Sachverhalt:
A. Der 1970 geborene S._ war ab 1996 als Rettungssanitäter im Spital X._ tätig und dadurch bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 8. September 1999 stürzte er mit dem Fahrrad auf die linke Schulter. Er war danach bis 3. Oktober 1999 arbeitsunfähig. Vom 4. Oktober bis 31. Dezember 1999 ging S._ der Arbeit krankheitsbedingt nicht nach. Am 1. Januar 2000 trat er eine Stelle als Leiter Rettungsdienst im Spital Y._ an. Im April 2000 wurde der Zürich erneut eine Arbeitsunfähigkeit ab 13. April 2000 als Folge des Unfalls vom 8. September 1999 gemeldet. S._ unterzog sich nebst weiteren Behandlungsmassnahmen im April und im Juni 2000 sowie im Juli 2002 drei operativen Eingriffen. Die Zürich gewährte Heilbehandlung und richtete bis 6. Juni 2001 Taggeld aus. Sie holte sodann, nebst weiteren Abklärungen, eine handchirurgische Expertise des Prof. Dr. med. A._, Chefarzt Handchirurgie, Spital Z._, vom 1. Februar 2005 sowie polydisziplinäre medizinische Gutachten der Klinik B._ vom 9. August 2001 und des Zentrums C._ vom 30. Januar 2007 (mit Nachträgen vom 12. Juli 2007 und 24. Januar 2008) ein. Mit Verfügung vom 14. April 2008 eröffnete die Zürich dem Versicherten, die Taggeldleistungen blieben mit dem Datum 6. Juni 2001 eingestellt und Heilbehandlung werde nach dem 31. Juli 2007 nicht mehr gewährt. Zur Begründung wurde ausgeführt, es fehle am natürlichen wie am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 8. September 1999 und den noch bestehenden Beschwerden. Daran hielt die Zürich auf Einsprache des Versicherten hin mit Entscheid vom 11. März 2009 fest.
Seit April 2001 bezieht S._ eine ganze Invalidenrente (bei einem Invaliditätsgrad von 100 %) der Invalidenversicherung.
B. Die von S._ gegen den Einspracheentscheid vom 11. März 2009 erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Zürich verpflichtete, den Anspruch auf Versicherungsleistungen für die Zeit nach dem 31. Juli 2007 zu prüfen und darüber zu verfügen (Entscheid vom 26. Mai 2010).
C. Die Zürich führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Gerichtsentscheid aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 11. März 2009 zu bestätigen.
S._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen, sofern auf diese eingetreten werden könne. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 1. September 2010 lässt S._ noch innerhalb der ihm gesetzten Vernehmlassungsfrist einen Arztbericht vom 27. August 2010 einreichen.
D. Mit Verfügung vom 13. September 2010 hat das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Zürich hat einen Anspruch aus dem Unfall vom 8. September 1999 auf Taggeld über den 6. Juni 2001 hinaus und Heilbehandlung über den 31. Juli 2007 hinaus mit der Begründung verneint, die noch bestehenden Beschwerden seien unfallfremd. Das kantonale Gericht hat erkannt, es liege ein natürlich und adäquat unfallkausales neurasthenisches Schmerzsyndrom vor, und die Zürich mit dieser Vorgabe verpflichtet, den Anspruch auf Versicherungsleistungen für die Zeit nach dem 31. Juli 2007 zu prüfen und darüber neu zu verfügen. Dagegen richtet sich die Beschwerde des Versicherers.
1.2 Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, um einen selbstständig eröffneten Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG. Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Im Umstand, dass der vorinstanzliche Entscheid bezüglich Unfallkausalität materiell verbindliche Anordnungen an den Unfallversicherer für die erneute Prüfung des Leistungsanspruchs enthält, und der darauf beruhende Endentscheid praktisch nicht angefochten und das Ergebnis nicht mehr korrigiert werden könnte, ist ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne des Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zu erblicken (zum Ganzen: Urteil 8C_531/2008 vom 8. April 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 279, aber in: SVR 2009 UV Nr. 40 S. 137). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten, zumal auch die übrigen Voraussetzungen hiefür erfüllt sind.
2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist es nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Die Leistungspflicht eines Unfallversicherers gemäss UVG setzt voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) ein natürlicher und ein adäquater Kausalzusammenhang besteht (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181).
Im Sozialversicherungsrecht spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist eine besondere Adäquanzprüfung vorzunehmen, wobei vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen ist und je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen sind. Gemäss den zu psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall entwickelten Grundsätzen werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (sog. Psycho-Praxis; BGE 115 V 133), während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
4. Das kantonale Gericht hat erwogen, es liege ein neuropathisches Schmerzsyndrom im Bereich der linken Schulter vor. Dieses sei mindestens teilweise natürlich-kausale Folge des Unfalls vom 8. September 1999, und die operativen Eingriffe vom April und Juni 2000 sowie Juli 2002 hätten jedenfalls keine Verbesserung, sondern eher eine Verschlechterung der Schmerzsituation an der linken Schulter ergeben. Es bezeichnete sodann als plausibel, dass das Schmerzsyndrom zumindest eine körperliche Teilursache beinhalte. Selbst wenn aber nicht von einem unfallbedingten somatischen Anteil der Schulterschmerzen ausgegangen werden könnte, müsste doch deren adäquate Unfallkausalität, in Anwendung der Psycho-Praxis bejaht werden.
Der Beschwerde führende Unfallversicherer verneint eine unfallbedingte körperliche Teilursache für die Schmerzsymptomatik. Die demnach vorzunehmende Adäquanzprüfung ergebe, dass dem Unfall vom 8. September 1999 keine rechtserhebliche Bedeutung für das Schmerzsyndrom zukomme.
Nach Auffassung des Versicherten liegt mit dem diagnostizierten neurasthenischen Schmerzsyndrom ein natürlich unfallkausales somatisches Leiden vor. Damit sei auch der adäquate Kausalzusammenhang zum Unfall ohne weiteres gegeben. Die Adäquanz wäre aber auch bei besonderer Prüfung nach der Psycho-Praxis zu bejahen.
5. Vorab ist zu prüfen, ob die noch geklagten Schmerzen mit einem natürlich unfallkausalen organisch objektiv ausgewiesenen Gesundheitsschaden zu erklären sind. Bejahendenfalls erübrigt sich eine besondere Adäquanzprüfung.
5.1 Die Zürich stützt sich bei der Verneinung einer organisch objektiv ausgewiesenen Schädigung auf das polydisziplinäre (internistische, orthopädisch-chirurgische, neurologische, rheumatologische und psychiatrische) Gutachten des Zentrums C._ vom 30. Januar 2007 (mit Nachträgen). Die Experten des Zentrums C._ sind zusammenfassend zum Ergebnis gelangt, die Arbeitsfähigkeit werde durch unfallfremde dissoziative Störungen der Bewegungen und der Empfindungen mit/bei Störung der Persönlichkeitsentwicklung mit schizoiden Zügen eingeschränkt. Keinen Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit habe die als teilweise unfallkausal zu betrachtende chronifizierte Schmerzsymptomatik und Hyperpathie im Bereich des linken oberen Quadranten ohne nachweisbares pathologisch-anatomisches Korrelat (mit/bei Status nach Schulterkontusion links am 8. September 1999, nach möglicher Commotio cerebri am 8. September 1999, nach arthroskopischen Operationen des linken Schultergelenks am 19. April und 2. Juni 2000 mit Entfernung eines kleinen Gelenkkörpers, Knorpelshaving und zweimaliger subacromialer Dekompression, nach Plexusneurolyse und Resektion der ersten Rippe links bei Verdacht auf Thoracic Outlet Syndrome [TOS] im Juni 2002). Als unfallfremde und die Arbeitsfähigkeit nicht beeinflussende Faktoren führten die Gutachter sodann auf: intermittierender Opiatmissbrauch; Status nach akuter myeloischer Leukämie 1991, aktuell in Vollremission (mit/bei Status nach Chemotherapie und allogener Knochenmarkstransplantation 1992, nach toxischer Kardiomyopathie); Carbamazepin-Unverträglich-keit; Status nach Neurodermitis 1988. Die Experten des Zentrums C._ verneinten sodann auch einen objektivierbaren unfallkausalen Integritätsschaden.
Die Fachärzte des Zentrums C._ haben u.a. dargelegt, weshalb sie eine unfallbedingte organisch nachweisbare Schädigung als Ursache der noch geklagten Schmerzen im Bereich der linken Schulter verneinen. Diese Folgerungen beruhen auf eingehenden Untersuchungen, einer einlässlichen Auseinandersetzung mit den medizinischen Vorakten und einer überzeugend begründeten interdisziplinären Würdigung. Sie sind daher als beweiskräftig zu betrachten (vgl. BGE 125 V 351 E. 3a S. 352).
5.2 Soweit die Vorinstanz ausführt, ein Teil der Aussagen im Gutachten des Zentrums C._ stütze die Annahme einer organisch nachweisbaren Unfallfolge, welche noch bestehende Schmerzen unterhalte, kann ihr nicht gefolgt werden. Die Experten sind einheitlich zum Ergebnis gelangt, eine solche Unfallfolge liege nicht vor. Das Gutachten weist auch keine Widersprüche auf, welche Zweifel an seiner Verlässlichkeit zu begründen vermöchten.
Vorinstanz und Beschwerdegegner berufen sich zur Begründung ihrer abweichenden Auffassung sodann namentlich auf die Berichte des Dr. med. D._, Facharzt für Neurologie, Allgemeine Medizin, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, welcher den Versicherten psychotherapeutisch betreut. Die Aussagen dieses Arztes vermögen indessen die Annahme einer organisch nachweisbaren Schädigung als Ursache für die noch geklagten Schmerzen nicht zu stützen. Dr. med. D._ bestätigte im Bericht vom 28. April 2008 vielmehr, die Diagnose eines neuropathischen Schmerzsyndroms aufgrund von klinischen Befunden und nicht gestützt auf technische Messbefunde gestellt zu haben. Eine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge ist damit nicht dargetan (vgl. Urteil 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 2 mit Hinweis, nicht publ. in: BGE 135 V 465, aber in: SVR 2010 UV Nr. 6 S. 25). Zu erwähnen ist sodann, dass die Ursache der geklagten Beschwerden an der linken Schulter von verschiedener Seite als unklar und rätselhaft bezeichnet wurde (Berichte des Dr. med. E._, Neurologie FMH, vom 12. November 2001, 22. September und 15. August 2000; des Dr. med. F._, Spezialarzt für Physikalische Medizin, spez. Rheumaerkrankungen FMH, vom 15. November und 16. August 2000). Auch im Bericht der Klinik G._ vom 16. Februar 2009 wurde ausgeführt, die Schmerzen liessen sich nicht sicher zuordnen. Es sei mit hoher Wahrscheinlichkeit von einem neuropathischen Schmerzsyndrom unklarer Genese auszugehen. Verlässliche Anhaltspunkte für eine unfallbedingte organische Schädigung, welche die noch geklagten Beschwerden zu erklären vermöchten, liegen damit nicht vor. Sie lassen sich auch den übrigen medizinischen Akten nicht entnehmen.
Diskutiert wurde sodann die Bedeutung der durchgeführten operativen Eingriffe. Diese haben indessen aufgrund der medizinischen Akten ihrerseits keine objektiv nachweisbaren Schädigungen bewirkt, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchten.
Von ergänzenden medizinischen Abklärungen ist abzusehen, da sie keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen.
Was im Besonderen den Bericht des Dr. med. D._ vom 27. August 2010 betrifft, ist festzuhalten, dass sich daraus keine Anhaltspunkte ergeben, welche ein anderes Ergebnis zu rechtfertigen vermöchten. Die Frage der novenrechtlichen Zulässigkeit dieses erst letztinstanzlich aufgelegten Arztberichtes kann daher offen bleiben.
6. Nach dem Gesagten liegt für die noch geklagte Schmerzsymptomatik kein organisches Korrelat vor. Das schliesst zwar die natürliche Unfallkausalität der Beschwerden nicht aus, bedingt aber eine besondere Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs (E. 3 hievor). Diese hat unstreitig nach den für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall entwickelten Grundsätzen zu erfolgen.
6.1 Für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Zu prüfen ist im Rahmen einer objektivierten Betrachtungsweise, ob der Unfall eher als leicht, als mittelschwer oder als schwer erscheint, wobei im mittleren Bereich gegebenenfalls eine weitere Differenzierung nach der Nähe zu den leichten oder schweren Unfällen erfolgt. Massgebend ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften, nicht jedoch Folgen des Unfalles oder Begleitumstände, die nicht direkt dem Unfallgeschehen zugeordnet werden können (BGE 115 V 133 E. 6 S. 139 ff.; SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07 E. 5.3.1).
Gemäss dem angefochtenen Entscheid ist der Unfall vom 8. September 1999 den mittelschweren Unfällen und dort am ehesten denjenigen im mittleren Bereich zuzuordnen. Die Beschwerdeführerin geht von einem mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen, der Beschwerdegegner von einem schweren Unfall aus.
Der vorinstanzlichen Beurteilung kann darin gefolgt werden, dass der erfolgte Sturz mit dem Fahrrad auf die Schulter eher dem Bereich der mittelschweren als dem der leichten Unfälle, zu welchen etwa ein gewöhnlicher Sturz oder ein Ausrutschen zählen (BGE 115 V 133 E. 6a S. 139 und seitherige Entscheide), zuzurechnen ist. Der Vergleich mit anderen von der Rechtsprechung beurteilten Unfällen zeigt aber, dass das Ereignis vom 8. September 1999 im Rahmen der mittelschweren Unfälle eher an der Grenze zu den leichten Unfällen als im mittleren Bereich liegt (vgl. etwa BGE 115 V 133 E. 11 S. 144; Urteile 8C_390/2010 vom 20. Juli 2010 E. 2.3 und U 66/03 vom 23. Januar 2004 E. 4.1). Als mittlere Unfälle im engen Sinn wurden regelmässig Ereignisse mit deutlich höheren Krafteinwirkungen eingestuft (vgl. die Praxisübersicht bei Urs Müller, Die Rechtsprechung des Eidgenössischen Versicherungsgerichts zum adäquaten Kausalzusammenhang beim sog. Schleudertrauma der Halswirbelsäule, in: SZS 2001 S. 413, S. 434 ff.). Im vorliegenden Fall fehlen Hinweise, wie etwa eine besonders hohe Geschwindigkeit, welche für solche Krafteinwirkungen sprechen würden. Auch erlitt der Versicherte keine Verletzungen, welche Rückschlüsse auf gesteigerte Krafteinwirkungen zuliessen (vgl. SVR 2009 UV Nr. 57 S. 203, 8C_77/2009 E. 4.1.1 in fine). Der Beschwerdegegner bedurfte denn auch offensichtlich keiner Betreuung am Unfallort und suchte erst am 13. September 1999 einen Arzt auf.
Erst recht ist das Ereignis vom 8. September 1999 nicht bei den schweren Unfällen oder auch nur im Grenzbereich zu diesen einzuordnen. Daran ändern entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung die in der Folge durchgeführten Operationen nichts. Diese zählen nicht zum eigentlichen Unfallgeschehen und die behandelten Leiden lassen nicht darauf schliessen, dass der Unfall mit höheren Krafteinwirkungen verbunden war.
6.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien (gemäss BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen, insbesondere ihre erfahrungsgemässe Eignung, psychische Fehlentwicklungen auszulösen; ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung; körperliche Dauerschmerzen; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit) müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise erfüllt sein (BGE 115 V 133 E. 6c/bb S. 141). Die Kriterien sind unter Ausschluss psychischer Aspekte zu prüfen (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140; E. 3 hievor).
Eine Häufung der Kriterien liegt bei der hier gegebenen Unfallschwere vor, wenn mindestens deren vier erfüllt sind (SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100, 8C_897/2009 E. 4.5).
Gemäss dem angefochtenen Entscheid sind vier Kriterien erfüllt, wovon zwei geringgradig und eines ausgeprägt. Der Beschwerdegegner erachtet zusätzliche Kriterien für gegeben. Die Beschwerdeführerin verneint sämtliche Adäquanzkriterien.
6.2.1 Es fragt sich zunächst, ob die drei operativen Eingriffe bei der Adäquanzprüfung berücksichtigt werden dürfen, ist doch umstritten, ob sie überhaupt der Behandlung organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen gedient haben. Dies muss aber nicht abschliessend beantwortet werden, da der adäquate Kausalzusammenhang auch unter Einbezug der Eingriffe verneint werden muss, wie die folgenden Erwägungen zeigen.
6.2.2 Besonders dramatische Begleitumstände oder eine besondere Eindrücklichkeit des Unfalls sind mit dem kantonalen Gericht zu verneinen. Die mit einigem zeitlichem Abstand zum Unfall erfolgten drei Eingriffe sind entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners nicht bei diesem Kriterium, sondern allenfalls bei dem des Heilungsverlaufs zu berücksichtigen.
Das Kriterium der ärztlichen Fehlbehandlung hat die Vorinstanz ebenfalls zu Recht verneint. Das gilt entgegen der Auffassung des Beschwerdegegners auch unter Berücksichtigung der drei operativen Eingriffe, zumal diese nicht nachgewiesenermassen zu einer erheblichen Verschlimmerung der Unfallfolgen geführt haben.
Das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen wurde vom kantonalen Gericht bejaht. Darin kann ihm nicht gefolgt werden. Die Gesundheitsschädigungen, die sich der Versicherte zugezogen hat, erscheinen nicht geeignet, um psychische Fehlentwicklungen auszulösen. Das gilt auch unter Berücksichtigung des Vorzustandes an der Schulter.
Entgegen dem angefochtenen Entscheid liegt auch keine ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung vor. Eine länger dauernde, kontinuierliche und zielgerichtete Behandlung somatisch begründbarer Beschwerden erfolgte nicht. Vielmehr fand schon bald nach dem Unfall in erster Linie Psychotherapie statt. Zudem hatten die operativen Eingriffe zu einem grossen Teil explorativen Charakter mit dem Ziel, die den Ärzten nicht erklärbaren Beschwerden einer Diagnose zuordnen zu können. Das Kriterium ist daher nicht in einfacher und erst recht nicht in besonders ausgeprägter Weise gegeben.
Von den verbleibenden drei Kriterien (körperliche Dauerschmerzen; Heilungsverlauf/Komplikationen; Arbeitsunfähigkeit) müsste für die Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Das wird nicht geltend gemacht und trifft nach Lage der Akten auch nicht zu. Damit kann offen bleiben, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form zu bejahen wären.
6.3 Zusammenfassend kommt dem Unfall vom 8. September 1999 keine rechtserhebliche Bedeutung für die noch geklagten Schmerzen zu. Dies führt zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
7. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdegegner zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 26. Mai 2010 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. November 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz