Faits:
A. X._, né en 1976, accomplit un stage d'avocat. Par décision du 10 avril 2007, l'Organe cantonal de contrôle de l'assurance-maladie et accidents du canton de Vaud (ci-après: OCC) a refusé de lui allouer un subside pour la réduction de ses primes d'assurance-maladie. Il a confirmé ce refus par une décision sur opposition du 7 mai 2007. L'OCC a considéré que le requérant vivait en ménage commun avec Y._. Il a dès lors pris en compte l'ensemble des ressources de la communauté domestique, soit en particulier les salaires respectifs du requérant et de Y._. Après imputation des déductions légales et forfaitaires, il en résultait un revenu déterminant de 92'800 fr. (janvier 2007) et de 85'800 fr. (février à décembre 2007). Ces montants étaient largement supérieurs à 45'000 fr., soit, pour un couple, la limite au-delà de laquelle une subvention pour le paiement des primes ne peut pas être accordée.
B. Statuant le 31 août 2007, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a rejeté le recours formé contre la décision sur opposition par X._.
C. X._ a formé un recours en matière de droit public dans lequel il conclut à l'annulation du jugement cantonal et de la décision sur opposition de l'OCC, assortie du renvoi de la cause à l'OCC pour qu'il lui accorde des subsides à partir du 1er janvier 2007.
L'OCC conclut au rejet du recours.
D. Par ordonnance du 8 janvier 2008, le Tribunal fédéral a refusé d'accorder l'assistance judiciaire à X._, au motif qu'il disposait d'une fortune nette suffisante pour s'acquitter d'une avance de frais sans entamer les moyens nécessaires à son entretien.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision attaquée est une décision finale (art. 90 LTF). Le recours en matière de droit public est recevable indépendamment du point de savoir si la décision attaquée se fonde sur le droit cantonal ou sur le droit fédéral.
1.2 D'après l'art. 83 let. k LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de subventions auxquelles la législation ne donne pas droit. En l'espèce, le recours est dirigé contre une décision fondée sur la loi d'application vaudoise de la loi fédérale sur l'assurance-maladie (LVLAMal; RSV 832.01). En vertu de l'art. 9 al. 1 de cette loi, toute personne de condition économique modeste soumise à la loi au sens de l'art. 2 peut bénéficier d'un subside pour le paiement de tout ou partie de ses primes de l'assurance obligatoire des soins. Cette disposition confère de toute évidence un droit au subside, de sorte que le présent recours ne tombe pas sous le coup de l'exception précitée de l'art. 83 let. k LTF (cf. THOMAS HÄBERLI, in: M. NIGGLI/P. UEBERSAX/H. WIPRÄCHTIGER [édit.], Bundesgerichtsgesetz, Commentaire bâlois, Bâle 2008, n. 194 ss ad art. 83; Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Berne 2007, n. 77 ss ad art. 83).
2. Le recours peut être exercé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève conformément aux exigences légales relatives à la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254) et ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254).
3. Selon l'art. 65 LAMal, les cantons accordent des réductions de primes aux assurés de condition économique modeste (al. 1); les réductions sont fixées de telle manière que les subsides annuels de la Confédération et des cantons au sens de l'art. 66 LAMal soient en principe versés intégralement (al. 2). Pour les bas et moyens revenus, les cantons réduisent de 50 pour cent au moins les primes des enfants et des jeunes adultes en formation (art. 65 al. 1bis LAMal, en vigueur depuis le 1er janvier 2006). La jurisprudence rendue à propos de l'art. 65 al. 1 LAMal considère que les cantons jouissent d'une grande liberté dans l'aménagement de la réduction des primes, dans la mesure où ils peuvent définir de manière autonome ce qu'il faut entendre par « condition économique modeste ». En effet, les conditions auxquelles sont soumises les réductions des primes ne sont pas réglées par le droit fédéral, du moment que le législateur a renoncé à préciser la notion d' « assurés de condition économique modeste ». Aussi, les règles édictées par les cantons en matière de réduction des primes dans l'assurance-maladie constituent du droit cantonal autonome (ATF 131 V 202 consid. 3.2.2 p. 207, 125 V 183 consid. 2a et 2b p. 185).
4. 4.1 D'après l'art. 9 al. 2 LVLAMal, sont considérées comme assurés de condition économique modeste, les personnes dont le revenu est égal ou inférieur au revenu déterminant calculé conformément aux art. 11 et 12 LVLAMal. A teneur de l'art. 11 al. 1 LVLAMal, le revenu déterminant pour le droit au subside est le revenu net au sens de la loi sur les impôts directs cantonaux (revenu brut diminué des déductions générales, à l'exclusion des déductions sociales). Dérogeant au principe posé à l'art. 11 LVLAMal, l'art. 12 LVLAMal dispose, à son alinéa 1, que lorsque l'OCC se trouve en présence d'une situation financière réelle qui s'écarte de 20 % ou plus du revenu déterminant au sens de l'art. 11 LVLAMal, il peut, pour des motifs d'équité, se fonder sur cette situation en calculant le revenu déterminant sur la base d'une déclaration fournie par le requérant.
Conformément à l'art. 17 LVLAMal, le subside est progressif en fonction inverse du revenu déterminant au sens des art. 11 et 12 (al. 1); il est calculé à l'aide d'une formule mathématique dont les paramètres sont fixés par le Conseil d'Etat (al. 2).
4.2 L'art. 18 al. 1 du règlement du Conseil d'Etat du 18 septembre 1996 concernant la loi du 25 juin 1996 d'application vaudoise de la loi fédérale sur l'assurance-maladie (RLVLAMal; RSV 832.01.1) précise que par couple on entend les conjoints et les personnes qui vivent durablement en ménage commun; sont assimilés aux couples, les célibataires, veuves, veufs, divorcées, divorcés, qui ont un ou plusieurs enfants mineurs, en apprentissage ou aux études et dont ils assument l'entretien complet. L'art. 21 RLVLAMal contient des formules mathématiques qui tiennent compte, notamment, du revenu déterminant, pour le calcul du subside en faveur des personnes seules, ainsi que pour les adultes en famille (couples avec ou sans enfant[s]) et personnes seules avec enfant[s]). L'art. 23 al. 1 RLVLAMal précise que, conformément à l'art. 12 de la loi, l'OCC procède au cumul des revenus lorsque le subside est requis par une personne vivant durablement en ménage commun.
Quant aux limites de revenu applicables pour l'année 2007, elles ont été fixées par arrêté du Conseil d'Etat; pour un couple, la limite est de 45'000 fr.
5. 5.1 Le recourant invoque une violation du principe de la séparation des pouvoirs. Il fait valoir, en substance, que la LVLAMal ne fait aucunement mention d'une compétence du Conseil d'Etat pour régler le sort des personnes faisant ménage commun. La loi cantonale ne donne à l'autorité exécutive que le pouvoir d'édicter des règles secondaires. Or, l'art. 23 RLVLAMal, qui prévoit le cumul des revenus des personnes vivant en ménage commun, constitue une norme primaire, édictée sans délégation du législateur. L'art. 12 LVLAMal ne prévoit qu'une entorse à caractère temporaire au principe du revenu fiscal net comme base de calcul pour les subsides. Il s'agit de situations où les revenus fiscaux nécessitent une actualisation. L'art. 23 al. 1 RLVLAMal ne précise absolument pas l'art. 12 de la loi, même s'il s'y réfère. Cette disposition du règlement fait peser de facto un devoir d'entretien - non prévu par la loi - à la personne faisant ménage commun avec un requérant, puisque le subside est potentiellement refusé à ce dernier sur la base du cumul de revenus. En conclusion, toujours selon le recourant, le Conseil d'Etat a restreint l'exercice du droit au subside en créant des règles spéciales pour les personnes vivant en ménage commun.
5.2 Le principe de la séparation des pouvoirs est garanti, au moins implicitement, par toutes les Constitutions cantonales et représente un droit constitutionnel dont peut se prévaloir le citoyen (ATF 130 I 1 consid. 3.1 p. 5 et les références). Ce principe garantit le respect des compétences établies par la Constitution. Il appartient en premier lieu au droit public cantonal de fixer les compétences des autorités (ATF 130 I 1 consid. 3.1 p. 5, 128 I 113 consid. 2c p. 116 et les nombreuses références citées). Le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation des dispositions en matière de compétence qui figurent dans la Constitution cantonale et uniquement sous l'angle restreint de l'arbitraire celles qui figurent dans les lois cantonales (ATF 130 I 1 consid. 3.1 p. 5, 128 I 113 consid. 2c p. 116; principe d'interprétation qui prévaut également sous le régime de la LTF [arrêt du 11 décembre 2007, 2C_212/2007 consid.3.2]).
5.3 Ni l'art. 18 RLVLAMal (qui assimile à un couple marié les personnes qui vivent durablement en ménage commun) ni l'art. 23 RLVLAMal (qui prévoit un cumul des revenus lorsque le subside est requis par une personne vivant durablement en ménage commun) ne reposent sur une délégation spécifique du législateur. Cette réglementation représente donc des dispositions d'exécution qui ne peuvent se fonder que sur la délégation générale contenue à l'art. 35 LVLAMal, qui charge le Conseil d'Etat de l'exécution de la loi (cf. Pierre Moor, Droit administratif, vol. I, 2e éd. Berne 1994, p. 250). L'ordonnance d'exécution ne peut disposer qu'intra legem et non pas praeter legem. Elle peut établir des règles complémentaires de procédure, préciser et détailler certaines dispositions de la loi, éventuellement combler de véritables lacunes; mais, à moins d'une délégation expresse, elle ne peut poser des règles nouvelles qui restreindraient les droits des administrés ou leur imposeraient des obligations, même si ces règles sont encore conformes au but de la loi (ATF 130 I 140 consid. 5.1 p. 149, 129 V 95 consid. 2.1 p. 97, 124 I 127 consid. 3b p. 132 et les références).
5.4 Dans le domaine des contributions publiques ou des restrictions des libertés, les exigences d'une base légale sont en général très strictes (ATF 133 I 27 consid. 3.1 p. 28, 133 V 402 consid. 3.2 p. 404 s., 132 I 117 consid. 4.2 p. 121, 132 II 371 consid. 2.1 p. 374, 130 I 65 consid. 3.1 p. 67). En matière de fourniture de prestations (ou administration des prestations), les exigences requises sont moins sévères. Le rang de la norme et son degré de précision dépendent du genre de la décision. Pour les prestations sociales régulières et renouvelables et pour certaines subventions, où le respect du principe de la légalité doit garantir l'égalité de traitement et l'objectivité des critères d'attribution, il est en tout cas nécessaire, au risque de violer le principe de la séparation des pouvoirs, de définir dans la loi les lignes fondamentales de l'intervention de l'Etat. Il en va ainsi du cercle des bénéficiaires, de la manière de fixer la prestation et des conditions de son octroi. En revanche, les modalités concrètes des prestations peuvent figurer dans une ordonnance (ATF 118 Ia 46 consid. 5b p. 61; Auer/Malinverni/Hottelier, Droit constitutionnel suisse, vol. I, L'Etat, 2e éd., Berne 2006, p. 611 n. 1728 et p. 634 n. 1797ss; André Grisel, Traité de droit administratif, Neuchâtel 1984, p. 321; cf. également ATF 131 II 361 consid. 7.4 p. 385).
5.5 Il n'existe entre les concubins aucun devoir légal d'entretien et d'assistance (ATF 129 I 1 consid. 3.2.4 p. 6; voir aussi ATF 106 II 1 consid. 2 p. 4). En matière civile, la jurisprudence développée sous l'empire de l'ancien droit du divorce a considéré, sous certaines conditions, que le concubinage constituait une communauté assimilable au mariage pouvant entraîner la perte du droit à la rente du conjoint divorcé. Le Tribunal fédéral a toutefois posé la présomption (réfragable) qu'un concubinage était stable lorsqu'il durait depuis cinq ans au moment de l'ouverture de l'action en modification du jugement de divorce (« concubinage qualifié »; ATF 118 II 235 consid. 3a p. 237, 114 II 295 consid. 1a p. 297; voir également Urs Fasel/Daniela Weiss, Auswirkungen des Konkubinats auf (nach-) eheliche Unterhaltsansprüche, PJA 1/2007 p. 13 ss). En matière d'aide sociale, il existe dans les cantons une tendance de plus en plus marquée d'assimiler à des couples mariés des concubins qui vivent dans une relation durable. A ce propos, si la personne assistée vit dans une relation de concubinage stable, la jurisprudence admet qu'il n'est pas arbitraire de tenir compte de cette circonstance dans l'évaluation des besoins d'assistance, quand bien même il n'existe pas un devoir légal et réciproque d'entretien entre les partenaires. Dans cette optique, il est admissible de tenir compte du fait que ces derniers sont prêts à s'assurer mutuellement assistance (FamPra.ch 2004 p. 434 [arrêt du 12 janvier 2004, 2P.242/2003 consid. 2]; arrêt du 10 juillet 2006, 2P.230/2005 consid. 3.3, arrêt du 12 janvier 2004, 2P.218/2003 consid. 3.2, arrêt du 24 août 1998, 2P.386/1997; Thomas Gächter/ Myriam Schwendener, Nichteheliche Lebensgemeinschaften im Sozialversicherungsrecht, Ein Beitrag zum Verhältnis von Familien-und Sozialversicherungsrecht, in : FamPra.ch 2005, p. 857 s.; Felix Wolffers, Grundriss des Sozialhilferechts, 2ème éd, Berne 1999, p. 162; Peter Stadler, Unterstützung von Konkubinatspartnern, in: Zeitschrift für Sozialhilfe [ZeSo] 1999, p. 29 ss). A ce propos, les directives de la Conférence suisse des institutions d'action sociale (CSIAS) prévoient que si les partenaires vivent en concubinage stable et si une seule personne est bénéficiaire de l'aide sociale, le revenu et la fortune du partenaire non bénéficiaire peuvent être pris en compte de manière appropriée. Elles précisent qu'un concubinage est considéré comme stable, notamment, s'il dure depuis deux ans au moins ou si les partenaires vivent ensemble avec un enfant commun (norme CSIAS 12/07 F.5 - 2). Dans ce même ordre d'idées, le Tribunal fédéral a jugé, s'agissant de l'avance de pensions alimentaires, qu'une disposition cantonale selon laquelle les revenus du concubin du parent ayant droit sont pris en compte, et l'avance alimentaire accordée seulement si le revenu total des deux concubins ne dépasse pas la limite fixée, n'était pas arbitraire (ATF 129 I 1).
5.5 Il n'existe entre les concubins aucun devoir légal d'entretien et d'assistance (ATF 129 I 1 consid. 3.2.4 p. 6; voir aussi ATF 106 II 1 consid. 2 p. 4). En matière civile, la jurisprudence développée sous l'empire de l'ancien droit du divorce a considéré, sous certaines conditions, que le concubinage constituait une communauté assimilable au mariage pouvant entraîner la perte du droit à la rente du conjoint divorcé. Le Tribunal fédéral a toutefois posé la présomption (réfragable) qu'un concubinage était stable lorsqu'il durait depuis cinq ans au moment de l'ouverture de l'action en modification du jugement de divorce (« concubinage qualifié »; ATF 118 II 235 consid. 3a p. 237, 114 II 295 consid. 1a p. 297; voir également Urs Fasel/Daniela Weiss, Auswirkungen des Konkubinats auf (nach-) eheliche Unterhaltsansprüche, PJA 1/2007 p. 13 ss). En matière d'aide sociale, il existe dans les cantons une tendance de plus en plus marquée d'assimiler à des couples mariés des concubins qui vivent dans une relation durable. A ce propos, si la personne assistée vit dans une relation de concubinage stable, la jurisprudence admet qu'il n'est pas arbitraire de tenir compte de cette circonstance dans l'évaluation des besoins d'assistance, quand bien même il n'existe pas un devoir légal et réciproque d'entretien entre les partenaires. Dans cette optique, il est admissible de tenir compte du fait que ces derniers sont prêts à s'assurer mutuellement assistance (FamPra.ch 2004 p. 434 [arrêt du 12 janvier 2004, 2P.242/2003 consid. 2]; arrêt du 10 juillet 2006, 2P.230/2005 consid. 3.3, arrêt du 12 janvier 2004, 2P.218/2003 consid. 3.2, arrêt du 24 août 1998, 2P.386/1997; Thomas Gächter/ Myriam Schwendener, Nichteheliche Lebensgemeinschaften im Sozialversicherungsrecht, Ein Beitrag zum Verhältnis von Familien-und Sozialversicherungsrecht, in : FamPra.ch 2005, p. 857 s.; Felix Wolffers, Grundriss des Sozialhilferechts, 2ème éd, Berne 1999, p. 162; Peter Stadler, Unterstützung von Konkubinatspartnern, in: Zeitschrift für Sozialhilfe [ZeSo] 1999, p. 29 ss). A ce propos, les directives de la Conférence suisse des institutions d'action sociale (CSIAS) prévoient que si les partenaires vivent en concubinage stable et si une seule personne est bénéficiaire de l'aide sociale, le revenu et la fortune du partenaire non bénéficiaire peuvent être pris en compte de manière appropriée. Elles précisent qu'un concubinage est considéré comme stable, notamment, s'il dure depuis deux ans au moins ou si les partenaires vivent ensemble avec un enfant commun (norme CSIAS 12/07 F.5 - 2). Dans ce même ordre d'idées, le Tribunal fédéral a jugé, s'agissant de l'avance de pensions alimentaires, qu'une disposition cantonale selon laquelle les revenus du concubin du parent ayant droit sont pris en compte, et l'avance alimentaire accordée seulement si le revenu total des deux concubins ne dépasse pas la limite fixée, n'était pas arbitraire (ATF 129 I 1).
5.6 5.6.1 Les considérations qui sont à la base de cette jurisprudence, en particulier dans le domaine des prestations de l'aide sociale, peuvent être transposées en matière de subsides d'assurance-maladie, vu l'évidente analogie entre ces deux types de prestations. Dans un cas comme dans l'autre, leur octroi est soumis à conditions de ressources. Dans les deux domaines, les prestations sont régies, il est vrai à des degrés divers, par le principe de la subsidiarité par rapport à d'autres sources de revenus.
5.6.2 La LVLAMal définit les bénéficiaires de subsides comme étant les assurés de condition économiquement modeste, dont le revenu est égal ou inférieur au revenu déterminant. La diversité des situations à considérer (personnes seules, couples mariés, partenaires enregistrés, personnes seules avec enfants dont elles assument ou non l'entretien, assurés vivant en domicile commun avec leurs parents et autres situations) implique la nécessité de réserver à l'autorité exécutive une marge de manoeuvre suffisante afin de cerner au mieux au plan réglementaire le cercle des bénéficiaires et de permettre une utilisation des subsides conformes à leur but, c'est-à-dire en fonction des besoins économique réels des intéressés. Dans cette optique, la prise en compte du revenu et de la fortune du partenaire non bénéficiaire ne doit pas impérativement figurer dans une loi cantonale au sens formel. Il s'agit, en définitive, de la concrétisation de la notion légale d'assuré de condition modeste et du principe de la subsidiarité de la prestation en regard de la jurisprudence qui permet, en matière de devoir d'assistance et sous certaines conditions, d'assimiler le concubinage à l'union matrimoniale.
5.6.3 Par ailleurs, contrairement à ce que soutient le recourant, le Conseil d'Etat n'a pas introduit ici des exigences matérielles plus strictes pour l'obtention des subsides par rapport à la loi. Pas plus que la situation des personnes vivant en ménage commun, la LVLAMal ne fait référence à la situation des couples. Même si elle ne le prévoit pas expressément, elle n'interdit pas de traiter de la même manière les concubins et les couples mariés. Au reste, l'exposé des motifs de la loi montre que le législateur cantonal envisageait précisément d'adopter les mêmes paramètres de fixation du revenu déterminant «pour les couples mariés ou non » (Exposé des motifs de la LVLAMal et rapport du Conseil d'Etat du 27 mars 1996, Bulletin du Grand Conseil 1996 Ib p. 1320 ss, plus spécialement p. 1338 et 1341).
5.6.4 S'il est vrai, d'autre part, que la loi pose le principe que le revenu déterminant pour l'octroi ou le refus des subsides est celui qui résulte de la taxation fiscale du requérant, elle permet toutefois de s'écarter du revenu fiscal, pour des motifs d'équité, lorsque la situation économique réelle ne correspond pas à celle résultant de la déclaration d'impôts. Certes, cette disposition vise principalement les assurés dont la situation financière s'écarte sensiblement du revenu déterminant issu de la dernière décision fiscale (Bulletin du Grand Conseil, ibidem p. 1360). Mais cela n'exclut pas d'autres possibilités de dérogation au principe de la prise en considération du revenu fiscal. Ainsi, le Tribunal fédéral a-t-il eu l'occasion de juger, à propos justement de l'art. 12 al. 1 LVLAMal, qu'il n'était pas arbitraire d'ajouter au revenu déterminant certains éléments non pris en compte par l'autorité fiscale, tels que des prélèvements privés de l'exploitant d'un domaine agricole (arrêt du 31 mai 2007, 2P.29/2007). De ce point de vue, les dispositions d'exécution incriminées, dans la mesure tout au moins où elles visent les relations stables de concubinage (cf. ATF 129 I 1 consid. 3.2.4 p. 6), procèdent d'une interprétation de la loi qui est défendable et qui ne peut en conséquence être taxée d'arbitraire.
5.7 Quant à savoir si des assurés participant à des communautés de vie autres que le concubinage durable peuvent entrer dans la définition de « personnes qui vivent durablement en ménage commun », elle ne se pose pas en l'espèce. Le recourant, en effet, ne conteste pas que la relation qu'il entretient avec Y._ est une relation de concubinage. Par ailleurs, le règlement ne fixe pas de limite inférieure, sous forme d'une durée minimale, de l'union libre pour que les revenus des deux partenaires puissent être pris en compte. Le recourant ne soulève toutefois aucun grief à ce propos, de sorte que l'on peut admettre, en l'espèce, l'existence d'une stabilité suffisante de l'union libre.
5.8 Le recourant fait aussi valoir que le règlement, en prévoyant l'addition pure et simple des revenus fiscaux des deux partenaires, place ceux-ci dans une position plus défavorable qu'un couple marié, les conjoints pouvant opérer des déductions fiscales inapplicables aux requérants (non mariés) vivant en ménage commun. La question de savoir s'il conviendrait en l'espèce de procéder à d'autres déductions que les montants forfaitaires admis par l'OCC n'a pas à être examinée ici. En effet, le revenu déterminant retenu par l'OCC dépasse très largement la limite de revenu de 45'000 fr. et le recourant ne démontre pas en quoi des déductions supplémentaires, admissibles en droit fiscal pour les couples, mais non reconnues par l'OCC, conduiraient à l'ouverture d'un droit au subside litigieux.
6. De ce qui précède, il résulte que le recours est mal fondé. Un émolument judiciaire doit être mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal des assurances du canton de Vaud.
Lucerne, le 23 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd