Erwägungen:
1. X._ wurde am 26. August 2008 im Stadtspital A._ in Zürich ambulant behandelt. Das Spital stellte ihm am 8. Dezember 2008 für diese Leistungserbringung Rechnung, weil der Krankenversicherer die Versicherungsleistung nicht erbracht hatte. Nach zwei fruchtlosen Mahnungen leitete das Spital die Betreibung ein. Den dagegen erhobenen Rechtsvorschlag beseitigte die Vorsteherin des Gesundheits- und Umweltdepartements der Stadt Zürich mit Verfügung vom 5. Mai 2010 und verpflichtete X._ zur Bezahlung von Fr. 470.80 nebst 5 % Zins; zudem auferlegte sie ihm Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 120.-- sowie Mahnungs- und Betreibungskosten von Fr. 139.--. Die dagegen erhobene Einsprache vom 25. Juni 2010 wies der Stadtrat von Zürich mit Beschluss vom 16. März 2011 ab und auferlegte X._ Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 378.--. Diesen Einspracheentscheid focht X._ beim Bezirksrat Zürich an. Dieser schrieb den Rekurs mit Beschluss vom 28. Juni 2011 als gegenstandslos geworden ab, wobei er keine Verfahrenskosten erhob. Die Stadt Zürich hatte zuvor mitgeteilt, dass der Krankenversicherer dem Spital A._ die Behandlungskosten von Fr. 470.80 vergütet habe, dieses auf die aufgelaufenen Zinsen und Betreibungskosten verzichte und dass die Stadt ihrerseits auf die Eintreibung der Verfahrenskosten der Verfügung vom 5. Mai 2010 und des Einsprachebeschlusses vom 16. März 2011 verzichtet habe. Gegen diesen Abschreibungsbeschluss erhob X._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Der Einzelrichter von dessen 3. Abteilung wies die Beschwerde mit Urteil vom 15. Dezember 2011 ab, soweit er darauf eintrat.
Gegen dieses Urteil gelangte X._ am 10. Februar 2012 an das Bundesgericht; im Wesentlichen beantragt er, der Einzelrichter des Verwaltungsgerichts habe den in Viererbesetzung ergangenen Beschluss des Bezirksrats aufzuheben und diesen mit einer Neubeurteilung in Fünferbesetzung zu beauftragen, da dieser versäumt habe zu entscheiden, wer die Gegenstandslosigkeit des Verfahrens verursacht habe, und in Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsregelung die Konsequenzen daraus zu ziehen. Die Beschwerde zielt darauf ab, dass die Verfahrenskosten der Stadt Zürich hätten auferlegt und diese zur Ausrichtung einer Umtriebsentschädigung an den Beschwerdeführer hätte verpflichtet werden müssen.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Rechtsschriften haben u.a. die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Beruht ein Entscheid auf kantonalem Recht, kann regelmässig bloss gerügt werden, dessen Anwendung verstosse gegen verfassungsmässige Rechte, im Wesentlichen gegen das Willkürverbot; entsprechende Rügen bedürfen gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG spezifischer Geltendmachung und Begründung (BGE 135 III 513 E. 4.3 S. 521 f. mit Hinweisen).
2.2 Der Beschwerdeführer rügt zunächst, dass der Bezirksrat seinen Abschreibungsbeschluss in unvollständiger Besetzung gefällt habe; statt der fünf Mitglieder hätten nur vier mitgewirkt. Das Verwaltungsgericht hat sich mit dieser Problematik in E. 4 seines Urteils befasst und unter Hinweis auf das einschlägige kantonale formelle Gesetz (Bezirksverwaltungsgesetz vom 10. März 1985, BezVG) dargelegt, dass der Bezirksrat bei Anwesenheit der Mehrheit der Mitglieder beschlussfähig sei und jedenfalls die Viererbesetzung bei einem Abschreibungsbeschluss nicht zu dessen Nichtigkeit führe. Der Beschwerdeführer gibt bloss, ohne diese indessen näher zu kommentieren, Textstellen aus bundesgerichtlichen Urteilen wieder. Dabei ist BGE 114 Ia 278 nicht einschlägig, betrifft er doch nicht die Quorumsfrage. BGE 85 I 273 behält gerade eine Quorumsregelung vor, ebenso der vom Beschwerdeführer angeführte BGE 127 I 128. Zur kantonalen Rechtsordnung, auf die das Verwaltungsgericht seine Überlegungen zur Beschlussfähigkeit des Bezirksrats in Viererbesetzung stützt, äussert sich der Beschwerdeführer mit keinem Wort. Damit fehlt es zu diesem Punkt an einer den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Beschwerdebegründung.
2.3 Gegenstand des verwaltungsgerichtlichen Urteils bildete die Kostenregelung und dabei hauptsächlich die Frage, ob der Bezirksrat dem Beschwerdeführer bei Abschreibung des dortigen Rekursverfahrens eine Parteientschädigung hätte zusprechen müssen.
2.3.1 Massgeblich für die Entschädigungsregelung ist § 17 Abs. 2 des Zürcher Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG). Danach kann die unterliegende Partei oder Amtsstelle zu einer angemessenen Entschädigung für ihre Umtriebe ihres Gegners verpflichtet werden, wenn die rechtsgenügende Darlegung komplizierter Sachverhalte und schwieriger Rechtsfragen besonderen Aufwand erforderte oder den Beizug eines Rechtsbeistandes rechtfertigte (lit. a), oder wenn ihre Rechtsbegehren oder die angefochtene Anordnung offensichtlich unbegründet waren (lit. b).
Das Verwaltungsgericht hat in E. 3.3 und 3.4 und auf der Basis seiner Darlegungen (über Hintergründe der vorübergehenden Zahlungsverweigerung des Krankenversicherers und diesbezügliche Zeitabläufe) in E. 3.2 seines Urteils dargelegt, warum bei den gegebenen Verhältnissen die Voraussetzungen für die Zusprechung einer Parteientschädigung nicht gegeben waren. Mit seinen weitschweifigen, appellatorischen Ausführungen legt der Beschwerdeführer auch nicht ansatzweise dar, inwiefern das Verwaltungsgericht im Hinblick auf die Frage der Parteientschädigung die tatsächlichen Verhältnisse in willkürlicher Weise verkannt und die einschlägigen Gesetzesbestimmungen in unhaltbarer, willkürlicher oder sonstwie in mit verfassungsmässigen Rechten nicht vereinbarer Weise ausgelegt und angewendet hätte. Unerfindlich bleibt bei dieser Konstellation auch, warum das Verwaltungsgericht (bzw. der Bezirksrat) der Frage nach der Verursachung der Gegenstandslosigkeit hätte nachgehen müssen, wie der Beschwerdeführer moniert. Auch in diesem Punkt hat er keine formgültige Rüge erhoben.
2.3.2 Soweit der Beschwerdeführer beantragt, der Bezirksrat hätte gemäss § 13 Abs. 2 VRG der Stadt Zürich Verfahrenskosten auferlegen müssen, fehlen ihm diesbezüglich die erforderliche besondere Berührtheit und das schutzwürdige Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG).
2.4 Gemäss Art. 108 Abs 1 BGG entscheidet der Präsident der Abteilung als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren über Nichteintreten auf Beschwerden, die offensichtlich keine hinreichende Begründung enthalten (lit. b); ebenso entscheidet er über Nichteintreten auf querulatorische oder rechtsmissbräuchliche Beschwerden (lit. c).
Wie dargelegt, enthält die Beschwerde hinsichtlich der entscheidwesentlichen Erwägungen der Vorinstanz offensichtlich keine hinreichende Begründung, was zum Nichteintreten auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG führt. Die Beschwerdeführung grenzt zudem an Rechtsmissbrauch: Der rechtskundige Beschwerdeführer gelangt mit einer Rechtsschrift von 28 Seiten wenig konzisen Inhalts an das Bundesgericht, um in einem wegen Gegenstandslosigkeit abzuschreibenden Rechtsstreit über einen Betrag von Fr. 470.80 eine nur unter restriktiven Bedingungen zu gewährende Umtriebsentschädigung erhältlich zu machen. Derartiges Prozessieren verdient keinen Rechtsschutz (vgl. BGE 118 II 87 E. 4 S. 89; 118 IV 291 zum mit Art. 108 Abs. 1 lit. c BGG weitgehend übereinstimmenden Art. 36a Abs. 2 OG).
2.5 Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist der Frage nicht nachzugehen, warum das angefochtene Urteil nach einer ersten Avisierung am 23. Dezember 2011 durch die Zürcher Poststelle nicht innert der siebentätigen Frist dort abgeholt, sondern am 4. Januar 2012 an die Poststelle 8832 Wollerau weitergeleitet und dort erst am 11. Januar 2012, insgesamt 19 Tage nach der ersten Avisierung, ausgehändigt worden ist. Da auf die Beschwerde ohnehin nicht eingetreten wird, ist unerheblich, ob das angefochtene Urteil schon als Ende Dezember 2012 zugestellt zu gelten hätte, womit die Beschwerde verspätet erhoben worden wäre.
2.6 Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs.1 erster Satz BGG), wobei bei der Bemessung der Gerichtsgebühr namentlich der Art der Prozessführung Rechnung zu tragen ist (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichter/in, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller