Sachverhalt:
A. Der 1965 geborene J._ war als Produktionsmitarbeiter in der Firma B._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 8. April 2003 erlitt er einen Unfall. Er hatte den von ihm gelenkten Opel Corsa vor einem Fussgängerstreifen angehalten. Ein nachfolgender Toyota Corolla prallte ins Heck des Opels. J._ zog sich namentlich ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) zu. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 12. Dezember 2006 verneinte sie einen weiteren Leistungsanspruch ab 1. Februar 2007, da die noch bestehenden Beschwerden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 8. April 2003 stünden. Daran hielt die SUVA auf die von J._ und seinem Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 31. März 2007).
B. Die von J._ hiegegen erhobene Beschwerde auf Zusprechung weiterer Heilbehandlung und Taggeldleistungen, evtl. einer Invalidenrente und einer Integritätsentschädigung, wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, wie auch das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung, ab (Entscheid vom 31. Oktober 2008).
C. J._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheides seien über den 31. Januar 2007 hinaus Leistungen, insbesondere Heilbehandlung, Taggeld und eine Invalidenrente, zuzusprechen; eventuell sei die Sache zur weiteren Abklärung und zur neuen Beurteilung zurückzuweisen.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Unfall vom 8. April 2003 über den 31. Januar 2007 hinaus.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das gilt insbesondere in Bezug auf den für einen Leistungsanspruch erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang, namentlich bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden nach Unfall. Darauf wird verwiesen.
2. Das kantonale Gericht hat zunächst eine Arbeitsunfähigkeit ab 1. Februar 2007 verneint. Es hat sodann erwogen, selbst wenn eine Arbeitsunfähigkeit ausgewiesen wäre, müsste mangels eines adäquaten Kausalzusammenhangs der noch bestehenden Beschwerden zum Unfall vom 8. April 2003 eine Leistungspflicht des Unfallversicherers ab dem besagten Zeitpunkt verneint werden.
Der Versicherte äussert sich zu beiden Begründungsteilen. Er führt dabei auch zutreffend aus, dass sich die Frage der Arbeitsunfähigkeit nicht stellt, wenn ohnehin die Adäquanz zu verneinen sei. Darauf ist nachfolgend einzugehen.
3. Gemäss dem diesbezüglich zu Recht unbestrittenen Entscheid liegt keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vor, welche die noch bestehenden Beschwerden zu erklären vermöchte. Dies hat zur Folge, dass der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den bestehenden Beschwerden und dem versicherten Ereignis, anders als bei klar ausgewiesenen organischen Unfallfolgen in der Regel der Fall, nicht ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden könnte. Es bedarf vielmehr einer besonderen Adäquanzprüfung. Dabei ist zu unterscheiden: Liegt ein Schleudertrauma, eine äquivalente Verletzung der HWS oder ein Schädel-Hirntrauma vor, gelangt die sog. Schleudertrauma-Praxis zur Anwendung. Ist dies nicht der Fall, gelten die für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze (sog. Psycho-Praxis; zum Ganzen: BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112).
3.1 Das kantonale Gericht hat den adäquaten Kausalzusammenhang nach der Schleudertrauma-Praxis geprüft. Das bedarf jedenfalls dann keiner näheren Betrachtung, wenn die Adäquanz auch nach der Schleudertrauma-Rechtsprechung, welche in der Regel (vgl. Urteil 8C_986/2008 vom 23. März 2009 E. 4.1) und jedenfalls hier für die versicherte Person günstiger ist als die Psycho-Praxis, zu verneinen ist.
3.2 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126; E. 2 hievor). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.2 und 5.3.1, [U 2, 3 und 4/07]; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 8. April 2003 den mittelschweren Unfällen im Grenzbereich zu den leichten Unfällen zugeordnet. Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen und zutreffenden Würdigung der sich aus den Akten ergebenden Umstände. Sie überzeugt auch mit Blick auf die praxisgemässe Einordnung einfacher Auffahrunfälle (SVR 2007 UV Nr. 26 S. 86 E. 5.2 [U 339/06]; RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.1.2 mit Hinweisen [U 380/04]).
Was in der Beschwerde vorgebracht wird, rechtfertigt kein Abweichen bezüglich Einordnung der Unfallschwere. Dass die unfallbedingte Geschwindigkeitsänderung gemäss biomechanischer Kurzbeurteilung vom 24. März 2004 unterhalb oder innerhalb eines Bereiches von 10 - 15 km/h gelegen hat, wurde vom kantonalen Gericht berücksichtigt und ist mit diesem nicht als geeignet zu betrachten, die Kollision vom 8. April 2003 oberhalb des Grenzbereichs zu den leichten Unfällen einzustufen. Gleiches gilt für die Beschädigungen, welche das Fahrzeug des Versicherten beim Unfall erlitten hat.
3.3 Von den weiteren, objektiv fassbaren und unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehenden oder als Folge davon erscheinenden Umständen, welche als massgebende Kriterien in die Gesamtwürdigung einzubeziehen sind, müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6a S. 367).
Das kantonale Gericht hat sämtliche adäquanzrelevanten Kriterien verneint. Der Versicherte macht geltend, es seien vier Kriterien erfüllt, wovon eines in besonders ausgeprägter Weise.
Zu Recht nicht angerufen werden die Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls, der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung sowie der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert. Die Prüfung der weiteren Kriterien ergibt Folgendes:
3.3.1 Das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen ist mit dem kantonalen Gericht zu verneinen. Die Diagnose eines HWS-Traumas genügt nicht (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127) und die weiter geltend gemachte Arbeitsunfähigkeit ist beim entsprechenden Kriterium zu berücksichtigen.
Ohne weiteres zu verneinen ist auch das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen. Daran ändert entgegen der Beschwerde nichts, dass die SUVA über mehrere Jahre hinweg Heilbehandlung geleistet hat. Es müssten besondere Gründe gegeben sein, welche die Heilung beeinträchtigt haben (vgl. aus jüngerer Zeit: Urteile 8C_1015/2008 vom 6. April 2009 E. 5.3.3 mit Hinweis und 8C_304/2008 vom 1. April 2009 E. 5.2.1 mit Hinweisen). Ein solcher Grund ist entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung auch mit der Äusserung eines medizinischen Gutachters, wonach eine traumatische Hirnverletzung nicht mit Sicherheit habe ausgeschlossen werden können, nicht dargetan.
3.3.2 Damit die Adäquanz bejaht werden könnte, müsste von den verbleibenden beiden Kriterien mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. In Bezug auf das Kriterium der erheblichen Beschwerden wird dies zu Recht nicht geltend gemacht. Entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung ist aber auch das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise gegeben. Dem stünde schon die sich aus den Akten ergebende mangelhafte Kooperation des Versicherten bei verschiedenen medizinischen Abklärungen und bei der Wiedereingliederung in den Arbeitsprozess entgegen.
Ob die letztgenannten beiden Kriterien überhaupt in der einfachen Form erfüllt sind, kann offenbleiben. Denn auch dies würde nicht genügen, um den adäquaten Kausalzusammenhang zu bejahen. Das kantonale Gericht hat daher eine rechtserhebliche Bedeutung des Unfalls vom 8. April 2003 und damit eine Leistungspflicht der SUVA für die über den 31. Januar 2007 hinaus geklagten Beschwerden zu Recht verneint. Daran vermögen sämtliche weiteren Vorbringen des Versicherten nichts zu ändern. Insbesondere ist auch von weiteren Sachverhaltsabklärungen abzusehen, da diese keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen.
4. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
5. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. April 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz