Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1977), dominikanische Staatsangehörige, reiste 1995 in die Schweiz ein, wo sie am 21. Juni 1996 die Ehe mit dem Schweizer Bürger Y._ schloss und gestützt darauf eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Die Bewilligung wurde regelmässig verlängert, letztmals bis zum 27. Juni 2007. Aus der Ehe mit ihrem Schweizer Gatten ging 1997 der Sohn Z._ hervor, welcher ebenfalls die schweizerische Staatsangehörigkeit besitzt. Am 28. August 2000 wurde die Ehe von X._ und Y._ geschieden und Z._ der elterlichen Sorge der Mutter unterstellt.
X._ bezog vom 17. Dezember 2001 bis zum 31. März 2008 Sozialhilfe. Das Amt für Migration des Kantons Luzern verwarnte sie deswegen zweimal (am 25. Mai 2005 und am 11. August 2006).
B. Am 10. Juli 2007 ersuchte X._ um erneute Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und am 31. Juli 2008 um Erteilung der Niederlassungsbewilligung.
Mit Verfügung vom 16. Juli 2009 lehnte das Amt für Migration sowohl eine Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung als auch die Erteilung der Niederlassungsbewilligung unter Hinweis auf die Sozialhilfeabhängigkeit ab, und es wies X._ aus der Schweiz weg.
Die von X._ hiergegen erhobenen Beschwerden wurden vom Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern (Entscheid vom 8. März 2010) und vom Verwaltungsgericht des Kantons Luzern (Urteil vom 4. April 2011) abgewiesen.
C. Mit Eingabe vom 5. Mai 2011 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht und beantragt im Wesentlichen, es sei ihre Aufenthaltsbewilligung in Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu verlängern.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Amt für Migration des Kantons Luzern und das Bundesamt für Migration reichen innert Frist keine Stellungnahme ein.
X._ verzichtet mit Eingabe vom 2. September 2011 auf Bemerkungen zur Stellungnahme des Verwaltungsgerichts und reicht am 5. September 2011 neue Unterlagen ein.
D. Mit Verfügung vom 10. Mai 2011 erkannte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zu.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 135 III 1 E. 1.1 S. 3).
Gegen den angefochtenen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Sie ist jedoch nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG unzulässig gegen Entscheide betreffend ausländerrechtliche Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen. Die Beschwerdeführerin hat nach den Bestimmungen des hier noch anwendbaren Bundesgesetzes vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; in Kraft gewesen bis zum 31. Dezember 2007; vgl. E. 2 hiernach) keinen gesetzlichen Anspruch auf die Bewilligungsverlängerung. Sie kann sich indessen als Mutter eines minderjährigen Schweizer Bürgers, der unter ihrer elterlichen Sorge steht, grundsätzlich auf Art. 8 EMRK berufen, sofern der Sohn in der Schweiz lebt. Das Amt für Migration des Kantons Luzern ist in seiner Verfügung vom 16. Juli 2009 davon ausgegangen, dass der Sohn seit Februar 2007 in der Dominikanischen Republik wohnt, weshalb die Beschwerdeführerin aus Art. 8 EMRK keinen Anspruch auf Aufenthalt in der Schweiz ableiten könne. Nach den Feststellungen der Vorinstanz lebt der Sohn jedoch seit August 2009 wieder in der Schweiz. Die Beschwerdeführerin kann sich demnach in Zusammenhang mit dem vorliegenden Verfahren auf Art. 8 EMRK berufen, so dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten hier zulässig ist (BGE 135 I 143 E. 1.3 S. 145 f.).
Als Adressatin des angefochtenen Urteils ist die Beschwerdeführerin ohne Weiteres zur Beschwerdeführung legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG), so dass auf das im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Rechtsmittel (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) einzutreten ist.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Rüge hin (Art. 97 BGG) oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. Die Beschwerdeführerin hat noch vor dem per 1. Januar 2008 erfolgten Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) ein Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestellt und erst nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ein Gesuch um Erteilung der Niederlassungsbewilligung eingereicht. Das Amt für Migration des Kantons Luzern hat in seiner Verfügung beide Gesuche abgewiesen. Schon vor den kantonalen Rechtsmittelinstanzen wie auch im vorliegenden Verfahren vor Bundesgericht beantragt die Beschwerdeführerin indes nur noch die Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung. Zu Recht haben die kantonalen Instanzen diesen Antrag nach den Bestimmungen des inzwischen aufgehobenen ANAG beurteilt (Art. 126 Abs. 1 AuG).
3. 3.1 Wie bereits ausgeführt, kann sich die Beschwerdeführerin zur Begründung des Anspruchs auf Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung grundsätzlich auf das von Art. 8 Ziff. 1 EMRK gewährleistete Recht auf Achtung des Familienlebens berufen (vgl. E. 1 hiervor). Jedoch gilt der in Art. 8 Ziff. 1 EMRK statuierte Anspruch nicht absolut: Vielmehr darf nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut u.a. dann eingegriffen werden, wenn der Eingriff gesetzlich vorgesehen ist und eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für das wirtschaftliche Wohl des Landes notwendig ist.
3.2 Art. 4 ANAG bestimmt, dass die zuständige Behörde im Rahmen der gesetzlichen Vorschriften und der Verträge mit dem Ausland nach freiem Ermessen über die Bewilligung von Aufenthalt und Niederlassung entscheidet. Gemäss Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG kann der Ausländer aus der Schweiz ausgewiesen werden, wenn er oder eine Person, für die er zu sorgen hat, der öffentlichen Wohltätigkeit fortgesetzt und in erheblichem Masse zur Last fällt. Vorausgesetzt wird dabei, dass dem Ausgewiesenen die Rückkehr in seinen Heimatstaat möglich und zumutbar ist (Art. 10 Abs. 2 ANAG). Die Ausweisung soll zudem nur verfügt werden, wenn sie nach den gesamten Umständen angemessen erscheint (Art. 11 Abs. 3 ANAG).
3.3 Bei der Entfernung eines Ausländers wegen Bedürftigkeit geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Ob dies der Fall sein wird, ist allerdings kaum je mit Sicherheit feststellbar. Es muss daher auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung beim Ausländer abgestellt werden. Dabei ist grundsätzlich von den aktuellen Verhältnissen auszugehen, doch ist für die Qualifikation einer Fürsorgeabhängigkeit als fortgesetzt i.S. von Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG nicht so sehr von Bedeutung, ob gegenwärtig eine Fürsorgeabhängigkeit besteht; entscheidend ist vielmehr, ob die Abhängigkeit zurückblickend einige Zeit andauerte und ob die Befürchtung berechtigt ist, dass auch für die weitere Zukunft Unterstützung geleistet werden muss (BGE 122 II 1 E. 3c S. 8 f.; 119 Ib 1 E. 3b S. 6; Urteil 2C_795/2008 vom 25. Februar 2009 E. 4.3). Nach einer über zehnjährigen Anwesenheit in der Schweiz sprechen in der Regel gewichtige Interessen gegen eine Ausweisung oder Heimschaffung wegen Bedürftigkeit (BGE 119 Ib 1 E. 4c S. 8).
4. 4.1 Die Vorinstanz hat festgestellt, dass die Beschwerdeführerin über eine Zeitspanne von sieben Jahren (2002-2008) Sozialhilfe im Umfang von Fr. 109'500.-- erhalten habe. Damit hat die Beschwerdeführerin in erheblicher Weise Fürsorgeleistungen bezogen (vgl. die Hinweise auf die Rechtsprechung im Urteil 2C_268/2011 vom 22. Juli 2011 E. 6.2.3). Unbestritten ist auch, dass die Beschwerdeführerin seit Frühjahr 2008 keine Sozialhilfe mehr bezogen hat. Das Verwaltungsgericht ging diesbezüglich jedoch davon aus, dass sie in der Zeit von Mai 2008 bis August 2009 ein durchschnittliches Monatseinkommen von lediglich Fr. 786.75 erzielt habe, was zur Finanzierung des Lebensunterhalts nicht ausreiche. Die Vermutung liege nahe, dass die Beschwerdeführerin eigentlich auf wirtschaftliche Sozialhilfe angewiesen wäre, diese aber vorübergehend nicht beziehe, um dadurch das Verfahren betreffend Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung positiv zu beeinflussen. Es könne daher keine günstige Prognose hinsichtlich der finanziellen Situation gestellt werden und es sei auch in Zukunft eine Unterstützungsbedürftigkeit zu befürchten.
4.2 Die Beschwerdeführerin wirft dem Verwaltungsgericht vor, den rechtserheblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt zu haben, indem es von einem monatlichen Einkommen von bloss Fr. 786.75 ausgegangen sei. In Wirklichkeit habe sie im Jahre 2010 pro Monat ein Erwerbseinkommen von rund Fr. 2'200.-- erzielt und zudem Kinderalimente und Kinderzulagen von Fr. 700.-- pro Monat erhalten. Sie rügt sodann, die Vorinstanz habe den ins Recht gelegten Arbeitsvertrag mit der Q._ GmbH vom 21. Dezember 2010 nicht berücksichtigt, aus welchem hervorgehe, dass sie, die Beschwerdeführerin, ab 1. Januar 2011 ein unbefristetes 40 %-Pensum innehabe und schon aus dieser Tätigkeit monatlich Fr. 1'513.-- verdiene, was zusammen mit Einkommen aus anderen Anstellungen zu einem Erwerbseinkommen von insgesamt Fr. 2'642.-- /Monat führe. Zur Stützung ihrer Angaben legt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nebst den bereits beim Verwaltungsgericht eingereichten Unterlagen auch Lohnausweise für das Jahr 2010 vor, welche ein Bruttoeinkommen von rund Fr. 2'000.-- pro Monat belegen.
4.3 Die Rüge der Beschwerdeführerin ist begründet:
In ihrer Beschwerde vom 8. April 2010 an die Vorinstanz hatte die Beschwerdeführerin ein monatliches Erwerbseinkommen von rund Fr. 1'990.-- angegeben und dafür als Belege die Lohnabrechnungen von vier Arbeitgebern für den Monat Januar 2010 (und teilweise Februar 2010) eingereicht, welche das angegebene Einkommen bestätigten. Sodann reichte sie nachträglich den Arbeitsvertrag mit der Q._ GmbH ein, wonach sie ab 1. Januar 2011 mit einem Pensum von 40 % für ein Bruttosalär von Fr. 1'513.-- / Monat arbeiten werde (anstelle der rund Fr. 1'157.--, welche sie zuvor bei diesem Arbeitgeber verdient hatte). Die Vorinstanz hat bezüglich des Erwerbseinkommens indessen erwogen, das von der Beschwerdeführerin angegebene Monatseinkommen sei nicht nachgewiesen, da die als Beleg eingereichten Lohnabrechnungen vom Januar 2010 nur eine Momentaufnahme seien. Den ab 1. Januar 2011 geltenden Arbeitsvertrag mit der Q._ GmbH hat das Verwaltungsgericht weder im Sachverhalt erwähnt noch in den Erwägungen gewürdigt.
Mit der Einreichung der Lohnabrechnungen für Januar 2010 hat die Beschwerdeführerin jedoch ihre Mitwirkungspflichten erfüllt und Belege eingereicht, welche üblicherweise zum Nachweis eines Einkommens als genügend erachtet werden. Wenn die Vorinstanz diese Belege als blosse Momentaufnahme und mithin als ungenügend erachtete, dann hätte sie die Beschwerdeführerin auffordern müssen, die ihres Erachtens ungenügend nachgewiesenen Angaben weiter zu belegen. Indem das Verwaltungsgericht dies nicht getan hat, sondern ohne Weiteres von einem monatlichen Erwerbseinkommen von bloss Fr. 786.75 ausging (welches dem im Jahr 2008/2009 erzielten Einkommen bei nur einem der vier Arbeitgeber entsprach), würdigte sie nicht alle eingereichten Unterlagen. Der angefochtene Entscheid hat deshalb Anlass gegeben, vor Bundesgericht Noven einzureichen (Art. 99 Abs. 1 BGG). Aus den hier neu edierten Unterlagen ergibt sich in der Tat, dass die Beschwerdeführerin jedenfalls seit 2011 ein monatliches Erwerbseinkommen von mindestens Fr. 2'500.-- erzielt. Sodann hat selbst die Vorinstanz festgestellt, dass der Kindsvater seinen Unterhaltspflichten nachkomme; die von ihm entrichteten Kinderalimente betragen gemäss Abänderungsurteil vom 20. Mai 2003 Fr. 500.-- pro Monat plus Kinderzulagen. Insgesamt ist damit ein monatliches Mindesteinkommen von rund Fr. 3'200.-- hinreichend nachgewiesen. Da die Beschwerdeführerin in einer Wohngemeinschaft mit anderen Frauen lebt und deshalb nur Mietzinsausgaben von Fr. 330.-- pro Monat hat (was aus den bereits bei der Vorinstanz eingereichten Unterlagen zur Erlangung der unentgeltlichen Prozessführung hervorgeht), reicht dieses Einkommen aus, um den Lebensunterhalt der Beschwerdeführerin und ihres Sohnes zu gewährleisten.
Im Gesuch zur Erlangung der unentgeltlichen Prozessführung betreffend das vorinstanzliche Verfahren hatte die Beschwerdeführerin allerdings ein monatliches Einkommen von Fr. 1'990.-- (ohne Alimente) angegeben und einen monatlichen Fehlbetrag von Fr. 1'326.-- errechnet. Im entsprechenden Gesuch betreffend das Verfahren vor dem Justiz- und Sicherheitsdepartement hatte sie sogar ein Einkommen von nur Fr. 495.-- pro Monat angegeben. Das in der Vergangenheit erzielte tiefe Einkommen erstaunt umso mehr, als die Beschwerdeführerin auch während den mehr als zwei Jahren, in denen ihr Sohn in der Dominikanischen Republik weilte und sie demzufolge keine Betreuungs- und Erziehungsaufgaben wahrzunehmen hatte, höchstens einer bescheidenen Erwerbstätigkeit nachging und im Übrigen Sozialhilfe bezog. Unter diesen Umständen erscheint die Annahme der Vorinstanz durchaus als verständlich, die Aufnahme der Arbeitstätigkeit im Jahre 2008 (d.h. im Zeitpunkt, als die Verlängerung der Arbeitsbewilligung zur Diskussion stand) spreche weniger für einen freiwilligen und überzeugten Einstieg in die Arbeitswelt als vielmehr für eine unter dem Druck der drohenden Ausweisung gefällte Entscheidung, weswegen die Wahrscheinlichkeit einer erneuten Sozialhilfeabhängigkeit als nicht unerheblich einzustufen sei. Entscheidend ist aber, dass aufgrund der Einkommenssituation, wie sie sich im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids präsentierte, die Gefahr einer Sozialhilfeabhängigkeit nicht (mehr) besteht und auch keine hinreichenden Indizien vorliegen, dass sich dies in Zukunft ändern wird. Angesichts der im Rahmen des Verhältnismässigkeitsprinzips (vgl. E. 3.2 und E. 3.3 hiervor) zu berücksichtigenden langen bisherigen Aufenthaltsdauer in der Schweiz und dem Interesse der Beschwerdeführerin, ihr Familienleben in der Schweiz zu führen, ist die Aufenthaltsbewilligung bei dieser Sachlage noch zu verlängern. Die Beschwerdeführerin ist aber mit Nachdruck darauf hinzuweisen, dass dies einzig der nicht mehr vorhandenen Sozialhilfeabhängigkeit zu verdanken ist. Sollte sie in Zukunft erneut Sozialhilfe beziehen, wird eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht mehr in Frage kommen, zumal - wie die Vorinstanz mit Recht erwogen hat - der Beschwerdeführerin die Rückkehr in ihre Heimat zumutbar ist und auch verhältnismässig wäre, wenn der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt zuträfe. Die Beschwerdeführerin wird in diesem Sinne ausdrücklich verwarnt.
4.4 Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gutzuheissen und das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 4. April 2011 aufzuheben. Das Migrationsamt des Kantons Luzern ist anzuweisen, die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin zu verlängern.
5. Bei diesem Ergebnis werden für das bundesgerichtliche Verfahren keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG). Der Kanton Luzern hat der Beschwerdeführerin jedoch eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 BGG). Für die Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens wird die Angelegenheit an das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern zurückgewiesen. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird beim vorliegenden Verfahrensausgang gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 4. April 2011 wird aufgehoben. Das Migrationsamt des Kantons Luzern wird angewiesen, der Beschwerdeführerin die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
2. Die Beschwerdeführerin wird im Sinne der Erwägungen verwarnt.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Kanton Luzern hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Die Sache wird an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen zur Regelung der Kosten- und Entschädigungsfrage für das kantonale Verfahren.
6. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Amt für Migration des Kantons Luzern, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. November 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler