Erwägungen:
1. Die Einwohnergemeindeversammlung von Neuenhof lehnte am 23. Juni 2008 das Einbürgerungsgesuch von A.X._ ab. Begründet wurde der Beschluss mit folgendem an der Versammlung gehaltenen Votum:
- Die SVP Neuenhof hat sich speziell mit diesem Einbürgerungsgesuch der Teilfamilie X._ intensiv auseinandergesetzt. Die SVP Neuenhof lehnt solche Teileinbürgerungen kategorisch ab und zwar mit folgender Begründung: Mit einer Teileinbürgerung werden Fakten geschaffen, die anschliessend nicht mehr zu korrigieren sind. Nachdem die Einbürgerung der Teilfamilie vollzogen ist, besteht für die Ehefrau und Mutter absolut keine Notwendigkeit mehr, sich mit der Schweizer Gegebenheiten, Kultur und Sprache auseinanderzusetzen und sich anzupassen. Die Ehefrau hat es bis anhin in doch bereits vier Jahren seit sie in der Schweiz lebt, nicht für notwendig befunden, unsere Sprache zu lernen. Es hilft den beiden Mädchen nichts, wenn sie eingebürgert werden und als Schweizer Staatsbürgerinnen zuhause nur in der elterlichen Kultur, Sprache und Mentalität erzogen werden. Hier geht es eindeutig nur darum, dass anschliessend die ganze Familie - auch die Ehegattin - das gleiche Privileg hat wie der eingebürgerte Teil der Familie. Aus diesem Grund lehnt die SVP Neuenhof diese Teileinbürgerung ab. Die Familie X._ hat jederzeit die Möglichkeit, ein neues Einbürgerungsgesuch zu stellen, wenn auch die Ehefrau und Mutter die Voraussetzungen an eine Einbürgerung erfüllt und sich sprachlich assimiliert hat. Sie ersucht die Einwohnergemeindeversammlung, diese Teileinbürgerung abzulehnen."
2. A.X._ führt gegen den Einwohnergemeindeversammlungsbeschluss mit Eingabe vom 13. Juli 2008 subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von Art. 82 BGG ist gemäss Art. 83 lit. b BGG gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ausgeschlossen. Eine andere ordentliche Beschwerde fällt nicht in Betracht. Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG im Grundsatz gegeben.
4. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
4.1 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nach Art. 116 BGG die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden. Zur Beschwerde ist gemäss Art. 115 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (lit. b).
4.2 Der Beschwerdeführer, der nicht geltend macht, dass ihm nach dem Bürgerrechtsgesetz ein Anspruch auf Einbürgerung zukomme, ist nach der Rechtsprechung nicht zur Rüge berechtigt, der angefochtene bzw. zugrunde liegende Entscheid verletze das Willkürverbot nach Art. 9 BV (BGE 133 I 185). Der Ausschluss der Rüge wegen Verletzung von Art. 9 BV bezieht sich sowohl auf die Anwendung des dem Einbürgerungsverfahren zugrunde liegenden Bürgerrechtsgesetzes als auch auf die Würdigung der massgeblichen Sachverhaltselemente.
4.3 Als Partei im kantonalen Verfahren kann der Beschwerdeführer die Verletzung bundesverfassungsrechtlicher Verfahrensgarantien rügen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (BGE 133 I 185 E. 6.2 S. 199 mit Hinweisen). Das gilt für die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs gemäss Art. 29 Abs. 2 BV und trifft namentlich zu, wenn das gänzliche Fehlen einer Begründung des angefochtenen Entscheids beanstandet wird. Weiter kann u.a. auch eine Verletzung des Diskriminierungsverbots gemäss Art. 8 Abs. 2 BV geltend gemacht werden.
4.4 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Willkürverbots. Zu dieser Rüge ist er nach Art. 115 lit. b BGG nicht legitimiert. Darüber hinaus legt der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern der angefochtene Einwohnergemeindeversammlungsbeschluss verfassungsmässige Rechte verletzten sollte. Insoweit ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unzulässig bzw. leidet an einem offensichtlichen Begründungsmangel, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG entschieden werden kann.
5. Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und der Einwohnergemeinde Neuenhof schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli