Sachverhalt:
A. Die IV-Stelle des Kantons Aargau beschied ein Leistungsgesuch der 1968 geborenen A._ mit - durch Einspracheentscheid vom 29. Juni 2006 bestätigter - Verfügung vom 14. September 2004 abschlägig. Zur Begründung führte sie aus, nach den Abklärungen der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) zeitige ein am 29. September 2001 geschehener Auffahrunfall keine Folgen mehr für die Arbeitsfähigkeit. Die zusätzlich geltend gemachten krankheitsbedingten Beeinträchtigungen beeinflussten die Arbeitsfähigkeit ebenfalls nicht. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid letztinstanzlich (Urteil 9C_128/2008 vom 17. März 2008).
Am 14. Februar 2008 machte A._ eine Verschlechterung ihres Gesundheitszustandes geltend. Die IV-Stelle lehnte das Leistungsgesuch mit Verfügung vom 13. Januar 2009 abermals ab; dabei ging sie von einem nicht rentenbegründenden Invaliditätsgrad von 37 Prozent aus.
B. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wies die hiergegen eingereichte Beschwerde ab (Entscheid vom 30. März 2010).
C. A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, mit Wirkung ab Juni 2006 eine ganze, eventuell eine Dreiviertels-, subeventuell eine halbe und subsubeventuell eine Viertelsrente zuzusprechen. Allenfalls sei die Sache an die Vorinstanz zur weiteren Abklärung des Sachverhalts und neuen Beurteilung zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Erwägungen:
1. 1.1 Streitig ist unter verschiedenen Aspekten, ob das kantonale Gericht zu Recht davon ausgegangen ist, die Beschwerdeführerin sei in der Lage, ein rentenausschliessendes Einkommen zu erzielen.
1.2 Die Vorinstanz hat die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen zutreffend dargelegt (zur Frage der Neuanmeldung vgl. Art. 17 ATSG, Art. 87 Abs. 3 und 4 IVV). Darauf wird verwiesen.
1.3 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 132 V 393).
2. 2.1 Im Entscheid 9C_128/2008 vom 17. März 2008 hielt das Bundesgericht fest, die Vorinstanz des dortigen Verfahrens habe gestützt auf das Gutachten des Neurologen Dr. M._ vom 11. Mai 2004 zutreffend erkannt, dass die Versicherte wegen der verbliebenen Folgen einer am 29. September 2001 erlittenen Distorsion der Halswirbelsäule ihre früher ausgeübte Tätigkeit als Putzfrau nicht mehr ausüben könne, hingegen einer leidensangepassten Erwerbstätigkeit (mit abwechselnd sitzend/stehender Körperhaltung, ohne Zwangshaltung des Kopfes und ohne Schultergürtelbelastung) weiterhin uneingeschränkt nachzugehen in der Lage sei. Jedenfalls gelte diese Feststellung für den in jenem Verfahren massgebenden Zeitraum bis zum Erlass des Einspracheentscheides vom 29. Juni 2006. Wenn sich die Beschwerdeführerin auf die Berichte der Klinik X._ vom 12. Januar 2007 und des Psychiaters Dr. C._ vom 23. September 2007 berufe, in denen erstmals eine mittelgradige depressive Episode mit somatischem Syndrom und eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung diagnostiziert worden sei, gelte es festzuhalten, dass sich diesen Stellungnahmen für den relevanten Zeitpunkt des Einspracheentscheids vom 29. Juni 2006 nichts Aussagekräftiges entnehmen lasse (E. 3).
2. 2.1 Im Entscheid 9C_128/2008 vom 17. März 2008 hielt das Bundesgericht fest, die Vorinstanz des dortigen Verfahrens habe gestützt auf das Gutachten des Neurologen Dr. M._ vom 11. Mai 2004 zutreffend erkannt, dass die Versicherte wegen der verbliebenen Folgen einer am 29. September 2001 erlittenen Distorsion der Halswirbelsäule ihre früher ausgeübte Tätigkeit als Putzfrau nicht mehr ausüben könne, hingegen einer leidensangepassten Erwerbstätigkeit (mit abwechselnd sitzend/stehender Körperhaltung, ohne Zwangshaltung des Kopfes und ohne Schultergürtelbelastung) weiterhin uneingeschränkt nachzugehen in der Lage sei. Jedenfalls gelte diese Feststellung für den in jenem Verfahren massgebenden Zeitraum bis zum Erlass des Einspracheentscheides vom 29. Juni 2006. Wenn sich die Beschwerdeführerin auf die Berichte der Klinik X._ vom 12. Januar 2007 und des Psychiaters Dr. C._ vom 23. September 2007 berufe, in denen erstmals eine mittelgradige depressive Episode mit somatischem Syndrom und eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung diagnostiziert worden sei, gelte es festzuhalten, dass sich diesen Stellungnahmen für den relevanten Zeitpunkt des Einspracheentscheids vom 29. Juni 2006 nichts Aussagekräftiges entnehmen lasse (E. 3).
2.2 2.2.1 Hinsichtlich der seitherigen Entwicklung der psychischen Einschränkungen stellte die Vorinstanz auf das Gutachten des Psychiaters Dr. G._ vom 5. November 2008 ab, wonach eine depressive Entwicklung bei rezidivierender depressiver Störung (gegenwärtig leichte depressive Episode, anamnestisch Status nach mittelgradiger depressiver Episode), ein chronisches Schmerzsyndrom mit somatoformer Schmerzkomponente im Sinne einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung sowie der Verdacht auf eine Benzodiazepinabhängigkeit bei langjährigem Konsum verschiedener Beruhigungsmittel vorlägen. Medizinisch-theoretisch seien der Versicherten sämtliche den körperlichen Beschwerden adaptierte Tätigkeiten in einem Umfang von 70 Prozent zumutbar. Die Arbeitsfähigkeit sei langfristig verbesserungsfähig. Ein detailliertes somatisches Zumutbarkeitsprofil aufgrund der Schmerzen müsse von somatischer Seite erstellt werden.
Mit Bezug auf die somatischen Leiden ging das kantonale Gericht davon aus, es hätten sich in den letzten Jahren keine relevanten Veränderungen ergeben. Angesichts des - von der Versicherten monierten - Fehlens des vom psychiatrischen Sachverständigen als erforderlich bezeichneten somatischen Zumutbarkeitsprofils erwog es, die vom Internisten Dr. E._ angegebenen Leiden (chronisch rezidivierendes Zervikozephal- und Lumbovertebralsyndrom, Spannungskopfschmerzen, Migräne; Bericht vom 12. Januar 2008) seien bereits in der funktionellen Beurteilung des Neurologen Dr. M._ vom 11. Mai 2004 berücksichtigt worden (E. 3.2 des angefochtenen Entscheids). Dieser Arzt war zum Schluss gekommen, in einer angepassten Tätigkeit mit vorzugsweise wechselnd sitzender und stehender Tätigkeit ohne Kopfzwangshaltung und ohne Schultergürtelbelastung sei von einer vollständigen Leistungsfähigkeit auszugehen. Diesbezüglich lässt die Beschwerdeführerin zunächst einwenden, das organische Krankheitsbild habe sich bis zum Zeitpunkt der Beurteilung durch Dr. E._ um ein Lumbovertebralsyndrom erweitert. Es ist aber nicht ersichtlich, dass der behandelnde Internist diesem zusätzlichen Befund bei der Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit eine besondere Bedeutung gegeben hätte. Weiter macht die Beschwerdeführerin geltend, hinsichtlich des Zervikozephalsyndroms spreche Dr. E._ im Gegensatz zu Dr. M._ von einem (nunmehr) chronischen Leiden. Hierzu ist festzuhalten, dass eine Chronifizierung nicht ohne Weiteres mit einer Zunahme des Schweregrades des betreffenden Leidens gleichgesetzt werden kann. Was den Einwand anbelangt, die neurologische (Dr. M._) und die internistische Beurteilung (Dr. E._) seien fachlich "inkongruent", so vermag die Beschwerdeführerin damit die vorinstanzliche Argumentation ebenfalls nicht in Frage zu stellen, zumal das in diesem Zusammenhang - mit der Feststellung, der organische Gesundheitszustand habe sich in den rund vier Jahren zwischen den beiden ärztlichen Einschätzungen nicht erheblich verändert - indirekt als Entscheidungsgrundlage beigezogene neurologische Gutachten das spezifischere Beweismittel darstellt.
2.2.2 Der behandelnde Psychiater Dr. C._ legt in einem Gutachten vom 29. Juni 2008 gestützt auf aktuelle Befunde, den Behandlungsverlauf und testpsychologische Untersuchungen dar, die nur über geringe mentale Ressourcen verfügende Versicherte leide unter anderem an einer mittelgradigen depressiven Episode mit somatischem Syndrom. Es bestehe eine Arbeitsunfähigkeit von 75 Prozent aus psychischen Gründen; eine wesentliche Verbesserung sei nicht absehbar. Der Administrativgutachter Dr. G._ begründete die Differenz seiner eigenen Schlussfolgerungen (vgl. oben E. 2.2.1) zu den Feststellungen des Dr. C._ nachvollziehbar damit, die unterschiedliche Ausprägung der depressiven Symptomatik im Vergleich zu den Befunden anlässlich der Hospitalisation in der Klinik X._ im Jahr 2007 und der Beurteilung durch Dr. C._ im Juni 2008 sei möglicherweise durch den unterschiedlichen Untersuchungszeitpunkt erklärbar. Zudem betont Dr. G._, die Prognose zur depressiven Episode sei - im Gegensatz zu derjenigen hinsichtlich des Schmerzsyndroms - bei einer adäquaten Behandlung günstig.
2.2.3 Das vorinstanzliche Abstellen auf die Schlussfolgerungen im psychiatrischen Gutachten des Dr. G._ kann insgesamt als jedenfalls nicht offensichtlich unrichtig bezeichnet werden (vgl. oben E. 1.3). Zudem erscheint den konkreten Umständen nach weder eine Nachführung des somatischen Befundes notwendig noch stellen sich besondere Fragen zum Zusammenwirken der organischen und psychischen Beeinträchtigungen. Damit erübrigt sich die von der Beschwerdeführerin anbegehrte interdisziplinäre Begutachtung.
3. 3.1 Die zur Bemessung des Invalideneinkommens (Art. 16 ATSG) heranzuziehenden Tabellenlöhne gemäss der Lohnstrukturerhebung des Bundesamtes für Statistik sind gegebenenfalls angemessen herabzusetzen, wenn angenommen werden muss, der versicherte Gesundheitsschaden werde per se oder in Verbindung mit persönlichen Eigenschaften der versicherten Person das zu erwartende Einkommen zusätzlich schmälern (vgl. BGE 129 V 472 E. 4.2.3 S. 481; 126 V 75).
Die Rechtsfrage, ob ein statistisch ermittelter Lohnansatz mit Blick auf die persönlichen und beruflichen Umstände im Einzelfall herabgesetzt werden muss, ist bundesgerichtlich frei überprüfbar. Die Festlegung des Ausmasses der Kürzung ist derweil Ermessenssache. In die bundesgerichtliche Überprüfungsbefugnis fällt die Höhe des Abzuges nur bei rechtsfehlerhafter Ermessensbetätigung (BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399; SVR 2009 IV Nr. 43 S. 127 E. 3.1, 9C_235/2008).
3.2 Das kantonale Gericht bestätigte die von der Verwaltung zugestandene Herabsetzung um zehn Prozent mit der Begründung, diese erscheine "unter Berücksichtigung sämtlicher Kriterien (leidensbedingte Einschränkung [keine körperlich schweren Arbeiten], längerer Arbeitsunterbruch etc.; [...]) als angemessen". Die Beschwerdeführerin macht hierzu geltend, die Vorinstanz habe nicht vollständig begründet, weshalb der "leidensbedingte Abzug" in Höhe von zehn Prozent angemessen sei. Ausserdem seien nicht alle einschlägigen Umstände in die Beurteilung eingeflossen. Der Umstand indessen, dass die Vorinstanz neben den soeben zitierten Gründen nicht auch, wie von der Beschwerdeführerin gefordert, die Kriterien (fehlende) Ausbildung, Dienstjahre, Herkunft und Teilzeitarbeit in die Bemessung einbezogen hat, begründet keine Verletzung des vorinstanzlichen Ermessensspielraums. Die betreffenden Kriterien drücken das von der Beschwerdeführerin zu erwartende Invalidengehalt nicht erheblich stärker als vom kantonalen Gericht angenommen. Die einschlägigen Statistiken zeigen bei Frauen jedenfalls keinen (überproportional) lohnsenkenden Effekt von Teilzeitarbeit (Urteile 9C_58/2010 vom 14. April 2010 E. 2.2, I 575/00 vom 9. Mai 2001 E. 3b), während die anderen genannten Eigenschaften im Segment der der Beschwerdeführerin offenstehenden Verweisungstätigkeiten (leichte Arbeiten, die keine besonderen Qualifikationen erfordern) keine massgebende Rolle spielen.
4. 4.1 Anhaltspunkte für eine anderweitig bundesrechtswidrige Bemessung des Invaliditätsgrades sind nicht augenfällig (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254; 110 V 48 E. 4a S. 53). Entgegen den diesbezüglichen Ausführungen der Versicherten ist nicht nachvollziehbar, inwiefern eine Anwendung der gemischten Bemessungsmethode (Art. 28a Abs. 3 IVG) ihren Rechtsstandpunkt stützen sollte, zumal die vorinstanzliche Annahme, es sei im Gesundheitsfall von einer Erwerbstätigkeit im Umfang von 100 Prozent auszugehen, als nicht offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung erscheint (vgl. Urteil I 693/06 vom 20. Dezember 2006 E. 4.1).
4.2 Die Vorinstanz hat somit nicht gegen Bundesrecht verstossen, als sie den Invaliditätsgrad der Beschwerdeführerin mit 37 Prozent bemessen hat. Dieser Invaliditätsgrad ist nicht rentenbegründend.
5. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; Art. 64 BGG) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden einstweilen auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Patrick Stutz wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Dezember 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub