Faits:
A.
A._ a vainement requis des prestations de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) qui a rejeté sa première requête déposée en décembre 2005 (décision du 13 mars 2007 entérinée, sur recours de l'assuré, par le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales [la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève dès le 1er janvier 2011] le 2 avril 2008), déclaré irrecevable la deuxième requête déposée en janvier 2009 (décision du 22 avril 2009) puis rejeté la troisième requête déposée en janvier 2010 (décision du 26 mai 2011).
B.
Saisie d'un recours de l'intéressé contre la décision du 26 mai 2011, la Chambre des assurances sociales l'a partiellement admis au sens des considérants (jugement du 24 juillet 2013). Elle a notamment octroyé à A._ une rente entière d'invalidité depuis le 25 juillet 2010 et condamné l'administration à payer 4'300 fr. de dépens.
C.
L'office AI recourt contre le jugement. Il en requiert l'annulation dans la mesure où il le condamne à payer 4'300 fr. de dépens qu'il juge injustifiés et disproportionnés.
Considérant en droit:
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (cf. art. 82 ss LTF) interjeté pour violation du droit fédéral (comprenant les droits fondamentaux) au sens de l'art. 95 let. a LTF, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue sur la base des faits retenus par la juridiction précédente (art. 105 al. 1 LTF) qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes et erreurs manifestes apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il n'examine en principe que les griefs allégués et motivés (art. 42 al. 2 LTF) surtout s'il portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant n'est habilité à critiquer la constatation des faits influant sur le sort du litige que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
L'office recourant reproche au tribunal cantonal d'avoir violé le droit fédéral en le condamnant à payer à l'intimé une indemnité de dépens de 4'300 fr. à titre de participation à ses frais et dépens.
3.
3.1. L'administration estime d'abord que l'indemnité mentionnée est injustifiée et singulièrement que le fait de la fixer sans motivation viole son droit d'être entendue.
3.2. Si l'art. 29 al. 2 Cst. inclut effectivement le droit d'obtenir une décision motivée permettant à son destinataire ou à toutes personnes intéressées de la comprendre et de l'attaquer utilement, ainsi qu'à l'instance de recours d'exercer pleinement son contrôle si nécessaire (cf. ATF 129 I 232 consid. 3.2 p. 236), la juridiction cantonale n'était cependant nullement tenue de motiver sa décision sur le montant des dépens dès lors qu'elle ne s'était pas écartée de l'art. 6 du règlement genevois sur les frais, émoluments et indemnités en procédure administrative du 30 juillet 1986 (RFPA; RS/GE 5 10.03), qui prévoit l'octroi d'une indemnité comprise entre 200 et 10'000 fr. pour les frais indispensables (comprenant les honoraires d'un mandataire) occasionnés par la procédure (cf. ATF 111 Ia 1; 9C_801/2012 du 28 octobre 2013 consid. 5; voir également arrêts I 308/98 du 28 juillet 1999 consid. 3, in SVR 2000 IV n° 11 p. 31; 9C_193/2013 du 22 juillet 2013 consid. 3). Le jugement attaqué ne viole donc pas le droit d'être entendu de l'office recourant.
4.
4.1. L'administration soutient encore que le montant des dépens (4'300 fr.) est disproportionné, eu égard au travail fourni et à la complexité de la cause.
4.2. L'intimé qui, pour l'essentiel, a obtenu gain de cause en procédure cantonale (sur cette notion, cf. ATF 132 V 215 consid. 6.2 p. 235 et les références) a droit à ce que ses frais et ses dépens soient remboursés dans la mesure fixée par le tribunal selon l'importance et la complexité de la cause (art. 61 let. g LPGA). Si le principe du droit aux dépens relève du droit fédéral, l'évaluation de leur montant ressortit en revanche au droit cantonal qui échappe en principe à la compétence du Tribunal fédéral, sauf exceptions non pertinentes en l'occurrence (cf. art. 95 let. c, d et e LTF) ou sauf si l'application de ce droit consacre une violation du droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF (notamment de l'interdiction de l'arbitraire [art. 9 Cst.]; cf. arrêt 9C_193/2013 du 22 juillet 2013 consid. 3.2.1 et les références). Or, l'argumentation de l'administration échoue à démontrer le caractère arbitraire du montant des dépens dès lors que les 4'300 fr. accordés se situent dans la moitié inférieure de la fourchette prévue dans le droit cantonal, ce qui laisse à penser que les premiers juges ont estimé que le cas ne présentait pas une complexité particulière, et que le mandataire de l'assuré est intervenu à sept reprises en cours de procédure (recours; requête d'octroi d'un délai supplémentaire pour compléter le recours par le dépôt de rapports médicaux; complément du recours; réplique; prise de position sur le choix de l'expert et des questions de l'expertise; déterminations sur les conclusions de l'expertise et la question de la naissance du droit à la rente), ce qui n'implique pas que le temps passé à la rédaction des actes énumérés, mais aussi leur préparation (examen du dossier; prise de contact avec le médecin traitant; appréciation des nouvelles pièces produites durant la procédure et de leurs implications; analyse des questions juridiques posées; détermination des éléments pertinents pour les réponses; entretiens avec le client; etc.) contrairement à ce qui paraît être suggéré. Il n'y a donc pas lieu de s'écarter de l'appréciation faite par le tribunal cantonal.
5.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par l'office recourant (art. 66 al. LTF) qui n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF). L'intimé peut par contre y prétendre pour sa détermination sur la requête d'effet suspensif (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires arrêtés à 700 fr. sont mis à la charge de l'office recourant.
3.
L'office recourant versera à l'intimé la somme de 500 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Cretton