Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene K._ bezog gestützt auf die Verfügungen der IV-Stelle Bern vom 8. März 2006 ab 1. April 2003 eine ganze und ab 1. September 2005 eine halbe Invalidenrente. Anlässlich eines im Mai 2011 von Amtes wegen eingeleiteten Revisionsverfahrens gab K._ an, ihr Gesundheitszustand habe sich verschlechtert. Nach medizinischen Abklärungen verfügte die IV-Stelle am 15. Februar 2012, die halbe Rente werde per 31. März 2012 revisionsweise aufgehoben, da der Invaliditätsgrad die für einen Rentenanspruch mindestens erforderlichen 40 % nicht mehr erreiche.
B. Die von K._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern unter Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung mit Entscheid vom 10. September 2012 ab.
C. K._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei ihr weiterhin eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
D. Den Parteien wurde das rechtliche Gehör zum in die Beurteilung einzubeziehenden Gesichtspunkt einer Wiedererwägung der Verwaltungsverfügungen vom 8. März 2006 gewährt. Beide Seiten äusserten sich mit Eingaben vom 26. März resp. 25. April 2013.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 137 II 313 E. 1.4 S. 317 f. mit Hinweis).
2. Das kantonale Gericht ist nach zutreffender Darlegung der Bestimmungen und Grundsätze zur Rentenrevision nach Art. 17 ATSG zum Ergebnis gelangt, gestützt auf die medizinischen Akten sei von einer seit der rentenzusprechenden Verfügung vom 8. März 2006 eingetretenen erheblichen gesundheitlichen Verschlechterung auszugehen, welche geeignet sei, den Invaliditätsgrad und den Rentenanspruch zu beeinflussen. Ein Revisionsgrund sei somit zu bejahen, weshalb der Rentenanspruch in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht allseitig, d.h. unter Berücksichtigung des gesamten für die Leistungsberechtigung ausschlaggebenden Tatsachenspektrums und ohne Bindung an frühere Invaliditätsschätzungen zu prüfen sei. Der von der nunmehr gegebenen Restarbeitsfähigkeit in angepassten Tätigkeiten ausgehende Einkommensvergleich ergebe einen Invaliditätsgrad, welcher nicht mehr rentenbegründend sei.
In der Beschwerde wird eingewendet, es sei rechtlich unhaltbar und stelle eine Pervertierung revisionsrechtlicher Grundsätze dar, wenn eine gesundheitliche Verschlechterung zum Anlass genommen werde, die laufende Rente "frei" zu überprüfen und aufzuheben. Eine wiedererwägungsweise Aufhebung der Rente falle ebenfalls ausser Betracht. Denn die damalige Verfügung stütze sich auf fundierte medizinische Berichte und sei daher nicht offensichtlich unrichtig.
3. 3.1 Auf letzteren Aspekt ist vorab einzugehen. Nach Art. 53 Abs. 2 ATSG in Verbindung mit Art. 2 ATSG und Art. 1 Abs. 1 IVG kann die IV-Stelle auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Die Wiedererwägung ist jederzeit möglich (vgl. Art. 53 Abs. 3 ATSG), insbesondere auch wenn die Voraussetzungen der Revision nach Art. 17 Abs. 1 ATSG nicht erfüllt sind. Wird die zweifellose Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenverfügung erst vom Gericht festgestellt, so kann es die im Revisionsverfahren verfügte Aufhebung der Rente mit dieser substituierten Begründung schützen (BGE 125 V 368 E. 2 S. 369; Urteil 9C_342/2008 vom 20. November 2008 E. 5.1, nicht publ. in: BGE 135 I 1, aber in: SVR 2009 IV Nr. 20 S. 52; SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 3.2; vgl. sodann, auch zum Folgenden, BGE 138 V 324 E. 3.3 S. 328 mit Hinweisen). Vorausgesetzt ist, dass kein vernünftiger Zweifel an der Unrichtigkeit der Verfügung möglich, also nur dieser einzige Schluss denkbar ist. Dieses Erfordernis ist in der Regel erfüllt, wenn eine Leistungszusprache aufgrund falscher Rechtsregeln erfolgt ist oder wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden (erwähntes Urteil SVR 2012 IV Nr. 18 E. 3.2 mit Hinweisen). Um eine zugesprochene Rente wiedererwägungsweise aufheben zu können, muss zudem - nach damaliger Sach- und Rechtslage - erstellt sein, dass eine korrekte Invaliditätsbemessung hinsichtlich des Leistungsanspruchs zu einem anderen Ergebnis geführt hätte (Urteile 8C_768/2009 vom 1. Februar 2010 E. 3.3 und 9C_575/2007 vom 18. Oktober 2007 E. 3.3 mit Hinweisen; vgl. auch SVR 2006 UV Nr. 17 S. 60, U 378/05 E. 5.3 mit Hinweisen).
3.2 Gemäss den Verfügungen vom 8. März 2006 ging die Verwaltung bei der Rentenzusprechung davon aus, seit 2. April 2002 (Beginn der einjährigen Wartezeit) bestehe eine gesundheitsbedingte Einschränkung der Arbeits- und Erwerbsfähigkeit in rentenbegründendem Ausmass. Aus medizinischer Sicht habe bis 31. August 2005 eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit bestanden. Ab 1. September 2005 sei die bisherige Tätigkeit während vier Stunden pro Tag zumutbar. Das Einkommen ohne gesundheitsbedingte Beeinträchtigung (Valideneinkommen) betrage ab 2. April 2003 durchgehend Fr. 51'561.-, das trotz Behinderung zumutbarerweise erzielbare Einkommen (Invalideneinkommen) ab 2. April 2003 Fr. 0.- und ab 1. September 2005 Fr. 23'436.-, entsprechend einem Invaliditätsgrad von 100 % resp. 55 %.
3.3 Diese Invaliditätsbemessung bedarf in zweifacher Hinsicht näherer Betrachtung:
3.3.1 Als erstes ist auf das Valideneinkommen einzugehen.
Das kantonale Gericht hat im hier angefochtenen Entscheid erwogen, die Verwaltung habe in der Revisionsverfügung vom 15. Februar 2012 das Valideneinkommen gestützt auf die Lohnangaben des früheren Arbeitgebers B._ für das Jahr 2001 bestimmt. Die Versicherte würde indessen auch ohne Gesundheitsschaden infolge Konkurses des Arbeitgebers nicht mehr für diesen arbeiten. Hiebei wird auf den "Fragebogen Arbeitgeber" vom 3. Februar 2005 verwiesen. Darin hat B._ bestätigt, dass der Betrieb per Juli 2001 infolge Konkurses aufgegeben wurde und deswegen auch das Angestelltenverhältnis mit der Beschwerdeführerin endete. Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, das Valideneinkommen hätte demnach nicht gestützt auf diese früheren Lohnangaben, sondern - mangels anderer Berechnungsgrundlagen - mittels Tabellenlöhnen bestimmt werden müssen.
Diese Beurteilung ist zu Recht nicht umstritten. Die Verwaltung hat demnach das Valideneinkommen rechtsfehlerhaft bestimmt. Das gilt nun aber nicht nur für die Revisionsverfügung vom 15. Februar 2012, sondern auch für die rentenzusprechenden Verfügungen vom 8. März 2006. Denn bereits damals setzte die IV-Stelle das Valideneinkommen offensichtlich gestützt auf die nämlichen, schon in diesem Zeitpunkt für die Invaliditätsbemessung obsolet gewesenen Lohnangaben des früheren Arbeitgebers fest.
3.3.2 Der zweite Punkt betrifft die eigentliche Invaliditätsbemessung.
Gemäss den Verfügungen vom 8. März 2006 und den übrigen Akten hat die IV-Stelle bei der Rentenzusprechung den Invaliditätsgrad einzig nach Massgabe der Arbeitsunfähigkeit und der durch diese bewirkten Erwerbseinbusse in der bisherigen Tätigkeit bestimmt. Wie es sich in einer angepassten Tätigkeit verhalten hätte, wurde nicht geprüft. Mit diesem Schluss von der Arbeitsfähigkeit auf die Invalidität wurde von einem rechtlich falschen Invaliditätsbegriff ausgegangen (vgl. erwähnte Urteile SVR 2009 IV Nr. 20 E. 5.3 und 9C_575/2007 E. 3.3; Urteile 8C_327/2011 vom 12. August 2011 E. 3.3.1 und 8C_294/2010 vom 30. August 2010 E. 3.2). Die Rentenzusprechung erfolgte mithin auch diesbezüglich rechtsfehlerhaft.
3.4 Die Rentenverfügungen vom 8. März 2006 sind nach dem Gesagten offensichtlich unrichtig. Zu prüfen ist nun, wie es sich bei einer rechtskonformen Invaliditätsbemessung verhält.
3.4.1 Das kantonale Gericht hat bei der Prüfung der Rentenrevisionsfrage einen Einkommensvergleich nach Massgabe der Verhältnisse im Jahr 2010 vorgenommen. Es hat dabei in medizinischer Hinsicht auf das als beweiswertig beurteilte Gutachten des Rheumatologen Dr. med. L._ vom 3. November 2011 abgestellt und erwogen, danach sei die Arbeitsfähigkeit im Wesentlichen durch ein Panvertebralsyndrom mit spondylogener Ausstrahlung in die Extremitäten und den Kopf sowie eine Fingerpolyarthrose eingeschränkt. Die Arbeitsunfähigkeit für die angestammte Tätigkeit im Service habe ab 2004 30-35 % betragen und sei seit etwa Mitte 2009 auf durchschnittlich 50-55 %, mit Verbesserungspotenzial bis hin zu 40-45 % durch medizinische Massnahmen, anzusetzen. Für eine angepasste Verweistätigkeit bestehe seit Mitte 2009 eine Einschränkung von 30 %.
