Sachverhalt:
A. Die IV-Stelle des Kantons Solothurn holte zur Abklärung des von K._ geltend gemachten Anspruchs auf Leistungen der Invalidenversicherung ein interdisziplinäres medizinisches Gutachten des Zentrums X._ vom 1. September 2009 ein. Die Experten, worunter der Psychiater Dr. med. W._, gelangten darin zum Ergebnis, es liege kein gesundheitliches Leiden vor, welches die Arbeitsfähigkeit beeinträchtige. Hierauf reichte K._ einen Bericht der Dienste Y._ vom 10. Dezember 2009 ein. Darin wird aufgrund verschiedener psychiatrischer Diagosen eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Die IV-Stelle legte diesen Bericht dem Zentrum X._ vor, welches am 16. Mai 2010 eine Nachbegutachtung durch Dr. med. W._ empfahl. Am 26. Mai 2010 bot die IV-Stelle K._ zu einer medizinischen Untersuchung durch Dr. med. W._ am Zentrum X._ auf. Nachdem der anwaltlich vertretene Versicherte hiegegen opponiert und Befangenheit des Psychiaters und des Zentrums X._ geltend gemacht hatte, hielt die IV-Stelle mit Verfügung vom 17. Juni 2010 am Aufgebot zur Nachbegutachtung fest.
B. Beschwerdeweise beantragte K._, die Verfügung vom 17. Juni 2010 sei aufzuheben und die IV-Stelle sei zu verpflichten, die erneute Begutachtung zufolge Befangenheit des Dr. med. W._ und des Zentrums X._ bei einer anderen Gutachterstelle und bei einem anderen psychiatrischen Experten durchzuführen. Während des Beschwerdeverfahrens unterzog sich der Versicherte, offenbar ohne Kenntnis seines Rechtsvertreters, am 29. Juni 2010 der angeordneten Nachbegutachtung. Am 31. August 2010 erstattete das Zentrum X._ (Dres. med. W._ und H._, Orthopädische Chirurgie) das entsprechende "interdisziplinäre medizinische Gutachten". Darin wurde nunmehr ebenfalls auf eine volle Arbeitsunfähigkeit aus psychiatrischer Sicht geschlossen. Das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn nahm dies zum Anlass, das Beschwerdeverfahren als gegenstandslos abzuschreiben. Zudem verpflichtete es die IV-Stelle, dem Versicherten aufgrund der mutmasslichen Prozessaussichten eine Parteientschädigung von Fr. 1987.- zu bezahlen (Entscheid vom 11. Januar 2011).
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben, soweit auf Zusprechung einer Parteientschädigung lautend, und es sei die IV-Stelle "für das Verfahren betreffend Ausstandsbegehren gegen Dr. med. W._ von jeglicher Kostentragungspflicht, insbesondere von der Pflicht zur Bezahlung einer Parteientschädigung, zu befreien".
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz können nur berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz die IV-Stelle zu Recht dazu verpflichtet hat, dem Versicherten für das gegenstandslos gewordene kantonale Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen.
Sollte die Beschwerdeführerin mit dem Begehren um Befreiung von jeglicher Kostenpflicht verlangen wollen, von der Pflicht zur Bezahlung von kantonalen Gerichtskosten entbunden zu werden, hat es mit der Feststellung sein Bewenden, dass die Vorinstanz keine solchen Kosten erhoben hat. Sollte die IV-Stelle damit auf die Kostenfolgen im vorliegenden Verfahren Bezug nehmen wollen, ist auf die abschliessende Erwägung im vorliegenden Urteil zu verweisen.
3. Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt.
Hervorzuheben ist, dass bei Gegenstandslosigkeit des kantonalen Beschwerdeverfahrens ein bundesrechtlich begründeter (Art. 61 lit. g ATSG) Entschädigungsanspruch der Beschwerde führenden Partei besteht, wenn es die Prozessaussichten rechtfertigen, wie sie sich vor Eintritt der Gegenstandslosigkeit darboten (SVR 2004 ALV Nr. 8 S. 21, C 56/03 E. 3.1; Urteil 8C_652/2009 vom 7. Juni 2010, E. 2.1; vgl. auch BGE 129 V 113 E. 3.1 S. 116 f.; SVR 2007 IV Nr. 2 S. 6, I 760/05 E. 2). Entscheidend ist demnach in erster Linie der mutmassliche Ausgang des Prozesses. Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen. Vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden (Urteil 8C_652/2009 E. 2.2 mit Hinweisen).
Richtig wiedergegeben ist auch die Rechtsprechung zu dem auf Art. 29 Abs. 1 BV abgestützten Anspruch auf einen unparteilichen und unbefangenen Sachverständigen. Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, das Ausstandsbegehren gegen Dr. med. W._ wäre bei materieller Beurteilung der Beschwerde mutmasslich gutgeheissen worden, wenn das neue Gutachten nicht schon vorher ergangen wäre. Denn Dr. med. W._ sei nicht nur mit der Beantwortung zusätzlicher Fragen, der Schliessung von Lücken oder einer Stellungnahme zum Verlauf seit der Erstbegutachtung betraut worden. Der Auftrag zur Nachbegutachtung mit erneuter Untersuchung des Versicherten sei vielmehr allgemein gehalten gewesen und habe keine speziellen Fragen enthalten, welche den Gegenstand der Expertise eingeschränkt hätten. Es sei somit eine umfassende Neubegutachtung geplant gewesen. Dabei sei es für Dr. med. W._ unumgänglich gewesen, sich mit der Schlüssigkeit seines eigenen Erstgutachtens zu befassen, zumal der Bericht Y._ vom 10. Dezember 2009 hinsichtlich Diagnose und Beurteilung der Arbeitsfähigkeit eine diametral entgegengesetzte Auffassung enthalten habe. Es sei mit anderen Worten um ein Obergutachten darüber gegangen, ob dem Gutachten des Zentrums X._ oder dem Bericht Y._ zu folgen sei. In einer solchen Situation habe aus damaliger Sicht, vor der Erstellung des neuen Gutachtens, der Anschein bestanden, dass Dr. med. W._ befangen sei. Dieser habe daher als Experte abgelehnt werden dürfen.
4.2 Die IV-Stelle wendet in tatbeständlicher Hinsicht ein, bei Dr. med. W._ sei entgegen dem angefochtenen Entscheid nicht ein umfassendes neues Gutachten, sondern lediglich eine ergänzende Stellungnahme aufgrund des Berichts Y._ vom 10. Dezember 2009 eingeholt worden. Gesichtspunkte, welche die entsprechende Beurteilung des kantonalen Gerichts als offensichtlich unrichtig oder sonst rechtswidrig im Sinne von Art. 95 BGG erscheinen liessen, werden aber weder dargetan noch sind sie sonstwie ersichtlich. Vielmehr stützen die Akten, namentlich die Inhalte der Korrespondenz zwischen der Verwaltung und dem Zentrum X._, die Erwägungen des kantonalen Gerichts.
Dessen rechtliche Würdigung dieses Sachverhalts trägt den Grundsätzen vollumfänglich Rechnung, welche die Rechtsprechung zum Anschein der Befangenheit infolge Vorbefasstheit des Experten und zum sich daraus ergebenden Ausstandsgrund erarbeitet hat (vgl. BGE 132 V 93 E. 7.1 S. 109 und E. 7.2.2 S. 110; SVR 2010 IV Nr. 36 S. 112, 9C_893/2009 E. 1.1 und 1.2; 2009 IV Nr. 16 S. 41, 8C_89/2007 E. 6.2; Urteil 9C_273/2009 vom 14. September 2009 E. 3.4). Dass Dr. med. W._ sich im neuen Gutachten der im Bericht Y._ vertretenen Auffassung anschloss, ändert hieran nichts.
5. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
6. Die Gerichtskosten werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG), im vorliegenden Fall demnach der Beschwerdeführerin. Diese hat sinngemäss beantragt, von Kosten befreit zu werden (E. 2 hievor). Sie begründet aber nicht, weshalb von der genannten gesetzlichen Regel abgewichen werden soll, womit es diesbezüglich sein Bewenden hat.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 600.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. April 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz