Sachverhalt:
A. Am 17. August 2007 erhob X._ (geb. xxxx 1997), gesetzlich vertreten durch ihre Mutter Y._, beim Einzelrichter des Bezirks March gegen ihren in Deutschland lebenden Vater Z._ eine Klage auf Abänderung des Kinderunterhalts. Darin stellte X._ den Antrag, Z._ sei zur Bevorschussung ihrer allfälligen Gerichtskosten sowie zur Bezahlung eines Vorschusses an ihre Anwaltskosten in der Höhe von Fr. 3'000.-- zu verpflichten. Im Sinne eines Eventualbegehrens ersuchte sie um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Der Vater von X._ verzichtete auf eine Klageantwort. Mit Urteil vom 22. Januar 2009 wies der Einzelrichter des Bezirks March sowohl die Klage als auch das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ab.
B. Gegen das erstinstanzliche Urteil legte X._ beim Kantonsgericht Schwyz mit Eingabe vom 2. März 2009 Berufung ein. Neben den Hauptbegehren beantragte sie wiederum, ihr Vater sei als Beklagter zur Bevorschussung von Gerichts- und Anwaltskosten zu verpflichten; eventualiter sei ihr sowohl für das erstinstanzliche als auch für das Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Überdies stellte sie das Begehren, ihr Vater sei zur Leistung einer angemessenen Kaution für die Prozessentschädigung zu verpflichten. Z._ beantragte, die Berufung sei zurückzuweisen (Eingabe vom 16. April 2009). Auf entsprechende Verfügung des Kantonsgerichts vom 11. März 2009 hin reichte X._ mit Eingaben vom 25. und 26. März 2009 das Formular "Auskünfte zur Erlangung der unentgeltlichen Prozessführung" ein.
C. Mit Schreiben vom 7. Januar 2010 ersuchte X._ die Kantonsgerichtsvizepräsidentin, ohne Rücksicht auf das weitere Vorgehen in der Hauptsache mittels einer separaten verfahrensleitenden Verfügung über das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zu entscheiden. Mit Schreiben vom 28. Januar 2010 forderte die Kantonsgerichtsvizepräsidentin X._ auf, ihr Gesuch mit Unterlagen über die Einkommens- und Vermögensverhältnisse ihrer Mutter und ihres Stiefvaters zu belegen und deren Bedarf darzutun. Nach einer entsprechenden Eingabe von X._ wies das Kantonsgericht Schwyz das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mit Verfügung vom 13. April 2010 ab. Auch mit dem Begehren, Z._ sei zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses und zur Leistung einer Kaution für die Prozessentschädigung zu verpflichten, unterlag X._. Die Vorinstanz wies diese Begehren mit der Begründung ab, Z._ sei unter Berücksichtigung seiner äusserst beschränkten Einkommens- und Vermögensverhältnisse als bedürftig anzusehen, weshalb ihm weder die Bezahlung eines Prozesskostenvorschusses noch die Leistung einer Kaution zuzumuten sei. Das Kantonsgericht verurteilte X._ zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 1'500.-- und ordnete an, dass die Kosten dieser Verfügung bei der Hauptsache verbleiben. Nachdem X._ ihrer Vorschusspflicht nicht nachgekommen war, setzte ihr die Kantonsgerichtsvizepräsidentin mit Verfügung vom 7. Mai 2010 schliesslich eine nicht erstreckbare Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses und drohte ihr für den Fall der Nichtbezahlung an, auf die Berufung in der Hauptsache nicht einzutreten.
D. Mit Eingabe vom 17. Mai 2010 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, in Aufhebung der Verfügungen vom 13. April und 7. Mai 2010 sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren zu bewilligen; sie sei von der Leistung eines Kostenvorschusses und von der Bezahlung von Gerichtskosten zu befreien; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdeführerin verlangt ausserdem, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Schliesslich stellt sie das Begehren, Z._ (nachfolgend Beschwerdegegner) sei zu verpflichten, ihre allfälligen Gerichtskosten zu bevorschussen und an ihre Anwaltskosten einen Vorschuss von Fr. 3'000.-- zu leisten; eventuell sei ihr für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Vom Bundesgericht zur Vernehmlassung eingeladen, beantragte das Kantonsgericht Schwyz mit Eingabe vom 2. Juni 2010 die Abweisung der Beschwerde. Dem Gesuch um aufschiebende Wirkung widersetzte sich das Kantonsgericht nicht.
Mit Präsidialverfügung vom 4. Juni 2010 hat das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung erteilt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG), mit dem das Gesuch der Beschwerdeführerin um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Berufungsverfahren abgewiesen wurde. Der angefochtene Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; BGE 129 I 129 E. 1.1 S. 131).
1.2 Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007 E. 1.2). Im vorliegenden Fall hat das Verfahren in der Hauptsache die Abänderung des Kinderunterhaltsbeitrages nach Art. 286 Abs. 2 ZGB zum Gegenstand, mithin eine Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 1 ZGB, deren Streitwert gemäss den zutreffenden und auch von der Beschwerdeführerin anerkannten vorinstanzlichen Feststellungen Fr. 30'000.-- überschreitet (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.3 Auf die überdies rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde ist demnach grundsätzlich einzutreten.
1.4 Vor Bundesgericht unzulässig ist indessen der Antrag der Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegner sei zur Finanzierung ihrer Gerichts- und Anwaltskosten im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren zur Bezahlung eines Kostenvorschusses zu verurteilen. Der Anspruch auf Bevorschussung von Prozesskosten folgt aus der familienrechtlichen Pflicht der Eltern, im Rahmen ihrer Fürsorge- und Unterhaltspflicht für die Prozesskosten ihres minderjährigen Kindes aufzukommen; diese familienrechtliche Unterstützungspflicht geht der staatlichen Pflicht zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor (127 I 202 E. 3b S. 205; 119 Ia 134 E. 4 S. 135; je mit Hinweisen). Ist der Bevorschussungsanspruch aber im materiellen Zivilrecht begründet, so muss die (minderjährige) Prozesspartei einen solchen Anspruch gegen ihre Eltern vor demjenigen Gericht geltend machen, das nach dem kantonalen Prozessrecht im Rahmen des Unterhaltsprozesses für den Erlass vorsorglicher Massnahmen zuständig ist. Ein Gesuch um Bevorschussung von Prozesskosten kann nicht im Kleid eines Gesuchs um Erlass einer vorsorglichen Massnahme im bundesgerichtlichen Verfahren (Art. 104 BGG) gestellt werden, denn ein solches Gesuch betrifft nicht den Streitgegenstand des Hauptsacheverfahrens (hier die Verletzung des Rechtspflegeanspruches im kantonalen Berufungsverfahren). Die geschilderte Rechtslage ergibt sich aus der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Geltendmachung des Bevorschussungsanspruches unter Ehegatten in eherechtlichen Prozessen (Urteil 5A_793/2008 vom 8. Mai 2008 E. 6.2, bestätigt in Urteil 5F_9/2009 vom 2. Februar 2010 E. 1.5).
2. Zur Hauptsache macht die Beschwerdeführerin geltend, das Kantonsgericht Schwyz habe die in Art. 29 Abs. 3 BV enthaltene Vorschrift verletzt, indem es ihr Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen habe. Die Beschwerdeführerin rügt überdies, im Verfahren betreffend die Beurteilung dieses Gesuchs habe das Kantonsgericht die Untersuchungsmaxime verletzt, gegen das Gebot von Treu und Glauben (Art. 9 BV) und gegen das Gleichbehandlungsgebot (Art. 8 Abs. 1 BV) verstossen und ausserdem ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt.
2.1 Das Bundesgericht untersucht nicht von Amtes wegen, ob der angefochtene kantonale Entscheid verfassungsmässig ist. Vielmehr überprüft es die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte nur insofern, als die rechtssuchende Partei sie in der Beschwerde vorbringt und begründet (Art. 106 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip: Im Schriftsatz ist präzise anzugeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen substanziiert darzulegen, worin die Verletzung besteht (vgl. BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht beurteilt nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.). Sind die Anforderungen des Rügeprinzips erfüllt, so prüft das Bundesgericht frei, ob die angerufenen verfassungsmässigen Rechte verletzt sind (vgl. BGE 130 I 26 E. 2.1 S. 31 mit Hinweisen).
In diesem Rahmen untersucht das Bundesgericht auch die Rüge der Verletzung von direkt aus Art. 29 Abs. 3 BV (bzw. Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK) hergeleiteten Rechtspflegeansprüchen mit freier Kognition, während es die Anwendung des betreffenden kantonalen Rechts nur unter dem beschränkten Gesichtswinkel des Willkürverbots prüft (BGE 120 Ia 179 E. 3 S. 180 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, dass sich aus dem Verfassungs- und Verfahrensrecht des Kantons Schwyz ein über Art. 29 Abs. 3 BV hinausgehender Anspruch ergibt. Somit ist die bundesrechtliche Minimalgarantie massgebend.
2.2 In jedem Fall ist das Bundesgericht an den Sachverhalt gebunden, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Von den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen kann es nur abweichen, wenn sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (BGE 133 II 249 E. 1.2.2. S. 252 mit Hinweisen) sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1), insbesondere auf der Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift (BGE 133 II 249, E. 1.4.3 S. 255). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22).
3. Infolge ihrer formellen Natur sind zunächst die erwähnten prozessualen Rügen (vgl. E. 2.) zu behandeln. Diese Rügen begründet die Beschwerdeführerin in erster Linie mit dem Vorwurf, das Kantonsgericht habe ihr zu Unrecht keine Gelegenheit gegeben, das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung, das sie im Rahmen ihrer Berufung vom 2. März 2009 gestellt hatte, zu ergänzen und zu verbessern. Sie macht geltend, nach ihrer Eingabe vom 24. Februar 2010 hätte ihr das Kantonsgericht zu diesem Zweck eine angemessene Nachfrist ansetzen müssen. Mangels Ansetzung einer solchen Nachfrist habe sie ihrer Mitwirkungspflicht nicht nachkommen können.
3.1 Nach Art. 29 Abs. 3 BV setzt der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege zunächst voraus, dass die Partei, die ihn geltend macht, nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (Art. 29 Abs. 3 BV), also bedürftig ist. Im Rahmen der Prüfung der Bedürftigkeit hat die entscheidende Behörde sämtliche Umstände im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung zu würdigen und der gesamten wirtschaftlichen Situation des Gesuchstellers Rechnung zu tragen. Zu diesem Zweck sind einerseits alle finanziellen Verpflichtungen des Gesuchstellers zu berücksichtigen und anderseits seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse zu prüfen. Allenfalls unbeholfene Rechtssuchende hat die Behörde auch auf die Angaben hinzuweisen, die sie zur Beurteilung des Gesuches benötigt. Grundsätzlich obliegt es aber dem Gesuchsteller, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen. Diesbezüglich trifft ihn eine umfassende Mitwirkungspflicht. An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation durch den Gesuchsteller selbst dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind. Verweigert ein Gesuchsteller die zur Beurteilung seiner aktuellen Gesamtsituation erforderlichen Angaben oder Belege, so kann die Behörde die Bedürftigkeit ohne Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs verneinen (BGE 120 Ia 179 E. 3a S. 181 f.). Insbesondere ist die mit dem Gesuch befasste Behörde weder verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen. Sie muss den Sachverhalt nur dort (weiter) abklären, wo noch Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, sei es, dass sie von einer Partei auf solche - wirkliche oder vermeintliche - Fehler hingewiesen wird, sei es, dass sie sie selbst feststellt (Urteil 5A_65/2009 vom 25. Februar 2009 E. 4.3 mit Hinweisen). Soweit die Beschwerdeführerin den Vorwurf erhebt, die Vorinstanz habe im Gesuchsverfahren die Untersuchungsmaxime verletzt, ist ihre Rüge von vorneherein unbegründet. Denn die in Art. 29 Abs. 3 BV enthaltene Vorschrift schreibt der Behörde, die mit einem Rechtspflegegesuch befasst ist, den Untersuchungsgrundsatz nicht vor (Urteil 5P.376/2003 vom 23. Dezember 2003 E. 2.4, in: Pra 2004 Nr. 110 S. 616, bestätigt in Urteil 5A_ 65/2009 vom 25. Februar 2009 E. 4.1 und Urteil 5A_668/2009 vom 25. November 2009 E. 4.2.4.2). Nachdem sich die Beschwerdeführerin allein auf die Minimalgarantie gemäss Art. 29 Abs. 3 BV beruft (E. 2.1), kann im vorliegenden Fall dahingestellt bleiben, ob sich aus dem Verfassungs- und Prozessrecht des Kantons Schwyz über die Vorgaben der Bundesverfassung hinaus eine Pflicht zur Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes ergibt.
3.2 Im Lichte der geschilderten Grundsätze ist der Vorinstanz entgegen den Behauptungen der Beschwerdeführerin keine überspitzt formalistische oder sonstwie unzulässige Vorgehensweise vorzuwerfen.
3.2.1 Unmittelbar nachdem die Beschwerdeführerin im Rahmen ihrer Berufung vom 2. März 2010 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt und ihre Bedürftigkeit mit einem blossen Verweis auf die vorinstanzlichen Akten begründet hatte, forderte die Kantonsgerichtsvizepräsidentin sie mit Verfügung vom 11. März 2009 unter Fristansetzung dazu auf, das Formular "Auskünfte zur Erlangung der unentgeltlichen Prozessführung" samt Beilagen einzureichen. Wie aus den tatsächlichen, für das Bundesgericht verbindlichen (E. 2.2) Feststellungen des Kantonsgerichts hervorgeht, reichte die Beschwerdeführerin das Formular zusammen mit einer Reihe von Belegen ohne weitere Ausführungen ein und begnügte sich im Übrigen mit der Bitte um eine entsprechende Rückmeldung für den Fall, dass weitere Abklärungen oder zusätzliche Unterlagen erforderlich sein sollten. In ähnlicher Weise verfuhr die Beschwerdeführerin, als die Kantonsgerichtsvizepräsidentin sie mit Verfügung vom 28. Januar 2010 ermahnte, Angaben zu den Einkommens- und Vermögensverhältnissen ihres Stiefvaters zu machen und ihr Gesuch mit entsprechenden Unterlagen zu belegen. Diese Aufforderung erfolgte ausdrücklich im Hinblick auf die Prüfung der ehelichen Beistandspflicht des Stiefvaters gegenüber der Mutter der Beschwerdeführerin; die Vorinstanz erklärte, diese Beistandspflicht gehe dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege vor. Wiederum stellte die Beschwerdeführerin dem Kantonsgericht zur Ergänzung des Gesuches rechtzeitig entsprechende Belege zu. Sie erläuterte ihre Bedürftigkeit anhand dieser Unterlagen jedoch nicht weiter. Vielmehr konzentrierte sie sich wie bereits in der Begründung des Gesuches auf Ausführungen darüber, weshalb das stiefväterliche Einkommen bei der Prüfung ihrer Prozessarmut nicht zu berücksichtigen sei, und bat die Kantonsgerichtsvizepräsidenten wiederum um entsprechende Mitteilung, falls weitere Abklärungen erforderlich sein sollten oder zusätzliche Unterlagen benötigt würden.
3.2.2 Wie die vorstehenden Ausführungen zeigen, hat das Kantonsgericht die Beschwerdeführerin im Laufe des Gesuchsverfahrens wiederholt aufgefordert, ihr Gesuch genauer zu begründen. Zu diesem Zweck hat die Kantonsgerichtsvizepräsidentin der Beschwerdeführerin unter Ansetzung einer Nachfrist zweimal Gelegenheit gegeben, ihre Bedürftigkeit darzutun und ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend und detailliert darzustellen. Obwohl die Beschwerdeführerin, nachdem sie durch einen Rechtsanwalt vertreten ist, nicht als unbeholfen gelten kann, hat die Vorinstanz sie ausserdem auch auf die Angaben hingewiesen, die sie zur Beurteilung ihres Gesuches benötigte, und sie insbesondere ermahnt, Angaben zur wirtschaftlichen Situation ihres Stiefvaters zu machen. Unter diesen Umständen ist die Vorgehensweise der Kantonsgerichtsvizepräsidentin nicht zu beanstanden. Vielmehr ist die Beschwerdeführerin ihrer Mitwirkungspflicht (E. 3.1) nicht ausreichend nachgekommen.
3.2.3 Die Beschwerdeführerin hat sich den Ermahnungen der Vorinstanz wiederholt mit der Begründung entzogen, die Rechtsauffassung der Vorinstanz sei unzutreffend, eine indirekte Beistandspflicht ihres Stiefvaters komme nicht in Frage und dessen Einkommen sei daher bei der Prüfung der Bedürftigkeit gar nicht zu berücksichtigen. Nachdem die Beschwerdeführerin zweimal zur Erfüllung ihrer Mitwirkungspflicht aufgefordert worden war, durfte sie spätestens seit ihrer Eingabe vom 24. Februar 2010 nicht mehr damit rechnen, dass die Kantonsgerichtsvizepräsidentin ihr eine weitere Nachfrist gewähren und ihr erneut Gelegenheit zur Verbesserung ihres Gesuches geben würde. In Anbetracht der Tatsache, dass die Beschwerdeführerin die Vorinstanz mit Schreiben vom 7. Januar 2010 selbst darum ersucht hatte, mittels einer separaten verfahrensleitenden Verfügung vorgängig über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu entscheiden, grenzt es an widersprüchliches Verhalten, wenn sie sich auch in dieser Phase des Gesuchsverfahrens mit der Anspruchsvoraussetzung der Bedürftigkeit nicht näher auseinandersetzt, sondern sich weiterhin mit einem Hinweis auf die "vorliegenden Unterlagen" und mit der Bitte begnügt, die instruierende Richterin möge sich wiederum an sie wenden, falls weitere Abklärungen notwendig sein sollten.
3.3 Das Kantonsgericht Schwyz hat auch nicht gegen Treu und Glauben verstossen, als es der Beschwerdeführerin nach ihrer Eingabe vom 24. Februar 2010 keine weitere Nachfrist ansetzte, sondern ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mittels eines Zwischenentscheides entschied.
3.3.1 Der in Art. 9 BV verankerte, für jedes staatliche Handeln geltende Grundsatz von Treu und Glauben verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten der Behörden, sofern sich dieses Verhalten auf eine konkrete, den betreffenden Bürger berührende Angelegenheit bezieht. Vorausgesetzt ist weiter, dass die Person, die sich auf Vertrauensschutz beruft, auf die Vertrauensgrundlage verlassen durfte und gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sie nicht mehr rückgängig machen kann. Schliesslich scheitert die Berufung auf Treu und Glauben dann, wenn ihr überwiegende öffentliche Interessen gegenüberstehen (BGE 129 I 161 E. 4.1 S. 170; Urteil 2C_762/2008 vom 8. Mai 2009 E. 2.2; je mit Hinweisen).
3.3.2 Für eine Berufung auf Vertrauensschutz fehlt es im vorliegenden Fall schon an einer genügenden Vertrauensgrundlage. Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint, hat ihr das Kantonsgericht weder durch ausdrückliche Zusicherungen noch durch sein sonstiges Verhalten die Gewährung einer weiteren Nachfrist in Aussicht gestellt. Insbesondere vermochte die in der Verfügung vom 28. Januar 2010 enthaltene Aufforderung, das Gesuch mit den Unterlagen betreffend die Einkommens- und Vermögensverhältnisse beider Eheleute sowie deren Bedarf zu belegen, keine Vertrauensgrundlage zu begründen. Nachdem die Beschwerdeführerin die Behauptungs- und Beweislast für ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse und damit für den Nachweis ihrer Bedürftigkeit trägt (E. 3.1), ist es verfehlt zu behaupten, die Kantonsgerichtsvizepräsidentin habe in dieser Verfügung die zur Beurteilung des Gesuches benötigten Dokumente nicht genau bezeichnet und dadurch eine Vertrauenslage geschaffen.
3.3.3 Von einer Zusicherung oder einem sonstwie vertrauenerweckenden Verhalten kann erst recht nicht die Rede sein, wenn man den ausdrücklichen Hinweis in den Verfügungen der Kantonsgerichtsvizepräsidentin vom 11. März 2009 und 28. Januar 2010 berücksichtigt, wonach "verspätete Eingaben sowie unrichtige oder unvollständige Angaben und/oder fehlende Belege ... zur Abweisung des Gesuchs führen" können. In Anbetracht dieser deutlichen Hinweise durfte sich die Beschwerdeführerin spätestens im Zeitpunkt ihrer Eingabe vom 24. Februar 2010 nicht mehr darauf verlassen, ein drittes Mal Gelegenheit zur Verbesserung ihres Gesuchs um unentgeltliche Prozessführung zu erhalten. An diesem Ergebnis ändert auch der Umstand nichts, dass die Beschwerdeführerin das Kantonsgericht in dieser Eingabe erneut um Rückmeldung ersuchte, falls dies zur Vervollständigung des Gesuches notwendig sein sollte. Weder handelt es sich hierbei um eine vertrauensbegründende Verhaltensweise der fraglichen Behörde, noch vermochte die Beschwerdeführerin dem Kantonsgericht Schwyz mit einem derartigen Ersuchen irgendwelche Zusicherungen abzuringen, aufgrund derer sie mit der Gewährung weiterer Nachfristen hätte rechnen dürfen. Nach dem Gesagten ist der Kantonsgerichtsvizepräsidentin unter dem Gesichtspunkt von Art. 9 BV kein verfassungswidriges Verhalten vorzuwerfen. Die entsprechende Rüge der Beschwerdeführerin ist unbegründet.
3.4 Die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin wirft dem Kantonsgericht Schwyz ausserdem vor, es habe sie hinsichtlich der Ansetzung einer Nachfrist gegenüber einer nicht anwaltlich vertretenen Prozesspartei strenger behandelt und benachteiligt. Damit habe das Kantonsgericht den verfassungsmässigen Grundsatz der Rechtsgleichheit (Art. 8 Abs. 1 BV) verletzt.
3.4.1 Auch diese Verfassungsrüge ist unbegründet. Die Kantonsgerichtsvizepräsidentin hat der Beschwerdeführerin zur Verbesserung ihres Gesuchs zweimal eine Nachfrist angesetzt, bevor sie mit Verfügung vom 13. April 2010 über das Gesuch entschied (E. 3.2.2). In den Verfügungen vom 11. März 2009 und 28. Januar 2010 hat sie der Beschwerdeführerin auch die Dokumente genannt, die sie zur Beurteilung des Gesuches benötigte. Die Kantonsgerichtsvizepräsidentin ist der Beschwerdeführerin im Laufe des Gesuchsverfahrens somit mehrfach entgegengekommen, obwohl diese anwaltlich vertreten war und deshalb nicht als unbeholfen gelten kann (E. 3.1 und 3.2.2). Der Vorwurf, die Vorinstanz habe mit Bezug auf die Gewährung von Nachfristen das in Art. 8 Abs. 1 BV verankerte Gleichheitsgebot verletzt und die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin gegenüber einer Prozesspartei ohne Anwalt benachteiligt, ist unter diesen Umständen haltlos - umso mehr, als die Beschwerdeführerin ihrer Mitwirkungspflicht selbst nicht nachgekommen ist (E. 3.2).
3.4.2 Ist der Vorinstanz unter dem Gesichtspunkt von Art. 8 Abs. 1 BV keine diskriminierende Verfahrensstrenge gegenüber der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin vorzuwerfen, so erübrigen sich nähere Erörterungen zum Argument der Beschwerdeführerin, ein strengerer Massstab sei im Falle einer anwaltlichen Vertretung nur soweit gerechtfertigt, als es um die Auseinandersetzung mit rechtlichen Fragen geht, nicht aber dann, wenn - wie im vorliegenden Fall - allein die Beibringung von Tatsachen in Frage steht.
3.5 Inwiefern die Vorinstanz im Gesuchsverfahren schliesslich den verfassungsmässigen Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt haben soll, legt die Beschwerdeführerin nicht einmal ansatzweise in einer Weise dar, die den Anforderungen an die Rügepflicht (E. 2.1) genügt. Soweit diesen Rügegrund betreffend kann das Bundesgericht somit nicht auf die Beschwerde eintreten.
4. Neben den vorstehend beurteilten Rügen formeller Natur (E. 3.) macht die Beschwerdeführerin in der Sache selbst geltend, das Kantonsgericht Schwyz habe ihren Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege verletzt.
4.1 Die Beschwerdeführerin erblickt die Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV darin, dass das Kantonsgericht gestützt auf die eheliche Beistandspflicht bei der Prüfung der Anspruchsvoraussetzung der Bedürftigkeit (E. 3.1) auch die Einkommens- und Vermögensverhältnisse ihres Stiefvaters berücksichtigen will. Dies erachtet die Beschwerdeführerin als unzulässig. Sie widerspricht der Ansicht der Vorinstanz, wonach die eheliche Beistandspflicht dem Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege vorgeht. Ihre gegenteilige Rechtsauffassung begründet die Beschwerdeführerin im Wesentlichen damit, der materielle Beistandsanspruch stehe lediglich dem leiblichen Elternteil, nicht aber dem Kind selbst zu. Weil sie als Stiefkind den Beistandsanspruch ihrer Mutter gegen ihren Stiefvater weder direkt geltend machen noch durchzusetzen könne, dürfe ihr dessen Einkommen und Vermögen auch bei der Prüfung der Bedürftigkeit nicht angerechnet werden.
4.2 Die von der Beschwerdeführerin aufgeworfene Frage, in welchem Verhältnis die eheliche Beistandspflicht eines Stiefelternteils zum Anspruch des Stiefkindes auf unentgeltliche Rechtspflege steht, kann indessen offen bleiben. Zwar hat die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid die Anspruchsvoraussetzung der Bedürftigkeit erläutert und in diesem Zusammenhang - wie bereits in ihrer Verfügung vom 28. Januar 2010 - ihre Rechtsauffassung zum Ausdruck gebracht, wonach die eheliche Beistandspflicht eines Stiefelternteils dem Rechtspflegeanspruch des Stiefkindes vorgehe. Auch führt die Vorinstanz aus, in Anbetracht von Ehe- und Familienverhältnissen, wie sie bei der Familie der Beschwerdeführerin vorlägen, sei nicht ersichtlich, weshalb die Beistandspflicht zur Mitfinanzierung der Prozesskosten der Beschwerdeführerin nicht zum Tragen kommen soll. Diese Erwägungen zur ehelichen Beistandspflicht sind jedoch nicht der Grund, weshalb das Kantonsgericht Schwyz das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege abwies. Ausschlaggebend für den Ausgang des Gesuchsverfahrens war vielmehr die Erkenntnis der Vorinstanz, dass die Beschwerdeführerin im Rahmen der Prüfung der Voraussetzungen des behaupteten Rechtspflegeanspruchs ihrer verfahrensrechtlichen Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen ist, weil sie sich mit der erstinstanzlichen Bedarfsberechnung nicht auseinandergesetzt, ihren eigenen Bedarf sowie denjenigen ihrer Mutter nicht in nachvollziehbarer Weise dargetan und auch zu den Einkommens- und Vermögensverhältnissen ihrer Mutter nur unvollständige Angaben gemacht hat. Gestützt auf diese Ausführungen zur Mitwirkungs- und Substanziierungspflicht kommt die Vorinstanz in Erwägung 4.b/ee der Verfügung vom 13. April 2010 zum Schluss, dass das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege "mangels rechtsgenüglichen Nachweises der Bedürftigkeit" abzuweisen ist.
In Erwägung 4.a des angefochtenen Entscheides, wo es um die Frage der Beistandspflicht geht, begnügt sich das Kantonsgericht Schwyz demgegenüber mit Ausführungen theoretischer Natur, aus denen es keine entscheidrelevanten Schlüsse zieht. Dazu war es auch nicht in der Lage, nachdem die Beschwerdeführerin ihre Pflicht zur Beibringung des Prozessstoffes offensichtlich vernachlässigte und stattdessen auf dem Standpunkt beharrte, die verlangten Beweismittel seien für die Beurteilung ihres Rechtspflegeanspruches nicht massgeblich, weil Einkommen und Vermögen ihres Stiefvaters bei der Prüfung ihrer Bedürftigkeit ohnehin nicht berücksichtigt werden dürften. Verweigert die Beschwerdeführerin aber unter Anrufung materiellrechtlicher Argumente die Erfüllung ihrer verfahrensrechtlichen Obliegenheiten, so hat sie nicht nur, wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, das Prozessrisiko zu tragen. Musste schon die Verletzung der prozeduralen Mitwirkungspflicht zur Abweisung ihres Rechtspflegegesuches führen, so hat sich die Beschwerdeführerin damit auch die Möglichkeit vergeben, vor Bundesgericht ihre materiellrechtlichen Argumente gegen die Abweisung ihres Gesuches vorzutragen. Ist nämlich die Frage, ob die eheliche Beistandspflicht des Stiefelternteils einer minderjährigen Prozesspartei deren Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege vorgeht, gar nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheides, so hat die Beschwerdeführerin auch kein rechtlich geschütztes Interesse daran, dass sich das Bundesgericht mit der betreffenden Frage auseinandersetzt. Auf die Rüge der Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV ist demzufolge nicht einzutreten.
5. 5.1 Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Von der Verurteilung zur Bezahlung einer Entschädigung ist im vorliegenden Fall abzusehen, da dem Beschwerdegegner durch das vorliegende Beschwerdeverfahren kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist. Auch der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegende Kanton erhält in der Regel keine Parteientschädigung zugesprochen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
5.2 Die Beschwerdeführerin stellt für das vorliegende Verfahren vor Bundesgericht das Begehren, zur Finanzierung ihrer Gerichts- und Anwaltskosten sei der Beschwerdegegner zur Bezahlung eines Kostenvorschusses zu verurteilen; eventuell sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Nachdem das Bundesgericht auf das Gesuch um Prozesskostenbevorschussung nicht eintreten kann (E. 1.4), bleibt lediglich das Eventualbegehren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zu beurteilen.
Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss der Prozess, den die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht gegen die vorinstanzliche Abweisung ihres Gesuchs um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Berufungsverfahren führt, als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden, so dass es für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege schon an der materiellen Voraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit gebricht (Art. 64 Abs. 1 BGG). Im Übrigen weist die Beschwerdeführerin auch ihre prozessuale Bedürftigkeit nicht rechtsgenüglich nach, wenn sie sich in ihrem Schriftsatz mit einem Verweis auf die vorinstanzlichen Akten begnügt und es unterlässt, ihre aktuellen Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend aufzuzeigen (E. 3.1). Das entsprechende Gesuch ist deshalb abzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Auf das Begehren der Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegner sei zur Bezahlung eines Vorschusses für ihre Gerichts- und Anwaltskosten zu verpflichten, wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn