Faits :
A.
Le 13 septembre 2013, A._, né en 1982, titulaire d'un certificat fédéral de capacité (CFC) de peintre en bâtiment, mais travaillant en qualité d'éducateur auxiliaire depuis 2007, s'est inscrit comme demandeur d'emploi auprès de l'Office régional de placement de Lausanne, en indiquant rechercher un travail à plein temps à compter du 1 er octobre suivant.
Le 3 octobre 2013, lors d'un entretien de conseil, il a informé son conseiller en placement qu'il avait entamé une formation aboutissant à l'obtention d'un CFC d'assistant socio-éducatif depuis le mois d'août précédent. Invité par le Service de l'emploi du canton de Vaud (ci-après: le SE) à lui transmettre des renseignements sur la formation entreprise et sa disponibilité à l'emploi, l'assuré a indiqué que les cours étaient dispensés le mardi et qu'il était donc disponible pour une activité professionnelle à un taux de 80 %.
Par décision du 12 novembre 2013, confirmée sur opposition du Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO) le 10 mars 2014, le SE a reconnu l'assuré apte au placement pour une disponibilité à l'emploi de 80 % à compter du 1 er octobre 2013.
B.
Statuant le 20 mars 2015, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours interjeté par le SECO et confirmé la décision sur opposition du 10 mars 2014.
C.
Le SECO forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, sous suite de frais et dépens.
Le SE conclut au rejet du recours, tout comme l'assuré, de manière implicite. La juridiction cantonale a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
1.1. La voie du recours en matière de droit public est ouverte en l'espèce. Le recours est en effet dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 let. a LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), sans que l'on se trouve dans l'un des cas d'exception mentionnés par l'art. 83 LTF.
1.2. Le recours en matière de droit public se caractérise comme un recours en réforme (art. 107 al. 2 LTF), de sorte que le recourant doit en principe prendre des conclusions sur le fond. En l'espèce, les conclusions du recourant tendent uniquement à l'admission de son recours et à l'annulation du jugement cantonal. Il y a lieu, toutefois, de les interpréter selon le principe de la bonne foi et de considérer que le recourant conclut également à ce que l'assuré soit reconnu apte au placement pour une disponibilité à l'emploi de 50 % seulement, comme il le fait valoir dans le corps de son écriture et l'a soutenu devant les autorités précédentes.
1.3. A l'appui de son recours, le SECO reprend dans une large mesure la critique et les calculs qu'il a présentés devant la juridiction cantonale sans indiquer en quoi les motifs de l'arrêt entrepris méconnaissent le droit. Un tel procédé est en principe inadmissible sous l'angle de l'art. 42 al. 2 LTF (ATF 134 II 244 consid. 2.3 p. 246 s.). Le point de savoir si le recours remplit les exigences légales de motivation peut toutefois demeurer indécis car, ainsi qu'on le verra, il est de toute façon mal fondé.
2.
Un assuré est apte au placement lorsqu'il est disposé à accepter un travail convenable et à participer à des mesures d'intégration et qu'il est en mesure et en droit de le faire (art. 15 al. 1 LACI [RS 837.0]). L'aptitude au placement n'est pas sujette à fractionnement, en ce sens qu'il existerait des situations intermédiaires entre l'aptitude et l'inaptitude au placement (par exemple une inaptitude "partielle") auxquelles la loi attacherait des conséquences particulières. Lorsqu'un assuré est disposé à n'accepter qu'un travail à temps partiel - jusqu'à concurrence au moins de 20 % d'un horaire de travail complet (cf. art. 5 OACI [RS 837.02]), il convient en effet non pas d'admettre une aptitude au placement partielle pour une perte de travail de 100 %, mais à l'inverse, d'admettre purement et simplement l'aptitude au placement de l'intéressé dans le cadre d'une perte de travail partielle (ATF 136 V 95 consid. 5.1 p. 97 et les arrêts cités). C'est sous l'angle de la perte de travail à prendre en considération qu'il faut, le cas échéant, tenir compte du fait qu'un assuré au chômage ne peut ou ne veut pas travailler à plein temps (ATF 126 V 124 consid. 2 p.126).
3.
Le SECO reproche à la juridiction cantonale d'avoir examiné la disponibilité à l'emploi de l'assuré en se fondant sur le planning de la formation suivie et sur les exigences de potentiels employeurs du domaine de compétence de ce dernier. Il soutient que ces éléments ne permettent pas de déterminer le temps pendant lequel l'assuré est effectivement occupé par la formation, et de considérer avec certitude qu'il est capable de travailler parallèlement à un taux d'activité de 80 %.
Selon le recourant, à défaut d'indice concret démontrant que l'assuré est en mesure d'exercer une activité professionnelle à un taux de 80 % - comme le fait d'avoir régulièrement travaillé durant ses études -, il faut calculer la disponibilité à l'emploi à l'aide de données objectives. D'après ses calculs, la formation représente une moyenne de 19 heures 20 de travail par semaine (9 heures 20 de cours et 10 heures de préparation). Cela laisserait à l'assuré 21 heures 40 hebdomadaires disponibles pour une activité professionnelle, compte tenu d'une semaine de 42 heures de travail, soit une disponibilité à l'emploi de 50 % seulement.
4.
Le grief est mal fondé. En effet, selon les constatations de l'autorité cantonale - qui lient le Tribunal fédéral - la formation entreprise s'est déroulée sur une année (de fin août 2013 à fin mai 2014), à raison d'un jour par semaine, soit le mardi. En outre, l'assuré consacrait dix heures hebdomadaires à la préparation des cours, à savoir une heure par jour en semaine et le solde durant le week-end. Cela étant, l'autorité cantonale a considéré que l'assuré était en mesure d'assurer sa présence en emploi durant quatre jours entiers par semaine, tout en consacrant en sus une heure de révision le soir. En outre, elle a relevé que les heures de préparation des cours n'avaient pas à être comptabilisées au détriment de l'assuré, soit en déduction des heures disponibles pour une activité lucrative, dans la mesure où elles pouvaient être effectuées sur le temps libre de celui-ci. A ce propos, le calcul opéré par le recourant ne tenait pas compte des circonstances concrètes du cas et des caractéristiques propres aux formations suivies en cours d'emploi. Ces considérations sont pertinentes, de sorte que le Tribunal fédéral peut s'y rallier. On ajoutera, par ailleurs, qu'on ne voit pas pourquoi il faudrait déduire les heures de travail personnel consacrées à la formation du temps disponible pour une activité professionnelle, au seul motif que l'assuré a débuté sa formation seulement après le début de sa période de chômage. Aussi, la juridiction précédente a-t-elle retenu avec raison que l'assuré était en mesure d'exercer une activité lucrative salariée à un taux de 80 %.
5.
Le recours se révèle ainsi mal fondé.
6.
Bien qu'il succombe, le recourant ne peut se voir imposer des frais de justice (art. 66 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lucerne, le 12 octobre 2015
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Leuzinger
La Greffière : Castella