Faits:
A. X._ a vécu en ménage commun avec Z._, laquelle gérait leurs affaires financières. Il lui a confié la carte et aussi, semble-t-il, le code personnel permettant d'opérer des prélèvements sur son compte ouvert auprès de la Banque cantonale B._. Elle s'occupait de prélever elle-même puis de lui remettre l'argent nécessaire à ses besoins personnels, et elle acquittait de la même manière les charges du ménage. Par ailleurs, elle recevait et ouvrait la totalité de son courrier.
A l'insu de X._ mais en son nom, au moyen d'une signature contrefaite, Z._ a sollicité et obtenu un prêt de la Banque cantonale A._ au montant de 15'000 francs. Cette somme a été versée le 5 novembre 2007 sur le compte déjà ouvert auprès de la Banque cantonale B._.
B. Afin d'obtenir le remboursement du prêt, la Banque cantonale A._ a entrepris une poursuite contre X._. Par l'office des poursuites compétent, elle a fait établir un commandement de payer au montant de 14'342 fr.30 avec intérêts au taux de 8,9% par an dès le 28 mai 2009, dans la poursuite n° .... Z._ a retiré ce commandement de payer le 19 juin 2008 et nul n'a pas fait opposition.
Toujours à l'insu de son compagnon, et en usant d'un nouvel artifice, Z._ a obtenu de la Banque cantonale A._ qu'elle acceptât un remboursement du prêt par mensualités de 300 francs.
Selon ses dires, X._ a appris l'existence du prêt à la fin de 2008 ou au début de 2009. Il a averti la banque qu'il n'avait pas signé le contrat et qu'il ignorait l'affectation de la somme prêtée. Le 9 février 2009, il a déposé plainte pénale contre Z._, laquelle avait récemment quitté la Suisse.
Le 8 février 2010, X._ a reçu un avis de saisie pour une dette au montant de 11'986 fr.80 dans la poursuite n° ....
C. Le 25 mars 2010, X._ a ouvert action contre la Banque cantonale A._ devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Le tribunal était requis de prononcer que la défenderesse n'avait aucune créance contre le demandeur par suite du contrat de prêt daté du 5 octobre 2007; le tribunal était également requis d'annuler la poursuite.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action.
Le tribunal s'est prononcé le 10 novembre 2011; accueillant l'action, il a constaté que la défenderesse n'a aucune prétention contre le demandeur en relation avec le prêt et il a annulé la poursuite.
La Cour de justice a statué le 13 avril 2012 sur l'appel de la défenderesse; elle a annulé le jugement, constaté que la créance élevée dans la poursuite n° ... est fondée, et déclaré que cette poursuite ira sa voie.
D. Agissant principalement par la voie du recours en matière civile et subsidiairement par celle du recours constitutionnel, le demandeur saisit le Tribunal fédéral de conclusions semblables à celles déjà prises devant le Tribunal de première instance puis la Cour de justice.
La défenderesse conclut principalement à l'irrecevabilité des deux recours et subsidiairement à leur rejet.
Le demandeur a présenté une demande d'assistance judiciaire qu'il a ensuite retirée.
Considérant en droit:
1. L'action entreprise par le demandeur est celle prévue par l'art. 85a al. 1 LP, accordant au débiteur poursuivi le droit d'agir en tout temps au for de la poursuite pour faire constater que la dette n'existe pas ou plus, ou qu'un sursis a été consenti.
2. Dans les affaires pécuniaires civiles, le recours ordinaire au Tribunal fédéral n'est recevable que si la valeur litigieuse s'élève, en règle générale, à 30'000 fr. au moins (art. 74 al. 1 let. b LTF); il est recevable sans égard à la valeur litigieuse lorsque la contestation soulève une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF). En l'espèce, la valeur litigieuse minimum n'est pas atteinte.
Selon la jurisprudence, il y a question juridique de principe lorsque dans l'intérêt général, en particulier dans l'intérêt de la sécurité juridique, une question controversée doit être résolue par la juridiction suprême afin de parvenir à une interprétation et à une application uniforme du droit fédéral (ATF 137 III 580 consid. 1.1 p. 582/583; 135 III 1 consid. 1.3 p. 4; 135 III 397 consid. 1.2 p. 399).
La Cour de justice retient qu'il n'existe pas de relation contractuelle entre les parties, que le demandeur s'est trouvé enrichi sans cause valable par le versement du prêt et qu'il est tenu de le restituer en vertu de l'art. 62 CO. Selon la Cour, le demandeur n'est pas parvenu à établir qu'il n'était plus enrichi au moment de la demande de restitution, et elle rejette donc l'objection que celui-ci prétend fonder sur l'art. 64 CO.
Contrairement à l'opinion soumise au Tribunal fédéral, l'application de cette disposition au cas de l'enrichi ayant donné à un tiers le pouvoir de disposer de ses biens ne soulève aucune question controversée dont la solution soit impérieusement nécessaire. L'incidence d'une éventuelle faute du lésé, dans les circonstances qui ont conduit à l'enrichissement sans cause, ne soulève non plus aucune question de ce genre. Il s'ensuit que le recours en matière civile est irrecevable.
3. Le recours constitutionnel est dirigé contre un jugement final rendu en dernière instance cantonale (art. 90 et 117 LTF). Ce jugement n'est pas susceptible d'un autre recours au Tribunal fédéral (art. 113 LTF). Le demandeur a pris part à l'instance précédente et succombé dans des conclusions concernant son patrimoine personnel (art. 115 LTF). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), ce recours est en principe recevable.
Le recours constitutionnel ne peut être exercé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 et 117 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 III 439 consid. 3.2 p. 444). Il doit statuer sur la base des faits constatés dans la décision attaquée; il ne peut rectifier ou compléter que les constatations de fait auxquelles l'autorité précédente est parvenue en violation des droits constitutionnels, pour autant que la partie recourante mette en évidence, de façon également détaillée, les constatations ainsi viciées (art. 118 LTF; ATF 133 III 439 ibidem; voir aussi ATF 136 II 489 consid. 2.8 p. 494; 133 III 393 consid. 7.1 p. 398).
4. Le demandeur invoque la protection contre l'arbitraire conférée par l'art. 9 Cst.
Une décision est arbitraire, donc contraire à cette disposition constitutionnelle, lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4/5).
En matière d'appréciation des preuves et de constatation des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle parvient à des constatations insoutenables (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 129 I 8 consid. 2.1).
5. Aux termes de l'art. 64 CO, il n'y a pas lieu à restitution dans la mesure où celui qui a reçu indûment établit qu'il n'est plus enrichi lors de la répétition, à moins qu'il ne se soit dessaisi de mauvaise foi de ce qu'il a reçu, ou qu'il n'ait dû savoir, en se dessaisissant, qu'il pouvait être tenu à restituer.
Selon la jurisprudence, l'enrichi de bonne foi n'est tenu à restituer que dans la mesure de l'enrichissement qui subsiste lors de la répétition de l'indu; il ne doit pas être placé dans une situation inférieure à celle qui serait la sienne si le versement indu ne s'était pas produit. Est enrichi non seulement celui qui est encore en possession du montant reçu à tort, et éventuellement de ses intérêts, mais aussi celui qui a, par exemple, utilisé cette somme pour payer des dettes ou son entretien. En revanche, n'est plus enrichi celui qui, par libéralité, a fait don à un tiers du montant reçu sans droit, ou qui l'a consacré à des dépenses non nécessaires ou à des avantages non durables, tels que des voyages d'agrément ou d'autres loisirs, c'est-à-dire, d'une manière générale, à des valeurs extra-patrimoniales (arrêt 4C.264/1993 du 23 décembre 1993, consid. 5a, SJ 1994 p. 269; ATF 102 V 91 consid. III/2 p. 99). Autrement dit, celui qui a reçu un paiement indu n'est plus enrichi, au moment de la répétition, dans la mesure où il a fait entre-temps des dépenses dont il se serait abstenu s'il n'avait pas eu la somme concernée à sa disposition (Gilles Petitpierre, in Commentaire romand, 1re éd., n° 19 ad art. 64 CO; voir aussi Benoît Chappuis, même ouvrage, 2e éd., nos 26 à 28 ad art. 64 CO).
Selon la décision attaquée, le demandeur n'a pas produit les relevés de son compte bancaire et il n'a donc pas établi qu'il n'était plus enrichi lors de la répétition. A l'appui du recours constitutionnel, ce plaideur affirme que les relevés de compte n'auraient de toute manière apporté aucune information sur l'emploi de la somme versée à titre de prêt, et que la disparition de tout enrichissement résulte par ailleurs de saisies qui ont été opérées contre lui. Le demandeur admet donc, avec cette argumentation, qu'il n'a pas prouvé l'affection de la somme en cause à des libéralités ou à des dépenses voluptuaires que lui-même ou sa compagne n'auraient pas faites si la défenderesse ne leur avait rien versé au début de novembre 2007. Au regard de la jurisprudence précitée, cela suffit à entraîner le rejet du moyen de défense tiré de l'art. 64 CO. La Cour de justice aurait pu se dispenser de discuter la bonne ou mauvaise foi du demandeur et il n'y a donc pas lieu de s'arrêter aux critiques que celui-ci développe contre ces considérations adventices de l'autorité précédente.
La demandeur a délibérément mis sa compagne en mesure d'intercepter tous les envois qui lui étaient destinés et d'accéder sans restriction à son avoir en banque; par la suite, il s'est durablement abstenu d'exercer aucun contrôle sur l'usage des pouvoirs ainsi conférés. La décision attaquée le contraint à assumer les conséquences d'un abus de ces pouvoirs; quoiqu'il s'en plaigne amèrement, cela ne présente rien de contraire au sentiment de la justice et de l'équité. La décision attaquée échappe au grief d'arbitraire, ce qui conduit au rejet du recours constitutionnel.
6. A titre de partie qui succombe, le demandeur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours en matière civile est irrecevable.
2. Le recours constitutionnel est rejeté.
3. Le demandeur acquittera un émolument judiciaire de 1'000 francs.
4. Le demandeur versera une indemnité de 1'500 fr. à la défenderesse, à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 12 novembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Klett
Le greffier: Thélin