Sachverhalt:
A. Der 1960 geborene L._ war seit 16. Juni 2001 zu 100 % als Sachbearbeiter bei der Firma I._ AG angestellt und damit bei der "Zürich" Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend Zürich) obligatorisch unfallversichert. Einmal wöchentlich erteilte er in der Schule G._ zwei Lektionen Tai Chi-Unterricht und war damit bei den Winterthur-Versicherungen, nunmehr AXA Winterthur, obligatorisch unfallversichert. Am 18. Februar 2002 blieb L._ nach Beendigung des Tai Chi-Unterrichts im Unterrichtsraum der Schule G._ und übte dort für sich für eine private Veranstaltung Kung Fu-Kampftechniken. Während dieses Trainings stürzte er auf den Kopf und die Schulter der linken Seite. Er musste deswegen ärztlich behandelt werden und war arbeitsunfähig. Auf Gesuch der AXA Winterthur vom 28. Januar 2003 hin erliess das Bundesamt für Sozialversicherungen, Kranken- und Unfallversicherung, am 27. August 2003 eine Zuständigkeitsverfügung nach Art. 78 UVG, worin es die Zürich verpflichtete, die Kosten des Nichtberufsunfalls des Versicherten vom 18. Februar 2002 zu übernehmen. Hiegegen reichte die Zürich beim Eidgenössischen Departement des Innern Verwaltungsbeschwerde ein. Dieses überwies die Akten zur weiteren Behandlung der Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht, da ihm die Erledigung der Beschwerde bis Ende 2006 nicht möglich sei (Verfügung vom 4. Dezember 2006).
B. Das Bundesverwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Entscheid vom 12. März 2009 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt die Zürich, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei festzustellen, dass ein Berufsunfall vorliege.
Die AXA Winterthur schliesst auf Beschwerdeabweisung; es sei festzustellen, dass ein Nichtberufsunfall vorliege, womit die Zuständigkeit der Zürich gegeben sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254; Urteil 8C_218/2008 vom 20. März 2009 E. 1).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Vorinstanz hat die Bestimmungen und Grundsätze über die obligatorische Versicherung bei Berufs- und Nichtberufsunfällen (Art. 6 Abs. 1 und Art. 7 f. UVG; Art. 12 f. UVV) zutreffend dargelegt.
L._ war im Unfallzeitpunkt am 18. Februar 2002 zu 100 % (40 Wochenstunden) als Sachbearbeiter bei der Firma I._ AG angestellt und damit gemäss dem damaligen Art. 1 Abs. 1 (seit 1. Januar 2003 Art. 1a Abs. 1) in Verbindung mit Art. 6 Abs. 1 UVG bei der Zürich obligatorisch gegen die Folgen von Berufsunfällen, Nichtberufsunfällen und Berufskrankheiten versichert. Zusätzlich arbeitete er teilzeitlich mit einem Wochenpensum von zwei Stunden als Tai Chi-Lehrer in der Schule G._; im Rahmen dieses Arbeitsverhältnisses bestand bei der AXA Winterthur lediglich die obligatorische Berufsunfallversicherung, aber keine Nichtberufsunfallversicherung (Art. 13 Abs. 1 UVV e contrario). Dies ist unbestritten.
3. Streitig und zu prüfen ist, ob die Zürich oder die AXA Winterthur für die Folgen des Unfalls des Versicherten vom 18. Februar 2002 obligatorisch aus UVG leistungspflichtig ist.
3.1 Die Vorinstanz hat in einlässlich und schlüssig begründeter Auslegung (hiezu vgl. BGE 134 I 184 E. 5.1 S. 193, 134 V 1 E. 7.2 S. 5, je mit Hinweisen) des Art. 7 Abs. 1 lit. b UVG zutreffend erkannt, dass ein Berufsunfall im Sinne dieser Bestimmung vorliegt, wenn ein sachlicher Zusammenhang zwischen der vereinbarten Arbeitstätigkeit und dem Aufenthalt der versicherten Person auf der Arbeitsstätte oder im Bereich der mit ihrer beruflichen Tätigkeit zusammenhängenden Gefahren besteht. Ihr dortiger Aufenthalt muss dem Zweck der Arbeit bzw. dem Interesse des Arbeitgebers dienen. Die versicherte Person muss sich befugterweise, d.h. im Dienste des Arbeitgebers, noch in den Arbeitsräumen aufhalten. Der erforderliche Sachzusammenhang kann trotz Verweilens der versicherten Person auf der Arbeitsstätte bzw. im entsprechenden Gefahrenbereich fehlen oder unterbrochen werden. Dies ist dann der Fall, wenn sie sich dort befindet, um Tätigkeiten im eigenen Interesse auszuführen, oder wenn sie sich dort ohne zwingende Gründe aufhält (z.B. zwecks Besuchs von Arbeitskollegen während ihrer Ferien). In diesem Sinne hat das Eidgenössische Versicherungsgericht (seit 1. Januar 2007 Bundesgericht) bereits im Urteil U 71/96 vom 24. Oktober 1997 E. 3a entschieden (mit Hinweisen auf die Lehre; vgl. ebenso: Jean-Maurice Frésard/Margit Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2. Aufl., Basel 2007, S. 852 f. Rz. 47). Weiter ist auf BGE 134 V 412 E. 3.2 S. 416 f. zu verweisen, wonach auch Arbeitswegunfälle nur dann als Berufsunfälle im Sinne von Art. 7 Abs. 2 UVG und Art. 13 Abs. 2 UVV gelten, wenn zwischen der Reise und der Arbeit der versicherten Person ein sachlicher Zusammenhang besteht. Gründe, im Rahmen von Art. 7 Abs. 1 lit. b UVG auf das dargelegte Erfordernis des sachlichen Zusammenhangs zu verzichten, sind nicht ersichtlich, weshalb von einer Praxisänderung (zu deren allgemeinen Voraussetzungen vgl. BGE 134 V 72 E. 3.3 S. 76 mit Hinweisen) abzusehen ist.
3.2 Im vorliegenden Fall nahm der Versicherte am 18. Februar 2002 nach Beendigung des vertraglich vereinbarten Tai Chi-Unterrichts in der Schule G._ um 20.50 Uhr daselbst eine neue, zusätzliche, andersartige Tätigkeit in Form von Kung Fu-Training auf. Während dieses Trainings stürzte er um ca. 21.45 Uhr auf den Kopf und die Schulter der linken Seite, was zu Behandlungsbedürftigkeit und Arbeitsunfähigkeit führte. Das Kung Fu-Training des Versicherten diente nicht dem Zweck gemäss Arbeitsvertrag mit der Schule G._. Es handelte sich um eine rein private Beschäftigung. Die Verletzungsgefahr bei diesem persönlichen Training ging somit auch nicht von der Berufsarbeit aus und hing nicht mit ihr zusammen. Insbesondere diente das Kung Fu-Training nicht etwa der Vorbereitung auf weitere Lektionen/Unterrichtseinheiten von Tai Chi in der Schule G._, sondern erfolgte mit Blick auf eine private Veranstaltung. Unter diesen Umständen ist der sachliche Zusammenhang zwischen dem Aufenthalt des Versicherten während des Kung Fu-Trainings im Unterrichtsraum der Schule G._ und seiner dortigen Arbeitstätigkeit als Tai Chi-Lehrer zu verneinen. Demnach ist der während des Kung Fu-Trainings am 18. Februar 2002 erlittene Unfall als Nichtberufsunfall zu qualifizieren, weshalb die Zürich für dessen Folgen leistungspflichtig ist (vgl. E. 2 hievor).
4. Die unterliegende, nicht unter den Ausnahmetatbestand von Art. 66 Abs. 4 BGG fallende Zürich hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 133 V 642). Als Organisation mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben hat die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegende AXA Winterthur keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG; SVR 2009 UV Nr. 11 S. 45 E. 11 [Urteil 8C_606/2007]).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 6000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht, L._ und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Juni 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar