Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 18. April 2012 hiess das Bezirksgericht Hochdorf die Klage von B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) gegen A._ (Beklagter, Beschwerdeführer) wegen unrechtmässiger fristloser Kündigung teilweise gut. Dagegen erhob der Beklagte Berufung an das Obergericht des Kantons Luzern (seit dem 1. Juni 2013 Kantonsgericht), welches die Berufung mit Urteil vom 27. November 2012 abwies. Da die Klägerin die Berufungsantwort verspätet eingereicht hatte, sprach ihr das Obergericht keine Parteientschädigung zu (Ziffer 6 Absatz 3 des Urteilsdispositivs).
Das Bundesgericht hiess mit Urteil 4A_32/2013 vom 29. April 2013 die von der Klägerin gegen das Urteil des Obergerichts erhobene Beschwerde teilweise gut, hob Dispositiv-Ziffer 6 Absatz 3 auf und wies die Sache zur neuen Entscheidung hinsichtlich der Parteientschädigung an die Vorinstanz zurück.
Mit Urteil vom 8. Juli 2013 verpflichtete das Kantonsgericht den Beklagten, der Klägerin für das Berufungsverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'815.10 zu bezahlen.
B.
Mit Eingabe vom 16. September 2013 reichte der Beklagte dem Kantonsgericht ein Revisionsgesuch gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 27. November 2012 ein. Er beantragte, das Urteil vom 27. November 2012 aufzuheben und die Klage der Klägerin vom 26. Februar 2010 vollumfänglich abzuweisen.
Das Kantonsgericht Luzern trat mit Entscheid vom 17. März 2014 nicht auf das Revisionsgesuch des Beklagten ein.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 17. März 2014 sei aufzuheben und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Auf das Revisionsgesuch des Beschwerdeführers vom 16. September 2013 sei einzutreten, dieses sei gutzuheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 27. November 2012 sei aufzuheben und zu revidieren. Die Forderung der Beschwerdegegnerin sei vollumfänglich abzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz beantragt ebenfalls die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Auf eine Stellungnahme zur Beschwerde hat die Vorinstanz jedoch unter Verweis auf die Begründung im angefochtenen Urteil verzichtet.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 137 III 417 E. 1 S. 417 mit Hinweisen).
Der angefochtene Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 17. März 2014 ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Der Streitwert erreicht die Grenze nach Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer begründete sein bei der Vorinstanz eingereichtes Revisionsgesuch damit, die Vorinstanz habe die (rechtzeitig eingereichte) Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin vom 29. Juni 2012 fälschlicherweise nicht berücksichtigt. Die Vorinstanz habe damit allfällige Zugaben und Widersprüche der Beschwerdegegnerin zu ihren früheren Ausführungen und Behauptungen zum rechtserheblichen Sachverhalt nicht in das Urteil einbezogen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 27. November 2012 wäre ansonsten für den Beschwerdeführer günstiger ausgefallen. Mit Urteil des Bundesgerichts vom 29. April 2013 habe er sichere Kenntnis über den Revisionsgrund - einen krassen Verfahrensfehler - erhalten, womit die Einreichung des Revisionsgesuchs am 16. September 2013 fristgerecht erfolgt sei.
Die Vorinstanz erwog, das Revisionsgesuch sei nicht innert der Frist von 90 Tagen gemäss Art. 329 Abs. 1 ZPO eingereicht worden, weshalb darauf nicht eingetreten werden könne. Auch selbst wenn von einer fristgerechten Einreichung des Revisionsgesuchs auszugehen sei, sei dieses abzuweisen, da kein gesetzlicher Revisionsgrund nach Art. 328 ZPO vorliege.
3.
Nach Art. 329 Abs. 1 ZPO ist das Revisionsgesuch innert 90 Tagen seit Entdeckung des Revisionsgrundes schriftlich und begründet einzureichen. Die relative Frist von 90 Tagen seit Entdeckung des Revisionsgrundes entspricht der Regelung der Bundesrechtspflege (Art. 124 BGG). Mit dem Begriff "Entdeckung" ist die sichere Kenntnis gemeint (Botschaft ZPO, BBl 2006 7221 ff., insb. 7380).
3.1. Die Vorinstanz hielt fest, der Beschwerdeführer habe mit der Stellungnahme des Obergerichts vom 15. Februar 2013 zur Beschwerde in Zivilsachen der Beschwerdegegnerin sichere Kenntnis des von ihm geltend gemachten Revisionsgrundes erhalten. Das Obergericht habe nämlich in seiner Stellungnahme unter Beilegung des richtigen Zustellnachweises klargestellt, dass es sich im Berufungsverfahren auf einen falschen Sendungsnachweis gestützt habe und demnach versehentlich davon ausgegangen sei, die Beschwerdegegnerin habe ihre Berufungsantwort verspätet eingereicht. Diese Stellungnahme mit der Beilage sei dem Beschwerdegegner am 21. März 2013 in Kopie zugestellt worden. Entsprechend sei die 90-tägige Frist mit Einreichung des Revisionsgesuchs am 16. September 2013 nicht eingehalten worden.
Im Sinne einer selbstständigen Eventualbegründung führte die Vorinstanz sodann aus, dass selbst wenn davon auszugehen sei, der Beschwerdeführer habe erst mit der Zustellung des Urteilsdispositivs des Bundesgerichts (am 30. April 2013) sichere Kenntnis des von ihm geltend gemachten Revisionsgrundes erlangt, sei das Gesuch nicht rechtzeitig eingereicht worden.
3.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe sein Revisionsgesuch fristgerecht eingereicht, weshalb die Vorinstanz hätte darauf eintreten sollen. Er habe erst mit der vollständigen Begründung des Bundesgerichtsurteils sichere Kenntnis des Revisionsgrundes erhalten. Weder mit der Stellungnahme des Obergerichts vom 15. Februar 2013 noch mit der Zustellung des Urteilsdispositivs habe sich eine solche sichere Kenntnis ergeben; denn vor Abschluss eines Verfahrens ergebe sich nie eine sichere Kenntnis.
3.3. Die sichere Kenntnis ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nicht erst dann gegeben, wenn der Revisionskläger die neue erhebliche Tatsache sicher beweisen kann, sondern es genügt ein auf sicheren Grundlagen fussendes Wissen darüber; blosse Vermutungen oder gar Gerüchte genügen dagegen nicht und vermögen den Lauf der Revisionsfrist nicht in Gang zu setzen (BGE 95 II 283 E. 2b S. 286; vgl. auch Urteile 4F_11/2013 vom 16. Oktober 2013 E. 4.1; 4C.111/2006 vom 7. November 2006 E. 1.2; 4P.102/2006 vom 29. August 2006 E. 4.1). Von Tatsachen muss der Revisionskläger diejenigen Elemente kennen, welche für eine Substanziierung notwendig sind und Schlüsse auf ihre Relevanz in Hinsicht auf ein Revisionsgesuch zulassen (Ivo Schwander, in: Schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO), Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2011 N. 6 zu Art. 329 ZPO; Romina Carcagni Roesler, in: Schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO), Baker & McKenzie [Hrsg.], N. 2 zu Art. 329 ZPO).
3.4. Das Obergericht hat in seiner Stellungnahme zur Beschwerde der Beschwerdegegnerin vom 15. Februar 2013 ausgeführt, dass es den Antrag der Beschwerdegegnerin auf Gutheissung der Beschwerde unterstützten würde. Es sei nämlich richtig, dass es sich auf einen falschen Sendungsnachweis gestützt habe und demnach irrtümlicherweise davon ausgegangen sei, die Beschwerdegegnerin habe ihre Berufungsantwort verspätet eingereicht. Seiner Stellungnahme legte das Obergericht den richtigen Zustellnachweis bei, auf welchem als Empfangsperson "Burri" (Name des Rechtsvertreters der Beschwerdegegnerin) aufgeführt war. Die Stellungnahme mitsamt der Beilage wurden dem Beschwerdeführer unbestrittenermassen mit Verfügung des Bundesgerichts vom 21. März 2013 zugestellt. Der Beschwerdeführer erlangte damit ein auf sicheren Grundlagen fussendes Wissen, mithin sichere Kenntnis über den von ihm geltend gemachten Revisionsgrund - dass das Obergericht die Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin in der Urteilsfindung nicht berücksichtigt hat. Es ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht ersichtlich, inwiefern sich im Verlaufe des Verfahrens noch neue Erkenntnisse hätten ergeben sollen, weshalb er sich nicht darauf hätte verlassen dürfen.
Entsprechend ist die Vorinstanz zutreffend davon ausgegangen, dass das Revisionsgesuch vom 16. September 2013 nicht innert der 90-tägigen Frist seit Entdeckung des Revisionsgrundes eingereicht wurde. Da die Hauptbegründung der Vorinstanz damit vor Bundesrecht standhält, erübrigt es sich auf die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers zu den Eventualbegründungen der Vorinstanz einzugehen.
4.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Reitze