Le Président, vu:
l'arrêt du Juge unique du Tribunal cantonal du canton du Valais du 13 décembre 2011 confirmant la mise en détention en vue de renvoi le 10 décembre 2011 de X._, née en 1977, de nationalité bolivienne, par le Service de la population et des migrants,
le recours en matière de droit public déposé François Hay, avocat, au nom de l'intéressée contre l'arrêt du 13 décembre 2011,
le renvoi de l'intéressée en Bolivie le 30 décembre 2011,
le courrier du 10 janvier 2012 du mandataire de l'intéressée exposant que sa mandante retire son recours, qui est devenu sans objet, et sollicite la compensation des dépens,
les observations du 23 janvier 2012 du Tribunal cantonal sur la demande de dépens,
les art. 32 al. 2 LTF, 71 LTF et 72 PCF;
Considérant:
qu'il convient de constater que le recours est devenu sans objet (cf. art. 32 al. 2 LTF) et de rayer la cause du rôle,
que, lorsque le Tribunal fédéral raye une cause du rôle, notamment parce que la cause est devenue sans objet, il statue sur les frais de la procédure et les dépens par une décision sommairement motivée en application de l'art. 71 LTF en relation avec l'art. 72 PCF, en tenant compte de l'état de choses existant avant le fait qui met fin au litige,
qu'en l'espèce, le recours présentait d'importantes chances de succès, du moment que l'arrêt attaqué n'a pas suffisamment énoncé d'indices concrets pour admettre un danger de passage dans la clandestinité,
qu'au vu de l'issue probable du litige, il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF), et les frais et dépens doivent être mis à charge du canton de Valais,
Par ces motifs, le Président ordonne:
1. La cause 2C_1041/2011, devenue sans objet, est rayée du rôle.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Une indemnité de dépens de 1'500 fr. à charge du canton du Valais est allouée à la recourante.
4. La présente ordonnance est communiquée au mandataire de la recourante, au Service de la population et des migrations et au au Juge unique de la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 31 janvier 2012
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Dubey