Faits:
A. A.a Par décision du 2 mai 2005, le Tribunal de première instance du canton de Genève a instauré une curatelle de représentation en faveur de l'enfant A._, né le 22 janvier 1994, afin de le représenter dans la procédure en modification du jugement de divorce de ses parents, X._ et dame X._, qui leur avait attribué l'autorité parentale conjointe et la garde alternée.
Le 17 juin 2005, le Tribunal tutélaire a désigné Me Y._, avocat à Genève, en qualité de curateur.
A.b Par décision sur mesures provisoires du 20 décembre 2004, la garde de l'enfant avait été attribuée à son père. Cette décision a été confirmée le 13 mai 2005 par la Cour de justice du canton de Genève.
B. B.a Par jugement au fond du 14 août 2006, le Tribunal de première instance a attribué l'autorité parentale et la garde de l'enfant à sa mère. Statuant sur appel du père, la Cour de justice a confirmé cette décision par arrêt du 21 mars 2007.
Le 11 septembre 2007, sur recours du père, le Tribunal fédéral a annulé cet arrêt et renvoyé la cause devant la cour cantonale en vue d'un complément d'instruction, en particulier de l'audition de l'enfant, alors âgé de 13 ans (arrêt 5A_171/2007).
A l'issue de ce complément, l'autorité parentale et la garde ont été attribuées au père par un second arrêt de la Cour de justice du 19 septembre 2008, laquelle a en outre condamné les parties à payer, chacune par moitié, les honoraires du curateur de leur fils.
C. C.a Le père a contesté, devant le Tribunal tutélaire du canton de Genève, l'ensemble des notes d'honoraires intermédiaires successives déposées par le curateur, à savoir une note du 15 septembre 2006, remplacée par une nouvelle note du 8 mai 2007 relative à l'activité déployée du 22 juin 2005 au 8 mai 2007, et une note du 9 octobre 2008, relative à l'activité déployée du 9 mai 2007 au 9 octobre 2008. Il a demandé une réduction à hauteur de 75% du montant des honoraires facturés. Ces notes d'honoraires totalisent 20'887 fr.; elles sont calculées sur la base d'un tarif horaire de 350 fr.
Interpellés le 5 mars 2009 par le Tribunal tutélaire au sujet de l'activité déployée par le curateur, le Tribunal de première instance et la Cour de justice du canton de Genève ont répondu que les honoraires facturés paraissaient refléter de manière adéquate son activité déployée en qualité de curateur, s'agissant notamment du nombre d'heures facturées ainsi que du tarif horaire appliqué, eu égard aux difficultés rencontrées dans le cadre de la procédure.
C.b Par ordonnance du 25 juin 2009, le Tribunal tutélaire a arrêté les honoraires du curateur à 19'865 fr. 90 au total, ces honoraires étant mis à la charge, pour moitié chacun, des parents de l'enfant. Du montant réclamé par le curateur, le tribunal a ainsi déduit 1'021 fr., équivalant à 2 heures et 55 minutes de temps de travail, en réduisant, ex equo et bono, à deux heures au total la durée de quatre entretiens que le curateur a eus avec son pupille, en tant que cette durée était contestée par le père, et en supprimant les postes relatifs à la procédure devant la Commission de taxation faisant suite à la contestation par le père de la première note d'honoraires du 15 septembre 2006; en effet, le curateur aurait pu éviter cette contestation s'il avait soumis, comme il le devait, cette première facture au Tribunal tutélaire en vue de sa taxation au lieu de la notifier directement aux parties.
C.c Par arrêt du 30 novembre 2009, l'Autorité de surveillance des tutelles du canton de Genève a rejeté le recours déposé par le père contre cette ordonnance.
D. Le père interjette le 4 janvier 2010 un recours constitutionnel au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à sa réforme en ce sens que la note d'honoraires du curateur est réduite de 75%; subsidiairement, il conclut à l'annulation de la décision attaquée et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il se plaint d'une violation du principe de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'appréciation des faits, ainsi que dans l'application de l'art. 386 de la Loi de procédure civile genevoise du 10 avril 1987 (RSG E 3 05; LPC).
L'intimé n'a pas été invité à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours a été interjeté dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, par une partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente et qui a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée. Il est en outre dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), prise en application de normes de droit public dans une matière connexe au droit civil (art. 72 al. 2 let. b ch. 5 LTF) et rendue par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF).
1.2 Dans les affaires pécuniaires ne relevant pas du droit du travail ou du droit du bail à loyer, pour lesquelles le seuil est fixé à 15'000 fr. (art. 74 al. 1 let. a LTF), le recours en matière civile n'est recevable que si la valeur litigieuse s'élève au moins à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Sous réserve des exceptions prévues à l'art. 74 al. 2 LTF, cette exigence s'applique à toutes les affaires pécuniaires sujettes au recours en matière civile, y compris celles où la décision est prise, comme en l'espèce, en application de normes de droit public dans une matière connexe au droit civil (art. 72 al. 2 let. b LTF; ATF 133 III 368 consid. 1.3.1 p. 371).
En l'espèce, la valeur litigieuse n'atteint pas les 30'000 fr. et le recourant ne soutient pas que l'on soit en présence d'une question juridique de principe; le recours constitutionnel est par conséquent recevable (art. 113 LTF).
1.3 Le recours constitutionnel peut être formé uniquement pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 et 117 LTF), c'est-à-dire expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (principe d'allégation; ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 II 396 consid. 3. p. 399/400). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision est manifestement insoutenable (ATF 134 II 349 consid. 3 p. 352).
L'arbitraire prohibé par l'art. 9 Cst. ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de cette décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 133 II 257 consid. 5.1 p. 260; 133 III 462 consid. 4.4.1 p. 470).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis en violation de droits constitutionnels (art. 118 al. 2 et 116 LTF). S'agissant plus particulièrement du grief d'arbitraire dans l'appréciation des preuves, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière aux autorités cantonales (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40); il n'intervient, pour violation de l'art. 9 Cst., que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans motifs sérieux, de tenir compte d'un moyen de preuve pertinent ou encore s'il a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9 et les arrêts cités).
2. L'autorité cantonale a considéré qu'il ressort des appréciations des magistrats ayant instruit en détail et jugé successivement la procédure en modification du jugement de divorce des parents que le curateur a cherché, ainsi que le lui commandait sa mission, à sauvegarder les intérêts de son pupille et a déployé une activité compatible, en termes de temps de travail et de tarif horaire, avec les circonstances compliquées de cette procédure induisant des tensions entre les parents et leur fils, vu l'important conflit de loyauté de celui-ci envers ses deux parents, qui cherchaient à l'influencer et qui étaient incapables d'un quelconque dialogue. Selon les juges précédents, il n'y a aucune raison de s'écarter de ces appréciations, que le dossier ne contredit pas et qui ont été retenues à juste titre par le Tribunal tutélaire. Les notes d'honoraires du curateur font ressortir le caractère complexe de la procédure par les nombreuses démarches, entretiens et audiences mentionnés, dont d'ailleurs les premiers juges ont retranché toutes celles qui n'étaient pas essentielles. Enfin, l'autorité cantonale a rappelé que, selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, il n'est pas arbitraire de considérer que l'ensemble des activités déployées par un curateur, qui plus est avocat, relèvent de sa profession et qu'un tarif horaire de 350 fr. sur la place de Genève n'a rien d'excessif et peut même être qualifié de modéré.
3. Selon l'art. 386 al. 3 LPC/GE, la rémunération due au curateur nommé à l'enfant en vue de sa représentation est fixée par le Tribunal tutélaire; son montant est fonction des qualifications professionnelles du curateur, du temps consacré au mandat, du genre de prestations fournies, de la complexité du cas et des moyens financiers du débiteur de la rémunération.
4. 4.1 Au fil d'un recours confus et redondant, le recourant reproche à l'autorité cantonale de s'être référée, pour affirmer que l'intimé n'a pas appliqué un tarif excessif, ni déployé une activité exagérée, inutile ou inappropriée, à l'appréciation des magistrats de première instance et de recours, lesquels auraient été déjugés par le Tribunal fédéral. Il fait grief aux juges précédents de n'avoir pas développé une argumentation propre et circonstanciée, ce qui constituerait "à l'évidence une violation de l'art. 9 Cst.". Selon le recourant, la complexité et la durée de la procédure sont les conséquences directes des incohérences, de l'injustice, de la partialité, de l'incompétence et de l'obstination aveugle dont a fait preuve le curateur, lequel aurait pris l'initiative de déposer des mémoires inutiles, prolongeant ainsi indûment la procédure. Celui-ci aurait adopté des positions manifestement contraires à l'intérêt de l'enfant. Rapidement, il n'aurait plus eu ni le recul nécessaire ni la confiance de son pupille et aurait dû demander à être relevé de son mandat; en ne le faisant pas, il aurait violé les art. 386 ss LPC/GE, ce qui constituerait "un motif de plus pour justifier le fait que ses honoraires ne sont pas dus".
Par cette critique, en grande partie de nature appellatoire, le recourant se borne à discuter et critiquer le travail accompli par le curateur. En tant, d'une part, qu'il se réfère à des événements ayant jalonné la procédure en modification du jugement de divorce que l'arrêt attaqué ne constate pas, sans toutefois faire grief aux juges précédents d'avoir établi les faits de manière manifestement inexacte ou incomplète, son argumentation est irrecevable (cf. supra, consid. 1.4). En tant, d'autre part, qu'il se limite à substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité cantonale, sa critique est également irrecevable (cf. supra, consid. 1.3). Quant au fait que cette appréciation soit fondée sur l'avis des magistrats qui ont été saisis de la procédure en modification du jugement de divorce, à qui le Tribunal fédéral a renvoyé la cause pour complément d'instruction - sans que l'on puisse en déduire, à l'instar du recourant, qu'ils aient été ainsi désavoués par la cour de céans -, cela ne suffit pas à démontrer qu'elle soit arbitraire. Contrairement à ce que soutient le recourant, le fait que la garde sur son fils lui ait finalement été attribuée, à la suite du complément d'instruction ordonné par le Tribunal fédéral et l'audition par les juges cantonaux de son fils, alors que cette solution n'était pas soutenue par le curateur, ne constitue pas une "preuve que le travail du curateur ne méritait pas les honoraires réclamés".
4.2 Le recourant se plaint ensuite "de l'absence d'examen, injustifiée, des points soulevés dans [ses] différentes écritures adressées au Tribunal tutélaire et dans [son] recours". Il soutient qu'un tarif de 350 à 400 fr. de l'heure, même s'il a été admis par la jurisprudence, serait excessif compte tenu de la situation économique des parents du pupille et de la nature du mandat confié au curateur. A cet égard, en tant qu'il affirme que son salaire mensuel s'est élevé, entre 2005 à 2009, à 1'500 à 2'500 fr. en moyenne, il se fonde sur des faits que la décision attaquée ne constate pas, sans toutefois soutenir que ceux-ci auraient été omis alors qu'ils étaient prouvés (cf. supra, consid. 1.4). Partant, sa critique est irrecevable. Il en va de même lorsqu'il soutient que l'intimé aurait violé le secret professionnel qui le liait à son pupille, pour le motif qu'il aurait, après une entrevue qui s'est déroulée le 29 août 2006, immédiatement téléphoné au conseil de la mère pour discuter du contenu de son entretien avec l'enfant, alors que celui-ci lui aurait demandé de ne rien révéler à sa mère de ses propos.
En tant qu'il reproche à l'autorité cantonale d'avoir méconnu de nombreuses erreurs de dates et de durées dans le relevé d'activité du curateur, sans toutefois préciser lesquelles, son grief est insuffisamment motivé (cf. supra, consid. 1.3). S'agissant plus particulièrement de la durée des entretiens entre l'intimé et son pupille, dont le recourant affirme qu'ils n'ont pas dépassé trente minutes, sa critique apparaît infondée, dans la mesure où le Tribunal tutélaire a précisément réduit, ex aequo et bono, à deux heures au total la durée de quatre entretiens que l'intimé a eus avec son pupille. Il en va de même lorsque le recourant fait valoir que la procédure menée par l'intimé devant la Commission de taxation, laquelle était incompétente pour fixer ses honoraires, ne saurait être rémunérée, alors que les postes y relatifs ont également été supprimés du décompte des heures du curateur par le Tribunal tutélaire.
Pour le surplus, le recourant se borne à faire valoir, de manière appellatoire, et partant irrecevable (cf. supra, consid. 1.3), que les recherches juridiques facturées par le curateur (2 heures) seraient injustifiées, la durée de la rédaction de conclusions motivées (3 heures) excessive, et les courriers pour la plupart injustifiés et "surfacturés", de la même façon que les téléphones. Sa critique est derechef irrecevable, lorsqu'il affirme péremptoirement que plusieurs écritures étaient inutiles et exécutées "contre le dossier", pour favoriser exclusivement la position de la mère, dont l'intimé aurait défendu les intérêts, alors que celui-ci se serait en revanche uniquement concentré à démontrer qu'il était un mauvais père, incapable, dangereux et manipulateur.
4.3 Enfin, le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir refusé d'entendre son fils, ainsi que son amie, sur la question de la durée des entretiens de l'enfant avec l'intimé, ainsi que sur l'agressivité et le mépris dont celle-ci aurait fait l'objet de la part du curateur. En tant qu'il porte sur la durée des rendez-vous entre l'intimé et son pupille, ce grief est dénué de pertinence, dans la mesure où la durée de chacun de ceux-ci alléguée par le recourant, à savoir trente minutes, a été admise. Pour le surplus, il ne démontre pas avoir formellement requis l'audition de son amie, ni ne se plaint, à cet égard, d'une violation de son droit à la preuve, qui fait partie du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Partant, sa critique est irrecevable (cf. supra, consid. 1.3).
5. Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à se déterminer.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à l'Autorité de surveillance des tutelles du canton de Genève.
Lausanne, le 15 mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Aguet