Faits:
A. Dès la fin de septembre 2006, A._ est entrée au service de X._ Sàrl, à Carouge, pour pratiquer à temps complet la coiffure au domicile des clientes et clients de l'entreprise. L'employeuse lui a versé un salaire mensuel brut de 3'600 fr., sur lequel elle retenait, outre les déductions sociales, un montant de 300 fr. en contrepartie de l'utilisation d'un véhicule. Cette automobile demeurait constamment à la disposition de la travailleuse mais celle-ci, qui habitait en France, ne pouvait l'utiliser qu'en Suisse.
Les parties ont conclu un nouveau contrat, cette fois par écrit, le 3 mai 2007. Le taux d'activité et le salaire mensuel brut étaient respectivement réduits à 90% et à 3'240 francs. La travailleuse conservait l'usage du véhicule mais elle ne devait désormais aucune contrepartie. En conséquence, dès avril 2007, son salaire mensuel net a progressé d'environ 40 francs. De fait, elle a continué d'être employée comme auparavant, sans réduction réelle de son taux d'activité. Selon les explications de l'employeuse, celle-ci cherchait à diminuer ses charges sociales.
Le nouveau contrat comportait des clauses concernant la perte de gain en cas d'empêchement de travailler. L'employeuse s'obligeait à conclure un contrat d'assurance qui prévoirait une indemnité correspondant à 80% du salaire brut pendant sept cent trente jours, au maximum, par cas de maladie, avec un délai d'attente de trente jours; l'employeuse verserait le salaire, au taux de 80%, pendant ce délai. L'employeuse a conclu, semble-t-il, ce contrat d'assurance, mais elle n'a pas fait les versements nécessaires au maintien de la couverture; néanmoins, elle a retenu sur le salaire la prime qui incombait à la travailleuse.
B. A._ s'est dite malade et elle a suspendu son activité dès le 29 janvier 2008. Elle a restitué l'automobile. Elle a transmis des certificats de son médecin traitant établis les 29 janvier, 14 et 20 février, 7 et 17 mars, 17 avril, 22 mai et 23 juin 2008, qui attestaient de son incapacité de travailler.
Au début de juin 2008, l'employeuse a chargé le docteur B._ d'établir une expertise médicale. Sur la base des renseignements reçus du médecin traitant et d'un examen de la patiente effectué le 27 juin, ce praticien a rédigé un rapport daté du 19 août 2008.
Entre-temps, en mai 2008, A._ s'était rendue en voyage d'agrément au Mexique durant une semaine. Par ailleurs, le 23 mai, l'employeuse a résilié le contrat de travail avec effet au 30 juin 2008.
C. Le 7 août 2008, A._ a ouvert action contre l'employeuse devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève; après amplification de sa demande, elle élevait des prétentions au total d'environ 29'500 fr. en capital. Outre des indemnités pour licenciement abusif et réparation morale, elle réclamait surtout des arriérés de salaire.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action.
Le tribunal a recueilli divers témoignages; il a notamment entendu le docteur B._ dont la défenderesse avait produit le rapport.
Le tribunal s'est prononcé le 26 mars 2009; accueillant partiellement l'action, il a condamné la défenderesse à payer la somme brute de 16'235 fr.60, soumise aux déductions sociales, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er juillet 2008. Ce montant comprend 3'888 fr. à titre de complément de salaire pour les mois d'avril 2007 à février 2008, 11'520 fr. à titre de dommages-intérêts pour des indemnités de perte de gain non perçues de mars à juin 2008, et 827 fr.60 à titre d'indemnité pour une semaine de vacances non prise. La défenderesse doit en outre établir et remettre des bulletins de salaire pour les mois d'avril 2007 à juin 2008.
Saisie par la défenderesse, la Cour d'appel a statué le 11 novembre 2009; elle a confirmé le jugement.
D. Agissant par la voie du recours en matière civile, la défenderesse requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour d'appel en ce sens que l'action soit entièrement rejetée.
La demanderesse conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF); le recours a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); en règle générale, les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2. Il est constant que dès le début de la collaboration de la demanderesse, les parties se sont liées par un contrat de travail selon l'art. 319 CO.
La Cour d'appel constate en fait que la demanderesse a toujours travaillé à temps complet au service de la défenderesse, même après qu'un engagement réduit à 90% eut été censément convenu; elle retient en droit que cette première partie a donc conservé le droit au salaire initialement convenu pour un engagement à temps complet, soit 3'600 fr. par mois. La Cour retient de plus que l'usage du véhicule fourni par la défenderesse, désormais gratuit, ne constituait pas un salaire en nature parce que la demanderesse n'en avait pas la libre disposition.
La défenderesse se plaint d'arbitraire et elle conteste que l'usage gratuit du véhicule, dès avril 2007, n'ait pas constitué un salaire en nature; à son avis, selon le contrat initial des parties, cette prestation valait 300 fr. par mois.
Devant la Cour, la demanderesse a expliqué que le véhicule mis à sa disposition ne lui avait servi que pour ses déplacements professionnels en Suisse; elle devait le laisser à proximité de la frontière et utiliser son propre véhicule entre ce lieu de stationnement et son domicile en France. La défenderesse se réfère à ces déclarations sans les mettre en doute. Le Tribunal fédéral peut donc, en application de l'art. 105 al. 2 LTF, compléter les constatations déterminantes selon ces mêmes déclarations.
A teneur de l'art. 327a al. 1 et 3 CO, l'employeur doit rembourser au travailleur tous les frais imposés par l'exécution du travail (al. 1), et les accords en vertu desquels le travailleur supporte lui-même tout ou partie des frais nécessaires sont nuls (al. 3). La défenderesse devait donc prendre en charge les frais de déplacement de la demanderesse au lieu où celle-ci accomplissait son travail, soit au domicile de chaque client (Rémy Wyler, Droit du travail, 2e éd., 2008, p. 282, avec références à d'autres auteurs); elle le faisait de manière adéquate en lui fournissant un véhicule. En tant que le contrat initial reportait les frais de déplacement sur la demanderesse, par le biais d'une retenue sur le salaire mensuel au montant de 300 fr. en contrepartie de l'usage du véhicule, il s'agissait d'un accord nul au regard de l'art. 327a al. 3 CO.
Le salaire convenu est dû au travailleur selon l'art. 322 al. 1 CO; il comprend éventuellement des prestations en nature telles que la jouissance d'un appartement, l'usage d'un véhicule, ou le logement et l'entretien dans le ménage de l'employeur (ATF 131 III 615 consid. 5.1 p. 619). En l'espèce, la demanderesse avait effectivement un véhicule à sa disposition mais elle devait respecter des restrictions d'utilisation qui ne lui permettaient guère de l'employer en dehors de son activité au service de l'employeuse. Au regard de cette situation, il s'impose de retenir que l'usage du véhicule, cédé à la demanderesse, correspondait exclusivement à la prise en charge des frais nécessaires incombant à l'employeuse, sans constituer de plus un élément du salaire. Au sujet de cette prestation en nature, l'appréciation de la Cour est donc conforme aux dispositions de droit fédéral applicables; pour le surplus, il n'est pas contesté que la demanderesse eût droit, en contrepartie de son travail, à un salaire mensuel de 3'600 francs.
Ainsi, la Cour reconnaît à bon droit un arriéré de 360 fr. pour chacun des mois d'avril 2007 à janvier 2008, correspondant à la différence entre le salaire dû et celui effectivement versé, soit 3'600 fr. pour dix mois.
3. Il est constant que la demanderesse a cessé de travailler dès le 29 janvier 2008. La Cour d'appel constate qu'elle était alors empêchée de travailler pour cause de maladie et elle lui reconnaît le droit aux prestations contractuelles dues en pareil cas. La défenderesse conteste que sa cocontractante fût réellement hors d'état de travailler; invoquant l'art. 9 Cst., elle se plaint d'une appréciation arbitraire des preuves.
En ce qui concerne l'appréciation des preuves et la constatation des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle parvient à des constatations insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1; voir aussi ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62).
Dès le début de son absence, la demanderesse a remis à l'employeuse un certificat médical qu'elle a ensuite renouvelé. Elle a ainsi prouvé de façon adéquate, en principe, l'existence d'un empêchement de travailler et la cause de cet empêchement (Wyler, op. cit., p. 224); cependant, la défenderesse prétend avoir apporté la contre-preuve avec le rapport et le témoignage du docteur B._.
Le rapport se lit comme suit:
J'ai vu la patiente le vendredi 27 juin 2008 à 14h00. Un complément d'information m'a été communiqué par son médecin traitant le 6 août 2008.
Mes conclusions sont les suivantes:
1. La patiente signale un début de problème avec son poignet gauche suite à une « agression » par un résident lors de l'exercice de ses fonctions à l'EMS de .... La date n'est pas précisée. La consultation et le traitement pour cet événement ont eu lieu quelque temps plus tard en septembre 2007.
2. C'est le 28 janvier 2008 que les douleurs du coude et de l'épaule gauche apparaissent et ne cesseront plus malgré divers traitements.
3. Mon examen clinique révèle peu de concordance avec les plaintes de la patiente, en particulier, aucun signe inflammatoire ni limitation de l'ampliation articulaire au niveau des trois articulations concernées.
A préciser que la patiente est droitière.
4. Les diagnostics donnés par le médecin traitant restent un sujet à débattre puisque les examens complémentaires pour les étayer (bilan sanguin et radiographie standard) étaient strictement dans les normes.
Pas d'examen d'échographie pour aucune des trois articulations.
5. Dans l'hypothèse de l'acceptation conditionnelle d'une impotence fonctionnelle, liée à ces diagnostics, qui empêcherait la patiente d'utiliser son membre supérieur gauche, on peut souligner le fait qu'elle est droitière et, épargnant son membre algique, une reprise d'une autre activité professionnelle aurait pu être envisagée dès le deuxième mois de son arrêt de travail et ceci à un pourcentage progressif.
A l'audience, le docteur B._ a confirmé qu'il n'avait observé aucun élément propre à causer la douleur dont la patiente faisait état, et que ses plaintes étaient à son avis subjectives. Il avait accompli un examen clinique sommaire; des examens complémentaires, aux ultrasons ou IRM, auraient été nécessaires pour un examen complet. L'un des traitements exécutés - une infiltration épicondylienne le 1er mars 2008 - avait pu influencer favorablement la mobilité de l'articulation. Dans son rapport, le docteur B._ envisageait une activité professionnelle qui ne comporterait pas l'emploi du bras gauche.
Selon ses propres déclarations, l'auteur du rapport n'a donc accompli que des investigations partielles, dont le résultat était de plus influencé par le traitement médical déjà intervenu. Le médecin traitant n'a certes pas effectué ni prescrit les examens sans lesquels, d'après le docteur B._, le diagnostic demeurait sujet à caution. Néanmoins, les constatations de ce dernier praticien n'invalident pas de façon certaine ni catégorique les conclusions du médecin traitant. Les deux médecins émettent des avis différents sur des bases apparemment semblables. Dans ces conditions, le juge du fait peut retenir sans arbitraire que les certificats du médecin traitant expriment la vérité au sujet de l'empêchement de travailler et que la défenderesse a échoué dans la contre-preuve. Le voyage fait au Mexique, en mai 2008, n'exclut pas non plus l'incapacité de travail dans l'activité de coiffeuse. Tout cela conduit au rejet du grief tiré de l'art. 9 Cst.
Il n'est pas nécessaire d'examiner en détail les critiques que la défenderesse développe contre divers considérants de la décision attaquée parce que, comme on vient de le voir, ce prononcé n'est de toute manière pas arbitraire dans son résultat (cf. ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153). La défenderesse invoque aussi l'art. 8 CC relatif à la répartition du fardeau de la preuve, mais cette disposition n'est pas en cause dans la présente affaire; en effet, lorsque le juge parvient à constater les faits déterminants pour l'application du droit, il est dispensé de rechercher à quelle partie il incombait de prouver quels faits (ATF 131 III 646 consid. 2.1 p. 649; 128 III 271 consid. 2b/aa in fine p. 277).
Pour le surplus, la défenderesse ne conteste pas que son employée eût droit à son salaire réduit à 80%, ou à une indemnité équivalente, pendant la période d'incapacité de travail. En dépit de ses affirmations, elle n'a donc pas versé sans justification 2'592 fr. pour le mois de février 2008. Au contraire, elle aurait dû verser 3'600 fr. au taux précité, soit 2'880 francs. A juste titre, la Cour d'appel reconnaît un arriéré de 288 fr. pour ce mois.
A juste titre encore, la Cour alloue ce même montant de 2'880 fr. pour chacun des mois de mars à juin 2008, où la demanderesse n'a rien reçu, soit 11'520 francs.
4. La Cour d'appel retient que la demanderesse avait droit à quatre semaines de vacances par année, soit deux semaines pour le premier semestre de 2008. Elle constate que la demanderesse n'a effectivement pris qu'une semaine, lors de son voyage au Mexique, et elle alloue une indemnité pour l'autre de ces semaines; elle confirme le montant de 827 fr.60 que les premiers juges ont calculé sur la base d'un salaire mensuel de 3'600 francs.
Avec raison, la défenderesse fait grief à la Cour de n'avoir opéré aucune réduction du droit aux vacances par suite de l'incapacité de travail.
L'art. 329b al. 1 et 2 CO est libellé comme suit:
1Lorsqu'au cours d'une année de service, le travailleur est, par sa propre faute, empêché de travailler pendant plus d'un mois au total, l'employeur peut réduire la durée de ses vacances d'un douzième par mois complet d'absence.
2Si la durée de l'empêchement n'est pas supérieure à un mois au cours d'une année de service, et si elle est provoquée, sans qu'il y ait faute de sa part, par des causes inhérentes à la personne du travailleur, telles que maladie [ou] accident [...], l'employeur n'a pas le droit de réduire la durée des vacances.
En l'espèce, c'est l'art. 329b al. 2 CO qui est pertinent. Selon la jurisprudence relative à cette disposition quelque peu absconse, la période de référence - qui est en principe l'année de service - est réduite du nombre de mois complets d'absence, moins un qui est un délai de grâce, et le droit aux vacances est calculé pro rata temporis sur le solde; cela s'applique sans changement lorsque la période de référence n'atteint pas l'année de service entière (arrêt 4C.125/1998 du 10 septembre 1998, consid. 3b, JAR 1999 p. 169; Wyler, op. cit., p. 349).
Il n'est pas mis en doute que le premier semestre de 2008 soit la période de référence pertinente. Des cinq mois complets d'absence, il faut retrancher un mois de grâce et la période de présence est donc réduite à deux mois. Pour ces deux mois, le droit aux vacances pro rata temporis atteint deux tiers d'une semaine. Le montant de 827 fr.60, pour une semaine, doit être réduit en conséquence; on parvient à 551 fr.75.
Contrairement au jugement de la Cour d'appel et aussi à l'argumentation de la défenderesse, la semaine du voyage au Mexique n'influence pas le calcul. En effet, la demanderesse n'a pas pris de vacances à ce moment; elle se trouvait alors en incapacité de travail, ce qui n'est pas assimilable à des vacances (Wyler, op. cit., p. 344; Ullin Streiff et Adrian von Kaenel, Arbeitsvertrag, 6e éd., 2006, p. 281 in fine).
5. En définitive, le total obtenu par la demanderesse doit être réduit de 16'235 fr.60 à 15'959 fr.75.
La défenderesse succombe sur l'essentiel de la contestation; elle acquittera donc l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral. Il n'est pas alloué de dépens à l'autre partie car celle-ci a procédé sans le concours d'un avocat pratiquant la représentation en justice.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis et l'arrêt de la Cour d'appel est réformé en ce sens que la défenderesse est condamnée à payer 15'959 fr.75 à titre de salaire brut, soumis aux déductions sociales, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er juillet 2008.
2. La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 600 francs.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 17 février 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin