Sachverhalt:
A. Der 1941 geborene, bei der Arbeitslosenversicherung gemeldete E._ arbeitete ab Mitte März 2004 im Zwischenverdienst als Dachdecker bei G._, welcher nebst seinem Landwirtschaftsbetrieb auch eine Dachdecker- und Spenglerei führt. Am 3. September 2004 stürzte E._ bei Dachdeckerarbeiten und zog sich dabei tödliche Verletzungen zu. Der Betrieb meldete das Ereignis am 9. September 2004 der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz). Diese leitete die Unfallmeldung an die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) weiter mit der Begründung, das Dachdeckerunternehmen sei für die Durchführung der obligatorischen Unfallversicherung nicht bei ihr angeschlossen gewesen, sondern falle von Gesetzes wegen in den Tätigkeitsbereich der SUVA. Mit Schreiben vom 1. November 2004 teilte die SUVA der Allianz mit, ihre Abklärungen hätten ergeben, dass E._ sel. im Zeitpunkt des Ereignisses vom 3. September 2004 als unselbständige Dachdeckeraushilfe bei G._ tätig gewesen und somit obligatorisch UVG versichert gewesen sei. Beim Betrieb des G._ handle es sich um einen gegliederten, gemischten Betrieb, welcher für den Zweig Dachdecker- und Spenglerarbeiten laut Unfallversicherungsgesetz in den Zuständigkeitsbereich der SUVA falle. Sie werde diesen Betriebsbereich daher mit Wirkung ab 1. Januar 2005 versichern. Für den Vorfall vom 3. September 2004 habe indessen die Allianz aufgrund des mit dem Arbeitgeber abgeschlossenen Kollektiv-Unfallversicherungsvertrages Hinterlassenen-Leistungen nach UVG zu erbringen. Der Witwe des Verstorbenen gab sie am 15. Dezember 2004 bekannt, sie werde vorschussweise und ohne Anerkennung einer Rechtspflicht die gesetzlichen Leistungen ausrichten. Nachdem sich die beiden Versicherungen nicht über die Leistungspflicht hatten einigen können, unterbreitete die SUVA die Sache am 18. Mai 2006 dem Bundesamt für Gesundheit (BAG) zum Entscheid. Dieses trat mit Verfügung vom 15. März 2007 auf das Begehren der SUVA mit der Begründung nicht ein, zwischen der Firma G._ und der Allianz bestehe für den Betriebsteil Dachdeckungen kein UVG-Versicherungsverhältnis. Da diese nicht Trägerin der obligatorischen Unfallversicherung sei, unterstehe die Angelegenheit nicht seiner Verfügungshoheit.
B. Die SUVA erhob dagegen Beschwerde mit dem Rechtsbegehren, das BAG sei zu verpflichten, eine Verfügung zu erlassen und die Leistungspflicht der Allianz festzustellen. Das Bundesverwaltungsgericht hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 23. Februar 2009 gut, soweit es darauf eintrat und wies die Sache an das BAG zurück, damit es den Antrag der SUVA materiell beurteile.
C. Das BAG reicht dagegen Beschwerde ein mit dem Antrag, seine Verfügung vom 15. März 2007 sei zu bestätigen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während die Allianz deren Gutheissung beantragt.
Erwägungen:
1. Nach Art. 78a UVG erlässt das BAG bei geldwerten Streitigkeiten zwischen Versicherern eine Verfügung. Diese ist mit Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht anfechtbar (Art. 31 in Verbindung mit Art. 32 und Art. 33 lit. d des Bundesgesetzes über das Bundesverwaltungsgericht [Verwaltungsgerichtsgesetz, VGG]). Gegen den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts kann beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten geführt werden (Art. 82 lit. a in Verbindung mit Art. 83 und Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG).
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist insbesondere nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG).
2.3 Die ausnahmsweise uneingeschränkte bundesgerichtliche Sachverhaltskontrolle gemäss Art. 97 Abs. 2 BGG (vgl. auch Art. 105 Abs. 3 BGG) gelangt vorliegend nicht zur Anwendung. Die Rechtsstreitigkeit ist zwar gestützt auf Normen des UVG zu beurteilen, erfasst aber nicht die - für einen Beizug der Ausnahmeregelung erforderliche - "Zusprechung oder Verweigerung" von Geldleistungen (vgl. Urteil 8C_256/2009 vom 8. Juni 2009 E. 2.2.2; BGE 8C_784/2008 vom 11. September 2009 E. 1.2.2; MARKUS SCHOTT, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, a.a.O., N. 28 ff. zu Art. 97 BGG; ULRICH MEYER, im selben Werk, N. 46 zu Art. 105 BGG; HANSJÖRG SEILER, in: Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 27 ff. zu Art. 97 BGG). Soweit die Beurteilung des negativen Kompetenzkonflikts von Sachverhaltsfeststellungen abhängt, gilt daher die eingeschränkte Kognition.
3. 3.1 Ausgangspunkt des vorliegenden Verfahrens bildet das Begehren der SUVA, im Verfahren gemäss Art. 78a UVG die Zuständigkeit der Allianz festzustellen. Nach der Rechtsprechung steht dieses offen, wenn in Bezug auf ein bestimmtes Schadensereignis die Person des nach UVG leistungspflichtigen Versicherers umstritten ist, nicht hingegen grundsätzlich Bestehen und Umfang der Leistungspflicht (RKUV 2003 Nr. U 472 S. 38, U 187/02 E. 2.3). Zwischen den Verfahrensbeteiligten ist unbestritten, dass der verstorbene E._ obligatorisch gegen Unfall versichert war und dessen Witwe Anspruch auf Leistungen nach dem Unfallversicherungsgesetz hat.
3.2 Seit Inkrafttreten des UVG im Jahre 1984 ist die Durchführung der Unfallversicherung auf mehrere Träger verteilt (Art. 58 UVG). Die Zuständigkeit der SUVA (Art. 66 UVG) und der übrigen Versicherer (private Versicherungsunternehmen, öffentliche Unfallversicherungskassen und Krankenkassen; Art. 68 Abs. 1 lit. a - c UVG) ist gesetzlich geregelt. Als Auffangeinrichtung dient die Ersatzkasse, welche Leistungen an verunfallte Arbeitnehmer erbringt, für deren Versicherung nicht die SUVA zuständig ist und die von ihrem Arbeitgeber nicht versichert worden sind (Art. 73 Abs. 1 UVG). Während das Versicherungsverhältnis bei der SUVA in der obligatorischen Versicherung durch Gesetz begründet wird (Art. 59 Abs. 1 UVG), entsteht es bei den anderen Versicherern durch einen Vertrag zwischen Arbeitgeber und Versicherer oder durch die Zugehörigkeit zu einer Kasse aufgrund eines Arbeitsverhältnisses (Art. 59 Abs. 2 UVG).
3.3 Diese Mehrfachträgerschaft bedingt besondere Regelungen, welche der Gesetzgeber in den Art. 75 ff. UVG unter der Überschrift "Gemeinsame Vorschriften" erlassen hat. Spezielle Regelungen finden sich zudem in der Verordnung vom 24. Januar 1996 über die Unfallversicherung von arbeitslosen Personen (UVAL; SR 837.171), welche der Bundesrat gestützt auf Art. 3 Abs. 5 UVG und Art. 22a Abs. 4 AVIG erlassen hat. Nach dessen Art. 2 sind arbeitslose Personen, welche die Anspruchsvoraussetzungen nach Art. 8 AVIG erfüllen oder Entschädigungen nach Art. 29 AVIG beziehen, bei der SUVA obligatorisch gegen Unfälle versichert. Vorbehalten bleiben die Art. 6-8 UVAL. Art. 6 Abs. 1 UVAL bestimmt Folgendes: Erzielt die versicherte Person einen Zwischenverdienst (nach Artikel 24 AVIG) aus unselbständiger Erwerbstätigkeit, so erbringt bei Berufsunfällen der Versicherer des betreffenden Betriebes die Leistungen.
4. Der am 1. Januar 1994 in Kraft getretene Art. 78a UVG findet sich ebenfalls im Abschnitt "Gemeinsame Vorschriften" des ersten Kapitels "Versicherer" im fünften Titel (Organisation) des Unfallversicherungsgesetzes. Aufgrund der Gesetzessystematik bezieht er sich auf Kompetenzkonflikte innerhalb dieses Sozialversicherungszweigs (vgl. MARC HÜRZELER, Intrasystemische Leistungskoordination im UVG, in: HAVE 2009 S. 38 ff.). Die Bestimmung wurde ins Gesetz aufgenommen, weil ein Unfallversicherer, der sich als nicht zuständig erachtet, keine Verfügungsbefugnis gegenüber einem anderen UVG-Versicherer oder der Ersatzkasse hat. Er kann einen anderen Versicherer somit nicht mittels Verfügung dazu verpflichten, Leistungen zurückzuerstatten, die er zuvor gegenüber der versicherten Person erbracht hat (BGE 127 V 176 E. 4a S. 180; RKUV 2003 Nr. U 472 S. 38, U 187/02 E. 2.3). Mit dem Verfahren nach Art. 78a UVG soll vermieden werden, dass die Versicherten zur Wahrung ihrer Ansprüche zu einem Prozess über die Zuständigkeit gezwungen werden, wenn zwei oder mehr Versicherer ihre Zuständigkeit für den gleichen Fall verneinen (BGE 127 V 176 E. 4b S. 181). Kann bezüglich der Frage, welcher Unfallversicherer die Leistungen zu erbringen hat, keine Einigkeit erzielt werden, hat nach Art. 78a UVG das BAG darüber zu entscheiden. Wird es in diesem Sinne angerufen, entscheidet es als erstinstanzliche Verwaltungsbehörde und nicht als Rechtsmittelinstanz. Es hat in einer Verfügung zu bestimmen, welcher Versicherer zuständig ist und die materiellen Leistungen erbringen muss (BGE 127 V 176 E. 4d S. 182; vgl. auch BGE 101 V 22 E. 1 S. 23; ALFRED MAURER, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, Ergänzungsband, 1989, S. 10; JEAN-MAURICE FRÉSARD/MARGIT MOSER-SZELESS, L'assurance-accidents obligatoire, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Bd. Soziale Sicherheit, 2. Aufl. 2007, S. 1029 Rz. 700 ff.) und kann das Verfahren grundsätzlich nicht durch Nichteintreten erledigen. Dies gilt selbst dann, wenn das BAG, wie in der Verfügung vom 15. März 2007, zum Schluss kommt, für den Dachdeckerbetrieb des G._ habe kein UVG-Versicherungsverhältnis zur Allianz bestanden. Mit dieser Feststellung ist der negative Kompetenzkonflikt nicht gelöst. Die Verfügung erweist sich deshalb insoweit als fehlerhaft, als damit nicht im Sinne von Art. 78a UVG entschieden wurde, wer schlussendlich die Leistungen nach dem Unfallversicherungsgesetz zu erbringen hat. Das Bundesverwaltungsgericht hat den Nichteintretensentscheid somit zu Recht aufgehoben und die Sache an das BAG zurückgewiesen, damit dieses über das Begehren der SUVA befinde.
5. 5.1 Das Bundesverwaltungsgericht hat im Rückweisungsentscheid Erwägungen im Hinblick auf eine mögliche Leistungszuständigkeit der Allianz getroffen, welche vom Beschwerde führenden BAG und der Allianz bestritten werden. Auch wenn im Dispositiv die übliche Wendung "im Sinne der Erwägungen" fehlt, sind die Motive des angefochtenen Entscheids für die Behörde, an die die Sache zurückgewiesen wird, verbindlich, weil auf die Begründung zurückgegriffen werden muss, um die Tragweite des Dispositivs zu ermitteln (Urteile I 119/07 vom 31. Januar 2008 E. 2 und U 66/05 vom 17. August 2005 E. 1).
5.2 Das Bundesverwaltungsgericht hat insoweit unbestritten festgestellt, der Betrieb des G._ werde von den Verfahrensbeteiligten übereinstimmend als gegliederter, gemischter Betrieb qualifiziert, welcher bezüglich der "Dachdeckerei" gemäss Art. 66 Abs. 1 lit. b UVG in den Zuständigkeitsbereich der SUVA und bezüglich des Betriebsteils "Landwirtschaft" in den Kompetenzbereich der registrierten, zum Vollzug der obligatorischen Unfallversicherung zugelassenen Versicherer im Sinne von Art. 68 UVG falle (vgl. auch BGE 113 V 327). Für den Betriebsteil Landwirtschaft habe G._ mit der Allianz unter der Police ... einen Vertrag betreffend obligatorische Unfallversicherung abgeschlossen, während für die Betriebsart "Landwirtschaft und Bedachungen" unter der Police ... ein Kollektiv-Unfallversicherungsvertrag bestehe, welcher "alle im Landwirtschafts- und Dachdeckereibetrieb tätigen, nicht UVG-versicherten Aushilfen" umfasse. Bei diesem Kollektiv-Unfallversicherungsvertrag handle es sich um einen UVG-Ergänzungsvertrag, welcher den Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 2. April 1908 über den Versicherungsvertrag (Versicherungsvertragsgesetz, VVG, SR 221.229.1) und nicht des UVG unterstehe.
5.3 Der am 12. Oktober 2001 für weitere fünf Jahre erneuerte Kollektiv-Unfallversicherungsvertrag enthält unter der Überschrift "Besondere Bedingungen" eine Klausel mit folgendem Wortlaut: "Stellt es sich bei einem Unfall heraus, dass der Versicherte gemäss UVG hätte versichert werden müssen, gewährt die 'Berner' [heute: Allianz] vom Zeitpunkt an, ab welchem auf dem Entgelt AHV-Beiträge erhoben werden, den gesetzlichen Versicherungsschutz. Voraussetzung für die Gewährung dieses Versicherungsschutzes ist, dass der Versicherungsnehmer ab diesem Zeitpunkt bei der 'Berner' einen Versicherungsvertrag gemäss UVG abschliesst und die entsprechende Tarifprämie bezahlt. Die 'Berner' erstattet die ab diesem Zeitpunkt für den vorliegenden Vertrag allenfalls zuviel bezahlte Prämie zurück". Nach Auffassung der Vorinstanz hätte es das BAG angesichts dieser Vertragsklausel nicht bei der Feststellung bewenden lassen dürfen, zwischen der Allianz und dem Betrieb von Andeas Gehrig liege kein UVG-Versicherungsverhältnis vor, sondern es hätte prüfen müssen, ob sich die Allianz verpflichtet habe, ein solches einzugehen. Dies sei mit Blick auf die im Urteil U 484/05 vom 9. Juni 2006, in: RKUV 2006 Nr. U 587 S. 388 festgehaltenen Grundsätze nicht auszuschliessen, welche auf einen Fall wie den vorliegenden analog anzuwenden seien, bei welchem sich ein Privatversicherer in einem Vertrag über eine Kollektiv-Unfallversicherung verpflichte, rückwirkend einen UVG-Vertrag abzuschliessen.
5.4 Das Beschwerde führende BAG macht demgegenüber geltend, die Allianz habe nicht als Trägerin der obligatorischen Unfallversicherung im Sinne von Art. 68 UVG gehandelt und unterstehe deshalb in dieser Angelegenheit nicht seiner Verfügungshoheit. Entgegen dem Sachverhalt, welcher dem Urteil U 484/05 zugrunde lag, habe die Allianz keine Prämien aus einem UVG-Versicherungsvertrag kassiert. Für Betriebe, die gemäss Art. 66 UVG in den Zuständigkeitsbereich der SUVA fallen, welche dieser jedoch durch den Arbeitgeber nicht gemeldet und somit nicht unterstellt worden seien, komme der SUVA die Funktion einer Ersatzkasse zu.
5.5 Die Allianz führt aus, während ein Versicherungsverhältnis mit der SUVA von Gesetzes wegen entstehe, bedürfe es bei nicht zum Zuständigkeitsbereich der SUVA gehörenden Betrieben des Zustandekommens eines gültigen Vertrages mit einem privaten UVG-Versicherer. Ein solcher habe im Zeitpunkt des Unfalles für die Dachdeckerarbeiten des Verstorbenen nicht vorgelegen und hätte nach der Rechtsordnung bei ihr auch nicht rückwirkend abgeschlossen werden können.
6. 6.1 Beim bereits zitierten Urteil U 484/05 vom 9. Juni 2006 ging es um einen Fall, bei welchem sich erst nach dem Unfall herausstellte, dass der Betrieb einen Vertrag mit einem Versicherer nach Art. 68 UVG abgeschlossen hatte, obwohl er eigentlich gestützt auf Art. 66 UVG der SUVA hätte angehören müssen. Das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht hat in diesem Zusammenhang erkannt, bei einem Unfall hafte derjenige Versicherer, bei dem die Versicherung zur Zeit des Unfalles bestanden habe und der zum Unfallzeitpunkt Prämien bezogen habe, ohne dass zu prüfen wäre, ob die SUVA nach Art. 66 UVG zuständig sei. Das Abstellen auf den im Unfallzeitpunkt tatsächlich bestehenden Versicherungsvertrag liege im Interesse der Versicherten sowie eines guten Funktionierens der Sozialversicherung und stehe im Einklang mit Art. 77 Abs. 1 Satz 1 UVG, gemäss welchem bei Berufsunfällen derjenige Versicherer die Leistungen erbringt, bei dem die Versicherung zur Zeit des Unfalles bestanden hat. Die Anwendung dieser Rechtsprechung, welche laut Botschaft vom 30. Mai 2008 zur Änderung des Bundesgesetzes über die Unfallversicherung (BBl 2008 5433 Ziff. 2.2) im Gesetz verankert werden soll, setzt somit das Bestehen einer UVG-Versicherung voraus.
6.2 Das Versicherungsverhältnis mit einem "anderen Versicherer", welcher die obligatorische Unfallversicherung gemäss Art. 68 ff. UVG durchführt, wird durch einen Vertrag zwischen dem Arbeitgeber und dem Versicherer begründet (Art. 59 Abs. 2 UVG), bei welchem es sich um einen selbständigen Vertrag im Sinne des UVG handelt, der als öffentlich-rechtlicher Vertrag nach UVG zu verstehen ist. Da das UVG und die dazugehörige Verordnung die obligatorische Unfallversicherung bereits sehr detailliert normieren, bleibt den Parteien nur wenig Spielraum für vertragsautonome Regelungen. Die Versicherer sind gehalten, einen Typenvertrag aufzustellen, der die Bestimmungen enthält, welche in jedem Fall in die Versicherungsverträge aufzunehmen sind (Art. 93 UVV; Urteile U 307/03 vom 19. August 2004 E. 4.3, nicht publ. in: BGE 130 V 553, aber in: SVR 2005 UV Nr. 3 S. 5; 8C_324/2007 vom 12. Februar 2008 E. 2.1, in: SVR 2008 UV Nr. 18 S. 65 mit Hinweis auf ALFRED MAURER, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, Bern 1985, S. 59 FN 55b und S. 134 f. und JEAN-MAURICE FRÉSARD/MARGIT MOSER-SZELESS, a.a.O., S. 989 Rz. 536 ff.). Ein Vertrag nach Art. 59 Abs. 2 UVG hat nach übereinstimmender Auffassung von Vorinstanz und Parteien zwischen dem Dachdeckerbetrieb des G._ und der Allianz im Unfallzeitpunkt nicht bestanden.
6.3 Das UVG enthält keine Bestimmungen über das Zustandekommen des Versicherungsvertrages zwischen Versicherer und Arbeitgeber, und es regelt die mit der Existenz des Versicherungsvertrages nach Art. 59 Abs. 2 UVG zusammenhängenden Fragen nicht. Nach der Rechtsprechung beurteilt sich die Zulässigkeit einer Rückwärtsversicherung im Falle des Eintritts des befürchteten Ereignisses nach Art. 9 VVG, welcher als Träger eines allgemeingültigen Grundprinzips per analogiam Anwendung findet, wenn die AVG - wie vorliegend - keine Bestimmungen enthalten, welche eine abweichende Lösung indizieren (Urteil 8C_324/2007 vom 12. Februar 2008 E. 4.1, in: SVR 2008 UV Nr. 18 S. 65). Nach Art. 9 VVG ist der Versicherungsvertrag nichtig, wenn im Zeitpunkt des Abschlusses der Versicherung das befürchtete Ereignis schon eingetreten war. Ist eine rückwirkende vertragliche Versicherungsdeckung in Bezug auf den hier zu prüfenden Unfall somit rechtlich nicht möglich, bestand keine Versicherungsdeckung bei der Allianz. Damit bleibt, entgegen der vorinstanzlichen Auffassung, auch kein Raum für eine analoge Anwendung der Rechtsprechung nach RKUV 2006 Nr. U 587 S. 388. Der angefochtene Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts verletzt daher Bundesrecht, wenn er das BAG dazu anhält zu prüfen, ob die Allianz sich im Kollektiv-Unfallversicherungsvertrag verpflichtet habe, rückwirkend einen UVG-Vertrag abzuschliessen.
6.4 Anders verhält es sich mit Bezug auf die SUVA hinsichtlich der gemäss Art. 66 Abs. 1 und Abs. 2 UVG obligatorisch in ihren Tätigkeitsbereich fallenden Betriebe. In diesem Fall entsteht das Versicherungsverhältnis zwischen dem Arbeitgeber und der SUVA nicht durch Vertrag, sondern von Gesetzes wegen, ohne dass es dazu einer besonderen Vorkehr bedarf (Art. 59 Abs. 1 UVG; vgl. auch Urteil 8C_324/2007 vom 12. Februar 2008 E. 4.1, in: SVR 2008 UV Nr. 18 S. 65). Zwar ist der Arbeitgeber gemäss Satz zwei dieser Bestimmung verpflichtet, der SUVA innert 14 Tagen die Eröffnung oder Einstellung eines Betriebes zu melden, dessen Arbeitgeber ihr unterstellt sind. Diese sind jedoch auch dann bei der SUVA versichert, wenn er seiner Meldepflicht nicht nachkommt. Denn die Meldung des Betriebes ist nicht Voraussetzung für die Begründung des Rechtsverhältnisses. Vielmehr genügt es, dass die SUVA für den betreffenden Betrieb gemäss Art. 66 UVG zuständig ist. Die SUVA muss in einem solchen Fall ihre Versicherungsleistungen auch dann erbringen, wenn ein Arbeitgeber ihrer Kontrolle bisher entgangen ist (ALFRED MAURER, a.a.O., S. 63 und S. 132; JEAN-MAURICE FRÉSARD/MARGIT MOSER-SZELESS, a.a.O., S. 986 Rz. 527 ff.). Wie es sich damit im vorliegenden Fall verhält, wird das BAG zu prüfen haben. Falls die Leistungspflicht der SUVA zu verneinen wäre, stellt sich gegebenenfalls die Frage der Zuständigkeit der Ersatzkasse (Art. 59 Abs. 3 und Art. 73 Abs. 1 UVG; JEAN-MAURICE FRÉSARD/MARGIT MOSER-SZELESS, a.a.O., S. 990 Rz. 541). Ob die Allianz allenfalls unter einem anderen Titel leistungspflichtig ist, wie die SUVA in ihrem Antrag vom 18. Mai 2006 sinngemäss geltend macht, kann hingegen nicht Gegenstand einer Verfügung des BAG bilden (vgl. SVR 2008 UV Nr. 18 S. 65, 8C_324/2007 E. 4.2.2).
6.5 Zusammenfassend ergibt sich somit, dass das Bundesverwaltungsgericht die Sache im Ergebnis zu Recht zum Erlass einer Verfügung nach Art. 78a UVG an das BAG zurückgewiesen hat.
7. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde des BAG abzuweisen. Das Bundesamt, welches nicht in seinem Vermögensinteresse handelt, trägt keine Kosten (Art. 66 Abs. 4 BGG). Als Organisationen mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben haben die Beschwerdegegnerinnen zum vornherein keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Es wird keine Parteientschädigung ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Oktober 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer