Sachverhalt:
A. In einer der Schiedsgerichtsbarkeit unterstehenden Auseinandersetzung zwischen X._ und der Stockwerkeigentümergemeinschaft W._ wurde am 24. November 2005 Rechtsanwalt Y._ durch den Gerichtspräsidenten 4 des Gerichtskreises X Thun zum Obmann des Schiedsgerichts ernannt.
Mit Eingabe vom 22. Januar 2008 stellte X._ beim Gerichtskreis X Thun das Begehren, es sei Rechtsanwalt Y._ für befangen zu erklären und anzuweisen, in den Ausstand zu treten, und es seien die Parteischiedsrichter des Schiedsgerichts Stockwerkeigentümergemeinschaft W._ anzuweisen, gemäss Schiedsabrede einen neuen Obmann einzusetzen.
Der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises X Thun wies das Ablehnungsgesuch am 26. Februar 2008 ab.
B. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 31. März 2008 beantragt X._, den Entscheid des Gerichtspräsidenten aufzuheben. Sie erneuert sodann die im kantonalen Verfahren gestellten Rechtsbegehren; allenfalls sei die Sache zu neuer Beurteilung an die kantonale Instanz zurückzuweisen.
Rechtsanwalt Y._ hat kein konkretes Rechtsbegehren gestellt, und der Gerichtspräsident 4 des Gerichtskreises X Thun hat auf eine Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein selbständig eröffneter Entscheid über ein Ausstandsbegehren. Für die von der Beschwerdeführerin erhobene Rüge der Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV steht die kantonalrechtliche Nichtigkeitsklage nicht offen (vgl. Art. 360 der Berner Zivilprozessordnung [ZPO]), so dass der Entscheid des Gerichtspräsidenten von der letzten kantonalen Instanz stammt (vgl. Art. 75 Abs. 1 BGG).
Bei einem Zwischenentscheid, wie er vorliegt, folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2). Streitigkeiten im Zusammenhang mit Stockwerkeigentum sind Zivilsachen im Sinne von Art. 72 Abs. 1 BGG und grundsätzlich vermögensrechtlicher Natur (BGE 108 II 77 E. 1b S. 79; vgl. auch BGE 113 II 15 E. 1 S. 17). Weshalb es sich vorliegend nicht um eine vermögensrechtliche Streitigkeit handeln soll, legt die Beschwerdeführerin in keiner Weise dar. Nach den Feststellungen des kantonalen Richters liegt der Streitwert unter 8'000 Franken, so dass der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Betrag von 30'000 Franken (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) nicht erreicht ist. Da kein Ausnahmefall nach Art. 74 Abs. 2 BGG dargetan ist, die Beschwerdeführerin namentlich selbst nicht etwa geltend macht, es gehe um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), ist die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 BGG). Ein Unterschied zur Beschwerde in Zivilsachen besteht unter den gegebenen Umständen im Übrigen ohnehin nicht, zumal das Bundesgericht die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 30 Abs. 1 BV) auch bei der Beschwerde in Zivilsachen nur im Rahmen substantiiert erhobener Rügen überprüfen könnte (Art. 106 Abs. 2 BGG) und für jenes Rechtsmittel die gleichen Begründungsanforderungen gelten wie für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (vgl. Art. 117 BGG).
2. Nach den von der Beschwerdeführerin angerufenen Bestimmungen von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, die im einschlägigen Punkt dieselbe Tragweite haben, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird (BGE 133 I 1 E. 5.2 S. 3 mit Hinweisen). Liegen bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vor, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, so ist die Garantie des verfassungsmässigen Richters verletzt (BGE 131 I 113 E. 3.4 S. 116 mit Hinweisen). Die dargelegten Grundsätze gelten nicht nur bei staatlichen Gerichten, sondern auch bei privaten Schiedsgerichten, deren Entscheide denjenigen der staatlichen Instanzen hinsichtlich Rechtskraft und Vollstreckbarkeit gleichstehen und die deshalb dieselbe Gewähr für eine unabhängige Rechtsprechung bieten müssen (BGE 119 II 271 E. 3b S. 275 mit Hinweisen).
3. 3.1 Ihr Ausstandsbegehren hatte die Beschwerdeführerin schon vor dem kantonalen Richter mit dem von Rechtsanwalt Y._ als Obmann an die Parteischiedsrichter gerichteten, nach ihren Angaben vom 14. Februar 2007 datierten Schreiben begründet, worin jener im Sinne erster Gedanken zur Streitsache unter anderem erklärt hatte: "Das dürfte giftig werden, immerhin sind an 'externen Beweismitteln' bislang nur zwei Zeugen genannt" und weiter: "Die von der StoWEG eingereichte Klage könnte es tatsächlich formell schwer haben". Ende Dezember 2007 habe sie, die Beschwerdeführerin, dann endgültig an der Unabhängigkeit Rechtsanwalt Y._s gezweifelt, als ihr bei der Durchsicht ihrer Unterlagen aufgefallen sei, dass dieser in einem anderen Rechtsstreit, an dem sie beteiligt sei, die Gegenpartei vertrete.
3.2 Der Gerichtspräsident weist darauf hin, dass ein Richter so früh wie möglich abzulehnen sei; habe die Partei Kenntnis von einem Ablehnungsgrund und mache sie diesen nicht unverzüglich geltend, verwirke sie ihr Rügerecht. Belege, aus denen hervorginge, wann sie vom Schreiben Rechtsanwalt Y._s vom 14. Februar 2007 Kenntnis erhalten habe, habe die Beschwerdeführerin nicht eingereicht. Ihre Darstellung des Sachverhalts lasse jedoch die Annahme zu, dass dies bereits vor längerem gewesen sei. So führe sie nämlich aus, dass ihr Vertrauen in die Neutralität und Unbefangenheit Rechtsanwalt Y._s bereits durch das erwähnte Schreiben sehr erschüttert worden sei, ihr damaliger Rechtsvertreter aber keinen Anlass gesehen habe, ein Ablehnungsgesuch einzureichen. Als Beleg für die Tatsache, dass Rechtsanwalt Y._ in einem anderen Rechtsstreit ihre Gegenpartei vertrete, reiche die Beschwerdeführerin ein Schreiben vom 3. April 2002 ein, worin ihr jener die Vertretung der Gegenpartei angezeigt habe. Der vorinstanzliche Richter hält dafür, die angeführten Ablehnungsgründe seien nicht rechtzeitig geltend gemacht worden: Als Rechtsanwalt Y._ am 24. November 2005 als Obmann eingesetzt worden sei, habe die Beschwerdeführerin sich bereits im Besitze des Schreibens vom 3. April 2002 befunden, so dass sie den daraus abgeleiteten Ablehnungsgrund bei pflichtgemässer Aufmerksamkeit schon damals hätte erkennen können; auf jeden Fall hätte sie sofort nach Kenntnisnahme des Schreibens vom 14. Februar 2007 das Ablehnungsgesuch einreichen müssen. Unbehelflich sei ihr Einwand, ihr Vertrauen sei erst Ende Dezember 2007, nach der Lektüre des Schreibens vom 3. April 2002, endgültig erschüttert worden. Als sie mit Eingabe vom 22. Januar 2008 das Gesuch eingereicht habe, sei das Recht auf Ablehnung bereits verwirkt gewesen.
Ausserdem ist der kantonale Richter der Auffassung, die Äusserungen Rechtsanwalt Y._s im Schreiben vom 14. Februar 2007 seien bei objektiver Betrachtung unproblematisch; die Erklärung "das dürfte giftig werden" beziehe sich nicht auf eine bestimmte Partei, sondern sei als allgemeine interne Äusserung nach Durchsicht der Akten zu werten. Ebenso wenig vermöge der Hinweis auf die Tatsache, dass Rechtsanwalt Y._ in einem anderen Verfahren die Gegenpartei der Beschwerdeführerin vertrete, eine Befangenheit zu begründen. Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung würden Mandate als Gegenanwalt einer Verfahrenspartei als unproblematisch betrachtet und stellten keinen Befangenheitsgrund dar.
4. Die Beschwerdeführerin erblickt sowohl in der Annahme der Verwirkung des Ablehnungsrechts als auch in der materiellen Würdigung der geltend gemachten Ablehnungsgründe durch den Gerichtspräsidenten Verstösse gegen Art. 30 Abs. 1 BV.
4.1 Das Bundesgericht hatte sich verschiedentlich mit der Problematik der Unvoreingenommenheit von (nebenamtlichen) Richtern zu befassen, die in einem anderen Verfahren mit einer der Prozessparteien in besonderer Weise verbunden waren:
In BGE 116 Ia 485 ff. war es darum gegangen, dass an der Beurteilung der Rechtmässigkeit einer von der Stadt Zürich erlassenen Verordnung durch das kantonale Verwaltungsgericht zwei nebenamtliche Richter teilgenommen hatten, die zur Stadt Zürich in Mandatsverhältnissen gestanden hatten. Das Bundesgericht erklärte, ein als Richter amtender Anwalt erscheine befangen, wenn zu einer Partei ein noch offenes Mandat bestehe oder er für eine Partei in dem Sinne mehrmals anwaltlich tätig geworden sei, dass eine Art Dauerbeziehung bestehe; zu bedenken sei insbesondere, dass ein Anwalt auch ausserhalb seines Mandats versucht sein könne, in einer Weise zu handeln, die seinen Klienten ihm gegenüber weiterhin gut gesinnt sein lasse; ohne Bedeutung sei, dass die Mandate nicht in einem Sachzusammenhang mit dem zu beurteilenden Streitgegenstand stünden. Den Anschein der Befangenheit bejahte das Bundesgericht bezüglich des einen Richters, der noch während des laufenden Verfahrens für die Stadt Zürich mit einer Bausache ein Anwaltsmandat innegehabt hatte. Als fragwürdig bezeichnete es die Mitwirkung des anderen Richters, der vor nicht langer Zeit verschiedentlich für Amtsstellen der Stadt Zürich tätig gewesen sei, doch brauche darüber nicht abschliessend befunden zu werden, da jener inzwischen als Verwaltungsrichter zurückgetreten sei (BGE 116 Ia 485 E. 3b S. 489 f. mit Hinweis).
Sodann hat das Bundesgericht die von einer Gemeinde wegen der Mitwirkung eines in der Gemeinde selbst eine Kanzlei führenden Anwalts als nebenamtlicher Richter am Entscheid des Zürcher Verwaltungsgerichts in einem Baubewilligungsverfahren erhobene Rüge der Verletzung von (a)Art. 58 BV verworfen. Dem Vorbringen der Gemeinde, der in Baufragen spezialisierte Anwalt und Rechtskonsulent eines privaten Bauberatungsbüros könnte ganz allgemein geneigt sein, die Interessen der privaten Bauherren bei der Entscheidfindung vorrangig zu berücksichtigen, wurde dabei entgegengehalten, von einem nebenamtlichen Richter könne erwartet werden, dass er zwischen seiner amtlichen Funktion und seiner privaten beruflichen Tätigkeit zu unterscheiden vermöge; soweit ersichtlich, sei zwischen der Gemeinde und dem abgelehnten nebenamtlichen Richter weder ein Zivilprozess noch ein anderes Verfahren hängig, in dem dieser persönlich Partei wäre (Urteil 1P.665/1991 vom 15. Mai 1992, E. 3c, abgedruckt in: ZBl 1993 S. 86 f.). Gleich hat das Bundesgericht - trotz gewisser Bedenken - in einem ebenfalls das Zürcher Verwaltungsgericht betreffenden Urteil entschieden, an dem eine nebenamtliche Richterin mitgewirkt hatte, die kurz zuvor in einem anderen Prozess desselben Beschwerdeführers als Rechtsanwältin die dort beteiligte Gemeinde vertreten hatte (Urteil 1P.113/1996 vom 29. April 1996, E. 1). Allerdings hiess der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte eine hiergegen eingereichte Beschwerde gut (Urteil i.S. Wettstein gegen Schweiz vom 21. Dezember 2000, Recueil CourEDH 2000-XII S. 416 Ziff. 47 f.). In einem Urteil vom 17. März 1998 (1P.76/1998, E. 2) fasste das Bundesgericht seine Rechtsprechung dahin zusammen, dass ein als Richter amtender Anwalt als befangen erscheine, wenn zu einer Partei ein noch offenes Mandat bestehe oder wenn er für eine Partei mehrmals oder kurze Zeit vorher anwaltlich tätig geworden sei.
4.2 Zu dem in Zbl 1993 S. 84 ff. abgedruckten Urteil erwuchs in der Literatur insofern Kritik, als JÖRG PAUL MÜLLER (Staatsrechtliche Rechtsprechung des Bundesgerichts in den Jahren 1992 und 1993, in: ZBJV 131/1995 S. 758 f.) erklärte, dass entgegen der Auffassung des Bundesgerichts die Problematik einer Dauerbeziehung zu prüfen und somit abzuklären gewesen wäre, ob der betreffende Anwalt durch seine regelmässigen Beratungen und Vertretungen von Gegenparteien der Gemeinde mit dieser nicht in einer Art negativen Dauerbeziehung stehe; genauso wie die wiederholte Vertretung einer Partei die Gefahr in sich berge, dass der Anwalt auch in seiner Eigenschaft als Richter als zu deren Gunsten voreingenommen erscheine, bestehe das Risiko, dass er durch wiederholte anwaltliche Mandate für Gegenparteien in stets analogen Interessenkonstellationen als Richter gegenüber der Gemeinde befangen sei. Bemerkt wurde ausserdem, dass der im erwähnten Entscheid geäusserten Auffassung des Bundesgerichts auch insofern nicht uneingeschränkt beizupflichten sei, als der Anschein der Befangenheit nicht erst dann vorliege, wenn ein Richter persönlich Partei in einem anderen Verfahren sei; es müsse vielmehr genügen, dass ein Richter eine der Parteien in einem anderen hängigen Verfahren als Anwalt vertrete, um ihn als nicht mehr unabhängig erscheinen zu lassen. Kritik an der bundesgerichtlichen Betrachtungsweise übt auch REGINA KIENER (Richterliche Unabhängigkeit, Bern 2001, S. 111 f., und Anwalt oder Richter? - Eine verfassungsrechtliche Sicht auf die Richtertätigkeit von Anwältinnen und Anwälten, in: Festschrift 100 Jahre Aargauischer Anwaltsverband, Zürich 2005, S. 16), indem sie die Unterscheidung zwischen Mandaten als Anwalt einer am Verfahren direkt beteiligten Partei und solchen als Gegenanwalt als nicht sachgerecht bezeichnet: Die Befürchtung einer Befangenheit werde sich vor allem dann aufdrängen, wenn der nunmehrige Richter einer aktuellen Verfahrenspartei vor kurzem als damaliger Gegenanwalt unterlegen sei (vgl. auch PATRICK SUTTER, Der Anwalt als Richter, die Richterin als Anwältin, Probleme mit der richterlichen Unabhängigkeit und den anwaltlichen Berufsregeln, in: AJP 2006, S. 38 Ziff. 2.5).
4.3 Rechtsanwalt Y._ stand und steht allenfalls noch immer in einem Mandatsverhältnis zu Z._, Gegenpartei der Beschwerdeführerin in einem anderen Verfahren. Ist ein als Richter amtierender Anwalt in einem anderen noch offenen Verfahren der Vertreter einer der beteiligten Prozessparteien selbst oder wurde ein Verfahren, in dem ein solches Vertretungsverhältnis bestanden hatte, erst kurz vor Fällung des strittigen Entscheids abgeschlossen, kann der in Frage stehende Richter, wenn auch unbewusst, versucht sein, seinen Mandanten nicht durch einen für diesen ungünstigen Entscheid vergrämen zu wollen. Vertritt bzw. vertrat der Richter im anderen Verfahren nicht die Prozesspartei selbst, sondern deren Gegenpartei, so besteht insofern ein Anschein der Befangenheit, als erstere befürchtet, der Richter könnte nicht zu ihren Gunsten, d.h. zu Gunsten der Gegenpartei seines Mandanten im anderen Verfahren, entscheiden wollen. Zwar ist richtig, dass von einem Anwalt, der als (nebenamtlicher) Richter oder als Schiedsrichter tätig ist, sollte erwartet werden können, dass er zwischen seiner amtlichen und seiner beruflichen Tätigkeit zu unterscheiden weiss, und es sollte somit davon ausgegangen werden können, dass das Mandat, das in einem anderen Verfahren zu Gunsten der Gegenpartei besteht oder bestanden hatte, ihn nicht daran hindert, als Richter im fraglichen Prozess beiden Seiten gleichermassen Gerechtigkeit wiederfahren zu lassen. Von Bedeutung ist indessen, ob der Richter - objektiv gesehen - als befangen erscheinen könne. In diesem Zusammenhang ist auf die Erfahrungstatsache hinzuweisen, dass eine Prozesspartei ihre negativen Gefühle gegenüber der Gegenpartei oft auf deren anwaltlichen Vertreter überträgt, unterstützt doch dieser jene in der Auseinandersetzung mit ihr. Für viele Parteien gilt deshalb der Anwalt der Gegenpartei ebenso als Gegner wie die Gegenpartei selbst, umso mehr, als er als der eigentliche Stratege im Prozess wahrgenommen wird. Es ist deshalb nachvollziehbar, dass eine Partei von einem Richter, der sie in einem anderen Verfahren als Vertreter der Gegenpartei bekämpft(e) und sie - aus ihrer Sicht - möglicherweise um ihr Recht bringen wird oder gebracht hat, nicht erwartet, er werde ihr plötzlich völlig unbefangen gegenübertreten. Die vom vorinstanzlichen Richter angerufene Rechtsprechung ist im Sinne dieser Überlegungen zu präzisieren. Dass Rechtsanwalt Y._ im anderen Verfahren Anwalt einer Gegenpartei der Beschwerdeführerin ist bzw. war, steht dem von dieser geltend gemachten Anschein der Befangenheit somit nicht entgegen. Vielmehr lässt das fragliche Mandat Rechtsanwalt Y._ unfähig erscheinen, als Obmann in dem in Frage stehenden Schiedsverfahren mitzuwirken.
5. Zu überprüfen bleibt die Feststellung des vorinstanzlichen Richters, die Beschwerdeführerin habe den aus der Mitwirkung Rechtsanwalt Y._s im anderen Verfahren abgeleiteten Ablehnungsgrund zu spät geltend gemacht.
5.1 Zur Diskrepanz zwischen dem relativ späten Zeitpunkt der Erkennung des Ablehnungsgrundes und dem Datum des Schreibens vom 3. April 2002 (Anzeige des Mandatsverhältnisses von Rechtsanwalt Y._ mit der Gegenpartei der Beschwerdeführerin) bringt die Beschwerdeführerin vor, in dem für sie verwirrlichen Briefkopf tauche der Name Rechtsanwalt Y._s nicht auf.
5.2 Mit dem erwähnten Schreiben vom 3. April 2002 liess Rechtsanwalt Y._ die Beschwerdeführerin wissen, dass Z._ ihn in dem gegen sie geführten Verfahren mit der Wahrung seiner Interessen beauftragt habe. In dem links oben angebrachten Briefkopf des Schreibens steht in grossen und fetten Majuskeln "ADVOKATUR NOTARIAT" und darunter in etwas kleineren Grossbuchstaben "DR.V._ & PARTNER". Am rechten Rand des Briefes finden sich in vertikaler Anordnung in kleiner Schrift die Namen der einzelnen Fürsprecher und Notare, darunter auch Y._. Auch wenn dieser den Brief persönlich unterschrieben hatte, lässt es sich unter den dargelegten Umständen durchaus nachvollziehen, dass die Beschwerdeführerin Jahre später, als sie die Mitteilung von der am 24. November 2005 verfügten Einsetzung Rechtsanwalt Y._s als Obmann des Schiedsgerichts zugestellt erhielt bzw. von dem vom 14. Februar 2007 datierten Schreiben Rechtsanwalt Y._s Kenntnis nahm, sich (bestenfalls) daran erinnerte, dass die Gegenpartei im anderen Verfahren durch das Advokatur- und Notariatsbüro "Dr.V._ & Partner" vertreten ist bzw. war, nicht aber an den Namen von Rechtsanwalt Y._ im Einzelnen. Von ihr letzteres zu erwarten, hiesse die Anforderungen an die gebotene Aufmerksamkeit überspannen.
Hinzu kommt, dass es bei dem dem Ablehnungsbegehren zugrunde liegenden Sachverhalt nicht um Umstände geht, die allenfalls nur die betreffende Prozesspartei wahrgenommen hätte, wie dies beispielsweise dort der Fall ist, wo geltend gemacht wird, es bestehe zwischen dem Richter und einer Partei eine besondere Freundschaft oder Feindschaft. Hier hätte Rechtsanwalt Y._ vielmehr selber realisieren können und müssen, dass wegen seines Mandats als Anwalt der Gegenpartei einer der am Schiedsverfahren beteiligten Parteien gegen ihn ein Ablehnungsgrund vorliegen könnte. Umso weniger kann der Beschwerdeführerin entgegengehalten werden, sie habe das mit dem Anwaltsmandat Rechtsanwalt Y._s begründete Ablehnungsbegehren verwirkt (dazu KIENER, Richterliche Unabhängigkeit, S. 361 f. lit. c).
6. Ob auch seine Äusserungen im Schreiben vom 14. Februar 2007 Rechtsanwalt Y._ als befangen erscheinen lassen und - gegebenenfalls - ob das Ablehnungsbegehren aus dieser Sicht verspätet wäre, mag nach dem Gesagten offen bleiben. Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Sodann ist die Sache an den vorinstanzlichen Richter zurückzuweisen, damit er über das weitere Begehren der Beschwerdeführerin, die Parteischiedsrichter anzuweisen, gemäss Schiedsabrede einen neuen Obmann einzusetzen, befinde.
7. Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen ist der Kanton Bern zu verpflichten, die Beschwerdeführerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Gerichtspräsidenten 4 des Gerichtskreises X Thun vom 26. Februar 2008 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die kantonale Instanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Bern wird verpflichtet, die Beschwerdeführerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, Rechtsanwalt Y._ und dem Gerichtspräsidenten 4 des Gerichtskreises X Thun schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Oktober 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel