Erwägungen:
1. X._ sowie ihre beiden Kinder Y._ und Z._ reichten am 14. Dezember 2009 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 28. Oktober 2009 betreffend Aufenthaltsbewilligungen für die beiden Kinder (Anweisung, Bewilligungsgesuch im Ausland zu stellen, Landesanwesenheit während der Dauer des Bewilligungsverfahrens) ein. Da die Beschwerdeführer weder eine Vollmacht eingereicht hatten noch eine solche sich in den im Rahmen des Schriftenwechsels eingeholten kantonalen Akten befand, wurde ihr Vertreter am 9. Februar 2010 auf diesen Mangel aufmerksam gemacht und gestützt auf Art. 42 Abs. 5 BGG aufgefordert, die fehlende Vollmacht bis spätestens am 22. Februar 2010 nachzureichen, ansonsten die Rechtsschrift unbeachtet bleibe. Dieser Auflage wurde nicht fristgerecht Folge geleistet. Zwar wurde eine mit dem Datum des 12. Februar 2010 versehene Vollmacht beigebracht, und das diesbezügliche Übermittlungsschreiben datiert vom 22. Februar 2010; die Sendung wurde indessen, gemäss auf dem Briefumschlag angebrachtem Poststempel und gemäss Auszug Track & Trace, erst am Nachmittag des 23. Februar 2010 zu Handen des Bundesgerichts bei der Schweizerischen Post aufgegeben (vgl. Art. 48 Abs. 1 BGG), d.h. nach Ablauf der mit Verfügung vom 9. Februar 2010 angesetzten Frist.
Mit Urteil 2C_824/2010 vom 25. Februar 2010 des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung als Einzelrichter trat das Bundesgericht gestützt auf Art. 42 Abs. 5 BGG auf die Beschwerde nicht ein, weil der - leicht zu erfüllenden - Auflage, die Vollmacht nachzureichen, nicht innert angesetzter Frist Folge geleistet worden war.
Mit Revisionsgesuch vom 31. März 2010 beantragen X._ sowie Y._ und Z._ dem Bundesgericht, die "Verfügung" des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 25. Februar 2010 aufzuheben und die Sache zur materiellen Beurteilung des Familiennachzugsbegehrens an das Migrationsamt des Kantons Thurgau zurückzuweisen, eventuell die Sache zur Beurteilung der Beschwerde vom 14. Dezember 2009 an die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts zurückzuweisen. Am 1. April 2010 haben die Gesuchsteller Akten nachgereicht.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss Art. 61 BGG erwachsen Entscheide des Bundesgerichts am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft. Sie können mit keinem ordentlichen Rechtsmittel angefochten werden, welches auf eine Überprüfung der Rechtsanwendung (in materiell- oder verfahrensrechtlicher Hinsicht) durch das Bundesgericht abzielt. Sie sind hingegen der Revision zugänglich; Voraussetzung ist, dass einer der vom Gesetz vorgesehenen Revisionsgründe vorliegt und geltend gemacht wird. Der geltend gemachte Revisionsgrund muss im Zusammenhang mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen stehen.
2.2 Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen Nichteintretensentscheid. Der Abteilungspräsident verlangte vom Vertreter der Gesuchsteller (damals Beschwerdeführer), der in Art. 40 Abs. 2 BGG festgeschriebenen Pflicht, sich durch eine Vollmacht auszuweisen, nachzukommen, setzte hierfür eine Frist an und trat, nachdem diese nicht eingehalten worden war, androhungsgemäss auf die Beschwerde nicht ein. Das Nichteintretensurteil beruht auf einer strikten Anwendung von Art. 42 Abs. 5 in Verbindung mit Art. 40 Abs. 2 BGG; dass die Anträge der Gesuchsteller nicht beurteilt wurden, ist logische Konsequenz dieser Rechtsanwendung und erfüllt den von den Gesuchstellern angerufenen Revisionsgrund von Art. 121 lit. b (richtig: Art. 121 lit. c) BGG von vornherein nicht. Dasselbe gilt in Bezug auf den Revisionsgrund von Art. 121 lit. d BGG (Art. 121 lit. c BGG gemäss der irrtümlichen Bezeichnung der Gesuchsteller); es wurde keine in den Akten liegende Tatsache aus Versehen nicht berücksichtigt; als allein massgebliche Tatsache betrachtet wurde bewusst das verspätete Vorlegen einer schriftlichen Vollmacht. Dafür, dass sodann der Revisionsgrund von Art. 122 BGG vorliegend ausser Betracht fällt, genügt ein Blick auf den Gesetzestext (namentlich Art. 122 lit. a BGG).
Die Vorbringen der Gesuchsteller laufen darauf hinaus, eine unkorrekte, überspitzt formalistische Anwendung von Art. 42 Abs. 5 BGG, Willkür, Verletzung des rechtlichen Gehörs usw. geltend zu machen. Dies sind Rügen, die im Rahmen einer - hier allerdings unzulässigen - Beschwerde, nicht aber eines Revisionsverfahrens vorgebracht werden können.
2.3 Das Revisionsgesuch ist, soweit überhaupt darauf eingetreten werden kann, offensichtlich unbegründet und abzuweisen. Mit diesem verfahrensabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind dem Verfahrensausgang entsprechend der Gesuchstellerin 1 (Mutter der minderjährigen Beschwerdeführer 2 und 3) aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Gesuchstellerin 1 auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. April 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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