Sachverhalt:
A. Die 1957 geborene R._ hatte am 29. März 2000 eine Auffahrkollision, die bei ihr gemäss Bericht des Spitals X._ vom 3. April 2000 eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) verursachte. Bei diesem Unfall war sie noch nicht bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend Zürich) obligatorisch unfallversichert. Seit 1. Januar 2001 war R._ zu 60 % als Sachbearbeiterin bei der Firma A._ angestellt und damit bei der Zürich obligatorisch unfallversichert. Am 18. Dezember 2002 erlitt sie einen weiteren Unfall, als ein Auto seitlich in den von ihr gelenkten Personenwagen prallte. Dr. med. G._, Allgemeinmedizin FMH, diagnostizierte bei ihr als Folge dieses Unfalls ein HWS-Schleudertrauma (Bericht vom 9. Januar 2003). Die Zürich erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Mit Verfügung vom 11. April 2006 stellte sie die Taggelder auf den 27. März 2003 und die Heilkostenleistungen ab sofort ein. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 9. November 2006 ab.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich gut, soweit es darauf einrat; es stellte fest, die Versicherte habe im Zusammenhang mit dem Unfall vom 18. Dezember 2002 auch über den 27. März 2003 respektive den 11. April 2006 hinaus Anspruch auf die gesetzlichen Leistungen der Unfallversicherung im Sinne der Erwägungen (Entscheid vom 8. Dezember 2008).
C. Mit Beschwerde beantragt die Zürich die Aufhebung des kantonalen Entscheides und die Bestätigung ihres Einspracheentscheides; der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Die Versicherte schliesst auf Nichteintreten auf die Beschwerde; eventuell sei sie abzuweisen. Die Vorinstanz und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Vernehmlassung.
D. Zum Antrag der Zürich um Gewährung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde liessen sich weder die Versicherte noch das kantonale Gericht vernehmen, was entsprechend der bundesgerichtlichen Androhung vom 20. Februar 2009 als Einverständnis galt.
Erwägungen:
1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid unter anderem erwogen, der Unfall vom 18. Dezember 2002 sei zumindest teilkausal für den Gesundheitsschaden der Versicherten gewesen. Es sei noch mit einem erheblichen Behandlungserfolg zu rechnen gewesen, weshalb die Zürich den Fallabschluss (und die damit verbundene Adäquanzbeurteilung) verfrüht vorgenommen und den Anspruch der Versicherten auf Taggelder über den 27. März 2003 hinaus - sofern und soweit ihr über diesen Zeitpunkt hinaus noch eine zumindest teilweise durch den Unfall vom 18. Dezember 2002 bedingte Arbeitsunfähigkeit attestiert worden sei - ebenso zu Unrecht verneint habe wie - für die Zeit ab 12. April 2006 - denjenigen auf Heilbehandlung im Zusammenhang mit der Ende 2002 erfolgten Kollision.
Es stellt sich zunächst die - von den Parteien unterschiedlich beantwortete - Frage, ob dieser Entscheid vom Versicherer mit Beschwerde angefochten werden kann (vgl. BGG 133 V 477). Dies ist zu bejahen, da die Vorinstanz durch ihre materiellrechtlichen Anordnungen die Zürich gezwungen hat, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Ein solcher Entscheid hat einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 2 lit. a BGG zur Folge (BGE 133 V 477 Ziff. 5.2 S. 483; Urteil 8C_587/2007 vom 9. Juli 2008 E. 1). Damit ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254; Urteil 8C_806/2008 vom 5. Januar 2009, E. 1.1).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Die Vorinstanz hat die Bestimmung über die Leistungspflicht des Versicherers bei erneutem Unfall der versicherten Person (Art. 100 Abs. 2 UVV) sowie die Grundsätze über den für die Leistungspflicht des Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod; BGE 134 V 109 E. 2.1 und 9.4 f. S. 111 f. und 124 ff. mit Hinweisen), die erforderliche Adäquanz des Kausalzusammenhangs im Allgemeinen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112, 129 V 177 E. 3.2 S. 181 mit Hinweis) sowie bei Folgen eines Unfalls mit HWS-Schleudertrauma oder einer äquivalenten Verletzung ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle (BGE 134 V 109 E. 10 S. 126 ff.) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt betreffend den Wegfall des ursächlichen Zusammenhangs und damit des Leistungsanspruchs der versicherten Person bei Erreichen des Status quo sine vel ante und zu den sich dabei stellenden Beweisfragen (SVR 2009 UV Nr. 9 E. 2.2 mit Hinweisen [8C_354/2007]) sowie den im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 134 V 109 E. 9.5 S. 125 mit Hinweis). Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Während Dr. med. M._, Allgemeine Medizin FMH, als Folge des Unfalls vom 18. Dezember 2002 bei der Versicherten eine HWS-Kontusion diagnostizierte (Bericht vom 15. Januar 2003), gingen die anderen behandelnden und abklärenden Ärzte diesbezüglich von einem HWS-Schleudertrauma bzw. einer HWS-Distorsion mit entsprechenden gesundheitlichen Beschwerden aus (vgl. unter anderem Berichte der Dres. med. G._ vom 9. Januar 2003 und 23. Dezember 2004, H._, Spezialarzt FMH für Chirurgie spez. Wirbelsäulenleiden Schleudertrauma und orthopädische Traumatologie, vom 18. September 2003, F._, Kraniosakraltherapie praktischer Arzt, vom 20. Juli und 16. November 2004, sowie W._, Neurologie FMH, vom 26. Juli 2005).
4. 4.1 Während Dr. med. M._, Allgemeine Medizin FMH, als Folge des Unfalls vom 18. Dezember 2002 bei der Versicherten eine HWS-Kontusion diagnostizierte (Bericht vom 15. Januar 2003), gingen die anderen behandelnden und abklärenden Ärzte diesbezüglich von einem HWS-Schleudertrauma bzw. einer HWS-Distorsion mit entsprechenden gesundheitlichen Beschwerden aus (vgl. unter anderem Berichte der Dres. med. G._ vom 9. Januar 2003 und 23. Dezember 2004, H._, Spezialarzt FMH für Chirurgie spez. Wirbelsäulenleiden Schleudertrauma und orthopädische Traumatologie, vom 18. September 2003, F._, Kraniosakraltherapie praktischer Arzt, vom 20. Juli und 16. November 2004, sowie W._, Neurologie FMH, vom 26. Juli 2005).
4.2 4.2.1 Die Vorinstanz hat erwogen, auf Grund der medizinischen Aktenlage sei davon auszugehen, dass die Versicherte beim Unfall vom 18. Dezember 2002 eine HWS-Distorsion erlitten habe. Ihre gesundheitlichen Beschwerden seien zumindest teilkausal auf dieses Ereignis zurückzuführen.
4.2.2 Die Zürich macht geltend, da ein interdisziplinäres Gutachten im Sinne von BGE 134 V 109 E. 9.4 f. S. 124 ff. fehle, dürfe der natürliche Kausalzusammenhang nicht bejaht bzw. als erstellt erachtet werden. Es müsse ihr zumindest die Möglichkeit eingeräumt werden, den Wegfall des natürlichen Kausalzusammenhangs bzw. das Erreichen des Status quo sine durch ein interdisziplinäres Gutachten unter Beizug aller Vorakten zu beweisen. Sodann habe die Vorinstanz den Umstand, dass die Versicherte den Beizug der vollständigen Akten verweigert habe, ohne jegliche Begründung völlig ausser Acht gelassen. Diese Weigerung müsse im Rahmen der Beweiswürdigung so gewertet werden, dass die Beschwerden als Folgen unfallfremder Faktoren angesehen würden, zumal die Verweigerung nur den Sinn haben könne, solche Faktoren zu verschleiern. Zumindest gehe es nicht an, den natürlichen Kausalzusammenhang ohne Vorliegen aller Akten und Abklärung des Vorzustandes zu bejahen.
4.3 Die Zürich hat gestützt auf die ärztlichen Unterlagen ihre Leistungspflicht und damit den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 18. Dezember 2002 und dem Gesundheitsschaden der Versicherten anerkannt. Dass diese Kausalität im Zeitpunkt der gänzlichen Leistungseinstellung am 11. April 2006 vollständig weggefallen und der Status quo ante erreicht war - wofür die Zürich die Beweislast trägt -, ist auf Grund der medizinischen Aktenlage nicht überwiegend wahrscheinlich erstellt (vgl. SVR 2009 UV Nr. 3 S. 9 E. 2.2; zum Genügen der Teilursächlichkeit zur Bejahung der Kausalität siehe BGE 134 V 109 E. 9.5 S. 125 f.). Weiter hat die Vorinstanz richtig erkannt, dass die Zürich gestützt auf Art. 100 Abs. 2 UVV mit Auslösung des Taggeldanspruchs für die Folgen des Unfalls vom 18. Dezember 2002 der Versicherten gegenüber auch für die Folgen des Unfalls vom 29. März 2000 leistungspflichtig wurde, was unbestritten ist.
Der Zürich ist es unbenommen, zur Abklärung der natürlichen Unfallkausalität des Gesundheitsschadens der Versicherten das in BGE 134 V 109 E. 9.4 f. S. 124 ff. vorgesehene interdisziplinäre Gutachten in Auftrag zu geben, wozu die Versicherte denn auch mit Schreiben vom 13. Oktober 2006 Hand bot. Sie ist jedoch auf Grund der Aktenlage nicht befugt, Heilbehandlung und Taggeld bis zum Vorliegen eines solchen Gutachtens wegen Fehlens des natürlichen Kausalzusammenhangs einzustellen. Sie hat den Sachverhalt diesbezüglich rechtsgenüglich abzuklären und danach über ihre Leitungspflicht in diesem Lichte zu befinden (vgl. auch Urteil U 210/06 vom 8. November 2006 E. 3.1).
Gemäss Art. 43 Abs. 3 ATSG kann der Versicherungsträger auf Grund der Akten verfügen oder die Erhebungen einstellen und Nichteintreten beschliessen, wenn die versicherte Person, die Leistungen beansprucht, den Auskunfts- und Mitwirkungspflichten in unentschuldbarer Weise nicht nachkommt. Die versicherte Person muss vorher schriftlich gemahnt und auf die Rechtsfolgen hingewiesen werden, wobei ihr eine angemessene Bedenkzeit einzuräumen ist (SVR 2007 IV Nr. 48 S. 156 E. 6 [I 988/2006]). Da auf Grund der Akten ein solches Mahn- und Bedenkzeitverfahren nicht durchgeführt wurde, ist die Berufung der Zürich auf die Verweigerung der Aktenherausgabe durch die Versicherte unbehelflich.
5. Weiter hat die Vorinstanz gestützt auf die medizinischen Unterlagen zutreffend erwogen, aus der Tatsache, dass die Versicherte seit 27. März 2003 wieder im vor dem Unfall vom 18. Dezember 2002 ausgeübten 60%igen Teilzeitpensum gearbeitet habe, könne nicht auf eine volle Leistungsfähigkeit geschlossen werden. Sie habe vielmehr gesundheitsbedingt Mühe gehabt, ihre Arbeit in gewohnter Quantität und Qualität zu erledigen. Zudem sei es ihr unmöglich gewesen, die bereits vor dem Unfall geplante selbstständige Erwerbstätigkeit aufzunehmen. Dass die Versicherte einen solchen Plan hatte, bestreitet die Zürich nicht. Im Weiteren ist der Vorinstanz beizupflichten, dass im Zeitpunkt der Leistungseinstellung durch die Zürich per 27. März 2003 bzw. 11. April 2006 von weiterer ärztlicher Behandlung eine namhafte, ins Gewicht fallende Besserung des Gesundheitszustandes zu erwarten war. Sie verwies zu Recht unter anderem auf den letzten sich zu dieser Frage äussernden Bericht des Neurologen Dr. med. W._ vom 18. November 2005, wonach die Versicherte bei adäquater, intensivierter und koordinierter Therapie des Beschwerdebildes ihre Leistungsfähigkeit (am ehesten im angestammten Beruf) weiter steigern können sollte. Nach dem Gesagten war der Fallabschluss und die damit verbundene Adäquanzprüfung verfrüht, wie die Vorinstanz richtig erkannt hat (BGE 134 V 109 E. 4 S. 113 ff.).
6. Die unterliegende, nicht unter den Ausnahmetatbestand von Art. 66 Abs. 4 BGG fallende Zürich hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 133 V 642) und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. April 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar