Faits:
A. A._, gestionnaire de fortune indépendant, s'occupait des dossiers d'une soixantaine de clients, qui lui avaient confié environ 40'000'000 fr. Il versait l'argent reçu des investisseurs sur plusieurs comptes privés auprès de la Banque X._ (ci-après: X._). Confronté à des pertes, il a utilisé l'argent de certains clients pour en rembourser d'autres ou pour payer des intérêts. Le 9 juillet 2000, il s'est spontanément dénoncé auprès du Procureur général; il a été inculpé d'escroquerie, de gestion déloyale et de faux dans les titres. Par la suite, les deux employés de X._ responsables des comptes de A._ ont également été inculpés, notamment pour avoir accepté que le client procède à de nombreuses opérations de transfert de fonds sur ses comptes sans en vérifier l'origine ni la destination, qu'il mélange sur ses comptes ses propres avoirs avec ceux de ses clients de façon anonyme et qu'il indique faussement être l'ayant droit économique des fonds placés sur ses comptes.
Le 16 février 2000, Y._ avait confié 150'000 fr. à A._.
B. Le 4 août 2006, Y._ a ouvert action contre X._ en paiement de 150'000 fr. avec intérêts à 5% dès le 16 février 2000.
Par jugement du 14 mai 2007, le Tribunal de première instance du canton de Genève a rejeté la demande au motif qu'une éventuelle prétention était prescrite.
Statuant le 21 décembre 2007 sur appel de Y._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a jugé que les droits du demandeur n'étaient pas prescrits; en conséquence, elle a annulé le jugement de première instance et renvoyé la cause au tribunal «pour décision sur les prétentions de Y._».
C. X._ interjette un recours en matière civile. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt de la Chambre civile «en ce qu'il n'a pas considéré que la prétention de Y._ est prescrite» et à la confirmation du jugement du Tribunal de première instance.
La recourante a également déposé une requête d'effet suspensif. Par ordonnance du 27 février 2008, le Président de la cour de céans a fait droit à cette requête.
Y._ propose le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt attaqué.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 133 III 629 consid. 2 p. 630 et les arrêts cités).
1.1 La Cour de justice a rejeté l'exception de prescription et renvoyé la cause au juge de première instance pour la suite de la procédure. Il s'agit là d'une décision incidente sur une question préjudicielle de droit matériel. Une telle décision n'est susceptible de recours au Tribunal fédéral qu'à titre exceptionnel, si l'un des deux cas décrits à l'art. 93 al. 1 let. a ou b LTF est réalisé (ATF 133 III 629 consid. 2.1 p. 631).
1.2 Aux termes de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, le recours est ouvert lorsque la décision attaquée peut causer un préjudice irréparable. La notion de préjudice irréparable est calquée sur celle que posait l'ancien art. 87 al. 2 OJ pour le recours de droit public; la jurisprudence rendue à propos de cette norme peut être transposée dans le nouveau droit. Selon cette jurisprudence, un préjudice ne peut être qualifié d'irréparable que s'il cause un inconvénient de nature juridique; tel est le cas lorsqu'une décision finale même favorable au recourant ne le ferait pas disparaître entièrement, en particulier lorsque la décision incidente contestée ne peut plus être attaquée avec la décision finale, rendant ainsi impossible le contrôle par le Tribunal fédéral; en revanche, un dommage de pur fait, tel que la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme un dommage irréparable de ce point de vue. Il appartient au recourant d'alléguer et d'établir la possibilité que la décision préjudicielle ou incidente lui cause un dommage irréparable, à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (ATF 133 III 629 consid. 2.3.1 p. 632 et les arrêts cités; arrêt 4A_453/2007 du 9 janvier 2008 destiné à la publication, consid. 2.1).
En l'espèce, le rejet de l'exception de prescription ne cause manifestement pas un dommage irréparable à la recourante. La question pourra être soulevée dans le cadre d'un éventuel recours contre la décision finale.
1.3 Selon l'art. 93 al. 1 let. b LTF, le recours est ouvert contre les décisions préjudicielles ou incidentes, notifiées séparément, si son admission peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse. Cette règle est inspirée de celle posée par l'ancien art. 50 al. 1 OJ pour le recours en réforme, si bien qu'il y a lieu de se référer à la jurisprudence relative à cette disposition (ATF 133 III 629 consid. 2.4 p. 633). La première des deux conditions cumulatives est réalisée si le Tribunal fédéral peut mettre fin une fois pour toutes à la procédure en jugeant différemment la question tranchée dans la décision préjudicielle ou incidente. Quant à la seconde condition, il appartient au recourant d'établir qu'une décision finale immédiate permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse, si cela n'est pas manifeste; il doit en particulier indiquer de manière détaillée quelles questions de fait sont encore litigieuses, quelles preuves - déjà offertes ou requises - devraient encore être administrées et en quoi celles-ci entraîneraient une procédure probatoire longue et coûteuse (même arrêt, consid. 2.4.1 et 2.4.2 p. 633 et les références).
En l'espèce, la recourante relève à juste titre que l'admission de l'exception de prescription mettrait fin à la cause. Pour le reste, elle ajoute, sans un mot d'explication, que l'admission de cette exception aurait pour effet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse. Or, il n'est pas du tout manifeste que l'instruction de la cause au fond sera longue et coûteuse; il semble au contraire que les faits sont acquis pour une bonne partie. Quoi qu'il en soit, il appartenait à la recourante, dans ces conditions, de satisfaire aux exigences de motivation rappelées ci-dessus, ce qu'elle n'a pas fait.
Il s'ensuit que le recours est irrecevable.
2. La recourante, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimé une indemnité de 6'500 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 28 mars 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Corboz Godat Zimmermann