Fatti:
A. B._ è una fondazione del diritto del Liechtenstein costituita nel 1978 - assieme ad altre fondazioni - da un industriale italiano per regolare, in particolare, la sua successione. I beni di B._, il cui consiglio di fondazione era presieduto da C._, con facoltà di firma individuale, sono sempre stati depositati - così come quelli delle altre fondazioni - su conti presso la A._SA.
A.a Alla morte del beneficiario originario la fondazione è passata a una sua figlia, che è anche stata regolarmente indicata quale avente diritto economico nel formulario A.
A.b Agli inizi del 1998 la beneficiaria economica della fondazione, avvertita da un fratello a sua volta beneficiario di un'altra fondazione di famiglia gestita da C._, ha scoperto l'esistenza di garanzie e di prelevamenti illeciti a debito del conto della fondazione.
A.c A seguito di questi fatti, contro C._ è stato avviato un procedimento penale che non ha ancora potuto essere concluso a causa della sua età avanzata e del suo precario stato di salute.
B. Rimproverando alla A._SA di aver fatto prova di grande negligenza omettendo d'individuare il conflitto d'interessi esistente tra la fondazione e il suo organo nell'ambito della messa a garanzia dei beni della fondazione - per garanzie prestate dalla stessa A._SA a favore di esposizioni personali di C._ nei confronti di D._ Lugano e D._ Bellinzona - e d'informarla dei prelevamenti operati da C._, il 9 maggio 2001 la fondazione B._ l'ha convenuta direttamente dinanzi al Tribunale d'appello del Cantone Ticino, onde ottenere il pagamento del controvalore degli importi addebitati al conto della fondazione rispettivamente indebitamente prelevati da C._, per complessivi fr. 676'784.25, oltre interessi. Essa ha inoltre chiesto la liberazione della cauzione processuale e il versamento dell'importo pari al 5 % sulla somma di garanzia prestata, di fr. 30'000.--, a partire dal 4 ottobre 2001.
Con sentenza del 10 aprile 2008, la II Camera civile del Tribunale adi-to ha accolto la petizione limitatamente a fr. 394'584.25, oltre interessi.
I giudici cantonali hanno in primo luogo negato la validità della messa a garanzia dei beni della fondazione, non potendosi ammettere il potere di rappresentanza di C._ in tale circostanza: questa operazione non era infatti prevista dagli scopi della fondazione; inoltre il conflitto d'interessi tra la fondazione e il suo organo C._ era evidente, visto che l'atto beneficiava a lui stesso, ciò che la banca sapeva. Di qui la condanna dell'istituto di credito al rimborso degli importi che nel 1998 sono stati prelevati dal conto della fondazione in esecuzione della prestata - invalida - garanzia. La domanda concernente la restituzione degli importi indebitamente prelevati da C._ è stata invece ammessa limitatamente a fr. 62'724.60 poiché - hanno rilevato i giudici ticinesi - nonostante la negligenza imputabile alla banca, la fondazione è tenuta a sopportare qualche conseguenza della cieca fiducia da lei riposta in C._. Le richieste relative alla liberazione della cauzione processuale sono state disattese.
C. Il 15 maggio 2008 la A._SA è insorta dinanzi al Tribunale federale con ricorso in materia civile, postulando la modifica della sentenza impugnata nel senso della reiezione integrale della petizione.
Nella risposta del 26 giugno 2008 la fondazione B._ ha proposto di respingere il ricorso, mentre il Tribunale d'appello ha rinunciato a presentare osservazioni.
Diritto:
1. Il Tribunale federale si pronuncia d'ufficio e con pieno potere d'esame sulla propria competenza e sull'ammissibilità del rimedio esperito (art. 29 cpv. 1 LTF; DTF 135 III 1 consid. 1.1 pag. 3).
Il ricorso appare essere stato interposto tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF) dalla parte soccombente in sede cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF) contro una decisione finale (art. 90 LTF) pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 cpv. 1 LTF) in una causa in materia civile (art. 72 cpv. 1 LTF) a carattere pecuniario e con un valore di causa superiore al minimo legale di fr. 30'000.-- (art. 74 cpv. 1 lit. b LTF). Dato che rispetta le menzionate esigenze formali il gravame può essere esaminato nel merito.
2. 2.1 Con il ricorso in materia civile può essere fatta valere la violazione del diritto federale (art. 95 lett. a LTF) che include anche i diritti costituzionali (DTF 133 III 446 consid. 3.1, 462 consid. 2.3).
Il Tribunale federale esamina d'ufficio l'applicazione del diritto federale (art. 106 cpv. 1 LTF). Non è vincolato né dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità inferiore, può accogliere un ricorso per motivi diversi da quelli invocati dalla parte insorgente e respingerlo adottando un'argomentazione differente da quella esposta nel giudizio impugnato (cfr. DTF 134 II 235 consid. 4.3.4 pag. 241). Ciononostante, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, la cui mancata ottemperanza conduce all'inammissibilità del gravame (art. 108 cpv. 1 lett. b LTF), il Tribunale federale vaglia di regola solo le censure sollevate (DTF 133 III 545 consid. 2 pag. 550; 133 II 249 consid. 1.4.1 pag. 254). Nel ricorso è dunque necessario spiegare in maniera concisa perché l'atto impugnato viola il diritto federale e la motivazione dev'essere riferita all'oggetto del litigio, in modo che si capisca perché e su quali punti la decisione viene contestata (DTF 134 II 244 consid. 2.1).
Le esigenze di motivazione quando viene fatta valere la violazione di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale sono più rigorose. Il Tribunale federale tratta infatti queste censure solo se la parte ricorrente le ha debitamente sollevate e motivate, come prescritto dall'art. 106 cpv. 2 LTF. Il campo di applicazione di questa norma corrisponde a quello del precedente ricorso di diritto pubblico per violazione dei diritti costituzionali e valgono pertanto le regole di motivazione poste dall'art. 90 cpv. 1 lett. b OG (DTF 134 II 244 consid. 2.2; 133 III 397 consid. 6).
2.2 In linea di principio, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); può scostarsene solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere impugnato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF). Tocca alla parte che propone una fattispecie diversa da quella contenuta nella sentenza impugnata il compito di esporre in maniera circostanziata il motivo che la induce a ritenere adempiute queste condizioni.
La definizione di "manifestamente inesatto" corrisponde a quella di arbitrario (DTF 133 II 249 consid. 1.2.2 pag. 252) e configura dunque a sua volta una violazione di un diritto fondamentale (art. 9 Cost.; DTF 134 IV 36 consid. 1.4.1 pag. 39). La corrispondente censura deve pertanto ossequiare i requisiti di motivazione posti dall'art. 106 cpv. 2 LTF. Come già sotto l'egida dell'art. 90 cpv. 1 lit. b OG, le cui esigenze restano determinanti per le censure sottoposte al principio dell'allegazione secondo l'art. 106 cpv. 2 LTF (DTF 133 III 638 consid. 2 pag. 639), il ricorrente che lamenta una violazione del divieto d'arbitrio non può limitarsi a criticare la decisione impugnata come in una procedura d'appello, dove l'autorità di ricorso gode di cognizione libera, opponendo semplicemente la propria opinione a quella dell'autorità cantonale, bensì deve dimostrare, attraverso un'argomentazione chiara e dettagliata, che la decisione impugnata si fonda su un apprezzamento delle prove manifestamente insostenibile (DTF 133 III 585 consid. 4.1 pag. 589; 130 I 258 consid. 1.3 pag. 262). Il mancato rispetto di queste esigenze di motivazione conduce all'inammissibilità della censura (DTF 133 III 589 consid. 2 pag. 591 seg.).
3. In concreto, prima di affrontare la questione dell'applicazione del diritto federale, la ricorrente censura siccome arbitrari vari accertamenti di fatto posti a fondamento della sentenza cantonale.
3.1 Giovi allora rammentare, in aggiunta alle esigenze di motivazione appena esposte, che l'arbitrio non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura migliore rispetto a quella contestata; il Tribunale federale annulla la pronunzia criticata per violazione dell'art. 9 Cost. solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella sua motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (DTF 132 III 209 consid. 2.1 con rinvii).
Per quanto concerne più in particolare l'apprezzamento delle prove e l'accertamento dei fatti, il giudice - il quale in questo ambito dispone di un ampio margine di apprezzamento - incorre nell'arbitrio se misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 129 I 8 consid. 2.1).
Come spiegato al consid. 2.2, incombe alla parte ricorrente il compito di allegare e dimostrare, con un'argomentazione dettagliata e precisa, che queste condizioni sono realizzate nella fattispecie che la concerne.
3.2 Il primo accertamento di fatto contestato nell'allegato ricorsuale è quello secondo il quale il direttore della banca, E._, sapeva che la garanzia emessa a favore di D._, a sua volta garantita dai beni della fondazione, andava a beneficio di C._.
3.2.1 A mente della ricorrente questa affermazione è contraddetta dalle dichiarazioni dello stesso E._, di cui la Corte cantonale ha arbitrariamente considerato un solo passaggio. Essa rimprovera inoltre ai giudici ticinesi di non aver debitamente tenuto conto del contesto nel quale era stata chiamata ad agire: essa era infatti confrontata a vari interlocutori tutti rappresentati da un'unica persona, C._, appunto, scelta dai rispettivi aventi diritto economico e nella quale i medesimi riponevano cieca fiducia, per operazioni che concernevano fondazioni facenti capo a parenti della beneficiaria economica della qui opponente. L'emissione di garanzie a carico degli averi delle fondazioni non era dunque un'operazione nuova né insolita: già in precedenza C._ aveva chiesto l'emissione di numerose garanzie a carico sia della fondazione qui opponente che delle altre. La ricorrente richiama poi l'attenzione del Tribunale federale sulle società F._Ltd e G._SA, riconducibili a C._, ma che venivano regolarmente utilizzate nell'interesse degli aventi diritto economico delle fondazioni, al punto da farle apparire agli occhi della banca come appartenenti alla struttura del gruppo che faceva capo alle fondazioni, ragione per cui le attività di C._ - messa a garanzia inclusa - non avevano nulla di sospetto. In siffatte circostanze il direttore E._ poteva quindi legittimamente ritenere ch'egli agisse nel quadro delle competenze attribuitegli.
3.2.2 La censura non può trovare accoglimento.
A prescindere dal fatto che l'impiego esterno delle società riconducibili ad C._ a favore delle fondazioni non era la regola, è importante rilevare che, diversamente da quanto lasciato intendere nel gravame, il Tribunale d'appello ha preso in considerazione il fatto che negli anni precedenti garanzie simili erano state emesse a carico delle altre fondazioni facenti capo a parenti della beneficiaria economica della qui opponente, precisando tuttavia - e su questo punto la sentenza impugnata è rimasta incontestata - che si trattava di operazioni di credito direttamente condotte dalla banca per anticipazioni a titolo di anticipi azionisti. Tali operazioni - gestite direttamente dalla banca a beneficio delle altre fondazioni - erano dunque di natura ben diversa da quella qui in discussione, gestita da C._ a garanzia di suoi impegni personali. In queste circostanze, la Corte cantonale ha concluso che questo argomento non poteva comprovare la buona fede della banca in relazione alla messa a garanzia dei beni della fondazione.
Tenuto conto di quanto appena esposto, la conclusione dei giudici ticinesi non appare manifestamente insostenibile.
3.3 I magistrati cantonali hanno negato alla banca anche la facoltà di avvalersi di una pretesa ratifica dell'operazione di garanzia da parte della beneficiaria economica, tesi fondata sulla mancata contestazione degli estratti conto di fine anno: non risulta infatti - hanno osservato i magistrati - che la beneficiaria abbia mai ricevuto i citati estratti conto.
3.3.1 La ricorrente, ribadito che gli estratti patrimoniali di fine anno facevano stato anche dell'eventuale emissione di garanzie, ritiene arbitrario questo accertamento, fondato a suo dire unicamente sulla testimonianza della beneficiaria.
3.3.2 La sua censura si riduce all'apodittica messa in dubbio della credibilità della deposizione sulla quale si è fondata la Corte ticinese. Essa è dunque appellatoria e, di conseguenza, inammissibile (cfr. quanto esposto al consid. 2.2). Per il resto, la rilevanza della pretesa inconsapevolezza della ricorrente a proposito del fatto che C._ non mostrasse gli estratti conto alla beneficiaria non è questione di fatto.
3.4 Sempre nell'ambito dell'esame della validità delle garanzie prestate dalla fondazione, i giudici d'appello hanno escluso la scusante della grande fiducia che la ricorrente, da un lato, e la beneficiaria dell'opponente, dall'altro, riponevano in C._.
3.4.1 A questo proposito la ricorrente eccepisce, in fatto, un accertamento manifestamente inesatto, che consisterebbe nell'aver declassato a "parvenza" una circostanza - quella della smisurata fiducia della beneficiaria economica della reclamante in C._ - pacificamente provata.
3.4.2 A ben guardare, tuttavia, i giudici cantonali non hanno espresso alcun apprezzamento di fatto in proposito, limitandosi a sottolineare come questo fattore non possa giustificare l'atteggiamento negligente della banca.
Rivolta dunque contro un accertamento di fatto che tale non è, la censura è inammissibile.
3.5 Con riferimento ai prelevamenti dal conto dell'opponente, effettuati da C._ fra luglio 1995 e novembre 1997, il Tribunale di appello ha stabilito che, vista la quantità e l'intensità delle operazioni - che la banca sapeva essere destinate, nella maggior parte, a beneficio di C._ - si era in presenza di una situazione del tutto eccezionale, che avrebbe dovuto indurre la banca a effettuare una verifica presso le aventi diritto economico dei conti.
3.5.1 Secondo la ricorrente, invece, l'istruttoria non conferma un aumento della frequenza dei prelevamenti a partire dalla metà del 1996, giacché simili operazioni erano avvenute anche in passato "in numerosissime occasioni", senza contestazione alcuna. Inoltre, i giudici cantonali avrebbero arbitrariamente supposto che la banca sapesse che C._ si appropriava degli importi prelevati senza prestare la dovuta attenzione al fatto che C._, per sua stessa ammissione, aveva utilizzato modalità tali da non insospettire la banca.
3.5.2 Come già detto al consid. 3.2 riguardo all'emissione delle garanzie a carico dell'opponente, il far capo di tanto in tanto a prelevamenti ad opera di C._ non fa di questo modo di procedere una regola. Peraltro, per giungere alle conclusioni riportate, la Corte cantonale si è fondata sull'analisi peritale effettuata in sede penale, che la ricorrente non ha rimesso in discussione. Nella misura in cui la censura appare rivolta contro l'accertamento dell'entità dei prelevamenti (in senso lato), essa è poi insufficientemente motivata (art. 97 LTF; cfr. quanto esposto al consid. 2.2) e sfugge pertanto ad un esame nel merito. La ricorrente non contesta d'altro canto che il proprio direttore E._ abbia reagito di fronte all'intensificarsi delle operazioni di prelievo, per cui la sua censura appare comunque inconferente.
Infine, il vero significato della deposizione di C._ ha peso specifico ridotto: la conclusione della Corte cantonale secondo cui E._, benché lo neghi, era a conoscenza del fatto che le operazioni in questione non andassero ad ultimo beneficio degli aventi diritto delle varie fondazioni toccate, emerge dal complesso di fatti che il Tribunale d'appello ha considerato trattando in parallelo gli incarti in questione. È specioso, allora, tentare di scardinare - come fa la ricorrente - l'accertamento dei fatti dei giudici ticinesi speculando su questo o quel dettaglio più o meno evidenziato nel singolo caso, perché E._ accentrava su di sé tutte le conoscenze fattuali che negli incarti qui discussi appaiono disseminati.
3.6 In conclusione, tutte le critiche contro l'apprezzamento delle prove e l'accertamento dei fatti operati in sede cantonale risultano infondate, nella misura in cui formulate in maniera ammissibile. L'esame dell'applicazione del diritto federale da parte dei giudici ticinesi avviene pertanto sulla base della fattispecie da loro accertata.
4. In qualità di presidente del consiglio di fondazione dell'opponente, C._ ha fatto emettere garanzie a carico di questa; inoltre, ha effettuato prelevamenti e trasferimenti in proprio favore.
La controversia verte sulla questione di sapere se con il suo agire egli abbia validamente ingaggiato la fondazione qui opponente.
La controversia verte sulla questione di sapere se con il suo agire egli abbia validamente ingaggiato la fondazione qui opponente.
4.1 4.1.1 Il potere di rappresentanza del membro del consiglio di una fondazione segue le regole che vigono per il membro del consiglio di amministrazione di una società anonima (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 3a). Esso comprende negozi di tutti i generi, potenzialmente nell'interesse della persona giuridica rispettivamente non espressamente esclusi dagli scopi della stessa (art. 718a cpv. 1 CO; DTF 126 III 361 consid. 3a). Se un organo oltrepassa il proprio potere di rappresentanza, ad esempio concludendo un negozio non più conforme al fine sociale, il suo agire vincola la persona giuridica soltanto se il terzo contraente è in buona fede (art. 718a cpv. 2 CO; sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 3b), buona fede che è presunta (art. 3 cpv. 1 CC). In analogia con la costante giurisprudenza relativa ai negozi conclusi da un rappresentante con se stesso, rispettivamente come rappresentante di due persone giuridiche - che vi ravvede di regola un conflitto di interessi e li considera di conseguenza inefficaci - viene trattata la situazione in cui l'organo di una persona giuridica conclude a nome della stessa un negozio con un terzo, sebbene sussista un conflitto di interessi fra l'organo stesso e la persona giuridica da lui rappresentata: il negozio non è eo ipso privo di efficacia, ma lo diviene se il terzo contraente si è reso conto (o avrebbe dovuto rendersi conto) dell'esistenza del conflitto di interessi. Il conflitto di interessi ha infatti per conseguenza che la volontà contrattuale non si forma correttamente, ragione per cui il negozio non può divenire vincolante per la parte rappresentata (DTF 126 III 361 consid. 3a; così già, verbatim, sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 3c).
4.1.2 Il grado di diligenza che dev'essere richiesto al terzo nell'ambito della verifica dell'esistenza del potere di rappresentanza dipende dal genere di negozio. Nei rapporti con i propri clienti, la messa in atto di approfonditi accertamenti può essere esatta dalla banca soltanto quando essa viene confrontata con negozi che esulano dall'ordinaria amministrazione; per lo svolgimento di negozi correnti, invece, la banca che non è legata al cliente da alcun obbligo contrattuale particolare (come un mandato di gestione) non è tenuta a salvaguardare genericamente i suoi interessi (sentenza 4A_301/2007 del 31 ottobre 2007 consid. 2.3, in: SJ 2008 I pag. 149; sentenza 4C.385/2006 del 2 aprile 2007 consid. 2.2, in: SJ 2007 I pag. 499; sentenza 4C.108/2002 del 23 luglio 2002 consid. 2b, in: Pra 2003 n. 51 pag. 244). La presenza di indizi di falsificazione, o anche solo un ordine riguardante una prestazione non prevista dal contratto oppure inabituale, basta tuttavia già per esigere da lei verifiche supplementari (DTF 132 III 449 consid. 2 pag. 453 con rinvii; sentenza 4A_438/2007 del 29 gennaio 2008 consid. 5.3).
4.1.3 Quando, come nella fattispecie in esame, cliente di una banca è una fondazione il cui scopo consiste essenzialmente nell'investimento e la gestione del proprio capitale rispettivamente il versamento di capitale e interessi a determinati beneficiari, il trasferimento di fondi sul conto privato di uno degli amministratori della fondazione ricade di principio fra i negozi conformi allo scopo sociale, a meno che non si verifichino circostanze particolari tali da attirare l'attenzione della banca, quali ad esempio il fatto che il beneficiario di questi trasferimenti risulti fortemente indebitato con la banca medesima (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 4a). L'emissione di garanzie a favore di terzi, per contro, non ricade fra i negozi conformi al fine sociale (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996, consid. 5a).
4.1.4 La disattenzione dei criteri di diligenza che si era in grado di esigere dalla banca nelle circostanze concrete preclude alla medesima la possibilità di invocare la propria buona fede (art. 3 cpv. 2 CC; sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 7b).
4.2 Nella sentenza impugnata il Tribunale di appello si è attenuto a questi principi. Ha infatti stabilito che l'emissione di garanzie non solo non ricadeva fra gli scopi della medesima, ma era pure stata conclusa dal suo organo in palese conflitto di interessi. Accertate - in modo scevro d'arbitrio (cfr. quanto esposto al consid. 3) - le circostanze fattuali del caso di specie, i giudici cantonali hanno concluso che nella specifica operazione di messa a garanzia dei propri beni l'opponente non era vincolata dal relativo contratto concluso con la ricorrente, mancando il potere di rappresentanza di C._ per la fondazione.
Le conclusioni dell'autorità cantonale sono conformi ai principi esposti al consid. 4.1 e le obiezioni della ricorrente non permettono di sovvertirle.
L'argomento addotto per confutare la riconoscibilità della precaria situazione finanziaria di C._, ovvero il fatto che la società F._Ltd fosse altrettanto riconducibile agli aventi diritto economico delle varie fondazioni è in realtà un argomento di fatto, già smentito al consid. 3.2. L'assenza di un rapporto contrattuale diretto fra le aventi diritto economico della fondazione opponente e la ricorrente non osta al riconoscimento di una responsabilità della banca: una tale responsabilità può infatti scaturire tanto da un contratto (nel senso del mandato) quanto da un altro capo di responsabilità (gestione d'affari, atto illecito, illecito arricchimento, cfr. sentenza 4C.444/1997 del 4 giugno 1998 consid. 4a). Determinante è unicamente il mancato perfezionamento dei negozi relativi alla messa a garanzia, che avrebbero dovuto venire in essere tra l'opponente e la banca, e che invece non sono stati validamente conclusi. Altri argomenti della ricorrente, peraltro, poggiano su una lettura manifestamente errata e tendenziosa della giurisprudenza del Tribunale federale: così, essa fonda la confutazione di una qualsiasi responsabilità extra-contrattuale della banca su un elemento (la fiducia dell'avente diritto economico della fondazione nei confronti di C._) inconferente nel presente contesto, mentre il rapporto di fiducia meritevole di tutela non deve fondarsi necessariamente su un preciso rapporto contrattuale (cfr., a proposito del dovere di informare, sentenza 4C.410/1997 del 23 giugno 1998 consid. 3, in: Pra 1998 n. 155 pag. 827 e SJ 1999 I pag. 205).
Quanto alla fiducia (mal) riposta dalla beneficiaria della fondazione in C._, va rammentato che, trattandosi qui di un'azione finalizzata ad ottenere il corretto adempimento del contratto, e non un risarcimento di danni, la giurisprudenza ha già avuto modo di precisare che un'eventuale concolpa dell'opponente non ha importanza (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 7b). L'inazione degli altri membri del consiglio di fondazione dell'opponente, infine, è un fatto che non emerge dalla sentenza impugnata, né la ricorrente fa valere di averlo tematizzato in istanza cantonale: nuovo, è inammissibile (art. 99 cpv. 1 LTF), così come la censura su di esso fondata.
4.3 Il Tribunale di appello ha ammesso l'esistenza di un dovere di verifica della banca, non esercitato, anche con riferimento agli svariati prelievi effettuati da C._ a carico del conto della fondazione. Sebbene operazioni ancora suscettibili di essere sussunte sotto lo scopo sociale della fondazione, il loro numero elevato, la concomitanza di addebiti sugli stessi conti nello stesso giorno, il verificarsi di operazioni di prelievo addirittura con accredito diretto al conto personale di C._ - tutti elementi di fatto accertati senza arbitrio (cfr. quanto esposto al consid. 3.6) rispettivamente rimasti inoppugnati - dovevano far nascere, all'interno della banca, qualche sospetto. Ed effettivamente, proseguono i giudici cantonali, il direttore E._ aveva nutrito qualche sospetto a proposito dell'esistenza del consenso della beneficiaria economica, tanto da interpellare ripetutamente C._; accontentandosi tuttavia di risposte orali affermative ed omettendo di disporre ulteriori accertamenti, la banca è venuta meno ai propri obblighi.
Anche in questo caso, la decisione dei giudici cantonali è conforme ai principi esposti al consid. 4.1 e le obiezioni della ricorrente non permettono di sovvertirla.
La ricorrente sostiene che il Tribunale di appello avrebbe stravolto la giurisprudenza sviluppata in tema di fondazioni, con particolare riferimento alla già ripetutamente citata sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996. In quella circostanza, secondo la ricorrente del tutto paragonabile alla presente fattispecie, la fiducia riposta nell'organo esecutivo era stata considerata determinante per escludere la malafede della banca, mentre i prelevamenti, sebbene in quel caso di entità ancora più importante che nel presente, erano stati considerati operazioni del tutto ordinarie. Sennonché quella sentenza dice tutt'altro: un obbligo della banca di effettuare ulteriori accertamenti è stato infatti negato in ragione del fatto che tutte le transazioni fra le parti erano state sempre condotte dall'organo esecutivo in questione, fatto - questo - atto a far apparire ordinarie anche le importanti transazioni poi rivelatesi ingiustificate (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 4c). Proprio in quella sentenza è stato fra l'altro evidenziato un criterio di giudizio che si rivela determinante nella fattispecie in esame, ma che faceva invece difetto nel caso allora deciso. Si tratta dell'esistenza di un conflitto d'interesse non già semplice, ovvero gravante (solo) su C._ che, sebbene organo della fondazione, agisce per suo esclusivo tornaconto, bensì duplice: la ricorrente medesima, infatti, si è trovata a dover difendere gli interessi della fondazione proprio cliente da un lato, ma anche a voler tutelare i propri interessi in qualità di creditrice di C._. Si tratta di un elemento di giudizio pertinentemente messo in evidenza dai giudici cantonali (seppur in altro contesto), comprensibilmente sottaciuto dalla ricorrente, e che nella sentenza del 29 agosto 1996 il Tribunale federale aveva menzionato quale esempio di una circostanza atta a far cadere il potere di rappresentanza dell'organo anche nel quadro di operazioni ordinarie, perché circostanza suscettibile di far nascere un obbligo di ulteriori chiarimenti a carico della banca medesima (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 4b). Esattamente quanto si verifica nel caso di specie. Anche gli altri argomenti della ricorrente sono destinati all'insuccesso. Laddove riafferma i principi esposti nella sentenza 4C.108/2002 del 23 luglio 2002 (in: Pra 2003 n. 51 pag. 244), essa omette infatti di porre detta sentenza nel giusto contesto (cfr. quanto già esposto al consid. 4.1.2). Le sue ulteriori obiezioni non meritano infine un esame di merito: fondate su elementi di fatto non accertati, quale la passività degli altri organi della fondazione (cfr. quanto già esposto al consid. 4.2 in fine), rispettivamente smentiti, come l'ignoranza della destinazione finale dei prelevamenti (cfr. quanto già esposto al consid. 4.2), o, ancora, prive di sufficiente motivazione, ad esempio per quel che riguarda la pretesa violazione dell'art. 8 Cost. (cfr. art. 106 cpv. 2 LTF e quanto esposto al consid. 2), esse risultano inammissibili.
5. Venendo all'obbligo di pagamento impostole concretamente nella sentenza impugnata, la ricorrente formula tre censure.
5.1 In primo luogo sostiene che i giudici cantonali avrebbero individuato una sua responsabilità nei confronti della fondazione opponente e riconosciuto a quest'ultima un risarcimento del danno subito a seguito dei prelevamenti di C._.
Correttamente, tuttavia, avrebbero semmai dovuto condannarla allo storno di tali operazioni, ma solo a condizione che una simile domanda fosse stata espressamente formulata nel petitum di causa, cosa che l'opponente non ha fatto.
Dal canto suo l'opponente ritiene che la censura si fondi su allegazioni nuove e pertanto inammissibili; inoltre, riguardando il diritto processuale cantonale, avrebbe dovuto essere motivata conformemente all'art. 106 cpv. 2 LTF, ciò che non è avvenuto. Infine, secondo l'opponente lo storno potrebbe essere chiesto soltanto qualora i fondi prelevati si trovassero ancora su di un conto della medesima banca.
Ora, la Corte cantonale non ha specificato la base legale sulla quale ha operato la riduzione dell'importo preteso dall'opponente a titolo di restituzione dei prelievi effettuati da C._. Emerge tuttavia dal consid. 4 della sentenza impugnata senza alcun dubbio che l'obbligo della banca è fondato sul venir meno del rapporto di rappresentanza fra C._ e la banca; lo conferma anche il rinvio alla più volte citata sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996. Anche il prosieguo del suo ragionamento è chiaro: in ragione della mancanza di controlli da parte del beneficiario economico, l'assenza di accertamenti più incisivi da parte della banca può essere ancora tollerata (nel senso di non essere fattore tale da far cadere il potere di rappresentanza dell'organo) sino a fine 1996, non più, invece, a partire da gennaio 1997. Contrariamente a quanto ritiene la ricorrente, dunque, non si può affermare che la Corte cantonale abbia riconosciuto all'opponente il risarcimento di un danno invece che l'obbligo di storno di operazioni non debitamente autorizzate. Peraltro, anche se così fosse, la determinazione della base legale di un'obbligazione è di competenza del giudice, in virtù del principio iura novit curia: omettendo di confrontarsi con tale principio, indicando chiaramente la norma - di diritto costituzionale, federale o cantonale - asseritamente disattesa, la ricorrente formula una censura inammissibile. Quanto alle distinzioni dell'opponente fra storno delle operazioni illecite e risarcimento dei danni, non è chiaro dove esse debbano condurre; comunque, sono parimenti inammissibili in quanto fondate su fatti (l'attuale locazione degli averi prelevati da C._) non constatati nella sentenza impugnata, dunque nuovi ed inammissibili.
5.2 La Corte cantonale ha stabilito che seri elementi tali da risvegliare l'attenzione della banca, obbligandola dunque a disporre ulteriori accertamenti, sussistevano già a partire da metà 1996; tuttavia, in ragione del lacunoso controllo effettuato dalla beneficiaria economica, il Tribunale d'appello ha accolto l'azione limitatamente ai prelievi effettuati dopo l'inizio di gennaio 1997.
La ricorrente ritiene tale modo di procedere lesivo dell'art. 44 CO, non potendosi fissare una riduzione in applicazione di criteri temporali, ma dovendosi invece ridurre il risarcimento in proporzione alla colpa concomitante della parte lesa. Peraltro, anche volendo ammettere la legittimità di una riduzione fondata su criteri temporali, logicamente si sarebbe dovuta ammettere l'esenzione della banca a partire da un determinato momento.
In primo luogo, richiamandosi all'art. 44 CO, la ricorrente si contraddice, visto che poco prima aveva negato trattarsi di un caso di risarcimento del danno. La Corte cantonale non ha specificato la base legale sulla quale ha operato la riduzione. Il suo ragionamento è tuttavia chiaro: in ragione della mancanza di controlli da parte della beneficiaria economica, l'assenza di accertamenti più incisivi da parte della banca può essere ancora tollerata (nel senso di non essere fattore tale da far cadere il potere di rappresentanza dell'organo) fino a fine 1996, non più, invece, a partire da gennaio 1997. Logicamente ineccepibile è, allora, la conclusione che ne deriva, ossia di liberare la banca sino a fine 1996. La relativa censura è infondata. La censura della mancata considerazione dell'inattività degli ulteriori membri del consiglio di fondazione, ancora riproposta in questa sede, non può che continuare ad essere inammissibile (supra consid. 4.2 in fine).
5.3 Infine la ricorrente contesta la decisione della Corte cantonale di obbligarla a restituire indistintamente in franchi svizzeri gli importi corrispondenti ai prelevamenti illeciti. Essa rammenta che numerosi prelievi vennero effettuati da C._ in altre valute e ritiene che l'opponente avrebbe dovuto formulare in maniera corrispondente il petitum, chiedendo la restituzione nella valuta del conto sui quali erano stati addebitati, pena la reiezione dell'azione. Accogliendo il petitum formulato in termini errati, il Tribunale di appello avrebbe dunque violato l'art. 84 CO.
5.3.1 Va premesso che quella relativa all'applicazione dell'art. 84 CO è una questione giuridica e non fattuale, che il Tribunale federale può esaminare liberamente in virtù del principio iura novit curia (art. 106 cpv. 1 LTF), anche se la medesima non è stata sollevata avanti all'autorità inferiore, purché la nuova argomentazione giuridica si fondi sugli accertamenti di fatto della decisione impugnata (sentenza 4A_28/2007 del 30 maggio 2007 consid. 1.3, non pubblicato in DTF 133 III 421; 130 III 28 consid. 4.4 pag. 34).
Ora, in concreto è incontestato che le parti sono legate da un rapporto di natura contrattuale, la cui precisa natura giuridica è indifferente, posto che, con l'apertura del conto, la banca si è impegnata a consegnare all'opponente tutti o parte degli averi disponibili, secondo le modalità con lei pattuite (DTF 132 III 449 consid. 2; sentenza 4C.315/2005 del 2 maggio 2006 consid. 3.2, in RTiD 2007 I pag. 785). Nella circostanza è applicabile pertanto l'art. 84 CO (DTF 134 III 151 consid. 2.2; sentenza 4C.191/2004 del 7 settembre 2004 consid. 6, in SJ 2005 I pag. 174), in virtù del quale i debiti pecuniari debbono essere pagati nella moneta in cui è stato contratto il debito (cpv. 1). Se il debito è stato contratto in una valuta estera, il tribunale ha unicamente la facoltà di condannare al pagamento in quella valuta (DTF 134 III 151 consid. 2.4); l'eventuale menzione del debito anche in valuta svizzera ha unicamente finalità esecutive e non modifica la soluzione del diritto materiale (sentenza citata consid. 2.4 e 2.5; DTF 71 III 100 consid. 3 pag. 105).
5.3.2 Nel caso di specie, la questione della valuta non è stata sollevata dinanzi all'istanza (unica) cantonale: dalla sentenza impugnata si evince infatti che, pur avendo indicato negli allegati di causa i singoli prelievi nella loro valuta originaria, la qui opponente ha formulato la domanda esclusivamente in franchi svizzeri e non risulta che la qui ricorrente abbia sollevato obiezione alcuna. Ciò non le preclude tuttavia la possibilità di avvalersi dell'art. 84 CO in questa sede: come già rilevato, il Tribunale federale può senz'altro distanziarsi dalla tesi sostenuta dall'istanza inferiore ed adottare un'argomentazione giuridica nuova e differente (art. 106 cpv. 1 LTF; cfr. supra consid. 2.1).
Né l'opponente - che ha avuto occasione di esprimersi compiutamente in sede di risposta al ricorso in materia civile - ha espresso dubbi sull'ammissibilità di questo procedere nell'ottica della buona fede, che va dunque presunta (art. 3 cpv. 1 CC). Nella misura in cui tenta di avversare la censura relativa alla violazione dell'art. 84 CO adducendo che si fonda su un fatto nuovo e quindi inammissibile ex art. 99 LTF, essa dimentica di aver lei stessa indicato compiutamente in petizione i singoli prelievi nella loro valuta originaria, ciò che esclude di poter considerare l'allegazione di questa circostanza quale fatto nuovo. Per il resto, non sono state sollevate contestazioni sui fatti, atte a privare il richiamo della ricorrente all'art. 84 CO della base fattuale - ad esempio obiezioni riguardo all'identità fra il prelevamento da stornare menzionato nel dispositivo della sentenza impugnata e l'operazione indicata con precisione dalla ricorrente.
5.4 Nella misura in cui condanna la ricorrente al pagamento in franchi svizzeri anche di quella somma indebitamente prelevata da conti in valuta estera, la sentenza impugnata viola pertanto il diritto federale e va annullata.
Dato che la ricorrente indica con precisione l'operazione viziata dall'errata (o mancata) applicazione dell'art. 84 CO, si può agevolmente calcolare l'importo da dedurre dall'ammontare globale assegnato all'opponente dalla Corte cantonale: fr. 52'724.60, corrispondente ad un trasferimento di US$ 30'653.82 su di un conto personale di C._.
6. In conclusione, il ricorso va accolto nella misura appena indicata.
Le spese giudiziarie seguono la reciproca soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF) e vanno pertanto poste a carico dell'opponente in ragione di un sesto e a carico della ricorrente per cinque sesti. La ricorrente rifonderà inoltre all'opponente ripetibili ridotte per la sede federale (art. 68 cpv. 1 LTF).
La causa è rinviata alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino per nuova decisione sulle spese giudiziarie e ripetibili della sede cantonale.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è parzialmente accolto. Di conseguenza la sentenza emanata il 10 aprile 2008 dalla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino è annullata e modificata come segue:
1. La petizione 9 maggio 2001 è parzialmente accolta e di conseguenza A._SA, è condannata a versare a fondazione B._, l'importo complessivo di fr. 341'859.65 oltre interessi al 5% dal 2 dicembre 1997 su fr. 10'000.--, dal 21 settembre 1998 su fr. 165'800.-- e dal 30 settembre 1998 su fr. 166'059.65.
2. La causa è rinviata alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino per nuova decisione sulle spese giudiziarie e ripetibili della sede cantonale.
3. Le spese giudiziarie di fr. 7'200.-- sono poste per un sesto, ovvero fr. 1'200.-- a carico dell'opponente e per cinque sesti, ovvero fr. 6'000.--, a carico della ricorrente, la quale rifonderà all'opponente fr. 5'000.-- a titolo di ripetibili ridotte della sede federale.
4. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.