Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 1966) und Y._ (geb. 1972) sind die unverheirateten Eltern von Z._ (geb. 2005). Gemäss einer von der Vormundschaftsbehörde A._ genehmigten Vereinbarung vom 16. September 2005 teilen sich die Eltern die elterliche Sorge. Bei Auflösung des gemeinsamen Haushaltes soll die elterliche Obhut der Mutter zustehen und das Besuchsrecht in eigener Verantwortung sowie unter Rücksichtnahme auf die Bedürfnisse und die Meinung des Kindes im gegenseitigen Einvernehmen geregelt werden. Für den Konfliktfall haben die Eltern vereinbart, dass der Vater Z._ jedes zweite Wochenende von Freitag- bis Sonntagabend zu sich auf Besuch und jährlich vier Wochen zu sich in die Ferien nehmen dürfe.
A.b Im Sommer 2006 lösten X._ und Y._ ihre Hausgemeinschaft auf. Z._ kam unter die Obhut ihrer Mutter. An der gemeinsamen elterlichen Sorge änderte sich nichts.
A.c Mit Beschluss vom 3. August 2007 errichtete die Vormundschaftsbehörde A._ auf Antrag der Eltern eine Besuchsrechtsbeistandschaft. Trotzdem kam es in der Folge zu etlichen Auseinandersetzungen über die Kinderbelange, die in einer Reihe von Verfahren vor den Gerichts- und Verwaltungsbehörden des Kantons Schwyz mündeten.
B. B.a Am 26. Oktober 2009 beantragte Y._ beim Regierungsrat des Kantons Schwyz, das gemeinsame Sorgerecht für Z._ aufzuheben und ihr das alleinige Sorgerecht zu übertragen; dem Vater sei ein übliches Wochenend-, Feiertags- und Ferienbesuchsrecht zu gewähren.
B.b Per 30. April 2010 zogen Mutter und Tochter aus A._ in die Stadt B._ (ZG) um. Die dortige Vormundschaftsbehörde übernahm die Besuchsrechtsbeistandschaft der Gemeinde A._ (Bst. A.c).
B.c Das Sorgerechtsverfahren vor dem Regierungsrat des Kantons Schwyz endete zu Gunsten von Y._. Nachdem der Regierungsrat beide Eltern angehört und ein kinderpsychiatrisches Gutachten eingeholt hatte, übertrug er mit Beschluss vom 27. April 2011 der Mutter die alleinige elterliche Sorge für Z._. Dem Vater räumte er ein Besuchsrecht an jedem zweiten Wochenende von Freitagabend, 18.00 Uhr, bis Sonntagabend, 18.00 Uhr, sowie ein Ferienrecht von sechs Wochen pro Jahr ein. Diese Besuchsregelung verband er in der Urteilsbegründung - nicht aber im Urteilsspruch - mit der Einschränkung, dass anderslautende Anordnungen der Vormundschaftsbehörde Zug im hängigen Verfahren vorbehalten bleiben. Die Verfahrenskosten wurden der Mutter, die Gutachterkosten von Fr. 15'769.65 den Eltern je zur Hälfte auferlegt.
C. C.a X._ zog den regierungsrätlichen Beschluss an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz weiter. In seiner Beschwerde vom 31. Mai 2011 ersuchte er darum, die gemeinsame elterliche Sorge beizubehalten, die elterliche Obhut ihm zu übertragen und Y._ ein grosszügiges Betreuungsrecht zu gewähren. Eventualiter sei ihm das alleinige Sorgerecht samt elterlicher Obhut zu übertragen und Y._ ein grosszügiges Wochenend-, Feiertags- und Ferienbesuchsrecht einzuräumen; subeventualiter sei sein Betreuungs-/Besuchsrecht so auszugestalten, dass ihm eine hälftige Betreuung und Erziehung von Z._ ermöglicht wird, und das Ferienrecht auf acht Wochen pro Jahr auszudehnen. Weiter stellte X._ das Begehren, das Gutachten sei zur Nachbesserung an die Gutachterinnen zurückzuweisen; eventualiter sei ein Obergutachten zu erstellen. Schliesslich verlangte er, Y._, eventualiter der Regierungsrat des Kantons Schwyz habe ihm eine angemessene Entschädigung für die entstandenen Kosten zu bezahlen und sämtliche Verfahrenskosten zu tragen.
C.b Derweil hatte der Streit der Eltern um den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Kind im Kanton Zug seinen Fortgang genommen. Unter anderem hatte X._ am 25. Januar 2011 bei der Stadt B._ um eine Erweiterung der Regelung des persönlichen Verkehrs ersucht. Gestützt auf Art. 275 Abs. 1 ZGB erklärte sich der Stadtrat der Stadt B._ als Vormundschaftsbehörde am Wohnsitz des Kindes für die Regelung und Anpassung des persönlichen Verkehrs zuständig. Mit Beschluss vom 12. Juli 2011 hiess er X._s Gesuch teilweise gut. Er dehnte das Ferienrecht des Vaters auf sechseinhalb Wochen aus, räumte diesem zusätzlich einen Halbtag pro Woche zur Betreuung von Z._ ein, regelte das Besuchsrecht an den Feiertagen und ordnete die gegenseitigen Telefonkontakte und Informationspflichten. Zugleich ermahnte der Stadtrat die Eltern zur Einhaltung der Regeln und zur Zusammenarbeit mit der neuen Beiständin.
C.c Im Sorgerechtsstreit wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die Beschwerde mit Entscheid vom 18. August 2011 ab. In der Begründung seines Entscheides bestätigte es ausdrücklich den regierungsrätlichen Vorbehalt betreffend die Anordnungen der Vormundschaftsbehörde Zug (Bst. B.c); diese sei besser in der Lage, die laufende Entwicklung im Hinblick auf das Kindeswohl angemessen zu berücksichtigen.
D. D.a Gegen diesen Entscheid setzt sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) nun vor Bundesgericht zur Wehr. In seiner Eingabe vom 12. Oktober 2011 beantragt er, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 18. August 2011 vollumfänglich aufzuheben. Im Wesentlichen wiederholt er die Rechtsbegehren, die er vor dem Verwaltungsgericht gestellt hat (Bst. C.a). In der Sache stellt er zusätzlich den Eventualantrag, es seien mindestens die Empfehlungen des bestehenden Fachgutachtens vom 3. Januar 2011 zu berücksichtigen und umzusetzen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung "an eine Vorinstanz" zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht ersucht er darum, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen. Ausserdem sei das Verfahren vor Bundesgericht öffentlich zu verhandeln, unter gleichzeitiger Anhörung seiner Person, und es seien die Akten der Vorinstanzen sowie aller übrigen Verfahren beizuziehen.
D.b Y._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) widersetzte sich dem Gesuch um aufschiebende Wirkung nur hinsichtlich der Entschädigungsfolgen gemäss Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids; das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz verzichtete auf eine Stellungnahme. Am 4. November 2011 erteilte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung, soweit sich das Rechtsmittel nicht gegen Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids richtet.
D.c Mit Schreiben vom 24. November 2011 teilte die Direktion des Innern des Kantons Zug dem Bundesgericht mit, sie sei mit einer Verwaltungsbeschwerde gegen den Beschluss des Stadtrats von B._ vom 12. Juli 2011 (Bst. C.b) befasst. Dieser Beschluss regle das Besuchs- und Ferienrecht anders als der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 18. August 2011, den X._ vor Bundesgericht anficht. Die Direktion wies auf die Gefahr sich widersprechender Anordnungen hin und regte einen Informationsaustausch an.
In einer Mitteilung vom 30. November 2011 gab der zuständige Instruktionsrichter des Bundesgerichts den Parteien zur Wahrung des rechtlichen Gehörs Gelegenheit zur Stellungnahme. Diese taten dem Bundesgericht ihre Sicht der Dinge mit Eingaben vom 12. Dezember 2011 kund.
Am 3. Januar 2012 machte die Beschwerdegegnerin dem Bundesgericht Mitteilung vom Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Innerschwyz, der gegen den Beschwerdeführer am 30. Dezember 2011 wegen Sachbeschädigung, Hausfriedensbruch, mehrfachen Entziehens von Unmündigen und mehrfacher Tätlichkeiten ergangen war.
D.d Das Bundesgericht hat in der Sache die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine Beschwerde zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1 S. 216; 134 III 115 E. 1 S. 117, je mit Hinweisen).
1.2 Der Beschwerdeführer wehrt sich mit rechtzeitiger (Art. 100 BGG) Eingabe gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, der zur Hauptsache die Zuteilung der elterlichen Sorge, mithin eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache zum Gegenstand hat (Art. 72 Abs. 1, 75 Abs. 1, 90 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit grundsätzlich zulässig; soweit der Beschwerdeführer subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhebt, ist darauf nicht einzutreten (Art. 113 BGG; Urteil 5A_176/2009 vom 5. Juni 2009 E. 1.1).
1.3 Gegenstand der Beschwerde ist nach dem Gesagten einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten, soweit der Beschwerdeführer den erstinstanzlichen Entscheid des Regierungsrates des Kantons Schwyz beanstandet und seine Rügen gegen andere untere kantonale Instanzen richtet.
1.4 In materieller Hinsicht sind im vorliegenden Verfahren alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. In diesem Bereich wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Das bedeutet, dass es behauptete Rechtsverletzungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) mit freier Kognition prüft. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (BGE 134 III 102 E. 1.1 S. 104 f.; s. auch Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. BGE 121 III 397 E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Allgemein gehaltene Einwände, die er ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorbringt, genügen nicht (BGE 116 II 745 E. 3 S. 749). Soweit die Neugestaltung der elterlichen Sorge zufolge veränderter Verhältnisse in Frage steht, ist überdies zu beachten, dass Art. 298a Abs. 2 ZGB unbestimmte Rechtsbegriffe enthält, für deren Ausfüllung das Sachgericht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. 4 ZGB). Bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide übt das Bundesgericht Zurückhaltung. Es greift nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände nicht in Betracht gezogen hat, die hätten beachtet werden müssen. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 132 III 49 E. 2.1 S. 51; 130 III 571 E. 4.3 S. 576; je mit Hinweisen).
1.5 Hingegen ist das Bundesgericht an den von der letzten kantonalen Instanz festgestellten Sachverhalt gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann einzig eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung oder die Verletzung eines anderen verfassungsmässigen Rechts geltend gemacht werden, wobei der betreffende Mangel überdies für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein muss (Art. 97 Abs. 1 BGG; vgl. BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22). Für all diese Elemente gilt das strenge Rügeprinzip gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft, während es auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am festgestellten Sachverhalt nicht eintritt. Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es sodann nicht aus, die eigene Sichtweise darzustellen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen; vielmehr ist im Einzelnen darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht in Willkür verfallen sein soll (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
1.6 Der Beschwerdeführer verlangt eine öffentliche Verhandlung und Anhörung vor Bundesgericht. Im vorliegenden Beschwerdeverfahren ist der Entscheid aufgrund der Akten spruchreif. Die Anordnung einer öffentlichen Parteiverhandlung und einer persönlichen Anhörung des Beschwerdeführers vor Bundesgericht ist nicht angezeigt. Im Übrigen hat der Beschwerdeführer vor den unteren Instanzen keine Verhandlung gefordert, sondern lediglich Beweisanträge gestellt. Damit ist der Anspruch auf eine öffentliche Verhandlung verwirkt (BGE 125 V 37 E. 2 S. 38; 122 V 47 E. 3b/bb S. 56).
2. In der Sache gilt es zuerst die Frage der Zuteilung der elterlichen Sorge zu klären. Vom Entscheid hierüber hängt die Beurteilung der weiteren Anträge ab.
2.1 Gemäss Art. 298a Abs. 2 ZGB ist die Zuteilung der elterlichen Sorge neu zu regeln, wenn dies wegen wesentlicher Veränderung der Verhältnisse zum Wohl des Kindes geboten ist. Die gemeinsame Sorge kann nicht einfach gekündigt werden. Es gelten indes nicht so strenge Voraussetzungen wie beim Entzug der elterlichen Sorge. Notwendig, aber auch ausreichend ist, dass die wesentlichen Grundlagen für eine gemeinsame Elternverantwortung nicht mehr vorhanden sind, so dass das Kindeswohl die Übertragung der elterlichen Sorge an einen Elternteil gebietet. Ob eine wesentliche Veränderung vorliegt, beurteilt sich aufgrund sämtlicher Umstände des konkreten Einzelfalls (Urteil 5C.34/2006 vom 27. Juni 2006 E. 1.1 mit Hinweisen). Allein schon der Antrag eines Elternteils oder des Kindes auf Neubeurteilung der elterlichen Sorge ist in der Regel aber ein Indiz dafür, dass die gemeinsame elterliche Sorge nicht mehr dem Kindeswohl entspricht (Urteile 5A_831/2010 vom 14. November 2011 E. 3.1.1; 5A_638/2010 vom 10. November 2010 E. 2.1; 5A_645/2008 vom 27. August 2009 E. 4.1 mit Hinweisen). Letzteres trifft rechtsprechungsgemäss jedenfalls dann zu, wenn Kooperationswille und Kooperationsfähigkeit der Eltern nicht mehr bestehen (Urteil 5A_616/2007 vom 23. April 2008 E. 7.1; zur analogen Regelung in aArt. 157 ZGB: BGE 100 II 76 E. 1 S. 77 f.).
Steht fest, dass die elterliche Sorge nicht mehr gemeinsam ausgeübt werden kann, so ist sie einem Elternteil zuzuteilen (Art. 298a Abs. 2 ZGB), wobei wiederum das Kindeswohl entscheidet (vgl. BGE 115 II 206 E. 4a S. 209, 317 E. 2; 117 II 353 E. 3 S. 354 f.).
2.2 Das Verwaltungsgericht setzt sich im angefochtenen Entscheid eingehend mit dem 118 Seiten starken kinderpsychiatrischen Gutachten vom 3. Januar 2011 auseinander, wonach die gemeinsame elterliche Sorge unter dem Aspekt des Kindeswohls nicht aufgehoben werden, die Obhut weiterhin bei der Beschwerdegegnerin verbleiben und der Vater das Kind zusätzlich an einem Wochentag betreuen soll. Das Verwaltungsgericht räumt ein, dass es durchaus Gründe gäbe, die gemeinsame elterliche Sorge der gutachterlichen Empfehlung entsprechend beizubehalten. Allerdings habe sich herausgestellt, dass die im Gutachten angenommene positive Entwicklung zu optimistisch gewesen sei. Die Eltern seien nach wie vor nicht in der Lage, im Interesse des Kindeswohls konstruktiv zusammenzuwirken und anfallende Fragen im Zusammenhang mit Z._ gemeinsam anzugehen und zu besprechen. Im Ergebnis sprächen die gewichtigeren Argumente dafür, dass die Grundlagen für eine gemeinsame Elternverantwortung, das heisst echter Kooperationswille und eine hinreichende Kooperationsfähigkeit der Eltern, derzeit nicht gegeben sind.
2.3 Der Beschwerdeführer rügt in verschiedener Hinsicht Willkür in der Sachverhaltsfeststellung. Er macht geltend, weder die Behörden noch die Gutachterinnen hätten sich mit seinen Eingaben je auseinandergesetzt und seine Beweisofferten berücksichtigt; stattdessen werde ihm ein Verhalten unterstellt, das ihn zum Täter mache. Die diesbezüglichen Vorwürfe des Beschwerdeführers gehen schon deshalb fehl, weil er nicht dartut, inwiefern die Behebung der angeblichen Lücken sich auf den Ausgang des Verfahrens auswirken würde. Auch sonst lassen die Sachverhaltsrügen nicht erkennen, was der Beschwerdeführer zu seinen Gunsten daraus ableiten will. In seiner Eingabe ist wiederholt vom Sachverhalt bzw. von den "tatsächlichen Verhältnissen" die Rede, die das Verwaltungsgericht nicht untersucht und nicht (richtig) wiedergegeben haben soll. Welche Tatsachen der Beschwerdeführer damit genau anspricht, bleibt aber ebenso im Dunkeln wie die Antwort auf die Frage, zu welchem "anderen Schluss" das Verwaltungsgericht durch eine korrekte Sachverhaltsabklärung hätte kommen müssen. Was der Beschwerdeführer unter dem Titel der "offensichtlich unrichtigen und willkürlichen Sachverhaltsdarstellung" vorträgt, lässt sich nicht anders denn als blosse Wiedergabe seiner Sicht der Dinge verstehen. Allein damit ist keine Willkür darzutun (E. 1.5). Insofern erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit im Lichte von Art. 106 Abs. 2 BGG überhaupt darauf einzutreten ist.
2.4 Als willkürlich bezeichnet der Beschwerdeführer den Entscheid des Verwaltungsgerichts auch in der Sache. Er nimmt besonders das kinderpsychiatrische Gutachten vom 3. Januar 2011 ins Visier, bestreitet, dass es die Anforderungen an Expertisen erfülle, und geisselt dessen Schlüsse als "verleumderisch". Die Vorbringen des Beschwerdeführers laufen indes allein darauf hinaus, dass er die "Schuld an der Situation" gebetsmühlenartig mit dem immer gleichen Vorwurf von sich weist, die Beschwerdegegnerin unterwandere seit der Trennung gezielt den Kontakt zu seiner Tochter und verweigere die Kommunikation. Wie auch seine Eingabe an das Bundesgericht zeigt, verschliesst sich der Beschwerdeführer beharrlich der Einsicht, dass es für den Entscheid über die Beibehaltung der gemeinsamen elterlichen Sorge nicht darauf ankommt, welcher Elternteil gewisse - veränderte - Verhältnisse zu verantworten hat, sondern einzig darauf, welche Lösung zum Wohl des Kindes geboten ist (Art. 298a Abs. 2 ZGB). An diesem Kriterium hat das Verwaltungsgericht die Verhältnisse des vorliegenden Falles gemessen. Es kam zum Schluss, die Eltern seien nicht in der Lage, im Interesse des Kindeswohls zu kooperieren, weshalb es an den Grundlagen für eine gemeinsame Elternverantwortung fehle. Dabei wies es ausdrücklich darauf hin, "dass dafür nicht einseitig nur ein Elternteil verantwortlich gemacht werden darf".
2.5 Mit den konkreten Gründen, aus denen das Verwaltungsgericht von den Empfehlungen des Gutachtens abgewichen ist, setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander, so dass fraglich scheint, ob er den Begründungsanforderungen (E. 1.4) gerecht wird. Die Frage kann aber offenbleiben, wie sich aus der nachfolgenden Erwägung ergibt.
Nach der Rechtsprechung darf ein Gericht in Fachfragen nicht grundlos von einem Gutachten abweichen und muss Abweichungen begründen. Daraus folgt freilich nicht, dass die Ergebnisse von Gutachten unkritisch übernommen werden dürfen; vielmehr würdigt das Gericht ein Gutachten grundsätzlich frei (BGE 128 I 81 E. 2 S. 86). Das Verwaltungsgericht hat seinen Entscheid, weshalb die elterliche Sorge der Beschwerdegegnerin in Abweichung vom Gutachten vom 3. Januar 2011 zu übertragen sei, ausführlich und sorgfältig begründet. Es trägt auch dem Umstand Rechnung, dass sich die Frage des Kindeswohls einer starren Beurteilung entzieht und stets im Hinblick auf die aktuellen Verhältnisse zu beantworten ist (Urteil 5A_591/2008 vom 24. Oktober 2008 E. 3.2): Unter Berücksichtigung der neuesten Entwicklungen im Sommer 2011 betont es, ungeachtet der gerichtlichen Ermahnungen könne von einer grundlegenden Verbesserung der Kooperation und Kommunikation bedauerlicherweise immer noch nicht gesprochen werden; die positive Entwicklung, von der im Fachgutachten vom 3. Januar 2011 noch die Rede war, habe keinen nachhaltigen Bestand gehabt. Dass sich daran bis heute nichts geändert hat, belegen die undifferenzierten Anwürfe gegen die Vorinstanz und die Beschwerdegegnerin, zu denen sich der Beschwerdeführer auch vor Bundesgericht unbeirrt hinreissen lässt. Alles in allem liegen somit keine Anhaltspunkte vor, aufgrund derer das Bundesgericht trotz aller Zurückhaltung (E. 1.4) in den Ermessensentscheid des Verwaltungsgerichts eingreifen müsste. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts, die elterliche Sorge der Beschwerdegegnerin zu übertragen, ist zu bestätigen.
3. 3.1 Das Begehren des Beschwerdeführers, das alleinige Sorgerecht anstatt der Beschwerdegegnerin ihm zu übertragen, wird nach dem Gesagten (E. 2) gegenstandslos. Dasselbe gilt für den Antrag, die elterliche Obhut dem Beschwerdeführer zu übertragen, denn dieses Begehren steht unter der Bedingung, dass die gemeinsame elterliche Sorge für Z._ beibehalten wird.
3.2 Auch dass es sich erübrigt, das kinderpsychiatrische Gutachten vom 3. Januar 2011 nachzubessern oder gar ein Obergutachten zu erstellen, ergibt sich hinreichend aus den vorstehenden Erwägungen (E. 2.3 bis 2.5). Immerhin sei klargestellt, dass Expertisen nicht dazu da sind, die Erwartungen einer Partei an den Ausgang eines Verfahrens zu bestätigen, sondern dazu dienen, dem Gericht in Fachfragen spezifische Erkenntnisse zu verschaffen. Die diesbezüglichen Anträge sind abzuweisen.
3.3 Eventualiter beantragt der Beschwerdeführer schliesslich eine Ausdehnung seines Betreuungs- und Besuchsrechts; zumindest seien die Empfehlungen des Gutachtens vom 3. Januar 2011 zu berücksichtigen. Am 12. Juli 2011 hat die Vormundschaftsbehörde der Stadt B._ (ZG) als zuständige Vormundschaftsbehörde am Wohnsitz des Kindes (Art. 275 Abs. 1 ZGB) den persönlichen Verkehr im Detail geregelt (Bst. C.b). Wohl wurde diese Regelung, die beide Parteien mit Verwaltungsbeschwerde bekämpfen (Bst. D.c), zu einem Zeitpunkt getroffen, als noch die gemeinsame elterliche Sorge galt. Entgegen der Ansicht der Beschwerdegegnerin führt der Wechsel von der gemeinsamen zur alleinigen elterlichen Sorge jedoch nicht dazu, dass die Zuger Regelung "ausser Kraft" gesetzt werden müsste. Denn jedenfalls im vorliegenden Fall ist der Anspruch auf persönlichen Verkehr nicht mit der elterlichen Sorge, sondern mit der elterlichen Obhut verknüpft (Art. 273 Abs. 1 ZGB); Letztere steht schon seit der Trennung im Sommer 2006 der Beschwerdegegnerin zu, auch wenn die gemeinsame elterliche Sorge bis heute andauerte. Hängt die beantragte Neuregelung des persönlichen Verkehrs aber nicht allein davon ab, dass sich die Rechtslage bezüglich der elterlichen Sorge nun ändert, so braucht das Bundesgericht die Besuchs- und Ferienrechtsregelung gemäss dem angefochtenen Schwyzer Entscheid nicht mehr zu überprüfen, wenn für den persönlichen Verkehr nunmehr die Zuger Behörden zuständig und damit auch schon in zweiter Instanz befasst sind. In diesem Sinne ist auch der Vorbehalt zu verstehen, den das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Bezug auf den persönlichen Verkehr angebracht hat (Bst. C.c). Nach dem Gesagten kann die Direktion des Innern des Kantons Zug auch vor dem Hintergrund der alleinigen elterlichen Sorge ohne Weiteres über die Neuregelung des persönlichen Verkehrs befinden. Die diesbezüglichen Anträge vor Bundesgericht erweisen sich als überholt und sind deshalb nicht mehr zu beurteilen.
4. Gestützt auf die vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er ist kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat sich zur Hauptsache nicht vernehmen lasen. Gegen die Erteilung der aufschiebenden Wirkung hat sie sich nur hinsichtlich der Entschädigungsfolgen gewehrt, ist mit ihrem Antrag aber durchgedrungen (Bst. D.b). Daher hat ihr der Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BBG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, der Vormundschaftsbehörde der Gemeinde A._ sowie der Direktion des Innern des Kantons Zug schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Januar 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: V. Monn