Faits:
A. P._ a travaillé en qualité de manoeuvre. Il bénéficie d'une rente d'invalidité de la CNA fondée sur une perte de gain de 23 %, consécutive à un accident de la circulation survenu le 2 juillet 2003.
Le 2 juin 2004, l'assuré s'est annoncé à l'assurance-invalidité en invoquant des atteintes aux coude et genou gauches liées à l'accident. L'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a confié un mandat d'expertise au docteur A._, spécialiste en chirurgie orthopédique. Dans son rapport du 4 avril 2008, ce médecin a attesté que l'assuré ne pouvait plus exercer son ancienne profession, mais qu'il conservait une capacité de travail de 90 % dans une activité adaptée à son handicap.
Par décision du 14 août 2008, l'office AI a alloué à l'assuré une rente entière d'invalidité du 1er mai au 31 août 2005, fondée sur un taux d'invalidité de 100 %. Cette prestation a été accordée pour une durée limitée, car l'assuré avait recouvré une capacité de travail entière dans une activité adaptée à plein temps depuis le 11 mai 2005 et le degré d'invalidité s'élevait désormais à 12 %.
B. P._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant principalement au maintien de la rente au-delà du 31 août 2005. Il a produit une expertise du docteur B._, spécialiste en médecine physique et rééducation (rapport du 6 octobre 2008), trois certificats du docteur M._, médecin traitant (14 décembre 2006, 16 février et 22 mai 2007), une lettre de l'Office cantonal de l'emploi (du 20 avril 2007), un avis de sortie de la Clinique X._ (du 16 février 2005), ainsi qu'une note de la CNA (du 3 juin 2005).
La juridiction cantonale l'a débouté par jugement du 8 septembre 2009.
C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour compléter l'instruction quant à la question de sa capacité de travail effective.
L'intimé conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à des prestations de l'assurance-invalidité, plus particulièrement à ce stade sur la mise en oeuvre d'un complément d'instruction destiné à fixer l'étendue de sa capacité de travail.
La juridiction cantonale a exposé correctement les règles applicables à la solution du litige, si bien qu'il suffit de renvoyer au jugement attaqué.
2. Le recourant reproche aux juges cantonaux d'avoir violé le droit fédéral lors de l'appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA). D'une part, il estime que la juridiction cantonale a ignoré à tort l'avis du docteur M._, médecin traitant, ainsi que celui du docteur B._ qu'il avait mandaté en qualité d'expert en procédure cantonale de recours; d'autre part, il soutient que le rapport d'expertise du docteur A._, recueilli par l'intimé, est contradictoire. Le recourant estime que les premiers juges auraient dû entendre les docteurs M._ et B._ afin d'élucider la question de la capacité de travail, d'autant - allègue-t-il - que les avis des trois médecins prénommés divergeaient considérablement sur ce point central (0 % pour le docteur M._, de 0 à 50 % selon le docteur B._, 90 % d'après le docteur A._).
Par ailleurs, le recourant soutient que l'intimé aurait dû tenir compte du fait que l'Office cantonal de l'emploi l'avait déclaré inapte au placement.
3. Contrairement au point de vue que défend le recourant, les premiers juges n'avaient aucune obligation, fondée sur l'art. 61 let. c LPGA, d'inviter les médecins à s'expliquer sur la portée des attestations ou rapports qu'ils avaient rédigés. Pareille mesure était superflue, à la lecture des certificats du docteur M._ (notamment celui du 22 mai 2007), car ils ne constituent que de simples attestations, non motivées, qui ne remplissent de toute manière pas les conditions auxquelles la jurisprudence soumet la force probante de rapports médicaux (cf. ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352).
En ce qui concerne le rapport du docteur B._ du 6 octobre 2008, le jugement attaqué retient certes à tort qu'il émane du psychiatre traitant du recourant, alors que ce médecin est spécialiste en médecine physique et rééducation. Nonobstant cette erreur, le recourant ne démontre pas, au moyen d'une argumentation précise et détaillée, en quoi les premiers juges auraient violé le droit fédéral en se distançant de l'avis du docteur B._ lorsqu'ils ont déterminé l'étendue de la capacité de travail dans une activité adaptée. On observera d'ailleurs que ce médecin n'avait pas fixé la capacité de travail de 0 à 50 %, comme le recourant le prétend à tort, mais qu'il avait fait état d'une baisse de rendement de 50 % au maximum dans une activité adaptée (réponses en p. 4 aux questions de Me Baier du 5 septembre 2008), ce qui est bien entendu fort différent.
Le recourant donne ensuite une interprétation du rapport du docteur A._ du 4 avril 2008 que l'on ne saurait suivre. En effet, l'expert n'a pas attesté simultanément (et donc de façon contradictoire) que le degré de l'incapacité de travail serait demeuré inchangé depuis juillet 2003, passant néanmoins de 0 % à 90 %. Le docteur A._ s'est clairement exprimé sur des activités différentes (rapport, pp. 12-13), distinguant celles qui ne sont plus exigibles en raison des atteintes à la santé (voir le paragraphe B) de celles qui sont adaptées et pour lesquelles la capacité de travail du recourant est de 90 % (paragraphe C), ce que le recourant semble n'avoir pas saisi.
4. Quant au moyen tiré d'un manque de coordination entre l'assurance-chômage et l'assurance-invalidité (art. 15 al. 2 LACI), il n'est d'aucun secours au recourant. Ces deux assurances sociales n'ont pas un caractère complémentaire réciproque et tiennent compte de critères différents (notamment l'incapacité de travail pour l'AI, l'aptitude au placement pour l'assurance chômage). Un assuré peut dès lors être inapte au placement du point de vue de la législation sur l'assurance-chômage et se voir nier le droit à l'indemnité, même si son incapacité de travail est trop faible pour ouvrir un droit à une rente d'invalidité (voir par ex. DTA 1999 n° 19 p. 104 consid. 2 et 3; arrêt C 282/05 du 3 mars 2006 consid. 2.3).
5. En résumé, le recourant n'a ni démontré ni même rendu plausible que l'étendue de la capacité de travail dans une activité adaptée (90 %) aurait établie de façon erronée, ou au mépris de règles de droit essentielles. La décision de l'office intimé s'inscrit d'ailleurs en harmonie avec les conclusions du médecin d'arrondissement de la CNA qui admettait, en se référant à un rapport du 11 mai 2005, que le recourant pourrait travailler à plein temps dans un emploi adapté (note du 3 juin 2005).
Quant à l'évaluation de l'invalidité proprement dite (art. 28 LAI), elle n'est pas sujette à discussion.
Il s'ensuit que le recours est mal fondé.
6. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais de justice, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, Chambre 1, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 juin 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud