Sachverhalt:
A. Die 1967 geborene D._ war als Sachbearbeiterin bei der E._ AG tätig und dadurch bei der Alpina Versicherungs-Aktiengesellschaft (nachfolgend: Alpina) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 20. Februar 2004 mit dem Fahrrad stürzte. Dabei zog sie sich gemäss den ärztlichen Erstdiagnosen Unterkiefer- und Zahnfrakturen sowie eine Riss-quetschwunde an der Unterlippe zu. In medizinischen Folgeberichten wurden überdies ein Schädel-Hirntrauma (commotio cerebri) und ein Halswirbelsäulen-Syndrom erwähnt. Die Alpina gewährte Heilbe-handlung und richtete Taggeld aus. Ab März 2007 zeigten sich Symptome einer Multiplen Sklerose (MS), welche Erkrankung nach neurologischen Abklärungen im Sommer 2007 endgültig diagnostiziert werden musste. Die Zürich Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Zürich), als Rechtsnachfolgerin der Alpina, holte hierauf zur Abgrenzung von Unfall- und Krankheitsfolgen ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten der Klinik X._ vom 8. Juli 2009 ein. Mit Verfügung vom 11. November 2009 eröffnete die Zürich der Versicherten, die Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen würden per 30. September 2009 eingestellt, da die noch bestehenden Beschwerden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 20. Februar 2004 stünden. Daran hielt der Unfallversicherer auf die von D._ erhobene Einsprache hin fest, wobei er zugleich auch den Anspruch auf eine Integritätsentschädigung verneinte (Entscheid vom 20. April 2010).
Zwischenzeitlich hatte die Invalidenversicherung, bei der sich D._ im Oktober 2006 zum Leistungsbezug angemeldet hatte, am 26. Februar 2008 rückwirkend ab 1. Januar 2007 vorübergehend eine Viertelsrente und ab 1. April resp. 1. Oktober 2007 eine ganze Invalidenrente verfügt.
B. Beschwerdeweise beantragte D._, es sei der Einsprache-entscheid vom 20. April 2010 aufzuheben und die Zürich zu verpflichten, weiterhin Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen auszurichten. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die Beschwerde mit Entscheid vom 30. November 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt D._ die Aufhebung des kantonalen Entscheids beantragen und ihr vorinstanzliches Leistungsbegehren erneuern.
Die Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist es nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist nach Massgabe von Anfechtungsgegenstand und Beschwerde, ob die Beschwerdeführerin aus dem Unfall vom 20. Februar 2004 über den 30. September 2009 hinaus Anspruch auf Heilbehandlung und Taggeld hat. Dabei ist umstritten, ob die noch bestehenden Beschwerden in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall stehen.
Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die massgeblichen kausalrechtlichen Grundsätze zutreffend dargelegt. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181). Dabei spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier bedarf es einer besonderen Adäquanzbeurteilung. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Gemäss der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis (BGE 115 V 133) werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen anwendbaren sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Das kantonale Gericht hat zunächst erkannt, dass sich die noch bestehenden Beschwerden nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalles vom 20. Februar 2004 erklären lassen. Das ist, nach Lage der Akten zu Recht, nicht umstritten.
4. Die Vorinstanz hat im Weiteren erwogen, die Frage des natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfall und den noch bestehenden Beschwerden müsse nicht beantwortet werden, da es ohnehin am kumulativ erforderlichen adäquaten Kausalzusammenhang fehle. Sodann sei zwar fraglich, ob eine Verletzung vorliege, welche die - von der Versicherten postulierte - Anwendung der Schleudertrauma-Praxis zu rechtfertigen vermöge. Dies könne aber offen bleiben, da auch letztere zur Verneinung der Adäquanz führe.
Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden, wenn die Adäquanz tatsächlich, und selbst nach der Schleudertrauma-Praxis, zu verneinen ist (vgl. BGE 135 V 465 E. 5.1 S. 472; SVR 2010 UV Nr. 3 S. 11, 8C_283/2009 E. 9 Ingress). Das wird nachfolgend geprüft.
5. 5.1 Für die Beurteilung des adäquaten Kausalzusammenhangs ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Zu prüfen ist im Rahmen einer objektivierten Betrachtungsweise, ob der Unfall eher als leicht, als mittelschwer oder als schwer erscheint, wobei im mittleren Bereich gegebenenfalls eine weitere Differenzierung nach der Nähe zu den leichten oder schweren Unfällen erfolgt. Massgebend ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften, nicht jedoch Folgen des Unfalles oder Begleitumstände, die nicht direkt dem Unfallgeschehen zugeordnet werden können (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 12 f.; SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1).
Das kantonale Gericht hat den Fahrradsturz vom 20. Februar 2004 als mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen zugeordnet. Die Beschwerdeführerin geht von einem mittelschweren Unfall im engeren Sinne aus.
Fest steht, dass das Ereignis weder den leichten Unfällen noch den schweren Unfällen oder dem Grenzbereich zu diesen zuzurechnen ist. Demnach sind weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen, von denen für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein müssten (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f.). Gehäuft im genannten Sinne liegen die Kriterien bei einem Grenzfall zu den leichten Unfällen, wie ihn die Vorinstanz angenommen hat, vor, wenn deren vier erfüllt sind. Bei einem mittelschweren Unfall im engeren Sinn, wie ihn die Versicherte postuliert, genügen dafür drei Kriterien (SVR 2010 UV Nr. 25 S. 100, 8C_897/2009 E. 4.5).
5.2 Die massgeblichen Zusatzkriterien lauten gemäss BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen.
Gemäss dem angefochtenen Entscheid sind höchstens und zum Teil nur ansatzweise drei Kriterien erfüllt. Die Versicherte bringt vor, es seien die vier Kriterien Schwere/Art der Verletzungen, Beschwerden, Heilungsverlauf/Komplikationen und Arbeitsunfähigkeit erfüllt, die beiden letztgenannten sogar in besonders ausgeprägter Weise.
Zu Recht nicht geltend gemacht werden die Kriterien Begleitum-stände/Eindrücklichkeit, belastende Behandlung und ärztliche Fehlbe-handlung. Bezüglich der umstrittenen Kriterien ergibt sich Folgendes:
5.2.1 Die Diagnose einer HWS-Distorsion oder einer anderen, adäquanzrechtlich gleich behandelten Verletzung genügt für sich allein nicht zur Bejahung des Kriteriums der Schwere und besonderen Art der erlittenen Verletzung. Es bedarf hiezu einer besonderen Schwere der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können. Diese können beispielsweise in einer beim Unfall eingenommenen besonderen Körperhaltung und den dadurch bewirkten Komplikationen bestehen. Auch erhebliche Verletzungen, welche sich die versicherte Person neben dem Schleudertrauma, der äquivalenten Verletzung der HWS oder dem Schädel-Hirntrauma beim Unfall zugezogen hat, können bedeutsam sein (BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127 f. mit Hinweisen).
Die für Schleudertraumen und adäquanzrechtlich vergleichbare Verletzungen typischen Beschwerden sind sicher nicht so intensiv aufgetreten, dass das Kriterium als erfüllt zu betrachten wäre. Sodann sind die weiteren erlittenen Verletzungen zwar nicht als leicht, entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung aber auch nicht als so erheblich zu betrachten, dass dies die Bejahung des Kriteriums gestatten würde. Der vorliegende Sachverhalt kann im Wesentlichen mit denjenigen verglichen werden, welche den Urteilen 8C_825/2008 vom 9. April 2009, U 158/04 vom 6. Dezember 2004, U 130/02 vom 29. November 2002 und U 115/98 vom 19. Februar 1999 zugrunde lagen, und bei welchen das Kriterium - teils nach der Schleudertrauma- und teils nach der Psycho-Praxis - verneint worden ist. Die beim Unfall vom 20. Februar 2004 erlittenen Verletzungen sind auch weniger schwer, als diejenigen, welche im Urteil 8C_622/2010 vom 3. Dezember 2010 zur Bejahung des Kriteriums führten. Zu keiner anderen Betrachtungsweise führen das Vorbringen, die Behandlung des Zahnschadens habe infolge der Versorgung der Kieferverletzung mehrere Monate aufgeschoben werden müssen, und der Umstand, dass der Unfallversicherer das Kriterium noch bejaht hatte. Soweit die Versicherte in diesem Zusammenhang auf erlittene Schmerzen hinweist, ist festzuhalten, dass diesem Gesichtspunkt eher beim Kriterium der erheblichen Beschwerden als hier Rechnung zu tragen ist. Das Kriterium der Verletzungsschwere/-art liegt demnach nicht vor.
5.2.2 Gleiches gilt für das Kriterium der erheblichen Beschwerden. Wie die Vorinstanz zutreffend erwogen hat, können die üblicherweise mit Schleuder- und Schädel-Hirntraumen verbundenen Beschwerden nicht genügen, ansonsten das Kriterium bei jeder solchen Verletzung bejaht werden müsste und damit keine Bedeutung als Differenzierungsmerkmal mehr hätte. Im vorliegenden Fall sind gemäss den medizinischen Akten namentlich Kopfschmerzen vom Spannungstyp, Nackenbeschwerden und Minderleistungen einzelner kognitiver Funktionen aufgetreten (u.a. Gutachten Y._ vom 8. Juli 2009; Berichte Klinik X._ vom 17. Juli 2006, Zentrum N._ vom 1. Mai 2006, Dr. med. B._, Arzt FMH für Innere Medizin, vom 7. November und 24. August 2005). Das reicht nicht aus für die Bejahung des Kriteriums, zumal es der Beschwerdeführerin gemäss Gutachten Y._ vom 8. Juli 2009 immerhin möglich war, trotz der Angabe täglicher Schmerzen nebst einem Teilerwerbspensum ihre ursprünglichen sportlichen Aktivitäten zu einem grossen Teil wieder aufzunehmen und ein regelmässiges Fitnessprogramm (pro Woche je 1 Stunde Power-Yoga und Bauchtanz, 45 Minuten Ausdauertraining am Crosstrainer sowie ca. 30 Minuten Spaziergehen und Velofahren) zu absolvieren, wobei sie höchstens zweimal im Monat auf die Einnahme eines leichten Schmerzmittels angewiesen sei. Auch die Schmerzen, welche die Versicherte während des Heilungsprozesses der Kiefer- und Zahnfrakturen verspürte, genügen nicht für die Annahme erheblicher Beschwerden im Sinne des Kriteriums. Der Einwand der Versicherten, sie habe gemäss ärztlichem Zeugnis vom 8. Mai 2010 zwischenzeitlich das Power-Yoga und den Bauchtanz aufgeben müssen, führt ebenfalls zu keiner anderen Betrachtungsweise, zumal die als Grund hiefür angegebenen Symptome (Gangunsicherheit, Beeinträchtigung des Gleichgewichtssinns) bis dahin der Ausübung dieser Betätigungen nicht entgegenstanden und im Übrigen nach Lage der medizinischen Akten (Bericht Dr. med. F._, Neurologie FMH, vom 16. August 2007) auch durchaus mit der MS-Erkrankung in Verbindung gebracht werden können.
5.2.3 Von den verbleibenden zwei Kriterien müsste für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Das gilt sowohl bei einem mittelschweren Unfall im engeren Sinn wie auch bei einem Grenzfall zu den leichten Unfällen (vgl. E. 5.1 hievor).
Die Vorinstanz hat das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen aufgrund der hinzugekommenen MS in der einfachen Form als erfüllt betrachtet. Besonders ausgeprägt ist das Kriterium entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung trotz der MS nicht gegeben, zumal diese gemäss Aktenlage nach dem ersten Schub im Jahr 2007 nur noch in vergleichsweise geringer Weise symptomatisch war und keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass die Erkrankung den Heilungsprozess unfallbedingter Gesundheitsschäden erheblich beeinträchtigte.
Das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz erheblicher Bemühungen hat das kantonale Gericht "ansatzweise" bejaht. Die Versicherte macht geltend, das Kriterium sei besonders ausgeprägt gegeben. Darin kann ihr nicht gefolgt werden. Die Arbeitsunfähigkeit betrug anfänglich, während knapp einem Jahr, zwischen 50 % und 100 % und danach zwischen 20 und 30 %. Erst ab Oktober 2006 wurde wieder eine hälftige und ab Juli 2007 eine 70 %ige Arbeitsunfähigkeit bestätigt, wobei hier bereits der MS-Erkrankung eine wesentliche Bedeutung zukam. Sodann sind die Bemühungen, welche die Versicherte zur Wiedereingliederung in den Arbeitsprozess gezeigt hat, zwar anerkennenswert, ohne dass dies aber genügt, um das Kriterium als besonders ausgeprägt erfüllt erscheinen zu lassen.
5.3 Fehlt es demnach an einem besonders ausgeprägten Kriterium, ist der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 20. Februar 2004 und den noch bestehenden Beschwerden zu verneinen, ohne dass abschliessend beantwortet werden muss, ob die beiden zuletzt behandelten Kriterien überhaupt in der einfachen Form erfüllt sind. Das kantonale Gericht hat somit den streitigen Anspruch auf weitere Ausrichtung von Heilbehandlung und Taggeld zu Recht verneint. Das führt zur Abweisung der Beschwerde.
6. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. April 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz