Sachverhalt:
A. Der aus dem Kosovo stammende X._, geb. 1964, lebte seit 1985 mit einer Saisonnierbewilligung und seit 1992 mit einer Aufenthaltsbewilligung in der Schweiz. Nachdem die Bewilligung nicht mehr verlängert und ein Asylgesuch von X._ abgelehnt worden waren, wurden er und seine Familienangehörigen am 13. September 2001 vorläufig aufgenommen. Am 11. Dezember 2003 verurteilte das Kreisgericht IV Aarwangen-Wangen X._ unter anderem wegen vorsätzlicher Tötung und der versuchten vorsätzlichen Tötung zu sieben Jahren Zuchthaus und zehn Jahren Landesverweisung. Das Obergericht des Kantons Bern bestätigte dieses Urteil am 11. November 2004. Am 9. September 2003 hob das Bundesamt für Migration die vorläufige Aufnahme auf. Am 21. April 2008 erhielten die Ehefrau von X._ und seine Kinder das Schweizer Bürgerrecht. Nachdem auf ein im Hinblick auf die Entlassung aus dem Strafvollzug eingereichtes Begehren um Erteilung der Aufenthaltsbewilligung an X._ nicht eingetreten worden war, stellte dieser am 9. Oktober 2008 ein Asylgesuch. Am 12. Oktober 2008 wurde X._ bedingt aus dem Strafvollzug entlassen und gleichentags in Vorbereitungshaft genommen. Die Haftrichterin 7 am Haftgericht III Bern-Mittelland prüfte und bestätigte die Haft am 15. Oktober 2008. Am 27. Oktober 2008 wies das Bundesamt für Migration das Asylgesuch ab. Dagegen erhob X._ Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht, die bis heute hängig ist.
B. Mit Urteil vom 9. Dezember 2008 genehmigte die Haftrichterin 7 am Haftgericht III Bern-Mittelland die Verlängerung der Vorbereitungshaft bis zum 11. Januar 2009. Dagegen erhob X._ am 9. Januar 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit dem Antrag, das Hafturteil sei aufzuheben und er sei im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme unverzüglich aus der Haft zu entlassen (bundesgerichtliches Verfahren 2C_10/2009).
C. Am 8. Januar 2009 wies die Haftrichterin 7 am Haftgericht III Bern-Mittelland einen Antrag des Ausländer- und Bürgerrechtsdienstes der Kantonspolizei Bern auf Umwandlung der Vorbereitungs- in Ausschaffungshaft ab, genehmigte jedoch gleichzeitig die Verlängerung der Vorbereitungshaft bis zum 11. April 2009. Auch dagegen erhob X._ am 15. Januar 2009 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht, wobei er um Vereinigung der beiden Haftbeschwerden ersuchte und im Übrigen für die Anträge und die Begründung auf die erste Beschwerdeschrift verwies (bundesgerichtliches Verfahren 2C_25/2009).
D. Mit Verfügung vom 19. Januar 2009 vereinigte das präsidierende Mitglied der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts die beiden Verfahren 2C_10/2009 und 2C_25/2009, wies das Gesuch um sofortige Haftentlassung ab und setzte dem Beschwerdeführer eine Frist an, um sich zur Abschreibung des Verfahrens 2C_10/2009 und der entsprechenden Kostenregelung zu äussern. Gleichzeitig erhielt die Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern eine Frist, um einen Bericht zur Frage der Qualifikation des Haftgerichts III Bern-Mittelland als oberes kantonales Gericht im Sinne von Art. 86 Abs. 2 BGG einzureichen.
E. Mit Eingabe vom 27. Januar 2009 hält die Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern dafür, dass beim Haftgericht III Bern-Mittelland ein Ausnahmefall vom Erfordernis eines oberen Gerichts als Vorinstanz vorliege, dass es sich aber selbst im Bedarfsfall um ein solches Gericht handle. Am 28. Januar 2009 reichte der Beschwerdeführer seine ergänzende Stellungnahme ein.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 134 V 138 E. 1 Ingress S. 140 mit Hinweisen).
2. Gegen kantonale richterliche Entscheide betreffend die Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, soweit der Betroffene an der Beurteilung seiner Eingabe ein aktuelles praktisches Interesse hat (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG; vgl. zu Art. 103 lit. a OG: BGE 131 II 670 E. 1.2, 361 E. 1.2). Fällt das aktuelle Interesse im Verlauf des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (vgl. BGE 118 Ia 488 E. 1a; 118 Ib 1 E. 2 S. 7; 111 Ib 56 E. 2). Im vorliegenden Fall ist das aktuelle Interesse an der Beurteilung der ersten Beschwerde hinsichtlich der Haftverlängerung durch das haftrichterliche Urteil vom 9. Dezember 2008 während der (beschleunigten) Instruktion des bundesgerichtlichen Verfahrens dahingefallen: Der Beschwerdeführer befindet sich zwar nach wie vor in Vorbereitungshaft, doch beruht diese nunmehr allein auf dem Haftgenehmigungsentscheid vom 8. Januar 2009. Es rechtfertigt sich auch nicht, ausnahmsweise vom Erfordernis des aktuellen Interesses abzusehen, weil die aufgeworfenen Fragen im Einzelfall kaum je rechtzeitig höchstrichterlich überprüft werden könnten (BGE 131 II 670 E. 1.2 S. 674). Nicht nur ist der erste angefochtene Haftentscheid in den beanstandeten Punkten durch den Verlängerungsentscheid ersetzt worden, sondern der Beschwerdeführer verweist auch in seiner Beschwerde gegen das zweite Haftrichterurteil auf die erste Beschwerdeschrift und trägt genau die gleichen Rügen vor. Seine Anliegen können mithin im hängigen Beschwerdeverfahren über die zweite Haftverlängerung vollumfänglich geprüft werden. Das Verfahren 2C_10/2009 kann deshalb als gegenstandslos geworden abgeschrieben werden (vgl. das Urteil 2C_362/2007 vom 30. August 2007 E. 1).
3. 3.1 Nach Art. 86 Abs. 2 BGG setzen die Kantone als unmittelbare Vorinstanzen des Bundesgerichts obere Gerichte ein, soweit nicht nach einem anderen Bundesgesetz Entscheide anderer richterlicher Behörden der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen. Gemäss Art. 86 Abs. 3 BGG können die Kantone für Entscheide mit vorwiegend politischem Charakter anstelle eines Gerichts eine andere Behörde als unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts einsetzen. Nach Art. 130 Abs. 3 BGG erlassen die Kantone innert zwei Jahren nach Inkrafttreten des Bundesgerichtsgesetzes unter anderem Ausführungsbestimmungen über die Zuständigkeit, die Organisation und das Verfahren der Vorinstanzen im Sinne von Art. 86 Abs. 2 und 3 BGG. Bis zum Erlass der Ausführungsgesetzgebung können die Kantone die Ausführungsbestimmungen nötigenfalls und vorläufig in die Form nicht referendumspflichtiger Erlasse kleiden (Art. 130 Abs. 4 BGG).
3.2 Das Bundesgerichtsgesetz ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (vgl. AS 2006 1069). Die Frist nach Art. 130 Abs. 3 BGG lief damit am 31. Dezember 2008 ab. Die Übergangsregelung galt mithin vorliegend beim zweiten Haftverlängerungsentscheid vom 8. Januar 2009 nicht mehr. Bei der Frage, ob die gesetzlichen Anforderungen an die Vorinstanz erfüllt sind, handelt es sich um eine Eintretensvoraussetzung, die von Amtes wegen und mit freier Kognition zu prüfen ist (vgl. E. 1). Konkret stellt sich damit die Frage, ob das Haftgericht III Bern-Mittelland den Anforderungen von Art. 86 Abs. 2 und 3 BGG genügt.
3.3 Nicht strittig und klarerweise erfüllt sind die allgemeinen Anforderungen an ein Gericht (vgl. Art. 30 Abs. 1 BV, Art. 5 EMRK, Art. 191c BV; BGE 134 I 125 E. 3.5 S. 135; THOMAS HUGI YAR, § 10 Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2009, Rz. 10.179; ESTHER TOPHINKE, in: Basler Kommentar zum BGG, 2008, N. 13 zu Art. 86 BGG). Insbesondere verfügt das Haftgericht III Bern-Mittelland grundsätzlich über die notwendige institutionelle Unabhängigkeit und die erforderliche Kognition, namentlich die Befugnis, den Sachverhalt frei zu prüfen und das massgebende Recht von Amtes wegen anzuwenden. Auch die grundsätzlichen Verfahrensanforderungen (vgl. Art. 29 ff. BV, Art. 5 EMRK, Art. 110-112 BGG; BGE 134 II 318 E. 4.4 S. 323) sind erfüllt.
3.3 Nicht strittig und klarerweise erfüllt sind die allgemeinen Anforderungen an ein Gericht (vgl. Art. 30 Abs. 1 BV, Art. 5 EMRK, Art. 191c BV; BGE 134 I 125 E. 3.5 S. 135; THOMAS HUGI YAR, § 10 Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2009, Rz. 10.179; ESTHER TOPHINKE, in: Basler Kommentar zum BGG, 2008, N. 13 zu Art. 86 BGG). Insbesondere verfügt das Haftgericht III Bern-Mittelland grundsätzlich über die notwendige institutionelle Unabhängigkeit und die erforderliche Kognition, namentlich die Befugnis, den Sachverhalt frei zu prüfen und das massgebende Recht von Amtes wegen anzuwenden. Auch die grundsätzlichen Verfahrensanforderungen (vgl. Art. 29 ff. BV, Art. 5 EMRK, Art. 110-112 BGG; BGE 134 II 318 E. 4.4 S. 323) sind erfüllt.
3.4 Von keiner Seite wird sodann behauptet, dass es sich bei der richterlichen Überprüfung ausländerrechtlicher Administrativhaft um einen Entscheid mit vorwiegend politischem Charakter im Sinne von Art. 86 Abs. 3 BGG handelt. Vielmehr geht es um einen Rechtsakt, auf den der fragliche Ausnahmetatbestand nicht anwendbar ist. Abgesehen davon dispensiert die Bestimmung in erster Linie vom Erfordernis einer gerichtlichen Instanz. Im Vordergrund steht nicht die Ausnahme von der Voraussetzung, dass es sich um ein oberes Gericht handeln muss. Ob Art. 86 Abs. 3 BGG auch davon eine Ausnahme setzen könnte, kann hier aber offen bleiben, da bereits die Grundvoraussetzung eines politischen Entscheides nicht erfüllt ist. Zu prüfen bleibt aber, ob das Haftgericht III Bern-Mittelland Art. 86 Abs. 2 BGG entspricht.
4. 4.1 Als obere kantonale Gerichte gemäss Art. 86 Abs. 2 erster Halbsatz BGG, die als unmittelbare Vorinstanzen des Bundesgerichts eingesetzt sind, kommen sowohl die höchsten kantonalen Gerichte in Verwaltungs-, Zivil- oder Strafsachen (Verwaltungs-, Kantons-, Appellationsgerichte usw.) als auch verwaltungsunabhängige besondere Justizbehörden (wie kantonale Rekurskommissionen oder -gerichte) in Frage. Ein doppelter Instanzenzug wird nicht verlangt; das obere Gericht braucht also nicht eine Rechtsmittelinstanz zu sein (BGE 134 II 318 E. 4.4 S. 323 f.; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, 2008, N. 3010; HUGI YAR, a.a.O., Rz. 10.179; HANSJÖRG SEILER, in: Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, 2007, Rz. 15 zu Art. 86 BGG; TOPHINKE, a.a.O., N. 16 zu Art. 86 BGG). Genausowenig ist ein einheitliches Gericht für sämtliche öffentlich-rechtliche Materien erforderlich; besonders geeignete Spezialgerichtsbehörden wie ein Haftgericht sind also nicht ausgeschlossen (DONZALLAZ, a.a.O., N. 3011; HUGI YAR, a.a.O., Rz. 10.179; JEAN-CLAUDE LUGON/ETIENNE POLTIER/THIERRY TANQUEREL, Les conséquences de la réforme de la justice fédérale pour les cantons, in: Bellanger/ Tanquerel [Hrsg.], Les nouveaux recours fédéraux en droit public, 2006, S. 114; SEILER, a.a.O., Rz. 17 zu Art. 86 BGG; TOPHINKE, a.a.O., N. 14 zu Art. 86 BGG). Hingegen setzt das Erfordernis eines oberen Gerichts voraus, dass die Justizbehörde für das ganze Kantonsgebiet zuständig und hierarchisch keiner anderen Gerichtsinstanz unterstellt ist (BGE 134 I 125 E. 3.5 S. 135; vgl. DENISE BRÜHL-MOSER, in: Basler Kommentar zum BGG, 2008, N. 18 zu Art. 130 BGG; HUGI YAR, a.a.O., Rz. 10.179). Diese Voraussetzung ist nicht erfüllt, wenn gegen die Entscheide der fraglichen Justizbehörde noch eine ordentliche Beschwerde an eine andere kantonale Instanz erhoben werden kann (vgl. DONZALLAZ, a.a.O., N. 3011; RUTH HERZOG, Auswirkungen auf die Staats- und Verwaltungsrechtspflege in den Kantonen, in: BTJP 2006, 2007, S. 79 ff.; LUGON/POLTIER/TANQUEREL, a.a.O., S. 114 f.; TOPHINKE, a.a.O., N. 14 und 16 zu Art. 86 BGG; vgl. zur erforderlichen hierarchischen Unabhängigkeit auch ETIENNE POLTIER, Le recours en matière de droit public, in: Urs Portmann [Hrsg.], La nouvelle loi sur le Tribunal fédéral, 2007, S. 154 f.). Massgebend ist dabei nicht nur, dass der Gerichtsbehörde im gerade fraglichen Sachbereich Letztinstanzlichkeit zukommt, sondern dass ihre Entscheide allgemein, also auch in den übrigen Zuständigkeitsbereichen, nicht an eine höhere kantonale Instanz weitergezogen werden können (PIERRE MOOR, De l'accès au juge et de l'unification des recours, in Bellanger/Tanquerel [Hrsg.], Les nouveaux recours fédéraux en droit public, 2006, S. 168). Ob die erforderliche hierarchische Unabhängigkeit auch gegeben ist, wenn eine Spezialjustizbehörde der Aufsicht eines anderen kantonalen Gerichts unterliegt, ohne dass gegen ihre Entscheide ein kantonales Rechtsmittel offen steht, erscheint ebenfalls fraglich, kann hier aber offen bleiben (vgl. dazu DONZALLAZ, a.a.O., N. 3011; HERZOG, a.a.O., S. 81; Poltier, a.a.O., S. 154 f.; Tophinke, a.a.O., N. 14 zu Art. 86 BGG).
4.2 Im Kanton Bern ist das Haftgericht der Untersuchungsregion Bern-Mittelland als einziges und letztinstanzlich urteilendes Gericht für ausländerrechtliche Administrativhaft eingesetzt (vgl. Art. 31 Abs. 1 des Gesetzes vom 6. Oktober 1940 betreffend die Einführung des Schweizerischen Strafgesetzbuches, EG StGB; Art. 76 Abs. 1 lit. e des Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege, VRPG [in der Fassung vom 10. April 2008]; Art. 18b der Verordnung vom 19. Juli 1972 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer; RUTH HERZOG/MICHEL DAUM, Die Umsetzung der Rechtsweggarantie im bernischen Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege, in: BVR 2009, H. 1, S. 14). Diese Zuständigkeitsordnung soll offenbar durch das bernische Einführungsgesetz zum Ausländergesetz und Asylgesetz (EG AuG und AsylG) bestätigt werden, das sich derzeit im Gesetzgebungsprozess befindet. Mit dem Inkrafttreten der neuen kantonalen Justizreform soll das Haftgericht dereinst (voraussichtlich per 1. Januar 2011) durch ein kantonales Zwangsmassnahmengericht abgelöst werden.
4.3 Zwar handelt es sich beim Haftgericht der Untersuchungsregion Bern-Mittelland in seinem übrigen Aufgabenbereich um eine regional organisierte Behörde. Im Bereich der ausländerrechtlichen Administrativhaft entscheidet es jedoch als gesamtkantonal zuständiges Gericht. Die Voraussetzung der Zuständigkeit für das ganze Kantonsgebiet ist daher erfüllt. Fraglich erscheint hingegen die erforderliche justizielle Unabhängigkeit. Gewiss können die Entscheide über ausländerrechtliche Administrativhaft im Kanton nicht mit einem Rechtsmittel angefochten werden. In den übrigen Zuständigkeitsbereichen ist das Haftgericht jedoch nicht kantonal letztinstanzlich tätig. Wie die Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern in ihrem Bericht an das Bundesgericht einräumt, entscheidet das Haftgericht der Untersuchungsregion Bern-Mittelland in seiner sonstigen Funktion auf dem Gebiet der Strafverfolgung als Vorinstanz des Obergerichts des Kantons Bern. Es hat damit nur in einzelnen Sachbereichen letztinstanzliche Entscheidkompetenz, weshalb ihm bereits deshalb und unabhängig von der aufsichtsrechtlichen Organisation nicht die Stellung eines oberen kantonalen Gerichts nach Art. 86 Abs. 2 erster Halbsatz BGG zukommt.
5. 5.1 Die Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern beruft sich in ihrem Amtsbericht vorrangig auf den zweiten Halbsatz von Art. 86 Abs. 2 BGG und macht geltend, vorliegend sei jedenfalls dieser Ausnahmetatbestand erfüllt.
5.2 Nach Art. 86 Abs. 2 zweiter Halbsatz BGG müssen die Kantone kein oberes Gericht einsetzen, wenn ein Bundesgesetz vorsieht, dass eine untere richterliche Behörde unmittelbare Vorinstanz des Bundesgerichts sein kann. In der bundesrätlichen Botschaft zum Bundesgerichtsgesetz wird als Beispiel Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG; SR 642.11) genannt (BBl 2001 4326 f.), wobei insofern freilich auch die sich aus dem Gebot der vertikalen Steuerharmonisierung ergebenden Besonderheiten zu beachten sind (vgl. BGE 130 II 65). In der Literatur wird überdies auf Art. 62 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) verwiesen (vgl. etwa HERZOG, a.a.O., S. 82 f.; LUGON/POLTIER/TANQUEREL, a.a.O., S. 142 ff.; POLTIER, a.a.O, S. 155; TOPHINKE, a.a.O., N. 15 zu Art. 86 BGG). Dazu wird vereinzelt ausgeführt, dass es den Kantonen mit Blick auf ihre Gestaltungsfreiheit bei der Umsetzung von Bundesrecht (vgl. insbes. Art. 46 Abs. 2 BV) in jenen Fällen, in denen die Bundesgesetzgebung die Einrichtung einer einzelnen richterlichen Beschwerdeinstanz verlangt und deren Stellung in der Gerichtshierarchie nicht näher definiert, freigestellt bleiben muss, eine untere Justizbehörde einzusetzen (vgl. etwa HERZOG, a.a.O., S. 83; TOPHINKE, a.a.O., N. 15 zu Art. 86 BGG).
5.3 Eine solche Ausnahme liegt hier aber nicht vor. Art. 146 DBG und Art. 62 Abs. 1 ATSG sehen ausdrücklich die unmittelbare Beschwerdemöglichkeit an das Bundesgericht vor. Eine analoge Bestimmung fehlt zu den Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht. Art. 78 Abs. 4 und Art. 80 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) schreiben - wie dies weitgehend schon im alten Ausländerrecht zutraf (vgl. BBl 2002 3817) - einzig die erstinstanzliche richterliche Haftüberprüfung vor, ohne sich zu den Rechtsmitteln und schon gar nicht zur Beschwerdemöglichkeit an das Bundesgericht zu äussern. Das Bundesrecht schliesst insbesondere ein kantonales Rechtsmittel, das der Beschwerde an das Bundesgericht vorgeschaltet wird, nicht aus (HUGI YAR, a.a.O., Rz. 10.178), und verschiedene, vor allem grössere Kantone (so etwa seit geraumer Zeit der Kanton Waadt und seit kurzem der Kanton Zürich) haben ein solches Rechtsmittelsystem eingerichtet. Das unterstreicht, dass das Bundesgesetz nicht unabhängig von der Eigenschaft des Haftrichters als oberes kantonales Gericht eine direkte Beschwerde an das Bundesgericht gegen Haftrichterentscheide vorschreibt. Es kann daher nicht geschlossen werden, der Bundesgesetzgeber habe vom grundsätzlichen Erfordernis von Art. 86 Abs. 2 erster Halbsatz BGG dispensieren wollen.
5.4 Das Gegenteil ergibt sich entgegen der Auffassung der Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion auch nicht aus der von dieser angerufenen Regelung von Art. 17 des alten Bundesgesetzes vom 4. Oktober 1991 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (altOpferhilfegesetz, aOHG; AS 1992 2465, 2469). Darin wurde den Kantonen zwar die Einrichtung einer einzigen, von der Verwaltung unabhängigen Beschwerdeinstanz vorgeschrieben. Dieselbe Vorschrift findet sich heute übrigens in Art. 29 Abs. 3 des neuen Bundesgesetzes vom 23. März 2007 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (Opferhilfegesetz, OHG; SR 312.5), in Kraft seit dem 1. Januar 2009. Ob damit eine Ausnahme vom Erfordernis eines oberen Gerichts verbunden ist, kann hier offen bleiben. Jedenfalls unterscheidet sich die opferhilferechtliche Verfahrensregelung nur schon deshalb wesentlich von derjenigen der ausländerrechtlichen Administrativhaft, weil für jene eine einzige kantonale Instanz vorgeschrieben ist, während für diese keine solche Beschränkung gilt (vgl. E. 5.3). Damit entfällt jegliche Grundlage für irgendeine Analogie.
5.5 Im Übrigen verzichtete der Gesetzgeber darauf, die Rechtsmittel im Ausländerrecht im Zusammenhang mit der neuen Bundesrechtspflege besonders zu regeln. Die entsprechenden Art. 113 f. AuG, die sich noch auf die alte Verfahrensordnung des Bundes bezogen, wurden im Gegenteil mit Inkraftsetzen des Bundes- und des Verwaltungsgerichtsgesetzes aufgehoben (vgl. AS 2006 5599). In Art. 112 Abs. 1 AuG wird demgegenüber ausdrücklich festgehalten, dass sich das Verfahren der Bundesbehörden nach den allgemeinen Bestimmungen der Bundesrechtspflege richtet. Das muss gleichermassen für die Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht gelten. Obwohl es sich bei der ausländerrechtlichen Administrativhaft auch um die Vollziehungsvorkehr einer Entfernungsmassnahme handelt, ging das Bundesgericht (trotz Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 sowie Art. 101 lit. c OG) insbesondere aufgrund des schweren Eingriffs in die persönliche Freiheit des Häftlings seit jeher davon aus, die Beschwerde an das Bundesgericht sei zulässig (vgl. BGE 125 II 369 E. 2b S. 371 mit Literaturhinweisen; 119 Ib 193 E. 1 S. 195 ff.; Hugi Yar, a.a.O., Rz. 10.181). Die Beschwerde richtet sich aber ausschliesslich gegen den letztinstanzlichen kantonalen Gerichtsentscheid. Die Rechtsprechung zur alten Bundesrechtspflege über die Zuständigkeit des Bundesgerichts konnte insofern mangels Neuregelung (trotz Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG) auf die neue Gesetzesordnung übertragen werden. Ein Dispens vom Erfordernis eines oberen kantonalen Gerichts bzw. die direkte Anfechtbarkeit auch von Hafturteilen unterer Gerichte beim Bundesgericht ergibt sich daraus aber nicht. Denn das Ausländergesetz sagt gerade nichts darüber aus, wieviele kantonale Gerichtsinstanzen einzurichten sind und gegen welche Behörde Beschwerde beim Bundesgericht geführt werden kann.
5.6 Daran ändert schliesslich auch nichts, dass das Bundesrecht in anderen Spezialerlassen das Erfordernis eines oberen Gerichts ausdrücklich vorschreibt. Das lässt nicht den Rückschluss zu, die Voraussetzung eines oberen Gerichts gelte nur dann, wenn sie in einem Spezialgesetz wiederholt wird. Ohnehin völlig anders ist die Ausgangslage beim von der Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern angerufenen Art. 165 Abs. 2 der Handelsregisterverordnung vom 17. Oktober 2007 (HRV; SR 221.411). Abgesehen davon, dass es sich dabei um Verordnungs- und nicht um Gesetzesrecht handelt, wird darin den Kantonen eine bestimmte kantonale Rechtsmittelordnung vorgeschrieben, nämlich die Einrichtung einer einzigen Beschwerdeinstanz als oberes Gericht. Inwiefern daraus abzuleiten wäre, dass dann, wenn ein Gesetz keine entsprechende Bestimmung enthält, einzig die direkte Beschwerde an das Bundesgericht offen stünde, ist nicht ersichtlich. Damit bleibt es bei den grundsätzlichen Anforderungen gemäss Art. 86 Abs. 2 erster Halbsatz BGG.
6. 6.1 Erfüllt der Kanton Bern somit im Bereich der ausländerrechtlichen Administrativhaft die Voraussetzungen von Art. 86 Abs. 2 BGG nicht, fragt sich, welche Konsequenzen sich daraus für den vorliegenden Fall ergeben.
6.2 Bei der vergleichbaren Ausgangslage von Art. 98a OG, worin die Kantone unter der Geltung der alten Bundesrechtspflege verpflichtet wurden, gerichtliche Vorinstanzen in allen Streitigkeiten einzurichten, in denen das Bundesgericht angerufen werden konnte, verfolgte das Bundesgericht verschiedene Lösungsansätze, wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt war. Bestand für ein Rechtsgebiet in analogen Rechtsstreitigkeiten Klarheit darüber, welches kantonale Gericht zuständig war, so überwies das Bundesgericht eine entsprechende Beschwerde direkt dieser Instanz. Das traf gerade etwa im Ausländerrecht zu für Beschwerden gegen Entscheide über Anwesenheitsbewilligungen, auf deren Erteilung ein Anspruch bestand (so etwa das Urteil 2A.281/1997 vom 2. September 1997). Gab es hingegen mehrere Möglichkeiten der Zuständigkeit einer kantonalen Gerichtsbehörde, so überwies das Bundesgericht die Streitsache entweder an die zuletzt entscheidende Behörde (BGE 128 II 311 E. 6.3 S. 322 f.) oder an diejenige, die am ehesten zuständig erschien (BGE 123 II 231 S. 233 sowie E. 8c S. 240). Bei Bedarf verband das Bundesgericht die Überweisung mit dem Hinweis, der Zuständigkeitsentscheid sei in Absprache mit den anderen möglichen Behörden zu treffen; das Bundesgericht dürfe insoweit nicht in die Gestaltungsfreiheit der Kantone (nach Art. 3, 46 und 47 BV) eingreifen (vgl. etwa BGE 128 II 311 E. 6.3 S. 323). Bei der Umsetzung von Art. 130 BGG ist analog zu verfahren (dazu BRÜHL-MOSER, a.a.O., N. 31 f. zu Art. 130 BGG).
6.3 Im vorliegenden Zusammenhang stehen verschiedene Möglichkeiten der Behördenorganisation offen. Der Kanton kann ein gänzlich unabhängiges Haftgericht als oberes Gericht für ausländerrechtliche Administrativhaft schaffen oder gegen die Hafturteile des bisherigen Haftgerichts die Beschwerde an das Obergericht oder an das Verwaltungsgericht öffnen. Es steht dem Bundesgericht nicht zu, auch nicht auf provisorischer Grundlage, hier eine Regelung vorwegzunehmen. Dies ist aber auch nicht Sache des Haftgerichts. Vielmehr obliegt es dem Obergericht des Kantons Bern als Aufsichtsbehörde über das Haftgericht, eventuell in Zusammenarbeit mit dem Verwaltungsgericht und dem Regierungsrat des Kantons Bern, eine vorsorgliche Regelung für die bereits hängigen Fälle zu treffen. Für eine kurze Zeit ist dies verfassungsrechtlich vertretbar (vgl. BGE 123 II 193 E. 5 S. 202 ff.). Im Übrigen ist ergänzend auf Art. 130 Abs. 4 BGG zu verweisen, wonach die Kantone bis zum Erlass der Ausführungsgesetzgebung (unter anderem zu Art. 86 Abs. 2 BGG) die notwendigen Bestimmungen in den dafür anwendbaren kantonalen Rechtsetzungsverfahren in die Form nicht referendumspflichtiger Erlasse kleiden können (vgl. dazu CHRISTOPH AUER, Auswirkungen der Reorganisation der Bundesrechtspflege auf die Kantone, in: ZBl 107/2006, S. 137 f.; BRÜHL-MOSER, a.a.O., N. 28 ff. zu Art. 130 BGG).
6.4 Für das vorliegende bundesgerichtliche Verfahren bedeutet dies, dass auf die beim Bundesgericht eingereichte Beschwerde nicht einzutreten und die Sache zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht des Kantons Bern zu überweisen ist. Ein Exemplar des vorliegenden Urteils wird überdies zuhanden des Regierungsrates der Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern zugestellt. Da es sich um ein Beschwerdeverfahren handelt und eine erste gerichtliche Haftprüfung gemäss Art. 5 Abs. 4 EMRK bzw. Art. 31 Abs. 4 BV stattgefunden hat, rechtfertigt sich eine sofortige Haftentlassung des Beschwerdeführers nicht. Die Behörden des Kantons Bern werden aber dafür zu sorgen haben, dass den bundesgesetzlichen Anforderungen an die kantonale Gerichtsorganisation umgehend in einer solchen Weise nachgekommen wird, dass das weitere Verfahren keine unrechtmässige Verzögerung erleidet. Das Obergericht des Kantons Bern wird überdies darum ersucht, das Bundesgericht im Hinblick auf mögliche künftige Beschwerdeeingänge umgehend über die getroffene vorsorgliche Regelung zu unterrichten.
7. Das bundesgerichtliche Verfahren wird durch das vorliegende Urteil zwar abgeschlossen, in der Sache bleibt das Ergebnis des Rechtsstreits aber offen. Es rechtfertigt sich daher nicht, mit Blick auf das abgeschriebene Verfahren 2C_10/2009 in Anwendung von Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 72 BZP über die Prozesskosten mit summarischer Begründung zu entscheiden und damit das materielle Ergebnis vorwegzunehmen. Das Nichteintreten im Verfahren 2C_25/2009 beruht sodann auf der bisher ungeklärten prozessualen Rechtslage. Angesichts der verfahrensrechtlich komplexen und in der Sache offenen Ausgangslage ist dem Gesuch des bedürftigen Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu entsprechen (Art. 64 BGG). Damit sind für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten zu erheben, und der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse angemessen zu entschädigen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Verfahren 2C_10/2009 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2. 2.1 Auf die Beschwerde im Verfahren 2C_25/2009 wird nicht eingetreten.
2.2 Die Sache wird an das Obergericht des Kantons Bern überwiesen zur weiteren Behandlung der Beschwerde im Sinne der Erwägungen.
3. Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt.
4. Es werden keine Kosten erhoben.
5. Rechtsanwalt Gabriel Püntener wird als unentgeltlicher Rechtsbeistand des Beschwerdeführers bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'500.-- ausgerichtet.
6. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichterin 7, und der Justiz-, Gemeinde- und Kirchendirektion des Kantons Bern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Uebersax