Faits:
A. L._ a travaillé en qualité de manutentionnaire au service de la société X._ SA. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Il a été victime d'un accident le 16 novembre 2002: alors qu'il était en train de travailler sur un chantier, un tuyau s'est détaché et l'a violemment frappé dans le dos avant de le précipiter au sol. Appelé à prodiguer les premiers soins, le docteur I._, médecin assistant au service d'orthopédie et de traumatologie de l'appareil moteur du Centre hospitalier Y._, a fait état d'une fracture D11-D12 par cisaillement en flexion et de contusions pulmonaires bilatérales. Il a attesté une incapacité de travail de 100 % dès le 16 novembre 2002 (rapport du 23 décembre 2002). Les médecins du Centre Y._ ont procédé à une réduction de la fracture et à la mise en place d'un fixateur interne D11-D12 avec cerclage des épineuses. En outre, ils ont ordonné le port d'un corset pour une durée de trois mois. La CNA a pris en charge le cas.
Malgré une évolution favorable, l'assuré s'est plaint d'une persistance de ses douleurs. Aussi, le docteur O._, médecin d'arrondissement de la CNA, a-t-il préconisé la mise en oeuvre d'un bilan global à la Clinique Z._ (rapport du 29 octobre 2003). L'intéressé a séjourné dans cet établissement du 11 novembre au 24 décembre 2003. Dans un rapport du 28 janvier 2004, les médecins de cette clinique ont indiqué que la persistance des dorsalgies et de l'attitude d'auto-limitation de la région dorso-lombaire n'étaient pas explicables uniquement par le traumatisme mais aussi par d'autres facteurs psychosociaux, comme la précarité de sa situation en tant que requérant d'asile, un litige avec son ancien employeur, ainsi que des croyances d'ordre culturel quant à la douleur et à la solidité du montage chirurgical. Le docteur A._, médecin adjoint à l'Hôpital W._, a procédé à l'ablation du matériel d'ostéosynthèse le 24 février 2005.
Dans un rapport d'examen médical final du 1er septembre 2005, le docteur O._ a constaté une importante discordance entre le vécu de l'assuré et les constatations objectives de l'examen radio-clinique, ce qui permettait d'évoquer l'influence de facteurs psychosociaux et culturels. Sur le plan somatique, ce médecin indiquait une capacité de travail entière dans une activité adaptée.
Aussi, par décision du 7 juin 2006, confirmée sur opposition le 20 juillet suivant, la CNA a alloué à l'assuré, à partir du 1er janvier 2006, une rente fondée sur une incapacité de gain de 10 %. En outre, elle lui a accordé une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux d'atteinte de 15 %.
B. Saisi d'un recours de l'assuré qui concluait à l'octroi d'une rente fondée sur un taux d'incapacité de gain plus élevé, le Tribunal des assurances du canton de Vaud l'a rejeté par jugement du 14 juin 2007.
C. L._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement après complément d'instruction sous la forme d'une expertise pluridisciplinaire. Subsidiairement, il conclut à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain supérieur à 10 %. Par ailleurs, il demande à bénéficier de l'assistance judiciaire.
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. Le litige porte sur le taux de la rente d'invalidité allouée au recourant à partir du 1er janvier 2006.
Selon l'art. 18 al. 1 LAA, l'assuré invalide (art. 8 LPGA) à 10 % au moins par suite d'un accident a droit à une rente d'invalidité. Pour évaluer le taux d'invalidité, le revenu que l'assuré aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide est comparé avec celui qu'il pourrait obtenir en exerçant l'activité qui peut raisonnablement être exigée de lui après les traitements et les mesures de réadaptation, sur un marché du travail équilibré (art. 16 LPGA).
3.1 3.1.1 Premièrement, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir omis de tenir compte, dans l'évaluation du taux d'invalidité, des suites psychologiques de l'accident dont il a été victime. Se fondant sur l'avis du docteur O._ (rapport du 1er septembre 2005), qui a fait part d'une nouvelle détérioration subjective de la situation, l'intéressé soutient que l'on ne peut nier l'existence de troubles psychiques au regard uniquement du rapport des médecins de la Clinique Z._.du 28 janvier 2004. C'est pourquoi, soutient le recourant, une expertise pluridisciplinaire est indispensable pour clarifier les aspects neurologiques et psychologiques. Au demeurant, il existe incontestablement un lien de causalité adéquate entre un déficit d'ordre psychique et l'accident que l'intéressé qualifie d'accident de gravité moyenne, à la limite des accidents graves.
De son côté, l'intimée fait valoir qu'aucun avis médical recueilli au dossier ne permet d'inférer l'existence d'une pathologie psychiatrique invalidante ni de s'écarter des conclusions des médecins de la Clinique Z._ selon lesquelles le status psychiatrique était dans les normes. Au demeurant, à supposer qu'un trouble psychique fût établi, l'existence d'un lien de causalité adéquate entre ce trouble et l'accident devrait être niée à l'aune des critères jurisprudentiels.
3.1.2 Les griefs soulevés par le recourant sont mal fondés. Le seul fait que le docteur O._ a fait état, le 1er septembre 2005, d'une détérioration subjective de la situation ne permet pas de s'écarter des conclusions des médecins de la Clinique Z._ selon lesquelles le status psychiatrique était dans les normes. Certes, ces médecins ont relevé une situation marquée par des facteurs psychosociaux comme la précarité de la situation sociale (statut de requérant d'asile), un procès contre l'ancien employeur, ainsi que des croyances d'ordre culturel au sujet de la douleur et de la solidité du montage chirurgical. Ces facteurs psychosociaux ne constituent toutefois pas une atteinte à la santé dont les suites sur la capacité de gain doivent être prises en charge par l'assureur social (cf. ATF 127 V 294 consid. 5a p. 299).
Cela étant, il n'est pas nécessaire de mettre en oeuvre un complément d'instruction sous la forme d'une expertise pluridisciplinaire, comme le demande principalement le recourant.
Quoi qu'il en soit, même si l'on admettait la présence d'une atteinte à la santé psychique au sens de l'art. 4 LPGA, l'existence d'un lien de causalité adéquate entre cette affection et l'accident devrait être niée au regard des critères développés par la jurisprudence (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409) pour juger du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident - en l'occurrence de gravité moyenne - et une atteinte à la santé psychique. Comme le fait valoir l'intimée, l'accident ne revêt pas un caractère particulièrement impressionnant. En outre, la durée du traitement médical n'a pas été particulièrement longue, celui-ci ayant consisté en une intervention chirurgicale sans complication et dans la prescription du port d'un corset pour une durée de trois mois. Enfin, ni la durée de l'incapacité de travail, ni la persistance des douleurs ne sont déterminantes en l'absence d'atteintes physiques objectivables.
Cela étant, la CNA était fondée à tenir compte, dans l'évaluation du taux d'invalidité, exclusivement de l'atteinte à la santé physique consécutive à l'accident.
3.2 Par un second moyen, le recourant conteste que sa capacité de travail puisse être considérée comme entière dans une activité adaptée, du moment que ses douleurs lombaires persistantes l'obligent à alterner constamment les positions (assis, debout), ce qui est inconciliable avec l'exercice d'une activité à 100 %.
D'après l'ensemble des médecins qui se sont prononcés sur le cas, ces plaintes ne reposent cependant pas sur des atteintes physiques objectivables. En particulier, le docteur A._, qui a procédé à l'ablation du matériel d'ostéosynthèse et dont l'avis est invoqué par le recourant, ne remet pas en cause les avis des médecins de la Clinique Z._ et du docteur O._, selon lesquels une légère cyphose sur le foyer de fracture est l'unique séquelle de l'accident.
Cela étant, il n'y a pas de motif de mettre en cause le point de vue de la juridiction cantonale selon lequel le recourant est en mesure d'exercer une activité adaptée à plein temps et avec un rendement complet. Quant à la fixation du revenu d'invalide et au calcul du taux d'invalidité, ils ne sont pas critiquables. Du reste, ils ne sont pas contestés par le recourant.
Vu ce qui précède, l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 20 juillet 2006, à allouer à l'assuré une rente fondée sur un taux d'incapacité de gain de 10 %. Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé dans ses conclusions principale et subsidiaire.
4. Le recourant, qui satisfait aux conditions de l'art. 64 al. 1 LTF, est dispensé de l'obligation de payer les frais judiciaires. Quant aux conditions auxquelles l'art. 64 al. 2 LTF subordonne la désignation d'un avocat d'office, elles sont également réalisées. L'attention du recourant est cependant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du tribunal.
4. Une indemnité de 2'500 fr., supportée par la caisse du tribunal, est allouée à Me Tatti, à titre d'honoraires.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 8 mai 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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