Erwägungen:
1. Der Untersuchungsrichter im Privatstrafklageverfahren des Bezirkes Meilen schrieb mit Verfügung vom 9. Dezember 2009 das gegen X._ laufende Untersuchungsverfahren wegen Ehrverletzung als erledigt ab und liess die Akten zwecks Anlegung eines bezirksgerichtlichen Strafverfahrens am Kollegialgericht der Strafkanzlei des Bezirksgerichts Meilen zukommen. Mit Präsidialverfügung vom 24. Februar 2010 liess die Vorsitzende der Abteilung des Bezirksgerichts Meilen die von Y._ gegen X._ wegen Ehrverletzung erhobene Anklage einstweilen nicht zu und schrieb das Verfahren ab. Nach Fortsetzung der Untersuchung verfügte der Untersuchungsrichter des Bezirksgerichts Meilen am 19. März 2010 erneut, das Untersuchungsverfahren sei als erledigt abzuschreiben und übermittelte die Akten zwecks Anlegung eines bezirksgerichtlichen Strafverfahrens am Kollegialgericht an die Strafkanzlei des Bezirksgerichts Meilen. Dagegen erhob X._ am 29. März 2010 Rekurs. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 20. April 2010 auf den Rekurs nicht ein. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass es sich bei der angefochtenen Verfügung um einen rein verfahrensleitenden Entscheid handle, welcher die Rekurrentin nicht beschwere.
2. X._ führt mit Eingabe vom 22. Mai 2010 (Postaufgabe 25. Mai 2010) Beschwerde in Strafsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. April 2010. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Die beim Bundesgericht eingelegte Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG). Da grundsätzlich auf die Beschwerde in Strafsachen einzutreten ist, verbleibt kein Raum für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG).
4. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den Ausführungen der III. Strafkammer, die zum Nichteintreten auf ihren Rekurs führten, nicht auseinander und legt nicht dar, inwiefern der Nichteintretensbeschluss verfassungsmässige Rechte verletzen sollte. Da die vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Beschlusses darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang kann offen bleiben, ob es sich beim angefochtenen Beschluss überhaupt um einen anfechtbaren Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG handelt.
5. Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG). Mit dem Entscheid in der Sache selbst wird das von der Beschwerdeführerin gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bezirksgericht Meilen und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Mai 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli