemäss die Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 25. Mai 2005 nahm X._ fristgerecht Stellung zur Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts.
5. Der Beschwerdeführer behauptet, den einverlangten Kostenvorschuss rechtzeitig geleistet zu haben. Zum Beweis legte er seiner Beschwerde eine Fotokopie eines Postempfangsscheins, abgestempelt am 22. März 2005, über Fr. 1'200.-- bei. Das Verwaltungsgericht macht demgegenüber in seiner Vernehmlassung geltend, dem Saldonachweis der kantonalen Gerichtskasse sei zu entnehmen, dass am 23. März 2005 und den nachfolgenden Tagen kein Betrag von Fr. 1'200.-- verbucht worden sei. Die in diesem Jahr einbezahlten Beträge dieser Grösse hätten alle anderen Fällen zugeordnet werden können. Folglich sei vom Beschwerdeführer kein solcher Betrag eingetroffen. Ausserdem lasse sich der Kopie des Empfangsscheins nicht entnehmen, von wem dieser Betrag einbezahlt worden sei; jedenfalls handle es sich nicht um den Namen des Beschwerdeführers. In seiner Replik macht der Beschwerdeführer denn auch geltend, die Einzahlung sei von der Firma Y._, einer Firma mit der er zusammenarbeite, in seinem Auftrag einbezahlt worden, da er sich damals im Ausland befunden habe. Die entsprechenden Beweise könne er gegenwärtig nicht einreichen. Die Geschäftsführer der Firma Y._ seien bis am 15. Juni 2005 auslandabwesend.
5. Der Beschwerdeführer behauptet, den einverlangten Kostenvorschuss rechtzeitig geleistet zu haben. Zum Beweis legte er seiner Beschwerde eine Fotokopie eines Postempfangsscheins, abgestempelt am 22. März 2005, über Fr. 1'200.-- bei. Das Verwaltungsgericht macht demgegenüber in seiner Vernehmlassung geltend, dem Saldonachweis der kantonalen Gerichtskasse sei zu entnehmen, dass am 23. März 2005 und den nachfolgenden Tagen kein Betrag von Fr. 1'200.-- verbucht worden sei. Die in diesem Jahr einbezahlten Beträge dieser Grösse hätten alle anderen Fällen zugeordnet werden können. Folglich sei vom Beschwerdeführer kein solcher Betrag eingetroffen. Ausserdem lasse sich der Kopie des Empfangsscheins nicht entnehmen, von wem dieser Betrag einbezahlt worden sei; jedenfalls handle es sich nicht um den Namen des Beschwerdeführers. In seiner Replik macht der Beschwerdeführer denn auch geltend, die Einzahlung sei von der Firma Y._, einer Firma mit der er zusammenarbeite, in seinem Auftrag einbezahlt worden, da er sich damals im Ausland befunden habe. Die entsprechenden Beweise könne er gegenwärtig nicht einreichen. Die Geschäftsführer der Firma Y._ seien bis am 15. Juni 2005 auslandabwesend.
6. Einziger Hinweis dafür, dass der Beschwerdeführer den einverlangten Kostenvorschuss tatsächlich geleistet hat, ist die von ihm eingereichte Fotokopie eines Postempfangsscheins. Die "provisorische Mitteilung" der Firma Y._, welche der Beschwerdeführer seiner Replik beigelegt hatte, sagt über eine angebliche Einzahlung jedenfalls nichts aus. Aus der eingereichten - schlechten - Fotokopie des Postempfangsscheins ergibt sich jedoch nicht, dass das Verwaltungsgericht willkürlich von einer Nichtleistung des Kostenvorschusses ausgegangen ist. Sollte der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss tatsächlich einbezahlt haben, wäre der entsprechende Nachweis mit einer Bestätigung der Post, dass eine entsprechende Zahlung erfolgt ist, leicht zu erbringen gewesen. Vorliegend ist es nicht nachvollziehbar, dass der Beschwerdeführer nicht einmal das Original des Postempfangsscheins oder eine eindeutige Bestätigung der Firma Y._ mit seiner Beschwerde oder zumindest mit seiner Replik eingereicht hatte. Der Beschwerdeführer ist im Übrigen vom Verwaltungsgericht während der Beschwerdefrist ohne Erfolg aufgefordert worden, eine Quittung einzureichen (s. Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts).
6. Einziger Hinweis dafür, dass der Beschwerdeführer den einverlangten Kostenvorschuss tatsächlich geleistet hat, ist die von ihm eingereichte Fotokopie eines Postempfangsscheins. Die "provisorische Mitteilung" der Firma Y._, welche der Beschwerdeführer seiner Replik beigelegt hatte, sagt über eine angebliche Einzahlung jedenfalls nichts aus. Aus der eingereichten - schlechten - Fotokopie des Postempfangsscheins ergibt sich jedoch nicht, dass das Verwaltungsgericht willkürlich von einer Nichtleistung des Kostenvorschusses ausgegangen ist. Sollte der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss tatsächlich einbezahlt haben, wäre der entsprechende Nachweis mit einer Bestätigung der Post, dass eine entsprechende Zahlung erfolgt ist, leicht zu erbringen gewesen. Vorliegend ist es nicht nachvollziehbar, dass der Beschwerdeführer nicht einmal das Original des Postempfangsscheins oder eine eindeutige Bestätigung der Firma Y._ mit seiner Beschwerde oder zumindest mit seiner Replik eingereicht hatte. Der Beschwerdeführer ist im Übrigen vom Verwaltungsgericht während der Beschwerdefrist ohne Erfolg aufgefordert worden, eine Quittung einzureichen (s. Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts).
7. Zusammenfassend ergibt sich, dass der angefochtene Nichteintretensentscheid unter dem Blickwinkel der Willkür nicht zu beanstanden ist. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 156 Abs. 1 OG).
Mit dem vorliegenden Entscheid wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Justiz- und Sicherheitsdepartement, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juni 2005
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: