Sachverhalt:
A. Der 19.. geborene H._ sel. war ab 1951 zunächst als Fahrer, dann als Bereiter bei der früheren Eidgenössischen Militärpferdeanstalt (EMPFA) tätig und dadurch bei der Militärversicherung versichert. Er wurde im Jahr 1975 aus gesundheitlichen Gründen pensioniert und bezog in der Folge eine Invalidenrente der Militärversicherung. Am 25. Oktober 2004 verstarb H._. Mit Verfügung vom 21. Dezember 2006 verneinte die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt, Abteilung Militärversicherung (nachfolgend: SUVA-MV), einen Anspruch auf Hinterlassenenleistungen nach Art. 51 f. MVG und auf eine Bestattungsentschädigung nach Art. 60 MVG mit der Begründung, der Tod des Versicherten sei nicht infolge einer militärversicherten Gesundheitsschädigung eingetreten. Sie sprach der Witwe des Verstorbenen, S._, gestützt auf Art. 54 MVG rückwirkend ab 1. November 2004 eine Ehegattenrente bei ungenügenden Vorsorgeleistungen (sog. Reversionsrente) von 7.5 % zu. Daran hielt der Versicherer mit Einspracheentscheid vom 15. April 2008 fest.
B. Die von S._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 9. Dezember 2009 ab.
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des Einsprache- und des vorinstanzlichen Entscheids sei die Sache zur Einholung eines umfassenden Gutachtens betreffend Todesursache des Verstorbenen und zur neuen Verfügung an den Versicherer zurückzuweisen.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen, ob die Voraussetzungen für das Eintreten auf die Beschwerde erfüllt sind. Im vorliegenden Fall erscheint höchst zweifelhaft, ob die Beschwerde innerhalb der gesetzlichen Rechtsmittelfrist (Art. 100 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 44 ff. BGG) eingereicht wurde. Weitere Abklärungen hiezu erübrigen sich indessen, da sich die Beschwerde ohnehin als unbegründet erweist, wie die folgenden Erwägungen zeigen.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen über die Haftung der Militärversicherung bei nachdienstlich festgestellten Gesundheitsschädigungen, Rückfällen oder Spätfolgen (Art. 6 MVG) sowie über den Anspruch auf Hinterlassenenrenten, insbesondere auf eine Ehegattenrente (Art. 51 f. MVG), und auf eine Bestattungsentschädigung (Art. 60 MVG) der Militärversicherung mit den zu beachtenden beweisrechtlichen Grundsätzen zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Streitig ist, ob der Tod des Ehemannes der Beschwerdeführerin überwiegend wahrscheinlich Folge einer militärversicherten Gesundheitsschädigung ist, wie dies für einen Anspruch auf die erwähnten Leistungen vorausgesetzt wird. Die Vorinstanz hat dies verneint. Dagegen richtet sich die Beschwerde.
4. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, Todesursache sei ein Sekundenherztod gewesen, welcher nicht in einem Zusammenhang zu einem militärversicherten Gesundheitszustand gestanden habe-
4.1 Diese Beurteilung beruht auf einer einlässlichen und überzeugenden Würdigung der medizinischen Akten. Sie stützt sich namentlich auf die Berichte und Stellungnahmen der Dr. med. B._, Allgemeine Medizin FMH, des Hausarztes PD Dr. med. M._ und des Dr. med. R._ vom Ärztlichen Dienst des Bundesamts für Militärversicherung. Dr. med. B._ hat den Tod des Versicherten festgestellt. Gemäss seinem Kurzbericht vom 9. November 2004 erlitt H._ in den frühen Morgenstunden des 25. Oktober 2004 einen Sekunden-Herztod, ohne dass in den Vortagen Anhaltspunkte für eine koronare Herzkrankheit oder generell eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes festgestellt worden seien. Die attestierte Todesursache wurde in den folgenden Arztberichten nie in Frage gestellt. Das gilt auch für die Stellungnahme des Hausarztes PD Dr. med. M._ vom 3. Februar 2005, welcher den Versicherten am 14. September 2004 letztmals in seiner Praxis sah und ihn dabei in einem vergleichsweise schlechten Allgemeinzustand vorfand, allerdings normokard und normoton und ohne wesentliche Beschwerden von Seiten des Herzens, des Kreislaufs oder der Lunge. Sodann schliesst Dr. med. R._ in den versicherungsmedizinischen Stellungnahmen vom 16. November 2004, 7. März 2005 und 20. Januar 2006 (mit Nachtrag vom 8. Juni 2006), ein Zusammenhang zwischen einem militärversicherten Gesundheitsschaden und dem eingetretenen Tod sei nicht überwiegend wahrscheinlich.
4.2 Die in der Beschwerde erhobenen Einwände führen zu keiner anderen Betrachtungsweise.
4.2.1 Geltend gemacht wird namentlich, auf die Stellungnahmen des versicherungsinternen Arztes könne nicht abgestellt werden. Es sei ein unabhängiges medizinisches Gutachten einzuholen, da weder eine gesamthafte medizinische Beurteilung noch eine vollständige Krankengeschichte vorlägen.
Die Berichte des Dr. med. R._ erscheinen indessen schlüssig, sind nachvollziehbar begründet und in sich widerspruchsfrei. Sie geben zu den sich in medizinischer Hinsicht stellenden Fragen umfassend und überzeugend Antwort. Der Arzt hat dabei die sich aus den umfangreichen medizinischen Akten ergebende Krankengeschichte hinreichend erfasst und gewürdigt. Es finden sich denn auch in den weiteren Arztberichten keine Anhaltspunkte, welche Zweifel an der ärztlichen Beurteilung des Dr. med. R._ zu begründen vermöchten. Das kantonale Gericht hat daher zu Recht auf seine Stellungnahmen abgestellt. Daran ändert nichts, dass es sich um einen versicherungsinternen Arzt handelt, zumal keine Umstände vorliegen, welche auf eine mangelnde Objektivität oder auf Befangenheit schliessen liessen (vgl. BGE 125 V 351 E. 3b/ee S. 353 f.). Mit der Vorinstanz ist auch die Notwendigkeit weiterer medizinischer Abklärungen zu verneinen, da diese keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen.
Was im Besonderen den geltend gemachten Medikamentenkonsum betrifft, ist festzuhalten, dass dieser von Dr. med. R._ berücksichtigt und entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung in nachvollziehbarer Weise gewürdigt wurde. Dieser Gesichtspunkt ist zudem jedenfalls auch dem Hausarzt bekannt gewesen, welcher den Versicherten immerhin seit 1990 medizinisch betreut hatte. Dass, wie überdies vorgebracht wird, die Verschreibung eines Antibiotikums kurz vor dem Tod zu einer anderen Beurteilung von Todesursache und kausalen Zusammenhängen führen könnte, ist unwahrscheinlich. Es kann im Übrigen auf die zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden. Die Beschwerde ist demnach abzuweisen.
5. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. April 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz