Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 1962, mit indischem und US-amerikanischem Bürgerrecht) und Z._ (geb. 1980, ukrainische Staatsangehörige) haben am 16. Oktober 2007 geheiratet. Sie sind die Eltern des Sohnes Y._ (geb. 2008). Seit dem 1. Januar 2009 leben die Parteien getrennt. Mit Entscheid vom 17. April 2009 genehmigte der Amtsgerichtspräsident von Luzern-Stadt eine zwischen den Parteien abgeschlossene Vereinbarung, welche das Getrenntleben regelte. Danach verpflichtete sich X._, monatlich Fr. 1'500.-- an den Unterhalt seines Sohnes und Fr. 3'500.-- an denjenigen seiner Ehefrau zu bezahlen. Zudem erliess der Amtsgerichtspräsident weitere Eheschutzmassnahmen.
A.b Mit Gesuch vom 29. Mai 2009 und diversen ergänzenden Eingaben ersuchte X._ um Abänderung der Eheschutzmassnahmen, einschliesslich Abänderung der vereinbarten Unterhaltsbeiträge. Der Amtsgerichtspräsident II von Luzern-Stadt wies dieses Gesuch mit Entscheid vom 4. Mai 2010 ab.
B. Den gegen diesen Entscheid von X._ ergriffenen Rekurs hiess das Obergericht des Kantons Luzern teilweise gut, bejahte den Eintritt einer wesentlichen und dauernden Änderung der finanziellen Verhältnisse, hob die Unterhaltspflicht gegenüber der Ehegattin per Ende Mai 2009 auf und reduzierte den für den Sohn geschuldeten Unterhalt rückwirkend ab 1. Juni 2009 auf Fr. 850.-- (Entscheid vom 7. Juli 2010).
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. August 2010 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt in der Sache, die Pflicht zur Bezahlung der Unterhaltsrente für den Sohn Y._ für die Zeit ab 1. Dezember 2009 bis zum voraussichtlichen Wiederaufbau seiner Firma, längstens bis 1. Dezember 2011 einzustellen und Z._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) zu verpflichten, ihm den Sportwagen Mercedes-Benz SL 500 herauszugeben. Weiter ersucht der Beschwerdeführer um Erlass der Leistung eines Kostenvorschusses
Es sind die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Zivilsache mit Fr. 30'000.-- übersteigendem Streitwert (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit im Grundsatz gegeben.
1.2 Eheschutzentscheide gelten nach der Rechtsprechung als vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.2 S. 397), so dass nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden kann. Deshalb gelangen die Art. 95 und Art. 97 BGG und auch Art. 105 Abs. 2 BGG nicht zur Anwendung. Die hier gegebenen Verhältnisse entsprechen denjenigen bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG). Wie dort (Art. 118 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 116 BGG) kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen auch hier nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die Rechtslage aus Sicht des Beschwerdeführers darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
Inwiefern diese Rügeanforderungen erfüllt sind und auf die einzelnen Streitpunkte bzw. Begehren eingetreten werden kann, ist nachfolgend zu prüfen.
1.3 Neue Sachverhaltsvorbringen oder Beweismittel sind unzulässig, soweit nicht erst der Entscheid der letzten kantonalen Instanz dazu Anlass gegeben hat (Art. 99 Abs. 1 BGG). In diesem Sinne bleiben sämtliche Ausführungen über Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Urteil zugetragen haben, für das vorliegende Verfahren unbeachtlich.
2. Der Beschwerdeführer bestreitet, vor dem Wiederaufbau seiner angestammten beruflichen Tätigkeit in der Lage zu sein, für seinen Sohn Y._ Fr. 850.-- an Unterhalt bezahlen zu können.
2.1 Das Obergericht erwog in diesem Zusammenhang, der Beschwerdeführer könne bei genügender Anstrengung ab sofort wieder ein Erwerbseinkommen erzielen, und legte dieses ermessensweise auf Fr. 6'000.-- fest. Da ihm die Beschwerdegegnerin gemäss erstinstanzlichem Entscheid Schmuckstücke im Wert von Fr. 95'000.-- herausgeben müsse, verfüge er über Vermögen, mit welchem er rückständige Unterhaltsbeiträge bezahlen könne, weshalb diese rückwirkend ab dem 1. Juni 2009 auf Fr. 850.-- herabgesetzt würden.
2.2 Die Möglichkeit, ein (hypothetisches) Einkommen zu erzielen, beruht auf Indizien; damit liegt Beweiswürdigung, mithin eine Tatfrage vor (BGE 126 III 10 E. 2b S. 12). Die Beweiswürdigung kann nur mittels Willkürrüge (Art. 9 BV) beanstandet werden. Es gilt das Rügeprinzip (vgl. E. 1.2).
2.3 Hinsichtlich der vom Obergericht angenommenen Möglichkeit, wieder ein Erwerbseinkommen zu erzielen, führt der Beschwerdeführer aus, er benötige mindestens ein Jahr Zeit, um seinen Beruf als Makler im Hedge-Fonds Bereich wieder aufnehmen zu können. Zudem könne er zufolge einer zehnjährigen Einreisesperre weder im Schengenraum noch in den USA tätig sein, und eine Anstellung im Finanzbereich sei wegen strafrechtlicher Verurteilungen unmöglich.
Mit derartigen Ausführungen lässt sich keine Willkür dartun. Hauptsächlich ist nicht einsichtig, weshalb für den Beschwerdeführer nur eine Erwerbstätigkeit im Hedge-Fonds Bereich in Frage kommen soll. Weiter bleibt er eine Erklärung dafür schuldig, weshalb die Einreisesperre für den Schengenraum ihn daran hindert, in den USA oder anderswo eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen. Schliesslich ist auch der Hinweis auf strafrechtliche Verurteilungen untauglich, denn der Beschwerdeführer legt nicht dar, wofür er strafrechtlich belangt worden ist.
2.4 Sodann bestreitet der Beschwerdeführer, über genügend Vermögen zu verfügen, um die ab 1. Juni 2009 angefallenen Kinderunterhaltsbeiträge zu bezahlen, und rügt Willkür in der Sachverhaltsfeststellung. Der realisierbare Wert des Schmucks betrage höchstens Fr. 44'150.--, und die Versilberung desselben ergebe höchstens einen Erlös von Fr. 20'000.-- oder Fr. 10'000.--.
Diese Einwände sind von vornherein nicht stichhaltig, denn für die Zeit ab 1. Juni 2009 bis und mit September 2010 machen die rückständigen Kinderunterhaltsbeiträge einen Betrag von Fr. 13'600.-- aus, der aus dem vom Beschwerdeführer zugestandenen Vermögen beglichen werden kann. Der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin die Schmuckstücke bisher nicht herausgegeben hat und es demzufolge noch eine gewisse Zeit dauern könnte, bis der Beschwerdeführer einen Verwertungserlös realisieren kann, ändert daran nichts. Auch diese Rüge erweist sich als unbegründet.
2.5 An der Sache vorbei geht ferner der Einwand, bei der Festlegung der Kinderunterhaltsbeiträge müsse dem Beschwerdeführer zumindest das Existenzminimum verbleiben, denn das Obergericht ist, ohne in Willkür zu verfallen (E. 2.3), von einem monatlichen Einkommen von Fr. 6'000.-- ausgegangen, und der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern die Kinderunterhaltsrente von Fr. 850.-- in sein - der Höhe nach nicht weiter quantifiziertes - Existenzminimum eingreifen soll.
3. Weiter verlangt der Beschwerdeführer von der Beschwerdegegnerin die Herausgabe des Sportwagens Mercedes Benz SL 500.
Das Obergericht wies dieses Begehren mit der Begründung ab, der Beschwerdeführer, der noch im Februar 2009 teuren Schmuck und eine teure Uhr gekauft habe, verfüge offensichtlich noch über Vermögen und sei auf den Verkauf des Fahrzeugs nicht angewiesen. Hingegen sei die Beschwerdegegnerin in Zürich erwerbstätig und es sei glaubhaft, dass sie das Fahrzeug benötige.
Dagegen wendet der Beschwerdeführer ein, er verfüge heute weder über den Schmuck noch über den Mercedes, sodass er unter keinen Voraussetzungen zu liquiden Mitteln kommen könne. Soweit er - wovon auch die Vorinstanz ausgegangen ist - damit meint, er sei auf den Mercedes angewiesen, damit er ihn verkaufen könne, um seinen Verpflichtungen nachzukommen, kann auf die Ausführungen in E. 2.4 hiervor verwiesen werden. Sofern er damit aber sagen will, dass er für die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit auf ein Fahrzeug angewiesen ist, legt er nicht dar, inwiefern dies der Fall sein soll. Die Einwendungen sind unbegründet.
4. Schliesslich beanstandet der Beschwerdeführer unabhängig vom Ausgang seiner Beschwerde in Zivilsachen die vorinstanzliche Kostenverteilung.
Die Regelung der Parteikosten beruht für das vorinstanzliche Verfahren auf kantonalem Verfahrensrecht. Dessen Anwendung kann das Bundesgericht auch Rahmen der Beurteilung einer Beschwerde gegen einen Massnahmeentscheid lediglich auf Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich auf Willkür hin überprüfen (vgl. E. 1.2 sowie BGE 134 II 349 E. 3 S. 351), wenn und soweit die rechtssuchende Partei entsprechende Rügen erhoben und begründet, d.h. klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils dargelegt hat, inwiefern sie durch den angefochtenen Entscheid in ihren verfassungsmässigen Rechten verletzt ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88).
Der Beschwerdeführer trägt vor, er sei nur in Punkten unterlegen, die der Beschwerdegegnerin nicht zur Vernehmlassung zugestellt worden seien, was eine Parteientschädigung durch die Beschwerdegegnerin an ihn rechtfertige. Mit dieser appellatorischen Kritik kommt der Beschwerdeführer seiner Begründungspflicht nicht nach, weshalb nicht darauf einzutreten ist.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, da sich die Beschwerdegegnerin nicht vernehmen lassen musste und ihr mithin kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG). Den Antrag des Beschwerdeführers betreffend Erlass der Leistung eines Kostenvorschusses hat das Bundesgericht als Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege entgegengenommen. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss der Prozess, den der Beschwerdeführer gegen den vorinstanzlichen Entscheid führt, als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Mithin fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen. Das bereits am 13. Oktober 2010 versandte Dispositiv wird hinsichtlich dieses bundesgerichtlichen Entscheids betreffend Abweisung des Rechtspflegegesuchs von Amtes wegen berichtigt (Art. 129 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, als Rekursinstanz nach ZPO, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Oktober 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Monn