Faits:
A. Le 13 juillet 2005, A._ et B._ ont acquis les parcelles 121 et 126 du cadastre de Veytaux, sises au n° 26 de l'avenue de Chillon. Ces bien-fonds sont classés en zone de villas selon le règlement communal sur le plan d'extension et la police des constructions approuvé par le Conseil d'Etat le 9 juillet 1980 (ci-après: le RPE). Ils sont tous deux bordés à l'ouest par l'avenue de Chillon, la parcelle 126 étant au surplus enclavée dans la parcelle 121. La parcelle 126 est entièrement occupée par un local commercial d'un seul niveau (bâtiment n° ECA 495) flanqué au sud, sur la parcelle 121, d'un ancien garage (bâtiment n° ECA 371b). La toiture de ces constructions forme une terrasse pour le bâtiment d'habitation contigu à l'est (bâtiment n° ECA 371a), implanté sur la parcelle 121. Ce dernier comporte un sous-sol, un étage et un comble revêtu d'un toit à deux pans. Le local commercial, naguère exploité comme kiosque, et l'ancien garage communiquent par un escalier intérieur avec le sous-sol du bâtiment d'habitation, d'où l'on accède à la terrasse.
Dès l'acquisition des parcelles, les intéressés ont entrepris des travaux "en vue d'y exploiter un kiosque à souvenirs ou un bar à café", sans demander d'autorisation. Interpelés par la municipalité de Veytaux (ci-après: la municipalité), ils ont fourni une documentation relative aux travaux en question. Il en découlait qu'ils avaient décidé d'aménager une salle de restaurant dans les locaux précédemment affectés à l'exploitation du kiosque, avec une cuisine dans l'ancien garage et une terrasse, protégée par des stores en toile, sur le trottoir de l'avenue de Chillon.
Les 1er et 2 mai 2006, la municipalité a délivré à A._ et B._ un permis de construire et renoncé à soumettre le projet à l'enquête publique, dès lors qu'ils avaient donné suite à toutes les exigences. Le 12 janvier 2007, elle a octroyé aux intéressés le permis d'utiliser.
B. Le 10 janvier 2007, A._ et B._ ont déposé une demande d'autorisation tendant à l'aménagement d'une terrasse pour la clientèle de leur restaurant sur la toiture des bâtiments nos ECA 495 et 371b. Le 6 février 2007, la municipalité les a informés qu'elle refusait d'entrer en matière et de leur accorder l'autorisation sollicitée, "compte tenu du fait que l'accès, par le public, à la terrasse envisagée devait obligatoirement se faire par un passage privé, ce qui ne [pouvait] en aucun cas être admis aussi bien par les instances cantonales que communales".
Le 12 juillet 2007, A._ et B._ ont déposé une demande de permis de construire concernant l'agrandissement de leur restaurant et la création d'une terrasse publique sur les parcelles 121 et 126. Le projet a pour but la transformation de la terrasse existante en une terrasse de 40 places destinées aux clients du café-restaurant. Des aménagements intérieurs dans le sous-sol du bâtiment n° ECA 371a, liés à cette transformation, sont également prévus, soit notamment la division de l'actuelle chaufferie buanderie en trois petits locaux, dont des toilettes pour la clientèle, ainsi que la pose d'une cloison et d'une porte fermant l'accès à l'étage.
L'enquête publique a été ouverte du 22 septembre au 22 octobre 2007. Elle a suscité cinq oppositions, dont celle de C._, copropriétaire de deux appartements dans la PPE "X._" constituée sur la parcelle voisine 117. Une vision locale, organisée par le Service cantonal de l'économie, du logement et du tourisme, a eu lieu le 29 novembre 2007, en présence de représentants de la municipalité, du Service cantonal de l'environnement et de l'énergie, des propriétaires, des exploitants et des opposants. Les instances cantonales consultées se sont déterminées le 3 mars 2008, avec les préavis favorables de tous les services, avec ou sans conditions.
Par décision du 22 mai 2008, la municipalité a refusé de délivrer le permis de construire. Elle a constaté que, dans la mesure où l'immeuble de A._ et B._, situé en zone de villas, n'était pas conforme à la destination de la zone, son agrandissement ne pouvait être autorisé, dès lors que les conditions fixées à l'art. 80 de la loi cantonale du 4 décembre 1985 sur l'aménagement du territoire et les constructions (ci-après: LATC) n'étaient pas remplies.
C. Par arrêt du 10 juin 2009, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours de A._ et B._ et confirmé la décision de la municipalité du 22 mai 2008. Elle a considéré pour l'essentiel que l'utilisation projetée était commerciale et ne correspondait pas à la définition de la zone de villas des art. 9 ss RPE.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du Tribunal cantonal du 10 juin 2009 en ce sens que le permis de construire leur est accordé et qu'ils obtiennent l'autorisation d'aménager une terrasse pour la clientèle de leur restaurant sur la toiture des bâtiments nos ECA 495 et 371b ainsi que d'effectuer les aménagements intérieurs dans le sous-sol du bâtiment n° ECA 371a. Subsidiairement, ils concluent à ce que l'arrêt attaqué soit réformé en ce sens que le permis leur est octroyé pour aménager la terrasse projetée. Ils requièrent en outre la tenue d'une vision locale. Ils se plaignent d'une violation de leur droit d'être entendus, d'une constatation inexacte des faits et d'une application arbitraire du droit cantonal.
Le Tribunal cantonal ainsi que la municipalité concluent au rejet du recours. C._ s'en remet à justice quant au sort du recours. Le Service cantonal de l'économie, du logement et du tourisme confirme son autorisation spéciale et, pour le surplus, s'en remet à justice. Le Service cantonal de l'environnement et de l'énergie renvoie aux considérants de l'arrêt cantonal.
Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions, le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public conformément aux art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. Les recourants ont manifestement qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF contre l'arrêt attaqué qui confirme le refus de l'autorisation de construire sollicitée. Au surplus, le mémoire ayant été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 45 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites par la loi (art. 42 LTF), il y a lieu d'entrer en matière.
2. A titre de mesure d'instruction, les recourants requièrent une vision locale. Il n'y a pas lieu de donner suite à cette demande, le Tribunal fédéral s'estimant suffisamment renseigné pour statuer en l'état du dossier, lequel comprend notamment des plans des constructions litigieuses.
3. Les recourants se plaignent d'une violation de leur droit d'être entendus. Ils reprochent au Tribunal cantonal de n'avoir pas procédé à une inspection locale et d'avoir insuffisamment motivé l'arrêt entrepris.
3.1 Le droit d'être entendu garanti à l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment celui de faire administrer les preuves pour autant que celles-ci soient requises dans les formes prévues par le droit cantonal et qu'elles apparaissent utiles à l'établissement des faits pertinents (ATF 129 II 497 consid. 2.2 p. 504; 127 I 54 consid. 2b p. 56; 126 I 97 consid. 2b p. 102). L'autorité de décision peut donc se livrer à une appréciation anticipée de la pertinence du fait à prouver et de l'utilité du moyen de preuve offert et, sur cette base, refuser de l'administrer. Ce refus ne viole le droit d'être entendu que si l'appréciation à laquelle elle a ainsi procédé est entachée d'arbitraire (ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157 et les arrêts cités; sur la notion d'arbitraire, voir ATF 132 I 13 consid. 5.1 p. 17). Ces principes s'appliquent également à la tenue d'une inspection locale en l'absence d'une disposition cantonale qui imposerait une telle mesure d'instruction (ATF 120 Ib 224 consid. 2b p. 229; 112 Ia 198 consid. 2b p. 202); les recourants ne prétendent à juste titre pas que tel serait le cas de l'art. 48 al. 1 let. d de la loi vaudoise sur la juridiction et la procédure administratives (cf. arrêt 2P.323/2006 du 27 mars 2007 consid. 3.2).
Le droit d'être entendu implique également pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision. Selon la jurisprudence, la motivation d'une décision est suffisante lorsque l'autorité mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. L'autorité ne doit toutefois pas se prononcer sur tous les moyens des parties; elle peut se limiter aux questions décisives (ATF 130 II 530 consid. 4.3 p. 540 et les arrêts cités).
3.2 Les recourants font valoir que l'appréciation et la description correcte de la situation de l'immeuble litigieux n'étaient possibles que par le biais d'une inspection des lieux. Ce défaut d'instruction aurait entraîné un état de fait lacunaire: l'arrêt entrepris ne donne aucune indication sur la nature du voisinage du restaurant litigieux, à savoir notamment la présence, sur la parcelle 118 adjacente, du restaurant la Taverne de Chillon, la proximité de la route cantonale et de la voie de chemin de fer ainsi que l'importance du trafic routier. Il apparaît que ces éléments ont été allégués par les recourants dans le cadre de leur recours au Tribunal cantonal. Certains de ces faits ressortent également des plans de situation versés au dossier. Les juges cantonaux en avaient dès lors connaissance et il n'était pas nécessaire qu'ils se rendent sur place pour les constater. Ils pouvaient ainsi, sans arbitraire, renoncer à procéder à une vision locale. La question de savoir si l'état de fait est lacunaire ne relève au demeurant pas du droit d'être entendu mais doit être examinée dans le cadre du grief relatif à la constatation des faits (cf. consid. 4 ci-après).
Les recourants critiquent ensuite la motivation de l'arrêt entrepris. Sur plusieurs points, celle-ci ne leur semble pas correcte, voire leur paraît elliptique. On peut relever à ce propos que le fait de savoir si la motivation présentée est convaincante est une question distincte de celle du droit à une décision motivée. Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision des juges, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée ne convient pas aux recourants ou est erronée. Or, dans le cas particulier, la Cour cantonale a exposé de façon suffisamment claire dans son arrêt les éléments qui ont emporté sa conviction. Mal fondé, le grief doit être rejeté.
4. Les recourants font valoir une constatation inexacte des faits.
4.1 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), dont il ne peut s'écarter que s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Si la partie recourante entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, elle doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. A ce défaut, un état de fait divergent de celui de la décision attaquée ne peut être pris en compte. La faculté que l'art. 105 al. 2 LTF confère au Tribunal fédéral de rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente ne dispense pas la partie recourante de son obligation d'allégation et de motivation. Il n'incombe pas au Tribunal fédéral de rechercher lui-même dans le dossier si ce dernier pourrait éventuellement contenir des indices d'une inexactitude de l'état de fait de l'autorité précédente (ATF 133 IV 286 consid. 6.2 p. 288).
4.2 Dans leur mémoire, les recourants indiquent qu'un état de fait lacunaire ainsi qu'une constatation inexacte des faits ont conduit la Cour cantonale à rejeter l'application de l'art. 80 LATC. Ils n'exposent toutefois pas précisément, dans un grief indépendant, quels sont les éléments qui auraient été, selon eux, établis de manière manifestement inexacte par l'autorité intimée. Dans leur motivation relative à la violation de leur droit d'être entendus et à l'application arbitraire du droit cantonal, ils présentent certes leur propre version des faits, qui ne correspond pas en tous points à celle du Tribunal cantonal, mais sans indiquer quels sont ceux qui auraient été constatés arbitrairement ni quels sont les éléments de preuve qui permettraient de les remettre en question. Faute de répondre aux exigences de motivation applicables en la matière, l'argumentation des recourants relative à l'établissement des faits doit être écartée.
5. Sur le fond, les recourants estiment que l'arrêt attaqué repose sur une interprétation et une application arbitraires du droit cantonal et communal des constructions.
Le Tribunal fédéral revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal et communal sous l'angle de l'arbitraire (cf. ATF 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain, ce qu'il appartient au recourant de démontrer par une argumentation qui réponde aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. ATF 133 II 249 consid de 1.4.2 p. 254 et les références). En revanche, si l'interprétation défendue par la cour cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable (ATF 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
6. Les recourants précisent que l'agrandissement de la terrasse vise un bâtiment non conforme à la réglementation en vigueur, contrairement à ce qu'a retenu la Cour cantonale. Ils expliquent que l'aménagement litigieux se situe sur la toiture plate du restaurant et de l'ancien garage (bâtiments nos ECA 495 et 371b) et non point sur le bâtiment voué à l'habitation; en outre, la terrasse existante n'est pas destinée à l'usage de l'immeuble d'habitation (n° ECA 371a), étant donné qu'il existe une servitude d'usage de la terrasse en faveur de la parcelle où se trouve le restaurant. Ils en concluent que, comme les bâtiments nos ECA 495 et 371b jouissent d'une affectation commerciale qui n'est pas conforme à la réglementation de la zone de villas dans laquelle ils se trouvent, c'est l'art. 80 al. 2 LATC qui trouve application et non pas l'art. 9 RPE. Cette question peut toutefois rester indécise, dans la mesure où le Tribunal cantonal a examiné la conformité des travaux projetés aussi bien sous l'angle de l'art. 9 RPE en relation avec l'art. 22 de la loi fédérale du 22 juin 1979 sur l'aménagement du territoire (LAT; RS 700), que sous l'angle de l'art. 80 LATC.
7. L'art. 9 RPE prévoit que la zone de villas est destinée aux villas ou maisons familiales, celles-ci comptant au plus deux appartements. Le Tribunal cantonal a considéré qu'en limitant à deux le nombre d'appartements dans ces immeubles, le règlement communal tendait à définir une zone à vocation d'habitation exclusivement. Il a rappelé que la jurisprudence cantonale admettait les activités en zone de villas à condition qu'elles n'entraînent pas pour les voisins des inconvénients plus importants que ceux engendrés par l'habitation et que l'affectation ne soit qu'accessoire par rapport à l'utilisation générale de la maison d'habitation. Constatant que l'utilisation projetée était commerciale et non plus privée, la Cour cantonale a jugé qu'elle ne répondait pas à la définition de la zone de villas des art. 9 ss RPE.
Les recourants estiment pour leur part que la référence à l'art. 9 RPE est inadéquate dans la mesure où, depuis l'existence du plan d'affectation, la municipalité a toujours admis des activités commerciales là où se trouvent les travaux envisagés. L'interprétation des art. 9 ss RPE ne pourrait dès lors pas démontrer la volonté de la municipalité d'exclure toute autre affectation que l'habitation à cet endroit. A leur avis, le fait d'être en présence d'activités commerciales n'exclut pas la réalisation de la terrasse litigieuse en zone villas ni les transformations envisagées dans les sous-sols du bâtiment d'habitation. Dans leur grief, les recourants se contentent de discuter la motivation de la Cour cantonale et d'y opposer leur propre raisonnement juridique, sans démontrer en quoi l'arrêt attaqué serait arbitraire sur ce point. Cette critique, de nature purement appellatoire, ne répond pas aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF et est irrecevable (cf. consid. 5 ci-dessus). De toute façon, il n'est pas insoutenable de considérer, comme l'a fait le Tribunal cantonal, que l'utilisation commerciale de la terrasse et des sous-sols de l'immeuble ne correspond pas à la définition de la zone de villas au sens de l'art. 9 RPE, même si l'affectation du restaurant est commerciale et que les recourants avaient obtenus en mai 2006 la régularisation après coup de leur établissement.
8. Les recourants dénoncent ensuite une application arbitraire de l'art. 80 al. 2 LATC. Selon cette disposition, la transformation dans les limites des volumes existants ou l'agrandissement des bâtiments existants non conformes aux règles de la zone à bâtir peuvent être autorisés, pour autant qu'il n'en résulte pas une atteinte sensible au développement, au caractère ou à la destination de la zone; les travaux ne doivent pas aggraver l'atteinte à la réglementation en vigueur ou les inconvénients qui en résultent pour le voisinage. Les deux conditions posées à l'art. 80 al. 2 in fine LATC sont cumulatives et il suffit que l'une d'elles ne soit pas réalisée pour que l'autorisation soit refusée.
La Cour cantonale a estimé que l'augmentation sensible des surfaces dédiées à un usage commercial contraire à l'affectation de la zone constituerait à l'évidence une aggravation de l'atteinte à la réglementation. Les recourants font valoir que la zone en question, bien qu'elle soit qualifiée de zone de villas, est une zone vouée à la construction et qui ne comprend qu'une seule villa familiale, à savoir la leur. Il ne s'agit dès lors pas d'un quartier tranquille de plusieurs petites villas familiales qui nécessiterait une protection particulière du point de vue de la sécurité du trafic et de la tranquillité. Compte tenu de la spécificité de la zone en question (proximité de la route cantonale et de la voie de chemin de fer, présence d'un autre établissement public pouvant accueillir près de 350 personnes, etc.), le projet d'aménagement de la terrasse n'aggraverait pas l'atteinte à la réglementation en vigueur. Les recourants ne parviennent toutefois pas à démontrer que la motivation de l'arrêt attaqué serait insoutenable sur ce point. En effet, en affectant la terrasse litigieuse à un usage commercial, il est manifeste que l'utilisation commerciale non conforme à l'affectation de la zone est accrue. Il importe peu à cet égard que le quartier soit bruyant et que sur la parcelle voisine se trouve déjà un important établissement public dérogeant lui aussi à l'affectation de la zone. Il apparaît ainsi que la réalisation de la terrasse aggraverait effectivement l'atteinte à la règlementation en vigueur, selon laquelle les parcelles concernées se trouvent en zone de villas. Comme la première des conditions posées à l'art. 80 al. 2 LATC n'est pas réalisée, le Tribunal cantonal n'est pas tombé dans l'arbitraire en considérant que les travaux projetés ne pouvaient pas être autorisés sur la base de cette disposition. Dans ces circonstances, il n'est pas nécessaire d'examiner si l'agrandissement de la terrasse aggraverait ou non les inconvénients pour le voisinage.
9. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Conformément aux art. 66 al. 1 et 68 al. 2 LTF, les frais judiciaires sont mis à la charge des recourants, de même qu'une indemnité de dépens en faveur de l'intimée.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, fixés à 3'000 fr., sont mis à la charge des recourants.
3. Les recourants verseront à l'intimée une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et de la Municipalité de Veytaux, au Service de l'économie, du logement et du tourisme, au Service de l'environnement et de l'énergie et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 5 novembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Féraud Mabillard