Faits:
A. H._ a travaillé en qualité de manoeuvre au service de la société X._ SA. A ce titre, il était assuré contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 24 juin 2004, alors qu'il travaillait sur une échelle, il a été déséquilibré par un câble et a chuté d'une hauteur de trois mètres environ. Il a été transporté à l'Hôpital Y._, où il a séjourné jusqu'au 27 juin 2004. Les médecins de cet établissement ont diagnostiqué une fracture du mur antérieur de L5 sans trouble neurologique associé (rapport du 28 juin 2004). L'évolution ayant été rallentie en raison de l'apparition de vertiges rotatoires, d'un tinnitus et de cervicalgies, l'assuré a été soumis à des investigations complémentaires, lesquelles ont permis de diagnostiquer, au mois d'août 2004, une fracture-tassement modérée du plateau supérieur de C7 avec avulsion antéro-supérieure.
La CNA a pris en charge le cas. Par décision du 1er octobre 2007, confirmée sur opposition le 12 décembre suivant, elle a alloué à l'assuré, dès le 1er octobre 2007, une rente d'invalidité fondée sur une incapacité de gain de 26 %, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 20 %, pour les séquelles physiques de l'accident (fracture-tassement de C7 et fracture du mur antérieur de L5). La CNA a considéré, en effet, qu'il n'existait pas de relation de causalité adéquate entre cet événement et les troubles psychiques, ainsi que les troubles neuropsychologiques sans substrat organique qui leur étaient liés.
B. Saisie d'un recours, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg l'a rejeté par jugement du 24 février 2011.
C. H._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il requiert l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 100 % dès le 1er octobre 2007, subsidiairement au renvoi de la cause à la CNA pour nouvelle décision après complément d'instruction. Le recourant présente une requête d'assistance judiciaire totale.
La CNA conclut au rejet du recours, tandis que la juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Le litige porte sur le taux de la rente d'invalidité allouée au recourant. Singulièrement, il y a lieu d'examiner s'il existe un lien de causalité entre l'accident du 24 juin 2004 et les troubles psychiques et neuropsychologiques présentés par l'intéressé.
Le jugement attaqué portant sur une prestation en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 3 LTF).
3. Le jugement entrepris expose de manière exacte les dispositions légales, ainsi que les principes jurisprudentiels applicables au présent cas, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3.1 La juridiction cantonale a confirmé le taux d'incapacité de gain de 26 % retenu par l'intimée, laquelle a tenu compte exclusivement des lésions physiques consécutives à l'accident, à savoir les séquelles de la fracture-tassement de C7 et de la fracture du mur antérieur de L5. La juridiction précédente, en effet, a nié l'existence d'une relation de causalité adéquate entre l'accident et les troubles psychiques, ainsi que les troubles neuropsychologiques sans substrat organique qui leur sont liés (vertiges, céphalées, acouphènes, surdité de perception, troubles de la mémoire et de la concentration). Elle a considéré qu'aucun des critères objectifs définis par la jurisprudence pour examiner le caractère adéquat du lien de causalité entre un accident - qu'elle a qualifié de gravité moyenne, à la limite des accidents de peu de gravité - et une atteinte à la santé psychique n'était réalisé en l'espèce.
3.2 Le recourant ne remet pas en cause le point de vue des premiers juges selon lequel ses troubles neuropsychologiques et psychiques sont dépourvus de substrat organique. En revanche, il reproche à la juridiction cantonale de s'être fondée sur les critères jurisprudentiels objectifs déterminants en cas d'atteinte à la santé psychique (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409), au lieu des critères applicables en présence d'un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale, d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou d'un traumatisme cranio-cérébral (ATF 134 V 109 consid. 10 p. 126 ss; 117 V 359 consid. 6a p. 367 et 369 consid. 4b p. 383). A cet égard, il allègue qu'il a été victime d'un traumatisme cranio-cérébral avec perte de connaissance et qu'il présente le tableau clinique caractéristique habituellement associé à un traumatisme de ce type (cf. ATF 134 V 109 consid. 9.5 p. 125 s.). Par ailleurs, l'intéressé conteste la qualification de l'accident par la juridiction cantonale et soutient que cet événement est un accident grave ou, à tout le moins, un accident de gravité moyenne, à la limite du cas grave.
3.2 Le recourant ne remet pas en cause le point de vue des premiers juges selon lequel ses troubles neuropsychologiques et psychiques sont dépourvus de substrat organique. En revanche, il reproche à la juridiction cantonale de s'être fondée sur les critères jurisprudentiels objectifs déterminants en cas d'atteinte à la santé psychique (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409), au lieu des critères applicables en présence d'un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale, d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou d'un traumatisme cranio-cérébral (ATF 134 V 109 consid. 10 p. 126 ss; 117 V 359 consid. 6a p. 367 et 369 consid. 4b p. 383). A cet égard, il allègue qu'il a été victime d'un traumatisme cranio-cérébral avec perte de connaissance et qu'il présente le tableau clinique caractéristique habituellement associé à un traumatisme de ce type (cf. ATF 134 V 109 consid. 9.5 p. 125 s.). Par ailleurs, l'intéressé conteste la qualification de l'accident par la juridiction cantonale et soutient que cet événement est un accident grave ou, à tout le moins, un accident de gravité moyenne, à la limite du cas grave.
3.3 3.3.1 En présence de troubles psychiques apparus après un accident, on examine les critères de la causalité adéquate en excluant les aspects psychiques (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409), tandis qu'en présence d'un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale (ATF 117 V 359 consid. 6a p. 367), d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale (SVR 1995 UV n° 23 p. 67 consid. 2) ou d'un traumatisme cranio-cérébral (ATF 117 V 369 consid. 4b p. 383), on peut renoncer à distinguer les éléments physiques des éléments psychiques (sur l'ensemble de la question, cf. ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103 et SVR 2007 UV n° 8 p. 27, consid. 2 ss, U 277/04, et les références).
En l'espèce, il n'est toutefois pas nécessaire de trancher le point de savoir si la juridiction cantonale était fondée à appliquer les critères déterminants en cas d'atteinte à la santé psychique, dès lors que la causalité adéquate entre l'accident et les troubles neuropsychologiques et psychiques doit pareillement être niée si l'on s'appuie sur les critères valables en présence d'un traumatisme de type « coup du lapin » ou d'un traumatisme analogue et que, partant, on renonce à distinguer les éléments physiques des éléments psychiques.
3.3.2 Dans un arrêt ATF 134 V 109, le Tribunal fédéral a précisé sur plusieurs points sa jurisprudence au sujet de la relation de causalité entre des plaintes et un traumatisme de type "coup du lapin" ou un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou encore un traumatisme cranio-cérébral, sans preuve d'un déficit organique objectivable. Selon cet arrêt, il y a lieu de s'en tenir à une méthode spécifique pour examiner le lien de causalité adéquate en présence de tels troubles (consid. 7 à 9 de l'arrêt cité). Par ailleurs, le Tribunal fédéral n'a pas modifié les principes qui ont fait leur preuve, à savoir la nécessité, d'une part, d'opérer une classification des accidents en fonction de leur degré de gravité et, d'autre part, d'inclure, selon la gravité de l'accident, d'autres critères lors de l'examen du caractère adéquat du lien de causalité (consid. 10.1). Cependant, il a renforcé les exigences concernant la preuve d'une lésion en relation de causalité naturelle avec l'accident, justifiant l'application de la méthode spécifique en matière de traumatisme de type "coup du lapin" (consid. 9) et modifié en partie les critères à prendre en considération lors de l'examen du caractère adéquat du lien de causalité (consid. 10). Ces critères sont désormais formulés de la manière suivante:
- les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident (inchangé);
- la gravité ou la nature particulière des lésions (inchangé);
- l'administration prolongée d'un traitement médical spécifique et pénible (formulation modifiée);
- l'intensité des douleurs (formulation modifiée);
- les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident (inchangé);
- les difficultés apparues au cours de la guérison et les complications importantes (inchangé);
- l'importance de l'incapacité de travail en dépit des efforts reconnaissables de l'assuré (formulation modifiée).
3.4 Sur le vu des circonstances de l'accident et compte tenu du fait qu'il y a lieu de faire abstraction de la manière dont l'assuré a ressenti et assumé le choc traumatique (ATF 117 V 359 consid. 6a p. 366; 115 V 133 consid. 6 p. 139 et 403 consid. 5 p. 407 s.), l'événement du 24 juin 2004 doit être classé dans la catégorie des accidents de gravité moyenne (pour un rappel de la casuistique concernant des chutes d'une certaine hauteur, cf. RAMA 1998 n° U 307 p. 448, U 169/97 consid. 3a).
3.5 En ce qui concerne les critères objectifs déterminants, le recourant allègue que le critère de l'administration prolongé d'un traitement médical spécifique et pénible est réalisé. En effet, soutient-il, il s'est vu prescrire de nombreux médicaments, il a été soumis à des examens radiologiques, il a subi un traitement de physiothérapie, ainsi qu'un suivi psychothérapeutique et, au moment du prononcé de la décision du 1er octobre 2007, ces divers traitements duraient déjà depuis près de quarante mois.
Ce moyen doit être rejeté. En effet, le critère invoqué n'apparaît pas réalisé en l'occurrence, dès lors que le traitement subi par l'intéressé n'a pas le caractère de pénibilité requis par la jurisprudence (cf. ATF 134 V 109 consid. 10.2.3 p. 128).
3.6 En outre, le recourant est d'avis que le critère jurisprudentiel de l'intensité des douleurs est réalisé. Il allègue des céphalées, des douleurs à la nuque et au dos, ainsi que des troubles neuropsychologiques et un état dépressif.
On ne saurait toutefois déduire de cette énumération que les douleurs subies par l'intéressé revêtent l'intensité exigée par la jurisprudence (cf. ATF 134 V 109 consid. 10.2.4 p. 128). Le point de vue du recourant se révèle ainsi mal fondé.
3.7 Par ailleurs, l'intéressé invoque le critère de l'erreur dans le traitement médical en faisant valoir que la fracture-tassement du plateau supérieur de C7 a été diagnostiquée seulement au mois d'août 2004.
Le critère invoqué n'apparaît cependant pas réalisé, dès lors qu'en l'espèce, le diagnostic relativement tardif de la fracture en question n'a pas considérablement aggravé les séquelles de l'accident, comme l'exige la jurisprudence (cf. ATF 134 V 109 consid. 10.2.5 p. 129).
3.8 En ce qui concerne le critère de l'importance de l'incapacité de travail, ce n'est pas la durée de l'incapacité qui est déterminante mais bien plutôt son importance au regard des efforts sérieux accomplis par l'assuré pour reprendre une activité. L'intensité des efforts exigibles doit être mesurée à la volonté reconnaissable de l'intéressé de faire tout ce qui est possible pour réintégrer rapidement le monde du travail, au besoin en exerçant une autre activité compatible avec son état de santé (ATF 134 V 109 consid. 10.2.7 p. 129 s.).
En l'espèce, les médecins de la Clinique Z._ - où le recourant a séjourné durant les périodes du 15 septembre au 13 octobre 2004 et du 8 juin au 6 juillet 2005 - ont préconisé deux fois la reprise d'une activité professionnelle. L'assuré n'a toutefois pas repris d'activité et le dossier ne permet pas d'établir s'il a fait tout ce qui était en son pouvoir pour reprendre une activité. Ce point peut toutefois rester indécis dès lors que, même si l'on admet que le critère de l'importance de l'incapacité de travail est réalisé, ce critère n'est pas à lui seul décisif pour admettre l'existence d'un lien de causalité adéquate au regard de la gravité de l'accident en cause (cf. ATF 117 V 359 consid. 6b p. 367 s., 369 consid. 4c p. 384).
3.9 Vu ce qui précède, l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident du 24 juin 2004 et les troubles psychiques et neuropsychologiques doit être niée. L'intimée était dès lors fondée à fixer le taux de l'incapacité de gain compte tenu exclusivement des séquelles physiques de l'accident. Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle ainsi mal fondé.
4. Le recourant, qui satisfait aux conditions de l'art. 64 al. 1 LTF, est dispensé de l'obligation de payer les frais judiciaires. Quant aux conditions auxquelles l'art. 64 al. 2 LTF subordonne la désignation d'un avocat d'office, elles sont également réalisées. L'attention du recourant est cependant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils seront toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Une indemnité de 2'800 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à Me Charrière à titre d'honoraires.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 6 mars 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd