Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführerin, Klägerin im kantonalen Verfahren) und B._ (Kläger im kantonalen Verfahren) erwarben mit Kaufvertrag vom 20. Januar 2010 von der Erbengemeinschaft C. X._, bestehend aus D. X._ (Beklagter im kantonalen Verfahren) und E._, das Wohnhaus Y._strasse in Z._ für einen Kaufpreis von Fr. 450'000.-- je zur Hälfte als Miteigentümer. Nutzen und Gefahr gingen nach dem Vertrag per 1. April 2010 auf die Kläger über. Der Beklagte belegte nach diesem Datum weiterhin ein 3.5-Zimmer-Atelier in der veräusserten Liegenschaft als Mieter. In diesem Zusammenhang wurden zwischen den Parteien verschiedene Forderungen streitig.
B. B.a Nach einem erfolglosen Schlichtungsversuch vor der Schlichtungsbehörde für Miete und Pacht stellten die Kläger am 29. September 2010 beim Richteramt Solothurn-Lebern ein Vorladungsbegehren betreffend Forderung. Sie stellten die Rechtsbegehren, der Beklagte sei zu verurteilen, ihnen (je nebst Zins und Zahlungsbefehlskosten) die Beträge von Fr. 4'100.-- und Fr. 1'700.-- zu bezahlen, und der Rechtsvorschlag gegen die entsprechenden Zahlungsbefehle sei in diesem Umfang aufzuheben. Weiter beantragten sie die Verpflichtung des Beklagten, ihnen die Beträge von Fr. 850.--, Fr. 4'345.-- und Fr. 3'446.20, je nebst Zins, zu bezahlen.
Mit Urteil vom 26. August 2011 hiess das Richteramt die Klage teilweise gut. Es verurteilte den Beklagten, den Klägern den Betrag von insgesamt Fr. 2'000.-- nebst Zins zu bezahlen, sowie die Kosten eines Zahlungsbefehls zu ersetzen und hob in diesem Umfang den Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. vvv._ BA Grenchen-Bettlach auf. Im Mehrumfang wies es die Klage ab. Die gleiche Folge gab es einem Widerklagebegehren des Beklagten auf Löschung der anhängig gemachten Betreibungen. Das Gericht gelangte zum Schluss, zwischen den Parteien sei mangels Konsenses über den zu leistenden Mietzins kein Mietvertrag zustande gekommen, sondern habe nur ein mietvertragsähnliches Verhältnis bestanden. Der Beklagte habe für die tatsächliche Benützung des Ateliers in der von den Klägern erworbenen Liegenschaft für die Monate Mai bis September 2010 eine Entschädigung von monatlich Fr. 600.-- abzüglich des bereits bezahlten Betrages von Fr. 1'000.-- zu leisten. Die höhere und weitergehende Forderung aus dem angeblichen Mietverhältnis wies das Gericht ab. Ausserdem wies es die Forderungen für Räumungskosten von insgesamt Fr. 4'345.-- und für vorprozessuale Anwaltskosten von Fr. 3'446.20 ab.
B.b Mit Berufung vom 3. November 2011 gelangten die Kläger an das Obergericht des Kantons Solothurn. Sie stellten die Begehren, das erstinstanzliche Urteil sei insoweit aufzuheben, als ihre Forderungen abgewiesen wurden, und der Beklagte sei zu verurteilen, ihnen den Betrag von Fr. 1'300.-- nebst Zins und Zahlungsbefehlskosten zu bezahlen; der Rechtsvorschlag in der Betreibung Nr. www._ sei in diesem Umfang aufzuheben; ferner sei der Beklagte zu verurteilen, ihnen die Beträge von Fr. 650.-- und Fr. 4'345.--, je nebst Zins, und weitere Fr. 3'446.20 zu bezahlen.
Mit Verfügung vom 7. November 2011 wurden die Beschwerdeführerin und B._ aufgefordert, für das Verfahren vor Obergericht einen vorläufigen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu bezahlen. Sie stellten darauf am 10. November 2011 ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung.
Mit Verfügung vom 13. Dezember 2011 wies der Referent des Obergerichts die Gesuche der Kläger um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und setzte unter Androhung des Nichteintretens auf die Berufung Frist zur Leistung eines vorläufigen Kostenvorschusses von zusammen total Fr. 2'000.--. Das Obergericht verneinte die Bedürftigkeit der Gesuchsteller. Es stellte fest, dass die Kläger trotz behaupteter Trennung weiterhin eine Hausgemeinschaft bildeten; sie hätten weiterhin eine gemeinsame Adresse und wohnten in dem von ihnen zusammen gekauften Haus. Den Grundbetrag setzte es entsprechend für die beiden Berufungskläger je auf einen hälftigen Ehepaar-Grundbetrag (Fr. 850.--) fest, den es auf je Fr. 1'000.-- erhöhte. Für die Beschwerdeführerin errechnete das Gericht zu berücksichtigende monatliche Ausgaben von Fr. 4'664.--, was bei Einnahmen von Fr. 5'410.-- einen Überschuss von Fr. 750.-- pro Monat ergab. Dieser ermögliche es ihr, ihren Anteil an den Gerichtskosten innert nützlicher Frist zu bezahlen.
C. Die Beschwerdeführerin stellt mit "Beschwerde in Zivilsachen" die Anträge, die Verfügung des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 13. Dezember 2011 sei aufzuheben und in dem Sinne abzuändern, dass der Erstklägerin (Beschwerdeführerin) die unentgeltliche Rechtspflege und der unentgeltliche Rechtsbeistand bewilligt werde. Zur Begründung bringt sie vor, die Vorinstanz sei zu Unrecht von einer fortbestehenden Versorgungsgemeinschaft ausgegangen und es sei ihr statt des Grundbetrags von Fr. 1'000.-- ein solcher von Fr. 1'350.-- sowie "der übliche Zuschlag von 30 % zu den Grundbeträgen von Fr. 750.-- (wohl statt der 20 % entsprechend Fr. 400.--) zu bewilligen. Sie beanstandet zudem, dass ihr die Amortisationsraten für den Hypothekarkredit von Fr. 350.-- nicht bewilligt worden seien, weil es sich um Vermögensbildung handle.
Erwägungen:
1. Der Streitwert in der Hauptsache (vgl. dazu BGE 134 V 138 E. 3 S. 144; 133 III 645 E. 2.2) vor der Vorinstanz beträgt kaum Fr. 10'000.-- und liegt nach der Feststellung im angefochtenen Entscheid jedenfalls unter Fr. 15'000.--. Er erreicht somit die für die Beschwerde in Zivilsachen bei vermögensrechtlichen Angelegenheiten erforderliche Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 BGG) nicht. Dass eine Ausnahme vom Streitwerterfordernis gegeben sein könnte, wird nicht behauptet. Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher unzulässig.
1.1 Als zulässiges Rechtsmittel kommt allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht. Da Zwischenentscheide über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege in der Regel einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 129 I 129 E. 1.) und der angefochtene Entscheid von einem oberen kantonalen Gericht im Rahmen eines Rechtsmittelverfahrens gefällt wurde (Art. 113 und 114 BGG; BGE 137 III 424 E. 2.2 S. 426), ist dieses Rechtsmittel grundsätzlich zulässig. Die Beschwerde kann als Verfassungsbeschwerde entgegen genommen werden, soweit sie den formellen Anforderungen an dieses Rechtsmittel genügt.
1.2 Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft die Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur, wenn diese Rüge gemäss den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG ausdrücklich vorgebracht und klar und detailliert begründet wird (BGE 136 I 332 E. 2.1; 134 V 138 E. 2.1 S. 143; 133 III 439 E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 BGG). Es kann diesen nur berichtigen oder ergänzen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und Art. 116 BGG), was der Beschwerdeführer mit einer den genannten Anforderungen genügenden Begründung geltend zu machen hat (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 332 E. 2.2; 133 III 439 E. 3.2 S. 445 mit Hinweis).
2. Die vorliegende Beschwerde genügt diesen Anforderungen an die Begründung nicht. Die Beschwerdeführerin beruft sich auf kein verfassungsmässiges Recht. Selbst wenn sinngemäss eine Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV gerügt würde, wären die Anforderungen an die Begründung nicht erfüllt. Es ist nicht ansatzweise dargetan, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich (Art. 9 BV) festgestellt haben könnte, wenn sie aufgrund der gemeinsamen Adresse der Beschwerdeführerin mit ihrem Mitkläger schloss, dass die Kläger noch immer eine Versorgungsgemeinschaft bilden. Dass im übrigen Amortisationen, da Vermögen bildend, nicht zu den Ausgaben zählen, die für die Berechnung des Notbedarfs nach Art. 29 Abs. 3 BV in Betracht fallen, ist zutreffend und wird von der Beschwerdeführerin mit keinen tauglichen Rügen in Frage gestellt.
3. Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG nicht einzutreten. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind diesem Ausgang entsprechend der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin im Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin und dem Obergericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2012
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer