Sachverhalt:
A. A.a Die 1954 geborene V._ war als Coiffeuse in der Firma G._ SA tätig und dadurch bei der "Altstadt Versicherungen" (nachfolgend: Altstadt) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 28. August 1995 wurde sie als Fussgängerin auf einem Fussgängerstreifen von einem Motorrad angefahren, fiel und prallte mit dem Hinterkopf auf die Strasse. Die Altstadt gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 23. Januar 1997 eröffnete sie der Versicherten, die dem Taggeldanspruch zugrunde zu legende Arbeitsunfähigkeit werde bis 31. Oktober 1996 auf 100 %, danach bis 31. Januar 1997 auf 50 % und anschliessend bis 31. März 1997 auf 25 % festgesetzt. Hernach bestehe kein Leistungsanspruch mehr. Den dies bestätigenden Einspracheentscheid der "Zürich Versicherungs-Gesellschaft" (nachfolgend: Zürich), als Rechtsnachfolgerin der Altstadt, vom 18. September 1997 hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 24. August 2000 auf und wies die Sache zu ergänzenden medizinischen Abklärungen an den Versicherer zurück. Nach Sachverhaltsergänzungen hielt die Zürich mit Verfügung vom 14. Januar 2005 und Einspracheentscheid vom 22. September 2005 an der Leistungseinstellung auf den 31. März 1997 fest. Die von der Versicherten hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 18. Dezember 2005 gut, soweit es darauf eintrat, und wies die Sache an die Zürich zurück, damit diese über die Leistungsberechtigung im Sinne der Erwägungen verfüge. Die Zürich ordnete in der Folge eine Prüfung des funktionellen Leistungsvermögens (EFL) an. V._ widersetzte sich dieser Abklärungsmassnahme. Hierauf veranlasste die Zürich eine Überwachung der Versicherten durch Privatdetektive, über welche ihr am 31. Oktober 2006 Bericht (mit beigelegten Videoaufnahmen) erstattet wurde. Die Zürich teilte V._ in der Folge mit, aufgrund des Ergebnisses der Überwachung und der Weigerung, an einer EFL-Prüfung mitzuwirken, seien die bisherigen medizinischen Abklärungsergebnisse deutlich in Frage gestellt. Es sei eine neurologische Abklärung vorzunehmen. Die Versicherte lehnte ab, daran mitzuwirken. Mit Verfügung vom 2. März 2007 wies die Zürich ein Gesuch der V._, die Überwachungsunterlagen seien aus den Akten zu entfernen, ab und verneinte erneut einen weiteren Leistungsanspruch. Die Versicherte erhob Einsprache. Die Zürich holte hierauf ein neurologisches Aktengutachten vom 12. April 2007 ein. Mit Entscheid vom 10. April 2008 hiess sie die Einsprache teilweise gut und sprach der Versicherten bis 22. September 2005 Taggeld auf der Basis einer Arbeitsunfähigkeit von 10 %, ab 23. September 2005 eine Invalidenrente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 10 % sowie eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage eines Integritätsschadens von 10 % zu. Im Übrigen hielt die Zürich an der Verfügung vom 2. März 2007 fest.
A.b Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach V._ mit Verfügungen vom 21. März 2000 rückwirkend ab 1. August 1996 eine ganze Rente der Invalidenversicherung bei einem Invaliditätsgrad von 100 % zu. Am 22. Januar 2008 verfügte die IV-Stelle, die Rente sei mit sofortiger Wirkung zu sistieren. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hob diese Verfügung auf Beschwerde der Versicherten hin mit Entscheid vom 28. Mai 2008 auf.
B. Die von V._ gegen den Einspracheentscheid der Zürich vom 10. April 2008 eingereichte Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gut, hob den Einspracheentscheid auf und stellte fest, die Versicherte habe "vom 1. November 1996 bis 31. Oktober 2002 Anspruch auf Taggelder aufgrund einer 100 %igen Arbeitsunfähigkeit und ab 1. November 2002 zuzüglich Verzugszins von 5 % ab 1. Januar 2003 bzw. ab Eintritt der Verzugszinspflicht im Sinne von Art. 26 Abs. 2 ATSG, Anspruch auf eine Invalidenrente aufgrund einer 100 %igen Invalidität sowie auf eine Integritätsentschädigung aufgrund einer Integritätseinbusse von 70 %" (Entscheid vom 29. Mai 2009).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die Zürich beantragen, es sei der kantonale Entscheid vom 29. Mai 2009 aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 10. April 2008 zu bestätigen.
V._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Verfügung des Bundesgerichts vom 1. Oktober 2009 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Rechtsgrundlagen für den streitigen Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung sind in den bisher ergangenen Entscheiden zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Das kantonale Gericht hat im rechtskräftigen Entscheid vom 28. Dezember 2005 erkannt, dass zwar keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge, aber natürlich und adäquat kausal auf den Unfall vom 28. August 1995 zurückzuführende Beschwerden vorliegen. Dies wurde in der Folge nicht in Frage gestellt. Auch die Zürich geht nunmehr ebenfalls davon aus, dass aufgrund der vom kantonalen Gericht festgestellten Unfallfolgen ein Anspruch auf Taggeld (über den ursprünglich verfügten Zeitpunkt hinaus) sowie auf eine daran anschliessende Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung besteht. Streitig und zu prüfen ist die konkrete Festsetzung dieser Leistungen.
4. Die Zürich hat im Einspracheentscheid vom 10. April 2008 bis 22. September 2005 Taggeld auf der Basis einer Arbeitsunfähigkeit von 10 % und ab 23. September 2005 eine Invalidenrente entsprechend einem Invaliditätsgrad von 10 % sowie eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage eines Integritätsschadens von 10 % zugesprochen. Zur Begründung führte der Unfallversicherer aus, er sei aufgrund des kantonalen Entscheids vom 28. Dezember 2005 gehalten gewesen, die Leistungsberechtigung zu prüfen. Da sich die Versicherte aber der notwendigen Begutachtung mittels EFL widersetzt habe, sei eine Observation angeordnet worden. Nach Vorliegen des Überwachungsberichts vom 31. Oktober 2006 sei eine neurologische Begutachtung angeordnet worden. Die Versicherte habe ihre Mitwirkung hieran verweigert, weshalb das Aktengutachten des Dr. med. H._, Facharzt Neurologie FMH, vom 12. April 2007 eingeholt worden sei. Gestützt auf den Überwachungsbericht vom 31. Oktober 2006 und das Aktengutachten sei davon auszugehen, dass die invaliditätsrelevante dauernde berufliche Einschränkung bei maximal 10 % liege. Die Integritätseinbusse sei gemäss Dr. med. H._ sehr klein. Aufgrund des auch im Aktengutachten des Dr. med. M._, Facharzt FMH für Neurologie, vom 11. Juni 2005 beschriebenen Cervicalsyndroms sei sie auf 10 % anzusetzen.
Das kantonale Gericht hat im hier angefochtenen Entscheid erwogen, es habe im Entscheid vom 28. Dezember 2005 in verbindlicher Weise befunden, dass aufgrund der unfallkausalen Beschwerden eine volle Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit bestehe. Davon hätte die Zürich im Rahmen der an sie erfolgten Rückweisung ausgehen und die Taggeld- und Rentenleistungen entsprechend festsetzen müssen. Ein Abklärungsbedarf habe diesbezüglich nicht mehr bestanden, sondern nur noch zur Bestimmung des medizinischen Endzustands - als zeitlicher Abgrenzungsfaktor zwischen Taggeld und Invalidenrente - und allenfalls der Integritätseinbusse. Die Anordnung der EFL sei weder notwendig noch zumutbar gewesen. Die fehlende Kooperation der Versicherten sei daher entschuldbar. Was die erfolgte Überwachung betreffe, mangle es schon an einer gesetzlichen Grundlage für die Anordnung einer solchen Abklärungsmassnahme. Auf die Observationsakten dürfe daher nicht abgestellt werden. Gleiches gelte für das Aktengutachten des Dr. med. H._, zumal sich dieser auch auf den Überwachungsbericht vom 31. Oktober 2006 stütze.
Die Beschwerde führende Zürich verneint eine für sie verbindliche Festsetzung der Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit im kantonalen Entscheid vom 28. Dezember 2005. Sie bejaht sodann die Zulässigkeit und den Beweiswert des Überwachungsberichts und des Aktengutachtens H._ und hält an den im Einspracheentscheid vom 10. April 2008 festgesetzten Leistungen fest.
5. Rechtsprechungsgemäss nehmen die Erwägungen in einem Rückweisungsentscheid, auf welche in dessen Dispositiv verwiesen wird, bei Nichtanfechtung an der formellen Rechtskraft des Entscheids teil und sind für die Behörde, an die zurückgewiesen wird, verbindlich (Urteil 9C_703/2009 vom 30. Oktober 2010 E. 2.2 mit Hinweisen).
Der kantonale Entscheid vom 28. Dezember 2005 verweist zwar im Dispositiv auf die Erwägungen. In den Entscheidsmotiven wird aber einzig bei der Prüfung der für die Frage der adäquaten Unfallkausalität relevanten Zusatzkriterien auf die Arbeitsfähigkeit Bezug genommen. Konkret wird ausgeführt, es sei nunmehr davon auszugehen, dass die Versicherte seit dem Unfall über keine in der freien Wirtschaft verwertbare Arbeitsfähigkeit mehr verfüge. Es fragt sich, ob damit auch in für den Unfallversicherer verbindlicher Weise bestimmt werden sollte, dem Taggeld- und Rentenanspruch sei eine volle Arbeits- resp. Erwerbsunfähigkeit zugrunde zu legen.
Abschliessend braucht dies aber nicht beantwortet zu werden. Denn es handelt sich dabei ohnehin um einen Teilaspekt des Streitgegenstandes, welcher in der Regel der Rechtskraft nicht zugänglich ist (BGE 125 V 413 E. 2b und c S. 416). Zudem steht die Rechtskraftwirkung - und damit Verbindlichkeit - des Rückweisungsentscheids immer unter dem Vorbehalt, dass sich nicht aus dem Rückweisungsverfahren neue Tatsachen oder Beweismittel im Sinne der prozessualen Revision ergeben, welche die sachverhaltliche Grundlage des Rückweisungsurteils erschüttern (vgl. Ulrich Meyer, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N 18 zu Art. 107). Das gilt - als Ausfluss von Art. 61 lit. i ATSG - auch bei einem kantonalen Rückweisungsentscheid.
Als solche Beweismittel macht der Unfallversicherer vorliegend die Ergebnisse (Bericht und Video) der angeordneten Überwachung und konsekutiv das Aktengutachten H._ geltend. Es gilt vorab, die - vom kantonalen Gericht verneinte - Zulässigkeit der erfolgten Abklärungen zu prüfen.
6. 6.1 Die Vorinstanz hat die Zulässigkeit der Observation durch Privatdetektive zunächst mit der Begründung verneint, es fehle eine rechtliche Grundlage für eine solche Abklärungsmassnahme.
Das Bundesgericht hat sich kürzlich damit auseinandergesetzt, ob eine solche Überwachung rechtens ist und ihre Ergebnisse als Beweismittel verwertbar sind. Es hat dies, unter bestimmten Rahmenbedingungen, bejaht (BGE 135 I 169). Diese Rahmenbedingungen (vgl. BGE 135 I 169 E. 4.3 S. 171 in Verbindung mit E. 5.7 S. 175) wurden bei der hier erfolgten Observation eingehalten. Diese ist daher insofern rechtmässig erfolgt.
6.2 Das kantonale Gericht hat sodann erwogen, der Unfallversicherer hätte nach dem Entscheid vom 28. Dezember 2005 überhaupt keine ergänzenden Abklärungen mehr zum Taggeld- und Rentenanspruch treffen dürfen. Zugleich anerkennt es aber, dass nach seinem besagten Entscheid noch Raum für Abklärungen zum Zeitpunkt des Übergangs vom Taggeld- zum Rentenanspruch und allenfalls auch zum Anspruch auf eine Integritätsentschädigung bestand. Hinzu kommt, dass im Entscheid vom 28. Dezember 2005 ausdrücklich - und richtigerweise (vgl. BGE 129 V 167 E. 1 S. 169 mit Hinweis) - nur der Sachverhalt beurteilt wurde, welcher sich bis zum Erlass des damals streitigen Einspracheentscheids vom 22. September 2005 verwirklicht hatte. Der Unfallversicherer hatte nun aber in seiner neuen Verfügung und - bei deren Anfechtung - dem darauf folgenden Einspracheentscheid auch den bis dahin eingetretenen Sachverhalt zu berücksichtigen (nochmals BGE 129 V 167 E. 1 S. 169 mit Hinweis) und die hiezu erforderlichen Abklärungsmassnahmen zu treffen. Bei dieser Ausgangslage können die von der Zürich getroffenen Beweisergänzungen (Observation und Aktengutachten) entgegen dem hier angefochtenen Entscheid nicht als unzulässig betrachtet werden.
6.3 Daraus folgt überdies, dass Erkenntnisse aus diesen Abklärungsmassnahmen ohne Weiteres auch als Grundlage dafür dienen können, im kantonalen Entscheid vom 28. Dezember 2005 getroffene Feststellungen zur Arbeits- und Erwerbsfähigkeit im Sinne einer prozessualen Revision zu widerlegen.
7. Die Vorinstanz ging im Entscheid vom 28. Dezember 2005 - wie dargelegt im Zusammenhang mit der Adäquanzprüfung - davon aus, die Versicherte verfüge aufgrund der als unfallkausal betrachteten Beschwerden über keine in der freien Wirtschaft verwertbare Arbeitsfähigkeit mehr. Sie begründete dies mit neuropsychologischen und verhaltensneurologischen Defiziten, einer Wesensveränderung sowie Kopf- und Nackenschmerzen. Dabei stützte sie sich namentlich auch auf das Gutachten des Dr. med. O._, Facharzt FMH für Neurologie, vom 11. November 2002, und das Aktengutachten des Dr. med. A._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 5. Oktober 2003. In der erstgenannten Expertise wird u.a. ausgeführt, die Versicherte könne keine Arbeiten über Kopf und über der Horizontalen vornehmen und sei in der Feinmotorik behindert. Im Aktengutachten des Dr. med. A._ wird auf eine erhebliche Persönlichkeitsveränderung geschlossen, welche so ausgeprägt sei, dass die Versicherte nie mehr einer Erwerbstätigkeit werde nachgehen können.
Dem Überwachungsbericht vom 31. Oktober 2006 lässt sich - durch Foto- und Videoaufnahmen untermauert - unter anderem entnehmen, dass sich die Versicherte bei der mehrtägigen Observation im Oktober 2006 ausser Hause zu Fuss fortbewegte, einen Hund ausführte, verschiedentlich ein Auto über teils erhebliche Distanzen steuerte, einkaufte, hiebei mit einer Einkaufs- und ihrer Handtasche hantierte und - mit einer Überkopfbewegung - den Kofferraumdeckel des Autos schloss. Dies alles geschah ohne erkennbare Einschränkungen und ohne Unterstützung anderer Personen. Es sind zudem keine Anhaltspunkte dafür zu verzeichnen, dass sich die Versicherte bei diesen Verrichtungen, namentlich auch beim Einkauf, in irgendeiner Weise psychisch oder sozial auffällig verhielt.
Diese Observationsergebnisse lassen sich nur schwer vereinbaren mit einer vollen Arbeitsunfähigkeit in der angestammten Tätigkeit einer Coiffeuse und in Verweisungstätigkeiten. Soweit die Vorinstanz im Entscheid vom 28. Dezember 2005 Feststellungen zur Arbeitsfähigkeit traf, werden diese daher zweifellos in Frage gestellt. Das bedingt eine Neubeurteilung der Arbeits- (und Erwerbs-)fähigkeit.
8. Das kantonale Gericht hat im Entscheid vom 29. Mai 2009 keine solche Neubeurteilung vorgenommen, sondern auf den vorangegangenen Entscheid vom 28. Dezember 2005 abgestellt und sich im Übrigen darauf beschränkt, eine seither eingetretene Veränderung zu verneinen. Die im besagten Entscheid enthaltenen Erwägungen sind indessen wie dargelegt, in Frage gestellt. Das gilt auch für die medizinischen Akten, auf welche sich die Vorinstanz gestützt hatte.
8.1 Es fragt sich, ob die unfallbedingte Arbeitsunfähigkeit aufgrund der bis zur Observation vorgelegenen medizinischen Akten überhaupt verlässlich beurteilt werden kann. Die Zürich hat dies verneint. In der Tat widersprechen sich die besagten ärztlichen Berichte und Gutachten in verschiedenen Punkten. Namentlich wird in sehr unterschiedlicher Weise beurteilt, inwieweit die Arbeitsfähigkeit durch unfallbedingte Beschwerden beeinträchtigt ist. Die Arztberichte, welche eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigen und auf welche das kantonale Gericht abgestellt hat, stellen aufgrund der bereits dargelegten Umstände keine verlässliche Beurteilungsgrundlage dar. Aber auch diejenigen medizinischen Unterlagen, welche von einer - zumeist deutlich - geringeren Einschränkung ausgehen, vermögen in Anbetracht der insgesamt bestehenden Widersprüchlichkeiten nicht abschliessend zu überzeugen, zumal sie keine umfassende Würdigung der gesamten Aktenlage beinhalten. Die Beschwerdeführerin ist daher zu Recht zum Ergebnis gelangt, es seien weitere Abklärungen erforderlich.
8.2 Die vom Unfallversicherer hierauf eingeleitete neurologische Begutachtung konnte nicht durchgeführt werden, da sich die Beschwerdegegnerin einer solchen Abklärungsmassnahme widersetzte. Sie tat dies auch erneut bezüglich der schon vor der Überwachung von der Zürich initiierten - und aufgrund der Umstände durchaus zweckmässig erscheinenden - EFL.
Die Beschwerdeführerin holte hierauf das Gutachten des Dr. med. H._ vom 12. April 2007 ein. Der Experte kommt darin zum Ergebnis, nach dem Unfall vom 28. August 1995 habe anfänglich eine volle Arbeitsunfähigkeit bestanden, welche aber zwischenzeitlich auf (höchstens) 10 % gesunken sei und in posttraumatischen Kopfschmerzen begründet liege. Diese Einschränkung gelte für den angestammten Beruf einer Coiffeuse und für Verweisungstätigkeiten.
8.3 Das kantonale Gericht hat die Expertise des Dr. med. H._ in grundsätzlicher Hinsicht verworfen, weil der Neurologe unter Mitberücksichtigung der Überwachungsergebnisse Stellung genommen hat.
Dass Dr. med. H._ die Observationsunterlagen in seine Beurteilung mit einbezogen hat, war indessen nach dem zuvor Gesagten zulässig und auch angezeigt.
Zu beachten ist sodann, dass der Neurologe die Versicherte nicht persönlich untersucht, sondern einzig aufgrund der Akten Bericht erstattet hat. Er würdigt die medizinischen Vorakten aber einlässlich, legt nachvollziehbar dar, weshalb er bestimmte der darin enthaltenen ärztlichen Aussagen für nicht begründet hält, und begründet seine Schlussfolgerungen in überzeugender Art. Das gilt namentlich auch, soweit er das Vorliegen eines unfallbedingten Frontalhirnsyndroms, von welchem die Dres. med. O._ und A._ - ohne organischen Nachweis einer solchen Schädigung - ausgegangen sind, verneint. Dr. med. H._ trägt dabei auch den Überwachungsergebnissen gebührend Rechnung. Es kann daher mit dem Unfallversicherer auf das Aktengutachten abgestellt werden, zumal unwahrscheinlich ist, dass weitere medizinische Abklärungen, welchen sich die Versicherte im Übrigen ausdrücklich widersetzt hat, verlässlich einen höheren Grad der unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit ergeben würden.
9. Die Zürich ist sodann zum Ergebnis gelangt, der Taggeldanspruch nach Massgabe der unfallbedingten 10 %igen Arbeitsunfähigkeit bestehe bis 22. September 2005. Ab 23. September 2005 sei aufgrund der erwerblichen Auswirkungen der gleich bleibenden Einschränkung des Leistungsvermögens ein Anspruch auf eine Rente nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von 10 % gegeben. Zudem sei eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage der im Gutachten des Dr. med. H._ vom 12. April 2007, wie bereits in der Expertise des Dr. med. M._ vom 11. Juni 2005, bestätigten Integritätseinbusse von 10 % auszurichten.
Weder dem vorinstanzlichen Entscheid noch den Parteivorbringen oder den Akten lassen sich Anhaltspunkte entnehmen, welche höhere Leistungen zu begründen vermöchten. Diesbezüglich ist die Beschwerde des Versicherers demnach gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben.
10. Im vorinstanzlichen Entscheid vom 29. Mai 2009 wurde auch Verzugszins auf den Taggeld- und Rentenleistungen ab 1. Januar 2003 resp. ab Eintritt der Verzugszinspflicht im Sinne von Art. 26 Abs. 2 ATSG zugesprochen. Der Versicherer verneint einen Anspruch auf Verzugszins mit der Begründung, die Beschwerdegegnerin habe kontinuierlich ihre Mitwirkungspflicht verletzt. Nach Lage der Akten ist indessen für die Verfahrensverzögerungen nicht alleine die Versicherte, sondern auch die Zürich verantwortlich zu machen und rechtfertigt das Verhalten der Beschwerdegegnerin nicht, von Verzugszins abzusehen. Die Zürich hat daher auf den nunmehr endgültig zugesprochenen Taggeld- und Rentenleistungen Verzugszins gemäss der gesetzlichen Regelung auszurichten. Die Beschwerde ist in diesem Sinn und Umfang abzuweisen.
11. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdegegnerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Deren geringfügiges Obsiegen beim Verzugszins rechtfertigt keine andere Kostenverlegung und begründet auch keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Letzteres gilt auch für das kantonale Verfahren.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Mai 2009 bis auf den in den Erwägungen, auf welche verwiesen wird, zugesprochenen Verzugszins aufgehoben. Bezüglich dieses Verzugszinses wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. März 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz