Faits:
A. Par jugement du 26 janvier 2000, le Tribunal civil de l'arrondissement de X._ a prononcé la dissolution, par le divorce, du mariage conclu en 1990 entre B._ et C._. En ce qui concerne le partage des avoirs de la prévoyance professionnelle accumulés par les époux au cours du mariage, la juridiction a transmis la cause au Tribunal administratif du canton de Fribourg (aujourd'hui : Tribunal cantonal, Section administrative) comme objet de sa compétence, le 30 mai 2000, afin qu'il l'exécute sur la base de la clef de répartition qu'elle avait arrêtée. L'assistance judiciaire a été accordée à B._ et A._, avocat, a été désigné en qualité de mandataire d'office (ordonnance du 3 septembre 1999).
B. Le 13 septembre 2000, A._ a fait savoir au Tribunal administratif qu'il partait de l'idée qu'il restait le mandataire d'office de B._ dans cette affaire.
Par jugement du 19 mai 2004, le Tribunal administratif a fixé le montant à transférer (ch. 1 du dispositif). Il a par ailleurs condamné C._ à verser à son ex-épouse la somme de 538 fr. à titre de dépens, TVA comprise (ch. 3).
A._ a vainement tenté d'encaisser l'indemnité de dépens auprès de C._ et s'est vu délivrer un acte de défaut de biens (de février 2005). Il s'est alors adressé au Tribunal administratif, par lettre du 8 juin 2007, en demandant que ses honoraires et débours fussent arrêtés au tarif de l'assistance judiciaire. Par jugement du 12 juillet 2007, le Président du Tribunal administratif a déclaré la requête du 8 juin 2007 irrecevable, au motif que la demande d'assistance judiciaire du 13 septembre 2000 était devenue sans objet en raison de l'allocation d'une indemnité de dépens à teneur du jugement du 19 mai 2004.
C. A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant principalement à ce que la requête d'assistance judiciaire soit déclarée recevable, subsidiairement au renvoi de la cause au Tribunal administratif.
Ce dernier, ainsi que l'Office fédéral des assurances sociales, ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recourant reproche au Tribunal administratif d'avoir violé les art. 9 et 29 al. 3 Cst. En bref, il soutient que la condamnation de la partie adverse aux dépens n'a pas rendu la requête d'assistance judiciaire du 13 septembre 2000 sans objet. A son avis, si l'on suivait le raisonnement de l'autorité judiciaire cantonale, l'allocation de dépens aboutirait de facto à la suppression du droit à l'assistance judiciaire qui avait préalablement été accordé.
2. Dans un arrêt du 7 novembre 1996, qui portait sur la question du droit à l'assistance judiciaire gratuite dans une procédure de recours administratif, le Tribunal fédéral a jugé que l'art. 4 aCst. exige que l'avocat d'un plaideur au bénéfice de l'assistance judiciaire soit indemnisé par l'Etat lorsqu'en cas de gain du procès, la partie adverse à qui incombent les frais de justice ne peut être poursuivie avec succès. Une requête d'assistance judiciaire ne peut donc être rejetée du simple fait que des dépens ont été mis à la charge de l'intimé (ATF 122 I 322 consid. 2 et 3 pp. 324 ss). Plus récemment, dans une affaire genevoise, la Cour de céans a rappelé que si l'allocation de dépens à la partie qui obtient gain de cause rend en principe sa demande d'assistance juridique gratuite sans objet, il faut toutefois réserver le cas où les dépens arrêtés seraient inférieurs au montant que toucherait l'avocat au titre de l'assistance judiciaire accordée à son client. Dans cette éventualité, la juridiction cantonale devrait encore se prononcer sur le droit à l'assistance judiciaire, afin que les frais d'avocat non couverts par les dépens alloués soient - pour autant que les conditions en soient remplies et dans la mesure prévue par la loi - pris en charge par l'Etat (consid. 3.2 de l'arrêt A. du 20 décembre 2007, I 1059/06, résumé dans la Revue de l'avocat 4/2008, p. 177).
En ce qui concerne les procès qui se déroulent devant le Tribunal fédéral, la jurisprudence a précisé, sous l'empire de l'OJ, que lorsqu'une demande d'assistance judiciaire est déclarée sans objet en raison des dépens obtenus et que ceux-ci ne peuvent être recouvrés, la rémunération de l'avocat peut encore faire l'objet d'une décision ultérieure fondée sur l'art. 152 al. 2 OJ (arrêt L. du 7 août 1998, 1P.411/1998). Ceci a conduit l'ancien Tribunal fédéral des assurances à accorder le bénéfice de l'assistance judiciaire à la partie intimée qui en avait fait la demande, en lui désignant un avocat d'office afin qu'elle puisse défendre ses droits et déposer une réponse au recours. A cet effet, en se référant à l'art. 152 al. 2 OJ et à Poudret (Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. V, p. 126 en bas), il a garanti les honoraires de l'avocat d'office par la caisse du Tribunal en précisant que ceux-ci seraient fixés dans l'arrêt au fond (décision incidente en la cause E. du 1er septembre 2006, B 26/06).
3. De ce qui précède, il résulte que le Tribunal administratif aurait dû entrer en matière sur la requête du 8 juin 2007. En déclarant celle-ci irrecevable pour défaut d'objet, il a supprimé sans droit le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite précédemment accordé (art. 29 al. 3 Cst.) et a fait preuve d'arbitraire dans l'application du droit (art. 9 Cst.).
Il s'ensuit que le jugement attaqué sera annulé, la cause étant renvoyée au Tribunal administratif afin qu'il reprenne l'examen de la demande du 8 juin 2007 et statue à nouveau sur celle-ci.
4. Le présent arrêt sera rendu sans frais (art. 66 al. 4 LTF).
Le recourant, qui obtient gain de cause, a plaidé dans sa propre affaire devant le Tribunal fédéral sans l'assistance d'un mandataire professionnel. Il a néanmoins droit à des dépens (ATF 125 II 518; consid. 3 de l'arrêt S. du 22 décembre 2007, 6B_493/2007), à charge du canton de Fribourg (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal administratif du canton de Fribourg du 12 juillet 2007 est annulé, la cause lui étant renvoyée afin qu'il procède conformément aux considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le canton de Fribourg versera au recourant une indemnité de dépens de 2'000 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 août 2008
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Le Greffier:
Borella Berthoud