Faits :
A.
A._, né en 1960, n'a suivi aucune formation. Il a travaillé en tant que carreleur salarié ou indépendant. Arguant souffrir des séquelles totalement incapacitantes depuis le 26 octobre 2009 d'une symptomatologie douloureuse affectant son dos, il a requis des prestations de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) le 23 février 2010.
L'office AI a recueilli l'avis du médecin traitant. Le docteur B._, spécialiste en médecine interne générale, a fait état de diverses affections vertébrales (lombocruralgies, scoliose lombaire, absence de l'hémivertèbre droite, protrusions discales L4/L5 - L5/S1, remaniement arthrosique des massifs articulaires postérieurs) interdisant l'exercice de l'activité habituelle et a évoqué d'autres pathologies (hépatite, troubles psychiques ayant nécessité deux hospitalisations, etc.) n'ayant aucune incidence sur la capacité de travail (rapport du 16 avril 2010). L'administration a complété le volet psychiatrique du dossier. Le Centre C._ a confirmé les deux internements survenus du 10 mai au 1er juillet et du 7 juillet au 12 septembre 2005, a mentionné les différents diagnostics retenus à l'époque (trouble affectif bipolaire, troubles liés à l'utilisation d'alcool et de cannabis, trouble de la personnalité émotionnellement labile de type impulsif), n'a pu confirmer la persistance du trouble bipolaire à cause de l'absence de suivi ou d'éléments anamnestiques récents et ne s'est pas prononcé sur la capacité résiduelle de travail actuelle (rapport du 11 mai 2010). L'office AI a encore mandaté D._ pour qu'il réalise une expertise pluridisciplinaire. Les docteurs E._, spécialiste en rhumatologie, et F._, spécialiste en psychiatrie, ont considéré que les troubles observés (trouble statique rachidien sur anomalie constitutionnelle vertébrale multi-étagée, spondylodiscarthrose, hypotrophie de la jambe droite, hépatite) permettaient l'exercice de toute activité adaptée à 80% dès le mois d'octobre 2009 ou à 70% dès le mois de décembre 2010 (rapport du 30 mai 2011).
Sur la base du rapport d'expertise, l'administration a rejeté la demande de prestations, au motif que l'assuré était capable d'exercer une activité adaptée lui permettant de réaliser un gain équivalent à celui qu'il réalisait comme carreleur indépendant (décision du 27 septembre 2011). L'intéressé a déféré cette décision à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel. Deux nouvelles appréciations médicales ont été produites durant l'instance. Les docteurs B._ et G._, spécialiste en neurologie, y décrivaient notamment une nouvelle atteinte affectant l'épaule gauche de A._ (rapports des 20 septembre et 25 octobre 2011). Le tribunal cantonal a annulé la décision litigieuse et a retourné le dossier à l'office AI pour qu'il évalue la répercussion de la dernière affection découverte sur la capacité de travail de l'assuré et statue à nouveau (jugement du 16 octobre 2012). L'administration a complété l'instruction. Elle a demandé des informations aux docteurs B._ et G._. Pour le premier, le problème scapulaire interdisait l'exercice de l'activité de carreleur (rapport du 29 octobre 2012). Selon le second, le déficit dans n'importe quelle profession était de l'ordre de 15 à 20% (rapport du 30 octobre 2012).
Considérant que le résultat de ses dernières investigations n'altérait pas ses précédentes conclusions, l'office AI a averti l'assuré qu'il envisageait de rejeter sa demande de prestations (projet de décision du 23 avril 2013). Il a écarté les observations de l'intéressé et a confirmé son refus de prester (décision du 3 octobre 2013).
B.
A._ a derechef porté sa cause devant la juridiction cantonale. Il soutenait que l'administration avait apprécié les preuves d'une façon arbitraire dès lors que le docteur B._ avait démontré à satisfaction qu'il n'existait aucune activité adaptée à ses handicaps. Il affirmait encore que son âge, son niveau de qualification et ses capacités intellectuelles rendaient utopique l'existence d'une telle activité. Il concluait à l'octroi d'une rente entière dès le 26 octobre 2009. L'administration a conclu au rejet du recours.
Le tribunal cantonal a débouté l'assuré (jugement du 11 mars 2014). Il a estimé que l'office AI avait respecté les injonctions de son précédent jugement et que le résultat de l'instruction complémentaire diligentée - en particulier les conclusions du docteur G._ - permettait de lever les doutes concernant l'impact de la pathologie scapulaire sur la capacité de travail de l'intéressé. Peu importait que le docteur B._ ne se soit prononcé que sur la capacité résiduelle de travail dans l'activité de carreleur.
C.
A._ recourt contre ce jugement. Il en requiert l'annulation et reprend la même conclusion qu'en première instance.
Considérant en droit :
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (cf. art. 82 ss LTF) interjeté pour violation du droit fédéral (comprenant les droits fondamentaux) au sens de l'art. 95 let. a LTF, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue sur la base des faits retenus par la juridiction précédente (art. 105 al. 1 LTF) qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes et erreurs manifestes apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il n'examine en principe que les griefs allégués et motivés (art. 42 al. 2 LTF) surtout s'il portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant n'est habilité à critiquer la constatation des faits influant sur le sort du litige que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité. Compte tenu des critiques émises contre le jugement cantonal (cf. Florence Aubry Girardin, in: Commentaire de la LTF, 2ème éd. 2014, n° 24 ad art. 42 LTF et les références citées), il convient en particulier de déterminer si les premiers juges ont violé le droit d'être entendu de l'assuré en construisant leur raisonnement à partir d'un dossier médical lacunaire et si, vu la situation personnelle du recourant (son âge, ses qualifications ou ses capacités intellectuelles), ceux-ci pouvaient légitimement retenir la persistance d'une capacité de travail dans une activité adaptée.
3.
3.1. L'assuré soutient que le fait pour la juridiction cantonale de ne pas avoir complété l'instruction, en exigeant du docteur B._ qu'il se prononce explicitement sur sa capacité résiduelle de travail dans une activité adaptée en relation avec l'affection scapulaire, constitue une violation crasse de son droit d'être entendu.
3.2. Le droit d'être entendu de l'art. 29 al. 2 Cst. comprend le droit pour l'intéressé de prendre connaissance du dossier, de donner son opinion sur les éléments pertinents avant que ne soit prise une décision affectant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes ou de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de se prononcer sur son résultat lorsque cela peut influencer la décision à rendre (cf. ATF 135 II 286 consid. 5.1 p. 293 et les références).
Le juge peut toutefois se livrer à une appréciation anticipée de la pertinence du fait à prouver ou de l'utilité du moyen de preuve offert et, sur cette base, refuser de l'administrer. Ce refus ne viole le droit d'être entendu que si l'appréciation à laquelle elle a ainsi procédé est entachée d'arbitraire (cf. ATF 136 I 229 consid. 5.3 p. 236; 134 I 140 consid. 5.3 p. 148).
L'appréciation des preuves doit être qualifiée d'arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, lorsqu'elle rentre en contradiction avec le dossier et lorsqu'elle est contraire au sens de la justice et de l'équité. Il en va de même lorsque sans motif sérieux le juge ne tient pas compte d'un élément propre à modifier la décision, lorsqu'il se trompe manifestement sur le sens ou bien la portée d'un tel élément et lorsqu'il en tire des conclusions insoutenables (cf. ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62). Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution que celle adoptée par l'autorité serait concevable ou même préférable (cf. ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153).
3.3. A supposer que l'argumentation que le recourant a développée en instance cantonale à propos de l'absence d'instruction complémentaire relative à l'évaluation de sa capacité de travail dans une activité adaptée en lien avec l'affection scapulaire par le docteur B._ puisse être interprétée comme une offre de preuve, on ne saurait pour autant faire grief aux premiers juges de ne pas y avoir donné suite. Ceux-ci ont effectivement apprécié les preuves de façon anticipée. Ils ont clairement expliqué que l'avis du docteur G._ avait permis d'écarter tout doute quant aux répercussions de l'affection de l'épaule sur la capacité de travail - seul élément à instruire selon le jugement du 16 octobre 2012 - même si le docteur B._ ne s'était exprimé que par rapport à l'activité habituelle. L'incapacité de travail engendrée par cette atteinte était d'environ 15-20% et, d'après le docteur H._, spécialiste en médecine physique et réadaptation, ne modifiait pas les conclusions déjà retenues. Cette appréciation anticipée des preuves ne peut être considérée comme arbitraire, d'autant moins qu'elle repose sur l'opinion du spécialiste auquel le médecin traitant avait confié l'assuré pour clarifier les implications de l'affection évoquée. Il n'y a donc pas de violation du droit d'être entendu.
4.
4.1. Le recourant soutient aussi que le tribunal cantonal ne pouvait pas admettre l'existence d'une activité adaptée sans procéder à une analyse globale de la situation qui tiendrait compte de son âge, de ses qualifications peu favorables et de ses capacités intellectuelles réduites. Il estime singulièrement que le dossier médical, lacunaire dans la mesure où le docteur B._ ne s'était pas précisément exprimé sur le sujet, ne permettait pas une telle analyse.
4.2. L'office intimé dans sa décision du 3 octobre 2013 ainsi que la juridiction cantonale dans son jugement du 16 octobre 2012 ont exposé la plupart des principes jurisprudentiels régissant cette problématique, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
Le moment auquel la question de la mise en valeur de la capacité résiduelle de travail de l'assuré proche de l'âge de la retraite doit être examinée correspond à celui auquel il a été constaté que l'exercice d'une activité était médicalement exigible (cf. ATF 138 V 457).
4.3. Outre le fait qu'il s'agit là d'une question à laquelle il a déjà été répondu, du moins en partie, on relèvera que le fait que le médecin traitant de l'assuré ne se soit pas prononcé sur un élément particulier du dossier n'a pas pour effet de rendre celui-ci lacunaire (cf. consid. 3) et que le recourant était âgé de 52 ans à la date à laquelle il a été constaté qu'une activité était médicalement exigible, ce qui est loin de la limite d'environ 60 ans et plus (cf. p. ex. les arrêts 9C_2009 du 9 octobre 2009 consid. 6.2.2.2; 9C_1043/2008 du 2 juillet 2009 consid. 3.3) fixée par le Tribunal fédéral pour exiger la mise en oeuvre d'une analyse globale de la situation.
5.
Etant donné l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par le recourant (art. 66 al. 1 LTF) qui ne saurait prétendre des dépens (art. 68 al. 1 LTF). L'office intimé qui n'a pas été invité à se déterminer sur le recours n'y a pas le droit non plus (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires arrêtés à 800 fr. sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 juillet 2014
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Le Greffier :
Kernen Cretton