Sachverhalt:
A. Der 1951 geborene B._, als Managing Director in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Elvia Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, erlitt am 19. April 1999 einen Verkehrsunfall. Die linke vordere Ecke des von ihm gelenkten Oldsmobile kollidierte beim Einbiegen in eine Strasse mit einem vorbeifahrenden Lieferwagen. Der anderntags aufgesuchte Hausarzt diagnostizierte eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) bei vorbestehender Bewegungseinschränkung und bestätigte eine hälftige Arbeitsunfähigkeit ab dem Unfallzeitpunkt. Am 17. Mai 1999 nahm der Versicherte die Arbeit wieder vollumfänglich auf. Am 29. September 1999 konnte gemäss Hausarzt die Heilbehandlung abgeschlossen werden. Die Elvia erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Am 11. April 2000 meldete der Hausarzt der Elvia immer wieder auftretende Verspannungszustände im Bereich des cervicothoracalen Überganges nebst Schwindelzuständen mit Sehstörungen, Tinnitus, Benommenheit etc., welche Symptome wohl als Folge früherer Auffahrunfälle resp. des zuletzt diagnostizierten Schleudertraumas zu werten seien. Der Unfall sei daher "wieder zu aktivieren". Die Elvia gewährte erneut Heilbehandlung. Im September 2000 erwähnte der Versicherte gegenüber dem Versicherer ein weiteres Unfallereignis; er habe sich kurz nach dem Verkehrsunfall vom 19. April 1999, ca. im Mai/Juni 1999, den Kopf an einer Sprinkleranlage gestossen. In der Folge wurde vom Hausarzt ab 1. Mai 2001 eine Arbeitsunfähigkeit von 75 % bestätigt. Die Elvia und - als ihre Rechtsnachfolgerin - die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) trafen weitere Abklärungen zum Unfallgeschehen und zum medizinischen Sachverhalt. Im Oktober 2004 richtete die Allianz - unpräjudiziell und unter Vorbehalt einer Rückforderung - rückwirkend ab April 2004 Taggeld auf der Grundlage einer Arbeitsunfähigkeit von 75 % aus. Mit Verfügung vom 1. November 2004 eröffnete sie B._, die Versicherungsleistungen würden per 30. September 1999 eingestellt, und es bestehe kein Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung. Die nach dem 30. September 1999 erbrachten Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen würden zurückgefordert. B._ und sein Krankenversicherer erhoben je Einsprache. Die Allianz hiess die Einsprache des Versicherten teilweise gut, indem sie auf die Rückforderung erbrachter Leistungen verzichtete. Im Übrigen wies sie die Einsprachen mit der Begründung, es fehle an einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den Unfällen vom 19. April sowie Mai/Juni 1999 und den nach dem 30. September 1999 aufgetretenen Beschwerden, ab (Einspracheentscheid vom 22. Juni 2005).
B. Die von B._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen nach Durchführung eines zweifachen Schriftenwechsels und einer mündlichen Verhandlung mit Entscheid vom 8. November 2006 ab.
C. Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde lässt B._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides sei die Allianz zu verpflichten, die gesetzlichen Leistungen für die Folgen der Unfälle vom 19. April und Juni 1999 zu erbringen, insbesondere Taggeld bei einer Arbeitsunfähigkeit von 75 % ab 1. Mai 2001 nachzuzahlen und Heilbehandlung zu gewähren, sowie den Anspruch auf eine Invalidenrente entsprechend einer Erwerbsunfähigkeit von mindestens 75 % und auf eine Integritätsentschädigung bei einem Integritätsschaden von mindestens 40 % zu prüfen und festzulegen.
Die Allianz schliesst auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Der angefochtene Entscheid ist indessen vorher ergangen, weshalb sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943 (OG) richtet (Art. 132 Abs. 1 BGG; BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395).
2. Die Allianz begründet den Antrag, auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht einzutreten, damit, Anfechtungsobjekt sei der kantonale Gerichtsentscheid vom 8. November 2006. Soweit der Versicherte die Ausrichtung von Taggeld, einer Rente und einer Integritätsentschädigung geltend mache, fehle es an einem Anfechtungsgegenstand.
Dieser Einwand dürfte dahingehend zu verstehen sein, dass das kantonale Gericht über die besagten Leistungen nicht entschieden habe und daher hierüber keine letztinstanzliche Beurteilung erfolgen könne. Das trifft nicht zu. Im Einspracheentscheid vom 22. Juni 2005 hat die Allianz auch den Anspruch auf diese Geldleistungen verneint. Sodann wurde die hiegegen gerichtete Beschwerde vom kantonalen Gericht integral, einschliesslich der darin gestellten Anträge auf Zusprechung solcher Leistungen, abgewiesen. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ist daher hinsichtlich dieser Leistungsberechtigung zulässig. Gleiches gilt - unbestrittenermassen - in Bezug auf die geltend gemachte Heilbehandlung.
3. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus den Unfällen vom 19. April und Mai/Juni 1999 über den 30. September 1999 hinaus.
Die Rechtsgrundlagen hiefür sind im angefochtenen Entscheid, auf welchen verwiesen wird, zutreffend dargelegt. Es betrifft dies nebst den massgeblichen Bestimmungen namentlich die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (vgl. BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181) im Allgemeinen sowie bei Schleudertraumen und schleudertraumaähnlichen Verletzungen der HWS ohne organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolgen (BGE 117 V 359; RKUV 2000 Nr. U 395 S. 116 E. 3, U 160/98; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) im Besonderen. Nicht zu beanstanden sind auch die Erwägungen über die zu beachtenden Beweisregeln. Wie die Vorinstanz ebenfalls zutreffend ausführt, hat sich an den dargelegten Grundsätzen mit dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) am 1. Januar 2003 nichts geändert.
4. 4.1 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es fehle am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den Unfällen vom 19. April sowie Mai/Juni 1999 und den nach dem 30. September 1999 aufgetretenen Beschwerden, weshalb der natürliche Kausalzusammenhang nicht abschliessend beurteilt werden müsse. Die Adäquanz prüfte das Gericht, wie bereits der Unfallversicherer, nach der auf Schleudertraumen und äquivalente Verletzungen der HWS ohne organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolgen zugeschnittenen sog. Schleudertrauma-Praxis.
4.2 Die Anwendbarkeit dieser Praxis wird vom Beschwerdeführer zu Recht ebenfalls bejaht. Er lässt indessen geltend machen, die Sache sei zur Klärung der natürlichen Kausalität an die Allianz zurückzuweisen. Denn eine Adäquanzprüfung ohne vorgängige Beurteilung der natürlichen Kausalität falle bei nach BGE 117 V 359 zu behandelnden Unfällen ausser Betracht.
Dieser Einwand ist unbegründet. Es entspricht ständiger Praxis, dass bei einer Schleudertrauma- oder schleudertraumaähnlichen Verletzung auf weitere Beweisvorkehren zur Frage des natürlichen Kausalzusammenhangs verzichtet werden kann (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c; ferner aus jüngerer Zeit: Urteile U 17/07 vom 30. Oktober 2007, E. 3 Ingress, U 606/06 vom 23. Oktober 2007, E. 4, und U 299/05 vom 28. Mai 2007, E. 5.2), wenn der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen ist.
4.3 Es gilt somit den adäquaten Kausalzusammenhang zu prüfen. Ergibt sich, dass es an der Adäquanz fehlt, braucht auch nicht näher auf die von den Parteien geführte Diskussion betreffend Beweislastverteilung und hinreichende Mitwirkung des Versicherten bei der Abklärung des für die natürliche Kausalität massgeblichen Sachverhalts eingegangen zu werden.
Dabei ist die Adäquanzprüfung entgegen der in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde weiter vertretenen Auffassung nicht etwa als verfrüht zu betrachten. Spätestens im Zeitpunkt des Erlasses des Einspracheentscheides vom 22. Juni 2005 waren sämtliche adäquanzrelevanten Faktoren zuverlässig beurteilbar.
5. 5.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen (BGE 117 V 359 E. 6a S. 366 f.).
Die Unfälle vom 19. April und Mai/Juni 1999 sind aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes (höchstens) im mittelschweren Bereich an der Grenze zu den leichten Unfällen einzuordnen.
5.2 Von den weiteren, objektiv fassbaren und unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehenden oder als Folge davon erscheinenden Umständen, welche als massgebende Kriterien in die Gesamtwürdigung einzubeziehen sind (BGE 117 V 359 E. 6a S. 367), müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 117 V 359 E. 6b S. 367 f.).
Während Unfallversicherer und Vorinstanz keines der adäquanzrelevanten Kriterien als erfüllt erachten, sind nach Auffassung des Versicherten deren fünf, nachfolgend im Einzelnen behandelte, in ausgeprägter und in gehäufter Weise gegeben. Weitere Adäquanzkriterien werden zu Recht nicht zur Diskussion gestellt.
Als schwer oder besonderer Art sind die erlittenen Verletzungen nicht zu betrachten. Dies gilt selbst unter Berücksichtigung des Umstandes, dass der Versicherte bei der Kollision vom 19. April 1999 nach vorne gebeugt war und mit dem Kopf an die Sonnenblende stiess, wie er dies nach dem Unfall beschrieben hat.
Weder war der Heilungsverlauf schwierig noch traten erhebliche Komplikationen auf. Das Andauern von Beschwerden trotz Behandlungsmassnahmen genügt nicht zur Bejahung des Kriteriums.
Der Versicherte war nach dem Unfall vom 19. April 1999 während knapp eines Monates hälftig arbeitsunfähig. Danach bestand während fast zwei Jahren keine ärztlich bestätigte Einschränkung des Leistungsvermögens. Erst ab Mai 2001 wurde wieder eine teilweise Arbeitsunfähigkeit im Umfang von 75 % attestiert. Das Kriterium von Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit ist damit nicht erfüllt. Hieran ändert entgegen der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nichts, wenn die Invalidenversicherung (IV) ab 1. Mai 2002 eine ganze Invalidenrente zugesprochen hat, ist doch für die IV als finale Versicherung, anders als für die Unfallversicherung, nicht entscheidend, worauf eine die Arbeits- (und Erwerbs-)fähigkeit einschränkende Gesundheitsschädigung zurückzuführen ist (vgl. BGE 124 V 174 E. 3b S. 178 mit Hinweisen).
Ob die beiden in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde überdies geltend gemachten Kriterien der Dauerbeschwerden sowie der ungewöhnlich langen Dauer der ärztlichen Behandlung bejaht werden könnten, erscheint mit Blick auf die sich aus den Akten ergebenden Anhaltspunkte, namentlich auch die erheblichen zeitlichen Intervalle ohne relevante Beschwerden, eher fraglich, muss aber nicht abschliessend beantwortet werden. In besonders ausgeprägter Weise wäre jedenfalls keines dieser Kriterien erfüllt.
5.3 Es ist demnach weder ein einzelnes Kriterium in besonders ausgeprägter Weise gegeben noch liegen mehrere Kriterien in gehäufter oder auffallender Weise vor. Damit fehlt es am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den Unfällen vom 19. April sowie Mai/Juni 1999 und den nach dem 30. September 1999 gemeldeten Beschwerden, weshalb die Vorinstanz eine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin hiefür zu Recht verneint hat.
6. Das Verfahren ist kostenfrei (Art. 134 OG). Die Allianz hat entgegen ihrem Antrag und ungeachtet ihres Obsiegens keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 159 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 135 OG; BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235 mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Januar 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
i.V. Widmer Lanz