Fatti:
A. Nel 1992 la fondazione B._, fondazione del diritto del Liechtenstein le cui beneficiarie economiche sono tre sorelle italiane, ha trasferito il proprio patrimonio di oltre 3 milioni di franchi su di un conto presso la A._SA. Le tre sorelle sono state regolarmente indicate nel formulario A quali aventi diritto economico.
Il trasferimento dei fondi va ricondotto all'entrata nel consiglio di fondazione di C._, il quale già gestiva altre fondazioni facenti capo a parenti delle tre sorelle, i cui beni erano depositati su conti presso il medesimo istituto di credito.
A.a Pochi giorni dopo l'apertura del conto, C._ ha costituito in pegno gli averi della fondazione a garanzia dei crediti (attuali e futuri) della A._SA nei confronti della società F._Ltd, della quale egli era beneficiario economico ed organo; ad inizio 1998 tali crediti avevano raggiunto gli importi di fr. 2'197'737.-- e US$ 1'048'475.--. Inoltre, fra il mese di dicembre 1995 e il mese di novembre 1997, C._ ha effettuato a più riprese dei prelievi dal conto della fondazione, per uso proprio, per un totale di fr. 177'993.-- e US$ 45'000.--.
A.b Agli inizi del 1998 le beneficiarie economiche, avvertite dai parenti beneficiari delle altre fondazioni di famiglia gestite da C._, hanno scoperto l'esistenza della messa a pegno degli averi della fondazione e i prelevamenti illeciti a debito del conto della fondazione B._.
A.c A seguito di questi fatti, contro C._ è stato avviato un procedimento penale che non ha ancora potuto essere concluso a causa della sua età avanzata e del suo precario stato di salute.
B. Rimproverando alla A._SA di aver fatto prova di grande negligenza omettendo d'individuare il conflitto d'interessi esistente tra la fondazione e il suo organo nell'ambito dell'operazione di messa a pegno dei suoi beni e d'informarla dei prelevamenti operati da C._, il 9 maggio 2001 la fondazione B._ l'ha convenuta direttamente dinanzi al Tribunale d'appello del Cantone Ticino, onde ottenere l'accertamento della nullità dell'atto di costituzione di pegno a favore della banca e il conseguente storno di tutte le operazioni di addebito del suo conto eseguite a dipendenza di questo, nonché la condanna dell'istituto di credito al pagamento del controvalore degli importi indebitamente prelevati da C._. Essa ha inoltre chiesto la liberazione della cauzione processuale e il versamento di un importo pari al 5 % sulla somma di garanzia prestata, di fr. 150'000.--, a partire dal 25 settembre 2001.
Con sentenza del 10 aprile 2008, la II Camera civile del Tribunale adito ha parzialmente accolto la petizione. I giudici cantonali hanno in primo luogo negato la validità dell'atto di costituzione di pegno, non potendosi ammettere il potere di rappresentanza di C._ in tale circostanza: la messa a pegno degli averi della fondazione non era infatti prevista dagli scopi della stessa ed era in contrasto con gli intendimenti di gestione del conto, comunicati alla banca al momento della sua apertura; il conflitto d'interessi tra la fondazione e il suo organo C._ era inoltre evidente, visto che l'atto beneficiava a una società di cui egli era amministratore e proprietario, ciò che la banca sapeva. Di qui l'accoglimento della domanda tendente all'invalidazione dell'atto di costituzione di pegno e allo storno delle operazioni di addebito effettuate a dipendenza di esso. Quella concernente la restituzione degli importi indebitamente prelevati da C._ è stata invece ammessa limitatamente a fr. 102'993.10, oltre interessi, poiché - hanno rilevato i giudici ticinesi - nonostante la negligenza imputabile alla banca, la fondazione è tenuta a sopportare qualche conseguenza della cieca fiducia riposta in C._. Le richieste relative alla liberazione della cauzione processuale sono state disattese.
C. Il 15 maggio 2008 la A._SA è insorta dinanzi al Tribunale federale con ricorso in materia civile, postulando la modifica della sentenza impugnata nel senso della reiezione integrale della petizione.
Nella risposta del 26 giugno 2008 la fondazione B._ ha proposto di respingere il ricorso, mentre il Tribunale d'appello ha rinunciato a presentare osservazioni.
Diritto:
1. Il Tribunale federale si pronuncia d'ufficio e con pieno potere d'esame sulla propria competenza e sull'ammissibilità del rimedio esperito (art. 29 cpv. 1 LTF; DTF 135 III 1 consid. 1.1 pag. 3).
Il ricorso appare essere stato interposto tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF) dalla parte soccombente in sede cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF) contro una decisione finale (art. 90 LTF) pronunciata dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 cpv. 1 LTF) in una causa in materia civile (art. 72 cpv. 1 LTF) a carattere pecuniario e con un valore di causa superiore al minimo legale di fr. 30'000.-- (art. 74 cpv. 1 lit. b LTF). Dato che rispetta le menzionate esigenze formali il gravame può essere esaminato nel merito.
2. 2.1 Con il ricorso in materia civile può essere fatta valere la violazione del diritto federale (art. 95 lett. a LTF) che include anche i diritti costituzionali (DTF 133 III 446 consid. 3.1, 462 consid. 2.3).
Il Tribunale federale esamina d'ufficio l'applicazione del diritto federale (art. 106 cpv. 1 LTF). Non è vincolato né dagli argomenti sollevati nel ricorso né dai motivi addotti dall'autorità inferiore, può accogliere un ricorso per motivi diversi da quelli invocati dalla parte insorgente e respingerlo adottando un'argomentazione differente da quella esposta nel giudizio impugnato (cfr. DTF 134 II 235 consid. 4.3.4 pag. 241). Ciononostante, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, la cui mancata ottemperanza conduce all'inammissibilità del gravame (art. 108 cpv. 1 lett. b LTF), il Tribunale federale vaglia di regola solo le censure sollevate (DTF 133 III 545 consid. 2 pag. 550; 133 II 249 consid. 1.4.1 pag. 254). Nel ricorso è dunque necessario spiegare in maniera concisa perché l'atto impugnato viola il diritto federale e la motivazione dev'essere riferita all'oggetto del litigio, in modo che si capisca perché e su quali punti la decisione viene contestata (DTF 134 II 244 consid. 2.1).
Le esigenze di motivazione quando viene fatta valere la violazione di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale sono più rigorose. Il Tribunale federale tratta infatti queste censure solo se la parte ricorrente le ha debitamente sollevate e motivate, come prescritto dall'art. 106 cpv. 2 LTF.
Il campo di applicazione di questa norma corrisponde a quello del precedente ricorso di diritto pubblico per violazione dei diritti costituzionali e valgono pertanto le regole di motivazione poste dall'art. 90 cpv. 1 lett. b OG (DTF 134 II 244 consid. 2.2; 133 III 397 consid. 6).
2.2 In linea di principio, il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF); può scostarsene solo se è stato svolto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere impugnato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF). Tocca alla parte che propone una fattispecie diversa da quella contenuta nella sentenza impugnata il compito di esporre in maniera circostanziata il motivo che la induce a ritenere adempiute queste condizioni.
La definizione di "manifestamente inesatto" corrisponde a quella di arbitrio (DTF 133 II 249 consid. 1.2.2 pag. 252) e configura dunque a sua volta una violazione di un diritto fondamentale (art. 9 Cost.; DTF 134 IV 36 consid. 1.4.1 pag. 39). La corrispondente censura deve pertanto ossequiare i requisiti di motivazione posti dall'art. 106 cpv. 2 LTF. Come già sotto l'egida dell'art. 90 cpv. 1 lit. b OG, le cui esigenze restano determinanti per le censure sottoposte al principio dell'allegazione secondo l'art. 106 cpv. 2 LTF (DTF 133 III 638 consid. 2 pag. 639), il ricorrente che lamenta una violazione del divieto d'arbitrio non può limitarsi a criticare la decisione impugnata come in una procedura d'appello, dove l'autorità di ricorso gode di cognizione libera, opponendo semplicemente la propria opinione a quella dell'autorità cantonale, bensì deve dimostrare, attraverso un'argomentazione chiara e dettagliata, che la decisione impugnata si fonda su un apprezzamento delle prove manifestamente insostenibile (DTF 133 III 585 consid. 4.1 pag. 589; 130 I 258 consid. 1.3 pag. 262). Il mancato rispetto di queste esigenze di motivazione conduce all'inammissibilità della censura (DTF 133 III 589 consid. 2 pag. 591 seg.).
3. In concreto, prima di affrontare la questione dell'applicazione del diritto federale, la ricorrente censura siccome arbitrari vari accertamenti di fatto posti a fondamento della sentenza cantonale.
3.1 Giovi allora rammentare, in aggiunta alle esigenze di motivazione appena esposte, che l'arbitrio non si realizza già qualora la soluzione proposta con il ricorso possa apparire sostenibile o addirittura migliore rispetto a quella contestata; il Tribunale federale annulla la pronunzia criticata per violazione dell'art. 9 Cost. solo se il giudice del merito ha emanato un giudizio che appare - e ciò non solo nella sua motivazione bensì anche nell'esito - manifestamente insostenibile, in aperto contrasto con la situazione reale, gravemente lesivo di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso oppure in contraddizione urtante con il sentimento della giustizia e dell'equità (DTF 132 III 209 consid. 2.1 con rinvii).
Per quanto concerne più in particolare l'apprezzamento delle prove e l'accertamento dei fatti, il giudice - il quale in questo ambito dispone di un ampio margine di apprezzamento - incorre nell'arbitrio se misconosce manifestamente il senso e la portata di un mezzo di prova, se omette senza valida ragione di tener conto di un elemento di prova importante, suscettibile di modificare l'esito della vertenza, oppure se ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (DTF 129 I 8 consid. 2.1).
Come spiegato al consid. 2.2, incombe alla parte ricorrente il compito di allegare e dimostrare, con un'argomentazione dettagliata e precisa, che queste condizioni sono realizzate nella fattispecie che la concerne.
3.2 Il primo accertamento di fatto contestato nell'allegato ricorsuale è quello secondo il quale il direttore della banca, E._, sapeva che la messa a pegno dei beni della fondazione B._ andava in definitiva a favore di C._, dato che F._Ltd era una società a lui riconducibile.
3.2.1 A mente della ricorrente questa affermazione è contraddetta dalle dichiarazioni dello stesso E._, di cui la Corte cantonale ha arbitrariamente considerato un solo passaggio. Essa rimprovera inoltre ai giudici ticinesi di non aver debitamente tenuto conto del fatto che F._Ltd, benché riconducibile a C._, veniva da anni utilizzata nell'interesse dei beneficiari economici delle quattro fondazioni. Tramite questa società, infatti, sarebbero state effettuate "numerosissime operazioni a favore degli aventi diritto economico delle quattro fondazioni", al punto da farla apparire agli occhi della banca come appartenente alla struttura del gruppo che faceva capo alle fondazioni, ragione per cui le attività di C._ - messa a pegno inclusa - non avevano nulla di sospetto e il direttore E._ poteva legittimamente ritenere ch'egli non fosse il destinatario finale ma fungesse solo da intermediario.
3.2.2 La censura non può trovare accoglimento.
La critica indirizzata all'autorità cantonale per il modo di leggere la deposizione del direttore E._ si rivela infatti un inammissibile gioco di parole. Da un lato, la Corte cantonale ha spiegato la propria affermazione con l'appartenenza di F._Ltd a C._, ciò che è incontrovertibile; dall'altro, la pretesa ignoranza di E._ circa il reale utilizzo che C._ intendeva fare della messa a pegno dei beni della fondazione non smentisce l'accertamento che il destinatario formale di quell'opera-zione era lo stesso C._ e non le beneficiarie economiche della fondazione o le fondazioni riconducibili ai loro famigliari. Per quanto concerne le modalità di utilizzo di F._Ltd da parte di C._ si rileva come, sull'arco del proprio allegato la ricorrente dichiari che le operazioni appoggiate su F._Ltd a favore delle fondazioni erano state "numerosissime", erano avvenute "più volte" o "a volte", rispettivamente che F._Ltd era stata "regolarmente al servizio dei loro interessi"; le differenti espressioni utilizzate dalla ricorrente medesima non nascondono dunque che tale impiego esterno a favore delle fondazioni non era la regola. Sia come sia, la Corte cantonale ha preso in considerazione il fatto che F._Ltd veniva utilizzata da anni per l'emissione di garanzie a carico delle altre fondazioni gestite da C._, facenti capo ai parenti delle beneficiarie economiche della fondazione opponente, precisando tuttavia - e su questo punto la sentenza impugnata è rimasta incontestata - che si trattava di operazioni di credito direttamente condotte dalla banca per anticipazioni a titolo di anticipi azionisti. Tali operazioni - gestite direttamente dalla banca a beneficio delle altre fondazioni - erano dunque di natura ben diversa da quella qui in discussione, gestita da C._ a garanzia di suoi impegni personali. In queste circostanze, la Corte cantonale ha concluso che l'argomento relativo all'utilizzo di F._Ltd non poteva comprovare la buona fede della banca in relazione alla costituzione in pegno degli averi della fondazione a garanzia dei crediti ch'essa stessa aveva nei confronti di F._Ltd.
Tenuto conto di quanto appena esposto, la conclusione dei giudici ticinesi non appare manifestamente insostenibile.
3.3 I magistrati cantonali hanno negato alla banca anche la facoltà di avvalersi di una pretesa ratifica dell'operazione di messa a pegno da parte delle beneficiarie economiche, tesi fondata sul fatto che in occasione di una visita in banca nel gennaio 1993 sarebbe stata loro mostrata la documentazione dalla quale la messa a pegno traspariva; dal rapporto di quella visita - hanno osservato i magistrati - non risulta infatti assolutamente nulla.
3.3.1 La ricorrente ritiene arbitrario questo accertamento, fondato a suo dire unicamente sulla testimonianza di una delle beneficiarie. La Corte cantonale avrebbe omesso di valutare la deposizione di E._, il quale ha dichiarato di aver mostrato alle beneficiarie della fondazione la documentazione del conto, da cui risultava la messa a pegno.
3.3.2 L'obiezione è doppiamente ingiustificata. I giudici ticinesi hanno infatti precisato che nessun documento permette di ritenere che le interessate avessero visto l'indicazione di messa a pegno, rispettivamente ne avessero compreso la portata. Innanzitutto, dunque, i magistrati hanno messo in dubbio la versione di E._ relativa a quanto sarebbe avvenuto in occasione di quell'incontro, ciò che non ha nulla di arbitrario, risultando dal ponderato apprezzamento di due dichiarazioni divergenti, nessuna delle quali affetta da vizi di tale portata da farle apparire insostenibili, ciò che neppure la ricorrente invero pretende. Affermando di aver mostrato detta documentazione, poi, la testimonianza dello stesso E._ non appare atta a smentire la conclusione della Corte cantonale, secondo la quale le aventi diritto economico dell'opponente non ne avevano comunque compreso la portata.
Anche su questo punto il ricorso si avvera quindi infondato.
3.4 Sempre nell'ambito dell'esame della validità dell'atto di pegno, i giudici d'appello hanno escluso la scusante della grande fiducia che la ricorrente, da un lato, e le beneficiarie dell'opponente, dall'altro, riponevano in C._.
3.4.1 A questo proposito la ricorrente eccepisce, in fatto, un accertamento manifestamente inesatto, che consisterebbe nell'aver declassato a "parvenza" una circostanza - quella della smisurata fiducia delle beneficiarie economiche della reclamante in C._ - pacificamente provata.
3.4.2 A ben guardare, tuttavia, i giudici cantonali non hanno espresso alcun apprezzamento di fatto in proposito, limitandosi a sottolineare come questo fattore non possa giustificare l'atteggiamento negligente della banca.
Rivolta dunque contro un accertamento di fatto che tale non è, la censura è inammissibile.
3.5 Con riferimento ai prelevamenti dal conto dell'opponente, effettuati da C._ fra luglio 1995 e novembre 1997, il Tribunale di appello ha stabilito che, vista la quantità e l'intensità delle operazioni - che la banca sapeva essere destinate, nella maggior parte, a beneficio di C._ - si era in presenza di una situazione del tutto eccezionale, che avrebbe dovuto indurre la banca a effettuare una verifica presso le aventi diritto economico dei conti.
3.5.1 Secondo la ricorrente, invece, l'istruttoria non conferma un aumento della frequenza dei prelevamenti a partire dalla metà del 1996, giacché simili operazioni erano avvenute anche in passato "in numerosissime occasioni", senza contestazione alcuna. Inoltre, i giudici cantonali avrebbero arbitrariamente supposto che la banca sapesse che C._ si appropriava degli importi prelevati senza prestare la dovuta attenzione al fatto che C._, per sua stessa ammissione, aveva utilizzato modalità tali da non insospettire la banca.
3.5.2 Come già detto al consid. 3.2 riguardo alla messa in pegno degli averi dell'opponente, il far capo di tanto in tanto a prelevamenti ad opera di C._ non fa di questo modo di procedere una regola. Peraltro, per giungere alle conclusioni riportate, la Corte cantonale si è fondata sull'analisi peritale effettuata in sede penale, che la ricorrente non ha rimesso in discussione. Nella misura in cui la censura appare rivolta contro l'accertamento dell'entità dei prelevamenti (in senso lato), essa è poi insufficientemente motivata (art. 97 LTF; cfr. quanto esposto al consid. 2.2) e sfugge pertanto ad un esame nel merito. Il vero significato della deposizione di C._ è infine irrilevante: la conclusione della Corte cantonale secondo la quale intensità e importanza dei prelevamenti era atta a suscitare dubbi nella banca riguarda l'apprezzamento giuridico delle circostanze di fatto e non è una constatazione fattuale. La ricorrente non contesta d'altro canto che il proprio direttore E._ abbia reagito di fronte all'intensificarsi delle operazioni di prelievo, per cui la sua censura appare comunque inconferente.
3.6 In conclusione, tutte le critiche contro l'apprezzamento delle prove e l'accertamento dei fatti operati in sede cantonale risultano infondate, nella misura in cui formulate in maniera ammissibile. L'esame dell'applicazione del diritto federale da parte dei giudici ticinesi avviene pertanto sulla base della fattispecie da loro accertata.
4. In qualità di presidente del consiglio di fondazione dell'opponente, C._ ha disposto la messa a pegno dei beni di quest'ultima - depositati presso la ricorrente - a favore di F._Ltd, di cui era proprietario ed amministratore; inoltre, ha effettuato numerosi prelevamenti e trasferimenti in proprio favore.
La controversia verte sulla questione di sapere se con il suo agire egli abbia validamente ingaggiato la fondazione qui opponente.
La controversia verte sulla questione di sapere se con il suo agire egli abbia validamente ingaggiato la fondazione qui opponente.
4.1 4.1.1 Il potere di rappresentanza del membro del consiglio di una fondazione segue le regole che vigono per il membro del consiglio di amministrazione di una società anonima (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 3a). Esso comprende negozi di tutti i generi, potenzialmente nell'interesse della persona giuridica rispettivamente non espressamente esclusi dagli scopi della stessa (art. 718a cpv. 1 CO; DTF 126 III 361 consid. 3a). Se un organo oltrepassa il proprio potere di rappresentanza, ad esempio concludendo un negozio non più conforme al fine sociale, il suo agire vincola la persona giuridica soltanto se il terzo contraente è in buona fede (art. 718a cpv. 2 CO; sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 3b), buona fede che è presunta (art. 3 cpv. 1 CC). In analogia con la costante giurisprudenza relativa ai negozi conclusi da un rappresentante con se stesso, rispettivamente come rappresentante di due persone giuridiche - che vi ravvede di regola un conflitto di interessi e li considera di conseguenza inefficaci - viene trattata la situazione in cui l'organo di una persona giuridica conclude a nome della stessa un negozio con un terzo, sebbene sussista un conflitto di interessi fra l'organo stesso e la persona giuridica da lui rappresentata: il negozio non è eo ipso privo di efficacia, ma lo diviene se il terzo contraente si è reso conto (o avrebbe dovuto rendersi conto) dell'esistenza del conflitto di interessi. Il conflitto di interessi ha infatti per conseguenza che la volontà contrattuale non si forma correttamente, ragione per cui il negozio non può divenire vincolante per la parte rappresentata (DTF 126 III 361 consid. 3a; così già, verbatim, sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 3c).
4.1.2 Il grado di diligenza che deve essere richiesto al terzo nell'ambito della verifica dell'esistenza del potere di rappresentanza dipende dal genere di negozio. Nei rapporti con i propri clienti, la messa in atto di approfonditi accertamenti può essere esatta dalla banca soltanto quando essa viene confrontata con negozi che esulano dall'ordinaria amministrazione; per lo svolgimento di negozi correnti, invece, la banca che non è legata al cliente da alcun obbligo contrattuale particolare (come un mandato di gestione) non è tenuta a salvaguardare genericamente i suoi interessi (sentenza 4A_301/2007 del 31 ottobre 2007 consid. 2.3, in: SJ 2008 I pag. 149; sentenza 4C.385/2006 del 2 aprile 2007 consid. 2.2, in: SJ 2007 I pag. 499; sentenza 4C.108/2002 del 23 luglio 2002 consid. 2b, in: Pra 2003 n. 51 pag. 244). La presenza di indizi di falsificazione, o anche solo un ordine riguardante una prestazione non prevista dal contratto oppure inabituale, basta tuttavia già per esigere da lei verifiche supplementari (DTF 132 III 449 consid. 2 pag. 453 con rinvii; sentenza 4A_438/2007 del 29 gennaio 2008 consid. 5.3).
4.1.3 Quando, come nella fattispecie in esame, cliente di una banca è una fondazione il cui scopo consiste essenzialmente nell'investimento e la gestione del proprio capitale rispettivamente il versamento di capitale e interessi a determinati beneficiari, il trasferimento di fondi sul conto privato di uno degli amministratori della fondazione ricade di principio fra i negozi conformi allo scopo sociale, a meno che non si verifichino circostanze particolari tali da attirare l'attenzione della banca, quali ad esempio il fatto che il beneficiario di questi trasferimenti risulti fortemente indebitato con la banca medesima (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 4a). La messa a pegno del proprio capitale, per contro, non ricade fra i negozi conformi al fine sociale (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996, consid. 5a).
4.1.4 La disattenzione dei criteri di diligenza che si era in grado di esigere dalla banca nelle circostanze concrete preclude alla medesima la possibilità di invocare la propria buona fede (art. 3 cpv. 2 CC; sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996, consid. 7b).
4.2 Nella sentenza impugnata il Tribunale di appello ha in primo luogo stabilito che la messa a pegno dei beni dell'opponente non solo non ricadeva fra gli scopi della medesima, ma era pure stata conclusa dal suo organo in palese conflitto di interessi, visto che C._ aveva agito in questo modo per garantire i debiti che la società a lui riconducibile aveva nei confronti della banca ricorrente. Accertate - in modo scevro d'arbitrio (cfr. quanto esposto al consid. 3) - le circostanze fattuali del caso di specie, i giudici cantonali hanno concluso che nella specifica operazione di messa a pegno dei propri beni, mancando il potere di rappresentanza di C._ per la fondazione, l'opponente non era vincolata dal relativo contratto concluso con la ricorrente. Donde l'accoglimento della domanda tendente all'accertamento dell'invalidità dell'atto di costituzione del pegno e la condanna della ricorrente allo storno di tutte le operazioni di addebito effettuate a dipendenza di questo.
Le conclusioni dell'autorità cantonale sono conformi ai principi esposti al consid. 4.1 e le obiezioni della ricorrente non permettono di sovvertirle. L'argomento addotto per confutare la riconoscibilità della precaria situazione finanziaria di C._, ovvero il fatto che la società F._Ltd fosse altrettanto riconducibile agli aventi diritto economico delle varie fondazioni, è in realtà un argomento di fatto, già smentito al consid. 3.2. L'assenza di un rapporto contrattuale diretto fra le beneficiarie economiche della fondazione opponente e la ricorrente non osta al riconoscimento di una responsabilità della banca: una tale responsabilità può infatti scaturire tanto da un contratto (nel senso del mandato) quanto da un altro capo di responsabilità (gestione d'affari, atto illecito, illecito arricchimento, cfr. sentenza 4C.444/1997 del 4 giugno 1998 consid. 4a). Determinante è unicamente il mancato perfezionamento del negozio specifico relativo alla messa a pegno, che avrebbe dovuto venire in essere tra l'opponente e la banca e che invece non è stato validamente concluso. Alcuni argomenti della ricorrente, peraltro, poggiano su una lettura manifestamente errata e tendenziosa della giurisprudenza del Tribunale federale: così, essa fonda la confutazione di una qualsiasi responsabilità extra-contrattuale della banca su un elemento (la fiducia delle aventi diritto economico della fondazione nei confronti di C._) inconferente nel presente contesto, mentre il rapporto di fiducia che impone alla banca d'informare il cliente non deve fondarsi necessariamente su un preciso rapporto contrattuale (cfr., a proposito dell'obbligo di informare, sentenza 4C.410/1997 del 23 giugno 1998 consid. 3, in Pra 1998 n. 155 pag. 827 e SJ 1999 I pag. 205). Lo stesso vale per l'obiezione secondo la quale il conferimento del mandato di gestione alla banca non impedisce al titolare del conto di impartire ordini diretti: sebbene ciò sia vero, non è lecito dedurne - e contrario - che il mandato di gestione non possa rappresentare un valido indizio delle intenzioni del cliente e che sulla scorta di un tale indizio la banca possa incorrere nell'obbligo di verificare operazioni che altrimenti potrebbero legittimamente apparirle correnti.
Quanto alla fiducia (mal) riposta dalle beneficiarie della fondazione in C._, va rammentato che trattandosi qui di un'azione finalizzata ad ottenere il corretto adempimento del contratto, e non un risarcimento di danni, la giurisprudenza ha già avuto modo di precisare che un'eventuale concolpa dell'opponente non ha importanza (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 7b). L'inazione degli altri membri del consiglio di fondazione dell'opponente, infine, è un fatto che non emerge dalla sentenza impugnata, né la ricorrente fa valere di averlo tematizzato in istanza cantonale: nuovo, è inammissibile (art. 99 cpv. 1 LTF), così come la censura su di esso fondata.
4.3 Il Tribunale di appello ha ammesso l'esistenza di un dovere di verifica della banca, non esercitato, anche con riferimento agli svariati prelievi effettuati da C._ a carico del conto della fondazione. Sebbene operazioni ancora suscettibili di essere sussunte sotto lo scopo sociale della fondazione, il loro numero elevato, la concomitanza di addebiti sugli stessi conti nello stesso giorno, il verificarsi di operazioni di prelievo addirittura con accredito diretto al conto personale di C._ - tutti elementi di fatto accertati senza arbitrio (cfr. quanto esposto al consid. 3.5) rispettivamente rimasti inoppugnati - dovevano far nascere, all'interno della banca, qualche sospetto. Ed effettivamente, proseguono i giudici cantonali, il direttore E._ aveva nutrito qualche sospetto a proposito dell'esistenza del consenso delle beneficiarie economiche, tanto da interpellare ripetutamente C._; accontentandosi tuttavia di risposte orali affermative ed omettendo di disporre ulteriori accertamenti, la banca è venuta meno ai propri obblighi. Di qui l'obbligo, di principio, della banca di rifondere gli importi indebitamente prelevati da C._.
Anche in questo caso, la decisione dei giudici cantonali è conforme ai principi esposti al consid. 4.1 e le obiezioni della ricorrente non permettono di sovvertirla. La ricorrente sostiene che il Tribunale di appello avrebbe stravolto la giurisprudenza sviluppata in tema di fondazioni, con particolare riferimento alla già ripetutamente citata sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996. In quella circostanza, secondo la ricorrente del tutto paragonabile alla presente fattispecie, la fiducia riposta nell'organo esecutivo era stata considerata determinante per escludere la malafede della banca, mentre i prelevamenti, sebbene in quel caso di entità ancora più importante che nel presente, erano stati considerati operazioni del tutto ordinarie.
Sennonché quella sentenza dice tutt'altro: un obbligo della banca di effettuare ulteriori accertamenti è stato infatti negato in ragione del fatto che tutte le transazioni fra le parti erano state sempre condotte dall'organo esecutivo in questione, fatto - questo - atto a far apparire ordinarie anche le importanti transazioni poi rivelatesi ingiustificate (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 4c). Proprio in quella sentenza è stato fra l'altro evidenziato un criterio di giudizio che si rivela determinante nella fattispecie in esame, ma che faceva invece difetto nel caso allora deciso. Si tratta dell'esistenza di un conflitto d'interesse non già semplice, ovvero gravante (solo) su C._ che, sebbene organo della fondazione, agisce per suo esclusivo tornaconto, bensì duplice: la ricorrente medesima, infatti, si è trovata a dover difendere gli interessi della fondazione propria cliente da un lato, ma anche a voler tutelare i propri interessi in qualità di creditrice di una società di C._, fortemente esposta. Si tratta di un elemento di giudizio pertinentemente messo in evidenza dai giudici cantonali (seppur in altro contesto), comprensibilmente sottaciuto dalla ricorrente, e che nella sentenza del 29 agosto 1996 il Tribunale federale aveva menzionato quale esempio di una circostanza atta a far cadere il potere di rappresentanza dell'organo anche nel quadro di operazioni ordinarie, perché circostanza suscettibile di far nascere un obbligo di ulteriori chiarimenti a carico della banca medesima (sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996 consid. 4b). Esattamente quanto si verifica nel caso di specie. Anche gli altri argomenti della ricorrente sono destinati all'insuccesso. Laddove riafferma i principi esposti nella sentenza 4C.108/2002 del 23 luglio 2002 (in Pra 2003 n. 51 pag. 244), essa omette infatti di porre detta sentenza nel giusto contesto (cfr. quanto già esposto al consid. 4.1.2). Le sue ulteriori obiezioni non meritano infine un esame di merito: fondate su elementi di fatto non accertati, quale la passività degli altri organi della fondazione (cfr. quanto già esposto al consid. 4.2 in fine), rispettivamente smentiti, come l'ignoranza della destinazione finale dei prelevamenti (cfr. quanto già esposto al consid. 4.2), o, ancora, prive di sufficiente motivazione, ad esempio per quel che riguarda la pretesa violazione dell'art. 8 Cost. (cfr. art. 106 cpv. 2 LTF e quanto esposto al consid. 2), esse risultano inammissibili.
4.4 Venendo all'obbligo di pagamento impostole nella sentenza impugnata (dispositivo n. 1.3), la ricorrente formula due censure.
4.4.1 In primo luogo, sostiene, i giudici cantonali avrebbero individuato una sua responsabilità nei confronti della fondazione opponente e riconosciuto a quest'ultima un risarcimento del danno subito a seguito dei prelevamenti di C._. Correttamente, tuttavia, avrebbero semmai dovuto condannarla allo storno di tali operazioni, ma solo a condizione che una simile domanda fosse stata espressamente formulata nel petitum di causa, cosa che l'opponente non ha fatto.
Dal canto suo l'opponente ritiene che la censura si fondi su allegazioni nuove e pertanto inammissibili; inoltre, riguardando il diritto processuale cantonale, avrebbe dovuto essere motivata conformemente all'art. 106 cpv. 2 LTF, ciò che non è avvenuto. Infine, secondo l'opponente lo storno potrebbe essere chiesto soltanto qualora i fondi prelevati si trovassero ancora su di un conto della medesima banca.
Ora, la Corte cantonale non ha specificato la base legale sulla quale ha operato la riduzione dell'importo preteso dall'opponente a titolo di restituzione dei prelievi effettuati da C._ tra dicembre 1995 e il novembre 1997. Emerge tuttavia senza alcun dubbio dal consid. 4 della sentenza impugnata che l'obbligo della banca è fondato sul venir meno del rapporto di rappresentanza fra C._ e la banca; lo conferma anche il rinvio alla più volte citata sentenza 4C.15/1996 del 29 agosto 1996. Anche il prosieguo del suo ragionamento è chiaro: in ragione della mancanza di controlli da parte del beneficiario economico, l'assenza di accertamenti più incisivi da parte della banca può essere ancora tollerata (nel senso di non essere fattore tale da far cadere il potere di rappresentanza dell'organo) fino a fine 1996, non più, invece, a partire da gennaio 1997. Contrariamente a quanto ritiene la ricorrente, dunque, non si può affermare che la Corte cantonale abbia riconosciuto all'opponente il risarcimento di un danno invece che l'obbligo di storno di operazioni non debitamente autorizzate. Peraltro, anche se così fosse, la determinazione della base legale di un'obbligazione è di competenza del giudice, in virtù del principio iura novit curia: omettendo di confrontarsi con tale principio, indicando chiaramente la norma - di diritto costituzionale, federale o cantonale - asseritamente disattesa, la ricorrente formula una censura inammissibile. Quanto alle distinzioni dell'opponente fra storno delle operazioni illecite e risarcimento dei danni, non è chiaro dove esse debbano condurre; comunque, sono parimenti inammissibili in quanto fondate su fatti (l'attuale locazione degli averi prelevati da C._) non constatati nella sentenza impugnata, dunque nuovi ed inammissibili.
4.4.2 La Corte cantonale ha stabilito che seri elementi tali da risvegliare l'attenzione della banca, obbligandola dunque a disporre ulteriori accertamenti, sussistevano già a partire da metà 1996; tuttavia, in ragione del lacunoso controllo effettuato dalle beneficiarie economiche, il Tribunale di appello ha accolto l'azione limitatamente ai prelievi effettuati dopo l'inizio di gennaio 1997.
La ricorrente ritiene tale modo di procedere lesivo dell'art. 44 CO, non potendosi fissare una riduzione in applicazione di criteri temporali, ma dovendosi invece ridurre il risarcimento in proporzione alla colpa concomitante della parte lesa. Peraltro, anche volendo ammettere la legittimità di una riduzione fondata su criteri temporali, logicamente si sarebbe dovuta ammettere l'esenzione della banca a partire da un determinato momento.
In primo luogo, richiamandosi all'art. 44 CO, la ricorrente si contraddice, visto che poco prima aveva negato trattarsi di un caso di risarcimento del danno. La Corte cantonale non ha specificato la base legale sulla quale ha operato la riduzione. Il suo ragionamento è tuttavia chiaro: in ragione della mancanza di controlli da parte delle beneficiarie economiche, l'assenza di accertamenti più incisivi da parte della banca può essere ancora tollerata (nel senso di non essere fattore tale da far cadere il potere di rappresentanza dell'organo) fino a fine 1996, non più, invece, a partire da gennaio 1997. Logicamente ineccepibile è, allora, la conclusione che ne deriva, ossia di liberare la banca fino a fine 1996. La relativa censura è infondata. La censura della mancata considerazione dell'inattività degli ulteriori membri del consiglio di fondazione, ancora riproposta in questa sede, non può che continuare ad essere inammissibile (supra consid. 4.2 in fine).
4.4.3 Anche su questo punto, dunque, la sentenza impugnata resiste alla critica.
5. Alla luce di quanto precede, il ricorso va respinto nella misura della sua ammissibilità.
Le spese giudiziarie e le ripetibili seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 e 2 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 20'000.-- sono poste a carico della ricorrente, la quale rifonderà all'opponente fr. 22'000.-- per ripetibili della sede federale.
3. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.