Fatti:
A. Nel settembre 2007, il cittadino dominicano A._ si è sposato nel suo Paese d'origine con una cittadina elvetica. Il 14 dicembre successivo egli è entrato in Svizzera per ricongiungersi con la moglie ed ha ottenuto a tal fine un permesso di dimora annuale, rinnovatogli un'ultima volta fino al 13 dicembre 2011.
Convocato il 13 maggio 2011 dalla polizia cantonale, A._ ha dichiarato di aver vissuto separato dalla moglie a causa di problemi coniugali dall'agosto al novembre 2008 e dall'11 novembre 2010 fino a quel momento. Ha pure aggiunto di non avere avuto più contatti con la moglie a far tempo dalla loro separazione.
B. Sulla base di questi fatti, ritenuto che il motivo per cui lo stesso era stato rilasciato era venuto a cadere, il 19 luglio 2011 la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha revocato il permesso di dimora ad A._, fissandogli un termine per lasciare il territorio elvetico. Tale decisione, intimata per raccomandata il 20 luglio 2010 all'indirizzo indicato dall'interessato e recapitata due giorni più tardi, non è stata da quest'ultimo ritirata ed è quindi stata retrocessa al mittente il giorno 29 di quel mese.
C. Con ricorso del 25 ottobre 2011, A._ ha impugnato detta decisione di revoca davanti al Consiglio di Stato, il quale ha però dichiarato inammissibile il gravame, poiché tardivo. Adito il 10 gennaio 2012, anche il Tribunale cantonale amministrativo ha confermato la tardività del ricorso a suo tempo interposto e confermato il giudizio del Consiglio di Stato con sentenza del 17 gennaio 2012, qui impugnata.
Preso atto di quanto emerso in sede istruttoria in merito all'invio in questione e richiamati i principi sviluppati dalla giurisprudenza in materia di recapito di invii raccomandati, la Corte cantonale ha in effetti reputato che il ricevimento dovesse essere considerato avvenuto al più tardi il settimo giorno dopo il primo tentativo di consegna infruttuoso, che il termine di 15 giorni per ricorrere previsto dall'art. 9 della legge di applicazione alla legislazione federale in materia di persone straniere dell'8 giugno 1998 (RL/TI 1.2.2.1) avesse iniziato a decorrere il 16 agosto 2011, a conclusione delle ferie giudiziarie estive, e che esso fosse quindi scaduto il 31 agosto 2011.
D. Con ricorso del 26 gennaio 2012 e con il suo complemento del 16 febbraio 2012, A._ (nel seguito: ricorrente) chiede al Tribunale federale l'annullamento del giudizio del Tribunale cantonale amministrativo, quindi il rinnovo del suo permesso di dimora. Postula inoltre l'ammissione al gratuito patrocinio.
Diritto:
1. 1.1 Il ricorrente ha omesso di precisare per quale via di diritto intendeva procedere intitolando la sua impugnativa semplicemente "ricorso". In primo luogo, occorrerebbe pertanto verificare se essa sia ricevibile come ricorso in materia di diritto pubblico oppure se - in virtù dell'art. 83 lett. c LTF, che è applicabile anche alla fattispecie in base al principio dell'unità della procedura (sentenza 2D_37/2010 del 23 novembre 2010 consid. 1.2) - l'inoltro di tale rimedio sia escluso.
1.2 Visto che l'impugnativa può riguardare solo la questione della tardività del ricorso al Consiglio di Stato, quindi l'eventuale applicazione incostituzionale del diritto procedurale cantonale o dei principi validi in materia di recapito di invii raccomandati, che vengono qui anch'essi esaminati unicamente in quest'ottica (sentenza 2P.120/2005 del 23 marzo 2006 consid. 3), il quesito posto può tuttavia essere lasciato aperto. In effetti, le critiche d'incostituzionalità evocate possono essere di principio sollevate sia con un ricorso ordinario che con un ricorso sussidiario (DTF 133 III 446 consid. 3.1 pag. 447 seg.; art. 116 LTF).
1.3 Dato che l'impugnativa risulta inammissibile per difetto di una motivazione conforme all'art. 106 cpv. 2 LTF (successivo consid. 2), aperta può nel contempo essere lasciata anche la questione a sapere se l'insorgente, il cui originario permesso di dimora è comunque scaduto il 13 dicembre 2011, dispone ancora del necessario interesse a ricorrere, oppure se così non è e l'inammissibilità del ricorso sia quindi data anche per questo motivo (DTF 136 II 497 consid. 3.3 pag. 501 seg.; sentenze 2C_537/2009 del 31 marzo 2010 consid. 2.2 e 2C_91/2009 del 10 giugno 2009 consid. 4).
2. Applicabile sia nell'ambito del ricorso ordinario che di quello sussidiario, l'art. 106 cpv. 2 LTF impone al ricorrente di specificare quali diritti di carattere costituzionale ritiene lesi e di esporre le sue censure in modo chiaro, circostanziato ed esaustivo (DTF 134 II 244 consid. 2.2 pag. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2 pag. 254). Come già rilevato, proprio il rispetto di tali condizioni non risulta però nella fattispecie manifestamente dato.
2.1 Prendendo posizione sulle conclusioni tratte dalla Corte cantonale, l'insorgente rimprovera a quest'ultima di non essersi interrogata sulla sua buona fede e sulla sua mancanza di colpa, sostenendo semplicemente di non aver mai ricevuto la notifica della raccomandata con la quale gli veniva comunicata la decisione della revoca del permesso di dimora.
Così facendo, non motiva tuttavia affatto una violazione del principio della buona fede garantito dall'art. 9 Cost.
2.2 Mettendo genericamente in discussione di aver ricevuto la notifica della raccomandata inviatagli, che potrebbe a suo avviso essere andata perduta o essere stata depositata erroneamente in un'altra cassetta delle lettere, il ricorrente non sostanzia inoltre nemmeno una possibile critica d'arbitrio. Contrariamente a quanto previsto dalla giurisprudenza in materia, che richiede in questi casi che l'insorgente porti concreti indizi di errore nel recapito di tale notifica (sentenze 9C_753/2007 del 29 agosto 2008 consid. 3 e 2C_38/2009 del 5 giugno 2009 consid. 4.1), basa infatti la sua critica su delle mere supposizioni.
2.3 L'impugnativa non contiene infine neanche una motivazione atta a sostanziare l'incostituzionalità della conclusione in base alla quale, dopo l'interrogatorio cui era stato sottoposto dalla polizia cantonale ticinese, il ricorrente dovesse attendersi l'invio da parte della Sezione della popolazione di una decisione concernente il suo permesso di soggiorno.
Una critica che intendesse tentare di mettere validamente in discussione tale aspetto dal punto di vista del diritto costituzionale - conformemente a quanto richiesto dall'art. 106 cpv. 2 LTF - avrebbe infatti dovuto concretamente confrontarsi anche con le circostanze su cui la conclusione tratta di fatto si basa: ovvero sulla constatazione che l'interrogatorio cui è stato sottoposto il ricorrente verteva espressamente sulla sua situazione coniugale e che dal verbale dello stesso risulta altrettanto chiaramente che la sua convocazione davanti alla polizia cantonale era stata richiesta dalla Sezione della popolazione, che gli aveva a suo tempo rilasciato il permesso di dimora proprio per ricongiungersi con la moglie.
3. Per quanto precede, il gravame dev'essere dichiarato inammissibile secondo la procedura semplificata (art. 108 LTF). L'istanza di assistenza giudiziaria non può essere accolta in quanto, così come redatto, il gravame doveva apparire sin dall'inizio privo di probabilità di successo (art. 64 cpv. 1 LTF). Nell'addossare le spese giudiziarie al ricorrente, viene comunque considerata la sua situazione finanziaria, fissando un importo ridotto (art. 65 cpv. 1 e 2, art. 66 cpv. 1 LTF). Non vengono assegnate ripetibili (art. 68 cpv. 3 LTF).
Per questi motivi, il Presidente pronuncia:
1. Il ricorso è inammissibile.
2. La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3. Le spese giudiziarie di fr. 500.-- sono poste a carico del ricorrente.
4. Comunicazione alla rappresentante del ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Giudice delegato del Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché all'Ufficio federale della migrazione.