Erwägungen:
1. X._, 1980 geborener Staatsangehöriger von Kosovo, reiste 1993 als Zwölfeinhalbjähriger im Familiennachzug in die Schweiz ein, wo ihm die Niederlassungsbewilligung erteilt wurde. 2001 heiratete er eine Landsfrau, welche in der Folge eine Aufenthaltsbewilligung, 2006 eine Niederlassungsbewilligung erhielt. Die fünf gemeinsamen Kinder (geb. 2000, 2002, 2003, 2005 und 2007) verfügen durch ihre Mutter ebenfalls über die Niederlassungsbewilligung.
Nachdem gegen X._ zwischen 2002 und 2010 zahlreiche strafrechtliche Urteile ergangen waren, gestützt worauf er insgesamt über 50 Monate im Strafvollzug weilte (so auch zurzeit; definitives Strafende offenbar Mai 2013, ein Gesuch um bedingte Haftentlassung wurde am 3. April 2012 abgewiesen), widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich am 16. Dezember 2011 seine Niederlassungsbewilligung; es ordnete an, dass er die Schweiz unverzüglich nach der Entlassung aus dem Strafvollzug zu verlassen habe (Wegweisung). Den gegen den Widerrufs- und Wegweisungsentscheid erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 20. März 2012 ab. Gegen diesen Rekursentscheid gelangte X._ mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, wobei er den Widerruf der Niederlassungsbewilligung nicht mehr in Frage stellte, sondern in Bezug auf die Wegweisung beantragte, die Frist für deren Befolgung sei auf drei Monate ab der tatsächlichen Entlassung aus dem Strafvollzug festzusetzen. Mit Urteil vom 30. Mai 2012 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 4. Juli 2012 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und den dort gestellten Anträgen stattzugeben, wonach er trotz der Wegweisung nach der Entlassung aus dem Strafvollzug zunächst zu seiner Familie zurückkehren könne und den Kanton Zürich bzw. die Schweiz innert angemessener Ausreisefrist - drei Monate oder eventuell kürzer - zu verlassen habe.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend die Wegweisung (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG).
Streitig ist vorliegend allein die Frage der (zeitlichen) Modalitäten des Vollzugs der Wegweisung. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens (BGE 134 II 192 E. 1.3 S. 195; 134 V 138 E. 3 S. 144; 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.) offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG). Das eingelegte Rechtsmittel kann höchstens als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG) entgegengenommen werden. Es ist noch zu prüfen, ob diesbezüglich die Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind.
2.2 Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Solche Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 BGG). Zur Verfassungsbeschwerde ist berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG).
Das Verwaltungsgericht hat sich namentlich in E. 4.2 und 4.3 ausführlich mit der persönlichen und familiären Situation des Beschwerdeführers und auch mit den praktischen Aspekten einer Ausreise direkt auf den Zeitpunkt der Haftentlassung befasst. Der Beschwerdeführer kritisiert die dabei vorgenommenen Gewichtungen und bezeichnet den Entscheid des Verwaltungsgerichts als unverhältnismässig. Das Gebot verhältnismässigen Handelns stellt kein mit Verfassungsbeschwerde anrufbares verfassungsmässiges Recht dar (BGE 134 I 153 E. 4.1 S. 156 f.). Der Beschwerdeführer führt zusätzlich aus, "die Vorschrift von Art. 9 der Bundesverfassung scheint nicht eingehalten, da der Entscheid unverhältnismässig und damit willkürlich ist, ebenso stützt sich die Beschwerde auf Art. 29 Abs. 2 der Bundesverfassung, soweit sich das Verwaltungsgericht nicht mit den Vorbringen des Beschwerdeführers befasst, etwa betreffend Angewiesenheit auf die Hilfe des Onkels im Kosovo für die dortige Eingliederung - oder die Regelung der Fortdauer der ärztlichen Behandlung." Insofern nennt der Beschwerdeführer zwar verfassungsmässige Rechte. Inwiefern das Verwaltungsgericht das Willkürverbot verletzt haben könnte, wird damit aber nicht dargetan (vgl. zu den Anforderungen an die Begründung der Willkürrüge BGE 133 II 396 E. 3 S. 399 f.), sodass auch offenbleiben kann, ob und wie im Zusammenhang mit einer Wegweisung das Willkürverbot unter dem Aspekt von Art. 115 lit. b BGG überhaupt angerufen werden kann (vgl. BGE 137 II 305 E. 3 S. 308 ff.). Was die behauptete Gehörsverweigerung betrifft, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, welche konkreten Vorbringen bezüglich der Hilfe des Onkels bei der Wiedereingliederung im Kosovo, die im Hinblick auf die Festsetzung des Ausreisezeitpunkts von Bedeutung sein könnten, vom Verwaltungsgericht übergangen worden wären.
Als Verfassungsbeschwerde enthält die Rechtsschrift offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
2.3 Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.4 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde aussichtslos erschien (Art. 64 BGG).
Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind damit entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller