Erwägungen:
1. Das Bundesgericht entscheidet in Dreierbesetzung bei Einstimmigkeit über die Abweisung offensichtlich unbegründeter Beschwerden (Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG). Der Entscheid wird summarisch begründet. Es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
2. Mit Beschluss vom 20. August 2009 trat die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt auf eine Strafanzeige vom 21. November 2008 des Ehemannes der Beschwerdeführerin gegen den privaten Beschwerdegegner nicht ein. Eine vom Anzeigesteller dagegen erhobene Einsprache wies der Erste Staatsanwalt des Kantons Basel-Stadt am 31. August 2009 ab. Den vom Anzeigesteller am 4. September 2009 dagegen erhobenen Rekurs hiess das Strafgericht Basel-Stadt, ausserordentliche Rekurskammer, am 15. März 2011 zwar teilweise gut. Es stellte das Strafverfahren jedoch (gestützt auf eine vom Einspracheentscheid abweichende Begründung) ein und bestätigte insofern die erstinstanzliche Verfügung. Auf die von der Beschwerdeführerin gegen den Rekursentscheid erhobene Beschwerde trat das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsidentin, mit Entscheid vom 12. März 2012 nicht ein. Gegen diesen Nichteintretensentscheid richtet sich die am 21. Mai 2012 beim Bundesgericht erhobene Beschwerde.
Der private Beschwerdegegner und die Vorinstanz beantragen je die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Die Staatsanwaltschaft hat sich nicht vernehmen lassen. Die Beschwerdeführerin replizierte am 13. Juli 2012.
3. Ist ein Entscheid vor Inkrafttreten der StPO (1. Januar 2011) gefällt worden, so werden Rechtsmittel dagegen nach bisherigem Recht und von den bisher zuständigen Behörden beurteilt (Art. 453 Abs. 1 StPO). Die hier streitige Verfügung (betreffend Nichteintreten auf eine Strafanzeige) datiert vom 20. August 2009, der diesbezügliche Einspracheentscheid vom 31. August 2009, weshalb die dagegen erhobenen Rechtsmittel altrechtlich, nach den Bestimmungen der baselstädtischen Strafprozessordnung, zu beurteilen sind.
Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin kommt es für die Frage, ob ein Entscheid vor dem 1. Januar 2011 gefällt wurde, auf das Datum des erstinstanzlichen Entscheides an, nicht auf dasjenige des Rekursentscheides (BGE 137 IV 145 E. 1.1 S. 147; 219 E. 1.1 S. 221; 352 E. 1.2 S. 355; je mit Hinweisen). Dass für die intertemporalrechtliche Anwendung des BGG spezifische Regeln gelten, vermag daran nichts zu ändern und beruht auf der dort massgeblichen Vorschrift von Art. 132 Abs. 1 BGG (vgl. BGE 137 IV 219 E. 2.1 S. 222 mit Hinweisen). Ebenso wenig ist der Ansicht der Beschwerdeführerin zu folgen, beim Rekursentscheid vom 15. März 2011 handle es sich um einen "eigenständigen erstinstanzlichen" Entscheid, da der Rekurs teilweise gutgeheissen (bzw. die erstinstanzliche Verfügung der Staatsanwaltschaft mit einer abweichenden Begründung bestätigt) worden sei.
4. Zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie auf die Beschwerde gegen den Rekursentscheid nicht eingetreten ist. Die Vorinstanz legt dar, dass altrechtlich kein weiteres kantonales Rechtsmittel gegen den Rekursentscheid zulässig ist. Insbesondere geht es hier nicht um ein erstinstanzliches Gerichtsurteil (im Sinne von § 186 lit. b StPO/BS). Die neurechtlichen Bestimmungen von Art. 393 ff. StPO (betreffend Beschwerde an die kantonale Beschwerdeinstanz) sind nicht anwendbar. Die einschlägigen Übergangsbestimmungen der StPO sehen keinen "kumulativen" Beschwerdeweg über die altrechtlichen und die neurechtlich zuständigen Rekursinstanzen vor (vgl. Art. 453 Abs. 1 StPO). Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin folgt weder aus Art. 448 Abs. 1 StPO noch aus Art. 454 Abs. 2 StPO etwas Gegenteiliges. Art. 448 Abs. 1 StPO behält ausdrücklich die spezifischen intertemporalrechtlichen Bestimmungen für hängige Rechtsmittelverfahren als "leges speciales" vor. Auch aus Art. 80 Abs. 2 BGG lässt sich im vorliegenden Zusammenhang nichts anderes ableiten, zumal für die kantonale Behördenorganisation ebenfalls das alte Recht übergangsrechtlich weiterdauert (Art. 453 Abs. 1 StPO).
Weitere kantonalrechtliche Eintretensfragen, die nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides bilden (etwa zur Beschwerdelegitimation der Beschwerdeführerin) sind nicht zu prüfen. Das materiellrechtliche Vorbringen der Beschwerdeführerin, die Rekurskammer des Strafgerichts sei bei ihrem (den rekurrierenden Ehemann der Beschwerdeführerin betreffenden) Entscheid vom 15. März 2011 nicht gesetzeskonform besetzt gewesen, bildet nicht Gegenstand des angefochtenen Nichteintretensentscheides des Appellationsgerichts. Im Übrigen legt die Beschwerdeführerin selber dar, dass sie sich am altrechtlichen Strafuntersuchungsverfahren bzw. am Rekursverfahren gegen das Nichteintreten auf die Strafanzeige gar nicht beteiligt hatte.
5. Der angefochtene Nichteintretensentscheid erweist sich als bundesrechtskonform. Die dagegen erhobene Beschwerde ist als offensichtlich unbegründet abzuweisen.
Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der anwaltlich vertretene private Beschwerdegegner hat sich mit einer Vernehmlassung am Verfahren vor Bundesgericht beteiligt. Es ist ihm dafür eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat dem privaten Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 1'500.-- (pauschal, inkl. MWST) zu entrichten.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. November 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster