Faits:
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A. T._, né en 1967, est employé depuis l'année 1993 par l'Institution de L._, au service des nettoyages. Souffrant principalement de douleurs cervico-scapulaires droites, il se trouve en incapacité de travail à 50 % à partir du 16 mars 1998.
L'assuré s'est annoncé à l'assurance-invalidité, le 8 mars 1999, sollicitant le versement d'une rente. Les investigations médicales n'ont mis en évidence aucune anomalie permettant d'expliquer la symptomatologie douloureuse. Une origine somatoforme des douleurs a été suggérée (cf. rapport du docteur C._, rhumatologue, du 26 janvier 2001).
Par décision du 30 janvier 2002, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a rejeté la demande de rente, au motif qu'un trouble somatoforme douloureux et une fibromyalgie ne constituent pas des affections invalidantes en l'absence de comorbidité psychiatrique grave.
Par décision du 30 janvier 2002, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a rejeté la demande de rente, au motif qu'un trouble somatoforme douloureux et une fibromyalgie ne constituent pas des affections invalidantes en l'absence de comorbidité psychiatrique grave.
B. T._ a déféré cette décision au Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant principalement au renvoi de la cause à l'administration et subsidiairement à l'octroi d'une rente. Il a par ailleurs demandé la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique.
La juridiction cantonale a mandaté le docteur S._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 14 avril 2003, ce psychiatre a diagnostiqué des troubles dépressifs récurrents, épisode actuel moyen avec syndrome somatique, un syndrome douloureux somatoforme persistant, ainsi qu'une majoration de symptômes physiques pour des raisons psychologiques. Selon l'expert, ces affections psychiques engendrent une incapacité de travail de longue durée de 50 % depuis l'an 2000.
Par jugement du 19 juin 2003, le Tribunal des assurances a admis le recours en ce sens qu'il a alloué une demi-rente d'invalidité à l'assuré depuis le 1er juin 2001.
Par jugement du 19 juin 2003, le Tribunal des assurances a admis le recours en ce sens qu'il a alloué une demi-rente d'invalidité à l'assuré depuis le 1er juin 2001.
C. L'office AI interjette recours de droit administratif contre ce jugement dont il demande l'annulation.
L'assuré intimé et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le taux d'invalidité de l'intimé.
1. Le litige porte sur le taux d'invalidité de l'intimé.
2. La loi fédérale sur la partie générale des assurances sociales (LPGA) du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, n'est pas applicable au présent litige, dès lors que le juge des assurances sociales n'a pas à prendre en considération les modifications du droit ou de l'état de fait postérieures à la date déterminante de la décision litigieuse du 30 janvier 2002 (ATF 129 V 4 consid. 1.2 et les références).
2. La loi fédérale sur la partie générale des assurances sociales (LPGA) du 6 octobre 2000, entrée en vigueur le 1er janvier 2003, n'est pas applicable au présent litige, dès lors que le juge des assurances sociales n'a pas à prendre en considération les modifications du droit ou de l'état de fait postérieures à la date déterminante de la décision litigieuse du 30 janvier 2002 (ATF 129 V 4 consid. 1.2 et les références).
3. Selon l'art. 4 al. 1 aLAI, l'invalidité est la diminution de la capacité de gain, présumée permanente ou de longue durée, qui résulte d'une atteinte à la santé physique ou mentale provenant d'une infirmité congénitale, d'une maladie ou d'un accident.
3. Selon l'art. 4 al. 1 aLAI, l'invalidité est la diminution de la capacité de gain, présumée permanente ou de longue durée, qui résulte d'une atteinte à la santé physique ou mentale provenant d'une infirmité congénitale, d'une maladie ou d'un accident.
4. Récemment, la Cour de céans s'est exprimée sur les conditions auxquelles des troubles somatoformes douloureux persistants peuvent présenter un caractère invalidant (arrêt N. du 12 mars 2004, I 683/03, publié aux ATF 130 V 352; arrêt P. du 21 avril 2004, I 870/02). Elle a notamment considéré ce qui suit, au consid. 3.3 de l'arrêt P. :
3.3.1 Selon la jurisprudence, des troubles somatoformes douloureux peuvent, dans certaines circonstances, conduire à une incapacité de travail (ATF 120 V 119 consid. 2c/cc; RAMA 1996 no U 256 p. 217 ss consid. 5 et 6). De tels troubles entrent dans la catégorie des affections psychiques, pour lesquelles une expertise psychiatrique est en principe nécessaire quand il s'agit de se prononcer sur l'incapacité de travail qu'ils sont susceptibles d'entraîner (VSI 2000 p. 160 consid. 4b). Compte tenu des difficultés, en matière de preuve, à établir l'existence de douleurs, les simples plaintes subjectives de l'assuré ne suffisent pas pour justifier une invalidité (entière ou partielle). Dans le cadre de l'examen du droit aux prestations de l'assurance sociale, l'allégation des douleurs doit être confirmée par des observations médicales concluantes, à défaut de quoi une appréciation de ce droit aux prestations ne peut être assurée de manière conforme à l'égalité de traitement des assurés (arrêt N. précité, consid. 2.2.2).
3.3.2 Un rapport d'expertise attestant la présence d'une atteinte psychique ayant valeur de maladie - tels des troubles somatoformes douloureux - est une condition juridique nécessaire, mais ne constitue pas encore une base suffisante pour que l'on puisse admettre qu'une limitation de la capacité de travail revêt un caractère invalidant (arrêt N. précité consid. 2.2.3; Ulrich Meyer-Blaser, Der Rechtsbegriff der Arbeitsunfähigkeit und seine Bedeutung in der Sozialversicherung, namentlich für den Einkommensvergleich in der Invaliditätsbemessung, in : René Schauffhauser/Franz Schlauri (éd.), Schmerz und Arbeitsunfähigkeit, St. Gall 2003, p. 64 sv., et note 93). En effet, selon la jurisprudence, les troubles somatoformes douloureux persistants n'entraînent pas, en règle générale, une limitation de longue durée de la capacité de travail pouvant conduire à une invalidité au sens de l'art. 4 al. 1 LAI (voir sur ce point Meyer-Blaser, op. cit. p. 76 ss, spéc. p. 81 sv.). Une exception à ce principe est admise dans les seuls cas où, selon l'estimation du médecin, les troubles somatoformes douloureux se manifestent avec une telle sévérité que, d'un point de vue objectif, la mise en valeur de sa capacité de travail ne peut, pratiquement, - sous réserve des cas de simulation ou d'exagération (SVR 2003 IV no 1 p. 2 consid. 3b/bb; voir aussi Meyer-Blaser, op. cit. p. 83, spéc. 87 sv.) - plus raisonnablement être exigée de l'assuré, ou qu'elle serait même insupportable pour la société (ATF 102 V 165; VSI 2001 p. 224 sv. consid. 2b et les références; arrêt N., consid. 2.2.3 et les arrêts cités; cf. aussi ATF 127 V 298 consid. 4c in fine).
Admissible seulement dans des cas exceptionnels, le caractère non exigible d'un effort de volonté en vue de surmonter la douleur et de la réintégration dans un processus de travail suppose, dans chaque cas, soit la présence manifeste d'une comorbité psychiatrique d'une acuité et d'une durée importantes, soit le cumul d'autres critères présentant une certaine intensité et constance. Ce sera le cas (1) des affections corporelles chroniques ou d'un processus maladif s'étendant sur plusieurs années sans rémission durable, (2) d'une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie, (3) d'un état psychique cristallisé, sans évolution possible au plan thérapeutique, marquant simultanément l'échec et la libération du processus de résolution du conflit psychique (profit primaire tiré de la maladie), ou enfin (4) de l'échec de traitements ambulatoires ou stationnaires conformes aux règles de l'art et de mesures de réhabilitation, cela en dépit de la motivation et des efforts de la personne assurée pour surmonter les effets des troubles somatoformes douloureux (VSI 2000 p. 155 consid. 2c; arrêt N., consid. 2.2.3 in fine; Meyer-Blaser, op. cit. p. 76 ss, spéc. 80 ss).
