Faits:
A. A.a Y._, ressortissante suisse et iranienne, et X._, de nationalité suisse, se sont rencontrés dans le courant de l'année 1994, alors qu'ils étaient tous deux mariés, et ont fait ménage commun dès la fin du mois de mars 1995. Y._ a divorcé en novembre 1995, X._ en avril 2002. Ils n'ont pas d'enfant commun. X._ est père de quatre fils aujourd'hui majeurs, à savoir A._, né en 1985, B._ et C._, nés en 1987, et D._, né en 1990.
Le 10 janvier 1998, les intéressés se sont mariés à Las Vegas (USA). Ce mariage n'a pas été transcrit, car X._ n'était alors pas encore divorcé. Le document de mariage américain leur était toutefois utile pour voyager en Iran et justifier de leur qualité d'époux, afin de pouvoir partager une chambre commune à l'hôtel.
Le 30 août 2002, Y._ a rempli une «Demande en vue du mariage» pour elle-même et X._, demande qui est demeurée sans suite.
En octobre 2003, les intéressés ont tenté de se marier à Téhéran (Iran), mais ont dû y renoncer en raison des formalités administratives.
A.b Le 6 mars 2005, Y._ et X._ ont contracté à Téhéran un «mariage provisoire légitime», dit mariage «sigheh», d'une durée de cinquante ans. Ce mariage a été transcrit, sans limitation temporelle, à l'État civil de Genève, par décision du Département des institutions du 14 mars 2006. Il ressort ainsi du certificat de famille des époux qu'ils se sont mariés le 6 mars 2005. X._ a tenté de requérir la radiation de cette inscription. Il a été débouté des fins de sa demande par arrêt du Tribunal administratif du 28 avril 2009 puis, sur recours, par arrêt du Tribunal fédéral du 5 novembre 2009 (5A_404/2009). La plainte pénale qu'il a formée pour escroquerie et faux dans les titres a été classée par le Procureur général, décision confirmée par la Chambre d'accusation du 17 octobre 2006.
Les époux se sont séparés le 24 mai 2005, le mari ayant quitté l'appartement conjugal pour se constituer un domicile dans le canton de Vaud, puis à Zoug.
B. B.a Le 31 mars 2006, Y._ a formé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale, assortie d'une demande de mesures préprovisoires urgentes. Elle sollicitait notamment l'octroi d'une contribution d'entretien de 9'270 fr. par mois, avec effet dès le 24 mai 2005, ainsi qu'une provisio ad litem de 7'500 fr.
Par ordonnance sur mesures préprovisoires du 24 avril 2006, le Tribunal de première instance du canton de Genève a condamné le mari à lui verser la somme de 3'205 fr. par mois pour son entretien.
B.b X._, qui avait transféré son domicile à E._ depuis le 1er décembre 2009, a déposé, le 18 mars 2010, une première demande en divorce assortie de mesures provisoires, qu'il a retirée avant d'en déposer une seconde le 19 mai 2010.
Par jugement sur mesures provisoires du 13 juillet 2010, l'Einzelrichter du canton de Zoug s'est déclaré compétent à partir du 19 mai 2010 pour statuer sur ces mesures et a libéré le mari de toute contribution d'entretien en faveur de l'épouse. Ce magistrat a pris en considération la brièveté du mariage des parties, l'absence d'enfant commun et l'obligation pour l'épouse d'assumer son entretien, considérant qu'elle était en mesure d'y pourvoir grâce à ses revenus et/ou sa fortune.
B.c Par jugement de mesures protectrices de l'union conjugale du 15 novembre 2010, le Tribunal de première instance du canton de Genève a, notamment, autorisé les parties à vivre séparées, attribué la jouissance exclusive du domicile conjugal à l'épouse et dispensé le mari de payer une contribution d'entretien à celle-ci, avec effet au jour du dépôt de la requête, soit au 31 mars 2006.
Pour refuser toute contribution d'entretien et provisio ad litem en faveur de l'épouse, l'autorité de première instance a considéré que celle-ci, pourtant au bénéfice de la nationalité suisse et titulaire d'un diplôme d'analyste-programmeur, n'avait entrepris aucune démarche pour s'insérer professionnellement. De plus, elle n'avait produit aucune pièce en rapport avec ses allégués selon lesquels elle serait réduite à vivre des subsides de l'assistance publique. Son train de vie dénotait au contraire des moyens financiers d'une certaine importance, puisqu'elle avait pu conserver l'ancien appartement conjugal, dont le loyer était de 3'285 fr. par mois, qu'elle disposait d'un véhicule automobile et qu'elle pratiquait le golf, participant au demeurant à des compétitions. Par conséquent, il n'y avait pas lieu d'examiner en détail la situation financière du mari qui, en tout cas, contribuait déjà à l'entretien de sa première femme et de ses enfants.
B.d L'épouse a appelé de ce jugement, persistant dans ses conclusions de première instance tendant au paiement d'une contribution d'entretien de 9'270 fr. par mois et au versement d'une provisio ad litem de 7'500 fr.
Par arrêt du 13 juillet 2011, la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement entrepris. L'autorité cantonale a considéré que la vie commune des parties, une fois mariées, n'avait duré que deux mois et demi (du 6 mars 2005 au 24 mai 2005); de surcroît, aucun enfant n'était issu de leur union. Ni le mariage, ni du reste le concubinage antérieur des parties, n'avaient donc pu influencer concrètement la situation financière de l'épouse. Au surplus, il n'était pas démontré que celle-ci ne fût pas en mesure de pourvoir elle-même à son entretien.
C. Contre cet arrêt, l'épouse exerce un recours en matière civile par acte déposé le 15 août 2011. Elle conclut, principalement, à ce que l'intimé soit condamné à lui verser une contribution d'entretien d'un montant de 9'270 fr. par mois dès le jour de la séparation, soit le 24 mai 2005. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'intimé propose l'irrecevabilité, subsidiairement le rejet du recours.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
Considérant en droit:
1. 1.1 La décision de mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 ss CC) est une décision en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). Elle est finale selon l'art. 90 LTF (ATF 133 III 393 consid. 4). Le recours, qui porte sur la contribution d'entretien due à l'épouse, a pour objet une décision rendue dans une affaire pécuniaire, dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Il a en outre été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF), dans la forme prévue par la loi (art. 42 LTF), contre une décision prise par une autorité de dernière instance cantonale (art. 75 LTF). La recourante a par ailleurs pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable.
1.2 Comme l'arrêt attaqué porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5.1, 585 consid. 3.3), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée, conformément au principe d'allégation (ATF 134 I 83 consid. 3.2; 134 II 349 consid. 3; 133 II 249 consid. 1.4.2; 133 III 393 consid. 6). Il n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 II 396 consid. 3). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision est manifestement insoutenable (ATF 134 II 349 consid. 3). L'arbitraire prohibé par l'art. 9 Cst. ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire dans son résultat (ATF 137 I 1 consid. 2.4; 136 I 316 consid. 2.2.2; 134 I 124 consid. 4.1 et les arrêts cités).
2. La recourante se plaint d'établissement inexact des faits au sens de l'art. 97 al. 1 LTF.
2.1 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels par l'autorité cantonale. Les art. 95 et 97, ainsi que l'art. 105 al. 2 LTF ne s'appliquent donc pas directement puisqu'ils ne sont pas des droits constitutionnels (ATF 133 III 393 consid. 7.1; 133 III 585 consid. 4.1). Toutefois, l'application de l'art. 9 Cst. aboutit pratiquement au même résultat: le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires et ont une influence sur le résultat de la décision (arrêts 5A_475/2011 du 12 décembre 2011 consid. 2.2; 5A_361/2011 du 7 décembre 2011 consid. 2.2).
2.2 Dans la mesure où la recourante se réfère à un jugement du Tribunal de première instance du canton de Genève du 19 juillet 2005, déboutant l'intimé d'une action en cessation de trouble, ses allégations n'ont aucune incidence sur l'issue du litige, notamment en raison des considérations qui seront exposées ci-après (cf. infra, consid. 3). Tel est aussi le cas de ses précisions concernant la période pour laquelle «une contribution d'entretien reste due». De même, il importe peu que la Cour de justice ait mentionné, dans l'état de fait de l'arrêt attaqué, certains éléments du rapport de l'Hospice général sans en indiquer d'autres, en particulier le fait que la recourante ne détenait pas d'autres comptes bancaires que ceux dont elle était titulaire auprès de l'UBS et son absence d'imposition fiscale en 2003 et 2004, ces éléments n'étant pas déterminants pour apprécier si la recourante a la possibilité d'assurer elle-même son train de vie (cf. infra, consid. 4).
Quant aux allégations de la recourante concernant, d'une part, le maintien de l'aide sociale en sa faveur et, d'autre part, le partage des successions de ses parents, elles seront examinées dans le cadre de son grief concernant sa situation financière (cf. infra, consid. 4).
3. La recourante reproche en substance à la cour cantonale d'avoir arbitrairement considéré que l'union des parties, vu sa brièveté, n'avait pas exercé d'effets sur sa situation économique, alors qu'il est établi qu'avant le mariage, les époux ont vécu dix ans en concubinage et qu'elle était entretenue par l'intimé.
3.1 Même lorsqu'on ne peut plus sérieusement compter sur une reprise de la vie commune, l'art. 163 CC demeure la cause de l'obligation d'entretien réciproque des époux en mesures protectrices de l'union conjugale, comme il l'est aussi en mesures provisionnelles prononcées pour la durée de la procédure de divorce (ATF 137 III 385 consid. 3.1; 130 III 537 consid. 3.2). Pour fixer la contribution d'entretien, selon l'art. 176 al. 1 ch. 1 CC, le juge doit partir de la convention, expresse ou tacite, que les époux ont conclue au sujet de la répartition des tâches et des ressources entre eux. Il doit ensuite prendre en considération qu'en cas de suspension de la vie commune (art. 175 s. CC), le but de l'art. 163 CC, soit l'entretien convenable de la famille, impose à chacun des époux le devoir de participer, selon ses facultés, notamment par la reprise ou l'augmentation de son activité lucrative, aux frais supplémentaires qu'engendre la vie séparée. Le juge peut donc devoir modifier la convention conclue pour la vie commune, pour l'adapter à ces faits nouveaux. En revanche, ni le juge des mesures protectrices de l'union conjugale, ni celui des mesures provisionnelles ne doit trancher, même sous l'angle de la vraisemblance, les questions de fond, objet du procès en divorce, en particulier celle de savoir si le mariage a influencé concrètement la situation financière du conjoint (ATF 137 III 385 consid. 3.1, précisant l'ATF 128 III 65).
3.2 Vu les principes exposés ci-dessus, il importe peu que l'autorité cantonale ait considéré que le mariage n'avait pas eu d'impact décisif sur la situation financière de l'épouse, et cela malgré le concubinage antérieur, une éventuelle influence de celui-ci sur les conditions de vie de l'intéressée ne pouvant être prise en considération, toujours selon les juges précédents, qu'à partir d'octobre 2003, et l'épouse n'ayant pas renoncé à une activité professionnelle pour promouvoir la carrière de son conjoint ou s'impliquer dans l'éducation des enfants de celui-ci. Le moyen est donc sans pertinence.
4. La recourante reproche en outre aux juges précédents d'avoir estimé, de manière arbitraire, qu'elle était en mesure de pourvoir elle-même à son entretien, faute pour elle d'avoir démontré le contraire.
En revanche, elle ne prétend pas qu'en dépit de l'extrême brièveté de la vie commune durant le mariage et de l'absence d'espoir de reprise de celle-ci, l'art. 163 CC commandait le maintien du partage des tâches et des ressources entre les époux, à savoir son entretien par le mari, du moins en mesures protectrices (cf. supra, consid. 3.1). Cette question n'ayant pas été soulevée par la recourante, il n'y a pas lieu de se la poser (principe d'allégation; art. 106 al. 2 LTF).
4.1 Dans le domaine de l'appréciation des preuves et de la constatation des faits, le Tribunal fédéral se montre réservé, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière à l'autorité cantonale (ATF 120 Ia 31 consid. 4b; 118 Ia 28 consid. 1b et les références citées). Il n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans motifs objectifs de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2; 129 I 8 consid. 2.1). Sa retenue est d'autant plus grande lorsque, comme en l'espèce, le juge n'examine la cause que d'une manière sommaire et provisoire, avec administration restreinte des moyens de preuve et limitation du degré de la preuve à la simple vraisemblance (ATF 130 III 321 consid. 3.3; 127 III 474 consid. 2b/bb).
4.2 Selon la Cour de justice, le premier juge a relevé avec raison que l'épouse était parvenue à maintenir un train de vie de près de 6'000 fr. par mois (loyer: 3'285 fr. + charges: 215 fr.; assurance maladie: 354 fr.; base d'entretien: 1'200 fr.; golf: 289 fr.; voiture: 500 fr.), avec pour seul revenu une indemnité mensuelle de l'assistance publique de 2'343 fr. 80. Or, elle n'avait donné aucune explication au sujet de la révocation de cette indemnité, ni mentionné la provenance des autres ressources financières dont elle devait bénéficier pour assurer son budget. Elle ne s'était toutefois pas trouvée dans la nécessité de sous-louer certaines pièces de son appartement et n'avait dû emprunter une somme de 5'000 fr. que pour une très brève période. Ainsi, malgré la séparation des parties, l'épouse avait été en mesure de maintenir son train de vie, cela vraisemblablement grâce à la fortune perçue de l'héritage de ses parents et/ou aux revenus de celle-ci.
Invoquant une attestation de l'Hospice général du 14 décembre 2010, la recourante soutient qu'elle est au bénéfice de prestations de l'aide sociale depuis le 1er août 2005 et que celles-ci n'ont pas été supprimées, contrairement à ce qui résulte de la décision du 26 octobre 2010 émanant non pas dudit Hospice, mais du Service de l'assurance-maladie (SAM) du canton de Genève: cet élément n'est pas décisif, la somme allouée par l'assistance publique ne lui permettant de toute façon pas de financer le train de vie qui a été arrêté comme étant le sien. Contrairement à l'opinion de la recourante, il importe moins de savoir si elle a touché indûment l'aide sociale que de déterminer par quels moyens elle parvient à s'assurer un niveau de vie de près de 6'000 fr. par mois. Pour les juges précédents, il est vraisemblable qu'elle dispose de ressources provenant des successions de ses parents, décédés en 1990 pour sa mère et en 1995 pour son père. La recourante le conteste, en s'appuyant sur des lettres d'un avocat iranien et de l'une de ses nièces, selon lesquelles le partage desdites successions n'a pas encore eu lieu, faute d'entente entre les héritiers. Fût-elle établie, cette allégation ne rend pas la décision attaquée arbitraire dans son résultat (notamment: ATF 137 I 1 précité). En effet, faute d'explications de la recourante concernant la façon dont elle assurait son train de vie, arrêté à près de 6'000 fr. par mois, il n'était pas insoutenable de retenir, à l'instar des juges précédents, qu'elle n'avait pas démontré ne pas être en mesure de pourvoir à son entretien. Au demeurant, il résulte de l'arrêt attaqué que la recourante, ressortissante suisse, est titulaire d'un diplôme d'analyste-programmeur et qu'elle a entrepris une formation de professeur de golf: or elle n'a pas allégué avoir effectué, en vain, des démarches pour trouver un emploi.
5. En conclusion, le recours se révèle mal fondé et doit par conséquent être rejeté, aux frais de son auteur (art. 66 al. 1 LTF), qui versera en outre des dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à verser à l'intimé à titre de dépens, est mise à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 26 janvier 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Mairot