Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführerin) erlitt Ende Oktober 1998 einen Verkehrsunfall. Anfang September 2004 reichte sie beim Handelsgericht des Kantons Zürich (Beschwerdegegner 2) gegen die X._ Versicherung (Beschwerdegegnerin 1), bei welcher der Unfallverursacher obligatorisch haftpflichtversichert war, Klage ein und verlangte Schadenersatz und Genugtuung von insgesamt rund Fr. 5'113'000.--. Mit Teilurteil vom 18. Juni 2007 wies das Handelsgericht die Klage auf Schadenersatz ab. Eine dagegen gerichtete kantonale Nichtigkeitsbeschwerde hiess das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 5. August 2008 gut und wies die Sache im Sinne der Erwägungen zur Neubeurteilung an das Handelsgericht zurück. Das Bundesgericht trat am 11. Februar 2009 auf die gegen das Teilurteil des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007 und den Beschluss des Kassationsgerichts vom 5. August 2008 gerichtete Beschwerde nicht ein (Verfahren 4A_426/2008).
Im Mai 2007 hatte die Beschwerdeführerin ein Ablehnungsbegehren gegen drei Handelsrichter (darunter die Handelsrichter B._ und C._) gestellt, das die Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich mit Beschluss vom 4. Juli 2007 abwies. Das Kassationsgericht wies die dagegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde im Beschluss vom 5. August 2008 ab, soweit es darauf eintrat. Das Bundesgericht trat auf eine nur gegen den Beschluss der Verwaltungskommission vom 4. Juli 2007 gerichtete Beschwerde in Zivilsachen mit Urteil vom 11. Februar 2009 nicht ein (Verfahren 4A_418/2008).
B. Mit Eingabe vom 12. Mai 2009 an die Verwaltungskommission des Obergerichts beantragte die Beschwerdeführerin, es sei festzustellen, dass das Handelsgericht des Kantons Zürich zumindest im Prozess gemäss § 63 Abs. 1 Ziff. 1 GVG/ZH kein unabhängiges und unparteiisches Gericht sei, und es sei festzustellen, dass Oberrichter D._, Ersatzoberrichterin E._ sowie die Handelsrichter B._ und C._ befangen seien. Mit Beschluss vom 18. September 2009 wies die Verwaltungskommission das Feststellungsbegehren hinsichtlich der Verfassungs- bzw. Konventionswidrigkeit des Handelsgerichts ab, soweit sie darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 2). Ebenso wies sie das Ablehnungsbegehren ab, soweit sie darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 3).
Die dagegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde hiess das Kassationsgericht mit Zirkulationsbeschluss vom 5. August 2010 teilweise gut und hob die Dispositiv-Ziffer 3 (soweit die Ablehnung von Handelsrichter B._ betreffend) sowie Dispositiv-Ziffer 4 (Staatsgebühr) des Beschlusses der Verwaltungskommission vom 18. September 2009 auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an die Verwaltungskommission zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, es seien der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 5. August 2010 und der Beschluss der Verwaltungskommission vom 18. September 2009 insgesamt aufzuheben und es sei festzustellen.
a) dass das Handelsgericht des Kantons Zürich zumindest im Prozess gemäss § 63 Abs. 1 Ziff. 1 GVG/ZH (Klagen von nicht im Handelsregister eingetragenen Personen) kein unabhängiges und unparteiisches Gericht im Sinne von Art. 30 Abs. 1 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist;
b) dass die Oberrichter D._ und E._ sowie die Handelsrichter B._ und C._ befangene und parteiische Richter im Sinne von Art. 30 Abs. 1 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK sind.
Die Beschwerdegegnerin 1 beantragt, die Beschwerde abzuweisen, insofern auf sie einzutreten sei. Das Handelsgericht weist in seiner Antwort darauf hin, dass Handelsrichter B._ zurückgetreten sei und dieser Rücktritt vom Zürcher Kantonsrat per 31. Mai 2010 genehmigt worden sei. Ferner legt es Wert auf die Feststellung, dass die in der Beschwerde S. 11, 2. Absatz zitierten Ausführungen von DANIEL SCHWANDER zu den Urteilsberatungen am Handelsgericht nicht zutreffen. Schliesslich ersucht es das Bundesgericht zu prüfen, ob nicht insbesondere die ehrenrührigen, fettgedruckten Ausführungen des Vertreters der Beschwerdeführerin in der Beschwerde S. 13, Ziff. 12, 1. Absatz, im Sinne von Art. 33 Abs. 1 BGG den Anstand verletzen und disziplinarisch zu ahnden sind und ob dieser Vorfall nicht gemäss Art. 15 Abs. 2 BGFA der zuständigen Aufsichtsbehörde zu melden ist.
Das Kassationsgericht verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1).
1.1 Die Beschwerde in Zivilsachen setzt voraus, dass der angefochtene Entscheid kantonal letztinstanzlich ist (Art. 75 Abs. 1 BGG). Dies trifft bezüglich des Zirkulationsbeschlusses des Kassationsgerichts zu. Die Beschwerde ist damit zulässig, soweit sie sich gegen diesen Beschluss richtet. Der Beschluss der obergerichtlichen Verwaltungskommission ist dagegen nur letztinstanzlich, soweit er nicht mit kantonaler Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht nach § 281 ZPO/ZH angefochten werden konnte (vgl. BGE 134 III 524 E. 1.3 S. 527).
Mit der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde kann namentlich die Rüge der Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes erhoben werden (§ 281 Ziff. 1 ZPO/ZH). Dazu gehört auch die Befangenheit eines Richters (FRANK/STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 1997, N. 22 zu § 281 Ziff. 1 ZPO/ZH). § 285 Abs. 2 ZPO/ZH stellt zudem klar, dass mit Bezug auf Rügen einer Verletzung von Art. 29 und 30 BV oder Art. 6 EMRK die kantonale Nichtigkeitsbeschwerde unabhängig von der Weiterzugsmöglichkeit an das Bundesgericht gegeben ist (vgl. Urteile 4A_418/2008 vom 11. Februar 2009 E. 2.3; 4A_112/2007 vom 13. August 2007 E. 2.3 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeschrift trennt nicht klar, welche Vorbringen sich gegen welchen Beschluss richten. Es sind jedenfalls keine betreffend den Beschluss der Verwaltungskommission erhobenen Rügen ersichtlich, die nicht dem Kassationsgericht unterbreitet werden konnten. Auf die Beschwerde ist daher mangels Letztinstanzlichkeit nicht einzutreten, soweit sie sich gegen den Beschluss der Verwaltungskommission richtet und die Aufhebung desselben beantragt wird.
1.2 Der angefochtene Beschluss des Kassationsgerichts bildet einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren, soweit damit die gegen den Beschluss der Verwaltungskommission gerichtete Beschwerde abgewiesen bzw. auf diese nicht eingetreten wurde. Gegen einen solchen Zwischenentscheid ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig (Art. 92 BGG).
Soweit die Ablehnung von Handelsrichter B._ betreffend hob das Kassationsgericht den Beschluss der Verwaltungskommission in teilweiser Gutheissung der Nichtigkeitsbeschwerde auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurück. Insoweit erging der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts zwar in einem Ausstandsverfahren bzw. im Rahmen der Beurteilung eines Ausstandsbegehrens. Er entscheidet aber nicht über das Begehren betreffend den Ausstand von Handelsrichter B._ und ist damit kein Entscheid über ein Ausstandsbegehren im Sinne von Art. 92 BGG. Er stellt vielmehr als Rückweisungsentscheid im Rahmen des Ausstandsverfahrens einen anderen Zwischenentscheid dar, der nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG angefochten werden kann (vgl. Urteil 9C_67/2007 vom 28. August 2007 E. 1.1; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, 2008, Art. 92 N. 3325). Es obliegt dem Beschwerdeführer, der einen solchen Entscheid anficht, darzutun, dass die Voraussetzungen von Art. 93 BGG erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich in die Augen springt (BGE 134 III 426 E. 1.2 in fine; 133 III 629 E. 2.3.1 und 2.4.2). Die Beschwerdeführerin verliert indessen kein Wort darüber, inwiefern die entsprechenden Anfechtungsvoraussetzungen gegeben sein sollten und dies ist auch nicht ohne weiteres ersichtlich. Auf die Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden, soweit beantragt wird, es sei festzustellen, dass Handelsrichter B._ ein befangener und parteiischer Richter im Sinne von Art. 30 Abs. 1 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK ist.
2. Unter dem Titel "organisatorisch-institutionelle Parteilichkeit des Handelsgerichts" übt die Beschwerdeführerin Kritik an der Zusammensetzung des Handelsgerichts, wobei sie sich an die Meinungen und Wertungen, die DANIEL SCHWANDER in seiner Schrift, Das Zürcher Handelsgericht und die branchenspezifische Zusammensetzung seines Spruchkörpers, Berlin 2009, äussert, anlehnt. Das Kassationsgericht trat auf die entsprechende Rüge zufolge treuwidrigen Verhaltens bzw. Verwirkung nicht ein, nachdem die Beschwerdeführerin ihren Antrag auf Feststellung der Verfassungswidrigkeit des Handelsgerichts erst Jahre nach Anhängigmachung der Klage und ohne dass sich insoweit zwischenzeitlich der rechtliche Kontext geändert hätte, gestellt hat. Im Sinne einer Eventualbegründung wies es hinsichtlich des materiellen Gehalts der Rüge auf den Bundesgerichtsentscheid 4A_118/2010 (= BGE 136 I 207) hin. Mit diesem bejahte das Bundesgericht die Verfassungsmässigkeit des Handelsgerichts.
2.1 Die Beschwerdeführerin beanstandet die Annahme eines treuwidrigen Verhaltens bzw. einer Verwirkung als willkürliche und treuwidrige Anwendung kantonalen Rechts und damit als Verletzung von Art. 9 BV sowie auch als direkten Verstoss gegen die "Rechtsweggarantie von Art. 29 Abs. 1 BV (recte Art. 29a BV) sowie von Art. 6 Ziff. 1 EMRK". Im Gegensatz zur personellen Unabhängigkeit sei bei der institutionellen Unabhängigkeit eine Verwirkung wegen des öffentlichen Interesses von vornherein nicht möglich. Es gehe nicht nur um das Interesse einer Prozesspartei, sondern aller Rechtsgenossen. Indem das Kassationsgericht bei einer institutionellen Unabhängigkeit Verwirkung angenommen habe, habe es Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt.
2.1.1 Zunächst ist festzuhalten, dass eine Verletzung der Rechtsweggarantie nach Art. 29a BV ausscheidet, tut die Beschwerdeführerin doch nicht dar und ist nicht ersichtlich, dass ihr kein Zugang zu einer richterlichen Behörde offen gestanden wäre. Sie verleiht der Rüge neben derjenigen fehlender Unabhängigkeit und Unparteilichkeit des Handelsgerichts keine selbständige Bedeutung.
2.1.2 Der Beschwerdeführerin ist sodann nicht zu folgen, wenn sie meint, Verwirkung könne bei gerügter fehlender institutioneller Unabhängigkeit wegen der involvierten öffentlichen Interessen aller Rechtsgenossen an einer unabhängigen Justiz nicht angenommen werden und der diesbezügliche Entscheid des Kassationsgerichts verstosse deshalb gegen Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Sie verkennt, dass der Zivilprozess kein Gefäss ist, um öffentliche Interessen zu verfechten.
2.1.3 Ebenso wenig ist eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts aufgezeigt. Der angerufene § 102 GVG/ZH bestimmt, dass ein Verfahren und ein Entscheid anfechtbar (und nicht nichtig) sind, wenn ein Justizbeamter daran teilnahm, obschon er ausgeschlossen oder mit Erfolg abgelehnt worden war. Der Ablehnungsgrund ist nur im Fall des mit Erfolg abgelehnten Justizbeamten und auch dann erst von der Stellung des Ablehnungsbegehrens an wirksam (HAUSER/SCHWERI, Kommentar zum zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetz, 2002, N. 5 zu § 102 GVG/ZH). § 102 GVG/ZH steht jedoch der Annahme einer Verwirkung nicht entgegen. Die Beschwerdeführerin scheint zu argumentieren, eine Verwirkung könne höchstens für die Vergangenheit angenommen werden, nicht aber für die Zukunft. Indessen kann das Zuwarten mit der Geltendmachung eines bekannten Ablehnungsgrundes als treuwidrig angesehen werden, auch wenn damit bloss für die Zukunft der Ausstand des als befangen abgelehnten Richters erreicht werden soll. Es ist nicht schutzwürdig, wenn eine Partei bei Kenntnis eines (angeblichen) Mangels diesen während Jahren akzeptiert, um ihn irgendwann im Verfahren dennoch geltend zu machen. Das gilt auch für Mängel im institutionellen gerichtsorganisatorischen Bereich. Entsprechend hat das Bundesgericht im erwähnten Präjudiz Verwirkung durch verspätete Geltendmachung der angeblich verfassungswidrigen Zusammensetzung des Handelsgerichts angenommen bzw. den diesbezüglichen Entscheid der Vorinstanz geschützt (BGE 136 I 207 E. 3.4 S. 212). An selber Stelle räumte das Bundesgericht jedoch entgegen der hier aufgestellten Behauptung nicht ein, "dass die Beschwerdeführerin erst nach dem Erscheinen der Schrift von DANIEL SCHWANDER von den schweren Missbräuchen Kenntnis genommen habe". Lediglich, soweit die Beschwerdeführerin das Wahlprozedere wegen der durch die Kommission für das Handelswesen unterbreiteten Wahlvorschläge thematisierte, hielt es das Bundesgericht für möglich, dass sie erst durch die Schrift von DANIEL SCHWANDER der angeblichen Mängel bewusst geworden war. Auf entsprechende Rügen war aber die Vorinstanz damals aus prozessualen Gründen zu Recht nicht eingetreten. Hingegen stellte das Bundesgericht fest, dass die Gesetzesnormen, welche die beanstandete Gerichtsorganisation vorsehen, schon bei Klageeinreichung bestanden, weshalb die gerügte institutionelle Verfassungswidrigkeit seit Beginn des Verfahrens unverzüglich hätte geltend gemacht werden können und müssen (BGE 136 I 207 E. 3.4 S. 212). Dies ist vorliegend nicht anders. Die Beschwerdeführerin, die ihre Klage vor dem Handelsgericht im September 2004 einreichte, machte die ihrer Ansicht nach institutionelle Verfassungs- bzw. Konventionswidrigkeit nicht unverzüglich, sondern erst knapp fünf Jahre später (Mai 2009) geltend. Das Kassationsgericht hat daher zu Recht Verwirkung angenommen.
2.2 Wie das Bundesgericht erst kürzlich in seinem Entscheid vom 19. April 2010 abgehandelt hat, wäre die Rüge ohnehin unbegründet. Es kann hierfür vollumfänglich auf die diesbezüglichen Erwägungen in BGE 136 I 207 E. 3.5 verwiesen werden. Daran ist festzuhalten.
Was die Beschwerdeführerin zu diesem Entscheid vorbringt, erheischt keine andere Beurteilung. So liegt den von ihr angerufenen Urteilen des EGMR eine andere Konstellation vor, als sie das Zürcher Handelsgericht präsentiert. Das Urteil Langborger vom 22. Juni 1989, Serie A Nr. 155, betraf ein paritätisch zusammengesetztes schwedisches Mietgericht. Nach der Meinung des EGMR ergaben sich aus der Sicht des Beschwerdeführers berechtigte Zweifel an der Unabhängigkeit der Laienrichter, denn sie waren Vertreter zweier Interessengemeinschaften, nämlich einer Mietervereinigung und einer Hauseigentümervereinigung, für die der Ausgang des in Frage stehenden Prozesses von Bedeutung war (N 35). Demgegenüber vertreten beim Zürcher Handelsgericht die Fachrichter nicht eine Interessenvereinigung, sondern gewährleisten Sachkunde (BGE 136 I 207 E. 3.5.3/3.5.4). Ähnlich wie im Fall Langborger verhielt es sich auch im früher beurteilten Fall Compte et al. Im betreffenden Entscheid vom 23. Juni 1981, Serie A Nr. 43, liess die Kammer offen, ob eine erstinstanzliche berufsständische Disziplinarbehörde als Gericht im Sinne von Art. 6 EMRK betrachtet werden könne, da deren Entscheid an eine Appellationsinstanz innerhalb der Berufsorganisation und anschliessend an ein staatliches Gericht weitergezogen werden konnte (N 51). Was die von der Kammer auf ihre Unparteilichkeit hin überprüfte Appellationsinstanz betraf, war diese je zur Hälfte mit Berufsrichtern und mit Angehörigen der Berufsorganisation besetzt, wobei letztere mit der Berufsorganisation, welche die strittigen Sanktionen verhängt hatte und Partei im Verfahren war, gleichgerichtete Interessen hatten (N. 26 und 58). Dies wiederum im Gegensatz zu den Fachrichtern am Handelsgericht, die Sachkunde einbringen und - vorbehältlich des Nachweises von besonderen Umständen im konkreten Fall - grundsätzlich kein Interesse am Verfahrensausgang zu Gunsten einer Partei haben. Bei dem von der Beschwerdeführerin im Weiteren zitierten BGE 123 I 87 war die Gerichtsqualität der Bündner Notariatskommission zu beurteilen. Auch dieser Entscheid ist vorliegend nicht einschlägig, ist das Handelsgericht Zürich doch keine Standeskommission wie das damals beurteilte Entscheidungsgremium, das funktionell eher einer Verwaltungsbehörde als einer gerichtlichen Instanz ähnelte (E. 4e S. 93), sondern eine aus Berufsrichtern und Fachrichtern zusammengesetzte richterliche Behörde. Nach der Rechtsprechung des EGMR ist es zulässig, dass Vertreter bestimmter Berufsgruppen wegen ihrer besonderen Sachkunde in richterliche Gremien berufen werden. Entscheidend ist, dass die Mitglieder tatsächlich frei von Weisungen handeln (FROWEIN/PEUKERT, EMRK-Kommentar, 3. Aufl., Kehl 2009, N. 209 f. S. 222 f.; HAEFLIGER/SCHÜRMANN, Die EMRK und die Schweiz, 2. Aufl. 1999, S. 168, je mit Hinweisen). Wie das Bundesgericht festhielt, sind die Handelsrichter nicht "Interessen- oder Branchenvertreter", wie die Beschwerdeführerin behauptet, sondern bringen unabhängig von Interessenbindungen ihre Fachkenntnisse ein. Die Fachrichter entscheiden zudem tatsächlich frei von Weisungen (BGE 136 I 207 E. 3.5.4 S. 216 f.).
