Faits:
A.
A._ travaillait comme maçon pour le compte de l'entreprise B._, dont son frère est l'unique associé. A ce titre, il était assuré contre le risque d'accidents par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 19 mai 2011, A._ a chuté d'un échafaudage (d'une hauteur de 3 à 3.5 mètres) dont la planche a cédé. Il a été transporté à l'Hôpital C._ où les médecins ont diagnostiqué une contusion de la tête sans perte de connaissance et sans amnésie, une plaie de 3X3 cm à l'arrière du crâne (qu'ils ont suturée), une contusion de l'épaule droite, une fracture de la phalange distale du troisième doigt de la main droite ainsi qu'une contusion thoracique latérale au niveau des côtes 5/6; un CT-scann cérébral n'a révélé aucune lésion osseuse ou hémorragie interne. A._ est resté un jour dans cet hôpital. La CNA a pris en charge le cas.
Dans un entretien du 21 juin 2011 avec un gestionnaire de sinistres de la CNA, l'assuré a expliqué que durant sa chute, son casque s'était détaché et qu'il avait heurté la barre métallique de l'échafaudage avec sa tête avant de tomber au sol sur son flanc droit. Il se plaignait de fortes douleurs à la tête, au niveau des côtes, de pertes de l'équilibre et de problèmes de mémoire. Il était suivi par la doctoresse D._ qui l'avait adressé à divers médecins spécialistes. Le traitement prodigué consistait en médicaments analgésiques et des séances de physiothérapie. On peut toutefois noter que dans le rapport initial de l'Hôpital C._, il est mentionné que l'assuré avait pu enrayer sa chute en se tenant avec la main droite, pour tomber d'abord sur son épaule du côté droit et ensuite heurter le sol avec sa tête.
Alors que le médecin traitant a fait état d'une lente amélioration des symptômes, la situation s'est à nouveau détériorée en automne 2011, ce qui a conduit la CNA à proposer un séjour à la Clinique E._. Durant ce séjour, qui a eu lieu du 8 février au 7 mars 2012, l'assuré a été soumis à un examen neurologique, neuropsychologique et psychiatrique, à des tests d'évaluation des vertiges ainsi qu'à un examen d'IRM cérébrale; il a également participé à des séances de physiothérapie et à des entretiens sur la douleur. Il ressort du rapport de sortie du 13 mars 2012 que les investigations réalisées n'avaient mis en évidence aucune lésion traumatique objective ni de comorbidité psychiatrique significative. L'assuré a été décrit comme très démonstratif et auto-limitatif dans les épreuves avec des résultats très déficitaires dépassant les séquelles qu'on pouvait attendre du traumatisme subi. Les nombreuses incohérences entre les données résultant des évaluations effectuées et les plaintes du patient faisaient craindre un risque d'invalidation vers un trouble somatoforme douloureux. Il n'y avait pas de justification à maintenir une incapacité de travail.
Par décision du 25 avril 2012, la CNA a mis un terme à ses prestations au 30 avril 2012. Elle a considéré que les troubles dont l'assuré se plaignait n'étaient pas suffisamment démontrables d'un point de vue organique, et a nié l'existence d'un rapport de causalité adéquate entre lesdits troubles et l'accident. L'assuré a formé opposition contre cette décision. Il a produit de nouveaux documents médicaux (des docteurs F._, spécialiste en médecine physique et réhabilitation, et G._, neurologue). Dans une nouvelle décision du 20 juillet 2012, la CNA a écarté l'opposition.
B.
L'assuré a recouru contre cette dernière décision devant la Cour des assurances du Tribunal cantonal jurassien. A l'appui de son recours, il a produit plusieurs bordereaux de pièces médicales complémentaires.
Par jugement du 29 avril 2013, le tribunal cantonal a rejeté le recours de l'assuré.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il requiert l'annulation, sous suite de frais et dépens. Il conclut, principalement, au maintien, par la CNA, des indemnités journalières, respectivement de la prise en charge du traitement médical, au-delà de la date de suppression des prestations; subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouveau jugement dans le sens des considérants.Il sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire.
La CNA conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1.
Lorsque sont en jeu - comme ici - des prestations en espèces (indemnités journalières ou rente d'invalidité) et en nature (traitement médical) de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (SVR 2011 UV n° 1 p. 1, 8C_584/2009 consid. 4).
2.
Aux termes de l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni aucune preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Les allégués nouveaux contenus dans les "observations volontaires" que le recourant a transmis au Tribunal fédéral en date du 9 juillet 2013, ainsi que les pièces médicales y relatives (de la doctoresse D._ du 8 juillet 2013 et de la Clinique H._ du 28 février 2014 avec ses annexes), ne peuvent dès lors pas être prises en considération par la Cour de céans.
3.
3.1. Le recourant conteste tout d'abord le point de vue de la juridiction cantonale selon laquelle la CNA était fondée à liquider le cas au 30 avril 2012 dès lors qu'il n'y avait plus lieu d'attendre de la continuation d'un traitement médical une sensible amélioration de l'état de santé de l'assuré (cf. art. 19 LAA).
3.2. Ce grief est infondé. Comme l'ont relevé à juste titre les premiers juges, il ressort unanimement de la documentation médicale au dossier que l'état de santé de l'assuré est stationnaire. Les mesures proposées (séjour dans une clinique de réadaptation, traitement psychothérapeutique) le sont uniquement en vue d'aider celui-ci à gérer sa symptomatologie douloureuse. C'est en vain que le recourant se réfère au rapport du docteur F._ d'après lequel le statu quo sine n'est pas encore atteint. Il confond ici deux notions différentes. La question n'est pas de savoir si l'on peut considérer que son état de santé est parvenu au state d'évolution qu'il aurait atteint sans l'accident (statu quo sine) mais si la situation peut être considérée comme stabilisée au point qu'il n'y a plus lieu d'attendre d'un trai-tement une amélioration sensible de celle-ci. Tel est bien le cas en l'espèce comme l'ont admis les premiers juges.
4.
4.1. Le droit à des prestations de l'assurance-accidents (telles qu'une rente d'invalidité) suppose un lien de causalité naturelle et adéquate entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé (sur ces notions ATF 129 V 177 consid. 3.1 et 3.2 p. 181).
4.2. A cet égard, le recourant fait valoir qu'il a été victime d'un accident du type coup du lapin et qu'il en présente toujours les symptômes cliniques caractéristiques au-delà de la date de suppression des prestations. Il reproche aux premiers juges d'avoir procédé d'emblée à l'examen de la causalité adéquate de ses troubles, en laissant indécise la question de la causalité naturelle et sans ordonner un complément d'instruction médical sur ce point. En ce qui concerne l'examen de la causalité adéquate, il leur fait grief d'avoir appliqué à son cas la jurisprudence en matière de troubles psychiques consécutifs à un accident en lieu et place des principes développés en cas de traumatisme du type "coup du lapin" et d'avoir classé l'événement assuré parmi les accidents de gravité moyenne alors que les circonstances de sa chute imposaient de retenir un accident grave. Enfin, le recourant estime qu'il remplit tous les critères déterminants pour qu'un tel lien de causalité soit reconnu.
5.
5.1. En présence d'une atteinte à la santé physique en relation de causalité naturelle avec l'accident, le problème de la causalité adéquate ne se pose guère car l'assureur répond aussi des atteintes qui ne se produisent habituellement pas selon l'expérience médicale (ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103 et les références).
5.2. En cas d'accident ayant entraîné un traumatisme de type "coup du lapin" à la colonne cervicale, d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou d'un traumatisme cranio-cérébral sans preuve d'un déficit organique objectivable, le Tribunal fédéral a développé une jurisprudence particulière en matière de causalité (voir ATF 134 V 109; 117 V 359).
Dans ces cas, l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident et l'incapacité de travail ou de gain doit en principe être reconnue en présence d'un tableau clinique typique présentant de multiples plaintes (maux de têtes diffus, vertiges, troubles de la concentration et de la mémoire, nausées, fatigabilité, troubles de la vue, irritabilité, dépression, modification du caractère, etc.). Il faut cependant que l'existence d'un tel traumatisme et de ses suites soit dûment attestée par des renseignements médicaux fiables (ATF 134 V 109 consid. 9 p. 122 ss).
Pour l'examen de la causalité adéquate, la jurisprudence distingue la situation dans laquelle les symptômes, qui peuvent être attribués de manière crédible au tableau clinique typique, se trouvent toujours au premier plan, de celle dans laquelle l'assuré présente des troubles psychiques qui constituent une atteinte à la santé distincte et indépendante du tableau clinique caractéristique habituellement associé aux traumatismes en cause. Dans le premier cas, cet examen se fait sur la base des critères particuliers développés pour les cas de traumatisme de type "coup du lapin" à la colonne cervicale, de traumatisme analogue à la colonne cervicale ou de traumatisme cranio-cérébral, lesquels n'opèrent pas de distinction entre les éléments physiques et psychiques des atteintes (cf. ATF 134 V 109 consid. 10.3 p. 130; 117 V 359 consid. 6a p. 367 et 369 consid. 4b p. 383). Dans le second cas, il y a lieu de se fonder sur les critères applicables en cas de troubles psychiques consécutifs à un accident, c'est-à-dire en excluant les aspects psychiques (cf. ATF 134 V 109 consid. 9.5 p. 125 s.; 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103 et les référence; 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409).
6.
6.1. En l'occurrence, le recourant se plaint de douleurs cervico-occipito-frontales intenses, de vertiges et vomissements occasionnels, de problèmes de concentration, ainsi que de douleurs dans la région thoracique droite et à l'épaule droite. Sur la base des rapports médicaux qui ont été soumis à l'autorité précédente - seuls ces documents sont en effet recevables dans la présente procédure -, on doit constater que les investigations mises en oeuvre n'ont pas permis d'objectiver au degré de la vraisemblance prépondérante un substrat organique à ces troubles. On peut se référer en particulier au rapport du 23 mai 2012 du docteur F._, à celui du 21 septembre 2012 du docteur I._, du service d'orthopédie de l'Hôpital C._, ainsi qu'aux comptes-rendus d'examens par CT-scan ou IRM du crâne et de la région cervicale qui ont été qualifié de normaux, hormis la présence de modifications dégénératives en C6-C7. On ne peut rien déduire non plus des avis des docteurs J._ et K._, qui ne font qu'évoquer des hypothèses non vérifiées. Le recourant, du reste, ne fait valoir aucun argument à ce sujet dans son mémoire de recours.
6.2.
6.2.1. Cela étant, il est constant que dans sa chute, l'assuré s'est blessé à la tête. Le diagnostic initial posé par les médecins de l'Hôpital C._ est une contusion crânienne. Selon le docteur L._, il y a eu une distorsion cervicale et peut-être également un léger traumatisme cranio-cérébral (rapport du 22 décembre 2011; voir aussi le rapport du docteur M._ du 18 novembre 2012).
6.2.2. Lorsqu'on se trouve en présence d'un accident ayant entraîné un traumatisme cranio-cérébral ou un traumatisme analogue - ce que les premiers juges ont à juste titre admis ici -, le dossier doit contenir suffisamment de renseignements médicaux pour permettre d'établir si, au moment de l'examen de la causalité, les troubles non objectivables présents doivent être considérés comme faisant encore partie du tableau clinique typique d'un tel traumatisme ou si cette problématique représente une atteinte à la santé psychique propre et distincte du tableau clinique. De la réponse à ces questions dépend en effet le point de savoir quels critères déterminants le juge doit appliquer pour se prononcer sur la causalité adéquate (voir consid. 5.2 supra).
6.2.3. On peut concéder au recourant qu'en l'absence d'un diagnostic psychiatrique clairement établi, une application des critères en matière de troubles psychiques (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140) pour apprécier le caractère adéquat de ses symptômes cervicaux et neuro-végétatifs pourrait prêter à discussion. Son argumentation dans ce sens procède toutefois d'une mauvaise lecture du jugement attaqué. Les premiers juges ont en effet laissé cette problématique ouverte dans la mesure où l'examen à l'aune des critères tirés la jurisprudence applicable aux traumatismes cervicaux (ATF 134 V 109) conduisait de toute façon à la négation du rapport de causalité adéquate. Cette manière de faire des premiers juges, qui ont confirmé la suppression des prestations en se fondant sur la variante jurisprudentielle la plus favorable à l'assuré, n'est pas critiquable tant que le résultat auquel ils ont abouti peut être entériné (cf. SVR 2009 UV n° 29 p. 101 consid. 4.2 et 4.3 [arrêt 8C_669/2008 du 25 février 2009]). C'est le cas en l'espèce, comme on le verra ci-après.
7.
7.1. Au regard de la casuistique relative à des chutes d'une certaine hauteur, on ne peut que se rallier à l'opinion des premiers juges selon laquelle l'accident du 19 mai 2011 doit être qualifié de gravité moyenne (pour des cas comparables voir notamment les arrêts 8C_826/2011 du 17 décembre 2012, 8C_305/2011 du 6 mars 2012, 8C_855/2009 du 21 avril 2010 et 8C_584/2007 du 9 septembre 2008). On rappellera qu'ont été considérées comme faisant partie de la limite supérieure de cette catégorie, les chutes qui se sont produites d'une hauteur sensiblement plus élevée que 3,5 mètres (soit entre 5 et 8 mètres) et qui ont entraîné des lésions osseuses relativement sévères (voir les arrêts publiés à la RAMA 1999 n° U 330 p. 122 consid. 4b/bb et RAMA 1998 n° U 307 p. 448 consid. 3a). Compte tenu des blessures subies par le recourant, on ne saurait considérer que les forces en jeu étaient telles qu'il faille aboutir à une appréciation différente de la situation.
7.2. En cas d'accident de gravité moyenne, trois critères au moins parmi les sept consacrés dans l'ATF 134 V 109 doivent être réunis pour qu'on puisse admettre un lien de causalité adéquate entre des plaintes et un traumatisme cervical ou cranio-cérébral lorsque par ailleurs aucun des critères admis ne revêt en soi une intensité particulière (cf. arrêt 8C_897/2009 du 29 janvier 2010, consid. 4.5).
7.3. La juridiction cantonale a considéré que deux critères seulement étaient réunis (celui de la persistance des douleurs et celui de la durée de l'incapacité de travail), en précisant qu'aucun d'entre eux ne présentait un caractère marqué. Cette appréciation n'est en tout cas pas critiquable. On pourrait même douter que ces deux critères soient remplis. En ce qui concerne l'intensité des douleurs, il faut que des douleurs importantes aient existé sans interruption notable durant tout le temps écoulé entre l'accident et la clôture du cas (art. 19 al. 1 LAA). L'intensité des douleurs est examiné au regard de leur crédibilité, ainsi que de l'empêchement qu'elles entraînent dans la vie quotidienne (ATF 134 V 109 consid. 10.2.4 p. 128). Or, non seulement il y a eu une période d'amélioration significative des douleurs dans les mois qui ont suivi l'accident, mais on peut également émettre des réserves sur leur caractère permanent compte tenu des observations faites à la Clinique E._. Les médecins qui ont examiné l'assuré durant ce séjour ont en effet constaté de nombreuses incohérences dans son comportement ainsi qu'une tendance à l'amplification due à des facteurs psychiques surajoutés, observation qui est également rapportée dans d'autres documents médicaux (voir le rapport du docteur F._ du 23 mai 2012). Quant au critère de l'importance de l'incapacité de travail, ce n'est pas la durée de l'incapacité qui est déterminante mais bien plutôt son importance au regard des efforts sérieux accomplis par l'assuré pour reprendre une activité. L'intensité des efforts exigibles doit être mesurée à la volonté reconnaissable de l'intéressé de faire tout ce qui est possible pour réintégrer rapidement le monde du travail, au besoin en exerçant une autre activité compatible avec son état de santé (ATF 134 V 109 consid. 10.2.7 p. 129 s.). Le recourant n'a toutefois pas démontré avoir fait des efforts en vue de retrouver un poste de travail bien que la doctoresse D._ eût préconisé une reprise de travail progressive (50 %) à partir du mois de septembre 2011 au vu de la diminution des plaintes de son patient. Pour le surplus, on peut renvoyer le recourant - qui se borne à affirmer, sans développer plus avant sa critique, qu'il remplit tous les critères jurisprudentiels déterminants - aux considérants convaincants du jugement attaqué.
7.4. Dans ces conditions, on ne peut pas reconnaître un lien de causalité adéquate entre les troubles et l'accident assuré. Il s'ensuit que la juridiction cantonale était fondée à confirmer l'arrêt des prestations d'assurance au 30 avril 2012. Le recours doit être rejeté.
8.
Le recourant, qui satisfait aux conditions de l'art. 64 al. 1 LTF, est dispensé de l'obligation de payer les frais judiciaires. Quant aux conditions auxquelles l'art. 64 al. 2 LTF subordonne la désignation d'un avocat d'office, elles sont également réalisées. L'attention du recourant est cependant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4.
Une indemnité de 2'800 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à M e Julien Broquet à titre d'honoraires.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 30 mai 2014
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : La Greffière :
Leuzinger von Zwehl