Erwägungen:
1. X._, geboren 1984, nach eigenen Angaben Staatsangehöriger von Sudan, reiste im September 2006 als Asylbewerber in die Schweiz ein; das Bundesamt für Migration trat am 25. Oktober 2006 auf sein Asylgesuch nicht ein und wies ihn aus der Schweiz weg. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt verfügte am 3. Juli 2008 gegen ihn ausländerrechtliche Haft, welche der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen am Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 4. Juli 2008 als Ausschaffungshaft für die Dauer von drei Monaten, d.h. bis zum 1. Oktober 2008, für rechtmässig erkannte und bestätigte.
Mit undatiertem, am 8. Juli 2008 zur Post gegebenem Schreiben beschwert sich X._ über die Haftanordnung. Er stellt in Aussicht, er werde innert 48 Stunden ausreisen; sinngemäss beantragt er damit, er sei aus der Haft zu entlassen.
Die Eingabe ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Die Bundesgerichtskanzlei hat per Fax das angefochtene Urteil eingeholt; andere Instruktionsmassnahmen (Schriftenwechsel, Einholen von Akten) sind nicht angeordnet worden.
2. Die Eingabe des Beschwerdeführers genügt den gesetzlichen Anforderungen an eine Rechtsschrift (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG) kaum. Soweit auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, erweist sie sich als offensichtlich unbegründet:
Gegen den Beschwerdeführer liegt eine rechtskräftige Wegweisung vor; die Ausschaffungshaft dient der Sicherstellung von deren Vollzug, sie beruht mithin auf einem vom Gesetz vorgesehenen Zweck (vgl. Art. 76 Abs. 1 AuG). Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen (Art. 105 Abs. 1 und 2 sowie Art. 97 Abs. 1 BGG) ist der asylrechtlich dem Kanton Basel-Stadt zugewiesene Beschwerdeführer mehrfach straffällig geworden (insbesondere Hausfriedensbruch durch unbefugten Aufenthalt in einem Asylantenheim in Genf); zudem entzog er sich kontinuierlich dem Zugriff der für den Wegweisungsvollzug zuständigen Basler Behörden (Untertauchen); er musste mehrmals von der Genfer Polizei nach Basel zurückgeschafft werden. Nach den zutreffenden Erwägungen des Verwaltungsgerichts, auf die verwiesen werden kann (vgl. Art. 109 Abs. 3 BGG), erfüllt der Beschwerdeführer damit die Haftgründe von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG. Am Bestehen dieser Haftgründe ändert der Umstand nichts, dass er in Aussicht stellt, er würde nach einer Freilassung innert 48 Stunden ausreisen; abgesehen davon, dass dieses "Angebot" unglaubwürdig erscheint, nachdem er nun schon seit über eineinhalb Jahren der Ausreiseaufforderung keine Folge geleistet hat, hat er keine legale Möglichkeit, in ein Drittland auszureisen und der Wegweisung - wirksam - Folge zu leisten (vgl. zur Bedeutung solcher untauglicher Ausreiseversprechen für den Haftgrund der Untertauchensgefahr BGE 133 II 97 E. 4.2.2 S. 103; s. übrigens auch Art. 115 Abs. 2 AuG). Ob der Nichteintretensentscheid des Bundesamtes für Migration auf Art. 32 Abs. 2 lit. a-c oder Art. 33 AsylG beruhte und damit zusätzlich auch der Haftgrund von Art. 76 lit. b Abs. 2 AuG erfüllt wäre, kann damit offen bleiben. Es sind keine die Haft ausschliessenden Gründe (Art. 80 Abs. 6 BGG) erkennbar, und die Behörden haben sichtlich alle im Hinblick auf den Wegweisungsvollzug notwendigen Abklärungen unverzüglich in die Wege geleitet (s. letzter Absatz des angefochtenen Urteils). Schliesslich hindert der Umstand, dass der Beschwerdeführer ein neues Asylgesuch gestellt hat, die Behörden nicht daran, statt der Vorbereitungshaft die Ausschaffungshaft zur Sicherstellung der bereits früher angeordneten Wegweisung zu verfügen, wenn - wie vorliegend - die gesetzlichen Voraussetzungen der Ausschaffungshaft gegeben sind und wenn der Abschluss des (zweiten) Asylverfahrens voraussichtlich innert absehbarer Zeit möglich erscheint (vgl. BGE 125 II 377 E. 2).
Die offensichtlich unbegründete Beschwerde (Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG) ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wären die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Es rechtfertigt sich indessen aufgrund der Umstände, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt, dem Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Hungerbühler Feller