Faits:
A. A.a A._, né en 1969, et X._, née en 1974, se sont mariés en 1993 à B._ (VD), sans conclure de contrat de mariage. Deux enfants sont issus de cette union: C._, née en 1995 et D._, né en 1997.
Les époux se sont séparés au mois de janvier 2005.
Statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale le 2 mars 2006, le Tribunal de première instance de Genève a attribué la garde des enfants à la mère et condamné le père à verser une contribution à l'entretien de la famille d'un montant de 2'100 fr. par mois, allocations familiales non comprises.
A.b Le 6 mars 2008, A._ a formé une demande unilatérale en divorce, assortie d'une requête de mesures provisoires.
Par jugement du 10 septembre 2008, le Tribunal de première instance a, entre autres points, prononcé le divorce des époux, attribué l'autorité parentale et la garde des enfants à la mère, sous réserve du droit de visite usuel du père, et condamné celui-ci à verser, pour l'entretien de chaque enfant, une contribution, indexée, de 1'100 fr. par mois jusqu'à leur majorité; il a en outre astreint le mari à payer mensuellement en faveur de l'épouse une contribution après divorce d'un montant de 500 fr. jusqu'à la fin du mois où le cadet des enfants aura atteint l'âge de seize ans révolus, soit jusqu'au 31 janvier 2013, et, enfin, ordonné le partage des prestations de sortie de la prévoyance professionnelle calculées durant la période du mariage.
Sur mesures provisoires, le Tribunal de première instance a débouté les parties de leurs conclusions.
Par arrêt du 20 mars 2009, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a, notamment, condamné le père à payer, pour l'entretien de chacun de ses enfants, des contributions, indexées, d'un montant de 600 fr. par mois jusqu'à leur majorité, allocations familiales en sus, et constaté que les revenus actuels du mari ne permettaient pas d'allouer une contribution d'entretien à l'épouse.
Sur mesures provisoires, l'autorité cantonale a condamné le mari à verser, dès le 6 mars 2008, la somme de 1'200 fr. par mois à titre de contribution à l'entretien de sa famille.
B. Par un seul et même acte déposé le 24 avril 2009, l'épouse interjette un recours en matière civile contre l'arrêt cantonal, dont elle requiert l'annulation du prononcé tant sur le fond que sur mesures provisoires pour ce qui concerne les contributions d'entretien en faveur des enfants et d'elle-même. Elle conclut à la confirmation du jugement de première instance du 10 septembre 2008.
Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. Les recours étant dirigés tant à l'encontre des mesures provisionnelles que du fond, il se justifie de joindre les causes et de statuer à leur sujet par un seul arrêt (art. 24 PCF, applicable par renvoi de l'art. 71 LTF).
1.1 L'arrêt entrepris, rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF), est une décision finale (art. 90 LTF) aussi bien dans son prononcé sur le fond que sur mesures provisoires (ATF 134 III 426 consid. 2.2 p. 431/432). Dès lors que le litige soumis au Tribunal fédéral porte exclusivement sur les contributions d'entretien allouées tant en mesures provisoires que sur le fond, il est de nature pécuniaire (ATF 133 III 393 consid. 2 p. 395). La valeur litigieuse, calculée sur la base de l'art. 51 al. 1 let. a et al. 4, première phrase, LTF, dépasse le minimum de 30'000 fr. fixé par la loi pour la recevabilité du recours en matière civile s'agissant du fond (art. 74 al. 1 let. b LTF). Le point de savoir si la valeur litigieuse est également atteinte pour les mesures provisionnelles, dans la mesure où ces dernières sont limitées dans le temps par l'issue du présent recours qui scellera définitivement le sort des effets accessoires du divorce prononcé par jugement du 10 septembre 2008, et partant des mesures provisoires ordonnées pour la durée de la procédure, peut toutefois demeurer indécis; en effet, le Tribunal fédéral examine les griefs soulevés dans le recours en matière civile concernant des mesures provisionnelles, où sa cognition est limitée à la violation des droits constitutionnels (art. 98 LTF), avec le même pouvoir d'examen que dans le recours constitutionnel subsidiaire (art. 116 LTF). Pour le surplus, la recourante a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF; cf. ATF 133 III 421 consid. 1.1 p. 425/426). Enfin, le recours a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il y a donc lieu, en principe, d'entrer en matière.
1.2 En tant qu'il est dirigé contre le prononcé au fond, le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Cependant, compte tenu du devoir de motivation prescrit, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), par l'art. 42 al. 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 134 III 102 consid. 1.1 p. 104/105).
En revanche, en tant que la recourante s'en prend à la décision sur mesures provisoires, seule peut être dénoncée la violation des droits constitutionnels (art. 98 LTF). Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation de ces droits que si un tel moyen est invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88 et les arrêts cités).
1.3 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La notion de «manifestement inexacte» correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 63; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140; également ATF 133 III 350 consid. 1.3 p. 351/352).
Lorsque le recours est soumis à l'art. 98 LTF, les art. 95 et 97, ainsi que l'art. 105 al. 2 LTF ne s'appliquent pas directement, puisqu'ils ne sont pas des droits constitutionnels (ATF 133 III 393 consid. 7.1 p. 398, 585 consid. 4.1 p. 588/589). Toutefois, l'application de l'art. 9 Cst. aboutit pratiquement au même résultat: le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires et ont une influence sur le résultat de la décision (arrêt 5A_277/2009 du 6 juillet 2009 consid. 2.2). Plus particulièrement, le recourant qui se plaint d'arbitraire ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours dispose d'une libre cognition; il ne saurait notamment se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision est fondée sur une application de la loi ou une appréciation des preuves manifestement insoutenables (ATF 133 II 396 consid. 3.2 p. 400); les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 III 589 consid. 2 p. 591 et les arrêts cités).
La recourante présente, dans la première partie de son recours, un exposé des faits qui reprend pour l'essentiel les constatations cantonales sans la moindre critique. Dès lors que le Tribunal fédéral est lié par les faits constatés (art. 105 al. 1 LTF), il ne sera pas tenu compte de l'état de fait de la recourante en tant qu'il diverge de celui de l'arrêt cantonal.
Par ailleurs, la recourante ne distingue pas contre quelle décision, au fond ou sur mesures provisoires, ses moyens sont dirigés. Dans la mesure où elle soulève des griefs d'ordre constitutionnel (art. 9 Cst.) en rapport avec l'appréciation des faits et des preuves, pour lesquels le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral est le même qu'il s'agisse du recours formé contre la décision au fond ou sur mesures provisoires, ses critiques seront examinées pour les deux décisions.
1.4 Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF). A l'appui de son recours, la recourante dépose un lot de nombreuses pièces. Pour autant qu'elles ne soient pas nouvelles et, partant, irrecevables, elles seront prises en compte en tant que de besoin.
2. Il ressort des constatations cantonales que le mari, titulaire d'un certificat fédéral de capacité de vendeur, a travaillé en tant qu'agent de sécurité pour un revenu mensuel net de 6'423 fr. Il a cependant été contraint de démissionner au 31 octobre 2005, l'autorité cantonale compétente ayant refusé le renouvellement de sa carte d'agent privé en raison des nombreuses poursuites dirigées à son encontre. Il a ensuite retrouvé un emploi lui procurant un salaire net de 5'443 fr. par mois, emploi qu'il a perdu à la suite d'une condamnation pénale pour abus de confiance et violation d'obligations d'entretien prononcée le 30 novembre 2006. Depuis lors, entre deux périodes de chômage, il a travaillé dans la vente automobile pour un salaire fixe de 1'500 fr. par mois, complété de commissions sur la vente de voitures, d'où un gain mensuel moyen de 2'500 fr. net. Durant les moments où il était sans emploi, il a bénéficié de prestations de chômage de l'ordre de 4'500 fr. par mois. Dès juin 2008, il a été engagé en qualité de commis administratif par l'État de Genève jusqu'au 15 janvier 2009, dans le cadre du programme cantonal d'emploi et de formation, avec une rémunération mensuelle de 3'818 fr. net.
Au regard de l'ensemble de ces circonstances, la Cour de justice a arrêté la capacité de gain de l'intimé à 4'500 fr. par mois, considérant qu'un tel revenu paraissait adapté à sa situation présente. S'agissant de ses charges, d'un montant de 3'154 fr., l'autorité cantonale a estimé qu'il se justifiait de les prendre en considération dans leur totalité, son amie ayant quitté le logement qu'elle louait précédemment avec lui, comme il résultait du procès-verbal de «reprise de saisie-salaire» du 30 janvier 2007. Compte tenu du montant disponible de 1'346 fr. dont il bénéficiait, il se justifiait de fixer la contribution à l'entretien de chaque enfant à 600 fr. par mois, allocations familiales non comprises, l'application de l'art. 286 al. 1 CC, en cas d'augmentation des ressources du débirentier, étant réservée. Dès lors, même si l'épouse pouvait prétendre à une contribution d'entretien en application de l'art. 125 al. 1 CC, les revenus actuels du mari ne permettaient pas de lui allouer une rente, sauf à porter atteinte à son minimum vital. Il incombait ainsi à l'épouse de se prévaloir de l'art. 129 al. 3 CC si la situation du débirentier devait s'améliorer. S'agissant des mesures provisoires, la cour cantonale a fixé le montant de la contribution mise à la charge du mari à 1'200 fr. par mois pour les mêmes motifs que concernant le fond.
3. La recourante prétend, de manière confuse, que les faits ont été établis de façon manifestement erronée (art. 97 al. 1 LTF) et que la Cour de justice a violé l'art. 8 CC. Elle conteste, en substance, que la capacité de gain de l'intimé soit de 4'500 fr. par mois et critique le montant de ses charges. Elle soulève en outre une violation de l'art. 125 CC.
3.1 La recourante expose en premier lieu que son allégation selon laquelle l'intimé a organisé son insolvabilité, telle qu'elle ressort de son écriture produite en appel et des pièces versées à la procédure, n'a pas été retenue par l'autorité cantonale, alors même que la question a été largement discutée devant elle: en se bornant à reprendre, de façon générale, ses allégués figurant dans son mémoire cantonal et en se référant à différentes pièces, pour se plaindre d'une violation de son droit à la preuve découlant de l'art. 8 CC - si tant est que l'on puisse retenir que tel est son grief -, la recourante ne satisfait nullement aux exigences de motivation posées par la loi, que le moyen soit dirigé contre la décision au fond (art. 42 al. 2 LTF) ou sur mesures provisoires (art. 106 al. 2 LTF); elle n'affirme du reste pas, en relation avec l'art. 8 CC, qu'il n'a pas été donné suite à ses offres de preuve sur des faits pertinents pour l'appréciation juridique de la cause (ATF 129 III 18 consid. 2.6 p. 24/25; 126 III 315 consid. 4a p. 317 et les références citées).
3.2 La cour cantonale s'est écartée du revenu effectif de 3'818 fr. net réalisé par le recourant, affecté à un poste de commis administratif, pour lui imputer une capacité de gain de 4'500 fr. La recourante fait valoir que c'est un montant de 5'500 fr. qui aurait dû être retenu.
3.2.1 Pour fixer les contributions d'entretien, le juge se fonde, en principe, sur le revenu effectif du débiteur (pour le conjoint en cas de divorce: ATF 127 III 136 consid. 2a p. 139; pour les enfants: arrêt 5C.40/2003 consid. 2.1.1, non publié in ATF 129 III 577). Celui-ci peut toutefois se voir imputer un revenu hypothétique supérieur, pour autant qu'il puisse gagner plus que son revenu effectif en faisant preuve de bonne volonté et en accomplissant l'effort que l'on peut raisonnablement exiger de lui. L'obtention d'un tel revenu doit donc être effectivement possible; les critères permettant de déterminer le revenu hypothétique sont en particulier la qualification professionnelle, l'âge, l'état de santé et la situation du marché du travail (ATF 128 III 4 consid. 4a p. 5/6 et la jurisprudence citée). Savoir si l'on peut raisonnablement exiger du conjoint concerné une augmentation de son revenu est une question de droit; en revanche, savoir quel revenu une personne a la possibilité effective de réaliser relève du fait (ATF 128 III 4 consid. 4c/bb p. 7; 126 III 10 consid. 2b p. 12/13).
3.2.2 La recourante tente la démonstration que l'intimé pourrait réaliser un revenu supérieur à celui retenu par l'autorité cantonale. Ce faisant, elle s'en prend à l'appréciation des preuves, qui ne peut être revue que sous l'angle de l'arbitraire (sur cette notion: ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4/5; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148 et les arrêts cités).
Lorsqu'elle affirme péremptoirement que l'intimé a organisé son insolvabilité en quittant volontairement son travail d'agent de sécurité, la recourante ne démontre pas l'arbitraire des constatations cantonales, selon lesquelles le mari a perdu son emploi à la suite du non renouvellement de sa carte d'agent de sécurité, compte tenu des nombreuses poursuites dirigées à son encontre. Est par ailleurs purement appellatoire, partant irrecevable, l'allégation que celui-ci a menti sur sa situation personnelle et qu'il se laisse engloutir par les dettes dans le seul but d'être insaisissable. Enfin, quand la recourante soutient, en se référant à une plainte pénale déposée par l'Office des poursuites, que l'intimé a continué à percevoir des commissions du garage qui l'employait pendant qu'il touchait des indemnités de chômage, elle invoque des faits et des pièces nouvelles qui ne peuvent être pris en considération (art. 99 LTF).
Par ailleurs, en alléguant simplement que l'âge de l'intimé, son état de santé, sa double formation de vendeur et d'agent de sécurité ainsi que sa longue expérience professionnelle, sont autant de critères qui auraient dû conduire l'autorité cantonale à fixer la capacité de gain de l'intéressé à 5'500 fr. par mois, la recourante substitue sa propre appréciation à celle de la Cour de justice, sans toutefois réfuter les motifs qui ont amené les juges précédents à retenir un montant de 4'500 fr. à ce titre. En particulier, la recourante se borne à affirmer, de manière purement appellatoire, que les nombreuses poursuites et condamnations dont l'intimé a fait l'objet, considérées par l'autorité cantonale comme étant de nature à amoindrir sa capacité de gain, ne constituent pas des obstacles à ce qu'il trouve un emploi adapté à sa formation. En déniant toute portée aux éléments retenus par la Cour de justice pour arrêter cette capacité de gain - à savoir qu'en l'espace de trois ans, la mari a perdu successivement deux emplois pour les motifs sus-évoqués, qu'il a traversé des périodes de chômage, qu'il a été assisté par l'Hospice général du canton de Genève et, qu'après avoir trouvé, dans l'intervalle, un emploi de vendeur qui lui rapportait en moyenne 2'500 fr. par mois, il a été placé par l'Office cantonal de l'emploi à un poste de commis administratif avec un salaire mensuel de 3'813 fr. -, elle échoue à démontrer l'arbitraire dans l'évaluation du revenu de l'intimé. Enfin, quand elle se réfère aux salaires d'usage en 2006 de l'Union syndicale suisse pour tenter d'établir qu'il aurait pu réaliser un revenu supérieur, de l'ordre de 6'470 fr. à 7'940 fr., elle se fonde sur une pièce nouvelle et, par conséquent, irrecevable (art. 99 LTF); aurait-elle dû être prise en considération que cette pièce ne suffirait d'ailleurs pas à démontrer l'arbitraire dans l'appréciation de la capacité de gain de l'intimé, qui ressort des circonstances personnelles retenues par les juges cantonaux.
A cet égard, la recourante reproche en outre à la Cour de justice d'avoir violé l'art. 125 CC. A l'appui de ce grief, elle se contente toutefois d'affirmer que l'intimé a mis au point une stratégie pour éviter le versement de toute pension. Une telle critique ne satisfait pas aux exigences de motivation de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement n'établit pas d'arbitraire dans l'application du droit fédéral (art. 106 al. 2 LTF).
3.3 La recourante fait encore grief à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement omis de tenir compte du fait que l'intimé vivait en concubinage avec son amie, de sorte qu'il y avait lieu d'arrêter ses charges à 1'918 fr.10 au lieu de 3'154 fr. Pour étayer son moyen, elle se limite à critiquer la décision attaquée, fondée sur le procès-verbal de reprise de saisie du 30 janvier 2007, à teneur duquel l'intimé vit seul, sa compagne ayant déménagé.
La simple contestation de la preuve sur laquelle la Cour de justice s'est basée pour retenir qu'il fallait prendre en considération la totalité des charges de l'intimé ne suffit pas à établir l'arbitraire dans l'appréciation des preuves. Pour autant qu'elle soit suffisamment motivée, la critique est ainsi infondée.
4. En conclusion, les recours doivent être rejetés, dans la faible mesure où ils sont recevables. Comme les conclusions de l'intéressée étaient dépourvues de chances de succès, sa requête d'assistance judiciaire ne saurait être agréée (art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires, dont le montant sera fixé en tenant compte notamment de sa situation financière (art. 65 al. 2 LTF), doivent être mis à sa charge (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à se déterminer.
Le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 5A_283/2009 et 5A_284/2009 sont jointes.
2. Les recours sont rejetés dans la mesure de leur recevabilité.
3. La demande d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
4. Les frais judiciaires, arrêtés en totalité à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 31 juillet 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot