Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 28. Juli 2008 sprach die IV-Stelle des Kantons Aargau der 1950 geborenen C._ für die Zeit vom 1. Dezember 2003 bis 31. Januar 2005 eine ganze Rente zu.
B. Beschwerdeweise liess C._ sinngemäss beantragen, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und es sei ihr über den 31. Januar 2005 hinaus eine ganze Invalidenrente auszurichten. Mit Entscheid vom 11. März 2009 wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau, nach vorgängiger Androhung einer reformatio in peius, die Beschwerde ab, hob die Verfügung vom 28. Juli 2008 auf und stellte fest, dass die Versicherte keinen Anspruch auf eine Invalidenrente hat. C._ wurde die unentgeltliche Prozessführung gewährt.
C. C._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und ihr eine ganze Rente der Invalidenversicherung zuzusprechen. Des Weitern ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der Befreiung von den Gerichtskosten.
Die IV-Stelle des Kantons Aargau beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. Da letztinstanzlich neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden dürfen, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG), ist sodann der vor Bundesgericht nachgereichte Bericht der Dr. med. S._ vom 15. Mai 2009 nicht zu berücksichtigen.
3. Im angefochtenen Entscheid werden die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs massgeblichen Grundlagen sowie die diesbezügliche Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Die Vorinstanz hat nach umfassender, sorgfältiger und bundesrechtskonformer Beweiswürdigung (vgl. Art. 61 lit. c ATSG; vgl. auch BGE 132 V 393 E. 4.1 S. 400) zutreffend erkannt, dass die Beschwerdeführerin in der Zeit bis zur Begutachtung durch das medizinische Zentrum Z._ (Gutachten vom 23. Dezember 2004) voll arbeitsfähig war.
Diese Feststellungen der Vorinstanz sind nach der Aktenlage weder offensichtlich unrichtig noch ist darin eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes zu erblicken. Soweit die Beschwerdeführerin die Unabhängigkeit des medizinischen Zentrums Z._ in Frage stellt unter Hinweis auf dessen ausgedehnte Gutachtertätigkeit für die Verwaltung, sei darauf hingewiesen, dass eine solche rechtsprechungsgemäss keine Befangenheit zu begründen vermag (SVR 2008 IV Nr. 22 S. 69, 9C_67/2007 E. 2.4). Entgegen der Behauptung in der Beschwerde wurde im Zumutbarkeitsprofil sodann sehr wohl berücksichtigt, dass aus rheumatologischer Sicht nur für körperlich leichte, vorwiegend sitzende Tätigkeiten mit Arbeiten unter den Schulterhorizontalen eine (volle) Arbeitsfähigkeit bestand. Nicht gefolgt werden kann der Beschwerdeführerin auch, soweit sie im rheumatologischen Teilgutachten eine Auseinandersetzung mit den Wirbelschmerzen vermisst, hielt doch die Rheumatologin Dr. med. V._ in ihrem Bericht vom 22. Dezember 2004 fest, dass sich für die von der Versicherten angegebenen Beschwerden in der Hals- und in der Lendenwirbelsäule sowie im Beckengürtel sowohl klinisch als auch bildgebend kein strukturelles Korrelat finde. Entgegen der von der Beschwerdeführerin vertretenen Auffassung bestand sodann für den psychiatrischen Teilgutachter Dr. med. R._ (Bericht vom 22. Dezember 2004) kein Anlass, sich mit der Angst, an Krebs zu sterben, zu befassen, da sich anlässlich der Begutachtung keine Anhaltspunkte für eine solche fanden.
Mit der Vorinstanz ist ein Rentenanspruch für die Zeit bis zur Begutachtung durch das medizinische Zentrum Z._ mangels relevanter Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit zu verneinen.
4.2 Was die Folgezeit anbelangt, ging die Vorinstanz - ebenfalls gestützt auf das Gutachten des medizinischen Zentrums Z._ vom 23. Dezember 2004 - davon aus, dass die Beschwerdeführerin in einer körperlich leichten, vorwiegend sitzenden Tätigkeit mit Arbeiten unter der Schulterhorizontalen aus rheumatologischer Sicht ebenfalls voll und aus psychiatrischer Sicht zu 70 % arbeitsfähig gewesen sei.
Die Versicherte wirft der Vorinstanz vor, übersehen zu haben, dass es seit der Begutachtung durch das medizinische Zentrum Z._ zu einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes gekommen sei. Sie beruft sich in diesem Zusammenhang - wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren - auf die Berichte des Dr. med. R._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 5. Oktober 2008 und die verschiedenen Berichte der Hausärztin Dr. med. S._, Fachärztin für Allgemeine Medizin, welche die Vorinstanz als nicht beweiskräftig erachtete. Indem das kantonale Gericht indessen auch für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit in den dreieinhalb Jahren zwischen der Begutachtung (Dezember 2004) und dem Zeitpunkt der Rentenverfügung (Juli 2008) (allein) auf die Einschätzung der Ärzte des medizinischen Zentrums Z._ vom 23. Dezember 2004 abstellte, hat es den Sachverhalt unvollständig festgestellt. Da die Akten diesbezüglich nicht spruchreif sind, wird die Sache an die IV-Stelle zurückgewiesen, damit sie weitere medizinische Abklärungen (insbesondere rheumatologische und psychiatrische Begutachtung) zur Frage der Arbeitsfähigkeit in der Zeit nach der Begutachtung vornehme, den Invaliditätsgrad gegebenenfalls neu ermittle und anschliessend über den Rentenanspruch neu verfüge.
5. Dieses Ergebnis ist als teilweises Obsiegen zu betrachten, weshalb der durch die Beratungsstelle für Ausländer vertretenen Beschwerdeführerin für das Verfahren vor Bundesgericht eine reduzierte Parteientschädigung zusteht (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. Urteil 8C_430/2007 vom 9. Oktober 2007 E. 3) und die Gerichtskosten den Parteien anteilsmässig auferlegt werden (Art. 66 Abs. 1 BGG). Soweit das von der Versicherten gestellte Gesuch um unentgeltliche Prozessführung damit nicht gegenstandslos wird, kann ihm entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde werden der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 11. März 2009 im Sinne der Erwägungen teilweise und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 28. Juli 2008 vollständig aufgehoben. Die Sache wird an die Verwaltung zurückgewiesen, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Prozessführung gewährt.
3. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin Fr. 125.- und der Beschwerdegegnerin Fr. 375.- auferlegt. Der Anteil der Beschwerdeführerin wird vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1000.- zu entschädigen.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. August 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann