Sachverhalt:
A. Die 1966 geborene S._ arbeitete zuletzt ab April 2004 in einem Teilzeitpensum als Sekretärin in einem Alters- und Pflegeheim. Im November 2004 meldete sie sich unter Hinweis auf seit einem Verkehrsunfall vom 25. Juni 2004 bestehende Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern traf Sachverhaltsabklärungen und gewährte Arbeitsvermittlung. Mit Verfügung vom 21. Mai 2007 verneinte sie einen Anspruch auf eine Invalidenrente mangels eines leistungsbegründenden Invaliditätsgrades. Diese Verfügung hob das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 19. September 2008 auf und wies die Sache zur weiteren medizinischen Abklärung an die Verwaltung zurück. Die IV-Stelle holte ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 24. Mai 2009 ein und verneinte mit Verfügung vom 17. September 2009 erneut einen Rentenanspruch.
B. Beschwerdeweise beantragte S._, es sei die Verfügung vom 17. September 2009 aufzuheben und ein polydisziplinäres Obergutachten anzuordnen; eventuell sei mit Wirkung ab 1. Juni 2005 eine ganze Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 100 % zuzusprechen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern gewährte S._ die unentgeltliche Rechtspflege und wies die Beschwerde ab (Entscheid vom 28. Mai 2010).
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und ein polydisziplinäres Obergutachten anzuordnen. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Mit Eingabe vom 10. November 2010 lässt S._ nochmals Stellung nehmen.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Art und Zulässigkeit des bei ihm eingereichten Rechtsmittels von Amtes wegen mit freier Kognition (BGE 133 I 185 E. 2 S. 188; 133 II 249 E. 1.1 S. 251; RtiD 2008 II S. 160, 1C_104/2008 E. 1.1).
Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid den Antrag auf Aufhebung der Verwaltungsverfügung vom 17. September 2009 und auf Anordnung eines Obergutachtens sowie den Eventualantrag auf Zusprechung einer Invalidenrente abgewiesen. In der Beschwerde wird lediglich die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die besagte Beweismassnahme beantragt, ohne dass aus der Beschwerde hervorgeht, welche Rechtsfolge dies zeitigen soll. Es stellt sich deshalb grundsätzlich die Frage der Zulässigkeit der Beschwerde (vgl. BGE 136 V 131 E. 1.2 S. 135 f.; 133 II 409 E. 1.4 S. 414 f.). Sie muss indessen nicht abschliessend beantwortet werden, da als bezweckte Rechtsfolge vernünftigerweise alleine der Anspruch auf eine Invalidenrente in Betracht kommt und dieser aufgrund der gegebenen Umstände ohnehin zu verneinen ist. Das zeigen die folgenden Erwägungen.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3. Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Rechtsgrundlagen des Anspruchs auf eine Invalidenrente und die diesbezüglich geltenden beweisrechtlichen Grundsätze zutreffend dargelegt. Das betrifft insbesondere auch die Anforderungen, welchen ärztliche Berichte und Gutachten zu genügen haben, um als beweiswertige Beurteilungsgrundlage dienen zu können. Darauf wird verwiesen.
4. Die Vorinstanz hat gestützt auf das - internistische, rheumatologische, neurologische, neuropsychologische und psychiatrische - Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 24. Mai 2009 erkannt, die Beschwerdeführerin sei gesundheitlich weder als Teilerwerbstätige noch im Aufgabenbereich Haushalt eingeschränkt.
In der Beschwerde wird die Unbefangenheit bzw. die Fachkompetenz von zwei am Gutachten des medizinischen Zentrums X._ beteiligten Experten in Frage gestellt. Aufgrund dieser Rügen könne nicht auf das Gutachten des medizinischen Zentrums X._ abgestellt werden. Indem das kantonale Gericht dies dennoch getan habe, habe es wesentliche Verfahrensvorschriften verletzt und den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt.
4.1 Bezüglich Verletzung von Verfahrensvorschriften wird in der Beschwerde auf Art. 44 ATSG verwiesen. Das kantonale Gericht hat hiezu erwogen, entgegen der von der Beschwerdeführerin vertretenen Auffassung bestünden keine Anhaltspunkte für eine Befangenheit oder Voreingenommenheit des neurologischen Experten, welche dem Beweiswert des Gutachtens des medizinischen Zentrums X._ im Sinne des Art. 44 ATSG entgegenstünde. Ob die fachärztliche Beurteilung des Experten schlüssig sei, müsse im Rahmen der Beweiswürdigung entschieden werden. Letztere ergebe, dass die Aussagen des Neurologen eine verlässliche Beurteilungsgrundlage bildeten.
Was in der Beschwerde vorgebracht wird, vermag diese Beurteilung nicht in Frage zu stellen. Mit der Vorinstanz ist festzustellen, dass der neurologische Experte sich seine Meinung gestützt auf eingehende eigene Untersuchungen, unter Berücksichtigung auch von Anamnese und neuropsychologischen Abklärungsergebnissen, gebildet hat. Der Einwand, er habe sich nicht von objektiven Gesichtspunkten, sondern von gegen die sog. Schleudertrauma-Rechtsprechung und anerkannte medizinische Lehre verstossenden Ansichten leiten lassen, ist nicht begründet. Es geht denn auch hier nicht um die Frage der Kausalität, in deren Zusammenhang die Schleudertrauma-Rechtsprechung ergangen ist, sondern um die Frage, ob eine nachvollziehbare gesundheitliche Schädigung vorliegt, welche länger dauernde Beschwerden zu erklären vermag. Der Experte verneint dies aus neurologischer Sicht gestützt auf die erhobenen Befunde in überzeugender Weise. Dies wurde denn auch in der abschliessenden interdisziplinären Beurteilung der Gutachter des medizinischen Zentrums X._ bestätigt.
4.2 Eingewendet wird weiter, der neuropsychologischen Expertin des medizinischen Zentrums X._ fehle die für eine verlässliche Begutachtung erforderliche fachspezifische Qualifikation. Namentlich sei sie nicht auf der Mitgliederliste der Schweizerischen Vereinigung der Neuropsychologinnen und Neuropsychologen (SVNP) zu finden. Es sei demnach davon auszugehen, dass sie als Psychologin nicht über eine neuropsychologische Zusatzausbildung verfüge.
Alleine die fehlende Zugehörigkeit zu einer bestimmten Berufsorganisation genügt in der Regel nicht für den Schluss auf mangelnde fachliche Qualifikation (vgl. Urteil 9C_270/2008 vom 12. August 2008 E. 3.3). Die SVNP verlangt im Übrigen von ihren ordentlichen Mitgliedern lediglich, ein abgeschlossenes Universitätsstudium der Psychologie aufzuweisen und die Neuropsychologie zu mindestens 50 % im Bereiche der Forschung, der Diagnostik oder der Therapie als Haupttätigkeit auszuüben (vgl. http://www.neuropsy.ch/w/pages/de/ mitgliederinformationen/mitgliedschaft.php; Abfrage vom 29. November 2010). Eine Zusatzausbildung zum Psychologiestudium - wie etwa die postgraduale Weiterbildung zum Fachtitel "Fachpsychologe/Fachpsychologin für Neuropsychologie FSP" (vgl. http://www.neuropsy.ch/ w/pages/de/mitgliederinformationen/fachtitel.php; Abfrage vom 29. November 2010) - bildet somit nicht Aufnahmevoraussetzung. Die hier zur Diskussion stehende Expertin verfügt sodann über den akademischen Titel einer "Dr. sc. hum. Dipl. Psych.", hat gemäss dem aufgelegten Curriculum vitae Zusatzausbildungen im Bereich Neuropsychologie absolviert und ist auch bereits einige Zeit in diesem Fachgebiet, einschliesslich eigentlicher neuropsychologischer Testungen, tätig gewesen. Es besteht kein Anlass, an den Angaben im Curriculum zu zweifeln, zumal sich diese nur schon bei einer einfachen Internet-Suche aufgrund von Inhalten offizieller Sites weitgehend verifizieren lassen. Wenn die Vorinstanz auf genügende fachliche Kompetenz der Expertin zur neuropsychologischen Begutachtung geschlossen hat, ist dies daher im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis nicht zu beanstanden. Daran ändert nichts, wenn das medizinische Zentrum X._ angibt, dass seit dem 1. November 2009 regelmässig eine weitere Fachperson die neuropsychologischen Untersuchungen supervidiere, zumal nicht ersichtlich ist, dass fachliche Mängel der hier zur Diskussion stehenden Expertin Anlass hiezu gegeben hätten. Inhaltliche Mängel in den Aussagen der Gutachterin, welche die vorinstanzliche Beweiswürdigung als offensichtlich unrichtig erscheinen lassen könnten, werden im Übrigen in der Beschwerde nicht dargetan.
4.3 Die Beanstandungen der Expertise des medizinischen Zentrums X._ sind nach dem Gesagten nicht gerechtfertigt. Gleiches gilt für den mit diesen Rügen begründeten Antrag auf Anordnung eines Obergutachtens.
5. Das kantonale Gericht ist gestützt auf die dargelegte Zumutbarkeitsbeurteilung im Erwerblichen und im Aufgabenbereich Haushalt zum Ergebnis gelangt, der für einen Rentenanspruch mindestens erforderliche Invaliditätsgrad von 40 % (vgl. Art. 28 Abs. 2 IVG) werde nicht erreicht. Dies wird nicht in Frage gestellt und gibt keinen Anlass zu Weiterungen. Der vorinstanzliche Entscheid ist demnach rechtens.
6. Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Alex Beeler wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Dezember 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz