Erwägungen:
1. X._ (geb. 21. März 1986) stammt aus Sri Lanka. Am 26. Oktober 2000 entsprach das Bundesamt für Flüchtlinge seinem Asylgesuch nicht und wies ihn weg; es nahm ihn jedoch gleichzeitig im Rahmen der humanitären Aktion 2000 in der Schweiz vorläufig auf. Am 22. Februar 2002 erhielt X._ eine ordentliche Aufenthaltsbewilligung, welche das Migrationsamt des Kantons Luzern am 15. April 2011 nicht mehr verlängerte (Schuldenwirtschaft und Straffälligkeit [u.a. Raub]). Da X._ trotz Rechtskraft dieser Verfügung innerhalb der ihm angesetzten Frist nicht ausgereist war, nahm ihn das Amt für Migration ab dem 20. Juli 2012 in Ausschaffungshaft. Das Zwangsmassnahmengericht und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern bestätigten diese für drei Monate. Am 27. September 2012 ist X._ in seine Heimat verbracht worden. Mit Eingabe vom 12. Oktober 2012 beantragt er über seinen Anwalt, das Amt für Migration des Kantons Luzern anzuweisen, ihn vorläufig aufzunehmen.
2. Die Eingabe ist offensichtlich unzulässig und kann ohne Weiterungen durch den Präsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG erledigt werden:
2.1 Nach Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur legitimiert, wer u.a. ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung seiner Eingabe hat (lit. c). Dieses muss nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein. Fällt das schutzwürdige Interesse im Laufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (BGE 137 I 23 E. 1.3.1). Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (BGE 136 II 101 E. 1.1 S. 103; 135 I 79 E. 1.1 S. 81). Bestehen besondere Umstände, nimmt das Bundesgericht in Haftfällen zudem ausnahmsweise eine materielle Prüfung vor, wenn der Beschwerdeführer hinreichend substantiiert und in vertretbarer Weise eine Verletzung der EMRK dartut ("grief défendable"; vgl. Art. 13 i.V.m. Art. 5 Ziff. 4 EMRK; BGE 137 I 296 E. 4 und 5).
2.1 Nach Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur legitimiert, wer u.a. ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung seiner Eingabe hat (lit. c). Dieses muss nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein. Fällt das schutzwürdige Interesse im Laufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (BGE 137 I 23 E. 1.3.1). Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (BGE 136 II 101 E. 1.1 S. 103; 135 I 79 E. 1.1 S. 81). Bestehen besondere Umstände, nimmt das Bundesgericht in Haftfällen zudem ausnahmsweise eine materielle Prüfung vor, wenn der Beschwerdeführer hinreichend substantiiert und in vertretbarer Weise eine Verletzung der EMRK dartut ("grief défendable"; vgl. Art. 13 i.V.m. Art. 5 Ziff. 4 EMRK; BGE 137 I 296 E. 4 und 5).
2.2 2.2.1 Diese Voraussetzungen sind im vorliegenden Fall nicht erfüllt: Der Beschwerdeführer ist am 27. September 2012 in seine Heimat ausgeschafft worden, womit die Festhaltung noch vor Einreichen seiner Beschwerde geendet hat. Der Fall wirft keine Fragen auf, welche von grundsätzlicher Bedeutung wären. Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens bildet ausschliesslich die Rechtmässigkeit und Angemessenheit der Festhaltung, indessen nicht auch die Asyl-, Aufenthalts- oder die Wegweisungsfrage als solche. Der Beschwerdeführer stellt vor Bundesgericht lediglich die rechtskräftige Wegweisung bzw. deren Vollzug infrage. Diesbezügliche Einwände sind jedoch im Asyl-, Bewilligungs- oder Wegweisungsverfahren durch die jeweils zuständigen Behörden zu prüfen, nicht (erstinstanzlich) durch den Haftrichter (vgl. die Urteile 2C_304/2012 vom 1. Mai 2012 E. 2.1 und 2C_455/2009 vom 5. August 2009 E. 2.3). Die betroffene Person muss sich in diesen Punkten nötigenfalls mit einem Wiedererwägungsgesuch an das Bundesamt oder die zuständige kantonale Ausländerbehörde wenden und hernach den entsprechenden Rechtsweg beschreiten. Nur wenn der Wegweisungsentscheid offensichtlich unzulässig, d.h. geradezu willkürlich bzw. nichtig, erscheint, darf bzw. muss die Haftgenehmigung verweigert werden, da der Vollzug einer in diesem Sinn rechtswidrigen Anordnung nicht mit einer ausländerrechtlichen Zwangsmassnahme sichergestellt werden darf (BGE 128 II 193 E. 2.2.2 S. 198 mit Hinweisen; 121 II 59 E. 2c; 130 II 56 E. 2 S. 58).
2.2.2 Die Vorinstanz hat die Wegweisung in diesem Umfang geprüft und nachvollziehbar begründet, weshalb der Wegweisungsvollzug im Rahmen ihrer beschränkten Kognition und mit Blick auf die Ausführungen des Bundesverwaltungsgerichts in BVGE 2011/24 nicht zu beanstanden ist. Soweit der Beschwerdeführer beantragt, er sei vorläufig aufzunehmen, übersieht er, dass in diesem Zusammenhang die von ihm erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ebenso unzulässig ist wie gegen den Wegweisungsentscheid selber (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 3 und 4 BGG). In diesem Zusammenhang stünde im Bewilligungsverfahren lediglich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen, wobei im Einzelnen darzulegen wäre, dass und inwiefern der angefochtene Akt verfassungsmässige Rechte verletzt (vgl. BGE 137 II 305 E. 1 - 4). Da die Frage der Wegweisung bzw. des Vorliegens von Vollzugshindernissen nur mittelbar Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens bildet, kann der entsprechende Aspekt nicht im Rahmen von Art. 80 Abs. 6 lit. a AuG dem Bundesgericht ausserhalb des Wegweisungsverfahrens unterbreitet werden. Der Beschwerdeführer übersieht, dass seine Wegweisung vom 15. April 2011 rechtskräftig geworden ist; wollte er Vollzugshindernisse geltend machen, hätte er diesen Entscheid rechtzeitig anfechten müssen. Der Beschwerdeführer beantragt nicht, eine allfällige Konventionswidrigkeit seiner Ausschaffungshaft festzustellen; er legt entgegen seiner Begründungspflicht (vgl. Art. 42 und Art. 106 Abs. 2 BGG) mit keinem Wort dar, dass und inwiefern diese Art. 5 EMRK verletzt haben könnte. Auf die Beschwerde ist deshalb auch unter diesem Titel nicht einzutreten.
3. Da die Eingabe aufgrund der publizierten Rechtsprechung als offensichtlich unzulässig zu gelten hatte, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (vgl. Art. 64 BGG). Es rechtfertigt sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben, nachdem sich der Beschwerdeführer inzwischen nicht mehr in der Schweiz befindet (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Es sind keine Entschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. 2.1 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2 Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar