Erwägungen:
1. X._ machte eine Staatshaftungsklage gegen den Kanton Aargau anhängig, die zuständigkeitshalber an das Bezirksgericht Aarau überwiesen wurde. Der Präsident I des Bezirksgerichts Aarau wies am 21. Januar 2009 das für das Klageverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab; der Entscheid wurde X._ am 4. Februar 2009 zugestellt. Dieser reichte am 4. März 2009 beim Obergericht, Zivilgericht, 4. Kammer, des Kantons Aargau per Fax zwei vom 16. bzw. 28. Februar 2009 datierte Schreiben ein. Das Obergericht trat auf die als Beschwerde entgegengenommenen Eingaben mit Entscheid vom 7. April 2009 nicht ein.
X._ gelangte am 20. Mai 2009 mit einer als ordentliche Beschwerde und subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen den vorerwähnten Entscheid des Obergerichts betitelten, vom 19. Mai 2009 datierten Rechtsschrift ans Bundesgericht.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss Art. 42 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Abs. 1). Dabei ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Abs. 2); es muss sich dabei um schweizerisches Recht handeln (Art. 95 BGG). Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids, die für dessen Ergebnis ausschlaggebend sind, auseinandersetzen. Wird ein Nichteintretensentscheid angefochten, hat sich die Beschwerdebegründung auf den von der Vorinstanz herangezogenen Nichteintretensgrund zu beziehen. Beruht der (Nichteintretens-)Entscheid wie vorliegend auf kantonalem (Verfahrens-)Recht, fällt praktisch nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte in Betracht, welche spezifischer Begründung bedarf (Art. 106 Abs. 2 BGG); namentlich genügt appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht.
2.2 Die Vorinstanz hat zwei Nichteintretensgründe genannt. Einerseits hat sie erkannt, dass die Beschwerdefrist mit Fax-Eingaben nicht gewahrt werden kann (E. 1); andererseits hat sie dargelegt, warum der Beschwerdeführer, entgegen seiner Behauptung, nicht bereits am 16. Februar 2009 eine Rechtsschrift eingereicht haben könne (E. 2). In E. 3 ihres Entscheids hat die Vorinstanz sodann in einem obiter dictum festgestellt, dass die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch den Bezirksgerichtspräsidenten nicht zu beanstanden wäre.
Der Beschwerdeführer macht weitschweifige Ausführungen zu den Gegebenheiten, die ihn zur Einreichung einer Staatshaftungsklage bewogen haben; damit nimmt er indirekt zu E. 3 des angefochtenen Entscheids Stellung, ohne aber diesbezüglich eine Rechtsverletzung darzulegen. Was E. 1 des angefochtenen Entscheids betrifft, begnügt er sich mit der Behauptung, Mitarbeiter des Bezirksgerichts Aarau hätten ihm zu verstehen gegeben, dass auch per Fax Mitteilungen eingereicht werden könnten (S. 44 der Beschwerdeschrift). Damit wird die Verfassungswidrigkeit des dort angeführten Nichteintretensgrunds nicht aufgezeigt. Ohnehin aber setzt sich der Beschwerdeführer nicht mit den Ausführungen in E. 2 des angefochtenen Entscheids auseinander, welche für sich allein das Nichteintreten durch die Vorinstanz rechtfertigen.
2.3 Auf die offensichtlich einer hinreichenden Begründung entbehrende Beschwerde (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.4 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG).
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Aarau, Präsident I, und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller