Faits:
A.
Le 23 juin 2003, A.X._, ressortissante chilienne née en 1977, est entrée en Suisse en compagnie de son fiancé, B.X._, citoyen suisse né en 1979, qu'elle a épousé en 2003. Le couple s'est alors installé à Vevey. Le divorce des époux a été prononcé par jugement du 20 août 2009.
A.X._ a occupé différents postes comme employée d'entretien, livreuse de journaux, caissière et magasinière, et a bénéficié de revenus suffisants pour ne pas être financièrement dépendante de l'aide sociale. Elle a perçu des indemnités de l'assurance-chômage après le 31 juillet 2010.
B.
Le 22 décembre 2003, A.X._ a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial, autorisation de séjour qui a été régulièrement renouvelée jusqu'au 27 novembre 2008.
Auditionnée à la demande du Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) le 10 juillet 2007, A.X._ a déclaré qu'elle s'était séparée de son mari "juste avant Noël de l'année 2005", que le couple, qui n'a pas eu d'enfant, se disputait fréquemment depuis son arrivée en Suisse, notamment en raison de l'oisiveté du mari. En outre, bien qu'étant à l'origine de la séparation, elle aimait toujours son époux et espérait encore un changement du comportement de celui-ci. Quant à son intégration sociale, A.X._ a affirmé peu fréquenter sa communauté, mais passer du temps avec ses collègues de travail. Finalement, elle a souligné que toute sa famille, à l'exception de son mari et du frère de celui-ci, vivait au Chili. B.X._ a quant à lui indiqué être à l'origine de la séparation d'avec son épouse, séparation qui serait intervenue en novembre 2005 et aurait été justifiée par les violences verbales et physiques qu'il subissait régulièrement de la part de A.X._. Il a en outre relevé qu'une procédure de divorce était pendante.
Par lettre du 24 avril 2008, le Service cantonal a informé A.X._ de son intention de révoquer son autorisation de séjour, l'invitant toutefois à s'exprimer à ce sujet dans le cadre du droit d'être entendu. Par l'entremise de son mandataire, A.X._ a déposé des observations le 16 mai 2008. Elle y a affirmé être séparée de son mari depuis le mois de janvier 2007 seulement, avoir subi le comportement inapproprié de son époux, avoir été chassée du domicile conjugal, être autonome financièrement, maîtriser le français et être parfaitement intégrée. A l'appui de ses affirmations, elle a produit un contrat de bail débutant le 1er octobre 2006. A ce sujet, elle a précisé n'avoir emménagé dans son nouvel appartement que trois mois plus tard, car elle ne disposait pas des moyens financiers nécessaires en octobre 2006 pour le meubler. La prénommée a en outre versé en cause les trois commandements de payer qui lui ont été notifiés en novembre 2006, au domicile conjugal.
C.
Par décision du 5 novembre 2008, le Service cantonal a refusé la demande formelle déposée par A.X._ en renouvellement de son autorisation de séjour. Le 29 janvier 2010, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: le Tribunal cantonal) a admis le recours interjeté par A.X._ et réformé la décision du Service cantonal, retenant que les époux X._ avaient fait ménage commun jusqu'au mois de décembre 2006, que l'union conjugale avait ainsi duré plus de trois ans et que l'intégration de l'intéressée ne pouvait être mise en cause.
Faisant suite à cette décision de justice, le Service cantonal, dans un courrier daté du 8 février 2010, a indiqué à A.X._ qu'il transmettait le dossier à l'Office fédéral des migrations et que l'autorisation de séjour ne serait valable qu'une fois l'approbation de cet office donnée.
D.
Par décision du 24 mars 2010, l'Office fédéral des migrations a refusé de donner son approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour de A.X._ et prononcé son renvoi de Suisse. A l'appui de cette décision, l'autorité de première instance a retenu que l'union conjugale avait duré moins de trois ans et relevé que l'intéressée n'avait séjourné en Suisse que six ans et demi alors qu'elle avait passé les vingt-cinq premières années de sa vie au Chili, pays où vivait toute sa famille. S'agissant de l'intégration professionnelle de A.X._, si l'Office fédéral des migrations a souligné ses "louables" efforts en vue de parvenir à être financièrement autonome, il a toutefois conclu que l'intéressée ne disposait d'aucune qualification particulière et que son parcours professionnel n'avait rien d'exceptionnel. Finalement, l'autorité de première instance a estimé que l'exécution du renvoi de A.X._ de Suisse était possible, licite et raisonnablement exigible.
Par arrêt du 20 novembre 2012, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours de A.X._, retenant que si cette dernière avait séjourné au domicile conjugal jusqu'en janvier 2007, la volonté matrimoniale commune et la communauté conjugale effectivement vécue faisait défaut depuis le début de l'année 2006. La poursuite du séjour ne s'imposait pas pour des raisons personnelles majeures, ni pour un autre motif prévu par l'art. 31 OASA.
E.
A.X._ forme un "recours de droit public", par lequel elle conclut, sous suite de frais et dépens, à l'admission du recours, à l'annulation de l'arrêt rendu le 20 novembre 2012 par le Tribunal administratif fédéral et à sa réforme, dans le sens de l'approbation et de l'octroi d'une prolongation de son autorisation de séjour par l'Office fédéral des migrations. Elle requiert également le bénéfice de l'effet suspensif.
Par ordonnance du 7 janvier 2013, le Président de la IIe Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours.
Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à se déterminer et l'Office fédéral des migrations propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (cf. art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (cf. ATF 136 I 43 consid. 1 p. 43).
1.1. Le fait que la recourante a adressé au Tribunal fédéral un "recours de droit public", voie de droit qui n'existe plus depuis l'entrée en vigueur de la LTF, ne saurait lui nuire, pour autant que les conditions de recevabilité du recours en matière de droit public des art. 82 ss LTF soient remplies (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382; 133 I 300 consid. 1.2 p. 302 et les réf. citées).
1.2. Le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit (art. 83 let. c ch. 2 LTF). D'après la jurisprudence, il suffit qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et, partant, que la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179).
En l'occurrence, la question principale à trancher est de savoir si la recourante réunit les conditions de l'art. 50 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) dont elle se prévaut. En pareilles circonstances, il convient d'admettre un droit de recourir sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. La recourante a en effet potentiellement un droit à l'autorisation sollicitée, le point de savoir si c'est à juste titre que les autorités fédérales ont nié la réalisation des conditions de l'art. 50 LEtr relevant du fond et non de la recevabilité (ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179). Tel n'est en revanche pas le cas s'agissant de la violation alléguée de l'art. 30 LEtr, puisque cette disposition ne confère pas un droit à l'autorisation de séjour (arrêts 2C_68/2013 du 25 mars 2013 consid. 1.2, 2C_766/2009 du 26 mai 2010 consid. 4). En ce qui concerne cette disposition, le recours est donc irrecevable, dès lors que le recours constitutionnel subsidiaire est également exclu à l'égard d'un arrêt du Tribunal administratif fédéral (cf. art. 113 LTF a contrario).
1.3. Pour le surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue par le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF). Il a été formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Par conséquent, il est recevable en tant que recours en matière de droit public s'agissant de l'art. 50 LEtr.
2.
La recourante considère que l'instance précédente a admis à tort l'absence "de volonté patrimoniale (sic) commune jusqu'à la fin de l'année 2006", de sorte que sa décision repose sur une appréciation arbitraire des faits. Elle se réfère à l'arrêt rendu par la Cour de droit administratif du Tribunal cantonal, dont elle cite de larges extraits et soutient qu'en vertu d'une "durée de séjour commun" supérieure à trois ans, elle peut prétendre à la prolongation de son autorisation sur la base de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr.
2.1. Le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées (art. 97 al. 1 LTF). Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, la Cour de céans n'entrera pas en matière sur les critiques de nature appellatoire portant sur l'état de fait ou l'appréciation des preuves (ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104). Lorsque la partie recourante s'en prend à l'appréciation des preuves et à l'établissement des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
2.2. La recourante s'appuie sur les faits constatés par le Tribunal cantonal vaudois dont elle cite un large extrait constatant l'existence d'un domicile commun jusqu'en janvier 2007, pour en déduire la volonté matrimoniale commune.
Le Tribunal administratif fédéral confirme l'existence du domicile commun jusqu'en janvier 2007. Toutefois, il se base sur les propres déclarations de la recourante, qui corroborent celles de son mari, pour établir que ce dernier lui a demandé de quitter le domicile conjugal dès le début de l'année 2006 et retenir que la volonté de vivre en ménage commun a pris fin à cette date. La recourante ne conteste pas ces déclarations. Que son époux ait toléré son aide ou sa présence une année de plus ne permet pas à la recourante de prouver l'arbitraire dans l'établissement des faits, de sorte que le raisonnement juridique doit être mené sur la base des faits constatés dans l'arrêt attaqué (art. 105 al. 1 LTF).
2.3. L'union conjugale ayant duré moins de trois ans, soit de novembre 2003 à début 2006, point n'est besoin d'examiner si l'intégration de la recourante est réussie, les conditions d'application de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr étant cumulatives (ATF 136 II 113 consid. 3.3.3 p. 119, arrêt 2C_68/2013 du 25 mars 2013 consid. 1.2). La recourante ne peut donc fonder aucun droit sur l'art. 50 al. 1 let. a LEtr.
3.
3.1. Selon l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint et des enfants à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 subsiste si la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures. L'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr vise à régler les situations qui échappent aux dispositions de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, soit parce que le séjour en Suisse durant le mariage n'a pas duré trois ans ou parce que l'intégration n'est pas suffisamment accomplie ou encore parce que ces deux aspects font défaut mais que - eu égard à l'ensemble des circonstances - l'étranger se trouve dans un cas de rigueur après la dissolution de la famille (ATF 137 II 345 consid. 3.2.1 p. 348; 137 II 1 consid. 4.1 p. 7). Si l'étranger allègue un cas de rigueur survenant à la suite de la dissolution de la famille, en relation avec l'autorisation de séjour découlant du mariage, les raisons qui ont conduit à sa dissolution revêtent de l'importance. L'admission d'un cas de rigueur personnel survenant après la dissolution de la communauté conjugale suppose que, sur la base des circonstances d'espèce, les conséquences pour la vie privée et familiale de la personne étrangère liées à ses conditions de vie après la perte du droit de séjour découlant de la communauté conjugale (art. 42 al. 1 et 43 al. 1 LEtr) soient d'une intensité considérable (ATF 137 II 345). Le Tribunal fédéral a mis en lumière un certain nombre de situations dans lesquelles la poursuite du séjour en Suisse peut s'imposer. Celles-ci ne sont pas exhaustives (ATF 136 II 1 consid. 5.2 p. 3 s.). Parmi elles figurent notamment les violences conjugales, qui doivent revêtir une certaine intensité (ATF 136 II 1 consid. 5.3 p. 4), la réintégration fortement compromise dans le pays d'origine et le décès du conjoint (ATF 138 II 393 consid. 3 p. 495 et les réf. citées). Les critères énumérés par l'art. 31 al. 1 OASA peuvent également entrer en ligne de compte, même si, considérés individuellement, ils ne suffisent pas à fonder un cas de rigueur (ATF 137 II 345 consid. 3.2.3 p. 349).
3.2. En l'espèce, la communauté conjugale n'a pas été dissoute par la mort du conjoint et la recourante n'a jamais soutenu avoir été victime de violences conjugales. Seules les difficultés de réintégration de la recourante dans son pays d'origine pourraient justifier l'octroi d'une autorisation de séjour pour raisons personnelles majeures.
3.3. La recourante invoque des troubles anxio-dépressifs consécutifs à des abus sexuels commis par son père pour justifier que son retour dans sa famille n'est pas envisageable. Outre que de tels troubles n'ont pas été établis, ils ne suffisent à fonder des difficultés de réintégration de la recourante dans son pays d'origine, où ils pourront être soignés. Aucun autre élément ne vient confirmer que la réintégration sociale dans son pays d'origine peut être considérée comme fortement compromise. La recourante étant arrivée dans notre pays à l'âge de 26 ans, elle a passé toute son enfance et sa vie de jeune adulte à l'étranger. Bien qu'elle ait séjourné près de dix ans en Suisse, elle n'y a pas d'attaches particulières, hormis ses collègues de travail. Toute sa famille réside au Chili. Ainsi la recourante, qui n'a pas acquis de qualifications professionnelles spécifiques, est en mesure, comme l'a constaté l'instance précédente, de se réintégrer tant professionnellement que socialement dans son pays d'origine.
4.
Dans ces circonstances, en jugeant que la recourante ne pouvait se prévaloir de l'art. 50 al. 1 et 2 LEtr pour obtenir une prolongation de son autorisation de séjour, le Tribunal administratif fédéral a respecté le droit fédéral.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 65 al. 2 et 3 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante , à l'Office fédéral des migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III, ainsi qu'au Service de la population du canton de Vaud.
Lausanne, le 7 juin 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Cavaleri Rudaz