Faits:
A.
Le 17 juillet 2008, X._ a ouvert action en libération de dette contre Z._ SA devant le Tribunal de district de Sierre; à ses dires, la prétention contestée s'élève à 141'769 fr.75 en capital. La cause est attribuée à la juge de district Florence Troillet.
Celle-ci est membre du Lions Club Sion Valesia.
L'avocat U._ est actionnaire de la défenderesse et président de son conseil d'administration; il est également membre du Lions Club Sion Valais romand. Les deux clubs sont fédérés dans le mouvement Lions Clubs International par l'intermédiaire de l'organisation Multi-District 102 Suisse-Liechtenstein.
Selon la documentation que celle-ci publie ,
Le mouvement Lions suisse est une plate-forme pour des hommes et des femmes enthousiastes, motivés et prêts à s'impliquer sur le plan social. Ceux-ci s'engagent personnellement en prodiguant leur soutien à la société, aux personnes et à l'environnement. Dans le cadre d'un réseau mondial, les membres sont attachés à des valeurs comme la tolérance, l'humanité et la libéralité ( http://www.lionsclubs.ch/fr/102/, consulté le 12 juillet 2013).
Le Lions Clubs International a pour objectifs de susciter et développer un esprit de compréhension entre les peuples du monde; promouvoir les principes de bon gouvernement et de civisme; participer activement au bien-être civique, culturel, social et moral de la communauté; unir les clubs par des liens d'amitié, de bonne camaraderie et de compréhension mutuelle; créer un forum pour la discussion ouverte de tous les sujets d'intérêt public, en excluant ceux de politique partisane et de sectarisme religieux; encourager les hommes animés d'esprit d'entraide à servir la communauté sans rémunération, rechercher l'efficacité et promouvoir une éthique morale élevée dans les affaires, les professions indépendantes, les services publics ainsi que dans la vie privée ( http://www.lionsclubs.ch/fr/102/ueberlions/index.php, consulté le même jour).
B.
Le 27 août 2012, le demandeur a réclamé la récusation de la juge Troillet en raison de l'affiliation commune de ce magistrat et de Me U._ au Lions Club.
Le Président du Tribunal cantonal a désigné l'un des juges du Tribunal de district de Sion pour se prononcer sur la récusation.
Le juge ainsi désigné a rejeté la demande de récusation le 15 octobre 2012.
Le demandeur ayant attaqué cette décision devant le Tribunal cantonal, le Vice-président a statué le 4 février 2013; il a rejeté le recours.
C.
Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral d'annuler le jugement du Tribunal cantonal et d'ordonner la récusation de la juge Troillet.
La défenderesse conclut au rejet du recours.
La juge Troillet propose également le rejet du recours.
Considérant en droit:
1.
Le jugement du Tribunal cantonal est une décision incidente relative à une demande de récusation; il peut être attaqué indépendamment de la décision finale en vertu de l'art. 92 al. 1 LTF. Pour le surplus, les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont satisfaites, notamment à raison de la valeur litigieuse.
2.
Le code de procédure civile unifié (CPC) est entré en vigueur le 1er janvier 2011 alors que la cause était déjà pendante devant le Tribunal de district. Par l'effet de l'art. 404 al. 1 CPC, l'instance est soumise au droit cantonal antérieur et elle le demeurera jusqu'au dessaisissement définitif du tribunal compétent (arrêt 4A_641/2011 du 27 janvier 2012, consid. 2.2). En particulier, la récusation de la juge Troillet est au premier chef régie par le droit cantonal, à l'exclusion des art. 47 et ss CPC.
La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par l'art. 6 par. 1 CEDH, à l'instar de la protection conférée par l'art. 30 al. 1 Cst., permet au plaideur de s'opposer à une application arbitraire des règles cantonales sur l'organisation et la composition des tribunaux, y compris les prescriptions relatives à la récusation des juges. Elle permet aussi, indépendamment du droit cantonal, d'exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement est de nature à faire naître un doute sur son impartialité; elle tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du juge est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (ATF 116 Ia 135 consid. 2; voir aussi ATF 138 I 1 consid. 2.2 p. 3; 137 I 227 consid. 2.1 p. 229; 136 I 207 consid. 3.1 p. 210). Le Tribunal fédéral contrôle librement le respect de la garantie d'indépendance et d'impartialité conférée directement par les dispositions précitées (ATF 134 I 184 consid. 1.4 p. 188/189; 131 I 1 consid. 5.2 p. 3).
Le demandeur déclare renoncer à se plaindre d'une application éventuellement arbitraire du droit cantonal; il se prévaut exclusivement de la protection directement conférée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH.
3.
L'impartialité de la juge Troillet est mise en doute en raison de son appartenance au Lions Club avec l'un des actionnaires et administrateurs de la défenderesse. Au regard de cette situation, le demandeur se prétend fondé à redouter l'existence de liens d'amitié, de dépendance ou d'allégeance entre l'administrateur et le magistrat, susceptibles d'influencer indûment celui-ci dans le jugement de la contestation. Il affirme que le Lions Club, sous le voile des buts philanthropiques et altruistes qu'il revendique, est avant tout un réseau de relations élitistes et occultes.
Il n'est guère douteux que l'appartenance au Lions Club exerce une influence dans la vie sociale des membres. Les relations jouent notoirement un rôle important, en général, dans le fonctionnement des organisations à but caritatif ou culturel. La collaboration nécessaire aux activités communes contribue aussi à créer des liens de collégialité. On ne saurait toutefois présumer l'existence, entre les membres, de liens d'amitié particulièrement intenses, ni de liens occultes sous le couvert des activités officielles de l'organisation. Le demandeur n'avance d'ailleurs aucun fait concret qui puisse corroborer ses soupçons. Or, à eux seuls, les liens ou affinités existant entre un juge et d'autres personnes exerçant la même profession, ou affiliées au même parti politique ou membres du même cercle, ou actives dans la même institution publique ou privée, impliquées dans la cause, ne suffisent pas à justifier la suspicion de partialité. En effet, la personne élue ou nommée à une fonction judiciaire est censée capable de prendre le recul nécessaire par rapport à de tels liens ou affinités, et de se prononcer objectivement sur le litige qui divise les parties. L'appartenance commune de la juge Troillet et de l'administrateur U._ au Lions Club ne créée donc pas une situation suffisamment singulière pour constituer un motif pertinent de récusation.
4.
Le demandeur critique l'organisation judiciaire cantonale; il tient pour inadmissible, au regard de la protection constitutionnelle invoquée, qu'un juge de district puisse être désigné afin de se prononcer sur la récusation d'un autre juge de district. Il fait état des liens de collégialité et de camaraderie que l'on peut supposer entre deux magistrats de même rang, en l'occurrence l'un et l'autre en fonction dans le deuxième arrondissement pour les districts du Valais central.
Ce moyen est inconsistant car les juges sont présumés aptes à se prononcer de manière impartiale sur la récusation d'un autre juge, également lorsque celui-ci appartient au même collège ou exerce ses fonctions dans le même ressort; c'est pourquoi il est classique qu'un tribunal soit légalement désigné pour statuer sur la récusation de l'un de ses membres (voir notamment les art. 37 al. 1 LTF ou 50 al. 1 CPC).
Au demeurant, dans le cours d'un procès civil, une éventuelle procédure de récusation n'est pas soumise aux art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH. Ces dispositions garantissent seulement - mais là se trouve l'essentiel - que la contestation civile soit en définitive instruite et tranchée par un juge indépendant et impartial. Or, on a vu ci-dessus qu'il n'y a pas lieu de mettre en doute l'impartialité de la juge Troillet.
5.
Le recours se révèle privé de fondement, ce qui conduit à son rejet. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre à raison d'une réponse au recours fort peu développée.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Le demandeur acquittera un émolument judiciaire de 2'000 francs.
3.
Le demandeur versera une indemnité de 1'000 fr. à la défenderesse, à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 17 juillet 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
Le greffier: Thélin