Faits:
A. A.X._ (ci-après: la contribuable ou la recourante) a exercé la profession de pédiatre indépendante à Genève jusqu'au 31 décembre 2003, date à laquelle elle a cessé son activité professionnelle. Son mari, B.X._, médecin indépendant lui aussi, est décédé le 16 septembre 2003.
Le 24 mai 2004, l'Administration fiscale cantonale genevoise a adressé à la contribuable un rappel, puis, le 1er octobre 2004, un rappel recommandé avant taxation d'office, afin qu'elle dépose sa déclaration fiscale 2003 pour la période de taxation postérieure au décès de son époux (du 17 septembre au 31 décembre 2003). Le 19 décembre 2004, A.X._ a requis de l'Administration fiscale cantonale qu'elle ne procède pas dans l'immédiat à une taxation d'office, au motif que sa fiduciaire peinait à terminer la déclaration d'impôt en temps voulu.
Le 7 juin 2005, l'Administration fiscale cantonale a notifié à A.X._ un bordereau de taxation d'office pour l'impôt cantonal et communal couvrant la période du 17 septembre au 31 décembre 2003, un bordereau de taxation d'office concernant l'impôt fédéral direct pour la même période et un bordereau d'amende fondé sur la loi cantonale sur la procédure administrative.
B. Le 10 juillet 2005, la fiduciaire Y._ SA a formé une réclamation pour le compte de la contribuable à l'encontre des deux bordereaux d'impôt du 7 juin 2005. Elle a fait valoir, en bref, que A.X._, marquée affectivement par le décès subit de son mari, n'avait pas pu réunir tous les documents utiles en vue d'établir une déclaration fiscale dans le délai fixé.
Le 12 octobre 2005, l'Administration fiscale cantonale a accordé à la contribuable un nouveau délai au 14 novembre 2005 pour déposer sa déclaration fiscale. Le 25 novembre 2005, elle a encore prolongé ce délai jusqu'au 16 décembre 2005.
Par deux décisions du 6 février 2006, rendues l'une pour l'impôt cantonal et communal ainsi que l'amende et l'autre pour l'impôt fédéral direct, l'Administration fiscale cantonale a "maintenu" les taxations d'office, sans entrer en matière sur le contenu de la réclamation.
A l'encontre de ces prononcés, A.X._ a adressé à la Commission cantonale de recours en matière d'impôts deux recours, qui ont été enregistrés sous des références distinctes, l'une concernant l'impôt cantonal et communal (A/764/2006) et l'autre l'impôt fédéral direct (A/765/2006).
Le 25 août 2006, le nouveau mandataire de A.X._ a transmis à l'Administration fiscale cantonale la déclaration fiscale 2003.
Par décision du 31 mars 2008 dans la cause A/764/2006, la Commission cantonale de recours en matière d'impôts a admis le recours, au motif que le fisc n'avait pas établi par pièce qu'il avait adressé, le 1er octobre 2004, un rappel recommandé à A.X._. Sur recours de l'Administration fiscale cantonale, le Tribunal administratif du canton de Genève a, par arrêt du 23 septembre 2008, annulé cette décision et renvoyé la cause à la Commission cantonale de recours en matière d'impôts pour qu'elle statue à nouveau, la preuve littérale en question ayant été rapportée.
Le 22 juin 2009, la Commission cantonale de recours en matière administrative (ci-après: la Commission cantonale de recours), qui a remplacé le 1er janvier 2009 la Commission cantonale de recours en matière d'impôts, a rejeté les recours interjetés par A.X._, après avoir joint les causes A/764/2006 et A/765/2006. Elle a retenu que le retard dans le dépôt de la déclaration d'impôt de la contribuable n'était pas excusable et que la taxation d'office était justifiée dans son principe. Elle a ensuite relevé que la réclamation ne comportait aucune pièce justificative de nature à établir l'inexactitude manifeste de la taxation d'office et que la contribuable n'avait pas non plus donné ultérieurement, à la suite des courriers des 12 octobre et 25 novembre 2005, les renseignements requis. C'était donc à bon droit que l'Administration fiscale cantonale avait maintenu sa taxation sans entrer en matière sur le fond de la réclamation. Il n'importait pas, au demeurant, que A.X._ ait finalement remis sa déclaration fiscale, car, selon la jurisprudence, un contribuable qui a manqué à son devoir de collaboration et a été taxé d'office ne doit pas pouvoir former une réclamation non motivée en attendant la procédure de recours pour faire valoir ses moyens.
A.X._ a déféré cette décision au Tribunal administratif du canton de Genève, devenu le 1er janvier 2011 la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice). Par arrêt du 1er mars 2011, rendu après avoir entendu les parties lors d'une audience de comparution personnelle, la Cour de justice a rejeté le recours. Elle a confirmé l'appréciation de la Commission cantonale de recours selon laquelle le retard dans le dépôt de la déclaration d'impôt de la contribuable n'était pas excusable et a considéré qu'en l'absence de tout élément relatif à la période fiscale 2003, le fisc était en droit de notifier des bordereaux de taxation d'office basés sur les éléments de revenu et de fortune des années précédentes.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de dépens, d'annuler l'arrêt du 1er mars 2011, de dire que les taxations d'office du 7 juin 2005 sont manifestement inexactes et arbitraires, d'annuler les bordereaux de taxation en question et d'inviter le Département des Finances du canton de Genève à en émettre de nouveaux. Elle dénonce une violation du droit fédéral, à savoir de l'art. 130 al. 2 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'impôt fédéral direct (LIFD; RS 642.11) et de l'art. 46 al. 3 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes (LHID; RS 642.14), ainsi qu'une violation du principe de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.).
L'autorité précédente s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Administration fiscale cantonale et l'Administration fédérale des contribution concluent, sous suite de frais, au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 L'arrêt attaqué concerne la taxation d'office de l'impôt fédéral direct et de l'impôt cantonal et communal de la période allant du 17 septembre au 31 décembre 2003. Comme ce domaine relève du droit public et qu'aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'est réalisée, la voie du recours en matière de droit public est ouverte en vertu de l'art. 82 let. a LTF. L'art. 146 LIFD confirme du reste l'existence de cette voie de droit pour l'impôt fédéral direct. S'agissant de l'impôt cantonal et communal, la réclamation contre une taxation d'office étant une matière harmonisée à l'art. 48 al. 2 LHID, la voie du recours en matière de droit public est donc aussi ouverte en vertu de l'art. 73 al. 1 LHID (cf. ATF 134 II 186 consid. 1.1 p. 188).
1.2 Le recours est dirigé contre une décision finale (cf. art. 90 LTF) rendue par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Déposé en temps utile (cf. art. 100 al. 1 LTF) par la recourante qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (cf. art. 89 al. 1 let. b et c LTF), il est en principe recevable.
2. Reprenant l'argumentation développée en procédure cantonale de recours, la recourante reproche à la Cour de justice d'avoir arbitrairement écarté les moyens qu'elle avait soulevés, à savoir que les taxations litigieuses ne résultaient pas d'une appréciation consciencieuse au sens des art. 130 al. 2 LIFD et 46 al. 3 LHID et qu'il était impossible d'établir un bordereau exact à la date fixée par l'Administration fiscale cantonale. Elle fait valoir, pour l'essentiel, que le fisc n'a pas tenu compte du fait que ses deux filles étaient également héritières de feu son mari et qu'il était arbitraire de l'imposer sur l'entier des revenus et de la fortune du couple. En outre, l'Administration fiscale cantonale, à qui il incombait de se renseigner auprès du Service des successions sur les quotes-parts de fortune et de revenu attribuées à chacune des héritières, ne pouvait pas procéder à une taxation d'office avant l'établissement du bordereau de la succession de feu B.X._ en date du 16 avril 2007.
I. Impôt fédéral direct
3. 3.1 La taxation d'office est opérée si, malgré sommation, le contribuable n'a pas satisfait à ses obligations (art. 130 al. 2 LIFD). Condition de la taxation d'office, la sommation mentionne les conséquences de l'inexécution de l'acte requis, à savoir le prononcé d'une taxation d'office assortie le cas échéant d'une amende pour violation des obligations de procédure (cf. Isabelle Althaus-Houriet, in Commentaire romand, Impôt fédéral direct, 2008, no 18 ad art. 130 LIFD; Hugo Casanova, in Commentaire romand, Impôt fédéral direct, op. cit., no 26 ad art. 132 LIFD).
A teneur de l'art. 132 al. 3 LIFD, le contribuable qui a été taxé d'office peut déposer une réclamation contre cette taxation uniquement pour le motif qu'elle est manifestement inexacte. La réclamation doit être motivée et indiquer, le cas échéant, les moyens de preuve. L'obligation de motiver la réclamation contre une taxation d'office est une exigence formelle dont la violation entraîne l'irrecevabilité (ATF 131 II 548 consid. 2.3 p. 551; 123 II 552 consid. 4c p. 557). Le contribuable ne peut se limiter à une contestation globale ou à une contestation partielle de positions uniques, car cela ne permet pas d'examiner d'emblée si la taxation d'office est manifestement inexacte (cf. arrêt 2A.39/2004 du 29 mars 2005 consid. 5.2, in Archives 75 p. 329, RF 60/2005 p. 520, RDAF 2005 II p. 564, StE B 95.1 no 9). Il doit en tout cas être possible de reconnaître ce que le réclamant conteste dans la décision attaquée, par exemple le principe de la taxation d'office ou le montant de l'estimation opérée, ainsi que les arguments pertinents en fait et en droit sur lesquels il s'appuie (Casanova, op. cit., no 23 ad art. 132 LIFD; Martin Zweifel/Hugo Casanova, Schweizerisches Steuerverfahrensrecht, 2008, § 20 no 20). Ainsi, le contribuable ne doit pas se contenter de mettre en doute la taxation d'office, mais doit prouver que celle-ci ne correspond pas à la situation réelle. Si la production de la déclaration d'impôt non déposée n'est pas une condition de recevabilité de la réclamation (cf. arrêt 2C_579/2008 du 29 avril 2009 consid. 2.2, in StE 2009 B. 95.1 no 14, RF 64/2009 p. 659), il appartient toutefois au réclamant de présenter les faits de manière suffisamment détaillée et de mentionner les moyens de preuve y relatifs (arrêt précité consid. 2.1).
3.2 En l'espèce, l'ancien mandataire de la recourante a, dans sa réclamation du 10 juillet 2005, non seulement renoncé à produire une déclaration d'impôt dûment remplie pour la période fiscale 2003, mais n'a pas non plus présenté un état de fait qui aurait permis de constater que la taxation d'office était manifestement inexacte. Il s'est en effet contenté d'alléguer que les montants retenus s'écartaient sensiblement de la situation réelle de sa mandante et que celle-ci, frappée par le décès subit de son époux, n'avait pas pu réunir les documents utiles à l'établissement dans les délais d'une déclaration fiscale. Ayant dû procéder simultanément à la liquidation du cabinet médical de son mari et du sien, elle venait de lui remettre le solde des documents 2003 lui permettant de motiver la réclamation, documents qu'il ferait parvenir à l'autorité fiscale par un prochain courrier afin de lui permettre de statuer. Or, en dépit de deux délais supplémentaires accordés par l'Administration fiscale cantonale, fixés successivement au 14 novembre, puis au 16 décembre 2005, la recourante n'a pas donné suite à sa déclaration d'intention de motiver la réclamation. Ce n'est, en effet, que le 25 août 2006, alors que les décisions sur réclamation avaient fait l'objet d'un recours auprès de la Commission cantonale de recours en matière d'impôts, que la recourante s'est manifestée, par l'envoi de la déclaration fiscale 2003.
Force est donc de constater que la réclamation ne remplissait pas les exigences de motivation posées par la loi et la jurisprudence. Au vu du caractère particulièrement sommaire de celle-ci, qui ne contenait aucun état de fait et encore moins d'offres de preuves, l'Administration fiscale cantonale était fondée à ne pas entrer en matière. D'un point de vue terminologique, on peut tout au plus déplorer qu'elle se soit servie de la formule ambigüe selon laquelle elle décidait de maintenir la taxation, au lieu de déclarer la réclamation irrecevable, ce d'autant que, sur le plan matériel, elle a rendu des décisions d'irrecevabilité.
Du moment que c'est à juste titre que l'Administration fiscale cantonale n'est pas entrée en matière sur la réclamation, il n'y a pas lieu d'examiner en procédure de recours les critiques formulées par la recourante à l'encontre de la taxation d'office. Procéder à un tel examen reviendrait à admettre que, même en présence d'une réclamation irrecevable, un contribuable serait légitimé à faire la démonstration, devant les instances supérieures, du caractère manifestement inexact de la taxation d'office. Une telle pratique aurait pour effet de vider de leur sens les exigences formelles de l'art. 132 al. 3 LIFD, dès lors que le contribuable qui, après avoir manqué à son devoir de collaboration et avoir été taxé d'office, a formé une réclamation non motivée, pourrait échapper aux conséquences prévues par la loi (ATF 123 II 552 consid. 4e p. 558 s.).
Il s'ensuit que les premiers juges pouvaient, sans violer le droit fédéral, confirmer le refus d'entrer en matière de l'Administration fiscale cantonale. Le recours doit dès lors être rejeté en tant qu'il porte sur l'impôt fédéral direct.
II. Impôt cantonal et communal
4. Aux termes de l'art. 48 al. 2 LHID, le contribuable qui a été taxé d'office peut déposer une réclamation contre cette taxation uniquement pour le motif qu'elle est manifestement inexacte. La réclamation doit être motivée et indiquer, le cas échéant, les moyens de preuve. L'art. 39 al. 2 de la loi genevoise de procédure fiscale du 4 octobre 2001 (LPFisc; RS/GE D 3 17) a la même teneur.
Cette réglementation ne diffère pas de celle applicable en matière d'impôt fédéral direct et la recourante ne distingue pas non plus les griefs qu'elle présente en relation avec cet impôt de ceux concernant l'impôt cantonal et communal. Les mêmes principes sont dès lors valables pour les deux catégories d'impôts (cf. arrêt 2A.72/2004 du 4 juillet 2005 consid. 5, in RF 60/2005 p. 973). Il y a donc lieu de renvoyer à l'argumentation développée ci-dessus pour rejeter le recours en matière d'impôt cantonal et communal.
5. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (cf. art. 65 et 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (cf. art. 68 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, à l'Administration fiscale cantonale et à la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève, ainsi qu'à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 31 août 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Vianin