Erwägungen:
1. Das Verhöramt des Kantons Schwyz führt gegen X._ eine Strafuntersuchung und bestellte ihm mit Verfügung vom 5. Februar 2009 einen amtlichen Anwalt. Gegen die Verteidigerernennung erhob X._ Beschwerde, auf welche die Staatsanwaltschaft des Kantons Schwyz mit Verfügung vom 20. August 2009 nicht eintrat. Dagegen erhob X._ Beschwerde. Das Kantonsgericht Schwyz trat darauf mangels hinreichender Begründung mit Verfügung vom 10. März 2010 nicht ein.
2. X._ führt mit Eingabe vom 16. April 2010 (Postaufgabe 18. April 2010) Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung des Kantonsgerichts Schwyz vom 10. März 2010. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Streitig ist ein Nichteintreten auf eine Beschwerde im Zusammenhang mit der Bestellung eines amtlichen Verteidigers. Soweit der Beschwerdeführer Anträge stellt, die über den Streitgegenstand hinausgehen, ist darauf von vornherein nicht einzutreten.
4. Die angefochtene Verfügung ist im Rahmen eines Strafverfahrens gegen den Beschwerdeführer ergangen. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer nicht abschliesst.
4.1 Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (s. dazu Art. 92 BGG), ist die Beschwerde ans Bundesgericht gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder - was indes hier von vornherein ausser Betracht fällt - wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
4.2 Im Verfahren der Beschwerde in Strafsachen muss der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG nicht bloss tatsächlicher, sondern rechtlicher Natur sein (BGE 133 IV 139 E. 4 S. 141). Der Beschwerdeführer hat dabei die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG darzulegen (BGE 134 III 426 E. 1.2; 133 III 629 E. 2.3.1). Vorliegend äussert sich der Beschwerdeführer nicht, inwiefern die angefochtene Verfügung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte. Die Beschwerde enthält somit keine hinreichende Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5. Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Kantonsgericht Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. April 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli