Sachverhalt:
A. Der 1967 geborene K._ arbeitete seit 1. Mai 2005 als Oberkellner bei der Firma R._ AG (nachfolgend Arbeitgeberin). Vom 22. bis 24. November 2007 war er im Spital X._ hospitalisiert, wo er wegen Scaphoidpseudarthrose am linken Handgelenk operiert wurde. Danach war er zu 100 % arbeitsunfähig. Mit Schreiben vom 18. April 2008 kündigte die Arbeitgeberin den Arbeitsvertrag auf den 30. Juni 2008. Am 14. Mai 2008 meldete sich der Versicherte zum Bezug von Arbeitslosenentschädigung ab 1. September 2008 an. Mit Verfügung vom 8. Oktober 2008 stellte ihn die Arbeitslosenkasse Graubünden ab 1. Juli 2008 für 21 Tage wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit in der Anspruchsberechtigung ein. Die dagegen erhobene Einsprache wies das Amt für Industrie, Gewerbe und Arbeit Graubünden (KIGA) mit Entscheid vom 17. Dezember 2008 ab.
B. Die hiegegen eingereichte Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden gut und reduzierte die Einstellung in der Anspruchsberechtigung auf 12 Tage (Entscheid vom 24. April 2009).
C. Mit Beschwerde beantragt der Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei von der Einstellung in der Anspruchsberechtigung abzusehen; eventuell sei die Sache für weitere Abklärungen und zur neuerlichen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das KIGA und das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichten auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254; Urteil 8C_806/2008 vom 5. Januar 2009 E. 1.1). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dies ist auf Grund der Vorbringen in der Beschwerde zu prüfen (nicht. publ. E. 1 des Urteils BGE 8C_763/2008 vom 19. Juni 2009).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Arbeitslosigkeit des Versicherten durch Eigenverschulden gemäss Art. 30 Abs. 1 lit. a AVIG und Art. 44 Abs. 1 lit. a AVIV eingetreten ist und er zu Recht in der Anspruchsberechtigung eingestellt wurde. Die Vorinstanz hat diese Bestimmungen zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Als Rechtsfrage gelten die gesetzlichen und praxisgemässen Regeln über die Einstellung in der Anspruchsberechtigung (Art. 30 AVIG). Zu prüfen ist insbesondere falsche Rechtsanwendung. Feststellungen über innere oder psychische Tatsachen, wie beispielsweise was jemand wollte oder wusste, sind Tatfragen (BGE 130 IV 58 E. 8.5 S. 62; nicht publ. E. 3.1 f. des Urteils BGE 133 V 640; Urteil 8C_958/2008 vom 30. April 2009 E. 3). Die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 43 Abs. 1 bzw. Art. 61 lit. c ATSG ist Rechtsfrage. Die konkrete Beweiswürdigung stellt eine Tatfrage dar (BGE 132 V 393 E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil 8C_979/2008 vom 1. Juli 2009 E. 3).
3.2 Ein Selbstverschulden im Sinne der Arbeitslosenversicherung liegt vor, wenn und soweit der Eintritt der Arbeitslosigkeit nicht objektiven Faktoren zuzuschreiben ist, sondern in einem nach den persönlichen Umständen und Verhältnissen vermeidbaren Verhalten der versicherten Person liegt, für das die Arbeitslosenversicherung die Haftung nicht übernimmt. Die Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen selbstverschuldeter Arbeitslosigkeit gemäss Art. 44 Abs. 1 lit. a AVIV setzt keine Auflösung des Arbeitsverhältnisses aus wichtigen Gründen gemäss Art. 337 bzw. Art. 346 Abs. 2 OR voraus. Es genügt, dass das allgemeine Verhalten der versicherten Person Anlass zur Kündigung bzw. Entlassung gegeben hat; Beanstandungen in beruflicher Hinsicht müssen nicht vorgelegen haben. Das Verhalten der versicherten Person muss jedoch beweismässig klar feststehen (BGE 112 V 242 E. 1 S. 244 f.; ARV 1999 Nr. 8 S. 30 E. 7b). Das vorwerfbare Verhalten muss zudem nach Art. 20 lit. b des Übereinkommens Nr. 168 der Internationalen Arbeitsorganisation (IAO) über Beschäftigungsförderung und den Schutz gegen Arbeitslosigkeit vom 21. Juni 1988 (SR 0.822.726.8) vorsätzlich erfolgt sein, wobei Eventualvorsatz genügt (BGE 124 V 234 E. 3a und b S. 236; ARV 2003 Nr. 26 S. 248 E. 1 und 3.2 [C 230/01]; Urteil 8C_842/2008 vom 3. Februar 2009 E. 3.2). Eventualvorsatz liegt vor, wenn die versicherte Person vorhersehen kann oder damit rechnen muss, dass ihr Verhalten zu einer Kündigung durch den Arbeitgeber führt, und sie dies in Kauf nimmt (Urteil 8C_773/2007 vom 9. Januar 2008 E. 2.2).
4. Nach Art. 321a Abs. 1 OR hat der Arbeitnehmer die ihm übertragene Arbeit sorgfältig auszuführen und die berechtigten Interessen des Arbeitgebers in guten Treuen zu wahren. Ganz allgemein werden Verletzungen der Treuepflicht angenommen bei falschen oder stark verspäteten Meldungen von wichtigen Ereignissen, wozu die Erkrankung des Arbeitnehmers gehört (Ullin Streiff/Adrian von Kaenel, Arbeitsvertrag, 6. Aufl. 2006, Art. 321a OR S. 135). Der Beweis für die Arbeitsverhinderung durch Krankheit oder Unfall obliegt dem Arbeitnehmer (Urteil 4P.102/1995 vom 12. Dezember 1995, publ. in: JAR 1997 S. 132). Die Pflicht zur Einreichung eines Arztzeugnisses ist eine zulässige arbeitsvertragliche Abrede, wobei es sich um eine Ordnungsvorschrift handelt (Urteil C 205/01 vom 4. Oktober 2001 E. 2a mit Hinweisen; STREIFF/VON KAENEL, a.a.O., Art. 324a/b OR N 12; JACQUELINE CHOPARD, Einstellung in der Anspruchsberechtigung, 1998, S. 109).
5. 5.1 Laut den Akten war der Versicherte vom 22. bis 24. November 2007 im Spital X._ hospitalisiert, wo er am rechten Handgelenk operiert wurde. Danach war er zu 100 % arbeitsunfähig. Mit Schreiben vom 18. April 2008 kündigte die Arbeitgeberin seinen Arbeitsvertrag auf den 30. Juni 2008. Mit Eingabe an die Arbeitslosenkasse vom 7. Juli 2008 gab sie als Kündigungsgrund an, der Versicherte habe sie während der Rekonvaleszenz nur ungenügend bis gar nicht über seine Arbeitsunfähigkeit informiert und sei mindestens zweimal für längere Zeit nach Y._ gereist, ohne sie zu informieren.
5.2 Die Vorinstanz hat erwogen, eine Pflicht zur persönlichen Übergabe von Arztzeugnissen bestehe nicht; sie müssten der Arbeitgeberin lediglich rechtzeitig eingereicht werden. Der Versicherte sei seiner aus der arbeitsrechtlichen Treuepflicht folgenden Informationspflicht von Anfang an klar unzureichend nachgekommen. Es gehe nicht an, dass ein Arbeitnehmer, der über ein Arztzeugnis mit Bescheinigung einer Arbeitsunfähigkeit von 3 bis 4 Monaten verfüge, der Arbeitgeberin während der gesamten voraussichtlichen Dauer der Arbeitsunfähigkeit keine Informationen über den Heilungsverlauf zukommen lasse. Weder der behandelnde Arzt noch der Versicherte hätten bei Behandlungsbeginn wissen können, wie lange die Arbeitsunfähigkeit schlussendlich dauern würde. Es wäre durchaus vorstellbar gewesen, dass die Genesung auch weniger lang hätte dauern können und er früher zumindest teilweise arbeitsfähig gewesen wäre. Erst recht im vorliegenden Fall, wo die Dauer der Genesung bzw. der Arbeitsunfähigkeit nicht konkret absehbar sei, sei die Arbeitgeberin umso mehr darauf angewiesen, vom Arbeitnehmer über den Heilungsverlauf auf dem Laufenden gehalten zu werden. Zudem wäre es dem Versicherten auch in Anbetracht seines Gesundheitszustandes ohne weiteres zumutbar gewesen, die Arbeitgeberin zumindest telefonisch zu Beginn des Jahres 2008 über den Gesundheitszustand in Kenntnis zu setzen. Entschuldbare Gründe seien nicht ersichtlich und würden auch nicht geltend gemacht. Die Einstellung in der Anspruchsberechtigung wegen Fehlverhaltens gegenüber der Arbeitgeberin sei daher rechtens.
6. Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer der Arbeitgeberin das erste Arztzeugnis, welches ihm eine ab 22. November 2007 während zirka 3 bis 4 Monaten dauernde Arbeitsunfähigkeit bescheinigte, rechtzeitig übergab. Damit erfüllte er die in Art. 5.1 des Nachtrags zu seinem Einzelarbeitsvertrag statuierte Pflicht, der Arbeitgeberin bei länger als 3 Tage dauernden Arbeitsverhinderungen ein ärztliches Zeugnis vorzulegen. Gemäss Art. 5.2 dieses Nachtrags war die Arbeitgeberin zudem berechtigt, auf ihre Kosten eine Untersuchung des Versicherten bei einem Vertrauensarzt anzuordnen, wobei das Nichtbefolgen des Aufgebotes zum Vertrauensarzt als Arbeitsverweigerung galt; von diesem Recht machte sie keinen Gebrauch. Anfang Februar 2008 reiste der Versicherte für vier Tage nach Kroatien. Am 6. Februar 2008 versuchte ihn die Arbeitgeberin vergeblich telefonisch zu erreichen. Mit Schreiben vom 19. Februar 2008 forderte sie ihn auf, am 22. Februar 2008 im Büro zu erscheinen. Dieser Aufforderung kam der Versicherte nach und übergab ihr ein Arztzeugnis, worin ihm eine Arbeitsunfähigkeit bis 21. März 2008 bescheinigt wurde. Später schickte er der Arbeitgeberin zwei weitere Artzeugnisse mit Gültigkeit bis 30. April 2008; unbestritten ist denn auch, dass seine 100%ige Arbeitsunfähigkeit im Kündigungszeitpunkt am 18. April 2008 andauerte. Eine weitergehende vertragliche oder gesetzliche Informationspflicht des Versicherten betreffend seinen Gesundheitszustand bzw. Heilungsverlauf kann in casu nicht angenommen werden. Die Vorinstanz räumt denn auch ein, die Arbeitgeberin hätte mit klaren Anweisungen die Meldepflicht während der Krankheit regeln können. Insbesondere kann nicht gesagt werden, der Versicherte hätte der Arbeitgeberin nach Ablauf von drei Monaten seit 22. November 2007 (Mindestdauer der anfangs bescheinigten Arbeitsunfähigkeit) von sich aus kein Arztzeugnis eingereicht; denn diese ist ihm mit dem obigen Schreiben vom 19. Februar 2008 zuvorgekommen.
Weiter ist anzufügen, dass dem Versicherten weder im streitigen Einspracheentscheid noch im angefochtenen Entscheid eine mangelnde Information an die Arbeitgeberin über seine Reisen nach Y._ vorgeworfen wird, zumal der zweite Auslandaufenthalt gemäss den Ausführungen des Versicherten und des KIGA erst nach der Kündigung des Arbeitsvertrags erfolgte. Dies ist unter den gegebenen Umständen nicht offensichtlich unrichtig (vgl. E. 1 hievor), weshalb es damit sein Bewenden hat.
Insgesamt kann nicht gesagt werden, der Beschwerdeführer habe eine Informationspflicht verletzt und damit zumindest eventualvorsätzlich eine Kündigung seitens der Arbeitgeberin in Kauf genommen (vgl. E. 3.2 hievor in fine). Demnach erfolgte die Einstellung in der Anspruchsberechtigung zu Unrecht.
7. Das Verfahren ist grundsätzlich kostenpflichtig. Das unterliegende KIGA ist jedoch von Gerichtskosten befreit (Art. 66 Abs. 4 BGG; BGE 133 V 640; Urteil 8C_958/2008 vom 30. April 2009 E. 5). Es hat dem Versicherten aber eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 24. April 2009 und der Einspracheentscheid des Amtes für Industrie, Gewerbe und Arbeit Graubünden vom 17. Dezember 2008 werden aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. August 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar