Sachverhalt:
A. Die 1958 geborene J._ war seit 1. Mai 2000 Betreuerin bei den psychiatrischen Diensten X._. Am 11. Februar 2005 erfolgte bei ihr ein operativer stabilisierender Wirbelsäuleneingriff L2-L5. Am 18. Mai 2005 meldete sie sich bei der IV-Stelle des Kantons Graubünden an. Diese zog ein interdisziplinäres Gutachten der Akademie Y._, Spital Z._, vom 20. Dezember 2007 bei. Am 27. August 2008 erfolgte bei der Versicherten eine Deperiostierung des hinteren Beckenkamms und eine Resektion eines subkutanen Lipoms am Beckenkamm rechts. Mit Verfügungen vom 21. November 2008 sprach ihr die IV-Stelle ab 1. September 2005 bis 31. Dezember 2006 eine ganze Invalidenrente (IV-Grad 100 %) und ab 1. Januar 2007 eine halbe Invalidenrente (IV-Grad 50 % bis 31. Oktober 2007, IV-Grad 57 % ab 1. November 2007) zu. In Gutheissung der dagegen eingereichten Beschwerde hob das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden die Verfügungen auf und wies die Sache im Sinne der Erwägungen zur Vornahme der weiteren Abklärungen und zu neuem Entscheid an die IV-Stelle zurück (Entscheid vom 26. Mai 2009). Diese holte ein Gutachten der Akademie Y._ vom 1. März 2010 ein. Mit Verfügung vom 20. August 2010 gewährte sie der Versicherten ab 1. September 2005 bis 31. Dezember 2006 eine ganze Invalidenrente (IV-Grad 100 %), ab 1. Januar 2007 bis 31. Oktober 2008 eine halbe Invalidenrente (IV-Grad 50 % bis 31. Oktober 2007, IV-Grad 57 % ab 1. November 2007) und ab 1. November 2008 eine Dreiviertelsrente (IV-Grad 69 %).
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das kantonale Gericht mit Entscheid vom 31. Januar 2011 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei ihr ab 1. September 2005 bis 31. Dezember 2006 eine ganze Invalidenrente, ab 1. Januar 2007 bis 31. Oktober 2007 eine halbe Invalidenrente, ab 1. November 2007 bis 31. Oktober 2008 eine Dreiviertelsrente und ab 1. November 2008 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; es sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Mit Verfügung vom 30. September 2001 wies das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mangels Bedürftigkeit ab.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung. Am 25. November 2011 reichte die Versicherte eine Stellungnahme ein.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Die aufgrund medizinischer Untersuchungen gerichtlich festgestellte Arbeitsfähigkeit ist Tatfrage (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397). Rechtsfragen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG) und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232). Die konkrete Beweiswürdigung ist Tatfrage (nicht publ. E. 4.1 des Urteils BGE 135 V 254, in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]; Urteil 8C_594/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 1).
2. Die streitige Verfügung datiert vom 20. August 2010. Demnach sind für die Zeit bis Ende 2007 die damals geltenden Bestimmungen und ab 1. Januar 2008 die neuen Normen der 5. IV-Revision anzuwenden (BGE 132 V 215 E. 3.1.1 S. 220, 130 V 445). Dies ist jedoch ohne Belang, weil diese Revision keine substanziellen Änderungen bei der Invaliditätsbemessung gebracht hat (Urteil 8C_944/2010 vom 21. März 2011 E. 3). Die Vorinstanz hat die Grundlagen über die Invalidität (Art. 8 ATSG, Art. 4 Abs. 1 IVG), den Rentenanspruch (Art. 28 Abs. 1 IVG bis Ende 2007, seither Art. 28 Abs. 2 IVG), die Invaliditätsbemessung bei Erwerbstätigen nach dem Einkommensvergleich, bei Nichterwerbstätigen nach der spezifischen Methode (Betätigungsvergleich) und bei Teilerwerbstätigen nach der gemischten Methode (Art. 16 ATSG; Art. 28 Abs. 2-2ter IVG bis Ende 2007, seither Art. 28a IVG) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Im interdisziplinären (internistischen, orthopädischen, neurologischen und psychiatrischen) Gutachten der Akademie Y._ vom 1. März 2010 wurden im Wesentlichen folgende Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit gestellt: 1. Chronisches lumbospondylogenes Syndrom beidseits, rechtsbetont (ICD-10: M54.5); 2. Anpassungsstörung, Angst und depressive Reaktion gemischt (ICD-10 F43.22); 3. Verdacht auf psychogenen Schmerzanteil im Rahmen einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10: F 45.4). Für den angestammten Beruf als Betreuerin behinderter Menschen wie auch für den erlernten Beruf als Kindererzieherin bestehe dauerhaft keine Arbeitsfähigkeit mehr. Für körperlich leichte Tätigkeiten in wechselnder Körperhaltung mit Heben und Tragen von Lasten unter 10 kg, ohne repetitive Tätigkeiten, Arbeiten in vornüber gebeugter Stellung oder häufigen Überkopf-Tätigkeiten, sähen sie aktuell eine Gesamtarbeitsfähigkeit von 50 %, was die aus psychiatrischer Sicht um 20 % eingeschränkte Arbeitsfähigkeit inkludiere.
Gestützt auf dieses Gutachten ging die Vorinstanz davon aus, bei der Beschwerdeführerin bestehe in einer adaptierten Tätigkeit eine Gesamtarbeitsfähigkeit von 50 %. Weiter führte sie aus, bis zur Operation im August 2008 habe die Arbeitsfähigkeit 70 % betragen. Die Versicherte erhebt keine Rügen, die diese Feststellungen zu ihrer Arbeitsfähigkeit als offensichtlich unrichtig oder als Ergebnis willkürlicher Beweiswürdigung oder als rechtsfehlerhaft nach Art. 95 BGG erscheinen lassen.
4. Streitig und zu prüfen ist, ob IV-Stelle und Vorinstanz beim trotz bestehenden Gesundheitsschadens zumutbarerweise erzielbaren Invalideneinkommen zu Unrecht keinen Leidensabzug vorgenommen haben. Die Versicherte verlangt einen Abzug von mindestens 10 %.
Wird das Invalideneinkommen - wie hier - auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) des Bundesamtes für Statistik ermittelt, ist der entsprechende Ausgangswert allenfalls zu kürzen. Ohne für jedes zur Anwendung gelangende Merkmal (leidensbedingte Einschränkung, Alter, Dienstjahre, Nationalität/Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad) separat quantifizierte Abzüge vorzunehmen, ist der Einfluss aller Merkmale auf das Invalideneinkommen unter Würdigung der Umstände im Einzelfall nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen. Der Abzug darf 25 % nicht übersteigen. Ein Abzug soll aber nicht automatisch, sondern nur dann erfolgen, wenn im Einzelfall Anhaltspunkte dafür bestehen, dass die versicherte Person wegen eines oder mehrerer dieser Merkmale ihre gesundheitlich bedingte (Rest-)Arbeitsfähigkeit auf dem allgemeinen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem Einkommen verwerten kann (BGE 135 V 297 E. 5.2 S. 301, 134 V 322 E. 5.2 S. 327, 126 V 75 E. 5b/bb S. 80; Urteil 8C_546/2011 vom 14. November 2011 E. 4.1). Die Frage, ob eine Herabsetzung des statistischen Lohnes angezeigt ist, ist eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (BGE 137 V 71 E. 5.1 S. 72; Urteil 8C_546/2011 E. 4.2).
5. 5.1 Die Versicherte rügt mit Blick auf das rechtliche Gehör, die Vorinstanz sei zum Schluss gekommen, im zweiten Schriftenwechsel hätten sich keine neuen Gesichtspunkte ergeben, wobei sie die Frage der Legasthenie offen gelassen habe. Die Versicherte habe mit Einreichung der entsprechenden IV-Akte belegt, dass sie an Legasthenie leide. Zudem habe sie nachgewiesen, dass sie nur die Realschule besucht habe. Damit sei erstellt, dass sie nur Arbeiten im LSE-Anforderungsniveau 4 (einfache und repetitive Tätigkeiten) ausüben könne.
Im Gutachten der Akademie Y._ vom 1. März 2010 wurde dargelegt, es habe sich nicht geäussert, dass die Versicherte Legasthenikerin sei. Ein Hinweis auf kognitive Störungen sei nicht gefunden worden; auch eine erhebliche Konzentrations-, Gedächtnis- oder Merkfähigkeitsstörung habe nicht objektiviert werden können und sei subjektiv nicht beklagt worden. Diese Feststellung beanstandet die Versicherte nicht substanziiert. Zudem hat die Vorinstanz richtig erkannt, dass die IV-Stelle das Invalideneinkommen ausgehend vom LSE-Anforderungsniveau 4 ermittelt hat. Eine Verletzung des Gehörsanspruchs ist nicht ersichtlich; der angefochtene Entscheid erfüllt die Anforderungen an die Begründungspflicht (BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88).
5.2 Die Versicherte wendet ein, im Rahmen des ersten Vorbescheids vom 19. Juli 2006 habe die IV-Stelle bei einer Restarbeitsfähigkeit von 72 % einen 10%igen Leidensabzug zugelassen. Neben der seither eingetretenen erhöhten Einschränkung aufgrund der Rückenbeschwerden bestehe neu auch aus psychiatrischer Sicht eine 20%ige Einschränkung. Mithin sei nicht nachvollziehbar, weshalb die IV-Stelle nun zu einer anderen Auffassung gelange. Dieser Einwand ist unbehelflich. Die Vorinstanz hat richtig erkannt, dass es der IV-Stelle nicht untersagt war, im Verlaufe des Verfahrens die Auffassung zu ändern, wenn dies sachlich begründet und nachvollziehbar war. Denn gestützt auf den vorinstanzlichen Entscheid vom 26. März 2009 hatte die IV-Stelle über die Sache ohne Vorgaben hinsichtlich der Abzugsfrage neu zu entscheiden.
5.3 Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Vorinstanz argumentiere, dass wegen der Teilzeitarbeit tendenziell von einem höheren Lohnniveau auszugehen sei. Es stelle sich aber die Frage, weshalb die Vorinstanz überhaupt von einer Teilzeitarbeit ausgehe. Aufgrund des Gutachtens der Akademie Y._ vom 1. März 2010 sei vielmehr davon auszugehen, dass sie bei einer Vollzeitbeschäftigung nur gerade einen Leistungsgrad von 50 % erreichen könne. Dies führe zu einer verhältnismässig tieferen Entlöhnung.
Im Ergebnis kann offenbleiben, ob die Versicherte die 50%ige Arbeitsfähigkeit voll- oder teilzeitlich erbringen kann. Denn der Umstand, dass eine grundsätzlich vollzeitlich arbeitsfähige versicherte Person gesundheitlich bedingt lediglich reduziert leistungsfähig ist, rechtfertigt an sich keinen Abzug vom Tabellenlohn (Urteile 9C_582/2011 vom 3. November 2011 E. 3.1 und 8C_328/2011 vom 7. Dezember 2011 E. 10.2). Zudem fällt bei teilzeitlich angestellten Frauen das Kriterium des reduzierten Beschäftigungsgrades von vornherein kaum ins Gewicht, verdienen diese laut Statistik doch oftmals gar nicht weniger als Vollzeitbeschäftigte. Zu denken ist etwa an Betätigungsbereiche, in welchen Teilzeitarbeit Nischen auszufüllen vermag, die arbeitgeberseits stark gefragt sind und dementsprechend entlöhnt werden. Eine bloss teilzeitlich ausgeübte Beschäftigung kann sich im Vergleich zu einer Vollzeitbeschäftigung bei Frauen sogar proportional lohnerhöhend auswirken, womit die Rechtfertigung für einen Tabellenlohnabzug entfällt. Dies trifft praktisch auf alle nach Beschäftigungsgrad und Anforderungsniveau differenzierten Konstellationen zu, weshalb bei ihnen ein Abzug wegen gesundheitlich bedingt reduzierten Beschäftigungsgrades in aller Regel nicht in Betracht fällt (Urteile 8C_379/2011 vom 26. August 2011 E. 4.2.2.2 und 8C_328/2011 E. 10.2). Substanziierte Gründe, die zu einer anderen Beurteilung Anlass zu geben vermöchten, sind nicht ersichtlich und werden auch nicht genannt.
Im Ergebnis kann offenbleiben, ob die Versicherte die 50%ige Arbeitsfähigkeit voll- oder teilzeitlich erbringen kann. Denn der Umstand, dass eine grundsätzlich vollzeitlich arbeitsfähige versicherte Person gesundheitlich bedingt lediglich reduziert leistungsfähig ist, rechtfertigt an sich keinen Abzug vom Tabellenlohn (Urteile 9C_582/2011 vom 3. November 2011 E. 3.1 und 8C_328/2011 vom 7. Dezember 2011 E. 10.2). Zudem fällt bei teilzeitlich angestellten Frauen das Kriterium des reduzierten Beschäftigungsgrades von vornherein kaum ins Gewicht, verdienen diese laut Statistik doch oftmals gar nicht weniger als Vollzeitbeschäftigte. Zu denken ist etwa an Betätigungsbereiche, in welchen Teilzeitarbeit Nischen auszufüllen vermag, die arbeitgeberseits stark gefragt sind und dementsprechend entlöhnt werden. Eine bloss teilzeitlich ausgeübte Beschäftigung kann sich im Vergleich zu einer Vollzeitbeschäftigung bei Frauen sogar proportional lohnerhöhend auswirken, womit die Rechtfertigung für einen Tabellenlohnabzug entfällt. Dies trifft praktisch auf alle nach Beschäftigungsgrad und Anforderungsniveau differenzierten Konstellationen zu, weshalb bei ihnen ein Abzug wegen gesundheitlich bedingt reduzierten Beschäftigungsgrades in aller Regel nicht in Betracht fällt (Urteile 8C_379/2011 vom 26. August 2011 E. 4.2.2.2 und 8C_328/2011 E. 10.2). Substanziierte Gründe, die zu einer anderen Beurteilung Anlass zu geben vermöchten, sind nicht ersichtlich und werden auch nicht genannt.
5.4 5.4.1 Die Vorinstanz erwog weiter im Wesentlichen, die Sozialversicherungen würden bei Frauen praxisgemäss folgende Schweregrade beim Heben und Tragen unterscheiden: solche Tätigkeiten gälten bis 5 kg als leicht, von 6-10 kg als mittelschwer und ab 11 kg als schwer. Es bestehe kein Anlass, diese sachlich vertretbare Verwaltungspraxis zu korrigieren. Da die Gewichtslimite im Gutachten der Akademie Y._ vom 1. März 2010 mit 10 kg angegeben werde, könne die Versicherte leichte bis mittelschwere Tätigkeiten ausüben. Die IV-Stelle habe zu Recht keinen behinderungsbedingten Abzug aus körperlicher Sicht zugelassen, da der Versicherten ein genügend grosses Arbeitssegment offenstehe. Gemäss dem Gutachten der Akademie Y._ bewirke das psychische Leiden eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 20 %. Damit sei den psychischen Beschwerden bereits genügend Rechnung getragen worden. Eine weitergehende Berücksichtigung beim leidensbedingten Abzug lasse sich nicht rechtfertigen, weil keine Anhaltspunkte dafür bestünden, dass sie die psychiatrischerseits eingeschränkte Arbeitsfähigkeit nur mit unterdurchschnittlichem Lohn verwerten könne.
Die Versicherte wendet im Wesentlichen ein, gemäss dem Gutachten der Akademie Y._ vom 1. März 2010 könne sie nur noch eine leichte Tätigkeit verrichten. Es handle sich um eine Gesamtbeurteilung, die sich nicht nur auf das Tragen und Heben von Gewichten beziehe. Im neurologischen Teilgutachten der Akademie Y._ sei auf das orthopädische Teilgutachten der Akademie Y._ verwiesen worden, worin von einer leichten Verweisungstätigkeit ausgegangen worden sei. Die von der Vorinstanz vorgebrachten Gewichtslimiten vermöchten die Beurteilung der Akademie Y._, die weder unvollständig noch widersprüchlich sei, nicht zu widerlegen. Zudem sei aufgrund der Art und Schwere ihrer psychischen Störung davon auszugehen, dass sie zusätzliche Nachteile zu gewärtigen habe, die sich auf die mögliche Lohnhöhe auswirkten. Insbesondere die Angststörungen erforderten eine entsprechende Rücksichtnahme eines Arbeitgebers. Dass die psychischen Einschränkungen bei der Ermittlung des Invalidenlohns noch nicht hätten berücksichtigt werden können, ergebe sich aus dem Umstand, dass die Einschränkung von 20 % aus psychiatrischer Sicht im Gesamtumfang von 50 % bereits enthalten sei. Mithin wäre der Grad der Arbeitsunfähigkeit aufgrund der physischen Beschwerden gleich bewertet worden, selbst wenn keine psychischen Beschwerden bestünden.
5.4.2 Es ist fraglich, ob der vorinstanzlichen Argumentation, bei Frauen liege beim Heben und Tragen von Lasten von 6-10 kg eine mittelschwere Tätigkeit vor, strikt beizupflichten ist. Denn es wurde im Urteil 8C_831/2010 vom 31. März 2011 E. 7.1 von einem leichten Arbeitsplatzniveau mit seltenem Heben und Tragen von 5-10 kg, im Urteil 8C_176/2010 vom 14. Juni 2010 E. 6.2.2 von einer leichten angepassten Tätigkeit (keine Lasten über 10 kg) und im Urteil SVR 2008 IV Nr. 2 S. 3 E. 4.1 [I 697/05]) von einer leichten Tätigkeit (ohne Heben von Lasten über 10 kg) gesprochen. Diese Frage kann indessen offenbleiben. Denn selbst wenn davon ausgegangen wird, der Versicherten sei nur noch eine leidensangepasste leichte Arbeit zumutbar, kann sie daraus nichts zu ihren Gunsten ableiten, wie die folgenden Erwägungen zeigen.
Aus dem Gutachten der Akademie Y._ vom 1. März 2010 ergeben sich keine Anhaltspunkte dafür, dass den leidensbedingten Einschränkungen der Versicherten durch den festgelegten Grad der Arbeitsunfähigkeit (vgl. E. 3 hievor) nicht hinreichend Rechnung getragen wird. Insbesondere wurde bei der Gesamtbeurteilung der Arbeitsfähigkeit weder eine Verlangsamung noch eine erhöhte Pausenbedürftigkeit der Versicherten angegeben; Gegenteiliges macht sie auch nicht geltend. Zudem ist zu beachten, dass sie im Rahmen der Begutachtung der Akademie Y._ angab, ihre Hobbys seien Lesen, Fernsehen, Stricken, Spazieren mit ihrem Hund und seltenes Rückenschwimmen; ihr Bekanntenkreis sei intakt (vgl. auch Urteil 8C_539/2009 vom 22. Oktober 2009 E. 5.2). Diese recht umfangreichen Betätigungen der Versicherten stützen die Annahme, dass sie in einer Tätigkeit im LSE-Anforderungsniveau 4 (einfache und repetitive Tätigkeiten) nicht noch zusätzlich limitiert ist.
Soweit sie vorbringt, sie sei psychisch bedingt auf entsprechende Rücksichtnahme seitens eines Arbeitgebers angewiesen, ist dies - wie die Vorinstanz richtig erwogen hat - bisher nicht als eigenständiger abzugsfähiger Umstand anerkannt worden (SVR 2010 IV Nr. 28 S. 87 E. 2.3.2 [9C_708/2009]). In Anbetracht von Art und Schweregrad der Störung - im Gutachten der Akademie Y._ vom 1. März 2010 wurde diesbezüglich von einer leichten Einschränkung gesprochen - besteht vorliegend kein Anlass, anders zu entscheiden.
In diesem Lichte kann die Versicherte aus dem von ihr angerufenen Urteil I 85/03 vom 23. Oktober 2003 E. 5.3, worin der versicherten Person wegen der leidensbedingten Einschränkung ein 10%iger Abzug gewährt wurde, nichts zu ihren Gunsten ableiten. Denn der dortige Sachverhalt ist mit dem vorliegenden nicht hinreichend vergleichbar.
Mit Blick auf die weiteren lohnwirksamen persönlichen und beruflichen Merkmale der Versicherten (E. 4 hievor) kann nicht gesagt werden, dass die verbliebene Arbeitsfähigkeit wegen besonderer Umstände nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwertbar wäre. Gegenteiliges bringt sie diesbezüglich nicht vor.
5.5 Nach dem Gesagten ist es nicht bundesrechtswidrig, dass IV-Stelle und Vorinstanz keinen Abzug von dem aufgrund der LSE ermittelten Invalideneinkommen vornahmen. Im Übrigen erhebt die Versicherte gegen die Invaliditätsbemessung in masslicher Hinsicht keine substanziierten Einwendungen, weshalb es damit sein Bewenden hat.
6. Die unterliegende Versicherte trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, der Ausgleichskasse des Kantons Graubünden und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Dezember 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Jancar