Erwägungen:
1.
1.1. X._ (geb. 1965) stammt aus der Dominikanischen Republik. Er heiratete am 20. August 2002 in der Heimat eine Landsfrau, die in der Schweiz über eine Niederlassungsbewilligung verfügt, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug erteilt wurde. Nachdem sich die Eheleute getrennt hatten, lehnte die Fremdenpolizei der Einwohnergemeinde Bern es am 21. November 2003 ab, die Bewilligung zu verlängern, worauf X._ in seine Heimat zurückkehrte.
1.2. Am 23. März 2008 stellte die Fremdenpolizei der Einwohnergemeinde X._ erneut eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Gattin aus. Das Ehepaar hat drei gemeinsame Kinder (geb. 2001, 2004 und 2008). Am 26. Januar 2011 verurteilte das Regionalgericht Bern-Mittelland X._ wegen (qualifizierter) Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz und Geldwäscherei zu einer Freiheitsstrafe von 42 Monaten. Seit dem 1. September 2012 leben die Ehegatten wiederum getrennt.
1.3. Die Einwohnerdienste der Einwohnergemeinde Bern lehnten es am 24. Oktober 2011 ab, die Aufenthaltsbewilligung von X._ zu verlängern. Hiergegen gelangte dieser erfolglos an die Polizei- und Militärdirektion (Entscheid vom 29. Juni 2012) und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Urteil vom 2. Juli 2013). Er beantragt vor Bundesgericht, dessen Urteil aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
2.
Nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben die Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In dieser ist in gedrängter Form darzutun, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss sachbezogen sein, d.h. den Gegenstand des angefochtenen Entscheids betreffen. Es ist dabei in gezielter Form auf die für das Ergebnis des Verfahrens massgeblichen Ausführungen der Vorinstanz im Einzelnen einzugehen (BGE 134 II 244 E. 2.1-2.3). Soweit der Beschwerdeführer lediglich wiederholt, was er bereits vor dem Verwaltungsgericht ausgeführt hat, und sich mit dessen Überlegungen nicht weiter auseinandersetzt bzw. nicht darlegt, inwiefern das angefochtene Urteil gegen Bundesrecht verstossen oder die einschlägige bundesgerichtliche Praxis verkennen würde, ist auf seine Ausführungen nicht weiter einzugehen. Soweit er geltend macht, er sei zu Unrecht verurteilt worden und habe nie mit Drogen gehandelt, übersieht er, dass er diesbezüglich strafrechtlich verurteilt worden ist; die entsprechende Problematik bildet nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Bei seinem Hinweis, eine neue Beziehung in der Schweiz eingehen zu wollen bzw. hier inzwischen eine neue Partnerin getroffen zu haben, handelt es sich um ein im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässiges Novum (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG).
3.
Soweit seine Beschwerde den gesetzlichen Begründungsanforderungen genügt, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht: Die Familiennachzugs- und Verbleiberechtsansprüche nach den Art. 43 und 50 AuG (bzw. Art. 8 EMRK) erlöschen, wenn der Betroffene zu einer längerfristigen Freiheitsstrafe, d.h. einer solchen von mehr als einem Jahr, verurteilt worden ist und sich die aufenthaltsbeendende Massnahme als verhältnismässig erweist (Art. 51 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 62 lit. b AuG; vgl. ZÜND/HUGI YAR, Aufenthaltsbeendende Massnahmen im schweizerischen Ausländerrecht, insbesondere unter dem Aspekt des Privat- und Familienlebens, in: EuGRZ 40/2013 S. 1 ff., dort N. 17 ff. und 39 ff. mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer ist in der Schweiz wiederholt straffällig geworden; letztmals wurde er wegen seiner Aktivitäten als Drogenhändler zu einer Freiheitsstrafe von 42 Monaten verurteilt. Von Oktober 2008 bis März 2012 musste er vom Sozialamt mit Fr. 22'575.-- unterstützt werden; seine Gattin und die Kinder, für die er zu sorgen hat, haben von März 2005 bis Februar 2011 Sozialhilfe im Umfang von rund Fr. 400'000.-- bezogen (vgl. Art. 51 Abs. 2 lit. b i.V.m. Art. 62 lit. e AuG). Die Kinder bzw. die bestehenden familiären Beziehungen vermochten den Beschwerdeführer nicht davon abzuhalten, hier immer gegen wichtigere Rechtsgüter zu verstossen und schwerer straffällig zu werden. Es kann unter diesen Umständen nicht gesagt werden, dass er sich in der Schweiz "tadellos" verhalten hätte; nur unter dieser Voraussetzung könnte im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK sein Interesse, das Besuchsrecht zu seinen Kindern gestützt auf ein Aufenthaltsrecht im Land selber leben zu können, das öffentliche Interesse an seiner Fernhaltung überwiegen (vgl. ZÜND/HUGI YAR, a.a.O., N. 46 mit Hinweisen). In seinem Fall wird das Besuchsrecht angepasst und von der Heimat aus gepflegt werden müssen, wobei eine allfällige Einreisesperre zu diesem Zweck punktuell aufzuheben sein wird (vgl. das EGMR-Urteil vom 15. November 2013 Koffi gegen Schweiz [Nr. 38005/07], Ziff. 66 ff., insbesondere Ziff. 70). Der vorliegende Fall unterscheidet sich vom angerufenen Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte i.S. Udeh (Entscheid Nr. 12020/09 vom 16. April 2013) schon insofern, als der Beschwerdeführer nie längere Zeit mit seiner Familie zusammengelebt und er - nach der ersten Trennung von seiner Gattin - bereits während Jahren die Beziehungen zu den Kindern über die Grenzen hinweg gelebt hat. Von Juni 2009 bis Oktober 2011 befand er sich im Strafvollzug und spätestens seit September 2012 ist der gemeinsame Haushalt aufgehoben worden. Er verfügt auch in seinem Heimatstaat noch über Kinder, mit denen er umgekehrt von der Schweiz aus bisher die familiären Beziehungen gepflegt haben will.
4.
4.1. Die Beschwerde kann im Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden. Für die weitere Begründung wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Urteil und die dortige umfassende und sorgfältige Interessenabwägung verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
4.2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da seine Eingabe aufgrund der publizierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung zum Vornherein aussichtslos erschien (Art. 64 BGG). Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 i.V.m. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. August 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar