Sachverhalt:
A. Der 1961 geborene B._ bezieht Renten der Unfall- sowie der Invalidenversicherung. Er lebt seit mehreren Jahren in Brasilien. Gestützt auf eine Mitteilung der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Mobiliar) als Unfallversicherer vom 5. Dezember 2006, wonach diese ihre Rentenzahlungen endgültig eingestellt habe, weil ihr Hinweise vorlägen, dass diese nicht mehr geschuldet seien, stellte auch die IV-Stelle für Versicherte im Ausland die Zahlung der bisher ausgerichteten ganzen Invalidenrente als vorsorgliche Massnahme mit sofortiger Wirkung ein und entzog einer gegen diese Verfügung gerichteten Beschwerde die aufschiebende Wirkung (Verfügung vom 29. Dezember 2006).
B. Am 1. Februar 2007 liess B._ Beschwerde führen und beantragen, die Verfügung sei aufzuheben, die Rentenleistungen seien weiterhin auszurichten und der Beschwerde sei wieder aufschiebende Wirkung zu erteilen. Das angerufene Bundesverwaltungsgericht lehnte das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ab (Zwischenverfügung vom 7. Mai 2007) und führte einen doppelten Schriftenwechsel durch. Auf die Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses hin stellte B._ am 12. März 2008 ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung). Im Verlaufe des Verfahrens gab er weitere medizinische Unterlagen zu den Akten.
Nachdem B._ das Bundesverwaltungsgericht mit Schreiben vom 1. Dezember 2008 um Erlass des Entscheides gebeten hatte, verpflichtete dieses die IV-Stelle mit Verfügung vom 15. Dezember 2008 zur Einreichung der Akten der Mobiliar innert der dafür gesetzten Frist. Die IV-Stelle reichte dem Gericht am 7. Januar 2009 die ihr von der Mobiliar zugestellten Akten ein mit der Bitte, dem Versicherten bis zum Entscheid des Untersuchungsrichters bezüglich der Akteneinsicht im Strafverfahren keine Akteneinsicht zu gewähren. Mit Verfügung vom 12. Januar 2009 sistierte das Bundesverwaltungsgericht das Verfahren bis zur Herausgabe der vollständigen Akten durch die Mobiliar und forderte die IV-Stelle (ohne Fristansetzung) erneut auf, bei der Mobiliar die vollständigen Akten anzufordern und diese dem Bundesverwaltungsgericht unverzüglich zuzustellen.
C. Mit Eingabe vom 25. Mai 2009 lässt B._ Rechtsverzögerungsbeschwerde führen und beantragen, es sei das Bundesverwaltungsgericht anzuweisen, beförderlich einen materiellen Entscheid zu fällen und in diesem Zusammenhang die IV-Stelle aufzufordern, innert einer kurzen, nicht erstreckbaren Frist die hinsichtlich der angefochtenen Verfügung vom 29. Dezember 2006 relevanten Akten der Mobiliar einzureichen. Des Weitern sei das Bundesverwaltungsgericht anzuweisen, die IV-Stelle zu verpflichten, die nachträglich eingereichten aktuellen medizinischen Unterlagen zu prüfen. Das Bundesverwaltungsgericht sei anzuweisen, über den von ihm im Rahmen des Beschwerdeverfahrens gestellten Antrag auf Erlass der ordentlichen und ausserordentlichen Kosten beförderlich einen materiellen Entscheid zu fällen. Des Weitern stellt B._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) für das letztinstanzliche Verfahren.
Das Bundesverwaltungsgericht schliesst in seiner Vernehmlassung auf Abweisung der Rechtsverzögerungsbeschwerde, soweit diese nicht gegenstandslos geworden sei. Es weist darauf hin, dass die zuständige Instruktionsrichterin der IV-Stelle mit Verfügung vom 12. Juni 2009 Frist für die Einforderung und Zustellung der vollständigen Akten gesetzt habe.
Erwägungen:
1. Gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids kann beim Bundesgericht Beschwerde geführt werden (Art. 94 BGG). Voraussetzung für die Zulässigkeit der Rechtsverzögerungsbeschwerde ist somit, dass auch der anbegehrte Entscheid beim Bundesgericht (direkt) anfechtbar wäre (Bernard Corboz, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 11 f. zu Art. 94 BGG).
Die Beschwerde vom 1. Februar 2007, betreffend welcher der Beschwerdeführer eine Rechtsverzögerung rügt, richtet sich gegen die Verfügung vom 29. Dezember 2006, welche die Rentenzahlung im Sinne einer vorsorglichen Massnahme (Art. 45 Abs. 2 lit. g VwVG in der bis Ende 2006 geltenden Fassung bzw. Art. 56 VwVG; vgl. BGE 121 V 112 S. 115 f.) für die Dauer des eingeleiteten Rentenrevisionsverfahrens einstellt. Entscheide über vorsorgliche Massnahmen sind Zwischenentscheide, gegen welche die Beschwerde ans Bundesverwaltungsgericht nur unter den Voraussetzungen von Art. 45 oder 46 VwVG zulässig ist (BGE 130 II 149 E. 1.1 S. 153; Uhlmann/Wälle-Bär, in: Waldmann/Weissenberger [Hrsg.], VwVG, Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2009, N. 7 zu Art. 45 VwVG; Hansjörg Seiler, in: Waldmann/Weissenberger [Hrsg.], a.a.O., N. 71 zu Art. 56 VwVG). Der mit der Beschwerde vom 1. Februar 2007 anbegehrte Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts über diese Massnahme ist seinerseits ebenfalls ein Zwischenentscheid, der beim Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 BGG anfechtbar ist (BGE 135 III 238 E. 2 S. 239 f. und nicht publ. E. 3 [5A_270/2008]; 134 I 83 E. 3.1 S. 86 f.; Urteil 2C_309/2008 vom 13. August 2008 E. 2.2; 1C_420/2007 vom 18. März 2008 E. 1 [n. publ. in: JdT 2008 I 466]; Seiler, a.a.O., N. 130 zu Art. 55 und N. 80 zu Art. 56 VwVG), wobei praktisch neben dem hier nicht interessierenden Fall von Art. 92 BGG nur die Variante von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG in Frage kommt. Unter dem nicht wieder gutzumachenden Nachteil ist ein Nachteil rechtlicher Natur im Sinne der Praxis zu Art. 87 Abs. 2 aOG zu verstehen (BGE 134 IV 43 E. 2.1 S. 45). Nach der Rechtsprechung zu Art. 87 Abs. 2 aOG stellt eine ungerechtfertigte Verfahrensverzögerung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil dar, so dass die Rechtsverzögerungsbeschwerde zulässig ist (BGE 135 III 127 E. 1.3 S. 129; 134 IV 43 E. 2.2 und 2.3 S. 45 f.; anders wenn nicht das blosse stillschweigende Untätigbleiben, sondern eine angeblich ungerechtfertigte Rückweisungsverfügung beanstandet wird, in welchem Falle sich die Anfechtbarkeit nach den für diese Verfügung geltenden Regeln richtet, Urteil 1C_433/2008 vom 16. März 2009 E. 1.4; vgl. auch Urteil 8C_151/2009 vom 7. Mai 2009 E. 3.2). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2. Der Anspruch auf Erledigung der Streitsache innert angemessener Frist entbindet den Rechtsuchenden nicht davon, seinerseits das ihm Mögliche und Zumutbare zu einer zügigen Verfahrenserledigung beizutragen, wozu im Falle einer vermuteten Rechtsverzögerung auch die Obliegenheit zu zählen ist, die säumige Behörde zunächst auf die Prozessdauer aufmerksam zu machen und um eine raschere Abwicklung des Verfahrens zu ersuchen, allenfalls verbunden mit Fristansetzung und Androhung einer Rechtsverzögerungsbeschwerde (BGE 125 V 373 E. 2b/bb S. 376; SVR 2007 IV Nr. 2 S. 6, I 760/05 E. 4.1). Der Beschwerdeführer hat das Bundesverwaltungsgericht bereits mit Schreiben vom 1. Dezember 2008 ersucht, den Entscheid, welcher ihm von der Gerichtsschreiberin schon vor Monaten angekündigt worden sei, zu erlassen. Er bringt sodann vor, er habe das Gericht am 7. April 2009 telefonisch um Beschleunigung des Verfahrens gebeten, was eine Aktennotiz desselben bestätigt. Dass er die Zwischenverfügung vom 12. Januar 2009, mit welchem das Bundesverwaltungsgericht das Beschwerdeverfahren bis zur Herausgabe der vollständigen Akten durch die Mobiliar sistiert hatte, nicht angefochten hat, kann ihm deshalb nicht zum Nachteil gereichen (vgl. auch Art. 93 Abs. 3 BGG).
3. Der Beschwerdeführer rügt eine Rechtsverzögerung und beantragt beförderliches Tätigwerden in dreierlei Hinsicht:
3.1 Das Bundesverwaltungsgericht sei anzuweisen, die IV-Stelle für Versicherte im Ausland aufzufordern, ihm innert einer kurzen, nicht erstreckbaren Frist die relevanten Akten der Mobiliar einzureichen. Dies hat die Vorinstanz inzwischen mit Verfügung vom 12. Juni 2009 getan, so dass die Rechtsverzögerungsbeschwerde in diesem Punkt gegenstandslos geworden ist.
3.2 Das Bundesverwaltungsgericht sei anzuweisen, beförderlich einen materiellen Entscheid zu fällen.
3.2.1 Die Beschwerde wurde am 1. Februar 2007 eingereicht und ist nach nahezu zweieinhalb Jahren immer noch nicht beurteilt. Diese Verfahrensdauer ist an sich sehr lang. Sie ist allerdings nicht in erster Linie darauf zurück zu führen, dass das Bundesverwaltungsgericht nichts unternommen hätte; im Gegenteil wurden regelmässig und jeweils in zeitlichen Abständen, die als solche nicht übermässig lange sind, verfahrensleitende Anordnungen getroffen. Ein Teil der Dauer ist zudem auch dem Beschwerdeführer anzulasten (Fristverlängerungsgesuche des Rechtsvertreters; Anwaltswechsel). Sodann rechtfertigt das Bundesverwaltungsgericht das weitere Zuwarten damit, dass es die Beschwerde erst nach Einblick in die vollständigen Akten der Mobiliar (wie auch in die Akten des Strafverfahrens, wozu der Versicherte die Einwilligung verweigert habe) beurteilen könne. Die Mobiliar sei dem bereits mit Verfügung vom 15. Dezember 2008 gestellten Akteneditionsbegehren nur teilweise nachgekommen, weil das Untersuchungsrichteramt III Bern-Mittelland im hängigen Strafverfahren betreffend Verdacht auf gewerbsmässigen Betrug zu jenem Zeitpunkt Verdunkelungsgefahr geltend gemacht und die Mobiliar ersucht hatte, dem Versicherten keine Akteneinsicht zu gewähren.
3.2.2 Das Bundesverwaltungsgericht verkennt damit die Verfahrenslage: Bei der angefochtenen Verfügung handelt es sich um einen Entscheid über eine vorsorgliche Massnahme während der Dauer des an die Hand genommenen Rentenrevisionsverfahrens (vorne E. 1). Solche Massnahmen werden aufgrund einer summarischen Prüfung gestützt auf die vorhandenen Unterlagen getroffen (BGE 130 II 149 E. 2.2 S. 155; 127 II 132 E. 3 S. 138; 117 V 185 E. 2b S. 191). Auch im Rechtsmittelverfahren kann die Sache deshalb nicht eingehend abgeklärt und damit der Entscheid in der Hauptsache vorweggenommen werden (Seiler, a.a.O., N. 28 zu Art. 56 VwVG). Vielmehr ist aufgrund der vorhandenen Akten zu prüfen, ob die Voraussetzungen für eine vorsorgliche Massnahme vorliegen (BGE 130 II 149 E. 3.4 S. 158; 117 V 185 E. 2c/bb S. 192 f.). Hinzu kommt, dass gemäss Art. 55 Abs. 3 VwVG über ein Begehren um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ohne Verzug zu entscheiden ist. Da die aufschiebende Wirkung eine Form der vorsorglichen Massnahmen ist, muss dies analog auch gelten für dagegen gerichtete Beschwerden (vgl. BGE 117 V 185 E. 2b S. 191). Eine Verfahrensdauer von nahezu zweieinhalb Jahren für einen Entscheid über eine Beschwerde gegen vorsorgliche Massnahmen ist in jedem Fall eindeutig zu lange. Das Bundesverwaltungsgericht ist anzuweisen, darüber unverzüglich zu entscheiden. Dazu ist entgegen seiner Auffassung die Kenntnis der Akten des Strafverfahrens nicht erforderlich; denn es geht nicht um die materiellrechtliche Hauptfrage, ob eine Einstellung der Rente berechtigt ist. Vielmehr ist einzig zu prüfen, ob aufgrund der Sachlage, wie sie sich der IV-Stelle bei ihrem Entscheid darbot, die Voraussetzungen für eine vorsorgliche Einstellung der Rentenzahlung für die Dauer des Revisionsverfahrens erfüllt waren.
3.3 Schliesslich stellt der Beschwerdeführer das Rechtsbegehren, das Bundesverwaltungsgericht sei anzuweisen, über den von ihm beantragten Kostenerlass beförderlich einen materiellen Entscheid zu fällen.
3.3.1 Der Versicherte hat nicht bereits in der Beschwerde vom 1. Februar 2007 um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung) ersucht, sondern erst am 12. März 2008, nachdem er mit Zwischenverfügung vom 14. Februar 2008 zur Bezahlung eines Kostenvorschusses aufgefordert worden war. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtete in der Folge offenbar stillschweigend auf einen Kostenvorschuss.
3.3.2 Grundsätzlich soll die Beschwerdeinstanz nach Gesuchseingang über die unentgeltliche Rechtspflege befinden (Martin Kayser, in: Auer/Müller/Schindler [Hrsg.], Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren [VwVG], 2008, N. 5 zu Art. 65 VwVG). In der Praxis wird jedoch - auch vor Bundesgericht - bisweilen erst mit dem Endentscheid über das Gesuch entschieden und vorläufig auf die Erhebung eines Kostenvorschusses verzichtet (Marcel Maillard, in: Waldmann/ Weissenberger [Hrsg.], a.a.O., N. 33 zu Art. 65 VwVG). Der Beschwerdeführer erleidet dadurch insofern keinen Nachteil, als sein Anliegen geprüft wird, auch ohne dass er etwas bezahlen muss. Insoweit fehlt ein aktuelles Rechtsschutzinteresse an einem förmlichen Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten.
3.3.3 Anders verhält es sich mit dem Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung. Sowohl die Partei als auch der Rechtsvertreter müssen im Hinblick auf die damit verbundenen Folgen (Kostentragungspflicht der Partei; Honorierung des Vertreters) wissen, ob dem Gesuch stattgegeben wird, bevor sie weitere Prozesshandlungen vornehmen, würde doch sonst der Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung vereitelt. Zwar ist es zulässig, auch über die unentgeltliche Verbeiständung erst zusammen mit dem Endentscheid in der Sache zu befinden, wenn das Gesuch zusammen mit der Beschwerdeschrift eingereicht wird (mithin zu einem Zeitpunkt, da die Arbeit des Anwalts bereits geleistet ist) und der Rechtsvertreter keine weiteren Prozesshandlungen mehr vornehmen muss (vgl. Urteil 9C_604/2008 vom 24. Oktober 2008, in fine). Vorliegend hat jedoch das Bundesverwaltungsgericht nach Eingang der Beschwerde verschiedene Instruktionsmassnahmen getroffen und dem Beschwerdeführer Frist zu Stellungnahmen gesetzt. Der Rechtsvertreter musste daher auch nach Abfassung der Rechtsschrift weitere Handlungen vornehmen. Unter diesen Umständen ist es unabdingbar, über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung vorab zu entscheiden. Unhaltbar ist sodann die vom Bundesverwaltungsgericht vernehmlassungsweise vorgebrachte Auffassung, der Eingang der edierten Akten der Mobiliar und des Strafverfahrens sei erforderlich für die Beurteilung des Gesuchs. Denn der Sinn der unentgeltlichen Rechtspflege besteht gerade darin, dass der Bedürftige für das Prozessverfahren (Instruktions- und Beweisverfahren) den unentgeltlichen Rechtsbeistand geniesst. Der Entscheid muss daher im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung aufgrund der vorhandenen Akten gefällt werden und darf nicht erst nach Abschluss des Instruktions- oder Beweisverfahrens aufgrund des dann vorhandenen Kenntnisstandes getroffen werden (BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 136; 128 I 225 E. 2.5.3 S. 236; Kayser, a.a.O., N. 5 zu Art. 65 VwVG).
3.3.4 Nachdem die bisherigen Rechtshandlungen des Beschwerdeführers erfolgt sind, ohne dass über das Gesuch entschieden worden wäre, lässt es sich nach dem Gesagten rechtfertigen, darüber erst zusammen mit dem Endentscheid zu befinden, sofern das Bundesverwaltungsgericht diesen ohne weitere Instruktionsmassnahmen aufgrund der vorhandenen Akten trifft (vorne E. 3.2.2). Sollte es aber noch weitere Massnahmen anordnen, welche ein Tätigwerden des Beschwerdeführers bzw. seines Rechtsvertreters erfordern, hätte es vorgängig über das Gesuch zu entscheiden.
4. Die Beschwerde ist damit begründet, soweit sie nicht gegenstandslos geworden ist. Die Schweizerische Eidgenossenschaft trägt keine Kosten (Art. 66 Abs. 4 BGG), hat jedoch dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Dessen Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für den letztinstanzlichen Prozess wird demzufolge gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit sie nicht gegenstandslos geworden ist. Das Bundesverwaltungsgericht wird angewiesen, über die Beschwerde vom 1. Februar 2007 im Sinne der Erwägungen unverzüglich zu entscheiden.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die Schweizerische Eidgenossenschaft hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Juli 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann