Sachverhalt:
Mit zwei Verfügungen vom 25. Januar 2010 stellte das Arbeitsamt des Kantons Schaffhausen K._ wegen ungenügend nachgewiesener persönlicher Arbeitsbemühungen bezüglich der Kontrollperiode Oktober 2009 für die Dauer von drei Tagen und bezüglich der Kontrollperiode November 2009 für die Dauer von sieben Tagen in der Anspruchsberechtigung ein, was es mit seinen beiden Einspracheentscheiden vom 12. März 2010 bestätigte.
Das Obergericht des Kantons Schaffhausen wies die dagegen erhobenen Beschwerden nach Vereinigung der beiden Verfahren mit Entscheid vom 3. September 2010 ab.
K._ führt Beschwerde mit den Begehren um Aufhebung des kantonalen Entscheids und der beiden die vorangegangenen Einstellungsverfügungen bestätigenden Einspracheentscheide des kantonalen Arbeitsamtes vom 12. März 2010 sowie um Zusprache einer "Prozessentschädigung" von Fr. 4'500.-.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG) und kann eine - für den Ausgang des Verfahrens entscheidende (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG) - Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Im Übrigen wendet es das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft indessen - unter Beachtung der allgemeinen Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr aufgegriffen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat die für die Beurteilung der angefochtenen Einstellungen in der Anspruchsberechtigung nach Gesetz und Rechtsprechung massgebenden Grundlagen zutreffend dargelegt, worauf verwiesen wird. Es betrifft dies nebst der Einstellung in der Anspruchsberechtigung zufolge ungenügender Arbeitsbemühungen (Art. 30 Abs. 1 lit. c AVIG) namentlich die Pflicht der Arbeitslosenentschädigung beanspruchenden Person, Arbeit - allenfalls auch ausserhalb des bisherigen Berufs - zu suchen (Art. 17 Abs. 1 Satz 1 und 2 AVIG; Art. 26 Abs. 1 AVIV) und ihre persönlichen Arbeitsbemühungen form- und fristgerecht nachzuweisen (Art. 17 Abs. 1 Satz 3 AVIG; Art. 26 Abs. 2 AVIV), wozu sie - nötigenfalls unter Ansetzung einer Nachfrist und unter Hinweis auf die Folgen bei unentschuldbarer Nichtbeachtung - durch die zuständige Amtsstelle aufzufordern ist (Art. 26 Abs. 2bis AVIV).
2.2 Der Beschwerdeführer ersucht, die verfügten und in den nachfolgenden Einsprache- und Beschwerdeverfahren bestätigten "Einstelltage zu widerrufen". Zur Begründung dieses Antrages macht er einerseits bezüglich der Arbeitsbemühungen im Oktober 2009 geltend, die Vorinstanz sei von einer falschen Prämisse ausgegangen, indem sie den Nachweis seiner Stellensuche als nicht oder nicht ordnungsgemäss erbracht erachtete; der zuständige Mitarbeiter des Regionalen Arbeitsvermittlungszentrums (RAV) habe ihn nicht korrekt auf die Mängel seiner Nachweise der Arbeitsbemühungen aufmerksam gemacht und es versäumt, ihm mitzuteilen, welche Fehler bis wann zu beheben seien. Andererseits führt er bezüglich der Einstellung mangels genügender Arbeitsbemühungen im November 2009 an, das RAV habe nach erfolgter Ergänzung seiner Nachweise andere, zunächst nicht als Mängel beanstandete Punkte angeführt, sodass er nicht über die notwendigen Informationen verfügte, um richtig reagieren zu können.
2.3 Wie dem kantonalen Entscheid indessen zu entnehmen ist, wurde dem Beschwerdeführer vom RAV schon anlässlich eines Beratungsgesprächs vom 16. Juli 2009 dargelegt, dass seine Bewerbungen schlecht nachvollziehbar seien und die Adressen sowie Namen der für die Bewerbung zuständigen Kontaktpersonen mit deren Telefonnummern fehlen würden. Auch gab man ihm Informationen über das korrekte Ausfüllen der "Bemühungsblätter" ab. Am 27. November 2009 wurde ihm erklärt, dass er für einen genügenden Nachweis seiner Arbeitssuche den Ort angeben müsse, in welchem sich die Stellen anbietende Firma befindet, und der Zeitpunkt, in welchem er sich beworben hatte. Es wurde ihm eine - in der Folge eingehaltene - fünftägige Frist angesetzt, um den Nachweis für den Monat Oktober 2009 nachzureichen und denjenigen für den Monat November 2009 mit den nötigen Angaben zu ergänzen.
2.4 Inwiefern die Sachverhaltsfeststellungen des kantonalen Gerichts im Sinne von Art. 105 Abs. 2 BGG offensichtlich unrichtig wären, vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen - und behauptet er denn auch gar nicht. Nachdem sich Zweifel an der Ernsthaftigkeit der jeweiligen Bewerbungen - wie schon früher - nicht ausräumen liessen und deshalb genauere Kontrollen durchaus angezeigt gewesen wären, ist nicht einzusehen, inwiefern die vorinstanzliche Betrachtungsweise, welche zur Bestätigung der beanstandeten Einstellungen in der Anspruchsberechtigung führt, bundesrechtswidrig sein sollte. Die Vorbringen in der Beschwerdeschrift jedenfalls sind weder genügend präzis begründet noch sonst irgendwie geeignet, eine solche vom Beschwerdeführer offenbar vertretene Auffassung zu untermauern.
3. Soweit sich die Kritik des Beschwerdeführers gegen eine offenbar unterbliebene "Arbeitshilfe" richtet, womit allenfalls konkrete Vorkehren im Sinne von Art. 7 Abs. 1 AVIG (effiziente Beratung und Vermittlung [lit. a], arbeitsmarktliche Massnahmen [lit. b] oder weitere Massnahmen nach diesem Gesetz [lit. c]) gemeint sein könnten, ist festzuhalten, dass Gegenstand der angefochtenen und vorinstanzlich bestätigten Verfügungen einzig die Einstellungen in der Taggeldberechtigung bildeten. Diese Thematik kann im Beschwerdeverfahren nicht auf weitergehende Leistungsansprüche, über die vorinstanzlich noch gar nie befunden worden ist, ausgedehnt werden. Deshalb - und auch mangels eines diesbezüglich konkreten Antrages - wird darauf nicht weiter eingegangen.
4. 4.1 Die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG als offensichtlich unbegründet (Abs. 2 lit. a) mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den vorinstanzlichen Entscheid (Abs. 3) - ohne Durchführung eines Schriftenwechsels (Art. 102 Abs. 1 BGG) - zu erledigen.
4.2 Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten vom Beschwerdeführer als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da dieser mit seinen Anträgen nicht durchdringt, steht ihm keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 BGG e contrario).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, dem Staatssekretariat für Wirtschaft und der Kantonalen Arbeitslosenkasse Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Oktober 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl