Sachverhalt:
A. Mit Entscheid vom 14. Dezember 2009 erteilte der a.o. Gerichtspräsident des Gerichtskreises IV Aarwangen-Wangen Z._ in der gegen X._ eingeleiteten Betreibung Nr. ... des Betreibungsamtes A._, definitive Rechtsöffnung für Fr. 500'000.-- nebst Zins zu 5% seit dem 12. August 2009; im Übrigen wies er das Rechtsöffnungsbegehren, soweit weitergehend, ab.
B. Gegen diesen ihr am 23. Dezember 2009 mit Gerichtsurkunde zugestellten Entscheid appellierte X._ mit Schreiben vom 4. Januar 2010 an das Obergericht des Kantons Bern mit den Begehren, der Entscheid des a.o Gerichtspräsidenten vom 14. Dezember 2009 sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass sie weder Appellantin noch Appellatin sein könne. Ferner ersuchte sie um Gewährung der aufschiebenden Wirkung, die ihr die Verfahrensleitung der II. Zivilkammer des Appellationshofs des Obergerichts mit Verfügung vom 7. Januar 2010 "zur Zeit" verweigerte. Nachdem X._ den ihr auferlegten Kostenvorschuss geleistet hatte und die Gegenpartei sich hatte vernehmen lassen, trat das Obergericht mit Entscheid vom 30. März 2010 auf die seiner Ansicht nach verspätet eingereichte Appellation nicht ein.
C. X._ hat gegen diesen ihr am 14. April 2010 zugestellten Entscheid mit einem am 14. Mai 2010 der Post übergebenen Schriftsatz Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Darin ersucht sie sinngemäss um Aufhebung des obergerichtlichen Entscheids und um Rückweisung der Sache an das Obergericht. Im Weiteren beantragt sie, die Feststellung der Nichtigkeit des erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheides.
Das Obergericht und Z._ (Beschwerdegegner) haben sich am 20. Juli 2010 bzw. am 16. August 2010 vernehmen lassen.
D. Das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung ist mit Verfügung vom 17. Mai 2010 ohne Anhörung des Beschwerdegegners abgewiesen worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Ausschliesslicher Gegenstand der vorliegenden Beschwerde ist die Frage der Rechtzeitigkeit der Appellation gegen den erstinstanzlichen Rechtsöffnungsentscheid. Insoweit ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2 Der blosse Rückweisungsantrag mit Bezug auf den obergerichtlichen Entscheid ist zulässig, zumal das Bundesgericht bei Gutheissung der Beschwerde aufgrund des Nichteintretens auf die Appellation infolge verspätet eingereichten Rechtsmittels keinen Entscheid in der Sache fällen könnte (BGE 134 III 379 E. 1.3 S. 383).
2. 2.1 Das Obergericht hat zur Begründung des Nichteintretens auf die Appellation erwogen, gemäss Art. 338 ZPO/BE betrage die Appellationsfrist gegen den angefochtenen erstinstanzlichen Entscheid 10 Tage, welche Frist als eingehalten gelte, wenn der Schriftsatz oder eine andere schriftliche Eingabe an das Gericht am letzten Tag der Frist bei einer schweizerischen Poststelle oder einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung im Ausland zur Beförderung übergeben sei (Art. 99 ZPO). Der angefochtene erstinstanzliche Entscheid sei der Beschwerdeführerin am 23. Dezember 2009 mit Gerichtsurkunde zugestellt worden. Da die in Art. 118 ff. ZPO vorgesehenen Gerichtsferien für das summarische Verfahren nicht gälten und die zehntägige Rechtsmittelfrist somit am 3. Januar 2010 abgelaufen sei, erweise sich die erst am 4. Januar 2010 der Post übergebene Eingabe als verspätet.
2.2 Die nicht anwaltlich verbeiständete Beschwerdeführerin erörtert, der 3. Januar 2010 sei ein Sonntag und die Rechtsmittelfrist folglich am Montag, 4. Januar 2010 abgelaufen. An diesem Tag habe sie ihre Appellation eingereicht. Sie macht damit im Ergebnis geltend, das Obergericht habe die Auswirkung des Sonntages auf die Rechtsmittelfrist nicht beachtet und daher willkürlich angenommen, die Appellationsfrist sei nicht eingehalten.
In seiner Vernehmlassung hält das Obergericht dafür, der Aspekt der Betreibungsferien sei versehentlich nicht thematisiert worden. Die Appellation sei in Beachtung von Art. 63 SchKG und der bisherigen Rechtsprechung zu dieser Bestimmung fristgerecht erfolgt. Der Beschwerdegegner hat sich zur Frage der Fristwahrung nicht geäussert.
3. 3.1 Willkürlich ist ein Entscheid, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheides, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 135 V 2 E. 1.3 mit Hinweisen.
3.2 Das Obergericht verweist in seiner Vernehmlassung auf Art. 63 SchKG. Nach herrschender Rechtsprechung gilt die Erteilung der Rechtsöffnung als Betreibungshandlung mit der Folge, dass während der Betreibungsferien (Art. 56 Ziff. 2 SchKG) grundsätzlich keine Rechtsöffnungsverhandlung abgehalten und die Rechtsöffnung nicht ausgesprochen werden darf (BGE 96 III 49 E. 3; 115 III 91 E. 3a S. 93). Die Rechtsprechung geht im Weiteren davon aus, für das Rekursverfahren in Rechtsöffnungssachen gelte das Gleiche, sofern nach kantonalem Recht ein Rechtsmittelverfahren gegen Rechtsöffnungsentscheide vorgesehen ist. Ferner ist Art. 63 SchKG gleichermassen auf die Rekursfrist anzuwenden (BGE 115 III 91 E. 3a S. 93).
3.3 Nach Art. 56 Ziff. 2 SchKG dauern die Betreibungsferien unter anderen sieben Tage vor bis sieben Tage nach Weihnachten. Die Betreibungsferien hemmen den Fristenlauf nicht. Fällt jedoch für den Schuldner, den Gläubiger oder den Dritten das Ende einer Rechtsmittelfrist in die Zeit der Betreibungsferien, so wird die Frist bis zum dritten Tag nach deren Ende verlängert. Bei der Berechnung der Frist von drei Tagen werden Samstag und Sonntag sowie staatlich anerkannte Feiertage nicht mitgezählt (Art. 63 SchKG).
3.4 Aus dem angefochtenen Entscheid und aus den Akten ergibt sich, dass der Entscheid des a.o. Gerichtspräsidenten des Gerichtskreises IV Aarwangen-Wangen vom 14. Dezember 2009 der Beschwerdeführerin am 23. Dezember 2009, also während der Betreibungsferien um Weihnachten, per Gerichtsurkunde zugestellt worden ist. Der letzte Tag der zehntägigen Rechtsmittelfrist fiel somit auf Samstag, den 2. Januar 2010, sodass die Rechtsmittelfrist infolge des Wochenendes vom 2./3. Januar 2010 erst am Montag, 4. Januar 2010 und damit nach Beendigung der Betreibungsferien abgelaufen ist (Art. 31 Abs. 3 SchKG; BGE 108 III 49 E. 4). Die Beschwerdeführerin hat ihre Appellation nachweislich am 4. Januar 2010 eingereicht, womit die Rechtsmittelfrist ohne weiteres eingehalten worden ist. Da diese überdies wie dargelegt am 4. Januar 2010 und somit nicht während der Betreibungsferien endete, ist auch nicht zu prüfen, welche Auswirkungen Art. 63 SchKG auf den Fristenlauf hat. Das Obergericht hat die gesetzlichen und durch die Rechtsprechung aufgestellten Grundsätze missachtet, indem es davon ausgegangen ist, die Appellationsfrist sei nicht eingehalten. Der angefochtene Entscheid ist demzufolge als willkürlich aufzuheben und die Sache ist zur Behandlung der Appellation an das Obergericht zurückzuweisen, womit sich Ausführungen zu den weiteren Rügen erübrigen.
4. Im vorliegenden Fall hat ein vom Beschwerdegegner nicht mitverschuldeter Verfahrensfehler (Justizpanne) zur teilweisen Gutheissung des Rechtsmittels und insbesondere zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides geführt. Der Beschwerdegegner hat sich in seinem Subeventualantrag dem Antrag der Beschwerdeführerin auf Rückweisung der Sache an das Obergericht angeschlossen, sodass es sich praxisgemäss nicht rechtfertigt, ihm Kosten und Entschädigungen aufzuerlegen. Diesfalls sind vielmehr keine Gerichtskosten zu erheben und sind die Entschädigungen dem Gemeinwesen aufzuerlegen, dessen Entscheid aufgehoben worden ist. Demnach sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Im vorliegenden Fall besteht kein Anlass, der nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zuzusprechen, zumal sie keinen entschädigungspflichtigen Aufwand ausgewiesen hat (BGE 133 III 439 E. 4 S. 446; 135 III 127 E. 4 S. 136). Demgegenüber ist der anwaltlich vertretene Beschwerdegegner vom Kanton Bern für seine Vernehmlassung zu entschädigen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Zivilkammer, vom 30. März 2010 wird aufgehoben und die Sache zur Behandlung der Appellation an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Bern hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Bern, Appellationshof, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden