Sachverhalt:
A. A.a Mit Verfügung vom 3. September 2001 und Einspracheentscheid vom 7. Januar 2002 sprach die Generali Allgemeine Versicherungen, Genf (nachfolgend: Generali), als obligatorischer Unfallversicherer der 1945 geborenen S._ für die Folgen eines am 10. April 1996 erlittenen Unfalls mit Wirkung ab 1. April 2001 eine Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrads von 28 % zu.
Aufgrund einer Meldung der Arbeitgeberin vom 7. Oktober 2002 leitete die Generali ein Revisionsverfahren ein. In der Folge richtete sie Taggeldleistungen aufgrund einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % (unter Anrechnung der laufenden Rente) aus. Mit Verfügung vom 26. Januar 2005 wurde die Rente schliesslich rückwirkend ab 1. August 2002 auf 50 % erhöht, wobei gleichzeitig eine Reduktion des den bereits ausgerichteten Zahlungen zugrunde gelegten versicherten Verdienst stattfand. Die Versicherte liess am 28. Februar 2005 Einsprache erheben.
A.b Am 3. Mai 2006 erhob S._ beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde wegen Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung. Sie verlangte, es sei die Generali anzuweisen, ihr Verfahren innert Monatsfrist durch Einspracheentscheid abzuschliessen. Das Sozialversicherungsgericht wies die Beschwerde ab und auferlegte der Beschwerdeführerin wegen mutwilliger Beschwerdeführung die Verfahrenskosten (Entscheid vom 11. Juli 2006).
In teilweiser Gutheissung der dagegen gerichteten Verwaltungsgerichtsbeschwerde hob das Eidgenössische Versicherungsgericht mit Urteil vom 6. Dezember 2006 (U 434/06) den kantonalen Entscheid auf, soweit der Versicherten die Gerichtskosten auferlegt worden waren. Bezüglich der gerügten Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung wurde der vorinstanzliche Entscheid bestätigt.
A.c Am 21. Februar 2007 entschied die Generali über die gegen die Verfügung vom 26. Januar 2005 erhobene Einsprache vom 28. Februar 2005. Sie änderte die Verfügung zum Nachteil der Versicherten ab, sprach dieser rückwirkend ab 1. November 2002 eine Invalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 10 % zu und forderte geleistete Zahlungen für den Zeitraum von November 2002 bis Januar 2007 im Betrag von Fr. 129'684.- zurück.
A.d Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach der Versicherten mit Verfügung vom 20. April 2004 ab 1. Februar 2003 eine Viertelsrente und ab 1. Mai 2003 eine halbe Rente zu. Diese wurde ab 1. Juli 2005 auf eine ganze Rente erhöht (Verfügung vom 26. Mai 2006). Mit Verfügung vom 22. Januar 2007 kam die Verwaltung wiedererwägungsweise auf die Rentenzusprechung zurück, verneinte einen Anspruch ab 1. Februar 2003 und hielt fest, die in dieser Zeit zu Unrecht bezogenen Leistungen seien zurückzuerstatten.
B. Die Versicherte focht die Verfügung der IV-Stelle vom 22. Januar 2007 mit Beschwerde vom 21. Februar 2007 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich an. Am 26. März 2007 erhob sie bei der gleichen Instanz auch Beschwerde gegen den Einspracheentscheid der Generali vom 21. Februar 2007. Neben materiellen Anträgen stellte sie in beiden Verfahren ein Ausstandsbegehren, welches wie folgt formuliert wurde: "Die Personen, welche als RichterInnen/Mitglieder der Kammer des SogeZH beim Urteil UV.2006.-153 vom 11.07.2006 mitgewirkt haben (A._, B._, C._, D._), tragen den Anschein der Befangenheit (...). Sie - und allenfalls weitere im Rubrum des ESogeZH 11.07.2006 nicht genannte mitwirkende Personen - dürfen an der Bearbeitung der vorliegenden Beschwerde nicht mitwirken."
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich holte von den betroffenen Gerichtspersonen je eine "gewissenhafte Erklärung" nach § 100 Abs. 1 des Gerichtsverfassungsgesetzes des Kantons Zürich ein und liess die Parteien dazu Stellung nehmen. Anschliessend wies es (in der Besetzung als Gesamtgericht) mit zwei separaten Beschlüssen vom 16. Juli 2007 die Ausstandsbegehren mit Bezug auf das unfallversicherungsrechtliche Verfahren (Prozessnummer UV.2007.00172) und das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren (Prozessnummer IV.2007.00295) ab. Richter A._ und Richterin B._ traten bei diesen Beschlüssen jeweils in den Ausstand; Ersatzrichterin C._ und Gerichtssekretärin D._ gehören dem Gesamtgericht nicht an.
C. S._ lässt gegen die beiden Beschlüsse Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben. Sie stellt folgende Rechtsbegehren:
1. Es seien die angefochtenen Beschlüsse des SogeZH Gesamtgerichtes aufzuheben.
2. Es sei festzustellen, dass die SozialversicherungsrichterInnen A._, B._, C._, D._ gegenüber der Beschwerdeführerin befangen sind, bzw. in den Leistungsstreitigkeiten der Prozesse UV.2007-172 und IV.2007-295 in den Ausstand zu treten haben.
Eventuell:
3. Es sei die Sache an die zuständige kantonale Instanz zurückzuweisen zur Feststellung der gegenüber der Beschwerdeführerin bestehenden Befangen-heit der SozialversicherungsrichterInnen A._, B._, C._, D._ in den Prozessen UV.2007-172 und IV.2007-295 der Kammer SogeZH.
4. Es sei ein doppelter Schriftenwechsel durchzuführen.
5. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
D. Mit Eingabe vom 26. Juni 2008 lässt die Beschwerdeführerin die Schreiben der Winterthur Columna vom 17. Dezember 2007 und der Axa Winterthur vom 10. April 2008 einreichen.
Erwägungen:
1. In den Beschwerdeverfahren 8C_555/2007 und 8C_556/2007 sind gleich lautende vorinstanzliche Entscheide angefochten, welche denselben Gegenstand (Ausstand von Gerichtspersonen) betreffen, wobei das Ausstandsgesuch in beiden Verfahren auf der Basis desselben Lebenssachverhalts begründet wird. Die Beschwerdeführerin hat denn auch eine einzige Rechtsschrift eingereicht. Unter diesen Umständen rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (BGE 128 V 124 E. 1 S. 126; vgl. auch BGE 128 V 192 E. 1 S. 194 sowie die unveröffentlichte E. 2 von BGE 133 V 249; Urteil 8C_557/2007 vom 4. Juni 2008, E. 1).
2. 2.1 Bei den vorinstanzlichen Gesamtgerichts-Beschlüssen vom 16. Juli 2007 handelt es sich um selbstständig eröffnete Zwischenentscheide über Ausstandsbegehren. Diese sind gemäss Art. 92 Abs. 1 BGG mit Beschwerde beim Bundesgericht anfechtbar. Auf die Rechtsmittel ist somit einzutreten.
2.2 Da die Einholung von Vernehmlassungen unterblieb (Art. 102 Abs. 1 BGG), besteht auch kein Anlass für die ausnahmsweise (Art. 102 Abs. 3 BGG) Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels. Dem diesbezüglichen Verfahrensantrag ist nicht stattzugeben.
3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht (Art. 95 lit. a BGG) und von Völkerrecht (Art. 95 lit. b BGG) gerügt werden. Soweit sich der angefochtene Entscheid auf Quellen des kantonalen Rechts stützt, welche nicht in Art. 95 lit. c-e BGG genannt werden, beschränkt sich die Überprüfung durch das Bundesgericht demgegenüber inhaltlich auf die erhobenen und begründeten Rügen (Art. 106 Abs. 2 BGG) und thematisch auf die Frage, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer Bundesrechtswidrigkeit führt. Was die Feststellung des Sachverhalts anbelangt, kann gemäss Art. 97 Abs. 1 BGG nur gerügt werden, diese sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung nach Art. 95 (BGE 133 I 201 E. 1 S. 203 mit Hinweisen). Ansonsten sind die vorinstanzlichen Feststellungen verbindlich (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
4. Die Beschwerdeführerin lässt zunächst geltend machen, die Vorinstanz habe unzulässigerweise in der Besetzung als Gesamtgericht über die beiden Ausstandsbegehren entschieden.
4.1 Die Organisation der Gerichtsbarkeit und die Regelung des Beschwerdeverfahrens sind - innerhalb des durch Art. 57 und 61 ATSG vorgegebenen Rahmens - Sache des kantonalen Rechts. Dessen Anwendung prüft das Bundesgericht, soweit die Beschwerde führende Partei nicht in einer den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise die Verletzung von Vorschriften nach Art. 95 lit. c-e BGG geltend macht, lediglich unter dem Aspekt einer Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich Völkerrecht). Die Auslegung und Anwendung der kantonalen Bestimmungen als solche ist bundesrechtswidrig, wenn der Vorinstanz eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) vorgeworfen werden muss (BGE 133 I 149 E. 3.1 S. 153; 132 I 13 E. 5.1 S. 17 f.; 131 I 467 E. 3.1 S. 473 f., je mit Hinweisen). Willkürfrei ausgelegtes kantonales Recht kann nur darauf hin überprüft werden, ob es im Ergebnis zu einer Verletzung von Bundes- oder Völkerrecht führt (vgl. BGE 131 I 113 E. 3.2 S. 115).
4.2 Gemäss § 5c Abs. 1 lit. b des zürcherischen Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht entscheidet über Ausstandsbegehren das Plenum, wenn sie gegen alle Mitwirkenden eines Spruchkörpers des Sozialversicherungsgerichts gerichtet sind. Der Begriff des Spruchkörpers wird in § 9 des Gesetzes definiert. Danach wird die Kammer für ihre Entscheide mit insgesamt drei Richterinnen und Richtern besetzt (§ 9 Abs. 1). Ein Mitglied des juristischen Sekretariats nimmt mit beratender Stimme an den Verhandlungen und Beratungen teil (§ 9 Abs. 4). Mit Blick auf diese gesetzliche Ordnung drängt sich die vorinstanzliche Interpretation, der Spruchkörper setze sich aus den für den konkreten Fall eingesetzten vier Personen zusammen, geradezu auf. Sie lässt sich keinesfalls als willkürlich bezeichnen. Gemäss den verbindlichen (E. 3 hiervor) Feststellungen des kantonalen Gerichts ist sowohl das invalidenversicherungsrechtliche (Prozessnummer IV.2007.00295) als auch das unfallversicherungsrechtliche Beschwerdeverfahren (Prozessnummer UV.2007.00172) der Kammer in der Besetzung mit Sozialversicherungsrichter A._ (Vorsitz), Sozialversicherungsrichterin B._, Ersatzrichterin C._ und jur. Sekretärin D._ zugewiesen. Diese Personen bilden somit in beiden Verfahren den Spruchkörper. Da die Beschwerdeführerin in den Rechtsschriften vom 21. Februar und 26. März 2007 diese vier Personen als befangen bezeichnet hat, richtet sich das Ausstandsbegehren gegen alle Mitwirkenden des Spruchkörpers. Dementsprechend ist - auf der Basis der vorinstanzlichen, nicht willkürlichen Interpretation von § 5c Abs. 1 lit. b des Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht - das Plenum für die Behandlung des Ausstandsgesuchs zuständig. Inwiefern diese Auslegung im Ergebnis zu einer Verletzung von Bundes- oder Völkerrecht führen könnte, wird von der Beschwerdeführerin nicht dargelegt und ist auch nicht ersichtlich. Die Beschwerde ist somit unbegründet, soweit geltend gemacht wird, das als Vorinstanz amtende Gesamtgericht des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich sei nicht zuständig gewesen, den angefochtenen Entscheid zu fällen.
5. Die im Zusammenhang mit der Verfahrensleitung geltend gemachten "weiteren Verletzungen des gesetzmässigen fairen Verfahrens" werden nicht in einer den gesetzlichen Anforderungen (Art. 106 Abs. 2 BGG) genügenden Weise begründet. Insbesondere ist unklar, welches konkrete Verhalten nach Auffassung der Beschwerdeführerin inwiefern eine Verletzung welcher Bestimmungen darstellen soll.
6. Zu prüfen bleibt, ob die Vorinstanz die Befangenheit der fraglichen Gerichtspersonen zu Recht verneint hat. Insoweit enthält die Beschwerdeschrift hinreichend substantiierte Rügen der Verletzung von Art. 6 EMRK und Art. 30 BV.
6. Zu prüfen bleibt, ob die Vorinstanz die Befangenheit der fraglichen Gerichtspersonen zu Recht verneint hat. Insoweit enthält die Beschwerdeschrift hinreichend substantiierte Rügen der Verletzung von Art. 6 EMRK und Art. 30 BV.
6.1 6.1.1 Im Sinne einer unabhängig vom anwendbaren Verfahrens- und Organisationsrecht geltenden und damit auch für das kantonale Versicherungsgericht nach Art. 57 ATSG ohne weiteres massgeblichen Minimalgarantie haben die Prozessparteien einen aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 30 Abs. 1 BV abgeleiteten Anspruch darauf, dass ihre Sache von unabhängigen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richterinnen und Richtern ohne Einwirkung sachfremder Umstände entschieden wird. Die Garantie ist verletzt, wenn Gegebenheiten vorliegen, welche den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen (BGE 134 I 20 E. 4.2 S. 21; 133 I 1 E. 6.2 S. 6; 131 I 113 E. 3.4 S. 116; 128 V 82 E. 2a S. 84). Solche Umstände können in einem bestimmten Verhalten der betreffenden Person oder in äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Für den Ausstand wird nicht verlangt, dass der Richter oder die Richterin tatsächlich befangen ist. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken (BGE 133 I 1 E. 6.2 S. 6; 131 I 24 E. 1.1 S. 25 mit Hinweisen). Das subjektive Empfinden einer Partei vermag dagegen keine Ausstandspflicht zu begründen (BGE 134 I 20 E. 4.2 S. 21; 133 I 1 E. 5.2 S. 3).
6.1.2 Eine gewisse Besorgnis der Voreingenommenheit und damit Misstrauen in das Gericht kann bei den Parteien immer dann entstehen, wenn einzelne Gerichtspersonen in einem früheren Verfahren mit der konkreten Streitsache schon einmal befasst waren. In einem solchen Fall so genannter Vorbefassung stellt sich die Frage, ob sich eine Gerichtsperson durch ihre Mitwirkung an früheren Entscheidungen in einzelnen Punkten bereits in einem Mass festgelegt hat, die sie nicht mehr als unvoreingenommen und dementsprechend das Verfahren als nicht mehr offen erscheinen lassen. Wegen der früheren Mitwirkung kann "Betriebsblindheit" in dem Sinne befürchtet werden, dass der Richter oder die Richterin im späteren Verfahren von bestimmten Erwartungen beeinflusst wird. Ob eine unzulässige, den Verfahrensausgang vorwegnehmende Vorbefassung gegeben ist, kann nicht generell gesagt werden; es ist vielmehr in jedem Einzelfall - anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände - zu untersuchen, ob die konkret zu entscheidende Rechtsfrage trotz Vorbefassung als noch offen erscheint (BGE 131 I 113 E. 3.4 S. 116 f. mit Hinweisen).
6.1.3 Je nach verfahrensmässiger Konstellation muss sich ein Richter oder eine Richterin bereits in einem früheren Verfahrensstadium zu Fragestellungen äussern, die auch für den Endentscheid relevant sind. Dies trifft etwa zu bei bestimmten Instruktionsmassnahmen, wie beispielsweise Zwischenentscheiden über den Aspekt der Aussichtslosigkeit bei Entscheiden betreffend unentgeltliche Rechtspflege, über die Gewährung des rechtlichen Gehörs im Hinblick auf eine mögliche reformatio in peius, über vorsorgliche Massnahmen oder im Zusammenhang mit einem Vergleichsvorschlag. In derartigen Konstellationen begründen auch Aussagen über die Prozesschancen regelmässig keine Befangenheit, wenn sie den Rahmen dessen nicht überschreiten, was für die Durchführung der konkreten prozessualen Vorkehr notwendig ist (Urteil U 391/04 vom 13. September 2005, E. 4.1). Befangenheit ist demgegenüber regelmässig dann anzunehmen, wenn konkrete Anhaltspunkte dafür vorliegen, dass sich der Richter oder die Richterin bereits in einer Art festgelegt hat, dass er oder sie einer anderen Bewertung der Sach- und Rechtslage nicht mehr zugänglich und der Verfahrensausgang deswegen nicht mehr offen erscheint (BGE 131 I 113 E. 3.7 S. 124). Diese Grundsätze sind auch auf die hier zu beurteilende Konstellation anzuwenden, wo nicht ein prozessualer Zwischenentscheid, sondern die vor dem materiellrechtlichen Verfahren erfolgte Beurteilung einer Rechtsverzögerungsbeschwerde den Anlass für die Vorbefassung bot.
6.2 Die Beschwerdeführerin macht zunächst geltend, Richter A._ und Richterin B._ seien bei der Behandlung des Ausstandsbegehrens durch das Gesamtgericht in den Ausstand getreten. Sie hätten somit ihre Befangenheit in dieser Frage anerkannt. Dieselbe Einschätzung müsse auch für die materielle Anspruchsbeurteilung gelten.
Diese Argumentation überzeugt nicht: Die Mitwirkung einer Gerichtsperson an der Behandlung eines gegen sie selbst gerichteten Ausstandsbegehrens ist zufolge eigener Betroffenheit regelmässig ausgeschlossen (vgl. BGE 122 II 471 E. 3a S. 476 mit Hinweisen). Aus dieser besonderen Konstellation, welche prinzipiell in jedem Ausstandsverfahren - unabhängig vom materiellrechtlichen Hintergrund - gegeben ist, lässt sich nicht auf Befangenheit im Hauptprozess schliessen.
6.3 Primär leitet die Beschwerdeführerin die Befangenheit der betroffenen Gerichtspersonen aus dem Inhalt des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts vom 11. Juli 2006 betreffend Rechtsverweigerung/Rechtsverzögerung ab. Hinweise auf Voreingenommenheit ergeben sich nach ihrer Auffassung zwar nicht bereits aus der Ablehnung ihrer Anträge oder der Bejahung der Mutwilligkeit, wohl aber aus einzelnen Erwägungen.
6.3.1 In der Begründung seines Entscheids vom 11. Juli 2006 hat das Sozialversicherungsgericht unter anderem erwogen, aufgrund von im Einspracheverfahren zutage getretenen Unklarheiten hinsichtlich des Gesundheitszustandes der Versicherten sowie deren Arbeitsunfähigkeit seien die getätigten, verfahrensverlängernden Beweismassnahmen durch die Beschwerdegegnerin 1 wie die Einholung eines Gutachtens sowie eines Überwachungsberichts und Abklärungen bei der Arbeitgeberin bzw. der Versicherten gerechtfertigt, stehe doch auch ein strafrechtlich relevantes Verhalten sowie die Frage einer teilweisen Aufhebung der laufenden Rente (reformatio in peius) im Raum. Aufgrund der konkreten Umstände könne weder von einer Untätigkeit noch einer Verschleppung oder einer schlechten Führung des Einspracheverfahrens gesprochen werden. Gewisse Längen in der nunmehr rund dreieinhalbjährigen Gesamtbearbeitungsphase des Revisionsverfahrens seien zwar nicht zu verkennen; diese seien indessen durch die daraufhin ausbezahlten Taggelder sowie die Übernahme der Heilbehandlungskosten, die am 8. Dezember 2003 vorgenommene provisorische Rentenerhöhung sowie den sich aus der Koordinationspflicht zwischen Unfall und Invalidenversicherung ergebenden weiteren Abklärungsaufwand gerechtfertigt. Deshalb sei die Beschwerde abzuweisen.
Diese auf die Beurteilung der gerügten Rechtsverzögerung bezogenen Ausführungen sind nicht geeignet, den Anschein von Befangenheit zu erwecken. Dies wird in der Beschwerdeschrift mit Recht auch nicht geltend gemacht.
6.3.2 Der Entscheid vom 11. Juli 2006 setzt sich auch mit der für die Kostenregelung relevanten Frage auseinander, ob die Einreichung der Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsbeschwerde als mutwillig oder leichtsinnig zu qualifizieren sei (vgl. Art. 61 lit. a zweiter Satzteil ATSG). Das kantonale Gericht hielt dazu fest, angesichts der notwendigen medizinischen und erwerblichen Abklärungsmassnahmen, welche die Beschwerdegegnerin 1 ohne Verzug an die Hand genommen habe, sei der Vorwurf der Rechtsverzögerung unverständlich. Die erfolgten Nachfragen und Nachforschungen lägen nicht zuletzt auch darin begründet, dass die Beschwerdeführerin selbst widersprüchliche Angaben gemacht habe. Ferner habe sie die Anfrage zur Ausgestaltung des Arbeitsplatzes und ihrer Arbeitszeit unbeantwortet gelassen, nachdem die Arbeitgeberin Auskünfte zu den Widersprüchen verweigert habe. Im Zeitpunkt der Beschwerdeerhebung sei der Beschwerdeführerin Frist gesetzt worden, um zum Überwachungsbericht Stellung zu nehmen. Zudem habe sie mit einer weiteren medizinischen Nachfrage beim Gutachter Dr. med. M._ rechnen müssen. Angesichts dieser Umstände und der Tatsache, dass die langwierigen Abklärungen zumindest teilweise auch selbstverschuldet gewesen seien, sei eine Beschwerdeerhebung wegen Rechtsverzögerung rechtsmissbräuchlich und daher als mutwillig zu betrachten.
Auch diese Erwägung ist nicht geeignet, die Basis für einen Ausstandsgrund zu liefern, handelt es sich doch um sachbezogene Überlegungen im Hinblick auf die Beurteilung der Kostenfrage. Daran ändert der Umstand nichts, dass das Eidgenössische Versicherungsgericht in seinem Urteil vom 6. Dezember 2006 die Mutwilligkeit der Beschwerdeführung verneint hat.
6.3.3 Das Sozialversicherungsgericht erwog weiter (E. 5 des Entscheids vom 11. Juli 2006), im Hinblick auf die Leistungskoordination sei sein Entscheid "unter Hinweis auf Ziff. 1.6 des Sachverhalts (am Ende) der IV-Stelle des Kantons Zürich und der Vorsorgeeinrichtung der Beschwerdeführerin, der Winterthur Columna, Winterthur, zuzustellen". In Ziff. 1.6 des Sachverhalts wird unter anderem ausgeführt, die Generali habe am 8. Februar 2006 eine Firma mit der Überwachung der Versicherten beauftragt. Am 31. März 2006 habe sie den Überwachungsbericht vom 17. März 2006 sowie dazu gehörende Videoaufnahmen Rechtsanwalt Dr. Brusa zur Stellungnahme zukommen lassen und aufgrund der dadurch gewonnenen neuen Erkenntnisse mit Schreiben vom 12. April 2006 ein Zusatzgutachten bei Dr. med. M._ eingeholt. Aufgrund des Beschattungsberichtes sowie der Videoaufnahmen habe Dr. med. M._ in seinem Ergänzungsgutachten vom 17. Mai 2006 die Beschwerdeführerin in einer leidensangepassten Tätigkeit als zu 90 % arbeitsfähig beurteilt.
Angesichts der gleichzeitigen (potenziellen) Leistungspflicht von Unfallversicherung, Invalidenversicherung und beruflicher Vorsorge und des daraus resultierenden Koordinationsbedarfs war der Gedanke nicht abwegig, die zusätzlichen Abklärungen des Unfallversicherers könnten auch für die Anspruchsbeurteilung in den anderen Versicherungszweigen relevant sein. Die damals geltende Rechtsprechung (BGE 131 V 120; inzwischen geändert durch BGE 133 V 549) mass der Invaliditätsbemessung des Unfallversicherers für die Invalidenversicherung (und dadurch mittelbar auch für die zuständige Einrichtung der beruflichen Vorsorge [BGE 126 V 308 E. 1 S. 311]) grundsätzlich Bindungswirkung bei. Entscheide über den materiellen Anspruch waren daher den betroffenen Trägern gestützt auf Art. 49 Abs. 4 ATSG zuzustellen, um ihnen die Anfechtung zu ermöglichen (BGE 131 V 120 E. 3.3.3 S. 124; vgl. auch BGE 134 V 153 E. 5.6 S. 161). Auch wenn vorliegend kein materieller Entscheid zur Diskussion stand und als fraglich erscheinen mag, ob es Aufgabe der eine Rechtsverzögerungsbeschwerde behandelnden Gerichtsinstanz ist, für den Informationsaustausch unter Versicherungsträgern zu sorgen, kann in diesem Vorgehen kein Ausdruck von Voreingenommenheit erblickt werden. Das Sozialversicherungsgericht nahm mit der Eröffnung seines Entscheids an die IV-Stelle und die Institution der beruflichen Vorsorge sowie dem damit verbundenen Hinweis auf die neueren Abklärungen keine eigene Würdigung der Unterlagen vor. Auch insoweit lässt sich daher die vorinstanzliche Verneinung eines Ausstandsgrundes nicht beanstanden.
6.3.4 In der abschliessenden E. 6 des Entscheids vom 11. Juli 2006 hielt das Sozialversicherungsgericht fest, im Übrigen gehe es davon aus, dass die Beschwerdegegnerin 1 allenfalls strafrechtliche Schritte prüfen und gegebenenfalls einleiten werde. Der Beschwerdeführerin ist insofern zuzustimmen, als der Bezug dieser Aussage zur im damaligen Verfahren zu prüfenden Rechtsverweigerung oder -verzögerung bei abstrakter Betrachtung nicht ohne weiteres auf der Hand liegt. Wird der konkrete Entscheid in seiner Gesamtheit betrachtet, besteht indessen eine Verbindung zu den entscheidrelevanten Erwägungen. Das Sozialversicherungsgericht bezeichnete die durch die Generali veranlassten Abklärungen und die damit verbundene Verzögerung unter anderem deshalb als gerechtfertigt, weil auch ein strafrechtlich relevantes Verhalten der Beschwerdeführerin im Raum stehe (vgl. E. 6.3.1 hiervor). Wenn das Gericht abschliessend erwog, dass allfällige Ergebnisse der die Verzögerung bewirkenden Abklärungen verwertet würden, lässt sich dies nicht als vollkommen verfahrensfremd bezeichnen. Mit der Wendung, es erwarte, dass die Beschwerdegegnerin "allenfalls strafrechtliche Schritte prüfen" werde, liess das Sozialversicherungsgericht erkennen, dass es die entsprechenden Voraussetzungen nicht bereits als eindeutig erfüllt ansah. Wenn die Erwägung allenfalls, wie es das Eidgenössische Versicherungsgericht in seinem Urteil vom 6. Dezember 2006 (U 434/06) im Sinne einer Interpretationsmöglichkeit erwähnt hat, auf einen ersten Eindruck schliessen liesse, welchen sich das kantonale Gericht gebildet haben könnte, genügt dies unter den konkreten Umständen nicht für die Annahme von Befangenheit. Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, dürfen und müssen die Parteien davon ausgehen, dass eine Richterperson in der Lage ist, die Beurteilung eines Prozessstoffes im Verlauf des Verfahrens entsprechend dem jeweils neusten Stand und den zu entscheidenden Fragen zu überprüfen und allenfalls zu revidieren. In ihrem Gesamtzusammenhang betrachtet bildet die umstrittene Aussage daher bei objektiver Betrachtung keinen Anlass für die Befürchtung, die betroffenen Gerichtspersonen seien gegenüber der Beschwerdeführerin (oder ihrem Vertreter) voreingenommen.
6.3.5 Zusammenfassend lässt sich die Abweisung der beiden Ausstandsbegehren durch die Vorinstanz im Rahmen der dem Bundesgericht zukommenden Kognition nicht beanstanden. Die Beschwerden sind abzuweisen.
7. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da die beiden Verfahren vereinigt werden konnten, ohne dass ein zusätzlicher Aufwand entstanden wäre, sind die Gerichtskosten (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG) auf gesamthaft Fr. 500.- festzusetzen. Die Beschwerdeführerin als unterliegende Partei hat ebenso keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung wie die Beschwerdegegnerin als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG), sodass sich die in der Beschwerdeschrift verlangte Einholung einer Kostennote erübrigt.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 8C_555/2007 und 8C_556/2007 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Gesundheit und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Juli 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Flückiger