Faits:
A. Depuis mars 2002, P._, né en 1966, domicilié en France, est employé par l'Hôpital X._ dans le service d'hôtellerie. A ce titre, il est assuré obligatoirement contre le risque d'accidents auprès de la CSS Assurances SA (ci-après : la CSS).
Le 8 octobre 2003, il a été victime d'une collision frontale avec un autre véhicule venant en sens inverse dont le conducteur avait perdu la maîtrise dans un tournant. Il a perdu connaissance pendant un bref instant et a été conduit à l'hôpital où l'on a constaté de multiples contusions et hématomes (friction-brûlure à la clavicule gauche, contusion thoracique et de la fosse lombaire, hématome iliaque trochantérien gauche important, contusion de l'avant-pied gauche, excoriations au genou et à la crête tibiale gauche) ainsi qu'une limitation à la rotation du cou, mais aucune fracture. P._ a pu quitter l'hôpital le même jour. Il a été suivi par son médecin traitant en France pour des cervico-brachialgies, des dorsalgies et des lombalgies, ainsi que des douleurs à la hanche et au pied gauches. Il a repris son travail à 50 % le 1er décembre 2003, puis à 100 % dès le 1er janvier 2004.
A partir d'octobre 2004, l'employeur a annoncé à la CSS une nouvelle période d'incapacité de travail à un taux variable qui a été indemnisée par l'assureur-accidents. Depuis novembre 2005, P._ travaille à 70 %, dont 30 % au service de l'hôtellerie et 40 % au service de la lingerie. La Caisse nationale suisse en cas d'accidents (CNA), qui gère le dossier pour la CSS, a mandaté la doctoresse R._ pour une expertise neurologique (rapport du 9 mai 2007). Le 31 mai 2007, le docteur H._, remplaçant du médecin d'arrondissement de la CNA, a procédé à un examen final de l'assuré au terme duquel il a retenu que l'accident avait compliqué des lésions préexistantes sous la forme d'une scoliose et que les troubles actuels - essentiellement des cervico-brachialgies du côté droit et des douleurs à l'épaule droite - étaient imputables à cet état maladif (rapport daté du jour de l'examen).
Se fondant sur ce rapport, la CSS a rendu le 8 février 2008 une décision par laquelle elle a mis fin à ses prestations (prise en charge du traitement médical et versement des indemnités journalières) avec effet au 29 février 2008. P._ a formé opposition. Après avoir invité le docteur U._, de la CNA, à donner son avis sur le cas (appréciation médicale du 19 août 2008), la CSS a écarté l'opposition dans une nouvelle décision du 7 octobre 2008.
B. Par jugement du 14 septembre 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel a rejeté le recours de l'assuré contre la décision sur opposition du 7 octobre 2008. En bref, la juridiction cantonale a jugé les avis des médecins de la CNA probants et considéré qu'il n'y avait plus de relation de causalité naturelle entre les troubles persistant après le 28 février 2008 et l'accident du 8 octobre 2003.
C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à la reconnaissance d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre l'accident et ses troubles; subsidiairement, au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour statuer après avoir ordonné une contre-expertise.
La CSS conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à des prestations de l'assurance-accidents en nature (traitement médical) et en espèces (indemnités journalières) au-delà du 29 février 2008. Le Tribunal fédéral n'est donc pas lié par les faits constatés par la juridiction précédente (cf. art. 97 al. 2 et 105 al. 3 LTF) et le recours peut porter sur toute constatation incomplète ou inexacte des faits.
2. Le jugement entrepris expose les dispositions légales et la jurisprudence pertinentes, en particulier les principes relatifs à la notion de causalité naturelle et adéquate, de statu quo ante / statu quo sine, de sorte qu'on peut y renvoyer.
3. 3.1 Il est constant que l'accident du 8 octobre 2003 n'a causé aucune fracture. De l'examen neurologique réalisé à la demande de la CNA par la doctoresse R._, il ressort que l'assuré souffre d'un syndrome cervical et de douleurs à l'épaule droite sans troubles neurologiques objectivables (rapport du 9 mai 2007). En particulier, ce médecin n'a constaté aucun trouble irritatif, déficitaire, ou radiculaire au niveau des membres supérieurs sur le plan moteur ou sensitif, ni d'atteinte clinique des différents troncs nerveux de la ceinture scapulaire (tout en évoquant la possibilité d'une composante de tendinopathie ou de péri-arthropathie entretenant la symptomatologie douloureuse à l'épaule droite). Elle a également souligné l'absence de maux de tête, de vertiges, d'altérations des fonctions cognitives, d'éléments dépressifs ou d'une exagération des troubles subjectifs. Il est en outre établi que l'assuré présente une scoliose dorso-lombaire d'ancienne date ainsi qu'une discopathie en C6-C7 qui ne résulte pas de l'accident.
3.2 En guise de conclusion de son examen, la doctoresse R._ a déclaré qu'elle attribuait la persistance du syndrome cervical présenté par P._ aux suites du mécanisme de distorsion cervicale que celui-ci avait «très probablement» subi lors de son accident de la circulation. De son côté, le docteur H._, de la CNA, a estimé que l'accident avait probablement révélé ou compliqué des lésions préexistantes et que les plaintes actuelles étaient «logiquement et manifestement» la conséquence de cette malformation vertébrale (rapport d'examen final du 31 mai 2007). Quant au docteur U._, également de la CNA, qui s'est exprimé uniquement sur la base du dossier, il a conclu que les plaintes actuelles de l'assuré devaient être imputées soit à l'état préexistant - même s'il était peu probable que l'accident du 8 octobre 2003 ait exercé une influence négative sur la scoliose -, soit à une origine psychosomatique, vu l'absence de lésion structurelle de la colonne vertébrale mise à jour par les radiographies pratiquées entre 2003 à 2008 (appréciation médicale du 19 août 2008).
3.3 Contrairement aux premiers juges, il paraît difficile de considérer que le cas de l'assuré a été suffisamment instruit du point de vue médical en ce qui concerne le retour au statu quo sine au 1er mars 2008. Tout d'abord, les médecins de la CNA n'ont pas pris position sur le diagnostic de probable distorsion cervicale posé par la doctoresse R._ alors que celle-ci s'est pourtant prononcée avant eux dans le cadre d'un mandat d'expertise. Certes, la neurologue ne s'est pas étendue sur ce qui l'a amenée à retenir ce diagnostic, ni sur les raisons pour lesquelles elle estimait que l'assuré souffrait encore des suites de cette distorsion cervicale. On notera cependant qu'elle a pu partir de l'idée que l'existence d'une distorsion cervicale était admise par la CNA vu la teneur de la lettre de celle-ci fixant l'objet de l'expertise («Dans le cadre du diagnostic des patients ayant subi un traumatisme d'accélération cranio-cervical le TFA exige impérativement un examen auprès d'un neurologue. Au vu de cette prémisse juridique et avec l'accord de notre médecin d'arrondissement, nous vous prions de bien vouloir convoquer notre patient à un examen neurologique [...]»). Cela étant, on ne saurait purement et simplement s'écarter de cette partie des conclusions de l'experte au motif que l'assuré n'aurait pas développé le tableau clinique typique d'un traumatisme cervical, à l'instar de ce qu'ont fait la CSS et les premiers juges. Ensuite, les docteurs H._ et U._ ne démontrent pas en quoi l'accident aurait cessé ses effets en se contentant d'affirmer que les troubles actuels de l'assuré sont dus à l'état maladif que celui-ci présentait déjà antérieurement, sans parler du fait qu'ils ne semblent pas d'accord entre eux sur la question de savoir si l'événement accidentel a aggravé ou non cet état maladif antérieur. A cet égard, on peut également remarquer que la doctoresse R._ n'a a priori accordé aucune importance à ces affections préexistantes (voir aussi l'avis du médecin traitant de l'assuré). En définitive, on se trouve devant trois opinions médicales qui, sur la question du maintien ou non de la causalité naturelle entre l'accident assuré et les troubles persistants au-delà du 29 février 2008, sont divergentes, peu étayées, et présentent une évaluation incomplète de la problématique médicale du recourant.
Dans ces circonstances, il convient d'admettre la conclusion subsidiaire du recourant tendant à la mise en oeuvre d'une instruction complémentaire. La cause sera retournée à la CSS afin qu'elle ordonne une expertise médicale associant les compétences d'un spécialiste en neurologie et d'un spécialiste en orthopédie. Il appartiendra à l'intimée d'interroger les experts sur tous les points qui sont demeurés imprécis (en particulier l'existence d'une distorsion cervicale et de ses suites, l'influence de l'état antérieur de la colonne vertébrale de l'assuré, le retour au statu quo sine et l'incapacité de travail). Après quoi la CSS rendra une nouvelle décision.
4. Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires seront mis à charge de l'intimée (art. 66 al. 1 LTF). Celle-ci versera également au recourant une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le jugement du 14 septembre 2009 du Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (Cour des assurances sociales) ainsi que la décision sur opposition du 7 octobre 2008 de la CSS sont annulés, la cause étant renvoyée à l'assureur-accidents pour qu'il procède conformément aux considérants et rende une nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera au recourant la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. La cause est renvoyée au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel (Cour des assurances sociales) pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure cantonale.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Neuchâtel, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 5 août 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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