Sachverhalt:
A. A.a A._ und B._ (Beschwerdeführer) mieteten von C._ (Beschwerdegegner) ab dem 1. Oktober 2000 in der Liegenschaft D.i._ eine 5-Zimmer-Wohnung im 1. Stock, einen Abstellraum im Erdgeschoss und zwei Garagenplätze. Zusätzlich wurde unter anderem auch die Mitbenutzung der Garage, des Schwimmbades, des Fitnessraums sowie der Sauna vereinbart. Der Mietzins wurde auf Fr. 7'300.-- netto bzw. Fr. 8'200.-- brutto pro Monat angesetzt und ist indexiert. Mit amtlichem Formular vom 28. Oktober 2003 wurde der Mietzins per 1. Januar 2004 auf Fr. 7'472.-- netto bzw. Fr. 8'393.-- brutto pro Monat angehoben.
A.b Seit dem 6. September 2004 wird das an der Strasse D.i.i._ gelegene Hotel X._ umgebaut. Am 24. November 2004 sandten die Beschwerdeführer ein Schreiben "zur Kenntnisnahme" an den Beschwerdegegner. Darin hielten sie fest, dass seit Anfang der Bauarbeiten des Hotels X._ in und um ihre Mietwohnung unzumutbare Umstände herrschten. Sie würden täglich von 7:00 Uhr morgens bis spät abends, fast jeden Samstag und auch schon nachts, durch ständigen grossen Lärm gestört. Dazu kämen Schmutz und Staub, eine Verunstaltung der Umgebung und Aussicht sowie eine fragwürdige Sicherheit (die Baustelle werde nachts zum Spielplatz, auch Baumaterialien landeten auf der Strasse). Ausserdem seien die total verdreckten Zufahrtsstrassen zu ihrer Wohnung ständig mit Lastwagen versperrt.
Mit Schreiben vom 31. August 2005 teilte der damalige Rechtsvertreter von A._ dem Beschwerdegegner mit, seine Mandantschaft habe ihn darüber informiert, dass seit dem 6. September 2004 bis voraussichtlich Ende Dezember 2007 auf dem gegenüberliegenden Grundstück das Hotel X._ vollständig renoviert werde. Er habe sich selber durch einen Augenschein von den massiven Lärm- und Staubimmissionen überzeugt. Seine Mandantschaft habe den Beschwerdegegner bereits mit Schreiben vom 24. November 2004 darüber in Kenntnis gesetzt. Er müsse (auch) davon ausgehen, dass der Beschwerdegegner als im Quartier X._ wohnender Anlieger vom Beginn der Bauarbeiten am 6. September 2004 Kenntnis genommen habe. Die ARGE Hotel X._ habe die Anwohner mit Schreiben vom 2. September 2004 über die bevorstehenden Baumeisterarbeiten informiert.
A._ mache gegenüber dem Beschwerdegegner unter Berufung auf Art. 259d OR einen Herabsetzungsanspruch des Nettomietzinses von 80 % geltend, was bei einem Nettomietzins von Fr. 7'472.-- pro Monat einen Senkungsanspruch von Fr. 5'977.60 pro Monat ergebe. Demzufolge schulde der Beschwerdegegner bis Ende August 2005, beginnend ab September 2004, insgesamt Fr. 71'731.20, die bis spätestens 30. September 2005 auf das angegebene Konto einzuzahlen seien.
A.c Der Beschwerdegegner bestritt die geltend gemachten Ansprüche. A._ betrieb den Beschwerdegegner daraufhin mit Zahlungsbefehl vom 21. November 2005 über Fr. 71'731.20 nebst Zins zu 5 % seit 1. Oktober 2005, wogegen der Beschwerdegegner am 22. November 2005 Rechtsvorschlag erhob.
B. B.a Mit Eingabe vom 9. Dezember 2005 an die Schlichtungsbehörde des Bezirks Zürich leitete A._ gegen den Beschwerdegegner Klage ein. Der Beschwerdegegner liess der Schlichtungsbehörde in der Folge mitteilen, er habe der Hotel X._ AG (Bauherrin des Hotels X._) den Streit verkündet. Die Hotel X._ AG teilte der Schlichtungsbehörde daraufhin mit, dem Prozess als Nebenintervenientin beitreten zu wollen. Nachdem sich die Parteien in der Schlichtungsverhandlung nicht hatten einigen können, liess A._ die Klage fristgerecht an das Mietgericht Zürich prosequieren. Er beantragte, es sei der Beschwerdegegner zu verpflichten, den Mietzins von Fr. 7'472.-- monatlich beginnend ab September 2004 um 80 % pro Monat bis zur vollständigen Beendigung der Bauarbeiten herabzusetzen. Der Beschwerdegegner sei ferner zur Zahlung von Fr. 71'731.20 nebst 5 % Zins seit 1. Oktober 2005 zu verpflichten. Zudem sei im eingeleiteten Betreibungsverfahren der Rechtsvorschlag zu beseitigen.
Das Mietgericht Zürich wies die Klage mit Urteil vom 21. März 2007 ab.
B.a Im Berufungsverfahren liess das Obergericht den von den Beschwerdeführern beantragten Parteiwechsel zu und nahm beide Beschwerdeführer als Kläger ins Rubrum auf. Die von den Beschwerdeführern gegen das mietgerichtliche Urteil erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Zürich hingegen mit Entscheid vom 26. Oktober 2007 ab.
B.b Gegen das obergerichtliche Urteil erhoben die Beschwerdeführer am 5. Dezember 2007 Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich. Statt die Beschwerde zu begründen, beschränkten sich die Beschwerdeführer zunächst darauf, ein Gesuch um erstmalige Erstreckung der Frist zur Begründung der Beschwerde bis 4. Januar 2008 zu stellen. Mit Präsidialverfügung vom 6. Dezember 2007 wurde das Fristerstreckungsgesuch abgewiesen. Daraufhin stellten die Beschwerdeführer mit Datum vom 20. Dezember 2007 ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Begründung der Nichtigkeitsbeschwerde, dem sich sowohl der Beschwerdegegner als auch die Nebenintervenientin widersetzten. Mit Zirkulationsbeschluss vom 31. März 2008 wies das Kassationsgericht das Gesuch der Beschwerdeführer um Wiederherstellung der Frist zur Begründung der Nichtigkeitsbeschwerde ab und trat auf die Beschwerde mangels rechtsgenügender Begründung nicht ein.
Das Mietgericht Zürich wies die Klage mit Urteil vom 21. März 2007 ab.
B.a Im Berufungsverfahren liess das Obergericht den von den Beschwerdeführern beantragten Parteiwechsel zu und nahm beide Beschwerdeführer als Kläger ins Rubrum auf. Die von den Beschwerdeführern gegen das mietgerichtliche Urteil erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Zürich hingegen mit Entscheid vom 26. Oktober 2007 ab.
B.b Gegen das obergerichtliche Urteil erhoben die Beschwerdeführer am 5. Dezember 2007 Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht des Kantons Zürich. Statt die Beschwerde zu begründen, beschränkten sich die Beschwerdeführer zunächst darauf, ein Gesuch um erstmalige Erstreckung der Frist zur Begründung der Beschwerde bis 4. Januar 2008 zu stellen. Mit Präsidialverfügung vom 6. Dezember 2007 wurde das Fristerstreckungsgesuch abgewiesen. Daraufhin stellten die Beschwerdeführer mit Datum vom 20. Dezember 2007 ein Gesuch um Wiederherstellung der Frist zur Begründung der Nichtigkeitsbeschwerde, dem sich sowohl der Beschwerdegegner als auch die Nebenintervenientin widersetzten. Mit Zirkulationsbeschluss vom 31. März 2008 wies das Kassationsgericht das Gesuch der Beschwerdeführer um Wiederherstellung der Frist zur Begründung der Nichtigkeitsbeschwerde ab und trat auf die Beschwerde mangels rechtsgenügender Begründung nicht ein.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. Mai 2008 beantragen die Beschwerdeführer im Wesentlichen die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids vom 26. Oktober 2007 sowie die Gutheissung ihrer Klagebegehren, eventualiter die Rückweisung zur Neubeurteilung an das Obergericht.
Sowohl der Beschwerdegegner als auch die Nebenintervenientin schliessen auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Das Kassationsgericht weist in seiner Vernehmlassung darauf hin, dass die Beschwerdeführer einzig die Aufhebung des Beschlusses des Obergerichts vom 26. Oktober 2007 verlangen, während sie den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 31. März 2008 nicht anfechten, weshalb sich weitere Ausführungen zur Beschwerde erübrigten.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen (Art. 100 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde vom 8. Mai 2008 richtet sich einzig gegen den Entscheid des Obergerichts vom 26. Oktober 2007. Dieser wurde dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführer am 5. November 2007 zugestellt. Insoweit wäre die Rechtsmittelfrist abgelaufen.
1.1 Nach Art. 100 Abs. 6 BGG beginnt allerdings die Beschwerdefrist, wenn der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts mit einem Rechtsmittel, das nicht alle Rügen nach den Art. 95-98 BGG zulässt, bei einer zusätzlichen kantonalen Gerichtsinstanz angefochten worden ist, erst mit der Eröffnung des Entscheids dieser Instanz. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann unter dieser Voraussetzung auch das Urteil der oberen kantonalen Instanz angefochten werden, soweit im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen zulässige Rügen dem höchsten kantonalen Gericht nicht unterbreitet werden konnten (BGE 134 III 92 E. 1.1).
1.2 Art. 100 Abs. 6 BGG bezweckt, die vor Inkrafttreten des BGG bestehende Unzulänglichkeit zu beseitigen, gegebenenfalls gleichzeitig zwei Rechtsmittel erheben zu müssen, da unter der Herrschaft des bis Ende 2006 geltenden Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) das Ergreifen eines ausserordentlichen kantonalen Rechtsmittels keinen Einfluss auf die Berufungsfrist hatte. Die Bestimmung soll es dem Beschwerdeführer erlauben, mit der Anfechtung des Entscheids der oberen kantonalen Instanz bis zum Entscheid der zusätzlichen Rechtsmittelinstanz mit beschränkter Prüfungsbefugnis zuzuwarten. Dem Bestreben, gegebenenfalls unnütze Verfahren durch eine Gabelung des Rechtsmittelwegs zu vermeiden, wird die Bestimmung nur gerecht, wenn hinsichtlich des Fristenlaufs dem Gebot der Rechtssicherheit hohe Bedeutung beigemessen wird. Entsprechend sind Fälle, in denen Art. 100 Abs. 6 BGG trotz Weiterzug nicht zur Anwendung gelangt, mit Zurückhaltung anzunehmen (David Rüetschi, Wann gilt Art. 100 Abs. 6 BGG-, in: Anwaltsrevue 4/2008 S. 161). Zu denken ist neben dem Fall, in dem gegen den Entscheid des oberen kantonalen Gerichts nach kantonalem Prozessrecht für den Rechtssuchenden erkennbar gar kein Rechtsmittel an eine weitere kantonale Instanz mit beschränkter Kognition offen steht (BGE 134 III 92 E. 1) auch an die Konstellation, in der die Kassationsinstanz wegen zu spät ergriffener kantonaler Beschwerde auf diese nicht eintritt, da andernfalls der Rechtsweg an das Bundesgericht nachträglich wieder geöffnet würde, sowie an den offenbaren Rechtsmissbrauch (Rüetschi, a.a.O., S. 161).
1.3 Vorliegend steht ausser Frage, dass der Entscheid des Obergerichts nach dem anwendbaren kantonalen Zivilprozessrecht mit Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht angefochten werden konnte. Der Nichteintretensentscheid des Kassationsgerichts erfolgte demnach nicht etwa, weil das Rechtsmittel an sich nicht zulässig gewesen wäre (vgl. BGE 134 III 92 E. 1.4), sondern mangels rechtsgenügender Begründung der Beschwerde. Dass die Nichtigkeitsbeschwerde in rechtsmissbräuchlicher Weise einzig in der Absicht erhoben worden wäre, die Frist zur Einreichung der Beschwerde vor Bundesgericht hinauszuzögern, behaupten weder der Beschwerdegegner noch die Nebenintervenientin und lässt sich aus den gegebenen Umständen nicht ohne Weiteres schliessen. Die Beschwerde in Zivilsachen gegen den obergerichtlichen Entscheid wurde dem Bundesgericht daher fristgerecht eingereicht.
2. Damit ein kantonaler Entscheid mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden kann, muss der Instanzenzug im Kanton erschöpft sein (Art. 75 Abs. 1 BGG). Für Rügen, die mit der Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden können, darf kein kantonales Rechtsmittel mehr offen stehen (Klett, Basler Kommentar, N. 2 zu Art. 75 BGG). Wurde keine kantonale Nichtigkeitsbeschwerde erhoben oder trat das höchste kantonale Gericht darauf nicht ein, so ist daher auf Rügen, die mit diesem Rechtsmittel hätten vorgetragen werden können, mangels Letztinstanzlichkeit nicht einzutreten.
2.1 Die Beschwerdeführer haben gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 26. Oktober 2007 zwar Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht erhoben. Dieses trat auf die Beschwerde jedoch mangels rechtsgenügender Begründung nicht ein. Dennoch machen die Beschwerdeführer vor Bundesgericht verschiedentlich eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung sowie eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) und des Willkürverbots (Art. 9 BV) geltend. Zudem berufen sie sich auf zahlreiche Bestimmungen des kantonalen Zivilprozessrechts, wie etwa § 55, § 114 f., § 118, § 133, § 134 Abs. 1 Satz 2, § 141, § 188 und § 267 ZPO/ZH.
2.2 Diese von den Beschwerdeführern mit Beschwerde in Zivilsachen erhobenen Rügen hätten dem Kassationsgericht des Kantons Zürich nach § 281 ZPO/ZH mit Nichtigkeitsbeschwerde vorgetragen werden können (vgl. Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl., Zürich 1997, N. 16 ff. zu § 281 ZPO/ZH). Darauf kann im vorliegenden Beschwerdeverfahren mangels Letztinstanzlichkeit (Art. 75 Abs. 1 BGG) nicht eingetreten werden.
Im vorliegenden Fall sind die Beschwerdeführer demnach mit der mehrfach erhobenen Rüge ausgeschlossen, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, d.h. willkürliche tatsächliche Annahmen getroffen, den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt oder kantonale Verfahrensvorschriften unrichtig angewendet. Grundsätzlich zulässig ist dagegen ihre Rüge, das Obergericht habe bei der Sachverhaltsermittlung aus Art. 8 ZGB fliessende Beweisregeln verletzt.
3. 3.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 mit Hinweisen).
Eine hinreichende Begründung setzt voraus, dass in der Beschwerdeschrift in gedrängter Form dargelegt wird, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Dabei ist es unerlässlich, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. BGE 121 III 397 E. 2a S. 400; 116 II 745 E. 3 S. 749; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008, E. 1).
3.2 Diesen Anforderungen genügt die Beschwerde über weite Strecken nicht. Die Beschwerdeführer üben mehrfach Kritik am Entscheid des Mietgerichts anstatt am angefochtenen Urteil. Dabei machen sie unnötige Ausführungen zur Substantiierungspflicht und übersehen dabei, dass das Obergericht die Vorbringen der Beschwerdeführer, so insbesondere hinsichtlich der Lärm- und Staubimmissionen und der damit einhergehenden Beeinträchtigungen des Mietobjekts, im Gegensatz zum Mietgericht grösstenteils für rechtsgenügend substantiiert gehalten hat. Die Vorinstanz erachtete demgegenüber die Mehrzahl der von den Beschwerdeführern eingereichten Beweise bzw. vorgebrachten Beweisofferten als verspätet. Die einzigen rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweise (Gutachten eines Baufachmanns, Durchführung eines Augenscheins sowie eingereichte Fotografien) bezeichnete die Vorinstanz demgegenüber als untauglich, die von den Beschwerdeführern behaupteten massiven Lärm- und Staubimmissionen bzw. die Störung im Gebrauch des Mietobjekts zu beweisen. Auf die Erwägung des Obergerichts, in der es einzelne Vorbringen in Übereinstimmung mit dem Mietgericht tatsächlich als ungenügend substantiiert qualifizierte (Ende der Nachtruhe ab spätestens 7:00 Uhr, Störung durch Schlamm auf der Strasse sowie Versperren der Zufahrt zur Sammelgarage), gehen die Beschwerdeführer mit keinem Wort ein. Mangels hinreichender Begründung kann daher auch insoweit nicht auf die Beschwerde eingetreten werden.
4. Einzutreten ist einzig auf die Rüge der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe bei der Sachverhaltsermittlung aus Art. 8 ZGB fliessende Beweisregeln verletzt.
4.1 Die Beschwerdeführer bringen vor, die kantonalen Instanzen hätten den Beweis für die Lärm- und Staubimmissionen nicht abnehmen wollen, obwohl es ein Leichtes gewesen wäre, sich zum damaligen Prozesszeitpunkt von den Behauptungen der Kläger Gewissheit zu verschaffen. Die Vorinstanz habe ohne Würdigung der Beweise geschlossen, dass keine Mängel vorlägen.
4.2 Art. 8 ZGB gibt der beweispflichtigen Partei in allen Zivilstreitigkeiten einen bundesrechtlichen Anspruch darauf, für rechtserhebliche Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden (BGE 133 III 295 E. 7.1; 130 III 591 E. 5.4 S. 602; 129 III 18 E. 2.6), wenn ihr Beweisantrag nach Form und Inhalt den Vorschriften des kantonalen Rechts entspricht (BGE 133 III 295 E. 7.1; 129 III 18 E. 2.6; 114 II 289 E. 2a S. 290, je mit Hinweisen). Die allgemeine Beweisvorschrift ist daher insbesondere verletzt, wenn das kantonale Gericht Behauptungen einer Partei, unbekümmert darum, dass sie von der Gegenpartei bestritten worden sind, als richtig hinnimmt, oder über rechtserhebliche Tatsachen überhaupt nicht Beweis führen lässt (BGE 133 III 295 E. 7.1; 130 III 591 E. 5.4 S. 602). Art. 8 ZGB wird auch verletzt, wenn der Richter taugliche und formgültig beantragte Beweise zu rechtserheblichen Tatsachen nicht abnimmt, obwohl er die Sachvorbringen dazu weder als erstellt noch als widerlegt erachtet. Wo der Richter dagegen in Würdigung von Beweisen zur Überzeugung gelangt, eine Tatsachenbehauptung sei bewiesen oder widerlegt, ist die Beweislastverteilung gegenstandslos und liegt Beweiswürdigung vor, die bundesrechtlich nicht geregelt ist, auch nicht durch Art. 8 ZGB. Diese Bestimmung schreibt dem Richter nicht vor, mit welchen Mitteln der Sachverhalt abzuklären und wie das Ergebnis zu würdigen ist. Bundesrechtlich ist auch eine antizipierte Beweiswürdigung nicht ausgeschlossen. Es bleibt dem Sachgericht daher unbenommen, von beantragten Beweiserhebungen deshalb abzusehen, weil es sie zum vornherein nicht für geeignet hält, die behaupteten Tatsachen zu beweisen, oder weil es seine Überzeugung bereits aus anderen Beweisen gewonnen hat und davon ausgeht, dass weitere Abklärungen am massgeblichen Beweisergebnis nichts mehr zu ändern vermöchten (BGE 122 III 219 E. 3c S. 223 f. mit zahlreichen Hinweisen).
4.3 Eine Verletzung von Art. 8 ZGB ist vorliegend nicht ersichtlich. Der aus dieser Bestimmung fliessende Beweisführungsanspruch setzt nämlich voraus, dass die beweisbelastete Partei ihre Beweisanträge im kantonalen Verfahren form- und fristgerecht gestellt hat. Wie bereits erwähnt, hat die Vorinstanz verschiedene von den Beschwerdeführern eingereichte Beweise bzw. vorgebrachte Beweisofferten in Anwendung der kantonalen Zivilprozessordnung als verspätet erachtet. Damit lässt sich aus Art. 8 ZGB nichts zu Gunsten der Beschwerdeführer ableiten. Soweit sie sich darauf berufen, ihre Beweisanträge hätten nicht als verspätet zurückgewiesen werden dürfen, so beschlägt dies die Anwendung des kantonalen Zivilprozessrechts, dessen Verletzung mit der Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht zu rügen gewesen wäre (siehe vorn E. 2).
4.4 Wie die Beschwerdeführer zutreffend ausführen, ist zudem unter dem Blickwinkel von Art. 8 ZGB auch eine antizipierte Beweiswürdigung nicht ausgeschlossen. Eine solche hat die Vorinstanz jedoch vorgenommen, als sie den von den Beschwerdeführern fristgerecht angebotenen Beweisen (Gutachten eines Baufachmanns, Durchführung eines Augenscheins sowie eingereichte Fotografien) die Tauglichkeit absprach, die von den Beschwerdeführern behaupteten massiven Lärm- und Staubimmissionen bzw. die Störung im Gebrauch des Mietobjekts zu beweisen. Die vorgebrachte Rüge, die Vorinstanz habe ohne Würdigung der Beweise angenommen, es lägen keine Mängel vor, ist daher unzutreffend.
5. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer unter solidarischer Haftbarkeit kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 sowie Art. 68 Abs. 2 und 4 BGG).
Die Nebenintervenientin, welche die Abweisung der Beschwerde unter Kosten- und Entschädigungsfolgen beantragte, obsiegt mit dem Beschwerdegegner. Das Bundesgericht befindet nach seinem Ermessen über die Berücksichtigung der Nebenintervenienten im Kosten- und Entschädigungspunkt (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 69 Abs. 2 BZP). Der Nebenintervention wie auch der Streitverkündung liegt ein Rechtsverhältnis zwischen der unterstützten Hauptpartei und der Nebenpartei zu Grunde, an welchem der Prozessgegner nicht beteiligt ist. Mit ihrer Teilnahme am Prozess nimmt die Nebenpartei Interessen wahr, die in diesem Rechtsverhältnis und nicht in einem Rechtsverhältnis zwischen ihr und dem Prozessgegner begründet sind. Es rechtfertigt sich daher grundsätzlich nicht, der Nebenpartei einen Anspruch gegenüber dem Prozessgegner auf Ersatz ihrer Parteikosten einzuräumen (Max Guldener, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl., Zürich 1979, S. 408). Das Bundesgericht spricht deshalb der Nebenpartei im Allgemeinen keine Parteientschädigung zu, es sei denn, es bestünden Gründe der Billigkeit (vgl. BGE 130 III 571 E. 6). Solche Gründe sind im vorliegenden Fall nicht ersichtlich und werden von der Nebenintervenientin auch nicht geltend gemacht. Ihr ist folglich keine Parteientschädigung zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Nebenintervenientin, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. August 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann