Fatti:
A. A.a R._, nato nel 1953, di professione manovale, il 14 ottobre 2005 ha inoltrato una richiesta all'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) tendente all'assegnazione di prestazioni AI per adulti per le conseguenze di un infortunio sul lavoro occorsogli il 13 luglio 2004 che gli aveva causato la rottura della cuffia rotatoria della spalla destra.
Nel frattempo, con decisione su opposizione del 27 agosto 2007 la SUVA ha assegnato all'assicurato una indennità per menomazione dell'integrità del 2,5% e una rendita d'invalidità LAINF del 27% con effetto dal 1° marzo 2007. Dal canto suo, l'UAI - dopo gli accertamenti di rito - con decisione 11 ottobre 2007 gli ha riconosciuto il diritto a una rendita intera AI limitatamente al periodo dal 1° novembre 2005 al 31 marzo 2007, negando per il resto, a partire dal 1° aprile 2007, ogni ulteriore prestazione per il motivo che il grado d'invalidità del 18% non raggiungeva il minimo di legge (40%).
A.b Adito su ricorso dell'interessato avverso la decisione su opposizione della SUVA, con giudizio 9 aprile 2008 il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha accolto il gravame e rinviato gli atti all'amministrazione affinché, sulla base di una perizia psichiatrica, si pronunciasse nuovamente sul nesso di causalità tra il sinistro del luglio 2004 e le turbe psichiche e, se del caso, sul relativo diritto a ulteriori prestazioni. Con giudizio 11 luglio 2008 la Corte cantonale ha inoltre accolto il ricorso dell'assicurato contro la decisione 11 ottobre 2007 dell'UAI rinviando gli atti all'amministrazione per complemento istruttorio (segnatamente sull'aspetto psichiatrico) e nuova decisione sul diritto a prestazioni dopo il 31 marzo 2007.
A.c L'UAI dopo aver fatto esperire una perizia pluridisciplinare (reumatologica, pneumologica e psichiatrica) dal Servizio Accertamento Medico dell'Assicurazione Invalidità (SAM) - che dal 1° aprile 2007 (recte: dal 15 dicembre 2006, data della visita medica di chiusura da parte del dott. C._, medico di circondario della SUVA) ha ritenuto R._ abile al lavoro nella misura del 25% quale manovale e in misura completa in attività che tenessero conto delle limitazioni funzionali evidenziate in sede reumatologica e conseguenti segnatamente alla periartropatia omeroscapolare a destra in esiti da tre interventi di ricostruzione della cuffia rotatoria - ha negato il diritto a ulteriori prestazioni per difetto di invalidità di grado pensionabile (decisione 1° settembre 2009). Dal canto suo, la SUVA, dopo avere dato seguito al complemento istruttorio ordinato dal Tribunale cantonale con la pronuncia del 9 aprile 2008, ha sospeso la procedura infortunistica in attesa di una sentenza definitiva in ambito AI.
B. Adita nuovamente dall'assicurato che chiedeva l'annullamento della decisione 1° settembre 2009 dell'UAI e che, previo allestimento di una nuova perizia psichica, pretendeva il riconoscimento di una rendita intera d'invalidità sulla base di una inabilità lavorativa completa, la Corte cantonale, statuendo per giudice unico, ha respinto il ricorso pur concedendo il gratuito patrocinio (pronuncia 15 ottobre 2010).
C. R._ ha presentato ricorso al Tribunale federale cui domanda di trasmettere gli atti all'istanza precedente per esecuzione di una perizia giudiziaria che determini il suo stato di salute a dipendenza delle affezioni reumatologiche, pneumologiche e psichiche e per nuovo giudizio. Il ricorrente chiede inoltre di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria anche in sede federale. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
Chiamati a pronunciarsi sul gravame, l'UAI ne propone la reiezione, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni federali ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, così come stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Per contro, il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF) e vi si può scostare solo qualora questo accertamento sia avvenuto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF). A prescindere dai casi in cui tale inesattezza sia lampante (DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62; 133 IV 286 consid. 6.2 pag. 288 in fine), la parte che intende contestare i fatti accertati dall'autorità inferiore deve spiegare, in maniera circostanziata, per quale motivo ritiene che le condizioni di una delle citate eccezioni previste all'art. 105 cpv. 2 LTF sarebbero realizzate; in caso contrario non si può tener conto di uno stato di fatto diverso da quello posto a fondamento della decisione impugnata (cfr. DTF 133 II 249 consid. 1.4.3 pag. 254 con riferimento).
2. 2.1 Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, l'autorità giudiziaria cantonale ha già correttamente esposto le norme e i principi giurisprudenziali disciplinanti la materia, ricordando in particolare la nozione di invalidità (art. 4 cpv. 1 LAI, art. 7 e 8 LPGA), i presupposti e l'estensione del diritto alla rendita (art. 28 LAI), il sistema di confronto dei redditi per la determinazione del grado d'invalidità di assicurati esercitanti un'attività lucrativa (art. 16 LPGA), i compiti del medico nell'ambito di questa valutazione e il valore probatorio generalmente riconosciuto ai referti medici fatti allestire da un tribunale o dall'amministrazione conformemente alle regole di procedura applicabili (DTF 125 V 256 consid. 4 pag. 261, 353 consid. 3b/ee; 115 V 133 consid. 2; 114 V 310 consid. 3c pag. 314), nonché gli effetti temporali della riduzione o soppressione di una rendita in caso di prima assegnazione retroattiva decrescente o temporanea (cfr. pure sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni I 297/03 del 3 maggio 2005, consid. 1 non pubblicato in DTF 131 V 164, ma in SVR 2006 IV n. 14 pag. 51).
A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione, non senza tuttavia ricordare che non sono considerati effetti di un danno alla salute psichica, e dunque non costituiscono turbe a carico dell'assicurazione per l'invalidità, le limitazioni della capacità al guadagno cui la persona assicurata potrebbe ovviare dando prova di buona volontà, atteso che un danno alla salute psichica produce una incapacità al guadagno (art. 7 LPGA) solo nella misura in cui è lecito ammettere che l'impiego della capacità lavorativa (art. 6 LPGA) non possa più essere preteso dalla persona assicurata dal profilo pratico sociale oppure risulti insostenibile per la società (DTF 102 V 165; cfr. anche DTF 127 V 294 consid. 4c pag. 298).
2.2 Per giurisprudenza, gli accertamenti dell'autorità giudiziaria di ricorso in merito al danno alla salute, alla capacità lavorativa dell'assicurato e all'esigibilità di un'attività professionale - nella misura in cui quest'ultimo giudizio non si fonda sull'esperienza generale della vita - costituiscono questioni di fatto che possono essere riesaminate da questa Corte solo in maniera molto limitata (cfr. consid. 1; DTF 132 V 393 consid. 3.2 pag. 398). Lo stesso vale anche per la valutazione medica delle risorse psichiche residue di una persona assicurata.
2.3 Di conseguenza, l'accertamento del primo giudice in merito alla capacità lavorativa residua dell'assicurato può essere ritenuto manifestamente inesatto e venir corretto solo nella misura in cui l'istanza inferiore dovesse essere incorsa nell'arbitrio, vietato dall'art. 9 Cost. (cfr. DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62; 133 III 393 consid. 7.1 pag. 398). Per giurisprudenza invalsa, l'arbitrio non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura preferibile a quella constatata; il Tribunale federale annulla la pronunzia criticata solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (DTF 132 III 209 consid. 2.1 pag. 211 con rinvii). Per quanto concerne più in particolare l'accertamento delle prove e dei fatti, il giudice incorre nell'arbitrio se misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 129 I 8 consid. 2.1 pag. 9).
3. L'istanza giudiziaria cantonale ha sostanzialmente fondato la sua dettagliata pronuncia sulle risultanze della perizia pluridisciplinare 14 aprile 2009 del SAM - in cui l'interessato è stato sottoposto ad accertamento reumatologico (ad opera del dott. H._), pneumologico (ad opera del dott. U._) e psichiatrico (ad opera del dott. A._) - dopo avere confrontato le conclusioni di detta perizia con i pareri emessi in ambito infortunistico - segnatamente dalla dott.ssa S._, psichiatra, incaricata dalla SUVA per una valutazione specialistica dopo la decisione di rinvio del Tribunale cantonale del 9 aprile 2008 - e con quelli del dott. T._, psichiatra curante del ricorrente. Conferendo pieno valore probatorio alla perizia del SAM, il primo giudice, riprendendone le conclusioni, non ha ravvisato limitazioni suscettive di incidere sulla capacità lavorativa dell'assicurato né in ambito pneumologico né in ambito psichiatrico, ove il dott. A._ ha unicamente evidenziato un incremento leggero della tensione endopsichica. Il giudice di prime cure ha inoltre condiviso il parere del SAM anche in merito alle limitazioni riscontrate in ambito reumatologico, dove l'assicurato è stato considerato (dopo la data di visita di chiusura della SUVA del dicembre 2006) abile al lavoro nella misura del 25% nell'attività da ultimo esercitata di manovale e del 100% in un'altra attività rispettosa di alcuni limiti funzionali riguardanti segnatamente il sollevamento e il trasporto di pesi, l'esecuzione di lavori al di sopra della testa, l'utilizzo di attrezzi ecc. Conclusione, questa, che del resto coincideva con quella evidenziata in ambito LAINF.
Per l'aspetto psichiatrico, il Tribunale cantonale ha in particolare accertato la convergenza sostanziale tra le conclusioni del dott. A._ - al quale in occasione del consulto del 18 febbraio 2009 l'interessato aveva peraltro primariamente dichiarato di soffrire per i dolori alla spalla destra, mentre dal punto di vista psichico aveva affermato unicamente di sentirsi nervoso e preoccupato per lo stato di salute oltre che per la situazione finanziaria dando però atto di un miglioramento grazie alla terapia intrapresa con il dott. T._ - e della dott.ssa S._. Quest'ultima, pur avendo posto la diagnosi di episodio depressivo di grado lieve senza limiti biologici (ICD10 F32.01), non aveva infatti riscontrato - al termine di tre visite ambulatoriali - a livello psicologico e mentale (vista l'assenza di deficit di capacità di concentrazione, di deficit cognitivi, di astenia, di disturbi del sonno, di inappetenza, di idee suicidali, di ospedalizzazione in ambito psichiatrico o di un trattamento a livello psichiatrico ambulatoriale intensivo) menomazioni con ripercussioni sull'attività lavorativa né nella professione precedentemente svolta né in altre attività che non richiedessero l'uso della lettura e della scrittura. Preso inoltre atto delle valutazioni del Servizio medico regionale dell'AI (SMR) che tra le altre cose aveva segnalato come nella "Hamilton rating scale" allegata alla perizia della dott.ssa S._ il punteggio totalizzato (14) rappresentasse la soglia minima per potere ammettere un episodio depressivo, il primo giudice pur ammettendo la presenza di un certo disagio, con tendenza alla facile esauribilità e rassegnazione, di preoccupazione per il futuro e di un sentimento di incapacità, ha concluso che l'assicurato, mediante un ragionevole sforzo di volontà, avrebbe potuto riprendere un'attività lavorativa adeguata al 100%. Per lo stesso giudice le certificazioni dei curanti non erano sufficienti a sovvertire le conclusioni peritali (dell'AI, ma anche dell'AINF dato che la dott.ssa S._ aveva descritto uno status psicopatologico paragonabile nemmeno quattro mesi prima della perizia del SAM). In particolare ha osservato che il dott. T._ si limitava in sostanza a censurare le valutazioni degli altri specialisti senza però fornire una motivazione scientifica della sua critica e tralasciando pure di porre una diagnosi secondo una codificazione internazionale riconosciuta. Quanto al fatto che la dott.ssa O._ del servizio psichiatrico centrale della SUVA non avesse ritenuto esaustive le risposte della dott.ssa S._, ciò non significava, per la Corte cantonale, che le sue conclusioni fossero errate perché le critiche mosse erano essenzialmente incentrate sul tema del nesso causale tra i disturbi psichici e l'infortunio alla spalla. Ritenendo infine la refertazione medica agli atti chiara e sufficiente per valutare l'inabilità lavorativa dell'assicurato sino alla data della decisione amministrativa in lite, essa ha rinunciato all'esperimento di ulteriori accertamenti, segnatamente nella forma di una perizia psichiatrica.
4. 4.1 Nella misura in cui contesta la valutazione della capacità lavorativa residua operata dalla precedente istanza la quale, facendo uso del potere d'apprezzamento delle prove riservatole per legge, ha ritenuto maggiormente attendibili le conclusioni del SAM e del SMR (oltre che della SUVA in sostanza) e ha concluso per una abilità lavorativa residua completa (dal mese di dicembre 2006) in attività sostitutive confacenti allo stato di salute, l'insorgente censura un giudizio su una questione di fatto che, in quanto tale, vincola di principio questo Tribunale (DTF 132 V 393 consid. 3.2 pag. 398 seg.). Orbene, questa conclusione non lede alcuna norma di diritto federale, né risulta da un accertamento manifestamente errato o incompleto dei fatti o da un apprezzamento arbitrario delle prove.
4.2 Benché sussista una divergenza di valutazione tra le varie opinioni, ciò non basta ancora per stravolgere l'accertamento del giudice di prime cure. La Corte cantonale ha esposto in maniera quanto meno sostenibile i motivi che l'hanno indotta ad attribuire maggiore attendibilità alle conclusioni del SAM e del SMR rispetto a quelle del dott. T._ (sui compiti e il valore probatorio attribuiti ai rapporti interni del SMR cfr. art. 59 LAI e art. 49 OAI, nonché SVR 2009 IV n. 56 pag. 174 [9C_323/2009]). In particolare, il fatto - censurato ancora in questa sede - che la SUVA avrebbe sospeso la procedura di decisione poiché non esaustivamente convinta delle conclusioni peritali della dott.ssa S._ è già stato ampiamente relativizzato dal primo giudice, alle cui considerazioni (v. sopra, consid. 3) si può rinviare per brevità (cfr. inoltre pure sentenza 9C_961/2009 del 17 gennaio 2011 consid. 4.3). Certamente senza arbitrio, bensì in conformità agli atti, il Tribunale cantonale poteva quindi constatare, insieme ai medici del SMR, che a distanza di nemmeno quattro mesi l'una dall'altra né la perizia 22 dicembre 2008 della dott.ssa S._ né quella 1° aprile 2009 del dott. A._ avevano riscontrato deficit cognitivi o disturbi della percezione, ma "solo" un umore che risultava lievemente ridotto nella prima valutazione e nella norma nella seconda pur con un leggero incremento della tensione endopsichica. Pienamente condivisibile - anche perché le modalità di esecuzione come pure il risultato del test non sono censurati dal ricorrente - è inoltre l'accertamento secondo il quale 14 punti sulla scala Hamilton indicherebbero una depressione al limite inferiore del grado leggero (cfr. ad esempio sentenza 9C_391/2010 del 19 luglio 2010 consid. 3.2.1), smentendo così di fatto la valutazione del dott. T._ circa l'esistenza di una grave depressione. Ininfluente è poi il fatto che l'interessato usufruisca ancora di un trattamento ambulatoriale, peraltro a periodicità solo mensile, presso lo psichiatra T._. Ciò non significa infatti che egli non sia in grado di esercitare un'attività lavorativa leggera al 100%, il trattamento costituendo semplicemente un sostegno specialistico concessogli per elaborare la situazione valetudinaria venutasi a creare a seguito dell'infortunio e per consentirgli di riprendere un'attività lavorativa in ambito diverso.
4.3 All'insinuazione secondo cui il dott. A._ non avrebbe potuto addivenire a una valutazione attendibile al termine di una sola e breve (45 minuti) visita, si risponde poi che il valore probatorio di un rapporto medico non dipende di massima dalla durata del consulto, quanto piuttosto dalla sua completezza e concludenza (sentenza I 1094/06 del 14 novembre 2007, in RSAS 2008 pag. 393 consid. 3.1.1 con riferimenti). A ciò si aggiunge che nel caso di specie lo stato psichiatrico del ricorrente era già stato oggetto di approfonditi (e sostanzialmente convergenti) esami in ambito infortunistico (cfr. per analogia sentenza 9C_1013/2008 del 23 dicembre 2009 consid. 5.3.3).
4.4 Ricordando le sue difficoltà di comprensione e di linguaggio, l'insorgente esclude che il perito incaricato dall'AI potesse comprendere, senza il supporto di terze persone, la portata degli eventi. Sennonché la censura - oltre che di dubbia pertinenza dal momento che il dott. A._ aveva espressamente riscontrato nel peritando una intelligenza normale, un eloquio fluido e senza incoerenze nonché una comunicazione valida ancorché semplice e succinta - si dimostra quanto meno tardiva e contraria al principio della buona fede, valido pure in ambito processuale. L'interessato o chi per lui avrebbe infatti potuto e dovuto sollevare l'eccezione immediatamente già in sede amministrativa, al momento in cui fu ordinata o quanto meno eseguita la visita peritale in questione. Egli dimentica inoltre che alle medesime conclusioni del dott. A._ sul grado di capacità lavorativa residua in ambito psichiatrico era sostanzialmente pervenuta in precedenza la dott.ssa S._ la quale non solo aveva visitato in tre occasioni l'assicurato ma aveva anche tenuto conto delle indicazioni fornitele, tra gli altri, dalla moglie.
4.5 Analoghe considerazioni a quelle appena esposte si impongono per ribattere alle critiche - di uguale tenore - mosse contro l'attendibilità delle conclusioni peritali in ambito reumatologico e pneumologico. E in ogni caso, il primo giudice poteva senza arbitrio ritenere non essere le convergenti conclusioni (soprattutto di ordine reumatologico) dell'UAI e della SUVA seriamente messe in dubbio dalle argomentazioni generiche - e nemmeno sorrette da certificati medici specialistici attestanti una diversa valenza invalidante alle patologie diagnosticate - dell'assicurato.
4.6 Quanto all'attacco ischemico transitorio certificato l'11 marzo 2010 dal dott. K._ - dal quale l'interessato sembrerebbe comunque essersi ripreso -, il Tribunale cantonale ha correttamente rilevato trattarsi di un fatto intervenuto successivamente alla data della decisione amministrativa che delimita temporalmente il potere cognitivo del giudice delle assicurazioni sociali (DTF 132 V 215 consid. 3.1.1 pag. 220) e che in quanto tale non poteva essere considerato per l'esame del ricorso. Va comunque precisato che detto certificato non sostiene in nessun modo - come pretende invece il ricorrente - che l'attacco ischemico sarebbe stato creato da un attacco di panico, bensì il contrario, che il primo evento avrebbe provocato il secondo. È sufficiente a tal proposito la lettura della dichiarazione.
4.7 Non si può infine tenere conto nemmeno del referto 19 novembre 2010 del dott. T._ prodotto in questa sede. Il documento è infatti posteriore al giudizio impugnato e di per sé inammissibile anche perché il ricorrente non spiega in quale misura si realizzerebbero le condizioni per eccezionalmente ammettere il nuovo mezzo di prova ai sensi dell'art. 99 cpv. 1 LTF (Ulrich Meyer, in Basler Kommentar zum BGG, 2008, n. 44 - 47 ad art. 99 LTF; Bernard Corboz, in: Commentaire de la LTF, 2009, n. 19 ad art. 99 LTF).
4.8 In conclusione - anche perché tale soluzione meglio tiene conto della differenza, a livello probatorio, tra mandato di cura e mandato peritale (cfr. tra le tante sentenza 9C_9/2010 del 29 settembre 2010 consid. 3.4 con riferimenti) -, il primo giudice poteva senza arbitrio considerare la situazione medica chiara e non necessitante di accertamenti completivi, l'incarto contenendo già le indicazioni necessarie ai fini decisionali (DTF 122 V 157 consid. 1d pag. 162). Nulla ostava di conseguenza a che egli procedesse a un apprezzamento anticipato delle prove e rinunciasse all'esecuzione di una perizia giudiziaria (cfr. (DTF 131 I 153 consid. 3 pag. 157; 124 I 208 consid. 4a pag. 211). Per il resto, i redditi di riferimento per il calcolo dell'invalidità, determinati in conformità alla giurisprudenza, risultano dagli atti e non sono, in quanto tali, contestati.
5. Ne segue che il ricorso dev'essere respinto siccome infondato. Considerato che l'impugnativa era sin dall'inizio priva di possibilità di esito favorevole, la domanda di assistenza giudiziaria deve essere respinta (art. 64 LTF). Al ricorrente soccombente andrebbero perciò addossate le spese giudiziarie (art. 66 cpv. 1 LTF). Tuttavia, viste le circostanze particolari, si rinuncia eccezionalmente a prelevare tali spese (art. 66 cpv. 1 in fine LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è respinto.
2. La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3. Non si prelevano spese giudiziarie.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale cantonale delle assicurazioni e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.