Faits:
A. D.X._, née en 1930, était assurée auprès de W._ SA (ci-après: W._), dès le 1er janvier 1997, pour les risques de décès ou d'invalidité par accident; selon la police d'assurance (ci-après: police n° 1), le capital-décès était de 5'000 fr. et le capital-invalidité était de 100'000 fr. avec une progression de 225 % (progressivité A).
Le 26 mai 1999, l'assurée a été grièvement blessée à la tête à la suite d'une chute de vélo provoquée par l'ouverture intempestive d'une porte de voiture. Le lendemain de l'accident, elle a subi une opération afin d'évacuer un hématome temporal gauche. Elle présentait en outre une contusion temporale droite, un hématome orbitaire supérieur gauche ainsi qu'une fracture temporale gauche. Lorsqu'elle a quitté l'hôpital le 23 juin 1999, D.X._ présentait une nette aphasie motrice avec un léger bradypsychisme.
Le 21 septembre 1999, W._ a accusé réception de la déclaration d'accident. Par courriers des 18 janvier 2000 et 19 juillet 2000, l'assureur a informé l'assurée qu'il ne lui était pas encore possible de déterminer le taux d'invalidité lié à l'accident du 26 mai 1999.
Le 12 octobre 2000, W._ a fait parvenir à D.X._ une nouvelle police d'assurance (ci-après: police n° 2), destinée à remplacer la précédente à partir du 1er janvier 2001; en effet, comme l'assurée atteignait l'âge de 70 ans en l'an 2000, les conditions générales d'assurance prévoyaient dès l'année suivante un capital-décès de 20'000 fr. et un capital-invalidité de 40'000 fr. avec une progression de 225 %.
Dans une lettre du 20 novembre 2000 adressée à W._, le Dr R._ a exposé que, à la suite de l'accident du 26 mai 1999, sa patiente, D.X._, avait subi des lésions graves et définitives à la tête, accompagnées de troubles psychiques, et développé par ailleurs un Parkinson post-traumatique; selon l'avis du médecin traitant, l'accident en cause était le seul responsable du dommage permanent et durable dont l'assurée souffrait, sans espoir de récupération.
Le 7 décembre 2000, W._ a indiqué à A.X._, époux de D.X._, qu'une expertise serait mise en oeuvre au début 2001 par l'assureur responsabilité civile de l'automobiliste et que l'assurée était invitée à patienter, dans la mesure où un tel rapport était utile pour déterminer son taux d'«invalidité restante» à la suite de l'accident.
Par courrier du 18 octobre 2001, W._ a informé A.X._ que l'expertise n'avait pas encore eu lieu de sorte qu'il n'était toujours pas possible de déterminer «le degré de l'invalidité restante»; elle maintenait son intérêt à participer à l'expertise et avisait le mari de l'assurée qu'elle le tiendrait au courant du suivi de l'affaire.
Les démarches en vue de mettre en place une expertise se sont poursuivies tout au long de 2002.
Victime d'une chute le 23 mars 2003, D.X._ est tombée dans le coma; elle est décédée le 1er avril 2003. Ses héritiers sont son époux ainsi que ses fils, B.X._ et C.X._. Les parties s'accordent pour dire que le décès est une conséquence de l'accident du 26 mai 1999.
Par lettre du 16 octobre 2003 adressée à A.X._, W._ a reconnu, après examen du dossier médical, que l'assurée avait développé, à la suite de l'accident du 26 mai 1999, un Parkinson post-traumatique qui avait entraîné une impotence gravissime; comme le décès était secondaire audit accident, l'assureur allouait un montant de 5'000 fr. à titre de capital-décès.
Représenté pour la première fois par un avocat, A.X._ a répondu, par lettre du 30 octobre 2003, que son épouse était invalide à 100 % avant son décès; il invitait dès lors W._, conformément à la police n° 2, à verser le capital-invalidité de 40'000 fr. en sus du capital-décès, qui s'élevait à 20'000 fr.
Le 19 mars 2004, W._ a accepté, à titre exceptionnel et sans préjudice pour l'avenir, la proposition de verser la somme de 60'000 fr. pour les suites de l'accident du 26 mai 1999.
Le 25 mars 2004, l'avocat de A.X._ et de ses fils a rappelé que le capital-invalidité était certes de 40'000 fr. selon la police n° 2, mais avec une progression de 225 % au maximum, ce qui représentait un montant de 90'000 fr. pour une invalidité à 100 %.
Par courrier du 12 mai 2004, W._ a invoqué la prescription à l'égard des prétentions liées au capital-invalidité dépassant le montant de 40'000 fr. qu'elle acceptait de payer à ce titre; elle faisait valoir que l'invalidité totale et définitive de l'assurée était survenue en décembre 2000 de sorte que le délai de deux ans prévu à l'art. 46 al. 1 LCA était largement dépassé. En outre, l'assureur confirmait que le capital-décès s'élevait à 20'000 fr. et que le versement de ce montant n'était pas remis en cause.
Par lettre du 8 juillet 2004, le conseil des héritiers de l'assurée a contesté la prescription des prétentions liées au capital-invalidité. Par ailleurs, il réclamait désormais un montant de 225'000 fr. à ce titre, soit un capital de 100'000 fr. majoré de 225 %; il considérait en effet que la police n° 1 s'appliquait au capital-invalidité dès lors que l'accident était antérieur à la modification des sommes d'assurance à partir de 2001. En revanche, le capital-décès était bien de 20'000 fr., conformément à la police n° 2, puisque la chute à l'origine du décès avait eu lieu le 23 mars 2003.
W._ a payé le montant de 60'000 fr. aux ayants droit en date du 23 septembre 2004. Elle a maintenu que l'indemnité d'invalidité était prescrite pour le surplus.
Les 8 juin 2004, 16 décembre 2004 et 22 avril 2005, les héritiers de l'assurée ont fait notifier à W._ des commandements de payer pour des montants respectifs de 110'000 fr. et 400'000 fr., avec intérêts à 5 % dès le 25 mars 2004. W._ a formé opposition.
B. Par demande du 23 décembre 2005, A.X._, B.X._ et C.X._ ont ouvert action contre W._ en paiement de 185'000 fr. avec intérêts à 5 % dès le 26 mai 1999. Ce montant représente le capital pour une invalidité à 100 % selon la police n° 1, soit 225'000 fr. (100'000 fr. avec une progression de 225 %), moins le montant de 40'000 fr. déjà versé par W._ au titre du capital-invalidité.
Par arrêt incident du 28 mars 2006, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a rejeté l'exception d'incompétence à raison de la matière soulevée par la défenderesse.
W._ a invoqué ensuite la prescription des prétentions faisant l'objet de la demande. Par arrêt incident du 13 mars 2007, le tribunal a rejeté l'exception de prescription. Le 3 août 2007, le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours en matière civile formé par W._ contre cette décision incidente (cause 4A_200/2007).
Le Tribunal cantonal des assurances sociales a ordonné la comparution des mandataires pour le 2 octobre 2007. A cette occasion, le représentant de W._ a déclaré qu'en admettant que les prétentions des demandeurs ne soient pas prescrites, l'assureur serait tenu de verser les prestations découlant de la police n° 1, en vigueur au jour de l'accident, à savoir un capital-décès de 5'000 fr. et un capital-invalidité de 100'000 fr. avec progression à 225 %, sous déduction des montants déjà versés.
Par arrêt du 16 octobre 2007, le tribunal a «invit[é] W._ à verser aux demandeurs les prestations dues en application de la police d'assurance en vigueur en mai 1999, à savoir un capital-décès de 5'000 fr. et un capital-invalidité de 100'000 fr. avec progression à 225 % sous déduction des sommes déjà versées» et l'y a «condamn[ée] en tant que de besoin».
C. W._ (la défenderesse) interjette un recours en matière civile contre l'arrêt cantonal (cause 4A_487/2007). A titre principal, elle conclut au rejet de l'action pour cause de prescription et, subsidiairement, demande l'annulation de la décision entreprise et le renvoi de la cause à l'instance cantonale pour qu'elle complète l'administration des preuves et statue au sens des considérants.
A.X._, B.X._ et C.X._ (les demandeurs) forment également un recours en matière civile (cause 4A_491/2007). Ils reprennent les conclusions de leur demande, à savoir que W._ soit condamnée à leur verser la somme de 185'000 fr. avec intérêts à 5 % dès le 26 mai 1999.
Parallèlement, les demandeurs ont déposé une demande de révision auprès du Tribunal cantonal des assurances sociales, au motif que ce dernier aurait omis de se prononcer sur les intérêts réclamés.
Par ordonnance du 29 novembre 2007, le Président de la cour de céans a suspendu l'instruction des deux procédures de recours jusqu'à droit connu sur la demande de révision cantonale; il a en outre invité le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève à transmettre au Tribunal fédéral un exemplaire de son arrêt sur la demande de révision cantonale dès que celui-ci aura été rendu.
Par courrier du 12 février 2008 (recte: 2009), le conseil des demandeurs s'est inquiété de savoir où en était la procédure devant le Tribunal fédéral. La Présidente de la cour de céans lui a alors répondu qu'elle n'avait reçu aucune communication de la part du Tribunal cantonal des assurances sociales de sorte que les causes 4A_487/2007 et 4A_491/2007 étaient toujours suspendues dans l'attente de l'arrêt cantonal sur révision.
Le 26 février 2009, le mandataire des demandeurs a remis au Tribunal fédéral une copie de l'arrêt du 5 février 2008 par lequel le Tribunal cantonal des assurances sociales avait déclaré la demande en révision irrecevable. Les procédures relatives aux deux recours en matière civile ont ainsi pu reprendre.
A.X._, B.X._ et C.X._ concluent à l'irrecevabilité du recours interjeté par W._, subsidiairement à son rejet.
W._ propose le rejet du recours formé par A.X._, B.X._ et C.X._.
Considérant en droit:
1. 1.1 Les recours émanant des demandeurs et de la défenderesse sont dirigés contre le même arrêt et concernent le même complexe de faits. Il se justifie dès lors de les joindre pour des motifs d'économie de procédure et de statuer à leur sujet dans un seul arrêt (art. 24 PCF applicable par analogie vu le renvoi de l'art. 71 LTF; cf. ATF 131 V 59 consid. 1 p. 60/61; 124 III 382 consid. 1a p. 385; 123 II 16 consid. 1 p. 20).
1.2 L'assurance pour décès ou invalidité par accident conclue par D.X._ est une assurance complémentaire à l'assurance obligatoire des soins régie par la loi fédérale sur l'assurance-maladie du 18 mars 1994 (LAMal; RS 832.10). Une telle assurance complémentaire est soumise à la loi fédérale sur le contrat d'assurance du 2 avril 1908 (LCA; RS 221.229.1). La contestation opposant les parties est donc une affaire pécuniaire en matière civile au sens des art. 72 al. 1 et 74 al. 1 LTF; la décision rendue dans une contestation de cette nature peut être attaquée par un recours en matière civile pour autant que la valeur litigieuse de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF) soit atteinte ou qu'il s'agisse d'une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF) (ATF 133 III 439 consid. 2.1 p. 441/442 et l'arrêt cité).
En l'espèce, la valeur litigieuse excède le minimum légal de 30'000 fr. Au surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF) rendue par une autorité qui a statué en dernière instance cantonale quand bien même elle ne s'est pas prononcée sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF), ce qui n'exclut pas le recours au Tribunal fédéral (arrêt 4A_200/2007 du 3 août 2007 consid. 1). Aucune des parties n'a obtenu entièrement gain de cause en instance cantonale (art. 76 al. 1 LTF). Enfin, les recours ont été déposés dans le délai (art. 45 al. 1 et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Ils sont en principe recevables.
1.3 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur la violation d'un droit de rang constitutionnel ou sur une question afférente au droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF). Pour le reste, il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision déférée; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés, ou à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 134 III 102 consid. 1.1 et l'arrêt cité). Cependant, compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 134 II 244 consid. 2.1; 134 III 102 consid. 1.1).
1.4 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles de l'autorité cantonale ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 134 V 53 consid. 4.3) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
Sur le recours de la défenderesse
2. Le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable le recours en matière civile que la défenderesse avait interjeté contre l'arrêt cantonal incident rejetant l'exception de prescription. Conformément à l'art. 93 al. 3 LTF, l'assureur peut attaquer à présent cette décision incidente dans le recours dirigé contre l'arrêt final.
3. 3.1 A suivre la défenderesse, la cour cantonale a retenu de manière manifestement inexacte que le conseil des demandeurs s'était constitué en octobre 2003, après le décès de l'assurée. Selon l'assureur, le mandataire aurait conseillé l'assurée et sa famille en tout cas dès novembre 2000 pour ce qui concerne l'assurance complémentaire à l'assurance obligatoire des soins. Invoquant l'art. 85 de la loi fédérale sur la surveillance des assurances du 17 décembre 2004 (LSA; RS 961.01), la défenderesse reproche en particulier à la cour cantonale de n'avoir pas donné suite à sa requête tendant à la production, par l'automobiliste responsable de l'accident et par son assureur responsabilité civile, de toute pièce relative au dommage domestique qui leur a été réclamé dans cette affaire. Le moment à partir duquel le conseil est intervenu serait déterminant pour juger, en rapport avec un éventuel abus de droit à exciper de la prescription, si l'inaction de l'assurée et de son représentant pendant le délai de l'art. 46 al. 2 LCA était compréhensible ou non.
3.2 Pour les contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale, l'art. 85 al. 2 LSA impose à l'autorité cantonale d'établir d'office les faits et d'apprécier librement les faits. Cette règle existe également pour les conflits relevant du contrat de travail dont la valeur litigieuse ne dépasse pas 30'000 fr. (art. 343 al. 4 CO). Elle est inspirée dans les deux cas par des motifs de politique sociale (consid. 6.2 non publié de l'ATF 133 III 607). Le juge doit tenir compte des faits juridiquement pertinents, même si les parties ne les ont pas invoqués. La maxime inquisitoire ne dispense toutefois pas les parties d'une collaboration active à la procédure; il leur incombe de renseigner le juge sur les faits de la cause et de lui indiquer les moyens de preuve disponibles (ATF 130 III 102 consid. 2.2 p. 107).
En l'espèce, la défenderesse opère une confusion entre instruction d'office et appréciation des preuves. L'instruction d'office n'empêchait nullement la cour cantonale, par une appréciation anticipée des preuves, de refuser l'administration du moyen de preuve proposé, en considérant que le fait que l'assurée fût représentée par un avocat dans ses relations avec l'assureur responsabilité civile de l'automobiliste ne signifiait pas que ledit mandataire était également chargé de défendre ses intérêts vis-à-vis de la défenderesse. Au surplus, celle-ci ne démontre pas en quoi cette appréciation anticipée des preuves serait arbitraire.
Cela étant, le premier courrier adressé à la défenderesse par un avocat date du 30 octobre 2003. Tous les échanges de correspondance antérieurs ont eu lieu entre l'assureur et l'assurée ou l'époux de cette dernière. De ces circonstances, la cour cantonale pouvait déduire sans arbitraire que, durant le délai de prescription, soit du 11 décembre 2000 au 11 décembre 2002, aucun avocat ne conseillait l'assurée et son mari sur l'attitude à adopter envers l'assureur.
4. La défenderesse, qui a soulevé l'exception de prescription, reproche à la cour cantonale d'avoir violé l'art. 2 CC en lui opposant la contre-exception de l'abus de droit. Elle fait valoir qu'entre le 11 décembre 2000 et le 11 décembre 2002, elle n'a adressé qu'un seul courrier à l'époux de l'assurée, en date du 18 octobre 2001, et que cette unique démarche ne saurait avoir dissuadé l'assurée et son conseil d'agir en temps utile, d'autant moins qu'ils disposaient déjà en décembre 2000 de trois rapports médicaux établissant l'invalidité permanente et durable de l'intéressée.
4.1 A teneur de l'art. 2 al. 2 CC, l'abus manifeste d'un droit n'est pas protégé par la loi. La règle prohibant l'abus de droit permet au juge de corriger les effets de la loi dans certains cas où l'exercice d'un droit allégué créerait une injustice manifeste. L'existence d'un abus de droit se détermine selon les circonstances concrètes de l'espèce, en s'inspirant des diverses catégories mises en évidence par la jurisprudence et la doctrine. Les cas typiques en sont l'absence d'intérêt à l'exercice d'un droit, l'utilisation d'une institution juridique contrairement à son but, la disproportion manifeste des intérêts en présence, l'exercice d'un droit sans ménagement ou l'attitude contradictoire (ATF 135 III 162 consid. 3.3.1 p. 169 et les arrêts cités). Le recours à la règle prohibant l'abus de droit doit se concilier avec la finalité, telle que le législateur l'a voulue, de la norme matérielle applicable au cas concret (ATF 107 Ia 206 consid. 3b p. 211 et les références), en l'espèce la prescription de deux ans de l'art. 46 al. 2 LCA.
Selon la jurisprudence, le débiteur commet un abus de droit en se prévalant de la prescription, non seulement lorsqu'il amène astucieusement le créancier à ne pas agir en temps utile, mais également lorsque, sans mauvaise intention, il a un comportement qui incite le créancier à renoncer à entreprendre des démarches juridiques pendant le délai de prescription et que, selon une appréciation raisonnable, fondée sur des critères objectifs, ce retard apparaît compréhensible. Le comportement du débiteur doit être en relation de causalité avec le retard à agir du créancier (ATF 131 III 430 consid. 2 p. 437; 128 V 236 consid. 4a p. 241 et les arrêts cités).
En revanche, si, une fois la prescription acquise, le débiteur a adopté une attitude propre à dissuader le créancier d'agir, ce dernier ne saurait invoquer l'abus de droit (PASCAL PICHONNAZ, in Commentaire romand, Code des obligations I, 2003, n° 13 ad art. 142 CO). En effet, le comportement du débiteur ne joue plus aucun rôle après l'écoulement du délai de prescription (ATF 113 II 264 consid. 2e p. 269).
4.2 Il convient d'examiner si, dans les circonstances de l'espèce, l'inaction de l'assurée durant le délai de prescription a été provoquée par le comportement de l'assureur et si elle est compréhensible. Contrairement à ce que la défenderesse prétend, il n'y a pas lieu de se placer du point de vue du conseil de l'assurée, lequel, à l'époque, ne disposait pas du mandat de la représenter vis-à-vis de l'assureur, comme la cour cantonale l'a constaté sans arbitraire (consid. 3.2. supra).
L'attitude de la défenderesse doit être prise en compte jusqu'au 11 décembre 2002, date non contestée à laquelle la prescription était acquise. En revanche, aucun motif logique ne commande de faire abstraction d'éléments antérieurs au début du délai de prescription, deux ans plus tôt.
Au préalable, il sied de rappeler que l'assurance pour invalidité par accident conclue par D.X._ est une assurance de personnes, qui se caractérise comme une assurance de sommes non soumise au principe de l'indemnisation (JEAN-BENOÎT MEUWLY, La durée de la couverture d'assurance privée, 1994, p. 139/140). Conformément à l'art. 12 des conditions générales d'assurance applicables (CGA), un accident entraînant dans les cinq ans une invalidité présumée définitive oblige en effet la défenderesse à verser, indépendamment du dommage effectivement subi, un capital basé sur la somme contractuellement convenue, le degré d'invalidité et la progressivité choisie (A ou B).
Ceci posé, il apparaît que l'assurée a été victime, le 26 mai 1999, d'un accident qui l'a touchée gravement à la tête et qu'en tout cas à partir de la réception du rapport du Dr R._ du 20 novembre 2000, l'assureur pouvait se rendre compte que l'accident avait provoqué chez l'assurée une invalidité durable, quand bien même le degré exact de celle-ci n'était pas encore établi. Il convient de préciser à cet égard qu'une invalidité même inférieure à 25 % donne droit aux prestations selon l'art. 12 CGA.
Dans ce contexte, la défenderesse a invité le mari de l'assurée, par courrier du 7 décembre 2000, à patienter jusqu'à la remise de l'expertise médicale demandée par l'assureur responsabilité civile, en lui expliquant que ce document serait «utile dans la fixation du taux de l'invalidité restante suite à l'accident du 26.05.1999». Même si la formule «taux de l'invalidité restante» n'est pas des plus claires, l'assurée et son époux ne pouvaient, dans les circonstances de l'espèce, comprendre le courrier de la défenderesse que comme l'assurance qu'une indemnité d'invalidité serait versée, seul son montant exact, dépendant du taux d'invalidité, devant encore être déterminé sur la base de l'expertise médicale à venir. Par la suite, dans sa lettre du 18 octobre 2001, la défenderesse a informé l'époux de l'assurée qu'elle n'était toujours pas en mesure de déterminer «le degré de l'invalidité restante» faute d'expertise, mais qu'elle maintenait son intérêt à ladite expertise et qu'elle le tiendrait au courant du suivi de l'affaire. A nouveau, la défenderesse use d'une formule qui n'est pas limpide, mais dont on peut objectivement inférer que seul le taux exact d'invalidité est encore en jeu, l'invalidité elle-même et, partant, le droit de l'assurée à obtenir une prestation sur la base de l'une ou l'autre des polices en cause, étant acquis. En 2002, les deux assureurs ont cherché, apparemment en vain, à mettre sur pied l'expertise susmentionnée.
La défenderesse reproche une absence de réaction à l'assurée et à sa famille, qui n'auraient par ailleurs remis qu'en octobre 2003 les rapports des Dr R._, S._ et T._, sur la base desquels la cour cantonale a retenu l'existence des troubles physiques et psychiques permanents et durables de l'assurée. Sur ce point, il faut constater que la défenderesse avait en main le rapport du Dr R._, médecin traitant de l'assurée, déjà à fin novembre 2000. Les deux autres rapports, datant de décembre 2000, émanent d'une spécialiste en médecine physique et réhabilitation ainsi que d'un psychiatre; l'arrêt attaqué ne contient aucune constatation à propos du moment où l'assureur en a eu connaissance. Peu importe toutefois. En effet, après avoir reçu le rapport du médecin traitant, la défenderesse n'a pas cherché à savoir si l'assurée, pourtant gravement atteinte aux niveaux tant physique que psychique, était suivie par des médecins spécialistes. Elle a décidé de participer à l'expertise que l'assureur responsabilité civile devait mettre sur pied et n'a pas envisagé d'autre alternative pour connaître le taux d'invalidité de l'assurée.
Considérée d'un point de vue objectif, l'attitude de la défenderesse telle qu'elle résulte de ses courriers du 7 décembre 2000 et du 18 octobre 2001 était propre à inciter l'assurée, représentée par son époux, à patienter et à faire naître en elle l'assurance que la prestation due selon le contrat serait payée. La défenderesse avait promis au mari de l'assurée de le tenir au courant du suivi de l'affaire et l'assurée pouvait compter sur le fait qu'elle recevrait une indemnité pour invalidité. Tant que l'expertise médicale n'avait pas eu lieu, la créancière, représentée par son mari, n'avait donc pas de raison d'entreprendre des démarches pour interrompre le délai de prescription; son inaction apparaît compréhensible. Force est ainsi de conclure, à l'instar de la cour cantonale, que la défenderesse commet un abus de droit en se prévalant de la prescription dans le cas particulier.
Une telle conclusion s'impose d'autant plus que le délai de prescription de l'art. 46 al. 1 LCA est de deux ans seulement. Or, plus le délai est bref, plus le besoin de protection du créancier se justifie (JEAN-BENOÎT MEUWLY, La prescription des créances d'assurance privée, in AJP/PJA 3/2003, p. 316; cf. également ATF 111 II 55 consid. 3a p. 57). Il est à relever au passage qu'à l'origine, le délai de deux ans a été instauré pour tenir compte des besoins spécifiques des compagnies d'assurance, en particulier du besoin lié au contrôle permanent du patrimoine d'assureurs qui n'en étaient qu'à leurs débuts. Or, cet argument n'a manifestement plus la même acuité à l'heure actuelle (CHRISTOPH GRABER, in Basler Kommentar, Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, 2001, n° 1 et n° 2 ad art. 46 LCA).
5. 5.1 Dans un autre grief, la défenderesse s'en prend à la qualification du contrat d'assurance à la base des prétentions des demandeurs. Dans son arrêt incident du 28 mars 2006, la cour cantonale l'aurait à tort rangé dans les assurances complémentaires à la loi fédérale sur l'assurance-accidents du 20 mars 1981 (LAA).
5.2 Comme déjà relevé, les polices d'assurance en cause relèvent de l'assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale (consid. 1.2 supra). Le grief soulevé est toutefois dénué de toute portée dans la mesure où la qualification erronée du contrat est sans incidence sur la prétention des demandeurs et l'exception invoquée par la défenderesse. Il sera dès lors écarté.
6. Sur le vu de ce qui précède, le recours de la défenderesse doit être rejeté.
Sur le recours des demandeurs
7. Les demandeurs reprochent à la cour cantonale d'avoir condamné la défenderesse à leur payer un montant de 5'000 fr. à titre de capital-décès selon la police d'assurance n° 1, alors que cette question avait été définitivement réglée entre les parties par le versement d'un montant de 20'000 fr. conformément à la police d'assurance n° 2. Ils se plaignent d'une violation de l'art. 1er CO, la cour cantonale n'ayant pas à remettre en cause l'accord des parties sur ce point. Dans la mesure où la défenderesse a changé de position in extremis dans la procédure, les demandeurs sont d'avis que les juges genevois ont versé dans l'arbitraire en cautionnant ce revirement entaché de mauvaise foi.
7.1 Le grief pose en réalité la question de l'objet du litige.
La procédure devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève est soumise, de manière générale, à la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (LPA/GE) et, plus particulièrement, aux art. 89A ss LPA. L'art. 3 LPA/GE réserve notamment les dispositions de procédure du droit fédéral. Pour les contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale, les cantons doivent prévoir, conformément à l'art. 85 al. 2 LSA déjà cité, une procédure simple et rapide dans laquelle le juge établit d'office les faits et apprécie librement les preuves. Le principe de la simplicité et de la rapidité de la procédure s'applique également dans les procès relatifs aux assurances sociales (art. 61 let. a de la loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales du 6 octobre 2000 [LPGA; RS 830.1]). Dans ce contexte, le Tribunal fédéral a jugé que ce principe laisse à la partie demanderesse, en vertu de la maxime de disposition, le droit de définir librement l'objet du litige qu'elle veut soumettre au tribunal (ATF 135 V 23 consid. 3.1 p. 25/26 et l'arrêt cité).
L'art. 89E LPA/GE autorise le Tribunal cantonal des assurances sociales à réformer au détriment du recourant la décision attaquée ou à accorder plus que le recourant n'avait demandé; cependant, l'autorité doit préalablement donner aux parties l'occasion de se prononcer ou de retirer le recours. On peut se demander si cette disposition, qui se réfère expressément à une procédure de recours, s'applique également en cas d'action devant le Tribunal cantonal des assurances sociales. L'art. 89E LPA/GE reprend textuellement l'une des exigences posées par le droit fédéral pour la procédure devant les tribunaux cantonaux des assurances (art. 61 let. d LPGA 2ème et 3ème phrases); la seule différence réside dans la première phrase de l'art. 61 let. d LPGA, qui précise que le tribunal n'est pas lié par les conclusions des parties. Interprétant l'art. 61 let. d LPGA, le Tribunal fédéral a admis que cette disposition s'imposait également dans une procédure d'action devant le tribunal compétent en matière de prévoyance professionnelle; ce dernier n'est donc pas lié par les conclusions des parties, mais uniquement dans les limites de l'objet du litige (ATF 135 V 23 consid. 3.1 p. 26). A cet égard, il convient de rappeler que l'objet du litige est déterminé par les conclusions de la demande et les faits invoqués à l'appui de celle-ci (cf. FABIENNE HOHL, L'immutabilité de l'objet du litige, in Unification de la procédure civile, Journée en l'honneur du Professeur François Perret, 2004, p. 30).
En résumé, dans une action en paiement fondée sur une assurance complémentaire, le droit de procédure genevois, interprété conformément au droit fédéral, ne permet pas au juge de statuer hors de l'objet du litige tel qu'il a été défini par les parties.
7.2 Avant l'ouverture de l'action, le conseil des demandeurs a réclamé à l'assureur, dans un courrier du 30 octobre 2003, le versement d'un capital-invalidité de 40'000 fr. et d'un capital-décès de 20'000 fr. Dans sa lettre du 19 mars 2004, la défenderesse a accepté cette proposition, à titre exceptionnel et sans préjudice pour l'avenir. Après que les demandeurs eurent augmenté leur prétention à une indemnité d'invalidité, l'assureur, dans un courrier du 12 mai 2004, a invoqué la prescription de cette créance en tant qu'elle dépassait le montant de 40'000 fr.; il confirmait par ailleurs que le capital-décès s'élevait à 20'000 fr. et que le versement de cette somme n'était pas remis en cause. Le montant de 60'000 fr. a été payé le 23 septembre 2004.
En décembre 2005, les héritiers de l'assurée ont déposé une demande en paiement portant sur le montant de 185'000 fr. plus intérêts. Selon le mémoire, cette somme correspond à un capital-invalidité de 225'000 fr. selon la police n° 1, moins les 40'000 fr. déjà versés à ce titre par l'assureur. Dans sa réponse du 14 juillet 2006, la défenderesse a conclu au rejet de l'action pour cause de prescription. Elle a repris cette conclusion dans sa duplique du 30 novembre 2006; dans l'hypothèse où il serait jugé que la créance n'était pas prescrite, elle concluait à la fixation d'un délai pour déposer de nouvelles écritures «quant au montant de l'indemnité d'invalidité à verser». Une fois la cause reprise en instance cantonale après l'arrêt du Tribunal fédéral du 3 août 2007, le représentant de la défenderesse a déclaré, lors de l'audience de comparution personnelle du 2 octobre 2007, que si la créance n'était pas prescrite, la compagnie d'assurance «serait tenue de verser les prestations découlant de la police en vigueur au jour de l'accident, à savoir un capital de 5'000 fr. de décès et un capital-invalidité de 100'000 fr. avec progression à 225 %, sous déduction des sommes déjà versées».
Sur le vu de l'énumération des différents actes des parties, il apparaît, d'une part, que l'objet du litige, tel qu'il ressort des conclusions de la demande et des faits invoqués à leur appui, portait exclusivement sur le capital-invalidité dû à l'assurée et, d'autre part, que la défenderesse n'a jamais étendu l'objet du procès à la question du capital-décès dans la suite de la procédure. Ainsi, l'assureur n'a pas pris de conclusions reconventionnelles en répétition de l'indu qui aurait été versé par erreur à ce titre. Il n'a pas non plus soulevé l'objection de compensation (Verrechnungseinwendung), ce qui aurait supposé de s'adresser au juge en vue d'introduire la question de la compensation dans le procès (cf. arrêt 4A_290/2007 du 10 décembre 2007 consid. 8.3.1, in SJ 2008 I p. 346); à cet égard, la simple mention d'un capital-décès de 5'000 fr., par le représentant de la défenderesse, lors de l'audience de comparution personnelle du 2 octobre 2007 ne saurait manifestement valoir une telle manifestation de volonté.
Il s'ensuit qu'en statuant extra petita, la cour cantonale a appliqué de manière arbitraire le droit de procédure. Par conséquent, il convient d'annuler l'arrêt attaqué, d'une part, dans la mesure où il invite et condamne en tant que de besoin la défenderesse à payer aux demandeurs un capital-décès de 5'000 fr. et, d'autre part, dans la mesure où il déduit des montants dus la totalité des sommes déjà versées. En définitive, la défenderesse sera condamnée à payer aux demandeurs, en capital, le montant de 225'000 fr. représentant un capital-invalidité de 100'000 fr. avec progression à 225 %, sous déduction du montant de 40'000 fr. déjà versé à ce titre.
8. Invoquant l'art. 29 al. 1 Cst., les demandeurs se plaignent d'un déni de justice. La cour cantonale ne se serait pas prononcée, dans le dispositif de son arrêt, sur les intérêts moratoires réclamés dans les conclusions de la demande; au surplus, ni le droit des demandeurs à ces intérêts, ni le dies a quo de ceux-ci ne ressortiraient de façon claire et incontestable des considérants de la décision attaquée. Les demandeurs reprennent ensuite leur conclusion tendant à l'octroi, sur le capital-invalidité dû, d'un intérêt moratoire de 5 % l'an depuis le 26 mai 1999, date de l'accident.
8.1 Dans leur demande du 23 décembre 2005, les héritiers de l'assurée concluaient à la condamnation de la défenderesse à leur payer la somme de 185'000 fr. avec intérêts à 5 % dès le 26 mai 1999. Dans le dispositif de sa décision, la cour cantonale accorde aux demandeurs un montant à titre de capital-invalidité, mais ne mentionne pas les intérêts. Par ailleurs, aucun considérant de l'arrêt attaqué ne traite de cette question; l'absence des intérêts dans le dispositif de la décision entreprise ne résulte donc pas d'une inadvertance. La question des intérêts n'a pas non plus été tranchée implicitement par le sort réservé à une autre conclusion (cf. PIERRE FERRARI, in Commentaire de la LTF, 2009, n° 13 ad art. 121 LTF).
Force est ainsi de constater que la cour cantonale a purement et simplement omis de statuer sur une conclusion de la demande, ce qui constitue un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst. (cf. ATF 128 III 234 consid. 4a p. 242 et les arrêts cités; FERRARI, op. cit., n° 13 ad art. 121 LTF). Le recours des demandeurs est fondé sur ce point.
8.2 Par souci d'économie de procédure, le Tribunal fédéral tranchera la question des intérêts moratoires.
Aux termes de l'art. 41 al. 1 LCA, la créance qui résulte du contrat d'assurance est échue quatre semaines après le moment où l'assureur a reçu les renseignements de nature à lui permettre de se convaincre du bien-fondé de la prétention. La défenderesse elle-même soutient qu'elle a disposé, dès réception de la lettre de l'avocat des demandeurs du 30 octobre 2003 et de ses annexes, des rapports médicaux propres à établir le montant exact de l'indemnité d'invalidité due à l'assurée. C'est dire que la créance litigieuse était en tout cas exigible à partir de décembre 2003.
Pour qu'une créance d'assurance produise des intérêts moratoires, il ne suffit toutefois pas qu'elle soit exigible. Encore faut-il que l'assuré soit en demeure, en principe à la suite d'une interpellation au sens de l'art. 102 al. 1 CO (JÜRG NEF, in Basler Kommentar, Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, 2000, n° 20 ad art. 41 LCA et les références). En l'espèce, c'est dans le courrier de leur mandataire du 8 juillet 2004 que les ayants droit de l'assurée ont manifesté à la débitrice pour la première fois leur volonté de recevoir la prestation d'invalidité découlant de la police d'assurance n° 1, à savoir un montant de 100'000 fr. majoré de 225 %. Comme ce pli, daté d'un jeudi, a été envoyé par lettre-signature, il faut admettre qu'il a été reçu par la défenderesse (cf. ATF 103 II 102 consid. 1a p. 105) en tout cas le lundi suivant, soit le 12 juillet 2004.
Par ailleurs, l'assureur qui est en demeure doit l'intérêt moratoire au taux de 5 % l'an (art. 104 al. 1 CO; arrêt 4A_307/2008 du 27 novembre 2008 consid. 6.3.1).
En conclusion, le montant de 185'000 fr. encore dû par la défenderesse à titre de capital-invalidité (225'000 fr. - 40'000 fr.) portera intérêts à 5 % l'an dès le 12 juillet 2004.
Sur les frais et dépens
9. Le recours de la défenderesse est rejeté. Le recours des demandeurs est admis dans une très large mesure; la seule divergence entre les conclusions de cette écriture et le dispositif du présent arrêt porte sur le point de départ des intérêts.
En conséquence, il se justifie de mettre les frais des deux procédures de recours, arrêtés à 8'000 fr., à la charge de la défenderesse (art. 66 al. 1 LTF). C'est le lieu de préciser que, dans les contestations relatives aux assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale, la procédure est en principe gratuite (art. 85 al. 3 LSA), mais seulement devant les instances cantonales (cf. consid. 4 non publié de l'ATF 133 III 439 et consid. 7 non publié de l'ATF 133 III 607). Enfin, la défenderesse prendra en charge les dépens liés au recours des demandeurs et à leur réponse à son recours (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
La cour cantonale a fixé à 2'500 fr. les dépens auxquels les demandeurs avaient droit dès lors qu'ils obtenaient partiellement gain de cause. Comme les conclusions des demandeurs sont finalement accueillies dans une proportion plus importante que dans l'arrêt attaqué, il convient, en application de l'art. 68 al. 5 LTF, de renvoyer la cause au Tribunal cantonal des assurances sociales afin qu'il détermine si et, le cas échéant, dans quelle mesure les dépens dus aux demandeurs pour la procédure cantonale doivent être fixés à un montant supérieur à 2'500 fr.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours interjeté par W._ SA est rejeté.
2. Le recours interjeté par A.X._, B.X._ et C.X._ est partiellement admis.
L'arrêt attaqué est annulé.
W._ SA est condamnée à payer à A.X._, B.X._ et C.X._, formant la communauté héréditaire de feu D.X._, le montant de 185'000 fr. avec intérêts à 5 % l'an dès le 12 juillet 2004.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 8'000 fr., sont mis à la charge de W._ SA.
4. Une indemnité de 9'000 fr., à payer à titre de dépens à A.X._, B.X._ et C.X._, est mise à la charge de W._ SA.
5. La cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure cantonale.
6. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, Chambre 2.
Lausanne, le 19 juin 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Klett Godat Zimmermann