Sachverhalt:
Mit Verfügung vom 19. Januar 2005 verneinte die IV-Stelle des Kantons Thurgau einen Anspruch des 1966 geborenen mazedonischen Staatsangehörigen S._ auf berufliche Massnahmen und eine Invalidenrente der Schweizerischen Invalidenversicherung mangels eines leistungsbegründenden Gesundheitsschadens. Auf Einsprache hin bestätigte die aufgrund ausländischen Wohnsitzes des S._ zuständige IV-Stelle für Versicherte im Ausland die Verfügung vom 19. Januar 2005 (Einspracheentscheid vom 19. Mai 2005).
Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 11. März 2008 ab.
S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem sinngemässen Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Sache zur erneuten Beurteilung und zur Zusprechung einer Invalidenrente an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Auf die formal knapp den gesetzlichen Mindestanforderungen (Art. 42 BGG) genügende Beschwerde ist einzutreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (Art. 95 lit. a BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
3. Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung des umstrittenen Rentenanspruchs sind im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, zutreffend dargelegt. Es betrifft dies nebst den massgeblichen Gesetzesbestimmungen und der dazu ergangenen Rechtsprechung insbesondere auch den Grundsatz, dass sich die gerichtliche Überprüfung auf den Sachverhalt beschränkt, der sich bis zum Zeitpunkt des Erlasses des streitigen Verwaltungsaktes (hier: Einspracheentscheid vom 19. Mai 2005) verwirklicht hat (BGE 131 V 9 E. 1 S. 11, 129 V 1 E. 1.2 S. 4 mit Hinweis).
4. 4.1 Das Bundesverwaltungsgericht ist gestützt auf die medizinischen Akten zum Ergebnis gelangt, dass in dem zu prüfenden Zeitraum (E. 3 in fine hievor) kein physischer oder psychischer Gesundheitsschaden vorgelegen hat, welcher die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit des Versicherten in relevanter Weise einschränkte und daher gegebenenfalls einen Rentenanspruch zu begründen vermöchte. Die geklagten Rückenbeschwerden seien organisch nicht erklärbar, und für die psychische/somatoforme Symptomatik seien im Wesentlichen die psychosoziale Belastung und fremdenpolizeiliche Probleme im Zusammenhang mit der erfolgten Rückführung des Versicherten nach Mazedonien verantwortlich. Weitere medizinischen Abklärungen seien nicht erforderlich.
4.2 Die Beurteilung durch das Bundesverwaltungsgericht ist im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis (E. 2 hievor) nicht zu beanstanden. In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was nicht bereits durch die Vorinstanz widerlegt worden wäre. Es betrifft dies namentlich die geltend gemachte gesundheitliche Verschlechterung seit einem im Jahr 2002 erlittenen Unfall, die aufgelegten ärztlichen Kurzatteste aus Mazedonien und den Antrag, es sei eine medizinische Begutachtung durchzuführen. Was im Besonderen den psychischen Gesundheitszustand angeht, ist festzustellen, dass zwar von schwerwiegenden Problemen des Beschwerdeführers auszugehen ist, welche sich in notwendigen Hospitalisationen und einer manifesten Suizidalität geäussert haben. Im massgeblichen Zeitraum hat aber in erster Linie eine somatoforme Schmerzstörung vorgelegen, welche ganz erheblich von psychosozialen Belastungsfaktoren (Aufenthaltsrecht und Ausschaffungsproblematik) unterhalten und überlagert wurde. Auch nach Auffassung des Hausarztes Dr. med. R._ liegt der psychischen Symptomatik ein fremdenpolizeiliches Problem zugrunde. Dr. med. R._ führt zudem aus, bei Erhalt einer Aufenthaltsbewilligung bestehe wieder eine volle Erwerbsfähigkeit (Bericht vom 25. August 2004 bei gleicher Diagnosestellung wie in den vorangegangenen hausärztlichen Berichten vom 15. September 2003 und 4. Mai 2004). Vor diesem Hintergrund überzeugt auch die Einschätzung im Gutachten der Psychiatrie W._ vom 13. November 2003, wonach nicht eine Depression als eigenständige psychische Erkrankung vorliegt, sondern depressive Verstimmungszustände, welche sich unter situativer Entlastung jeweils rasch bessern. Die Gutachter stützten sich dabei unter anderem auf die stationär und bei der psychiatrischen Weiterbetreuung bis 10. Oktober 2003 gewonnenen Erkenntnisse. Erwähnenswert ist ferner, dass im Bericht des Medizinischen Zentrums X._ vom 23. Dezember 2003 nebst der Somatisierungsstörung eine lediglich mittelgradige depressive Episode diagnostiziert wird, dies bei verdichtetem Verdacht auf eine Symptomerweiterung, möglicherweise sogar auf eine vorgetäuschte Störung, bei Überlagerung aufgrund der drohenden Ausschaffung und bei teils deutlichen Diskrepanzen zwischen Selbst- und Fremdeinschätzung. Es finden sich schliesslich in den Arztberichten aus dem Heimatland des Versicherten keine Hinweise, dass nach dessen Rückkehr psychiatrische Abklärungen oder Behandlungen stattgefunden haben. Aufgrund der dargestellten medizinischen Aktenlage und mit Blick auf die Rechtsprechung zu den somatoformen Schmerzstörungen (BGE 130 V 352) und zur Berücksichtigung psychosozialer Faktoren (BGE 127 V 294) lässt sich eine invalidisierende psychische - wie im Übrigen auch eine somatische - Erkrankung ohne weitere Abklärungen verneinen. Es kann im Übrigen auf die Erwägungen des Bundesverwaltungsgerichts verwiesen werden.
4.3 Der Versicherte bringt weiter vor, er sei entgegen dem angefochtenen Entscheid verheiratet. Inwiefern dies den streitigen Leistungsanspruch zu stützen vermöchte, ist indessen weder in der Beschwerde begründet noch sonstwie ersichtlich.
5. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Widmer Lanz