3.3.3 Dès lors qu'en l'absence de résultats sur le plan somatique le seul diagnostic de troubles somatoformes douloureux ne suffit pas pour justifier un droit à des prestations d'assurance sociale, il incombe à l'expert psychiatre, dans le cadre large de son examen, d'indiquer à l'administration (et au juge en cas de litige) si et dans quelle mesure un assuré dispose de ressources psychiques qui - eu égard également aux critères mentionnés au considérant 3.3.2 ci-dessus - lui permettent de surmonter ses douleurs. Il s'agit pour lui d'établir de manière objective si, compte tenu de sa constitution psychique, l'assuré peut exercer une activité sur le marché du travail, malgré les douleurs qu'il ressent (cf. arrêt N., consid. 2.2.4. et les arrêts cités).
3.3.4 Les prises de position médicales sur la santé psychique et sur les ressources dont dispose l'assuré constituent une base indispensable pour trancher la question (juridique) de savoir si et dans quelle mesure on peut exiger de celui-ci qu'il mette en oeuvre toute sa volonté pour surmonter ses douleurs et réintégrer le monde du travail. Dans le cadre de la libre appréciation dont ils disposent (art. 40 PCF en liaison avec l'art. 19 PA; art. 95 al. 2 en liaison avec 113 et 132 OJ; VSI 2001 p. 108 consid. 3a), l'administration et le juge (en cas de litige) ne sauraient ni ignorer les constatations de fait des médecins, ni faire leurs les estimations et conclusions médicales relatives à la capacité (résiduelle) de travail, sans procéder à un examen préalable de leur pertinence du point de vue du droit des assurances sociales. Cela s'impose en particulier lorsque l'expert atteste une limitation de la capacité de travail fondée uniquement sur le diagnostic de troubles somatoformes douloureux. Dans un tel cas, il appartient aux autorités administratives et judiciaires d'examiner avec tout le soin nécessaire si l'estimation médicale de l'incapacité de travail prend en considération également des éléments étrangers à l'invalidité (en particulier des facteurs psychosociaux et socio-culturels) qui ne sont pas pertinents du point de vue des assurances sociales (ATF 127 V 299 consid. 5a; VSI 2000 p. 149 consid. 3), ou si la limitation (partielle ou totale) de la capacité de travail est justifiée par les critères juridiques déterminants, énumérés aux consid. 3.3.2 et 3.3.3 ci-dessus (cf. arrêt N., consid. 2.2.5).
En résumé, la jurisprudence exige la présence manifeste d'une comorbidité psychiatrique d'une acuité et d'une durée importantes. Lorsqu'un trouble dépressif accompagne un trouble somatoforme douloureux et qu'il apparaît comme une réaction à celui-ci, il ne constitue pas une affection autonome, distincte du syndrome douloureux psychogène, au sens d'une comorbidité psychiatrique manifeste d'une acuité et d'une durée importantes (ATF 130 V 358 consid. 3.3.1 et la référence à Meyer-Blaser, op. cit., p. 81 et la note 135).
En résumé, la jurisprudence exige la présence manifeste d'une comorbidité psychiatrique d'une acuité et d'une durée importantes. Lorsqu'un trouble dépressif accompagne un trouble somatoforme douloureux et qu'il apparaît comme une réaction à celui-ci, il ne constitue pas une affection autonome, distincte du syndrome douloureux psychogène, au sens d'une comorbidité psychiatrique manifeste d'une acuité et d'une durée importantes (ATF 130 V 358 consid. 3.3.1 et la référence à Meyer-Blaser, op. cit., p. 81 et la note 135).
5. 5.1 On peut déduire de l'expertise judiciaire que les troubles dépressifs récurrents de l'intimé constituent une comorbidité psychiatrique au syndrome douloureux somatoforme persistant dont il est affecté.
Invité à confirmer le diagnostic de trouble dépressif sévère que son confrère V._ avait posé dans un avis du 26 août 2002, l'expert S._ s'en est distancé partiellement, dans son rapport du 14 avril 2003, en précisant que l'état dépressif de l'intimé n'est que d'importance moyenne (p. 20 en bas). En d'autres termes, on ne se trouve pas en présence d'une comorbidité psychiatrique d'une acuité et d'une durée importantes, si bien que le trouble dépressif ne justifie pas à lui seul d'admettre que l'intimé n'est pas en mesure d'accomplir les efforts de volonté permettant de surmonter ses douleurs et de réintégrer un processus de travail.
5.2 Il reste à examiner les autres critères consacrés par la jurisprudence, dont l'existence permet d'admettre le caractère non exigible de la reprise de travail.
On ne voit pas que le recourant réunit en sa personne plusieurs de ceux-ci (ou du moins pas dans une mesure très marquée) qui fondent un pronostic défavorable en ce qui concerne l'exigibilité d'une reprise d'activité professionnelle. Le recourant ne présente pas, en sus du trouble somatoforme douloureux persistant, une affection corporelle chronique ou un processus maladif s'étendant sur plusieurs années sans rémission durable (1); en effet, mis à part des troubles statiques rachidiens et des tendomyoses cervico-brachiales, aucun élément organique n'a été clairement objectivé (rapport du docteur C._, du 26 janvier 2001, p. 6). On ne saurait non plus parler d'une perte d'intégration sociale dans toutes les manifestations de la vie (2), car le recourant bénéficie d'un emploi à mi-temps dans une institution pour handicapés. A dire d'expert, il dispose d'une bonne capacité d'adaptation et est bien intégré culturellement. On ne voit également pas au dossier que chez l'intéressé, l'apparition du trouble somatoforme douloureux résulterait d'une libération du processus de résolution du conflit psychique (profit primaire tiré de la maladie) (3); en effet, il n'est fait mention d'aucune source de conflit intra-psychique ni situation conflictuelle externe permettant d'expliquer le développement du syndrome douloureux aboutissant à une diminution de l'activité lucrative.
Au vu de l'ensemble de ces éléments, on doit nier - d'un point de vue juridique - qu'une mise en valeur de sa capacité de travail, jugée complète au plan somatique dans une activité adaptée, ne puisse pratiquement plus raisonnablement être exigée de lui ou qu'elle serait même insupportable pour la société. Le recours de l'office AI est bien fondé.
Au vu de l'ensemble de ces éléments, on doit nier - d'un point de vue juridique - qu'une mise en valeur de sa capacité de travail, jugée complète au plan somatique dans une activité adaptée, ne puisse pratiquement plus raisonnablement être exigée de lui ou qu'elle serait même insupportable pour la société. Le recours de l'office AI est bien fondé.
6. L'intimé avait sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire en procédure de recours de première instance (cf. mémoire de recours du 1er mars 2002, p. 6). Comme il avait obtenu gain de cause, sa requête était devenue sans objet et les premiers juges lui avaient alloué des dépens.
Vu l'issue du litige, la cause doit être renvoyée au Tribunal cantonal des assurances afin qu'il statue sur l'assistance judiciaire gratuite.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 19 juin 2003 est annulé.
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 19 juin 2003 est annulé.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le dossier de la cause est renvoyé au Tribunal des assurances du canton de Vaud afin qu'il statue sur le droit de l'intimé à l'assistance judiciaire gratuite.
3. Le dossier de la cause est renvoyé au Tribunal des assurances du canton de Vaud afin qu'il statue sur le droit de l'intimé à l'assistance judiciaire gratuite.
4. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 novembre 2004
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre: Le Greffier: