Sachverhalt:
A. A.a Die X._ AG mit Sitz in C._ wurde am 5. Juni 2007 gegründet mit einem Aktienkapital von Fr. 100'000.--, aufgeteilt in 100 Inhaberaktien à Fr. 1'000.--. Die Gesellschaft bezweckt den Kauf, die Entwicklung und den Verkauf von Immobilien sowie Beteiligungen bzw. - seit einer Statutenänderung vom 8. Dezember 2008/ 6. April 2009 - zusätzlich die Erbringung von Dienstleistungen in den Bereichen Architektur, Schätzungen, Liegenschaftsberatungen, Studienaufträgen, Bauherrenberatung und Projektmanagement sowie den Erwerb, die Belastung, Veräusserung und Verwaltung von Grundeigentum, die Vornahme von Finanzierungen und die Eingehung von Garantien und Bürgschaften für Tochtergesellschaften und Dritte.
Bei der Gründung wurden 98 Aktien von Z.a._ gezeichnet und je eine Aktie von ihrem Ehemann Z.b._ sowie von Y._ (alle schweizerische Staatsangehörige). Die Liberierung erfolgte im Betrag von Fr. 90'000.-- ab einem Konto von Z.b._ bei der Bank A._, auf welches Z.c._, der in Serbien lebende serbische Staatsangehörige und Vater von Z.b._, am 4. Juni 2007 den Betrag von Fr. 68'000.-- gutgeschrieben hatte. Am Gründungstag der AG wurden die Aktien neu aufgeteilt, wobei die Ehegatten Z.a._ und Z.b._ je 50 Aktien übernahmen. Am 2. Juli 2007 erwarb die X._ AG ein Kaufrecht am Grundstück Nr. xxx (Grundbuch C._) mit einer Fläche von 2 ha 18 a 18 m2. Dieses Kaufrecht übte sie am 18. Februar 2008 zu einem Preis von Fr. 1'866'600.-- aus und beantragte beim zuständigen Grundbuchamt die Eintragung. Sie wandte sich weder selber an den Regierungsstatthalter (als zuständige Bewilligungsbehörde nach dem Bundesgesetz vom 16. Dezember 1983 über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland [BewG; SR 211.412.41]) noch wurde sie vom Handelsregisteramt oder vom Grundbuchamt an die Bewilligungsbehörde verwiesen.
A.b Im Rahmen der Prüfung eines Bewilligungsgesuchs für ein Ferienhaus wurde der Regierungsstatthalter der Ämter Hochdorf und Luzern in der Folge darauf aufmerksam, dass das Aktienkapital der X._ AG aus Inhaberaktien besteht und daran Personen aus dem Ausland beteiligt sein könnten. Am 1. Juli 2011 eröffnete er von Amtes wegen ein Verfahren zur nachträglichen Feststellung der Bewilligungspflicht. Vorsorglich ordnete er eine Grundbuch- und eine Handelsregistersperre an und verpflichtete die X._ AG bzw. deren Aktionäre, sämtliche Aktien bei der Bewilligungsbehörde zu deponieren. Mit Entscheid vom 30. September 2011 stellte der Regierungsstatthalter fest, dass die finanzielle Beteiligung von Z.c._ an der Gründung der X._ AG der Bewilligungspflicht unterliege. Ebenso unterliege die Begründung des Kaufrechts am Grundstück Nr. xxx sowie dessen Ausübung der Bewilligungspflicht. Gleichzeitig verweigerte er in beiden Fällen die Bewilligung. Die vorsorglich verfügte Grundbuch- und Handelsregistersperre wurde bestätigt und die Aktienzertifikate wurden beschlagnahmt.
B. Die X._ AG erhob dagegen Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern. Dieses wies mit Urteil vom 5. Juli 2012 die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C. Mit Eingabe vom 12. September 2012 erhebt die X._ AG beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei festzustellen, dass im Zusammenhang mit der Gründung der X._ AG keine der Bewilligungspflicht gemäss BewG unterliegenden Rechtsgeschäfte getätigt worden seien und dass insbesondere im Zusammenhang mit dieser Gründung keine der Bewilligungspflicht unterliegende finanzielle Beteiligung von Z.c._ erfolgt sei. Ferner sei festzustellen, dass die Begründung des Kaufrechts am Grundstück Nr. xxx, Gb. C._, und die Ausübung dieses Kaufrechts bzw. der Erwerb des Grundstücks nicht der Bewilligungspflicht unterstanden seien. Die Beschlagnahme der Aktienzertifikate, die Grundbuch- und die Handelsregistersperre seien aufzuheben. Eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Regierungsstatthalter der Ämter Hochdorf und Luzern, das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und das Bundesamt für Justiz beantragen Abweisung der Beschwerde. Die X._ AG äussert sich zu den eingegangenen Vernehmlassungen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Ein Ausschlussgrund im Sinne von Art. 83 BGG liegt nicht vor. Die Beschwerdeführerin ist als vom angefochtenen Entscheid unmittelbar betroffene Gesellschaft sowie als Erwerberin und Eigentümerin des streitbetroffenen Grundstücks zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2 Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die richtige Anwendung von Bundesrecht (Art. 95 lit. a und Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; BGE 138 III 537 E. 2.2 S. 540; 137 III 385 E. 3 S. 386; 133 III 545 E. 2.2. S. 550).
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen oder auf hinreichend substantiierte (Art. 106 Abs. 2 BGG) Rüge hin berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Nach Art. 2 Abs. 1 BewG bedürfen Personen im Ausland für den Erwerb von Grundstücken einer Bewilligung der zuständigen kantonalen Behörde. Als Erwerb eines Grundstückes gilt gemäss Art. 4 Abs. 1 BewG der Erwerb des Eigentums, eines Baurechts, eines Wohnrechts oder der Nutzniessung an einem Grundstück (lit. a), die Beteiligung an einer vermögensfähigen Gesellschaft ohne juristische Persönlichkeit, deren tatsächlicher Zweck der Erwerb von Grundstücken ist (lit. b), der Erwerb des Eigentums oder der Nutzniessung an einem Anteil an einem Immobilienanlagefonds, dessen Anteilscheine auf dem Markt nicht regelmässig gehandelt werden, oder an einem ähnlichen Vermögen (lit. c), der Erwerb des Eigentums oder der Nutzniessung an einem Anteil an einer juristischen Person, deren tatsächlicher Zweck der Erwerb von Grundstücken ist, sofern die Anteile dieser juristischen Person nicht an einer Börse in der Schweiz kotiert sind (lit. e), die Begründung und Ausübung eines Kaufs-, Vorkaufs- oder Rückkaufsrechts an einem Grundstück oder an einem Anteil im Sinne der Buchstaben b, c und e (lit. f) und der Erwerb anderer Rechte, die dem Erwerber eine ähnliche Stellung wie dem Eigentümer eines Grundstückes verschaffen (lit. g). Als solche Rechte im Sinne von Art. 4 Abs. 1 lit. g BewG gelten insbesondere u.a. die Finanzierung des Kaufes oder der Überbauung eines Grundstückes, wenn die Abreden, die Höhe der Kredite oder die Vermögensverhältnisse des Schuldners den Käufer oder Bauherrn in eine besondere Abhängigkeit vom Gläubiger bringen (Art. 1 Abs. 2 lit. b der Verordnung vom 1. Oktober 1984 über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland [BewV; SR 211.412.411]). Als Erwerb von Grundstücken gilt ferner auch die Beteiligung an der Gründung einer juristischen Person, deren tatsächlicher Zweck der Erwerb von Grundstücken ist, die nicht ohne Bewilligung erworben werden können (Art. 1 Abs. 1 lit. a BewV).
2.2 Als Personen im Ausland gelten gemäss Art. 5 BewG u.a. juristische Personen oder vermögensfähige Gesellschaften ohne juristische Persönlichkeit, die ihren statutarischen und tatsächlichen Sitz in der Schweiz haben und in denen Personen im Ausland eine beherrschende Stellung innehaben (lit. c). Nach Art. 6 Abs. 1 BewG hat eine Person im Ausland eine beherrschende Stellung inne, wenn sie aufgrund ihrer finanziellen Beteiligung, ihres Stimmrechtes oder aus anderen Gründen allein oder gemeinsam mit anderen Personen im Ausland die Verwaltung oder Geschäftsführung entscheidend beeinflussen kann. Gemäss Art. 6 Abs. 2 BewG wird die Beherrschung einer juristischen Person durch Personen im Ausland vermutet, wenn diese mehr als einen Drittel des Aktien-, Stamm- oder Genossenschaftskapitals besitzen (lit. a), über mehr als einen Drittel der Stimmen in der General- oder Gesellschafterversammlung verfügen (lit. b), die Mehrheit des Stiftungsrates oder der Begünstigten einer Stiftung des privaten Rechts stellen (lit. c) oder der juristischen Person rückzahlbare Mittel zur Verfügung stellen, die mehr als die Hälfte der Differenz zwischen den Aktiven der juristischen Person und ihren Schulden gegenüber nicht bewilligungspflichtigen Personen ausmachen (lit. d).
2.3 Erwerber, deren Bewilligungspflicht sich nicht ohne weiteres ausschliessen lässt, haben spätestens nach dem Abschluss des Rechtsgeschäftes oder, mangels dessen, nach dem Erwerb um die Bewilligung oder die Feststellung nachzusuchen, dass sie keiner Bewilligung bedürfen (Art. 17 Abs. 1 BewG). Kann der Grundbuchverwalter die Bewilligungspflicht nicht ohne weiteres ausschliessen, so setzt er das Verfahren aus und räumt dem Erwerber eine Frist von 30 Tagen ein, um die Bewilligung oder die Feststellung einzuholen, dass er keiner Bewilligung bedarf; er weist die Anmeldung ab, wenn der Erwerber nicht fristgerecht handelt oder die Bewilligung verweigert wird (Art. 18 Abs. 1 BewG). Der Handelsregisterführer verfährt wie der Grundbuchverwalter (Art. 18 Abs. 2 BewG). Die Bewilligung wird von Amtes wegen widerrufen, wenn der Erwerber sie durch unrichtige Angaben erschlichen hat oder eine Auflage trotz Mahnung nicht einhält (Art. 25 Abs. 1 BewG). Die Bewilligungspflicht wird von Amtes wegen nachträglich festgestellt, wenn der Erwerber einer zuständigen Behörde, dem Grundbuchverwalter oder dem Handelsregisterführer über Tatsachen, die für die Bewilligungspflicht von Bedeutung sind, unrichtige oder unvollständige Angaben gemacht hat (Art. 25 Abs. 1bis BewG, in der Fassung vom 30. April 1997, in Kraft seit 1. Oktober 1997).
3. 3.1 In Bezug auf die Gründung der Beschwerdeführerin erwog die Vorinstanz, diese sei eine nicht börsenkotierte Immobiliengesellschaft im engeren Sinne. Z.b._ habe das Aktienkapital liberiert, indem er Fr. 90'000.-- aus seinem Bank A._-Konto entnommen habe, auf welchem am Vortag von seinem Vater Z.c._ - einer Person im Ausland - Fr. 68'000.-- einbezahlt worden sei. Ohne diese Einzahlung habe das Konto nur einen Saldo von Fr. 28'556.76 ausgewiesen. Zudem hätten im Zeitpunkt der Gründung der Beschwerdeführerin gegenüber Z.c._ Darlehensverpflichtungen von rund Fr. 739'000.-- bestanden. Diese Schulden hätten die beweglichen liquiden Mittel des Ehepaars Z.a._ und Z.b._ (rund Fr. 345'000.--) um mehr als das Doppelte überstiegen, so dass die flüssigen Mittel nicht mehr als vollkommen frei verfügbare Eigenmittel zu betrachten seien. Die Liberierung der Aktien sei damit zu einem weit überwiegenden Teil aus Mitteln des in Serbien lebenden Vaters von Z.b._ finanziert worden. Dieser habe sich damit unzulässig indirekt an der Gründung der Beschwerdeführerin beteiligt und damit Rechte erworben, die ihm im Sinne von Art. 4 Abs. 1 lit. g BewG eine ähnliche Stellung wie einem Grundstückseigentümer einräumen. Zudem sei angesichts der namhaften Darlehensverpflichtungen der Eheleute Z.a._ und Z.b._ gegenüber Z.c._ auch eine besondere Abhängigkeit im Sinne von Art. 1 Abs. 2 lit. b BewV nicht ernsthaft in Abrede zu stellen. Ferner erwecke auch das Vorgehen bei der Gründung und der anschliessenden Verteilung der Aktien den Eindruck, dass man die wirklichen Verhältnisse nicht habe offen legen wollen. Es habe sich bei dem Betrag von Fr. 68'000.-- nicht um einen Erbvorbezug, sondern um ein Darlehen gehandelt; er sei zwar in der Steuererklärung der Eheleute Z.a._ und Z.b._ nicht als Darlehen aufgeführt, aber auch nicht (bzw. erst nachträglich) als Erbvorbezug deklariert worden. Zudem seien die Aktien der Beschwerdeführerin von den Eheleuten Z.a._ und Z.b._ auch nicht deklariert worden; das sei ebenfalls als Indiz zu werten, dass sie diese Aktien gar nicht als ihre eigenen betrachtet hätten. Insgesamt vermöge die Beschwerdeführerin eine unzulässige ausländische Finanzierung nicht rechtsgenüglich zu widerlegen. Es dränge sich die Vermutung eines Grundstückerwerbs im Sinne von Art. 4 Abs. 1 lit. g BewG i.V.m. Art. 1 Abs. 2 lit. b BewV auf, welche von der Beschwerdeführerin nicht widerlegt werde. Die Beteiligung an der Finanzierung der Gründung habe dem Vater von Z.b._ unter wirtschaftlichen Gesichtspunkten erhebliche Einfluss- und Nutzungsmöglichkeiten verschafft. Es sei jedenfalls nicht von der Hand zu weisen, dass er unabhängig vom Vorliegen eines eigentlichen Treuhandverhältnisses im Sinne von Art. 5 Abs. 1 lit. d BewG als Drahtzieher im Hintergrund agieren könnte. Die Gründung der Beschwerdeführerin hätte daher der Bewilligungspflicht unterstanden; die Voraussetzungen für die Erteilung einer Bewilligung lägen aber nicht vor.
3.2 In Bezug auf den Erwerb und die Ausübung des Kaufrechts erwog das Verwaltungsgericht, gestützt auf die Ausführungen im Zusammenhang mit der Gründung der AG sei aufgrund der engen wirtschaftlichen Verflechtungen anzunehmen, dass Z.c._ die Verwaltung oder Geschäftsführung der Beschwerdeführerin entscheidend beeinflussen oder mitentscheiden könne. Die Beschwerdeführerin sei nicht in der Lage, diese Vermutung zu erschüttern. Sie gelte daher als ausländisch beherrscht und damit als Person im Ausland im Sinne des Gesetzes. Daher hätten auch die Begründung und Ausübung des Kaufrechts der Bewilligungspflicht unterstanden. Zudem habe die Beschwerdeführerin im Rahmen der Anmeldung beim Handelsregisteramt ausdrücklich bestätigt, dass ein Grundstückerwerb nicht beabsichtigt sei, obwohl Vertragsverhandlungen mit der Verkäuferin des Grundstücks wohl bereits seit langem in Gang gewesen sein müssten. Hinzu komme als weiteres Indiz, dass Z.b._ der Beschwerdeführerin Aktionärsdarlehen von Fr. 354'120.-- (per Ende 2008) bzw. Fr. 521'674.50 (per Ende 2009) gewährt habe; diese seien erst durch die erheblichen Darlehen von Z.c._ an seinen Sohn ermöglicht worden. Folglich stammten auch die der Beschwerdeführerin zur Verfügung gestellten Mittel von Z.b._ mittelbar zu einem wesentlichen, wenn nicht überwiegenden Teil aus Fremdmitteln mit ausländischem Ursprung. Die aus ausländischen Quellen stammenden rückzahlbaren Mittel der Beschwerdeführerin überstiegen den maximal zulässigen Anteil. Dies bestätige die ausländische Beherrschung der Beschwerdeführerin im Sinne von Art. 6 Abs. 1 BewG im Zeitpunkt der Begründung und Ausübung des Kaufrechts. Es sei unerheblich, ob Z.b._ über andere Finanzierungsmöglichkeiten verfügt hätte und wie es konkret zu den Darlehen gekommen sei. Massgebend sei nur, dass bei der Ausgestaltung des ganzen Finanzierungskomplexes die finanziellen Mittel von Z.c._ eine wesentliche Rolle gespielt hätten. In dieses Bild passe auch die Tatsache, dass die Eheleute Z.a._ und Z.b._ die für die Überbauung des Grundstücks Nr. xxx nötigen Fremdmittel mit einem Grundpfand auf ihrer damals noch unbelasteten privaten Wohnliegenschaft sichergestellt hätten. Die Vermögensverhältnisse der Eheleute hätten ohne die massgeblichen Darlehen von Z.c._ ein solches Vorgehen kaum ermöglicht. Darin spiegelten sich die effektiven wirtschaftlichen Verflechtungen und Interessen: Der an der Gründung der Beschwerdeführerin indirekt beteiligte Z.c._ sei über seine namhafte finanzielle Beteiligung an der privaten Wohnliegenschaft wirtschaftlich gesehen auch mitbeteiligt an der grundpfändlichen Sicherstellung der nötigen Fremdmittel für das Erwerbsgeschäft. Damit hätte auch der Erwerb des Grundstücks Nr. xxx der Bewilligung unterstanden; ein Bewilligungsgrund sei aber nicht gegeben, weshalb die Bewilligung verweigert werden müsse.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz, indem diese angenommen habe, die Darlehensschulden gegenüber Z.c._ hätten die beweglichen liquiden Mittel des Ehepaares Z.a._ und Z.b._ um mehr als das Doppelte überstiegen. Wenn schon das Nettovermögen entscheidend sei, dann müsse auch das ganze Nettovermögen betrachtet werden. Dazu habe auch die im Zeitpunkt der Gründung der AG unbelastete Privatliegenschaft der Eheleute mit einem Katasterwert per Ende 2008 von rund 1,437 Mio. Franken gehört. Das Reinvermögen der Eheleute Z.a._ und Z.b._ habe (nach Abzug der Schulden gegenüber Z.c._) gemäss Steuerveranlagung 2008 Fr. 690'884.-- betragen, auf der Basis des echten Liegenschaftswerts mehr als 1 Mio. Franken.
Diese Vorbringen lassen die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen, hat diese doch im beanstandeten Zusammenhang von "beweglichen liquiden Mitteln" gesprochen, wozu Liegenschaften nicht gehören. Dass die Eheleute daneben noch eine damals unbelastete Privatliegenschaft besassen, hat auch die Vorinstanz festgestellt, aber als unerheblich betrachtet (angefochtener Entscheid E. 6d S. 19). Ob das zutrifft, ist nicht eine Sachverhalts-, sondern eine Rechtsfrage (vgl. hinten E. 5.4). Bei seiner Rechtsauffassung brauchte das Verwaltungsgericht die Höhe des Liegenschaftswerts nicht ausdrücklich festzustellen. Die von der Beschwerdeführerin genannten Werte wurden bereits vorinstanzlich geltend gemacht und sind aktenkundig.
4.2 Die Beschwerdeführerin rügt ferner die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, bei den Fr. 68'000.-- habe es sich nicht um einen Erbvorbezug, sondern um ein Darlehen gehandelt, als offensichtlich unrichtig. Sie beruft sich dabei auf den zwischen Z.c._ einerseits sowie Z.d._ und Z.b._ andererseits abgeschlossenen Erbvertrag. Die Vorinstanz hat diesen gewürdigt und namentlich berücksichtigt, dass ein unplausibler Zeitraum zwischen der angeblichen Vereinbarung und der richterlichen Anerkennung der Vereinbarung liege, ferner dass der Erbvorbezug erst nachträglich, als die Abklärungen des Regierungsstatthalters im Gange waren, steuerlich deklariert worden ist. Unter diesen Umständen ist es nicht offensichtlich unrichtig, wenn die Vorinstanz die Überweisung der Fr. 68'000.-- jedenfalls in dem für die Beurteilung der Bewilligungspflicht massgebenden Zeitpunkt (Vornahme der entsprechenden Rechtsgeschäfte) als Darlehen qualifiziert hat.
4.3 Insgesamt ist somit für das Bundesgericht der folgende Sachverhalt verbindlich: Anlässlich der Gründung der Beschwerdeführerin im Juni 2007 wurden vom Aktienkapital (Fr. 100'000.--) Fr. 90'000.-- ab einem Konto bezahlt, auf welches am Vortag Z.c._ Fr. 68'000.-- als Darlehen an seinen Sohn einbezahlt hatte. In diesem Zeitpunkt besassen die Eheleute Z.a._ und Z.b._ liquide Mittel im Umfang von ca. Fr. 345'000.-- und eine unbelastete Liegenschaft mit Katasterwert von Fr. 1'437'700.--; ferner Darlehensschulden gegenüber Z.c._ von rund Fr. 739'000.--, resultierend aus Darlehen, die dieser in den Jahren 2000 bis 2005 gewährt hatte. Ende 2007 erhöhte sich diese Darlehensschuld gegenüber Z.c._ um weitere Fr. 170'000.-- (zusätzlich zu den Fr. 68'000.-- im Zusammenhang mit der Liberierung). Die Beschwerdeführerin erwarb das Grundstück Nr. xxx im Februar 2008 zum Preis von Fr. 1'866'600.--. Dieser Kaufpreis wurde im Umfang von Fr. 1'500'000.-- durch einen Kredit der Bank B._ finanziert, welcher mit einem im Februar 2008 errichteten Schuldbrief auf der Privatliegenschaft des Ehepaars Z.a._ und Z.b._ gesichert wurde. Ferner gewährte Z.b._ der Beschwerdeführerin ein Aktionärsdarlehen, das Ende 2008 Fr. 354'120.-- und Ende 2009 Fr. 521'674.50 betrug.
5. Zu prüfen ist zunächst, ob bei diesem Sachverhalt die Gründung der Beschwerdeführerin bewilligungspflichtig war.
5.1 Unbestritten ist die Beschwerdeführerin eine nicht börsenkotierte Immobiliengesellschaft im Sinne von Art. 4 Abs. 1 lit. e BewG. Ebenso unbestritten ist Z.c._ eine Person im Ausland im Sinne des Gesetzes, aber nicht Aktionär der Beschwerdeführerin. Streitig ist hingegen, ob ihm das am Vortag der Liberierung an seinen Sohn geleistete Darlehen von Fr. 68'000.-- im Sinne von Art. 4 Abs. 1 lit. g BewG eine eigentümerähnliche Stellung verschafft.
5.2 Bewilligungspflichtiger Erwerb sind nach Art. 4 Abs. 1 lit. a-f BewG grundsätzlich der Erwerb dinglicher oder realobligatorischer Rechte an Grundstücken sowie der Erwerb von Anteilen an Immobilienanlagefonds- und -gesellschaften. Art. 4 Abs. 1 lit. g BewG will darüber hinaus in allgemeiner Weise Umgehungsgeschäfte verhindern, die wirtschaftlich zum gleichen Ergebnis führen. Die diese Gesetzesnorm konkretisierende Aufzählung von Art. 1 Abs. 2 BewV ist denn auch nicht abschliessend. Nicht erforderlich ist, dass die Beteiligten bewusst die Zielsetzung des Bewilligungsgesetzes unterwandern. Insofern kommt es auf den objektiven Sachverhalt an; massgeblich ist, was sich mit den von den Parteien eingegangenen Rechtsbeziehungen wirtschaftlich erreichen lässt und ob sich die von den Parteien abgeschlossenen, auch bloss obligatorischen Geschäfte in ihrer Wirkung dem Erwerb von dinglichen Rechten nähern. Mehrere Vereinbarungen sind in ihrer Gesamtheit, auch unter wirtschaftlicher Betrachtungsweise, zu würdigen, und die Stellung des aus diesen Geschäften am Grundstück Berechtigten ist als solche zu prüfen (BGE 107 Ib 12 E. 4 S. 18; 106 Ib 11 E. 3a S. 14; 105 Ib 321 E. 1a S. 323; Urteile 4C.14/2003 vom 22. April 2003 E. 2.1; 2A.465/2002 vom 20. November 2002 E. 3.2).
5.3 Hingegen fällt die ausländische Finanzierung eines Grundstückerwerbs grundsätzlich nicht unter die Bewilligungspflicht. Nach Art. 1 Abs. 2 lit. b BewV gilt die Finanzierung des Kaufs oder der Überbauung eines Grundstücks nur dann als Recht, das dem Erwerber eine eigentümerähnliche Stellung verschafft, wenn die Abreden, die Höhe der Kredite oder die Vermögensverhältnisse des Schuldners den Käufer oder Bauherrn in eine besondere Abhängigkeit vom Gläubiger bringen. Zwar ist die Aufzählung in Art. 1 Abs. 2 BewV nicht abschliessend. Aus der detaillierten Umschreibung in lit. b geht aber doch hervor, dass grundsätzlich die ausländische Finanzierung eines Grundstückkaufs nicht bewilligungspflichtig ist, sofern keines der dort genannten Kriterien erfüllt ist. Das gilt auch dann, wenn das Darlehen grundpfandgesichert ist, da das Grundpfand dem Gläubiger zwar ein dingliches Recht, aber nicht eine ähnliche Stellung wie dem Eigentümer eines Grundstücks verschafft, zumal die Abrede, wonach das Pfand dem Gläubiger als Eigentum zufallen soll, ungültig ist (Art. 816 Abs. 2 ZGB; BGE 107 Ib 12 E. 4; 107 II 440 E. 1).
Nach der Rechtsprechung ist die Finanzierung eines Grundstückerwerbs durch grundpfandgesicherte ausländische Kredite in der Regel unbedenklich, solange der Kredit in der üblichen Grenze von zwei Dritteln des Verkaufswerts des Grundstücks liegt (BGE 107 Ib 12 E. 4; 107 II 440 E. 1; Urteile 2C_118/2009 vom 15. September 2009 E. 4.1; 2C_637/2008 vom 8. April 2009 E. 4; 2A.510/2003 vom 4. Mai 2004 E. 2; URS MÜHLEBACH/HANSPETER GEISSMANN, Kommentar zum Bundesgesetz über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland, 1986, Art. 4 N 72 und 77). Wenn die Belastung das verkehrsübliche Mass deutlich übersteigt und der Liegenschaftseigentümer deshalb entsprechende Kredite von einem unbeteiligten Dritten nicht erhalten hätte bzw. im Falle der Ablösung oder Kündigung nicht erhalten würde, kann dem Pfandgläubiger eine eigentümerähnliche Stellung zukommen, namentlich wenn der Eigentümer und Pfandschuldner wirtschaftlich schwach oder gar vom Gläubiger abhängig ist (BGE 107 Ib 12 E. 4; Urteil 2C_637/2008 vom 8. April 2009 E. 4.1; 2A.510/2003 vom 4. Mai 2004 E. 2; 2A.184/2001 vom 7. September 2001 E. 2). Dies wird in der Regel erst angenommen bei einer ausländischen Finanzierung von 80 % oder mehr (Urteil 2A.184/2001 E. 3a; MÜHLEBACH/GEISSMANN, a.a.O., Art. 4 N 77; MARC BERNHEIM, Die Finanzierung von Grundstückkäufen durch Personen im Ausland, 1993, S. 107 f). Diese Überlegungen gelten umso mehr bei nicht grundpfandgesicherten Darlehen, da hier der Kreditgeber keinerlei dingliche Rechte am Grundstück erwirbt und es für ihn daher noch schwieriger ist, eine eigentümerähnliche Stellung auszuüben (Urteil 2C_637/2008 vom 8. April 2009 E. 4.1; BERNHEIM, a.a.O., S. 102 f.). Die gleichen Grundsätze gelten auch für die Finanzierung einer Immobiliengesellschaft (RENÉ P. EICHENBERGER, Die Behandlung des Aktienerwerbs in der Lex Friedrich, 1992, S. 30 f.). Daraus folgt, dass derjenige, der ein Darlehen gewährt, mittels dessen Aktien liberiert oder erworben werden, dadurch noch nicht eine Beteiligung im Sinne von Art. 1 Abs. 1 lit. a BewV erwirbt, mithin das Darlehen noch nicht als Erwerb im Sinne dieser Bestimmung betrachtet werden kann.
5.4 Vorliegend wurde das Aktienkapital von Fr. 100'000.-- im Umfang von Fr. 68'000.-- von einer Person im Ausland finanziert. Die Unbedenklichkeitsgrenze von zwei Dritteln ist damit nur knapp überschritten, die zulässige Obergrenze von 80 % hingegen deutlich unterschritten. Die Vorinstanz betont den Umstand, dass das Geld erst am Vortag der Liberierung auf das Konto von Z.b._ einbezahlt wurde; dies ist jedoch unerheblich: Wenn die ausländische Finanzierung im genannten Umfang grundsätzlich zulässig ist, wird sie durch zeitliche Nähe zum Liberierungsakt nicht unzulässig. Die Argumentation der Vorinstanz lässt vermuten, dass sie im Umstand der ausländischen Finanzierung an sich etwas Anstössiges erblickt, was aber nicht der Rechtslage entspricht (E. 5.3).
Unzutreffend ist auch die vorinstanzliche Argumentation, es sei unerheblich, ob Z.b._ genügend Eigenmittel gehabt hätte um das Aktienkapital zu liberieren, da es nur auf das tatsächliche Vorgehen und nicht auf andere, hypothetische Möglichkeiten ankomme: Im Lichte des Kriteriums "Vermögensverhältnisse des Schuldners" ist es sehr wohl von Bedeutung, ob dieser genügend Eigenmittel gehabt hätte, um den Erwerb anders zu finanzieren (BGE 106 Ib 199 E. 4b; BERNHEIM, a.a.O., S. 130 ff.). Denn in diesem Fall besteht grundsätzlich keine besondere Abhängigkeit vom ausländischen Gläubiger und dieser erwirbt durch die Darlehensgewährung keine eigentümerähnliche Stellung. Zwar hat das Bundesgericht in dem von der Vorinstanz zitierten Entscheid 2A.465/2002 E. 3.3 ausgeführt, es sei unerheblich, ob der Erwerber selber genügend Mittel gehabt habe, um den Erwerb zu finanzieren. Diese Aussage erfolgte aber im Kontext der dort vorliegenden besonderen Situation: Ein Schweizer Bürger hatte eine Wohnung zum Preis von 1,6 Mio. erworben, die zu 100 % von einer Person im Ausland finanziert wurde, wobei dem ausländischen Geldgeber ein zehnjähriges Wohnrecht an der erworbenen Wohnung eingeräumt wurde. Vorliegend bestehen hingegen keine Anzeichen für eine solche oder ähnliche Vereinbarung. Das Ehepaar Z.a._ und Z.b._ hatte gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen zur Zeit der Liberierung ein liquides Vermögen von rund Fr. 345'000.--. Damit hätten die Fr. 68'000.-- ohne weiteres finanziert werden können, wenn Z.c._ das Darlehen von Fr. 68'000.-- nicht gewährt hätte oder es wieder kündigen sollte. Daran ändert entgegen der Auffassung der Vorinstanz nichts, dass das Ehepaar Z.a._ und Z.b._ gegenüber Z.c._ weitere Darlehensschulden von rund Fr. 739'000.-- hatte. Denn wie die Beschwerdeführerin mit Recht vorbringt, stand dieser Schuld eine unbelastete Liegenschaft mit Katasterwert von Fr. 1'437'700.-- gegenüber. Hätte Z.c._ das Darlehen gekündigt, wäre es dem Ehepaar Z.a._ und Z.b._ ohne weiteres möglich gewesen, gegen grundpfändliche Sicherheit auf dieser Liegenschaft einen Kredit anderweitig zu erhalten. Das wird dadurch bestätigt, dass später die Bank B._ auf dieser Liegenschaft einen grundpfandgesicherten Kredit von 1,5 Mio. gewährte. Auch das Darlehen von rund Fr. 739'000.-- war damit nicht geeignet, eine besondere Abhängigkeit des Ehepaares Z.a._ und Z.b._ gegenüber Z.c._ zu begründen.
Andere Abreden, die im Sinne von Art. 1 Abs. 2 lit. b BewV eine solche Abhängigkeit begründen könnten, werden von der Vorinstanz nicht genannt und sind auch nicht ersichtlich: Namentlich begründet der blosse Umstand, dass es sich beim Darlehensgeber um den Vater bzw. Schwiegervater des Aktionärehepaars handelt, keine solche Abhängigkeit: Vielmehr ist es durchaus sozialüblich, wenn ein - offensichtlich vermögender - Vater seinem Sohn Kredite gewährt, ohne dass dahinter unlautere Motive stehen müssen. Es gibt keine konkreten Anzeichen, dass der betagte Vater das Darlehen missbräuchlich verwenden würde, um einen unzulässigen Einfluss auf die Beschwerdeführerin auszuüben. Im Gegenteil spricht der Erbvertrag dafür, dass der Vater einen solchen Ausfluss nicht auszuüben gedenkt. Die Vorinstanz hat zwar willkürfrei festgestellt, dass dieser erst nachträglich geschlossen wurde (vorne E. 4.2), stellt aber seine Gültigkeit nicht in Frage. Unter diesen Umständen hat Z.c._ keine eigentumsähnliche Stellung an der Beschwerdeführerin inne. Ebenso wenig kann deshalb gesagt werden, dass er an der Beschwerdeführerin im Sinne von Art. 1 Abs. 1 lit. a BewV beteiligt wäre.
5.5 Zutreffend ist zwar, dass die Beschwerdeführerin in der "Lex Friedrich-Erklärung" gegenüber dem Handelsregisteramt angegeben hatte, sie beabsichtige keine Grundstücke zu erwerben. Diese Erklärung dient zur Abklärung, ob die zu gründende juristische Person den Erwerb von Immobilien bezweckt und damit als Immobiliengesellschaft (Art. 4 Abs. 1 lit. e BewG; Art. 1 Abs. 1 lit. a BewV) gilt (vgl. BGE 109 Ib 95 E. 4c; MÜHLEBACH/GEISSMANN, a.a.O., Art. 4 N 39 ff.). Wenn aber Z.c._ an der Beschwerdeführerin weder beteiligt war noch eine eigentümerähnliche Stellung hatte (E. 5.4), dann liegt ein bewilligungspflichtiger Sachverhalt auch dann nicht vor, wenn die abgegebene Erklärung (die nur aus einer Unterschrift auf dem vorgedruckten Formular besteht) unzutreffend gewesen sein sollte. Auch der von der Vorinstanz hervorgehobene Umstand, dass noch am Gründungstag die Aktien anders verteilt wurden als bei der Gründung, vermag nicht darzutun, dass Z.c._ eine eigentumsähnliche Stellung erworben hätte.
5.6 Insgesamt ist somit die Gründung der Beschwerdeführerin nicht bewilligungspflichtig.
6. Zu prüfen ist sodann die Begründung und Ausübung des Kaufrechts über das Grundstück Nr. xxx (Grundbuch C._).
6.1 Unbestritten hat die Beschwerdeführerin, welche das Grundstück erworben hat, ihren Sitz in der Schweiz. Ihre Aktionäre und ihre Verwaltungsratsmitglieder sind Schweizer Bürger. Unbestritten ist auch, dass Z.c._ in der Beschwerdeführerin kein Stimmrecht hat. Umstritten ist, ob er aufgrund seiner finanziellen Beteiligung oder aus anderen Gründen eine beherrschende Stellung im Sinne von Art. 6 BewG inne hat.
6.2 Die Vorinstanz argumentiert, dass sich die ausländische Beherrschung durch Z.c._ schon daraus ergebe, dass dieser bei der Gründung der Beschwerdeführerin eigentümerähnliche Rechte erworben habe. Da dies aber nach dem Gesagten nicht zutrifft (E. 5), entfällt die Grundlage dieser Argumentation.
6.3 Die Vorinstanz ist sodann der Ansicht, dass sich eine wirtschaftliche Beherrschung der Beschwerdeführerin durch Z.c._ dadurch ergebe, dass Z.b._ der Beschwerdeführerin Aktionärsdarlehen von Fr. 354'120.-- (per Ende 2008) bzw. Fr. 521'674.50 (per Ende 2009) gegeben habe; angesichts der von Z.c._ gewährten Darlehen stammten diese Mittel zu einem wesentlichen, wenn nicht überwiegenden Teil aus Fremdmitteln mit ausländischem Ursprung. Der Anteil der aus ausländischen Quellen stammenden rückzahlbaren Mittel übersteige damit den maximal zulässigen Betrag. Die Vorinstanz bezieht sich damit auf Art. 6 Abs. 2 lit. d BewG (vorne E. 2.2) und rechnet wie folgt: Aktiven der Beschwerdeführerin: Fr. 1'866'656.63; Schulden gegenüber nicht bewilligungspflichtigen Personen: Fr. 1'500'061.55; (maximal zulässige) Hälfte der Differenz: Fr. 183'297.54.
6.4 Mit dieser Betrachtung setzt die Vorinstanz ohne weiteres das Darlehen, welches Z.b._ der Beschwerdeführerin gewährt hat, einem von Z.c._ gewährten Darlehen gleich. Zutreffend ist, dass für die Beurteilung einer beherrschenden Stellung nicht allein auf eine rechtliche, sondern auch auf eine wirtschaftliche Betrachtung abzustellen ist (BGE 115 Ib 102 E. 3c; 115 II 401 E. 1c; 113 Ib 289 E. 4; 109 Ib 101 E. 2c; EICHENBERGER, a.a.O., S. 65). Nach dem in E. 5 Ausgeführten hat jedoch Z.c._ durch die seinem Sohn gewährten Darlehen keine wirtschaftlich beherrschende Stellung in der Beschwerdeführerin erworben. Hinzu kommt: Wird ein wirtschaftlicher Durchgriff vom Aktionär Z.b._ auf dessen Darlehensgeber Z.c._ vorgenommen und damit eine wirtschaftliche Identität zwischen der Beschwerdeführerin und ihren Aktionären angenommen, muss konsequenterweise auch für die Berechnung nach Art. 6 Abs. 2 lit. d BewG die Vermögenssituation der Beschwerdeführerin und des Aktionärsehepaars gesamthaft betrachtet werden. Dabei ergibt sich aufgrund der festgestellten Vermögensverhältnisse folgende Rechnung: Aktiven der Beschwerdeführerin Fr. 1'866'656.--; Privatliegenschaft Katasterwert Fr. 1'437'700.--; liquide Mittel ca. Fr. 345'000.--; dies ergibt Aktiven von total ca. Fr. 3,649 Mio. Franken. Abzüglich der Schulden gegenüber nicht bewilligungspflichtigen Personen von Fr. 1'500'061.-- ergibt sich ein Betrag von ca. 2,149 Mio. Franken. Die nach Art. 6 Abs. 2 lit. d BewG maximal zulässige Hälfte an ausländischem Kapital beträgt ca. 1,075 Mio. Franken. Die Schulden gegenüber Z.c._ betrugen Fr. 739'000.-- (vor der Liberierung) zuzüglich die Fr. 68'000.-- für die Liberierung zuzüglich Fr. 170'000.-- per Ende 2007, total Fr. 977'000.--. Damit bleiben die Schulden unterhalb der Grenze, die eine ausländische Beherrschung vermuten lassen.
6.5 Inwiefern aus anderen Gründen Z.c._ die Beschwerdeführerin entscheidend beeinflussen könnte (Art. 6 Abs. 1 BewG), wird weder von der Vorinstanz noch vom Beschwerdegegner dargelegt und ist auch sonst nicht ersichtlich. Damit ist auch der Erwerb des Grundstücks Nr. xxx (Grundbuch C._) nicht bewilligungspflichtig.
7. Bei diesem Ergebnis entfällt auch die Grundlage für die Grundbuch- und Handelsregistersperre sowie die Beschlagnahmung der Aktienzertifikate.
8. Die Beschwerde erweist sich damit als begründet. Bei diesem Ausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Luzern hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren die Parteikosten zu ersetzen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 5. Juli 2012 wird aufgehoben. Es wird festgestellt, dass die Gründung der Beschwerdeführerin und der Erwerb des Grundstücks Nr. xxx (Grundbuch C._) durch die Beschwerdeführerin nicht der Bewilligungspflicht gemäss BewG unterliegen. Die Beschlagnahme der Aktienzertifikate sowie die Grundbuch- und Handelsregistersperre werden aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Luzern hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 10'000.-- zu bezahlen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Regierungsstatthalter der Ämter Hochdorf und Luzern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, dem Grundbuchamt Luzern Ost, dem Handelsregisteramt des Kantons Luzern sowie dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. März 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein