Erwägungen:
1.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt erklärte A._ mit Urteil vom 1. September 2014 der mehrfachen ungetreuen Geschäftsbesorgung (Bereicherungsabsicht), der mehrfachen Urkundenfälschung, des mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer und des mehrfachen Vergehens gegen das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt für schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe von 240 Tagessätzen zu Fr. 660.--, mit bedingtem Strafvollzug und unter Auferlegung einer Probezeit von zwei Jahren. Vom Vorwurf der mehrfachen Erschleichung einer falschen Beurkundung sprach es ihn frei. Dieses Urteil focht A._ mit Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an. Das Berufungsverfahren ist hängig.
2.
Mit Eingaben vom 2. und 7. April 2015 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er rügt eine Rechtsverzögerung durch das Strafgericht Basel-Stadt. Das erstinstanzliche Urteil sei am 1. September 2014 gefällt, das begründete Urteil indes erst am 9. Januar 2015 zugestellt worden. Damit sei die Frist von Art. 84 Abs. 4 StPO um 31 Tage überschritten worden. Des Weiteren sei das erstinstanzliche Urteil ohnehin nichtig. Das Urteilsdispositiv sei zwar formgerecht eröffnet worden, das begründete Urteil sei jedoch nicht unterschrieben und damit ungültig. Ferner beantragt der Beschwerdeführer, die kantonalen Gerichte seien anzuweisen, seine Ausstandsbegehren zu behandeln.
Es wurden Vernehmlassungen eingeholt, zu welchen der Beschwerdeführer Stellung genommen hat. Er hält dabei an seinem Standpunkt fest.
3.
Das Bundesgericht vereinigt mehrere Verfahren, wenn diese in einem engen sachlichen Zusammenhang stehen, namentlich wenn sie die gleichen Parteien sowie ähnliche oder gleiche Rechtsfragen betreffen. Diese Voraussetzungen sind im vorliegenden Fall erfüllt. Es rechtfertigt sich daher, die beiden Beschwerden gestützt auf Art. 71 BGG in sinngemässer Anwendung von Art. 24 Abs. 2 lit. b BZP (SR 273) zu vereinigen und in einem einzigen Entscheid zu beurteilen.
4.
Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 91, 92 und 93 BGG. Diese Bestimmungen sind indes nicht anwendbar, da kein anfechtbarer Teil- oder Zwischenentscheid vorliegt.
Gestützt auf Art. 94 BGG grundsätzlich offen steht die Beschwerde an das Bundesgericht gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids (etwa eines anfechtbaren strafprozessualen Zwischenentscheids). Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist dabei in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Bei Verfassungsrügen (wie der hier geltend gemachten Rechtsverzögerung im Sinne von Art. 29 Abs. 1 BV) besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen).
Soweit der Beschwerdeführer dem Strafgericht Basel-Stadt eine Rechtsverzögerung wegen Überschreitung der Ordnungsfrist von 60 respektive 90 Tagen für die Zustellung der schriftlichen Urteilsbegründung (vgl. Art. 84 Abs. 4 StPO) anlastet, kann hierauf nicht eingetreten werden. Rechtsverzögerungen im erstinstanzlichen Verfahren sind mit Berufung vorzubringen. Erachtet das Appellationsgericht die Rüge als begründet, kann die Rechtsverzögerung bei einem Schuldspruch im Rahmen der Strafzumessung berücksichtigt werden.
Vom Beschwerdeführer nicht substanziiert gerügt wird eine Rechtsverzögerung oder Rechtsverweigerung im Berufungsverfahren. Eine solche ist auch nicht ersichtlich.
Auf die Rechtsverzögerungsbeschwerden kann nach dem Gesagten nicht eingetreten werden.
5.
Kann das Bundesgericht nicht angerufen werden, so besteht unter den gegebenen Umständen auch kein Anlass, die vom Beschwerdeführer geltend gemachte Nichtigkeit des erstinstanzlichen Urteils des Strafgerichts Basel-Stadt vom 1. September 2014 zu prüfen. In der jüngsten Rechtsprechung hat das Bundesgericht zwar vereinzelt die Nichtigkeit von Akten auch in Fällen untersucht, in denen das erhobene Rechtsmittel nicht zulässig war (so etwa in BGE 136 II 383 E. 4 S. 389 ff. und 136 II 415 E. 2 und 3 S. 418 ff.). Auch nach der zitierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist für die Feststellung der Nichtigkeit aber jedenfalls ein Rechtsschutzinteresse erforderlich (BGE 136 II 415 E. 1.2 und 1.3 S. 417), d.h. ein genügendes Interesse an der sofortigen Feststellung der Nichtigkeit durch das Bundesgericht. Dies ist vorliegend nicht der Fall. Der Beschwerdeführer hat, wie erwähnt, gegen das erstinstanzliche Urteil Berufung an das Appellationsgericht erhoben und dabei die Nichtigkeit des Urteils gerügt. Gegen den Berufungsentscheid steht dem Beschwerdeführer, soweit er mit seiner Berufung nicht durchdringt, alsdann die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (vgl. insoweit auch Urteil 1C_627/2012 vom 24. April 2013 E. 2).
6.
Auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Damit werden die vom Beschwerdeführer gestellten Gesuche um Gewährung der aufschiebenden Wirkung und um Verfahrenssistierung gegenstandslos. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Die Verfahren 1B_115/2015 und 1B_119/2015 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, dem Strafgericht Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juli 2015
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Stohner