Faits:
A. En raison d'atteintes accidentelles au genou gauche, survenues les 7 mars 1997 et 6 août 1999, J._, né en 1947, a été mis au bénéfice par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) d'une rente d'invalidité de 32 %, à partir du 1er juin 2002, et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 5 %.
Le 18 novembre 2002, il a été engagé en qualité de plombier par la société X._ SA. Le 23 mars 2005, il a été victime d'un accident professionnel : alors qu'il faisait un travail sous le comptoir d'un établissement public, il a « dévissé » en se relevant. Il s'est tordu la jambe et est tombé lourdement au sol. Il a reçu les premiers soins par le docteur S._, de la Permanence Y._. Ce médecin a posé le diagnostic de contusion/distorsion du genou droit. Il a attesté une incapacité de travail de 100 % à partir du 24 mars 2005. La CNA a pris en charge le cas.
Dans un rapport du 10 juin 2005, le docteur T._, spécialiste FMH en chirurgie, a indiqué que le patient se plaignait toujours de douleurs cervico-dorsales. Un CT-Scan cervical avait été pratiqué le 9 mai 2005. Cet examen avait montré des segments de C3 à C5 normaux, une discopathie étagée de C5 à D1; au niveau C6-C7, il existait une importante saillie ostéodiscale postérieure paramédiane droite. Ce même médecin a posé le diagnostic de contusion cervico-dorsale, de contusion à l'épaule droite et au coude droit et de contusion/distorsion du genou droit.
Le 11 juillet 2005, l'assuré a été examiné par le docteur G._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin d'arrondissement de la CNA. Ce médecin a attesté une évolution favorable du genou droit et de l'épaule droite. Il a relevé qu'aucune lésion traumatique sur l'axe squelettique n'avait été mise en évidence au niveau de l'épaule et du genou. A ces deux niveaux, les conséquences de l'accident pouvaient être considérées comme « actuellement terminées ». Par ailleurs, le médecin d'arrondissement a constaté que l'intéressé présentait une importante cervicarthrose; cependant, la symptomatologie liée à cette affection s'était développée progressivement à distance de l'accident; il était donc possible d'affirmer qu'elle était étrangère à celui-ci (rapport du 29 août 2005).
Par décision du 5 septembre 2005, la CNA, se fondant sur cette appréciation médicale, a mis fin à ses prestations (indemnités journalières et frais de traitement) au 31 août 2005. L'assuré a formé une opposition que la CNA a rejetée par une nouvelle décision, du 20 décembre 2005.
B. Par écriture du 20 mars 2006, J._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant au versement par la CNA de prestations au-delà du 31 août 2005.
En cours de procédure, il a produit un rapport d'expertise établi à sa demande le 24 mars 2006 par le docteur C._, orthopédiste et chirurgien FMH. Ce médecin a posé, à la suite de l'accident du 23 mars 2005, le diagnostic de contusion de l'épaule droite, de légère distorsion cervicale sur lésion dégénérative discale et articulaire postérieure du tiers inférieur du rachis cervical et de lésion horizontale de grade III du ménisque interne dans la région moyenne et postérieure associée à un volumineux kyste méniscal interne. Il estimait qu'il existait un lien de causalité naturelle probable (plus de 50 %) entre l'état actuel du genou droit et l'accident. L'incapacité de travail était entière dans la profession de plombier. Elle avait pour cause essentielle l'affection au genou droit.
La CNA a soumis l'expertise du docteur C._ au docteur K._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et rattaché à la division de médecine des assurances de la CNA. En conclusion d'un rapport du 28 avril 2006, ce médecin a considéré que les troubles du genou droit de l'assuré, imputables à la lésion de la corne postérieure et au kyste méniscal, étaient d'étiologie dégénérative. L'implication vraisemblable de l'accident du 23 mars 2005 ne pouvait pas être démontrée.
Le 29 août 2006, le tribunal a entendu le docteur C._.
Statuant le 21 novembre 2006, il a admis le recours et annulé les décisions précédentes.
C. La CNA interjette un recours de droit administratif dans lequel elle conclut, principalement, à l'annulation du jugement cantonal. Subsidiairement, elle demande la mise en oeuvre d'une expertise médicale « aux fins d'examen du lien éventuel de causalité naturelle entre l'accident et les diagnostics de fissure et kyste méniscaux ».
J._ conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. L'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). L'acte attaqué ayant été rendu avant cette date, la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
2. Le litige porte sur le point de savoir s'il existe un lien de causalité naturelle entre l'accident du 23 mars 2005 et la lésion au genou droit de l'intimé.
Le jugement expose de manière exacte et complète les règles légales et les principes jurisprudentiels applicables au présent cas, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 Selon le docteur C._, une origine « contusionnelle » du kyste méniscal doit être écartée, puisqu'il n'y a pas eu de contusion au genou droit. En revanche, une brusque torsion d'un genou est un mécanisme classique pouvant provoquer une lésion horizontale ou verticale d'une corne postérieure du ménisque interne. La lésion horizontale a été mise en évidence par une IRM pratiquée le 15 mars 2006. Il est permis de penser que cette lésion horizontale était déjà présente avant l'accident. Le fait que le patient a senti un craquement et une forte douleur lors de la torsion de son genou a agrandi cette lésion. On peut également penser que cette lésion horizontale a été provoquée par la torsion du genou, puisqu'elle a entraîné une forte douleur et un craquement et que le patient, à la suite de cela, a été mis à l'arrêt de travail le lendemain. Il s'est donc passé « quelque chose de brusque à ce niveau ». Aussi bien le docteur C._ incline-t-il fortement à penser que cette lésion méniscale sous-jacente, présente ou non avant l'accident, est à l'origine du développement du kyste, responsable actuellement des fortes douleurs ressenties par le patient et de son incapacité de travail. En conclusion, il paraît donc probable que l'affection actuelle est en relation de causalité X._ l'accident : il s'agit soit d'une lésion méniscale antérieure à l'accident qui a été décompensée violemment par cet événement, soit d'une lésion méniscale qui a été provoquée par l'événement.
Pour le docteur K._, l'assuré souffre d'un clivage horizontal de la corne postérieure du ménisque et c'est dans ce contexte qu'il a développé un kyste méniscal, qui s'est agrandi au fil des mois. Si l'étiologie de la lésion méniscale est clairement dégénérative, celle du kyste méniscal ne peut être élucidée du fait que le débat à ce sujet n'est pas clos dans la littérature médicale. Il faut cependant rappeler que l'âge des malades qui développent un kyste méniscal est extrêmement variable. Si la majorité des patients a 30 ans environ, on rencontre ces kystes également chez des enfants ou des vieillards. Ceci pourrait signifier que la cause des kystes méniscaux n'est pas isolée; selon les cas, elle peut être « congénitale » (chez l'enfant), traumatique (chez l'adulte dans la force de l'âge qui développe un kyste sans lésion méniscale associée), alors que chez les sujets âgés porteurs d'une lésion méniscale, une origine dégénérative doit être postulée selon une majorité d'auteurs.
3.2 La recourante reproche aux premiers juges d'avoir procédé à une appréciation contestable des preuves en omettant d'indiquer les motifs qui les ont conduits à écarter l'avis du docteur K._ au profit de celui du docteur C._.
3.3 Il est exact que les motifs qui ont conduit le tribunal des assurances à donner la préférence aux conclusions du docteur C._ ne ressortent pas des considérants du jugement attaqué. Les premiers juges parraissent toutefois avoir été convaincus par les explications fournies par ce médecin à l'audience de comparution du 29 août 2006. Pour l'essentiel, le docteur C._ a confirmé à cette occasion les termes de son expertise. Il a affirmé que l'argumentation du docteur K._ au sujet d'une origine dégénérative « lorsqu'il y a lésion et kyste » relevait de la « théorie », l'expérience lui ayant enseigné que tel n'était pas nécessairement le cas. Le docteur C._ a aussi fait état d'une longue pratique clinique et d'une large expérience en matière d'expertises (plus de 1'000 expertises). De manière plus ou moins implicite, la juridiction cantonale a considéré que cette expérience pratique justifiait d'écarter les conclusions du docteur K._ au profit de celles du docteur C._. Mais cet élément ne saurait être décisif : c'est avant tout le contenu de l'expertise qui doit permettre au juge de trancher le litige. Le fait qu'un expert a un approche plus théorique qu'un autre expert ne permet pas, dans un domaine qui requiert des connaissances médicales hautement spécialisées, de tirer des conclusions décisives sur la valeur de leurs conclusions respectives.
A partir de là, il y a lieu de constater qu'aucun des deux rapports médicaux en présence n'est entaché d'erreurs ou de contradictions ou d'autres défauts qui seraient, le cas échéant, reconnaissables pour le juge. Les deux rapports sont complets et bien documentés. Leurs auteurs aboutissent cependant à des conclusions opposées. En l'absence d'éléments déterminants qui permettraient de départager les avis opposés en présence, il se justifie d'annuler le jugement attaqué, ainsi que la décision sur opposition, et de renvoyer la cause à la CNA pour qu'elle mette en oeuvre une expertise et rende une nouvelle décision.
4. La procédure est gratuite, du moment que le litige porte sur l'octroi ou le refus de prestations d'assurance (art. 134 OJ). L'intimé, qui succombe, n'a pas droit à des dépens pour la procédure fédérale.
5. Sous chiffre 3 du jugement entrepris, la juridiction cantonale a condamné la CNA à verser à l'assuré la somme de 2000 fr. à titre de dépens. Etant donné le sort du litige en procédure fédérale, l'intéressé apparaissait fondé à recourir contre la décision sur opposition de la CNA, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'annuler le chiffre 3 du dispositif du jugement cantonal.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le chiffre 2 du jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève du 21 novembre 2006, ainsi que la décision sur opposition du 20 décembre 2005, sont annulés, la cause étant renvoyée à la CNA pour complément d'instruction au sens des motifs et nouvelle décision.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice ni alloué de dépens.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 29 mai 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: