Sachverhalt:
A. Die 1986 geborene S._, als Coiffeuse tätig und über ihren Arbeitgeber bei der Helsana Unfall AG (nachfolgend: Helsana) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, rutschte am 16. Januar 2009 auf einem vereisten Trottoir aus und stürzte auf den Rücken. Sie suchte anderntags den Hausarzt auf, welcher eine massive Prellung im Bereich untere Lendenwirbelsäule (LWS)/Sacrum linksseitig diagnostizierte und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigte (Arztberichte vom 2. und 24. Februar 2009). Die Helsana gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Nach medizinischen Abklärungen eröffnete sie der Versicherten mit Verfügung vom 7. September 2009, die Leistungen würden per 31. Mai 2009 eingestellt. Ab diesem Zeitpunkt bestehe kein Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung mehr, da der Zustand, wie er sich ohne unfallbedingte Beeinträchtigung ergeben hätte, erreicht gewesen sei. Daran hielt die Helsana auf die von S._ und ihrem Arbeitgeber erhobenen Einsprachen hin fest (Entscheid vom 22. Oktober 2009).
B. Die von S._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden mit Entscheid vom 31. August 2011 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei die Helsana zu verpflichten, die Taggeldleistungen rückwirkend per 31. Mai 2009 zuzüglich einer Verzinsung wieder aufzunehmen, und sei die Vorinstanz zu verpflichten, der Versicherten für das kantonale Verfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen; eventuell sei in Aufhebung des kantonalen Entscheides die Helsana zu verpflichten, eine Invalidenrente auf der Basis einer Erwerbsunfähigkeit von 100 % und eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 100 % zu erbringen; subeventuell sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die Vorinstanz zu verpflichten, "eine Begutachtung an wirklich unabhängiger Stelle durchzuführen". Prozessual wird der Antrag auf Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels gestellt.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht werden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 136 II 304 E. 2.5 S. 314 mit Hinweisen). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. 2.1 Die Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde sind erfüllt. Hinsichtlich des Eintretenserfordernisses der genügenden Begründung der Beschwerdeschrift (vgl. Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG (vgl. auch LAURENT MERZ, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 44 und N. 51 ff. zu Art. 42 BGG) handelt es sich aber um einen Grenzfall. Denn aufgrund von Aufbau und Formulierung der Beschwerdebegründung lässt sich - zumindest in weiten Teilen - nur mit Mühe nachvollziehen, auf welche konkreten Erwägungen der Vorinstanz sich die zahlreich erhobenen Rügen jeweils beziehen sollen. Es kann denn auch gerade noch davon abgesehen werden, die Beschwerde wegen Unverständlichkeit im Sinne von Art. 42 Abs. 6 BGG zur Verbesserung zurückzuweisen.
2.2 Der Rechtsvertreter der Versicherten stellte - nach fristgerechter Einreichung der Beschwerde mit anschliessender Korrektur von Schreibfehlern - ein Gesuch um Sistierung des Verfahrens. Dieses Gesuch wurde nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereicht. Der Rechtsvertreter begründet es damit, er müsse zur Ergänzung der Beschwerde Instruktionen der derzeit landesabwesenden Beschwerdeführerin einholen.
Die Ergänzung der Beschwerde nach Ablauf der gesetzlichen Beschwerdefrist wäre nicht zulässig, zumal offensichtlich keiner der gesetzlichen Tatbestände für die Einräumung einer Frist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung im Sinne von Art. 43 BGG vorliegt (vgl. auch MERZ, a.a.O., N. 39 f. zu Art. 42 BGG). Eine Beschwerdeergänzung im anbegehrten Sinne liesse sich auch nicht auf die Regelung des Art. 42 Abs. 6 BGG, nach welcher eine Rechtsschrift unter bestimmten Umständen zur Verbesserung zurückgewiesen werden kann, stützen (vgl. MERZ, a.a.O., N. 94 und N. 98 ff. zu Art. 42 BGG). Aus diesen Erwägungen ergibt sich ohne Weiteres auch, dass das Verfahren nicht zwecks Ergänzung der Beschwerde sistiert werden kann (vgl. hiezu auch Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 6 BZP; PHILIPP GELZER, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 5 zu Art. 71 BGG).
2.3 Da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, ist der Antrag auf Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels als erledigt zu betrachten.
3. Streitig ist, ob aus dem Unfall vom 16. Januar 2009 über den 31. Mai 2009 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
Das kantonale Gericht hat die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache zutreffend dargelegt. Das betrifft nebst den massgeblichen Bestimmungen und beweisrechtlichen Regeln namentlich auch die Rechtsprechung über die zu beachtenden kausalrechtlichen Grundsätze. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181). Dabei spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier bedarf es einer besonderen Adäquanzbeurteilung. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Gemäss der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis (BGE 115 V 133) werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen anwendbaren sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen; SVR 2012 UV Nr. 5 S. 17, 8C_310/2011 E. 3).
4. Die Versicherte erhebt grundsätzliche Einwände gegen die Rechtsprechung, wonach in der obligatorischen Unfallversicherung die Adäquanz bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden im Sinne der Schleudertrauma- und der Psycho-Praxis besonders zu prüfen ist (E. 3 hievor). Darauf ist vorab einzugehen.
Geltend gemacht wird, diese Praxis weiche von der im zivilen Haftpflichtrecht angewendeten allgemeinen Adäquanzformel ab. Das sei diskriminierend und verstosse gegen Art. 8 in Verbindung mit Art. 14 EMRK sowie gegen das Legalitätsprinzip als Ausdruck des Rechtsstaatsprinzips gemäss Präambel der EMRK und Art. 6 EMRK.
Das Bundesgericht hat sich bereits verschiedentlich mit diesbezüglichen Einwänden auseinandergesetzt. Es hat erkannt, dass das Erfordernis einer besonderen Adäquanzprüfung eine genügende gesetzliche Grundlage aufweist und die besagten EMRK-Bestimmungen nicht verletzt (ausführlich: Urteil 8C_29/2010 vom 27. Mai 2010 E. 6 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 8C_216/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 5.2, nicht publ. in: BGE 135 V 465, aber in: SVR 2010 UV Nr. 6 S. 25; Urteile 8C_150/2011 vom 14. Februar 2012 E. 10.1, 10.3 und 10.4, 8C_364/2011 vom 11. Oktober 2011 E. 3.3 f. und 8C_253/2010 vom 15. September 2010 E. 6.1). Es besteht kein Anlass, von dieser Rechtsprechung abzuweichen.
Besonders zu erwähnen ist die Rüge, mit der völligen Verneinung eines weiteren Leistungsanspruchs werde der Verhältnismässigkeitsgrundsatz verletzt, was gegen Art. 14 EMRK verstosse. Dazu ist festzuhalten, dass dieser EMRK-Bestimmung in dem Sinne keine eigenständige Bedeutung zukommt, als ihre Verletzung nur im Zusammenhang mit der Verletzung von anderen in der Konvention garantierten Rechten zu prüfen ist (erwähnte Urteile SVR 2010 UV Nr. 6 E. 5.2 sowie 8C_364/2011 E. 3.3 und 3.4). Eine solche Verletzung anderer EMRK-Garantien liegt hier nicht vor. Abgesehen davon untersagt der Verhältnismässigkeitsgrundsatz entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht, Leistungsansprüche in der sozialen Unfallversicherung von anderen gesundheitlichen und rechtlichen Voraussetzungen abhängig zu machen als im Haftpflichtrecht. Aus den in der Beschwerde erwähnten Urteilen des EGMR ergibt sich keine abweichende Betrachtungsweise.
5. Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, nach Lage der medizinischen Akten bestehe keine organisch objektiv ausgewiesene Folge des Unfalls vom 16. Januar 2009, welche die über den 31. Mai 2009 hinaus bestandenen Beschwerden zu erklären vermöchte.
5.1 In der Beschwerde wird eingewendet, die vorhandenen Arztberichte widersprächen einander. Zudem dürfe auf ein von der Vorinstanz für wesentlich erachtetes Gutachten nicht abgestellt werden. Dieses sei nicht beweiswertig, da es von einem Versicherungsmediziner stamme und sich einzig auf die Akten stütze. Überdies habe der Unfallversicherer im Zusammenhang mit diesem Gutachten den Anspruch der Versicherten auf rechtliches Gehör nach Art. 42 ATSG, Art. 29 BV und Art. 6 EMRK verletzt. Indem das kantonale Gericht dennoch keine Neubegutachtung angeordnet habe, habe es sodann das Beschleunigungsgebot und den Untersuchungsgrundsatz nach Art. 61 in Verbindung mit Art. 43 ATSG sowie Art. 6 EMRK verletzt.
5.2 Rechtsprechungsgemäss kann von einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (erwähnte Urteile 8C_216/2009 E. 2 mit Hinweis, nicht publ. in: BGE 135 V 465, aber in: SVR 2010 UV Nr. 6 S. 25, und SVR 2012 UV Nr. 5 E. 4.1).
5.3 Die vorinstanzliche Verneinung einer derartigen Unfallfolge beruht auf einer einlässlichen Auseinandersetzung mit den medizinischen Akten. Das kantonale Gericht stellte dabei namentlich auf die - auch auf bildgebende Abklärungen gestützten - Untersuchungsberichte der Neurologen Dr. med. H._ vom 11. März 2009 und Dr. med. W._ vom 27. Mai 2009 sowie auf die aktengestützten Berichte des Dr. med. J._, Innere Medizin und Rheumatologie, vom 20. Mai 2009 und 22. Juli 2009 ab.
5.3.1 Die Versicherte beruft sich beim Einwand, die Arztberichte widersprächen einander, auf die im Bericht des Dr. med. Z._, Facharzt FMH für Allgemeine Medizin und Sportmedizin SGSM, vom 12. Oktober 2009 gestellte Diagnose von Nervenquetschungen und einer Hirnerschütterung. Das kantonale Gericht hat dies geprüft und ist zum Ergebnis gelangt, dass sich daraus keine andere Betrachtungsweise ergebe. Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Hervorzuheben ist, dass die von Dr. med. Z._ gestellte Diagnose nicht auf bildgebenden/apparativen Abklärungen, sondern auf Vermutungen aufgrund des Unfallhergang beruht. Sie wurde zudem von keinem anderen Arzt, namentlich auch nicht von den Dres. med. H._ und W._, welche als Neurologen für Befunderhebungen im Bereich der Nerven besonders qualifiziert sind, bestätigt.
5.3.2 Die Einwände betreffend versicherungsinternes Aktengutachten richten sich gegen die Berichte des Dr. med. J._ vom 20. Mai und 22. Juli 2009. Das kantonale Gericht hat zutreffend erkannt, dass auch ein versicherungsinterner und aktengestützter Arztbericht beweistauglich sein kann (vgl. BGE 125 V 352 E. 3b/ee S. 353 f.; SVR 2010 UV Nr. 17 S. 63, 8C_239/2008 E. 7.2; RKUV 2006 Nr. U 578 S. 170, U 245/05 E. 3.4; aus jüngerer Zeit: Urteil 8C_641/2011 vom 22. Dezember 2011 E. 3.2.2; je mit Hinweisen). Es ist mit überzeugender Begründung zum Ergebnis gelangt, dass dies hier für die Berichte des Dr. med. J._ zutrifft. Die weitere Rüge bezüglich Gehörsverletzung wird von der Versicherten damit begründet, der Unfallversicherer habe ihr vor Erlass des Einspracheentscheides keine Kenntnis vom Bericht des Dr. med. J._ gegeben. Das kantonale Gericht hat hiezu zutreffend erwogen, ein allfälliger solcher Verfahrensmangel wäre jedenfalls im Beschwerdeverfahren, in welchem ein zweifacher Schriftenwechsel durchgeführt worden sei, geheilt worden.
In der Beschwerde wird nichts weiter vorgebracht, was die vorinstanzlichen Erwägungen zu Beweiswert und Gehörsanspruch in Frage stellen könnte. Abgesehen davon ist festzuhalten, dass das kantonale Gericht nicht nur auf die Berichte des Dr. med. J._, sondern auch auf andere Arztberichte abgestellt hat, die auf persönlichen Untersuchungen der Versicherten durch die berichterstattenden Fachärzte beruhen und bei welchen keine Verfahrensmängel zur Diskussion stehen.
5.3.3 Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, weitere medizinische Abklärungen, wie das beantragte Obergutachten, seien nicht erforderlich. Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Die Akten geben verlässlichen Aufschluss über die sich stellenden medizinischen Fragen. Weitere Beweismassnahmen lassen keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten. Im in antizipierter Beweiswürdigung erfolgten Verzicht auf weitere Sachverhaltsabklärungen liegt daher entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör oder des Untersuchungsgrundsatzes (Urteil 9C_204/2009 vom 6. Juli 2009 E. 4.4.1 in fine mit Hinweis, nicht publ. in: BGE 135 V 254, aber in: SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164; SVR 2008 UV Nr. 3 S. 11, U 155/06 E. 4.5 in fine mit Hinweis). Das Beschleunigungsgebot ist ebenfalls nicht berührt. Auch aus dem von der Versicherten angerufenen Urteil 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011 (veröffentlicht in: BGE 137 V 210) ergibt sich nichts anderes.
6. Nach dem Gesagten lassen sich die noch bestehenden Beschwerden nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge begründen. Wie das kantonale Gericht zutreffend erkannt hat, lässt sich demnach der adäquate Kausalzusammenhang zwischen den noch bestehenden Beschwerden und dem Unfall vom 16. Januar 2009 nicht ohne besondere Prüfung bejahen (E. 3 hievor). Dabei muss die Frage des natürlichen Kausalzusammenhangs mit der Vorinstanz nicht abschliessend beantwortet werden, wenn es ohnehin am adäquaten Kausalzusammenhang fehlt (BGE 135 V 465 E. 5.1 S. 472; 134 V 109 E. 2.1 S. 112; erwähntes Urteil SVR 2012 UV Nr. 5 E. 5.1).
6.1 Das kantonale Gericht hat den adäquaten Kausalzusammenhang nach der Psycho-Praxis (BGE 115 V 133) beurteilt. Das ist nicht zu beanstanden. Eine die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertigende Verletzung liegt nicht vor. Die in der Beschwerde postulierte Hirnerschütterung wurde einzig und ohne überzeugende Begründung von Dr. med. Z._ erwähnt (E. 5.3.1 hievor). Verlässliche Anhaltspunkte für eine solche Verletzung fehlen. Damit erübrigen sich auch Weiterungen dazu, welchen Schweregrad eine Hirnerschütterung aufweisen müsste, um die Adäquanzbeurteilung nach der Schleudertrauma-Praxis zu rechtfertigen (vgl. immerhin SVR 2008 UV Nr. 35 S. 133, 8C_476/2007 E. 4).
6.2 Die Prüfung durch die Vorinstanz hat ergeben, dass die noch bestehenden Beschwerden nicht adäquat kausal auf den Unfall vom 16. Januar 2009 zurückgeführt werden können. Diese Beurteilung entspricht in allen Teilen den Grundsätzen gemäss BGE 115 V 133. Das wird in der Beschwerde auch nicht in Frage gestellt. Demnach besteht kein weiterer Leistungsanspruch. Das gilt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung auch für den Anspruch auf Taggeld sowie auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Liegt keine adäquatkausale Unfallfolge mehr vor, geht auch der weitere Einwand, die Helsana habe den Fall verfrüht abgeschlossen, fehl.
7. Besteht kein Anspruch auf weitere Leistungen aus dem Unfall vom 16. Januar 2009 ist ohne Weiteres auch ein Anspruch auf die beantragte Verzinsung solcher Leistungen zu verneinen. Es kann offen bleiben, ob das Zinsbegehren prozessual überhaupt zulässig gewesen wäre.
8. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. April 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz