Erwägungen:
1. X._ ersuchte beim Psychiatriezentrum M._ (PZM) um Einsicht in die medizinische Behandlungsdokumentation seines Vaters Y._. Mit Verfügung vom 25. Januar 2010 wies das PZM das Gesuch ab. Dagegen führte X._ "Beschwerde/Replik" bei der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern. Diese wies das Rechtsmittel mit Entscheid vom 11. Juni 2010 ab, soweit sie darauf eintrat.
Gegen diesen letztgenannten Entscheid wandte sich X._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Dessen Verwaltungsrechtliche Abteilung hat die Beschwerde mit Urteil vom 13. Juli 2010 abgewiesen, soweit sie darauf eingetreten ist.
2. Mit Eingabe vom 8. August 2010 führt X._ Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Hauptantrag, das Urteil vom 13. Juli 2010 sei aufzuheben.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen einzu-holen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unab-hängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch Art. 106 Abs. 2 BGG; zudem BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53 und 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Ist ein - wie hier - in Anwendung kantonalen Rechts ergangener Entscheid angefochten, bildet die Verletzung blossen kantonalen Rechts keinen selbständigen Beschwerdegrund. Vielmehr hat der Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern der beanstandete Entscheid gegen verfassungsmässige Rechte verstossen soll. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (s. die vorstehend bereits zitierte Rechtsprechung). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer äussert sich ausführlich zu den zugrunde liegenden kantonalen Verfahren. Ebenso ausführlich bemängelt er den angefochtenen verwaltungsgerichtlichen Entscheid. Zwar behauptet er verschiedene Rechtsverletzungen. Doch setzt er sich nicht hinreichend mit den dem Urteil vom 13. Juli 2010 zugrunde liegenden Erwägungen auseinander und legt nicht im Einzelnen dar, inwiefern das Urteil verfassungsmässige Rechte verletzen soll.
Mangels einer genügenden Begründung im Sinn von Art. 42 Abs. 2 BGG ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Da die Beschwerde nach dem Gesagten offensichtlich aussichtslos ist, ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abzuweisen (Art. 64 BGG). Bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt es sich indes, von einer Kostenauflage abzusehen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Psychiatriezentrum M._, der Gesundheits- und Fürsorgedirektion des Kantons Bern sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Bopp