Faits:
A. Ressortissante tunisienne née en 1969, A._ est entrée en Suisse le 29 avril 2004 pour y rejoindre B._, ressortissant suisse, qu'elle avait épousé le 10 septembre 2003 en Tunisie. Le 23 juin 2004, elle a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial. L'intéressée s'est rendue dans son pays d'origine du 7 septembre 2007 au 25 février 2008. Peu après son retour, son mari a requis des mesures protectrices de l'union conjugale. Le 28 avril 2008, le Président du Tribunal d'arrondissement de la Côte a ratifié pour valoir prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale la convention signée par les parties le 24 avril 2008, prévoyant notamment une séparation des époux jusqu'au 30 avril 2009. A._ s'est constituée un domicile séparé le 1er juin 2008.
Après avoir recueilli les renseignements d'usage au sujet de la situation personnelle, familiale et professionnelle de A._, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après : le SPOP) a, par décision du 28 avril 2009, constaté que les conditions liées à son autorisation de séjour pour regroupement familial n'étaient plus remplies, mais qu'il était favorable au renouvellement de cette autorisation au sens de l'art. 50 de loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), sous réserve de l'approbation de l'Office fédéral des migrations (ci-après : l'Office fédéral).
B. Après lui avoir donné l'occasion de s'exprimer, l'Office fédéral a, par décision du 16 octobre 2009, refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour de A._ et a prononcé son renvoi de Suisse. Il a retenu, en bref, que la poursuite du séjour de l'intéressée en Suisse ne s'imposait pas pour des raisons personnelles majeures et que son intégration ne pouvait pas être considérée comme réussie compte tenu de ses faibles attaches socio-professionnelles avec notre pays.
C. Le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours formé contre la décision précitée de l'Office fédéral, par arrêt du 18 avril 2011. Il a considéré, en substance, que l'intégration de A._ ne pouvait pas être considérée comme réussie dès lors qu'elle avait été à la charge de l'assistance publique pendant près de trois ans, qu'elle n'avait pas réussi son intégration professionnelle et qu'elle avait conservé ses attaches personnelles en Tunisie; en outre, les violences conjugales alléguées ne permettaient pas de fonder l'existence d'un cas de rigueur et sa réintégration sociale en Tunisie ne semblait pas fortement compromise.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 18 avril 2011 et de renvoyer la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants à intervenir. Elle soutient que son intégration est réussie et se plaint d'une appréciation arbitraire des preuves en relation avec l'examen des raisons personnelles majeures susceptibles d'imposer la poursuite de son séjour en Suisse.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à se prononcer sur le recours. L'office fédéral en propose le rejet.
E. Par ordonnance du 25 mai 2011, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif contenue dans le recours.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 136 I 43 consid. 1 p. 43; 135 II 94 consid. 1 p. 96).
1.1 L'art. 83 let. c ch. 2 LTF exclut la possibilité de saisir le Tribunal fédéral d'un recours contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
En l'espèce, l'union conjugale de la recourante avec un ressortissant suisse ayant cessé d'exister, celle-ci ne peut pas déduire un droit à une autorisation de séjour de l'art. 42 al. 1 LEtr. Reste l'art. 50 al. 1 LEtr qui subordonne la prolongation de son autorisation à certaines conditions (intégration réussie; raisons personnelles majeures). Dans la mesure où la recourante soutient de manière plausible qu'elle réalise ces conditions, son écriture échappe à la clause d'irrecevabilité de l'art. 83 ch. 2 LTF. Le point de savoir si c'est à juste titre que les autorités fédérales ont nié la réalisation des conditions de l'art. 50 LEtr ressortit au fond et non à la recevabilité (cf. ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179, 497 consid. 3.3 p. 500 s.).
1.2 Pour le surplus, le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue par le Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF). Il a été formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Par conséquent, il est recevable en tant que recours en matière de droit public.
2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Il se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF).
3. La recourante se plaint d'une violation de l'art. 50 LEtr.
3.1 Selon l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 LEtr subsiste si l'union conjugale a duré au moins trois ans et que l'intégration est réussie. Il s'agit de deux conditions cumulatives (ATF 136 II 113 consid. 3.3.3 p. 119). En l'espèce, les autorités précédentes ont admis que l'union conjugale avait duré plus de trois ans. Seule demeure donc litigieuse la question de l'intégration réussie.
3.2 Le principe d'intégration doit permettre aux étrangers dont le séjour est légal et durable de participer à la vie économique, sociale et culturelle de la Suisse (art. 4 al. 2 LEtr; cf. ATF 134 II 1 consid. 4.1 p. 4 s.). D'après l'art. 77 al. 4 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201), un étranger s'est bien intégré, au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, notamment lorsqu'il respecte l'ordre juridique suisse et les valeurs de la Constitution fédérale (let. a) et qu'il manifeste sa volonté de participer à la vie économique et d'apprendre la langue nationale parlée au lieu de domicile (let. b). Selon l'art. 4 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 sur l'intégration des étrangers (OIE; RS 142.205), la contribution des étrangers à l'intégration se manifeste notamment par le respect de l'ordre juridique et des valeurs de la Constitution fédérale (let. a), par l'apprentissage de la langue nationale parlée sur le lieu de domicile (let. b), par la connaissance du mode de vie suisse (let. c) et par la volonté de participer à la vie économique et d'acquérir une formation (let. d). Le Tribunal fédéral a précisé que l'adverbe « notamment », qui est employé tant à l'art. 77 al. 4 OASA qu'à l'art. 4 OIE, illustre le caractère non exhaustif des critères d'intégration qui sont énumérés par ces dispositions; ce terme signale aussi que la notion « d'intégration réussie » doit s'examiner à l'aune d'une appréciation globale des circonstances (arrêt 2C_839/2010 du 25 février 2011 consid. 7.1.2). Dans l'examen de ces critères d'intégration, les autorités compétentes disposent d'un large pouvoir d'appréciation que le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec retenue (cf. art. 54 al. 2 et 96 al. 1 LEtr ainsi qu'art. 3 OIE; cf. arrêts 2C_427/2011 du 26 octobre 2011 consid. 5.2, 2C_430/2011 du 11 octobre 2011 consid. 4.2 et 2C_986/2010 du 18 mai 2011 consid. 5.2).
3.3 En l'occurrence, le Tribunal administratif fédéral a considéré que la recourante n'avait pas réussi son intégration professionnelle. Elle n'avait en effet acquis son autonomie financière qu'en juillet 2008 et elle avait vécu pendant près de trois ans au bénéfice des prestations de l'aide sociale. Le fait qu'elle ait réalisé d'importants progrès en français et qu'elle s'exprimait désormais couramment dans cette langue ne modifiait pas cette appréciation. En outre, elle n'avait pas démontré avoir accompli un réel processus d'intégration avec son environnement social en Suisse; elle avait gardé ses attaches personnelles en Tunisie où elle avait résidé entre septembre 2007 et février 2008.
Selon la jurisprudence, en présence d'un étranger disposant d'un emploi stable, qui n'a jamais recouru aux prestations de l'aide sociale, qui n'a pas contrevenu à l'ordre public et qui maîtrise la langue parlée de son lieu de domicile, il faut des éléments sérieux permettant de nier son intégration au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr (cf. arrêts 2C_427/2011 du 26 octobre 2011 consid. 5.3, 2C_430/2011 du 11 octobre 2011 consid. 4.2 et 2C_839/2010 du 25 février 2011 consid. 7.1.2). En l'espèce, la recourante exerce depuis le mois de juillet 2008 une activité professionnelle en qualité de nettoyeuse, à raison de 70 % environ, pour le compte de la société X._ SA, à Crissier. Parallèlement, elle effectue des heures de ménage pour des particuliers. Ces deux emplois lui procurent un gain mensuel net de plus de 3'000 fr., qui lui permet de subvenir à ses besoins. Elle jouit donc d'une situation professionnelle stable. Pour le surplus, il n'est pas contesté que la recourante n'a pas contrevenu à l'ordre public et qu'elle maîtrise la langue française. Il reste donc à examiner si les prestations d'aide sociale dont elle a bénéficié font obstacle à la reconnaissance d'une intégration réussie.
3.4 Le recours par un étranger à l'aide sociale peut constituer un indice traduisant un manque de participation à la vie économique du pays selon l'art. 4 let. d OIE et cet élément peut être pris en considération dans le cadre de l'examen de la prolongation d'une autorisation de séjour en application des art. 50 al. 1 let. a LEtr et 77 al. 4 OASA (cf. arrêt 2C_546/2010 du 30 novembre 2010 consid. 5.2 et les références citées).
En l'espèce, le mari de la recourante dépendait déjà des services sociaux lorsqu'elle a emménagé avec lui. La recourante explique que son époux exerçait sur elle une forte emprise et s'opposait à ce qu'elle exerce une activité lucrative, la place de la femme tunisienne étant, selon la tradition de ce pays, au foyer. Si cette présentation du mode de fonctionnement du couple n'est guère étayée par des éléments objectifs, force est de constater que la recourante, dès qu'elle a pris un domicile séparé, le 1er juin 2008, s'est procurée un emploi fixe peu de temps après, soit dès le mois de juillet 2008. Elle s'est donc rendue financièrement indépendante dès qu'elle s'est libérée de l'influence maritale. Cette circonstance accrédite les explications qu'elle a fournies au sujet du rôle que son époux lui avait assigné pendant la vie commune. Il importe de relever également que la recourante a remboursé les prestations que les services sociaux lui avaient accordées pour les mois de mai et de juin 2008, soit celles dont elle avait personnellement bénéficié, indépendamment de celles allouées à son mari. Ce geste démontre que l'intéressée a voulu rompre la dépendance financière qui était la sienne lorsqu'elle vivait en couple; depuis le mois de juillet 2008, elle n'a d'ailleurs plus fait appel à l'aide sociale. Si l'on peut certes reprocher à la recourante d'avoir tardé à réagir et de s'être accommodée trop longtemps de la dépendance financière du couple aux services sociaux, il faut admettre qu'elle a su renverser le cours des choses et qu'elle est désormais financièrement indépendante depuis plus de trois ans. Cette évolution positive et durable permet de considérer que l'autonomie financière de la recourante est acquise et que son intégration est réussie, en dépit de l'assistance publique dont le couple a bénéficié pour la période de janvier 2006 à juin 2008.
3.5 Pour ce qui concerne son intégration sociale, il est vrai que la recourante n'a guère produit de preuves tangibles des relations sociales et amicales qu'elle a vraisemblablement nouées depuis qu'elle réside en Suisse, soit depuis environ sept ans et demi. Dans son rapport du 31 janvier 2011, le Centre de Psychothérapie des Toises, à Lausanne, a cependant relevé qu'elle s'était construite un réseau d'amis qui constituait un point d'ancrage important dans son équilibre quotidien. En outre, si les attaches sociales en Suisse, notamment la participation à une vie associative, constituent l'un des critères à prendre en considération dans l'analyse de la réussite de l'intégration au sens de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, leur absence ne permet pas, à elle seule, d'en conclure que l'étranger ne serait pas intégré (cf. arrêts 2C_427/2011 du 26 octobre 2011 consid. 5.3 et 2C_839/2010 du 25 février 2011 consid. 7.1.2).
3.6 Ni le recours à l'assistance publique dans les circonstances décrites au consid. 3.4 ci-dessus, ni l'absence de preuves formelles d'une forte implication dans son environnement social ne permettent de nier la réussite de l'intégration de la recourante dans la mesure où celle-ci dispose d'un emploi stable depuis plus de trois ans, a acquis son autonomie financière, maîtrise la langue parlée du lieu de son domicile et n'a pas contrevenu à l'ordre public.
Il convient dès lors d'ordonner la prolongation de l'autorisation de séjour litigieuse en application de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr. Dans ces conditions, il est superflu d'examiner si les conditions de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr en lien avec l'art. 50 al. 2 LEtr sont remplies.
4. Vu ce qui précède, le recours doit être admis, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée à l'Office fédéral pour qu'il approuve la prolongation de l'autorisation de séjour.
Il n'y a pas lieu de percevoir de frais de justice (cf. art. 66 al. 4 LTF). Succombant, l'Office fédéral devra verser à la recourante une indemnité à titre de dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral ne fera pas usage de la faculté prévue aux art. 67 et 68 al. 5 LTF et renverra la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure qui s'est déroulée devant elle.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1. Le recours est admis. L'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 18 avril 2011 est annulé et la cause est renvoyée à l'Office fédéral des migrations pour qu'il approuve la prolongation de l'autorisation de séjour de la recourante.
2. La cause est renvoyée au Tribunal administratif fédéral afin qu'il statue à nouveau sur le sort des frais et dépens de la procédure devant lui.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. L'Office fédéral des migrations versera à la recourante une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population du canton de Vaud, à l'Office fédéral des migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 30 novembre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Addy