Erwägungen:
1. Die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich (Strassenverkehrsamt, Abteilung Administrativmassnahmen) ordnete mit Verfügung vom 15. Dezember 2006 an, X._ habe sich zur Überprüfung der gesundheitlichen Eignung als Fahrzeuglenker auf seine Kosten einer verkehrsmedizinischen Abklärung durch das Institut für Rechtsmedizin der Universität Zürich (IRM) zu unterziehen und sich innert 10 Tagen dafür anzumelden. Bei Nichtanmelden oder Nichterscheinen zur Abklärung bzw. bei Nichtbezahlung des damit verbundenen Kostenvorschusses werde unverzüglich das Verfahren zum (vorsorglichen) Entzug des Führerausweises eingeleitet. Einem allfälligen Rekurs gegen diese Verfügung wurde die aufschiebende Wirkung entzogen. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 17. Februar 2007 Rekurs beim Regierungsrat des Kantons Zürich.
Die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich entzog X._ mit Verfügung vom 26. März 2007 den Führerausweis vorsorglich bis zur Abklärung von Ausschlussgründen auf unbestimmte Zeit. Dabei wurde wiederum verfügt, X._ habe sich auf eigene Kosten einer verkehrsmedizinischen Abklärung hinsichtlich seiner Fahreignung beim Institut für Rechtsmedizin zu unterziehen. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
Nach Leistung des Kostenvorschusses für die verkehrsmedizinische Abklärung hob das Strassenverkehrsamt am 12. April 2007 wiedererwägungsweise den Entzug des Führerausweises - nicht aber die Anordnung der verkehrsmedizinischen Massnahme - auf und hielt fest, X._ sei sofort wieder fahrberechtigt. Dieser unterzog sich am 24. Mai 2007 der Untersuchung durch das IRM.
2. Der Regierungsrat des Kantons Zürich wies mit Entscheid vom 15. August 2007 den von X._ gegen die Verfügung vom 15. Dezember 2006 betreffend die Anordnung einer verkehrsmedizinischen Abklärung der Fahreignung erhobenen Rekurs ab, soweit er auf diesen eintrat und diesen nicht als gegenstandslos geworden betrachtete. Dagegen erhob X._ am 23. September 2007 Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies mit Entscheid vom 30. Januar 2008 die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Das Verwaltungsgericht führte zusammenfassend aus, dass gemäss einem IRM-Gutachten vom 17. Mai 2004 beim Beschwerdeführer eine psychiatrische Problematik bestehe sowie ein sporadischer Cannabiskonsum. Die Fahreignung könne deshalb nur unter Einhaltung bestimmter Auflagen befürwortet werden; insbesondere müsse die Drogenabstinenz über eine gewisse Zeit sichergestellt werden. Das Strassenverkehrsamt habe deshalb am 24. Mai 2004 verschiedene verkehrsmedizinische Auflagen verfügt, unter anderem der Nachweis der Drogenabstinenz, namentlich eine Urinprobekontrolle pro Monat. Im Oktober 2006 habe der Beschwerdeführer ein ärztliches Zeugnis eingereicht, welches lediglich eine am 26. September 2006 erfolgte Urinprobe bescheinigte. Deshalb habe die Sicherheitsdirektion eine weitere verkehrsmedizinische Untersuchung durch das IRM als erforderlich erachtet, zu welcher der Beschwerdeführer am 13. November 2006 auch erschienen sei. Das IRM habe jedoch keine Untersuchung durchgeführt, da der Beschwerdeführer nicht bereit war, die Kosten für die anstehende Untersuchung zu bezahlen. Das IRM habe festgehalten, dass es ihm deshalb nicht möglich war, zur Fahreignung des Beschwerdeführers Stellung zu nehmen. Aufgrund dieser Umstände hätten hinreichend konkrete Anhaltspunkte für die Anordnung der verkehrsmedizinischen Abklärung vom 15. Dezember 2006 bestanden.
3. X._ führt mit Eingabe vom 16. Mai 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtete auf die Einholung von Vernehmlassungen, liess sich jedoch die kantonalen Akten zustellen.
4. Soweit der Beschwerdeführer Rechtsbegehren stellt, die ausserhalb des Streitgegenstandes liegen, kann darauf von vornherein nicht eingetreten werden.
5. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennt die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht darzulegen, inwiefern der Schluss des Verwaltungsgerichts, es hätten hinreichend konkrete Anhaltspunkte für die Anordnung der verkehrsmedizinischen Abklärung vom 15. Dezember 2006 bestanden, eidgenössische Bestimmungen betreffend den Strassenverkehr oder verfassungsmässige Rechte verletzen sollte. Somit ergibt sich aus der Beschwerde nicht, inwiefern die mit dem verwaltungsgerichtlichen Entscheid erfolgte Abweisung der Beschwerde Recht im obgenannten Sinn verletzen sollte.
Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG ist somit auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
6. Angesichts der offensichtlichen Aussichtslosigkeit der vorliegenden Beschwerde kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung eines Rechtsbeistandes nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Sicherheitsdirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli