Faits:
A. Les parcelles nos 7660 à 7665 de la commune de X._ sont alignées de façon contiguë, perpendiculairement à la route ..., artère proche accueillant un important trafic pendulaire. Elles forment un lotissement de villas et sont grevées réciproquement, depuis le 26 septembre 1985, d'une servitude d'interdiction « de tous dépôts, sur les parcelles, qui seraient dangereux, nuisibles ou simplement désagréables pour le voisinage, soit notamment par un aspect inesthétique, par le bruit ou par l'odeur ».
Les époux A._ ont acquis la parcelle no 7662 (quatrième en partant de la route ...) en 1985 et habitent la villa qui y est érigée, avec leur fils. B._ et son mari, décédé depuis, sont devenus propriétaires de la parcelle no 7664 (deuxième en partant de la route ...) en 1986. La prénommée occupe, avec ses deux fils, la maison qui y est construite. Les deux propriétés sont séparées par la parcelle no 7663 et par deux haies de thuyas.
Au moment de ces acquisitions, la servitude était déjà existante; les propriétaires susmentionnés n'ont pas participé à sa constitution.
B. Dans son jardin, B._, qui a possédé des oiseaux depuis 1987, a installé une volière d'une surface d'environ un mètre sur un mètre vingt adossée à un petit chalet en bois, constructions permettant aux volatiles de se mouvoir librement de l'une à l'autre. Il existait un autre abri, qui a toutefois été démonté en février 2004.
Dans ces structures, B._ a détenu jusqu'à neuf oiseaux. Tant lors de l'inspection des lieux du 4 février 2005 par le Tribunal de première instance que lors de la prise des mesures de bruit, la volière n'était occupée que par trois oiseaux, soit une perruche des Indes de type « Petit Alexandre » et deux perruches australiennes de type « Omnicolor Platycerque ». Dans un local situé entre sa maison et son garage, B._ a aussi gardé un cacatoès Alba qu'elle a déplacé en août 2004 sur son lieu de travail à Y._. Actuellement, elle ne possède plus aucun oiseau, ceux mentionnés ci-dessus étant décédés après avoir été déplacés. Si elle n'envisage pas d'en reprendre dans l'immédiat, elle ne l'exclut pas pour l'avenir.
C. Le 13 janvier 2004, les époux A._ ont ouvert action devant le Tribunal de première instance de Genève contre B._. Ils ont notamment conclu, sous la menace des peines de l'art. 292 CP, à ce que la détention d'oiseaux soit proscrite, que ces derniers soient déplacés hors de la propriété, que tout nouveau trouble soit interdit et que toutes autres mesures utiles pour assurer le respect de la servitude soient ordonnées. B._ s'y est opposée.
La demande a été rejetée par jugement du 24 mai 2007 confirmé, sur appel, par la Cour de justice le 16 novembre 2007.
Par arrêt du 3 octobre 2008, la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral, admettant partiellement, dans la mesure de sa recevabilité, le recours constitutionnel subsidiaire des époux A._, a annulé l'arrêt cantonal et renvoyé la cause pour nouvelle décision (arrêt 5A_23/2008 du 3 octobre 2008). Elle a en bref considéré que l'autorité précédente aurait dû examiner si, en l'espèce, le but visé par la servitude était identique à l'interdiction d'immissions excessives au sens de l'art. 684 CC et que, en s'abstenant de le faire, elle avait ainsi failli à son devoir minimum de traiter un problème qui n'apparaissait pas d'emblée dénué de pertinence, en violation du droit d'être entendu des recourants (consid. 4). Elle a déclaré les autres griefs irrecevables ou mal fondés.
Statuant sur renvoi le 22 octobre 2010, la Chambre civile de la Cour de justice a annulé le jugement de première instance du 24 mai 2007 et fait interdiction à la défenderesse de détenir, à l'extérieur de sa villa, plus de trois perruches australiennes ou indiennes ainsi que tout cacatoès et lui a ordonné de couvrir, chaque soir au crépuscule, les oiseaux détenus sur son fonds, à l'extérieur de sa villa, au moyen d'une couverture opaque et produisant une obscurité semblable à celle de la nuit, ladite couverture ne pouvant être enlevée avant 7 h 30 du lundi matin au samedi matin inclus, et avant 9 h 30 le dimanche matin, le tout sous suite de frais et dépens.
D. Par acte du 29 novembre 2010, les époux A._ exercent un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Ils concluent dans leurs deux écritures, principalement, à ce qu'il soit constaté que l'intimée trouble la « servitude de passage » inscrite au registre foncier du fait « des bruits émis par les oiseaux qui garnissent les volières édifiées sur sa propriété », qu'il lui soit ordonné de déplacer les oiseaux hors de sa propriété et qu'il lui soit interdit « tout nouveau trouble de [...] l'interdiction de tous dépôts causant un bruit simplement désagréable pour le voisinage ».
Il n'a pas été demandé de réponses sur le fond.
E. Par ordonnance présidentielle du 28 décembre 2010, la Présidente de la IIe Cour de droit civil a accordé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision attaquée rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) tranche une contestation relative à l'exercice de la servitude foncière grevant la parcelle de l'intimée, c'est-à-dire une affaire pécuniaire (ATF 109 II 491 consid. 1a p. 491; 92 II 62 consid. 3 à 5 p. 65 s. et les arrêts cités; cf. JEAN-FRANÇOIS POUDRET, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. II, Berne 1990, no 1.2 ad art. 46 OJ, p. 233).
Dans une telle cause, le recours en matière civile n'est en principe recevable que si la valeur litigieuse s'élève au moins à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), selon les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF). Si ces conclusions ne tendent pas au paiement d'une somme d'argent déterminée, le Tribunal fédéral arrête la valeur litigieuse selon son appréciation (art. 51 al. 2 LTF). Ce contrôle d'office ne supplée toutefois pas au défaut d'indication de la valeur litigieuse: il n'appartient en effet pas au Tribunal fédéral de procéder lui-même à des investigations pour déterminer cette valeur, si elle ne résulte pas d'emblée des constatations de la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF) ou d'autres éléments ressortant du dossier (cf. arrêt 5A_621/2007 du 15 août 2008 consid. 1.2; POUDRET, op. cit., n° 4.1 ad art. 36 OJ). Le recourant doit ainsi indiquer, conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, les éléments suffisants pour permettre au Tribunal de céans d'estimer aisément la valeur litigieuse, sous peine d'irrecevabilité (JEAN-MAURICE FRÉSARD, Commentaire de la LTF, 2009, n° 7 ad art. 51 LTF). Le Tribunal fédéral n'est toutefois lié ni par l'estimation de la partie recourante ou un accord des parties ni par une estimation manifestement erronée de l'autorité précédente (ATF 136 III 60 consid. 1.1 p. 62 et les références).
En l'espèce, étaient litigieuses devant la dernière instance cantonale les conclusions tendant à faire cesser l'état de chose (cris d'oiseaux) jugé incompatible avec la servitude « de tous dépôts, sur les parcelles, qui seraient dangereux, nuisibles ou simplement désagréables pour le voisinage, soit notamment par un aspect inesthétique, par le bruit ou par l'odeur », et à faire interdire tout nouveau trouble à l'avenir. La cour cantonale a constaté que la valeur litigieuse est indéterminée. Les recourants affirment qu'elle atteint 30'000 fr.
S'agissant d'une servitude, lorsque seule est litigieuse son étendue ou la restriction apportée à son exercice, est déterminante la valeur de l'extension contestée ou l'intérêt à la suppression de l'atteinte (ATF 109 II 491 ss consid. 1c/cc p. 492; cf. arrêt 5A_ 23/2008 du 3 octobre 2008 consid. 1.1 et les arrêts cités). A cet égard, les recourants indiquent que les cris des oiseaux entraînent une moins-value pour leur terrain qui est comparable à celle retenue pour les « parcelles en 1er et 2ème rang par rapport à une route importante ». Se référant à des estimations effectuées à ce sujet pour le compte d'un établissement bancaire, ils arrêtent cette diminution de valeur à un montant compris entre 25'600 fr. et 75'800 fr., auquel ils prétendent que devrait encore s'ajouter la moins-value subie par la construction elle-même, « le confort de vie y étant largement entamé ». Ils avancent aussi que l'intimée a possédé jusqu'à neuf oiseaux dont le prix s'élève à environ 400 fr. l'unité et qu'elle devrait détruire ses volières s'ils devaient l'emporter.
Ces indications ne permettent pas à la cour de céans de constater d'emblée et avec certitude que la valeur litigieuse exigée par l'art. 74 al. 1 let. b LTF est atteinte. Le calcul des recourants repose sur la prémisse - péremptoire - selon laquelle les cris des volatiles seraient assimilables aux nuisances sonores résultant du trafic routier pour des parcelles en 1er ou 2ème rang. Par ailleurs, il aboutit à une fourchette dont la valeur inférieure (25'600 fr.) se situe nettement au-dessous du seuil fixé par la loi. A cet égard, c'est en vain que les recourants tentent de combler la différence, en prétendant qu'il faudrait encore tenir compte de la moins-value subie par la construction elle-même. D'une part, aucun élément ne permet de la chiffrer et, d'autre part, il résulte de la pièce produite à l'appui de leur estimation que les valeurs indiquées correspondent « au prix par mètre carré d'un terrain en zone 5 (villa), valorisé, utilisant la totalité des droits à bâtir et dont la construction est judicieusement disposée ». Quant à la valeur des oiseaux et l'éventuel coût de destruction des volières, les recourants semblent oublier que l'intérêt du demandeur et celui du défendeur ne s'additionnent pas, mais entrent alternativement en considération (ATF 109 II 491 consid. 1c/cc p. 492) et qu'au demeurant, du point de vue de l'intérêt de l'intimée, aucun élément chiffré - si ce n'est le prix de neuf oiseaux à 400 fr. - ne permet de retenir que la valeur litigieuse serait atteinte.
1.2 C'est en vain que, pour justifier tout de même la recevabilité du recours en matière civile en dépit de ce qui a été dit ci-devant, les recourants se plaignent de la violation de l'art. 49 LTF, selon lequel une notification irrégulière, notamment en raison de l'indication inexacte ou incomplète des voies de droit ou de l'absence de cette indication si elle est prescrite, ne doit entraîner aucun préjudice pour les parties. La cour cantonale a mentionné que son arrêt pouvait faire l'objet d'un recours en matière civile aux conditions des art. 72 à 77 et 90 ss LTF et d'un recours constitutionnel subsidiaire aux conditions des art. 113 à 119 et 90 ss LTF et que la valeur litigieuse était indéterminée. Elle n'était pas tenue d'indiquer précisément la nature du recours qui pouvait être formé devant le Tribunal fédéral: c'est à la partie de choisir la voie ou les voies de droit qu'elle juge ouvertes dans sa situation (arrêt 2C_71/2007 du 9 octobre 2007 consid. 2.2; BERNARD CORBOZ, Commentaire de la LTF, 2009, no 10 ad 49 LTF). Qu'elle se soit bornée à indiquer que la valeur litigieuse était indéterminée, ne porte pas à conséquence, dès lors que le Tribunal fédéral la contrôle d'office sur la base des conclusions restées litigieuses devant l'instance cantonale (CORBOZ, op. cit., nos 40 et 55 ad art. 112 LTF).
1.3 Les recourants prétendent encore que le recours en matière civile serait néanmoins recevable parce que la contestation soulèverait une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF). Ils affirment qu'en refusant d'assortir son dispositif de la menace de la peine de l'art. 292 CP, pour le motif qu'aucun élément ne donne à penser que l'intimée se soustraira dans le futur aux obligations qui lui sont imposées, l'autorité cantonale aurait ajouté une condition supplémentaire à l'application de cette disposition sur laquelle le Tribunal fédéral ne se serait jamais prononcé.
On ne saurait les suivre dans cette argumentation. La jurisprudence se montre restrictive dans l'admission d'une dérogation à l'exigence de la valeur litigieuse sur la base de l'art. 74 al. 2 let. a LTF. En résumé, il faut qu'il soit nécessaire, pour résoudre le cas d'espèce, de trancher une question juridique qui donne lieu à une incertitude caractérisée, laquelle appelle de manière pressante un éclaircissement de la part du Tribunal fédéral, en tant qu'autorité judiciaire suprême chargée de dégager une interprétation uniforme du droit fédéral (ATF 135 III 397 consid. 1.2 p. 399). En l'espèce, la contestation qui fait l'objet du recours porte sur l'étendue de la servitude foncière grevant la parcelle de l'intimée et son respect par cette dernière. Ce point peut être résolu sans que la question soulevée par les recourants, laquelle se rapporte aux conditions auxquelles le juge peut assortir son jugement d'une mesure de contrainte indirecte (sur cette notion: cf. FABIENNE HOHL, Procédure civile, tome II, 2ème éd., 2010, no 3225), ne soit tranchée.
1.4 Seule la voie du recours constitutionnel subsidiaire est ainsi ouverte dans le cas présent (art. 113 LTF) contre la décision cantonale qui est par ailleurs finale (art. 90 LTF) et a été rendue par l'autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF applicable par renvoi de l'art. 114 LTF). Les recourants qui ont pris des conclusions devant l'autorité précédente et qui en ont été partiellement déboutés ont qualité pour recourir (art. 115 LTF; cf. ATF 133 III 421 consid. 1.1 p. 425/426).
2. En vertu de l'art. 116 LTF, seule la violation des droits constitutionnels peut être invoquée.
Lorsque le recourant invoque plus particulièrement l'interdiction de l'arbitraire prévue par l'art. 9 Cst., le Tribunal fédéral examine si la décision querellée applique le droit civil matériel de manière insoutenable ou repose sur des constatations de fait établies de façon manifestement inexacte (FF 2001 p. 4135). Il ne connaît de la violation de droits fondamentaux - notion qui englobe les droits constitutionnels en général (ATF 133 III 638 consid. 2 p. 640) - que si un tel moyen est invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (principe d'allégation; ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287; 133 III 393 consid. 6 p. 397, 638 consid. 2 p. 640). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision repose sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables. Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 III 585 consid. 4.1 p. 589; 130 I 258 consid. 1.3 p. 261/262 et les arrêts cités). Il ne suffit pas qu'une solution différente apparaisse concevable, voire préférable; la décision attaquée n'est, de surcroît, annulée que si elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 III 209 consid. 2.1 p. 211 et les arrêts cités).
3. Le Tribunal fédéral a renvoyé la présente cause à l'autorité cantonale afin qu'elle examine si, en l'espèce, le but visé par la servitude interdisant « tous dépôts, sur les parcelles, qui seraient dangereux, nuisibles ou simplement désagréables pour le voisinage, soit notamment par un aspect inesthétique, par le bruit ou par l'odeur » est identique à l'interdiction d'immissions excessives au sens de l'art. 684 CC (arrêt 5A_23/2008 consid. 4).
La Chambre civile a jugé que ce renvoi lui imposait de déterminer si le but de la servitude prohibant les dépôts « simplement désagréables » a une portée identique ou plus restrictive que l'interdiction d'immissions excessives de l'art. 684 CC et, dans la seconde hypothèse, si la propriétaire du fonds servant a contrevenu à ladite servitude en détenant dans sa volière des oiseaux exotiques et, enfin, le cas échéant, quelles mesures permettraient d'éviter à l'avenir une nouvelle violation de la servitude.
Cela étant, elle a procédé à l'interprétation de la servitude litigieuse. A cet égard, elle a considéré que la détention permanente et durable dans le temps d'un groupe d'oiseaux dans l'installation fixe que constitue la volière correspond à la notion de « dépôt » au sens de la servitude, mais qu'une telle détention n'est interdite que si les oiseaux émettent des bruits « simplement désagréables ». Elle a par ailleurs jugé que le texte de la servitude n'impose pas au propriétaire du fonds servant de renoncer à toute détention d'animal ni de garantir une tranquillité absolue aux bénéficiaires du droit. Elle a en outre retenu que, par dépôts « simplement désagréables par le bruit », il faut entendre, dans le langage courant, tout dépôt « gênant, pénible, déplaisant, incommodant, contrariant » en raison du bruit qui en émane. Elle a ensuite tiré un parallèle avec l'art. 684 al. 2 CC qui mentionne les émanations « incommodantes », soit celles qui, selon la jurisprudence, sont également « simplement gênantes », relevant cependant que cette disposition ne les interdit que si elles excèdent la tolérance due entre voisins. Elle en a conclu que, ne comportant pas une telle réserve, la servitude litigieuse a une portée plus étendue.
Elle a ensuite déterminé dans quelle mesure la défenderesse avait violé cette servitude. A ce sujet, elle a retenu, sur la base des témoignages de deux amis des demandeurs qui avaient fait état du caractère désagréable des cris des volatiles lors de visites qu'ils avaient effectuées en 2003 et sur deux pièces produites en appel établissant que les oiseaux incriminés, lorsqu'ils sont en groupe émettent de manière répétitive des cris présentant un caractère désagréable, que la défenderesse avait, en détenant dans ses volières jusqu'à neuf oiseaux exotiques, dont un cacatoès, contrevenu à la servitude litigieuse.
Elle a finalement examiné dans quelle mesure il y avait lieu d'interdire, à l'avenir, la détention de tout nouvel oiseau. Sur l'intérêt à l'action des demandeurs, elle a admis que celle-là conservait un objet malgré la mort des volatiles vu le risque de réitération de l'atteinte, la défenderesse ayant contesté que les sons émis par ses oiseaux contreviennent à la servitude et n'ayant pas manifesté l'intention de ne plus en détenir, ou d'en détenir moins à l'avenir. Sur le fond, elle a jugé qu'une interdiction pure et simple serait disproportionnée pour assurer le respect de la servitude, qui n'interdisait, au demeurant, pas expressément toute détention d'animaux, respectivement d'oiseaux. En particulier, aucune interdiction de détenir des oiseaux - exotiques ou non - dans la maison, fenêtres closes, ne devait être ordonnée en l'absence d'éléments permettant d'établir le caractère « désagréable » du bruit alors émis. Par ailleurs, les cris des oiseaux, exotiques ou non, n'augmentant pas de manière linéaire, mais exponentielle par rapport au nombre de ceux-ci, il était justifié et proportionné à l'intérêt des deux parties et, à titre de mesure destinée à prévenir de futures violations, de limiter le nombre des volatiles que la défenderesse pourrait détenir à l'avenir hors de sa maison, tout en tenant compte de leur caractère grégaire et de l'obligation de garantir aux espèces sociables « des contacts sociaux appropriés » conformément à l'ordonnance sur la protection des animaux. Suivant ces principes, la cour cantonale a fait interdiction à la défenderesse de détenir tout cacatoès et plus de trois perruches exotiques sur son fonds, à savoir à l'extérieur de sa maison et notamment dans sa volière. Afin d'éviter les cris ainsi que les crises des volatiles en début de matinée, elle lui a en outre fait obligation de les couvrir chaque jour au crépuscule, au moyen d'une couverture opaque et produisant une obscurité semblable à celle de la nuit, ladite couverture ne pouvant être enlevée avant 7 h 30 du lundi matin au samedi matin inclus et, avant 9 h 30 le dimanche matin. A titre de motivation, elle s'est référée au fait qu'en 2005, lorsque les mesures de bruit ont été effectuées, la défenderesse ne possédait plus que deux perruches des Indes et une perruche australienne. Elle a aussi relevé que, dans son précédent arrêt du 16 novembre 2007, elle avait réservé la possibilité de revoir l'appréciation du caractère non excessif des sons émis en cas d'augmentation significative du nombre d'oiseaux ou de réintroduction de cacatoès et que cette considération, effectuée au regard de l'art. 684 CC, valait à plus forte raison pour la servitude litigieuse.
Les recourants ne remettent pas en cause l'interprétation de la servitude. En particulier, ils ne contestent pas que celle-ci n'interdit pas la détention de tout animal, mais seulement les bruits « simplement désagréables ». Ils ne s'en prennent aux considérations de l'autorité cantonale que dans la mesure où elles admettent que, à l'avenir, la détention de trois perruches exotiques moyennant le respect de certaines mesures ne troublera pas cette interdiction. Dans ce cadre, ils invoquent des griefs tirés de l'art. 29 al. 1 et 2 Cst. ainsi que d'une violation arbitraire de l'art. 737 al. 1 CC.
4. Se prévalant d'une violation de l'interdiction du déni de justice (art. 29 al. 1 Cst.) ainsi que de leur droit d'être entendus (art. 29 al. 2 Cst.), les recourants reprochent d'abord à la Cour de justice de ne pas avoir analysé si les cris des trois perruches exotiques qui étaient présentes lors de l'expertise acoustique produisent un bruit « simplement désagréable » au sens de la servitude et de s'être contentée de conclure du caractère non excessif du bruit au sens de l'art. 684 CC qu'ils n'étaient pas « simplement désagréables ». En réalité, sous le couvert de ces garanties constitutionnelles, ils se plaignent du caractère arbitraire des considérations de l'autorité cantonale sur ce point, grief qu'ils soulèvent par ailleurs (cf. infra, consid. 5). Au demeurant, on ne voit pas en quoi les juges cantonaux se seraient refusés à statuer (cf. sur la notion du déni de justice formel: ATF 135 I 6 consid. 2.1 p. 9; 134 I 229 consid. 2.3 p. 232) ou auraient manqué à leur obligation de motiver leur décision (cf. sur le sujet: ATF 133 I 270 consid. 3.1 p. 277; 130 II 530 consid. 4.3 p. 540; 126 I 97 consid. 2b).
5. Les recourants voient un manque de logique - qu'ils taxent d'arbitraire (art. 9 Cst.) - dans les considérations de la Chambre civile qui admettent que, par leur nature, les cris des oiseaux litigieux ont un caractère « simplement désagréable » au sens de la servitude, déclarent ensuite que trois perruches exotiques ne produisent pas d'immissions excessives au sens de l'art. 684 CC, puis finissent par conclure que la servitude grevant la parcelle de l'intimée n'est pas violée par la présence de trois perruches exotiques.
5.1 La cour cantonale a fait interdiction à l'intimée de détenir tout cacatoès et plus de trois perruches exotiques sur son fonds, à savoir à l'extérieur de sa maison et notamment dans sa volière, et lui a ordonné de couvrir les oiseaux à certaines heures afin d'éviter les cris et les crises en début de matinée. A titre de motivation, elle a jugé qu'une interdiction pure et simple était disproportionnée pour assurer le respect de la servitude, qui n'interdisait, au demeurant, pas expressément toute détention d'animaux, respectivement d'oiseaux. Elle a toutefois considéré qu'il était justifié et proportionné aux intérêts des deux parties de limiter le nombre de volatiles que l'intimée pourrait détenir à l'avenir hors de sa maison, dans la mesure où les cris augmentent de façon exponentielle en fonction de ce nombre. Il convenait également de tenir compte du caractère grégaire des oiseaux ainsi que de l'obligation de garantir aux espèces sociables « des contacts sociaux appropriés » telle qu'elle découle de l'ordonnance sur la protection des animaux. Enfin, alors que l'intimée avait possédé dans le passé jusqu'à neuf oiseaux, dont un cacatoès, elle n'avait en 2005, lorsque les mesures de bruit ont été effectuées, plus que deux perruches des Indes et une perruche australienne. En outre, dans son précédent arrêt du 16 novembre 2007, la cour avait réservé la possibilité de revoir l'appréciation du caractère non excessif des sons émis en cas d'augmentation significative du nombre d'oiseaux ou de réintroduction de cacatoès, considération effectuée au regard de l'art. 684 CC, mais qui valait à plus forte raison pour la servitude litigieuse.
5.2 Certes, ces ultimes considérations ne sont pas des plus limpides. Dans son résultat, la solution retenue par la cour cantonale n'apparaît pas pour autant arbitraire. Les recourants - dont on peut, au demeurant, se demander si la critique répond aux exigences de motivation (cf. supra, consid. 2) - ne remettent pas en cause l'interprétation du contenu de la servitude litigieuse. En particulier, ils ne contestent pas que, si celle-ci a une portée plus large que l'art. 684 CC en interdisant, non les émanations incommodantes excessives, mais tout « dépôt » « simplement désagréable » par le bruit, elle n'impose pas au propriétaire du fonds servant de renoncer à toute détention d'animaux, respectivement d'oiseaux, ni de garantir une tranquillité absolue aux bénéficiaires du droit. Il résulte par ailleurs de l'arrêt entrepris que le bruit des oiseaux augmente, non de manière linéaire, mais de façon exponentielle par rapport au nombre de volatiles. Dans ces conditions, il n'apparaît pas choquant de considérer que l'interdiction de détenir tout oiseau n'est pas justifiée, mais qu'une limitation de leur nombre s'impose en revanche. A cet égard, si l'intimée a possédé jusqu'à neuf volatiles, dont un cacatoès, elle ne détenait en 2005, tant lorsque les mesures de bruit ont été effectuées que lors du déplacement sur place du Tribunal de première instance, plus que trois, soit une perruche des Indes de type « Petit Alexandre » et deux perruches australiennes de type « Omnicolor Platycerque ». Si les cris que peuvent émettre ces oiseaux ont un caractère « strident », respectivement « perçant » et « aigu », ils ont lieu en particulier lors de crises matinales qu'il est possible de prévenir en mettant les oiseaux au repos le soir, dans une cage fermée et couverte. L'arrêt entrepris constate par ailleurs qu'aucun des voisins habitant le même lotissement et/ou à proximité immédiate de la villa de l'intimée n'a été importuné par ces volatiles, que cette appréciation a été confirmée par les juges cantonaux après leur audition de l'enregistrement des chants produit par les recourants et que, lors du déplacement sur les lieux du Tribunal de première instance, le 4 février 2005 à 14 h 30, aucun d'eux ne s'est manifesté, seul le chant de ceux en liberté et le bruit de la route ... étant audibles. Dans ces circonstances, il n'est nullement insoutenable de retenir que les cris émis par trois perruches exotiques ne constituent pas un bruit « simplement désagréable » tel qu'il est prohibé par la servitude et de faire interdiction à l'intimée de ne pas détenir à l'avenir plus de trois oiseaux de ce type et tout cacatoès, et de les couvrir de façon adéquate afin d'éviter leurs crises matinales.
6. Les recourants reprochent à la Cour de justice d'avoir violé l'interdiction du déni de justice formel ainsi que leur droit à une décision motivée (art. 29 al. 1 et 2 Cst.) en refusant d'assortir leur prononcé de la menace de la peine de l'art. 292 CP.
6.1 La Cour de justice a fondé ce refus sur le motif qu'aucun élément ne permettait de penser que l'intimée, qui avait respecté les mesures provisionnelles précédemment ordonnées, se soustrairait dans le futur aux obligations qui lui étaient imposées.
6.2 A titre de motivation, renvoyant à leur recours en matière civile, les recourants prétendent en bref que, lorsqu'il s'agit d'assortir ou non un jugement de la menace de la peine de l'art. 292 CP, le fait que la partie condamnée se soit conformée aux mesures provisionnelles n'est pas déterminant. En réalité, sous le couvert de la violation des garanties constitutionnelles précitées, ils font ainsi valoir l'arbitraire de l'arrêt cantonal sur ce point. Au demeurant, la cour de céans ne voit pas en quoi l'autorité cantonale aurait refusé de statuer (cf. sur la notion du déni de justice formel: ATF 135 I 6 consid. 2.1 p. 9; 134 I 229 consid. 2.3 p. 232) ou n'aurait pas motivé sa décision (cf. sur le sujet: ATF 133 I 270 consid. 3.1 p. 277; 130 II 530 consid. 4.3 p. 540; 126 I 97 consid. 2b).
6.3 La menace de la peine prévue à l'art. 292 CP constitue une règle de contrainte propre à favoriser l'exécution de la décision. Dans l'hypothèse où des circonstances font apparaître que celle-ci sera exécutée sans problème, il n'apparaît pas insoutenable de renoncer à menacer la partie qui succombe de la sanction prévue par cette norme pénale. Appelé à prononcer une telle mesure en application de l'art. 76 al. 1 PCF, le Tribunal fédéral ne procède pas différemment (cf. ATF 107 II 82 consid. 10 p. 95). Pour le surplus, les recourants ne démontrent pas, conformément aux exigences (cf. supra, consid. 2) que l'autorité cantonale aurait arbitrairement retenu qu'il n'y a aucun risque en l'espèce que l'intimée ne se conforme pas à la décision. Ils se contentent d'opposer de façon appellatoire que le fait d'avoir respecté les mesures provisionnelles ne suffit pas. Quant à la jurisprudence qu'ils invoquent, elle se limite à poser le principe selon lequel l'art. 292 CP ne revêt qu'un caractère subsidiaire par rapport aux dispositions du droit fédéral et cantonal réprimant l'insoumission comme telle ou, en d'autres termes que, si de telles normes existent, elles constituent le fondement de la sanction, à l'exclusion de l'art. 292 CP (ATF 124 IV 64 consid. 4a p. 69/70; 121 IV 29 consid. 2b/aa p. 32/33).
7. Renvoyant derechef la cour de céans à la consultation de leur recours en matière civile, les recourants se plaignent d'une violation arbitraire des art. 176 ss LPC/GE. Ils contestent en bref la répartition des dépens à raison de 3/4 à leur charge.
7.1 La Cour de justice a considéré que les recourants n'avaient obtenu que très partiellement gain de cause, sur la seule problématique de la conformité du bruit émis par les oiseaux avec la servitude d'interdiction de dépôt, ce qui justifiait de mettre à leur charge 3/4 des dépens tant de première instance que d'appel de l'intimée, comprenant dans leur totalité, compte tenu de l'ampleur prise par la procédure et des actes accomplis, 10'000 fr. valant participation aux honoraires des conseils de l'intimée (soit 7'500 fr. à la charge des recourants). Elle a compensé les dépens pour le surplus.
7.2 En droit genevois, comme c'est en général la règle, la répartition des dépens est fonction du résultat du procès. Ainsi, l'art. 176 al. 1 LPC/GE prescrit que tout jugement, même sur incident, doit condamner aux dépens la partie qui succombe. La loi cantonale prévoit toutefois des exceptions. Ainsi, par exemple, la partie qui a obtenu gain de cause peut être condamnée à une partie des dépens, sans préjudice des peines prévues contre les parties, si elle a provoqué des frais inutiles ou si ses conclusions sont exagérées (art. 176 al. 2 LPC/GE). Le commentaire de la LPC/GE précise que, nonobstant la rédaction restrictive de l'art. 176 al. 2, il est des situations où la partie qui obtient gain de cause peut être condamnée à tous les dépens, lorsque par son attitude, elle a inutilement provoqué l'intentat de l'action soit, en d'autres termes, lorsqu'elle a adopté un comportement ou omis fautivement d'adopter un comportement qui aurait été de nature à éviter que l'action ne soit introduite (BERTOSSA ET COAUTEURS, Commentaire de la loi de procédure civile genevoise, no 7 ad art. 176; SJ 1943 p. 355). Cette appréciation est conforme au principe général de l'interdiction de l'abus de droit qui, applicable en procédure civile, permet de mettre tous les dépens à la charge de la partie gagnante, si celle-ci a agi de manière abusive, par exemple en compliquant ou en provoquant le procès par sa faute (cf. HEINRICH HONSELL, Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 4ème éd., no 4 ad. art. 2 CC).
Dans ce domaine, le juge statue en équité et dispose ainsi d'un large pouvoir d'appréciation. En pareil cas, le Tribunal fédéral n'intervient, sous l'angle de l'arbitraire, que si l'instance cantonale a excédé son pouvoir d'appréciation ou en a abusé. Il en est ainsi lorsque la décision s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence ou s'appuie sur des faits qui, en l'occurrence, ne devaient jouer aucun rôle ou encore ne tient, au contraire, pas compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération (ATF 109 Ia 107 consid. 2c p. 109).
7.3 Les recourants ne démontrent pas en quoi les principes susmentionnés auraient été violés en l'espèce. Ils ne contestent en particulier pas qu'ils n'ont gagné que très partiellement sur la seule question de la conformité du bruit à la servitude. Ils se contentent d'opposer de façon appellatoire (cf. supra, consid. 2) que, selon les art. 176 ss LPC/GE, les dépens doivent être mis à la charge de la partie qui succombe, de citer in extenso l'art. 181 LPC/GE qui en donne la définition, de rappeler les considérations de l'autorité cantonale sur la répartition des dépens, de se plaindre des frais qu'ils ont encouru durant la procédure (frais d'avocat, expertises privées, frais d'introduction des mesures provisionnelles et de toutes les instances sur le fond) et de prétendre que ce n'est qu'à ce prix qu'ils ont pu obtenir gain de cause alors que l'intimée n'a vraisemblablement dû supporter que les honoraires de son conseil, que la cause n'était complexe ni en droit ni en fait, qu'il est choquant que la totalité des frais soient mis à leur charge alors qu'ils ont dû épuiser toutes les instances cantonales et fédérales pour obtenir gain de cause et que la cour cantonale n'a pas tenu compte du fait qu'ils ont dû aller jusqu'au Tribunal fédéral pour se faire entendre quant à la servitude, ce qui a contribué très largement à l'ampleur prise par la procédure.
8. Vu ce qui précède, le recours en matière civile est irrecevable. Le recours constitutionnel subsidiaire doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Les recourants, qui succombent, supporteront les frais de la procédure, solidairement entre eux (art. 66 al. 1 et 5 LTF). L'intimée, qui, invitée à répondre sur la requête d'effet suspensif, a déclaré ne pas s'y opposer, n'a pas droit à des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est irrecevable.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge des recourants, solidairement entre eux.
4. Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 9 août 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Jordan