Faits:
A. C._ a travaillé en qualité de serveuse dans un café-restaurant puis comme employée d'entretien. Depuis le 25 mai 2002, elle a cessé le travail et a perçu des indemnités pour perte de gain de l'assurance-maladie.
Le 2 juillet 2003, la prénommée s'est annoncée à l'assurance-invalidité en invoquant un trouble de l'humeur et des douleurs dorsales. Les renseignements médicaux que l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève a recueillis dans le cadre de l'instruction de la demande ont mis en évidence une fibromyalgie ainsi qu'un trouble dépressif. Les avis des médecins qui se sont exprimés ont divergé à propos de l'importance de ces troubles de santé et de leur incidence sur la capacité de travail de l'assurée (voir en particulier les rapports des docteurs R._, des 29 novembre 2003 et 30 janvier 2006, L._ et U._ du SMR X._, du 26 septembre 2005, et H._, du 17 avril 2007).
Dans un projet de décision du 16 mars 2007, l'office AI a informé l'assurée qu'il envisageait de rejeter la demande de prestations, au motif qu'elle était apte à exercer son ancienne activité à plein temps. Le refus a été signifié par décision du 4 mai 2007.
B. C._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances sociales du canton de Genève en concluant principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité, subsidiairement à la mise en oeuvre d'une expertise.
Le tribunal cantonal a ordonné une expertise médicale qu'il a confiée au docteur A._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (ordonnance d'expertise du 25 septembre 2007). L'expert A._ a déposé son rapport le 20 mars 2008.
Par jugement du 30 mai 2008, le tribunal des assurances a rejeté le recours.
C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant au versement d'une rente entière d'invalidité fondée sur un degré d'invalidité de 100 % à compter du 2 juillet 2003.
L'intimé a conclu au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
1.2 En ce qui concerne plus particulièrement l'évaluation de l'invalidité, les principes relatifs au pouvoir d'examen développés dans l'ATF 132 V 393 consid. 3 p. 397 ss (en relation avec l'art. 132 OJ dans sa version en vigueur du 1er juillet au 31 décembre 2006) continuent à s'appliquer pour distinguer les constatations de fait de l'autorité précédente (qui lient en principe le Tribunal fédéral) de l'application qu'elle fait du droit (question qui peut être examinée librement en instance fédérale). Conformément à ces principes, les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de l'assuré et l'exigibilité relèvent d'une question de fait et ne peuvent être contrôlées que sous un angle restreint. Dans la mesure cependant où il en va de l'évaluation de l'exigibilité d'une activité professionnelle au regard de l'expérience générale de la vie, il s'agit d'une question de droit qui peut être examinée librement en instance fédérale (ATF 132 V 393 consid. 3.2 p. 398 et les arrêts cités).
1.3 Les modifications de la LAI du 6 octobre 2006 (5ème révision de la LAI), entrées en vigueur le 1er janvier 2008, n'ont pas à être prises en considération dans le présent litige, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment de la réalisation de l'état de fait dont les conséquences juridiques font l'objet de la décision (ATF 129 V 1 consid. 1.2 p. 4 et les arrêts cités).
2. Le jugement du 2 décembre 2008 expose correctement les règles légales et jurisprudentielles sur la notion d'invalidité et son évaluation, ainsi que les principes jurisprudentiels relatifs à la libre appréciation des preuves et à la valeur probante des rapports médicaux. Il suffit d'y renvoyer, singulièrement au consid. 5d où il est rappelé qu'en principe, le juge ne s'écarte pas sans motifs impératifs des conclusions d'une expertise médicale judiciaire, la tâche de l'expert étant précisément de mettre ses connaissances spéciales à la disposition de la justice afin de l'éclairer sur les aspects médicaux d'un état de fait donné. Selon la jurisprudence, peut constituer une raison de s'écarter d'une expertise judiciaire le fait que celle-ci contient des contradictions, ou qu'une surexpertise ordonnée par le tribunal en infirme les conclusions de manière convaincante (ATF 125 V 352 consid. 3b/aa et les références).
3. Le tribunal cantonal s'est fondé sur le rapport d'expertise judiciaire du docteur A._, document auquel il a reconnu pleine valeur probante. En bref, à la lumière des conclusions de l'expert judiciaire, le tribunal a constaté que la recourante présentait un état dépressif récurrent moyen depuis mars 2001, mais qu'une incapacité de travail liée à cette affection psychique n'était survenue au plus tôt qu'en mars 2007 lorsque l'état dépressif s'était aggravé.
Dans ces conditions, la juridiction cantonale de recours a estimé que la question du caractère invalidant du trouble somatoforme douloureux et du trouble dépressif récurrent moyen pouvait souffrir de rester indécise. En effet, au jour où la décision administrative litigieuse avait été rendue, le 4 mai 2007, la recourante n'avait pas présenté une incapacité de travail de 40 % au moins pendant une année (cf. art. 29 al. 1 let. b LAI, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007), de sorte qu'elle ne pouvait prétendre une rente.
4. La recourante se plaint d'une violation de l'art. 29 LAI, ainsi que d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves. Elle soutient que le tribunal cantonal a suivi à tort l'avis de l'expert A._, car de nombreux médecins avaient attesté une incapacité de travail, partielle à compter du mois de juin 2001 (docteur R._) et totale depuis le mois de mai 2002 (docteur I._) ou août 2005 (docteur H._); de plus, le docteur R._ avait retenu une intensification de l'état dépressif depuis 2006.
5. Le litige porte sur le point de savoir si le tribunal cantonal a violé le droit fédéral en admettant, sur la base du dossier dont il disposait, que les affections psychiques dont souffre la recourante n'avaient entraîné une incapacité de travail qu'à partir du printemps 2007 au plus tôt. Pour résoudre cette question, il s'agit de déterminer si les premiers juges ont établi les faits de manière manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1 LTF).
L'évaluation de la capacité de travail exigible, par la juridiction cantonale, constitue une question de fait qui lie le Tribunal fédéral (consid. 1.2 ci-dessus). A cet égard, la recourante méconnaît le fait que la fixation de la gravité d'un trouble dépressif et de son évolution est, par essence, toujours le fruit de l'exercice du pouvoir d'appréciation. C'est ainsi que le caractère fiable de constatations psychiatriques est notoirement très limité, en particulier lorsque les diagnostics portent sur des troubles dépressifs, somatoformes ou dissociatifs.
Dans le cas d'espèce, les juges cantonaux ont établi les faits déterminants sur la base d'une expertise judiciaire. Si la recourante entendait s'en prendre à leurs constatations de faits, il lui aurait alors incombé d'énoncer les motifs impératifs, au sens où la jurisprudence l'entend (consid. 2 supra), pour lesquelles la juridiction cantonale aurait dû s'écarter des conclusions de l'expertise judiciaire qu'elle avait ordonnée. Or l'argumentaire que la recourante développe ne lui est d'aucun secours, car elle oppose en définitive l'avis de psychiatres qui s'étaient précédemment exprimés dans un sens plutôt favorable à sa cause à celui de l'expert judiciaire, au lieu d'exposer en quoi ce dernier aurait failli à sa tâche en ne retenant une incapacité de travail qu'à partir du printemps 2007 (cf. let. i p. 15 du rapport d'expertise).
On ajoutera aussi, à propos du rapport d'expertise privée du docteur I._ dont il est question au consid. 12 de l'ordonnance du 25 septembre 2007, que ce document a été établi peu de temps après ladite ordonnance, le 2 octobre 2007. La recourante n'en a pourtant pas abordé le contenu devant la juridiction cantonale et cette pièce n'a pas été discutée dans le jugement attaqué du 30 mai 2008. Ce rapport ne peut donc plus être présenté en procédure fédérale (art. 99 al. 1 LTF).
Il s'ensuit que le tribunal des assurances n'a pas violé le droit fédéral en constatant l'existence d'une incapacité de travail qu'à partir du printemps 2007, à la lumière du rapport d'expertise judiciaire du docteur A._. La solution que le tribunal a donnée au litige, en application de l'ancien art. 29 LAI, n'apparaît dès lors pas critiquable, étant précisé qu'il aurait été superflu, contrairement à ce que la recourante soutient, d'examiner en l'état la question du caractère invalidant du trouble fibromyalgique. Le recours est mal fondé.
6. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 19 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud