Faits:
A. Depuis 1980, X._ est locataire d'un appartement de quatre pièces dans l'immeuble sis ..., à Genève. Le 1er mars 2008, le loyer mensuel a été porté à 1'079 fr., charges et place de parc comprises.
Par contrat du 28 juin 2007, X._ a sous-loué à Y._ l'appartement et la place de parc précités; le loyer a été fixé à 2'300 fr. par mois, charges comprises. Le sous-locataire a versé à la sous-bailleresse un montant de 6'900 fr. à titre de garantie. Un procès-verbal d'état des lieux d'entrée a été dressé par A._, ami de X._. Il ressort de ce document, contresigné par Y._, que l'appartement est sous-loué meublé de divers objets parmi lesquels on compte notamment une machine à laver, un meuble à souliers, un four à micro-ondes, un lit et sa table de chevet, un canapé deux places, un fauteuil, une table basse, quelques chaises.
En février 2008, Y._ a informé X._ qu'il souhaitait quitter l'appartement. Par courrier du 22 février 2008, la sous-bailleresse lui a répondu qu'il ne pouvait être libéré de manière anticipée que moyennant la présentation de deux personnes solvables intéressées à reprendre le bail; elle relevait également avoir constaté, lors de son passage la veille dans l'appartement, que celui-ci était dans un état insalubre et fortement endommagé au niveau des boiseries, des tapisseries et des peintures et que certains meubles étaient endommagés, voire cassés.
Dès le 15 avril 2008, Y._ a sous-loué l'appartement à C._.
Les trois parties se sont rencontrées en juillet 2008. A cette occasion, X._ a accepté que C._ occupe les lieux et lui verse directement le montant du loyer. Il n'est plus contesté qu'un contrat de bail lie X._ et C._ à partir du 1er juillet 2008. Aucun procès-verbal d'état des lieux (d'entrée ou de sortie) n'a été établi en juillet 2008.
B. Par demande du 3 novembre 2009, X._ a conclu, notamment, à la condamnation de Y._ à lui payer le montant de 17'028 fr.95, plus intérêts, à titre de frais de remplacement des meubles et objets endommagés.
Y._ a conclu au déboutement de la demanderesse et, reconventionnellement, à la réduction du loyer à 1'170 fr. par mois, charges et parking compris, dès le 1er juillet 2007, ainsi qu'à la condamnation de la sous-bailleresse à lui rembourser le trop-perçu et à lui restituer la somme de 6'900 fr. versée à titre de garantie.
Par jugement du 19 mai 2011, le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève a, sur demande principale, débouté X._ de toutes ses conclusions; sur demande reconventionnelle, il a constaté la nullité du loyer prévu par le contrat de bail du 28 juin 2007, a fixé le loyer mensuel à 1'196 fr., charges et parking compris, et a condamné X._ à restituer à Y._ le trop-perçu, soit 1'104 fr. par mois dès le 1er juillet 2007, ainsi que la garantie de 6'900 fr., plus intérêts.
Statuant le 30 août 2012 sur appel de X._, la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement du 19 mai 2011.
C. X._ interjette un recours en matière civile. Elle demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal du 30 août 2012, puis de condamner Y._ à lui payer la somme de 17'028 fr.95 avec intérêts à 5% dès le 1er février 2009; à titre subsidiaire, elle conclut au renvoi de la cause à l'autorité précédente.
La recourante sollicite l'assistance judiciaire, portant à la fois sur la dispense des frais de justice (art. 64 al. 1 LTF) et la désignation d'un avocat d'office (art. 64 al. 2 LTF).
Y._ n'a pas été invité à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions en paiement (cf. art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 15'000 fr. requis en matière de bail à loyer (art. 74 al. 1 let. a LTF), le recours a en outre été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) prévu par la loi.
1.2 Selon l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, le mémoire adressé au Tribunal fédéral doit indiquer les motifs de recours, lesquels doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit. L'argumentation à l'appui du recours doit ainsi être contenue dans l'acte même, de sorte qu'il n'est pas admissible de se référer à des écritures antérieures (ATF 138 III 252 consid. 3.2 p. 258; 133 II 396 consid. 3.1 p. 399 s.). En l'espèce, le recours est irrecevable dans la mesure où il renvoie aux développements figurant dans l'appel cantonal.
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2. A ce stade, la seule question encore litigieuse est celle du dommage dont la sous-bailleresse demande réparation.
La recourante reproche à la cour cantonale d'avoir établi les faits de manière arbitraire. Premièrement, les juges genevois auraient retenu l'absence d'avis des défauts alors que la lettre du 26 septembre 2008 du mandataire de la sous-bailleresse - figurant au dossier mais non mentionnée dans l'arrêt attaqué - signifie clairement à l'intimé quels sont les dégâts mis à sa charge. Par ailleurs, la recourante relie cet élément à un avis des défauts qui aurait été donné oralement devant témoin lors de la visite des lieux de juillet 2008, aux témoignages de B._, de A._ et de C._, aux déclarations de l'intimé lui-même, ainsi qu'aux "autres éléments du dossier". Elle en déduit que la cour cantonale disposait des preuves nécessaires pour retenir que le dommage causé à la sous-bailleresse par le sous-locataire s'élevait à 17'028 fr.95.
2.1 L'art. 267 al. 1 CO dispose qu'à la fin du bail, le locataire doit restituer la chose dans l'état qui résulte d'un usage conforme au contrat. A contrario, il incombe au locataire de prendre à sa charge les dégâts qui excèdent l'usure normale de la chose. Conformément à l'art. 8 CC, il appartient au bailleur d'apporter la preuve du défaut excédant l'usure normale, du dommage en résultant et de son étendue (arrêt 4C.261/2006 du 1er novembre 2006 consid. 3.1, in SJ 2007 I p. 365). Sous peine de voir ses droits périmés, le bailleur doit en outre vérifier l'état de la chose lors de la restitution et aviser immédiatement le locataire des défauts dont celui-ci répond, le cas des défauts cachés étant réservé (art. 267a al. 1 et 2 CO). En vertu de l'art. 253a al. 1 CO, ces principes s'appliquent également aux choses dont l'usage est cédé dans le cadre d'un bail d'habitation.
Dire s'il y a eu dommage et quelle en est la quotité étant une question de fait, le Tribunal fédéral ne la revoit que sous l'angle d'une éventuelle appréciation arbitraire des preuves. A cet égard, une décision n'est annulée pour arbitraire (art. 9 Cst.) que lorsqu'elle est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Par ailleurs, il ne suffit pas qu'une autre solution soit concevable, voire préférable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 138 I 49 consid. 7.1 p. 51; 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.).
En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
2.2 L'arrêt attaqué ne mentionne pas la lettre du 26 septembre 2008 que l'avocat alors mandaté par la recourante a adressée à l'intimé et qui figure dans le dossier. Il ne cite que les deux pièces jointes à ce pli, intitulées "Inventaire des meubles au 29 juin 2007" et "Inventaire des meubles - juillet 2008 (sortie)". Le courrier du 26 septembre 2008 contient une liste des meubles et objets que la recourante considère comme endommagés ou disparus, avec indication du montant des dommages que la sous-bailleresse entend faire supporter à l'intimé. Il s'agit donc bien d'un avis des défauts. Celui-ci est toutefois intervenu environ deux mois après le changement de sous-locataire. Un tel avis est manifestement tardif (cf. DAVID LACHAT, in Commentaire romand, Code des obligations I, 2e éd. 2012, n° 3 ad art. 267a CO; PETER R. BURKHALTER/EMMANUELLE MARTINEZ-FAVRE, Le droit suisse du bail à loyer, 2011, adaptation française de la 3e éd. du SVIT Kommentar de RAYMOND BISANG ET AL., N° 35 AD ART. 267-267A CO; CAROLE AUBERT, IN DROIT DU BAIL À LOYER, 2010, FRANÇOIS BOHNET/MARINO MONTINI (ÉD.), N° 17 AD ART. 267A CO). LA LETTRE DU 26 SEPTEMBRE 2008 n'était dès lors pas un élément propre à modifier l'appréciation de la cour cantonale sur le non-respect par la sous-bailleresse de l'incombance résultant de l'art. 267a CO. Par ailleurs, la recourante fait état d'un avis des défauts donné oralement en juillet 2008. Cet élément ne ressort pas des constatations de l'autorité cantonale et la recourante ne cherche même pas à démontrer que celles-ci seraient arbitraires sur ce point.
Comme elle n'a pas signifié au sous-locataire un avis des défauts en temps utile, la sous-bailleresse est déchue de ses droits, conformément à l'art. 267a al. 2 CO. Le rejet de sa demande en paiement de dommages-intérêts se justifie déjà sous cet angle-là, de sorte qu'il ne serait même pas nécessaire d'examiner les griefs relatifs au dommage lui-même.
Cela étant, il convient tout de même de relever que la cour cantonale n'a pas apprécié les preuves de manière arbitraire en constatant que la sous-bailleresse n'avait pas établi son dommage et l'étendue de celui-ci. On rappellera à la recourante qu'un avis des défauts, rédigé et signé uniquement par celui qui se considère comme lésé, ne saurait constituer une preuve du préjudice. Par ailleurs, ni les témoignages du fils et de l'ami de la recourante, ni celui de la nouvelle sous-locataire, qui sont imprécis et en partie contradictoires, ne permettent de déterminer quels objets ou meubles avaient disparu et étaient endommagés en juillet 2008, lors de la restitution de l'appartement. Ainsi, le fils de la recourante a déclaré qu'en juillet 2008, la plupart des meubles avaient été stockés dans le cagibi et sur le balcon, alors que la nouvelle sous-locataire a affirmé que lors de son entrée dans l'appartement, il n'y avait qu'un bahut et une table sur le balcon, le reste du logement étant dépourvu de meubles. Quant à l'ami de la recourante, il a déclaré avoir vu des étagères cassées et d'autres meubles endommagés sur le balcon en 2008, sans pouvoir indiquer une date plus précise et en admettant ignorer l'auteur des dégradations. De même, le témoignage de l'intimé lui-même dans une procédure entre la recourante et la nouvelle sous-locataire n'est guère précis puisque le sous-locataire admet seulement que certains meubles manquaient en 2008. Enfin, la recourante ne conteste pas qu'il n'y a pas eu, en juillet 2008, de procès-verbal d'état des lieux, contresigné par l'intimé, ni de constat d'huissier ou notarié permettant une comparaison avec l'état des lieux d'entrée du 1er juillet 2007. Les seuls éléments écrits sont des documents établis après coup par la sous-bailleresse, lesquels pouvaient manifestement être écartés sans arbitraire par la cour cantonale dans le cadre de son examen du dommage allégué par la recourante.
En tout état de cause, le moyen tiré d'une appréciation arbitraire des preuves est mal fondé.
3. Il résulte de ce qui précède que le recours était voué à l'échec. Par conséquent, la demande d'assistance judiciaire formée par la recourante sera rejetée en application de l'art. 64 al. 1 LTF.
Les frais judiciaires seront mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à présenter des observations devant le Tribunal fédéral (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 21 novembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann