Faits:
A. A.a C._ a été engagé auprès du Service X._ du département V._ du canton de Genève en qualité d'auxiliaire «commis administratif 4», en classe 10/00 et à un taux d'activité de 100 % du 17 au 28 février 2003. Il a été affecté à Y._ en tant qu'éducateur non diplômé. Cet engagement a été plusieurs fois reconduit, puis prolongé à titre exceptionnel jusqu'au 31 octobre 2006, pour que C._ puisse s'inscrire auprès de l'Institut A._ de l'Ecole B._ en vue d'une formation d'éducateur spécialisé qui lui permettrait d'être engagé à long terme au sein du Service X._.
Entre septembre 2003 et juin 2004, l'intéressé a suivi des cours du soir auprès de l'Ecole G._ et a passé avec succès les examens correspondants, de telle sorte qu'il remplissait, à la rentrée 2005, les conditions d'admission à l'Institut A._. Cependant, pour des raisons liées à l'organisation du service, l'entrée en formation a été différée.
Par arrêté du Conseil d'Etat du 8 novembre 2006, C._ a été nommé fonctionnaire dès le 1er novembre 2006 en tant que «commis administratif 4», classe 11/02, avec les mêmes affectations et taux d'activité que précédemment.
Le 3 août 2007, C._ a signé un «contrat pédagogique tripartite» avec le directeur de Y._ et un représentant de l'Institut A._. Ce contrat spécifiait que le taux d'activité de l'intéressé serait de 70 % pendant sa formation. Celle-ci s'étendait sur quatre années, à raison de deux jours de cours par semaine.
Le 27 août 2007, l'Institut A._ a confirmé au directeur de Y._ que l'intéressé commencerait sa formation le 17 septembre 2007 en précisant que son taux d'activité durant cette période serait de 70 %.
Le 27 août 2007, l'Institut A._ a confirmé au directeur de Y._ que l'intéressé commencerait sa formation le 17 septembre 2007 en précisant que son taux d'activité durant cette période serait de 70 %.
A.b C._ s'est plaint de cette réduction de son taux d'activité auprès de l'Office du personnel de l'Etat de Genève et du directeur du Service X._. Il lui a été répondu, en substance, que la formation continue en vue d'un perfectionnement utile à la fonction devait être effectuée durant le temps libre et que d'autres collaborateurs qui avaient suivi un cursus identique au sien étaient dans la même situation.
A.c Par arrêté du Conseil d'Etat du 17 décembre 2007 avec effet au 1er octobre 2007, C._ a été promu à la fonction de «commis administratif 5», classe 13/02, avec la même affectation que précédemment mais à un taux d'activité de 70 %. Il s'ensuivait une baisse de ses revenus mensuels de 1'288 fr. 80.
A.d C._ a recouru auprès du Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif; depuis le 1er janvier 2011: Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève) contre cet arrêté de promotion. Il concluait principalement à ce que celui-ci soit annulé et que son traitement corresponde à 100 % de la classe 13/02 dès le 1er octobre 2007, subsidiairement à sa réintégration à 100 % en qualité de commis administratif 4 en classe 11/03 depuis le 1er octobre. A défaut d'acceptation, l'Etat de Genève devrait être condamné à lui verser une indemnité de 76'949 fr. 80 correspondant à la perte de salaire durant les quatre années de formation. Il faisait valoir qu'il ignorait, lors de son engagement, qu'il subirait une réduction de salaire pendant cette période, qu'aucune disposition légale ne prévoyait la réduction unilatérale du traitement dans un tel cas et que plusieurs de ses collègues avaient pu suivre le même enseignement en cours d'emploi sans diminution de revenu.
A.e Par jugement du 29 avril 2008, le Tribunal administratif a déclaré son recours irrecevable. Il a considéré que la décision du Conseil d'Etat du 17 décembre 2007 ne pouvait pas être assimilée à une résiliation des rapports de service, dès lors qu'il s'agissait d'un arrêté de promotion nommant l'intéressé à un poste rémunéré en classe 13, soit deux de plus que celui de commis administratif 4, avec une diminution du taux d'activité acceptée le 3 août 2007 lors de la signature du contrat pédagogique. Il a également jugé que la prétention du recourant visant à obtenir une indemnité devant compenser la diminution de 30 % du traitement pendant les quatre années de formation était directement liée au recours, si bien que celui-ci devait être déclaré irrecevable même s'il était considéré comme une action pécuniaire.
A.f Par arrêt du 27 octobre 2008 (1_C 267/2008), le Tribunal fédéral a admis le recours formé par l'intéressé contre ce jugement. Il a constaté que la cause n'avait pas été examinée par un tribunal, de sorte que l'art. 6 par. 1 CEDH avait été violé. Il se justifiait, en conséquence, de renvoyer l'affaire au Tribunal administratif pour qu'il statue sur le fond du litige ou qu'il transmette la cause à une autre autorité judiciaire répondant aux exigences de l'art. 30 al. 1 Cst.
B. A la suite de cet arrêt, le Tribunal administratif a repris l'instruction de l'affaire. Les parties se sont déterminées. Le tribunal a procédé à l'audition de nombreux témoins. Statuant le 31 août 2010, il a rejeté le recours.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, C._ demande au Tribunal fédéral d'annuler ce jugement, ainsi que l'arrêté du Conseil d'Etat du 17 décembre 2007, et de dire que son traitement doit s'élever à 100 % de la classe 13/02 de l'échelle des traitements dès le 1er octobre 2007, annuités à suivre. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause au Tribunal administratif en lui enjoignant de proposer au Conseil d'Etat sa réintégration à 100 % à la fonction de commis administratif 4 - 5 10 004 - cl. max. 11 à Y._, classe 11/03 de l'échelle du traitement à dater du 1er octobre 2007, annuités et promotions à suivre. A défaut d'acceptation, il conclut à la condamnation de l'Etat de Genève à lui verser une indemnité de 76'949 fr. 80. Plus subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause au Tribunal administratif pour nouvelle décision au sens des motifs.
Le Conseil d'Etat conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. La décision attaquée a été rendue en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Comme l'a relevé le Tribunal fédéral dans son arrêt du 27 octobre 2008, le recourant cherche principalement à obtenir un traitement plus élevé ou le versement d'une indemnité correspondant à la perte de salaire pendant la durée de sa formation. Il s'agit donc d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF).
2. Le recourant ne conteste pas les constatations du jugement attaqué selon lesquelles il était informé, lors de son entrée en fonction, du fait qu'il ne disposait pas de la formation requise pour le poste d'éducateur spécialisé à pourvoir et ne remplissait donc pas les conditions d'engagement exigées pour ce poste. Il savait qu'il ne pouvait rester au service de X._ qu'à la condition d'entreprendre et d'achever avec succès une formation d'éducateur social à l'lnstitut A._. De même, il connaissait les implications de cette formation sur son taux d'activité, qui serait réduit à 70 % dès le début de la formation. La question est de savoir qui du recourant ou de son employeur doit supporter les conséquences financières de cette réduction.
3. 3.1 Les premiers juges se sont tout d'abord référés à l'art. 53 al. 2 du règlement d'application de la loi générale relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux du 24 février 1999 (RPAC; RSG B 5 05.01), disposition selon laquelle le fonctionnaire a droit à son traitement dès le jour où il occupe sa fonction et jusqu'au jour où il cesse de l'occuper, pour cause de démission ou pour toute autre cause. Ils ont mis cette disposition en relation avec l'art. 7 de la loi concernant le traitement et les diverses prestations alloués aux membres du personnel de l'Etat, du pouvoir judiciaire et des établissements hospitaliers du 21 décembre 1973 (LTrait; RSG B 5 15), qui prévoit ceci: les membres du personnel qui ne doivent qu'une partie de leur temps à leur fonction ou qui sont autorisés à exercer d'autres activités pendant la durée de l'horaire officiel de travail ne reçoivent qu'une fraction du traitement annuel auquel ils auraient droit s'ils étaient soumis à l'horaire complet (al. 1); l'autorité ou l'organe d'engagement ou de nomination détermine cette fraction dans chaque cas (al. 2).
La juridiction cantonale a considéré que cette réglementation énonçait le principe de base qui régit la rémunération des fonctionnaires, selon lequel la rétribution est fonction du taux d'activité. Dans le cas particulier, le recourant ne pouvait plus, pour la période considérée, accomplir un horaire de travail complet en raison de sa formation. Dans son arrêté du 17 décembre 2007, le Conseil d'Etat a pris acte de cette disponibilité réduite conformément à l'art. 7 al. 2 LTrait. En effet, selon la juridiction cantonale, le fonctionnaire «n'occupe pas sa fonction» au sens de l'art. 53 al. 2 RPAC, lorsqu'il n'est pas à son poste mais dans l'établissement qui lui dispose une formation en emploi.
3.2 Les premiers juges ont d'autre part estimé que l'on n'était pas en présence d'un perfectionnement professionnel. Il s'agissait bien plutôt d'une formation de base, dont l'achèvement était une condition d'accès au poste convoité: on ne pouvait pas considérer que le recourant fréquentait un cours de perfectionnement ou un stage de perfectionnement, dont les modalités financières sont définies paritairement (art. 12 al. 2 RPAC).
4.1 4.1.1 Le recourant reproche à la juridiction cantonale une application arbitraire du droit cantonal. Tout d'abord, la notion de fonction au sens de l'art. 53 al. 2 RPAC ne trouve pas de définition légale et ne permet donc pas d'exclure la formation qu'il a suivie. Par ailleurs, les premiers juges n'auraient pas examiné la cause sous son angle véritable: selon lui, la vraie question qui se posait en l'espèce était de savoir si l'employeur peut exiger, au vu des règles régissant le statut des fonctionnaires, que des agents suivent une formation sans être rémunérés. A son avis, ni le texte de l'art. 7 LTrait ni celui de l'art. 52 RPAC ne prévoient la possibilité de «faire passer un fonctionnaire d'un temps plein à un temps partiel et de réduire son traitement sans son accord pour suivre une formation ou pour tout autre motif ». Bien au contraire, cette disposition imposerait un maintien du traitement dans son entier, en l'absence d'un motif valable qui permettrait à l'employeur de résilier, totalement ou partiellement, les rapports de service ou d'une autre cause valable à la fin des rapports de service.
4.1.2 Le recourant invoque aussi dans ce contexte le principe de la légalité. Il soutient que la création, la modification et la cessation des rapports de service sont assujetties à la réserve de la loi. Ce principe interdirait à l'Etat de porter atteinte aux droits des fonctionnaires, en particulier une diminution du traitement, en dehors d'éventualités prévues de manière explicite par la loi. L'autorité cantonale aurait perdu de vue qu'aucune base légale ne permettait à l'Etat de réduire son traitement par un acte administratif unilatéral.
4.1.2 Le recourant invoque aussi dans ce contexte le principe de la légalité. Il soutient que la création, la modification et la cessation des rapports de service sont assujetties à la réserve de la loi. Ce principe interdirait à l'Etat de porter atteinte aux droits des fonctionnaires, en particulier une diminution du traitement, en dehors d'éventualités prévues de manière explicite par la loi. L'autorité cantonale aurait perdu de vue qu'aucune base légale ne permettait à l'Etat de réduire son traitement par un acte administratif unilatéral.
4.2 4.2.1 Sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c à e LTF, la violation du droit cantonal ou communal ne constitue pas un motif de recours. L'application de ce droit peut toutefois être contestée sous l'angle de sa conformité au droit constitutionnel, notamment à l'art. 9 Cst., qui consacre l'interdiction de l'arbitraire. Appelé à revoir l'application faite d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable ou en contradiction manifeste avec la situation effective, ou encore si elle a été adoptée sans motif objectif ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables; encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4; 134 II 124 consid. 4.1 p. 133; 133 II 257 consid. 5.1 p. 260), ce qu'il revient à la partie recourante de démontrer conformément aux exigences de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 396 consid. 3.2 p. 400).
4.2.2 Par ailleurs, en dehors de sa signification en droit fiscal et en droit pénal, le principe de la légalité, bien qu'il soit ancré à l'art. 5 al. 1 Cst., n'est qu'un principe constitutionnel qui n'a pas le rang de droit fondamental. Il peut être invoqué dans le cas du recours en matière de droit public, cela a priori directement - en tout état par rapport à l'application du droit fédéral - et indépendamment de la violation d'une autre garantie constitutionnelle (ATF 134 I 153 consid. 4.1 p. 156 sv). Cependant, lorsque ce principe constitutionnel est invoqué en relation avec l'application du droit cantonal (en dehors du domaine de protection d'un droit fondamental spécial), le Tribunal fédéral ne le revoit que sous l'angle de l'art. 9 Cst.; autrement dit, ce grief se confond alors avec celui de l'arbitraire (ATF 134 I 153 consid. 4.2.2 et 4.3 p. 158; 322 consid. 2.1 p. 326; arrêts 2C_741/2009 du 26 avril 2010 consid. 3.1 et 2C_212/2007 du 11 décembre 2007 consid. 3.1).
4.2.2 Par ailleurs, en dehors de sa signification en droit fiscal et en droit pénal, le principe de la légalité, bien qu'il soit ancré à l'art. 5 al. 1 Cst., n'est qu'un principe constitutionnel qui n'a pas le rang de droit fondamental. Il peut être invoqué dans le cas du recours en matière de droit public, cela a priori directement - en tout état par rapport à l'application du droit fédéral - et indépendamment de la violation d'une autre garantie constitutionnelle (ATF 134 I 153 consid. 4.1 p. 156 sv). Cependant, lorsque ce principe constitutionnel est invoqué en relation avec l'application du droit cantonal (en dehors du domaine de protection d'un droit fondamental spécial), le Tribunal fédéral ne le revoit que sous l'angle de l'art. 9 Cst.; autrement dit, ce grief se confond alors avec celui de l'arbitraire (ATF 134 I 153 consid. 4.2.2 et 4.3 p. 158; 322 consid. 2.1 p. 326; arrêts 2C_741/2009 du 26 avril 2010 consid. 3.1 et 2C_212/2007 du 11 décembre 2007 consid. 3.1).
4.3 Sur la base de l'argumentation présentée par le recourant, on peine à saisir le reproche d'une application arbitraire du droit cantonal.
4.3.1 Tout d'abord, il apparaît évident que la formation en cause - qui s'étend sur quatre années à raison de deux journées par semaine - ne peut être assimilée à un simple perfectionnement professionnel sous la forme d'un cours ou d'un stage au sens de l'art. 12 RAPC. Comme l'ont relevé les premiers juges, il s'agit d'une formation de base qui est la condition nécessaire au fonctionnaire pour exercer sa fonction sur la durée. C'est d'ailleurs pour permettre au recourant de suivre cette formation que son engagement a été successivement prolongé.
4.3.2 D'autre part, si les dispositions de droit cantonal citées plus haut ne prévoient pas de façon explicite la réduction du traitement dans le cas d'une formation suivie par un employé de l'Etat, il n'en reste pas moins qu'elles expriment une règle élémentaire selon laquelle le traitement est fonction du taux d'activité. A ce propos, il n'est assurément pas arbitraire de considérer que le temps consacré à une formation de ce genre, qui induisait une réduction sensible de l'horaire de travail, impliquait le passage d'une activité à plein temps à une activité à temps partiel, au même titre, par exemple, qu'une réduction du temps de travail motivée par l'exercice d'une activité accessoire. Le fait que la formation en question était une condition posée par l'employeur pour un engagement à long terme n'impliquait pas - du moins en l'absence d'une réglementation contraire ou d'une convention spécifique entre les parties - qu'elle était de facto à la charge de l'employeur.
4.3.3 Enfin, le recourant ne peut rien déduire de l'arrêté du Conseil d'Etat du 8 novembre 2006. A ce moment, il n'avait pas encore entrepris sa formation à l'Institut A._ et son taux d'activité était de 100 %. Il avait suivi des cours de culture générale - qui était un préalable à l'admission à l'Institut A._ - mais ne pouvait, pour des raisons d'organisation du service, entrer à l'Institut en automne 2005 déjà (une de ses collègues étant à cette époque en formation à l'Institut A._). On est fondé à considérer que s'il a été nommé fonctionnaire, c'est parce que les conditions de son admission à l'Institut A._ étaient désormais remplies (voir la copie d'une lettre conjointe adressée à l'intéressé par la sous-commission d'admission à l'Institut A._ et par le directeur de Y._, du 9 octobre 2006, et la note manuscrite de ce dernier au bas de cette copie). L'arrêté ultérieur du 17 décembre 2007 prenait acte de la situation nouvelle découlant de la réduction du temps de travail en adaptant le traitement de l'intéressé à son taux d'activité. Le statut de fonctionnaire que lui conférait cet arrêté ne lui garantissait pas un salaire en plein en cas de réduction de l'horaire de travail. Il ne modifiait pas davantage l'exigence de suivre la formation requise pour l'exercice de sa fonction. Au reste, selon les constatations du jugement attaqué, le recourant connaissait, en novembre 2006 au plus tard, la position de sa hiérarchie au sujet de la diminution de son traitement.
4.3.4 Enfin, le recourant ne peut pas soutenir que la décision attaquée est arbitraire dans son résultat au seul motif que sa formation entraîne une réduction de traitement proportionnelle au temps qu'il lui consacre.
4.3.5 Le grief d'arbitraire doit être écarté.
5. 5.1 Le recourant se plaint d'une violation du droit à l'égalité. A ce propos, les premiers juges ont retenu que d'importants changements étaient intervenus dans le statut du personnel et des éducateurs au moment du rattachement à l'Etat des établissements Z._ en 2001, soit environ deux ans avant l'engagement du recourant. Certains fonctionnaires, engagés sous l'ancien régime, ont bénéficié d'une formation en cours d'emploi prise en charge par l'Etat. Le recourant ne se trouvait toutefois pas dans une même situation, puisqu'il avait été engagé en 2003. Les cas de trois fonctionnaires (P._, D._ et S._) pouvaient en revanche être comparés à la situation du recourant. Tous trois ont été engagés après le 1er janvier 2001 comme éducateurs non formés, à la condition qu'ils achèvent la formation requise, sans que celle-ci fût prise en charge par l'employeur.
5.2 Le recourant soutient que la situation des trois personnes susmentionnées n'est pas comparable à la sienne, car celles-ci ont été nommées fonctionnaires après leur formation. La différence résiderait dans le fait qu'il peut quant à lui se prévaloir de son statut de fonctionnaire pour exiger la poursuite d'un plein traitement pendant sa formation. Le recourant invoque d'autre part le cas de O._. Celui-ci a accompli une formation de base, exigée pour le poste, entre septembre 2006 et juillet 2008, sans réduction de traitement. Comme lui, il a été nommé fonctionnaire avant sa formation. Le recourant estime se trouver dans une situation comparable.
5.3 Comme l'expose toutefois l'intimé et comme cela ressort d'ailleurs également des constatations du jugement attaqué, la situation de O._ est différente de celle du recourant. Ce fonctionnaire a été engagé en 2001 pour exercer une activité de surveillant, à une époque où le brevet fédéral n'était pas encore exigé pour la fonction de surveillant, à la différence des candidats à la fonction d'éducateur pour lesquels la formation dispensée à l'Institut A._ était indispensable. Au demeurant, les deux formations ne sont pas les mêmes. La formation d'agent implique sept modules de deux semaines sur une période de deux ans (et non, comme en l'espèce, une formation sur quatre ans, à raison de deux jours de cours par semaine). Enfin, O._ travaillait à 80 % avant de débuter sa formation. Les deux situations ne sont donc pas semblables. Quant au fait que le recourant a été nommé fonctionnaire avant d'entamer ses études, il n'apparaît pas déterminant au point qu'il justifierait une différence de traitement par rapport aux trois fonctionnaires susmentionnés, qui, comme lui, ont été engagés après le 1er janvier 2001 et ont suivi le même cursus.
6. De ce qui précède, il résulte que le recours est mal fondé. Succombant, le recourant supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève.
Lucerne, le 28 janvier 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Le Greffier:
Leuzinger Beauverd