Das Bundesgericht stellt fest und zieht in Erwägung:
1. X._, algerischer Staatsangehöriger, reiste am 21. November 2002 in die Schweiz ein und stellte hier ein Asylgesuch. Das Bundesamt für Flüchtlinge lehnte dieses am 30. Dezember 2004 ab und wies X._ aus der Schweiz weg. Eine hiergegen erhobene Beschwerde wies die schweizerische Asylrekurskommission mit Entscheid vom 24. März 2006 ab. Seiner Verpflichtung, die Schweiz spätestens bis zum 24. Mai 2006 zu verlassen, kam X._ nicht nach. Er ergriff stattdessen diverse ausserordentliche Rechtsmittel und -behelfe, welche jedoch allesamt ohne Erfolg blieben.
Am 20. November 2007 reichte X._ schliesslich beim Ausländeramt des Kantons St. Gallen ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung wegen Härtefalls ein. Das Ausländeramt wies dieses Gesuch am 30. Juli 2008 ab und verweigerte dessen Unterbreitung an das Bundesamt für Migration. Hiergegen rekurrierte X._ beim Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen. Er hielt an seinem Begehren um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung als Härtefall fest und ersuchte ausserdem um unentgeltliche Rechtspflege und -verbeiständung für das Rekursverfahren. Mit verfahrensleitender Verfügung lehnte das Sicherheits- und Justizdepartement das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und -verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels ab. Eine gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wurde vom Präsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 10. September 2008 abgewiesen.
Hiergegen führte X._ "Beschwerde" beim Bundesgericht. Er beantragte im Wesentlichen, es sei das Sicherheits- und Justizdepartement anzuweisen, ihm im Rekursverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Das Verwaltungsgericht sowie das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
2. Der Beschwerdeführer ist ab- und weggewiesener Asylbewerber. Nach Art. 14 Abs. 1 AsylG kann eine asylsuchende Person ab Einreichung des Asylgesuches bis zur Ausreise nach einer rechtskräftig angeordneten Wegweisung kein Verfahren um Erteilung einer ausländerrechtlichen Aufenthaltsbewilligung einleiten, ausser es bestehe ein Anspruch auf deren Erteilung. Gemäss Art. 14 Abs. 2 AsylG kann indessen ein Kanton mit Zustimmung des Bundesamtes für Migration einer ihm nach dem Asylgesetz zugewiesenen Person, die sich seit Einreichung des Asylgesuchs mindestens fünf Jahre in der Schweiz aufhält, eine Aufenthaltsbewilligung erteilen, wenn wegen fortgeschrittener Integration ein schwerwiegender persönlicher Härtefall vorliegt. Weder aus Bundes- noch aus Völkerrecht ergibt sich jedoch ein Rechtsanspruch auf Erteilung einer solchen Bewilligung. Gemäss Art. 83 lit. d Ziff. 2 BGG ist deshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen, was sich auch auf die vorliegend streitige Frage der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung erstreckt (Grundsatz der Einheit des Verfahrens).
3. Als bundesrechtliches Rechtsmittel fällt nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht, mit welcher ausschliesslich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (Art. 116 BGG). Aufgrund des nicht vorgesehenen Rechtsanspruchs auf Bewilligungserteilung ist der Beschwerdeführer aber grundsätzlich auch hierzu nicht legitimiert, fehlt ihm doch das erforderliche rechtlich geschützte Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids (Art. 115 lit. b BGG).
Zwar ist es trotz fehlender Legitimation in der Sache allenfalls zulässig, mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde die Verletzung von Parteirechten zu rügen, deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft ("Star-Praxis"; vgl. BGE 133 I 185 E. 6.2 S. 198), jedoch gilt es im vorliegenden Fall, Art. 14 Abs. 4 AsylG zu beachten: Aus dieser Bestimmung ergibt sich, dass die an einer Bewilligung nach Art. 14 Abs. 2 AsylG interessierte ausländische Person erst ab jenem Moment überhaupt Parteistellung erwirbt, in welchem die zuständige kantonale Behörde das Bundesamt für Migration um Zustimmung zur Erteilung einer solchen Bewilligung ersucht. Es steht der kantonalen Behörde frei, sich zum vornherein gegen die Bewilligungserteilung auszusprechen und folglich darauf zu verzichten, ein entsprechendes Ersuchen beim Bundesamt einzureichen; der ausländischen Person steht in diesem Fall kein Recht zu, selbst einen Bewilligungsantrag zu stellen bzw. ein entsprechendes kantonales Verfahren zu beantragen und zu durchlaufen. In einem Rechtsmittelverfahren, in dem er von Bundesrechts wegen keine Parteistellung hat, darf sich der Beschwerdeführer aber auch nicht auf Parteirechte berufen (vgl. Urteil 2C_526/2008 vom 17. Juli 2008 E. 2). Nichts anderes gilt bezüglich dem Ersuchen um unentgeltliche Rechtspflege (noch offen gelassen in den Urteilen 2D_90/2008 vom 9. September 2008 E. 2.2.4 sowie 2C_526/2008 vom 17. Juli 2008 E. 2). Aus dem Gesagten ergibt sich ohne weiteres, dass es dem Beschwerdeführer vorliegend auch an der Legitimation zu einer subsidiären Verfassungsbeschwerde fehlt.
Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG) ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
4. Da die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien, kann dem für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Somit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Zähndler