Sachverhalt:
A. L._ (Jg. 1961) erlitt am 23. April 2004 bei einem Auffahrunfall - der von ihr gelenkte, vor einer Lichtsignalanlage wartende Personenwagen wurde von hinten gerammt und in das davor stehende Fahrzeug geschoben - gemäss Diagnose des erstbehandelnden Dr. med. E._, Assistenzarzt auf der Notfallstation der Klinik S._, eine Distorsion der Halswirbelsäule. Dies, nachdem sie sich eine solche schon am 3. Juli 1988 ebenfalls anlässlich eines Auffahrunfalles zugezogen und ihr die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) am 25. Juli 1995 für die daraus resultierenden gesundheitlichen Folgen eine Entschädigung für eine 30%ige Integritätseinbusse sowie für die Zeit ab 1. Mai 1995 eine Invalidenrente auf Grund einer Erwerbseinbusse von 35 % zugesprochen hatte. Dieser Rentenanspruch wurde in späteren Revisionsverfahren mehrmals bestätigt, letztmals mit rechtskräftig gewordenem Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 13. November 2003. Aktenkundig ist ein weiterer Auffahrunfall vom 17. Mai 1992, welcher zwar ebenfalls zu einer Distorsion der Halswirbelsäule geführt, aber keine Dauerleistungen der Unfallversicherung ausgelöst hatte. Auch in Zusammenhang mit dem letzten Auffahrunfall vom 23. April 2004 kam die SUVA für die Heilungskosten auf und richtete Taggelder aus. Mit Verfügung vom 13. Januar 2006 stellte sie die Taggeldzahlungen jedoch auf den 31. Januar 2006 hin mit der Begründung ein, das versicherte Ereignis vom 23. April 2004 habe die schon auf Grund des früheren Unfalles vom 3. Juli 1988 bestehenden Gesundheitsschäden nicht verschlimmert und der Zustand, wie er vor dem neuerlichen Unfall bestand (status quo ante), sei wieder erreicht worden. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 31. August 2007 fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde mit den Begehren, die SUVA zu verpflichten, ihr die gesetzlichen Leistungen für die Folgen des Unfalles vom 23. April 2004 über den 31. Januar 2006 hinaus weiterauszurichten und die ihr bei den Dres. med. D._ und H._ vom Institut X._ angefallenen Gutachterkosten in Höhe von Fr. 12'500.- zu vergüten, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 17. März 2008 ab.
C. Beschwerdeweise lässt L._ ihre im kantonalen Verfahren gestellten Anträge erneuern.
Die SUVA schliesst auf Beschwerdeabweisung, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Das kantonale Gericht hat die Voraussetzungen für die Leistungspflicht des Unfallversicherers (Art. 6 Abs. 1 UVG) und namentlich den dafür rechtsprechungsgemäss erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen versichertem Unfallereignis und darauf zurückzuführender gesundheitlicher Schädigung (BGE 129 V 177 E. 3 S. 181 ff. mit Hinweisen) einschliesslich der in diesem Zusammenhang zu beachtenden beweisrechtlichen Grundsätze zutreffend dargelegt. Darauf kann verwiesen werden. Korrekt wiedergegeben hat es auch die in BGE 134 V 109 E. 10 S. 126 ff. teils neu umschriebenen Adäquanzkriterien. Richtig sind ferner die Ausführungen über die Bedeutung ärztlicher Arbeitsfähigkeitsschätzungen für die Kausalitätsbeurteilung (BGE 125 V 256 E. 4 S. 261 mit Hinweisen) und zur Beweistauglichkeit und zum Stellenwert einzelner medizinischer Berichte (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352).
3. 3.1 Das kantonale Gericht räumte ein, dass die medizinische Situation, insbesondere aus neuropsychologischer Sicht, nicht abschliessend geklärt sei, stellte jedoch fest, dass die Beschwerdeführerin ein Schleudertrauma der Halswirbelsäule erlitten hat und das Leidensbild in der Folge nicht derart von psychischen Folgeschäden überlagert war, dass im Rahmen der Kausalitätsprüfung die Rechtsprechung gemäss BGE 115 V 133 hätte zum Tragen kommen müssen. Weil keine organisch nachweisbaren Unfallschäden hätten objektiviert werden können, gelangte es zum Schluss, die Kausalitätsfrage sei nach Massgabe der in BGE 117 V 359 entwickelten und in BGE 134 V 109 präzisierten Rechtsprechung zu prüfen. Ausgehend von einem höchstens mittelschweren, im Grenzbereich zu den leichten Unfällen liegenden Ereignis verneinte es darauf die Adäquanz der allenfalls noch auf den Unfall vom 23. April 2004 zurückzuführenden Beschwerden.
3.2 Im bundesgerichtlichen Verfahren ist demnach primär die Frage nach der Adäquanz der noch vorhandenen, vom Auffahrunfall vom 23. April 2004 herrührenden gesundheitlichen Beeinträchtigungen zu prüfen. Ist diese mit der Vorinstanz zu verneinen, kann von einer genaueren Prüfung der natürlichen Unfallkausalität abgesehen werden, womit insoweit auf die Argumentation in der Beschwerdeschrift nicht weiter einzugehen ist, als diese ausschliesslich Aspekte beleuchtet, welche allenfalls für die Beurteilung der natürlichen Kausalität von Bedeutung sein könnten, zur Beantwortung der Adäquanzfrage jedoch nichts beitragen. Solange keine unfallbedingten Schäden organisch objektivierbar sind - was auch von der Beschwerdeführerin nicht behauptet wird -, kann dahingestellt bleiben, ob die Gutachten des Dr. med. H._ vom 6. Oktober 2006 und des Dr. med. D._ vom 22. Dezember 2006 die geltend gemachte Verschlechterung der gesundheitlichen Situation nach dem Unfall vom 23. April 2004 gegenüber dem Vorzustand zu belegen vermögen oder ob diese mit dem Kreisarzt Dr. med. G._ (Bericht vom 3. November 2005) als nicht gegeben zu betrachten ist. Die vorinstanzliche Adäquanzprüfung ist nur unter der Voraussetzung sinnvoll, dass tatsächlich noch Beschwerden vorhanden sind, welche auf den Auffahrunfall vom 23. April 2004 zurückzuführen sind. Könnte hingegen als erstellt gelten, dass der Zustand, wie er sich vor diesem letzten Unfall präsentierte, wieder erreicht worden ist, bedürfte es von vornherein keiner Adäquanzprüfung. In diesem Sinne ist denn auch die - zutreffende - Bemerkung der SUVA in ihrer Vernehmlassung vom 3. Juni 2008 zu verstehen, wonach "die Vorinstanz ganz offensichtlich von einem zumindest teilweise natürlichen Kausalzusammenhang ausging".
4. Den Auffahrunfall vom 23. April 2004 stufte die Vorinstanz als mittelschweres, im Grenzbereich zu den leichten Fällen liegendes Ereignis ein, was mit der Rechtsprechung in Einklang steht (SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81 E. 7.2; RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.1.2). Die dagegen in der Beschwerdeschrift erhobenen Einwände sind, soweit sie sich überhaupt auf den entscheidenden äusseren, augenfälligen Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften beziehen, nicht geeignet, zu einer von dieser Beurteilung abweichenden Betrachtungsweise zu führen. Insbesondere steht dieser Einschätzung der Umstand nicht entgegen, dass die beim Aufprall entstandene Geschwindigkeitsänderung (Delta-v) gemäss biomechanischer Kurzbeurteilung der Arbeitsgruppe für Unfallmechanik vom 14. April 2005 im Bereich von 10-15 km/h lag, ist doch das Bundesgericht (bis 31. Dezember 2006: Eidgenössisches Versicherungsgericht) auch schon bei höheren Werten von mittelschweren, an der Grenze zu den leichten Unfällen liegenden Ereignissen ausgegangen (Urteil U 615/06 vom 9. Januar 2008 E. 2.4.2 mit Hinweis; vgl. auch die Kasuistik in RKUV 1995 Nr. U 215 S. 90 E. 3b).
4.1 Von den in die Adäquanzprüfung mit einzubeziehenden Kriterien unbestrittenermassen nicht erfüllt sind "besonders dramatische Begleitumstände oder (eine) besondere Eindrücklichkeit des Unfalls" (BGE 134 V 109 E. 10.2.1 S. 127). Auch liegt keine "ärztliche Fehlbehandlung vor, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert" hätte (BGE 134 V 109 E. 10.2.5 S. 129). Ebenso wenig kann, entgegen der Argumentation in der Beschwerdeschrift, von "schwierigem Heilungsverlauf und erheblichen Komplikationen" (BGE 134 V 109 E. 10.2.6 S. 129) gesprochen werden, zumal eine Behandlungsbedürftigkeit während zwei bis drei Jahren nach einem Schleudertrauma der Halswirbelsäule als durchaus üblich zu betrachten ist (RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.2.4 in fine; Urteil 8C_402/2007 vom 23. April 2008, E. 5.2.3).
4.2 Was die "fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung" (BGE 134 V 109 E. 10.2.3 S. 128) anbelangt, ist mit der Vorinstanz festzuhalten, dass die erfolgten Behandlungen nach dem Unfall vom 23. April 2004 im Wesentlichen aus ambulanter Physiotherapie, alternativ-medizinischen Massnahmen sowie Verlaufskontrollen bestanden und insoweit nicht im Sinne der Rechtsprechung als belastend zu qualifizieren sind. Abgesehen von kreisärztlichen Untersuchungen sowie einzelnen - in den Rahmen der üblichen Sachverhaltsabklärung fallenden - fachärztlichen Explorationen wurde noch ein vom 29. März bis 25. April 2005 dauernder Aufenthalt in der Klinik Z._ organisiert. Von einer kontinuierlichen, mit einer gewissen Planmässigkeit auf eine Verbesserung des Gesundheitszustandes ausgerichteten ärztlichen Behandlung kann bei diesen Gegebenheiten nicht gesprochen werden. Auch waren die getroffenen Vorkehren nicht mit der durch das hier zur Diskussion stehende Kriterium anvisierten, erheblichen zusätzlichen Beeinträchtigung der Lebensqualität verbunden. Das Kriterium "fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung" kann daher nicht als erfüllt gelten.
4.3 Als grundsätzlich, aber nicht in ausgeprägter Weise erfüllt erachtete das kantonale Gericht das Kriterium einer "erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen" (BGE 134 V 109 E. 10.2.7 S. 129 f.). Es anerkannte, dass die Beschwerdeführerin hinreichende Anstrengungen zur Überwindung ihrer Arbeitsunfähigkeit unternommen habe, erachtete dieses Kriterium im Hinblick auf die - abgesehen von zeitlich limitierten kurzen Unterbrüchen - doch teilweise noch verbliebene Leistungsfähigkeit von wenigstens 50 % (bezogen auf den schon vor dem letzten Unfall auf zwei Arbeitstage pro Woche reduzierten Beschäftigungsgrad) nicht als in ausgeprägter Weise erfüllt. Es mag sein, dass die Dres. med. D._ und H._ wie auch der Hausarzt Dr. med. N._ die Arbeitsunfähigkeit etwas höher veranschlagten, doch blieb auch nach deren Einschätzung immer noch eine gewisse Restarbeitsfähigkeit erhalten. Nicht zuletzt wegen des schon vor dem zur Diskussion stehenden Unfall auf zwei Arbeitstage pro Woche reduzierten Beschäftigungsgrades ist der vorinstanzlichen Auffassung, wonach das Kriterium "Arbeitsunfähigkeit" zwar erfüllt - aber nicht in ausgeprägter Weise - sei, beizupflichten.
4.4 Nicht ohne weiteres gefolgt werden kann der Vorinstanz hingegen in der Beurteilung des Kriteriums "Schwere und besondere Art der erlittenen Verletzung" (BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127 f.). Nach der Rechtsprechung genügt die Diagnose einer Distorsion der Halswirbelsäule für sich allein nicht zur Bejahung dieses Kriteriums. Es bedarf dazu vielmehr einer besonderen Schwere der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können. Diese können beispielsweise in einer beim Unfall eingenommenen besonderen Körperhaltung und den dadurch bewirkten Komplikationen bestehen. Auch erhebliche Verletzungen, welche sich die versicherte Person beim Unfall neben dem Schleudertrauma zugezogen hat, können bedeutsam sein. Das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen betrifft aber insbesondere die erfahrungsgemässe Eignung, eine intensive, dem typischen Beschwerdebild nach Schleudertraumen entsprechende Symptomatik zu bewirken. Allgemeiner Erfahrung entspricht, dass pathologische Zustände nach Verletzungen der Halswirbelsäule bei erneuter Traumatisierung ausserordentlich stark exazerbieren können. Eine Distorsion einer bereits durch einen früheren Unfall vorgeschädigten Halswirbelsäule ist daher speziell geeignet, die "typischen Symptome" hervorzurufen, und deshalb auch im Fall der Beschwerdeführerin, welche bereits eine zweifache Vorschädigung der Halswirbelsäule aufwies, durchaus als Verletzung besonderer Art zu qualifizieren (vgl. SVR 2007 UV Nr. 1 S. 1 E. 3.4.2, U 39/04; Urteil 8C_194/2007 vom 4. Oktober 2007, E. 4.2.2). Zu beachten ist indessen, dass der am 3. Juli 1988 erlittene Unfall, für dessen Folgen die SUVA eine Invalidenrente zugesprochen hat, schon Jahre zurückliegt und die am 17. Mai 1992 zugezogene Verletzung offenbar keine bleibende Schädigung zu Folge hatte. Auch unter Mitberücksichtigung der behaupteten Position im Augenblick der Kollision vom 23. April 2004 kann jedenfalls nicht von einem in ausgeprägter Weise erfüllten Kriterium ausgegangen werden.
4.5 In Relation zu den bereits vor dem Auffahrunfall vom 23. April 2004 vorhanden gewesenen Beschwerden verneint hat das kantonale Gericht deren Erheblichkeit (BGE 134 V 109 E. 10.2.4 S. 128). Inwieweit dies angesichts der mehrfachen Vorschädigung der Halswirbelsäule (vgl. E. 4.4 hievor) vertretbar ist, kann dahingestellt bleiben. Auch wenn in diesem Punkt vom vorinstanzlichen Entscheid abgewichen würde, wären von den sieben relevanten Kriterien höchstens drei erfüllt (E. 4.3, E. 4.4 und E. 4.5), keines davon jedoch in ausgeprägter Weise. Zur Bejahung der Adäquanz allfälliger noch vorhandener unfallbedingter Beschwerden genügt dies bei einem mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten Ereignissen nicht.
5. Die Expertisen der Dres. med. D._ und H._ waren für eine abschliessende Beurteilung der Streitsache nicht nötig, weshalb die Vorinstanz die SUVA mit Recht nicht zur Übernahme der dadurch erwachsenen Gutachterkosten verpflichtet hat.
6. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten von der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Februar 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl