Sachverhalt:
A.
A.A._ und B._ sind die Eltern von C.A._ (geb. 2012). Am 13. Juni 2014 reichte A.A._ bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (Bezirksgericht Aarau, Familiengericht) ein Gesuch um Kindesschutzmassnahmen ein. Sie verlangte, dem Vater im gerichtsüblichen Umfang ein begleitetes Besuchsrecht in einem Besuchstreffpunkt zu gewähren (Ziff. 1). Zudem sei eine Beistandschaft im Sinn von Art. 308 Abs. 2 [ZGB] einzurichten, mit den Aufgaben, den persönlichen Verkehr und die Regelung von Über- und Rückgabe des Kindes zu überwachen sowie für das Inkasso der Kinderunterhaltsbeiträge besorgt zu sein (Ziff. 2). Gleichzeitig ersuchte die Gesuchstellerin um unentgeltliche Rechtspflege und um Beiordnung des unterzeichneten Rechtsanwalts als unentgeltlichen Rechtsvertreter (Ziff. 3). Mit Eingabe vom 16. Juni 2014 wandte sich B._ an das Familiengericht und ersuchte diese Behörde um eine (wenn nötig gerichtliche) "Regelung des Unterhaltsvertrags ab Auflösung der Hausgemeinschaft".
B.
B.a. In der Folge strebten die Eltern zunächst eine gütliche Einigung an. Auf ihr Betreiben hin sistierte der Gerichtspräsident am Familiengericht das Verfahren mit Verfügung vom 22. Juli 2014 bis zum 31. August 2014. Mit Schreiben vom 19. und 22. September 2014 ersuchten die Eltern das Gericht, das Verfahren wieder aufzunehmen (A.A._) bzw. zur "notwendigen Gerichtsverhandlung" vorzuladen (B._). Hierauf hob der Gerichtspräsident die Sistierung auf und setzte den Eltern eine Frist von vierzehn Tagen, um zu ihren jeweiligen Eingaben vom 13. bzw. 16. Juni 2014 (s. Bst. A) Stellung zu nehmen (Verfügung vom 24. September 2014). Am 30. Oktober 2014 stellte der Gerichtspräsident den Parteien die Stellungnahmen ihres jeweiligen Gegners "zur Kenntnis" zu.
B.b. Mit Verfügung vom 6. November 2014 gewährte der Gerichtspräsident am Familiengericht Aarau A.A._ und B._ je die unentgeltliche Rechtspflege für die Gerichtskosten (Ziff. 1.1. und 1.2.). Ihre jeweiligen Anträge um unentgeltliche Rechtsverbeiständung wies er hingegen ab (Ziff. 2.1. und 2.2.). Gerichtskosten wurde keine erhoben (Ziff. 3), und es wurden auch keine Parteientschädigungen zugesprochen (Ziff. 4).
C.
C.a. Gegen die Verfügung vom 6. November 2014 erhob A.A._ am 12. November 2014 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau. Sie verlangte, diese Verfügung aufzuheben und ihr für das Verfahren vor dem Familiengericht die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Zudem ersuchte sie auch für das Beschwerdeverfahren um unentgeltliche Rechtspflege und beantragte, ihr den unterzeichneten Rechtsanwalt als unentgeltlichen Rechtsvertreter beizuordnen.
C.b. Mit Entscheid vom 8. Dezember 2014 beschloss das Obergericht, das Armenrechtsgesuch für das Beschwerdeverfahren abzuweisen. Auch die Beschwerde gegen die Verfügung des Familiengerichts wies das Obergericht ab. Es auferlegte A.A._ die obergerichtliche Entscheidgebühr von Fr. 200.--. Die obergerichtlichen Parteikosten wurden nicht übernommen.
D.
A.A._ (Beschwerdeführerin) wendet sich mit Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 19. Januar 2015 an das Bundesgericht. Sie verlangt, den Entscheid der Vorinstanz vom 8. Dezember 2014 vollumfänglich aufzuheben (Ziff. 2). Eventualiter verlangt sie, den Entscheid der Vorinstanz vollumfänglich aufzuheben und zur Neubegründung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Ziff. 3). Subeventualiter verlangt sie, den vorinstanzlichen Entscheid teilweise aufzuheben und ihr für das vorinstanzliche Verfahren die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren (Ziff. 4). Für das Verfahren vor dem Bundesgericht beantragt die Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege und die Beiordnung des unterzeichneten Rechtsanwalts als unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung hat der Beschwerde am 29. Januar 2015 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt (Ziff. 1) und verfügt, dass die Kosten des Zwischenverfahrens zur Hauptsache geschlagen werden (Ziff. 2).
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (Art. 75 Abs. 1 BGG) über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. In Bezug auf die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Verbeiständung für das Verfahren vor dem Familiengericht hat das Obergericht als Rechtsmittelinstanz geurteilt. Auch soweit das Obergericht das Armenrechtsgesuch der Beschwerdeführerin für das kantonale Rechtsmittelverfahren abwies, ist die Beschwerde unter dem Blickwinkel von Art. 75 Abs. 2 BGG zulässig (BGE 137 III 424 E. 2.2 S. 426 f. mit Hinweisen).
1.2. Das Familiengericht hatte das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung mittels einer selbständigen, vorab eröffneten Verfügung abgewiesen. In dieser Hinsicht betrifft der angefochtene Entscheid also einen Zwischenentscheid, der nach der Rechtsprechung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirken kann (Urteile 5A_765/2014 vom 5. Dezember 2014 E. 1 und 5D_158/2013 vom 24. September 2013 E. 1). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (BGE 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.). Dort dreht sich der Streit um Massnahmen auf dem Gebiet des Kindesschutzes. Das ist eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht und der Beschwerde in Zivilsache unterliegt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Das gleiche Rechtsmittel ist daher gegen den angefochtenen Zwischenentscheid zulässig. Unter denselben Voraussetzungen steht die Beschwerde im Übrigen auch gegen den Entscheid offen, welcher der Beschwerdeführerin für das kantonale Rechtsmittelverfahren die "vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege" versagt. Denn das Obergericht hat diesen Entscheid nicht unabhängig vom Gegenstand des Rechtsmittelverfahrens gefällt.
1.3. Die Beschwerdeführerin ist ohne Weiteres legitimiert, die Verweigerung der von ihr beantragten unentgeltlichen Rechtspflege anzufechten (Art. 76 BGG). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten. Die gleichzeitig eingereichte subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich damit als gegenstandslos (Art. 113 BGG).
2.
Im Bereich des Kindesschutzes sind die Bestimmungen über das Verfahren vor der Erwachsenenschutzbehörde sinngemäss anwendbar (Art. 314 Abs. 1 ZGB). Diese verwiesenen Normen regeln indessen nicht, unter welchen Voraussetzungen jemand in einem Verfahren des Erwachsenenschutzes Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege hat. Nach Art. 450f i.V.m. Art. 440 Abs. 3 ZGB sind in diesem Fall die Bestimmungen der ZPO (Art. 117-123 ZPO) sinngemäss anwendbar, soweit die Kantone nichts anderes bestimmen. § 65b des aargauischen Einführungsgesetzes zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch vom 28. März 1911 (SAR 210.100) verweist für die unentgeltliche Rechtspflege im Kindesschutzverfahren auf die Bestimmungen der Schweizerischen Zivilprozessordnung. Mit Blick auf das Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen gelten diese Bestimmungen als ergänzendes kantonales Recht (Urteil 5A_765/2014 vom 5. Dezember 2014 E. 2). Soweit aber allein die Anwendung des kantonalen Rechts in Frage steht, kann die Beschwerdeführerin nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich des Willkürverbots geltend machen (s. BGE 139 III 225 E. 2.3 S. 231). Für diese Vorbringen gilt das Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2; E. 2). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Vorwürfe. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Was den Sachverhalt angeht, ist das Bundesgericht grundsätzlich an die Feststellungen der Vorinstanz gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann die Beschwerdeführerin einzig vorbringen, die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 97 Abs. 1 BGG). Auch dafür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254).
3.
Umstritten ist zum einen, ob das Familiengericht Aarau der Beschwerdeführerin zu Recht die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters für das erstinstanzliche Verfahren verweigert hat.
3.1. Die Vorinstanz macht geltend, dass in Kinderbelangen die uneingeschränkte Untersuchungsmaxime gelte und das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen erforsche (Art. 296 Abs. 1 ZPO). Die Parteien seien deshalb zwar nicht von ihrer Mitwirkungspflicht befreit, doch müsse das Gericht auch ohne entsprechende Parteianträge von sich aus tätig werden und alle notwendigen Abklärungen treffen. Für das Sammeln des Prozessstoffs sei unter diesen Umständen die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands nicht erforderlich. Da das Gericht das Recht von Amtes wegen anwende (Art. 57 ZPO), sei auch nicht notwendig, dass die Beschwerdeführerin das schweizerische Recht kenne. Schliesslich gelte die Offizialmaxime, unter deren Geltung das Gericht ohne Bindung an die Parteianträge entscheide (Art. 296 Abs. 3 ZPO). Deshalb sei an die Voraussetzungen, unter denen eine Verbeiständung durch einen Rechtsanwalt sachlich geboten sei, ein strenger Massstab anzulegen. Ferner habe das Gericht in familienrechtlichen Angelegenheiten vornehmlich die Interessen des Kindes und nicht diejenigen der Eltern zu wahren. Allfällige elterliche Interessen müssten gegenüber dem Kindeswohl zurückstehen. Im Vordergrund stünde das Kindeswohl, sodass das Verfahren nicht oder zumindest nicht besonders stark in die Rechtsposition der Beschwerdeführerin einzugreifen drohe.
3.2. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, bei der Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege nicht alle Argumente zu prüfen. Insbesondere berücksichtige die Vorinstanz die an ihr verübte häusliche Gewalt nicht. Angesichts der Drohungen des Kindsvaters habe sie sich aufgrund ihrer psychischen Verfassung nicht alleine vor Gericht gegen den Kindsvater und dessen Anwalt zur Wehr setzen können. Im Weiteren lege die Vorinstanz nicht dar, welche Behauptungen neu und daher unbeachtlich seien. Damit verletze das Obergericht ihren Anspruch auf einen begründeten Entscheid (Art. 29 Abs. 2 BV; Art. 112 Abs. 1 Bst. b BGG). Sie sei den Angriffen des Vaters des Kindes momentan nicht gewachsen. Die Schlüsse der Vorinstanz seien damit willkürlich (Art. 9 BV). Die Vorinstanz verstosse gegen gefestigte bundesgerichtliche Rechtsprechung, weil sie bei Kindesschutzverfahren generell keine unentgeltliche Rechtsverbeiständung zulassen wolle. Dies verletze Art. 117 ZPO und Art. 29 Abs. 3 BV und sei im Ergebnis krass ungerecht und damit willkürlich. Es müsse im Einzelfall geprüft werden, ob die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege gegeben seien. Die Tatsache, dass gegen den Kindsvater in derselben Sache gestützt auf Art. 28b ZGB und Art. 265 ZPO eine superprovisorische und eine vorsorgliche Fernhaltemassnahme angeordnet worden sei, belege, dass ihre Interessen als Mutter besonders stark betroffen seien.
Willkürlich sei es auch, wenn die Vorinstanz die tatsächlichen und rechtlichen Schwierigkeiten des Verfahrens verneine. Das Obergericht gehe selbst davon aus, dass sie, die Beschwerdeführerin, die massgeblichen Rechtsinstitutionen nicht kenne. In subjektiver Hinsicht lasse das Obergericht damit erneut ausser Acht, dass sie Opfer von häuslicher Gewalt geworden sei und über keinerlei Rechtskenntnisse verfüge. Damit verletze die Vorinstanz Art. 117 ZPO und Art. 29 Abs. 3 BV und wende diese willkürlich an (Art. 9 BV). Der Kindsvater habe ihr gedroht, er werde sie fertigmachen, bis sie freiwillig gegen eine Mauer fahre. Dies führe auf subjektiver Seite zu einer erheblichen Belastung, wenn es zu einer Konfrontation vor Gericht komme. Sie könnte sich anlässlich einer Verhandlung wegen ihrer Emotionen nicht hinreichend äussern. Sie sei immer noch geschockt und tief verunsichert über die Wutausbrüche des Kindsvaters.
Weiter habe das Familiengericht verspätet über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung entschieden und hätte es in diesem Moment nicht mehr ablehnen dürfen. Die Problematik liege dabei darin, dass die KESB bei ihrem Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege nicht mehr vom Sachverhalt ausgegangen sei, wie er zu Beginn des Verfahrens bestanden habe. Dies verletze Art. 117 ZPO, wonach der Entscheid sofort zu fällen sei und nicht erst nach Durchführung eines doppelten Schriftenwechsels. Dies habe der KESB die Arbeit wesentlich erleichtert. Dass ihr, der Beschwerdeführerin, damit erhebliche Kosten erwachsen seien, die sie nicht zu bezahlen vermöge, werde nicht berücksichtigt.
Schliesslich verletze der vorinstanzliche Entscheid auch den Grundsatz der Waffengleichheit als Bestandteil des Fairnessgebots (Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 29 Abs. 1 BV). Die Beschwerdeführerin habe sich nie abfällig über die Familie des Kindsvaters geäussert und ihm auch nie gedroht. Die Ausgangslage der beiden Parteien sei also von vorneherein ungleich. Unter diesen Umständen habe sie einen wesentlichen Nachteil gegenüber ihrem Ehemann, der sich sehr wohl alleine zu verteidigen wisse und zudem anwaltlich vertreten sei.
3.3. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung besteht ein Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung, wenn die Interessen der bedürftigen Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten, sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Gesuchsteller auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (BGE 130 I 180 E. 2.2 S. 182). Der vorinstanzliche Entscheid ist vor diesem Hintergrund nicht zu beanstanden.
Anders als die Beschwerdeführerin behauptet, stellt sich die Vorinstanz nicht auf den Standpunkt, dass eine unentgeltliche Verbeiständung in Verfahren des Kindesschutzes nie in Frage kommt. Das Obergericht ist bloss der Meinung, dass dabei ein "strenger Massstab" anzulegen ist. Inwiefern sich ein solcher Massstab mit ihren verfassungsmässigen Rechten nicht verträgt, vermag die Beschwerdeführerin nicht zu erklären. Auch von einer mangelhaften Begründung des Entscheids kann nicht die Rede sein. Der Entscheid der Vorinstanz ist ausführlich begründet. Dabei ist nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz bei der Würdigung des Sachverhalts wesentliche Punkte übersähe. Inwiefern sich die Vorinstanz darüber hinwegsetzen würde, dass die Beschwerdeführerin Opfer von häuslicher Gewalt geworden ist, tut die Beschwerdeführerin nicht dar. Vor allem aber zeigt sie auch nicht auf, weshalb dieser Umstand für die Frage, ob sie im hängigen Kindesschutzverfahren auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand angewiesen ist, von ausschlaggebender Bedeutung sein soll. Das Gleiche gilt für den Hinweis der Beschwerdeführerin, dass es ihr schwerer als dem Kindesvater falle, sich zu wehren, und sich Letzterer erst noch einen Rechtsvertreter leisten könne. Nicht zu beanstanden ist ferner, dass die Vorinstanz die beantragten Kindesschutzmassnahmen, namentlich das begleitete Besuchsrecht, nicht als schwerwiegenden Eingriff in die Elternrechte bewertet hat. Dass solche Ermessensentscheide immer auch anders ausfallen können, begründet noch keine Bundesrechtsverletzung.
An der Sache vorbei geht schliesslich der Vorwurf, das Familiengericht habe über das Armenrechtsgesuch erst nach Durchführung eines "doppelten Schriftenwechsels" entschieden. Denn bei genauem Hinsehen lud das Obergericht die Beschwerdeführerin lediglich dazu ein, sich ein erstes Mal zur Eingabe von B._ vom 16. Juni 2014 zu äussern. Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin glauben machen will, führte das Obergericht keinen zweiten schriftlichen Meinungsaustausch im Sinne von Replik und Duplik durch. Dass dieser (einzige) Schriftenwechsel erst im Herbst 2014 stattfand, haben sich die Streitparteien selbst zuzuschreiben. Denn sie haben durch ihre jeweiligen Anwälte die Sistierung des Kindesschutzverfahrens veranlasst, die sich bis Ende September 2014 hinzog (s. Sachverhalt Bst. B.a). Wollte die Beschwerdeführerin schon die besagte erste Stellungnahme zum gegnerischen Schriftsatz nicht ohne Zusage der unentgeltlichen Verbeiständung erstellen lassen, wäre es an ihr gewesen, das Familiengericht um einen sofortigen Entscheid über das Armenrechtsgesuch bzw. um Abnahme der entsprechenden Frist bis zur Erledigung des Gesuchsverfahrens zu bitten. Dass sie dies getan hätte und mit einem solchen Ansinnen nicht gehört worden wäre, behauptet die Beschwerdeführerin nicht und ergibt sich auch nicht aus den Akten.
4.
4.1. Alsdann wehrt sich die Beschwerdeführerin dagegen, dass ihr das Obergericht das Armenrecht für das kantonale Rechtsmittelverfahren insgesamt versagt. Das Obergericht weist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren ab. Es begründet diesen Entscheid mit folgendem Satz: "Sie [die Beschwerde] hat sich als aussichtslos erwiesen, sodass auch das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren abzuweisen ist (Art. 117 lit. b ZPO; BGE 139 III 475 Erw. 2.2)." Die Beschwerdeführerin bestreitet die vorinstanzliche Beurteilung der Erfolgsaussichten ihrer kantonalen Beschwerde.
4.2. Aussichtslos im Sinne von Art. 29 Abs. 3 BV sind nach der Rechtsprechung Prozessbegehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Verhältnisse zur Zeit, in der das Armenrechtsgesuch gestellt wurde (BGE 133 III 614 E. 5 S. 616 mit Hinweisen). Bei der Beurteilung der Erfolgsaussichten eines Rechtsmittels kommt es darauf an, ob das Rechtsmittel prozessual unzulässig oder aussichtslos ist. Mithin ist zu berücksichtigen, dass ein erstinstanzlicher Entscheid vorliegt, der mit den gestellten Rechtsbegehren verglichen werden kann (Urteil 5A_765/2014 vom 5. Dezember 2014 E. 3 mit Hinweisen).
4.3. Allein aus der Tatsache, dass das Familiengericht der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Verbeiständung im Ergebnis zu Recht verweigert hat (vgl. E. 3.3), folgt nach dem Gesagten nicht, dass das Rechtsmittel gegen den Entscheid des Familiengerichts aussichtslos ist. Immerhin benötigte das Obergericht beinahe sechs Textseiten, um der Beschwerdeführerin zu erklären, weshalb ihr das Familiengericht die unentgeltliche Verbeiständung zu Recht verweigerte. Angesichts dessen kann nicht gesagt werden, dass die Gewinnaussichten der Beschwerdeführerin von Anfang an beträchtlich geringer waren als die Gefahr, im kantonalen Beschwerdeverfahren zu unterliegen. Insofern erweist sich die Beschwerde als begründet. Das Obergericht wird in einem neuen Entscheid prüfen müssen, ob die Beschwerdeführerin auch nicht über die Mittel verfügt, um ihren Prozess selbst finanzieren zu können. Bei diesem Ergebnis erübrigen sich Erörterungen zur weiteren Rüge, dass der angefochtene Entscheid den verfassungsmässigen Anforderungen an eine gehörige Begründung (Art. 29 Abs. 2 BV) nicht genüge.
5.
Bei diesem Ausgang des Beschwerdeführers obsiegt die Beschwerdeführerin teilweise. Im Umfang ihres Unterliegens hat sie für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Kanton Aargau sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 4 BGG). Er hat die Beschwerdeführerin aber im Umfang ihres Obsiegens im Verfahren vor dem Bundesgericht zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin wird auf die Rückerstattungspflicht hingewiesen (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Beschluss und die Ziffern 2 und 3 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, werden aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägungen zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Rechtsanwalt Julian Burkhalter als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, vorläufig aber auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Kanton Aargau hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5.
Rechtsanwalt Julian Burkhalter wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, und dem Bezirksgericht Aarau, Familiengericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2015
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn