Faits:
A. A.a X._ (ci-après: l'athlète) est une coureuse de demi-fond, titulaire d'une licence délivrée par la Fédération ... d'athlétisme.
Le 8 décembre 2008, la Commission d'appel de Z._, entité publique spécialisée dans la lutte antidopage, a confirmé la décision du 10 septembre 2008 par laquelle la Commission des sanctions de Z._ avait condamné l'athlète à une suspension de deux ans dès le 16 novembre 2007 pour violation des règles antidopage.
Saisi d'un appel de l'athlète, le Tribunal Arbitral du Sport (TAS) l'a déclaré irrecevable par sentence du 9 octobre 2009.
A.b Au printemps 2010, l'Association internationale des fédérations d'athlétisme (ci-après: l'IAAF, selon son acronyme anglais) a chargé Z._ d'effectuer des contrôles antidopage hors compétition sur un groupe-cible, dont l'athlète faisait partie. Après une première tentative infructueuse, deux agents de Z._ se sont rendus, le 18 mai 2010, dans une localité ..., au lieu d'entraînement de l'athlète, afin de faire subir à celle-ci et à une autre coureuse de fond un contrôle inopiné. Selon les dires, contestés, de l'un d'eux, l'athlète aurait tenté de fausser le contrôle au moment du prélèvement d'un échantillon d'urine, puis aurait quitté précipitamment la salle de bains et se serait enfuie après avoir jeté dans le lavabo le gobelet qu'elle avait commencé à remplir.
La Commission d'audition de Z._ a suspendu provisoirement l'athlète par décision du 3 juin 2010. Elle l'a entendue une première fois le lendemain, puis le 11 juin 2010, date à laquelle elle a procédé également à l'audition de témoins et à la confrontation de l'athlète avec les deux agents ayant procédé au contrôle du 18 mai 2010. Par décision n° 18 du 8 juillet 2010, ladite Commission a constaté l'applicabilité des dispositions relatives au refus de se soumettre à un contrôle antidopage ou à l'absence injustifiée à un tel contrôle et à la contrefaçon ou tentative de contrefaçon d'un échantillon. Sur cette base et compte tenu de la précédente sanction disciplinaire infligée à l'athlète ainsi que du caractère suspicieux d'échantillons prélevés sur celle-ci lors d'un contrôle hors compétition effectué le 10 mars 2010 par l'IAAF, elle a prononcé la suspension à vie de l'athlète.
B. B.a Le 4 août 2010, l'athlète a interjeté appel auprès du TAS. Elle lui a adressé son mémoire d'appel le 27 du même mois. Z._ a déposé sa réponse le 25 octobre 2010.
Par fax du 9 novembre 2010, l'appelante a requis le bénéfice de l'assistance judiciaire et s'est déclarée favorable à ce que la cause soit soumise à un arbitre unique. L'intimée a sollicité, pour sa part, la désignation d'une formation de trois arbitres.
Le Conseil International de l'Arbitrage en matière de Sport (CIAS) a octroyé l'assistance judiciaire à l'appelante par ordonnance du 11 janvier 2011. Le même jour, le Greffe du TAS a informé les parties que le différend serait tranché par un arbitre unique dont il leur a indiqué le nom. Le 15 février 2011, il les a avisées de la désignation, par le CIAS, de Me Pascal de Preux en qualité d'avocat d'office de l'appelante.
L'audience d'instruction et de jugement a été tenue le 14 avril 2011 à Lausanne. Au cours de cette séance, l'arbitre unique a procédé à l'audition de plusieurs témoins et experts ainsi qu'à l'interrogatoire des parties avant de clore l'instruction.
B.b Par sentence du 26 juillet 2011, l'arbitre unique, après s'être déclaré compétent, a rejeté l'appel de l'athlète et confirmé la décision qui en formait l'objet.
En substance, l'arbitre unique a considéré que Z._ était seule compétente, à l'exclusion de la fédération nationale de l'athlète, pour statuer en matière de lutte antidopage en .... Quant au grief par lequel l'appelante se plaignait de ne pas avoir bénéficié d'un procès équitable devant cette instance, il l'a rejeté au motif que le plein pouvoir d'examen du TAS, relativement aux faits et au droit, purgerait en tout état de cause les éventuels vices de forme commis par Z._. L'arbitre unique a apprécié ensuite les preuves versées au dossier de l'arbitrage pour déterminer si l'intimée, qui avait la charge de cette preuve, avait établi, au degré requis par la réglementation ad hoc, que l'athlète s'était dérobée à un prélèvement d'échantillon d'urine. Arrivant à la conclusion que tel était bien le cas, il s'est alors penché sur la sanction prononcée par Z._. Bien que jugeant la suspension à vie sévère, puisqu'elle signifie la fin de la carrière de l'athlète, il a estimé devoir la retenir eu égard aux circonstances de l'espèce et parce que, de toute façon, il n'était pas saisi d'une conclusion tendant à la réduction de cette sanction. Celle-ci, a encore ajouté l'arbitre unique, était du reste conforme à une jurisprudence fermement établie du TAS en la matière; au demeurant, elle ne visait pas uniquement à punir l'athlète, mais également à préserver sa santé.
C. Le 6 septembre 2011, l'athlète a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation de la sentence du 26 juillet 2011. La recourante a requis sa mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale et la désignation de son mandataire en qualité d'avocat d'office.
L'intimée et le TAS n'ont pas été invités à déposer une réponse.
Considérant en droit:
1. Dans le domaine de l'arbitrage international, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions fixées par les art. 190 à 192 LDIP (art. 77 al. 1 LTF). Qu'il s'agisse de l'objet du recours, de la qualité pour recourir, du délai de recours ou encore des conclusions prises par la recourante, aucune de ces conditions de recevabilité ne fait problème en l'espèce. Rien ne s'oppose donc à l'entrée en matière.
2. En premier lieu, la recourante reproche au TAS d'avoir violé son droit d'être entendue et l'égalité des parties, au sens de l'art. 190 al. 2 let. d LDIP, dans le traitement de sa demande d'assistance judiciaire.
2.1 Les motifs qui étayent ce grief manquent singulièrement de clarté et ne permettent guère de cerner la portée de celui-ci. C'est d'autant plus vrai, d'une part, que la demande en question a été admise et, d'autre part, que la décision y relative a été rendue par le CIAS.
2.2 La recourante paraît vouloir se plaindre, en réalité, du temps - trois mois - qui s'est écoulé entre le dépôt de sa demande d'assistance judiciaire et la désignation de son avocat d'office. A l'en croire, pareille circonstance, autrement dit l'absence de conseil à ses côtés durant cette période, aurait eu pour effet de la priver du droit de voir sa cause jugée par trois arbitres au lieu d'un arbitre unique.
Le rapport entre semblables doléances et le grief considéré est difficilement perceptible. Surtout, on ne voit pas ce qui aurait empêché la recourante, dûment assistée de son conseil à l'audience d'instruction et de jugement tenue le 14 avril 2011, de s'opposer fermement à ce que sa cause soit traitée par l'arbitre unique, en réitérant ses arguments relatifs à la durée de la procédure d'assistance judiciaire, et de réclamer la constitution d'une formation de trois arbitres. Or, la sentence attaquée constate en ces termes que la recourante n'a pas suivi cette voie (p. 11 n° 58):
"Au début de l'Audience, l'Arbitre a rappelé les éléments du dossier qui avaient conduit à la composition de la Formation, limitée à un Arbitre unique. Il a également rappelé les observations qui avaient été présentées par les parties sur ce point. En réponse à la question de l'Arbitre quant à la poursuite et la tenue de l'audience avec une formation composée d'un Arbitre unique, les parties ont répondu ne plus vouloir soulever d'objections quant à la composition de la formation et le déroulement de la procédure devant le TAS en général et accepter la poursuite de l'affaire." (termes mis en évidence par le Tribunal fédéral).
Sans doute la recourante conteste-t-elle ne pas avoir soulevé d'objections lors de cette audience. Elle le fait, toutefois, sur la base d'une citation tronquée du passage reproduit ci-dessus, en se gardant bien de mentionner les termes qui y figurent en gras (cf. mémoire de recours, p. 4, 2e §), ce qui enlève toute crédibilité à ses dires. De surcroît, elle n'indique pas quelles objections elle aurait émises concrètement à cette occasion, mais se contente de renvoyer, sans autres précisions, le Tribunal fédéral à l'audition de la bande-son de la séance du 14 avril 2011, ce qui n'est pas admissible au regard de l'exigence de motivation d'un recours dirigé contre une sentence arbitrale internationale (cf. art. 77 al. 3 LTF).
C'est le lieu de rappeler que la partie qui s'estime victime d'une violation de son droit d'être entendue ou d'un autre vice de procédure doit l'invoquer d'emblée dans la procédure arbitrale, sous peine de forclusion. En effet, il est contraire à la bonne foi de n'invoquer un vice de procédure que dans le cadre du recours dirigé contre la sentence arbitrale, alors que le vice aurait pu être signalé en cours de procédure (arrêt 4A_348/2009 du 6 janvier 2010 consid. 4).
Conformément à ces principes jurisprudentiels, la recourante, pour ne pas avoir agi alors qu'il était encore temps, n'est plus recevable à venir se plaindre aujourd'hui du prétendu vice de la procédure ayant conduit à l'octroi de l'assistance judiciaire et des effets qu'il a pu avoir sur la composition de la formation ayant rendu la sentence attaquée.
Le premier moyen est ainsi dénué de tout fondement.
3. 3.1 En second lieu, la recourante, invoquant l'art. 190 al. 2 let. e LDIP, fait valoir que la sentence entreprise serait incompatible avec l'ordre public procédural, dont le droit à un tribunal indépendant et impartial, garanti par l'art. 30 al. 1 Cst., ferait partie intégrante.
Après un exposé théorique dans lequel elle rappelle le contenu de cette garantie constitutionnelle, la recourante s'emploie à démontrer que Z._, du fait de ses liens organiques avec l'Etat ... et de la manière dont sa Commission d'audition a conduit la procédure disciplinaire, ne satisferait pas aux exigences que la jurisprudence a déduites de ladite garantie.
La recourante souligne enfin que l'effet guérisseur, invoqué par l'arbitre unique sur la base de l'art. R57 du Code de l'arbitrage en matière de sport (ci-après: le Code; sentence, nos 100 à 102), ne s'appliquerait qu'à la violation du droit d'être entendu et non pas à un vice procédural aussi grave que le manque d'indépendance ou d'impartialité d'un tribunal arbitral.
3.2 Le précédent que la recourante invoque pour rattacher le droit à un tribunal indépendant et impartial à l'ordre public procédural au sens de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP n'a rien de topique. L'arrêt en question, rendu le 20 juillet 2007 par le Tribunal fédéral dans la cause 4A_137/2007, avait trait à la reconnaissance d'un jugement étatique; c'est dans ce contexte, que la Ire Cour de droit civil y a rappelé, au considérant 6.1, que l'exigence d'indépendance et d'impartialité d'un tribunal fait partie des principes fondamentaux ressortissant à la conception suisse du droit de procédure, visés par l'art. 27 al. 2 let. b LDIP.
En réalité, le Tribunal fédéral a posé de longue date que le non-respect de la règle voulant qu'un tribunal arbitral présente des garanties suffisantes d'indépendance et d'impartialité conduit à une désignation irrégulière relevant de l'art. 190 al. 2 let. a LDIP (ATF 118 II 359 consid. 3b). Il a d'ailleurs confirmé la chose dans un récent arrêt (ATF 136 III 605 consid. 3.2.1 p. 608). Quant à l'ordre public procédural, au sens de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP, il n'y voit qu'une garantie subsidiaire ne pouvant être invoquée que si aucun des moyens prévus à l'art. 190 al. 2 let. a-d LDIP n'entre en ligne de compte (arrêt 4P.105/2006 du 4 août 2006 consid. 5.3 et les références).
Force est de constater que la recourante ne se plaint pas de la violation de l'art. 190 al. 2 let. a LDIP à l'appui de son second grief, mais uniquement de celle de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP. En d'autres termes, elle invoque un moyen subsidiaire alors qu'elle aurait dû invoquer le moyen principal qui était à sa disposition. La recevabilité du grief considéré apparaît ainsi déjà sujette à caution.
3.3 Quoi qu'il en soit, même recevable, le grief en question ne pourrait qu'être rejeté.
3.3.1 La recourante ne remet pas en cause l'indépendance et l'impartialité de l'arbitre unique, désigné par le TAS, qui a statué sur son appel en revoyant "les faits et le droit avec plein pouvoir d'examen", pour reprendre les termes de l'art. R57 al. 1, première phrase, du Code. Elle ne prétend pas non plus qu'elle aurait été dans l'impossibilité, pour quelque raison que ce fût, de présenter à l'arbitre unique un élément de preuve propre à étayer sa thèse ou un argument juridique de nature à conforter celle-ci.
Il est ainsi constant que l'intéressée a pu soumettre son cas à une juridiction arbitrale satisfaisant aux exigences posées par la jurisprudence pour être assimilée à un véritable tribunal, juridiction qui jouissait d'une cognition complète à l'égard tant des faits que du droit. Autrement dit, un tribunal digne de ce nom a instruit la cause de novo pour rechercher si les faits imputés à la recourante correspondaient ou non à la réalité. Il a ensuite qualifié juridiquement l'infraction aux règles antidopage que constituaient, à ses yeux, les faits retenus par lui sur la base de son appréciation des preuves administrées. Enfin, il s'est prononcé sur le bien-fondé de la sanction infligée à l'athlète pour réprimer l'infraction commise.
3.3.2 Selon la recourante, l'effet guérisseur, que le TAS attache à sa sentence en vertu de la disposition du Code précitée, ne s'appliquerait qu'à la violation du droit d'être entendu, mais en aucun cas à celle des garanties d'indépendance et d'impartialité d'un tribunal. Or, pour elle, Z._ n'offrirait pas de telles garanties, qu'il s'agisse des modalités de sa désignation ou de sa manière de fonctionner. Aussi, admettre un effet guérisseur en appel reviendrait à faire du TAS une instance unique dotée de pouvoirs illimités.
Dans l'affaire du coureur cycliste professionnel A._, le Tribunal fédéral a été saisi d'un moyen comparable par lequel le recourant reprochait au TAS d'avoir voulu assumer les fonctions d'organe d'instruction, d'organe disciplinaire et d'organe d'appel dans une seule et même procédure. Il a rejeté ce moyen au motif qu'il ne voyait pas pourquoi le TAS, fort du large pouvoir que lui confère l'art. R57 al. 1 du Code, ne pourrait pas instruire lui-même l'affaire sur laquelle il doit statuer en appel, lorsque l'autorité de première instance a refusé d'ouvrir une procédure disciplinaire. Il a rappelé, en outre, que l'exigence d'une double instance ou d'un double degré de juridiction ne relève pas de l'ordre public procédural au sens de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP (arrêt 4A_386/2010 du 3 janvier 2011 consid. 6.2 et l'arrêt cité). Semblables remarques peuvent être formulées, mutatis mutandis, dans la présente cause.
Dès lors, le moyen pris de la violation de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP ne pourrait qu'être rejeté, à le supposer recevable.
4. Il résulte de ce qui précède que le présent recours était voué à l'échec. Dès lors, la demande d'assistance judiciaire formulée par son auteur ne peut qu'être rejetée en application de l'art. 64 al. 1 LTF. Ce nonobstant, eu égard à la situation financière délicate de la recourante, telle qu'elle ressort des pièces produites, la Cour de céans renoncera à percevoir des frais pour la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). Par ailleurs, la question des dépens ne se pose pas puisque l'intimée n'a pas été invitée à déposer une réponse au recours.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
2. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3. Il n'est pas perçu de frais.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 3 octobre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Carruzzo