Faits:
A. Ressortissante camerounaise née en 1978, A._ a trois enfants nés respectivement en 1990, 1997, et 1998.
Le 25 janvier 2005, elle a épousé au Cameroun B.X._, un ressortissant suisse né en 1963, et s'appelle depuis lors A.X._. Aucun enfant n'est né de cette union.
Entrée en Suisse le 10 juin 2006 pour y vivre auprès de son époux, A.X._ a sollicité et obtenu, au titre du regroupement familial, une autorisation de séjour dont la validité a été régulièrement prolongée jusqu'au 9 juin 2009.
A.X._ a laissé ses trois enfants au Cameroun pour des raisons économiques. Elle a indiqué aux autorités qu'elle en avait confié la garde à sa soeur et qu'elle projetait de faire venir les deux plus jeunes ultérieurement en Suisse.
Les époux X._ se sont séparés le 21 septembre 2007 et n'envisagent pas sérieusement une reprise de la vie commune.
Le 25 octobre 2007, A.X._ a déposé une demande de permis de séjour avec activité lucrative, afin de pouvoir travailler comme aide-infirmière à partir du 1er octobre 2007.
Constatant la séparation des époux, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a fait procéder à une enquête et à l'établissement d'un rapport sur la situation du couple. B.X._ a été auditionné le 21 février 2008, A.X._ le 6 mars 2008.
Le 10 mars 2009, le Service cantonal a révoqué l'autorisation de séjour de A.X._ dès lors qu'elle ne vivait plus avec son époux et lui a imparti un délai d'un mois pour quitter la Suisse.
B. Par arrêt du 21 juillet 2009, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours déposé par A.X._ à l'encontre de la décision du Service cantonal du 10 mars 2009 et a confirmé cette dernière, en ordonnant au Service cantonal de fixer un nouveau délai de départ à l'intéressée. Appliquant le nouveau droit des étrangers, les juges cantonaux ont retenu en substance que, comme la vie commune avait cessé en automne 2007, A.X._ ne pouvait prétendre au renouvellement de son autorisation de séjour sur la base des dispositions sur le regroupement familial, ni sur les droits accordés par la loi lorsque l'union conjugale a duré au moins trois ans. Le Tribunal cantonal n'a pas non plus retenu l'existence de raisons personnelles majeures qui justifieraient le séjour de l'intéressée en Suisse, pas plus qu'il n'a admis l'existence d'une situation d'une extrême gravité ou d'intérêts publics majeurs permettant de déroger aux conditions d'admission.
C. Le 14 septembre 2009, A.X._ a interjeté un recours en matière de droit public au Tribunal fédéral contre l'arrêt du Tribunal cantonal du 21 juillet 2009. Elle conclut, sous suite de frais et dépens, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que son autorisation de séjour est renouvelée. La recourante demande également d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire.
Le Tribunal cantonal n'a pas présenté d'observations, se référant aux considérants de l'arrêt attaqué. Le Service cantonal a renoncé à se déterminer sur le recours. L'Office fédéral des migrations, renvoyant aux décisions des autorités cantonales, propose le rejet du recours.
D. Par ordonnance du 18 décembre 2009, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif formée par la recourante.
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 126 al. 1 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de cette loi, le 1er janvier 2008, sont régies par l'ancien droit. Lorsque la procédure est ouverte d'office, la détermination du droit applicable dépend du moment où l'autorité qui rend la décision initiale entame ses démarches (cf. arrêts 2C_98/2009 du 10 juin 2009 consid. 1.4 et 2C_745/2008 du 24 février 2009 consid. 1.2.3). En l'espèce, on peut admettre que la procédure de révocation de l'autorisation de séjour a été initiée par le Service cantonal à la suite des déclarations des époux X._, auditionnés en février et mars 2008. C'est donc à juste titre que le Tribunal cantonal a fait application de la LEtr.
2. 2.1 D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
2.1.1 Selon l'art. 42 al. 1 LEtr, le conjoint d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui. L'art. 49 LEtr prévoit cependant une exception à cette exigence du ménage commun lorsque la communauté familiale est maintenue et que des raisons majeures justifiant l'existence de domiciles séparés peuvent être invoquées. La recourante ne cohabite plus avec son mari depuis le mois de septembre 2007 et la communauté conjugale n'est pas maintenue. Par conséquent, aucun droit à une autorisation de séjour ne peut être tiré de l'art. 42 al. 1 LEtr, ce qu'admet du reste implicitement la recourante.
2.1.2 Reste l'art. 50 LEtr dont se prévaut l'intéressée. Selon l'alinéa 1 de cette disposition, après la dissolution de la famille, le droit du conjoint à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu de l'art. 42 LEtr subsiste lorsque l'union conjugale a duré au moins trois ans et que l'intégration est réussie (let. a) ou lorsque la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures (let. b).
Contrairement à ce que pense la recourante, la notion d'union conjugale de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr ne se confond pas avec le mariage. Alors que ce dernier peut être purement formel, l'union conjugale implique en principe la vie en commun des époux, sous réserve des exceptions mentionnées à l'art. 49 LEtr (arrêts 2C_358/2009 du 10 décembre 2009 consid. 1.2.2 et 2C_416/2009 du 8 septembre 2009 consid. 2.1.2; MARC SPESCHA, in Kommentar Migrationsrecht, 2009, n° 4 ad art. 50 LEtr). En l'espèce, même si les époux sont encore mariés actuellement, l'union conjugale a duré moins de trois ans, puisque le couple est séparé depuis le 21 septembre 2007, sans maintien de la communauté familiale au sens de l'art. 49 LEtr. La recourante ne peut donc tirer aucun droit de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr; dès lors, le point de savoir si, comme elle le prétend, son intégration est réussie n'a pas à être examiné.
L'existence de raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr a été invoquée par la recourante sur le plan cantonal et débattue devant le Tribunal cantonal. Cela suffit à conférer un droit, sous l'angle de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, permettant à la recourante de former un recours en matière de droit public, étant précisé que l'examen du bien-fondé du refus des juges cantonaux d'admettre des raisons personnelles majeures ressortit au fond et non à la recevabilité (arrêts 2C_358/2009 du 10 décembre 2009 consid. 1.2.2 et 2C_216/2009 du 20 août 2009 consid. 1.4).
2.2 Au surplus, le recours, dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par une autorité judiciaire cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), a été déposé en temps utile compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF) par la destinataire de l'acte attaqué qui a qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF). Sur ce dernier point, il faut relever que l'arrêt entrepris ne se prononce pas exclusivement sur la révocation de l'autorisation de séjour de la recourante, qui a expiré dans l'intervalle, mais envisage aussi le renouvellement de cette autorisation de séjour. Conformément à la pratique, il y a lieu d'admettre en pareil cas un intérêt actuel à recourir (arrêt 2C_91/2009 du 10 juin 2009 consid. 4). Le recours en matière de droit public est donc recevable.
3. La recourante invoque exclusivement une violation de l'art. 50 LEtr, reprochant au Tribunal cantonal d'avoir excédé son pouvoir d'appréciation en considérant que les conditions permettant d'obtenir une autorisation de séjour sur la base de cette disposition n'étaient pas réalisées.
3.1 Comme déjà indiqué, la recourante ne peut tirer aucun droit de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr (cf. supra, consid. 2.1.2), de sorte que le litige se limite au point de savoir s'il existe des raisons personnelles majeures, au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, justifiant la poursuite du séjour de la recourante en Suisse.
3.2 L'art. 50 LEtr précise à son alinéa 2 - dont la teneur a du reste été reprise à l'art. 77 al. 2 de l'ordonnance du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201) - que les raisons personnelles majeures visées à son alinéa 1 let. b sont notamment données lorsque le conjoint est victime de violence conjugale et que la réintégration sociale dans le pays de provenance semble fortement compromise. La jurisprudence a récemment souligné que l'art. 50 al. 1 let. b LEtr a pour vocation d'éviter les cas de rigueur ou d'extrême gravité qui peuvent être provoqués notamment par la violence conjugale, le décès du conjoint ou les difficultés de réintégration dans le pays d'origine. Sur ce point, l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr n'est pas exhaustif et laisse aux autorités une certaine liberté d'appréciation humanitaire (ATF 2C_460/2009 du 4 novembre 2009 consid. 5.3). Selon leur intensité, la violence conjugale ou les difficultés de réintégration peuvent suffire isolément à constituer des raisons personnelles majeures (cf. ATF 2C_460/2009 précité, loc. cit.).
3.3 Selon les faits constatés dans l'arrêt attaqué - qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 LTF), ce d'autant qu'il n'est pas invoqué qu'ils seraient manifestement inexacts (cf. art. 97 LTF) -, la recourante n'a pas été victime de violence conjugale. En outre, aucun élément ne permet de retenir que sa réintégration sociale au Cameroun serait fortement compromise, dès lors qu'elle y a vécu jusqu'à 28 ans environ et que ses trois enfants y vivent. La recourante se prévaut de son intégration sociale en Suisse, de la légalité de son séjour dans ce pays, de l'absence de tout abus de droit et du fait qu'elle n'est pas responsable de la séparation du couple, qui serait due aux problèmes psychiques rencontrés par son mari. Ces circonstances, fussent-elles avérées, ne sont toutefois pas propres à démontrer l'existence d'un cas de rigueur ou d'extrême gravité, condition de l'octroi d'une autorisation de séjour sous l'angle de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr. Ces éléments pourraient tout au plus jouer un rôle en vue de l'obtention d'une dérogation aux conditions d'admission au sens de l'art. 30 LEtr. Cette disposition échappe toutefois à la cognition du Tribunal fédéral en vertu de l'art. 83 let. c ch. 5 LTF (ALAIN WURZBURGER, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 59 ad art. 83).
Par conséquent, l'arrêt attaqué ne viole pas l'art. 50 LEtr.
4. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Les conclusions de la recourante étant dénuées de toute chance de succès, la demande d'assistance judiciaire sera également rejetée (cf. art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires seront mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Leur montant sera fixé selon le tarif usuel, dès lors que rien n'indique que la recourante serait dans une situation financière précaire: dans son recours, l'intéressée souligne exercer un emploi rémunéré et elle n'a même pas évoqué être dans le besoin à l'appui de sa requête d'assistance judiciaire, alors qu'il lui appartenait de le prouver (ATF 125 IV 161 consid. 4a p. 164 s.; cf., sous la LTF, arrêt 5A_237/2009 du 10 juin 2009 consid. 5).
Par ailleurs, il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 18 février 2010
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Müller Dupraz