Sachverhalt:
A. Der 1961 geborene L._ war seit April 1989 vollzeitlich als Koch (Souschef) im Hotel W._ angestellt und gestützt auf dieses Arbeitsverhältnis bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (im Folgenden: Zürich) gegen die Folgen von Unfällen obligatorisch versichert (Unfallmeldung UVG vom 24. Januar 2003). Am 13. Januar 2003 wurde er am Arbeitsplatz nach einem kurzen Disput überraschend von einem Küchengehilfen während ungefähr zehn Minuten wiederholt mit zum Teil gefährlichen Gegenständen (Kochkelle, Schraubenzieher, Hackmesser) angegriffen (Rapport der Polizei vom 20. Februar 2003). Der Versicherte erlitt eine kleine Rissquetschwunde frontal, Prellmarken am rechten und linken Oberarm, links thorakal, am linken Ellbogen lateral sowie an der linken und rechten Schulter (dorsal, links und rechts lumbal; vgl. Bericht des Dr. K._, Facharzt FMH für Allgemeinmedizin, vom 24. Januar 2003). Nach anfänglich vollständiger Arbeitsunfähigkeit steigerte der Versicherte das Arbeitspensum stufenweise (50 % ab 15. Januar 2005, 75 % ab 7. März 2003 und 100 % ab 28. März 2003; vgl. Unfallschein UVG des Dr. K._). Wegen einer anhaltenden posttraumatischen Belastungsreaktion wurden psychotherapeutische (vgl. Berichte des Dr. T._, Psychotherapie SPV, vom 14. März und 2. September 2003 sowie 26. Februar und 17. Juni 2004), ergotherapeutische (vgl. Berichte der Frau mag. S._, Praxis für Ergotherapie, vom 25. Juni und 15. November 2004 sowie 31. August 2005), psychopharmakologische (vgl. Berichte des Dr. K._ vom 7. Juni, 3. August und 5. November 2004) sowie psychiatrische (vgl. Auskünfte des Psychiatrischen Zentrums X._ vom 22. Dezember 2005) Behandlungen durchgeführt. Die Zürich kam für die Heilbehandlung auf und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 1. Februar 2006 stellte sie rückwirkend ab 1. Dezember 2005 mangels Kausalzusammenhang ihre Leistungen ein. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 26. September 2006).
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde, mit welcher L._ unter anderem beantragen liess, es "seien (ihm) die gesetzlichen Versicherungsleistungen weiter zu gewähren", wies das Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden nach Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels ab (Entscheid vom 24. Oktober 2007).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt L._ beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien ihm "die per 1. Dezember 2005 eingestellten Leistungen der Unfallversicherung zu gewähren"; eventuell sei die Sache an die Vorinstanz "im Sinne der Erwägungen", subeventuell an die Zürich "zur Vornahme weiterer Abklärungen" zurückzuweisen.
Die Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Im verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren sind grundsätzlich nur Rechtsverhältnisse zu überprüfen bzw. zu beurteilen, zu denen die zuständige Verwaltungsbehörde vorgängig verbindlich - in Form einer Verfügung - Stellung genommen hat. Insoweit bestimmt die Verfügung den beschwerdeweise weiterziehbaren Anfechtungsgegenstand. Umgekehrt fehlt es an einem Anfechtungsgegenstand und somit an einer Sachurteilsvoraussetzung, wenn und insoweit keine Verfügung ergangen ist (BGE 131 V 161 E. 2.1 S. 164, 125 V 413 E. 1a S. 414, 119 Ib 33 E. 1b S. 36, je mit Hinweisen).
1.2 Die Zürich hat die nach dem Unfall vom 13. Januar 2003 ausgerichteten Taggeldleistungen nach Wiedererlangung der vollständigen Arbeitsfähigkeit ab 28. März 2003 formlos eingestellt (vgl. die an das Hotel W._ adressierte Schlussabrechnung vom 15. April 2003 sowie den Unfallschein UVG des Dr. K._). Wohl hat die Zürich im Einspracheentscheid vom 26. September 2006 und in der Verfügung vom 1. Februar 2006 wiederholt die Ausdrücke "Leistungspflicht" und "Leistungseinstellung" erwähnt, woraus geschlossen werden könnte, dass sie auch einen allenfalls weiter geltend gemachten Taggeldanspruch beurteilte. Indessen steht aufgrund der Akten fest, dass im Zeitraum bis zum Erlass der Verfügung vom 1. Februar 2006 ein Anspruch auf weitere Taggeldleistungen oder auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung nie zur Diskussion stand. Die Zürich hat denn auch den Versicherten am Schluss der Verfügung vom 1. Februar 2006 daran erinnert, sich bezüglich Übernahme der Heilungskosten an die Krankenversicherung zu wenden. Gemäss Wortlaut des im kantonalen wie auch im letztinstanzlichen Verfahren gestellten (Haupt)begehrens will der Beschwerdeführer anscheinend den Anfechtungs- und Streitgegenstand über den beurteilten Anspruch auf Heilbehandlung hinaus ausdehnen. Hiefür geben jedoch weder die Aktenlage noch der Einsprache- oder vorinstanzliche Entscheid Anlass.
1.3 Nach dem Gesagten ist einzig zu prüfen, ob der Beschwerdeführer über den 1. Dezember 2005 hinaus Anspruch auf Heilbehandlung (Art. 10 Abs. 1 UVG) hat.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2.2 Nach Art. 97 Abs. 2 BGG kann jede unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gerügt werden, wenn sich die Beschwerde gegen einen Entscheid über die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung richtet. Geldleistungen sind insbesondere Taggelder, Renten, jährliche Ergänzungsleistungen und Zulagen zu solchen (Art. 14 ATSG; vgl. Rudolf Ursprung/Petra Fleischanderl in: Festschrift 100 Jahre Aargauischer Anwaltsverband, Aargauischer Juristenverein [Hrsg.], 2005, S. 426; Basler Kommentar, Niggli/Übersax/Wiprächtiger [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz, S. 959 sowie 1037). Als Sachleistung gilt gemäss Art. 13 ATSG unter anderem die Heilbehandlung nach Art. 10 UVG (vgl. Ursprung/Fleischanderl und Basler Kommentar a.a.O.).
2.3 Da einzig eine Sachleistung (Heilbehandlung nach Art. 10 UVG) streitig ist, hat das Bundesgericht die Sache nach den in E. 2.1 hievor erwähnten verfahrensrechtlichen Regeln zu prüfen.
3. 3.1 Der Beschwerdeführer bringt vor, die Feststellung des kantonalen Gerichts, hinsichtlich des Unfalles vom 13. Januar 2003 sei von einer "Situation" auszugehen, die zuerst verbal eskalierte, sei unrichtig. Zudem sei nicht zutreffend, dass der ihn attackierende Mitarbeiter den Schraubenzieher bloss leicht fuchtelnd eingesetzt habe. Schliesslich könne entgegen der vorinstanzlichen Annahme nicht von laufenden Fortschritten in der Verarbeitung des psychischen Traumas gesprochen werden.
3.2 Laut Polizeirapport vom 20. Februar 2003 sowie Überweisungsverfügung des Verhöramtes vom 8. Juli 2004, ist den tätlichen Angriffen des Mitarbeiters ein Disput wegen eines Gerüchtes, das der Versicherte verbreitet haben soll, vorausgegangen. Sodann ist den im angefochtenen Entscheid zitierten Auskünften des behandelnden Psychiaters Dr. T._ (vgl. Berichte vom 13. März und 2. September sowie 26. Februar 2004) sowie der Ergotherapeutin Frau mag. S._ (vgl. Berichte vom 15. November 2004 und 31. August 2005) zu entnehmen, dass die posttraumatischen psychischen Beeinträchtigungen des Beschwerdeführers erheblich verbessert werden konnten. Angesichts dieser Unterlagen ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt haben soll. Allerdings trifft zu, dass der attackierende Mitarbeiter mit dem Schraubenzieher nicht nur herumfuchtelte, sondern damit auf den Versicherten einstach und ihm leichte Verletzungen zufügte (vgl. den erwähnten Polizeirapport und die zitierte Überweisungsverfügung). Der Beschwerdeführer legt aber nicht dar, inwiefern die diesbezügliche unrichtige Sachverhaltsfestellung der Vorinstanz einen Mangel begründet, dessen Behebung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. Mit dem kantonalen Gericht, auf dessen Erwägungen verwiesen wird, ist insgesamt der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 13. Januar 2003 und den über den Zeitpunkt der Leistungseinstellung ab 1. Dezember 2005 hinaus geltend gemachten psychischen Beeinträchtigungen zu verneinen.
4. 4.1 Bei diesem Verfahrensausgang ist der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
4.2 Die anwaltlich vertretene obsiegende Zürich beantragt für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung (vgl. Vernehmlassung der Zürich, deren Rechtsbegehren mit der Formulierung "unter Kosten- und Entschädigungsfolge" schliesst). Gemäss Art. 68 Abs. 3 BGG wird unter anderem mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisationen in der Regel keine Parteientschädigung zugesprochen, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegen. Bei der Zürich handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Organisation, soweit sie Aufgaben im Bereich der obligatorischen Unfallversicherung erfüllt (vgl. zu Art. 159 Abs. 2 alt OG: BGE 121 V 356 E. 6 S. 361 mit Hinweisen). Die Zürich obsiegt vorliegend in ihrem amtlichen Wirkungskreis. Im Unterschied zu Art. 66 Abs. 4 BGG, worin die Verlegung der Gerichtskosten geregelt wird, enthält Art. 68 Abs. 3 BGG keine Sonderregel für den (hier grundsätzlich vorliegenden) Fall, dass Vermögensinteressen im Spiel stehen. Damit fragt sich einzig, ob eine Ausnahme vom grundsätzlichen ("in der Regel") Ausschluss einer Parteientschädigung greift. Die Beschwerdegegnerin begründet ihren Antrag jedoch nicht und macht nicht geltend, weshalb ihr ausnahmsweise eine Parteientschädigung zuzusprechen wäre. Entsprechende Gründe sind im Übrigen auch nicht ersichtlich.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. September 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung i. V. Fessler