Sachverhalt:
A. Der 1953 geborene J._ wird von der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) seit 1. Juli 1990 als selbstständigerwerbender Schreiner anerkannt. Am 18. August und 2. September 2008 stellte J._ der Z._ AG, Schreinerei und Fensterbau, für geleistete Arbeiten Rechnung im Gesamtbetrag von Fr. 17'888.-. Die SUVA gelangte zur Auffassung, bei den entsprechenden Zahlungen der Z._ AG handle es sich um prämienpflichtigen Lohn aus unselbstständiger Erwerbstätigkeit des J._. Sie stellte der Z._ AG am 6. Oktober 2008 für das Jahr 2008 Prämien für die Berufs- und Nichtberufsunfallversicherung von Fr. 830.- provisorisch in Rechnung. Mit gleichentags ergangener Verfügung eröffnete die SUVA die Prämienrechnung auch J._. Dieser erhob Einsprache, welche die SUVA mit Entscheid vom 18. Dezember 2008 abwies.
B. Die von J._ hiegegen eingereichte Beschwerde wies das Kantonsgericht Wallis mit Entscheid vom 16. November 2009 ab.
C. J._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheids sei festzustellen, dass er für seine Schreinerarbeiten selbstständig erwerbstätig sei.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120). Das Bundesgericht kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
1.2 Das Verfahren betrifft zwar die obligatorische Unfallversicherung, aber nicht die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen, sondern die Frage, ob eine unselbstständige und demnach der Prämienpflicht der obligatorischen Unfallversicherung unterstellte Erwerbstätigkeit vorliegt. Die Ausnahmeregelung des Art. 105 Abs. 3 BGG kommt daher nicht zur Anwendung und die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts kann nur auf offensichtliche Unrichtigkeit oder auf Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG gerügt und überprüft werden (Art. 97 Abs. 1 BGG; Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. noch unter der Herrschaft des OG ergangenes Urteil U 18/03 vom 20. November 2003 E. 2.1; sodann: BGE 135 V 412 und Urteil 8C_752/2009 vom 7. Januar 2010 E. 1.2).
2. Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmungen über die - prämienpflichtige - obligatorische Unfallversicherung der Arbeitnehmer und über den Arbeitnehmerbegriff mit der dazu ergangenen Rechtsprechung zutreffend dargelegt.
Hervorzuheben ist, dass gemäss Art. 1a Abs. 1 UVG die in der Schweiz beschäftigten Arbeitnehmer - nebst anderen, hier nicht interessierenden Personenkategorien - obligatorisch nach dem UVG versichert sind. Als Arbeitnehmer im Sinne dieser Gesetzesbestimmung gilt nach Art. 1 UVV, wer eine unselbstständige Erwerbstätigkeit im Sinne der Bundesgesetzgebung über die Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHV) ausübt. Gemäss Art. 10 ATSG gelten als Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer Personen, die in unselbstständiger Stellung Arbeit leisten und dafür Lohn nach dem jeweiligen Einzelgesetz leisten. Nach der Rechtsprechung gilt als Arbeitnehmer gemäss UVG, wer um des Erwerbes oder der Ausbildung willen für einen Arbeitgeber, mehr oder weniger untergeordnet, dauernd oder vorübergehend tätig ist, ohne hiebei ein eigenes wirtschaftliches Risiko tragen zu müssen. Die Arbeitnehmereigenschaft ist jeweils unter Würdigung der gesamten Umstände des Einzelfalles zu beurteilen. Entscheidend ist dabei namentlich, ob geleistete Arbeit, ein Unterordnungsverhältnis und die Vereinbarung eines Lohnanspruchs in irgendeiner Form vorliegen (BGE 115 V 55 E. 2d S. 58 f.; RKUV 2005 Nr. U 537 S. 59, U 99/04 E. 2.3; Urteil 8C_752/2009 vom 7. Januar 2010 E. 3; vgl. auch BGE 124 V 301 E. 1 S. 304).
3. Das kantonale Gericht hat vorab erkannt, zu prüfen sei einzig, ob die von der Z._ AG im Jahr 2008 an den Beschwerdeführer entrichteten Entgelte von Fr. 17'888.- prämienpflichtigen Lohn aus unselbstständiger Erwerbstätigkeit darstellten.
3.1 Der Beschwerdeführer wendet ein, in der Verfügung der SUVA vom 6. Oktober 2008 sei festgestellt worden, dass er seit 1. Januar 2003 eine unselbstständige Erwerbstätigkeit für die Z._ AG ausübe. Demnach seien aufgrund der Verfügung für die Vorjahre seit 2003 diesem Versichertenstatus entsprechende Sozialversicherungsbeiträge zu bezahlen.
Aus der Verfügung vom 6. Oktober 2008 im Kontext mit der gleichentags an die Adresse der Z._ AG ausgestellten Prämienrechnung für das Jahr 2008 geht indessen hervor, dass es der SUVA einzig um diese Prämienrechnung und die ihr zugrunde liegenden Zahlungen der Z._ AG ging, nicht aber um den Versichertenstatus und um eine allfällige Verpflichtung zur Bezahlung von UVG-Prämien (oder Beiträgen an andere Sozialversicherungen) für die Vorjahre und/oder für andere an den Beschwerdeführer ausgerichtete Zahlungen. Entsprechend wurde dem Beschwerdeführer in der Verfügung ausdrücklich (und ausschliesslich) die Möglichkeit eingeräumt, die Prämienrechnung vom 6. Oktober 2008 einspracheweise anzufechten. Richtigerweise bezogen sich dann sowohl der Einsprache- als auch der kantonale Gerichtsentscheid einzig auf die besagte Prämienrechnung. Die Frage nach deren Rechtmässigkeit bildet demnach auch den letztinstanzlichen Streit- und Prüfungsgegenstand. Sollten in Bezug auf Vorjahre und/oder andere an den Beschwerdeführer erfolgte Zahlungen Prämienrechnungen ergehen, wären diese im Übrigen wiederum in gleicher Weise anfechtbar wie die hier ergangene vom 6. Oktober 2008.
3.2 Der Beschwerdeführer macht im selben Zusammenhang weiter geltend, wenn sich die Vorinstanz auf die Frage beschränkt habe, ob die Tätigkeit für die Z._ AG im Jahr 2008 (un-)selbstständig gewesen sei, hätte sie ihm das Recht einräumen müssen, sich eben nur zu dieser speziellen Frage zu äussern. Die Vorinstanz habe dies nicht getan und damit seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
Der Einwand ist unbegründet. Das kantonale Gericht hat sich auf den Streitgegenstand, der durch den bei ihm angefochtenen Einspracheentscheid vorgegeben war, beschränkt. Es bestand, auch im Rahmen des rechtlichen Gehörs, kein Anlass, den Beschwerdeführer noch ausdrücklich darauf aufmerksam zu machen.
4. Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer gelte als Betreiber einer Schreinerei bei Direktaufträgen (in eigenem Namen und auf eigene Rechnung) unbestrittenermassen weiterhin als Selbstständigerwerbender. Hingegen sei er in Bezug auf die im Jahr 2008 für die Z._ AG ausgeführten Arbeiten als Unselbstständigerwerbender zu betrachten.
4.1 Das kantonale Gericht stützt sich bei dieser Beurteilung auf folgende sachverhaltliche Annahmen: Die Kundengewinnung sei durch die Z._ AG erfolgt. Der Beschwerdeführer habe kein spezifisches Unternehmerrisiko getragen. Die von ihm an die Z._ AG ausgestellten Rechnungen vom 18. August und 2. September 2008 zeigten, dass er lediglich Mithilfe geleistet und keinen Direktauftrag eines Kunden erhalten habe. Er sei für diese Tätigkeit in arbeitsorganisatorischer Hinsicht von der Z._ AG abhängig gewesen, indem er bei den Arbeitsausführungen in deren Betrieb eingegliedert und ohne persönlichen Materialaufwand tätig gewesen sei, um die ihm erteilten Aufgaben bzw. Schreinerarbeiten weisungsgebunden zu erledigen. Dafür habe er ein Entgelt erhalten. Einen Materialaufwand habe er nicht in Rechnung stellen müssen. Er habe in Bezug auf diese Arbeiten keine erheblichen Investitionen zu tätigen gehabt. Auch ergebe sich aus den Akten nicht, dass er für diese Tätigkeit eigene Büroräumlichkeiten benutzt und Materialanschaffungen getätigt habe.
In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was diese tatsächlichen Feststellungen als offensichtlich unrichtig oder rechtsverletzend im Sinne von Art. 95 BGG erscheinen liesse. Geltend gemacht wird im Wesentlichen, aus den aufgelegten Geschäftsunterlagen, insbesondere den Jahresberichten 2003 bis 2007 - der Jahresbericht von 2008 liege noch nicht vor -, zeige sich, dass der Beschwerdeführer massgebliche Investitionen getätigt habe und alle Merkmale erfülle, welche auf eine selbstständige Tätigkeit schliessen liessen. Das wird indessen vom kantonalen Gericht gar nicht in Frage gestellt. Dieses hat vielmehr, wie bereits ausgeführt, anerkannt, dass der Beschwerdeführer für einen Teil seiner Erwerbstätigkeit weiterhin als Selbstständigerwerbender gilt. Die Vorinstanz hat dazu weiter erwogen, ein Nebeneinander von selbstständiger und - obligatorisch unfallversicherter, prämienpflichtiger - unselbstständiger Erwerbstätigkeit sei rechtlich möglich. Das trifft zu und entspricht im Übrigen auch der in der Beschwerde vertretenen Auffassung.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz insbesondere vor, willkürlich befunden zu haben, er habe im Jahr 2008 keine Investitionen getätigt. Er legt aber in keiner Weise dar, welche Investitionen in diesem Jahr vorgenommen worden sein sollen. Seinen weiteren Ausführungen lässt sich denn auch entnehmen, dass er sich vielmehr daran stört, wenn von fehlenden Investitionen im Jahr 2008 darauf geschlossen wird, es seien generell, also auch in den Vorjahren, keine Investitionen getätigt worden. Davon ist die Vorinstanz indessen gar nicht ausgegangen. Sie hat Investitionen des Beschwerdeführers einzig für das Jahr 2008 und konkret in Bezug auf die Tätigkeit für die Z._ AG verneint. Das ist im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis nicht zu beanstanden.
4.2 Das kantonale Gericht hat entschieden, in Bezug auf die für die Z._ AG ausgeführten Arbeiten überwögen die Merkmale einer unselbstständigen Erwerbstätigkeit. Diese Beurteilung beruht auf einer zutreffenden rechtlichen Würdigung der erwähnten Tatsachen. Diese stellen deutliche Anhaltspunkte für den von der Vorinstanz angenommenen Erwerbsstatus dar. Namentlich geht aus den Rechnungen vom 18. August und 2. September 2008 hervor, dass diese Arbeiten offensichtlich für verschiedene Kunden/Auftraggeber der Z._ AG vorgenommen wurden. Es bestehen keine Anhaltspunkte dafür und wird nicht geltend gemacht, dass der Beschwerdeführer nebst der reinen Arbeitsausführung auch in anderer Weise (Auftragsvergabe; Inkasso) mit diesen Kunden/Auftraggebern zu tun hatte. Zu Recht wird sodann im angefochtenen Entscheid hervorgehoben, dass aus den im Rahmen des eigenen Schreinereibetriebs erfolgten Handlungen des Beschwerdeführers (namentlich Abschluss einer betrieblichen Versicherung; Investitionen im Betrieb, einschliesslich der Beschaffung von Maschinen etc.; Erstellung von Geschäftsberichten und Bilanzen; selbstständige Entgegennahme von Aufträgen) noch nicht gefolgert werden kann, auch die Arbeiten für die Z._ AG seien in selbstständiger Tätigkeit erfolgt. Dies steht entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht in Widerspruch zu den übrigen vorinstanzlichen Erwägungen.
Der Beschwerdeführer bringt sodann - nebst den Einwänden, welche das kantonale Gericht mit den angeführten Erwägungen bereits überzeugend entkräftet hat - vor, Werkzeuge und Maschinen eines Schreiners hätten eine mehrjährige Lebensdauer. Das schliesst die vorinstanzliche Qualifizierung der Arbeiten für die Z._ AG indessen nicht aus. Soweit der Beschwerdeführer damit geltend machen will, er habe bei dieser Tätigkeit eigene Arbeitsutensilien verwendet, stellt dies die vorinstanzliche Beurteilung ebenfalls nicht in Frage. Das gilt erst recht, wenn berücksichtigt wird, dass diese Arbeiten gemäss den Rechnungen vom 18. August und 2. September 2008 in der Demontage und Montage von Fenstern, dem Einhängen von Fensterflügeln und in Glasen bestanden. Für solche Verrichtungen sind sicher keine aufwändigen Gerätschaften, wie sie in einem Schreinereibetrieb etwa für die eigentliche Holzbearbeitung verwendet werden mögen, erforderlich.
4.3 Zusammenfassend ist die Beschwerde als unbegründet zu betrachten.
5. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Wallis und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. März 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz