Sachverhalt:
A. In der Familiensache zwischen den geschiedenen Eheleuten Y._ und X._ betreffend Versorgungsausgleich änderte das Oberlandesgericht Koblenz (Deutschland) mit Beschluss vom 3. April 2008 den Beschluss des Amtsgerichts (Familiengericht) Trier vom 27. Juli 2005 dahingehend ab, dass es Y._ verpflichtete, ab April 2008 monatliche Beiträge in der Höhe von Euro 215.48 "für eine zugunsten der Antragstellerin abzuschliessende private Lebens- oder Rentenversicherung zu zahlen".
B. Gestützt auf das deutsche Urteil betrieb X._ Y._ mit Zahlungsbefehlen vom 16. September und 10. November 2009 für die Beträge von Fr. 2'737.-- nebst Zins zu 8.32 % seit 1. Februar 2009 bzw. Fr. 3'904.76 nebst Zins zu 8.32 % seit 3. April 2008 (Betreibungen Nr. 1 und Nr. 2 des Betreibungsamtes Sins). Nachdem Y._ Rechtsvorschlag erhoben hatte, beantragte X._ mit Klage vom 29. Januar 2010 beim Gerichtspräsidium Muri, der Beschluss des Oberlandesgerichts Koblenz (Deutschland) vom 3. April 2008 sei für vollstreckbar zu erklären, und ersuchte in den beiden Betreibungen um definitive Rechtsöffnung.
C. Der Gerichtspräsident von Muri entsprach den Begehren von X._ mit Ausnahme des Beginns des Zinsenlaufs. Mit Urteil vom 2. März 2010 erklärte er den Beschluss des Oberlandesgerichts Koblenz vom 3. April 2008 für vollstreckbar und erteilte der Beschwerdeführerin in den beiden Betreibungen die definitive Rechtsöffnung für die erwähnten Beträge nebst Zins zu 8.32 % seit 6. August 2009. Gegen dieses Urteil führte Y._ mit Eingabe vom 26. März 2010 erfolgreich Beschwerde vor dem Obergericht des Kantons Aargau. Dieses hob den erstinstanzlichen Entscheid mit Urteil vom 7. Juni 2010 abgesehen von der Vollstreckbarerklärung auf und erkannte auf Abweisung der beiden Rechtsöffnungsbegehren.
D. Mit Eingabe vom 7. Juli 2010 (Postaufgabe 8. Juli 2010) gelangt X._ (nachfolgend "Beschwerdeführerin") an das Bundesgericht. Sie stellt das Begehren, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 7. Juni 2010 aufzuheben, und beantragt sinngemäss die Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils. Überdies ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Mit Schreiben vom 22. August 2010 (Postaufgabe 25. August 2010) stellte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht "zur weiteren Beweisführung" zusätzliche Unterlagen zu.
Es wurden die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Unaufgefordert sandte Y._ (nachfolgend "Beschwerdegegner") dem Bundesgericht mit Schreiben vom 1. September 2010 (Postaufgabe 3. September 2010) einen Beschluss des Oberlandesgerichts Koblenz (Deutschland) vom 17. August 2010 ein.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 BGG) in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Die Beschwerdeführerin hat ihre Eingabe vom 7. Juli 2010 fristgerecht eingereicht (Art. 100 BGG). Ihr Schreiben vom 22. August 2010 sowie die dazugehörigen Unterlagen kann das Bundesgericht hingegen nicht berücksichtigen. Jede nach Ablauf der gesetzlichen Beschwerdefrist eingereichte Begründung ist unbeachtlich und wird aus den Akten gewiesen (Urteil 5A_349/2009 vom 23. Juni 2009 E. 2.2).
1.2 Unberücksichtigt bleiben muss auch der Beschluss des Oberlandesgerichts Koblenz (Deutschland) vom 17. August 2010, den der Beschwerdegegner freiwillig eingereicht hat. Dieser Beschluss ist als neue Tatsache anzusehen, die im vorliegenden Verfahren nicht berücksichtigt werden kann (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 133 III 393 E. 3 S. 395).
1.3 Die vorliegende Streitigkeit ist vermögensrechtlicher Natur und unterliegt grundsätzlich der Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Diese ist im vorliegenden Fall offensichtlich nicht erreicht. Eine gesetzlich vorgesehene Ausnahme vom Streitwerterfordernis (Art. 74 Abs. 2 BGG) ist nicht gegeben und wird auch nicht geltend gemacht. Soweit die Beschwerdeführerin Beschwerde in Zivilsachen erhebt, ist ihre Eingabe damit unzulässig.
1.4 Die Beschwerdeführerin erhebt zusammen mit der ordentlichen Beschwerde auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Auch auf diese tritt das Bundesgericht allerdings nur ein, wenn alle formellen Voraussetzungen erfüllt sind (vgl. BGE 134 III 379 E. 1.2 S. 382).
1.5 Die Beschwerdeführerin beantragt, das Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 7. Juni 2010 sei aufzuheben. Indessen ist auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde - wie die ordentliche Beschwerde - ein reformatorisches Rechtsmittel (Art. 117 i.V.m. Art. 107 Abs. 2 BGG). Daher darf sich die rechtssuchende Partei grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheides zu beantragen, sondern muss einen Antrag in der Sache stellen (Urteil 5D_85/2008 vom 3. Dezember 2008 E. 2; Urteil 4D_48/2007 vom 13. November 2007 E. 1.1). Sie hat demnach anzugeben, welche Punkte des Entscheids sie anficht und welche Abänderungen sie beantragt. Dazu ist grundsätzlich ein materieller Antrag erforderlich; ein Antrag auf blosse Aufhebung genügt nicht und macht die Beschwerde unzulässig (vgl. BGE 133 III 489 E. 3.1 S. 489 f.). Die Beschwerdeführerin stellt in formeller Hinsicht kein reformatorisches Rechtsbegehren. Ziffer 2 ihrer Anträge lautet aber wie folgt: "Das Urteil des Gerichtspräsidiums Muri vom 02.03.2010 hat in vollem Umfang Bestand." Zwar handelt es sich hierbei nicht um einen Antrag im Rechtssinne. Aus dieser Ziffer 2, die auf den erstinstanzlichen, zu Gunsten der Beschwerdeführerin ergangenen Rechtsöffnungsentscheid Bezug nimmt, ergibt sich aber wenigstens sinngemäss das Begehren vor Bundesgericht, es sei der Beschwerdeführerin die definitive Rechtsöffnung zu erteilen, so dass die Beschwerdeschrift den Anforderungen an das Rechtsbegehren gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG genügt.
1.6 In materieller Hinsicht kann mit einer subsidiären Verfassungsbeschwerde einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorgebracht werden (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG). Die rechtssuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (Rügeprinzip; BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 133 II 396 E. 3 S. 399 f.). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 117 Ia 10 E. 4b S. 11 f.). Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
2. 2.1 Wie sich aus dem angefochtenen Urteil ergibt, verweigerte die Vorinstanz der Beschwerdeführerin die definitive Rechtsöffnung mit der Begründung, der Urteilsformel des deutschen Entscheides vom 3. April 2008 lasse sich nicht mit der notwendigen Klarheit entnehmen, dass der Beschwerdegegner die streitigen Geldbeträge der Beschwerdeführerin direkt zu leisten hat. Die Vorinstanz weist darauf hin, dass die definitive Rechtsöffnung nur erteilt werden könne, wenn die Urteilsformel dem Gläubiger die in Betreibung gesetzte Forderung klar und für den Schuldner unmissverständlich zuspricht.
Die Beschwerdeführerin wendet sich hiergegen mit dem Vorwurf, das Obergericht des Kantons Aargau habe sie in ihren verfassungsmässigen Rechten verletzt und sich einen "willkürlichen Eingriff ... in das bereits in Deutschland rechtmässig abgeschlossene Verfahren" zuschulden kommen lassen. Nach Ansicht der Beschwerdeführerin folgt aus der Beschlussformel des deutschen Entscheides, dass sie die Gläubigerin und der Beschwerdegegner der Schuldner der Betreibungsforderung ist. Der Beschwerdegegner habe "eindeutig und unmissverständlich" an sie direkt monatliche Geldleistungen zu erbringen. In der Beschlussformel heisse es klar und deutlich, dass der Beschwerdegegner verpflichtet wird, den monatlichen Beitrag von Euro 215.48 "für" (und nicht "in" oder "an") eine zugunsten der Antragstellerin abzuschliessende private Lebens- oder Rentenversicherung zu zahlen. Überdies wisse der Beschwerdegegner, dass er die monatlichen Zahlungen direkt an sie zu leisten habe.
2.2 In Anbetracht der wiedergegebenen Ausführungen der Beschwerdeführerin erscheint fraglich, ob der eingereichte Schriftsatz den geschilderten Anforderungen an die Begründung einer Verfassungsbeschwerde überhaupt genügt. Zwar bezeichnet die Beschwerdeführerin das vorinstanzliche Urteil bzw. das Vorgehen des Obergerichts in ihrer Beschwerdeschrift als "willkürlich" und "rechtswidrig". Allein damit ist nach dem Gesagten (E. 1.6) aber grundsätzlich keine Verletzung des verfassungsmässigen Willkürverbots darzutun. Die Frage, ob dem Rügeprinzip (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG) Genüge getan ist, kann im vorliegenden Fall jedoch offen bleiben, da die Beschwerde in der Sache selbst ohnehin unbegründet ist.
2.3 Die Sichtweise der Vorinstanz, wonach sich aus der Formulierung des Beschlusses des Oberlandesgerichts Koblenz keine direkte Zahlungspflicht des Beschwerdegegners gegenüber der Beschwerdegegnerin ergibt, kann nicht als verfassungswidrig betrachtet werden. Die fragliche Stelle aus der Urteilsformel des umstrittenen Rechtsöffnungstitels lautet wie folgt:
"Der Antragsgegner wird verpflichtet, ab April 2008 monatliche Beiträge in Höhe von 215,48 EUR, jeweils fällig zum 1. eines Monats, für eine zugunsten der Antragstellerin abzuschliessende private Lebens- oder Rentenversicherung zu zahlen."
Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint, lässt sich allein aus dem Wort "für", wie es im zitierten Urteilsdispositiv verwendet wird, kein direkter Zahlungsanspruch zu ihren Gunsten herleiten. Die Präposition "für" bezieht sich nicht auf die Stellung der Beschwerdeführerin als Gläubigerin der Betreibungsforderung, sondern auf die Frage, für welchen Zweck der monatliche Beitrag von Euro 215.48 zu zahlen ist, nämlich für die private Lebens- oder Rentenversicherung. Wohl begründet das deutsche Urteil eine Zahlungspflicht des Beschwerdegegners. Tatsächlich geht aus der Beschlussformel dieses Urteils jedoch für den Beschwerdegegner nicht unmissverständlich hervor, wem genau das Oberlandesgericht Koblenz die Betreibungsforderung zugesprochen hat. Der richterliche Urteilsspruch enthält überhaupt keine Angaben darüber, welcher Person der Beschwerdegegner den monatlichen Geldbetrag bezahlen muss. In Anbetracht dieser Erkenntnisse erscheint es jedenfalls nicht willkürlich, die Rechtslage im Sinne der vorinstanzlichen Urteilsbegründung zu beurteilen.
2.4 Soweit die Beschwerdeführerin die Verletzung anderer verfassungsmässiger Rechte geltend macht, ist auf ihre Beschwerde nicht einzutreten, denn sie nennt keine konkreten Verfassungsbestimmungen und macht auch sonst keine Ausführungen zur Begründung dieses Vorbringens.
3. Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Von der Verurteilung zur Bezahlung einer Entschädigung ist im vorliegenden Fall abzusehen, da keine Vernehmlassung eingeholt wurde und dem Beschwerdegegner durch das vorliegende Beschwerdeverfahren kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss der Prozess, den die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht gegen die vorinstanzliche Verweigerung der definitiven Rechtsöffnung führt, als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden, so dass es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (Art. 64 Abs. 1 BGG) und das entsprechende Gesuch abzuweisen ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn