Faits:
A. Par décision du 25 septembre 2007, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a alloué une rente entière d'invalidité à C._ pour la période s'étendant du 1er septembre 2003 au 31 juillet 2004.
B. Le 27 novembre 2008, l'assurée a déféré la décision du 25 septembre 2007 au Tribunal des assurances du canton de Vaud (aujourd'hui : Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal) en concluant à son annulation et au renvoi de la cause à l'office AI.
A titre préalable, C._ a sollicité la restitution du délai de recours. A l'appui de sa requête, elle s'est prévalue du fait que R._, conseiller en assurances, qu'elle avait mandaté pour la représenter auprès de l'office AI avec élection de domicile, selon procuration du 25 novembre 2003, l'avait trompée sur la bonne exécution du mandat. L'assurée a allégué qu'elle s'était enquise à plusieurs reprises de l'avancement de la procédure auprès de son mandataire, et que celui-ci lui répondait que l'affaire suivait son cours devant le tribunal. Ce n'est que le 29 octobre 2008 qu'elle avait appris (en contactant l'office AI et le tribunal cantonal des assurances) qu'une décision avait été rendue un an auparavant et que celle-ci n'avait pas été attaquée.
Par jugement du 21 avril 2009, la juridiction cantonale a rejeté la demande de restitution du délai et déclaré le recours irrecevable pour cause de tardiveté.
C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant au renvoi de la cause au Tribunal cantonal.
L'intimé conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur la restitution du délai de recours devant le tribunal cantonal.
La solution du litige ressortit à l'art. 41 LPGA en liaison avec l'art. 60 al. 2 LPGA. Selon cette disposition légale, si le requérant ou son mandataire a été empêché, sans sa faute, d'agir dans le délai fixé, celui-ci est restitué pour autant que, dans les 30 jours à compter de celui où l'empêchement a cessé, le requérant ou son mandataire ait déposé une demande motivée de restitution et ait accompli l'acte omis.
2. Le tribunal cantonal a admis que les conditions d'une restitution du délai de recours n'étaient pas réalisées. En bref, il a considéré que s'il pouvait certes apparaître inéquitable que la recourante eût à pâtir des graves manquements du mandataire à ses obligations contractuelles, il serait également choquant et inéquitable qu'une partie puisse se prévaloir d'une faute grave de son mandataire pour obtenir une restitution du délai, alors que la partie dont le mandataire n'a commis qu'une faute légère (ou doit se voir imputer la faute d'un auxiliaire de ce dernier) ne puisse obtenir la restitution du délai.
3. La recourante allègue qu'elle a déposé une plainte pénale contre R._, parallèlement à son recours, pour escroquerie, subsidiairement gestion déloyale, et plus subsidiairement usure. Elle soutient que le prénommé aurait admis l'intégralité des faits relatés dans la plainte pénale, lors de son audition, et d'avoir intentionnellement voulu nuire à ses intérêts.
Selon la recourante, il importe peu dans son cas que la faute du mandataire soit légère ou grave, car il s'agit en l'espèce de faire une distinction entre la négligence et l'intention. A son avis, dans une affaire aussi exceptionnelle, les règles de procédure du droit administratif devraient apporter leur part de correctif en tenant la relation de représentation pour inexistante et, partant, la tromperie intentionnelle du mandataire envers le mandant comme un empêchement valable de ce dernier d'agir dans le délai fixé.
Elle reproche également au tribunal cantonal de n'avoir pas fait éditer le dossier pénal, ainsi qu'elle l'avait requis.
4. La restitution d'un délai, au sens des art. 41 LPGA, 24 al. 1 PA et 50 al. 1 LTF, suppose en premier lieu l'existence d'un empêchement d'agir dans le délai fixé, lequel doit être non fautif. Indépendamment de divergences rédactionnelles, cette notion d'empêchement non fautif doit être interprétée de la même manière pour ces trois lois (JEAN-MAURICE FRÉSARD, Commentaire de la LTF, n. 21 ad art. 50 in fine). Il s'ensuit que la question de la restitution du délai ne se pose pas dans l'éventualité où la partie ou son mandataire n'ont pas été empêchés d'agir à temps (JEAN-FRANÇOIS POUDRET, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. I, ch. 2.2 ad art. 35); c'est le cas notamment lorsque l'inaction résulte d'une faute (UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2e éd., n. 6 ad art. 41 LGPA), d'un choix délibéré ou d'une erreur (KATHRIN AMSTUTZ / PETER ARNOLD, Commentaire bâlois, n. 4 ad art. 50 LTF). Si l'on suivait le raisonnement de la recourante, l'art. 41 LPGA et les dispositions procédurales analogues seraient vidées de leur sens, ouvrant par ailleurs la porte à toutes sortes d'abus.
La recourante reconnaît que son mandataire n'a pas été empêché de recourir. Dès lors, en l'absence d'empêchement, fautif ou non, il n'y a pas matière à examiner les motifs, quels qu'ils soient (cf. arrêt 2A.329/1990 du 3 septembre 1991 consid. 2d, in ASA 60 p. 630), qui ont pu conduire le précédent mandataire à ne pas déférer la décision administrative du 25 septembre 2007 au juge des assurances, car ces motifs sont dépourvus de pertinence pour trancher le présent litige. Il suffit de constater que la condition d'un empêchement au sens de l'art. 41 LPGA n'était pas réalisée, de sorte que le tribunal cantonal a refusé à juste titre de restituer le délai de recours sans procéder préalablement à une édition inutile du dossier pénal. Le recours est mal fondé.
5. La recourante, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, à l'Office fédéral des assurances sociales et à la Caisse cantonale vaudoise de compensation AVS.
Lucerne, le 12 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud