Faits:
A. B._ a travaillé en qualité de régisseur de théâtre auprès de différents employeurs. Le 6 juillet 2007, il a requis de la Caisse de chômage Syna (ci-après: la caisse) l'octroi d'une indemnité de chômage à partir du 12 juillet 2007. Durant les douze mois précédant le chômage, il avait obtenu des revenus en exerçant des emplois à durée limitée, ainsi que des emplois simultanés auprès de plusieurs institutions culturelles.
La caisse lui a alloué, dès le 12 juillet 2007, des indemnités compensatoires fondées sur un gain assuré de 7'897 fr.
A l'issue d'un contrôle mis en oeuvre au mois d'août 2008, le Secrétariat d'Etat à l'économie (Seco) a relevé que le calcul des prestations était entaché d'un certain nombre d'erreurs. Procédant à ses propres calculs, il a alors fixé à 6'339 fr. le montant du gain assuré.
Par décision du 19 juin 2009, confirmée sur opposition le 17 décembre suivant, la caisse a réclamé à l'assuré la restitution d'un montant de 20'122 fr. 40 correspondant aux prestations perçues en trop durant la période du 12 juillet 2007 au mois de janvier 2009.
B. Saisie d'un recours de l'assuré, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève l'a partiellement admis par jugement du 17 mars 2011. Elle a annulé les décisions des 19 juin et 17 décembre 2009 et renvoyé la cause à la caisse pour nouvelle décision au sens des considérants.
C. La caisse forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision du 19 juin 2009, ainsi que de sa décision sur opposition du 17 décembre 2009.
Dans ses déterminations sur le recours, B._ indique maintenir son point de vue soutenu en instance cantonale, selon lequel l'indemnité de chômage perçue durant la période du mois de juillet 2007 au mois de janvier 2009 aurait dû être fixée en fonction d'un gain assuré de 8'090 fr. 51. Subsidiairement, il conclut au rejet du recours.
La juridiction cantonale et le Seco ont renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
En l'occurrence, la juridiction cantonale a rectifié les bases de calcul de l'indemnité de chômage due pour la période du mois de juillet 2007 au mois de janvier 2009 et renvoyé la cause à la caisse de chômage pour qu'elle fixe à nouveau le montant des prestations perçues en trop dont la restitution est réclamée à l'assuré. D'un point de vue purement formel, le jugement attaqué est donc une décision de renvoi, soit une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Aussi, le recours n'est-il admissible qu'aux conditions fixées à l'art. 93 al. 1 LTF.
En l'occurrence, la juridiction cantonale a rectifié les bases de calcul de l'indemnité de chômage due pour la période du mois de juillet 2007 au mois de janvier 2009 et renvoyé la cause à la caisse de chômage pour qu'elle fixe à nouveau le montant des prestations perçues en trop dont la restitution est réclamée à l'assuré. D'un point de vue purement formel, le jugement attaqué est donc une décision de renvoi, soit une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Aussi, le recours n'est-il admissible qu'aux conditions fixées à l'art. 93 al. 1 LTF.
1.2 1.2.1 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF s'entend du dommage qui ne peut pas être réparé ultérieurement, notamment par la décision finale.
Selon la jurisprudence, un préjudice ne peut être qualifié d'irréparable que s'il cause un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (ATF 133 V 645 consid. 2.1 p. 647 et les références). En revanche, un dommage de pur fait, comme la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme irréparable (ATF 131 I 57 consid. 1 p. 59 et les arrêts cités). C'est pourquoi un jugement de renvoi pour instruction complémentaire et nouvelle décision ne cause en principe pas de dommage irréparable à l'administration. Il n'en va différemment que s'il comporte des instructions sur la manière dont cette dernière devra trancher certains aspects du rapport juridique litigieux, restreignant ainsi de manière importante sa latitude de jugement (ATF 133 V 477 consid. 5.2 p. 483).
Conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, dans la mesure où elles ne sont pas immédiatement données, la partie recourante doit exposer en quoi les conditions de recevabilité sont réunies. Il lui appartient notamment, sous peine d'irrecevabilité, non seulement d'alléguer mais aussi d'établir la possibilité que la décision incidente lui cause un dommage irréparable (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 428 s. et les références citées), à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (arrêts 2C_8/2011 du 3 mars 2011 consid. 2.2; 2C_687/2009 du 17 février 2010 consid. 1.3.2). Cela vaut en tout cas lorsque le recourant est représenté par un avocat ou lorsque la partie recourante est un assureur, comme c'est le cas en l'espèce (cf. HANSJÖRG SEILER, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Schaffhauser/Schlauri [éd.], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, 2009, p. 20 s.).
1.2.2 En l'espèce, la recourante ne fait valoir aucun argument sur la question de l'existence d'un préjudice irréparable, de sorte qu'il convient d'examiner si celui-ci ne fait d'emblée aucun doute.
1.2.3 Initialement, la caisse a fixé le gain assuré à 7897 fr., compte tenu de la totalité des salaires réalisés durant la période de référence (août 2006 à juillet 2007), indépendamment du nombre d'heures de travail accomplies chaque semaine par l'assuré. La décision de restitution des prestations est fondée, quant à elle, sur un gain assuré de 6339 fr. Pour fixer ce montant, la caisse a retenu un taux d'occupation de 40 heures hebdomadaires et considéré que les gains obtenus durant le temps de travail effectué en plus de cet horaire hebdomadaire constituaient des gains accessoires déductibles du gain assuré. En outre, elle a déduit du gain assuré les indemnités de vacances en ce qui concerne les " périodes d'août, septembre 2007 et février 2008 ".
De son côté, la juridiction cantonale est d'avis qu'il ne faut pas se référer à une durée normale de travail de 40 heures hebdomadaires. Il faut bien plutôt, en fonction des caractéristiques de chaque contrat particulier, se fonder soit sur l'horaire hebdomadaire dans la branche des activités récréatives, culturelles et sportives (41,2 heures en 2006; 41,3 heures en 2007), tel qu'il ressort de la statistique sur la durée normale du travail hebdomadaire des salariés à plein temps (DNT), publiée par l'Office fédéral de la statistique (OFS), soit sur le nombre de jours indemnisables par mois. En ce qui concerne les indemnités de vacances, les premiers juges considèrent qu'elles doivent être prises en compte pour compléter le gain assuré durant les mois au cours desquels l'assuré n'a été employé que quelques jours.
Cela étant, comme la juridiction cantonale n'a pas elle-même fixé le gain assuré mais renvoyé la cause à la caisse pour nouveau calcul conformément aux instructions données, on ne voit pas d'emblée en quoi ce jugement incident entraînerait un préjudice irréparable pour la recourante. Or, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de rechercher lui-même dans le dossier les éléments de fait permettant d'établir qu'en l'espèce les instructions de la juridiction cantonale restreignent de manière importante sa latitude de jugement.
Dès lors que la possibilité que le jugement attaqué cause un préjudice irréparable ne ressort pas clairement du dossier et que, par ailleurs, la recourante ne l'établit pas, la condition posée à l'art. 93 al. 1 let. a LTF n'est pas réalisée.
1.2.4 Quant à la lettre b de l'art. 93 al. 1 LTF, elle n'entre pas en ligne de compte dès lors que le renvoi des premiers juges n'est manifestement pas de nature à entraîner une procédure probatoire longue et coûteuse (cf. ATF 134 III 426 consid. 1.3.2 p. 430 et les arrêts cités).
1.2.5 Le recours est par conséquent irrecevable.
2. Le délai pour recourir contre le jugement du 17 mars 2011 était largement échu lorsque l'intimé a déposé sa réponse au recours. Comme celui-ci est irrecevable, les conditions qui ont donné lieu à l'arrêt ATF 8C_312/2010 consid. 2 ne sont pas réalisées et l'intimé n'avait plus la faculté de prendre des conclusions indépendantes, c'est-à-dire, en l'occurrence, de conclure à ce que le Tribunal fédéral lui accorde plus que ce que lui a reconnu la juridiction cantonale, vu l'interdiction du recours joint. Il ne pouvait que proposer l'irrecevabilité ou le rejet, en tout ou partie, dudit recours (cf. ATF 124 V 153 consid. 1 p. 155; 120 V 121 consid. 6 p. 127 et la référence; arrêt 8C_917/2010 du 28 septembre 2011, consid. 2).
3. La recourante, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Dans ses déterminations, l'intimé se contente de renvoyer à ses écritures en instance cantonale, de sorte qu'il n'a pas droit à des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 27 mars 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: Leuzinger
Le Greffier: Beauverd