Sachverhalt:
A. A.a Bis Ende 1995 betrieb die X._ AG (Beschwerdeführerin) eine Weberei und unterhielt im Rahmen dieser Tätigkeit umfangreiche Geschäftsbeziehungen zur Y._ AG. Diese fiel am 1. Dezember 1995 in Konkurs, in dem die Beschwerdeführerin mit Fr. 647'111.-- zu Verlust kam. Dafür macht die Beschwerdeführerin die Revisionsstelle, den Geschäftsführer, zwei Mitglieder des Verwaltungsrats sowie zwei Berater der konkursiten Gesellschaft verantwortlich. Sie liess sich von der Konkursverwaltung die aktienrechtlichen Verantwortlichkeitsansprüche abtreten und reichte am 19. September 1997 beim Kantonsgericht von Appenzell Ausserrhoden Klage auf Zahlung von Fr. 647'111.-- nebst Zins gegen die genannten Personen ein.
Am 28. April 1999 wies das Kantonsgericht die Klage ab. Auf Appellation der Beschwerdeführerin bestätigte das Obergericht von Appenzell Ausserrhoden diesen Entscheid mit Urteil vom 27. Juni 2000.
A.b Gegen den Entscheid des Obergerichts führte die Beschwerdeführerin sowohl staatsrechtliche Beschwerde als auch Berufung. Während das Bundesgericht die staatsrechtliche Beschwerde abwies, soweit es darauf eintrat, hiess es die Berufung teilweise gut (Urteil 4C.366/2000 vom 19. Juni 2001). In Bezug auf den unmittelbaren Schaden wies das Bundesgericht die Angelegenheit zur Ergänzung des Sachverhalts an das Obergericht zurück, da dieses den bundesrechtlichen Schadensbegriff verkannt hatte. Hinsichtlich des mittelbaren Schadens erwog das Bundesgericht, die Erhöhung der Liquidität durch Kreditaufnahme sei nur zulässig gewesen, wenn sie für die Fortsetzung der Geschäftstätigkeit notwendig war und zudem nach dem gewöhnlichen Geschäftsgang mit Gewinnen gerechnet werden durfte oder wenn durch flankierende Massnahmen derartige Gewinnaussichten geschaffen wurden. Es wies die Sache daher auch in Bezug auf die fraglichen Sanierungsbemühungen zur Ergänzung der tatsächlichen Feststellungen an das Obergericht zurück.
A.c Nach Durchführung eines Beweisverfahrens wies das Obergericht von Appenzell Ausserrhoden die Appellation der Beschwerdeführerin mit Urteil vom 29. Mai 2007 erneut ab. Mit Bezug auf den mittelbaren Schaden prüfte das Obergericht, ob die Beschwerdeführerin im jetzigen Zeitpunkt überhaupt noch legitimiert sei, einen solchen geltend zu machen. Dies verneinte das Obergericht, da die Y._ AG am 24. April 1997 von Amtes wegen im Handelsregister gelöscht worden war, womit die aus Art. 260 SchKG abgeleitete Prozessführungsbefugnis der Beschwerdeführerin als Nebenrecht untergegangen sei.
A.d Die von der Beschwerdeführerin gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde in Zivilsachen hiess das Bundesgericht mit Urteil vom 22. Mai 2008 teilweise gut und wies die Sache abermals an das Obergericht von Appenzell Ausserrhoden zurück, damit dieses die bereits im Rückweisungsentscheid 4C.366/2000 angeordnete Sachverhaltsergänzung betreffend den indirekten Schaden vornehme. Im Übrigen wies das Bundesgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
B. Mit Schreiben vom 14. August 2008 wandte sich das Obergericht an die Parteien und räumte ihnen Gelegenheit ein, sich zum weiteren Vorgehen zu äussern. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin beantragte daraufhin, dass der Fall durch Richter beurteilt werde, die an den beiden früheren Entscheiden vom 27. Juni 2000 und vom 29. Mai 2007 nicht beteiligt waren, da sie sonst gegen ihre eigene Beurteilung entscheiden müssten und daher befangen wären. Somit richtete sich das Ausstandsbegehren gegen Oberrichter A._ (Beschwerdegegner 1), Oberrichter B._ (Beschwerdegegner 2), Oberrichter C._ (Beschwerdegegner 3), sowie Oberrichterin D._ (Beschwerdegegnerin 4) (gemeinsam: die Beschwerdegegner).
Das Obergericht von Appenzell Ausserrhoden wies die vier Ausstandsbegehren in anderer Besetzung je mit Beschluss vom 4. Juni 2009 ab.
C. Mit vier in separaten Eingaben erhobenen Beschwerden in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, die Beschlüsse des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden vom 4. Juni 2009 seien aufzuheben und die Ausstandsbegehren seien gutzuheissen.
Sowohl die Beschwerdegegner als auch die Vorinstanz haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. Mit dem Entscheid in der Sache werden die Gesuche der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
1.1 Die vier angefochtenen Beschlüsse vom 4. Juni 2009 betreffen die gleiche Streitsache und die erhobenen Beschwerden werfen dieselben Rechtsfragen auf. Es rechtfertigt sich daher, die vier Beschwerdeverfahren 4A_381/2009, 4A_383/2009, 4A_385/2009 und 4A_387/2009 zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu behandeln.
1.2 Bei den angefochtenen Beschlüssen des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden handelt es sich um kantonal letztinstanzliche, selbständig eröffnete Zwischenentscheide über Ausstandsbegehren (Art. 75 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und auf die Beschwerden ist grundsätzlich einzutreten.
2. 2.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.2 Die Beschwerdeführerin begründet ihre Beschwerde unter anderem damit, das Obergericht habe sich über die Anweisungen des Bundesgerichts hinweggesetzt, um die Beklagten als "Vertreter der einheimischen appenzell-ausserrhodischen Industrie" nicht verurteilen zu müssen und beruft sich in diesem Zusammenhang auf eine "Verflechtung mit dem lokalen Grossunternehmen Z._ AG. Die nunmehr vor Bundesgericht behaupteten Umstände lassen sich dem angefochtenen Entscheid nicht entnehmen und sind von der Beschwerdeführerin im Ausstandsbegehren vor der Vorinstanz auch nicht geltend gemacht worden. Die entsprechenden Ausführungen haben daher im Beschwerdeverfahren unbeachtet zu bleiben.
3. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Anspruchs auf einen unbefangenen, unvoreingenommenen und unparteiischen Richter (Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK).
3.1 Die Beschwerdeführerin führt dazu aus, das Obergericht habe im zu beurteilenden Fall bereits zweimal falsch entschieden. Nach der ersten Rückweisung durch das Bundesgericht habe die Vorinstanz zwar ein Gutachten veranlasst. Dessen Resultat sei aber vollständig zugunsten der Beschwerdeführerin ausgefallen und habe exakt deren Standpunkt bestätigt. Dies habe dem Obergericht, so die Beschwerdeführerin weiter, anscheinend nicht gepasst, weshalb es entschieden habe, die Klage wegen angeblich falscher Aktivlegitimation abzuweisen. Dieses Vorgehen wiege besonders schwer, weil die Aktivlegitimation noch gar nie bestritten gewesen sei und die Vorinstanz sie im ersten Entscheid sogar ausdrücklich bejaht habe. Die dem neuen Entscheid der Vorinstanz vom 29. Mai 2007 zugrunde gelegte Rechtsauffassung sei ausserdem vollkommen unhaltbar. Das Obergericht habe die Aktivlegitimation der Beschwerdeführerin nicht plötzlich in guten Treuen verneinen können, nachdem es diese zunächst ausdrücklich bejaht habe.
Im zu beurteilenden Fall seien Umstände, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, offensichtlich gegeben. Das Verhalten des Obergerichts erwecke den Eindruck, dass die Richter die Beklagten partout nicht verurteilen wollten. Als eine solche Verurteilung auch aufgrund der Expertise unausweichlich erschienen sei, habe es die Klage kurzerhand aus einem anderen, unhaltbaren und bereits früher gegenteilig beurteilten Grund abgewiesen. Es sei daher ernsthaft zu befürchten, dass es die Klage auch ein drittes Mal abweisen würde, wenn die gleichen Richter nochmals urteilen könnten. Zu berücksichtigen sei schliesslich, dass die Beschwerdegegner sich nicht an die Auffassung und an die Anweisungen des Bundesgerichts gehalten, sondern sich in krasser Weise darüber hinweggesetzt hätten.
3.2 Die Beschwerdeführerin beruft sich insbesondere auf Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Sie erwähnt ausserdem zwar weitere kantonale Bestimmungen, macht aber nicht geltend, das kantonale Recht über den Ausstand gehe über die verfassungs- und konventionsrechtlichen Garantien des unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richters hinaus. Die Rüge ist daher nur unter dem Blickwinkel dieser Garantien zu prüfen.
3.2.1 Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Der Anspruch auf den verfassungsmässigen Richter wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit begründen (BGE 134 I 238 E. 2.1 S. 240; 131 I 24 E. 1.1 S. 25, 113 E. 3.4 S. 116; je mit Hinweisen).
Der Eindruck möglicher Voreingenommenheit kann bei den Parteien mitunter dann entstehen, wenn einzelne Gerichtspersonen in einem früheren Verfahren mit der konkreten Streitsache bereits einmal befasst waren. In einem solchen Fall sogenannter Vorbefassung fragt sich, ob sich ein Richter durch seine Mitwirkung an früheren Entscheidungen in einzelnen Punkten bereits in einem Mass festgelegt hat, das ihn nicht mehr als unvoreingenommen und dementsprechend das Verfahren als nicht mehr offen erscheinen lässt (BGE 131 I 113 E. 3.4 S. 116 f. mit Hinweisen).
Ob eine unzulässige, den Verfahrensausgang vorwegnehmende Vorbefassung eines Richters vorliegt, kann nicht generell gesagt werden. Es ist vielmehr in jedem Einzelfall - anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände - zu untersuchen, ob die konkret zu entscheidende Rechtsfrage trotz Vorbefassung als noch offen erscheint (BGE 131 I 113 E. 3.4 S. 117 mit Hinweisen).
Der Umstand allein, dass ein Richter an einem Urteil mitgewirkt hat, das im Rechtsmittelverfahren aufgehoben wird, schliesst diesen nach der Rechtsprechung nicht von der Neubeurteilung der zurückgewiesenen Sache aus. Ist ein Verfahrensfehler begangen oder materielles Recht verletzt und daher ein Entscheid erfolgreich angefochten worden, darf und muss von den daran beteiligten Richtern grundsätzlich erwartet werden, dass sie die Sache objektiv und unparteiisch nochmals behandeln (BGE 131 I 113 E. 3.6 S. 120 mit Hinweisen).
3.2.2 Die Tatsache, dass das Urteil des Obergerichts vom Bundesgericht zum zweiten Mal aufgehoben und zurückgewiesen wurde, vermag nach dem Gesagten für sich allein noch keinen Anschein der Befangenheit zu erwecken. Zwar ist es denkbar, dass ein Richter aufgrund weiterer Umstände bei der Neubeurteilung nicht mehr als unvoreingenommen zu betrachten wäre. Der Anspruch auf den verfassungsmässigen Richter umfasst allerdings nicht die Garantie fehlerfreien richterlichen Handelns. Entsprechende Mängel begründen grundsätzlich keinen Anschein der Befangenheit. Verfahrensverstösse oder ein möglicherweise falscher materieller Entscheid sind im Allgemeinen im dazu vorgesehenen Rechtsmittelverfahren zu rügen. Anders verhält es sich lediglich, wenn besonders krasse oder wiederholte Irrtümer vorliegen, diese einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zu Lasten einer der Prozessparteien auswirken können (BGE 125 I 119 E. 3e S. 124; 115 Ia 400 E. 3b S. 404; 114 Ia 153 E. 3b/bb S. 158 f.; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin hat keine konkreten Umstände aufgezeigt, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit der Beschwerdegegner begründen. Es ist zwar ungewöhnlich, dass das Bundesgericht, nachdem es ein Urteil zur Sachverhaltsergänzung an die Vorinstanz zurückweist, den in der Folge ergangenen Entscheid erneut aufheben und mit der Massgabe zurückweisen muss, dass diese die bereits im ersten Rückweisungsentscheid angeordnete Sachverhaltsergänzung vornehme. Verfehlungen der Beschwerdegegner, die mit einer schweren Amtspflichtverletzung gleichzusetzen wären, hat die Beschwerdeführerin jedoch nicht dargetan.
Während das Obergericht in seinem ersten Entscheid unter anderem den Begriff der Sanierung im Sinne von Art. 725a OR verkannte, verliess es in seinem zweiten Entscheid den rechtlichen Rahmen, den das Bundesgericht mit seinem ersten Rückweisungsentscheid vorgegeben hatte. Diese Mängel erwecken für sich allein nicht den Anschein der Voreingenommenheit der Beschwerdegegner. Das Obergericht hat nach der ersten Rückweisung zunächst ein aufwändiges Beweisverfahren durchgeführt, in dessen Rahmen eine Expertise erstellt wurde, aber schliesslich die Klage - in Verletzung von Bundesrecht - mangels Aktivlegitimation abgewiesen, wozu es keiner neuen Beweise bedurft hätte. Wenn dies für die Beschwerdeführerin überraschend kam, ist dies zumindest einfühlbar. Der Anschein der Befangenheit ist damit indessen noch nicht dargetan. Die Beschwerdeführerin bringt lediglich vor, das Resultat des Gutachtens sei vollständig zu ihren Gunsten ausgefallen, ohne diese Ansicht weiter zu begründen. Der angebliche Zusammenhang zwischen den Ergebnissen des gerichtlichen Gutachtens sowie dem Entscheid des Obergerichts, die Klage der Beschwerdeführerin auf Ersatz mittelbaren Schadens mangels Aktivlegitimation abzuweisen, wurde weder vor der Vorinstanz noch vor Bundesgericht hinreichend aufgezeigt. Den für das Bundesgericht massgeblichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 BGG) lassen sich keine zur zweimaligen Rückweisung durch das Bundesgericht hinzutretende Hinweise entnehmen, die auf die behauptete Voreingenommenheit bzw. Parteilichkeit der Beschwerdegegner schliessen liessen. Konkrete Umstände, die einen Anschein der Befangenheit begründen würden, sind nicht erstellt.
Die Rüge der Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK erweist sich als unbegründet.
4. Die Beschwerden erweisen sich als unbegründet und sind abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen werden keine zugesprochen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht von Appenzell Ausserrhoden, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Oktober 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann