Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1972) stammt aus Angola. Das Bundesamt für Flüchtlinge wies sein Asylgesuch am 29. Oktober 1999 ab und forderte ihn auf, das Land zu verlassen. Am 3. Oktober 2001 nahm es ihn aus medizinischen Gründen vorläufig auf. Nachdem er hier mehrfach straffällig geworden war, hob es diese Massnahme am 18. Mai 2004 wieder auf und wies ihn erneut weg. X._ kam der Aufforderung, das Land zu verlassen, indessen nicht nach, sondern wurde hier wiederum straffällig: Mit Urteil des Gerichtspräsidenten VIII Bern-Laupen vom 20. September 2006 wurde er unter anderem wegen sexueller Nötigung und versuchter Vergewaltigung zu einer Freiheitsstrafe von 21 Monaten verurteilt.
1.2 Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm X._ am 28. September 2007 in Ausschaffungshaft. Der Haftrichter am Haftgericht III Bern-Mittelland bestätigte diese am 1. bzw. 4. Oktober 2007 "vorläufig"; er hielt die für den Vollzug zuständige kantonale Behörde indessen an, "zurzeit" und bis zu einem anderslautenden Entscheid des Haftgerichts X._ nicht auszuschaffen. Dieser erhalte im Hinblick auf die bei ihm neu festgestellte HIV-Infektion Gelegenheit, um Wiedererwägung seines Wegweisungsentscheids zu ersuchen. Das Bundesamt für Migration wies das Gesuch am 16. November 2007 ab und erklärte die Verfügungen vom 29. Oktober 1999 und 18. Mai 2004 für rechtskräftig und vollstreckbar; sein Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
1.3 Am 27./28. Dezember 2007 verlängerte der Haftrichter am Haftgericht III Bern-Mittelland die Ausschaffungshaft von X._ bis zum 26. Mai 2008; er erklärte gleichzeitig, dass seine Ausschaffung nun vollzogen werden könne. X._ ist hiergegen am 22. Januar 2008 mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht gelangt, es sei auf den Vollzug seiner Wegweisung und auf seine Inhaftierung zu verzichten.
2. Die Beschwerde erweist sich - soweit X._ sich darin überhaupt sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG) - aufgrund der eingeholten Akten als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden: Der Beschwerdeführer hat das Land trotz der Wegweisung im Jahre 2004 nicht verlassen und inzwischen wiederholt erklärt, nicht bereit zu sein, in seine Heimat zurückzukehren; schliesslich ist er hier massiv straffällig geworden. Es besteht bei ihm deshalb Untertauchensgefahr (BGE 130 II 56 E. 3). Der Wegweisungsentscheid ist rechtskräftig und kann im vorliegenden Verfahren nicht (mehr) überprüft werden. Seit dem 1. Januar 2008 soll für ihn ein Laissez-passer vorliegen, was erlaubt, seinen Rückflug und seine weitere gesundheitliche Betreuung im Rahmen eines internationalen Programms zu organisieren. Der angefochtene Entscheid verletzt deshalb kein Bundesrecht. Der Umstand allein, dass sich der Vollzug seiner Ausschaffung schwierig gestaltet, lässt die Ausschaffungshaft nicht bereits unverhältnismässig erscheinen; gerade wegen solcher Probleme hat der Gesetzgeber die Haftdauer erhöht und die Möglichkeit der Haftverlängerung - inzwischen bis zu maximal achtzehn Monaten - geschaffen (Art. 76 Abs. 3 AuG; BGE 133 II 1 E. 4.2). Eine Haftentlassung hätte nur zu erfolgen, wenn er für längere Zeit transportunfähig sein sollte; im Übrigen kann seinem gesundheitlichen Zustand im Rahmen des Vollzugs der Ausschaffungshaft Rechnung getragen werden, wie dies bereits bisher geschehen ist (vgl. das Urteil 2A.47/2007 vom 18. April 2007, E. 2.4). Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, bei einer Haftentlassung in einen Drittstaat reisen zu wollen, ist nicht ersichtlich, wie er dies - ohne Papiere und Visum - legal tun könnte.
3. Aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, Vollzug der Wegweisung) rechtfertigt es sich, keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsdienst des Kantons Bern, dem Haftgericht III Bern-Mittelland und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Januar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar