Sachverhalt:
A.
A.a. Das Familiengericht U._ ordnete für E.A._ (geb. 1918) eine Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung im Sinne von Art. 394 f. ZGB an und entzog ihr diesbezüglich die Handlungsfähigkeit. Die Führung der Beistandschaft übertrug es unter näherer Bezeichnung der jeweiligen Aufgabenbereiche an C._, Enkelin der Betroffenen, sowie an die Berufsbeiständin D._, Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) des Bezirks U._ (Entscheid vom 18. Juni 2014). Auf Beschwerde einer Tochter der Betroffenen, B._, hin hob das Obergericht des Kantons Aargau den angefochtenen Entscheid am 23. Februar 2015 auf. Es wies die Sache zur neuen Beurteilung an das Familiengericht zurück; dieses habe ein ärztliches Gutachten einzuholen und gestützt darauf neu zu entscheiden. Für die Betroffene bestellte das Obergericht Rechtsanwältin F._ als amtliche Vertreterin im Beschwerdeverfahren.
A.b. Am 10. April 2015 führte A.A._, Sohn der Betroffenen, Beschwerde in Zivilsachen gegen das obergerichtliche Urteil. Er wandte sich einerseits gegen die vorinstanzlich bestellte Verfahrensvertretung und anderseits gegen die Rückweisung an die erste Instanz. Nachdem E.A._ am 31. Mai 2015 verstorben war, schrieb das Bundesgericht das Verfahren mit Verfügung 5A_302/2015 vom 3. Juli 2015 als gegenstandslos geworden ab (Dispositiv-Ziff. 1). Es erhob keine Gerichtskosten (Dispositiv-Ziff. 2). Gestützt auf eine summarische, nicht abschliessende Beurteilung des mutmasslichen Verfahrensausgangs (E. 3) verpflichtete das Bundesgericht B._, an A.A._ eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- für das bundesgerichtliche Verfahren zu bezahlen (Dispositiv-Ziff. 3).
B.
Am 14. September 2015 reichte B._ (Gesuchstellerin) dem Bundesgericht ein Gesuch um Revision der Abschreibungsverfügung vom 3. Juli 2015 ein. Sie beantragt, es sei deren Dispositiv-Ziff. 3, eventuell auch Ziff. 1, aufzuheben und A.A._ (Gesuchsgegner) zu verpflichten, ihr für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zuzüglich Mehrwertsteuer zu bezahlen. Eventuell seien keine Parteientschädigungen zuzusprechen. In prozessualer Hinsicht ersucht sie um Verzicht auf die Erhebung eines Gerichtskostenvorschusses sowie um aufschiebende Wirkung des Gesuchs.
Nach Anhörung der Gegenpartei und der Verfahrensbeteiligten hat das Bundesgericht dem Revisionsgesuch antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt, was die Vollstreckbarkeit von Dispositiv-Ziff. 3 der bundesgerichtlichen Verfügung 5A_302/2015 angeht (Verfügung vom 9. Oktober 2015). Mit Schreiben vom gleichen Tag teilte der Rechtsvertreter der Gesuchstellerin dem Bundesgericht mit, der Rechtsvertreter des Gesuchsgegners habe die strittige Parteientschädigung in Betreibung gesetzt.
In der Sache holte das Bundesgericht keine Vernehmlassungen ein.
Erwägungen:
1.
1.1. Ein Revisionsgesuch (nur) hinsichtlich der Kosten- und Entschädigungsregelung ist zulässig, wenn sich der angerufene Revisionsgrund direkt darauf bezieht (BGE 111 Ia 154 E. 2 S. 155; Urteil 4C.305/2004 vom 8. November 2004 E. 1).
1.2. Die Revision eines Bundesgerichtsurteils kann unter anderem verlangt werden, wenn das Bundesgericht die Dispositionsmaxime verletzt (Art. 121 lit. b BGG) oder in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (Art. 121 lit. d BGG). Diese Revisionsgründe betreffen eine "Verletzung anderer Verfahrensvorschriften" im Sinne von Art. 124 Abs. 1 lit. b BGG, für deren Geltendmachung das Revisionsgesuch binnen dreissig Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des Entscheids beim Bundesgericht eingereicht werden muss (Urteil 5F_8/2015 vom 31. August 2015 E. 1 mit Hinweis). Unter Berücksichtigung der Vorschriften über den Fristenstillstand (Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG) hat die Gesuchstellerin diese Frist gewahrt.
2.
Das Revisionsgesuch richtet sich gegen die in der Abschreibungsverfügung vom 3. Juli 2015 zugesprochene Parteientschädigung an den dortigen Beschwerdeführer und jetzigen Gesuchsgegner. Dieses Rechtsverhältnis tangiert die übrigen Verfahrensbeteiligten nicht, zumal dem Kostenentscheid bloss eine summarische Beurteilung des mutmasslichen Prozessausgangs, nicht aber ein abschliessender Sachentscheid zugrundeliegt. Das Gesuch der für die Verstorbene handelnden Rechtsanwältin um Ansetzung einer "Frist zur Stellungnahme betreffend das materielle Rechtsbegehren der Revision vom 14. September 2015" ist daher gegenstandslos. Die Personen, welche sich neben den Parteien am abgeschriebenen bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren beteiligt haben (Berufsbeiständin D._, C._ und Rechtsanwältin F._ für E.A._ sel.), erhalten den vorliegenden Revisionsentscheid zur Kenntnisnahme im Dispositiv.
3.
Um die Kostenfolgen des abgeschriebenen Verfahrens festlegen zu können, musste das Bundesgericht anhand einer summarischen Beurteilung den mutmasslichen Verfahrensausgang bestimmen, ohne dabei unter Verursachung weiterer Umtriebe die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen (BGE 125 V 373 E. 2a S. 374; Verfügung 5A_302/2015 E. 1). Der Beschwerdeführer (nunmehr Gesuchsgegner) hatte die Notwendigkeit der vorinstanzlich angeordneten ärztlichen Begutachtung bestritten. Dazu hielt das Bundesgericht fest, es sei in der Tat nicht ersichtlich, welche Punkte noch gutachtlich abzuklären gewesen wären (E. 3.1.2 der Verfügung vom 3. Juli 2015). Des Weitern habe die Beschwerde auch hinsichtlich der Verfahrensvertretung (sinngemäss nach Art. 449a ZGB) gewisse Aussichten auf Erfolg gehabt. Die Betroffene sei diesbezüglich urteils- und damit handlungs unfähig gewesen, als ihr die Vorinstanz Gelegenheit "zur Bezeichnungeines selbst gewählten geeigneten Vertreters" gegeben habe (E. 3.1.3). Eine summarische Beurteilung beider Streitfragen zeige, dass die Erfolgsaussichten der Beschwerde gut gewesen seien. Insoweit habe der Beschwerdeführer Anspruch auf eine Parteientschädigung zu Lasten der Beschwerdegegnerin. Nachdem aber kein abschliessender Entscheid in der Sache vorliege, mithin offen bleiben müsse, wie der Rechtsstreit nach einer umfassenden materiellen Beurteilung ausgegangen wäre, könne nur eine herabgesetzte Entschädigung zugesprochen werden (E. 3.2).
4.
4.1. Die Gesuchstellerin vertritt die Rechtsauffassung, das Bundesgericht hätte ihr vor Erlass des Abschreibungsentscheids Gelegenheit zur Beschwerdeantwort geben müssen (vgl. Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 72 BZP, Art. 29 Abs. 2 BV). Sie beantragt den Verzicht auf einen Kostenvorschuss, weil sie sich zumindest im Revisionsverfahren zur Entschädigungsfestsetzung frei äussern können müsse, ohne dafür kostenpflichtig zu werden.
4.2. Das Bundesgericht hat darauf verzichtet, vor der Verfahrensabschreibung eine Vernehmlassung zur Entschädigungsfrage resp. zum mutmasslichen Ausgang des Verfahrens in der Sache einzuholen. Die Frage, ob der mutmassliche Ausgang allein anhand des Verfahrensstandes bei Eintritt des Abschreibungsgrundes zu beurteilen ist, das heisst danach keine Verfahrensweiterungen mehr angezeigt sind, oder aber ob die Durchführung eines Schriftenwechsels auch noch in der spezifischen Verfahrenssituation geboten war, muss an dieser Stelle nicht geklärt werden. Denn ein derartiger Verfahrensfehler wäre nicht revisionsrelevant (vgl. die abschliessende Aufzählung der Revisionsgründe in Art. 121 ff. BGG); er könnte im vorliegenden Verfahren somit auch nicht im Hinblick auf die beantragte Kostenbefreiung eine Rolle spielen. Damit erweist sich dieses Begehren der Gesuchstellerin als unbegründet.
5.
5.1. Die Gesuchstellerin stützt das Revisionsbegehren zunächst auf die Annahme, das Bundesgericht habe übersehen, dass nicht sie die Einsetzung von Rechtsanwältin F._ als Verfahrensvertretung der zu Verbeiständenden im Berufungsverfahren verlangt habe (vgl. Art. 121 lit. d BGG). Somit dürfe ihr unter diesem Titel auch keine Entschädigungspflicht auferlegt werden. Zu den in den Akten liegenden Tatsachen gehören auch Rechtsschriften und deren Inhalt (Urteil 5F_5/2014 vom 26. März 2014 E. 2.1 mit Hinweisen). Das geltend gemachte Versehen liegt indessen nicht vor; es spielt keine Rolle, wer die Person der Rechtsbeiständin ins Spiel gebracht hat. Die summarische Beurteilung des Bundesgerichts hat sich auf die Frage bezogen, ob die zu Verbeiständende, wie von der Vorinstanz angenommen, überhaupt noch in der Lage war, für sich selber eine Vertretung zu bestellen (vgl. oben E. 3). Die Gesuchstellerin (und Beschwerdegegnerin im abgeschriebenen Verfahren) macht nicht geltend, dass sie sich dem betreffenden Antrag des Beschwerdeführers anschliesse. Anders als dieser vertritt sie denn auch nach wie vor die Auffassung, E.A._ hätte in dieser Frage als urteilsfähig angesehen werden müssen (Ziff. 41 des Revisionsgesuchs).
5.2. Des Weitern macht die Gesuchstellerin geltend, auf das Rechtsbegehren des Gesuchsgegners im Rückweisungspunkt wäre "zufolge Unbestimmtheit und Unmöglichkeit der Gutheissung" gar nicht einzutreten gewesen (Ziff. 44 des Gesuchs). Wenn der Gesuchsgegner als Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren um eine Aufhebung der einschlägigen Dispositiv-Ziffern des obergerichtlichen Urteils und (sinngemäss) um eine Bestätigung der erstinstanzlichen Anordnungen ersuchte, so ergab sich daraus und aus der dazugehörenden Beschwerdebegründung ein Beschwerdewille dahin, dass eine aus Sicht des Beschwerdeführers sinnlose Rückweisung zu verhindern sei. Dessen Anträge vor Bundesgericht waren mithin rechtsgültig. Eine Verletzung der Dispositionsmaxime (Art. 121 lit. b BGG) fällt ausser Betracht.
5.3.
5.3.1. Im Zusammenhang mit der obergerichtlichen Rückweisung vertritt die Gesuchstellerin die Auffassung, der Gesuchsgegner hätte sich nur mit der Rüge einer willkürlichen Beweiswürdigung (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG) gegen die vorinstanzliche Feststellung wenden können, die im Recht liegenden ärztlichen Atteste seien unzureichend und eine unabhängige Begutachtung sei unerlässlich. Tatsächlich aber ist die Frage, welchen Anforderungen die Abklärung eines geistigen Schwächezustandes (Art. 390 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB) unterliegt, rechtlicher Natur (vgl. z.B. BGE 140 III 97). Unter Vorbehalt der Begründungspflicht des Beschwerdeführers (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Somit besteht kein Raum zur Annahme, in der Verfügung vom 3. Juli 2015 sei aus Versehen unberücksichtigt geblieben (Art. 121 lit. d BGG), dass der Gesuchsgegner in seiner Beschwerde keine qualifizierten Rügen (im Sinne von Art. 97 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 III 350 E. 1.3 S. 351) vorgebracht habe.
5.3.2. In materieller Hinsicht macht die Gesuchstellerin geltend, das Bundesgericht habe im Zusammenhang mit seinen Erwägungen betreffend die Dokumentierung einer Demenz übersehen, dass der hiefür mit massgebliche gerontopsychiatrische Bericht der Klinik V._ vom 3. September 2014 von C._, einer Enkelin der Betroffenen und de facto Gegenpartei der Gesuchstellerin, in Auftrag gegeben worden sei. Dem Bericht komme daher höchstens der Beweiswert einer bestrittenen Parteibehauptung zu. Dieses Vorbringen betrifft in der Substanz eine tatsachenbezogene und auch rechtliche Würdigung; eine solche verschafft keinen Anspruch auf Revision (BGE 122 II 17 E. 3 S. 18; Urteil 5F_5/2014 vom 26. März 2014 E. 2.1). Ebensowenig kann die Gesuchstellerin revisionsrechtlich etwas aus dem Umstand ableiten, dass die Betroffene in den Zeitpunkten der fachärztlichen Begutachtung und der fachrichterlichen Befragung vom 24. November 2014 allenfalls unter starkem Medikamenteneinfluss gestanden habe. Weder macht die Gesuchstellerin geltend noch ist sonstwie ersichtlich, dass das Bundesgericht Aktenbelege übersehen hätte, wonach die Gutachter der Klinik V._ die Medikation nicht gekannt und deren allfällige Auswirkungen mit den Folgen der Demenz verwechselt haben könnten.
6.
Nach dem Gesagten ist das Revisionsgesuch in allen Teilen unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gesuchstellerin trägt deshalb die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG), einschliesslich der Kosten für das Zwischenverfahren betreffend aufschiebende Wirkung (vgl. die Verfügung des Präsidenten vom 9. Oktober 2015). Dem Gesuchsgegner und den Verfahrensbeteiligten ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (vgl. Art. 127 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, dem Bezirksgericht U._, Familiengericht, D._ (nur Dispositiv), C._ (nur Dispositiv) sowie Rechtsanwältin F._ (nur Dispositiv) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Traub