Faits:
A. Le 10 juillet 2009, la Commission du district de la Sarine pour l'aide et les soins à domicile (ci-après : la commission) a rendu une décision, par laquelle elle a accordé à S._ une aide financière de 15 fr. par jour (soit 60 % de l'indemnité forfaitaire complète).
La prénommée a formé réclamation le 4 septembre 2009. Par décision du 5 octobre 2009, la commission a déclaré la réclamation irrecevable pour cause de tardiveté.
B. S._ a déféré cette dernière décision au Tribunal cantonal fribourgeois, en concluant à son annulation et à l'octroi d'une indemnité forfaitaire complète (25 fr. par jour). A l'appui de son recours, elle exposait notamment qu'en application de l'art. 30 al. 2 du Code de procédure et de juridiction administrative du canton de Fribourg (CPJA; RSF 150.1), les délais étaient suspendus du 15 juillet au 15 août inclusivement, si bien que sa réclamation n'était pas tardive.
Dans une lettre du 27 janvier 2010, le juge délégué à l'instruction a informé l'intéressée que son recours lui paraissait dépourvu de chances de succès et que le tribunal cantonal pourrait donc être amené à le rejeter. Il l'a priée de lui communiquer si elle entendait maintenir son recours ou le retirer. Par écriture du 10 février 2010, S._ a déclaré persister dans ses conclusions. Par lettre du 17 septembre 2010, le juge délégué, faisant référence à un entretien téléphonique avec S._ en date du 13 septembre 2010, a pris note de l'intention de la prénommée de retirer son recours. Il a précisé qu'il en attendait confirmation également par écrit. S._ n'a pas répondu.
Par jugement du 24 septembre 2010, en la forme du prononcé présidentiel, le tribunal cantonal a classé la procédure et rayé la cause du rôle, au motif que celle-ci était devenue sans objet ensuite du retrait du recours. Dans ses considérants, le tribunal cantonal a, subsidiairement, rejeté le recours sur le fond («cela étant, si la recourante avait maintenu son recours, ce dernier aurait été rejeté car manifestement mal fondé»).
C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle requiert l'annulation. Elle conclut au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour qu'il rende un nouveau jugement.
La commission ne s'est pas déterminée. Pour sa part, le tribunal cantonal s'en réfère aux considérants de son jugement, en rappelant qu'il a développé une motivation subsidiaire de rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le mémoire de recours doit contenir les conclusions et les motifs à l'appui de celles-ci (art. 42 al. 1 LTF) sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF). Les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (art. 42 al. 2 LTF). Pour satisfaire à ces exigences, la partie recourante doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi elle estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287).
2. En outre, le Tribunal fédéral ne peut revoir les questions de droit cantonal que sous l'angle restreint de l'arbitraire (sur cette notion : ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9), dans le cadre d'un moyen pris de la violation d'un droit constitutionnel (cf. art. 95 et 96 LTF, a contrario), expressément soulevé et développé conformément aux exigences de motivation accrues prévues à l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287).
3. La recourante reproche au premier juge d'avoir retenu, de manière arbitraire (art. 9 Cst.), qu'elle retirait son recours dirigé contre la décision de la commission du 5 octobre 2009 au sens de l'art. 94 CPJA. Elle fait valoir que le dossier cantonal ne contient aucune pièce susceptible d'établir qu'elle a exprimé sa volonté d'abandonner la procédure et que la seule référence à un entretien téléphonique ne constitue pas une preuve suffisante à cet égard. Elle se plaint, en outre, de la partialité du juge (cf. art. 30 Cst.). A ses yeux, la teneur des lettres des 27 janvier et 17 septembre 2010 montrait que celui-ci était guidé par une opinion préconçue. Enfin, elle estime qu'au regard des arguments circonstanciés qu'elle avait développés dans ses écritures, l'autorité cantonale n'était pas fondée à rendre un jugement selon la forme simplifiée de l'art. 99 CPJA.
4. En l'occurrence, le jugement attaqué comporte deux motivations. Le premier juge a tout d'abord pris acte du retrait du recours. Dans une motivation subsidiaire, il a également rejeté le recours au fond. Il a jugé qu'à teneur du texte de l'art. 30 al. 2 CPJA («Dans les affaires relevant du Tribunal cantonal [...]»), la suspension des délais du 15 juillet au 15 août s'appliquait uniquement aux litiges portés devant le tribunal cantonal en tant qu'autorité de recours et non pas à la procédure de réclamation devant la commission.
5. Selon la jurisprudence, lorsque la décision attaquée comporte plusieurs motivations indépendantes, alternatives ou subsidiaires, toutes suffisantes pour sceller le sort de la cause, le recourant doit, sous peine d'irrecevabilité, indiquer en quoi chacune d'elles est contraire au droit. En effet, s'il arrive à la conclusion que l'autorité précédente a déclaré à tort un recours irrecevable, le Tribunal fédéral peut renoncer à annuler la décision attaquée et examiner les motifs subsidiaires par lesquels l'action ou le recours a été rejeté au fond. L'art. 42 al. 2 LTF impose au recourant de développer, dans l'acte de recours, des griefs à l'encontre de chacune des motivations de la décision attaquée (ATF 133 IV 119 consid. 6.3 p. 121; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 32 ad art. 42 LTF; LAURENT MERZ, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, n° 73 ad art. 42 LTF).
6. Si la recourante discute les considérants où l'autorité cantonale prend acte de sa décision de renoncer à la procédure, elle n'expose en revanche aucune argumentation au sujet de la seconde motivation, qui se rapporte à la question du respect du délai légal de réclamation devant la commission. Au vu de la jurisprudence précitée, il n'y a donc pas lieu d'examiner le grief relatif à la première motivation du jugement attaqué (retrait du recours).
7. Quant au grief portant sur la partialité du juge délégué, il doit être rejeté. En effet, d'après la jurisprudence, l'instruction normale d'un recours comprend également la possibilité de proposer à la personne qui recourt le retrait de son acte lorsque des circonstances le justifient. Ce procédé, qui implique certes une appréciation sur les chances de succès du recours, ne constitue pas une prévention contre celle-ci. Il exprime simplement l'opinion que s'est forgée le juge délégué à l'instruction sur la base du dossier. Ce seul fait ne permet pas de conclure à une quelconque partialité mais relève de l'administration de la justice selon le principe de l'économie de procédure, la recourante restant toujours libre de maintenir son recours (voir les arrêts 2A.346/1997 et 2A.590/1998 respectivement des 6 novembre 1997 et 20 janvier 1999).
8. L'art. 99 CPJA prévoit que l'autorité de recours peut motiver sommairement la décision par laquelle elle rejette un recours manifestement mal fondé ou admet un recours manifestement bien fondé. La recourante ne démontre toutefois pas en quoi le premier juge aurait appliqué arbitrairement cette disposition puisque son recours ne contient aucun développement sur la question (au fond) du délai.
9. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
10. Il est renoncé à la perception d'un émolument judiciaire (art. 66 al. 1, 2ème phrase, LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, IIIe Cour administrative.
Lucerne, le 12 janvier 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung von Zwehl