Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1974) stammt aus dem Kosovo. Er heiratete am 19. September 2006 eine um 16 Jahre ältere Schweizer Bürgerin, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei jener erteilt wurde. In der Folge erklärte die Gattin wiederholt, die Gemeinschaft sei aufgegeben bzw. gegen ein Geldversprechen eingegangen worden, kam jedoch regelmässig wieder hierauf zurück. Am 4. Januar 2011 lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich es ab, die Bewilligung von X._ zu verlängern. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich bestätigte diesen Entscheid kantonal letztinstanzlich am 23. April 2012.
1.2 Das Urteil wurde dem Vertreter von X._ am 23. April 2012 per Einschreiben zugestellt und am 8. Mai 2012 als nicht abgeholt an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich retourniert. X._ nahm es dort am 27. Juli 2012 in Empfang. Er ersucht mit Eingabe an das Bundesgericht vom 22. August 2012 darum, die Beschwerdefrist wiederherzustellen und den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben bzw. seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
2. 2.1 Eine versäumte Frist kann nach Art. 50 Abs. 1 BGG wiederhergestellt werden, wenn eine Partei oder ihr Vertreter unverschuldeterweise davon abgehalten worden ist, fristgerecht zu handeln, sofern die Partei unter Angaben des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Die Wiederherstellung setzt voraus, dass die ersuchende Partei bzw. deren Vertreter klarerweise kein Verschulden an der Versäumnis trifft und auch bei gewissenhaftem Vorgehen nicht rechtzeitig hätte gehandelt werden können; es gilt hierbei praxisgemäss ein strenger Massstab (vgl. BGE 119 II 86 ff. zum mit Art. 50 Abs. 1 BGG im Wesentlichen übereinstimmenden Art. 35 Abs. 1 OG; zu Art. 50 BGG; Urteil 2F/2010 vom 15. Oktober 2010 E. 3.2; AMSTUTZ/ARNOLD, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger [Hrsg.], BSK Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 5 ff. zu Art. 50 BGG).
2.2 Das Urteil ist dem früheren Vertreter des Beschwerdeführers zugestellt, aber unbestrittenermassen nicht fristgerecht abgeholt worden. Nach Art. 44 Abs. 2 BGG gilt eine Mitteilung, die nur gegen Unterschrift des Adressaten oder der Adressatin oder einer anderen berechtigten Person überbracht wird, spätestens am siebten Tag nach dem ersten erfolglosen Zustellungsversuch als erfolgt. Der Beschwerdeführer macht zwar geltend, sein Vertreter sei aus "gesundheitlichen Gründen" nicht in der Lage gewesen, die Sendung auf der Post abzuholen. Er verweist diesbezüglich indessen ausschliesslich auf ein entsprechendes Schreiben seines früheren Rechtsberaters selber; er legt jedoch keinerlei ärztliche Zeugnisse vor und weist nicht einmal daraufhin, welcher Natur dessen Erkrankung gewesen sein soll. Dies genügt nicht, um ein Fristwiederherstellungsgesuch rechtsgenügend zu begründen (Art. 42 BGG). Es ist im Übrigen auch nicht ersichtlich, warum der Vertreter des Beschwerdeführers, der sich praxisgemäss dessen (Nicht-)Handeln anrechnen lassen muss (vgl. BGE 114 Ib 67 E. 2 und 3 S. 69 ff.; 107 Ia 168 E. 2a S. 169; Urteil 8C_345/2009 vom 2. Juni 2009 E. 1.2), sich trotz seiner Krankheit nicht so hätte organisieren können, dass die Geschäftspost abgeholt und gesichtet wird. Da der Beschwerdeführer bzw. sein früherer Vertreter somit nicht mit der nötigen Sorgfalt gehandelt haben, ist eine Wiederherstellung der Beschwerdefrist im vorliegenden Fall ausgeschlossen. Demzufolge kann auf die Beschwerde, weil verspätet, nicht eingetreten werden. Mit diesem Prozessentscheid wird das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
3. Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Kosten des vorliegenden Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Wiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. August 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar