Faits:
A. X._, ressortissante française née en 1978, est entrée en Suisse le 1er novembre 1997. Après avoir accompli quatre saisons de travail au Pays-d'Enhaut (VD) dans le domaine de la restauration, elle a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour à l'année dans le canton de Vaud le 4 octobre 2001. Elle a pris domicile à La Tour-de-Trême le 3 février 2007 et a obtenu une autorisation d'établissement dans le canton de Fribourg le 9 février 2007.
Par jugement du Tribunal pénal de la Gruyère du 28 août 2008, la prénommée a été condamnée à une peine privative de liberté de quatre ans, ainsi qu'à suivre un traitement psychiatrique ambulatoire, après avoir été reconnue coupable de tentative de meurtre par dol éventuel. Le 29 octobre 2007, elle avait en effet poignardé le compagnon de son amie avant de l'abandonner à son sort. Placée en détention préventive dans le canton de Fribourg dès le 31 octobre 2007, X._ a a été transférée le 15 décembre 2008 à la Prison de la Tuilière, à Lonay (VD), où elle a été libérée conditionnellement le 30 juin 2010. Elle a été soumise à une assistance de probation jusqu'au 31 octobre 2011, ainsi qu'à la poursuite du traitement thérapeutique en cours.
B. Dans son rapport du 5 février 2008, l'expert psychiatre mandaté par le Tribunal pénal de la Gruyère a posé le diagnostic de trouble de l'adaptation avec perturbation mixte des émotions des conduites ainsi que de trouble de la personnalité à traits dépendants au moment des faits. Il a considéré que le risque de récidive apparaissait comme faible compte tenu du caractère exceptionnel du passage à l'acte et de l'absence d'antécédents. Le 24 mai 2011, le médecin chef de la clinique du Centre psychosocial de Fribourg a relevé que X._ continuait à nier les faits qui lui étaient reprochés, de sorte que le risque de récidive était réel en cas de nouvelles ruptures relationnelles. Le 5 juillet 2011, le Service de probation du canton de Fribourg a précisé que l'intéressée était collaborante, qu'elle disposait d'un emploi fixe et qu'elle avait commencé à rembourser les frais de justice mis à sa charge et à payer l'indemnité due à la victime de son acte.
C. Par décision du 12 septembre 2011, le Service de la population et des migrants du canton de Fribourg (ci-après: le Service de la population) a révoqué l'autorisation d'établissement de X._ et lui a imparti un délai de trente jours pour quitter la Suisse.
Saisi d'un recours contre cette décision, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal cantonal) l'a rejeté par arrêt du 3 avril 2012. Il a retenu que la révocation litigieuse était fondée au regard des art. 63 al. 1 let. b de la loi fédérale sur les étrangers du 16 décembre 2005 (LEtr; RS 142.20) et 5 de l'annexe I de l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681). En outre, la mesure d'éloignement ordonnée respectait le principe de proportionnalité.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 3 avril 2012 et de renouveler son permis d'établissement. Elle requiert également que son recours soit doté de l'effet suspensif. Elle se plaint d'une application erronée des art. 63 LEtr et 5 de l'Annexe I ALCP, ainsi que d'une violation du principe de proportionnalité.
Le Tribunal cantonal et le Service de la population renoncent à formuler des remarques, se réfèrent aux considérants de l'arrêt entrepris et concluent au rejet du recours. L'Office fédéral des migrations propose également de rejeter le recours. Dans ses déterminations sur les prises de position des autres participants à la procédure, X._ a maintenu les conclusions formulées dans son recours.
Par ordonnance du 14 mai 2012, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif.
Considérant en droit:
1. 1.1 Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Il est en revanche recevable contre les décisions révoquant une autorisation d'établissement, parce qu'il existe en principe un droit au maintien d'une telle autorisation (ATF 135 II 1 consid. 1.2.1 p. 4), ce qui est le cas en l'espèce. La recourante étant de nationalité française, elle peut au surplus se pré-valoir de l'ALCP. Ce traité confère en principe aux ressortissants des Etats membres de l'Union européenne et de la Suisse le droit d'entrer sur le territoire d'une autre partie contractante (art. 1 let. a et art. 3 ALCP), ainsi que le droit de séjourner et d'accéder à une activité économique, sous réserve de l'art. 10 ALCP et conformément aux dispositions de l'annexe I ALCP (art. 1 let. a et art. 4 ALCP). Par conséquent, le présent recours est recevable sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF.
1.2 Les autres conditions de recevabilité étant réunies, il y a lieu d'entrer en matière.
2. 2.1 Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral et du droit international (cf. art. 95 let. a et b ainsi qu'art. 106 al. 1 LTF), alors qu'il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant conformément au principe de l'allégation (art. 106 al. 2 LTF). Il procède de la sorte en se basant sur les faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf si ceux-ci ont été retenus de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire: ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 63 - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF) et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.2 Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal fédéral, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF). En l'occurrence, les pièces produites par la recourante à l'appui de son écriture du 10 septembre 2012 ne peuvent en conséquence pas être prises en considération.
3. 3.1 Aux termes de son art. 2 al. 2, la LEtr n'est applicable aux ressortissants des Etats membres de la Communauté européenne, aux membres de leur famille et aux travailleurs détachés par un employeur ayant son siège ou son domicile dans un de ces Etats que dans la mesure où l'ALCP n'en dispose pas autrement ou lorsque ladite loi contient des dispositions plus favorables.
L'ALCP ne réglementant pas le retrait de l'autorisation d'établissement UE/AELE, c'est l'art. 63 LEtr qui est applicable (cf. art. 23 al. 2 de l'ordonnance fédérale du 22 mai 2002 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, l'Union européenne et ses Etats membres, ainsi qu'entre les Etats membres de l'Association européenne de libre échange [OLCP; RS 142.203]). Dès lors qu'il constitue une limite à la libre circulation des personnes, le retrait de l'autorisation d'établissement doit néanmoins être conforme aux exigences de l'ALCP (arrêts 2C_238/2012 du 30 juillet 2012 consid. 2.1; 2C_980/2011 du 22 mars 2012 consid. 3.3).
3.2 Une autorisation d'établissement ne peut être révoquée que si l'étranger remplit l'une des conditions alternatives de l'art. 63 al. 1 LEtr. Tel est le cas, aux termes de cette disposition, si les conditions visées à l'art. 62 let. a ou b LEtr sont remplies (let. a) ou si l'étranger attente de manière très grave à la sécurité et l'ordre publics en Suisse ou à l'étranger, les met en danger ou représente une menace pour la sécurité intérieure ou extérieure de la Suisse (let. b). Selon l'art. 62 let. b LEtr, l'autorité compétente peut révoquer une autorisation si l'étranger a été condamné à une peine privative de liberté de longue durée - soit dépassant un an d'emprisonnement (ATF 135 II 377 consid. 4.2 p. 380 s.) - ou a fait l'objet d'une mesure pénale prévue aux art. 64 ou 61 CP.
En l'espèce, la condamnation de la recourante à une peine privative de liberté de quatre ans réalise le motif de révocation énoncé par l'art. 62 let. b LEtr.
A cela s'ajoute que la recourante tombe sous le coup du motif de révocation de l'art. 63 al. 1 let. b LEtr. En effet, selon la jurisprudence, attente de manière très grave à l'ordre public ou le met en danger l'étranger dont les actes lèsent ou compromettent des biens juridiques particulièrement importants, tels que l'intégrité corporelle, physique ou sexuelle (ATF 137 II 297 consid. 3.3 p. 303 s.; arrêt 2C_265/2011 du 27 septembre 2011 consid. 5.3.1). Or, une tentative de meurtre par dol éventuel constitue à l'évidence une atteinte grave à l'intégrité physique justifiant la révocation de l'autorisation d'établissement.
3.3 Comme l'ensemble des droits octroyés par l'ALCP, le droit de demeurer en Suisse pour y exercer une activité lucrative ne peut être limité que par des mesures d'ordre ou de sécurité publics, au sens de l'art. 5 par. 1 annexe I ALCP, dont le cadre et les modalités sont définis par les trois directives citées - dont la plus importante est la directive 64/221/CEE -, ainsi que par la jurisprudence y relative de la Cour de justice des Communauté européennes, devenue la Cour de justice de l'Union européenne (ci-après: la Cour de Justice), rendue avant la signature de l'accord le 21 juin 1999 (cf. art. 5 par. 2 annexe I ALCP en relation avec l'art. 16 al. 2 ALCP; au sujet de la prise en considération des arrêts de la Cour de Justice postérieurs à cette date, cf. ATF 136 II 5 consid. 3.4 p. 12 s.; 130 II 1 consid. 3.6 p. 9 ss; 130 II 113 consid. 5.2 p. 119 s.).
Conformément à la jurisprudence de la Cour de Justice, les limites posées au principe de la libre circulation des personnes doivent s'interpréter de manière restrictive. Ainsi, le recours par une autorité nationale à la notion d' "ordre public " pour restreindre cette liberté suppose, en dehors du trouble de l'ordre social que constitue toute infraction à la loi, l'existence d'une menace réelle et d'une certaine gravité affectant un intérêt fondamental de la société. La seule existence de condamnations pénales (antérieures) ne peut automatiquement motiver de telles mesures. Les autorités nationales sont tenues de procéder à une appréciation spécifique, portée sous l'angle des intérêts inhérents à la sauvegarde de l'ordre public, qui ne coïncide pas nécessairement avec les appréciations à l'origine des condamnations pénales. Autrement dit, ces dernières ne peuvent être prises en considération que si les circonstances les entourant laissent apparaître l'existence d'une menace actuelle pour l'ordre public (ATF 136 II 5 consid. 4.2 p. 20; 134 II 10 consid. 4.3 p. 24). Selon les circonstances, la jurisprudence admet néanmoins que le seul fait du comportement passé de la personne concernée puisse réunir les conditions de pareille menace actuelle (ATF 130 II 176 consid. 3.4.1 p. 184). Dans ce cas, il ne doit pas être établi avec certitude que l'étranger commettra d'autres infractions à l'avenir; inversement, ce serait aller trop loin que d'exiger que le risque de récidive soit nul pour que l'on renonce à une telle mesure. Compte tenu de la portée que revêt le principe de la libre circulation des personnes, ce risque, qui est essentiel, ne doit, en réalité, pas être admis trop facilement. Il faut bien plutôt l'apprécier en fonction de l'ensemble des circonstances du cas et, en particulier, de la nature et de l'importance du bien juridique menacé, ainsi que de la gravité de l'atteinte qui pourrait y être portée. L'évaluation de ce risque sera d'autant plus rigoureuse que le bien juridique menacé est important (ATF 136 II 5 consid. 4.2 p. 10; 130 II 493 consid. 3.3 p. 499 s. et les références).
Les mesures d'éloignement sont soumises à des conditions d'autant plus strictes que l'intéressé a séjourné longtemps en Suisse. Le renvoi d'étrangers ayant séjourné très longtemps en Suisse, voire de ceux qui y sont nés et y ont passé toute leur existence (étrangers de la "seconde génération"), n'est cependant exclu ni par l'ALCP, ni par la CEDH (ATF 130 II 176 consid. 4.4 p. 189 s. et les références). Pour évaluer la menace que représente un étranger condamné pénalement, le Tribunal fédéral se montre particulièrement rigoureux - en suivant en cela la pratique de la Cour européenne des droits de l'homme - en présence d'infractions à la législation fédérale sur les stupéfiants, d'actes de violence criminelle et d'infractions contre l'intégrité sexuelle (arrêts 2C_492/2011 du 6 décembre 2011 consid. 4.1; 2C_473/2011 du 17 octobre 2011 consid. 2.2; 2A.308/2004 du 4 octobre 2004 consid. 3.3).
3.4 Il importe de déterminer en l'espèce si c'est à bon droit que l'autorité précédente a admis que la recourante présente un risque de récidive et constitue ainsi une menace actuelle et grave pour l'ordre et la sécurité publics.
3.4.1 Le Tribunal cantonal s'est référé à la jurisprudence selon laquelle, en cas d'atteinte ou de mise en danger d'un bien juridique tel que la vie, la société ne peut s'accommoder d'un risque non négligeable de récidive. Il suffit donc que des indices laissent à penser que la réitération d'un acte de cette nature puisse se produire pour que les conditions conventionnelles autorisant le renvoi soient remplies (cf. not. arrêt 2C_312/2011 du 26 juillet 2011 consid. 5.2). Elle a relevé, à la suite du Service de la population, qu'en l'occurrence, selon les experts psychiatres consultés, les troubles du comportement dont souffre la recourante peuvent entraîner un nouveau passage à l'acte si celle-ci devait subir une rupture affective. Dans son rapport du 24 mai 2011, le médecin chef de la clinique du Centre psychosocial de Fribourg avait indiqué que celle-ci n'avait pas évolué sur le plan thérapeutique et qu'elle s'enferrait dans des systèmes de déni. Du moment que l'infraction était niée, il n'était pas envisageable que la patiente élabore une stratégie ou un comportement visant à éviter la répétition d'un acte qu'elle n'aurait, selon elle, pas commis. Cette attitude de déni avait été expressément réservée par l'expertise psychiatrique du 5 février 2008, qui avait souligné que le pronostic d'un risque de récidive faible dépendait de la capacité de la recourante à assumer les conséquences de ses actes. Comme tel n'était pas le cas, la dangerosité de la recourante devait être revue en conséquence.
3.4.2 La recourante fait valoir que, sur son initiative, elle a pris contact avec le Tribunal de la Gruyère et la victime, afin de convenir d'un plan de remboursement des frais de justice, ainsi que de l'indemnité allouée à cette dernière. Cela démontrerait que, contrairement à ce qu'indique le rapport du 24 mai 2011, elle n'est plus dans une attitude de déni, mais a pleinement reconnu la portée de son acte, dont elle tient à assumer les conséquences.
Dès le début de l'enquête pénale consécutive à l'agression à l'arme blanche du compagnon de son amie, la recourante a adopté une attitude ambigüe, alternant aveux et rétractations et dénonçant même, sans donner son identité, un tiers comme auteur du coup de couteau. C'est ainsi qu'elle a affirmé s'être rendue coupable d'un délit qui n'était pas le sien, mais qu'elle avait décidé d'assumer, comme si elle était capable d'admettre son acte intellectuellement, mais pas affectivement. Cette particularité permet probablement d'expliquer qu'elle ait entrepris, dès sa sortie de prison, de réparer les torts causés à sa victime et de commencer à rembourser les frais de justice mis à sa charge, sans pour autant admettre réellement sa culpabilité. Le comportement dont la recourante se prévaut ne se trouve ainsi pas en contradiction avec l'attitude de déni relevée dans le rapport du 24 mai 2011 du médecin chef de la clinique du Centre psychosocial de Fribourg. Cette attitude a d'ailleurs été relevée également par le Service cantonal de l'application des sanctions pénales et des peines du canton de Fribourg, lequel a indiqué, dans sa décision d'octroi de la libération conditionnelle du 7 juin 2010, que la recourante n'avait que superficiellement entamé le travail nécessaire d'introspection sur les raisons de sa détention; elle ne réalisait guère que des relations proches ou intimes pouvaient présenter une zone de risque, avec pas-sage à l'acte possible. Or, tant le rapport du 5 février 2008 de l'expert psychiatre commis par le Tribunal de la Gruyère que celui du 24 mai 2011 font dépendre le faible risque de récidive respectivement de la capacité de la recourante à assumer les conséquences de ses agissements et d'une prise de conscience par celle-ci de son acte.
Au vu de ce qui précède, il n'apparaît pas que l'autorité précédente aurait violé le droit fédéral ni le droit conventionnel en considérant que la recourante présente un réel risque de récidive dans l'hypothèse d'une nouvelle rupture relationnelle et constitue ainsi une menace actuelle et grave pour l'ordre et la sécurité publics suisses.
La recourante fait certes valoir qu'elle a vécu une rupture avec la personne qu'elle aimait, au début de l'année 2012, sans qu'il en ait résulté aucun acte de violence de sa part. Il s'agit là toutefois d'un fait nouveau, qui ne ressort pas de l'arrêt attaqué, lequel lie le Tribunal de céans (cf. consid. 2.1 et 2.2 ci-dessus). A supposer qu'il soit avéré, il ne peut donc être pris en considération en l'espèce. A l'instar de l'évolution positive du traitement psychothérapeutique (cf. rapport du Centre psychosocial de Fribourg du 16 mai 2012), il pourrait en revanche éventuellement, à certaines conditions qu'il n'y a pas lieu d'examiner ici, constituer un motif de reconsidération.
3.5 La recourante conteste la proportionnalité de la révocation de son permis d'établissement. Ici aussi, elle se prévaut toutefois en partie de faits (elle exercerait une profession à responsabilité, n'aurait plus de liens avec la France, s'étant notamment définitivement brouillée avec son père adoptif il y a plusieurs années, etc.) qui ne ressortent pas de la décision attaquée et ne peuvent donc être pris en considération. Il reste que la durée de son séjour en Suisse (où elle a obtenu un permis de séjour en 2001) est contre-balancée par la gravité de l'infraction perpétrée en 2007. En outre, comme l'a retenu l'autorité précédente, la recourante est relativement jeune, célibataire et sans enfants, de sorte qu'il lui est possible de refaire sa vie dans son pays d'origine, où elle a vécu jusqu'en 2001 et où elle a dû garder des contacts. Elle peut y bénéficier d'une prise en charge thérapeutique du même niveau qu'en Suisse. Dans ces conditions, son intérêt privé à demeurer en Suisse ne saurait l'emporter sur l'intérêt public à son éloignement, de sorte que la révocation litigieuse n'apparaît pas non plus disproportionnée.
4. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (cf. art. 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF a contrario).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service de la population et des migrants et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ière Cour administrative, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 25 janvier 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Vianin