Faits:
A.
A.X._ et B.X._, tous deux de nationalité française, se sont mariés le 11 octobre 1996 en France. Deux enfants sont issus de cette union : C._ (2000) et D._ (2003).
A.a. Le 20 mai 2011, la mère a requis le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale et de mesures superprovisionnelles. Par ordonnance de mesures superprovisionnelles du 23 mai 2011, le Président du Tribunal d'arrondissement (ci-après : le Président) a ordonné au père de quitter le logement familial dans les deux jours en emportant uniquement ses effets personnels et suspendu provisoirement le droit de visite du père sur les enfants, ceux-ci étant sous la garde de fait de leur mère. Le 9 juin 2011, le Président a rejeté la requête de mesures superprovisionnelles déposée par la mère le 1er juin 2011 tendant à ce que le père lui restitue certains objets emportés en quittant le logement familial.
Lors de la première audience de mesures protectrices de l'union conjugale, le 22 juin 2011, les parties ont signé une convention aux termes de laquelle ils sont notamment convenus de la garde des enfants, de la mise en place d'une expertise pédopsychiatrique confiée au Prof. E._, de la jouissance du logement familial, de la contribution d'entretien versée par le père aux siens.
A.b. Le père a déposé le 26 octobre 2011 une requête de mesures protectrices de l'union conjugale relative à l'entretien des siens durant la séparation, au logement de l'épouse et au suivi psychologique des enfants.
A.c. Le 10 novembre 2011, la mère a déposé une nouvelle requête de mesures protectrices de l'union conjugale, concluant à ce qu'il soit ordonné à la banque de prélever sur les avoirs du père le montant de la contribution d'entretien et de le verser sur son compte, à ce que la banque puisse vendre tout titre nécessaire au paiement de dite contribution d'entretien si les liquidités ne suffisent pas, à ce qu'il soit interdit au père de disposer de ses avoirs et à ce que la banque bloque tous les comptes ouverts au nom du père et ne les débloque que pour le paiement des contributions d'entretien. Par ordonnance du 14 novembre 2011, le Président a interdit au père de disposer des avoirs qu'il détient sans le consentement écrit préalable de la mère et ordonné à la banque de bloquer immédiatement les comptes ouverts au nom du père.
Le 22 novembre 2011, le père a conclut au rejet de la requête de mesures protectrices de l'union conjugale du 10 novembre 2011 et sollicité la levée immédiate de l'interdiction et du blocage prononcés par l'ordonnance du 14 novembre 2011, la tenue d'une audience à très bref délai, subsidiairement, à titre de mesures superprovisionnelles, l'octroi d'un droit de visite sur les enfants, et à ce que des mesures urgentes de surveillance soient mises en oeuvre par le Service de protection de la jeunesse (ci-après : SPJ) et d'un pédopsychiatre.
Par cinq ordonnances des 24 novembre 2011, 1er, 9, 16 et 30 décembre 2011, le Président a refusé qu'il soit ordonné à la banque de prélever la somme de 13'000 fr. sur les avoirs du père, que la banque puisse vendre des titres, pris acte de l'engagement du père de verser ponctuellement les pensions futures, ordonné le maintien de l'ordonnance de mesures superprovisionnelles du 14 novembre 2011, et autorisé la banque à débloquer plusieurs sommes pour le paiement de charges incombant au père.
Le Président a entendu les enfants des parties le 14 décembre 2011. Une lettre résumant ces auditions a été envoyée aux parents le 16 décembre 2011.
A l'issue de la deuxième audience de mesures protectrices de l'union conjugale qui s'est tenue le 22 décembre 2011, les époux sont convenus du droit de visite du père et du prélèvement de certains montants.
Le 10 janvier 2012, la mère a déposé des déterminations, concluant au rejet de la requête de mesures protectrices de l'union conjugale du 26 octobre 2011 et, reconventionnellement, l'augmentation de la contribution d'entretien.
Le contrat de travail du père a été résilié par son employeur avec effet immédiat le 11 janvier 2012.
Une troisième audience de mesures protectrices de l'union conjugale s'est tenue le 12 janvier 2012.
Par requête du 17 janvier 2012, le père a conclu, à titre superprovisionnel, à ce que le blocage de ses comptes BCV soit levé avec effet immédiat, et, à titre provisionnel, à ce que la contribution d'entretien des siens soit réduite à dire de justice, à ce qu'il soit autorisé à se rendre au domicile conjugal pour récupérer des effets personnels et à ce que la Dresse G._ lui adresse un relevé détaillé de toutes les consultations de 2008 à 2011 concernant les enfants. La mère s'est opposée à la conclusion superprovisionnelle le 19 janvier 2012. A la suite d'un abondant échange de courriers entre les époux, le Président a, par ordonnances des 7 et 8 février 2012, d'une part, suspendu provisoirement l'exercice du droit de visite du père, et, d'autre part, rejeté la conclusion superprovisionnelle du père, mais a autorisé le déblocage des montants nécessaires au paiement du loyer et des charges du mois de février 2012.
A.d. La mère a déposé une nouvelle requête de mesures protectrices de l'union conjugale le 23 février 2012, complétée par des écritures du 8 mars 2012.
Le psychiatre E._ a rendu son rapport concernant les enfants des parties le 8 mars 2012.
Lors de la quatrième audience de mesures protectrices de l'union conjugale des 12 et 19 mars 2012, les époux ont signé deux conventions partielles au sujet du droit de visite du père, de la mise en place préalable d'un accompagnement thérapeutique de la famille, de l'institution d'une curatelle d'assistance éducative et de surveillance, à charge financière du père; celui-ci pouvant dénoncer l'accord si la question des maltraitances et des abus sexuels évoqués par la mère ne font pas l'objet d'une expertise spécifique; ainsi qu'au sujet de l'inventaire des biens dont le père prendra possession au domicile conjugal, sous la surveillance des stagiaires des conseils des parties. Le Président a ratifié ces deux conventions pour valoir prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale.
Le Président a, par lettre du 21 mars 2012, chargé le Service de protection de la jeunesse de mettre en place la curatelle d'assistance éducative et de surveillance des relations personnelles et de veiller à la mise en place de l'accompagnement thérapeutique de la famille.
Par ordonnance de mesures superprovisionnelles du 23 mars 2012, le Président a fixé le montrant de la contribution d'entretien due par le père aux siens, rejetant les autres conclusions et déclarant l'ordonnance exécutoire et en vigueur jusqu'à l'ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale.
Par lettre du 11 avril 2012, le père a informé le Président que le Prof. H._ était disposé, s'il était mandaté par la justice, à procéder à une expertise portant sur les suspicions d'abus sexuels et de maltraitance de sa part à l'égard des enfants, invoqués par la mère.
Le 21 mai 2012, le père a demandé à ce que le Prof. E._ soit invité à compléter son expertise du 8 mars 2012 sur les comportements qui lui étaient reprochés par la mère à l'égard des enfants.
Le 25 juin 2012, le père a requis du Président qu'il statue dans les meilleurs délais sur les requêtes d'expertise par le Prof. H._ et de complément du Prof. E._, ainsi que sur sa requête d'exécution forcée de la deuxième convention signée lors de la quatrième audience, selon laquelle il est autorisé à prendre possession au domicile conjugal des objets inventoriés, sous la surveillance des stagiaires des conseils des parties.
Le Président a rendu une ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale le 3 août 2012. Sur appel de chacun des époux, la cour cantonale a réformé l'ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale sur la question de l'entretien de la famille. Chaque époux a recouru au Tribunal fédéral contre cette décision par acte du 16 janvier 2013. Les recours sont actuellement pendants devant la Cour de céans (5A_48/2013 et 5A_55/2013).
A.e. Durant la procédure de mesures protectrices devant le Président du Tribunal d'arrondissement, le 9 juillet 2012, le père a déposé une demande de récusation du magistrat avec effet immédiat. Cette requête a été rejetée par le Tribunal d'arrondissement le 7 août 2012 et confirmée sur recours le 18 septembre 2012 par arrêt de la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Un recours en matière civile et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral interjetés par le père le 18 décembre 2012 contre cet arrêt sont actuellement pendants devant la Cour de céans (5A_945/2012), l'instruction de la cause ayant été suspendue par ordonnance du 21 janvier 2013 du Président de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral.
B.
En marge de la procédure d'appel contre l'ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 3 août 2013, le 27 septembre 2012, le père a demandé au Président à ce que suite soit rapidement donnée aux requêtes d'expertises concernant les enfants pour le rétablissement du droit aux relations personnelles et à ce qu'il soit statué sur l'exécution forcée de la dernière convention selon laquelle il peut emporter des objets du domicile conjugal, sous la surveillance des stagiaires des conseils des parties.
Par courrier du 15 octobre 2012, le père a réitéré sa demande auprès du Président et fixé un délai pour ses réquisitions au 30 octobre 2012.
B.a. Le 13 novembre 2012, le père a déposé un recours devant la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud, tendant à ce que soit reconnu le déni de justice, respectivement le retard à statuer, et imparti un délai au Président pour statuer au sujet du complément d'expertise requis du Prof. E._, de l'expertise sollicitée du Prof. H._ sur les maltraitances et les abus sexuels prétendument infligés aux enfants par le père, ainsi que l'exécution forcée de la convention. Le Président s'est déterminé à ce sujet le 26 novembre 2012 et le père a ensuite rendu des observations le 10 décembre 2012.
B.b. La Chambre des recours civile a rejeté le recours du père pour déni de justice le 30 janvier 2013, notifié aux parties le 27 février 2013.
C.
Par acte du 29 mars 2013, le père interjette un recours en matière civile, respectivement un recours constitutionnel subsidiaire, au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à ce que l'arrêt de la Chambre des recours civile du 30 janvier 2013 soit réformé en ce sens qu'il est constaté le déni de justice, respectivement le retard à statuer, partant qu'il est imparti au Président du Tribunal d'arrondissement un délai de 10 jours pour statuer, s'agissant du complément d'expertise du Prof. E._, de l'expertise du Prof. H._ au sujet des prétendues maltraitances et de l'allégation d'abus sexuels, ainsi que de la requête d'exécution forcée du 24 avril 2012.
Des réponses n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1.
La décision litigieuse, qui nie tout retard et refus de statuer du Président du Tribunal d'arrondissement sur des requêtes d'expertise, de complément d'expertise et d'exécution forcée présentées dans le cadre de mesures protectrices de l'union conjugale portant notamment sur le droit aux relations personnelles et la contribution d'entretien, est de nature civile (art. 72 al. 1 LTF) non pécuniaire dans son ensemble, en sorte que le recours est recevable indépendamment de la valeur litigieuse (arrêt 5A_465/2012 du 18 septembre 2012 consid. 1). La voie du recours en matière civile étant en principe ouverte en l'espèce, le recours constitutionnel subsidiaire interjeté parallèlement est d'emblée irrecevable (art. 113 LTF).
Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 LTF) par une partie qui a succombé devant l'autorité précédente et a un intérêt à la modification ou à l'annulation de l'arrêt entrepris (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision rendue sur recours en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 75 al. 1 LTF), le présent recours est également en principe recevable au regard de ces dispositions.
La recevabilité du recours en matière civile suppose en outre que celui-ci soit dirigé contre une décision finale, à savoir une décision qui met fin à la procédure, que ce soit pour un motif tiré du droit matériel ou de la procédure (ATF 134 III 426 consid. 1 p. 428; 133 III 629 consid. 2.2 p. 631), ou contre une décision préjudicielle ou incidente notifiée séparément si elle est susceptible de causer un préjudice irréparable ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 let. a et b LTF; arrêts 5A_371/2012 du 22 août 2012 consid. 2; 5A_870/2011 du 23 février 2012 consid. 1.2). Contrairement à ce que soutient le recourant, son recours ne porte pas sur le refus ou le retard de l'autorité précédente à statuer au sens de l'art. 94 LTF, mais sur une décision rejetant le recours cantonal interjeté pour déni de justice imputable au juge de première instance. Toutefois, il n'est en l'espèce pas nécessaire de distinguer si l'arrêt entrepris est une décision finale ou incidente, dès lors que le recours est de toute manière voué à l'échec ( cf. infra consid. 4).
2.
La décision attaquée s'inscrivant dans le cadre d'une procédure de mesures protectrices de l'union conjugale, à savoir une procédure portant sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5 p. 396), seule peut être dénoncée la violation des droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés conformément au principe d'allégation (art. 106 al. 2 LTF), à savoir s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287).
3.
Le recours a pour objet le prétendu retard, voire refus, de statuer du juge de première instance sur plusieurs questions relevant de l'administration des preuves et de l'exécution forcée d'une convention ratifiée, dans le cadre de mesures protectrices de l'union conjugale.
La cour cantonale a considéré que la question de savoir s'il y a eu un retard injustifié, voire une absence de décision, suppose que le juge est tenu de statuer, à savoir qu'il soit saisi de conclusions. En l'occurrence, l'autorité précédente a relevé que, en faisant abstraction du litige financier divisant encore les parties, le Président du Tribunal d'arrondissement n'avait plus à statuer sur des conclusions, la question des droits de garde et de visite des enfants ayant été réglée par conventions ratifiées les 22 juin 2011 et 19 mars 2012, en sorte que seule demeurait litigieuse en instance de mesures protectrices de l'union conjugale la contribution d'entretien de la famille, selon la requête déposée le 23 février 2012. La cour cantonale a ainsi nié tout déni de justice s'agissant des conclusions relatives aux enfants. Elle a encore précisé que la réserve introduite par le père dans la convention du 19 mars 2012, selon laquelle il pouvait dénoncer l'accord si la question des maltraitances évoquée par la mère ne faisait pas l'objet d'une expertise spécifique, n'avait pas été ratifiée par le juge, la mère n'ayant pas adhéré à cette réserve, et que le père s'était par ailleurs à ce jour abstenu de dénoncer l'accord en prenant des conclusions au sujet du régime du droit de garde et du droit de visite.
La Chambre des recours a de surcroît estimé que, même s'il fallait admettre que l'instance de mesures protectrices de l'union conjugale forme une unité, partant que les conclusions pécuniaires laissent ouvertes également les conclusions sur les droits de garde et aux relations personnelles, le recourant ne pourrait pas se plaindre de ce que le juge n'a pas ordonné une mesure complémentaire requise, en vertu de la maxime inquisitoire, bien que, en ce qui concerne les enfants mineurs le juge doit d'office ordonner les mesures nécessaires, il peut aussi bien s'en abstenir s'il considère une mesure sans intérêt, notamment parce que les allégations à prouver sont insuffisantes. Considérant en définitive que le refus de donner suite à une mesure d'instruction constitue une ordonnance d'instruction au sens de l'art. 319 let. b ch. 2 CPC qui n'est pas sujette à recours à défaut de préjudice irréparable, la cour cantonale a jugé que le refus de donner suite aux requêtes d'expertise et de complément d'expertise n'était pas constitutif d'un déni de justice.
S'agissant de la requête d'exécution forcée portant sur la restitution de certains objets, l'autorité précédente a relevé qu'elle pouvait attendre l'issue des procédures de récusation du Président et d'appel contre l'ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale, que le recourant a lui-même initiées. Les juges cantonaux ont considéré que le recourant ne saurait reprocher au Président de s'être abstenu de poursuivre l'instruction durant la procédure de récusation, sauf à admettre lui-même que cette dernière demande serait abusive.
En définitive, la Chambre des recours civile a rejeté le recours interjeté pour déni de justice.
4.
Le recourant se plaint du retard à statuer du Président du Tribunal d'arrondissement, contestant l'appréciation de la Chambre des recours civile qui a estimé que, au regard de l'art. 29 al. 1 Cst., le magistrat n'avait pas tardé à trancher la question des expertises et de l'exécution forcée de la convention conclue entre les parties et ratifiée.
4.1. L'art. 29 al. 1 Cst. consacre notamment le principe de la célérité ou, en d'autres termes, prohibe le retard injustifié à statuer. L'autorité viole cette garantie constitutionnelle lorsqu'elle ne rend pas la décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire ainsi que toutes les autres circonstances font apparaître comme raisonnable (ATF 131 V 407 consid. 1.1 p. 409; 130 I 312 consid. 5.1 p. 331; 129 V 411 consid. 1.2 p. 416). A cet égard, il y a lieu de se fonder sur des éléments objectifs.
4.2. En l'occurrence, il ressort de l'arrêt entrepris que le Président du Tribunal d'arrondissement a implicitement rejeté, dans son prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 3 août 2012, les requêtes d'expertise et de complément d'expertise présentées par le recourant au mois d'avril et mai 2012, dès lors qu'il a statué sur la base d'un état de fait divergent de celui allégué par la mère, selon lequel le père aurait commis des maltraitances et des abus sexuels à l'encontre de ses enfants, rendant non-pertinente l'administration des preuves requises. Il s'ensuit que le juge de première instance s'est déterminé dans un délai inférieur à 4 mois depuis la première réquisition, délai qui, au vu des circonstances d'espèce, en particulier de la demande de récusation du magistrat déposée par le recourant au mois de juillet 2012, doit être tenu pour raisonnable. A tout le moins, le recourant n'expose pas, ni a fortiori ne démontre, que ce délai serait constitutif d'un retard injustifié. Pour le surplus, il apparaît que le juge de première instance a procédé à une appréciation des faits et preuves qu'il appartenait, cas échéant, au recourant de critiquer sous l'angle de l'arbitraire (art. 9 Cst.) s'il entendait remettre cette appréciation en cause, ce qu'il n'a au demeurant pas fait nonobstant un appel cantonal et un recours au Tribunal fédéral contre les mesures protectrices de l'union conjugale (arrêt 5A_48/2013 et 5A_55/2013 du 19 juillet 2013 consid. 3.1).
Quant à l'exécution de la convention sur la restitution de biens, ratifiée par le Président du Tribunal d'arrondissement pour valoir prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale, cette demande peut faire l'objet d'une requête d'exécution du jugement au sens des art. 335 à 346 CPC et n'est ainsi pas pertinente sous l'angle d'un prétendu déni de justice.
Partant, le grief de déni de justice (art. 29 al. 1 Cst.) est mal fondé.
5.
Vu ce qui précède, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable et le recours en matière civile doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée qui n'a pas été invité à déposer une réponse (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Président du Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne et à la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 19 juillet 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Gauron-Carlin