Faits:
A. A._ SA est une société anonyme enregistrée au Luxembourg, où elle a son siège social; elle a une succursale à Genève, auparavant à Zurich, inscrite sur le registre du commerce. Elle se consacre surtout à la prise de participations dans d'autres entreprises. M._ et N._ ont assumé les fonctions d'administrateurs de la succursale et O._ l'a représentée avec droit de signature individuelle.
B._ SA, en liquidation, a son siège à Genève. M._ et P._ ont été ses administrateurs.
B. Le 5 décembre 2007, X._ a ouvert action contre ces deux sociétés devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Elles devaient être condamnées à lui rendre compte du ou des mandats de gestion de biens que, selon ses allégations, elles avaient reçus de son défunt père, W._.
Les défenderesses ont contesté les relations de mandat alléguées par la demanderesse; A._ SA a excipé de l'incompétence à raison du lieu.
Le Tribunal de première instance a d'abord rejeté cette exception au motif qu'elle était tardive, puis la Cour de justice a annulé ce premier jugement.
Le tribunal s'est derechef prononcé sur l'exception d'incompétence le 1er octobre 2009. Il l'a rejetée et s'est jugé compétent au regard des faits allégués dans la demande, dont la preuve devait être renvoyée à la suite de l'instance.
La Cour de justice a statué le 16 avril 2010 sur l'appel de la défenderesse; elle a confirmé le jugement.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, la défenderesse A._ SA requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de justice et de prononcer que les tribunaux genevois sont incompétents. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision.
La demanderesse conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet.
Considérant en droit:
1. Au regard de l'art. 92 al. 1 LTF, l'arrêt de la Cour de justice est une décision incidente concernant la compétence des tribunaux genevois; il est susceptible de recours selon cette disposition.
Si W._ a réellement confié la gestion d'une part de ses biens à A._ SA, on peut raisonnablement présumer que la valeur de cette part excédait 30'000 francs. Dans l'action en reddition de compte, évaluée conformément à l'art. 51 al. 1 let. c et 51 al. 2 LTF, la valeur litigieuse correspond peu ou prou à celle de ce patrimoine hypothétiquement confié. Le minimum légal requis par l'art. 74 al. 1 let. b LTF est donc atteint.
Pour le surplus, le recours est dirigé contre un jugement rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Il a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF); son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF).
2. Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); en règle générale, les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Cette partie ne peut toutefois pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; elle doit plutôt indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, et une critique qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; voir aussi ATF 130 I 258 consid. 1.3 p. 261/262; 125 I 492 consid. 1b p. 495).
3. La Cour de justice a admis la compétence des tribunaux genevois sur la base de l'art. 5 ch. 5 de la convention de Lugano concernant la compétence judiciaire et l'exécution des décisions en matière civile et commerciale (CL; RS 0.275.11), à laquelle la Suisse et le Luxembourg sont l'une et l'autre parties.
Selon cette disposition, dans une contestation relative à l'exploitation d'une succursale, d'une agence ou de tout autre établissement du défendeur, celui-ci, domicilié sur le territoire d'un Etat contractant, peut être attrait devant le tribunal du lieu de situation de cette succursale, agence ou établissement dans un autre Etat contractant.
Aux termes de l'art. 53 al. 1 CL, le siège des sociétés et personnes morales est assimilé au domicile. Selon la Cour, la défenderesse A._ SA a son domicile au Luxembourg et une succursale à Genève, où la demanderesse peut l'attraire. La Cour s'exprime comme suit au sujet des faits propres à établir la compétence:
L'existence des faits justifiant la compétence, s'ils sont contestés, doit être prouvée, sauf s'il s'agit de faits qui sont à la fois déterminants pour la compétence et pour le fond (faits doublement pertinents), auquel cas de tels faits seront présumés réalisés pour l'examen de la compétence et ne devront être prouvés qu'au moment où le juge statuera sur le fond de la demande ... . En d'autres termes, il suffit, pour admettre la compétence du tribunal, que les faits qui constituent à la fois la condition de cette compétence et le fondement nécessaire de la prétention soumise à l'examen du tribunal soient allégués avec une certaine vraisemblance. Les objections de la partie défenderesse ne seront examinées qu'au moment de juger l'affaire sur le fond ... .
Dans le cas particulier, [la demanderesse] se prévaut de l'existence d'un mandat portant sur la gestion de certains avoirs de son père, confié à [A._ SA] et exécuté par le biais de la succursale genevoise de la société. S'agissant d'un élément à la fois déterminant pour examiner la compétence des tribunaux au sens de l'art. 5 ch. 5 CL et pour trancher le fond du litige, on se trouve en présence de faits doublement pertinents, de sorte qu'il convient de vérifier s'ils ont été allégués avec une certaine vraisemblance.
Au vu du dossier, il a été rendu vraisemblable que W._ avait fait mettre en place une structure complexe impliquant la gestion de sociétés étrangères. La désignation de N._, R._ et M._ en tant que « protecteurs » de la Fondation D._ fait supposer leur concours dans l'organisation de cette planification patrimoniale, ce d'autant plus que W._ faisait appel aux services de N._ et R._ depuis de nombreuses années.
Ces trois personnages ont exercé des fonctions importantes tant au sein de [A._ SA] que de [B._ SA] et de C._ SA. M._ a été actif, au bénéfice d'une signature individuelle, dans chacune de ces sociétés, et plus particulièrement au sein de la succursale de [A._ SA]. N._ a exercé une place dirigeante auprès de [cette dernière] et R._ a fait partie du conseil d'administration de C._ SA.
A cela s'ajoute que la succursale de [A._ SA] et C._ SA étaient toutes deux sises, durant une certaine période, à la même adresse, à Zurich. Des documents concernant des investissements faits par les sociétés constituées aux Iles Vierges britanniques ont été transmis à cette adresse. Certains d'entre eux ont été envoyés à P._, alors qu'au vu du dossier, cette personne n'exerçait aucune fonction auprès de [A._ SA] ni de C._ SA, mais était membre du conseil d'administration de [B._ SA], dont le siège était, à l'époque, à Genève.
Ces éléments constituent des indications permettant de retenir, prima facie, une confusion des affaires entre les sociétés qui géraient les avoirs de W._, ainsi qu'entre les personnes qui les représentaient. Cette confusion est confirmée par le fait que la carte de condoléances adressée à [la demanderesse] désignait de manière globale tant les bureaux de Zurich que ceux de Genève. Elle était signée notamment de P._, M._ et O._, ce qui laisse supposer que ces personnes, en tant que représentants des sociétés qu'elles administraient, étaient en relation d'affaires avec W._. Sur ce point, il est au surplus relevé que ni M._ ni O._ n'ont formellement contesté avoir participé à la gestion du patrimoine de W._, après avoir été interpellés à ce sujet par [la demanderesse].
Il existe ainsi un faisceau d'indices indiquant que M._ et O._, agissant à Genève pour le compte de la succursale de [A._ SA], ont pu intervenir dans le cadre de la gestion des sociétés étrangères dont W._ était l'ayant droit économique.
Par ailleurs, il résulte des inscriptions figurant aux registres du commerce genevois et de zurichois que la succursale de [A._ SA] est une entité accessoire, bénéficiant d'une direction. Rien ne permet de douter, en l'état, de son effectivité et de son autonomie partielle, de sorte qu'elle répond à la définition de succursale visée par l'art. 5 ch. 5 CL.
Par conséquent, les faits allégués au sujet de l'activité de la succursale de [A._ SA] sont suffisants, à ce stade de la procédure, pour fonder la compétence des tribunaux genevois.
A l'appui du recours en matière civile, la défenderesse A._ SA conteste que l'attribution d'un mandat de gestion de biens par le père de la demanderesse soit alléguée par celle-ci avec « une certaine vraisemblance ». A son avis, la Cour aurait dû, au contraire, tenir l'allégation pour insuffisante.
4. En règle générale, selon la jurisprudence, le juge saisi doit examiner sa compétence sur la base des allégués, moyens et conclusions de la demande, sans tenir compte des objections de la partie défenderesse. Les faits déterminants pour la compétence, seulement, doivent être prouvés, s'ils sont contestés, avant une éventuelle décision séparée sur la compétence, tandis que la preuve des faits déterminants pour la compétence et pour le bien-fondé de l'action - faits doublement pertinents ou de double pertinence - est renvoyée à la suite de l'instance.
D'après certains arrêts du Tribunal fédéral, la preuve des faits doublements pertinents n'est ainsi différée que s'ils sont allégués « avec une certaine vraisemblance » (ATF 135 V 373 consid. 3.2 p. 377; 133 III 282 consid. 3.2 p. 286; 131 III 153 consid. 5.1 p. 157, consid. 6.4 p. 162; 128 III 50 consid. 2b/aa; 121 III 495 consid. 6d p. 503), tandis que d'autres arrêts ne mentionnent pas cette condition (ATF 134 III 27 consid. 6.2.1 p. 34; 133 III 295 consid. 6.2 p. 298; 122 III 249 consid. 3b/bb-cc p. 252; 119 II 66). En doctrine, un auteur explique que ladite condition est étrangère à la théorie des faits de double pertinence à l'origine de la jurisprudence actuelle du Tribunal fédéral, issue du droit allemand, et qu'elle ne se justifie pas (Urs Hoffmann-Nowotny, Doppelrelevante Tatsachen in Zivilprozess und Schiedsverfahren, 2010, p. 120 nos 190 et 191; voir aussi, également critique, Andreas Bucher, L'examen de la compétence internationale par le juge suisse, 2007, SJ 2007 II 153 p. 158/159).
Dès ses premières décisions relatives au for des réclamations personnelles, alors garanti par l'art. 59 al. 1 aCst., le Tribunal fédéral a jugé que la compétence se détermine d'après la nature et le contenu de la demande, sans égard aux objections élevées contre elle, et cela même dans le cas où cette demande apparaîtrait d'emblée inconsistante (ATF 9 p. 30 consid. 1 et 2; voir aussi ATF 24 I 657 consid. 2 p. 660; 45 I 302 consid. 2 p. 307; 74 II 187 consid. 2 p. 188). Il a réser-vé l'éventualité où la demande serait présentée sous une forme destinée à en déguiser la nature véritable et à éluder la règle de for applicable (ATF 22 I 32 consid. 2 p. 37; 22 I 50 consid. 2 p. 58/59; 66 II 179 consid. 2 p. 183; voir aussi ATF 3 p. 626 consid. 3). Plus tard, dans une cause où la partie demanderesse cumulait deux actions, l'une d'elles est apparue manifestement mal fondée au regard d'un élément introduit par l'autre partie, incontesté et confirmé par le dossier; le Tribunal fédéral a alors admis que la règle de for régissant l'autre action se trouvait éludée (ATF 91 I 121 consid. 5 p. 122). Dans un arrêt de 2007, il a réservé l'éventualité d'allégués « manifestement faux » (ATF 134 III 27 consid. 6.4 in fine p. 37).
L'exigence d'une « certaine vraisemblance », selon le libellé de quelques arrêts du Tribunal fédéral, ne fait référence qu'à ces hypothèses exceptionnelles où la thèse de la demande apparaît d'emblée spécieuse ou incohérente, ou, sinon, se trouve réfutée immédiatement et sans équivoque par la réponse et les documents de la partie défenderesse. Cette exigence protège cette partie-ci, le cas échéant, contre une tentative abusive, qui procéderait d'un abus de droit, de l'attraire au for choisi par l'autre partie (sur l'interdiction de l'abus de droit au regard de la théorie des faits de double pertinence: Hoffmann-Nowotny, op. cit., p. 124 n° 195, avec références à d'autres auteurs). Il demeure donc que même au degré de la simple vraisemblance, la preuve des faits doublement pertinents n'est pas requise au stade d'une décision séparée sur la compétence.
5. En l'espèce, la Cour de justice aurait donc pu se dispenser de rechercher s'il est vraisemblable, d'après les pièces du dossier, que le personnel de la succursale de Genève ait accepté au nom de la défenderesse A._ SA un mandat ayant pour objet la gestion de biens provenant de W._. Il suffisait de constater qu'une pareille éventualité ne présente en elle-même rien d'impossible et que rien, non plus, ne dénote une tentative d'attraire abusivement la défenderesse devant les tribunaux genevois. Pour ce motif déjà, quant à l'ajournement de la preuve, la décision critiquée se révèle conforme aux règles fédérales du droit de procédure civile international (cf. ATF 133 III 295 consid. 6.1 p. 298; 122 III 249 consid. 3a in fine p. 251).
Au surplus, les déductions que le juge opère sur la base d'indices relèvent de l'appréciation des preuves, de sorte qu'en principe, avec la constatation des faits, elles échappent au contrôle du Tribunal fédéral (ATF 117 II 256 consid. 2b p. 258; 128 III 390 consid. 4.3.3 in fine p. 398; 126 III 10 consid. 2b p. 12/13). Seules les déductions exclusivement fondées sur l'expérience générale de la vie se rattachent à l'application du droit ( ATF 126 III 10 consid. 2b p. 12; 115 II 440 consid. 5b p. 448/449; 107 II 269 consid. 2b p. 274). En conséquence, il n'appartient de toute manière pas au Tribunal fédéral de revoir l'appréciation que la Cour de justice a effectuée sur la base des pièces du dossier quant à la vraisemblance du mandat allégué par la demanderesse. A cette appréciation, A._ SA n'oppose que de simples dénégations, quoiqu'elle les développe longuement et sur chacun des indices relevés dans la décision; cela ne constitue pas une argumentation suffisante au regard de la jurisprudence précitée relative à l'art. 97 al. 1 LTF.
6. La compétence des tribunaux genevois étant admise sur la base de l'art. 5 ch. 5 CL, il n'est pas nécessaire d'examiner si elle pourrait aussi l'être en application de l'art. 6 ch. 1 CL, prévoyant que s'il y a plusieurs défendeurs, tous peuvent être attraits devant le tribunal du domicile de l'un d'eux, en l'occurrence à Genève où se trouve le siège de B._ SA.
7. Le recours se révèle privé de fondement, dans la mesure où le grief présenté est recevable. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 4'000 francs.
3. La défenderesse versera une indemnité de 4'500 fr. à la demanderesse, à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 31 août 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin