Das Bundesgericht stellt fest und zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht stellt fest und zieht in Erwägung:
1. Das Haftgericht III Bern-Mittelland prüfte und genehmigte am 23. Februar 2004 die gegen die nach eigenen Angaben aus der Mongolei stammende X._ (geb. 1981) angeordnete Ausschaffungshaft. X._ erhob hiergegen Beschwerde, welche der Haftrichter am 10. März 2004 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiterleitete. X._ beantragt sinngemäss, sie sei aus der Haft zu entlassen.
1. Das Haftgericht III Bern-Mittelland prüfte und genehmigte am 23. Februar 2004 die gegen die nach eigenen Angaben aus der Mongolei stammende X._ (geb. 1981) angeordnete Ausschaffungshaft. X._ erhob hiergegen Beschwerde, welche der Haftrichter am 10. März 2004 zuständigkeitshalber an das Bundesgericht weiterleitete. X._ beantragt sinngemäss, sie sei aus der Haft zu entlassen.
2. Die Eingabe erweist sich - soweit sich die Beschwerdeführerin darin überhaupt sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt (vgl. Art. 108 Abs. 2 OG; BGE 118 Ib 134 ff.) - als offensichtlich unbegründet im Sinne von Art. 36a Abs. 1 lit. b OG:
2.1 Ein Ausländer kann zur Sicherstellung des Vollzugs eines erstinstanzlichen Weg- oder Ausweisungsentscheids in Haft genommen werden, wenn konkrete Anzeichen befürchten lassen, dass er sich der Ausschaffung entziehen will, insbesondere weil sein bisheriges Verhalten darauf schliessen lässt, dass er sich behördlichen Anordnungen widersetzt (Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG [SR 142.20], "Untertauchensgefahr"). Dies ist regelmässig der Fall, wenn er bereits einmal untergetaucht ist, durch erkennbar unglaubwürdige und widersprüchliche Angaben die Vollziehungsbemühungen zu erschweren versucht oder sonst klar zu erkennen gibt, dass er auf keinen Fall in sein Heimatland zurückzukehren bereit ist (BGE 128 II 241 E. 2.1 S. 243; 125 II 369 E. 3b/aa S. 375; 122 II 49 E. 2a S. 51).
2.2 Die Beschwerdeführerin ist vom Bundesamt für Flüchtlinge am 4. Februar 2003 rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden (Nichteintretensentscheid der Schweizerischen Asylrekurskommission vom 6. Juni 2003). Auch nach Abschluss des Asylverfahrens hat sie wiederholt erklärt, nicht in ihre Heimat zurückreisen zu wollen; zudem hat sie die bisherige Papierbeschaffung durch widersprüchliche Angaben zu ihrer Person erschwert (Verbleib der Papiere, Kontaktpersonen in der Heimat, Sprachkenntnisse usw.) und wurde sie hier überdies im Zusammenhang mit kleineren Ladendiebstählen und wegen Schwarzfahrens angehalten. Gestützt hierauf bietet die Beschwerdeführerin, obwohl sie bisher regelmässig zu ihren Ausreisegesprächen erschienen ist, keine Gewähr dafür, dass sie sich ohne Haft zu gegebener Zeit den Behörden für den Vollzug der Wegweisung tatsächlich zur Verfügung halten wird, weshalb bei ihr Untertauchensgefahr im Sinne der Rechtsprechung zu Art. 13b Abs. 1 lit. c ANAG besteht (Hugi Yar, Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Münch/Geiser/Arnold, Ausländerrecht, Basel/Genf/München 2002, Rz. 7.66). Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind - insbesondere nicht gesagt werden kann, dass sich ihre Ausreise zum Vornherein nicht in absehbarer Zeit organisieren liesse (vgl. Art. 13c Abs. 5 lit. a ANAG; BGE 125 II 217 E. 2 S. 220) oder sich die Behörden nicht mit dem nötigen Nachdruck hierum bemühen würden (vgl. Art. 13b Abs. 3 ANAG; BGE 124 II 49 ff.) -, verletzt der angefochtene Entscheid deshalb kein Bundesrecht.
2.3 Was die Beschwerdeführerin (sinngemäss) hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Gegenstand des bundesgerichtlichen Haftprüfungsverfahrens bildet ausschliesslich die Rechtmässigkeit und Angemessenheit der Ausschaffungshaft, nicht auch die Asyl- oder Wegweisungsfrage. Soweit sie geltend macht, sie könne nicht in ihre Heimat zurückkehren, ist auf ihre Ausführungen deshalb nicht weiter einzugehen. Hierüber haben die Asylbehörden rechtskräftig befunden; es ist nicht ersichtlich, dass und inwiefern ihr Entscheid offensichtlich unhaltbar sein und deshalb nicht Grundlage einer Ausschaffungshaft bilden könnte (vgl. BGE 128 II 193 ff.; 125 II 217 E. 2 S. 220; 121 II 59 E. 2). Der Einwand, sie habe um eine Verlängerung ihrer N-Bewilligung nachgesucht, übersieht, dass das Asylverfahren abgeschlossen ist und ihre Bewilligung deshalb nicht mehr verlängert werden kann. Wenn die Beschwerdeführerin erklärt, sie habe sich nichts zu Schulden kommen lassen und verstehe deshalb nicht, warum sie festgehalten werde, verkennt sie, dass die Ausschaffungshaft keine Strafe ist, sondern als Administrativmassnahme der Sicherung des Vollzugs ihrer Wegweisung dient, da sie diesen bisher vereitelt hat und er deshalb nunmehr zwangsweise erfolgen muss. Da eine erstmalige Haftgenehmigung ohne besondere Schwierigkeiten zur Diskussion stand, war eine Verbeiständung (noch) nicht erforderlich (BGE 122 I 275 E. 3b S. 276 ff.); der Haftrichter hat die Beschwerdeführerin im Übrigen ausdrücklich auf ihre Rechte hingewiesen, ohne dass sie ihn um Beigabe eines Anwalts ersucht hätte. Ihrer angeblich angeschlagenen Gesundheit kann im Rahmen des Haftvollzugs Rechnung getragen werden (Hugi Yar, a.a.O., Rz. 7.118 ff.), weshalb sich eine Haftentlassung auch insofern nicht rechtfertigt.
2.3 Was die Beschwerdeführerin (sinngemäss) hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Gegenstand des bundesgerichtlichen Haftprüfungsverfahrens bildet ausschliesslich die Rechtmässigkeit und Angemessenheit der Ausschaffungshaft, nicht auch die Asyl- oder Wegweisungsfrage. Soweit sie geltend macht, sie könne nicht in ihre Heimat zurückkehren, ist auf ihre Ausführungen deshalb nicht weiter einzugehen. Hierüber haben die Asylbehörden rechtskräftig befunden; es ist nicht ersichtlich, dass und inwiefern ihr Entscheid offensichtlich unhaltbar sein und deshalb nicht Grundlage einer Ausschaffungshaft bilden könnte (vgl. BGE 128 II 193 ff.; 125 II 217 E. 2 S. 220; 121 II 59 E. 2). Der Einwand, sie habe um eine Verlängerung ihrer N-Bewilligung nachgesucht, übersieht, dass das Asylverfahren abgeschlossen ist und ihre Bewilligung deshalb nicht mehr verlängert werden kann. Wenn die Beschwerdeführerin erklärt, sie habe sich nichts zu Schulden kommen lassen und verstehe deshalb nicht, warum sie festgehalten werde, verkennt sie, dass die Ausschaffungshaft keine Strafe ist, sondern als Administrativmassnahme der Sicherung des Vollzugs ihrer Wegweisung dient, da sie diesen bisher vereitelt hat und er deshalb nunmehr zwangsweise erfolgen muss. Da eine erstmalige Haftgenehmigung ohne besondere Schwierigkeiten zur Diskussion stand, war eine Verbeiständung (noch) nicht erforderlich (BGE 122 I 275 E. 3b S. 276 ff.); der Haftrichter hat die Beschwerdeführerin im Übrigen ausdrücklich auf ihre Rechte hingewiesen, ohne dass sie ihn um Beigabe eines Anwalts ersucht hätte. Ihrer angeblich angeschlagenen Gesundheit kann im Rahmen des Haftvollzugs Rechnung getragen werden (Hugi Yar, a.a.O., Rz. 7.118 ff.), weshalb sich eine Haftentlassung auch insofern nicht rechtfertigt.
3. 3.1 Dem Verfahrensausgang entsprechend würde die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 156 Abs. 1 OG). Es ist jedoch praxisgemäss von der Erhebung einer Gerichtsgebühr abzusehen (Art. 154 und Art. 153a OG; vgl. Urteil 2A.86/2001 vom 6. März 2001, E. 3).
3.2 Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid der Beschwerdeführerin korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Migrationsdienst des Kantons Bern und dem Haftgericht III Bern-Mittelland sowie dem Bundesamt für Flüchtlinge schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2004
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: