Faits:
A. La parcelle n° 536 du registre foncier de Saillon supporte les installations d'un centre thermal. Sur les parcelles voisines sont construits un hôtel et des immeubles résidentiels. Un bar a été aménagé dans le bâtiment sis sur la parcelle n° 536; il a été exploité pendant de nombreuses années sous l'enseigne "X._".
Le 22 février 2007, B._ a requis auprès de la commune de Saillon l'autorisation d'exploiter un bar sous l'enseigne "Y._", sur le site de l'ancien "X._". Mise à l'enquête publique par avis paru au Bulletin officiel du canton du Valais du 2 mars 2007, cette requête a suscité diverses oppositions, dont celle de A._. Ce dernier est propriétaire des parcelles n° 525 et 526 sises à environ 300 m du bar, ainsi que d'un studio situé à environ 125 m du bar sur la parcelle n° 3101. Par décision du 3 avril 2007, le Conseil municipal de Saillon a délivré l'autorisation d'exploiter et a rejeté les oppositions.
B. A._ a recouru contre cette décision devant le Conseil d'Etat du canton du Valais, faisant valoir que les fenêtres de son studio donnaient sur la route qui mène au bar et à quelques mètres d'un parking qui serait utilisé par la clientèle. De plus, il prévoyait de construire un immeuble sur ses parcelle n° 525 et 526, devant lesquelles passe la route qu'emprunteraient les clients du "Y._". Invoquant l'art. 5 de la loi cantonale sur l'hébergement, la restauration et le commerce de détail de boissons alcoolisées (RS/VS 935.3), il soutenait que l'autorisation d'exploiter ne pouvait pas être délivrée en raison de diverses violations du droit des constructions (défaut d'autorisation pour changement d'affectation) et du droit de l'environnement (protection contre le bruit).
Par décision du 27 juin 2007, le Conseil d'Etat a déclaré ce recours irrecevable, au motif que A._ n'avait pas la qualité pour recourir. Il a considéré en substance que le studio de l'intéressé était séparé de l'établissement litigieux par un hôtel formant un obstacle important aux éventuelles nuisances sonores, que le studio était utilisé comme bureau et que ses fenêtres étaient orientées dans la direction opposée du lieu où se situe le bar. Il relevait également que le parking proche de l'établissement litigieux avait une capacité suffisante pour éviter que les clients ne stationnent à proximité du studio. Quant aux parcelles n° 525 et 526, elles étaient situées à plus de 300 m du bar, à hauteur d'un giratoire et en bordure d'une route fréquentée. Le Conseil d'Etat concluait que A._ ne pouvait pas raisonnablement prétendre qu'il serait gêné ou perturbé par d'éventuelles nuisances sonores pouvant émaner de l'établissement "Y._".
C. A._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal). Il reprochait au Conseil d'Etat de lui avoir dénié à tort la qualité pour recourir, en violation de l'art. 44 de la loi cantonale sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RS/VS 172.6). Le Tribunal cantonal a rejeté ce recours par arrêt du 28 septembre 2007. Il relevait en substance que l'autorisation d'exploiter ne changeait ni le type de patente, ni le mode d'exploitation de l'établissement, que le studio de A._ était orienté de sorte que ses occupants ne pouvait pas être incommodés par le parking du bar, qu'il n'était aucunement établi que le parking proche du studio serait utilisé par la clientèle et, enfin, que l'hôtel et le complexe du centre thermal faisaient complètement écran aux nuisances sonores que pourrait générer l'établissement litigieux. Pour le surplus, tant le studio que les parcelles n° 525 et 526 étaient situés en bordure de routes relativement fréquentées. Par conséquent, A._ n'était pas incommodé plus que quiconque par les nuisances prévisibles pouvant résulter de l'exploitation en cause.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, de lui reconnaître la qualité pour recourir en procédure cantonale et, subsidiairement, de renvoyer l'affaire au Tribunal cantonal pour nouvelle décision. Il invoque une application arbitraire (art. 9 Cst.) d'une disposition cantonale régissant la qualité pour recourir et se plaint d'une violation de son droit d'être entendu ainsi que d'un déni de justice formel (art. 29 Cst.). Il invoque en outre l'art. 111 al. 1 LTF. Le Tribunal cantonal a renoncé à présenter des observations. B._ s'est déterminé; il conclut au rejet du recours. Le Conseil d'Etat a également présenté des observations. Ces déterminations ont été transmises au recourant.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 133 I 206 consid. 2 p. 210; 132 I 140 consid. 1.1 p. 142; 130 I 312 consid. 1 p. 317 et les arrêts cités).
1.1 Dirigé contre une décision portant sur l'octroi d'une autorisation d'exploiter un établissement public, le recours est recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss de la loi sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110). Aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'est réalisée.
1.2 Aux termes de l'art. 89 al. 1 LTF, a qualité pour former un recours en matière de droit public quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a), est particulièrement atteint par la décision attaquée (let. b) et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celle-ci (let. c). En l'espèce, l'objet du litige réside dans la qualité pour agir du recourant, qui estime que le Conseil d'Etat aurait dû lui reconnaître cette qualité et entrer en matière sur les griefs qu'il avait formulés à l'encontre de l'autorisation d'exploiter l'établissement public litigieux. Le recourant peut se prévaloir d'un intérêt digne de protection à faire constater que sa légitimation active lui a été déniée en violation de ses droits de partie (cf. ATF 129 II 297 consid. 2.3 p. 301; 124 II 124 consid. 1b p. 126; 104 Ib 307 consid. 3a p. 317 et la jurisprudence citée). Il a donc la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Pour le surplus, formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision prise en dernière instance cantonale (art. 80 LTF), le recours est recevable.
2. Le recourant reproche au Tribunal cantonal d'avoir méconnu l'art. 111 al. 1 LTF, en appréciant la qualité pour recourir en droit cantonal de manière plus restrictive qu'en droit fédéral. Il invoque également à cet égard une application arbitraire l'art. 44 al. 1 let. a de la loi cantonale sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA; RS/VS 172.6).
Aux termes de l'art. 111 al. 1 LTF, la qualité de partie à la procédure devant toute autorité cantonale précédente doit être reconnue à quiconque a qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral. L'alinéa 3 précise que l'autorité qui précède immédiatement le Tribunal fédéral doit pouvoir examiner au moins les griefs visés aux art. 95 à 98 LTF. Il en résulte que la qualité pour recourir devant les autorités cantonales ne peut pas s'apprécier de manière plus restrictive que la qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral, les cantons demeurant libres de concevoir cette qualité de manière plus large (cf. Bernhard Ehrenzeller in Basler Kommentar - Bundesgerichtsgesetz, Bâle 2008, n. 4 ss ad art. 111 LTF; arrêts non publiés 1C_82/2007 du 19 novembre 2007 consid. 3.1; 4A_33/2007 du 27 septembre 2007 consid. 2). En l'occurrence, il convient donc d'examiner la qualité pour recourir sous l'angle de l'art. 89 al. 1 LTF. S'agissant de droit fédéral (art. 111 al. 1 LTF), le Tribunal fédéral examine cette question librement. L'art. 44 al. 1 let. a LPJA ayant une portée identique, le grief tiré d'un application arbitraire de cette disposition devient sans objet.
3. L'art. 89 al. 1 LTF reprend les exigences qui prévalaient sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire pour le recours de droit administratif (cf. art. 103 let. a OJ; Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001 [ci-après: Message], FF 2001 p. 4126), de sorte que l'on peut se référer à la jurisprudence rendue en cette matière. Selon cette jurisprudence, le recourant doit se trouver dans une relation spéciale, étroite et digne d'être prise en considération avec l'objet de la contestation. Il faut donc que l'admission du recours procure au recourant un avantage, de nature économique, matérielle ou idéale. Le recours d'un particulier formé dans l'intérêt général ou dans l'intérêt d'un tiers est en revanche irrecevable (ATF 121 II 39 consid. 2c/aa p. 43 s., 171 consid. 2b p. 174; 120 Ib 48 consid. 2a p. 51 s., 379 consid. 4b p. 386 s. et les arrêts cités). Il incombe au recourant d'alléguer les faits propres à fonder sa qualité pour recourir (ATF 133 II 249 consid. 1.1 p. 251; 120 Ia 227 consid. 1 p. 229; 115 Ib 505 consid. 2).
3.1 Le propriétaire d'un immeuble directement voisin de la construction ou de l'installation litigieuse a en principe la qualité pour recourir (ATF 121 II 171 consid. 2b p. 174; 115 Ib 508 consid. 5c p. 511). Cette qualité peut être reconnue même en l'absence de voisinage direct, lorsqu'une distance relativement faible sépare l'immeuble du ou des recourants de la construction litigieuse (cf. ATF 121 II 171 consid. 2b p. 74 et la jurisprudence citée, où il est fait référence à des distances de 45 m, 70 m ou 120 m). Le critère de la distance n'est pas le seul déterminant; s'il est certain ou très vraisemblable que l'installation ou la construction litigieuse sera à l'origine d'immissions - bruit, poussières, vibrations, lumière, fumée - atteignant spécialement les voisins, même situés à une certaine distance, ces derniers peuvent avoir qualité pour recourir (cf. ATF 125 II 10 consid. 3a p. 15; arrêt 1A.179/1996 du 8 avril 1997 in RDAF 1997 I p. 242). Le voisin doit en outre retirer un avantage pratique de l'annulation ou de la modification de l'arrêt contesté qui permette d'admettre qu'il est touché dans un intérêt personnel se distinguant nettement de l'intérêt général des autres habitants de la commune (ATF 133 II 249 consid. 1.3.1 p. 252; Message, FF 2001 p. 4127; cf. ATF 120 Ib 431 consid. 1 p. 433).
3.2 Les règles du droit fédéral de la protection de l'environnement sur la limitation des émissions de bruit s'appliquent aux établissements publics tels que cafés, restaurants, discothèques, etc. Le bruit produit par un établissement public peut provenir de l'intérieur des locaux, se diffusant dans le voisinage à travers les ouvertures ou les murs, ou encore de l'extérieur, par exemple d'une terrasse, du parking destiné aux clients, voire des abords immédiats de l'établissement (ATF 130 II 32 consid. 2.1 p. 35). Dans l'examen de la qualité pour recourir, il ne s'agit pas de se prononcer sur le respect des exigences de la législation fédérale sur la protection de l'environnement en matière de bruit, car cette question relève du fond. Pour déterminer si le propriétaire voisin d'un établissement public est particulièrement atteint, il convient néanmoins d'examiner la nature et l'intensité du bruit provoqué par cette installation ainsi que le niveau des nuisances existantes. Lorsque l'établissement en cause est situé dans un environnement déjà relativement bruyant, il ne suffit pas d'invoquer un bruit supplémentaire pour avoir la qualité pour recourir (cf. arrêts 1A.1/2005 du 11 novembre 2005 consid. 2.1.1; 1A.47/2002 du 16 avril 2002 consid. 3.3 et les références).
4. En l'espèce, le recourant est propriétaire de deux parcelles sises à environ 300 m du bar "Y._" et d'un studio situé à environ 125 m de cet établissement, dont il est séparé par le complexe du centre thermal et par un hôtel. Vu la configuration des lieux, la constatation du Tribunal cantonal selon laquelle ces immeubles font écran aux nuisances sonores que pourraient subir les occupants du studio n'apparaît pas manifestement insoutenable. Cela étant, le recourant prétend qu'il serait gêné par le bruit de clientèle empruntant la route qui passe devant son studio et en utilisant le parking sis à proximité. Il craint en particulier des claquements de portières "à quelques mètres des fenêtres du studio".
4.1 Le Conseil d'Etat a constaté que le studio du recourant était actuellement utilisé comme bureau, ce qui n'est pas contesté. Il est dès lors douteux que le recourant soit incommodé durant les heures d'ouverture de l'établissement public en cause, soit de 21h à 2h30 le mercredi et le jeudi et de 21h à 3h30 le vendredi et le samedi. Dans ces circonstances, il lui appartenait d'expliquer en quoi l'autorisation d'exploiter délivrée à l'intimé porterait atteinte à ses intérêts. Quoi qu'il en soit, le recourant ne remet pas en cause la constatation du Tribunal cantonal selon laquelle le parking réservé à la clientèle du bar - situé face à l'entrée de celui-ci à l'arrivée de la route menant au centre thermal - a une capacité suffisante. De même, comme le Tribunal cantonal l'a considéré sans être contredit sur ce point, il n'est aucunement établi que la clientèle du bar utilise régulièrement le parking contigu de l'hôtel, plus proche du studio de l'intéressé.
4.2 Pour le surplus, dans la mesure où les constatations de fait contenues dans l'arrêt attaqué n'apparaissent pas manifestement inexactes ou arbitraires, le Tribunal fédéral statue sur la base de ces faits (art. 105 LTF). Il en résulte que les éventuels occupants du studio du recourant ne peuvent être incommodés ni par l'exploitation du bar en tant que telle, ni par le bruit pouvant être provoqué par les clients entre le bar et le parking. Il en va de même des futurs occupants des immeubles projetés sur les parcelles n° 525 et 526, ces bien-fonds étant situés à 300 m du bar, près d'une route déjà relativement fréquentée et à la hauteur d'un giratoire. Le grief du recourant selon lequel l'autorité intimée aurait arbitrairement omis de constater les périodes d'exploitation du bar n'y change rien, dès lors que ces périodes sont les mêmes que celles qui prévalaient lorsque l'établissement était exploité sous l'enseigne "X._". L'arrêt querellé relève en effet que l'autorisation d'exploiter délivrée à l'intimé ne change ni le type de patente ni le mode d'exploitation de l'établissement. Or, l'autorisation d'exploiter relève - sans être contredite sur ce point - que le bar est exploité depuis 1988 sous l'enseigne "X._" et qu'il a bénéficié de façon permanente d'heures de fermeture tardives au-delà de minuit à partir de 1997, sans qu'aucune plainte n'ait été déposée auprès de la commune par le voisinage. Il n'est en outre aucunement établi que l'établissement "Y._" soit susceptible de provoquer davantage de bruit et de trafic que le "X._".
4.3 Dans ces conditions, sur la base des faits établis par l'autorité intimée, il y a lieu de considérer qu'il n'était pas certain ou très vraisemblable que l'établissement litigieux génère des nuisances sonores susceptibles d'atteindre spécialement le recourant. La décision cantonale lui déniant la qualité pour recourir apparaît donc conforme à la jurisprudence relative à l'art. 89 al. 1 LTF. Elle ne consacre pas une conception plus restrictive de la qualité pour recourir, si bien que l'art. 111 al. 1 LTF est respecté. Il s'ensuit que ce premier moyen doit être rejeté.
5. Le grief de déni de justice formel doit lui aussi être rejeté, dans la mesure où un tel déni ne peut être réalisé que si l'autorité n'a pas statué alors qu'elle devait le faire (ATF 124 V 130 consid. 4 p. 133; 117 Ia 116 consid. 3a p. 117), ce qui n'était pas le cas en l'espèce.
6. Enfin, le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Il reproche au Tribunal cantonal d'avoir refusé d'administrer un moyen de preuve qu'il avait requis, à savoir l'audition d'habitants de l'immeuble dans lequel se trouve son studio, afin qu'ils s'expriment sur les nuisances que le bar aurait causées lorsqu'il était exploité sous l'enseigne "X._". Dans la mesure où ce point n'est pas indissociable de la décision sur le fond, le recourant ne saurait se prévaloir de ses droits de nature formelle pour remettre indirectement en cause cette décision (ATF 120 Ia 227 consid. 1 p. 230 et les arrêts cités). De plus, sur le vu des constatations de fait susmentionnées - en particulier la configuration des lieux et l'absence de plainte du voisinage auprès de la commune durant les années d'exploitation du "X._" -, le refus d'entendre les témoins proposés par le recourant n'apparaît pas manifestement insoutenable. L'appréciation anticipée des preuves à laquelle l'autorité intimée a procédé échappe donc au grief d'arbitraire (cf. ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 429; 125 I 127 consid. 6c/cc in fine p. 135 et les références).
7. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il versera en outre une indemnité à titre de dépens à l'intimé, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 2000 fr. est allouée à l'intimé à titre de dépens, à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, à la commune de Saillon, au Conseil d'Etat et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour de droit public.
Lausanne, le 25 mars 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener