Sachverhalt:
A. A.a Am 20. Februar 2007 leitete die Bank Z._ gegen X._ die Betreibung auf Grundpfandverwertung ein. In der Folge wurde der Bank die provisorische Rechtsöffnung für den geforderten Betrag erteilt. Die daraufhin erhobene Aberkennungsklage des Schuldners wurde am 30. September 2009 abgewiesen. Das Betreibungsamt A._ setzte die Versteigerung der Liegenschaft auf den 1. September 2010 an.
A.b Mit negativer Feststellungsklage vom 23. Juni 2010 verlangte X._ beim Bezirksgericht Aarau u.a. die vorläufige Einstellung der Betreibung. Er machte geltend, sich mit der Bank im Rahmen eines novierenden Vergleichs auf die Zahlung von Fr. 150'000.-- geeinigt zu haben. Zudem stellte er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
A.c Mit Verfügung vom 28. Juni 2010 wies der Gerichtspräsident das Gesuch ab, da das gestellte Begehren aussichtslos sei. Er setzte dem Kläger eine Frist von 20 Tagen ab Rechtskraft der Verfügung zur Leistung des Kostenvorschusses an. Das Obergericht des Kantons Aargau wies die gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege erhobene Beschwerde am 16. August 2010 ab. Der daraufhin beim Bundesgericht erhobenen Beschwerde in Zivilsachen war ebenfalls kein Erfolg beschieden (Urteil 5A_684/2010 vom 20. Oktober 2010).
A.d Der Gerichtspräsident setzte X._ persönlich am 8. November 2010 eine letzte Frist von 10 Tagen zur Leistung des Kostenvorschusses an, unter Hinweis auf die Säumnisfolgen. Dessen Rechtsvertreter ersuchte daraufhin am 22. November 2010 um Erstreckung der Frist bis Ende Dezember 2010. Mit Verfügung vom 24. November 2010 wurde ihm die Frist bis am 15. Dezember 2010 erstreckt, ebenfalls unter Hinweis auf die Säumnisfolgen. Am 2. Dezember 2010 stellte X._ beim Bezirksgericht erneut ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, welches der Gerichtspräsident am 6. Dezember 2010 abwies. Das Obergericht wies die dagegen erhobene Beschwerde am 6. Januar 2011 und das Bundesgericht am 14. März 2011 erneut ab (Urteil 5A_123/2011 vom 14. März 2011).
B. Am 19. Januar 2011 trat das Bezirksgericht auf die negative Feststellungsklage von X._ vom 23. Juni 2010 mangels Leistung des Kostenvorschusses nicht ein. Gegen dieses Urteil erhob der Kläger Berufung an das Obergericht. Sein gleichzeitig eingereichtes Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wies der Instruktionsrichter mit Verfügung vom 1. Juni 2011 ab. Zudem setzte er ihm eine Frist zur Leistung des Kostenvorschusses von 20 Tagen an, welche er auf Ersuchen schliesslich bis zum 16. Juli 2011 erstreckte.
C. X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. Juli 2011 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung der obergerichtlichen Verfügung vom 1. Juni 2011 und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz. Eventualiter schliesst er auf Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Verfahren. Zudem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Mit Verfügung vom 13. Juli 2011 erteilte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung.
Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. Angefochten ist eine kantonal letztinstanzliche Verfügung (Art. 75 Abs. 1 BGG), mit der dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren verweigert worden war. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 129 I 129 E. 1. S. 131). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg der Hauptsache (BGE 133 III 645 E. 2.2 S. 647). Diese ist eine negative Feststellungsklage mit einem Antrag über der gesetzlichen Streitwertgrenze, welche letztinstanzlich mit Beschwerde in Zivilsachen beim Bundesgericht angefochten werden kann (Art. 72 Abs. 2 lit. a und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Gegen die obergerichtliche Verfügung ist daher die Beschwerde in Zivilsachen ebenso gegeben. Mit ihr kann eine Verletzung von Bundesrecht gerügt werden, zu welchem auch das Verfassungsrecht gehört (Art. 95 lit. a BGG).
2. Anlass zur vorliegenden Beschwerde bildet die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren. Dieses erweise sich gemäss der angefochtenen Verfügung des Obergerichts als aussichtslos.
2.1 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vorab vor, den entscheidwesentlichen Sachverhalt in seiner Verfügung unrichtig, da unvollständig im Sinne von Art. 97 BGG festgestellt zu haben. Zudem beruhe die vorinstanzliche Tatsachenfeststellung auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG. In seiner Berufung gegen das erstinstanzliche Urteil vom 19. Januar 2011 habe er eine massgebliche Tatsache vorgebracht, welche unberücksichtigt geblieben sei. Dadurch habe das Obergericht sein rechtliches Gehör im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BV verletzt.
2.2 Gemäss Art. 29 Abs. 2 BV hat der Betroffene das Recht, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zu äussern, Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen und zum Beweisergebnis zu äussern. Diesem persönlichen Mitwirkungsrecht entspricht die Pflicht der Behörde, die entscheidwesentlichen Argumente und Verfahrensanträge der Partei, tatsächlich zu hören, zu prüfen und zu berücksichtigen (BGE 124 I 241 E. 2 S. 242).
2.3 Konkret geht es um den Hinweis des Beschwerdeführers auf das Telefongespräch des Mitarbeiters seines Rechtsvertreters, seinerseits Rechtsanwalt, mit der Gerichtsschreiberin des Bezirksgerichts vom 13. Dezember 2010. Nach kanzleiinternen Abklärungen sei dem Anrufer mitgeteilt worden, dass das Bezirksgericht dem Kläger nach einer allfälligen Abweisung seiner Beschwerde gegen die Nichtgewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Hauptverfahren eine neue Frist für die Leistung des Kostenvorschusses ansetzen werde. Den Inhalt dieses Gespräches habe er im Schreiben vom gleichen Tag an das Bezirksgericht festgehalten. Darauf habe das Obergericht in der nunmehr angefochtenen Verfügung mit keinem Wort Bezug genommen. Stattdessen sei es davon ausgegangen, dass die Säumnisfolgen für die Nichtleistung des Kostenvorschusses eingetreten und die Erstinstanz damit höchstwahrscheinlich zu Recht auf die Klage nicht eingetreten sei. Die dagegen erhobene Berufung erscheine folglich als aussichtslos, was zur Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren führe.
2.4 Aus dem Schreiben des Klägers an das Bezirksgericht vom 13. Dezember 2010, welches sich in den kantonalen Akten befindet, geht hervor, dass gemäss Auskunft der Gerichtsschreiberin die am 15. Dezember 2010 ablaufende Frist zur Leistung des Kostenvorschusses durch die Einreichung der Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege hinfällig sei. Sollte das Obergericht die Beschwerde abweisen, werde eine neue Frist angesetzt. Wie es sich damit nach dem seinerzeitigen kantonalen Verfahrensrecht verhält und unter welchen Voraussetzungen eine Partei sich auf eine allenfalls nicht zutreffende Auskunft verlassen darf, kann an dieser Stelle offen bleiben. Entscheidend ist einzig, dass die Vorinstanz bei der Prüfung der Prozesschancen einer Berufung auf die genannte Auskunft des Gerichts nicht eingegangen ist. Damit hat sie ein hierfür massgebliches Vorbringen übergangen und den Gehörsanspruch des Beschwerdeführers verletzt. Dies führt zur Gutheissung der Beschwerde, ohne dass die weiteren Rügen zu prüfen sind.
3. Nach dem Dargelegten ist der Beschwerde Erfolg beschieden und die angefochtene Verfügung ist aufzuheben. Der Kanton Aargau hat keine Kosten zu tragen, muss aber den Beschwerdeführer für das Verfahren vor Bundesgericht entschädigen (Art. 66 Abs. 4 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird damit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen, und die Verfügung des Instruktionsrichters des Obergerichts des Kantons Aargau vom 1. Juni 2011 wird vollumfänglich aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante