Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 1. Oktober 2009 wies das Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, in einem Invalidenversicherungsverfahren das Gesuch der 1964 geborenen H._ um Sistierung des Verfahrens sowie um unentgeltliche Verbeiständung infolge Aussichtslosigkeit ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 26. Oktober 2009 lässt H._ dem Bundesgericht zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten folgende Begehren stellen:
"1. Die Verfügung des Instruktionsrichters, Herrn Verwaltungsrichter A._ vom 1. Oktober 2009 ist in vollem Umfange aufzuheben. Die Beschwerdesache ist entweder an die Vorinstanz oder an die Eidgenössische Invalidenversicherung, IV-Stelle Bern zur neuen Bearbeitung und zu neuem Entscheid zurückzuweisen.
2. In Zusammenarbeit mit der Beschwerdeführerin und ihrem Anwalt sind zu medizinischen Untersuchungen und zur Feststellung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit von Frau H._ unabhängige, fachkundige Sachverständige zu ernennen und es ist ihnen eine, mit dem Parteianwalt ausgearbeitete und zu vereinbarende Liste von Expertenfragen zur Beantwortung zu unterbreiten.
3. Das Verfahren ist einzustellen bis die bereits angeordnete Expertise des Herrn Dr. med. E._ der Beschwerdeführerin und ihrem Anwalt vorliegt und sie dazu Stellung nehmen können.
4. Der Beschwerdeführerin ist das Recht auf unentgeltliche Prozessführung/Rechtspflege vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung und den Sozialrechtlichen Abteilungen des Schweizerischen Bundesgerichts zuzuerkennen und der unterzeichnete Anwalt ist der Beschwerdeführerin als armenrechtlicher Anwalt beizuordnen.
alles unter Kostenfolge".
Das Bundesgericht hat auf die Einholung von Vernehmlassungen verzichtet.
Erwägungen:
1. Bei der Eingabe vom 26. Oktober 2009 sind die Voraussetzungen nach Art. 82 ff. BGG für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erfüllt. Sie ist deshalb als solche und nicht - wie von der Beschwerdeführerin auch bezeichnet - als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 BGG).
2. Vorweg ist festzuhalten, dass sich die von der Beschwerdeführerin im kantonalen wie im letztinstanzlichen Verfahren gestellten Gesuche um Sistierung des Verfahrens bis zum Vorliegen des Gutachtens von Dr. med. E._ als gegenstandslos erweisen, nachdem das Gutachten (vom 26. Oktober 2009) nunmehr ergangen und vom Rechtsvertreter der Versicherten dem Gericht mit Eingabe vom 2. November 2009 zugestellt worden ist.
3. Eine selbstständig eröffnete Verfügung, mit der im kantonalen Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung abgewiesen wird, stellt praxisgemäss einen Zwischenentscheid dar, welcher geeignet ist, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zu verursachen (SVR 2009 UV Nr. 12 S. 49, 8C_530/2008 E. 2). Auf die Beschwerde ist demnach mit Bezug auf diesen Punkt einzutreten.
3.1 Gemäss Art. 61 lit. f ATSG muss das Recht, sich verbeiständen zu lassen, im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht gewährleistet sein. Wo die Verhältnisse es rechtfertigen, wird der Beschwerde führenden Person ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt. In Fortschreibung der bisherigen Rechtsprechung (BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 mit Hinweisen) ist die unentgeltliche Verbeiständung dann zu gewähren, wenn der Prozess nicht aussichtslos, die Partei bedürftig und die Verbeiständung durch einen Anwalt notwendig oder doch geboten ist. Als aussichtslos sind Prozessbegehren nach konstanter Praxis anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135; 128 I 225 E. 2.5.3 S. 236 mit Hinweis).
3.2 Das kantonale Gericht hat in Anwendung der vorerwähnten Rechtsprechung erwogen, dass die Beschwerde der Versicherten als aussichtslos zu bezeichnen sei, weil es sich bei den Einwendungen gegen Dr. med. E._ als oft für die IV tätiger Gutachter nicht um formelle Befangenheitsgründe handle, sondern um materielle Einwendungen, welche im Entscheid in der Sache zu behandeln seien (BGE 132 V 93 E. 6.5 S. 108; s.a. unveröffentlichtes Urteil 9C_199/2009 vom 9. Juni 2009); im Übrigen bestehe auch kein Anspruch der versicherten Personen, sich vorgängig zu den Gutachterfragen der Verwaltung zu äussern (BGE 133 V 446 E. 7 S. 447 ff.).
Diese vorinstanzlichen Erwägungen lassen sich entgegen der Meinung des beschwerdeführerischen Rechtsvertreters in keiner Weise be- anstanden. Bezüglich der von ihm erhobenen Einwendungen zur Frage der Aussichtslosigkeit bzw. der gegen die dieser Praxis zugrunde liegenden, « einzig auf monetären Erwägungen » beruhenden Überlegungen ist auf die konstante bundesgerichtliche Rechtsprechung zu verweisen (vgl. dazu vorstehende E. 3.1 in fine), von der abzugehen auch im vorliegenden Fall kein Anlass besteht. Zu einer abweichenden Betrachtungsweise geben die Vorbringen des beschwerdeführerischen Rechtsvertreters auch deshalb keinen Anlass, als die erwähnte Praxis vom Bundesgericht in verschiedenen, auch in neuester Zeit ergangenen Urteilen bestätigt worden ist (vgl. statt vieler Urteile K. vom 22. Oktober 2009, 8C_716/2009, B. vom 28. Mai 2009, 9C_286/2009, T. vom 11. Dezember 2008, 1B_296/2008 und B. vom 2. September 2008, 4A_336/2008) und die für eine Änderung der Rechtsprechung erforderlichen Voraussetzungen nicht gegeben sind (BGE 134 V 72 E. 3.3 S. 76 mit Hinweisen). Zudem entsprechen die vorinstanzlichen Erwägungen in der Sache vollumfänglich der Rechtsprechung des Bundesgerichts zur Anordnung von Begutachtungen, wonach - auch die Dr. med. E._ betreffenden (unveröffentlichtes Urteil G. vom 12. September 2006, I 369/06) - Einwendungen materieller Natur im Rahmen der Beweiswürdigung zu prüfen und bei der Beurteilung des streitigen Rechtsanspruchs zu berücksichtigen sind. Wenn die Vorinstanz bei diesen Gegebenheiten das von der Beschwerdeführerin eingeleitete Rechtsmittelverfahren unter zutreffender Berücksichtigung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung als aussichtlos bezeichnete, gibt das zu keiner Beanstandung Anlass. Ohne dass von einer in der Beschwerde u.a. geltend gemachten « Rechtsverzögerung » bzw. « Rechtsverweigerung » durch die Vorinstanz oder einer « willkürlichen » resp. « absurden » Praxis auch nur ansatzweise die Rede sein kann, muss es daher bei der Feststellung sein Bewenden haben, dass die Verneinung der unentgeltlichen Verbeiständung in der angefochtenen Verfügung des kantonalen Gerichts zu Recht erfolgt ist.
4. Soweit die Beschwerdeführerin im Verfahren vor Bundesgericht die Erstellung einer in Zusammenarbeit mit ihr und ihrem Rechtsvertreter auszuarbeitenden Liste von Expertenfragen bzw. eine Ernennung von medizinischen resp. fachkundigen Sachverständigen (vgl. Rechtsbegehren Ziff. 2) beantragt, kann darauf nicht eingetreten werden, weil diese Fragen im vorliegenden Prozess nicht Verfahrensgegenstand sind (vgl. BGE 132 V 74 E. 1.1 S. 76 mit Hinweis).
5. Die Beschwerde wird im Verfahren nach Art. 109 BGG - ohne Durchführung des Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Verweis auf die angefochtene Verfügung des kantonalen Gerichts (Art. 102 Abs. 1 und 109 Abs. 3 BGG) - erledigt.
6. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird, soweit darauf einzutreten ist und soweit nicht gegenstandslos geworden, abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. November 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz