Sachverhalt:
A. Am 29. August 2006 bewilligte das Bundesamt für Justiz (BJ) die Auslieferung von X._ an die Türkei zur Verfolgung eines Tötungsdeliktes, das laut Auslieferungsersuchen am 30. April 1994 verübt wurde. Dagegen gelangte der Verfolgte an das Bundesgericht. Mit Urteil vom 23. Januar 2007 (BGE 133 IV 76) entschied das Bundesgericht in der Hauptsache wie folgt:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde (Verfahren 1A.211/2006) und die Einrede des politischen Deliktes (Verfahren 1A.181/2006) werden im Sinne der Erwägungen abgewiesen.
2. Das Dispositiv des Auslieferungsentscheides des Bundesamtes für Justiz vom 29. August 2006 wird wie folgt ergänzt: Der Vollzug der Auslieferung wird von der zusätzlichen Bedingung abhängig gemacht, dass die ersuchende Behörde folgende förmliche Garantieerklärung abgibt:
Der schweizerischen Botschaft in Ankara wird das Recht zugesichert, Vertreter zu bezeichnen, die den Verfolgten nach dessen Auslieferung ohne Überwachungsmassnahmen jederzeit besuchen können. Ebenso dürfen diese Vertreter sich jederzeit über den Verfahrensstand erkundigen sowie an sämtlichen Gerichtsverhandlungen teilnehmen. Der Verfolgte hat jederzeit das Recht, sich an diese Vertreter zu wenden."
B. Mit Verfügung vom 15. März 2007 stellte das BJ fest, dass die von der türkischen Botschaft in Bern mit Note vom 2. März 2007 übermittelte zusätzliche Zusicherung vollständig sei und mit dem Wortlaut der vom Bundesgericht verlangten Garantie übereinstimme. Eine vom Verfolgten hiergegen erhobene Beschwerde hiess das Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, am 2. Mai 2007 teilweise gut. Es verfügte, das BJ habe dem ersuchenden Staat nach Erhalt des bundesstrafgerichtlichen Entscheids umgehend eine letztmalige und nicht erstreckbare Frist von maximal 14 Tagen für den Nachweis anzusetzen, dass die förmliche Garantieerklärung (gemäss dem Urteil des Bundesgerichtes vom 23. Januar 2007) von der zuständigen Behörde abgegeben wurde. Im Übrigen wies das Bundesstrafgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Auf eine vom Verfolgten gegen diesen Entscheid des Bundesstrafgerichtes erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Erkenntnis 1C_107/2007 vom 21. Mai 2007 (BGE 133 IV 134) nicht ein. Mit Verfügung vom 24. Mai 2007 stellte das BJ fest, die Note der türkischen Botschaft vom 16. Mai 2007 erbringe (in Verbindung mit einem Schreiben des türkischen Justizministeriums) den im Entscheid des Bundesstrafgerichtes vom 2. Mai 2007 geforderten Nachweis. Eine vom Verfolgten dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, mit Entscheid vom 21. Juni 2007 rechtskräftig ab. Mit Urteil vom 22. Juni 2007 hiess das Bundesverwaltungsgericht, Abteilung V, im separaten Asylverfahren eine Beschwerde des Verfolgten gegen den ablehnenden Asylentscheid des Bundesamtes für Migration (BFM) vom 14. November 2006 gut, und es wies die Streitsache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das BFM zurück. Am 30. August 2007 wies das Bundesstrafgericht, II. Beschwerdekammer, eine Haftbeschwerde des Verfolgten ab.
C. Mit Revisionsbegehren vom 17. Juli 2007 beantragt X._, der Bundesgerichtsentscheid vom 23. Januar 2007 (BGE 133 IV 76) sei zu revidieren und das Auslieferungsersuchen abzuweisen.
Das BJ beantragt mit Vernehmlassung vom 29. August 2007 die Abweisung des Revisionsbegehrens, soweit darauf einzutreten ist. Mit Eingabe vom 17. September 2007 verzichtete der Gesuchsteller auf eine Replik.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz vom 17. Juni 2005 über das Bundesgericht (Bundesgerichtsgesetz [BGG; SR 173.110]) in Kraft getreten. Das Bundesgerichtsurteil, dessen Revision beantragt wird, datiert vom 23. Januar 2007. Damit sind die Verfahrensvorschriften des BGG anwendbar (Art. 132 Abs. 1 BGG).
2. Die Revision eines Bundesgerichtsurteils kann in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind (Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG). Die Revision kann auch verlangt werden, wenn das Bundesgericht einzelne Anträge unbeurteilt liess (Art. 121 lit. c BGG) oder in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (Art. 121 lit. d BGG). Findet das Bundesgericht, dass ein Revisionsgrund zutrifft, so hebt es den früheren Entscheid auf und entscheidet neu (Art. 128 Abs. 1 BGG).
3. Revisionsbegehren gestützt auf Art. 121 lit. c-d BGG sind innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheides beim Bundesgericht einzureichen (Art. 124 Abs. 1 lit. b BGG), Begehren gestützt auf Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG innert 90 Tagen nach der Entdeckung des Revisionsgrundes (Art. 124 Abs. 1 lit. d BGG).
Der Gesuchsteller ruft neben Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG auch die Revisionsgründe von Art. 121 lit. c-d BGG an. Das vollständig ausgefertigte Urteil wurde dem Gesuchsteller am 30. Januar 2007 eröffnet. Das Revisionsgesuch wurde am 19. Juli 2007 der Post übergeben. Soweit dieses sich auf Art. 121 lit. c-d BGG stützt, erscheint es grundsätzlich verspätet (Art. 124 Abs. 1 lit. b BGG). Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, wären die Revisionsgründe von Art. 121 lit. c-d BGG aber auch materiell nicht erfüllt, selbst wenn auf das betreffende Revisionsbegehren eingetreten werden könnte.
4. Der Gesuchsteller kritisiert ausführlich die Beweiswürdigung und Begründung des angefochtenen Urteils. Er macht insbesondere geltend, der wesentliche Anklagepunkt gegen ihn stütze sich auf die belastenden Aussagen einer Person. Das Bundesgericht habe sich mit dem Vorbringen, wonach diese Person in der Türkei gefoltert worden sein könnte, nicht befasst. Auch habe es sich mit dem Antrag auf Beizug von weiteren Akten des türkischen Strafverfahrens nicht auseinander gesetzt und diesbezüglich keinen Entscheid getroffen. Darin lägen Revisionsgründe im Sinne von Art. 121 lit. c und d BGG.
4.1 Vorauszuschicken ist, dass mit appellatorischen Vorbringen gegen die Beweiswürdigung und die tatsächlichen Erwägungen des angefochtenen Urteils kein Revisionsgrund im Sinne von Art. 121 lit. d BGG begründet werden kann. Dieser setzt voraus, dass das Bundesgericht entscheiderhebliche Aktenstellen versehentlich übersehen und deshalb unberücksichtigt gelassen hätte. Der Revisionsgrund ist daher nicht erfüllt, wenn das Bundesgericht die fraglichen Aktenstellen und Vorbringen zwar durchaus berücksichtigt, aber nicht so gewürdigt und beurteilt hat, wie der Gesuchsteller dies wünscht und im Beschwerdeverfahren beantragt hatte. Ebenso wenig besteht Anlass zur Aufhebung des Urteils, wenn das Bundesgericht Umstände, die sich aus den Akten ergaben, deshalb nicht ausdrücklich erwähnte, weil sie gar nicht entscheiderheblich waren (vgl. BGE 127 V 353 E. 5b S. 358; 122 II 17 E. 3 S. 18 f., je mit Hinweisen).
4.2 Die weitschweifigen Vorbringen des Gesuchstellers, wonach das Bundesgericht entscheiderhebliche Aktenstellen aus Versehen nicht beachtet habe, sind über grosse Strecken nach folgendem Muster aufgebaut: Er wiederholt seine im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht dargelegten Standpunkte (und fügt teilweise weitere hinzu), kritisiert, dass das Bundesgericht diesen Argumenten nicht gefolgt sei, und schliesst daraus kurzerhand, das Gericht habe (im Sinne von Art. 121 lit. d BGG) bei den Akten liegende erhebliche Tatsachen "übersehen". Wie dargelegt, begründet eine solche rein appellatorische Urteilskritik keinen gesetzlichen Revisionsgrund.
Mit den Vorbringen des Verfolgten zur Sachdarstellung des Ersuchens im wesentlichen Anklagepunkt (und auch zu den belastenden Aussagen des Zinnar M.) hat sich das Bundesgericht ausdrücklich befasst (BGE 133 IV 76 E. 2.8 S. 83).
Unzutreffend ist ebenso die Unterstellung des Gesuchstellers, das Bundesgericht habe offensichtlich übersehen, dass der ursprüngliche Haftbefehl gegen ihn von einem Staatssicherheitsgericht ausgestellt worden sei. Die betreffende Gerichtsorganisation in der Türkei bei Terroristenprozessen ist vielmehr gerichtsnotorisch (wie sich aus den Erwägungen des gleichzeitig ergangenen BGE 133 IV 58 E. 5.1.1 S. 64 sogar ausdrücklich ergibt; ebenso nicht amtlich publizierte E. 3).
Auch die Erörterungen des Gesuchstellers zur (seiner Ansicht nach restriktiveren) Praxis des Bundesstrafgerichtes führen zu keinen Urteilsaufhebungsgründen im Sinne des BGG. Das Vorbringen, die Beschwerdekammer sei in einem jüngeren Fall von der publizierten Praxis des Bundesgerichtes abgewichen, würde, selbst wenn dies zuträfe, keinen Revisionsgrund begründen zulasten von Urteilen des Bundesgerichtes.
4.3 Ebenso wenig ist hier ein Revisionsgrund im Sinne von Art. 121 lit. c BGG erfüllt. Die Rechtsbegehren des Gesuchstellers (in seinen Hauptstandpunkten der Verfahren 1A.181/2006 und 1A.211/2006) wurden im angefochtenen Urteil zusammengefasst und ausdrücklich behandelt. Der Gesuchsteller bestreitet dies nicht. Er macht jedoch geltend, seine damalige Beweisofferte auf Beizug von "Akten im Verfahren der Anklageschrift an das staatliche Sicherheitsgericht zu Erzurum vom 9.5.2002" sei vom Bundesgericht nicht behandelt worden.
In den Beschwerdeeingaben des Verfolgten (Verfahren 1A.181/2006 und 1A.211/2006) wurden zahlreiche Beweisofferten zu verschiedenen Vorbringen gestellt. Der Rechtshilferichter ist grundsätzlich nicht gehalten, sich zu sämtlichen Beweisanträgen der Parteien ausdrücklich und im einzelnen zu äussern oder für jedes Beweisangebot, dem er keine Folge leistet, einen förmlichen ablehnenden Entscheid zu fällen. Vielmehr kann er entsprechende Beweisanträge im Rahmen seiner Erwägungen auch konkludent (und aufgrund zulässiger antizipierter Beweiswürdigung) abweisen. Ein solches Vorgehen führt nicht zu einem Revisionsgrund im Sinne von Art. 121 lit. c BGG.
5. Der Gesuchsteller macht sodann geltend, aufgrund von türkischen Gerichtsakten, die ihm am 23. Mai bzw. (in deutscher Übersetzung) am 2. Juli 2007 zugegangen seien, könne nun belegt werden, dass sich das Auslieferungsersuchen einzig auf die Aussagen einer gefolterten Person stütze. Nachdem die Folterung eines Mitangeklagten nachgewiesen sei, erschienen auch die von der Türkei verlangten Garantieerklärungen nicht mehr ausreichend. Daraus ergebe sich ein Revisionsgrund gemäss Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG.
5.1 Der Gesuchsteller reicht ein in türkischer Sprache verfasstes Dokument ein, das er (nach eigenen Angaben) auszugsweise privat übersetzen liess. Es stamme vom türkischen Staatssicherheitsgericht und datiere vom 27. August 1996. Es findet sich darin folgende Protokollerklärung, die einem "Y._" zugeschrieben wird: "Ich lehne die bei der Polizei gemachte Aussage ab. Auch sie habe ich unter Zwang akzeptieren müssen. Sie lasen mir die Aussage nicht vor. Sie haben mich bedroht. Ich habe die Aussage unter Zwang unterschreiben müssen."
5.2 Es kann offenbleiben, ob dieses vom Gesuchsteller eingereichte Dokument als verlässlich und beweiskräftig angesehen werden könnte. Selbst wenn dies zuträfe, wäre es nicht entscheiderheblich und nicht geeignet, das angefochtene Urteil zu ändern (vgl. BGE 127 V 353 E. 5b S. 358; 121 IV 317 E. 2 S. 322 f., je mit Hinweisen). Entgegen der Ansicht des Gesuchstellers lässt sich aus der genannten Aussage kein Nachweis ableiten, dass die Gewährsperson gefoltert worden wäre. Es würde sich um nicht näher spezifizierte Parteibehauptungen eines Mitangeklagten handeln, wonach die Polizei ihm "gedroht" bzw. "Zwang" gegen ihn angewendet habe (an anderer Stelle begründet er seine diversen belastenden Aussagen auch damit, dass er Einvernahmeprotokolle "einfach unterschrieben" habe).
5.3 Ein zweites (ebenfalls auszugsweise und privat übersetztes) Dokument ist offensichtlich nicht amtlicher Herkunft. Nach Angaben des Gesuchstellers stamme die schriftliche Erklärung von "Zinnar M.". Das Schriftstück datiere vom "27. August 2007". Gemeint sein dürfte - recte - wohl eher der 27. August 1996 (andernfalls müsste es gestützt auf Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG, letzter Halbsatz, ohnehin aus dem Recht gewiesen werden). Das Schreiben enthält Einträge von Daten und Initialien sowie eine Unterschrift in verschiedenen Handschriften. Daraus lässt sich nicht verlässlich auf Datum, Herkunft und Authentizität des Schriftstückes schliessen. Dieses erscheint nicht beweiskräftig und damit entscheidunerheblich.
5.4 Die nachgereichten Dokumente lassen die massgeblichen Verdachtsgründe gegen den Verfolgten nicht dahinfallen (vgl. BGE 133 IV 76 E. 2.6-2.9 S. 82-84). Damit besteht auch kein Revisionsgrund im Sinne von Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG. Was die von der Türkei gegenüber dem Verfolgten zu respektierenden Menschenrechtsgarantien (und deren Beobachtung durch die schweizerischen Behörden) betrifft, kann ebenfalls auf die einschlägigen Erwägungen des angefochtenen Urteils verwiesen werden (vgl. BGE 133 IV 76 E. 4.1-4.9 S. 86-92).
6. Es ergibt sich, dass das Revisionsbegehren abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Gesuchsteller beantragt die unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen grundsätzlich erfüllt erscheinen (und insbesondere die finanzielle Bedürftigkeit des Antragstellers ausreichend dargelegt wird), kann diesem Begehren entsprochen werden (Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsbegehren wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen:
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Dem Rechtsbeistand des Gesuchstellers, Rechtsanwalt Marcel Bosonnet, wird für das Verfahren vor Bundesgericht aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
3. Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller und dem Bundesamt für Justiz, Abteilung Internationale Rechtshilfe, Sektion Auslieferung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2007
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: