Sachverhalt:
A. Im Januar 2008 ersuchten B._ und A._ beim Stadtrat Luzern um die Baubewilligung für zwei in der Höhe gestaffelte Baukörper an der Salzfassstrasse 26, Grundstück Nr. 3338, GB Luzern, rechtes Ufer. Dagegen erhoben u.a. X._ und Y._ sowie Z._ Einsprache. Der Stadtrat Luzern bewilligte das Vorhaben am 1. Juli 2008 mit kleinen Änderungen, hiess die eingereichten Einsprachen teilweise gut und wies sie im Übrigen ab, soweit er darauf eintrat. Gleichzeitig nahm er davon Kenntnis, dass sich B._ aus dem Verfahren zurückgezogen hatte.
B. Gegen diesen Entscheid gelangten X._, Y._ und Z._ ans kantonale Verwaltungsgericht. Dieses hiess die Beschwerden teilweise gut und änderte den angefochtenen Entscheid insofern ab, als die offenen Räume und der Liftraum auf Niveau 6 sowie die Aussenisolationen im Sinne der Erwägungen 6b, 6c und 7c des Urteils bei der Volumenberechnung zu berücksichtigen seien. Der Bauherr wurde verpflichtet, der Vorinstanz eine nachvollziehbare Volumenberechnung per Geschoss nachzureichen. Im Übrigen wies das Verwaltungsgericht die Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat.
C. Auf die dagegen eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten von X._ und Y._ trat das Bundesgericht mit Urteil 1C_473/2009 am 12. November 2009 nicht ein. Es befand, das angefochtene Urteil schliesse das Baubewilligungsverfahren nicht ab; es handle sich um einen Zwischenentscheid, mit dem kein nicht wieder gutzumachender Nachteil verbunden sei.
D. Der Bauherr reichte in der Folge ein überarbeitetes Projekt ein, u.a. auch mit neuer Volumenberechnung. Die Baudirektion der Stadt Luzern behandelte das Baugesuch im vereinfachten Verfahren und gab den Anstössern sowie weiteren betroffenen Grundeigentümern Gelegenheit, innert zehn Tagen (vom 17. bis 26. Februar 2010) Einsprache zu erheben. Am 10. August 2010 erteilte sie die Baubewilligung für die Projektänderung und wies die dagegen erhobenen Einsprachen von X._, Y._ und Z._ ab, soweit sie darauf eintrat.
E. X._ und Y._ erhoben wiederum Verwaltungsgerichtsbeschwerde, die am 4. August 2011 teilweise gutgeheissen wurde. Das Verwaltungsgericht erklärte die Baupläne vom 2. Februar 2011 für das Bauvorhaben als verbindlich, wies die Beschwerde im Übrigen aber ab, soweit es darauf eintrat.
F. Mit ihrer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 9. September 2011 beantragen X._ und Y._ die Aufhebung sämtlicher Entscheide, die auf kantonaler und kommunaler Ebene in der Sache bisher ergangen sind. Die Sache sei zur neuen Kostenverlegung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Gleichzeitig ersuchen die Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
A._ als Bauherr und privater Beschwerdegegner schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Stadt Luzern und das Verwaltungsgericht beantragen je die Abweisung der Beschwerde.
In einer weiteren Eingabe halten die Beschwerdeführer sinngemäss an ihren Anträgen fest.
G. Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat das Gesuch um aufschiebende Wirkung am 6. Oktober 2011 abgewiesen.
Erwägungen:
1. 1.1 Dem angefochtenen Entscheid liegt ein Beschwerdeverfahren über eine baurechtliche Bewilligung zugrunde. Nach Art. 34 Abs. 1 RPG (SR 700) gelten für die Rechtsmittel an die Bundesbehörden die allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 lit. a BGG steht auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält keinen Ausschlussgrund (Art. 83 BGG). Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, welcher das Verfahren abschliesst (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG).
1.2 Die Beschwerdeführer sind als Eigentümer des Grundstücks Nr. 3381 und unmittelbar angrenzende Nachbarn des umstrittenen Bauvorhabens durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und haben ein schützenswertes Interesse daran, das Projekt zu verhindern. Auf ihre frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist - unter Vorbehalt von E. 1.3 und 1.4 - hiernach einzutreten.
1.3 Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Genügt die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht, so ist darauf nicht einzutreten. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG); dies setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die minimalen Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG erfüllt.
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung; dazu BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Für derartige Rügen gelten die gleichen Begründungsanforderungen, wie sie gestützt auf Art. 90 Abs. 1 lit. b OG für die staatsrechtliche Beschwerde gegolten haben (BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen).
1.4 Unzulässig ist der Antrag der Beschwerdeführer, sämtliche vorgängig in der Sache ergangenen Entscheide auf kommunaler Ebene aufzuheben. Als Folge des im Beschwerdeverfahren geltenden Devolutiveffekts haben die beiden Verwaltungsgerichtsurteile diese ersetzt. Sie gelten als inhaltlich mitangefochten (BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144).
2. Die Beschwerdeführer wenden sich zunächst dagegen, dass die Baudirektion für das abgeänderte Projekt das vereinfachte Baugesuchsverfahren angewandt hat.
2.1 Das Verwaltungsgericht ist auf diese Rüge gar nicht eingetreten, weil es die Beschwerdeführer als nicht legitimiert erachtet hat. Dazu hat es in Erwägung gezogen, die Beschwerdeführer selber hätten keinen Rechtsnachteil erlitten. Ihr rechtliches Gehör sei gewahrt worden. Mit ihrem Einwand, nicht jeder einsprachewillige Nachbar habe die Möglichkeit gehabt, seine Rechte im Rahmen des Baubewilligungsverfahrens wahrzunehmen, würden die Beschwerdeführer bloss ein allgemeines öffentliches Interesse an der richtigen Anwendung des Rechts verfolgen.
2.2 Mit dieser Argumentation setzen sich die Beschwerdeführer überhaupt nicht auseinander. Sie wiederholen in appellatorischer Weise ihre vor dem Verwaltungsgericht geäusserten Bedenken, ohne eine Verfassungs- oder Bundesrechtswidrigkeit darzutun. Darauf ist nicht einzutreten. Selbst wenn die Rüge den Begründungsanforderungen genügen würde, wäre sie abzuweisen, hat doch das Verwaltungsgericht die Legitimation zu Recht verneint (vgl. dazu das Urteil 1C_440/2010 des Bundesgerichts vom 8. März 2011 E. 3).
3. 3.1 Weiter bestreiten die Beschwerdeführer, dass die Baudirektion nach dem Rückweisungsentscheid des Verwaltungsgerichts befugt gewesen sei, lediglich ein Planänderungsverfahren durchzuführen. Unabhängig von den Änderungen der internen Zuständigkeitsvorschriften hätte die Stadt Luzern nach Ansicht der Beschwerdeführer einen vollständig neuen Entscheid fällen müssen.
3.2 Das Verwaltungsgericht hat in seinem zweiten Urteil in E. 2a deutlich gemacht, über welche Punkte es bereits im Entscheid vom 17. September 2009 befunden hatte. Der Beschwerdegegner sei nur zu einer neuen Volumenberechnung verpflichtet worden. Daraus wird klar, warum die Vorinstanz ein Änderungsgesuch genügen lässt, hatte sie doch über etliche Vorhalte bereits im Jahr 2009 entschieden. Zwar hat der Beschwerdegegner danach sein Bauvorhaben noch weiter abgeändert, indes nicht in wesentlichen Punkten. Dem Verwaltungsgericht ist deshalb nicht vorzuwerfen, dass es die Baudirektion darin geschützt hat, kein vollständig neues Verfahren durchzuführen. Weder setzen sich die Beschwerdeführer damit rechtsgenüglich auseinander noch begründen sie ihre Forderung in irgendeiner Weise. Entgegen ihrer Meinung ist auch das Bundesgericht in seinem Urteil vom 12. November 2009 nicht von einer integralen Zurückweisung ausgegangen. In E. 3 hat es festgehalten, das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts habe "noch nicht alle wesentlichen baurechtlichen Fragen" entschieden und der Beschwerdegegner werde angewiesen, der Vorinstanz eine nachvollziehbare und übersichtliche geschossweise Volumenberechnung nachzureichen. Die Rüge ist unbegründet.
4. 4.1 Die Beschwerdeführer stossen sich daran, dass das Verwaltungsgericht § 220 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3. Juli 1972 (VRG/LU; SRL Nr. 40) zum Übergangsrecht nicht analog angewandt hat. Aus ihrer Sicht wäre nicht die Baudirektion, sondern weiterhin der Stadtrat für die neuerliche Beurteilung des Bauvorhabens zuständig gewesen.
4.2 Das Verwaltungsgericht stützt sich auf Art. 9 der Verordnung zum Reglement über die Organisation der Stadtverwaltung Luzern vom 28. August 2002, der per 1. Januar 2010 in Kraft getreten ist, mithin vor dem strittigen Beschluss der Baudirektion. Darin ist es zu schützen, betrifft doch § 220 VRG/LU die Anwendung des Verfahrensrechts. Die Frage nach der zuständigen Behörde hingegen wird im Organisationsrecht geregelt. Weitere Ausführungen hierzu erübrigen sich mit Hinweis auf E. 4 des angefochtenen Urteils (Art. 109 Abs. 3 BGG), zumal auch auf diese Rüge mangels ausreichender Begründung gar nicht eingetreten werden kann.
5. Erstmals vor Bundesgericht machen die Beschwerdeführer geltend, mit der Auflage der neuen Bau- und Zonenordnung der Stadt Luzern (BZR) gälten für das Bauvorhaben völlig neue Bestimmungen. Diese neue BZR gelte gemäss § 85 PBG/LU ab ihrer Auflage als Planungszone im Sinn von Art. 27 RPG und §§ 80 ff. PBG/LU. Sie entfalte eine negative Vorwirkung, indem das Bauprojekt nicht nur den aktuellen, sondern auch den neuen Bau- und Zonenvorschriften zu entsprechen habe.
5.1 Die Beschwerdeführer berufen sich damit auf eine neue Tatsache, wozu nicht erst der angefochtene Entscheid Anlass gegeben hat. Es handelt sich um ein unzulässiges Novum (Art. 99 BGG), auf das grundsätzlich nicht einzutreten ist. Dabei ist der Einwand der Beschwerdeführer unbehelflich, wonach die Vorinstanz das Recht von Amtes wegen anzuwenden habe. Das Verwaltungsgericht gesteht in seiner Vernehmlassung zu, dass es von der Planauflage nicht gewusst habe. Was die Kenntnis relevanter Tatsachen anbelangt, gilt zwar grundsätzlich die Untersuchungsmaxime ("iura novit curia"). Dies entbindet aber die Parteien nicht davon, ihren Mitwirkungspflichten nachzukommen (so auch § 55 VRG/LU). Es hätte den Beschwerdeführern oblegen, schon das Verwaltungsgericht auf die nun vor Bundesgericht angerufene neue BZR hinzuweisen. Dazu äussern sie sich nicht.
5.2 Selbst wenn auf die Rüge einzutreten wäre, wäre sie abzuweisen: Gemäss § 85 Abs. 2 Satz 1 PBG/LU gelten neue Nutzungspläne und neue Bau- und Zonenvorschriften ab dem Zeitpunkt ihrer öffentlichen Auflage als Planungszone. § 84 PBG/LU hält unter dem Marginale "Verfahren" in Abs. 1 fest, die für die Bestimmung einer Planungszone zuständige Behörde lege die massgebenden Pläne und Vorschriften während 30 Tagen öffentlich auf und mache die Auflage öffentlich bekannt. In der Bekanntmachung sei auf die Einsprachemöglichkeiten während der Auflagefrist hinzuweisen. Daraus lässt sich schliessen, dass die Planungszone ihre hemmende Wirkung erst mit der Planauflage im Einspracheverfahren entfaltet und nicht bereits im früheren Stadium der Mitwirkung. Dies macht Sinn, ist doch auf der Stufe Mitwirkung noch offen, ob die Absichten der Planbehörde mit denjenigen der Bevölkerung korrelieren oder ob noch massgebliche Änderungen vorgenommen werden sollen (vgl. § 6 PBG/LU). Ansonsten würde die öffentliche Mitwirkung hinfällig.
5.3 Wirkt die Planungszone aber erst mit der Auflage im Einspracheverfahren, konnte sie auf den Entscheid des Verwaltungsgerichts gar keinen Einfluss haben: Die Pläne lagen erst vom 18. August bis 16. September 2011 öffentlich auf, während das angefochtene Urteil am 4. August 2011 erging, also klar vor Inkrafttreten der Planungszone. Wollte man auf die Mitwirkungsauflage (September bis Dezember 2010) abstellen, wäre diese jedenfalls ohne Wirkung auf die Entscheide des Stadtrats (1. Juli 2008) und der Baudirektion (10. August 2010) gewesen. Nach § 153 VRG/LU sind für die Beurteilung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde die tatsächlichen und rechtlichen Verhältnisse im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids massgebend. Dies entspricht einem allgemeinen Rechtsgrundsatz. Die Beschwerdeführer machen zwar geltend, eine während des verwaltungsgerichtlichen Rechtsmittelverfahrens bekannt gewordene Planungszone sei beachtlich. Sie legen aber nicht dar, weshalb dem so sein sollte bzw. warum es willkürlich sein sollte, künftigen Vorschriften in diesem Verfahrensstadium nicht per se eine negative Vorwirkung zuzuerkennen (zur hemmenden Wirkung einer Planungszone im Rechtsmittelverfahren siehe das Urteil 1C_91/2011 vom 28. Oktober 2011 E. 2.6.2 und 2.7).
5.4 Schliesslich zeigen die Beschwerdeführer auch nicht konkret auf, inwiefern sich die künftigen Bauvorschriften negativ auf das zulässige Bauvolumen auswirken sollen. Sie belassen es bei der blossen Behauptung, dass das Vorhaben nicht bewilligungsfähig wäre. Dies genügt den Rügeanforderungen nicht.
5.5 Die Rüge erweist sich insgesamt als unbegründet, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann. Damit bleibt es beim von der Vorinstanz angewandten kantonalen Recht.
6. In materieller Hinsicht rügen die Beschwerdeführer die Verletzung einer Vielzahl von kantonalen Bestimmungen. Über weite Teile lässt die Beschwerde eine rechtsgenügliche Auseinandersetzung mit den Urteilen des Verwaltungsgerichts im Sinn von Art. 106 Abs. 2 BGG vermissen. Die Beschwerdeführer legen ihre Sicht der Dinge dar, ohne den Vorwurf der Willkür hinreichend zu begründen. Soweit auf die Vorhalte einzutreten ist, ist Folgendes in Erwägung zu ziehen:
6. In materieller Hinsicht rügen die Beschwerdeführer die Verletzung einer Vielzahl von kantonalen Bestimmungen. Über weite Teile lässt die Beschwerde eine rechtsgenügliche Auseinandersetzung mit den Urteilen des Verwaltungsgerichts im Sinn von Art. 106 Abs. 2 BGG vermissen. Die Beschwerdeführer legen ihre Sicht der Dinge dar, ohne den Vorwurf der Willkür hinreichend zu begründen. Soweit auf die Vorhalte einzutreten ist, ist Folgendes in Erwägung zu ziehen:
6.1 6.1.1 Das Verwaltungsgericht hat das umstrittene Vorhaben in E. 2 seines Urteils vom 17. September 2009 als gestaffelten Baukörper mit zwei versetzten Gebäudeteilen beschrieben. Folglich liege das "Haus unten" vollständig unter dem Niveau des "Hauses oben", weshalb die in den §§130 ff. PBG/LU statuierten Gebäudeabstände nicht berücksichtigt werden müssten. Die einzelnen Gebäudeteile seien jedoch um mindestens 3 m zu versetzen, was vorliegend der Fall sei. Im Rahmen der Grenzabstandsberechnungen sei kein Mehrlängenzuschlag zu machen.
6.1.2 Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführer geht das Verwaltungsgericht damit nicht von zwei Gebäuden aus, sondern von einem - wenn auch gestaffelten - Bau. Dies erklärt auch, weshalb es die Gebäudeabstände für irrelevant erklärt. Was daran willkürlich sein soll, ist nicht ersichtlich und wurde auch nicht rechtsgenüglich dargetan. Ein Blick auf die Schnittpläne 308-207-2 bzw. 308-212.2 lässt die Auffassung des Verwaltungsgerichts jedenfalls als vertretbar erscheinen. Nicht zu überzeugen vermögen die Beschwerdeführer, wenn sie behaupten, das Verwaltungsgericht habe in diesem Zusammenhang Art. 4 Abs. 1 BZR willkürlich ausgelegt: Nach dieser Bestimmung darf in Gebieten mit Volumenerhaltung bei Neubauten und Veränderungen an bestehenden Bauten das Ausmass des bestehenden oberirdischen Gebäudevolumens nicht überschritten werden. Die Geschosszahl richtet sich nach den benachbarten Bauten. Nach Lesart des Verwaltungsgerichts findet sich in dieser Bestimmung keine Vorgabe zur Anzahl der auf einem Grundstück zulässigen Gebäude. Diese Auslegung steht in Übereinstimmung mit dem Wortlaut. Selbst wenn die Gebäudeanzahl vorgegeben wäre, könnten die Beschwerdeführer daraus nichts zu ihren Gunsten ableiten. Sie behaupten nämlich, auf dem Baugrundstück dürfe nur ein Haus errichtet werden. Nachdem das Verwaltungsgericht auch von einem Baukörper ausgeht, wäre diesem Anliegen Genüge getan. Dies kann aber wie gesehen offen bleiben, da Art. 4 Abs. 1 BZR keine entsprechenden Auflagen formuliert. Soweit die Beschwerdeführer rügen, die Grenzabstände würden nicht eingehalten, begründen sie in keiner Weise wo, in welchem Ausmass und weshalb dem so sei.
6.1.2 Entgegen der Behauptung der Beschwerdeführer geht das Verwaltungsgericht damit nicht von zwei Gebäuden aus, sondern von einem - wenn auch gestaffelten - Bau. Dies erklärt auch, weshalb es die Gebäudeabstände für irrelevant erklärt. Was daran willkürlich sein soll, ist nicht ersichtlich und wurde auch nicht rechtsgenüglich dargetan. Ein Blick auf die Schnittpläne 308-207-2 bzw. 308-212.2 lässt die Auffassung des Verwaltungsgerichts jedenfalls als vertretbar erscheinen. Nicht zu überzeugen vermögen die Beschwerdeführer, wenn sie behaupten, das Verwaltungsgericht habe in diesem Zusammenhang Art. 4 Abs. 1 BZR willkürlich ausgelegt: Nach dieser Bestimmung darf in Gebieten mit Volumenerhaltung bei Neubauten und Veränderungen an bestehenden Bauten das Ausmass des bestehenden oberirdischen Gebäudevolumens nicht überschritten werden. Die Geschosszahl richtet sich nach den benachbarten Bauten. Nach Lesart des Verwaltungsgerichts findet sich in dieser Bestimmung keine Vorgabe zur Anzahl der auf einem Grundstück zulässigen Gebäude. Diese Auslegung steht in Übereinstimmung mit dem Wortlaut. Selbst wenn die Gebäudeanzahl vorgegeben wäre, könnten die Beschwerdeführer daraus nichts zu ihren Gunsten ableiten. Sie behaupten nämlich, auf dem Baugrundstück dürfe nur ein Haus errichtet werden. Nachdem das Verwaltungsgericht auch von einem Baukörper ausgeht, wäre diesem Anliegen Genüge getan. Dies kann aber wie gesehen offen bleiben, da Art. 4 Abs. 1 BZR keine entsprechenden Auflagen formuliert. Soweit die Beschwerdeführer rügen, die Grenzabstände würden nicht eingehalten, begründen sie in keiner Weise wo, in welchem Ausmass und weshalb dem so sei.
6.2 6.2.1 Sodann werfen die Beschwerdeführer dem Verwaltungsgericht Willkür bei der Volumenberechnung vor. Indem es nicht auf das gewachsene oder tiefer gelegte Terrain abstelle, lege es die kantonale Planungs- und Bauverordnung vom 27. November 2001 (PBV/LU; SRL Nr. 736) und das BZR willkürlich aus.
6.2.2 Das Verwaltungsgericht hat sich sowohl in E. 5c des Urteils vom 17. September 2009 wie auch in E. 5a des Entscheids vom 4. August 2011 eingehend mit der Frage der Volumenberechnung befasst. Dazu zitiert es zunächst § 20 PBV/LU. Gemäss Abs. 1 dieser Bestimmung berechnet sich die Baumassenziffer aus dem Verhältnis zwischen dem in Erd- und Obergeschossen, dem in Untergeschossen oder dem in allen Geschossen umbauten Raum und der anrechenbaren Grundstücksfläche gemäss § 12 PBV/LU. Als anrechenbar gilt der in Erd- und Obergeschossen, der in Untergeschossen oder der in allen Geschossen umbaute Raum einschliesslich Mauern, Wänden, Decken und Böden (§ 21 PBV/LU). Im Bau- und Zonenreglement ist laut § 20 Abs. 2 PBV/LU zu bestimmen, ob bei der Berechnung der Baumassenziffer der in Erd- und Obergeschossen, der in Untergeschossen oder der in allen Geschossen umbaute Raum zu berücksichtigen ist. Art. 4 Abs. 1 BZR legt für den vorliegenden Fall entsprechend fest, dass in Gebieten mit Volumenerhaltung bei Neubauten und Veränderungen an bestehenden Bauten das Ausmass des bestehenden oberirdischen Gebäudevolumens nicht überschritten werden darf. Die Geschosszahl richtet sich nach den benachbarten Bauten. Zur Berechnung des oberirdischen Gebäudevolumens hat das Verwaltungsgericht das Merkblatt zur Volumenerhaltung der Stadt Luzern beigezogen. Danach ist das Verhältnis zwischen der sichtbaren Fassadenabwicklung des Geschosses und der gesamten Fassadenabwicklung des Geschosses auszurechnen und dieses mit dem gesamten Volumen des Geschosses zu multiplizieren. Bei teilweise erdbedeckten Geschossen wird das oberirdische Volumen also proportional zur oberirdischen (d.h. sichtbaren) Fassadenfläche angerechnet (Merkblatt zur Volumenerhaltung in der Stadt Luzern in der Fassung vom 1. Mai 2010, S. 2 unten). Den Bedenken, auf diese Weise könne das Volumen mittels Aufschüttungen beliebig kaschiert werden, hält das Verwaltungsgericht zu Recht entgegen, solange zur Bestimmung der Fassadenhöhen und der Geschossigkeit auf das ausgemittelte gewachsene oder tiefer gelegte Terrain abgestellt werden müsse, sei die zulässige höhenmässige Ausdehnung der Bauten beschränkt.
Das Verwaltungsgericht hat sich bei seiner Volumenermittlung an die gesetzlichen Grundlagen gehalten. Dass dabei jeder Zentimeter entscheidend ist, versteht sich von selbst und trifft auch für alle anderen Masse eines Bauprojektes zu. Aus den §§ 122 und 139 PBG/LU können die Beschwerdeführer nichts zu ihren Gunsten ableiten: Zwar wird bei der Berechnung des Grenzabstands bzw. der Höhenmasse auf das gewachsene oder tiefer gelegte Terrain abgestellt. Dem Verwaltungsgericht ist aber darin zuzustimmen, dass die Normen zur Volumenerhebung keine derartige Regelung enthalten. Willkür ist darin nicht zu erkennen.
Das Verwaltungsgericht hat sich bei seiner Volumenermittlung an die gesetzlichen Grundlagen gehalten. Dass dabei jeder Zentimeter entscheidend ist, versteht sich von selbst und trifft auch für alle anderen Masse eines Bauprojektes zu. Aus den §§ 122 und 139 PBG/LU können die Beschwerdeführer nichts zu ihren Gunsten ableiten: Zwar wird bei der Berechnung des Grenzabstands bzw. der Höhenmasse auf das gewachsene oder tiefer gelegte Terrain abgestellt. Dem Verwaltungsgericht ist aber darin zuzustimmen, dass die Normen zur Volumenerhebung keine derartige Regelung enthalten. Willkür ist darin nicht zu erkennen.
6.3 6.3.1 Weiter ist die Garage auf Niveau 6 nach Ansicht der Beschwerdeführer in die Volumenberechnung miteinzubeziehen. Die in Art. 4 Abs. 4 BZR genannten Ergänzungsbauten könnten nur bei bestehenden Bauten realisiert werden. Das Volumen einer Garage auf einem Flachdach sei anders zu beurteilen als das Volumen einer gleich grossen, aber frei stehenden Garage.
6.3.2 Art. 4 BZR trägt das Marginale "Volumenerhaltung". Nach Abs. 2 ist die äusserste Gebäudehülle massgebend. Offene Gebäudeteile wie Balkone, offene Hallen und andere überdachte, offene Gebäudeteile zählen nicht zum Gebäudevolumen im Sinne von Abs. 1, ausser wenn sie einer gewerblichen Nutzung oder der Erschliessung dienen. Abs. 4 hält in exemplarischer Aufzählung fest, dass Ergänzungsbauten wie Garagen, Einstellhallen, Gartenhäuschen usw. gestattet sind. Gemäss Abs. 5 Satz 1 legt der Stadtrat bei unbebauten Grundstücken und bei Grundstücken, die im Vergleich zur Umgebung weniger dicht bebaut sind, das zulässige Bauvolumen fest. Für das Verwaltungsgericht würde es jeder sachlichen Grundlage entbehren, wenn eine frei stehende Garage nicht zum Volumen gezählt werden müsste, eine dem Hauptbau angeschlossene aber schon. Aus Art. 4 BZR sei nicht ersichtlich, dass dessen Abs. 2 und 4 nur auf bestehende Bauten anzuwenden wären. Dies erscheint dem Verwaltungsgericht umso widersinniger, weil ein Neubau zunächst ohne Garage erstellt werden könnte und einige Jahre später doch noch eine solche errichtet werden könnte, dann aber ohne Anrechnung ans Volumen.
6.3.3 Die Argumentation des Verwaltungsgerichts überzeugt, während es für die von den Beschwerdeführern verlangte Differenzierung keinen sachlichen Grund gibt. Es ist nicht einzusehen, warum Abs. 2 und 4 nur für bestehende Bauten gelten sollten, nennt doch Abs. 1 in seinen Grundsätzen zur Volumenberechnung nicht nur die Veränderungen an bestehenden Bauten, sondern ausdrücklich auch die Neubauten. Die nachfolgenden Abs. 2-4 präzisieren die Berechnungsregeln und führen Ausnahmen von der Anrechenbarkeit an. Auch in dieser Hinsicht ist darum dem Verwaltungsgericht keine Willkür vorzuwerfen.
6.3.3 Die Argumentation des Verwaltungsgerichts überzeugt, während es für die von den Beschwerdeführern verlangte Differenzierung keinen sachlichen Grund gibt. Es ist nicht einzusehen, warum Abs. 2 und 4 nur für bestehende Bauten gelten sollten, nennt doch Abs. 1 in seinen Grundsätzen zur Volumenberechnung nicht nur die Veränderungen an bestehenden Bauten, sondern ausdrücklich auch die Neubauten. Die nachfolgenden Abs. 2-4 präzisieren die Berechnungsregeln und führen Ausnahmen von der Anrechenbarkeit an. Auch in dieser Hinsicht ist darum dem Verwaltungsgericht keine Willkür vorzuwerfen.
6.4 6.4.1 Schliesslich wenden sich die Beschwerdeführer dagegen, dass das Verwaltungsgericht dem umstrittenen Bau den Minergiebonus gewährt. Sie vertreten die Auffassung, dieser komme nur im Zusammenhang mit der Anwendung von Ausnützungsziffern in Frage. Vorliegend gehe es um Volumenerhaltung. Für solche Bauten sei ein Bonus nicht vorgesehen.
6.4.2 Die Ausnützungsziffer ist die Verhältniszahl zwischen der Gesamtheit der anrechenbaren Geschossflächen der Bauten und der anrechenbaren Grundstücksfläche (§ 24 PBG/LU). Als anrechenbare Geschossflächen gelten die tatsächlichen Flächen des abgeschlossenen Raums aller Geschosse ohne Aussenmauern und ohne die in § 10 Abs. 1 PBV/LU genannten Flächen, multipliziert mit einem Berechnungsfaktor, der für die ein- bis dreigeschossigen Zonen 0.8, ab den viergeschossigen Zonen für alle übrigen Zonen 0.9 beträgt (§ 9 Abs. 1 PBV/LU). Demgegenüber ist die Baumassenziffer die Verhältniszahl zwischen dem umbauten Raum und der anrechenbaren Grundstücksfläche (§ 26 PBG/LU). Zur Berechnung der Baumassenziffer äussert sich der bereits in E. 6.2.2 hiervor zitierte § 20 Abs. 1 PBV/LU. Sowohl die Ausnützungs- wie die Baumassenziffer gehören zu den sogenannten Bauziffern. Solche können im Bau- und Zonenreglement zur Bestimmung der zulässigen maximalen und minimalen Nutzung in den Bauzonen festgelegt werden (vgl. § 23 PBG/LU). Beide Ziffern dienen also dazu, die Überbauungsdichte auf einem Grundstück zu bestimmen.
6.4.3 Ist ein Gebäude Minergie-zertifiziert oder werden mindestens 75% des Wärmebedarfs für Heizungen und Warmwasser mit erneuerbaren Energien gedeckt, werden 5% der anrechenbaren Geschossflächen nicht angerechnet (§ 10 Abs. 2 PBV/LU). Trotz ihrer systematischen Ansiedlung unter dem Titel 4 lit. a "Ausnützungsziffer" der PBV/LU wendet das Verwaltungsgericht diese Bestimmung auch bei der Dichtebemessung nach der Baumassenziffer an. Es zieht dazu in Erwägung, mit dem Bonus werde beabsichtigt, diejenigen Bauherren nicht zu benachteiligen, die aufgrund energiefreundlichen Bauens eine kleinere anrechenbare Geschossfläche in Kauf nehmen müssten. Dass eine solche Benachteiligung nicht nur beim Bauen nach Ausnützungsziffern, sondern auch nach Volumenerhaltung der Fall sei, sei offensichtlich. Bei gleich bleibendem Gesamtvolumen verringere sich das Volumen innerhalb eines Hauses im Umfang der Verbreiterung des Mauerwerks. Aus Gründen der rechtsgleichen Behandlung aller Grundeigentümer rechtfertige es sich daher, auch in Bauzonen mit Volumenerhaltung den Abzug gemäss § 10 Abs. 2 PBV/LU analog anzuwenden und einen Minergiebonus von 5% zuzulassen.
6.4.4 Dieser Schlussfolgerung ist nichts beizufügen. Sie ist konsequent und offensichtlich nicht willkürlich.
7. Infolgedessen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie haben zudem den privaten Beschwerdegegner angemessen für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben den privaten Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadt Luzern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Die Gerichtsschreiberin: Scherrer Reber