Erwägungen:
1.
A._ erstattete mit Eingaben vom 12. Januar 2015 Strafanzeige u.a. gegen die Assistenzstaatsanwältin Michèle Caroline Buchmann und den Leitenden Staatsanwalt Hans Maurer wegen Amtsmissbrauchs etc. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich überwies die Akten mit Verfügung vom 28. Januar 2015 an das Obergericht des Kantons Zürich mit dem Antrag, über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu entscheiden. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 13. März 2015 der Oberstaatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht. Zur Begründung führte die III. Strafkammer zusammenfassend aus, es seien keine Hinweise ersichtlich, dass die beiden Staatsanwälte durch den Erlass bzw. Genehmigung der beanstandeten Nichtanhandnahmeverfügungen einen Straftatbestand erfüllt hätten.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 2. April 2015 (Postaufgabe 4. April 2015) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. März 2015. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Von vornherein nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer Strafanzeige gegen Oberrichter Th. Meyer erhebt. Das Bundesgericht ist für die Entgegennahme von Strafanzeigen nicht zuständig.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
5. Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, vermag mit seinen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer, die zur Verweigerung der Ermächtigung führte, bzw. deren Beschluss selbst verfassungs- oder rechtswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
6.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. April 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli