Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen über den Rentenbeginn (Art. 29 Abs. 1 lit. a und b IVG) und die dazu ergangene Rechtsprechung (BGE 121 V 268 Erw. 3b) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist folgendes: Nach Art. 15 Abs. 2 AVIG gilt der körperlich oder geistig Behinderte als vermittlungsfähig, wenn ihm bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage, unter Berücksichtigung seiner Behinderung, auf dem Arbeitsmarkt eine zumutbare Arbeit vermittelt werden könnte. Laut Art. 15 Abs. 3 AVIV gilt ein Behinderter, der unter Annahme einer ausgeglichenen Arbeitsmarktlage nicht offensichtlich vermittlungsunfähig ist und sich bei der Invalidenversicherung angemeldet hat, bis zum Entscheid der andern Versicherung als vermittlungsfähig. Damit statuiert die Vermutungsregel des Art. 15 Abs. 3 AVIV eine Vorleistungspflicht der Arbeitslosenversicherung im Verhältnis zur Invalidenversicherung, es sei denn, die Vermittlungsunfähigkeit sei offensichtlich.
Die Arbeitslosenversicherung zahlt bei Erfüllen auch der übrigen Anspruchsvoraussetzungen Arbeitslosenentschädigung aus. Diese Leistungen sind aber über Art. 95 AVIG zurückzufordern, wenn die Invalidenversicherung nachträglich eine Rente für die selbe Zeitspanne zuspricht (BGE 126 V 127 Erw. 3a; SVR 1999 AlV Nr. 11 S. 27; ARV 1998 Nr. 15 S. 76, 1995 Nr. 12 S. 61; Nussbaumer, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], S.91, Rz 228).
2.- Streitig ist der Rentenbeginn.
a) Vom 1. April 1995 bis Ende November 1997 arbeitete der Beschwerdeführer bei der U._ AG, L._. Am 22. Oktober 1997 kündigte die Firma das Arbeitsverhältnis wegen Betriebsschliessung auf den 30. November 1997. Hernach bezog der Beschwerdeführer bis 28. Februar 1999 Taggelder der Arbeitslosenversicherung. Während dieser Zeitspanne trat er am 2. Juni 1998 eine Praktikantenstelle bei der S._ AG an, welches Arbeitsverhältnis die Arbeitgeberin auf den 30. Juni 1998 jedoch wieder auflöste, da der Versicherte sich überfordert und fehl am Platz gefühlt habe. Am 1. März 1999 folgte ein erneuter Stellenantritt bei der Firma C._ AG, L._. Hier arbeitete der Beschwerdeführer jedoch nur bis 5. März 1999.
Hernach blieb er krankheitshalber der Arbeit fern, worauf die Firma das Arbeitsverhältnis noch während der Probezeit aus gesundheitlichen Gründen auf den 26. März 1999 auflöste.
Im Februar 1999 meldete sich der Versicherte bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. IV-Stelle und Vorinstanz gingen davon aus, der Beschwerdeführer habe bis Ende Februar 1999 Taggelder der Arbeitslosenversicherung bezogen und sei demzufolge bis Ende dieses Monats voll einsatzfähig gewesen. Die einjährige Wartezeit nach lit. b von Art. 29 Abs. 1 IVG habe somit erst am 1. März 1999 zu laufen begonnen. Demgegenüber macht der Beschwerdeführer geltend, der Beginn der Wartezeit sei spätestens auf November 1997 zu legen. Dass die Arbeitslosenversicherung ihn als vermittlungsfähig erachtet habe, sei nicht massgebend.
Die beiden missglückten Arbeitsversuche bei der S._ und der C._ AG belegten, dass er schon damals nicht mehr arbeitsfähig gewesen sei.
b) Als Grund für die Entlassung auf Ende November 1997 gab die Firma U._ AG in der Arbeitgeberbescheinigung vom 30. November 1997 Betriebsauflösung an. Soweit an Hand der Akten erkennbar, lagen der Arbeitslosenkasse keinerlei Hinweise auf eine Krankheit des Beschwerdeführers vor. Für sie bestand daher kein Anlass zu weiteren Abklärungen, war ihr doch zu diesem Zeitpunkt eine allfällige, schon damals bestehende Vermittlungsunfähigkeit nicht erkennbar. Dass sie dem Versicherten Arbeitslosenentschädigung ausbezahlt hat, bleibt deshalb ohne präjudizierende Wirkung auf die IV-Rente. Die Arbeitslosenkasse wird aber Leistungen zurückfordern, die sich nachträglich als zu Unrecht ausbezahlt erweisen. Den Beginn der einjährigen Wartezeit ab dem Bezug des letzten AlV-Taggeldes laufen zu lassen, wie es Verwaltung und Vorinstanz getan haben, war nach dem Gesagten nicht korrekt. Vielmehr ist dieser Zeitpunkt nach den entsprechenden, iv-rechtlichen Kriterien zu bestimmen.
Ebenfalls nicht entscheidend ist, wann der Beschwerdeführer sich zum Bezug von IV-Leistungen angemeldet hat, kann eine IV-Rente doch bei Vorliegen der entsprechenden Voraussetzungen auch rückwirkend ausgerichtet werden (Art. 48 IVG).
c) Da die Arbeitsversuche bei der C._ AG und der S._ AG jeweils nur wenige Tage gedauert haben, vermögen sie eine allfällige, dem Beschwerdeführer verbliebene Restarbeitsfähigkeit nicht zu belegen. Gemäss Bericht von Dr. med S._ vom Juni 1999 leidet der Beschwerdeführer an einer bis in die Kindheit zurück verfolgbaren generalisierten Angststörung und einer atypischen Schizophrenie. Seit mindestens Dezember 1998 (Beginn der Behandlung bei Dr. S._) bestehe eine 100%-ige Arbeitsunfähigkeit als Chauffeur und als kaufmännischer Angestellter. Wenn dieser bei der ersten Konsultation beobachtete Zustand schon beim Verlust der Arbeitsstelle 1997 bestanden haben sollte, sei der Versicherte vermutungsweise mindestens seit November 1997 nicht vermittlungsfähig.
Auf der andern Seite fehlen in der Auskunft der U._ AG vom 16. April 1999 jegliche Hinweise auf Krankheiten. Der Beschwerdeführer habe bis Ende November 1997 gearbeitet, wobei der zuletzt bezogene Lohn der erbrachten Leistung entsprochen habe.
Gestützt auf diese Angaben ist erstellt, dass einerseits bis Ende November 1997 keine Arbeitsunfähigkeit bestanden hat, anderseits eine entsprechende Einschränkung unmittelbar nach Beendigung der Anstellung bei der U._ eingesetzt haben muss. Weitere Abklärungen über diese nun schon mehrere Jahre zurückliegende Zeitspanne würden keine relevanten neuen Erkenntisse bringen. Es rechtfertigt sich daher, den Beginn der einjährigen Wartezeit nach Art. 29 Abs. 1 lit. b IVG auf den 1. Dezember 1997 zu legen ist. Demnach beginnt der Anspruch auf eine (ganze) IV-Rente am 1. Dezember 1998.
3.- Das Verfahren ist kostenlos (Art. 134 OG e contrario).
Der durch den Anwalt einer Rechtsschutzversicherung vertretene Beschwerdeführer hat Anspruch auf eine angesichts seines fast vollständigen Obsiegens ungekürzte Parteientschädigung (Urteil H. vom 27. Januar 1992, K 44/91).
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I.In teilweiser Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde
werden der Entscheid des Verwaltungsgerichts
des Kantons Graubünden vom 2. März 2001 und die
Verfügung der IV-Stelle des Kantons Graubünden vom 23.
Juni 2000, soweit der Rentenbeginn betreffend, aufgehoben,
und es wird festgestellt, dass der Beschwerdeführer
Anspruch auf eine ganze IV-Rente ab 1. Dezember
1998 hat.
II.Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
III. Die IV-Stelle des Kantons Graubünden hat dem Beschwerdeführer für das Verfahren vor dem Eidg. Versicherungsgericht eine Parteientschädigung von
Fr. 2500.- zu bezahlen.
IV.Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden wird über eine Parteientschädigung für den kantonalen Prozess entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen
Verfahrens zu befinden haben.
V.Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht
des Kantons Graubünden, der Ausgleichskasse
des Kantons Graubünden und dem Bundesamt für Sozialversicherung
zugestellt.
Luzern, 19. März 2002
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der IV. Kammer:
Der Gerichtsschreiber: