Sachverhalt:
A. Die am xxxx 2011 geborene Z._ ist die Tochter von X._ und Y._. Aufgrund von gesundheitlichen Schwierigkeiten wurde das Kind im Kantonsspital St. Gallen stationär behandelt. Am 15. April 2011 äusserten die interdisziplinären Dienste des Kantonsspitals gegenüber der Gemeinde A._ Bedenken betreffend Verfügbarkeit, Konstanz und Verlässlichkeit der Eltern gegenüber dem Kind, worauf die Sozialkommission A._ Abklärungen vornahm. Mit Verfügung vom 17. Juni 2011 entzog deren Präsidentin den Eltern gestützt auf Art. 310 Abs. 1 ZGB die Obhut über das Kind und errichtete eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 und 3 ZGB. Im Weiteren entzog sie einer allfälligen Beschwerde gegen diesen Entscheid die aufschiebende Wirkung.
B. X._ und Y._ gelangten gegen diesen Entscheid mit Beschwerde an das Departement Inneres und Kultur des Kantons Appenzell Ausserrhoden; in verfahrensrechtlicher Hinsicht ersuchten sie darum, die aufschiebende Wirkung ihrer Beschwerde sei wieder herzustellen. Mit Verfügung vom 7. September 2011 wies der Vorsteher des Departementes das Gesuch ab. Laut Rechtsmittelbelehrung steht gegen diese Verfügung kein ordentliches kantonales Rechtsmittel offen.
C. X._ und Y._ (Beschwerdeführer) gelangen gegen diese Verfügung mit Eingabe vom 30. September 2011 (Postaufgabe) an das Bundesgericht. Sie beantragen, die angefochtene Verfügung des Departementsvorstehers sei aufzuheben und ihrer kantonalen Beschwerde in der Sache sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist eine Verfügung des Vorstehers des Departementes Inneres und Kultur des Kantons Appenzell Ausserrhoden, mit welcher ein Gesuch der Beschwerdeführer, ihrer Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen, abgewiesen worden ist. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der beim Bundesgericht nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten ist (BGE 134 V 138 E. 3 S. 144). In der Hauptsache geht es um den Entzug der elterlichen Obhut (Art. 310 Abs. 1 ZGB), mithin um eine Massnahme des Kindesschutzes und damit um eine öffentlich-rechtliche Sache, die in engem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 7 BGG); der entsprechende (letztinstanzliche, Art. 75 Abs. 1 BGG) Entscheid in der Hauptsache und folglich auch der Zwischenentscheid können grundsätzlich mit der Beschwerde in Zivilsachen angefochten werden.
1.2 Nach Art. 75 Abs. 2 BGG setzen die Kantone als letzte kantonale Instanzen obere Gerichte ein, die als Rechtsmittelinstanzen entscheiden; ausgenommen sind die Fälle, in denen ein Bundesgesetz eine einzige kantonale Instanz vorsieht (lit. a), ein Fachgericht für handelsgerichtliche Streitigkeiten als einzige Instanz entscheidet (lit. b) oder eine Klage mit einem Streitwert von mindestens Fr. 100'000.-- mit Zustimmung aller Parteien direkt beim oberen Gericht eingereicht wurde (lit. c). Die in Art. 130 Abs. 2 BGG aufgestellte Frist für die Anpassung des kantonalen Rechts an die Erfordernisse von Art. 75 Abs. 2 BGG ist mit dem Inkrafttreten der schweizerischen Zivilprozessordnung am 1. Januar 2011 abgelaufen. Seit diesem Datum kommt Art. 75 Abs. 2 BGG voll zum Tragen (BGE 137 III 238 E. 2.2). Diese Bestimmung gilt auch für die Anfechtung von Zwischenentscheiden, ausser das obere Gericht sei mit einem Rechtsmittelverfahren befasst und fälle in diesem Rahmen einen Zwischenentscheid (zur Publikation bestimmtes Urteil 5A_320/2011 vom 18. Mai 2011 E. 2.1 u. 2.2). Der angefochtene Entscheid des Departementes erfüllt die Voraussetzung des Art. 75 Abs. 2 BGG nicht und es liegt auch keine der erwähnten Ausnahmen vor. Auf die unzulässige Beschwerde in Zivilsachen ist nicht einzutreten.
2. Bei dieser Sach- und Rechtslage ist auf die Erhebung von Kosten zu verzichten. Des weiteren sind keine Parteientschädigungen zuzusprechen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG; Urteil 5A_675/2007 vom 8. Februar 2008 E. 3).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben und keine Parteientschädigungen gesprochen.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Departement Inneres und Kultur des Kantons Appenzell Ausserrhoden und dem Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. November 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Zbinden