Bei Erlass der Rentenverfügungen vom 8. März 2006 lagen von ärztlicher Seite Diagnosen vor, welche im Wesentlichen denjenigen gemäss dem Gutachten L._ vom 3. November 2011 entsprechen. Aufgrund der damaligen Arztberichte ist sodann davon auszugehen, dass für angepasste Tätigkeiten eine Arbeitsfähigkeit bestand und die gesundheitsbedingte Einschränkung hiebei die vom Experten L._ für die Zeit ab Mitte 2009 bestätigten 30 % nicht während längerer Dauer überschritt (rheumatologischer Untersuchungsbericht vom 15. September 2004; Untersuchungsberichte von Kreisärzten der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt [SUVA] vom 28. April 2004, 11. April und 12. Mai 2005; Hausarztberichte vom 28. Dezember 2004 und 9. August 2005). Die Situation hinsichtlich Gesundheitszustand und Arbeitsfähigkeit war somit sicher nicht schlechter als bei der Erstellung des Gutachtens L._ vom 3. November 2011.
3.4.2 Ausgehend von der dargelegten Restarbeitsfähigkeit in angepassten Tätigkeiten hat das kantonale Gericht für das Vergleichsjahr 2010 die beiden zu vergleichenden Einkommen anhand der statistisch erfassten Löhne von Frauen gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) 2010, Tabelle TA1, Anforderungsniveau 4, bestimmt. Das Valideneinkommen setzte es ausgehend von der Tabellenziffer 56, Gastronomie, auf Fr. 48'540.- fest. Das Invalideneinkommen von Fr. 38'260.- übernahm das Gericht aus der Verwaltungsverfügung vom 15. Februar 2012. Die IV-Stelle ist bei der Bestimmung dieses Einkommens vom branchenübergreifenden Totalwert der Frauenlöhne gemäss Tabelle TA1 ausgegangen und hat einen leidensbedingten Abzug von 10 % vorgenommen. Aus der Gegenüberstellung der Vergleichseinkommen ergibt sich ein - nicht rentenbegründender - Invaliditätsgrad von 21 %.
Für den Einkommensvergleich im Zeitpunkt der Rentenverfügungen vom 8. März 2006 kann grundsätzlich von den gleichen Tabellenpositionen und weiteren Bemessungsfaktoren wie für das Jahr 2010 ausgegangen werden. Die diesbezüglich seit der Rentenzusprechung eingetretenen Anpassungen (statistische Lohnentwicklung; Teuerung) dürften sich bei beiden Vergleichseinkommen etwa gleich auswirken.
3.4.3 Die Versicherte macht geltend, das Invalideneinkommen sei im Jahr 2006 korrekt bestimmt worden. Das trifft nach dem zuvor Gesagten nicht zu.
Vorgebracht wird weiter, bei einer Bestimmung des Valideneinkommens anhand von Tabellenlöhnen aus dem Gastgewerbe sei aufgrund der Berufserfahrung der Beschwerdeführerin auf das Anforderungsniveau 3 abzustellen. Wird diesem Einwand, ohne nähere Prüfung seiner Berechtigung, gefolgt, ändert das indessen im Ergebnis nichts. Der entsprechende Tabellenlohn der Frauen auf dem Anforderungsniveau 3 übertrifft denjenigen von Niveau 4 um weniger als 10 % (gemäss LSE 2010 Tabelle TA1 S. 27, Ziff. 56 Gastronomie: Fr. 4098.- zu Fr. 3825.-; gemäss LSE 2006 Tabelle TA1 S. 25, Ziff. 55 Gastgewerbe: Fr. 3833.- zu Fr. 3513.-). Es ist offensichtlich, dass der für einen Rentenanspruch mindestens erforderliche Invaliditätsgrad von 40 % (Art. 28 Abs. 1 IVG in der bis Ende 2007 gültig gewesenen Fassung; Art. 28 Abs. 2 IVG in der seit 2008 geltenden Fassung) auch mit dem höheren Anforderungsniveau nicht erreicht wird. Das gilt heute wie für den Zeitpunkt der Rentenverfügungen von 2006.
3.4.4 Nach dem Gesagten sind die Renten zweifellos unrichtig zugesprochen worden. Da die erhebliche Bedeutung der Berichtigung mit Blick auf den Charakter der Invalidenrente als periodischer Dauerleistung feststeht (erwähntes Urteil SVR 2009 IV Nr. 20 E. 5.3 mit Hinweis), sind die Voraussetzungen zur Vornahme der Wiedererwägung erfüllt. Die Revisionsverfügung ist daher mit dieser substituierten Begründung zu schützen.
4. Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten) kann entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Mai 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz