Faits:
A.
Le Ministère public de la République et canton de Genève instruit depuis le 12 décembre 2013 une enquête contre A._ pour lésions corporelles simples, menaces, injure et mise en danger de la vie d'autrui. Il est reproché au prévenu d'avoir, le jour précédent, saisi son pistolet - qui se trouvait sur une tablette sous le volant de son véhicule -, effectué un mouvement de charge, pointé le canon contre l'oreille gauche de B._, pressé l'arme contre le cou de ce dernier l'obligeant ainsi à s'abaisser à ses pieds et tiré un coup de feu; le projectile semble avoir percuté l'arrière gauche de la tête de B._, lui causant une tuméfaction avec une plaie de deux centimètres, ainsi que des bourdonnements à l'oreille. La police a procédé à différentes auditions, dont celle de A._, interpellé à son domicile. Le Procureur a également entendu ce dernier, ainsi que la victime, notamment lors d'une séance de confrontation le 7 janvier 2014, et a entamé des démarches en vue de faire réaliser une expertise psychiatrique du prévenu. Deux armes, dont celle en cause, ont été saisies dans l'immeuble de l'intéressé.
Sur demande du Ministère public, le Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) a ordonné la détention provisoire de A._ le 13 décembre 2013, retenant l'existence de charges suffisantes, ainsi que des risques de collusion et de réitération. Cette décision a été confirmée par la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève le 6 janvier 2014; les juges cantonaux ont notamment relevé que le prévenu semblait psychologiquement fragile, ayant voulu mettre fin à ses jours et étant suivi médicalement depuis deux ans en raison d'une dépression. Par ordonnance du 11 janvier 2014, le Tmc a rejeté la requête de mise en liberté formée par le détenu lors de l'audience du 7 janvier 2014 et ordonné la prolongation de la détention provisoire jusqu'au 10 avril 2014; cette autorité a en particulier astreint le Procureur à obtenir au plus tard le 20 mars 2014 un rapport d'expertise intermédiaire portant sur le risque de récidive et les mesures concrètes à mettre en place en vue de diminuer ce danger.
B.
Le 3 février 2014, la Chambre pénale de recours a rejeté le recours intenté par A._ à l'encontre de la décision du Tmc. Elle a constaté la gravité des charges pesant sur le prévenu, l'existence de risques de collusion et de réitération, l'absence de mesures de substitution à même de pallier ces dangers, ainsi que le respect du principe de proportionnalité, notamment par rapport à la durée de la détention subie.
C.
Par acte du 4 mars 2014, A._ forme un recours en matière pénale contre ce jugement, concluant à son annulation. Il requiert sa libération immédiate et, à titre subsidiaire, sa mise en liberté assortie de mesures de substitution, soit les engagements de ne pas entrer en contact, de manière directe ou indirecte, avec la partie plaignante, ni aucune autre personne liée à la procédure pénale et de demeurer chez sa mère et non plus à son propre appartement. Plus subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour qu'elle statue dans le sens des considérants. Le recourant sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invité à se déterminer, le Ministère public s'en est remis à justice s'agissant de la recevabilité et a conclu au rejet du recours. Quant à la juridiction précédente, elle n'a pas formulé d'observations. Le recourant n'a pas déposé de détermination complémentaire.
Considérant en droit:
1.
Le recours en matière pénale (art. 78 al. 1 LTF) est en principe ouvert contre une décision relative à la détention provisoire ou pour motifs de sûreté au sens des art. 212 ss CPP (ATF 137 IV 22 consid. 1 p. 23). Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF, le prévenu - actuellement détenu - a qualité pour agir. Le recours a été formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (art. 80 LTF) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'art. 107 al. 2 LTF. Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Une mesure de détention préventive n'est compatible avec la liberté personnelle (art. 10 al. 2 Cst. et 5 CEDH) que si elle repose sur une base légale (art. 31 al. 1 et art. 36 al. 1 Cst.), soit en l'espèce l'art. 221 CPP. Elle doit en outre correspondre à un intérêt public et respecter le principe de la proportionnalité (art. 36 al. 2 et 3 Cst.; ATF 123 I 268 consid. 2c p. 270). Pour que tel soit le cas, la privation de liberté doit être justifiée par les besoins de l'instruction, un risque de fuite ou un danger de collusion ou de réitération (art. 221 al. 1 let. a, b et c CPP).
Préalablement à l'examen de ces hypothèses, il doit exister à l'égard de l'intéressé des charges suffisantes, soit de sérieux soupçons de culpabilité (art. 221 al. 1 CPP), condition qui n'est pas remise en cause en l'espèce (cf. ad C.1 du recours, p. 7).
3.
Le recourant conteste en revanche l'existence d'un risque de récidive. A cet égard, il soutient qu'il n'aurait aucun antécédent et que sa dépression, ainsi que son suivi psychiatrique ne permettraient pas de le considérer comme une personne présentant une telle dangerosité qu'il devrait être placé en détention. Quant à la présence d'un pistolet chargé dans son véhicule, cela se justifierait, selon lui, par son souhait de le vendre. A titre de mesure de substitution, la proposition de résider chez sa mère constituerait une mesure adéquate afin de ne pas croiser la victime et le témoin qui résidaient dans le même immeuble que lui.
3.1. Aux termes de l'art. 221 al. 1 let. c CPP, la détention provisoire peut être ordonnée lorsqu'il y a lieu de craindre que le prévenu compromette sérieusement la sécurité d'autrui par des crimes ou des délits graves après avoir déjà commis des infractions du même genre. Selon la jurisprudence, il convient de faire preuve de retenue dans l'appréciation du risque de récidive: le maintien en détention ne peut se justifier pour ce motif que si le pronostic est très défavorable et si les délits dont l'autorité redoute la réitération sont graves (ATF 137 IV 13 consid. 4.5 p. 21; 135 I 71 consid. 2.3 p. 73 et les arrêts cités). La jurisprudence se montre moins sévère dans l'exigence de vraisemblance lorsqu'il s'agit de délits de violence graves, car le risque à faire courir aux victimes potentielles est alors considéré comme trop important; en pareil cas, il convient de tenir compte de l'état psychique du prévenu, de son imprévisibilité ou de son agressivité (ATF 123 I 268 consid. 2e p. 271).
Bien qu'une application littérale de l'art. 221 al. 1 let. c CPP suppose l'existence d'antécédents, le risque de réitération peut être également admis dans des cas particuliers alors qu'il n'existe qu'un antécédent, voire aucun dans les cas les plus graves. La prévention du risque de récidive doit en effet permettre de faire prévaloir l'intérêt à la sécurité publique sur la liberté personnelle du prévenu (ATF 137 IV 13 consid. 3 à 4 p. 18 ss; arrêt 1B_133/2011 du 12 avril 2011 consid. 4.7 in SJ 2011 I p. 487). Le risque de réitération peut également se fonder sur les infractions faisant l'objet de la procédure pénale en cours, si le prévenu est fortement soupçonné - avec une probabilité confinant à la certitude - de les avoir commises (ATF 137 IV 84 consid. 3.2 p. 86 et les références citées).
3.2. En l'occurrence, il est incontesté qu'aucune expertise psychiatrique ne figure à ce jour au dossier pénal. Contrairement cependant à ce que voudrait croire le recourant, l'absence d'un tel rapport ne suffit pas à exclure tout danger de récidive, en particulier au vu des circonstances d'espèce. En effet, le recourant - pourtant en traitement psychiatrique pour une dépression depuis deux ans - se trouvait au moment des faits en possession de deux armes, dont l'une était détenue chargée dans son véhicule. Lors d'une simple altercation, il n'a pas hésité à y avoir immédiatement recours, son impulsivité le conduisant même à faire feu à courte distance du plaignant.
Dès lors, au regard de la gravité des actes examinés, il paraît judicieux d'attendre l'avis d'un expert psychiatre sur la question du danger de récidive, ce qu'autorise la jurisprudence en pareilles situations (arrêts 1B_49/2014 du 19 février 2014 consid. 5.2; 1B_305/2013 du 26 septembre 2013 consid. 3.2; 1B_41/2013 du 27 février 2013 consid. 3.2; 1B_705/2012 du 10 décembre 2012 consid. 2.9 à 2.11). Une telle mesure a d'ailleurs été envisagée par le Ministère public dès le 13 décembre 2013, soit deux jours à peine après l'interpellation du recourant par la police, le magistrat ayant alors relevé que "les circonstances impos[aisent] l'établissement d'un rapport préliminaire sur la dangerosité à brève échéance". Dès lors que le mandat adressé le 13 janvier 2014 à l'expert mentionne une nouvelle fois la nécessité de ce rapport intermédiaire d'ici au 20 mars 2014, il se justifie d'attendre les conclusions de celui-ci qui ne manquera pas, cas échéant, d'indiquer également si d'éventuelles mesures d'ordre médical permettraient de pallier le risque de réitération; à ce propos, il est encore précisé que les mesures proposées par le recourant ne semblent pas en l'état suffisantes pour assurer la sécurité publique, ne reposant notamment que sur sa seule volonté sans possibilité de contrôle. Cette solution ne viole pas non plus le principe de proportionnalité au vu des démarches déjà entreprises par le Procureur, de la peine menace et concrète encourue par le recourant (cf. notamment l'art. 129 CP en lien avec l'art. 49 CP), ainsi que de la durée de la détention provisoire (quatre mois jusqu'au 10 avril 2014).
3.3. Le maintien en détention étant justifié par le danger de récidive, il n'est pas nécessaire d'examiner si cette mesure se justifie également en raison d'un risque de collusion.
3.4. C'est donc à juste titre que la Chambre pénale de recours a confirmé la décision du Tmc de maintien en détention provisoire du recourant jusqu'au 10 avril 2014.
4.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté.
Le recourant a demandé l'assistance judiciaire et les conditions en paraissent réunies (art. 64 al. 1 LTF). Il y a lieu de désigner Me Nicolas Golovtchiner en qualité d'avocat d'office et de fixer ses honoraires, qui seront supportés par la caisse du Tribunal fédéral (art. 64 al. 2 LTF). Le recourant est en outre dispensé des frais judiciaires (art. 64 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise; Me Nicolas Golovtchiner est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 21 mars 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf