Faits:
A.
A._, né en 1953, a travaillé en qualité de carrossier indépendant. Souffrant de lésions cervicales, d'origine dégénérative et traumatique (wiplash consécutif à un accident de la circulation du 13 septembre 2002), il s'est annoncé à l'assurance-invalidité le 1 er septembre 2004.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a recueilli plusieurs avis médicaux. Parmi ceux-ci, figurent des rapports émanant des docteurs S._, chirurgien (du 27 mars 2003), B._, médecin traitant (du 19 septembre 2004) et G._, neurochirurgien (du 5 novembre 2004); ce dernier a attesté une capacité de travail de 50 % au mieux dans une activité adaptée. A l'issue d'une expertise pluridisciplinaire (rhumatologique, psychiatrique et neurologique) conduite au Centre X._ par les docteurs L._, R._ et H._, la capacité de travail de l'assuré a été fixée à 80 % dans une activité adaptée, avec une diminution de rendement de 10 %, à compter de l'année 2002 (rapport du 20 décembre 2006). Le Centre X._ a confirmé son appréciation (rapport du 28 août 2009).
L'office AI s'est fondé sur les conclusions du Centre X._. Par décision du 3 décembre 2009, consécutive à un projet du 28 octobre 2009, il a fixé le taux d'invalidité à 25 %, résultant de la comparaison d'un revenu sans invalidité de 50'000 fr. avec un gain d'invalide de 37'419 fr. L'office AI a ainsi refusé d'allouer une rente.
B.
A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice, Chambre des assurances sociales), en concluant à son annulation et à l'octroi d'une rente entière à compter du 1 er octobre 2003, fondée sur un degré d'invalidité de 84 %.
La juridiction cantonale a mis en oeuvre une expertise pluridisciplinaire (ordonnance du 6 juillet 2011). Les docteurs P._, rhumatologue, et D._, psychiatre, ont déposé leurs rapports respectifs les 20 octobre 2011 et 28 février 2012. Dans une écriture conjointe du 26 juin 2012, ils ont précisé que l'assuré conservait une capacité de travail de 75 %, de laquelle il fallait encore retrancher 25 % à titre d'une diminution du rendement justifiée par une limitation fonctionnelle de la mobilité du rachis cervical associée à des troubles dégénératifs cervicaux. Les experts judiciaires n'ont pas été en mesure de dater le début de l'incapacité de travail ni son étendue initiale.
La Chambre des assurances sociales a tenu compte de l'incapacité de travail attestée par les docteurs D._ et P._, qu'elle a jugée valable dès l'année 2002. Elle a dès lors fixé le taux d'invalidité à 48 %, après avoir ramené le revenu d'invalide à 25'985 fr. Par jugement du 31 janvier 2013, elle a annulé la décision du 3 décembre 2009 (ch. 2 du dispositif), reconnu à l'assuré le droit à un quart de rente à compter du 13 septembre 2003 (ch. 3) et condamné l'office AI aux dépens (ch. 4) ainsi qu'aux frais (ch. 5).
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande la réforme en ce sens que le quart de rente ne soit versé qu'à partir du 1 er octobre 2011. L'assuré intimé conclut au rejet du recours, avec suite de frais et dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
A._ a également interjeté un recours en matière de droit public contre le jugement du 31 janvier 2013 en concluant principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité à compter du 1 er septembre 2003. Son recours a été déclaré irrecevable par arrêt du 19 avril 2013 (9C_202/2013). La demande de révision qu'il a formée à l'encontre de cet arrêt a été rejetée ce jour (9F_7/2013).
Par ordonnance du 21 mai 2013, le Juge instructeur a accordé l'effet suspensif au recours de l'office AI, limité à la période pour laquelle ce dernier conteste devoir servir le quart de rente (de septembre 2003 à septembre 2011).
Considérant en droit:
1.
Le litige porte sur le droit de l'intimé à un quart de rente d'invalidité à compter du 13 septembre 2003. Les règles applicables à la solution du litige ont été exposées dans le jugement attaqué, auquel il suffit de renvoyer.
2.
2.1. Les premiers juges ont écarté les avis des docteurs G._ et B._, au motif qu'ils s'étaient exprimés en qualité de médecins traitants de l'assuré intimé et que leurs appréciations étaient trop éloignées de celles finalement retenues par les experts judiciaires D._ et P._.
En ce qui concerne le rapport du Centre X._, les juges cantonaux ont précisé qu'ils avaient nourri quelques doutes quant à sa valeur probante, mais que l'appréciation rendue en été 2009 n'était finalement pas discréditée par l'expertise judiciaire, réalisée trois ans plus tard, dont elle se rapprochait sur l'étendue de la capacité de travail. Par ailleurs, les juges ont constaté que l'évaluation du Centre X._ n'avait pas divergé entre 2006 et 2009 et que les diagnostics avec répercussion sur la capacité de travail étaient présents depuis l'année 2002 au moins, soit à une époque correspondant à celle du premier accident de la circulation (le 13 septembre 2002).
Quant aux docteurs D._ et P._, les premiers juges ont relevé que ces médecins avaient mentionné une aggravation des troubles dégénératifs et des rétrécissements, observés à l'IRM entre 2004 et 2011. Les juges ont retenu qu'il était suffisamment vraisemblable, au degré où la jurisprudence l'exige, que l'intimé souffrait des mêmes douleurs invalidantes et des mêmes limitations fonctionnelles depuis dix ans. Bien que le docteur P._ n'ait pas été en mesure de préciser la date du début de l'incapacité de travail et son évolution, les juges cantonaux ont déduit que l'appréciation des experts judiciaires, qu'ils ont suivie, valait depuis l'accident du 13 septembre 2002.
2.2. L'office recourant soutient que la juridiction cantonale a procédé à une appréciation arbitraire des preuves en admettant que l'étendue de l'incapacité de travail attestée par les experts D._ et P._ valait depuis l'année 2002 déjà. Le recourant rappelle que le docteur P._ avait indiqué qu'il était difficile de se prononcer sur une évolution de plus de neuf ans dans une situation où le patient décrivait dès les premiers jours des symptômes douloureux qui persistaient depuis lors. A cet égard, bien que deux éléments des examens paracliniques semblaient pouvoir attester d'une aggravation de la situation entre 2004 et 2011, le docteur P._ avait précisé qu'il était impossible de quantifier et surtout de dater avec précision l'évolution de la capacité de travail de l'assuré au cours du temps sur le plan somatique. Par ailleurs, le recourant relève que les experts avaient mis en évidence une dégradation de l'état de santé physique depuis 2010, soit des troubles objectifs (une dénervation C7) qui n'étaient pas présents au début de la problématique douloureuse.
Le recourant est ainsi d'avis que les constats des docteurs D._ et P._ ne permettaient pas aux premiers juges de fixer le début de l'incapacité de travail déterminante en 2002 et que ces derniers ont finalement accordé davantage de poids aux plaintes et aux déclarations de l'intimé qu'aux explications des experts judiciaires.
2.3. De son côté, l'intimé soutient que l'appréciation des preuves ne présente aucun caractère arbitraire et fait grief au recourant de ne pas le démontrer. A son avis, les premiers juges ont fondé leur jugement sur le dossier médical et ne se sont pas substitués aux experts. Il ajoute que l'existence de symptômes et de limitations fonctionnelles invalidants avait déjà été attestée par les docteurs S._, B._ et G._, avant l'expertise du Centre X._, et qu'ils remontent au mois de septembre 2002.
En outre, l'intimé estime qu'il serait choquant de ne lui accorder les prestations qu'à partir de la date de l'expertise judiciaire, car cela permettrait ainsi à l'office recourant de profiter des carences de son instruction.
3.
3.1. Selon le principe de la libre appréciation des preuves (cf. art. 61 let. c LPGA), le juge apprécie librement les preuves médicales qu'il a recueillies, sans être lié par des règles formelles, en procédant à une appréciation complète et rigoureuse des preuves. Le juge doit examiner objectivement tous les documents à disposition, quelle que soit la provenance, puis décider s'ils permettent de porter un jugement valable sur le droit litigieux. S'il existe des avis contradictoires, il ne peut trancher l'affaire sans indiquer les raisons pour lesquelles il se fonde sur une opinion plutôt qu'une autre.
En principe, le juge ne s'écarte pas sans motifs impératifs des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Selon la jurisprudence, peut constituer une raison de s'écarter d'une expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions, ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante. En outre, lorsque d'autres spécialistes émettent des opinions contraires aptes à mettre sérieusement en doute la pertinence des déductions de l'expert, on ne peut exclure, selon les cas, une interprétation divergente des conclusions de ce dernier par le juge ou, au besoin, une instruction complémentaire sous la forme d'une nouvelle expertise médicale.
En ce qui concerne, par ailleurs, la valeur probante d'un rapport médical, ce qui est déterminant c'est que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées. Au demeurant, l'élément déterminant pour la valeur probante n'est ni l'origine du moyen de preuve ni sa désignation comme rapport ou comme expertise, mais bel et bien son contenu (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352 et les références).
3.2. Le Tribunal fédéral examine librement, parce qu'il s'agit d'une question de droit, le grief tiré d'une violation du principe de la libre appréciation des preuves et du devoir qui en découle de procéder à une appréciation complète, rigoureuse et objective des rapports médicaux, en relation avec leur contenu (ATF 132 V 393 consid. 4.1 p. 400).
4.
4.1. En l'espèce, il s'agit de savoir si les premiers juges ont apprécié arbitrairement les preuves, ainsi que le recourant le soutient, en admettant que la capacité résiduelle de travail de l'intimé dans une activité adaptée, telle que les experts judiciaires l'avaient attestée (soit 75 %, avant déduction d'une diminution de rendement de 25 %), valait déjà depuis l'année 2002.
4.2. Pour établir les faits déterminants et singulièrement fixer le début de l'incapacité de travail, ainsi qu'ils devaient le faire conformément à l'art. 61 let. c LPGA, les premiers juges se sont fondés en première ligne sur l'expertise judiciaire des docteurs P._ et D._, dont les trois rapports (des 20 octobre 2011, 28 février et 26 juin 2012) remplissent tous les réquisits relatifs à la force probante de tels documents (cf. consid. 4.1 supra). Ils se sont également inspirés des conclusions de l'expertise du Centre X._ du 28 août 2009.
Selon toutes apparences, un complément d'instruction médical n'aurait pas permis d'apporter de plus amples éléments pertinents, si bien que la juridiction cantonale pouvait statuer en l'état du dossier. Les constats de faits relatifs au moment de la survenance de l'incapacité de travail, soit en septembre 2002, procèdent d'une appréciation complète et rigoureuse de l'ensemble des documents médicaux probants, ainsi que d'un examen objectif de ceux-ci. Ces constats ne sauraient être qualifiés d'insoutenables, en présence selon l'expert P._ d'une évolution de plus de neuf ans lors de son examen dans une situation où dès les premiers jours le patient avait décrit des symptômes douloureux qui persistaient depuis lors, d'autant que dans ses considérants, l'autorité de recours de première instance a clairement indiqué qu'elle avait tenu compte de l'avis probant du Centre X._, lequel exposait en 2009 que même en considération de l'accident survenu en 2007, son appréciation de la capacité de travail depuis 2002 ne différait pas. Dans le cadre de la libre appréciation des preuves, les premiers juges étaient dès lors fondés à admettre qu'il était suffisamment vraisemblable, au degré où la jurisprudence l'exige (cf. ATF 126 V 353 consid. 5b p. 360), que la symptomatologie avait peu évolué, que les douleurs invalidantes et les limitations fonctionnelles étaient restées les mêmes au cours des années, puis d'en déduire que la capacité résiduelle de travail attestée par les experts judiciaires valait depuis l'année 2002.
Le recourant n'a pas démontré en quoi les faits déterminants auraient été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit. Le Tribunal fédéral est donc lié par ceux-ci (art. 105 al. 1 et 2 LTF).
5.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF) et les dépens de l'intimé (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimé la somme de 1'800 fr. (y compris la TVA) à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 27 novembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Berthoud