Sachverhalt:
A. Der aus Kenia stammende X._ (geb. 1976) reiste am 1. März 2006 zwecks Vorbereitung der Heirat in die Schweiz ein. Am 18. Mai 2006 heiratete er die Schweizer Bürgerin Z._ (geb. 1979), worauf ihm die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich die Aufenthaltsbewilligung erteilte. Am 2. Juli 2007 kam der gemeinsame Sohn Y._ zur Welt.
Die eheliche Gemeinschaft wurde am 27. Dezember 2007 aufgehoben, nachdem die Kantonspolizei Zürich X._ - im Zusammenhang mit massiven ehelichen Streitigkeiten - am gleichen Tag aus der gemeinsamen Wohnung wegweisen und gegen ihn ein befristetes Rayon- und Kontaktverbot in Bezug auf Ehefrau und Sohn verhängen musste. Mit Verfügung vom 14. Oktober 2008 beliess der zuständige Eheschutzrichter die Obhut über Y._ für die Dauer des Getrenntlebens bei Z._ und errichtete für Y._ eine Beistandschaft mit dem Zweck, das Besuchsrecht zu regeln und bei Konflikten zu vermitteln.
B. Mit Verfügung vom 22. April 2009 wies die Sicherheitsdirektion das Gesuch von X._ vom 3. April 2008 um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und setzte ihm Frist zum Verlassen der Schweiz bis zum 21. Juli 2009. Mit Beschluss vom 13. Januar 2010 wies der Regierungsrat des Kantons Zürich einen dagegen erhobenen Rekurs ab. Am 21. Juli 2010 wies auch das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine bei ihr geführte Beschwerde in der Sache ab und setzte X._ eine neue Frist bis 30. November 2010, um die Schweiz zu verlassen; das Verwaltungsgericht bewilligte jedoch die unentgeltliche Rechtspflege für das verwaltungsgerichtliche Verfahren.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 14. September 2010 an das Bundesgericht beantragen X._ und Y._, vertreten durch seinen Vater X._, dem Beschwerdeführer 1 sei der weitere Aufenthalt zu bewilligen und ihm die Ausreisefrist abzunehmen. Prozessual wird darum ersucht, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und den Beschwerdeführern die unentgeltliche Rechtspflege sowie Verbeiständung zu bewilligen.
Die Sicherheitsdirektion und der Regierungsrat des Kantons Zürich haben sich innert der gesetzten Frist nicht vernehmen lassen und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich erklärt Verzicht auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
D. Mit Verfügung vom 20. Oktober 2010 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
Erwägungen:
1. 1.1 Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Das streitige Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung wurde am 3. April 2008 und damit nach Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) am 1. Januar 2008 eingereicht und beurteilt sich daher - unbestrittenermassen - nach dem neuen Recht.
1.3 Der Beschwerdeführer 1 macht keinen gesetzlichen Anspruch auf Erteilung einer Anwesenheitsbewilligung in der Schweiz geltend. Da sein minderjähriger Sohn (Beschwerdeführer 2) über das Schweizer Bürgerrecht und damit über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz verfügt, kommt dem Beschwerdeführer 1 gestützt darauf grundsätzlich ein Anspruch auf Anwesenheitsbewilligung zu, weshalb er sich auf Art. 8 EMRK berufen kann (so genannter "umgekehrter Familiennachzug"; vgl. BGE 135 I 143 E. 1.3.2 S. 146 mit Hinweisen). Ob die Bewilligung verweigert werden durfte, betrifft nicht das Eintreten, sondern bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. BGE 128 II 145 E. 1.1.5 S. 150 mit Hinweisen). Auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist somit in Bezug auf den Beschwerdeführer 1 grundsätzlich einzutreten.
1.4 Offen gelassen werden kann hier die Frage, ob dem Beschwerdeführer 2 im vorliegenden Verfahren ebenfalls Parteistellung zukommt. Die Vorinstanz hat sich dazu ebenfalls nicht geäussert; im Ergebnis spielt dies keine Rolle, da auf die Eingabe des Beschwerdeführers 1 einzutreten ist (vgl. E. 1.3 hiervor) und bei der Beurteilung der Sache die Interessen des Beschwerdeführers 2 ohnehin zu berücksichtigen sind (vgl. Urteil 2C_660/2009 vom 7. Juni 2010 E. 1.4).
1.5 Das Bundesgericht legt seinem Urteil die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Mit einer Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können diese nur dann gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252; 133 III 393 E. 7.1 S. 398) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Zudem ist vom Beschwerdeführer aufzuzeigen, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
1.6 Die Beschwerdeschrift hat gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG die Begehren und deren Begründung zu enthalten; im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt (BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insoweit, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Soweit die Beschwerdeschrift auf Ausführungen und Akten vor der Vorinstanz verweist, tritt das Bundesgericht praxisgemäss nicht darauf ein. Wie unter der Herrschaft des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG; BS 3 531) müssen die erhobenen Rügen in der Beschwerdeschrift selber enthalten sein (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG); der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 400 mit Hinweisen).
1.7 Die Anforderung, innert der gesetzlichen und nicht erstreckbaren Beschwerdefrist eine Begründung einzureichen (Art. 100 in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG; LAURENT MERZ, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2009, N. 40 zu Art. 42 BGG) gilt auch dann, wenn der Beschwerdeführer zugleich um unentgeltliche Rechtspflege ersucht. Dem Antrag des Beschwerdeführers, es sei ihm nach dem Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eine Frist zur Ergänzung der Beschwerde anzusetzen, ist deshalb nicht stattzugeben (vgl. Urteil 6S.17/2006 vom 7. Februar 2006 E. 2).
2. Vorab rügen die Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbots, der Begründungspflicht sowie die Verweigerung des rechtlichen Gehörs. Sie machen im Wesentlichen geltend, die Vorinstanz habe das vom Eheschutzrichter in Auftrag gegebene psychologische Gutachten vom 3. September 2008 "mit keiner einzigen Silbe" gewürdigt und für die Beurteilung der Vater-Sohn-Beziehung einzig auf das Besuchsrecht abgestellt.
2.1 Wesentlicher Bestandteil des Anspruchs auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV ist die Begründungspflicht. Diese soll verhindern, dass sich die Behörde von unsachlichen Motiven leiten lässt, und dem Betroffenen ermöglichen, die Verfügung gegebenenfalls sachgerecht anzufechten. Dies ist nur möglich, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite des Entscheides ein Bild machen können. In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Dies bedeutet indessen nicht, dass sie sich ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (BGE 136 I 229 E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen).
2.2 Die Vorinstanz kommt hier - gestützt auf die bundesgerichtliche Praxis - zum Schluss, dass weder in wirtschaftlicher noch affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zwischen den Beschwerdeführern 1 und 2 besteht, um ein Anwesenheitsrecht gestützt auf Art. 8 EMRK zu begründen. Es mag zutreffen, dass sich der angefochtene Entscheid am unteren Rand der geforderten Begründungsdichte bewegt. Immerhin ergibt sich daraus mit genügender Klarheit, weshalb die Vorinstanz in der Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung keine Rechtsverletzung erkannte. Das vom Beschwerdeführer angerufene Gutachten wurde vom Regierungsrat im Beschluss vom 13. Januar 2010 in E. 9 gewürdigt; die Vorinstanz hat im angefochtenen Urteil (E. 3.3) mehrfach auf den Beschluss des Regierungsrates verwiesen und damit dessen Würdigung des Gutachtens bestätigt. Die Beschwerdeführer vermochten das verwaltungsgerichtliche Urteil denn auch durchaus sachgerecht anzufechten. Die Vorinstanz begründet ihren Entscheid insoweit hinreichend. Eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV kann ihr nicht vorgeworfen werden. Ebensowenig ist eine willkürliche, Art. 9 BV verletzende Sachverhaltsfeststellung oder eine willkürliche Beweiswürdigung durch die Vorinstanz auszumachen.
Ob die Argumentation des Verwaltungsgerichts inhaltlich zutrifft und sein Schluss, den Anwesenheitsanspruch des Beschwerdeführers 1 zu verneinen, zulässig war, bleibt im Folgenden zu prüfen.
3. 3.1 Art. 8 EMRK - wie auch Art. 13 Abs. 1 BV (vgl. BGE 126 II 377 E. 7 S. 394) - gewährleisten das Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens. Hat ein Ausländer nahe Verwandte mit einem gefestigten Anwesenheitsrecht in der Schweiz und wird die intakte familiäre Beziehung zu diesen tatsächlich gelebt, kann es die entsprechenden Garantien verletzen, wenn ihm der Verbleib in der Schweiz untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird (BGE 135 I 145 E. 1.3.1 S. 145 f.; 130 II 281 E. 3.1 S. 285; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer beruft sich in diesem Zusammenhang auf seine familiären Bindungen zu seinem - heute dreijährigen - Sohn Y._, welcher über das Schweizer Bürgerrecht verfügt.
3.2 Zunächst ist festzuhalten, dass der nicht sorge- oder obhutsberechtigte Ausländer die familiäre Beziehung zu seinem Kind zum Vornherein nur in einem beschränkten Rahmen, nämlich durch Ausübung des ihm eingeräumten Besuchsrechts, leben kann; dazu ist regelmässig nicht erforderlich, dass er sich dauernd im gleichen Land aufhält wie das Kind. Es ist daher im Allgemeinen zulässig, dem Ausländer, der gegenüber seinen in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Kindern bloss über ein Besuchsrecht verfügt, die Aufenthaltsbewilligung zu verweigern. Den Anforderungen von Art. 8 EMRK ist Genüge getan, wenn er das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausüben kann, wobei allenfalls dessen Modalitäten geeignet aus- bzw. umzugestalten sind. Die Aufenthaltsbewilligung ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nur dann zu erteilen oder zu erneuern, wenn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese wegen der Distanz zum Heimatland des Ausländers praktisch nicht mehr aufrechterhalten werden könnte und das bisherige Verhalten des Betroffenen in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat ("tadelloses Verhalten", "comportement irréprochable", "comportamento irreprensibile"; BGE 120 Ib 1 E. 3c S. 5, 22 E. 4). Nur unter diesen Voraussetzungen kann das private Interesse am Verbleib im Land gestützt auf ein Besuchsrecht ausnahmsweise das öffentliche Interesse an einer einschränkenden Einwanderungspolitik bzw. am Schutz der öffentlichen Sicherheit und Ordnung im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK überwiegen (vgl. Urteil 2C_335/2009 vom 12. Februar 2010 E. 2.2.2 mit Hinweisen).
3.2.1 Was das Erfordernis der besonderen Intensität der affektiven Beziehung betrifft, ist dieses regelmässig bloss dann als erfüllt zu erachten, wenn ein grosszügig ausgestaltetes Besuchsrecht eingeräumt ist und dieses kontinuierlich, spontan und reibungslos ausgeübt wird (vgl. Urteile 2C_171/2009 vom 3. August 2009 E. 2.2; 2A.110/2007 vom 2. August 2007 E. 3.4). Diese Voraussetzungen sind vorliegend nicht erfüllt. Gemäss den für das Bundesgericht verbindlichen (vgl. E. 1.5 hiervor) Feststellungen der Vorinstanz wurde dem Beschwerdeführer 1 im Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids ein - vorerst begleitetes - Besuchsrecht von je vier Stunden für den Mittwochnachmittag sowie den ersten und dritten Samstag oder Sonntag eines jeden Monats eingeräumt (vgl. angefochtener Entscheid E. 3.3). Die Beschwerdeführer wenden ein, mit Verfügung des Bezirksgerichts Uster vom 3. September 2010 sei das Besuchsrecht insofern ausgedehnt worden, als für die vier Stunden an den Wochenenden die Begleitung aufgehoben worden sei. Es kann offen bleiben, ob es sich hierbei nicht um ein unzulässiges Novum handelt (vgl. E. 1.5 hiervor), denn das eingeräumte Besuchsrecht mag aus der subjektiven Sicht des Vaters als "grosszügig" scheinen, im Lichte der bundesgerichtlichen Rechtsprechung geht es jedoch selbst in der ausgedehnten Variante nicht über das übliche Mass hinaus (vgl. etwa Urteile 2C_335/2009 vom 12. Februar 2010 E. 2.2.3; 2C_194/2009 vom 24. Juni 2009 E. 3.1; 2C_171/2009 vom 3. August 2009 E. 2.3; 2C_870/2008 vom 26. Mai 2009 E. 2.2.1). Daran vermag auch der Umstand, dass der Beschwerdeführer 1 sich in letzter Zeit vermehrt bemühte, eine Beziehung zu seinem Sohn aufzubauen, nichts zu ändern. Schliesslich bringen die Beschwerdeführer nichts vor, was auf eine mehr als normale Vater-Sohn-Beziehung hindeuten würde.
3.2.2 Unbestrittenermassen bezahlt der Beschwerdeführer für seinen Sohn keine Unterhaltsleistungen. Die Argumentation des Beschwerdeführers, es sei zynisch, ihm die mangelnde Unterstützung seines Sohnes vorzuwerfen, da dies gerade durch die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung bedingt sei, überzeugt nicht: Aus den Akten, namentlich aus der eheschutzrichterlichen Verfügung vom 14. Oktober 2008 geht hervor, dass der Beschwerdeführer 1 seinen Sohn auch dann nicht finanziell unterstützt hat, als er (bis zum 20. November 2008) noch eine gültige Aufenthaltsbewilligung besass. Immerhin steht damit aber fest, dass es auch in wirtschaftlicher Hinsicht an einer besonders engen Beziehung fehlt.
3.2.3 Aus dem in der Beschwerde erwähnten psychologischen Gutachten vom 3. September 2008 geht hervor, dass keine Hinweise auf eine grundsätzliche Einschränkung der Erziehungsfähigkeit des Beschwerdeführers 1 bestehen, die Obhutserteilung an ihn aber aus verschiedenen Gründen nicht günstig wäre. Eine über das normale Mass hinausgehende, besonders intensive Bindung zwischen dem Beschwerdeführer 1 und seinem Sohn ergibt sich daraus jedenfalls nicht.
3.2.4 Der Schluss der Vorinstanz, zwischen dem Beschwerdeführer 1 und seinem Sohn bestehe weder in wirtschaftlicher noch in affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung, ist somit nicht zu beanstanden. Bei dieser Sachlage kommt dem Umstand, dass der Beschwerdeführer sein Besuchsrecht von Kenia aus nur beschränkt und mit Schwierigkeiten verbunden wird ausüben können, keine entscheidende Bedeutung zu. Dies umso weniger, als der Beschwerdeführer sich in der Schweiz nicht tadellos verhalten hat; hier fällt diesbezüglich ins Gewicht, dass die Polizei im Dezember 2007 wegen häuslicher Gewalt gegenüber seiner Ehefrau intervenieren musste.
3.2.5 Damit fehlt es vorliegend gleich an mehreren Voraussetzungen für die ausnahmsweise Zuerkennung eines Anwesenheitsrechts zugunsten eines nicht sorgeberechtigten ausländischen Elternteils. Die Verweigerung des weiteren Aufenthaltes in der Schweiz verstösst damit insgesamt nicht gegen Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV.
4. 4.1 Im Weiteren ist zwar ebenfalls das Wohl des Kindes zu berücksichtigen, wie sich namentlich aus Art. 3 des von den Beschwerdeführern angerufenen Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (UNO-KRK; SR 0.107) ergibt (vgl. BGE 136 II 78 E. 4.8 S. 87). Über Art. 8 EMRK hinaus gehende Ansprüche auf Bewilligung ergeben sich hier aus der Kinderrechtskonvention - angesichts des Fehlens einer besonders engen Beziehung zum Sohn - jedoch nicht (vgl. BGE 124 II 361 E. 3b S. 367 f.).
4.2 Nichts anderes ergibt sich aus der in der Beschwerde ebenfalls angerufenen Bestimmung von Art. 14 EMRK. Dem in Art. 14 EMRK verankerten Diskriminierungsverbot kommt vorab kein selbständiger Charakter zu, sondern es setzt die Anwendbarkeit einer anderen Grundrechtsgarantie der EMRK voraus (BGE 134 I 257 E. 3 S. 260; 130 II 137 E. 4.2 S. 146; je mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer bringen vor, allein wegen der kenianischen Staatsangehörigkeit des Vaters wolle die Vorinstanz die Vater-Kind-Beziehung unterbrechen, was eine unzulässige Diskriminierung darstelle. Damit verkennen die Beschwerdeführer jedoch, dass eine privilegierte Behandlung der eigenen Staatsangehörigen sowie der Staatsangehörigen von Staaten, mit denen enge Beziehungen gepflegt werden, mit Art. 14 EMRK grundsätzlich vereinbar ist (BGE 136 II 120 E. 3.3.3 S. 128).
5. 5.1 Daraus ergibt sich, dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
5.2 Damit werden die Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde aber nicht gerade als von vornherein aussichtslos zu bezeichnen ist und die Bedürftigkeit der Beschwerdeführer als erstellt gelten kann, was das Verwaltungsgericht auch für das vorinstanzliche Verfahren festgestellt hat, ist dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beiordnung des beigezogenen Rechtsanwalts zu entsprechen (Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Den Beschwerdeführern wird für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
a) Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
b) Rechtsanwalt Martin Jäggi, wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand bestellt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, der Sicherheitsdirektion und dem Regierungsrat des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich 4. Kammer und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Winiger