Faits:
A. P._ SA et Z._ Sàrl ont conclu le 25 juillet 1998 un accord intitulé « contrat de distribution », par lequel celle-là se chargeait d'assurer, auprès de ses sociétés clientes, l'exploitation et la maintenance de logiciels de gestion d'entreprise appartenant à celle-ci. La durée de ce contrat était indéterminée et chaque partie pourrait le résilier en observant un délai de préavis d'une année pour la fin d'une année civile. Une clause compromissoire y était insérée, ainsi conçue: « Les éventuels litiges sont soumis à l'arbitrage. Le for juridique est Lausanne. »
Par la suite, l'ensemble des actifs et passifs de P._ SA fut transféré à X._ SA.
En été 2000, celle-ci considéra que l'activité de maintenance des logiciels n'était pas suffisamment rentable et elle décida d'y mettre fin. Une lettre de résiliation des contrats de maintenance fut adressée aux clients concernés, avec effet au 31 décembre 2000. Z._ Sàrl protesta vainement. Un accord fut trouvé pour deux clients seulement. Le 15 décembre 2000, X._ SA résilia le contrat de distribution du 25 juillet 1998 avec effet au 31 décembre 2001.
B. Par requête du 24 juin 2004, Z._ Sàrl a requis le Président de la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois de désigner les membres du tribunal arbitral prévu par ce contrat; elle prenait d'ores et déjà, contre X._ SA, des conclusions tendant au paiement de 872'597 fr.25, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 15 septembre 2001, à titre de dommages-intérêts.
Devant l'autorité saisie, à l'audience du 26 juillet 2004, il fut entendu que chacune des parties désignerait un arbitre et que l'autorité désignerait seulement le président du tribunal arbitral. Par un prononcé du 4 août 2004, elle désigna à la présidence quatre anciens juges du Tribunal cantonal, « l'un à défaut de l'autre », soit Philippe Champoud, alors avocat-conseil à Lausanne, Pierre-Alain Tâche, Paul-Eugène Rochat et Jacques Reymond.
Hans Hofer et Jean-Christophe Diserens, celui-ci avocat à Lausanne, furent par ailleurs désignés en qualité d'arbitres.
La demanderesse confirma ses conclusions et la défenderesse conclut au rejet de l'action.
L'instruction de la cause s'accomplit sans incident sous la présidence de Me Champoud.
Par lettre du 1er avril 2008, celui-ci convoqua les parties à l'audience de jugement fixée au 21 mai. Il annonçait que Me Ludovic Tirelli, alors avocat-stagiaire, assisterait à cette audience car il avait décidé de s'adjoindre ses services pour la rédaction de la sentence arbitrale. L'audience avec plaidoiries se déroula sans incident, en présence de Me Tirelli.
Me Champoud décéda le 24 juin 2008 alors que les parties n'avaient reçu ni dispositif ni sentence motivée.
C. Le 29 août 2008, les arbitres Hofer et Diserens informèrent les parties qu'après la clôture de l'audience, le tribunal arbitral avait délibéré et qu'un dispositif avait été arrêté à l'issue de la délibération, celle-ci étant « l'objet de notes écrites de la part du secrétaire, sur la foi desquelles la sentence était en cours de rédaction lorsque le décès [de Me Champoud] est survenu », et que « dans ces circonstances, le tribunal serait en mesure d'achever la rédaction de la sentence et de [...] la notifier ». Les arbitres demandaient l'accord des parties.
A l'issue d'un échange de correspondance, une convention de procédure fut conclue le 23 décembre 2008 dans les termes suivants:
Il est préliminairement exposé que les parties sont divisées dans le cadre d'une procédure arbitrale introduite le 11 février 2005 selon demande en paiement de Z._ Sàrl;
Que le tribunal arbitral a été composé de Me Philippe Champoud, président, de MM. H. Hofer et J.-C. Diserens, arbitres;
Que la séance finale a eu lieu à Lausanne le 21 mai 2008;
Que les parties y ont plaidé;
Que le tribunal arbitral, statuant immédiatement à huis clos, a rendu sa décision et en a confié la rédaction à son président, Me Philippe Champoud;
Que Me Philippe Champoud est décédé le 24 juin 2008, alors que la rédaction de la sentence était pratiquement terminée;
Qu'il avait été désigné en qualité de président du tribunal arbitral par décision de Monsieur le Président de la Cour civile du Tribunal cantonal du 5 août 2004;
Que cette décision prévoyait qu'à défaut de Me Philippe Champoud, interviendraient comme président, l'un à défaut de l'autre, MM. Pierre-Alain Tâche, Paul-Eugène Rochat et Jacques Reymond;
Qu'ensuite du décès de Me Philippe Champoud, la présidence du tribunal arbitral revient à M. Pierre-Alain Tâche;
Que compte tenu du décès de Me Philippe Champoud postérieurement à l'audience de jugement et à la décision qui a été prise, l'entrée en fonction de M. Pierre-Alain Tâche n'apparaît en l'état pas nécessaire, de l'avis des parties et de l'avis des deux autres arbitres composant le tribunal arbitral;
Qu'afin d'éviter de plus amples complications, [les] parties conviennent de ce qui suit:
- I -
Z._ Sàrl et X._ SA admettent que la sentence arbitrale est rendue sous la signature des deux arbitres Hans Hofer et Jean-Christophe Diserens, sur la base de la décision prise par le tribunal arbitral in corpore, sous la présidence de feu Me Philippe Champoud.
- II -
[Les] parties confirment qu'elles ne considèrent pas cette manière de procéder comme pouvant fonder un motif de nullité de la sentence arbitrale.
- III -
[Les] parties conviennent qu'au cas où un recours en nullité dirigé contre la sentence arbitrale était admis, un nouveau président du tribunal arbitral sera désigné conformément à la décision du Président de la Cour civile du 5 août 2004.
[Les] parties conviennent qu'au cas où un recours en nullité dirigé contre la sentence arbitrale était admis, un nouveau président du tribunal arbitral sera désigné conformément à la décision du Président de la Cour civile du 5 août 2004.
... Le 23 juillet 2009, Me Tirelli s'est adressé aux parties « à la demande du tribunal arbitral » pour les informer que la rédaction de la sentence était « sur le point d'être finalisée » et qu'elle pourrait être prochainement notifiée. Le travail effectué tant par Me Champoud que par les arbitres et l'auteur de la lettre s'était avéré « sensiblement supérieur à ce qui avait été initialement prévu »; c'est pourquoi chaque partie était invitée à fournir une avance de frais complémentaire au montant de 13'000 francs.
Par son conseil, la défenderesse a protesté le 10 août 2009. Elle exposait avoir renoncé à faire reconstituer un tribunal arbitral complet, après le décès de Me Champoud, parce que, aux dires des arbitres Hofer et Diserens, la rédaction de la sentence était « pratiquement terminée »; la récente lettre de Me Tirelli indiquait qu'en réalité, ce travail n'était alors pas « pratiquement terminé ». La défenderesse se disait induite en erreur sur ce point qui était un élément essentiel de la convention de procédure souscrite par elle, et elle déclarait invalider cette convention sur la base de l'art. 24 CO.
D. Après avoir recueilli une détermination de la demanderesse, les arbitres Hofer et Diserens ont communiqué le 3 septembre 2009 que la déclaration d'invalidation de la défenderesse relevait de l'abus de droit et était jugée « irrecevable ».
La défenderesse a attaqué cette communication des arbitres auprès de la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois; la contestation ainsi entreprise demeure actuellement suspendue devant cette autorité.
E. Après que la demanderesse eut versé les avances de frais requises des deux parties, les arbitres Hofer et Diserens ont communiqué une sentence arbitrale motivée, datée du 12 novembre 2009.
La défenderesse est condamnée à payer 212'747 fr.50 et 19'152 fr. avec intérêts au taux de 5% par an, respectivement dès le 29 septembre 2001 et dès le 1er janvier 2001. Les frais de l'arbitrage sont arrêtés à 109'975 fr., déjà acquittés à raison de 67'500 fr. par la demanderesse et de 42'475 fr. par la défenderesse. Celle-ci doit verser à la demanderesse 50'493 fr.50 à titre de dépens réduits.
La défenderesse a derechef saisi la Chambre des recours, laquelle a statué le 19 mai 2010. Elle a rejeté le recours.
F. Agissant par la voie du recours en matière civile, la défenderesse requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Chambre des recours.
La demanderesse conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Au regard de l'art. 407 al. 2 et 3 du code de procédure civile unifié entré en vigueur le 1er janvier 2011, la procédure de l'arbitrage et les recours disponibles contre la sentence du 12 novembre 2009 demeurent soumis au régime antérieur à ce code, c'est-à-dire à celui du concordat sur l'arbitrage approuvé par le Conseil fédéral le 27 août 1969 (ci-après: le concordat ou CA), auquel le canton de Vaud était partie. Dans les développements qui suivent, il sera fait abstraction de la législation nouvelle.
2. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF); le recours a été introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours est ouvert pour violation du concordat (art. 95 let. e LTF). Le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs invoqués et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF); il vérifie que l'autorité précédente ait dûment exercé le contrôle judiciaire de la sentence arbitrale prévu, sur recours, par les art. 36 à 40 CA (ATF 133 III 634 consid. 1.1.1 p. 636).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont en principe irrecevables (art. 99 al. 1 LTF). Le tribunal peut compléter ou rectifier même d'office les constatations de fait qui se révèlent manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires aux termes de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.1.2 p. 252), ou établies en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante est autorisée à attaquer des constatations de fait ainsi irrégulières si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
3. A teneur de l'art. 36 let. a CA, la sentence arbitrale peut être attaquée en nullité lorsque le tribunal arbitral n'était pas régulièrement constitué.
3.1 Le tribunal de la présente affaire a d'abord été composé de trois arbitres, conformément à l'art. 10 al. 1 CA. Après le décès de Me Champoud, d'après l'art. 23 al. 1 CA, cet arbitre, président du tribunal arbitral, devait en principe être remplacé selon le mode adopté pour sa désignation, et c'est l'ancien juge Pierre-Alain Tâche, déjà désigné à titre subsidiaire, qui aurait dû lui succéder. Au lieu de cela, les parties ont convenu le 23 décembre 2008 que la sentence serait terminée et signée par les arbitres Hofer et Diserens, sans le concours d'un troisième arbitre. Il est loisible aux parties de passer une pareille convention car l'art. 23 CA n'est pas une règle impérative (cf. art. 1 al. 3 CA; Pierre Jolidon, Commentaire du Concordat suisse sur l'arbitrage, 1984, p. 318) et les arbitres peuvent être désignés en nombre pair (art. 10 al. 2 CA; Jolidon, op. cit., p. 199/200); de ce point de vue, la validité de la convention n'est d'ailleurs pas mise en doute par la défenderesse.
En cas de contestation, la portée exacte d'une convention soumise au concordat doit être déterminée selon la théorie de la confiance (ATF 116 Ia 56 consid. 3a p. 57), c'est-à-dire d'après le sens qui peut lui être attribué de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances (ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 412; 133 III 675 consid. 3.3 p. 681). Or, il ressort du ch. I de la convention du 23 décembre 2008 que les arbitres Hofer et Diserens n'ont pas été habilités à statuer eux-mêmes sur l'action en dommages-intérêts, à eux deux, mais seulement à rédiger et à signer une sentence dont le dispositif avait été arrêté à trois à l'issue de la délibération du 21 mai 2008. Ces deux arbitres n'ont d'ailleurs pas sollicité des parties une habilitation plus étendue puisque, dans leur lettre du 29 août 2008, ils ont fait état d'un dispositif arrêté avant la disparition de Me Champoud.
3.2 Selon l'arrêt de la Chambre des recours, « la décision elle-même [a] été rendue par le tribunal in corpore, fait qui ressort des notes prises par Me Tirelli lors de la délibération et de la parole des arbitres survivants, que rien ne permet de mettre en doute ».
Devant cette autorité, la défenderesse a produit une photocopie des notes de Me Tirelli. A l'appui du recours en matière civile, elle discute ces notes avec précision, pour soutenir qu'elles ne permettent pas de constater l'existence d'un dispositif arrêté à l'issue de l'audience du 21 mai 2008. Son opinion est fondée et l'adverse partie ne conteste pas, dans sa réponse, la teneur des notes telle que citée dans l'acte de recours.
Dans leurs observations présentées en instance cantonale, les arbitres Hofer et Diserens se sont exprimés comme suit: « Il s'est effectivement avéré que les opérations d'achèvement de la rédaction de la sentence étaient plus compliquées qu'initialement prévu, en raison notamment d'un certain nombre de recherches de droit complémentaires auxquelles il a fallu procéder. » Si des recherches juridiques complémentaires ont été nécessaires, cela signifie que les deux arbitres ont entrepris de revoir des points de droit pertinents qui n'avaient pas été entièrement élucidés lors de la délibération du 21 mai 2008. On comprend que suivant le résultat des recherches, ces arbitres auraient adapté le résultat de la délibération, et que le tribunal arbitral au complet avait seulement adopté les traits essentiels d'une décision qui restait à préciser. Le tribunal au complet n'avait en tout cas pas arrêté de montants exacts, notamment sur les intérêts et les frais. Les arbitres Hofer et Diserens ont ainsi continué de délibérer du contenu de la décision, ce à quoi la convention de procédure du 23 décembre 2008 ne les habilitait pas. Dans ces conditions, la Chambre des recours constate arbitrairement qu'un dispositif a été arrêté le 21 mai 2008.
3.3 La sentence arbitrale du 12 novembre 2009 n'est pas celle prévue par la convention de procédure conclue le 23 décembre 2008, puisque cette sentence n'a pas été rédigée sur la base d'une décision prise par le tribunal arbitral dans sa composition initiale, avec la participation de Me Champoud. Le tribunal qui a rendu ladite sentence, formé de deux arbitres seulement, n'était pas composé conformément aux art. 10 al. 1 et 23 al. 1 CA. La Chambre des recours aurait donc dû accueillir le moyen de nullité tiré de l'art. 36 let. a CA, relatif à une composition irrégulière du tribunal arbitral.
4. Il n'est pas nécessaire d'examiner si la défenderesse, conformément à son argumentation, a conclu la convention du 23 décembre 2008 sous l'influence d'une erreur essentielle. Il n'est pas non plus nécessaire d'examiner si la Chambre des recours aurait dû, par ailleurs, accueillir le moyen de nullité que la défenderesse prétendait tirer de l'art. 36 let. f CA, relatif à une violation évidente du droit ou de l'équité, car le recours en matière civile se révèle de toute manière fondé.
Le pouvoir de décision du Tribunal fédéral n'est pas plus étendu que celui de l'autorité judiciaire cantonale et une sentence arbitrale ne saurait donc être réformée, sinon au sujet des honoraires fixés par le tribunal arbitral; en revanche, s'il y a lieu, le Tribunal fédéral peut annuler la sentence comme l'autorité cantonale aurait dû le faire (ATF 133 III 634 consid. 1.1.2 et 1.1.3). Dans la présente affaire, toutefois, le Tribunal fédéral s'en tiendra aux conclusions de la partie recourante, conformément à l'art. 107 al. 1 LTF.
5. A titre de partie qui succombe, la demanderesse doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, l'arrêt de la Chambre des recours est annulé et la cause est renvoyée à cette autorité pour nouvelle décision.
2. La demanderesse acquittera un émolument judiciaire de 6'000 francs.
3. La demanderesse versera une indemnité de 7'000 fr. à la défenderesse, à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 14 février 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin