Sachverhalt:
A. A.a Im Rahmen eines Eheschutzverfahrens genehmigte das Kreisgericht Gaster-See am 24. August 2004 eine Vereinbarung, mit welcher sich Y._ verpflichtete, einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'000.-- an seine Ehefrau X._ zu bezahlen. Die Vereinbarung enthielt folgende Präzisierung: "Diese Vereinbarung gilt für solange, als die eheliche Liegenschaft nicht verkauft oder vermietet worden ist. Sobald die Liegenschaft verkauft bzw. vermietet worden ist, ist die Unterhaltsregelung anzupassen."
A.b Im zwischenzeitlich eingeleiteten Ehescheidungsverfahren fand am 14. Januar 2009 vor dem Amtsgericht Solothurn-Lebern die Hauptverhandlung statt. Zu Beginn dieser Verhandlung stellte Y._ den Antrag, der Unterhaltsbeitrag gemäss Eheschutzurteil vom 24. August 2004 sei aufzuheben, weil die eheliche Liegenschaft verkauft worden sei. Das Amtsgericht gab diesem Begehren gegen den Willen von X._ statt. Gleichentags schied das Amtsgericht die Ehe der Parteien und regelte die Nebenfolgen. Gegen dieses Urteil wurde appelliert. Die von X._ gegen den Beschluss betreffend die Aufhebung des Unterhaltsbeitrags erhobene Nichtigkeitsbeschwerde hiess das Obergericht am 26. März 2009 zufolge mangelnder sachlicher Zuständigkeit des Amtsgerichts gut und hob den fraglichen Beschluss auf.
A.c Am 9. April 2009 stellte Y._ im Appellationsverfahren wiederum den Antrag, die Verpflichtung zur Bezahlung der monatlichen Unterhaltsbeiträge von Fr. 1'000.-- sei aufzuheben. Die Präsidentin der in der Hauptsache zuständigen Zivilkammer des Obergerichts hob die Verpflichtung rückwirkend ab 9. April 2009 für die Dauer des obergerichtlichen Verfahrens auf.
B. Die von X._ beim Obergericht des Kantons Solothurn dagegen geführte Nichtigkeitsbeschwerde blieb erfolglos (Urteil vom 11. September 2009).
C. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 16. Oktober 2009 gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht und beantragt, den angefochtenen Beschluss abzuweisen (gemeint ist wohl 'aufzuheben') und Y._ (nachfolgend Beschwerdegegner) zu verpflichten, ihr einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'000.-- zu bezahlen.
Am 30. Oktober 2009 hat die Präsidentin der urteilenden Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
In der Hauptsache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG; BGE 134 III 426 E. 2.2 S. 431), mit welchem eine gegen die Aufhebung einer Unterhaltsverpflichtung während des Ehescheidungsverfahrens gerichtete Beschwerde abgewiesen worden ist. Mithin handelt es sich um eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 ZGB) vermögensrechtlicher Art. Vorinstanz und Beschwerdeführerin sind der Auffassung, der Streitwert erreiche Fr. 30'000.-- nicht, weshalb die subsidiäre Verfassungsbeschwerde das zutreffende Rechtsmittel sei.
Diese Frage kann trotz der grundsätzlichen Kapitalisierungspflicht von für unbestimmte Dauer geschuldeten (oder nicht geschuldeten) Unterhaltsbeiträgen (Art. 51 Abs. 1 und 4 BGG) letztlich offenbleiben, zumal eine vorsorgliche Massnahme während des Ehescheidungsverfahrens (Art. 137 ff. ZGB) zur Diskussion steht, gegen welche nur Verfassungsrügen vorgetragen werden können (Art. 98 BGG) und damit die Rechtslage mit derjenigen der Beschwerde in Zivilsachen vergleichbar ist (BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588; s. auch Urteil 5A_332/2009 vom 31. Juli 2009 E. 1).
Auf die im Übrigen fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) von der im vorinstanzlichen Verfahren unterlegenen Partei (Art. 76 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2. Die Beschwerdeführerin rügt die Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) und des Gleichbehandlungsgrundsatzes (Art. 8 BV), indem sie im Gegensatz zum Beschwerdegegner nur eine Frist von 10 Tagen zur Beantwortung des Gesuchs zur Verfügung hatte.
Die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs ist der formellen Natur des geltend gemachten Anspruchs wegen vorab zu behandeln: Art. 29 Abs. 2 BV gewährleistet dem Betroffenen das Recht, von den Akten Kenntnis zu nehmen (BGE 126 I 7 E. 2b S. 10), sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zu äussern, erhebliche Beweise vorzulegen, und das Recht, mit seinen Beweisofferten zu erheblichen Tatsachen zugelassen zu werden, der Beweisabnahme beizuwohnen oder mindestens sich zum Beweisergebnis zu äussern (BGE 127 III 576 E. 2c S. 578; 129 II 497 E. 2.2; 132 II 485 E. 3.2 S. 494). Das Recht auf Anhörung bezieht sich dabei in erster Linie auf Tatsachen; nur ausnahmsweise auf Rechtsfragen (BGE 130 III 35 E. 5).
Die Beschwerdeführerin behauptet nicht etwa, sie habe keine Möglichkeit gehabt, zum Gesuch des Beschwerdegegners Stellung zu nehmen; sie behauptet auch nicht, das Obergericht habe zu Unrecht keine Fristerstreckung gewährt oder eine verpasste Frist zu Unrecht nicht wieder eingesetzt. Dass sie für ihre Vernehmlassung nur zehn Tage zur Verfügung gehabt haben soll, vermag für sich alleine weder eine Verletzung des rechtlichen Gehörs noch eine verbotene Ungleichbehandlung im Sinne von Art. 8 BV zu begründen. Angesichts der Tatsache, dass das Gesuch um Aufhebung der Unterhaltsleistungen nicht neu, sondern inhaltlich eine Wiederholung des drei Monate zuvor anlässlich der Hauptverhandlung im Ehescheidungsverfahren gestellten ist, die Beschwerdeführerin sich mithin mit der Fragestellung auseinandersetzen musste bzw. genügend Grund und Zeit gehabt hätte, sich damit auseinanderzusetzen, haftet dieser Rüge der Anschein des Trölerischen an. Zudem beruht die Ansetzung von prozessualen Fristen auf kantonalem Recht; die Beschwerdeführerin nennt jedoch keine Norm des kantonalen Prozessrechts, die willkürlich angewendet worden wäre. Schliesslich ergibt sich aus dem angefochtenen Entscheid nicht - und behauptet die Beschwerdeführerin selber nicht -, dass sie diese Rüge erhoben hätte: Damit erweist sich diese als neu und gestützt auf Art. 99 Abs. 1 BGG als unzulässig.
3. Sodann rügt die Beschwerdeführerin, die Ansicht der Vorinstanz, wonach die Beschwerdeführerin Gründe vorbringen müsse, um eine Aufhebung der Unterhaltspflicht abzuwenden, verstosse gegen das Willkürverbot (Art. 9 BV). Im Grunde macht sie eine verfassungswidrige Verteilung der Beweis- bzw. Substanziierungslast (Art. 8 ZGB) geltend.
3.1 Für die Geltendmachung der Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts gilt das Rügeprinzip. Danach muss die Beschwerdeschrift die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398). Die Beschwerdeführerin muss anhand der Subsumtion im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht verfassungswidrig entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten Mangel leidet (BGE 134 II 244 S. 2.2 S. 246). Dies erfordert eine Nennung der angeblich verletzten Norm, einen Beschrieb des Inhalts der angeblich verletzten Norm bzw. der daraus fliessenden Ansprüche. Sodann ist aufzuzeigen, weshalb im konkreten Fall dieses Recht bzw. der Anspruch verletzt worden sein soll. Weiter ist zu beschreiben, inwiefern eine richtige Anwendung der Verfassungsbestimmung zu einem anderen Ergebnis geführt hätte. Schliesslich muss die Beschwerdeführerin erklären, inwiefern der angefochtene Entscheid auch im Ergebnis unhaltbar ist.
3.2 Die Beschwerdeführerin kommt ihrer Rügepflicht nicht nach. Namentlich zeigt sie nicht auf, welches das Ergebnis hätte sein müssen, wenn das Obergericht die angerufene Verfassungsbestimmung nach ihren Vorstellungen angewandt hätte. Auf diese Verfassungsrüge kann nicht eingetreten werden.
Im Übrigen trifft dieser Vorwurf ohnehin nicht zu. Das Obergericht erwog, die Beschwerdeführerin habe den Behauptungen des Beschwerdegegners, wonach der Unterhaltsbeitrag wegen der Finanzierung der Unterhaltskosten der ehelichen Liegenschaft vereinbart und letztere zwischenzeitlich veräussert worden sei, weshalb gemäss Vereinbarung vom 24. August 2004 (s. A.a hiervor) die Grundlage für die monatlichen Unterhaltsbeiträge weggefallen sei, nichts Substanzielles entgegengesetzt. Unter den gegebenen Umständen habe es an ihr gelegen, die Behauptungen des Beschwerdegegners zu entkräften oder ihrerseits Argumente für die Weiterdauer der Unterhaltspflicht beizubringen, was sie nicht getan habe. Diese Erwägungen sind in sich schlüssig und nicht zu beanstanden; von einer verfassungswidrigen Verteilung der Beweis- bzw. Substanziierungslast kann keine Rede sein.
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann, und die unterliegende Beschwerdeführerin wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung zu Gunsten des Beschwerdegegners ist nur für das Verfahren um Gewährung der aufschiebenden Wirkung geschuldet (Art. 68 Abs. 1 BGG); in der Hauptsache ist diesem kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung von Fr. 500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. November 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett