Faits:
A. Ressortissant français domicilié à ... (Valais), X._ dispose d'une fortune, mobilière et immobilière, estimée entre 500 et 800 millions de francs suisses, à la suite de la réalisation de l'entreprise de construction et génie civil qu'il avait fondée et dirigée au ....
Par l'entremise d'un professeur de golf, X._ a fait la connaissance de A._, qui était fondé de pouvoir à la succursale de ... de la société Y._ AG (ci-après: Y._), banque ayant son siège à Zurich. A._, qui était "responsable client" au sein de l'unité de "private banking", avait une bonne réputation dans la gestion de fortune auprès des clients du golf de ....
Le 5 avril 1996, X._ a ouvert un compte dénommé "..." auprès de Y._, représenté par A._. Selon les documents signés et remis en cette occasion, les parties sont convenues que leurs relations contractuelles seraient soumises au droit suisse.
Pour alimenter son compte (qui était subdivisé en plusieurs comptes libellés en différentes monnaies), X._ a effectué les versements suivants:
- le 10 janvier 1997, FRF 5'000'000.-- provenant d'un compte auprès de A._ à ...;
- le 11 avril 1997, USD 11'940.--, soit l'équivalent de FRF 69'007.--;
- le 7 août 1997, FRF 5'000'000.-- provenant de B._, à ...;
- en mai 1998, FRF 6'269'372.-- sous la forme de titres provenant de C._;
- le 23 juin 1998, EUR 5'941.--;
- le 24 mars 1999, EUR 3'811'225,43, soit l'équivalent de FRF 25'000'000.--.
Sous réserve de rares exceptions, A._ décidait seul des placements effectués à l'aide des fonds versés sur le compte. Suivant les instructions données par X._, Y._ a adressé mensuellement des relevés de dépôts périodiques à la Société D._ à .... Par ailleurs, selon une demande formulée par X._ le 13 avril 1999, un relevé des placements était envoyé tous les deux ou trois mois à une personne de confiance au .... X._ n'a jamais émis la moindre réclamation au sujet des choix effectués par A._.
Les avoirs ont été gérés de manière dynamique, c'est-à-dire dans le but d'obtenir un rendement élevé. Durant le premier semestre 1997, la valeur du portefeuille avait augmenté de 16,8 %. Sur l'année 1997, l'augmentation a été d'environ 14 %. X._ souhaitait manifestement des résultats, puisqu'il a fait transférer des fonds en provenance de A._, en estimant les performances de cette banque insatisfaisantes. Par la suite, en 1998, il s'est dit "très content du dossier" et a transféré des titres déposés auprès de C._, parce qu'il estimait que les rendements obtenus auprès de cette banque n'étaient pas satisfaisants. Y._ savait que les fonds placés sur le compte "..." ne représentaient qu'une part réduite de la fortune totale de X._.
A la fin de l'année 1999, des valeurs du secteur de la technologie sont apparues dans le portefeuille "...". Selon un expert, ces titres technologiques étaient à la mode dans les portefeuilles "dynamiques" à cette époque. Cette politique s'est poursuivie, sans aucune réaction de X._, tout au long de l'année 2000, la part des actions technologiques ayant culminé au 31 août 2000 à 32 % du portefeuille.
Les avoirs liés au compte "..." ont atteint leur plus haut niveau le 29 février 2000 avec FRF 49'639'988.--. Par la suite, la valeur du portefeuille a régulièrement baissé, se montant, au 4 janvier 2001, à FRF 35'359'892.--. Cette baisse est principalement imputable à l'éclatement de la "bulle technologique" entre octobre et décembre 2000, ainsi qu'à des engagements résultant des positions en options. Selon les experts, les risques liés aux titres "high tech" étaient généralement sous-estimés et il a fallu la crise du dernier trimestre 2000 pour que les analystes en prennent conscience.
X._ a été informé à plusieurs reprises, lors de communications téléphoniques avec A._ durant le second trimestre de l'année 2000, que l'évolution des cours était défavorable. Les deux hommes se sont rencontrés le 22 septembre 2000 et X._ en a tiré la conclusion que tout était parfaitement en règle, espérant que ses actions allaient remonter. Il a été retenu qu'une nouvelle conversation avait eu lieu en novembre 2000, après la chute des actions Miracle; un changement de stratégie n'a pas été décidé en cette occasion.
Le 3 janvier 2001, A._ s'est suicidé. On ne peut exclure que son décès soit lié à l'activité professionnelle, vu le contexte extrêmement tendu qui planait sur les marchés boursiers au cours du second semestre de l'année 2000. Rien ne permet cependant d'affirmer que les difficultés rencontrées lui seraient imputables à faute.
En janvier 2001, le directeur de la succursale a eu deux entretiens avec X._, le pressant de prendre une décision sur ses positions en valeurs "high tech". X._ a consulté des tiers et donné des ordres de vente par téléphone les 8, 14 et 15 février 2001. Il a procédé à la clôture de la relation "..." entre le 27 juillet et le 8 août 2001.
B. Par mémoire-demande du 8 septembre 2003, X._ a ouvert action auprès des tribunaux valaisans contre Y._ (ci-après: la banque), en soutenant que son compte avait été mal géré et qu'il en était résulté pour lui un préjudice important. Il a conclu en dernier lieu à ce que Y._ soit condamné à lui payer FRF 14'994'597, 29, soit CHF 3'435'290,69 avec intérêt moyen à 5 % dès le 1er juillet 2000, sous suite de frais et dépens.
La banque a conclu au rejet de la demande avec suite de frais et dépens.
Par arrêt du 17 décembre 2010 expédié aux parties le 21 décembre 2010, la Cour civile I du Tribunal cantonal valaisan a rejeté la demande avec suite de frais et dépens.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 17 décembre 2010. Invoquant une appréciation arbitraire des preuves et une violation des art. 398 al. 2 et 97 CO, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et il reprend ses conclusions sur le fond avec suite de frais et dépens. Subsidiairement, il demande le renvoi du dossier à l'autorité précédente.
L'intimée conclut au rejet du recours avec suite de frais et dépens.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions en paiement et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. c, 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
On peut certes observer que la décision a été rendue en instance cantonale unique, contrairement à ce que prévoit l'art. 75 al. 2 LTF, mais cette remarque reste sans conséquence puisque les cantons disposaient encore, à l'époque où la décision a été rendue, d'un délai d'adaptation (art. 130 al. 2 LTF). La décision attaquée ayant été envoyée aux parties avant l'entrée en vigueur du CPC, les voies de recours ne sont pas régies par cette loi (art. 405 al. 1 CPC).
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Il peut donc également être formé pour violation d'un droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspondant à la notion d'arbitraire: ATF 136 II 304 consid. 2.4 p. 314 - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 136 I 184 consid. 1.2 p. 187; 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur l'issue de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, le recourant présente, sur plusieurs pages, son propre état de fait. Il ne montre cependant pas de manière précise quels faits pertinents auraient été retenus ou omis en contradiction manifeste avec le résultat univoque de l'administration des preuves (cf. arrêt 4A_132/2011 du 1er juin 2011 consid. 1.3 et la référence). En conséquence, il ne formule pas avec la précision requise, dans son état de fait, un grief à l'encontre des constatations cantonales (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF) et le Tribunal fédéral ne voit aucune raison de s'écarter de l'état de fait contenu dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 et 2 LTF).
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. 2.1 Invoquant une violation de l'art. 9 Cst., le recourant soutient que la cour cantonale a retenu arbitrairement qu'il avait introduit tardivement dans la procédure l'allégation selon laquelle la proportion atteinte par les valeurs dites "high tech" constituerait une prise de risque inadmissible. Elle aurait aussi retenu arbitrairement que les experts n'avaient pas constaté que les placements auraient été excessivement concentrés sur un nombre trop limité de titres, ni que la proportion des actions dites "high tech" aurait outrepassé la limite que la prudence impose à tout gérant de fortune diligent.
Il soutient encore que l'autorité précédente a sombré dans l'arbitraire en retenant qu'il s'était borné à alléguer d'une manière toute générale que les opérations sur options auraient été initiées à découvert, mais sans pointer lesquelles, ni préciser les pertes qu'elles auraient entraînées. Ce serait également de manière arbitraire que la cour cantonale aurait retenu que l'expert avait fait état d'opérations à découvert, mais sans en dresser la liste.
2.1.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable. Le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 136 I 316 consid. 2.2.2 p. 318 s.; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560).
S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait une déduction insoutenable (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
2.1.2 En citant de nombreux points de ses allégués, le recourant tente de démontrer qu'il avait invoqué en temps utile le fait que la concentration de titres "high tech" était excessive.
En réalité, il ressort des allégués cités, que le recourant, dans sa présentation des faits, soutenait que la banque avait fait une erreur stratégique en se portant sur des titres "high tech" et que certains titres étaient particulièrement mal choisis. Aucun de ces allégués ne formule l'idée - soutenue tardivement dans la procédure cantonale - qu'il existerait une règle de gestion communément admise - dire s'il existe un usage et quel en est le contenu est une question de fait (ATF 128 III 22 consid. 2c p. 25; 113 II 25 consid. 1a p. 27) - selon laquelle un portefeuille ne devrait pas contenir davantage qu'une proportion déterminée de titres émanant du même secteur économique. Plus particulièrement, on ne trouve pas, dans les allégués invoqués, l'affirmation que la banque, en investissant à un certain moment 32 % du portefeuille en valeurs "high tech", aurait violé une règle de gestion communément admise. La constatation cantonale critiquée concerne manifestement ce point et on ne voit pas qu'elle puisse être qualifiée d'arbitraire.
On ne voit pas non plus, à lire le recourant, que l'un des deux experts commis ait considéré que la proportion de titres "high tech" violait une règle de gestion communément admise. Sur ce point également, le recourant ne démontre pas l'arbitraire de la constatation cantonale. En déclarant que ces titres étaient à l'époque à la mode dans les dossiers gérés de manière dynamique et que l'éclatement de la bulle technologique a surpris tout le monde, l'expert a au contraire montré qu'il ne voyait rien de choquant dans le pourcentage de titres technologiques atteint en l'espèce.
Il a été retenu qu'il était contraire aux règles d'une bonne gestion, en raison de risques trop élevés, de vendre des options d'achat à découvert, ainsi que de réaliser des options de vente dans l'hypothèse où le vendeur ne dispose pas constamment de quoi honorer les engagements découlant du contrat. La cour cantonale a constaté qu'il n'était pas possible, sur la base des allégués du recourant et des constatations des experts, de savoir si et dans quelle mesure ces opérations ont généré un dommage. Sur ce point également, le recourant ne parvient pas à démontrer l'arbitraire de la constatation cantonale. Son argumentation revient à citer des opérations sur les options, sans distinguer celles qui ont été effectuées à découvert et qui étaient donc prohibées. On ne voit d'ailleurs pas comment on pourrait, sur la base des éléments contenus dans le recours, déterminer l'ensemble des opérations faites à découvert sur les options et savoir si, dans le cas du recourant, elles se sont ou non soldées globalement par un gain ou par une perte. La conclusion de la cour cantonale, selon laquelle la preuve d'un dommage n'a pas été apportée, ne peut pas être qualifiée d'arbitraire.
2.2 Invoquant une violation de l'art. 398 al. 2 et de l'art. 97 CO, le recourant soutient que la cour cantonale a conclu à tort que la banque n'était pas responsable de la perte subie.
2.2.1 La personne qui ouvre un compte bancaire, y fait virer des fonds et procède à des placements noue avec la banque une relation contractuelle complexe dans laquelle on discerne les éléments caractéristiques d'un compte-courant (pour le décompte des opérations), d'un dépôt irrégulier (pour les fonds remis), d'un mandat (au moins pour la gestion administrative des titres) et d'une commission (pour l'achat ou la vente des titres au nom de la banque) (ATF 131 III 377 consid. 4 p. 380; arrêt 4C.387/2000 du 15 mars 2001 consid. 2a publié in SJ 2001 I p. 525). On peut également discerner un contrat de dépôt en ce qui concerne les titres placés en portefeuille.
Pour le client d'une banque qui souhaite procéder à des placements, il existe fondamentalement trois constructions juridiques concevables: le simple dépôt bancaire avec ordre donné par le client, le conseil en placement ou le mandat de gestion (ATF 133 III 97 consid. 7.1 p. 102; arrêt 4C.72/1999 du 26 mai 1999 consid. 2a).
Dans le mandat de gestion, le gérant s'oblige à gérer, dans les termes du contrat, tout ou partie de la fortune du mandant, en déterminant lui-même les opérations boursières à effectuer, dans les limites fixées par le client (arrêt 4A_168/2008 du 11 juin 2008 consid. 2.1 publié in SJ 2009 I p. 13). Dans un contrat de conseil en placement, en revanche, le client décide toujours lui-même des opérations à effectuer (arrêt 4A_168/2008 déjà cité consid. 2.1) et la banque ne peut en entreprendre que sur instructions ou avec l'accord de son client (arrêt 4A_262/2008 du 23 septembre 2008 consid. 2.1).
En l'espèce, il a été constaté en fait - d'une manière qui lie le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - que les décisions concernant les placements étaient généralement prises par la banque elle-même. Cette constatation conduit à admettre l'existence d'un mandat de gestion (appelé aussi contrat de gestion de fortune). Cette qualification n'exclut nullement que le client puisse occasionnellement donner des instructions à la banque (arrêt 4C.171/2000 du 6 décembre 2000 consid. 2b; arrêt 4C.116/1995 du 9 août 1995 consid. 2c publié in SJ 1996 I p. 193).
Le mandat de gestion est un mandat au sens des art. 394 ss CO, au moins en ce qui concerne les devoirs et la responsabilité du gérant (ATF 132 III 460 consid. 4.1 p. 464; 124 III 155 consid. 2b p. 161).
2.2.2 La responsabilité du gérant étant soumise aux règles du mandat, la banque est responsable envers le client de la bonne et fidèle exécution du contrat (art. 398 al. 2 CO; ATF 124 III 155 consid. 2b p. 161).
Le gérant a un devoir de diligence et il répond du dommage qu'il cause au client en violant ce devoir intentionnellement ou par négligence (art. 321e CO applicable par le renvoi de l'art. 398 al. 1 CO; ATF 124 III 155 consid. 3 p. 161).
Si la banque a reçu des instructions précises, elle ne peut s'en écarter qu'aux conditions de l'art. 397 al. 1 CO. Son devoir de diligence doit être déterminé de manière objective (arrêt 4C.158/2006 du 10 novembre 2006 consid. 3.1; arrêt 4C.126/2004 du 15 décembre 2004 consid. 2.2).
Le gérant doit déployer la diligence due, mais il ne garantit aucun résultat (arrêt 4C.158/2006 déjà cité consid. 3.1; arrêt 4C.18/2004 du 3 décembre 2004 consid. 1.1 publié in Praxis 2005 n° 73 p. 566).
En matière contractuelle, les conditions d'une action en responsabilité sont énoncées à l'art. 97 al. 1 CO. Si le client ne peut obtenir l'exécution de l'obligation ou ne peut l'obtenir qu'imparfaitement, la banque est tenue de réparer le dommage en résultant, à moins qu'elle ne prouve qu'aucune faute ne lui est imputable (arrêt 4A_168/2008 déjà cité consid. 2.6; arrêt 4C.191/2004 du 7 septembre 2004 consid. 4.2). On discerne donc quatre conditions cumulatives: une violation du contrat (sous la forme de l'inexécution ou de la mauvaise exécution d'une obligation), une faute (qui est présumée), un rapport de causalité (naturelle et adéquate) et un dommage.
S'agissant du fardeau de la preuve (art. 8 CC), il incombe au client de prouver les faits permettant de constater que les conditions de la responsabilité de la banque sont réunies, à savoir qu'un contrat a été conclu, que la banque l'a mal exécuté, qu'un dommage est survenu et qu'il existe un rapport de causalité entre la mauvaise exécution et le dommage. La banque, pour sa part, pourrait apporter la preuve qu'elle n'a pas commis de faute (art. 97 al. 1 CO) et elle peut également établir des faits libératoires, par exemple que le client a donné de nouvelles instructions ou qu'il a ratifié après coup les opérations effectuées (arrêt 4C.18/2004 déjà cité consid. 1.5 et 1.8).
2.2.3 En l'espèce, le recourant n'est pas parvenu à prouver qu'il aurait donné à la banque des instructions précises sur la manière de gérer ses avoirs, en particulier qu'il aurait interdit certains types de placements (par exemple, les opérations sur les options) ou qu'il aurait fixé des limites (par exemple, un certain pourcentage d'actions ou de titres assimilables). Il faut en déduire que le client faisait confiance à la banque et que celle-ci disposait d'un mandat large. Sans instruction précise, le gérant peut accomplir toutes les opérations bancaires ordinaires (arrêt 4C.467/1994 du 28 juillet 1995 consid. 2b).
Sous réserve des opérations à découvert sur les options - sur lesquelles on reviendra par la suite (cf. infra consid. 2.2.5) -, il n'est pas établi, en fait (art. 105 al. 1 LTF), que la banque ait procédé à des placements sortant du cadre des opérations bancaires ordinaires.
Certes, il ne semble pas que la banque ait demandé au client de préciser dans quelle mesure il était disposé à courir des risques (cf. arrêt 4C.158/2006 déjà cité consid. 3.3.1). Elle savait cependant qu'il disposait d'une fortune très étendue et que les fonds placés sur le compte "..." n'en constituaient qu'une part réduite. Le client avait d'autre part clairement exprimé son désir d'obtenir un rendement élevé, transférant des avoirs provenant d'autres banques dont il jugeait le rendement insuffisant. Même sans être un spécialiste de la finance, une personne qui, à l'instar du recourant, a constitué une fortune considérable dans les affaires, ne peut pas ignorer qu'un rendement important implique une prise de risque importante. Dès lors que le client avait clairement manifesté la volonté d'obtenir un rendement important, on ne peut pas dire que la banque a agi contrairement à ses instructions en décidant de mener une gestion dynamique.
La cour cantonale a considéré que la banque avait violé son devoir de diligence en ne précisant pas, avec son client, la politique de gestion à suivre; elle a estimé que cette violation était sans rapport de causalité avec un dommage, puisqu'on pouvait déduire de l'attitude générale du recourant qu'il souhaitait un rendement élevé et faisait confiance au gestionnaire, de telle sorte qu'une précision n'aurait rien changé au cours des événements. On ne voit pas en quoi le raisonnement cantonal sur ce point violerait le droit fédéral.
Lorsque le pouvoir de gestion est défini de manière large, le gérant ne répond que des pertes résultant d'opérations déraisonnables, c'est-à-dire d'opérations qu'un professionnel n'aurait raisonnablement et objectivement pas entreprises (arrêt 4C.285/1993 du 5 mai 1994 consid. 2c publié in SJ 1994 p. 729). Selon l'appréciation des experts commis par la cour cantonale - au sujet de laquelle l'arbitraire n'est pas invoqué -, aucune opération effectuée ne peut être considérée, ex ante, comme une opération déraisonnable. En l'espèce, il n'a en particulier pas été constaté une concentration excessive sur un seul titre (sur cette question: arrêt 4C.385/2006 du 2 avril 2007 consid. 5.2 publié in SJ 2007 I p. 499).
Quant à une concentration excessive de titres relevant du domaine de la technologie, il n'a pas été établi (ni même régulièrement offert en preuve) qu'il existerait une règle communément admise en matière de gestion de fortune limitant le pourcentage de titres relevant d'un même secteur économique (cf. également supra consid. 2.1.2). L'expert a au contraire relevé que la présence de ces titres était "à la mode" dans les dossiers gérés de manière dynamique et que tout le monde a été surpris par l'éclatement de la bulle technologique. Le second expert, qui a procédé correctement à une analyse ex ante, n'a donc manifesté aucun étonnement, ni exprimé la moindre critique à ce sujet. Sur la base de ces éléments, la cour cantonale a déduit, sans violer le droit fédéral, qu'il n'était pas établi que la banque ait manqué à son devoir de diligence.
Un manquement dans la surveillance des cours n'a pas non plus été relevé (cf. arrêt 4C.158/2006 déjà cité consid. 3.2).
2.2.4 S'agissant des opérations sur les options, un expert a relevé que l'information sur les risques liés à ce type de placement n'avait été communiquée au recourant qu'après le début de ces opérations sur son compte. On peut effectivement y voir une violation du devoir d'informer (cf. arrêt 4C.278/1996 du 25 février 1998 consid. 2a).
Cependant, lorsque cette information a été donnée au recourant, il n'a pas réagi et les opérations sur options - dont il était régulièrement informé - se sont poursuivies sans aucune protestation de sa part. On doit donc en déduire qu'il acceptait ce type d'investissement et la tardiveté dans la communication de l'information ne peut pas être mise en relation de causalité avec un quelconque dommage.
2.2.5 Un expert a relevé que la vente d'options d'achat à découvert n'aurait pas dû avoir lieu dans le cadre d'un mandat de gestion. On peut y voir effectivement une opération comportant un risque déraisonnable, de sorte qu'elle constitue une violation du devoir de diligence.
Pour que la responsabilité de la banque soit engagée, il faut cependant que toutes les conditions rappelées ci-dessus soient réunies, notamment l'existence d'un dommage (sur la notion de dommage: cf. ATF 133 III 462 consid. 4.4.2 p. 471).
Pour dire s'il y a eu un dommage, il faut tout d'abord établir la liste de toutes les opérations prohibées, et non pas seulement de celles qui se sont soldées par une perte (arrêt 4C.74/2001 du 17 octobre 2001 consid. 4).
Or, la cour cantonale a constaté - sans que l'arbitraire ne soit démontré à ce sujet (cf. supra consid. 2.1.2) - que l'on ne trouvait pas une liste complète des opérations sur options à découvert, ni dans les allégués du demandeur, ni dans les renseignements fournis par les experts. Il n'est donc pas possible de savoir si et dans quelle mesure ces opérations prohibées se sont soldées par une perte. La cour cantonale en a donc conclu que la preuve du dommage n'était pas apportée, ce qui relève des constatations de fait (ATF 132 III 564 consid. 6.2 p. 576). Dès lors qu'aucun dommage n'était prouvé, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en concluant qu'il manquait une condition nécessaire à l'octroi de dommages-intérêts.
Le rejet de la demande ne viole donc pas le droit fédéral, en particulier les art. 398 al. 2 et 97 CO invoqués par le recourant.
3. Il ressort des considérants qui précèdent que le recours doit être rejeté.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 20'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 22'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour civile I.
Lausanne, le 22 juin 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Piaget