Faits:
A. A._ est assuré auprès de Mutuel Assurances pour l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie. Le 20 octobre 2006, Mutuel Assurances a communiqué à l'intéressé le montant de sa prime valable à compter du 1er janvier 2007. La légitimité de la hausse annoncée ayant été contestée, la caisse a formellement maintenu sa position par décision du 12 décembre 2006, confirmée sur opposition le 2 avril 2007.
A._ a déféré cette dernière décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève. La procédure a été suspendue jusqu'à droit connu sur une affaire parallèle pendante devant la juridiction cantonale, puis devant le Tribunal fédéral, opposant les mêmes parties et concernant le montant de la prime due pour 2001. Après que le Tribunal fédéral eut définitivement tranché ce litige (arrêt 9C_312/2008 du 24 novembre 2008), le Tribunal cantonal des assurances sociales a ordonné le 20 janvier 2009 la reprise de la cause et fixé à A._ un délai au 20 février 2009 pour retirer son recours ou déposer un mémoire complémentaire.
Sur la base de l'échange d'écritures qui s'en est suivi, la Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales a, par ordonnance d'expertise du 30 avril 2009 - confirmée par arrêt incident du 8 juin 2009 -, ordonné une expertise comptable devant porter sur l'exercice financier de l'année 2006 de Mutuel Assurances et imparti aux parties un délai échéant au 29 mai 2009 - prolongé ensuite jusqu'au 14 juillet 2009 - pour lui communiquer plusieurs noms d'experts-comptables, ainsi que la liste des questions qu'elles souhaitaient voir poser à l'expert qui serait désigné.
B. Mutuel Assurances interjette deux recours en matière de droit public contre l'ordonnance du 30 avril 2009 et l'arrêt incident du 8 juin 2009 dont elle demande l'annulation. Elle conclut également au rejet des conclusions formulées par A._ en procédure cantonale et à la confirmation de la décision sur opposition du 2 avril 2007. Elle assortit à chaque fois son recours d'une demande d'effet suspensif.
Considérant en droit:
1. Dirigés contre deux décisions dont les dispositifs sont pour l'essentiel identiques, les deux recours reposent sur le même état de fait, se fondent sur une argumentation se recoupant et contiennent les mêmes conclusions. Il se justifie dès lors de joindre les causes par économie de procédure et de statuer sur les deux recours dans un seul arrêt (ATF 131 V 59 consid. 1 p. 60).
2. 2.1 Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 1 consid. 1.1 p. 3; 134 V 443 consid. 1 p. 444).
2.2 Le recours en matière de droit public est recevable contre les décisions finales (art. 90 LTF) et contre les décisions partielles au sens de l'art. 91 LTF. Aux termes de l'art. 92 LTF, il est également recevable contre les décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (al. 1); ces décisions ne peuvent plus être attaquées ultérieurement (al. 2). Les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément ne peuvent faire l'objet d'un recours, selon l'art. 93 al. 1 LTF, que (a) si elles peuvent causer un préjudice irréparable, ou (b) si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse. Si le recours n'est pas recevable au regard de ces conditions ou s'il n'a pas été utilisé, les décisions préjudicielles et incidentes peuvent être attaquées par un recours contre la décision finale dans la mesure où elles influent sur le contenu de celle-ci (art. 93 al. 3 LTF). Cette réglementation est fondée sur des motifs d'économie de la procédure: en tant que cour suprême, le Tribunal fédéral ne devrait en principe connaître qu'une seule fois de la même affaire, à la fin de la procédure, à moins que l'on se trouve dans l'un des cas où la loi autorise exceptionnellement, précisément pour des raisons d'économie de la procédure, un recours immédiat contre une décision préjudicielle ou incidente (ATF 133 III 629 consid. 2.1 p. 631 et les références citées).
2.3 Le recours en matière de droit public n'est recevable que si l'acte attaqué émane d'une autorité agissant en vertu de la puissance publique et affecte d'une façon quelconque la situation de l'individu, en lui imposant une obligation de faire, de s'abstenir ou de tolérer, ou qui règle d'une autre manière obligatoire les rapports avec l'Etat, soit sous la forme d'une loi, d'un règlement ou d'un arrêté de portée générale, soit sous celle d'une décision particulière (art. 82 let. a LTF; ATF 135 II 22 consid. 1.2 p. 24 et les références).
3. En l'espèce, les recours sont dirigés contre deux décisions incidentes par lesquelles la Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales ordonne la réalisation d'une expertise comptable et invite les parties à soumettre leurs questions et le nom d'experts potentiels. En l'état, la Présidente n'a toutefois pas défini l'objet précis de l'expertise ni choisi le ou les experts à qui elle entendait confier ce mandat. Compte tenu des incertitudes entourant la mission d'expertise, on ne saurait considérer que les décisions rendues par la Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales puissent être pour l'heure sources d'obligations pour la recourante. Ces décisions ne font en réalité que manifester l'intention de la Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales d'agir en ce sens, après avoir recueilli, dans un délai fixé à cette fin, les déterminations des parties relatives aux questions à poser et aux experts à désigner. Il n'est pas exclu d'emblée qu'elle puisse, sur le vu des questions qui lui seront soumises, renoncer à la mesure envisagée ou en réduire la portée. L'ordonnance du 30 avril 2009 - et l'arrêt incident du 8 juin 2009 la confirmant - peuvent ainsi être tout au plus assimilés à des déclarations d'intention; ils ne constituent en tout cas pas des décisions attaquables au sens de l'art. 82 let. a LTF, ce qui entraîne l'irrecevabilité des recours.
4. Quand bien même les actes attaqués constitueraient des décisions incidentes au sens de l'art. 93 al. 1 LTF, les recours formés par Mutuel Assurances ne seraient pas davantage recevables.
4.1 Les actes attaqués ne sont pas susceptibles de causer à la recourante un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF.
4.1.1 Un préjudice irréparable au sens de cette disposition est un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (ATF 134 III 188 consid. 2.1 p. 190 et les références). En revanche, un dommage de pur fait, comme la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme irréparable (ATF 133 III 629 consid. 2.3.1 p. 632). Il appartient au recourant d'alléguer et d'établir la possibilité que la décision préjudicielle ou incidente lui cause un dommage irréparable, à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute.
4.1.2 Les décisions relatives à l'administration des preuves ne sont, en principe, pas de nature à causer aux intéressés un dommage irréparable, tel qu'il vient d'être défini. En effet, la partie qui conteste une décision rendue en ce domaine dans un procès qui la concerne pourra attaquer, le cas échéant, cette décision incidente en même temps que la décision finale (ATF 99 Ia 437 consid. 1 p. 438). La règle comporte certes des exceptions. Il en va ainsi, notamment, quand la sauvegarde de secrets est en jeu; on conçoit en effet que la divulgation forcée de secrets d'affaires est susceptible de léser irrémédiablement les intérêts juridiques de la partie concernée, en tant qu'elle implique une atteinte définitive à sa sphère privée (arrêt 4P.117/1998 du 26 octobre 1998 consid. 1b/bb/aaa, in SJ 1999 I 186).
4.1.3 En l'espèce, la recourante se prévaut expressément du risque de voir certains détails de sa comptabilité être dévoilés au grand public et, partant, le secret de ses affaires être violé. En l'état de la cause, la survenance d'un tel dommage n'apparaît guère évident. La Présidente du Tribunal cantonal des assurances sociales ne requiert pas la production au dossier de la comptabilité de la recourante, mais souhaite confier à un expert-comptable le soin d'examiner, pour le compte du Tribunal, des questions en lien avec les comptes de l'exercice 2006. Le juge dispose à cet égard d'une grande latitude de jugement en ce qui concerne la nécessité, voire la simple opportunité, d'ordonner une mesure d'instruction; il en va de même en ce qui concerne le choix de la mesure. Cela ne saurait être remis en cause dans le cadre de la présente procédure, quand bien même la recourante estimerait avec raison que d'autres mesures d'instruction seraient plus judicieuses au regard de la question juridique à résoudre et de la jurisprudence récente du Tribunal fédéral. En tout état de cause, il appartient au juge de veiller au respect du secret des affaires dans le cadre de la procédure. Outre les principes dégagés par la jurisprudence (ATF 131 V 66 consid. 5.3 p. 75), le droit de procédure cantonal prévoit également des règles afin de protéger les secrets d'affaires d'une partie; l'autorité peut notamment interdire, à certaines conditions, la consultation de pièces s'il y a lieu de les garder secrètes (cf. art. 45 de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative [LPA; RS/GE E 5 10]). La recourante ne démontre pas en quoi cette faculté serait le cas échéant insuffisante pour garantir ses intérêts dans le cas d'espèce; on peut en effet envisager que le rapport d'expertise ne soit pas communiqué aux parties ou que certains passages en soient censurés.
4.1.4 De manière plus générale, il n'est guère possible pour l'heure de déterminer en quoi pourrait consister un éventuel dommage irréparable. A défaut de connaître l'objet précis de l'expertise, les craintes formulées par la recourante semblent prématurées et s'apparentent bien plutôt à un procès d'intention à l'encontre de la juridiction cantonale.
4.1.5 Le coût de la mesure probatoire, outre le fait qu'il s'agit d'un pur dommage de fait, insuffisant pour établir un préjudice irréparable, est un argument qui n'a aucune portée dans le cadre d'une procédure devant le tribunal cantonal des assurances. Aux termes de l'art. 61 let. a LPGA, la procédure devant le tribunal cantonal des assurances doit être simple, rapide, en règle générale publique, ainsi que gratuite pour les parties; des émoluments de justice et les frais de procédure peuvent toutefois être mis à la charge de la partie qui agit de manière téméraire ou témoigne de légèreté. Cette disposition, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, a repris, sans changement par rapport à la situation antérieure - à l'exception notable de l'art. 69 al. 1bis LAI -, la règle de la gratuité de la procédure qui était auparavant énoncée dans les différentes lois d'assurances sociales. Dans ce cadre, les frais d'une expertise vont en principe à la charge de la caisse du tribunal, parce qu'ils font partie des frais de justice. Ils ne peuvent être mis à la charge de l'assureur social, conformément à l'art. 61 let. a LPGA, que s'il a, en tant que partie au procès, agi témérairement ou avec légèreté (ATF 127 V 196 consid. 2d/cc p. 201; arrêt 9C_620/2007 du 25 avril 2008 consid. 5).
4.2 Quant à l'art. 93 al. 1 let. b LTF, il n'est pas applicable en l'espèce, l'admission du recours ne pouvant en tout état de cause avoir pour conséquence directe la fin de la procédure cantonale de recours. Les conclusions subsidiaires prises par la recourante devant la Cour de céans visant au rejet du recours formé par l'intimé devant le Tribunal cantonal des assurances sociales et à la confirmation de la décision sur opposition du 2 avril 2007 sont à cet égard exorbitantes de l'objet du litige qui porte exclusivement sur le bien-fondé d'une mesure probatoire. Au surplus, rien n'indique que l'on se dirige vers une procédure longue et coûteuse pour la collectivité publique. Pour autant que l'expertise ne porte que sur l'examen des comptes 2006 de Mutuel Assurances, on ne voit pas quelles difficultés particulières celle-ci pourrait présenter, attendu que les comptes de la recourante sont tenus conformément aux dispositions légales applicables (cf. art. 60 LAMal en corrélation avec les art. 81 ss OAMal).
5. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1, 1ère phrase, LTF). Le présent arrêt rend par ailleurs sans objet les demandes d'effet suspensif.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 9C_485/2009 et 9C_565/2009 sont jointes.
2. Les recours sont irrecevables.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 16 juillet 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Piguet