Faits:
A. F._ de nationalité portugaise, est entrée en Suisse en 1987. Dès le 1er juillet 2000, elle a travaillé en qualité d'aide à domicile. Elle a oeuvré également à partir du 1er avril 2007 en qualité d'employée à l'entretien des locaux et au service de restauration, avant d'être en arrêt de travail dès le 21 octobre 2009. Du 27 janvier au 16 février 2010, elle a séjourné à la Clinique X._, dont les médecins ont posé le diagnostic principal de trouble dépressif récurrent, épisode actuel modéré avec somatisations ([CIM-10] F33.11), et retenu un trouble somatoforme douloureux (F45.4) comme comorbidité (rapport du 2 mars 2010). Le 26 mai 2010, le docteur W._, spécialiste en psychiatrie au sein de la Clinique C._, a examiné F._ et consigné ses conclusions dans un rapport daté du même jour.
L'institution de prévoyance professionnelle de F._ a annoncé à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève une incapacité de travail de 100 % depuis le 12 novembre 2009, pour une détection précoce. Un entretien s'est tenu le 16 juin 2010, à la suite duquel F._ a présenté le 24 juin 2010 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans un rapport produit le 22 juillet 2010, le docteur L._, spécialiste en médecine générale, a posé les diagnostics avec effet sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent et de trouble somatoforme douloureux, en indiquant que l'incapacité de travail était de 100 % depuis octobre 2009, d'une durée indéterminée, et que l'activité exercée jusque-là n'était plus exigible. Dans un rapport du 28 juillet 2010, le docteur D._, spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie, a retenu les diagnostics avec effet sur la capacité de travail de trouble dépressif récurrent épisode actuel modéré (F33.1) et de troubles somatoformes douloureux (F45.4), ainsi que d'obésité stade 1 (E66.9) et d'asthme sans signe d'activité (J45.9), et conclu à une incapacité de travail de 100 % en ce qui concerne l'état de santé "actuel" de la patiente, dont les troubles de l'humeur ne permettaient pas d'exercer une activité professionnelle (questionnaire du 28 juillet 2010; rapport du 18 août 2010).
Le 15 novembre 2010, les docteurs G._ (spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie) et E._ (spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie), médecins SMR, ont procédé à un examen clinique rhumatologique et psychiatrique. Dans un rapport du 20 décembre 2010, ils ont noté de discrets troubles statiques du rachis, lesquels étaient trop discrets pour définir des limitations fonctionnelles ainsi qu'une incapacité de travail, et conclu à une capacité de travail complète d'un point de vue rhumatologique dans toute activité professionnelle. Relevant que l'examen ne permettait pas de mettre en évidence les signes cliniques d'un trouble dépressif selon la CIM-10, ils ont considéré que les troubles de l'humeur de l'assurée étaient caractéristiques de la dysthymie ([CIM-10] F34.1), alors que ses plaintes douloureuses correspondaient aux critères diagnostiques du syndrome somatoforme douloureux persistant (F45.4), lequel était sans répercussion sur la capacité de travail vu qu'il n'était pas accompagné d'une comorbidité psychiatrique manifeste, la dysthymie n'étant pas considérée comme invalidante. Dans un rapport du 6 janvier 2011, le docteur A._, médecin SMR, a conclu à une capacité de travail exigible de 100 % dans l'activité habituelle (théoriquement depuis toujours) et dans une activité adaptée (théoriquement depuis toujours; à traduire en termes de métier par un spécialiste de la réadaptation professionnelle). L'office AI, dans un préavis du 14 janvier 2011, a informé F._ des conclusions des médecins du SMR niant toute incapacité de travail durable et du rejet de sa demande. Par décision du 23 février 2011, l'office AI a nié tout droit de F._ à des prestations de l'assurance-invalidité.
B. Le 30 mars 2011, F._ a formé recours contre cette décision devant la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant à son annulation, la juridiction cantonale étant invitée à dire et prononcer qu'elle avait droit à une rente entière pour une invalidité de 100 % à compter du 1er juin 2010, à titre subsidiaire à une demi-rente pour une invalidité de 50 % au moins à compter du 1er juin 2010, et à titre plus subsidiaire à des mesures d'observation professionnelle. A titre préalable, elle demandait que soit ordonnée une nouvelle expertise bidisciplinaire (rhumatologique et psychiatrique) et requérait l'audition des docteurs D._ et L._.
Dans sa réponse du 18 avril 2011, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a conclu au rejet du recours.
Interpellé par la juridiction cantonale, le docteur D._ a déposé ses conclusions dans un rapport du 23 mai 2011 et un rapport complémentaire du 6 juin 2011. Le docteur B._, médecin-chef de la Clinique X._, en a fait de même dans un rapport du 23 août 2011. La juridiction cantonale a confié une expertise médicale au docteur N._, spécialiste FMH en psychiatrie-psychothérapie. Dans un rapport du 11 janvier 2012, ce médecin a posé le diagnostic de trouble dépressif récurrent, épisode actuel atypique ([CIM-10] F33.8). Répondant aux questions posées par le tribunal, l'expert a considéré qu'un emploi représentant une capacité de travail globale de 50 %, dans une profession équivalente à la dernière profession exercée, représentait un effort exigible de la part de F._, qui du point de vue médico-théorique pourrait exercer une activité lucrative correspondant à une capacité de travail de 50 %, soit à un taux de 100 % avec un rendement de 50 %, ou à un taux plus faible avec un rendement meilleur, activité qui pourrait être exigible dès "à présent". Dans un rapport complémentaire du 8 mars 2012, le docteur N._ a déclaré qu'il n'était pas possible de son point de vue "actuel" de préciser les fluctuations de la capacité de travail entre 2009 et 2012; il se prononçait donc pour une capacité de travail de 50 % à la date de son expertise du 11 janvier 2012.
Par arrêt du 14 mai 2012, la juridiction cantonale, admettant partiellement le recours, a annulé la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 23 février 2011 et dit que F._ avait droit à un quart de rente d'invalidité depuis le 1er novembre 2010.
C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il conclut à l'annulation. Il demande que la décision de refus de prestations du 23 février 2011 soit confirmée. Il sollicite l'octroi de l'effet suspensif au recours, ce qui lui a été accordé par ordonnance du 30 août 2012.
F._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement en cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire insoutenable, voire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références).
2. Selon une jurisprudence constante, le juge des assurances sociales apprécie la légalité des décisions attaquées, en règle générale, d'après l'état de fait existant au moment de la clôture de la procédure administrative. Les faits survenus postérieurement et ayant modifié cette situation doivent faire l'objet d'une nouvelle décision administrative (ATF 131 V 242 consid. 2.1 p. 243; 121 V 362 consid. 1b p. 366).
3. Les premiers juges, se ralliant au résultat de l'expertise judiciaire du docteur N._, ont retenu que l'intimée présentait une capacité de travail sur le plan psychique de 50 % dans son ancienne activité d'employée de maison et de 60 % dans une activité adaptée nécessitant peu de qualifications, avec peu d'exigences de rendement et peu de stress, peu d'initiatives et sans efforts physiques importants. Bien que l'expert ait fixé cette capacité de travail depuis janvier 2012 vu qu'il estimait ne pas pouvoir se prononcer sur la période antérieure de novembre 2009 à décembre 2011, ils ont retenu que l'intimée était en incapacité de travail de 40 % depuis le 11 novembre 2009 et que le 11 novembre 2010, elle avait présenté une incapacité de travail d'au moins 40 % en moyenne depuis une année, de sorte que la survenance de son invalidité remontait à ce moment-là.
4. La juridiction cantonale, relevant que le docteur N._, comme cela résultait de son rapport du 11 janvier 2012 (page 12), avait indiqué que l'état "actuel" de l'intimée correspondait globalement à celui qu'elle présentait, avec quelques fluctuations, depuis août 2009, a considéré qu'en réalité son appréciation médicale avait porté sur la période dès août 2009 qu'il avait qualifiée de similaire à la situation clinique de 2012, de sorte que les conclusions relatives à la capacité de travail de l'intimée depuis janvier 2012 étaient applicables à la période antérieure, soit depuis août 2009 en particulier depuis novembre 2009, date à laquelle avait débuté son incapacité de travail. Aucun élément médical au dossier ne permettait d'exclure une capacité de travail de 60 % seulement dans une activité adaptée, telle que retenue par l'expert en 2012, antérieurement à cette date.
4.1 Le recourant fait valoir que le docteur N._, dans son rapport complémentaire du 8 mars 2012, a déclaré qu'il n'était pas possible de son point de vue "actuel" de préciser les fluctuations de la capacité de travail entre 2009 et 2012 et que la juridiction cantonale, en retenant que l'intimée présentait une incapacité de travail de 40 % depuis le 11 novembre 2009, a substitué son évaluation à celle de l'expert. Invoquant les conclusions du docteur W._ dans son rapport du 26 mai 2010 et des docteurs G._ et E._ dans leur rapport du 20 décembre 2010, il reproche aux premiers juges d'avoir procédé à une appréciation arbitraire des preuves en considérant qu'aucun élément médical au dossier ne permettait d'exclure une capacité de travail de 60 % seulement dans une activité adaptée antérieurement au 11 janvier 2012.
4.2 L'appréciation des preuves à laquelle a procédé la juridiction cantonale est manifestement insoutenable (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références). A partir du moment où le docteur N._ a déclaré dans son rapport complémentaire du 8 mars 2012 qu'il n'était pas possible de son point de vue "actuel" de préciser les fluctuations de la capacité de travail de l'intimée entre 2009 et 2012, il n'y avait plus de place pour interpréter ses conclusions relatives à la capacité de travail de l'intimée depuis janvier 2012 à la lumière de ses affirmations dans son rapport du 11 janvier 2012. Le recours est bien fondé de ce chef.
4.3 Les conclusions du docteur N._ dans son expertise judiciaire n'entrent pas en considération dans le cadre de la présente procédure. Ce médecin s'est fondé sur l'évolution depuis août 2009 de l'état de santé de l'intimée, en indiquant que l'état correspondait à un diagnostic de trouble dépressif récurrent, épisode "actuel" atypique. Pour autant, il n'a pas considéré que ce trouble était incapacitant à partir de 2009. Dans son rapport complémentaire du 8 mars 2012, il s'est prononcé pour une capacité de travail de 50 % à la date de son expertise du 11 janvier 2012, soit postérieurement à la décision de refus de prestations du 23 février 2011, dont la légalité s'apprécie d'après l'état de fait existant au moment de la clôture de la procédure administrative (supra, consid. 2).
Il apparaît que les premiers juges, en retenant que l'intimée était en incapacité de travail de 40 % depuis le 11 novembre 2009, ont établi les faits de façon manifestement insoutenable, voire arbitraire (ATF 134 II 124 consid. 4.1 p. 133). L'hypothèse d'un syndrome somatoforme douloureux persistant peut demeurer indécise. Même si, par hypothèse, l'intimée a présenté un syndrome somatoforme douloureux persistant, il n'y a aucune raison de s'écarter des conclusions des docteurs G._ et E._ dans leur rapport du 20 décembre 2010, selon lesquelles ce syndrome était sans répercussion sur la capacité de travail de l'intimée vu qu'il n'était pas accompagné d'une comorbidité psychiatrique manifeste. A cet égard, les médecins traitants de l'intimée n'ont fait état d'aucun élément objectivement vérifiable qui aurait été ignoré par les médecins du SMR dans le cadre de l'examen clinique rhumatologique et psychiatrique du 15 novembre 2010 et du rapport du 20 décembre 2010 et qui soit suffisamment pertinent pour remettre en cause leurs conclusions. Sur le vu des conclusions des docteurs G._ et E._ dans leur rapport du 20 décembre 2010 et du docteur A._ dans son rapport du 6 janvier 2011, il convient de retenir que l'intimée présentait au moment déterminant, soit lors de la décision administrative litigieuse du 23 février 2011, une capacité de travail exigible de 100 % dans une activité adaptée. Il s'ensuit que les conditions du droit à un quart de rente d'invalidité n'étaient pas réunies à ce moment-là, ce qui conduit à l'annulation du jugement entrepris. Le recours est bien fondé.
5. Il se justifie de transmettre le dossier à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève pour qu'il examine le droit de l'intimée à des prestations de l'assurance-invalidité en ce qui concerne la période postérieure au 23 février 2011.
6. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre une indemnité de dépens pour l'instance fédérale (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 14 mai 2012, est annulé.
2. Le dossier est transmis à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève pour qu'il procède conformément aux considérants.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4. La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 31 décembre 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Wagner