Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Zwischen dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin 2 sind verschiedene Straf- und Zivilverfahren hängig. In einem dieser Verfahren beschuldigt die Beschwerdegegnerin 2 den Beschwerdeführer der Drohung, Nötigung und falschen Anschuldigung. In diesem Zusammenhang offerierte sie die Einvernahme eines Zeugen, der den angezeigten Vorfall mitbekommen habe. Vor ihrer Strafanzeige hatte sie den Zeugen kontaktiert und um eine schriftliche Bestätigung des Sachverhalts gebeten. Der Zeuge lehnte dies ab.
Der Beschwerdeführer reichte gegen die Beschwerdegegnerin 2 eine Strafanzeige ein wegen versuchter Anstiftung zu falschem Zeugnis. Die Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich nahm die Angelegenheit am 16. Juli 2014 nicht an die Hand. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Zürich am 20. April 2015 ab. In einem Nachtragsbeschluss vom 12. Mai 2015 fasste das Obergericht die Ziffer betreffend Entschädigung für die Beschwerdegegnerin 2 neu.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, der Beschluss des Obergerichts vom 20. April und 12. Mai 2015 und die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft vom 17. Oktober (recte 16. Juli) 2014 seien aufzuheben. Die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, die Strafuntersuchung gegen die Beschwerdegegnerin 2 betreffend falsche Anschuldigung an die Hand zu nehmen.
2.
Der Privatkläger ist zur Beschwerde in Strafsachen nur legitimiert, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss Art. 41 ff. OR, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat der Privatkläger nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung geltend gemacht. Selbst wenn er bereits adhäsionsweise privatrechtliche Ansprüche geltend gemacht hat (vgl. Art. 119 Abs. 1 lit. b StPO), werden in der Einstellungsverfügung keine Zivilklagen behandelt (Art. 320 Abs. 3 StPO). In jedem Fall muss der Privatkläger im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen Begründungsanforderungen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderungen es geht (BGE 141 IV 1 E. 1.1 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer äussert sich vor Bundesgericht zu seiner Legitimation und zu einer allfälligen Zivilforderung nicht. Dass er im kantonalen Verfahren eine solche gestellt hätte, ergibt sich im Übrigen nicht aus dem angefochtenen Beschluss. Gestützt auf den Vorwurf einer versuchten Anstiftung zu falschem Zeugnis ist denn auch nicht ersichtlich, um welche Zivilforderung es gehen könnte. Auf die Beschwerde ist mangels Legitimation des Beschwerdeführers im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin 2 ist keine Entschädigung auszurichten, weil sie vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juni 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn