Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 4. Oktober 2010 verneinte die IV-Stelle Bern den Anspruch des 1956 geborenen V._ auf eine Rente der Invalidenversicherung.
B. Eine dagegen eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, teilweise gut, hob die angefochtene Verfügung vom 4. Oktober 2010 insoweit auf, als dem Versicherten für die Zeit vor dem 8. April 2010 eine Rente abgesprochen wurde, und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit sie nach Vornahme der Abklärungen im Sinne der Erwägungen über das Bestehen eines befristeten Rentenanspruchs zwischen August 2009 und April/Juli 2010 neu verfüge; soweit weitergehend wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab (Entscheid vom 19. April 2011).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt V._ beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, und die Sache sei an die Beschwerdegegnerin zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zulässig gegen Endentscheide, das heisst gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (Art. 90 BGG), und gegen Teilentscheide, die nur einen Teil der gestellten Begehren behandeln, wenn diese unabhängig von den anderen beurteilt werden können, oder die das Verfahren nur für einen Teil der Streitgenossen und Streitgenossinnen abschliessen (Art. 91 BGG). Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist hingegen die Beschwerde nur zulässig, wenn sie die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (Art. 92 BGG), einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Rückweisungsentscheide, mit denen eine Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, sind Zwischenentscheide, die nur unter den genannten Voraussetzungen beim Bundesgericht angefochten werden können (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481 f.). Anders verhält es sich nur, wenn der unteren Instanz, an welche zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt und die Rückweisung bloss noch der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient (SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 E. 1.1; dazu nicht veröff. E. 1 von BGE 135 V 148).
2. In Bezug auf die Verneinung eines Leistungsanspruches für die Zeit ab August 2009 bis April (allenfalls bis Juli) 2010 hat das kantonale Gericht die Sache zu weiteren Abklärungen an die Verwaltung zurückgewiesen; insoweit liegt ein Zwischenentscheid vor, der nur unter den hier nicht erfüllten Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 BGG angefochten werden könnte und vom Beschwerdeführer denn auch nicht ausdrücklich angefochten wird.
3. Für die Zeit ab 8. April 2010 hat die Vorinstanz demgegenüber abschliessend entschieden, dass kein Rentenanspruch bestehe. Es fragt sich, ob diesbezüglich ein selbstständig anfechtbarer Teilentscheid vorliegt.
4. 4.1 Die Abgrenzung zwischen Teil- und Zwischenentscheid erfolgt auf der Ebene des Streitgegenstandes: Massgebend ist, ob der Entscheid ein Begehren behandelt, das unabhängig von anderen beurteilt werden kann (Art. 91 lit. a BGG), das heisst auch Gegenstand eines selbstständigen Verfahrens hätte bilden können (Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4332 Ziff. 4.1.4.1); solche Entscheide sind (anders als die Zwischenentscheide) selbstständig der materiellen Rechtskraft zugänglich (BGE 128 III 191 E. 4a S. 194; Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N. 6 zu Art. 91 und N. 2 zu Art. 93 BGG).
4.2 Wird von mehreren an sich denkbaren, derart unabhängigen Begehren nur eines überhaupt prozessual thematisiert, so bildet einzig dieser Punkt Prozessgegenstand; der darüber ergehende Entscheid ist ein Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG. Das zuständige Gericht kann aber auch zur Vereinfachung des Verfahrens von mehreren gleichzeitig gestellten Rechtsbegehren nur einen Teil beurteilen (vgl. Art. 123 lit. a des bundesrätlichen Entwurfs vom 28. Juni 2006 zu einer Schweizerischen Zivilprozessordnung [E-ZPO]; BBl 2006 7413); in diesem Fall handelt es sich um Teilentscheide im Sinne von Art. 91 BGG, welche selbstständig anfechtbar sind und später nicht mehr angefochten werden können (Hans Peter Walter, Neue Zivilrechtspflege, in: Pierre Tschannen [Hrsg.], Neue Bundesrechtspflege, Berner Tage für die juristische Praxis [BTJP], 2007, S. 113 ff., 132 f.; vgl. Urteil 5A_512/2007 vom 17. April 2008 E. 1.4, nicht publ. in: BGE 134 III 433; 4A_85/2007 vom 11. Juni 2007 E. 3.3). Unzulässig ist dies gemäss Art. 91 lit. a BGG dann, wenn solche Teil-Rechtsansprüche nicht unabhängig von den anderen Begehren beurteilt werden können. Ob dies der Fall ist, richtet sich nach materiellrechtlichen Gesichtspunkten. Ist nach dem materiellen Recht eine unabhängige Beurteilung einzelner Punkte nicht möglich, so ist ein Entscheid, mit dem über diese Punkte befunden wird, ein Zwischenentscheid (BGE 134 III 426 E. 1.2 S. 428 f.).
4.3 Das Rentenverhältnis ist ein Dauerrechtsverhältnis, welches naturgemäss eine längere Zeitspanne beschlägt. Im Rahmen von Dauerrechtsverhältnissen ist es unter dem Vorbehalt des Rechtsmissbrauchs grundsätzlich möglich, Rechtsansprüche, welche bestimmte Teile der gesamten Dauer betreffen, je zum Gegenstand selbstständiger Verfahren zu machen, die zu einem rechtskräftigen Entscheid nur in Bezug auf die betreffende Teilperiode führen. Im Zivilprozess spricht man dabei von einer (individualisierten oder unechten) Teilklage (vgl. Art. 84 E-ZPO; Sutter-Somm, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 2007, S. 108 Rz. 526; Staehelin/Staehelin/Grolimund, Zivilprozessrecht, 2008, S. 199 f. Rz. 40; Leuch/Marbach/Kellerhals/Sterchi, Die Zivilprozessordnung für den Kanton Bern, 5. Aufl. 2000, N. 1 e zu Art. 138, N. 12 c bb zu Art. 192 ZPO; vgl. Urteil 4C.204/1995 vom 22. Februar 1996 E. 2). Das ist auch im öffentlichen Recht, namentlich in der Sozialversicherung, der Fall: Im Klageverfahren wird der Streitgegenstand durch das klägerische Begehren bestimmt; beschränkt sich dieses beispielsweise im Rahmen einer Klage (Art. 73 BVG) auf Rentenleistungen der beruflichen Vorsorge nur auf einen bestimmten Teilzeitraum, so kann nur dieser beurteilt werden. Im Bereich der nachträglichen Verwaltungsgerichtsbarkeit bestimmt die angefochtene Verfügung den zulässigen Streitgegenstand: Unter dem Vorbehalt einer ausnahmsweisen Ausdehnung des Streitgegenstands (BGE 130 V 138 E. 2.1 S. 140 f.) kann die Beschwerdeinstanz nur beurteilen, was verfügt worden ist; ist nur über einen Teilzeitraum verfügt worden, kann auch nur dieser beurteilt werden (vgl. z.B. Urteile 8C_354/2009 vom 8. Mai 2009 und 9C_603/2007 vom 8. Januar 2008; dazu auch nicht veröff. E. 4 von BGE 135 V 148).
5. 5.1 Steht eine Dauerleistung während einer längeren Zeitperiode zur Diskussion und hat die Vorinstanz nur für einen Teil dieses Zeitraums in der Sache entschieden, so liegt nach dem Gesagten grundsätzlich ein Teilentscheid vor, der selbstständig anfechtbar ist. Das Bundesgericht hat denn auch mit BGE 135 V 141 E. 1.4.6 S. 147 erkannt, dass ein Entscheid, mit welchem eine Vorinstanz des Bundesgerichts eine bestimmte, vorangehende Teilperiode des Rentenanspruchs materiell abschliessend beurteilt und für eine darauf folgende Teilperiode die Sache zu neuer Beurteilung an die Verwaltung zurückweist, in Bezug auf die materiell abschliessend beurteilte Phase ein Teilentscheid im Sinne von Art. 91 lit. a BGG ist, der selbstständig anfechtbar ist und innert der Frist des Art. 100 BGG angefochten werden muss, wenn der Eintritt der Rechtskraft verhindert werden soll (Urteile 1B_206/2007 vom 7. Januar 2008 E. 3.3; 1C_82/2007 vom 19. November 2007 E. 1.2).
5.2 Hier liegt jedoch die gegenteilige Situation vor: Die Vorinstanz hat in Bezug auf die vorangehende Periode zurückgewiesen, in Bezug auf die darauf folgende Zeitspanne aber einen materiellen Entscheid gefällt. In dieser Konstellation erweist sich aus spezifischen sozialversicherungsrechtlichen Gründen ein abschliessender materieller Entscheid für die folgende Phase nicht als zulässig, wie das Bundesgericht in BGE 135 V 148 E. 5.2 S. 150 entschieden hat: Streitgegenstand ist der Rentenanspruch als Ganzes (BGE 131 V 164 E. 2.2 S. 165, 125 V 413 E. 2 S. 415 ff.). In zeitlicher Hinsicht ergibt sich freilich zwangsläufig eine Staffelung der Beurteilung, indem die Rentenzusprache jeweils (nur) bis zu einem bestimmten Zeitpunkt (in der Regel bis zum Zeitpunkt des Verfügungserlasses) verbindlich festgelegt werden kann, weshalb ein solcher Entscheid selbstständig rechtskräftig werden kann und als End- oder Teilentscheid selbstständig anfechtbar ist. Diese einmal rechtskräftig festgelegte Rente bleibt (unter Vorbehalt der prozessualen Revision oder der Wiedererwägung; Art. 53 Abs. 1 oder 2 ATSG) auch für die Zukunft verbindlich, bis sie gegebenenfalls in einem neuen Verfahren wegen erheblicher Änderung des Invaliditätsgrades erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben wird (Art. 17 Abs. 1 ATSG). Daraus folgt, dass die Rente für eine folgende Teilperiode nicht endgültig festgelegt werden kann, solange sie für die vorangehende Teilperiode nicht rechtskräftig beurteilt ist, da die Rentenrevision nach Art. 17 Abs. 1 ATSG eine Änderung (in medizinischer oder erwerblicher Hinsicht) voraussetzt: Führten denn auch die im vorliegenden Fall noch vorzunehmenden Abklärungen zum Ergebnis, dass für die Zeit ab August 2009 bis April 2010 ein Rentenanspruch besteht, könnte ein solcher ab April 2010 nur verneint werden, wenn in diesem Moment eine rechtserhebliche Änderung in den massgebenden Verhältnissen vorliegt. Hinzu kommt, dass die für eine vorangehende Phase zu treffenden weiteren Abklärungen auch zu Erkenntnissen führen können, welche die bisherige Beurteilung der folgenden Phase als fraglich erscheinen lassen, welch letzte somit nicht losgelöst von der vorangehenden materiell beurteilt werden kann. Im Lichte der Einheit des Rentenverhältnisses (BGE 125 V 413) ist deshalb grundsätzlich davon abzusehen, eine spätere Periode materiell zu beurteilen, solange in Bezug auf einen vorangehenden Anspruchszeitraum die Sache noch zu näheren Abklärungen zurückgewiesen wird. Geschieht dies trotzdem, so liegt in Bezug auf die materiell beurteilte spätere Phase ebenfalls ein Zwischenentscheid vor. Es sind zwar durchaus Konstellationen denkbar, in denen das Vorliegen der Revisionsvoraussetzungen auf der Hand liegt oder es sonst wie möglich wäre, die folgende Phase zu beurteilen, auch wenn die vorangehende noch nicht endgültig beurteilt ist. Es würde jedoch zu unpraktikablen Differenzierungen und entsprechender Rechtsunsicherheit führen, die Anfechtbarkeit von der Konstellation im Einzelfall abhängig zu machen. Im Hinblick auf die erhebliche Auswirkung der Unterscheidung (selbstständiges Rechtskräftigwerden bei Unterlassung der Anfechtung bei Teilentscheiden; spätere Anfechtbarkeit bei Zwischenentscheiden) ist eine möglichst klare Regelung erforderlich, weshalb von derartigen Differenzierungen abzusehen ist.
5.3 Zusammenfassend ist festzuhalten: Ein Entscheid, mit welchem eine Vorinstanz des Bundesgerichts eine bestimmte, vorangehende Teilperiode des Rentenanspruchs materiell abschliessend beurteilt und für eine darauf folgende Teilperiode die Sache zu neuer Beurteilung an die Verwaltung zurückweist, ist in Bezug auf die materiell abschliessend beurteilte Phase ein Teilentscheid, der selbstständig anfechtbar ist, bei Nichtanfechtung selbstständig rechtskräftig wird und später nicht mehr angefochten werden kann (BGE 135 V 141 E. 1.4.6). Demgegenüber ist ein Entscheid, mit welchem eine Vorinstanz des Bundesgerichts für eine vorangehende Teilperiode des Rentenanspruchs die Sache zu neuer Beurteilung an die Verwaltung zurückweist und für eine darauf folgende Teilperiode den Rentenanspruch abschliessend beurteilt, gesamthaft ein Zwischenentscheid, der nur unter den Voraussetzungen der Art. 92 oder 93 BGG angefochten werden kann, wobei in den Fällen des Art. 93 BGG das im Zwischenentscheid Beurteilte - anders als in den Fällen des Art. 92 BGG (vgl. Art. 92 Abs. 2 BGG) - zusammen mit dem Endentscheid noch angefochten werden kann (Art. 93 Abs. 3 BGG; BGE 135 V 148 E. 5.3 S. 151).
5.4 Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Die Verwaltung wird die von der Vorinstanz angeordneten Abklärungen treffen und neu verfügen. Im Anschluss daran bleibt dem Versicherten die Möglichkeit gewahrt, die Verfügung in ihrer Gesamtheit - auch für den Zeitraum ab 8. April 2010 - mittels Beschwerde gerichtlich überprüfen zu lassen (Art. 57, Art. 62 ATSG).
6. Die Beschwerde wird im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG sowie ohne Durchführung eines Schriftenwechsels (Art. 102 Abs. 1 BGG) durch Nichteintreten erledigt. Entsprechend dem Verfahrensausgang werden die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG)
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Juli 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz