Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 25. März 2003 sprach die IV-Stelle Basel-Stadt der 1959 geborenen N._ gestützt auf einen nach der Invaliditätsbemessungsmethode für Teilerwerbstätige ermittelten Invaliditätsgrad von 46.1 % und - ab 1. Mai 2001 - von 49.6 % sowie in Bejahung eines wirtschaftlichen Härtefalls rückwirkend ab 1. Februar 2000 eine halbe Invalidenrente (samt Kinderrente) zu. Dies bestätigte sie mit Einspracheentscheid vom 7. August 2003.
A. Mit Verfügung vom 25. März 2003 sprach die IV-Stelle Basel-Stadt der 1959 geborenen N._ gestützt auf einen nach der Invaliditätsbemessungsmethode für Teilerwerbstätige ermittelten Invaliditätsgrad von 46.1 % und - ab 1. Mai 2001 - von 49.6 % sowie in Bejahung eines wirtschaftlichen Härtefalls rückwirkend ab 1. Februar 2000 eine halbe Invalidenrente (samt Kinderrente) zu. Dies bestätigte sie mit Einspracheentscheid vom 7. August 2003.
B. Hiegegen liess N._ Beschwerde erheben mit dem Antrag, in Aufhebung des Einspracheentscheids vom 7. August 2003 sowie der Verfügung vom 25. März 2003 sei ihr mit Wirkung ab 1. Februar 2000 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Zur Begründung führte sie an, im Gesundheitsfall wäre sie entgegen der Annahme der IV-Stelle nicht bloss zu 30 %, sondern zu 80 % erwerbstätig, sodass aufgrund der anerkannten vollständigen Einschränkung im erwerblichen Bereich Anspruch auf eine ganze Rente bestehe; im Übrigen betrage die Einschränkung in den häuslichen Verrichtungen (ungewichtet) nicht 28 %, sondern gesamthaft 40-50 %. Ausgehend von einer hypothetischen Teilerwerbstätigkeit von 50 % ohne Gesundheitsschaden ermittelte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt in der Folge einen - den Anspruch auf eine ganze Invalidenrente ausschliessenden - Invaliditätsgrad von insgesamt 64 %, was zur Abweisung der Beschwerde führte (Entscheid vom 23. Juni 2004).
B. Hiegegen liess N._ Beschwerde erheben mit dem Antrag, in Aufhebung des Einspracheentscheids vom 7. August 2003 sowie der Verfügung vom 25. März 2003 sei ihr mit Wirkung ab 1. Februar 2000 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen. Zur Begründung führte sie an, im Gesundheitsfall wäre sie entgegen der Annahme der IV-Stelle nicht bloss zu 30 %, sondern zu 80 % erwerbstätig, sodass aufgrund der anerkannten vollständigen Einschränkung im erwerblichen Bereich Anspruch auf eine ganze Rente bestehe; im Übrigen betrage die Einschränkung in den häuslichen Verrichtungen (ungewichtet) nicht 28 %, sondern gesamthaft 40-50 %. Ausgehend von einer hypothetischen Teilerwerbstätigkeit von 50 % ohne Gesundheitsschaden ermittelte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt in der Folge einen - den Anspruch auf eine ganze Invalidenrente ausschliessenden - Invaliditätsgrad von insgesamt 64 %, was zur Abweisung der Beschwerde führte (Entscheid vom 23. Juni 2004).
C. Die IV-Stelle Basel-Stadt führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und "die Richtigkeit unserer Verfügung vom 25.03.2003 bzw. des Einspracheentscheides vom 7.08.2003 insofern zu bestätigen, als für die Bemessung der Invalidenrente von einem Invaliditätsgrad von 49 % auszugehen ist".
N._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, eventualiter sinngemäss auf Nichteintreten schliessen und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege beantragen. Das Bundesamt für Sozialversicherung hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Gestützt auf Art. 103 lit. c in Verbindung mit Art. 132 OG sowie Art. 201 Abs. 1 AHVV (in der seit 1. Januar 2003 geltenden Fassung) in Verbindung mit Art. 89 IVV ist die IV-Stelle, welche die im Rahmen des Beschwerdeverfahrens zu überprüfende Verfügung - und seit In-Kraft-Treten des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts vom 6. Oktober 2000 am 1. Januar 2003: den zu überprüfenden Einspracheentscheid (vgl. Art. 52 und Art. 56 f. ATSG) - erlassen hat, grundsätzlich zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde an das Eidgenössische Versicherungsgericht befugt (BGE 130 V 516 f. Erw. 4.1; vgl. auch SVR 2002 IV Nr. 40 S. 125 Erw. 1 mit Hinweis auf ZAK 1992 S. 372 Erw. 2a betreffend Art. 201 lit. c AHVV [in der der bis 31. Dezember 2002 gültig gewesenen Fassung] in Verbindung mit Art. 202 AHVV [in Kraft gestanden bis 31. Dezember 2002]).
1.2 Auch im Rahmen der Verwaltungsgerichtsbeschwerde nach Art. 103 lit. c OG ist Sachurteilsvoraussetzung, dass die zur Beschwerdeerhebung ermächtigte Person oder Institution durch den angefochtenen Entscheid (formell) beschwert ist, was voraussetzt, dass sie im vorinstanzlichen Verfahren mit ihren Rechtsbegehren nicht oder nur teilweise durchgedrungen ist (BGE 123 II 115 Erw. 2a, 121 II 362 Erw. 1b/aa, 118 Ib 359 Erw. 1a; Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983 S. 150 u. 155; André Grisel, Traité de droit administratif, Bd. II S. 900; Alfred Kölz/Isabelle Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl., Zürich 1998 S. 195 Rz 541 f.; Urteile S. vom 18. März 2005 [U 342/04] Erw. 1, A. vom 14. Oktober 2004 [U 327/03] Erw. 1 und S. vom 7. September 2004 [I 215/03] Erw. 2.4). Massgebend hierfür ist das - allein anfechtbare (BGE 115 V 418 Erw. 3b/aa, 106 V 92 Erw. 1 mit Hinweis) - Dispositiv des Entscheids (BGE 109 V 60 oben; ZAK 1974 S. 370 Erw. 2).
1.3 Bei einer Verfügung über Versicherungsleistungen bildet grundsätzlich einzig die Leistung Gegenstand des Dispositivs. Die Beantwortung der Frage, welcher Invaliditätsgrad der Rentenzusprechung zu Grunde gelegt wurde, dient demgegenüber in der Regel lediglich der Begründung der Leistungsverfügung. Sie könnte nur dann zum Dispositiv gehören, wenn und insoweit sie Gegenstand einer Feststellungsverfügung ist. Da in jedem Fall nur das Dispositiv anfechtbar ist, muss bei Anfechtung der Motive einer Leistungsverfügung - auch im Rahmen einer gestützt auf Art. 132 OG in Verbindung mit Art. 103 lit. c OG und Art. 201 Abs. 1 AHVV (in der seit 1. Januar 2003 geltenden Fassung) erhobenen Beschwerde - im Einzelfall geprüft werden, ob damit nicht sinngemäss die Abänderung des Dispositivs beantragt wird; sodann ist zu untersuchen, ob die Beschwerde führende Partei allenfalls ein schutzwürdiges an der sofortigen Feststellung hinsichtlich des angefochtenen Verfügungsbestandteils hat (vgl. BGE 115 V 418 Erw. 3b/aa, 106 V 92 Erw. 1 mit Hinweis).
1.3 Bei einer Verfügung über Versicherungsleistungen bildet grundsätzlich einzig die Leistung Gegenstand des Dispositivs. Die Beantwortung der Frage, welcher Invaliditätsgrad der Rentenzusprechung zu Grunde gelegt wurde, dient demgegenüber in der Regel lediglich der Begründung der Leistungsverfügung. Sie könnte nur dann zum Dispositiv gehören, wenn und insoweit sie Gegenstand einer Feststellungsverfügung ist. Da in jedem Fall nur das Dispositiv anfechtbar ist, muss bei Anfechtung der Motive einer Leistungsverfügung - auch im Rahmen einer gestützt auf Art. 132 OG in Verbindung mit Art. 103 lit. c OG und Art. 201 Abs. 1 AHVV (in der seit 1. Januar 2003 geltenden Fassung) erhobenen Beschwerde - im Einzelfall geprüft werden, ob damit nicht sinngemäss die Abänderung des Dispositivs beantragt wird; sodann ist zu untersuchen, ob die Beschwerde führende Partei allenfalls ein schutzwürdiges an der sofortigen Feststellung hinsichtlich des angefochtenen Verfügungsbestandteils hat (vgl. BGE 115 V 418 Erw. 3b/aa, 106 V 92 Erw. 1 mit Hinweis).
2. 2.1 Mit dem angefochtenen Entscheid hat das kantonale Gericht die von der Versicherten mit dem Begehren um Zusprechung einer ganzen Rente erhobene Beschwerde entsprechend dem vernehmlassungsweise gestellten Antrag der IV-Stelle vollumfänglich abgewiesen. Die Beschwerdeführerin ist daher durch das Dispositiv des kantonalen Entscheids nicht beschwert, womit es insoweit an einer Sachurteilsvoraussetzung fehlt (vgl. Erw. 1.2 hievor). Keine formelle Beschwer begründet der Umstand, dass die Vorinstanz die Zusprechung einer halben Invalidenrente aufgrund einer modifizierten Invaliditätsbemessung und eines daraus resultierenden höheren Invaliditätsgrades bestätigt hat (vgl. SVR 2002 IV Nr. 40 S. 125; Urteile A. vom 14. Oktober 2004 [U 327/03] Erw. 1. und 2 und S. vom 23. Januar 2004 [C 192/03] Erw. 2.2 und 2.3, E. vom 10. Juni 2002 [I 596/01] Erw. 2b, J. vom 10. Juni 2002 [I 730/01] Erw. 2). Der Invaliditätsgrad stellt nach dem unter Erw. 1.3 hievor Gesagten lediglich ein Begründungselement dar (BGE 125 V 415 ff. Erw. 2), wogegen sich die formelle Beschwer allein aus dem Dispositiv des Entscheids ergibt (Erw. 1.2 hievor).
2. 2.1 Mit dem angefochtenen Entscheid hat das kantonale Gericht die von der Versicherten mit dem Begehren um Zusprechung einer ganzen Rente erhobene Beschwerde entsprechend dem vernehmlassungsweise gestellten Antrag der IV-Stelle vollumfänglich abgewiesen. Die Beschwerdeführerin ist daher durch das Dispositiv des kantonalen Entscheids nicht beschwert, womit es insoweit an einer Sachurteilsvoraussetzung fehlt (vgl. Erw. 1.2 hievor). Keine formelle Beschwer begründet der Umstand, dass die Vorinstanz die Zusprechung einer halben Invalidenrente aufgrund einer modifizierten Invaliditätsbemessung und eines daraus resultierenden höheren Invaliditätsgrades bestätigt hat (vgl. SVR 2002 IV Nr. 40 S. 125; Urteile A. vom 14. Oktober 2004 [U 327/03] Erw. 1. und 2 und S. vom 23. Januar 2004 [C 192/03] Erw. 2.2 und 2.3, E. vom 10. Juni 2002 [I 596/01] Erw. 2b, J. vom 10. Juni 2002 [I 730/01] Erw. 2). Der Invaliditätsgrad stellt nach dem unter Erw. 1.3 hievor Gesagten lediglich ein Begründungselement dar (BGE 125 V 415 ff. Erw. 2), wogegen sich die formelle Beschwer allein aus dem Dispositiv des Entscheids ergibt (Erw. 1.2 hievor).
2.2 2.2.1 Die Beschwerdeführerin räumt ein, durch das Dispositiv des vorinstanzlichen Entscheids nicht "berührt" zu sein. Ihr Rechtsbegehren zielt denn auch - bei sinngemässer Auslegung - nicht auf Änderung des vorinstanzlichen Dispositivs, sondern auf Feststellung der Richtigkeit des von ihr ermittelten Invaliditätsgrades von 49 % (exakt: 49.6 %). Zur Begründung des erforderlichen schutzwürdigen Interesses an einem letztinstanzlichen Feststellungsentscheid (Erw. 1.3 hievor) macht sie geltend, aufgrund der am 1. Januar 2004 in Kraft getretenen - nach den Grundsätzen des intertemporalen Rechts und des zeitlich massgebenden Sachverhalts hier indessen nicht anwendbaren (BGE 129 V 4 Erw. 1.2, 169 Erw. 1, 356 Erw. 1, je mit Hinweisen; vgl. auch BGE 130 V 446 f. Erw. 1.2.1. und 1.2.2, mit Hinweis auf BGE 130 V 329) - 4. IV-Revision vom 21. März 2003 (AS 2003, 3837 ff.; BBl 2001 3205 ff.) hätte die Beschwerdegegnerin gemäss vorinstanzlich ermitteltem Invaliditätsgrad von 64 % ab 1. Januar 2004 neu Anspruch auf eine Dreiviertelsrente und nicht - zufolge Abschaffung der Härtefallrente im Rahmen der 4. IV-Revision - auf eine Viertelsrente. Die IV-Stelle habe daher ein erhebliches Interesse an der letztinstanzlichen Feststellung, dass der von ihr ermittelte Invaliditätsgrad (gemäss Verfügung vom 25. März 2003 und Einspracheentscheid vom 7. August 2003) korrekt sei.
2.2.2 Es trifft zu, dass gemäss Art. 28 Abs. 1 IVG in der ab 1. Januar 2004 geltenden Fassung bei einem Invaliditätsgrad von mindestens 60 % und weniger als 70 % neu Anspruch auf eine Dreiviertelsrente besteht. Bei Versicherten, deren früher ermittelter Invaliditätsgrad in dieser Bandbreite liegt, hatte die Verwaltung im Jahr 2004 von Amtes wegen zu überprüfen, ob dies auch nach In-Kraft-Treten der Gesetzesänderung der Fall ist, und gegebenenfalls - nach Massgabe des hier anwendbaren Art. 88bis IVV (vgl. Urteil B. vom 11. Oktober 2005 [I 313/04] Erw. 2.2; siehe auch Kreisschreiben über Invalidität und Hilflosigkeit in der Invalidenversicherung [KSHI] vom 1. Januar 2004, Rz 10.012) - per 1. Januar 2004 eine Anpassung des Rentenanspruchs vorzunehmen (betreffend Besitzstandswahrung bei laufenden ganzen Renten vgl. lit. f der Übergangsbestimmungen zur 4. IV-Revision). Dabei handelt es sich nicht um eine materielle Revision im Sinne von Art. 41 IVG, d.h. eine Anpassung einer formell rechtskräftig zugesprochenen Rente an seither eingetretene, anspruchserhebliche Änderungen der tatsächlichen Verhältnisse, sondern allein um eine übergangsrechtlich begründete Anpassung der laufenden Renten an die mit der 4. IV-Revision eingeführte neue Rentenabstufung gemäss Art. 28 Abs. 1 IVG. Die Pflicht der Verwaltung zur revisionsweisen Überprüfung des Rentenanspruchs ergibt sich bei laufenden ganzen Invalidenrenten bei einem Invaliditätsgrad von weniger als 70 % (aber mehr als 66 2/3 %; vgl. Art. 28 Abs. 1 in der bis 31. Dezember 2003 gültig gewesenen Fassung) unmittelbar aus lit. f der Übergangsbestimmungen zur 4. IV-Revision (vgl. dazu Urteil B. vom 11. Oktober 2005 [I 313/04] Erw. 2.2 und 2.3). Bei den - hier interessierenden - laufenden halben Invalidenrenten mit Invaliditätsgrad von mindestens 60 % (aber weniger als 66 2/3 %) ist sie aus lit. d Abs. 1 der Übergangsbestimmungen abzuleiten, nach welchem die Neufassung des Art. 28 Abs. 1 IVG von ihrem In-Kraft-Treten an vorbehältlich bestimmter Ausnahmen auch für nach bisherigem Recht zugesprochene Invalidenrenten gilt (vgl. auch KSHI, a.a.O., Rz 10.011).
2.2.3 Mit der Frage, ob mit Blick auf die vorzunehmende Anpassung des Rentenanspruchs an die seit 1. Januar 2004 geänderte Normenlage ein schutzwürdiges Interesse an der Feststellung eines bestimmten, im aktuellen Beschwerdeverfahren nicht anspruchserheblichen Invaliditätsgrades besteht, hat sich das Eidgenössische Versicherungsgericht im jüngst ergangenen Urteil B. vom 11. Oktober 2005 (I 313/04) befasst. Konkret hat es das schutzwürdige Interesse einer gestützt auf einen vorinstanzlich ermittelten Invaliditätsgrad von 69 % zum Bezug einer ganzen Invalidenrente berechtigten Person an der - im Hinblick auf den mit der 4. IVG-Revision geänderten Art. 28 Abs. 1 IVG - beantragten Feststellung eines 70 % übersteigenden Invaliditätsgrades verneint und hierzu begründungsweise erwogen:
"(Allein) die Möglichkeit, dass bei gleich bleibendem Invaliditätsgrad die ganze Rente der Beschwerdeführerin bei der Anpassung an die geänderten Bestimmungen im Verlauf des Jahres 2004 gekürzt werden könnte (...), begründet kein aktuelles, unmittelbares Interesse an der Feststellung eines höheren Invaliditätsgrades bereits im vorliegenden Verfahren (...). Versicherten, deren Invaliditätsgrad unter den bis 31. Dezember 2003 gültig gewesenen Bestimmungen allenfalls zu tief festgesetzt worden war, muss es hingegen insoweit, als der altrechtlich festgesetzte und zu einer ganzen Rente berechtigende Invaliditätsgrad neurechtlich nur noch eine Dreiviertelsrente zu begründen vermöchte, offen stehen, die entsprechende Rüge in den Revisionsverfahren vorzubringen, welche im Zuge der 4. IV-Revision nötig geworden sind" (a.a.O., Erw. 3.1.2 und 3.2.1).
Diese Rechtsprechung vermeidet eine verfahrensrechtliche Schlechterstellung all jener Versicherten, die es unterlassen haben, einzig mit Blick auf (mögliche) künftige Auswirkungen der 4. IV-Revision auf ihren laufenden Rentenanspruch Verwaltungsgerichtsbeschwerde zu erheben. Sie räumt allen gleichermassen die Möglichkeit ein, die ihres Erachtens für eine bisher zu tiefe Festsetzung des Invaliditätsgrades sprechenden Gründe im intertemporalrechtlichen Revisionsverfahren vorzubringen.
2.2.4 Die Rechtsprechung gemäss erwähntem Urteil B. vom 11. Oktober 2005 ist analog auf die hier zu beurteilende Konstellation anwendbar, welche nicht eine aus Sicht der versicherten Person nachteilige Herabsetzung, sondern eine von der Verwaltung per 1. Januar 2004 voraussichtlich vorzunehmende Erhöhung des Rentenanspruchs betrifft. Dementsprechend ist das schutzwürdige Interesse der Beschwerdeführerin an der Feststellung, dass der Anspruch der Versicherten auf eine halbe Invalidenrente auf einem Invaliditätsgrad von 49.6 % statt 64 % basiert, zu verneinen. Hingegen ist ihr - gleichsam als Kehrseite der im Urteil B. vom 11. Oktober 2005 bejahten Möglichkeit der versicherten Person, die Rüge eines vorgängig zu tief festgesetzten Invaliditätsgrades im Rahmen des Revisionsverfahrens vorzubringen - die Befugnis zuzusprechen, den bisher massgebend gewesenen Invaliditätsgrad revisionsweise bezüglich sämtlicher rechtserheblicher Teilaspekte frei zu überprüfen.
2.3 Nach dem Gesagten ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde unzulässig.
2.3 Nach dem Gesagten ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde unzulässig.
3. Für den Fall, dass die Verwaltung den von ihr ermittelten Invaliditätsgrad von 49.6 % (gemäss Verfügung vom 25. März 2003 und Einspracheentscheid vom 7. August 2003) per 1. Januar 2004 bestätigt, bleibt darauf hinzuweisen, dass dieser Prozentsatz rechtsprechungsgemäss auf 50 % aufgerundet werden muss (BGE 130 V 123 Erw. 3.2 und 3.3; vgl. auch nicht publizierte Erw. 5.2 des Urteils BGE 130 V 393 [I 634/03]), woraus ein Anspruch auf eine ordentliche halbe Invalidenrente resultieren würde.
3. Für den Fall, dass die Verwaltung den von ihr ermittelten Invaliditätsgrad von 49.6 % (gemäss Verfügung vom 25. März 2003 und Einspracheentscheid vom 7. August 2003) per 1. Januar 2004 bestätigt, bleibt darauf hinzuweisen, dass dieser Prozentsatz rechtsprechungsgemäss auf 50 % aufgerundet werden muss (BGE 130 V 123 Erw. 3.2 und 3.3; vgl. auch nicht publizierte Erw. 5.2 des Urteils BGE 130 V 393 [I 634/03]), woraus ein Anspruch auf eine ordentliche halbe Invalidenrente resultieren würde.
4. Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG). Dem Prozessausgang entsprechend hat die Beschwerdegegnerin Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 135 OG in Verbindung mit Art. 159 Abs. 2 OG). Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist damit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Die IV-Stelle Basel-Stadt hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
3. Die IV-Stelle Basel-Stadt hat der Beschwerdegegnerin für das Verfahren vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von Fr. 2500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt, der Ausgleichskasse Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 27. Oktober 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der I. Kammer: Die Gerichtsschreiberin: