Sachverhalt:
A. Der 1974 geborene kosovarische Staatsangehörige X._ ist in den Jahren 1991 und 1999 illegal in die Schweiz eingereist. Er stellte hier Asylgesuche, welche jeweils rechtskräftig abgewiesen wurden. Am 10. September 2001 heiratete er seine 1983 geborene Landsfrau Y._, welche über eine Niederlassungsbewilligung verfügte. Aus dieser Beziehung gingen insgesamt vier Kinder (geboren 2000-2007) hervor, welche ebenfalls die Niederlassungsbewilligung erhielten. X._ erhielt aufgrund seiner Ehe mit Y._ eine Aufenthaltsbewilligung, welche mehrmals - zuletzt bis zum 7. März 2007 - verlängert wurde.
X._ wurde in der Schweiz wiederholt straffällig:
Am 13. Oktober 1999 wurde er von der Bezirksanwaltschaft Zürich wegen Diebstahls zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von 14 Tagen verurteilt;
Das Bezirksamt Baden verurteilte ihn am 22. Oktober 2002 zu einer bedingt vollziehbaren Gefängnisstrafe von 30 Tagen sowie zu einer Busse von Fr. 400.-- wegen einfacher Körperverletzung und Widerhandlung gegen die Waffengesetzgebung;
Mit Urteil vom 2. Dezember 2004 sprach ihn das Obergericht des Kantons Zürich der versuchten Erpressung, des Angriffs, der mehrfachen einfachen Körperverletzung, der versuchten Nötigung sowie der mehrfachen Wiederhandlung gegen die Waffengesetzgebung schuldig und verurteilt ihn zu einer Gefängnisstrafe von zwei Jahren, unter Anrechnung von 272 Tagen ausgestandener Polizei- und Untersuchungshaft;
Das Verhöramt von Appenzell Ausserrhoden verurteilte ihn am 19. Juni 2007 wegen Widerhandlung gegen das kantonale Gastgewerbegesetz und grober Verletzung von Verkehrsregeln zu einer Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu je Fr. 50.-- sowie zu einer Busse von Fr. 2'000.--.
Zwischen dem 3. September 2007 und dem 25. April 2008 (bedingte Entlassung) befand sich X._ im Strafvollzug.
B. Mit Verfügung vom 24. September 2007 lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ unter Hinweis auf dessen Delinquenz ab. Hiergegen rekurrierte dieser erfolglos beim Regierungsrat des Kantons Zürich. Eine beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eingereichte Beschwerde wurde mit Urteil vom 3. September 2008 abgewiesen.
C. Mit Eingabe vom 8. Oktober 2008 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt im Wesentlichen die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und die Gutheissung des Gesuchs um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung.
Während das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich auf eine Vernehmlassung verzichtet, schliessen das Bundesamt für Migration und der Regierungsrat des Kantons Zürich auf Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 13.Oktober 2008 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Das streitige Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung wurde eingereicht, bevor das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) per 1. Januar 2008 in Kraft getreten ist. Es ist daher noch gemäss den Bestimmungen des inzwischen aufgehobenen Bundesgesetzes vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen zu beurteilen (Art. 126 Abs. 1 AuG).
1.3 Gemäss Art. 4 ANAG entscheidet die zuständige Behörde, im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland, nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung. Es besteht damit grundsätzlich kein Rechtsanspruch auf Erteilung oder Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung, es sei denn, der Ausländer oder seine in der Schweiz lebenden Angehörigen könnten sich auf eine Sondernorm des Bundesrechts (einschliesslich Bundesverfassungsrecht) oder eines Staatsvertrages berufen (vgl. BGE 133 I 185 E. 2.3 S. 189; 130 II 281 E. 2 S. 284; 128 II 145 E. 1.1.1 S. 148, mit Hinweisen).
1.4 Gemäss Art. 17 Abs. 2 Satz 1 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990) hat der ausländische Ehegatte eines niedergelassenen Ausländers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange die Ehegatten zusammen wohnen. Der Beschwerdeführer ist mit einer in der Schweiz niederlassungsberechtigten kosovarischen Staatsangehörigen verheiratet und lebt mit ihr zusammen. Damit steht ihm gestützt auf die erwähnte Bestimmung im Grundsatz ein Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung zu. Ein analoger Anspruch besteht zudem aufgrund des in Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV garantierten Rechts auf Achtung des Familienlebens, wenn nahe Angehörige - wie vorliegend die Ehefrau und die gemeinsamen Kinder - über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht (insbesondere die Niederlassungsbewilligung) in der Schweiz verfügen und die familiäre Beziehung tatsächlich gelebt wird und intakt ist (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.1 S. 285 f.; 129 II 193 E. 5.3.1 S. 211, je mit Hinweisen). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich damit als zulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG).
1.5 Der Beschwerdeführer ist als Adressat des angefochtenen Entscheids ohne weiteres zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG). Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde ist daher grundsätzlich einzutreten (vgl. aber nachfolgend E. 1.6).
1.6 Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG hat die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Vorbringen müssen sachbezogen sein, damit aus der Beschwerdeschrift ersichtlich ist, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt (BGE 134 II 244). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254).
In seiner Eingabe an das Bundesgericht beschränkt sich der Beschwerdeführer über weite Teile darauf, längere Passagen aus seinen Eingaben an den Regierungsrat und an das Verwaltungsgericht wörtlich zu wiederholen. Es ist fraglich, ob dieses Vorgehen der aufgezeigten Pflicht eines Beschwerdeführers, sich in gedrängter Form substantiiert mit dem angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen, genügt. Die Frage kann offen bleiben, zumal sich die Beschwerde als unbegründet erweist, wie die nachfolgenden Ausführungen zeigen.
2. Ein gemäss Art. 17 Abs. 2 ANAG bestehender Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung erlischt, wenn der Anspruchsberechtigte gegen die öffentliche Ordnung verstossen hat (Art. 17 Abs. 2 Satz 4 ANAG). Die betreffenden Voraussetzungen sind mithin weniger streng als bei ausländischen Ehegatten eines Schweizer Bürgers, wo ein Ausweisungsgrund im Sinne von Art. 10 ANAG vorliegen müsste. Die Verweigerung der Bewilligung muss jedoch verhältnismässig sein. Weil aber bereits geringere öffentliche Interessen für ein Erlöschen des Anspruches genügen, sind auch die privaten Interessen des betroffenen Ausländers weniger stark zu werten als bei einer Ausweisung (vgl. BGE 120 Ib 129 E. 4 S. 130 f.; 122 II 385 E. 3a S. 390). Eine vergleichbare Interessenabwägung wird im Übrigen auch von Art. 8 Ziff. 2 EMRK für einen Eingriff in das Recht auf Achtung des Familienlebens vorausgesetzt (BGE 122 II 1 E. 2 S. 5 f. mit Hinweisen). Unter diesem Gesichtspunkt interessiert namentlich auch, ob den nahen Familienangehörigen zugemutet werden kann, dem Ausländer, der keine Bewilligung erhält, ins Ausland zu folgen. Die Zumutbarkeit der Ausreise für nahe Familienangehörige ist umso eher zu bejahen, als sein Verhalten den weiteren Aufenthalt in der Schweiz als unerwünscht erscheinen lässt. Eine allfällige Unzumutbarkeit der Ausreise ist mitabzuwägen, führt aber nicht für sich allein zur Unzulässigkeit einer Bewilligungsverweigerung (BGE 120 Ib 129 E. 4b S. 131).
3. 3.1 Das Verwaltungsgericht hat im angefochtenen Entscheid ausgeführt, dass ein erhebliches öffentliches Interesse an der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers bestehe: Dieser sei zu Freiheitsstrafen von über zwei Jahren verurteilt worden und habe bei seinen Taten eine beachtliche Gewaltbereitschaft und eine erhebliche kriminelle Energie offenbart. Der Beschwerdeführer sei zudem mehrfach während laufenden Probezeiten von bedingt ausgesprochenen Sanktionen straffällig geworden und habe sich auch durch eine fremdenpolizeiliche Verwarnung am 17. Januar 2003 nicht davon abhalten lassen, weitere Straftaten zu begehen. Gemäss der Rechtsprechung sei bei einer Verurteilung zu einer zweijährigen oder längeren Freiheitsstrafe grundsätzlich von einem schweren Verstoss gegen die Rechtsordnung auszugehen und regelmässig keine Aufenthaltsbewilligung mehr zu erteilen (sog. "Reneja-Praxis"; BGE 110 Ib 201). Zwar gelte diese "Zweijahresregel" primär für ausländische Personen, welche erstmalig um eine Aufenthaltsbewilligung ersuchen oder nach nur kurzem Aufenthalt in der Schweiz eine Verlängerung der Bewilligung beantragen; es müsse jedoch auch berücksichtigt werden, dass diese Rechtsprechung für ausländische Ehegatten von Schweizer Staatsangehörigen entwickelt worden sei: Bei diesen würden nach den Bestimmungen des ANAG strengere Voraussetzungen für eine Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung gelten, als bei ausländischen Ehegatten von Niedergelassenen. Im Ergebnis spreche daher nichts dagegen, die "Zweijahresregel" im vorliegenden Fall als Massstab heranzuziehen.
Sodann hat die Vorinstanz erwogen, es bestünden keine privaten Interessen des Beschwerdeführers, welche das erhebliche öffentliche Interesse an der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung überwiegen würden: Insbesondere vermöge der Beschwerdeführer aus seiner Behauptung, er sei im Kosovo gefährdet, nichts zu seinen Gunsten abzuleiten, zumal er mit dieser Argumentation lediglich die Zulässigkeit des Wegweisungsvollzugs in Frage stelle: Das Kriterium der Zumutbarkeit der Wegweisung könne jedoch gemäss dem Grundsatz der Ausschliesslichkeit des Verfahrens nach Art. 14 AsylG gerade nicht einen Aufenthaltsanspruch begründen.
Auch den Familienangehörigen des Beschwerdeführers sei es zuzumuten, diesem ins Ausland zu folgen: Die Ehefrau stamme ebenfalls aus dem Kosovo und habe bis zu ihrem siebten Lebensjahr dort gelebt. Die in der Heimat lebenden Tanten und Onkel dürften die Ehefrau des Beschwerdeführers dabei unterstützen, im Kosovo eine neue Existenz aufzubauen. Zwar sei nicht zu verkennen, dass die Ausreise für die Familie hart sei und für die Tochter A._ mit Blick auf die anscheinend erforderliche ärztliche Betreuung möglicherweise gar an der Grenze des Zumutbaren liege, indes seien sämtliche Kinder noch in einem anpassungsfähigen Alter. Im Übrigen bleibe der Entscheid, dem Beschwerdeführer in den Kosovo zu folgen, der Ehefrau überlassen; es bestehe auch die Möglichkeit, dass sie mit den Kindern in der Schweiz bleibe und der Beschwerdeführer seine Familie im Rahmen von Kurzaufenthalten besuche.
In Berücksichtigung der genannten Gründe gelangte das Verwaltungsgericht zum Schluss, dass bei einer Interessenabwägung bezüglich der Verwirkung des Aufenthaltsrechts gem. Art. 17 Abs. 2 Satz 4 ANAG das öffentliche Interesse an der Ausreise des Beschwerdeführers stärker zu gewichten sei, als das Interesse des Beschwerdeführers, seiner Ehefrau und der gemeinsamen Kinder an einer Verlängerung von dessen Aufenthaltsbewilligung.
3.2 Demgegenüber behauptet der Beschwerdeführer, eine korrekte Interessenabwägung führe zum Schluss, dass seine privaten und familiären Interessen überwiegen würden:
Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines bedeutsamen öffentlichen Interesses an seiner Fernhaltung aus der Schweiz. Er bringt diesbezüglich in erster Linie vor, die sog. "Reneja-Praxis" sei im vorliegenden Fall nicht anwendbar, zumal diese ausschliesslich für das erstmalige Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung oder um Erneuerung derselben nach kurzer Aufenthaltsdauer gelte; er, der Beschwerdeführer, lebe jedoch bereits seit längerer Zeit in der Schweiz. Weiter sei zu berücksichtigen, dass es sich bei der "Zweijahresregel" nur um einen Richtwert handle und bezüglich des Strafmasses keine feste Grenze gezogen werde. Ausserdem lägen die von ihm verwirkten Freiheitsstrafen nur minimal über diesem Richtwert von zwei Jahren.
Sodann lässt der Beschwerdeführer vortragen, sein Leben sei im Kosovo akut gefährdet. Es bestehe ein Konflikt mit einer verfeindeten Sippschaft, welche in den Jahren 1999, 2000 und 2005 bereits vier seiner Brüder ermordet habe. In diesem Zusammenhang wird vom Beschwerdeführer gerügt, das Verwaltungsgericht habe den Umstand der bestehenden Gefährdung zu Unrecht nicht in die vorzunehmende Interessenabwägung miteinbezogen. Nur eine umfassende Interessenabwägung, welche insbesondere auch die persönlichen und familiären Umstände des Beschwerdeführers berücksichtige, genüge aber den Anforderungen von Art. 8 EMRK.
Schliesslich wird beschwerdeweise vorgebracht, die Vorinstanz habe es zu Unrecht als zumutbar erachtet, dass die Ehefrau des Beschwerdeführers und die gemeinsamen Kinder diesem in den Kosovo folgen: Diese Einschätzung des Verwaltungsgerichts lasse die Gefahr für Leib und Leben ausser Betracht, welche nicht nur dem Beschwerdeführer drohe, sondern auch seiner Familie. Selbige verfüge zudem über keine oder nur unzureichende Kenntnisse der albanischen Sprache. Auch sei unberücksichtigt geblieben, dass die Tochter A._ aufgrund medizinischer Probleme einer aufwendigen Betreuung durch die Eltern bedürfe und auch Krankenhausaufenthalte notwendig seien. Ebenfalls habe die Vorinstanz zu Unrecht und ohne Abnahme der beantragten Beweise (Einholung eines entsprechenden Berichtes bei der Kreisschulpflege) angenommen, dass die Integration und die ausserfamiliären Beziehungen des Sohnes B._ noch nicht besonders intensiv seien; das Gegenteil treffe zu. Die sachverhaltlichen Feststellungen des Verwaltungsgerichts seien auch insofern unzutreffend, als die Ehefrau - anders als von der Vorinstanz angenommen - keine im Kosovo lebenden Tanten und Onkel habe.
In Zusammenhang mit den obenstehenden Einwendungen rügt der Beschwerdeführer die falsche Anwendung von Art. 17 Abs. 2 ANAG und Art. 8 EMRK, eine unzulässige antizipierte Beweiswürdigung, eine Verletzung der Begründungspflicht sowie eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung.
3.3 Die Einwände des Beschwerdeführers vermögen nicht zu überzeugen:
Das Verwaltungsgericht hat in nachvollziehbarer Weise dargelegt, weshalb es die "Zweijahresregel" trotz der Tatsache als anwendbar erachtet hat, dass der Beschwerdeführer nicht zum ersten Mal um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung ersucht hat und schon seit einiger Zeit in der Schweiz wohnt. Wie der Beschwerdeführer überdies selber zutreffend festgestellt hat, handelt es sich aber bei der "Zweijahresregel" ohnehin nur um einen Richtwert und nicht um eine starre Grenze; entscheidend sind die Umstände des Einzelfalls (BGE 120 Ib 6 E. 4b). Die deliktischen Handlungen des Beschwerdeführers werden durch die begründeten Strafurteile eindrücklich veranschaulicht. In Übereinstimmung mit dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich ist diesbezüglich festzustellen, dass von einer ganz erheblichen Gewaltbereitschaft, Brutalität und kriminellen Energie des Beschwerdeführers auszugehen ist: Weder vor Schutzgelderpressungen, noch vor Faustschlägen und Fusstritten gegen widerstandsunfähige Opfer oder vor der illegalen Beschaffung von Schusswaffen schreckte der Beschwerdeführer zurück. Er demonstrierte dadurch seine besonders ausgeprägte Geringschätzung für die schweizerische Rechtsordnung im Allgemeinen und die physische und psychische Integrität anderer Menschen im Besonderen. Ein derartiges Verhalten schliesst - unabhängig von der Höhe der hierfür verhängten Sanktion - ein Verbleiben des Ausländers in der Schweiz grundsätzlich aus. In jedem Fall haben die Vorinstanzen bei dieser Sachlage zu Recht angenommen, dass ein sehr gewichtiges öffentliches Interesse daran bestehe, dem Beschwerdeführer die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zu verweigern.
Dem Beschwerdeführer ist zwar darin zuzustimmen, dass die von ihm behauptete Gefährdungssituation im Kosovo nicht ausschliesslich auf die Frage der Zulässigkeit des Wegweisungsvollzugs reduziert werden kann: Bei einer umfassenden Gegenüberstellung der öffentlichen Interessen an der Ausreise des Beschwerdeführers und dessen individuellem Interesse an einem Verbleib in der Schweiz ist auch der Aspekt der persönlichen Sicherheit des Beschwerdeführers in seinem Heimatland angemessen mit zu berücksichtigen. Jedoch vermag der Beschwerdeführer hieraus nichts zu seinen Gunsten abzuleiten: Aus seinen Schilderungen und den von ihm eingereichten Unterlagen geht hervor, dass die ins Feld geführten Tötungsdelikte zum Nachteil seiner Brüder in Zusammenhang mit Auseinandersetzungen verschiedener Gruppierungen standen, bei welchen es darum ging, das Machtvakuum nach Beendigung des Kosovokrieges (1999) auszufüllen. In der Zwischenzeit hat im Kosovo jedoch eine politische Konsolidierung stattgefunden: Seit seiner Unabhängigkeitserklärung am 17. Februar 2008 ist der Kosovo ein souveräner Staat, welcher auch von der Schweiz formell anerkannt worden ist. Am 15. Juni 2008 ist die neue Verfassung in Kraft getreten, welche dem Land eine demokratische Struktur verleiht und die Einhaltung der Grundrechte garantieren will. Seit dem 9. Dezember 2008 wird der Kosovo zudem durch 1'800 bis 2'000 Polizei-, Justiz- und Verwaltungsangestellte der Rechtsstaatlichkeitsmission der Europäischen Union im Kosovo ("EULEX Kosovo") unterstützt. Aufgrund dieser inzwischen eingetretenen Stabilisierung kann das Vorliegen einer aktuellen und realen Gefährdung des Beschwerdeführers nicht mehr mit der Folge behauptet werden, dass eine Rückkehr in den Kosovo unverhältnismässig wäre.
Soweit der Beschwerdeführer hinsichtlich seiner Familie ausführt, auch diese sei durch Racheaktionen des verfeindeten Clans gefährdet, kann auf die soeben angestellten Ausführungen zur Entwicklung im Kosovo verwiesen werden. In Bezug auf die vom Beschwerdeführer gerügte Sachverhaltsfeststellung, dass seine Ehefrau Tanten und Onkel im Kosovo habe, ist vorab anzumerken, dass sich die diesbezügliche Bemerkung der Vorinstanz auf eine entsprechende Fundstelle in den Akten abstützt. Indes ist auf diese Rüge bereits deshalb nicht näher einzugehen, weil weder ersichtlich ist noch vom Beschwerdeführer dargelegt wurde, inwiefern der fragliche Umstand von massgeblicher Bedeutung wäre. Auch die Rüge, dass das Verwaltungsgericht im Zusammenhang mit den ausserfamiliären Beziehungen des Sohnes B._ eine unzulässige antizipierte Beweiswürdigung vorgenommen habe, geht fehl: Ohne hierdurch Art. 29 BV zu verletzen, durfte die Vorinstanz allein gestützt auf die allgemeine Lebenserfahrung die Feststellung treffen, dass das damals erst achtjährige Kind noch keine signifikanten ausserfamiliären Bindungen geknüpft habe; zu dieser Frage noch einen Bericht der Kreisschulpflege einzuholen, war nicht erforderlich. Betreffend die vorgebrachten medizinischen Probleme der Tochter A._ macht der Beschwerdeführer vor allem geltend, dass die Pflege des Kindes viel Zeit in Anspruch nehme und es der Betreuung durch beide Elternteile bedürfe. Inwiefern eine gemeinsame Rückkehr in den Kosovo dem entgegensteht, ist nicht ersichtlich. Auch dass die dortige medizinische Versorgung möglicherweise nicht in allen Belangen dem schweizerischen Standard entspricht, vermag die Beurteilung der Zumutbarkeit einer Rückkehr der Familie in den Kosovo nicht entscheidend zu beeinflussen: Wie die Vorinstanz zutreffend festgestellt hat, kann die Familie des Beschwerdeführers wählen, ob sie dem Beschwerdeführer in den Kosovo folgen will oder nicht. Sie wird von der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht unmittelbar betroffen, weshalb ihr auch die Möglichkeit offen steht, in der Schweiz zu verbleiben; diesfalls könnte der Kontakt zum Beschwerdeführer mittels gegenseitigen Besuchen stattfinden. Dass der Familie des Beschwerdeführers im einen wie im anderen Fall Unannehmlichkeiten entstehen können, mag zwar zutreffen, doch ist dies einzig dem kriminellen Verhalten des Beschwerdeführers zuzuschreiben.
4. Aus den genannten Gründen ist es nicht zu beanstanden, dass das Verwaltungsgericht zum Schluss gekommen ist, das öffentliche Interesse an einer Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers überwiege dessen private und familiäre Interessen an einem Verbleiben in der Schweiz. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. April 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Zähndler