Sachverhalt:
A. A.a Mit Verfügungen vom 21. September 2005 sprach die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer der 1955 geborenen R._ für die Folgen eines Unfalls vom 19. März 1996 eine Invalidenrente von 50% für die Zeit vom 1. März 1998 bis 31. Oktober 2019 und von 33% ab 1. November 2019 sowie eine Integritätsentschädigung von 15% zu.
A.b Die Allianz erbrachte auch Leistungen im Zusammenhang mit einem Auffahrunfall vom 7. Oktober 2001. Mit einer separaten, ebenfalls am 21. September 2005 erlassenen Verfügung stellte sie diese Leistungen rückwirkend per 31. Mai 2003 ein. Gleichzeitig verzichtete die Allianz auf eine Rückforderung der bis 31. Mai 2004 erbrachten Taggeldleistungen.
A.c Am 1. Juli 1999 liess R._ der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) als insoweit zuständigem obligatorischem Unfallversicherer melden, sie habe am 27. Juni 1999 einen Unfall erlitten. Die Zürich traf medizinische und erwerbliche Abklärungen. Namentlich holte sie ein Gutachten der Klinik X._ vom 10. Oktober 2000 ein. Anschliessend verneinte sie mit Verfügung vom 10. November 2000 ihre Leistungspflicht für den Vorfall vom 27. Juni 1999. Daran hielt der Versicherer - nach zwischenzeitlicher Sistierung des Verfahrens - mit Einspracheentscheid vom 30. Oktober 2006 fest. Zuvor hatte er unter anderem ein Gutachten des Dr. med. J._, Chefarzt-Stellvertreter an der Orthopädischen Universitätsklinik des Spitals Y._, vom 22. Mai 2003, mit ergänzenden Angaben vom 19. August 2004, zu den Akten genommen.
B. Die von der Versicherten gegen den Einspracheentscheid der Zürich vom 30. Oktober 2006 erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen ab (Entscheid vom 28. Februar 2008). Im Verlauf des Rechtsmittelverfahrens liess die Versicherte unter anderem Berichte des Dr. med. M._, Otorhinolaryngologie FMH, vom 11. April 2001 und 27. Februar 2007, des Dr. med. L._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 9. Juli 2004, des Dr. med. F._, Allgemeine Medizin FMH, St. Gallen, vom 6. September 2007 und des Dr. med. S._, Facharzt für Anästhesie, St. Gallen, vom 4. September 2007 einreichen.
C. R._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es seien der kantonale Entscheid und der Einspracheentscheid aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Zürich zurückzuweisen. Mit der Beschwerde werden weitere Dokumente eingereicht.
Die Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 hat das Bundesgericht die sog. Schleudertrauma-Praxis bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden präzisiert. Die Parteien hielten im Rahmen des ihnen zu dieser Präzisierung gewährten rechtlichen Gehörs an ihren Rechtsbegehren fest.
Erwägungen:
1. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über den Begriff des Unfalls (Art. 9 Abs. 1 UVV in der bis Ende 2002 gültig gewesenen Fassung; vgl. jetzt Art. 4 ATSG) sowie den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (Art. 6 Abs. 1 UVG) vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfallereignis und Gesundheitsschaden bei spezifischen Verletzungen der Halswirbelsäule (HWS; BGE 119 V 335 E. 2b/bb S. 340 f.; vgl. nun BGE 134 V 109 E. 9 S. 121 ff.), zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2. 2.1 Über den Vorfall vom 27. Juni 1999 ist den Akten zu entnehmen, dass die Beschwerdeführerin Beifahrerin in einem Personenwagen war. Dessen Lenker musste auf der Autobahn - offenbar wegen eines Tieres - abrupt bremsen. Die Beschwerdeführerin, welche sich nach eigenen Angaben nach vorne gebeugt hatte, weil sie die weggerutschte Handtasche zu greifen versuchte, wurde zunächst nach vorne in die Gurten gedrückt und anschliessend nach hinten geschleudert. Sie macht geltend, sie sei mit dem Kopf gegen die Kopfstütze geprallt. Diesen letzteren Umstand erachtete die Vorinstanz als nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt.
2.2 Nach der Rechtsprechung stellt die Hyperflexionsbewegung der Halswirbelsäule bei der Vollbremsung eines Autos ohne Kollision für sich allein genommen keinen ungewöhnlichen äusseren Faktor und damit keinen Unfall im Rechtssinne dar, denn es handelt sich um einen im betreffenden Lebensbereich alltäglichen und üblichen Vorgang. Die Annahme eines Unfalls im Rechtssinn setzt ein schadenspezifisches Zusatzgeschehen voraus (BGE 134 V 74 E. 4.3.2.1 S. 80 f. mit Hinweisen). Dem Vorfall vom 27. Juni 1999 könnte somit nur dann Unfallcharakter zukommen, wenn der Anprall an die Kopfstütze, welchen die Beschwerdeführerin behauptet, während ihn das kantonale Gericht als nicht erwiesen ansieht, ein derartiges Zusatzgeschehen darstellen würde. Dies ist jedoch zu verneinen, denn im Anschluss an eine Vollbremsung kommt es keineswegs selten vor, dass die betroffene Person zunächst nach vorne und anschliessend nach hinten geworfen wird. Der Zweck der Kopfstütze besteht gerade darin, eine weitere Schleuderbewegung der Halswirbelsäule zu verhindern. Der Aufprall als solcher ist deshalb nicht ungewöhnlich. Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat denn auch in einem vergleichbaren Fall ein Unfallereignis verneint (Urteil U 117/02 vom 9. Mai 2003 E. 2). Überdies ist zu berücksichtigen, dass aus der Bewegung der HWS resultierende Verletzungen nicht die Folge des Aufpralls auf der Kopfstütze, sondern bereits der vorangehenden Bewegung bilden würden. Der vorinstanzliche Entscheid lässt sich demnach nicht beanstanden. Die Beschwerde ist abzuweisen.
3. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin ist eine mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation im Sinne von Art. 66 Abs. 4 BGG. Sie hat deshalb keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Dezember 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung i.V. Holzer