Erwägungen:
1. Mit Urteil vom 25. Juli 2007 erklärte die Gerichtspräsidentin 14 des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen X._ der Vernachlässigung von Unterhaltspflichten schuldig und verurteilte ihn zu einer Geldstrafe sowie zur Bezahlung der Zivilforderung des Sozialamts der Stadt Bern und der Verfahrenskosten.
Gegen dieses Urteil appellierte X._ an das Obergericht des Kantons Bern. Dessen 1. Strafkammer gab ihm mit Verfügung vom 12. November 2007 die urteilenden Gerichtsmitglieder bekannt mit dem Hinweis, allfällige Ablehnungsgründe seien innert 20 Tagen geltend zu machen.
Mit Eingabe vom 11. Dezember lehnte X._ sämtliche Mitglieder des Obergerichts ab. Das Obergericht hat dieses Begehren am 21. Dezember 2007 zuständigkeitshalber dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern zukommen lassen.
Mit Urteil vom 22. Januar 2008 ist der Einzelrichter der Verwaltungsrechtlichen Abteilung des Verwaltungsgerichts auf das von ihm als rechtsmissbräuchlich erachtete Ablehnungsgesuch nicht eingetreten.
Gegen dieses Urteil vom 22. Januar 2008 erhob X._ mit Eingabe vom 3. März 2008 der Sache nach Beschwerde in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG). Mit Urteil vom 7. März 2008 ist das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht eingetreten (Verfahren 1B_62/2008).
2. Mit Beschluss vom 28. Mai 2008 behandelte die 1. Strafkammer des Obergerichts sodann die weiteren von X._ mit Eingabe vom 11. Dezember 2007 gestellten Begehren. Im Einzelnen entschied sie:
1. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Die Anträge auf Zustellung sämtlicher Akten etc. betreffend Verweigerung des gegenseitigen Besuchsrechts mit Y._ seit 26. August 1986 sowie auf deren Erklärung zum integrierten Bestandteil des vorliegenden Verfahrens (...) werden abgewiesen.
3. Auf die übrigen Anträge in der Eingabe vom 11. Dezember 2007 wird nicht eingetreten.
Hiergegen führt X._ mit Eingaben vom 12. und 20. Juni 2008 wiederum Beschwerde in Strafsachen, wobei er abermals unter Ablehnung verschiedener Mitglieder des Obergerichts auch frühere Entscheide anficht, so namentlich einen am 17. Juli 2007 ergangenen Beschluss der Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern, eine am 12./21. November 2007 ergangene Verfügung der 1. Strafkammer des Obergerichts sowie ein am 22. November 2001 ergangenes Urteil der Strafabteilung des Gerichtskreises VIII Bern-Laupen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offenstehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch BGE 133 II 249 insb. E. 1.4 S. 254).
Der Beschwerdeführer kritisiert den angefochtenen obergerichtlichen Beschluss vom 28. Mai 2008 nur auf ganz allgemeine Weise. Er beschränkt sich weitgehend darauf, Bestimmungen namentlich der Bundesverfassung und des Völkerrechts sowie verschiedene eidgenössische und kantonale prozessuale Bestimmungen zu zitieren, die er pauschal als verletzt erachtet, wie er dies bereits in früheren bundesgerichtlichen Verfahren tat. Dabei unterlässt er es, sich sachbezogen mit den dem Beschluss vom 28. Mai 2008 zugrunde liegenden Erwägungen auseinanderzusetzen. Insbesondere legt er nicht im Einzelnen dar, inwiefern die Begründung des Beschlusses bzw. dieser im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Schon mangels genügender Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Dies gilt insbesondere auch in Bezug auf das vom Beschwerdeführer gestellte Ablehnungsbegehren, mit dem er einmal mehr verschiedene Mitglieder des kantonalen Obergerichts in Missachtung der prozessualen Anstandsregeln (vgl. Art. 33 BGG) kritisiert. Auch dieses Begehren ist nicht konkret begründet; allein im Umstand, dass ein Richter in früheren Verfahren eine Angelegenheit derselben Person behandelte, kann nach der Rechtsprechung keine Verletzung des Anspruchs auf den verfassungsmässigen Richter erblickt werden (BGE 119 Ia 221 E. 3 S. 227).
Was im Übrigen die vom Beschwerdeführer nebst dem Beschluss vom 28. Mai 2008 angefochtenen Entscheide anbelangt, ist festzustellen, dass auf sie bezogen - soweit überhaupt kantonale Letztinstanzlichkeit gegeben wäre (s. Art. 80 i.V.m. Art. 90 BGG) - die Beschwerdefrist inzwischen schon längstens abgelaufen ist (sei es nach Art. 100 BGG wie auch nach der Regelung des früheren Bundesrechtspflegegesetzes, s. Art. 89 OG i.V.m. Art. 132 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde ist daher auch in dieser Hinsicht nicht einzutreten.
Auf die Beschwerde ist somit bereits aus den genannten Gründen offensichtlich nicht einzutreten, weshalb über sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
4. Wegen Aussichtslosigkeit ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die bundesgerichtlichen Kosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Sozialamt der Stadt Bern, dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Strafkammer und Anklagekammer, und dem Gerichtskreis VIII Bern-Laupen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp