Sachverhalt:
A. Die 1963 geborene I._ arbeitete seit 16. Dezember 1996 als Näherin bei der Firma R._ AG. Aus gesundheitlichen Gründen blieb sie ab 22. April 1997 der Arbeit fern, worauf die Firma R._ AG das Anstellungsverhältnis auf Ende Juli 1998 kündigte. I._ war für die berufliche Vorsorge bei der Sammelstiftung X._ versichert. Auf den 1. Januar 2004 übernahm die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge die Vorsorgekasse der Firma R._ AG.
Am 16. November 1998 meldete sich I._ bei der Invalidenversicherung zum Rentenbezug an. Gestützt auf medizinische Abklärungen gelangte die IV-Stelle zur Auffassung, dass die Versicherte bei einem Invaliditätsgrad von 37 % keine Invalidenrente beanspruchen könne, weshalb sie das Rentengesuch am 17. Juli 2003 verfügungsweise ablehnte. Auf Einsprache hin traf die IV-Stelle weitere Abklärungen. Sie ermittelte nunmehr einen Invaliditätsgrad von 53 %. Demgemäss sprach sie I._ mit Verfügung vom 20. März 2007 rückwirkend ab 1. September 2005 eine halbe Invalidenrente zu.
Am 9. Juli 2007 teilte die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge der Versicherten mit, sie werde ihre Leistungen ab 1. Juli 2007 weiterhin und unverändert auf der Basis eines Invaliditätsgrades von 37 % ausrichten. Bereits deren Rechtsvorgängerin hatte seit 22. April 1999 eine Invalidenrente für eine Erwerbseinbusse von 37 % gewährt.
Am 23. März 2010 liess I._ beim Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt Klage einreichen mit dem Hauptantrag, die Bâloise-Sammelstiftung sei zu verpflichten, ihr ab 1. September 2005 basierend auf einem Invaliditätsgrad von 53 % Invalidenleistungen aus der beruflichen Vorsorge auszurichten. Mit Entscheid vom 11. Mai 2011 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt I._ das vorinstanzlich gestellte Rechtsbegehren erneuern. Eventuell seien ergänzende Abklärungen in psychiatrischer Hinsicht vorzunehmen.
In einer nachträglichen Eingabe vom 28. September 2011 ersucht die Versicherte um die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG), die Feststellung des Sachverhaltes nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Nach Art. 23 BVG (in der bis 31. Dezember 2004 gültig gewesenen Fassung) hat Anspruch auf eine Invalidenrente, wer im Sinne der Invalidenversicherung zu mindestens 50 % invalid ist und bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war. Art. 23 lit. a BVG in der seit 1. Januar 2005 in Kraft stehenden Fassung umschreibt die Voraussetzungen für den Anspruch auf Invalidenleistungen identisch; geändert hat lediglich der Mindestinvaliditätsgrad (40 statt 50 %). Entscheidend im Rahmen von Art. 23 BVG (Art. 23 lit. a BVG) ist einzig der Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit, unabhängig davon, in welchem Zeitpunkt und in welchem Masse daraus ein Anspruch auf Invalidenleistungen entsteht. Die Versicherteneigenschaft muss nur bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit gegeben sein, dagegen nicht notwendigerweise auch im Zeitpunkt des Eintritts oder der Verschlimmerung der Invalidität. Für eine einmal aus - während der Versicherungsdauer aufgetretene - Arbeitsunfähigkeit geschuldete Invalidenleistung bleibt die Vorsorgeeinrichtung somit leistungspflichtig, selbst wenn sich nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses der Invaliditätsgrad ändert. Die Leistungspflicht einer Vorsorgeeinrichtung für eine erst nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses eingetretene oder verschlimmerte Invalidität setzt indessen in jedem Fall voraus, dass zwischen relevanter Arbeitsunfähigkeit und nachfolgender Invalidität ein enger sachlicher und zeitlicher Zusammenhang besteht (BGE 136 V 65 E. 3.1 S. 68 mit Hinweisen).
2.2 Mit Bezug auf die weitergehende berufliche Vorsorge steht es den Vorsorgeeinrichtungen im Rahmen von Art. 6 und 49 Abs. 2 BVG sowie der verfassungsmässigen Schranken (wie Rechtsgleichheit, Willkürverbot und Verhältnismässigkeit) frei, den Invaliditätsbegriff und/oder das versicherte Risiko abweichend von Art. 23 BVG zu definieren. Während sie im Rahmen der obligatorischen beruflichen Vorsorge ebenfalls die Mindestvorschrift des Art. 23 BVG zu beachten haben (Art. 6 BVG), gilt diese Bestimmung einschliesslich der hiezu ergangenen Rechtsprechung im überobligatorischen Bereich nur, soweit die Reglemente oder Statuten bezüglich des massgeblichen Invaliditätsbegriffs oder versicherten Risikos nichts Abweichendes vorsehen. Der Invaliditätsbegriff knüpft im vorliegend massgeblichen Vorsorgereglement der Sarasura, gültig ab 1. Januar 1995, nicht an den Eintritt der Arbeitsunfähigkeit an. Gemäss Art. 22 des Reglements haben Versicherte bei Vorliegen von Invalidität Anspruch auf eine Invalidenrente (Ziff. 1), wobei Invalidität vorliegt, wenn der Versicherte wegen Krankheit oder unabsichtlicher Körperverletzung im Sinne der eidgenössischen Invalidenversicherung ganz oder teilweise invalid ist (Ziff. 2). Abweichend vom BVG sieht das Reglement alsdann in Art. 23 Ziff. 3 vor, dass eine Invalidität von weniger als 25 % keinen Anspruch auf Leistungen gibt, was bedeutet, dass bei einem Invaliditätsgrad zwischen 25 und 50 % (nunmehr 40 %) im Gegensatz zum BVG ein Rentenanspruch besteht. Eine Bestimmung über die Rentenrevision bei verändertem Invaliditätsgrad fehlt in diesem Reglement. Knüpft der reglementarische Invaliditätsbegriff - wie hier - an die Versicherteneigenschaft des Leistungsansprechers an, ist für eine nach Beendigung des Vorsorgeverhältnisses eingetretene Erhöhung des Invaliditätsgrades mangels einer ausdrücklichen reglementarischen Bestimmung, welche bei verändertem Invaliditätsgrad die Rentenrevision vorsieht, von einer Lücke im Versicherungsschutz aus weitergehender Vorsorge auszugehen (BGE 136 V 65 E. 3.5 S. 70).
3. Im vorliegenden Fall würde sich somit eine allfällige Zunahme der Invalidität, soweit in einem engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zur relevanten Arbeitsunfähigkeit stehend, nur auf den Anspruch auf obligatorische Invalidenleistungen auswirken, vermöchte jedoch im Bereich der weitergehenden Vorsorge keinen Anspruch auf höhere als die zur Ausrichtung gelangenden Leistungen zu begründen. Zu prüfen ist demnach gestützt auf Art. 23 lit. a BVG und die Rechtsprechung, ob die Vorinstanz die Zusprechung von Invalidenleistungen aus der obligatorischen beruflichen Vorsorge zu Recht abgelehnt hat. Ein Anspruch auf eine Viertelsrente wäre nach Art. 24 Abs. 1 lit. d BVG in Verbindung mit Art. 23 Abs. 1 lit. a BVG ausgewiesen, wenn der Invaliditätsgrad der Beschwerdeführerin mindestens auf 40 % zugenommen hätte, wobei diese Erhöhung in einem engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang mit der massgeblichen Arbeitsunfähigkeit stehen müsste. Der sachliche Zusammenhang ist zu bejahen, wenn der der Invalidität zugrunde liegende Gesundheitsschaden im Wesentlichen derselbe ist, der zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat (BGE 123 V 262 E. 1c S. 265). Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig wurde (BGE 123 V 262 E. 1c S. 265, 120 V 112 E. 2c/aa S. 117 f.).
3.1 Die Vorinstanz gelangte in Würdigung der medizinischen Unterlagen zum Schluss, bei der psychosomatischen Störung mit Harninkontinenz, an welcher die Beschwerdeführerin leidet, handle es sich um ein neues Krankheitsbild, das nicht mit dem ursprünglichen Gesundheitsschaden zusammenhänge. Der Psychiater Dr. med. S._, bewerte im Gutachten vom 21. Januar 2005 die psychosomatische Störung als eigenständige psychiatrische Diagnose mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit, die von der ursprünglich depressiven Störung klar zu unterscheiden sei. Die psychosomatische Störung sei zum ersten Mal im Jahre 2002 und damit nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses bei der Firma R._ AG sowie nach Ablauf der Nachdeckungsfrist aufgetreten. Eine Erhöhung der Invalidenrente aus der beruflichen Vorsorge falle mangels sachlicher Konnexität zwischen dem ursprünglichen Leiden und dem Krankheitsbild, welches zu einer Verschlimmerung der Invalidität geführt hat, ausser Betracht.
3.2 Dieser Auffassung ist beizupflichten. Aufgrund der für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz zur Entwicklung der gesundheitlichen Situation der Versicherten (E. 1 hievor) steht fest, dass nicht das ursprüngliche Leiden, welches zufolge Einschränkung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit zur Zusprechung einer reglementarischen Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge von 37 % geführt hat, für die Zunahme der Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit verantwortlich ist, welche bei einem Invaliditätsgrad von 53 % gemäss Verfügung der IV-Stelle vom 20. März 2007 seit 1. September 2005 den Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung begründet. Vielmehr ist die Verschlimmerung des Gesundheitszustandes einem davon unabhängigen psychosomatischen Leiden zuzuschreiben.
3.3 Die in der Beschwerde erhobenen Einwendungen sind nicht geeignet, die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung als offensichtlich unrichtig oder sonst wie auf einer Bundesrechtsverletzung beruhend erscheinen zu lassen. Die Kritik der Versicherten erschöpft sich im Wesentlichen in einer im Rahmen der gesetzlichen Überprüfungsbefugnis unzulässigen, appellatorischen Kritik an der Beweiswürdigung der Vorinstanz. Entgegen der Behauptung in der Beschwerde hat die Vorinstanz nicht übersehen, dass sich die depressive Störung der Versicherten akzentuiert hat. Vielmehr hat sie auf das Gutachten des Dr. med. S._ vom 21. Januar 2005 abgestellt, worin eine mittelschwere depressive Episode mit somatischem Syndrom diagnostiziert worden war und der Arzt die Arbeitsunfähigkeit auf 50 % geschätzt hatte. Da gemäss Expertise des Dr. med. S._ jedoch beide psychischen Leiden - die depressive und die psychosomatische Störung - die Arbeitsfähigkeit einschränkten, traf die Vorinstanz keine Feststellung des Inhalts, dass das ursprüngliche psychische Leiden nunmehr für die Zunahme der Arbeitsunfähigkeit und die Erhöhung des Invaliditätsgrades durch die IV-Stelle ursächlich sei. Diese tatbeständlichen Darlegungen des Sozialversicherungsgerichts sind keinesfalls willkürlich, woran die übrigen Ausführungen hauptsächlich medizinischer Natur der Beschwerdeführerin nichts zu ändern vermögen.
4. Da die Beschwerde als aussichtslos (zum Begriff der Aussichtslosigkeit siehe BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135, 128 I 225 E. 2.5.3 S. 236) bezeichnet werden muss, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG), und die Gerichtskosten sind dem Prozessausgang entsprechend der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Im Übrigen erfolgt die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht rückwirkend. Es werden von der Gerichtskasse nur die Kosten übernommen, die nach der Gesuchseinreichung entstanden sind. An solchen fehlt es hier (BGE 122 I 203 E. 2c S. 205; Urteil 9C_117/2011 vom 29. März 2011 E. 7.2).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Januar 2012
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Widmer