Erwägungen:
1. X._ (geb. 1983) stammt nach eigenen Angaben aus dem Libanon. Die Fremdenpolizei der Stadt Biel nahm ihn am 6. August 2008 in Ausschaffungshaft, welche der Haftrichter 5 am Haftgericht III Bern-Mittelland am 8. August 2008 prüfte und bis zum 5. November 2008 bestätigte. X._ beantragt vor Bundesgericht, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Seine Eingabe erweist sich gestützt auf die eingeholten Unterlagen als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden; es erübrigt sich zu prüfen, ob die Beschwerde den Begründungsanforderungen von Art. 42 BGG genügt (vgl. zur Publikation bestimmtes Urteil 1C_380/2007 vom 19. Mai 2008, E. 2):
2.1 Der Beschwerdeführer ist durch die Berner Behörden formlos weggewiesen worden, nachdem er illegal von Österreich her in die Schweiz eingereist war, wobei er einen gefälschten venezolanischen Pass verwendet hatte, den er in Dubai gekauft haben will; zudem machte er bei seiner Einvernahme den schweizerischen Behörden gegenüber falsche Angaben zu seiner Herkunft. Gestützt hierauf besteht bei ihm "Untertauchensgefahr" im Sinne der Rechtsprechung zu Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 AuG [SR 142.20]; BGE 130 II 56 E. 3.1 S. 58 f. mit Hinweisen); es kann nicht davon ausgegangen werden, dass er sich ohne Haft freiwillig für den Vollzug seiner Wegweisung zur Verfügung halten wird. Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind - insbesondere nicht gesagt werden kann, dass seine Ausschaffung nicht absehbar ist (Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG) oder sich die Behörden nicht mit dem nötigen Nachdruck hierum bemühen (Art. 76 Abs. 4 AuG) -, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht.
2.2 Was der Beschwerdeführer gegen diesen einwendet, überzeugt nicht: Soweit er geltend macht, im Libanon verfolgt zu werden, verkennt er, dass diese Frage nicht Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens bildet (vgl. BGE 128 II 193 E. 2.2 S. 197 ff.; 125 II 217 E. 2 S. 220). Das von ihm in Aussicht gestellte Asylverfahren lässt den erstinstanzlichen Wegweisungsentscheid nicht dahin fallen. Falls er einen Asylantrag stellen sollte, wird das entsprechende Verfahren beschleunigt zu erledigen sein (vgl. Art. 75 Abs. 2 AuG). Nur wenn dies nicht möglich sein sollte, müssten die Behörden prüfen, ob die Ausschaffungshaft zu beenden oder durch eine Vorbereitungshaft zu ersetzen ist (vgl. BGE 125 II 377 E. 2).
3. Aufgrund der Umstände rechtfertigt es sich, keine Gerichtskosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Die Fremdenpolizei der Stadt Biel wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 5, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. August 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar