Faits:
A. R._, né en 1939, a été victime d'un grave accident professionnel le 1er juillet 1983. Il a notamment subi un traumatisme cranio-cérébral avec commotion et contusion cérébrale, une fracture temporo-pariétale gauche, une fracture de la base du crâne, un hématome épi- et sous-dural gauche, un fracas facial, une fracture des apophyses transverses L1 à L4 droites, une fracture des côtes et une luxation du genou gauche (triade interne). Il a été opéré et hospitalisé aux soins intensifs du Centre U._. Après quatre semaines, une complication est survenue avec une hémorragie intra-cérébrale fronto-basale gauche sur rupture d'un pseudo-anévrisme. Le 1er novembre 1983, R._ a été transféré au service de physiatrie du Centre U._, où il est resté hospitalisé jusqu'au 1er avril 1985. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) a notamment pris en charge les soins médicaux et alloué des indemnités journalières.
A sa sortie du Centre U._, R._ a résidé au Foyer X._. Entre autres affections, il présentait un hémi-syndrome sensitivo-moteur droit, avec une plégie totale du membre supérieur droit et une parésie du membre inférieur droit, ainsi qu'une aphasie globale sévère et des troubles du caractère. En raison de l'état général du patient, les médecins avaient renoncé à une plastie ligamentaire du genou gauche, malgré une instabilité très gênante pour la rééducation à la marche; une attelle permettait de réduire quelque peu ces difficultés.
Le 19 mars 1987, les docteurs G._ et F._, médecins au Service de neurologie du Centre U._, ont établi un rapport d'expertise à la demande de la CNA. Ils ont posé les diagnostics de syndrome psycho-organique grave, hémi-syndrome sensitivo-moteur droit important, hémianopsie droite et atrophie optique gauche associées à d'autres lésions neurologiques périphériques décrites directement et secondairement à un traumatisme cranio-cérébral avec fracas facial, contusion et hémorragie cérébrale hémisphérique gauche en 1983, épilepsie post-traumatique probable et pentade au genou gauche. Les experts observaient que l'assuré était partiellement anosognosique et qu'en l'absence de surveillance, il se levait avec des risques importants de chutes, parfois graves. Il avait besoin d'une aide pour tous les actes quotidiens et ne se déplaçait généralement seul qu'en chaise roulante. A la suite de cette expertise, la CNA a alloué à l'assuré une rente d'invalidité dès le 1er mai 1987, ainsi qu'une indemnité pour une atteinte à l'intégrité de 100 %.
Dès le 1er septembre 1996, R._ a quitté le foyer X._ et a bénéficié d'une prise en charge journalière par le home Z._,. Il rentrait le soir à son domicile, où son épouse, T._, assumait l'assistance nécessaire.
Le 15 février 2006, l'assuré a été traité à l'Hôpital W._ en raison d'une baisse de l'état général sur infection urinaire. Il a ensuite été transféré, le jour même, à la Clinique A._ pour suite de soins et « décharge familiale ». ll y a séjourné jusqu'au 10 mars 2006. D'après le rapport de sortie du 20 mars 2006 établi par les docteurs D._ et de M._, il présentait également une anémie normocytaire normochrome hyporégénérative, une hémiplégie droite à la suite de l'accident subi en 1983 avec syndrome frontal, un diabète de type II non insulino-dépendant et une haute tension artérielle. Du 17 mai au 3 juin 2006, R._ a subi une nouvelle hospitalisation à la Clinique A._, à la suite d'une chute avec douleurs au flanc droit et hématurie. Outre les diagnostics posés précédemment par les docteurs D._ et de M._, le rapport de sortie établi le 13 juin 2006 fait état d'une colite segmentaire de bas sigmoïde avec rectorragies en avril 2006 et de troubles chroniques de la crase.
Le 27 novembre 2007, R._ est décédé pendant son sommeil, à son domicile. Le Centre V._ a informé la CNA en lui faisant parvenir un extrait d'acte de décès, par courrier du 5 décembre 2006. Entendue le 11 janvier 2007, T._ a exposé à l'assureur-accidents que le médecin traitant de son époux, le docteur S._, était venu constater le décès, accompagné notamment d'un médecin légiste. Aucune autopsie n'avait été demandée. Son mari était devenu de plus en plus faible; il chutait souvent, avait pris du poids et avait été sujet à des infections urinaires et des poumons à répétition. Selon elle, l'ancien accident subi par son époux avait joué un rôle dans le décès.
Par lettre du 17 janvier 2007 à la CNA, le docteur S._ a exposé qu'il ne pouvait pas déterminer précisément la cause du décès. Il ajoutait que celui-ci était survenu dans un contexte de chute à répétition, de sorte qu'un accident vasculo-cérébral ou un hématome cérébral pouvaient en être responsables.
Le 22 janvier 2007, le docteur H._, médecin d'arrondissement de la CNA, a considéré qu'en l'absence d'autopsie ou de diagnostic précis concernant la cause du décès, il n'était pas possible d'imputer ce décès à l'accident, ni d'exclure formellement un tel lien de causalité. La survenance d'un accident vasculo-cérébral ou d'un hématome cérébral à la suite d'une chute constituait une hypothèse qui restait « au niveau du possible », en l'état du dossier.
Se fondant sur cet avis médical, la CNA a nié le droit de T._ a des prestations de l'assurance-accidents, au motif que le lien de causalité entre le décès de son époux et l'accident subi le 22 août 1983 n'était pas établi (décision du 23 janvier 2007). Elle a maintenu ce refus de prester par décision sur opposition du 18 juillet 2007, en se référant à un nouvel avis médical établi par le docteur H._ le 4 avril 2007. Celui-ci s'est notamment déterminé sur une lettre du 9 févier 2007 du docteur S._, produite à l'appui de l'opposition.
B. Par jugement du 17 septembre 2008, le Tribunal cantonal valaisan a rejeté le recours de T._ contre la décision sur opposition du 18 juillet 2007.
C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. En substance, elle en demande la réforme en ce sens que l'intimée soit condamnée à lui verser une rente de survivante, avec effet rétroactif au jour du décès de son époux, sous suite de frais et dépens. Par ordonnance du 16 décembre 2008, le Tribunal fédéral a rejeté, faute d'indigence, la demande d'assistance judiciaire qu'elle a déposée simultanément au recours.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit de la recourante au paiement, par l'intimée, d'une rente de survivante. Le Tribunal fédéral n'est donc pas lié par les faits constatés par la juridiction cantonale (art. 105 al. 3 LTF).
2. 2.1 A l'appui de son recours, T._ a produit un nouveau rapport médical établi par le docteur S._ le 3 octobre 2008, ainsi qu'une carte d'inventaire des médicaments prescrits à R._. Cette carte démontrerait, selon elle, l'absence de péjoration, peu avant le décès, des atteintes maladives dont il souffrait.
2.2 Aux termes de l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté dans un recours au Tribunal fédéral, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Cette règle s'applique également lorsque la procédure porte sur des prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire, nonobstant le pouvoir d'examen relativement étendu dont dispose le Tribunal fédéral dans ce type de litige (ATF 135 V 194). En l'occurrence, les nouveaux documents produits par la recourante ne résultent pas du jugement entrepris, au sens de l'art. 99 al. 1 LTF, et ne peuvent donc pas être pris en considération.
3. Selon l'article 28 LAA, lorsque l'assuré décède des suites de l'accident, le conjoint survivant et les enfants ont droit à des rentes de survivants. Il n'est pas déterminant que le décès survienne immédiatement après l'accident ou plus tard (par exemple en cas de maladie professionnelle). Mais il doit exister entre l'accident et le décès un lien de causalité naturelle et adéquate. L'exigence d'un lien de causalité naturelle est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans l'événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire, en revanche, que l'accident soit la cause unique et immédiate du décès; il faut et il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué le décès, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de celui-ci. Savoir si l'événement assuré et le décès sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait que l'administration ou, le cas échéant, le juge examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406, 119 V 335 consid. 1 p. 337).
4. La recourante reproche aux premiers juges de n'avoir pas tenu pour établie l'existence d'un rapport de causalité naturelle entre l'accident du 1er juillet 1983 et le décès de son époux. Elle soutient qu'une expertise sur ce point aurait été nécessaire et se réfère à la lettre du 9 février 2007 du docteur S._, dans laquelle celui-ci précise que R._ chutait fréquemment en raison des séquelles de l'accident. Une prise pondérale, que l'on pouvait attribuer avec un bon rapport de vraisemblance aux séquelles du traumatisme, ainsi que l'âge et l'apparition d'un diabète aggravaient la situation. Toujours selon le docteur S._, il fallait envisager, dans ce contexte, un décès dû à un hématome cérébral, à la suite d'une chute. La recourante allègue que divers témoins, que les premiers juges ont renoncé à entendre, auraient pu établir la fréquence des chutes dont son époux était victime, et notamment la survenance d'une chute la veille de son décès. Enfin, la recourante soutient que R._ était en parfait santé avant l'accident du 1er juillet 1983, qui l'a affaibli, handicapé et a appauvri durablement sa vitalité. Elle en conclu que sans l'accident, son époux « aurait pu et dû vivre longtemps », de sorte l'événement assuré est la cause certaine de son décès prématuré, à l'âge de 67 ans.
5. En ce qui concerne le refus, par les premiers juges, d'administrer divers moyens de preuve proposés (expertise et témoignages), la recourante n'invoque pas une violation du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. Il n'y a donc pas lieu d'examiner son argumentation sous l'angle de cette garantie formelle (cf. art. 106 al. 2 LTF). Le grief soulevé par la recourante se confond, en réalité, avec celui de constatation inexacte ou incomplète des faits (art. 97 al. 2 LTF) et sera donc examiné avec le fond du litige.
6. 6.1 L'argumentation de la recourante relative à l'absence d'atteinte particulière à la santé de R._ avant son accident, à son affaiblissement général ensuite de cet événement ainsi qu'à son décès à 67 ans, « âge qui n'est pas nécessairement celui où l'on doit mourir si l'on est en bonne santé », porte sur la probable diminution de l'espérance de vie de R._ en raison de l'accident subi en 1983. Or, la diminution de l'espérance de vie d'un assuré, en raison d'un accident, ne permet pas de conclure à un rapport de causalité naturelle entre cet événement et le décès lorsque ce dernier survient effectivement, vingt ans plus tard, sans que l'on en connaisse plus précisément la cause directe. Il convient bien plutôt d'établir l'affection qui a immédiatement causé le décès, avant d'envisager une chaîne causale de l'accident à cette affection.
6.2 Le docteur S._ a évoqué, comme une explication plausible du décès de R._, la survenance d'un accident vasculo-cérébral ou d'un hématome cérébral, à la suite d'une chute. Sans écarter catégoriquement cette éventualité, le docteur H._ a rappelé que l'époux de la recourante ne souffrait pas uniquement d'atteintes à la santé séquellaires à l'accident, mais qu'il présentait des comorbidités importantes, d'origine maladive. Selon le docteur H._, ces atteintes à la santé ont probablement joué un rôle dans la baisse de l'état général qui a précédé le décès, auquel elles ont ainsi contribué de manière prépondérante (rapport du 4 avril 2007). Au regard de cet avis médical, la survenance d'un accident vasculo-cérébral ou d'un hématome cérébral ne constitue qu'une cause possible du décès de R._, mais n'est pas plus vraisemblable que d'autres causes envisageables de ce décès. Il n'en va pas différemment si l'on prend en considération les allégations de la recourante concernant une chute de son époux la veille de son décès et qui accréditent selon elle la thèse d'un hématome cérébral. Cette circonstance, en admettant qu'elle soit démontrée, ne constitue qu'un indice trop ténu d'un décès dû à un hématome cérébral. En réalité, on ignore de quoi exactement est décédé R._, et les documents médicaux figurant au dossier ne permettent pas de tenir pour établie une hypothèse plutôt qu'une autre, au degré de la vraisemblance prépondérante. Le docteur S._ indique d'ailleurs lui-même, par les termes utilisés dans sa lettre du 9 février 2007 et le choix du conditionnel (« ce contexte de nombreuses chutes [...] pourrait avoir occasionné un hématome cérébral responsable [du décès] »), que la survenance d'un accident vasculo-cérébral ou d'un hématome cérébral à la suite d'une chute ne constitue qu'une hypothèse, qui n'a pas été vérifiée par autopsie.
6.3 Compte tenu de ce qui précède, l'absence au dossier de témoignages permettant d'établir plus précisément la fréquence des chutes dont R._ était victime, ainsi que la survenance d'une chute la veille de son décès, n'est pas déterminante pour l'issue du litige. Par ailleurs, le refus des premiers juges d'ordonner une expertise médicale ne prête pas flanc à la critique. En l'absence d'un rapport d'autopsie, l'expert désigné en aurait été réduit lui aussi, selon toute vraisemblance, à des conjectures sur les causes du décès, sans pouvoir démontrer que l'une des hypothèses envisageables devrait être privilégiée par rapport aux autres.
7. A défaut de lien de causalité naturelle, établi au degré de la vraisemblance prépondérante, entre le décès et l'accident assuré, la recourante ne peut prétendre le paiement d'une rente de survivante par l'intimée. Ses conclusions sont donc rejetées, sous suite de frais (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 14 août 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Métral