Erwägungen:
1. 1.1 Die tunesische Staatsangehörige X._ (geb. 1969) reiste im Herbst 1995 in die Schweiz ein. Im November 1995 heiratete sie den Schweizer Bürger A._, worauf sie im Kanton Zürich die Jahresaufenthaltsbewilligung und später die Niederlassungsbewilligung erhielt. Die Ehe wurde am 15. Oktober 2002 geschieden. X._ ist Mutter der beiden Kinder B._ (geb. 2001) und C._ (geb. 2002); Kindsvater ist der tunesische Staatsangehörige D._ (geb. 1972), welcher mit einer Niederlassungsbewilligung in Zürich lebt. Am 22. September 2003 heiratete X._ den türkischen Staatsangehörigen E._ (geb. 1980) und am 11. Oktober 2004 bewilligte das Amt für Migration des Kantons Luzern den Kantonswechsel für X._ und ihre beiden Kinder.
1.2 Mit Entscheid vom 12. November 2008 verfügte das Amt für Migration des Kantons Luzern - gestützt noch auf das ANAG - die Ausweisung von X._ und ihrer Kinder wegen dauernder Fürsorgeabhängigkeit. Ihre dagegen erhobene Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern blieb erfolglos. Das Verwaltungsgericht kam - unter Anwendung des neuen Ausländergesetzes - zum Schluss, die Voraussetzungen für den Widerruf der Niederlassungsbewilligung seien erfüllt, was die Wegweisung der Beschwerdeführerin und ihrer Kinder zur Folge habe.
1.3 Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 2. Oktober 2009 beantragt X._ die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts und die Zurückweisung des Verfahrens an das Amt für Migration sowie die Feststellung des Fortbestehens der Niederlassungsbewilligung.
Das Amt für Migration und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine offensichtlich unvollständige Sachverhaltsfeststellung. Die Vorinstanzen hätten übersehen, dass der Kindsvater gerichtlich zu Unterhaltszahlungen verpflichtet worden und sie deshalb in den Genuss von Alimentenbevorschussung gekommen sei. Entgegen der Darstellung der Beschwerdeführerin hat die Vorinstanz die Alimentenbevorschussung im angefochtenen Entscheid jedoch gebührend berücksichtigt (vgl. E. 3b des angefochtenen Urteils).
Weiter rügt die Beschwerdeführerin, es sei willkürlich nie berücksichtigt worden, dass sie eine günstigere Wohnung habe. Diese Rüge ist neu und unzulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG) und im Übrigen für den Verfahrensausgang nicht entscheidend (Art. 97 Abs. 1 BGG), da die Beschwerdeführerin auch den angeblich tieferen Mietzins von Fr. 1063.-- (neben den notwendigen Lebensunterhaltskosten für sie und ihre Kinder) nicht bezahlen könnte.
Die vor dem Bundesgericht erstmals eingereichten Arbeitsverträge stellen ebenfalls unzulässige Noven dar (vgl. BGE 134 III 625 E. 2.2 S. 629).
2.2 Die Vorinstanz hat zu Recht das am 1. Januar 2008 in Kraft getretene Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) von Amtes wegen auf den vorliegenden Fall angewendet, da das Verfahren frühestens am 22. Januar 2008 - für die Beschwerdeführerin erkennbar - eingeleitet wurde (vgl. Art. 126 Abs. 1 AuG und Urteil 2C_745/2008 vom 24. Februar 2009 E. 1.2). Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass sie sich zu allen Gesichtspunkten, die für die Anwendung des (neuen) Rechts wesentlich waren, hat äussern können. Die Vorinstanz hat daher kein Bundesrecht verletzt, indem sie auf das - hinsichtlich der Rechtswirkungen in Fällen wie dem vorliegenden im Übrigen mildere - AuG anstatt auf das ANAG abgestellt hat.
2.3 Die übrigen Einwendungen der Beschwerdeführerin sind - soweit sie als unzulässige neue Tatsachenbehauptungen nicht ohnehin unbeachtlich bleiben müssen - nicht geeignet, die tatsächlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts als offensichtlich unrichtig und die von ihm daraus gezogenen Schlussfolgerungen als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen: Für die Beschwerdeführerin und ihre Kinder sind im relevanten Zeitraum von weniger als fünf Jahren mindestens Fr. 100'000.-- wirtschaftliche Sozialhilfe ausbezahlt worden, womit die Vorinstanz den Widerrufsgrund von Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG ("dauerhaft und in erheblichem Mass auf Sozialhilfe angewiesen") als erfüllt betrachten durfte (vgl. etwa BGE 119 Ib 1 E. 3 S. 6 f.; 123 II 529 E. 4 S. 532 f.). Es zeichnet sich auch nicht ab, dass sich an dieser Situation in absehbarer Zeit etwas ändern könnte. Damit besteht ein hinreichendes öffentliches Interesse am Widerruf der Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin.
2.4 Die Übersiedlung erscheint insbesondere auch für die beiden Kinder zumutbar, da sie sich noch in einem anpassungsfähigen Alter befinden. Gänzlich unklar bleibt, inwiefern Art. 3 EMRK (Verbot der Folter) durch den Domizilwechsel der Kinder nach Tunesien verletzt sein soll. Diesbezüglich fehlt es an einer präzise vorgebrachten und begründeten Rüge (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254).
Ergänzend wird auf die zutreffenden Ausführungen im Entscheid der Vorinstanz verwiesen. Die Beschwerde ist nach dem Dargelegten offensichtlich unbegründet. Sie kann daher im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG abgewiesen werden.
3. Diesem Ausgang entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen, welche mit Blick auf ihre finanzielle Situation leicht reduziert werden (Art. 65 f. BGG). Wegen Aussichtslosigkeit ihres Rechtsbegehrens steht ihr die beantragte unentgeltliche Rechtspflege nicht zu (vgl. Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. April 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Winiger