Sachverhalt:
A. Die "Stiftung der Baloise Bank SoBa zur Förderung der solothurnischen Wirtschaft" (im Folgenden: "Stiftung" oder "Stiftung der Baloise Bank SoBa") wurde am 12. Januar 1987 gegründet. Sie bezweckt, die solothurnische Wirtschaft zu fördern, indem sie "Massnahmen zur Stärkung des solothurnischen Wirtschaftsraumes mit dem Ziel einer gedeihlichen, strukturell und regional ausgewogenen Wirtschaftsentwicklung" initiiert und unterstützt. Zu diesem Zweck richtet sie den sogenannten "InnoPrix SoBa" mit Preissummen von bis zu Fr. 25'000.-- pro prämiertes Projekt aus.
B. Das Steueramt des Kantons Solothurn befreite die Stiftung am 15. April 2005 aufgrund "ihrer gemeinnützigen Tätigkeit" von der direkten Bundes-, Staats- und der Gemeindesteuer. Gegen die Befreiung von der Bundessteuer gelangte die Eidgenössische Steuerverwaltung erfolglos an das Steuergericht des Kantons Solothurn. Dieses bestätigte am 26. Juni 2006, dass die Stiftung "aufgrund ihrer Gemeinnützigkeit von der Steuerpflicht zu befreien" sei; dasselbe gelte, da sie effektiv eine umfassende Tätigkeit zugunsten eines "öffentlichen Zwecks" ausübe, ihr Vermögen ausschliesslich und unwiderruflich dem statutarischen bzw. tatsächlich verfolgten Zweck gewidmet sei und dieses im Falle einer Liquidation der öffentlichen Hand oder einer steuerbefreiten Institution mit gleicher oder ähnlicher Zwecksetzung anheimfalle.
C. Die Eidgenössische Steuerverwaltung beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Steuergerichts des Kantons Solothurn aufzuheben und die "Stiftung der Baloise Bank SoBa" vollumfänglich der direkten Bundessteuer zu unterstellen. Das Steueramt und das Steuergericht des Kantons Solothurn beantragen, die Beschwerde abzuweisen; die "Stiftung der Baloise Bank SoBa" verweist auf die Ausführungen in ihrer Stellungnahme an das Kantonale Steuergericht.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Da das angefochtene Urteil vor diesem Zeitpunkt ergangen ist, richtet sich das Verfahren noch nach dem Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG; Art. 132 Abs. 1 BGG).
1.2 Der beanstandete Entscheid ist ein auf Steuerrecht des Bundes gestütztes, letztinstanzliches kantonales Urteil, das mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Bundesgericht angefochten werden kann (Art. 97 Abs. 1 OG in Verbindung mit Art. 5 VwVG und Art. 98 lit. g OG sowie Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer; DBG, SR 642.11). Die Eidgenössische Steuerverwaltung, die über die einheitliche Anwendung des DBG zu wachen hat (Art. 102 DBG), ist gestützt auf Art. 103 lit. b OG hierzu legitimiert (vgl. BGE 124 II 58 E. 1e S. 64). Auf ihre frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2. 2.1 Nach Art. 56 lit. g DBG sind juristische Personen, die öffentliche oder gemeinnützige Zwecke verfolgen, für den Gewinn, der ausschliesslich und unwiderruflich diesen Zwecken gewidmet ist, von der Steuerpflicht befreit (entspricht Art. 23 Abs. 1 lit. f StHG [SR 642.14] bzw. § 90 lit. i des solothurnischen Gesetzes über die Staats- und Gemeindesteuern vom 1. Dezember 1985). Unternehmerische Zwecke sind grundsätzlich nicht gemeinnützig (Art. 56 lit. g Satz 2 DBG). Für die Steuerbefreiung muss die Tätigkeit der juristischen Person im Interesse der Allgemeinheit liegen und uneigennützig erfolgen (vgl. das Kreisschreiben Nr. 12 der EStV vom 8. Juli 1994: Steuerbefreiung juristischer Personen, die öffentliche oder gemeinnützige Zwecke [Art. 56 lit. g DBG] oder Kultuszwecke [Art. 56 lit. h DBG] verfolgen, Ziff. 3 u. 4 [ASA 63 S. 130 ff.]; zu dessen Rechtsnatur: BGE 131 II 1 E. 4.1 mit Hinweisen). Die Tätigkeit muss aus der jeweils geltenden Gesamtsicht als fördernswert erscheinen. Mit der gemeinnützigen Zielsetzung dürfen nicht Erwerbszwecke oder sonst eigene - unmittelbare wirtschaftliche oder persönliche - Interessen der juristischen Person oder ihrer Mitglieder verbunden sein (BGE 114 Ib 277 ff.). Je enger der Destinatärskreis definiert ist, desto eher rechtfertigt es sich, an der Uneigennützigkeit zu zweifeln. Diese fehlt praxisgemäss bei wirtschaftlichen oder beruflichen Vereinigungen, deren Interessen allein auf die Förderung jener des Berufsstandes oder eines oder mehrerer (beschränkter) Wirtschaftszweige gerichtet ist (StE 1987 B 71.63 Nr. 4; vgl. auch das Urteil 2A.408/1990 vom 2. Juli 1991, E. 3a, in: ASA 60 S. 623 ff.). Die steuerbefreite Zwecksetzung muss tatsächlich verfolgt und verwirklicht werden; die hierzu bestimmten Mittel haben unwiderruflich dem gemeinnützigen Zweck zu dienen (vgl. Marco Greter, in: Zweifel/Athanas, Kommentar zum schweizerischen Steuerrecht I/2a, Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer [DBG], 2. Aufl., Basel 2008, N. 23 ff. zu Art. 56 DBG; Nicolas Urech, in: Yersin/Noël, Commentaire romand, Impôt fédéral direct, Basel 2008, N. 52 ff. zu Art. 56 IDF).
2.2 Neben dem gemeinnützigen Zweck nennt Art. 56 lit. g DBG - in Abweichung vom früheren Recht (Art. 16 Ziff. 2 und 3 BdBSt) - auch die öffentliche Zweckverfolgung als steuerprivilegierte Zielsetzung. Da in Art. 56 lit. g DBG die "öffentlichen Zwecke" neben der Gemeinnützigkeit aufgeführt sind, kann es sich bei ihnen nur um eine begrenzte - und somit restriktiv zu fassende - Kategorie von Aufgaben handeln, die sich eng an die Staatsaufgaben anlehnen müssen. Juristische Personen, die in erster Linie Erwerbs- oder Selbsthilfezwecke verfolgen, haben grundsätzlich keinen Anspruch auf Steuerbefreiung, auch wenn sie zugleich öffentlichen Zwecken dienen (vgl. das Urteil 2A.408/1990 vom 2. Juli 1991, E. 3b publ. in: ASA 60 S. 623 ff.). Vorbehalten bleibt eine (gegebenenfalls teilweise) Steuerbefreiung, falls eine juristische Person durch öffentlichrechtlichen Akt (z.B. Gesetz) mit der Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe betraut wurde, eine gewisse Aufsicht des Gemeinwesens vorgesehen ist und darüber hinaus die ausschliessliche und unwiderrufliche (dauernde) Widmung des Eigenkapitals für den öffentlichen Zweck in den Statuten stipuliert wird (kritisch hierzu: Greter, a.a.O., N. 37, sowie Urech, a.a.O., N. 82 zu Art. 56 DBG). Auch in diesem Fall muss die vorgegebene Zwecksetzung konkret und überprüfbar tatsächlich verwirklicht werden; es genügt nicht, die steuerbefreite, im öffentlichen Zweck liegende Tätigkeit bloss statutarisch zu proklamieren (Urteil 2A.254/2000 vom 2. April 2001, E. 2c, publ. in: ASA 70 S. 294 ff.). Liegt diese überwiegend im privaten Interesse - so etwa wenn der Erwerbszweck im Vordergrund steht - ist auch eine teilweise Steuerbefreiung nicht mehr gerechtfertigt (vgl. BGE 131 II 1 E. 3.3 u. E. 3.4 S. 6 ff. mit Hinweisen).
3. Bei der vorliegend umstrittenen Steuerbefreiung handelt es sich um einen Grenzfall:
3.1 Mit der Beschwerdeführerin ist davon auszugehen, dass der statutarische Zweck der Beschwerdegegnerin relativ weit formuliert ist. So sieht Art. 2 der Stiftungsurkunde vor, dass sie "die Förderung der solothurnischen Wirtschaft" bezweckt; er spricht ganz allgemein von Massnahmen, die sie initiiert und unterstützt "zur Stärkung des solothurnischen Wirtschaftsraums mit dem Ziel einer gedeihlichen, strukturell und regional ausgewogenen Wirtschaftsentwicklung". Im Rahmen dieses Zwecks lanciert und unterstützt die Stiftung "Massnahmen zur Struktur- und Innovationsförderung für die solothurnische Wirtschaft, namentlich durch die Erarbeitung von Orientierungshilfen und Entscheidungsgrundlagen für die private Wirtschaft, durch die Anregung, Durchführung oder finanzielle Unterstützung von wissenschaftlichen Untersuchungen sowie durch die Förderung von Wissenschaft und Ausbildung, der Forschung und Entwicklung, des Technologietransfers usw."; sie übt ihre Tätigkeit dabei "eigenständig und unabhängig" aus, kann jedoch hierfür auch "mit Organisationen und Institutionen im Dienste der Wirtschaftsförderung zusammenarbeiten". Zu Recht weist die Beschwerdeführerin zudem darauf hin, dass die Stiftung bis zu einem gewissen Grad (indirekt) eigenen (wirtschaftlichen) Interessen der Stifterin dient (Public Relations, Imageförderung, allfällige Herstellung von Geschäftskontakten, Pflege von Kundenbeziehungen) und sie bei der Verfolgung ihrer Zwecke keiner spezifischen Aufsicht durch die öffentliche Hand unterliegt. Im Rahmen einer Gesamtwürdigung verletzt der angefochtene Entscheid im konkreten Kontext dennoch kein Bundesrecht.
3.1 Mit der Beschwerdeführerin ist davon auszugehen, dass der statutarische Zweck der Beschwerdegegnerin relativ weit formuliert ist. So sieht Art. 2 der Stiftungsurkunde vor, dass sie "die Förderung der solothurnischen Wirtschaft" bezweckt; er spricht ganz allgemein von Massnahmen, die sie initiiert und unterstützt "zur Stärkung des solothurnischen Wirtschaftsraums mit dem Ziel einer gedeihlichen, strukturell und regional ausgewogenen Wirtschaftsentwicklung". Im Rahmen dieses Zwecks lanciert und unterstützt die Stiftung "Massnahmen zur Struktur- und Innovationsförderung für die solothurnische Wirtschaft, namentlich durch die Erarbeitung von Orientierungshilfen und Entscheidungsgrundlagen für die private Wirtschaft, durch die Anregung, Durchführung oder finanzielle Unterstützung von wissenschaftlichen Untersuchungen sowie durch die Förderung von Wissenschaft und Ausbildung, der Forschung und Entwicklung, des Technologietransfers usw."; sie übt ihre Tätigkeit dabei "eigenständig und unabhängig" aus, kann jedoch hierfür auch "mit Organisationen und Institutionen im Dienste der Wirtschaftsförderung zusammenarbeiten". Zu Recht weist die Beschwerdeführerin zudem darauf hin, dass die Stiftung bis zu einem gewissen Grad (indirekt) eigenen (wirtschaftlichen) Interessen der Stifterin dient (Public Relations, Imageförderung, allfällige Herstellung von Geschäftskontakten, Pflege von Kundenbeziehungen) und sie bei der Verfolgung ihrer Zwecke keiner spezifischen Aufsicht durch die öffentliche Hand unterliegt. Im Rahmen einer Gesamtwürdigung verletzt der angefochtene Entscheid im konkreten Kontext dennoch kein Bundesrecht.
3.2 3.2.1 Die "Stiftung der Baloise SoBa" will die Wirtschaft des Kantons Solothurn nachhaltig fördern und unterstützt daher in der Praxis innovative Produkt- und Dienstleistungsideen, die im Kanton entwickelt oder umgesetzt werden. Sie vergibt hierzu den "InnoPrix SoBa", der mit bis zu Fr. 25'000.-- dotiert ist und dessen Geschichte bis ins Jahr 1987 zurückgeht, als die Solothurner Kantonalbank die "Jubiläumsstiftung der Solothurner Kantonalbank" als Vorgängerin der Beschwerdegegnerin gründete. Die Stiftung fördert Projekte, wenn diese (a) einen positiven ökonomischen Effekt für den Solothurner Wirtschaftsraum schaffen, was voraussetzt, dass sie technisch realisierbar und ihre Finanzierung bereits weitgehend sichergestellt sind, (b) Arbeitsplätze erhalten oder kreieren, (c) Beiträge zur Forschung und Entwicklung leisten oder einen Technologietransfer herstellen. Als innovativ gelten Vorhaben, falls in der Vergangenheit bisher keine gleichen Projektarbeiten durchgeführt wurden, ihre Ergebnisse als Produkte oder Dienstleistungen nicht schon existieren und ein Marktpotential dafür besteht. Gefördert werden können sowohl "Privatpersonen/(Jung-)UnternehmerInnen" als auch "KMU" oder "Fachhochschulen". Diese Kriterien konkretisieren die weit formulierte statutarische Zwecksetzung; sie unterstreichen, dass es bei der Vergabe des "InnoPrix SoBa", welche die tatsächliche Aktivität der Stiftung bildet, nicht primär darum geht, das wirtschaftliche Fortkommen einzelner Personen oder Unternehmen zu fördern, sondern den Wirtschaftsstandort Solothurn im allgemeinen Interesse mittels finanzieller Anreize für innovative Projekte attraktiver zu gestalten und damit Arbeitsplätze zu schaffen bzw. zu erhalten sowie den Know-how-Transfer zwischen Forschung und technischer Applikation zu fördern. Die damit verbundenen wirtschaftlichen Vorteile für die einzelnen Unternehmer oder Fachhochschulen bilden Mittel zum Zweck und sind nicht eigentliches (wirtschaftliches) Ziel der Aktivitäten der Beschwerdegegnerin (vgl. zu diesem Abgrenzungskriterium Urech, a.a.O., N. 75 zu Art. 56 DBG).
3.2.2 Gemäss Art. 121 der Kantonsverfassung vom 8. Juni 1996 (SR 131.221) fördert der Kanton eine strukturell und regional ausgewogene Entwicklung der Wirtschaft; er strebt mit der Gewährung von günstigen Rahmenbedingungen eine leistungsfähige Wirtschaft mit einem höchstmöglichen Beschäftigungsgrad an. Eine ähnliche Zielsetzung verfolgt die Beschwerdegegnerin mit ihrem Stiftungsvermögen, wobei ihre Statuten die Möglichkeit der Zusammenarbeit mit weiteren Organisationen und Institutionen im Dienste der Wirtschaftsförderung vorsehen. Auch die Bundesverfassung kennt einen entsprechenden "Wohlfahrtsartikel" (Art. 31bis Abs. 1 aBV, Art. 103 BV [Strukturpolitik]); gestützt darauf verabschiedeten die Eidgenössischen Räte am 6. Oktober 2006 das Bundesgesetz über die Regionalpolitik (BBl 2006 S. 8417 ff.). Dieses will die Wettbewerbsfähigkeit einzelner Regionen stärken und deren Wertschöpfung erhöhen und so zur Schaffung und Erhaltung von Arbeitsplätzen in den Regionen, zur Erhaltung einer dezentralen Besiedelung und zum Abbau regionaler Disparitäten beitragen (Art. 1). Die Tätigkeit der Beschwerdegegnerin ist parallel hierzu auf das Wohl der Allgemeinheit ausgerichtet, selbst wenn die öffentliche Hand im Stiftungsrat keinen Einsitz hat. Auch in der Doktrin ist anerkannt, dass Tätigkeiten der vorliegenden Art in wirtschaftlichen Bereichen das Gemeinwohl fördern können (Markus Reich, Gemeinnützigkeit als Steuerbefreiungsgrund, in: ASA 58 S. 465 ff., dort insbesondere S. 469; Arthur Haefliger, Zum steuerrechtlichen Begriff der Wohltätigkeit und Gemeinnützigkeit, in: Festschrift 500 Jahre Solothurn im Bund, Solothurn 1981, S. 307 ff., insbesondere S. 311; Urech, a.a.O., N. 82 zu Art. 56 DBG) bzw. zumindest dass die Wirtschaftsförderung heute eine wichtige Aufgabe des Gemeinwesens bildet (Richner/Frei/Kaufmann, Handkommentar zum DBG, Zürich 2003, N. 53 zu Art. 56 DBG).
3.2.3 Die Tätigkeit der Beschwerdegegnerin erfolgt "uneigennützig", d.h. altruistisch und dem Gemeinsinn entsprechend: Die Stiftung fördert nicht nur Projekte aus dem engeren Gebiet des Kantons Solothurn (Herkunftsprinzip) oder von der Stiftung oder der Stifterin nahestehenden Unternehmen oder Forschungseinheiten, sondern generell solche von Wettbewerbsteilnehmern, die dem Wirtschaftsraum Solothurn positive wirtschaftliche Impulse verleihen (Auswirkungsprinzip). Der Kreis der möglichen Destinatäre geht über die "solothurnische Wirtschaft" bzw. den "solothurnischen Wirtschaftsraum" hinaus. Der vorliegende Sachverhalt kann deshalb nicht mit dem im Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 5. November 1985 beurteilten verglichen werden (StE 1987 B 71.63 Nr. 2): Dort erhielten die geförderten sozial Benachteiligten nur dann eine finanzielle Unterstützung, wenn sie gleichzeitig ihre Lebensgeschichte der Stifterin abtraten. Die Beschwerdeführerin behauptet zu Recht nicht, die Beschwerdegegnerin verleihe Preise nur dann, wenn sich die Preisträger zur Aufnahme von Geschäftsbeziehungen mit der Stifterin verpflichteten. Zwar besteht zu deren Gunsten eine gewisse "imagefördernde Bekanntmachungsleistung", diese ist indessen gegenüber der im Allgemeininteresse (regionale Innovationsförderung) liegenden Tätigkeit von untergeordneter Bedeutung (vgl. Urech, a.a.O., N. 75 zu Art. 56 DBG). Der Fall kann auch nicht mit BGE 114 Ib 277 ff. gleichgestellt werden: Dort war die Tätigkeit der betroffenen Wohnbaustiftung mit eigenen gewinnstrebigen Interessen des ihr nahestehenden Wirtschaftskreises verbunden. Die Stifterin erledigt für die Stiftung lediglich gewisse administrative Arbeiten, womit Kosten eingespart werden können; es ist deshalb nachvollziehbar, dass sie in der Kopfzeile des Antragsformulars genannt wird und die Preisverleihung in ihren Räumen stattfindet. Es kann daraus nicht geschlossen werden, die Abgabe der Preise an die Destinatäre durch die Stiftung erfolge nicht uneigennützig.
3.2.4 Die Vorinstanz durfte eine ausschliesslich gemeinnützige Tätigkeit der Beschwerdegegnerin deshalb bejahen und sie gestützt hierauf (auch) für die direkte Bundessteuer als steuerbefreit erklären. Es braucht unter diesen Umständen nicht geklärt zu werden, ob sich dies auch deswegen rechtfertigte, weil sie einen "öffentlichen Zweck" im Sinne von Art. 56 lit. g DBG verfolgt. Nichts anderes ergibt sich aus den von der Beschwerdeführerin angerufenen älteren Bundesgerichtsentscheiden (BGE 71 I 119 ff. sowie das Urteil 2A.408/1990 vom 2. Juli 1991, in: ASA 60 S. 623 ff.): Im ersten Fall wurde bei einem Verband von Handelstreibenden und Industriellen, der sich die Wahrung der Berufs- und Standesinteressen zur Aufgabe gemacht hatte, die Verfolgung ausschliesslich gemeinnütziger Zwecke verneint, obwohl seine Tätigkeit auch eine Landesgegend wirtschaftlich förderte und sich zudem nicht auf die Einzelinteressen der Verbandsmitglieder bezogen hatte. Das Bundesgericht berücksichtigte dabei den Ausführungsbeschluss zur damals neuen ausserordentlichen Kriegssteuer, wo bestimmt wurde, "dass die wirtschaftliche und soziale Förderung einzelner Landesgegenden oder bestimmter Berufsstände nicht genügt als Beweis für Gemeinnützigkeit" (ASA 14 S. 317). Im zweiten Fall ging es um die Steuerbefreiung einer Viehzuchtgenossenschaft. Das Bundesgericht hat darin die "Gemeinnützigkeit" nicht in einem weiten Sinne verstanden, der jede Betätigung im Dienste der Allgemeinheit umfasst und der auch Bestrebungen einschliesst, welche irgendwie auf wirtschaftliche oder soziale Förderung einzelner Bevölkerungskreise gerichtet sind. Als wesentlich erschien ihm, dass es sich seitens der Körperschaft, die Anspruch auf Steuerbefreiung erhebt, und ihrer Mitglieder um eine uneigennützige Mitwirkung handelt, bei der "zum allgemeinen Besten Opfer erbracht werden (...)" (dort E. 2). Das war dort nicht der Fall, da der Wahrung von Verbands- und Mitgliederinteressen ein erheblicher Stellenwert zukam (ASA 60 S. 623 ff.).
4. 4.1 Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist deshalb abzuweisen. Damit wird ein mit dem Entscheid des Steueramts Solothurn betreffend die kantonalen Steuern übereinstimmendes Resultat erzielt, was im Sinne der vertikalen Steuerharmonisierung wünschbar erscheint (Urteil 2A.480/2004 vom 2. Februar 2005, E. 3.3, publ. in ASA 75 S. 488 ff.; BGE 128 II 66 E. 4b S. 71 f.). Nachdem die Beschwerdeführerin gegen die Verfügung des Kantonalen Steueramtes Solothurn vom 15. April 2005 betreffend die Staats- und Gemeindesteuern kein Rechtsmittel ergreifen konnte (vgl. Art. 73 StHG [in seiner Fassung vom 14. Dezember 1990], wonach die EStV nur gegen Entscheide der letzten kantonalen Instanz Verwaltungsgerichtsbeschwerde erheben kann), werden dadurch divergierende Lösungen bei identischem Wortlaut der anwendbaren Gesetze vermieden.
4.2 Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die Beschwerdeführerin die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 156 Abs. 1 und 2 in Verbindung mit Art. 153 und Art. 153a OG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 159 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Steueramt des Kantons Solothurn und dem Steuergericht Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar