Faits:
Faits:
A. Y._, née le 7 mars 1985, a présenté dès l'âge d'environ onze ans un comportement gravement perturbé, lié à des troubles de l'identité; en outre, sa mère souffrait d'une maladie grave dont elle est par la suite décédée. Cette situation a entraîné le retrait du droit de garde des parents, par une décision de l'autorité tutélaire prise en avril 2001, et l'attribution de ce droit au service de protection de la jeunesse du canton de Vaud, qui préconisait un placement de l'enfant mineure dans une institution. Elle devait y recevoir l'encadrement qui lui manquait, ainsi qu'une formation. Y._ ne s'est cependant pas conformée au projet du service; elle a, au contraire, entrepris de vivre maritalement avec X._, au domicile de ce dernier. Elle avait fait sa connaissance dès novembre 2000, alors qu'elle n'avait pas encore seize ans. Selon un rapport du service daté du 7 février 2002, le rôle de X._ était néfaste, parce qu'il favorisait le refus opposé par l'adolescente à son placement en foyer.
A. Y._, née le 7 mars 1985, a présenté dès l'âge d'environ onze ans un comportement gravement perturbé, lié à des troubles de l'identité; en outre, sa mère souffrait d'une maladie grave dont elle est par la suite décédée. Cette situation a entraîné le retrait du droit de garde des parents, par une décision de l'autorité tutélaire prise en avril 2001, et l'attribution de ce droit au service de protection de la jeunesse du canton de Vaud, qui préconisait un placement de l'enfant mineure dans une institution. Elle devait y recevoir l'encadrement qui lui manquait, ainsi qu'une formation. Y._ ne s'est cependant pas conformée au projet du service; elle a, au contraire, entrepris de vivre maritalement avec X._, au domicile de ce dernier. Elle avait fait sa connaissance dès novembre 2000, alors qu'elle n'avait pas encore seize ans. Selon un rapport du service daté du 7 février 2002, le rôle de X._ était néfaste, parce qu'il favorisait le refus opposé par l'adolescente à son placement en foyer.
B. Le père de Y._ ayant déposé plainte, une enquête pénale a été ouverte et a abouti au renvoi de X._ devant le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de la Côte; il était accusé d'actes d'ordre sexuel commis sur un enfant, ou sur une personne incapable de discernement.
Statuant le 13 février 2002, le tribunal saisi a acquitté X._ au motif qu'un doute subsistait au sujet du commencement de ses relations sexuelles avec Y._, avant ou après que celle-ci avait atteint l'âge de seize ans; la prévention fondée sur l'art. 187 CP n'était pas donc établie. Par ailleurs, l'adolescente n'était pas une victime inapte à se défendre sur le plan sexuel, de sorte que l'infraction réprimée par l'art. 191 CP n'était pas non plus réalisée. Le Tribunal correctionnel a toutefois jugé l'attitude de X._, qui n'envisageait pas de renoncer à vivre avec l'adolescente, "absolument choquante, voire révoltante", et "civilement répréhensible"; il a ainsi décidé de lui imputer les frais de la cause pénale, par 3'225 fr.
Sans succès, X._ a recouru contre sa condamnation à supporter les frais. La Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal, par arrêt du 30 mai 2002, a confirmé qu'en hébergeant l'adolescente, le recourant avait contrevenu à la décision de l'autorité tutélaire et s'était placé en position d'illicéité "au plan civil, voire même au plan pénal (art. 220 CP)"; les premiers juges avaient donc correctement appliqué les règles déterminantes en la matière.
Sans succès, X._ a recouru contre sa condamnation à supporter les frais. La Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal, par arrêt du 30 mai 2002, a confirmé qu'en hébergeant l'adolescente, le recourant avait contrevenu à la décision de l'autorité tutélaire et s'était placé en position d'illicéité "au plan civil, voire même au plan pénal (art. 220 CP)"; les premiers juges avaient donc correctement appliqué les règles déterminantes en la matière.
C. Agissant par la voie du pourvoi en nullité, pour violation de l'art. 220 CP, et du recours de droit public, pour violation des art. 9 et 32 al. 1 Cst., X._ requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de cassation pénale. Il se plaint, essentiellement, d'une application arbitraire des dispositions prévoyant l'imputation des frais au prévenu acquitté.
Invités à répondre, le Ministère public cantonal propose le rejet des recours; la Cour de cassation pénale a renoncé à déposer des observations.
Invités à répondre, le Ministère public cantonal propose le rejet des recours; la Cour de cassation pénale a renoncé à déposer des observations.
D. Par décision du 10 septembre 2002, le Tribunal fédéral a accordé au recourant l'assistance judiciaire et a désigné Me Philippe Rossy en qualité d'avocat d'office.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Le litige relatif à l'imputation des frais ne met en cause que le droit cantonal de procédure, alors même que la juridiction intimée se réfère notamment, pour évaluer le comportement du recourant, à l'art. 320 CP. Le pourvoi en nullité, ouvert seulement pour violation du droit pénal fédéral (art. 247, 269 al. 1 PPF), est ainsi exclu.
1. Le litige relatif à l'imputation des frais ne met en cause que le droit cantonal de procédure, alors même que la juridiction intimée se réfère notamment, pour évaluer le comportement du recourant, à l'art. 320 CP. Le pourvoi en nullité, ouvert seulement pour violation du droit pénal fédéral (art. 247, 269 al. 1 PPF), est ainsi exclu.
2. La décision contestée est intervenue en application de l'art. 158 CPP vaud., prévoyant que le prévenu acquitté ne peut être condamné à tout ou partie des frais que si l'équité l'exige, notamment s'il a donné lieu à l'ouverture de l'action pénale ou s'il en a compliqué l'instruction.
2.1 Lorsque le juge fonde sa décision sur le comportement du prévenu acquitté, le refus d'une indemnité demandée par celui-ci, pour réparation du préjudice causé par le procès pénal, ou sa condamnation à supporter les frais de ce procès, sont des mesures étroitement analogues; elles doivent l'une et l'autre respecter les principes exposés ci-après, qui, selon la jurisprudence, dérivent des droits fondamentaux garantis au prévenu (ATF 112 Ib 446 consid. 4c p. 456). La présomption d'innocence consacrée par les art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH interdit de prendre une décision défavorable au prévenu acquitté en laissant entendre que celui-ci semble coupable de l'infraction qui lui était reprochée. En outre, la condamnation aux frais ou le refus de l'indemnité ne sont tenus pour compatibles avec l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) que si l'intéressé a provoqué l'ouverture de la procédure pénale dirigée contre lui, ou s'il en a entravé le cours; à cet égard, dans le cas ordinaire d'un prévenu capable de discernement, seul un comportement fautif et contraire à une règle juridique, qui soit en relation de causalité avec les frais imputés, peut être déterminant (ATF 116 Ia 162; voir aussi ATF 119 Ia 332; 114 Ia 299; CourEDH Leutscher c. Pays-Bas du 26 mars 1996, Rec. 1996 p. 427, ch. 29 et ss). Le juge doit se référer aux principes généraux de la responsabilité délictuelle (ATF 116 Ia 162 consid. 2c p. 169) et fonder son prononcé sur des faits incontestés ou déjà clairement établis (ATF 112 Ia 371 consid. 2a in fine p. 374).
Les critères ainsi définis n'interdisent pas au juge de constater, sans violer la présomption d'innocence, que le comportement du prévenu acquitté constitue objectivement tout ou partie des éléments constitutifs de l'infraction qui lui était reprochée, alors que toutes les conditions de la punissabilité ne sont pas remplies (ATF 116 Ia 162 consid. 2d/bb p. 173/174, 109 Ia 160 consid. 4b in fine p. 165). D'une façon générale, le juge peut prendre en considération toute règle juridique, appartenant au droit fédéral ou cantonal, public, privé ou pénal, écrit ou non écrit, pour déterminer si le comportement en cause est propre à justifier l'imputation des frais ou le refus d'une indemnité (ATF 116 Ia 162 consid. 2c p. 169 in medio). La relation de causalité est réalisée lorsque selon le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le comportement de la personne concernée était de nature à provoquer l'ouverture du procès pénal et le dommage ou les frais que celui-ci a lui-même entraînés (cf. ATF 128 III 22 consid. 2d p. 26; 126 V 353 consid. 5c p. 361).
2.2 Dans la présente affaire, il n'est pas contesté qu'en hébergeant Y._, le recourant a favorisé le refus opposé par elle à son placement en foyer. Ainsi, il a fait obstacle à l'exécution d'une décision de l'autorité tutélaire prise en application de l'art. 310 al. 1 CC. Son comportement, qui était illicite au regard de cette disposition, peut lui être imputé à faute, compte tenu que la situation personnelle et familiale de l'adolescente lui était bien connue. Ce dernier élément ressort, en particulier, de son attitude aux débats devant le Tribunal correctionnel, où il a ouvertement déclaré qu'il ne renoncerait pas à vivre avec elle. En raison du jeune âge et du manque d'équilibre de l'intéressée, cette vie commune était propre à entraîner la suspicion d'abus sexuels, de sorte que la poursuite pénale ouverte contre lui peut être reconnue comme une conséquence ordinaire et normalement prévisible de son comportement. Il en résulte que le recourant n'est pas fondé à se plaindre d'une application arbitraire de l'art. 158 CPP vaud., ou contraire à la présomption d'innocence, en tant qu'il est condamné à supporter les frais de cette poursuite; le recours de droit public doit ainsi être rejeté.
2.2 Dans la présente affaire, il n'est pas contesté qu'en hébergeant Y._, le recourant a favorisé le refus opposé par elle à son placement en foyer. Ainsi, il a fait obstacle à l'exécution d'une décision de l'autorité tutélaire prise en application de l'art. 310 al. 1 CC. Son comportement, qui était illicite au regard de cette disposition, peut lui être imputé à faute, compte tenu que la situation personnelle et familiale de l'adolescente lui était bien connue. Ce dernier élément ressort, en particulier, de son attitude aux débats devant le Tribunal correctionnel, où il a ouvertement déclaré qu'il ne renoncerait pas à vivre avec elle. En raison du jeune âge et du manque d'équilibre de l'intéressée, cette vie commune était propre à entraîner la suspicion d'abus sexuels, de sorte que la poursuite pénale ouverte contre lui peut être reconnue comme une conséquence ordinaire et normalement prévisible de son comportement. Il en résulte que le recourant n'est pas fondé à se plaindre d'une application arbitraire de l'art. 158 CPP vaud., ou contraire à la présomption d'innocence, en tant qu'il est condamné à supporter les frais de cette poursuite; le recours de droit public doit ainsi être rejeté.
3. Bénéficiant de l'assistance judiciaire, le recourant qui succombe ne doit ni acquitter l'émolument judiciaire, ni rétribuer son avocat d'office.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le pourvoi en nullité est irrecevable.
1. Le pourvoi en nullité est irrecevable.
2. Le recours de droit public est rejeté.
2. Le recours de droit public est rejeté.
3. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
3. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
4. La caisse du Tribunal fédéral versera une indemnité de 800 fr. à Me Rossy à titre d'honoraires.
4. La caisse du Tribunal fédéral versera une indemnité de 800 fr. à Me Rossy à titre d'honoraires.
5. Le présent arrêt est communiqué en copie au mandataire du recourant, au Procureur général et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 25 novembre 2002
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: