Erwägungen:
1. X._ (geb. 1976) stammt aus Algerien oder Tunesien. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 15. Februar 2008 in Ausschaffungshaft, welche der Haftrichter 5 am Haftgericht III Bern-Mittelland am 19. Februar 2008 genehmigte und am 14. Mai 2008 bis zum 13. November 2008 verlängerte. X._ ist am 21. Mai 2008 mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht gelangt, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Seine Eingabe erweist sich aufgrund der eingeholten Akten als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden. Es erübrigt sich zu prüfen, ob sie den Begründungsanforderungen von Art. 42 BGG genügt: Der Beschwerdeführer ist aus der Schweiz weggewiesen worden. Er hat ursprünglich erklärt, aus Ägypten zu stammen. Seine Identität ist nicht erstellt, nachdem er sich in Deutschland als R._ ausgegeben hat; zudem hat er wiederholt erklärt, nicht bereit zu sein, in seine Heimat zurückzukehren. Es besteht bei ihm somit Untertauchensgefahr im Sinne der Rechtsprechung zu Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 AuG (SR 142.20); gestützt auf sein Verhalten kann nicht angenommen werden, dass er sich ohne Festhaltung den Behörden für den Vollzug seiner Wegweisung freiwillig zur Verfügung halten wird (BGE 130 II 56 E. 3.1 S. 58 f.). Der Umstand, dass sich die Ausschaffung schwierig gestaltet, lässt seine Festhaltung nicht bereits unverhältnismässig erscheinen; gerade wegen solcher Probleme hat der Gesetzgeber die Haftdauer erhöht und die Möglichkeit der Haftverlängerung - inzwischen bis zu achtzehn Monaten - geschaffen (Art. 76 Abs. 3 AuG; BGE 133 II 1 E. 4.2). Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, in Belgien zu leben und dort ein Kind zu haben, können die Behörden prüfen, ob sich ein legaler Wegweisungsvollzug dorthin als möglich erweist (Art. 69 Abs. 2 AuG); andernfalls ist nur sein Heimatstaat verpflichtet, ihn zurückzunehmen (BGE 133 II 97 E. 4.2.2). Für alles Weitere kann auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. Aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, Wegweisungsvollzug usw.) ist davon abzusehen, Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Fremdenpolizei der Stadt Biel wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Fremdenpolizei der Stadt Biel, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 5, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Mai 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar