Erwägungen:
1. X._ reichte am 17. März 2011 beim Bundesgericht eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein mit dem Begehren, der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 31. Januar 2011 sei aufzuheben und dieses sei anzuweisen, auf seine Klage einzutreten mit Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege. Für das Einreichen des angefochtenen Entscheids ersuchte er "um die praxisgemässe Fristerstreckung".
Mit Verfügung vom 21. März 2011 wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, spätestens bis am 1. April 2011 den angefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichts nachzureichen, ansonsten die Rechtsschrift unbeachtet bleibe. Unter Hinweis darauf, dass er die vorerwähnte Verfügung erst gerade in Empfang genommen habe, ersuchte der Beschwerdeführer am 1. April 2011 um Erstreckung der angesetzten Frist bis zum 15. April 2011. Dem Gesuch wurde am 11. April 2011 entsprochen. Am 15. April 2011 ersuchte der Beschwerdeführer um eine weitere Fristerstreckung bis zum 17. Mai 2011; falls dies nicht bewilligt werde, ersuche er um eine Nachfrist.
2. Der Beschwerdeführer ersucht um Ausstand der Gerichtspersonen, die am Urteil 2C_31/2011 vom 20. Januar 2011 mitgewirkt haben. Mit dem Mitwirken von Gerichtspersonen an früheren Urteilen, die zu ihren Ungunsten ausgefallen sind, kann eine Partei ein Ausstandsbegehren nicht begründen, und die vom Ausstandsgesuch Betroffenen dürfen an der Feststellung von dessen Unzulässigkeit mitwirken (vgl. BGE 114 Ia 278 E. 1; 105 Ib 301 E. 1c S. 304). Das gilt regelmässig auch, wenn ein Richter in derselben Angelegenheit ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit eines Rechtsmittels abgewiesen hat, jedenfalls wenn keine zusätzlichen Gründe geltend gemacht werden, die für seine Befangenheit sprechen könnten (vgl. BGE 131 I 113 E. 3.7 S. 120 ff.). Erst recht muss dies gelten, wenn sich im nachfolgenden Verfahren bloss formelle Fragen stellen, über die unabhängig von den Erwägungen, die für das Verfahren betreffend unentgeltliche Rechtspflege massgeblich waren, entschieden werden kann. So verhält es sich hier, wo bloss darüber befunden wird, ob in Anbetracht des Verlaufs des neuen Verfahrens auf die Beschwerde eingetreten werden kann. Auf das einer tauglichen Begründung entbehrende Ausstandsbegehren ist nicht einzutreten.
3. Richtet sich die Rechtsschrift gegen einen Entscheid, ist dieser beizulegen (Art. 42 Abs. 3 BGG); dies hat grundsätzlich unaufgefordert zu geschehen, ohne dass spezifisch eine Frist anzusetzen ist. Wenn die Partei es versäumt hat, den Entscheid beizulegen, ist ihr eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels anzusetzen mit der Androhung, dass die Rechtsschrift sonst unbeachtet bleibt (Art. 42 Abs. 5 BGG).
Es entspricht dem Wesen einer Nachfrist, dass sie nicht erstreckt werden kann. Eine zweite Nachfrist ist - in der Regel - nicht zulässig. Mit einer zusätzlichen Fristerstreckung kann der Betroffene daher nicht rechnen, es sei denn, es lägen ganz besondere, nicht voraussehbare Hinderungsgründe vor, die von ihm in seinem Gesuch um Einräumung einer zweiten Nachfrist spezifisch darzulegen sind (Urteil 2C_361/2009 vom 20. Juli 2009 E. 2.2 mit Hinweisen). Tut er dies nicht, wird keine weitere Fristerstreckung gewährt und treten die für den Säumnisfall angedrohten Rechtsfolgen ein.
Der Beschwerdeführer hat schon bei Beschwerdeerhebung um Ansetzen einer Frist zum Nachreichen des angefochtenen Entscheids ersucht, ohne zu erklären, warum es ihm nicht zu jenem Zeitpunkt möglich gewesen sein soll, der gesetzlichen Auflage von Art. 42 Abs. 3 BGG nachzukommen. Dennoch wurde ihm kommentarlos eine Nachfrist eingeräumt. Auf sein Begehren vom 1. April 2011 hin wurde ihm die Frist noch ein weiteres Mal erstreckt, und zwar wie von ihm beantragt auf den 15. April 2011. In seinem dritten Gesuch um Fristansetzung vom 15. April 2011 (Verlängerung um gut einen Monat) erklärte er, er habe "heute den angefochtenen Entscheid nachreichen" wollen, sei aber "wegen anderen Beschwerden und dringenden wichtigen Angelegenheiten nicht dazu" gekommen. Für eine derartige zusätzliche Fristerstreckung ist kein plausibler Grund ersichtlich. Vielmehr ist das Gesuch in keiner Weise nachvollziehbar: Der Beschwerdeführer fand sowohl am 1. April wie auch am 15. April 2011 Zeit, Fristerstreckungsgesuche zu formulieren und zur Post zu bringen. Namentlich verursachte das Verfassen der Eingabe vom 15. April 2011 sichtlich mehr Aufwand, als dies die Postaufgabe des angefochtenen Entscheids mit sich gebracht hätte. Die Vorgehensweise des Beschwerdeführers erscheint nachgerade als trölerisch.
Da die Frist ohne hinreichenden Grund nicht eingehalten worden ist, ist auf die Beschwerde, wie in der Verfügung vom 21. März 2011 angedroht, mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
4. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf das Ausstandsbegehren wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. April 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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