Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Mit rechtskräftigem Urteil vom 5. Juli 2004 verpflichtete das Bezirksgericht Brig X._ (Ehemann), an seine Ehefrau Y._ und die drei Kinder einen monatlich vorauszahlbaren Unterhaltsbeitrag von insgesamt Fr. 4'800.-- zu bezahlen. Mit Entscheid vom 10. Dezember 2004 gewährte der Rechtsöffnungsrichter des Bezirks Visp in der gegen X._ gerichteten Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamtes A._ für Fr. 11'223.15 nebst Zins und Kosten definitive Rechtsöffnung.
A. Mit rechtskräftigem Urteil vom 5. Juli 2004 verpflichtete das Bezirksgericht Brig X._ (Ehemann), an seine Ehefrau Y._ und die drei Kinder einen monatlich vorauszahlbaren Unterhaltsbeitrag von insgesamt Fr. 4'800.-- zu bezahlen. Mit Entscheid vom 10. Dezember 2004 gewährte der Rechtsöffnungsrichter des Bezirks Visp in der gegen X._ gerichteten Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamtes A._ für Fr. 11'223.15 nebst Zins und Kosten definitive Rechtsöffnung.
B. Auf Nichtigkeitsklage von X._ hin nahm der Kassationshof in Zivilsachen mit Urteil vom 13. Juli 2005 eine Korrektur bezüglich der Zinsen vor und gewährte im Übrigen - wie der erstinstanzliche Richter - die definitive Rechtsöffnung für Fr. 11'223.15 nebst Zinsen und Kosten.
B. Auf Nichtigkeitsklage von X._ hin nahm der Kassationshof in Zivilsachen mit Urteil vom 13. Juli 2005 eine Korrektur bezüglich der Zinsen vor und gewährte im Übrigen - wie der erstinstanzliche Richter - die definitive Rechtsöffnung für Fr. 11'223.15 nebst Zinsen und Kosten.
C. Gegen diesen Entscheid hat X._ mit Eingabe vom 8. September 2005 staatsrechtliche Beschwerde wegen Verletzung von Art. 9, Art. 5 Abs. 3 und Art. 29 Abs. 1 BV erhoben mit dem Begehren, der angefochtene Entscheid sei unter Kosten- und Entschädigungsfolge aufzuheben. Zudem beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung des Gesuchs und der Beschwerde.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Die Beschwerdegegnerin hatte den Beschwerdeführer für teilweise nicht bezahlte Unterhaltsbeiträge im Zeitraum vom 1. November 2003 bis und mit Oktober 2004 betrieben und im Rechtsöffnungsverfahren den rechtskräftigen Entscheid des Bezirksgerichts Brig vom 5. Juli 2004 vorgelegt. Demzufolge war der Beschwerdeführer rückwirkend ab dem 1. November 2003 verpflichtet worden, der Beschwerdegegnerin für Ehegatten- und Kinderunterhalt einen monatlich vorauszahlbaren Unterhaltsbeitrag von insgesamt Fr. 4'800.-- zu bezahlen. Dies macht für den fraglichen Zeitraum von November 2003 bis Oktober 2004 einen Betrag von insgesamt Fr. 57'600.-- aus. Der Beschwerdeführer anerkennt, dass sich die in Betreibung gesetzte Forderung auf einen vollstreckbaren Entscheid des Bezirksgerichts stützt und dafür grundsätzlich auch definitive Rechtsöffnung gewährt werden kann. Er macht jedoch geltend, er habe mit der Bestätigung der Bank Z._ vom 10. Dezember 2004 den urkundlichen Nachweis der Tilgung seiner Schuld erbracht.
1.2 Beruht die Forderung, wie vorliegend, auf einem vollstreckbaren Urteil, so wird die definitive Rechtsöffnung erteilt, wenn der Betriebene nicht durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Urteils getilgt ist (Art. 81 Abs. 1 SchKG). Der Beschwerdeführer legte eine Bestätigung der Bank Z._ vom 10. Dezember 2004 ins Recht, in der die Zahlungen des Beschwerdeführers an die Beschwerdegegnerin zwischen dem 8. Februar 2001 und dem 30. November 2004 aufgelistet sind. Bei dieser Liste handelt es sich um eine Urkunde, welche grundsätzlich geeignet ist, die Tilgung der Schuld durch Bezahlung zu belegen. Dies trifft im vorliegenden Fall umso mehr zu, als diese Zahlungen nicht bestritten sind.
1.3 Allerdings obliegt dem Schuldner nicht nur der Nachweis, dass er der Gläubigerin einen Betrag geleistet hat, sondern auch, dass die Zahlung die in Betreibung gesetzte Forderung betroffen hat (Art. 85 ff. OR; Staehelin, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, Hrsg. Staehelin/Bauer/Staehelin, SchKG I, N. 9 zu Art. 81 SchKG). Es fällt in diesem Zusammenhang auf, dass die Liste der Bank Z._ nicht festhält, welche Schuld getilgt worden ist. Sie enthält ausschliesslich das Datum der Zahlung und den Betrag, nicht aber den Hinweis, für welchen Monat der geschuldete Unterhaltsbeitrag getilgt werden sollte. Es ist bei dieser Sachlage nicht willkürlich, wenn die kantonalen Behörden die jeweils gegen Ende des Monats geleisteten Zahlungen dem Folgemonat zurechneten und für diese Beträge Tilgung der Schuld durch Zahlung anerkannten. Ebenso wenig ist es willkürlich, dass sie in anderen Zeiträumen erfolgte Zahlungen nicht ohne weiteres der in Betreibung gesetzten Forderung zurechneten. Es entspricht dem Willen des Gesetzgebers, dass die Möglichkeiten des Schuldners zur Abwehr im Verfahren der definitiven Rechtsöffnung eng beschränkt sind. Um jede Verschleppung der Vollstreckung zu verhindern, kann der definitive Rechtsöffnungstitel daher nur durch einen strikten Gegenbeweis, d.h. mit völlig eindeutigen Urkunden, entkräftet werden. Dies gilt gerade auch für familienrechtliche Unterhaltsforderungen, die im materiellen Recht und im Vollstreckungsrecht in verschiedener Hinsicht privilegiert sind (BGE 104 la 14 E. 2; 115 III 97 E. 4; 124 III 501 E. 3a).
1.4 Die Bestätigung der Bank Z._ enthält für die fragliche Zeit ausschliesslich monatliche Zahlungen unter Fr. 4'000.-- (zwischen Fr. 3'305.80.-- und Fr. 3'915.55), während der Beschwerdeführer anerkanntermassen monatlich Fr. 4'800.-- zu leisten hatte. Der Schluss des Kassationshofs in Zivilsachen, die vorgelegte Bankbestätigung bekräftige im Grunde genommen nur, dass die Unterhaltsbeiträge für den fraglichen Zeitraum eben gerade nicht vollständig getilgt worden seien, kann daher nicht als willkürlich bezeichnet werden.
1.5 Der Beschwerdeführer rügt, es sei willkürlich, wenn für den gesamten Betrag die Rechtsöffnung gewährt werde, nachdem der Kassationshof Teilzahlungen anerkannt habe. Dies in dem Sinne, dass im Ergebnis der Schuldner verpflichtet werde, bereits bezahlte Unterhaltsbeiträge nochmals zu bezahlen.
Die Rüge ist unbegründet. Die kantonalen Behörden haben nicht für den ganzen durch den Rechtsöffnungstitel zugesprochenen Betrag von Fr. 57'600.-- die definitive Rechtsöffnung erteilt, sondern nur für denjenigen Teil, der nach ihrer Auffassung durch die Zahlungen nicht gedeckt war.
1.6 Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, auf Seite 7 lit. bb liste der Kassationshof die Beträge auf, für welche in den Monaten von November 2003 bis Oktober 2004 zu wenig Unterhaltsbeiträge bezahlt worden seien. Die dort aufgeführten Beträge beliefen sich auf Fr. 10'721.35. Trotzdem werde für fehlende Unterhaltsbeiträge im Umfang von Fr. 11'223.15 die definitive Rechtsöffnung gewährt.
Mit diesem Hinweis vermag der Beschwerdeführer keine Willkür zu belegen. Auf Seite 7 befasst sich der Kassationshof in E. 3 e bb) ausschliesslich mit den Zinsen. Es kann ohne Willkür gesagt werden, diese Ziffer enthalte keine verbindlichen Ausführungen zur in Betreibung gesetzten Forderung.
1.7 Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, der Massnahmerichter habe im Rechtsöffnungstitel vom 5. Juli 2004 ausdrücklich festgehalten, dass allfällig bereits geleistete Zahlungen an die Unterhaltsbeiträge für Ehegattin und Kinder anzurechnen seien. Genau diese Terminologie habe der Schuldner in seinen Stellungnahmen im Rechtsöffnungsverfahren übernommen, wenn er behauptet und urkundlich nachgewiesen habe, dass Zahlungen bereits geleistet worden seien. Weil der Schuldner vor dem Urteil vom 5. Juli 2004 nicht habe wissen können, dass für die Zeit des eheähnlichen Verhältnisses der Beschwerdegegnerin von Anfang Juni 2001 bis Ende November 2001 nur die Hälfte des an die Beschwerdegegnerin zu leistenden Unterhaltsbeitrags geschuldet sei, seien ihm natürlich im Rahmen der nachfolgenden Unterhaltsbeiträge diese bereits geleisteten Zahlungen im Sinne des bezirksgerichtlichen Entscheids anzurechnen. Der Rechtsöffnungsrichter habe das in seinem Rechtsöffnungsentscheid so aufgefasst, dass damit Verrechnung gemeint sei. Wenn das Kantonsgericht nun auf Seite 6 seines Entscheides festhalte, dass es nicht willkürlich sei, dass der Rechtsöffnungsrichter die Einwendungen des Nichtigkeitsklägers unter dem Aspekt der Tilgung durch Verrechnung prüfe, dann sei dies willkürlich. Das Gleiche gelte für die Doppelzahlungen vom November 2002 und vom November 2004.
Es mag zutreffen, dass der Beschwerdeführer in den sechs Monaten zwischen Juni und November 2001 mehr geleistet hat, als das, wozu er durch den Rechtsöffnungstitel für diese Zeit verpflichtet worden ist. Fraglich ist aber, ob der Beschwerdeführer mit den entsprechenden Zahlungsbelegen den Urkundenbeweis gemäss Art. 81 Abs. 1 SchKG für die Tilgung der in Betreibung gesetzten Forderung erbracht hat. Es ist möglich, dass der Beschwerdeführer mit diesen Zahlungen im Jahre 2001, welche sich nachträglich als ungerechtfertigt erwiesen haben, eine Forderung aus ungerechtfertigter Bereicherung erworben hat, welche er mit späteren Unterhaltszahlungen verrechnen kann. Für diese Forderung und deren Tilgung durch Verrechnung fehlt indessen der Urkundenbeweis. Die Beschwerdegegnerin führt dazu aus, sie habe mit Schreiben vom 5. Juli 2004 wegen dieser Mehrleistung auf die Durchsetzung der damals hängigen Betreibung Nr. 2 über Fr. 3'608.85 verzichtet, so dass die Forderung aus ungerechtfertigter Bereicherung bereits durch Verrechnung getilgt sei. Die Auffassung ist nicht willkürlich, es fehle eine schlüssige, eindeutige Urkunde darüber, dass mit den im Jahre 2001 getätigten Zahlungen Unterhaltsforderungen für die Zeit zwischen dem November 2003 und Oktober 2004 getilgt worden sind.
1.8 Das Gleiche gilt für die Doppelzahlung vom November 2002 und für diejenige vom November 2004. Auch für diese Doppelzahlungen bleibt der Beschwerdeführer den urkundlichen Nachweis einer Forderung aus ungerechtfertigter Bereicherung und deren Tilgung durch Verrechnung schuldig. Die Beschwerdegegnerin führt bezüglich der Doppelzahlung vom November 2002 aus, diese habe der damals gültigen Trennungskonvention entsprochen, welche vorsah, dass zusammen mit dem 13. Monatslohn ein weiterer Unterhaltsbeitrag geschuldet sei. Bezüglich der Doppelzahlung vom November 2004 ist deren Verwendungszweck unklar, aber es bleibt dabei, dass der Beschwerdeführer bezüglich der Doppelzahlungen nicht mit Urkunden zu beweisen vermag, dass er eine Forderung aus ungerechtfertigter Bereicherung erworben hat, welche er mit den ordentlichen Unterhaltsbeiträgen zwischen dem November 2003 und Oktober 2004 verrechnen kann.
1.9 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Zahlungen, mit welchen der Beschwerdeführer die Tilgung der in Betreibung gesetzten Forderung belegen will, alle ausserhalb der vorliegend relevanten Periode zwischen dem November 2003 und Oktober 2004 geleistet wurden. Deren Zuordnung setzt eine Beurteilung der materiellen Rechtslage und eine Würdigung der gesamten Sachlage voraus, welche nicht im vorliegenden Rechtsöffnungsverfahren erfolgen kann (vgl. dazu BGE 115 III 97 S. 101). Mit dem angefochtenen Entscheid hat das Obergericht weder das hier massgebliche in Art. 9 gewährleistete Willkürverbot, noch Art. 5 Abs. 3 oder Art. 29 Abs.1 BV verletzt.
1.9 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Zahlungen, mit welchen der Beschwerdeführer die Tilgung der in Betreibung gesetzten Forderung belegen will, alle ausserhalb der vorliegend relevanten Periode zwischen dem November 2003 und Oktober 2004 geleistet wurden. Deren Zuordnung setzt eine Beurteilung der materiellen Rechtslage und eine Würdigung der gesamten Sachlage voraus, welche nicht im vorliegenden Rechtsöffnungsverfahren erfolgen kann (vgl. dazu BGE 115 III 97 S. 101). Mit dem angefochtenen Entscheid hat das Obergericht weder das hier massgebliche in Art. 9 gewährleistete Willkürverbot, noch Art. 5 Abs. 3 oder Art. 29 Abs.1 BV verletzt.
2. Aus diesen Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (Art. 156 Abs. 1 OG) und er hat die Beschwerdegegnerin angemessen zu entschädigen (Art. 159 Abs. 2 OG). Der Beschwerdeführer stellt für das Verfahren vor Bundesgericht ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Er weist darauf hin, dass er über einen ordentlichen Nettolohn pro Monat von Fr. 7'490.-- verfüge. Sein Existenzminimum betrage Fr. 7'080.--. Für Betreibungen seiner Ehegattin werde ihm jener Einkommensbetrag gepfändet, welcher das Existenzminimum von Fr. 7'080.-- übersteige. Bei dieser Sachlage sei er bedürftig im Sinne von Art. 29 Abs. 3 BV. Er legt zum Nachweis seiner Bedürftigkeit ausschliesslich das Pfändungsprotokoll vom 28. Juli 2005 ins Recht. Das Verfahren könne zudem nicht als aussichtslos bezeichnet werden, so dass ihm ein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zustehe.
Gemäss Art. 152 OG gewährt das Bundesgericht einer bedürftigen Partei, deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint, auf Antrag Befreiung von der Bezahlung der Gerichtskosten. Nötigenfalls kann ihr ein Rechtsanwalt beigegeben werden. Dem vorliegenden Rechtsöffnungstitel, d.h. dem Entscheid des Bezirksgerichts Brig vom 5. Juli 2004 kann entnommen werden, dass dem Beschwerdeführer Fr. 540.-- pro Monat über dem Notbedarf verbleiben. Mit diesem Betrag kann er das vorliegende Verfahren an sich finanzieren, auch wenn der Grundbedarf von Fr. 1'100.-- um 10 oder 15% erhöht wird. Aus diesem Grund haben die kantonalen Behörden die unentgeltliche Rechtspflege verweigert, welchen Entscheid der Beschwerdeführer nicht angefochten hat. Ob der Umstand, dass er seinen familienrechtlichen Pflichten bisher nicht vollumfänglich nachgekommen ist und daher Schulden geäufnet hat, für welche er gepfändet wird, an diesem Ergebnis etwas zu ändern vermag, kann dahingestellt bleiben, weil das Verfahren, wie die vorangehende Erwägung gezeigt hat, als aussichtslos bezeichnet werden und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bereits aus diesem Grund abgewiesen werden muss.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kassationshof in Zivilsachen des Kantonsgerichts Wallis schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Oktober 2005
Im Namen der II. Zivilabteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: