Faits:
A. A.a En décembre 1987, les avocats Y._ et X._ ont pris à bail, conjointement et solidairement, des locaux commerciaux à usage de bureaux, dans un immeuble sis à Genève, pour y exercer leur profession. Ils ont, par ailleurs, conclu une convention afin de régler les modalités d'utilisation de ces locaux et les divers aspects de leur association. Ladite convention les mettait sur un pied d'égalité quant aux droits et obligations se rapportant à l'exploitation commune des locaux loués. Chacun d'eux demeurait, en revanche, seul titulaire des créances résultant de son activité et débiteur de ses propres engagements. A son art. 11, la convention fixait des règles pour le cas où l'association viendrait à être dissoute, entre autres hypothèses, en raison d'une incapacité durable de l'un de ses deux membres. Enfin, toute contestation pouvant survenir entre ceux-ci devait être soumise à l'arbitrage, en vertu de l'art. 13 de la convention, la procédure applicable étant celle du concordat intercantonal sur l'arbitrage (ci-après: le concordat ou CA).
A.b Y._ a été victime, en mai 1994, d'un accident de santé qui a entraîné une incapacité de travail de quelques mois et son remplacement temporaire par un collaborateur avocat. Durant l'absence de son associé, X._ a fait procéder, à ses propres frais, à des travaux de rénovation de l'étude ainsi qu'à la mise en réseau du système informatique de ses collaborateurs et du sien.
Au cours de l'année 1995, certaines divergences sont apparues entre les associés au sujet des orientations différentes de leurs activités et de la répartition des coûts y relatifs. Cette année-là, Y._ a informé X._ qu'il envisageait de mettre un terme à leur association et de ne pas renouveler le bail concernant les locaux de l'étude à son échéance, en 1998.
A.c Le 4 avril 1996, Y._ a été victime d'un grave accident vasculaire cérébral. Depuis lors, il n'a plus pu exercer sa profession et a été mis au bénéfice d'une rente d'invalidité complète à compter du 1er janvier 1996.
X._ a assuré le suivi des dossiers de son associé en collaboration avec la stagiaire de ce dernier. Selon un décompte établi par lui, il y a consacré une cinquantaine d'heures de travail pour la période du 11 avril au 18 juin 1996.
Par courrier du 26 juin 1996, Y._, invoquant la gravité et la persistance de ses problèmes de santé, a informé son confrère de la fin de leur association. Il s'est prévalu de l'art. 11 de la convention pour lui demander de reprendre le bail à partir du 1er juillet 1996 et de lui verser une indemnité. Y._ précisait en outre, dans la même lettre, que, ayant déjà remis ses dossiers à des tiers, il renonçait naturellement à l'application des règles fixées par la disposition citée au sujet des droits et obligations de l'associé restant vis-à-vis des affaires reprises de son confrère. Il est cependant établi que tous les dossiers de Y._ n'ont pas été cédés à des tiers, puisque X._ lui a repris le dossier d'une affaire dite A._ à des conditions qui devaient encore être discutées.
Le 28 juin 1996, X._ s'est opposé à la résiliation immédiate du bail par Y._, invoquant la nécessité de respecter un délai de préavis de six mois et mettant en doute la durabilité de l'atteinte à la santé de son associé. Il a invité ce dernier à verser sa participation aux frais sur le compte Etude avant la fin du mois et lui a indiqué qu'il réclamerait le paiement des heures de travail consacrées aux dossiers cédés à des tiers.
En date du 30 juin 1997, X._ a remis les locaux loués à une société, laquelle a repris le contrat de bail et lui a versé une indemnité de 30'000 fr.
A.d Les deux avocats n'ont pas trouvé d'accord pour la liquidation de leurs rapports d'association.
Après diverses récusations d'arbitres pressentis pour trancher le litige, la Cour de justice genevoise a nommé l'avocat V._ en qualité d'arbitre unique par arrêt du 9 décembre 2004.
Le 15 mars 2005, Y._ a assigné son ex-associé en paiement de différentes sommes, dont la plus importante avait trait au remboursement d'honoraires perçus par X._ pour le traitement du dossier A._.
Le défendeur s'est opposé à la demande, à l'exception de deux postes, et a formulé des conclusions reconventionnelles. Il a notamment soulevé l'exception d'incompétence ratione materiae de l'arbitre pour statuer sur le dossier A._.
Par sentence du 4 octobre 2007, rectifiée le 9 janvier 2008, l'arbitre unique a condamné X._ à verser à Y._ un total de 41'733 fr. 85 à des titres divers et celui-ci à verser à celui-là la somme de 2'500 fr. Il a déclaré que chaque partie assumerait personnellement les honoraires et frais engagés par elle et a rejeté toutes autres conclusions.
L'arbitre a considéré que les rapports d'association avaient pris fin le jour où Y._ avait été victime de son accident vasculaire cérébral, soit le 4 avril 1996. Il a considéré que l'activité déployée depuis lors par X._ en faveur de son confrère relevait du mandat et devait être rémunérée. Cependant, l'arbitre a jugé que la créance d'honoraires du prénommé était prescrite, si bien que la prétention élevée de ce chef par l'intéressé ne pouvait qu'être rejetée.
Estimant que le dossier A._ rentrait dans ses compétences, l'arbitre a interprété l'accord des parties relatif à la répartition des honoraires perçus par X._ pour le traitement dudit dossier en ce sens que Y._ avait droit à 20% du montant global net de ces honoraires et qu'il pouvait exiger la contre-valeur en francs suisses de ce montant versé en dollars américains.
Pour le surplus, l'arbitre a considéré que les parties n'avaient pas de créance l'une envers l'autre au titre de la répartition des frais communs comptabilisés entre le 4 avril 1996 et la fin du mois de juin 1996, la prétention émise de ce chef par X._ étant certes justifiée dans son principe, mais insuffisamment prouvée.
B. Le 7 novembre 2007, X._ a interjeté un recours en nullité aux fins d'obtenir l'annulation de la sentence arbitrale rendue le 4 octobre 2007.
Par arrêt du 14 novembre 2008, la Chambre civile de la Cour de justice genevoise a admis partiellement ce recours, annulé la sentence attaquée en tant qu'elle n'avait pas statué sur l'exception de compensation soulevée par X._, renvoyé la cause à l'arbitre pour qu'il statue dans le sens des considérants de l'arrêt cantonal et mis les dépens de la procédure de recours à la charge des parties pour une moitié chacune.
C. Le 5 janvier 2009, X._ a formé un recours en matière civile contre l'arrêt cantonal. A titre principal, il y invite le Tribunal fédéral à annuler cet arrêt et à renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants de l'arrêt fédéral. Subsidiairement, le recourant demande à pouvoir prouver ses allégations et réfuter celles de la partie adverse.
L'intimé conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et, sinon, au rejet de celui-ci.
La cour cantonale se réfère, pour sa part, aux motifs énoncés dans son arrêt.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recourant s'en prend à une décision partielle, au sens de l'art. 91 let. a LTF, qui a été rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF) dans une affaire pécuniaire. La sentence arbitrale soumise à l'examen de cette autorité avait trait à un différend dont la valeur litigieuse atteignait le seuil de 30'000 fr. fixé à l'art. 74 al. 1 let. b LTF pour la recevabilité du recours en matière civile. Ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente, le recourant, qui y a succombé en partie, possède la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF). Comme il a déposé son mémoire en temps utile (art. 100 LTF en liaison avec l'art. 46 let. c LTF) et dans la forme prévue par la loi (art. 42 LTF), rien ne s'oppose, en principe, à l'entrée en matière, sauf à réserver ici l'examen ultérieur de la recevabilité des griefs formulés dans le recours.
1.2 L'intimé soutient, il est vrai, que le recours serait irrecevable parce que son auteur n'y a pris que des conclusions cassatoires, méconnaissant ainsi la nature du recours en matière civile, et qu'il n'a pas requis le renvoi de la cause à l'arbitre, comme il aurait dû le faire, mais à la cour cantonale.
Si le Tribunal fédéral admet le recours en matière civile, il peut en principe statuer lui-même sur le fond (art. 107 al. 2 LTF). La partie recourante ne peut, dès lors, se borner à demander l'annulation de la décision attaquée, mais elle doit également, en principe, prendre des conclusions sur le fond du litige; il n'est fait exception à cette règle que lorsque le Tribunal fédéral, en cas d'admission du recours, ne serait de toute manière pas en situation de statuer lui-même sur le fond et ne pourrait que renvoyer la cause à l'autorité cantonale (ATF 134 III 379 consid. 1.3 p. 383 et l'arrêt cité). A cet égard, le recours en matière civile, lorsqu'il vise un arrêt cantonal relatif à un recours en nullité dirigé contre une sentence rendue dans un arbitrage concordataire, présente certaines particularités que la jurisprudence a mises en évidence (ATF 133 III 634 consid. 1.1.3.). Ces particularités font que le Tribunal fédéral, en cas d'admission d'un tel recours, ne peut statuer lui-même que dans des hypothèses fort limitées (cf. ATF 133 III 634 consid. 1.1.2) et que, pour le surplus, il devra renvoyer la cause à la cour cantonale ou au tribunal arbitral ("... an die Vorinstanz oder das Schiedsgericht ..."), comme le précise l'arrêt cité (ATF 133 III 634 consid. 1.1.3 p. 637).
En l'espèce, si la Cour de céans devait admettre le recours, elle ne pourrait statuer elle-même tout au plus que sur la question de la compétence de l'arbitre unique, mais ne saurait faire l'économie d'un renvoi de la cause sur les autres points. Quoi qu'en dise l'intimé, le fait que le recours en matière civile est un recours en réforme n'implique pas que le destinataire de ce renvoi devrait nécessairement être l'arbitre ayant rendu la sentence litigieuse. Le dernier passage cité de la jurisprudence publiée en la matière plaide plutôt en faveur du choix entre le renvoi à la cour cantonale et le renvoi au tribunal arbitral. D'ailleurs, il se justifie d'autant moins d'imposer le renvoi direct à la juridiction arbitrale que la réforme de l'arrêt cantonal commandera normalement qu'une nouvelle décision soit prise sur les frais et dépens de la procédure de recours cantonale et que le Tribunal fédéral laisse, en règle générale, à l'autorité a quo le soin de rendre semblable décision, bien qu'il puisse aussi se prononcer lui-même sur cette question (cf. art. 67 LTF).
Il suit de là que, indépendamment du caractère par trop formaliste de sa thèse, l'intimé conclut à tort à l'irrecevabilité du recours en faisant valoir que le recourant aurait dû demander au Tribunal fédéral de renvoyer la cause à l'arbitre unique et non pas à la Cour de justice.
1.3 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 134 V 53 consid. 4.3) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Il appartient au recourant de soulever expressément un grief à ce propos et de présenter une démonstration précise et circonstanciée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 II 244 consid. 2.2; 133 II 545 consid. 2.2).
S'agissant du droit, le Tribunal fédéral vérifie librement l'interprétation et l'application des dispositions concordataires faites par l'autorité intimée (art. 95 let. e LTF). Il examine, en particulier, avec une pleine cognition, mais dans les limites des griefs formulés, si l'autorité cantonale a admis ou rejeté à tort l'arbitraire au sens de l'art. 36 let. f CA (cf. ATF 119 II 380 consid. 3b p. 382; 112 Ia 350 consid. 1). Il ne faut, au surplus, pas perdre de vue que le recours fédéral n'a pour unique objet que la décision rendue sur le recours en nullité de l'art. 36 CA, et non la sentence arbitrale. Sont dès lors irrecevables les griefs dirigés contre celle-ci (ATF 133 III 634 consid. 1.1.1).
2. Sous chiffres 32 à 64 de son mémoire (p. 5 à 10), le recourant s'emploie à démontrer, dans un premier temps, que, sur nombre de points, la Cour de justice a établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit.
Pareille tentative est d'emblée vouée à l'échec. Il ressort, en effet, de l'argumentation du recourant que celui-ci, en critiquant les prétendues constatations de la cour cantonale, s'en prend en réalité, par ce biais, aux constatations faites par l'arbitre. Aussi bien, l'intéressé feint d'ignorer que les constatations de celle-là ne consistaient qu'en la reprise, sous une forme résumée, des constatations de celui-ci. Il ne s'est donc pas avisé de ce que la première n'avait pas le pouvoir de constater elle-même les circonstances pertinentes en s'écartant au besoin des constatations du second, comme l'eût fait une cour d'appel jouissant d'une pleine cognition, tenue qu'elle était de statuer uniquement sur les griefs mentionnés à l'art. 36 CA et expressément formulés par le recourant. En tant qu'ils visent indirectement la sentence, au travers de la décision attaquée, les griefs articulés par le recourant sont, dès lors, irrecevables.
La conclusion inverse ne serait de mise que si le recourant avait cherché à démontrer que, sur les points indiqués par lui, la Chambre civile a fait un résumé grossièrement erroné des constatations figurant dans la sentence arbitrale et que ce résumé vicié a eu une incidence concrète sur le sort réservé par cette autorité aux critiques formulées par lui dans son recours en nullité. Toutefois, il ne s'agit pas de cela en l'occurrence.
Par conséquent, il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur les différentes branches de l'argumentation initiale du recourant.
3. Dans un premier moyen, le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir violé l'art. 36 let. b CA en rejetant son grief selon lequel l'arbitre n'était pas compétent ratione materiae pour statuer sur le dossier A._.
3.1 L'intimé conclut à l'irrecevabilité de ce moyen parce que le recourant n'a pas pris de conclusion spécifique tendant à faire constater l'incompétence de l'arbitre. Il n'est pas possible de le suivre dans cette voie pour les motifs susmentionnés (cf. consid. 1.2).
Cela étant, force est de constater que la recevabilité dudit moyen n'en est pas moins sujette à caution pour une autre raison. Il appert, en effet, des longs développements censés étayer ce moyen que le recourant confond manifestement le Tribunal fédéral avec une cour d'appel jouissant d'une pleine cognition. Qui plus est, il y mélange de manière inadmissible non seulement les critiques visant l'arrêt attaqué et celles ayant pour objet la sentence arbitrale, mais encore les arguments relevant de l'application du droit et ceux qui ressortissent au domaine des faits. Cette remarque vaut d'ailleurs pour l'ensemble de son mémoire, lequel manque singulièrement de clarté au demeurant. Quoi qu'il en soit, contrairement à ce que soutient le recourant, la Cour de justice n'a pas violé la disposition citée en rejetant le moyen pris de l'incompétence de l'arbitre et elle a suffisamment motivé ce rejet.
3.2 Admettant l'existence d'un accord oral passé par les deux avocats au sujet du dossier A._, les juges cantonaux, examinant sa portée, ont déduit du courrier adressé le 26 juin 1996 par l'intimé au recourant que la renonciation à l'application de l'art. 11 de la convention, faite dans ce courrier, ne valait que pour les dossiers remis par l'intimé à des tiers et ne concernait donc pas la reprise du dossier A._. A leur avis, la seule spécificité de l'accord relatif à ce dossier consistait dans une modification de la clé de répartition des honoraires prévue à l'art. 11 let. b de la convention.
Sur le vu du passage pertinent de la lettre en question - "Compte tenu du fait que mes dossiers ont été, avec ton accord, remis à des tiers, il est donc naturellement renoncé à l'application des dispositions des lettres a, b, c et d [i.e. de l'art. 11] de notre convention" -, l'interprétation faite par la cour cantonale relativement à l'objet de la susdite renonciation ne prête pas le flanc à la critique, quoi qu'en dise le recourant. En effet, aucune référence au dossier A._ ne figure dans ce passage, tandis que la renonciation y est associée aux dossiers remis à des tiers. Dès lors, le recourant, en sa qualité de destinataire du courrier incorporant cette renonciation, ne pouvait pas raisonnablement et de bonne foi attribuer un autre sens à celle-ci. Tombe ainsi à faux, parce qu'il ne tient pas compte de la volonté exprimée par l'intimé dans ledit courrier, son argument de pure logique voulant que, dans la mesure où l'art 11 let. b de la convention se réfère "aux affaires reprises par la partie restante", une renonciation à l'application de cette clause ne pouvait viser que des dossiers n'ayant pas été repris par des tiers, tel le dossier A._.
De toute façon, même si, par leur accord verbal, les parties avaient entendu renoncer à l'application de l'art. 11 let. b de la convention, comme le soutient le recourant, et non pas seulement modifier la clé de répartition des honoraires qui s'y trouve, ainsi que l'a retenu la cour cantonale, cette renonciation n'aurait pas nécessairement visé, ipso facto, la clause compromissoire insérée à l'art. 13 de la convention. C'est le lieu de rappeler, à ce propos, que, lorsqu'elle existe, une telle clause doit être interprétée largement en ce qui concerne la compétence du tribunal arbitral, en particulier quant aux différends liés à l'extinction du contrat principal (ATF 116 Ia 56 consid. 3b et les références). Il est d'ailleurs peu probable, s'agissant de deux avocats représentés chacun par un homme de loi, que, si elles s'étaient mises d'accord pour soustraire le dossier A._ du champ d'application de la clause compromissoire, laquelle visait "tout litige", les parties l'eussent fait de manière implicite, c'est-à-dire sans laisser une trace écrite de cet accord dérogatoire.
Il apparaît, dans ces conditions, que la Cour de justice a écarté à juste titre le moyen pris de l'incompétence matérielle partielle de l'arbitre et qu'elle s'en est expliquée de manière suffisante. Par conséquent, le premier grief du recourant doit être rejeté.
4. 4.1 L'arbitre a estimé que les parties n'avaient pas de créances réciproques en rapport avec leurs versements respectifs sur le compte Etude. Pour ce faire, il a notamment considéré, en substance, que, durant les années antérieures à l'accident cérébral dont l'intimé a été victime le 4 avril 1996, le recourant avait certes effectué des versements supérieurs à ceux de son associé sur ledit compte, mais qu'il ressortait toutefois des preuves administrées que cette différence d'approvisionnement était conforme au mode de fonctionnement de l'étude.
La cour cantonale a jugé que pareille conclusion n'avait rien d'arbitraire.
Dans son deuxième grief, le recourant lui reproche d'avoir violé l'art. 36 let. f CA ce faisant. Selon lui, les pièces du dossier révélaient clairement une importante différence d'approvisionnement du compte Etude pour la période du 1er janvier 1995 au 30 juin 1996, qui était sans commune mesure avec l'ampleur des variations enregistrées antérieurement. Cet état de choses réduisait donc à néant la conclusion tirée par les juges cantonaux au sujet du mode de fonctionnement de l'étude.
4.2 Selon l'art. 36 let. f CA, la sentence arbitrale peut être attaquée en nullité lorsqu'elle est arbitraire, parce qu'elle repose sur des constatations manifestement contraires aux faits résultant du dossier ou parce qu'elle constitue une violation évidente du droit ou de l'équité. La notion concordataire de l'arbitraire correspond à celle développée par la jurisprudence relative aux art. 4 aCst. et 9 Cst. (ATF 131 I 45 consid. 3.4). S'agissant des faits, l'art. 36 let. f CA est même plus restrictif, puisque le juge cantonal ne peut revoir la façon dont les arbitres ont apprécié les preuves, mais doit se limiter à vérifier que les faits constatés ne sont pas manifestement contraires au dossier (cf. ATF 131 I 45 consid. 3.6). Il va de soi que le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral, lorsqu'il statue sur un recours en matière civile dirigé contre l'arrêt rendu sur un recours en nullité, ne saurait être plus étendu que celui de l'autorité qui a rendu cet arrêt (cf., ci-dessus, le consid. 1.3, 2ème §).
En l'occurrence, par son deuxième grief, dont la nature appellatoire est manifeste, le recourant ne fait que remettre en cause l'appréciation des preuves à laquelle l'arbitre s'est livré pour arriver à la conclusion que la différence d'approvisionnement du compte litigieux était conforme au mode de fonctionnement de l'étude, appréciation que la Cour de justice aurait pu et dû se passer de revoir d'ailleurs si elle avait appliqué le principe jurisprudentiel susmentionné. Il ne démontre pas, au demeurant, qu'il se serait prévalu à bon droit, dans son recours en nullité, d'une véritable inadvertance manifeste, au sens technique du terme (cf. ATF 131 I 45 consid. 3.7), au sujet de la constatation litigieuse, inadvertance que l'autorité cantonale aurait omis de sanctionner.
Le grief examiné est donc irrecevable.
5. Dans un troisième moyen, le recourant reproche à la Cour de justice de ne pas avoir retenu que l'arbitre avait arbitrairement appliqué l'art. 84 CO en convertissant en francs suisses la part des honoraires qu'il avait perçus en dollars américains pour le traitement du dossier A._ et qu'il devait verser à l'intimé.
Le grief en question est, lui aussi, irrecevable. En effet, si la cour cantonale a écarté le moyen correspondant qui lui avait été présenté dans le recours en nullité, c'est parce que ce moyen n'était pas suffisamment motivé. Or, dans son recours fédéral, le recourant ne critique pas cet argument puisqu'il s'emploie à démontrer en quoi la sentence arbitrale serait arbitraire sur le fond. C'est oublier, d'une part, que l'objet du recours n'est pas ladite sentence, mais l'arrêt cantonal et, d'autre part, qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'examiner le fondement d'un moyen sur lequel l'autorité cantonale n'est pas entrée en matière.
6. 6.1 Le quatrième grief du recourant a trait aux dépens. L'arbitre les a compensés et la cour cantonale n' a rien trouvé à y redire sous l'angle de l'arbitraire.
Selon le recourant, les juges cantonaux seraient eux-mêmes tombés dans l'arbitraire en ne cassant pas la décision de l'arbitre sur ce point. En effet, il leur aurait échappé qu'ils ont renvoyé la cause à l'arbitre pour qu'il se prononce sur le bien-fondé de la créance d'honoraires opposée par lui en compensation aux créances de l'intimé et que, de ce fait, ils n'étaient pas en mesure de préjuger la question du sort final des dépens de l'arbitrage.
6.2 Le moyen n'est pas fondé. D'une part, comme la cour cantonale le souligne à bon droit, s'agissant d'une créance prescrite invoquée en compensation, la créance d'honoraires du recourant, quel que soit son montant, ne pourra que compenser, dans l'hypothèse la plus favorable à son titulaire, celle de l'intimé, telle qu'elle a été admise par l'arbitre, de sorte qu'une compensation des dépens ne comporte rien d'arbitraire, indépendamment de la solution qui sera adoptée dans la nouvelle sentence sur la question résiduelle en suspens. D'autre part, l'arbitre a appliqué par analogie l'art. 176 al. 3 de la loi de procédure civile genevoise, qui permet toujours de compenser les dépens entre associés, et le recourant ne démontre nullement en quoi semblable décision serait entachée d'arbitraire au point qu'elle aurait dû être sanctionnée par la cour cantonale.
7. Dans un cinquième grief, le recourant se plaint de la violation de son droit d'être entendu au motif que la cour cantonale a entériné la décision de l'arbitre de fixer le jour de la dissolution de l'association au 4 avril 1996 sans en informer au préalable les parties, alors qu'aucune d'elles n'avait retenu cette date comme marquant la fin de leur association. A en croire l'intéressé, s'il avait su que l'arbitre retiendrait la date précitée, il aurait présenté son argumentation de manière sensiblement différente.
7.1 Le droit d'être entendu se rapporte surtout à la constatation des faits. Celui des parties d'être interpellées sur des questions juridiques n'est reconnu que de manière restreinte. En règle générale, selon l'adage jura novit curia, les tribunaux étatiques ou arbitraux apprécient librement la portée juridique des faits et ils peuvent statuer aussi sur la base de règles de droit autres que celles invoquées par les parties. En conséquence, pour autant que la convention d'arbitrage ne restreigne pas la mission du tribunal arbitral aux seuls moyens juridiques soulevés par les parties, celles-ci n'ont pas à être entendues de façon spécifique sur la portée à reconnaître aux règles de droit. A titre exceptionnel, il convient de les interpeller lorsque le juge ou le tribunal arbitral envisage de fonder sa décision sur une norme ou une considération juridique qui n'a pas été évoquée au cours de la procédure et dont les parties ne pouvaient pas supputer la pertinence (ATF 130 III 35 consid. 5 et les références). Au demeurant, savoir ce qui est imprévisible est une question d'appréciation. Aussi le Tribunal fédéral se montre-t-il restrictif dans l'application de ladite règle.
7.2 En l'espèce, le recourant plaide en vain l'effet de surprise. L'arbitre s'est fondé sur un fait clairement établi - la date à laquelle l'intimé a été victime de l'accident vasculaire cérébral ayant entraîné son incapacité d'exercer la profession d'avocat - et il a appliqué une disposition de la convention (l'art. 11 al. 1) mentionnant l'incapacité durable de l'un des deux associés comme cause de dissolution de l'association en mettant cette disposition en parallèle avec l'art. 545 al. 1 ch. 2 CO. Or, le recourant ne pouvait ignorer l'existence de la clause de la convention le liant à l'intimé et il devait, à tout le moins, envisager l'application analogique de l'une ou l'autre des dispositions relatives à la dissolution de la société simple, puisqu'il invoquait lui-même le préavis de six mois prévu par l'une d'elles (l'art. 546 al. 1 CO).
La violation du droit d'être entendu alléguée par le recourant apparaît ainsi inexistante.
8. 8.1 Toujours sous l'angle de la violation du droit d'être entendu, le recourant soutient, dans un sixième grief, que le refus de l'arbitre d'entendre comme témoin l'administrateur de sa fiduciaire portait atteinte à ce droit, car l'audition de cette personne devait lui permettre d'établir les sommes qu'il avait investies dans les travaux de rénovation du deuxième étage des locaux de l'étude et dans la mise en réseau informatique de ses propres employés.
8.2 Le moyen considéré n'est pas plus fondé que les précédents. L'arbitre a jugé que l'audition du témoin en question n'était pas nécessaire car, à son avis, seules des pièces comptables, que le recourant avait été invité en vain à produire par deux fois, étaient à même de prouver la réalité et le coût des travaux invoqués par l'intéressé. Il s'agit là d'une appréciation anticipée de la pertinence du moyen de preuve offert qui apparaît à tout le moins soutenable. Or, le droit à la preuve, déduit du droit d'être entendu, ne permet pas à une partie d'établir un fait litigieux par une mesure probatoire inadéquate (cf. ATF 129 III 25 consid. 2.6).
9. Le recourant se demande, par ailleurs, si l'arbitre, suivi en cela par la cour cantonale, n'a pas violé "le principe de l'unicité de la liquidation".
Tel qu'il est formulé, ce septième moyen est incompréhensible et, partant, irrecevable, d'autant plus que le recourant n'explique ni d'où il tire le principe invoqué par lui, ni si et, dans l'affirmative, à quel titre il s'est plaint de la violation de ce principe dans son recours en nullité.
10. Dans un huitième et dernier moyen, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir violé l'art. 36 let. f CA en ne s'avisant pas de ce que l'arbitre, violant l'équité de manière évidente, n'avait pas porté en compte les frais liés à son engagement personnel pour la recherche d'un repreneur.
En argumentant ainsi, le recourant fait une relation par trop réductrice des motifs énoncés sur ce point dans l'arrêt attaqué. La Cour de justice y mentionne, tout d'abord, l'art. 11 let. e de la convention, disposition qui permet à la "partie sortante" (i.c. l'intimé) de réclamer à la "partie restante" (i.c. le recourant) la moitié de l'indemnité que cette dernière pourrait obtenir de la partie ayant repris le bail des locaux, "déduction faite de tous nouveaux frais d'investissement (réfection des locaux etc.) qu'aurait pu faire la partie restante, ces frais étant amortis à raison de 10% l'an". Les juges cantonaux constatent, ensuite, que l'arbitre a déduit de l'indemnité de reprise les frais d'annonces publicitaires payés par le recourant et justifiés par pièces, ainsi qu'une partie des sommes investies dans les travaux de réfection des locaux et l'installation du réseau informatique. S'agissant des frais liés à l'engagement personnel du recourant pour la recherche d'un repreneur, la cour cantonale a considéré que l'arbitre ne les avait pas écartés de manière insoutenable, étant donné, d'une part, qu'ils n'étaient pas établis et, d'autre part, que la convention ne prévoyait pas leur prise en compte.
En refusant de sanctionner le prétendu arbitraire affectant ce point de la sentence, la Chambre civile n'a pas violé l'art. 36 let. f CA. En effet, il était à tout le moins soutenable de ne pas admettre que les frais liés au temps consacré par le recourant à la recherche d'un repreneur ne constituaient pas de nouveaux frais d'investissement susceptibles d'être amortis, au sens de l'art. 11 let. e de la convention. Que les frais relatifs aux annonces publicitaires, pourtant comptabilisés, aient dû suivre le même sort, comme le soutient le recourant, n'est pas déterminant à cet égard. Quoi qu'il en soit, il n'était pas non plus arbitraire d'exiger la preuve de l'investissement personnel allégué par le recourant (nature et durée des démarches effectuées, etc.).
S'agissant enfin de la question de l'équité, le recourant n'indique pas si et, le cas échéant, à quel endroit de cette écriture il a formulé le grief spécifique prévu à l'art. 36 let. f in fine CA dans son recours en nullité. Nouveau, le moyen en question est, dès lors, irrecevable.
11. Au terme de cet examen, il y a lieu de rejeter le recours dans la mesure de sa recevabilité. Par conséquent, le recourant, qui succombe, devra payer les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF) et indemniser l'intimé (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimé une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 20 mars 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo