Sachverhalt:
A. Mit Schiedsspruch vom 12. Januar 2009 wies das ICC Schiedsgericht das Feststellungsbegehren der X._ AG (Gesuchsgegnerin) bezüglich der behaupteten Verlängerung des Vertrags vom 6. November 2001 mit der Federation Y._ (Gesuchstellerin) ab (Dispositiv-Ziffer 1), während es sich für die weiteren Feststellungs- sowie Unterlassungsbegehren der Gesuchsgegnerin für unzuständig erklärte (Dispositiv-Ziffern 2 und 3). Die Schadenersatzklage der Gesuchsgegnerin hiess das Schiedsgericht teilweise gut (Dispositiv-Ziffer 4), während es die Widerklage der Gesuchstellerin infolge Verrechnung mit der Schadenersatzforderung der Gesuchsgegnerin abwies (Dispositiv-Ziffer 5). Im Weiteren entschied es über die Kosten und Entschädigungen des Schiedsverfahrens (Dispositiv-Ziffern 5 - 8).
Beide Parteien erhoben gegen den Schiedsspruch vom 12. Januar 2009 beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen.
B. Mit Urteil vom 9. Juni 2009 wies das Bundesgericht die Beschwerde der Gesuchsgegnerin ab, soweit es darauf eintreten konnte. Demgegenüber hiess es die Beschwerde der Gesuchstellerin gut. Dispositiv-Ziffer 3 des bundesgerichtlichen Urteils lautet wie folgt:
"Die Beschwerde der Beklagten (4A_96/2009) wird gutgeheissen, Dispositiv-Ziffern 4 sowie 6 - 8 des Schiedsspruchs vom 12. Januar 2009 werden aufgehoben und die Sache wird zu neuer Entscheidung über die Kosten und Entschädigungen an die Vorinstanz zurückgewiesen."
Hinsichtlich der von der Gesuchstellerin widerklageweise erhobenen und vom Einzelschiedsrichter abgewiesenen Schadenersatzforderung (Dispositiv-Ziffer 5 des Schiedsspruchs) hielt das Bundesgericht fest, dass die Gesuchstellerin keine hinreichende Zuständigkeitsrüge erhoben habe.
C. Mit Eingabe vom 17. September 2009 beantragt die Gesuchstellerin, es sei Dispositiv-Ziffer 3 des Urteils des Bundesgerichts vom 9. Juni 2009 (4A_94/2009 und 4A_96/2009) erläuternd wie folgt zu formulieren:
"Die Beschwerde der Beklagten (4A_96/2009) wird gutgeheissen, Dispositiv-Ziffern 4 - 8 des Schiedsspruchs vom 12. Januar 2009 werden aufgehoben und die Sache wird zu neuer Entscheidung über die Kosten und Entschädigungen an die Vorinstanz zurückgewiesen."
Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.
Erwägungen:
1. Ist das Dispositiv eines bundesgerichtlichen Entscheids unklar, unvollständig oder zweideutig, stehen seine Bestimmungen untereinander oder mit der Begründung im Widerspruch oder enthält es Redaktions- oder Rechnungsfehler, so nimmt das Bundesgericht auf schriftliches Gesuch einer Partei oder von Amtes wegen die Erläuterung oder Berichtigung vor (Art. 129 Abs. 1 BGG).
1.1 Die Erläuterung dient dazu, Abhilfe zu schaffen, wenn die Entscheidformel (Dispositiv) unklar, unvollständig, zweideutig oder in sich widersprüchlich ist. Sie kann sich ferner auf Gegensätze zwischen den Entscheidungsgründen und dem Dispositiv beziehen, nicht dagegen auf die Entscheidungsgründe als solche. Die Erwägungen unterliegen der Erläuterung nur, wenn und insoweit der Sinn des Dispositivs erst durch Beizug der Entscheidungsgründe ermittelt werden kann (Urteil 4G_1/2007 vom 13. September 2007 E. 2.1; vgl. bereits unter Geltung des OG BGE 110 V 222 E. 1 S. 222 mit Hinweisen).
Unzulässig sind anderseits Erläuterungsgesuche, die auf eine inhaltliche Abänderung der Entscheidung abzielen. Ebenso wenig geht es an, auf dem Weg des Erläuterungsgesuchs über den rechtskräftigen Entscheid eine allgemeine Diskussion (z.B. über dessen Recht- und Zweckmässigkeit) einzuleiten, die schlechthin jede Äusserung des Gerichts, insbesondere die verwendeten Rechtsbegriffe und Wörter, zum Gegenstand hat. Vom Urteilsinhalt ist der Erläuterung nur zugänglich, was den Charakter einer Anordnung aufweist. Nicht dazu gehören namentlich Fragen, die vom Gericht nicht zu prüfen waren und über die es deshalb nicht zu entscheiden hatte (Urteil 4G_1/2007 vom 13. September 2007 E. 2.1; vgl. BGE 110 V 222 E. 1 S. 222 mit Hinweisen).
1.2 Die Gesuchstellerin macht im Wesentlichen geltend, laut dem derzeitigen Wortlaut des Bundesgerichtsurteils vom 9. Juni 2009 werde Dispositiv-Ziffer 5 des Schiedsspruchs, wonach ihre Widerklage über USD 500'000.-- zuzüglich Verzugszins zufolge Verrechnung abgewiesen wurde, nicht aufgehoben. Sie sieht darin einen Widerspruch zu den Entscheidgründen, weil das Bundesgericht in E. 5.3 f. zum Schluss komme, dass gestützt auf den Vertrag vom 6. November 2001 der Gesuchsgegnerin kein Schadenersatzanspruch zustehe. Gleichzeitig lasse es diesen inexistenten Schadenersatzanspruch zur Verrechnung zu.
1.3 Die Gesuchstellerin beruft sich zu Unrecht auf einen Widerspruch zwischen dem Dispositiv des bundesgerichtlichen Entscheids vom 9. Juni 2009 und dessen Begründung. Ihr kann zunächst nicht gefolgt werden, wenn sie vorbringt, das Bundesgericht habe einen Schadenersatzanspruch der Gesuchsgegnerin zur Verrechnung zugelassen, da es über diese Frage gar nicht zu befinden hatte. Hinsichtlich der zufolge Verrechnung abgewiesenen Widerklage hat es vielmehr festgehalten, dass die Gesuchstellerin keine hinreichende Zuständigkeitsrüge nach Art. 190 Abs. 2 lit. b IPRG erhoben hat. Unter Berücksichtigung des im Bereich der internationalen Schiedsgerichtsbarkeit anwendbaren Rügeprinzips (Art. 77 Abs. 3 BGG) hatte das Bundesgericht daher nicht zu prüfen, ob der Einzelschiedsrichter mit der Abweisung der Widerklage Zuständigkeitsvorschriften verletzt hat. Der Entscheid des Bundesgerichts, auf eine Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 5 des angefochtenen Schiedsspruchs zu verzichten, ist daher keineswegs widersprüchlich, sondern vielmehr folgerichtig.
Das Vorbringen der Gesuchstellerin, sie habe entgegen dem bundesgerichtlichen Entscheid auch Dispositiv-Ziffer 5 des Schiedsspruchs hinreichend angefochten, ist unverständlich, ist sie doch in der Beschwerdebegründung mit keinem Wort auf die Widerklage eingegangen. Abgesehen davon ist es im Rahmen des Erläuterungsverfahrens ohnehin unzulässig, unter Hinweis auf die Beschwerdeeingabe die Rechtmässigkeit des ergangenen Entscheids in Frage zu stellen; schon gar nicht lassen sich über den Weg der Erläuterung allfällige Versäumnisse der Parteien im Rahmen des Beschwerdeverfahrens beheben. Aus diesem Grund stossen auch die Vorbringen der Gesuchstellerin ins Leere, das Urteil des Bundesgerichts führe zu einer unhaltbaren Situation, da ihre Widerklageforderung zufolge Verrechnung mit einer nie geltend gemachten Schadenersatzforderung untergegangen sei, wobei der Bestand der Verrechnungsforderung nie einer gerichtlichen Beurteilung unterzogen worden sei und wegen der res iudicata-Wirkung des Bundesgerichtsurteils auch keiner gerichtlichen Beurteilung zugeführt werden könne, womit das rechtliche Gehör der Gesuchstellerin verletzt werde.
2. Das Erläuterungsgesuch erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Gesuchstellerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Gesuchsgegnerin ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Erläuterungsverfahren kein Aufwand erwachsen ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Erläuterungsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem ICC Schiedsgericht mit Sitz in Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2009
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann