Faits:
A. Z._ est citoyenne de la République du X._ et elle est domiciliée en France, à proximité de Genève; elle y est venue en octobre 1993, accompagnant son époux qui était fonctionnaire de l'Organisation des Nations Unies.
B. Dès le 9 juin 1995, Z._ est entrée au service de la Mission permanente de la République du X._ auprès de l'Office des Nations Unies à Genève, en qualité de secrétaire. Elle avait souscrit un « contrat d'engagement du personnel local » dont l'art. 8, sous l'intitulé « contentieux », se lisait comme suit:
Pour toute contestation et pour ce qui n'est pas prévu ou précisé dans le présent contrat, les parties auront recours à l'avis du service du protocole local compétent, et pour autant que les usages diplomatiques le permettent, à la compétence du pouvoir judiciaire local.
La Mission comprenait alors deux diplomates, soit l'ambassadeur et un conseiller, une collaboratrice administrative qui était désormais Z._, et deux chauffeurs. L'ambassadeur est demeuré le seul diplomate pendant les années 2000 et 2001; depuis janvier 2007, il est assisté de deux conseillers. Outre son rôle diplomatique, la Mission assume pour toute la Suisse le service consulaire de la République du X._.
Dès octobre 1996 au plus tard, la secrétaire s'est chargée de la comptabilité de la Mission et du service des paiements, sous le contrôle de l'ambassadeur. Elle jouissait du droit de signature collective à deux auprès de la banque. Elle était également chargée des affaires consulaires; sous le contrôle de l'ambassadeur, elle renouvelait des passeports et elle délivrait des visas. Elle signait ces documents et elle y apposait le sceau officiel de la Mission. Elle signait des lettres avec la mention « assistante de l'ambassadeur ».
Avec l'accord du Ministère des affaires étrangères, elle expédiait les affaires courantes de la Mission et elle en recevait les hôtes pendant les absences de l'ambassadeur; le titre officiel de chargée d'affaires ad interim ne lui était toutefois pas attribué.
Dès le 1er avril 2007, selon une note de l'ambassadeur datée du 19 mars précédent, la comptabilité et le service consulaire furent retirés à Z._ pour être dorénavant confiés au « diplomate le moins gradé », c'est-à-dire au deuxième conseiller, « à l'instar de ce qui se pratiquait dans les autres missions du X._ à l'étranger ». Ce dessaisissement s'accompagnait de la suppression d'une « prime de comptabilité » mensuelle que la secrétaire avait perçue dès l'été de 1999. La secrétaire a énergiquement protesté auprès du Ministère des affaires étrangères et elle a aussi alerté divers diplomates et hauts fonctionnaires du X._. Le Ministère a confirmé le dessaisissement le 17 juillet 2009.
Au cours de ce même mois, la secrétaire est partie en vacances au X._, avec sa famille, ainsi qu'elle le faisait chaque été. Faute d'avoir obtenu l'accord de l'ambassadeur, elle avait remis un certificat médical attestant d'une incapacité totale de travail du 29 juin au 1er août 2009.
Le 13 août 2009, l'ambassadeur a ordonné à Z._ de mettre fin à son activité au service de la Mission.
C. Le 27 novembre 2007, Z._ a ouvert action contre la République du X._ devant le Tribunal de prud'hommes du canton de Genève. La défenderesse devait être condamnée au paiement de diverses sommes au total de 83'019 fr.25, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er juin 2007. Par la suite, la demanderesse a amplifié ses conclusions au total de 92'825 fr.95.
A titre principal, la défenderesse a excipé de l'immunité de juridiction et conclu à l'irrecevabilité de la demande; à titre subsidiaire, elle a conclu au rejet de l'action et introduit une demande reconventionnelle tendant au paiement de 10'000 francs.
Par jugement du 15 mars 2010, le tribunal a partiellement accueilli l'action principale et condamné la défenderesse à payer 4'000 fr. et 43'914 fr.65, respectivement avec intérêts dès le 1er juin et dès le 14 août 2007. Le tribunal a rejeté l'action reconventionnelle.
La Cour d'appel a statué le 18 avril 2011 sur l'appel de la défenderesse. Elle a annulé le jugement, accueilli l'exception d'incompétence fondée sur l'immunité de juridiction et déclaré la demande principale irrecevable.
D. Agissant par la voie du recours en matière civile, la demanderesse requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour d'appel et de renvoyer la cause à cette autorité pour nouvelle décision.
La défenderesse n'a pas été invitée à répondre au recours.
Considérant en droit:
1. Selon la jurisprudence relative à l'art. 42 al. 1 LTF, le mémoire introductif du recours au Tribunal fédéral doit comporter des conclusions portant sur le sort de la cause, et la partie recourante n'est en principe pas recevable à réclamer seulement l'annulation de la décision attaquée. Dans la présente affaire, la défenderesse adopte ce dernier procédé. Celui-ci n'est admis que dans l'hypothèse où le Tribunal fédéral, en cas de succès du recours, ne pourrait de toute manière pas rendre un jugement final et devrait, au contraire, renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour complètement de l'état de fait et nouvelle décision selon l'art. 107 al. 2 LTF (ATF 134 III 379 consid. 1.3 p. 383; 133 III 489 consid. 3). Ledit procédé doit être admis en l'espèce, compte tenu que l'arrêt de la Cour d'appel n'est qu'une décision relative à la compétence; il ne règle pas le sort des prétentions élevées contre la défenderesse et il ne constitue donc pas une décision cantonale de dernière instance, aux termes de l'art. 75 al. 1 LTF, relatives à ces prétentions.
2. Pour le surplus, le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale. Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu en matière de droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF); le mémoire de recours a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et il satisfait aux exigences légales (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral ou international (art. 95 let. a et b LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2). En règle générale, il conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF).
3. L'ordre international repose sur le principe que tous les Etats sont souverains et juridiquement égaux. Il s'ensuit qu'en règle générale, aucun Etat ne peut être soumis à la juridiction des tribunaux d'un autre Etat, et que chaque Etat, s'il est néanmoins poursuivi devant les tribunaux d'un autre, peut invoquer l'immunité de juridiction. Celle-ci, selon la jurisprudence actuelle, n'est cependant reconnue qu'en rapport avec des actes de souveraineté, actes accomplis juri imperii, tandis que l'Etat étranger ne peut pas se soustraire aux tribunaux du for pour ce qui concerne ses actes de gestion, accomplis jure gestionis. Les premiers s'inscrivent dans l'exercice de la puissance publique; les seconds s'inscrivent dans une activité économique privée et l'Etat étranger agit, par ses organes, au même titre qu'un particulier (ATF 130 III 136 consid. 2.1 p. 140). Les uns se distinguent des autres non par leur but, parce qu'en dernière analyse, un intérêt étatique se trouve toujours en cause, mais par leur nature intrinsèque. Il importe ainsi de déterminer, en recourant si nécessaire à des critères extrinsèques, si l'acte à l'origine de la prétention élevée en justice relève de la puissance publique ou s'il a fait naître un rapport juridique qui pourrait, dans une forme identique ou similaire, exister aussi entre deux particuliers (ATF 124 III 382 consid. 4a p. 388/389; 134 III 570 consid. 2.2 p. 572). Le juge doit aussi évaluer les intérêts en présence, c'est-à-dire celui de l'Etat étranger à bénéficier de l'immunité, celui de l'Etat du for à exercer sa souveraineté juridictionnelle et celui de la partie demanderesse à obtenir la protection judiciaire de ses droits (ATF 120 II 400 consid. 4a p. 406; 120 II 408 consid. 5a p. 409).
Lorsque des prétentions sont élevées par des cadres ou collaborateurs de missions diplomatiques, et en considération des intérêts ci-mentionnés, il est admis que l'Etat accréditant jouit de l'immunité de juridiction dans ses rapports avec ses agents exerçant des fonctions supérieures, tandis que, au contraire, les employés subalternes peuvent rechercher cet Etat devant les tribunaux de l'Etat du for. Les tâches effectivement confiées, à l'exclusion de la désignation officielle de la fonction, sont décisives pour évaluer si un agent assume une fonction supérieure ou subalterne. Les tâches de chauffeur, portier, jardinier, cuisinier, traducteur-interprète, employé de bureau et employé de maison sont notamment considérées comme subalternes, parce que dépourvues d'influence dirigeante sur l'activité d'une mission diplomatique. En règle générale, l'immunité n'est pas reconnue lorsque l'employé demandeur est dépourvu de la nationalité de l'Etat accréditant et qu'il a été recruté et engagé dans l'Etat du for (ATF 134 III 570 consid. 2.2 p. 573; 120 II 400 consid. 4a p. 406; 120 II 408 consid. 5b p. 409/410).
La jurisprudence admet que l'Etat jouissant de l'immunité puisse valablement renoncer à s'en prévaloir, notamment par une déclaration expresse insérée dans un contrat (ATF 134 III 122 consid. 5.3. p. 130; arrêt 4A_541/2009 du 8 juin 2010, traduit in SJ 2010 I p. 556).
4. La demanderesse conteste qu'elle assumât une fonction supérieure au service de la défenderesse; elle invoque aussi l'art. 8 de son contrat d'engagement pour soutenir que son adverse partie a renoncé à l'éventuelle immunité de juridiction.
5. Il est d'abord nécessaire d'examiner si l'art. 8 du contrat d'engagement comporte effectivement une renonciation à l'immunité de juridiction.
La Cour d'appel résout cette question par l'affirmative mais elle retient que cette renonciation est nulle au regard de l'art. 17 al. 5 de la convention de Lugano concernant la compétence judiciaire et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale, du 16 septembre 1988 (aCL; ROLF 1991 p. 2436), ainsi conçu: « En matière de contrats individuels de travail, les conventions attributives de juridiction ne produisent leurs effets que si elles sont postérieures à la naissance du différend. »
Cette approche n'est pas pertinente car la convention de Lugano n'est pas en cause. D'abord, celle-ci n'a pas pour objet de régler, dans les contestations civiles et commerciales, la protection juridique particulière aux Etats; les immunités de juridiction et d'exécution des Etats, de même que la renonciation à l'immunité, ne sont aucunement abordées dans ce traité international. On ne saurait confondre la question du for compétent, à élucider en premier et soumise, le cas échéant, à la convention de Lugano, et celle de l'immunité de l'Etat défendeur, que la convention ne règle pas et qui ne se pose d'ailleurs pas si le for est de toute manière incompétent. A cela s'ajoute que la République du X._ n'est pas partie à la convention de Lugano et qu'elle n'a évidemment ni domicile ni siège dans un Etat partie à cette même convention; il ressort donc de l'art. 4 al. 1 aCL que le droit interne suisse détermine seul, à l'exclusion des règles de la convention, s'il existe en l'espèce un for en Suisse. Les tribunaux suisses et genevois sont compétents à raison du lieu où le travail était habituellement accompli, selon l'art. 115 al. 1 de la loi fédérale sur le droit international privé (LDIP); leur compétence ne dépend donc pas d'une éventuelle élection de for.
Néanmoins, sur la question de l'immunité, l'art. 8 du contrat d'engagement n'autorise pas la demanderesse à rechercher la défenderesse devant les tribunaux suisses car « la compétence du pouvoir judiciaire local » n'y est envisagée que « pour autant que les usages diplomatiques le permettent ». Cette réserve des usages diplomatiques doit être comprise comme visant l'ensemble des règles coutumières ou conventionnelles valables entre la République du X._ et l'Etat du for relatives à la mission concernée, ce qui inclut l'immunité de juridiction. Contrairement à l'opinion de la demanderesse, la République du X._ n'a donc pas renoncé à son immunité dans la présente affaire.
6. Il reste à examiner si la défenderesse se trouve concrètement en droit d'invoquer l'immunité de juridiction; cela nécessite surtout d'évaluer la nature des tâches assumées par la demanderesse au service de la Mission. A ce sujet, cette partie demande vainement, sans avancer aucune justification, que le Tribunal fédéral ne prenne en considération que la situation postérieure aux mutations survenues en 2007 dans l'organisation de la Mission.
On a vu que selon la jurisprudence, les tâches d'employé de bureau ou de secrétaire relèvent de l'emploi subalterne. Tenir la comptabilité et assurer le service des paiements ne se rattachent pas non plus à une fonction supérieure dans une mission diplomatique car ces tâches ne diffèrent guère de celles d'un comptable dans une entreprise privée. Le droit de signature envers la banque, même seulement collective, dénote cependant que la demanderesse jouissait de la confiance de ses supérieurs et qu'elle pouvait assumer certaines responsabilités. On ne sait pas plus précisément en quoi consistait le suivi des « affaires courantes » de la Mission dans les périodes d'absence de l'ambassadeur, mais on comprend que dans ces périodes, la demanderesse n'était soumise à aucun encadrement sur place et qu'elle assumait effectivement des responsabilités. Sous la surveillance de l'ambassadeur, la demanderesse était chargée du service consulaire; elle prolongeait des passeports et elle délivrait des visas en signant ces documents. Ces tâches-ci étaient caractéristiques d'une fonction étatique; elles comportaient un lien étroit avec les attributions régaliennes de la République du X._ envers ses citoyens à l'étranger et les étrangers désireux d'entrer sur son territoire.
Comme la Cour d'appel l'a constaté, la Mission était une « petite structure ». Il est courant qu'au fil des années et dans une unité à l'effectif restreint, une personne pourtant engagée dans un emploi subalterne se charge d'abord sporadiquement, puis régulièrement du remplacement ou de la suppléance de fonctions supérieures, ce qui modifie la nature de l'engagement initial.
La demanderesse n'a pas été recrutée et engagée au X._ pour être ensuite dépêchée à l'étranger; elle a été engagée à Genève où elle accompagnait son époux. Il s'agit d'un élément d'appréciation plutôt défavorable à l'immunité. Il existe toutefois le lien de la nationalité entre la demanderesse et la République du X._. En définitive, au regard de l'ensemble des circonstances et en dépit de certaines ambiguïtés dans le rôle qui était celui de la demanderesse au sein de la Mission, il se justifie d'admettre que cet Etat peut légitimement, en l'espèce, revendiquer l'immunité de juridiction.
7. La demanderesse invoque enfin la garantie de l'accès au juge conférée par l'art. 6 par. 1 CEDH.
Selon la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme, le droit d'accès à un tribunal peut être restreint en conformité des règles du droit international généralement reconnues en matière d'immunité des Etats (CourEDH, arrêt Cudak Alicija c. Lituanie du 23 mars 2010, ch. 57). La Cour considère notamment que selon une règle de droit international coutumier, l'Etat accréditant jouit de l'immunité dans ses rapports avec ses propres ressortissants qu'il emploie dans ses missions à l'étranger (même arrêt, ch. 65 et 66). Or, on a vu que la demanderesse est citoyenne de la République du X._. Pour le surplus, la Cour reconnaît aussi l'immunité de juridiction, quelle que soit la nationalité de l'agent, lorsque les tâches assumées sont objectivement liées aux intérêts supérieurs de l'Etat accréditant (ch. 70). La décision attaquée se révèle donc compatible avec l'art. 6 par. 1 CEDH.
8. Il n'est pas nécessaire de discuter de manière plus détaillée les critiques que la demanderesse dirige contre la motivation adoptée par la Cour d'appel; il n'est pas non plus nécessaire d'examiner si cette autorité a pu constater sans arbitraire que l'époux de la demanderesse n'est plus fonctionnaire international. Le recours se révèle privé de fondement, ce qui conduit à son rejet.
A titre de partie qui succombe, la demanderesse doit acquitter l'émolument judiciaire à percevoir par le Tribunal fédéral. Il ne sera pas alloué de dépens à la défenderesse car celle-ci n'a pas été invitée à répondre au recours.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demanderesse acquittera un émolument judiciaire de 2'000 francs.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 4 août 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
Le greffier: Thélin