Faits:
A. R._, né en 1954, a été engagé par X._, en qualité d'auxiliaire, au poste de responsable de la communication pour une durée déterminée (du 15 février 2001 au 31 décembre 2001). Son engagement a été reconduit jusqu'au 31 décembre 2002. Le 7 janvier 2003, le Conseil d'Etat l'a mis au bénéfice d'un engagement de durée indéterminée. Le 9 avril 2008, l'intéressé a été nommé fonctionnaire avec effet au 1er janvier 2008 pour la période administrative en cours.
R._ a été incapable de travailler pour cause de maladie à partir du 14 février 2011. Il n'a plus repris le travail. Par décision du 28 septembre 2011, le Conseil d'Etat a résilié ses rapports de service. Cette décision faisait notamment référence à un rapport du 22 août 2011 dans lequel S._, supérieur hiérarchique de l'intéressé, indiquait que celui-ci n'avait pas rempli les objectifs qui lui avaient été assignés le 15 décembre 2010. Le 19 octobre 2011, le Conseil d'Etat a rendu une deuxième décision, annulant et remplaçant celle du 28 septembre 2011 et reportant au 31 janvier 2012 la date de cessation des rapports de service. Le Conseil d'Etat a retiré l'effet suspensif à un recours éventuel.
B. R._ a successivement recouru contre ces décisions devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais. La juridiction cantonale a joint les causes. Le 15 décembre 2011, elle a restitué l'effet suspensif aux recours. Statuant au fond le 12 avril 2012, elle a déclaré irrecevable le recours contre la décision du 28 septembre 2011, au motif qu'il était sans objet (cause A1 11 228). Elle a admis le recours en tant qu'il était dirigé contre la décision du 19 octobre 2011, qu'elle a réformée en ce sens que la résiliation prononcée par le Conseil d'Etat prendrait effet au 14 mai 2012 (cause A1 11 255).
C. L'Etat du Valais exerce un recours en matière de droit public par lequel il conclut, principalement, à l'annulation de l'arrêt cantonal et à la confirmation de la décision du Conseil d'Etat du 19 octobre 2011. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des motifs, le tout sous suite de frais et dépens.
R._ conclut au rejet du recours et à la confirmation du jugement cantonal, sous suite de frais et dépens. Le tribunal cantonal met en doute la recevabilité du recours. Sur le fond, il conclut à son rejet.
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public, lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. En procédure cantonale, l'intéressé a conclu principalement à sa réintégration. Dans cette mesure, il s'agit d'une contestation pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La valeur litigieuse est déterminée, en cas de recours contre une décision finale, par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF). On doit ainsi admettre que la valeur litigieuse, devant l'autorité précédente, portait sur plusieurs mois voire plusieurs années de salaire. Par conséquent, le seuil requis par l'art. 85 al. 1 let. b LTF est largement dépassé.
2. Le tribunal cantonal met en doute la recevabilité du recours en faisant valoir que l'obligation de payer le traitement à l'intimé découle de la restitution de l'effet suspensif aux recours prononcée par la juridiction cantonale. En réalité, ce grief relève de la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF, qui suppose notamment que la partie recourante ait un intérêt actuel digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision entreprise. Cet intérêt actuel doit exister non seulement au moment du dépôt du recours, mais encore au moment où l'arrêt est rendu (ATF 137 I 23 consid. 1.3.1 p. 24). Or, l'intérêt actuel de l'Etat du Valais peut résider dans le fait que, s'il obtenait gain de cause, il pourrait éventuellement réclamer le remboursement des salaires versés postérieurement au 31 janvier 2012 en vertu de l'effet suspensif restitué par la juridiction cantonale. Pour cette raison on doit admettre que le recourant a un intérêt actuel et digne de protection à recourir.
3. Par ailleurs, en sa qualité d'employeur, l'Etat du Valais a qualité pour recourir dans le litige qui l'oppose à l'intimé. En effet, la jurisprudence concernant la recevabilité du recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF, notamment art. 89 LTF) retient que la collectivité publique, en tant qu'employeur, n'agit certes pas au même titre qu'un particulier dans une contestation découlant des rapports de travail régis par le droit public, mais qu'elle a néanmoins un intérêt spécifique digne de protection à l'annulation ou à la modification d'une décision d'un tribunal favorable à son agent (ATF 134 I 204 consid. 2.3 p. 206 s.).
4. L'art. 58 de la loi sur le personnel de l'Etat du Valais du 19 novembre 2010 (LcPers; RS/VS 172.2) prévoit ceci sous le titre «Résiliation ordinaire par l'employeur d'un engagement de durée indéterminée»:
1 Après le temps d'essai, l'autorité compétente peut résilier un engagement de durée indéterminée moyennant le respect d'un délai de trois mois pour la fin d'un mois, et l'existence d'un motif de résiliation.
2 Un tel motif existe notamment dans les cas suivants:
a) manquements répétés ou persistants dans les prestations et/ou dans le comportement;
b) aptitudes ou capacités insuffisantes à accomplir les tâches liées à la fonction;
c) disparition de l'une des conditions d'engagement fixées dans la loi ou dans la décision d'engagement.
Quant à l'art. 59 de cette même loi, il dispose, sous le titre «Résiliation par l'employeur d'un engagement de durée indéterminée en cas d'incapacité durable de travail», ce qui suit:
1 En cas d'incapacité durable de travail par suite de maladie ou d'accident, l'autorité compétente résilie l'engagement pour une date correspondant à celle de l'extinction du droit au traitement.
2 Demeure réservé, cas échéant, un éventuel réengagement total ou partiel, en cas de récupération totale ou partielle de la capacité de travail, pour autant qu'un poste correspondant au profil de l'employé soit disponible.
Le versement du traitement en cas de maladie est réglé à l'art. 12 de la loi du 12 novembre 1982 fixant le traitement des employés de l'Etat du Valais (LTrE; RS/VS 172.4). L'alinéa 2 de cette disposition prévoit qu'il n'y a pas de réduction de traitement pour l'employé en activité au moins depuis trois ans si la maladie dure douze mois au plus, samedis, dimanches et jours fériés compris; ce laps de temps écoulé, le traitement est réduit de la moitié et versé encore pendant trois mois; dès un an et trois mois ou treize mois et demi, il n'est plus servi de rétribution.
5. 5.1 Pour les premiers juges, la loi réglemente différemment deux situations: l'art. 58 al. 1 LcPers astreint l'employeur à verser le salaire pendant les trois mois du délai de résiliation de l'engagement de durée indéterminée d'un employé valide dont il est insatisfait. L'art. 59 al. 1 LcPers, en relation avec l'art. 12 al. 2 LTrE, étend le délai de résiliation si l'employeur veut se séparer d'un collaborateur devenu durablement incapable de travailler, mais qui, à l'instar de l'intimé, a exercé plus de trois ans son activité au service de l'Etat. Aussi bien le tribunal cantonal a-t-il considéré que le licenciement de l'intimé se justifiait en vertu de l'art. 59 al. 1 LcPers, mais non en application de l'art. 58 al. 1 LcPers. Par conséquent, le délai de résiliation devait être calculé d'après l'art. 12 al. 2 LTrE. L'intéressé avait droit à l'entier de son traitement durant douze mois (du 14 février 2011 au 14 février 2012) et à la moitié de son traitement durant trois mois (du 14 février 2012 au 14 mai 2012). Son droit s'éteignait au plus tard le 14 mai 2012, ce qui correspond à la date pour laquelle le Conseil d'Etat pouvait le licencier au plus tôt en appliquant correctement l'art. 59 al. 1 LcPers.
5.2 Le recourant invoque une application arbitraire par les premiers juges du droit cantonal. Selon lui, l'art. 59 LcPers concerne exclusivement des situations où la résiliation est prononcée pour cause d'une incapacité de travail durable par suite de maladie ou d'accident. Cette disposition n'est pas applicable si la résiliation ou la fin de l'engagement repose - comme en l'espèce - sur un autre motif. L'interprétation des premiers juges rendrait pratiquement inapplicable, dans la plupart des cas, l'art. 58 LcPers. En effet, selon l'expérience générale, l'ouverture d'une procédure de résiliation au sens de cette disposition provoque la production par l'employé concerné d'un certificat d'incapacité de travail. Tout en admettant que l'arrêt attaqué n'a que de faibles incidences dans le cas concret (le délai de résiliation est seulement prolongé pour une durée de trois mois et demi), le recourant est de l'avis que si la solution retenue devait être confirmée, cela aurait des conséquences néfastes dans la gestion du personnel de l'ensemble de l'Etat du Valais.
5.3 Le recours en matière de droit public devant le Tribunal fédéral ne peut pas être interjeté pour violation du droit cantonal en tant que tel, mais il est possible de faire valoir qu'une mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (ATF 135 III 513 consid. 4.3 p. 521 s.; 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (ATF 132 III 209 consid. 2.1 p. 211; 131 I 57 consid. 2 p. 61). S'agissant de la manière dont le droit cantonal a été appliqué, il ne faut pas confondre arbitraire et violation de la loi: une violation doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être considérée comme arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à examiner quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement dire si l'interprétation qui a été opérée est défendable. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire préférable (ATF 132 I 13 consid. 5.1 p. 17; 131 I 217 consid. 2.1 p. 219).
5.4 Du jugement attaqué, il ressort que l'intimé a eu, vers la fin de l'année 2010, un entretien avec son supérieur hiérarchique, S._, et le directeur général de X._, B._. A cette occasion, l'intéressé a été placé devant l'alternative suivante: ou bien il présentait sa démission de son poste et bénéficiait du soutien de son employeur dans la recherche d'un nouvel emploi, ou bien il assumait pleinement ses fonctions de responsable du service de la communication, conformément à son cahier des charges, étant précisé que la non-réalisation d'objectifs définis aurait pour conséquence un licenciement. L'intéressé a opté pour cette seconde solution, tout en demandant un appui sous la forme d'un «coaching». Les objectifs ont été fixés d'un commun accord le 15 décembre 2010 avec des échéances au 28 février 2011 et 15 mai 2011. L'intimé est tombé malade le 14 février 2011 et n'est plus revenu travailler. Le 22 août 2011, S._ a informé B._ que les objectifs en question n'avaient pas pu être atteints en raison de l'absence de l'employé. Le 29 août 2011, B._, se référant à un entretien du 25 août précédent, a confirmé à l'intéressé la volonté de la direction générale de X._ de proposer au Conseil d'Etat de résilier ses rapports de service pour la fin de l'année. Après que l'intimé se fut déterminé, le Conseil d'Etat a résilié ses rapports de service pour le 31 décembre 2011 (décision du 28 septembre 2011). Il a reporté le délai de congé au 31 janvier 2012 par une décision ultérieure, du 19 octobre 2011.
5.5 Contrairement à ce que paraît suggérer le recourant, le Tribunal fédéral n'a pas à trancher de manière générale et abstraite la relation entre les art. 58 et 59 LcPers. C'est au regard des circonstances du cas concret qu'il doit examiner si les premiers juges ont fait une application arbitraire du droit cantonal. Tel n'est pas le cas. Il est certes possible que l'incapacité de travail de l'intimé - dont le Conseil d'Etat ne conteste pas la réalité - soit due aux problèmes que l'intéressé a rencontrés dans son travail, en particulier les difficultés d'accomplir les tâches définies dans son cahier des charges et d'atteindre les objectifs qui lui avaient été assignés. Il est également possible que l'intimé, avant de tomber malade, pouvait s'attendre à être licencié à plus ou moins brève échéance s'il ne remplissait pas les objectifs fixés. Toujours est-il que le licenciement de l'intimé est intervenu plusieurs mois après le début de sa maladie. Au mois de février 2011 (début de l'incapacité de travail), aucune procédure de licenciement n'était ouverte. Dans de telles circonstances, il n'est pas insoutenable de juger prioritaire - comme l'ont fait les premiers juges - l'application de l'art. 59 LcPers et cela en dépit de prestations censément insuffisantes. En mettant l'accent sur le droit au traitement en cas de maladie, les premiers juges n'ont pas fait une application arbitraire du droit. En se limitant pour l'essentiel à invoquer des difficultés d'application, voire le risque d'abus que sous-tend son argumentation, le recourant ne parvient pas à démontrer le contraire. Au reste si l'employeur a des doutes au sujet de la capacité de travail de l'employé, il peut le soumettre à l'examen du médecin-conseil de la Caisse de pensions de l'Etat du Valais (art. 28 LcPers en corrélation avec l'art. 31 de l'ordonnance sur le personnel de l'Etat du Valais du 22 juin 2011 [RS/VS 172.200]). Le cas échéant il pourra l'inviter à reprendre le travail et conclure, en cas de refus, à une violation importante du devoir de fidélité (cf. RÉMY WYLER, Droit du travail, 2ème éd., 2008, p. 569).
6. De ce qui précède, il résulte que le recours est mal fondé. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il versera en outre à l'intimé une indemnité de dépens (art. 68 al 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimé une indemnité de dépens de 1'800 fr. pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lucerne, le 14 novembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Leuzinger
Le Greffier: Beauverd