Sachverhalt:
A. A.a Am 4. Februar 2005 beantragte die Bank X._ in der Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamtes Zürich 4 beim Konkursrichteramt des Bezirkes Zürich, über die Y._ AG mit Sitz in Zürich den Konkurs zu eröffnen, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu deren Lasten. Die Parteien wurden am 15. Februar 2005 zur Sitzung auf den 12. April 2005 vorgeladen. Am Vortag beglich die Schuldnerin beim Betreibungsamt Zürich 4 die in der Konkursandrohung vom 17. August 2004 aufgeführten Beträge zuzüglich Inkassokosten. Zudem zahlte sie dem Bezirksgericht die Spruchgebühr von Fr. 200.--. Ein Vertreter der Bank X._ erschien am 12. April 2005 zur anberaumten Sitzung, worauf er über die inzwischen erfolgte Zahlung in Kenntnis gesetzt wurde. Mit Verfügung vom gleichen Tag wies der Konkursrichter des Bezirkes Zürich das Konkursbegehren ab.
A.b Die Bank X._ erhob gegen die das Konkursbegehren abweisende Verfügung Rekurs, welchen das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 15. Juni 2005 abwies. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich hiess die von der Gläubigerin dagegen erhobene Nichtigkeitsbeschwerde am 14. November 2005 gut, hob den angefochtenen Beschluss auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurück. Es kam zum Schluss, dass die Erstinstanz das rechtliche Gehör der Gläubigerin verletzt habe, als sie über das Konkursbegehren entschieden hatte. Sie hätte dieser zuvor die Gelegenheit geben müssen, sich zur Behauptung der Schuldnerin zu äussern, die Schuld, Zinsen und sämtliche Kosten bezahlt zu haben, und einen Antrag zu den Kosten- und Entschädigungsfolgen des Konkurseröffnungsverfahrens zu stellen. Daraufhin hob das Obergericht die Verfügung vom 12. April 2005 über das Konkursbegehren mit Beschluss vom 27. Februar 2006 auf und wies die Sache zur Durchführung einer Konkursverhandlung und neuer Entscheidung an die Erstinstanz zurück.
A.c An der erneuten Konkursverhandlung vom 22. März 2006 machte die Bank X._ geltend, am 12. April 2005 seien Kosten von insgesamt Fr. 3'350.-- ungedeckt geblieben, nämlich Fr. 500.-- Rechtsöffnungskosten, Fr. 250.-- Parteientschädigung aus dem Rechtsöffnungsverfahren, Fr. 300.-- für das Konkurseröffnungsgesuch, Fr. 500.-- Reisespesen für die Verhandlung sowie Fr. 1'800.-- Kostenvorschuss an das Konkursgericht. Letzterer sei ihr später zurückerstattet worden, womit sich die Schuld auf Fr. 1'550.-- belaufe. Im Hinblick auf die Sitzung vom 22. März 2006 seien ihr wiederum Kosten entstanden, die sich aus Fr. 1'800.-- Kostenvorschuss, Fr. 500.-- Reisekosten und Fr. 300.-- für die Teilnahme an der Verhandlung zusammensetzten (total Fr. 2'600.--). Damit beliefen sich ihre Aufwendungen auf insgesamt Fr. 4'150.--. Mit Verfügung vom 22. März 2006 wies der Konkursrichter das Konkursbegehren erneut ab, auferlegte der Schuldnerin die Spruchgebühr von Fr. 200.-- und stellte fest, dass diese bezahlt sei. Den Kostenvorschuss von Fr. 1'800.-- erstattete er der Gläubigerin zurück. Eine Parteientschädigung wurde der Gläubigerin nicht zugesprochen.
B. Das Obergericht wies den erneuten Rekurs der Bank X._ am 3. Juli 2006 wiederum ab und bestätigte die konkursrichterliche Verfügung vom 22. März 2006. Mit Zirkulationsbeschluss vom 2. Februar 2007 wies das Kassationsgericht die Nichtigkeitsbeschwerde der Bank X._ ab, soweit es darauf eintrat.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 15. März 2007 beantragt die Bank X._ dem Bundesgericht, den Beschluss des Kassationsgerichts aufzuheben und in der Betreibung Nr. xxxx des Betreibungsamtes Zürich 4 den Konkurs über die Y._ AG zu eröffnen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Ansetzung einer neuen Konkursverhandlung zurückzuweisen.
Die Y._ AG hat sich innert angesetzter Frist nicht vernehmen lassen.
Das Kassationsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Der angefochtene Zirkulationsbeschluss ist nach Inkrafttreten des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ergangen, weshalb das neue Recht anzuwenden ist (Art. 132 Abs. 1 BGG).
1.2 Das Konkurserkenntnis ist ein Entscheid in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, welcher der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Die Beschwerde gegen Entscheide des Konkursrichters ist an keinen Streitwert gebunden (Art. 74 Abs. 2 lit. d BGG). Der Entscheid des Konkursgerichts gemäss Art. 171 und Art. 172 SchKG beendet ein Verfahren, das durch das Konkursbegehren des Gläubigers nach Art. 166 Abs. 1 SchKG eröffnet worden ist. Er ist damit in einem eigenen Verfahren ergangen, womit er einen Endentscheid nach Art. 90 BGG darstellt. Hingegen kommt er keiner einstweiligen Verfügung gleich, über die in einem späteren Hauptverfahren entschieden wird (Botschaft zur Totalrevieion der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4336, Ziff. 4.1.4.2). Daraus ergibt sich, dass die Beschwerdeführerin sämtliche Beschwerdegründe vorbringen kann und das Bundesgericht in seiner Prüfungsbefugnis nicht auf die verfassungsmässigen Rechte beschränkt ist (Art. 95 ff. BGG).
1.3 Das Kassationsgericht als kantonale Vorinstanz hat die dem Bundesgericht vorgetragene Rechtsfrage nur unter dem beschränkten Gesichtspunkt der Verletzung klaren materiellen Rechts im Sinne von § 281 Ziff. 3 ZPO/ZH geprüft. Dies kann keinen einschränkenden Einfluss auf die Kognition im vorliegenden Verfahren haben. Gemäss Art. 111 Abs. 3 BGG muss die unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts die Rügen nach Art. 95-98 BGG prüfen können, was unter anderem bedeutet, dass das Bundesrecht frei überprüfbar sein muss. Vorbehalten bleiben kantonale Rechtsmittel im Sinne von Art. 100 Abs. 6 BGG, wonach die Beschwerdefrist erst mit der Eröffnung bei der zusätzlichen kantonalen Gerichtsinstanz beginnt, wenn der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts mit einem Rechtsmittel, das nicht alle Rügen nach Art. 95-98 BGG zulässt, angefochten worden ist. Dass der Beschluss des Obergerichts im Jahre 2006, vor Inkrafttreten des BGG ergangen ist, steht seiner Anfechtbarkeit nicht entgegen. Wenn nach Art. 132 Abs. 1 BGG für ein Verfahren das neue Recht massgebend ist, weil der angefochtene Entscheid nach dem 1. Januar 2007 ergangen ist (E. 1.1), so kommt das BGG als Ganzes - einschliesslich Art. 100 Abs. 6 BGG - zur Anwendung. Der Entscheid des Obergerichts ist daher mitanfechtbar und die dem Bundesgericht vorgetragenen Fragen des Bundesrechts, welche das Kassationsgericht nur unter dem beschränkten Gesichtspunkt (§ 281 Ziff. 3 ZPO/ZH) geprüft hat, sind frei überprüfbar. Vorliegend gilt das obergerichtliche Urteil als mitangefochten, zumal die Beschwerdeführerin die Eröffnung des Konkurses verlangt, was bezüglich der Rüge der Verletzung materiellen Bundesrechts (Art. 172 Ziff. 3 SchKG) die Aufhebung des obergerichtlichen Entscheides voraussetzt.
1.4 Was die Rechtsfrage der Anfechtbarkeit des vor Inkrafttreten des BGG ergangenen Entscheides des oberen kantonalen Gerichts (Art. 100 Abs. 6 BGG) betrifft, so hat die erkennende Abteilung die Zustimmung der I. zivilrechtlichen Abteilung und der Strafrechtlichen Abteilung eingeholt (Art. 23 Abs. 2 BGG).
2. Nach Art. 172 Ziff. 3 SchKG weist das Gericht ein Konkursbegehren unter anderem dann ab, wenn der Schuldner durch Urkunden beweist, dass die Schuld, Zinsen und Kosten inbegriffen, getilgt ist. Ist dies erst nach Erlass des erstinstanzlichen Entscheides erfolgt, kann der Schuldner die konkurshindernde Tatsache noch im kantonalen Rechtsmittelverfahren vorbringen (Art. 174 Abs. 2 Ziff. 1 SchKG).
2.1 Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt die Umschreibung der Kosten, welche der Schuldner dem Gläubiger zur Abwendung des Konkurses zu erstatten hat. Die Beschwerdeführerin vertritt die Ansicht, dass ihr gestützt auf Art. 62 Abs. 1 der Gebührenverordnung zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs (SR 281.35; GebV SchKG) eine angemessene Entschädigung für die Abfassung des Konkursbegehrens, die zweimalige Reise von Glarus nach Zürich an die Sitzung des Konkursgerichts sowie das damit verbundene Zeitversäumnis zustehe. Ihre Aufwendungen müssten in gleicher Weise gedeckt werden wie die vom Gericht für die Behandlung des Konkursbegehrens nach Art. 52 GebV SchKG verlangte Spruchgebühr.
2.2 Das Kassationsgericht räumte zwar ein, dass der Gläubiger von sämtlichen Kosten des Betreibungsverfahrens zu entlasten sei, damit der Konkurs über den Schuldner nicht eröffnet werde. Dies ergebe sich aus dem Sinn und Zweck von Art. 68 und Art. 172 Ziff. 3 SchKG. Indessen sprächen auch Gründe dagegen, die Parteientschädigung im Konkurseröffnungsverfahren zu den genannten Kosten zu rechnen. In der einschlägigen Literatur werde diese Frage nicht explizit beantwortet. Eine höchstrichterliche Rechtsprechung sei nicht bekannt. Selbst wenn das Kassationsgericht eine andere Lösung vorzöge, könne der Vorinstanz zumindest keine Verletzung klaren materiellen Rechts im Sinne von § 281 Ziff. 3 ZPO/ZH vorgeworfen werden.
2.3 Nach Art. 68 Abs. 1 SchKG trägt der Schuldner die Betreibungskosten. Sie sind vom Gläubiger vorzuschiessen, können jedoch von den Zahlungen des Schuldners vorab erhoben werden. Zu den Betreibungskosten gehören nicht nur die von den Vollstreckungsorganen in Anwendung der GebV SchKG verlangten Gebühren und Auslagen. Auch die Gerichtskosten der rein betreibungsrechtlichen Summarsachen nach Art. 25 Ziff. 2 SchKG wie diejenigen des Konkursrichters fallen darunter. Die Parteikosten werden ebenfalls zu den Betreibungskosten geschlagen, soweit sie in einem solchen Verfahren zugesprochen werden (Amonn/Walther, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 7. Aufl. 2003, § 13 Rz. 2 und 11; Emmel, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, N. 3 zu Art. 68 SchKG). Sie können überdies nicht Gegenstand einer gesonderten Betreibung sein (Ruedin, Commentaire romand, Poursuite et faillite, N. 28 zu Art. 68 SchKG). Die Abweisung des Konkursbegehrens infolge Tilgung (Art. 172 Ziff. 3 SchKG) setzt unter anderem die Regelung der Betreibungskosten im Sinne von Art. 68 SchKG voraus. Da die Parteikosten - wie eben erwähnt - als Betreibungskosten behandelt werden, sind auch diese zu begleichen, wenn der Konkurs abgewendet werden soll. Zwar führt die Lehre in diesem Zusammenhang zuweilen nur die Parteikosten des Rechtsöffnungsverfahrens an (Jaeger, Das Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 3. Aufl. 1911, N. 7 zu Art. 172 SchKG; Giroud, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, N. 11 zu Art. 172 SchKG; Cometta, Commentaire romand, Poursuite et faillite, N. 6 zu Art. 172 SchKG; Gilliéron, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, N. 25 zu Art. 172 SchKG; Baumann, Die Konkurseröffnung nach dem Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Diss. Zürich 1979, S. 110). Diese werden jedoch als Kosten eines Summarverfahrens nach Art. 25 Ziff. 2 SchKG von denjenigen des ordentlichen Verfahrens abgegrenzt, welche nicht unter Art. 172 Ziff. 3 SchKG fallen (so ausdrücklich Cometta, a.a.O.). Diese Sichtweise entspricht der bundesgerichtlichen Praxis, wonach Betreibungskosten im Sinne von Art. 68 SchKG Kosten aus betreibungsrechtlichen Summarverfahren, nicht aber aus rein materiellrechtlichen Verfahren umfassen (BGE 119 III 63 E. 4b/aa S. 67). Daraus ergibt sich, dass die meist beispielhafte Aufzählung der Kosten in der Lehre nicht nur die Parteientschädigung aus dem Rechtsöffnungsverfahren, sondern auch diejenige aus dem Konkursverfahren einschliesst. In beiden Fällen gelangt das summarische Verfahren nach Art. 25 Ziff. 2 lit. a SchKG zur Anwendung, womit kein sachlicher Grund besteht, die Parteientschädigung unterschiedlich zu behandeln.
2.4 Kein sachlicher Grund für eine unterschiedliche Behandlung ist im Übrigen aus dem Umstand abzuleiten, dass der Gläubiger im Rechtsöffnungsverfahren Anspruch auf eine Parteientschädigung hat, weil sein Gesuch um Rechtsöffnung gutgeheissen wurde und er obsiegt hat, währenddem im Fall von Art. 172 Ziff. 3 SchKG sein Konkursbegehren abgewiesen wird. Die Tilgung der Schuld - wie hier - kurz vor der Konkursverhandlung zur Abwendung der Konkurseröffnung ist nicht als Unterliegen des Gläubigers, sondern des Schuldners zu werten, zumal dieser zur Tilgung der Schuld die Gerichtsgebühr decken muss.
2.5 Dagegen vermögen die vornehmlich praktisch motivierten Argumente des Kassationsgerichtes nicht anzukommen. Zwar trifft es zu, dass die Parteientschädigung vom Konkursrichter (wie im Übrigen auch vom Rechtsöffnungsrichter) nach den Kriterien von Art. 62 Abs. 1 GebV SchKG festzusetzen ist. Dies gilt in gleicher Weise für die Gerichtsgebühr im Rahmen von Art. 52 GebV SchKG. Gerade der vorliegende Fall zeigt aber, dass dies zu keinen nennenswerten Problemen führt. Der Konkursrichter setzte die Gerichtsgebühr - wohl auf Anfrage des Schuldners - am Vortag der Verhandlung vom 12. April 2005 auf Fr. 200.-- fest und zog diese direkt beim Schuldner ein. In gleicher Weise hätte er auch die Aufwendung für das Konkursbegehren ermessensweise festlegen und dem Schuldner zwecks umgehender Regelung bekannt geben können. Durch eine sofortige Benachrichtigung der Gläubigerin über die Tilgung wäre diese wohl nicht an die Konkursverhandlung gekommen und wären dieser keine Reisespesen und Zeitversäumnisse erwachsen. Auf jeden Fall hätte der Konkursrichter an der Sitzung vom 22. März 2006 nicht nur über die Gerichtskosten, sondern zugleich über die noch offenen Parteikosten einen Entscheid fällen können. Dass die Parteikosten noch einer Regelung bedürfen, war auch der Schuldnerin bekannt, erkundigte sie sich doch vor der Sitzung vom 22. März 2006 nach der diesbezüglichen Höhe bei der Gläubigerin und erhielt entsprechende Auskunft.
2.6 Nach dem Gesagten verletzte die Vorinstanz Art. 172 Ziff. 3 SchKG, indem sie das Konkursbegehren der Gläubigerin abwies, bevor deren Parteientschädigung für das Konkursverfahren von der Schuldnerin getilgt worden war. Der angefochtene Beschluss ist daher aufzuheben und die Sache an das Konkursrichteramt des Bezirkes Zürich zwecks Festlegung der im Konkursverfahren aufgelaufenen Parteikosten der Beschwerdeführerin zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 Satz 2 BGG). Dieses wird die Beschwerdegegnerin anhören und bei Nichtleistung der Parteientschädigung den Konkurs über sie eröffnen müssen.
3. Ausgangsgemäss trägt die Beschwerdegegnerin die Kosten des vorliegenden Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie schuldet der Beschwerdeführerin keine Parteientschädigung, da diese nicht anwaltlich vertreten war.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen, der Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts vom 2. Februar 2007 und der Beschluss des Obergerichts (II. Zivilkammer) des Kantons Zürich vom 3. Juli 2006 werden aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Konkursgericht des Bezirks Zürich zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich und dem Konkursrichter am Bezirksgericht Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: