Sachverhalt:
A. A.a Die Vormundschaftsbehörde Y._ errichtete am 28. März 2007 über X._ (Jahrgang 1921) eine Vertretungs- und Verwaltungsbeistandschaft (kombinierte Beistandschaft) im Sinne von Art. 392 Ziff. 1 und Art. 393 Ziff. 2 ZGB und ernannte A._, eine Nichte der Verbeiständeten, zur Beiständin. Am 27. Juni 2007 beschloss die gleiche Behörde, dass die am 28. März 2007 angeordnete Beistandschaft dahingehend bestätigt werde, dass sie nur noch die Verwaltung des Vermögens beinhalte. Gleichzeitig wurde neu B._, Mitarbeiterin des Sozialdienstes von Y._, zur Beiständin ernannt.
Mit Eingaben vom 7. Juli und vom 9. Juli 2007 (gemeinsam mit der Tochter C._) führte X._ Beschwerde gegen den Beschluss vom 27. Juni 2007 und verlangte die Aufhebung der Beistandschaft.
Auf Veranlassung von Dr. med. D._, Hausarzt von X._, wurde deren Gesundheitszustand in der Psychiatrischen Klinik E._ abgeklärt (Bericht vom 16. Juli 2007).
A.b Am 22. Oktober 2007 beschloss die Vormundschaftsbehörde Y._, dass die "bestehende Beistandschaft gemäss Art. 392 Ziff. 1 und Art. 393 Ziff. 2 ZGB [...] bis auf weiteres bestätigt" werde (Dispositiv-Ziffer 1), dass der von der Beiständin A._ eingereichte Schlussbericht samt Rechnung für die Zeit vom 28. März 2007 bis 27. Juni 2007 genehmigt und verdankt werde (Dispositiv-Ziffer 2) und dass A._ aus ihrem Amt als Beiständin von X._ entlassen werde (Dispositiv-Ziffer 4).
Mit Eingabe vom 29. Oktober 2007 (Postaufgabe: 30. Oktober) führte X._ beim Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau Beschwerde gegen den vormundschaftsbehördlichen Beschluss vom 22. Oktober 2007 und verlangte die Aufhebung der Dispositiv-Ziffern 1 und 2.
B. Das Departement für Justiz und Sicherheit vereinigte die beiden Beschwerdeverfahren (betreffend die Beschlüsse der Vormundschaftsbehörde vom 27. Juni 2007 bzw. 22. Oktober 2007) und entschied am 22. August 2008, dass die Beschwerden vom 7. Juli 2007 und vom 30. Oktober 2007 abgewiesen würden und auf die von C._ (am 9. Juli 2007 zusammen mit X._) erhobene Beschwerde nicht eingetreten werde.
Die von X._ gegen den Entscheid des Departements vom 22. August 2008 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 21. Januar 2009 ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 4. März 2009 beantragt X._, den verwaltungsgerichtlichen Entscheid aufzuheben und auf die Weiterführung der Beistandschaft über sie zu verzichten; allenfalls sei die Beistandschaft lediglich als Vermögensverwaltungsbeistandschaft nach Art. 393 (Ziff. 2) ZGB weiterzuführen.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Der Beschwerde in Zivilsachen unterliegen unter anderem Entscheide über die Errichtung einer Beistandschaft (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Auf die Beschwerde, die sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) richtet, ist unter diesen Gesichtspunkten ohne weiteres einzutreten.
2. Das Verwaltungsgericht erklärt, das Departement für Justiz und Sicherheit sei zu Unrecht davon ausgegangen, es stehe einzig eine Vermögensverwaltungsbeistandschaft nach Art. 393 Ziff. 2 ZGB zur Diskussion; aufgrund des letztlich massgebenden Dispositivs des Beschlusses der Vormundschaftsbehörde vom 22. Oktober 2007 gehe es vielmehr (auch) um eine kombinierte (Vertretungs- und Verwaltungs-)Beistandschaft; es seien deshalb beide Massnahmen auf ihre Recht- und Verhältnismässigkeit zu prüfen.
Diesen Feststellungen hält die Beschwerdeführerin entgegen, es sei davon auszugehen, dass die Vormundschaftsbehörde im Beschluss vom 22. Oktober 2007 versehentlich von einer kombinierten Beistandschaft gesprochen habe, zumal mit Beschluss vom 27. Juni 2007 die Beistandschaft auf eine Vermögens(verwaltungs)beistandschaft reduziert worden sei. Sie wirft dem Verwaltungsgericht in diesem Zusammenhang einen Verstoss gegen die Art. 9 und 29 BV sowie 392 und 393 ZGB vor. Inwiefern das Abstellen der Vorinstanz auf das Dispositiv des vormundschaftsbehördlichen Beschlusses vom 22. Oktober 2007 die angerufenen Bestimmungen verletzen soll, legt die Beschwerdeführerin indessen nicht dar (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). In diesem Punkt ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten.
3. 3.1 Eine Verwaltungsbeistandschaft, die nach Art. 393 Ziff. 2 ZGB anzuordnen ist bei Unfähigkeit einer Person, die Verwaltung ihres Vermögens selbst zu besorgen oder einen Vertreter zu bestellen, hat das Verwaltungsgericht unter Hinweis auf nicht oder höchstens teilweise nachvollziehbare Vermögensdispositionen der Beschwerdeführerin einerseits und auf deren von der Klinik E._ festgestellten geistigen Beeinträchtigungen andererseits als angemessen bezeichnet. Gemäss medizinischem Gutachten der Klinik E._ vom 16. Juli 2007 seien bei der Beschwerdeführerin nebst somatischen Beschwerden (Inkontinenz, Osteoporose, Melanom am rechten Oberarm) eine Demenz mit Alzheimererkrankung bei spätem Beginn in einem aktuell leichten bis mittelschweren Stadium diagnostiziert worden. Testpsychologisch sei ein schweres verbales und figurales Gedächtnisdefizit wie auch eine unsichere zeitliche und örtliche Orientierung festgestellt worden, und im Bereich komplexer Denkleistungen und Exekutivfunktionen hätten die Abklärungen ein reduziertes Planungs- und Problemlösevermögen ergeben. Weiter sei auch von einem diffusen degenerativen Hirnabbau die Rede.
Sodann verweist die Vorinstanz auf die Veränderungen in den finanziellen Verhältnissen der Beschwerdeführerin. Auffällig seien zunächst die im Jahre 2006 vollzogenen Überweisungen zugunsten der Tochter C._ in Höhe von Fr. 70'000.-- und die Begleichung der Ausstände bei der Krankenkasse in Höhe von Fr. 29'331.--. Als zumindest befremdend erwiesen sich die Anlagen in eine Lebensversicherung in Höhe von insgesamt Fr. 400'000.--, die die Beschwerdeführerin im Alter von 85 Jahren vorgenommen habe. Wie den ins Recht gelegten Versicherungspolicen zu entnehmen sei, solle der Beginn der Leibrentenphase erst auf das 97. Altersjahr der Beschwerdeführerin fallen. Nicht nachvollziehbar sei ferner der Verwendungszweck der monatlich für "allgemeine Ausgaben" bezogenen Fr. 10'000.-- und des Bezugs von Fr. 60'000.-- "zur Weihnachtszeit beziehungsweise zum Jahreswechsel". Die Tatsache allein, dass die Beschwerdeführerin ihrer Tochter Geld gegeben habe, erfülle zwar den Tatbestand der "Verschwendung" wohl nicht, was von den Vorinstanzen auch nicht angenommen worden sei. Es sei jedoch auffällig, dass die Beschwerdeführerin ausserordentlich viel Geld verbraucht habe, so dass es unter den gegebenen Umständen durchaus angezeigt gewesen sei, dass die Vormundschaftsbehörde für die Beschwerdeführerin zu deren eigenen Sicherheit eine offizielle Beistandschaft zur Verwaltung des Vermögens errichtet habe.
3.2 Hinsichtlich der wirtschaftlichen Verhältnisse macht die Beschwerdeführerin geltend, das Verwaltungsgericht habe in aktenwidriger und offensichtlich unrichtiger Weise erklärt, sie habe eine Lebensversicherung abgeschlossen, aus der ihr erst ab dem 97. Altersjahr eine Rente ausbezahlt werde. Diese Rüge stösst insofern ins Leere, als die Vorinstanz (zutreffend) festgehalten hat, die Leibrentenphase der beiden im Jahre 2006, d.h. mit 85 Jahren, (mit Einlagen von je Fr. 200'000.--) abgeschlossenen Versicherungsverträge beginne erst mit dem 97. Altersjahr (nämlich im August 2017 bzw. April 2018). Allerdings hat das Verwaltungsgericht übergangen, dass der Beschwerdeführerin - in der Garantiephase - bereits ab August 2006 bzw. April 2007 eine monatliche bzw. jährliche Rente in jeweils gleicher Höhe zusteht. Der von der Beschwerdeführerin gegen den Hinweis der Vorinstanz auf ihre Überweisungen von Fr. 70'000.-- an die Tochter C._ und von Fr. 29'331.-- an deren Krankenkasse für offene Rechnungen erhobene weitere Einwand, ihre Tochter lebe in sehr engen finanziellen Verhältnissen und habe Betreibungen von rund Fr. 70'000.-- gegen sich hängig gehabt, findet in den Ausführungen des angefochtenen Entscheids sodann keine Stütze, und die Beschwerdeführerin bringt nichts vor, was im Sinne der novenrechtlichen Bestimmung von Art. 99 Abs. 1 BGG eine Berücksichtigung dieser Vorbringen zu rechtfertigen vermöchte.
Ausserdem beanstandet die Beschwerdeführerin, dass das Verwaltungsgericht ihre Bezüge von monatlich Fr. 10'000.-- während sieben Monaten für allgemeine Ausgaben und den Bezug von Fr. 60'000.-- zur Weihnachtszeit bzw. zum Jahreswechsel ohne Substantiierung als Verbeiständungsgrund angeführt und damit Art. 393 ZGB verletzt und ihren Anspruch auf rechtliches Gehör missachtet habe. Der Grundsatz des rechtlichen Gehörs beinhaltet (auch) die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Der Betroffene soll sich über dessen Tragweite ein Bild machen und ihn in voller Kenntnis der Sache gegebenenfalls anfechten können. Zumindest sind kurz die Überlegungen anzuführen, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich der Entscheid stützt (BGE 133 III 439 E. 3.3 S. 445 mit Hinweisen). Mit der Erklärung, der Verwendungszweck der von der Beschwerdeführerin erwähnten Bezüge sei nicht nachvollziehbar, ist das Verwaltungsgericht seiner Begründungspflicht hinreichend nachgekommen und wurde die Beschwerdeführerin in die Lage versetzt, die vorinstanzliche Auffassung sachgerecht anzufechten. Die Rüge der Gehörsverletzung ist mithin unbegründet. Dass nach dem Jahreswechsel 2006/2007 der Stand des Vermögens der Beschwerdeführerin stabil geblieben sei und keine ausserordentlichen Ausgaben mehr zu verzeichnen gewesen seien, vermag an den Feststellungen der Vorinstanz zu den erwähnten Ausgaben nichts zu ändern.
3.3 Unbehelflich sind alsdann auch die Vorbringen zu den persönlichen Verhältnissen der Beschwerdeführerin: Die Kritik, das Departement für Justiz und Sicherheit habe sich mit den im Bericht der Klinik E._ enthaltenen ärztlichen Empfehlungen nicht auseinandergesetzt, ist von vornherein unbeachtlich, da nur der Entscheid des Verwaltungsgerichts Gegenstand der Beschwerde bildet (Art. 75 Abs. 1 BGG). Sodann ist zu bemerken, dass es entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht Sache der begutachtenden Ärzte war, eine allfällige Verbeiständung zu empfehlen. Deren Aufgabe war einzig, über den Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin Bericht zu erstatten. Ob jener die Errichtung einer Beistandschaft als erforderlich erscheinen lassen würde, war als Rechtsfrage ausschliesslich von den Vormundschaftsorganen zu beurteilen. Dass im Gutachten der Klinik E._ vom 16. Juli 2007 keine Beistandschaft empfohlen wird, vermag der Beschwerdeführerin demnach nicht zu helfen.
Die Beschwerdeführerin beanstandet des Weiteren, dass das Verwaltungsgericht ihrem Vorbringen, es gehe ihr seit ihrem Aufenthalt im Spital Y._ im August 2008 bedeutend besser, sie sei seither geistig wieder rüstiger geworden und sei geduldiger und guter Laune, keine Beachtung geschenkt habe. Mit den von der Vorinstanz angerufenen Diagnosen im Bericht der Klinik E._ setzt sich die Beschwerdeführerin indessen in keiner Weise auseinander, und sie legt auch nicht dar, inwiefern die von ihr geltend gemachte Verbesserung des Gesundheitszustandes das Abstellen des Verwaltungsgerichts auf den erwähnten Bericht als willkürlich erscheinen lassen soll. Die Beschwerdeführerin vermag auch sonst nichts vorzubringen, was darzutun geeignet wäre, die Annahme der Vorinstanz, die Voraussetzungen für eine Verwaltungsbeistandschaft seien angesichts der festgestellten Umstände erfüllt, verstosse gegen Art. 393 Ziff. 2 ZGB. Dass sie aufgrund der im Jahre 2006 abgeschlossenen Versicherungsverträge nicht erst mit dem 97. Altersjahr Renten bezieht, vermag daran nichts zu ändern.
4. Nach Art. 392 Ziff. 1 ZGB ernennt die Vormundschaftsbehörde einen Beistand, wenn eine mündige Person in einer dringenden Angelegenheit infolge von Krankheit, Abwesenheit oder dergleichen weder selbst zu handeln noch einen Vertreter zu bezeichnen vermag (Vertretungsbeistandschaft).
4.1 Das Verwaltungsgericht hält fest, die Angelegenheiten, die zu erledigen die betroffene Person nicht mehr in der Lage sein müsse, müssten von einer gewissen Dringlichkeit, Tragweite und Bedeutung sein; mit einer Verbeiständung müsse jedoch nicht zugewartet werden, bis eine Besorgung dringlich geworden sei, falls das Unvermögen der betroffenen Person voraussichtlich andauernd sei. Davon sei hier angesichts der verbalen und figuralen Gedächtnisdefizite, der unsicheren zeitlichen und örtlichen Orientierung sowie des reduzierten Planungs- und Problemlösevermögens im Bereiche komplexer Denkleistungen und Exekutivfunktionen, die im Rahmen der Untersuchung in der Klinik E._ bei der Beschwerdeführerin festgestellt worden seien, auszugehen. Unter dem Titel "Psychosoziale Empfehlung" finde sich im Bericht der erwähnten Klinik vom 16. Juli 2007 zudem der Hinweis, die Beschwerdeführerin wohne im Altersheim in Y._, wo sie sich sehr wohl fühle und von der Spitex bei der Medikamenteneinnahme unterstützt werde; die Berichterstatter hätten empfohlen, dass diese Unterstützung auf die tägliche Körperpflege und Hygiene erweitert werde und die Beschwerdeführerin ausserdem das demenzspezifische therapeutische Angebot im Altersheim nutze. Dem neuropsychologischen Status vom 3. Juli 2007 sei zu entnehmen, dass die Beschwerdeführerin nach der 90-minütigen Untersuchung nicht erschöpft gewesen sei, den Inhalt der Untersuchung jedoch nicht mehr habe wiedergeben können. Aus den von ihr dargelegten Gegebenheiten schliesst die Vorinstanz, dass die Beschwerdeführerin bereits bei kleineren alltäglichen Angelegenheiten der Unterstützung bedürfe. Die Ergebnisse der Untersuchung in der Klinik E._ gäben begründeten Anlass zur Annahme, dass bei der Beschwerdeführerin voraussichtlich ein andauerndes Unvermögen bestehe, ihre persönlichen Angelegenheiten, denen zweifellos eine gewisse Tragweite zukomme, zu besorgen.
4.2 Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den Ausführungen des Verwaltungsgerichts nicht auseinander und legt namentlich nicht etwa dar, dass die Vorinstanz durch das Abstellen auf den Bericht der Klinik E._ in Willkür verfallen wäre. Stattdessen bringt sie vor, sie werde in ihren persönlichen Angelegenheiten von ihrer Tochter C._ unterstützt und in ihren finanziellen bzw. rechtlichen Angelegenheiten stünden ihr G._, Kundenberater bei der H._, bzw. ihre Rechtsvertreterin zur Seite. Sie habe bewiesen, dass sie in der Lage sei, ihre Berater zu kontrollieren und zu beurteilen, habe sie doch am Anfang des vormundschaftlichen Verfahrens zweimal ihren Rechtsvertreter gewechselt.
Das Bundesgericht hat in BGE 134 III 385 (E. 4.2 S. 388 f.) in der Tat erklärt, es könne von einer vormundschaftlichen Massnahme abgesehen werden, wenn die Interessen einer hilfsbedürftigen Person durch von dieser Bevollmächtigte gewahrt würden und jene in der Lage sei, die von ihr eingesetzten Personen wenigstens grundsätzlich zu kontrollieren und zu überwachen und nötigenfalls zu ersetzen. Den Vorbringen der Beschwerdeführerin ist indessen nicht zu entnehmen, worauf die geltend gemachten Anwaltswechsel zurückzuführen waren bzw. ob diese gerechtfertigt gewesen seien und tatsächlich in ihrem Interesse gelegen hätten. Unbehelflich ist ebenso der Hinweis der Beschwerdeführerin darauf, dass sie A._ die erteilte Vollmacht entzogen und später auch deren Absetzung als Beiständin erwirkt habe. Die Vorinstanz hält fest, dass zwischen den beiden Adoptivtöchtern der Beschwerdeführerin, C._ und K._, erhebliche Spannungen und unterschiedliche Anschauungen bezüglich der Notwendigkeit einer vormundschaftlichen Massnahme bestünden und dass die Beschwerdeführerin offensichtlich Beeinflussungsversuchen seitens ihrer Familienangehörigen ausgesetzt zu sein scheine. Dass die Beschwerdeführerin A._, bei der es sich um eine Nichte und damit um eine entferntere Verwandte handelt, die Besorgung ihrer Angelegenheiten entzog bzw. entziehen liess, bedeutet nicht ohne weiteres, dass sie Beeinflussungsversuchen einer der Adoptivtöchter gewachsen wäre.
5. Nach dem Gesagten ist nicht dargetan, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts, bei der Beschwerdeführerin seien die Voraussetzungen sowohl einer Vertretungs- als auch einer Verwaltungsbeistandschaft erfüllt, gegen Bundesrecht verstösst. Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Vormundschaftsbehörde Y._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel