Sachverhalt:
A. Z._ ist Gesellschafter und Geschäftsführer der Y._ GmbH und Eigentümer der Parzelle Nr. 96 in Schattdorf, auf der ein Zweifamilienhaus mit Werkstatt steht. Die Parzelle liegt in der Wohnzone W3 gemäss Art. 63 der Bau- und Zonenordnung der Einwohnergemeinde Schattdorf vom 15. Juni 1998 (BZO). Im August 2005 zerstörte ein Unwetter den andernorts gelegenen Produktionsbetrieb der Y._ GmbH. Am 9. September 2005 erteilte deshalb die Bau- und Kanalisationskommission der Einwohnergemeinde Schattdorf gestützt auf Notrecht eine bis zum 31. Dezember 2005 befristete Baubewilligung für den Anbau eines Montageraums und die Nutzung der Parzelle Nr. 96 als Produktionsstätte für den Schreinereibetrieb. Der Anbau wurde erstellt und die Y._ GmbH nahm ihren Schreinereibetrieb wieder auf. Die befristete Baubewilligung wurde in der Folge bis zum 31. Dezember 2006 verlängert.
Am 1. Dezember 2006 wurde nach Abschluss eines ordentlichen Bauverfahrens eine definitive Baubewilligung erteilt. Diese umfasste neben dem bereits erstellten Anbau eines Montageraums die Umnutzung eines Lagerraums als Schreinerei sowie einen gedeckten Sitzplatz. Gleichzeitig wurde die von X._ als Eigentümerin der benachbarten Parzelle Nr. 1408 erhobene Einsprache abgewiesen. Ihre gegen diesen Entscheid gerichtete Verwaltungsbeschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Uri mit Beschluss vom 30. Oktober 2007 ab. Darauf erhob X._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Obergericht des Kantons Uri. Dieses wies das Rechtsmittel mit Urteil vom 11. Juli 2008 ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 16. September 2008 beantragt X._, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri sei aufzuheben und die Baubewilligung für den Anbau des Montageraums und die Umnutzung des Lagerraums sei zu verweigern. Sie rügt im Wesentlichen sinngemäss eine willkürliche Anwendung der kommunalen Bau- und Zonenordnung (Art. 9 BV).
Das Obergericht und der Regierungsrat des Kantons Uri sowie die Gemeinde Schattdorf haben auf eine Vernehmlassung im Wesentlichen verzichtet. Die Y._ GmbH als Beschwerdegegnerin beantragt in ihrer Stellungnahme die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) untersucht in seiner Vernehmlassung vom 2. Dezember 2008 den geplanten Betrieb auf die Einhaltung der Lärmschutzvorschriften hin und schliesst, es sei keine Verletzung der massgebenden Bestimmungen des Umweltschutzrechts des Bundes festzustellen.
Erwägungen:
1. Dem angefochtenen Urteil des Obergerichts liegt ein Beschwerdeverfahren über eine baurechtliche Bewilligung zu Grunde. Nach Art. 34 Abs. 1 RPG (SR 700) gelten für die Rechtsmittel an die Bundesbehörden die allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege (BGE 133 II 400 E. 2.1 S. 404 mit Hinweis). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 lit. a BGG steht auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält keinen Ausschlussgrund (Art. 83 BGG). Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Die Beschwerdeführerin hat vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen. Als Eigentümerin des direkt benachbarten Grundstücks ist sie von den Emissionen der Schreinerei mehr als die Allgemeinheit betroffen. Sie ist durch den Entscheid der Vorinstanz besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung (Art. 89 Abs. 1 BGG). Auf ihre Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin rügt, die Qualifizierung der Schreinerei der Beschwerdegegnerin als "nicht störender" Betrieb beruhe auf einer willkürlichen Anwendung der kommunalen Bau- und Zonenordnung (BZO).
Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 132 III 209 E. 2.1 S. 211; 131 I 467 E. 3.1 S. 473 f.; je mit Hinweisen).
Das Bauvorhaben betrifft die Wohnzone W3, wo nach Art. 63 BZO Wohnbauten und nicht störende Geschäfts- und Gewerbebetriebe zugelassen sind. Art. 74 BZO ordnet die Zone der Empfindlichkeitsstufe II gemäss Art. 43 Abs. 1 lit. b der Lärmschutz-Verordnung vom 15. Dezember 1986 (LSV; SR 814.41) zu. Anhang 1 zur Bauordnung unterscheidet zwischen nicht störenden, mässig störenden und stark störenden Betrieben:
"1. ...
2. Als nicht störend gelten Betriebe, deren Einwirkungen nicht, oder nicht wesentlich grösser sind, als wie sie aus dem Wohnen entstehen und die ihrer Natur nach dem Wohnen zugehörige oder damit verbundene Dienstleistungen sind. Solche Betriebe müssen sich baulich im Rahmen der zonenmässig zugelassenen Wohnüberbauung halten (Beispiele: Ladengeschäfte, Coiffeur, Schuhmacher, Bürobetriebe, Arztpraxis).
3. Als mässig störend gelten Betriebe, deren Einwirkungen sich im Rahmen herkömmlicher, ortsgebundener Handwerks- und Gewerbebetriebe halten, sich auf die übliche Arbeitszeit beschränken und nur vorübergehend auftreten. Dazu gehören Autoreparaturwerkstätten, Spenglereien, Kundenschreinereien, Gaststätten usw.
4. Alle übrigen Betriebe gelten als stark störend."
Die Beschwerdeführerin weist auf die ausdrückliche Nennung von Kundenschreinereien als Beispiel eines mässig störenden Betriebs hin. Sie macht geltend, aufgrund der von einer Schreinerei ausgehenden Immissionen könne nicht von einem nicht störenden Betrieb gesprochen werden. Es fehle zudem am geforderten funktionalen Zusammenhang zwischen dem Betrieb und der Wohnnutzung.
Die Beschwerdeführerin weist auf die ausdrückliche Nennung von Kundenschreinereien als Beispiel eines mässig störenden Betriebs hin. Sie macht geltend, aufgrund der von einer Schreinerei ausgehenden Immissionen könne nicht von einem nicht störenden Betrieb gesprochen werden. Es fehle zudem am geforderten funktionalen Zusammenhang zwischen dem Betrieb und der Wohnnutzung.
2.2 2.2.1 Bezüglich der Immissionen bringt die Beschwerdeführerin vor, in der Schreinerei würden Möbel produziert und montiert. Dies führe sogar zu mehr Immissionen als es bei den unter Anhang 1 Ziff. 2 BZO aufgeführten Kundenschreinereien der Fall sei, welche ihre Arbeiten vor allem bei den Kunden erledigten. Auch die mit der Baubewilligung verbundenen Auflagen und Bedingungen machten das Bauprojekt nicht zonenkonform. Neben den Lärmimmissionen seien auch der durch den Betrieb entstehende Staub und Dreck, das Verkehrsaufkommen sowie die Art und Weise der Erschliessung zu berücksichtigen. Die Auflage, dass bei der Produktion Fenster und Türen geschlossen sein müssten, sei nicht durchsetzbar. Die Auflage, dass innerhalb der Blockzeit von 7 bis 19 Uhr die Betriebszeit auf maximal neun Stunden begrenzt sei, führe zu einer unzumutbaren Lärmbelastung. Überhaupt habe die Beschwerdeführerin in der Vergangenheit durch Bautätigkeiten ohne Baubewilligung gezeigt, dass sie sich nicht an Vorgaben halte. Die Beschwerdeführerin bestreitet zudem die Ansicht des Obergerichts, wonach es sich bei der in Frage stehenden Zone um kein ausgeprägtes Wohnquartier handle.
2.2.2 Die Vorinstanz legt dar, die Beurteilung der Immissionen habe anhand des konkreten Bauvorhabens zu erfolgen. Gemäss dem Bericht des kantonalen Amts für Umweltschutz vom 13. September 2006 würden die Planungswerte nach Anhang 6 Ziff. 2 LSV unterschritten, sofern bestimmte Massnahmen ergriffen würden. Diese Massnahmen seien als Auflagen in die Baubewilligung aufgenommen worden. Zur Abschätzung der Lärmimmissionen habe der Regierungsrat die Beschwerdegegnerin zudem aufgefordert, Angaben hinsichtlich des zu erwartenden Lieferverkehrs zu machen. Deren Antwort sei angesichts der Grösse des Betriebs glaubhaft. Die Vorinstanz hält sodann die Staubemissionen für vernachlässigbar, zumal es sich um eine kleine Schreinerei handle und diese verpflichtet sei, bei geschlossenen Fenstern und Türen zu arbeiten. Schliesslich grenze die betreffende Zone unmittelbar an Gebiete, in welchen grössere Lärmbelastungen zulässig seien. Das Grundstück der Beschwerdegegnerin sei in der Vergangenheit als Schlosserei und Malerei genutzt worden. Es könne deshalb nicht von einem ausgeprägten Wohnviertel gesprochen werden.
2.2.3 Die Ausführungen der Vorinstanz zu den zu erwartenden Immissionen sind nicht zu beanstanden. Das Bundesamt für Umwelt hat in seiner Vernehmlassung vom 2. Dezember 2008 bestätigt, dass keine Verletzung des Umweltschutzgesetzes (USG; SR 814.01) und der Lärmschutz-Verordnung festzustellen sei. Die Beschwerdeführerin macht nichts Gegenteiliges geltend. Die Vorinstanz hat sich mit dem zu erwartenden Lieferverkehr auseinandergesetzt. Die pauschale Aussage der Beschwerdeführerin, es sei das Verkehrsaufkommen und die Erschliessung zu berücksichtigen, stellt diesbezüglich keine hinreichend substanziierte Rüge dar (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). Dasselbe gilt für die beanstandeten Staubemissionen. Die Beschwerdeführerin behauptet nicht, diese verletzten die anwendbaren Umweltschutznormen (vgl. im Übrigen zum Verhältnis zwischen Raumplanungs- und Umweltschutzrecht bezüglich störender Betriebe BGE 114 Ib 214 E. 5 S. 222 f.; 127 II 238 E. 4a S. 245).
Sodann ist nicht ersichtlich, weshalb die Auflage, während der Produktion Fenster und Türen zu schliessen, nicht durchsetzbar sein soll. In der Baubewilligung wird angeordnet, es seien sämtliche Fenster durch solche zu ersetzen, die nicht geöffnet werden könnten, wenn festgestellt werde, dass bei offenen Türen oder Fenstern gearbeitet werde. Wohl sind Auflagen, bei denen von vornherein feststeht, dass sie nicht eingehalten werden können, zur Lärmbekämpfung ungeeignet (Urteil des Bundesgerichts 1A.69/2002 vom 19. März 2003 E. 4.4, in: URP 2003 S. 353). Die Beschwerdeführerin begründet jedoch ihre in diese Richtung gehende Behauptung nicht. Ihr Argument, die Beschwerdegegnerin habe in der Vergangenheit ohne Baubewilligung gebaut und dadurch gezeigt, dass sie sich nicht an Vorgaben halte, ist neu und kann nicht berücksichtigt werden (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG).
Sind die Rügen der Beschwerdeführerin bezüglich der Immissionen der Schreinerei bereits aus diesen Gründen nicht stichhaltig, so kann offen bleiben, welche Rolle diesbezüglich der Charakter des direkt betroffenen und des umliegenden Gebiets spielt (vgl. dazu Urteil des Bundesgerichts 1C_262/2007 vom 31. Januar 2008 E. 4.4).
2.3 Anhang 1 Ziff. 2 BZO sieht als weitere Voraussetzung für die Zonenkonformität einen funktionalen Zusammenhang zwischen dem Betrieb und der Wohnnutzung vor. Das Obergericht legt dar, dieses Kriterium sei in einem weiten Sinn zu verstehen. Dies zeige insbesondere die Nennung von Bürobetrieben als Beispiel eines nicht störenden Betriebs. Denn Bürobetriebe dienten häufig nicht dem täglichen Bedarf der Bevölkerung.
Diese Auslegung ist nicht willkürlich. Qualifiziert die Bau- und Zonenordnung Bürobetriebe als ihrer Natur nach dem Wohnen zugehörige oder damit verbundene Dienstleistungen, so kann mit Fug von einem weit zu verstehenden Begriff des funktionalen Zusammenhangs zwischen Betrieb und Wohnnutzung gesprochen werden (vgl. Urteil des Bundesgerichts 1A.15/2004 vom 13. Juli 2004 E. 3.2). Vor diesem Hintergrund scheint vertretbar, dass das Obergericht den erforderlichen funktionalen Zusammenhang bejaht, wenn jemand ein Gewerbe unter dem gleichen Dach betreibt, unter welchem er auch wohnt, sofern es sich um einen immissionsarmen Betrieb handelt (vgl. Luzerner Gerichts- und Verwaltungsentscheide [LGVE] 1992 III Nr. 12 S. 381; ZBl 84/1983 S. 457).
2.4 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Vorinstanz die Gegenstand des Baugesuchs bildende Schreinerei den nicht störenden Betrieben zugeordnet hat, obwohl die anwendbare Bau- und Zonenordnung Kundenschreinereien explizit als Beispiel eines mässig störenden Betriebs aufführt. Sie hat damit der beispielhaften Aufzählung nicht störender bzw. mässig störender Betriebe im Anhang 1 Ziff. 2 und 3 BZO im Ergebnis bloss Richtliniencharakter zugeschrieben und ihren Entscheid auf die abstrakte Begriffsumschreibung von "nicht störend" und "mässig störend" in den genannten Bestimmungen gestützt (vgl. E. 2.1). Dieses Vorgehen ist zwar der Rechtssicherheit nicht gerade zuträglich, zumal sich der Rechtssuchende primär an den konkreten Beispielen orientieren wird. Der angefochtene Entscheid erscheint jedoch im Ergebnis nicht als geradezu willkürlich, da nach dem Gesagten die Abgrenzung zwischen Anhang 1 Ziff. 2 und 3 BZO unscharf ist und sich die Rügen gegen die Auslegung dieser Bestimmungen durch die Vorinstanz im Übrigen als nicht stichhaltig erwiesen haben. Zu berücksichtigen ist dabei auch, dass es sich vorliegend insofern um einen speziellen Fall handelt, als die betreffende Schreinerei bereits einige Zeit auf der Grundlage von Notrecht betrieben wurde, nachdem ein Unwetter die ursprüngliche Produktionsstätte der Beschwerdegegnerin zerstört hatte. Die Verweigerung der Baubewilligung hätte zur Folge, dass der Betrieb erneut verlegt werden müsste.
3. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin hat der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin eine dem Aufwand entsprechende Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Der Einwohnergemeinde Schattdorf, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Schattdorf, dem Regierungsrat und dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, sowie dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold