Sachverhalt:
A. Die Association interprofessionnelle de la Damassine ersuchte am 10. Juli 2002 um Eintragung der Bezeichnung "Damassine" als geschützte Ursprungsbezeichnung (Appellation d'origine contrôlée, AOC) für einen Obstbrand. Dieser soll dem Pflichtenheft gemäss ausschliesslich im Kanton Jura erzeugt und in Flaschen abgefüllt werden. Dabei sollen auch nur Früchte von Damassine-Bäumen (Damassinier) verwendet werden, die sich im Gebiet dieses Kantons befinden. Das Bundesamt für Landwirtschaft bot mehreren Bundesbehörden und dem Kanton Jura Gelegenheit zur Stellungnahme. Das Büro für Konsumentenfragen, das Bundesamt für Gesundheit, die Eidgenössischen Forschungsanstalten Changins und Wädenswil sowie das Eidgenössische Institut für Geistiges Eigentum widersprachen der Eintragung aus ihrer Sicht nicht; lediglich die letztgenannte Stelle hatte gewisse Vorbehalte, weil es sich beim Namen "Damassine" ihrer Meinung nach um eine kleine rote Pflaumensorte handle, die sich auch in anderen Kantonen finden lasse.
Mit Verfügung vom 28. Juni 2005 hiess das Bundesamt für Landwirtschaft das Gesuch gut und kündigte an, die Bezeichnung "Damassine" unter Vorbehalt von Einsprachen in das Register für geschützte Ursprungsbezeichnungen einzutragen. Hiegegen gingen elf Einsprachen ein, mit denen sich das Bundesamt in einem einzigen Entscheid vom 16. August 2007 befasste. Eine Einsprache, mit der lediglich die Aufhebung einer Bestimmung des Pflichtenhefts zur maximalen Durchflussmenge des Destilliergeräts begehrt wurde, hiess das Bundesamt gut. Auf vier Einsprachen trat es nicht ein, zwei schrieb es als gegenstandslos geworden ab. Die übrigen Einsprachen - darunter diejenige der Grillette, Domaine de Cressier SA - wies es ab. Die von Letzterer dagegen beim Bundesverwaltungsgericht erhobene Beschwerde blieb erfolglos. Die einzige weitere Beschwerde eines anderen Einsprechers wurde mit der Begründung abgewiesen, diesem fehle die Einsprache- bzw. Beschwerdelegitimation.
B. Die Grillette, Domaine de Cressier SA beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 6. November 2008, das in dieser Sache ergangene Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 1. Oktober 2008 aufzuheben und das Eintragungsgesuch der Association interprofessionnelle de la Damassine abzuweisen. Eventualiter sei das Eintragungsgesuch nur unter der Auflage gutzuheissen, dass das geographische Schutzgebiet "auf das Gebiet des Neuenburger Juras, einschliesslich der Gebiete Le Landeron und Cressier (NE), ausgedehnt wird". Subeventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.
Die Association interprofessionnelle de la Damassine stellt den Antrag, auf die Beschwerde nicht einzutreten, hilfsweise sie abzuweisen. Das Bundesamt für Landwirtschaft ersucht um Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
C. Die Grillette, Domaine de Cressier SA hat darum ersucht, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen hinsichtlich der Eintragung von "Damassine" als geschützte Ursprungsbezeichnung einerseits und der von der Vorinstanz zu ihren Lasten zugesprochenen Parteientschädigung anderseits. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat diesem Gesuch mit Verfügung vom 3. Dezember 2008 stattgegeben.
D. Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat die Angelegenheit am 26. Februar 2010 an einer öffentlichen Sitzung beraten.
Erwägungen:
1. Gemäss Art. 54 BGG wird das Verfahren in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids geführt. Dieser erging vorliegend auf Deutsch. Auch wenn die Parteien ihren Sitz jeweils in einem französischsprachigen Kanton haben, besteht keine Veranlassung, von der erwähnten Regel abzuweichen. Es geht nicht um ein ursprünglich auf der Ebene dieser Kantone zu führendes Verfahren, sondern durchwegs um ein Bundesverfahren. Zudem hat die Beschwerdeführerin ihre sämtlichen Eingaben - wie schon bei den Vorinstanzen - in deutscher Sprache abgefasst.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig, da sie sich gegen einen Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts richtet (vgl. Art. 82 lit. a BGG) und ein Ausschlussgrund nach Art. 83 BGG nicht gegeben ist. Als im vorinstanzlichen Verfahren unterlegene Partei ist die Beschwerdeführerin formell zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG). Fraglich ist allerdings, ob sie noch ein aktuelles schutzwürdiges Interesse an der Änderung oder Aufhebung des angefochtenen Entscheids hat (vgl. Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG).
Die Beschwerdeführerin begründet ihre Legitimation damit, dass sie im Kanton Neuenburg Obstbrand unter der Bezeichnung "Damassine" produziere, was ihr der angefochtene Entscheid künftig verwehre. Nach der Darstellung der Beschwerdegegnerin bewirtschaftet die Beschwerdeführerin ihre Plantage mit Damassiniers in Le Landeron neuerdings indes nicht mehr selber. Vielmehr verpachte sie das Gelände an eine Bieler Gesellschaft. Diese vermarkte den Obstbrand, den sie aus den dort geernteten Früchten gewinne, unter dem Namen "Damascino" und akzeptiere, dass "Damassine" nur im Kanton Jura produziert werden könne.
Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin ist das Vorbringen der Beschwerdegegnerin nicht als Novum aus dem Recht zu weisen, auch wenn hievon bei der Vorinstanz keine Rede war oder sich die angebliche neue Situation gar erst nach Ergehen des angefochtenen Entscheids ergeben hat. Die Eintretensvoraussetzungen sind zum einen von Amtes wegen festzustellen (vgl. Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 134 IV 36 E. 1 Ingress S. 37 mit Hinweis). Zum anderen muss die Beschwerdebefugnis auch noch im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Entscheids gegeben sein (vgl. BGE 133 II 81 E. 3 S. 84; Urteile 2C_423/ 2007 vom 27. September 2007 E. 2 und 2C_289/2009 vom 9. September 2009 E. 2.1). Deswegen stehen weder Art. 99 Abs. 1 noch Art. 105 Abs. 1 BGG der Berücksichtigung des neuen Vorbringens der Beschwerdegegnerin entgegen. Dieses dient zur Beurteilung der Frage, ob die Beschwerdeführerin noch ein aktuelles Interesse an der Behandlung der Rechtssache durch das Bundesgericht hat.
Selbst wenn von den Ausführungen der Beschwerdegegnerin ausgegangen wird, ist die Beschwerdeführerin immerhin Eigentümerin der Damassinier-Plantage geblieben. Deshalb ist nicht ausgeschlossen, dass sie ihre frühere Obstbrandproduktion wieder aufnimmt. Es kann ihr nicht zum Nachteil gereichen, dass sie mit Blick auf die für sie negativen Entscheide der Vorinstanzen einstweilen anderweitig disponiert hat (vgl. auch Urteil 2C_386/2008 vom 31. Oktober 2008 E. 1.2). Ausserdem bietet sie bis jetzt Obstbrand aus ihrer Eigenproduktion als "Damassine" auf dem Markt an. Demzufolge besteht ein aktuelles Interesse an der Beschwerdeführung fort. Ob mit Blick auf die absolute Wirkung der Eintragung einer Ursprungsbezeichnung bereits genügt, dass der Beschwerdeführer wie bei der Anfechtung eines kantonalen Erlasses virtuell - d.h. mit einer minimalen Wahrscheinlichkeit früher oder später einmal unmittelbar (vgl. BGE 135 II 243 E. 1.2 S. 246 f.; 133 I 206 E. 2.1 S. 210) - besonders berührt ist, kann hier offen gelassen werden.
3. Das Bundesgericht prüft - vorbehältlich offensichtlicher Mängel - nur die in seinem Verfahren hinreichend geltend gemachten Rechtsverletzungen (vgl. Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG; BGE 135 III 397 E. 1.4 S. 400 f. mit Hinweis). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Deren Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt bzw. von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 1 und 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substantiiert vorzubringen. Appellatorische Kritik und die blosse Gegenüberstellung der eigenen Sichtweise genügen nicht (Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.).
4. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, die Bezeichnung "Damassine" könne nicht als geschützte Ursprungsbezeichnung für einen Obstbrand eingetragen werden (vgl. Hauptbegehren). Falls eine solche Eintragung doch möglich sein sollte, bestreitet sie, dass nur der Kanton Jura bzw. die dortigen Produzenten in den Genuss dieser geschützten Ursprungsbezeichnung kommen können; auch die Produzenten anderer Kantone des Juragebiets und vor allem sie selber sollten davon profitieren können (vgl. Eventualbegehren).
5. 5.1 Im Interesse der Glaubwürdigkeit und zur Förderung von Qualität und Absatz kann der Bundesrat gemäss Art. 14 Abs. 1 lit. d des Bundesgesetzes vom 29. April 1998 über die Landwirtschaft (Landwirtschaftsgesetz, LwG; SR 910.1) Vorschriften erlassen über die Kennzeichnung von landwirtschaftlichen Erzeugnissen und deren Verarbeitungsprodukten, die sich aufgrund ihrer Herkunft auszeichnen. Insoweit schafft der Bundesrat ein Register für Ursprungsbezeichnungen und geographische Angaben und regelt insbesondere die Eintragungsberechtigung, das Registrierungsverfahren und die Voraussetzungen für die Registrierung, darunter vor allem die Anforderungen an das Pflichtenheft (vgl. Art. 16 Abs. 1 und 2 LwG). Gattungsbezeichnungen dürfen nicht als Ursprungsbezeichnungen oder als geographische Angaben eingetragen werden (Art. 16 Abs. 3 Satz 2 LwG). Umgekehrt können einmal eingetragene Ursprungsbezeichnungen oder geographische Angaben nicht mehr zu Gattungsbezeichnungen werden (Art. 16 Abs. 3 Satz 1 LwG).
Wer Namen einer eingetragenen Ursprungsbezeichnung oder einer geographischen Angabe für gleiche oder gleichartige landwirtschaftliche Erzeugnisse oder deren Verarbeitungsprodukte verwendet, muss das erwähnte Pflichtenheft erfüllen (Art. 16 Abs. 6 Satz 1 LwG). Eingetragene Ursprungsbezeichnungen und geographische Angaben sind insbesondere geschützt gegen jede Anmassung, Nachmachung oder Nachahmung sowie gegen jede kommerzielle Verwendung für andere Erzeugnisse, durch die der Ruf geschützter Bezeichnungen ausgenutzt wird (Art. 16 Abs. 7 LwG). Wer diese widerrechtlich verwendet, wird auf Antrag mit Freiheitsstrafe bis zu einem Jahr oder Geldstrafe bestraft; wer gewerbsmässig handelt wird von Amtes wegen verfolgt, wobei die Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahre betragen kann (Art. 172 LwG).
5.2 Gestützt auf die erwähnten Bestimmungen des Landwirtschaftsgesetzes hat der Bundesrat am 28. Mai 1997 die Verordnung über den Schutz von Ursprungsbezeichnungen und geographischen Angaben für landwirtschaftliche Erzeugnisse und verarbeitete landwirtschaftliche Erzeugnisse (GUB/GGA-Verordnung; SR 910.12) erlassen. Die Änderungen vom 14. November 2007 (AS 2007 6109), welche am 1. Januar 2008 in Kraft getreten sind, gelten hier gemäss der Übergangsbestimmung des Art. 23 GUB/GGA-Verordnung auch schon, da das Verfahren noch hängig bzw. nicht rechtskräftig abgeschlossen ist.
5.2.1 Gemäss Art. 2 Abs. 1 GUB/GGA-Verordnung kann als Ursprungsbezeichnung der Name einer Gegend, eines Ortes oder in Ausnahmefällen eines Landes eingetragen werden, der dazu dient, ein landwirtschaftliches Erzeugnis oder ein verarbeitetes landwirtschaftliches Erzeugnis zu bezeichnen, das aus der entsprechenden Gegend, dem entsprechenden Ort oder Land stammt (lit. a), seine Qualität oder seine Eigenschaften überwiegend oder ausschliesslich den geographischen Verhältnissen einschliesslich der natürlichen und menschlichen Einflüsse verdankt (lit. b) und in einem begrenzten geographischen Gebiet erzeugt, verarbeitet und veredelt wurde (lit. c). Nach Art. 2 Abs. 2 GUB/GGA-Verordnung können auch traditionelle Bezeichnungen für landwirtschaftliche Erzeugnisse oder verarbeitete landwirtschaftliche Erzeugnisse, welche die Voraussetzungen nach Art. 2 Abs. 1 erfüllen, als Ursprungsbezeichnungen eingetragen werden (zu Letzterem s. Näheres in nachfolgender E. 6.3).
5.2.2 Hingegen ist eine Gattungsbezeichnung nach Art. 16 Abs. 3 Satz 2 LwG bzw. Art. 4 Abs. 1 GUB/GGA-Verordnung nicht eintragungsfähig. Als solche gilt gemäss Art. 4 Abs. 2 GUB/GGA-Verordnung der Name eines Erzeugnisses, der sich zwar auf einen Ort oder eine Gegend bezieht, wo das betreffende Produkt ursprünglich hergestellt oder vermarktet wurde, der jedoch zur allgemein üblichen Bezeichnung für das Erzeugnis geworden ist (vgl. BGE 133 II 429 E. 9 S. 448; in der Literatur erwähnte Beispiele: Berliner, Hamburger, Frankfurter[-li], Meringue [in Bezug auf Meiringen], bengalische Zündhölzer, Camembert, Savon de Marseille, Eau de Cologne; vgl. ANDREA E. FLURY, Grundprobleme des Rechts der geografischen Herkunftsbezeichnungen, 2003, S. 219 ff.; LORENZ HIRT, Der Schutz schweizerischer Herkunftsangaben, 2003, S. 28 ff.; STÉPHANE BOISSEAUX/DOMINIQUE BARJOLLE, La Bataille des A.O.C. en Suisse, 2004, S. 34; J. DAVID MEISSER/ DAVID ASCHMANN, Herkunftsangaben und andere geographische Bezeichnungen, in: von Büren/David [Hrsg.], Schweizerisches Immaterialgüter- und Wettbewerbsrecht, Bd. III/2, 2. Aufl. 2005, S. 167 f.; SIMON HOLZER, Geschützte Ursprungsbezeichnungen [GUB] und geschützte geographische Angaben [GGA] landwirtschaftlicher Erzeugnisse, 2005, S. 17 ff. und 259 ff.; ALFRED JUNG, Der Schutz von geographischen Herkunftsangaben im multi- und bilateralen europäischen Vertragsrecht sowie im EG-Recht, 1988, S. 20 ff.).
5.2.3 Ebenso wenig darf ein Name als Ursprungsbezeichnung eingetragen werden, wenn er dem Namen einer Pflanzensorte oder einer Tierrasse entspricht und die Konsumenten in Bezug auf den tatsächlichen Ursprung des Erzeugnisses irreführen kann (Art. 4b Abs. 1 GUB/ GGA-Verordnung). Etwas anderes gilt, wenn eine Täuschungsgefahr ausgeschlossen ist (s. nachfolgende E. 6.6).
5.2.4 Jede Gruppierung von Produzenten, die für ein Erzeugnis repräsentativ ist, kann beim Bundesamt für Landwirtschaft ein Gesuch um Eintragung einreichen (Art. 5 Abs. 1 GUB/GGA-Verordnung). Damit eine Gruppierung als repräsentativ gilt, müssen nach Art. 5 Abs. 1bis GUB/GGA-Verordnung ihre Mitglieder mindestens die Hälfte der Menge des Erzeugnisses herstellen, verarbeiten oder veredeln (lit. a); auch müssen mindestens 60% der Produzenten, 60% der Verarbeiter und 60% der Veredler des Erzeugnisses Mitglieder sein (lit. b); schliesslich ist der Nachweis zu erbringen, dass die Gruppierung nach demokratischen Grundsätzen organisiert ist (lit. c).
5.2.5 Derjenige, der ein Gesuch stellt, hat gemäss Art. 6 Abs. 1 GUB/ GGA-Verordnung auch nachzuweisen, dass die Eintragungsvoraussetzungen erfüllt sind. In Absatz 2 dieser Bestimmung wird spezifiziert, was das Gesuch "insbesondere" enthalten muss; dazu gehören der Nachweis, dass es sich bei der einzutragenden Bezeichnung nicht um eine Gattungsbezeichnung handelt (lit. c), Angaben, aus denen sich ergibt, dass das Erzeugnis aus dem geographischen Gebiet nach Art. 2 oder 3 GUB/GGA-Verordnung stammt (lit. d) und Angaben zur "Herleitung der typischen Eigenschaften des Erzeugnisses aus den besonderen geographisch bedingten natürlichen und menschlichen Faktoren (Terroir)" (lit. e). Das beizulegende Pflichtenheft hat unter anderem Angaben zur Abgrenzung des geographischen Gebiets zu enthalten (vgl. Art. 6 Abs. 3 und Art. 7 Abs. 1 lit. b GUB/GGA-Verordnung).
5.2.6 Die direkte oder indirekte kommerzielle Verwendung einer geschützten Bezeichnung ist gemäss Art. 17 Abs. 1 GUB/GGA-Verordnung verboten unter anderem für vergleichbare Erzeugnisse, die das Pflichtenheft nicht erfüllen (lit. a). Diese Bestimmung gilt "insbesondere, wenn die geschützte Bezeichnung nachgeahmt wird oder angespielt wird" (Art. 17 Abs. 2 lit. a GUB/GGA-Verordnung).
6. 6.1 Sämtliche Beteiligten gehen davon aus, dass es sich bei "Damassine" nicht um den Namen einer Gegend oder eines Ortes handelt, der dazu dient, ein landwirtschaftliches Erzeugnis oder ein verarbeitetes landwirtschaftliches Erzeugnis zu bezeichnen (vgl. Art. 2 Abs. 1 GUB/ GGA-Verordnung). Wohl sind sich die Parteien einig, dass "Damassine" auf den Namen der Hauptstadt Syriens (Damaskus bzw. auf Französisch Damas) zurückzuführen ist. In der Schweiz wird heute jedoch kein derartiger Bezug mehr hergestellt; insbesondere wird nicht davon ausgegangen, dass unter "Damassine" Pflaumen, die bei Damaskus geerntet wurden, oder ein Obstbrand, der dort hergestellt wurde, zu verstehen ist.
6.2 Die Beschwerdeführerin meint denn auch, "Damassine" sei heute ein Zeichen des Gemeinguts. Dieses Wort stelle ein freihaltebedürftiges Zeichen bzw. eine gemeinfreie Inhaltsangabe und eine Gattungsbezeichnung dar. Die Durchsetzung zu einer traditionellen Bezeichnung mit geographischem Gehalt sei nicht nachgewiesen. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Bezeichnung "Damassine" stehe zunächst für die Pflaumensorte. Soweit darunter auch ein Obstbrand verstanden werde, sei damit nur ein Erzeugnis gemeint, das aus der gleichnamigen Frucht hergestellt werde. Ein geographischer Bezug allein zum Kanton Jura ergebe sich daraus jedoch nicht. Die Beschwerdeführerin bestreitet demnach, dass "Damassine" als traditionelle Bezeichnung im Sinne von Art. 2 Abs. 2 GUB/GGA-Verordnung gemäss dem Gesuch der Beschwerdegegnerin eingetragen werden könne.
6.3 Die traditionelle Bezeichnung im Sinne der soeben erwähnten Bestimmung ist eine besondere Form der Ursprungsbezeichnung oder der geographischen Angabe, die es erlaubt, landwirtschaftliche Erzeugnisse zu schützen, die aus einer bestimmten Gegend stammen, ohne dass das Produkt den Namen dieser Gegend enthält. Dazu müssen die zu schützende Bezeichnung und das damit gemeinte Erzeugnis aber einen engen Bezug zu dieser Region oder Ortschaft aufweisen, der durch steten Gebrauch während einer gewissen Zeit hergestellt wurde. Die Produktbezeichnung muss so bekannt sein, dass sie sich als indirekter Hinweis auf die betreffende Region oder den betreffenden Ort etabliert hat und entsprechend wahrgenommen wird. Im Übrigen gelten die gleichen Bedingungen wie für die Ursprungsbezeichnung im Sinne von Art. 2 Abs. 1 GUB/GGA-Verordnung. Demnach muss ein Zusammenhang (lien au terroir; s. auch Art. 6 Abs. 2 lit. e GUB/GGA-Verordnung) zwischen den geographischen Verhältnissen - d.h. den natürlichen und menschlichen Einflüssen - und dem dort hergestellten Erzeugnis bestehen. Die besondere Qualität oder besonderen Eigenschaften des zu schützenden Produkts müssen von den traditionellen menschlichen und natürlichen Einflüssen in der betreffenden Region herrühren (vgl. BGE 133 II 429 E. 6.4, 6.5, 7.2 und 7.3 S. 438 ff. mit Hinweisen; DOMINIQUE BARJOLLE/STÉPHANE BOISSEAUX/ MARTINE DUFOUR, Le lien au terroir, Institut d'économie rurale 1998, S. 6 ff.; LORENZ HIRT, a.a.O., S. 115 ff. und 135; MEISSER/ASCHMANN, a.a.O., S. 300 f.; SIMON HOLZER, a.a.O., S. 255 f.).
Als Beispiele für in der Schweiz inzwischen als Ursprungsbezeichnungen eingetragene traditionelle Bezeichnungen sind zu nennen: "Sbrinz" für einen Käse aus der Innerschweiz (Kantone Luzern, Schwyz, Ob- und Nidwalden, Zug sowie Teile der Kantone Aargau und Bern), "Tête de Moine" für einen Käse aus Teilgebieten der Kantone Bern und Jura, "Boutefas" für eine Wurst aus dem Kanton Waadt, "Abricotine" für einen Obstbrand aus dem Kanton Wallis und neuerdings "Poire à Botzi" für eine Birnensorte (Kleine Büschelbirne bzw. Büschelibirne, petite poire à grappe) aus dem Kanton Freiburg, Teilen des Kantons Waadt und zwei bernischen Exklaven.
Als Beispiele für in der Schweiz inzwischen als Ursprungsbezeichnungen eingetragene traditionelle Bezeichnungen sind zu nennen: "Sbrinz" für einen Käse aus der Innerschweiz (Kantone Luzern, Schwyz, Ob- und Nidwalden, Zug sowie Teile der Kantone Aargau und Bern), "Tête de Moine" für einen Käse aus Teilgebieten der Kantone Bern und Jura, "Boutefas" für eine Wurst aus dem Kanton Waadt, "Abricotine" für einen Obstbrand aus dem Kanton Wallis und neuerdings "Poire à Botzi" für eine Birnensorte (Kleine Büschelbirne bzw. Büschelibirne, petite poire à grappe) aus dem Kanton Freiburg, Teilen des Kantons Waadt und zwei bernischen Exklaven.
6.4 6.4.1 Dass "Damassine" wie erwähnt einen geographischen Namensbestandteil enthält (Damaskus), der nicht mit der Gegend identisch ist, für welche die Beschwerdegegnerin den Schutz beantragt (Kanton Jura), ist kein Eintragungshindernis (vgl. BGE 133 II 429 E. 6.4 S. 439 mit Hinweisen). Die Vorinstanzen gelangen zum Schluss, "Damassine" könne als traditionelle Bezeichnung für eine bestimmte Art von Obstbrand gemäss Art. 2 Abs. 2 GUB/GGA-Verordnung eingetragen werden. Sie beschreiben die geographischen Bedingungen und menschlichen Einflüsse, namentlich den "lien au terroir", in Bezug auf das zu schützende Erzeugnis. Dadurch legen sie dar, dass und warum sich dieses von anderen Obstbränden unterscheidet und als traditionelles Produkt aus den Bezirken Ajoie, Delémont (Delsberg) und Franches-Montagnes (Freiberge) und damit allein aus dem Kanton Jura, der sich aus diesen drei Bezirken zusammensetzt, zu verstehen ist. Die dortige Produktion reicht weit über die Mitte des 20. Jahrhunderts zurück. Der Vorinstanz zufolge hat die Beschwerdegegnerin auch den Nachweis erbracht, dass "Damassine" nicht zu einer Gattungsbezeichnung (vgl. E. 5.2.2 hievor) geworden ist.
6.4.2 Fehl geht somit der nicht weiter substantiierte Einwand der Beschwerdeführerin (vgl. auch E. 3 hievor), dass weder nachgewiesen noch geprüft worden sei, dass sich "Damassine" zu einem Hinweis auf den Kanton Jura durchgesetzt habe. Insbesondere hat sich das Bundesverwaltungsgericht entgegen ihrer Auffassung nicht lediglich damit befasst, ob "Damassine" zu einer blossen Gattungsbezeichnung "degeneriert" sei. Die Beschwerdeführerin wendet zwar zusätzlich ein, das Herstellungsverfahren sei "völlig banal" für den Bereich der Obstbrandproduktion. Damit meint sie offenbar, dass jeder Obstbrand oder ein Grossteil davon auf die gleiche Art und Weise hergestellt wird wie das hier interessierende Erzeugnis. Zur Unterlegung ihrer Behauptung führt sie aber nur einige Herstellungsschritte an; es würden reife Früchte aufgelesen, nicht zerquetscht, nicht entsteint und anschliessend mit einem "normalen" Brennverfahren destilliert. Sie befasst sich hingegen nicht mit sämtlichen Anforderungen - unter anderem betreffend die Fruchtsorte, ihre Ernte und Auswahl -, welche im Pflichtenheft der Beschwerdegegnerin detailliert dargelegt und durchaus für die Annahme einer traditionellen Herstellungsweise geeignet sind. Mithin ist auch nicht ersichtlich, warum die Vorinstanz wegen des Produktionsverfahrens einen von der Beschwerdeführerin benannten Zeugen hätte anhören müssen bzw. durch den Verzicht darauf Verfahrensrecht verletzt haben soll.
6.4.3 Dass sowohl eine Pflanzensorte als auch ein landwirtschaftliches Produkt den gleichen Namen tragen, bedeutet entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin nicht, es könne sich deshalb keine Ursprungs- oder traditionelle Bezeichnung für das letztgenannte Erzeugnis bilden. Eine andere Frage ist, ob dieses dann entsprechend in das eidgenössische Register eingetragen werden darf (dazu nachfolgende E. 6.6).
6.4.4 Möglicherweise herrschen im Anbaugebiet der Beschwerdeführerin - Le Landeron am Bielersee - gleiche oder ähnliche klimatische und pedologische Bedingungen wie im Kanton Jura. Das heisst aber noch nicht, dass der Obstbrand "Damassine" am Bielersee verbreitet ist, geschweige denn eine Tradition hat bzw. dass diese Region als ein traditionelles Ursprungsgebiet dieses Produktes anzusehen ist (vgl. auch Barjolle/Boisseaux/Dufour, Le lien au terroir, a.a.O., S. 27). Das behauptet nicht einmal die Beschwerdeführerin. Das bedeutet umgekehrt jedoch auch nicht, dass "Damassine" zu einer Gattungsbezeichnung geworden ist. Die Damassine-Bäume der Beschwerdeführerin wurden erst vor knapp zwanzig Jahren gepflanzt. Dabei wurde zudem nach einem anderen Verfahren (in vitro) vorgegangen wie traditionell im Kanton Jura, wo Damassine-Bäume "wild" wachsen oder durch Veredelung (greffage) herangezüchtet werden, wie es deshalb auch in das Pflichtenheft für die AOC Damassine aufgenommen wurde (dort Art. 6 ff.; vgl. Boisseaux/Barjolle, La bataille des A.O.C. en Suisse, a.a.O., S. 58).
6.4.5 Es ist nicht ausgeschlossen, dass die interessierende Pflaumensorte bzw. Damassine-Bäume auch andernorts ausserhalb des Kantons Jura zu finden sind. Daraus ist aber nicht bereits zu folgern, dass dort gleichfalls traditionell ein vergleichbarer Obstbrand mit dem Namen "Damassine" hergestellt wird. Letzteres erklärt die Beschwerdeführerin auch selber nicht. Vielmehr begnügt sie sich mit der Aussage, die Obstsorte komme in anderen Kantonen und Ländern genauso vor; dort bestünde auch ein Interesse, aus der Frucht Obstbrand herzustellen. Den Damassinier-Besitzern ausserhalb des Kantons Jura wird durch die Registrierung jedoch nicht das Recht abgesprochen, aus ihren Früchten Obstband herzustellen. Sie dürfen für ihr Erzeugnis nur nicht den Begriff "Damassine" verwenden. Im Übrigen oblag es in erster Linie den jeweiligen Produzenten der betroffenen Regionen, ihren Standpunkt spätestens im Rahmen des Einspracheverfahrens nach Art. 10 GUB/GGA-Verordnung geltend zu machen und die Rechtssache anschliessend allenfalls weiterzuziehen. Unterlassen sie das, ist es nicht am Bundesgericht, von Amtes wegen zu prüfen, ob sich die traditionnelle Bezeichnung möglicherweise auch auf Gebiete erstrecken könnte, die nicht mit der Region identisch ist, in welcher die Beschwerdeführerin ihre Produktion bzw. Plantagen hat.
6.4.6 Die Beschwerdeführerin rügt, die von der Beschwerdegegnerin in Auftrag gegebene Meinungsumfrage leide namentlich wegen des "Verwirrspiels" mit dem Begriff Jura an gravierenden Mängeln. Es stimmt, dass der Begriff "Jura" sowohl für den Kanton als auch den gleichnamigen Bergzug, der sich über diesen Kanton und weitere Kantone erstreckt, verwendet wird. Das räumt auch die Vorinstanz ein. Allerdings ging es bei dieser Meinungsumfrage allein darum, ob sich der Begriff "Damassine" zu einer Gattungsbezeichnung im Sinne von Art. 4 GUB/GGA-Verordnung gewandelt hat. Die Meinungsumfrage ergab, dass das nicht der Fall ist: Sofern die befragten Personen überhaupt etwas mit dem interessierenden Begriff anzufangen wussten, verstand die überwiegende Mehrheit darunter einen bestimmten Obstbrand aus dem Jura bzw. Kanton Jura und nicht bloss einen an einem beliebigen Ort hergestellten Schnaps, der seinen Namen nur von der dabei verwendeten Pflaumensorte ableitet. Die Vorinstanz stützt sich zudem auf weitere Dokumente und Feststellungen. Deshalb geht auch der Einwand fehl, sie habe nur auf das erwähnte "Privatgutachten" abgestellt und damit ihre Pflicht zur objektiven Sachverhaltsfeststellung verletzt. Im Übrigen zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf und ist ebenso wenig ersichtlich, dass die Meinungsumfrage in parteiischer Weise durchgeführt wurde. Der Schluss der Vorinstanz, "Damassine" sei nicht zu einer allgemein üblichen Bezeichnung für einen Obstbrand geworden, beruht nicht auf offensichtlich falschen Sachverhaltsfeststellungen.
6.5 In der Anlage 2 des Anhangs 8 (mit dem Titel: Über die gegenseitige Anerkennung und den Schutz der Bezeichnungen im Sektor Spirituosen und aromatisierte weinhaltige Getränke) des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Europäischen Gemeinschaft (EG) über den Handel mit landwirtschaftlichen Erzeugnissen (SR 0.916.026.81) werden "Damassine d'Ajoie" und "Damassine de la Baroche" - Baroche ist ein Teilgebiet bzw. neuerdings eine Gemeinde der Ajoie - als geschützte Bezeichnungen mit Ursprung in der Schweiz erwähnt. Zur Klarstellung ist festzuhalten, dass es sich dabei nicht um Bezeichnungen handelt, die im Inland bereits nach der GUB/GGA-Verordnung geschützt bzw. registriert sind, sondern nur um solche, deren Schutz sich die Schweiz im Verhältnis zur EG ausbedungen hat (vgl. Art. 4 des erwähnten Anhangs 8). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin kann daraus jedoch nicht im Umkehrschluss gefolgert werden, dass es sich bei "Damassine" ohne zusätzliche geographische Angabe um eine Gattungsbezeichnung für einen Obstbrand handelt. In der zitierten Anlage zum Abkommen wurde im Übrigen auch "Abricotine" mit dem Zusatz "du Valais" aufgeführt, obwohl nunmehr im Inland der blosse Begriff "Abricotine" ohne weitere Ortsangabe als traditionelle Bezeichnung geschützt ist.
6.6 Die Beschwerdeführerin macht geltend, "Damassine" sei der Name einer Fruchtsorte. Damit beruft sie sich offenbar auch auf den seit 1. Januar 2008 geltenden Art. 4b GUB/GGA-Verordnung, wonach der Name einer Pflanzensorte grundsätzlich nicht als Ursprungsbezeichnung eingetragen werden darf, wenn die Konsumenten in Bezug auf den tatsächlichen Ursprung des Erzeugnisses irregeführt werden können (Abs. 1). Allerdings ist gemäss Absatz 2 dieser Bestimmung eine Täuschungsgefahr "insbesondere ausgeschlossen", wenn die Bezeichnung gleich lautet wie eine örtliche Pflanzensorte oder Tierrasse, die ihr Ursprungsgebiet nicht verlassen hat, oder wenn der Name der Pflanzensorte oder Tierrasse geändert werden kann (vgl. die Umbenennung in Frankreich der Rinderrasse Maine-Anjou in "Rouge des Prés" anlässlich der Bewilligung der AOC Maine-Anjou für aus dieser Tierrasse produziertes Fleisch in den Jahren 2003/2004).
Diese Regelung schliesst nicht von vornherein aus, dass für das zu schützende Erzeugnis und die Pflanzensorte der gleiche Name verwendet wird. Art. 4b GUB/GGA-Verordnung will bloss einer Irreführung der Konsumenten vorbeugen. Es ist zweifelhaft, ob eine solche Täuschungsgefahr besteht, wenn es - wie hier - um ein Erzeugnis mit traditioneller Bezeichnung geht, das ausschliesslich aus der gleichnamigen Frucht hergestellt wird. Es fragt sich insoweit, worin die Gefahr liegen kann, dass die Konsumenten in Bezug auf den tatsächlichen Ursprung des Erzeugnisses irregeführt werden. Eine Täuschungsgefahr käme wohl eher in Betracht, wenn überhaupt kein Zusammenhang bestünde zwischen dem Obstbrand und der Fruchtsorte, die den gleichen Namen trägt. Diese Frage braucht vorliegend jedoch nicht definitiv beantwortet zu werden.
Die Vorinstanz stellt nämlich fest, dass "Damassine" bis heute nicht im Sortenregister als rechtlich geschützte Bezeichnung für eine Obstsorte eingetragen ist. Die als "Damassine" bezeichnete Frucht wird auf Französisch auch "prune de Damas", "damas rouge", "damas" sowie neuerdings "damasson rouge" und im jurassischen Patois "lai damè" genannt. Auf Deutsch sind die Ausdrücke "Damaszenerpflaume" und "Damas-Pflaume" geläufig. Mithin ist eine Verwendung dieser anderen Bezeichnungen für die Frucht möglich, wodurch eine Verwechslung zwischen dem Namen der Frucht und demjenigen des Obstbrandes verhindert werden kann. Ausserdem ist die interessierende Pflaumensorte, da schlecht konservierbar, im Handel kaum verbreitet. Verkauft wird vor allem der gleichnamige Obstbrand, manchmal sogar mit einem anderen Namen (z.B. "prune"). Deshalb erscheint die von Art. 4b Abs. 1 GUB/GGA-Verordnung beabsichtigte Verhinderung von Täuschungen gewährleistet. Absatz 2 dieser Bestimmung führt ohnehin nur beispielhaft auf, wie Täuschungen ausgeschlossen werden können (vgl. die Partikel "insbesondere").
6.7 Die Beschwerdeführerin rügt schliesslich, Art. 82 Abs. 4 der Verordnung des EDI vom 23. November 2005 über alkoholische Getränke (SR 817.022.110) stünde der Eintragung von "Damassine" als geschützte Ursprungsbezeichnung entgegen. "Damassine" sei deshalb ein freihaltebedürftiges Zeichen.
Gemäss der soeben erwähnten Vorschrift wird Obstbrand unter Voranstellung des Namens der verwendeten Frucht als "-brand" oder "-wasser" bezeichnet (z.B. "Mirabellenbrand" oder "Mirabellenwasser", "Zwetschgenbrand" oder "Zwetschgenwasser" bzw. auf Französisch "eau-de-vie de mirabelles" und "eau-de-vie de prunes" und auf Italienisch "acquavite di mirabelle" oder "acqua di mirabelle", "acquavite di prugne" oder "acqua di prugne"). Die Beschwerdeführerin meint sinngemäss, dieser Verpflichtung könnten Produzenten von ausserhalb des Kantons Jura sowie jurassische Produzenten, die sich nicht an das Pflichtenheft der Beschwerdegegnerin halten, nicht nachkommen, wenn "Damassine" entsprechend dem Antrag der Letzteren eingetragen würde. Denn die direkte oder indirekte kommerzielle Verwendung einer geschützten Bezeichnung für vergleichbare Erzeugnisse, die das Pflichtenheft nicht erfüllen, sei verboten (vgl. Art. 172 LwG und Art. 17 GUB/GGA-Verordnung).
Wie die Vorinstanz richtig bemerkt, greift der Einwand der Beschwerdeführerin nicht. Die Produzenten, die nicht einen dem Pflichtenheft entsprechenden Obstbrand herstellen, können bei Benutzung der Damassine-Frucht ohne weiteres einen anderen Fruchtnamen, der zur Verfügung steht (s. E. 6.6 hievor), benutzen, um ihrer Verpflichtung nach Art. 82 Abs. 4 der erwähnten Verordnung des EDI nachzukommen. Dadurch stehen sie auch nicht in Konflikt mit Art. 17 GUB/GGA-Verordnung und Art. 172 LwG. Die Beschwerdegegnerin hat selber eingeräumt bzw. angeregt, dass für die Frucht namentlich die Bezeichnung "damasson rouge" verwendet werden kann.
6.8 Soweit die Beschwerdeführerin hilfsweise beantragt, das geographische Gebiet der geschützten Bezeichnung auf den Neuenburger Jura einschliesslich von Cressier und Le Landeron auszuweiten, hat sie in keiner Weise dargelegt, dass insoweit die Voraussetzungen erfüllt wären (s. auch E. 6.4.4 hievor) bzw. dass die Vorinstanz diesbezügliches Vorbringen zu Unrecht ignoriert oder falsch gewürdigt hätte. Müssen die Antragsteller einer Registrierung namentlich nachweisen, dass die zu schützende Bezeichnung in dem im Pflichtenheft festgelegten Gebiet traditionell ist, so muss umgekehrt derjenige, der den gleichen Schutz für eine andere Region begehrt, den Nachweis erbringen, dass dort ebenfalls eine gleichartige Tradition besteht.
7. Nach dem Dargelegten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist daher abzuweisen. Diesem Ausgang entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 f. BGG). Darüber hinaus hat sie der Beschwerdegegnerin gemäss Art. 68 BGG eine Parteientschädigung zu leisten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung von Fr. 5'000.-- auszurichten.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Februar 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Merz