Faits:
A. AX._, ressortissant congolais né en 1981, est entré en Suisse le 20 octobre 1997 et y a déposé une demande d'asile. Le recours interjeté contre la décision qui lui refusait l'asile et prononçait son renvoi a été retiré le 1er juillet 2002 à la suite du mariage de l'intéressé avec une compatriote titulaire d'un permis d'établissement en Suisse. Le 30 mai 2003, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après le Service cantonal) a délivré à AX._ une autorisation de séjour, afin de lui permettre de vivre auprès de son épouse. Cette autorisation a été régulièrement renouvelée, la dernière fois jusqu'au 13 novembre 2008. Les époux X._ ont deux filles, nées en 2002 et 2005, et un fils, né en 2011. AX._ a en outre reconnu sa paternité sur deux filles nées en 2000 et 2002 d'une relation avec une ressortissante congolaise admise provisoirement en Suisse.
AX._ a fait l'objet des condamnations pénales suivantes:
Par jugement du 5 avril 2000, condamnation à dix jours d'emprisonnement avec sursis pendant deux ans pour lésions corporelles simples qualifiées commises en octobre 1999.
Par ordonnance pénale du 26 septembre 2000, condamnation à cinq jours d'arrêts avec sursis pendant un an pour vol d'importance mineure commis en août 2000.
Le 7 juillet 2004, condamnation à trente jours d'emprisonnement avec sursis pendant deux ans pour violence ou menaces contre des autorités et fonctionnaires commises en mai 2004.
Par ordonnance du 30 novembre 2004, condamnation à une peine complémentaire à la précédente de vingt jours d'emprisonnement et CHF 500.- d'amende avec sursis pendant deux ans pour violation simple des règles sur la circulation routière, ivresse au volant et conduite sans permis commises en juin 2004.
Par jugement du 5 septembre 2006, condamnation à cinq mois d'emprisonnement avec sursis pendant quatre ans pour lésions corporelles simples, voies de fait, injure et menaces commises en mars et août 2005. Le même jugement ordonnait l'expulsion de AX._ du territoire suisse pendant quatre ans avec sursis pendant quatre ans.
Par jugement du 13 novembre 2007, confirmé par arrêt du 6 février 2008 de la Cour de cassation pénale, condamnation à une peine privative de liberté complémentaire à la précédente de treize mois, dont neuf mois fermes, pour lésions corporelles graves intentionnelles, lésions corporelles simples intentionnelles, menaces ou violence contre des fonctionnaires, commises le 5 février 2006.
Par jugement du 10 décembre 2009, condamnation à une peine privative de liberté complémentaire à la précédente de deux mois pour lésions corporelles simples commises en mars 2007.
Par ordonnance pénale du 18 février 2011, condamnation à une peine pécuniaire de 25 jours-amende pour violation des règles de la circulation routière (taux d'alcoolémie qualifié).
B. Le 9 décembre 2008, le Service cantonal a informé AX._ qu'il était disposé, sous réserve d'approbation fédérale, à autoriser la poursuite de son séjour en Suisse.
Par courrier du 20 mars 2009, l'Office fédéral des migrations (ci-après l'Office fédéral) a avisé AX._ qu'il avait l'intention de ne pas approuver la prolongation de son autorisation de séjour et lui a donné l'occasion de se déterminer.
Par décision du 18 janvier 2010, l'Office fédéral a refusé de donner son approbation à la prolongation de l'autorisation de séjour de AX._ et a prononcé son renvoi de Suisse.
AX._ a recouru contre cette décision au Tribunal administratif fédéral. Par arrêt du 16 août 2012, celui-ci a rejeté le recours. Il a considéré, en substance, que AX._ avait fait l'objet d'une condamnation à une peine supérieure à un an, que la répétition et la gravité des infractions commises démontraient qu'il n'était pas prêt à se conformer à l'ordre en vigueur et révélaient un comportement violent et dangereux. En ce qui concernait la proportionnalité de la décision, le Tribunal administratif fédéral a retenu que les condamnations de AX._ étaient nombreuses et d'une gravité croissante, que son intégration en Suisse était insuffisante, que rien ne s'opposait à sa réintégration professionnelle et sociale au Congo, que son épouse et ses enfants étaient originaires du même pays et donc également susceptibles de s'y réintégrer et que, si sa famille demeurait en Suisse, il pourrait maintenir les contacts par les moyens de communication modernes et des visites réciproques.
C. Par acte du 21 septembre 2012, AX._ dépose un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à la réforme de l'arrêt du 16 août 2012 et à ce que la prolongation de son autorisation de séjour soit approuvée et le renvoi annulé. Il requiert également l'octroi de l'effet suspensif et le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à prendre position sur le recours. Dans son préavis du 23 octobre 2012, l'Office fédéral propose le rejet du recours.
Par ordonnance présidentielle du 27 septembre 2012, l'effet suspensif a été accordé au recours de AX._.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (art. 29 al. 1 LTF; cf. ATF 136 II 470 consid. 1 p. 472 et les arrêts cités).
1.1 D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions dans le domaine du droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179).
Le recourant invoque le droit au respect de la vie familiale tel que protégé par l'art. 8 CEDH, puisqu'il vit avec son épouse, titulaire d'une autorisation d'établissement, et leurs trois enfants. Il se prévaut également de l'art. 43 al. 1 LEtr (RS 142.20) qui prévoit que le conjoint étranger du titulaire d'une autorisation d'établissement a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité, à condition de vivre en ménage commun avec lui, ce qui est son cas. Ces circonstances sont potentiellement de nature à lui conférer un droit à une autorisation de séjour. Il s'ensuit que le recours est recevable sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si le recourant peut effectivement se prévaloir d'un tel droit relève du fond et non de la recevabilité (cf. ATF 137 I 284 consid. 1.3 p. 287).
1.2 Au surplus, déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (art. 42 LTF), par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), le présent recours, dirigé contre une décision du Tribunal administratif fédéral (art. 86 al. 1 let. a LTF), est recevable.
2. L'art. 99 al. 1 LTF dispose qu'aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Ainsi, il n'est, sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce, pas possible de fournir au Tribunal fédéral des pièces qui n'ont pas été produites devant l'autorité précédente (cf. arrêt 2C_752/2011 du 2 mars 2012 consid. 2.1). Il y a lieu de se baser sur l'état de fait existant lors du prononcé de la décision attaquée (cf. ATF 136 II 497 consid. 3.3 p. 500 s.). Le Tribunal fédéral doit en effet examiner si l'autorité précédente a correctement appliqué le droit. Or, la prise en compte d'une modification des circonstances conduirait à vider ce contrôle de son sens (cf. arrêt 2C_417/2008 du 18 juin 2010 consid. 2.1).
Au vu de ce qui précède, la Cour de céans ne tiendra pas compte des nouveaux documents déposés par le recourant par-devant le Tribunal fédéral, car ils sont postérieurs à l'arrêt attaqué.
3. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées; à défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104 s.). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356).
Le recourant méconnaît à l'évidence ces principes. Il fonde une partie de son argumentation sur des faits et sa propre interprétation des événements qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué, sans alléguer ni a fortiori démontrer que les constatations figurant dans cet acte seraient manifestement inexactes ou arbitraires. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel habilitée à revoir librement les faits. Partant, l'Autorité de céans se limitera à examiner si le droit fédéral a été correctement appliqué par le Tribunal cantonal sur la base des faits ressortant de l'arrêt entrepris.
4. 4.1 En application de l'art. 43 al. 1 LEtr, le conjoint étranger du titulaire d'une autorisation d'établissement a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité, à condition de vivre en ménage commun avec lui. Après un séjour légal ininterrompu de cinq ans, le conjoint a droit à l'octroi d'une autorisation d'établissement (art. 43 al. 2 LEtr). Selon l'art. 51 al. 2 let. b LEtr, les droits prévus à l'art. 43 LEtr s'éteignent s'il existe des motifs de révocation au sens de l'art. 62 LEtr.
Aux termes de l'art. 62 LEtr, l'autorité compétente peut révoquer une autorisation si l'étranger a été condamné à une peine privative de liberté de longue durée (let. b) ou s'il attente de manière grave ou répétée à la sécurité et l'ordre publics en Suisse ou à l'étranger, les met en danger ou représente une menace pour la sécurité intérieure ou extérieure de la Suisse (let. c). Ces motifs justifient non seulement la révocation, mais aussi le non-renouvellement de l'autorisation de séjour (cf. arrêt 2C_516/2012 du 17 octobre 2012 consid. 2.2).
Le Tribunal administratif fédéral a considéré que le recourant remplissait les deux conditions précitées, ce que celui-ci conteste.
4.2 Selon la jurisprudence, une peine privative de liberté de plus d'une année - soit 360 jours - est une peine de longue durée et constitue un motif de révocation de l'autorisation au sens de l'art. 62 let. b LEtr. Il s'agit d'une limite fixe, indépendante des circonstances du cas d'espèce (cf. ATF 135 II 377 consid. 4.2 p. 379 ss). La durée supérieure à une année pour constituer une peine privative de liberté de longue durée doit impérativement résulter d'un seul jugement pénal. L'addition de plusieurs peines plus courtes qui totalisent plus d'une année n'est pas admissible (cf. ATF 137 II 297 consid. 2.3.6 p. 302). En revanche, il importe peu que la peine ait été prononcée avec un sursis complet ou partiel, ou sans sursis (cf. arrêt 2C_117/2012 du 11 juin 2012 consid. 4.4.2).
En l'espèce, par jugement du 13 novembre 2007, le recourant a été condamné à une peine privative de liberté de treize mois. Les conditions de l'art. 62 let. b LEtr sont ainsi remplies.
En ce qui concerne l'argument soulevé par le recourant, qui estime qu'avec une peine de treize mois, il constitue un cas limite d'application de l'art. 62 let. b LEtr, il conviendra, le cas échéant, d'en tenir compte dans l'analyse de la proportionnalité de la mesure (cf. ATF 135 II 377 consid. 4.3 p. 381; cf. infra consid. 6).
4.3 Il y a atteinte à la sécurité et à l'ordre publics, au sens des art. 62 let. c LEtr et 80 al. 1 let. a de l'ordonnance fédérale du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201), notamment en cas de violation importante ou répétée de prescriptions légales ou de décisions d'autorité. Tel est aussi le cas lorsque les actes individuels ne justifient pas en eux-mêmes une révocation, mais que leur répétition montre que la personne concernée n'est pas prête à se conformer à l'ordre en vigueur (cf. arrêts 2C_516/2012 du 17 octobre 2012 consid. 2.2; 2C_915/2010 du 4 mai 2011 consid. 3.2.1).
En l'espèce, le recourant a fait l'objet de huit condamnations pour lésions corporelles, menaces ou violence contre des fonctionnaires, vol, violation des règles sur la circulation routière, ivresse au volant et conduite sans permis. Certes, la plupart de ces condamnations ne sanctionnaient pas des actes d'une gravité extrême. On relèvera tout de même que la condamnation prononcée le 13 novembre 2007 visait des violences à l'égard de représentants des forces de l'ordre qui ont nécessité une intervention chirurgicale et provoqué l'amputation partielle d'une phalange. En outre, les délits commis par le recourant s'étendent sur de nombreuses années puisqu'il a été condamné à huit reprises entre 2000 et 2011. La multiplication des infractions commises permet de conclure que le recourant a attenté de manière répétée à la sécurité et à l'ordre publics en Suisse. En outre, l'intéressé n'a tenu aucun compte des nombreux avertissements qui lui ont été adressés sous la forme du sursis.
Le recourant allègue que la mise en danger et la menace pour la sécurité et l'ordre publics doivent être réelles et actuelles pour que l'art. 62 let. c LEtr trouve application. Il se réfère à cet égard aux ATF 130 II 493 et 131 II 358, sans prendre en considération que ces arrêts ont été rendus en application de l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses États membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681). Or, cette jurisprudence n'est pas applicable en ce qui concerne les étrangers soumis aux seules exigences de l'art. 62 LEtr (cf. arrêt 2C_370/2012 du 29 octobre 2012 consid. 3.1 a contrario). Le recourant ne pouvant se prévaloir de l'ALCP, il ne saurait donc tirer le moindre argument de la jurisprudence invoquée. En revanche, le nombre d'années pendant lesquelles le recourant n'a pas commis d'infractions peut jouer un rôle sous l'angle de la proportionnalité.
Il découle de l'ensemble de ces éléments que le recourant réalise le motif de révocation d'autorisation de l'art. 62 let. c LEtr.
5. Le recourant soutient qu'il serait contraire à l'art. 8 CEDH de l'obliger à se séparer de son épouse et de leurs trois enfants ou de contraindre ces derniers à le suivre au Congo.
5.1 Un étranger peut, selon les circonstances, se prévaloir de l'art. 8 par. 1 CEDH pour s'opposer à l'éventuelle séparation de sa famille. Pour qu'il puisse invoquer la protection de la vie familiale découlant de cette disposition, l'étranger doit entretenir une relation étroite et effective avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse (cf. ATF 137 I 284 consid. 1.3 p. 287).
Ces conditions sont remplies en l'espèce. En effet, selon l'état de fait retenu par l'instance précédente, non contesté sur ce point, le recourant vit en ménage commun avec son épouse, titulaire d'une autorisation d'établissement, et leurs trois enfants; en outre, il n'est pas contesté que le lien conjugal entre les époux est réel.
5.2 Le droit au respect de la vie privée et familiale garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH n'est toutefois pas absolu. Une ingérence dans l'exercice de ce droit est possible selon l'art. 8 par. 2 CEDH, pour autant qu'elle soit prévue par la loi et qu'elle constitue une mesure qui, dans une société démocratique, est nécessaire à la sécurité nationale, à la sûreté publique, au bien-être économique du pays, à la défense de l'ordre et à la prévention des infractions pénales, à la protection de la santé ou de la morale ou à la protection des droits et libertés d'autrui.
L'ingérence est en l'espèce prévue par le droit. En effet, le refus de prolonger l'autorisation de séjour du recourant est fondé sur l'art. 51 al. 2 let. b LEtr en relation avec l'art. 62 LEtr. En outre, il s'appuie sur l'art. 62 let. b et c LEtr, disposition sanctionnant des comportements pénalement répréhensibles (cf. supra consid. 4.2 et 4.3).
6. 6.1 Encore faut-il, tant sous l'angle du droit interne que du droit conventionnel, que le refus de prolongation de l'autorisation fasse l'objet d'une pesée des intérêts et d'un examen de la proportionnalité (cf. art. 96 al. 1 LEtr et 8 par. 2 CEDH; ATF 135 II 377 consid. 4.3 p. 381). Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut entraver sa vie familiale et porter ainsi atteinte à l'art. 8 par. 2 CEDH (cf. ATF 135 I 153 consid. 2.1 p. 154 s.). Il n'y a toutefois pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des membres de la famille qu'ils réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8 CEDH n'est a priori pas violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour (cf. ATF 137 I 247 consid. 4.1.2 p. 249 s.). Pour apprécier ce qui est équitable, l'autorité doit notamment tenir compte de la gravité de la faute commise par l'étranger, de la durée de son séjour en Suisse et du préjudice qu'il aurait à subir avec sa famille à la suite du refus d'accorder ou de prolonger une autorisation de séjour (cf. arrêt 2C_972/2010 du 24 mai 2011 consid. 5.2). Quand le refus d'octroyer une autorisation de police des étrangers, respectivement sa révocation, se fonde sur la commission d'une infraction, la peine infligée par le juge pénal est le premier critère à utiliser pour évaluer la gravité de la faute et pour procéder à la pesée des intérêts en présence (cf. arrêt 2C_418/2009 du 30 novembre 2009 consid. 4.1).
L'intérêt public à refuser l'autorisation doit avoir un poids prépondérant par rapport à l'intérêt privé à l'obtenir, en ce sens que l'ingérence dans la vie privée et familiale doit s'avérer nécessaire (cf. ATF 137 I 247 consid. 4.1.1 p. 249). La prévention d'infractions constitue à cet égard un intérêt public admissible (cf. arrêt 2C_141/2012 du 30 juillet 2012 consid. 3.2). La jurisprudence a développé un certain nombre de critères en relation avec la nécessité de l'ingérence lorsqu'on est en présence d'un mariage réellement vécu. Il convient ainsi de prendre en compte la nature et la gravité de l'infraction commise par l'intéressé, la durée de son séjour dans le pays d'où il va être renvoyé, la période qui s'est écoulée depuis la perpétration de l'infraction, ainsi que la conduite de l'intéressé durant cette période, la nationalité des diverses personnes concernées, la situation familiale de l'étranger, par exemple la durée de son mariage, et d'autres éléments dénotant le caractère effectif de la vie familiale d'un couple, le point de savoir si le conjoint était au courant de l'infraction au début de la relation familiale, la naissance d'enfants légitimes et, le cas échéant, leur âge. En outre, il y a lieu d'examiner l'ampleur des difficultés que risque de connaître le conjoint dans le pays d'origine de son époux ou épouse, bien que le simple fait qu'une personne risque de se heurter à des obstacles en accompagnant son conjoint ne saurait en soi exclure un renvoi (cf. arrêt CourEDH Boultif c. Suisse du 2 août 2001, n° 54273/00, par. 48; ATF 135 II 377 consid. 4.3 p. 381 s.).
6.2 Compte tenu de la jurisprudence (cf. en particulier les arrêts 2C_97/2012 du 14 décembre 2012, 2C_260/2012 du 28 août 2012, 2C_934/2011 du 25 juillet 2012 et 2C_902/2011 du 14 mai 2012), la situation du recourant constitue un cas limite. L'instance précédente a retenu qu'il avait commis de nombreux délits, dont l'un au moins d'une gravité certaine. En outre, il était pris de boisson lors de la plupart de ses infractions. Le recourant n'a cependant pas été condamné pour des infractions à la législation fédérale sur les stupéfiants ou des infractions contre l'intégrité sexuelle, domaines pour lesquels le Tribunal fédéral se montre particulièrement rigoureux pour évaluer la menace que représente un étranger (cf. arrêt 2C_238/2012 du 30 juillet 2012 consid. 2.3 in fine et la jurisprudence citée). Sa condamnation pour lésions corporelles graves en novembre 2007, à la suite d'une confrontation avec des gendarmes qu'il avait blessés, provoquant l'ablation d'une phalange chez l'un deux, demeure un cas unique. Prises isolément, les condamnations prononcées à l'encontre du recourant, si elles ne doivent pas être minimisées, ne sont pas non plus particulièrement graves et seule l'une d'entre elles, de treize mois d'emprisonnement en 2007, dépasse la durée d'une année pour être qualifiée de peine privative de longue durée au sens de l'art. 62 let. b LEtr et de la jurisprudence (cf. supra consid. 4.2). Après plusieurs années sans infraction, le recourant a certes à nouveau été condamné en février 2011 pour violation des règles de la circulation routière en raison d'un taux d'alcoolémie qualifié, ce qui tend à indiquer qu'il n'a pas définitivement tiré les leçons de ses précédentes condamnations. Sur le plan professionnel, il dispose en revanche d'une situation stable puisqu'il travaille pour le même employeur depuis plus de six ans et pourvoit ainsi à l'entretien de sa famille. Il ne dépend pas de l'aide sociale, même s'il a des dettes et des actes de défaut de biens pour un montant total de CHF 57'027.45. A ce sujet, le recourant relève cependant que près de la moitié des dettes répertoriées découle des condamnations pénales dont il a fait l'objet. Par ailleurs, il convient de ne pas sous-estimer le fait qu'il est arrivé en Suisse à l'âge de seize ans, de sorte que, âgé maintenant de 32 ans, il a vécu la moitié de sa vie dans ce pays. Enfin, compte tenu du fait que le recourant et son épouse sont mariés depuis dix ans et qu'ils ont trois enfants communs nés en Suisse, la séparation de l'intéressé d'avec sa famille doit être considérée comme une atteinte grave à sa vie conjugale et familiale. Son épouse, bien que d'origine congolaise, vit en Suisse depuis longtemps, au bénéfice d'une autorisation d'établissement. On ne peut admettre sans autres qu'elle accompagnera son mari dans leur pays d'origine, notamment parce que la situation économique et politique y est instable. Le refus de prolonger l'autorisation de séjour du recourant conduira par conséquent à la séparation de cette famille. En outre, compte tenu de la situation politique et économique difficile que connaît le Congo et de son degré de développement, une communication régulière du recourant avec sa famille par la voix et par l'image, bien que techniquement possible, n'est pas garantie.
Bien que son cas soit limite en raison de son comportement pénalement répréhensible qui s'est étendu sur de nombreuses années, il faut ainsi reconnaître que les circonstances actuelles, en particulier la situation professionnelle stable du recourant et, hormis l'infraction à la LCR, l'absence de condamnation pénale depuis plusieurs années, ne permettent pas de considérer que l'intérêt public à éloigner le recourant de Suisse l'emporte sur les intérêts privés de l'intéressé et de sa famille à pouvoir y demeurer. Le recourant doit toutefois être rendu attentif que la restitution de son autorisation de séjour implique qu'il ne commette plus de nouveaux délits. S'il devait récidiver, il s'exposerait à des mesures d'éloignement (cf. arrêts 2C_370/2012 du 29 octobre 2012 consid. 3.2, 2C_902/2011 du 14 mai 2012, consid. 3). Il y a donc lieu de lui adresser un avertissement formel en ce sens (art. 96 al. 2 LEtr).
7. Le recours doit par conséquent être admis et l'arrêt attaqué annulé. La cause sera renvoyée à l'Office fédéral pour qu'il approuve la prolongation de l'autorisation de séjour du recourant (cf. arrêt 2C_902/2011 du 14 mai 2012 consid. 4), l'Autorité de céans prononçant elle-même un avertissement au sens de l'art. 96 al. 2 LEtr (cf. arrêt 2C_370/2012 du 29 octobre 2012 ch. 3 du dispositif).
Il n'y a pas lieu de percevoir de frais de justice (cf. art. 66 al. 4 LTF). Succombant, l'Office fédéral versera au recourant une indemnité à titre de dépens (cf. art. 68 al. 1 LTF). Dans ces circonstances, la demande d'assistance judiciaire du recourant devient sans objet.
Le Tribunal fédéral ne fera pas usage de la faculté prévue aux art. 67 et 68 al. 5 LTF et renverra la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure accomplie devant elle.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 16 août 2012 annulé.
2. La cause est renvoyée à l'Office fédéral des migrations pour qu'il approuve la prolongation de l'autorisation de séjour de AX._.
3. Un avertissement selon l'art. 96 al. 2 LEtr est adressé au recourant, dans le sens des considérants.
4. La cause est renvoyée au Tribunal administratif fédéral afin qu'il statue à nouveau sur le sort des frais et dépens de la procédure devant lui.
5. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
6. L'Office fédéral des migrations versera au recourant une indemnité de CHF 2'000.- à titre de dépens.
7. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office fédéral des migrations, au Service de la population du canton de Vaud et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 14 janvier 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Beti