Erwägungen:
1. X._, geboren 1954, Serbe, arbeitete ab 1988 als Saisonnier in der Schweiz und erhielt Ende 1993 eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Ausübung einer Erwerbstätigkeit. Im August 1994 wurde seiner Ehefrau, Y._, geboren 1959, die Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleibs beim Ehemann erteilt; gleichzeitig reiste auch ein Sohn (geboren 1980) in die Schweiz ein, welcher heute über die Niederlassungsbewilligung verfügt.
Anfangs März 2003 gab X._ seine Erwerbstätigkeit (im Baugewerbe) auf und bezog bis Januar 2005 Taggelder der Krankenversicherung, in der Folge Entschädigungen der Arbeitslosenversicherung. Er und seine Ehefrau mussten zudem Sozialhilfe beanspruchen. Am 18. Juli 2005 wurde sein Gesuch um Ausrichtung einer IV-Rente abgewiesen. Zu einem am 3. November 2006 eingereichten neuen Gesuch liegt ein Vorbescheid der IV-Stelle des Kantons Thurgau vom 13. Februar 2009 vor; danach besteht ab 1. Januar 2007 Anspruch auf eine halbe Rente.
Mit Verfügung vom 23. März 2007 verweigerte das Migrationsamt des Kantons Thurgau die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligungen der Eheleute X._-Y._. Die dagegen erhobenen Rekurse wies das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau mit zwei separaten Entscheiden vom 12. Juni 2008 ab. Mit Entscheid vom 17. Dezember 2008 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die gegen diese Rekursentscheide erhobenen Beschwerden ab; dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsanwalts gab es statt, wobei es die Letzterem zu erstattende Entschädigung auf Fr. 2'000.-- festsetzte.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 9. März 2009 beantragen X._ und Y._ dem Bundesgericht, der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 17. Dezember 2008 sowie die mitangefochtenen Entscheide des Departements für Sicherheit und des Migrationsamtes des Kantons Thurgau vom 12. Juni 2008 bzw. 23. März 2007 seien aufzuheben, das Migrationsamt sei anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligungen zu verlängern, eventuell sei die Sache zur weiteren Sachverhaltsabklärung und Neubeurteilung an das Migrationsamt oder an eine der beiden Vorinstanzen zurückzuweisen; weiter wird die Zusprechung von ordentlichen Parteientschädigungen für die beiden Rechtsmittelverfahren vor den Vorinstanzen bzw. einer höheren Parteientschädigung für das verwaltungsgerichtliche Verfahren als sie in Ziff. 4 des Entscheids des Verwaltungsgerichts verfügt worden sei, beantragt.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
2.2 Die Beschwerdeführer können sich auf keine Norm des Landesrechts berufen, die ihnen einen Rechtsanspruch auf Bewilligungsverlängerung verleihen würde; ein solcher Anspruch lässt sich auch nicht aus einem Staatsvertrag zwischen der Schweiz und ihrem Heimatstaat Serbien ableiten. Sie möchten sich anspruchsbegründend vorab auf Art. 8 EMRK berufen.
Soweit Art. 8 EMRK das Recht auf Achtung des Familienlebens garantiert, fällt diese Konventionsgarantie vorliegend als anspruchsbegründende Norm ausser Betracht: Zwar hat der Sohn der Beschwerdeführer die Niederlassungsbewilligung und insofern ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz; indessen ist er volljährig, was vorbehältlich vorliegend nicht gegebener Umstände die Geltendmachung eines aus dem Recht auf Familienleben abgeleiteten Bewilligungsanspruchs ausschliesst (vgl. dazu BGE 125 II 521 E. 5 und BGE 120 Ib 257 E. 1e C. 261 f.); ohnehin haben die Beschwerdeführer in ihrer Heimat Verwandte, namentlich lebt gemäss unbestritten gebliebener Feststellung des Verwaltungsgerichts ein weiterer Sohn in Serbien. Was das ebenfalls von Art. 8 EMRK garantierte Recht auf Achtung des Privatlebens betrifft, genügt der Hinweis auf BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286 f., um aufzuzeigen, dass die Beschwerdeführer auch daraus im ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahren keine Ansprüche ableiten können: Trotz der recht langen Anwesenheit in der Schweiz fehlt es in ihrem Fall an den hierfür erforderlichen besonders intensiven, über eine normale Integration hinausgehenden privaten Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. vertieften sozialen Beziehungen und lässt sich nicht von einer eigentlichen Verwurzelung in der Schweiz sprechen. Schliesslich stösst der im Zusammenhang mit Art. 8 EMRK gemachte Hinweis der Beschwerdeführer auf die Urteile 2A.385/2000 und 2A.98/2003 ins Leere, weil der damalige Beschwerdeführer gestützt auf die Ehe mit seiner niedergelassenen Ehefrau im ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahren in den Schutzbereich von Art. 8 EMRK fiel.
Unerfindlich ist ferner, welche Äusserungen des Verwaltungsgerichts die Beschwerdeführer als frauendiskriminierend empfunden haben wollen bzw. inwiefern sie einen Bewilligungsanspruch aus dem Diskriminierungsverbot von Art. 8 Abs. 2 BV ableiten könnten.
Da die Beschwerdeführer unter keinem Titel einen Rechtsanspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung haben, erweist sich ihre Beschwerde insofern als unzulässig, als sie als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben worden ist.
2.3 Die Beschwerdeführer wollen ihre Beschwerde auch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde verstanden wissen (Art. 113 ff. BGG). Mit diesem Rechtsmittel kann bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG), wobei diesbezüglich eine besondere Rügepflicht gilt (Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG); sodann ist zur Verfassungsbeschwerde nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG). Da die Beschwerdeführer vorliegend im ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahren keine Rechtsansprüche geltend machen können, sich solche namentlich nicht aus den von ihnen angerufenen besonderen Grundrechten (Art. 8 EMRK, Art. 8 Abs. 2 BV) ableiten lassen, werden sie durch die Bewilligungsverweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, weshalb sie zur Verfassungsbeschwerde nicht legitimiert sind (vgl. BGE 133 I 185). Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst zulässige Rügen (vgl. BGE 133 I 185 E. 6.2 S. 198 f.) werden nicht erhoben; so fehlt, was die bloss in den Beschwerdeanträgen erwähnte Höhe der Parteientschädigungen im kantonalen Verfahren betrifft, jegliche Begründung.
2.4 Auf die offensichtlich unzulässige (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG) Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten. Unter diesen Umständen besteht kein Anlass für die von den Beschwerdeführern beantragte Verfahrenssistierung. Ob nach Vorliegen des in E. 1 erwähnten Vorbescheids der IV-Stelle des Kantons Thurgau vom 13. Februar 2009, womit dem Beschwerdeführer eine Rente zugesprochen wird, die ihm wohl bei einer Rückkehr in die Heimat im Ausland auszubezahlen wäre, überhaupt noch Anlass für eine Sistierung bestanden hätte, kann jedenfalls offenbleiben.
Mit dem vorliegenden Urteil wird sodann das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.5 Angesichts der Aussichtslosigkeit der Beschwerde kann dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG).
Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Verfahrensausgang entsprechend den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 und Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Migrationsamt, dem Departement für Justiz und Sicherheit und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. März 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller