Faits:
A. Ressortissant de Serbie (Kosovo) né en 1982, X._ est entré illégalement en Suisse le 26 octobre 2000 et y a déposé une demande d'asile qui a été rejetée le 30 avril 2001, un délai de départ échéant le 15 juin 2001 étant imparti à l'intéressé. Le 22 mai 2001, X._ a épousé une Suissesse, Y._. Il s'est alors vu octroyer, au titre du regroupement familial, une autorisation de séjour qui a été régulièrement prolongée, la dernière fois jusqu'au 21 mai 2005. Le 6 juin 2005, la Police cantonale fribourgeoise a indiqué au Service de la population et des migrants du canton de Fribourg (ci-après: le Service cantonal) que les époux X._-Y._ ne faisaient pas ménage commun.
Le 27 septembre 2005, le Service cantonal a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de X._ et imparti à l'intéressé un délai de trente jours dès la notification de cette décision pour quitter "le territoire". Le Service cantonal a notamment considéré que le mariage de X._ n'existait que formellement et était maintenu dans le seul but de permettre à l'intéressé de demeurer en Suisse, ce qui constituait un abus de droit. Au surplus, il a estimé que la question de l'existence d'un mariage de complaisance pouvait rester ouverte.
Le mariage des époux X._-Y._ a été dissous par un jugement de divorce rendu le 3 mai 2006, qui est devenu définitif et exécutoire le 9 juin 2006.
B. Par arrêt du 8 août 2007, la Ière Cour administrative du Tribunal administratif, actuellement du Tribunal cantonal, du canton de Fribourg (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours de X._ contre la décision du Service cantonal du 27 septembre 2005. Le Tribunal administratif a repris l'argumentation du Service cantonal. Il a en outre précisé que l'abus de droit existait avant l'écoulement du délai de cinq ans permettant au conjoint étranger d'un ressortissant suisse de revendiquer une autorisation d'établissement, ce qui excluait l'octroi d'une telle autorisation. Il a par ailleurs écarté le grief de violation du droit d'être entendu soulevé par X._.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif du 8 août 2007 et la décision du Service cantonal du 27 septembre 2005, le dossier de la cause étant renvoyé au Service cantonal pour complément d'instruction et nouvelle décision. X._ conteste avoir commis un abus de droit. Invoquant l'art. 29 al. 2 Cst., il se plaint d'une violation de son droit d'être entendu, plus particulièrement de son droit de faire administrer des preuves (pour démontrer qu'il n'a pas contracté un mariage fictif et a vécu en communauté conjugale jusqu'en juin 2005).
Le Tribunal administratif conclut au rejet du recours. Le Service cantonal a renoncé à formuler des observations sur le recours, en se référant notamment à l'arrêt attaqué.
L'Office fédéral des migrations propose le rejet du recours.
D. Par ordonnance du 20 septembre 2007, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif contenue dans le recours.
Considérant en droit:
1. A titre préliminaire, il convient de déterminer le droit applicable. La loi fédérale du 26 mars 1931 sur le séjour et l'établissement des étrangers (LSEE; RS 1 p. 113) a été abrogée par l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2008, de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20; cf. ch. I de l'annexe à l'art. 125 LEtr). Selon l'art. 126 al. 1 LEtr, les demandes déposées avant l'entrée en vigueur de la nouvelle loi sont régies par l'ancien droit. La demande de prolongation de l'autorisation de séjour qui est à la base du présent litige date du 15 avril 2005. Il y a donc lieu d'appliquer l'ancienne loi en l'espèce.
2. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 133 III 462 consid. 2 p. 465).
2.1 Le présent recours en matière de droit public est irrecevable dans la mesure où il conclut à l'annulation de la décision du Service cantonal du 27 septembre 2005, étant donné l'effet dévolutif du recours déposé auprès du Tribunal administratif (cf. ATF 126 II 300 consid. 2a p. 302/303; 125 II 29 consid. 1c p. 33).
2.2 Selon l'art. 83 lettre c ch. 2 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
D'après l'art. 7 al. 1 LSEE, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi et à la prolongation de l'autorisation de séjour (1ère phrase) ainsi que, après un séjour régulier et ininterrompu de cinq ans, à l'autorisation d'établissement (2ème phrase). Pour juger de la recevabilité du recours, seule est déterminante la question de savoir si un mariage au sens formel existe (cf. ATF 126 II 265 consid. 1b p. 266). Cette condition n'est pas remplie actuellement puisque le mariage des époux X._-Y._ a été dissous par un jugement de divorce rendu le 3 mai 2006, qui est devenu définitif et exécutoire le 9 juin 2006; le recourant ne peut donc pas se prévaloir de l'art. 7 al. 1 1ère phrase LSEE. En revanche, il peut invoquer l'art. 7 al. 1 2ème phrase LSEE car, à l'échéance du délai de cinq ans qui y figure, soit le 22 mai 2006, son divorce d'avec une Suissesse n'était pas encore définitif et exécutoire; à cet égard, le présent recours ne tombe pas sous le coup de l'art. 83 lettre c ch. 2 LTF (arrêt 2C_34/2007 du 26 juillet 2007, consid. 1.3).
2.3 Au surplus, déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 45 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué (art. 89 al. 1 lettre a LTF), le présent recours est en principe recevable en vertu des art. 82 ss LTF.
3. 3.1 D'après l'art. 7 LSEE, le conjoint étranger d'un ressortissant suisse a droit à l'octroi et à la prolongation de l'autorisation de séjour (al. 1 1ère phrase) et, après un séjour régulier et ininterrompu de cinq ans, il a droit à l'autorisation d'établissement (al. 1 2ème phrase), à moins que le mariage n'ait été contracté dans le but d'éluder les dispositions sur le séjour et l'établissement des étrangers (al. 2), sous réserve au surplus d'un abus de droit (ATF 131 II 265 consid. 4.1 p. 267). Il y a abus de droit lorsque le conjoint étranger invoque un mariage n'existant plus que formellement dans le seul but d'obtenir une autorisation de police des étrangers, car ce but n'est pas protégé par l'art. 7 al. 1 LSEE (ATF 131 II 265 consid. 4.2 p. 267). Le mariage n'existe plus que formellement lorsque l'union conjugale est définitivement rompue, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a plus d'espoir de réconciliation; les causes et les motifs de la rupture ne jouent pas de rôle (ATF 130 II 113 consid. 4.2 p. 117).
3.2 Le Tribunal administratif a retenu que les époux X._-Y._ vivaient séparés depuis le mois de juin 2005 selon le recourant, voire depuis le mois de juin 2004 selon son ex-femme. Il a donc constaté que la vie commune avait définitivement pris fin depuis un an, voire depuis deux ans, au moment du divorce. Tels sont les faits pertinents constatés par le Tribunal administratif. Au regard du dossier, ils n'apparaissent pas avoir été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, de sorte qu'ils lient l'autorité de céans (art. 105 al. 1 et 2 LTF). Selon le recourant lui-même (cf. lettre de l'intéressé au Service cantonal du 5 septembre 2005), son ex-femme a quitté le domicile conjugal au printemps 2004 et s'est installée officiellement chez sa mère alors qu'en réalité, elle vivait la plupart du temps chez un ami; elle serait cependant revenue fréquemment dans l'appartement du recourant jusqu'à ce qu'elle en rende les clés, en juin 2005. D'après l'intéressé, c'est aussi à cette époque qu'elle aurait introduit une action en divorce, apparemment pour épouser son ami. Le recourant n'invoque aucun élément concret et vraisemblable permettant d'admettre qu'il existait, avant le 22 mai 2006 (date d'échéance du délai de cinq ans figurant à l'art. 7 al. 1 2ème phrase LSEE), une volonté réelle de reprendre à court terme la vie commune. Il n'allègue du reste pas avoir entrepris alors des démarches en ce sens. En réalité, à la date déterminante, la séparation des époux X._-Y._ était durable et il n'y avait pas d'espoir tangible de restauration de la communauté conjugale d'autant que, selon les déclarations susmentionnées du recourant, son ex-femme avait refait sa vie. D'ailleurs, même s'il n'était pas encore définitif et exécutoire, le divorce des époux X._-Y._ a été prononcé avant l'écoulement du délai de cinq ans de l'art. 7 al. 1 2ème phrase LSEE. Il faut dès lors admettre qu'avant l'échéance de ce délai, le mariage des époux X._-Y._ avait perdu toute substance, l'origine de la désunion étant du reste sans importance. Force est donc de constater que le recourant a invoqué un mariage purement formel pour pouvoir obtenir une autorisation de police des étrangers (prolongation d'une autorisation de séjour, puis octroi d'une autorisation d'établissement), ce qui constitue un abus de droit. C'est par conséquent à juste titre que le Tribunal administratif a considéré que le recourant n'avait pas droit à une autorisation d'établissement sur la base de l'art. 7 al. 1 LSEE. Au demeurant, il est sans importance qu'à l'origine, le mariage des époux X._-Y._ n'ait pas été fictif. Comme le Service cantonal, le Tribunal administratif a d'ailleurs laissé ouverte la question de savoir si les époux X._-Y._ avaient conclu un mariage de complaisance. Cette question n'étant pas pertinente, le Service cantonal pouvait sans arbitraire renoncer à entendre les témoins que le recourant avait proposés pour établir notamment qu'il y avait eu initialement mariage d'amour, puis véritable vie conjugale jusqu'en juin 2005. C'est donc sans violer le droit d'être entendu du recourant que le Tribunal administratif a admis la manière dont le Service cantonal a procédé sur ce point (ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 428/429; 125 I 417 consid. 7b p. 430). Ainsi, en rendant l'arrêt attaqué, l'autorité intimée a constaté les faits pertinents de façon correcte et respecté le droit, en particulier les art. 7 LSEE et 29 al. 2 Cst.
4. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et des migrants et à la Ière Cour administrative du Tribunal administratif du canton de Fribourg ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 15 janvier 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Merkli Dupraz