Faits:
A. X._ a travaillé comme responsable informatique auprès de la société A._ SA à B._. A ce titre, il était assuré par son employeur contre le risque d'une perte de gain due à la maladie auprès de la Y._ SA. Il s'agit d'une assurance-maladie collective, soumise au droit privé, qui prévoit, en cas d'incapacité de gain due à la maladie, le paiement d'indemnités journalières correspondant à 80% du salaire pour une durée maximale d'indemnisation de 730 jours, moins le délai d'attente de 60 jours, soit 670 jours. Les conditions générales de l'assurance (édition de mai 1999) prévoient que l'indemnité journalière est supprimée si l'incapacité de travail est inférieure à 25%.
X._ a cessé de travailler le 13 janvier 2003 en raison d'un état dépressif. L'assureur a commencé à lui verser les indemnités journalières conformément au contrat. Par la suite, il a mandaté le Dr D._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, aux fins d'une expertise. Dans son rapport du 1er avril 2004, ce médecin a constaté un trouble de l'adaptation avec humeur anxio-dépressive de gravité légère et une personnalité à traits paranoïaques "sensitifs"; il a considéré que sa capacité de travail était d'au moins 80%. Sur cette base, l'assureur, après avoir versé des indemnités journalières durant 412 jours, a interrompu ses versements à partir du 30 avril 2004.
X._ a contesté cette décision et réclamé les indemnités journalières pour le solde de la période assurée.
B. Par demande déposée en main de la juridiction neuchâteloise le 26 juillet 2006, X._ a conclu à ce que l'assureur soit condamné à lui verser 64'433 fr.20 avec intérêts à 5% dès le 5 septembre 2004. La défenderesse a conclu au rejet de la demande dans sa totalité.
Une expertise judiciaire a été confiée au Dr E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie à Genève. L'expert a conclu que l'assuré ne présentait pas d'incapacité de travail.
En dernier lieu, X._ a conclu au paiement de 63'937 fr.55 avec intérêts à 5% dès le 5 septembre 2004, correspondant à 260 jours d'indemnités journalières.
Par jugement du 30 juin 2010, la Ire Cour civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a rejeté la demande, statuant par ailleurs sur les frais et dépens. Elle a adopté les conclusions de l'expert judiciaire, corroborées par l'avis du Dr D._, en rejetant les autres avis médicaux invoqués par le demandeur.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre le jugement cantonal du 30 juin 2010. Il soutient que la cour cantonale a retenu de manière arbitraire que son incapacité de gain était inférieure à 25% après le 29 avril 2004. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale; subsidiairement, il reprend ses conclusions sur le fond et demande que sa partie adverse soit condamnée à lui payer la somme de 63'937 fr.55 avec intérêts à 5% dès le 5 septembre 2004.
L'intimée a conclu au rejet du recours avec suite de frais et dépens.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions en paiement (art. 76 al. 1 LTF) et dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. b, art. 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
On peut certes observer que la cour cantonale n'a pas statué sur recours comme le prévoit l'art. 75 al. 2 LTF, mais cette situation reste sans conséquence. En effet, l'art. 7 du futur Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RO 2010 1739) - qui entrera en vigueur le 1er janvier 2011 -, prévoit que les cantons peuvent instituer un tribunal statuant en tant qu'instance cantonale unique sur les litiges portant sur les assurances complémentaires à l'assurance-maladie (cf. infra consid. 2.1). Quant à l'art. 75 al. 2 let. a LTF, il n'est pas modifié de façon substantielle, seule sa lettre étant révisée en conséquence; il permettra aux cantons d'instituer une instance unique lorsqu'une loi fédérale - à l'instar du CPC à son art. 7 - le prévoit. Dans cette perspective, le canton de Neuchâtel ne peut être tenu de modifier sa réglementation (cf. art. 130 al. 2 LTF a contrario; arrêt 4A_412/2010 du 27 septembre 2010 consid. 1.2.3).
Que le recourant ait pris principalement des conclusions cassatoires reste sans conséquence, puisqu'il a également pris des conclusions en réforme (sur cette question: cf. ATF 134 III 379 consid. 1.3 p. 383; 133 III 489 consid. 3.1 p. 489 s.).
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. En conséquence, il peut aussi être formé pour violation d'un droit constitutionnel (ATF 135 III 670 consid. 1.4 p. 674; 134 III 379 consid. 1.2 p. 382).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389).
Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401; 135 II 145 consid. 8.1 p. 153) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 136 I 184 consid. 1.2 p. 187; 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, le recourant présente son propre état de fait sur deux pages, sans se prévaloir de l'une des circonstances qui pourrait permettre au Tribunal fédéral de s'écarter des constatations cantonales (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF). En conséquence, il n'est pas possible d'en tenir compte et le raisonnement doit être mené exclusivement sur la base des constatations cantonales.
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. 2.1 Il ressort des constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - que l'employeur du recourant et la société à laquelle l'intimée a succédé ont conclu un contrat d'assurance collective couvrant le recourant contre le risque d'une perte de gain causée par une incapacité de travail résultant d'une maladie et prévoyant, en cas de sinistre, le paiement d'une indemnité journalière d'un montant déterminable pendant une durée limitée dans le temps. Il s'agit là d'une assurance complémentaire à l'assurance sociale au sens de l'art. 12 al. 2 de la Loi fédérale du 18 mars 1994 sur l'assurance-maladie (LAMal; RS 832.10), conclue en l'espèce avec une assurance privée; un tel rapport juridique relève du droit privé, c'est-à-dire de la Loi fédérale du 2 avril 1908 sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1) (ATF 133 III 439 consid. 2.1 p. 441 s.).
2.2 Selon la convention des parties, l'indemnité journalière n'est due que si l'incapacité de travail atteint le taux de 25%.
La question litigieuse est de savoir si le recourant, après le 29 avril 2004 - date à laquelle l'assureur lui a servi pour la dernière fois une indemnité journalière - était affecté d'une incapacité de travail atteignant le seuil de 25%.
2.3 Selon l'art. 8 CC, le demandeur doit prouver les faits qui fondent sa prétention, tandis que sa partie adverse doit prouver les faits qui entraînent l'extinction ou la perte du droit (ATF 130 III 321 consid. 3.1 p. 323). Ces principes, qui sont également applicables dans le domaine du contrat d'assurance, impliquent qu'il incombe à l'ayant droit d'alléguer et de prouver notamment la survenance du sinistre (ATF 130 III 321 consid. 3.1 p. 323; arrêt 5C.180/1997 du 8 septembre 1997 consid. 2b; arrêt 5C.240/1995 du 1er avril 1996 consid. 2a). Cette preuve étant par nature difficile à apporter, l'exigence de preuve est réduite et il suffit que l'ayant droit établisse une vraisemblance prépondérante (ATF 130 III 321 consid. 3.2 et 3.3 p. 325; arrêt 5C.240/1995 déjà cité consid. 2a), qui ne doit pas être confondue avec une simple vraisemblance (ATF 130 III 321 consid. 3.3 p. 325).
Il incombait donc au recourant de prouver, au moins avec une vraisemblance prépondérante, qu'il était affecté d'une incapacité de travail d'en tout cas 25% pendant la période pour laquelle il réclame en justice des indemnités journalières.
2.4 Savoir quel était, à cette époque, l'état du recourant relève des constatations de fait (ATF 128 III 212 consid. 2c p. 216).
Il s'agit donc exclusivement d'apprécier les preuves et d'établir les faits, ce que le Tribunal fédéral ne peut revoir qu'en cas d'arbitraire (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF; ATF 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401).
2.5 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4; 134 I 263 consid. 3.1 p. 265 s.).
S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
2.6 En l'espèce, la cour cantonale a tout d'abord écarté l'opinion des médecins traitants (Dr G._, Dr H._, Dr I._). Le choix de préférer l'opinion des experts à celui des médecins traitants n'est pas arbitraire. En effet, un médecin traitant, en raison de l'empathie nécessaire à son rôle, a naturellement le souci d'éviter tout ce qui pourrait perturber son travail et souhaite notamment éviter de provoquer chez son patient un ressentiment qui rendrait sa mission plus difficile ou même impossible; une part de la doctrine va même jusqu'à exclure que l'on puisse désigner comme expert un médecin avec qui l'expertisé entretient une relation thérapeutique (ATF 124 I 170 consid. 4 p. 175 et les références citées; plus sommairement: ATF 125 V 351 consid. 2b/cc p. 353 avec d'autres références). De surcroît, la cour cantonale a relevé que le premier médecin n'est pas psychiatre (ce que le recourant ne conteste pas) alors que le cas relève manifestement de cette science, que le deuxième médecin a donné un avis trop sommairement motivé (ce que le recourant ne conteste pas non plus) et que l'avis du troisième contient des contradictions (ce que le recourant ne critique pas davantage). En conséquence, on ne saurait dire que l'avis des médecins traitants a été écarté arbitrairement.
L'avis d'un autre médecin (le Dr J._) a été écarté pour le motif que celui-ci n'a jamais vu le patient et n'a motivé son avis que de manière succincte. Il n'y a rien d'arbitraire à ne pas tenir compte de l'avis d'un praticien qui n'a manifestement fait qu'un examen superficiel du cas. Il est logique de préférer des opinions plus circonstanciées et fondées sur un entretien avec le patient lui-même. Cet avis a donc été écarté sans arbitraire.
Il ne restait donc plus que trois avis qui entraient en considération: celui de l'expert judiciaire (le Dr E._), celui de l'expert mandaté par l'assurance (le Dr D._) et celui de l'expert du recourant (le Dr F._).
La cour cantonale a donné la préférence à l'opinion de l'expert judiciaire. Il n'est en soi pas arbitraire de considérer comme plus objective l'opinion émise par un expert choisi en toute indépendance par l'autorité dans le seul but de renseigner la justice (ATF 124 I 170 consid. 4 p. 175). Ce choix paraît d'autant plus judicieux que les conclusions de l'expert judiciaire (état bénin n'entraînant pas d'incapacité de travail de 25%) rejoignent l'opinion de l'un des experts privés (le Dr D._). On ne se trouve donc pas dans le cas de figure où l'expert judiciaire serait seul de son avis. Il est vrai qu'un autre expert privé (le Dr F._) a émis une opinion diamétralement opposée. Cela ne suffit pas pour dire qu'il est arbitraire de suivre l'opinion des deux autres experts. Même si l'on devait admettre que cette opinion divergente ébranle la conviction résultant de la lecture des deux autres rapports, on ne pourrait qu'en conclure que la situation est douteuse. Or, comme on l'a rappelé à titre préliminaire, le fardeau de la preuve incombait au recourant et on ne pourrait qu'en déduire, en présence d'une situation douteuse, qu'il n'est pas parvenu à apporter la preuve qui lui incombait au moins sous la forme d'une vraisemblance prépondérante. En conséquence, l'issue du litige n'en serait pas modifiée.
2.7 Il faut encore relever que la cour cantonale n'a pas suivi aveuglément l'opinion de l'expert judiciaire du seul fait que cet expert avait été choisi par l'autorité. En effet, la valeur probante d'une expertise ne dépend pas de manière déterminante de son origine (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352). La cour cantonale s'est assurée que l'expertise judiciaire répondait aux exigences que l'on peut avoir à l'égard d'une expertise concluante (sur ces exigences: cf. ATF 133 V 450 consid. 11.1.3 p. 469).
Le recourant tente de démontrer le contraire, mais son argumentation est impropre à démontrer l'arbitraire dans l'appréciation des preuves.
Lorsque l'expert a dit qu'il n'y avait pas de diagnostic, il a manifestement exprimé l'opinion qu'il n'avait détecté aucun trouble mental. On ne voit pas ce qui permettrait de dire qu'il n'y a pas eu un examen approfondi du cas et que cette opinion est fausse. Le recourant reproche à l'expert judiciaire d'avoir critiqué l'avis des autres médecins; toutefois, vu le temps écoulé, il ne lui était plus possible de constater directement l'état du recourant pendant la période déterminante (du 30 avril 2004 au 13 janvier 2005); il devait donc nécessairement se livrer à un examen critique des éléments contenus dans le dossier, ce qu'il a fait sans complaisance et correspond précisément au travail que l'on attendait de lui. Le recourant reproche à l'expert judiciaire de n'avoir eu que deux entretiens avec lui, mais on ne voit pas ce qui permettrait d'en déduire que les conclusions de l'expert sont fausses et qu'il est arbitraire de le suivre; cela vaut d'autant plus que le recourant oppose à l'expert judiciaire l'opinion de son propre expert (le Dr F._), dont il dit lui-même (p. 17 du recours) qu'il s'est également entretenu à deux reprises avec lui. Le recourant reproche à l'expert judiciaire de ne pas lui avoir posé d'autres questions de personnalité et de n'avoir pas procédé à d'autres tests. La jurisprudence a admis qu'au regard de la large autonomie dont jouit l'expert dans la manière de conduire son expertise - s'agissant notamment des modalités de l'examen clinique et du choix des examens complémentaires à effectuer -, le juge doit faire preuve en règle générale de retenue avant de remettre en cause la méthodologie utilisée, ce d'autant plus qu'il convient de tenir compte également des difficultés et des incertitudes propres à tout examen psychiatrique (arrêt 9C_886/2009 du 27 avril 2010 consid. 2.2 et les arrêts cités). Rien ne permet de penser que la méthodologie adoptée serait contraire aux règles de l'art. Le recourant prétend qu'il était sous l'effet d'un médicament, mais cela n'est pas constaté dans l'arrêt cantonal et constitue donc un fait nouveau irrecevable (art. 99 al. 1 LTF). Que des informations sur le passé du recourant soient inexactes apparaît sans aucune pertinence. Lorsque l'expert judiciaire a précisé qu'il mentionnait certains faits (comme la date de décès des parents) sur la base des déclarations du recourant, il a procédé d'une manière scientifiquement rigoureuse, qui ne dénote aucune sorte de préjugés; il a en effet clairement voulu montrer que ces faits, en soi vérifiables, ressortaient des seules déclarations du recourant, sans que l'expert n'ait lui-même procédé à une quelconque vérification. Quant aux critiques adressées à l'opinion d'autres médecins, il s'agissait précisément de ce que l'on attendait de l'expert judiciaire en présence d'avis médicaux divergents; les termes employés ne permettent pas de déduire de l'animosité ou un parti pris.
En décidant de suivre l'opinion de l'expert judiciaire, dont les conclusions rejoignent d'ailleurs celles d'un autre expert privé (le Dr D._), on ne saurait dire que la cour cantonale est tombée dans l'arbitraire.
3. Ainsi, le recours doit être rejeté.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 3'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Ie Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 1er décembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Piaget