Faits:
A. Le 8 décembre 2008, E._ a été victime d'une agression au moment de la fermeture du magasin dont elle était la gérante. Allianz Suisse Société d'assurances SA (ci-après: Allianz) a pris en charge le cas en sa qualité d'assureur-accidents obligatoire.
Le 3 février 2009, l'assurée a conclu un mandat de représentation par lequel elle a chargé l'entreprise C._, représentée par H._, de la représenter et de défendre ses intérêts. Par courrier du 19 mai 2009, auquel était jointe cette procuration, le prénommé a demandé à Allianz d'attester par écrit que les prestations allouées à sa mandante constituaient des indemnités versées en faveur d'une victime d'agression. Cette attestation avait pour but d'obtenir l'annulation de la saisie effectuée par l'Office des poursuites de Neuchâtel sur une partie des prestations allouées. Après avoir fait parvenir son décompte de prestations à l'Office des poursuites, Allianz a informé le mandataire de l'assurée qu'elle ne pouvait donner suite à sa demande étant donné que les indemnités journalières allouées étaient destinées à compenser la perte de gain subie et ne constituaient pas une indemnité pour tort moral ni une autre prestation insaisissable au sens de la LP.
Après avoir confié une expertise pluridisciplinaire au Centre X._ (rapport du 8 juillet 2009), Allianz a adressé à l'assurée personnellement un courrier intitulé "droit d'être entendu", par lequel elle a fixé la reprise du travail à 50% dès le 3 août 2009 et à 100% à partir du 1er septembre suivant. L'intéressée ne s'est pas déterminée sur ce mode de résolution du cas.
Par décision du 28 août 2009, adressée personnellement à l'assurée, Allianz a supprimé son droit à l'indemnité journalière à compter du 1er octobre 2009.
Le 8 septembre 2009, la doctoresse A._, médecin consultant à l'Hôpital Y._, a adressé à Allianz un rapport de consultation de rhumatologie dans lequel elle proposait une reprise de l'activité à 20% dès le 1er octobre 2009, en indiquant que ce taux pourrait être augmenté par la suite en fonction de la tolérance et de l'évolution clinique. De son côté, le docteur B._, médecin assistant au Centre de psychiatrie Z._, a informé le médecin-conseil d'Allianz que l'assurée n'était pas apte à reprendre le travail au mois d'octobre 2009 et qu'une reprise à 20% n'était envisageable qu'à partir du 1er novembre suivant (rapport du 18 septembre 2009).
Lors d'un entretien téléphonique, le 16 octobre 2009, E._ a fait part à Allianz de son étonnement au sujet d'un courrier du 9 octobre précédent par lequel l'assureur-accidents avait indiqué que la décision du 28 août 2009 était devenue définitive et exécutoire.
Le 26 octobre 2009, H._ a sollicité une nouvelle notification de la décision du 28 août 2009 en faisant valoir que sa mandate n'avait pas pu réagir à cette décision en raison d'un état psychologique désastreux et que, partant, la première notification était entachée d'un vice de forme. Par courrier du 29 octobre 2009, Allianz a indiqué ne pas avoir été informée du fait que le mandat de représentation concernait également la procédure relative à l'assurance-accidents et que, partant, la décision avait été valablement notifiée à l'assurée personnellement.
Après un échange de correspondances au cours duquel le nouveau mandataire de l'intéressée a réitéré l'opposition à la décision du 28 août 2009 (courrier du 2 mars 2010), Allianz a rendu une décision sur opposition, le 22 mars 2010, par laquelle elle a déclaré irrecevables en tant qu'oppositions les interventions des docteurs A._ et B._ et rejeté "du fait de leur irrecevabilité" les diverses oppositions formées par l'assurée et son mandataire. Elle a considéré que la décision du 28 août 2009 avait été valablement notifiée.
B. Saisie d'un recours contre cette décision sur opposition, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et Canton de Neuchâtel l'a rejeté par jugement du 8 février 2012.
C. E._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, ainsi que celle de la décision sur opposition du 22 mars 2010, sous suite de frais et dépens. Principalement, elle conclut à ce que soit constatée la nullité de la décision du 28 août 2009 et rendue une nouvelle décision relative à son droit à prestations après le 30 septembre 2009. Subsidiairement, elle conclut à ce qu'il soit ordonné à l'intimée de statuer sur son opposition valablement formée contre la décision de suppression du droit à l'indemnité journalière du 28 août 2009. La recourante sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. La juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 22 mars 2010, à considérer sa décision du 28 août 2009 comme étant entrée en force et à refuser de statuer sur les différentes objections de l'assurée, auxquelles elle a nié le caractère d'opposition formée en temps utile.
Le Tribunal fédéral est lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF en relation avec l'art. 105 al. 3 LTF), sous réserve des éventualités prévues à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut dès lors critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire.
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62).
3. Avant tout, il convient d'examiner si la décision de suppression de l'indemnité journalière du 28 août 2009 a été correctement notifiée à sa destinataire, ce que celle-ci conteste.
3.1 Selon l'art. 37 LPGA, une partie peut, en tout temps, se faire représenter, à moins qu'elle ne doive agir personnellement, ou se faire assister, pour autant que l'urgence d'une enquête ne l'exclue pas (al. 1). Tant que la partie ne révoque pas la procuration, l'assureur adresse ses communications au mandataire (al. 3). Il s'agit là d'un principe général du droit des assurances sociales, commandé par la sécurité du droit, qui établit une règle claire quant à la notification, déterminante pour le calcul du délai de recours (ATF 99 V 177 consid. 3 p. 182; SVR 2009 UV n° 16 p. 62, 8C_210/2008; RAMA 1997 n° U 288 p. 442, U 263/96, consid. 2b). Lorsqu'il reçoit personnellement une communication de l'assureur social, l'assuré représenté est en droit de penser que celle-ci est aussi parvenue à son représentant et qu'il peut s'abstenir d'agir personnellement (UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2ème éd. 2009, n. 14 ad art. 37).
La notification irrégulière d'une décision ne doit entraîner aucun préjudice pour l'intéressé (art. 49 al. 3, 3ème phrase, LPGA). Cependant, la jurisprudence n'attache pas nécessairement la nullité à l'existence de vices dans la notification. La protection des parties est suffisamment garantie lorsque la notification irrégulière atteint son but malgré cette irrégularité. Il convient à cet égard de s'en tenir aux règles de la bonne foi qui imposent une limite à l'invocation du vice de forme. Ainsi l'intéressé doit agir dans un délai raisonnable dès qu'il a connaissance, de quelque manière que ce soit, de la décision qu'il entend contester (ATF 122 I 97 consid. 3a/aa p. 99; 111 V 149 consid. 4c p. 150 et les références; RAMA 1997 n°U 288 p. 442, U 263/96, consid. 2b/bb). Cela signifie notamment qu'une décision, fût-elle notifiée de manière irrégulière, peut entrer en force si elle n'est pas déférée au juge dans un délai raisonnable (SJ 2000 I p. 118, 1P.485/1999). En vertu de son devoir de diligence, il appartient à la partie à qui la décision a été directement notifiée de se renseigner auprès de son mandataire - dont l'existence est connue de l'autorité - de la suite donnée à son affaire, au plus tard le dernier jour du délai de recours. Aussi, la jurisprudence considère-t-elle qu'il y a lieu de faire courir dès cette date le délai dans lequel une partie est tenue d'attaquer une décision qui n'a pas été notifiée à son représentant (DTA 2002 n° 9 p. 65, C 196/00, consid. 3a et la référence).
3.2 Dans sa décision sur opposition, Allianz a considéré que sa décision du 28 août 2009 avait été régulièrement notifiée en tant qu'elle avait été adressée à l'assurée personnellement. Selon l'intimée, bien que le mandat de représentation confié à C._ ne contînt aucune limitation matérielle, il fallait déduire des circonstances concrètes qu'il se limitait à diverses démarches liées à des problématiques financières et ne comprenait pas la gestion du cas d'assurance-accidents. Au titre de ces circonstances particulières, l'intimée a évoqué l'absence d'intervention de C._ entre le 3 février 2009 et le 19 mai suivant, ainsi que depuis cette date jusqu'au 29 octobre 2009, la teneur du courrier adressé à l'assureur-accidents le 19 mai 2009, ainsi que les déclarations et l'activité de l'assurée et, finalement, le fait que C._ n'a pas demandé à consulter le dossier d'assurance-accidents.
La juridiction cantonale a confirmé le point de vue de l'intimée quant à la régularité de la notification de la décision du 28 août 2009. Selon les premiers juges, même si le mandat de représentation était rédigé de façon très générale, on ne pouvait ignorer que C._ était intervenue dans une procédure indépendante, à savoir une saisie de salaire, et que ce problème avait été liquidé. En outre, le fait qu'après avoir confié le mandat de représentation, l'assurée avait toujours agi personnellement dans ses démarches envers l'intimée commandait une interprétation restrictive de la procuration.
3.3 Comme l'a retenu la juridiction cantonale, le mandat de représentation confié à C._ était rédigé de manière très générale. C'est pourquoi le seul fait que par son courrier du 19 mai 2009 adressé à Allianz, C._ requérait une attestation écrite afin d'obtenir l'annulation de la saisie de salaire effectuée par l'office des poursuites ne permet pas d'interpréter de manière restrictive la portée de cette procuration. En particulier, il n'est pas conforme à la situation de fait de limiter cette portée à la procédure en matière de poursuite, cela d'autant moins que la lettre du 19 mai 2009 avisait Allianz que le mandat de représentation s'étendait à diverses démarches administratives, termes qui englobent bien évidemment aussi une procédure en matière d'assurance-accidents obligatoire.
Par ailleurs, les premiers juges ont retenu qu'après la conclusion du mandat de représentation, l'intéressée avait toujours agi seule dans ses démarches avec Allianz et ils semblent inférer de ce fait une révocation de la procuration. Ce point de vue ne saurait être partagé. La représentation dans la procédure en matière d'assurances sociales, au sens de l'art. 37 LPGA, ne s'oppose pas à ce que l'assuré représenté adresse personnellement des communications à l'assureur (UELI KIESER, op. cit., n. 14 ad art. 37). Aussi de telles communications ne sauraient-elles être assimilées à une révocation de la procuration au sens de l'art. 37 al. 3 LPGA.
Sur le vu des faits établis par la juridiction cantonale, celle-ci ne pouvait dès lors pas retenir que la procuration avait une portée limitée à la procédure en matière de poursuite ni, en tout état de cause, que ladite procuration avait été révoquée par la mandante. Il suit de là que Allianz a adressé à tort à l'assurée personnellement sa décision du 28 août 2009. Aussi l'intéressée était-elle en droit de penser que ce prononcé était aussi parvenu à son représentant, de sorte qu'elle ne saurait subir un préjudice du fait qu'elle s'est abstenue d'agir personnellement. Comme son représentant a réagi à cette décision le 26 octobre 2009, soit dans le délai de 30 jours à compter du dernier jour du délai de recours, il y a lieu de considérer que l'assurée a satisfait à son devoir de diligence (cf. consid. 3.1). C'est pourquoi Allianz n'était pas en droit, par sa décision sur opposition du 22 mars 2010, de refuser d'entrer en matière sur les moyens soulevés le 26 octobre 2009 par le représentant de l'assurée contre la suppression de son droit à prestations. Il convient dès lors de renvoyer la cause à l'intimée pour qu'elle entre en matière et statue sur l'opposition valablement formée à sa décision du 28 août 2009. La conclusion subsidiaire du recours se révèle ainsi bien fondée.
4. La recourante, qui est représentée par un avocat, a droit à une indemnité de dépens pour la procédure fédérale (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Par ailleurs, l'intimée supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). La demande d'assistance judiciaire devient dès lors sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que la décision de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel du 8 février 2012 et la décision sur opposition de Allianz du 22 mars 2010 sont annulées. La cause est renvoyée à Allianz pour qu'elle rende une nouvelle décision sur opposition au sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Une indemnité de dépens de 2'800 fr. est allouée à la recourante à la charge de l'intimée pour la dernière instance.
4. La cause est renvoyée à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 5 avril 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
Le Greffier: Beauverd