Faits:
A. La société X._ AG (ci-après: X._), ayant son siège à Zoug, détient 33,76% du capital-actions - qui s'élève à 32'790'584 fr.80 (2'644'402 actions au porteur d'une valeur nominale de 12 fr.40) - de la société Y._ SA (ci-après: Y._), qui a son siège à Genève et dont le but social est d'acquérir, de vendre et de gérer, sous forme de participations à des sociétés, tous types d'investissements, en particulier dans le domaine du "private equity", dans les pays de la communauté des Etats indépendants (CEI) et les Etats baltes. L'art. 3A al. 2 des statuts de Y._ précise que les investissements sont faits principalement dans des actions d'émetteurs de Russie où d'autres membres de la CEI ou des Etats baltes.
Lors de l'assemblée générale de Y._ du 25 juin 2009 portant sur l'exercice 2008, X._ a demandé l'institution d'un contrôle spécial, ce qui fut refusé par l'assemblée générale, puis par le juge et, en dernier lieu, par un arrêt du Tribunal fédéral du 27 juillet 2010 (cause 4A_215/2010).
Le 24 décembre 2009, X._ a ouvert une action en dommages-intérêts contre deux organes de Y._ (A._ et B._), en invoquant la responsabilité des administrateurs. Cette cause est actuellement pendante.
Un autre litige a opposé X._ à Y._ et abouti à un arrêt du Tribunal fédéral du 13 octobre 2011 (cause 4A_350/2011).
Lors de l'assemblée générale de Y._ du 24 juin 2010, qui portait sur l'exercice 2009, le conseil d'administration a répondu oralement aux questions écrites posées préalablement par X._; les questions et les réponses ont donné lieu à un procès-verbal du 20 août 2010.
Lors de cette même assemblée générale du 24 juin 2010, X._ a demandé l'institution d'un contrôle spécial afin d'analyser les informations données. Cette proposition a été rejetée par l'assemblée générale.
B. Par acte déposé le 28 septembre 2010 auprès du Tribunal de première instance de Genève, X._ a requis l'institution d'un contrôle spécial de Y._, en vue de répondre à des questions fondées sur celles qui ont été posées à l'assemblée générale.
Y._ a conclu au rejet de la requête.
Par jugement du 23 mai 2011, le Tribunal de première instance a débouté X._ de ses conclusions et l'a condamnée aux dépens, estimant que les conditions légales de la mesure sollicitée n'étaient pas réunies.
Saisie d'un appel formé par X._, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé le jugement attaqué avec suite de frais et dépens par arrêt du 15 septembre 2011.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 15 septembre 2011. Invoquant une violation du droit d'être entendu et une violation de l'art. 697b al. 2 CO, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à la désignation d'un expert indépendant aux fins d'effectuer un contrôle spécial, reprenant une partie des questions déjà demandées devant l'autorité précédente; subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à la cour cantonale avec suite de dépens.
Y._ a conclu au rejet du recours avec suite de frais et dépens.
Les parties ont répliqué et dupliqué.
Considérant en droit:
1. 1.1 La requête tendant à l'institution d'un contrôle spécial qui est ici litigieuse a été introduite avant l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2011, du CPC. En conséquence, l'art. 5 al. 1 let. g CPC qui impose une instance cantonale unique (cf. art. 75 al. 2 let. a LTF) et qui dispense ainsi le recours au Tribunal fédéral de l'exigence d'une valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. b LTF) n'est pas applicable. On peut cependant admettre - comme lors de l'exercice précédent (cause 4A_215/2010) - que la valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF) est largement atteinte au vu des montants en discussion et des sommes réclamées aux administrateurs recherchés.
La requête tendant à l'institution d'un contrôle spécial donne lieu à une procédure indépendante d'une éventuelle action en responsabilité, de sorte que la décision rendue à son sujet doit être considérée comme une décision finale au sens de l'art. 90 LTF (arrêt 4C.334/2006 du 7 février 2007 consid. 2 non publié in ATF 133 III 180).
Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions tendant à l'institution d'un contrôle spécial et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire qui atteint la valeur litigieuse de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours en matière civile est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF, donc également pour violation d'un droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 137 II 313 consid. 4 p. 317 s.; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356; 136 I 184 consid. 1.2 p. 187). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La partie recourante qui soutient que l'état de fait a été établi de manière arbitraire doit montrer, par une argumentation précise en se référant si possible à des pièces indiscutables du dossier, que l'état de fait est inexact ou incomplet d'une manière insoutenable; les exigences de motivation à ce propos sont celles déduites de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
En l'espèce, la recourante ne conteste pas directement l'état de fait dressé par la cour cantonale. Le raisonnement sera donc mené exclusivement à la lumière de celui-ci. A supposer que les griefs de fond soulevés par la recourante mettent en cause un fait contesté, il faudra se demander si la recourante a présenté à ce sujet une argumentation répondant aux exigences qui viennent d'être rappelées.
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
Dans la liste des questions à poser au contrôleur spécial, la recourante a abandonné devant le Tribunal fédéral certaines questions qui figuraient dans ses dernières conclusions cantonales; cette manière de procéder ne met pas en cause la recevabilité du recours, puisqu'une partie demanderesse peut toujours réduire ses prétentions devant le Tribunal fédéral (ATF 136 V 362 consid. 3.4.2 p. 365).
2. La recourante reproche à la cour cantonale de ne pas avoir ordonné un second échange d'écritures.
Selon les constatations qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF), la recourante avait demandé un second échange d'écritures dans son acte d'appel. Lorsque la cour cantonale a informé les parties, après avoir reçu la réponse, qu'elle gardait la cause à juger, la recourante ne s'est plus manifestée.
2.1 Il faut tout d'abord examiner la question sous l'angle de la procédure fédérale, qui était applicable au stade de l'appel (art. 405 al. 1 CPC) et dont le Tribunal fédéral examine librement le respect (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF).
Selon l'art. 316 al. 2 CPC, l'autorité d'appel "peut ordonner un deuxième échange d'écritures". Il ressort déjà de cette formulation qu'il ne suffit pas qu'une partie demande un deuxième échange d'écritures pour qu'elle y ait droit. La décision appartient à l'autorité d'appel. En indiquant qu'elle peut ordonner un second échange, le législateur a souligné que l'autorité dispose sur ce point d'une grande liberté de manoeuvre (NICOLAS JEANDIN, in Code de procédure civile commenté, Bohnet et al. (éd.), 2011, n° 1 ad art. 316 CPC; KARL SPÜHLER, in Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, n° 1 ad art. 316 CPC; PETER VOLKART, in Schweizerische Zivilprozessordnung - Kommentar, Brunner/Gasser/Schwander (éd.), 2011 n°s 3 et 5 ad art. 316 CPC; LAURA JACQUEMOUD-ROSSARI, Les voies de recours, in Le Code de procédure civile - Aspects choisis, 2011 p. 125). Dès lors que le juge dispose d'un pouvoir d'appréciation, le Tribunal fédéral ne doit pas substituer sa propre appréciation à celle de l'autorité cantonale. Il ne revoit qu'avec réserve la décision d'équité prise en dernière instance et n'intervient que lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou à l'inverse, lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération. Il sanctionne en outre les décisions rendues en vertu du pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 136 III 278 consid. 2.2.1 p. 279 et les arrêts cités). Comme les faits et moyens de preuve nouveaux sont en principe proscrits en appel (art. 317 CPC), la doctrine estime qu'il se justifie de se montrer plutôt restrictif dans l'admission d'un second échange d'écritures (REETZ/HILBER, in Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger (éd.), 2010 n°s 42 s. ad art. 316 CPC).
A cela s'ajoute que l'appel devait être instruit en l'espèce selon les règles de la procédure sommaire (art. 250 let. c ch. 8 CPC). Dans une telle procédure, l'art. 253 CPC ne prévoit même pas en première instance la possibilité d'un second échange d'écritures (ANGELO OLGIATI, Il Codice di diritto processuale civile svizzero, 2010, p. 230 s.). En raison de la nature d'une procédure sommaire qui implique que celle-ci soit en principe plus rapide, il se justifie de se montrer restrictif pour admettre un second échange d'écritures déjà en première instance (STEPHAN MAZAN, in Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2010, n° 15 ad art. 253 CPC). Un deuxième échange d'écritures en première instance dans une procédure sommaire devrait être plutôt exceptionnel (MARCO CHEVALIER, in Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger (éd.), 2010, n° 11 ad art. 253 CPC). Dans le cas d'un appel en procédure sommaire, un deuxième échange d'écritures est pratiquement exclu (ALEXANDER BRUNNER, in Kurzkommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Paul Oberhammer (éd.), 2010 n°s 1 s. ad art. 316 CPC).
En l'espèce, la recourante ne parvient pas à démontrer que la réponse de sa partie adverse bouleversait l'objet du litige au point qu'un second échange d'écritures s'imposait absolument. Compte tenu des principes qui viennent d'être rappelés, la cour cantonale, dans l'exercice de son large pouvoir d'appréciation, n'a manifestement pas violé le droit fédéral en n'ordonnant pas une réplique et une duplique.
2.2 La recourante invoque également à ce sujet le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst.
S'agissant d'un grief constitutionnel, il ne peut être examiné que dans la mesure où il a été invoqué et motivé de manière précise (art. 106 al. 2 LTF).
La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., notamment le droit pour le justiciable de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique (ATF 135 II 286 consid. 5.1 p. 293; 135 V 465 consid. 4.3.2 p. 469). Lorsqu'un délai est fixé pour s'exprimer, celui-ci doit être approprié afin de permettre une défense efficace des droits (ATF 133 V 196 consid. 1.2 p. 198).
La recourante se plaint du fait que le délai d'appel fixé par la loi n'est que de dix jours (art. 314 al. 1 CPC). Ce n'est pas parce qu'une affaire porte sur une valeur litigieuse considérable qu'elle est nécessairement complexe en fait et en droit. Déjà avant l'assemblée générale, la recourante savait quels étaient les éléments de fait et de droit qui étaient décisifs pour appuyer la demande de contrôle spécial qu'elle a formulée tout d'abord devant l'assemblée générale, puis devant le juge de première instance. La réponse donnée par la partie adverse en première instance lui permettait de circonscrire les points litigieux. La recourante ne démontre pas que le contenu du jugement de première instance aurait eu un effet déroutant pour elle. En conséquence, on ne voit pas que le délai légal aurait été insuffisant pour permettre à la recourante d'exposer à nouveau les motifs à l'appui de sa demande de contrôle spécial. Il faut souligner qu'elle a pu s'exprimer dans son acte d'appel sans aucune réserve.
A supposer qu'elle ait éprouvé le besoin de s'exprimer encore après avoir reçu la réponse de sa partie adverse, il lui était possible de le faire en envoyant immédiatement et spontanément ses observations, selon une jurisprudence bien connue (ATF 133 I 98 consid. 2.2. p. 99 s.; 130 II 42 consid. 3.3.3 et 3.3.4 p. 46 s.) régulièrement rappelée par la doctrine sur le sujet d'un second échange d'écritures (REETZ/HILBER, op. cit., n° 45 ad art. 316 CPC; INGRID JENT-SØRENSEN, in Kurzkommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Paul Oberhammer (éd.), 2010, n° 7 ad art. 253 CPC).
La recourante a donc eu une occasion suffisante de s'exprimer et son droit d'être entendue, garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., n'a pas été violé.
3. Invoquant une violation de l'art. 697b al. 2 CO, la recourante reproche à la cour cantonale de ne pas avoir institué un contrôle spécial.
3.1 Le contrôle spécial, régi par les art. 697a à 697g CO, est une des mesures prévues par la loi pour donner aux actionnaires un droit de contrôle sur la marche de la société (art. 696 ss CO).
Avant de demander le contrôle spécial, l'actionnaire doit s'efforcer d'obtenir les informations qu'il souhaite en faisant valoir son droit aux renseignements et à la consultation des livres et de la correspondance, tel qu'il est prévu par l'art. 697 CO (ATF 133 III 133 consid. 3.2 p. 135, 453 consid. 7.5 p. 461; 123 III 261 consid. 3a p. 264 s.). L'actionnaire doit donc tout d'abord formuler ses questions avec une certaine précision et les adresser au conseil d'administration lors de l'assemblée générale; les questions posées doivent correspondre, au moins dans les grandes lignes, à celles pour lesquelles le contrôle spécial est ensuite demandé (ATF 123 III 261 consid. 3a p. 265). S'il n'obtient pas de réponse satisfaisante, l'actionnaire n'est pas obligé de s'adresser au juge selon la voie de l'art. 697 al. 4 CO et il peut choisir alternativement de demander un contrôle spécial (ATF 133 III 133 consid. 3.2 p. 135).
Avant de s'adresser au juge, l'actionnaire doit proposer à l'assemblée générale l'institution d'un contrôle spécial (art. 697a al. 1 CO). Il n'est pas nécessaire que ce point soit porté à l'ordre du jour (art. 700 al. 3 CO). Le conseil d'administration a l'obligation de soumettre la proposition au vote de l'assemblée générale; s'il s'y refuse, son attitude équivaut à un refus de l'assemblée générale elle-même et l'actionnaire pourra s'adresser au juge (récemment: ATF 138 III 246 consid. 3.3; ROLF H. WEBER, in Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 3e éd. 2008, n° 31 ad art. 697a CO; PETER BÖCKLI, Schweizer Aktienrecht, 4e éd. 2009, § 16 n° 38; BIANCA PAULI, in Commentaire romand, Code des obligations II, 2008, n° 22 ad art. 697a CO; PETER V. KUNZ, Der Minderheitenschutz im Schweizerischen Aktienrecht, 2001, § 12 n° 69).
Si l'assemblée générale refuse d'instituer un contrôle spécial, un ou plusieurs actionnaires représentant 10% au moins du capital-actions ou des actions d'une valeur nominale de deux millions au moins peuvent, dans les trois mois, demander au juge la désignation d'un contrôleur spécial (art. 697b al. 1 CO). Le quorum d'actions exigé par l'art. 697b al. 1 CO doit être réuni non seulement lors de l'introduction de la procédure, mais également au moment où le juge statue (ATF 133 III 180 consid. 3).
Pour que le juge institue le contrôle spécial, il faut que le ou les requérants rendent vraisemblable que des fondateurs ou des organes ont violé la loi ou les statuts et qu'ils ont ainsi causé un préjudice à la société ou aux actionnaires (art. 697b al. 2 CO). En exigeant du demandeur qu'il rende vraisemblable une violation de la loi ou des statuts, le législateur a montré tout d'abord qu'il n'exigeait pas que l'actionnaire apporte déjà des preuves, ce qui réduirait excessivement les possibilités d'obtenir une telle mesure et paraîtrait même contradictoire, puisque le contrôle spécial tend précisément à fournir des preuves; d'un autre côté, le législateur a indiqué, en exigeant qu'une vraisemblance soit établie, qu'il ne suffit pas que l'actionnaire ne fasse qu'affirmer ou soupçonner, sans aucun indice sérieux, pour entraîner une mesure aussi lourde que le contrôle spécial qui instaure un climat de méfiance à l'intérieur de la société (cf. ATF 120 II 393 consid. 3c p. 397 s.; arrêt 4C.64/2003 du 18 juillet 2003 consid. 5.3 publié in Pra 2004 no 28 p. 135). Le requérant doit rendre vraisemblable que le comportement ou l'omission des organes a violé une disposition légale ou statutaire précise en indiquant en quoi consiste cette violation (arrêt 4A_215/2010 du 27 juillet 2010 consid. 3.1.3 publié in SJ 2010 I p. 554 et les auteurs cités).
Le contrôle spécial doit répondre à un intérêt actuel et digne de protection; il ne peut donc pas porter sur des faits déjà connus. Il doit avoir pour objet des informations utiles pour permettre à l'actionnaire d'exercer ses droits, en particulier d'intenter une action en responsabilité contre les organes sociaux (ATF 123 III 261 consid. 4a p. 268; arrêt 4A_215/2010 déjà cité consid. 3.1.2). Le contrôle spécial doit tendre à établir des faits déterminés, et non pas à obtenir des appréciations ou des jugements de valeur; il n'est pas admissible de demander un examen à des fins purement exploratoires dans l'espoir de découvrir des irrégularités dont le requérant ne sait rien (arrêt 4A_215/2010 déjà cité consid. 3.1.4 et les références indiquées). Le contrôle spécial ne peut pas avoir pour but de procéder à un examen complet des comptes en se substituant à l'organe de révision (ATF 133 III 453 consid. 7.5 p. 461).
3.2 En l'espèce, il n'est pas douteux que la recourante a préalablement posé ses questions au conseil d'administration lors de l'assemblée générale, qu'elle a proposé en vain l'institution d'un contrôle spécial et qu'elle a saisi le juge en temps utile, disposant du quorum requis. Les questions à poser au contrôleur spécial correspondent bien - mis à part le fait que leur nombre a diminué - à celles qui ont été posées au conseil d'administration et proposées à l'assemblée générale pour un contrôle spécial.
Comme l'a bien vu la recourante, la question à résoudre est de savoir si elle a rendu vraisemblable que des organes ont violé la loi ou les statuts et qu'ils ont ainsi causé un préjudice à la société ou aux actionnaires (art. 697b al. 2 CO).
Il faut préalablement observer que l'art. 697b al. 2 CO parle d'une violation de la loi ou des statuts et qu'il ne suffit donc pas de rendre vraisemblable que la gestion aurait contrevenu à telle ou telle phrase contenue dans un prospectus de cotation ou une directive interne d'investissement.
Pour dire si la recourante a ou non rendu vraisemblable une telle violation, il faut tout d'abord pouvoir déterminer quelle est la violation qui fait l'objet de l'examen. Comme on vient de le rappeler, il incombe à la partie requérante d'indiquer quelle est la violation soupçonnée et de fixer ainsi l'objet de l'examen. Elle ne saurait requérir un contrôle spécial à des fins purement exploratoires dans l'espoir de découvrir une violation dont elle n'a aucune connaissance.
Or, il faut constater en l'espèce que la recourante a maintes fois changé l'objet de ses soupçons, rendant la discussion de plus en plus confuse.
Selon l'arrêt cantonal, la recourante avait reproché aux administrateurs d'avoir maintenu un niveau excessif de liquidités uniquement dans le but de favoriser le groupe majoritaire qui éprouvait des problèmes de trésorerie. L'arrêt indique qu'elle a produit à ce sujet une expertise privée, qui a été contrée par une autre expertise fournie par l'intimée. Devant le Tribunal fédéral, la recourante ne parle plus du tout de cette question. Il faut en déduire qu'elle admet n'être pas parvenue, sur ce point, à rendre vraisemblables ses soupçons. Il doit être rappelé que l'argumentation à l'appui d'un recours au Tribunal fédéral doit être contenue dans le mémoire et qu'il n'est pas admissible de se référer à des écritures antérieures (ATF 133 II 396 consid. 3.1 p. 399 s.).
Il ressort également de l'arrêt cantonal que la recourante aurait reproché aux administrateurs d'avoir déposé les liquidités auprès d'une seule banque, celle du groupe majoritaire. Il est indiqué par la suite que les liquidités ont été réparties sur trois banques. La recourante ne développe pas cette question devant le Tribunal fédéral. On ne parvient pas à discerner pourquoi la ou les banques choisie(s) auraient présenté un risque particulier.
Quant à la règle selon laquelle il ne fallait pas investir plus de 20% des fonds sur un seul poste, elle ne concerne manifestement pas le dépôt des liquidités auprès d'une banque, puisqu'il ne s'agit pas là, selon le sens ordinaire des mots, d'un instrument financier. De plus, la règle des 20% ne peut concerner qu'un investissement particulier, et non pas une catégorie de placements (les obligations évoquées par la recourante) dans son entier.
La recourante reproche aux administrateurs d'avoir conservé trop de liquidités pendant la période du 1er janvier 2009 au 24 juin 2010. La cour cantonale a constaté en fait - sans que l'arbitraire ne soit invoqué avec précision sur ce point - qu'au 31 décembre 2009, les liquidités correspondaient à 14,62% des actifs, le solde étant affecté aux actions et aux obligations; à la fin du premier semestre de l'année 2010, les liquidités représentaient 9,69% des avoirs alors que le solde était constitué d'actions et d'obligations. On ne voit pas pourquoi - et la recourante ne le dit pas non plus - un tel pourcentage serait contraire à la loi ou au statut. La cour cantonale a certes constaté que la part des liquidités était plus importante durant le premier semestre 2009; elle a cependant observé qu'une crise a frappé les marchés financiers à tout le moins jusqu'à la fin du premier semestre 2009. Une situation de crise pouvait assurément justifier - la recourante ne prétend pas le contraire - de garder un pourcentage particulièrement élevé de liquidités, plutôt que d'investir les fonds sur un marché chaotique. La recourante semble certes contester la durée de la crise financière, mais elle ne montre pas, en se référant à des pièces indiscutables du dossier, que la cour cantonale, dans sa constatation, serait tombée dans l'arbitraire.
La recourante se plaint aussi d'un rendement insuffisant des liquidités, ainsi que d'un problème d'honoraires. Etant rappelé qu'un renvoi aux écritures cantonales n'est pas admissible, on ne parvient pas à discerner, en lisant l'acte de recours, ce qui permettrait de penser que le rendement des liquidités était insuffisant ou que les honoraires étaient excessifs. On ne voit donc pas que la recourante ait rendu vraisemblable une violation de la loi ou des statuts.
Devant le Tribunal fédéral, la recourante se plaint essentiellement de ce que le conseil d'administration a utilisé des liquidités pour acheter des obligations, alors que, selon le prospectus de cotation et la directive d'investissement les fonds devaient essentiellement être investis, parfois jusqu'à prendre le contrôle des sociétés, dans des entreprises non cotées des pays de la CEI et des Etats baltes. On pourrait déjà douter de la pertinence de cette argumentation parce que les questions qui devraient être posées au contrôleur spécial ne portent pas sur le pourcentage d'obligations et que la recourante ne prétend pas avoir besoin de cette mesure pour connaître les faits à cet égard. Quoi qu'il en soit, les textes cités par la recourante, en particulier les art. 3 et 3A des statuts, ne permettent en aucune façon de déduire que les placements en obligations sont prohibés. Certes, on peut déduire de ces articles que la société intimée devait se caractériser par des placements en "private equity" dans des sociétés de la zone géographique indiquée. Rien dans les textes cités ne permet de supposer que la totalité des fonds ou une quote-part déterminée de ceux-ci devait impérativement être investie de cette manière. Il n'est pas possible de penser, toujours à la lecture de ces dispositions statutaires, que les investissements en obligations étaient prohibés. La recourante admet elle-même qu'il était possible, suivant les circonstances, de maintenir des liquidités plus ou moins importantes et de procéder à d'autres placements, notamment en obligations. La cour cantonale a retenu que la crise financière - dont la constatation relève du fait - justifiait cette attitude défensive. Le propre d'une crise financière est précisément que l'on ne peut pas savoir par avance à quel moment elle s'arrête définitivement. Dès lors que la cour cantonale a retenu - d'une manière qui lie le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - que cette crise a duré jusqu'à la fin du premier semestre 2009, on peut comprendre que les administrateurs, ne sachant pas si elle avait durablement pris fin, aient adopté encore pendant quelque temps une attitude défensive. Ainsi, la recourante n'est pas parvenue à rendre vraisemblable que les administrateurs aient violé la loi ou les statuts en achetant des obligations pendant la période litigieuse.
En se référant au résultat d'un autre fonds et à l'évolution favorable de la bourse russe, c'est-à-dire des actions cotées, la recourante reproche en définitive aux administrateurs un manque de performance. Il faut cependant rappeler qu'un contrôle spécial ne peut pas tendre à un jugement de valeur sur la gestion opérée. Pour obtenir cette mesure, la recourante devait rendre vraisemblable que les organes avaient violé la loi ou les statuts. Qu'un autre fonds, peut-être plus audacieux ou plus perspicace, ait pu obtenir de meilleurs résultats ou que les actions cotées à la bourse russe aient connu une évolution favorable est ici sans pertinence. Même si les administrateurs de l'intimée ont fait preuve d'un excès de prudence, qu'ils n'ont pas fait les choix qui apparaissent a posteriori comme les plus judicieux ou qu'ils n'aient pas démontré avoir les connaissances les plus expertes du marché considéré, cela ne suffit pas pour constituer une violation de la loi ou des statuts.
Dès lors qu'une telle violation n'est pas rendue vraisemblable, la mesure sollicitée a été refusée sans violer le droit fédéral (art. 697b al. 2 CO).
4. Il résulte des considérations qui précèdent que le recours doit être rejeté.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 20'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 22'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre civile.
Lausanne, le 4 avril 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Piaget