Sachverhalt:
A. Am 18. August 2006 ersuchten Erwin Kessler und der Verein gegen Tierfabriken Schweiz bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau um Einsicht in die in den letzten fünf Jahren vom Bezirksamt Arbon erlassenen Strafentscheide, inklusive Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügungen, betreffend X._ bzw. Y._. Mit Verfügung vom 5. Februar 2007 wies die Staatsanwaltschaft das Begehren ab.
B. Gegen die Verfügung vom 5. Februar 2007 erhoben Erwin Kessler und der Verein gegen Tierfabriken Schweiz Beschwerde. Das Obergericht des Kantons Thurgau hiess diese mit Beschluss vom 14. Mai 2007 teilweise gut. Das Begehren um Einsicht in die materiellen Strafentscheide wurde zuständigkeitshalber an das Bezirksamt Arbon überwiesen. Soweit Einsicht in Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügungen beantragt worden war, überwies das Obergericht die Beschwerde zuständigkeitshalber an die Anklagekammer des Kantons Thurgau.
C. Mit Beschluss vom 3. Juli 2007 hob die Anklagekammer des Kantons Thurgau die Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 5. Februar 2007 im Beschwerdeverfahren auf. Gleichzeitig wies sie das Gesuch um Einsicht in die fraglichen Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügungen des Bezirksamtes Arbon ab.
D. Gegen den Beschluss der Anklagekammer vom 3. Juli 2007 gelangten Erwin Kessler und der Verein gegen Tierfabriken mit Beschwerde vom 22. September 2007 an das Bundesgericht. Sie beantragen zur Hauptsache die Aufhebung des angefochtenen Entscheides.
Die Beschwerde wurde am 16. Oktober 2007 ergänzt.
Die kantonale Anklagekammer beantragt die Abweisung der Beschwerde, während sich die Staatsanwaltschaft innert angesetzter Frist nicht hat vernehmen lassen. Die Beschwerdeführer replizierten am 15. November 2007.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonaler Justizverwaltungsakt, der sich auf öffentliches Recht stützt (vgl. Art. 82 lit. a BGG). Darin wird ein selbstständiges Gesuch der Beschwerdeführer um Einsicht in kantonale Strafakten (Einstellungs- und Nichtanhandnahmeverfügungen) definitiv abgewiesen. Es handelt sich um einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 i.V.m. Art. 90 BGG).
1.1 Gegenstand der Beschwerde bildet keine prozessleitende Zwischenverfügung (betreffend Akteneinsicht) im Rahmen eines hängigen Strafverfahrens. Die Beschwerdeführer verlangen vielmehr selbstständige Einsicht in rechtskräftig abgeschlossene Einstellungs- und Nichtanhandnahmeverfügungen, welche beanzeigte Drittpersonen betrafen. Die Beschwerdeführer hatten im Rahmen jener Strafverfahren unbestrittenermassen keine Parteistellung inne. Ebenso wenig machen sie geltend, das Einsichtnahmegesuch erfolge zur Wahrnehmung von Parteirechten in einem noch hängigen Strafverfahren.
1.2 Die vorliegende Eingabe ist nach dem Gesagten als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Die Eintretensvoraussetzungen von Art. 82 ff. BGG sind erfüllt.
2. Im angefochtenen Entscheid wird erwogen, Art. 6 Ziff. 1 EMRK gebe den Beschwerdeführern keinen Anspruch auf Einsicht in die fraglichen Verfügungen, zumal gegen sie keine "strafrechtliche Anklage vor einem Gericht" erhoben worden sei. Einstellungs- und Nichtanhandnahmeverfügungen könnten auch nicht den Strafurteilen oder Strafbescheiden gleichgestellt werden. Erstere hätten nur beschränkte bzw. keine materielle Rechtskraft. Nicht an die Hand genommene oder eingestellte Strafprozesse könnten ohne formelles Wiederaufnahme- bzw. Revisionsverfahren wieder eröffnet werden, wenn neue erhebliche Tatsachen oder Beweismittel vorliegen. Die fraglichen Verfügungen fielen daher weder unter den Urteilsbegriff von Art. 6 Ziff. 1 EMRK, noch unter denjenigen von Art. 30 Abs. 3 BV.
3. Die Beschwerdeführer machen geltend, X._ und Y._ betrieben im Kanton Thurgau eine Pferdehandlung. Eine nach Ansicht der Beschwerdeführer tierschutzgesetzwidrige Haltung von 80 Pferden durch die Genannten habe zu verschiedenen Anzeigen aus Tierschutzkreisen sowie zu Verzeigungen seitens des kantonalen Veterinäramtes geführt. Diese Anzeigen und Verfahren seien auf dubiose Weise allesamt im Sand verlaufen bzw. vom Bezirksamt Arbon "sang- und klanglos eingestellt" worden. Der Beschwerdeführer 1 setze sich als juristische Person statutengemäss für die Durchsetzung der Tierschutzvorschriften zugunsten von Nutztieren ein. Der Beschwerdeführer 2 nehme als Vereinspräsident die Interessen des Beschwerdeführers 1 wahr. Die Frage, weshalb es trotz objektiver Anzeichen von strafrechtlich relevantem Verhalten seit Jahren zu Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügungen gegen die beiden Pferdehalter komme, sei von öffentlichem Interesse. Dieses Interesse und das damit verbundene schutzwürdige Interesse der Beschwerdeführer an Akteneinsicht werde insbesondere durch Art. 6 Ziff. 1 EMRK geschützt. Die im angefochtenen Entscheid getroffene formale Unterscheidung zwischen Strafentscheiden (inklusive Strafbefehle und Strafbescheide) einerseits und Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügungen anderseits sei im Hinblick auf das Öffentlichkeitsgebot irrelevant. Es könne jedenfalls nicht angehen, dass das Bezirksamt Arbon über Jahre hinweg Strafanzeigen und behördliche Verzeigungen auf fragwürdige Weise mittels Nichtanhandnahme- und Einstellungsverfügungen erledige, ohne dass der Öffentlichkeit bzw. interessierten Tierschutzorganisationen die Möglichkeit eingeräumt würde, die Gründe dafür zu prüfen. Anders zu entscheiden heisse, einen wichtigen Teil der Strafjustiztätigkeit der öffentlichen Kontrolle zu entziehen.
4. Nach dem in Art. 30 Abs. 3 BV gewährleisteten Öffentlichkeitsgrundsatz sind Gerichtsverhandlung und Urteilsverkündung öffentlich. Art. 6 Ziff. 1 EMRK schreibt vor, dass das Urteil über eine strafrechtliche Anklage öffentlich zu verkünden ist. Die Öffentlichkeit der Gerichtsverhandlung kann unter den in der Konventionsbestimmung genannten Voraussetzungen eingeschränkt werden. Art. 14 Abs. 1 UNO-Pakt II bestimmt, dass "jedes Urteil" in einer Straf- oder Zivilsache öffentlich zu verkünden ist, sofern nicht die Interessen Jugendlicher dem entgegenstehen oder das Verfahren Ehestreitigkeiten oder die Vormundschaft über Kinder betrifft.
5. In BGE 124 IV 234 hatte das Bundesgericht den Fall eines Strafanzeigers zu beurteilen, dem die Einsicht in einen rechtskräftigen Strafbescheid verweigert worden war.
5.1 Die Strafverfügung war im abgekürzten Verfahren nach VStrR erlassen worden. Das Bundesgericht erwog zunächst, dass der Anzeiger keine Parteirechte ausgeübt habe, weshalb ihm die Strafverfügung nicht förmlich eröffnet werden musste (BGE 124 IV 234 E. 2a-c S. 237). Das Bundesgericht erwog weiter, dass unter dem Gesichtspunkt des Öffentlichkeitsgrundsatzes (Art. 6 Ziff. 1 EMRK, Art. 14 Abs. 1 UNO-Pakt II, Art. 30 Abs. 3 BV) zwischen der förmlichen Eröffnung an die Parteien und der öffentlichen Verkündung des Straferkenntnisses zu unterscheiden ist: Der Anspruch auf öffentliche Urteilsverkündung bedeutet eine Absage an jede Form geheimer Kabinettsjustiz. Die Kontrolle durch die Öffentlichkeit soll nicht nur eine korrekte und gesetzmässige Behandlung der Verfahrensbeteiligten durch die Strafjustiz gewährleisten. Die allgemeine Öffentlichkeit soll darüber hinaus Kenntnis erhalten können, wie das Recht verwaltet und wie die Rechtspflege ausgeübt wird. Der Öffentlichkeitsgrundsatz sorgt damit auch für Transparenz in der Rechtspflege, die eine demokratische Kontrolle durch das Volk erst ermöglicht und als wesentliches Element des Rechts auf ein faires Verfahren zu den Grundlagen eines demokratischen Rechtsstaates gehört (BGE 124 IV 234 E. 3b S. 238; s. auch BGE 133 I 106 E. 8.1-8.2 S. 107 f.; 121 II 22 E. 4c S. 27 f.; 119 Ia 99 E. 4a S. 104, je mit Hinweisen). Der entsprechende Informationsanspruch steht daher nicht nur den Parteien des Strafverfahrens zu, sondern grundsätzlich auch der interessierten Öffentlichkeit (BGE 124 IV 234 E. 3c S. 239 mit Hinweis). Zwar verlangt das Bundesgericht, dass die Person, welche Einsicht in Strafverfügungen verlangt, eine berechtigtes Interesse darlegt. Für behördliche Einschränkungen des Einsichtsrechtes sind jedoch strenge Massstäbe anzulegen. Es genügt deshalb, wenn der Gesuchsteller ein ernsthaftes Interesse an der Kenntnisnahme glaubhaft macht. Ein solches Interesse ist insbesondere für den Anzeiger im Verwaltungsstrafverfahren zu bejahen (BGE 124 IV 234 E. 3d S. 239 f. mit Hinweisen).
5.2 Das Bundesgerichtsurteil 1P.298/2006 vom 1. September 2006 betraf den heutigen Beschwerdeführer 1. Dieser hatte einen Aargauer Landwirt wegen tierschutzgesetzwidriger Haltung von Schweinen und Kaninchen angezeigt. Der Tierhalter wurde in der Folge vom Bezirksamt Baden mit Fr. 500.-- gebüsst. Der Beschwerdeführer 1 verlangte eine Kopie des betreffenden Strafbefehls. Die ablehnenden Entscheide der kantonalen Behörden zog er ans Bundesgericht weiter. Dieses hiess die staatsrechtliche Beschwerde teilweise gut. Das Bundesgericht erwog, es bestehe gestützt auf den Öffentlichkeitsgrundsatz zwar kein Anspruch auf amtliche Zustellung von Entscheidkopien. Der Beschwerdeführer habe als Anzeigeerstatter jedoch das Recht, auf der Kanzlei der Untersuchungsbehörde Einsicht in den Strafbefehl zu nehmen und sich dabei (allenfalls gegen eine Gebühr) eine Kopie der Verfügung erstellen zu lassen.
6. Die Vorinstanz vertritt die Ansicht, bei Einstellungs- und Nichtanhandnahmeverfügungen sei eine Einsichtnahme durch Dritte (auch durch Anzeigeerstatter) zum Vornherein ausgeschlossen, da solche Verfügungen keine oder nur eine beschränkte materielle Rechtskraft nach sich zögen. Diese Auffassung erscheint im Lichte der dargelegten Rechtsprechung zu formalistisch. Sie trägt weder dem rechtsstaatlichen Öffentlichkeitsgrundsatz ausreichend Rechnung, noch den individuellen Grundrechten von Privaten mit schutzwürdigen Informationsinteressen.
6.1 Zwar betraf BGE 124 IV 234 den Fall eines Strafbescheides (der im abgekürzten Verfahren nach VStrR erlassen worden war). Das Bundesgericht hat dort jedoch nicht entschieden, dass bei Verfahrensabschlüssen ohne Straffolgen der Öffentlichkeitsgrundsatz schlechterdings unbeachtlich wäre. Diesem und den daraus abgeleiteten Informationsrechten wird vielmehr eine allgemeine und zentrale rechtsstaatliche Bedeutung zugeschrieben: Das Öffentlichkeitsprinzip gehöre zu den elementaren Grundlagen eines demokratischen Rechtsstaates und bedeute eine Absage an jede Form geheimer Kabinettsjustiz. Die interessierte Öffentlichkeit müsse erfahren können, wie das Recht verwaltet und wie die Rechtspflege ausgeübt wird. Der Öffentlichkeitsgrundsatz sorge für Transparenz in der Rechtspflege, die eine demokratische Kontrolle durch das Volk erst ermögliche (BGE 124 IV 234 E. 3b S. 238; s. auch BGE 133 I 106 E. 8.1 S. 107 mit Hinweisen).
6.2 Eine Verfahrenserledigung durch Einstellungs- und Nichtanhandnahmeverfügungen erfolgt grundsätzlich, wenn im Hinblick auf eine gerichtliche Beurteilung des beanzeigten Falles mit grosser Wahrscheinlichkeit ein Freispruch (mangels Beweisen oder mangels Strafbarkeit) erfolgen würde bzw. eine Verfahrenseinstellung aufgrund eines Prozesshindernisses (§§ 20, 73 Abs. 4 und 137-141 StPO/TG; vgl. auch Robert Hauser/Erhard Schweri/Karl Hartmann, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Aufl., Basel 2005, § 78 Rz. 2-17). Soweit in Nichteintretens- und Einstellungsverfügungen die Tatverantwortung des Beanzeigten verneint wird, sind auch diese zu den strafprozessualen Sachentscheiden zu zählen (vgl. Niklaus Schmid, Strafprozessrecht, 4. Aufl., Zürich 2004, § 37 Rz. 573 und Fn. 65). In den übrigen Fällen stellen sie verfahrenserledigende Prozessentscheide dar (vgl. Schmid, a.a.O., Rz. 580).
6.3 In begründeten Fällen kann die Öffentlichkeit und können interessierte Private durchaus ein legitimes Interesse an der Klärung der Frage haben, weshalb es zu nichtgerichtlichen Verfahrenserledigungen ohne Straffolgen durch Sach- und Prozessentscheide kommt. Ein solches Informationsbedürfnis kann sich insbesondere bei systematischen bzw. auffällig häufigen Verfahrenserledigungen dieser Art durch Ermittlungs- und Untersuchungsbehörden bzw. Staatsanwaltschaften aufdrängen, gerade in Bereichen, die auf ein besonderes Interesse der Öffentlichkeit stossen. Bei nicht verfahrensbeteiligten Dritten erscheint es allerdings geboten, ein schutzwürdiges Informationsinteresse zu verlangen (vgl. BGE 124 IV 234 E. 3d S. 239 f.). Ein solches Interesse ist ausserdem (im Lichte des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes) gegen allfällige besondere Geheimhaltungsinteressen der Justizbehörden oder von mitbetroffenen Dritten abzuwägen (vgl. BGE 133 I 106 E. 8.1 S. 107 f.). Einsichtsgesuche dürfen insbesondere das gute Funktionieren der Strafjustiz nicht gefährden und finden eine Schranke auch am Rechtsmissbrauchsverbot. Bei entgegenstehenden privaten oder öffentlichen Interessen ist allerdings zu prüfen, ob diesen durch Kürzung oder Anonymisierung ausreichend Rechnung getragen werden kann (vgl. BGE 124 IV 234 E. 3c S. 239). Jegliche Information aus diesem Bereich der Justiztätigkeit zum Vornherein völlig auszuschliessen, hiesse demgegenüber, rechtsstaatlich unzulässige Reservate möglicher behördlicher Willkür oder intransparenter "Geheimjustiz" zu öffnen.
6.4 Zwar wird in der Lehre teilweise die Ansicht vertreten, der Öffentlichkeitsgrundsatz beschränke sich in der Regel auf materielle Straferkenntnisse bzw. Strafverfügungen (vgl. HANS WIPRÄCHTIGER, Kontrolle der Strafjustiz durch Medien und Öffentlichkeit - eine Illusion? Medialex 2004 Nr. 1 S. 38 ff., 44). Eine allzu rigide formale Unterscheidung trüge jedoch der dargelegten rechtsstaatlichen Funktion des Öffentlichkeitsprinzips nicht ausreichend Rechnung. Ausserdem übersähe sie, dass in gewissen Fällen (nämlich soweit darin die Tatverantwortung des Beanzeigten verneint wird) auch Einstellungsverfügungen den strafprozessualen Sachentscheiden zuzurechnen sind.
6.5 Nach der dargelegten Praxis ergibt sich aus Art. 30 Abs. 3 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK kein pauschaler und unbeschränkter Anspruch von nicht verfahrensbeteiligten Dritten, in Straferkenntnisse bzw. Einstellungs- und Nichtanhandnahmeverfügungen Einsicht zu nehmen. Art. 30 BV bezeichnet als Grundrechtsträger jene Personen, "deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss". Auch Art. 6 Ziff. 1 EMRK schützt primär den Angeklagten und die übrigen Parteien des Strafverfahrens (insbesondere allfällige Geschädigte mit Parteistellung). Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes ist der rechtsstaatlichen Funktion und dem Schutzbereich des Öffentlichkeitsgrundsatzes jedoch ausreichend Rechnung zu tragen. Insbesondere hat der demokratische Rechtsstaat sicherzustellen, dass sich Medien, aber auch interessierte Institutionen und Private mit schutzwürdigen Informationsinteressen, über wichtige Bereiche der Justiztätigkeit ausreichend informieren können. Der betreffende Anspruch steht nicht nur den Parteien des Strafverfahrens zu, sondern auch der interessierten Öffentlichkeit (BGE 124 IV 234 E. 3c S. 239). Das Bundesgericht hat in diesem Zusammenhang entschieden, dass nicht nur Geschädigte bzw. Strafkläger mit Parteistellung grundsätzlich das Recht haben, in sie tangierende verfahrensabschliessende Verfügungen Einsicht zu erhalten, sondern auch blosse Strafanzeiger (BGE 124 IV 234 E. 3d S. 240). Wie dargelegt, wäre angesichts der zentralen rechtsstaatlichen Funktion des Öffentlichkeitsprinzips kein überzeugender Grund ersichtlich, diese Praxis ausnahmslos auf materielle Straferkenntnisse zu beschränken.
6.6 Nach dem Gesagten kann aus dem grundrechtlich verankerten rechtsstaatlichen Öffentlichkeitsprinzip (Art. 30 Abs. 3 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK) ein Informationsanspruch und Einsichtsrecht fliessen, sofern der Gesuchsteller ein schutzwürdiges Informationsinteresse nachweisen kann und keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen der beantragten Einsichtnahme entgegenstehen.
6.7 Unbestrittenermassen handelt es sich beim Beschwerdeführer 1 um einen Verein, der sich gemäss seinen Statuten für die Durchsetzung der einschlägigen Tierschutzvorschriften zugunsten von Nutztieren einsetzt. Der Beschwerdeführer 2 nimmt als Vereinspräsident die Interessen des Beschwerdeführers 1 wahr. Eine nach Ansicht der Beschwerdeführer tierschutzgesetzwidrige Haltung von 80 Pferden durch zwei im Kanton Thurgau ansässige Pferdehändler habe in den vergangenen 6-7 Jahren zu verschiedenen Anzeigen sowie zu Verzeigungen seitens des kantonalen Veterinäramtes geführt. Diese Verfahren seien auf dubiose Weise allesamt im Sand verlaufen bzw. vom zuständigen Untersuchungsrichter systematisch eingestellt worden. Die kantonalen Behörden nehmen zu diesen Darlegungen keine Stellung. Ebenso wenig machen sie überwiegende öffentliche oder private Interessen geltend, die der beantragten Einsicht in die fraglichen Einstellungs- und Nichtanhandnahmeverfügungen entgegenstehen könnten.
6.8 Bei dieser Sachlage erweist sich die Beschwerde als begründet. Der angefochtene Entscheid ist zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die kantonalen Behörden haben eine Interessenabwägung im Sinne der obigen Erwägungen zu treffen. Fällt diese zugunsten der Beschwerdeführer aus, ist ihr Einsichtnahmegesuch zu bewilligen.
7. Es ergibt sich, dass die Beschwerde gutzuheissen ist.
Gerichtskosten sind nicht zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Die Beschwerdeführer sind nicht anwaltlich vertreten und stellen auch kein begründetes Gesuch um Parteientschädigung. Eine solche ist daher nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Beschluss der Anklagekammer des Kantons Thurgau vom 3. Juli 2007 wird aufgehoben, und die Streitsache wird zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern sowie der Staatsanwaltschaft und der Anklagekammer des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. April 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Forster