Sachverhalt:
A. A.a Z._ (geb. 1948) und X._ (geb. 1971) haben am xxxx 1995 geheiratet. Die Ehe blieb kinderlos.
A.b Auf Begehren von X._ hob die Amtsgerichtspräsidentin des Richteramts Olten-Gösgen mit Verfügung vom 12. November 2009 den gemeinsamen Haushalt der Eheleute für unbestimmte Zeit auf, setzte X._ Frist zum Auszug aus der ehelichen Liegenschaft und verurteilte Z._, seiner Ehefrau ab dem Auszug für die Dauer von 12 Monaten einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 2'750.-- und ab dem 13. Monat einen solchen von Fr. 1'850.-- zu bezahlen.
B. Gegen die Verfügung vom 12. November 2009 erhoben beide Ehegatten Rekurs. Z._ beantragte, er sei zu verpflichten, seiner Ehefrau ab Auszug aus der ehelichen Liegenschaft bis Juni 2010 monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'180.-- zu bezahlen. X._ stellte den Antrag, ihr Ehemann sei zu verpflichten, ihr ab dem Auszug einen den Betrag von Fr. 2'750.-- übersteigenden Unterhaltsbeitrag zu bezahlen. Die Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn wies den Rekurs der Ehefrau ab. Denjenigen des Ehemannes hiess sie teilweise gut. Sie reduzierte den Unterhaltsbeitrag für die Ehefrau auf monatlich Fr. 2'400.-- und auf eine Dauer von 12 Monaten (Urteil vom 15. April 2010).
C. C.a Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 12. Mai 2010 gelangt X._ (nachfolgend "Beschwerdeführerin") an das Bundesgericht. Sie beantragt in der Sache, das Urteil der Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn aufzuheben und Z._ (nachfolgend "Beschwerdegegner") zu verpflichten, ihr ab Auszug aus der ehelichen Liegenschaft für die Dauer von 12 Monaten einen Unterhalt von Fr. 3'257.50 und danach von Fr. 2'057.50 zu bezahlen; eventualiter sei der Unterhalt nach richterlichem Ermessen festzusetzen. Weiter stellte die Beschwerdeführerin den Antrag, der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, ihr für das Verfahren vor Bundesgericht einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 5'000.--, eventuell nach richterlichem Ermessen zu bezahlen; eventualiter sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
C.b Mit Präsidialverfügung vom 14. Mai 2010 wies das Bundesgericht das Gesuch um Zusprechung eines Prozesskostenvorschusses ab und sistierte das Verfahren bis zum kantonalen Entscheid über den Prozesskostenvorschuss. Die Amtsgerichtspräsidentin des Richteramts Olten-Gösgen wies das entsprechende Gesuch mit Verfügung vom 25. Juni 2010 ab; dieser Entscheid erwuchs am 14. Juli 2010 in Rechtskraft.
C.c Der Beschwerdegegner und das Obergericht des Kantons Solothurn beantragen, die Beschwerde in der Sache abzuweisen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) in einer Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG), deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4, Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist demnach einzutreten.
1.2 Eheschutzentscheide gelten nach der Rechtsprechung als vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.2 S. 397), so dass in der Beschwerde nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Art. 95 und Art. 97 BGG und auch Art. 105 Abs. 2 BGG gelangen deshalb nicht zur Anwendung. Die hier gegebenen Verhältnisse entsprechen mithin denjenigen bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG). Wie dort (Art. 118 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 116 BGG) kommt eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen auch hier nur dann in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588).
1.3 Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip. Die rechtssuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen kantonalen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht (Rügeprinzip; BGE 133 III 439, E. 3.2 S. 444). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) berufen will, kann sich demzufolge nicht darauf beschränken, den vorinstanzlichen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Vielmehr ist anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 117 Ia 10 E. 4b S. 11 f.). Dies ist nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts der Fall, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur dann als willkürlich auf, wenn er nicht bloss in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen).
2. 2.1 Nach Art. 176 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB setzt der Richter die Geldbeträge fest, die der eine Ehegatten dem andern schuldet. Während der Dauer der Ehe müssen beide Ehegatten, ein jeder nach seinen Möglichkeiten (Art. 163 Abs. 1 ZGB), für die zusätzlichen Kosten aufkommen, die durch die Führung zweier paralleler Haushalte verursacht werden (Urteil 5A_515/2008 vom 1. Dezember 2008 E. 2.1). Dabei haben Mann und Frau grundsätzlich gleichermassen Anspruch auf Fortführung der bisherigen Lebenshaltung bzw. bei beschränkten finanziellen Mitteln auf eine gleichwertige Lebensführung (BGE 128 III 65 E. 4a S. 67; 119 II 314 E. 4b/aa S. 318). Das Gesetz schreibt keine bestimmte Methode zur Unterhaltsbemessung vor (BGE 128 III 411 E. 3.2.2 S. 414). Der Sachrichter geniesst im Rahmen seines grossen Ermessens bei der Unterhaltsfestsetzung (BGE 127 III 136 E. 3a S. 141) relativ weitreichende Freiheiten bei der Gewichtung der relevanten Kriterien (Urteil 5A_241/2008 vom 16. Juli 2008 E. 2). Immerhin muss er sich gegebenenfalls zur angewandten Methode äussern und diese begründen (Urteil 5C.271/2005 vom 23. März 2006 E. 9.5).
2. 2.1 Nach Art. 176 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB setzt der Richter die Geldbeträge fest, die der eine Ehegatten dem andern schuldet. Während der Dauer der Ehe müssen beide Ehegatten, ein jeder nach seinen Möglichkeiten (Art. 163 Abs. 1 ZGB), für die zusätzlichen Kosten aufkommen, die durch die Führung zweier paralleler Haushalte verursacht werden (Urteil 5A_515/2008 vom 1. Dezember 2008 E. 2.1). Dabei haben Mann und Frau grundsätzlich gleichermassen Anspruch auf Fortführung der bisherigen Lebenshaltung bzw. bei beschränkten finanziellen Mitteln auf eine gleichwertige Lebensführung (BGE 128 III 65 E. 4a S. 67; 119 II 314 E. 4b/aa S. 318). Das Gesetz schreibt keine bestimmte Methode zur Unterhaltsbemessung vor (BGE 128 III 411 E. 3.2.2 S. 414). Der Sachrichter geniesst im Rahmen seines grossen Ermessens bei der Unterhaltsfestsetzung (BGE 127 III 136 E. 3a S. 141) relativ weitreichende Freiheiten bei der Gewichtung der relevanten Kriterien (Urteil 5A_241/2008 vom 16. Juli 2008 E. 2). Immerhin muss er sich gegebenenfalls zur angewandten Methode äussern und diese begründen (Urteil 5C.271/2005 vom 23. März 2006 E. 9.5).
2.2 2.2.1 Die kantonalen Feststellungen betreffend die Höhe ihrer eigenen Erwerbseinkünfte stellt die Beschwerdeführerin im vorliegenden Fall nicht in Frage. Auch die Annahme der Vorinstanz, der Beschwerdegegner erziele ein Monatseinkommen von Fr. 8'877.--, beanstandet sie ausdrücklich nicht. Streitig ist jedoch, als Ergebnis welcher Berechnungsmethode der Betrag von Fr. 4'000.-- zu gelten hat, den die Vorinstanz ermessensweise als "gebührenden Bedarf" der Beschwerdeführerin festsetzte.
2.2.2 Das Richteramt Olten-Gösgen stellte fest, die Angaben für eine individuelle Berechnung des "gebührenden Bedarfs" würden im vorliegenden Fall fehlen. Es bezifferte den für die Unterhaltsbemessung massgeblichen "Bedarf" der Beschwerdeführerin auf Fr. 3'935.-- und denjenigen des Beschwerdegegners auf Fr. 4'697.--. Wie die Beschwerdeführerin zutreffend ausführt, addierte die erste Instanz diese beiden Beträge, stellte die Summe den zusammengezählten Einkünften der Parteien gegenüber und errechnete gestützt auf die hälftige Teilung des resultierenden Überschusses die Unterhaltsbeiträge für die ersten zwölf Monate und für die Zeit ab dem 13. Monat seit der Trennung. Dabei orientierte sich das Richteramt Olten-Gösgen offensichtlich an der so genannten Methode des betreibungsrechtlichen Existenzminimums mit Überschussteilung, wie sie für die Bemessung des Ehegattenunterhalts während der Ehe bei durchschnittlichen Einkommensverhältnisse oft zur Anwendung kommt (vgl. BGE 134 III 145 E. 4 S. 146). Dessen ungeachtet hält das Obergericht des Kantons Solothurn im angefochtenen Entscheid fest, die Ehegatten seien "auf ihren Behauptungen zu behaften" und der Unterhaltsbeitrag sei "im Sinne des 'gebührenden Unterhalts' nach individuell konkreten Positionen [zu berechnen], die nicht dem Existenzminimum entsprechen"; dies habe "die Vorderrichterin grundsätzlich auch so gesehen, im Ergebnis aber dann nicht durchgezogen". Das Obergericht stellt fest, der Betrag, den die Beschwerdeführerin mit Fr. 4'039.-- und die erste Instanz mit Fr. 3'935.-- beziffert hat, könne "so übernommen werden". Gestützt auf diese Feststellung kommt das Obergericht zum Schluss, der "zu berücksichtigende gebührende Bedarf" sei "ermessensweise ... auf Fr. 4'000.00 festzusetzen".
2.2.3 Diese vorinstanzlichen Feststellungen rügt die Beschwerdeführerin als willkürlich. Indem das Obergericht des Kantons Solothurn den fraglichen Betrag nicht als Notbedarf, sondern als "gebührenden Bedarf" anrechne und ihr als Unterhaltsanspruch lediglich die Differenz zwischen ihrem Einkommen und diesem Betrag zuspreche, gestehe es ihr im Ergebnis nur ein Existenzminimum von Fr. 4'000.-- zu und verweigere ihr in unhaltbarer Weise die Weiterführung der bisherigen, den verfügbaren Mitteln entsprechenden höheren Lebenshaltung.
In der Tat ist schlechterdings nicht nachvollziehbar, wie das Obergericht dazu kommt, der Beschwerdeführerin die erstinstanzlich errechnete Beteiligung am Überschuss der gemeinsamen ehelichen Einkünfte abzusprechen und den Betrag von Fr. 4'000.--, den das Richteramt Olten-Gösgen offensichtlich noch als Grundlage für eine Unterhaltsberechnung nach dem Modell der hälftigen Überschussteilung herangezogen hatte (E. 2.2.2), unversehens als "gebührenden Unterhalt" und damit als Obergrenze des Unterhaltsanspruches festzusetzen - dies obwohl die erste Instanz ausdrücklich festgestellt hatte, die Angaben für eine individuelle Berechnung des gebührenden Bedarfs würden fehlen (E. 2.2.2), und entsprechende Angaben auch dem Obergericht nicht vorlagen. Ob das Obergericht der Beschwerdeführerin, wie diese selbst behauptet, dadurch wirklich nur noch eine auf das Existenzminimum reduzierte Lebensführung zugesteht, ist nicht so sehr von Belang. Denn so oder anders führt der vorinstanzliche Entscheid jedenfalls im Ergebnis dazu, dass der als "gebührender Bedarf" der Beschwerdeführerin festgesetzte Betrag sogar bei Berücksichtigung ihrer eigenen Erwerbseinkünfte nicht einmal die Hälfte des alleinigen Einkommens des Beschwerdegegners ausmacht. Eine solche Unterhaltsregelung steht in einem offenbaren Widerspruch mit der tatsächlichen Situation, wie sie im Falle der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts nach der allgemeinen Lebenserfahrung eintritt. Die trennungsbedingte Begründung eines zweiten Haushalts hat im Vergleich zum gemeinsamen Haushalt regelmässig eine Mehrbelastung, das heisst einen erhöhten Unterhaltsbedarf zur Folge (vgl. Brunner, in: Handbuch des Unterhaltsrechts, Hausheer/Spycher [Hrsg.], 2. Aufl., Bern 2010, S. 196 Rz. 04.54). Besteht das Ziel der gerichtlichen Regelung des ehelichen Unterhalts für die Zeit nach Aufhebung des gemeinsamen Haushalts aber darin, beiden Ehegatten - im Rahmen ihrer wirtschaftlichen Möglichkeiten - die Fortführung der bisherigen Lebenshaltung zu ermöglichen (E. 2.1), so ist in Anbetracht der langen Dauer der Ehe und des offensichtlichen wirtschaftlichen Ungleichgewichts zwischen den Ehegatten nicht einzusehen, weshalb einerseits der "gebührende Unterhalt" der Beschwerdeführerin auf Fr. 4'000.-- begrenzt und anderseits der Beschwerdegegner ab dem 13. Monat seit Aufhebung des gemeinsamen Haushalts von jeglichen Unterhaltsleistungen an die Beschwerdeführerin befreit sein soll.
2.2.4 Wenn die Beschwerdeführerin vor den kantonalen Instanzen nicht ausdrücklich dargetan hat, dass es sich beim von ihr geltend gemachten bzw. erstinstanzlich ermittelten Geldbetrag lediglich um ihren Not- und nicht um ihren gebührenden Unterhaltsbedarf handelte, so ist dies entgegen dem, was der Beschwerdegegner anzunehmen scheint, für den Ausgang des vorliegenden Verfahrens nicht ausschlaggebend. Zwar mag es zutreffen, dass die Beschwerdeführerin in den kantonalen Verfahren offenbar keine vollständigen Angaben zu ihrem gebührenden Unterhaltsbedarf gemacht hat und die vor Bundesgericht behaupteten Ausgabenpositionen als neue Tatsachen nicht berücksichtigt werden können (Art. 99 Abs. 1 BGG). Auch hat das Richteramt Olten-Gösgen die Wohnkosten der Beschwerdeführerin nicht auf ein Minimum reduziert, sondern einen - wie sie selbst ausdrücklich anerkennt - "gebührenden" Mietaufwand von Fr. 1'500.-- angenommen. Mit Recht weist die Beschwerdeführerin indessen darauf hin, dass die erstinstanzliche Kalkulation nur den betreibungsrechtlichen Grundbetrag, die Wohnkosten, die Krankenkassenprämie, die tatsächlichen Berufsauslagen und die Steuern berücksichtigt. Sie beruht offensichtlich nicht auf den konkreten Ausgabenpositionen, anhand derer der Aufwand für die Aufrechterhaltung der bisherigen Lebensführung (zuzüglich trennungsbedingter Mehrkosten) praxisgemäss zu errechnen und der "gebührende Bedarf" zu bestimmen wäre. Auch aus dem angefochtenen Entscheid geht mithin nicht eindeutig hervor, nach welchem Berechnungsmodus die Vorinstanz den massgeblichen Bedarf der Beschwerdeführerin tatsächlich festgesetzt hat. Die Frage kann indes offenbleiben. Entscheidend ist nämlich, dass das Obergericht allein gestützt auf die Anrechnung eines "gebührenden" Mietaufwandes und ohne den Sachverhalt weiter abzuklären nicht zum Schluss kommen durfte, die Beschwerdeführerin habe den Geldbetrag von Fr. 4'000.-- als ihren "gebührenden Bedarf" anerkannt und sei "auf ihren Behauptungen zu behaften" (E. 2.2.3).
2.3 Die Willkürrüge erweist sich nach dem Gesagten als begründet. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn verstösst gegen Art. 9 BV und ist aufzuheben. In der Sache selbst kann das Bundesgericht jedoch kein Urteil fällen, zumal es je nach der zur Berechnung des massgeblichen Unterhaltsbedarfs angewendeten Methode an hinreichenden Angaben fehlt bzw. die behaupteten Lebenshaltungskosten als neue Vorbringen nicht zu berücksichtigen sind (E. 2.2.4). Die Sache ist deshalb zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG). Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3. 3.1 Bei diesem Ausgang des Verfahrens dringt die Beschwerdeführerin in der Sache mit ihrem Hauptbegehren durch. Es rechtfertigt sich deshalb, die Gerichtsgebühr vor Bundesgericht dem Beschwerdegegner aufzuerlegen, der sich zur Beschwerde hat vernehmen lassen und mit seinem Abweisungsantrag unterlegen ist (Art. 66 Abs. 1 BGG). Als unterliegende Partei hat der Beschwerdegegner der Beschwerdeführerin auch die Kosten zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
3.2 Nachdem der Beschwerdegegner die Gerichtsgebühr zu tragen und der Beschwerdeführerin die Parteikosten zu ersetzen hat, erweist sich das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren als gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Urteil des Obergerichts des Kanton Solothurn vom 15. April 2010 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid an das Obergericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
4. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Dezember 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl V. Monn