Erwägungen:
1. Der Leitende Staatsanwalt des Kantons Solothurn trat mit Verfügung vom 25. Januar 2010 auf eine von X._ gegen Staatsanwalt Büttiker eingereichte Strafanzeige nicht ein. Dagegen erhob X._ am 3. Februar 2010 Beschwerde und ersuchte um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Instruktionsrichter der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn wies das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege mit Verfügung vom 17. Februar 2010 infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab. Eine von X._ gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wies die Beschwerdekammer des Obergerichts mit Urteil vom 19. März 2010 ab. Die Beschwerdekammer führte zusammenfassend aus, es sei nicht zu beanstanden, dass der Instruktionsrichter die Beschwerde vom 3. Februar 2010 als aussichtslos beurteilt habe.
2. X._ führt mit Eingabe vom 12. April 2010 Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, setzt sich mit den Ausführungen der Beschwerdekammer, die zur Abweisung seiner Beschwerde führten, nicht auseinander und legt nicht dar, inwiefern das angefochtene Urteil verfassungswidrig sein sollte. Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Urteils darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dadurch wird das sinngemäss gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. April 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli