Sachverhalt:
A. A.a Die 1967 geborene F._ war im Rahmen ihrer Anstellung bei der Firma S._ AG bis Ende Oktober 2003 bei der Öffentlichen Krankenkasse Luzern (ÖKK; seit 1. Januar 2004: Xundheit, Öffentliche Gesundheitskasse Schweiz [nachfolgend: Xundheit]) kollektiv krankentaggeldversichert. Ab 14. Juli 2003 war F._ zu 50 % und ab 21. Juli 2003 zu 100 % arbeitsunfähig geschrieben. Die ÖKK richtete Taggeldleistungen aus. Nach Beendigung des Arbeitverhältnisses am 31. Oktober 2003 trat F._ in die Einzeltaggeldversicherung über.
Am 10. November 2003 reiste F._ in ihr Heimatland in Asien. Am 14. November trat sie ins Hospital H._ ein, wo sie wegen Tuberkulose stationär behandelt wurde. Am 3. Dezember 2003 wurde F._ ins Hospital L._ verlegt. Dort wurde sie in der Folgezeit behandelt. Ende August 2004 konnte F._ wieder zurück in die Schweiz reisen.
A.b Mit Verfügung vom 4. Oktober 2004 und Einspracheentscheid vom 18. November 2004 weigerte sich die Xundheit, für die Zeit vom 11. November 2003 bis 31. August 2004 Taggeldleistungen zu erbringen. In teilweiser Gutheissung der hiegegen erhobenen Beschwerde, soweit darauf einzutreten war, hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern den Einspracheentscheid insoweit auf, als es den Krankenversicherer verpflichtete, Krankentaggelder für die Zeit vom 14. November 2003 bis 31. August 2004 auszuzahlen (Entscheid vom 28. September 2005). Das Eidg. Versicherungsgericht hob dieses Erkenntnis sowie den Einspracheentscheid vom 18. November 2004 auf und wies die Sache an die Xundheit zurück, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und hernach erneut über den Leistungsanspruch der Versicherten befinde (Urteil K 180/05 vom 21. Dezember 2006). Auf ein Erläuterungsgesuch zu diesem Urteil trat die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts mit Urteil vom 27. März 2007 nicht ein.
A.c Die Xundheit richtete Taggelder für die Dauer des Aufenthalts im Hospital H._ vom 14. November bis 3. Dezember 2003 aus. Hingegen verneinte sie eine Leistungspflicht für die Dauer der ambulanten Behandlung im Hospital L._. Am 7. Mai 2007 erliess sie eine in diesem Sinne lautende Verfügung, welche sie mit Einspracheentscheid vom 26. Juni 2007 bestätigte.
B. In Gutheissung der Beschwerde von F._ hob die Sozialversicherungsrechtliche Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern den Einspracheentscheid vom 26. Juni 2007 auf und verpflichtete die Xundheit, für die Zeit vom 4. Dezember 2003 bis 31. August 2004 Taggelder auszurichten (Entscheid vom 20. März 2009).
C. Die Xundheit lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 20. März 2009 sei aufzuheben.
F._, welche neben ihrem Rechtsvertreter ebenfalls eine Stellungnahme eingereicht hat, lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen.
Erwägungen:
1. Das Eidg. Versicherungsgericht hat im Urteil vom 21. Dezember 2006 die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der im Streite liegenden Leistungspflicht der Beschwerdeführerin dargelegt. Darauf wird verwiesen. Hier nochmals zu erwähnen sind die einschlägigen Bestimmungen des KVG-Taggeldreglements, Ausgaben 2003 und 2004, des Krankenversicherers (nachfolgend: Reglement). Nach Ziff. 4.1.5. («Arbeitsunfähigkeit im Ausland») Satz 1 werden bei privaten Ferienreisen ins Ausland die versicherten Taggelder nur bei Spitalaufenthalt ausgerichtet. Ziff. 4.1.6. («Auslandaufenthalt bei Arbeitsunfähigkeit») Satz 1 bestimmt, dass ein arbeitsunfähiges Mitglied, welches sich ohne Zustimmung der Kasse ins Ausland begibt, während der Zeit des Auslandaufenthaltes keinen Anspruch auf Leistungen hat.
2. Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils vom 21. Dezember 2006 wies die Sache an die Xundheit zurück, damit diese im Sinne der Erwägungen verfahre und hernach erneut über den Leistungsanspruch der Versicherten befinde. In E. 3.2, 3.2.1 und 3.2.2 führte das Eidg. Versicherungsgericht aus, die arbeitsunfähig geschriebene und Taggeldleistungen beziehende Versicherte habe sich vorgängig ihrer Reise nach Asien unbestrittenermassen nicht beim Krankenversicherer abgemeldet resp. nicht dessen Zustimmung eingeholt. Das - hier nicht weiter zu erörternde - Verhalten der Xundheit könne jedoch als nachträglich erfolgte Zustimmung zur Auslandreise gewertet werden. Weiter erwog das Gericht Folgendes: «Zu berücksichtigen gilt es jedoch, dass, anders als bei einer vorgängig eingeholten Zustimmung der Kasse (vgl. Ziff. 4.1.6. des Taggeldreglements), keine Taggeldleistungen für den gesamten Zeitraum des Aufenthalts in Asien erbracht werden können. Liegt nämlich keine im Vorfeld bewilligte Auslandreise vor, behält sich die Beschwerdeführerin Taggeldleistungen für den Fall anderweitig zu kontrollierender, d.h. aufgrund von objektiven Faktoren feststellbarer Arbeitsunfähigkeit vor, wie sie während eines Spitalaufenthaltes vorliegt (vgl. Ziffer 4.1.5 des Taggeldreglements). Diese Einschränkung der Leistungspflicht ist im Rahmen der dem Krankentaggeldversicherer zustehenden Regelungsautonomie (...) als zulässig anzusehen. Nur solcherart ist es dem Versicherer ohne grossen Aufwand im Sinne von als nicht zumutbar zu erachtenden intensiven Nachforschungen möglich, zu beurteilen, ob die geltend gemachte Erkrankung im Ausland tatsächlich die behauptete Arbeitsunfähigkeit bewirkt hat. Blosse ärztliche Arbeitsunfähigkeitsatteste vermöchten diesen Nachweis dagegen nicht ohne weiteres zu erbringen. Wird somit, wie im hier zu beurteilenden Fall, die Zustimmung zum Auslandaufenthalt bei einer arbeitsunfähigen, Taggeldleistungen beziehenden versicherten Person infolge der besonderen medizinischen Situation erst im Nachhinein erteilt, kann sich diese Einwilligung - und die damit verbundene Ausrichtung von Taggeldern - in Analogie zu Ziffer 4.1.5 des Taggeldreglements einzig auf die Dauer des ausländischen Spitalaufenthaltes beziehen.» Somit bestehe, so das Eidg. Versicherungsgericht weiter, keine Leistungspflicht des Krankenversicherers für die Tage der Ankunft in Asien bis zur Hospitalisation im Hospital H._, d.h. vom 11. bis 13. November 2003. Hingegen sei unklar, wann der Austritt aus dem Hospital L._ erfolgt sei. Den genauen Zeitpunkt habe der Krankenversicherer im Rahmen der in diesem Punkt zu erfolgenden Rückweisung zu erheben.
Bei der Darlegung der sich als sehr speziell erweisenden Sachlage hatte das Eidg. Versicherungsgericht in E. 3.2 in fine festgehalten, der Krankenversicherer habe «sich zu Recht nicht dahingehend geäussert, den die Beschwerdegegnerin letztlich rettenden Auslandaufenthalt im Sinne der mehrmonatigen stationären Behandlung - die Versicherte wurde, nachdem sie am 14. November 2003 ins Hospital H._ eingeliefert worden war, am 3. Dezember 2003 in das auf Tuberkulosefälle spezialisierte Hospital L._ verlegt - abzulehnen».
3. Das Eidg. Versicherungsgericht ging somit im Urteil K 180/05 vom 21. Dezember 2006 davon aus, dass die Versicherte sowohl im Hospital H._ als auch im Hospital L._ stationär behandelt wurde und sich dort rund um die Uhr aufhielt. Tatsächlich traf diese Annahme indessen lediglich auf das Hospital H._ zu. Die daran anschliessende Behandlung im Hospital L._ wurde ambulant durchgeführt, wie sich nachträglich herausstellte. Diese von der Rechtskraft des Urteils K 180/05 vom 21. Dezember 2006 nicht erfasste Tatsache ist als prozessual zulässiges Novum im Verwaltungsverfahren und erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren zu berücksichtigen (BGE 4A_527/2008 vom 11. März 2009 E. 2). Es ist somit - erstmals - zu prüfen, ob eine ambulante Spitalbehandlung Spitalaufenthalt im reglementarischen Sinne ist.
3. Das Eidg. Versicherungsgericht ging somit im Urteil K 180/05 vom 21. Dezember 2006 davon aus, dass die Versicherte sowohl im Hospital H._ als auch im Hospital L._ stationär behandelt wurde und sich dort rund um die Uhr aufhielt. Tatsächlich traf diese Annahme indessen lediglich auf das Hospital H._ zu. Die daran anschliessende Behandlung im Hospital L._ wurde ambulant durchgeführt, wie sich nachträglich herausstellte. Diese von der Rechtskraft des Urteils K 180/05 vom 21. Dezember 2006 nicht erfasste Tatsache ist als prozessual zulässiges Novum im Verwaltungsverfahren und erstinstanzlichen Beschwerdeverfahren zu berücksichtigen (BGE 4A_527/2008 vom 11. März 2009 E. 2). Es ist somit - erstmals - zu prüfen, ob eine ambulante Spitalbehandlung Spitalaufenthalt im reglementarischen Sinne ist.
3.1 3.1.1 Nach Auffassung der Vorinstanz ist der Umstand, dass die Behandlung im Hospital L._ ambulant und nicht stationär durchgeführt wurde, nicht entscheidend. Auch das Eidg. Versicherungsgericht sei von einer spitalärztlichen Behandlung ausgegangen und habe eine Taggeldleistung während dieser Zeit für geschuldet gehalten. Es sei denn auch nicht ersichtlich, weshalb die Verlegung aus dem Hospital H._ in die Spezialklinik - wenn auch nur zur ambulanten Behandlung - als eigentliche Spitalentlassung interpretiert werden könne. Es sei darum gegangen, der Versicherten die adäquate Behandlung für die Tuberkulose zukommen zu lassen. Solange diese Behandlung im Ausland angedauert habe, sei von einer Spitalbehandlung auszugehen und das dafür geschuldete Taggeld zu bezahlen. Aus dem Bericht des Hospital L._ gehe denn auch hervor, dass die Versicherte unter strikter Beobachtung des Spitals gestanden sei und periodische Untersuchungen über sich habe ergehen lassen müssen. Die Behandlung in der spezialisierten Lungenklinik sei als weitere Spitalbehandlung im Sinne des Gesetzes und entsprechend dem Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts zu betrachten, unabhängig davon, ob sie ambulant oder stationär erfolgt sei. Demzufolge sei der Krankenversicherer auch für diese Zeit leistungspflichtig.
3.1.2 Die Beschwerdeführerin bringt vor, nach Ziff. 4.1.5. des Reglements würden Taggelder bei privaten Ferienreisen ins Ausland nur bei Spitalaufenthalten ausgerichtet. Sodann habe das Eidg. Versicherungsgericht in E. 3.2.1 seines Urteils vom 21. Dezember 2006 festgehalten, die nachträgliche Zustimmung resp. Einwilligung und die damit verbundene Ausrichtung von Taggeldern beziehe sich einzig auf die Dauer des ausländischen Spitalaufenthaltes (vgl. E. 2). Dieser Begriff sei wie Statuten öffentlich-rechtlicher Vorsorgeeinrichtungen nach den gewöhnlichen Regeln der Gesetzesauslegung zu interpretieren (vgl. dazu BGE 130 V 49 E. 3.2.1 S. 50). Der Wortlaut sei klar. Von Spitalaufenthalt könne nur bei einer stationären Behandlung und wenn die versicherte Person sich Tag und Nacht in der betreffenden Klinik aufhalte gesprochen werden. Es seien keine triftigen Gründe gegeben, um ausnahmsweise vom klaren Wortlaut abzuweichen und, wie die Vorinstanz, aus dem Spitalaufenthalt eine Spitalbehandlung zu machen. Es bestehe somit lediglich für die Dauer des Aufenthalts im Hospital H._ vom 14. November bis 3. Dezember 2003 eine Leistungspflicht.
3.1.2 Die Beschwerdeführerin bringt vor, nach Ziff. 4.1.5. des Reglements würden Taggelder bei privaten Ferienreisen ins Ausland nur bei Spitalaufenthalten ausgerichtet. Sodann habe das Eidg. Versicherungsgericht in E. 3.2.1 seines Urteils vom 21. Dezember 2006 festgehalten, die nachträgliche Zustimmung resp. Einwilligung und die damit verbundene Ausrichtung von Taggeldern beziehe sich einzig auf die Dauer des ausländischen Spitalaufenthaltes (vgl. E. 2). Dieser Begriff sei wie Statuten öffentlich-rechtlicher Vorsorgeeinrichtungen nach den gewöhnlichen Regeln der Gesetzesauslegung zu interpretieren (vgl. dazu BGE 130 V 49 E. 3.2.1 S. 50). Der Wortlaut sei klar. Von Spitalaufenthalt könne nur bei einer stationären Behandlung und wenn die versicherte Person sich Tag und Nacht in der betreffenden Klinik aufhalte gesprochen werden. Es seien keine triftigen Gründe gegeben, um ausnahmsweise vom klaren Wortlaut abzuweichen und, wie die Vorinstanz, aus dem Spitalaufenthalt eine Spitalbehandlung zu machen. Es bestehe somit lediglich für die Dauer des Aufenthalts im Hospital H._ vom 14. November bis 3. Dezember 2003 eine Leistungspflicht.
3.2 3.2.1 Freiwillige Taggeldversicherungen nach Art. 67 ff. KVG beruhen auf einem öffentlich-rechtlichen Versicherungsvertrag (BGE 126 V 499 E. 2a S. 501 mit Hinweis auf die Lehre; vgl. auch Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 307/03 vom 19. August 2004 E. 4.3, nicht publiziert in: BGE 130 V 553, aber in: SVR 2005 UV Nr. 3 S. 5). Die Reglemente als Konkretisierung der taggeldrechtlichen Rechtsbeziehungen zwischen Krankenversicherer und versicherter Person sind - im Unterschied zu Bestimmungen öffentlich-rechtlicher Vorsorgeeinrichtungen (BGE 133 V 314 E. 4.1 S. 316) - nach dem Vertrauensprinzip auszulegen (BGE 126 V 499 E. 3b S. 504 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 2A.414/2006 vom 19. März 2008 E. 6.3). Ausgehend vom Wortlaut und unter Berücksichtigung des Zusammenhanges, in dem die zur Streitigkeit Anlass gebende Bestimmung innerhalb des Reglements als Ganzes steht, ist der objektive Vertragswillen zu ermitteln, den die Parteien mutmasslich gehabt haben. Dabei ist zu berücksichtigen, was sachgerecht ist, weil nicht angenommen werden kann, dass sie eine unvernünftige Lösung gewollt haben. Mehrdeutige Wendungen sind im Zweifel zu Lasten ihres Verfassers auszulegen (BGE 122 V 143 E. 4c S. 146 mit Hinweisen). Im Gegensatz zur Gesetzesauslegung kann es somit nicht bei einem klaren Wortlaut sein Bewenden haben.
3.2.2 Bei der Auslegung von Ziff. 4.1.5. des Reglements der Beschwerdeführerin im konkreten Fall ist zu berücksichtigen, dass der Aufenthalt in Asien aufgrund der unbestrittenen Notwendigkeit einer in der Schweiz nicht erhältlichen Behandlung medizinisch indiziert war. Die ambulante Behandlung im spitalmässigen Rahmen, welcher die Beschwerdegegnerin im Hospital L._ zugeführt wurde, ist daher als Spitalaufenthalt im reglementarischen Sinne zu würdigen, dies unter Berücksichtigung der spezifischen Gegebenheiten des vorliegenden Falles. Die Vorinstanz hat somit im Ergebnis nicht Bundesrecht verletzt, wenn sie auch für die Dauer der Behandlung im Hospital L._ eine Leistungspflicht des Krankenversicherers bejaht hat.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdegegnerin eine u.a. nach dem anwaltlichen Vertretungsaufwand bemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Juli 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler