Sachverhalt:
A. Das Betreibungsamt A._ vollzog am 2. Oktober 2009 gegenüber X._ eine Einkommenspfändung zugunsten von vier Gläubigergruppen. Es hielt fest, die Schuldnerin erziele bis zum 30. September 2009 ein Einkommen von Fr. 5'219.-- brutto zuzüglich variable Schichtzulagen; ab 1. Oktober 2009 erhalte sie eine variable Arbeitslosenentschädigung. Das Existenzminimum betrage bis Ende September 2009 Fr. 3'369.70; ab Oktober 2009 Fr. 3'839.70.
B. Am 12. Oktober 2009 erhob X._ Beschwerde an das Gerichtspräsidium Weinfelden als untere Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungssachen und rügte verschiedene Punkte der Existenzminimumsberechnung. Das Gerichtspräsidium wies die Beschwerde am 7. Januar 2010 ab.
C. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 8. Februar 2010 Beschwerde an das Obergericht des Kantons Thurgau als obere kantonale Aufsichtsbehörde. Mit Entscheid vom 29. März 2010 hiess es die Beschwerde teilweise gut und erhöhte das Existenzminimum ab Januar 2010 auf Fr. 4'099.60.
D. Am 28. Mai 2010 hat sich X._ (fortan: Beschwerdeführerin) mit einer als Beschwerde bezeichneten Eingabe an das Bundesgericht gewandt. Am 14. Juni 2010 hat sie zudem um unentgeltliche Prozessführung ersucht.
Die kantonalen Akten sind beigezogen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Das Obergericht beantragt unaufgefordert Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den Entscheid der oberen Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen ist die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig vom Streitwert zulässig (Art. 72 Abs. 2 lit. a und Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Sie wurde fristgemäss erhoben (Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG).
1.2 Beschwerden an das Bundesgericht haben unter anderem ein oder mehrere Begehren (Anträge) und deren Begründung zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Auf eine Beschwerde, die keine formell genügenden Anträge enthält oder die den Begründungsanforderungen nicht genügt, kann nicht eingetreten werden.
1.3 Ein Rechtsbegehren muss so bestimmt sein, dass es im Falle seiner Gutheissung zum Urteil erhoben werden kann (Urteil 5A_384/2007 vom 3. Oktober 2007 E. 1.3, in: FamPra.ch 2008, S. 226). Demgemäss sind Anträge auf Geldforderungen zu beziffern (BGE 134 III 235 E. 2 S. 236 f.). Diese Rechtsprechung gilt nicht nur in zivilrechtlichen, sondern auch in Schuldbetreibungs- und Konkursangelegenheiten (BGE 121 III 390 E. 1 S. 391 zu Art. 79 Abs. 1 OG; BGE 134 III 235 E. 2 S. 236 f. zur Weitergeltung dieser Praxis unter dem BGG). Erfasst ist insbesondere der Fall, dass mit der Beschwerde gegen eine Einkommenspfändung die Anrechnung eines höheren Existenzminimums bezweckt wird bzw. umgekehrt eine entsprechende Herabsetzung der Pfändung. Auf eine Beschwerde mit formell mangelhaftem Rechtsbegehren kann das Bundesgericht ausnahmsweise eintreten, wenn sich aus der Beschwerdebegründung, allenfalls in Verbindung mit dem angefochtenen Urteil, zweifelsfrei bzw. ohne weiteres ergibt, was der Beschwerdeführer in der Sache verlangt (BGE 133 II 409 E. 1.4.2 S. 415; Urteil 5A_766/2008 vom 4. Februar 2009 E. 2.3, in: FamPra.ch 2009 S. 422) oder - im Falle zu beziffernder Rechtsbegehren - welcher Geldbetrag zuzusprechen ist (BGE 134 III 235 E. 2 S. 236 f. mit Hinweisen).
1.4 Im mit "Anträge" bezeichneten Teil ihrer Beschwerde verlangt die Beschwerdeführerin (1) einen Entscheid, wie der von ihr geführte Haushalt im Rahmen der Existenzminimumsberechnung zu qualifizieren sei, (2) die Feststellung eines Existenzminimums mit Einschluss der obligatorischen und überobligatorischen Kosten der Krankenversicherung des mündigen Kindes, (3) die "Umsetzung" der Scheidungskonvention auf ihre Situation, (4) die Feststellung, dass der Beginn ihrer Einzelkrankentaggeld-Versicherung auf 1. Oktober 2009 zu erfolgen hatte, (5) die Feststellung, dass der Umfang ihrer Bewerbungsbemühungen nach den Vorgaben des RAV zu erfolgen habe und ihre Bewerbungskosten abzugelten seien, (6) die Feststellung, dass die zu leistenden Unterhaltsbeiträge der Beschwerdeführerin auf ihrem Einkommen von 2002 basierten, keine Indexierung stattfand und die Beiträge bis zum 31. Juli 2011 festgeschrieben seien, (7) die Feststellung, dass die Bedarfsrechnung der Vorinstanz für das Kind dem Berechnungsblatt "Budgetberatung Schweiz (Vorschläge zur Einteilung des Lehrlingslohnes)" widerspreche, und (8) die Feststellung, dass das Betreibungsamt A._ bis Ende April 2010 seine Arbeit in verschiedener Hinsicht nicht korrekt gemacht habe.
1.5 Soweit der als "Anträge" bezeichnete Teil der Beschwerde überhaupt verständlich und ein Zusammenhang mit der strittigen Pfändung vom 2. Oktober 2009 ersichtlich ist, ergibt sich daraus, dass die Beschwerdeführerin mit der Existenzminimumsberechnung der Vorinstanz nicht einverstanden ist. Dabei ist eine Mehrzahl von Bemessungsfaktoren streitig. Es fehlt in diesem Teil der Beschwerde aber jegliche Angabe, welchen Betrag die Beschwerdeführerin insgesamt als Existenzminimum oder im Hinblick auf die einzelnen geltend gemachten Posten als Bedarf angerechnet wissen will. Es lässt sich deshalb nicht zweifelsfrei feststellen, inwiefern die Beschwerdeführerin eine Abänderung des angefochtenen Urteils wünscht. Daran ändert auch die Berücksichtigung der weiteren Beschwerdebegründung nichts, welche im Übrigen bereits als solche den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG nicht genügt. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin zeigen nämlich in weiten Teilen nicht auf, in welchen konkreten Punkten sie mit der vorinstanzlichen Bedarfsrechnung nicht einverstanden ist. Eine genügende Auseinandersetzung mit den obergerichtlichen Erwägungen hat insofern nicht stattgefunden (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.). Insbesondere fehlen auch in der Begründung die erforderlichen Zahlenangaben dazu, in welchem Umfang die Bedarfsrechnung anzupassen wäre. Zwar nennt sie vereinzelt konkrete Summen (wie unter Punkt 2a ihrer Beschwerde), doch lässt ihre Darstellung nicht erkennen, was sie genau mit ihnen bezweckt. Es ist im Übrigen nicht Aufgabe des Bundesgerichts, in den zahlreichen eingereichten Beilagen nach den allenfalls zu berücksichtigenden Beträgen zu forschen, müssen doch die Begründung - und umso mehr die Anträge - aus der Beschwerdeschrift selber hervorgehen (vgl. BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 400 mit Hinweisen). Da mithin weder genügende Anträge gestellt noch eine genügende Begründung eingereicht wurden, ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten.
1.6 Die Beschwerdeführerin kritisiert schliesslich in verschiedener Hinsicht die Geschäftsführung des Betreibungsamtes A._ (vgl. oben E. 1.4). Gegenstand der Kritik scheint vornehmlich dessen Zusammenarbeit mit der Arbeitslosenkasse des Kantons Thurgau und dem Sozialamt zu bilden. Prozessthema ist jedoch einzig die Pfändung vom 2. Oktober 2009 und nicht die allgemeine Geschäftsführung des Betreibungsamtes, geschweige denn weiterer Behörden. Auf die Beschwerde ist diesbezüglich bereits aus diesem Grunde nicht einzutreten. Kommt hinzu, dass die Vorbringen unzulässigerweise zum Teil auf neue Tatsachen gestützt werden (Art. 99 Abs. 1 BGG) und das Bundesgericht auch nicht eine allgemeine Aufsichtsbehörde über das Schuldbetreibungswesen ist, welche - ausserhalb eines Beschwerdeverfahrens - Weisungen im Einzelfall erlassen könnte.
1.7 Somit kann auf die Beschwerde insgesamt nicht eingetreten werden.
2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da ihre Beschwerde nach dem Gesagten von Anfang an aussichtslos war, ist ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Betreibungsamt A._ und dem Obergericht des Kantons Thurgau, als kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Oktober 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zingg