Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1992) stammt aus Nigeria. Das Bundesamt für Migration (BFM) wies am 9. November 2010 sein Asylgesuch ab und hielt ihn an, das Land spätestens am Tag nach Eintritt der Rechtskraft seiner Verfügung zu verlassen. Am 3. März 2011 wurde X._ von einer Expertendelegation als nigerianischer Staatsangehöriger anerkannt, worauf er untertauchte bzw. sich in Italien aufgehalten haben will. Am 14. Oktober 2011 ersuchte X._ in der Schweiz erneut erfolglos um Asyl. Am 9. November 2011 bestätigte das Bundesverwaltungsgericht die entsprechende Nichteintretensverfügung des BFM vom 27. Oktober 2011.
1.2 Am 16. November 2011 wurde X._ im Auftrag des Amts für Migration des Kantons Zug in Polizeigewahrsam und hernach in Ausschaffungshaft (Art. 77 AuG; SR 142.20) genommen. Der Haftrichter am Verwaltungsgericht des Kantons Zug prüfte diese am 18. November 2011 und genehmigte sie bis zum 15. Januar 2012. Am 8. Dezember 2011 weigerte sich X._, den für ihn gebuchten Flug nach Nigeria anzutreten, worauf er am 15. Januar 2012 aus der Ausschaffungshaft entlassen und in Durchsetzungshaft versetzt wurde. Die Haftrichterin am Verwaltungsgericht des Kantons Zug prüfte diese am 18. Januar 2012 und bestätigte sie bis zum 14. Februar 2012.
1.3 Mit Eingabe vom 20. Februar 2012 beantragt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht, den Entscheid der Haftrichterin aufzuheben und ihn aus der Haft zu entlassen.
2. Seine Eingabe erweist sich - soweit überhaupt darauf einzutreten ist (vgl. E. 2.1) - als offensichtlich unbegründet (vgl. E. 2.2) und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden:
2. Seine Eingabe erweist sich - soweit überhaupt darauf einzutreten ist (vgl. E. 2.1) - als offensichtlich unbegründet (vgl. E. 2.2) und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden:
2.1 2.1.1 Gegen kantonal letztinstanzliche richterliche Entscheide betreffend die Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur offen, soweit der Betroffene an der Beurteilung seiner Eingabe ein aktuelles praktisches Interesse hat (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG). Fällt dieses im Verlauf des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (BGE 137 I 23 E. 1.3.1; Urteil 2C_10/2009 vom 5. Februar 2009 E. 2). Soweit ein aktuelles Interesse als Eintretensvoraussetzung nicht offensichtlich erscheint, muss der Betroffene dieses gestützt auf Art. 42 BGG dartun bzw. darlegen, weshalb ausnahmsweise (vgl. hierzu BGE 137 I 23 E. 1.3.1 S. 25) darauf zu verzichten ist (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356).
2.1.2 Die Haftrichterin hat die Durchsetzungshaft des Beschwerdeführers bis zum 14. Februar 2012 genehmigt. Dieser legt nicht dar, dass und inwiefern er an der Beurteilung seiner Beschwerde im Zeitpunkt von deren Einreichung am 20. Februar 2012 noch ein aktuelles Interesse gehabt hätte bzw. weshalb auf ein solches zu verzichten wäre (vgl. das Urteil 2C_624/2011 vom 12. September 2011 E. 1.2). Er ist damit seinen Begründungsanforderungen nach Art. 42 BGG nicht nachgekommen. Sollte er sich nach wie vor in Durchsetzungshaft befinden, beruht diese nicht mehr auf der von ihm angefochtenen Verfügung, sondern auf einem allfälligen (neuen) richterlichen (Verlängerungs-)Entscheid, der an sich wieder selbständig angefochten werden müsste (vgl. das Urteil 2C_683/2009 vom 30. November 2009 E. 2.2; HUGI YAR, Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax et al. [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2008, N. 10.126).
2.1.2 Die Haftrichterin hat die Durchsetzungshaft des Beschwerdeführers bis zum 14. Februar 2012 genehmigt. Dieser legt nicht dar, dass und inwiefern er an der Beurteilung seiner Beschwerde im Zeitpunkt von deren Einreichung am 20. Februar 2012 noch ein aktuelles Interesse gehabt hätte bzw. weshalb auf ein solches zu verzichten wäre (vgl. das Urteil 2C_624/2011 vom 12. September 2011 E. 1.2). Er ist damit seinen Begründungsanforderungen nach Art. 42 BGG nicht nachgekommen. Sollte er sich nach wie vor in Durchsetzungshaft befinden, beruht diese nicht mehr auf der von ihm angefochtenen Verfügung, sondern auf einem allfälligen (neuen) richterlichen (Verlängerungs-)Entscheid, der an sich wieder selbständig angefochten werden müsste (vgl. das Urteil 2C_683/2009 vom 30. November 2009 E. 2.2; HUGI YAR, Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax et al. [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2008, N. 10.126).
2.2 2.2.1 Die Beschwerde erweist sich in der Sache selber im Übrigen als unbegründet. Der Beschwerdeführer macht ausschliesslich geltend, die angeordnete Durchsetzungshaft sei unzulässig, weil kein rechtskräftiger Wegweisungsentscheid mit einer abgelaufenen Ausreisefrist vorgelegen habe. Das BFM habe ihn am 27. Oktober 2011 weggewiesen und die Ausreisefrist auf den Tag nach Eintritt der Rechtskraft angesetzt. Zwar habe das Bundesverwaltungsgericht seine Beschwerde am 9. November 2011 abgewiesen und sei dieses Urteil mit der Ausfällung an sich rechtskräftig geworden, das bedeute indessen nicht, dass damit auch die verfügte Ausreisefrist zu laufen begonnen habe. Da diese dem Betroffenen ermöglichen solle, das Land freiwillig zu verlassen, müsse auf den Zeitpunkt der Eröffnung an diesen abgestellt werden. Da ihm das Urteil - so der Beschwerdeführer - am 15. November 2011 ausgehändigt worden sei, habe er nicht in Durchsetzungshaft genommen werden dürfen, da die Frist für die freiwillige Ausreise noch nicht abgelaufen gewesen sei.
2.2.2 Der Beschwerdeführer verkennt, dass er am 16. November 2011 in eine kleine Ausschaffungshaft nach Art. 77 AuG genommen worden war, die ihrerseits voraussetzte, dass der Betroffene die Schweiz nicht in der ihm angesetzten Frist verlassen hat. Dieser Entscheid ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen und kann im vorliegenden Verfahren nicht infrage gestellt werden. In der Folge erhielt er am 8. Dezember 2011 Gelegenheit, das Land mit einem gültigen Ersatzreisepapier freiwillig zu verlassen, was er ablehnte. Wenn die Haftrichterin unter diesen Umständen am 18. Januar 2012 davon ausgegangen ist, dass er seine Pflicht zur Ausreise aus der Schweiz innerhalb der ihm angesetzten Frist im Sinne von Art. 78 AuG nicht erfüllt hat, weshalb er in Durchsetzungshaft genommen werden dürfe, verletzte dies kein Bundesrecht. Soweit der Beschwerdeführer implizit geltend macht, dass er (freiwillig) in einen anderen Staat hätte ausreisen wollen, ist nicht ersichtlich und legt er nicht dar, inwiefern er dies rechtmässig hätte tun können (vgl. Art. 115 Abs. 2 AuG). Nur sein Heimatstaat war völkerrechtlich gehalten, ihn zurückzunehmen, und nur hierfür konnten für ihn Reisepapiere erhältlich gemacht werden, weshalb es auf seine Präferenzen nicht ankam (vgl. BGE 133 II 97 E. 4.2.2 S. 103). Die schweizerischen Behörden waren nicht gehalten, ihm für eine illegale Ausreise Hand zu bieten.
3. 3.1 Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Für die weitere Begründung wird auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3.2 Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege kann nicht entsprochen werden, da seine Eingabe als von vornherein aussichtslos gelten musste (Art. 64 BGG). Mit Blick auf seine Situation kann jedoch davon abgesehen werden, für das vorliegende Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. 2.1 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2.2 Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Haftrichterin, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar