Erwägungen:
1. Mit Verfügung vom 21. Februar 2006 lehnte das Ausländeramt (heute: Migrationsamt) des Kantons Thurgau es ab, die am 11. August bzw. 10. Dezember 2005 abgelaufenen Aufenthaltsbewilligungen der aus dem Kosovo stammenden Eheleute A.X._ und B.X._ (geb. 1980 bzw. 1982) zu verlängern. Die hiegegen im Kanton erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos.
B.X._ und A.X._ haben am 17. Januar (Postaufgabe 18. Januar) 2008 gegen den in dieser Sache zuletzt ergangenen Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 7. November 2007 rechtzeitig Beschwerde beim Bundesgericht eingereicht. Sie beantragen sinngemäss, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihnen die Aufenthaltsbewilligungen zu erneuern.
Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau ersuchen um Abweisung der Beschwerde.
2. Die Beschwerdeführer haben ihre Rechtsschrift für das Bundesgericht auf Französisch verfasst. Da sie in der Deutschschweiz wohnen, Französisch nicht ihre Muttersprache ist und das gesamte kantonale Verfahren auf Deutsch geführt wurde, besteht kein Anlass, von der Regel des Art. 54 Abs. 1 Satz 1 BGG abzuweichen. Daher wird das vorliegende Urteil in der Sprache des angefochtenen Entscheids abgefasst.
3. Die Beschwerdeführer bezeichnen ihre Eingabe als Verwaltungsgerichtsbeschwerde (recours de droit administratif) und als - hilfsweise erhobene - staatsrechtliche Beschwerde (recours de droit public). Hierbei handelt es sich um Rechtsmittel nach dem Bundesgesetz vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG; BS 3 531), welches durch das Bundesgerichtsgesetz vom 17. Juni 2005 (BGG) aufgehoben worden ist. Da der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts nach dem 31. Dezember 2006 ergangen ist, richtet sich die Zulässigkeit der Rechtsmittel nach dem Bundesgerichtsgesetz (vgl. Art. 132 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der bei ihm eingereichten Rechtsmittel von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 133 I 185 E. 1 S. 188).
4. 4.1 Gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts ist an sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a BGG). Gemäss Art. 83 lit. c BGG ist diese jedoch unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Ziff. 2), die vorläufige Aufnahme (Ziff. 3), die Wegweisung (Ziff. 4) und Abweichungen von den Zulassungsvoraussetzungen (Ziff. 5). Zulässig ist die erwähnte Beschwerde allerdings gegen die Ausweisung und gegen den Widerruf einer Bewilligung, die noch Rechtswirkungen entfaltete, wenn sie nicht widerrufen worden wäre (vgl. Urteile 2C_21/2007 vom 16. April 2007, E. 1, und 2C_488/2007 vom 6. Februar 2008, E. 1.1). Die Vorinstanzen halten fest, die Beschwerdeführer hätten Widerrufs- bzw. Ausweisungsgründe gesetzt. Dennoch geht es vorliegend weder um eine Ausweisung noch um einen Widerruf. Entgegen den Angaben der Beschwerdeführer verfügte der Ehemann auch nicht über eine Niederlassungsbewilligung. Vielmehr sind ihre - zeitlich befristeten - Aufenthaltsbewilligungen am 11. August bzw. 10. Dezember 2005 abgelaufen; die Behörden hatten somit nur darüber zu entscheiden, ob sie die Bewilligungen erneuern. Für die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit entscheidend, ob die Beschwerdeführer einen Anspruch auf Bewilligung haben.
4.2 Gemäss Art. 126 Abs. 1 des neuen Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20), welches am 1. Januar 2008 in Kraft getreten ist, bleibt für Gesuche, die vor diesem Zeitpunkt gestellt worden sind, das bisherige Recht anwendbar. Somit ist hier noch auf das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) abzustellen. Gemäss Art. 4 ANAG entscheiden die Behörden grundsätzlich nach freiem Ermessen über die Bewilligung des Aufenthaltes.
Ist ein Ausländer im Besitz der Niederlassungsbewilligung oder ist der Zeitpunkt zu deren Erteilung bereits festgelegt, so hat sein ausländischer Ehegatte Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Art. 17 Abs. 2 Satz 1 ANAG in der Fassung vom 23. März 1990, AS 1991 1034 1043). Wie ausgeführt ist keiner der Beschwerdeführer im Besitz einer Niederlassungsbewilligung. Zwar verfügen die Eltern des Beschwerdeführers inzwischen über eine Niederlassungsbewilligung; der seit 1998 volljährige Beschwerdeführer kann daraus aber keinen Anspruch ableiten (vgl. Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG). Dasselbe gilt für den Umstand, dass er seit 1991 in der Schweiz lebt (vgl. BGE 130 II 281 E. 2.2 S. 284). Weil er in den vergangenen Jahren verschiedentlich gegen die öffentliche Ordnung verstossen hat, wurde ihm bisher keine Niederlassungsbewilligung erteilt und konnte kein Zeitpunkt für die Erteilung einer solchen festgelegt werden. Mithin ist ein Anspruch nach Art. 17 Abs. 2 ANAG ausgeschlossen.
Wird zusätzlich berücksichtigt, dass der Beschwerdeführer finanziell hoch verschuldet ist, im Jahre 2002 seine damals im Heimatstaat lebende Ehefrau geheiratet und die letzte Arbeitsstelle erst im Sommer 2006 angetreten hat, sind besonders intensive, über eine normale Integration hinausgehende Bindungen zur Schweiz nicht gegeben. Daher kann sich der Beschwerdeführer auch nicht auf einen Anspruch aus dem Schutz des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK und Art. 13 BV berufen (vgl. dazu BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286). Das trifft in gleicher Weise für seine Ehefrau zu, die erst im Sommer 2003 in die Schweiz eingereist ist. Nachdem keiner der Beschwerdeführer ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz hat, entfällt auch ein Anspruch gestützt auf den Schutz des Familienlebens, zumal sie die Ehe in ihrer Heimat leben können (vgl. BGE 126 II 335 E. 2a S. 339 f., 377 E. 2b/aa S. 382).
Ein Rechtsanspruch auf Zulassung des Aufenthaltes ergibt sich schliesslich auch nicht aus der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (Begrenzungsverordnung, BVO; SR 823.21). Diese Verordnung vermag nämlich keine über das Gesetz hinausgehenden Bewilligungsansprüche zu begründen (vgl. BGE 130 II 281 E. 2.2 S. 284; 126 II 335 E. 1c/aa S. 338; 122 II 186 E. 1 S. 187 ff.). Unbehelflich ist der Hinweis der Beschwerdeführer auf BGE 122 II 403. Danach konnte zwar beim Bundesgericht Beschwerde geführt werden, wenn über einen Entscheid der Bundesbehörden zu den Ausnahmen von den Höchstzahlen zu befinden war; insoweit ist seit dem 1. Januar 2007 nur noch die Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht und nicht mehr an das Bundesgericht zulässig (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 5 BGG; Art. 20 ANAG in der Fassung vom 17. Juni 2005 [AS 2006 2213], in Verbindung mit Art. 31 und 33 lit. d des Verwaltungsgerichtsgesetzes vom 17. Juni 2005 [VGG; SR 173.32]). Seit einem Urteil vom 6. Juni 1996 (BGE 122 II 186, insbes. E. 1e S. 192) ist der ordentliche Rechtsweg an das Bundesgericht gegen Entscheide, in denen sich ein Kanton für seine Ermessensbetätigung auf die Begrenzungsverordnung stützt, aber ohnehin ausgeschlossen.
4.3 Mangels Bewilligungsanspruchs ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten somit gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG unzulässig.
5. Dennoch kann in einem solchen Fall mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden. Auch wenn die Anfechtungsmöglichkeiten in der Sache vor allem mit Blick auf die Anforderungen an die Legitimation nach Art. 115 lit. b BGG beschränkt sind, kann damit die Verletzung von Verfahrensgarantien geltend gemacht werden, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (vgl. Näheres in BGE 133 I 185, insbes. E. 6; 129 I 271 E. 1.4 S. 222). Die Verletzung von Grundrechten und verfassungsmässigen Rechten muss allerdings ausdrücklich gerügt und begründet werden (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 III 393 E. 6 S. 397, 638 E. 2 S. 639 f.). Die Beschwerdeführer machen hier keine zulässigen Rügen geltend: Sie begnügen sich damit, aus dem von den Vorinstanzen festgestellten Sachverhalt andere Schlüsse zu ziehen (vgl. zum massgebenden Sachverhalt auch Art. 118 BGG). Sie legen aber mit keinem Wort dar, ob und inwieweit die Vorinstanz verfassungsmässige Rechte verletzt haben soll.
Damit ist auf die Eingabe auch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
6. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde insgesamt als offensichtlich unzulässig, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG behandelt werden kann. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführer ergibt sich daraus keine Rechtsverweigerung seitens des Bundesgerichts. Dieses ist an die Regelungen des Bundesgerichtsgesetzes gebunden (vgl. Art. 190 BV).
Bei diesem Ausgang haben die Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 f. BGG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden den Beschwerdeführern zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Migrationsamt, dem Departement für Justiz und Sicherheit sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Merz