Faits:
A. A._ travaillait pour la société X._ SA en qualité d'emboîteuse (assemblage de pièces d'horlogerie), à raison de 40 heures par semaine. Son dernier salaire mensuel était de 3'600 fr. Parallèlement à cette activité, A._ travaillait régulièrement à domicile pour le compte du même employeur. Elle a été licenciée pour motifs économiques avec effet au 30 novembre 2003. Elle s'est annoncée à l'assurance-chômage. De ce fait, elle était assurée contre le risque d'accident par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 23 février 2004, A._ a glissé sur une plaque de glace en reprenant sa voiture et a chuté. Elle a subi, notamment, une déchirure du ménisque interne droit. Le cas a été pris en charge par la CNA. Par décision du 30 novembre 2007, la CNA a mis un terme au paiement des soins médicaux et de l'indemnité journalière au 31 décembre 2007. Par décision du 11 mars 2008, elle a fixé à 14 % l'incapacité de gain résultant des seules séquelles de l'accident (affection au genou droit). Elle a alloué, dès le 1er janvier 2008, une rente d'invalidité correspondante à l'assurée. Elle a pris en compte un revenu sans invalidité de 4'307 fr. pour l'année 2008 (année déterminante pour la naissance du droit à la rente) qu'elle a comparé à un revenu avec invalidité de 3'700 fr. (moyenne des salaires minimaux 2008 évalués sur la base de cinq descriptions de poste de travail [ DPT]). Elle lui a également octroyé une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 10 %.
Saisie d'une opposition, la CNA l'a rejetée par une nouvelle décision du 19 mai 2008.
B. A._ a déféré la décision sur opposition au Tribunal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, en demandant son annulation. Elle concluait, sous suite de frais et dépens, au renvoi du dossier à la CNA pour complément d'instruction et nouvelle décision. Statuant le 17 avril 2009, la juridiction cantonale a admis le recours. Elle a reconnu à l'assurée le droit à une rente d'invalidité de 22 % à partir du 1er janvier 2008. En conséquence, elle a annulé la décision du 19 mai 2008 et renvoyé la cause à l'assureur pour qu'il procède au calcul de la rente. Elle a alloué une indemnité de dépens à l'assurée et déclaré sans objet sa demande d'assistance judiciaire gratuite.
C. La CNA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation en concluant à la confirmation de sa décision sur opposition du 19 mai 2008.
A._ conclut au rejet du recours et demande le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite devant le Tribunal fédéral. Quant à l'Office fédéral de la santé publique, il a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Dans son jugement, le Tribunal cantonal retient que l'assurée a droit à une rente d'invalidité de 22 % et renvoie la cause à l'assureur pour qu'il en fixe le montant. D'un point de vue purement formel, il s'agit d'une décision de renvoi. En principe, les décisions de renvoi sont des décisions incidentes qui ne peuvent faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral qu'aux conditions de l'art. 93 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.2 et 4.3 p. 481 s., 132 III 785 consid. 3.2 p. 790). Cependant, lorsque l'autorité inférieure à laquelle la cause est renvoyée n'a pratiquement plus aucune marge de manoeuvre pour statuer et que le renvoi ne vise qu'à mettre à exécution la décision de l'autorité supérieure, cette décision doit être considérée comme une décision finale sujette à recours conformément à l'art. 90 LTF (UHLMANN, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger (éd.), Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, n. 9 ad art. 90; ATF 134 II 124 consid. 1.3 p. 127 sv.). C'est le cas en l'espèce.
2. Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF).
Par ailleurs, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui.
3. Le litige porte sur l'évaluation du degré d'invalidité de l'intimée, plus précisément sur la détermination du revenu sans invalidité, qui est seul contesté par la recourante.
4. 4.1 Les premiers juges ont fixé le revenu sans invalidité à 4'773 fr. 23 par mois (valeur 2008). Ils se sont fondés tout d'abord sur le salaire mensuel de 3'600 fr. que percevait l'assurée, à titre principal, en 2003 (soit l'année précédant l'accident), auxquels ils ont ajouté 300 fr. pour le treizième salaire. Par ailleurs, ils ont pris en compte le revenu obtenu par l'assurée, à titre accessoire, pour son travail à domicile, soit 256 fr. 93 (moyenne mensuelle établie à partir des mois de mars à novembre 2003) auxquels ils ont ajouté 21 fr. 41 pour le treizième salaire. L'addition de ces différents nombres les a conduits à retenir un montant de 4'178 fr. 34 pour l'ensemble des revenus, valeur 2003. Ils ont ensuite indexé ce montant de 2 % par année pour 2004, 2005, 2006, 2007 et 2008 et obtenu ainsi 4'613 fr. 23 (revenu sans invalidité déterminant), auxquels ils ont encore ajouté la participation de l'employeur à l'assurance-maladie (160 fr. par mois), laquelle faisait également partie du salaire principal de l'assurée en 2003.
4.2 La recourante conteste la prise en considération dans le revenu sans invalidité du gain de l'assurée obtenu, à titre accessoire, pour son activité de travail à domicile. Elle fait valoir que l'employeur n'offrait plus à ses collaborateurs, en 2007, la possibilité d'effectuer du travail à domicile. Elle en déduit que l'hypothèse des premiers juges, selon laquelle l'intimée aurait cherché une autre activité accessoire pour compléter ses revenus repose sur une simple spéculation et n'est pas établie au degré de vraisemblance prépondérante, si bien qu'il n'y a pas lieu d'en tenir compte.
4.3 Selon la jurisprudence, qui prévaut en matière d'assurance-accidents, tant les revenus tirés d'une activité principale que les revenus obtenus par l'exercice d'activités accessoires sont pris en compte dans la fixation du revenu sans invalidité, si l'on peut admettre que l'intéressé aurait, selon toute vraisemblance, continué à percevoir des gains accessoires s'il était resté en bonne santé. La prise en compte de ces gains accessoires intervient sans égard au rendement et au temps consacré pour leur obtention. Elle s'étend donc aux revenus obtenus dans une activité accomplie en supplément d'un emploi exercé dans les limites d'un horaire de travail normal. A la différence du revenu d'invalide, la question de l'exigibilité ne joue pas de rôle pour la détermination du revenu sans invalidité: seul est décisif le fait que l'assuré obtenait un revenu qu'il continuerait à percevoir s'il n'était pas devenu invalide (RAMA 2005 no U 538 p. 115 consid. 4.1.2, 2003 no U 476 p. 107 ss; PETER OMLIN, Die Invalidität in der obligatorischen Unfallversicherung, thèse Fribourg 1995, p. 182; JÜRG MAESCHI, Kommentar zum Bundesgesetz über die Militärversicherung [MVG] vom 19. Juni 1992, Berne 2000, note 34 ad art. 40; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, Zurich 2003, note 11 ad art. 16). La seule limitation est celle prévue à l'art. 28 al. 2, 2ème phrase, OLAA, selon lequel l'incapacité subie dans une activité lucrative indépendante non assurée, exercée en plus d'une activité salariée, n'est pas prise en considération (voir à ce sujet RAMA 1999 no U 329 p. 119).
4.4 En l'espèce, il ressort des déclarations de l'ancien employeur de l'assurée que celui-ci, en 2007, n'offrait plus à ses collaborateurs la possibilité de travailler à domicile, en plus d'un horaire de travail complet. L'activité à domicile exercée dans le passé par l'intéressée était étroitement liée à l'emploi qu'elle occupait pour la société X._ SA. On ne peut pas sans plus admettre que l'assurée aurait recherché un travail à plein temps auprès d'un employeur qui lui aurait procuré en plus du travail à domicile ou qu'elle aurait exercé une activité accessoire au service d'un deuxième employeur. Les premiers juges considèrent certes qu'elle effectuait un travail supplémentaire « pour faire vivre sa famille » On peut penser cependant que cette nécessité économique ne s'imposait plus en 2008 de la même manière qu'auparavant. L'assurée est divorcée et mère de quatre enfants nés en 1980, 1983 et 1988 (jumelles). Il ressort de sa demande d'assistance judiciaire, qu'une seule de ses filles (née en 1988) fait ménage commun avec elle et qu'elle vient de terminer son apprentissage. Du point de vue des charges de famille, sa situation n'est pas comparable à celle qui prévalait à l'époque où elle était encore au service de la société X._ SA.
Dans ces conditions, l'hypothèse des premiers juges, selon laquelle l'assurée aurait cherché une autre activité accessoire n'est pas établie au degré de vraisemblance prépondérante généralement applicable dans la procédure en matière d'assurances sociales (ATF 135 V 39 consid. 6.1 p. 45). Partant, il n'y a pas lieu de prendre en compte le revenu que l'intimée a obtenu de son activité accessoire pour le calcul du revenu sans invalidité.
4.5 Il reste à déterminer le montant du revenu sans invalidité que l'assurée aurait perçu en 2008. Il ressort des informations communiquées par l'employeur à la CNA, en novembre 2007, que le salaire de référence est de 3'975 fr. Multiplié par treize, ce montant donne un revenu de valide de 51'675 fr. pour l'année 2008, année déterminante pour la naissance du droit à la rente. A ce montant, il convient encore d'ajouter la participation de l'employeur à l'assurance-maladie, soit 160 fr. multipliés par douze (1'920 fr.), ce qui donne un revenu sans invalidité de 53'595 fr. (valeur 2008).
4.6 Comparé au revenu mensuel d'invalide retenu par les premiers juges et non contesté, de 44'751 fr., il en découle une invalidité de 16,5% ([53'595-44'751] x 100 : 53'595). Conformément à la jurisprudence (ATF 130 V 121 consid. 3.2 p.123), ce taux doit être arrondi à 17 %. Ce taux est supérieur à celui retenu par la CNA. Le jugement entrepris sera réformé dans ce sens.
5. La recourante obtient partiellement gain de cause. Les frais judiciaires seront mis proportionnellement à la charge de la recourante et de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée a droit à une indemnité de dépens réduite pour l'instance fédérale à la charge de la recourante (art. 68 al. 1 LTF). L'intimée a sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire gratuite pour l'instance fédérale. Elle dispose de revenus pour un total de 1'912 fr. par mois (soit de 22'944 fr. par an). Si l'on tient compte du montant de base applicable et des charges de l'intéressée, on doit admettre que les conditions auxquelles l'art. 64 al. 1 et 2 LTF subordonne l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite (en particulier la condition d'indigence) sont réalisées. L'intimée est dès lors dispensée de sa part des frais judiciaires et les honoraires de son avocat seront pris en charge partiellement par la caisse du Tribunal fédéral. L'attention de l'intimée est attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Le jugement du 17 avril 2009 du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, est réformé en ce sens que la rente d'invalidité à laquelle l'intimée a droit est de 17 %.
2. L'assistance judiciaire est accordée à l'intimée.
3. Les frais judiciaires, d'un montant de 750 fr., sont mis pour 250 fr. à la charge de la recourante et pour 500 fr. à la charge de l'intimée. La part de frais mise à la charge de l'intimée est toutefois supportée provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. La recourante versera à l'intimée une indemnité de dépens de 700 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) pour l'instance fédérale.
5. Les honoraires de Me Yves Richon, non couverts par les dépens, sont fixés à 1'300 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) pour la procédure fédérale, mais seront supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
6. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, pour qu'il statue sur les dépens de la procédure cantonale au regard de l'issue du procès de dernière instance, compte tenu de la demande d'assistance judiciaire gratuite déposée par l'assurée pour la procédure cantonale.
7. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 26 janvier 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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