Sachverhalt:
A. Die 1972 geborene K._, verheiratet und Mutter zweier Kinder, war als Allrounderin in einem hälftigen Pensum im Gasthaus X._, tätig und dadurch bei der Elvia Schweizerische Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Elvia) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 19. März 2000 einen Verkehrsunfall erlitt. Nach eigener Angabe verlor sie wegen eines plötzlichen Unwohlseins mit Blackout die Herrschaft über den von ihr mit einer Geschwindigkeit von ca. 80 km/h gelenkten Mazda 626. Dieser geriet ins Schleudern, kam von der Strasse ab, prallte gegen einen Drahtgitterzaun, überschlug sich seitlich und kam auf dem Dach liegend im angrenzenden Wiesland zum Stillstand. K._ konnte das Fahrzeug selber verlassen. Sie wurde mit der Ambulanz ins Kantonsspital Luzern überführt, wo eine Commotio cerebri sowie eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt wurden. Am 21. März 2000 wurde K._ aus dem Spital entlassen. Die Elvia und - als ihre Rechtsnachfolgerin - die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) erbrachten die gesetzlichen Leistungen. Nach medizinischen Abklärungen (u.a. Einholung eines polydisziplinären Gutachtens des Begutachtungsinstituts Z._, vom 15. März 2005) eröffnete die Allianz der Versicherten mit Verfügung vom 9. Mai 2005, das Taggeld werde auf den 31. Oktober 2003 und die Heilbehandlung auf den 31. Mai 2004 eingestellt; die seit dem 1. November 2003 zu Unrecht erbrachten Pflegeleistungen und Kostenvergütungen würden vom Krankenversicherer zurückgefordert. Im Weiteren verneinte die Allianz einen Anspruch auf eine Invalidenrente der Unfallversicherung. Zur Begründung führte sie aus, die noch bestehenden Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang mit dem Unfall vom 19. März 2000. Die von K._ hiegegen erhobene Einsprache auf Zusprechung weiterer Taggeld- und Heilbehandlungsleistungen sowie einer Invalidenrente und einer Integritätsentschädigung wies die Allianz ab (Einspracheentscheid vom 9. Januar 2006).
B. K._ reichte gegen den Einspracheentscheid Beschwerde ein, welche das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 31. August 2007 abwies.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt K._ beantragen, in Aufhebung von Einsprache- und vorinstanzlichem Entscheid seien die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen. Insbesondere seien die Taggelder ab 31. Oktober 2003 auszurichten und die Heilbehandlung seit 31. März 2004 zu gewähren und seien die Versicherungsleistungen für Pflege und Kostenvergütung weiter zu erbringen. Im Weiteren sei eine Invalidenrente aufgrund einer vollen Invalidität und eine Integritätsentschädigung zuzusprechen.
Die Allianz schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Den Parteien wurde die Gelegenheit eingeräumt, ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109 zu ergänzen. Davon macht die Allianz mit Eingabe vom 21. April 2008 Gebrauch.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht einen Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung aus dem Verkehrsunfall vom 19. März 2000 über den 31. Oktober 2003 resp. 31. Mai 2004 hinaus zu Recht verneint hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im Einsprache- und im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Dies gilt namentlich in Bezug auf die von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätze zu dem für einen Leistungsanspruch nebst anderem erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden, insbesondere auch bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall sowie nach der sog. Schleudertrauma-Praxis, welche bei nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen Schleudertraumen, äquivalenten Verletzungen der HWS und Schädel-Hirntraumen zur Anwendung gelangt. Darauf wird verwiesen.
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (BGE 134 V 109 E. 9 und 10 S. 121 ff.). Die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze liess das Bundesgericht hingegen unverändert bestehen (BGE 134 V 109 E. 6.1 S. 116).
2. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, dass keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vorliege, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchte. Namentlich stelle auch das diagnostizierte Cervicalsyndrom in Form einer Verspannung der paravertebralen Muskulatur keine solche Unfallfolge dar. Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten sowie im Lichte der im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegten Praxis richtig und auch nicht umstritten.
Demnach kann der adäquate Kausalzusammenhang nicht ohne weiteres mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden, wie dies bei klar nachgewiesenen organischen Unfallfolgen in der Regel der Fall ist. Es bedarf vielmehr einer besonderen Adäquanzprüfung (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112, 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen).
3. Unfallversicherer und Vorinstanz haben eine Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs vorgenommen und diesen verneint. Die Beschwerdeführerin lässt in diesem Zusammenhang zunächst einwenden, die Adäquanz sei zu früh beurteilt worden.
3.1 In BGE 134 V 109 hat sich das Bundesgericht auch kritisch mit dem verschiedentlich erhobenen Einwand auseinandergesetzt, mit der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhanges bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden müsse bis zur Beendigung des normalen, unfallbedingten Heilungsprozesses zugewartet werden. Es hat in Präzisierung der Rechtsprechung erkannt, dass nicht danach zu fragen ist, in welchem Zeitpunkt die Adäquanzprüfung vorzunehmen ist, sondern wann der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat. Dies hat gestützt auf Art. 19 Abs. 1 UVG in dem Zeitpunkt zu geschehen, in welchem von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung (IV) abgeschlossen sind. Das Bundesgericht hat klargestellt, der Fallabschluss dürfe nicht mit der Begründung, der adäquate Kausalzusammenhang könne noch nicht geprüft werden, über diesen Zeitpunkt hinausgezögert werden (BGE 134 V 109 E. 3 und 4 S. 112 ff.).
Aus dem Gesagten erhellt, dass der von der Allianz vorgenommene Fallabschluss nicht mit der Begründung der verfrühten Adäquanzprüfung für unrechtmässig erklärt werden kann. Massgeblich ist, ob von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung über den genannten Zeitpunkt hinaus noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden konnte und ob allfällige Eingliederungsmassnahmen der IV abgeschlossen waren. Dies gilt es zu prüfen.
3.2 Eingliederungsmassnahmen der IV stehen nicht zur Diskussion. Vielmehr erhielt die Beschwerdeführerin nach Lage der Akten bereits mit Wirkung ab 1. März 2001 eine ganze Rente der IV zugesprochen.
Es lässt sich sodann zuverlässig ausschliessen, dass von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung über die erfolgte Leistungseinstellung hinaus, mithin mehrere Jahre nach dem Unfall, noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden konnte. Hieran vermögen sämtliche Vorbringen in der Beschwerde nichts zu ändern. Zu betonen ist, dass eine durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen müsste; ungenügende Verbesserungen genügen nicht (BGE 134 V 109 E. 4.3 S. 115 mit Hinweisen). Dass eine solche erhebliche Besserung noch zu erwarten war, ist aufgrund des gesundheitlichen Verlaufes bis dahin und der Aussagen in den ärztlichen Berichten zu verneinen. Sodann ist entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht entscheidend, ob im genannten Zeitpunkt der status quo ante vel sine erreicht war oder nicht.
3.3 Wenn die Allianz die vorübergehenden Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld) auf den 31. Oktober 2003 resp. 31. Mai 2004 eingestellt hat, ist dies nach dem Gesagten nicht zu beanstanden. Zu prüfen bleibt, ob ab diesem Zeitpunkt noch Unfallfolgen vorlagen, welche einen Anspruch auf weitere Leistungen der Unfallversicherung, insbesondere eine Invalidenrente, zu begründen vermögen. Unfallversicherer und Vorinstanz haben dies mit der Begründung, es fehle an der adäquaten Unfallkausalität der noch bestehenden Beschwerden, verneint. Das gilt es nachfolgend zu prüfen.
4. Dabei gehen die Meinungen in der Beantwortung der Frage auseinander, auf Grund welcher Rechtsprechung die Adäquanz zu prüfen sei. Während Allianz und kantonales Gericht die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze für massgeblich erachten, hält die Beschwerdeführerin die Schleudertrauma-Praxis für anwendbar.
Welche dieser Auffassungen zutrifft, muss indessen nicht abschliessend beurteilt werden. Denn der adäquate Kausalzusammenhang ist, wie nachfolgend gezeigt wird, auch nach der Schleudertrauma-Praxis zu verneinen.
Welche dieser Auffassungen zutrifft, muss indessen nicht abschliessend beurteilt werden. Denn der adäquate Kausalzusammenhang ist, wie nachfolgend gezeigt wird, auch nach der Schleudertrauma-Praxis zu verneinen.
4.1 4.1.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen, wobei zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird. Während der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel bei schweren Unfällen ohne Weiteres bejaht und bei leichten Unfällen verneint werden kann, lässt sich die Frage der Adäquanz bei Unfällen aus dem mittleren Bereich nicht aufgrund des Unfallgeschehens allein schlüssig beantworten. Es sind weitere, objektiv erfassbare Umstände, welche unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehen oder als direkte bzw. indirekte Folgen davon erscheinen, in eine Gesamtwürdigung einzubeziehen. Je nachdem, wo im mittleren Bereich der Unfall einzuordnen ist und abhängig davon, ob einzelne dieser Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sind, genügt zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs ein Kriterium oder müssen mehrere gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. mit Hinweisen).
Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften. Dieser Grundsatz, den das Bundesgericht jüngst in Bezug auf die Adäquanzbeurteilung bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall bestätigt hat (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07, E. 5.2 und 5.3.1), gilt auch bei Anwendung der Schleudertrauma-Praxis (Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.1).
4.1.2 Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 19. März 2000 im mittleren Bereich und dort nicht bei den schwereren Unfällen oder an der Grenze zu den schweren Unfällen eingeordnet. Bei dieser Qualifikation der Unfallschwere müssten für die Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs von den weiteren in die Beurteilung einzubeziehenden Kriterien entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffälliger Weise erfüllt sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6 S. 367 f.).
Gemäss der in der Beschwerde vertretenen Auffassung ist der Unfall dem Grenzbereich zu den schweren Unfällen zuzurechnen. Damit würde ein, nicht notwendigerweise in besonders ausgeprägter Weise erfülltes, Kriterium für die Bejahung der Adäquanz genügen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6b S. 367).
4.1.3 Die vorinstanzliche Beurteilung der Unfallschwere überzeugt. Gleich qualifiziert wurden in jüngerer Zeit verschiedene Autounfälle, die mit dem hier zu beurteilenden im Wesentlichen vergleichbar sind, jedenfalls nicht mit geringeren Krafteinwirkungen verbunden waren. Zu erwähnen sind etwa Unfälle, bei welchen das Fahrzeug mit der versicherten Person bei einem Überholmanöver mit ca. 100 km/h abrupt abgebremst wurde, dabei uns Schleudern geriet, gegen einen Strassenwall prallte, sich überschlug und auf der Fahrerseite zu liegen kam (Urteil 8C_169/2007 vom 5. Februar 2008, E. 4.2), einen Lastwagen beim Überholen touchierte und sich überschlug (Urteil 8C_743/2007 vom 14. Januar 2008, Sachverhalt und E. 3), von der Strasse abkam und sich überschlug (Urteil U 186/ und U 213/06 vom 29. Oktober 2007, Sachverhalt und E. 7.2), auf der Autobahn in einer Kurve ins Schleudern geriet, sich überschlug und auf dem Dach liegend zum Stillstand kam (Urteil U 258/06 vom 15. März 2007, Sachverhalt und E. 5.2) oder sich bei einer Geschwindigkeit von ca. 90 km/h auf einer Autobahn über eine Mittelleitplanke hinweg überschlug - wobei die versicherte Person hinausgeschleudert wurde - und mit Totalschaden auf der Gegenfahrfahrbahn auf dem Dach zu liegen kam (Urteil U 492/06 vom 16. Mai 2007, E. 4.2). Sodann wurde bei dem im Urteil U 161/01 vom 25. Februar 2003 (auszugsweise publiziert u.a. in BGE 129 V 323 und RKUV 2003 Nr. U 481 S. 203) geprüften Unfall, bei welchem sich das Auto wegen eines Reifenplatzers bei einer Geschwindigkeit von ca. 95 km/h auf der Autobahn überschlug und auf dem Dach liegen blieb, zwar von einem eher schwereren Unfall im mittleren Bereich gesprochen. Das Eidgenössische Versicherungsgericht (heute Teil des Bundesgerichts) qualifizierte das Ereignis aber im Ergebnis gleich, wie dies die Vorinstanz im hier zu beurteilenden Fall getan hat, verlangte es doch für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs, dass von den bei Unfällen im mittleren Bereich relevanten Kriterien entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter Weise erfüllt sein müssten (erwähntes Urteil, E. 3.3.2).
Sämtliche Vorbringen in der Beschwerde vermögen nicht, den Schluss auf die geltend gemachte Unfallschwere zu rechtfertigen. Nichts anderes ergibt sich auch aus den aufgelegten Fotos der Unfallstelle und des beschädigten Fahrzeuges.
4.2 Das kantonale Gericht hat, unter dem Gesichtspunkt einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall, zwei Adäquanzkriterien (Dauerschmerzen sowie Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit) als in nicht besonders ausgeprägter oder auffälliger Weise erfüllt betrachtet. Demgegenüber macht die Beschwerdeführerin geltend, sämtliche Kriterien im Sinne der früheren Schleudertrauma-Praxis seien, überwiegend in ausgeprägter Weise, gegeben. Zu den mit BGE 134 V 109 modifizierten Kriterien äussert sie sich nicht.
4.2.1 Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung klar zu verneinen sind vorab die durch BGE 134 V 109 nicht geänderten Kriterien:
Besonders dramatische Begleitumstände oder eine besondere Eindrücklichkeit des Unfalls liegen bei objektiver Betrachtungsweise nicht vor (vgl. Urteil U 258/06 vom 15. März 2007, E. 5.3). Die Versicherte macht im Übrigen ohnehin geltend, sie habe vor dem Unfall ein - diesen verursachendes - Blackout erlitten, womit sie das Unfallgeschehen gar nicht bewusst miterlebt hätte.
Die Voraussetzungen für die Annahme des Kriteriums der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen (vgl. BGE 134 V 109 E. 102.2 S. 127 f.) sind ebenfalls nicht erfüllt. Dass Prof. Dr. med. S._ als behandelnder Arzt eine andere Auffassung vertritt, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise.
Zur Begründung, weshalb eine relevante ärztliche Fehlbehandlung vorliegen soll, wird geltend gemacht, der Hausarzt habe während eines Jahres keine spezialärztlichen Abklärungen veranlasst. Dass dies oder eine andere ärztliche Handlung resp. Unterlassung die Unfallfolgen erheblich verschlimmert hat, ist indessen unwahrscheinlich.
Von einem schwierigen Heilungsverlauf und erheblichen Komplikationen kann ebenfalls nicht gesprochen werden. Der Verlauf nach dem Unfall hält sich im Rahmen des bei derartigen Verletzungen Üblichen. Besondere Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben, sind nicht erkennbar (vgl. SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81, U 479/05, E. 8.5; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.3.5 mit Hinweisen).
4.2.2 Auch das modifizierte Kriterium der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung (bisher: Dauer der ärztlichen Behandlung) kann nicht bejaht werden. Die im Wesentlichen erfolgte ambulante Physiotherapie, später Psychotherapie, nebst Medikation und ärztlichen Verlaufskontrollen, genügt nicht (vgl. Urteil 8C_500/2007 vom 16. Mai 2008, E. 5.4).
4.2.3 Das Kriterium der erheblichen Beschwerden (bisher: Dauerbeschwerden) kann mit Blick auf die glaubhaften Schmerzen und die Beeinträchtigung, welche die Versicherte dadurch im Lebensalltag, insbesondere auch bei der Tätigkeit im Haushalt erfährt, als erfüllt betrachtet werden (BGE 134 V 109 E. 10.2.4 S. 128). In besonders ausgeprägter Weise liegt es aber nicht vor.
Gleiches gilt für das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (bisher: Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit). Eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit ist zwar unstreitig gegeben. Es fehlt aber an überzeugenden Hinweisen, dass die Versicherte sich in besonderer Weise bemüht hat, die Arbeitsunfähigkeit zu überwinden. Zu verzeichnen sind im Wesentlichen zwei anfängliche Arbeitsversuche sowie die geltend gemachte Mitwirkung bei den Therapiemassnahmen.
4.2.4 Die adäquanzrelevanten Kriterien liegen somit weder gehäuft vor, noch ist eines besonders ausgeprägt gegeben. Es fehlt daher an einem rechtserheblichen Zusammenhang zwischen dem Unfall vom 19. März 2000 und den noch bestehenden Beschwerden. Das kantonale Gericht hat eine Leistungspflicht der Allianz hiefür demnach zu Recht verneint. An diesem Ergebnis vermögen sämtliche Vorbringen in der Beschwerde nichts zu ändern. Dies gilt auch, soweit die Durchführung weiterer medizinischer Sachverhaltsabklärungen verlangt wird, ist doch davon kein entscheidsrelevanter neuer Aufschluss zu erwarten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz