Faits :
A.
Par jugement du 3 septembre 2014, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a reconnu X._ coupable d'usage de faux aux termes de l'art. 186 al. 1 de la loi fédérale sur l'impôt fédéral direct (LIFD; RS 642.11); il l'a condamné à cent vingt jours-amende à 10 fr. le jour, avec sursis durant deux ans.
La Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a statué le 7 janvier 2015 sur l'appel du prévenu; elle a rejeté l'appel et confirmé le jugement attaqué.
B.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, X._ requiert du Tribunal fédéral qu'il rejette entièrement l'action pénale. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation du jugement d'appel et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
Une demande d'assistance judiciaire est jointe au recours.
Le Ministère public et l'autorité précédente n'ont pas été invités à répondre au recours.
Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière pénale sont en principe satisfaites, notamment à raison de la qualité pour recourir.
2.
Le recours est recevable pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 140 III 86 consid. 2 p. 88; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254). Il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 138 I 171 consid. 1.4 p. 176; 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246). Il doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); il peut toutefois compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (art. 105 al. 2 LTF; ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266; 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252).
Des constatations de fait sont arbitraires lorsque, sans aucune raison sérieuse, l'autorité a omis de prendre en considération un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle en a manifestement méconnu le sens et la portée ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle est parvenue à des constatations insoutenables (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266; 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560).
La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Il lui incombe alors d'indiquer de façon précise en quoi les constatations critiquées sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; voir aussi ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266; 136 II 489 consid. 2.8 p. 494). Pour invoquer utilement la règle d'appréciation des preuves inhérente à la présomption d'innocence consacrée par l'art. 32 al. 1 Cst., le plaideur reconnu coupable d'une infraction doit également démontrer précisément en quoi des doutes sérieux et irréductibles s'imposaient au sujet de sa culpabilité (ATF 127 I 38 consid. 2 p. 40; voir aussi ATF 138 V 74 consid. 7 p. 82; 124 IV 86 consid. 2a p. 87/88).
3.
L'art. 186 al. 1 LIFD réprime l'usage de titres faux, falsifiés ou inexacts quant à leur contenu, tels que des livres comptables, des bilans, des comptes de résultat ou des certificats de salaire et autres attestations de tiers, dans le dessein de tromper l'autorité fiscale et de commettre une soustraction d'impôt punissable selon les art. 175 à 177 LIFD.
La Cour d'appel constate qu'au cours de la période fiscale 2002, le recourant dominait les sociétés A._ SA , à Saint-Sulpice, B._ AG, au Liechtenstein, et C._ SA, en Roumanie, toutes actives dans le domaine des services informatiques. Ces deux premières sociétés ont comptabilisé des frais de sous-traitance facturés par C._ SA. Les montants ainsi facturés, au total de 709'086 fr., ont été prélevés en espèces; seuls 419'662 fr.20 ont été reversés à C._ SA. La cour cantonale retient que les comptabilités des sociétés A._ SA et B._ AG étaient inexactes quant à la différence et qu'elles ont servi à réaliser une soustraction d'impôt.
La cour cantonale constate également que le recourant dominait la société D._ AG au Liechtenstein, active en matière de services aéronautiques. Dans la même période fiscale, A._ SA et B._ AG ont comptabilisé des frais d'utilisation d'un avion facturés par D._ AG, alors que les transports exécutés ne relevaient que partiellement d'un usage commercial. Il est jugé que les comptabilités de A._ SA et B._ AG étaient inexactes aussi en tant que les frais incluaient des transports privés.
Devant le Tribunal fédéral comme devant la cour d'appel, le recourant se prévaut surtout de deux documents. L'un atteste d'un versement de 300'000 fr. à une fondation E._, au Liechtenstein, dont C._ SA était la bénéficiaire; quoique cette pièce n'indique pas l'origine du versement, elle apporte prétendument la preuve que tous les montants facturés par C._ SA à A._ SA et à B._ AG sont effectivement parvenus à cette société-là. L'autre document est un extrait de la comptabilité de D._ AG d'où il ressort que 80'000 fr. ont été débités du compte actionnaire et crédités au chiffre d'affaires; le recourant prétend avoir ainsi apporté la preuve d'un paiement séparé des transports privés.
La cour d'appel a discuté ces documents et expliqué pourquoi elle ne les a pas jugés concluants. Le recourant revient sur cette discussion; il critique point par point les considérants des précédents juges et il développe sa propre interprétation de ces mêmes documents. Or, en principe et au regard de l'art. 105 al. 1 LTF, élucider si tous les montants facturés par C._ SA ont été effectivement payés à cette société, d'une part, et si les montants facturés par D._ AG incluaient ou n'incluaient pas des transports privés, d'autre part, sont des points de fait qui échappent au contrôle du Tribunal fédéral. En tant que le recourant se plaint d'arbitraire et de violation de la présomption d'innocence, le tribunal ne discerne guère sur quels points ce plaideur reproche réellement aux juges d'appel, sinon par de simples protestations ou dénégations, d'avoir commis une erreur certaine ou de s'être livrés à une appréciation absolument insoutenable des preuves disponibles. L'argumentation présentée tend seulement à substituer une appréciation différente à celle de l'autorité précédente; elle est par conséquent irrecevable au regard de cette disposition légale et de la jurisprudence déjà citée relative à l'art. 97 al. 1 LTF.
4.
Au stade de la fixation des débats de première instance puis lors de ces débats, le recourant a réclamé sans succès l'audition de six témoins et la production de documents par l'Administration fédérale des contributions. Il a notamment réclamé la production d'une lettre par laquelle un tiers l'avait dénoncé. Devant la Cour d'appel, sans plus de succès, il a soutenu que le rejet de ses réquisitions de preuves portait atteinte à son droit d'être entendu. La Cour a jugé que le dossier à sa disposition suffisait à l'examen de l'infraction en cause et à la discussion des questions litigieuses. Elle ne s'est pas expliquée de manière plus détaillée sur les preuves réclamées, sinon au sujet de la lettre de dénonciation; elle a considéré que le résultat de l'enquête fiscale était seul important, et qu'il n'était pas nécessaire d'élucider sur quelles bases l'Administration en avait ordonné l'ouverture.
Devant le Tribunal fédéral, invoquant l'art. 29 al. 2 Cst., le recourant persiste à soutenir que ses réquisitions de preuves auraient dû être admises. De surcroît, il se plaint d'une motivation prétendument insuffisante du jugement d'appel.
4.1. La garantie conférée par cette disposition constitutionnelle inclut le droit à l'administration des preuves valablement offertes en procédure, à moins que le fait à prouver ne soit dépourvu de pertinence ou que la preuve apparaisse manifestement inapte à la révélation de la vérité. Par ailleurs, le juge est autorisé à effectuer une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles et, s'il peut admettre de façon exempte d'arbitraire qu'une preuve supplémentaire offerte par une partie serait impropre à ébranler sa conviction, refuser d'administrer cette preuve (ATF 136 I 229 consid. 5.3 p. 236/237; 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428).
Le recourant revient sur sa demande d'accéder à la lettre de dénonciation mais ne prétend pas que ce document puisse éventuellement établir l'exactitude des comptabilités de A._ SA et B._ AG pour l'année 2002. Les autres documents à produire par l'Administration fédérale des contributions se rapportent eux aussi aux circonstances de l'ouverture de l'enquête fiscale la plus récente, d'une part, et aux résultats de contrôles fiscaux intervenus en 2000 et 2002, d'autre part; ils ne paraissent donc pas non plus décisifs pour l'issue de la cause pénale. Le recourant n'explique pas, et il ne prétend pas avoir expliqué devant la cour d'appel en quoi les auditions de témoins auraient pu apporter des éléments à sa décharge. Dans ces conditions, il y a lieu d'admettre que le rejet des réquisitions de preuves, sur la base d'une appréciation anticipée de ces preuves, est compatible avec la garantie invoquée.
4.2. Celle-ci confère également le droit d'exiger qu'une décision défavorable soit motivée. Cette protection-ci tend à donner à la partie les moyens d'apprécier la portée du prononcé et de le contester efficacement, s'il y a lieu, dans une instance supérieure. Elle tend aussi à éviter que l'autorité ne se laisse guider par des considérations subjectives ou étrangères à la cause; elle contribue, par là, à prévenir une décision arbitraire. L'objet et la précision des indications que l'autorité doit fournir dépendent de la nature de l'affaire et des circonstances particulières du cas. En principe, plus la personne concernée subit une atteinte grave, plus la motivation doit être complète et détaillée. Néanmoins, en règle générale, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée, sans qu'elle soit tenue de répondre à tous les arguments présentés (ATF 112 Ia 107 consid. 2b p. 109; voir aussi ATF 138 I 232 consid. 5.1 p. 237; 136 I 229 consid. 5.2 p. 236).
En l'occurrence, le jugement d'appel permet de comprendre sans ambiguïté pourquoi les pièces relatives aux circonstances de l'ouverture de l'enquête fiscale ont été jugées dépourvues de pertinence, et le recourant a pu contester cette appréciation. Compte tenu que le recourant ne paraît pas avoir motivé ses autres réquisitions de preuves devant la cour d'appel, cette autorité a pu valablement se dispenser de rechercher et discuter en quoi elles pouvaient éventuellement se justifier.
5.
Le jugement d'appel n'est pour le surplus pas contesté, de sorte que, dans la mesure où les griefs présentés sont recevables, le recours en matière pénale se révèle privé de fondement.
Selon l'art. 64 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral peut accorder l'assistance judiciaire à une partie à condition que celle-ci ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec. En l'occurrence, la procédure entreprise devant le Tribunal fédéral n'offrait manifestement aucune chance de succès, ce qui entraîne le rejet de la demande d'assistance judiciaire.
Le recourant supportera les frais judiciaires, dont la quotité tiendra compte de sa situation financière (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 17 août 2015
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le président : Denys
Le greffier : Thélin