Sachverhalt:
A. Der aus der Türkei stammende A.X._ (geb. 1971) heiratete am 26. Oktober 2004 in seiner Heimat die ebenfalls türkischstämmige B.Y._ (geb. 1970), welche zusätzlich das schweizerische Bürgerrecht besitzt. B.X.-Y._ zog in der Folge ihren Ehemann in die Schweiz nach (Einreise am 22. Dezember 2004), wo er eine Aufenthaltsbewilligung erhielt, welche regelmässig - zuletzt bis zum 21. September 2007 - verlängert wurde. Bereits im Februar 2006 verliess B.X.-Y._ die eheliche Wohnung. Kurz darauf erstattete sie gegen ihren Ehemann Anzeige wegen häuslicher Gewalt und ersuchte beim Bezirksgericht Liestal um Bewilligung des Getrenntlebens, beantragte am 2. November 2006 jedoch die Einstellung des Strafverfahrens, weil sie nochmals versuchen wolle, mit ihrem Ehemann zusammenzukommen. Anfang Mai 2008 gab sie dem Amt für Migration des Kantons Basel-Landschaft jedoch an, die Wiederaufnahme der Beziehung komme nicht in Frage, man sehe sich "mal gar nicht oder mal nach zwei Monaten"; sie hätten auch "sehr viel Streit" und sie habe "schon lange aufgegeben". Mit Eingabe vom 23. Juni 2008 reichte B.X.-Y._ beim Bezirksgericht Liestal schliesslich das Scheidungsbegehren ein. Am 19. Oktober 2009 wurde die Ehe auf gemeinsames Begehren vom Bezirksgericht Liestal geschieden. Bereits im März 2009 hatten die Eheleute eine Vereinbarung über die Scheidungsfolgen getroffen.
B. Rund eineinhalb Jahre vorher - am 21. September 2007 - hatte der Arbeitgeber von A.X._ um Verlängerung von dessen Aufenthaltsbewilligung ersucht. Dieses Gesuch blieb ohne Erfolg (vgl. Verfügung des Amtes für Migration Basel-Landschaft vom 21. Juli 2008). Gleichzeitig wurde A.X._ aus der Schweiz weggewiesen.
Gegen diese Verfügung wehrte sich der Betroffene vergeblich beim Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft: Obwohl er u.a. zahlreiche neue Beweismittel eingereicht hatte, welche belegen sollten, dass er sich berechtigterweise Hoffnung auf eine Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft mache (darunter Fotos und eine Liste der von seiner Frau im Sommer/Herbst 2008 verfassten SMS-Nachrichten ["Short Message Services"]), wies der Regierungsrat seine Beschwerde am 13. Januar 2009 ab. Er kam im Wesentlichen zum Schluss, A.X._ berufe sich in rechtsmissbräuchlicher Weise auf eine bloss noch formell bestehende Ehe, um in der Schweiz die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zu erwirken.
Hiegegen gelangte A.X._ ans Kantonsgericht Basel-Landschaft und verlangte die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. Gleichzeitig stellte er u.a. den Antrag, er selber und seine Ehefrau seien persönlich zur Sache zu befragen.
C. Nachdem das Kantonsgericht Basel-Landschaft (Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht) dem Antrag auf persönliche Befragung der Eheleute am 22. Juli 2009 entsprochen hatte, wies es mit Urteil vom gleichen Tag die gegen den regierungsrätlichen Entscheid erhobene Beschwerde ab.
D. Mit Eingabe vom 15. September 2009 führt A.X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 22. Juli 2009 aufzuheben und ihm - dem Beschwerdeführer - die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Amt für Migration Basel-Landschaft hat auf Vernehmlassung verzichtet. Der Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Kantonsgericht Basel-Landschaft verzichtet ebenfalls auf Vernehmlassung. Das Bundesamt für Migration beantragt, die Beschwerde abzuweisen.
E. Mit Verfügung vom 18. September 2009 hat der damalige Abteilungspräsident der Beschwerde - antragsgemäss - aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. Im Beschwerdeverfahren vor dem Bundesgericht findet ein zweiter Schriftenwechsel in der Regel nicht statt (Art. 102 Abs. 3 BGG). Es besteht vorliegend kein Anlass, dem in der Beschwerdeschrift gestellten diesbezüglichen Antrag zu entsprechen (vgl. BGE 133 I 98 E. 2.2 und E. 2.3 S. 99 f.).
2. 2.1 Da das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung vor dem 1. Januar 2008 eingereicht worden ist (vgl. vorne lit. "B."), ist für das vorliegende Verfahren noch das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) massgeblich (Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG; AS 2006 5437/SR 142.20]).
2.2 Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 83 lit. c BGG unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), und betreffend die Wegweisung (Ziff. 4).
2.3 Für die Eintretensfrage, d.h. ob ein Anspruch im soeben genannten Sinne besteht, stellt das Bundesgericht grundsätzlich auf die im Zeitpunkt seines Entscheides massgebende Rechts- und Sachlage ab (vgl. BGE 128 II 145 E. 1.1.3 mit Hinweisen; 118 Ib 145 E. 2a S. 148).
2.4 Als anspruchsbegründende Norm kommt im vorliegenden Fall (vgl. E. 2.1) höchstens Art. 7 Abs. 1 ANAG in Betracht. Danach hat der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Satz 1); nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren hat er Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung (Satz 2).
2.5 Im Zeitpunkt der Einreichung seiner Beschwerde beim Bundesgericht war A.X._ mit einer Frau verheiratet, die das Schweizer Bürgerrecht besitzt, weshalb ihm mit Art. 7 Abs. 1 Satz 1 ANAG (noch) eine grundsätzlich anspruchsbegründende Norm für die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung zur Verfügung stand. Mit der Rechtskraft des Scheidungsurteils am 19. Oktober 2009 ist für den Beschwerdeführer die Möglichkeit, sich auf diese Norm zu berufen, jedoch wieder weggefallen (vgl. BGE 118 Ib 145 E. 2e S. 151). Hätte er vor der Scheidung einen Anspruch auf Niederlassungsbewilligung gemäss Art. 7 Abs. 1 Satz 2 ANAG erworben, könnte er sich darauf zwar auch nach Beendigung der Ehe berufen (BGE 128 II 145 E. 1.1.4), doch trifft auch dies vorliegend nicht zu: A.X._ war mit B.Y._ während weniger als fünf Jahren verheiratet (vgl. vorne "A."), so dass die Voraussetzungen für die Anerkennung eines allenfalls selbst nach Auflösung der Ehe fortbestehenden Anspruchs auf Niederlassungsbewilligung nicht erfüllt sind.
2.6 Da auch Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens) mangels fortbestehender Ehe bzw. mangels besonders intensiver, über eine normale Integration hinausgehender privater Bindungen (dazu ausführlich BGE 130 II 281 E. 3 S. 284 f.) als Anspruchsgrundlage ausser Betracht fällt, kann sich der Beschwerdeführer auf keine ihm einen Bewilligungsanspruch verschaffende Norm berufen, und seine Eingabe ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Anwendung von Art. 83 lit. c Ziff. 2 und 4 BGG sowohl in Bezug auf die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung wie auch auf die Wegweisung unzulässig.
3. Damit bleibt noch zu prüfen, ob die Eingabe allenfalls als subsidiäre Verfassungsbeschwerde an die Hand genommen werden muss: Gemäss Art. 115 lit. b BGG ist zur Verfassungsbeschwerde berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Da dem Beschwerdeführer kein Rechtsanspruch auf die nicht verlängerte Bewilligung zusteht, ist er durch deren Verweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen und ist er grundsätzlich nicht legitimiert, den Bewilligungsentscheid in materieller Hinsicht mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde anzufechten (BGE 133 I 185 E. 6 S. 197 ff.). Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst wäre der Beschwerdeführer berechtigt, die Verletzung von Parteirechten zu rügen, deren Verletzung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft (BGE 133 I 185 E. 6.2. S. 198 f.; sogenannte "Star-Praxis", s. BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 312 ff.). Solche Verletzungen werden aber nicht oder jedenfalls nicht rechtsgenüglich gerügt, so dass auf die Beschwerde auch aus diesem Blickwinkel nicht eingetreten werden kann.
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration Basel-Landschaft, dem Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. April 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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