Faits:
A. X._, ressortissante de Centrafrique née en 1957, a obtenu le 20 janvier 1992 une autorisation de séjour pour études, laquelle a été régulièrement renouvelée jusqu'au 30 novembre 1995. Après avoir appris que la prénommée avait été éliminée de la Faculté des lettres, l'Office cantonal de la population du canton de Genève (ci-après: l'Office de la population) a refusé, par décision du 22 avril 1996, de renouveler son autorisation de séjour. Le 23 septembre 1997, la Commission cantonale de recours de police des étrangers du canton de Genève (ci-après: la Commission de recours) a rejeté le recours formé contre cette décision et a imparti à X._ un délai de départ au 30 octobre 1998, afin de lui permettre d'achever une autre formation commencée entre-temps. Cette décision de renvoi a été étendue à l'ensemble du territoire de la Confédération par prononcé de l'Office fédéral des étrangers (devenu entre-temps l'Office fédéral des migrations) du 10 février 1998. Par courrier du 28 octobre 1998, X._ a sollicité la prolongation de trois mois de son délai de départ, en invoquant des raisons médicales. Le 12 novembre 1998, cette requête a été rejetée par l'Office de la population qui a remis à la prénommée une carte de sortie en vue de son départ immédiat. Dans une écriture du 30 novembre 1998, X._ a fait valoir que ses problèmes médicaux ne pouvaient être soignés dans son pays. Par décision du 22 décembre 1998, l'Office de la population lui a imparti à titre exceptionnel un délai au 31 janvier 1999 pour quitter la Suisse.
Par courrier du 12 mars 2008, l'employeur de X._, la Résidence B._, a demandé à l'Office de la population où en était la procédure de renouvellement de l'autorisation de séjour de la prénommée. Ce courrier était accompagné d'une copie d'une attestation de l'Office de la population, datée du 28 septembre 2007, selon laquelle la prénommée résidait sur le territoire du canton de Genève depuis le 11 novembre 1992, au bénéfice d'une autorisation de séjour échue le 13 septembre 2007, en cours de renouvellement.
B. Par décision du 8 mai 2008, l'Office de la population a prononcé le refoulement de X._ et lui a imparti un délai pour quitter le territoire suisse. Ce prononcé a été déclaré exécutoire nonobstant recours. L'Office de la population a notamment relevé qu'il n'avait jamais délivré l'attestation précitée, laquelle apparaissait comme un faux.
Par acte du 23 mai 2008, X._ a déféré ce prononcé à la Commission de recours, en concluant notamment à la restitution de l'effet suspensif.
Le 6 juin 2008, la Présidente de la Commission de recours a rejeté la requête de restitution de l'effet suspensif. Elle a considéré que, compte tenu notamment du fait que X._ n'avait jamais donné suite aux injonctions des autorités et avait fait usage d'un document falsifié, son intérêt privé à attendre à Genève l'issue de son recours ne devait pas prévaloir sur l'intérêt public de l'autorité à établir immédiatement une situation conforme à la solution qu'elle avait adoptée.
C. Par acte du 11 juillet 2008 (date de la remise à la poste), X._ interjette recours contre cette décision. Elle demande au Tribunal fédéral, principalement, d'annuler la décision entreprise et de rétablir l'effet suspensif de son recours à la Commission de recours et, subsidiairement, d'annuler la décision de renvoi de Suisse et d'inviter l'autorité intimée à régulariser ses conditions de séjour en faisant "application de l'art. 18 LA". A titre préalable, elle demande que le Tribunal de céans "prenne les mesures provisionnelles adéquates" et la dispense des frais de procédure. Elle se plaint notamment d'une violation de l'art. 3 de la Convention de sauvegarde des droits de l'homme et des libertés fondamentales du 4 novembre 1950 (CEDH; RS 0.101).
Par ordonnance du 15 juillet 2008, le Juge présidant la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé à titre superprovisoire l'effet suspensif au recours.
Il n'a pas été requis d'observations.
Considérant en droit:
1. 1.1 La recourante n'a pas intitulé son acte. Cette imprécision ne saurait lui nuire si son recours remplit les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (cf. ATF 126 II 506 consid. 1a in fine p. 508).
Selon l'art. 83 lettre c ch. 2 et 4 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110), le recours (ordinaire) en matière de droit public est irrecevable notamment, en matière de droit des étrangers, contre les décisions relatives à une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit et contre les décisions de renvoi. Cette clause d'exclusion s'applique également lorsque la décision attaquée traite d'une question de procédure - tel l'effet suspensif - dans le domaine concerné (cf. arrêt 2C_675/2007 du 3 décembre 2007). Dans le cas particulier, seul le recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF) entre donc en ligne de compte.
1.2 La décision attaquée - qui refuse de restituer l'effet suspensif au recours contre la décision de refoulement de l'Office de la population - est une décision incidente de nature à causer à la recourante un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 lettre a LTF (applicable en vertu du renvoi de l'art. 117 LTF). Elle peut donc faire l'objet d'un recours constitutionnel subsidiaire. Dans le cadre de cette procédure portant uniquement sur la question de l'effet suspensif, la recourante ne peut toutefois demander l'annulation ou la modification de la décision sur le fond, par laquelle son refoulement a été prononcé, de sorte que sa conclusion subsidiaire est irrecevable.
Interjeté au surplus par une partie qui a succombé dans ses conclusions et qui a un intérêt juridique à l'annulation ou la modification de la décision (cf. art. 115 LTF), le recours, déposé dans le délai (cf. art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans la forme (cf. art. 42 LTF) prévus par la loi, est en principe recevable, puisqu'il est dirigé contre une décision rendue par une autorité cantonale de dernière instance (cf. art. 114, 86 al. 1 lettre d et al. 2 et 130 al. 3 LTF; cf. aussi art. 3 de la loi genevoise d'application de la loi fédérale sur le séjour et l'établissement des étrangers [LaLSEE; RS/GE F 2 10], selon lequel la Commission de recours statue en instance unique).
1.3 Selon l'art. 116 LTF, le recours constitutionnel subsidiaire ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (cf. par ailleurs l'art. 98 LTF s'agissant du recours en matière de droit public, lorsque celui-ci est dirigé contre une décision portant sur des mesures provisionnelles).
En vertu des art. 117 et 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. Cette disposition reprend le principe d'allégation (Rügeprinzip) que la pratique relative au recours de droit public avait établi en relation avec l'art. 90 OJ (ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397). Selon cette pratique, l'acte de recours doit, à peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation. Lorsqu'il est saisi d'un recours, le Tribunal fédéral n'a donc pas à vérifier de lui-même si l'arrêt entrepris est en tous points conforme au droit et à l'équité. Il n'examine que les griefs d'ordre constitutionnel invoqués et suffisamment motivés dans l'acte de recours. Le recourant ne saurait se contenter de soulever de vagues griefs ou de renvoyer aux actes cantonaux (ATF 130 I 258 consid. 1.3 p. 261/262, 26 consid. 2.1 p. 31 et les références).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 et 116 LTF), ce que la partie recourant doit invoquer avec précision (art. 117 et 106 al. 2 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 117 et 99 al. 1 LTF).
2. 2.1 En l'espèce, la recourante se plaint d'une violation de l'art. 3 CEDH: appartenant à l'ethnie Yakoma, victime de persécutions de la part de l'ethnie Baya actuellement au pouvoir en Centrafrique, elle serait exposée à des traitements prohibés par l'art. 3 CEDH si elle était renvoyée dans son pays.
2.2 Il s'agit là de faits nouveaux qui n'ont pas été allégués dans le recours du 23 mai 2008 à la Commission de recours. Partant, ces faits ne peuvent être pris en considération dans la présente procédure (cf. consid. 1.4), ni l'argumentation juridique reposant sur eux. Au demeurant, le grief de violation du principe de non-refoulement sera examiné, le cas échéant, dans le cadre d'une éventuelle décision d'exécution forcée, précisant les modalités et le lieu du refoulement (cf. arrêt 2A.328/2006 du 11 septembre 2006, consid. 5). Celle-ci ne sera toutefois prononcée que dans la mesure où la recourante ne quitte pas le territoire suisse.
2.3 Au surplus, la recourante critique la pesée des intérêts effectuée par l'autorité intimée, sans toutefois dénoncer la violation de droits constitutionnels. En particulier, elle n'affirme pas et démontre encore moins que celle-ci serait arbitraire et, partant, contraire à l'art. 9 Cst. Il est par conséquent douteux que le recours, essentiellement appellatoire, soit recevable (cf. consid. 1.3). La question peut demeurer indécise, celui-ci devant de toute manière être rejeté sur le fond.
3. 3.1 Intitulé "Effet suspensif", l'art. 66 de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA; RS/GE E 5 10) dispose que, sauf disposition légale contraire, le recours a effet suspensif à moins que l'autorité qui a pris la décision attaquée n'ait ordonné l'exécution nonobstant recours (al. 1). Selon l'art. 66 al. 2 LPA, toutefois, lorsqu'aucun intérêt public ou privé prépondérant ne s'y oppose, la juridiction de recours peut, sur la demande de la partie dont les intérêts sont gravement menacés, retirer ou restituer l'effet suspensif.
3.2 La recourante vit en Suisse depuis 1992. Depuis la fin 1998, elle y réside toutefois sans titre de séjour. A cet égard, le fait qu'elle semble avoir fait usage récemment d'une fausse attestation de l'Office de la population ne plaide pas en sa faveur. Par ailleurs, la recourante ne fait pas valoir de liens particulièrement étroits avec la Suisse. Il ressort en particulier de la décision attaquée qu'en 1992, lorsqu'elle-même est entrée en Suisse, ses enfants sont restés en Centrafrique.
Dans ces conditions, il n'est à tout le moins pas arbitraire de considérer que l'intérêt public à ce que la recourante attende à l'étranger l'issue de la procédure cantonale de recours l'emporte sur son intérêt privé à demeurer en Suisse.
4. Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la faible mesure où il est recevable. Les conclusions de la recourante apparaissant dénuées de toute chance de succès, la requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF a contrario). Les frais de justice seront fixés compte tenu de sa situation financière (cf. art. 65 al. 2 LTF). La recourante n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF a contrario).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Des frais judiciaires de 800 fr. sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué à la représentante de la recourante, à l'Office cantonal de la population et à la Commission cantonale de recours de police des étrangers du canton de Genève.
Lausanne, le 31 juillet 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Merkli Vianin