Erwägungen:
1. 1.1 Gestützt auf die am 17. Oktober 2003 mit einer Schweizer Bürgerin geschlossene Ehe erhielt der aus Gambia stammende X._ (geb. 1980) eine - letztmals bis zum 16. April 2007 verlängerte - Aufenthaltsbewilligung. Seit Dezember 2006 lebt er von seiner Ehefrau getrennt. Mit Blick darauf verweigerte das Amt für Migration des Kantons Basel-Landschaft am 28. März 2008 die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. In dem dagegen beim Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft erhobenen Rechtsmittel berief sich X._ nicht mehr auf seine Ehe, sondern darauf, dass er einen am 26. Juli 2007 ausserehelich geborenen Sohn namens A._ habe, der über das Schweizer Bürgerrecht verfüge, und den er einmal wöchentlich sehe und anrufe. Er habe die Vaterschaft über das Kind anerkannt. Der Regierungsrat wies sein Rechtsmittel am 11. November 2008 ab. Auch die anschliessend beim Kantonsgericht Basel-Landschaft erhobene Beschwerde blieb erfolglos.
1.2 X._ beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde vom 11. September 2009, die Entscheide des Kantonsgerichts vom 8. Juli 2009 und des Regierungsrates vom 11. November 2008 aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Der Regierungsrat und das Bundesamt für Migration ersuchen um Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das kantonale Amt für Migration hat sich nicht geäussert.
1.3 Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts erkannte der Beschwerde am 17. September 2009 hinsichtlich der Ausreiseverpflichtung antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zu.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer leitet aus der mit der Schweizer Bürgerin im Oktober 2003 geschlossenen Ehe, die bisher offenbar nicht geschieden wurde, aber nur noch formell besteht, zu Recht keine Ansprüche mehr ab. Deshalb ist hierauf nicht zurückzukommen. Es geht einzig darum, ob ihm die Beziehung zu seinem ausserehelichen Sohn aufgrund von Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV ein Aufenthaltsrecht zu verschaffen vermag. Sein im Inland lebender Sohn ist wie die Kindesmutter Schweizer Bürger. Der Beschwerdeführer führt mit ihnen keinen gemeinsamen Haushalt. In einem solchen Fall wird dem ausländischen Elternteil eine Aufenthaltsbewilligung erteilt, wenn er in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind pflegt, welche beim Verlassen der Schweiz praktisch nicht aufrecht erhalten werden könnte, und wenn sein bisheriges Verhalten zu keinen Klagen Anlass gegeben hat ("tadelloses Verhalten"; vgl. BGE 120 Ib 22 E. 4 S. 25 f.). Entgegen den Andeutungen des Beschwerdeführers darf die Bewilligung auch dann verweigert werden, wenn der Ausländer nur eine der erwähnten Bedingungen nicht erfüllt (vgl. Urteile des Bundesgerichts 2A.54/2007 vom 24. April 2007 E. 2.2 und 3; 2C_171/2009 vom 3. August 2009 E. 2). Daher erweist sich sein Hinweis auf den Bundesgerichtsentscheid 2C_248/ 2008 vom 2. Oktober 2008, wo es sowohl an einer besonders engen Beziehung als auch an einem tadellosen Verhalten fehlte, als unbehelflich.
2.2 Die Vorinstanz tendiert dahin, eine enge affektive und wirtschaftliche Beziehung zu bejahen, lässt dies aber letztlich offen. Wie der Regierungsrat erwog, sind hier allerdings Bedenken angebracht, ob neben den Unterhaltszahlungen ein einziger wöchentlicher Besuch und ein Telefonat mit der Mutter genügen. Die Entfernung zwischen den Wohnorten des Vaters und des Kindes ist nicht erheblich; ausserdem sind beide Elternteile, die offenbar miteinander auskommen, derzeit erwerbslos, so dass Gelegenheit zu weitaus mehr Kontakten bestünde (vgl. Urteil 2C_870/2008 vom 26. Mai 2009 E. 2.2.1). Die Frage der Intensität der Vater-Sohn-Beziehung braucht jedoch nicht endgültig beantwortet zu werden, denn das Fehlen einer anderen Voraussetzung rechtfertigt vorliegend die Verweigerung der begehrten Bewilligung.
2.3 Der Beschwerdeführer ist mehrfach vorbestraft. Er meint zwar, die Vorinstanzen hätten die Anzahl Gefängnistage, zu denen er verurteilt worden sei, unrichtig festgestellt; bei zwei Strafentscheiden seien früher ausgesprochene Freiheitsstrafen zur Bildung einer Gesamtstrafe nach aArt. 68 Ziff. 2 StGB herangezogen worden. Ob er nun nach seiner Darstellung - zusätzlich zu den unbestrittenen 120 Tagessätzen Geldstrafe - zu 60 Tagen Freiheitsstrafe oder gemäss den Feststellungen der Vorinstanz zu insgesamt 100 Tagen Gefängnis verurteilt wurde, spielt hier indes keine Rolle. Es steht auf jeden Fall fest, dass ihm kein tadelloses Verhalten bescheinigt werden kann.
Fehl geht der Einwand des Beschwerdeführers, die Delikte seien nicht schwerwiegender Natur gewesen und seit Anerkennung der Vaterschaft im April 2008 habe er keine mehr begangen, weshalb ihm eine gute Prognose zu seinem künftigen Wohlverhalten zu stellen sei. Zwar kann im Interesse des Kindes ein ganz geringfügiges bzw. weit zurückliegendes Ereignis allein einem Verbleib des Vaters in der Schweiz nicht entgegenstehen. Der Beschwerdeführer hat indes seit seiner Einreise fortwährend gegen das Gesetz verstossen. Das begann mit falschen Personal- und Herkunftsangaben anlässlich seines Asylgesuchs im Jahr 2001 und setzte sich sodann mit verschiedenem strafrechtlich relevantem Verhalten fort. Unter anderem veräusserte er - wenn auch geringfügige Mengen - Betäubungsmittel und scheute nicht vor Gewalt und Bedrohungen gegenüber Behörden und Beamten zurück. Selbst nach einer am 20. Mai 2005 ausgesprochenen fremdenpolizeilichen Verwarnung delinquierte er wiederholt weiter.
Die Vorinstanz hält schliesslich fest, dass der Beschwerdeführer am 11. Februar 2009 wegen einer am 18. Dezember 2008 begangenen Passfälschung (Art. 252 StGB) - also nach Anerkennung der Vaterschaft - zu einer weiteren Geldstrafe von 14 Tagessätzen verurteilt wurde. Letzterer macht zwar geltend, ein dagegen eingeleitetes Einspracheverfahren sei bis zum heutigen Zeitpunkt noch nicht abgeschlossen. Hiezu legt er aber keine Belege vor. Seiner Behauptung steht der in den Akten befindliche Urteilsauszug des Strafgerichts entgegen, wonach die Verurteilung seit dem 25. März 2009 rechtskräftig ist. Deshalb erweist sich die erwähnte Feststellung der Vorinstanz nicht als offensichtlich falsch (vgl. Art. 97 und 105 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255). Ungeachtet dessen kann trotzdem nicht davon die Rede sein, dass sich der Beschwerdeführer schon seit längerem bewährt hat, da die von ihm behauptete deliktsfreie Zeit erst seit April 2008 bestehen soll. Angesichts der wiederholten Störungen der öffentlichen Ordnung kann der Beschwerdeführer die ausnahmsweise Bewilligung seines weiteren Aufenthaltes in der Schweiz gestützt auf seine Kontakte zu seinem Sohn daher nicht verlangen. Dass er von seiner Heimat aus nicht mehr die gleich hohen Unterhaltsbeiträge wird leisten können, führt hier zu keiner anderen Beurteilung. Mutter und Kind bleiben auch mit dem monatlich geleisteten Unterhalt von Fr. 300.-- in erheblichem Masse auf anderweitige (öffentliche) Unterstützung angewiesen.
2.4 Demzufolge verstösst der angefochtene Entscheid weder gegen Bundesrecht noch gegen staatsvertragliche Garantien. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann daher im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG mit ergänzendem Hinweis auf die vorinstanzlichen Ausführungen behandelt werden. Wegen des Devolutiveffekts ist im Übrigen auf den Antrag, auch den Entscheid des Regierungsrates aufzuheben, nicht einzutreten (vgl. BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144 mit Hinweis).
3. Bei diesem Ausgang hat der Beschwerdeführer die - mit Blick auf seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse leicht reduzierten - Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 f. BGG). Zwar hat er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Dieses Gesuch ist jedoch ebenfalls abzuweisen, da seine Beschwerde aufgrund der dargestellten, schon im angefochtenen Urteil zutreffend wiedergegebenen Sach- und Rechtslage keine ernsthaften Erfolgsaussichten besass (vgl. Art. 64 BGG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (vgl. Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Januar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Merz