Sachverhalt:
A. E._ ist Eigentümer des Grundstücks Nr. W1983 an der Kurzenbergstrasse in St. Gallen. Es liegt nach dem Zonenplan der Stadt St. Gallen vom 1. Dezember 2001 in der Wohnzone W2a. Südlich davon liegt das Grundstück Nr. W4269 (Eigentümerin C._). Im Osten grenzt das Grundstück Nr. W1983 an die Kurzenbergstrasse bzw. an deren Wendeplatz. Das im Norden anschliessende Grundstück Nr. W4326 steht ebenfalls im Eigentum von E._. Bergseits des Wendekreises liegen die Grundstücke Nr. W4270 (Eigentümerin A._), Nr. W4316 (Eigentümer Eheleute D._) und Nr. W4317 (Eigentümer B._). Das Grundstück Nr. W1983 wurde vor rund 27 Jahren im Westen und Norden aufgeschüttet. Es ist heute mit einem Einfamilienhaus überbaut, welches an einem von Osten nach Westen abfallenden Hang liegt und bergseitig ein Voll- und ein Dachgeschoss aufweist, während es talseitig als zweigeschossig in Erscheinung tritt. Das von E._ am 10. April 2007 eingereichte Baugesuch sah auf dem Grundstück Nr. W1983 den Abbruch des Einfamilienhauses sowie den Neubau eines zweigeschossigen Dreifamilienhauses samt Autolift an der Ostseite des Gebäudes vor. Gegen das Baugesuch gingen mehrere Einsprachen ein. Mit Beschluss vom 24. August 2007 erteilte die Baubewilligungskommission der Stadt St. Gallen die Baubewilligung unter verschiedenen Bedingungen und Auflagen. Im Übrigen wies sie die öffentlich-rechtlichen Einsprachen ab.
Gegen den Beschluss der Baubewilligungskommission erhoben A._, B._, C._ sowie die Eheleute D._ beim Baudepartement des Kantons St. Gallen Rekurs mit dem Begehren um Aufhebung der Baubewilligung. Mit Entscheid vom 14. August 2008 hiess das Baudepartement den Rekurs unter anderem wegen Überschreitung der zulässigen Gebäudehöhe, -tiefe und -länge sowie Verletzung von Vorschriften über die Situierung und Höhe von Attikageschossen gut und hob die Baubewilligung auf.
Die Politische Gemeinde St. Gallen und E._ erhoben gegen den Entscheid des Baudepartements vom 14. August 2008 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Sie beanstandeten namentlich eine falsche Anwendung der Bestimmungen über die Gebäudehöhe. Das Verwaltungsgericht hiess die Beschwerden im Sinne der Erwägungen teilweise gut und wies sie im Übrigen ab. Den Rekursentscheid des Baudepartements vom 14. August 2008 hob es auf und den Entscheid der Baubewilligungskommission vom 24. August 2007 hob es auf, soweit er den Erwägungen des verwaltungsgerichtlichen Entscheids widerspricht. Es wies die Angelegenheit zur Ergänzung der Gesuchsunterlagen und zu neuer Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die kommunale Baubewilligungskommission zurück.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 15. Juli 2009 beantragen A._, B._, die Eheleute D._ sowie C._ im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben, soweit darin die Beschwerden von E._ sowie der Stadt St. Gallen in den Punkten Gebäudehöhe/Niveaupunktberechnung gutgeheissen werde, und die Baubewilligung sei zu verweigern. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung in Bezug auf die Gebäudehöhe/Niveaupunktberechnung und Kostenverlegung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sie rügen Willkür (Art. 9 BV) bei der Auslegung und Anwendung der kantonalen und kommunalen Bauvorschriften sowie eine Verletzung der Eigentumsgarantie (Art. 26 BV).
C. Die Stadt St. Gallen und E._ beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Baudepartement verzichtet auf einen Antrag und eine Stellungnahme. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
D. Mit Präsidialverfügung vom 1. September 2009 wurde ein Gesuch der Beschwerdeführer um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren über eine baurechtliche Bewilligung und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde. Nach Art. 34 Abs. 1 RPG (SR 700) gelten für die Rechtsmittel an die Bundesbehörden die allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege. Das Bundesgerichtsgesetz enthält auf dem Gebiet des Bau- und des Umweltschutzrechts keinen Ausschlussgrund von der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 lit. a BGG steht somit grundsätzlich zur Verfügung (BGE 133 II 249 E. 1.2 S. 251, 400 E. 2.1 S. 404).
1.2 Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und bewohnen Liegenschaften, die entweder direkt an das Baugrundstück angrenzen oder von diesem lediglich durch die Kurzenbergstrasse bzw. den Wendeplatz getrennt sind. Sie sind vom umstrittenen Bauvorhaben besonders berührt und berufen sich auf schutzwürdige Interessen. Ihre Beschwerdelegitimation ist gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG zu bejahen (BGE 133 II 249 E. 1.3 S. 252 ff.).
1.3 Mit dem angefochtenen Urteil weist das Verwaltungsgericht die Sache an die kommunale Baubehörde zu neuer Beurteilung zurück. Diese hat insbesondere über die flächen- und höhenmässige Reduktion des Attikageschosses und geänderte Grundrisse und Pläne der Ost- und Westfassade sowie eine Verschiebung des Autolifts zu entscheiden. Mit der Rückweisung der Angelegenheit zu neuer Beurteilung wird das Verfahren nicht abgeschlossen, da noch nicht über alle wesentlichen baurechtlichen Fragen kantonal letztinstanzlich entschieden wurde. Es liegt somit nicht ein Endentscheid über die Baubewilligung im Sinne von Art. 90 BGG vor, sondern ein Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG (Urteil des Bundesgerichts 1C_295/2007 vom 23. Januar 2008 E. 1.2 in: ZBl 109/2008 S. 441 f.). Art. 93 BGG dient der Prozessökonomie und soll das Bundesgericht entlasten. Dieses soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen. Daher tritt es auf gegen Vor- und Zwischenentscheide gerichtete Beschwerden nicht ein, sofern allfällige Nachteile in verhältnismässiger Weise auch noch mit einer bundesgerichtlichen Beurteilung nach Ausfällung des Endentscheids behoben werden können (BGE 135 II 30 E. 1.3.2 S. 34 f.). Dass die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, haben die Beschwerdeführer aufzuzeigen, soweit dies nicht ohne Weiteres auf der Hand liegt (vgl. BGE 134 II 137 E. 1.3.3 S. 141; 134 III 426 E. 1.2 S. 429; je mit Hinweisen; Urteil des Bundesgerichts 1C_407/2008 vom 25. Mai 2009 E. 1.3).
Die Beschwerdeführer legen nicht dar, inwiefern der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bewirken könnte. Ein solcher ist denn auch nicht ersichtlich.
1.4 Nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG ist die Beschwerde zulässig, wenn deren Gutheissung sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Dass diese Anforderungen vorliegend erfüllt wären, behaupten die Beschwerdeführer zu Recht nicht. Die erforderlichen Projektänderungen betreffen zwar teilweise wesentliche Fragen in Bezug auf die Erschliessung des umstrittenen Gebäudes. Es bestehen jedoch keine Anhaltspunkte, dass damit bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren verbunden wäre. Auf die Beschwerde gegen den vorliegenden Zwischenentscheid kann somit nicht eingetreten werden. Hingegen kann der Zwischenentscheid zusammen mit dem Endentscheid angefochten werden (Art. 93 Abs. 3 BGG).
2. Dem Ausgang des vorliegenden Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten den unterliegenden Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese haben den privaten Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 2'000.-- unter solidarischer Haftbarkeit zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und der Politischen Gemeinde St. Gallen sowie dem Baudepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. November 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag