Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1.
A.X._ war im Rahmen einer vom Jugendgericht angeordneten Unterbringung vom 17. Mai 2008 bis zum 10. April 2012 bei einer Pflegefamilie platziert. Am 7. Dezember 2012 setzte die Oberjugendanwaltschaft des Kantons Zürich die Beiträge von A.X._ und dessen Vater, B.X._, an die Massnahmevollzugskosten auf monatlich je Fr. 487.-- bzw. Fr. 400.-- fest. Beide rekurrierten gegen die Verfügung. Sie beantragten deren Aufhebung und in verfahrensrechtlicher Hinsicht die Zustellung der herangezogenen Akten zur Einsichtnahme und die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Mit Zwischenverfügung vom 13. März 2013 wies die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich die Gesuche um Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes für das Rekursverfahren und um Zustellung der Akten ab. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 20. Juni 2013 ab, soweit darauf einzutreten war.
A.X._ und B.X._ beantragen beim Bundesgericht, das Urteil vom 20. Juni 2013 und die Verfügung vom 13. März 2013 seien aufzuheben. Es sei ihnen für das Rekursverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen.
2.
In Strafsachen dürfen Parteien vor Bundesgericht nur durch Anwälte vertreten werden (Art. 40 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde wurde durch einen dazu nicht legitimierten Wirschaftsinformatiker verfasst. Indessen ist sie auch durch B.X._ persönlich unterschrieben. Damit ist der Mangel gemäss Art. 42 Abs. 5 BGG behoben. Auf die Beschwerde ist unter diesem Gesichtswinkel einzutreten.
3.
Ein Zwischenentscheid kann vor Bundesgericht nur angefochten werden, wenn er einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil für die Beschwerdeführer bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege kann gemäss der Rechtsprechung einen solchen Nachteil bewirken (Urteil 2C_156/2013 vom 5. September 2013 E. 1.1 mit Hinweisen). Diese Voraussetzung dürfte nicht erfüllt sein, soweit es um die Zustellung von Akten geht. Die Frage kann indessen offen bleiben, weil auf die Beschwerde ohnehin nicht eingetreten werden kann.
4.
Es ist nicht ersichtlich, inwieweit die Beschwerdeführer im Rahmen des Verfahrens vor Bundesgericht Einsicht in die kantonalen Akten benötigten. Deren Zusendung durch das Bundesgericht kommt nicht in Betracht (Beschwerde S. 3/4 Ziff. II/1).
5.
Da es sich bei der Beschwerdefrist um eine gesetzliche Frist im Sinne von Art. 47 Abs. 1 BGG handelt, ist die Einräumung einer Nachfrist zur Ergänzung ausgeschlossen (Beschwerde S. 4 Ziff. 2).
6.
Über den Ausstand von Gerichtspersonen wird vorgängig nur auf ein begründetes und glaubhaft gemachtes Gesuch hin entschieden (Art. 36 Abs. 1 BGG). Aus welchem Grund im vorliegenden Verfahren ein Ausstandsbegehren "allenfalls notwendig" werden könnte, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen (S. 4 Ziff. 3). Sollten die Beschwerdeführer nach Abschluss des bundesgerichtlichen Verfahrens einen Ausstandsgrund entdecken, stünde es ihnen frei, ein Revisionsgesuch zu stellen (Art. 38 Abs. 3 BGG).
7.
Eine mündliche Parteiverhandlung wird vor Bundesgericht nur in begründeten Fällen durchgeführt (Art. 57 BGG). Im vorliegenden Fall besteht dazu kein Anlass (Beschwerde S. 4-6 Ziff. 4).
8.
Die Vorinstanz trat auf die Rüge der verweigerten Aktenzustellung nicht ein, weil die Voraussetzung des nicht wiedergutzumachenden Nachteils nicht erfüllt war (E. 1.2), wies das Gesuch um eine mündliche Verhandlung ab (E. 2), erachtete den Beizug eines Rechtsbeistands als nicht notwendig, weil sich keine schwierigen Fragen stellten (E. 3), und wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren ab, weil die Bedürftigkeit der Beschwerdeführer nicht nachgewiesen wurde (E. 4).
Den weitschweifigen materiellen Ausführungen der Beschwerde ist nicht zu entnehmen, dass und inwieweit der angefochtene Entscheid gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte (vgl. Beschwerde S. 8-20). So wird denn auch zur Einleitung der "Begründungen" die abwegige Feststellung getroffen, es sei dem Bevollmächtigten "untersagt", "eine rechtlich substantiierte Begründung zu den Begehren abzugeben" (Beschwerde S. 14 Ziff. 1). In einer Beschwerde ans Bundesgericht muss eine Begründung enthalten sein (Art. 42 Abs. 2 BGG).
Die Vorinstanz stellt in Bezug auf die Frage der Bedürftigkeit z.B. fest, es bestehe ein Vermögen von über Fr. 200'000.-- in Wertschriften und Bankguthaben (Entscheid S. 9). Inwieweit dieses Geld nicht hätte berücksichtigt werden dürfen, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen (vgl. S. 16-18 Ziff. 5.1). In Bezug auf die Schwierigkeit des Falles führt die Vorinstanz aus, es sei nicht ersichtlich, inwieweit sich die Beschwerdeführer nicht ohne Anwalt zu ihren persönlichen und finanziellen Verhältnissen äussern könnten (Entscheid S. 7). Aus welchem Grund es stattdessen um eine "hochkomplex (e) " Angelegenheit gehen soll, ergibt sich aus der Beschwerde nicht (vgl. S. 18/19 Ziff. 5.2).
Ohne dass sich das Bundesgericht zu allen Vorbringen ausdrücklich äussern müsste, ist auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
9.
Die Gerichtskosten sind den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG mangels nachgewiesener Bedürftigkeit abzuweisen.
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden den Beschwerdeführern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Oktober 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Schneider
Der Gerichtsschreiber: Monn