Faits:
A. Le 17 juin 2008, la Section des permis de construire du canton du Jura a délivré à Y._, agriculteur à Fregiécourt, un permis portant sur:
- la construction d'une halle de stockage des fourrages comprenant une aire bétonnée pour le conditionnement des déchets verts et des engrais de ferme;
- l'aménagement d'une place groisée circulaire pour l'entreposage des déchets ligneux;
- l'aménagement d'une place bétonnée entre le bâtiment 4A et la halle de stockage;
- l'aménagement d'un accès groisé longeant le silo en tranchée existant;
- l'implantation de cinq arbres fruitiers le long de la façade ouest de la halle de stockage.
B. A.X._, propriétaire d'une maison d'habitation sise à environ 90 m de la construction projetée, a recouru auprès du Tribunal de première instance contre le permis de construire précité. Son recours a été déclaré irrecevable par jugement du 1er décembre 2008. L'intéressée a porté sa cause devant la Chambre administrative du Tribunal cantonal jurassien (actuellement la Cour administrative du Tribunal cantonal; ci-après: le Tribunal cantonal) qui, par arrêt du 24 mars 2009, a admis son recours, annulé le jugement précité et renvoyé l'affaire au Tribunal de première instance.
Après avoir procédé à divers compléments d'instruction, le Tribunal de première instance a rejeté le recours de A.X._, le 8 mars 2010, et confirmé le permis de construire litigieux. La juge administrative a considéré en substance que les constructions et installations projetées étaient nécessaires à l'exploitation agricole de Y._ et qu'il n'y avait pas d'autre emplacement plus judicieux à proximité des bâtiments d'exploitation de ce dernier. Le projet était pour le surplus conforme à la législation sous l'angle de la protection des eaux, de l'air et du bruit.
Par arrêt du 12 janvier 2012, le Tribunal cantonal a admis très partiellement le recours de A.X._ contre le jugement précité. En modification partielle de la décision de la Section des permis de construire du 17 juin 2008 et du jugement du Tribunal de première instance du 8 mars 2010, il a octroyé le permis de construire sollicité par Y._ aux conditions fixées par la Section des permis de construire, en ajoutant la condition supplémentaire suivante: le broyage des déchets ligneux devra être effectué de 8h00 à 19h00 - les éventuelles dispositions plus restrictives du règlement de la police locale demeurant réservées - à l'est de la halle de stockage et la mâchoire de la broyeuse devra être orientée en direction de l'est.
C. Agissant par la voie du "recours de droit public" et du recours constitutionnel subsidiaire, A.X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 12 janvier 2012. Elle requiert en outre l'effet suspensif et l'assistance judiciaire. Elle se plaint pour l'essentiel d'une mauvaise constatation des faits et d'une violation de son droit d'être entendue.
Le Tribunal cantonal conclut au rejet du recours et à la confirmation de son arrêt. La Section des permis de construire conclut au rejet du recours, et l'intimé également, dans la mesure où il est recevable. Invité à se déterminer, l'Office fédéral de l'environnement (ci-après: l'OFEV) estime que les immissions de bruit ont été calculées correctement et que, s'agissant de la protection de l'air, les distances minimales ont été respectées. L'Office fédéral du développement territorial a renoncé à s'exprimer. La recourante et l'intimé ont répliqué, respectivement dupliqué.
Par ordonnance du 23 mars 2012, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif contenue dans le recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 La recourante a indiqué déposer un "recours de droit public" (selon la terminologie de l'ancienne loi fédérale d'organisation judiciaire [RS 3 521; OJ], abrogée le 31 décembre 2006) auprès du Tribunal fédéral. L'intitulé erroné du recours ne saurait préjuger de la voie ouverte, ni porter préjudice au recourant, pour autant que son écriture remplisse les conditions formelles de la voie de droit en cause (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 et les arrêts cités).
La voie du recours en matière de droit public est ouverte contre une décision rendue dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions, conformément aux art. 82 ss LTF. Aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'est réalisée.
Selon la jurisprudence, le voisin a qualité pour agir lorsque son terrain jouxte celui du constructeur ou se trouve à proximité immédiate de celui-ci (ATF 121 II 171 consid. 2b p. 174; 115 Ib 508 consid. 5c p. 511). Tel est le cas de la recourante, propriétaire d'une maison d'habitation sise à environ 90 m de la parcelle où l'intimé projette les constructions litigieuses.
Le recours en matière de droit public est dès lors en principe recevable.
1.2 La voie du recours en matière de droit public étant ouverte, le recours constitutionnel subsidiaire, déposé dans le même acte par la recourante, est irrecevable (art. 113 LTF).
2. Dans sa réplique du 31 août 2012, la recourante requiert diverses mesures d'instruction. Elle demande notamment l'audition de l'intimé, le "témoignage" de ses parents et une inspection locale. Elle sollicite également une "expertise et contrôle des mesures et implantation du projet sur place" ainsi que des expertises ornithologique et entomologique.
Ces réquisitions n'ont pas été formulées à l'appui du mémoire de recours, alors qu'elles auraient pu l'être. Elles sont donc irrecevables. En effet, en vertu de l'art. 42 al. 1 LTF, le mémoire de recours doit notamment indiquer les conclusions, les motifs et les moyens de preuve. Passé ce délai, le recourant ne peut en principe plus compléter ses conclusions et ses griefs (cf. ATF 132 I 42 consid. 3.3.4 p. 47; cf. FLORENCE AUBRY GIRARDIN, Commentaire LTF, n. 19 ad art. 42). Quoi qu'il en soit, ces requêtes auraient dû être rejetées, le Tribunal fédéral s'estimant suffisamment renseigné pour statuer en l'état du dossier.
3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de ladite autorité ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 II 304 consid. 2.4 p. 314) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). S'il entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées.
Au début de son mémoire, la recourante présente sa propre version des faits et apporte de nombreuses précisions aux constatations des juges cantonaux. De même, dans sa réplique, elle s'appuie sur des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué. Une telle argumentation, dans la mesure où elle s'écarte des faits établis dans l'arrêt attaqué ou les complète, sans qu'il soit indiqué que ceux-ci seraient manifestement inexacts ou arbitraires, est irrecevable, le Tribunal fédéral n'étant pas une instance d'appel (ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104 s.; 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322).
Le Tribunal fédéral est par conséquent lié par les faits retenus dans l'arrêt attaqué, conformément à l'art. 105 al. 1 LTF.
4. La recourante se plaint à plusieurs titres d'une violation de son droit d'être entendue, de son droit d'être défendue et d'égalité devant la loi.
4.1 Elle reproche au Tribunal cantonal d'avoir renoncé à ordonner une expertise en matière de protection de l'air, au motif qu'elle n'avait pas fourni l'avance de frais requise.
En l'espèce, le Tribunal cantonal a constaté, par décision du 20 avril 2011, que la recourante était défaillante faute d'avoir fourni l'avance complémentaire de 3'000 fr. qui lui avait été demandée en vue de réaliser une expertise auprès du professeur S._. destinée à vérifier le respect, par le projet prévu, de la législation sur la protection de l'air; en conséquence, le juge instructeur a renoncé à ordonner ladite expertise comme il l'avait prévu initialement dans une ordonnance du 11 février 2011.
La recourante ne nie pas qu'elle n'a pas fourni l'avance de frais, ni présenté une demande d'assistance judiciaire, dans le délai imparti. C'est dès lors en vain qu'elle conteste la tardiveté de sa requête du 11 avril 2011 visant à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour pouvoir être dispensée de l'avance de frais complémentaire. Il ressort en effet du dossier qu'un ultime délai lui a été imparti au 8 avril 2011. Elle ne fait en outre pas valoir que le Tribunal cantonal aurait appliqué de façon arbitraire les normes cantonales de procédure relatives à la restitution des délais. Au vu de ce qui précède, on ne décèle pas de violation du droit d'être entendu et le grief doit être écarté.
4.2 La recourante se plaint également d'une violation de son droit d'être entendue du fait qu'elle n'a pas pu assister à l'expertise du bureau Z._. Il ressort toutefois du dossier qu'elle a été régulièrement convoquée, ainsi que son mandataire de l'époque, à la séance du 9 novembre 2010 organisée sur les lieux par le bureau Z._. Elle n'a fait valoir aucune remarque, ni ne s'est prévalue d'une quelconque violation de ses droits de procédure, dans le délai de 10 jours qui lui a été imparti par le juge instructeur pour s'exprimer sur le rapport d'expertise du 29 novembre 2010. Son grief est dès lors tardif et, quoi qu'il en soit, apparaît infondé. Le recours doit également être rejeté sous cet angle.
4.3 Enfin, la recourante allègue en vain que le refus de la cour cantonale d'entendre les témoins B.X._ et C.X._ consacre une violation de son droit d'être entendue et de se défendre. En effet, par une appréciation anticipée des preuves dépourvue d'arbitraire (sur cette notion, voir ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157 et les arrêts cités), les juges cantonaux ont renoncé à ordonner l'audition requise. Ils ont effectivement estimé que ce moyen de preuve ne permettrait pas de conduire à une appréciation différente des griefs examinés, motivation qui n'est pas critiquée par la recourante.
5. La recourante critique l'"expertise" des nuisances effectuée par l'Office cantonal de l'environnement le 1er avril 2008 ainsi que l'expertise des nuisances sonores du bureau Z._ à Delémont.
5.1 S'agissant de la note du 1er avril 2008 de l'Office de l'environnement, les remarques de la recourante sont plutôt confuses. Elle semble reprocher à l'autorité cantonale la méthode utilisée pour établir son rapport ainsi que son manque d'indépendance et de neutralité.
Tout d'abord, si la recourante avait un doute sur la partialité d'un membre de l'Office de l'environnement, qu'elle estimait prévenu dans cette affaire, elle aurait dû dénoncer immédiatement un tel vice. Elle allègue ensuite que cette autorité cantonale n'aurait pas pris en compte certains éléments essentiels (emplacement, régime des vents) et ne se serait pas rendue à proximité directe du bâtiment susceptible d'être incommodé. Elle ne dit toutefois pas quelles règles le service cantonal aurait méconnues lors de l'établissement de sa note, ni surtout ne fait valoir en quoi les calculs effectués seraient erronés. Or, d'après les déterminations de l'OFEV du 1er juin 2012, la méthode de calcul de la distance minimale exposée par les recommandations de la Station fédérale de recherche et d'économie d'entreprise et de génie rural "Distances minimales à observer pour les installations d'élevage d'animaux" (rapport FAT n° 476 de 1995) a été correctement appliquée. Les distances minimales sont ainsi respectées et l'OFEV ne voit pas d'autres mesures préventives à prendre. Les critiques de la recourante relatives à la note de l'Office de l'environnement sont dès lors dénuées de consistance et doivent être écartées.
5.2 La recourante s'en prend également à l'expertise Z._. Elle allègue que les experts se sont basés uniquement sur les déclarations orientées de l'intimé, de la Section des permis de construire et du service de l'économie rurale, étant donné qu'elle n'était pas présente lors de la séance organisée sur place. Par ailleurs, l'expertise qualifierait à tort d'antibruits les murs et façades de la halle existante et de celle projetée. Contrairement aux affirmations de la recourante, l'expert ne s'est pas seulement appuyé sur les déclarations des parties présentes lors de la séance pour effectuer ses calculs. Il a également consulté les plans et surtout procédé à des mesurages de bruit in situ le 18 novembre 2010, sur la base desquels il a contrôlé le respect des valeurs limites. S'agissant des mesures de prévention préconisées, celles-ci ont été jugées suffisantes par l'OFEV, qui a également considéré que les immissions ont été calculées correctement, si bien que les vagues critiques de la recourante sont infondées et que son recours doit également être rejeté sous cet angle.
6. La recourante conteste la nécessité de l'installation de compostage ainsi que la pesée des intérêts effectuée par les autorités cantonales. A son avis, "la clause de besoins agricoles" n'est nullement donnée, le projet de compostage ne sert que les intérêts privés de l'intimé et la situation financière favorable de ce dernier lui permet de "faire ce qu'il veut".
Le Tribunal cantonal a expliqué en détail pourquoi l'ensemble du projet litigieux répondait à une nécessité pour l'exploitation agricole de l'intimé et pour la commune de La Baroche, dès lors qu'il permettait d'une part de résoudre le problème de la gestion des déchets verts et d'autre part d'exploiter de manière plus rationnelle l'entreprise agricole de l'intimé. Il n'y a pas lieu de remettre en question la motivation de l'arrêt attaqué sur ce point, qui apparaît pertinente. La pesée des intérêts échappe également à la critique. La cour cantonale a en effet relevé que la recourante ne pouvait faire valoir un intérêt prépondérant à celui de l'intimé et de la commune de La Baroche, qui pourra bénéficier d'un lieu de compostage des déchets verts aisément accessible et conforme aux exigences légales. L'intéressée n'explique pas quel serait son intérêt prépondérant que les juges cantonaux n'auraient pas pris en compte; elle se contente d'affirmer qu'elle est propriétaire de son immeuble et que la situation financière de l'intimé est sans aucune mesure avec la sienne, ce dernier point n'ayant aucun lien avec l'objet de la contestation. Enfin, en tout état de cause, la recourante qui s'oppose au projet dans son principe ne fait néanmoins pas valoir que les nuisances engendrées par celui-ci seraient supérieures aux normes admises en ce qui concerne le bruit et les odeurs. Il n'y a donc pas lieu de revenir sur l'arrêt cantonal qui, après un examen approfondi, a constaté que les nuisances sonores et olfactives respectaient les niveaux légaux, ce qui a au surplus été confirmé par l'OFEV.
7. Enfin, la recourante invoque son droit de propriété, qu'elle conçoit comme "le droit de séjour[ner] dans un environnement serein en quelque lieu du territoire suisse." Elle ne fait toutefois pas valoir que l'atteinte alléguée à son droit de propriété ne reposerait pas sur une base légale, ne répondrait pas à un intérêt public suffisant ou serait disproportionnée (art. 36 al. 1 à 3 Cst.). La motivation de son recours ne répond ainsi manifestement pas aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF et est par conséquent irrecevable.
8. Les considérants qui précèdent conduisent à l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire et au rejet du recours en matière de droit public, dans la mesure où il est recevable. Le recours était d'emblée dénué de chances de succès, de sorte que la demande d'assistance judiciaire est rejetée (cf. art. 64 al. 1 LTF). La recourante, qui succombe, doit dès lors supporter les frais judiciaires, qui seront fixés compte tenu de sa situation financière (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Elle versera en outre une indemnité de dépens à l'intimé, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
5. Une indemnité de 1'500 fr. est allouée à l'intimé à titre de dépens, à la charge de la recourante.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Département de l'environnement et de l'équipement de la République et canton du Jura, Section des permis de construire, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour administrative, à l'Office fédéral de l'environnement, Division Droit, et à l'Office fédéral du développement territorial.
Lausanne, le 19 novembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Mabillard