Sachverhalt:
A. Am 16. Februar 2009 reichte X._ Strafanzeige sowie Privatklage gegen Staatsanwalt Kurt Müller ein und verlangte dessen Bestrafung wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses gemäss Art. 320 Ziff. 1 StGB. Sie warf ihm vor, er habe dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement im Rahmen des Gesuchs um Ermächtigung zur Strafverfolgung von Y._, gegen den sie ebenfalls eine Strafanzeige eingereicht hatte, geheime Tatsachen offenbart.
Am 3. September 2009 verfügte die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug (III. Abteilung) die Nichtanhandnahme der Strafuntersuchung.
Dagegen erhob X._ Beschwerde bei der Justizkommission des Obergerichts des Kantons Zug (im Folgenden: Justizkommission). Darin beantragte sie unter anderem, die Mitglieder der Verwaltungskommission des Obergerichts (Iris Studer-Milz, Klaus Weber sowie Alfred Iten) hätten in den Ausstand zu treten, soweit sie in der vorliegenden Angelegenheit mitwirkten, und seien durch andere Mitglieder des Obergerichts zu ersetzen.
Mit Beschluss vom 1. Oktober 2009 wies die Justizkommission (in der Besetzung mit Oberrichter Lanz, Spillmann Siegwart und Ulrich) das Ausstandsbegehren ab.
B. X._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, der Beschluss der Justizkommission sei aufzuheben. Diese sei anzuweisen, dass die Mitglieder der Verwaltungskommission des Obergerichts im bei diesem hängigen Beschwerdeverfahren in den Ausstand zu treten hätten.
C. Das Obergericht hat - nachdem es dem Bundesgericht insoweit zuerst versehentlich einen Verzicht mitgeteilt hat - Gegenbemerkungen eingereicht. Es beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Oberrichterin Studer-Milz sowie Oberrichter Weber und Iten beantragen unter Hinweis auf den angefochtenen Beschluss die Abweisung der Beschwerde (soweit darauf einzutreten sei).
X._ hat eine Replik eingereicht. Sie hält an ihren Anträgen fest.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerdeführerin verlangt den Ausstand in einem Strafverfahren. Damit ist gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG die Beschwerde in Strafsachen gegeben (vgl. Urteil 1B_50/2008 vom 24. Juni 2008 E. 1).
1.2 Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach Art. 80 BGG zulässig.
1.2 Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist nach Art. 80 BGG zulässig.
1.3 1.3.1 Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a i.V.m. lit. b Ziff. 4 BGG ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen (...) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die Privatstrafklägerschaft, wenn sie nach dem kantonalen Recht die Anklage ohne Beteiligung der Staatsanwaltschaft vertreten hat.
Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Sie macht (Beschwerde S. 2 Ziff. I/3) geltend, sie sei als Privatklägerin nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 BGG zur Beschwerde berechtigt. Dies trifft nicht zu. Diese Bestimmung spricht von der Privatstrafklägerschaft, nicht der Privatklägerschaft. Die beiden Begriffe dürfen nicht verwechselt werden (MARC THOMMEN, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 8 zu Art. 81 BGG). Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 BGG betrifft jene in einigen Kantonen vorkommenden Fälle, in denen der Privatstrafkläger von Anfang an an die Stelle des öffentlichen Anklägers tritt, weil die Verfolgung der Straftat wegen ihres geringen Unrechtsgehalts oder mit Rücksicht auf das vorwiegend private Interesse an der Bestrafung dem Geschädigten überlassen wird. Voraussetzung für die Legitimation des Privatstrafklägers ist also, dass der öffentliche Ankläger nach dem kantonalen Prozessrecht nicht zur Anklage befugt ist, so dass diese von Anfang an einzig dem Privatstrafkläger zusteht. Mit dieser Regelung ist sichergestellt, dass auch dort, wo der öffentliche Ankläger nach den Vorschriften des kantonalen Rechts überhaupt keine Parteirechte ausüben konnte, ein zur Beschwerde befugter Kläger vorhanden ist. Massgebend ist, ob der öffentliche Ankläger nach dem kantonalen Prozessrecht befugt und zuständig ist, darüber zu entscheiden, ob Anklage erhoben wird oder nicht. Nur wenn diese Entscheidung nach dem kantonalen Prozessrecht allein dem Privatstrafkläger zusteht, hat dieser im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 BGG die Anklage ohne Beteiligung der Staatsanwaltschaft vertreten (vgl. BGE 128 IV 39 E. 2 zum damit in der Sache übereinstimmenden aArt. 270 lit. g BStP mit Hinweisen; THOMMEN, a.a.O., N. 9 zu Art. 81 BGG).
Die Beschwerdeführerin wirft Staatsanwalt Müller eine Amtsgeheimnisverletzung vor. Darüber, ob insoweit Anklage erhoben wird, entscheidet gegebenenfalls die Staatsanwaltschaft, nicht allein die Beschwerdeführerin (§ 33 Abs. 2 der Strafprozessordnung vom 3. Oktober 1940 für den Kanton Zug [StPO; BGS 321.1]). Diese kann ihre Beschwerdebefugnis somit nicht aus Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 BGG herleiten.
1.3.2 Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG zählt, wie sich aus dem Wort "insbesondere" ergibt, die Beschwerdeberechtigten nicht abschliessend auf (BGE 136 IV 29 E. 1.4.4 S. 35).
Nach der Rechtsprechung ist der Geschädigte, der nicht Opfer im Sinne des Opferhilfegesetzes (OHG; SR 312.5) ist, in der Sache zur Beschwerde in Strafsachen nicht befugt (BGE 136 IV 41 E. 1.1 S. 41 f. mit Hinweis). Unbekümmert darum kann er aber die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Das nach Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich in diesem Fall nicht aus einer Berechtigung in der Sache, sondern aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Ist der Beschwerdeführer nach kantonalem Recht Partei, kann er die Verletzung jener Parteirechte rügen, die ihm nach dem kantonalen Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der Europäischen Menschenrechtskonvention zustehen (BGE 136 IV 41 E. 1.4 S. 44, 29 E. 1.9 S. 40; je mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin beruft sich auf Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Danach hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht. Diese Bestimmungen verleihen der Prozesspartei Anspruch auf richtige Besetzung des Gerichts. In diesem Anspruch ist die Prozesspartei beeinträchtigt, wenn ein von ihr eingereichtes Ablehnungsbegehren zu Unrecht abgewiesen wurde (BGE 108 Ia 48 E. 1 S. 50). Die Beschwerdeführerin beruft sich insoweit auf ein Parteirecht, dessen Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (vgl. Urteile 9C_500/2009 vom 24. Juni 2009 E. 1, in: SVR 2010 IV Nr. 2 S. 3; U 391/04 vom 13. September 2005 E. 1.1; 2P.157/1998 vom 20. Januar 1999 E. 4). Sie ist daher zur Beschwerde befugt.
1.4 Beim angefochtenen Beschluss handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren. Dagegen ist die Beschwerde gemäss Art. 92 Abs. 1 BGG zulässig.
1.5 Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt der folgenden Erwägungen - einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführerin rügt (Beschwerde S. 4 ff. Ziff. 2.1 und S. 7 Ziff. 3), der angefochtene Entscheid verletze Art. 30 Abs. 1 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Sie bringt vor, die Mitglieder der Verwaltungskommission stellten die Staatsanwälte an, seien ihnen personalrechtlich vorgesetzt und könnten ihnen arbeitsrechtliche Weisungen erteilen. Damit befänden sich die Mitglieder der Verwaltungskommission in einem "den objektiven Anschein der Vorbefassung gebenden Interessenkonflikt", wenn sie über eine Nichtanhandnahmeverfügung bezüglich eines Strafverfahrens, das gegen einen Staatsanwalt anbegehrt worden sei, in der Sache entschieden. Die Beschwerdeführerin könne und dürfe in objektiver Hinsicht den Eindruck haben, dass die für die personelle Auswahl der Staatsanwälte zuständigen Mitglieder der Verwaltungskommission die Anforderungen an einen unabhängigen Richter nicht erfüllten, wenn sie über die Anhandnahme oder Nichtanhandnahme einer Strafklage gegen einen von ihnen angestellten Staatsanwalt entschieden.
2.2 Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, denen insoweit dieselbe Tragweite zukommt, hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei (BGE 133 I 1 E. 5.2 S. 3; 131 I 31 E. 2.1.2.1 S. 34 f.; je mit Hinweisen). Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist (BGE 134 I 238 E. 2.1. S. 240 mit Hinweisen).
Eine gewisse Besorgnis der Voreingenommenheit und damit Misstrauen in das Gericht kann bei den Parteien entstehen, wenn einzelne Gerichtspersonen in einem früheren Verfahren mit der konkreten Streitsache schon einmal befasst waren. In einem solchen Fall so genannter Vorbefassung stellt sich die Frage, ob sich ein Richter durch seine Mitwirkung an früheren Entscheidungen in einzelnen Punkten bereits in einem Mass festgelegt hat, das ihn nicht mehr als unvoreingenommen und dementsprechend das Verfahren als nicht mehr offen erscheinen lässt (BGE 131 I 113 3.4 S. 116 mit Hinweisen).
2.3 Die Beschwerdeführerin macht Vorbefassung geltend. Darum geht es hier nicht. Sie legt nicht dar und es ist nicht ersichtlich, dass sich die Mitglieder der Verwaltungskommission mit der vorliegenden Strafsache schon einmal befasst hätten.
Die Frage ist, ob gegenüber den Mitgliedern der Verwaltungskommission wegen ihrer funktionellen und organisatorischen Stellung im Verhältnis zur Staatsanwaltschaft der Anschein der Befangenheit besteht.
Gemäss § 4 Abs. 1 der Geschäftsordnung vom 23. September 1997 des Zuger Obergerichts (BGS 161.112) besorgt die Verwaltungskommission alle Geschäfte der Justizverwaltung, soweit sich nicht aus Gesetz oder Verordnung eine andere Zuständigkeit ergibt. Die Verwaltungskommission stellt unstreitig die Staatsanwälte an, ist ihnen personalrechtlich vorgesetzt und kann ihnen arbeitsrechtliche Weisungen erteilen (angefochtener Beschluss S. 4 f. E. 3.2).
Gemäss § 14 Abs. 1 StPO erlässt die Staatsanwaltschaft eine Nichtanhandnahmeverfügung, wenn sich nach Eingang der polizeilichen Akten, der Anzeige oder der Privatklage offensichtlich kein Grund für eine Strafuntersuchung ergibt. Die Vorinstanz wird aufgrund der bei ihr erhobenen Beschwerde also prüfen müssen, ob die Auffassung der Staatsanwaltschaft, es bestehe offensichtlich kein Grund für eine Strafuntersuchung gegen Staatsanwalt Müller wegen Amtsgeheimnisverletzung, zutrifft. Verneinte die Vorinstanz dies, bedeutete das, dass sich Staatsanwalt Müller ihrer Auffassung nach möglicherweise strafbar gemacht haben könnte. Eine Vorverurteilung läge darin nicht, denn für Staatsanwalt Müller gälte auch bei Anhandnahme der Strafuntersuchung die Unschuldsvermutung (Art. 32 Abs. 1 BV; Art. 6 Ziff. 2 EMRK). Es stellt sich somit die Frage, ob bei den Mitgliedern der Verwaltungskommission bei objektiver Betrachtung der Anschein besteht, sie könnten geneigt sein, Staatsanwalt Müller den Vorwurf zu ersparen, sich möglicherweise strafbar gemacht zu haben.
Stellt die Verwaltungskommission einen Staatsanwalt an, bringt sie damit zum Ausdruck, dass sie ihn aufgrund von Bewerbungsunterlagen und -gespräch in jenem Zeitpunkt als für das Amt geeignet und fähig erachtet. Diese Beurteilung ist nicht endgültig. Die Anstellung bedeutet nicht, dass die Verwaltungskommission den Staatsanwalt als künftig unfehlbar ansieht. Die Verwaltungskommission wird die Tätigkeit des Staatsanwalts daher nach der Anstellung - wie jeder Arbeitgeber - kritisch verfolgen und bei einem allfälligen Fehlverhalten des Staatsanwalts die nötigen Massnahmen treffen. Bei objektiver Betrachtung besteht deshalb kein Anlass zur Annahme, dass die Mitglieder der Verwaltungskommission geneigt sein könnten, über ein allfälliges Fehlverhalten des Staatsanwalts hinwegzusehen, weil sie ihn angestellt haben. Vielmehr ist davon auszugehen, dass sie bei hinreichenden Anhaltspunkten für ein solches Fehlverhalten die nötigen Abklärungen veranlassen werden. Davon abzusehen hätten sie im vorliegenden Fall umso weniger Grund, als in der allfälligen Anhandnahme der Strafuntersuchung - wie gesagt - keine (Vor)-Verurteilung läge. Es verhält sich nicht anders als im privatrechtlichen Arbeitsverhältnis. Der Arbeitgeber wird nicht deshalb vor einem Fehlverhalten des Arbeitnehmers die Augen verschliessen, weil er ihn angestellt hat. Vielmehr wird der Arbeitgeber die Tätigkeit des Arbeitnehmers - namentlich mit Blick auf die Qualifikation und die weitere Gestaltung des Arbeitsverhältnisses - kritisch verfolgen und bei ernsthaften Anhaltpunkten für ein Fehlverhalten die nötigen Abklärungen veranlassen. Bei objektiver Betrachtung besteht hier danach kein Anschein der Befangenheit, weil die Verwaltungskommission die Staatsanwälte anstellt.
Soweit die Verwaltungskommission den Staatsanwälten personalrechtlich vorgesetzt ist und diesen arbeitsrechtliche Weisungen erteilen kann, hat sie eine übergeordnete Stellung. Die Beschwerdeführerin legt nicht substantiiert dar und es ist nicht nachvollziehbar, weshalb diese Stellung die Mitglieder der Verwaltungskommission daran hindern sollte, beim Vorwurf strafbaren Verhaltens eines Staatsanwalts die allenfalls notwendigen näheren Abklärungen anzuordnen.
Besteht demnach bei objektiver Betrachtung kein Anschein der Befangenheit, ist die Rüge der Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK unbegründet. Die Beschwerde ist in diesem Punkt abzuweisen.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin macht (Beschwerde S. 6 Ziff. 2.2) geltend, die Vorinstanz habe § 42 Abs. 1 Ziff. 1 des Gesetzes vom 3. Oktober 1940 des Kantons Zug über die Organisation der Gerichtsbehörden (GOG; BGS 161.1) willkürlich nicht angewandt und damit Art. 9 BV verletzt.
3.2 Gemäss § 42 Abs. 1 Ziff. 1 GOG kann ein Richter von den Parteien abgelehnt werden (...), wenn zwischen ihm und einer im Prozess beteiligten Person ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis, z.B. das eines Angestellten, Dienstboten etc. besteht.
In der Beschwerde an die Vorinstanz (S. 7 Ziff. 6) brachte die Beschwerdeführerin zur Begründung des Ausstandsbegehrens vor, falls die Mitglieder der Verwaltungskommission in der Sache entschieden, "würde die Garantie des verfassungsmässigen unabhängigen Richters gemäss Bundesverfassung und EMRK verletzt". Auf den Ausstandsgrund nach § 42 Abs. 1 Ziff. 1 GOG berief sie sich mit keinem Wort. Bei dieser Sachlage hat sie es sich selber zuzuschreiben und kann sie der Vorinstanz nichts vorwerfen, wenn sich diese nicht dazu geäussert hat. Das Prozessgebahren der Beschwerdeführerin ist insoweit widersprüchlich und verdient keinen Rechtsschutz.
4. Die Beschwerdeführerin rügt (Beschwerde S. 7 f. Ziff. 4) die Verletzung kantonaler verfassungsmässiger Rechte.
Darauf kann schon deshalb nicht eingetreten werden, weil die Beschwerdeführerin diese Rügen vor Vorinstanz nicht erhoben und sich diese im angefochtenen Beschluss daher nicht dazu geäussert hat. Letztinstanzlichkeit im Sinne von Art. 80 Abs. 1 BGG bedeutet, dass der kantonale Instanzenzug für Rügen, die dem Bundesgericht vorgetragen werden, ausgeschöpft sein muss (vgl. BGE 135 III 513 E. 4.3 S. 522; 134 III 524 E. 1.3 S. 527; Urteile 1B_130/2009 vom 15. Juli 2009 E. 2.3; 6B_32/2008 vom 13. Mai 2008 E. 3.2).
5. Die Beschwerde ist danach abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Kosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri