Faits:
A. AX._, ressortissante turque, née en 1978, s'est mariée en Turquie au mois d'avril 2001 avec un compatriote titulaire d'une autorisation d'établissement et devenu suisse le 20 mars 2002. Arrivée en Suisse le 8 juillet 2001, elle a obtenu une autorisation annuelle de séjour dans le cadre du regroupement familial, puis un permis d'établissement à partir du 11 juillet 2006.
Prétendant vivre séparés depuis le mois de septembre 2006, les époux X._ ont déposé une demande commune de divorce le 31 octobre 2006. Celui-ci a été prononcé, en Suisse, le 25 mai 2007.
Par décision du 17 décembre 2007, le Service de la population et des migrants du canton de Fribourg (ci-après: le Service de la population) a révoqué l'autorisation d'établissement de AX._ et ordonné son renvoi de Suisse. Il a retenu en bref que cette dernière avait déclaré faire ménage commun avec son époux lors de sa demande de renouvellement de son autorisation de séjour, le 23 juin 2006, mais qu'en raison des troubles psychiques dont elle souffrait, la communauté conjugale n'était plus étroite et effective bien avant la délivrance du permis d'établissement, le couple ayant ressenti des difficultés un an déjà après le mariage.
B. AX._ a recouru contre ce jugement auprès du Tribunal cantonal du canton de Fribourg (Ière Cour administrative) qui, par arrêt du 9 juin 2010, a rejeté le recours. Les premiers juges ont considéré en bref que les conditions pour révoquer l'autorisation d'établissement selon l'ancien droit étaient réalisées, car une procédure de divorce avait été ouverte en Turquie dès la délivrance de cette autorisation et la dissolution du mariage prononcée le 14 septembre 2006 déjà. Ils ont dès lors écarté la version arrangée des intéressés qui avaient prétendu vouloir sauver leur mariage en déménageant, au 1er juillet 2006, dans un appartement indépendant de celui de la famille de l'époux, et relevé plusieurs indices démontrant l'absence d'une véritable communauté conjugale, tels que leur mariage arrangé entre cousins germains et le fait qu'en cinq ans, ils n'avaient jamais pris de vacances en commun, notamment pour se rendre en Turquie. Ils ont enfin jugé que le renvoi de la recourante dans son pays d'origine respectait le principe de la proportionnalité, dès lors que, divorcée sans enfants, et touchant une rente AI complète, son intégration restait très limitée; en outre, la Turquie disposait, selon l'Office fédéral des migrations, de bonnes possibilités de soins psychiatriques.
C. AX._ forme un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral et conclut, avec suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt précité et au rétablissement de son droit à une autorisation d'établissement. A titre subsidiaire, elle demande que la cause soit renvoyée à l'autorité intimée en vue de la délivrance d'une autorisation annuelle de séjour. La recourante présente aussi une requête d'assistance judiciaire complète pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
Le Service cantonal a renvoyé aux observations produites sur le plan cantonal, ainsi qu'aux considérants de l'arrêt attaqué. Le Tribunal cantonal, se référant à son arrêt du 9 juin 2010, a conclu au rejet du recours, à l'instar de l'Office fédéral des migrations.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence et la recevabilité des recours qui lui sont soumis (cf. art. 29 al. 1 LTF; ATF 136 I 43 consid. 1 p. 43; 136 II 101 consid. 1 p. 103).
Titulaire d'une autorisation d'établissement qui, sans la révocation, déploierait toujours ses effets, la recourante a un droit à cette autorisation, de sorte que son recours échappe au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. Dirigé contre une décision finale prise en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur, ce recours est donc recevable au regard des art. 82 ss LTF.
1.2 La tenue de débats publics devant le Tribunal fédéral revêt un caractère exceptionnel et les parties n'ont en principe aucun droit à ce qu'il y soit procédé (art. 57 ss LTF; arrêt 2C_844/2009 du 22 novembre 2010, consid. 3.2.3; Jean-Maurice Frésard, Commentaire de la LTF, ad art. 57 LTF N 9, Berne 2009, p. 405 ss). Il ne sera donc pas donné suite à la requête formée dans ce sens par la recourante.
1.3 La demande de prolongation de l'autorisation de séjour de la recourante, ainsi que la procédure ayant abouti à la révocation de son autorisation d'établissement, ayant eu lieu avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la loi fédérale sur les étrangers du 16 décembre 2005 (LEtr; RS 142.20), le cas demeure régi par l'ancien droit (cf. art. 126 al. 1 LEtr), à savoir la loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE).
Indépendamment des critiques émises par la recourante au sujet de l'application de l'ancien droit, il n'y a en effet pas lieu de s'écarter de la jurisprudence du Tribunal fédéral, selon laquelle l'ancien droit est applicable à toutes les procédures initiées en première instance avant l'entrée en vigueur de la LEtr, indépendamment du fait qu'elles aient été ouvertes d'office ou sur demande de l'étranger (arrêts 2C_329/2009 du 14 septembre 2009 consid. 2.1 et les références citées, 2C_98/2009 du 10 juin 2009 consid. 1.4). Le présent recours doit donc être rejeté en tant qu'il requiert l'application des art. 43 al. 1 et 51 al. 2 let. a et b LEtr.
1.4 Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a, ainsi que 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Il est lié par les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (ATF 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322; 133 IV 286 consid. 6.2 p. 288). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322; 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
2. La recourante se plaint tout d'abord d'une violation de son droit d'être entendue, parce que les débats publics qu'elle avait demandés ont été limités aux plaidoiries. Or, son audition devant la Cour cantonale aurait permis de démontrer qu'elle est parfaitement intégrée et qu'elle maîtrise l'allemand. En outre, l'audition de son médecin traitant, qu'elle avait requise, aurait apporté des renseignements complémentaires importants sur les conséquences qu'aurait pour elle un retour en Anatolie.
2.1 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment pour le justiciable le droit de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes, de participer à l'administration des preuves essentielles et de se déterminer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 135 I 279 consid. 2.3 p. 282; 133 I 270 consid. 3.1 p. 277 et la jurisprudence citée). Le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. ne comprend toutefois pas le droit d'être entendu oralement, ni celui de d'obtenir l'audition de témoins (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428). L'autorité peut ainsi mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 429 et les arrêts cités).
2.2 Il est vrai que la recourante a toujours rempli les formulaires administratifs en allemand et qu'en l'entendant les juges cantonaux auraient sans doute pu constater qu'elle maîtrisait mieux cette langue que le français. Cet élément a toutefois été secondaire dans leur appréciation de la situation de la recourante, telle qu'elle ressort du dossier. Il n'est pas davantage contesté que la recourante, au bénéfice d'une rente AI, doit être soignée régulièrement en raison d'une maladie psychique grave. Cette maladie a cependant été prise en compte dans l'examen d'un retour possible dans son pays d'origine. Dans ces circonstances, les juges cantonaux pouvaient estimer sans tomber dans l'arbitraire qu'ils étaient suffisamment renseignés sur la base des pièces figurant au dossier et par l'échange d'écritures entre les parties. Ils n'ont donc pas violé le droit d'être entendu de la recourante en limitant les débats aux plaidoiries et en refusant son audition, ainsi que celle de sa doctoresse.
3. Au fond, la recourante soutient que la révocation de son autorisation d'établissement, voire le refus de lui accorder une autorisation de séjour à l'année pour pallier aux conséquences néfastes d'un renvoi en Turquie viole le principe de la proportionnalité.
3.1 D'une manière générale, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse n'a pas droit à la prolongation de l'autorisation de séjour ou une autorisation d'établissement, lorsque, nonobstant un séjour régulier et ininterrompu de cinq ans, le mariage a été contracté dans le but d'éluder les dispositions sur le séjour et l'établissement des étrangers (mariage fictif) ou lorsque le conjoint étranger s'en prévaut à des fins abusives (cf. art. 7 LSEE; ATF 130 II 113 consid. 4.2 p. 117; 128 II 145 consid. 2 et 3 p. 151/152; 127 II 49 consid. 5 p. 56 ss). Après un séjour de cinq ans en Suisse, le droit du conjoint étranger à l'octroi d'une autorisation d'établissement découlant de l'art. 7 al. 1 LSEE ne peut plus être influencé par un divorce éventuel, dans la mesure où cette autorisation n'est pas limitée dans le temps (ATF 121 II 97 consid. 4c p. 104). Il est donc déterminant de savoir si, comme l'a retenu le Tribunal administratif, l'abus de droit existait déjà avant l'écoulement du délai de cinq ans et permettait la révocation de l'autorisation de la recourante.
3.2 Selon l'art. 9 al. 4 LSEE, l'autorisation d'établissement est révoquée lorsque l'étranger l'a obtenue par surprise, en faisant de fausses déclarations ou en dissimulant des faits essentiels. Sont essentiels non seulement les faits au sujet desquels l'autorité administrative pose expressément des questions au requérant, mais encore ceux dont il doit savoir qu'ils sont déterminants pour l'octroi de l'autorisation (cf. ATF 135 II 1 consid. 4.1 p. 9). Il importe peu que l'autorité eût pu découvrir de tels faits par elle-même si elle avait fait preuve de diligence. L'étranger doit en particulier indiquer si la communauté conjugale n'est plus effectivement vécue (arrêt 2C_831/2008 du 12 mars 2009 consid. 6.2). Même lorsque ces conditions sont remplies, l'autorité n'est pas tenue de prononcer la révocation; elle doit examiner les circonstances du cas particulier et dispose d'une certaine marge d'appréciation (cf. ATF 135 II 1 consid. 4.1 p. 9 et les arrêts cités).
3.3 Il ressort des faits constatés dans l'arrêt attaqué, et qui lient le Tribunal fédéral (cf. supra consid. 1.3), que la mésentente entre les époux existait bien avant leur divorce et que le mariage n'a été maintenu qu'en vue de l'octroi du permis d'établissement à la recourante. Celle-ci ne revient d'ailleurs pas sur la version arrangée des époux, selon laquelle ils allaient déménager au 1er juillet 2006 dans un appartement indépendant de celui de la famille de son mari, cet appartement subventionné d'une pièce et demi était, au demeurant, destiné à la recourante qui en avait signé le bail le 22 juin 2006. En fait, les époux ont engagé une procédure en Turquie tout de suite après l'octroi de l'autorisation d'établissement et leur divorce a été prononcé le 14 septembre 2006, soit avant même qu'ils ne déposent une demande commune de divorce en Suisse, le 31 octobre 2006. L'instruction a ainsi révélé que la recourante avait sciemment caché au Service de la population sa situation conjugale et son proche déménagement lorsqu'elle a rempli le formulaire "avis de fin de validité" que lui avait envoyé ce dernier pour régler les conditions de son séjour au 7 juillet 2006. Les premiers juges pouvaient dès lors considérer que les indices révélateurs d'un abus de droit avant l'échéance du délai de cinq ans avaient été établis de manière convaincante et que l'autorité inférieure n'aurait jamais délivré l'autorisation d'établissement à la recourante si elle en avait eu connaissance. Reste à examiner si les circonstances du cas particulier justifiaient la révocation de cette autorisation.
3.4 Il est en l'espèce constant que la recourante, divorcée sans enfant, au bénéfice d'une rente AI en raison d'une maladie psychique, et donc incapable d'exercer une activité lucrative, ne jouit pas en Suisse d'une intégration exceptionnelle, sa vie sociale se limitant à la fréquentation de quelques amis. Le fait qu'elle maîtrise mieux l'allemand que le français n'est pas essentiel, mais pouvait être mentionné par les premiers juges comme une difficulté supplémentaire à s'intégrer pleinement en ville de Fribourg. Il faut aussi tenir compte du fait qu'elle retourne régulièrement et pour de longues périodes dans son pays d'origine, où elle a vécu jusqu'à l'âge de vingt-deux ans, de sorte qu'elle ne devrait pas avoir trop de problèmes pour s'y réintégrer. Sur ce point, il y a lieu de relever qu'elle a déjà travaillé à Istanbul et que rien ne l'oblige à retourner dans sa famille en Anatolie, puisqu'elle est indépendante financièrement. La poursuite de son traitement psychiatrique en serait d'ailleurs aussi facilitée. A cet égard, les possibilités de traitement en Turquie n'ont pas été mal appréciées par les juges cantonaux, puisque dans son arrêt Gezginci c. Suisse du 9 décembre 2010 (requête no 16327/05), la Cour européenne des droits de l'homme vient de confirmer, à propos d'un requérant souffrant de dépression avec tendance suicidaire et d'un rhumatisme, que la Turquie disposait des médicaments et traitements nécessaires. Les risques d'un nouveau mariage arrangé doivent être relativisés, en particulier parce que l'arrêt attaqué constate que la famille de la recourante avait admis que celle-ci n'était pas responsable de son divorce, dû essentiellement à sa maladie.
Dès lors que le retour de la recourante dans son pays d'origine ne lui causerait pas de graves préjudices, le Tribunal administratif n'a pas violé le droit fédéral en confirmant que les conditions pour révoquer l'autorisation d'établissement de la recourante étaient remplies et que son retour en Turquie n'était pas contraire au principe de la proportionnalité.
4. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
La recourante a sollicité l'assistance judiciaire devant le Tribunal fédéral, qu'elle avait déjà obtenue devant la juridiction cantonale. Si elle a certes établi qu'elle dispose de moyens financiers restreints, il faut cependant admettre que ses conclusions étaient dépourvues de chances de succès. Partant, la demande d'assistance judiciaire ne remplit pas les conditions de l'art. 64 al. 1 LTF et doit être rejetée. Les frais judiciaires seront donc mis à la charge de la recourante en tenant compte de sa situation financière (art. 65 al. 1 et 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service de la population et des migrants du canton de Fribourg, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Ie Cour administrative, et à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 19 décembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Zünd Rochat