Faits:
A. R._ a travaillé à 80 % en tant qu'éducatrice de la petite enfance, du 1er septembre 2004 au 31 octobre 2005, pour la Garderie X._. Elle a également travaillé à un taux de 20 % en qualité de secrétaire, pour le Syndicat Y._, jusqu'au 31 octobre 2005.
Le 3 février 2005, elle s'est soumise à une intervention chirurgicale pour cure de hernie discale C7-D1, pratiquée au service de l'Hôpital Z._. Malgré cette intervention, les douleurs ont persisté, de sorte que R._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 28 octobre 2005.
Dans un rapport du 24 novembre 2005 à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Vaud (ci-après : Office AI), le médecin traitant de l'assurée, le docteur H._, a fait état d'une cervico-brachialgie droite de topographie C8, principalement irritative, persistante après hémi-laminectomie C7-D1 droite pour cure d'une hernie discale C7-D1 paramédiane droite, entraînant une incapacité de travail totale depuis le 2 novembre 2004. En raison des douleurs, l'assurée devait changer de position en permanence et n'arrivait plus à porter de charges avec le membre supérieur droit. Le lâchage d'objets était fréquent. R._ était libre dans les mouvements spontanés, mais présentait une faiblesse de la musculature intrinsèque de la main droite; la sensibilité à l'aiguille était diminuée légèrement dans les deux premiers doigts droits, un peu plus nettement dans le quatrième et encore plus dans le cinquième, avec une certaine hyperalgésie sur le dos de la main droite. Les activités exercées jusqu'alors n'étaient plus exigibles. En particulier, en tant que secrétaire, l'assurée devait utiliser le membre supérieur droit en permanence, ce qu'elle ne pouvait plus faire. Les gestes du travail de secrétariat majoraient les douleurs et dans l'emploi d'éducatrice de la petite enfance, l'assurée devait s'occuper des bébés et des nourrissons, notamment les langer et les porter, activités qui augmentaient les douleurs du membre supérieur droit. Il n'y avait pas d'indication a une nouvelle intervention chirurgicale, malgré l'échec de celle pratiquée en février 2005.
Le docteur H._ a adressé R._ au docteur M._, spécialiste en anesthésiologie, en vue de mettre en oeuvre un traitement anti-douleurs, sans résultats probants. Dans un rapport du 9 février 2006, ce médecin a attesté une incapacité de travail totale dans l'emploi habituel ou dans toute autre activité. Auparavant, la doctoresse B._, cheffe de clinique au service de Z._, avait attesté une incapacité de travail totale dans l'activité habituelle, et une capacité de travail résiduelle de une à deux heures par jour au maximum dans un emploi sans port de charges et permettant l'alternance des positions; les douleurs se présentaient sous forme de cervicalgies avec irradiations parfois dans l'omoplate, l'épaule ou la tête, ainsi que de lancées de type brachialgies C8 (rapport du 22 décembre 2005).
Dans un rapport d'expertise établi le 7 décembre 2006 sur mandat de l'Office AI, le docteur U._, spécialiste en neurologie, a diagnostiqué des cervico-brachialgies droites avec atteinte radiculaire C8 droite persistante, et status après cure de hernie discale C7-D1 droite le 3 février 2005. A l'examen clinique, il a notamment constaté une hypotrophie modérée de la musculature intrinsèque de la main droite, des phénomènes de lâchages étagés lors de tests de la force musculaire de la main droite et une hypoesthésie tactile et douloureuse plus ou moins globale du membre supérieur droit, prédominant à la face interne de ce dernier. Par ailleurs, un électromyogramme (EMG) du membre supérieur droit a révélé des signes d'atteinte neurogène périphérique avec altération des tracés aux mouvements dans les muscles dépendant du myotome C8/D1 droit. D'après le docteur U._, l'assurée présentait une atteinte radiculaire C8/D1 probablement due à une lésion radiculaire, avec des douleurs de déafférentation liées à la lésion pré-opératoire et/ou à une fibrose post-opératoire. Il était possible que des facteurs psychologiques et socio-professionnels aient une influence dans l'évolution malheureuse du cas, mais tant l'examen clinique que l'EMG authentifiaient la persistance d'une souffrance radiculaire. En conclusion, même si l'on pouvait s'étonner de l'absence de toute réponse aux différents traitements antalgiques, il fallait admettre le fondement organique des plaintes; il n'y avait pas d'explication univoque à la symptomatologie et quelques facteurs de majoration des troubles en relation avec la situation socio-professionnelle n'étaient pas à écarter totalement. Les cervico-brachialgies et l'atteinte radiculaire C8/D1 limitaient l'assurée dans toute activité nécessitant le port de charges, un engagement physique lourd et des mouvements de flexion (se pencher) répétitifs. L'incapacité de travail était complète dans l'activité d'éducatrice de la petite enfance, à partir du 2 novembre 2004 (date de l'arrêt de travail) et à titre définitif. Dans l'activité de secrétaire, elle était de 50 % (plein temps avec un rendement de 50 % ou mi-temps avec un rendement de 100 %), en évitant le port régulier de charges lourdes (10 kg) et un engagement physique important (se pencher en avant, etc.), et pour autant que l'assurée puisse changer relativement fréquemment de position. L'assurée avait disposé d'une telle capacité résiduelle de travail six mois déjà après l'opération du 3 février 2005.
Le 18 janvier 2007, le docteur L._, médecin généraliste rattaché au Service médical régional de l'assurance-invalidité (SMR) a exposé qu'il partageait l'avis du docteur U._ relatif à la capacité résiduelle de travail de l'assurée, en précisant toutefois qu'elle avait recouvré cette capacité en juin 2005 déjà.
Le 22 février 2006, l'Office AI a adressé à R._ un projet de décision d'octroi d'une demi-rente d'invalidité avec effet dès le 1er novembre 2005. Il se référait à l'expertise du docteur U._ et considérait que sans invalidité l'assurée aurait pu réaliser un revenu de 84'979 francs en 2005. Compte tenu de la capacité de travail résiduelle attestée par le docteur U._ et de l'expérience de l'assurée dans l'activité de secrétaire, l'Office AI considérait par ailleurs qu'elle disposait encore d'une capacité de gain de 35'309 fr. dans cette profession. Il en résultait un taux d'invalidité de 58,44 %.
L'assurée s'est opposée à ce projet de décision en contestant disposer d'une capacité de travail de 50 % dans la profession de secrétaire. Cette activité impliquait en effet de se pencher sur une table de travail et un clavier, ce qu'elle ne pouvait faire qu'une heure par jour au maximum. En outre, elle éprouvait de plus en plus de difficultés à utiliser son membre supérieur droit, spécialement la main. Elle a produit à l'appui de ces allégations un rapport du 27 mars 2008 dans lequel le docteur H._ a nié une capacité résiduelle de travail de 50 % dans la profession de secrétaire et a précisé que l'assurée avait trouvé une activité à temps partiel (devoirs surveillés), à raison de deux heures trois fois par semaine, ce qui constituait un maximum. Cette activité lui permettait de changer en permanence de position; malgré tout, l'assurée devait augmenter la médication antalgique les jours de travail, notamment le Tramal, ce qui entraînait des effets secondaires (nausées).
L'Office AI a alloué une demi-rente d'invalidité à R._, pour la période courant dès le 1er juin 2008 (décision du 13 mai 2008), de même que pour la période du 1er novembre 2005 au 31 mai 2008 (décision du 11 juillet 2008).
B. R._ a déposé deux recours séparés contre les décisions des 13 mai et 11 juillet 2008. Par jugement du 20 novembre 2008, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours contre la décision du 13 mai 2008. Le 19 décembre suivant, il a rejeté le recours contre la décision du 11 juillet 2008.
C. L'assurée interjette deux recours en matière de droit public, l'un contre le jugement du 20 novembre 2008 (cause 8C_15/2009), l'autre contre celui du 19 décembre 2008 (cause 8C_188/2009). Elle demande la jonction des causes et conclut, sous suite de dépens, à la réforme des jugements entrepris en ce sens qu'une rente entière d'invalidité lui soit allouée. A titre subsidiaire, elle conclut à l'octroi de trois quarts de rente d'invalidité et à titre plus subsidiaire encore, à l'annulation des jugements entrepris et au renvoi de la cause aux premiers juges pour expertise judiciaire et nouveau jugement. A l'appui de ses recours, elle produit une expertise établie le 27 novembre 2008 par le docteur G._. Elle demande que le montant des honoraires de l'expert privé (2000 fr.) soit compris dans les dépens à charge de l'intimé.
L'intimé a conclut au rejet des deux recours, alors que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Les deux recours sont dirigés contre le même jugement, opposent les mêmes parties et portent l'un et l'autre sur un état de fait identique. Il y a donc lieu de joindre les causes et de statuer par un seul arrêt (cf. ATF 131 V 59 consid. 1 p. 60; 128 V 192 consid. 1 p. 194).
2. Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité pour la période courant dès le 1er novembre 2005. La recourante reproche en particulier aux premiers juges d'avoir constaté une capacité résiduelle de travail de 50 % dans l'activité de secrétaire en se fondant sur l'expertise du docteur U._, alors que d'autres avis médicaux probants attestaient une incapacité de travail totale dans cette activité. Elle leur fait également grief de n'avoir pas ordonné une expertise judiciaire pour établir les faits et lever les contradictions entre les différents rapports médicaux au dossier. Les faits constatés par les premiers juges résulteraient ainsi d'une appréciation arbitraire des preuves, d'une violation de l'art. 61 let. c LPGA prévoyant l'administration des preuves nécessaires par les tribunaux cantonaux des assurances, ainsi que d'une violation du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst.
3. 3.1 Le Tribunal fédéral est lié par les faits constatés par les premiers juges (art. 105 al. 1 LTF), à moins qu'ils aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF. Dans ce cas, il peut rectifier ou compléter les faits d'office (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante peut également contester des constatations de faits ainsi irrégulières si la correction du vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3.2 Les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF posent deux conditions alternatives à la rectification ou au complètement des faits posés par les premiers juges (les art. 97 al. 2 et 105 al. 3, sans pertinence en l'espèce, étant réservés). La première de ces conditions, à savoir la constatation manifestement inexacte des faits en instance précédente, vise en réalité un cas particulier d'arbitraire (ATF 135 II 145 consid. 8.1 p. 153; 135 III 127 consid. 1.5 p. 130; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; cf. également arrêt 4A_280/2009 du 31 juillet 2009 consid. 1.4). S'agissant plus précisément de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
La seconde condition alternative posée à la rectification ou au complètement des faits, à savoir l'établissement des faits en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, est remplie si la juridiction précédente n'a pas respecté une règle de droit fédéral sur la preuve et l'administration des preuves, ou appliqué arbitrairement une règle cantonale sur ce point (cf. arrêt 4A_280/2009 du 31 juillet 2009 consid. 1.4). Tel peut être le cas en droit des assurances sociales, par exemple, si elle a violé le principe de libre appréciation des preuves posé à l'art. 61 let. c LPGA, notamment en écartant un rapport médical au seul motif qu'il a été établi par le médecin traitant de la personne assurée ou par un médecin interne à l'assureur social, sans examiner autrement sa valeur probante (cf. ATF 132 V 393 consid. 4.1 p. 400; 125 V 351 consid. 3a p. 352). En revanche, si les premiers juges ont pris en considération la provenance d'un rapport médical dans le cadre d'une appréciation globale de sa valeur probante (cf. ATF 125 V 351 consid. 3b p. 352 [en ce qui concerne un rapport établi par un médecin traitant, ATF 125 V 351 consid. 3b/cc p. 353; pour un rapport établi par un médecin interne à l'assureur social, arrêt 8C_216/2009 du 28 octobre 2009 consid. 4.4]), le Tribunal fédéral n'examine le résultat de cette appréciation des preuves que sous l'angle restreint de l'arbitraire. Il en va de même du refus de l'instance précédente de compléter l'instruction par une nouvelle expertise sur la base d'une appréciation anticipée des preuves, lorsque le recourant soulève les griefs de violation du devoir d'administrer les preuves nécessaires (art. 61 let. c LPGA) ou de violation du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.; cf. arrêt 8C_831/2007 du 14 avril 2008 consid. 2.3; sur l'appréciation anticipée des preuves en général : ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2 p. 428). L'appréciation (anticipée) des preuves doit être arbitraire non seulement en ce qui concerne les motifs évoqués par la juridiction cantonale pour écarter un moyen de preuve, mais également dans son résultat (cf. ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 sv.; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 134 II 124 consid. 4.1 p. 133; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153).
4. 4.1 La recourante a produit, en instance fédérale, une expertise établie le 27 novembre 2008 par le docteur G._. Il s'agit d'un moyen de preuve nouveau au sens de l'art. 99 al. 1 LTF, qui ne peut pas être pris en considération dans la présente procédure dès lors qu'il ne résulte pas du jugement entrepris.
La recourante soutient, certes, qu'elle n'a pas d'autre choix que de produire ce moyen de preuve, car les premiers juges ont refusé d'ordonner une expertise judiciaire en violation de son droit d'être entendue et de l'obligation des tribunaux cantonaux des assurances d'administrer les preuves nécessaires (art. 61 let. c LPGA). Elle demande au Tribunal fédéral de réparer le vice et, par économie de procédure, de rectifier les constatations de faits des premiers juges en prenant en considération l'expertise du docteur G._, plutôt que de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Toutefois, comme on le verra ci-après (consid. 4.2), l'appréciation anticipée des preuves qui a conduit l'instance précédente à refuser un complément d'instruction résiste au grief d'arbitraire. L'argumentation de la recourante relative à une violation de son droit d'être entendue et de l'obligation d'administrer les preuves nécessaires n'est donc pas fondée, de sorte qu'une rectification des constatations de faits des premiers juges en se référant à l'expertise du docteur G._ n'entre pas en considération.
La recourante soutient, certes, qu'elle n'a pas d'autre choix que de produire ce moyen de preuve, car les premiers juges ont refusé d'ordonner une expertise judiciaire en violation de son droit d'être entendue et de l'obligation des tribunaux cantonaux des assurances d'administrer les preuves nécessaires (art. 61 let. c LPGA). Elle demande au Tribunal fédéral de réparer le vice et, par économie de procédure, de rectifier les constatations de faits des premiers juges en prenant en considération l'expertise du docteur G._, plutôt que de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Toutefois, comme on le verra ci-après (consid. 4.2), l'appréciation anticipée des preuves qui a conduit l'instance précédente à refuser un complément d'instruction résiste au grief d'arbitraire. L'argumentation de la recourante relative à une violation de son droit d'être entendue et de l'obligation d'administrer les preuves nécessaires n'est donc pas fondée, de sorte qu'une rectification des constatations de faits des premiers juges en se référant à l'expertise du docteur G._ n'entre pas en considération.
4.2 4.2.1 La recourante conteste la valeur probante de l'expertise du docteur U._ au motif, d'une part, qu'il n'a pas motivé sa constatation relative à une capacité de travail de 50 % dans l'activité de secrétaire, et d'autre part, que cette constatation est en contradiction avec celles de tous les autres médecins qui se sont exprimés sur ce point, en particulier les docteurs H._, M._ et B._. En outre, elle fait grief aux premiers juges d'avoir écarté les avis de ces médecins sans discuter leurs arguments, pour le seul motif qu'ils étaient les médecins traitants de l'assurée.
4.2.2 Le docteur U._ a établi une expertise qui, sur le plan formel, répond aux exigences posées par la jurisprudence en la matière (cf. ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352). Sur le fond, ses constatations relatives aux atteintes organiques à la santé de l'assurée correspondent pour l'essentiel à celles des docteurs H._, M._ et B._. En revanche, le docteur U._ ne partage pas entièrement l'avis de ses confrères sur la gravité des limitations qu'entraînent ces atteintes. Il ne constate pas d'impossibilité à porter occasionnellement des charges limitées - comme le métier de secrétaire peut l'imposer -, mais uniquement à porter régulièrement des charges lourdes. Il considère qu'une activité permettant le changement fréquent de position et n'impliquant pas de mouvements de flexion (se pencher) répétitifs est exigible. Il n'y a pas de contradiction entre ces constatations et les examens pratiqués et décrits par l'expert, ni avec sa conclusion relative à une incapacité de travail de 50 % dans l'activité de secrétaire.
4.2.3 Les rapports des docteurs M._ et B._ sont très brefs - quelques lignes - et attestent une incapacité de travail totale de l'assurée, quasiment sans autre explication que le diagnostic. Ils ne revêtent donc qu'une très faible valeur probante, insuffisante pour mettre en doute les constatations du docteur U._.
4.2.4 Pour sa part, le docteur H._ décrit une incapacité de travail totale dans quelque activité que ce soit, sous réserve d'un emploi occupant la recourante quelques heures par semaine pour des devoirs surveillés. Cette incapacité de travail est due au fait que l'assurée ne peut plus porter de charges avec le membre supérieur droit et qu'elle doit changer de position en permanence (rapport du 24 novembre 2005). Sans être dépourvu de toute valeur probante, ce rapport et celui du 27 mars 2008 sont néanmoins relativement sommaires. Surtout, le docteur H._ n'explique pas ses constatations par des observations différentes de celles du docteur U._ lors des examens pratiqués, notamment cliniques. On peut en conclure que son avis diverge très vraisemblablement de celui de l'expert en raison du poids différent attribué par l'un et l'autre médecins aux allégations de l'assurée elle-même. A partir de là, la désignation d'un nouvel expert ne permettrait pas, selon toute vraisemblance, de départager clairement ces avis en démontrant le caractère erroné de l'un plutôt que de l'autre, mais permettrait tout au plus d'obtenir un point de vue supplémentaire sur la portée exacte d'atteintes à la santé en soi incontestées. Dans ces conditions, les premiers juges pouvaient, sans tomber dans l'arbitraire, renoncer à un tel point de vue supplémentaire et choisir de s'en tenir à l'avis de l'expert désigné pour contribuer à l'établissement des faits en procédure administrative, plutôt qu'à celui du médecin traitant.
4.2.5 La recourante reproche aux premiers juges d'avoir écarté le rapport du docteur H._ au seul motif qu'il était le médecin traitant, ce qui reviendrait à une violation du principe de libre appréciation des preuves. Ce grief est toutefois infondé. La juridiction cantonale a au contraire cherché à pondérer la valeur probante des rapports établis par le docteur H._. Elle y a vu, certes à tort, comme le démontre la recourante, des contradictions entre le rapport établi le 24 novembre 2005 par le docteur H._ et celui daté du 27 mars 2008. Il n'en reste pas moins qu'elle a procédé à une libre appréciation des différentes preuves au dossier, dont le résultat ne peut être taxé d'arbitraire.
5. La recourante ne conteste pas les autres aspects du jugement entrepris. En particulier, elle ne soulève aucune contestation sur les termes de la comparaison de revenus ayant conduit à un taux d'invalidité de 58 %, sous réserve des griefs relatifs à la constatation d'une capacité de travail résiduelle de 50 % dans l'activité de secrétaire. Ces griefs étant infondés, la recourante voit ses conclusions rejetées. Elle supportera ses propres dépens ainsi que les frais de justice.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 8C_15/2009 et 8C_188/2009 sont jointes.
2. Les recours sont rejetés.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 janvier 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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