Sachverhalt:
A. Die 1968 geborene B._ durchlief bis 1991 eine Ausbildung zur Kindergärtnerin; 1989 hatte sie eine Karriere als Kunstturnerin aufgrund von Rückenbeschwerden aufgeben müssen. Wegen rezidivierender Erschöpfungszustände konnte sie indessen nie als Kindergärtnerin arbeiten. Im Juni 1994 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Diese richtete B._ für den Zeitraum von Juni 1993 bis Mai 1995 eine befristete ganze Rente aus (Verfügung vom 8. September 1995) und übernahm die Kosten für eine Ausbildung zur Musiklehrerin (Verfügungen vom 18. Juli 1995 und 26. August 1998). Nachdem B._ Mitte 2001 die Umschulung zur Lehrerin für Querflöte infolge von Schmerzen am linken Vorderarm (nach dem Bestehen der Theorieprüfung) abgebrochen hatte, sprach ihr die IV-Stelle des Kantons Zürich am 10. Dezember 2001 aufgrund eines Invaliditätsgrades von 85 Prozent mit Wirkung ab Juli 2001 wiederum eine ganze Rente zu. Dieser Leistungsumfang wurde im Rahmen eines Revisionsverfahrens bestätigt (Mitteilung vom 17. März 2003). Im Hinblick auf eine weitere Überprüfung des Rentenanspruchs holte die Verwaltung beim Zentrum X._ ein interdisziplinäres Gutachten ein, welches am 3. April 2007 erstattet wurde. Mit Verfügung vom 6. Dezember 2007 setzte die IV-Stelle die bisherige ganze Rente unter der Annahme, der Invaliditätsgrad habe sich auf 55 Prozent reduziert, mit Wirkung ab Februar 2008 auf eine halbe herab.
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die dagegen eingereichte Beschwerde teilweise gut und sprach der Versicherten mit Wirkung ab Februar 2008 eine Dreiviertelsrente zu (Entscheid vom 29. Juni 2009).
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, über Januar 2008 hinaus eine ganze Rente zuzusprechen. Ausserdem beantragt sie die unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Das kantonale Gericht erkannte, die IV-Stelle habe in der strittigen Verfügung vom 6. Dezember 2007 zu Recht angenommen, eine anspruchswesentliche Sachverhaltsänderung sei ausgewiesen (Art. 17 Abs. 1 ATSG; Art. 87, 88a und 88bis IVV); der (psychische) Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin habe sich seit der letztmaligen Beurteilung des Rentenanspruchs im Frühjahr 2003 (Mitteilung vom 17. März 2003; vgl. BGE 133 V 108) massgeblich gebessert. Medizinisch-theoretisch gegeben sei eine Arbeitsfähigkeit im Umfang von 50 Prozent in einer leidensangepassten, das heisst wirbelsäulenschonenden und wechselbelastenden leichteren Tätigkeit.
2.2 Die Beschwerdeführerin wendet ein, bei der Mitteilung der IV-Stelle vom 17. März 2003, mit welcher am bisherigen Invaliditätsgrad von 85 Prozent festgehalten wurde, handle es sich nicht um eine "letzte rechtskräftige Verfügung" im Sinne von BGE 133 V 108, sondern um eine formlose Mitteilung ohne Verfügungseigenschaft. Aus diesem Grund und weil im Vorfeld der Mitteilung nur ein geringer Abklärungsaufwand betrieben worden sei, könne es sich dabei nicht um die massgebende zeitliche Vergleichsbasis im Sinne der zitierten Rechtsprechung handeln; massgebend seien vielmehr die Verhältnisse im Jahr 2001, eventuell 1995 (Gutachten der Schule Y._ vom 23. März 1995).
Das Bundesgericht hat in SVR 2010 IV Nr. 4 S. 7 E. 3.1 (9C_46/2009) inzwischen darauf hingewiesen, dass eine Verfügung verzichtbar ist, wenn bei einer von Amtes wegen durchgeführten Revision keine leistungsbeeinflussende Änderung der Verhältnisse festgestellt wurde (Art. 74ter lit. f IVV) und die bisherige Invalidenrente daher weiter ausgerichtet wird. Wird auf entsprechende Mitteilung hin keine Verfügung verlangt (Art. 74quater IVV), ist jene in Bezug auf den Vergleichszeitpunkt einer (ordentlichen) rechtskräftigen Verfügung gleichzustellen. Dem Argument der Versicherten, die der Mitteilung vom 17. März 2003 zugrundeliegende Abklärung sei keine umfassende gewesen, namentlich sei kein neuer Einkommensvergleich durchgeführt worden, ist zu entgegnen, dass die Heranziehung eines Verwaltungsaktes als Vergleichsbasis nur - aber immerhin - voraussetzt, dass er auf denjenigen Abklärungen beruht, welche mit Blick auf die möglicherweise veränderten Tatsachen notwendig erscheinen (vgl. Urteil 9C_899/2009 vom 26. März 2010 E. 2.1). Gemäss BGE 133 V 108 E. 5.4 S. 114 bildet die letzte rechtskräftige Verfügung, welche "auf einer materiellen Prüfung des Rentenanspruchs mit rechtskonformer Sachverhaltsabklärung, Beweiswürdigung und Durchführung eines Einkommensvergleichs (bei Anhaltspunkten für eine Änderung in den erwerblichen Auswirkungen des Gesundheitszustands) beruht", den zeitlichen Anknüpfungspunkt für die Prüfung einer anspruchserheblichen Änderung. Diese Umschreibung zeigt, dass offensichtlich unveränderte Elemente und Voraussetzungen der Invalidität nicht bei jeder Überprüfung der Dauerleistung erneut abgeklärt und im betreffenden Verwaltungsakt explizit abgehandelt worden sein müssen, damit dieser als zeitlicher Ausgangspunkt für die vergleichende Prüfung herangezogen werden kann. Im gegebenen Fall bestand Abklärungsbedarf nur hinsichtlich des medizinischen Tatbestandes. Die eingeholten Arztberichte (der Frau Dr. A._ vom 26. Februar 2003 und des Dr. C._ vom 7. März 2003) gaben dabei nicht Anlass zu weiterführenden Erhebungen. Die vorinstanzliche Bezugnahme auf die Mitteilung vom 17. März 2003 ist demnach nicht zu beanstanden.
2.3 Den erwähnten Berichten aus dem Jahr 2003 ist eine vollständige Arbeitsunfähigkeit im Wesentlichen wegen eines Chronic Fatigue Syndroms zu entnehmen. Demgegenüber besteht gemäss dem Gutachten des Zentrums X._ vom 3. April 2007 eine Neurasthenie, welche zu einer hälftigen Einschränkung des Leistungsvermögens führt. Die Experten erläutern zugleich, anstelle der nunmehr gestellten Diagnose seien früher die Begriffe der vegetativen Dystonie oder des Chronic Fatigue Syndroms verwendet worden. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin kann gleichwohl nicht gesagt werden, der Sachverhalt sei im Wesentlichen unverändert geblieben und nunmehr bloss abweichend beurteilt worden (vgl. dazu BGE 115 V 308 E. 4a/bb S. 313; 112 V 371 E. 2b S. 372, 387 E. 1b S. 390; SVR 2004 IV Nr. 5 S. 13 E. 2, I 574/02). Eine anspruchserhebliche Änderung ist auch gegeben, wenn sich ein Leiden - bei gleicher Diagnose - in seiner Intensität und in seinen Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit verändert hat (Urteile 9C_286/2009 vom 28. Mai 2009 E. 3.2.2 und I 212/03 vom 28. August 2003 E. 2.2.3). Dies ist hier der Fall, wie die Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig (vgl. oben E. 1) festgestellt hat. Vor allem mit Bezug auf wiederum geltend gemachte konkrete krankheitsbedingte Einschränkungen in verschiedenen Lebensbereichen hat schon die Vorinstanz überzeugend dargelegt, weshalb ein Vergleich der ärztlichen Stellungnahmen aus dem Jahr 2003 mit dem der strittigen Verfügung zugrunde liegenden Gutachten zum Schluss führen muss, die gesundheitliche Gesamtsituation der Beschwerdeführerin habe sich in anspruchserheblichem Umfang gebessert. Damit besteht auch kein Raum zu der in der Beschwerdeschrift vertretenen Annahme, die Vorinstanzen versuchten über den Umweg der Revision, "die für diese Art Leiden heute strengere Praxis im Vergleich zur Praxis im Zeitpunkt der ursprünglichen Rentenzusprache auf die Beschwerdeführerin anzuwenden".
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin hat in den Zeiträumen Juni 1993 bis Mai 1995 und sowie ab Juli 2001 eine ganze Invalidenrente bezogen; zwischenzeitlich wurden ihr abhängig von einer beruflichen Massnahme Taggelder ausgerichtet. Die IV-Stelle ist davon ausgegangen, mit Wirkung ab Februar 2008 bestehe noch Anspruch auf eine halbe Invalidenrente. Das kantonale Gericht hat aufgrund von erwerbsbezogenen Erwägungen ab dem genannten Termin eine Dreiviertelsrente zugesprochen. Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, die Herabsetzung der Rente sei im vorliegenden Fall (auch) aus vertrauensrechtlicher Sicht unzulässig. Die Beschwerdeführerin habe sich gestützt auf die ursprüngliche Rentenzusprache und die späteren Revisionen darauf verlassen dürfen, dass ihr eine ganze Invalidenrente zustehe, solange sich ihr Gesundheitszustand nicht bessere. Durch die lange Abwesenheit vom Arbeitsmarkt sei ihr ein irreversibler Schaden entstanden, da sie heute kaum mehr vermittelbar sei. Dem kann nicht gefolgt werden. Eine vertrauensschutzrechtlich unterlegte Weiterführung der bisherigen Invalidenrente lässt sich in dieser Form offensichtlich nicht mit dem gesetzlichen Konzept der Revision von Dauerleistungen nach Massgabe anspruchserheblicher Veränderungen des Sachverhalts vereinbaren.
3.2 3.2.1 Nach dem Konzept des Art. 16 ATSG setzt eine rentenbestimmende Invaliditätsbemessung auch im Revisionsfall (Art. 17 ATSG) voraus, dass angezeigte Eingliederungsmassnahmen durchgeführt worden sind. Ein Rentenanspruch dauert nur solange an, wie die Erwerbsunfähigkeit nicht (oder noch nicht) mit geeigneten Eingliederungs- und Selbsteingliederungsmassnahmen tatsächlich behoben oder in einer für den Rentenanspruch erheblichen Weise verringert wird. Eine medizinisch attestierte Verbesserung der Arbeitsfähigkeit ist nach ständiger Rechtsprechung im Regelfall grundsätzlich auf dem Weg der Selbsteingliederung verwertbar. Festzuhalten ist aber auch an der Praxis, gemäss welcher nach langjährigem Rentenbezug ausnahmsweise Erfordernisse des Arbeitsmarktes der Anrechnung einer medizinisch vorhandenen Leistungsfähigkeit und medizinisch möglichen Leistungsentfaltung entgegenstehen können, wenn aus den Akten einwandfrei hervorgeht, dass die Verwertung eines bestimmten Leistungspotentials ohne vorgängige Durchführung befähigender Massnahmen allein vermittels Eigenanstrengung der versicherten Person nicht möglich ist. Die - gegenüber der Eingliederung vorrangige - Selbsteingliederung führt indessen namentlich dann direkt zur rentenausschliessenden (oder -herabsetzenden) arbeitsmarktlichen Verwertbarkeit des wiedergewonnenen funktionellen Leistungsvermögens, wenn bisher schon eine erhebliche Restarbeitsfähigkeit bestand, so dass der anspruchserhebliche Zugewinn an Leistungsfähigkeit kaum zusätzlichen Eingliederungsbedarf nach sich zieht; dies trifft vor allem zu, wenn das hinzugewonnene Leistungsvermögen in einer Tätigkeit verwertet werden kann, welche die versicherte Person bereits ausübt oder unmittelbar wieder ausüben könnte (Urteil 9C_163/2009 vom 10. September 2010 E. 4.1 und 4.2.2 mit zahlreichen Hinweisen).
3.2.2 Eine solche ausbaufähige Erwerbstätigkeit ist hier gegeben: Obwohl die Beschwerdeführerin die von der Invalidenversicherung getragene Umschulung zur Musiklehrerin mit Diplom gesundheitlich bedingt abgebrochen hat, ist sie aufgrund des erfolgreich absolvierten Studienteils in der Lage, Schüler im Fach Querflöte zu unterrichten. Ab dem Jahr 2001 unterrichtete die Versicherte vier Schüler pro Woche; nach einem 2004 erlittenen Unfall reduzierte sie ihre Tätigkeit auf einen Schüler (vgl. Gutachten des Zentrums X._ vom 3. April 2007 S. 7 und 24). Nach sachverständiger Einschätzung ist die Beschwerdeführerin - unter Vorbehalt der aus rheumatologischer Sicht bestehenden Rahmenbedingungen (vgl. oben E. 2.1) - psychiatrisch begründet zu 50 Prozent arbeitsunfähig (Gutachten S. 27). Somit verbleibt medizinisch-theoretisch insbesondere auch in der den Bedürfnissen der Versicherten bestmöglich entsprechenden Tätigkeit einer privat praktizierenden Musiklehrerin ein Leistungsvermögen ungefähr im Umfang eines halben Pensums. Jedenfalls ist ein unmittelbarer Ausbau der bisher, wenn auch in geringem Ausmass, verrichteten Arbeit möglich. Eignungs- und Belastungsabklärungen sind mithin ebensowenig zu erwägen wie die Eingliederung in einen spezifischen Beruf oder andere Massnahmen zur arbeitsmarktlichen Integration. Der Anrechnung eines auf der gutachtlichen Leistungsfähigkeitsbeurteilung beruhenden Invalideneinkommens im Rahmen des Art. 16 ATSG stehen schliesslich auch keine unverwirklichten eingliederungsnotwendigen medizinischen Vorkehren entgegen. Während die psychiatrische Teilgutachterin zwar eine skeptische Prognose stellt ("[...] schwierig gestaltet sich [...] die langjährige Chronifizierung mit 100%iger Berentung, sodass sie sich schon über Jahre schont, sich ängstlich selbst beobachtet und mit der Krankenrolle identifiziert"; S. 23), führt der Rheumatologe aus, angesichts einer "mentalen Dekonditionierung" werde es für die Versicherte nicht einfach sein, sich beruflich zu integrieren; dies sei aber zu bewerkstelligen, sofern sie psychologisch betreut und geführt werde (Gutachten S. 17). Die Beschwerdeführerin kommt ihrer diesbezüglichen Schadenminderungspflicht nach, indem sie psychotherapeutische Behandlung in Anspruch nimmt (vgl. den Bericht der Frau Dr. A._ vom 5. November 2007).
4. Ist das kantonale Gericht zutreffend von einer anspruchserheblichen Änderung des Sachverhalts ausgegangen und stellen sich im Hinblick auf die Herabsetzung der bisher ganzen auf eine Dreiviertelsrente keine revisionsspezifischen Eingliederungsfragen, besteht der angefochtene Entscheid zu Recht.
5. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung und Verbeiständung; Art. 64 BGG) kann gewährt werden, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es wird indessen auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indessen vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Frau Rechtsanwältin Sigg Bonazzi wird als unentgeltliche Anwältin der Beschwerdeführerin bestellt und es wird ihr für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Diese Verfügung wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. September 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub