Sachverhalt:
A. Die 1974 geborene A._ war ab August 1989 vollzeitlich als Betriebsmitarbeiterin bei der R._ AG tätig. Ab 2002 wurde von ärztlicher Seite immer wieder eine Arbeitsunfähigkeit variierenden Umfangs wegen Rückenschmerzen und Depression attestiert. Im Mai 2004 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Sie war damals Mutter zweier Kinder (geb. 1996 und 2003). Nach erwerblichen und medizinischen Abklärungen sprach ihr die IV-Stelle Basel-Landschaft mit Verfügung vom 7. Februar 2006 rückwirkend ab 1. August 2003 bei einem Invaliditätsgrad von 48 % eine Viertelsrente (nebst Zusatzrente für den Ehegatten und zwei Kinderrenten) zu. Den Invaliditätsgrad bestimmte die IV-Stelle, von einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit der Versicherten im Gesundheitsfall ausgehend, mittels der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs. Im September 2007 meldete A._ der Verwaltung die im Juli 2007 erfolgte Geburt ihres dritten Kindes. Die IV-Stelle sprach ihr hierauf mit Verfügung vom 12. Oktober 2007 eine zusätzliche Kinderrente zu. Sie leitete überdies ein Rentenrevisionsverfahren ein, in welchem die Versicherte angab, die Schmerzen hätten seit Frühjahr 2007 zugenommen. Die IV-Stelle nahm eine erste Abklärung vor Ort vor (Abklärungsbericht Haushalt vom 5. November 2007). Nach Einholung eines bidisziplinären medizinischen Gutachtens der Dres. med. F._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, und G._, Innere Medizin und Rheumatologie FMH, vom 3. Dezember 2008 folgte eine zweite Abklärung vor Ort (Abklärungsbericht Haushalt vom 21. Januar 2009 mit Nachtrag vom 7. Dezember 2009). Gestützt auf diese Akten hob die IV-Stelle mit Verfügung vom 18. Januar 2010 die Viertelsrente revisionsweise auf Ende Februar 2010 auf, da der Invaliditätsgrad lediglich noch 24 % betrage. Sie ging dabei davon aus, die Versicherte wäre im Gesundheitsfall nunmehr teilzeitlich erwerblich und im Übrigen im Aufgabenbereich Haushalt tätig, und bestimmte den Invaliditätsgrad entsprechend nach der gemischten Methode.
B. A._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft gewährte ihr die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 18. August 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und weiterhin eine Viertelsrente auszurichten. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Das mit der Beschwerde neu aufgelegte Arbeitszeugnis vom 10. Mai 2005 ist als unzulässiges Novum ausser Acht zu lassen (Art. 99 Abs. 1 BGG).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob die seit 2003 ausgerichtete Viertelsrente zu Recht auf Ende Februar 2010 aufgehoben wurde.
Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Bestimmungen und Grundsätze über den Anspruch auf eine Invalidenrente und über deren revisionsweise Erhöhung, Herabsetzung oder Aufhebung infolge erheblicher Änderung des Invaliditätsgrades, über den revisionsrechtlich massgeblichen Vergleichszeitraum und über die - im Rentenrevisionsverfahren wie bei der erstmaligen Rentenprüfung zu beachtenden - Regeln für die Bestimmung des Invaliditätsgrades, insbesondere mittels Einkommensvergleich bei ohne gesundheitliche Beeinträchtigung voll Erwerbstätigen und mittels der sog. gemischten Methode (Kombination von Einkommens- und Betätigungsvergleich) bei ohne gesundheitliche Beeinträchtigung teils erwerblich und teils im Aufgabenbereich tätigen Personen, zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die zu beachtenden Beweisregeln.
4. Gemäss dem diesbezüglich nicht umstrittenen Entscheid stellen die rentenzusprechende Verfügung vom 7. Februar 2006 und die rentenaufhebenden Verfügung vom 18. Januar 2010 die massgeblichen Vergleichszeitpunkte für die Beurteilung der Rentenrevisionsfrage dar.
5. Streitig ist, ob die Versicherte ohne gesundheitliche Beeinträchtigung weiter einer vollzeitlichen Erwerbstätigkeit nachginge oder nurmehr teilzeitlich erwerblich und daneben im Aufgabenbereich Haushalt tätig wäre. Nach der ersten, von der Versicherten vertretenen Auffassung wäre der Invaliditätsgrad wie bei der erfolgten Rentenzusprechung mittels Einkommensvergleich zu bestimmen. Nach der zweiten, von Verwaltung und Vorinstanz vertretenen Auffassung käme neu die gemischte Methode zur Anwendung.
5.1 Die Frage, in welchem Ausmass die versicherte Person ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre, beurteilt sich mit Rücksicht auf die gesamten Umstände, so die persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse (BGE 130 V 393 E. 3.3 S. 396; 125 V 146 E. 2c S. 150, je mit Hinweisen; SVR 2010 IV Nr. 35 S. 111, 9C_559/2009 E. 3). Sie ist als Beurteilung hypothetischer Geschehensabläufe eine - vom Bundesgericht nur in den genannten Schranken (E. 1) überprüfbare - Tatfrage, soweit sie auf Beweiswürdigung beruht, selbst wenn darin auch Schlussfolgerungen aus der allgemeinen Lebenserfahrung berücksichtigt werden, hingegen nur dann eine Rechtsfrage, wenn sie ausschliesslich auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird. Sodann handelt es sich um eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage, wenn die Vorinstanz bei ihren tatbeständlichen Feststellungen von falschen Rechtsbegriffen ausgegangen ist (vgl. BGE 133 V 504 E. 3.2 S. 507; SVR 2010 IV Nr. 35 S. 111, 9C_559/2009 E. 3).
Das kantonale Gericht ist gestützt auf aktenkundige Angaben der Versicherten und mithin aufgrund einer Beweiswürdigung zum Ergebnis gelangt, diese wäre im Gesundheitsfall nur noch teilerwerbstätig. Dass hiebei von falschen Rechtsbegriffen ausgegangen wurde, wird zu Recht nicht geltend gemacht. Die vorinstanzliche Beurteilung ist daher nur eingeschränkt überprüfbar.
5.2 Gemäss dem angefochtenen Entscheid hat die Verwaltung den Wechsel zur gemischten Methode mit den Angaben begründet, welche die Versicherte gemäss dem - von dieser am 11. Dezember 2007 unterschriftlich bestätigten - "Fragebogen zur Ermittlung der Erwerbstätigkeit" gegenüber der Abklärungsperson Haushalt gemacht hat. Das kantonale Gericht hat hiezu erwogen, zwar sei bei einer dieser Angaben zweifelhaft, ob die Beschwerdeführerin die entsprechende Frage richtig verstanden habe. Dennoch sei mit Blick auf andere aktenkundige Erklärungen der Versicherten davon auszugehen, dass diese heute überwiegend wahrscheinlich in einem Teilpensum erwerbstätig wäre. Das ergebe sich namentlich auch aus einer im Gutachten F._/G._ vom 3. Dezember 2009 wiedergegebenen Aussage der Beschwerdeführerin. Danach habe diese angegeben, sie würde trotz der Kinder einer Teilzeitarbeit nachgehen.
5.3 Was in der Beschwerde vorgebracht wird, lässt diese Beurteilung weder als offensichtlich unrichtig noch als in anderer Weise rechtsverletzend im Sinne von Art. 95 BGG erscheinen. Die Angaben in den angeführten Akten hat das kantonale Gericht in einer Weise gewürdigt, welche im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis nicht zu beanstanden ist. Dass die Versicherte ihre Tätigkeit bei der R._ AG gerne ausgeübt hat und als Mitarbeiterin geschätzt wurde, ist nicht entscheidend und wurde im Übrigen auch von keiner Seite in Frage gestellt. Gleiches gilt für das Vorbringen, die Beschwerdeführerin hätte ihre Erwerbstätigkeit bei der angestammten Arbeitgeberin im Gesundheitsfall auch nach der Geburt des zweiten Kindes im Januar 2003 unverändert weitergeführt, wurde doch dies von der Verwaltung so akzeptiert. Geltend gemacht wird weiter, die Versicherte hätte ohne gesundheitliche Einschränkungen kein drittes Kind geboren und wäre weiterhin einer vollen Erwerbstätigkeit nachgegangen. Zu dieser Schwangerschaft sei es ausschliesslich aufgrund von ärztlich bestärkten und vom Ehemann mitgetragenen Hoffnungen gekommen, die hormonelle Umstellung während der Schwangerschaft könnte sich günstig und nachhaltig auf die Beschwerden auswirken. Diese Darstellung ist nicht leicht nachvollziehbar. Es finden sich in den Akten auch keine verlässlichen Anhaltspunkte, welche sie zu stützen vermöchten. Der vorinstanzliche Entscheid kann deswegen jedenfalls nicht als offensichtlich unrichtig oder in anderer Weise bundesrechtswidrig betrachtet werden.
5.4 Zusammenfassend ist der angefochtene Entscheid somit rechtens, soweit darin der Wechsel zur gemischten Invaliditätsbemessungsmethode bestätigt wurde.
6. Das kantonale Gericht hat im Weiteren die von der Verwaltung vorgenommene anteilsmässige Festsetzung der Betätigungsbereiche im Gesundheitsfall (38 % Erwerbstätigkeit; 62 % im Aufgabenbereich Haushalt) bestätigt. Es hat sodann erkannt, die gesundheitsbedingte Einschränkung betrage im erwerblichen Tätigkeitsbereich 49 % resp. gewichtet nach dem Anteil an der Gesamttätigkeit 18.62 % und im Aufgabenbereich Haushalt 10 % resp. gewichtet 6.20 %. Dies führe zu einem Gesamtinvaliditätsgrad von (gerundet) 25 %. Da der Invaliditätsgrad damit nicht mehr die für einen Rentenanspruch mindestens erforderlichen 40 % erreiche, seien die Voraussetzungen für die revisionsweise Aufhebung der Viertelsrente erfüllt. Das wäre selbst dann der Fall, wenn der vorinstanzlichen Argumentation der Versicherten folgend von einer gesundheitsbedingten Einschränkung im Haushalt von 19.55 % ausgegangen würde. Denn diesfalls resultierte im Aufgabenbereich Haushalt gewichtet eine Beeinträchtigung von 12.12 %, was zusammen mit der Teilinvalidität im Erwerblichen einen Gesamtinvaliditätsgrad von lediglich rund 31 % ergebe.
Diese Beurteilung wird von der Versicherten nicht in Frage gestellt und gibt keinen Anlass für weitere Bemerkungen. Die Beschwerde ist somit abzuweisen.
7. Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Advokat Markus Mattle wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'200.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Sozialversicherungsrecht, der Ausgleichskasse der Uhrenindustrie, Biel, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. April 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz