Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer erstatte am 27. Dezember 2010 Anzeige gegen den Beschwerdegegner 2 wegen wissentlicher Abgabe eines falschen Gutachtens. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt stellte das Strafverfahren am 19. September 2013 ein. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies am 25. Februar 2014 eine dagegen gerichtete Beschwerde ab.
Der Beschwerdeführer wendet sich an das Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt anzuweisen, das Verfahren fortzuführen und ein neues Gutachten einzuholen.
2.
Die Privatklägerschaft ist zur Erhebung einer Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Sie hat darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind (BGE 133 II 353 E. 1) und im Verfahren vor Bundesgericht jedenfalls zu erläutern, welche Zivilansprüche sie gegen die beschuldigte Person stellen möchte, sofern dies - etwa aufgrund der Natur der untersuchten Straftat - nicht ohne Weiteres aus den Akten ersichtlich ist (BGE 138 IV 186 E. 1.4.1; 137 IV 219 E. 2.4 S. 223; je mit Hinweisen)
Das Kantonsgericht des Kantons Zug beauftragte den Beschwerdegegner 2 am 8. Januar 2007 mit der Begutachtung des Beschwerdeführers. Jener erstattete sein Gutachten am 25. September 2007. Als gerichtlicher Sachverständiger stand er in einem öffentlich-rechtlichen Verhältnis zum Staat (BGE 134 I 159 E. 3; MOREILLON/PAREIN-REYMOND, CPP, Code de procédure pénale, 2013, N. 5 zu Art. 184 StPO; MARIANNE HEER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2011, N. 6 zu Art. 184 StPO). Nach § 5 des Gesetzes über die Verantwortlichkeit der Gemeinwesen, Behördenmitglieder und Beamten des Kantons Zug vom 1. Februar 1979 (Verantwortlichkeitsgesetz [VG]; BGS 154.11) haftet der Staat für den Schaden, den ein Beamter in Ausübung amtlicher Verrichtungen durch Rechtsverletzung jemandem zugefügt hat (Abs. 1). Dem Geschädigten steht kein Anspruch zu gegen den Beamten, der die Rechtsverletzung begangen hat (§ 6 VG).
Der Beschwerdeführer äussert sich vor Bundesgericht zur Frage seiner Legitimation und zu einer allfälligen Zivilforderung nicht. Dass die im kantonalen Verfahren adhäsionsweise geltend gemachten Forderungen ihren Grund im Zivilrecht haben, ist angesichts des erhobenen strafrechtlichen Vorwurfs gegen den als Gerichtsgutachter amtenden Beschwerdegegner 2 nicht offensichtlich. Ob der Beschwerdeführer seine Legitimation genügend begründete bzw. er zur Erhebung der Beschwerde überhaupt legitimiert ist, ist mithin fraglich, kann aber offenbleiben, da auf die Beschwerde aus anderen Gründen nicht einzutreten ist.
3.
Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, beim Gerichtsgutachten vom 25. September 2007 handle es sich um ein vorsätzlich erstattetes Falschgutachten. Er wirft der Vorinstanz Willkür und Aktenwidrigkeiten vor.
Die Vorinstanz befasst sich Punkt für Punkt mit den Einwänden des Beschwerdeführers. Nach einer ausführlichen Würdigung gelangt sie zum Schluss, es lägen keinerlei Anhaltspunkte vor, dass der Gerichtsgutachter vorsätzlich und wissentlich ein inhaltlich fehlerhaftes Gutachten erstellt hätte (Entscheid, S. 7). Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, vermag Willkür nicht darzutun. Er wendet nichts ein, was von der Vorinstanz nicht bereits zutreffend berücksichtigt worden wäre, und stellt ihrer Beweiswürdigung lediglich die eigene Sicht der Dinge gegenüber. Dass und inwiefern die vorinstanzlichen Erwägungen unhaltbar sein könnten, zeigt er nicht auf. Das betrifft beispielsweise sein Vorbringen, es stimme, dass der Gerichtsgutachter zu Fragen der Unfallfolgen und Kausalität Stellung nehme, jedoch tue er das in den Kernfragen falsch. Oder er begnügt sich mit der Behauptung, das Gericht hätte keine Kenntnis vom tatsächlichen Sachverhalt gehabt, weil der Gerichtsgutachter wichtige Dokumente unterschlagen habe.
Ohne dass sich das Bundesgericht zu allen Ausführungen des Beschwerdeführers ausdrücklich äussern müsste, kann auf die Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden, welche der Beschwerdeführer mit seiner appellatorischen Kritik nicht in Frage zu stellen vermag. Die Vorinstanz durfte einen Tatverdacht im Sinne von Art. 319 StPO willkürfrei verneinen und den Einstellungsentscheid der Staatsanwaltschaft schützen. Der Beschwerdeführer bringt keine Umstände vor, die im Sinne des Grundsatzes "in dubio pro duriore" (vgl. BGE 137 IV 219 E. 7.1 und 7.2 S. 226) gegen eine Einstellung des Verfahrens sprechen würden. Seine Art der Beschwerdeführung genügt den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG nicht.
4.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Auf eine Kostenauflage kann ausnahmsweise verzichtet werden. Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2014
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill