Sachverhalt:
A. Die 1963 geborene P._ meldete sich im Juni 2007 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Die IV-Stelle des Kantons Thurgau klärte die gesundheitlichen und erwerblichen Verhältnisse ab. U.a. liess sie die Versicherte in der Klinik K._ gutachterlich untersuchen. In diesem Rahmen wurde P._ auch von Dr. med. N._ begutachtet. Mit Vorbescheid vom 9. Oktober 2008 teilte ihr die IV-Stelle mit, es bestehe kein Anspruch auf eine Invalidenrente. Dagegen liess die Versicherte Einwände erheben, welche Dr. med. W._ vom regionalen ärztlichen Dienst veranlassten, bei der Klinik K._ eine Stellungnahme einzuholen. Mit Verfügung vom 22. Dezember 2008 verneinte die IV-Stelle den Anspruch auf eine Invalidenrente.
B. Die Beschwerde der P._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht mit Entscheid vom 17. Juni 2009 ab.
C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 17. Juni 2009 sei aufzuheben und die Sache zur weiteren Abklärung und anschliessender Neuverfügung an die IV-Stelle zurückzuweisen, eventualiter ihr die gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine Invalidenrente, zuzusprechen.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, während kantonales Gericht und Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung verzichten.
Mit einer nachträglichen Eingabe hat die Rechtsvertreterin von P._ einen Bericht der Klinik C._ vom 29. Januar 2010 eingereicht.
Erwägungen:
1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Die Vorinstanz sei mit Rückfragen an den psychiatrischen Administrativgutachter Dr. med. N._ gelangt, ohne diese den Parteien zur Kenntnis und allfälligen Stellungnahme bzw. Ergänzung zu unterbreiten. Auf diese Rüge ist nicht näher einzugehen. Die Beschwerdeführerin konnte zum Bericht des psychiatrischen Experten vom 27. April 2009 Stellung nehmen. Dabei beanstandete sie das nunmehr kritisierte Vorgehen der Vorinstanz nicht. Im Weitern hat die Vorinstanz begründet, weshalb der Antwort des Dr. med. N._ vom 9. Januar 2009 auf das Schreiben der Gutachter der Klinik K._ vom 23. Dezember 2008 keine Bedeutung zukommt. Damit setzt sich die Beschwerdeführerin nicht auseinander. Auf ihre Rüge, bei Erlass der Verfügung vom 23. Dezember 2008 sei die Sache nicht entscheidungsreif gewesen, ist daher ebenfalls nicht weiter einzugehen.
2. Gemäss dem Gutachten der Klinik K._ vom 8. September 2008 samt Bericht vom 27. Februar 2008 über die Evaluation der funktionellen Leistungsfähigkeit (EFL) und dem psychiatrischen Zusatzgutachten des Dr. med. N._ vom 19. Juni 2008 leidet die Beschwerdeführerin an einer somatoformen Schmerzstörung bei einem chronischen zervico- und lumbospondylogenen Syndrom beidseits, muskulärer Insuffizienz der Schultergürtel-/Nacken- und lumbalen Rumpfmuskulatur, an Osteochondrose C6/C7 und Chondrose C5/C6, an Polyarthralgien sowie an chronischen Fuss-Schmerzen beidseits bei Senkfussstellung rechtsbetont. Aus rheumatologischer und psychiatrischer Sicht ist ihr jede leichte Tätigkeit unter Vermeidung von Zeitdruck und in einem reizarmen Arbeitsmilieu in vollem Pensum zumutbar. Gestützt auf diese fachärztliche Beurteilung hat die Vorinstanz durch Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG in Verbindung mit Art. 28a Abs. 1 IVG) einen Invaliditätsgrad von maximal 25 % ermittelt, was für den Anspruch auf eine Invalidenrente nicht ausreicht (Art. 28 Abs. 2 IVG).
3. Die Beschwerdeführerin bestreitet den Beweiswert des Gutachtens vom 8. September 2008 und des psychiatrischen Zusatzgutachtens vom 19. Juni 2008, wobei sie eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes durch die IV-Stelle und das kantonale Versicherungsgericht rügt. Zur Stützung ihrer Vorbringen hat die Beschwerdeführerin zwei ärztliche Berichte (Dr. med. G._ vom 28. Juli 2009 und Klinik C._ vom 29. Januar 2010) eingereicht. Diese Berichte sind indessen nicht durch den angefochtenen Entscheid verursacht, sondern von der Beschwerdeführerin zur beweismässigen Unterstützung des von ihr vertretenen Standpunktes eingereicht worden. Daher können sie der letztinstanzlichen Beurteilung nicht zugrunde gelegt werden, ansonsten nicht nur das Novenverbot des Art. 99 Abs. 1 BGG, sondern auch die bundesgerichtliche Bindung an den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (Art. 105 Abs. 1 BGG) umgangen würde. Die Prüfung des Bundesgerichts ist in tatsächlicher Hinsicht auf die in Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG festgelegten Beschwerdegründe beschränkt.
4. 4.1 Im Sozialversicherungsverfahren gelten der Untersuchungsgrundsatz sowie der Grundsatz der freien Beweiswürdigung (vgl. Art. 43 Abs. 1 ATSG und Art. 61 lit. c ATSG). Der rechtserhebliche Sachverhalt ist von Amtes wegen unter Mitwirkung der Versicherten resp. der Parteien zu ermitteln. In diesem Sinne rechtserheblich sind alle Tatsachen, von deren Vorliegen es abhängt, ob über den streitigen Anspruch so oder anders zu entscheiden ist (Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl. 1983, S. 43 und 273; Urteil 9C_214/2009 vom 11. Mai 2009 E. 3.2). Die Beweise sind ohne Bindung an förmliche Beweisregeln umfassend und pflichtgemäss zu würdigen. Die kantonalen Versicherungsgerichte haben somit alle Beweismittel, unabhängig davon, von wem sie stammen, objektiv zu prüfen und danach zu entscheiden, ob die verfügbaren Unterlagen eine zuverlässige Beurteilung des streitigen Anspruchs gestatten. Insbesondere dürfen sie bei einander widersprechenden medizinischen Berichten den Prozess nicht erledigen, ohne das gesamte Beweismaterial zu würdigen und die Gründe anzugeben, weshalb sie auf die eine und nicht auf die andere medizinische These abstellen (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352; Urteile 9C_1061/2009 vom 11. März 2010 E. 4.2 und 9C_744/2009 vom 15. Dezember 2009 E. 4.2). Dabei kommt einem ärztlichen Bericht Beweiswert zu, wenn er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt und in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, wenn die Beschreibung der medizinischen Situation und Zusammenhänge einleuchtet und die Schlussfolgerungen des Arztes begründet sind (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352; Urteil 9C_651/2009 vom 7. Mai 2010 E. 4.1).
4.2 Die Beschwerdeführerin bringt, soweit prozessual zulässig, vor, im Gutachten der Klinik K._ sei die von Dr. med. G._ bereits im Bericht vom 12. Juni 2006 differentialdiagnostisch erkannte seronegative Spondylarthropathie weder diskutiert worden, noch seien diesbezüglich alle angezeigten Diagnosemöglichkeiten ausgeschöpft worden. Insbesondere fehlten laborchemische Untersuchungen, welche neben den im Rahmen der Begutachtung beachteten Entzündungsparametern BSG und CRP auch den Rheumafaktor sowie die Bestimmung von HLA-B27 zu umfassen hätten. Vorher könne nicht mangels angeblich nicht objektivierbarer Beschwerden auf eine Schmerzfehlverarbeitung oder eine somatoforme Schmerzstörung geschlossen werden.
4.2.1 Die Vorinstanz hat festgestellt, im Gutachten vom 8. September 2008 seien die rheumatologischen Befunde berücksichtigt worden. Gemäss dem Bericht des Spitals X._ vom 10. Januar 2007 seien bei der radiologischen Untersuchung vom Vortag keine sicheren Zeichen einer ISG-Arthritis gefunden worden. Dr. med. G._ habe im Bericht vom 15. Januar 2007 die rheumatischen Probleme nur wahrscheinlich auf eine seronegative Spondylarthropathie zurückführen können. Aufgrund dieser Unterlagen und den eigenen Untersuchungen seien die Experten in der Lage gewesen, eine nachvollziehbare Einschätzung der Arbeitsfähigkeit abzugeben, ansonsten sie weitere Abklärungen diesbezüglich in Auftrag gegeben hätten.
4.2.2 Diese Feststellungen sind weder offensichtlich unrichtig noch beruhen sie auf einem unvollständig abgeklärten Sachverhalt.
4.2.2.1 Die Beschwerdeführerin stützt ihre Vorbringen auf zwei Fachartikel (vgl. zur Zulässigkeit SVR 2009 KV Nr. 1, 9C_56/2008): Prof. Dr. med. Marcus Köller, Seronegative Spondylarthropathien, in: Rheuma Plus, 5. Jahrgang Nr. 1, 2006, und Dr. med. Adrian Ciurea, Abklärung und Therapie der axialen Spondylarthritiden (SpA), in: Rheuma Nachrichten 47-2008, S. 3 ff.. Daraus ergibt sich u.a. Folgendes: Bei der Mehrzahl der Patienten mit SpA dauert es zwischen fünf und zehn Jahren bis eine ISG-Arthritis konventionell radiologisch nachgewiesen werden kann. Es bestehen vier Paramter, welche am besten einen entzündlichen von einem mechanischen Rückenschmerz bei Patienten vor dem 50. Lebensjahr unterscheiden, u.a. Morgensteiffigkeit von mehr als dreissig Minuten Dauer. Festgestellte entzündliche Rückenschmerzen lassen noch nicht den sicheren Schluss auf das Vorliegen von Spondylarthritiden resp. einer seronegativen Spondylarthropathie zu. Die Wahrscheinlichkeit einer SpA kann durch eine Abklärung mittels HLA-B27 oder MRI weiter gesteigert werden. Dabei weist die MRI-Untersuchung einen klaren Nutzen in der Frühdiagnostik auf. Eine Laborbestimmung des HLA-B27 ist am hilfreichsten, wenn die Vortestwahrscheinlichkeit für eine SpA um 50 % liegt, beispielsweise wenn radiologisch keine eindeutige ISG-Arthritis, aber entzündlicher Rückenschmerz und ein bis zwei zusätzliche auf eine SpA hinweisende Faktoren gegeben sind. Für die Behandlung einer SpA sollte grundsätzlich eine Kombination von medikamentösen und nichtpharmakologischen Therapien, u.a. physiotherapeutische Massnahmen und Übungen zur Erhaltung der Beweglichkeit angewendet werden. Nicht-steroidale Antirheumatika (NSAR) wirken häufig sehr gut bei SpA.
4.2.2.2 Aus den beiden Fachartikeln ergibt sich somit u.a, dass ein Test auf HLA-B27 eine alternative Untersuchungsmethode zu einem MRI des Beckens darstellt und insbesondere dann indiziert ist, wenn ein entzündliches Geschehen feststeht, was hier indessen gerade nicht zutrifft. Bereits in seinem Bericht vom 25. Januar 1997 hatte der auf Rheumaerkrankungen spezialisierte Dr. med. G._ den Verdacht auf ein parainfektiöses Geschehen geäussert und differentialdiagnostisch eine atypisch beginnende Polyarthritis/Kollagenose erwähnt. Im Bericht vom 12. Juni 2006 stellte er die Differentialdiagnose einer seronegativen Spondylarthropathie. Er hielt u.a. fest, HLA-B27, Rheumafaktor und Anti-CCP-Antikörper seien negativ. Er schlug eine physiotherapeutische Behandlung sowie den Einsatz von nichtsteroidalen Antirheumatika vor.
4.2.2.3 Die Gutachter der Klinik K._ führten u.a. aus, anamnestisch seien im Verlauf der letzten 15 Jahre diffuse Schmerzen beider Hände mit subjektivem Schwellungsgefühl, aber ohne Morgensteiffigkeit aufgetreten. Aufgrund der klinischen Untersuchung, bildgebenden Verfahren sowie der Laborbefunde bestünden zur Zeit keine Hinweise für das Vorliegen einer entzündlichen Erkrankung aus dem rheumatologischen Formenkreis. Insbesondere fänden sich keine Anhaltspunkte für postentzündliche Veränderungen der Sakroiliakalgelenke. Diese Beurteilung ist schlüssig. Sie vermag sich auf die verschiedenen Berichte des Dr. med. G._ zu stützen und widerspricht auch in keiner ersichtlichen Weise den beiden wissenschaftlichen Publikationen.
4.3 Schliesslich macht die Beschwerdeführerin geltend, die Diagnose einer somatoformen Schmerzstörung sei nicht gesichert. Insbesondere habe es der psychiatrische Gutachter unterlassen darzustellen, worin bei der Versicherten die für dieses Beschwerdebild charakteristischen schwerwiegenden emotionalen Konflikte oder psychosozialen Probleme liegen sollten (vgl. BGE 130 V 396 E. 6.1 S. 400).
Die Vorinstanz hat sich zum selben Einwand in der Eingabe vom 7. Mai 2009 nicht geäussert. Sie hat festgestellt, im psychiatrischen Zusatzgutachten vom 19. Juni 2008 werde diese Diagnose ausführlich begründet und erläutert. Zudem habe auch der behandelnde Psychiater Dr. med. U._ im Schreiben vom 15. April 2008 eine somatoforme Schmerzstörung diagnostiziert. Unter diesen Umständen kann die vorinstanzliche Feststellung, die Beschwerdeführerin leide an einer somatoformen Schmerzstörung nicht als offensichtlich unrichtig oder als Ergebnis willkürlicher Beweiswürdigung bezeichnet werden, ohne dass im Einzelnen zu prüfen wäre, worin Gutachter und behandelnder Arzt die schwerwiegenden emotionalen Konflikte mit psychosozialen Belastungsfaktoren erblickt haben. Immerhin erwähnte auch Dr. med. G._ in seinem Bericht vom 28. Juli 2009 länger anhaltende psychosoziale Probleme. Im Übrigen ist zu beachten, dass gemäss Gutachten vom 8. September 2008 18 von 18 Tender points positiv waren ebenso die Kontrollpunkte. Dies deutet auf das Vorliegen eines fibromyalgieähnlichen Beschwerdebildes hin, bei welchem die Grundsätze für die Beurteilung des invalidisierenden Charakters einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörungen analog anwendbar sind (BGE 132 V 65; Urteil 8C_1058/2009 vom 10. Mai 2010 E. 7.2; vgl. auch BGE 132 V 393 E. 3.3 in fine S. 399). In diesem Zusammenhang trifft nicht zu, dass der psychiatrische Gutachter lediglich pauschal auf die Foerster Kriterien (BGE 135 V 201 E. 7.1.3 S. 213 mit Hinweis auf BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 354 f.) verwies, jedoch keinerlei Schlussfolgerungen aus seinen Ausführungen zog. Die Versicherte setzte sich denn auch in der vorinstanzlichen Beschwerde mit den diesbezüglichen Feststellungen im (Zusatz-)Gutachten vom 19. Juni 2008 auseinander. Inwiefern die Beurteilung des psychiatrischen Gutachters nicht den Schluss auf die Zumutbarkeit der Schmerzüberwindung im Hinblick auf eine erwerbliche Tätigkeit zulassen, legt die Beschwerdeführerin nicht dar. Aktenwidrig ist schliesslich der Einwand, der psychiatrische Gutachter setze sich mit der abweichenden Einschätzung des Dr. med. U._ in dessen Bericht vom Sommer 2006 nicht auseinander. Dr. med. N._ erwähnte bei der Beschreibung der Krankheitsentwicklung und der Therapieergebnisse, die Explorandin sei im Juli 2006 psychiatrisch/ psychotherapeutisch bei Dr. med. U._ vorstellig geworden, welcher eine mittel- bis schwergradig depressive Störung auf dem Boden einer anankastischen Persönlichkeit, eine anhaltend somatoforme Schmerzstörung und ein chronifiziertes Schmerzsyndrom bei bekannten Wirbelsäulenänderungen diagnostiziert habe. Dieselbe Diagnose stellte der behandelnde Psychiater auch im Schreiben vom 15. April 2008. Ebenfalls legte der psychiatrische Gutachter bei der Diskussion der Foerster Kriterien dar, weshalb die Diagnose einer mittel- bis schwergradigen Depression nicht als komorbides eigenständiges psychiatrisches Krankheitsbild verstanden werden könne. Dazu äussert sich die Beschwerdeführerin nicht.
4.4 Die übrigen Vorbringen sind ebenfalls nicht stichhaltig. Insbesondere ist die Feststellung der Vorinstanz, bereits der Hausarzt Dr. med. H._ habe in seinem Bericht vom 23. Juni 2007 die Einschränkungen in einem wesentlichen Ausmass durch die psychische Symptomatik begründet gesehen, nicht inhaltlich aktenwidrig. Dr. med. H._ hielt ausdrücklich fest, die Arbeitsfähigkeit sei ganz wesentlich durch die psychische Symptomatik mitbedingt. Abgesehen davon legt die Beschwerdeführerin nicht dar, inwiefern die beanstandete vorinstanzliche Aussage von entscheidwesentlicher Bedeutung sein soll.
Das Abstellen der Vorinstanz auf das Gutachten der Klinik K._ vom 8. September 2008 sowie das psychiatrische Zusatzgutachten des Dr. med. N._ vom 19. Juni 2008 verletzt Bundesrecht nicht. Die Beschwerde ist unbegründet.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau als Versicherungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Juni 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler