Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 9. September 2010 (9C_425/2010) hiess das Bundesgericht die von S._ gegen den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. März 2010 geführte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gut. Die Gerichtskosten wurden vollumfänglich der Beschwerdegegnerin auferlegt.
B. Mit Eingabe vom 5. Oktober 2010 lässt S._ beantragen, es sei über die Parteikostenentschädigung zu befinden.
Erwägungen:
1. Ist das Dispositiv eines bundesgerichtlichen Entscheids unklar, unvollständig oder zweideutig, stehen seine Bestimmungen untereinander oder mit der Begründung im Widerspruch oder enthält es Redaktions- oder Rechnungsfehler, so nimmt das Bundesgericht auf schriftliches Gesuch einer Partei oder von Amtes wegen die Erläuterung oder Berichtigung vor (Art. 129 Abs. 1 BGG)
2. Die unterliegende Partei wird in der Regel verpflichtet, der obsiegenden Partei nach Massgabe des Tarifs des Bundesgerichts alle durch den Rechtsstreit verursachten notwendigen Kosten zu ersetzen (Art. 68 Abs. 2 BGG). Nach Art. 68 Abs. 5 BGG wird der Entscheid der Vorinstanz über die Parteientschädigung vom Bundesgericht je nach Ausgang des Verfahrens bestätigt, aufgehoben oder geändert. Dabei kann das Gericht die Entschädigung nach Massgabe des anwendbaren eidgenössischen oder kantonalen Tarifs selbst festsetzen oder die Festsetzung der Vorinstanz übertragen.
3. Das Urteil des Bundesgerichts vom 9. September 2010 führt die dem Beschwerdeführer aufgrund seines vollumfänglichen Obsiegens zustehende Parteientschädigung im Dispositiv nicht auf. Sodann ist die Rückweisung der Sache an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zur Festsetzung einer Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren nicht vorgesehen. Es handelt sich dabei um ein Versehen, das im Rahmen des vorliegenden Berichtigungsverfahrens korrigiert werden kann.
4. Das Dispositiv vom 9. September 2010 ist in dem Sinn zu ergänzen, dass die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer für das letztinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung gemäss dem bundesgerichtlichen Tarif in der Höhe des ausgewiesenen Aufwands von Fr. 4'028.50 (inkl. Mehrwertsteuer) zu zahlen hat. Zudem ist die Rückweisung der Sache zur Festsetzung einer Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich vorzusehen.
5. Das Gesuch um Berichtigung ist gutzuheissen. Es werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Berichtigungsgesuch wird gutgeheissen und das Urteilsdispositiv vom 9. September 2010 wie folgt ergänzt:
"3. Die Ausgleichskasse des Kantons Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'028.50 zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Festsetzung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen."
2. Für das bundesgerichtliche Berichtigungsverfahren werden weder Kosten erhoben noch wird eine Entschädigung zugesprochen.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. Oktober 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Ettlin