Sachverhalt:
A.
Am 1. Juni 2011 erstattete der Schweizerische Drogistenverband beim Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau (im Folgenden: Departement) Anzeige gegen den leitenden Apotheker der Zur Rose Suisse AG wegen wiederholten und schweren Verstössen gegen die Berufspflichten. Dabei wurde beantragt, gegen ihn ein Disziplinarverfahren einzuleiten und die erforderlichen Massnahmen zu treffen. Gleichentags hielt der Schweizerische Drogistenverband den Kantonsapotheker dazu an, für eine konsequente Durchsetzung der Gesetzgebung besorgt zu sein.
B.
Mit Schreiben vom 20. Juni 2011 orientierte das Departement den Verband, dass es seine Eingabe vom 1. Juni 2011 als Anzeige entgegennehme. Am 9. März 2012 reichte der Schweizerische Drogistenverband eine Anzeige gegen den Kantonsapotheker ein und beantragte, dieser sei anzuweisen, den Betrieb des Online-Shops der Zur Rose Suisse AG unverzüglich zu verbieten. Am 9. März 2012wurde der Schweizerische Drogistenverband vom Departement darüber informiert, dass es die Rechtmässigkeit des Versandhandelsmodells der Zur Rose Suisse AG überprüfen werde. Mit Schreiben vom 11. April 2012beantragte der Schweizerische Drogistenverband, es sei ihm im Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG und in demjenigen gegen ihren leitenden Apotheker Parteistellungeinzuräumen. Auch sei Swissmedic in das Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG miteinzubeziehen.
C.
Die PharmaSuisse (Schweizerischer Apothekerverband) hatte beim Departement im März 2011 ebenfalls eine Eingabe gegen die Zur Rose Suisse AG gemacht. Das Departement nahm diese als Aufsichtsanzeige entgegen, die allerdings gemäss der bewusst von der bundesgerichtlichen Praxis abweichenden Auffassung des Verwaltungsgerichts Thurgau als Beschwerde hätte behandelt werden müssen (Urteil des Verwaltungsgerichts vom 18. Januar 2012 E. 4.5). Demnach wurde ein Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG anhand genommen, bei dem die PharmaSuisse Parteistellung innehat (vgl. dazu Urteil 2C_215/2012 vom 17. März 2012 Sachverhalt A und B).
D.
Am 15. Mai 2012 hielt das Departement fest, dass dem Begehren um Einräumung der Parteistellung im Verfahren gegen die Zur Rose Suisse AG grundsätzlich nichts im Wege stehe. Mit Schreiben vom 31. Mai 2012 ersuchte der Schweizerische Drogistenverband um Einsicht in sämtliche dem Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG zugrunde liegende Akten. Am 6. Juni 2012 teilte das Departement mit, dass es sich beim hängigen Verwaltungsverfahren "um ein Zweiparteienverfahren zwischen der PharmaSuisse und der Zur Rose Suisse AG" handle, weshalb die betreffenden Akten Dritten nicht zugänglich wären.
E.
Mit Eingabe vom 22. Juni 2012 beantragte der Schweizerische Drogistenverband dem Departement den Erlass einer Verfügung, wonach es der Zur Rose Suisse AG zu verbieten sei, nicht rezeptpflichtige Arzneimittel der Abgabekategorie C und D an Personen zu versenden, deren Gesundheitszustand nicht vorgängig und nachweislich im Rahmen einer persönlichen ärztlichen Konsultation abgeklärt wurde und die über kein im Rahmen der Konsultation von einem in der Schweiz zur Berufsausübung zugelassenen Arzt ausgestelltes Rezept für die betreffenden Arzneimittel verfügten. Das Departement trat mit Entscheid vom 6. November 2012 auf das Gesuch um Eröffnung eines Verwaltungsverfahrens mangels Parteistellung des Schweizerischen Drogistenverbands nicht ein. Die Eingabe vom 22. Juni 2012 wurde als Anzeige entgegengenommen, ihr wurde jedoch keine Folge geleistet.
F.
Am 27. November 2012 erhob der Schweizerische Drogistenverband Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und beantragte namentlich, den Entscheid des Departements für Finanzen und Soziales vom 6. November 2012 aufzuheben. Dem Schweizerischen Drogistenverband sei Parteistellung einzuräumen und das Departement anzuweisen eine Verfügung zu erlassen, wonach der Zur Rose Suisse AG untersagt werde, Arzneimittel der Abgabekategorie C und D an Personen zu versenden, deren Gesundheitszustand nicht vorgängig und nachweislich im Rahmen einer persönlichen ärztlichen Konsultation abgeklärt worden sei und die über kein im Rahmen der Konsultation von einem in der Schweiz zur Berufsausübung zugelassenen Arzt ausgestelltes Rezept für die betreffenden Arzneimittel verfügten. Der verfahrensleitende Gerichtspräsident beschränkte den Streitgegenstand am 29. November 2012 auf die Frage, ob dem Schweizerischen Drogistenverband im Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG Parteistellung zukomme. Am 22. Mai 2013 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau die Beschwerde des Schweizerischen Drogistenverbands ab, soweit es darauf eintrat.
G.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 4. Juli 2013 beantragt der Schweizerische Drogistenverband dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 22. Mai 2013 sei aufzuheben; es sei ihm im Verwaltungsverfahren gegen die Zur Rose Suisse AG Parteistellung einzuräumen. Die Angelegenheit sei zur Beurteilung der mit der Beschwerde vom 27. November 2012 gestellten Rechtsbegehren zur materiellen Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau, das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie die Zur Rose Suisse AG beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen. Letztere bringt vor, das von ihr praktizierte Versandhandelsmodell sei zulässig. Der Schweizerische Drogistenverband hält in einer weiteren Eingabe an seinen Anträgen fest.
Erwägungen:
1.
1.1. Der in Anwendung von öffentlichem Recht ergangene, kantonal letztinstanzliche Entscheid (Art. 90 BGG) kann mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG).
1.2. Der beschwerdeführende Verband hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Da er um Parteistellung im vom Departement gegen die Beschwerdegegnerin eingeleiteten Verfahren nachgesucht hat, ist er durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an der Überprüfung der Frage, ob ihm die Parteistellung hätte eingeräumt werden müssen. Er ist daher zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG; vgl. in ähnlichem Kontext Urteile 2C_767/2009 vom 4. Oktober 2010 E. 1.3; 2C_803/2008 vom 21. Juli 2009 E. 1.4).
1.3. Beruht ein Entscheid auf kantonalem Recht, kann im Wesentlichen bloss geltend gemacht werden, dessen Anwendung verstosse gegen verfassungsmässige Rechte, insbesondere das Willkürverbot (Art. 9 BV), wobei die entsprechenden Rügen qualifiziert zu begründen sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2 S. 232; 138 I 225 E. 3.2 S. 228; 135 III 513 E. 4.3 S. 521 f.; 134 I 153 E. 4.2.2 S. 158; 134 II 349 E. 3 S. 351 f.; 133 III 462 E. 2.3 S. 466). Das Bundesgericht prüft die Anwendung von Bundesrecht unter Einschluss des Verfassungs- und Völkerrechts mit freier Kognition (Art. 95 lit. a und lit. b BGG). Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des kantonalen Verfahrensrechts, das "deckungsgleich" mit Art. 89 BGG sei. Der blosse Umstand, dass eine Bestimmung des kantonalen Rechts mit einer bundesrechtlichen Norm übereinstimmt, führt an sich noch nicht zu deren freien Überprüfung. Vorliegend definiert allerdings Art. 111 BGG bestimmte Mindestanforderungen an das vorinstanzliche Verfahren. Insbesondere muss sich nach Abs. 1 dieser Bestimmung in allen kantonalen Verfahren als Partei beteiligen können, wer zur Beschwerde ans Bundesgericht berechtigt ist; die Kantone dürfen die Beschwerdebefugnis nicht enger umschreiben. Indem der Beschwerdeführer auch nicht geltend macht, das angerufene kantonale Prozessrecht gewähre über Art. 89 Abs. 1 BGG hinausgehende Rechte, ist seine Legitimation ausschliesslich unter dem Blickwinkel von Art. 89 Abs. 1 BGG zu prüfen. Da der Legitimationsfrage die Anwendung von Bundesrecht zugrunde liegt (Art. 111 BGG), prüft das Bundesgericht diese Frage frei (BGE 138 II 162 E. 2.1.1 S. 164; 135 II 145 E. 5 S. 149; s. auch BGE 137 I 296 E. 4.1 S. 299).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG); es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und Abs. 2 BGG).
2.
Der Beschwerdeführer strebt ein aufsichtsrechtliches Eingreifen des Departements gegen die Beschwerdegegnerin an (vgl. Sachverhalt A) und will gleichzeitig in einem Verwaltungsverfahren gegen die Beschwerdegegnerin Parteirechte ausüben (vgl. Sachverhalt B und D). Er macht geltend, seine Beschwerdelegitimation ergebe sich aus einer widerrechtlichen Bewilligungspraxis, die zur Privilegierung der Beschwerdegegnerin als Konkurrentin gegenüber den Mitgliedern des Beschwerdeführers geführt habe. Indem die Vorinstanz davon ausging, es fehle an der Legitimation zu einer Konkurrentenbeschwerde, sei Art. 89 Abs. 1 lit. b BGG (in Verbindung mit Art. 111 Abs. 1 BGG) verletzt.
2.1. Zunächst ist festzuhalten, dass eine Aufsichtsbeschwerde dem Anzeiger grundsätzlich keine Parteistellung verschafft (§ 75 Abs. 2 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Thurgau vom 23. Februar 1981 [VRG/TG]; vgl. Art. 71 Abs. 2 VwVG). Mit einer begründeten Anzeige wird die Behörde zwar auf einen Sachverhalt aufmerksam gemacht, den sie - bei entsprechender Kenntnis - von Amtes wegen gestützt auf öffentliche Interessen untersuchen müsste (vgl. § 74 VRG/TG). Gibt eine Aufsichtsbehörde einer Anzeige indessen keine Folge, so liegt darin grundsätzlich keine Verletzung von Verfahrensrechten. So hat der Anzeiger keinen Anspruch auf förmliche Erledigung und es stehen ihm keine Rechtsmittel zu - mit Ausnahme der Beschwerde, seine Eingabe sei zu Unrecht als Anzeige behandelt worden, obwohl ein Anspruch auf eine Verfügung bestünde (vgl. BGE 139 II 279 E. 2.3 S. 283; 135 II 172 E. 2.1 S. 174 f.; 133 II 468 E. 2 S. 471; 123 II 402 E. 1b/bb S. 406; 123 II 376 E. 5b/bb S. 383; 121 I 42 E. 2a und e S. 45 und 47; 120 Ib 351 E. 3a S. 354; Moser/Beusch/ Kneubühler, Prozessieren vor Bundesverwaltungsgericht, 2. Aufl., 2013, § 5 N. 5.35; Kölz/Häner/Bertschi, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 3. Aufl. 2013, N. 774). Insofern der Beschwerdeführer demnach beim Departement verschiedene Anzeigen erstattete, stehen ihm diesbezüglich keine Rechtsmittel zu.
Vorliegend möchte der Beschwerdeführer jedoch gleichzeitig in das Verfahren der PharmaSuisse gegen die Beschwerdegegnerin miteinbezogen werden (vgl. oben Sachverhalt D). Zu prüfen ist in dieser Hinsicht, ob das Verwaltungsgericht eine Parteistellung des Beschwerdeführers im Verwaltungsverfahren gegen die Beschwerdegegnerin hätte anerkennen müssen.
2.2. Gemäss Art. 89 Abs. 1 (in Verbindung mit Art. 111 Abs. 1 BGG; vgl. E. 1.3) ist im kantonalen Verfahren als Partei zuzulassen, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch die angefochtene Verfügung besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Praxisgemäss kann ein Verband, der als juristische Person konstituiert ist, die Interessen der Mehrheit oder einer Grosszahl seiner Mitglieder mit Beschwerde geltend machen, soweit deren Wahrung zu seinen statutarischen Aufgaben gehört und eine Vielzahl seiner Mitglieder ihrerseits beschwerdebefugt wären (BGE 136 II 539 E. 1.1 S. 542; 131 I 198 E. 2.1 S. 200; BGE 130 II 514 E. 2.3.3 S. 519 mit Hinweisen; sogenannte "egoistische Verbandsbeschwerde"). Die in Art. 89 BGG festgehaltene Beschwerdebefugnis setzt insofern in materieller Hinsicht die Parteifähigkeit der Beschwerdeführenden voraus (vgl. Alain Wurzburger, in: Corboz/Wurzburger/Ferrari/Frésard/Aubry Girardin, Commentaire de la LTF, 2009, N. 6 zu Art. 89 BGG). Der Schweizerische Drogistenverband ist ein Verein im Sinne von Art. 60 Abs. 1 ZGB und somit eine juristische Person. Gemäss seinen Statuten vertritt er die Interessen des Berufsstandes und der Drogisten (Art. 3 der Statuten des Beschwerdeführers vom 6. Mai 1998). Diese Voraussetzungen der egoistischen Verbandsbeschwerde sind demnach erfüllt.
Fraglich ist indessen, ob eine Grosszahl der Mitglieder des Beschwerdeführers, wie von diesem geltend gemacht wird, über ein legitimationsbegründendes schützenswertes Interesse im Sinne von Art. 89 Abs. 1 lit. b BGG verfügen und demnach ihrerseits als Konkurrenten zur Beschwerde legitimiert wären.
2.3. Nach ständiger Rechtsprechung sind Konkurrenten nicht schon aufgrund der blossen Befürchtung beschwerdebefugt, einer verstärkten Konkurrenz ausgesetzt zu sein; diese Art des Berührtseins liegt im Prinzip des freien Wettbewerbs und kann deshalb für sich alleine kein schutzwürdiges Interesse an einem gerichtlichen Rechtsschutz begründen (Urteil 2C_485/2010 vom 3. Juli 2012 E. 1.2.4, nicht publ. in: BGE 138 I 378, mit Hinweis auf BGE 127 II 264 E. 2c S. 269; 125 I 7 E. 3d S. 9). Erforderlich ist vielmehr eine schutzwürdige besondere Beziehungsnähe, die sich aus der einschlägigen gesetzlichen Ordnung ergibt. So kann ein schutzwürdiges Interesse für Konkurrenten in Wirtschaftszweigen vorliegen, in welchen sie durch wirtschaftspolitische oder sonstige spezielle Regelungen in eine solche besondere Beziehungsnähe untereinander versetzt werden (BGE 139 II 328 E. 3.3 S. 333; Urteil 2C_694/2009 vom 20. Mai 2010 E. 1.1, nicht publ. in: BGE 136 II 291; vgl. auch BGE 135 II 243 E. 1.2 S. 246 f.; Moor/Poltier, Droit administratif, Bd. 2, 3. Aufl., 2011, S. 740). Ein Konkurrent kann sodann beschwerdebefugt sein, soweit er geltend macht, andere Konkurrenten würden privilegiert behandelt (vgl. BGE 125 I 7 E. 3 f. S. 8 ff.; 123 I 279 E. 3d S. 281 f.; 101 Ib 178 E. 4b S. 186; vgl. Urteil des Bundesverwaltungsgerichts B-4405/2011 vom 12. Dezember 2011 E. 2.7).
2.4. Der Beschwerdeführer bringt vor, seine Mitglieder seien zur Beschwerde befugt, weil das Versandmodell der Beschwerdegegnerin unter Verletzung heilmittelrechtlicher Bestimmungen bewilligt worden sei. Während von den Mitgliedern des Beschwerdeführers stets verlangt werde, eine fachgerechte persönliche Beratung der Patienten sicherzustellen, werde dies von der Beschwerdegegnerin in gesetzeswidriger Weise nicht vorausgesetzt. Da die Beschwerdegegnerin zudem bei keiner der beiden Abgabekategorien C und D eine ärztliche Verschreibung verlange, könne der Umstand, dass sie eine Apotheke sei, nicht entscheidend sein. Das in dieser Form praktizierte Vertriebssystem könnte auch durch eine Drogerie praktiziert werden. Mit der Bewilligungserteilung des Versandhandelsmodells in der praktizierten Form sei die Beschwerdegegnerin somit direkte Konkurrentin gegenüber den Mitgliedern des Beschwerdeführers, die zudem privilegiert behandelt werde.
2.4.1. Der Versandhandel mit Medikamenten ist eine besondere Form der Medikamentenabgabe. Er ist im Grundsatz untersagt (Art. 27 Abs. 1 HMG; Botschaft vom 1. März 1999 zu einem Bundesgesetz über Arzneimittel und Medizinprodukte [Heilmittelgesetz, HMG], BBl 1999 3453 ff., Ziff. 22.03.4 S. 3514) und kann nur ausnahmsweise bewilligt werden, wenn zusätzliche Erfordernisse der Qualitätskontrolle erfüllt werden (Art. 27 Abs. 2 HMG). Analog zur persönlichen Abgabe muss beim Versandhandel namentlich die Beratung durch eine Fachperson (Apotheker, Drogisten) und die ärztliche Überwachung gesichert sein (Art. 29 Abs. 2 lit. f und g der Verordnung über die Arzneimittel vom 17. Oktober 2001 [VAM; SR 812.212.21] [VAM; SR 812.212.21]; Botschaft HMG, a.a.O., Ziff. 22.03.4 S. 3515; Urteil 2P.169/2006 vom 20. September 2007 E. 2.2). Die Bestimmungen zur Qualitätssicherung verlangen für Arzneimittel, die über den Versandhandel bezogen werden, eine ärztliche Verschreibung (Art. 27 Abs. 2 lit. a HMG; Art. 29 Abs. 2 VAM). Da die Vorschriften zum Versandhandel gemäss Art. 27 HMG für Arzneimittel der Abgabekategorien A bis D einschlägig sind (Art. 23 Abs. 2 HMG; Art. 23-25 und 26 VAM), wird eine ärztliche Verschreibung nach dem Wortlaut auch für Medikamentenkategorien vorausgesetzt, deren Bezug (bei einer Offizinapotheke oder einer Drogerie) an sich keine ärztliche Verschreibung erforderte (vgl. Botschaft HMG, a.a.O., Ziff. 22.03.4 S. 3515). Drogistinnen und Drogisten sind befugt, nicht verschreibungspflichtige Arzneimittel der Kategorien D, und unter spezifischen Voraussetzungen auch Arzneimittel der Kategorien C abzugeben (Art. 25 Abs. 4 HMG in Verbindung mit Art. 25 und 25b Abs. 1 VAM; Art. 25 Abs. 2 HMG in Verbindung mit Art. 26 VAM). Nach dem Verordnungswortlaut sollen jedoch nur öffentliche Apotheken, die im Besitz einer Detailhandelsbewilligung sind, eine Bewilligung für den Versandhandel beantragen können (Art. 29 Abs. 1 VAM).
2.4.2. Der Beschwerdeführer rügt, dass im strittigen Versandmodell die Voraussetzungen zum Arzneimittelversand nicht erfüllt werden. Mit der Bewilligungserteilung durch die Erstinstanz würden sowohl Art. 27 HMG und Art. 29 VAM, die eine Fachberatung der Patienten sowie eine ärztliche Verschreibung auch der Abgabekategorien C und D vorsehen (vgl. E. 2.4.1), als auch die kantonalrechtlichen Anforderungen betreffend Berufsausübung von Apothekern und Drogisten sowie die kantonalen Bestimmungen zum Betrieb von Apotheken und Drogerien verletzt (§ 25 der Verordnung des Regierungsrates des Kantons Thurgau vom 17. August 2004 über die Berufe des Gesundheitswesens; § 11 Abs. 5 und 6 der thurgauischen Heilmittelverordnung vom 11. Dezember 2001).
2.4.3. Gestützt auf die oben genannten Hinweise wird zurzeit im von der PharmaSuisse gegen die Beschwerdegegnerin eingeleiteten Verwaltungsverfahren überprüft, ob letztere gegen heilmittelrechtliche Bestimmungen verstösst. Eine legitimationsbegründende Beziehungsnähe zur Beschwerdegegnerin ist aus den Vorbringen des Beschwerdeführers jedoch nicht abzuleiten. Die vom Beschwerdeführer herangezogenen Bestimmungen des HMG begründen keine wirtschaftspolitische Regelung, die das Konkurrenzverhältnis zwischen verschiedenen Gewerbetreibenden regeln wollte und hieraus das für eine Konkurrentenbeschwerde erforderliche schützenswerte Interesse zu verschaffen vermöchte (vgl. BGE 125 I 7 E. 3e S. 9 f. und E. 3g/cc S. 12; Urteile 2C_94/2012 vom 3. Juli 2012 E. 2.3; 2C_53/2009 vom 23. September 2011 E. 1.3; anders etwa das Kartellgesetz, dazu BGE 139 II 328 ff.). Der Beschwerdeführer sieht die spezifische Beziehungsnähe denn auch nicht in den gesetzlichen Bestimmungen, sondern in der aus seiner Sicht widerrechtlichen, die Beschwerdegegnerin begünstigenden Bewilligungspraxis begründet.
Auch wenn man mit dem Beschwerdeführer entgegen der älteren Rechtsprechung (insbesondere BGE 89 I 27 E. 4 S. 35 zu Art. 31 aBV) davon ausginge, Apotheker und Drogisten, die gleichermassen Arzneimittel der Kategorie C und D abgeben, seien Konkurrenten, räumt die Rüge der Verletzung der herangezogenen heilmittelrechtlichen Bestimmungen den Mitgliedern des Beschwerdeführers gleichwohl keine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache ein: Zwar können sich Konkurrenten gegen staatliche Wettbewerbsverzerrungen unter Anrufung des Grundsatzes der Gleichbehandlung zur Wehr setzen (vgl. BGE 138 I 378 E. 6.1 S. 385; 136 I 1 E. 4.4 S. 16 f. mit Hinweisen); nach der Praxis vermag das Interesse der Konkurrenten, dass die für alle geltenden Vorschriften gegenüber den anderen Wirtschaftsteilnehmern korrekt angewendet werden, für sich allerdings keine Beschwerdebefugnis zu begründen (BGE 139 II 328 E. 3.4 S. 333 f.; 125 I 7 E. 3g/bb S. 11 f.; vgl. 123 II 376 E. 4b/bb S. 380 f.). Da der Verordnungswortlaut von Art. 29 VAM bloss Offizinapotheken, nicht jedoch Drogerien für den Versandhandel vorsieht (und der Beschwerdeführer auch nicht die Verordnungsbestimmung als solche rügt), geht die von ihm behauptete Privilegierung der Beschwerdegegnerin, wonach es ihr gestattet sein soll, ohne Fachberatung bzw. mit ungenügenden Verschreibungen Arzneimittel der Kategorien C und D zu vertreiben, nicht über die Rüge der unkorrekten Anwendung der heilmittelrechtlichen Bestimmungen beziehungsweise der diesbezüglichen mangelhaften Aufsicht über die Beschwerdegegnerin hinaus (E. 2.4.1 und 2.4.2). Sie kann als solche - wie die Anrufung des öffentlichen Interesses an der effektiven Durchsetzung der heilmittelrechtlichen Bestimmungen zum Versandhandel - nicht legitimationsbegründend sein (BGE 139 II 328 E. 3.4 S. 333 f.; 127 II 264 E. 2c S. 269; 125 I 7 E. 3g/cc dd S. 12; 123 II 376 E. 4b/bb S. 380 f.; vgl. auch Urteil des Bundesverwaltungsgerichts B-4405/2011 vom 12. Dezember 2011 E. 2.7 und oben E. 2.3).
2.5. Nachdem die vom Beschwerdeführer vorgebrachte rechtswidrige Bewilligungserteilung keine für die Konkurrentenbeschwerde erforderliche spezifische Beziehungsnähe schafft, besteht kein Anspruch, dass sich die Vorinstanz ihm gegenüber in materieller Hinsicht zum Streitgegenstand (Verwaltungsverfahren gegen die Beschwerdegegnerin) äussert oder eine Verfügung erlässt. Die vom Beschwerdeführer eingeforderten weitergehenden Feststellungen der Vorinstanz über eine widerrechtliche Bewilligungserteilung wären nach dem Gesagten nicht geeignet gewesen, ein legitimationsbegründendes schützenswertes Interesse für die Parteistellung zu begründen (vgl. E. 2, 2.4.2) und konnten damit auch nicht entscheidrelevant für das Verfahren sein (E. 1.4). Der Beschwerdeführer macht auch nicht geltend, das kantonale Verfahrensrecht gehe über die in Art. 89 Abs. 1 BV garantierten Rechte hinaus (vgl. E. 1.3). Vorliegend durfte das Verwaltungsgericht demnach davon absehen, den Sachverhalt hinsichtlich des der Beschwerdegegnerin praktizierten Vertriebssystems vollständig zu erstellen. Darin liegt weder eine Verletzung von Art. 97 in Verbindung mit Art. 105 Abs. 1 BGG noch eine Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV; vgl. BGE 138 V 125 E. 2.1 S. 127; 136 I 229 E. 5.3 S. 236 f.; 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 130 II 425 E. 2.1 S. 428 f.).
2.6. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. April 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Hänni