Sachverhalt:
A. In den Steuerjahren 2003, 2004 und 2005 wurden A. und B.X._ für die im Rahmen der Einzelfirma Fahrschule X.A._ erzielten Einkünfte aus selbstständiger Erwerbstätigkeit sowohl vom Kanton Basel-Stadt als auch vom Kanton Solothurn veranlagt.
B. Am 10. Juli 2007 haben A. und B.X._ beim Bundesgericht eine als staatsrechtliche Beschwerde bezeichnete Rechtsschrift eingereicht, womit sie eine Verletzung des Doppelbesteuerungsverbots gemäss Art. 127 Abs. 3 BV rügen. Sie beantragen, die definitiven Veranlagungen des Kantons Basel-Stadt für die Veranlagungsperioden 2003, 2004 und 2005 seien aufzuheben und es sei festzustellen, dass sich das Hauptsteuerdomizil der Einzelfirma Fahrschule X.A._ in den fraglichen Steuerperioden in W._, Kanton Solothurn, befinde.
Der Beschwerde waren als angefochtene Entscheide die Veranlagungen des Kantons Basel-Stadt für die Jahre 2003 (vom 30. Mai 2005) und 2005 (vom 20. April 2007) sowie des Kantons Solothurn für die Jahre 2003 (vom 11. April 2005), 2004 (vom 19. Juni 2006) und 2005 (vom 11. Juni 2007) beigelegt. Nachträglich, am 16. August 2007, wurden per Fax die Veranlagungen des Kantons Basel-Stadt per 2004 eingereicht (einerseits ein Veranlagungsprotokoll vom 27. Juli 2006 und andererseits eine Veranlagung mit definitiver Steuerausscheidung, datierend vom 16. August 2007).
C. Es ist weder ein Schriftenwechsel angeordnet noch sind bei den betroffenen Kantonen Akten angefordert worden.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die Beschwerdeführer rügen eine Verletzung des Doppelbesteuerungsverbots gemäss Art. 127 Abs. 3 BV.
1.1 Nach dem bis Ende 2006 in Kraft stehenden Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (Bundesrechtspflegegesetz, OG [BS 3 531]) war die Verletzung des Doppelbesteuerungsverbots beim Bundesgericht mit dem subsidiären Rechtsmittel der staatsrechtlichen Beschwerde zu rügen.
Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz, BGG [SR 173.110]) in Kraft getreten. Nach diesem Gesetz kann die Verletzung des Doppelbesteuerungsverbots beim Bundesgericht nunmehr mit dem ordentlichen Rechtsmittel, der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 ff. BGG, gerügt werden.
1.2 Die Beschwerdeführer erheben ausdrücklich staatsrechtliche Beschwerde. Es stellt sich vorab die Frage nach der Abgrenzung zwischen der staatsrechtlichen Beschwerde und der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. nach dem anwendbaren Recht (Bundesrechtspflegegesetz oder Bundesgerichtsgesetz). Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit eines Rechtsmittels von Amtes wegen mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 133 I 185 E. 2 S. 188 mit Hinweisen). Die - allenfalls - unzutreffende Bezeichnung eines Rechtsmittels ist diesbezüglich unerheblich und schadet den Beschwerdeführern nicht, sofern ihre Eingabe den für das richtigerweise gegebene Rechtsmittel geltenden formellen Erfordernissen genügt (vgl. BGE 131 I 145 E. 2.1 S. 148; 126 II 506 E. 1b S. 509, je mit Hinweisen).
1.3 Gemäss Art. 132 Abs. 1 BGG ist das Bundesgerichtsgesetz auf die nach seinem Inkrafttreten eingeleiteten Verfahren des Bundesgerichts anwendbar, auf ein Beschwerdeverfahren jedoch nur dann, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ergangen ist.
1.3.1 Die Veranlagungsentscheide für das Steuerjahr 2003 datieren vom 30. Mai 2005 (Basel-Stadt) bzw. vom 11. April 2005 (Solothurn). Für deren Anfechtung finden die Vorschriften des Bundesrechtspflegegesetzes (OG) Anwendung; soweit sich die Beschwerde vom 10. Juli 2007 auf die Veranlagungen des Jahres 2003 bezieht, ist sie als staatsrechtliche Beschwerde zu betrachten.
1.3.2 Dasselbe gilt für das Steuerjahr 2004. Der diesbezügliche Veranlagungsentscheid des Kantons Solothurn datiert vom 19. Juni 2006, und vom Kanton Basel-Stadt liegt diesbezüglich ein "Veranlagungsprotokoll" vom 27. Juli 2006 vor. Wohl haben die Beschwerdeführer am 16. August 2007 per Fax eine vom gleichen Tag datierende Veranlagung des Kantons Basel-Stadt per 2004 mit definitiver Steuerausscheidung eingereicht. Nun kann sich die Beschwerde vom 10. Juli 2007 nicht auf diese erst nach ihrer Einreichung ergangene Verfügung beziehen, und es liegt für das Steuerjahr 2004 kein nach dem 1. Januar 2007 ergangener angefochtener Entscheid vor. Die Beschwerde ist auch in dieser Hinsicht als staatsrechtliche Beschwerde zu betrachten.
1.3.3 Für das Steuerjahr 2005 sind die Veranlagungsverfügungen beider Kantone nach Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes (BGG) ergangen (im Kanton Basel-Stadt am 20. April 2007, im Kanton Solothurn am 11. Juni 2007), und diesbezüglich kommt der neue Verfahrenserlass zur Anwendung; entsprechend ist die Beschwerde, soweit sie das Steuerjahr 2005 betrifft, als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu behandeln.
1.4 Nachfolgend ist zu prüfen, ob die jeweiligen Eintretensvoraussetzungen für die staatsrechtliche Beschwerde und die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erfüllt sind.
2. 2.1 Gemäss Art. 86 OG ist die staatsrechtliche Beschwerde nur gegen letztinstanzliche kantonale Entscheide zulässig (Abs. 1). Bei Beschwerden auf dem Gebiet der interkantonalen Doppelbesteuerung muss der kantonale Instanzenzug nicht ausgeschöpft werden (Abs. 2). Gemäss Art. 89 OG sodann ist die staatsrechtliche Beschwerde dem Bundesgericht binnen 30 Tagen, von der nach dem kantonalen Recht massgebenden Eröffnung oder Mitteilung der Verfügung an gerechnet, schriftlich einzureichen (Abs. 1). Bei Beschwerden wegen interkantonaler Kompetenzkonflikte (z.B. wegen Verletzung des Doppelbesteuerungsverbots) beginnt die Beschwerdefrist erst, wenn in beiden Kantonen Verfügungen getroffen worden sind, gegen welche staatsrechtliche Beschwerde geführt werden kann (Abs. 2).
Gemäss Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen, sofern nicht die Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht zulässig ist. Nach Art. 100 BGG ist die Beschwerde gegen einen Entscheid innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen (Abs. 1). Bei Beschwerden wegen interkantonaler Kompetenzkonflikte beginnt die Beschwerdefrist spätestens dann zu laufen, wenn in beiden Kantonen Entscheide getroffen worden sind, gegen welche beim Bundesgericht Beschwerde geführt werden kann (Abs. 5).
Weder Art. 89 Abs. 3 OG noch Art. 100 Abs. 5 BGG entbinden den Steuerpflichtigen davon, spätestens 30 Tage nach Eröffnung eines anfechtbaren kantonalen Entscheids Beschwerde zu erheben.
2.2 Gegenstand der Beschwerde sind verschiedene, zu unterschiedlichen Zeitpunkten gefällte Veranlagungsverfügungen, d.h. erstinstanzliche Entscheide.
2.2.1 Da für die Anfechtung der Veranlagungen der Steuerjahre 2003 und 2004 die staatsrechtliche Beschwerde zur Verfügung steht (E. 1.3.1 und 1.3.2) und somit Art. 86 Abs. 2 OG massgeblich ist (E. 2.1 hiervor), erweist sich diesbezüglich die Letztinstanzlichkeit nicht als Eintretensvoraussetzung. Hingegen wurde die staatsrechtliche Beschwerde am 10. Juli 2007 weit mehr als 30 Tage nach Eröffnung der entsprechenden Veranlagungen beider Kantone und damit gemäss Art. 89 Abs. 1 OG verspätet erhoben. Dass (vor Einreichung der vorliegenden Beschwerde) auch im Jahr 2007 Veranlagungsverfügungen eröffnet worden sind, ist unerheblich, betreffen diese doch nicht die Steuerjahre 2003 und 2004; Art. 89 Abs. 3 OG hilft damit den Beschwerdeführern nicht weiter.
Auf die staatsrechtliche Beschwerde ist nach dem Gesagten wegen verspäteter Beschwerdeerhebung nicht einzutreten.
2.2.2 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als für die Anfechtung der Veranlagungen des Steuerjahres 2005 massgebliches Rechtsmittel (oben, E. 1.3.3) ist demgegenüber am 10. Juli 2007 rechtzeitig erhoben worden. Die Beschwerdefrist von 30 Tagen gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG ist in Bezug auf die Veranlagung des Kantons Solothurn vom 11. Juni 2007 eingehalten, was unter dem Gesichtswinkel von Art. 100 Abs. 5 BGG genügt, selbst wenn bloss die früher (am 20. April 2007) eröffnete Veranlagung des Kantons Basel-Stadt bestritten werden soll.
Die Beschwerdeführer gehen davon aus, dass bei der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wegen Verletzung des Doppelbesteuerungsverbots, gleich wie bei der staatsrechtlichen Beschwerde, die Letztinstanzlichkeit des angefochtenen Entscheids nicht Eintretensvoraussetzung sei, sodass auch gegen Veranlagungsverfügungen unmittelbar ans Bundesgericht gelangt werden könne. Dies trifft aus den nachfolgenden Erwägungen nicht zu.
2.3 Das Bundesgerichtsgesetz sieht, anders als das Bundesrechtspflegegesetz (Art. 86 Abs. 2 OG), keine Ausnahme von der Regel von Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG vor; ausgehend vom Gesetzestext können mithin ausnahmslos, auch auf dem Gebiet der interkantonalen Doppelbesteuerung, nur Entscheide letzter kantonaler - gerichtlicher (vgl. Art. 86 Abs. 2 BGG) - Instanzen mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht angefochten werden.
Die Ausnahmeregel von Art. 86 Abs. 2 OG trug primär den verfahrensrechtlichen Schwierigkeiten, vor die sich der doppelt Besteuerte gestellt sieht, Rechnung. Die Lehre bedauert denn auch, dass das neue Recht keine Ausnahme mehr enthält. Abgesehen davon, dass das Verfahren verlängert und für den Steuerpflichtigen verteuert wird, wird als wenig sinnvoll erachtet, dass nunmehr zwingend innerkantonal der Instanzenzug durchlaufen werden muss, stehen sich doch in einem interkantonalen Kompetenzkonflikt regelmässig nicht nur der Steuerpflichtige einerseits und mehrere Kantone andererseits, sondern auch die betroffenen Kantone untereinander in einer parteiähnlichen Stellung gegenüber. Zudem wird von schwer einschätzbaren prozessualen Hindernissen gesprochen (zum Ganzen: Alfred Meier/Diego Clavadetscher, Prozessuale Klippen bei der Durchsetzung des interkantonalen Doppelbesteuerungsverbots, IFF Forum für Steuerrecht 2007, S. 135 ff., S. 139 und 141; Michael Beusch, Die Einheitsbeschwerde im Steuerrecht, IFF Forum für Steuerrecht 2006, S. 249 ff., S. 258). Die Neuerung steht indessen im Einklang mit einem der wichtigen Ziele der Bundesrechtspflegereform, das Bundesgericht zu entlasten und deshalb nicht als erste richterliche Behörde tätig werden zu lassen; bevor es angerufen werden kann, soll zuvor immer mindestens ein Gericht über die Streitsache entschieden haben, was mit einer gewissen Filterwirkung verbunden ist und dem Bundesgericht aufwändige Sachverhaltsabklärungen ersparen soll (Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001 zu Art. 80 des Entwurfs BGG [heute Art. 86 BGG], in: BBl 2001 4202 S. 4325 f., s. an gleicher Stelle auch Bemerkung zu Art. 94 des Entwurfs BGG [heute Art. 100 Abs. 5 BGG]). Zwar wird das Bundesgericht angesichts der besonderen Konstellation, die dem Beschwerdeverfahren in Doppelbesteuerungssachen zugrunde liegt, auch bei Vorliegen des Entscheids einer letztinstanzlichen kantonalen richterlichen Behörde nicht in jedem Fall davon entbunden, den Sachverhalt frei zu prüfen. Sodann wird in Doppelbesteuerungsverfahren das in Art. 99 BGG enthaltene Novenverbot wohl zu relativieren sein, wenn der Instanzenzug nur in einem Kanton durchlaufen wurde (s. dazu Alfred Meier/Diego Clavadetscher, a.a.O., S. 140). Die mit dem Vorschalten einer gerichtlichen Instanz verbundenen Vorteile wirken sich insofern nicht vollumfänglich aus. Selbst wenn man aber die im Spiel stehenden Interessen anders gewichten und eine Ausnahmeregelung im Sinne von Art. 86 Abs. 2 OG vorziehen wollte, müsste diesbezüglich der Gesetzgeber tätig werden (s. dazu Alfred Meier/Diego Clavadetscher, a.a.O., S. 141). Es besteht keine Möglichkeit, auf dem Wege der Gesetzesauslegung zu diesem Ergebnis zu gelangen. Das Bundesgerichtsgesetz enthält insofern keine Lücke. Wie sich aus der erwähnten Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege (S. 4326) klar ergibt, handelt es sich bei der Neuregelung der Frage der Letztinstanzlichkeit nicht um ein Versehen; vielmehr entspringt sie einer bewussten gesetzgeberischen Entscheidung.
2.4 Die Rechtsmittelregelung des Bundesgerichtsgesetzes mag den Rechtsschutz für den mehrfach Besteuerten erschweren. Immerhin ist er aber nicht verpflichtet, in jedem der betroffenen Kantone den Instanzenzug zu durchlaufen. Es genügt nach dem Willen des Gesetzgebers, wenn er dies bloss in einem Kanton tut; gegen den dort erwirkten letztinstanzlichen gerichtlichen Entscheid kann er Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben und dabei auch die früher ergangenen Entscheide in anderen die Steuerhoheit beanspruchenden Kantonen anfechten, selbst wenn diese nicht letztinstanzlich sind (Botschaft S. 4326; Michael Beusch, a.a.O.; Xavier Oberson, Droit fiscal suisse, 3. Aufl., Basel 2007 S. 475 Rz. 80). Keine Probleme ergeben sich dabei, wenn der Steuerpflichtige mit der Besteuerung desjenigen Kantons nicht einverstanden ist, in welchem er den Instanzenzug durchläuft.
Nun ist denkbar, dass der Steuerpflichtige die Steuerhoheit des zuletzt veranlagenden (oder zuletzt einen Steuerdomizilentscheid fällenden) Kantons anerkennen will. Es wird ihm in diesem Fall keine andere Wahl bleiben, als den Instanzenzug im letzten Kanton zu durchlaufen, um schliesslich vor Bundesgericht die Aufhebung der eine Doppelbesteuerung bewirkenden Veranlagungen übriger Kantone beantragen zu können. Dieser Rechtsmittelweg muss dem doppelt Besteuerten trotz der Besonderheit der Konstellation (s. dazu Alfred Meier/Diego Clavadetscher, a.a.O., S. 139 f. Ziff. 5.3, insbesondere Ziff. 5.3.2.2.1) offenstehen.
2.5 Die vorliegende Beschwerde richtet sich, soweit sie fristgerecht erhoben worden und als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zu behandeln ist (Steuerjahr 2005), ausschliesslich gegen Veranlagungsverfügungen, und es fehlt an der Voraussetzung der Letztinstanzlichkeit gemäss Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG. Sie erweist sich als unzulässig, und es ist darauf nicht einzutreten.
2.6 Da zum neuen Rechtsmittelweg noch keine publizierte Rechtsprechung besteht, rechtfertigt es sich, die ans Bundesgericht adressierte Beschwerde vom 20. Juli 2007 mitsamt Beilagen an das Steueramt des Kantons Solothurn weiterzuleiten, damit dieses prüft, ob es die Rechtsschrift nachträglich als Einsprache gegen die Veranlagung vom 11. Juni 2007 betreffend das Steuerjahr 2005 entgegennehmen kann (vgl. Hansjörg Seiler/Nicolas von Werdt/Andreas Güngerich, Stämpflis Handkommentar zum Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, Rz. 3 zu Art. 30 BGG, S. 108).
3. Da auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann, sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG bzw. Art. 153a OG) den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG bzw. Art. 156 Abs. 1 und 7 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Rechtsschrift vom 10. Juli 2007 wird mit den Beilagen im Sinne der Erwägungen an das Steueramt des Kantons Solothurn übermittelt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'000.-- wird den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Steueramt des Kantons Solothurn und der Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2007
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: