Sachverhalt:
A. A.a Mit Urteil vom 7. März 2011 bewilligte das Bezirksgericht Horgen (Einzelgericht im summarischen Verfahren) in der vom Staat Zürich, der Gemeinde A._ und der Römisch-Katholischen Kirchgemeinde gegen X._ erhobenen Betreibung (Nr. ..., Betreibungsamt A._) die definitive Rechtsöffnung. Das Obergericht des Kantons Zürich wies am 15. Juni 2011 die gegen den Rechtsöffnungsentscheid erhobene Beschwerde des Schuldners ab. Dieses Urteil hob das Bundesgericht in Gutheissung der Beschwerde in Zivilsachen mit Urteil 5D_130/2011 vom 22. September 2011 auf und wies die Sache an das Bezirksgericht zurück, damit dieses dem Schuldner Frist ansetze, um zum Rechtsöffnungsbegehren Stellung zu nehmen.
A.b Mit Verfügung vom 7. März 2012 schrieb das Bezirksgericht (Einzelgericht im summarischen Verfahren) das Rechtsöffnungsverfahren als durch Rückzug der Betreibung (Nr. ..., Betreibungsamt A._) als gegenstandslos ab. Die Spruchgebühr (Fr. 150.--) wurde den Gesuchstellern bzw. Gläubigern auferlegt; dem (nicht anwaltlich vertretenen) Schuldner wurde keine Parteientschädigung zugesprochen.
B. Gegen die Verfügung des Rechtsöffnungsrichters vom 7. März 2012 erhob X._ erneut Beschwerde und verlangte, es sei "der bundesgerichtlichen Anordnung Folge zu leisten und ihn ordentlich zu einem neuen Prozess in der Sache [vor der Erstinstanz] vorzuladen". Mit Beschluss vom 10. April 2012 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein.
C. Mit Eingabe vom 3. Mai 2012 ist X._ mit Beschwerde an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils vom 10. April 2012 und (wie im kantonalen Verfahren) die Durchführung des erstinstanzlichen Verfahrens bzw. die Gewährung des rechtlichen Gehörs.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist der Beschluss des Obergerichts, welches über die Beschwerde betreffend eine definitive Rechtsöffnung entschieden hat. Der Entscheid über die definitive (wie provisorische) Rechtsöffnung beschlägt das Zwangsvollstreckungsrecht und stellt zugleich eine vermögensrechtliche Angelegenheit dar (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG; BGE 133 III 399 E. 1.2 und 1.3). Die gesetzliche Streitwertgrenze wird (bei vorliegender Betreibungsforderung von Fr. 2'153.45 nebst Zinsen und Kosten) nicht erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen gegen den letztinstanzlich ergangenen Entscheid (Art. 75 Abs. 1 BGG) nur gegeben, sofern sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG). Der Beschwerdeführer führt in seiner Rechtsschrift nicht aus, warum diese Voraussetzung erfüllt sein soll (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 134 III 354 E. 1.3 S. 356).
1.2 Die vom Beschwerdeführer gegen den Beschluss des Obergerichts erhobene Eingabe ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nach Art. 113 ff. BGG grundsätzlich zulässig. Mit der Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Erforderlich sind rechtsgenüglich, d.h. klar und einlässlich begründete Rügen, da das Bundesgericht hier keine Rechtsanwendung von Amtes wegen vornimmt (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399). Soweit der Beschwerdeführer den kantonalen Instanzen Parteilichkeit und einen unfairen Prozess bzw. eine Verletzung von Art. 30 BV und Art. 6 Abs. 1 EMRK vorwirft, genügen seine Vorbringen den Begründungsanforderungen nicht.
2. Aus dem Urteil des Obergerichts geht hervor, dass die Beschwerdegegner am 8. Februar 2012 die Betreibung zurückgezogen haben. Durch den Rückzug sei das Rechtsöffnungsgesuch hinfällig geworden, wodurch sich die Sachlage nach dem Bundesgerichtsurteil vom 22. September 2011 verändert habe. Eine neue Frist zur Stellungnahme sei dem Beschwerdeführer nicht anzusetzen, da er durch die Abschreibung nicht belastet werde, sodass das Rechtsöffnungsverfahren direkt als gegenstandslos abzuschreiben gewesen sei. Die erstinstanzliche Abschreibungsverfügung sei nicht zu beanstanden; ein Rechtsschutzinteresse (nach Art. 59 Abs. 2 lit. a ZPO) zur Anfechtung bestehe nicht.
3. Der Beschwerdeführer rügt im Wesentlichen eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, weil das Rechtsöffnungsverfahren als "erledigt" abgeschrieben worden sei, ohne dass er sich zum Rechtsöffnungsgesuch und zur materiellen Unbegründetheit der Forderung habe äussern können. Das Rechtsöffnungsverfahren sei immer noch am Laufen, zumal das Bundesgericht die Angelegenheit zurückgewiesen habe, damit ihm das rechtliche Gehör zum Rechtsöffnungsgesuch gewährt werde. Er sei nach wie vor beschwert und berechtigt, sich zum Rechtsöffnungsgesuch der Beschwerdegegner zu äussern.
3.1 Nach dem Sachverhalt im angefochtenen Urteil haben die Beschwerdegegner gemäss Schreiben vom 8. Februar 2012 die Betreibung zurückgezogen. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Streitgegenstand habe sich nicht bzw. nicht endgültig erledigt, weil er die Zahlungen (deren Erhalt die Gläubiger in ihrem Schreiben zum Betreibungsrückzug bestätigen) nur wegen des Betreibungsdrucks, jedoch ohne Rechtsgrund bezahlt habe. Dass der Betreibungsrückzug den Lauf der Betreibung verhindert (vgl. GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. I, 1999, N. 120 zu Art. 67), steht zu Recht nicht in Frage. Wenn der Beschwerdeführer vom noch "laufenden Rechtsöffnungsverfahren" spricht, übergeht er die Wirkung des Betreibungsrückzugs. Die Erteilung der Rechtsöffnung ist eine rein betreibungsrechtliche Streitigkeit, welche das Vorliegen einer gültigen Betreibung voraussetzt (vgl. D. STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 12 zu Art. 84; AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8. Aufl. 2008, § 4 Rz 51). Es ist nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht nach Hinfallen der Betreibung den Streitgegenstand (die Rechtsöffnung) als endgültig erledigt und die Sache als gegenstandslos erachtet (vgl. SPÜHLER/GEHRI/DOLGE, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 9. Aufl. 2010, 4. Kap. Rz. 104, S. 81) und insoweit ein Rechtsschutzinteresse zur Anfechtung der Abschreibungsverfügung verneint hat.
3.2 An diesem Ergebnis ändert nichts, wenn der Beschwerdeführer geltend macht, er habe bereits am 7. Juli 2011 die "bestrittene, aber geforderte Summe auf dem Betreibungsamt bezahlt", m.a.W. kurz vor Einreichung der Beschwerde in Zivilsachen (am 28. Juli 2011), welche zum Urteil 5D_130/2011 und zur Anordnung der Gewährung des rechtlichen Gehörs im Rechtsöffnungsverfahren geführt hat. Das Vorbringen ist unbehelflich, da die Bezahlung auf dem Betreibungsamt im angefochtenen Urteil in tatsächlicher Hinsicht keine Stütze findet (vgl. Art. 118 Abs. 1 BGG). Zudem wird damit ein Umstand behauptet, der ebenfalls bzw. bereits früher zur Gegenstandslosigkeit des Rechtsöffnungsverfahrens geführt hätte (vgl. D. STAEHELIN, a.a.O., N. 70 zu Art. 84).
3.3 Das Obergericht hat zum Verfahren zur Gegenstandsloserklärung festgehalten, dass "einer beklagten Partei keine Gelegenheit zur Stellungnahme zum Klagebegehren gegeben werden muss, wenn das Klagebegehren überhaupt nicht beurteilt und/oder kein Sachentscheid zu Lasten der beklagten Partei gefällt wird". Auf diese Erwägung geht der Beschwerdeführer nicht ein. Ein Verfahren kann zufolge Vergleich, Klageanerkennung oder Klagerückzug (Art. 241 Abs. 2 und 3 ZPO), oder - wie hier - aus "anderen Gründen" abgeschrieben werden (Art. 242 ZPO). Nach der Lehre sind nötigenfalls, z.B. wenn die Fortführung des Verfahrens möglich ist, die Parteien zu vernehmen (vgl. TAPPY, in: Bohnet u.a. [Hrsg.], Code de procédure civile commenté, 2011, N. 6 zu Art. 242; LEUMANN LIEBSTER, in: Sutter-Somm u.a. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 2010, N. 6 zu Art. 242). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern das Obergericht seine verfassungsmässigen Rechte verletzt habe, wenn es angenommen hat, nach dem Betreibungsrückzug könne das Rechtsöffnungsverfahren nicht weitergeführt werden, und die Abschreibung ohne Parteierklärung des Schuldners als zulässig erachtet hat. Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers kann das Verfahren nicht etwa zur Prüfung der Frage fortgeführt werden, ob ihm öffentlich-rechtliche Rückforderungsansprüche für die - nach seiner Darstellung - lediglich unter dem Druck des Exekutionsverfahrens erfolgten Zahlungen zustehen (vgl. GILLIÉRON, Poursuite pour dettes, faillite et concordat, 4. Aufl. 2005, S. 174 Rz. 881). Weiter legt der Beschwerdeführer selber nicht dar, inwiefern er durch die erstinstanzliche (zulasten der Beschwerdegegner gehenden) Kosten- sowie Entschädigungsfolgen beschwert worden sei, so dass er aus diesem Grund hätte angehört werden müssen.
3.4 Nach dem Dargelegten ist nicht ersichtlich, inwiefern das Obergericht verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers verletzt habe, wenn die Beschwerde gegen die Abschreibungsverfügung des Rechtsöffnungsrichters ohne Erfolg geblieben ist.
4. Die Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juni 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante