Faits:
A. A._ est propriétaire d'un appartement situé au dernier étage de l'immeuble bâti sur la parcelle n° 829 du registre foncier de Vevey, en zone I: habitation, commerce, administration "Vieille ville". Selon la fiche que lui consacre le recensement architectural du canton de Vaud, l'immeuble en question, construit à la fin du 18ème siècle, est un monument d'importance régionale. La fiche précise qu'il est un des rares bâtiments de cette importance couvert d'un toit à la Mansart. Par arrêté du 26 août 1981, le Conseil d'Etat du canton de Vaud a ordonné le classement de l'immeuble.
Le toit du bâtiment est composé de trois segments de toiture à deux pans affectant la forme d'un "U" et entourant la partie centrale de l'immeuble où se trouvent, en contrebas, une verrière ainsi qu'un toit de faible pente constitué de feuilles de cuivre. A une date indéterminée, cette dernière partie du toit a été partiellement recouverte d'un lattage afin d'aménager une terrasse, sur laquelle a été installé un jacuzzi. Situé sur une partie surélevée de la terrasse, ce jacuzzi est de forme carrée et mesure 1,90 m de côté.
Ces aménagements ayant été effectués sans autorisation, ils ont fait l'objet d'une enquête publique pour "mise en conformité" du 1er juin au 2 juillet 2007. Le 11 juin 2007, le Département cantonal des infrastructures (ci-après: le département) a présenté une synthèse des avis exprimés par les instances cantonales consultées. Il en ressort que le Service cantonal "immeubles, patrimoine et logistique, section monuments et sites" a délivré une autorisation spéciale au sens des art. 17 et 51 de la loi cantonale sur la protection de la nature, des monuments et des sites (LPNMS; RS/VD 450.11). Il précisait toutefois ce qui suit, à titre de condition impérative à l'octroi de l'autorisation spéciale: "La pose d'un jacuzzi sur une terrasse d'un bâtiment inscrit à l'inventaire constitue un précédent peu souhaitable. Dès lors la Section demande que celui-ci soit enlevé".
Le permis de construire a été délivré le 13 août 2007. Il indique que le 19 juillet 2007 la Municipalité de Vevey a décidé d'autoriser le maintien de la terrasse en dérogation à l'art. 43 du règlement communal sur les constructions du 28 novembre 1952 et de requérir la suppression du jacuzzi.
B. A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Vaud en faisant valoir en substance que le jacuzzi était un élément mobilier qui pouvait être déplacé, qu'il n'était pas visible et qu'il ne dérangeait en rien le voisinage. Par arrêt du 5 février 2008, le Tribunal administratif a admis le recours. Il a laissé ouverte la question de savoir si l'installation litigieuse était dispensée d'autorisation selon l'art. 103 de la loi cantonale sur l'aménagement du territoire et les constructions (LATC). En substance, il a considéré que, même sur un immeuble classé, il n'y avait pas lieu d'interdire l'installation d'un jacuzzi sur une terrasse aménagée en toiture dans un endroit sans intérêt particulier et dissimulé à la vue des environs par la forme particulière de la toiture.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, la Commune de Vevey, représentée par sa Municipalité, demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de confirmer les décisions rendues par le département le 11 juin 2007 et par la municipalité le 13 août 2007, ordonnant la suppression du jacuzzi. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause en dernière instance cantonale pour nouvelle décision dans le sens d'une confirmation des décisions précitées. Le Département cantonal des infrastructures a présenté des observations; il conclut à l'admission du recours en matière de droit public et requiert une inspection locale. Le Tribunal administratif se réfère à son arrêt et conclut au rejet du recours. A._ s'est déterminée et conclut également au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision rendue dans le domaine du droit public des constructions, le recours est recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. Selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF, les communes peuvent agir en invoquant la violation de garanties qui leur sont reconnues par la Constitution cantonale ou fédérale. La recourante invoque l'autonomie communale, garantie par les art. 50 Cst. et 139 Cst./VD, et se prévaut en particulier de ses compétences dans le domaine de la police des constructions. Elle a dès lors la qualité pour recourir. La question de savoir si la commune est effectivement autonome dans le domaine litigieux est une question de fond, qui n'a pas d'incidence sur la recevabilité du recours (ATF 129 I 410 consid. 1.1 p. 412 et les références). Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise en dernière instance cantonale non susceptible de recours devant le Tribunal administratif fédéral, le recours respecte les exigences des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF. Le recours en matière de droit public est par conséquent recevable, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
2. Le Département cantonal des infrastructures, qui conclut à l'admission du recours en matière de droit public, requiert une inspection locale. Vu l'issue du recours, cette requête devient sans objet.
3. La recourante invoque l'autonomie communale et allègue que l'arrêt attaqué aurait méconnu ses compétences dans le cas d'espèce.
3.1 Selon l'art. 50 al. 1 Cst., l'autonomie communale est garantie dans les limites fixées par le droit cantonal. Une commune bénéficie de la protection de son autonomie dans les domaines que le droit cantonal ne règle pas de façon exhaustive, mais qu'il laisse en tout ou partie dans la sphère communale, conférant par là aux autorités municipales une liberté de décision relativement importante. L'existence et l'étendue de l'autonomie communale dans une matière concrète sont déterminées essentiellement par la constitution et la législation cantonales (ATF 133 I 128 consid. 3.1 p. 131; 129 I 410 consid. 2.1 p. 412; 128 I 3 consid. 2a p. 8; 126 I 133 consid. 2 p. 136 et les arrêts cités). Il n'est pas nécessaire que la commune soit autonome pour l'ensemble de la tâche communale en cause; il suffit qu'elle soit autonome dans le domaine litigieux (ATF 133 I 128 consid. 3.1 p. 131; 122 I 279 consid. 8b p. 290; 110 Ia 197 consid. 2a p. 199 s. et les arrêts cités).
3.2 En droit cantonal vaudois, les communes jouissent d'une autonomie maintes fois reconnue lorsqu'elles définissent, par des plans, l'affectation de leur territoire, et lorsqu'elles appliquent le droit des constructions (cf. notamment ATF 108 Ia 74 consid. 2b p. 76 s.), en particulier lorsqu'il s'agit de savoir si une construction ou une installation est de nature à compromettre l'aspect ou le caractère d'un site, d'une localité, d'un quartier ou d'une rue (ATF 115 Ia 114 consid. 3d p. 118 s., 363 consid. 3b p. 367; arrêts 1P.402/2006 du 6 mars 2007, consid. 3, 1P.167/2003 consid. 3 publié in RDAF 2004 p. 114).
3.3 En l'occurrence, l'immeuble sur lequel l'intimée a installé son jacuzzi a été classé par arrêté du Conseil d'Etat du canton de Vaud du 26 août 1981. Cet arrêté prévoit que le classement s'étend à l'ensemble du bâtiment et au mur du jardin (art. 2) et que "toutes réparations, modifications ou transformations des parties classées devront, au préalable, recevoir l'approbation du Département des travaux publics" (art. 3). Il s'ensuit que les travaux entrepris par l'intimée étaient soumis à une autorisation préalable du département, conformément à l'art. 23 LPMNS, applicable par renvoi de l'art. 54 LPMNS. Comme le département l'a relevé dans la procédure cantonale, la mention dans la synthèse du 11 juin 2007 des art. 17 et 51 LPMNS résulte d'une erreur, dès lors que l'immeuble ne figure pas seulement à l'inventaire mais qu'il fait l'objet d'une mesure de classement.
Avant de délivrer le permis de construire, la municipalité doit vérifier si cette autorisation préalable nécessaire a été délivrée (art. 104 al. 2 LATC). Il n'en demeure pas moins que c'est la municipalité qui reste compétente pour délivrer le permis et qu'elle conserve par conséquent un pouvoir de décision. Ainsi, même si le département délivre l'autorisation préalable, il n'est pas exclu que la municipalité puisse refuser le permis pour d'autres motifs. Elle pourrait notamment le faire en application de l'art. 86 al. 2 LATC, qui prévoit que la municipalité "refuse le permis pour les constructions ou les démolitions susceptibles de compromettre l'aspect et le caractère d'un site, d'une localité, d'un quartier ou d'une rue, ou de nuire à l'aspect d'un édifice de valeur historique, artistique ou culturelle". Elle peut le cas échéant se fonder également sur son règlement communal des constructions. En définitive, la municipalité est autonome dans ce domaine.
4. 4.1 Lorsqu'elle est reconnue autonome dans un domaine spécifique, une commune peut dénoncer tant les excès de compétence d'une autorité cantonale de contrôle ou de recours que la violation par celle-ci des règles du droit fédéral, cantonal ou communal qui régissent la matière (ATF 128 I 3 consid. 2b p. 9; 126 I 133 consid. 2 p. 136). Le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation du droit constitutionnel; en revanche, il vérifie l'application de règles de rang inférieur à la constitution cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire (art. 9 Cst.; ATF 128 I 3 consid. 2b p. 9; 122 I 279 consid. 8b p. 290 et la jurisprudence citée). Dans ce cas, il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain (ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17, 175 consid. 1.2 p. 177 et les arrêts cités).
4.2 En l'espèce, le Tribunal administratif a laissé indécise la question de savoir si le jacuzzi pouvait être dispensé d'autorisation en application de l'art. 103 LATC. Il a cependant considéré que le classement de l'immeuble ne s'opposait pas à l'autorisation de l'installation litigieuse, dès lors que celle-ci n'était pas visible de la rue et des bâtiments alentours. Ce faisant, il apprécie la situation sous l'angle de la LPNMS. Cette appréciation, qui s'écarte de celle de l'autorité de première instance et du département, peut sembler discutable. En effet, le jacuzzi litigieux est installé sur le toit du bâtiment, dont les caractéristiques paraissent avoir été déterminantes dans la décision de protéger l'immeuble en question. De plus, la mesure de classement a pour but d'assurer la conservation de la substance du bâtiment et le maintien de son intégrité matérielle (cf. Philip Vogel, La protection des monuments historiques, thèse Lausanne 1982, p. 97; Philippe Gardaz, La protection du patrimoine bâti en droit vaudois, in RDAF 1992, p. 8), si bien que la question de savoir si les atteintes portées à l'immeuble dans sa substance sont visibles de la rue, du ciel ou même seulement de l'intérieur du bâtiment ne semble pas décisive. Cela étant, même si l'appréciation du Tribunal administratif peut prêter le flanc à la critique, cela ne suffit pas pour considérer que la LPNMS a été appliquée de façon arbitraire au sens de la jurisprudence susmentionnée, ce que la recourante ne démontre au demeurant pas. On ne saurait dès lors constater une violation de l'autonomie communale en raison d'une application arbitraire du droit cantonal.
4.3 En revanche, en statuant définitivement à la place de la municipalité, le Tribunal administratif a privé cette autorité de ses compétences primaires en matière de délivrance du permis de construire. En effet, comme exposé ci-dessus (cf. supra consid. 3.3), même si l'autorisation préalable requise par les art. 23 et 54 LPMNS est délivrée, la municipalité reste libre de refuser l'autorisation de construire pour d'autres motifs, que ce soit sur la base de l'art. 86 al. 2 LATC ou en se fondant sur son règlement communal sur les constructions, qui contient des prescriptions sur les toitures (art. 43) et qui prévoit que la municipalité n'admet des projets de réfection et de transformation qu'à certaines conditions lorsqu'il s'agit de monuments ou de bâtiments à sauvegarder (art. 45). Il n'apparaît donc pas d'emblée exclu que la municipalité puisse refuser l'installation litigieuse pour les raisons qu'elle invoque dans son recours, en particulier le souci de préserver sa zone "vieille ville". Quoi qu'il en soit, c'est à l'autorité communale compétente qu'il appartient de trancher ces questions en première instance. Si elle ne l'a pas fait dans le cas particulier, c'est en raison du refus du département de délivrer une autorisation préalable pour le jacuzzi, ce qui rendait superflu un examen de l'installation litigieuse sous l'angle des dispositions légales et réglementaires précitées. Par conséquent, si l'autorité cantonale de recours entendait remettre en cause la décision du département refusant l'autorisation préalable, il lui appartenait de renvoyer l'affaire à la municipalité pour qu'elle statue sur les autres aspects du droit des constructions qui relèvent de sa compétence. En privant la recourante de la possibilité de le faire, le Tribunal administratif a excédé sa compétence et a dès lors violé l'autonomie communale.
5. Il s'ensuit que le recours en matière de droit public doit être admis et que l'arrêt attaqué doit être réformé en ce sens que la cause est renvoyée à la municipalité pour qu'elle statue sur les questions de droit des constructions qui ne relèvent pas de la LPNMS (art. 107 al. 2 LTF). Il y a lieu de préciser que la question de l'application de l'art. 103 LATC est réservée, le Tribunal administratif l'ayant laissée indécise. Il appartiendra donc à la municipalité d'examiner en premier lieu si la construction litigieuse peut ou non être dispensée d'autorisation au sens de cette disposition. L'intimée, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est admis.
3. Le chiffre II du dispositif de l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que la cause est renvoyée à la municipalité pour qu'elle statue sur les questions de droit des constructions qui ne relèvent pas de la LPNMS.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 3000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
5. Il n'est pas alloué de dépens.
6. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et du Département des infrastructures du canton de Vaud ainsi qu'au Tribunal administratif du canton de Vaud.
Lausanne, le 8 août 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener