Sachverhalt:
A. Der 1963 geborene G._ war als Elektromonteur in der Firma X._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 11. Juli 1994 stand er zum Kabeleinziehen in ca. 3 m Höhe auf einer Leiter, als diese wegrutschte. G._ fiel zu Boden, wobei er sich unter anderem an der linken Hand verletzte. Die SUVA gewährte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld) und schloss den Fall unter Zusprechung einer Integritätsentschädigung mit gerichtlich bestätigtem Einspracheentscheid vom 16. September 1999 ab. Aufgrund von Rückfallmeldungen gewährte die SUVA erneut Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügungen vom 2. April 2004 und 20. April 2005 stellte sie das Taggeld auf den 1. April 2004 und die Heilbehandlung auf den 1. Mai 2005 ein. Am 2. April 2004 verfügte sie eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 15 % und am 8. Juni 2005 eine ab 1. September 2004 laufende Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 14 %. Der Versicherte reichte gegen die Verfügungen betreffend Taggeld, Integritätsentschädigung und Invalidenrente je Einsprache ein. Die SUVA hiess die Einsprache betreffend Integritätsentschädigung teilweise gut, indem sie den dieser zugrunde liegenden Integritätsschaden auf 20 % erhöhte. Im Übrigen wies sie die Einsprachen ab (Einspracheentscheid vom 20. Oktober 2005).
B. G._ erhob Beschwerde. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau führte eine öffentliche Verhandlung durch. Es erkannte sodann, dass der Einspracheentscheid vom 20. Oktober 2005 hinsichtlich der Integritätsentschädigung nicht angefochten sei und hiess die Beschwerde teilweise gut, indem es den Beginn der zugesprochenen Invalidenrente auf den 1. April 2004 festsetzte. Im Übrigen wies es die Beschwerde, soweit es darauf eintrat, unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab (Entscheid vom 15. März 2007).
C. G._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und die Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen und zur neuen Verfügung an die SUVA zurückzuweisen, wobei mit Wirkung ab der Leistungseinstellung für die Dauer der Abklärungen erneut Taggeld nach Massgabe einer Arbeitsunfähigkeit von 100 % auszurichten sei; eventuell seien die gesetzlichen Leistungen nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von mindestens 40 % ab wann rechtens und zuzüglich Verzugszins zuzusprechen. Weiter wird die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung mit Parteibefragung verlangt.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Die Vorinstanz schliesst mit dem gleichen Antrag. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
G._ reicht nachträglich zwei Arztberichte ein.
D. Mit Verfügung vom 28. Dezember 2007 lehnte das Bundesgericht Gesuche des Versicherten um Sistierung des Verfahrens und um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab.
Erwägungen:
1. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. 2.1 Was den erneuten Antrag betreffend öffentliche Verhandlung betrifft, hat es mit dem Hinweis, dass die Vorinstanz eine solche durchgeführt hat und damit den rechtlichen Vorgaben, insbes. auch Art. 6 Ziff. 1 EMRK, zu diesem formellrechtlichen Anspruch Rechnung getragen wurde, sein Bewenden. In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was zu einer anderen Betrachtungsweise führen könnte. Soweit hiezu vorgebracht wird, der Versicherte sei nicht persönlich angehört worden, ist dies ohnehin aktenwidrig. Aus dem Protokoll der Verhandlung vom 15. März 2007 geht hervor, dass der Beschwerdeführer selber zu Wort gekommen ist.
2.2 Im gleichen Zusammenhang vorgebracht und zu behandeln ist der ebenfalls unter Hinweis auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK gestellte Antrag auf Durchführung einer Parteibefragung unter Beizug eines Dolmetschers.
Die Parteibefragung resp. nach dem Wortlaut im letztinstanzlichen Verfahren das Parteiverhör ist ein Beweismittel (Art. 55 BGG in Verbindung mit Art. 62 - 65 BZP, vgl. Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, N 11 zu Art. 55 BGG). Auf dessen Abnahme kann verzichtet werden, wenn davon kein entscheidserheblicher neuer Aufschluss zu erwarten ist (antizipierte Beweiswürdigung; BGE 124 V 90 E. 4b S. 94, 122 V 157 E. 1d S. 162). Im vorliegenden Fall ist nicht ersichtlich und wird in der Beschwerde auch nicht überzeugend begründet, inwiefern von einem Parteiverhör ein solcher Erkenntnisgewinn erwartet werden könnte. Von der Durchführung dieser Beweismassnahme ist daher, und zwar auch unter Berücksichtigung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (vgl. BGE 124 V 57 E. 4b S. 94 mit Hinweisen), abzusehen.
3. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, soweit eine psychische Problematik vorliege, stehe diese nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis. Ein Leistungsanspruch aus dieser Problematik könne daher, ohne dass die Frage der natürlichen Kausalität näher zu prüfen sei, verneint werden.
Diese Beurteilung entspricht in allen Teilen Gesetz und Praxis (insbes. BGE 115 V 133; SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c). Soweit in der Beschwerde hiezu Stellung genommen wird, beschränkt sich dies auf den erneuten Hinweis auf Aussagen des behandelnden Psychiaters. Die Verneinung des nebst dem natürlichen erforderlichen adäquaten Kausalzusammenhangs wird damit nicht in Frage gestellt.
Ein Anspruch auf die geltend gemachten Leistungen könnte sich daher nur aus dem - unstreitig natürlich und adäquat unfallkausalen - Gesundheitsschaden an der linken Hand ergeben. Die für die Beurteilung eine solchen Leistungsanspruchs erforderlichen medizinischen Grundlagen lassen sich den vorhandenen Akten zuverlässig entnehmen. Weitere Abklärungen sind nicht erforderlich.
4. Die Vorinstanz hat nach Darstellung der relevanten Rechtsgrundlagen zutreffend erkannt, dass die Einstellung des Taggeldes auf den 1. April 2004 rechtmässig ist. Hervorzuheben ist, dass nach Lage der medizinischen Akten im besagten Zeitpunkt und im Übrigen auch noch beim Erlass des Einspracheentscheides vom 20. Oktober 2005, welcher rechtsprechungsgemäss die zeitliche Grenze der gerichtlichen Überprüfungsbefugnis bildet (BGE 129 V 167 E. 1 S. 169 mit Hinweis auf 121 V 362 E. 1b S. 366), von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes mehr erwartet werden konnte. Auch waren keine Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung im Gange, deren Abschluss abzuwarten gewesen wäre. Es hatte daher von Gesetzes wegen (Art. 16 Abs. 2 und Art. 19 Abs. 1 UVG; vgl. auch Urteil 394/06 vom 19. Februar 2008, E. 4) der Fallabschluss unter Einstellung des Taggeldes zu erfolgen. Es kann im Übrigen auf die zutreffende Würdigung der Sach- und Rechtslage im angefochtenen Entscheid verwiesen werden. Die Vorbringen in der Beschwerde beschränken sich im Wesentlichen auf eine Wiederholung der Vorbringen im kantonalen Verfahren und vermögen keine andere Betrachtungsweise zu begründen. Dies gilt namentlich auch, soweit erneut auf die erst im Jahr 2006 erfolgte Operation und die noch später empfohlenen weiteren Eingriffe verwiesen wird. Dass weitere Operationen erforderlich sein würden und (allenfalls) eine gesundheitliche Besserung versprachen, war im hier massgebenden Zeitraum nicht absehbar. Hieran ändern die nachträglich eingereichten Arztberichte, deren prozessuale Zulässigkeit in diesem Verfahren ohnehin fraglich wäre, nichts. Wie das kantonale Gericht zutreffend erwogen hat, können die späteren Eingriffe gegebenenfalls im Rahmen eines - weiteren - Rückfalles oder aber einer Spätfolge berücksichtigt werden.
5. Die Bestimmungen und Grundsätze für den Anspruch auf eine Invalidenrente der obligatorischen Unfallversicherung, namentlich auch betreffend die erforderlichen kausalen Zusammenhänge, sind im angefochtenen Entscheid ebenfalls richtig dargelegt.
5.1 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die Gebrauchsfähigkeit der linken Hand sei unfallbedingt eingeschränkt. Die Hand könne aber für Tätigkeiten, die keine hohen Anforderungen an die Kraft und Motorik stellten, zumindest hilfsweise nebst der dominanten rechten Hand eingesetzt werden. Eine funktionelle Einarmigkeit liege entgegen der Auffassung des Versicherten nicht vor.
Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen, rechtskonformen Würdigung der medizinischen Akten. Die Vorbringen in der Beschwerde, welche sich auch hier weitgehend auf eine Wiederholung der Argumente aus dem kantonalen Verfahren beschränken, vermögen keine Zweifel daran zu begründen. Namentlich geht der Vorwurf fehl, die Verweisungstätigkeiten seien zu wenig konkretisiert worden. In den medizinischen Akten, auf die sich die Vorinstanz stützt, sind die trotz unfallbedingter Gesundheitsschädigung noch zumutbaren Tätigkeitsbereiche hinreichend umschrieben, um als Grundlage für die Bestimmung des Erwerbsfähigkeitsgrades zu dienen. Es kann auf die vorinstanzlichen Erwägungen verwiesen werden. Sollte sich aufgrund von nach dem Einspracheentscheid vom 20. Oktober 2005 vorgenommenen weiteren operativen Eingriffen eine erwerblich relevante Erhöhung der unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit ergeben, wäre auch dies gegebenenfalls unter dem Gesichtspunkt eines Rückfalls oder einer Spätfolge zu berücksichtigen.
5.2 Die Resterwerbsfähigkeit ist unstreitig mittels Einkommensvergleich zu bestimmen.
5.2.1 Das im Jahr 2004 ohne unfallbedingte Gesundheitsschädigung mutmasslich erzielte Einkommen (Valideneinkommen) setzte die SUVA auf Fr. 57'200.- fest. Sie stützte sich dabei auf die Angaben der Firma Y._, zum Lohn, den der Versicherte im Jahr 2004 ohne unfallbedingte Einschränkung erzielt hätte. Bei diesem Arbeitgeber war der Versicherte vom Juni 2000 bis Januar 2004 tätig. Die Vorinstanz hat dieses Valideneinkommen zu Recht bestätigt. Die Begründung, mit welcher der Beschwerdeführer ein höheres Valideneinkommen geltend machen lässt, wurde im kantonalen Entscheid mit zutreffender Begründung verworfen.
5.2.2 Das im Jahr 2004 trotz unfallbedingter Gesundheitsschädigung zumutbarerweise noch erzielbare Einkommen (Invalideneinkommen) bemass die SUVA anhand von Lohnangaben aus ihrer Dokumentation von Arbeitsplätzen (DAP) auf Fr. 49'400.-. Sie ist dabei nach den von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätzen (BGE 129 V 472) vorgegangen. Das kantonale Gericht hat dies zutreffend erkannt. Es hat sich dabei auch eingehend mit den Einwänden des Versicherten auseinandergesetzt und diese für unbegründet erachtet. Die entsprechenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid überzeugen vollumfänglich. Sie werden durch die erneuerten Einwände des Beschwerdeführers nicht in Frage gestellt. Dies betrifft namentlich das hauptsächliche Vorbringen, dass die zum Vergleich herangezogenen Tätigkeiten von einem funktionell Einarmigen nicht ausgeführt werden könnten. Als solcher ist der Versicherte nach dem zuvor Gesagten nicht zu betrachten. Auch ist davon auszugehen, dass der massgebliche ausgeglichene Arbeitsmarkt hinreichend Stellen anbietet, welche dem gegebenen Zumutbarkeitsprofil entsprechen.
5.2.3 Der Vergleich von Validen- und Invalideneinkommen ergibt einen unfallbedingten Minderverdienst von Fr. 7800.-, was einem Prozentsatz von 13.63 % und gerundet (BGE 130 V 121) dem von der SUVA ermittelten und vom kantonalen Gericht bestätigten Invaliditätsgrad von 14 % entspricht. Der angefochtene Entscheid ist mithin auch im Rentenpunkt rechtens.
6. Die Kosten des Verfahrens trägt der unterliegende Beschwerdeführer (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. März 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz