Sachverhalt:
A.
Die 1952 geborene S._ reiste 1993 von Bosnien in die Schweiz ein. Im Mai 2003 meldete sie sich unter Hinweis auf psychische Beschwerden zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen klärte die Verhältnisse ab. Sie führte eine Haushaltabklärung durch und beauftragte die Institution X._ mit einer polydisziplinären Begutachtung (Gutachten vom 9. Mai 2006). Unter Anwendung der Betätigungsvergleichsmethode ermittelte sie eine Einschränkung von maximal 10 % im Haushalt und verneinte deshalb mit Verfügung vom 16. Oktober 2006 einen Rentenanspruch.
Auf die von der Versicherten im Januar 2010 getätigte Neuanmeldung hin liess die IV-Stelle die Versicherte durch Dr. med. B._, Facharzt Psychiatrie und Psychotherapie FMH, sowie E._, Fachärztin Psychiatrie und Psychotherapie FMH, psychiatrisch abklären (Gutachten vom 8. Juni 2010). Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte sie einen Rentenanspruch erneut mit der Begründung, die gesundheitlich bedingte Einschränkung (im Haushalt) betrage aufgrund der medizinisch unveränderten Verhältnisse nach wie vor maximal 10 % (Verfügung vom 3. Januar 2011).
B.
Beschwerdeweise liess S._ beantragen, die Verfügung sei aufzuheben und es sei ihr mindestens eine Viertelsrente ab 19. Januar 2010 zuzusprechen. Eventualiter sei die Sache nach Einholen von aussagekräftigen ärztlichen Gutachten und nach Vornahme einer Haushaltabklärung zur erneuten Beurteilung an die IV-Stelle zurückzuweisen. Mit Entscheid vom 16. August 2013 hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen die Beschwerde dahingehend gut, dass es die Verfügung vom 3. Januar 2011 aufhob und der Versicherten mit Wirkung ab 1. Juli 2010 eine Viertelsrente zusprach. Es wies die Sache zur Ermittlung des Betrags der Viertelsrente und zur Ausrichtung der entsprechenden Rentenleistungen an die IV-Stelle zurück.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Verfügung zu bestätigen. In prozessualer Hinsicht beantragt sie, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
S._ und das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen lassen auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) beantragt, das Rechtsmittel sei gutzuheissen und bei der Auferlegung der Gerichtskosten sei das Verhalten der Vorinstanz angemessen zu berücksichtigen.
D.
Mit Verfügung vom 6. Dezember 2013 hat die Instruktionsrichterin der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1.
1.1. Beschwerden an das Bundesgericht gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide sind nur zulässig, wenn sie die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (Art. 92 BGG), einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Rückweisungsentscheide, mit denen eine Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, sind Zwischenentscheide, die nur unter den genannten Voraussetzungen beim Bundesgericht angefochten werden können (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481 f.). Anders verhält es sich nur dann, wenn der unteren Instanz, an welche zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (BGE 135 V 141 E. 1.1 S. 143; 134 II 124 E. 1.3 S. 127).
1.2. Durch den angefochtenen kantonalen Entscheid wird die IV-Stelle in Abweichung zu ihrer Rentenverfügung vom 3. Januar 2011 verpflichtet, der Versicherten für die Zeit ab 1. Juli 2010 eine Viertelsrente auszurichten. Die Rückweisung dient einzig der Ermittlung des Betrags und der Ausrichtung der Viertelsrente, mithin der Umsetzung des vom kantonalen Gericht Angeordneten, und belässt der Verwaltung keinen Entscheidungsspielraum. Angefochten ist damit ein Endentscheid und auf die Beschwerde ist einzutreten (vgl. auch SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 vom 27. Dezember 2007 E. 1.1).
2.
2.1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (BGE 132 I 42 E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (vgl. BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_967/2008 vom 5. Januar 2009 E. 5.1). Diese Grundsätze gelten auch in Bezug auf die konkrete Beweiswürdigung (SVR 2012 BVG Nr. 11 S. 44, 9C_779/2010 E. 1.1.1 [nicht publiziert in: BGE 137 V 446]).
2.3. Ob eine versicherte Person im Gesundheitsfall ganz, teilweise oder nichterwerbstätig wäre (hypothetische Tatsache), beschlägt, wenn Ergebnis konkreter Beweiswürdigung, eine Tatsachenfeststellung, die nur auf Willkür hin letztinstanzlich überprüfbar ist (vgl. statt vieler SVR 2012 IV Nr. 53 S. 191, 9C_406/2011 E. 5.4 mit Hinweisen). Rechtsfragen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert. Es ist also vom Bundesgericht frei zu überprüfen, ob das kantonale Gericht eine inhaltsbezogene, umfassende, sorgfältige und objektive Beweiswürdigung vorgenommen hat (Art. 95 lit. a BGG; BGE 132 V 393 E. 4.1 S. 400; Urteil 9C_566/2008 vom 6. Oktober 2008 E. 4.1) und bei der Sachverhaltsermittlung vom Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit ausgegangen ist (Urteil 9C_752/2008 vom 9. April 2009 E. 2.3.1 und 2.3.2).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz der Versicherten zu Recht eine Viertelsrente zugesprochen hat. Dabei besteht unter den Parteien Uneinigkeit in der Frage der anwendbaren Methode der Invaliditätsbemessung: Die IV-Stelle geht davon aus, dass die Versicherte ohne gesundheitliche Beeinträchtigung keiner Erwerbstätigkeit nachgehen würde, und wendet die Betätigungsvergleichsmethode an (vgl. dazu Art. 28a Abs. 2 IVG; BGE 130 V 97 E. 3.3.1 S. 99). Demgegenüber qualifiziert die Vorinstanz die Versicherte als Vollerwerbstätige und bringt die Einkommensvergleichsmethode zur Anwendung (Art. 16 ATSG, Art. 28a Abs. 1 IVG; BGE 130 V 343 E. 3.4 S. 348).
3.2. Ob und gegebenenfalls in welchem zeitlichen Umfang eine in einem Aufgabenbereich tätige versicherte Person (Art. 5 Abs. 1 IVG in Verbindung mit Art. 8 Abs. 3 ATSG) ohne gesundheitliche Beeinträchtigung erwerbstätig wäre (Statusfrage), ergibt sich aus der Prüfung, was sie bei im Übrigen unveränderten Umständen täte, wenn keine gesundheitliche Beeinträchtigung bestünde. Entscheidend ist somit nicht, welches Ausmass der Erwerbstätigkeit der versicherten Person im Gesundheitsfall zugemutet werden könnte, sondern in welchem Pensum sie hypothetisch erwerbstätig wäre (BGE 133 V 504 E. 3.3 S. 507; Urteil 9C_49/2008 vom 28. Juli 2008 E. 3.3; je mit Hinweisen). Bei im Haushalt tätigen Versicherten im Besonderen (vgl. Art. 27 IVV) sind die persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse ebenso wie allfällige Erziehungs- und Betreuungsaufgaben gegenüber Kindern, das Alter, die beruflichen Fähigkeiten und die Ausbildung sowie die persönlichen Neigungen und Begabungen zu berücksichtigen. Massgebend sind die Verhältnisse, wie sie sich bis zum Erlass der Verfügung entwickelt haben, wobei für die hypothetische Annahme einer im Gesundheitsfall ausgeübten (Teil-) Erwerbstätigkeit der im Sozialversicherungsrecht übliche Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erforderlich ist (BGE 137 V 334 E. 3.2 S. 338; 130 V 393 E. 3.3 S. 396; 125 V 146 E. 2c S. 150; je mit Hinweisen; Ulrich Meyer, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 2. Aufl. 2010, S. 288 ff.).
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog, das hypothetische Verhalten der Versicherten im Gesundheitsfall ("Validenkarriere") sei ohne Bindung an die Verfügung vom 16. Oktober 2006 zu prüfen. Die IV-Stelle habe die Versicherte entgegen ihrer üblichen Praxis in dem mit Verfügung vom 16. Oktober 2006 abgeschlossenen Verwaltungsverfahren nicht zum hypothetischen Verhalten im "Gesundheitsfall" befragt. Stattdessen sei sie aufgrund des Verhaltens vor und nach der Einreise in die Schweiz davon ausgegangen, dass die Versicherte auch ohne die Behinderung immer nur im Haushalt tätig gewesen wäre. Im mit der Verfügung vom 3. Januar 2011 abgeschlossenen Verwaltungsverfahren habe die IV-Stelle keine Abklärungen zu dieser Frage mehr vorgenommen, sondern die Anwendbarkeit der Methode des Betätigungsvergleichs als selbstverständlich vorausgesetzt. Entgegen der IV-Stelle könne nun aber das Verhalten vor der Ausreise aus Bosnien nicht als Indiz gewürdigt werden, weil sich die Lebensumstände der Versicherten mit der Flucht in die Schweiz vollständig verändert hätten. Das Verhalten nach der Einreise in die Schweiz dürfte zunächst durch die besonderen Verhältnisse der Aufnahme als Flüchtling und dann, nach dem Bezug einer eigenen Wohnung, bald durch die Gesundheitsbeeinträchtigung bestimmt gewesen sein. Es sei, entgegen der Verwaltung, irrelevant, dass die Versicherte in der Schweiz nie eine Arbeitsstelle gesucht habe, weil ihr fiktives Verhalten im Gesundheitsfall massgebend sei und nicht das tatsächliche Verhalten unter dem Einfluss der Krankheit. Seit 1997 werde die Versicherte vollumfänglich durch die Sozialhilfe unterstützt. Wäre sie gesund gewesen, hätte sie eine Erwerbstätigkeit aufgenommen oder aufnehmen müssen, um ihren Lebensunterhalt aus eigener Kraft bestreiten zu können, denn nichts deute darauf hin, dass ihre Söhne auch diesfalls bereit gewesen wären, auf unbestimmte Zeit für den gesamten Lebensunterhalt der Versicherten aufzukommen und ihr damit ein Leben zu Hause zu ermöglichen. Die Sozialhilfebehörde hätte die - fiktiv - gesunde Versicherte kaum unterstützt, wenn diese sich ohne Grund geweigert hätte, eine Arbeitsstelle zu suchen. Daran vermöge ihr Alter nichts zu ändern, weil davon auszugehen sei, dass sie rechtzeitig eine Arbeitsstelle gefunden hätte, wenn sie sich darum bemüht hätte.
4.2. Diese vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung einer hypothetisch ausgeübten vollen Erwerbstätigkeit im Gesundheitsfall ist - wie zu zeigen ist - eindeutig und augenfällig unzutreffend und damit offensichtlich unrichtig (vgl. E. 2.2) :
4.2.1. Zu Recht weist die IV-Stelle darauf hin, dass die Versicherte (immerhin) anlässlich der Haushaltabklärung am 19. November 2004 angab, dass sie nie eine ausserhäusliche Tätigkeit ausgeübt habe und ohne Behinderung keine Erwerbstätigkeit ausüben würde. Diese Aussage scheint plausibel, ist sie doch auch nachvollziehbar aufgrund des Bildes, das sich auch aus den übrigen Akten ergibt: Nach der Grundschule machte die Versicherte keine Berufsausbildung, sondern arbeitete im elterlichen Haushalt. Sie heiratete und führte alsdann ihren eigenen Haushalt als Hausfrau und Mutter, wobei sie daneben zusätzlich in der Landwirtschaft und gelegentlich in der Metzgerei der Schwiegereltern tätig war. Einer eigentlichen ausserhäuslichen Erwerbstätigkeit ging sie indessen nie nach. Nach dem Tod ihres Ehemannes im Bosnienkonflikt (1992) kam sie 1993 in die Schweiz, wo sie ab 1994 mit ihren Söhnen lebte. Sie führte den Haushalt, war jedoch gemäss eigenen Angaben bereits damals auf die Unterstützung ihrer Kinder angewiesen. Nach dem Auszug des ältesten sowie der zwangsweisen Ausreise des mittleren Sohnes lebte sie beim jüngsten Sohn (geb. 1977) und seiner Ehefrau. Mit anderen Worten war die Versicherte seit Schulabschluss, gemäss der ersten IV-Anmeldung vom Mai 2003 seit 1969, ausschliesslich Hausfrau.
Diese vor Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung über längere Zeit tatsächlich gelebten Verhältnisse zeigen, dass für die Versicherte die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit nie ein Thema war. Inwiefern sich daran seit der Haushaltabklärung von 2004 etwas geändert haben sollte, ist nicht ersichtlich. Vielmehr äusserte sich die Versicherte im selben Sinne rund zwei Jahre später gegenüber den Gutachtern der Institution X._, wo sie angab, sie habe sich nie um die Aufnahme einer ausserhäuslichen Erwerbstätigkeit gekümmert (vgl. dazu Gutachten der Institution X._ vom 9. Mai 2006).
4.2.2. Wenn der Vorinstanz auch zuzustimmen ist, dass sich die Lebensumstände der Versicherten mit der Einreise in die Schweiz (im Jahre 1993) vollständig verändert haben, so dürfen doch die (in E. 4.2.1 geschilderten) zuvor gelebten Verhältnisse nicht gänzlich ausser acht gelassen werden (vgl. dazu auch Urteil 9C_559/2009 vom 18. Dezember 2009 E. 4 [nicht publ. in: SVR 2010 IV Nr. 35 S. 111]). Sie in die Gesamtwürdigung miteinzubeziehen rechtfertigt sich umso mehr, als die Versicherte bei ihrer Einreise im Jahre 1993 bereits 41-jährig und seit 24 Jahren (seit 1969) ausschliesslich Hausfrau war. Aufgrund der Tatsache, dass ihr jüngster Sohn zu diesem Zeitpunkt schon 16 Jahre alt war, waren ihre Betreuungsaufgaben längst erheblich verringert und wäre es ihr - ebenfalls seit Jahren - ohne weiteres möglich gewesen, zumindest einer Teilzeitbeschäftigung nachzugehen. Dazu hätte umso mehr Anlass bestanden, als sich die Chancen auf dem Arbeitsmarkt aufgrund des fortgeschrittenen Alters (bei Fehlen beruflicher Qualifikationen und Erfahrung) zunehmend verschlechterten. Soweit die Vorinstanz argumentiert, nach der Einreise in die Schweiz sei das Verhalten der Versicherten schon bald durch die gesundheitliche Beeinträchtigung geprägt gewesen, ist darauf hinzuweisen, dass die Versicherte sich bei der IV-Stelle erstmals zehn Jahre nach der Einreise anmeldete und dabei angab, seit ca. 2000 aufgrund von psychischen Störungen behindert zu sein. Hinzu kommt, dass der Versicherten in den im Rahmen der Erstanmeldung eingeholten medizinischen Akten, soweit sie sich auf objektive Befunde stützen, für jede ausserhäusliche Tätigkeit eine Arbeitsfähigkeit von mindestens fünf Stunden pro Tag (60 %) attestiert wurde (Gutachten der Institution X._ vom 9. Mai 2006), womit selbst nach Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung die Aufnahme einer Teilerwerbstätigkeit ohne weiteres möglich gewesen wäre. Dass die Versicherte davon absah, ist nicht medizinischen Gründen, sondern psychosozialen und soziokulturellen Faktoren zuzuschreiben; diese waren nach den Gutachtern denn auch für die festgestellte, "fast vollständige Inaktivität [...] im Haushalt" trotz diesbezüglich medizinisch ausgewiesener Einschränkung von nur 10 % verantwortlich (Gutachten der Institution X._ vom 9. Mai 2006).
4.2.3. Zu keinem anderen Ergebnis vermag bei dieser Aktenlage der von der Vorinstanz angeführte Umstand zu führen, wonach die Versicherte im Gesundheitsfall eine Erwerbstätigkeit hätte aufnehmen müssen, weil die Söhne diesfalls nicht bereit gewesen wären, auf unbestimmte Zeit für ihren Lebensunterhalt aufzukommen, und das Sozialamt sie kaum unterstützt hätte, wenn sie sich ohne Grund geweigert hätte, eine Stelle zu suchen. Denn rechtsprechungsgemäss ist für die Wahl der Bemessungsmethode allein entscheidend, in welchem Ausmass die Versicherte im Gesundheitsfall, bei sonst gleichen Verhältnissen, erwerbstätig wäre, und nicht, was ihr allenfalls aufgrund von sozialhilferechtlichen Vorgaben zuzumuten wäre (vgl. Urteil 9C_841/2011 vom 28. August 2012 E. 3.2). Ob und inwieweit das kommunale Sozialamt oder die Söhne darauf hätten hinwirken können, dass die Beschwerdeführerin ein vollzeitliches Arbeitspensum gesucht und in der Folge allenfalls gar erfüllt hätte, wie die Vorinstanz annimmt, ist fraglich (vgl. dazu auch Urteil 9C_342/2012 vom 28. Juni 2012 E. 2.1). Zweifel an der Hypothese weckt insbesondere auch der Umstand, dass die Versicherte nach den Akten immerhin seit 1997 - mithin Jahre vor dem von ihr in der IV-Anmeldung vom Mai 2003 selber auf ca. 2000 festgesetzten Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung - Sozialhilfe bezog, ohne dass in dieser Zeit auch nur minimale Bemühungen um eine Arbeitsstelle ersichtlich wären.
4.3. Zusammenfassend ergibt sich, dass die vorinstanzliche Annahme einer im Gesundheitsfall ausgeübten Vollerwerbstätigkeit mit den sich in den tatsächlichen Verhältnissen findenden Hinweisen für das hypothetische Verhalten in klarem Widerspruch steht, und damit auf offensichtlich unrichtiger (d.h. willkürlicher; BGE 134 V 53 E. 4.3 S. 62) Beweiswürdigung beruht. Nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit ist aufgrund der dargelegten gesamten persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse ebenso wie aufgrund des Alters, der beruflichen Fähigkeiten sowie der persönlichen Neigungen erstellt, dass die Versicherte (auch) im Gesundheitsfall keine Erwerbstätigkeit aufgenommen hätte. Mit der IV-Stelle ist sie demnach als Nichterwerbstätige zu qualifizieren.
4.4. Bei dieser Sachlage ist auf die sich an die vorinstanzliche Feststellung einer hypothetischen Vollerwerbstätigkeit anschliessenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid nicht weiter einzugehen. Dies betrifft insbesondere die Ausführungen zur invalidisierenden Wirkung pathogenetisch-ätiologisch unklarer syndromaler Beschwerdebilder, in welchen die Vorinstanz - worauf das BSV und die IV-Stelle zu Recht hinweisen - erneut bewusst von der wiederholt bestätigten bundesgerichtlichen Rechtsprechung abweicht.
5.
Zu prüfen bleibt, ob bei der Versicherten seit der letzten Rentenabweisung am 16. Oktober 2006 eine leistungsrelevante Verschlechterung des Gesundheitszustandes eingetreten ist (vgl. dazu auch BGE 130 V 71 E. 3.2.3 S. 75 ff.; vgl. auch BGE 133 V 108).
5.1. Der Verfügung vom 16. Oktober 2006 lag das Gutachten der Institution X._ vom 9. Mai 2006 zugrunde, gemäss welchem die Versicherte an einer posttraumatischen Belastungsstörung (ICD-10 F 43.1) und einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10 F 45.4) litt und in der Haushaltführung um 10 % eingeschränkt war (vgl. auch Abklärungsbericht Haushalt vom 19. November 2004).
5.2. Die IV-Stelle stützte ihre rentenablehnende Verfügung vom 3. Januar 2011 im Wesentlichen auf das von ihr auf die Neuanmeldung der Versicherten hin eingeholte psychiatrische Gutachten vom 8. Juni 2010. Auf dieses kann ohne weiteres abgestellt werden, weil die Anforderungen, die ein fachärztliches Gutachten nach der Rechtsprechung hinsichtlich Vollständigkeit, Nachvollziehbarkeit und Schlüssigkeit sowie Unabhängigkeit zu erfüllen hat (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232; 125 V 351 E. 3a S. 352 ff.), gegeben sind. Insbesondere setzten sich die Gutachter mit den abweichenden Auffassungen der behandelnden Dr. med. C._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 29. Januar 2010 (welche sich im Übrigen nur zur Arbeitsfähigkeit "in der freien Wirtschaft" äusserte) und des behandelnden Hausarztes Dr. med. W._, Facharzt FMH für Allgemeinmedizin, vom 30. Januar 2010 (welcher seine Einschätzung, dass sich der Gesundheitszustand "nicht verbessert hat, im Gegenteil", nicht näher begründete) eingehend auseinander. Die Gutachter legten nachvollziehbar dar, weshalb von einer leichten Verbesserung des Gesundheitszustandes (posttraumatische Belastungsstörung, teilremittiert [ICD-10 F 43.1]; undifferenzierte Somatisierungsstörung [ICD-10 F 45.1]; rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig leichte bis zeitweilig mittelgradige depressive Episode [ICD-10 F 33.0]) und einer unveränderten Einschränkung im Haushalt von 10 % auszugehen ist. Zu keinem anderen Ergebnis führen die von der Versicherten im Rahmen des Vorbescheidverfahrens eingereichten Berichte, weil sie keine anhaltende Verschlechterung des Gesundheitszustandes darzutun vermögen (vgl. auch Bericht des Regionalen Ärztlichen Dienstes vom 3. Januar 2011).
5.3. Ist aufgrund der Akten demnach erstellt, dass sich der Gesundheitszustand der Versicherten im massgebenden Zeitraum nicht verschlechtert hat, ist ein anspruchserheblicher Invaliditätsgrad nach wie vor zu verneinen. Die rentenablehnende Verfügung der IV-Stelle vom 3. Januar 2011 ist demnach rechtens.
6.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Unter den gegebenen Umständen (vgl. E. 4.4) kann davon abgesehen werden, den Kanton St. Gallen an den Gerichtskosten zu beteiligen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 16. August 2013 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 3. Januar 2011 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann