Faits:
A. Dame X._ et X._ se sont mariés en 2006. Ils sont les parents de A._, née en 2006.
B. Dans le cadre de la procédure de divorce opposant les époux, X._ a, le 20 mai 2009, déposé devant le Tribunal d'arrondissement judiciaire I Courtelary-Moutier-La Neuveville une requête de mesures provisoires; il a conclu à l'attribution en sa faveur de la garde de l'enfant.
Par décision du 31 mars 2010, le Président du Tribunal d'arrondissement a retiré aux parties la garde de l'enfant et a ordonné le placement de celle-ci chez ses grands-parents paternels. Il a ensuite réglé le droit de visite des parents.
Dame X._ a appelé de ce jugement devant la Cour suprême du canton de Berne et a demandé que l'effet suspensif soit attribué à son appel.
Par ordonnance du 8 juin 2010, le président ad hoc de la Cour d'appel a rejeté la requête d'effet suspensif.
C. Par acte du 9 juillet 2010, la mère a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral, assorti d'une requête d'effet suspensif. Elle conclut à l'annulation de l'ordonnance du 8 juin 2010 et à l'admission de la requête d'effet suspensif déposée devant la Cour suprême. Elle sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
D. Invitée à se déterminer sur la requête d'effet suspensif concernant le recours en matière civile, la cour cantonale a renoncé à se déterminer. L'intimé a conclu à son rejet et demandé à être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Par ordonnance du 20 juillet 2010, la présidente de la IIe Cour civile a rejeté la requête d'effet suspensif.
Considérant en droit:
1. 1.1 Déposé en temps utile à l'encontre d'une décision de nature non pécuniaire rendue en matière civile par une autorité cantonale de dernière instance, le recours est recevable sous l'angle des art. 72 al. 1, 75 al. 1 et 100 al. 1 LTF.
1.2 Le refus ou la restitution de l'effet suspensif à un recours contre le retrait de la garde d'un enfant est une décision incidente qui cause un préjudice irréparable, de sorte que le recours est aussi ouvert au regard de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (ATF 120 Ia 260 consid. 2b; arrêt 5A_17/2007 du 6 mars 2007 consid. 2.2).
1.3 Dès lors que la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles (ATF 134 II 192 consid. 1.5), seule peut être dénoncée la violation des droits constitutionnels (art. 98 LTF). Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de ces droits que si un tel moyen est invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (ATF 134 I 83 consid. 3.2 et les arrêts cités). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 585 consid. 4.1, 589 consid. 2).
2. La recourante se plaint, en premier lieu, du fait que la décision attaquée ne contient pas l'indication des voies de droit, contrairement aux exigences de l'art. 112 al. 1 let. d LTF. Se fondant sur l'art. 112 al. 3 LTF, elle exige que le Tribunal fédéral annule la décision attaquée et renvoie le dossier à l'autorité cantonale.
En l'espèce, si le vice invoqué est avéré, il n'a pas porté le moindre préjudice à la recourante puisqu'il ne l'a pas empêchée de recourir contre la décision cantonale en temps utile. La recourante n'a donc aucun intérêt à l'admission du recours sur ce point. En dépit de sa formulation, l'art. 112 al. 3 LTF ne saurait d'ailleurs être interprété en ce sens que le Tribunal fédéral n'aurait le choix qu'entre l'annulation de la décision ou son renvoi à l'autorité cantonale même dans l'hypothèse où le vice affectant cette décision n'aurait eu aucune incidence sur les droits de la partie qui s'en prévaut (arrêt 4A_85/2007 du 11 juin 2007 consid. 5).
En conséquence, ce premier grief est irrecevable.
3. La recourante reproche à l'autorité précédente d'avoir constaté les faits de manière arbitraire.
3.1 En principe, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans le cadre d'un recours dirigé contre une mesure provisionnelle, le recourant ne peut critiquer la constatation des faits, susceptibles d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure, que si ceux-ci ont été établis en violation de droits fondamentaux, ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de motivation de l'art. 106 al. 2 LTF. Le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est limité à l'arbitraire (cf. ATF 133 III 393 consid. 7.1).
S'agissant de l'appréciation des preuves et la constatation des faits, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 134 I 221 consid. 2.1; 129 I 8 consid. 2.1); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause.
S'agissant de l'appréciation des preuves et la constatation des faits, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 134 I 221 consid. 2.1; 129 I 8 consid. 2.1); encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause.
3.2 3.2.1 La recourante cite des passages du rapport d'enquête sociale que l'autorité précédente n'a pas mentionnés. Elle relève que, selon le rapport, la relation mère-fille est bonne et que le droit de visite chez la grand-mère est bien aménagé. Il lui appartenait d'expliquer en quoi cette circonstance était de nature à modifier la pesée d'intérêts faite par le président de la cour d'appel pour refuser l'effet suspensif, et partant, à modifier l'issue du litige. Faute de l'avoir fait, son grief est irrecevable.
3.2.2 La recourante prétend suivre tous les conseils de la curatrice, contrairement à ce qui a été retenu par l'autorité précédente. A l'appui de sa critique, elle se réfère aux déclarations de son compagnon qui aurait admis avoir pris un bain, à une seule reprise, avec la fillette. On ne voit toutefois pas en quoi ce seul élément est de nature à démontrer l'arbitraire de la constatation.
3.2.3 Elle conteste offrir à sa fille un cadre éducatif manquant de rigueur et "avoir besoin régulièrement de souffler". Elle se contente toutefois d'opposer sa version des faits à ces constatations opérées par l'autorité cantonale, dans un procédé purement appellatoire et partant, irrecevable.
3.2.4 La recourante nie que la fillette passe une grande partie de son temps chez sa grand-mère paternelle et cite à ce propos les déclarations de l'assistante sociale lors de l'audience du 31 mars 2010 ("pour moi, Dame X._ peut s'occuper de sa fille comme elle le fait actuellement à condition où elle peut donner sa fille chez la grand-mère pour le droit de visite du père") et ceux de la grand-mère ("avant on la ramenait (A._) le dimanche soir à 20 h 00 et maintenant il faut la ramener à 18 h 00"). De tels propos ne corroborent pas la critique de la recourante.
3.2.5 Celle-ci reproche à l'autorité précédente de n'avoir pas retenu que la fillette, lorsqu'elle passe la nuit chez ses grands-parents, dort dans leur chambre pour l'instant. A nouveau, la recourante n'expose pas en quoi cette circonstance aboutirait à modifier la décision attaquée, qui retient que la grand-mère dispose de bonnes capacités éducatives.
3.2.6 Lorsqu'elle affirme que l'ordonnance attaquée retient sans raison une incapacité de la mère d'éduquer son enfant, elle oublie que cette constatation se fonde sur le rapport d'enquête sociale, dont les conclusions étaient appuyées par les déclarations de la curatrice; on ne saurait donc y voir une constatation arbitraire des faits même si la recourante prétend qu'il faut relativiser les déclarations de la curatrice car leur relation s'est péjorée depuis novembre 2009; elle méconnaît que l'autorité précédente a opéré les constatations relatives aux capacités éducatives en se fondant en premier lieu sur le rapport d'enquête sociale, les déclarations de la curatrice n'étant prises en compte qu'à titre supplémentaire.
4. La recourante estime qu'en refusant l'effet suspensif, le président de la cour d'appel a violé l'art. 36 al. 3 Cst. en lien avec les art. 13 al. 1, 14 Cst, 8 al. 2 CEDH et 310 CC.
4.1 Les conditions d'octroi de l'effet suspensif en cas d'appel dirigé contre des mesures provisoires sont régies exclusivement par le droit cantonal, en l'occurrence l'art. 336a du Code de procédure civile bernois du 7 juillet 1918 (ci-après : CPC/BE). Selon cette disposition, en procédure sommaire, l'appel n'a d'effet suspensif que si le président de la cour l'ordonne. Le législateur bernois a voulu que, dans les causes soumises à la procédure sommaire - comme les mesures provisoires de l'art. 137 CC (art. 322 CPC/BE) -, les décisions susceptibles d'appel soient exécutoires dès leur notification (LEUCH/MARBACH/KELLERHALS/STERCHI, Die Zivilprozessordnung für den Kanton Bern, 5ème éd., 2000, n. 1 ad art. 336a ZPO). En matière de mesures de protection de l'enfant, cette règle est usuelle car celles-ci présentent régulièrement un caractère urgent, ce qui justifie en principe de les rendre immédiatement exécutoires dans l'intérêt de l'enfant (cf. PETER BREITSCHMID, Commentaire bâlois, 3ème éd., n. 6 ad art. 314/314a CC; arrêt 5P.461/2006 du 16 janvier 2007 consid. 5 in FamPra.ch 2007 p. 717). L'octroi, la révocation ou la restitution de l'effet suspensif à un recours dépendent d'une pondération prima facie de l'intérêt à l'exécution immédiate de la décision litigieuse et de l'intérêt contraire au maintien de la situation existante jusqu'à ce que la décision au fond soit rendue.
Sur le vu du pouvoir d'examen étendu dont jouit l'autorité cantonale, le Tribunal fédéral s'impose une grande réserve dans l'examen des recours intentés contre une décision de refus de l'effet suspensif. Il ne prononce l'annulation de la décision attaquée que si l'autorité a omis de tenir compte d'intérêts ou de points de vue essentiels ou les a manifestement mal évalués.
4.2 Le président de la cour d'appel a relevé que, selon le rapport d'enquête sociale dont l'analyse a été confirmée par la curatrice de l'enfant, la garde ne pouvait être confiée à aucun des deux parents. La mère ne fournit pas un milieu propice à un développement sain; l'enfant est notamment exposée aux disputes entre sa mère et le nouveau compagnon de celle-ci. La recourante ne suit pas tous les conseils de la curatrice et le cadre éducatif qu'elle offre manque de rigueur. Comme elle a régulièrement " besoin de souffler", elle confie l'enfant à la grand-mère paternelle. En conséquence, dans les faits, la fillette passe déjà une grande partie de son temps chez sa grand-mère, qui est, selon le rapport, la pierre angulaire de son éducation. Celle-ci est mère de jour et présente de bonnes capacités éducatives. D'un autre côté, le président de la cour d'appel a relevé que la solution retenue par le jugement de première instance permet des contacts réguliers entre l'enfant et ses parents. Au vu de ces circonstances, il a jugé que l'exécution immédiate de cette décision - soit le refus de l'effet suspensif - était conforme à l'intérêt de l'enfant et constituait une mesure proportionnée.
4.3 La recevabilité du recours est douteuse dans la mesure où la mère conteste en réalité le retrait de la garde, qui n'est pas l'objet de la décision attaquée; celle-ci se limite au refus de l'effet suspensif. Or, la recourante ne s'exprime pas sur le droit cantonal applicable, ni ne dit dans quelle mesure l'autorité précédente aurait violé une disposition constitutionnelle dans la pondération de l'intérêt à l'exécution immédiate de la décision litigieuse et de l'intérêt contraire au maintien de la situation existante.
En tout état de cause, ses arguments ne démontrent pas que l'autorité précédente aurait abusé de son pouvoir d'appréciation dans la pesée des intérêts. Lorsque la recourante prétend que la décision n'est pas dans l'intérêt de l'enfant car celle-ci sera "exposée à la vie intime de ses grands-parents, notamment les rapports sexuels légitimes dans un couple", elle avance des faits nouveaux, ce qui est inadmissible (art. 99 al. 1 LTF); elle ne prétend pas pour autant que ces faits ressortiraient d'une pièce du dossier et que la cour cantonale les aurait ainsi omis de manière arbitraire. Au demeurant, la décision attaquée a mis en exergue les bonnes capacités éducatives de la grand-mère. En tant que la recourante reproche à l'autorité précédente de s'être fondée sur des éléments non décisifs, sa critique est vaine. Contrairement à ce qu'elle soutient, la décision attaquée n'a pas tenu compte d'une douche prise par le compagnon en présence de l'enfant puisque cet épisode n'est pas mentionné dans la décision. Il est également erroné de prétendre que l'autorité précédente a uniquement tenu compte des capacités éducatives de la grand-mère sans examiner celles de la mère. Enfin, bien que la recourante affirme que la décision attaquée expose l'enfant à être ballotée entre plusieurs lieux de vie au cas où l'appel serait admis, elle ne s'exprime pas sur les chances de succès de son recours cantonal.
En définitive, elle n'a relevé aucun motif qui justifierait de s'écarter du principe général qui commande que les mesures de protection de l'enfant soient exécutées immédiatement. Dès lors que l'autorité précédente n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation, sa décision n'enfreint ni son droit constitutionnel à la protection de la sphère privée (art. 13 Cst.) ni son droit au respect de la vie familiale (art. 14 Cst.; arrêt 5P.461/2006 du 16 janvier 2007 consid. 5 in : FamPra.ch 2007 p. 717), ni l'art. 36 al. 3 Cst. qui n'a d'ailleurs aucune portée propre tel qu'il est formulé dans le recours.
5. En conclusion, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les frais sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Ses conclusions étaient d'emblée dénuées de chances de succès, de sorte que sa demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF).
Il y a lieu d'accorder à l'intimé des dépens pour sa détermination sur la requête d'effet suspensif. En revanche, il n'a pas droit à des dépens pour sa détermination sur le fond, qu'il a déposée sans y être invité. En ce qui concerne sa requête d'assistance judiciaire, elle est sans objet dans la mesure où il obtient des dépens et où les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante. Pour le surplus, elle doit être rejetée puisque l'intervention de l'avocat sur le fond n'était pas nécessaire à la sauvegarde de ses droits (art. 64 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimé une indemnité de 300 fr. à titre de dépens.
4. La demande d'assistance judiciaire de l'intimé est rejetée dans la mesure où elle n'est pas sans objet.
5. La demande d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la curatrice et à la Cour suprême du canton de Berne, Cour d'appel, 2ème Chambre civile.
Lausanne, le 17 septembre 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Rey-Mermet