Erwägungen:
1.
Der 1982 geborene libanesische Staatsangehörige A._ reiste am 4. Dezember 2003 in die Schweiz ein, wo er noch gleichentags eine sechzehn Jahre ältere Schweizerin heiratete und in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Am 20. Mai 2006 wurde eine gemeinsame Tochter geboren. Am 28. Dezember 2007 reiste A._ in den Libanon aus und kehrte erst rund ein Jahr später, am 12. Dezember 2008, in die Schweiz zurück, wo ihm wiederum eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde.
A._ wurde in der Schweiz mehrfach und in erheblichem Ausmass straffällig:
- Am 31. März 2005 wurde er vom Untersuchungsrichteramt des Kantons Luzern wegen Betäubungsmitteldelikten zu drei Monaten Gefängnis sowie zu einer Busse von Fr. 500.-- verurteilt;
- Am 7. Juni 2005 verurteilte ihn das Amtsstatthalteramt Luzern wegen Strassenverkehrsdelikten zu einer Busse von Fr. 300.--;
- Am 3. Oktober 2006 verurteilte ihn das Verhöramt des Kantons Nidwalden wegen Führens eines Motorfahrzeuges unter Betäubungs- oder Arzneimitteleinflusses sowie wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Busse von Fr. 2'000.--;
- Am 6. November 2007 und am 8. Januar 2008 wurde er vom Amtsstatthalteramt Luzern wegen Strassenverkehrsdelikten zu einer Busse von jeweils Fr. 600.-- verurteilt;
- Mit Urteil vom 10. August 2010 sprach das Amtsgericht von Olten-Gösgen A._ wegen eines Verbrechens gegen das Betäubungsmittelgesetz (Handel mit einer qualifizierten Menge Kokain) sowie wegen mehrfacher Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes schuldig. Es verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 24 Monaten;
- Am 25. Oktober 2011 erklärte die Staatsanwaltschaft Emmen ihn der Nötigung, der Tätlichkeiten sowie der unrechtmässigen Aneignung schuldig und sie verurteilte ihn deswegen zu einer Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu je Fr. 30.-- sowie zu einer Busse von Fr. 300.--.
Nachdem A._ am 10. Januar 2006 bereits ohne Erfolg fremdenpolizeilich verwarnt worden war, verweigerte das Amt für Migration des Kantons Luzern mit Verfügung vom 22. Mai 2012 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ unter Hinweis auf dessen Delinquenz. Die vom Betroffenen hiergegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel wurden vom Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (Beschwerdeentscheid vom 12. März 2013) sowie vom Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (Urteil vom 31. Mai 2013) abgewiesen. Sodann lehnte das Verwaltungsgericht auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern führen A._ sowie seine schweizerische Ehefrau B._ mit Eingabe vom 10. Juli 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht.
2.
Mit Schreiben vom 13. August 2013 teilte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht mit, dass sie ihre Beschwerde zurückziehen wolle: Sie habe die Scheidungsklage eingereicht und beim zuständigen Gericht um superprovisorische Eheschutzmassnahmen ersucht. In den beigelegten Rechtsschriften lässt sie u.a. ausführen, dass ihr Ehegatte sie ausschliesslich aus aufenthaltsrechtlichen Gründen geheiratet habe; die meiste Zeit habe er ausserhalb der ehelichen Wohnung verbracht. Er habe sie zudem wiederholt beschimpft und bedroht, namentlich damit, dass er die gemeinsame Tochter ins Ausland verbringe, um sie dort nach islamischem Glauben erziehen zu lassen.
Aufgrund dieses Schreibens ist das Verfahren betreffend die Beschwerdeführerin zufolge Rückzugs der Beschwerde als erledigt von den Traktanden abzuschreiben; zu beurteilen bleibt die Beschwerde des Beschwerdeführers. Diese ist allerdings offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG mit summarischer Begründung und Verweis auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu erledigen ist.
3.
Gemäss Art. 51 Abs. 1 lit. b in Verbindung mit Art. 42 Abs. 1, Art. 63 Abs. 1 lit. a und Art. 62 lit. b AuG erlischt der Anspruch des ausländischen Ehegatten einer Schweizerin auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung, wenn er zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe verurteilt wurde. Als "längerfristig" gilt jede Freiheitsstrafe, deren Dauer ein Jahr überschreitet (BGE 135 II 377 E. 4.2 und E. 4.5 S. 379 ff.). Dieses Erfordernis ist hier offensichtlich und unbestrittenermassen erfüllt. Der Beschwerdeführer beruft sich im Wesentlichen einzig darauf, dass die Nichtverlängerung der Bewilligung unverhältnismässig sei. Diese Rüge geht jedoch ins Leere: Richtig ist wohl, dass eine solche Massnahme aufgrund der gesamten Umstände des Einzelfalls verhältnismässig sein muss (vgl. BGE 135 II 377 E. 4.3 S. 381 f. m.w.H). Dies hat das Verwaltungsgericht aber nicht verkannt, sondern es hat die hier massgebenden öffentlichen Interessen an einer Ausreise des Beschwerdeführers und dessen private Interessen an einem Verbleib in der Schweiz sachgerecht gewürdigt und es für zumutbar erachtet, dass der Beschwerdeführer in seine Heimat zurückkehrt.
Diese Schlussfolgerung der Vorinstanz ist weder im Lichte des Ausländergesetzes noch von Art. 8 EMRK zu beanstanden: Durch sein andauerndes kriminelles Verhalten hat der Beschwerdeführer eindrücklich unter Beweis gestellt, dass er nicht dazu in der Lage ist, sich an die in der Schweiz geltenden Regeln und Gesetze zu halten: Weder zahlreiche Warnstrafen (Geldbussen, bedingte Freiheitsstrafen) noch eine ausländerrechtliche Verwarnung vermochten ihn von der Begehung weiterer Straftaten abzuhalten. Als gravierend erscheint namentlich die zunehmende Schwere der verübten Delikte sowie seine erneute Delinquenz kurz nach Entlassung aus dem Strafvollzug. Bei dieser Sachlage entsteht vom Beschwerdeführer das Bild eines uneinsichtigen, hartnäckigen Wiederholungstäters, der die zahlreichen ihm eingeräumten Chancen nicht genutzt hat und bei welchem sämtliche in einem Rechtsstaat zur Verfügung stehenden Sanktionen wirkungslos sind. Sein weiterer Verbleib im Land ist mit den Sicherheitsinteressen der hiesigen Wohnbevölkerung nicht zu vereinbaren.
4.
Die Vorinstanz hat das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen, weil sie dieses als aussichtslos erachtet hatte. Der Beschwerdeführer ist demgegenüber der Auffassung, vor allem mit Blick auf die Auswirkungen seiner Wegweisung auf das Familienleben von ihm, seiner Gattin und seiner Tochter sei seine Beschwerde aussichtsreich gewesen.
Ob ein Begehren aussichtslos erscheint, beurteilt sich aufgrund der Verhältnisse im Zeitpunkt des Gesuchs (BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 136; 128 I 225 E. 2.5.3 S. 236; Urteil 5A_112/2008 vom 14. April 2008 E. 3.3). Zum damaligen Zeitpunkt lebte der Beschwerdeführer in einer (vermeintlich) intakten Ehe mit seiner Gattin und der gemeinsamen Tochter zusammen, und in diesen Fällen liegt die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung auch bei Ausländern, die in erheblichem Umfang straffällig geworden sind, keineswegs auf der Hand. So hat das Bundesgericht in BGE 139 I 145 die Beschwerde eines Ausländers gutgeheissen, der - gleich wie der Beschwerdeführer - zu einer Freiheitsstrafe von 24 Monaten verurteilt worden war. Allerdings hatte es sich dort - anders als hier - um einen Ersttäter gehandelt, und dieser war nach seiner Verurteilung nicht mehr deliktisch in Erscheinung getreten. Ausserdem hat sich der Beschwerdeführer - wiederum anders als im angeführten Präjudiz - wirtschaftlich nicht gut in der Schweiz integriert. Die genannten Umstände können als wesentliche Unterschiede angesehen werden, die es im Ergebnis haltbar erscheinen lassen, das Rechtsmittel des Beschwerdeführers vor der Vorinstanz als aussichtslos zu bezeichnen. Die vorliegende Beschwerde erweist sich somit auch in diesem Punkt als unbegründet.
5.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen. Entsprechend diesem Verfahrensausgang hat grundsätzlich der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Zwar hat er auch beim Bundesgericht ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt. In Anbetracht der bereits aufgezeigten Umstände des vorliegenden Falles kann diesem jedoch aufgrund der von vornherein fehlenden Erfolgsaussichten nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG e contrario).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Betreffend die Beschwerdeführerin wird das Verfahren infolge Rückzugs der Beschwerde abgeschrieben.
2.
Die Beschwerde des Beschwerdeführers wird abgewiesen.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung (vormals Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung), sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. August 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler