Erwägungen:
1.
Die Bundesanwaltschaft eröffnete mit Verfügung vom 3. Februar 2012 eine Strafuntersuchung gegen A._ und zwei weitere Beamte der FINMA wegen Amtsmissbrauch bzw. Amtsmissbrauch und Veruntreuung im Amt, nachdem die damalige I. Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts mit Beschluss vom 4. Juli 2011 eine von E._ gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Bundesanwaltschaft vom 24. März 2011 erhobene Beschwerde gutgeheissen hatte. Mit Verfügung vom 28. Januar 2013 stellte die Bundesanwaltschaft das Strafverfahren wieder ein. Auf Beschwerde von E._ hin verpflichtete die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts mit Beschluss vom 18. Juni 2013 die Bundesanwaltschaft, das Strafverfahren gegen die drei Beschuldigten weiterzuführen.
Nach durchgeführten Befragungen der Beschuldigten stellte die Bundesanwaltschaft das Strafverfahren mit Verfügung vom 19. Mai 2014 erneut ein. Dagegen gelangte E._ mit Beschwerde vom 30. Mai 2014 erneut an die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts. Im Rahmen dieses Beschwerdeverfahrens stellte A._ am 19. Juni 2014 ein Ausstandsgesuch gegen die am Entscheid der Beschwerdekammer vom 18. Juni 2013 beteiligten Bundesstrafrichter. Die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts wies mit Beschluss vom 21. August 2014 das Gesuch ab, soweit sie darauf eintrat.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 23. September 2014 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Das Bundesgericht beurteilt Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen (Art. 78 Abs. 1 BGG). Unzulässig ist die Beschwerde allerdings gegen Entscheide der Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts, sofern es sich nicht um Entscheide über Zwangsmassnahmen handelt (Art. 79 BGG). Mit dem vorliegend angefochtenen Beschluss hat die Beschwerdekammer über ein Ausstandsbegehren und damit nicht über Zwangsmassnahmen entschieden. Die Beschwerde in Strafsachen ist somit nicht gegeben. Daran ändert nichts, dass die Beschwerdekammer fälschlicherweise in ihrer Rechtsmittelbelehrung auf die Beschwerde in Strafsachen hingewiesen hat. Durch eine falsche Rechtsmittelbelehrung kann keine Rechtsmittelmöglichkeit geschaffen werden, die das Gesetz nicht kennt. Ausserdem ist der Beschwerdeführer anwaltlich vertreten und der Mangel wäre dem Vertreter durch Konsultierung der massgeblichen Gesetzesbestimmung ersichtlich gewesen. Somit ist im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Oktober 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli