Sachverhalt:
A. Der 1949 geborene M._ bezieht seit September 1997 aufgrund von Hüft-, Knie- und Rückenbeschwerden eine Rente der Invalidenversicherung. Er war teilzeitlich als Reinigungsmitarbeiter tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 20. März 2003 bei der Arbeit aus ca. 3 m Höhe von einer Leiter fiel. Im gleichentags aufgesuchten Spital X._ wurden eine Rippenserienfraktur rechts mit Hämatopneumothorax, eine Commotio cerebri sowie diverse Kontusionen diagnostiziert. Auf der Notfallstation wurde zur Behandlung des Hämatopneumothorax eine Bülau-Drainage eingelegt. Zur adäquaten Analgesie wurde der Versicherte stationär aufgenommen. Nach Entfernung der Thoraxdrainage wurde er am 29. März 2003 in diskretem Allgemeinzustand nach Hause entlassen (Berichte Spital X._ vom 28. März und April 2003). In der Folge wurde auch eine Verletzung an der linken Schulter festgestellt. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach verschiedenen medizinischen Abklärungen (u.a. Einholung angiologischer, pneumologischer und neurologischer Konsilien sowie kreisärztliche Untersuchungen) eröffnete sie dem Versicherten mit Verfügung vom 10. Oktober 2005, das Taggeld werde auf den 30. November 2005 eingestellt. Für die verbliebene Beeinträchtigung an der linken Schulter werde eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 5 % zugesprochen. Zudem würden die Kosten der noch notwendigen lockeren ärztlichen Kontrollen (4-6 pro Jahr) sowie die notwendigen Schmerzmittel weiter übernommen. Sofern der Gesundheitszustand später erneut ärztliche Behandlung erfordere, könne sich M._ wieder bei der SUVA melden. Ein Anspruch auf eine Invalidenrente bestehe mangels einer unfallbedingten erheblichen Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit nicht. Auch seien keine Versicherungsleistungen aus den nebst der Schulterproblematik aufgetretenen HWS-, Rücken- und Kopfbeschwerden geschuldet, da diese nicht als Folgen des Unfalls vom 20. März 2003 zu betrachten seien. Auf Einsprache des Versicherten hin sprach die SUVA zusätzlich einen Protonenpumpenblocker zu. Im Übrigen wies sie die Einsprache ab (Einspracheentscheid vom 9. Februar 2006).
B. Die von M._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 29. Januar 2007 nach Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung ab.
C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die SUVA zu verpflichten, über den 30. November 2005 hinaus Versicherungsleistungen (Taggeld resp. Rente und Heilbehandlung) zu erbringen und eine Integritätsentschädigung nach Massgabe eines Integritätsschadens von 10 % auszurichten.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung vom 7. März 2008 wurde M._ die unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren gewährt. Zudem wurde den Parteien die Gelegenheit eingeräumt, ihre Vorbringen im Hinblick auf das in BGE 134 V 109 publizierte Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 zu ergänzen. Davon machte die SUVA mit Eingabe vom 16. April 2008 Gebrauch.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht wird (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die SUVA aus dem Unfall vom 20. März 2003 über den 30. November 2005 hinaus weitere Leistungen nebst den mit dem vorinstanzlich bestätigten Einspracheentscheid vom 9. Februar 2006 zugesprochenen auszurichten hat.
Die massgeblichen Gesetzesbestimmungen und die Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch in der obligatorischen Unfallversicherung vorausgesetzten natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass Rückfälle und Spätfolgen zu weiteren Versicherungsleistungen berechtigen können (Art. 11 UVV).
3. Das kantonale Gericht hat erwogen, als leistungsbegründender Gesundheitsschaden seien einzig die Schulterbeschwerden links zu betrachten. Hiefür habe die SUVA eine angemessene Integritätsentschädigung zugesprochen. Zudem habe sie sich bereit erklärt, die notwendigen ärztlichen Kontrollen und Schmerzmittel zu übernehmen. Da dem Versicherten die Ausübung der vor dem Unfall ausgeübten Tätigkeit trotz der noch bestehenden Schulterbeschwerden wieder im früheren Umfang zumutbar sei, habe die SUVA sodann zu Recht die Taggeldleistungen eingestellt und den Anspruch auf eine Invalidenrente verneint. Die ebenfalls geklagten Kopfschmerzen und Rückenbeschwerden seien nicht mit einem natürlich unfallkausalen Gesundheitsschaden zu erklären und berechtigten daher nicht zu Leistungen der Unfallversicherung.
In der Beschwerde werden die beantragten zusätzlichen Leistungen damit begründet, es bestehe weiterhin auch eine Beeinträchtigung an der linken Hand sowie durch Kopfschmerzen und Thoraxbeschwerden. Die Arbeitsfähigkeit sei unter Mitberücksichtigung dieser als unfallkausal zu betrachtenden Leiden und gestützt auf ein anzuordnendes polydisziplinäres medizinisches Gutachten neu zu beurteilen. Sodann begründeten alleine schon die Kopfschmerzen zusammen mit der Schulterproblematik einen Integritätsschaden von 10 %.
4. Dass die bestehenden Schulterbeschwerden alleine betrachtet - vorbehältlich allfälliger Rückfälle und Spätfolgen - keinen höheren oder zusätzlichen Leistungsanspruch zu begründen vermöchten, steht nach Lage der Akten fest und ist nicht umstritten. In der Beschwerde wird sodann, aufgrund der medizinischen Berichte zu Recht, nicht mehr geltend gemacht, die noch geklagten Beschwerden im Rücken- resp. Wirbelsäulenbereich seien unfallkausal.
5. In Bezug auf die geltend gemachten Thoraxbeschwerden wird zunächst zu Recht beanstandet, der angefochtene Entscheid setze sich mit den entsprechenden Vorbringen in der kantonalen Beschwerde nicht auseinander. Die darin liegende Verletzung des rechtlichen Gehörs ist indessen im vorliegenden Verfahren, in welchem das Bundesgericht mit voller Kognition entscheidet, heilbar. Die Sache ist diesbezüglich spruchreif. Gleiches gilt für die erneut geltend gemachte, im vorinstanzlichen Entscheid ebenfalls nicht behandelte Beeinträchtigung an der linken Hand, welche als erstes geprüft wird.
5.1 Als Folge der Schulterproblematik ist nach der vom Versicherten vertretenen Auffassung eine Beeinträchtigung an der linken Hand entstanden. Aus den Akten ergibt sich dazu Folgendes:
Gemäss Bericht des Spitals X._, Orthopädisch-Traumatologische Abteilung, vom 27. April 2004 klagte der Versicherte in der Schulter-Fachsprechstunde vom 22. April 2004 über eine Schwellung der linken Hand. Sodann beschrieb der Beschwerdeführer laut Austrittsbericht der Rehaklinik Y._ vom 1. Oktober 2004 bei seiner Hospitalisation vom 16. August bis 10. September 2004, er habe oft eine Schwellung an der linken Hand, so dass er diese am Morgen nicht schliessen könne. Zu einer weitergehenden Befundaufnahme an der Hand sahen sich die Ärzte des Spitals X._ und der Rehaklinik Y._ indessen trotz dieser Angaben nicht veranlasst. In der Folge äusserte der behandelnde Arzt, Dr. med. S._, Facharzt FMH für Innere Medizin, mit Berichten/Eingaben vom 15. und 26. Oktober sowie 7. Dezember 2004 einen Verdacht auf ein wahrscheinlich posttraumatisches Lymphoedem am linken Arm mit Verunmöglichung des Faustschlusses. Die SUVA veranlasste deswegen eine konsiliarische Abklärung an der Klinik für Angiologie des Spitals X._. Gemäss deren Bericht vom 8. März 2005 wurde eine diskrete Schwellung im Bereich des linken Handrückens vorgefunden, welche nicht durch eine Umfangsdifferenzmessung objektiviert werden konnte. Die Faustschlussprobe war normal, und es wurden weder trophische Störungen der Haut noch eine Atrophie der Muskulatur festgestellt. Auch der Kreisarzt fand gemäss Untersuchungsbericht vom 24. August 2005 lediglich eine minimale Schwellung an Handrücken und Fingern vor, bei seitengleicher Hand- und Fingerbeweglichkeit.
Wenn der Unfallversicherer in der Folge davon ausging, es liege keine - gegebenenfalls zusätzliche Leistungsansprüche begründende - Beeinträchtigung an der rechten Hand vor, ist dies aufgrund der dargelegten Arztberichte nicht zu beanstanden. In der von Dr. med. S._ für den Versicherten eingereichten Einsprache vom 24. Oktober 2005 fand die Handproblematik denn auch keine Erwähnung mehr. Sollte dereinst eine erhebliche Beeinträchtigung an der linken Hand auftreten, wird sich gegebenenfalls die Frage einer Leistungsberechtigung aus dem Unfall vom 20. März 2003 unter dem Gesichtspunkt einer Spätfolge stellen.
Sämtliche Vorbringen in der Beschwerde führen zu keinem anderen Ergebnis. Dies gilt auch, soweit Einwendungen gegen den kreisärztlichen Untersuchungsbericht vom 24. August 2005 erhoben werden. Die Beurteilung des Kreisarztes erscheint verlässlich, zumal sie im Wesentlichen mit derjenigen im angiologischen Konsilium vom 8. März 2005 übereinstimmt.
Sämtliche Vorbringen in der Beschwerde führen zu keinem anderen Ergebnis. Dies gilt auch, soweit Einwendungen gegen den kreisärztlichen Untersuchungsbericht vom 24. August 2005 erhoben werden. Die Beurteilung des Kreisarztes erscheint verlässlich, zumal sie im Wesentlichen mit derjenigen im angiologischen Konsilium vom 8. März 2005 übereinstimmt.
5.2 5.2.1 Die Thoraxbeschwerden wurden von der SUVA als Folge der Rippenfrakturen und des Hämatothorax, welche Verletzungen sich der Versicherte beim Unfall vom 20. März 2003 zugezogen hat, anerkannt. Insofern ist der vorinstanzliche Entscheid, wonach einzig Schulterbeschwerden als unfallkausal zu betrachten seien, richtigzustellen.
5.2.2 Eine weitere Leistungspflicht aus den Thoraxbeschwerden über den 30. November 2005 hinaus wird vom Unfallversicherer mit der Begründung verneint, der Versicherte sei durch diese Symptomatik nicht mehr in anspruchsrelevanter Weise eingeschränkt. Diese Beurteilung stützt sich in erster Linie auf den kreisärztlichen Untersuchungsbericht vom 24. August 2005. Der Kreisarzt gelangte darin zum Ergebnis, die Thoraxbeschwerden hätten sich soweit zurückgebildet. Es verbleibe lediglich eine Wetterfühligkeit und damit keine erhebliche Restfolge.
5.2.3 In der Beschwerde wird unter Berufung auf das pneumologische Konsilium des Spitals Z._ vom 29. März 2005 geltend gemacht, die kreisärztliche Beurteilung treffe nicht zu.
Die Zuweisung zur pneumologischen Abklärung im Spital Z._ erfolgte mit der Frage nach der Ursache der geklagten Anstrengungsdyspnoe sowie Thoraxschmerzen und zur Prüfung der unklaren Diagnose eines Asthma bronchiale. Gemäss Konsilium vom 29. März 2005 wurde eine deutliche Druckdolenz der Rippen 7-9 rechts bei unauffälliger pulmonaler Auskultation und Perkussion festgestellt. Die Lungenfunktion wurde als normal beurteilt, mit unauffälligen statischen und dynamischen Lungenvolumina, mit bronchialen Widerständen im Normbereich und mit normaler Diffusionskapazität. Durch Spiroergometrie wurde eine mittelschwer eingeschränkte Leistungsfähigkeit bei ausgeschöpfter Herzfrequenzreserve, aber erhaltener ventilatorischer Reserve ermittelt. In der zusammenfassenden Beurteilung gelangten die Konsiliarärzte zum Ergebnis, eine pulmonale Ätiologie der Anstrengungsdyspnoe habe nicht nachgewiesen werden können. Insbesondere lasse sich die Diagnose eines Asthma bronchiale nicht bestätigen. In der Spiroergometrie zeige sich aber eine kardiale und damit wahrscheinlich auch für die Belastungsdyspnoe verantwortliche Limitierung mit unklarer Ätiologie. Zusätzlich sei auch die Adipositas Grad 1 als Kofaktor für die Anstrengungsdyspnoe zu werten. Hingegen führten die Pneumologen die interkurrent auftretenden, atemabhängigen Thoraxschmerzen auf das beim Unfall vom 20. März 2005 erlittene Polytrauma zurück, "wobei von pleuritischen Schmerzen i.R. der Rippenfrakturen und des Hämatothorax" auszugehen sei. Aus pulmonaler Sicht bestehe keine Indikation für eine Weiterabklärung oder Therapie. Einzig die pleuritischen Beschwerden könnten bei Bedarf mit NSAR behandelt werden. Bei Nachweis einer kardialen Leistungs-Limitierung werde eine kardiologische Beurteilung empfohlen.
Dass die nebst der unfallfremden kardial und gegebenenfalls durch die Adipositas bedingten Problematik festgestellten pleuritischen Schmerzen eine wesentliche Beeinträchtigung darstellten, wurde von den pneumologischen Konsiliarärzten nicht bestätigt. Sodann wurde als Therapie einzig eine bedarfsabhängige Behandlung mit NSAR empfohlen. Insofern besteht kein Widerspruch zum kreisärztlichen Untersuchungsbericht vom 24. August 2005. Dieser beruht auf den Feststellungen im pneumologischen Konsilium vom 29. März 2005 und der eigenen Anamnese- und Befunderhebung durch den Kreisarzt. Danach war die Thoraxexpression sowohl in sagittaler wie in seitlicher Richtung schmerzfrei möglich. Rippenschmerzen seien gemäss Angabe des Versicherten nur bei Wetterwechsel vorhanden. Der Kreisarzt ermittelte normale symmetrische Thoraxexkursionen, einen beidseits unauffälligen Auskultationsbefund und einen normalen Perkussionsbefund.
5.2.4 Aufgrund der dargelegten ärztlichen Stellungnahmen ist verlässlich davon auszugehen, dass am Thorax keine erheblichen Restfolgen mehr bestehen. Anhaltspunkte, welche eine andere Betrachtungsweise nahelegen oder einen Bedarf an weiteren Abklärungen zu begründen vermöchten, liegen nicht vor. Namentlich beschrieb Dr. med. S._ in der Einsprache vom 24. Oktober 2005 keine Thoraxproblematik mehr. Und im Bericht des Allgemeinpraktikers Dr. med. A._ vom 5. April 2006 werden zwar thorakale Schmerzen erwähnt, allerdings ohne nähere Angaben und insbesondere ohne Aussage zu einer allfälligen diesbezüglichen Beeinträchtigung. Abgesehen davon ist dieser Arztbericht ohnehin nach dem Erlass des Einspracheentscheides vom 9. Februar 2006, welcher die zeitliche Grenze der richterlichen Überprüfungsbefugnis bildet (BGE 129 V 167 E. 1 S. 169 mit Hinweis auf 121 V 362 E. 1b S. 366), erstattet worden.
Wenn die SUVA es ablehnte, im Hinblick auf Thoraxbeschwerden zusätzliche Leistungen zuzusprechen, ist dies nach dem Gesagten nicht zu beanstanden. Vorbehalten bleiben auch hier Rückfälle und Spätfolgen.
6. Zu prüfen bleibt, ob aufgrund der geklagten Kopfschmerzen ein Leistungsanspruch über den 30. November 2005 hinaus besteht. Die Vorinstanz hat dies mangels eines natürlichen Kausalzusammenhangs der Beschwerden zum Unfall vom 20. März 2003 verneint. Nach Auffassung der SUVA ist auch der adäquate Kausalzusammenhang zu verneinen.
6.1 Umstritten ist in erster Linie, ob die mittels MRI-Untersuchung des Neurocraniums vom 10. August 2005 festgestellte Läsion im frontalen Marklager rechts auf den Unfall vom 20. März 2003 zurückzuführen ist.
6.2 Das kantonale Gericht hat dies mit zutreffender Begründung verneint.
6.2.1 Hervorzuheben ist zunächst, dass im erstbehandelnden Spital X._ (Berichte vom 28. März und 2. April 2003) gestützt auf die klinische Präsentation und eine Untersuchung des Schädels mittels Computertomographie (CT), welche einen unauffälligen Befund ergab, lediglich eine Commotio cerebri diagnostiziert wurde. Auch in der Rehaklinik Y._ wurde gemäss Austrittsbericht vom 1. Oktober 2004 von einer nur leichten traumatischen Hirnverletzung, als welche auch eine Commotio cerebri zu betrachten ist, ausgegangen. Es ist unwahrscheinlich, dass eine solche Verletzung für die über zweieinhalb Jahre später ab 30. November 2005 geklagten Kopfbeschwerden noch verantwortlich zu machen wäre. Im Austrittsbericht der Rehaklinik vom 1. Oktober 2004 wurden die Kopfschmerzen denn auch dem Spannungstyp zugeordnet und es wurde überdies geschlossen, der Versicherte sei wieder im gleichen Umfang arbeitsfähig wie vor dem Unfall. Die gleiche Beurteilung der Arbeitsfähigkeit findet sich im neurologischen Konsilium des Spitals Z._ vom 26. Mai 2005. Die Konsiliarärzte gingen dabei ebenfalls von einer beim Unfall vom 20. März 2003 erlittenen Commotio cerebri aus. Die noch bestehenden Kopfschmerzen sahen sie allerdings als zervikogen mit einer migräniformen Komponente an resp. im Rahmen eines auch die Wirbelsäule erfassenden Schmerzsyndroms. Weiter empfahlen die Konsiliarärzte sicherheitshalber zum Ausschluss eines chronischen Subduralhämatoms eine Abklärung des Schädels mittels CT, sofern dies noch nicht erfolgt sein sollte. Eine solche Untersuchung war indessen wie erwähnt schon kurz nach dem Unfall durchgeführt worden und hatte einen unauffälligen Befund ergeben.
6.2.2 Die am 10. August 2005 durchgeführte MRI-Abklärung des Neurocraniums ergab sodann zwar die erwähnte Läsion (E. 6.1 hievor). Die Radiologen, welche die Untersuchung durchgeführt haben, gingen aber selber gemäss Bericht vom 10. August 2005 davon aus, diese am ehesten einer älteren Blutung entsprechende Verletzung sei nur möglicherweise traumatischen Ursprungs. Sodann ist schon alleine aufgrund des langen Zeitraums, welcher zwischen dem Unfall und der MRI-Untersuchung verstrichen ist, nicht anzunehmen, dass weitere Abklärungen eine Unfallkausalität dieser Läsion zuverlässig bestätigen könnten. Zu beachten ist hiebei, dass sich die berichterstattenden Ärzte des Spitals X._ bei der Diagnose einer Commotio cerebri immerhin auch auf eine knapp zehntägige Beobachtungsphase während des stationären Aufenthaltes des Versicherten vom 20. bis 29. März 2003 stützen konnten. Dabei wurden offensichtlich keine Anhaltspunkte für eine schwerere Schädel-Hirnverletzung festgestellt, ansonsten dies Erwähnung gefunden hätte und weitere Abklärungen vorgenommen worden wären. Der Beschwerdeführer konnte denn auch in diskretem Allgemeinzustand nach Hause entlassen werden.
6.3 Zusammenfassend ergibt sich aus den angeführten Arztberichten überzeugend, dass der Versicherte beim Unfall vom 20. März 2003 keine schwerere Hirnverletzung als eine Commotio cerebri erlitten hat und diese für die ab 30. November 2005 bestandenen Kopfschmerzen nicht mehr verantwortlich gemacht werden kann. Soweit der Beschwerdeführer eine andere Auffassung vertritt, kann ihm ebenso wenig gefolgt werden wie Dr. med. S._, welcher in der Einsprache vom 24. Oktober 2005 eine Unfallkausalität bejaht und weitere Untersuchungen empfohlen hat.
6.4 Es stellt sich noch die Frage, ob die persistierenden Kopfschmerzen gegebenenfalls nach der Rechtsprechung zu den organisch nicht objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen zu Leistungen berechtigen könnten. Dabei ist mit Blick auf die diagnostizierte Commotio cerebri und den Umstand, dass in der Folge lediglich Kopfschmerzen bestanden, während erst spät und in offensichtlich geringem Ausmass auch kognitive Beeinträchtigungen sowie Schwindel geklagt wurden, ein Schädel-Hirntrauma im Sinne des mit dem in BGE 134 V 109 publizierten Urteil U 394/06 vom 19. Februar 2008 teilweise präzisierten BGE 117 V 369 zu verneinen. Das heisst, dass bei gegebener natürlicher Unfallkausalität der geklagten Beschwerden der adäquate Kausalzusammenhang zum Unfall vom 20. März 2003 gemäss den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen (BGE 115 V 133) zu prüfen wäre. Von den Kriterien, welche bei dem (höchstens) als mittelschwer einzustufenden Unfall in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, liegt indessen, wenn nur die einzig zu beachtenden somatischen Unfallfolgen berücksichtigt werden, weder ein einzelnes besonders ausgeprägt vor noch sind mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben (BGE 115 V 133 E. 6c S. 140 f.). Die ab 30. November 2005 noch aufgetretenen Kopfschmerzen stehen somit nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 20. März 2003, weshalb die SUVA die Ausrichtung von Leistungen zu Recht abgelehnt hat.
7. Der Beschwerdeführer ist mit Ausnahme der Richtigstellung in E. 5.2.1, und damit weitestgehend, als unterliegend zu betrachten. Er hat deshalb die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese werden im Sinne der erteilten unentgeltlichen Rechtspflege vorläufig auf die Gerichtskasse genommen, welche überdies dem unentgeltlichen Rechtsbeistand eine Entschädigung ausrichtet. Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
3. Advokat Yves Waldmann, Basel, wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Mai 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Widmer Lanz