Sachverhalt:
A. Der 1950 geborene V._ meldete sich im August 2000 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle zog verschiedene medizinische Berichte bei und führte eine Abklärung in der beruflichen Abklärungsstelle X._ durch. In der Folge verneinte sie mit Verfügung vom 10. Oktober 2001 einen Anspruch auf weitere Leistungen. Auf Beschwerde hin hob das Verwaltungsgericht des Kantons Bern diese Verfügung auf und wies die Sache zur Ergänzung der Abklärungen an die Verwaltung zurück.
Die IV-Stelle traf weitere medizinische Abklärungen. Insbesondere holte sie ein Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle am Inselspital Bern (MEDAS) vom 23. Dezember 2004 ein. Anschliessend lehnte sie es - nach Einholung einer Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 4. April 2005 - mit Verfügung vom 6. April 2005 ab, dem Versicherten eine Rente auszurichten. Der ermittelte Invaliditätsgrad betrug 31%. An dieser Beurteilung hielt die IV-Stelle (nunmehr auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 32.49%) mit Einspracheentscheid vom 9. September 2005 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern ab (Entscheid vom 14. August 2007).
C. V._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde führen. Er beantragt sinngemäss die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Zusprechung einer Rente der Invalidenversicherung, eventualiter die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz oder die IV-Stelle.
Das überdies gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wurde mit Verfügung vom 2. April 2008 abgewiesen.
Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.
Erwägungen:
1. 1.1 Gegen den vorinstanzlichen Entscheid ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) zulässig. Mit dieser kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich Verfassungsrecht) und von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Für eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG bleibt in dieser Konstellation kein Raum. Die Rechtsschrift vom 20. September 2007 ist vollumfänglich als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu behandeln.
1.2 Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dementsprechend legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Tatsächlicher Natur und damit im dargestellten Rahmen grundsätzlich verbindlich sind insbesondere auch die Feststellungen zur Arbeits(un)fähigkeit, welche das kantonale Gericht gestützt auf medizinische Untersuchungen trifft (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 398).
2. 2.1 Am 1. Januar 2008 sind die Änderungen des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung (IVG) und anderer Erlasse wie des Bundesgesetzes über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG) vom 6. Oktober 2006 (5. IV-Revision, AS 2007 5129 ff.) in Kraft getreten. Auf den vorliegenden Fall sind noch die früheren Gesetzesfassungen anwendbar (vgl. BGE 132 V 215 E. 3.1.1 S. 220 mit Hinweisen).
2.2 Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze über den Begriff der Invalidität (Art. 8 IVG; BGE 130 V 343 E. 3.3.1 und 3.3.2 S. 347) sowie die Voraussetzungen und den Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 Abs. 1 IVG in der bis Ende 2003 und in der seit 1. Januar 2004 gültigen Fassung) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen. Richtig sind auch die vorinstanzlichen Erwägungen zur Ermittlung des Invaliditätsgrades bei erwerbstätigen Versicherten nach der Einkommensvergleichsmethode (Art. 16 ATSG; BGE 130 V 343 E. 3.4.2 S. 349; 128 V 29 E. 1 S. 30; 104 V 135 E. 2a und b S. 136), insbesondere zur Bestimmung des Valideneinkommens (BGE 129 V 222 E. 4.3.1 S. 224) und des Invalideneinkommens, einschliesslich des Abstellens auf die so genannten Tabellenlöhne (BGE 129 V 472 E. 4.2.1 S. 475; 126 V 75 E. 3a/bb S. 76).
3. Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Diese erblickt er darin, dass sich alle Instanzen geweigert hätten, seinem Antrag auf Durchführung einer Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit (EFL) zu entsprechen. Die Vorinstanz durfte jedoch von derartigen Untersuchungen absehen, nachdem sie zum Ergebnis gelangt war, die vorhandenen Unterlagen böten eine hinreichend zuverlässige Grundlage für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit und des Invaliditätsgrades. In einer solchen antizipierten Beweiswürdigung liegt kein Verstoss gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör (BGE 124 V 90 E. 4b S. 94, 122 V 157 E. 1d S. 162; SVR 2001 IV Nr. 10 S. 27 E. 4b, I 362/99).
4. Streitig und zu prüfen ist der Rentenanspruch. Der Beschwerdeführer lässt gegen die Ermittlung des Invaliditätsgrades von 32.5% verschiedene Einwände erheben.
4.1 Nachdem Verwaltung und Vorinstanz zum Ergebnis gelangten, der Invaliditätsgrad liege bereits aufgrund der aktuellen Verhältnisse, ohne Durchführung von Eingliederungsmassnahmen, unter 40%, konnten sie zulässigerweise über die Rente entscheiden (vgl. Urteil I 151/05 vom 9. August 2005, E. 1.1). Die in der Beschwerdeschrift geltend gemachte Verletzung des Grundsatzes "Eingliederung vor Rente" liegt nicht vor.
4.2 Die Vorinstanz bezifferte das Valideneinkommen bezogen auf das Jahr 2000 mit Fr. 54'600.- und bezogen auf das Jahr 2004 mit Fr. 58'101.-. Sie stützte sich dabei auf die Angaben der Arbeitgeberin vom 27. September 2000 und berücksichtigte die anschliessende Nominallohnentwicklung. Dieses Vorgehen ist korrekt. Der kantonale Entscheid wird denn auch in der Beschwerdeschrift diesbezüglich nicht beanstandet.
4.3 Für die Ermittlung des Invalideneinkommens gingen IV-Stelle und Vorinstanz davon aus, dem Beschwerdeführer sei aus medizinischer Sicht bei optimalen Arbeitsbedingungen sowie ausgebauter Schmerztherapie eine mechanisch leichte, wechselbelastende Tätigkeit im Rahmen einer Arbeitsfähigkeit von 90% zumutbar. Diese Feststellung wird durch das MEDAS-Gutachten vom 23. Dezember 2004 jedenfalls insofern gestützt, als sie nicht als offensichtlich unrichtig bezeichnet werden kann. Sie ist deshalb für das Bundesgericht verbindlich (E. 1.2 hiervor am Ende). Ausgehend von dieser Umschreibung der verbleibenden Arbeitsfähigkeit, welche ein relativ weites Spektrum von Einsatzmöglichkeiten eröffnet, ging das kantonale Gericht rechtsprechungsgemäss vor, wenn es das Invalideneinkommen gestützt auf die Werte der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) festsetzte (vgl. BGE 129 V 472 E. 4.2.1 S. 475; 126 V 75 E. 3a/bb S. 76). Eine Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit ist in derartigen Konstellationen nicht Voraussetzung für die rechtskonforme Bemessung des Invaliditätsgrades. Nicht beanstanden lässt sich auch das Heranziehen des Zentralwerts (Total) der im privaten Sektor mit einfachen und repetitiven Tätigkeiten (Anforderungsniveau 4) beschäftigten Männer. Die praxisgemäss (BGE 126 V 75 E. 7a S. 81) erforderlichen Anpassungen (wöchentliche Arbeitszeit, Nominal-lohnentwicklung) wurden ebenfalls vorgenommen. Den prozentualen Abzug, mit welchem einer zu erwartenden leidensbedingten Verdienst-einbusse sowie allfälligen weiteren lohnmindernden Faktoren Rechnung getragen werden soll, setzten Verwaltung und Vorinstanz auf 25% fest, was dem durch die Rechtsprechung definierten Maximum entspricht (BGE 129 V 472 E. 4.2.3 S. 481 mit Hinweisen). Eine Korrektur dieses Abzugs zu Gunsten des Beschwerdeführers ist daher ebenfalls ausgeschlossen.
4.4 Zusammenfassend lassen sich die Invaliditätsbemessung und die Verneinung eines Rentenanspruchs durch IV-Stelle und Vorinstanz bundesrechtlich nicht beanstanden.
5. In der Beschwerde wird ferner verlangt, es sei die dem unentgeltlichen Rechtsbeistand für das kantonale Verfahren zugesprochene Entschädigung zu erhöhen. Dieser Antrag wird namens des Beschwerdeführers gestellt. Sein Rechtsvertreter hat weder eine separate Beschwerde eingereicht noch in der für den Klienten verfassten Rechtsschrift ausdrücklich erklärt, er führe hinsichtlich der Entschädigung in eigenem Namen Beschwerde. Nach der Rechtsprechung ist der Versicherte dann in eigenem Namen beschwerdelegitimiert, wenn die Frage streitig ist, ob für ein bestimmtes Verfahren bzw. einen bestimmten Verfahrensabschnitt überhaupt Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung besteht. Geht es jedoch nur um die Höhe der Entschädigung, ist einzig der Rechtsvertreter selbst zur Anfechtung befugt, während dem Versicherten eine entsprechende Legitimation fehlt (RKUV 1999 KV Nr. 96 S. 519 E. 9b, K 99/98; ARV 1997 Nr. 27 S. 151, C 232/93). Da der Anwalt des Beschwerdeführers vorliegend keine eigene Beschwerde erhoben hat, ist auf den entsprechenden Antrag nicht einzutreten.
6. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Juni 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger