Sachverhalt:
A. A.a X._ (Ehefrau) und Z._ (Ehemann) heirateten am xxxx 1981; ihrer Ehe entspross die nunmehr volljährige Tochter Y._. Mit Verfügung vom 16. Mai 2000 regelte das Bezirksgerichtspräsidium Gaster das Getrenntleben der Eheleute im Rahmen von Eheschutzmassnahmen. Am 6. Juni 2002 ersuchte X._ beim Bezirksgericht March (Kanton Schwyz) um Abänderung dieser Massnahmen.
A.b Im Jahre 2003 leitete Z._ im Kanton Luzern das Scheidungsverfahren ein. Mit Verfügung der Vormundschaftskommission der Gemeinde A._ vom 17. September 2007 wurde über X._ für das am Amtsgericht Luzern-Stadt hängige Scheidungsverfahren gestützt auf Art. 392 Ziff. 1 ZGB eine Prozessbeistandsschaft errichtet und Rechtsanwalt W._ als Beistand bestimmt.
A.c Mit Verfügung vom 29. Dezember 2009 wies der Einzelrichter am Bezirksgericht March das Gesuch von X._ um Abänderung der Eheschutzmassnahmen ab. Diese Verfügung wurde Rechtsanwalt W._ am 30. Dezember 2009 zugestellt, welcher sie per E-mail an die nunmehr in Spanien wohnhafte X._ weiterleitete. Diese will erst am 20. Januar 2010 von der Verfügung Kenntnis erhalten haben.
B. Mit Eingabe vom 29. Januar 2010, welche am 1. Februar 2010 bei der Schweizerischen Botschaft in Spanien einging, rekurrierte X._ gegen die erstinstanzliche Verfügung vom 29. Dezember 2009 an das Kantonsgericht Schwyz und stellte überdies ein Gesuch und Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist. Mit Beschluss vom 20. Mai 2010 wies das Kantonsgericht Schwyz das Fristwiederherstellungsbegehren ab und trat auf den Rekurs nicht ein.
C. X._ hat den ihr am 4. Juni 2010 zugestellten Beschluss des Kantonsgerichts mit einer am 7. Juli 2010 der schweizerischen Post übergebenen Eingabe an das Bundesgericht angefochten. Sie beantragt, den Beschluss des Kantonsgerichts Schwyz vom 20. Mai 2010 aufzuheben, ihr vollumfängliche Akteneinsicht zu gewähren, die in der Beschwerde gestellten Beweisanträge gutzuheissen und ihr die Beschwerdefrist angemessen zu erstrecken. Im Weiteren ersucht sie um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist und um unentgeltliche Rechtspflege.
D. Mit Verfügung vom 9. Juli 2010 wurde der Beschwerdeführerin mitgeteilt, die Akten könnten nach Rücksprache mit der Kanzlei der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts eingesehen werden. Nach Ablauf der nicht erstreckbaren Beschwerdefrist könne die Beschwerde nicht ergänzt werden. Mangels Angaben zu den finanziellen Verhältnissen sei es dem Bundesgericht nicht möglich, über ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu befinden. Die Beschwerdeführerin wurde daher zur Leistung eines Kostenvorschusses angehalten, wobei es ihr unbenommen blieb, innert 15 Tagen seit Mitteilung der Verfügung ein begründetes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege einzureichen, woraus sich Angaben zu ihren finanziellen Verhältnissen ergeben.
E. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Die Beschwerdeführerin hat am 26. Juli 2010 ein begründetes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eingereicht und am 27. Juli 2010 den verlangten Kostenvorschuss geleistet.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Beschluss des Kantonsgerichts ist der Beschwerdeführerin am 4. Juni 2010 zugestellt worden, womit die 30-tägige Beschwerdeschrift (Art. 100 Abs. 1 BGG) infolge des Wochenendes vom 3./4. Juli 2010 (Art. 45 Abs. 1 BGG) am Montag, 5. Juli 2010 abgelaufen ist. Die am 7. Juli 2010 der schweizerischen Post übergebene Beschwerde ist damit verspätet.
1.2 Die Beschwerdeführerin ersucht um Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist mit der Begründung, sie habe am letzten Tag der Frist, am 5. Juli 2010, bei der schweizerischen Botschaft in Madrid vorgesprochen, wo sich die Botschaftsangestellten geweigert hätten, die Beschwerdeeingabe zuhanden des schweizerischen Bundesgerichts entgegenzunehmen (Art. 48 Abs. 1 BGG). Ob im vorliegenden Fall die Voraussetzungen für eine Wiederherstellung der Beschwerdefrist (Art. 50 Abs. 1 BGG) gegeben sind, kann hier offenbleiben, zumal sich die Beschwerde in der Sache als unbegründet erweist, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Massnahmen zum Schutze der Ehe gemäss Art. 172 ff. ZGB sind vorsorgliche Massnahmen im Sinn von Art. 98 BGG (BGE 134 III 667 E. 1.1; 133 III 393 E. 5). Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich des Willkürverbotes gemäss Art. 9 BV in der Sachverhaltsfeststellung und der Rechtsanwendung, gerügt werden (Art. 98 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer hat somit in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzutun, inwiefern die Vorinstanz seine verfassungsmässigen Rechte verletzt hat.
3. Das Bundesgericht nimmt nicht selbst Beweise ab, um den Sachverhalt festzustellen oder den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt zu ergänzen (BGE 133 IV 293 E. 3.4). Soweit die Beschwerdeführerin in der Sache vor Bundesgericht Beweisanträge stellt, ist darauf nicht einzutreten.
4. Willkürlich ist ein Entscheid, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 135 V 2 E. 1.3 mit Hinweisen.
5. Das Kantonsgericht hat dafürgehalten, die Zustellung der Verfügung des Einzelrichters an Rechtsanwalt W._ sei der Beschwerdeführerin anzurechnen. Der Rekurs sei verspätet erfolgt und die verspätete Eingabe beruhe auf grobem Verschulden, weshalb der beantragten Wiederherstellung der Rechtsmittelfrist nicht entsprochen werden könne. Die Beschwerdeführerin setzt sich in ihrer Eingabe grösstenteils nicht den vorgenannten Begründungsanforderungen (E. 2 hiervor) entsprechend mit den Erwägungen des angefochtenen Beschlusses auseinander, weshalb sich die Beschwerde insgesamt über weite Strecken als unzulässig erweist. Insoweit ist darauf von vornherein nicht einzutreten. Immerhin richtet sich die Beschwerdeführerin sinngemäss dagegen, dass ihr die Zustellung der erstinstanzlichen Verfügung an Rechtsanwalt W._ angerechnet worden ist.
6. 6.1 Das Kantonsgericht hat die Beschwerdeführerin als in prozessrechtlichen Belangen beschränkt urteilsfähig bezeichnet. Sie sei mit dem erstinstanzlichen Richter in selbstständigem Kontakt gestanden, habe gegen Ende 2009 eine Gerichtseingabe selbst verfasst und zudem gegen den Eheschutzentscheid ein Rechtsmittel ergriffen. Diese Handlungen setzten zumindest eine gewisse Urteilsfähigkeit voraus, über welche die Beschwerdeführerin somit verfügt habe. Die Beschwerdeführerin trägt weder gegen die tatsächlichen Feststellungen bezüglich der Kontakte zum Gerichtspräsidenten und ihrer Eingabe beim Gericht noch gegen den daraus gezogenen Schluss der Urteilsfähigkeit (BGE 91 II 338; 90 II 12) eine rechtsgenügliche Willkürrüge vor; insoweit erübrigen sich weitere Ausführungen.
6.2 6.2.1 Aufgrund der kantonsgerichtlichen Feststellungen gilt als erstellt, dass sich die Prozessbeistandschaft gemäss Art. 392 Ziff. 1 ZGB ausschliesslich auf das Scheidungsverfahren erstreckt und Rechtsanwalt W._ für das Eheschutzverfahren keine von der Beschwerdeführerin unterzeichnete schriftliche Vollmacht vorzuweisen hat. Das Kantonsgericht hat § 32 ZPO/SZ nicht übersehen, wonach derjenige, der eine Partei vertritt, einer schriftlichen oder zu Protokoll erklärten Vollmacht bedarf. Es hat jedoch dafürgehalten, die Bestimmungen über die Stellvertretung (Art. 32 ff. OR) seien subsidiär anwendbar. Die Beschwerdeführerin sei nach eigenen Angaben über die Vertretung ihrer Interessen im Eheschutzverfahren durch Rechtsanwalt W._ informiert gewesen und habe dieses Vorgehen mangels Widerspruchs gebilligt. Zudem hätten sie und ihre Tochter in der Stellungnahme vom 23. Dezember 2009 an das Bezirksgericht ausgeführt, sie hätten erst am 21. Dezember 2009 die noch ausstehenden Belege der Gegenpartei von ihrem Anwalt W._ erhalten. Es liege eine Duldungs- bzw. Anscheinsvollmacht vor, womit eine schriftliche Vollmacht nicht nötig sei.
6.2.2 Die Beschwerdeführerin rügt nicht rechtsgenüglich Willkür bezüglich der rechtlichen Erwägungen des Kantonsgerichts zur subsidiären Anwendbarkeit der Bestimmungen über die Stellvertretung (Art. 32 ff. OR). Insbesondere behauptet sie nicht, bei der Prozessvollmacht genüge eine Duldungs- oder Anscheinsvollmacht nicht, weshalb die gegenteilige Auffassung des Kantonsgerichts willkürlich sei. In Rechtsprechung und Lehre wird denn auch dafürgehalten, im Prozess sei eine Anscheinsvollmacht möglich (Urteil 4P.184/2003 vom 2. Februar 2004 E. 2.3.2 unter Berufung auf ROGER ZÄCH, Berner Kommentar, 1990, N. 86 der Vorbemerkungen zu Art. 32-40 OR). Ist aber die Annahme einer Anscheinsvollmacht im Prozess nicht willkürlich, gilt dies erst recht für die Duldungsvollmacht, bei welcher der Vertretene im Unterschied zur Anscheinsvollmacht weiss, dass er gegen seinen Willen vertreten wird, aber trotzdem nicht gegen die unerbetene Vertretung einschreitet (zum Unterscheid zwischen Duldungs- und Anscheinsvollmacht: ZÄCH, a.a.O, N. 47 f. und 52 zu Art. 33 OR).
6.2.3 Sodann beanstandet die Beschwerdeführerin weder die tatsächlichen Feststellungen mit Bezug auf die Tätigkeit von Rechtsanwalt W._ im Eheschutzverfahren als willkürlich, noch stellt sie sich rechtsgenüglich auf den Standpunkt, sie habe entgegen der Auffassung des Kantonsgerichts von den Vertretungshandlungen von Rechtsanwalt W._ keine Kenntnis gehabt. Nicht als willkürlich beanstandet wird ferner die Feststellung, wonach sie gegen die Handlungen von Rechtsanwalt W._ im Eheschutzverfahren nicht eingeschritten sei. Keine rechtsgenügende Willkürrüge findet sich schliesslich bezüglich der Aussage in der Stellungnahme vom 23. Dezember 2009.
6.2.4 Hat aber die Beschwerdeführerin um die Vertretungshandlungen von Rechtsanwalt W._ im Eheschutzverfahren gewusst und ihn trotzdem ohne Widerspruch gewähren lassen, so erweist sich die Annahme einer Duldungsvollmacht als nicht willkürlich. Daran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin angeblich aufgrund einer falschen Rechtsbelehrung durch einen anderen Anwalt nicht gegen die Tätigkeit von W._ eingeschritten ist.
6.3 Die Beschwerdeführerin bringt schliesslich auch nichts den Begründungsanforderungen (E. 2) Entsprechendes gegen die kantonsgerichtlichen Ausführungen vor, wonach sie bzw. ihre Vertreterin (die eigene Tochter) die Duldungsvollmacht hätte widerrufen können, dies aber nicht getan habe.
7. Zusammenfassend hat die Beschwerdeführerin somit nichts vorgebracht, was die Annahme einer Duldungsvollmacht infrage stellte. Unter diesen Umständen ist es nicht willkürlich, dass die Prozesshandlungen von Rechtsanwalt W._ der Beschwerdeführerin gegen deren Willen angerechnet worden sind. Damit erweist sich auch die Zustellung des erstinstanzlichen Entscheids an Rechtsanwalt W._ als mit Art. 9 BV vereinbar. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Entschädigung an die Gegenpartei ist nicht zu sprechen, da keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
8. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, zumal sich die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen hat (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, 1. Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden