Sachverhalt:
A. B._ (geboren 1972) arbeitete als freischaffende Musikerin/ Komponistin. Sie erlitt am 2. Mai 1996 bei einem Mofaunfall ein Schädelhirntrauma. Wegen anhaltender Beschwerden gelangte sie im März 1998 erstmals an die IV-Stelle Zug, zog ihr Begehren um Invalidenrente und berufliche Massnahmen mit Schreiben vom 8. Juni 1998 wieder zurück. Im Januar 2003 meldete sie sich erneut zum Bezug einer Invalidenrente an. Die IV-Stelle traf verschiedene Abklärungen und holte namentlich ein Gutachten des Dr. med. Beat I._, Facharzt FMH Psychiatrie und Psychotherapie, vom 12. März 2004 ein. Mit Verfügung vom 17. Januar 2006 lehnte sie das Rentenbegehren gestützt auf Art. 21 Abs. 4 ATSG mit der Begründung ab, die Versicherte sei den ihr im Hinblick auf die Durchführung beruflicher Eingliederungsmassnahmen obliegenden Mitwirkungspflichten trotz mehrmaliger Mahnung (insbesondere Schreiben der IV-Stelle vom 24. September 2004 und vom 27. Oktober 2005) nicht nachgekommen. Im bestätigenden Einspracheentscheid vom 16. Mai 2006 änderte die IV-Stelle die Begründung ihrer Leistungsverweigerung dahingehend ab, die Versicherte habe die ihr auferlegten Mitwirkungspflichten zwar "pro forma" erfüllt, ihr Verhalten lasse indessen auf mangelnde subjektive Eingliederungsfähigkeit schliessen, weshalb die Verfügung vom 17. Januar 2006 im Ergebnis rechtens sei.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zug insoweit gut, als es die Verfügung vom 17. Januar 2006 sowie den Einspracheentscheid vom 16. Mai 2006 aufhob und die Sache zur weiteren Abklärung im Sinne der Erwägungen (Organisation eines Arbeitstrainings in einer Gärtnerei oder auf einem Bauernhof zur Abklärung der Eingliederungsfähigkeit der Versicherten) und zu anschliessendem Entscheid betreffend Durchführung beruflicher Massnahmen an die IV-Stelle zurückwies. Im Übrigen wies das Gericht die Beschwerde, soweit es darauf eintrat, ab (Entscheid vom 30. August 2007). Auf die von der IV-Stelle Zug hiegegen erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten trat die II. sozialrechtliche Abteilung des Bundesgerichts mit Urteil vom 1. April 2008 (9C_734 und 740/2007) nicht ein, die von B._ eingereichte Beschwerde wies sie ab.
C. Im Rahmen der daraufhin durchgeführten Abklärungen kam die IV-Stelle zum Schluss, dass eine Umschulung unter den gegebenen Umständen weder möglich noch sinnvoll sei, da die Versicherte zurzeit gut und ihren Möglichkeiten entsprechend durch eigenes Bemühen eingegliedert sei. Mit Verfügung vom 22. März 2010 wies sie das Leistungsbegehren der Versicherten wiederum ab, mit der Begründung, gestützt auf die medizinischen und erwerblichen Abklärungen könne abschliessend festgehalten werden, die Versicherte sei seit dem 12. März 2004 in der Ausübung einer Erwerbstätigkeit andauernd teilweise eingeschränkt. Aus ärztlicher Sicht bestehe für jegliche Tätigkeiten eine Arbeitsfähigkeit von 50 %. Die Versicherte habe vor Eintritt des Gesundheitsschadens unter Berücksichtigung der Einkommensentwicklung freiwillig über viele Jahre hinweg ein maximales Erwerbseinkommen von Fr. 8'387.- pro Jahr erwirtschaftet. Angesichts der 50%igen Arbeitsfähigkeit betrage das mögliche erzielbare Jahreseinkommen mit Behinderung Fr. 25'355.-.
D. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug mit Entscheid vom 25. Mai 2011 ab.
E. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei ihr ab 1. Januar 2002 eine Dreiviertels-, eventualiter eine halbe Invalidenrente zuzusprechen.
Kantonales Gericht und IV-Stelle Zug schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG).
1.2 Auf der nicht medizinischen beruflich-erwerblichen Stufe der Invaliditätsbemessung charakterisieren sich als Rechtsfragen die gesetzlichen und rechtsprechungsgemässen Regeln über die Durchführung des Einkommensvergleichs (Art. 16 ATSG; BGE 130 V 343 E. 3.4 S. 348, 128 V 29 E. 1 S. 30, 104 V 135 E. 2a und b S. 136 f.). In dieser Sicht stellt sich die Feststellung der beiden hypothetischen Vergleichseinkommen als Tatfrage dar, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht, hingegen als Rechtsfrage, soweit sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet. Letzteres betrifft etwa die Fragen, ob Tabellenlöhne anwendbar sind und welches die massgebliche Tabelle ist (BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399; Urteil 8C_255/2007 vom 12. Juni 2008 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 134 V 322). Soweit die Beurteilung der Zumutbarkeit von Arbeitsleistungen auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt wird, geht es um eine Rechtsfrage (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.; Urteil 9C_133/2011 vom 29. April 2011 E. 1); gleiches gilt für die Frage, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über die Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit erfolgt (Urteil 9C_190/2009 vom 11. Mai 2009 E. 3.3).
2. Nach der nicht offensichtlich unrichtigen und für das Bundesgericht daher verbindlichen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts ist die Beschwerdeführerin in angepasster Tätigkeit zu 50 % arbeitsfähig und könnte dabei - berechnet nach Tabellenlöhnen - ein Invalideneinkommen im Jahr 2005 von Fr. 24'559.95 erzielen, allenfalls reduziert um einen Abzug von maximal 10 %, was ein Invalideneinkommen von Fr. 22'104.- ergäbe.
3. Umstritten ist die Höhe des massgebenden Valideneinkommens.
3. Umstritten ist die Höhe des massgebenden Valideneinkommens.
3.1 3.1.1 Das Valideneinkommen ist das Einkommen, das die versicherte Person erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre (Art. 16 ATSG, Art. 28a Abs. 1 IVG). Für dessen Ermittlung ist rechtsprechungsgemäss entscheidend, was sie im Zeitpunkt des frühestmöglichen Rentenbeginns nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunde tatsächlich verdienen würde, und nicht, was sie bestenfalls verdienen könnte (BGE 131 V 51 E. 5.1.2 S. 53; Urteil 9C_488/2008 vom 5. September 2008 E. 6.4). Dabei wird in der Regel am zuletzt erzielten, nötigenfalls der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung angepassten Verdienst angeknüpft, da erfahrungsgemäss die bisherige Tätigkeit ohne Gesundheitsschaden fortgesetzt worden wäre. Ausnahmen von diesem Erfahrungssatz müssen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt sein (vgl. auch BGE 134 V 322 E. 4.1 S. 325 f. mit Hinweisen). Denn die Rente der Invalidenversicherung ist grundsätzlich eine Erwerbsausfall-Versicherungsleistung. Versichert ist nicht der Gesundheitsschaden an sich, sondern der durch den Gesundheitsschaden verursachte Verlust der Erwerbsmöglichkeit (Art. 1a lit. b IVG; Art. 7 Abs. 1, Art. 8 Abs. 1 ATSG). Umgekehrt deckt die Invalidenversicherung nur diejenigen Erwerbsverluste ab, die durch Gesundheitsbeeinträchtigungen verursacht sind, nicht Einbussen, die auf andere Gründe (z.B. wirtschaftliche, persönliche usw.) zurückzuführen sind. Die Erwerbsinvalidität hängt somit nicht von der Einbusse des mutmasslichen Potenzials bzw. des funktionellen Leistungsvermögens als solchem ab, sondern von der effektiven, gesundheitlich bedingten Einbusse im Erwerbseinkommen. Nützte die versicherte Person im Gesundheitsfall ihr wirtschaftliches Potenzial nicht voll aus, so ist dieser nicht verwertete Teil der Erwerbsfähigkeit nicht versichert (BGE 135 V 58 E. 3.4.1 S. 60 f. mit Hinweisen; Urteil 9C_10/2012 vom 23. Mai 2012 E. 3.1).
3.1.2 Nach Art. 26 Abs. 1 IVV entspricht bei versicherten Personen, die wegen der Invalidität keine zureichenden beruflichen Kenntnisse erwerben konnten, das Erwerbseinkommen, das sie als Nichtinvalide erzielen könnten, nach Vollendung von 30 Altersjahren 100 Prozent des jährlich aktualisierten Medianwertes gemäss der vom Bundesamt für Statistik herausgegebenen Schweizerischen Lohnstrukturerhebung.
Nach der Rechtsprechung schliesst diese Verordnungsbestimmung nicht aus, dass zur Berechnung des Valideneinkommens auf das Einkommen eines bestimmten Berufs abgestellt wird. Voraussetzung sind eindeutige Anhaltspunkte dafür, dass die versicherte Person ohne gesundheitliche Beeinträchtigung den betreffenden Beruf erlernt hätte (Urteil I 472/02 vom 10. Februar 2003 E. 1.2; vgl. auch ZAK 1973 S. 581 E. 1, 1969 S. 261 E. 1, 1963 S. 239 E. 3b und 510 E. 3b).
3.2 Das kantonale Gericht erwog, die Beschwerdeführerin könne nicht als Frühinvalide im Sinne von Art. 26 IVV betrachtet werden. Zunächst verwies es auf das Urteil der II. sozialrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 1. April 2008 in der gleichen Sache (9C_734 und 740/2007), worin in Erwägung 4.4.2 ausgeführt worden sei, die Beschwerdeführerin sei vor Eintritt des Gesundheitsschadens freiwillig keiner geregelten Erwerbstätigkeit nachgegangen. In Kenntnis der massgeblichen Akten und insbesondere in Kenntnis des Gutachtens von Dr. med. I._ gehe das Bundesgericht davon aus, die Beschwerdeführerin habe sich vor dem Unfall vom 2. Mai 1996 aus freiem Willen - und somit nicht aus gesundheitlichen Gründen - für eine autodidaktische Ausbildung als freischaffende Künstlerin/Komponistin entschieden und sei freiwillig keiner geregelten Erwerbstätigkeit nachgegangen. Mit anderen Worten schliesse das Bundesgericht eine Jugendinvalidität aus. Aus den Akten gehe hervor, dass die Beschwerdeführerin die Primar- und Sekundarschule in der dafür vorgesehenen Minimalzeit ohne Probleme und mit Erfolg (Sekundarschulabschluss) absolviert habe. Gegenüber Dr. med. I._ habe sie angegeben, sie habe sogar die Aufnahmeprüfung ins Gymnasium gut bestanden. Des Weitern würden finanzielle Überlegungen der Eltern für einen Schulabgang nach den acht obligatorischen Schuljahren genannt. Im Anschluss an den Sekundarschulabschluss habe die Beschwerdeführerin ein Jahr am sozialpädagogischen Seminar X._ verbracht. Nach dem Abbruch der musisch orientierten Ausbildung im X._ habe sie als Praktikantin in einem Kindergarten, als Haushaltshilfe in Altersheimen und auf Bauernhöfen gearbeitet und habe Kinder gehütet. Sie vermöge aus dem retrospektiven Hinweis von Dr. med. I._, es bestünden seit ihrer Kindheit Verhaltens- und Beziehungsstörungen, nichts zu ihren Gunsten abzuleiten. Es möge zwar durchaus sein, dass sie schon als Kind eine etwas eigenwillige Persönlichkeitsstruktur aufgewiesen habe. Dies habe sie jedoch offensichtlich nicht daran gehindert, den Sekundarschulabschluss ohne Probleme und in der vorgesehenen Minimalzeit zu erlangen. Diese Umstände liessen vielmehr erwarten, dass sie im Anschluss daran auch eine Lehre erfolgreich hätte absolvieren und einen Berufsabschluss erlangen können. Abschliessend sei festzuhalten, dass bezüglich Diagnosestellung und Arbeitsfähigkeitsbeurteilung voll auf das Gutachten des Dr. med. I._ abzustellen ist. Bei der Beschwerdeführerin habe sich nach dem Unfall vom 2. Mai 1996 eine psychiatrische Problematik zu entwickeln begonnen, die schliesslich in eine 50%ige Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit gemündet sei. Keiner der involvierten Ärzte - insbesondere auch nicht Dr. med. I._ - vermöge einen nachvollziehbaren und schlüssigen Grund zu nennen, weshalb die Versicherte aus medizinischen Gründen zwischen dem - problemlos erreichten - Sekundarschulabschluss und dem Unfall vom 2. Mai 1996 keine Berufsausbildung hätte absolvieren können. Im Unfallzeitpunkt sei sie immerhin bereits 24 Jahre alt gewesen. Diese Unklarheit lasse Dr. med. I._ offen, weshalb sein Gutachten diesbezüglich nicht schlüssig und unvollständig sei. Dem Gutachten des Dr. med. I._ könne demnach insoweit kein Beweiswert zuerkannt werden, als dieser gesundheitliche Gründe für die fehlende berufliche Ausbildung der Versicherten nenne. Die vorliegenden Akten verdeutlichten, dass sie im langen Zeitraum zwischen Sekundarschulabschluss und Unfall ein freies und ungebundenes Leben nach ihren Wünschen und Bedürfnissen (ausgiebiges Reisen, Selbstverwirklichung und Sammeln künstlerischer Inspirationen etc.) dem Abschluss einer Ausbildung vorgezogen habe. Nach überwiegender Wahrscheinlichkeit sei somit davon auszugehen, dass sie aus invaliditätsfremden Gründen auf den Abschluss einer Ausbildung verzichtete.
3.3 Die Beschwerdeführerin bringt vor, nach dem klaren Wortlaut des Gutachtens von Dr. med. I._ leide sie an einer Borderline-Persönlichkeitsstörung vom emotional instabilen Typ (ICD-10 F60.30). Die Störung bestehe gemäss Dr. med. I._ seit ihrer Kindheit und habe verhindert, dass sie eine Berufsausbildung habe absolvieren können. Das kantonale Gericht, welches das Gutachten des Dr. med. I._ in den übrigen Punkten für schlüssig erachtet habe, gehe von der willkürlichen tatsächlichen Annahme aus, das Gutachten sei in dem Punkte als nicht schlüssig anzusehen, in welchem Dr. med. I._ ausführe, dass sie aufgrund ihrer Persönlichkeitsstörung vermutlich daran gehindert worden sei, eine Berufsausbildung zu absolvieren. Die Begründung der Vorinstanz, wonach diese Frage offenbar nur ein Nebenpunkt im Gutachten des Dr. med. I._ sei, stelle eine aktenwidrige tatsächliche Annahme dar. Denn aufgrund der Zusammenfassung im Gutachten werde offensichtlich, dass gerade der Punkt der (noch) fehlenden Ausbildung aufgrund der Persönlichkeitsstörung dem Gutachter sehr wichtig gewesen sei. Er begründe seinen Standpunkt zudem ausführlich, indem er darlege, dass psychiatrisch die Persönlichkeitsstörung die persönliche und berufliche Entwicklung der Versicherten seit ihrer Kindheit dominiere. Insgesamt erscheine das Gutachten als schlüssig und vollständig bezüglich der Frage, ob die Beschwerdeführerin gesundheitsbedingt (Borderline-Störung) nicht in der Lage gewesen sei, eine Berufsausbildung zu absolvieren. Sollte das Gutachten wider Erwarten bezüglich dieser Frage als nicht schlüssig und vollständig erachtet werden, wie es die Vorinstanz getan habe, so müsste zumindest zu dieser Frage eine Neubegutachtung vorgenommen werden.
4. 4.1 Im psychiatrischen Gutachten vom 12. März 2004 diagnostiziert Dr. med. I._ eine Borderline-Persönlichkeitsstörung vom emotional instabilen Typ (ICD-10 F60.30) mit anhaltender somatoformer Schmerzstörung (F45.4) und möglichem hirnorganischem Psychosyndrom nach Schädelhirntrauma (F07.2) bei Mofaunfall im Mai 1996. Die Beschwerdeführerin habe bedingt durch ihre Persönlichkeitsstörung keine berufliche Ausbildung erhalten, habe sich aber eine "ökologische Nische" geschaffen, sei durch Krankheit/Unfall und deren Folgen in den Jahren 1995/1996 aus diesem Umfeld gerissen worden und habe seither keinen befriedigenden beruflichen Wiedereinstieg geschafft. Psychiatrisch dominiere die Persönlichkeitsstörung die persönliche und berufliche Entwicklung der Explorandin seit ihrer Kindheit. Nach dem Unfall habe sie auf der Grundlage eines zervikozephalen und zervikospondylogenen Syndroms zusätzlich eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung entwickelt. Zur Begründung führt der Gutachter unter anderem an, die Lebensgeschichte der Beschwerdeführerin sei ungewöhnlich und turbulent verlaufen. Sie komme aus schwierigen Familienverhältnissen. Es seien Verhaltens- und Beziehungsstörungen ab der Kindheit von ihr beschrieben. Die Schule habe sie nach der geforderten Minimalzeit abgeschlossen. Trotz zahlreicher Anläufe in verschiedenen Gebieten habe sie keine strukturierte Ausbildung absolvieren können. In allen ehemaligen Betätigungsfeldern habe sie sich beruflich nicht etablieren können. Darin sei vielmehr eine strukturelle Persönlichkeitsproblematik denn eine transkulturelle Schwierigkeit zu sehen.
4.2 Dr. med. I._ führt im Gutachten vom 12. März 2004 die fehlende berufliche Ausbildung auf die Persönlichkeitsstörung der Beschwerdeführerin zurück. Er begründet seine Auffassung und ist zu diesem Schluss gekommen, obwohl dieser Punkt nicht Gegenstand der Abklärungen der IV war. IV-Stelle und kantonales Gericht halten das Gutachten für schlüssig, weichen davon einzig hinsichtlich der Frage ab, ob die Beschwerdeführerin aus invaliditätsbedingten Gründen keine Ausbildung absolvieren konnte. Andere ärztliche Stellungnahmen liegen zu dieser Frage nicht vor. Unter diesen Umständen hätte jedoch, wenn auf die gutachterliche Aussage nicht abgestellt wird, Anlass bestanden, diesen Punkt in medizinischer Hinsicht näher abzuklären. Indem das kantonale Gericht aufgrund der restlichen Akten zum Schluss gelangt ist, die Beschwerdeführerin habe aus freien Stücken auf eine Ausbildung verzichtet, hat es den Untersuchungsgrundsatz (Art. 61 lit. c ATSG) und damit Bundesrecht verletzt. Dass das Bundesgericht im Urteil vom 1. April 2008 ausgeführt hat (9C_734 und 740/2007 E. 4.4.2), die Beschwerdeführerin sei "vor Eintritt des Gesundheitsschadens freiwillig keiner geregelten Erwerbstätigkeit nachgegangen" ändert daran nichts. Im ersten Verfahren vor Bundesgericht ging es nicht um die Frage der Jugendinvalidität und auch nicht um einzelne Aspekte der Invaliditätsbemessung, sondern ob das kantonale Gericht im Rückweisungsentscheid zu Recht weitere Abklärungs- und allenfalls Eingliederungsmassnahmen angeordnet hatte. Die Sache geht daher an die IV-Stelle zurück, damit sie die Frage der Jugendinvalidität im Sinne von Art. 26 IVV namentlich in medizinischer Hinsicht abkläre und prüfe, ob die Beschwerdeführerin wegen der Invalidität keine zureichenden beruflichen Kenntnisse erwerben konnte.
5. Sollten die zusätzlichen Abklärungen ergeben, dass das Valideneinkommen nicht gestützt auf Art. 26 IVV festzusetzen ist, so ist ein IV-Rentenanspruch nicht ausgewiesen. Das kantonale Gericht ist in diesem Punkt angesichts der Rechtsprechung (E. 3.1.1 hievor) ohne Verletzung von Bundesrecht zum Schluss gekommen, dass das Valideneinkommen aufgrund der Auszüge aus dem individuellen Konto und in Würdigung der Akten mit der IV-Stelle hochgerechnet auf das Jahr 2005 höchstens auf Fr. 10'462.05 festzusetzen ist. Mit der verbliebenen Restarbeitsfähigkeit von 50 % könnte die Beschwerdeführerin ein Einkommen erzielen, das einen Rentenanspruch ausschliesst. Was hiegegen in der Beschwerde vorgebracht wird, lässt weder die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen noch die rechtlichen Erwägungen als fehlerhaft erscheinen.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens gilt die Beschwerdeführerin als obsiegend. Die unterliegende Beschwerdegegnerin trägt die Kosten des Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG) und hat der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung für das letztinstanzliche Verfahren zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zug vom 25. Mai 2011 und die Verwaltungsverfügung vom 22. März 2010 aufgehoben und die Sache an die IV-Stelle Zug zurückgewiesen wird, damit diese im Sinne der Erwägungen weitere Abklärungen in die Wege leite und hernach über den Rentenanspruch neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der IV-Stelle Zug auferlegt.
3. Die IV-Stelle Zug hat die Beschwerdeführerin für das Verfahren vor Bundesgericht mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Zug zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. August 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Nussbaumer