Erwägungen:
1. X._, geb. 1975, stammt aus dem Kosovo. Er weilte von 1998 bis 2000 vorübergehend, ab Dezember 2002 ununterbrochen in der Schweiz. Am 3. November 2006 heiratete er eine Landsfrau, die im Kanton Zürich niedergelassen ist, und er erhielt gestützt auf Art. 17 Abs. 2 ANAG eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleibs bei der Ehefrau. Da die eheliche Wohngemeinschaft im Laufe des Jahres 2007 aufgegeben worden war, lehnte die Sicherheitsdirektion (Migrationsamt) des Kantons Zürich mit Verfügung vom 7. Januar 2008 sein Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Ein Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Zürich blieb erfolglos. Auf die gegen den regierungsrätlichen Beschluss vom 26. März 2008 erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 25. Juni 2008 nicht ein. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 31. Juli 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Verwaltungsgericht sei anzuweisen, auf seine dort erhobene Beschwerde einzutreten resp. seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Gemäss Art. 83 lit. c BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), und betreffend die Wegweisung (Ziff. 4).
Das Verwaltungsgericht hat erkannt, dass der Beschwerdeführer weder aus Gesetzesrecht (Art. 17 Abs. 2 ANAG, worauf sich dieser auch nicht mehr beruft) noch aus Völkerrecht (Art. 8 EMKR) einen Bewilligungsanspruch ableiten könne. Was Art. 8 EMRK betrifft, so hat das Verwaltungsgericht zutreffend dargelegt, dass der Beschwerdeführer sich im ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahren weder unter dem Gesichtswinkel des Rechts auf Achtung des Familienlebens (Beziehung zu volljährigen Schwestern) noch unter dem Gesichtswinkel des Rechts auf Achtung des Privatlebens (Anwesenheitsdauer, Bekanntenkreis) auf diese Konventionsnorm berufen kann; was letzteren Aspekt (Achtung des Privatlebens) betrifft, kann ergänzend auf BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286 f. verwiesen werden.
Der Beschluss des Verwaltungsgerichts kann mithin nicht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden. Als bundesrechtliches Rechtsmittel stünde bloss die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 116 BGG) zur Verfügung, wobei der Beschwerdeführer aufzeigen müsste, dass der kantonale Nichteintretensentscheid auf verfassungswidriger Anwendung kantonalen Verfahrensrechts beruhe. Abgesehen davon, dass es an einer entsprechend substantiierten Rüge fehlt (vgl. Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG), wäre jegliche derartige Rüge offensichtlich unbegründet, knüpft doch das Zürcher Gesetz vom 24. Mai 1959 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen (Verwaltungsrechtspflegegesetz [VRG]) die Zulässigkeit der Beschwerde ans Verwaltungsgericht an die Zulässigkeit der ordentlichen Beschwerde ans Bundesgericht (§ 43 Abs. 1 lit. h in Verbindung mit Abs. 2 VRG). Diese (heute: Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten) ist, wie vorstehend dargelegt, hier nicht gegeben.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG), und es ist darauf im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten. Mit diesem Urteil wird das im Hinblick auf die mit dem angefochtenen Beschluss verbundene Ausreiseverpflichtung gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Sicherheitsdirektion, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Kammer, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. August 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller