Faits:
A. A.a P._, né en 1954, a été employé en qualité de dessinateur par l'entreprise F._ S.A. dès le 1er décembre 1986. Il a interrompu son activité professionnelle dès le 11 mars 2002 en raison essentiellement de douleurs dorsales. Il a reçu des indemnités pour perte de gain de l'assurance collective de son employeur jusqu'au 9 mars 2004. Les rapports de travail ont pris fin en mars 2004 (jugement du Tribunal administratif du canton de Vaud du 4 décembre 2007).
A.b Le 18 février 2003, P._ a déposé une demande de rente de l'assurance-invalidité. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'Office AI) a rejeté cette demande par décision du 2 septembre 2005 et décision sur opposition du 11 mai 2007. Par jugement du 16 septembre 2008, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours de l'assuré contre cette dernière décision. Le jugement cantonal a fait l'objet d'un recours au Tribunal fédéral, qui l'a déclaré irrecevable (arrêt du 5 décembre 2008).
A.c Alors que la procédure était pendante devant l'Office AI, P._ s'est inscrit comme demandeur d'emploi auprès de l'Office régional de placement de N._ (ci-après : l'ORP), le 26 avril 2004. Le 29 avril suivant, il a sollicité les prestations de la Caisse cantonale de chômage (ci-après: CCh). Il a toutefois produit une attestation d'incapacité de travail depuis le 11 mars 2002, établie par le docteur G._ le 28 avril 2004. Le 14 mai 2004, l'ORP l'a informé de sa radiation du registre des demandeurs d'emploi. Le 21 juin suivant, la CCh a invité P._ à remplir et à lui retourner le formulaire intitulé « Indications de la personne assurée » (ci-après : formulaire IPA), pour le mois d'avril 2004. Selon une note d'entretien téléphonique du 23 juin 2004, celui-ci a déclaré à la CCh n'avoir rien demandé à l'assurance-chômage. Il n'a pas donné d'autre suite à la demande de la CCh du 21 juin 2004.
A.d Le 4 octobre 2005, P._ a demandé sa réinscription au registre des demandeurs d'emploi. Le 27 avril 2006, par ailleurs, la CCh a demandé à l'ORP de statuer formellement sur son aptitude au placement depuis le mois d'avril 2004. Par décision du 18 août 2006, l'ORP a constaté l'inaptitude au placement de P._ pour la période du 28 avril 2004 au 28 février 2006, en précisant qu'il statuerait ultérieurement sur l'aptitude au placement dès le 1er mars 2006. Par décision du 3 octobre 2006, il a reconnu P._ apte au placement dès le 8 juin 2006.
L'assuré s'est opposé à la décision de l'ORP du 18 août 2006, devant le Service de l'emploi du canton de Vaud (ci-après: le Service de l'emploi). Le 7 février 2008, ce dernier a partiellement admis l'opposition; il a nié l'aptitude au placement de l'assuré pour la période du 28 avril 2004 au 3 octobre 2005 et reconnu cette aptitude dès le 4 octobre 2005.
B. P._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à sa réforme en ce sens que l'aptitude au placement soit reconnue dès le 28 avril 2004.
Le 1er janvier 2009, les affaires de la compétence du Tribunal des assurances du canton de Vaud ont été reprises par la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois, nouvellement créée. Par jugement du 19 juin 2009, cette dernière a admis le recours de P._ contre la décision sur opposition du 7 février 2008 du Service de l'emploi. EIle a annulé la décision attaquée et renvoyé la cause au Service de l'emploi afin qu'il alloue des indemnités journalières pour la période courant dès le 26 avril 2004. En effet, elle a considéré que dès cette date, le recourant devait « être protégé dans sa bonne foi et ne pouvait se voir dénier le droit aux prestations de l'assurance-chômage ».
C. Le Service de l'emploi interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il a demandé l'annulation. Il a conclu principalement à la confirmation de sa décision sur opposition du 7 février 2008. Subsidiairement, il a demandé le renvoi de la cause à la caisse de chômage pour qu'elle statue sur les autres conditions du droit à l'indemnité. Dans sa réponse au recours, P._ a conclu à ce que toutes les dispositions du jugement litigieux soient confirmées. Le Secrétariat d'Etat à l'économie (Seco) a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recourant reproche d'abord à la juridiction cantonale de lui avoir renvoyé la cause aux fins d'allocation des prestations à l'intimé, alors que la question du droit aux prestations ne faisait pas l'objet de la décision sur opposition du 7 février 2008. Cette décision ne portait que sur l'aptitude au placement de l'assuré, de sorte que les premiers juges auraient dû limiter leur examen à cet aspect du droit aux prestations.
1.2 En procédure juridictionnelle administrative, ne peuvent être examinés et jugés, en principe, que les rapports juridiques à propos desquels l'autorité administrative compétente s'est prononcée préalablement, d'une manière qui la lie, sous la forme d'une décision. La décision détermine ainsi l'objet de la contestation qui peut être déféré en justice par voie de recours. En revanche, dans la mesure où aucune décision n'a été rendue, la contestation n'a pas d'objet, et un jugement sur le fond ne peut pas être prononcé. Le juge n'entre donc pas en matière, en règle générale, sur des conclusions qui vont au-delà de l'objet de la contestation (ATF 134 V 418 consid. 5.2.1 p. 426; 125 V 413 consid. 1a p. 414; MEYER/VON ZWEHL, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, in : Mélanges Pierre Moor, 2005, no 8 p. 439).
Dans le domaine de l'assurance-chômage, la question de l'aptitude au placement (art. 15 LACI) peut faire l'objet d'une décision de constatation de l'autorité cantonale ou de l'office régional de placement compétent, lorsque cette tâche lui a été déléguée (art. 85 al. 1 let. d et 85b al. 1 LACI). Cette décision de constatation ne porte que sur un aspect du droit aux prestations, l'aptitude au placement, et non sur le droit aux prestations comme tel (cf. MEYER/VON ZWEHL, op. cit., no 30.3 p. 448). En cas de recours, le pouvoir d'examen de l'autorité saisie est donc également limité à cette question.
1.3 La décision de l'ORP du 18 août 2006 et la décision sur opposition rendue le 7 février 2008 par le Service de l'emploi portaient exclusivement sur l'aptitude au placement de l'assuré, comme le souligne à juste titre le recourant. Par conséquent, en tant qu'il impose le versement des prestations à l'intimé et ne se limite pas à constater son aptitude ou son inaptitude au placement, le jugement entrepris sort de l'objet de la contestation et doit être annulé. Sur ce point déjà, le recours est bien fondé.
2. 2.1 En ce qui concerne l'aptitude au placement de l'assuré, le recourant l'a admise pour la période courant dès le 4 octobre 2005. Il n'y a pas lieu de revenir sur cette question, qui ne fait l'objet d'aucune contestation. L'aptitude au placement pour la période courant jusqu'au 3 octobre 2005 est en revanche litigieuse.
2.2 P._ s'est inscrit comme demandeur d'emploi le 26 avril 2004 auprès de l'ORP en précisant qu'il avait déposé une demande de rente de l'assurance-invalidité. Il avait en outre produit un certificat médical attestant une incapacité de travail totale. Néanmoins, d'après les premiers juges, il était présumé apte au placement et l'assurance-chômage devait avancer ses prestations jusqu'à droit connu sur la demande de rente de l'assurance-invalidité, en vertu des art. 15 al. 2 LACI, 15 al. 3 OACI et 70 al. 2 let. b LPGA. L'ORP aurait donc dû reconnaître l'aptitude au placement de l'intimé et l'informer de ses droits et obligations, plutôt que de le radier de la liste des demandeurs d'emploi sans même qu'une décision formelle soit rendue pour refuser l'avance des prestations par l'assurance-chômage. Si l'ORP nourrissait des doutes sur l'aptitude au placement de l'assuré, il devait exiger un examen par un médecin-conseil, conformément à l'art. 15 al. 3 LACI. Enfin, que l'assuré ne se soit pas soumis à diverses obligations (absence de remise de preuves des recherches d'emploi, notamment), après sa radiation du registre des demandeurs d'emploi, découlait uniquement des renseignements erronés que lui avait donnés l'ORP et ne permettait pas de conclure à une inaptitude au placement.
Le recourant soutient pour sa part que l'intimé devait contester dans un délai raisonnable sa radiation du registre des demandeurs d'emploi, en mai 2004, quand bien même aucune décision n'avait été rendue dans les formes requises. A défaut de l'avoir fait, il ne peut plus tirer argument de sa bonne foi et soutenir qu'il était, à l'époque, apte au placement, contrairement à ce qu'avait retenu l'ORP.
3. 3.1 En radiant l'assuré de la liste des demandeurs d'emploi, en raison de l'incapacité de travail totale qu'il alléguait, certificat médical à l'appui, et de sa demande de rente de l'assurance-invalidité, l'ORP a statué en procédure informelle, ou simplifiée, sur son aptitude au placement (sur la compétence de l'ORP en la matière, à l'époque : cf. art. 10 let. e de la loi cantonale du 25 septembre 1996 sur l'emploi et l'aide aux chômeurs, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2005). On peut se demander, certes, si les conditions posées par l'art. 51 al. 1 LPGA pour statuer selon cette procédure étaient bien remplies, mais quoi qu'il en soit, la décision est entrée en force dès lors que l'assuré n'a pas manifesté son désaccord ni exigé une décision formelle dans un délai d'une année (ATF 134 V 145 consid. 5 p. 149). L'intimé était en mesure de comprendre que l'ORP le radiait du registre des demandeurs d'emploi parce qu'il ne l'estimait pas apte ou disposé à accepter un emploi convenable, en raison de son état de santé; il pouvait également comprendre - sa réaction à l'envoi d'un formulaire IPA par la CCh le 21 juin 2004 en témoigne - que cette radiation avait pour effet qu'aucune indemnité journalière de chômage ne lui serait versée. Il ne pouvait donc pas rester inactif pendant plus d'une année s'il ne partageait pas le point de vue de l'ORP.
3.2 En réexaminant l'aptitude au placement, par décision du 18 août 2006, l'ORP est entré en matière sur une éventuelle reconsidération au sens de l'art. 53 al. 2 LPGA. Une révision procédurale fondée sur l'art. 53 al. 1 LPGA, en raison de la décision de refus de rente de l'assurance-invalidité n'entrait pas en considération (cf. arrêt C 119/06 du 24 avril 2007 consid. 4). Saisi du litige à la suite de la décision sur opposition du Service de l'emploi, les premiers juges étaient limités, comme l'ORP, puis le Service de l'emploi, par les conditions d'une reconsidération. En particulier, ils ne pouvaient revoir le constat initial d'inaptitude au placement que si celui-ci était manifestement erroné.
4. 4.1 Un assuré est apte au placement lorsqu'il est disposé à accepter un travail convenable et à participer à des mesures d'intégration; il doit être en mesure et en droit de le faire (art. 15 al. 1 LACI). S'il existe des doutes sérieux quant à sa capacité de travail, l'autorité cantonale peut ordonner qu'il soit examiné par un médecin-conseil, aux frais de l'assurance (art. 15 al. 3 LACI). En cas de limitation durable de la capacité de travail, l'art. 15 al. 2, 1ère phrase, LACI prévoit par ailleurs que le handicapé physique ou mental est réputé apte à être placé lorsque, compte tenu de son infirmité et dans l'hypothèse d'une situation équilibrée sur le marché de l'emploi, un travail convenable pourrait lui être procuré sur ce marché. Le Conseil fédéral est chargé de régler la coordination avec l'assurance-invalidité (art. 15 al. 2, 2ème phrase, LACI). L'art. 15 al. 3 OACI prévoit ainsi que lorsqu'une personne n'est pas manifestement inapte au placement et qu'elle s'est annoncée à l'assurance-invalidité, elle est réputée apte au placement jusqu'à la décision de cette assurance. Dans le même sens, l'art. 70 al. 2 let. b LPGA prévoit l'obligation pour l'assurance-chômage d'avancer les prestations dont la prise en charge par l'assurance-invalidité est contestée.
4.2 Le but des art. 15 al. 3 OACI et 70 al. 2 let. b LPGA est d'éviter qu'une personne atteinte dans sa santé, mais dont l'inaptitude au placement n'est pas manifeste, ne puisse prétendre aucune indemnisation de sa perte de gain tant que sa demande de prestation de l'assurance-invalidité n'est pas tranchée. Afin d'éviter une telle lacune, les dispositions citées prévoient l'obligation pour l'assurance-chômage d'avancer les prestations. L'assurance-chômage est tenue d'avancer la totalité des prestations, sans réduction, même lorsque la personne assurée présente une incapacité de travail partielle attestée médicalement. La personne assurée doit toutefois être disposée à accepter un emploi correspondant à sa capacité de travail résiduelle et rechercher effectivement un tel emploi (ATF 8C_5/2009 du 2 mars 2010 consid. 7.1). Si elle n'est pas disposée à accepter un tel emploi ou s'estime totalement incapable de travailler, elle est inapte au placement et ne peut prétendre l'avance des prestations par l'assurance-chômage. Il en va ainsi même si une capacité de travail supérieure à celle alléguée par la personne assurée est attestée médicalement (ATF 8C_5/2009 cité, consid. 7.3; JACQUES-ANDRÉ SCHNEIDER, LAI, Perte de gain maladie et LACI : quel suivi individualisé pour l'assuré ?, in : Kahil-Wolff/Simonin (édit.), La 5e révision de l'AI, 2009, p. 77).
4.3 En l'espèce, l'intimé s'est annoncé à l'ORP en indiquant avoir déposé une demande de rente de l'assurance-invalidité et en produisant un certificat médical attestant une incapacité de travail totale. Il n'était donc pas manifestement erroné, nonobstant les art. 15 al. 3 OACI et 70 al. 2 let. b LPGA, de le considérer comme inapte au placement. Certes, on peut se demander s'il n'aurait pas été préférable que l'ORP vérifie les informations que lui avait données l'assuré, en consultant l'office AI ou en demandant qu'il soit examiné par un médecin-conseil, aux frais de l'assurance-chômage (art. 15 al. 3 LACI). Le cas échéant, l'ORP aurait pu rendre l'assuré attentif à son obligation de rechercher un emploi correspondant à la capacité de travail résiduelle constatée par ce médecin. Mais quoi qu'il en soit, l'omission de ces mesures d'instruction ne permet pas de qualifier de manifestement erroné le constat d'inaptitude au placement posé à l'époque sur la base du certificat médical produit par l'assuré. Il s'ensuit que les conditions d'une reconsidération de la décision rendue en mai 2004 par l'ORP ne sont pas remplies.
5. Les premiers juges ont considéré que l'ORP aurait dû renseigner l'assuré, à l'époque, sur les conditions d'une avance des prestations par l'assurance-chômage, conformément à l'art. 27 LPGA. Il a violé cette obligation de renseigner en radiant l'intimé du registre des demandeurs d'emploi sans décision formelle et sans coordination avec l'assurance-invalidité ni consultation d'un médecin-conseil pour vérifier l'aptitude ou l'inaptitude au placement. Partant, l'assuré doit être protégé dans sa bonne foi et ne doit subir aucun dommage en raison des renseignements erronés, ou incomplets, qui lui ont été donnés.
5.1 Aux termes de l'art. 27 al. 1 LPGA, les assureurs et les organes d'exécution des diverses assurances sociales sont tenus, dans les limites de leur domaine de compétence, de renseigner les personnes intéressées sur leurs droits et obligations. L'art. 27 al. 2 LPGA prévoit par ailleurs le droit pour chacun d'être conseillé, en principe gratuitement, sur ses droits et obligations. Sont compétents pour cela les assureurs à l'égard desquels les intéressés doivent faire valoir leurs droits ou remplir leurs obligations. Enfin, selon l'art. 27 al. 3 LPGA, si un assureur constate qu'un assuré ou ses proches ont droit à des prestations d'autres assurances sociales, il les en informe sans retard.
5.2 L'art. 27 LPGA est étroitement lié au principe constitutionnel d'après lequel les organes de l'Etat et les particuliers doivent agir conformément au principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 Cst.). Un renseignement erroné ou l'omission de renseigner l'assuré en violation de l'art. 27 LPGA peuvent, dans certaines circonstances, justifier l'octroi d'un avantage contraire à la loi, en vertu du droit constitutionnel à la protection de la bonne foi (art. 9 Cst.). Tel pourra être le cas, par exemple, si un assureur a connaissance du fait que l'assuré s'apprête à adopter un comportement qui pourrait remettre en cause le droit aux prestations et s'abstient de l'en informer en temps utile (cf. ATF 133 V 249 consid. 7.2 p. 256; 131 V 472). Cela étant, lorsqu'un assureur rend une décision relative à la situation juridique d'un assuré et que cette décision entre en force, l'assuré ne saurait la remettre en cause ultérieurement, indépendamment des conditions d'une révision procédurale ou d'une reconsidération (art. 53 LPGA), au motif qu'elle était erronée et qu'elle constituait, pour ce motif, une violation de l'obligation de renseigner. A défaut, l'autorité de chose décidée attachée à une décision entrée en force serait vidée de son sens.
5.3 En l'espèce, la question du droit constitutionnel à la protection de la bonne foi, en relation avec l'obligation de renseigner prévue par l'art. 27 LPGA, ne serait véritablement posée que si l'intimé avait contesté dans un délai approprié sa radiation du registre des demandeurs d'emploi. A supposer qu'il eût obtenu gain de cause, les autorités de chômage auraient difficilement pu lui opposer le non-respect de certaines obligations de contrôle, pendant ce délai, pour refuser l'octroi de prestations. En revanche, après être resté inactif pendant plus d'une année vis-à-vis de ces autorités, une fois informé de sa radiation du registre des demandeurs d'emploi, l'assuré ne peut plus leur opposer sa bonne foi. C'est d'ailleurs précisément en application de l'art. 5 al. 3 Cst. que la jurisprudence admet l'entrée en force, après une année, d'une décision rendue en procédure simplifiée, alors même qu'une décision formelle aurait été nécessaire (ATF 134 V 145 consid. 5.2 p. 150).
6. Vu ce qui précède, le recours est bien fondé et le jugement entrepris doit être annulé. L'intimé supportera les frais de justice ainsi que ses propres dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal cantonal vaudois du 19 juin 2009 est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 8 juin 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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