Fatti:
A. In seguito ad una procedura d'asilo (conclusasi negativamente il 19 luglio 2002 con un termine di partenza al 18 settembre 2002) e a un'incarcerazione in vista di allontanamento che non occorre qui rievocare, A._, cittadino kosovaro di etnia albanese, ha chiesto il 19 agosto 2010 alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino il rilascio di un permesso di dimora ai sensi degli art. 30 lett. b LStr (RS 142.20) e 31 OASA (RS 142.201).
La domanda è stata respinta il 20 agosto 2010, rifiuto confermato su ricorso dapprima dal Consiglio di Stato ticinese, il 12 ottobre 2010, e poi dal Tribunale cantonale amministrativo, con sentenza del 25 novembre 2010.
B. Il 20 gennaio 2011 A._, patrocinato da un avvocato, ha presentato un ricorso sussidiario in materia costituzionale con cui chiede in via principale l'annullamento della sentenza cantonale e il rilascio del permesso sollecitato. Adduce, in sintesi, la violazione del divieto dell'arbitrio sotto diversi aspetti, del principio della proporzionalità e degli art. 30 LStr e 31 OASA. Domanda inoltre che sia conferito effetto sospensivo al gravame.
Il Tribunale federale non ha ordinato uno scambio di allegati scritti.
Diritto:
1. Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (art. 29 cpv. 1 LTF), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (DTF 136 I 24 consid. 1 pag. 43; 135 II 22 consid. 1 pag. 24; 135 III 1 consid. 1.2.1 pag. 4; 134 IV 36 consid. 1 pag. 37 con rispettivi rinvii).
2. 2.1 Giusta l'art. 113 LTF, il Tribunale federale giudica i ricorsi sussidiari in materia costituzionale interposti contro le decisioni cantonali di ultima istanza laddove non sia ammissibile il ricorso ordinario secondo gli art. 72 a 89 LTF. Oggetto del contendere è una decisione con cui è stato rifiutato il rilascio di un permesso di dimora per caso personale particolarmente grave. Conformemente all'art. 83 lett. c n. 2 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni in materia di diritto degli stranieri concernenti i permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto.
2.2 In concreto il ricorrente non pretende, a giusta ragione, di vantare un diritto a soggiornare in Svizzera in virtù della legislazione interna o di un trattato bilaterale concluso con il suo paese d'origine. Per quanto concerne poi l'art. 8 CEDU, oltre al fatto che l'argomentazione sviluppata al riguardo nel gravame non soddisfa all'evidenza le esigenze di motivazione poste dall'art. 42 cpv. 2 LTF, va osservato che il ricorrente non adempie manifestamente, come già constatato dalla Corte cantonale (cfr. sentenza impugnata pag. 6 consid. 4.2 in fine, cfr. pure DTF 129 II 11 consid. 2 pag. 14), i necessari requisiti per poter richiamarsi a questo disposto convenzionale. Non è quindi data la via del ricorso in materia di diritto pubblico.
2.3 Occorre infine rilevare che, come d'altronde già precisato dal Tribunale cantonale amministrativo (cfr. giudizio querelato pag. 5 consid. 2), nella misura in cui il ricorrente contesta determinati aspetti del procedimento relativo alla carcerazione in vista d'allontanamento, il gravame esula dall'oggetto del litigo e non va quindi considerato.
3. 3.1 Rimane da vagliare se il ricorso sussidiario in materia costituzionale sia ricevibile. Secondo l'art. 115 lett. b LTF è legittimato a proporre tale rimedio chi ha un interesse legittimo all'annullamento o alla modifica della decisione impugnata.
3.2 Il ricorrente lamenta la violazione, sotto diversi aspetti, del divieto dell'arbitrio. Sennonché, come già precisato da questa Corte, il divieto generale dell'arbitrio sgorgante dall'art. 9 Cost. non conferisce, di per sé, un interesse legittimo ai sensi dell'art. 115 lett. b LTF quando, come in concreto, viene censurata un'errata applicazione del diritto (cfr. DTF 133 I 185 consid. 6.1 pag. 197 e 6.3 pag. 200). Le censure riferite alla pretesa violazione del divieto dell'arbitrio, rispettivamente all'applicazione inficiata d'arbitrio degli art. 30 LStr e 31 OASA sono quindi inammissibili. Va poi osservato che il principio della proporzionalità, la cui disattenzione è censurata dal ricorrente, non è un diritto costituzionale con portata propria (DTF 131 I 91 consid. 3.3 pag. 99 e rinvii).
3.3 Malgrado l'assenza di una legittimazione ricorsuale nel merito, il ricorrente può nondimeno far valere la disattenzione dei suoi diritti di parte, la cui violazione costituisce un diniego di giustizia formale (DTF 133 I 185 consid. 6.2 pag. 198). Egli non può però contestare, anche in modo indiretto, il merito della causa, non può riferirsi cioè a quesiti indissociabili dal medesimo quali, segnatamente, il dovere per l'autorità di motivare sufficientemente la propria decisione o di prendere in considerazione gli argomenti giuridici sollevati dall'insorgente (cfr. DTF 126 I 81 consid. 7 pag. 94 e richiami).
3.4 In concreto il ricorrente rimprovera alla Corte cantonale un apprezzamento arbitrario dei fatti e delle prove acquisite nel corso del procedimento. La censura, inscindibile dal merito del litigio, sfugge ad un esame di merito. Anche il ricorso sussidiario in materia costituzionale è quindi inammissibile.
4. 4.1 Per i motivi illustrati, il gravame si avvera pertanto manifestamente inammissibile (art. 108 cpv. 1 lett. a LTF) e va deciso secondo la procedura semplificata dell'art. 108 LTF.
4.2 Con l'evasione del ricorso, la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo è divenuta priva d'oggetto.
4.3 Le spese seguono la soccombenza (art. 65 e 66 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è inammissibile.
2. Le spese giudiziarie di fr. 800.-- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.