Sachverhalt:
A. Am 23. November 2010 eröffnete der Konkursrichter am Bezirksgericht A._ auf Begehren der Y._ AG, mit Sitz in A._, gegenüber X._ den Konkurs ohne vorgängige Betreibung nach Art. 190 Abs. 1 Ziff. 1 SchKG wegen unbekannten Aufenthaltes. Die Konkurseröffnung wurde am 3. Dezember 2010 im Amtsblatt des Kantons Zürich publiziert. Bereits am 26. November 2010 wurde der Schuldner auf der Bezirksgerichtskanzlei vorstellig und nahm das Konkurserkenntnis persönlich entgegen.
B. X._ zog das Konkurserkenntnis mit Eingabe vom 6. Dezember 2010 (Stempel der schwedischen Post) weiter und verlangte die Aufhebung des Konkurserkenntnisses. Mit Beschluss vom 14. März 2011 trat das Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, auf die Weiterziehung infolge Verspätung nicht ein und eröffnete gleichentags neu den Konkurs.
C. Mit Eingabe vom 21. März 2011 (Stempel der schwedischen Post) bzw. 22. März 2011 (Übergabe an die schweizerische Post) gelangte X._ an das Bundesgericht. Mit Urteil 5A_206/2011 vom 18. Mai 2011 wies das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen ab, soweit darauf eingetreten wurde.
D. X._ ist mit Revisionsgesuch vom 8. Juni 2011 an das Bundesgericht gelangt. Der Gesuchsteller macht geltend, das Gericht habe in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt (Art. 121 lit. d BGG), und verlangt die Aufhebung des bundesgerichtlichen Urteils. Weiter ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege bzw. Befreiung von der Bezahlung der Gerichtskosten.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Der Gesuchsteller stützt sein Revisionsbegehren auf den Revisionsgrund nach Art. 121 lit. d BGG. Gemäss dieser Bestimmung kann die Revision eines Bundesgerichtsentscheides verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Die Versehensrüge kann sich nicht nur auf tatsächliche Feststellungen des vorinstanzlichen Entscheides beziehen, sondern auf alle in den Akten liegenden Tatsachen, welche das Bundesgericht im konkreten Verfahren hätte berücksichtigen können (vgl. ESCHER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 9 zu Art. 121 BGG, mit Hinweisen).
2. Im Wesentlichen macht der Gesuchsteller geltend, dass er mit der "gegen den Beschluss des Obergerichts vom 14. März 2011" eingereichten Beschwerde in Zivilsachen dem Bundesgericht mitgeteilt habe, dass er "keinen Beschluss erhalten" habe. Es sei anzunehmen, dass das Bundesgericht bei der Beurteilung die Tatsache, dass ihm der erwähnte Beschluss nicht zugestellt worden sei, übersehen bzw. zu Unrecht nicht berücksichtigt habe. Das Bundesgerichtsurteil 5A_206/2011 vom 18. Mai 2011 sei daher aufzuheben und seine Beschwerde in Zivilsachen neu zu beurteilen.
2.1 Das Bundesgericht hat im Urteil 5A_206/2011 vom 18. Mai 2011 (in E. 1.1) festgehalten, dass der Beschluss des Obergerichts dem Beschwerdeführer am 15. März 2011 zugestellt (und daher fristgerecht Beschwerde erhoben) worden sei. Es hat sich dabei auf das in den kantonalen Akten liegende Dokument gestützt, mit welchem Rechtsanwalt B._ bestätigt, am 15. März 2011 den Beschlusses des Obergerichts vom 14. März 2011 in Empfang genommen zu haben, in welchem der betreffende Rechtsanwalt als Vertreter des Gesuchstellers aufgeführt ist.
2.2 Wohl hat der Gesuchsteller in seiner Beschwerde in Zivilsachen behauptet, dass ihm "die Verfügung (des Obergerichts) nicht zugestellt" worden sei, und hat er erwähnt, dass Rechtsanwalt B._ nicht mehr sein Vertreter sei. Mit diesen Ausführungen legt der Gesuchsteller jedoch nicht dar, dass das Bundesgericht - mit Bezug auf die Zustellung des Beschlusses - eine Feststellung getroffen habe, welche darauf zurückzuführen ist, dass eine bestimmte Aktenstelle übersehen oder unrichtig (nicht in ihrer wahren Gestalt, insbesondere nicht mit ihrem wirklichen Wortlaut) wahrgenommen wurde (BGE 115 III 399 E. 2a S. 400). Er behauptet selber nicht, dass die Feststellung des Bundesgerichts, der Beschluss des Obergerichts sei am 15. März 2011 zugestellt worden, auf einem derartigen Versehen beruhe. Seine Ausführungen beschränken sich auf die Kritik, Parteivorbringen nicht berücksichtigt zu haben, was indessen nicht zu einer Revision berechtigt (vgl. ESCHER, a.a.O.). Das Gleiche gilt für seine Kritik an der Erwägung im Bundesgerichtsurteil, soweit damit (in E. 3.3.1) die Rechtswirksamkeit der Zustellung der Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 13. Januar 2011 durch das Obergericht an Rechtsanwalt B._ beurteilt wurde.
3. Nach dem Dargelegten ist dem Revisionsgesuch kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Gesuchsteller kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann infolge Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, sowie dem Konkursamt C._, dem Betreibungsamt D._, dem Grundbuchamt E._ und dem Handelsregisteramt des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante