Sachverhalt:
A. A.a Gegen X._ ist seit der Anklageerhebung vom 1. März 2010 beim Bezirksgericht Bremgarten ein Strafverfahren wegen Verdachts auf mehrfache Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz durch widerrechtlichen Umgang mit Betäubungsmitteln in der Eigenschaft als Medizinalperson sowie wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Gesundheitsgesetz durch verbotene Selbstdispensation hängig. Am 14. Juni 2010 fand vor der Gerichtspräsidentin II des Bezirksgerichts Bremgarten die Hauptverhandlung statt. Der Verteidiger von X._ gab seine Plädoyernotizen vorweg ab. Nachdem er während der Verhandlung ein Ausstandsgesuch gegen die Gerichtspräsidentin und die Gerichtsschreiberin gestellt hatte, wurde die Verhandlung abgebrochen und der Ausstandsantrag dem Obergericht des Kantons Aargau überwiesen, ohne dass es zum Plädoyer kam.
A.b Am 9. März 2011 wies die Beschwerdekammer in Strafsachen des Obergerichts das Ausstandsbegehren ab, soweit sie darauf eintrat.
A.c Am 7. Juni 2011 ordnete die Gerichtspräsidentin II des Bezirksgerichts Bremgarten ein medizinisches Gutachten an, das am 15. Februar 2012 erstattet und gleichentags den Parteien zugestellt wurde. Am 28. März 2012 liess sich X._ dazu vernehmen.
A.d Am 10. Mai 2012 erging die Vorladung zur zweiten Hauptverhandlung auf den 20. Juni 2012.
A.e Mit Eingabe vom 22. Mai 2012 stellte X._ ein zweites Ausstandsgesuch gegen die Gerichtspräsidentin II des Bezirksgerichts Bremgarten, Y._, und die fragliche Gerichtsschreiberin, W._ (heute: Z._-W._). Das Ausstandsbegehren wurde im Wesentlichen damit begründet, das Gericht habe in unzulässiger und Treu und Glauben verletzender Weise Unterlagen des Verteidigers, insbesondere die Plädoyernotizen, zurückbehalten, diesen Vorgang im Protokoll falsch festgehalten und die Unterlagen dem Gutachter weitergegeben, der sie für sein Gutachten verwendet habe. Dieses Begehren wurde am 30. Mai 2012 zusammen mit je einem Bericht der beiden betroffenen Gerichtspersonen vom 29. Mai 2012 dem Obergericht überwiesen.
A.f Am 1. Juni 2012 ging beim Vertreter von X._ eine Verfügung des Obergerichts vom 30. Mai 2012 ein, mit welcher ohne Fristansetzung der Bericht der Gerichtspräsidentin vom 29. Mai 2012 "zur Kenntnis und freigestellten Stellungnahme" zugestellt wurde. Gleichentags ging per Fax eine analoge Verfügung vom 1. Juni 2012 zum Bericht der Gerichtsschreiberin ein; mit der Post kam diese zweite Verfügung am 4. Juni 2012 an.
A.g Mit Entscheid vom 5. Juni 2012 trat das Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, auf das Ausstandsbegehren von X._ nicht ein.
B. Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht beantragt X._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und das Verfahren zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen. Zur Begründung macht er im Wesentlichen geltend, der Entscheid des Obergerichts verletze sein Replikrecht und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör.
C. Die Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht des Kantons Aargau haben auf eine Stellungnahme verzichtet. Y._ schliesst in ihrer Eingabe in der Funktion als Gerichtspräsidentin Bremgarten auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Gerichtsschreiberin Z._ hat sich innert Frist nicht vernehmen lassen.
D. X._ hat darauf verzichtet, sich nochmals zur Sache zu äussern.
Erwägungen:
1. Gemäss Art. 78 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 80 und Art. 92 Abs. 1 BGG steht gegen kantonal letztinstanzliche Entscheide über den Ausstand von Magistratspersonen im Strafprozess direkt die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen. Die Person, die den Ausstand beantragt und am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1B_263/2012 vom 8. Juni 2012 E. 1). Der Beschwerdeführer erfüllt diese Voraussetzungen. Auf die im Übrigen frist- und formgerecht erhobene Beschwerde ist somit einzutreten.
2. 2.1 Gemäss Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK haben die Parteien eines Gerichtsverfahrens Anspruch auf rechtliches Gehör. Diese Garantie umfasst auch das Recht, von den beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können (sog. Replikrecht: BGE 133 I 98 E. 2.1 S. 99). Das Replikrecht hängt nicht von der Entscheidrelevanz der Eingaben ab (BGE 138 I 154 E. 2.3.3 S. 157). Die Wahrnehmung des Replikrechts setzt voraus, dass die von den übrigen Verfahrensbeteiligten eingereichten Eingaben der Partei zugestellt werden (BGE 137 I 195 E. 2.3.1 S. 197). In Ausstandsverfahren steht das Replikrecht dem Gesuchsteller auch zu sämtlichen Stellungnahmen der Personen zu, deren Ausstand er beantragt hat (vgl. zum hier fraglichen Strafverfahren MARKUS BOOG, in: Basler Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, Basel 2011, N. 11 zu Art. 58 StPO; ANDREAS J. KELLER, in: Donatsch/Hansjakob/Lieber [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], Zürich 2010, N. 8 zu Art. 59 StPO).
2.2 Nach Zustellung der Vernehmlassung ist der Partei eine gewisse Zeit zur Wahrnehmung des Replikrechts zu belassen, bevor der Entscheid gefällt wird. Die Ausübung des Replikrechts darf nicht verhindert werden, indem der Entscheid so rasch ergeht, dass eine Stellungnahme trotz Zustellung einer neuen Eingabe nicht mehr rechtzeitig erfolgen kann (MARKUS LANTER, Formeller Charakter des Replikrechts - Herkunft und Folgen, in: ZBl 113/2012, S. 173). Von einem Rechtsuchenden kann insbesondere nicht erwartet werden, dass er innert weniger Tage reagiert, wenn er Unterlagen, die von den Verfahrensbeteiligten eingereicht bzw. zu den Akten genommen werden, ohne Frist zur Stellungnahme lediglich zur Kenntnisnahme erhält (Urteil 2C_794/2008 vom 14. April 2009 E. 3). In der bundesgerichtlichen Rechtsprechung wurden etwa folgende Zeitabläufe, die einer Partei nach Zustellung einer Vernehmlassung für die Replik zur Verfügung standen, bevor der Entscheid gefällt wurde, als unzulässig beurteilt: zwei Tage (Urteil 1B_25/2010 vom 17. Februar 2010 E. 2.2), sieben Tage (Urteil 2C_794/2008 vom 14. April 2009 E. 3.5) und acht Tage (Urteil 1P.798/2005 vom 8. Februar 2006 E. 2.3). In einer etwas allgemeineren Formulierung hielt das Bundesgericht fest, dass jedenfalls vor Ablauf von zehn Tagen nicht, hingegen nach 20 Tagen von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgegangen werden dürfe (Urteil 6B_629/2010 vom 25. November 2010 E. 3.3.2).
3. 3.1 Am 22. Mai 2012 stellte der Beschwerdeführer ein zweites Ausstandsgesuch gegen die Gerichtspräsidentin und die Gerichtsschreiberin des Bezirksgerichts, das am 30. Mai 2012 zusammen mit je einem Bericht der beiden betroffenen Gerichtspersonen vom 29. Mai 2012 dem Obergericht weitergeleitet wurde. Der Beschwerdeführer bzw. sein Vertreter erhielt am 1. Juni 2012 eine Verfügung des Obergerichts vom 30. Mai 2012, mit der ihm ohne Fristansetzung der Bericht der Gerichtspräsidentin vom 29. Mai 2012 "zur Kenntnis und freigestellten Stellungnahme" zugestellt wurde. Gleichentags ging per Fax eine analoge Verfügung vom 1. Juni 2012 zum Bericht der Gerichtsschreiberin ein; mit der Post kam diese Verfügung am 4. Juni 2012, nach dem dazwischen liegenden Wochenende, an. Tags darauf, am 5. Juni 2012, trat das Obergericht auf das Ausstandsgesuch nicht ein, weil es verspätet eingereicht worden sei.
3.2 Der Beschwerdeführer hatte maximal vier Tage, wovon ein Wochenende, Zeit, um sich zu den Vernehmlassungen der beiden Gerichtspersonen zu äussern. Wird berücksichtigt, dass eine Stellungnahme zuerst per Fax und damit erst am 4. Juni 2012 korrekt zugestellt wurde, verblieb ihm diesbezüglich sogar nur ein Tag. Das ist offensichtlich zu wenig, um das Replikrecht angemessen wahrzunehmen.
3.3 Die Gerichtspräsidentin wendet dagegen ein, die vom Beschwerdeführer im Ausstandsbegehren geltend gemachten Gründe seien von ihm bereits in seiner Stellungnahme zum Gutachten vom 28. März 2012 thematisiert worden, wozu sich die Gerichtspräsidentin in ihrer Verfügung vom 10. Mai 2012 geäussert habe. Auf eine Replik habe daher im Ausstandsverfahren verzichtet werden dürfen, wozu die Gerichtspräsidentin auf eine Kommentarstelle verweist (vgl. KELLER, a.a.O., N. 8 zu Art. 59 StPO). Indessen stellt sich die Rechtslage im Ausstandsverfahren nicht zwingend gleich dar wie bei der Berücksichtigung eines Gutachtens. Mit Grund macht der Beschwerdeführer geltend, die Ausstandsfrage könne unter Umständen zumindest pro futuro anders gewichtet werden als im ersten Ausstandsverfahren bzw. als im Zusammenhang mit der Einholung des Gutachtens. Das Obergericht hat ohnehin nicht einen zweiten Schriftenwechsel verweigert, sondern zwar von dessen formellen Einleitung abgesehen, aber doch festgehalten, es stehe dem Beschwerdeführer frei, eine Stellungnahme einzureichen. Dazu hätte ihm jedoch auch die reelle Möglichkeit gewährt werden müssen.
3.4 Nicht massgeblich ist, ob die auf den 20. Juni 2012 angesetzte Verhandlung bei Durchführung eines doppelten Schriftenwechsels hätte verschoben werden müssen, wie die Gerichtspräsidentin geltend macht. Ein Verschiebungsgesuch des Beschwerdeführers vom 14. Juni 2012 konnte jedenfalls noch gleichentags abgewiesen werden. Obwohl es darauf angesichts der formellen Natur des Replikrechts nicht ankommt, erscheint es im vorliegenden Fall nicht einmal als ausgeschlossen, dass über das Ausstandsgesuch in zulässiger Weise noch vor dem 20. Juni 2012 hätte entschieden werden können.
3.5 Ob das Ausstandsbegehren in der Sache erfolgversprechend oder chancenlos erscheint, spielt für die Ausübung des Replikrechts, erneut wegen dessen formellen Natur, keine Rolle. Dieses muss uneingeschränkt gewährt werden und wahrgenommen werden können.
3.6 Der angefochtene Entscheid verletzt demnach den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK). Eine Heilung dieses Mangels im bundesgerichtlichen Verfahren ist nicht möglich (vgl. BGE 133 I 100 E. 4.9 S. 105).
4. Die Beschwerde erweist sich als begründet und ist gutzuheissen. Damit ist der angefochtene Entscheid aufzuheben, und die Sache ist zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Hingegen hat der Kanton Aargau den obsiegenden Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, vom 5. Juni 2012 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückgewiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Der Kanton Aargau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Bremgarten, der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax