Faits:
A. Par contrat de travail du 8 juin 2009, Z._ a été engagée auprès du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura. Cet engagement a été conclu pour la période du 1er septembre 2009 au 31 août 2010. Le contrat prévoyait une période d'essai de trois mois, pendant laquelle les parties pouvaient le résilier, par lettre recommandée, un mois à l'avance pour la fin d'un mois.
Le 26 octobre 2009, X._, agissant en qualité de chef du personnel, s'est entretenu avec des secrétaires du tribunal puis a fait part à Z._ de certaines critiques au sujet de son travail.
Les 30 octobre et 2 novembre 2009, la conférence des juges permanents a entendu tous les membres du personnel du tribunal cantonal (secrétaires, apprentis et greffières), ainsi que Z._, en vue de faire le point de la situation au sujet des rapports de travail de l'intéressée. Le 4 novembre suivant, le tribunal cantonal a adressé un rapport au Gouvernement de la République et canton du Jura (le gouvernement) et l'a invité à résilier les rapports de travail de Z._ avec effet au 31 décembre 2009, en raison d'une rupture des liens de confiance liée essentiellement à des insuffisances professionnelles.
L'intéressée ayant notamment demandé la communication des procès-verbaux de toutes les auditions devant la conférence des juges permanents, le président du tribunal cantonal l'a invitée à s'adresser au Service du personnel de la République et canton du Jura.
Le 14 novembre 2009, Maître A._, agissant en qualité de mandataire de l'intéressée, a requis du service du personnel la remise des procès-verbaux d'auditions, ainsi que du rapport adressé au gouvernement le 4 novembre précédent. En outre, il a sollicité un entretien afin de convenir d'une solution convenable.
Le 18 novembre 2009, le service du personnel a communiqué à Maître A._ une photocopie du rapport du tribunal cantonal du 4 novembre précédent et lui a imparti un délai jusqu'au 20 novembre 2009 pour présenter des déterminations. Ce délai a été prolongé au 24 novembre suivant sur demande du mandataire de l'intéressée et un règlement transactionnel lui a été proposé.
Par décision du 26 novembre 2009, le gouvernement a résilié les rapports de service de Z._ avec effet au 31 décembre 2009.
Par lettre du 5 décembre 2009, adressée au gouvernement, Maître A._ a indiqué qu'il était toujours dans l'attente des procès-verbaux des auditions de sa mandante et du personnel du tribunal cantonal. Par ailleurs, il a produit un certificat médical du docteur W._, spécialiste en médecine interne (du 27 novembre 2009), selon lequel l'intéressée souffrait d'une affection psychosomatique importante qui la rendait incapable de se déterminer valablement quant aux décisions qu'elle pouvait être appelée à prendre concernant son avenir professionnel et personnel.
Le 14 décembre 2009, le service du personnel a informé Maître A._ que sa demande du 5 décembre précédent avait été transmise au tribunal cantonal mais que celui-ci n'entendait pas y donner suite étant donné que les auditions en question n'avaient pas fait l'objet de procès-verbaux, mais de notes d'entretiens prises par une greffière, lesquelles n'avaient été ni relues ni signées par les personnes auditionnées.
B. Z._ a recouru contre la décision du gouvernement du 26 novembre 2009 devant la Cour administrative du tribunal cantonal en prenant les conclusions suivantes:
Préalablement:
1. Récuser tous les juges du tribunal cantonal faisant partie du collège des juges permanents;
Principalement:
2. Ordonner à la République et canton du Jura de communiquer à la recourante les notes prises par la greffière lors de l'audition de la recourante le 3 novembre 2009;
3. Annuler la décision de résiliation qui lui a été notifiée le 26 novembre 2009;
4. Condamner la République et canton du Jura à lui payer 15'000 fr. (à titre de tort moral) ensuite d'atteintes aux droits de la personnalité pendant les rapports de travail;
5. Condamner la République et canton du Jura à lui payer 7'273 fr. 10 (à titre de préjudice économique pour le mois de janvier 2010) ensuite d'atteintes aux droits de la personnalité pendant les rapports de travail, sous réserve d'amplification;
6. Condamner la République et canton du Jura à lui payer une indemnité à titre de frais et dépens;
Subsidiairement:
7. Condamner la République et canton du Jura à lui payer 43'638 fr. 70 (équivalant à six mois de salaire à titre de congé abusif).
Le gouvernement a conclu au rejet du recours dans la mesure où il était recevable et il a produit les notes d'auditions de la conférence des juges permanents des 30 octobre et 2 novembre 2009, ainsi que les notes personnelles de X._ concernant l'intéressée.
La juridiction cantonale a statué le 2 mai 2011. Elle a constaté que les conclusions nos 1 et 2 étaient devenues sans objet, déclaré les conclusions nos 4, 5 et 7 irrecevables et rejeté les autres conclusions dans la mesure où elles étaient recevables.
C. Z._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, sous suite de frais et dépens. Elle demande au Tribunal fédéral de déclarer recevables les conclusions nos 4, 5 et 7 de son recours devant la juridiction cantonale, à laquelle la cause devra être renvoyée pour nouveau jugement, et de déclarer bien fondée la conclusion no 3 tendant à l'annulation de la résiliation des rapports de travail. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision au sujet de la continuation des rapports de travail.
Le gouvernement conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable, sous suite de frais et dépens. La juridiction cantonale propose également le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public (lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. Le litige soumis à la juridiction cantonale porte sur l'annulation d'une décision de résiliation des rapports de travail et sur l'octroi d'indemnités en réparation du préjudice économique et du tort moral pour atteintes aux droits de la personnalité. Dans cette mesure, le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (arrêt 8C_907/2010 du 8 juillet 2011 consid. 1.1 et les références).
En outre, la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. (art. 85 al. 1 let. b LTF) est atteinte.
Pour le surplus, le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) et il a été déposé dans le délai prévu par la loi (art. 100 LTF). Le recours est dès lors recevable.
2. 2.1 Par un premier moyen, la recourante conteste le rejet par la juridiction cantonale de son grief de violation par l'intimé de son droit d'être entendue relativement au droit d'accès au dossier, à celui de se déterminer avant le prononcé de la décision de résiliation des rapports de travail et à celui de participer à l'administration des preuves.
En ce qui concerne son droit d'accès au dossier, elle reprochait en effet au gouvernement de n'avoir pas donné suite à sa demande de consulter les procès-verbaux des auditions des membres du personnel du tribunal cantonal par la conférence des juges permanents. Sur ce point, la juridiction cantonale a considéré que l'intéressée ne pouvait pas se prévaloir du droit de consulter les notes dans lesquelles avaient été consignées les déclarations des employés du tribunal cantonal entendus par la conférence des juges permanents. Selon le tribunal cantonal, ces notes qui n'ont pas été relues ni signées par les personnes auditionnées n'ont pas valeur de preuve, du moment qu'elles étaient exclusivement destinées à l'usage interne pour la formation de la volonté des juges permanents en vue de rédiger un rapport circonstancié à l'attention du gouvernement; dans ce contexte, ces auditions n'avaient servi qu'à affermir l'opinion que les juges permanents avaient d'ores et déjà pu se faire sur le travail de l'intéressée. Au demeurant, le point de savoir si ces notes d'auditions constituaient des notes internes dénuées de caractère probatoire pouvait rester indécis, du moment que le gouvernement n'avait pas eu connaissance de ces pièces avant de rendre sa décision et que le contenu de celles-ci avait été transposé dans le rapport du 4 novembre 2009, communiqué à l'intéressée. Aussi, les premiers juges sont-ils d'avis qu'en ayant eu connaissance de ce rapport, Z._ a pu consulter tous les éléments du dossier nécessaires pour pouvoir se déterminer en connaissance de cause avant que le gouvernement ne rende sa décision.
En ce qui concerne son droit d'accès au dossier, elle reprochait en effet au gouvernement de n'avoir pas donné suite à sa demande de consulter les procès-verbaux des auditions des membres du personnel du tribunal cantonal par la conférence des juges permanents. Sur ce point, la juridiction cantonale a considéré que l'intéressée ne pouvait pas se prévaloir du droit de consulter les notes dans lesquelles avaient été consignées les déclarations des employés du tribunal cantonal entendus par la conférence des juges permanents. Selon le tribunal cantonal, ces notes qui n'ont pas été relues ni signées par les personnes auditionnées n'ont pas valeur de preuve, du moment qu'elles étaient exclusivement destinées à l'usage interne pour la formation de la volonté des juges permanents en vue de rédiger un rapport circonstancié à l'attention du gouvernement; dans ce contexte, ces auditions n'avaient servi qu'à affermir l'opinion que les juges permanents avaient d'ores et déjà pu se faire sur le travail de l'intéressée. Au demeurant, le point de savoir si ces notes d'auditions constituaient des notes internes dénuées de caractère probatoire pouvait rester indécis, du moment que le gouvernement n'avait pas eu connaissance de ces pièces avant de rendre sa décision et que le contenu de celles-ci avait été transposé dans le rapport du 4 novembre 2009, communiqué à l'intéressée. Aussi, les premiers juges sont-ils d'avis qu'en ayant eu connaissance de ce rapport, Z._ a pu consulter tous les éléments du dossier nécessaires pour pouvoir se déterminer en connaissance de cause avant que le gouvernement ne rende sa décision.
2.2 2.2.1 Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit en principe entraîner l'annulation de la décision attaquée indépendamment des chances de succès du recourant sur le fond (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437; 126 V 130 consid. 2b p. 132 et les arrêts cités). Ce moyen doit par conséquent être examiné en premier lieu par l'autorité saisie d'un recours (ATF 124 I 49 consid. 1 p. 50).
Le droit de consulter le dossier est un aspect du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. (ATF 132 II 485 consid. 3.2 p. 494). Il est notamment concrétisé à l'art. 56 LTF, selon lequel les parties ont le droit d'assister à l'administration des preuves et de prendre connaissance des pièces produites (al. 1). Si la sauvegarde d'intérêts publics ou privés prépondérants l'exige, le tribunal prend connaissance d'un moyen de preuve hors de la présence des parties ou des parties adverses (al. 2). De même, l'art. 156 CPC prévoit que le tribunal ordonne les mesures propres à éviter que l'administration des preuves ne porte atteinte à des intérêts dignes de protection des parties ou de tiers, notamment à des secrets d'affaires.
Dans ce contexte, le justiciable ne peut exiger la consultation de documents internes à l'administration, à moins que la loi ne le prévoie expressément (ATF 125 II 473 consid. 4a p. 474; 122 I 153 consid. 6a p. 161). Il s'agit des notes dans lesquelles l'administration consigne ses réflexions sur l'affaire en cause, en général afin de préparer des interventions et décisions nécessaires. Il peut également s'agir de communications entre les fonctionnaires traitant le dossier. Cette restriction du droit de consulter le dossier doit de manière normale empêcher que la formation interne de l'opinion de l'administration sur les pièces déterminantes et sur les décisions à rendre ne soit finalement ouverte au public. Il n'est en effet pas nécessaire à la défense des droits des administrés que ceux-ci aient accès à toutes les étapes de la réflexion interne de l'administration avant que celle-ci n'ait pris une décision ou manifesté à l'extérieur le résultat de cette réflexion. Encore faut-il ne pas qualifier de notes internes des pièces ou le résultat de preuves déterminantes pour la prise d'une décision (ATF 115 V 297 consid. 2g p. 303).
2.3 En l'espèce, le rapport du 4 novembre 2009, par lequel la conférence des juges permanents a recommandé au gouvernement de résilier les rapports de travail de Z._, contient toute une série de griefs dirigés contre l'intéressée. Or, les faits reprochés reposent essentiellement sur les notes d'auditions des membres du personnel entendus par la conférence des juges permanents. Etant donné que dans sa décision du 26 novembre 2009, le gouvernement a qualifié ces faits de motifs objectifs et suffisants de résiliation des rapports de travail, il y a lieu de considérer ces notes d'auditions comme des moyens de preuve déterminants pour la prise de décision et non pas comme de simples documents internes à l'administration.
Par ailleurs, le fait que le gouvernement n'en a pas eu connaissance avant de rendre sa décision ne suffit pas pour refuser à l'intéressée le droit de consulter ces pièces, dès lors que celles-ci sont les seuls moyens de preuve dont ont été déduits les faits indiqués dans le rapport du 4 novembre 2009 et invoqués à l'appui de la décision de résiliation des rapports de travail. Quant au fait que ce rapport a été communiqué à l'intéressée, il n'est pas déterminant dans la mesure où celui-ci ne reproduisait pas les déclarations des personnes entendues mais seulement les griefs invoqués.
En refusant à la recourante la possibilité de prendre connaissance des notes d'auditions du personnel avant que la décision à son encontre ne soit prise, l'intimé l'a empêchée de s'exprimer sur des éléments pertinents, violant ainsi son droit d'être entendue garanti à l'art. 29 al. 2 Cst (arrêts 2P.77/2003 consid. 2.3; 1P.159/2000 consid. 3; 2P.44/1996 consid. 2a).
2.4 2.4.1 Selon la jurisprudence, la violation du droit d'être entendu - pour autant qu'elle ne soit pas d'une gravité particulière - est réparée lorsque la partie lésée a la possibilité de s'exprimer devant une autorité de recours jouissant du même pouvoir d'examen que l'autorité de décision (ATF 129 I 129 consid. 2.2.3 p. 135; 126 I 68 consid. 2 p. 72; 124 II 132 consid. 2d p. 138). Toutefois, la réparation d'un vice éventuel ne doit avoir lieu qu'exceptionnellement (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437 s.; 126 V 130 consid. 2b p. 132 et les références).
2.4.2 En l'occurrence, il est douteux que le vice de procédure - qui revêt une certaine gravité - pût être réparé devant l'autorité précédente. Quoi qu'il en soit, lorsqu'elle est saisie d'un recours en matière de droit de la fonction publique, la Cour administrative du Tribunal cantonal jurassien s'impose une certaine réserve dans le contrôle de la validité des décisions de l'autorité d'engagement en vertu de l'art. 122 let. c ch. 2 de la loi cantonale de procédure et de juridiction administrative et constitutionnelle (Code de procédure administrative [CPA]) du 30 novembre 1978 (RS/JU 175.1; arrêt de la Chambre administrative du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura du 16 juin 1995 consid. 2, in RJJ 1995 p. 339). Dans la mesure où la juridiction cantonale ne jouissait pas du même pouvoir d'examen que l'autorité de décision, la violation du droit d'être entendu ne pouvait dès lors pas être réparée dans la procédure de recours, et cela indépendamment de la question de sa gravité.
2.4.3 Vu ce qui précède, le jugement attaqué doit être annulé, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs de fond soulevés par la recourante.
Etant donné que le prononcé entrepris doit être annulé, il n'est pas nécessaire de statuer sur les autres conclusions de la recourante. En effet, il n'incombe pas au Tribunal fédéral, au stade actuel de la procédure, de se prononcer sur les conséquences de l'annulation du jugement entrepris. Il appartiendra à la Cour administrative, à qui la cause doit être renvoyée, de statuer sur ce point, ainsi que sur les frais et dépens de l'instance cantonale (art. 68 al. 5 et art. 107 al. 2 LTF; arrêt 8C_322/2009 du 9 septembre 2009 consid. 3.2). Ainsi, il y a lieu d'annuler uniquement le jugement attaqué et de renvoyer la cause à la juridiction précédente pour nouveau jugement.
3. Les frais de la cause sont mis à la charge de l'intimé (art. 66 al. 1 LTF). La recourante a droit à une indemnité de dépens à la charge de l'intimé (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement de la Cour administrative du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura du 2 mai 2011 est annulé, la cause étant renvoyée à ladite Cour pour nouveau jugement.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour administrative du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura.
Lucerne, le 6 juin 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd