Erwägungen:
1. 1.1 Die Ehe der Parteien wurde mit Urteil des Kantonsgerichts Schaffhausen vom 4. Dezember 2006 geschieden. Dieses Urteil ist am 18. Januar 2007 in Rechtskraft erwachsen.
Ziff. 9 lit. h des Scheidungsurteils lautet wie folgt: "Am Bonuskonto des Ehemannes, Bank W._ Bonus, Konto-Nr. 1 ist die Ehefrau hälftig beteiligt. Sie erhält 30 Tage nach rechtskräftigem Scheidungsurteil die Hälfte des dannzumaligen Guthabenssaldos per Stichtag Rechtskraft des Scheidungsurteils."
1.2 Mit Gesuch vom 25. Juni 2007 wandte sich X._ an den Einzelrichter des Kantonsgerichts Schaffhausen und beantragte, Z._ sei zu verpflichten, ihr über den ihm anfangs 2007 ausgerichteten Bonus für das Jahr 2006 Auskunft zu erteilen und ihr die Hälfte dieses Bonus innert 30 Tagen nach Rechtskraft des Entscheids zu bezahlen. Soweit der Bonus aus gesperrten Aktien oder Optionen bestehe, sei der Beklagte zu verpflichten, die Hälfte dieser Aktien oder Optionen bei Freigabe innert 30 Tagen an die Klägerin auszuhändigen.
Nachdem der Einzelrichter mit Verfügung vom 20. November 2007 das Gesuch von X._ teilweise gutgeheissen hatte, erhob Z._ am 14. Januar 2008 Rekurs ans Obergericht des Kantons Schaffhausen und beantragte die Aufhebung der einzelrichterlichen Verfügung und die Gesuchsabweisung.
Das Obergericht hob die einzelrichterliche Verfügung mit Entscheid vom 5. September 2008 in Gutheissung des Rekurses auf und trat auf das Gesuch von X._ infolge fehlender örtlicher Zuständigkeit nicht ein.
1.3 Mit Eingabe vom 9. Oktober 2008 ist X._ mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt sinngemäss die Aufhebung des Entscheids des Obergerichts und die Gutheissung ihres Gesuchs.
2. Die Parteien haben dem Bundesgericht mit Schreiben vom 19. Januar 2009 einen Vergleich mit folgendem Wortlaut vorgelegt:
[...]
"Für das Jahr 2006 erhielt der Beklagte von der Bank W._ einen Bar-Bonus von Fr. 157'500.-- brutto. Ausserdem wurden 261 Incentive Share Units (ISU) in sein Konto eingebucht, die ihn berechtigen, am 23. Januar 2008 87 Namenaktien der Bank W._, am 23. Januar 2009 87 Namenaktien der Bank W._ und am 23. Januar 2010 weitere 87 Namenaktien der Bank W._ zu erhalten.
Die Parteien haben sich darauf geeinigt, dass der Beklagte bis spätestens am 28. Februar 2009 aus dem Bar-Bonus je CHF 25'000.-- netto auf die Konten seiner Töchter R._ und S._ bei der Bank W._ in A._ bezahlt. Ausserdem verpflichtet er sich, per 23. Januar 2009 je 87 Namenaktien der Bank W._ auf das Depot seiner Töchter R._ und S._ bei der Bank W._ in A._ und per 23. Januar 2010 je weitere 43 Namenaktien der Bank W._ auf das Depot seiner Töchter einzubuchen.
Gestützt auf diesen Vergleich kann das Verfahren 5A_686/2008 beim Bundesgericht abgeschrieben werden. Die Parteien tragen die Kosten des Bundesgerichts sowie die Kosten des Kantonsgerichts und des Obergerichts Schaffhausen je zur Hälfte. Die Parteientschädigungen werden wettgeschlagen (jede Partei trägt ihre Anwaltskosten für die Verfahren in allen Instanzen selbst). Wenn die Gerichtsgebühr des Bundesgerichts aus dem von der Klägerin einbezahlten Kostenvorschuss von CHF 2'000.-- gedeckt wird, verpflichtet sich der Beklagte, ihr die Hälfte der auferlegten Kosten zurückzuerstatten.
[...]
2.1 Gemäss Art. 71 BGG i.V.m. Art. 73 Abs. 1 BZP beendet der vor dem Richter erklärte Vergleich der Parteien den Rechtsstreit. Die Beschwerde ist daher durch die Instruktionsrichterin als Einzelrichterin abzuschreiben (Art. 32 Abs. 2 BGG).
Die Gerichtskosten sind vorliegend in Anwendung von Art. 65 und Art. 66 Abs. 2 BGG in der Höhe von Fr. 500.-- festzusetzen. Der Vergleich der Parteien regelt auch die Tragung der Verfahrenskosten. Demnach sind die Gerichtskosten für das Verfahren vor Bundesgericht von den Parteien je zur Hälfte zu bezahlen und die Parteikosten wettzuschlagen. Gemäss Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG kann das Bundesgericht die Gerichts- und Parteikosten des vorangegangenen Verfahrens anders verteilen, wenn der angefochtene Entscheid geändert wird. In sinngemässer Anwendung dieser Bestimmungen sind unter Berücksichtigung des Vergleichs auch die Gerichtskosten des kantonalen Verfahrens von den Parteien je hälftig zu tragen und die Parteikosten wettzuschlagen.
Demnach verfügt die Einzelrichterin:
1. Das Verfahren wird infolge Vergleichs abgeschrieben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Parteien je hälftig auferlegt.
3. Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
4. Die Gerichtskosten des kantonalen Verfahrens werden den Parteien je hälftig auferlegt.
5. Die Parteikosten des kantonalen Verfahrens werden wettgeschlagen.
6. Diese Verfügung wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Einzelrichterin: Die Gerichtsschreiberin:
Escher Gut