Erwägungen:
1. Der 1946 geborene deutsche Staatsangehörige X._ ersuchte am 10. November 2011 um Erteilung einer ausländerrechtlichen Bewilligung mit den Aufenthaltszwecken Rentner, Hausmeister und DE Buchhaltungen. Das Migrationsamt des Kantons Thurgau teilte ihm am 19. März 2012 mit, seinem Ersuchen könne unter keinem Titel entsprochen werden; was den erwerbslosen Aufenthalt als Rentner betreffe, fehle es ihm an ausreichenden finanziellen Mitteln, um den Lebensunterhalt in der Schweiz zu bestreiten; was die unselbstständige Erwerbstätigkeit als Hauswart betreffe, habe er einen Arbeitsvertrag einzureichen. Nach einem Schriftenwechsel (Schreiben von X._ vom 5. April 2012) wies das Migrationsamt am 16. April 2012 darauf hin, dass ein rechtsmittelfähiger Entscheid die Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 270.-- voraussetze. X._ hielt mit Schreiben vom 27. April 2012 an seinen Anträgen vom 5. April 2012 fest, wobei er auf einen in Aussicht gestellten Arbeitsvertrag verwies. Mit Verfügung vom 31. Mai 2012 forderte das Migrationsamt X._ auf, bis Ende Juli 2012 aus dem Kanton Thurgau auszureisen; es wurde festgehalten, dass anstelle des Gesuchs um erwerbslosen Aufenthalt kein solches für den Aufenthalt mit Erwerbstätigkeit bearbeitet werde, da keine ausreichenden Unterlagen eingereicht worden seien.
X._ rekurrierte dagegen an das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau, welches zunächst zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 900.-- aufforderte, darauf jedoch zurückkam. Am 28. September 2012 zog X._ den Rekurs unter der Voraussetzung zurück, dass keine Kosten erhoben würden, worauf das Departement den Rekurs ohne Kostenauflage abschrieb. X._ erinnerte das Migrationsamt am 12. Oktober 2012 daran, dass sein schon 2011 eingereichtes Aufenthaltsgesuch zur Aufnahme einer Erwerbstätigkeit ungeachtet des Rückzugs des Rekurses noch immer hängig sei, weshalb er dieses erneuerte. Sodann gelangte er am 26. Oktober 2012 mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit dem Begehren, der Abschreibungsentscheid des Departements sei so zu ergänzen, dass ihm daraus hinsichtlich des 2011 eingereichten und am 12. Oktober 2012 erneuerten Gesuchs um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zu Erwerbszwecken keine nachteiligen Rechtsfolgen erwüchsen. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 20. März 2013 ab, soweit es darauf eintrat; zugleich erhob es eine Verfahrensgebühr von Fr. 300.--, wobei es ein allenfalls sinngemäss gestelltes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abwies.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beschwert sich X._ beim Bundesgericht über den Entscheid des Verwaltungsgerichts.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen auseinanderzusetzen. Soweit der angefochtene Entscheid auf kantonalem (Verfahrens-)Recht beruht (vgl. BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68; 135 III 513 E. 4.3 S. 521 f.; 134 I 153 E. 4.2.2 S. 158; 134 II 349 E. 3 S. 351 f.; 133 III 462 E. 2.3 S. 466) oder die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen bemängelt werden sollen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 sowie Art. 97 Abs. 1 BGG, dazu BGE 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen), gelten die strengen Begründungsvoraussetzungen gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG.
Das Verwaltungsgericht hält zunächst (E. 2 seines Entscheids) fest, dass dem Beschwerdeführer unter den gegebenen Umständen (Migrationsamt würde Gesuch um Aufenthaltsbewilligung nach Eintritt der Rechtskraft des Abschreibungsentscheids des Departements weiter bearbeiten) ein aktuelles Rechtsschutzinteresse an der Beschwerde fehle, weshalb auf diese grundsätzlich nicht einzutreten sei. Dazu lässt sich der Rechtsschrift vom 3. Mai 2013 keine den vorstehend erwähnten Begründungsanforderungen genügende Begründung entnehmen. Damit kommt es auf die weiteren, nur ergänzenden Erwägungen des Verwaltungsgerichts (E. 3 und 4) nicht an (vgl. BGE 133 IV 119 E. 6.3 S. 120 f. und 136 III 534 E. 2 S. 535 zur Anfechtung von Entscheiden, die auf mehreren Begründungen beruhen, die jede für sich dessen Ergebnis zu rechtfertigen vermögen). Allerdings vermöchte der Beschwerdeführer mit seinen Vorbringen auch in dieser Hinsicht nicht aufzuzeigen, inwiefern ihm zustehende Rechte verfahrensrechtlicher oder materiellrechtlicher Natur verletzt worden sein sollten. Schliesslich legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht (E. 5) bei den gegebenen Verhältnissen rechtsverletzend sei.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
Da die vorliegende Beschwerde aussichtslos erschien, kann dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Mai 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller