Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1959) und Y._ (geb. 1956) haben sich am 23. Juni 1990 vermählt. Am 25. August 1990 wurde A._ geboren. Der Sohn B._ kam am 5. August 1993 zur Welt. Per 1. Februar 2003 hoben die Parteien den gemeinsamen Haushalt auf. In einer aussergerichtlichen Trennungsvereinbarung vom 14. November 2003 regelten sie das Getrenntleben.
B. B.a Im Juli 2005 beantragten X._ und Y._ mit einem gemeinsamen Begehren beim Gerichtskreis II Biel-Nidau die Scheidung. In der Folge bestätigten sie ihren Scheidungswillen. Über die Nebenfolgen ihrer Scheidung konnten sie sich jedoch nicht vollständig einigen. Anlässlich der Fortsetzungsverhandlung vom 7. September 2009 schlossen die Parteien eine Teilvereinbarung betreffend das Güterrecht ab.
B.b Die a.o. Gerichtspräsidentin 1 des Gerichtskreises II Biel-Nidau schied die Ehe mit Urteil vom 16. November 2009. Sie genehmigte in Ziffer 9 dieses Urteils die Teilvereinbarung vom 7. September 2009. Soweit für das vorliegende Beschwerdeverfahren noch von Belang, verurteilte sie den Vater, seinem Sohn B._ ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis zur Volljährigkeit und darüber hinaus bis zum ordentlichen Abschluss der Erstausbildung monatlich einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'200.-- zuzüglich Kinder- bzw. Ausbildungszulagen zu leisten (Ziffer 4). Ebenso verpflichtete sie X._, Y._ ab Rechtskraft des Scheidungsurteils bis zu ihrem Eintritt ins ordentliche Rentenalter einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'700.-- sowie für die Schuldzinsen, solange diese anfallen, monatlich Fr. 400.-- zu bezahlen (Ziffer 5).
C. C.a X._ appellierte gegen das erstinstanzliche Urteil. Mit Bezug auf den Ehegattenunterhalt stellte er ein von Ziffer 5 des erstinstanzlichen Urteils abweichendes Rechtsbegehren: Er beantragte, es sei festzustellen, dass sich die Parteien gegenseitig keinen Unterhalt schulden. Hinsichtlich der Kinderalimente ersuchte er das Obergericht, ihn im Sinne von Ziffer 4 des erstinstanzlichen Urteils zur Bezahlung eines monatlichen Unterhaltsbeitrages von Fr. 1'200.-- (zuzüglich Kinder- bzw. Ausbildungszulage) zu verurteilen. Weiter stellte er eine Reihe von Beweisanträgen. Y._ schloss auf Abweisung sowohl der Appellation als auch der Beweisanträge.
C.b In ihrem Urteil vom 10. Dezember 2010 (ausgefertigt am 8. März 2011) stellte die 1. Zivilkammer der Zivilabteilung des Obergerichts des Kantons Bern fest, dass unter anderen Ziffer 9 (Genehmigung der Teilvereinbarung) des erstinstanzlichen Urteils in Rechtskraft erwachsen ist. Den Unterhaltsbeitrag für das Kind B._ erhöhte das Obergericht auf monatlich Fr. 1'600.-- (zuzüglich Kinder- bzw. Ausbildungszulage). Weiter verurteilte es X._, Y._ ab Rechtskraft des Scheidungsurteils während zehn Jahren und sechs Monaten einen monatlich zum Voraus zahlbaren, nicht indexierten Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'400.-- zu leisten.
D. Mit Beschwerde vom 11. April 2011 gelangt X._ (fortan "Beschwerdeführer") an das Bundesgericht. Er beantragt, Ziffer 2 bis 5 sowie 8 und 9 des Urteils des Obergerichts des Kantons Bern vom 10. Dezember 2010 aufzuheben. Weiter sei festzustellen, dass die Ziffern 1 bis 3 sowie 8 und 9 des Urteils der a.o. Gerichtspräsidentin 1 des Gerichtskreises II Biel-Nidau vom 16. November 2009 in Rechtskraft erwachsen sind. Mit Bezug auf die Frauen- und die Kinderalimente wiederholt der Beschwerdeführer die vor dem Obergericht gestellten Rechtsbegehren: Der Unterhaltsbeitrag für B._ sei auf Fr. 1'200.-- festzusetzen und es sei festzustellen, dass sich die Parteien gegenseitig keinen Unterhalt schulden. Schliesslich ersucht er um Neuverlegung der Kosten des Appellationsverfahrens.
In ihrer Beschwerdeantwort vom 20. Juli 2011 beantragt Y._ (fortan "Beschwerdegegnerin"), auf die Beschwerde nicht einzutreten; eventuell sei die Beschwere abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdeführer erhielt Gelegenheit zur Replik. Er hat sich jedoch nicht mehr vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG), der die vermögensrechtlichen Folgen einer Ehescheidung, mithin eine Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 1 BGG zum Gegenstand hat. Die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) ist offensichtlich erreicht. Auf die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde ist demnach grundsätzlich einzutreten.
1.2 Gegenstand der Beschwerde ist indes einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Daher ist auf die Beschwerde insofern nicht einzutreten, als der Beschwerdeführer verlangt, es sei festzustellen, dass die Ziffern 1 bis 3 sowie 8 und 9 des erstinstanzlichen Urteils in Rechtskraft erwachsen sind. Im Übrigen hat der Beschwerdeführer an der Beurteilung dieses Rechtsbegehrens auch gar kein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG (in der bis zum 31. Dezember 2010 gültigen Fassung). Denn mit diesem Antrag verlangt er weder eine Aufhebung noch eine Änderung des angefochtenen Entscheides. Vielmehr wiederholt er lediglich, was das Obergericht in Ziffer 1 des Urteilsdispositivs des angefochtenen Entscheids festgehalten hat.
1.3 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft behauptete Rechtsverletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) an sich mit freier Kognition. Soweit sich der Rechtsstreit um die Unterhaltsfestsetzung dreht, gilt es allerdings zu beachten, dass der Richter in verschiedener Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. 4 ZGB; BGE 127 III 136 E. 3a S. 141; Botschaft, BBl 1996 I S. 115 f.). Deshalb übt das Bundesgericht bei der Überprüfung solcher Entscheide eine gewisse Zurückhaltung: Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht hat, das heisst wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 128 III 161 E. 2c/aa S. 162; 131 III 12 E. 4.2 S. 15; 132 III 97 E. 1 S. 99).
In jedem Fall legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann der Beschwerdeführer nur einwenden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. BGE 134 V 53 E. 4.3 S. 62; 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1), insbesondere auf der Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift (BGE 133 II 249, E. 1.4.3 S. 255). Überdies ist darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22).
Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt schliesslich das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft demnach nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
2. Der Beschwerdeführer lässt ausführen, er habe im Appellationsverfahren eine Reihe von Einwänden gegen die erstinstanzliche Unterhaltsberechnung erhoben und geltend gemacht, dass die Differenz zwischen dem erweiterten Bedarf und dem Einkommen der Beschwerdegegnerin deutlich mehr als Fr. 1'478.-- betrage. Auf diese Einwände sei das Obergericht ohne Grund nicht eingegangen. Darin liege eine Rechtsverweigerung und eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 BV). In Anbetracht ihrer formellen Natur sind diese Rügen vorweg zu prüfen (vgl. zum Gehörsanspruch BGE 122 II 464 E. 4a S. 469; 121 I 230 E. 2a S. 232).
2.1 Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer dem Obergericht eine Gehörsverletzung unterstellt. Denn zur Frage, warum das Obergericht seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt haben soll, äussert sich der Beschwerdeführer mit keinem Wort. Auch zeigt er nicht im Einzelnen auf, inwiefern der Tatbestand von Art. 29 Abs. 2 BV erfüllt sein soll. Sein Schriftsatz genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen offensichtlich nicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; s. E. 1.3).
2.2 Unbegründet ist auch der Vorwurf der Rechtsverweigerung. Eine solche liegt nach der Rechtsprechung nur vor, wenn eine Behörde es ausdrücklich ablehnt, eine Entscheidung zu fällen, obwohl sie dazu verpflichtet ist (BGE 124 V 130 E. 4 S. 133 mit Hinweisen). Bei der Rechtsverweigerungsbeschwerde geht es demnach um die Erstreitung eines anfechtbaren Beschwerdeobjekts. Hat die zum Entscheid verpflichtete Behörde - wie im vorliegenden Fall - aber tatsächlich entschieden, fällt eine Rechtsverweigerungs- oder Rechtsverzögerungsbeschwerde von vornherein ausser Betracht (Urteil 2C_81/2009 vom 26. Mai 2009 E. 2.2.2 mit Hinweisen). Daher ist auch mit dem Vorwurf, das Obergericht habe im Appellationsverfahren gewisse Rügen "einfach übergangen", von vornherein keine Rechtsverweigerung darzutun. Dass sich das Obergericht mit der angeblichen Nichtberücksichtigung dieser Rügen eine Verletzung des rechtlichen Gehörs hätte zuschulden kommen lassen, macht der Beschwerdeführer jedenfalls nicht in einer dem Rügeprinzip genügenden Weise geltend (s. E. 2.1).
3. Der Beschwerdeführer beantragt sinngemäss, der Beschwerdegegnerin keinen nachehelichen Unterhalt bezahlen zu müssen.
3.1 Anlass zu diesem Streit gibt die Teilvereinbarung vom 7. September 2009. Diese Vereinbarung wurde von der ersten Instanz gerichtlich genehmigt. Das erstinstanzliche Urteil ist diesbezüglich in Rechtskraft erwachsen. Ziffer 2 der Teilvereinbarung lautet wie folgt:
"Die Parteien halten fest, dass die gemeinsame Schuld gegenüber der C._ AG von Fr. 570'000.-- im internen Verhältnis im Umfang von Fr. 140'000.-- durch Y._ und im Umfang von Fr. 430'000.-- durch X._ getragen wird".
Nach der Ansicht des Obergerichts konnten die Parteien in guten Treuen nicht davon ausgegangen sein, dass die Beschwerdegegnerin ihren Schuldanteil von Fr. 140'000.-- übernimmt, ohne diesen Betrag zumindest teilweise über den Unterhaltsbeitrag zurückzuerhalten. Unter Hinweis auf Art. 2 ZGB kommt die Vorinstanz zum Schluss, die Teilvereinbarung sei offensichtlich unangemessen und hätte nicht genehmigt werden dürfen. Sie wäre mit dem Zusatz zu ergänzen gewesen, dass eine Kompensation über den Unterhaltsbeitrag vorbehalten sei. Mittlerweile sei die Teilvereinbarung rechtskräftig geworden, weshalb dem unangemessenen Ergebnis bei der Unterhaltsfestsetzung Rechnung getragen werden müsse. Die Vorinstanz befand, die Mehrausgaben der Beschwerdegegnerin aufgrund der Schuld lägen bei monatlich Fr. 1'483.00 (Fr. 1'111.-- an Schuldentilgung und Fr. 372.-- an Steuern). Fr. 78.00 könne sie aus ihrem Überschuss bezahlen. Der Beschwerdegegner habe ihr Fr. 1'400.00 monatlich in Form von nachehelichem Unterhalt zu bezahlen.
3.2 Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, es habe sich über die gerichtlich genehmigte und rechtskräftige Teilvereinbarung vom 7. September 2009 hinweggesetzt. Diese Vereinbarung trage allen Einwänden Rechnung, welche die Beschwerdegegnerin gegen eine hälftige Aufteilung der Schuld vorgetragen hatte. Sie berücksichtige auch die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit der Parteien. Die Unterhaltsregelung neutralisiere den Inhalt der Teilvereinbarung. Sie habe zur Folge, dass der Beschwerdeführer die güterrechtliche Schuld der Beschwerdegegnerin alleine tragen muss. Der Beschwerdeführer macht insbesondere geltend, die Unterhaltsregelung verletze die Vertragsfreiheit der Parteien (Art. 19 Abs. 1 OR) und verstosse gegen Art. 2 ZGB. Nachdem die Teilvereinbarung vor Art. 19, 20 und 21 OR standhalte, sei eine inhaltliche Korrektur zufolge "Unangemessenheit" nicht über Art. 2 ZGB möglich. Gestützt auf diese Vorschrift könne die Teilvereinbarung auch nicht dahingehend ergänzt werden, "dass eine Kompensation über den Unterhaltsbeitrag vorbehalten sei". Eine Inhaltskorrektur wegen Irrtums komme schon deshalb nicht in Frage, weil es an der Voraussetzung der Vertragsanfechtung fehle. Schliesslich stehe der angefochtene Entscheid im Widerspruch zur bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Art. 125 ZGB.
3.3 Nach Art. 140 Abs. 2 ZGB (in der bis zum 31. Dezember 2010 gültigen Fassung) spricht das Gericht die Genehmigung einer Vereinbarung über die Scheidungsfolgen unter anderem unter der Voraussetzung aus, dass diese nicht offensichtlich unangemessen ist. Eine rechtskräftige Vereinbarung über die vermögensrechtlichen Scheidungsfolgen kann bei Mängeln im Vertragsschluss mit Revision angefochten werden (Art. 148 Abs. 2 ZGB in der bis zum 31. Dezember 2010 gültigen Fassung).
Die erste Instanz hat die Teilvereinbarung vom 7. September 2009 genehmigt. Sie ist damit zum Urteilsbestandteil geworden. Das erstinstanzliche Urteil wurde diesbezüglich nicht angefochten. Die entsprechende Ziffer 9 des Urteilsdispositivs ist somit in Rechtskraft erwachsen. Dass das Obergericht die Angemessenheit der Teilvereinbarung vom 7. September 2011 von Amtes wegen erneut geprüft hat, mutet in Anbetracht der materiellen Rechtskraft der Teilvereinbarung befremdlich an. Den Inhalt der Teilvereinbarung selbst hat das Obergericht gerade unter Hinweis auf deren materielle Rechtskraft aber doch nicht angetastet. Daher erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit der Beschwerdeführer unter Anrufung des Schuldvertragsrechts beanstandet, das Obergericht habe den Inhalt der Teilvereinbarung unter Missachtung der Vertragsfreiheit auf unzulässige Weise korrigiert. Die vom Obergericht vorgenommene inhaltliche Überprüfung der Teilvereinbarung wirkt sich aber trotzdem auf den angefochtenen Entscheid aus. Denn das Obergericht hat erwogen, dem unangemessenen Ergebnis müsse im Rahmen der Unterhaltsfestsetzung Rechnung getragen werden. Auch diese Vorgehensweise erachtet der Beschwerdeführer als unzulässig.
3.4 Gemäss Art. 125 Abs. 2 Ziff. 5 ZGB sind bei der Bemessung des nachehelichen Unterhalts Einkommen und Vermögen zu berücksichtigen. Das Vermögen bemisst sich nach dem Stand nach durchgeführter güterrechtlicher Auseinandersetzung (BGE 130 III 537 E. 4 S. 544 f. mit Hinweisen). Eingedenk der Gesetzessystematik hat das Bundesgericht festgehalten, das Scheidungsgericht habe zuerst die güterrechtliche Auseinandersetzung durchzuführen (Art. 120 Abs. 1 ZGB), dann die Ansprüche aus der beruflichen Vorsorge zu regeln (Art. 122 bis 124 ZGB) und erst zuletzt über den nachehelichen Unterhalt zu entscheiden (Art. 125 ZGB), damit sämtliche Kriterien gemäss Art. 125 Abs. 2 ZGB - insbesondere die Ziff. 5 und 8 - berücksichtigt werden können (vgl. BGE 129 III 7 E. 3.1.2 S. 9). Nach der Rechtsprechung können bei der Festsetzung des nachehelichen Unterhalts im erweiterten Grundbedarf der Ehegatten auch Schulden gegenüber Dritten berücksichtigt werden, sofern der entsprechende Kredit für den gemeinsamen Lebensunterhalt aufgenommen und eingesetzt wurde und nicht nur einen der Ehegatten persönlich betrifft (Urteil 5A_131/2007 vom 8. Juni 2007 E. 2.2 mit Hinweisen).
3.4.1 Aufgrund der rechtskräftigen Teilvereinbarung vom 7. September 2009 steht als Resultat der güterrechtlichen Auseinandersetzung fest, dass das Vermögen der Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt der Auflösung des Güterstandes durch eine Schuld von Fr. 140'000.-- belastet war. Die Vorinstanz hält im angefochtenen Entscheid ausdrücklich fest, dass die fraglichen Drittmittel der Finanzierung von Unterhalt dienten. Diese tatsächliche Feststellung ist für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG; s. E. 1.3). Sie wird von den Parteien im Übrigen auch nicht in Frage gestellt. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich allerdings, dass die Beschwerdegegnerin ihren laufenden Bedarf mit ihren eigenen Mitteln decken kann. Der Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'400.--, den der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin während zehn Jahren und sechs Monaten zu bezahlen hat, dient mithin ausschliesslich der Tilgung des besagten Schuldanteils der Beschwerdegegnerin von Fr. 140'000.-- sowie der darauf entfallenden Steuerlast (s. E. 3.1). Entsprechend bedingt diese Unterhaltsregelung, dass das Vermögen der Beschwerdegegnerin im Zeitpunkt, in welchem über die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers zu befinden ist, auch tatsächlich mit der fraglichen Schuld von Fr. 140'000.-- belastet ist. Dies setzt zunächst voraus, dass die Beschwerdegegnerin tatsächlich in solidarischer Haftbarkeit mit dem Beschwerdeführer für die fragliche Schuld einstehen muss und sich der Schuldanteil, den die Beschwerdegegnerin im Verhältnis unter den Solidarschuldnern zu übernehmen hat, wirklich auf Fr. 140'000.-- beläuft. Weiter könnte der Beschwerdeführer zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen in dieser Höhe bzw. für diese Dauer nur soweit verpflichtet werden, als die Beschwerdegegnerin für ihre Schulden nicht mit ihrem Vermögen aufkommen kann. Schon wie es um die besagte Schuldpflicht der Beschwerdegegnerin effektiv bestellt ist, lässt sich aufgrund der vorinstanzlichen Ausführungen jedoch nicht eruieren:
3.4.2 Das Obergericht stellt fest, die elterliche Liegenschaft, die als Sicherheit für die Schuld der Parteien gegenüber der C._ AG gedient hatte, sei verkauft und die Hypothekarschuld teilweise vom Käufer übernommen worden. Die restliche Schuld betreffe "mittlerweile nur noch das interne Verhältnis" zwischen dem Vater des Beschwerdeführers und dem Beschwerdeführer und eventuell seinen Geschwistern. Das Obergericht gelangt zur Erkenntnis, bei der fraglichen Verbindlichkeit handle es sich "tatsächlich um einen Erbvorbezug des Appellanten und deshalb um keine echte Schuld". Wenn nun aber gar keine Schuld mehr bestehen soll, was offenbar auch der Meinung der Beschwerdegegnerin entspricht, so entfällt die Grundlage für die Verurteilung des Beschwerdeführers zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen, die ausschliesslich der Tilgung dieser (vermeintlichen) Schuld dienen (vgl. E. 3.4.1 Hiervor).
Der Beschwerdeführer erklärt in diesem Zusammenhang, sein Vater sei inzwischen Gläubiger. Er bestreitet aber, dass dieser auf seine Forderung verzichtet hätte. Die Behauptung der Vorinstanz, es liege ein Erbvorbezug vor, geisselt der Beschwerdeführer als "frei erfunden und aktenwidrig". Wie es sich damit verhält, kann an dieser Stelle offen bleiben. Wie sich den Ausführungen der Beschwerdegegnerin entnehmen lässt, können die vagen Erwägungen des Obergerichts auch dahingehend verstanden werden, als sei sie hinsichtlich der Gesamtschuld von Fr. 570'000.-- aus jeglicher Haftung entlassen. In diesem Fall würde sich ein Unterhaltsbeitrag zur Schuldentilgung gänzlich erübrigen.
3.4.3 Nun ist zwar unbestritten, dass der Käufer der bisher zur Kreditsicherung dienenden Liegenschaft Hypotheken im Umfang von Fr. 350'000.-- übernommen hat. Entgegen dem, was der angefochtene Entscheid glauben machen will, lässt sich allein daraus aber nicht der Schluss ziehen, dass die Beschwerdegegnerin (womöglich zusammen mit dem Beschwerdeführer) im entsprechenden Umfang auch aus ihrer (Solidar-)Schuld entlassen worden wäre. Soweit der Vater des Beschwerdeführers seine für die Schuld der Parteien verpfändete Liegenschaft tatsächlich eingelöst hat, wären die Rechte der C._ AG von Gesetzes wegen auf ihn übergegangen (Art. 110 Ziff. 1 OR). Dass der Vater als neuer Gläubiger gegenüber der Beschwerdegegnerin in diesem Fall auf seine Forderung von Fr. 350'000.-- verzichtet hätte, ist aber nicht ohne Weiteres anzunehmen, nach den Umständen nicht einmal dann, wenn er seinem Sohn die Schuld - unter welchem Titel auch immer - erlassen haben sollte (Art. 147 Abs. 2 OR).
Dass über die Pfandsumme von Fr. 350'000.-- hinaus auch die "restliche Schuld" von Fr. 220'000.-- nur noch das "interne Verhältnis" zwischen dem Beschwerdeführer und dessen Vater (und eventuell seinen Geschwistern) betreffen würde, kann entgegen dem, was die Vorinstanz anzunehmen scheint, erst recht nicht als erwiesen gelten. Allein der Aussage des Beschwerdeführers, "bezüglich der restlichen Schuld zeichne sich ab, dass sein Vater diese übernehme", lässt sich jedenfalls nicht entnehmen, dass der Vater im Zuge der Veräusserung der Liegenschaft und der Übernahme der Hypotheken durch den Käufer auch für den Restbetrag von Fr. 220'000.-- in das Schuldverhältnis zwischen den Parteien und der C._ AG eingetreten wäre. Soweit die Vorinstanz von einer blossen Schuldübernahme ausgeht und hierfür allein auf die mündliche Zusage des Vaters abstellt, übersieht sie, dass der Eintritt eines Schuldübernehmers in das Schuldverhältnis an Stelle und mit Befreiung des bisherigen Schuldners nur durch einen entsprechenden Vertrag des Übernehmers mit dem Gläubiger erfolgen könnte (Art. 176 Abs. 1 OR). Dass zwischen dem Vater und der C._ AG ein solcher Schuldübernahmevertrag zustande gekommen wäre, geht aus dem angefochtenen Entscheid jedoch nicht hervor. Entsprechend müssten in diesem Fall beide Parteien jedenfalls im Umfang von Fr. 220'000.-- weiterhin die Solidarschuldner der C._ AG sein. Die Beschwerdegegnerin würde aber auch dann nicht von ihrer Schuld befreit, wenn der Beschwerdeführer der C._ AG angezeigt haben sollte, dass sein Vater als zahlender Dritter an deren Stelle treten solle, und der Vater die C._ AG auch bezüglich der Restschuld von Fr. 220'000.-- direkt befriedigt hätte. Denn auch in diesem Fall würde die Forderung gegen die Beschwerdegegnerin als Recht der alten Gläubigerin auf den Vater übergehen (Art. 110 Ziff. 2 OR) und wäre ein Forderungsverzicht gegenüber der Gläubigerin (Art. 115 OR) nicht anzunehmen.
3.4.4 Alles in allem lässt sich dem angefochtenen Entscheid keine positive Aussage darüber entnehmen, ob die Beschwerdegegnerin für die fragliche Schuld von Fr. 570'000.-- überhaupt noch solidarisch haftet und in welchem Umfang sie der C._ AG und/oder dem Vater des Beschwerdeführers noch Geld schuldet. Zur Frage, weshalb die Beschwerdegegnerin hinsichtlich der Pfandsumme von Fr. 350'000.-- keine Schuldpflicht mehr treffen soll, schweigt sich der angefochtene Entscheid gänzlich aus. Unklar ist auch, weshalb die Beschwerdegegnerin mit der "restlichen Schuld" von Fr. 220'000.-- nichts mehr zu tun haben soll. Schliesslich ist sowohl in den Erwägungen als auch im Dispositiv des vorinstanzlichen Urteils davon die Rede, dass der Beschwerdeführer selbst der Gläubiger der Forderung von Fr. 140'000.--, die Beschwerdegegnerin also die Schuldnerin des Beschwerdeführers sein soll. Dahingehend äussert sich in ihrer Vernehmlassung auch die Beschwerdegegnerin. Demnach müsste der Beschwerdeführer als Unterhaltsschuldner der Beschwerdegegnerin die Tilgungsraten für eine Schuld bezahlen, deren Gläubiger er selbst ist. Sollte es sich aber tatsächlich so verhalten, könnte die vorinstanzliche Unterhaltsregelung vollends dahinfallen: Wenn die Eigenschaften des Gläubigers und des Schuldners in einer Person zusammentreffen, so gilt die Forderung von Gesetzes wegen als durch Vereinigung erloschen (Art. 118 OR).
3.4.5 Selbst wenn die Beschwerdegegnerin für die fragliche Schuld weiterhin ganz oder teilweise haften sollte - worüber nach dem Gesagten (E. 3.4.2 bis 3.4.4) Unklarheit herrscht -, könnte die in der Teilvereinbarung vom 7. September 2009 übernommene Schuld höchstens dann für die Beurteilung eines Unterhaltsbedarfs bzw. einer Unterhaltspflicht berücksichtigt werden, wenn die Beschwerdegegnerin keinerlei Vermögen hat, um ihre Schulden zu begleichen. Auch diesbezüglich lassen sich aber weder dem angefochtenen Entscheid noch dem erstinstanzlichen Urteil, auf das die Vorinstanz hinsichtlich des Sachverhalts verweist, eindeutige Angaben entnehmen. Das Obergericht führt zwar aus, die Beschwerdegegnerin stehe "wirtschaftlich erheblich schlechter" da als der Beschwerdeführer. Allein daraus lässt sich jedoch nicht der Schluss ziehen, dass die Beschwerdegegnerin über gar kein Vermögen verfügt - umso weniger, als in der Teilvereinbarung davon die Rede ist, dass jeder Ehegatte die auf seinen Namen lautenden Vermögenswerte behält.
3.4.6 Im Ergebnis ist der angefochtene Entscheid nicht nur unklar und unvollständig, was im Zusammenhang mit der Verschuldung der Beschwerdegegnerin die Feststellung des Sachverhalts angeht. Auch in rechtlicher Hinsicht vermag das vorinstanzliche Urteil nicht zu überzeugen. Wie die vorstehenden Ausführungen zeigen, weisen die Erwägungen, die ihm zugrunde liegen, erhebliche Widersprüche und Ungereimtheiten auf. In Anbetracht des ungewissen Schicksals der Geldschuld der Beschwerdegegnerin lässt sich schlechterdings nicht nachvollziehen, wie das Obergericht in Ziffer 3 seines Urteilsdispositivs dazu kommt, den Beschwerdeführer zur Bezahlung von Unterhaltsbeiträgen in der Höhe von insgesamt Fr. 176'000.-- (126 Monate à Fr. 1'400.--) zu verurteilen. In dieser Hinsicht genügt das vorinstanzliche Urteil des gesetzlichen Anforderungen (Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG) nicht. Es ist in diesem Punkt aufzuheben und zur Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts und zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen.
3.5 Gegen die konkrete Berechnung des Unterhaltsbeitrages für die Beschwerdegegnerin erhebt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht eine Reihe von Einwänden, die er schon vor Obergericht vorgetragen haben will und die das Obergericht seiner Ansicht nach in Verletzung von Art. 29 BV übergangen hat (s. E. 2). So soll der tatsächliche Mietzins der Beschwerdegegnerin anstatt Fr. 1'800.-- lediglich Fr. 1'000.-- betragen, wobei höchstens ein Betrag von Fr. 1'500.-- berücksichtigt werden könnte. Die Arbeitswegkosten seien mit Fr. 600.-- zu hoch bemessen, weil die Beschwerdegegnerin statt ihres Autos die öffentlichen Verkehrsmittel benützen könne, was lediglich Fr. 150.-- koste. Weiter sei in der Berechnung des Bedarfs der Beschwerdegegnerin für deren freiwillige Altersvorsorge zu Unrecht ein Betrag von Fr. 500.-- eingesetzt worden. Sodann bestreitet der Beschwerdeführer, die Anrechnung eines hypothetischen Erwerbseinkommens der Beschwerdegegnerin von 100 % vor erster Instanz nicht verlangt und sich mit einer hypothetischen Erwerbstätigkeit von 90 % zufrieden gegeben zu haben. Schliesslich macht er geltend, die Vorinstanz habe die Betreuungszulagen von Fr. 360.--, welche die Beschwerdegegnerin beziehen könne, im Rahmen der Berechnungen einfach "vergessen". Nach dem, was im Zusammenhang mit den ehelichen Schulden der Parteien und der Frage der solidarischen Haftbarkeit der Beschwerdegegnerin ausgeführt wurde (s. E. 3.4), kann schon aufgrund der Unterhalts- und Bedarfsberechnung, die dem vorinstanzlichen Entscheid zugrunde liegt, keineswegs als gesichert gelten, dass die Beschwerdegegnerin überhaupt noch einen Anspruch auf Ausrichtung eines Unterhaltsbeitrages hat. Die Vorinstanz wird diese Frage in ihrem neuen Entscheid zu klären haben. Unter diesen Umständen braucht sich das Bundesgericht mit den geschilderten Einwänden gegen die Unterhaltsfestsetzung nicht im Einzelnen auseinanderzusetzen.
4. Der Beschwerdeführer setzt sich auch gegen die Unterhaltsregelung zur Wehr, welche die Vorinstanz für den gemeinsamen Sohn B._ getroffen hat.
4.1 Der Beschwerdeführer hat das erstinstanzliche Urteil hinsichtlich Kindesunterhalt nicht angefochten, sondern vor Obergericht beantragt, er sei zur Bezahlung von Kinderunterhaltsbeiträgen in der vorinstanzlich bestimmten Höhe zu verurteilen. In der Feststellung des Obergerichts, er habe damit den Bedarf von B._ in der Höhe von Fr. 2'160.-- monatlich grundsätzlich akzeptiert, erblickt der Beschwerdeführer einen Verstoss gegen den bundesrechtlichen Begriff der materiellen Rechtskraft. Wer das Urteilsdispositiv nicht anfechte, akzeptiere damit gerade nicht das zugrunde liegende Motiv.
Auch wenn sich die Tragweite eines Entscheids oftmals erst aus einem Beizug der Urteilserwägungen ergibt, erwächst der Entscheid selbst nur in derjenigen Form in Rechtskraft, in der er im Urteilsdispositiv zum Ausdruck kommt. Nicht zur Urteilsformel gehören die tatsächlichen Feststellungen und die rechtlichen Erwägungen des Entscheids (BGE 121 III 474 E. 4a S. 477 f. mit Hinweisen). Die Urteilsformel des erstinstanzlichen Entscheides äussert sich nicht zur Höhe des Bedarfs des Sohnes. Daher lässt sich allein aus der Tatsache, dass der Beschwerdeführer die Ziffer 4 des erstinstanzlichen Urteilsdispositivs nicht angefochten und sich mit einer Unterhaltspflicht von Fr. 1'200.-- (zuzüglich Kinder- bzw. Ausbildungszulagen) abgefunden hat, auch nicht der Schluss ziehen, er habe "somit" einen Bedarf seines Sohnes in der Höhe von Fr. 2'160.-- "grundsätzlich akzeptiert". Entgegen dem, was die Beschwerdegegnerin anzunehmen scheint, ändert daran auch der Umstand nichts, dass das Obergericht den Unterhaltsbeitrag für B._ gestützt auf die Sonderregel von Art. 148 Abs. 1 ZGB (in der bis zum 31. Dezember 2010 gültigen Fassung) zu Ungunsten des Beschwerdeführers auf Fr. 1'600.-- erhöhen durfte. Ob (und in welcher Höhe) der Beschwerdeführer den Bedarf seines Sohnes "akzeptiert" hat, ist gar keine Frage der materiellen Rechtskraft, sondern der Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung. Indem die Vorinstanz allein von der unterlassenen Anfechtung des Kindesunterhalts auf die Anerkennung eines Grundbedarfs von Fr. 2'160.-- Bedarfs schliesst, hat sie den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt.
4.2 Des Weiteren beanstandet der Beschwerdeführer, die Behauptung des Obergerichts, wonach die erste Instanz den Bedarf von B._ auf Fr. 2'160.-- festgelegt hätte, sei aktenwidrig und verstosse gegen Art. 97 BGG. In der Tat ging die erste Instanz gestützt auf die "Zürcher Tabellen" von einem Bedarf von Fr. 2'115.-- aus. Von diesem Betrag subtrahierte sie die Position "Pflege und Erziehung" gemäss "Zürcher Tabellen", ausmachend Fr. 330.--. Weiter rechnete sie B._ Fr. 600.-- von seinem damaligen Lehrlingslohn an. Den daraus resultierenden Betrag von Fr. 1'185.-- rundete sie auf Fr. 1'200.--. Die Annahme des Obergerichts, die erste Instanz sei "effektiv" von einem monatlichen Bedarf von Fr. 2'160.-- ausgegangen, ist daher offensichtlich falsch. Entgegen dem, was das Obergericht zur Erläuterung dieses Betrages ausführt, hat die erste Instanz neben dem Lehrlingslohn von B._ auch nicht die Kinderzulagen von Fr. 360.--, sondern die Position "Pflege und Erziehung" von Fr. 330.-- berücksichtigt. Wollte das Obergericht also tatsächlich von demselben Bedarf ausgehen wie die Vorinstanz, so hätte es nicht den Betrag von Fr. 2'160.--, sondern denjenigen von Fr. 2'115.-- zum Ausgangspunkt für seine Berechnungen nehmen sollen.
4.2 Des Weiteren beanstandet der Beschwerdeführer, die Behauptung des Obergerichts, wonach die erste Instanz den Bedarf von B._ auf Fr. 2'160.-- festgelegt hätte, sei aktenwidrig und verstosse gegen Art. 97 BGG. In der Tat ging die erste Instanz gestützt auf die "Zürcher Tabellen" von einem Bedarf von Fr. 2'115.-- aus. Von diesem Betrag subtrahierte sie die Position "Pflege und Erziehung" gemäss "Zürcher Tabellen", ausmachend Fr. 330.--. Weiter rechnete sie B._ Fr. 600.-- von seinem damaligen Lehrlingslohn an. Den daraus resultierenden Betrag von Fr. 1'185.-- rundete sie auf Fr. 1'200.--. Die Annahme des Obergerichts, die erste Instanz sei "effektiv" von einem monatlichen Bedarf von Fr. 2'160.-- ausgegangen, ist daher offensichtlich falsch. Entgegen dem, was das Obergericht zur Erläuterung dieses Betrages ausführt, hat die erste Instanz neben dem Lehrlingslohn von B._ auch nicht die Kinderzulagen von Fr. 360.--, sondern die Position "Pflege und Erziehung" von Fr. 330.-- berücksichtigt. Wollte das Obergericht also tatsächlich von demselben Bedarf ausgehen wie die Vorinstanz, so hätte es nicht den Betrag von Fr. 2'160.--, sondern denjenigen von Fr. 2'115.-- zum Ausgangspunkt für seine Berechnungen nehmen sollen.
4.3 4.3.1 Der Beschwerdeführer kreidet dem Obergericht überdies an, es habe die Behauptungen der Beschwerdegegnerin, wonach sich die finanziellen Verhältnisse des Sohnes im Vergleich zur Situation am 7. September 2009 verschlechtert hätten, als wahr vorausgesetzt, obwohl die Beschwerdegegnerin keine entsprechenden Belege eingereicht habe. Nach der Regel von Art. 8 ZGB treffe die Beschwerdegegnerin die Beweislast dafür, dass der Sohn einen neuen Lehrvertrag mit einem tieferen Lehrlingslohn abgeschlossen hat; der Inhalt des neuen Vertrages sei nicht bewiesen worden. Indem das Obergericht die Behauptungen der Beschwerdegegnerin als vollen Beweis genügen lasse, würdige es die Beweise einseitig und verletze Art. 97 BGG.
4.3.2 Gelangt der Richter in Würdigung von Beweisen zur Überzeugung, eine Tatsachenbehauptung sei bewiesen oder widerlegt, so liegt freie Beweiswürdigung vor, die nicht durch Art. 8 ZGB geregelt ist. Die zitierte Bestimmung schreibt dem Richter nicht vor, mit welchen Mitteln er den Sachverhalt abzuklären und wie er das Ergebnis davon zu würdigen hat; sie schliesst selbst eine vorweggenommene Beweiswürdigung und Indizienbeweise nicht aus. Eine beschränkte Beweisabnahme verletzt Art. 8 ZGB also nicht, wenn der Richter schon nach deren Ergebnis von der Sachdarstellung einer Partei überzeugt ist und gegenteilige Behauptungen für unbewiesen hält (BGE 114 II 289 E. 2a S. 291 mit Hinweisen). Stellt er aber bloss auf die allgemeine Lebenserfahrung, auf allgemeine tatsächliche Vermutungen oder auf Indizien ab, so darf er prozesskonform zum Gegenbeweis angebotene, erhebliche und taugliche Mittel nicht mit der Begründung ablehnen, die Beweislastregel sei bereits gegenstandslos geworden, denn damit würde er den Anspruch des Beweisgegners auf Führung des Gegenbeweises verletzen, den Art. 8 ZGB gewährleistet (BGE 115 II 305 S. 305 f.).
4.3.3 Der Vorwurf, das Obergericht habe über den Inhalt des neuen Lehrlingsvertrages keinen Beweis geführt, hält nicht Stich. Hinsichtlich der Einkünfte des Sohnes von April bis Sommer 2010 stützt sich das Obergericht auf die Angaben der Beschwerdegegnerin im oberinstanzlichen Parteiverhör. Für die Zeit danach hat es das Schreiben der Beschwerdegegnerin vom 5. März 2010 herangezogen. Zwar mag das Obergericht damit die Höhe des Lehrlingslohnes lediglich annäherungsweise bzw. im Sinne eines blossen Indizienbeweises ermittelt haben. Allein darin liegt nach dem Gesagten aber noch keine Verletzung von Art. 8 ZGB. Dass er in diesem Zusammenhang geeignete Mittel zum Gegenbeweis angeboten, die Vorinstanz diese jedoch in Verletzung seines Beweisführungsanspruchs abgelehnt hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Soweit er sich damit begnügt, die freie Beweiswürdigung des Obergerichts als einseitige Beweiswürdigung zugunsten einer Partei und als Verletzung von Art. 97 BGG zu tadeln, kommt er seiner Rügepflicht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG von vornherein nicht nach (s. E. 1.3). Der Hinweis, die Vorinstanz habe Art. 97 BGG verletzt, reicht schon deshalb nicht aus, weil diese Verfahrensvorschrift ihrem klaren Regelungsinhalt zufolge lediglich die zulässigen Beschwerdegründe im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren umschreibt. Art. 97 BGG ist keine Vorschrift, die der Beschwerdeführer anrufen könnte, um sich gegen eine rechtswidrige Beweiswürdigung im kantonalen Verfahren zur Wehr zu setzen. Soweit der Beschwerdeführer damit - sinngemäss - eine offensichtlich unrichtige, das heisst willkürliche Beweiswürdigung rügen will, legt er nicht dar, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
4.3.4 Im Zusammenhang mit den Lehrlingseinkünften von B._ bemängelt der Beschwerdeführer ausserdem, das Obergericht sei davon ausgegangen, dass der Sohn dauernd (bis zum Abschluss der Erstausbildung) nur ein Einkommen von Fr. 500.-- bis Fr. 550.-- erzielen würde. Die Einkommensangaben der Beschwerdegegnerin hätten sich lediglich auf den Zeitraum von April bis Juli 2010 bezogen; vorher und nachher hätte der Sohn mutmasslich mehr verdient. Auch diese Rüge geht fehl. Wie sich aus dem angefochtenen Entscheid ergibt, stützt sich das Obergericht nicht nur auf die Einkünfte in der Zeit von April bis Juli 2010, zu denen sich die Beschwerdegegnerin im Parteiverhör geäussert hatte. Es berücksichtigte auch, dass B._ gemäss dem Schreiben der Beschwerdegegnerin vom 5. März 2010 ab August 2010 einen geschätzten Lehrlingslohn von Fr. 650.-- erzielen wird, und kam zum Schluss, auch von diesem Lehrlingslohn müsse B._ nicht mehr als Fr. 200.-- an seinen eigenen Unterhalt beisteuern.
4.3.4 Im Zusammenhang mit den Lehrlingseinkünften von B._ bemängelt der Beschwerdeführer ausserdem, das Obergericht sei davon ausgegangen, dass der Sohn dauernd (bis zum Abschluss der Erstausbildung) nur ein Einkommen von Fr. 500.-- bis Fr. 550.-- erzielen würde. Die Einkommensangaben der Beschwerdegegnerin hätten sich lediglich auf den Zeitraum von April bis Juli 2010 bezogen; vorher und nachher hätte der Sohn mutmasslich mehr verdient. Auch diese Rüge geht fehl. Wie sich aus dem angefochtenen Entscheid ergibt, stützt sich das Obergericht nicht nur auf die Einkünfte in der Zeit von April bis Juli 2010, zu denen sich die Beschwerdegegnerin im Parteiverhör geäussert hatte. Es berücksichtigte auch, dass B._ gemäss dem Schreiben der Beschwerdegegnerin vom 5. März 2010 ab August 2010 einen geschätzten Lehrlingslohn von Fr. 650.-- erzielen wird, und kam zum Schluss, auch von diesem Lehrlingslohn müsse B._ nicht mehr als Fr. 200.-- an seinen eigenen Unterhalt beisteuern.
4.4 4.4.1 Schliesslich legt der Beschwerdeführer den Finger auf zwei weitere Fehler, die er in der vorinstanzlichen Unterhaltsberechnung ausgemacht haben will: So macht der Beschwerdeführer für die Unterkunft von B._ einen Abzug von Fr. 340.-- geltend. Im Existenzminimum der Beschwerdegegnerin seien schon hypothetische Wohnkosten eingerechnet worden, die höher lägen als die effektiven Wohnkosten für B._ und die Beschwerdegegnerin zusammen; daher dürften im Kindesunterhalt nicht noch einmal zusätzliche Wohnkosten einkalkuliert werden. Sodann habe das Obergericht den Anteil "Pflege und Erziehung" von Fr. 330.--, den die erste Instanz vom Grundbedarf von B._ von Fr. 2'115.-- in Abzug gebracht habe, nicht berücksichtigt, obwohl unter diesem Titel gar keine Kosten anfallen würden. Der Beschwerdeführer kommt zum Schluss, unter Berücksichtigung dieser Abzüge schulde er eigentlich nur Unterhalt in der Höhe von Fr. 885.-- (Fr. 2'115.-- abzüglich der Kinderzulagen von Fr. 360.--, der Position "Pflege und Erziehung" gemäss Zürcher Tabellen von Fr. 330.--, des Beitrages von B._ von Fr. 200.-- sowie des Anteils an die Unterkunft von Fr. 340.--). Er erklärt aber ausdrücklich, dass er den Betrag von Fr. 1'200.-- akzeptiert habe und zu zahlen bereit sei.
4.4.2 Was den Wohnkostenanteil angeht, so hat die erste Instanz, auf deren Entscheid das Obergericht verweist, unter Hinweis auf die "luxuriösen Verhältnisse" der Parteien für die Beschwerdeführerin allein mit Fr. 1'800.-- ausdrücklich einen grosszügigen Mietzins berücksichtigt. Daraus lässt sich jedoch nicht der Schluss ziehen, dass unter dem Titel des Kindesunterhaltes die in der "Zürcher Tabelle" vorgesehene Position für Wohnkosten in der vollen Höhe von Fr. 340.-- in Abzug zu bringen wäre. Abgesehen davon, dass der Beschwerdeführer auch die Höhe der Wohnkosten der Beschwerdegegnerin bestreitet (s. E. 3.5), hätte dies im Ergebnis nämlich zur Folge, dass der Sohn B._ in seinem Barbedarf eine Einbusse in Kauf nehmen müsste, damit seine Mutter in grosszügigen Wohnverhältnissen leben kann. Gerade in Anbetracht der insgesamt überdurchschnittlichen Einkommensverhältnisse der Parteien trifft das Obergericht deshalb jedenfalls im Ergebnis nicht der Vorwurf, es habe von dem ihm zustehenden Ermessen falschen Gebrauch gemacht, indem es den streitigen Betrag in der Bedarfsberechnung für B._ nicht herausgestrichen hat. Dazu kommt, dass es in Verhältnissen wie den vorliegenden, in denen die Leistungsfähigkeit des zur Geldleistung verpflichteten Elternteils diejenige des obhutsberechtigten Elternteils deutlich übertrifft, nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung durchaus gerechtfertigt ist, wenn der wirtschaftlich leistungsfähigere Elternteil für den gesamten materiellen Unterhaltsbedarf des Kindes aufzukommen hat (BGE 120 II 285 E. 3A/cc S. 290).
4.4.3 Die Bedarfsposition "Pflege und Erziehung" ist in den Empfehlungen des Amtes für Jugend und Berufsberatung der Bildungsdirektion des Kantons Zürich vorgesehen. Danach beträgt der durchschnittliche Unterhaltsbedarf eines Einzelkindes im Alter von dreizehn bis achtzehn Jahren per 1. Januar 2009 / 1. Januar 2010 Fr. 2'115.--. Davon entfallen Fr. 330.-- auf die "Pflege und Erziehung". Diese Position dient der betragsmässigen Bewertung der Naturalleistungen, die der obhutsberechtigte Elternteil in Form von Pflege und Erziehung an den Unterhalt des Kindes beiträgt. Sie soll verhindern, dass diese Naturalleistungen unberücksichtigt bleiben und der betreffende Elternteil gegenüber dem andern doppelt belastet wird, wenn er sowohl die Kinderbetreuung übernimmt als auch einer Erwerbstätigkeit nachgeht (vgl. Urteil 5C.288/2005 vom 15. März 2006 E. 5.2 mit Hinweisen). Im Barbedarf des Kindes dürfen Kosten für "Pflege und Erziehung" freilich nur dann berücksichtigt werden, wenn dieser Bedarfsposition auch entsprechende konkrete Barauslagen gegenüberstehen; ansonst ist die Bedarfsposition dem obhutsberechtigten Elternteil - hier der Mutter - anzurechnen (Urteil 5A_690/2010 vom 21. April 2011 E. 2.3).
Im Unterschied zur ersten Instanz hat das Obergericht die streitige Position "Pflege und Erziehung" bei der Ermittlung vom Barbedarf von B._ ohne weitere Begründung einkalkuliert. Zur Frage, wie es im vorliegenden Fall um die Kosten für "Pflege und Erziehung" tatsächlich bestellt ist, äussert sich das Obergericht mit keinem Wort. Ist aber ungewiss, ob unter diesem Titel überhaupt konkrete Kosten anfallen, so verstösst die Vorgehensweise des Obergerichts gegen die geschilderten Grundsätze und ist damit bundesrechtswidrig. Das angefochtene Urteil ist auch mit Bezug auf den Kinderunterhalt aufzuheben und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
5. Im Ergebnis ist die Beschwerde im Sinne der vorstehenden Erwägungen gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Bundesgericht hebt das angefochtene Urteil auf und weist die Sache zur Ergänzung des Beweisverfahrens und zu neuem Entscheid an das Obergericht des Kantons Bern zurück. Von der Aufhebung ist auch die vorinstanzliche Kostenregelung betroffen, so dass der Antrag des Beschwerdeführers auf Änderung derselben gegenstandslos wird. Nicht aufzuheben ist hingegen Ziffer 1 des angefochtenen Urteils (s. E. 1.2).
Da der Ausgang des Verfahrens noch offen ist, werden der einschlägigen Praxis entsprechend die Gerichtskosten beiden Parteien zur Hälfte auferlegt und die Parteientschädigungen wettgeschlagen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Ziffern 2 bis 9 des Urteils des Obergerichts des Kantons Bern vom 10. Dezember 2010 werden aufgehoben und die Sache wird zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3. Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. September 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn