Faits:
A.
En mars 2004, la Banque Y._ a mandaté l'avocat X._ pour défendre ses intérêts dans le cadre d'une action en libération de dette ouverte contre elle par A.V._ et B.V._, à la suite d'une poursuite en réalisation de gage immobilier; le procès portait sur une somme de l'ordre de 60 millions de francs. Six ans plus tard, Y._ a obtenu presque entièrement gain de cause devant la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
X._ avait déjà reçu de nombreux mandats de Y._, avec laquelle il travaillait depuis des dizaines d'années. Les parties n'ont jamais rien convenu au sujet de la rémunération du mandataire. Par ailleurs, l'avocat n'a pas réclamé de provision à sa cliente et n'a pas tenu un décompte précis du temps consacré à chaque opération, ayant pour habitude de facturer ses honoraires au terme de chaque mandat.
En novembre 2010, Y._ a résilié le mandat. Le 13 janvier 2011, X._ a établi une note d'honoraires et de débours d'un montant de 1'200'000 fr., plus la TVA par 91'200 fr.; après déduction des dépens perçus en cours de procédure, le solde réclamé s'élevait à 1'284'206 fr., TVA comprise. L'avocat justifiait ses prétentions en particulier par un "travail assidu et continu d'au moins dix mois pleins et largement pleins".
B.
Le 19 janvier 2011, Y._ a requis du Président de la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud la modération de la note d'honoraires de X._.
L'avocat a conclu au rejet de la requête et à l'admission de sa note d'honoraires et débours au montant de 1'284'206 fr. Il a précisé avoir consacré au mandat confié par Y._ entre 1'900 et 1'995 heures, à savoir entre 10 et 10 mois et demi à raison de 190 heures par mois.
Par prononcé du 6 janvier 2012, le Président de la Cour civile a modéré la note d'honoraires du 13 janvier 2011 à la somme de 151'812 fr.50, plus 11'537 fr.75 de TVA, sous déduction de 6'994 fr., soit 156'356 fr.25 au total. Sur la base des éléments du dossier, le premier juge a tout d'abord évalué à 202.25 heures le temps consacré à l'exécution du mandat. Il a ensuite augmenté le tarif horaire de 350 fr., usuel à l'époque dans le canton de Vaud, en trois paliers, à savoir à 450 fr. pour tenir compte de l'expérience professionnelle de l'avocat et de la nature de l'affaire, à 600 fr. eu égard à l'enjeu du procès, puis à 750 fr. sur le vu du résultat obtenu.
X._ a recouru contre cette décision. Par arrêt du 5 octobre 2012, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours et confirmé le prononcé de modération.
C.
X._ interjette un recours en matière civile. Principalement, il demande au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt cantonal en ce sens que la note d'honoraires du 13 janvier 2011 est fixée à 1'284'206 fr. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Y._ propose le rejet du recours.
X._ a déposé des observations finales, suivies d'une ultime prise de position de Y._.
Pour sa part, la cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.
Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral contrôle d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 138 I 475 consid. 1 p. 476; 138 III 46 consid. 1, 471 consid. 1 p. 475).
1.1. La décision attaquée a été rendue dans une procédure de modération, au cours de laquelle le juge se borne à fixer le montant des honoraires et débours dus par un client à son avocat (art. 50 al. 1 de la loi vaudoise sur la profession d'avocat du 24 septembre 2002 [LPAv/VD; RSV 177.11]). Les questions relatives à l'existence et au montant de la créance, notamment celles qui ont trait à l'exécution du mandat ou au règlement des comptes entre les parties, sont du ressort du juge ordinaire. L'autorité de modération n'a pas à examiner les griefs d'ordre matériel portant sur la manière dont l'avocat a rempli son mandat, mais doit uniquement taxer les opérations portées en compte au regard des prestations effectivement fournies par l'avocat (JT 1990 III 66 consid. 2a p. 67); sa décision ne constitue pas un titre exécutoire, mais elle lie le juge civil (cf. arrêt 4A_346/2008 du 6 novembre 2008 consid. 4.3.1; arrêt 4A_212/2008 du 15 juillet 2008 consid. 1.1). Dans la mesure où l'autorité cantonale met un terme à la procédure de modération des honoraires, sa décision est finale et, partant, susceptible d'un recours au Tribunal fédéral (art. 90 LTF), nonobstant la possibilité des parties d'en appeler au juge civil pour fixer le montant finalement dû par le mandant à l'avocat (cf. arrêt 4P.256/2005 du 18 janvier 2006 consid. 1.1; consid. 1.1 non publié de l'ATF 135 III 259; arrêt précité du 6 novembre 2008 consid. 4.3.1; arrêt précité du 15 juillet 2008 consid. 1.1; arrêt 4A_602/2009 du 16 février 2010 consid. 1.1 [moins catégorique]; YERO DIAGNE, La procédure de modération des honoraires de l'avocat, 2012, p. 266 s.).
Au surplus, l'arrêt attaqué a été rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF; cf. consid. 1.1 non publié de l'ATF 135 III 259) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF). Le recours est interjeté par la partie qui n'a pas entièrement obtenu gain de cause en instance cantonale (art. 76 al. 1 LTF). Enfin, il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. c et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi de sorte qu'il est en principe recevable.
1.2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 138 II 331 consid. 1.3 p. 336; 137 II 313 consid. 4 p. 317 s.; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 137 III 580 consid. 1.3 p. 584; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.3. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend remettre en cause les constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.
2.1. La Chambre des recours civile a statué sur le recours ouvert par l'art. 51 LPAv/VD; selon cette disposition, la procédure était régie par la loi vaudoise sur la procédure administrative du 28 octobre 2008 (LPA/VD; RSV 173.36).
Le recourant se plaint à cet égard d'une violation de l'art. 310 CPC relatif aux motifs de l'appel, entré en vigueur avant l'ouverture de la procédure de modération. Quand bien même le recours sur lequel l'autorité cantonale a statué n'est pas nommé "appel", la procédure suivie aurait dû en respecter les règles et principes de base, ce qui aurait supposé le plein réexamen de la cause en fait et en droit.
2.2. L'art. 310 CPC invoqué dans le recours dispose que l'appel peut être formé pour violation du droit (let. a) et constatation inexacte des faits (let. b). Or, l'art. 76 LPA/VD appliqué par la cour cantonale prévoit des motifs de recours semblables (let. a et b), auxquels s'ajoute l'inopportunité (let. c). Par ailleurs, la Chambre des recours civile a relevé expressément qu'elle disposait d'un libre pouvoir d'examen en fait et en droit. Il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que la cour cantonale aurait limité son pouvoir dans le cas particulier. En conséquence, le grief soulevé par le recourant tombe manifestement à faux.
3.
Invoquant une violation du droit fédéral, le recourant fait valoir que les juges vaudois ont appliqué à tort le droit cantonal à la fixation de ses honoraires; à son sens, ce sont les règles du mandat, relevant du droit civil fédéral, qui régissent la quotité des honoraires dans la relation entre client et avocat. En n'appliquant pas le droit déterminant, les juges précédents auraient gravement violé l'art. 110 LTF.
Le recourant énumère ensuite toute une série de critères de fixation des honoraires qu'il considère ressortir au droit fédéral. Se référant à l'ATF 135 III 259, il voudrait en particulier que des honoraires arrêtés à 2% sur le résultat obtenu par 60 millions de francs soient reconnus comme objectivement proportionnés aux services rendus; il invoque à cet égard l'égalité de traitement avec l'avocat genevois dont la note d'honoraires a fait l'objet de la procédure de modération terminée par l'arrêt fédéral précité.
3.1.
3.1.1. Les honoraires dus à un mandataire sont fixés en première ligne d'après la convention des parties (art. 394 al. 3 CO). En raison de la mission particulière confiée aux avocats en tant qu'auxiliaires de la justice, il est admis par ailleurs que le droit public cantonal, réservé par l'art. 6 CC, réglemente leur rémunération pour leur activité devant les autorités judiciaires. Le législateur cantonal peut adopter soit un tarif, soit une norme posant les principes généraux qui doivent présider à la fixation des honoraires. Pour sa part, le droit public fédéral prohibe le pactum de quota litiset interdit à l'avocat de renoncer à l'avance à ses honoraires en cas d'issue défavorable du procès (art. 12 let. e de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats [LLCA; RS 935.61]); pour le reste, il ne contient aucune règle sur la fixation des honoraires de l'avocat. S'il n'y a ni convention entre les parties ni dispositions cantonales applicables, le montant des honoraires doit être fixé selon l'usage (art. 394 al. 3 CO). A défaut d'usage, le juge arrête la rémunération en tenant compte de toutes les circonstances pertinentes, étant souligné qu'elle doit être objectivement proportionnée aux services rendus (ATF 135 III 259 consid. 2.2 p. 262 s. et consid. 2.4 p. 263, ainsi que les arrêts cités).
3.1.2. En l'espèce, les juges vaudois ont fixé les honoraires dus au recourant dans le cadre d'une procédure de modération, en se fondant sur l'art. 45 al. 1 LPAv/VD, lequel énumère les critères déterminants pour arrêter le montant de la rémunération de l'avocat. Selon l'état de fait de l'arrêt attaqué, les parties n'ont pas passé de convention sur les honoraires. Il n'est au surplus pas contesté que les prestations fournies par le recourant relevaient de son activité auprès des autorités judiciaires. Conformément aux principes rappelés ci-dessus, l'art. 45 LPAv/VD, qui fait partie du droit public cantonal, est applicable à la fixation des honoraires dans le cas présent. Le moyen tiré d'une violation du droit fédéral sur ce point est mal fondé.
Dès lors que la fixation des honoraires ne relève pas en l'espèce du droit privé fédéral, il y a lieu également de rejeter les griefs par lesquels le recourant reproche aux juges cantonaux d'avoir violé les règles sur le mandat, que ce soit "en s'autoproclamant experts qualifiés" ou en appliquant la LPA/VD.
3.2.
3.2.1. Aux termes de l'art. 45 al. 1 LPAv/VD, l'avocat a droit à des honoraires fixés en tenant compte du temps consacré à l'exécution du mandat, des difficultés du cas et des délais d'exécution du mandat, de l'importance des intérêts en cause, du résultat obtenu et de son expérience. S'agissant d'honoraires fixés sur la base du droit cantonal, le recourant ne peut pas se plaindre d'une violation du droit cantonal en tant que tel, mais peut faire valoir que la mauvaise application de ce droit constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (cf. art. 95 LTF; ATF 138 I 143 consid. 2 p. 149 s.; 136 I 241 consid. 2.4 p. 249; 133 III 462 consid. 2.3 p. 466); le recours peut également être formé pour arbitraire dans l'établissement des faits ou pour violation de garanties de procédure, comme le droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.).
3.2.1.1. Le recourant reproche aux juges vaudois d'avoir refusé d'ordonner la production par l'intimée de la totalité du dossier bancaire interne relatif à A.V._ et B.V._; à son sens, ces pièces constituaient un élément très important pour apprécier l'activité de l'avocat. A cet égard, le recourant se plaint de la violation de son droit à la preuve au sens de l'art. 8 CC et de son droit d'être entendu au sens de l'art. 29 al. 2 Cst. Il invoque également l'art. 110 LTF et renvoie à un article de doctrine; un tel mode de procéder ne constitue manifestement pas une motivation suffisante selon l'art. 42 al. 2 LTF, de sorte que le grief est d'emblée irrecevable. Au surplus, comme la fixation des honoraires ne relève pas en l'espèce des règles du mandat, seul l'art. 29 al. 2 Cst. entre en ligne de compte, à l'exclusion de l'art. 8 CC qui répartit le fardeau de la preuve pour toutes les prétentions fondées sur le droit privé fédéral.
Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. accorde aux parties le droit de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à leur détriment, de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur la décision, d'avoir accès au dossier, de participer à l'administration des preuves et de se déterminer à leur propos (ATF 136 I 265 consid. 3.2 p. 272; 135 II 286 consid. 5.1 p. 293; 129 II 497 consid. 2.2 p. 504). Cette garantie inclut le droit à l'administration des preuves valablement offertes, à moins que le fait à prouver ne soit dépourvu de pertinence ou que la preuve apparaisse manifestement inapte à la révélation de la vérité. Par ailleurs, le juge est autorisé à effectuer une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles et, s'il peut admettre de façon exempte d'arbitraire qu'une preuve supplémentaire offerte par une partie serait impropre à ébranler sa conviction, refuser d'administrer cette preuve (ATF 136 I 229 consid. 5.3 p. 236; 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428).
Sur la base du dossier produit par le recourant, les juges vaudois ont énuméré toutes les activités accomplies par l'avocat dans le cadre de son mandat, parmi lesquelles se trouvait l'étude du dossier transmis par la banque. Pour fixer les honoraires dus à l'avocat, l'art. 45 al. 1 LPAv/VD prescrit, comme premier critère, de tenir compte du temps affecté à l'exécution du mandat. En ce qui concerne l'étude du dossier interne de l'intimée, le recourant n'a fourni aucune indication sur les heures qu'il avait consacrées à cette activité. Or, la production intégrale des pièces bancaires n'était pas à même, en soi, de démontrer le temps passé à leur tri et à leur analyse. Quant au degré de difficulté de l'affaire, qui est également l'un des critères retenus à l'art. 45 al. 1 LPAv/VD, il ressortait des mémoires et rapports figurant dans le dossier transmis par l'avocat à l'autorité de modération, sans que l'on discerne en quoi le dossier interne à la banque aurait amené un élément supplémentaire. Force est dès lors de constater que le moyen de preuve requis par le recourant n'était pas apte à établir des éléments pertinents pour la fixation des honoraires de l'avocat. En refusant d'ordonner la production du dossier bancaire, les juges vaudois n'ont pas violé le droit d'être entendu du recourant.
3.2.1.2. Le recourant se plaint également d'une violation de son droit d'être entendu sous un autre angle. Il reproche à la cour cantonale de n'avoir pas mentionné dans son arrêt différentes pièces qu'il avait produites, relatives aux modalités de la collaboration des parties pendant plus de trente ans, à l'avis de quatre confrères ainsi qu'à la couverture responsabilité civile.
Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. oblige l'autorité à motiver sa décision, afin que son destinataire puisse la comprendre et l'attaquer utilement s'il y a lieu (ATF 134 I 83 consid. 4.1. p. 88; 133 I 270 consid. 3.1 p. 277; 133 III 439 consid. 3.3 p. 445). Selon la jurisprudence, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (ATF 135 III 670 consid. 3.3.1 p. 677; 134 I 83 consid. 4.1 p. 88 et les arrêts cités).
En l'espèce, la cour cantonale a rejeté à juste titre le grief fondé sur l'art. 29 al. 2 Cst., que le recourant adressait au juge modérateur. En effet, ce dernier a examiné les critères déterminants au sens de l'art. 45 al. 1 LPAv pour fixer la note d'honoraires; il n'avait pas à discuter tous les documents produits par l'avocat. Au demeurant, le recourant n'explique pas en quoi les pièces qu'il invoque auraient été décisives en l'espèce. Pour autant qu'il soit recevable, le moyen ne peut être qu'écarté.
3.2.1.3. Le recourant fait valoir que les 202.25 heures de travail retenues par le premier juge et confirmées par la cour cantonale reposent sur une appréciation arbitraire des preuves et serait le résultat d'un calcul "totalement fantaisiste et irréaliste". Il expose que, dans leur liste des opérations effectuées par l'avocat, les juges vaudois n'ont pas repris la totalité des opérations désignées dans la note d'honoraires du 13 janvier 2011, dont la réalité serait notamment confirmée par les pièces A à X.
Le Tribunal fédéral n'annule une décision pour arbitraire (art. 9 Cst.) que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Par ailleurs, il ne suffit pas qu'une autre solution soit concevable, voire préférable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 138 I 49 consid. 7.1 p. 51; 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.).
En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
En l'espèce, le recourant a dressé, dans sa note d'honoraires, une liste des opérations effectuées dans le cadre du procès V._, puis a fait état d'un "travail assidu et continu d'au moins dix mois pleins et largement pleins". Dans la procédure cantonale, il a estimé l'ensemble de son engagement entre 1'900 et 1'995 heures. L'avocat n'a pas produit une liste détaillée de ses activités, établie au fur et à mesure du mandat. A fortiori, il n'a pas tenu un décompte précis du temps consacré à chaque opération (" time sheet ").
La note d'honoraires ne prouve pas en elle-même la réalité des opérations qu'elle énumère (arrêt précité du 15 juillet 2008 consid. 3.1). Le juge ne verse donc pas dans l'arbitraire s'il ne reprend pas telle quelle la liste des opérations figurant dans la note d'honoraires et qu'il confronte lesdites opérations avec le dossier produit par l'avocat. Selon le recourant, les pièces A à X sont censées établir la réalité des opérations désignées dans la note d'honoraires litigieuse. Cette allégation toute générale ne constitue manifestement pas une motivation suffisante du grief d'établissement arbitraire des faits (cf. consid. 1.3 supra). Au demeurant, bon nombre de ces pièces sont des courriers échangés entre les parties à propos du calcul des honoraires dans d'autres dossiers que l'affaire V._. Le juge modérateur, suivi par la cour cantonale, n'a donc pas établi les faits de manière insoutenable en retenant les opérations à facturer sur la base du dossier produit par l'avocat lui-même. C'est également sans arbitraire qu'il a évalué le temps consacré à chaque opération plutôt que de reprendre l'estimation globale et non étayée de l'avocat. Pour le surplus, l'argumentation du recourant s'épuise dans une critique appellatoire et générale. En effet, l'avocat n'explique pas en quoi le temps évalué par le juge pour telle ou telle opération résulterait d'une appréciation arbitraire des preuves ou serait insoutenable; il se contente d'alléguer "le caractère nettement insuffisant et hors de toute réalité des temps estimés par les juges cantonaux pour telles opérations particulières", ce qui ne répond pas aux exigences de motivation du grief d'arbitraire.
En conclusion, le moyen tiré d'une violation de l'art. 9 Cst. se révèle mal fondé dans la mesure où il est recevable.
3.2.1.4. Comme il soutient que seul le droit privé fédéral s'applique à la fixation de ses honoraires, le recourant ne soulève pas le grief d'application arbitraire du droit cantonal. Il critique en revanche la méthode appliquée par l'autorité de modération et l'importance respective accordée aux différents critères, en particulier au facteur temps, aux difficultés du dossier V._ et au résultat obtenu.
Lorsque, comme en droit vaudois, la norme de droit public cantonal pose des principes pour la fixation des honoraires d'avocat, l'autorité de modération jouit d'un très large pouvoir d'appréciation et le Tribunal fédéral n'intervient que si elle en a abusé ou en a excédé les limites, de sorte que le montant alloué à l'avocat apparaît comme ayant été fixé de manière arbitraire (arrêt 4D_43/2007 du 23 janvier 2008 consid. 2.2; arrêt 5P.438/2005 du 13 février 2006 consid. 3.1; arrêt précité du 18 janvier 2006 consid. 3.3). Dans l'arrêt publié aux ATF 135 III 259, la note d'honoraires de l'avocat portait à la fois sur une activité extrajudiciaire, pour laquelle il convenait de se référer à l'usage prévu à l'art. 394 al. 3 CO, et sur une activité devant les autorités genevoises, à laquelle le droit public cantonal, posant des critères de fixation des honoraires, était applicable (consid. 2.4 p. 263 s.). Quel que soit le droit en jeu, le Tribunal fédéral a reconnu à l'autorité cantonale de modération un large pouvoir d'appréciation dont l'usage ne pouvait être revu qu'avec retenue, la décision de fixation des honoraires étant sanctionnée notamment si elle aboutissait à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (consid. 2.5 p. 264).
Il y a donc analogie dans l'étendue du pouvoir d'examen du Tribunal fédéral appelé à déterminer si une décision cantonale sur une note d'honoraires d'avocat viole l'art. 394 al. 3 CO ou applique arbitrairement le droit cantonal. Pour ce motif, il convient d'examiner la manière dont l'autorité de modération a fixé les honoraires de l'avocat dans le cas présent, malgré l'absence, dans le recours, d'un grief lié à l'application arbitraire du droit cantonal.
Le juge modérateur est parti du temps consacré par le recourant à l'exécution du mandat que l'intimée lui avait confié. Il s'agit là du premier critère énuméré à l'art. 45 LPAv/VD et de l'un des facteurs qualifié généralement de principal dans la fixation des honoraires ( DIAGNE, op. cit., p. 127; FRANÇOIS BOHNET/VINCENT MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, p. 1168; MAURICE HARARI/CORINNE CORMINBOEUF, Les honoraires de l'avocat, in Défis de l'avocat au XXI e siècle, 2008, p. 254 s.). Il n'y a donc aucun arbitraire à prendre cet élément comme base pour arrêter les honoraires.
Le premier juge, suivi par la cour cantonale, a retenu un tarif horaire de 350 fr., dont le montant n'est pas critiqué en tant que tel par le recourant. Il a ensuite majoré ce montant de 400 fr., en trois étapes, pour tenir compte d'autres critères mentionnés à l'art. 45 al. 1 LPAv/VD, à savoir l'importance des intérêts en cause, l'expérience de l'avocat et le résultat obtenu. Le recourant voudrait que les difficultés du mandat - critère également cité à l'art. 45 al. 1 LPAv/VD - soient également prises en compte. Sur ce point, la cour cantonale a confirmé, à la suite du premier juge, que le mandat confié au recourant ne présentait pas un degré de difficulté particulièrement élevé. Ses arguments sont convaincants. Le recourant devait défendre l'intimée dans le cadre d'une action en libération de dette ouverte contre elle par A.V._ et B.V._ au cours d'une poursuite en réalisation de gage immobilier. Pour un avocat expérimenté dans les litiges de droit bancaire comme le recourant, l'affaire ne se révélait pas spécialement difficile. Le mandataire a dû également s'opposer aux prétentions en dommages-intérêts élevées par les consorts V._ sur la base d'une prétendue responsabilité de la banque dispensatrice de crédit. Comme la cour cantonale l'a relevé, l'avocat disposait sur cette question d'une jurisprudence fédérale bien établie, de sorte que, là non plus, le cas n'offrait pas une complexité particulière.
En ce qui concerne le tarif horaire appliqué, l'autorité de modération a plus que doublé le tarif de base pour tenir compte des éléments déjà cités. Rien ne permet d'affirmer que la mesure de cette augmentation serait arbitrairement trop faible dans les circonstances du cas particulier. Par ailleurs, la méthode consistant à augmenter le tarif horaire en fonction des critères de fixation des honoraires est habituelle; elle entre manifestement dans le cadre du large pouvoir d'appréciation de l'autorité de modération (cf. DIAGNE, op. cit., p. 127; HARARI/CORMINBOEUF, op. cit., p. 255).
A propos du critère du résultat obtenu, le recourant se méprend sur le sens de l'ATF 135 III 259 lorsqu'il soutient que cet arrêt est "directement applicable" dans les cantons de Genève et de Vaud, étant donné que le critère précité figure dans les législations topiques de ces deux cantons. Selon l'arrêt en question, l'autorité de modération genevoise n'a pas abusé de son large pouvoir d'appréciation et, partant, elle n'a notamment pas appliqué le droit cantonal de manière arbitraire en considérant que, sur la base de toutes les circonstances du cas examiné et du montant en jeu, les honoraires ne devaient pas dépasser 2% du résultat obtenu (consid. 2.5). Le Tribunal fédéral a jugé ainsi qu'une méthode de prise en compte du résultat obtenu dans la fixation des honoraires ne constituait pas, dans le cas qu'il avait à examiner, une application arbitraire du droit cantonal. Cela ne saurait signifier que toute autre méthode soit exclue. En l'espèce, les juges vaudois n'ont dès lors ni excédé les limites de leur large pouvoir d'appréciation, ni n'en ont abusé en augmentant le tarif horaire de 150 fr. afin de tenir compte du résultat obtenu.
En conclusion, le montant des honoraires du recourant n'a pas été fixé de manière arbitraire dans la procédure de modération.
4.
Sur le vu de ce qui précède, le recours sera rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). En outre, il versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 15'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 17'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 12 juin 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann