Erwägungen:
1. Mit Verfügung vom 19. Februar 2008 wurde der Beschwerdeführer im Rahmen von Eheschutzmassnahmen verpflichtet, an den Unterhalt der Beschwerdegegnerin monatlich mit Fr. 7'130.-- vom 1. April 2007 bis 31. Dezember 2007 und mit Fr. 7'680.-- ab dem 1. Januar 2008 beizutragen. Der Antrag der Beschwerdegegnerin, den Beschwerdeführer zur Leistung eines Parteikostenvorschusses von Fr. 10'000.-- zu verhalten, wurde abgewiesen. Das Obergericht des Kantons Solothurn wies mit Urteil vom 11. August 2008 den Rekurs des Beschwerdeführers gegen dieses Urteil ab. Der Beschwerdeführer richtet sich dagegen mit Beschwerde in Zivilsachen vom 11. September 2008 und verlangt die Aufhebung des Urteils und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung. Gerügt wird eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts bezüglich der finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers. Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
2. 2.1 Die Beschwerde hat einen Antrag zu enthalten, wobei neue Begehren unzulässig sind (Art. 99 Abs. 2 BGG). Die Beschwerde ist sodann zu begründen. Mit ihr ist in gedrängter Form durch Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern dieser Bundesrecht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Verfassungsverletzungen werden nur geprüft, wenn sie gerügt und gehörig begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 IV 287 E. 1.4). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) zustande gekommen ist (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255). In der Beschwerde in Zivilsachen dürfen überdies keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (Art. 99 Abs. 1 BV).
2.2 Strittig war im kantonalen Rekursverfahren das Einkommen des Beschwerdeführers. Das Obergericht gelangte insbesondere aufgrund der schriftlichen Angaben der Beschwerdegegnerin in ihrer Vernehmlassung vom 5. Juni 2008 und den Bestätigungen von Dr. A._ mit der ersten Instanz zum Schluss, es mache den Anschein, dass der Beschwerdeführer seine wirtschaftlichen Verhältnisse verschleiere, weshalb folgerichtig von einem gesicherten Einkommen von Fr. 19'500.-- auszugehen sei. Dr. A._ hatte laut Obergericht mehrfach bestätigt, dass die B._ GmbH und die C._ GmbH pro Monat ein Bruttoeinkommen von Fr. 50'000.-- bzw. 55'000.-- erziele (Urkunden 22-25 der Stellungnahme vom 5. Juni 2008 der Beschwerdegegnerin zum kantonalen Rekurs des Beschwerdeführers). Von Bedeutung sei dabei insbesondere, dass Dr. A._ bestätigt habe, dass der Beschwerdeführer seit dem 15. Juni 2005 pensioniert sei (Bestätigung vom 16. November 2005, Urkunde 22) und trotzdem mit der eigenen Firma noch ein Bruttoeinkommen von Fr. 50'000.-- bzw. 55'000.-- pro Monat erziele (Bestätigungen vom 2. März 2006, 8. August 2006 und 29. März 2007, Urkunden 23-25). Nach den weiteren Ausführungen des Obergerichts soll das monatliche Bruttoeinkommen sogar nach dem Verkauf der Firma (Ende 2006) Fr. 55'000.-- betragen haben (Bestätigung vom 29. März 2007, Urkunde 24). Das Obergericht hält weiter dafür, würden diese Einnahmen nicht mehr dem Beschwerdeführer zustehen, hätte Dr. A._ wohl kaum eine derartige Bestätigung schreiben können.
2.3 Der Beschwerdeführer bestreitet die Ermittlung seines relevanten Einkommens und macht geltend, Dr. A._ weise in seinem Exposé vom 1. September 2008 die Interpretation seiner früheren Bestätigungen durch das Obergericht und damit dessen Feststellung des Sachverhalts als unrichtig zurück. Unter Ziffer IV "Anmerkungen zum Urteil vom 11. August 2008" halte er fest, er habe eine Gleichsetzung mit dem Einkommen oder einen Rückschluss auf das Einkommen des Beschwerdeführers weder bestätigt noch seien die obergerichtlichen Erwägungen nachzuvollziehen. Der Beschwerdeführer beanstandet gestützt auf dieses Exposé die obergerichtlichen Feststellungen, insbesondere die Annahme eines Einkommens von Fr. 19'500.-- als unhaltbar.
2.4 Das Obergericht stützte seine Ausführungen auf die Aussagen der Beschwerdegegnerin in ihrer Stellungnahme vom 5. Juni 2008 zum Rekurs des Beschwerdeführers gegen die erstinstanzliche Verfügung. Die besagten Bestätigungen, welche dem Obergericht zusammen mit den Erklärungen der Beschwerdegegnerin in der Vernehmlassung als Grundlage für die Ermittlung des Einkommens dienten (Urkunden 22-25), wurden von der Beschwerdegegnerin zusammen mit ihrer Stellungnahme vom 5. Juni 2008 zum Rekurs des Beschwerdeführerin als Beweise angeboten, wobei die Stellungnahme dem Beschwerdeführer zur Kenntnis gebracht wurde. Der Beschwerdeführer hatte damit bereits im kantonalen Rekursverfahren Anlass, sich gegen die unter Hinweis auf die besagten Bestätigungen gemachten Aussagen der Beschwerdegegnerin zu verwahren, und hätte dies auch ohne weiteres tun können. Die erstmals in der Beschwerde an das Bundesgericht gemachten Ausführungen zur Interpretation der Bestätigungen von Dr. A._ und das zu ihrem Beweis ins Recht gelegte Exposé vom 1. September 2008 sind somit neu und nach dem Gesagten (E. 2.1) unzulässig. Der Beschwerdeführer begründet in keiner Weise, inwiefern eine Ausnahme vom Novenverbot gegeben sein soll (BGE 133 III 393 E. 3).
2.5 Auf die offensichtlich unzureichend begründete Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) durch den Präsidenten der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (Art. 66 Abs. 1 BGG) nicht einzutreten.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, und dem Bezirksamt Aarau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. September 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Zbinden