Faits:
A. Le 28 octobre 1995, N._, avocat indépendant à X._, a été victime d'un accident : lors d'une course à vélo, il a chuté sur la chaussée, la tête - protégée par un casque - en avant. La Bâloise Assurances (ci-après : la Bâloise), auprès de laquelle il était assuré à titre facultatif contre le risque d'accident professionnel et non professionnel, a, dans un premier temps, pris en charge les suites de cet événement. Entre autres mesures d'instruction, elle a confié une expertise au Professeur D._ (rapport du 6 février 2001). Il ressort de cette expertise que l'assuré souffrait d'un syndrome subjectif post-traumatique (syndrome post-commotionnel), d'un syndrome cervical douloureux chronique, d'une disco-uncarthrose C5-C6 et C6-C7 et d'un status après chute à vélo avec commotion cérébrale et contusion fronto-temporale et de l'épaule gauche en 1995. Selon le rapport d'expertise, seul le syndrome douloureux post-traumatique était probablement encore en relation de causalité avec l'accident du 28 octobre 1995.
Par décision du 12 mars 2001, confirmée par décision sur opposition du 25 juillet 2001, la Bâloise a mis fin à ses prestations à partir du 31 août 1999. Saisis de recours successifs de l'assuré, le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (jugement du 27 août 2002) puis le Tribunal fédéral des assurances (arrêt du 10 février 2004 [affaire U 282/02]) l'ont débouté.
B. Le 10 octobre 2005, N._ a demandé la révision de l'arrêt du Tribunal fédéral des assurances, en concluant principalement à son annulation et à la reconnaissance d'une incapacité de travail de 35 % du jour de l'accident à fin octobre 1999, de 25 % de fin octobre 1999 à fin octobre 2005, d'une invalidité définitive de 25 %, ainsi que du versement d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité. A titre subsidiaire, il demandait au tribunal d'ordonner des enquêtes et une expertise.
A l'appui de sa requête, il a produit un rapport du 15 juin 2005 du docteur S._, spécialiste FMH en neuroradiologie et radiologie et rattaché au Centre d'imagerie médicale de M._ et un avis du docteur J._, spécialiste FMH en neurologie, du 7 juillet 2005, ainsi qu'un dossier d'imagerie médicale du Centre M._ (étude dynamique par IRM et CT Scan de la jonction occipito-cervicale).
Sous la rubrique « Conclusion » de son rapport le docteur S._ écrivait ceci:
« Confirmation de la lésion du ligament alaire droit (déjà décrite le 03.02.1999 au CT Scan fonctionnel de la charnière atlanto-occipitale) par l'actuelle nouvelle imagerie médicale (IRM 3.0 Tesla et CT-Scanner multibarrettes), qui permet de constater aussi un aspect plus mince et hétérogène du bras gauche du ligament transverse, avec dissociation des fibrilles, indiquant une lésion de ce ligament, complémentaire à la lésion du ligament alaire (voir commentaires) ».
Dans les commentaires auxquels il était fait renvoi, le praticien s'exprimait ainsi:
« Si les examens antérieurs, avec la technologie des années précédentes, faisaient suspecter une lésion du ligament alaire droit, pouvant ainsi laisser planer un doute quant à la réalité de cette lésion, l'utilisation des nouveaux appareils d'imagerie médicale (IRM 3.0 Tesla et CT -Scanner multibarrettes), dotés des tous derniers développements technologiques, a permis de constater et démontrer actuellement deux lésions ligamentaires mécaniquement concordantes et concomitantes dans la charnière cervico-occipitale, et autorise ainsi l'affirmation catégorique et sans ambiguïté de la réalité de la lésion du ligament alaire droit et de la lésion du bras gauche du ligament transverse ».
Les nouveaux appareils auxquels il était fait référence faisaient partie, toujours selon ce médecin, « de la nouvelle génération d'appareils d'imagerie médicale dont notre institut, récemment ouvert, est équipé ». Le requérant alléguait qu'ils n'existaient pas encore au moment où l'arrêt entrepris avait été rendu.
Dans son avis du 7 juillet 2005, le docteur J._ notait pour sa part que l'étude du dossier médical, l'anamnèse et l'examen du patient, suggéraient qu'il était possible, compte tenu du développement très récent de l'imagerie diagnostique, de tenter de démontrer l'existence d'une lésion au niveau du rachis cervical du patient, pouvant expliquer la persistance d'une symptomatologie douloureuse, d'ailleurs inchangée depuis le traumatisme dont celui-ci avait été victime le 28 octobre 1995. C'est la raison pour laquelle, indiquait-il, il avait adressé le patient au docteur S._, dont l'institut de radiologie est pourvu d'une « instrumentation actuellement la plus performante dans le domaine de l'imagerie diagnostique ». Se référant au rapport du docteur S._, le docteur J._ indiquait que les examens réalisés permettaient « la compréhension d'une situation douloureuse persistante, qui apparaît donc sous-tendue par une lésion anatomiquement clairement démontrée ».
C. Statuant le 12 septembre 2006, le Tribunal fédéral des assurances a rejeté la requête de révision. Il a retenu, en particulier, qu'il n'était pas établi que le requérant n'eût pas été en mesure de se soumettre à des examens médicaux réalisés au moyen des appareils d'imagerie médicale qualifiés de « nouveaux » par le docteur S._ et d'en invoquer les résultats jusqu'au prononcé de l'arrêt du 10 février 2004. A défaut d'avoir démontré qu'il lui était impossible d'invoquer le moyen de preuve destiné à prouver l'existence d'une lésion du ligament alaire droit dans la procédure fédérale clôturée par l'arrêt dont il demandait la révision, le requérant ne pouvait se prévaloir d'un moyen de preuve nouveau au sens de l'art. 137 al. 1 let. b OJ. En ce qui concerne la lésion du bras gauche du ligament transverse, que le requérant invoquait à titre de fait nouveau découvert grâce aux examens réalisés par le docteur S._, le tribunal a retenu que cet élément n'était pas important au sens où l'entend la jurisprudence: si le rapport médical du 15 juin 2005 faisait état d'une telle lésion, le radiologue ne se prononçait toutefois ni sur son origine, ni sur ses conséquences, de sorte que l'affirmation du requérant selon laquelle cette atteinte expliquerait les maux dont il se plaignait ne pouvait pas être suivie.
D. Par écriture du 6 novembre 2006, N._ demande la révision de l'arrêt du 12 septembre 2006. Il conclut à l'annulation de cet arrêt, avec les mêmes conclusions que celles prises dans la procédure de révision précédente.
Considérant en droit:
1. La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). La présente demande de révision ayant été introduite avant cette date, la procédure reste toutefois régie par l'OJ (Hansjörg Seiler, in : Bundesgerichtsgesetz [BGG], Berne 2006, note 4 ad art. 132).
2. Les arrêts qui peuvent faire l'objet d'une demande de révision sont ceux auxquels l'art. 38 OJ attribue force de chose jugée dès leur prononcé. Les arrêts de révision peuvent également faire l'objet d'une révision, mais cela exclusivement pour les motifs qui affectent la décision prise précédemment au sujet de la révision (Poudret/Sandoz- Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. V, Berne 1992, note 2.2 ad Titre VII).
3. Le requérant invoque l'art. 136 let. d OJ. Selon cette disposition, il y a lieu à révision lorsque, par inadvertance, le tribunal n'a pas apprécié des faits importants qui ressortent du dossier.
Le verbe « apprécier », utilisé dans le texte français, est ambigu et doit être compris - conformément au texte allemand - dans le sens de « prendre en considération ». L'inadvertance, au sens de cette disposition, suppose que le juge ait omis de prendre en considération une pièce déterminée, versée au dossier, ou l'ait mal lue, s'écartant par mégarde de sa teneur exacte; elle se distingue de la fausse appréciation soit des preuves administrées devant le tribunal, soit de la portée juridique des faits établis. L'inadvertance doit se rapporter au contenu même du fait, à sa perception par le tribunal, mais non pas à une appréciation juridique; elle consiste soit à méconnaître, soit à déformer un fait ou une pièce. La révision n'entre donc pas en considération lorsque c'est sciemment que le juge a refusé de tenir compte d'un certain fait, parce qu'il le tenait pour non décisif, car un tel refus relève du droit. En particulier, une demande de révision ne saurait être fondée sur le fait que le tribunal n'a attribué aucune portée juridique à un élément de fait ou lui a donné une portée différente de celle que lui a assignée la partie. Enfin, le motif de révision de l'art. 136 let. d OJ ne peut être invoqué que si les faits qui n'ont pas été pris en considération sont « importants »; il doit s'agir de faits pertinents, susceptibles d'entraîner une décision différente de celle qui a été prise et plus favorable au requérant (ATF 122 II 17 consid. 3 p. 18 et les références citées; plus récemment arrêt 4P.243/2005 du 5 septembre 2006, consid. 1.2; voir aussi arrêt 1A.107/2005 du 3 mai 2005, consid. 1.2).
4.1 Le requérant fait grief au tribunal d'avoir commis une première inadvertance relativement à la lésion du ligament alaire. L'arrêt entrepris considère que le requérant n'a pas démontré qu'il lui était impossible d'invoquer le moyen de preuve destiné à établir l'existence d'une lésion du ligament alaire dans la procédure clôturée par l'arrêt du 10 février 2004. Ce faisant, le tribunal aurait commis une inadvertance, car le docteur S._ a fait référence à la « nouvelle génération d'appareils d'imagerie médicale » et aux « tous derniers développements technologiques », tandis que le docteur J._ a parlé d'un « développement très récent de l'imagerie diagnostique ». Le tribunal aurait dû comprendre ces termes en ce sens qu'il faut entendre des développements qui existent depuis très peu de temps, voire qui sont tout nouvellement arrivés. Le tribunal aurait ainsi méconnu, ou à tout le moins déformé, le contenu des pièces produites à l'appui de la demande de révision. Le recourant dépose dans la présente procédure une nouvelle attestation du docteur J._, selon laquelle l'institut du docteur S._ a été équipé des appareils IRM 3.0 Tesla et CT multibarrettes en octobre 2004, soit postérieurement à l'arrêt sur recours.
4.1 Le requérant fait grief au tribunal d'avoir commis une première inadvertance relativement à la lésion du ligament alaire. L'arrêt entrepris considère que le requérant n'a pas démontré qu'il lui était impossible d'invoquer le moyen de preuve destiné à établir l'existence d'une lésion du ligament alaire dans la procédure clôturée par l'arrêt du 10 février 2004. Ce faisant, le tribunal aurait commis une inadvertance, car le docteur S._ a fait référence à la « nouvelle génération d'appareils d'imagerie médicale » et aux « tous derniers développements technologiques », tandis que le docteur J._ a parlé d'un « développement très récent de l'imagerie diagnostique ». Le tribunal aurait dû comprendre ces termes en ce sens qu'il faut entendre des développements qui existent depuis très peu de temps, voire qui sont tout nouvellement arrivés. Le tribunal aurait ainsi méconnu, ou à tout le moins déformé, le contenu des pièces produites à l'appui de la demande de révision. Le recourant dépose dans la présente procédure une nouvelle attestation du docteur J._, selon laquelle l'institut du docteur S._ a été équipé des appareils IRM 3.0 Tesla et CT multibarrettes en octobre 2004, soit postérieurement à l'arrêt sur recours.
4.2 Le tribunal n'a pas méconnu que les faits invoqués à l'appui de la première demande de révision se fondaient sur de récents, voire très récents, ou même sur les tous derniers développements de la technologie médicale. Il en a cependant tiré la conclusion juridique qu'il n'était pas établi que le requérant n'eût pas été en mesure de se soumettre à des examens médicaux réalisés aux moyens des appareils d'imagerie médicale les plus modernes et d'en invoquer les résultats dans la procédure principale.
Il incombait au requérant d'apporter la preuve, dans la procédure de révision précédente, que ces appareils ou d'autres appareils semblables n'étaient pas encore disponibles au moment de la procédure de recours. Les rapports des docteurs S._ et J._ (des 15 juin 2005 et 7 juillet 2005) ne contenaient pas de références à des dates plus précises sur la mise en service des nouveaux instruments de radiologie en question. On peut ainsi admettre que le requérant, sous le couvert d'une prétendue inadvertance, remet en cause, en réalité, les conclusions juridiques que le tribunal a tirées - à tort ou a raison - de pièces versées au dossier. En ce sens, le requérant oppose sa propre interprétation de ces pièces à celle qu'en a faite le tribunal. Celui-ci, en définitive, n'a fait qu'accorder une portée différente à celle que lui attribuait le requérant. Ce grief n'entre pas dans les prévisions de l'art. 136 let. d OJ. Il est ainsi mal fondé.
5.1 Le requérant fait ensuite grief au tribunal, au sujet de la lésion du bras gauche du ligament transverse, d'avoir considéré à tort que le radiologue, dans son rapport du 15 juin 2005, ne se prononçait ni sur l'origine ni sur les conséquences de cette lésion. Le requérant fait valoir à ce propos que le radiologue a au contraire expliqué que cette lésion était concomitante à la lésion du ligament alaire droit survenue lors de l'accident du 28 octobre 1995. Si ce même radiologue ne se prononçait pas de manière explicite sur les conséquences de la lésion du ligament transverse, le tribunal, selon le requérant toujours, a totalement omis de considérer que le docteur J._, pour sa part, avait mis en évidence que cette lésion « permettait la compréhension d'une situation douloureuse persistante inchangée depuis l'accident du 28 octobre 1995 ». C'est donc par inadvertance, selon le requérant, que l'arrêt entrepris omet de prendre en considération cet avis.
5.1 Le requérant fait ensuite grief au tribunal, au sujet de la lésion du bras gauche du ligament transverse, d'avoir considéré à tort que le radiologue, dans son rapport du 15 juin 2005, ne se prononçait ni sur l'origine ni sur les conséquences de cette lésion. Le requérant fait valoir à ce propos que le radiologue a au contraire expliqué que cette lésion était concomitante à la lésion du ligament alaire droit survenue lors de l'accident du 28 octobre 1995. Si ce même radiologue ne se prononçait pas de manière explicite sur les conséquences de la lésion du ligament transverse, le tribunal, selon le requérant toujours, a totalement omis de considérer que le docteur J._, pour sa part, avait mis en évidence que cette lésion « permettait la compréhension d'une situation douloureuse persistante inchangée depuis l'accident du 28 octobre 1995 ». C'est donc par inadvertance, selon le requérant, que l'arrêt entrepris omet de prendre en considération cet avis.
5.2 Dans la procédure de révision précédente, le requérant fondait sa demande sur le fait que les deux lésions n'avaient pu être décelées que grâce à de nouveaux moyens diagnostiques. En ce qui concerne la lésion du bras gauche du ligament transverse, le tribunal - supposé qu'il ait reconnu le caractère accidentel de la lésion et admis que celle-ci influait sur la symptomatologie douloureuse de l'intéressé - n'aurait pu que tenir le même raisonnement que pour la lésion du ligament alaire droit : le moyen aurait de toute façon déjà pu être invoqué dans la procédure de recours. Dès lors, même en admettant que le tribunal ait mal interprété les rapports des docteurs S._ et J._ en ce qui concerne la lésion ici en cause, cela ne conduirait pas à une décision différente et plus favorable pour le requérant que celle qui a été prise; il ne s'agit donc pas d'un fait important au sens où l'entend la jurisprudence.
6. Les conditions d'une révision n'étant pas réunies, la demande doit être rejetée.
Le requérant, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 156 al. 1 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande en révision est rejetée.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge du requérant et sont compensés avec l'avance de frais, d'un même montant, qu'il a versée.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, à SUPRA Caisse Maladie, Lausanne, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 7 mars 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: