Erwägungen:
1. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde von X._ (Beschwerdeführer) richtet sich gegen den Entscheid des Steuergerichts des Kantons Solothurn vom 20. April 2009 betreffend die Staatssteuern 1996-2005 und die direkte Bundessteuer 1997-2005 (Nachsteuern). Dem Fall liegt folgender Sachverhalt zugrunde:
Am 24. August 2007 ergingen die Nachsteuerveranlagungen und Bussenverfügungen wegen Steuerhinterziehung für die entsprechenden Steuerperioden. Am 2. Dezember 2007 erhob der Beschwerdeführer Einsprache. Mit Entscheid vom 11. Januar 2008 trat das Steueramt des Kantons Solothurn auf die Einsprache nicht ein, weil diese verspätet war. Der Beschwerdeführer gelangte an das Steuergericht des Kantons Solothurn. Dieses trat auf Beschwerde und Rekurs nicht ein, weil die am 21. Juli 2008 eingereichten Rechtsmittel gegen den Einspracheentscheid vom 11. Januar 2008 verspätet seien und der Beschwerdeführer einen entschuldbaren Hinderungsgrund für die Fristversäumnis nicht nachgewiesen habe. Mit der vorliegenden Beschwerde rügt der Beschwerdeführer, er habe am 21. November 2007 Einsprache gegen die Steuerforderungen erhoben, die nie behandelt worden sei.
Das Kantonale Steueramt Solothurn beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Steuergericht des Kantons Solothurn verzichtete auf eine Vernehmlassung.
2. 2.1 Die vorliegende Beschwerde ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen (Art. 82 BGG). Ein Ausschlussgrund (Art. 83 BGG) liegt nicht vor. Die Verfassungsbeschwerde ist lediglich subsidiär (Art. 113 BGG) und kommt hier nicht zum Zug.
Der Beschwerdeführer bestreitet mit der vorliegenden Beschwerde nicht, dass er Rekurs und Beschwerde bei der kantonalen Instanz verspätet eingereicht hat. Er stellt auch nicht in Abrede, dass bereits die Einsprache vom 2. Dezember gegen die Nachsteuerveranlagungen vom 24. August 2007 verspätet war. Er macht aber geltend, er habe am 21. November 2007 "unter Einhaltung der 30-tägigen Rekursfrist Einsprache gegen die Steuerforderung erhoben, welche nie behandelt (worden sei)". Diese Einsprache sei rechtzeitig erfolgt.
In der Tat findet sich in den vom Beschwerdeführer in Kopie eingereichten Dokumenten ein als Einsprache bezeichnetes Schriftstück mit Datum vom 21. November 2007, worin der Beschwerdeführer gegen die Nachsteuerrechnungen der Gemeinde vom 23. Oktober 2007 Einsprache erklärte.
2.2 Im Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Neue Begehren sind unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG). Neu sind Tatsachen, die der Vorinstanz noch nicht bekannt waren bzw. nicht bekannt gegeben worden waren. Ob ein Begehren neu ist, beurteilt sich danach, was bei der Vorinstanz beantragt wurde. Kein neues Rechtsbegehren liegt in der Einschränkung eines Begehrens. Ein neues Begehren liegt jedoch vor, wenn mehr oder wenn etwas anderes als bei der Vorinstanz verlangt wird oder wenn das Begehren ausserhalb des Streitgegenstandes liegt (vgl. Ulrich Meyer, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, N. 58 ff. zu Art. 99 BGG). Bei der Vorinstanz erwähnte der Beschwerdeführer die angeblich unbehandelt gebliebene Einsprache vom 21. November 2007 gegen die Nachsteuerrechnungen vom 23. Oktober 2007 nicht. Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens waren vielmehr die Nachsteuerveranlagungen und Bussenverfügungen vom 24. August 2007.
Wenn daher der Beschwerdeführer vor Bundesgericht geltend macht, seine Einsprache vom 21. November 2007 sei unbehandelt geblieben, und sinngemäss deren Behandlung verlangt, so liegt darin ein neues Begehren und ein Austausch des Streitgegenstandes. Auf die Beschwerde kann nicht eingetreten werden. Abgesehen davon kann grundsätzlich nur gegen Steuerveranlagungen, nicht aber gegen Steuerrechnungen Einsprache erhoben werden (bzw. gegen letztere höchstens, soweit die in Rechnung gestellten Beträge nicht mit der Veranlagung übereinstimmen) und ist weder dargetan worden noch ersichtlich, inwiefern die im Nachgang zu den Steuerrechnungen angeblich erhobenen Einwände nicht ebenfalls verspätet gewesen wären.
3. Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Steueramt des Kantons Solothurn, dem Steuergericht des Kantons Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Wyssmann