Faits:
A.
Par jugement du 17 mai 2013, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a condamné A._, pour violation grave des règles de la circulation routière (art. 90 al. 2 LCR), à une peine privative de liberté de six mois.
B.
Statuant le 1er octobre 2013, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a partiellement admis l'appel formé par A._ et réformé le jugement attaqué en ce sens qu'elle a réduit la peine privative de liberté à quatre mois.
En résumé, elle a retenu les faits suivants:
B.a. Le 13 août 2013, à Lausanne, à l'avenue Georgette et à l'avenue du Théâtre, A._ a conduit un véhicule automobile noir, de marque BMW, en faisant des accélérations et des arrêts brusques et en talonnant les autres véhicules. Dans le tunnel traversant la place Chauderon, il a rejoint le véhicule de marque Alfa Roméo rouge conduit par D._. Il a alors brusquement accéléré pour tenter de dépasser ce véhicule. Pour ce faire, il s'est mis à droite, puis à gauche, du véhicule, en franchissant la ligne de sécurité balisée dans le tunnel. Pris au jeu, D._ a accéléré à son tour. A la sortie du tunnel, à l'avenue de Morges, les deux conducteurs ont continué à accélérer et à freiner brusquement, ne laissant pas une distance de sécurité suffisante avec les autres véhicules. Au niveau de l'immeuble n° 90 de l'avenue de Morges, A.B._ qui conduisait un véhicule de marque Peugeot s'est arrêté normalement pour les besoins du trafic. D._ qui conduisait à une vitesse trop élevée et n'avait pas gardé une distance suffisante avec le véhicule de A.B._ a freiné trop tardivement et a percuté ledit véhicule. Pour les mêmes raisons, A._ n'est pas parvenu à s'arrêter à temps et a percuté le véhicule de D._.
B.b. En droit, la cour cantonale a considéré que A._ avait violé l'art. 32 al. 1 LCR en conduisant son véhicule automobile à une vitesse parfaitement inadaptée aux circonstances. Il avait également violé l'art. 26 al. 1 LCR, car il avait gêné et mis en danger les autres usagers de la route. Lors de son duel avec le véhicule qui le précédait, il avait franchi la ligne de sécurité balisée du tunnel de Chauderon, roulant ainsi en sens inverse, et avait de la sorte enfreint les art. 27 al. 1 et 34 al. 1 LCR. Il n'avait pas respecté une distance suffisante entre son véhicule et celui qui le précédait (art. 34 al. 4 LCR), l'empêchant de se conformer à ses devoirs de prudence et ne lui permettant pas de garder la maîtrise de sa voiture au moment de l'accident (art. 31 al. 1 LCR). Enfin, il avait également fait tourner son moteur à haut régime, incommodant les autres usagers de la route (art. 42 al. 1 LCR). La cour cantonale a considéré que, par l'ensemble de son comportement, A._ avait créé un danger sérieux pour l'intégrité et la vie d'autrui, danger qui s'était concrétisé lors de l'accident. Il avait gravement violé les dispositions de la LCR et s'était donc rendu coupable de violation grave des règles de la circulation routière au sens de l'art. 90 al. 2 LCR.
C.
Contre ce dernier jugement, A._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à la réforme du jugement attaqué, en ce sens qu'il est condamné pour violation simple des règles de la circulation routière à une peine sensiblement réduite et, à titre subsidiaire, à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement. En outre, il sollicite l'exemption de l'avance de frais.
Considérant en droit:
1.
Le recourant s'en prend pour l'essentiel à l'état de fait. Il fait grief à la cour cantonale d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves.
1.1. Le Tribunal fédéral est un juge du droit. Il ne peut revoir les faits établis par l'autorité précédente que si ceux-ci l'ont été de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356). On peut renvoyer, sur la notion d'arbitraire, aux principes maintes fois exposés par le Tribunal fédéral (voir par ex: ATF 138 III 378 consid. 6.1 p. 379; 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560 ; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4/5; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités). En bref, pour qu'il y ait arbitraire, il ne suffit pas que la décision attaquée apparaisse discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation, mais aussi dans son résultat.
1.2. Le recourant conteste, d'abord, la valeur probante du témoignage de E._, qui aurait fait des déclarations mensongères et qui n'aurait pas pu voir l'accident.
Ce témoin a déclaré que, circulant sur l'avenue Georgette, en direction de l'avenue du Théâtre, elle avait aperçu dans son rétroviseur une voiture noire qui arrivait derrière elle à vive allure et approchait dangereusement de son auto. Elle s'est alors déportée, à droite, sur la voie du bus; avant qu'elle ne se déporte, le conducteur avait freiné énergiquement. Elle a pris contact avec la centrale d'engagement de la police pour signaler le comportement routier dangereux de ce conducteur, dont elle a donné le signalement du véhicule (couleur, marque et numéro de plaque) et qui s'est avéré être le recourant. Le comportement dangereux du recourant a été confirmé par le témoignage des membres de la famille B._ et surtout par le fait que, quelques minutes plus tard, le recourant s'est retrouvé impliqué dans un accident de la circulation avec une collision en chaîne. Les divergences dont fait état le recourant entre les dépositions successives du témoin portent sur des détails et peuvent s'expliquer par l'écoulement du temps. Elles ne remettent pas en cause le témoignage de E._, selon lequel le recourant a eu un comportement routier dangereux (vive allure et freinage énergique), qui a abouti à un accident de la circulation.
1.3. Le recourant met, ensuite, en cause les témoignages de A.B._, conducteur de la voiture percutée par la voiture qui précédait celle du recourant, et de sa fille C.B._, également présente au moment des faits. Il conteste avoir commis un excès de vitesse, soutenant avoir été seulement au volant d'une voiture " tunée " qui fait un bruit supérieur. Vu la configuration des lieux, les membres de la famille B._ n'auraient pas pu faire les constatations dont ils ont fait part à la police.
Les témoins ont fait état de manoeuvres illicites de circulation, à savoir que le recourant tentait des dépassements intempestifs, en franchissant une ligne de sécurité. Ils ont également observé des vitesses excessives et des distances insuffisantes entre les véhicules. Les déclarations du père et de sa fille sont concordantes et, en outre, le comportement dangereux du recourant a déjà été constaté par le premier témoin. En retenant ces déclarations comme crédibles, la cour cantonale n'est donc pas tombée dans l'arbitraire. L'argumentation du recourant, selon laquelle il a simplement roulé à un régime élevé, tout en respectant les limites de vitesse, est appellatoire et, donc, irrecevable.
1.4. Le recourant accuse également le sergent de police d'avoir rédigé un procès-verbal inexact, poussant les témoins à faire de fausses déclarations.
Les accusations du recourant à l'égard du sergent de police ne reposent sur aucun fondement. Au demeurant, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a apprécié à nouveau l'ensemble des témoignages. En particulier, le témoin E._ a confirmé ses déclarations. Elle a fait très bonne impression au premier juge, qui a considéré son témoignage comme crédible.
1.5. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en retenant une " violente collision en chaîne ".
Le caractère " violent " de la collision n'est pas déterminent pour l'issue du litige. Dans tous les cas, le rapport de police constate que les dommages matériels étaient importants. Les témoins parlent de choc violent. Dans ces conditions, il n'est pas arbitraire de retenir une " violente collision en chaîne", même en l'absence de blessés.
1.6. Le recourant fait grief à la cour cantonale d'être tombée dans l'arbitraire, lorsqu'elle constate qu'il n'a pas respecté les distances suffisantes.
En règle générale, une collision implique une distance insuffisante avec le véhicule suivi. Vu que les voitures se sont finalement encastrées les unes dans les autres et compte tenu des différents témoignages, la cour cantonale n'a pas fait preuve d'arbitraire en retenant que le recourant n'avait pas respecté une distance suffisante avec le véhicule le précédant.
1.7. Le recourant conteste avoir donné des coups d'accélérateur intempestifs. Il nie avoir roulé à une vitesse inappropriée et avoir franchi la ligne de sécurité.
Ces faits ont été constatés par les membres de la famille B._, dont le témoignage est crédible. En outre, le témoin E._ avait déjà relevé quelques instants avant l'accident le comportement routier irrégulier (vitesse inappropriée et freinage énergique) du recourant, comportement qui a finalement abouti à un accident. La cour cantonale n'a donc pas fait preuve d'arbitraire en retenant que le recourant avait roulé à une vitesse inappropriée et franchi la ligne de sécurité.
2.
Le recourant s'en prend à la mesure de sa peine, sans soulever de grief précis.
S'agissant d'un appel global (à savoir qui porte sur l'entier du jugement de première instance; cf. art. 399 CPP), la cour cantonale a revu la peine, bien que le recourant n'ait pas soulevé de grief explicite à ce sujet. Les constatations de la cour cantonale sur ce point ne peuvent qu'être suivies. La faute du recourant est lourde, dans la mesure où il a mis gravement en danger la sécurité d'autrui pour des motifs parfaitement futiles, qu'il n'a pas pris conscience de son comportement routier dangereux et qu'il a récidivé dans le même domaine d'infractions. Dans ces conditions, une peine privative de liberté de quatre mois ferme est parfaitement adéquate.
3.
Le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
Comme ses conclusions étaient vouées à l'échec, l'assistance judiciaire ne peut être accordée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant devra donc supporter les frais (art. 66 al. 1 LTF), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1600 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 1er mai 2014
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Mathys
La Greffière: Kistler Vianin