Faits:
A. A.a Y._ habitait à Genève dans un appartement de huit pièces qu'elle avait pris à bail au rez-de-chaussée d'un immeuble locatif. Elle avait contracté, auprès de X._ Assurances SA, une assurance ménage couvrant notamment le risque de dégâts d'eau à son mobilier pour un montant maximal de 838'900 fr.
Le 13 décembre 2000, A._, qui louait l'appartement situé au-dessus de celui occupé par Y._, a laissé déborder sa baignoire, provoquant une inondation importante. S'écoulant par le plafond et les murs de la chambre à coucher de l'appartement du rez-de-chaussée, l'eau s'est répandue dans le salon et le hall. De nombreux objets mobiliers appartenant à Y._ ont été endommagés.
Y._ a annoncé le sinistre à X._ Assurances SA le surlendemain. Après avoir fait établir deux devis pour la réfection de tableaux et la remise en état de meubles, elle a adressé une première estimation du dommage à l'assureur, le 21 mars 2001, par le truchement de son avocat. Avec l'accord de toutes les parties, B._, expert en tableaux et en objets d'art, a examiné les choses mobilières figurant sur les devis de réparation et établi un rapport en date du 2 juillet 2001.
La réparation des dégâts causés aux murs, plafonds et planchers de certaines pièces de l'appartement inondé a été prise en charge par l'assureur du bâtiment.
A.b Le 7 février 2003, Y._ a introduit une action en dommages-intérêts contre A._ aux fins d'obtenir le paiement de 80'116 fr. 35, selon le dernier état de ses conclusions.
Désigné en qualité d'expert judiciaire, C._ a chiffré à 44'410 fr., hors TVA, dans son rapport du 9 décembre 2004, les frais de réparation du mobilier, des tableaux et de divers autres objets endommagés lors du sinistre.
Par jugement du 14 avril 2005, le Tribunal de première instance du canton de Genève a condamné A._ à payer à Y._ la somme précitée, augmentée de la TVA et des intérêts, ainsi qu'un montant de 2'764 fr. 25 au titre des frais de remplacement de la moquette.
B. B.a Le 29 novembre 2006, Y._ a assigné X._ Assurances SA en paiement de 49'466 fr. 70, plus intérêts. Parmi les six postes du dommage indiqués par la demanderesse figurait, principalement, une rubrique intitulée "Différentiel pour la remise à neuf/remplacement des meubles, tableaux et objets divers". Les 23'349 fr. 90 portés en compte à ce titre correspondaient à la différence entre la totalité du montant mis à la charge de A._ et les deux devis susmentionnés.
La défenderesse a conclu au rejet de la demande.
En cours d'instruction, la demanderesse a sollicité deux expertises judiciaires: la première, qui porterait sur tous les objets (meubles et tableaux) inventoriés dans l'expertise judiciaire réalisée par C._, devait permettre d'établir une éventuelle perte de valeur de ces objets due au sinistre; la seconde, de déterminer la valeur de remplacement de la literie au jour du sinistre ainsi qu'une éventuelle valeur résiduelle. Par ordonnance du 22 mars 2010, le Tribunal a rejeté la demande ad hoc et clos les enquêtes.
Dans son jugement du 4 novembre 2010, le Tribunal de première instance a débouté la demanderesse de toutes ses conclusions.
B.b Saisie par la demanderesse, la Chambre civile de la Cour de justice genevoise, statuant par arrêt du 13 octobre 2011, a annulé le jugement de première instance ainsi que l'ordonnance du 22 mars 2010, et renvoyé la cause au premier juge pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants.
En substance, les juges cantonaux ont reconnu à la demanderesse, sur la base de l'art. 51 al. 1 CO, le droit d'exiger de la défenderesse l'indemnisation de son préjudice, aux conditions fixées dans la police d'assurance ménage, pour la part non couverte par le tiers responsable de l'inondation. Ils ont exposé, à cet égard, qu'ils n'étaient liés ni par le dispositif, ni par les considérants, ni par l'état de fait du jugement rendu dans le procès ayant opposé la lésée et l'auteur du dommage. Les juges d'appel ont ensuite examiné les différents éléments du préjudice litigieux. Ils en ont écarté certains (perte de jouissance partielle de l'appartement, frais de remplacement d'un attaché-case et d'un ouvrage, frais de serrurerie), à l'instar du premier juge, et en ont admis d'autres (314 fr. 90 pour les frais de pressing, 10'171 fr. pour les frais de substitution des rideaux et 6'000 fr. pour les frais de remplacement de la literie), contrairement à l'avis de ce magistrat. S'agissant du principal poste du dommage, les juges genevois ont reconnu à la demanderesse le droit de réclamer à la défenderesse la différence éventuelle entre la valeur marchande de ses meubles, tableaux et objets d'art avant le sinistre, d'une part, et leur valeur marchande après le sinistre, une fois les réparations exécutées, d'autre part. Selon eux, en effet, comme l'assurance couvre la valeur marchande (valeur à neuf) de ces choses non sujettes à dépréciation par l'écoulement du temps, il n'est pas exclu que cette valeur-ci soit inférieure à cette valeur-là, malgré la réparation des choses endommagées. Ne s'estimant toutefois pas en mesure de déterminer elle-même, faute de connaissances techniques suffisantes, si une différence de valeur subsistait et, le cas échéant, de la chiffrer, la cour cantonale, dans le souci de garantir aux parties un double degré de juridiction, à renvoyé la cause au Tribunal de première instance pour qu'il procède à une instruction complémentaire et rende un nouveau jugement dans le sens des considérants de son arrêt.
C. Le 16 novembre 2011, la défenderesse (ci-après: la recourante) a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à l'annulation de l'arrêt du 13 octobre 2011 et au rejet intégral de la demande. A titre subsidiaire, la recourante requiert le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
L'intimée et la cour cantonale n'ont pas été invitées à déposer une réponse.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 329 consid. 1).
2. 2.1 La cour cantonale a analysé les différents postes du dommage formant l'objet de la demande de l'intimée. Elle en a admis certains, rejeté d'autres et, pour le principal d'entre eux, ordonné un complément d'instruction. Cependant, le dispositif de l'arrêt attaqué ne comporte aucune condamnation de la recourante, même en ce qui concerne les éléments du dommage retenus et chiffrés par les juges d'appel, puisqu'il renvoie la cause au Tribunal de première instance pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants. L'arrêt entrepris ne constitue donc pas une décision partielle, au sens de l'art. 91 let. a LTF (sur cette notion, cf. ATF 135 III 212 consid. 1.2), mais une décision incidente visée par l'art. 93 al. 1 LTF. Comme il n'est pas allégué que cette décision pourrait causer un préjudice irréparable à la recourante (art. 93 al. 1 let. a LTF), le présent recours ne sera ouvert que si son admission peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. b LTF).
L'art. 93 al. 1 LTF obéit à des motifs d'économie de la procédure: en tant que cour suprême, le Tribunal fédéral ne devrait en principe connaître qu'une seule fois de la même affaire, à la fin de la procédure (ATF 133 III 629 consid. 2.1 p. 631). L'ouverture du recours immédiat est une exception qui doit être interprétée de manière restrictive (ATF 134 III 426 consid. 1.3.2 p. 430); les parties ne subissent en principe aucun préjudice lorsqu'elles sont privées du droit d'attaquer sur-le-champ une décision incidente, puisqu'elles pourront la contester en même temps que la décision finale (art. 93 al. 3 LTF; ATF 133 IV 288 consid. 3.2).
2.2 S'agissant de la première des deux conditions cumulatives énoncées par l'art. 93 al. 1 let. b LTF, le Tribunal fédéral doit pouvoir rendre la décision lui-même (cf. art. 107 al. 2 LTF) et mettre un terme à la procédure dans l'hypothèse où il jugerait différemment la question tranchée dans la décision incidente attaquée (ATF 133 III 629 consid. 2.4.1).
Tel est le cas en l'espèce: si la Cour de céans devait juger fondés les griefs formulés par la recourante, elle pourrait rejeter immédiatement et définitivement la demande de l'intimée.
Tel est le cas en l'espèce: si la Cour de céans devait juger fondés les griefs formulés par la recourante, elle pourrait rejeter immédiatement et définitivement la demande de l'intimée.
2.3 2.3.1 Pour ce qui est de la seconde condition posée par l'art. 93 al. 1 let. b LTF, il appartient à la partie recourante d'établir qu'une décision immédiate permettrait d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse, sauf si ce point découle manifestement de la décision attaquée ou de la nature de la cause (ATF 133 IV 288 consid. 3.2). Le recourant doit en particulier indiquer de manière détaillée quelles questions de fait sont encore litigieuses, quelles preuves - déjà offertes ou requises - devraient encore être administrées et en quoi celles-ci entraîneraient une procédure longue et coûteuse (ATF 133 III 629 consid. 2.4.2).
Tout complément d'instruction implique des frais et un prolongement de la procédure, de sorte qu'une telle mesure ne suffit pas en soi à justifier la recevabilité du recours immédiat. La procédure probatoire, par sa durée et son coût, doit s'écarter notablement des procès habituels. Si l'administration des preuves doit se limiter à l'audition des parties, à la production de pièces et à l'interrogatoire de quelques témoins, un recours immédiat n'est pas justifié. Il en va différemment s'il faut envisager une expertise complexe, plusieurs expertises, l'audition de très nombreux témoins ou l'envoi de commissions rogatoires dans des pays lointains (arrêt 4A_143/2011 du 6 mai 2011 consid. 1.4.1).
2.3.2 La recourante soutient que l'expertise ordonnée par la cour cantonale, afin d'établir une éventuelle différence entre la valeur marchande qu'avaient les meubles, tableaux et autres objets d'arts de l'intimée avant la survenance du sinistre en décembre 2000 et celle qu'ils conservent après avoir été réparés suite à l'inondation de l'appartement de leur propriétaire, "doit assurément ... être qualifiée de complexe" (recours, p. 17, 2e par.). Plus loin, elle explique pourquoi, à ses yeux, une telle expertise serait "impossible à réaliser" (recours, p. 24, n. 74).
Ces seules allégations ne suffisent nullement à démontrer en quoi l'expertise ordonnée devrait s'avérer longue et coûteuse. Il sied d'observer, à ce propos, que, dans le premier procès, l'expert judiciaire, chargé d'évaluer le montant des frais de réparation du mobilier, des tableaux et des divers objets d'art endommagés dans l'appartement de l'intimée, avait mis moins de trois mois pour rendre son rapport. De plus, le dossier cantonal contient déjà, outre ce rapport d'expertise, deux devis établis à la demande de l'intimée ainsi que le rapport délivré le 2 juillet 2001 par B._, expert en tableaux et en objets d'art, d'entente entre toutes les parties concernées. Il y a là sans doute de quoi faciliter la tâche de l'expert qui sera commis dans le cadre de l'instruction complémentaire à venir. C'est d'ailleurs sur le vu du nombre élevé d'avis déjà exprimés par des hommes de l'art sur la question de fait à trancher que le Tribunal de première instance avait considéré, dans son ordonnance du 22 mars 2010 annulée par l'arrêt attaqué, que l'expertise requise en son temps par l'intimée n'était ni utile ni nécessaire. Au demeurant, la procédure probatoire complémentaire pourrait se réduire à sa plus simple expression si, comme le suggère la recourante, l'expertise ordonnée s'avérait impossible à mettre en oeuvre. On ne voit pas, en effet, qu'il faille effectuer de longues et coûteuses recherches pour constater la chose. Dans ce cas, il ne resterait plus à l'autorité de jugement qu'à appliquer les règles touchant le fardeau de la preuve.
Il s'ensuit que la seconde condition posée par l'art. 93 al. 1 let. b LTF n'est pas réalisée. Partant, le recours est irrecevable.
3. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Quant à l'intimée, n'ayant pas été invitée à déposer une réponse, elle n'a pas droit à des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 24 novembre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Carruzzo