Sachverhalt:
A. A.a Die 1968 geborene G._ war seit 1. April 2006 im Restaurant L._ als Köchin tätig. Am 6. April 2009 meldete sie sich wegen Astma bronchiale bei Atopie sowie einem Lumbovertebralsyndrom bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Gestützt auf die medizinischen und beruflichen Abklärungen verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 7. Dezember 2009 einen Rentenanspruch. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 7. April 2010 gut und wies die Sache zur ergänzenden Abklärung und neuen Verfügung an die Verwaltung zurück.
A.b In der Folge holte die IV-Stelle weitere medizinische Unterlagen ein, worunter das Gutachten des Instituts X._ vom 18. April 2011. Mit Verfügung vom 27. September 2011 wies sie das Rentenbegehren der Versicherten erneut ab.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde der G._ wies das Sozialversicherungsgericht mit Entscheid vom 3. April 2012 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ beantragen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei die IV-Stelle zu verpflichten, ihr eine Invalidenrente auszurichten.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Dabei legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Bezüglich des Rentenanspruchs und der Invaliditätsbemessung nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (Art. 28 IVG; Art. 16 ATSG [SR 830.1]) wird mit der Vorinstanz auf die zutreffenden rechtlichen Darlegungen in der Verfügung vom 27. September 2011 verwiesen. Sodann wird im kantonalen Entscheid die Rechtsprechung zum Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (BGE 125 V 351 E. 3 S. 352) richtig wiedergegeben. Auch darauf wird verwiesen.
2.2 Ebenfalls richtig dargelegt hat die Vorinstanz die Rechtsprechung, wonach Adipositas grundsätzlich keine zu Rentenleistungen berechtigende Invalidität bewirkt, wenn sie nicht körperliche oder geistige Schäden verursacht und nicht die Folge von solchen Schäden ist. Liegen diese Voraussetzungen nicht vor, muss sie unter Berücksichtigung der besonderen Gegebenheiten des Einzelfalles dennoch als invalidisierend betrachtet werden, wenn sie weder durch geeignete Behandlung noch durch zumutbare Gewichtsabnahme auf ein Mass reduziert werden kann, bei welchem das Übergewicht in Verbindung mit allfälligen Folgeschäden keine voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde Beeinträchtigung der Erwerbsfähigkeit bzw. der Betätigung im bisherigen Aufgabenbereich zur Folge hat (SVR 2010 IV Nr. 8 S. 25, 9C_48/2009 E. 2.3; ZAK 1984 S. 345, I 583/82 E. 3; Urteil I 745/06 vom 21. März 2007 E. 3.1). Die Adipositas ist unter Berücksichtigung der besonderen Gegebenheiten des Einzelfalles mithin dann als invalidisierend zu betrachten, wenn sie für sich allein weder durch geeignete Behandlung noch durch zumutbare Gewichtsabnahme reduziert werden kann, bei welchem das Übergewicht in Verbindung mit allfälligen Folgeschäden voraussichtlich keine rentenbegründende Auswirkungen mehr auf die Leistungsfähigkeit im Beruf oder im Aufgabenbereich hat (Urteil 8C_74/2008 vom 22. August 2008 E. 2.2 mit Hinweis).
3. 3.1 In tatsächlicher Hinsicht ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin an diversen gesundheitlichen Beeinträchtigungen leidet (Diagnosen: Allergisches Asthma bronchiale extrinsischer Typ [mit/bei: Sensibilisierung auf Hausstaubmilben und Aspirin; aktuell nur leichter, reversibler obstruktiver Ventilationsstörung; Verdacht auf psychogene Überlagerung]; panvertebrales Wirbelsäulensyndrom [mit/bei: Spondylarthrose und Spondylose der Brustwirbelsäule und Spondylarthrose der Lendenwirbelsäule ohne radikuläre Symptomatik]; Impingementsyndrom rechte Schulter [mit/bei: Beginnender AC-Gelenksarthrose]; beginnende Gonarthrose; iatrogenes Cushing-Syndrom [mit/bei: Langjähriger Cortisontherapie; morbider Adipositas, BMI 45.6; metabolischem Syndrom mit arterieller Hypertonie und Dyslipidämie]; gastroösophageale Refluxerkrankung [mit/bei: Status nach Helicobactertherapie]; Beinlängendifferenz; Anteile einer somatoformen autonomen Funktionsstörung des Atmungssystems [ICD-10 F 45.33]). Nach der gestützt auf das als ausschlaggebend erachtete Gutachten des Instituts X._ vom 18. April 2011 getroffenen Feststellungen der Vorinstanz ist die Versicherte allenfalls in der bisherigen, sicher aber in einer optimal behinderungsangepassten Tätigkeit (körperlich leichte bis intermittierend wechselbelastende Tätigkeit ohne regelmässige Staub- oder Rauchexposition, ohne Kälte und körperfernes Tragen von Lasten über 15 kg, ohne Tätigkeiten, die mit Knien und Kauern verbunden sind oder in denen Tätigkeiten über Kopf oder in Zwangshaltungen auszuführen sind) vollständig arbeitsfähig. Ausgehend von dieser verbliebenen Arbeitsfähigkeit resultierte ein trotz Gesundheitsschaden zumutbarerweise erzielbares Einkommen (Invalideneinkommen) von Fr. 45'971.-, was im Vergleich zum ohne Gesundheitsschaden erzielbaren Einkommen (Valideneinkommen) von Fr. 41'472.- einen Invaliditätsgrad von 0 % ergab.
3.2 Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, die Vorinstanz habe in Verletzung von Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG nicht dargelegt, welche Diagnosen sie ihrem Entscheid zugrunde gelegt habe, ist die Beschwerde unbegründet. Indem das kantonale Gericht die von den Medizinern erhobenen Diagnosen umfassend wiedergegeben und erklärtermassen das Gutachten des Instituts X._ als massgebende Entscheidgrundlage bezeichnet hat, lässt sich den Erwägungen des angefochtenen Entscheids ohne weiteres entnehmen, von welchen Diagnosen das Gericht ausgegangen ist. Zudem stimmen die Diagnosestellungen in den massgebenden medizinischen Unterlagen - unter Berücksichtigung der einzelnen Fachgebiete - weitestgehend überein. Das kantonale Gericht hat die relevante medizinische Aktenlage vollständig und richtig dargelegt und widerspruchsfrei begründet, weshalb es die Gesamteinschätzung der Arbeitsfähigkeit im Gutachten des Instituts X._ vom 18. April 2011 als schlüssig erachtet und ihr beweismässig höheres Gewicht beimisst als den übrigen medizinischen Akten. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin hat die Vorinstanz den Sachverhalt bezüglich des Vorliegens eines Kausalzusammenhangs zwischen jahrelanger Steroidtherapie (Cushing-Syndrom) und Adipositas nicht offensichtlich unrichtig festgestellt. Mit Blick auf den von Dr. med. H._, Facharzt FMH für Chirurgie, - im Gegensatz zu den Gutachtern des Instituts X._ - verneinten Kausalzusammenhang hat es vielmehr zutreffend festgehalten, dass dem Cushing-Syndrom bei der Wahl der zumutbaren Tätigkeit Rechnung getragen werden könne, weshalb sich dieses grundsätzlich nicht auf die Arbeitsfähigkeit auswirke. Dies steht in Übereinstimmung mit dem Gutachten des Instituts X._, welches das Cushing-Syndrom bei den Diagnosen ohne Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit anführt. Weiter ging die Vorinstanz gestützt auf das Gutachten des Instituts X._ davon aus, dass die Adipositas und eine erhebliche Dekonditionierung der Beschwerdeführerin im Vordergrund stünden, welche jedoch behandelt werden könnten und daher keine dauerhafte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit bewirken würden. Der Beschwerdeführerin ist darin beizupflichten, dass die Vorinstanz keine Feststellungen hinsichtlich der Frage getroffen hat, wie lange die als zumutbar erachtete Gewichtsreduktion dauere und welches die Auswirkungen auf die Erwerbsfähigkeit während dieser Zeitspanne seien. Dazu bestand indessen gar kein Anlass. Wie das kantonale Gericht in E. 3.6 des angefochtenen Entscheids zutreffend festhält, ergibt sich aus dem Gutachten des Instituts X._, dass der Versicherten behinderungsangepasste Tätigkeiten ab sofort vollschichtig und mit voller Leistungsfähigkeit, d.h. zu 100 % zumutbar seien. In ihrer "Stellungnahme zu den spezifischen Auswirkungen der gesundheitlichen Störung auf die Funktionsfähigkeit und Arbeitsfähigkeit in zeitlicher und/oder qualitativer Hinsicht" haben die Gutachter zu erkennen gegeben, dass unabhängig von ihren Therapievorschlägen eine vollständige Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit gegeben sei. Damit ist die vorliegend zu beurteilende Konstellation nicht vergleichbar mit dem Sachverhalt, welcher dem von der Beschwerdeführerin zitierten Urteil I 745/06 zugrunde lag. In jenem Fall hatte die Vorinstanz aufgrund einer entsprechenden ärztlichen Stellungnahme die Notwendigkeit zusätzlicher Abklärungen hinsichtlich der Frage bejaht, ob die Fettleibigkeit durch geeignete Behandlung oder zumutbare Anstrengung auf ein Mass reduziert werden könne, das die Erwerbsfähigkeit nicht wesentlich beeinträchtige, wobei die Verwaltung verpflichtet wurde, auch die dafür notwendige Zeitdauer und die Auswirkungen auf die Erwerbsfähigkeit zu ermitteln. Aufgrund der medizinischen Unterlagen war eine volle Arbeitsfähigkeit offenbar nicht sofort gegeben, sondern (allenfalls) erst nach entsprechender Behandlung. Im Rahmen der Willkürprüfung hat das Bundesgericht das vorinstanzliche Vorgehen nicht beanstandet. Aus dem erwähnten Urteil I 757/06 kann die Beschwerdeführerin daher nichts zu ihren Gunsten ableiten. Da im hier zu beurteilenden Verfahren angesichts der klaren medizinischen Stellungnahme kein Anlass für weitere Beweismassnahmen besteht, kann der Vorinstanz keine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (Art. 61 lit. c ATSG) vorgeworfen werden. Mit Blick auf die Begründungspflicht (Art. 29 Abs. 2 BV) hat diese überdies rechtsgenüglich erkennen lassen, dass entsprechend dem Gutachten des Instituts X._ von einer sofort zumutbaren vollschichtigen Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit auszugehen ist.
3.3 Die von der Vorinstanz bestätigte Bemessung der Invalidität aufgrund eines Einkommensvergleichs wird von der Beschwerdeführerin nicht als unrichtig gerügt, so dass sie nicht näher zu überprüfen ist.
4. Die Beschwerde ist somit abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang gehen die zu erhebenden Gerichtskosten (Art. 65 BGG) zu Lasten der Beschwerdeführerin (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. September 2012
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Die Gerichtsschreiberin: Hofer