Faits:
A.
A.a. Par demande du 22 novembre 2007 adressée à la Direction de l'Etat civil, Y._, dit ..., a requis l'adoption de X._ né en 1960.
Y._ est décédé ce même 22 novembre 2007.
A.b. Le 26 novembre 2007, Me Patrick de Preux a remis à la Justice de paix du district de Lausanne (ci-après: Justice de paix) le testament authentique de Y._ instrumenté le 21 février 2007, lequel institue comme héritière de tous les biens de sa succession la Fondation Z._ et comme légataire notamment d'un tiers de ses avoirs bancaires X._.
Le testament a été homologué le 27 novembre 2007 par la Justice de paix.
Le 22 avril 2008, la Justice de paix a délivré, à sa demande, un certificat d'héritier à la Fondation Z._.
A.c. Par décision du 22 mars 2011, le Département de l'intérieur a rejeté la requête d'adoption déposée par feu Y._ en faveur de X._. Cette décision a été confirmée, suite au recours interjeté par X._, par arrêt du 8 janvier 2013 de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal.
Statuant par arrêt du 13 juin 2013 sur un nouveau recours de X._, le Tribunal de céans l'a admis et a réformé la décision entreprise en ce sens qu'il a prononcé l'adoption de X._ par feu Y._ (arrêt 5A_126/2013).
B.
B.a. Par décision du 29 juillet 2013, le Juge de paix a rejeté la requête du 3 juillet 2013 de X._ sollicitant l'annulation du certificat d'héritier du 22 avril 2008 et la délivrance d'un nouveau certificat où il apparaîtrait en qualité d'héritier de feu Y._.
B.b. Statuant par arrêt du 6 septembre 2013 sur le recours interjeté le 13 août 2013 par X._ contre cette décision, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal vaudois l'a rejeté et a confirmé la décision entreprise.
C.
Par acte du 24 octobre 2013, X._ forme un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire contre cette décision. Il conclut principalement à l'annulation de la décision entreprise et à ce qu'il soit donné ordre à la Justice de paix du district de Lausanne de lui délivrer un certificat d'héritier "en remplacement de celui du 22 avril 2008"; subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à la Chambre des recours civile pour nouvelle décision dans le sens de ses conclusions. A l'appui de ses recours, il semble invoquer, de manière toutefois peu explicite, une violation de l'art. 559 al. 1 CC, ainsi que la violation du principe de l'égalité et de l'interdiction de l'arbitraire.
Des déterminations n'ont pas été demandées.
Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme prévue par la loi (art. 42 LTF), contre une décision rendue en matière successorale (art. 72 al. 1 LTF) et par le recourant qui a succombé devant l'autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 et 76 al. 1 LTF); il est ainsi recevable au regard de ces dispositions.
1.2. L'établissement d'un certificat d'héritier relève de la juridiction gracieuse (ATF 118 II 108 consid. 1). La cause est néanmoins de nature pécuniaire, dès lors que, comme c'est la règle en matière successorale (arrêt 5A_395/2010 du 22 octobre 2010 consid. 1.2.2), la requête vise un but économique (arrêts 4A_584/2008 du 13 mars 2009 consid. 1.1 non publié aux ATF 135 III 304; ATF 118 II 528 consid. 2c; 5A_594/2009 du 20 avril 2010 consid. 1.1) et la valeur litigieuse est en l'espèce manifestement atteinte (art. 51 al. 2 et 74 al. 1 let. b LTF).
1.3. Dès lors que la procédure d'établissement du certificat d'héritier n'a pas pour objet de statuer matériellement sur la qualité d'héritier et que le certificat d'héritier n'est pas revêtu de l'autorité de la chose jugée matérielle, de sorte qu'il peut être invalidé par une décision du juge ordinaire (cf. ATF 135 III 430 consid. 1.1; 128 III 318 consid. 2; arrêts 5A_764/2010 du 10 mars 2011 consid. 3.3; 5A_255/2010 du 13 septembre 2011), le refus de délivrer un certificat d'héritier ou d'annuler un certificat d'héritier d'ores et déjà établi constitue une mesure provisionnelle au sens de l'art. 98 LTF (cf. arrêts 5A_495/2010 du 10 janvier 2011 consid. 1.2; 5A_162/2007 du 16 juillet 2007 consid. 5.2).
1.4. La voie du recours en matière civile étant ouverte en l'espèce, le recours constitutionnel subsidiaire est d'emblée irrecevable (art. 113 LTF). Cela étant, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies (ATF 134 III 379 consid. 1.2 et les arrêts cités). Dans ces conditions, les griefs soulevés dans la partie du recours intitulée "recours constitutionnel subsidiaire" peuvent être traités dans le cadre du recours en matière civile.
2.
Saisi d'un recours en matière civile au sens de l'art. 98 LTF, le Tribunal fédéral dispose d'un pouvoir d'examen limité, seule la violation des droits constitutionnels pouvant être invoquée. Le Tribunal fédéral ne sanctionne la violation de droits constitutionnels que si un tel moyen est invoqué et motivé par le recourant conformément au principe d'allégation (art. 106 al. 2 LTF; ATF 133 III 393 consid. 6, 638 consid. 2; 133 II 249 consid. 1.4.2). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables. Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (cf. ATF 133 III 585 consid. 4.1; 130 I 258 consid. 1.3 et les références citées).
Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable. Le Tribunal fédéral n'intervient pour cause d'arbitraire que si la décision attaquée est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 138 I 305 consid. 4.4 p. 319; 138 III 378consid. 6.1 p. 379 s.).
3.
3.1. L'autorité cantonale a refusé l'annulation du certificat d'héritier délivré le 22 avril 2008 et la délivrance d'un nouveau certificat au motif que le premier n'était pas erroné au moment où il a été délivré. En effet, elle a considéré que même si X._ est devenu l'héritier légal de feu Y._ suite au prononcé de l'adoption, celle-ci est toutefois postérieure à la délivrance du certificat d'héritier et cette seule circonstance ne suffit pas pour le rendre matériellement erroné puisque le testament institue comme seule héritière la Fondation Z._, X._ n'y figurant qu'en qualité de légataire. Elle renvoie par conséquent le recourant à faire valoir ses droits dans la succession par le biais d'une action au fond - qui seule permettra de juger des conséquences successorales de l'adoption -, la procédure de délivrance d'un certificat n'ayant pas pour objet de statuer matériellement sur la qualité d'héritier.
3.2. Le recourant rappelle, pour sa part, que l'autorité qui délivre un certificat d'héritier peut l'annuler s'il se révèle matériellement erroné par la suite. Il reproche à la cour cantonale de ne pas avoir reconnu à la décision rendue en vertu de l'art. 266 al. 1 ch. 3 CC, l'effet rétroactif pourtant admis par la doctrine. Il semble ainsi soutenir que, vu que les effets, au sens de l'art. 267 al. 1 CC, de l'adoption prononcée en sa faveur se déploient rétroactivement au jour du dépôt de la requête, à savoir le 22 novembre 2007, le certificat d'héritier émis le 22 avril 2008 était erroné au moment où il a été délivré et devrait par conséquent être corrigé en ce sens qu'il y figure comme héritier légal. Il soutient en outre que l'autorité cantonale serait tombée dans l'arbitraire et aurait violé le principe d'égalité en considérant, sans pour autant motiver cette différence de traitement, que la Fondation Z._, héritière instituée de feu Y._, aurait "plus de droit" à se voir délivrer un certificat d'héritier que lui, qui est pourtant héritier légal. Il considère enfin également que la décision entreprise ne tient pas compte du fait que la requête d'adoption préparée par feu Y._ en juin 2007 et déposée en novembre 2007 serait postérieure au testament datant du mois de février 2007 et instituant la Fondation Z._ comme seule héritière et le recourant uniquement comme légataire. Ce faisant, il soutient que l'autorité cantonale aurait versé dans l'arbitraire en ne tenant pas compte de la dernière volonté du défunt.
4.
4.1. Au décès d'une personne, l'autorité compétente est tenue de prendre d'office les mesures nécessaires pour assurer la dévolution de l'hérédité (art. 551 al. 1 CC); elle peut prendre toute mesure nécessaire, notamment celles prévues aux art. 552 à 559 CC. La gestion provisoire de la succession est généralement assurée par les héritiers légaux, mais l'autorité doit ordonner l'administration d'office si les conditions des art. 554 al. 1 ch. 1 à 4 CC sont remplies (art. 556 al. 3 CC; PAUL-HENRI STEINAUER, Le droit des successions, n° 887). Ainsi, l'administration d'office est notamment ordonnée lorsqu'il n'y a pas d'héritiers légaux à qui la gestion des biens puisse être confiée ou lorsque la gestion par les héritiers légaux présente un risque particulier pour les héritiers institués (art. 554 al. 1 ch. 4 CC; 5P.352/2006 consid. 4; STEINAUER, op. cit., n° 888). Lorsque le défunt a désigné un exécuteur testamentaire, celui-ci assume en général la gestion de la succession, mais l'autorité doit ordonner l'administration d'office lorsque la gestion provisoire par l'exécuteur testamentaire présente des risques pour la délivrance des biens aux héritiers (arrêts 5P.352/2006 du 19 février 2007 consid. 4; 5A_502/2008 du 4 mars 2009).
Comme le prononcé des mesures susmentionnées n'a qu'un caractère provisoire, il peut être modifié en tout temps par l'autorité ( STEINAUER, op. cit., n° 889a).
4.2. Après l'expiration du délai d'un mois qui suit la communication des dispositions testamentaires aux intéressés, les héritiers institués peuvent requérir de l'autorité la délivrance d'un certificat d'héritier (art. 559 al. 1 CC). En l'absence de dispositions de dernières volontés, les héritiers légaux peuvent également demander la délivrance d'un certificat d'héritier (cf. art. 65 al. 1 let. a ORF; ATF 73 I 273 consid. 1; PAUL PIOTET, Traité de droit privé suisse, Tome IV, Fribourg 1975, p. 652; KARRER/VOGT/LEU, op. cit., n° 6 ad art. 559 CC; Künzle, Kurzkommentar ZGB, Bâle 2012, n. 6 ad art.559 CC; MÜLLER/LIEB-LINDENMEYER, ZGB-Kurzkommentar, Zurich 2011, n° 5 ad art. 559 CC).
4.2.1. Si les héritiers légaux (ou les personnes gratifiées par une disposition testamentaire plus ancienne) contestent la vocation héréditaire des héritiers institués, le certificat d'héritier n'est pas délivré et l'autorité doit décider de ce qu'il advient de la gestion provisoire, si elle doit être, comme précédemment, laissée aux héritiers légaux, respectivement à l'administration d'office, ou s'il y a lieu, en raison des circonstances nouvelles, de la retirer aux héritiers légaux et d'ordonner l'administration d'office ( STEINAUER, op. cit., n. 895).
L'opposition permet ainsi aux héritiers qui risquent de subir un dommage si les héritiers institués devaient disposer provisoirement des biens de la succession alors que leur action successorale devrait être admise, d'empêcher la délivrance d'un certificat d'héritier. L'opposition ne déclenche toutefois pas une procédure tendant à déterminer le droit matériel des héritiers dans la succession. Il appartient aux héritiers qui s'estiment lésés d'ouvrir l'action en nullité ou l'action en réduction dans les délais légaux (art. 521 al. 1 et 533 al. 1 CC; ATF 128 III 318 consid. 2.2).
4.2.2. S'il n'y a pas d'opposition, le certificat d'héritier est délivré, l'administration des biens de la succession est remise aux héritiers qui y sont mentionnés (art. 559 al. 2 CC) et l'administration d'office ordonnée à titre de mesure de sûreté (art. 556 al. 3 CC) doit donc être levée (Steinauer, op. cit., n° 903).
En dépit de la délivrance du certificat d'héritier, toutes les actions en nullité et en pétition d'hérédité demeurent réservées (art. 559 al. 1 2e phr. CC). En effet, le certificat d'héritier n'est qu'une pièce de légitimation provisoire qui permet à son titulaire de disposer des biens composant la succession. L'autorité ne procède pas à une analyse de la situation de droit matériel et le certificat d'héritier ne jouit d'aucune autorité de la chose jugée quant à la qualité d'héritiers des personnes qui y sont mentionnées (ATF 128 III 318 consid. 2; arrêt 5A_495/2010 consid. 1.2 et. 2.3.2).
Les héritiers - légaux ou institués - qui s'estiment lésés peuvent donc intenter les actions en nullité ou en réduction devant le juge civil dans le délai d'un an des art. 521 et 533 CC et requérir, dans ce cadre, des mesures provisionnelles empêchant les héritiers mentionnés dans le certificat de disposer des biens successoraux (Piotet, op.cit., p. 661). Le jugement formateur rendu sur une telle action vaudra directement titre de légitimation pour les héritiers dont la qualité aura été reconnue; il rend sans objet le certificat d'héritier, sans qu'il soit nécessaire d'en faire déclarer la nullité (ATF 104 II 75 consid. II/2 p. 82; Karrer/ Vogt/Leu, op. cit., n° 47 ad art. 559; Müller/Lieb-Lindenmeyer, op. cit., n° 14 ad art. 559 CC).
4.2.3. Selon la jurisprudence, la décision par laquelle l'autorité refuse de délivrer un certificat d'héritier à l'héritier institué en raison de l'opposition de l'héritier légal peut être reconsidérée, puisqu'elle relève de la procédure gracieuse. Ainsi, l'autorité saisie d'une nouvelle requête peut délivrer un certificat à l'héritier institué s'il est établi que l'héritier légal n'a pas ouvert action en nullité ou en réduction dans le délai de péremption d'un an (art. 521 al. 1 et 533 al. 1 CC; ATF 128 III 318 consid. 2).
De même, il est admis que l'autorité qui a délivré un certificat d'héritier peut le corriger ou le révoquer d'office s'il se révèle erroné (arrêt 5P.17/2005 du 7 mars 2005 consid. 3; Karrer/Vogt/Leu, op. cit., n° 47 ad art. 559; Müller/Lieb-Lindenmeyer, op. cit., n° 14 ad art. 559 CC).
Les compétences respectives de l'autorité, en tant que juridiction gracieuse, qui statue à titre provisoire en établissant le certificat d'héritier - et qui peut le modifier -, et du juge civil qui, sur action au fond, détermine définitivement à qui revient la qualité d'héritier, peuvent entrer en concurrence. La question de savoir laquelle de ces autorités est compétente dans un cas concret dépend des circonstances particulières de ce cas.
5.
5.1. Le recourant semble essentiellement reprocher à l'autorité cantonale une violation de l'art. 559 al. 1 CC relatif à l'établissement du certificat d'héritier. Il lui fait en particulier grief de ne pas avoir tenu compte du fait que les effets de l'adoption prononcée en sa faveur se déploient rétroactivement au jour du dépôt de la requête et de ne pas en avoir déduit que le certificat était de ce fait erroné au moment de sa délivrance et devrait être corrigé. Il estime qu'elle a, ce faisant, également fait fi des dernières volontés du de cujus dans la mesure où elle se serait davantage fondée sur le testament du mois de février 2007 que sur la requête d'adoption pourtant postérieure pour prendre sa décision.
La motivation de l'autorité cantonale consistant à considérer qu'un certificat d'héritier qui n'était pas erroné "au moment de sa délivrance" ne peut être annulé n'est certes pas convaincante. Cependant, le certificat d'héritier est délivré uniquement à titre de mesure conservatoire pour assurer la dévolution de la succession. Selon les termes de l'art. 559 al. 1 CC, il est délivré s'il n'y a pas eu de contestation dans le délai de 30 jours suivant la communication des clauses testamentaires aux ayants droit. En l'espèce, dès lors que plus de cinq ans se sont écoulés depuis la délivrance du certificat d'héritier, la dévolution est selon toute vraisemblance terminée ou du moins rien ne permet de retenir le contraire. Rien au dossier ne justifie que l'autorité le corrige pour protéger les droits de l'héritier légal qui seraient en péril. En effet, le but poursuivi par le recourant n'est pas - au vu du laps de temps qui s'est écoulé depuis la délivrance du certificat - purement conservatoire, mais vise au contraire à faire établir sa qualité d'héritier, ce qu'il ne peut faire que par le biais d'une action en annulation du testament (art. 519 ss CC) ou d'une action en réduction (art. 522 ss CC), qui relèvent de la compétence du juge civil ordinaire. En effet, tant que le testament n'est pas attaqué, il demeure valable.
Il s'ensuit que, bien que la motivation de l'autorité cantonale ne soit certes pas convaincante en tant qu'elle laisse entendre qu'un certificat d'héritier qui apparaît erroné même postérieurement à sa délivrance ne pourrait être corrigé, sa décision n'apparaît cependant pas arbitraire dans son résultat, compte tenu des circonstances particulières du cas d'espèce.
5.2. En tant que le recourant soutient que l'autorité cantonale aurait violé le principe d'égalité et serait tombée dans l'arbitraire en lui refusant, en sa qualité d'héritier légal du de cujus, la délivrance d'un certificat d'héritier, alors que l'héritière instituée s'en est vu délivrer un, son grief est infondé. L'argumentation du recourant se fonde en effet sur la prémisse erronée que l'autorité cantonale aurait procédé à une distinction entre héritiers légaux et héritiers institués dans sa motivation.
Le recourant rappelle ensuite que la Justice de paix a considéré que les héritiers légaux même réservataires, non appelés à la succession, ne sont pas mentionnés sur le certificat d'héritier. Il considère que la Justice de paix a fondé cette argumentation sur l'art. 133 al. 4 du Code de droit privé judiciaire vaudois (CDPJ) qui prévoit que "les héritiers réservataires entièrement écartés de la succession n'ont pas à y être mentionnés" et lui reproche par conséquent de l'avoir considéré à tort comme un héritier écarté de la succession. En tant que le recourant s'en prend, ce faisant, uniquement à la décision de première instance, son grief est irrecevable, le recours devant être dirigé contre l'arrêt de dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF).
Au surplus, le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir retenu, à tort, que Y._ l'avait adopté à titre "posthume", dès lors que la requête d'adoption a été déposée encore de son vivant. Si le terme est certes inapproprié, il n'a toutefois aucune portée sur l'issue du litige, de sorte que le grief est mal fondé.
6.
En définitive, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'autorité intimée (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à la Justice de paix du district de Lausanne et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours civile.
Lausanne, le 18 février 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Hildbrand