Faits:
A. Le 11 mai 2010, la société Y._ SA (ci-après: Y._ SA ou l'intimée), à A._, a adjugé un marché public concernant la livraison d'un système pour le traitement des boues de station d'épuration à la société Z._ AG (ci-après: Z._ AG ou l'adjudicataire), sise à B._.
Cette décision a fait l'objet de deux recours au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif) - devenu entre-temps la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal). L'un d'eux a été interjeté par la société X._ SA (ci-après: X._ SA ou la recourante), sise à C._, dont l'offre n'avait pas été retenue.
Par décision du 9 juillet 2010, le Tribunal administratif a accordé l'effet suspensif au recours de X._ SA. Par arrêt du 29 octobre 2010, il a admis les recours, annulé la décision d'adjudication du 11 mai 2010 et renvoyé le dossier à Y._ SA pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants.
Après avoir procédé à diverses mesures d'instruction et à une réévaluation des critères d'adjudication, Y._ SA a rendu, le 20 avril 2011, une nouvelle décision par laquelle elle a derechef adjugé le marché à Z._ AG. Dans son prononcé, elle a relevé "par souci de transparence" qu'elle avait conclu un contrat avec cette dernière société en date du 20 mai 2010 déjà et que celui-ci était en cours d'exécution.
B. A l'encontre de cette décision, X._ SA a recouru au Tribunal cantonal en prenant les conclusions suivantes:
- à titre préjudiciel, que le Tribunal cantonal constate que le contrat conclu le 20 mai 2010 entre Y._ SA et Z._ AG a été conclu irrégulièrement, qu'il est invalide et ne peut produire aucun effet (conclusions 1 à 3);
- par mesures provisoires urgentes, jusqu'à droit connu sur la requête d'effet suspensif, qu'il interdise à Y._ SA de conclure un quelconque contrat avec Z._ AG et fasse cesser, sous la menace des peines prévues à l'article 292 CP, l'exécution d'un éventuel contrat, notamment de celui du 20 mai 2010; qu'il accorde l'effet suspensif au recours (conclusions 4 à 6);
- par mesures provisoires, jusqu'à droit connu sur le fond de la cause, qu'il interdise à Y._ SA de conclure un quelconque contrat avec Z._ AG et fasse cesser, sous la menace des peines prévues à l'article 292 CP, l'exécution d'un éventuel contrat, notamment de celui du 20 mai 2010; qu'il accorde l'effet suspensif au recours (conclusions 7 à 9);
- à titre principal, qu'il réforme la décision du 20 avril 2011 en ce sens que le marché public litigieux lui est adjugé, tout éventuel contrat, notamment celui du 20 mai 2010, étant annulé (conclusions 10 à 12);
- à titre subsidiaire, qu'il annule la décision attaquée et renvoie le dossier au pouvoir adjudicateur pour que ce dernier statue à nouveau en lui adjugeant le marché public litigieux (conclusion 13).
Par décision sur requête de mesures provisoires urgentes du 16 mai 2011, le Tribunal cantonal a rejeté les conclusions 1, 2, 3 et 5 et dit que les conclusions 4 et 6 étaient sans objet. La conclusion 6 (prononcé de l'effet suspensif à titre superprovisoire) était sans objet, du moment que l'art. 33 de la loi neuchâteloise du 23 mars 1999 sur les marchés publics (LCMP; RS/NE 601.72) interdit de conclure le contrat avant que le Tribunal cantonal se soit prononcé sur la demande d'effet suspensif. Il en allait de même de la conclusion 4 (tendant à interdire à Y._ SA de conclure un quelconque contrat avec Z._ AG jusqu'à droit connu sur la requête d'effet suspensif): dans la mesure où celle-ci n'était pas devenue sans objet avec la conclusion du contrat du 20 mai 2010, le Tribunal cantonal y avait déjà donné suite en rappelant par deux fois aux parties la teneur de l'art. 33 LCMP. Quant aux conclusions 1 à 3 et 5, si la question était controversée en doctrine, il ressortait des dispositions pertinentes du droit des marchés publics et de la jurisprudence du Tribunal fédéral que la violation desdites règles n'entraînait pas la nullité du contrat. En outre, les règles en question ne donnaient pas au Tribunal cantonal la compétence d'examiner les effets d'une telle violation sur la validité du contrat, question qui ressortissait aux seules juridictions civiles. Le Tribunal cantonal n'avait du reste pas non plus à étudier ce point à titre préjudiciel, afin de trancher la question de l'adjudication du marché public litigieux. Dans ces conditions, les conclusions en cause devaient être rejetées.
C. Le 19 mai 2011, X._ SA a adressé au Tribunal civil de la région des Montagnes et du Val-de-Ruz une requête de mesures superprovisionnelles et provisionnelles, par laquelle elle a demandé à cette autorité d'interdire à Y._ SA de conclure un quelconque contrat avec Z._ AG et de faire cesser l'exécution d'un éventuel contrat lié à l'adjudication du 26 avril 2011, cela sous la menace des peines prévues à l'art. 292 CP et jusqu'à droit connu sur le sort de son recours à l'encontre de ladite adjudication.
Par ordonnance de mesures superprovisionnelles du 19 mai 2011, la juridiction civile a fait droit aux conclusions de X._ SA et convoqué les parties à une audience, fixée au 30 mai 2011. Au terme de celle-ci, elle a révoqué les mesures superprovisionnelles et ordonné à Y._ SA de constituer des sûretés en faveur de X._ SA à hauteur de 88'302 fr. Cette somme correspond au montant maximal des dommages-intérêts dus par le pouvoir adjudicateur en cas d'admission du recours contre la décision d'adjudication, indemnité que l'art. 46 al. 3 LCMP limite à 5% du montant de l'offre du soumissionnaire indûment écarté. La décision de mesures provisionnelles du 30 mai 2011 a en outre imparti à X._ SA un délai de deux semaines pour ouvrir action au fond.
D. A l'encontre de l'arrêt du Tribunal cantonal du 16 mai 2011, X._ SA a interjeté, le 27 mai 2011, un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. Elle demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, d'annuler l'arrêt attaqué et:
- à titre préjudiciel, de constater que le contrat conclu le 20 mai 2010 entre Y._ SA et Z._ AG ne peut produire aucun effet (conclusion 1);
- par mesures provisoires urgentes, jusqu'à droit connu sur la requête d'effet suspensif, d'interdire à Y._ SA de conclure un quelconque contrat avec Z._ AG et de faire cesser, sous la menace des peines prévues à l'article 292 CP, l'exécution d'un éventuel contrat, notamment de celui du 20 mai 2010; d'accorder l'effet suspensif au recours (conclusions 2 à 4);
- par mesures provisoires, jusqu'à droit connu sur le fond de la cause, d'interdire à Y._ SA de conclure un quelconque contrat avec Z._ AG et de faire cesser, sous la menace des peines prévues à l'article 292 CP, l'exécution d'un éventuel contrat, notamment de celui du 20 mai 2010; d'accorder l'effet suspensif au recours (conclusions 5 à 7).
A titre subsidiaire, la recourante conclut à l'annulation de l'arrêt du 16 mai 2011 et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle instruction. Se plaignant d'un déni de justice, elle dénonce une violation des art. 6 CEDH et 29 Cst. Elle reproche également à l'autorité précédente d'avoir violé les principes de la légalité, de l'interdiction de l'arbitraire, de la bonne foi, de la liberté économique et de l'égalité.
L'autorité précédente propose de rejeter les recours. L'intimée et l'adjudicataire concluent principalement à ce qu'ils soient déclarés irrecevables et subsidiairement à leur rejet.
Considérant en droit:
1. 1.1 Portant sur des mesures superprovisoires, le prononcé attaqué constitue une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF (cf. arrêt 5A_678/2007 du 8 janvier 2008 consid. 2.1).
Les décisions préjudicielles ou incidentes visées par l'art. 93 LTF peuvent faire l'objet d'un recours - qu'il s'agisse d'un recours ordinaire ou constitutionnel subsidiaire (art. 117 LTF) - immédiat au Tribunal fédéral, à la condition qu'elles soient propres à causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF), lequel doit être de nature juridique (ATF 134 III 188 consid. 2.1 p. 190). Il appartient au recourant d'expliquer en quoi la décision incidente qu'il attaque remplit les conditions de l'art. 93 LTF; le recourant doit en particulier exposer de quelle manière ce prononcé est de nature à lui causer un dommage irréparable, à moins que cela ne fasse d'emblée aucun doute (Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, 2009, no 37 ad art. 42 LTF; Yves Donzallaz, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, no 3335 et la jurisprudence citée).
1.2 Dans la décision attaquée, l'autorité précédente a rejeté - en tant qu'elle n'était pas sans objet - la requête de mesures superprovisoires tendant essentiellement à bloquer l'exécution du contrat conclu le 20 mai 2010, que ce soit en la faisant interdire sous la menace des peines de l'art. 292 CP ou en faisant constater l'invalidité dudit contrat. Le Tribunal fédéral a eu l'occasion de se prononcer récemment dans une affaire où, comme en l'espèce, le contrat avait été conclu pendant le délai de recours contre l'adjudication, en violation du droit cantonal (ainsi que de l'art. 14 al. 1 de l'accord intercantonal sur les marchés publics [AIMP] des 25 novembre 1994/15 mars 2001). Il a relevé que la juridiction administrative saisie du recours contre l'adjudication peut, lorsqu'elle statue sur une requête de mesures provisoires, se réserver, pour le cas où elle devrait admettre le recours contre l'adjudication dans sa décision finale, de donner au pouvoir adjudicateur des instructions quant à la conduite à tenir par rapport au contrat conclu irrégulièrement (arrêt 2C_339/2010 et 2C_434/2010 du 11 juin 2010 consid. 3.2).
Le cas d'espèce a ceci de particulier que le contrat a, selon toutes les apparences, été conclu le 20 mai 2010 déjà, soit environ une année avant le prononcé de la décision attaquée. On peut dès lors partir de l'idée qu'il a été très largement exécuté (il ressort de la décision de mesures provisionnelles de la juridiction civile du 30 mai 2011 [p. 3] que Y._ SA a exposé que les travaux étaient "sur le point d'être terminés"). Dans ces conditions, on ne voit pas en quoi le refus de l'autorité précédente de faire cesser l'exécution dudit contrat serait de nature à causer à la recourante un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Le mémoire de recours ne contient pas de motivation sur ce point, alors qu'il incombe à la partie recourante d'exposer de quelle manière cette condition est remplie (cf. consid. 1.1 ci-dessus). Il s'ensuit que le Tribunal de céans ne peut entrer en matière.
2. Au vu de ce qui précède, les recours sont irrecevables.
Succombant, la recourante s'acquittera d'un émolument judiciaire (cf. art. 65 et 66 LTF), ainsi que d'une indemnité de dépens en faveur de l'adjudicataire (cf. art. 68 al. 1 et 2 LTF). En sa qualité d'organisation chargée d'une tâche de droit public, l'intimée n'a pas droit à des dépens (cf. art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les recours sont irrecevables.
2. Des frais judiciaires de 1'500 fr. sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera une indemnité à titre de dépens de 1'500 fr. à Z._ AG.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et de la société Z._ AG, ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 10 octobre 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Vianin