Sachverhalt:
A. X._, 1968 geboren und aus dem Kosovo stammend, kam Ende Mai 1995 in die Schweiz und stellte hier ein Asylgesuch. Am 15. September 1995 verheiratete er sich mit der 1962 geborenen Schweizer Bürgerin Y._. Gestützt auf den Eheschluss erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Zürich. Das Asylgesuch wurde infolge Rückzugs abgeschrieben.
B. Am 19. April 2001 stellte X._ ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung.
Die Eheleute unterzeichneten am 19. Juli 2002 die gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten und stabilen ehelichen Gemeinschaft zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Sie nahmen davon Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich sei, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens die Trennung oder Scheidung beantragt werde und die eheliche Gemeinschaft nicht mehr bestehe, und dass die Verheimlichung solcher Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen könne.
Am 20. August 2002 wurde X._ erleichtert eingebürgert und erhielt das Schweizerbürgerrecht und die Bürgerrechte des Kantons Thurgau und der Gemeinde Neunforn.
C. Mit einem gemeinsamen Begehren gelangten die Eheleute am 13. Mai 2003 an den zuständigen Zivilrichter und ersuchten um Ehescheidung. Mit Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 8. September 2003 wurde die Ehe geschieden.
X._ schloss am 4. Mai 2004 die Ehe mit einer 1978 geborenen Frau aus seinem Kulturkreis. Am 1. Februar 2005, 11. November 2006 und 26. August 2008 kamen gemeinsame Kinder zur Welt.
D. Das Bundesamt für Migration (BFM, Bundesamt) eröffnete ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung. X._ äusserte sich mit diversen Stellungnahmen. Das Bundesamt zog die Akten des Scheidungsverfahrens bei und liess die geschiedene Ehefrau einvernehmen.
Der Kanton Thurgau erteilte am 31. Juli 2007 seine Zustimmung zur Nichtigerklärung der Einbürgerung.
Das Bundesamt für Migration erklärte am 17. August 2007 die erleichterte Einbürgerung für nichtig. Die Nichtigkeit erstreckt sich auf alle Familienmitglieder, deren Schweizer Bürgerrecht auf der nichtig erklärten Einbürgerung beruht.
E. X._ gelangte an das Bundesverwaltungsgericht, welches dessen Beschwerde am 13. April 2010 abwies.
F. Gegen diesen Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts hat X._ beim Bundesgericht am 17. Mai 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheids, eventualiter die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zu neuer Beurteilung.
Das Bundesverwaltungsgericht beantragt mit Vernehmlassung vom 28. Mai 2010 die Abweisung der Beschwerde. Den gleichen Antrag stellt das Bundesamt unter Hinweis auf seine Verfügung vom 17. August 2007.
Der Beschwerdeführer hat sich in einer weitern Eingabe vom 24. August 2010 zur Frage geäussert, ob er und seine Kinder im Falle der Nichtigerklärung der Einbürgerung staatenlos würden.
G. Mit Verfügung vom 8. Juni 2010 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung beigelegt worden.
Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG), betrifft die Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung gestützt auf Art. 27 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0) und somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG. Die Ausnahme der ordentlichen Einbürgerung gemäss Art. 83 lit. b BGG erstreckt sich nicht auf die Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung (nicht publizierte E. 1 von BGE 135 II 161). Der Beschwerdeführer hat sich am Verfahren vor der Vorinstanz beteiligt und ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde kann eingetreten werden.
2. Die Rechtsprechung hat die Voraussetzungen für den erleichterten Erwerb des Schweizer Bürgerrechts und für die Nichtigerklärung eines solchen Erwerbs sowie die beweisrechtlichen Anforderungen für den Nachweis einer Erschleichung des Bürgerrechts in allgemeiner Weise umschrieben (vgl. zum Ganzen BGE 135 II 161 E. 2 und 3 S. 164 mit Hinweisen). Das Bundesverwaltungsgericht ist zutreffend von diesen Umschreibungen ausgegangen.
Gemäss Art. 27 Abs. 1 BüG kann ein Ausländer nach der Eheschliessung mit einer Schweizer Bürgerin ein Gesuch um erleichterte Einbürgerung stellen, wenn er insgesamt fünf Jahre in der Schweiz gewohnt hat, seit einem Jahr hier wohnt und seit drei Jahren in ehelicher Gemeinschaft mit der Schweizer Bürgerin lebt. Das Bundesgericht geht davon aus, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG nicht nur das formelle Bestehen einer Ehe, sondern das Vorliegen einer tatsächlichen Lebensgemeinschaft voraussetzt. Eine solche Gemeinschaft kann nur bejaht werden, wenn der gemeinsame Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft intakt ist (BGE 130 II 169 E. 2.3.1). Gemäss konstanter Praxis muss sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch im Zeitpunkt des Einbürgerungsentscheids eine tatsächliche Lebensgemeinschaft bestehen, die Gewähr für die Stabilität der Ehe bietet. Zweifel bezüglich eines solchen Willens sind angebracht, wenn kurze Zeit nach der erleichterten Einbürgerung die Trennung erfolgt oder die Scheidung eingeleitet wird. Der Gesetzgeber wollte dem ausländischen Ehegatten einer Schweizer Bürgerin die erleichterte Einbürgerung ermöglichen, um die Einheit des Bürgerrechts der Ehegatten im Hinblick auf ihre gemeinsame Zukunft zu fördern (BGE 130 II 482 E. 2 S. 484).
Nach Art. 41 Abs. 1 BüG kann die Einbürgerung vom Bundesamt mit Zustimmung der Behörde des Heimatkantons innert fünf Jahren nichtig erklärt werden, wenn sie durch falsche Angaben oder Verheimlichung erheblicher Tatsachen erschlichen worden ist. Das blosse Fehlen der Einbürgerungsvoraussetzungen genügt daher nicht. Die Nichtigerklärung der Einbürgerung setzt vielmehr voraus, dass diese "erschlichen", das heisst mit einem unlauteren und täuschenden Verhalten erwirkt worden ist (BGE 132 II 113 E. 3.1 S. 115). Arglist im Sinne des strafrechtlichen Betrugstatbestands ist nicht erforderlich. Immerhin ist notwendig, dass der Betroffene bewusst falsche Angaben macht bzw. die Behörde bewusst in einem falschen Glauben lässt und so den Vorwurf auf sich zieht, es unterlassen zu haben, die Behörde über eine erhebliche Tatsache zu informieren (BGE 132 II 113 E. 3.1 S. 115).
In verfahrensrechtlicher Hinsicht richtet sich die erleichterte Einbürgerung nach den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021). Danach gilt der Untersuchungsgrundsatz, wonach die Behörde den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen hat (Art. 12 VwVG). Bei der Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung ist deshalb von der Behörde zu untersuchen, ob die Ehe im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung tatsächlich gelebt wurde. Da es dabei im Wesentlichen um innere Vorgänge geht, die der Verwaltung oft nicht bekannt und schwierig zu beweisen sind, darf sie von bekannten Tatsachen (Vermutungsbasis) auf unbekannte (Vermutungsfolge) schliessen. Es handelt sich dabei um Wahrscheinlichkeitsfolgerungen, die aufgrund der Lebenserfahrung gezogen werden (BGE 130 II 482 E. 3.2 S. 485 f.). Der Betroffene ist bei der Sachverhaltsabklärung mitwirkungspflichtig (BGE 130 II 482 E. 3.2 S. 486).
Die tatsächliche Vermutung betrifft die Beweiswürdigung und bewirkt keine Umkehrung der Beweislast (BGE 130 II 482 E. 3.2 S. 486). Der Betroffene muss nicht den Beweis des Gegenteils erbringen. Vielmehr genügt der Nachweis von Zweifeln an der Richtigkeit der Indizien und der daraus gezogenen Schlussfolgerung (vgl. dazu allgemein OSCAR Vogel/Karl Spühler/Myriam Gehri, Grundriss des Zivilprozessrechts, 8. Aufl. 2006, S. 263, Rz. 51; FRITZ GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 283 f.). Dem Gesagten zufolge liegt die Beweislast dafür, dass eine eheliche Gemeinschaft im Sinne von Art. 27 BüG im massgeblichen Zeitpunkt der Gesuchseinreichung und der Einbürgerung nicht oder nicht mehr besteht, bei der Verwaltung. Es genügt deshalb, dass der Betroffene einen oder mehrere Gründe angibt, die es plausibel erscheinen lassen, dass er im Zeitpunkt seiner Erklärung mit der Schweizer Ehepartnerin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft lebte und dass er diesbezüglich nicht gelogen hat. Ein solcher Grund kann entweder ein ausserordentliches Ereignis sein, das zum raschen Zerfall des Willens zur ehelichen Gemeinschaft im Anschluss an die Einbürgerung führte, oder der Betroffene kann darlegen, aus welchem Grund er die Schwere der ehelichen Probleme nicht erkannte und im Zeitpunkt, als sie die Erklärung unterzeichnete, den wirklichen Willen hatte, mit der Schweizer Ehepartnerin auch weiterhin in einer stabilen ehelichen Gemeinschaft zu leben (Bundesgerichtsurteile 5A.22/2006 vom 13. Juli 2006 E. 2.3; 5A.18/2006 vom 28. Juni 2006 E. 2.3).
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Ehe sei im Zeitpunkt der Erklärung vom 19. Juli 2002 intakt gewesen. Dies habe Y._ mündlich und schriftlich bestätigt. Die ehelichen Schwierigkeiten seien erst nach 2002 aufgetreten und hätten zum Scheitern der Ehe geführt. Die Eheleute hätten sich über den Kinderwunsch nicht einigen können; der Beschwerdeführer hätte gerne Kinder gehabt, die Ehefrau indes nicht. So seien sie übereingekommen, sich im Guten zu trennen und scheiden zu lassen. Im Übrigen könne nicht auf ein Schreiben der Schwiegermutter abgestellt werden.
3.1 Vorerst ist festzuhalten, dass ein Schreiben der Mutter von Y._ aus dem Jahre 2003 den Verdacht enthielt, der Beschwerdeführer habe im Kosovo eine Ehefrau und drei Kinder. Dieses Schreiben ist anfangs 2009 gegenüber dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers widerrufen worden. Wie es sich damit verhält, braucht nicht geprüft zu werden. Das Bundesverwaltungsgericht hat nicht darauf abgestellt.
3.2 Für die Beurteilung der vorliegenden Beschwerde braucht nicht geklärt zu werden, ob der Beschwerdeführer im Jahre 1995 mit Y._ eine Scheinehe eingegangen sei. Massgeblich ist vielmehr, ob zum Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung vom 19. Juli 2002 und der Einbürgerung vom 20. August 2002 die Ehe noch im Sinne der obenstehenden Erwägungen intakt gewesen ist.
3.3 Die zeitliche Abfolge der massgeblichen Ereignisse zeigt Folgendes: Einreise des Beschwerdeführers in die Schweiz im Mai 1995; Eheschluss im September 1995; Rückzug des Asylgesuchs; Ersuchen um erleichterte Einbürgerung im April 2001; gemeinsame Erklärung im Juli 2002; Einbürgerung im August 2002; Unterzeichnung eines gemeinsamen Scheidungsbegehrens im Mai 2003; Scheidung im September 2003; erneuter Eheschluss mit einer jüngeren Frau aus dem eigenen Kulturkreis im Mai 2004; Geburt von drei Kindern in den Jahren 2005, 2006 und 2008.
Die zeitliche Abfolge zeigt, dass sich die Eheleute schon 9 Monate nach der Einbürgerung über eine Scheidung einig wurden, dass sie die Scheidung bereits in diesem Zeitpunkt tatsächlich einleiteten und dass sie nach weitern 4 Monaten geschieden wurden. Bei dieser Sachlage liegt die tatsächliche Vermutung auf der Hand, dass im massgeblichen Zeitpunkt im Sommer 2002 keine intakte Ehe und kein gemeinsamer Wille zu einer stabilen ehelichen Gemeinschaft (mehr) bestand.
3.4 Es ist deshalb zu prüfen, ob der Beschwerdeführer Gründe vorbringt, die es als plausibel erscheinen lassen, dass die Ehe im Zeitpunkt von Erklärung und Einbürgerung intakt gewesen sei und erst hernach ein ausserordentliches Ereignis zum Scheitern der ehelichen Gemeinschaft geführt habe.
Der Beschwerdeführer erblickt ein solches ausserordentliches Ereignis in folgendem Umstand begründet. Während der glücklichen Ehejahre von 1995 bis 2002 sei die Frage nach Kindern nicht wesentlich gewesen. Indes habe sie in den Monaten nach der Einbürgerung an Bedeutung gewonnen und schliesslich zum Scheitern der Ehegemeinschaft geführt. Dies belegten auch die mündlichen und schriftlichen Aussagen von Y._.
Das Bundesverwaltungsgericht hat im angefochtenen Entscheid ausgeführt, dass sich die Darstellung des Beschwerdeführers im Laufe der Zeit verändert habe und sich der Beschwerdeführer schliesslich die Vorbringen seiner geschiedenen Ehefrau zu eigen machte (Ziff. 6.3 S. 9). Diese erscheinen indes nicht glaubhaft, wie das Bundesverwaltungsgericht überzeugend dargelegt hat.
Es kann nicht in Frage gestellt werden, dass unterschiedliche Vorstellungen über Kinder und Familienplanung eine eheliche Gemeinschaft stark belasten und schliesslich zu deren Scheitern führen kann. Als zentrales Thema wird die Kinderfrage die Eheleute über längere Zeitspannen beschäftigen und ab einem gewissen Alter der Ehefrau besondere Bedeutung erlangen. Es ist indes im vorliegenden Fall nicht nachvollziehbar, dass die Kinderfrage die Eheleute vorerst während rund 7 Jahren nicht weiter beschäftigte, obwohl Y._ im Zeitpunkt des Eheschlusses bereits 33 Jahre alt war, und hernach unvermittelt eine derart grosse Bedeutung erlangte und innert 9 Monaten zum Scheitern und zur Scheidung der Ehe geführt hat. Das abrupte Ende deutet darauf hin, dass keinerlei Anstrengungen zur Aufrechterhaltung der angeblich erst noch intakt gewesenen Ehe unternommen worden sind.
Von diesen Gegebenheiten durfte das Bundesverwaltungsgericht ohne Bundesrechtsverletzung darauf schliessen, dass die Ehe des Beschwerdeführers im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung und der Einbürgerung nicht mehr intakt gewesen ist. Der Beschwerdeführer vermag nichts anzuführen, das diesen Schluss entkräften und das die Ernsthaftigkeit der bisherigen Ehe belegen könnte.
In Würdigung all dieser Umstände ist mit dem Bundesverwaltungsgericht davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer die Einbürgerung im Sinne der Rechtsprechung zum Bürgerrechtsgesetz erschli-chen hat. Damit erweist sich die Beschwerde im Hauptpunkt als unbegründet.
4. Das Bundesamt hielt in Ziff. 2 des Dispositivs fest, dass sich die Nichtigkeit gemäss Art. 41 Abs. 3 BüG auf alle Familienmitglieder erstreckt, deren Schweizer Bürgerrecht auf der nichtig erklärten Einbürgerung beruht. Dies betrifft insbesondere die Kinder des Beschwerdeführers. Das Bundesverwaltungsgericht fügte seiner Beurteilung in der Sache selbst an, dass Gründe weder ersichtlich noch geltend gemacht worden seien, welche es rechtfertigen würden, die Kinder von der Wirkung der Nichtigerklärung auszunehmen. Insbesondere könne nicht angenommen werden, dass den Kindern die Staatenlosigkeit drohe.
In der Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht hatte der Beschwerdeführer die Frage der Ausdehnung der Nichtigkeit auf seine Kinder nicht aufgegriffen. Zum ersten Mal bringt der Beschwerdeführer in der Beschwerde ans Bundesgericht vor, dass die Kinder gestützt auf die Verfassung von Kosovo staatenlos würden. In der Replik verweist er zusätzlich auf ein kosovarisches Gesetz.
In diesem Punkt kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Die Ausdehnung der Nichtigkeit der Einbürgerung auf die Kinder hätte von diesen selbständig und mit eigenständigem Antrag beim Bundesverwaltungsgericht angefochten werden müssen (vgl. BGE 135 II 161). Der Antrag ist im bundesgerichtlichen Verfahren neu. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nach Art. 99 Abs. 1 BGG vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. An dieser Voraussetzung fehlt es bei der gegebenen Prozesslage. Zudem setzt sich der Beschwerdeführer in seiner Replik mit den in der Vernehmlassung enthaltenen Ausführungen des Bundesverwaltungsgerichts nicht näher auseinander. Er vermag nicht nachzuweisen, dass den Kindern in Anbetracht der konkreten Gegebenheiten die Staatenlosigkeit droht. Er unterlässt es, die angerufenen Rechtsunterlagen vorzulegen. Überdies hält er es selber für möglich, dass die Kinder die kosovarische Staatsbürgerschaft mit Zustimmung der Eltern erlangen könnten.
5. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Oktober 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Steinmann