Sachverhalt:
Die Kantonale Arbeitslosenkasse St. Gallen (nachfolgend: Kasse) verneinte mit Verfügung vom 16. September 2003 einen Anspruch auf Taggelder des E._ ab 13. Juni 2003, woran sie im Einspracheentscheid vom 21. Oktober 2003 festhielt.
In teilweiser Gutheissung einer dagegen eingereichten Beschwerde hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 21. April 2004 den Einspracheentscheid vom 21. Oktober 2003 auf und wies die Sache zur Abklärung der weiteren Anspruchsvoraussetzungen an die Kasse zurück.
Mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde beantragt die Kasse die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
E._ und das Versicherungsgericht schliessen auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco) auf Vernehmlassung verzichtet.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Das kantonale Versicherungsgericht hat die gesetzliche Vorschrift zum Ausschluss arbeitgeberähnlicher Personen sowie ihrer mitarbeitenden Ehegatten vom Anspruch auf Kurzarbeitsentschädigung (Art. 31 Abs. 3 lit. b und c AVIG) sowie die Rechtsprechung zur analogen Anwendung dieser Bestimmung auf arbeitgeberähnliche Personen, welche Arbeitslosenentschädigung beanspruchen (BGE 123 V 238 Erw. 7), richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
1. Das kantonale Versicherungsgericht hat die gesetzliche Vorschrift zum Ausschluss arbeitgeberähnlicher Personen sowie ihrer mitarbeitenden Ehegatten vom Anspruch auf Kurzarbeitsentschädigung (Art. 31 Abs. 3 lit. b und c AVIG) sowie die Rechtsprechung zur analogen Anwendung dieser Bestimmung auf arbeitgeberähnliche Personen, welche Arbeitslosenentschädigung beanspruchen (BGE 123 V 238 Erw. 7), richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2. 2.1 Der Beschwerdegegner war Geschäftsführer der T._ GmbH (nachfolgend: GmbH) und als solcher arbeitslosenversicherungsrechtlich Arbeitnehmer. Überdies war er zusammen mit seiner - ebenfalls geschäftsführenden - Ehefrau G._ (mit je einem Anteil von Fr. 9000.-) und A._ (mit einem Anteil von Fr. 2000.-) als Gesellschafter an der GmbH beteiligt. Jeder Gesellschafter besass Einzelunterschriftsberechtigung. Am 12. Juni 2003 eröffnete der Konkursrichter über die Gesellschaft den Konkurs, welcher am 28. Juli 2003 mangels Aktiven wieder eingestellt wurde. Während der anschliessenden Liquidationsphase behielten die bisherigen Gesellschaftsorgane ihre gesetzlichen und statutarischen Befugnisse bei (vgl. dazu ARV 2002 Nr. 28 S. 185 Erw. 3b).
2.2 Die GmbH löste den Arbeitsvertrag mit dem Beschwerdegegner am 12. Juni 2003 fristlos auf, was im Handelsregister allerdings keinen Niederschlag fand. Hätte dieser ein Gesuch um Kurzarbeitsentschädigung eingereicht, so wäre dieses unter Hinweis auf Art. 31 Abs. 3 lit. c AVIG abgelehnt worden. Vorliegend geht es jedoch nicht um Kurzarbeitsentschädigung, sondern um Arbeitslosenentschädigung nach Art. 8 ff. AVIG. Aus dem Umstand, dass die Art. 8 ff. AVIG keine entsprechende Norm für den Bereich der Arbeitslosenentschädigung kennen, lässt sich indes nicht folgern, die in Art. 31 Abs. 3 lit. c (und Art. 51 Abs. 2) AVIG genannten arbeitgeberähnlichen Personen hätten in jedem Fall Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung bei Ganzarbeitslosigkeit. Wird das Arbeitsverhältnis gekündigt, liegt Ganzarbeitslosigkeit vor, und es besteht unter den Voraussetzungen von Art. 8 ff. AVIG grundsätzlich Anspruch auf Entschädigung. Dabei kann nicht von einer Gesetzesumgehung gesprochen werden, wenn der Betrieb geschlossen wird, das Ausscheiden des betreffenden Arbeitnehmers mithin definitiv ist. Entsprechendes gilt für den Fall, dass das Unternehmen zwar weiterbesteht, der Arbeitnehmer aber mit der Kündigung endgültig auch jene Eigenschaft verliert, deretwegen er bei Kurzarbeit aufgrund von Art. 31 Abs. 3 lit. c AVIG vom Anspruch auf Kurzarbeitsentschädigung ausgenommen wäre. Eine grundsätzlich andere Situation liegt jedoch dann vor, wenn der Arbeitnehmer nach der Entlassung seine arbeitgeberähnliche Stellung im Betrieb beibehält und dadurch die Entscheidungen des Arbeitgebers weiterhin bestimmen oder massgeblich beeinflussen kann (BGE 123 V 237 Erw. 7b/bb mit Hinweisen).
2.2 Die GmbH löste den Arbeitsvertrag mit dem Beschwerdegegner am 12. Juni 2003 fristlos auf, was im Handelsregister allerdings keinen Niederschlag fand. Hätte dieser ein Gesuch um Kurzarbeitsentschädigung eingereicht, so wäre dieses unter Hinweis auf Art. 31 Abs. 3 lit. c AVIG abgelehnt worden. Vorliegend geht es jedoch nicht um Kurzarbeitsentschädigung, sondern um Arbeitslosenentschädigung nach Art. 8 ff. AVIG. Aus dem Umstand, dass die Art. 8 ff. AVIG keine entsprechende Norm für den Bereich der Arbeitslosenentschädigung kennen, lässt sich indes nicht folgern, die in Art. 31 Abs. 3 lit. c (und Art. 51 Abs. 2) AVIG genannten arbeitgeberähnlichen Personen hätten in jedem Fall Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung bei Ganzarbeitslosigkeit. Wird das Arbeitsverhältnis gekündigt, liegt Ganzarbeitslosigkeit vor, und es besteht unter den Voraussetzungen von Art. 8 ff. AVIG grundsätzlich Anspruch auf Entschädigung. Dabei kann nicht von einer Gesetzesumgehung gesprochen werden, wenn der Betrieb geschlossen wird, das Ausscheiden des betreffenden Arbeitnehmers mithin definitiv ist. Entsprechendes gilt für den Fall, dass das Unternehmen zwar weiterbesteht, der Arbeitnehmer aber mit der Kündigung endgültig auch jene Eigenschaft verliert, deretwegen er bei Kurzarbeit aufgrund von Art. 31 Abs. 3 lit. c AVIG vom Anspruch auf Kurzarbeitsentschädigung ausgenommen wäre. Eine grundsätzlich andere Situation liegt jedoch dann vor, wenn der Arbeitnehmer nach der Entlassung seine arbeitgeberähnliche Stellung im Betrieb beibehält und dadurch die Entscheidungen des Arbeitgebers weiterhin bestimmen oder massgeblich beeinflussen kann (BGE 123 V 237 Erw. 7b/bb mit Hinweisen).
3. Der Beschwerdegegner war bis zum 3. Dezember 2003 (Tagebucheintrag der Löschung) im Handelsregister als Geschäftsführer und als Gesellschafter der sich in Liquidation befindlichen GmbH eingetragen. Er bekleidet ungeachtet der Erwägungen im vorinstanzlichen Entscheid bis zum 3. Dezember 2003 eine arbeitgeberähnliche Stellung (jedenfalls als an der Gesellschaft finanziell Beteiligter).
Damit eine arbeitgeberähnliche Person Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung hat, muss ihr Ausscheiden aus der Firma endgültig sein. Dieses Ausscheiden muss anhand eindeutiger Kriterien gemessen werden können, welche keinen Zweifel am definitiven Austritt aus der Firma übrig lassen (Urteil F. vom 14. April 2003 [C 92/02]). Die Rechtsprechung hat wiederholt darauf abgestellt, ob der Eintrag der betreffenden Person im Handelsregister gelöscht worden ist (ARV 2002 Nr. 28 S. 185; jüngst bestätigt im Urteil K. vom 8. Juni 2004 [C 110/03] mit zahlreichen Hinweisen). Denn erst mit der Löschung des Eintrags ist das Ausscheiden der arbeitgeberähnlichen Person aus der Firma für aussenstehende Dritte erkennbar. Ebenso ist erst mit der definitiven Löschung einer Gesellschaft im Handelregister die finanzielle Beteiligung beendet. Organstellung und Beteiligung fanden vorliegend am 3. Dezember 2003 ihr Ende. Auf diesen Zusammenhang wies die Kasse bereits im Einspracheentscheid vom 21. Oktober 2003 hin, indem sie ausführte, ab dem 13. Juni 2003 bestehe zwar kein Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung, doch sei festzuhalten, dass ab der definitiven Löschung aus dem Handelsregister ein solcher grundsätzlich zu bejahen sei.
Der Vollständigkeit halber ist noch auf Folgendes hinzuweisen. Ginge man davon aus, dass der Beschwerdegegner zu Unrecht im Handelsregister als Geschäftsführer nicht gelöscht worden wäre, so änderte sich am Ausschluss von der Anspruchsberechtigung nichts. Denn vor und nach der Auflösung des Arbeitsvertrages war seine Ehefrau, G._, Geschäftsführerin und Beteiligte der GmbH. Als mitarbeitender Ehegatte erhielte E._ aufgrund der Ausschlusseigenschaft "Ehegatte" (Art. 31 Abs. 3 lit. b AVIG) keine Arbeitslosenentschädigung.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 21. April 2004 aufgehoben.
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 21. April 2004 aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, dem Amt für Arbeit, St. Gallen, und dem Staatssekretariat für Wirtschaft zugestellt.
Luzern, 20. April 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Die Präsidentin der III. Kammer: Der Gerichtsschreiber: