Faits:
A. X._, diplômé en informatique, a exercé diverses activités à titre indépendant. Dès le mois de mars 1998, il s'est fait inscrire sur le registre du commerce en vue de pratiquer le conseil et la gestion dans le domaine des assurances, mais il a plutôt développé une activité d'enseignement de l'informatique à l'intention du personnel des compagnies d'assurances. En 1999 et 2000, il a enseigné l'informatique à des particuliers et dans de petites et moyennes entreprises.
B. Dès le mois d'août de 1999 et jusqu'à la fin de 2005, X._ a collaboré avec les services de la commune de Lausanne dans le cadre d'un programme destiné à améliorer la formation professionnelle de personnes au chômage ou bénéficiant d'emplois temporaires subventionnés. Il s'est chargé de préparer des formations d'initiation à l'informatique et d'acquisition de connaissances dans le domaine des outils bureautiques, y compris élaborer des supports d'enseignement et des questionnaires d'évaluation. X._ s'est aussi chargé de donner les cours correspondants dans les locaux et avec l'infrastructure de la commune. D'abord intermittente, cette activité est devenue régulière, quoiqu'entrecoupée de périodes où le formateur n'était ni occupé ni payé par la collectivité publique. Celle-ci a admis une moyenne de trente semaines d'activité par année.
Une rétribution était versée pour chaque heure d'enseignement effectif. Les cours planifiés mais annulés par les services communaux n'étaient pas rémunérés, sinon partiellement pendant les années 2004 et 2005. Le formateur annonçait dès que possible ses périodes de vacances ou d'indisponibilité et les services communaux en tenaient compte dans la planification des cours. Aucune rétribution n'était versée dans les périodes de vacances ou d'absence. Le formateur ne s'est pas absenté plus de deux semaines par année pour des vacances.
La commune n'opérait aucune déduction sociale sur ses versements et le formateur acquittait lui-même des charges sociales d'indépendant. Il n'était affilié à aucune institution de prévoyance professionnelle et disait que son statut d'indépendant lui convenait.
Le formateur fut averti le 6 décembre 2005 que son contrat prendrait fin le 1er janvier suivant. Il n'obtint plus qu'une mission isolée de deux jours en avril 2006.
Les services communaux employaient quatre autres formateurs sous le régime du contrat de travail. Aucun ne collaborait sous le statut de fonctionnaire communal. L'un d'eux fut licencié pour la fin de 2006 avec un délai de préavis de six mois.
C. Le 13 décembre 2007, X._ a ouvert action contre la commune de Lausanne devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud. La défenderesse devait être condamnée à lui payer les sommes de 93'260 fr.35 et 19'095 fr. avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er janvier 2006. Elle devait également être condamnée à remettre un certificat de travail dont le libellé serait précisé en cours d'instance. Enfin, la défenderesse devait être condamnée à verser des cotisations de prévoyance professionnelle à la caisse de pensions du personnel communal par 397'813 francs.
En substance, après que le demandeur eut complété ses conclusions concernant le certificat de travail, la défenderesse a conclu au rejet de l'action.
La Cour civile du Tribunal cantonal s'est prononcée le 6 avril 2010 par un jugement dont elle a communiqué le dispositif le 6 mai 2010 puis l'expédition complète le 26 janvier 2011.
Accueillant partiellement l'action, la Cour a jugé que les parties s'étaient liées par un contrat de travail, conformément à la thèse du demandeur; elle a condamné la défenderesse à lui payer 47'301 fr. sous déduction des cotisations légales, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er juillet 2003 sur 33'786 fr. et dès le 1er février 2006 sur le solde. La Cour a également condamné la défenderesse à remettre un certificat de travail dont le jugement fixe le libellé. Enfin, la Cour civile s'est déclarée incompétente pour connaître des conclusions concernant les cotisations de prévoyance professionnelle et elle a renvoyé cette contestation, dans l'état où elle se trouvait, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal.
La défenderesse s'est pourvue devant la Chambre des recours du Tribunal cantonal et le demandeur a usé du recours joint. Statuant le 16 novembre 2011, l'autorité saisie a rejeté les deux recours et confirmé le jugement.
D. La défenderesse a successivement introduit deux recours devant le Tribunal fédéral, le premier dirigé contre le jugement de la Cour civile et le second contre l'arrêt de la Chambre des recours. Elle demande l'annulation de l'arrêt et la réforme du jugement en ce sens que l'action soit intégralement rejetée.
Le demandeur conclut au rejet des deux recours.
Considérant en droit:
1. La Cour civile juge que les parties se sont tacitement liées par un contrat de travail selon l'art. 319 CO. Elle met cependant en doute qu'une collectivité publique telle la commune de Lausanne puisse soumettre les rapports de travail de ses collaborateurs au droit privé, et, sans se prononcer catégoriquement à ce sujet, elle envisage que les art. 319 et suivants CO ne soient applicables qu'à titre de droit public supplétif.
L'art. 342 al. 1 let. a CO réserve les dispositions de la Confédération, des cantons et des communes concernant les rapports de travail de droit public. Le jugement ne mentionne toutefois pas selon quelle règle de droit public les parties se seraient, en l'espèce, engagées tacitement dans des rapports de travail de droit public. En particulier, la Cour ne mentionne aucune règle cantonale ou communale qui soit similaire à l'art. 320 al. 2 CO, celui-ci concernant la conclusion tacite du contrat de travail, prévoyant la formation tacite d'une relation de travail de droit public. On observe aussi que la tâche assumée par le demandeur, soit dispenser des formations en matière informatique et bureautique, ne revêtait aucun caractère régalien. Nonobstant les doutes ainsi exprimés dans le jugement, la condamnation de la défenderesse est fondée sur le droit civil fédéral, de sorte que ce jugement est une décision en matière civile aux termes de l'art. 72 al. 1 LTF.
2. Au regard de l'art. 405 al. 1 CPC, le jugement de la Cour civile a été communiqué avant le 1er janvier 2011, soit avant l'entrée en vigueur du code de procédure civile unifié; contre cette décision et selon cette règle transitoire, les recours demeurent donc soumis au droit fédéral et cantonal alors déterminant (ATF 137 III 127).
3. Les recours sont dirigés contre deux décisions finales (art. 90 LTF). L'arrêt de la Chambre des recours est une décision de dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF); le jugement de la Cour civile est lui aussi une décision de dernière instance cantonale, hormis sur les griefs qui pouvaient être portés devant la Chambre des recours. La valeur litigieuse excède le minimum légal de 15'000 fr. prévu pour le recours en matière civile dans le domaine du droit du travail (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. a LTF). La partie recourante a pris part aux instances concernées et elle a succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). Chaque recours a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF); à la forme, tous deux satisfont aux exigences légales (art. 42 al. 1 et 2 LTF). Le plus récent est censément un recours en matière de droit public mais cet intitulé erroné ne fait pas obstacle à sa recevabilité (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382).
Le recours en matière civile est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
4. La Cour civile juge que les parties se sont tacitement liées par un contrat de travail selon l'art. 319 CO et que le demandeur pouvait prétendre à un salaire mensuel brut au montant de 6'757 fr. 55. Elle lui alloue deux mois de salaire pour la durée du délai de congé, soit 13'515 fr. pour janvier et février 2006, et 33'786 fr. pour compensation des vacances que ce travailleur n'a pas prises pendant les années 2001 à 2005, soit au total 47'301 francs.
A titre principal, la défenderesse persiste a soutenir que le demandeur a fourni son activité dans le cadre d'un contrat de mandat selon l'art. 394 al. 1 CO et qu'elle n'est plus débitrice d'aucune prestation.
5. A teneur de l'art. 319 al. 1 CO, par le contrat individuel de travail, le travailleur s'engage à travailler au service de l'employeur, et celui-ci s'engage à payer un salaire. Le travailleur se place dans un rapport de subordination envers l'employeur; cet élément est caractéristique du contrat de travail et il le distingue des autres contrats de prestation de services (ATF 112 II 41 consid. 1a/aa in fine, consid. 1a/bb p. 46; voir aussi ATF 134 III 102 consid. 3.1.2 p. 106/107; 130 III 213 consid. 2.1 p. 216).
L'activité du demandeur s'est insérée dans un programme de formation de personnes au chômage entrepris et administré par la collectivité publique, exclusivement, sur lequel il n'avait aucune espèce de maîtrise. Les services de la défenderesse assuraient la planification des cours, certes en tenant compte des périodes de vacances ou d'indisponibilité qu'il annonçait, et il devait ensuite s'y conformer. Il préparait les cours et corrigeait les exercices à son domicile mais il enseignait dans les locaux et avec l'infrastructure que la défenderesse fournissait et lui attribuait. Une rétribution mensuelle moyenne excédant 6'500 fr. dénote une activité très importante; le demandeur consacrait apparemment tout son temps, ou presque, à la défenderesse. Ce régime s'est prolongé durant plusieurs années.
L'activité classique d'un enseignant, même salarié, s'accomplit en partie à domicile pour la préparation des cours et le suivi des travaux d'élèves. Cette activité habituelle peut aussi comporter une contribution à l'élaboration du programme de l'enseignement, si l'employeur ne l'impose pas entièrement; le demandeur semble d'ailleurs avoir logiquement assumé la préparation des formations au début de son activité, puis avoir surtout enseigné par la suite. La situation du demandeur ne se distinguait donc pas sensiblement de celle d'un enseignant salarié au sein d'un institut ou d'un établissement d'enseignement. La défenderesse employait d'ailleurs aussi d'autres formateurs à titre de travailleurs salariés.
Au regard de ces circonstances, nonobstant l'opinion différente de la défenderesse, la Cour civile retient à bon droit, au regard de l'art. 319 al. 1 CO, que les parties se sont liées par un contrat de travail plutôt que par un contrat de mandat. En particulier, il est sans importance que le demandeur n'ait pas été astreint à des présences autres que les cours, telles des réunions administratives. Il est également sans importance que le demandeur ait peut-être, selon un témoignage que la défenderesse tient pour concluant, renoncé à un engagement à titre de travailleur salarié parce que dans cette éventualité, il n'aurait obtenu qu'une rétribution moins importante.
A teneur de l'art. 18 al. 1 CO, il y a lieu de rechercher la réelle et commune intention des parties pour apprécier la forme et les clauses d'un contrat, sans s'arrêter aux expressions ou dénominations inexactes dont elles ont pu se servir, soit par erreur, soit pour déguiser la nature véritable de la convention. En l'occurrence, la réelle et commune intention des parties peut être constatée sans équivoque d'après le comportement qu'elles ont adopté durant plusieurs années et la défenderesse n'est donc pas fondée à se plaindre d'une application incorrecte de cette disposition.
6. A titre subsidiaire, la défenderesse conteste le salaire mensuel retenu par la Cour civile. Elle fait grief à cette autorité et à la Chambre des recours de n'avoir pas pris en considération un document qu'elle a produit, indiquant les conditions salariales qu'elle aurait appliquées si un contrat de travail avait été explicitement conclu entre elle et le demandeur.
Au regard des art. 322 al. 1 et 324 al. 1 CO, l'employeur doit payer le salaire convenu ou usuel pendant le temps où, le cas échéant, il se met en demeure d'accepter l'exécution du travail convenu. En l'espèce, la défenderesse est condamnée à payer le salaire des deux mois du délai de congé. Selon l'art. 329d al. 1 CO, l'employeur doit aussi verser au travailleur le salaire total afférent à ses vacances.
La Cour civile n'est pas parvenue à constater en fait un salaire explicitement convenu entre les parties. En revanche, elle a constaté que la défenderesse a versé une rémunération totale de 405'453 fr. au cours des cinq années 2001 à 2005, ce qui correspond à une rémunération mensuelle moyenne de 6'757 fr.55. Elle a appliqué les dispositions précitées sur la base de ce montant moyen. A bon droit, la Cour a tenu compte du niveau de rémunération que les parties avaient longuement pratiqué sans contestation et qui peut donc être tenu pour tacitement convenu entre elles.
En produisant le document qu'elle invoque, la défenderesse entendait prouver les conditions salariales qu'elle aurait appliquées si elle avait étudié et négocié plus soigneusement les conditions et modalités d'engagement du demandeur, comme le fait d'ordinaire une employeuse diligente et consciente de ses responsabilités. Ces conditions hypothétiques sont toutefois dépourvues de pertinence au regard de l'art. 322 al. 1 CO car cette règle-ci fait référence au salaire effectivement convenu entre les parties, explicitement ou par actes concluants. La défenderesse se plaint donc à tort, en tant qu'elle n'a pas été autorisée à prouver lesdites conditions hypothétiques, d'une violation de son droit à la preuve garanti par les art. 8 CC (cf. ATF 126 III 315 consid. 4a p. 317; 122 III 219 consid. 3c p. 223/224) et 29 al. 2 Cst. (cf. ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428).
La preuve offerte se rapportait surtout au chapitre V du règlement lausannois pour le personnel de l'administration communale, du 11 octobre 1977, concernant le traitement versé à un fonctionnaire. L'art. 80 du règlement se lit comme suit:
La Municipalité peut engager des employés par contrat écrit de droit privé lorsqu'ils ne remplissent pas les conditions pour être nommés en qualité de fonctionnaire.
Ces employés sont soumis aux dispositions du code des obligations sur le contrat de travail ainsi qu'aux dispositions de droit public sur le travail.
En outre, les chapitres suivants du règlement pour le personnel de l'administration communale leur sont applicables par analogie : chapitres II (à l'exception de l'article 5, alinéa 1, et de l'article 8), III, V, VI, VII, VIII (à l'exception des articles 71 à 72, les articles 71bis et 71ter s'appliquant par analogie), IX (article 74 uniquement), X (article 80) et XI.
Il n'est pas constaté en fait que le contrat écrit prévu par le premier alinéa ait été effectivement conclu par le demandeur, d'une part, et par la Municipalité ou avec son approbation d'autre part. Egalement invoquées au sujet du salaire, les dispositions du règlement communal auxquelles renvoie le troisième alinéa sont donc hors de cause, de même que la garantie constitutionnelle de l'autonomie communale (art. 50 al. 1 Cst.).
7. La défenderesse invoque la prescription de cinq ans prévue par l'art. 128 ch. 3 CO, que le demandeur n'a pas interrompue avant le 6 août 2007 en saisissant l'autorité de conciliation compétente. Elle soutient que les prétentions antérieures au 6 août 2002 ne sont plus exigibles.
Cette exception a été soulevée pour le première fois devant la Chambre des recours. Celle-ci a jugé que les tribunaux ne pouvaient pas s'en saisir d'office, selon l'art. 142 CO, et que le droit cantonal de procédure exigeait que l'exception fût soulevée en première instance déjà.
En instance fédérale, la défenderesse ne se plaint ni d'une application incorrecte de l'art. 142 CO ni d'une application du droit cantonal éventuellement contraire à la Constitution. L'approche de la Chambre des recours n'est donc pas valablement contestée devant le Tribunal fédéral. Pour le surplus, l'art. 99 LTF exclut que la prescription d'une action soumise à l'art. 142 CO soit invoquée pour la première fois devant le Tribunal fédéral alors qu'elle aurait pu l'être auparavant (ATF 134 V 223 consid. 2.2.2 p. 227; arrêt 2C_137/2011 du 30 avril 2012, destiné à la publication, consid. 3.1; ATF 123 III 213 consid. 5b p. 218, relatif à l'art. 55 al. 1 let. c aOJ). Par conséquent, le moyen tiré de l'art. 128 ch. 3 CO est irrecevable.
8. Les recours se révèlent privés de fondement, dans la mesure où les griefs présentés sont recevables. A titre de partie qui succombe, leur auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les recours sont rejetés, dans la mesure où ils sont recevables.
2. La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 2'500 francs.
3. La défenderesse versera une indemnité de 3'000 fr. au demandeur, à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour civile et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 16 juillet 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
Le greffier: Thélin