Fatti:
A. A.a Con effetto dal 1° novembre 2001 l'Ufficio assicurazione invalidità del Canton Ticino (UAI) ha assegnato a H._, cittadino kosovaro, nato nel 1965, già attivo quale pizzaiolo/aiuto cuoco e affetto segnatamente da disturbi cardiologici (cardiopatia aritmogena con lipotimia e bradicardia, status dopo posa di pacemaker bicamerale per Sick Sinus nel 1999, toracalgie) e psichici (sindrome da disadattamento reazione mista ansioso-depressiva, sindrome da attacchi di panico), un quarto di rendita di invalidità, per un tasso di incapacità al guadagno del 47 % (decisione del 13 novembre 2003).
In via di revisione l'amministrazione, con decisione del 25 agosto 2004 gli ha poi riconosciuto una mezza rendita con effetto dal 1° dicembre 2003 per il peggioramento dello stato di salute - dovuto tra l'altro all'insorgenza di una sindrome somatoforme indifferenziata -, stante un grado d'invalidità del 50 %. Questa valutazione è stata confermata - per l'assenza di un ulteriore peggioramento - al termine di una nuova procedura di revisione, mediante comunicazione informale del 14 settembre 2007.
A.b In data 8 aprile 2009 H._ ha fatto valere nei confronti dell'UAI, per il tramite del dottor M._, medico generico, un nuovo peggioramento riconducibile all'insorgenza di disturbi di natura angiologica (complicazioni trombotiche della vena succlavia) e reumatologica (sindrome lombare e disturbi al braccio destro).
Esperiti gli accertamenti medici - tra i quali segnatamente una perizia pluridisciplinare del Servizio X._ - ed economici, l'UAI, con progetto di decisione del 25 marzo 2010, confermato con provvedimento formale del 22 giugno 2010, ha soppresso - dato un grado d'incapacità al guadagno del 15 % - la mezza rendita di invalidità erogata a H._, con effetto dalla fine del mese seguente l'intimazione della decisione (1° agosto 2010).
B. Contro il provvedimento amministrativo è insorto l'assicurato, rappresentato dall'avvocato Marco Cereghetti, con ricorso al Tribunale delle assicurazioni del Canton Ticino, al quale ha chiesto, in via principale, l'erogazione di una rendita intera d'invalidità rispettivamente, in via subordinata, il mantenimento della mezza rendita, così come il riconoscimento dell'assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio.
Con giudizio del 14 aprile 2011 il Presidente del Tribunale cantonale delle assicurazioni ha respinto il gravame pur concedendo all'assicurato il beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio.
C. Sempre patrocinato dall'avvocato Cereghetti, H._ insorge con ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendone l'accoglimento e segnatamente l'annullamento del giudizio impugnato così come della decisione amministrativa e conseguente assegnazione di una rendita intera, subordinatamente di una mezza rendita. In via ancora più subordinata l'assicurato chiede l'annullamento dei provvedimenti impugnati con rinvio dell'incarto alla Corte cantonale o all'amministrazione per complemento istruttorio ed emanazione di una nuova decisione. Egli chiede nuovamente il riconoscimento dell'assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio. Delle motivazioni si dirà, se necessario, nei considerandi di diritto.
Chiamati a pronunciarsi sul gravame l'UAI ne propone la reiezione, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a pronunciarsi.
Diritto:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Costituisce una violazione del diritto federale in particolare anche l'accertamento incompleto dei fatti determinanti (v. Hansjörg Seiler/Nicolas von Werdt/Andreas Güngerich, Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2007, no. 24 all'art. 97). Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (art. 106 cpv. 1 LTF; cfr. tuttavia l'eccezione del cpv. 2) e non è pertanto vincolato dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità inferiore. Tenuto conto dell'esigenza di motivazione di cui all'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, sotto pena d'inammissibilità (art. 108 cpv. 1 lett. b LTF), esso esamina tuttavia in linea di massima solo le censure sollevate, non essendo tenuto a vagliare, come lo farebbe un'autorità di prima istanza, tutte le questioni giuridiche che si pongono, se queste ultime non sono sollevate in sede federale. Per il resto, il Tribunale federale fonda la propria sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 L TF) e vi si può scostare solo qualora questo accertamento sia avvenuto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF (art. 105 cpv. 2 LTF).
2. Controversa è la soppressione del diritto alla (mezza) rendita AI, e in particolare l'estensione della capacità lavorativa residua ragionevolmente esigibile nonostante il danno alla salute. Il giudizio cantonale espone correttamente le regole legali e i principi giurisprudenziali applicabili, sicché è sufficiente il rinvio ad esso.
3. 3.1 Il ricorrente critica le constatazioni di fatto della giurisdizione cantonale principalmente sotto l'aspetto dell'art. 97 LTF. Sostiene tra l'altro che, avendo fatto segnatamente astrazione della componente depressiva, l'istanza precedente avrebbe accertato in maniera manifestamente inesatta o comunque incompleta la sua capacità lavorativa residua, quantificata dal primo giudice, rispettivamente, al 50 % (per l'attività pregressa) e al 70 % (per un'attività sostitutiva leggera). Questo disturbo è stato messo in evidenza dai medici curanti dott. M._ e B._ - quest'ultimo specialista in psichiatria - attraverso certificati che sono stati prodotti in sede giudiziaria cantonale.
3.2 In effetti, già a livello di diagnosi il quadro posto dallo psichiatra curante non corrisponde a quello ritenuto dalla specialista incaricata dal Servizio X._, dott.ssa C._. Mentre quest'ultima ha diagnosticato una sindrome somatoforme indifferenziata (ICD 10, F45.1), ansia libera (ICD 10, F41.1), ansia acuta senza agorafobia (ICD 10, F41.0) e una sindrome nevrotica non altrimenti definita (ICD 10, F 48.9), attestando un miglioramento (dal 2008) dello stato di salute rispetto al 2004 e una incapacità lavorativa residua parziale (per i soli aspetti psichiatrici) del 35 % per l'attività abituale e del 25 % in attività sostitutiva adeguata, il dott. B._, nel suo rapporto del 25 novembre 2010, ha ritenuto una sindrome depressiva ricorrente, episodio attuale di media gravità (ICD-10 F33.1), una sindrome ansiosa generalizzata (ICD-10 F41.1) nonché una sindrome da attacchi da panico con ansia episodica parossistica (ICD-10 F41.0) che giustificavano a suo giudizio una incapacità lavorativa del 50 % solo per motivi psichiatrici. Lo psichiatra curante ha per il resto motivato la sua divergenza dalle conclusioni della dott.ssa C._, meravigliandosi che la perita incaricata dal Servizio X._ non avesse ritenuto una sindrome depressiva ricorrente del peritando nonostante che - come ha precisato lo specialista nel suo rapporto del 7 febbraio 2011 - tutte le patologie diagnosticate dai vari colleghi, con la sindrome da disadattamento già rilevata dal dott. J._, i vari stati d'ansia e gli attacchi da panico, avessero con il tempo "dato luogo ad una patologia che comprende e copre tutte queste sintomatologie in modo semplice e chiaro di una sindrome depressiva ricorrente". Lo stesso curante ha del resto pure osservato che "praticamente è in seguito ad esempio ad una patologia di tipo sindrome da disadattamento che dopo 2 anni se non guarisce diventa una depressione ricorrente, come il paziente presenta da anni". A ciò si aggiunge che il dott. B._ ha pure contestato la circostanza, ritenuta per contro dalla dott.ssa C._ a fondamento del suo giudizio, che l'assicurato non assumesse più psicofarmaci da 5 anni. Così come egli ha escluso che il miglioramento della situazione familiare, e in particolare la nascita dell'ultima figlia, potesse avere determinato un miglioramento costante del suo stato psichico, segnatamente della componente depressiva.
3.3 Orbene, né l'amministrazione né il Tribunale cantonale si sono confrontati con queste considerazioni, le istanze precedenti essendosi in sostanza trincerate dietro l'eccezione formale del limite temporale che restringe il potere cognitivo del giudice delle assicurazioni sociali e che nel caso di specie gli avrebbe impedito di pronunciarsi su fatti verificatisi successivamente alla data della decisione amministrativa in lite. Se è pur vero che i certificati del dott. B._ sono posteriori a questa data e che la sua prima visita risale al 18 novembre 2010, ciò non significa necessariamente che la sua valutazione facesse "chiaramente riferimento ad una situazione clinica dell'assicurato successiva alla decisione impugnata" e non potesse dunque essere di rilievo ai fini della presente procedura, come ha invece ritenuto il giudice di prime cure. La lettura dei rapporti in questione mostra piuttosto il contrario, il dott. B._ avendo ad esempio osservato che la depressione reattiva a lungo andare, malgrado le cure intraprese, sarebbe gradualmente evoluta negli anni verso una depressione ricorrente con un pregiudizio complessivo sulla capacità lavorativa del 50 % da diversi anni.
3.4 In tali condizioni, la Corte cantonale non poteva non tenere conto di questi elementi di prova suscettibili di modificare, se del caso, la decisione impugnata. Essa non poteva in particolare concludere senza ulteriori accertamenti per l'assenza - al momento decisivo della decisione amministrativa (DTF 132 V 215 consid. 3.1.1 pag. 220) - di una componente depressiva e rinunciare a completare l'istruttoria. L'accertamento dei fatti così operato appare lacunoso e comporta la violazione del principio inquisitorio (art. 61 lett. c LPGA). A seconda del risultato di una precisa valutazione medica su questo aspetto, la capacità di lavoro del ricorrente in una attività adeguata potrebbe, se del caso, essere apprezzata in modo più restrittivo e indurre a modificare il tasso di incapacità al guadagno considerato dall'opponente e dal primo giudice e, di conseguenza, influire sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF; cfr. sentenza 9C_260/2007 del 1° febbraio 2008 consid. 3.3).
3.5 In relazione agli altri aspetti medici, per contro, non sussiste serio motivo per dipartirsi dagli accertamenti, quantomeno sostenibili, del primo giudice, il quale, in estrema sintesi, poteva correttamente basare il proprio giudizio sulle conclusioni degli altri periti incaricati dal Servizio X._ che non sono state validamente smentite da documentazione specialistica contraria. Non adempie del resto l'obbligo di motivazione del ricorso (art. 42 cpv. 2 LTF) la vaga contestazione di carattere personale della valutazione reumatologica del dott. B._. Né può essere sufficiente il semplice accenno al fatto che il flebologo dott. P._, pur dichiarandosi d'accordo con le diagnosi poste dai medici dell'AI, ne avrebbe aggiunte delle altre. Al riguardo va ricordato al ricorrente, che non precisa né approfondisce la questione, che non spetta al Tribunale federale sopperire al suo obbligo di diligenza e cercare negli atti - peraltro voluminosi - eventuali elementi che potrebbero fondare la sua tesi. Per il resto, la censura secondo cui le istanze inferiori avrebbero omesso di tener conto della patologia angiologica si rivela infondata, ritenuto che, nell'ambito della perizia eseguita dal Servizio X._, l'assicurato è stato esaminato dal dottor T._, specialista in angiologia, il quale ha eseguito un consulto flebologico.
3.6 Ne discende che il giudizio impugnato va annullato e la causa rinviata al Tribunale cantonale (cfr. DTF 137 V 210) affinché ordini l'allestimento di una perizia limitatamente all'aspetto psichiatrico e si pronunci nuovamente, nel suo complesso, sulla revisione del diritto alla rendita di invalidità di H._. In questo senso, il ricorso è parzialmente accolto (cfr. sentenza 8C_671/2007 del 13 giugno 2008 consid. 4.1). Visto il suo esito, non occorre per contro pronunciarsi in questo stadio sugli altri aspetti sollevati nel gravame.
4. Gli oneri processuali seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF). Sotto questo aspetto, il rinvio della causa equivale a un pieno successo di causa (DTF 132 V 215 consid. 6.2 pag. 235 seg.; cfr. inoltre sentenze 9C_1061/2010 del 7 luglio 2011 consid. 9 nonché 8C_671/2007, citata, consid. 4.1 e 4.2). Di conseguenza, le spese giudiziarie sono poste a carico dell'UAI che rifonderà a H._, patrocinato da un legale, un importo a titolo di spese ripetibili (art. 68 cpv. 1 e 2 LTF). Visto l'esito del ricorso, l'istanza tendente all'ammissione all'assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio è priva di oggetto.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è parzialmente accolto nel senso che, annullato il giudizio del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 14 aprile 2011, la causa è rinviata all'istanza di primo grado perché proceda a un complemento istruttorio conformemente ai considerandi e renda un nuovo giudizio. Per il resto, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500 sono poste a carico dell'opponente.
3. L'opponente verserà al ricorrente la somma di fr. 2'800.- a titolo di indennità di parte per la procedura federale.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.