Erwägungen:
1. Am 29. Februar 2008 gelangte X._ mit einer vom 26. Februar 2008 datierten subsidiären Verfassungsbeschwerde wegen Verletzung verfassungsmässiger Rechte an das Bundesgericht. Er führte aus, nach einem Nachdiplomstudium Umwelttechnik in Basel Wirtschaftswissenschaft studieren zu wollen; im Hinblick auf sein allfälliges Weiterstudium habe er um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ersucht. Der Rechtsschrift war weder ein Entscheid beigelegt noch wurde darin ein solcher konkret bezeichnet.
Mit Schreiben vom 3. März 2008 wurde der Beschwerdeführer eingeladen, umgehend, aber spätestens bis 14. März 2008, den angefochtenen Entscheid einzureichen, unter Hinweis darauf, dass das Bundesgericht im Unterlassungsfall nicht auf die Beschwerde eintreten würde.
Am 13. März 2008 reichte der Beschwerdeführer ein Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht vom 19. September 2007 ein; zugleich legte er eine leicht modifizierte neue Verfassungsbeschwerde (wiederum vom 26. Februar 2008 datiert) vor, worin er erklärt, Rekurs gegen die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und gegen die Wegweisung zu erheben.
2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung muss sachbezogen sein. Erforderlich ist eine Auseinandersetzung mit dem massgeblichen Inhalt des angefochtenen Entscheids; wird ein Nichteintretensentscheid angefochten, muss sich der Beschwerdeführer in der Beschwerdeschrift mit den von der Vorinstanz angeführten Nichteintretensgründen befassen.
Im dem Bundesgericht vom Beschwerdeführer vorgelegten Urteil des Appellationsgerichts vom 19. September 2007 tritt dieses auf einen Rekurs des Beschwerdeführers nicht ein. Der Rekurs richtete sich gegen einen Zwischenentscheid des Sicherheitsdepartements des Kantons Basel-Stadt vom 24. Mai 2007, welches dem Beschwerdeführer im Verfahren betreffend Nichterteilung der Aufenthaltsbewilligung die unentgeltliche Rechtspflege verweigert hatte. Das Appellationsgericht begründet das Nichteintreten damit, dass der Beschwerdeführer die Nichtgewährung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht angefochten, sondern sich bloss zur materiellen Bewilligungsfrage geäussert habe, worüber noch gar kein Entscheid vorliege.
Auf diese verfahrensrechtliche Problematik geht der Beschwerdeführer mit keinem Wort ein; er befasst sich nur mit der Frage der im Hinblick auf sein Studium beantragten Aufenthaltsbewilligung. Offensichtlich enthält keine der beiden Beschwerdeschriften eine hinreichende Begründung (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), weshalb im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten ist, ohne dass zu klären ist, ob rechtzeitig Beschwerde erhoben worden ist, wogegen übrigens das Datum des angefochtenen Urteils spricht.
Sollte nach dem 19. September 2007 ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid in der Bewilligungsfrage selber ergangen sein und sich die Beschwerde dagegen richten, änderte dies am Nichteintreten nichts, hat es doch der Beschwerdeführer unterlassen, innert der ihm mit Schreiben vom 3. März 2008 gestützt auf Art. 42 Abs. 3 und 5 BGG angesetzten Nachfrist einen solchen allfälligen Entscheid nachzureichen.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. März 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller