Faits:
A. Y._ a mandaté A._, architecte, et B._, entrepreneur, pour la construction d'une villa. Le 4 septembre 2003, il a déposé une requête de preuve à futur contre A._, B._ et B._ SA, tous les trois représentés par l'avocat X._; cette requête tendait à l'administration d'une expertise visant à établir l'existence de défauts affectant ladite villa, leur origine et le coût des réparations.
Le 18 février 2008, Y._ a présenté une demande en paiement à l'encontre de A._ et B._. Il a déposé simultanément une écriture par laquelle il a contesté la capacité de postuler de l'avocat X._, même s'il ne représentait plus que A._, en invoquant un conflit d'intérêts.
Par décision du 7 août 2008, le Juge suppléant des districts de Martigny et St-Maurice a admis l'exception de procédure et déclaré qu'en raison d'un conflit d'intérêts effectif, l'avocat X._ n'avait pas la qualité pour postuler en faveur de A._ dans la contestation civile qui l'opposait à Y._.
B. Par jugement du 13 novembre 2008, l'Autorité de cassation du Tribunal cantonal valaisan (ci-après: le Tribunal cantonal), statuant par Juge unique, a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le pourvoi en nullité formé par X._ contre la décision précitée du 7 août 2008. Le Tribunal cantonal a statué avec un pouvoir d'examen limité à l'arbitraire s'agissant tant du droit que des faits.
C. Le 17 décembre 2008, X._ a déposé au Tribunal fédéral un recours constitutionnel subsidiaire contre le jugement du Tribunal cantonal du 13 novembre 2008. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation du jugement attaqué et à la constatation que le mandat qui lui a été confié par A._ ne contrevient pas à l'art. 12 let. a et b de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (loi sur les avocats, LLCA; RS 935.61).
Le Tribunal cantonal a renoncé à formuler des observations sur le recours. Le Juge suppléant des districts de Martigny et St-Maurice a fait savoir qu'il avait suspendu la cause au fond jusqu'à droit connu sur la capacité de postuler de l'avocat recourant. Y._ conclut, sous suite de frais et dépens, au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.
La Chambre de surveillance des avocats valaisans s'est déterminée sur ses compétences par rapport à celles de l'autorité judiciaire saisie.
D. Par ordonnance du 30 janvier 2009, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la demande d'effet suspensif contenue dans le recours.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 1 consid. 1.1 p. 3 et la jurisprudence citée).
1.1 Le recourant a déclaré déposer un recours constitutionnel subsidiaire. Il convient tout d'abord d'examiner si le recours en matière de droit public est ouvert en l'espèce, ce qui exclurait la voie du recours constitutionnel subsidiaire (cf. art. 113 LTF), étant précisé que l'intitulé erroné du mémoire de recours ne saurait préjuger de la voie de droit ouverte, ni porter préjudice au recourant, pour autant que l'écriture remplisse les conditions formelles de la voie de droit en cause (ATF 133 I 300 consid. 1.2 p. 302/303, 308 consid. 4.1 p. 314).
1.2 L'objet du litige concerne l'interdiction faite à l'avocat recourant de représenter un client en raison d'un conflit d'intérêts prohibé par l'art. 12 LLCA. Il relève donc du droit public au sens de l'art. 82 let. a LTF et ne tombe pas sous le coup des exceptions prévues à l'art. 83 LTF. La voie du recours en matière de droit public est donc en principe ouverte (cf. ATF 2C_504/2008 du 28 janvier 2009 consid. 7).
Le fait que, dans la présente cause, le jugement attaqué ait été rendu dans le cadre d'une procédure judiciaire civile par l'autorité de recours prévue par le code cantonal de procédure civile, sans que l'autorité cantonale de surveillance des avocats ait été saisie, n'a pas pour résultat de conférer un caractère civil au litige. En effet, la loi sur les avocats ne désigne pas l'autorité compétente habilitée à empêcher de plaider l'avocat confronté à un conflit d'intérêts, lorsqu'une procédure est en cours (cf. arrêt 1A.223/2002 du 18 mars 2003 consid. 3.2). Selon les cantons, la décision initiale à ce sujet peut émaner soit de l'autorité disciplinaire compétente (cf. par exemple ATF 2C_504/2008 du 28 janvier 2009), soit, comme ici, de l'autorité judiciaire saisie du fond. Or, rien ne justifie de prévoir une voie de recours qui diffère en fonction de la procédure mise en place par les cantons, alors que l'objet du litige, soit l'interdiction pour un avocat de représenter une partie en raison d'un conflit d'intérêts, est identique. Du reste, sous l'OJ déjà, la décision rendue par une autorité judiciaire interdisant à un avocat de plaider dans le cadre d'une procédure en cours devait, indépendamment de la nature de cette procédure, faire l'objet d'un recours de droit administratif au Tribunal fédéral (cf. arrêts 1P.227/2005 du 13 mai 2005 consid. 1.2, 2A.293/2003 du 9 mars 2004 consid. 1.1 et 1A.223/2002 du 18 mars 2003 consid. 2.2).
1.3 Par ailleurs, la décision, rendue en dernière instance cantonale, qui interdit à un avocat de plaider dans une procédure en cours est finale pour celui-ci (cf. ATF 2C_504/2008 du 28 janvier 2009 consid. 7), car elle met un terme définitif à son mandat (arrêts 2A.293/2003 du 9 mars 2004 consid. 1.2 et 1P.587/1997 du 5 février 1998 consid. 1c/cc).
1.4 Au surplus, le présent recours est dirigé contre une décision rendue par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) et a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) ainsi que dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par le destinataire du jugement attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF). Il est donc recevable comme recours en matière de droit public.
2. Les déterminations du Département fédéral de justice et police n'ont pas été requises, car, comme mentionné ci-après, le litige porte sur des questions procédurales et non sur l'application de l'art. 12 LLCA.
3. 3.1 Se fondant sur l'art. 228 al. 2 du code valaisan de procédure civile du 24 mars 1998 (RSV 170.1), le Tribunal cantonal n'a examiné l'application du droit matériel et les constatations de fait que sous l'angle restreint de l'arbitraire (jugement attaqué, consid. 1b p. 5).
Un tel pouvoir d'examen ne satisfait pas aux exigences figurant à l'art. 111 al. 3 LTF, qui impose que l'autorité qui précède immédiatement le Tribunal fédéral puisse examiner au moins les griefs visés aux art. 95 à 98 LTF (cf. Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4147 s. ch. 4.1.4.7). Il en allait de même sous l'empire de l'OJ; la jurisprudence avait alors souligné, dans une affaire valaisanne comparable à la présente cause, que l'autorité judiciaire statuant en dernière instance cantonale devait pouvoir vérifier l'application du droit fédéral avec un plein pouvoir d'examen, s'étendant à l'excès et à l'abus du pouvoir d'appréciation, et revoir d'office les constatations de fait. Le Tribunal fédéral avait ainsi indiqué que le Tribunal cantonal, qui avait restreint son pouvoir à l'arbitraire pour statuer sur une décision interdisant à un avocat de plaider en raison d'un conflit d'intérêts, ne satisfaisait pas aux exigences du droit fédéral (arrêt 1A.223/2002 du 18 mars 2003 consid. 3.2).
3.2 En l'espèce, le Tribunal cantonal a lui-même reconnu qu'il était contraire aux exigences de l'art. 111 al. 3 LTF de restreindre son pouvoir d'examen à l'arbitraire, mais il a considéré que cette façon de procéder était admissible durant la période d'adaptation prévue par les dispositions transitoires de la LTF, en particulier en vertu de l'art. 130 al. 2 LTF applicable en matière civile (jugement attaqué, consid. 1b p. 5). Ce raisonnement ne peut être suivi. En effet, comme on l'a vu, le litige a pour objet l'application de l'art. 12 LLCA et relève du droit public, non du droit civil ou de la procédure civile (cf. consid. 1.2, ci-dessus), de sorte que l'art. 130 al. 2 LTF n'entre pas en ligne de compte. En l'occurrence, un délai transitoire pourrait tout au plus découler de l'art. 130 al. 3 LTF. Cependant, cette disposition, qui s'applique au droit public, ne fixe un délai aux cantons pour adapter leur législation qu'en ce qui concerne les prescriptions figurant aux art. 86 al. 2 et 3 ainsi que 88 al. 2 LTF, mais ne mentionne pas l'art. 111 al. 3 LTF, contrairement à l'art 130 al. 2 LTF qui se réfère expressément à cette dernière disposition. Par conséquent, aucun délai transitoire n'est prévu s'agissant du pouvoir d'examen de l'autorité judiciaire qui précède immédiatement le Tribunal fédéral lorsqu'elle statue dans les causes de droit public (cf. Bernhard Ehrenzeller, in Commentaire bâlois, nos 19 et 20 ad art. 111 LTF). C'est donc à tort que le Tribunal cantonal se prévaut d'un délai transitoire fondé sur l'art. 130 LTF.
3.3 Lorsqu'il soutient, en se référant à l'art. 110 LTF, qu'il suffit qu'une autorité judiciaire, par exemple celle de première instance, ait examiné la cause de manière libre et complète, le Tribunal cantonal perd de vue que la question n'est pas de savoir si le juge pouvait examiner librement et d'office la cause, mais uniquement si celui-ci avait un pouvoir comparable à celui du Tribunal fédéral, ce qui ressortit à l'art. 111 al. 3 LTF. Or, selon le texte même de cette disposition, c'est le pouvoir d'examen de l'autorité qui précède immédiatement le Tribunal fédéral qui doit être au moins identique. Est uniquement réservé le cas où les cantons auraient mis en place une ultime autorité de recours, telle une cour de cassation (cf. ATF 134 III 141 consid. 2 p. 143 s.), ce qui n'est pas le cas en l'espèce, le Tribunal cantonal ayant statué comme deuxième et dernière instance cantonale (cf. FF 2001 4147 s. ch. 4.1.4.7; Ehrenzeller, op. cit., n° 18 ad art. 111 LTF; voir aussi Yves Donzallaz, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, p. 1594 n° 4419).
En statuant avec une cognition limitée à l'arbitraire, le Tribunal cantonal a donc violé le droit fédéral. Encore faut-il, pour que le recours puisse être admis, que cette violation ait une incidence concrète dans la présente cause.
3.4 En l'espèce, le Tribunal cantonal n'a examiné l'application de l'art. 12 LLCA et l'existence d'un éventuel conflit d'intérêts qu'en fonction des griefs invoqués et sous l'angle de l'arbitraire (jugement attaqué, consid. 1c p. 6 et consid. 3b p. 8). Dans son recours au Tribunal fédéral, le recourant se plaint que l'existence d'un tel conflit a été admise au terme d'un examen lacunaire de la situation de fait et de droit. Dès lors que l'autorité cantonale a statué avec un pouvoir restreint, le Tribunal fédéral n'est pas en mesure de vérifier les critiques formées par le recourant et de contrôler librement la façon dont l'art. 12 LLCA a été appliqué dans les circonstances de l'espèce, comme le lui impose l'art. 106 al. 1 LTF.
Il en découle que la limitation du pouvoir d'examen du Tribunal cantonal, contraire à l'art. 111 al. 3 LTF, empêche le Tribunal fédéral de contrôler l'application du droit critiquée par le recourant. Dans ces circonstances, le recours doit être admis, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée au Tribunal cantonal pour qu'il statue avec un pouvoir d'examen conforme aux exigences de l'art. 111 al. 3 LTF.
4. 4.1 Les frais judiciaires sont en règle générale mis à la charge de la partie qui succombe. Si les circonstances le justifient, le Tribunal fédéral peut les répartir autrement (cf. art. 66 al. 1 LTF). Il peut être dérogé à la règle de l'art. 66 al. 4 LTF selon laquelle les cantons sont libérés des frais judiciaires, lorsque la décision attaquée contient une violation qualifiée du droit (art. 66 al. 3 LTF; arrêts 8C_845/2008 du 4 mars 2009 consid. 5.1 et 9C_394/2008 du 12 février 2009 consid. 3; cf. aussi ATF 133 V 402 consid. 5 p. 407 s. appliquant encore l'OJ; THOMAS GEISER, in Commentaire bâlois, 2008, n° 25 ad art. 66 LTF; HANSJÖRG SEILER, in Bundesgerichtsgesetz, 2007, n° 43 ad art. 66 LTF).
En l'espèce, il ne se justifie pas de mettre les frais à la charge de l'intimé, bien qu'il succombe, mais il convient de les faire supporter par le canton du Valais en application de l'art. 66 al. 3 LTF, dès lors que le Tribunal fédéral avait déjà attiré l'attention des autorités valaisannes sur la nécessité d'adapter la cognition de l'autorité cantonale de dernière instance aux exigences du droit fédéral, lorsque celle-ci statue sur un recours contre une décision interdisant à un avocat de plaider en raison d'un conflit d'intérêts (arrêt 1A.223/2002 du 18 mars 2003 consid. 3.3).
4.2 Le recourant qui a agi comme avocat dans sa propre cause n'a pas démontré qu'il remplissait les conditions particulières auxquelles un tel avocat peut recevoir des dépens (cf. ATF 129 V 113 consid. 4.1 p. 116 et 128 V 236 consid. 5 p. 242). Aucune indemnité ne lui sera donc allouée à ce titre.
Succombant, l'intimé n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours, traité comme recours en matière de droit public, est admis. Le jugement de l'Autorité de cassation du Tribunal cantonal du canton du Valais du 13 novembre 2008 est annulé.
2. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton du Valais pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du canton du Valais.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué au recourant, au mandataire de Y._, au Juge suppléant des districts de Martigny et St-Maurice, au Tribunal cantonal du canton du Valais et à la Chambre de surveillance des avocats valaisans.
Lausanne, le 17 avril 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Müller Dupraz