Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Obergericht des Kantons Solothurn sprach den Beschwerdeführer mit Urteil vom 24. März 2010 des Führens eines Personenwagens in übermüdetem Zustand schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von 15 Tagessätzen zu je Fr. 30.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren, sowie zu einer Busse von Fr. 300.-- bzw. einer Ersatzfreiheitsstrafe von 10 Tagen.
Der Beschwerdeführer wendet sich mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht und beantragt sinngemäss einen Freispruch vom Vorwurf der vorsätzlichen Tatbegehung.
2. Soweit der Beschwerdeführer "verschiedene" Irrtümer im angefochtenen Urteil rügt und geltend macht, auf "den Grund" seiner Einsprache gegen das erstinstanzliche Urteil sei im angefochtenen Entscheid nicht eingegangen worden, ist darauf nicht einzutreten. Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerde darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzt. Diesem Begründungserfordernis genügen die erwähnten Vorbringen nicht.
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe nicht vorsätzlich gehandelt.
Die Vorinstanz führt dazu aus, der Beschwerdeführer habe in Langenbruck die deutlichen Zeichen der Müdigkeit bemerkt, diese aber nicht beachtet und seine Fahrt ungeachtet davon fortgesetzt und versucht, sich durch aktives Gähnen wach zu halten. Durch sein Verhalten habe er wissentlich und willentlich und damit vorsätzlich gehandelt (vgl. angefochtenen Entscheid S. 8/9 E. 2.4).
Diese Erwägung ist bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Die Vorinstanz ist von einem richtigen Begriff des Vorsatzes ausgegangen. Sie hat den Beschwerdeführer, der die Fahrt fortsetzte, obwohl er seinen Zustand erkannte, zu Recht wegen vorsätzlichen Führens eines Personenwagens in übermüdetem Zustand schuldig gesprochen.
4. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juni 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Schneider Monn