Sachverhalt:
A. Mit Eingabe vom 4. Mai 2007 stellte die Bank Z._ beim Gerichtspräsidium B._ das Gesuch, es sei ihr in der beim Betreibungsamt A._ gegen X._ hängigen Betreibung Nr. xxx auf Grundpfandverwertung für die Forderungssumme von Fr. 199'750.57 nebst Zins zu 9,25 % seit 6. April 2006 provisorische Rechtsöffnung zu erteilen.
Der Gerichtspräsident I erkannte am 5. Juli 2007, dass der Bank Z._ für den geforderten Betrag nebst Zins zu 9,25 % seit 22. Dezember 2006 und für die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 200.-- provisorische Rechtsöffnung erteilt werde. Das Gesuch von X._, ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wies er ab.
Gegen dieses Urteil erhob X._ Beschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau, und die Bank Z._ reichte in der Folge Anschlussbeschwerde ein mit dem Rechtsbegehren, es sei Rechtsöffnung für Zins ab 6. April 2006 zu erteilen.
Mit Urteil vom 29. Oktober 2007 erkannte das Obergericht (Zivilgericht, 5. Kammer), dass einerseits der Bank Z._ in dem von ihr verlangten Umfang provisorische Rechtsöffnung erteilt und dass andererseits X._ die unentgeltliche Rechtspflege gewährt werde.
B. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 17. Dezember 2007 beantragt X._ die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils. Ausserdem ersucht er darum, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die Bank Z._ hat erklärt, sie könne einer Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung nicht zustimmen, es sei denn, das Bundesgericht würde diese als zwingend geboten erachten. Das Obergericht hat auf Vernehmlassung zu diesem Begehren ausdrücklich verzichtet.
Vernehmlassungen zur Sache selbst sind nicht eingeholt worden.
C. Durch Präsidialverfügung vom 10. Januar 2008 ist der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Erwägungen:
1. Der Betreibungsgläubiger kann die provisorische Rechtsöffnung verlangen, wenn die Forderung auf einer durch öffentliche Urkunde festgestellten oder durch Unterschrift bekräftigten Schuldanerkennung beruht (Art. 82 Abs. 1 SchKG). Falls der Betriebene nicht sofort Einwendungen glaubhaft macht, die die Schuldanerkennung entkräften, spricht der Richter die provisorische Rechtsöffnung aus (Art. 82 Abs. 2 SchKG).
1.1 Die in Betreibung gesetzte Forderung beruht letztlich auf einem Vertrag vom 23./25. April 2003, wonach die Bank Z._ (Beschwerdegegnerin) der Y._ AG einen (Betriebs-)Kredit von 200'000 Franken gewährte und der Beschwerdeführer zu dessen Sicherung 12 auf seinem Grundstück Nr. yyy in A._ lastende Inhaberschuldbriefe von je 50'000 Franken zum Pfand gab. Am 25. April 2003 unterzeichnete der Beschwerdeführer einen entsprechenden "Besonderen Pfandvertrag" zwischen der Beschwerdegegnerin, der Y._ AG und ihm. Über die Y._ AG wurde am 6. April 2006 der Konkurs eröffnet. Am 22. Dezember 2006 wurde das Konkursverfahren mangels Aktiven wieder eingestellt.
1.2 Das Obergericht weist darauf hin, dass die Rechtsöffnung nur erteilt werde, wenn die Forderung bei Beginn der Betreibung fällig gewesen sei; ob diese Voraussetzung erfüllt sei, habe der Rechtsöffnungsrichter von Amtes wegen zu beachten. Für den zur Beurteilung stehenden Fall hält es fest, dass gemäss Art. 208 Abs. 1 SchKG mit der Eröffnung des Konkurses über die Y._ AG die durch die Schuldbriefe pfandgesicherte Kreditforderung der Beschwerdegegnerin gegenüber dieser Gesellschaft fällig geworden sei, was der Beschwerdeführer nicht bestreite. Sei für die Erfüllung ein bestimmter Verfalltag verabredet worden oder ergebe sich ein solcher aufgrund einer vorbehaltenen und gehörig vorgenommenen Kündigung, gelange der Schuldner schon mit Ablauf dieses Tages in Verzug. Nach Ziffer 2 der für den Kreditvertrag vom 23./25. April 2003 geltenden "Bestimmungen für Betriebskredit" seien Kontokorrentschulden jederzeit mit sofortiger Wirkung kündbar und rückzahlbar. Die Beschwerdegegnerin habe gemäss dieser Regel auch das Recht, feste Vorschüsse mit sofortiger Wirkung zu kündigen, wenn gegen den Kreditnehmer der Konkurs eingeleitet worden sei. Mit Brief vom 26. April 2006 an das Konkursamt ... habe die Beschwerdegegnerin die sofortige Kündigung des Kontokorrentkredits ausgesprochen, wodurch die Y._ AG nach Art. 102 Abs. 2 OR in Verzug geraten sei. Nach Ziff. 7 Abs. 2 des Pfandvertrags vom 25. April 2003 habe dies sodann die Fälligkeit der Schuldbriefforderungen nach sich gezogen. Einer Kündigung der damit bereits fällig gewordenen Schuldbriefforderungen habe es nach der Regelung im Pfandvertrag nicht bedurft. Da der Dritteigentümer der Pfandsache die Möglichkeit haben müsse, die Pfandschuld bei Fälligkeit selber zu tilgen und auf diese Weise das Pfandrecht abzulösen, sei er über die Kündigung in Kenntnis zu setzen; eine formelle Kündigung auch ihm gegenüber sei jedoch nicht erforderlich. Mit dem Schreiben vom 31. Januar 2007, das dem Beschwerdeführer unbestrittenermassen zugekommen sei, sei diesem mitgeteilt worden, dass die den Verzug der Y._ AG bezüglich der mit seinen Schuldbriefen gesicherten Forderung auslösende und gleichzeitig die Fälligkeit der Schuldbriefforderungen bewirkende Kündigung am 26. April 2006 ausgesprochen worden sei. Als am 26. Februar 2007 dem Beschwerdeführer der Zahlungsbefehl zugestellt worden sei, seien die in Betreibung gesetzten Schuldbriefforderungen somit fällig gewesen.
1.3 Dem Einwand des Beschwerdeführers, der Pfandvertrag sei nur von ihm, nicht auch von der Beschwerdegegnerin, unterzeichnet worden, hält das Obergericht entgegen, bei Inhaberpapieren genüge zur Verpfändung als solcher die Übertragung der Urkunde an den Pfandgläubiger. Hier sei diese Voraussetzung unbestrittenermassen erfüllt. Die von der Beschwerdegegnerin zusätzlich verfasste Vertragsurkunde über die Verpfändung enthalte keinen ausdrücklichen Vorbehalt der Schriftform; das Papier enthalte zudem bloss Zeilen für die Unterschriften des Pfandgebers (hier des Beschwerdeführers) und des Schuldners der gesicherten Forderung (hier der Y._ AG), für eine allfällige Unterschrift der Beschwerdegegnerin als Pfandnehmerin sei auf dem Papier kein Platz vorgesehen; es weise somit nichts darauf hin, dass die Verpflichtungen aus dem Vertrag von der Unterschrift beider (aller) Parteien hätten abhängig gemacht werden wollen. Auch materiell gelte im Übrigen die Vereinbarung, dass die Schuldbriefforderung automatisch mit der Grundforderung zur Zahlung fällig werde, als zulässig.
1.4 Der Beschwerdeführer hatte im obergerichtlichen Verfahren ausserdem geltend gemacht, die von der Beschwerdegegnerin am 31. Januar 2007 durch Selbsteintritt vollzogene Übernahme der Schuldbriefe zu Eigentum stelle eine Novation dar. Auf dieses Vorbringen, das erstmals angebracht werde, ist die Vorinstanz nicht eingegangen. Sie führt aus, es werde nicht dargelegt, weshalb es nicht bereits im Verfahren vor dem Rechtsöffnungsrichter hätte eingebracht werden können, und hält fest, das Vorliegen einer Novation sei nicht von Amtes wegen zu berücksichtigen.
2. 2.1 Rechtsschriften haben nach Art. 42 Abs. 1 BGG unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 erster Satz BGG). Damit obliegt dem Beschwerdeführer, die behaupteten Rechtsverletzungen zu nennen und diese Rügen zu begründen. Das bedeutet, dass er auf die Erwägungen der kantonalen Instanz einzugehen und sich damit auseinanderzusetzen hat.
2.2 Diesen Anforderungen genügt die vorliegende Beschwerde nicht. Der Beschwerdeführer befasst sich mit den eingehenden Ausführungen des Obergerichts in keiner Weise und legt somit auch nicht dar, inwiefern dessen Auffassung gegen Bundesrecht verstossen soll. Er beschränkt sich darauf, seine eigene Ansicht zur Frage der Fälligkeit der Betreibungsforderung und zum Fehlen der Unterschrift der Beschwerdegegnerin auf dem Pfandvertrag vorzutragen. Da er nicht dartut, dass das Nichteintreten der Vorinstanz auf seinen Hinweis, es sei in der von der Beschwerdegegnerin vollzogenen Übernahme der Schuldbriefe zu Eigentum eine Novation zu erblicken, bundesrechtswidrig wäre, ist auch das hierzu Vorgetragene unbeachtlich.
3. Auf die Beschwerde ist nach dem Gesagten nicht einzutreten, womit die ihr zuerkannte aufschiebende Wirkung hinfällig wird. Die Beschwerde erschien unter den dargelegten Umständen von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG), und es sind die Gerichtskosten ausgangsgemäss dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Zur Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden, und der (durch die eigene Rechtsabteilung handelnden) Beschwerdegegnerin ist im Zusammenhang mit der Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung kein Aufwand erwachsen, der die Zusprechung einer Parteientschädigung zu rechtfertigen vermöchte (vgl. BGE 113 Ib 353 E. 6b S. 356 f. mit Hinweisen; 125 II 518 E. 5b S. 519 f.).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (Zivilgericht, 5. Kammer) des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Februar 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel