Sachverhalt:
A. Der 1962 geborene B._, als Station Manager in der Firma X._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, erlitt am 11. März 2004 einen Verkehrsunfall. Er hatte den von ihm gelenkten VW Golf Variant hinter einem vor einem Rotlicht stehenden Hyundai Accent angehalten. Ein nachfolgender Mercedes A-Klasse fuhr auf den VW auf, der dadurch gegen das Heck des Hyundai geschoben wurde. Wegen Beschwerden im Nacken- und Kopfbereich suchte B._ gleichentags das Spital Y._ auf, wo ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) resp. Schleudertrauma diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt wurde (Bericht des Spitals vom 11. März 2004). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach verschiedenen Sachverhaltsabklärungen eröffnete sie dem Versicherten mit Verfügung vom 16. März 2006, die Leistungen würden auf den 30. April 2006 eingestellt. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 11. März 2004. Daran hielt die SUVA auf Einsprache des Versicherten fest (Einspracheentscheid vom 6. Juni 2006).
B. Die von B._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 28. September 2007 ab.
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei der Unfallversicherer zu verpflichten, ab 1. Mai 2006 weiterhin Heilbehandlung zu gewähren und Taggeld auszurichten.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 25. März resp. 10. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer aus dem Unfall vom 11. März 2004 über den 30. April 2006 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Es betrifft dies insbesondere die von der Rechtsprechung erarbeiteten Grundsätze über den für einen Leistungsanspruch nebst anderem erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden sowie die Prüfung dieses Zusammenhangs nach der sog. Schleudertrauma-Praxis, welche bei nicht mit organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen verbundenen Schleudertraumen, äquivalenten Verletzungen der HWS und Schädel-Hirntraumen zur Anwendung gelangt. Darauf wird verwiesen.
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (BGE 134 V 109 E. 9 und 10 S. 121 ff.).
2. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, dass keine organisch objektiv ausgewiesene Folge des Unfalles vom 11. März 2004 besteht, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchte. Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten richtig und auch nicht umstritten.
Demnach hat, anders als bei organisch klar ausgewiesenen Unfallfolgen, bei welchen der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden kann, eine besondere Adäquanzprüfung zu erfolgen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Eine solche Prüfung haben Unfallversicherer und Vorinstanz vorgenommen. Der Versicherte lässt zunächst wie schon im kantonalen Verfahren geltend machen, die Adäquanz hätte noch nicht beurteilt werden dürfen. Die Leistungen seien daher unzulässigerweise eingestellt worden.
Das kantonale Gericht hat diese Argumentation zutreffenderweise verworfen. Zu fragen ist nicht danach, in welchem Zeitpunkt der adäquate Kausalzusammenhang zu prüfen ist, sondern wann der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat. Dies hat gestützt auf Art. 19 Abs. 1 UVG in dem Zeitpunkt zu geschehen, in welchem von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind (BGE 134 V 109 E. 3 und 4 S. 112 ff.).
Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung stehen nicht zur Diskussion. Sodann kann aufgrund der medizinischen Akten zuverlässig ausgeschlossen werden, dass von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung über den 30. April 2006 hinaus noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes zu erwarten war. Die Annahme einer solchen Besserungserwartung ist auch durch die vom Beschwerdeführer erwähnten Arztberichte nicht zuverlässig gestützt. Darin wird eine gesundheitliche Verbesserung, soweit überhaupt angesprochen, nur als möglich bezeichnet, was nicht genügt. Das gilt namentlich auch für das - zu Handen der Helsana Versicherungen AG - erstattete psychiatrische Konsilium vom 26. Juni 2007. Damit erübrigen sich Weiterungen zur Frage der Unfallkausalität der darin beschriebenen Beschwerden. Auf die im Weiteren beantragten ergänzenden medizinischen Abklärungen ist zu verzichten, da sie keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen.
Wenn die SUVA den Fall abgeschlossen hat, ist dies nach dem Gesagten nicht zu beanstanden.
4. Den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 11. März 2004 und den noch bestehenden Beschwerden hat das kantonale Gericht bejaht. Es hat sodann erwogen, der adäquate Kausalzusammenhang sei nach der Schleudertrauma-Praxis zu prüfen. Insoweit ist der vorinstanzliche Entscheid zu Recht nicht umstritten.
5. 5.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126). Das kantonale Gericht hat den Unfall vom 11. März 2004 als mittelschweres Ereignis im Grenzbereich zu den leichten Unfällen eingestuft. Dies ist aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes im Lichte der Rechtsprechung zur Unfallschwere bei Auffahrkollisionen auf ein (haltendes) Fahrzeug (RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236, U 380/04, E. 5.1.2 mit Hinweisen) richtig und nicht umstritten. Auch der Umstand, dass das Auto des Versicherten noch gegen das davor stehende Fahrzeug geschoben wurde, vermöchte keine andere Betrachtungsweise zu begründen, zumal dieser Zweitaufprall offensichtlich nur mit wenig Energie erfolgte.
5.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6a S. 367).
Die Adäquanzkriterien wurden teilweise durch BGE 134 V 109 modifiziert. Das kantonale Gericht hat sie noch in ihrer früheren Fassung geprüft und ist zum Ergebnis gelangt, sie lägen nicht in genügender Weise vor. Der Versicherte hingegen macht geltend, die massgeblichen Kriterien seien in der früheren wie auch in der geänderten Umschreibung gehäuft und in ausgeprägter Weise gegeben.
5.3 Ohne weiteres zu verneinen sind unbestrittenermassen die (unveränderten) Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls, der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen und der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert.
Nicht gegeben ist auch das (unveränderte) Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen. Besondere Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben (vgl. Urteil 8C_57/2008 vom 16. Mai 2008, E. 9.6.1 mit Hinweis), liegen nicht vor.
Entgegen der vom Versicherten vertretenen Auffassung lässt sich das Kriterium der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung (früher: ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung) ebenfalls nicht bejahen. Zwar fand im Jahr 2005 eine gut vierwöchige stationäre Rehabilitation statt. Daneben beschränkte sich die Behandlung aber im Wesentlichen auf ein- bis dreimal wöchentlich durchgeführte Physiotherapie, namentlich in Form von Krankengymnastik und Medizinische Trainingstherapie (MTT), Massagen, zeitweise Medikation und periodische Gespräche mit dem Hausarzt. Sodann absolvierte der Versicherte Eigentrainings (u.a. Aquafit und Schwimmen sowie Nordic Walking), und es wurden kurzzeitig komplementärmedizinische Massnahmen durchgeführt. Dies alles genügt nicht, um auf eine belastende Behandlung im Sinne des Kriteriums schliessen zu können.
5.4 Es verbleiben die Kriterien der erheblichen Beschwerden (früher: Dauerbeschwerden) und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (früher: Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit). Selbst wenn indessen beide bejaht würden, was namentlich mit Blick auf die schon kurz nach dem Unfall wieder vorhandene zunächst 30%ige, dann 50%ige und in der Folge noch weiter erhöhte Arbeitsfähigkeit eher fraglich erscheint, wäre keine Häufung adäquanzrelevanter Faktoren gegeben. Zudem liegen die besagten Kriterien jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise vor. Weshalb es sich diesbezüglich anders verhalten sollte, wird vom Beschwerdeführer denn auch nicht begründet.
5.5 Zusammenfassend hat das kantonale Gericht den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 11. März 2004 und den noch bestehenden Beschwerden und damit die Leistungspflicht der SUVA zu Recht verneint. An diesem Ergebnis vermögen sämtliche weiteren Vorbringen des Versicherten nichts zu ändern.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz