Faits:
A. A._ est directeur avec droit de signature individuelle de la société X._ SA, laquelle exploite des hôtels à Genève. Il est entré en pourparlers avec Y._ en vue de lui confier la restauration d'un véhicule Mercedes-Benz 190 SL de l'année 1960, et il lui a remis une carte de visite indiquant sa fonction directoriale de X._ SA. Un devis fut signé le 13 février 2003 avec l'adjonction manuscrite « entre M. Y._ & M. A._ »; selon ce document, divers travaux de restauration du véhicule, y compris la remise en état complète du moteur, devaient être accomplis pour le prix de 20'000 euros. Y._ reçut alors un premier acompte de 3'800 euros.
En mai 2003, un autre acompte de 8'500 euros fut versé au moyen d'un chèque souscrit par A._ au nom de X._ SA. Lorsqu'il reprit possession de l'automobile en novembre 2004, A._ remit encore un autre chèque tiré par X._ SA, au montant de 8'000 euros, qui se révéla dépourvu de provision.
Dans l'intervalle, le 19 octobre 2004, Y._ avait adressé une lettre à X._ SA pour l'avertir que les travaux étaient terminés et que son directeur pouvait venir chercher le véhicule. Egalement à l'adresse de la société, Y._ a établi deux factures aux montants de 7'970 et 8'839,50 euros, la seconde remplaçant la première.
B. Le 15 mai 2007, sur réquisition de Y._, l'office des poursuite de Genève a notifié un commandement de payer à X._ SA, au montant de 14'475 fr.60, soit la contre-valeur de cette dernière facture au jour de la réquisition, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 26 novembre 2004. X._ SA a fait opposition.
Y._ a obtenu la mainlevée provisoire de l'opposition, devant le Tribunal de première instance du canton de Genève le 23 août 2007, puis, X._ SA ayant appelé du jugement, devant la Cour de justice le 8 novembre 2007. La Cour a jugé que le chèque tiré le 26 novembre 2004 constituait une reconnaissance de dette.
X._ SA a ouvert action en libération de dette contre Y._. Elle contestait que son directeur eût traité en son nom avec le défendeur pour faire restaurer l'automobile; subsidiairement, elle faisait état d'un travail de restauration gravement défectueux. Elle a requis une expertise.
Le défendeur a conclu au rejet de l'action.
Après avoir interrogé les parties et entendu divers témoins, le Tribunal de première instance s'est prononcé le 11 décembre 2008. Il a refusé d'ordonner une expertise et il a rejeté l'action.
La demanderesse ayant appelé à la Cour de justice, celle-ci a statué le 19 juin 2009. Elle a confirmé le refus d'une expertise. Elle a jugé que les prétentions du défendeur n'étaient pas entièrement conformes à la convention des parties. Elle a donc partiellement accueilli l'action en libération de dette, en ce sens que la demanderesse doit payer seulement 13'100 fr.80 avec intérêts à 5% par an dès le 15 mai 2007; à concurrence de ces sommes, la Cour a donné mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer.
C. Agissant par la voie du recours constitutionnel, la demanderesse requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour de justice en ce sens que la somme de 13'100 fr.80 ne soit pas due et que la poursuite pour dette ne soit pas continuée. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision.
Le défendeur conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). La valeur litigieuse n'atteint pas le minimum légal de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF) et aucun des cas de dispense prévus par la loi ne se trouve réalisé (art. 74 al. 2 LTF); en conséquence, la cause n'est susceptible que du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF), à l'exclusion du recours ordinaire en matière civile. Le recours est dirigé contre un jugement final et de dernière instance cantonale (art. 75 al. 1, 90 et 117 LTF). La demanderesse a pris part à l'instance précédente et elle a succombé dans des conclusions concernant son patrimoine personnel (art. 115 LTF). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours constitutionnel est en principe recevable.
Le recours constitutionnel ne peut être exercé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 et 117 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 III 439 consid. 3.2 p. 444). Il doit statuer sur la base des faits constatés dans la décision attaquée; il ne peut rectifier ou compléter que les constatations de fait auxquelles l'autorité précédente est parvenue en violation des droits constitutionnels (art. 118 LTF).
2. Invoquant les art. 9 et 29 al. 2 Cst., la demanderesse se plaint d'arbitraire et, en rapport avec le refus d'ordonner une expertise, de violation de son droit d'être entendue.
2.1 Une décision est arbitraire, donc contraire à l'art. 9 Cst., lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
En ce qui concerne l'appréciation des preuves et la constatation des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle parvient à des constatations insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1; voir aussi ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62).
Selon la jurisprudence relative aux recours formés pour violation de droits constitutionnels (art. 106 al. 2 ou 116 LTF), celui qui se plaint d'arbitraire doit indiquer de façon précise en quoi la décision qu'il attaque est entachée d'un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; 133 II 396 consid. 3.2 p. 400).
2.2 Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. confère à toute personne le droit de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, d'avoir accès au dossier, d'offrir des preuves quant aux faits de nature à influer sur la décision, de participer à l'administration des preuves et de se déterminer à leur propos (ATF 129 II 497 consid. 2.2 p. 504; 127 I 54 consid. 2b p. 56; 126 I 97 consid. 2b p. 102). Cette garantie inclut le droit à l'administration des preuves valablement offertes, à moins que le fait à prouver ne soit dépourvu de pertinence ou que la preuve apparaisse manifestement inapte à la révélation de la vérité. Par ailleurs, le juge est autorisé à effectuer une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles et, s'il peut admettre de façon exempte d'arbitraire qu'une preuve supplémentaire offerte par une partie serait impropre à ébranler sa conviction, refuser d'administrer cette preuve (ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428; 125 I 417 consid. 7b p. 430).
3. Il est constant qu'un contrat d'entreprise a été conclu par A._ et le défendeur, et que ce dernier s'est obligé à réaliser un ouvrage consistant dans la restauration d'une automobile. Les précédents juges devaient d'abord élucider qui, de A._ ou la demanderesse, était le cocontractant du défendeur.
A teneur de l'art. 32 al. 1 à 3 CO, les droits et les obligations dérivant d'un contrat fait au nom d'une autre personne, par un représentant autorisé, passent au représenté (al. 1). Lorsqu'au moment de la conclusion du contrat, le représentant ne s'est pas fait connaître comme tel, le représenté ne devient directement créancier ou débiteur que si celui avec lequel il contracte devait inférer des circonstances qu'il existait un rapport de représentation, ou s'il lui était indifférent de traiter avec l'un ou l'autre (al. 2). Dans les autres cas, une cession de la créance ou une reprise de la dette est nécessaire en conformité des principes qui régissent ces actes (al. 3).
La Cour de justice retient que A._ est un représentant autorisé de la demanderesse, aux termes de l'art. 32 al. 1 CO; ceci n'est pas litigieux. La Cour retient aussi que le défendeur pouvait inférer des circonstances, selon l'art. 32 al. 2 CO, que A._ agissait dans l'exercice de ce pouvoir de représentation, et que c'est donc la demanderesse, en dépit de l'annotation manuscrite faite sur le devis du 13 février 2003, qui est devenue partie au contrat d'entreprise.
La demanderesse conteste cette appréciation des circonstances et elle se plaint d'une appréciation arbitraire des documents que la Cour a pris en considération. Les juges d'appel se réfèrent notamment à un certificat d'assurance du véhicule qui a été établi au nom de la demanderesse. Contrairement à ce que celle-ci affirme, ce certificat constitue un indice pertinent alors même que le véhicule a aussi été immatriculé, d'après un autre document, sous un autre numéro et au nom de A._. En réalité, la demanderesse propose surtout une nouvelle appréciation des éléments disponibles; à la lecture de son exposé, on ne trouve guère sur quel point elle reproche à la Cour de justice, sinon par de simples dénégations ou protestations, d'avoir commis une erreur indéniable ou de s'être livrée à une appréciation absolument insoutenable. Son argumentation est donc irrecevable, faute de satisfaire aux exigences relatives à la motivation du recours pour violation de l'art. 9 Cst.
4. Les juges devaient ensuite se prononcer sur les moyens que la demanderesse soulevait pour justifier son refus de payer le prix complet de l'ouvrage. Elle faisait valoir que celui-ci, dans la mesure où il a été achevé, présentait de nombreux et graves défauts.
Aux termes des art. 367 al. 1 et 370 CO, le maître doit vérifier l'état de l'ouvrage dont il a reçu livraison, cela aussitôt qu'il le peut d'après la marche habituelle des affaires, et, s'il y a lieu, en signaler les défauts à l'entrepreneur (art. 367 al. 1). Si le maître omet la vérification ou l'avis, il est censé avoir accepté l'ouvrage avec les défauts qu'il aurait pu constater et signaler (art. 370 al. 2). Si des défauts ne se manifestent que plus tard, le maître doit les signaler aussitôt qu'il en a connaissance; sinon, l'ouvrage est tenu pour accepté avec eux également (art. 370 al. 3). L'entrepreneur est déchargé de toute responsabilité en raison des défauts acceptés (art. 370 al. 1); par suite des autres défauts, régulièrement signalés, le maître peut exercer les droits qui lui sont conférés par l'art. 368 CO. Le maître peut notamment exiger la réparation de l'ouvrage aux frais de l'entrepreneur, si la réparation est possible sans dépense excessive, ou exiger une réduction du prix; de plus, il peut réclamer des dommages-intérêts si l'entrepreneur est en faute (art. 368 al. 2 CO).
La Cour de justice retient que les parties se sont d'abord accordées sur la réparation de défauts qui consistaient dans des griffures de la carrosserie et dans un passage laborieux de la deuxième vitesse, et qu'ensuite, en exigeant que le défendeur accomplît cette réparation dans le parc de stationnement de l'un de ses hôtels, soit dans un lieu inapproprié, la demanderesse s'est placée en demeure d'accepter la prestation ainsi convenue. D'autres défauts ont été allégués; toutefois, selon la Cour, la demanderesse n'a pas prouvé qu'elle les ait signalés à temps selon l'art. 367 al. 1 CO. En conséquence, cette partie ne peut pas exiger une diminution du prix sur la base de l'art. 368 al. 2 CO.
La demanderesse soutient que le défendeur n'a exécuté aucun travail sur le moteur de l'automobile, alors qu'une remise en état complète avait été promise; de cela, elle déduit que l'ouvrage convenu, faute d'avoir été achevé, ne lui a jamais été livré aux termes de l'art. 367 al. 1 CO.
Selon la jurisprudence, l'ouvrage est livré lorsque l'entrepreneur communique son achèvement au maître, ou lorsqu'il le lui remet (ATF 115 II 456 consid. 4 p. 458). En l'occurrence, le directeur de la demanderesse a repris possession de la voiture après que le défendeur lui avait déclaré que les travaux étaient achevés. Dans ces conditions, le juge peut retenir sans arbitraire que l'ouvrage consistant dans la restauration de la voiture, éventuellement défectueux, a été livré.
Pour le surplus, en ce qui concerne les conséquences juridiques des défauts signalés au défendeur, d'une part, et l'inexistence d'un avis de la demanderesse relatif à d'autres défauts, d'autre part, cette partie-ci entreprend derechef une discussion d'ensemble, devant le Tribunal fédéral, tant sur l'appréciation des preuves que sur l'appréciation juridique des faits constatés; cela ne constitue pas une argumentation recevable à l'appui du grief d'arbitraire. Il convient de souligner que contrairement aux affirmations présentées, les constatations de la Cour de justice ne sauraient être jugées incomplètes sur un point important. En particulier, le témoignage auquel la demanderesse se réfère - celui d'un sous-traitant chargé des premières étapes de la restauration - n'exclut pas que le défendeur ait effectué lui-même la remise en état du moteur. Le courriel du défendeur à A._ du 21 mars 2005, relatif à une réparation du véhicule, ne permet pas de reconnaître quels étaient les défauts alors signalés par la demanderesse.
5. Dans les instances cantonales, la demanderesse requérait une expertise destinée à établir les travaux accomplis par le défendeur et à vérifier leur qualité. En tant que les éventuels défauts de la restauration du véhicule ne pouvaient pas entraîner une réduction du prix à acquitter en contrepartie, il n'était pas nécessaire de constater ces défauts. Le refus de l'expertise est donc compatible avec l'art. 29 al. 2 Cst., et la Cour de justice n'a pas non plus appliqué arbitrairement les règles de droit fédéral et cantonal relatives à la preuve dans le procès civil.
6. Le recours se révèle privé de fondement, dans la mesure où les griefs présentés sont recevables. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. La demanderesse acquittera un émolument judiciaire de 1'000 francs.
3. La défenderesse versera une indemnité de 1'500 fr. au défendeur, à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 16 octobre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin