Sachverhalt:
A. Die Allergan Inc. (Beschwerdegegnerin), ein Pharmaunternehmen des amerikanischen Rechts mit Sitz in Kalifornien, hat verschiedene Marken mit dem Bestandteil "BOTOX" registrieren lassen. Die Labo Cosprophar AG (Beschwerdeführerin) mit Sitz in Basel vertreibt unter der Marke "BOTOINA" eine Kosmetiklinie zur Entspannung von Ausdrucksfalten. Am 17. Februar 2006 reichte die Beschwerdegegnerin beim Zivilgericht Basel-Stadt eine Klage ein, mit der sie u.a. begehrte, es sei der Beschwerdeführerin zu verbieten, das Zeichen BOTOINA zur Kennzeichnung von Kosmetika und pharmazeutischen Produkten zu gebrauchen sowie kosmetische Präparate zur Entspannung der Ausdrucksfalten dominant mit der Abbildung einer Spritze zu bewerben. Mit der Klage verband sie das Gesuch, die Verbote bereits als vorsorgliche Verfügung zu erlassen.
Die verfahrensleitende Zivilgerichtspräsidentin kam nach der Prüfung dieses Gesuchs zum Schluss, die Marke und das Erscheinungsbild der BOTOINA-Produkte liessen beim Letztabnehmer den Eindruck entstehen, dass zwischen der Marke BOTOINA und der Marke BOTOX eine Verbindung bestehe bzwdass in den Produkten der Marke BOTOINA der Wirkstoff Botox enthalten sei, was unbestritten nicht der Fall sei. Damit sei aber zumindest eine mittelbare Verwechslungsgefahr gegeben. Sie gab dem Gesuch in der Folge mit Verfügung vom 16./17. August 2006 (Rektifikat vom 1./4. September 2006) teilweise statt und setzte der Beschwerdegegnerin Frist zur Leistung einer Sicherheit von Fr. 400'000.--, indem sie wie folgt verfügte:
"1. (...)
1. Der Beklagten 1 [= Beschwerdeführerin] wird vorsorglich verboten unter Androhung der Überweisung der verantwortlichen Organe an den Strafrichter im Widerhandlungsfalle zur Bestrafung mit Haft oder Busse gemäss Art. 292 StGB:
a) das Zeichen Botoina zur Kennzeichnung von Kosmetika zu gebrauchen;
b) Kosmetika, die mit dem Zeichen Botoina gekennzeichnet sind, anzubieten, in Verkehr zu bringen, einzuführen und zu lagern;
c) Das Zeichen Botoina im Zusammenhang mit dem Anbieten, Vertreiben und Inverkehrbringen von Kosmetika in der Werbung, auf Geschäftspapieren, im Internet, als Domainname oder sonst in irgendeiner Form im Geschäftsverkehr zu gebrauchen.
2. Der Beklagten 1 wird vorsorglich verboten, kosmetische Präparate zur Entspannung der Ausdrucksfalten, insbesondere die unter der Bezeichnung Botoina vertriebenen Produkte, im Internet, in Prospekten, auf Schaufensterdisplays oder sonstigen Werbematerialien dominant mit einer Spritze zu bewerben.
3. Die Klägerin [= Beschwerdegegnerin] hat innert einer Frist von 30 Tagen ab Zustellung eine Sicherheitsleistung von Fr. 400'000.-- zu leisten.
4. Die weiteren Rechtsbegehren werden abgewiesen.
5. (...)."
B. Dagegen gelangte die Beschwerdeführerin mit einer sogenannten "Verfahrensmangelbeschwerde" an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und rügte eine Verletzung ihres rechtlichen Gehörs durch mangelnde Begründung der angefochtenen Verfügung. Das Appellationsgericht wies dieses Rechtsmittel am 31. Januar 2007 ab.
Die Beschwerdeführerin erhob in der Folge Beschwerde in Zivilsachen sowie vorsorglich subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Sie beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts vom 31. Januar 2007 sowie die Ziffern 2 und 3 der Verfügung des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 16./17. September 2006 bzw. des Rektifikats vom 1./4. September 2006 seien aufzuheben; sodann sei das Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Verfügung vom 17. Februar 2006 vollumfänglich abzuweisen, eventualiter die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin und das Appellationsgericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen.
C. Die Beschwerdeführerin hatte die Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin vom 16./17. August 2006 bzw. das Rektifikat auch mit staatsrechtlicher Beschwerde angefochten und die Aufhebung von deren Ziffern 2 und 3 verlangt.
Dieses Beschwerdeverfahren wurde bis zum Entscheid des Appellationsgerichts über die Verfahrensmangelbeschwerde ausgesetzt.
Das Zivilgericht und die Beschwerdegegnerin schliessen auf Abweisung auch dieser Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 13. Februar 2007 wurde ein Gesuch der Beschwerdeführerin, es sei der staatsrechtlichen Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, abgewiesen.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. An den Verfahren 4A_221/2007 (Beschwerde in Zivilsachen) und 4P.239/2006 (staatsrechtliche Beschwerde) sind dieselben Parteien beteiligt, den Beschwerden liegt der gleiche Sachverhalt zu Grunde und es werden darin weitgehend identische Anträge gestellt. Es rechtfertigt sich daher, beide Beschwerden in einem Urteil zu behandeln (Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 24 BZP).
2. Das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ist am 1. Januar 2007 in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243).
2.1 Da der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts am 31. Januar 2007 ergangen ist, richtet sich das Verfahren gegen diesen nach dem BGG (Art. 132 Abs. 1 BGG).
2.2 Die Verfügung der Präsidentin des Zivilgerichts Basel-Stadt (im Folgenden: Zivilgerichtspräsidentin) ist am 16./17. August 2006, also vor Inkrafttreten des BGG ergangen. Die Beschwerdeführerin hat diese Verfügung grundsätzlich zulässigerweise mit staatsrechtlicher Beschwerde nach den damals geltenden Bestimmungen von Art. 84 ff. OG angefochten (vgl. Art. 132 Abs. 1 BGG).
Die Beschwerdeführerin will allerdings die Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin auch mit ihrer Beschwerde in Zivilsachen gegen den Appellationsgerichtsentscheid vom 31. Januar 2007 mitanfechten. Art. 100 Abs. 6 BGG sieht vor, dass wenn der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts mit einem Rechtsmittel bei einer zusätzlichen kantonalen Behörde angefochten worden ist, das - wie die vorliegend ergriffene Verfahrensmangelbeschwerde an das Appellationsgericht - nicht alle Rügen nach den Art. 95-98 BGG zulässt, die Beschwerdefrist erst mit der Eröffnung des Entscheids dieser Instanz beginnt. Diese Bestimmung erlaubt dem Beschwerdeführer grundsätzlich, den nach Inkrafttreten des BGG ergangenen Entscheid der zusätzlichen Rechtsmittelinstanz mit beschränkter Prüfungsbefugnis abzuwarten, um gleichzeitig den vorangehenden Entscheid mitanzufechten (Spühler/Dolge/Vock, Kurzkommentar zum BGG, Zürich/St. Gallen 2006, N. 9 zu Art. 100 BGG). Dies gilt auch, wenn der vorangegangene Entscheid des oberen kantonalen Gerichts vor Inkrafttreten des BGG ergangen ist. Diesfalls richtet sich auch das Anfechtungsverfahren betreffend den vorangehenden Entscheid nach dem BGG, das auf das Verfahren als Ganzes anwendbar ist (zur Veröffentlichung bestimmtes Urteil 5A_86/2007 vom 3. September 2007 E. 1.3).
Vorliegend ist der dem Urteil des Appellationsgerichts vorangehende Entscheid allerdings nicht von einer oberen kantonalen Instanz ausgegangen, wie in Art. 100 Abs. 6 BGG vorgesehen, sondern von einem unteren kantonalen Gericht (Zivilgericht), das als einzige Instanz im Sinne von Art. 58 MSchG (SR 232.11) zuständig ist. Insoweit ist zu beachten, dass Art. 75 Abs. 2 lit. a BGG zwar für den Fall, dass ein Bundesgesetz eine einzige kantonale Instanz vorschreibt, eine Ausnahme vom Grundsatz des doppelten Instanzenzuges im kantonalen Verfahren macht, wobei die Kantone für diesen Fall neu ein oberes Gericht als zuständig bezeichnen müssen (Güngerich, in Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, Stämpflis Handkommentar, Bern 2007, N. 6 zu Art. 75 BGG; Spühler/Dolge/Vock, a.a.O., N. 5 zu Art. 75 BGG). Das Vorliegen des Urteils einer unteren kantonalen Gerichtsbehörde, die von Bundesrechts wegen als einzige Instanz entschieden hat, hindert indessen im heutigen Zeitpunkt das Eintreten auf eine dagegen gerichtete Beschwerde nicht, da die Frist für die kantonalen Ausführungsvorschriften (Art. 130 Abs. 2 BGG) noch läuft. Entsprechend ist heute auch bei der Anwendung von Art. 100 Abs. 6 BGG davon abzusehen, dass der mitangefochtene, dem ausserordentlichen Rechtsmittelverfahren vorangehende Entscheid der Zivilgerichtspräsidentin nicht von einem oberen kantonalen Gericht ausgegangen ist.
Ist Art. 100 Abs. 6 BGG anwendbar, können sämtliche in der staatsrechtlichen Beschwerde erhobenen Rügen im Rahmen der Mitanfechtung des Entscheids der Zivilgerichtspräsidentin mit der Beschwerde in Zivilsachen erhoben werden. Dies hat die Beschwerdeführerin denn auch tatsächlich getan. Die staatsrechtliche Beschwerde gegen die Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin kann bei dieser Sachlage als gegenstandslos abgeschrieben werden, ohne dass damit eine Benachteiligung der Beschwerdeführerin verbunden ist.
3. 3.1 Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich nur gegen Endentscheide im Sinne von Art. 90 BGG zulässig, d.h. gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen. Das Bundesgericht soll sich als oberste rechtsprechende Behörde des Bundes in der Regel nur ein Mal mit der gleichen Angelegenheit befassen müssen. Anders als nach der Praxis zur (altrechtlichen) Berufung (Art. 48 Abs. 1 OG), wonach ein Endentscheid nur dann vorlag, wenn das kantonale Sachgericht über den im Streit stehenden Anspruch materiell entschieden oder dessen Beurteilung aus einem Grund abgelehnt hatte, der endgültig verbot, dass der gleiche Anspruch nochmals geltend gemacht wird (BGE 132 III 178 E. 1.1 S. 180 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 133 III 393 E. 4), genügt für die neurechtliche Beschwerde allgemein der rein formelle Abschluss eines Verfahrens (Urteil 5A_9/2007 vom 20. April 2007 E. 1.2.2; vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4331 Ziff. 4.1.4.1; Spühler/Dolge/Vock, a.a.O., N. 3 zu Art. 90 BGG; Bernard Corboz, Le recours en matière civile selon le projet de loi sur le Tribunal fédéral, SZZP 2005 S. 79 ff., 82; Denis Tappy, Le recours en matière civile, in: Wurzburger et al., La nouvelle loi sur le Tribunal fédéral, Lausanne 2007, S. 76; Peter Karlen, Das neue Bundesgerichtsgesetz, Die wesentlichen Neuerungen und was sie bedeuten, Basel 2006, S. 35; Fabienne Hohl, Le recours en matière civile selon la Loi sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005, in: Foëx/Hottelier/Jeandin [Hrsg.], Les recours au Tribunal fédéral, Genève 2007, S. 86).
Entscheide über vorsorgliche Massnahmen sind nur dann Endentscheide, wenn sie in einem eigenständigen Verfahren ergehen. Selbständig eröffnete Massnahmenentscheide, die vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer des Hauptverfahrens bzw. unter der Bedingung, dass ein Hauptverfahren eingeleitet wird, Bestand haben, stellen dagegen Zwischenentscheide im Sinne von Art. 93 BGG dar (vgl. Botschaft, a.a.O., S. 4332 f.; von Werdt, in Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, Stämpflis Handkommentar, Bern 2007, N. 6 zu Art. 90 BGG; Tappy, a.a.O., S. 76 f.; Bernard Corboz, Introduction à la nouvelle loi sur le Tribunal fédéral, in Bundesrechtsmittel, Schriftenreihe SAV Bd. 20, Bern 2007, S. 4 ff., 9; Hans Peter Walter, Neue Zivilrechtspflege, in: Tschannen [Hrsg.], Neue Bundesrechtspflege, BTJP 2006, Bern 2007, S. 131; Christoph Auer, Der Rechtsweg in Zivilsachen, in: Ehrenzeller/Schwander [Hrsg.], Reorganisation der Bundesrechtspflege - Neuerungen und Auswirkungen in der Praxis, St. Gallen 2006, S. 72 f. und S. 74 Fn. 31; Tarkan Göksu, Die Beschwerden ans Bundesgericht, St. Gallen 2007, Rz. 80; vgl. auch Spühler/Dolge/Vock, a.a.O., N. 4 zu Art. 90 BGG; Isaak Meier, Rechtsmittel an das Bundesgericht in Zivilsachen nach dem BGG, in: Meier et al. [Hrsg.], Wege zum Bundesgericht in Zivilsachen nach dem Bundesgerichtsgesetz, Zürich/St. Gallen 2007, S. 26 f.). Gegen solche ist die Beschwerde nur zulässig, wenn sie einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG [Die Variante nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG fällt bei Massnahmenentscheiden von vornherein ausser Betracht]). Dabei muss es sich - entsprechend dem Begriff des Nachteils im Sinne von Art. 87 OG - um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden kann (BGE 133 IV 139 E. 4; 133 V 477 E. 5.2.1; Urteil 4A_85/2007 vom 11. Juni 2007 E. 3.1).
Gegenstand der angefochtenen Entscheide sind während des Hauptverfahrens erlassene vorsorgliche Massnahmen. Demnach handelt es sich bei diesen Entscheiden um Zwischenentscheide nach Art. 93 BGG. Es liegt auf der Hand und wurde auch in konstanter Praxis zur staatsrechtlichen Beschwerde bejaht, dass ein solcher Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 87 OG bewirken kann und daher vor Bundesgericht anfechtbar ist (vgl. BGE 116 Ia 446 ff.; 114 II 368 E. 2a S. 369; 108 II 69 E. 1 S. 71, je mit Hinweisen).
Die Beschwerde in Zivilsachen steht somit gegen die angefochtenen Entscheide grundsätzlich offen. Damit erweist sich die vorsorglich erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde als unzulässig (Art. 113 BGG) und es ist darauf nicht einzutreten.
3.2 Da mit der vorliegenden Beschwerde Entscheide angefochten werden, die eine vorsorgliche Massnahme zum Gegenstand haben, kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 98 BGG). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 III 393 E. 6, 439 E. 3.2; 133 II 249 E. 1.4.2; vgl. zu Art. 90 OG: BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261 f. mit Hinweisen).
4. Die Beschwerdeführerin rügt, die Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin vom 16./17. August 2006 genüge den verfassungsrechtlichen Anforderungen an die Entscheidbegründung nicht. Das Appellationsgericht habe eine entsprechende Gehörsverletzung zu Unrecht verneint.
4.1 Das rechtliche Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (BGE 124 I 49 E. 3a, 241 E. 2, je mit Hinweisen). Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (vgl. BGE 133 III 439 E. 3.3; 130 II 530 E. 4.3 S. 540; 129 I 232 E. 3.2; 126 I 97 E. 2b, je mit Hinweisen).
Diese verfassungsrechtlichen Minimalanforderungen an die Begründung gelten auch für die Anordnung von vorsorglichen Massnahmen. Daran ändert nichts, dass diese regelmässig aufgrund einer summarischen Beurteilung der Anspruchsgrundlage erfolgen und ihrem Zweck nach rasch erlassen werden müssen und dass damit nicht endgültig über materielle Gebrauchsrechte oder Unterlassungsansprüche der Parteien entschieden wird (vgl. Guldener, Zivilprozessrecht, 3. Aufl., Zürich 1979, S. 581; Staehelin/Sutter, Zivilprozessrecht, Zürich 1992, § 23 Rz. 22).
4.2 Die Beschwerdeführerin macht zunächst geltend, die Zivilgerichtspräsidentin habe ihre Pflicht zur Begründung ihrer Verfügung insoweit verletzt, als sie die Rechtsnormen, die dieser zugrunde liegen, nicht genannt habe.
4.2.1 Das Appellationsgericht hielt dazu fest, die Parteien hätten Anspruch darauf, dass sie über die Rechtsnormen Kenntnis erhielten, auf die sich der Entscheid stütze. Dies brauche indessen nicht notwendigerweise ausdrücklich zu geschehen. Oftmals machten die Parteien in ihren Rechtsschriften zum Teil detaillierte Ausführungen zum Rechtlichen. Es sei nicht zu beanstanden, wenn in der Folge die entscheidende Behörde die Rechtsauffassung der einen Partei als zutreffend bezeichne und diese damit implizit zur Grundlage ihres Entscheides mache. Im vorliegenden Fall habe die Zivilgerichtspräsidentin ein solches Vorgehen gewählt. Damit habe der Beschwerdeführerin ausreichend klar sein müssen, worauf sich die Verfügung stützte. Dass sie nicht in der Lage gewesen sein will, den Entscheid sachgerecht beim Bundesgericht anzufechten, treffe offensichtlich nicht zu, wenn man sich ihre staatsrechtliche Beschwerde vor Augen führe.
4.2.2 Die Beschwerdeführerin rügt namentlich, das Appellationsgericht ignoriere damit, dass die Beschwerdegegnerin in ihren Rechtsschriften mehrere unterschiedliche Anspruchsgrundlagen geltend mache. So behaupte sie insbesondere eine Verletzung von Art. 15 MSchG (berühmte Marke), von Art. 3 Abs. 2 lit. b MSchG (notorisch bekannte Marke), von Art. 3 Abs. 1 MSchG, Art. 3 lit. b und d UWG und Art. 5 des Bundesgesetzes vom 9. Oktober 1992 über Lebensmittel und Gebrauchsgegenstände (Lebensmittelgesetz, LMG; SR 817.0). Diese Rechtsgrundlagen unterschieden sich in ihren Tatbestandsvoraussetzungen wesentlich, so dass im Entscheid ausdrücklich hätte festgehalten werden müssen, welche Normen das Gericht als verletzt betrachte. Es bliebe offen und unklar, welche Normen die Zivilgerichtspräsidentin als glaubhaft verletzt erachtet habe. Dadurch werde der Beschwerdeführerin die Durchsetzung ihrer Rechtsposition durch Anfechtung der Verfügung wesentlich erschwert.
4.2.3 Die Rüge ist begründet. Die Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin vom 16./17. August 2006 enthält keinen einzigen Hinweis, auf welche Gesetzesbestimmungen sich die darin ausgesprochenen Verbote stützen. Ihre zur teilweisen Gutheissung des Gesuchs um vorsorgliche Massnahmen führenden Erwägungen schloss die Zivilgerichtspräsidentin mit dem Befund, die Marke und das Erscheinungsbild der BOTOINA-Produkte liessen beim Letztabnehmer den Eindruck entstehen, dass zwischen der Marke BOTOINA und der Marke BOTOX eine Verbindung bestehe bzwdass in den Produkten der Marke BOTOINA der "Wirkstoff Botox" enthalten sei, was unbestritten nicht der Fall sei. Damit sei aber zumindest eine mittelbare Verwechslungsgefahr gegeben.
Ob eine Verwechslungsgefahr besteht, kann immer nur mit Bezug zu einem konkreten, angeblich beeinträchtigten immaterialgüterrechtlichen Anspruch des Massnahmegesuchstellers beurteilt werden, namentlich einem ihm zustehenden subjektiven Markenrecht oder einem Schutzanspruch, den ihm ein lauterkeitsrechtlich relevanter Marktauftritt verschafft. Es ist für die Nachvollziehbarkeit eines wegen Verwechslungsgefahr ausgesprochenen Verbots unabdingbar, dass in der Begründung die Anspruchsgrundlage - unter Angabe der einschlägigen Gesetzesbestimmungen - genannt wird, d.h. aus welchen Gründen der Massnahmerichter den Bestand von welchen unter mehreren angerufenen, in bestimmten Gesetzesbestimmungen gewährleisteten Schutzansprüchen und deren Verletzung als glaubhaft gemacht betrachtet hat. Nur so kann der vom Verbot Betroffene ein ausgesprochenes Verbot nachvollziehen und in einem allfälligen Rechtsmittelverfahren substantiiert bestreiten, ohne dass er auf Spekulationen darüber angewiesen ist, aus welchen Gründen der Richter gegen seine Anträge entschieden hat.
Der in verschiedenen Bereichen des Immaterialgüterrechts vorkommende Begriff der Verwechslungsgefahr ist zwar für das gesamte Kennzeichenrecht ein einheitlicher (BGE 128 III 401 E. 5 S. 403). Es geht stets um die Beurteilung, ob ein Zeichen einem anderen derart ähnlich ist, dass die massgebenden Verkehrskreise Gefahr laufen, die gekennzeichneten Gegenstände zu verwechseln oder falsche Zusammenhänge zu vermuten (BGE 128 III 146 E. 2a; 127 III 160 E. 2b/c). Die Umstände, die im Übrigen die Gefahr falscher Individualisierung oder falscher Assoziationen erheblich beeinflussen, unterscheiden sich jedoch je nach dem Rechtsschutz, der für die Kennzeichen beansprucht wird. So sind etwa für den lauterkeitsrechtlichen Kennzeichenschutz (Art. 3 lit. d UWG) - im Gegensatz zum markenrechtlichen Schutz - Registereinträge nicht wesentlich (vgl. BGE 116 II 365 E. 4 S. 370 und zum Ganzen das Urteil 4C.169/2004 vom 8. September 2004 E. 2.4, sic! 2005 221 ff.).
Es ist demnach schlechterdings nicht möglich, ein Verbot wegen einer Verwechslungsgefahr nachvollziehbar zu begründen, wenn die einzelnen Voraussetzungen die das MSchG oder das UWG dafür aufstellen, wie vorliegend, nicht genannt und auseinandergehalten werden.
Die Zivilgerichtspräsidentin begründet ihre Verfügung vorwiegend mit der Gefahr der indirekten Verwechslung der Marke BOTOINA mit einer Marke BOTOX der Beschwerdegegnerin und der mit diesen Marken bezeichneten Produkte, wenn sie am Schluss ihrer Erwägungen zur Verwechslungsgefahr auch auf das "Erscheinungsbild" der Produkte Bezug nimmt. Sie konkretisiert jedoch die angeblich verletzten Markenrechte der Beschwerdegegnerin nicht, d.h. welche subjektiven Markenrechte der Beschwerdegegnerin nach welchen Rechtsnormen glaublich beeinträchtigt worden sein sollen. Ebensowenig begründet sie die Gefahr der Verwechslung mit Bezug auf die Waren, für welche die angeblich verletzten Markenrechte beansprucht werden und für die der Verletzer sein Zeichen verwendet, was bei der Beurteilung der Verwechslungsgefahr ein wesentliches Element darstellt. Dies wäre indes vorliegend namentlich deshalb wichtig, weil die Beschwerdeführerin den Bestand eines Markenrechts BOTOX in der Schweiz zur Bezeichnung von kosmetisch einsetzbaren Produkten bestreitet und auch die Zivilgerichtspräsidentin selber feststellt, dass die Marke BOTOX in der Schweiz zur Bezeichnung von kosmetisch einsetzbaren Produkten nicht zugelassen sei. Anhaltspunkte dafür, dass die Zivilgerichtspräsidentin geprüft hätte, ob die in der Schweiz für neurologische und ophthalmologische Anwendungen zugelassene Marke BOTOX als berühmte Marke im Sinne von Art. 15 MSchG und damit über den Warengleichartigkeitsbereich hinaus gegen die Bezeichnung von kosmetisch einsetzbaren Produkten mit einem verwechselbaren Kennzeichen zu schützen ist, fehlen in der Begründung der angefochtenen Verfügung. Schliesslich wird aus der Begründung der Verfügung insgesamt auch nicht mit hinreichender Deutlichkeit ersichtlich, ob und inwiefern die Zivilgerichtspräsidentin eine lauterkeitsrechtlich relevante Verwechslungs- oder Irreführungsgefahr als glaubhaft gemacht erachtet haben könnte.
4.2.4 Zusammenfassend ergibt sich, dass die Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin den verfassungsrechtlichen Anforderungen an die Begründung von Entscheiden nicht genügt. Die Beschwerdeführerin konnte daraus nicht entnehmen, auf welche Überlegungen sich das darin ausgesprochene Verbot stützt, so dass es ihr möglich gewesen wäre, die Verfügung in voller Kenntnis der Sache anzufechten. Sie war bei der Anfechtung vielmehr auf Spekulationen über die glaubhaft gemachte Anspruchsgrundlage angewiesen. Indem das Appellationsgericht verneinte, dass die Zivilgerichtspräsidentin die verfassungsrechtlichen Begründungsanforderungen missachtet habe, hat es seinerseits den Gehörsanspruch (Art. 29 Abs. 2 BV) der Beschwerdeführerin verletzt.
5. Aufgrund des Ausgeführten ist die Beschwerde in Zivilsachen gutzuheissen. Das Urteil des Appellationsgerichts vom 31. Januar 2007 sowie die Ziffern 2 und 3 der Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin vom 16./17. August 2006 und des Rektifikats vom 1./4. September 2006 sind je aufzuheben und die Sache im Sinne des Eventualantrags der Beschwerdeführerin an die Zivilgerichtspräsidentin zurückzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens der Beschwerde in Zivilsachen - der Ausgang des Rechtsstreits bleibt noch offen - rechtfertigt es sich, die betreffende Gerichtsgebühr den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und die betreffenden Parteikosten wettzuschlagen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).
Für die als gegenstandslos abzuschreibende staatsrechtliche Beschwerde (vorstehende Erwägung 2.2 in fine) kann auf die Erhebung von Kosten verzichtet werden und ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 156 Abs. 1 und Art. 159 Abs. 1 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2. Für das Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde werden keine Kosten erhoben und wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
3. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
4. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 31. Januar 2007 sowie die Ziffern 2 und 3 der Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin Basel-Stadt vom 16./17. August 2006 und des Rektifikats vom 1./4. September 2006 werden aufgehoben und die Sache wird an die Zivilgerichtspräsidentin zurückgewiesen.
5. Die Gerichtsgebühr von Fr. 5'000.-- für das Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen wird den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
6. Für das Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
7. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, sowie dem Zivilgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. November 2007
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: