Faits:
A. X._, ressortissant colombien né le *** 1987, est entré en Suisse le 8 novembre 2009 (recte: 2008), sans visa. Le 24 février 2010, il a épousé A._, citoyenne suisse née le *** 1989, et a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour. Leur fille B._ est née le *** 2010.
A la suite de difficultés conjugales, le couple X._ s'est séparé en octobre 2010. D'entente entre les parties, la garde de l'enfant a été confiée à sa mère. Le père bénéficie d'un droit de visite qui a été d'abord fixé à deux heures tous les quinze jours, puis élargi pour atteindre un samedi sur deux de janvier à août 2012 et, dès le 1er septembre 2012, à un week-end sur deux pour autant que le droit de visite se soit bien déroulé durant la première période.
B. Par lettre du 10 mai 2011, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après le Service de la population) a informé X._ qu'il avait l'intention de refuser la prolongation de son autorisation de séjour. Par décision du 8 août 2011, le Service de la population a refusé de prolonger l'autorisation de séjour de X._ au motif que la séparation d'avec son épouse était intervenue après seulement 11 mois de vie commune, qu'il n'était pas démontré que X._ entretenait des relations étroites et effectives avec sa fille, et qu'il ne pouvait se prévaloir d'une intégration particulièrement réussie ou de qualifications personnelles majeures qui justifieraient la poursuite de son séjour en Suisse.
X._ a recouru contre cette décision devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après le Tribunal cantonal). Après plusieurs échanges d'écritures et une audience de comparution personnelle, le Tribunal cantonal a, par arrêt du 29 mai 2012, rejeté ce recours et confirmé la décision du Service de la population du 8 août 2011.
C. Par acte du 29 juin 2012, X._ dépose un recours en matière de droit public devant le Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à ce que l'arrêt du Tribunal cantonal du 29 mai 2012 soit réformé en ce sens que la prolongation de l'autorisation de séjour lui est octroyée. Il requiert en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Par ordonnance présidentielle du 5 juillet 2012, l'effet suspensif sollicité a été accordé au recours de X._.
Les instances cantonales ont été invitées à produire leurs dossiers sans échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recourant invoque, sous l'angle de l'art. 8 CEDH, son droit à entretenir une relation avec sa fille qui est de nationalité suisse. Ce motif étant potentiellement de nature à lui conférer un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour, son recours échappe au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (ATF 136 II 497 consid. 3.3 p. 501).
Au surplus, dirigé contre un arrêt rendu en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (cf. art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), le recours a été déposé en temps utile (cf. art. 100 al. 1 et art. 46 al. 1 let. b LTF) et dans les formes prescrites (cf. art. 42 LTF) par une personne légitimée à recourir (cf. art. 89 al. 1 LTF). Il est donc recevable en qualité de recours en matière de droit public.
1.2 Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (cf. ATF 136 II 304 consid. 2.4 p. 313 s.) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées; à défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356).
L'application de ces principes empêche de prendre en compte la version des événements figurant dans le recours qui s'écarte des constatations cantonales. En effet, le recourant se contente de présenter une argumentation appellatoire, sans alléguer ni a fortiori démontrer que les faits figurant dans l'arrêt attaqué seraient manifestement inexacts ou arbitraires, ce qui n'est pas admissible.
2. 2.1 Le présent litige porte sur le refus de prolonger l'autorisation de séjour dont bénéficie le recourant. Ce dernier, qui vit séparé de son épouse, sans que les conditions de l'art. 49 LEtr ne soient réalisées, ne peut se prévaloir de l'art. 42 LEtr.
2.2 Selon l'art. 50 al. 1 LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint et des enfants à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 LEtr subsiste si l'union conjugale a duré au moins trois ans et l'intégration est réussie (let. a) ou si la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures (let. b).
En l'espèce, l'application de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr n'entre pas en ligne de compte puisque l'union conjugale du recourant a duré moins de trois ans. En ce qui concerne les conditions de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, le Tribunal cantonal a retenu qu'elles n'étaient pas réunies non plus et il peut être renvoyé à ses considérants (cf. art. 109 al. 3 LTF). Le recourant ne s'en prévaut d'ailleurs plus devant le Tribunal fédéral. Reste, sous l'angle de l'art. 8 CEDH, le droit du recourant à entretenir une relation avec sa fille qui est de nationalité suisse.
2.3 Aux termes de l'art. 8 CEDH, toute personne a notamment droit au respect de sa vie privée et familiale. Cette disposition ne confère cependant pas un droit à séjourner dans un État déterminé. Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut toutefois porter atteinte au droit au respect de la vie privée et familiale garanti par cette disposition (cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.1 p. 145; 153 consid. 2.1 p. 154 s.). Pour autant, les liens familiaux ne sauraient conférer de manière absolue, en vertu de l'art. 8 CEDH, un droit d'entrée et de séjour (arrêt 2C_793/2011 du 22 février 2012 consid. 2.1). Selon une jurisprudence constante, un étranger peut néanmoins, selon les circonstances, se prévaloir du droit au respect de sa vie privée et familiale au sens de l'art. 8 par. 1 CEDH pour s'opposer à une éventuelle séparation de sa famille. Encore faut-il, pour pouvoir invoquer cette disposition, que la relation entre l'étranger et une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse soit étroite et effective. L'art. 8 CEDH s'applique lorsqu'un étranger fait valoir une relation intacte avec ses enfants bénéficiant du droit de résider en Suisse, même si ces derniers ne sont pas placés sous son autorité parentale ou sous sa garde du point de vue du droit de la famille (cf. arrêt 2C_679/2009 du 1er avril 2010 consid. 2.2).
L'étranger disposant d'un droit de visite sur son enfant habilité à résider en Suisse peut en principe exercer ce droit même s'il vit à l'étranger, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée. Le droit de visite d'un parent sur son enfant ne doit en effet pas nécessairement s'exercer à un rythme bimensuel et peut également être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents (cf. arrêt 2C_1031/2011 du 22 mars 2012 consid. 4.2.3). Un droit plus étendu peut exister en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique; il faut considérer qu'il existe un lien affectif particulièrement fort lorsque le droit de visite est organisé de manière large et qu'il est exercé de manière régulière, spontanée et sans encombre (arrêt 2C_972/2011 du 8 mai 2012 consid. 3.2.2). En outre, le parent qui entend se prévaloir de cette garantie doit avoir fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable. C'est seulement à ces conditions que l'intérêt privé du parent étranger à demeurer en Suisse peut l'emporter sur l'intérêt public que revêt une politique migratoire restrictive (cf. arrêt 2C_315/2011 du 28 juillet 2011 consid. 3.2 et les références citées).
2.4 En l'espèce, le recourant vit en Suisse depuis novembre 2008 seulement, et il n'y est pas intégré socialement et professionnellement. En effet, selon les constatations du Tribunal cantonal qui lient la Cour de céans (cf. supra consid. 1.2), il n'a pas de formation professionnelle et n'exerce pas d'activité lucrative suivie. Il a effectué quelques missions temporaires et bénéficie du revenu d'insertion depuis le 1er mars 2010. En outre, il a suivi l'ensemble de sa scolarité en Colombie où réside sa famille proche. Le fait qu'il soit le père d'une petite fille de nationalité suisse née en 2010 ne suffit pas à lui seul à justifier un droit de présence du recourant en Suisse. En effet, les époux X._ se sont séparés moins de huit mois après la naissance de l'enfant et le droit de visite dont bénéficie le recourant a été fixé d'abord de façon restreinte et ne devrait être élargi à une fréquence usuelle qu'en septembre 2012. En outre, le droit de visite n'a pas été exercé jusqu'en septembre 2011. Enfin, le recourant ne s'est jamais acquitté du paiement de la contribution d'entretien à laquelle il est astreint. L'état de fait retenu par l'instance cantonale ne permet donc pas de conclure à un lien affectif particulièrement fort entre le père et la fillette.
Le recourant fait valoir que c'est en raison de l'opposition de la mère de l'enfant qu'il a été empêché de nouer des liens affectifs plus étroits avec sa fille. Il estime avoir démontré un fort attachement à cette dernière en poursuivant sans désemparer et pendant une longue période des démarches auprès de la justice civile pour obtenir le rétablissement de ses droits. A son avis, le point central de la réflexion ne doit pas être la constatation que les relations concrètes entre le père et la fille sont effectivement faibles mais l'intensité de l'obstruction exercée par la mère de l'enfant. Or, ce qui est pertinent sous l'angle de l'art. 8 par. 1 CEDH, c'est la réalité et le caractère effectif des liens qu'un étranger a tissé avec le membre de sa famille qui bénéficie d'un droit de résider en Suisse (cf. ATF 135 I 143 consid. 3.1 p. 148), et force est de constater, avec l'instance cantonale, que l'on ne saurait considérer que le recourant entretient avec sa fille des relations étroites et effectives au sens où l'entend la jurisprudence. Le recourant ne peut par conséquent se prévaloir de l'art. 8 par. 1 CEDH. Pour le surplus, il peut être renvoyé aux considérants du Tribunal cantonal (art. 109 al. 3 LTF).
3. Il suit de ce qui précède que le recours est manifestement mal fondé. Il doit donc être rejeté selon la procédure simplifiée prévue à l'art. 109 al. 2 let. a LTF.
Dans la mesure où ses conclusions apparaissaient dénuées de chances de succès, le bénéfice de l'assistance judiciaire doit être refusé au recourant (cf. art. 64 al. 1 LTF). Succombant, il supporte les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF), qui seront toutefois fixés en tenant compte de sa situation financière, et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à CHF 500.-, sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 17 août 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Beti