Faits:
A. I._, a été victime d'une chute en 1997, alors qu'il travaillait en qualité de manoeuvre sur un chantier; l'accident a entraîné une fracture de la tête du radius droit ainsi qu'une fracture du col fémoral droit de degré III. L'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a rejeté une demande de prestations de l'assuré, par décision du 7 février 2001 (taux d'invalidité de 12 %), tandis que la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) lui a accordé une rente d'invalidité de 15 % (décision sur opposition du 16 juillet 2001).
L'état de la hanche droite s'est ensuite aggravé. Selon le docteur X._, spécialiste en chirurgie orthopédique et médecin d'agence de la CNA, par rapport aux constatations de 1999, les radiographies effectuées en avril 2006 montraient que la fracture du col fémoral avait évolué vers une nécrose aseptique avec destruction fonctionnelle de la hanche. A son avis, les activités possibles étaient extrêmement restreintes; elles se résumaient à des déplacements à pied de courte durée et à des stations assises également de courte durée (rapport du 16 mai 2006). L'assuré a subi la pose d'une prothèse totale de hanche le 28 mars 2007; d'après les doctoresses G._ et B._, médecins de l'Hôpital Z._, la capacité de travail était nulle à ce moment-là (rapport du 21 mai 2007). La CNA a pris en charge les suites de la rechute et versé des indemnités journalières du 1er septembre 2006 jusqu'au 31 août 2008. Postérieurement à la convalescence, le docteur X._ a constaté une nette amélioration par rapport à la situation prévalant en mai 2006 et attesté que l'assuré pourrait travailler à temps complet dans un emploi adapté (rapport du 22 janvier 2008).
I._ a déposé une nouvelle demande de prestations auprès de l'office AI, le 16 février 2006. Le 28 juillet 2006, l'assuré a convenu avec son employeur de mettre un terme à son activité de chauffeur-livreur en raison de ses douleurs, le contrat de travail prenant fin le 31 août suivant. L'office AI a recueilli le dossier de la CNA, ainsi que l'avis du docteur J._, médecin traitant, lequel a fait état d'une incapacité de travailler de 50 % depuis le 1er mars 2004 et de 100 % depuis le 1er septembre 2006 (rapport du 27 juillet 2007). Par décision du 22 juillet 2008, l'office AI a rejeté la nouvelle demande, motifs pris que la capacité de travail restait entière dans une activité adaptée.
B. I._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève en concluant principalement au versement d'une rente entière d'invalidité.
Par jugement du 28 mai 2009, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours, reconnu le droit de l'assuré à une demi-rente d'invalidité du 1er septembre au 30 octobre 2006, sur la base d'un taux d'invalidité de 56 %, puis à une rente entière d'invalidité jusqu'au 30 janvier 2008, fondée sur une invalidité totale.
C. L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant principalement à la confirmation de sa décision du 22 juillet 2008, subsidiairement au renvoi de la cause au tribunal des assurances.
L'intimé conclut au rejet du recours, avec suite de dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le degré d'invalidité de l'intimé, singulièrement sur son droit à des prestations de l'assurance-invalidité du 1er septembre 2006 au 31 janvier 2008.
2. 2.1 La juridiction cantonale a cherché à savoir si l'état de santé de l'intimé s'était aggravé entre la décision initiale du 7 février 2001 et la décision du 22 juillet 2008, au point de lui ouvrir droit à une rente d'invalidité. Elle a constaté une péjoration temporaire (ce que le SMR avait d'ailleurs reconnu) entre la fin de l'année 2005 et le 1er novembre 2007 et retenu que la capacité de travail de l'intimé avait évolué comme suit : réduction à 50 % à compter du mois de mai 2006 (sur la base du rapport du docteur X._ du 16 mai 2006), puis à néant dès la fin juillet 2006 (ce moment correspondant à la résiliation du contrat de travail). Le tribunal a constaté que la capacité de travail était à nouveau entière à partir du 1er novembre 2007.
2.2 L'office AI se plaint d'une appréciation arbitraire des preuves ainsi que d'une violation de son droit d'être entendu résultant d'une motivation insuffisante du jugement attaqué. En particulier, le recourant reproche aux premiers juges de n'avoir pas indiqué les raisons pour lesquelles ils avaient fixé l'incapacité de travail à 50 % à compter de mai 2006. A cet égard, il observe que le docteur J._ avait fait état d'une incapacité de 50 % depuis mars 2004 et d'une incapacité totale dès septembre 2006, alors que le docteur X._ ne s'était pas exprimé sur ce point; selon le recourant, il est donc insoutenable de retenir une incapacité totale dès le mois d'août 2006. Par ailleurs, le recourant observe que le degré de l'invalidité de 56 % n'a pas fait l'objet d'une explication dans le jugement, aucun revenu n'ayant été comparé.
2.3 De son côté, l'intimé estime que les constats de fait des premiers juges relatifs aux périodes d'incapacité de travail lient le Tribunal fédéral. Quant aux modifications successives des degrés de l'invalidité, il soutient qu'elles résultent d'une application correcte de l'art. 88a RAI, car elles déploient leurs effets trois mois après les attestations correspondantes (d'incapacités de travail) des docteurs J._ et M._.
3. 3.1 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) et applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140).
3.2 Contrairement à ce que soutient le recourant, les constatations de fait du tribunal cantonal relatives à l'incapacité de travail de l'intimé (tant pour l'importance que la durée) ne procèdent pas d'une appréciation insoutenable des preuves recueillies. D'une part, le dossier ne contient pas d'avis médical sur la base duquel le recourant aurait dû admettre sans équivoque que la capacité de travail de l'intimé aurait été supérieure à 50 % depuis le mois de mai 2006, en raison de l'état de la hanche droite, ou que l'intimé aurait pu exercer quelque activité que ce fût de septembre 2006 à octobre 2007. D'autre part, les parties ne contestent pas que l'intimé avait recouvré une capacité entière de travail dès novembre 2007.
3.3 La raisonnement des premiers juges, que l'intimé semble partager dès lors qu'il se réfère à l'art. 88a RAI, procède d'une confusion entre deux éventualités distinctes : d'un côté la modification du droit à une rente précédemment allouée à l'occasion d'une procédure de révision (art. 17 LPGA), de l'autre l'octroi d'une rente dans le cadre d'une nouvelle demande lorsqu'une telle prestation avait été refusée (art. 87 al. 4 RAI).
En l'espèce, l'intimé ne s'était pas vu reconnaître le droit à des prestations de l'assurance-invalidité en 2001, en raison d'un degré d'invalidité de 12 %. Il s'ensuit que la naissance du droit à la rente reste subordonnée, dans le cadre de cette nouvelle demande, au délai d'attente d'une année (art. 29 al. 1 let. b LAI, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), les conditions de l'art. 29bis RAI n'étant à l'évidence pas remplies (ULRICH MEYER, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung, 2e éd., p. 366). Comme l'incapacité de travail de 50 % a débuté en mai 2006, le droit à la rente n'est ouvert qu'à partir du 1er mai 2007. A ce moment-là, l'intimé a droit à une rente entière, compte tenu de l'aggravation de l'état de santé qui a engendré une incapacité totale de travail dès l'été 2006 (art. 88a al. 2 RAI).
Quant au droit à la rente, il perdure jusqu'au 31 janvier 2008 et doit être supprimé par voie de révision (art. 17 LPGA), puisque l'intimé a recouvré une capacité de travail entière au 1er novembre 2007 (art. 88a al. 1 RAI; voir aussi ULRICH MEYER, op. cit., p. 394).
3.4 Dans ces conditions, le recours sera partiellement admis et le jugement attaqué sera réformé en ce sens que l'intimé a droit à une rente entière d'invalidité du 1er mai 2007 au 31 janvier 2008.
4. Vu l'issue du litige, les frais de justice seront répartis par moitié entre les parties (art. 66 al. 1 LTF). Le recourant est également débiteur d'une indemnité de dépens réduite à l'intimé (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 28 mai 2009 est réformé en ce sens que l'intimé a droit à une rente entière d'invalidité du 1er mai 2007 au 31 janvier 2008.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge des parties, par 250 fr. chacune.
3. Le recourant versera à l'intimé la somme de 1'000 fr. (y compris la TVA) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève pour qu'il statue à nouveau sur les dépens de l'instance cantonale, au regard de l'issue du présent litige.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 25 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud