Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1978) und B._ (geb. 1984) ersuchten am 4. Mai 2009 für sich und ihre beiden Kinder L._ (geb. 2002) und E._ (geb. 2000) um Asyl. Mit Entscheid vom 21. Oktober 2009 wies das Bundesamt für Migration die Asylgesuche ab. Daran hielt das Bundesverwaltungsgericht in der Folge fest (in Rechtskraft erwachsener Entscheid vom 18. Juli 2012). Das Migrationsamt des Kantons St. Gallen forderte daraufhin das Ehepaar A._ und dessen Kinder (einschliesslich der 2011 geborenen N._) am 30. Juli 2012 schriftlich auf, die Schweiz bis zum 20. August 2012 zu verlassen. Nachdem diese Frist unbenutzt verstrichen war, wurde die Familie am 29. August 2012 von G._ in eine Gruppenunterkunft für Personen aus dem Asylbereich in der Gemeinde K._ umgeteilt.
A.b. Während des Asylverfahrens hielt sich die Familie in G._ auf, wo die Kinder die Schule besuchten. Mit Schreiben vom 21. August 2012 erklärte das Sozialamt der Stadt G._ die bisher an die Familie A._ ausgerichteten Unterstützungsleistungen per 31. August 2012 für beendet. Das Ersuchen der Familie A._, den Kindern sei weiterhin Sozialhilfe durch die Gemeinde G._ auszurichten, wurde mit der Begründung, der verfassungsrechtliche Anspruch auf Nothilfe werde in der Unterkunft S._ in K._ gewährleistet, abschlägig beschieden (Schreiben des Stadtpräsidenten von G._ vom 31. August 2012). Auf einen dagegen eingereichten Rekurs trat das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen (SJD) mit Entscheid vom 27. September 2012 mangels Vorliegens einer Verfügung im materiellen Sinne nicht ein; gleichzeitig wies es die ebenfalls erhobene Rechtsverweigerungsbeschwerde ab. Ein gegen den abweisenden Entscheid erhobener Rekurs wurde durch die Regierung des Kantons St. Gallen am 20. November 2012 ebenfalls negativ entschieden.
B.
Im hiegegen wie auch gegen den Entscheid des SJD vom 27. September 2012 (betreffend Rekurs) angehobenen Beschwerdeverfahren verlangten B._ und A._ u.a. den Erlass einer vorsorglichen Massnahme dahingehend, dass ihnen vom Sozialamt G._ für die Dauer des Verfahrens mindestens Nothilfe und für ihre drei Kinder Sozialhilfe (insbesondere in Form der Belassung der Kinder im bisherigen Schulunterricht in der Gemeinde G._) zu gewähren sei. Die in den beiden Verfahren gestellten Gesuche wurden mit Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 11. Dezember 2012 abgewiesen.
C.
B._ und A._ führen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragen (sinngemäss), in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es den Anspruch auf die anbegehrten vorsorglichen Massnahmen bejahe. Ferner sei ihnen die unentgeltliche Rechtspflege zu erteilen.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während die Politische Gemeinde G._ auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1.
1.1. Gegenstand des angefochtenen Entscheids sind im Rahmen des Hauptverfahrens geforderte und nicht gewährte vorsorgliche Massnahmen. Es handelt sich dabei um einen Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG (BGE 134 I 83 E. 3.1 S. 86 f. mit Hinweisen), welcher (abgesehen von den hier nicht zur Diskussion stehenden Fällen nach Art. 92 oder 93 Abs. 1 lit. b BGG) beim Bundesgericht nur anfechtbar ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bewirken kann. Der Nachteil ist nicht irreparabel, wenn er mit einem günstigen Endurteil in der Sache behoben werden kann; eine rein tatsächliche oder wirtschaftliche Erschwernis genügt in der Regel nicht (Urteile [des Bundesgerichts] 2C_105/2012 vom 29. Februar 2012 E. 2.2.1 und 9C_45/2010 vom 12. April 2010 E. 1.1 mit Hinweisen, in: SVR 2011 IV Nr. 12 S. 32).
Vorsorgliche Massnahmen begründen einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil, wenn dadurch ein bestimmtes Handeln verboten wird, welches faktisch nicht nachträglich rückgängig gemacht werden kann. Als Beispiele können etwa ein provisorischer Führerausweisentzug (Urteil [des Bundesgerichts] 1C_420/2007 vom 18. März 2008 E. 1, in: JdT 2008 I 466) oder allgemein Verbote, bestimmte Handlungen vorzunehmen (vgl. Urteile [des Bundesgerichts] 4D_71/2007 vom 7. Februar 2008 E. 1.1 und 5A_202/2007 vom 13. Juni 2007 E. 1.1 [Publikationsverbot]), genannt werden (vgl. auch BGE 134 I 83 E. 3.1 S. 86 f.; Urteil [des Bundesgerichts] 2C_105/2012 vom 29. Februar 2012 E. 2.2.2 mit Hinweisen). Grundsätzlich gilt, dass Zwischenentscheide, mit denen in eine Rechtsstellung, namentlich in Grundrechte, eingegriffen wird, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können, wenn dieser Eingriff faktisch irreparabel ist (Urteil [des Bundesgerichts] 2C_105/2012 vom 29. Februar 2012 E. 2.2.2 in fine).
1.2. Praxisgemäss hat die beschwerdeführende Person im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 BGG erfüllt sind, ansonsten, sofern deren Vorhandensein nicht auf der Hand liegt, auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (BGE 137 III 324 E. 1.1 S. 327 ff.; 136 IV 92 E. 4 S. 95; je mit Hinweisen).
2.
2.1. Die Beschwerdeführer erblicken einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (implizit) darin - allerdings ohne Bezugnahme auf die in Art. 93 BGG statuierten Eintretensvoraussetzungen -, dass durch den nicht länger im Rahmen der Sozialhilfe verbürgten ordentlichen Schulunterricht der Kinder in der Gemeinde G._ verschiedene Grundrechte (etwa Art. 11 BV sowie Art. 2, 3, 12, 27 und 28 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes [UNO-Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107]) verletzt würden.
2.2. Ausweislich der Akten besuchen die Kinder der Beschwerdeführer in Absprache mit der Schulleitung des Schulhauses O._ sowie dem Schulratspräsidium auch nach dem 31. August 2012 und bis auf Weiteres den Unterricht in den angestammten Klassen in G._ (vgl. u.a. Eingaben vom 2./3. September 2012 an das SJD und vom 30. September 2012 an die Vorinstanz). Ein irreversibler Nachteil ist angesichts dieser Sachlage nicht auszumachen. Ebenso wenig wird ein derartiger Mangel, welchen es im vorliegenden Verfahren durch die Anordnung einer vorsorglichen Massnahme zu beheben gälte, ansonsten ein nicht rückgängig zu machender Zustand geschaffen würde, in rechtsgenüglicher Form dargetan. Auf die Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden.
3.
Bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt es sich, von der Erhebung von Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren umständehalber abzusehen (Art. 65 Abs. 4 lit. a in Verbindung mit Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Das Begehren um unentgeltliche Prozessführung erweist sich damit als gegenstandslos. Sofern das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auch im Sinne der unentgeltlichen Verbeiständung gestellt wird, ist es mangels anwaltlicher Vertretung abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Juli 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Fleischanderl