Sachverhalt:
A. Die 1970 geborene, als Servicemitarbeiterin tätig gewesene Z._ übte diesen Beruf stundenweise im Zwischenverdienst aus und bezog Arbeitslosenentschädigung, als sie am 19. Oktober 2003 auf der Autobahn als Mitfahrerin in einem Ford Transit einen Verkehrsunfall erlitt. Aufgrund eines Unfalles, der sich kurz davor auf der Überholspur ereignet hatte, signalisierte ein Polizeibeamter den nahenden Verkehrsteilnehmern, die Geschwindigkeit herabzusetzen und auf der rechten Fahrspur zu bleiben. Der Fahrer des auf dieser Spur verkehrenden Ford Transit reduzierte die Geschwindigkeit, als er den Vorunfall und die Anwesenheit der Polizei wahrnahm. Ein vor ihm fahrender Nissan Patrol bremste seinerseits wegen eines anderen, von der Überholspur wechselnden Autos stark ab. Der Fahrer des Ford wurde davon überrascht. Er leitete noch eine Vollbremsung ein. Dennoch prallte sein Fahrzeug frontal ins Heck des Nissan. Z._, welche in der - nicht mit Sicherheitsgurten ausgerüsteten - 3. Sitzreihe des Ford Transit sass, prallte mit der linken Körperseite gegen den vorderen Sitz. Gemäss Bericht des Spitals X._ vom 19. Oktober 2003 zog sie sich dabei eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und eine Trapeziusmuskelzerrung zu. Es wurde eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt. In der Folge wurde überdies ein linksseitiges Kontusionstrauma der Schulter und des linken Sprunggelenkes diagnostiziert (kreisärztlicher Untersuchungsbericht vom 4. Dezember 2003). Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) als zuständiger obligatorischer Unfallversicherer erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach Abklärungen zum Unfallhergang und zum medizinischen Sachverhalt eröffnete sie Z._ mit Verfügung vom 6. Oktober 2006, die Leistungen würden mit dem 31. Juli 2006 eingestellt; zudem wurde ein Anspruch auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung verneint. Zur Begründung wurde ausgeführt, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem rechtserheblichen Zusammenhang zum Unfall vom 19. Oktober 2003. Daran hielt die SUVA auf Einsprache der Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 24. Januar 2007).
B. Die von Z._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit Entscheid vom 28. August 2007 ab.
C. Z._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des kantonalen Entscheides seien rückwirkend ab dem 1. August 2006 die vollen Versicherungsleistungen, d.h. Heilbehandlung und Taggeld, allenfalls eine Invalidenrente entsprechend einer vollen Erwerbsunfähigkeit und eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 40 %, zuzusprechen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 8. resp. 21. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin aus dem Unfall vom 19. Oktober 2003 über den 31. Juli 2006 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat. Dabei ist umstritten, ob der Unfall in einem rechtserheblichen Zusammenhang zu den noch vorhandenen gesundheitlichen Beschwerden steht.
Die massgeblichen Rechtsgrundlagen sind im angefochtenen Entscheid und im Einspracheentscheid vom 24. Januar 2007, auf den die Vorinstanz verweist, zutreffend dargelegt. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der sog. Schleudertrauma-Praxis, welche bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen zur Anwendung gelangt, auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (BGE 134 V 109 E. 9 und 10 S. 121 ff.). Die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze (BGE 115 V 133) liess das Bundesgericht hingegen unverändert bestehen (vgl. BGE 134 V 109 E. 6.1 S. 116).
2. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, dass keine organisch objektiv ausgewiesene Folge des Unfalles vom 19. Oktober 2003 besteht, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchte.
Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten richtig. Soweit die Beschwerdeführerin einwendet, für die zuverlässige Bejahung oder Verneinung eines unfallbedingten organischen Substrats sei noch eine funktionelle Magnetresonanztomographie durchzuführen, kann ihr nicht gefolgt werden. Das Bundesgericht hat sich jüngst eingehend mit der funktionellen Magnetresonanztomographie (fMRT; englisch: functional magnetic resonance imaging, fmri) auseinandergesetzt. Es ist zum Ergebnis gelangt, den mit dieser Untersuchungsart erhobenen Befunden komme für die Beurteilung der Unfallkausalität von Beschwerden nach Schleudertraumen der HWS und äquivalenten Unfallmechanismen nach dem aktuellen Stand der Wissenschaft kein Beweiswert zu. Insbesondere könne aus solchen Befunden nicht geschlossen werden, dass bestehende Schmerzen auf organisch (hinreichend) nachweisbare Unfallfolgen zurückzuführen seien (BGE 134 V 231). Von der Anordnung einer fmri-Untersuchung ist demnach mangels eines zu erwartenden entscheidrelevanten neuen Aufschlusses abzusehen.
3. Fehlt es nach dem Gesagten an einer organisch klar ausgewiesenen Unfallfolge, hat eine besondere Adäquanzprüfung zu erfolgen (E. 1 hievor). Eine solche Prüfung haben Unfallversicherer und Vorinstanz vorgenommen. Dabei gehen die Meinungen zunächst in der Beantwortung der Frage auseinander, ob die Adäquanz nach den für psychische Fehlentwicklungen geltenden Grundsätzen oder aber nach der Schleudertrauma-Praxis zu beurteilen ist.
Die Beschwerdeführerin macht in diesem Zusammenhang überdies geltend, die Adäquanzbeurteilung sei verfrüht erfolgt, da noch eine gesundheitliche Verbesserung zu erwarten sei. Dieses Vorbringen wird vorab geprüft.
4. 4.1 In BGE 134 V 109 hat sich das Bundesgericht auch kritisch mit dem verschiedentlich erhobenen Einwand auseinandergesetzt, mit der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhanges bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden müsse bis zur Beendigung des normalen, unfallbedingten Heilungsprozesses zugewartet werden. Es hat erkannt, dass nicht danach zu fragen ist, in welchem Zeitpunkt die Adäquanzprüfung vorzunehmen ist, sondern wann der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen und Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat. Dies hat gestützt auf Art. 19 Abs. 1 UVG in dem Zeitpunkt zu geschehen, in welchem von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind. Das Bundesgericht hat klargestellt, der Fallabschluss dürfe nicht mit der Begründung, der adäquate Kausalzusammenhang könne noch nicht geprüft werden, über diesen Zeitpunkt hinausgezögert werden (BGE 134 V 109 E. 3 und 4 S. 112 ff.).
4.2 Aus dem Gesagten erhellt, dass der von der SUVA auf den 31. Juli 2006 vorgenommene Fallabschluss nicht mit der Begründung der verfrühten Adäquanzprüfung für unrechtmässig erklärt werden kann. Massgeblich ist, da keine Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung zur Diskussion stehen, ob von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung über den 31. Juli 2006 hinaus noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes erwartet werden konnte.
Dies trifft nicht zu. Die damaligen Arztberichte zeigen, dass der gesundheitliche Fortschritt stagnierte. Soweit prognostisch noch von einem Verbesserungspotential ausgegangen wurde, war dieses nicht als namhaft zu betrachten. Zu keinem anderen Ergebnis führen der Bericht der Klinik A._ vom 20. Februar 2007 über den stationären Aufenthalt der Versicherten vom 31. Januar bis 15. Februar 2007 sowie das von der Invalidenversicherung eingeholte Gutachten der Klinik B._ vom 6. Juni 2007. Abgesehen davon dass diese medizinischen Berichte auf Erkenntnissen beruhen, welche erst nach dem Zeitpunkt der Leistungseinstellung (31. Juli 2006) und auch nach dem Erlass des Einspracheentscheides (24. Januar 2007), gewonnen wurden, gestatten sie inhaltlich nicht den Schluss, von einer Fortsetzung der ärztlichen Behandlung über den 31. Juli 2006 hinaus wäre noch eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes zu erwarten gewesen. Was die Beschwerdeführerin weiter vorträgt, rechtfertigt ebenfalls kein anderes Ergebnis. Insbesondere ist mit Blick auf die bereits umfangreichen medizinischen Akten, welche genügend Aufschluss für eine zuverlässige Beurteilung der damals noch gegebenen Besserungsaussichten erlauben, von der hiezu beantragten polydisziplinären Begutachtung abzusehen. Die Versicherte äussert sich im Übrigen in dieser Frage nicht widerspruchsfrei, indem sie zum einen ein Besserungspotential postuliert, andernorts in der Beschwerde aber von einer gesundheitlichen Stagnation spricht und bestreitet, dass eine Verbesserung des Gesundheitszustandes prognostiziert worden sei.
5. Das kantonale Gericht hat den adäquaten Kausalzusammenhang nach nach den bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätzen geprüft. Begründet wird dies im angefochtenen Entscheid damit, es hätten sich schon bald nach dem Unfall dominante psychische Probleme gezeigt, welche die physischen Beschwerden in den Hintergrund gedrängt hätten. Die Vorinstanz hat sodann erwogen, dass eine Verletzung im Sinne der Schleudertrauma-Praxis ohnehin ausgeschlossen werden müsste, da innert den ersten 24 bis 72 Stunden nach dem Unfall nicht das gesamte für solche Gesundheitsschädigungen typische Beschwerdebild aufgetreten sei.
Der zuletzt angeführte Umstand, dass innert einer dreitägigen Latenzzeit nach dem Unfall erst ein Teil der schleudertraumatypischen Beschwerden auftritt, schliesst die Annahme einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung der Schleudertrauma-Praxis rechtfertigt, nicht aus (SVR 2007 UV Nr. 23 S. 75, U 215/05, E. 5 mit Hinweisen; vgl. auch RKUV 2000 Nr. U 359 S. 29, U 264/97, E. 5e). Im Übrigen erweist sich die Beantwortung der Frage, ob und bejahendenfalls inwieweit die über den 31. Juli 2006 hinaus noch bestandenen Beschwerden natürlich kausal mit der beim Unfall erlittenen HWS-Distorsion zu erklären sind, als ausgesprochen diffizil. Denn während die Diagnose einer HWS-Distorsion unbestritten ist und die nach dem Unfall eingetretenen Befindlichkeitsstörungen dem typischen Beschwerdebild nach Schleudertraumen weitgehend entsprechen, liegen doch auch erhebliche unfallfremde Belastungsfaktoren vor und sind überdies psychische Komponenten zu verzeichnen, bei denen schwierig zu beurteilen ist, ob sie der Schleudertrauma-Verletzung zuzurechnen sind. Abschliessend muss dies aber dann nicht beurteilt werden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang auch nach der Schleudertrauma-Praxis zu verneinen wäre. Das wird nachfolgend geprüft.
6.1 6.1.1 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen, wobei zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden wird. Während der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel bei schweren Unfällen ohne Weiteres bejaht und bei leichten Unfällen verneint werden kann, lässt sich die Frage der Adäquanz bei Unfällen aus dem mittleren Bereich nicht aufgrund des Unfallgeschehens allein schlüssig beantworten. Es sind weitere, objektiv erfassbare Umstände, welche unmittelbar mit dem Unfall in Zusammenhang stehen oder als direkte bzw. indirekte Folgen davon erscheinen, in eine Gesamtwürdigung einzubeziehen. Je nachdem, wo im mittleren Bereich der Unfall einzuordnen ist und abhängig davon, ob einzelne dieser Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sind, genügt zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs ein Kriterium oder müssen mehrere gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. mit Hinweisen).
Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07, E. 5.2 und 5.3.1; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008, E. 6.1).
6.1.2 Das Ereignis vom 19. Oktober 2003 ist unstreitig nicht den schweren Unfällen zuzurechnen. Das kantonale Gericht hat es bei den mittelschweren Unfällen und dort nicht im Grenzbereich zu den schweren Unfällen eingeordnet. Die SUVA geht von einem leichten Unfall resp. höchstens einem mittelschweren Unfall im Grenzbereich zu den leichten Unfällen aus.
Die Einstufung bei den mittelschweren Unfällen an der Grenze zu den leichten Unfällen ist richtig. Soweit die Versicherte geltend macht, der Unfall sei als schwer zu betrachten, kann ihr nicht gefolgt werden. Das unfallanalytische Gutachten vom 12. August 2004 ergab eine relative Kollisionsgeschwindigkeit (Differenz zwischen der Aufprallgeschwindigkeit des Ford und der Eigengeschwindigkeit des Nissan unmittelbar vor der Kollision) im Bereich von 25 bis 30.3 km/h und eine kollisionsbedingte Geschwindigkeitsänderung (Delta-v) des Ford im Bereich von 15.1 bis 20.5 km/h. Diese Werte erscheinen mit Blick auf den aktenkundigen Unfallhergang (insbesondere: bereits reduzierte Geschwindigkeit des Ford; unfallgegnerisches Fahrzeug noch in gleicher Fahrtrichtung in Bewegung) und die dadurch verursachten Fahrzeugbeschädigungen verlässlich. Soweit die Versicherte daran Zweifel äussert, kann ihr nicht gefolgt werden. Dass Bereichswerte genannt werden, ist bei derartigen Analysen üblich und lässt diese nicht unzuverlässig erscheinen. Auch der Umstand, dass das unfallanalytische Gutachten von einem beteiligten Privatversicherer eingeholt wurde, steht seiner Verwertbarkeit im Verfahren der obligatorischen Unfallversicherung nicht entgegen. Massgebend ist, ob die Aussagen der Unfallanalytiker zu überzeugen vermögen, was hier zutrifft. Sodann geht auch die Arbeitsgruppe für Unfallmechanik (AGU) in der biomechanischen Kurzbeurteilung vom 24. Februar 2006 vom genannten Delta-v-Wert des Ford aus. Die AGU ist im Weiteren zum Ergebnis gelangt, es seien keine Belastungen aufgetreten, welche aus biomechanischer Sicht eine relevante Schädigung erwarten liessen. Die AGU berücksichtigte dabei nebst der kollisionsbedingten Geschwindigkeitsänderung insbesondere auch den Umstand, dass es sich um eine - in der Regel mit weniger Krafteinwirkungen verbundene - Frontalkollision handelt, sowie die festgestellten Abweichungen vom Normalfall. Als solche Abweichungen werden geringe degenerative Veränderungen an der HWS und eine allenfalls ungünstige Sitzposition sowie das Fehlen eines Sicherheitsgurtes genannt.
6.1.3 Von den weiteren massgeblichen Kriterien müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6 S. 367 f.).
Das kantonale Gericht hat, unter dem Gesichtspunkt einer psychischen Fehlentwicklung nach Unfall, sämtliche adäquanzrelevanten Kriterien verneint. Demgegenüber erachtet die Versicherte mehrere der nach der Schleudertrauma-Praxis massgeblichen Kriterien in der früheren wie auch in der mit BGE 134 V 109 präzisierten und nunmehr massgeblichen Fassung als erfüllt.
6.1.4 Zu Recht nicht geltend gemacht werden die beiden (durch BGE 134 V 109 nicht geänderten) Kriterien der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen sowie der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert.
Aus den Ausführungen der Versicherten wird nicht ganz klar, ob diese das (unveränderte) Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls als erfüllt erachtet. Sollte dies der Fall sein, könnte ihr nicht gefolgt werden. Besonders dramatische Begleitumstände sind nicht erkennbar. Sodann weist das Ereignis vom 19. Oktober 2003 zwar, vor allem aufgrund des Umstandes, dass die nicht durch einen Sicherheitsgurt zurückgehaltene Versicherte bei der Kollision mit dem Vorderwagen gegen die zweite Sitzreihe des Ford prallte, eine gewisse Eindrücklichkeit auf. Als besonders ist diese bei der gebotenen objektiven Betrachtungsweise aber nicht anzusehen. Das Kriterium wurde denn auch schon bei deutlich eindrücklicheren Unfallabläufen verneint (vgl. Urteile 8C_609/2007 vom 22. August 2008, Sachverhalt A und E. 4.2.1, und U 258/06 vom 15. März 2007, E. 5.3).
Entgegen der von der Beschwerdeführerin vertretenen Auffassung liegen auch kein schwieriger Heilungsverlauf oder erhebliche Komplikationen im Sinne des entsprechenden (unveränderten) Kriteriums vor. Es müssten hiefür besondere Gründe, welche die Heilung beeinträchtigt haben, gegeben sein (vgl., auch zum Folgenden, SVR 2007 UV Nr. 25 S. 81, U 479/05, E. 8.5; Urteil 8C_803/2007 vom 3. September 2008, E. 3.4.1). Solche Gründe werden weder geltend gemacht noch sind sie aus den Akten ersichtlich. Dass Beschwerden trotz medizinischer Behandlung anhalten, genügt nicht (Urteile 8C_691/2007 vom 1. September 2008, E. 2.3.3, und 8C_57/2008 vom 16. Mai 2008, E. 9.6.1 mit Hinweis).
6.1.5 Damit verbleiben die drei Kriterien der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung (früher: ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung), der erheblichen Beschwerden (früher: Dauerbeschwerden) und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (früher: Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit). Selbst wenn diese Kriterien als erfüllt betrachtet würden, wäre keine Häufung gegeben, welche bei der gegebenen Unfallschwere gestattete, den adäquaten Kausalzusammenhang zu bejahen. Hiefür müsste demnach mindestens ein Kriterium in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Dass dies zutrifft wird, nach Lage der Akten zu Recht, nicht geltend gemacht. Es kann daher offen bleiben, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form als erfüllt zu betrachten wären.
6.2 Zusammenfassend hat das kantonale Gericht den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 19. Oktober 2003 und den noch bestehenden Beschwerden und damit die Leistungspflicht der SUVA zu Recht verneint. An diesem Ergebnis vermögen sämtliche weiteren Vorbringen der Versicherten nichts zu ändern.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. September 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz