Sachverhalt:
A. In der von X._ gegen die Einwohnergemeinde A._ eingeleiteten Betreibung Nr. yyy des Betreibungsamtes B._ (Zahlungsbefehl vom 8. Juni 2007) erteilte der Richter in Schuldbetreibung und Konkurs am Bezirksgericht B._ mit Entscheid vom 16. August 2007 definitive Rechtsöffnung für einen Forderungsbetrag von Fr. 1'772.-- nebst Zins zu 5 % seit 27. Juni 2007 sowie für Verzugszins von Fr. 210.10 und Fr. 15.80 und für die Kosten des Zahlungsbefehls von Fr. 70.--.
Die Einwohnergemeinde A._ erhob Nichtigkeitsklage, worauf der Einzelrichter am Kantonsgericht Wallis als Kassationsbehörde am 8. Januar 2008 erkannte, dass der Rechtsöffnungsentscheid vom 16. August 2007 aufgehoben und die Sache zur Neubeurteilung an den Rechtsöffnungsrichter zurückgewiesen werde (Dispositiv-Ziffer 1). Die Kosten des kantonsgerichtlichen Verfahrens wurden X._ auferlegt (Dispositiv-Ziffer 2), und dieser wurde ausserdem verpflichtet, der Einwohnergemeinde X._ eine Parteientschädigung zu zahlen (Dispositiv-Ziffer 3).
B. Mit Eingabe vom 1. Februar 2008 erhebt X._ "Beschwerde" und verlangt die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Urteils vom 8. Januar 2008. Ausserdem ersucht er darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Als Entscheid in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegt der angefochtene Entscheid an sich der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG).
1.1 Grundsätzlich ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur gegen Endentscheide, d.h. gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen, zulässig (Art. 90 BGG), gegen (selbständig eröffnete) Vor- oder Zwischenentscheide in der Regel nur dann, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG).
Mit dem hier angefochtenen Urteil des Kantonsgerichts wurde die Sache zur Neubeurteilung an den zuständigen Rechtsöffnungsrichter zurückgewiesen. Es handelt sich demnach nicht um einen End-, sondern um einen Zwischenentscheid. Aus den nachstehenden Darlegungen wird sich ergeben, dass aufgrund der Ausführungen der kantonalen Kassationsinstanz, wonach die Rechtsöffnung zu verweigern sei, dem Rechtsöffnungsrichter keine Entscheidungsfreiheit zusteht. Wie schon nach der Rechtsprechung zum Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) rechtfertigt es sich auch unter der Herrschaft des seit dem 1. Januar 2007 geltenden Bundesgerichtsgesetzes, in einem solchen Fall die Beschwerde gegen den Rückweisungsentscheid zuzulassen (BGE 134 III 136 E. 1.2 S. 138).
1.2 In einer vermögensrechtlichen Angelegenheit der vorliegenden Art ist die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Letzteres trifft hier nicht zu. Da kein Ausnahmefall nach Art. 74 Abs. 2 BGG dargetan ist, der Beschwerdeführer namentlich selbst nicht etwa geltend macht, es gehe um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), ist die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 BGG). Der Beschwerdeführer ist zu deren Erhebung insofern legitimiert, als er am Verfahren vor Kantonsgericht teilgenommen und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Abänderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. a und b BGG), zumal darin der zu seinen Gunsten lautende Rechtsöffnungsentscheid aufgehoben wurde.
2. 2.1 Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Nach der gemäss Art. 117 BGG auch für dieses Verfahren geltenden Bestimmung von Art. 106 Abs. 2 BGG prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist. Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 III 393 E. 6 S. 397). Bei der Willkürrüge (Art. 9 BV) ist in der erwähnten Form aufzuzeigen, inwiefern der kantonale Entscheid offensichtlich unhaltbar sein, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen bzw. eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzen oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufen soll (BGE 133 I 149 E. 3.1 S. 153 mit Hinweisen). Auf rein appellatorische Kritik, wie sie allenfalls in einem Berufungsverfahren zulässig ist, wird nicht eingetreten (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
2.2 Nach Art. 118 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht (auch im Falle der subsidiären Verfassungsbeschwerde) seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann diese Sachverhaltsfeststellung nur dann berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 116 BGG beruht (Art. 118 Abs. 2 BGG), d.h. gegen verfassungsmässige Rechte, namentlich gegen das Willkürverbot (Art. 9 BV) verstösst. Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Instanz, die den dargelegten Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten.
3. Der Beschwerdeführer reicht verschiedene Schriftstücke neu ein. Gemäss Art. 99 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 117 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (im gleichen Sinne schon die Praxis zur staatsrechtlichen Beschwerde: BGE 128 I 354 E. 6c S. 357 mit Hinweisen). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die erwähnte Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Beweismitteln erfüllt sein soll (BGE 133 III 393 E. 3 S. 395). Der Beschwerdeführer hat dies unterlassen und begnügt sich mit der Behauptung, die Voraussetzungen von Art. 99 Abs. 1 BGG seien gegeben. Die neu eingereichten Schriftstücke sind daher unbeachtlich.
4. Für eine Forderung, die auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Urteil beruht, wird definitive Rechtsöffnung erteilt, wenn nicht der Betriebene durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Urteils getilgt oder gestundet worden ist, oder die Verjährung anruft (Art. 81 Abs. 1 SchKG).
4.1 Nach den Feststellungen der kantonalen Instanzen liegen dem Rechtsöffnungsbegehren Sozialhilfeansprüche für die Periode August 2006 bis Juni 2007 zugrunde. Rechtsöffnungstitel im Sinne von Art. 80 SchKG hatte der Rechtsöffnungsrichter im Unterstützungsentscheid der Beschwerdegegnerin vom 27. Juli 2006, der rechtskräftig sei, in einem Urteil des Kantonsgerichts vom 10. Mai 2007 und in einem Staatsratsentscheid vom 30. Mai 2007 erblickt. Er hatte festgehalten, dass dem Beschwerdeführer gemäss der genannten Verfügung vom 27. Juli 2006 von August bis Dezember 2006 monatlich Fr. 955.-- (gesamthaft Fr. 4'775.--) zugestanden hätten. Aus dem Schreiben des Sozialmedizinischen Zentrums (SMZ) C._ vom 26. Juni 2007 ergebe sich, dass der Beschwerdeführer ab Januar 2007 Anspruch auf monatlich Fr. 886.-- gehabt habe, was für die sechs Monate bis und mit Juni 2007 Fr. 5'316.-- ausgemacht habe. Für die ganze Periode habe dem Beschwerdeführer somit ein Gesamtbetrag von Fr. 10'091.-- zugestanden.
Auf der anderen Seite war der Rechtsöffnungsrichter davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer nach eigenen Angaben am 28. Juli 2006 Fr. 231.-- ausbezahlt erhalten habe. Unbestritten sei ferner, dass mit Datum vom 1. Juni 2007 ein Betrag von Fr. 5'240.-- und mit Datum vom 26. Juni 2007 vom SMZ C._ ein weiterer Betrag von Fr. 2'872.-- überwiesen worden seien. Offen sei demnach ein Saldo von Fr. 1'748.--, für den definitive Rechtsöffnung zu erteilen sei. Die in der Abrechnung des SMZ C._ vom 26. Juni 2007 - für in den Monaten August bis Oktober 2006 bezahlte Mieten (von monatlich Fr. 1'800.--) - geltend gemachte Verrechnung im Gesamtbetrag von Fr. 2'766.-- (die sich darin äusserte, dass das Guthaben des Beschwerdeführers für die genannten drei Monate mit null eingesetzt worden war) hatte der Rechtsöffnungsrichter mit der Begründung nicht zugelassen, dass gemäss Staatsratsentscheid vom 30. Mai 2007 eine Rückforderung der Mieten unzulässig sei, die Verrechnung einer solchen jedoch gleichkomme.
4.2 Im angefochtenen Urteil hat das Kantonsgericht die Nichtigkeitsklage der Beschwerdegegnerin geschützt, weil der Rechtsöffnungsrichter verkannt habe, dass der Staatsrat in seinem Entscheid vom 30. Mai 2007 festgehalten habe, dem Beschwerdeführer sei zusätzlich zu den Beträgen, die ihm nach der Verfügung über die Sozialhilfe zugestanden hätten, ein Betrag von Fr. 2'766.-- überwiesen worden. Daraus erhelle, dass die Sozialhilfe für die fraglichen Monate geleistet worden und nicht zusätzlich geschuldet sei. Das gehe auch aus der Abrechnung des SMZ C._ vom 26. Juni 2007 hervor, wonach die Mieten für die Monate August, September und Oktober 2006 direkt bezahlt worden seien, und zwar im Betrag von insgesamt Fr. 5'631.-- (je Fr. 1'800.-- und zusätzlich Fr. 231.--), obwohl die Mieten im Sozialhilfebetrag von monatlich Fr. 955.- berücksichtigt seien. Daraus folge, dass mit den Fr. 5'631.-- der jeweilige Sozialhilfebetrag für die erwähnten drei Monate (insgesamt Fr. 2'865.--) geleistet worden sei und mithin nicht mehr als Guthaben habe angerechnet werden müssen und dass darüber hinaus die Summe von Fr. 2'766.-- (Differenz zwischen Fr. 5'631.-- und Fr. 2'865.--) bezahlt worden sei, die gemäss Entscheid des Staatsrates nicht mehr zurückgefordert werden könne.
5. Der Beschwerdeführer wirft dem Kantonsgericht eine Verletzung von Art. 67 Abs. 1 der Walliser Zivilprozessordnung (ZPO) vor, wonach die Parteien nach Massgabe des Gesetzes gleichmässig Anspruch auf rechtliches Gehör haben. Die Auslegung und Anwendung dieser Bestimmung des kantonalen Verfahrensrechts prüft das Bundesgericht einzig aus der Sicht des Willkürverbots (Art. 116 BGG; Art. 9 BV). Ein Mindestanspruch auf rechtliches Gehör ergibt sich ebenfalls unmittelbar aus Art. 29 Abs. 2 BV, dessen allfällige Verletzung das Bundesgericht mit freier Kognition prüft (BGE 131 I 185 E. 2.1 S. 188; 124 I 49 E. 3a S. 51, mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was darauf schliessen liesse, dass sich aus der angerufenen kantonalen Bestimmung ein Anspruch ergäbe, der über die Minimalgarantie von Art. 29 Abs. 2 BV hinausginge. Die Beschwerde ist daher im Lichte dieser Verfassungsbestimmung zu beurteilen.
5.1 Art. 29 Abs. 2 BV gebietet, dass das Gericht die rechtserheblichen Vorbringen der Parteien anhört und bei der Entscheidfindung berücksichtigt (BGE 124 I 241 E. 2 S. 242). Damit sich die Parteien ein Bild über die Erwägungen des Gerichts machen können, hat dieses ferner seinen Entscheid zu begründen. Dabei ist jedoch nicht erforderlich, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr genügt es, wenn sich aus den Erwägungen ergibt, dass und warum das Gericht die Darstellung einer Partei nicht für stichhaltig erachtet hat, damit diese den Entscheid sachgerecht anfechten kann (BGE 129 I 232 E. 3.2 S. 236 mit Hinweisen).
5.2 Der sinngemäss erhobene Vorwurf, das Kantonsgericht habe sich mit verschiedenen Ausführungen in der Stellungnahme zur Nichtigkeitsklage nicht auseinandergesetzt, ist insofern nicht rechtsgenügend begründet, als der Beschwerdeführer auf einzelne Stellen der erwähnten Eingabe verweist, ohne jedoch darzulegen, inwieweit jene Vorbringen für die Fragen, die von der Vorinstanz zu beurteilen waren, rechtserheblich gewesen sein sollen. In der erwähnten Stellungnahme hatte der Beschwerdeführer unter anderem darauf hingewiesen, dass der Staatsratsentscheid vom 30. Mai 2007 nicht rechtskräftig sei. Indessen hatte er nicht dargelegt, inwiefern diese Tatsache dem von der Gegenpartei in der Nichtigkeitsklage Vorgebrachten entgegenstehen soll. Vollkommen unverständlich ist im Übrigen die Auffassung des Beschwerdeführers, aus der fehlenden Rechtskraft des Staatsratsentscheids ergebe sich, dass die Beschwerdegegnerin die von ihr zuviel ausbezahlten Beträge seinen Ansprüchen nicht verrechnungsweise entgegenhalten könne. Dass die Vorinstanz den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör missachtet hätte, ist nach dem Gesagten auf jeden Fall nicht dargetan.
6. Unter Berufung auf Art. 97 Abs. 1 BGG (in Betracht fiele ohnehin einzig Art. 118 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 116 BGG; s. oben E. 2.2) macht der Beschwerdeführer sodann eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts geltend. Das dazu Ausgeführte läuft indessen ausschliesslich auf den Vorwurf hinaus, es seien aus den tatsächlichen Gegebenheiten unzutreffende rechtliche Schlüsse gezogen worden. Im Wesentlichen rügt er, dass das Kantonsgericht der Beschwerdegegnerin in Missachtung des Staatsratsentscheids vom 30. Mai 2007 und in Verletzung von Art. 81 Abs. 1 SchKG zugestanden habe, der von ihm in Betreibung gesetzten Forderung verrechnungsweise einen zuviel ausbezahlten Betrag entgegenzuhalten. Indessen setzt er sich mit den Erwägungen der Vorinstanz nicht hinreichend auseinander und legt er insbesondere nicht dar, inwiefern deren Auffassung, die Beschwerdegegnerin habe ihm für die Monate August, September und Oktober 2006 nicht nur die Sozialhilfeleistungen von monatlich Fr. 955.-- zukommen lassen, sondern darüber hinaus noch einen (nicht geschuldeten) Betrag von Fr. 2'766.--, so dass die von ihm in Betreibung gesetzte Forderung getilgt sei, willkürlich sein soll.
7. Der Beschwerdeführer ficht ausdrücklich auch die kantonsgerichtliche Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen an. Indessen unterlässt er, die Beschwerde in diesem Punkt zu begründen. Namentlich legt er nicht etwa dar, dass die Auferlegung von Kosten und Parteientschädigung auch bei Gutheissung der Nichtigkeitsklage der Gegenpartei willkürlich wäre.
8. Soweit auf die Beschwerde einzutreten ist, ist sie nach dem Gesagten abzuweisen. Sie erschien unter den dargelegten Umständen von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG). In Anbetracht der wirtschaftlichen Verhältnisse des Beschwerdeführers ist von einer Auferlegung der Gerichtskosten jedoch abzusehen (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Da keine Vernehmlassungen eingeholt worden und der Beschwerdegegnerin somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, wird abgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Wallis (Kassationsbehörde) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Mai 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel