Sachverhalt:
A. Am 1. Juni 2011 erstatte X._ Strafanzeige gegen Staatsanwalt Willy Zürcher wegen Amtsmissbrauchs etc. Er brachte sinngemäss vor, Willy Zürcher, damals noch Untersuchungsrichter, habe den Tod seiner Ehefrau im Kantonsspital Schaffhausen nicht hinreichend untersucht.
Mit Nichtanhandnahmeverfügung vom 9. Juni 2011 trat die Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) auf die Strafsache nicht ein. Sie befand, die in Frage stehenden Straftatbestände seien eindeutig nicht erfüllt.
Die von X._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen am 9. Dezember 2011 ab.
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem sinngemässen Antrag, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben.
C. Das Obergericht hat unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid auf Vernehmlassung verzichtet.
Die Staatsanwaltschaft beantragt unter Verzicht auf Gegenbemerkungen die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2 Gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde berechtigt, wer a) vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (...) und b) ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die Privatklägerschaft, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Ziff. 5).
Die Beschwerde muss auch hinsichtlich der Prozessvoraussetzungen hinreichend begründet werden (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Der Beschwerdeführer muss - wenn das nicht offensichtlich ist - insbesondere darlegen, inwiefern die Legitimationsvoraussetzungen gegeben sein sollen (BGE 134 II 120 E. 1 S. 121; 133 II 400 E. 2 S. 404; je mit Hinweisen).
Ein Eintreten kommt hier einzig gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG in Betracht. Nach der Rechtsprechung muss der Beschwerdeführer insoweit darlegen, welche Zivilansprüche er geltend machen will und inwiefern sich der angefochtene Entscheid auf deren Beurteilung auswirken soll (BGE 127 IV 185 E. 1a S. 187 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer äussert sich nicht zur Beschwerdelegitimation. Insbesondere sagt er nicht, welche Zivilansprüche er geltend machen will. Damit genügt er seiner Begründungspflicht nicht.
Inwiefern ihm Zivilansprüche zustehen sollen, ist auch nicht offensichtlich. Im Gegenteil ist davon auszugehen, dass er keine solchen hat. Er hat Strafanzeige gegen einen Staatsanwalt eingereicht. Gemäss Art. 3 Abs. 1 des Haftungsgesetzes vom 23. September 1985 des Kantons Schaffhausen (SHR 170.300) haftet der Staat für den Schaden, den ein Arbeitnehmer in Ausübung amtlicher Verrichtung einem Dritten widerrechtlich zufügt; dem Geschädigten steht gegen den Arbeitnehmer kein Anspruch zu. Der Beschwerdeführer hat somit allenfalls gegen den Kanton einen Anspruch aus Staatshaftung. Dabei handelt es sich um einen Anspruch öffentlich-rechtlicher Natur und keinen Zivilanspruch nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (BGE 128 IV 188 E. 2.2 S. 191; Urteil 6B_380/2007 vom 13. November 2007 E. 1; je mit Hinweisen).
Auf die Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden.
2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. April 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Härri