Daran ändert nichts, wenn die Beschwerdeführerin in Anlehnung an die Meinungsäusserungen von DANIEL SCHWANDER das Fachwissen der Handelsrichter in Abrede stellt. Sie führt aus, von den sechs Handelsrichtern im Versicherungsbereich lasse die Hälfte "eher in sehr bescheidenem Mass ein diesbezügliches Fachwissen erkennen"; auf alle Fälle befinde es sich "weit unterhalb des von einem Berufsrichter oder einem Fachanwalt SAV für Haftpflicht- und Versicherungsrecht geforderten Wissensniveau". Mit diesen bloss subjektiven Bewertungen, zu deren Abgabe die Beschwerdeführerin im Übrigen nicht berufen ist, kann sie nicht gehört werden (Art. 105 Abs. 1 BGG).
2.3 Die Beschwerdeführerin beanstandet sodann diverse "Missstände" bzw. "Missbräuche", aufgrund derer sie nachweisen will, dass die institutionelle Unabhängigkeit und Unparteilichkeit auch konkret nicht mehr gegeben sei.
2.3.1 So wirft sie den Berufsrichtern des Ober- und Handelsgerichts ein "chronisches Mauern bezüglich der Abklärung von geäusserten Zweifeln" vor. Auch kümmerten sie sich kaum mehr um den ordnungsgemässen Gang der Justiz. So liessen sie es zu, dass die sechs Versicherungsfachrichter weiterhin als Richter eingesetzt würden, obwohl zwei von ihnen (M._ und N._) bei der Wiederwahl im Jahre 2007 keinen Wohnsitz mehr im Kanton Zürich gehabt hätten, ein dritter (B._) zumindest nach dem Eintrag des Schweizerischen Versicherungsverbands ins Handelsregister im Jahre 2005 die Wählbarkeitsvoraussetzung als leitender Angestellter nicht erfüllte, ein vierter (Dr. O._) seit einigen Jahren grössere Versicherungsgesellschaften als Rechtsanwalt vor Handelsgericht vertrete und nachher als Handelsrichter über Schadenersatzforderungen gegen diese gleichen Versicherungsgesellschaften zu Gerichte sitze. Inwiefern diese gegen die genannten Handelsrichter erhobenen Beanstandungen zutreffen, bildet nicht Gegenstand dieses Verfahrens und ist hier nicht zu beurteilen. Dass die genannten Handelsrichter, solange sie vom zuständigen Organ als solche gewählt sind, von den Berufsrichtern auch eingesetzt werden, lässt diese nicht als nicht mehr unabhängig erscheinen. Auch verfängt der pauschale Vorwurf des "chronischen Mauerns" nicht. Soweit die Beschwerdeführerin damit die Ablehnung ihres Antrags auf Einholung einer weiteren gewissenhaften Erklärung durch die Verwaltungskommission des Obergerichts meint, trat das Kassationsgericht im angefochtenen Beschluss auf die diesbezügliche Rüge mangels hinreichender Begründung nicht ein. Auch im vorliegenden Beschwerdeverfahren konkretisiert die Beschwerdeführerin nicht, welche geäusserten Zweifel die Berufsrichter hätten ausräumen und welche konkreten Abklärungen sie rechtswidrig unterlassen hätten.
2.3.2 Den drei in ihrem Fall amtierenden Fachrichtern hält die Beschwerdeführerin vor, dass sie sogar bei Rechtsfragen die Brancheninteressen durchsetzen würden. Zu diesem Vorwurf beruft sich die Beschwerdeführerin auf die Darstellung von DANIEL SCHWANDER zur Rolle der Handelsrichter in den Urteilsberatungen (Schwander, a.a.O., S. 94 f.). Dabei handelt es sich indes um blosse Wertungen dieses Autors, die nicht als objektive Grundlage dafür dienen können, dass die Handelsrichter im Fall der Beschwerdeführerin effektiv die Brancheninteressen durchsetzen würden. Die Darstellung von SCHWANDER wird im Übrigen vom Handelsgericht in seiner Vernehmlassung als unzutreffend zurückgewiesen.
2.3.3 Die Kritik der Beschwerdeführerin gipfelt in folgender Meinungsäusserung ihres Vertreters: "Das früher höchste Achtung geniessende Handelsgericht des Kantons Zürich ist kein unabhängiges und unparteiisches Gericht mehr, sondern längst schon zu einer Brutstätte der (nicht monetären, aber) politisch-gesellschaftlichen Korruption der Zürcher Eliten verkommen." (Beschwerde S. 13) Solche abwertend gefärbten Äusserungen tragen nichts zur Beurteilung der Sache bei und sind in Zukunft zu unterlassen. Andererseits geben sie doch nicht Anlass zu einer disziplinarischen Ahndung im Sinne von Art. 33 Abs. 1 BGG, wie das Handelsgericht in seiner Vernehmlassung zu prüfen beantragt.
3. Zur behaupteten Befangenheit der Oberrichter D._ und E._ sowie der Handelsrichter B._ (hier nicht zu prüfen, vgl. Erwägung 1.2) und C._ bringt die Beschwerdeführerin im Wesentlichen vor, sie sehe eine Vorbefassung vor allem darin, dass im Beweisauflagebeschluss vom 6. April 2009 keine rechtlichen Erwägungen angestellt würden, ob die Anwaltskosten und insbesondere der Haushaltsschaden immer noch ungenügend substanziiert seien. Diesbezüglich erscheine der Ausgang des Verfahrens nicht mehr offen. Damit hätten sich die abgelehnten Richter im Beweisauflagebeschluss vom 6. April 2009 über den "Hinweis des Bundesgerichts hinweggesetzt, dass das Teilurteil vom 18. Juni 2007 durch die Gutheissung der Nichtigkeitsbeschwerde in seiner Gesamtheit aufgehoben sei und dementsprechend das Handelsgericht auch noch einmal über die im ersten Urteil enthaltenen bundesrechtlichen Feststellungen neu entscheiden müsste".
3.1 Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, denen in dieser Hinsicht dieselbe Tragweite zukommt, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei (BGE 136 I 207 E. 3.1; 133 I 1 E. 5.2 S. 3; 131 I 31 E. 2.1.2.1 S. 34 f., je mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (BGE 136 I 207 E. 3.1; 134 I 238 E. 2.1 S. 240 mit Hinweisen).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung können richterliche Verfahrensfehler nur ausnahmsweise die Unbefangenheit einer Gerichtsperson in Frage stellen. Dabei müssen objektiv gerechtfertigte Gründe zur Annahme bestehen, dass sich in Rechtsfehlern gleichzeitig eine Haltung manifestiert, die auf fehlender Distanz und Neutralität beruht. Es muss sich um besonders krasse Fehler oder wiederholte Irrtümer handeln, die eine schwere Verletzung der Richterpflichten darstellen und auf eine Absicht der Benachteiligung einer Prozesspartei schliessen lassen (BGE 125 I 119 E. 3e S. 124; 116 Ia 135 E. 3a S. 138; 115 Ia 400 E. 3b S. 404; 114 Ia 153 E. 3b/bb S. 158 f.).
3.2 Solches ist vorliegend nicht dargetan. Vielmehr ist im Zusammenhang mit dem Beweisauflagebeschluss vom 6. April 2009 kein Verfahrensfehler ersichtlich. Denn es trifft nicht zu, wie die Beschwerdeführerin behauptet, dass das Handelsgericht "eigentlich die Frage der grundsätzlichen Berechtigung zur Geltendmachung dieser Schadensposten (Haushaltsschaden und Anwaltskosten) nach den Urteilen des Kassationsgerichts und des Bundesgerichts vor Erlass des Beweisauflagebeschlusses noch einmal zumindest hätte überprüfen und den Parteien das Resultat dieser Überprüfung hätte mitteilen müssen".
Mit Teilurteil vom 18. Juni 2007 wies das Handelsgericht die Klage auf Schadenersatz ab. Das Kassationsgericht hiess die dagegen gerichtete kantonale Nichtigkeitsbeschwerde am 5. August 2008 gut und wies die Sache im Sinne der Erwägungen zur Neubeurteilung an das Handelsgericht zurück. Aus den Erwägungen geht klar hervor, dass das Kassationsgericht nur betreffend den Erwerbsschaden die Durchführung eines förmlichen Beweisverfahrens verlangte. Demgegenüber wies es die Rügen zu den ausserprozessualen Anwaltskosten und zum Haushaltsschaden ab. Entsprechend erliess das Handelsgericht den Beweisauflagebeschluss vom 6. April 2009 in Bezug auf den Erwerbsschaden. Mit diesem Vorgehen setzte sich das Handelsgericht entgegen dem Vorwurf der Beschwerdeführerin nicht über "einen Hinweis" des Bundesgerichts hinweg. Das Bundesgericht hielt in seinem Nichteintretensentscheid 4A_426/2008 vom 11. Februar 2009 lediglich fest, dass das Kassationsgericht das Teilurteil des Handelsgerichts vom 18. Juni 2007 als Ganzes aufgehoben habe und das Handelsgericht demnach einen neuen Entscheid in der Sache fällen müsse, weshalb das Teilurteil als Anfechtungsobjekt weggefallen sei, was zum Nichteintreten auf die dagegen gerichtete Beschwerde führte. Am Wegfall des Anfechtungsobjektes ändere nichts, dass das Handelsgericht unter Umständen seine früheren Erwägungen zu den Anwaltskosten sowie zum Haushaltsschaden wieder aufnehmen könne, weil das Kassationsgericht den dagegen erhobenen Einwendungen der Beschwerdeführerin nicht gefolgt sei. Ein "Hinweis", das Handelsgericht müsse auch die Fragen der Anwaltskosten und des Haushaltsschadens noch einmal neu beurteilen, ist dem Entscheid des Bundesgerichts dagegen nicht zu entnehmen. Bei dieser Ausgangslage sind keine objektiven Anhaltspunkte für einen Anschein der Befangenheit oder gar eine unzulässige Vorbefassung der am Beweisauflagebeschluss vom 6. April 2009 mitwirkenden Richter erkennbar.
3.3 Weiter bringt die Beschwerdeführerin vor, die abgelehnten Richter hätten die Zweifel an ihrer Befangenheit in ihrer gewissenhaften Erklärung nicht ausgeräumt. Entgegen den Vorinstanzen und insbesondere dem Kassationsgericht liege in Tat und Wahrheit eine "Mitwirkungsverweigerung" der abgelehnten Richter vor, die die Vorinstanz als Indiz für den Anschein der Begangenheit hätte mitberücksichtigen müssen. Mit diesem - nicht weiter konkretisierten - Vorbringen beharrt die Beschwerdeführerin lediglich auf ihrem Standpunkt, ohne sich mit den diesbezüglichen Erwägungen des Kassationsgerichts auseinanderzusetzen, laut denen bei Vorliegen einer gewissenhaften Erklärung der Abgelehnten, sie fühlten sich nicht befangen, nach den weiteren behaupteten und vorliegend von keiner Seite in Frage gestellten Umständen über den Befangenheitsvorwurf zu entscheiden sei. Ihr Vorbringen ist nicht rechtsgenüglich begründet. Es kann darauf nicht eingetreten werden.
3.4 Darüber hinaus nennt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht gegenüber den abgelehnten Richtern keine konkreten Ablehnungsgründe. Ihr Feststellungsbegehren betreffend die behauptete Befangenheit der Oberrichter D._ und E._ sowie von Handelsrichter C._ ist daher unbegründet und wurde von der Vorinstanz zutreffend abgelehnt.
4. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin 1 für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Widmer