Sachverhalt:
A. Mit Beschluss vom 23. August 2008 wies das Zürcher Handelsgericht in einem patentrechtlichen Verfahren den Antrag von X._ (Gesuchsteller) auf unentgeltliche Rechtspflege und -verbeiständung ab. Eine dagegen gerichtete Nichtigkeitsbeschwerde des Gesuchstellers wies das Kassationsgericht des Kantons Zürich mit Zirkulationsbeschluss vom 3. März 2010 ab.
B. Der Gesuchsteller hat beim Bundesgericht am 19. April 2010 eine gegen den Beschluss des Handelsgerichts und den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts gerichtete Beschwerde in Zivilsachen eingereicht und ersuchte damit um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 21. Juni 2010 hat das Bundesgericht dieses Gesuch abgewiesen und den Gesuchsteller verpflichtet, einen Kostenvorschuss von Fr. 12'000.-- zu leisten. Dazu hat das Bundesgericht dem Gesuchsteller am 30. Juni 2010 eine Frist bis zum 14. Juli 2010 eingeräumt, welche es am 15. Juli 2010 bis zum 3. September 2010 erstreckte.
C. Mit Eingaben vom 31. August 2010 und vom 1. September stellte der Gesuchsteller zwei Revisionsgesuche. Mit dem zweiten Gesuch, das gemäss dem Antrag des Gesuchstellers an die Stelle des ersten treten sollte, verlangte er, es sei die Verfügung vom 21. Juni 2010 aufzuheben und ihm im Verfahren bezüglich der Beschwerde in Zivilsachen vom 19. April 2010 die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und zur Fortführung des Verfahrens vor Bundesgericht ein Rechts- und Patentanwalt beizuordnen. Zudem beantragt er die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels gemäss Art. 102 Abs. 3 BGG und die Einräumung der Möglichkeit, eine vom Handelsgericht unabhängige Expertise erstellen zu lassen.
Mit separater Eingabe vom 1. September 2010 beantragt der Gesuchsteller, die auf den 3. September 2010 festgelegte Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses von Fr. 12'000.-- bis zum Entscheid über das Revisionsgesuch zu sistieren.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Revision ist gemäss Art. 121 BGG gegen Entscheide des Bundesgerichts zulässig. Damit sind Entscheide gemeint, welche gemäss Art. 61 BGG in Rechtskraft erwachsen sind (YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, 2008 S. 1668 N. 4636; JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Corboz und andere, Commentaire de la LTF, 2009, N. 3 zu Art. 61 BGG). Entscheide bezüglich der unentgeltlichen Rechtspflege erwachsen insoweit nicht in Rechtskraft, als sie bei nachträglich veränderten Verhältnissen (z.B. Vermögens- oder Einkommensveränderungen des Gesuchstellers) abgeändert oder aufgehoben werden können (FRÉSARD, a.a.O., N. 2 zu Art. 61 BGG, gl.M. zum OG: POUDRET/SANDOZ-MONOD, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, Bd. I, 1990, N. 5.2 zu Art. 38 OG). Das Bundesgericht erachtete daher unter der Geltung des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) eine Revision gegen einen Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege gestützt auf neue Tatsachen entbehrlich, liess jedoch die Revision insoweit zu, als damit als Revisionsgründe Verfahrensmängel gemäss Art. 136 OG geltend gemacht wurden (Urteil 4C.220/1993 vom 22. September 1993 E. 1; H 12/98 vom 5. Mai 1998; vgl. auch Urteil H 53/97 vom 3. Juli 1997 E. 2). An dieser Rechtsprechung ist auch unter der Geltung des Bundesgerichtsgesetzes festzuhalten, zumal dieses insoweit keine Änderung mit sich brachte (vgl. Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001; BBl. 2001, 4202 ff., 4352; SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz (BGG), 2007, N. 2 zu Art. 121 BGG).
1.2 Vorliegend macht der Gesuchsteller als Revisionsgrund geltend, das Bundesgericht habe Art. 121 lit. d BGG verletzt, indem es in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt habe. Damit wird ein Verfahrensmangel gerügt, weshalb auf das Revisionsgesuch grundsätzlich einzutreten ist, zumal die 30-tägige Frist von Art. 124 Abs. 1 lit. b BGG eingehalten wurde. Das Gesuch wurde auch innerhalb der für die Bezahlung des Kostenvorschusses angesetzten Frist gestellt, weshalb offen bleiben kann, ob dies eine Eintretensvoraussetzung gebildet hätte (vgl. Urteil 1P.384/1998 vom 9. September 1998 E. 3).
2. 2.1 Nach Art. 121 lit. d BGG kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist eine Rüge keine Tatsache im Sinne von Art. 121 lit. d BGG, weshalb das Übergehen einer Rüge keinen Revisionsgrund bildet (Urteile 2F_5/2009 vom 3. Juli 2009 E. 3.1; 4F_1/2007 vom 13. März 2007 E. 5.1). Entsprechend rechtfertigt auch das Fehlen einer ausdrücklichen Stellungnahme zu einer Rüge bzw. Argumentation des Gesuchstellers keine Revision (Urteil 2F_11/2007 vom 22. November 2007 E. 3.3).
2.2 Als Revisionsgrund macht der Gesuchsteller geltend, das Bundesgericht habe in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt, weil es seine Beschwerde in Zivilsachen zum Teil nicht gelesen oder unzutreffend interpretiert habe. So habe es im Kapitel 7 betreffend den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts den Verweis auf das Kapitel 6 bezüglich des inhaltlich gleichen Beschlusses des Handelsgerichts unzutreffend ausgelegt oder übersehen und damit dieses Kapitel nicht beachtet und sich damit auch nicht auseinandergesetzt.
2.3 Mit diesen Ausführungen lässt der Beschwerdeführer ausser Acht, dass nach der Rechtsprechung das Nichtbeachten von Rügen keinen Revisionsgrund nach Art. 121 lit. d BGG darstellt. Zudem kann aus dem Umstand, dass das Bundesgericht in der Verfügung vom 21. Juni 2010 nicht auf jeden einzelnen vom Gesuchsteller in seiner Beschwerde erhobenen Einwand einging, nicht geschlossen werden, es habe den Hinweis in Kapitel 7 auf die Kritik am Beschluss des Handelsgerichts übersehen.
Im Übrigen kritisiert der Beschwerdeführer die rechtlichen Erwägungen des Bundesgerichts, ohne aufzuzeigen, inwiefern es dabei in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt haben soll. Ein Revisionsgrund gemäss Art. 121 lit. d BGG liegt demnach nicht vor.
3. Da zum Revisionsgesuch keine Vernehmlassungen eingeholt wurden, und damit kein Schriftenwechsel gemäss Art. 127 BGG durchgeführt wurde, ist das Gesuch um Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels gegenstandslos. Soweit der Gesuchsteller beabsichtigt, im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels seine Beschwerde zu verbessern, lässt er ausser Acht, dass das Revisionsverfahren nicht dazu benutzt werden darf, Versäumnisse einer Partei im vorangegangenen Rechtsmittelverfahren nachträglich zu korrigieren (Urteil 5F_6/2007 vom 7. April 2008 E. 2.2; vgl. auch BGE 115 II 399 E. 2a S. 400). Dies gilt auch bezüglich eines zweiten Schriftenwechsels im Rahmen des Beschwerdeverfahrens, da die Begründung der Beschwerde innert der Beschwerdefrist gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG einzureichen ist und bei einer ungenügenden Begründung keine Nachfrist zur Verbesserung angesetzt wird (BGE 134 II 244 E. 2.4). Eine Replik kann daher grundsätzlich nicht dazu verwendet werden, die Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (Urteil 4A_56/2009 vom 11. August 2009 E. 2; vgl. ferner BGE 132 I 42 E. 3.3.4 S. 47; je mit Hinweisen).
4. 4.1 Nach dem Gesagten ist das Revisionsgesuch abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Revisionsverfahrens sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
4.2 Mit der Abweisung des Revisionsbegehrens wird das Revisionsverfahren abgeschlossen. Damit ist das Begehren des Gesuchstellers, ihm zur Fortführung des Verfahrens einen unentgeltlichen Rechts- und Patentanwalt beizuordnen und ihm nötigenfalls die Anordnung einer Expertise zu ermöglichen, gegenstandslos.
4.3 Da der Gesuchsteller bezüglich der Verfügung vom 21. Juni 2010, mit der im Beschwerdeverfahren sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgelehnt und er zur Zahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 12'000.-- verpflichtet wurde, innerhalb der Zahlungsfrist ein unbegründetes Revisionsbegehren stellte, ist ihm in Gutheissung seines Sistierungs- bzw. Erstreckungsbegehrens eine neue letzte Frist zur Bezahlung dieses Kostenvorschusses anzusetzen (Urteile H 53/97 vom 3. Juli 1997 E. 2; 1P.384/1998 vom 9. September 1998 E. 3 und 4).
Demnach verfügt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dem Gesuchsteller wird mit separatem Formular zur Leistung des Kostenvorschusses von Fr. 12'000.-- eine neue letztmalige Frist angesetzt.
4. Diese Verfügung wird den Parteien, dem Handelsgericht des Kantons Zürich und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Gelzer