Sachverhalt:
A. M._ (geb. 1968) erhielt in der Zeit von September 1996 bis März 2001 von der Gemeinde Kriens wirtschaftliche Unterstützung. Nach der Heirat mit Dr. med. N._ im Januar 2002 arbeitete sie zunächst mit einem Pensum von 100 % und ab dem Jahre 2006 zu 50 % im Betrieb ihres Ehemannes. Dabei erzielte sie von 2002 bis 2004 ein jährliches Einkommen von rund Fr. 47'200.- und in den Jahren 2006 und 2007 ein solches von Fr. 24'260.-. Mit Verfügung vom 30. August 2006 forderte die Sozialabteilung des Sozialdepartements der Gemeinde Kriens M._ auf, die ausgerichtete wirtschaftliche Sozialhilfe in Höhe von Fr. 47'110.- innert 30 Tagen zurückzuerstatten. Die dagegen erhobene Einsprache wies der Gemeinderat Kriens mit Entscheid vom 20. Dezember 2007 (recte 2006) ab und ordnete die Rückerstattung in monatlichen Teilzahlungen ab Februar 2007 bis spätestens 31. Dezember 2008 an.
Das Gesundheits- und Sozialdepartement des Kantons Luzern wies die von M._ eingereichte Beschwerde mit Entscheid vom 23. September 2009 ab.
B. Diesen Entscheid zog M._ ans Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, abgaberechtliche Abteilung, weiter. Dieses hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 13. Januar 2011, soweit es darauf eintrat, in dem Sinne teilweise gut, als es M._ verpflichtete, die zwischen September 1996 und März 2001 bezogenen Leistungen der wirtschaftlichen Sozialhilfe im Betrag von Fr. 13'224.- in monatlichen Raten von je Fr. 275.- zurückzuerstatten.
C. Die Gemeinde Kriens führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und lässt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Rückweisung der Sache im Sinne der Erwägungen an das kantonale Gericht beantragen; eventuell sei M._ zu verpflichten, ihr Fr. 47'110.- zurückzuerstatten.
Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.
Erwägungen:
1. 1.1 Gestützt auf Art. 82 lit. a BGG beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht somit grundsätzlich auch auf dem Gebiet der kantonalen Sozialhilfe zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält dazu in Art. 83 keinen Ausschlussgrund.
1.2 Soweit sich die Beschwerdeführerin auf die Gemeindeautonomie (Art. 50 Abs. 1 BV; § 68 Abs. 2 KV/LU [SRL 1]) beruft, ist sie als Gemeinde gestützt auf die besondere Beschwerdebefugnis nach Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG grundsätzlich zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert, da sie die Verletzung von Garantien rügt, welche ihr die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt. Für das Eintreten ist allein entscheidend, dass die Gemeinde durch einen Akt in ihrer Eigenschaft als Trägerin hoheitlicher Gewalt berührt ist und eine Verletzung der Autonomie geltend macht. Ob die beanspruchte Autonomie tatsächlich besteht, ist hingegen keine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung. Dasselbe gilt für die Frage, ob die Autonomie im konkreten Fall tatsächlich verletzt worden ist (BGE 135 I 43 E. 1.2 S. 45 f.; 129 I 410 E. 1.1 S. 412; Urteil 8C_848/2010 vom 18. November 2010 E. 2.3). In Verbindung mit der Rüge der Verletzung ihrer Autonomie kann die Gemeinde auch eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend machen (BGE 131 I 91 E. 3.1 S. 95; ULRICH HÄFELIN/GEORG MÜLLER/FELIX UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl. 2010, Rz. 1475).
Die Beschwerdeführerin wird durch den angefochtenen Entscheid zur Reduktion des von ihr geltend gemachten Rückforderungsbetrages an geleisteter wirtschaftlicher Sozialhilfe verpflichtet und damit in ihrer Eigenschaft als Trägerin hoheitlicher Gewalt berührt. Sie ist daher legitimiert, wegen Verletzung der Gemeindeautonomie Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu führen.
2. 2.1 Art. 50 Abs. 1 BV gewährleistet die Gemeindeautonomie nach Massgabe des kantonalen Rechts. Nach der Rechtsprechung sind Gemeinden in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt. Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine solche nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (BGE 135 I 233 E. 2.2 S. 241 f.; 129 I 290 E. 2.1 S. 294; je mit Hinweisen).
2.2 Das Verwaltungsgericht hat seinen Entscheid auf § 37 Abs. 1 des Sozialhilfegesetzes vom 24. Oktober 1989 des Kantons Luzern (SHG; SRL Nr. 892) gestützt. Danach ist rechtmässig bezogene wirtschaftliche Sozialhilfe der Einwohnergemeinde, die sie gewährt hat, so weit zurückzuerstatten, als sich die finanzielle Lage des Hilfebedürftigen gebessert hat und ihm die Rückerstattung zumutbar ist. Bei der Auslegung der darin enthaltenen unbestimmten Rechtsbegriffe der Verbesserung der finanziellen Lage und der Zumutbarkeit des Rückerstattungsanspruchs verbleibt der Gemeinde ein gewisser Spielraum bei der Gesetzesanwendung auf die konkreten Verhältnisse, was zur Bejahung der Gemeindeautonomie genügt.
2.3 Mit der Autonomiebeschwerde kann sich die Gemeinde u.a. dagegen zur Wehr setzen, dass eine kantonale Behörde im Rechtsmittelverfahren ihre Prüfungsbefugnis überschreitet, die den betreffenden Sachbereich ordnenden kommunalen, kantonalen oder bundesrechtlichen Normen falsch anwendet oder ihnen zu Unrecht die Gefolgschaft verweigert. Die Gemeinden können in diesem Rahmen auch eine Verletzung des Willkürverbots oder des Rechtsgleichheitsgebots rügen, sofern diese Vorbringen mit der behaupteten Verletzung der Autonomie in engem Zusammenhang stehen (vgl. BGE 133 I 128 E. 3.1 S. 130 f.; 129 I 290 E. 2.1 S. 294, 313 E. 4.1, 410 E. 2.3; Urteil 8C_650/2009 vom 21. Januar 2010 E. 7.1).
3. Die Beschwerde hat gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Dies setzt voraus, dass sich die Beschwerdeführerin wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt (BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.). Dabei muss sie unter Bezugnahme auf die Begründung im angefochtenen Entscheid darlegen, worin die behauptete Verletzung besteht, bzw. inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Recht verstösst. Sie muss im Einzelnen aufzeigen, warum das betreffende Gesetz oder die jeweilige Norm verletzt sein soll, und sie muss sich mit den entscheidenden Erwägungen des angefochtenen Entscheids argumentativ auseinandersetzen. Appellatorische Kritik genügt nicht (LAURENT MERZ, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, N. 53 zu Art. 42 BGG). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insoweit, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Das kantonale Gericht habe sich im angefochtenen Entscheid nicht mit dem in der Vernehmlassung vorgebrachten Argument auseinandergesetzt, dass vom Einkommen auszugehen sei, das die ehemalige Sozialhilfebezügerin bei gutem Willen erzielen könne. Dieses entspreche dem Lohn, den sie in den Jahren 2002 bis 2005 bei Vollbeschäftigung verdient habe. Zum im vorinstanzlichen Verfahren einlässlich begründeten Aspekt einer rechtsmissbräuchlichen Reduktion des Arbeitspensums habe die Vorinstanz keine Erwägungen getroffen und daher die verfassungsmässige Begründungspflicht verletzt.
4.2 Das rechtliche Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 136 I 299 E. 5.2; 134 I 83 E. 4.1 S. 88; je mit Hinweisen).
4.3 Das Verwaltungsgericht hat bezüglich der Rückerstattung von Sozialhilfe im Sinne von § 37 Abs. 1 SHG erwogen, anders als gegebenenfalls im Rahmen der Ausrichtung von Sozialhilfe sei bei der Rückerstattung rechtmässig bezogener Sozialhilfe auf das tatsächlich erzielte und nicht auf ein höheres hypothetisches Einkommen abzustellen, das die von der geltend gemachten Rückerstattung betroffene Person bei gutem Willen erzielen könnte. Weiter hält das Verwaltungsgericht dafür, die Anrechnung eines (höheren) hypothetischen Einkommens im Zusammenhang mit der Rückerstattung rechtmässig bezogener Leistungen käme einer hoheitlichen Verpflichtung gleich, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Dafür fehle es jedoch an einer gesetzlichen Grundlage. Bei dieser Begründung bedurfte es keiner näheren Auseinandersetzung mit den Gründen, welche die Beschwerdegegnerin veranlasst haben, keiner vollzeitlichen Erwerbstätigkeit mehr nachzugehen. Der Einwand einer Verletzung des rechtlichen Gehörs erweist sich daher als unbegründet.
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin legt des Weitern unter Hinweis auf ihre Ausführungen im vorinstanzlichen Verfahren ausführlich dar, dass und weshalb das Verhalten der Beschwerdegegnerin ihrer Ansicht nach als rechtsmissbräuchlich zu betrachten sei. Sie begründet jedoch nicht, inwiefern die auf § 37 Abs. 1 SHG beruhende vorinstanzliche Beurteilung in rechtsverletzender oder willkürlicher Weise in ihren Ermessensspielraum eingreifen und damit ihre Autonomie verletzen soll. Auch macht sie nicht geltend, das Verwaltungsgericht habe im Zusammenhang mit der streitigen Rückerstattungspflicht die massgeblichen kantonalen Normen willkürlich ausgelegt und angewendet und aus diesem Grund die Gemeindeautonomie verletzt (vgl. E. 2.3 hievor). Vielmehr erschöpft sich die Beschwerde in einer unzulässigen appellatorischen Kritik (vgl. E. 3 vorstehend). Auf das Vorbringen eines rechtsmissbräuchlichen Verhaltens der Beschwerdegegnerin ist daher bereits mangels hinreichender Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des kantonalen Gerichts nicht einzutreten (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG).
5.2 Eine Überprüfung der Vorbringen der Beschwerdeführerin von Amtes wegen hat das Bundesgericht nicht vorzunehmen (Art. 105 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG), weshalb auch auf das Eventualbegehren nicht einzutreten ist.
6. Die Beschwerde erweist sich deshalb als unbegründet und ist abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG), da es um ihr Vermögensinteresse geht und sie sich folglich nicht auf Art. 66 Abs. 4 BGG berufen kann.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. April 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer