Faits:
A.
A.a. A._ (1975) fait l'objet d'une mesure de tutelle, respectivement de curatelle de portée générale, depuis 2009. Elle a été hospitalisée à plusieurs reprises à la Clinique psychiatrique de Belle-Idée en raison de décompensations psychotiques. Elle refuse de collaborer avec les services sociaux, les représentants légaux et le corps médical, et ne bénéficie d'aucun suivi médical approprié ni de traitement de pharmacothérapie.
Le 3 avril 2013, les curatrices de l'intéressée ont requis du Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant du canton de Genève (TPAE) un placement à des fins d'assistance. Dans la requête, il est indiqué que A._ manifestait la conviction d'être victime d'atteintes à son intégrité psychique et corporelle, dont elle rendait responsables la plupart des médecins et intervenants sociaux et juridiques appelés à s'occuper de sa situation. Elle se plaignait également du fait que son logement était infecté de punaises et d'insectes agressifs. Sur insistance de l'intéressée, les curatrices avaient fait procéder à la désinfection totale de l'appartement par une entreprise spécialisée, sans qu'elle ne se sente rassurée. Dans ce contexte, l'intéressée a été hospitalisée le 22 mars 2013 sur décision de la Dresse B._, en raison d'un trouble délirant persistant avec délires de persécution hypocondriaques, d'irritabilité, d'impulsivité et d'agressivité.
Depuis le début de son hospitalisation, l'intéressée a refusé tout traitement. Elle a fugué le 8 avril 2013 pour se présenter à la Clinique de dermatologie afin d'obtenir des traitements pesticides pour pouvoir désinfecter sa chambre. Face au refus des soignants, elle s'est montrée agressive et menaçante. Un traitement sans consentement et un programme en chambre fermée ont été prescrits le lendemain.
Le 17 avril 2013, le TPAE a déclaré irrecevable, pour cause de tardiveté, le recours formé par l'intéressée contre la décision d'hospitalisation non volontaire; le recours dirigé contre la décision de traitement sans consentement a été rejeté.
A.b. Le 30 avril 2013, le Dr C._ a ordonné la sortie de clinique de l'intéressée, le délire de celle-ci ayant diminué grâce aux médicaments, même s'il restait persistant.
A.c. Par courrier du 4 juin 2013, les curatrices de A._ ont de nouveau requis qu'elle soit placée à des fins d'assistance, au motif que son état s'était progressivement péjoré depuis sa sortie de la clinique. Les curatrices estimaient urgent qu'elle soit hospitalisée afin de la protéger contre elle-même et d'éviter tout passage à l'acte hétéro-agressif.
Par décision du 18 juin 2013, le TPAE a désigné Me D._ en qualité de curateur d'office de l'intéressée en application de l'art. 449a CC. Le 5 août 2013 (recte: par ordonnance du 12 août 2013), une expertise psychiatrique a été mise en oeuvre. Le rapport d'expertise a été établi le 13 septembre 2013 par la Dresse E._.
B.
B.a. Par ordonnance du 27 septembre 2013, le TPAE a ordonné le placement à des fins d'assistance de A._ auprès de la Clinique de Belle-Idée.
B.b. Par acte déposé le 7 octobre 2013, l'intéressée a recouru contre cette décision auprès de la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Chambre de surveillance). Elle a été auditionnée lors de l'audience du 10 octobre 2013. Également entendue, une représentante du Service de protection de l'adulte a exposé que l'intéressée irait mieux si elle se faisait soigner en clinique. Quant à la Dresse E._, elle a, en substance, confirmé la teneur de son rapport du 13 septembre 2013, indiquant notamment que l'intéressée représentait un danger pour elle-même et pour autrui.
La Chambre de surveillance a rejeté le recours par décision du 15 octobre 2013.
C.
Par mémoire daté (de manière manifestement erronée) du 14 octobre 2013, remis à la Poste suisse le 15 novembre 2013, A._ exerce un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral contre cette décision. Elle conclut, en substance, à la levée de la mesure de placement, à la levée de la curatelle de portée générale, à un changement de " tutrices ", à ce qu'une contre-expertise soit ordonnée, à ce que des personnes soient entendues et à la suspension de la procédure jusqu'à droit connu sur le sort de procédures pénales en cours. Elle requiert également l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale, ainsi que la nomination d'un curateur de représentation pour la procédure et d'un avocat d'office.
Invité à se déterminer, le TPAE a renoncé à formuler des observations. Pour sa part, l'autorité précédente a indiqué que le 18 novembre 2013, la recourante avait sollicité la levée de la mesure de placement, et que cette requête a été rejetée par ordonnance du TPAE du 29 novembre 2013, contre laquelle l'intéressée a formé recours. Par décision du 19 décembre 2013, le recours a été rejeté. La Chambre de surveillance a joint une copie de cette décision à ses déterminations; pour le surplus, elle s'est référée aux considérants de son arrêt.
Considérant en droit:
1.
1.1. Le recours a pour objet une décision finale (art. 90 LTF; arrêt 5A_857/2010 du 12 janvier 2011 consid. 1.1), rendue par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 LTF), confirmant un placement à des fins d'assistance, c'est-à-dire une décision sujette au recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF). Il a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme prévue par la loi (art. 42 al. 1 LTF). Au surplus, la recourante a pris part à la procédure devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 let. a LTF) et été déboutée en dernière instance cantonale (art. 76 al. 1 et 75 al. 1 LTF). Le recours en matière civile est en principe recevable sous l'angle de ces dispositions. Partant, le recours constitutionnel subsidiaire est d'emblée irrecevable (art. 113 LTF).
1.2. La recourante requiert une prolongation du délai pour recourir contre la décision entreprise; celle-ci ne lui aurait pas été notifiée personnellement, mais seulement par l'intermédiaire de son avocat, qui ne la lui aurait transmise que le 29 octobre 2013, à savoir 14 jours après qu'elle ait été rendue.
Pour autant qu'elle entende, par son argumentation, démontrer que la notification de la décision a été effectuée le 29 octobre 2013seulement, elle perd de vue que la notification en mains du représentant est valable (art. 137 CPC applicable par renvoi des art. 450f CC et 31 al. 1 let. d de la loi genevoise d'application du code civil suisse et d'autres lois fédérales en matière civile du 11 octobre 2012 [LaCC; RS-GE E 1 05]). Au demeurant, la recourante oublie que le délai de recours de l'art. 100 al. 1 LTF, comme tous les délais fixés par la loi, ne peut être prolongé (art. 47 al. 1 LTF). Autant qu'elle réclamerait une restitution de délai au sens de l'art. 50 LTF, le grief est sans objet, dès lors qu'elle a déposé le présent recours dans le respect du délai (cf. supra consid. 1.1).
1.3. La recourante demande que la mesure de curatelle de portée générale dont elle fait l'objet soit levée, et souhaite un changement de " tutrices "; l'autorité de protection de l'adulte aurait commis un déni de justice formel en omettant de statuer sur la requête qu'elle aurait formulée en ce sens. Invoquant une violation des art. 16 et 18 de la Constitution genevoise (Cst.-GE), elle requiert également que son obligation de prendre des médicaments psychotropes soit supprimée. Par ailleurs, elle expose ne pas vouloir vivre dans un foyer dans lequel ses " tutrices " voudraient l'envoyer. Invoquant l'art. 24 Cst.-GE, elle estime avoir droit à un soutien financier pour pouvoir entreprendre une formation, et demande enfin au Parlement de modifier certaines lois.
Ce faisant, elle perd de vue que toutes ces questions ne sauraient être examinées dans le cadre du présent recours, dès lors que la décision entreprise se limite à confirmer son placement à des fins d'assistance auprès de la Clinique de Belle-Idée, tout transfert ou sortie de cet établissement étant soumis à l'autorisation du Tribunal de protection de l'adulte.
2.
La recourante demande qu'un avocat d'office lui soit désigné en application de l'art. 41 LTF au motif que, privée de l'exercice des droits civils, elle ne pourrait pas mandater un avocat sans l'assentiment de ses " tutrices ". Elle requiert également la nomination d'un curateur de représentation pour la procédure.
2.1. L'art. 41 al. 1 LTF dispose que si une partie est manifestement incapable de procéder elle-même, le Tribunal fédéral peut l'inviter à commettre un mandataire. Si elle ne donne pas suite à cette invitation dans le délai imparti, il lui attribue un avocat.
2.2. En l'occurrence, la recourante a déposé elle-même un mémoire de recours qui respecte le délai et la forme prévus par la loi (cf. supra consid. 1.1), de sorte qu'il n'apparaît pas qu'elle fût dans l'incapacité de procéder. En outre, il ressort des faits de la cause qu'en application de l'art. 449a CC, un curateur de représentation a précisément été nommé, le 18 juin 2013, pour la procédure en cours, et qu'il s'agit d'un avocat. Or la recourante ne démontre pas qu'il aurait été relevé de sa mission, de sorte que le grief doit être rejeté.
3.
3.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 138 III 193 consid. 2.3 p. 195; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). En outre, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si de tels griefs ont été invoqués et motivés par le recourant ( "principe d'allégation ", art. 106 al. 2 LTF; ATF 137 II 305 consid. 3.3 p. 310 s.; 134 I 83 consid. 3.2 p. 88), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée (ATF 135 III 232 consid. 1.2 p. 234; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254).
3.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influencer le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), à savoir que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 134 IV 36 consid. 1.4.1 p. 39; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (art. 106 al. 2 LTF; «principe d'allégation»). Le recourant ne saurait se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de la juridiction cantonale. Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 III 585 consid. 4.1 p. 588 s.; 130 I 258 consid. 1.3 p. 261 s.).
3.3. La recourante produit de nouvelles pièces, notamment la copie d'une attestation du Dr F._, médecin généraliste, datée du 7 octobre 2013. Elle requiert en outre diverses mesures d'instruction, à savoir: la mise en oeuvre d'une contre-expertise médicale, au motif que le rapport de la Dresse E._ serait incomplet et que ses autres médecins n'ont pas été contactés; l'audition de la Dresse G._, qui pourrait attester du fait qu'elle a bénéficié d'un suivi psychiatrique, et du Dr H._ sur la question de la méthode permettant de soigner une candidose; la production d'un certain nombre de documents (factures de la Dresse G._) qui se trouvent en mains de ses tutrices.
Or, à moins de résulter de la décision précédente - ce qui n'est pas le cas en l'espèce -, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peuvent être présentés devant le Tribunal fédéral, de sorte que ces nouveaux éléments sont d'emblée irrecevables (art. 99 al. 1 LTF; ATF 135 I 221 consid. 5.2.4 p. 229; 133 IV 342 consid. 2.1 p. 343 s.). Dans la mesure où, en formulant des réquisitions de preuve, la recourante entend par ailleurs critiquer l'établissement des faits, ses arguments seront examinés sous cet angle (cf. infra consid. 5).
3.4. La recourante requiert la suspension de la présente procédure jusqu'à droit connu sur le sort de diverses plaintes pénales qu'elle a déposées. Il n'apparaît toutefois pas opportun de suspendre cette procédure (art. 6 al. 1 PCF par renvoi de l'art. 71 LTF), les procédures pénales dont il est question étant indépendantes de la présente cause et n'ayant aucune influence sur l'issue de celle-ci.
4.
La recourante expose que les propos qu'elle a tenus à l'audience n'auraient pas été retranscrits intégralement dans le procès-verbal. Ce faisant, elle critique l'application de l'art. 36 LaCC, applicable en vertu de l'art. 31 al. 1 let. b LaCC.
4.1. En vertu de l'art. 36 LaCC, les dépositions sont résumées au procès-verbal de l'audience dans ce qu'elles ont d'utile à retenir. Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur une question relevant du droit cantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
4.2. En tant qu'elle expose que l'entier de ses déclarations n'aurait pas été mentionné au procès-verbal, la recourante oublie que l'autorité n'inscrit au procès-verbal qu'un résumé de celles-ci (cf. supra consid. 4.1). Au demeurant, elle ne prétend pas ni ne démontre qu'un élément utile aurait été omis, de sorte que son argumentation ne satisfait pas au principe d'allégation et, partant, est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF).
5.
La recourante soutient que l'autorité cantonale a constaté les faits et apprécié les preuves de manière arbitraire (art. 9 Cst.). En substance, elle expose qu'elle ne souffrirait pas d'un trouble psychotique suffisamment grave pour qu'un placement soit nécessaire. Elle mènerait par ailleurs une vie sociale normale, et n'aurait concrètement mis en danger personne. Quant à la présence d'insectes dans son logement, il ne s'agirait pas d'un délire. La recourante soutient enfin qu'en réalité, elle bénéficiait d'un suivi psychiatrique.
Force est de constater qu'en l'espèce, par son argumentation, la recourante n'explicite pas son reproche en exposant en quoi les éléments de fait auraient été constatés de manière insoutenable (cf. supra consid. 3.2). Elle se limite en effet à présenter, de manière appellatoire, les rectifications qu'elle souhaite apporter à l'état de fait. Le grief ne répond donc pas à l'exigence minimale de motivation (" principe d'allégation ", art. 106 al. 2 LTF, cf. supra consid. 3.1). S'agissant d'ailleurs en particulier de la question de son suivi psychiatrique, l'arrêt attaqué ne retient pas qu'il aurait été inexistant, mais qu'il n'était pas approprié et que le traitement dont elle a besoin ne peut être fourni que par un placement à des fins d'assistance. Au demeurant, nombre de faits qu'elle expose ne sont pas déterminants pour l'issue du litige.
6.
La recourante fait valoir que la mesure de placement à des fins d'assistance doit être levée au profit d'un suivi ambulatoire, partant que la décision prise serait disproportionnée. Elle expose que la psychiatrie ne permettrait pas de traiter ses problèmes de santé, qui ne constitueraient pas des troubles psychotiques graves, mais seulement des " troubles passagers psychoasthéniques ". Selon elle, le critère de l'urgence ne serait pas réalisé puisqu'en réalité, elle n'aurait proféré aucune menace envers des tiers.
6.1. Dans son appréciation, la Chambre de surveillance prend essentiellement en considération le rapport d'expertise établi le 13 septembre 2013 par la Dresse E._. Celle-ci expose que la recourante souffre d'un trouble délirant persistant, soit d'un trouble psychique, dont les conséquences se manifestent sur le plan administratif par des dépenses médicales et juridiques dépassant son budget et incontrôlables. Elle peut également se montrer agressive. En outre, le problème qu'elle connaît avec les insectes invisibles qui envahissent son appartement illustre aussi son trouble. Sur le plan médical, l'experte constate que la recourante nécessite impérativement une prise en charge psychiatrique et un traitement neuroleptique à long terme; le traitement dont elle a besoin ne peut être fourni que par un placement à des fins d'assistance, la Clinique psychiatrique de Belle-Idée étant un établissement approprié. En outre, dès lors que la recourante serait complètement anosognosique par rapport à son délire, il est compréhensible qu'elle considère ne pas avoir besoin d'aide, ce qui s'avère pourtant le cas. Sur la base de ces constatations, la cour cantonale a retenu qu'un placement à des fins d'assistance était nécessaire; elle a rappelé que l'état de la recourante s'était amélioré lors de son hospitalisation au printemps 2013, grâce aux traitements médicamenteux. Enfin, elle a précisé qu'en cas d'amélioration de son état de santé, la situation pourrait être réexaminée.
6.2.
6.2.1. Aux termes de l'art. 426 CC, une personne peut être placée dans une institution appropriée lorsque, en raison de troubles psychiques, d'une déficience mentale ou d'un grave état d'abandon, l'assistance ou le traitement nécessaires ne peuvent lui être fournis d'une autre manière (al. 1). La personne concernée est libérée dès que les conditions du placement ne sont plus remplies (al. 3). La personne concernée ou l'un de ses proches peut demander sa libération en tout temps. La décision doit être prise sans délai (al. 4).
6.2.2. En cas de troubles psychiques, la décision de placement à des fins d'assistance doit être prise sur la base d'un rapport d'expertise (art. 450e al. 3 CC). Dans son rapport, l'expert doit se prononcer sur l'état de santé de l'intéressé. Il doit également indiquer en quoi les éventuels troubles psychiques risquent de mettre en danger la vie de la personne concernée ou son intégrité personnelle, respectivement celles d'autrui, et si cela entraîne chez lui la nécessité d'être assisté ou de prendre un traitement (ATF 137 III 289 consid. 4.5 p. 292 s.; arrêt 5A_469/2013 du 17 juillet 2013 consid. 2.4). Dans l'affirmative, il incombe à l'expert de préciser quels seraient les risques concrets pour la vie ou la santé de cette personne, respectivement pour les tiers, si la prise en charge préconisée n'était pas mise en oeuvre (à propos de la notion de danger concret: arrêts 5A_288/2011 du 19 mai 2011 consid. 5.3; 5A_312/2007 du 10 juillet 2007 consid. 2.3; cf. également infra consid. 6.2.3). Il doit encore indiquer si, en vertu du besoin de protection de l'intéressé, un internement ou une rétention dans un établissement est indispensable, ou si l'assistance ou le traitement nécessaires pourraient lui être fournis de manière ambulatoire. Le rapport d'expertise précisera également si la personne concernée paraît, de manière crédible, prendre conscience de sa maladie et de la nécessité d'un traitement. Enfin, l'expert doit indiquer s'il existe un établissement approprié et, le cas échéant, pourquoi l'établissement proposé entre effectivement en ligne de compte (ATF 137 III 289 consid. 4.5 p. 292 s.; à propos de la notion d'institution " appropriée ": ATF 112 II 486 consid. 4c p. 490; 114 II 213 consid. 7 p. 218 s.).
Lorsque l'expertise sur laquelle l'autorité s'est fondée pour prononcer le placement apparaît incomplète, le Tribunal fédéral renvoie le dossier pour complément d'instruction (arrêts 5A_469/2013 du 17 juillet 2013 consid. 2.3 in fine; 5A_879/2012 du 12 décembre 2012 consid. 4).
6.2.3. Les décisions qui peuvent faire l'objet d'un recours devant le Tribunal fédéral doivent contenir les motifs déterminants de fait et de droit (art. 112 al. 1 let. b LTF). S'agissant d'une décision de placement à des fins d'assistance, cela implique que l'arrêt entrepris expose tout d'abord sur la base de quels éléments de fait le tribunal a retenu l'existence d'un état de faiblesse (" Schwächezustand ") au sens de l'art. 426 al. 1 CC, à savoir un trouble psychique, une déficience mentale ou un grave état d'abandon (arrêt 5A_189/2013 du 11 avril 2013 consid. 2.3).
La décision de l'autorité doit en outre indiquer, en fait, quel danger concret, dûment établi par expertise, pour la vie ou la santé de l'intéressé subsisterait, dans le cas d'espèce, si le traitement ou l'assistance n'était pas mis en oeuvre (arrêts 5A_189/2013 du 11 avril 2013 consid. 2.3; 5A_288/2011 du 19 mai 2011 consid. 5.3; 5A_312/2007 du 10 juillet 2007 consid. 2.3), l'existence d'un risque purement financier n'étant a priori pas suffisant. Le risque de danger pour les tiers peut également être pris en compte (art. 426 al. 2 CC). Ensuite, l'autorité doit déterminer sur la base de ces faits si, d'un point de vue juridique, une assistance ou un traitement est " nécessaire " au sens de l'art. 426 al. 1 CC, et pourquoi tel serait le cas.
Lorsqu'elle arrive à la conclusion que le traitement, respectivement l'assistance, est nécessaire, l'autorité doit exposer les faits sur la base desquels elle considère que le placement (ou le maintien en institution) est conforme au principe de la proportionnalité, c'est-à-dire pour quels motifs une assistance ou un traitement ambulatoire n'est pas envisageable (par exemple, parce qu'il est impossible de faire administrer le traitement par des proches de l'intéressé, ou parce que l'intéressé n'a pas conscience de sa maladie et de son besoin de traitement; arrêt 5A_189/2013 du 11 avril 2013 consid. 2.3).
Enfin, l'autorité doit expliquer pour quelles raisons elle considère l'institution proposée comme " appropriée " (geeignet; idoneo), question qui relève également du droit (arrêt 5A_189/2013 du 11 avril 2013 consid. 2.3).
6.3. En l'espèce, la liste des questions qui ont été posées à l'expert n'est pas conforme à la jurisprudence. En particulier, la question du danger concret qui existerait pour la recourante ou pour des tiers si le placement n'était pas mis en oeuvre n'a pas été posée. Ni l'arrêt entrepris, ni l'expertise psychiatrique ne se prononcent sur cette question. Ils se contentent de mentionner, de manière toute générale, que l'intéressée représente un risque pour elle-même, sans préciser de quel risque il s'agit, ce qui est insuffisant (cf. supra consid. 6.2.2 et 6.2.3). En particulier, alors qu'il est précisé dans l'arrêt entrepris que "la recourante nécessite impérativement une prise en charge psychiatrique et un traitement neuroleptique à long terme ", on ne sait pas à quel danger concret pour sa vie ou pour sa santé elle serait exposée en l'absence d'un tel suivi, étant précisé que les conséquences mentionnées de son trouble, à savoir des dépenses médicales et juridiques dépassant son budget et incontrôlables, ne sont en l'occurrence pas pertinentes s'agissant d'un placement à des fins d'assistance (cf. supra consid. 6.2.3). En définitive, l'autorité cantonale ne pouvait pas confirmer la décision de placement sans requérir un complément d'expertise sur cette question.
Pour ces motifs, la décision entreprise doit être annulée et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour complément d'instruction. Un délai de 30 jours est imparti à l'autorité précédente pour compléter les faits et rendre une nouvelle décision. Dans l'hypothèse où l'autorité n'aurait pas statué dans ce délai, la décision de placement à des fins d'assistance du 27 septembre 2013 sera caduque.
7.
Sur le vu de ce qui précède, le grief de violation du droit d'être entendu en relation avec le refus de la Cour cantonale de donner suite à sa requête de contre-expertise, que la recourante soulève également, est sans objet.
8.
Pour ces motifs, le recours doit être partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, la décision attaquée annulée à cet égard et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour instruction et nouvelle décision au sens des considérants. Compte tenu des circonstances, le présent arrêt est rendu sans frais (art. 66 al. 1 2e phr. LTF), de sorte que la requête d'assistance judiciaire devient sans objet. Il n'y a pas lieu d'allouer une indemnité de dépens à l'autorité intimée (art. 68 al. 1 à 3 LTF), ni à la recourante, qui n'est pas représentée en procédure par un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF; ATF 133 III 439 consid. 4 p. 446).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à la cour cantonale pour instruction et nouvelle décision au sens des considérants. Un délai de 30 jours à compter de la notification du présent arrêt est imparti à l'autorité cantonale pour rendre une nouvelle décision, faute de quoi la décision de placement à des fins d'assistance du 27 septembre 2013 sera caduque.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est sans objet.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante, au Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant de Genève et à la Chambre de surveillance de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 17 janvier 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Bonvin