Erwägungen:
1. 1.1 X._ (geb. 1950) reiste am 20. März 1999 mit ihrem jüngsten Sohn Y._ (geb. 1988) im Rahmen eines Familiennachzugs zu ihrem Gatten in die Schweiz ein. Ab dem 1. Februar 2002 lebte sie von diesem getrennt. Am 29. September 2005 wurde die Ehe geschieden. Da X._ trotz wiederholter Ermahnungen, ihre wirtschaftliche Situation zu verbessern, über Jahre hinweg von der Sozialhilfe abhängig blieb, lehnte das Migrationsamt des Kantons Aargau es am 25. September bzw. 17. Dezember 2009 ab, ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin am 30. Juni 2011.
1.2 X._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Rekursgerichts aufzuheben und ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; gegebenenfalls sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. X._ macht geltend, die von ihr bezogene Sozialhilfe sei weder erheblich noch dauerhaft. Sie lebe seit gut zehn Jahren in der Schweiz und sei auf die Unterstützung ihrer Kinder angewiesen. Im Übrigen habe sie eine Arbeit als Reinigungshilfe in der Bar ihres Sohnes angenommen.
2. Die Beschwerde erweist sich in der vorliegenden Form als offensichtlich unzulässig; sie kann durch den Präsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG erledigt werden:
2.1 Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen gegen Entscheide, die Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Das Bundesgericht tritt zwar vorbehaltslos auf Beschwerden gegen Entscheide betreffend den Widerruf von Bewilligungen ein, da damit in ein bestehendes Rechtsverhältnis eingegriffen wird und die Bewilligung - wäre sie nicht widerrufen worden - nach wie vor Rechtswirkungen entfalten würde. Anders verhält es sich indessen, wenn die Bewilligung bei Einreichen der Beschwerde vor Bundesgericht ihre Wirkung verloren hat und ausschliesslich deren Verlängerung im Ermessensbereich zur Diskussion steht. Auf eine Eingabe, die sich - wie hier - gegen einen negativen Verlängerungsentscheid richtet, tritt es bloss ein, wenn ein Anspruch auf die Bewilligungserteilung oder -verlängerung besteht (vgl. das Urteil 2C_760/2011 vom 22. September 2011 E. 2.1).
2.2 Ein solcher ergibt sich im vorliegenden Fall weder aus dem Grundsatz des Vertrauensschutzes noch aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK.
2.2.1 Der vormals aus Art. 4 aBV abgeleitete und nunmehr - in seiner spezifisch grundrechtlichen Ausprägung (vgl. BBl 1997 I 134) - in Art. 9 BV verankerte Grundsatz von Treu und Glauben verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges, bestimmte Erwartungen begründendes Verhalten. Das Bundesgericht hat anerkannt, dass sich daraus unter Umständen ein Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung ergeben kann; auf eine entsprechend begründete Beschwerde tritt es jedoch nur ein, falls der Sachvortrag des Beschwerdeführers eine Bindungswirkung und damit einen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung in vertretbarer Weise als möglich erscheinen lässt (BGE 126 II 377 E. 3 mit Hinweisen). Dies ist hier nicht der Fall: Die blosse Erteilung bzw. wiederholte Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung vermag kein schutzwürdiges Vertrauen in deren Erneuerung zu begründen (BGE 126 II 377 E. 3a), zumal wenn - wie hier - wiederholt in Aussicht gestellt worden ist, dass die Bewilligung nicht mehr verlängert werde, sollte sich das Verhalten bzw. die wirtschaftliche Situation der betroffenen Person nicht verbessern.
2.2.2 Nichts anderes ergibt sich aus Art. 8 EMRK: Die in der Schweiz lebenden Kinder der Beschwerdeführerin sind volljährig. Die Konventionsgarantie schützt das Familienleben ausserhalb der Kernfamilie nur, soweit besondere Abhängigkeitsverhältnisse bestehen, welche über die normalen, gefühlsmässigen Bindungen zwischen Eltern und ihren volljährigen Kindern hinausgehen (vgl. BGE 120 Ib 257 E. 1). Die Beschwerdeführerin weist selber darauf hin, dass sie vor über zehn Jahren "ihren bisherigen Kulturkreis" verlassen hat, "um ihrem Ehemann und ihren beiden Söhnen in ein ihr unvertrautes Umfeld zu folgen". Sie ist Analphabetin geblieben, spricht kein Deutsch und hat sich nie in der Schweiz zu integrieren vermocht. Sie kann sich heute nicht auf diese Situation berufen, um geltend zu machen, dass sie auf ihre volljährigen Kinder angewiesen sei, um sie zu Arztterminen, zum Einkaufen sowie zu den Gesprächen mit der Jugend- und Familienberatung oder anderen Behörden zu begleiten. Die Beschwerdeführerin hat von November 2001 bis Ende März 2010 Fürsorgeleistungen von weit über Fr. 100'000.-- bezogen; ihre erwachsenen Kinder (geb. 1979 und 1981) waren nicht in der Lage, sie finanziell zu unterstützen. Zwar geht die Beschwerdeführerin seit dem 1. Mai 2010 einer Teilzeitarbeit als Reinigungskraft in der Bar eines ihrer Söhne nach und hat sie mit Blick hierauf zurzeit auch auf weitere Sozialhilfeleistungen verzichtet, doch erscheint ihre Anstellung mehr als prekär. Würde die Beschwerdeführerin ihre Stelle verlieren, so hätte dies mit hoher Wahrscheinlichkeit zur Folge, dass sie wiederum Unterstützungsleistungen beziehen müsste. Dagegen dürfte es ihren Kindern ohne Weiteres möglich sein, sie in der Heimat, wo zwei weitere Kinder von ihr leben und sie sich während fast fünfzig Jahren aufgehalten hat, mit ihrem Einkommen angemessen zu unterstützen. Es besteht keine Art. 8 Ziff. 1 EMRK relevante Abhängigkeit, die ihr einen Bewilligungsanspruch im Sinne von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG verschaffen würde.
2.2.2 Nichts anderes ergibt sich aus Art. 8 EMRK: Die in der Schweiz lebenden Kinder der Beschwerdeführerin sind volljährig. Die Konventionsgarantie schützt das Familienleben ausserhalb der Kernfamilie nur, soweit besondere Abhängigkeitsverhältnisse bestehen, welche über die normalen, gefühlsmässigen Bindungen zwischen Eltern und ihren volljährigen Kindern hinausgehen (vgl. BGE 120 Ib 257 E. 1). Die Beschwerdeführerin weist selber darauf hin, dass sie vor über zehn Jahren "ihren bisherigen Kulturkreis" verlassen hat, "um ihrem Ehemann und ihren beiden Söhnen in ein ihr unvertrautes Umfeld zu folgen". Sie ist Analphabetin geblieben, spricht kein Deutsch und hat sich nie in der Schweiz zu integrieren vermocht. Sie kann sich heute nicht auf diese Situation berufen, um geltend zu machen, dass sie auf ihre volljährigen Kinder angewiesen sei, um sie zu Arztterminen, zum Einkaufen sowie zu den Gesprächen mit der Jugend- und Familienberatung oder anderen Behörden zu begleiten. Die Beschwerdeführerin hat von November 2001 bis Ende März 2010 Fürsorgeleistungen von weit über Fr. 100'000.-- bezogen; ihre erwachsenen Kinder (geb. 1979 und 1981) waren nicht in der Lage, sie finanziell zu unterstützen. Zwar geht die Beschwerdeführerin seit dem 1. Mai 2010 einer Teilzeitarbeit als Reinigungskraft in der Bar eines ihrer Söhne nach und hat sie mit Blick hierauf zurzeit auch auf weitere Sozialhilfeleistungen verzichtet, doch erscheint ihre Anstellung mehr als prekär. Würde die Beschwerdeführerin ihre Stelle verlieren, so hätte dies mit hoher Wahrscheinlichkeit zur Folge, dass sie wiederum Unterstützungsleistungen beziehen müsste. Dagegen dürfte es ihren Kindern ohne Weiteres möglich sein, sie in der Heimat, wo zwei weitere Kinder von ihr leben und sie sich während fast fünfzig Jahren aufgehalten hat, mit ihrem Einkommen angemessen zu unterstützen. Es besteht keine Art. 8 Ziff. 1 EMRK relevante Abhängigkeit, die ihr einen Bewilligungsanspruch im Sinne von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG verschaffen würde.
2.3 2.3.1 Nach Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche die Wegweisung betreffen. In diesem Zusammenhang steht ausschliesslich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen, wobei nur die Verletzung besonderer verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht oder die Verletzung von Parteirechten gerügt werden kann, deren Missachtung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt (sog. "Star"-Praxis; vgl. BGE 137 II 305 ff.). Dabei gilt eine "qualifizierte Rügepflicht" (BGE 137 II 305 E. 3.3 S. 310). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur soweit diese klar, sachbezogen und - falls möglich belegt - in Auseinandersetzung mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid dargetan werden (vgl. Art. 42 Abs. 2 u. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254).
2.3.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe die Prüfung der Zumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs nicht hinreichend begründet und damit ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Sie legt nicht dar, inwiefern das Rekursgericht ihre Einwände bzw. die entsprechenden Aspekte nicht geprüft und seine Auffassung nicht rechtsgenügend dargelegt hätte. Ihre Rüge ist nicht hinreichend substanziiert. Die Vorinstanz hat sich in Erwägung 9 ihres Entscheids ausdrücklich mit sämtlichen möglichen Vollzugshindernissen auseinandergesetzt (Zulässigkeit, Zumutbarkeit, technische Möglichkeit); es ist nicht ersichtlich, inwiefern sie die Begründungspflicht diesbezüglich verletzt haben könnte.
3. 3.1 Auf die Beschwerde ist mangels eines vertretbar geltend gemachten Rechtsanspruchs (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG) auf die beantragte Bewilligungsverlängerung bzw. wegen ungenügender Begründung (Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG) nicht einzutreten.
3.2 Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann nicht entsprochen werden, da die Eingabe in der vorliegenden Form offensichtlich aussichtslos war (Art. 64 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. 2.1 Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2 Die Gerichtskosten von Fr. 400.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. November 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar