Faits:
Faits:
A. Par demande du 9 novembre 1992, A._ a assigné la Banque Z._, devenue par la suite la Banque X._, en paiement de divers montants à titre de dommages-intérêts. Il reprochait à la défenderesse d'avoir mal géré la fortune que lui-même et d'autres clients lui avaient confiée.
Statuant le 23 octobre 2000, le Tribunal de première instance du canton de Genève a rejeté la demande.
Saisie d'un appel du demandeur, la Cour de justice genevoise a confirmé ce jugement par arrêt du 10 octobre 2003.
Le 17 novembre 2003, le demandeur a adressé au Tribunal fédéral un recours de droit public (cause 4P.248/2003) et un recours en réforme (cause 4C.326/2003) dirigés contre ledit arrêt.
En date du 25 mai 2004, la Ire Cour civile du Tribunal fédéral a rendu deux arrêts distincts au terme desquels elle a rejeté l'un et l'autre recours dans la mesure où ils étaient recevables.
En date du 25 mai 2004, la Ire Cour civile du Tribunal fédéral a rendu deux arrêts distincts au terme desquels elle a rejeté l'un et l'autre recours dans la mesure où ils étaient recevables.
B. Le 25 août 2004, A._ a saisi la Cour de justice d'une demande de révision de l'arrêt du 10 octobre 2003. A l'appui de cette demande, il faisait valoir que le juge Michel Criblet, qui faisait partie de la Chambre ayant rendu cet arrêt, aurait dû se récuser.
Par arrêt du 17 décembre 2004, la Cour de justice a admis la demande de révision, rétracté son arrêt du 10 octobre 2003 et cité les parties à une audience pour plaider sur l'appel dirigé contre le jugement de première instance du 23 octobre 2000.
Par arrêt du 17 décembre 2004, la Cour de justice a admis la demande de révision, rétracté son arrêt du 10 octobre 2003 et cité les parties à une audience pour plaider sur l'appel dirigé contre le jugement de première instance du 23 octobre 2000.
C. Le 25 août 2004, en même temps qu'il soumettait la demande de révision précitée à la cour cantonale, A._ a adressé au Tribunal fédéral deux demandes de révision dirigées contre les deux arrêts rendus le 25 mai 2004 par la Ire Cour civile (causes 4P.198/2004 et 4C.294/2004).
Par arrêt du 23 mars 2005, la Ire Cour civile a joint ces deux causes, admis les demandes de révision, annulé les deux arrêts qu'elle avait rendus le 25 mai 2004, déclaré sans objet le recours de droit public et le recours en réforme exercés par A._ dans les causes 4P.248/2003 et 4C.326/2003, statué sur les frais et dépens concernant ces deux procédures de recours et réglé le sort des frais et dépens afférents à la procédure de révision fédérale. Elle a considéré, en bref, que l'arrêt rescindant du 17 décembre 2004, par lequel la Cour de justice avait annulé son arrêt du 10 octobre 2003, rendait sans objet les deux recours fédéraux visant ce dernier arrêt.
Par arrêt du 23 mars 2005, la Ire Cour civile a joint ces deux causes, admis les demandes de révision, annulé les deux arrêts qu'elle avait rendus le 25 mai 2004, déclaré sans objet le recours de droit public et le recours en réforme exercés par A._ dans les causes 4P.248/2003 et 4C.326/2003, statué sur les frais et dépens concernant ces deux procédures de recours et réglé le sort des frais et dépens afférents à la procédure de révision fédérale. Elle a considéré, en bref, que l'arrêt rescindant du 17 décembre 2004, par lequel la Cour de justice avait annulé son arrêt du 10 octobre 2003, rendait sans objet les deux recours fédéraux visant ce dernier arrêt.
D. Le 28 janvier 2005, la banque X._ a saisi la Cour de justice d'une opposition à taxe concernant les dépens mis à sa charge pour la procédure de révision cantonale. Avec l'accord des parties, cette cause a été jointe à la cause au fond.
A l'audience sur rescisoire du 15 mars 2005, A._ a conclu, préalablement, à ce que l'instruction de la cause soit complétée par l'audition de témoins et par deux expertises. Sur le fond, il a repris les dernières conclusions qu'il avait formulées en première instance. Il a, en outre, requis le rejet de l'opposition à taxe.
Statuant par arrêt du 16 juin 2005, la Cour de justice a confirmé le jugement rendu le 23 octobre 2000 par le Tribunal de première instance et rejeté l'opposition à taxe. Elle a encore réglé le sort des dépens pour ces deux procédures. Les juges cantonaux ont indiqué les raisons pour lesquelles il ne se justifiait pas, selon eux, de rouvrir les enquêtes en appel. Examinant ensuite la cause au fond, ils ont estimé que l'intimée n'encourait aucune responsabilité contractuelle pour avoir placé de sa propre initiative des titres de la société U._ dans certains dépôts du recourant ou des clients de ce gérant de fortune indépendant. Ce faisant, la banque avait agi dans le cadre d'une gestion d'affaires parfaite et irrégulière, laquelle était susceptible de ratification, même tacite, à certaines conditions. Ces conditions étaient réalisées en l'espèce, l'intimée n'ayant pas entrepris la gestion litigieuse dans son intérêt exclusif ou prépondérant. Quant au recourant et à ses clients, ils avaient ratifié, par une série d'actes concluants, les achats des titres en question. Dès lors, ils ne pouvaient plus rechercher l'intimée de ce chef, si bien que leur action en responsabilité devait être rejetée.
E. A._, agissant par la voie du recours de droit public, demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt sur rescisoire. Il fait grief à la cour cantonale d'avoir violé son droit d'être entendu (art. 6 par. 1 CEDH, art. 29 al. 2 Cst.), d'avoir méconnu le droit de toute personne à un recours effectif (art. 13 CEDH), d'avoir appliqué arbitrairement l'art. 307 de la loi de procédure civile genevoise (LPC gen.) et d'avoir constaté de manière arbitraire les faits pertinents (art. 9 Cst.). Le recourant précise qu'il a renoncé à interjeter parallèlement un recours en réforme contre ledit arrêt.
L'intimée conclut au rejet du recours. La Cour de justice se réfère, quant à elle, aux motifs énoncés dans l'arrêt attaqué.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. Exercé en temps utile (art. 89 al. 1 OJ en liaison avec l'art. 34 al. 1 let. b OJ), dans la forme prévue par la loi (art. 90 al. 1 OJ), pour violation de droits constitutionnels des citoyens (art. 84 al. 1 let. a OJ), contre une décision finale prise en dernière instance cantonale, le recours de droit public soumis au Tribunal fédéral est recevable sous cet angle. Il ne le serait pas, en revanche, en vertu de l'art. 84 al. 2 OJ, si son auteur y soulevait des moyens relevant du recours en réforme.
Le recourant, qui a été débouté entièrement de ses conclusions au fond, a un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que la décision attaquée n'ait pas été adoptée en violation de ses droits constitutionnels; en conséquence, la qualité pour recourir doit lui être reconnue (art. 88 OJ).
Le recourant, qui a été débouté entièrement de ses conclusions au fond, a un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que la décision attaquée n'ait pas été adoptée en violation de ses droits constitutionnels; en conséquence, la qualité pour recourir doit lui être reconnue (art. 88 OJ).
2. La Cour de justice se voit, tout d'abord, reprocher par le recourant d'avoir appliqué arbitrairement l'art. 307 LPC gen. en refusant d'administrer les preuves qu'il avait offertes en appel. Il en serait résulté une violation des garanties procédurales découlant des art. 6 par. 1 CEDH, 13 CEDH et 29 al. 2 Cst.
2.1 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu, garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., celui, notamment, de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision (ATF 126 I 15 consid. 2a/aa p. 16; 124 I 49 consid. 3a, 241 consid. 2). La portée du droit d'être entendu est déterminée en premier lieu par le droit cantonal, dont le Tribunal fédéral n'examine l'application que sous l'angle restreint de l'arbitraire. Dans le cas où la protection que ce droit accorde se révèle insuffisante, l'intéressé peut invoquer directement l'art. 29 al. 2 Cst., qui constitue ainsi une garantie subsidiaire et minimale. Le Tribunal fédéral examine alors librement si les exigences de cette disposition ont été respectées (ATF 127 III 193 consid. 3 p. 194 et les arrêts cités). Quant à l'art. 6 par. 1 CEDH, il n'a pas de portée propre et n'accorde pas au justiciable de garanties plus étendues que celles découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. ATF 112 Ia 166 consid. 3a p. 168, 111 Ia 273 consid. 2a).
En l'espèce, comme on peut s'en convaincre sur le vu de son argumentation, le recourant ne soutient pas - et, en tout état de cause, ne démontre pas - que l'application non arbitraire de la disposition du droit de procédure cantonal invoquée par lui (l'art. 307 al. 1 LPC gen.) ne suffisait pas à le faire bénéficier des garanties procédurales minimales prévues par l'art. 29 al. 2 Cst. et à lui permettre d'exercer son droit à un recours effectif découlant de l'art. 13 CEDH (au sujet de ce droit, cf. ATF 130 I 369 consid. 6.1). Par conséquent, il convient d'examiner uniquement si la Cour de justice a fait une application arbitraire de la disposition de droit cantonal précitée.
2.2 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, qu'elle méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (ATF 131 I 57 consid. 2; 129 I 8 consid. 2.1). Arbitraire et violation de la loi ne sauraient être confondus; une violation doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à examiner quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement dire si l'interprétation qui a été retenue est défendable. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire préférable (ATF 131 I 57 consid. 2; 129 I 8 consid. 2.1). En outre, pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 129 I 173 consid. 3.1 p. 178; 127 I 38 consid. 2a p. 41, 54 consid. 2b).
2.2 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, qu'elle méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (ATF 131 I 57 consid. 2; 129 I 8 consid. 2.1). Arbitraire et violation de la loi ne sauraient être confondus; une violation doit être manifeste et reconnue d'emblée pour être arbitraire. Le Tribunal fédéral n'a pas à examiner quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement dire si l'interprétation qui a été retenue est défendable. Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire préférable (ATF 131 I 57 consid. 2; 129 I 8 consid. 2.1). En outre, pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que la motivation formulée soit insoutenable, il faut encore que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 129 I 173 consid. 3.1 p. 178; 127 I 38 consid. 2a p. 41, 54 consid. 2b).
2.3 2.3.1 L'art. 307 LPC gen. donne à la Cour de justice la faculté de procéder à l'administration des preuves sollicitées devant le premier juge, soit que celui-ci l'ait exécutée de manière défectueuse ou insuffisante (al. 1), soit qu'il s'y soit refusé (al. 2). Cette faculté ne trouve ses limites que dans la conception que la Cour de justice se fait du principe du double degré de juridiction cantonal. En effet, aucun principe de droit fédéral n'exige ni n'interdit qu'une preuve soit soumise à l'appréciation des juges du premier puis du second degré de juridiction; il suffit, au regard du droit fédéral, qu'une seule fois la preuve ait pu être administrée devant l'autorité cantonale. Cela étant, l'art. 307 LPC gen. ne permet pas à une partie d'exiger en appel l'administration de preuves qu'elle n'aurait pas sollicitée devant le premier juge en temps utile et selon les formes adéquates (Bernard Bertossa/Louis Gaillard/Jacques Guyet/André Schmid, Commentaire de la loi de procédure civile du canton de Genève du 10 avril 1987, vol. II, n. 2 ad art. 307 et les références). Ainsi, l'autorité d'appel bénéficie d'une large marge de manoeuvre pour ce qui est d'ordonner ou non des mesures probatoires (arrêt 4P.1/2004 du 12 mai 2004, consid. 4.3.2).
2.3.2
2.3.2.1 Constatant que le recourant lui demandait d'entendre plusieurs témoins qui ne figuraient pas sur la liste de témoins déposée lors de la procédure de première instance, la Cour de justice a refusé de donner suite à cette demande au motif que son auteur ne pouvait combler pareille lacune en appel. Le recourant rétorque, en ce qui concerne deux de ces témoins, que le premier est un ancien directeur de l'intimée ayant eu connaissance du traitement de ses dossiers à l'interne; il n'aurait appris l'existence de ce témoin que suite à l'ouverture de la procédure de révision. Quant au second témoin, il s'agit de son ancien avocat, qui a participé à la procédure dite de "conciliation" entre les parties; ce témoin pourrait démontrer que son mandant n'a jamais ratifié, même tacitement, les actes de gestion exécutés par l'intimée.
Les arguments avancés par le recourant ne permettent pas d'assimiler le refus d'entendre ces deux personnes à une violation arbitraire de l'art. 307 LPC gen. S'agissant de la première, qu'il ne désigne du reste pas nommément, le recourant, non seulement ne démontre pas en quoi le seul fait qu'elle ait pu avoir connaissance de ses dossiers serait "essentiel à la manifestation de la vérité", mais, qui plus est, il se contente d'affirmer, sans rendre vraisemblables ses dires à ce sujet, que l'existence de ce témoin - un ancien directeur de l'intimée - lui était totalement inconnue à l'époque de la procédure de première instance, puisqu'il ne l'aurait apprise que "suite à l'ouverture de la procédure de révision, qui a eu un certain retenti (sic)". Pour ce qui est du second témoin, à savoir l'avocat qu'il avait mandaté pour négocier avec l'intimée entre 1986 et 1991, on ne voit pas pourquoi le recourant n'aurait pas pu requérir l'audition de cette personne en première instance déjà. L'explication peu claire fournie par lui à ce propos, d'après laquelle le Tribunal de première instance aurait soulevé d'office la question de la ratification des actes accomplis par B._, ne convainc guère. Il ressort, au contraire, des écritures des parties que cette question les divisait déjà avant le prononcé du premier jugement.
2.3.2.2 Le recourant avait requis également une nouvelle audition de B._, l'ancien sous-directeur de l'intimée, déjà longuement entendu par le premier juge, dans l'espoir d'une variation de son témoignage, compte tenu de la prescription de délits pénaux - non spécifiés - que le témoin pourrait être amené à admettre désormais.
La Cour de justice a rejeté cette requête aux motifs que le témoin en question n'avait jamais été condamné pour infraction à l'art. 307 CP et que le recourant n'avait pas déposé plainte pénale à son encontre pour solliciter la révision du jugement entrepris, sur la base d'une condamnation pénale (art. 157 let. c LPC gen.). Elle a précisé que le recourant ne pouvait plus remédier à son inaction en sollicitant une nouvelle audition de ce témoin, correctement interrogé par le premier juge, un simple espoir n'étant d'ailleurs pas un fait nouveau susceptible de justifier la réouverture des enquêtes en appel.
Le recourant laisse intact le raisonnement de la cour cantonale fondé sur la nécessité de passer par la voie pénale et par celle de la révision civile pour effacer les effets du faux témoignage imputé à B._ et sur la sanction qu'emporte l'absence de telles démarches judiciaires. Il se contente de répéter que cette personne serait libre de témoigner aujourd'hui, alors qu'elle ne l'était pas auparavant.
Cette seule affirmation ne suffit pas à faire apparaître comme arbitraire le véritable motif pour lequel la cour cantonale a refusé d'entendre B._. Le recours est, dès lors, irrecevable sur ce point.
2.3.3 Le recourant avait requis, par ailleurs, la mise en oeuvre de deux expertises: la première visait à démontrer la valeur réelle des actions U._ au 21 novembre 1983 sans les opérations effectuées auparavant par B._, afin d'établir que ces titres avaient fait l'objet de manipulations de la part de cette personne; la seconde devait permettre de chiffrer le dommage subi par le recourant.
Cette double requête d'expertise a été rejetée parce que le recourant ne l'avait pas formulée en première instance et qu'au surplus le montant du dommage ne constituerait un fait pertinent que dans l'hypothèse où la responsabilité de l'intimée serait reconnue.
Loin de faire apparaître comme insoutenable le premier motif invoqué par la cour cantonale pour refuser d'ordonner les expertises requises, le recourant concède lui-même que, s'il n'a sollicité l'expertise concernant le cours des actions U._ qu'en instance d'appel, c'est "en raison du fait que son premier conseil ne l'avait pas demandée". Or, il doit se laisser opposer l'inaction de cet ancien mandataire, lequel, s'étant "mué en expert", n'a pas jugé nécessaire de requérir l'expertise de ces titres en première instance. En refusant d'administrer en appel un moyen de preuve que le recourant aurait pu proposer dans l'instance précédente, la Cour de justice n'a, dès lors, fait qu'appliquer l'art. 307 LPC gen., tel qu'elle l'interprète de longue date. Semblable refus était ainsi le résultat de l'application non arbitraire de cette disposition aux circonstances du cas concret.
Pour le reste, en tant que le recourant soutient, ici aussi, que le moyen de preuve invoqué se rapportait à une question - la ratification des actes accomplis par B._ - qui était apparue postérieurement à la notification du jugement de première instance, on peut le renvoyer à ce qui a été dit plus haut au sujet du même argument, avancé alors pour justifier la requête d'audition de nouveaux témoins (cf. 2.3.2.1 in fine).
2.3.4 Il convient de souligner, enfin, que les requêtes tendant à l'audition de témoins et à la mise en oeuvre d'expertises n'ont été formulées par le recourant que le 15 mars 2005, lors de la dernière audience de la Cour de justice. Lesdites requêtes n'avaient donc pas été soumises à cette autorité dans le cadre de la première procédure d'appel ayant débouché sur l'arrêt du 10 octobre 2003, rétracté ultérieurement suite à l'admission de la demande de révision cantonale. Aussi le recourant est-il peu crédible lorsqu'il allègue aujourd'hui le caractère indispensable de moyens de preuve qu'il n'avait pas jugé utile de faire administrer à l'époque.
Ainsi, la Cour de justice n'a violé aucune des garanties conventionnelles et constitutionnelles invoquées par le recourant en refusant de donner suite à ces nouvelles offres de preuve.
Ainsi, la Cour de justice n'a violé aucune des garanties conventionnelles et constitutionnelles invoquées par le recourant en refusant de donner suite à ces nouvelles offres de preuve.
3. Le recourant se plaint ensuite d'une appréciation arbitraire des preuves ayant débouché sur deux constatations de fait insoutenables.
3.1 En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 127 I 38 consid. 2a).
3.1 En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 127 I 38 consid. 2a).
3.2 3.2.1 En premier lieu, le recourant s'en prend à la constatation selon laquelle B._ avait cru fortement au potentiel des actions U._ et n'avait, de ce fait, pas recherché un enrichissement illégitime pour lui-même ou pour autrui. Force est de relever d'emblée que ce grief, tel qu'il est formulé, ne consiste qu'en la reprise, quasiment mot pour mot, du moyen que le recourant avait déjà soulevé, sur le même point, dans son recours de droit public dirigé contre l'arrêt du 10 octobre 2003. Il appelle donc la même réponse que celle qui a été faite au considérant 3.2 de l'arrêt fédéral du 25 mai 2004 relatif à ce recours, étant précisé que ledit arrêt a été annulé, ensuite de l'admission de la demande de révision dont il était l'objet, pour un motif qui ne remet nullement en cause les considérations émises alors par le Tribunal fédéral afin de justifier le rejet du grief en question.
C'est donc le lieu de rappeler que le simple fait que B._ avait eu un comportement pénalement répréhensible à l'égard de la Banque, son employeur, ne suffit pas en soi pour retenir qu'il ne pouvait avoir agi que de même à l'égard du recourant. La cour cantonale constate notamment que, jusqu'en 1984, les titres U._, qui avaient été placés sans mandat initial sur les comptes du recourant ou sur ceux qu'il gérait, de 1982 à 1984, avaient produit des dividendes et avaient présenté de bonnes perspectives de rendement, ces titres, bien que traités hors bourse, faisant d'ailleurs l'objet d'un marché, publié dans le journal Financial Times. Elle mentionne également des indices montrant que B._ avait vraiment cru à la valeur de ces titres. Admettre, dans ces conditions, un défaut d'intention d'enrichissement illégitime n'avait rien d'arbitraire.
Le recourant estime que même si B._ avait cru, en son for intérieur, en la valeur des titres U._, il n'a pu agir que dans un dessein d'enrichissement illégitime pour lui-même ou ses amis E._ et F._, compte tenu du dommage énorme causé au recourant et aux portefeuilles qu'il gérait. Or, le seul fait que le recourant et ses propres clients ont subi une perte ne suffit pas à démontrer le dessein délictueux de B._ et la responsabilité de la Banque qu'il engageait.
Il s'ensuit le rejet de ce moyen dans la mesure où il est recevable.
3.2.2 Le second grief du recourant, qui se rapporte aux constatations de la cour cantonale touchant la valeur des actions U._ et la prétendue manipulation du cours de ces titres imputée à B._, sera écarté par identité de motifs avec ceux qui ont été énoncés aux considérants 3.3 et 3.4 de l'arrêt fédéral sus-indiqué, à l'effet de démontrer le caractère infondé du grief similaire invoqué alors par le recourant, et qui seront rappelés ci-après. La recevabilité du grief en question, formulé sur un mode essentiellement appellatoire, est, au demeurant, sujette à caution.
3.2.2.1 Le recourant soutient que la cour cantonale a retenu arbitrairement que les titres U._ avaient une valeur correspondant aux montants payés par ses comptes pour les acquérir. Il ne serait pas possible d'admettre qu'il y ait eu équivalence entre la dette d'argent en francs suisses créée sur lesdits comptes et la valeur de ces titres hautement spéculatifs. Leur attribution aurait mis les comptes précités en danger. Ce mode de faire serait contraire aux règles de l'Association Suisse des Banquiers (ASB), lesquelles interdiraient d'attribuer des titres et de rendre des comptes débiteurs sans l'accord préalable exprès de l'ayant droit économique.
Quoi qu'en dise le recourant, la cour cantonale n'a pas retenu que lui-même ou ses propres clients n'avaient pas subi de dommage patrimonial en relation avec les titres U._, mais que B._, engageant l'intimée, n'avait pas cherché à tromper le recourant. Les juges cantonaux ont ensuite écarté la responsabilité de la banque dès lors que les actes de gestion commis par B._ avaient été ratifiés par le recourant. La question de savoir si les règles de l'ASB étaient ou non applicables en l'espèce est un problème de droit qui ne peut pas être examiné dans la présente procédure (art. 84 al. 2 OJ).
En outre, l'existence d'une mise en danger du patrimoine par l'achat de titres U._, dont il est avéré qu'ils ont rapporté des dividendes aux porteurs d'actions en 1984, n'est pas établie.
Il s'ensuit le rejet de ce moyen.
3.2.2.2 Le recourant soutient, par ailleurs, qu'il est arbitraire de considérer que B._ n'avait pas voulu le tromper. Il estime que les indices retenus par la cour cantonale à ce sujet n'ont pas de poids face aux éléments de fait suivants:
- il résulterait de la plainte pénale de l'intimée contre B._ que les procédés adoptés par celui-ci dans le dossier U._ sont semblables à ceux du dossier R._, où sa duplicité aurait été établie;
- les informations au sujet de la valeur économique des actions U._, qui sont des valeurs hors bourse fixées selon des critères purement subjectifs et invérifiables, provenaient d'un courtier londonien qui a été condamné pour de graves irrégularités à Londres en 1984;
- U._ aurait subi des pertes en 1984 et n'aurait pu obtenir de crédit auprès de la Banque sans la complicité de B._;
- la presse aurait relevé que des titres U._ avaient dû être vendus à des prix surfaits;
- B._ aurait acquis ces titres pour le prix de 9 pences pour les placer dans les portefeuilles des clients de la Banque à des valeurs comprises entre 30, 46.7 et 57 pences en 1984;
- B._ a signé en 1983 un engagement de souscrire 21 millions d'actions U._;
- B._ a eu des contacts avec les dirigeants de U._. Il aurait participé à une tromperie à très grande échelle.
Le recourant déduit de son exposé de faits que B._ connaissait le fondement économique inexistant de U._ et qu'il l'aurait "forcément" trompé.
Ce moyen n'est pas mieux fondé que les précédents.
En premier lieu, il convient de relever que les termes de la plainte pénale déposée par la Banque contre son ancien cadre n'établissent aucun fait par eux-mêmes. En particulier, la circonstance que B._ a commis des actes illicites au détriment de la Banque en rapport avec les titres R._ ne suffit pas pour conclure qu'il en est allé de même pour les titres U._. Le verdict prononcé par la cour correctionnelle avec jury le 3 juin 1991 ne permet pas de retenir que, contrairement aux constatations de la cour cantonale, les actions U._ n'avaient pas la valeur pour laquelle elles étaient alors traitées. De même, les procédés de B._ vis-à-vis du recourant ne doivent pas nécessairement être appréciés de la même façon que les agissements du prénommé à l'égard de son employeur.
Ensuite, pour établir l'existence d'un prétendu arbitraire, le recourant n'hésite pas à colorer les faits à sa façon. Il ne démontre nullement que la valeur des titres U._ ait été surestimée. C'est en 1985 et non en 1983 ou 1984 que la société U._ a connu des difficultés financières. En 1984, la situation financière de U._ était bonne. Elle a permis de dégager un bénéfice net et de distribuer des dividendes. En 1985, en revanche, il y a eu des pertes qui ont obligé les dirigeants à restructurer la société.
Au demeurant, le recourant avait lui-même estimé que les pertes enregistrées sur les titres U._ pouvaient être considérées comme faisant partie des risques de la gestion - et non d'une tromperie. La cour cantonale a retenu en fait cette opinion exprimée par le recourant, ce que ce dernier omet de rappeler ici.
Il n'y avait dès lors aucun arbitraire dans le fait de retenir que B._ n'avait pas voulu tromper le recourant.
Aussi le recours doit-il être rejeté sur ce point également.
Aussi le recours doit-il être rejeté sur ce point également.
4. Le recourant, qui succombe, devra supporter les frais de la procédure fédérale et verser des dépens à l'intimée (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ). Pour fixer le montant de ceux-ci, il sera tenu compte de ce que, dans une très large mesure, la réponse au recours consiste en un exposé de faits inutile, accompagné d'observations superflues sur les allégués de fait du recourant, la réfutation des arguments avancés par celui-ci tenant sur quelques pages seulement.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Un émolument judiciaire de 25'000 fr. est mis à la charge du recourant.
2. Un émolument judiciaire de 25'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 20'000 fr. à titre de dépens.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 20'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 11 novembre 2005
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: