Faits:
A. X._, de nationalité suisse, est décédé à son domicile de Y._ (France) le 12 juillet 1962, laissant pour héritiers sa veuve, dame X._, et leurs deux fils, A._, domicilié à D._, et C._, domicilié à Y._.
Les hoirs sont propriétaires communs d'un immeuble locatif sis à D._, qui appartenait au défunt.
Le 2 juillet 2003, C._ a saisi la Justice de paix du canton de Genève d'une requête en nomination d'un représentant de la communauté héréditaire au sens de l'art. 602 al. 3 CC, vu les divergences entre les héritiers concernant la gestion de l'immeuble. Le juge de paix a donné suite à cette requête en désignant, le 7 septembre 2004, un représentant ayant pour mission de s'occuper des questions relatives à l'immeuble. Plusieurs représentants d'hoirie se sont succédé. L'actuel, Me B._, avocat à Genève, a été nommé le 22 février 2005.
B. Par ordonnance du 22 juillet 2008, notifiée le même jour, la Justice de paix, statuant en sa qualité d'autorité de surveillance selon les art. 602 al. 3 CC et 1er let. i LACC/GE, a rejeté le recours formé le 9 juin 2008 par dame X._ et A._ contre la décision prise le 7 mai 2008 par B._ relative à la location d'appartements de l'immeuble selon un «système mixte».
La Cour de justice du canton de Genève a, par décision du 29 septembre 2008, déclaré irrecevable le recours interjeté le 25 août 2008 par A._ contre l'ordonnance du 22 juillet 2008, aux motifs que ce recours était tardif et, de plus, insuffisamment motivé.
C. A._ interjette un «recours de droit civil public et constitutionnel» contre la décision du 29 septembre 2008, dont il demande l'annulation. Il conclut en outre à l'annulation de la décision prise par le représentant d'hoirie le 7 mai 2008 et à la location d'appartements par celui-ci selon ce qu'il a appelé un «système mixte» ou, à défaut, au remboursement des meubles et objets de décoration de ces appartements, d'une valeur de 150'000 fr.
L'intimé s'en rapporte à justice tant sur la recevabilité que sur le fond du recours.
D. Par ordonnance du 27 novembre 2008, le président de la cour de céans a déclaré la requête d'effet suspensif sans objet.
Le 4 décembre 2008, le recourant a présenté une demande de reconsidération de l'effet suspensif, qui a été accordé par le Juge instructeur le 16 décembre 2008.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 III 115 consid. 1 p. 117 et les arrêts cités).
1.1 La décision attaquée est une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière de surveillance d'un représentant successoral (art. 72 al. 2 let. b ch. 5 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF), dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a qualité pour recourir, car il a pris part à la procédure devant l'autorité cantonale et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF).
On peut se demander si le recourant n'aurait pas dû attraire ses cohéritiers devant le Tribunal fédéral (ATF 130 III 550 ss) ou si le fait que le recours soit dirigé contre le représentant de la communauté héréditaire, partant, de tous les hoirs, le dispensait de les assigner comme intimés. La question peut toutefois rester ouverte car le recours est de toute manière irrecevable, comme il sera exposé plus loin.
Communiquée par pli recommandé du 30 septembre 2008, la décision de la Cour de justice a été retirée par le recourant le 8 octobre 2008. Interjeté dès lors en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme prévue par la loi (art. 42 LTF), le recours en matière civile est en principe recevable; par conséquent, le recours constitutionnel subsidiaire ne l'est pas (art. 113 LTF). Le recourant a déclaré former un «recours de droit civil public et constitutionnel». L'intitulé erroné du recours ne saurait préjuger de la voie ouverte, ni porter préjudice au recourant, pour autant que, comme ici, son écriture remplisse les conditions formelles de la voie de droit en cause (cf. ATF 133 I 300 consid. 1.2 p. 302 s., 308 consid. 4.1 p. 314).
Les griefs du recourant sont toutefois irrecevables en tant qu'ils visent l'ordonnance de la Justice de paix du 22 juillet 2008, le recours devant être dirigé contre la décision de dernière instance (art. 75 LTF).
1.2 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF; il peut donc être interjeté pour violation des droits constitutionnels, qui font partie du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF (ATF 133 III 446 consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2.3 p. 466). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), il n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 134 III 102 consid. 1.1 p. 105). Il ne connaît de la violation de droits fondamentaux ou du droit cantonal que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), les exigences de motivation correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397).
Il faut observer ici que la décision attaquée est fondée sur une double motivation. La cour cantonale a considéré en substance que le recours qui lui était adressé était tardif, les règles sur la suspension des délais ne s'appliquant pas dans le cas particulier (art. 30 al. 2 LPC/GE). A ce premier motif d'irrecevabilité venait s'ajouter un second, l'acte de recours, du 25 août 2008, étant dépourvu de toute motivation et les écritures complémentaires du 8 septembre 2008 ayant été déposées en dehors du délai de dix jours selon l'art. 456A al. 1 LPC/GE, même en admettant l'application de l'art. 30 al. 1 let. c LPC/GE. Se conformant à l'exigence de recevabilité posée par la jurisprudence (ATF 133 IV 119 consid. 6.3 p. 120 s.), le recourant s'en prend à chacune de ces deux motivations indépendantes.
1.3 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 134 V 53 consid. 4.3) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Il appartient au recourant de soulever expressément un grief à ce propos et de présenter une démonstration précise et circonstanciée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 III 545 consid. 2.2 p. 550). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
1.4 Selon la jurisprudence, la motivation du recours doit être topique, cette exigence n'étant pas respectée lorsque le recourant formule des griefs sur le fond de la cause, alors que l'autorité précédente n'est pas entrée en matière pour des motifs formels (MERZ, Commentaire bâlois, n. 52 et 77 ad art. 42 LTF et les arrêts cités). Partant, les nombreux reproches que le recourant soulève au sujet de l'abandon de la location meublée au profit de la location vide des appartements sont irrecevables.
1.5 Sont aussi irrecevables les conclusions prises sur le fond par le recourant. En effet, en cas d'admission du recours, le Tribunal fédéral ne serait pas en situation de statuer lui-même à ce sujet, mais devrait renvoyer la cause à l'autorité cantonale, celle-ci n'étant pas entrée en matière sur le recours formé devant elle par le recourant.
1.6 Le recourant reproche à la Cour de justice de n'avoir aucunement mentionné le recours qu'il lui aurait adressé le 23 septembre 2008. Autant qu'on le comprenne, ce grief apparaît insuffisamment motivé, le recourant se limitant à affirmer qu'il n'a reçu la décision de la Justice de paix que le 11 septembre 2008 car il avait demandé à la poste de garder son courrier en raison des vacances; au demeurant, on voit mal comment il a pu recevoir l'ordonnance de la Justice de paix le 11 septembre 2008 et recourir contre elle le 25 août 2008, comme il résulte des faits tenus pour constants. Il n'y a dès lors pas lieu d'entrer en matière sur ce point.
2. 2.1 L'autorité cantonale a déclaré le recours irrecevable, notamment, pour le motif suivant: l'acte de recours du 25 août 2008 était dépourvu de toute motivation, de sorte qu'on ne discernait pas sur quel point et pour quelle raison la décision de la Justice de paix du 22 juillet 2008 était remise en cause. Quant aux écritures dites complémentaires du 8 septembre 2008, elles avaient été déposées hors délai, même si l'on admettait l'application de l'art. 30 al. 1 let. c LPC/GE. En effet, selon cette disposition, les délais de recours étaient suspendus du 15 juillet au 15 août. Si donc le délai de recours avait commencé à courir le 16 août 2008, il était venu à échéance le 25 août suivant, s'agissant d'un lundi.
2.2 Le recourant ne démontre pas que cette motivation serait contraire au droit. Il se limite à affirmer, sans indiquer quel principe ou quelle disposition légale auraient été violés par l'autorité cantonale, que dans son recours, il reprochait très clairement à la Justice de paix d'avoir ignoré son argumentation et requérait la Cour de justice de prendre ses demandes en considération, tout en se réservant la possibilité de compléter ses écritures. Ces allégations, qui consistent en de simples remarques contredisant l'opinion de l'autorité cantonale, ne satisfont pas aux exigences de motivation requises (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF); en tant que le recourant se réfère, en particulier, à ses écritures complémentaires, il n'expose pas en quoi les juges précédents auraient arbitrairement appliqué le droit de procédure cantonal en considérant qu'elles avaient été déposées hors délai; il n'y a dès lors pas lieu d'en tenir compte.
Le moyen étant irrecevable, cette motivation résiste à la critique du recourant. Comme elle est indépendante et suffisante pour maintenir la décision attaquée, il n'y a pas lieu d'examiner la première motivation de la Cour de justice fondée sur la tardiveté du recours cantonal (ATF 133 III 221 consid. 7 p. 228; 132 I 13 consid. 6 p. 20 et les références citées).
3. En conclusion, le recours doit être déclaré irrecevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens, l'intimé ayant conclu au rejet des demandes d'effet suspensif et s'en étant remis à justice tant sur la recevabilité que sur le fond du recours.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 6 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot