Faits:
A. A.a S._ a travaillé en qualité de traducteur-interprète auxiliaire pour le Secrétariat général X._. Il a exercé cette activité en tant que salarié de 1989 à 1999, puis en tant qu'indépendant de 1999 au mois d'avril 2005, enfin à nouveau en qualité de salarié. Depuis le 1er janvier 2006, il exerce en plus la même activité au service de Z._.
Il a présenté une demande d'indemnité de chômage à partir du 1er juillet 2007 en faisant valoir qu'il n'avait plus assez de travail dans le cadre des contrats susmentionnés.
Par décision du 1er octobre 2007, confirmée sur opposition le 28 février 2008, la Caisse cantonale de chômage du canton de Vaud a refusé l'octroi d'une indemnité de chômage, motif pris que l'assuré n'était pas sans emploi ni partiellement sans emploi.
S._ a recouru contre la décision sur opposition devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud. La caisse de chômage ayant indiqué qu'elle allait revenir sur sa décision et en rendre une nouvelle après une instruction complémentaire, le tribunal a considéré que la cause était devenue sans objet et l'a rayée du rôle par décision du 30 avril 2009.
A.b Par décision sur opposition rectificative du 8 juin 2009, la caisse de chômage a confirmé sa décision du 1er octobre 2007 pour le motif substitué que l'assuré ne subissait pas une perte de travail à prendre en considération, dès lors que l'activité exercée était un travail sur appel qui n'avait pas présenté un caractère suffisamment régulier durant les douze mois qui avaient précédé la date à partir de laquelle l'indemnité de chômage avait été demandée (juillet 2006 à juin 2007).
B. Saisie d'un recours contre cette décision sur opposition, la juridiction cantonale a ordonné une audience d'instruction le 14 janvier 2010. Elle a rejeté le recours par jugement du 18 mars 2010.
C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant à l'octroi des prestations de l'assurance-chômage à partir du 1er juillet 2007. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement, le tout sous suite de frais et dépens.
La caisse intimée s'en remet à justice. La juridiction cantonale se réfère purement et simplement à son jugement, tandis que le Secrétariat d'Etat à l'économie (seco) a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le droit à l'indemnité de chômage suppose notamment que l'assuré soit sans emploi ou partiellement sans emploi (art. 8 al. 1 let. a LACI). Est réputé sans emploi celui qui n'est pas partie à un rapport de travail et qui cherche à exercer une activité à plein temps (art. 10 al. 1 LACI), tandis qu'est réputé partiellement sans emploi notamment celui qui occupe un emploi à temps partiel et cherche à le remplacer par une activité à plein temps ou à le compléter par une autre activité à temps partiel (art. 10 al. 2 let. b LACI).
En outre, le droit à l'indemnité suppose que l'assuré ait subi une perte de travail à prendre en considération (art. 8 al. 1 let. b LACI). Selon l'art. 11 al. 1 LACI, la perte de travail doit être prise en considération lorsqu'elle se traduit par un manque à gagner et dure au moins deux journées de travail consécutives.
1.2 Selon la jurisprudence, la perte de travail est calculée en règle générale en fonction de l'horaire de travail habituel dans la profession ou le domaine d'activité concernés ou, le cas échéant, en fonction de l'horaire de travail prévu par une convention particulière. En cas de travail sur appel, le travailleur ne subit, en principe, pas de perte de travail, respectivement pas de perte de gain à prendre en considération lorsqu'il n'est pas appelé, car le nombre de jours où il est amené à travailler est considéré comme normal. Exceptionnellement, lorsque les appels diminuent après que l'assuré a été appelé de manière plus ou moins constante pendant une période prolongée (période de référence), une telle perte de travail et de gain peut être prise en considération. Plus les appels ont été réguliers, plus la période de référence sera courte (ATF 107 V 59 consid. 1 p. 61; SVR 2006 AlV no 29 p. 99, C 9/06 consid. 1.2 et 1.3; DTA 1998 no 20 p. 98, C 281/97 consid. 2a et les références).
2. 2.1 Pour trancher le point de savoir si l'activité exercée était suffisamment régulière au sens de la jurisprudence précitée, la caisse de chômage et la juridiction cantonale se sont fondées sur la période de douze mois qui a immédiatement précédé la date à partir de laquelle l'indemnité de chômage a été demandée (juillet 2006 à juin 2007). Elles se sont référées pour cela aux ch. B95 ss concernant le contrat de travail sur appel de la circulaire relative à l'indemnité de chômage (IC) publiée par le seco, dans sa teneur en vigueur depuis le 1er janvier 2007. Selon le ch. B96, pour établir le temps de travail normal, on prendra en principe pour période de référence les douze derniers mois ou toute la durée du rapport de travail s'il a duré moins de douze mois; en dessous de six mois d'occupation, il est impossible de déterminer un temps de travail normal. Pour qu'un temps de travail puisse être présumé normal, il faut que ses fluctuations mensuelles ne dépassent pas 20 %, en plus ou en moins, du nombre moyen des heures de travail fournies mensuellement pendant la période d'observation de douze mois ou 10 % si cette période est de six mois seulement; si les fluctuations dépassent ne serait-ce qu'un seul mois le plafond admis, il ne peut plus être question d'un temps de travail normal et, en conséquence, la perte de travail et la perte de gain ne peuvent pas être prises en considération (ch. B97).
Constatant que les fluctuations mensuelles dépassaient à neuf reprises le taux de 20 %, en plus ou en moins, du nombre moyen obtenu sur la période de référence de douze mois, la juridiction cantonale a considéré que l'activité n'avait pas été suffisamment régulière pour qu'une perte de travail puisse être prise en considération.
Constatant que les fluctuations mensuelles dépassaient à neuf reprises le taux de 20 %, en plus ou en moins, du nombre moyen obtenu sur la période de référence de douze mois, la juridiction cantonale a considéré que l'activité n'avait pas été suffisamment régulière pour qu'une perte de travail puisse être prise en considération.
2.2 2.2.1 Par un premier moyen, le recourant met en cause la référence à une période de douze mois pour trancher le point de savoir si l'activité exercée était suffisamment régulière. Invoquant l'arrêt SVR 2006 AlV no 29 p. 99, C 9/06, déjà cité, il fait valoir qu'une telle période n'est pas applicable dès lors qu'en l'occurrence, il a travaillé en qualité d'interprète au service de Y._ depuis 1989, soit pendant plus de 20 ans, même si son statut a changé durant les années à deux reprises à l'initiative de l'employeur. Selon le recourant, il suffit de constater que son activité professionnelle a été réduite, indépendamment de sa volonté, depuis le mois de juillet 2007 d'environ 54 % par rapport aux six premiers mois de l'année, comme l'a clairement confirmé son employeur; cette baisse brutale intervenue dans un rapport de travail régulier et de longue durée suffit, selon l'intéressé, pour démontrer l'existence d'une perte de travail à prendre en considération.
2.2.2 Dans l'arrêt invoqué par le recourant, le Tribunal fédéral des assurances a jugé que la période de douze mois fixée par la circulaire du seco était en principe compatible avec les dispositions légales et réglementaires, ainsi qu'avec la jurisprudence, dès lors qu'elle apparaissait appropriée pour des relations de travail relativement courtes. Dans le cas de rapports de travail s'étendant sur plusieurs années, il a considéré toutefois qu'il convenait de prendre en compte le nombre d'heures de travail annuel et les fluctuations par rapport à la moyenne annuelle (SVR 2006 AlV no 29 p. 99, C 9/06 consid. 3.3).
2.2.3 En l'espèce, la juridiction cantonale a constaté que durant la période de 1999 au mois d'avril 2005, le recourant avait exercé son activité habituelle pour X._ en qualité d'indépendant. La durée de son activité de salarié au service de X._ avait donc été d'un peu plus de deux ans avant la perte de travail alléguée (avril 2005 à juin 2007). Quant à son activité au service de Z._ - dont le salaire a aussi été pris en compte pour déterminer la perte de travail éventuelle - elle a débuté seulement le 1er janvier 2006. Dans ces conditions, on ne saurait admettre que les rapports de travail ont duré assez longtemps pour s'écarter du principe selon lequel la période de référence de douze mois suffit pour établir le temps de travail normal. Au demeurant, il ressort du jugement attaqué que la rémunération horaire pour l'activité indépendante était plus élevée que le salaire horaire et que les variations de rémunération d'une année à l'autre sont d'une telle ampleur que la méthode de calcul préconisée par le recourant ne permettrait pas non plus d'admettre l'existence d'une activité régulière. La référence à une période de douze mois n'est dès lors pas critiquable.
2.3 Par un deuxième moyen, le recourant conteste l'applicabilité à son cas des ch. B95 ss de la circulaire du seco, en alléguant qu'il était obligé d'accepter les missions proposées, ne s'estimant pas en droit de refuser les offres qui lui sont faites par ses employeurs.
Ce moyen est mal fondé. La jurisprudence considère en effet que la méthode d'évaluation du seco est appropriée en ce qui concerne les contrats de travail sur appel d'une durée relativement courte (cf. consid. 2.2.2 supra). Or, le contrat de travail sur appel est caractérisé précisément par le fait que le travailleur s'y oblige à exercer l'activité exigée chaque fois que l'employeur requiert ses services (BRUNNER/BÜHLER/WAEBER/BRUCHEZ, Commentaire du contrat de travail, 3ème éd., 2004, n. 6 p. 409; PHILIPPE CARRUZZO, Le contrat individuel de travail, 2009, n. 13 ad art. 319 CO). Si, au contraire, le travailleur n'est pas obligé d'accepter les missions proposées, le rapport obligationnel n'est pas durable et on parle alors de rapports de travail auxiliaire ou occasionnel (REHBINDER/STÖCKLI, Berner Kommentar, 3ème éd. 2010, n. 35 ad art. 319). Au demeurant, de tels rapports sont soumis aux mêmes règles que le travail sur appel lorsqu'il s'agit d'examiner une perte de travail éventuelle (arrêt du Tribunal fédéral des assurances C 319/96 du 31 janvier 1997 consid. 4b). Le grief du recourant doit ainsi être écarté.
2.4 Par un troisième moyen, le recourant fait valoir que le calcul des fluctuations effectué par la juridiction cantonale ne tient pas compte du fait qu'il a perçu au cours de certains mois - par exemple au mois d'août 2006 - une rémunération pour un travail effectué dans le cadre d'une mission accomplie sur plusieurs mois.
En vertu de l'art. 42 LTF, la partie qui invoque un fait devant être prouvé ne peut se contenter d'alléguer ce fait, mais elle doit aussi mentionner le moyen de preuve propre à l'établir (FLORENCE AUBRY GIRARDIN, Commentaire de la LTF, 2009, n. 45 ad art. 42). Cette exigence est d'autant plus stricte lorsque le recourant critique les constatations de fait contenues dans la décision attaquée, qui lient le Tribunal fédéral (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF; BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, 2009, n. 19 ad art. 97). Le grief du recourant n'est dès lors pas recevable.
2.5 Enfin, en ce qui concerne le grief selon lequel le calcul des fluctuations effectué par la juridiction cantonale ne tient pas compte des vacances et des jours fériés, il est manifestement infondé. Renvoi soit à cet égard à l'argumentation convaincante du jugement attaqué.
2.6 Vu ce qui précède, le jugement entrepris n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
3. Le recourant qui succombe supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 28 février 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd