Erwägungen:
1. Am 13. Juli 2010 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich ein Gesuch des 1969 geborenen türkischen Staatsangehörigen X._ um Wiedererteilung der Niederlassungsbewilligung ab. Die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich hiess den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs am 10. November 2010 teilweise gut und wies die Sache zu ergänzender Abklärung an das Migrationsamt zurück (Dispositiv Ziff. I); den als Vertreter von X._ auftretenden Adrian Bacchini bestellte es zum unentgeltlichen Rechtsbeistand und sprach ihm eine Entschädigung von pauschal Fr. 500.-- zu (Dispositiv Ziff. III). Bezüglich dieser Honorarfestsetzung gelangte X._ mit Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Zürich. Dieser trat mit Beschluss vom 19. Dezember 2012, ohne Erhebung von Kosten, auf den Rekurs nicht ein und überwies das Rechtsmittel zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Mit Verfügung des Einzelrichters vom 16. Januar 2013 trat das Verwaltungsgericht auf das Rechtsmittel nicht ein; die Gerichtskosten nahm es auf die Gerichtskasse; das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege schrieb es als gegenstandslos ab; das Gesuch um unentgeltlichen Rechtsbeistand wies es ab; eine Parteientschädigung sprach es nicht zu.
Mit einer 29 Seiten umfassenden, von Adrian Bacchini verfassten Rechtsschrift vom 21. Februar 2013 gelangte X._ an das Bundesgericht. Mit dem Rechtsmittel (Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, subsidiäre Verfassungsbeschwerde) stellt er zahlreiche Rechtsbegehren, die darauf abzielen, die mit dem Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 10. November 2010 zugesprochene Entschädigung von Fr. 500.-- aufzuheben und eine neue, wesentlich höhere, den Auslagen und erforderlichen tatsächlichen zeitlichen Aufwendungen gerecht werdende Entschädigung als Parteientschädigung zuzusprechen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden; namentlich hat sich der Beizug der kantonalen Akten erübrigt.
2. 2.1 Rechtsschriften haben gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen. Besonderer Begründung bedürfen angesichts von Art. 105 Abs. 1 und 2, Art. 97 Abs. 1 sowie Art. 106 Abs. 2 BGG Sachverhaltsrügen (vgl. BGE 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen). Ebenso müssen die Auslegung und Anwendung kantonalen Rechts betreffende Rügen den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügen, da nicht unmittelbar die Verletzung kantonalen Rechts gerügt werden kann (Art. 95 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68; 135 III 513 E. 4.3 S. 521 f.; 134 I 153 E. 4.2.2 S. 158; 134 II 349 E. 3 S. 351 f.; 133 III 462 E. 2.3 S. 466).
2.2 Das Verwaltungsgericht hat festgestellt, dass richtigerweise der Regierungsrat zur Behandlung des Rechtsmittels gegen die Ziff. III des Dispositivs des Entscheids der Sicherheitsdirektion vom 10. November 2010 zuständig wäre. Es hat jedoch auf eine Rückweisung der Sache an diesen verzichtet, weil es erkannte, dass der Beschwerdeführer so oder anders nicht legitimiert sei, die Festsetzung des dem unentgeltlichen Rechtsbeistand zugesprochenen Honorars anzufechten (E. 3). Mit dieser Rechtsauffassung, die im Einklang mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung steht (Urteil 5A_166/2012 und 5A_167/2012 vom 5. April 2012 E. 5.2 und 5.3), setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Damit stellt sich einzig noch die Frage, ob das Verwaltungsgericht zutreffend von einem Rechtsstreit über die Festsetzung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsbeistands ausgegangen ist, was in der Beschwerde bestritten wird. Indessen müsste sich den weitschweifigen, über weite Strecken (auch) auf den ausländerrechtlichen Rechtsstreit abzielenden und damit an der Sache vorbeigehenden Äusserungen in der Beschwerdeschrift eine taugliche, den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG genügende Begründung zu diesem Thema entnehmen lassen.
2.3 Der Vertreter des Beschwerdeführers macht geltend, er habe nicht als unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt werden wollen; als ein solcher käme nach Rechtsprechung des Bundesgerichts nur ein patentierter Rechtsanwalt in Betracht. Er verkennt, dass sich diese Rechtsprechung auf den für bundesgerichtliche Verfahren massgeblichen Art. 64 Abs. 2 BGG bezieht, wonach das Bundesgericht "einen Anwalt oder eine Anwältin" bestellt (Urteil 2C_323/2011 vom 29. August 2011 E. 2). Der Beschwerdeführer nennt keine mit Art. 64 Abs. 2 BGG übereinstimmende Norm des kantonalen Rechts. § 16 Abs. 2 des Zürcher Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG) statuiert einen "Anspruch auf die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes", ohne weitere Anforderungen an dessen Qualifikation aufzustellen; inwiefern das einschlägige kantonale Recht durch die Bestellung einer Person, die nicht Anwalt ist, in einer gegen schweizerisches Recht verstossenden Weise angewendet worden wäre, wird auch nicht ansatzweise aufgezeigt. Insofern bleibt die Behauptung, dass richtigerweise nicht ein Armenrechtshonorar festzusetzen gewesen wäre, sondern eine Parteientschädigung hätte zugesprochen werden müssen, unsubstantiiert. Ohnehin liegt keineswegs auf der Hand, dass das Migrationsamt bzw. der Kanton Zürich im (ersten) Verfahren vor der Sicherheitsdirektion überhaupt zur Ausrichtung einer Parteientschädigung hätte verpflichtet werden können: Gemäss § 17 Abs. 2 VRG kann zwar im Rekursverfahren die unterliegende Amtsstelle zu einer angemessenen Entschädigung für die Umtriebe ihres Gegners verpflichtet werden, namentlich wenn die rechtsgenügende Darlegung komplizierter Sachverhalte und schwieriger Rechtsfragen besonderen Aufwand erforderte oder den Beizug eines Rechtsbeistandes rechtfertigte (lit. a) oder wenn die angefochtene Anordnung offensichtlich unbegründet war (lit. b). Die Beschwerdeschrift enthält keine hinreichenden Ausführungen zu dieser kantonalrechtlichen Regelung; vor allem lässt sich ihr nichts zum für das Bestehen eines Entschädigungsanspruchs bedeutsamen Aspekt entnehmen, dass die Sicherheitsdirektion den Rekurs nur teilweise gutgeheissen hat. Ebenso hat es der Beschwerdeführer unterlassen, sich mit den besonderen Umständen des Ersuchens um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands unter anderem im hier betroffenen Rekursverfahren vor der Sicherheitsdirektion zu befassen (s. dazu E. 9.1.1 bis 9.1.3 sowie überhaupt E. 9 des ihm bzw. seinem Vertreter bekannten Urteils des Verwaltungsgerichts vom 18. April 2012, wogegen erfolglos Beschwerde ans Bundesgericht geführt wurde [Urteil 2C_527/2012 vom 12. Juli 2012]). Es wird nicht in einer den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise dargetan, dass bei der gegebenen Konstellation die Festsetzung eines Honorars nach § 16 Abs. 2 VRG statt einer Parteientschädigung nach § 17 Abs. 2 VRG mit schweizerischem Recht nicht vereinbar gewesen wäre.
Inwiefern sodann die Kostenregelung des an den Entscheid der Sicherheitsdirektion vom 10. November 2010 anschliessenden kantonalen Rechtsmittelverfahrens mit schweizerischem Recht nicht vereinbar wäre, wird ebenfalls nicht aufgezeigt.
2.4 Die Beschwerde enthält hinsichtlich des beschränkten Verfahrensgegenstands offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
2.5 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien (Art. 64 BGG). Ein separater vorgängiger Entscheid über das Gesuch, wie er beantragt wird, war schon darum nicht erforderlich, weil kein Rechtsanwalt zu bestellen war. Allein (aber nicht nur) aus diesem Grunde fiel die Ansetzung einer Frist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung ausser Betracht.
2.6 Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Februar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller