Sachverhalt:
A.
Gestützt auf eine Gefährdungsmeldung der Psychiatrischen Dienste U._ ordnete das Familiengericht Aarau am 10. Dezember 2014 für B.A._ (geb. 1975) eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung gemäss Art. 394 i.V.m. Art. 395 ZGB an. Es ernannte den Berufsbeistand C._ von den Sozialen Diensten V._ zum Beistand und umschrieb die ihm übertragenen Aufgaben. Zugleich erklärte es die Vollmachten, die B.A._ seinen Eltern D.A._ und A.A._ erteilt hatte, als hinfällig und lud die Eltern ein, dem Mandatsträger die ihnen vorliegenden Unterlagen und Dokumente zu übergeben.
B.
Gegen den Massnahmeentscheid führte A.A._ beim Obergericht des Kantons Aargau erfolglos Beschwerde (Entscheid vom 15. Juni 2015).
C.
A.A._ wendet sich mit Beschwerde vom 24. August 2015 an das Bundesgericht. Sie beantragt, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben (Ziff. 1) und auf die Einsetzung eines Beistandes zu verzichten (Ziff. 2). Eventualiter verlangt sie, selbst als Vertretungsbeiständin mit Vermögensverwaltung gemäss Art. 394 i.V.m. Art. 395 ZGB eingesetzt zu werden. Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten herangezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition die Voraussetzungen für ein Eintreten (BGE 140 IV 57 E. 2 S. 59).
2.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 BGG). In der Sache geht es um die Anordnung einer Beistandschaft und damit um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Der Streit ist nicht vermögensrechtlicher Natur (Urteil 5A_645/2010 vom 27. Dezember 2010 E. 1, nicht publ. in: BGE 137 III 67). Die Beschwerde ist rechtzeitig eingereicht worden (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG).
3.
Nicht B.A._, der von der Massnahme betroffen ist, sondern seine Mutter hat sich vor dem Obergericht des Kantons Aargau gegen die Errichtung der Beistandschaft über ihren Sohn gewehrt. Nach Art. 450 Abs. 2 Ziff. 2 ZGB war sie als ihrem Sohn nahestehende Person auch grundsätzlich dazu berechtigt, diese Schutzmassnahme mit Beschwerde anzufechten (zur nahestehenden Person: Urteil 5A_663/2013 vom 5. November 2013 E. 3 und E. 4.1). Dass die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren zur Beschwerde befugt war, bedeutet jedoch nicht, dass sie im Verfahren vor Bundesgericht zur Beschwerde in Zivilsachen legitimiert ist. Die Beschwerdelegitimation vor dem hiesigen Gericht richtet sich ausschliesslich nach Art. 76 Abs. 1 BGG (Urteil 5A_857/2010 vom 12. Januar 2011 E. 1.3). Dieser Vorschrift zufolge setzt die Beschwerdebefugnis die Teilnahme bzw. die Unmöglichkeit zur Teilnahme am Verfahren (Bst. a) und - kumulativ dazu - namentlich ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (Bst. b) voraus. Die Beschwerde ist nicht dazu da, Interessen Dritter geltend zu machen. Vorausgesetzt wird vielmehr grundsätzlich ein eigenes schutzwürdiges Interesse der Beschwerde führenden Person (Urteile 5A_345/2015 vom 3. Juni 2015 E. 1.2.2; 5A_310/2015 vom 20. April 2015 E. 2; 5A_238/2015 vom 16. April 2015 E. 2; für das alte Recht: 5A_857/2010 vom 12. Januar 2011 E. 1.3; je mit Hinweisen). Soweit sich die Beschwerdeführerin gegen die Errichtung einer Beistandschaft wehrt, verfolgt sie die Interessen ihres Sohns und damit kein eigenes schutzwürdiges Interesse. Entsprechend ist sie in dieser Hinsicht nicht zur Beschwerde legitimiert (dazu bereits Urteil 5A_345/2015 vom 3. Juni 2015 E. 1.2.2). Insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4.
Es stellt sich die Frage, ob die Beschwerdelegitimation hinsichtlich des Eventualbegehrens gegeben ist, mit dem die Beschwerdeführerin verlangt, selbst als Beiständin ihres Sohnes eingesetzt zu werden (s. Sachverhalt Bst. C). Die Frage kann jedenfalls im vorliegenden Prozess offenbleiben. Der Beschwerde gebricht es diesbezüglich schon an einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 BGG; vgl. Urteil 5A_605/2011 vom 8. November 2011 E. 1.4). Die Vorinstanz stellt ausdrücklich fest, die Eignung des als Beistand eingesetzten Berufsbeistands werde nicht angezweifelt. Sie kommt zum Schluss, es müsse "ein unabhängiger Mandatsträger zur beistandschaftlichen Unterstützung des Betroffenen eingesetzt" werden. Gegen diese Feststellungen und Erkenntnisse kommt die Beschwerdeführerin von vornherein nicht auf. Sie begnügt sich mit der blossen Gegenbehauptung, aufgrund ihrer Erfahrung "bestens geeignet" zu sein und zurzeit als einzige die Bedürfnisse ihres Sohnes sicherstellen zu können.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 ZGB). Dem Gemeinwesen ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Familiengericht Aarau und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn