Faits:
A. S._, né en 1955, a travaillé en qualité de quincaillier puis de « fournituriste » dans l'horlogerie. En 1998, il a été victime d'un accident de canoë, qui a entraîné une rupture subtotale du ligament croisé antérieur du genou droit ainsi qu'une déchirure oblique de la corne postérieure et du segment moyen du ménisque interne. La CNA a pris le cas en charge. Par décision du 24 septembre 2007, elle a alloué une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 15 %, ainsi qu'une rente d'invalidité de 51 % depuis le 1er août 2006.
Le 9 mai 2002, S._ s'est annoncé à l'assurance-invalidité. L'Office cantonal AI du canton de Genève (l'office AI) a édité le dossier de la CNA, où figure notamment un rapport du docteur G._, spécialiste en chirurgie orthopédique (examen final du 7 octobre 2005). Par ailleurs, il a confié un mandat d'expertise au docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 21 novembre 2003). A la lumière des renseignements recueillis, l'office AI a estimé que la mise en place de mesures d'ordre professionnel était inutile en raison d'une majoration de symptômes psychiatriques. Il a fixé le taux d'invalidité de l'assuré à 37 %, compte tenu de l'absence de toute limitation d'ordre psychiatrique et d'une capacité de travail totale dès le 12 avril 1999 dans une activité adaptée à la marche avec des cannes (rapport de réadaptation du 22 mars 2006). Par décision du 31 mars 2006, confirmée sur opposition le 11 juillet 2007, l'office AI a rejeté la demande de prestations.
B. S._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève, en concluant principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, subsidiairement à des mesures d'ordre professionnel.
Par jugement du 8 juillet 2008, la juridiction cantonale a porté le degré de l'invalidité à 44 % (résultant de la comparaison, en 1999, d'un revenu sans invalidité de 76'903 fr. avec un gain d'invalide de 42'883 fr.). Elle a dès lors admis partiellement le recours et reconnu le droit de l'assuré à un quart de rente d'invalidité à compter du 1er octobre 1999.
C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de dépens, en concluant principalement au versement d'une rente entière d'invalidité depuis le 1er octobre 1999, fondée sur un degré d'invalidité de 100 %, subsidiairement à des mesures d'ordre professionnel et un reclassement.
L'intimé conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
1.2 En ce qui concerne l'évaluation de l'invalidité, les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 ss (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint. Dans la mesure cependant où il en va de l'évaluation de l'exigibilité d'une activité professionnelle au regard de l'expérience générale de la vie, il s'agit d'une question de droit qui peut être examinée librement en instance fédérale (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398 et les arrêts cités).
1.3 Les modifications de la LAI du 6 octobre 2006 (5ème révision de la LAI), entrées en vigueur le 1er janvier 2008, n'ont pas à être prises en considération dans le présent litige, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment de la réalisation de l'état de fait dont les conséquences juridiques font l'objet de la décision (ATF 129 V 1 consid. 1.2 p. 4 et les arrêts cités).
2. Le litige porte sur le droit du recourant à des prestations de l'assurance-invalidité (rente entière et mesures de réadaptation d'ordre professionnel).
Les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige, si bien qu'il suffit de renvoyer au jugement attaqué.
3. 3.1 En procédure fédérale, le recourant s'en prend derechef, à titre subsidiaire, au refus des mesures d'ordre professionnel qui lui a été signifié et se prévaut à cet égard d'une violation de l'art. 17 LAI. Il réfute la motivation du tribunal des assurances, alléguant qu'il avait toujours exprimé le souhait de se réinsérer rapidement dans le monde du travail et de se soumettre à des mesures professionnelles.
3.2 Les objections du recourant ne permettent pourtant pas d'admettre que l'administration de l'AI et les premiers juges auraient mal appliqué le principe de la priorité de la réadaptation sur la rente dans son cas (cf. art. 28 al. 2 LAI en corrélation avec l'art. 16 LPGA et art. 7 LPGA; ATF 108 V 212 s., 99 V 48). En effet, dès lors qu'il se prétend toujours entièrement invalide (le recourant revendique expressément un degré d'invalidité de 100 % à compter du mois d'avril 1999 en raison de son état de santé physique et psychique), le recourant confirme l'opinion de l'instance précédente et de l'intimé selon lesquels le succès d'éventuelles mesures d'ordre professionnel paraissait compromis. On ajoutera que ce constat de fait du tribunal cantonal repose sur un avis du docteur G._ (rapport du 7 octobre 2005), lequel se déclarait pessimiste quant aux possibilités de reconversion professionnelle.
Il s'ensuit que l'intimé a refusé à juste titre de prendre en charge les mesures en cause, en raison de leur échec prévisible.
4. 4.1 Le recourant soutient par ailleurs qu'il souffre de problèmes de santé, aussi bien d'ordre ostéo-articulaire (genou droit et arthrose cervicale) que psychiatrique, dont les incidences sur sa capacité de travail n'auraient pas été appréciées à leur juste valeur. A son avis, les avis médicaux recueillis ne permettent pas d'établir de façon convaincante qu'il aurait conservé une capacité résiduelle de travail dans une activité adaptée, en raison de ses affections somatiques. Pour le volet psychiatrique, il s'en prend au rapport d'expertise psychiatrique du docteur C._, alléguant qu'il présenterait diverses contradictions, ce qui justifierait la mise en oeuvre de plus amples investigations.
4.2 Dans l'état de fait de son jugement, le tribunal cantonal a exposé chronologiquement plusieurs rapports médicaux (docteurs T._, D._, R._, M._, C._ et G._), dont il a résumé les éléments essentiels (diagnostics, capacité de travail). Cependant, à partir de là, le tribunal cantonal n'a tiré aucune conclusion de ces avis médicaux, omettant d'indiquer les faits pertinents qu'il prenait en considération. A la lecture du jugement attaqué, on ne connaît donc pas la position du tribunal cantonal quant à la valeur probante des divers avis médicaux énoncés, de même qu'on ignore ceux qui doivent être pris en considération pour apprécier l'étendue de la capacité de travail qui reste exigible de la part du recourant, ni en définitive quels faits pertinents la juridiction a retenus.
En l'état, le Tribunal fédéral ne saurait compléter d'office les constatations de l'autorité précédente qui portent sur la capacité résiduelle de travail du recourant dans un emploi adapté, en vertu de l'art. 105 al. 2 LTF, d'autant que cette question de fait est précisément contestée et que les appréciations respectives de la CNA et de l'AI paraissent avoir divergé sensiblement, la CNA ayant tenu compte d'une baisse de rendement de 15 %. La cause sera dès lors renvoyée au tribunal cantonal afin qu'il constate les faits qui doivent être retenus et dûment appréciés selon les règles relatives à la libre appréciation des preuves (cf. ATF 125 V 351 consid. 3 p. 352), puis statue à nouveau.
4.3 Comme l'étendue de la capacité de travail exigible est douteuse, la question de l'évaluation de l'invalidité ne peut être abordée. A ce stade, il est ainsi superflu d'examiner d'autres griefs soulevés dans le recours, tels que l'incidence de la décision de la CNA du 24 septembre 2007 dans le présent litige, ou le coefficient de réduction qui devrait être appliqué au revenu d'invalide lorsque ce dernier a été établi sur la base de statistiques de l'Enquête suisse sur la structure des salaires.
5. Vu l'issue du litige et la violation qualifiée dans l'application des règles de droit, les frais judiciaires et les dépens sont mis à charge de la République et canton de Genève (art. 66 al. 3 et 68 al. 4 LTF; ATF 133 V 402 consid. 5 et les références; SEILER/VON WERDT/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz, Berne 2007, no 43 ad art. 66).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 8 juillet 2008 est annulé, la cause lui étant renvoyée afin qu'il procède conformément aux considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la République et canton de Genève.
3. La République et canton de Genève versera au recourant la somme de 2'800 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, à l'Office fédéral des assurances sociales, à la République et canton de Genève et à la Caisse cantonale genevoise de compensation.
Lucerne, le 30 juin 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud