Sachverhalt:
A.
Der deutsche Staatsangehörige A._ war vom 1. Dezember 2006 bis 12. Dezember 2010 als selbständigerwerbender Rechtsanwalt in der Schweiz tätig. Als Inhaber einer Niederlassungsbewilligung war er zunächst bei der Einwohnerkontrolle der Stadt B._ gemeldet, ab dem 1. November 2009 bei der Gemeinde C._. Am 17. Dezember 2007 bescheinigte die Deutsche Rentenversicherung D._, dass A._ seit dem 1. Dezember 2006 vorübergehend in der Schweiz selbständig erwerbstätig sei, jedoch weiterhin den deutschen Rechtsvorschriften unterstehe (damaliges Formular E 101). Am 27. April 2012 teilte die Deutsche Rentenversicherung mit, ab dem 1. November 2009 sei nicht mehr deutsches Recht anwendbar; A._ habe von da an (bis zum 12. Dezember 2010) Wohnsitz in der Schweiz gehabt.
Gestützt auf die vom kantonalen Steueramt gemeldeten Einkommen veranlagte die Ausgleichskasse des Kantons Luzern AHV/IV/EO-Beiträge (einschliesslich Verwaltungskosten) in Höhe von Fr. 4'187.70 (für die Zeit von November bis Dezember 2009) und Fr. 33'442.80 (1. Januar bis 31. Dezember 2010; mit Einspracheentscheid vom 22. März 2013 bestätigte Verfügungen vom 19. September 2012).
B.
Das Kantonsgericht Luzern hiess die gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde teilweise gut und beschränkte die Dauer der Beitragspflicht für das Jahr 2010 auf die Zeit vom 1. Januar bis zum 12. Dezember. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 17. März 2014).
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die strittigen Verfügungen seien aufzuheben.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Parteien gehen übereinstimmend davon aus, dass der Beschwerdeführer im Zeitraum November 2009 bis Dezember 2010 in der Schweiz und in Deutschland als Rechtsanwalt selbständig erwerbstätig war. Strittig ist, ob er in dieser Zeit in der Schweiz Wohnsitz hatte (vgl. Art. 1a Abs. 1 lit. a AHVG) und deswegen für sein selbständig erworbenes Einkommen nach schweizerischem Recht beitragspflichtig war.
1.2. Auf den zu beurteilenden grenzüberschreitenden Sachverhalt anwendbar ist noch die bis Ende März 2012 geltende (vgl. AS 2012 2345) Verordnung (EWG) Nr. 1408/71 des Rates vom 14. Juni 1971 zur Anwendung der Systeme der Sozialen Sicherheit auf Arbeitnehmer und Selbstständige sowie deren Familienangehörige, die innerhalb der Gemeinschaft zu- und abwandern (SR 0.831.109.268.1; gilt für die Schweiz gemäss Art. 8 und Anhang II des Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit [FZA; SR 0.142.112.681]; vgl. Art. 153a Abs. 1 lit. a AHVG; zum intertemporalrechtlichen Aspekt: BGE 139 V 297 E. 2.1 S. 300).
1.3. Eine Person, die eine selbständige Tätigkeit gewöhnlich im Gebiet von zwei oder mehr Mitgliedstaaten ausübt, untersteht den Rechtsvorschriften des Mitgliedstaats, in dessen Gebiet sie wohnt, wenn sie ihre Tätigkeit zum Teil im Gebiet dieses Mitgliedstaats ausübt (Art. 14a Abs. 2 erster Satz der Verordnung 1408/71; Wohnortprinzip). Für die Anwendung der so bestimmten Rechtsvorschriften wird die betreffende Person so behandelt, als ob sie ihre gesamte Erwerbstätigkeit oder ihre gesamten Erwerbstätigkeiten im Gebiet des betreffenden Mitgliedstaats ausübte (Art. 14d Abs. 1; Urteil 9C_33/2009 vom 2. September 2009 E. 3.2 mit Hinweisen, SVR 2010 AHV Nr. 3 S. 7).
1.4. Gemäss Art. 1 lit. h der Verordnung 1408/71 ist als "Wohnort" der Ort des gewöhnlichen Aufenthalts zu betrachten. Der Wohnort als gewöhnlicher Aufenthalt befindet sich an demjenigen Ort, an welchem eine Person den Mittelpunkt ihrer Lebensführung hat. Das Gemeinschaftsrecht lässt die Frage, wie der Wohnort zu bestimmen ist, weitgehend offen und überantwortet die nähere Bestimmung dem jeweiligen nationalen Recht (vgl. EugH Rs. C-216/89, Slg. 1990, I-4163; Rs. 227/81, Slg. 1982, 1991; Rs. 76/76, Slg. 1977, 315). In der Rechtsprechung des Bundesgerichts beurteilt sich der Ort, wo die Person ihren Wohnsitz hat, ausschliesslich nach objektiven Kriterien, während der innere Wille der betreffenden Person nicht entscheidend ist (Urteil 5A_663/2009 vom 1. März 2010 E. 2.2.2). Dabei ist die familiäre Situation lediglich eines von verschiedenen Indizien. Massgebend sind auch Dauer und Kontinuität des Wohnens bis zur Aufnahme der Beschäftigung, die Dauer und die Modalität der Abwesenheit, die Art der im anderen Mitgliedstaat ausgeübten Beschäftigung sowie die Absicht des Arbeitnehmers, wie sie sich aus den gesamten Umständen ergibt, an den Ort vor Aufnahme der Beschäftigung zurückzukehren (BGE 133 V 137 E. 7.2 S. 145; 131 V 222 E. 7.4 S. 230 mit Hinweis auf die Rechtsprechung des EuGH; zum Ganzen: BGE 138 V 186 E. 3.3.1 S. 191).
1.5. Vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (Art. 95, 106 Abs. 1 BGG) ist, welche Kriterien für die Bezeichnung des Ortes des gewöhnlichen Aufenthalts massgebend sind. Die konkreten Umstände, welche demnach zur Begründung des Wohnorts heranzuziehen sind, betreffen eine Tatfrage; diesbezügliche Feststellungen der Vorinstanz binden das Bundesgericht grundsätzlich (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2.
Die Vorinstanz schloss, der Mittelpunkt der Lebensführung des Beschwerdeführers habe nach äusseren, objektiven Umständen während der fraglichen Zeit in der Schweiz gelegen. Er habe zwischen Dezember 2006 und Oktober 2009 in einem angemieteten Einfamilienhaus in B._ gewohnt und als Rechtsanwalt eine Geschäftsniederlassung in E._ unterhalten. Auf den 1. November 2009 habe er sich in B._ ab- und in C._ angemeldet (stets mit Niederlassungsbewilligung), wo er allerdings nur noch ein Zimmer im Haus seiner Eltern bewohnt habe. Damit habe er aber den seit Dezember 2006 bestehenden Wohnsitz in der Schweiz nicht aufgegeben. Der Schwerpunkt der beruflichen Interessen - und damit auch der Lebensmittelpunkt des ledigen Beschwerdeführers - habe während der fraglichen Zeit in der Schweiz gelegen, wo er auch den grössten Teil der Einnahmen erzielt habe; nur im Jahr 2009 habe er in Deutschland ein vergleichsweise niedriges Nebeneinkommen erwirtschaftet. Aus der Höhe des in der Schweiz erzielten Einkommens sei auf eine entsprechend hohe zeitliche Präsenz zu schliessen. Eine polizeiliche Anmeldung in F._ (Deutschland) per 1. November 2009 beweise nicht das Gegenteil, sondern stelle nur ein Indiz dar. Die in einer eidesstattlichen Erklärung des Pflegesohns gemachten Angaben über die jeweiligen Aufenthalte des Beschwerdeführers in Deutschland und in der Schweiz seien vage. Zu berücksichtigen sei des Weitern, dass die Bescheinigung E 101 vom 17. Dezember 2007 der Deutschen Rentenversicherung über eine vorübergehende selbständige Tätigkeit in der Schweiz ab dem 1. Dezember 2006 nur für ein Jahr seit diesem Datum gültig gewesen sei. Nachdem der Beschwerdeführer 2010 bereits im vierten Jahr in der Schweiz als selbständiger Anwalt tätig gewesen sei, habe die Deutsche Rentenversicherung die Bescheinigung denn auch unter Hinweis auf veränderte Verhältnisse mit Wirkung seit November 2009 widerrufen (Schreiben vom 27. April 2012). Die Gesamtheit der Umstände zeige, dass der Beschwerdeführer im massgebenden Zeitraum seinen Wohnort resp. gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz hatte. Nach Art. 14a Abs. 2 der Verordnung 1408/71 sei daher schweizerisches Recht anwendbar; dieses mache den Beschwerdeführer beitragspflichtig (Art. 1a lit. a und b und Art. 3 Abs. 1 AHVG). Die Dauer der Beitragspflicht sei jedoch auf die Zeit bis zum 12. Dezember 2010 zu beschränken; an diesem Tag habe der Beschwerdeführer die Erwerbstätigkeit in der Schweiz endgültig aufgegeben. Schliesslich bewirkten die an das Versorgungswerk der Rechtsanwälte des Bundeslandes D._ abgeführten Sozialabgaben keine nach Art. 1a Abs. 2 lit. b AHVG unzumutbare Doppelbelastung; es handle sich dabei nicht um eine staatliche Rentenversicherung.
3.
3.1. Nach Art. 1a Abs. 2 lit. b AHVG sind Personen, die einer ausländischen staatlichen Alters- und Hinterlassenenversicherung angehören, nicht versichert, sofern der Einbezug in die Versicherung für sie eine nicht zumutbare Doppelbelastung darstellen würde. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe seine Beitragspflicht in Deutschland mit Regelpflichtbeiträgen an das Versorgungswerk der Rechtsanwälte D._ bereits vollumfänglich erfüllt (vgl. Bestätigung vom 22. November 2013 über eine seit Januar 1997 bestehende Mitgliedschaft).
3.2. Zu Recht moniert der Beschwerdeführer, dass das kantonale Gericht davon ausgegangen ist, beim Versorgungswerk der Rechtsanwälte D._ handle es sich nicht um ein System der sozialen Sicherheit, das im Sinne von Art. 8 und Anhang II FZA zu koordinieren sei.
Freiberuflich tätige Angehörige eines Versorgungswerkes - einer öffentlich-rechtlichen Körperschaft - werden unter bestimmten Voraussetzungen von der Versicherungspflicht in der gesetzlichen Rentenversicherung befreit (vgl. § 6 des deutschen Sozialgesetzbuches VI). Mitglieder der Rechtsanwaltskammer in D._ sind in der Regel Pflichtmitglieder des Versorgungswerkes. Als solche haben sie Rechtsanspruch unter anderem auf Altersrente, Berufsunfähigkeitsrente und Hinterbliebenenrente. Dafür erhebt das Versorgungswerk einkommensbezogene Beiträge; deren Ansatz muss den Beitragssatz und die Beitragsbemessungsgrenze in der gesetzlichen Rentenversicherung berücksichtigen (vgl. § 1, 5, 8 und 9 sowie § 17 des Rechtsanwaltsversorgungsgesetzes D._ [RAVG] in Verbindung mit § 19 ff. der Satzung des Versorgungswerkes der Rechtsanwälte in D._).
3.3. Angesichts dieser rechtlichen Rahmenbedingungen steht fest, dass das Versorgungswerk gegebenenfalls als Träger der Grundsicherung an die Stelle der gesetzlichen Rentenversicherung tritt. Indessen steht es dem Beschwerdeführer nicht zu, sich unter Hinweis auf die Beiträge, die er an das Versorgungswerk bezahlt hat, auf Art. 1a Abs. 2 lit. b AHVG zu berufen. Denn diese Bestimmung zielt allein auf grenzüberschreitende Sachverhalte ab, die nicht staatsvertraglich koordiniert sind. Im Geltungsbereich von Sozialversicherungsabkommen oder bei Anwendbarkeit der Kollisionsnormen der Verordnung 1408/71 (resp. seit dem 1. April 2012 der Verordnung 883/2004) ist eine Befreiung wegen unzumutbarer Doppelbelastung nicht möglich (Wegleitung des Bundesamtes für Sozialversicherungen über die Versicherungspflicht in der AHV/IV [WVP] Ziff. 5002 [Stand 1. Januar 2009]). Dies ergibt sich ohne Weiteres aus dem abschliessenden Charakter der staatsvertraglichen Vorschriften, anhand welcher die anzuwendenden materiellen Rechtsvorschriften zu bestimmen sind (Art. 13 ff. der Verordnung 1408/71). Da eine Person bei selbständigen Tätigkeiten in zwei oder mehr Mitgliedstaaten mit ihrem gesamten Einkommen stets nur der Gesetzgebung eines einzigen Staates unterstellt ist, kann es - rechtlich gesehen - gar nicht zu der in Art. 1a Abs. 2 lit. b AHVG vorausgesetzten Kollision kommen.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer ist im hier interessierenden Zeitraum (1. November 2009 bis 12. Dezember 2010) sowohl in der Schweiz wie in Deutschland einer selbständigen Erwerbstätigkeit nachgegangen. In dieser Situation richtet sich die ausschliessliche Beitragspflicht für das in beiden Ländern erworbene Einkommen nach dem Wohnsitz (Art. 14a Abs. 2 erster Satz der Verordnung 1408/71), das heisst nach dem Ort des gewöhnlichen Aufenthalts (Art. 1 lit. h der Verordnung 1408/71), worunter der Mittelpunkt der Lebensführung zu verstehen ist.
4.2. Der Beschwerdeführer war in der fraglichen Zeit sowohl in C._ (Schreiben der AHV-Zweigstelle C._ vom 6. Januar 2010 und der Gemeinde C._ vom 11. November 2013) wie auch in F._ (Deutschland) (Meldebestätigungen vom 29. März 2010 und 21. November 2013) angemeldet. Dem Widerruf der Bescheinigung durch die Deutsche Rentenversicherung D._ vom 27. April 2012 liegt unter anderem die Angabe des Beschwerdeführers zugrunde, er habe sich in der Zeit der Wohnsitznahme in der Schweiz überwiegend in "B._" aufgehalten (vgl. Rückantwort vom 16. April zum Schreiben der Deutschen Rentenversicherung vom 4. April 2012).
Das kantonale Gericht erwog, es sei nicht nachvollziehbar, weshalb sich der Beschwerdeführer nach der Abmeldung in der Stadt B._ auf Ende Oktober 2009 in C._ neu angemeldet habe, wenn er ab November 2009 tatsächlich keinen Wohnsitz mehr in der Schweiz hätte haben wollen. Dass er seit diesem Zeitpunkt nicht mehr über das zuvor angemietete Haus in B._, sondern nur noch über ein Zimmer im Haus seiner Eltern in C._ verfügte, ändere nichts an der Tatsache, dass er mit der Ummeldung den in der Schweiz bestehenden Wohnsitz nicht aufgegeben habe, zumal er nach wie vor als Rechtsanwalt hier tätig gewesen und in der öffentlichen Liste ausländischer Rechtsanwälte eingetragen gewesen sei. Für einen gewöhnlichen Aufenthalt in der Schweiz spreche auch, dass der Beschwerdeführer im Jahr 2009 ein Einkommen von Fr. 207'400.- aus Haupterwerbstätigkeit in der Schweiz versteuert habe, während er im gleichen Zeitraum in Deutschland bloss einen Nebenerwerb von umgerechnet knapp Fr. 50'000.- erzielt habe. Für die Steuerperiode 2010 sei das in der Schweiz steuerbare Einkommen aus selbständiger Tätigkeit auf Fr. 342'664.- festgesetzt worden.
Der Beschwerdeführer entgegnet, das 2010 in der Schweiz versteuerte Einkommen sei das Resultat von Arbeit aus den Vorjahren. In mehreren Erbscheinverfahren seien Honorare erst zeitlich verzögert, mit Auszahlung des Nachlasses, eingegangen. Naheliegenderweise habe er es vermieden, die Mandate vorher niederzulegen, und sich "zum Erhalt seines Status als in der Schweiz zugelassener Rechtsanwalt" mit der Anmeldung bei seinen in C._ lebenden Eltern beholfen, "ohne jedoch im dortigen Gästezimmer seinen Lebensmittelpunkt zu führen".
4.3. Der Beschwerdeführer war im Kanton Luzern seit dem Jahr 2007 in der öffentlichen Liste selbständiger Rechtsanwälte aus dem EU-/EFTA-Raum nach Art. 28 BGFA eingetragen. Dies ist eine Voraussetzung zur ständigen Ausübung des Anwaltsberufs unter ursprünglicher Berufsbezeichnung, die nicht nur vorübergehend im Rahmen des freien Dienstleistungsverkehrs (Art. 21 ff. BGFA) erfolgt. Die Eintragung setzt ihrerseits eine Aufenthaltserlaubnis voraus (Art. 4 FZA in Verbindung mit Art. 12 ff. Anhang I zum FZA; Urteil 2A.536/2003 vom 9. August 2004 E. 3.2.2). Daher liegt das Interesse des Beschwerdeführers, auch nach Aufgabe des Domizils in der Stadt B._ Ende Oktober 2009 in der Schweiz angemeldet zu bleiben, auf der Hand. Unter diesem Aspekt hat die Meldung in der Gemeinde C._ für die Frage nach dem Ort des gewöhnlichen Aufenthalts im Sinne von Art. 1 lit. h der Verordnung 1408/71 kein grosses Gewicht.
4.4. Somit sind die einwohneramtlichen Verhältnisse und die für eine Berufsausübung in der Schweiz getroffenen Vorkehrungen für die Beantwortung der Frage nach dem Ort des gewöhnlichen Aufenthalts wenig ergiebig. Fraglich ist, wie es sich unter dem Gesichtspunkt der weiteren geltend gemachten Umstände verhält.
4.4.1. Im Bereich der Beweiswürdigung verfügt das Sachgericht über einen erheblichen Ermessensspielraum (BGE 120 Ia 3a E. 4b S. 40). Das Bundesgericht überprüft die vorinstanzliche Beweiswürdigung, selbst wenn sie auf Indizien beruht, und die sich daraus ergebenden tatsächlichen Schlussfolgerungen nur mit beschränkter Kognition (Art. 105 BGG; Urteil 2C_270/2012 vom 1. Dezember 2012 E. 3.2 mit Hinweisen). Nur soweit Feststellungen oder Schlüsse nicht auf der beweismässigen Würdigung von vorgebrachten Umständen oder konkreten Anhaltspunkten beruhen, sondern ausschliesslich aufgrund von Erfahrungssätzen getroffen werden, die sich aus der allgemeinen Lebenserfahrung ableiten, und daher allgemein für gleich gelagerte Fälle Geltung beanspruchen, mithin die Funktion von Normen übernehmen, können sie vom Bundesgericht frei überprüft werden (BGE 117 II 256 E. 2b S. 258; Urteil 2C_678/2013 vom 28. April 2014 E. 3.3).
4.4.2. Es ist somit nicht Aufgabe des Bundesgerichts, eine vertretbare Ermessensentscheidung durch eine andere zu ersetzen. Das Sachgericht hat einen grossen Ermessensspielraum, was die Beweiswürdigung angeht. Wenn die Vorinstanz davon ausgeht, dass dem Beschwerdeführer nach dem 1. November 2009 nur noch ein Zimmer im Domizil seiner Eltern in C._ zur Verfügung stand, und dennoch einen weiterdauernden Lebensmittelpunkt in der Schweiz annimmt, schiebt sie deswegen nicht einen rechtserheblichen Umstand in unhaltbarer Weise beiseite. Bei Zugrundlegung dieses Massstabes verfiel die Vorinstanz auch nicht geradezu in Willkür, als sie eine geltend gemachte Erziehungsverpflichtung gegenüber dem in F._ (Deutschland) wohnhaften, damals 16-jährigen Pflegesohn respektive die damit verbundene Präsenzzeit in F._ (Deutschland) mit Hinweis darauf relativierte, aus einer Erklärung des Pflegesohns gehe hervor, dass dieser während der Abwesenheiten des Beschwerdeführers jeweils bei den Grosseltern untergebracht gewesen sei, obwohl der Erklärende angibt, schon 2009 sei der Beschwerdeführer nur noch im Abstand mehrerer Wochen für jeweils zwei bis drei Tage in die Schweiz gefahren; im Laufe des Jahres 2010 seien die Abstände länger geworden. Ebensowenig war es unhaltbar, den Einkommensanfall des Jahres 2010 mit einer entsprechend gewichtigen Anwesenheit in der Schweiz gleichzusetzen.
4.5. Zu prüfen bleibt, ob das kantonale Gericht die vom Beschwerdeführer angebotenen weiteren Beweise in antizipierter Würdigung ablehnen durfte (Art. 29 Abs. 2 BV; vgl. BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236). Dies ist zu bejahen: Da die Vorinstanz die Sachverhaltsdarstellung des Beschwerdeführers als solche nicht in Zweifel gezogen hat, vermöchte auch eine Befragung der vom Beschwerdeführer als Auskunftspersonen benannten Angehörigen, die ihm im Rahmen der Firma G._ AG auch beruflich verbunden waren, sowie der (ehemaligen) Mitarbeiterinnen an den Geschäftsstandorten in C._ und F._ die Beweislage betreffend die tatsächlichen Anwesenheiten des Beschwerdeführers an den beiden Orten nicht zu verbessern.
4.6. Die angefochtene Entscheid verletzt somit kein Bundesrecht bzw. Staatsvertragsrecht (Art. 95 lit. a und b BGG).
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. November 2014
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Traub