Faits:
A. Par décision du 21 juin 2000, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'OCAI) a mis R._ (né en 1947) au bénéfice d'une demi-rente d'invalidité dès le 1er février 1997. A la suite d'une demande de révision du droit à la rente, déposée le 21 mai 2004 et complétée le 15 juin 2004, l'OCAI a refusé d'augmenter la rente d'invalidité (décision du 9 janvier 2006). Saisi d'une opposition de l'assuré, l'OCAI a instruit le cas et recueilli une expertise pluridisciplinaire de la clinique X._ (rapport du 13 septembre 2007). En se fondant sur un avis médical du SMR (rapport du 10 décembre 2007), l'OCAI est parvenu à la conclusion que le degré d'invalidité était de 28 % seulement, si bien qu'il a supprimé la rente d'invalidité; il a par ailleurs retiré l'effet suspensif à un éventuel recours (décision sur opposition du 11 novembre 2008).
B. Par actes des 11 et 12 décembre 2008, l'assuré a recouru contre la décision du 9 janvier 2006 et contre la décision sur opposition du 11 novembre 2008, en concluant à leur annulation, à l'octroi d'une rente entière d'invalidité dès le 1er mai 2004 et, préalablement, à la restitution de l'effet suspensif. Dans ses déterminations du 26 janvier 2009, l'OCAI a conclu au rejet de la requête en restitution de l'effet suspensif. Le 2 février 2009, l'assuré a produit une expertise psychiatrique privée de la doctoresse H._, psychiatre et psychothérapeute FMH (rapport du 24 janvier 2009). Par arrêt incident du 12 mars 2009, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève a admis la demande tendant à la restitution de l'effet suspensif.
C. L'OCAI interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation de l'arrêt incident du 12 mars 2009 et à la confirmation du retrait de l'effet suspensif prononcé dans la décision (sur opposition) du 11 novembre 2008.
R._ conclut, avec suite de dépens, à ce qu'il soit constaté que l'OCAI n'a pas sollicité la restitution de l'effet suspensif au recours, subsidiairement à ce que l'effet suspensif au recours soit refusé; en tous les cas il conclut à ce que l'OCAI soit débouté des fins de son recours, dans la mesure où il est recevable. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales s'en remet à l'appréciation du Tribunal fédéral.
Considérant en droit:
1. La décision attaquée du 12 mars 2009 est un arrêt incident au sens de l'art. 93 LTF. Sous l'angle de l'al. 1 let. a de cette disposition, le rétablissement de l'effet suspensif ordonné par le juge cantonal est susceptible, de jurisprudence constante (cf. ATF 133 IV 139 consid. 4 p. 140; arrêt 9C_1073/2008 du 6 mars 2009), de causer un préjudice irréparable à l'office AI (sur cette notion, voir ATF 133 V 477 consid. 5.2.1 p. 483, 645 consid. 2.1 p. 647). Il sied dès lors d'entrer en matière sur le recours.
2. Une décision portant sur la restitution de l'effet suspensif au recours constitue une décision incidente en matière de mesures provisionnelles (arrêt 9C_191/2007 du 8 mai 2007 in SVR 2007 IV n° 43 p. 143; SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz, Berne 2007, n. 7 ad art. 98), de sorte que le recours ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 98 LTF; arrêt 2C_309/2008 du 13 août 2008 consid. 3.2). Le Tribunal fédéral n'examine la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 II 192 consid. 1.5 p. 197, 133 III 393 consid. 6 p. 397).
3. L'office recourant se prévaut d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). En substance, il reproche au tribunal cantonal d'avoir rétabli l'effet suspensif au recours contre la décision sur opposition du 11 novembre 2008 en s'étant fondé essentiellement sur un nouvel avis médical (le rapport d'expertise privée de la doctoresse H._ du 24 janvier 2009), alors qu'il n'a pas pu s'exprimer à ce sujet.
Le grief, qui est suffisamment motivé au sens de l'art. 106 al. 2 LTF, est bien fondé. En effet, à la lecture du consid. 3b du jugement incident, il est constant que la juridiction cantonale a tenu compte de façon prépondérante du rapport de la doctoresse H._ pour admettre que l'issue prévisible du litige justifie le versement de la rente durant la procédure de recours. Or, à l'examen du dossier du tribunal cantonal, on constate que le recourant n'a pas eu la possibilité de se déterminer sur ce nouvel avis médical (qui lui avait été transmis pour information le 6 février 2009), malgré sa requête expresse du 12 février 2009 à laquelle le tribunal a simplement répondu que la suite de la procédure était réservée (lettre du 19 février 2009).
4. Dans ces conditions, la juridiction cantonale a violé le droit du recourant d'être entendu. Ce vice de procédure ne peut être réparé devant le Tribunal fédéral. Le jugement incident doit ainsi être annulé et la cause renvoyée aux premiers juges afin qu'il statuent à nouveau sur la requête de rétablissement de l'effet suspensif au recours, après avoir respecté le droit du recourant d'être entendu.
5. Eu égard aux circonstances du cas d'espèce, il sera renoncé à la perception de frais de procédure (art. 66 al. 1 LTF, 2e phrase). Quant à l'intimé, qui succombe, il n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. L'arrêt incident du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 12 mars 2009 est annulé. L'affaire est renvoyée à cette instance pour qu'elle procède conformément aux considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires ni alloué de dépens.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 juillet 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud