Sachverhalt:
A. A.a M._ (Beschwerdeführer) arbeitete seit dem 29. Oktober 2007 für die Y._ AG und war im Rahmen dieses Arbeitsverhältnisses bei der X._ AG (Beschwerdegegnerin) über die Krankentaggeldversicherung für Unternehmen gegen Erwerbsausfall versichert. Ende Februar 2008 wurde der Herzschrittmacher des Beschwerdeführers operativ verlegt. Am 7. Mai 2008 erfolgte eine erneute Revision des Herzschrittmachers. Die Beschwerdegegnerin bezahlte in der Zeit vom 21. Februar bis 26. März 2008 und vom 5. Mai bis zum 23. Juni 2008 Taggelder aufgrund einer Arbeitsunfähigkeit von 100 %. Am 16. Juli 2008 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis auf den 15. August 2008.
A.b Aufgrund neuer Beschwerden wurde dem Beschwerdeführer am 22. September 2008 eine Neuversorgung des Herzschrittmachers empfohlen, worauf der Eingriff am 8. Oktober 2008 durchgeführt wurde. Der Beschwerdeführer machte daraufhin Taggelder ab diesem Datum geltend. Die Beschwerdegegnerin verweigerte weitere Zahlungen.
B. Mit Klage vom 26. Januar 2010 beantragte der Beschwerdeführer dem Versicherungsgericht das Kantons Aargau, es sei die Beschwerdegegnerin zur Zahlung von Fr. 38'486.30 zu verurteilen.
Mit Urteil vom 7. Dezember 2010 wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau die Klage ab. Zur Begründung führte es aus, der Beschwerdeführer habe sich nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses nicht bei der Arbeitslosenversicherung gemeldet und habe eine ihm angebotene Festanstellung ausgeschlagen, weshalb ihm der Nachweis für den Verlust von Einkommen oder Ersatzeinkommen in Form entgangener Arbeitslosenentschädigung nicht gelungen sei.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. Februar 2011 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zur Zahlung von Fr. 38'486.30 zu verurteilen, eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
D. Am 11. Oktober 2011 führte das Bundesgericht eine öffentliche Urteilsberatung durch.
Erwägungen:
1. 1.1 Nach Art. 405 Abs. 1 der Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 19. Dezember 2008 (ZPO; SR 272) gilt für die Rechtsmittel das Recht, das bei der Eröffnung des Entscheides in Kraft ist. Für die Bestimmung des Zeitpunkts der Eröffnung ist das Datum des Versands massgebend (BGE 137 III 130 E. 2). Der angefochtene Entscheid wurde am 12. Januar 2011 versendet, womit für die vorliegende Beschwerde die ZPO anwendbar ist.
1.2 Mit dem Inkrafttreten der ZPO ist die den Kantonen gewährte Frist zur Umsetzung des in Art. 75 Abs. 2 BGG vorgesehenen Grundsatzes der "double instance" abgelaufen (Art. 130 Abs. 2 BGG). Ab dem 1. Januar 2011 ist indessen die Beurteilung von Streitigkeiten durch eine einzige kantonale Instanz in Ausnahmefällen immer noch zulässig. Diesem Umstand hat der Gesetzgeber mit dem wie die Eidgenössische Zivilprozessordnung auf den 1. Januar 2011 in Kraft getretenen revidierten Art. 75 Abs. 2 lit. a (sowie Art. 74 Abs. 2 lit. b) BGG Rechnung getragen. Danach muss eine einzige kantonale Instanz nicht mehr von einem Bundesgesetz vorgeschrieben, sondern nur noch vorgesehen sein.
1.3 Die Vorinstanz hat nicht als Rechtsmittelinstanz entschieden, obwohl Art. 75 Abs. 2 BGG dies grundsätzlich vorschreibt. Art. 7 ZPO ermächtigt jedoch die Kantone zur Bezeichnung eines Gerichts, welches als einzige kantonale Instanz für Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung nach dem Bundesgesetz vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) zuständig ist. Streitigkeiten aus solchen Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung können damit weiterhin durch eine einzige kantonale Instanz beurteilt werden, sofern die Kantone eine solche bezeichnen. Von dieser Ermächtigung hat der Kanton Aargau Gebrauch gemacht. Nach § 14 des aargauischen Einführungsgesetzes zur Schweizerischen Zivilprozessordnung vom 23. März 2010 (EG ZPO; 221.200), in Kraft seit 1. Januar 2011, entscheidet das Versicherungsgericht als einzige kantonale Instanz über Streitigkeiten gemäss Art. 7 ZPO. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung galten Taggeldversicherungen nach VVG als Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung gemäss Art. 85 VAG (vgl. BGE 133 III 439 E. 2.2.2.2; Urteile 4A_194/2010 vom 17. November 2010 E. 2.2.1, nicht publ. in: BGE 137 III 47; 4A_592/2009 vom 11. Februar 2010 E. 2). Dafür, dass der Gesetzgeber von einer anderen Begriffsbestimmung ausgegangen wäre, liegen keinerlei Anhaltspunkte vor.
1.4 Die Beschwerde erweist sich somit unabhängig vom Streitwert (Art. 74 Abs. 2 lit. b BGG) als zulässig, weshalb unter dem Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung darauf einzutreten ist (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2. S. 254; 133 III 393 E. 6, 439 E. 3.2).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.; 121 III 397 E. 2a S. 400; 116 II 745 E. 3 S. 749).
2.2 Diese Grundsätze verkennt der Beschwerdeführer, wenn er der Vorinstanz eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör mit der blossen Begründung vorwirft, diese habe bei der Feststellung des Sachverhalts auf ein bestimmtes Gutachten abgestellt und weitere Gutachten nicht berücksichtigt. Darauf kann nicht eingetreten werden.
3. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt in verschiedener Hinsicht willkürlich festgestellt.
3.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 133 II 249 E. 1.2.2). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG). Die beschwerdeführende Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen bzw. die Unterlassung von Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (BGE 133 II 249 E. 1.4.3; 133 III 350 E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteil 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 134 III 570).
Wird Willkür in der Ermittlung des Sachverhalts geltend gemacht, ist zu beachten, dass dem Sachrichter in der Beweiswürdigung ein breiter Ermessensspielraum zusteht; die beschwerdeführende Partei hat daher darzulegen, inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen, erhebliche Beweise übersehen oder willkürlich ausser Acht gelassen habe (vgl. BGE 132 III 209 E. 2.1; 129 I 8 E. 2.1; 120 Ia 31 E. 4b S. 40; 118 Ia 28 E. 1b S. 30). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, namentlich auf bloss appellatorische Vorbringen, ist nicht einzutreten (BGE 133 II 249 E. 1.4.3, 396 E. 3.1 S. 399).
3.2 Diese Grundsätze verkennt der Beschwerdeführer in mehrerer Hinsicht.
3.2.1 Der Beschwerdeführer stellt seinen Rügen zunächst einen Sachverhalt aus seiner Sicht voran. Soweit dieser von den vorinstanzlichen Feststellungen abweicht, ohne dass diesbezüglich eine rechtsgenügliche Sachverhaltsrüge erhoben wird, ist er damit nicht zu hören.
3.2.2 Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz sei zu Unrecht von einer Arbeitsfähigkeit in der Zeit vom 1. September 2008 bis zum 8. Oktober 2008 ausgegangen. Sie habe verkannt, dass dem Beschwerdeführer gerade wegen seiner Arbeitsunfähigkeit gekündigt worden sei. Die dazu angebotenen Beweismittel habe die Vorinstanz nicht abgenommen. Zur Beurteilung der Arbeitsfähigkeit habe die Vorinstanz zudem einzig auf den Arztbericht von Dr. O._ vom 21. Juli 2008 abgestellt und weitere Berichte völlig unberücksichtigt gelassen. Der Arztbericht sei offensichtlich falsch, da Dr. O._ dem Beschwerdeführer eine Arbeitsfähigkeit von 100 % ab dem 21. Juli 2008 attestiert und dabei angegeben habe, dieser arbeite jetzt wieder 100 %. Der Beschwerdeführer sei aber bereits mit Schreiben vom 16. Juli 2008 entlassen und gleichzeitig freigestellt worden.
Die Vorinstanz hat festgestellt, aus den medizinischen Akten ergebe sich nicht, dass der Beschwerdeführer nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses bis zur Operation am 8. Oktober 2008 arbeitsunfähig gewesen wäre. Der Beschwerdeführer habe für diese Zeit auch keine Taggelder beantragt. Dagegen bringt dieser nichts vor. Dass der Beschwerdeführer freigestellt worden wäre, ist dem angefochtenen Entscheid nicht zu entnehmen, und der Beschwerdeführer zeigt nicht mit Aktenhinweis auf, wo er dies prozesskonform behauptet hätte. Auch inwiefern die anderen Gutachten auf eine Arbeitsunfähigkeit schliessen lassen, legt er nicht im Einzelnen dar. Damit genügt er den strengen Begründungsanforderungen an eine Sachverhaltsrüge nicht. Was den Grund für die Kündigung des Arbeitsverhältnisses angeht, führt der Beschwerdeführer selbst aus, sein Arbeitgeber habe die Kündigung in einem Gerichtsverfahren, in dem es um die Missbräuchlichkeit der Kündigung ging, mit den ungenügenden Arbeitsleistungen des Beschwerdeführers begründet. Die blosse Behauptung des Gegenteils genügt nicht, um die Feststellung der Vorinstanz willkürlich erscheinen zu lassen. Soweit der Beschwerdeführer beanstandet, die Vorinstanz hätte die von ihm diesbezüglich offerierten Beweismittel nicht berücksichtigt, zeigt er nicht mit Aktenhinweis auf, wo er sich auf die entsprechenden Beweismittel prozesskonform berufen hat. Auch insoweit ist die Begründung der Beschwerde ungenügend.
3.2.3 Der Beschwerdeführer rügt weiter die vorinstanzliche Feststellung als willkürlich, wonach die medizinische Indikation für einen erneuten Eingriff sich erst anlässlich einer Untersuchung vom 22. September 2008 ergab. Er beschränkt sich dabei indessen auf ein Darlegen seiner eigenen Sichtweise. Dass eine andere Lösung allenfalls auch denkbar gewesen wäre, genügt nicht, um die Beweiswürdigung der Vorinstanz als im Ergebnis unhaltbar auszuweisen, abgesehen davon, dass sich der Beschwerdeführer bei seiner Argumentation auf nicht festgestellte Sachverhaltselemente stützt, ohne die formellen Voraussetzungen für die Berücksichtigung derartiger Tatsachen zu erfüllen. Auch diese Rüge erweist sich als unbegründet, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
3.2.4 Der Beschwerdeführer rügt schliesslich, die Vorinstanz habe willkürlich das Vorliegen eines Erwerbsausfalls ab dem 8. Oktober 2008 verneint. Die ihm gegen Ende August 2008 angebotene Festanstellung habe er nur wegen seiner Erkrankung abgelehnt. Die Vorinstanz habe auch völlig unberücksichtigt gelassen, dass der Beschwerdeführer nach seiner Genesung im Juli 2009 innert eines Monats eine neue Stelle gefunden habe. Dies zeige, dass der Beschwerdeführer ohne Krankheit einer Erwerbstätigkeit nachgegangen wäre. Die Vorinstanz habe zudem willkürlich und in Verletzung von Bundesrecht darauf abgestellt, dass sich der Beschwerdeführer nicht beim Arbeitsamt angemeldet habe. Eine Anmeldung bei der Arbeitslosenversicherung sei schon deshalb nicht erfolgt, weil der Beschwerdeführer aufgrund seiner Krankheit nicht vermittlungsfähig gewesen wäre.
Die Vorinstanz hat verbindlich festgestellt, dass der Beschwerdeführer Ende August 2008 eine Festanstellung ausgeschlagen hat sowie dass er in diesem Zeitpunkt arbeitsfähig war und erst am 22. September 2008 die konkrete medizinische Indikation für eine weitere Operation bestand. Gestützt darauf ist es weder willkürlich noch eine Verletzung von Bundesrecht, wenn die Vorinstanz geprüft hat, ob der Beschwerdeführer allenfalls einen Erwerbsausfall in Form von Arbeitslosenentschädigung nachweisen kann. Der Beschwerdeführer hat sich aber unbestrittenermassen nicht auf dem Arbeitsamt gemeldet. Die Feststellung der Vorinstanz, der Beschwerdeführer wäre auch ohne Krankheit keiner Arbeit nachgegangen und hätte sich nicht um Arbeitslosenentschädigung bemüht, ist jedenfalls nicht offensichtlich unhaltbar. Auch soweit der Beschwerdeführer aus der Tatsache, dass er nach seiner Gesundung binnen kurzer Frist eine Arbeit aufgenommen hat, etwas zu seinen Gunsten ableiten will, bezeichnet er keine Aktenstelle, an der er Entsprechendes vor der Vorinstanz behauptet hätte. Auch diese Rüge ist damit unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
4. Nach dem Gesagten steht verbindlich fest, dass dem Beschwerdeführer der Nachweis eines Erwerbsausfalls nicht gelungen ist. Damit kommt der Frage, ob er am 8. Oktober 2008 einzel- oder kollektivversichert war und inwieweit ein Rückfall vorliegt, keine Bedeutung zu. Die Vorinstanz konnte die Klage ohne Verletzung von Bundesrecht abweisen.
5. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin ist durch ihre eigene Rechtsabteilung vertreten. Da die Beschwerdeantwort nicht mit besonderem Aufwand verbunden war, steht der Beschwerdegegnerin praxisgemäss keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 4 S. 446 mit Hinweis).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Oktober 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Die Gerichtsschreiberin: Schreier