Faits:
A. M._ a travaillé à temps partiel en qualité d'auxiliaire pour le restaurant X._ de la commune où elle réside. L'assureur d'indemnités journalières a annoncé à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève une incapacité de travail de 100 % depuis le 15 avril 2010, pour une détection précoce. Un entretien s'est tenu le 4 octobre 2010, à la suite duquel la prénommée a présenté le 2 novembre 2010 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le docteur J._, spécialiste FMH en neurologie, a posé dans un rapport produit le 15 novembre 2010 le diagnostic avec effet sur la capacité de travail de polymyosite chronique active (existant depuis le 19 avril 2010), en retenant une incapacité de travail de 100 % à partir du 1er avril 2010 et des troubles de la marche et une faiblesse musculaire limitant l'exercice de l'activité professionnelle, laquelle n'était plus exigible, et indiqué dans un questionnaire les travaux ne pouvant plus être exigés de l'assurée, dont la capacité d'adaptation et la résistance étaient limitées. La doctoresse Z._, spécialiste FMH en médecine interne générale, a posé le diagnostic avec effet sur la capacité de travail de polymyosite (existant depuis 2009, voire avant) et retenu une incapacité de travail de 100 % dès le 10 juillet 2010 dans un rapport du 19 novembre 2010, auquel était joint un questionnaire indiquant les travaux qui ne pouvaient plus être exigés de la patiente, dont la résistance physique était limitée.
Une enquête économique sur le ménage, effectuée le 8 août 2011, a retenu que sans atteinte à la santé l'assurée aurait exercé une activité professionnelle à 15 % et fixé le taux d'empêchement dans la tenue du ménage à 27 % (rapport de l'enquêtrice du 15 août 2011). Le SMR a considéré qu'il ne lui appartenait pas de se prononcer sur l'aide d'autrui (avis de la doctoresse U._ du 18 août 2011).
Dans un préavis du 18 août 2011, confirmé par décision du 27 septembre 2011, l'office AI a informé M._ que le droit à des mesures professionnelles et à une rente d'invalidité devait lui être refusé, vu qu'elle présentait une invalidité de 15 % en ce qui concerne la part consacrée à l'activité lucrative compte tenu d'un empêchement de 100 % dans toute activité et une invalidité de 23 % en ce qui concerne la part relative aux travaux habituels compte tenu d'un empêchement de 27 % dans la tenue du ménage, soit un taux d'invalidité global de 38 % qui était insuffisant pour donner droit à une rente d'invalidité, et que son incapacité de travail était entière dans toute activité de sorte que l'octroi de mesures d'ordre professionnel n'entrait pas non plus en considération.
B. Le 20 octobre 2011 (timbre postal), M._ a formé recours contre cette décision devant la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales.
Dans sa réponse du 17 novembre 2011, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a conclu au rejet du recours. Par lettre du 14 décembre 2011 (timbre postal), l'assurée a produit plusieurs documents.
Le 22 décembre 2011, la juridiction cantonale a tenu une audience d'enquêtes, au cours de laquelle elle a entendu en qualité de témoin la doctoresse Z._, et une audience de comparution personnelle des parties. L'office AI a déposé ses observations par lettre du 31 janvier 2012 et M._ en a fait de même par lettre du 6 mars 2012 (timbre postal).
Par arrêt du 19 juillet 2012, la juridiction cantonale a admis partiellement le recours et annulé la décision du 27 septembre 2011 (ch. 2 du dispositif), dit que M._ a droit à un quart de rente d'invalidité à compter du 1er avril 2011 (ch. 3 du dispositif) et renvoyé la cause à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève pour le calcul des prestations dues (ch. 4 du dispositif).
C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation, sa décision du 27 septembre 2011 étant confirmée, à titre subsidiaire au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouveau jugement. Il sollicite l'octroi de l'effet suspensif au recours.
M._, produisant plusieurs documents, fait état d'une aggravation de son état de santé et conclut implicitement à ce que le jugement entrepris soit confirmé. Dans un préavis du 9 novembre 2012, l'Office fédéral des assurances sociales s'en remet à l'appréciation du Tribunal fédéral.
Considérant en droit:
1. Bien que le dispositif du jugement entrepris, à son ch. 4, renvoie le dossier à l'office AI, il ne s'agit pas d'une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF vu que la juridiction cantonale a statué définitivement sur le droit de l'intimée à une rente d'invalidité (ch. 3 du dispositif), le renvoi de la cause ne visant que le calcul des prestations accordées. Le recours est dès lors recevable puisqu'il est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF; arrêt 9C_684/2007 du 27 septembre 2007, consid. 1.1 in SVR 2008 IV n° 39 p. 131).
2. 2.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 s. LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140).
2.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut cependant rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
3. Le litige porte sur le droit de l'intimée à une rente d'invalidité, singulièrement sur les taux d'empêchement ménager et le taux d'invalidité fondant le droit à la prestation.
3.1 Lorsque la méthode mixte d'évaluation de l'invalidité est applicable, l'invalidité des assurés pour la part qu'ils consacrent à leur activité lucrative doit être évaluée selon la méthode générale de comparaison des revenus (art. 28a al. 3 LAI en corrélation avec l'art. 16 LPGA); pour la part qu'ils consacrent à leurs travaux habituels au sens des art. 28a al. 2 LAI et 8 al. 3 LPGA, leur invalidité doit être évaluée selon la méthode spécifique d'évaluation de l'invalidité (art. 28a al. 3 LAI en corrélation avec l'art. 27bis RAI). Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et la jurisprudence sur la méthode mixte d'évaluation de l'invalidité, confirmée par l'ATF 137 V 334 consid. 5 p. 340 s. On peut ainsi y renvoyer.
3.2 S'agissant de la prise en compte de l'empêchement dans le ménage dû à l'invalidité, singulièrement de l'aide des membres de la famille (obligation de diminuer le dommage), il est de jurisprudence constante que si l'assuré n'accomplit plus que difficilement ou avec un investissement temporel beaucoup plus important certains travaux ménagers en raison de son handicap, il doit en premier lieu organiser son travail et demander l'aide de ses proches dans une mesure convenable (ATF 133 V 504 consid. 4.2 p. 509 s. et les références; arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 761/81 du 15 septembre 1983, consid. 5 in RCC 1984 p. 143 s.).
4. Les premiers juges ont modifié les taux d'empêchement ménager déterminés par l'enquête économique sur le ménage en ce qui concerne les deux points suivants: emplettes et courses diverses, lessive et entretien des vêtements. A la différence de l'enquêtrice qui avait nié tout empêchement pour les emplettes et courses diverses (poste/assurances/services officiels) au motif qu'on ne retenait pas d'empêchement sous ce point lorsqu'une personne valide vivait sous le même toit, ils ont évalué à 20 % l'empêchement de l'assurée à se charger des emplettes et courses diverses, compte tenu d'une aide exigible de son époux de 80 % (soit 8 % des tâches ménagères totales) et du fait que de nombreuses courses pouvaient être effectuées par internet. En ce qui concerne la lessive et l'entretien des vêtements, poste pour lequel l'enquêtrice avait retenu un taux d'empêchement de 20 %, compte tenu d'une aide exigible de 20 % de la part du mari de l'intimée, la juridiction cantonale n'a pas suivi l'office AI, lequel exigeait de l'assurée qu'elle diminue le dommage en se procurant une machine à laver; constatant que les limitations étaient nombreuses et importantes et que l'aide extérieure apparaissait bien plus importante que celle retenue par l'enquêtrice, elle a considéré que l'aide exigible du mari ne saurait encore être augmentée et qu'en conséquence, compte tenu d'une aide extérieure exigible de 20 %, un taux d'empêchement de 50 % apparaissait plus conforme à la réalité, la recourante restant capable d'effectuer 30 % des menues tâches.
4.1 Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir évalué de manière arbitraire l'incapacité de l'intimée à accomplir les travaux habituels, en s'écartant à tort des conclusions de l'enquête économique sur le ménage effectuée le 8 août 2011.
4.2 Une enquête ménagère effectuée au domicile de la personne constitue en règle générale une base appropriée et suffisante pour évaluer les empêchements dans l'accomplissement des travaux habituels. En ce qui concerne la valeur probante d'un tel rapport d'enquête, il est essentiel qu'il ait été élaboré par une personne qualifiée qui a connaissance de la situation locale et spatiale, ainsi que des empêchements et des handicaps résultant des diagnostics médicaux. Il s'agit en outre de tenir compte des indications de la personne assurée et de consigner les opinions divergentes des participants. Enfin, le contenu du rapport doit être plausible, motivé et rédigé de façon suffisamment détaillée en ce qui concerne les diverses limitations et correspondre aux indications relevées sur place. Lorsque le rapport constitue une base fiable de décision, le juge ne saurait remettre en cause l'appréciation de l'auteur de l'enquête que s'il est évident qu'elle repose sur des erreurs manifestes (ATF 130 V 61 consid. 6.1 p. 61 s., 128 V 93; arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 90/02 du 30 décembre 2002, consid. 2.3.2 (non publié au Recueil officiel) in VSI 2003 p. 221).
La constatation d'un empêchement pour les différents postes constituant l'activité ménagère est une question de fait qui ne peut être examinée par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint (supra, consid. 1.3; arrêts 9C_554/2012 du 30 janvier 2013 consid. 5.1, 9C_19/2012 du 4 octobre 2012 consid. 5.1; arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 693/06 du 20 décembre 2006 consid. 6.3).
4.3 En ce qui concerne les emplettes et courses diverses, la juridiction cantonale a retenu que l'intimée, comme cela ressortait de l'enquête économique sur le ménage, pouvait faire ses courses en prenant appui sur le chariot, mettait ses emplettes dans le coffre de la voiture que son mari vidait ensuite avant d'aider son épouse à ranger les achats, continuait par ailleurs à gérer son courrier et assumait les tâches administratives comme auparavant. En revanche, l'assurée ne pouvait parcourir plus de 200 mètres à pied, la conduite automobile lui était souvent difficile en raison des douleurs à la cheville, elle ne pouvait emprunter d'escaliers dépourvus de main courante et ne pouvait ni monter ni descendre d'un bus - dans lequel, quoi qu'il en soit, il lui était impossible de se tenir debout en raison de sa faiblesse. Les premiers juges ont considéré que dans ces circonstances, on ne saurait conclure comme l'avait fait l'office AI à l'absence totale d'empêchement pour ce poste car cela reviendrait à exiger de l'époux de l'intéressée une aide disproportionnée dans la mesure où il assumait déjà 16 % des tâches ménagères totales (20 % de l'alimentation - soit 8 % des tâches ménagères totales -, + 20 % de l'entretien du logement - soit 4 % des tâches ménagères totales -, + 20 % de la lessive et de l'entretien des vêtements - soit 4 % des tâches ménagères totales).
Il est toutefois arbitraire de la part de la juridiction cantonale d'admettre un empêchement dans les emplettes et courses diverses pour le seul motif que nier tout empêchement dans ce domaine reviendrait à exiger du mari une aide disproportionnée dans la mesure où il participe déjà à d'autres tâches ménagères. L'enquêtrice a retenu que l'époux de l'assurée vidait le coffre de la voiture lorsqu'elle revenait des courses et l'aidait également pour ranger les courses dans les armoires. On ne voit pas que pour ce poste, l'aide du mari décrite ci-dessus par l'enquêtrice atteigne 80 %. Les premiers juges n'ont pas expliqué pourquoi ils ont retenu ce pourcentage, singulièrement tenu compte d'une aide exigible de l'époux de l'assurée de 80 %. Ainsi, il est arbitraire de leur part de retenir un empêchement de l'intimée de 20 % sous prétexte que son mari participe déjà à raison de 16 % à d'autres tâches ménagères et que l'aide exigible de celui-ci dans les emplettes et courses diverses serait de 80 %. Il ne se justifie nullement qu'on s'écarte du rapport d'enquête économique du 15 août 2011, dont il résulte que l'enquêtrice a tenu compte de l'aide du mari pour ce poste de manière conforme au droit fédéral (supra, consid. 3.2). En retenant sous ce point un empêchement de 20 %, la juridiction cantonale a établi les faits de façon manifestement inexacte. Le recours est bien fondé de ce chef.
4.4 En ce qui concerne le poste "lessive et entretien des vêtements", l'enquêtrice, tenant compte d'une aide exigible de 20 % de la part du mari pour ce poste, a conclu dans son rapport du 15 août 2011 à un empêchement de l'intimée de 20 %. Les premiers juges ont constaté que les limitations étaient nombreuses et importantes et que, même en tenant compte d'une aide exigible de 20 %, l'aide extérieure apparaissait ainsi bien plus importante que celle retenue par l'enquêtrice. Ils ont considéré que l'aide exigible du mari de l'assurée, compte tenu du fait qu'il exerçait à plein temps et que 16 % des tâches ménagères totales lui incombaient déjà, ne saurait être encore augmentée et qu'il y avait lieu dès lors d'augmenter de 20 % à 50 % le taux de l'empêchement de l'intimée pour le poste "lessive et entretien des vêtements", un taux d'empêchement de 50 % apparaissant plus conforme à la réalité compte tenu d'une aide exigible extérieure de 20 % et de la capacité restante de l'intimée d'effectuer 30 % des menues tâches relatives à ce poste (50 % + 20 % + 30 % = 100 %).
Les considérations mentionnées ci-dessus de la juridiction cantonale sont arbitraires en ce qu'elles méconnaissent la portée de l'obligation de diminuer le dommage, singulièrement qu'elles ignorent que la jurisprudence ne pose pas de grandeur limite au-delà de laquelle l'aide des membres de la famille ne serait plus possible. La jurisprudence, qui prévoit que l'assuré doit en premier lieu organiser son travail et demander l'aide de ses proches dans une mesure convenable (supra, consid. 3.2), pose comme critère que l'aide ne saurait constituer une charge excessive, où l'aide des membres de la famille va au-delà du soutien que l'on peut attendre de manière habituelle sans atteinte à la santé (ATF 133 V 504 consid. 4.2 p. 509 s., 130 V 97 consid. 3.3.3 p. 101 et les références).
Il appartient en premier lieu à l'intimée d'organiser son travail et de demander l'aide de ses proches dans une mesure convenable. Devant la Cour de céans, celle-ci a produit des photos de la cuisine, de la salle de bain et des WC; nouveau, ce moyen n'est pas admissible au regard de l'art. 99 al. 1 LTF. Même si une machine à laver le linge avec ouverture sur le haut pouvait être installée dans l'appartement où elle réside, cela ne changerait rien au fait que les travaux consistant à soulever/porter (près/loin du corps) ne sont plus exigibles de la part de l'assurée (questionnaire de la doctoresse Z._ du 19 novembre 2010). Ainsi, le port du panier de linge doit également dans l'appartement être effectué par son mari (rapport de l'enquêtrice du 15 août 2011; déclarations de la doctoresse Z._ lors de l'audience d'enquêtes du 22 décembre 2011). Du jugement entrepris, il ressort que, dans son rapport du 15 août 2011, l'enquêtrice a retenu que l'intimée repassait uniquement le strict nécessaire, répartissait son travail et ne faisait que de petites quantités à la fois. Il ressort également du jugement entrepris que, lors de l'audience du 22 décembre 2011, la doctoresse Z._ a déclaré que la patiente pouvait suspendre le petit linge, à condition que ce soit sur un support à hauteur de taille (faiblesse dans les bras), et qu'elle pouvait également repasser assise, à condition de fragmenter la tâche et qu'on l'aide à déplier la planche et à la positionner. Sur le vu de ce qui précède, il se justifie d'exiger de l'assurée qu'elle planifie de la meilleure façon possible la lessive (arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 90/02 du 30 décembre 2002, consid. 2.3.3 in VSI 2003 p. 222), en demandant à son époux, qui exerce la profession de mécanicien et rentre à la maison pour le repas de midi, qu'il porte le linge, l'introduise dans la machine, l'en sorte et le porte à nouveau, qu'il monte la planche à repasser et qu'il range le nécessaire de repassage. Les affirmations de la doctoresse Z._ lors de l'audience du 22 décembre 2011 ne permettent pas de considérer que ces tâches supplémentaires constituent pour le mari de l'intimée une charge excessive au sens de la jurisprudence mentionnée ci-dessus. Il convient de relever, à propos du linge qui ne pourrait pas être suspendu à hauteur de taille, qu'un sèche-linge est à disposition de l'assurée et de son époux (rapport de l'enquêtrice du 15 août 2011).
Il s'ensuit que les premiers juges, en augmentant de 20 % à 50 % le taux de l'empêchement de l'intimée pour le poste "lessive et entretien des vêtements", ont établi les faits de façon manifestement inexacte et en violation du droit. Le recours est bien fondé sur ce point également.
5. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 19 juillet 2012 est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 avril 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Wagner