Erwägungen:
Der aus Georgien stammende, 1972 geborene X._ wurde am 19. August 2008 in Ausschaffungshaft genommen. Mit Entscheid vom 13. November 2008 stimmte das Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichterin 7, der Verlängerung der Ausschaffungshaft bis zum 18. Februar 2009 zu. Am 10. Dezember 2008 liess X._ durch einen Rechtsanwalt beim Bundesgericht eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Haftverlängerungsentscheid einreichen. Am 22. Dezember 2008 legte Letzterer das Mandat mit sofortiger Wirkung nieder.
Gemäss Mitteilung des Migrationsdienstes des Kantons Bern vom 29. Dezember 2008 ist der Beschwerdeführer am 23. Dezember 2008 nach Georgien zurückgeführt worden. Mit dem Vollzug der Ausschaffung und der damit verbundenen Haftentlassung des Beschwerdeführers fällt der Rechtsstreit mangels rechtlichen Interesses dahin; das Verfahren ist mithin durch Verfügung abzuschreiben, wobei mit summarischer Begründung über die Gerichtskosten und die Höhe einer allfälligen Parteientschädigung aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes zu entscheiden ist (Art. 72 BZP in Verbindung mit Art. 71 BGG). Da - verbunden mit der Beschwerde - auch ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und namentlich um Beigabe eines aus der Gerichtskasse zu entschädigenden Anwalts gestellt worden ist und die Voraussetzungen für eine diesbezügliche Einzelrichterentscheidung gemäss Art. 64 Abs. 2 Satz 2 oder 3 BGG nicht erfüllt sind, erfolgt die Verfahrensabschreibung nicht in der Besetzung gemäss Art. 32 Abs. 2 BGG, sondern in Dreierbesetzung (vgl. Art. 20 Abs. 1 BGG).
Die Argumentation in der Beschwerdeschrift beruht einerseits auf einer nur schwer nachvollziehbaren Interpretation der gefestigten bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Problematik eines während der Dauer der Ausschaffungshaft neu gestellten Asylgesuchs. Andererseits stützt sie sich auf die wenig plausibel belegte Behauptung, von einem raschen Abschluss des Asylverfahrens könne nicht ausgegangen werden; das Bundesamt für Migration trat denn auch bereits am 19. November 2008 auf das vom 11. September 2008 datierte Asylgesuch nicht ein, und das entsprechende Beschwerdeverfahren wurde mit Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 5. Dezember 2008 abgeschlossen, wobei beide Erkenntnisse schon zum Zeitpunkt der Einreichung der vorliegenden Beschwerde bekannt waren. Unter diesen Voraussetzungen erschien diese von vornherein als aussichtslos. Damit aber kann weder der Beschwerdeführer im Hinblick auf die Kostenregelung als obsiegende Partei betrachtet werden, weshalb ihm keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG), noch ist ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren (Art. 64 BGG). Hingegen rechtfertigen es die Umstände, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach verfügt das Bundesgericht:
1. Das Verfahren wird abgeschrieben.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Diese Verfügung wird dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichterin 7, dem Bundesamt für Migration sowie dem früheren Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Z._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Januar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller