Erwägungen:
1.
1.1. X._ (geb. 1952) stammt aus Österreich und kam am 15. Mai 2005 als Arbeitnehmer in die Schweiz, wo ihm im Kanton Bern eine fünfjährige EU/EFTA-Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Im September 2006 verlor er nach einem Betriebsunfall seine Arbeitsstelle, worauf er Taggelder der SUVA und der Arbeitslosenversicherung bezog. Seit August 2009 wird er von der Sozialhilfe unterstützt.
1.2. Am 2. September 2010 verweigerte das Amt für Migration und Personenstand X._ die Niederlassung, verlängerte jedoch seine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA um ein Jahr, um ihm die Arbeitssuche zu ermöglichen. Am 13. Februar 2012 lehnte es eine weitere Verlängerung der Bewilligung ab; das Amt ging zudem davon aus, dass X._ keinen Niederlassungsanspruch aus dem Abkommen vom 14. September 1950 zwischen dem Schweizerischen Bundesrat und der Österreichischen Bundesregierung betreffend zusätzliche Vereinbarungen über die Niederlassungsverhältnisse der beiderseitigen Staatsbürger (Niederlassungsvertrag; SR 0.142.111.631.1) geltend machen könne. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg.
1.3. X._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 4. November 2013 aufzuheben. Ihm sei eine EU/EFTA-Niederlassungsbewilligung zu erteilen bzw. seine bisherige EU/EFTA-Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
2.
Nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben die Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In dieser ist in gedrängter Form darzutun, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist dabei in gezielter Form auf die für das Ergebnis des Verfahrens massgeblichen Ausführungen der Vorinstanz im Einzelnen einzugehen (BGE 134 II 244 E. 2.1-2.3). Soweit der Beschwerdeführer lediglich wiederholt, was er bereits vor dem Verwaltungsgericht ausgeführt hat, und sich mit dessen Überlegungen nicht weiter auseinandersetzt bzw. nicht darlegt, inwiefern das angefochtene Urteil gegen Bundesrecht verstossen oder die einschlägige bundesgerichtliche Praxis verkennen würde, ist auf seine Ausführungen nicht weiter einzugehen.
3.
3.1. Ein Arbeitnehmer, der Staatsangehöriger einer FZA-Vertragspartei und mit einem Arbeitgeber des Aufnahmestaats ein Arbeitsverhältnis mit einer Dauer von mindestens einem Jahr eingegangen ist, erhält eine Aufenthaltserlaubnis mit einer Gültigkeitsdauer von mindestens fünf Jahren. Ist er bei der ersten Verlängerung seit mehr als zwölf aufeinanderfolgenden Monaten unfreiwillig arbeitslos, kann die Gültigkeitsdauer auf (mindestens) ein Jahr beschränkt werden (Art. 6 Abs. 1 Anhang I zum Abkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits [FZA; SR 0.142.112.681). Ist der Vertragsausländer danach immer noch ohne Arbeit, entfällt die Arbeitnehmereigenschaft, welche der Freizügigkeit zugrunde liegt, und darf seine Anwesenheit beendet werden, falls keine andere Verbleiberechts- oder Freizügigkeitssituation besteht (vgl. THOMAS HUGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten - Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Alberto Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2012/2103, 2013, S. 31 ff., 57 ff.).
3.2. Der Beschwerdeführer hat nach rund einem Jahr Arbeit infolge eines Betriebsunfalls seine Arbeitsstelle verloren, und er war vorübergehend arbeitslos. Seit August 2009 bezieht er Sozialhilfe. Seine Bewilligung wurde ihm unter diesen Umständen am 2. September 2010 zu Recht nur um ein Jahr verlängert. In dieser Zeit vermochte er keine andere Arbeitsstelle zu finden und blieb er fürsorgeabhängig. Die kantonalen Behörden haben deshalb das Fortbestehen eines freizügigkeitsrechtlichen Anspruchs ohne Verletzung von Bundesrecht verneinen und darauf verzichten dürfen, ihm eine weitere Bewilligung auszustellen. Soweit der Beschwerdeführer einwendet, dass das Massnahmenpaket des Bundesrats vom 24. Februar 2010 zur Verbesserung des Vollzugs des FZA erst am 4. März 2011 in Kraft getreten sei, verkennt er, dass sich die entsprechenden Regelungen aus dem FZA selber ergeben und der Bundesrat dieses nicht abändern, sondern lediglich eine einheitliche Handhabung in Erinnerung rufen konnte. Nachdem der Beschwerdeführer kein Verbleiberecht (Art. 4 Anhang I FZA) geltend macht (keine dauernde Arbeitsunfähigkeit infolge des Unfalls; vgl. Urteil 2C_587/2013 vom 30. Oktober 2013 E. 3.1 a contrario) und er mangels der "erforderlichen ausreichenden Mittel" nicht als "Person ohne Erwerbstätigkeit" (Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA) gelten kann, war sein (freizügigkeitsrechtlicher) Aufenthalt zu beenden.
3.3. Zu Recht haben die kantonalen Instanzen auch die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung verweigert. Zwar sieht das Niederlassungsabkommen vor, dass nach einem ununterbrochenen, ordnungsgemässen Aufenthalt von fünf Jahren österreichische Staatsbürger ein Recht auf Niederlassung haben (Art. 1 des Niederlassungsabkommens), doch steht dieser Anspruch unter dem Vorbehalt der jeweiligen gesetzlichen Vorschriften der Vertragsstaaten über das Erlöschen und den Entzug der Bewilligungen (Art. 5 des Niederlassungsabkommens). Der Beschwerdeführer ist erheblich und fortgesetzt fürsorgeabhängig (vgl. Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG [SR 142.20]. Es wurden ihm bisher insgesamt mehr als Fr. 85'000.-- ausgerichtet. Eine Besserung seiner Situation ist nicht absehbar, nachdem er bereits seit Jahren keiner Arbeit mehr nachgeht. Seiner Eingabe ist von der Vorinstanz deshalb zu Recht keine Folge gegeben worden.
4.
4.1. Die Beschwerde kann ohne Weiterungen im Verfahren nach Art. 109 BGG abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Für alles Weitere wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
4.2. Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Kosten für das (aussichtslose) bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar