Sachverhalt:
A. A._ ist Vater dreier minderjähriger Kinder aus zwei Partnerschaften. Die zwei Kinder E._ und F._ sind der inzwischen geschiedenen Ehe mit G._ entsprossen. Zusammen mit seiner heutigen Lebenspartnerin H._ hat A._ die gemeinsame Tochter K._.
Ende 2010 verfügte das Betreibungsamt C._, Dienststelle D._, gegen A._ in der Pfändungsgruppe Nr. xxxx eine Lohnpfändung (Pfändungsprotokoll vom 30. November 2010; Existenzminimumsberechnung und Verfügung sowie Anzeige der Lohnpfändung vom 15. Dezember 2010).
B. Am 27. Dezember 2010 gelangte A._ an das Obergericht als kantonale Aufsichtsbehörde und beantragte die Aufhebung der Lohnpfändungsanzeige sowie der Existenzminimumsberechnung vom 15. Dezember 2010. In seiner Vernehmlassung an das Obergericht teilte das Betreibungsamt mit, es habe am 13. Januar 2011 nach Vorlage von Zahlungsbelegen für die Krankenkassenprämien die Einkommenspfändung revidiert und zugleich einen höheren Mietzins angerechnet. A._ führte darauf am 9. Februar 2011 aus, falls die neue Existenzminimumsberechnung als neue Verfügung zu betrachten sei, so gelte dieses Schreiben als neue Beschwerde mit dem Antrag auf Aufhebung der Lohnpfändung. Mit Entscheid vom 31. März 2011 hiess das Obergericht die Beschwerde teilweise gut und wies das Betreibungsamt C._ an, die pfändbare Quote im Sinne der Erwägungen und unter Berücksichtigung der aktuellsten Belege neu zu bestimmen. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit darauf eingetreten werden könne und soweit sie nicht gegenstandslos geworden sei (Ziff. 1 des Dispositivs). Das Obergericht führte namentlich aus, dass der pfändbare Betrag bei einem Konkubinatspaar mit gemeinsamem Kind im Wesentlichen gleich wie bei einem Ehepaar zu ermitteln sei. Gegenstandslos sei die Beschwerde insofern, als das Betreibungsamt die Lohnpfändung bereits revidiert habe, und nicht einzutreten sei auf Vorbringen, die mittels Revision beim Betreibungsamt geltend zu machen seien. In diesem Sinne hat das Obergericht angeordnet, die Eingaben von A._ als Revisionsbegehren dem Betreibungsamt weiterzuleiten.
C. Am 13. April 2011 hat A._ (Beschwerdeführer) Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt die Aufhebung von Dispositivziffer 1 des angefochtenen Entscheids, soweit sie der nachfolgenden Begründung widerspreche. Die pfändbare Einkommensquote sei im Sinne der nachfolgenden Begründung neu zu berechnen. Die Lohnpfändungsanzeige vom 15. Dezember 2010 und die vom selben Tag stammende Existenzminimumsberechnung seien aufzuheben. Der Beschwerde sei aufschiebende Wirkung zu erteilen und dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Nachdem das Obergericht ausdrücklich auf Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet hat und sich die Steuerverwaltung B._ als Vertreterin der Gläubiger sowie das Betreibungsamt C._ nicht haben vernehmen lassen, ist der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 12. Mai 2011 insofern aufschiebende Wirkung zuerkannt worden, als dem Betreibungsamt einstweilen untersagt wurde, die gepfändeten Geldbeträge an die Gläubiger zu verteilen.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen Endentscheide, das heisst gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (Art. 90 BGG), und gegen Teilentscheide, die nur einen Teil der gestellten Begehren behandeln, wenn diese unabhängig von den anderen beurteilt werden können, oder die das Verfahren nur für einen Teil der Streitgenossen und Streitgenossinnen abschliessen (Art. 91 BGG). Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist hingegen die Beschwerde nur zulässig, wenn sie die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (Art. 92 BGG), einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Rückweisungsentscheide, mit denen eine Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, sind Zwischenentscheide, die nur unter den genannten Voraussetzungen beim Bundesgericht angefochten werden können. Anders verhält es sich einzig dann, wenn der unteren Instanz, an welche zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung nur noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (BGE 135 V 141 E. 1.1 S. 143 mit Hinweisen).
1.2 Das Obergericht hat die Beschwerde teilweise gutgeheissen und die Angelegenheit an das Betreibungsamt C._ zurückgewiesen, damit dieses im Sinne der Erwägungen und unter Berücksichtigung der aktuellsten Belege die pfändbare Quote neu berechne. Das Betreibungsamt hat somit nicht bloss das vom Obergericht Angeordnete umzusetzen, sondern selber Sachverhaltsabklärungen vorzunehmen und die allenfalls dereinst vorgelegten Belege in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht zu würdigen. Dem Betreibungsamt verbleibt damit Entscheidungsspielraum. Daran ändert nichts, dass das Obergericht bereits gewisse Rechtsfragen für das Betreibungsamt verbindlich beantwortet hat (Urteil 2C_258/2008 vom 27. März 2009 E. 3.3, in: StE 2009 B 96.21 Nr. 14; Urteil 5A_704/2010 vom 5. November 2010 E. 1.2). Dies gilt insbesondere für die vom Beschwerdeführer einzig aufgegriffene Frage, ob bei einer Lohnpfändung eines Schuldners, der zusammen mit seiner Lebenspartnerin und einem gemeinsamen Kind im Konkubinat lebt, der Beitrag, welcher zulasten der Lebenspartnerin an die Kosten des gemeinsamen Haushalts berücksichtigt wird, deren Hälfte übersteigen dürfe. Eine sofortige Beurteilung dieser Frage würde dem Ziel entgegenlaufen, dass jede Rechtssache möglichst nur einmal vor das Bundesgericht getragen werden soll (BGE 134 III 188 E. 2.2 S. 191 mit Hinweis). Zudem ist denkbar, dass wegen der zusätzlichen Sachverhaltsabklärungen neue Rechtsfragen auftreten oder die vom Obergericht bereits beantwortete Frage für das Verfahren gar nicht mehr erheblich ist. Das Bundesgericht soll aber nicht Gefahr laufen, Rechtsfragen zu beantworten, die sich im weiteren Verfahrensverlauf als theoretisch herausstellen. Nicht umstritten sind vor Bundesgericht im Übrigen die teilweise Gegenstandsloserklärung und das Nichteintreten mit Weiterleitung der Akten an das Betreibungsamt. Es braucht deshalb nicht entschieden zu werden, wie diese Entscheidteile zu qualifizieren wären. Der angefochtene Entscheid ist somit ein Zwischenentscheid, der nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 f. BGG angefochten werden kann.
1.3 Nachdem kein Anwendungsfall von Art. 92 BGG vorliegt, müsste der Beschwerdeführer dartun, dass die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a oder lit. b BGG erfüllt sind, soweit sie nicht offensichtlich vorliegen (BGE 134 III 426 E. 1.2 S. 429; 133 III 629 E. 2.3.1 S. 632 und E. 2.4.2 S. 633; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer äussert sich zu diesem Punkt jedoch nicht. Es ist auch nicht offensichtlich, dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur (BGE 134 III 188 E. 2.1 S. 190 f. mit Hinweisen) bewirken könnte oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Auf die Beschwerde kann somit nicht eingetreten werden.
1.4 Folglich vermag offenzubleiben, ob die vage gehaltenen Anträge überhaupt den Anforderungen von Art. 42 Abs. 1 BGG genügen (vgl. zum Antragserfordernis im Zusammenhang mit der Bestimmung des Existenzminimums Urteil 5A_413/2010 vom 14. Oktober 2010 E. 1.3 mit Hinweisen).
2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Gesagten von vornherein aussichtslos gewesen ist (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zingg