Sachverhalt:
A.
Der 1962 geborene B._ war Sachbearbeiter bei der Firma B._ Treuhand AG und bei der Schweiz, Allgemeine Versicherungs-Aktien-Gesellschaft, heute Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend Allianz), obligatorisch unfallversichert. Am 31. Mai 1991 erlitt er bei einem Motorradunfall ein Polytrauma, das gleichentags eine Amputation des linken Oberschenkels erforderte; seither trägt er eine Beinprothese. Die Allianz erbrachte Heilbehandlung und Taggeld. Ab 15. Juni 1992 arbeitete der Versicherte wieder zu 50 %. Am 5. Februar 1993 wurde die als Folge des obigen Unfalls eingesetzte Kondylenplatte am rechten Femur entfernt; am 23. März 1993 erfolgte wegen einer Refraktur eine Kondylenplatten-Reosteosynthese rechts. Danach wurde der Versicherte von der Invalidenversicherung zum technischen Kaufmann mit Diplom und Treuhänder (ohne Abschluss) umgeschult. Seit 1. August 1999 arbeitete er zu 80 %. Mit unangefochten in Rechtskraft erwachsener Verfügung vom 11. März 2003 sprach ihm die Allianz ab 1. August 1999 eine Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 20 % zu.
Im März 2003 traten bei ihm lumbale Rückenbeschwerden auf. Mit Verfügung vom 20. Oktober 2005 verneinte die Allianz eine Leistungspflicht für die Folgen der plurifokalen Hämangiome und Wirbelkörperinfraktionen. Die Einsprache des Versicherten wies sie mit Entscheid vom 4. Juli 2006 ab. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau wies die Sache zu weiteren Abklärungen im Sinne der Erwägungen und anschliessender Neuverfügung an die Allianz zurück (Entscheid vom 19. Dezember 2007). Diese zog ein Gutachten des Prof. Dr. med. O._, FMH Orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparates, Uniklinik A._, vom 30. November 2009 bei. Mit Verfügung vom 12. August 2010 verneinte sie die Leistungspflicht für die Rückenbeschwerden; für die Einschränkungen im linken Oberarm und in der linken Hand bestehe Anspruch auf eine zusätzliche Integritätsentschädigung bei einer 15%igen Integritätseinbusse. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 10. November 2010 fest. Die Vorinstanz hob diesen Entscheid auf und wies die Allianz an, dem Versicherten die gesetzlichen Leistungen gemäss UVG zu entrichten (Entscheid vom 15. Dezember 2011). Die Beschwerde der Allianz hiess das Bundesgericht teilweise gut. Es hob den Entscheid auf und wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid neu entscheide; im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Urteil 8C_117/2012 vom 20. September 2012).
B.
Die Vorinstanz stellte Prof. Dr. med. O._ Ergänzungsfragen, welche dieser mit Eingabe vom 14. Mai 2013 beantwortete. Hierzu nahmen die Allianz am 30. Mai 2013 und der Versicherte am 5. Juni 2013 Stellung. Mit Eingabe vom 11. Juni 2013 machte die Allianz geltend, die aufgeworfenen Fragen des Bundesgerichts harrten nach wie vor der rechtsgenüglichen Antworten, weshalb die weiteren Verfahrensschritte zu bewirken seien. Mit Verfügung vom 24. Juni 2013 stellte die Vorinstanz Prof. Dr. med. O._ weitere Zusatzfragen, welche dieser mit Schreiben vom 25. Juli 203 beantwortete. Dieses wurde den Parteien am 26. Juli 2013 zur Kenntnisnahme zugestellt. Mit Entscheid vom 26. September 2013 hiess die Vorinstanz die Beschwerde gut; sie hob den Einspracheentscheid auf und wies die Allianz an, dem Versicherten die ihm im Sinne der Erwägungen zustehenden gesetzlichen Leistungen gemäss UVG zu entrichten.
C.
Mit Beschwerde beantragt die Allianz die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
Der Versicherte schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
Gründe für ein Nichteintreten auf die Beschwerde sind - entgegen dem pauschalen Vorbringen des Versicherten - nicht ersichtlich.
2.
Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f.), den Rückfall und die Spätfolgen als besondere revisionsrechtliche Leistungstatbestände (Art. 11 UVV; BGE 118 V 293 E. 2c S. 296 f.; SVR 2009 UV Nr. 62 S. 217 E. 3.4 [8C_91/2009], 2005 MV Nr. 1 S. 1 E. 1.2 [M 1/02]), den Untersuchungsgrundsatz und die freie Beweiswürdigung (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG), den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 138 V 218 E. 6 S. 221) und den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232). richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3.2. Unfallbedingte Fehlbelastungen (wegen Fuss- und Beinverletzungen, Beinlängenverkürzung usw.) können im Sinne indirekter Unfallfolgen zu Rückenbeschwerden führen. Es liegt in der Natur solcher Fehlbelastungsbeschwerden, dass sie erst einige Zeit nach dem Unfall auftreten und nicht direkt traumatisch bedingt sind (RKUV 2003 Nr. U 487 S. 337 E. 5.2.2 [U 38/01]). Ursachen im Sinne des natürlichen Kausalzusammenhangs sind alle Umstände, ohne deren Vorhandensein der eingetretene Erfolg nicht als eingetreten oder nicht als in gleicher Weise bzw. nicht zur gleichen Zeit eingetreten gedacht werden kann. Es genügt sodann, wenn der Unfall überwiegend wahrscheinlich zumindest eine indirekte Teilursache der gesundheitlichen Beschwerden ist (BGE 134 V 109 E. 9.5 S. 125 f.). An den Wahrscheinlichkeitsbeweis sind umso strengere Anforderungen zu stellen, je grösser der zeitliche Abstand zwischen Unfall und Rückfall/Spätfolge ist (SVR 2010 UV Nr. 31 S. 125 E. 6 [8C_816/2009], 2005 MV Nr. 1 S. 1 E. 1.2; Urteil 8C_117/2012 E. 6.1). Die Beweislast für das Vorliegen eines natürlichen Kausalzusammenhanges zwischen dem neuen Beschwerdebild und dem Unfall obliegt dabei der versicherten Person (RKUV 1994 Nr. U 206 S. 328 E. 3b).
3.3. Das Bundesgericht verwendet zur Konkretisierung des Beweismasses grundsätzlich keine Prozentwerte. Nach dem Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit ist ein bestimmter Sachverhalt nicht bereits dann bewiesen, wenn er bloss möglich ist. Hingegen genügt es, wenn das Gericht aufgrund der Würdigung aller relevanten Sachumstände, mithin nach objektiven Gesichtspunkten, zur Überzeugung gelangt, dass er der wahrscheinlichste aller in Betracht fallenden Geschehensabläufe - bei zwei möglichen Sachverhaltsvarianten: die wahrscheinlichere - ist und zudem begründeterweise angenommen werden darf, dass weitere Beweismassnahmen an diesem feststehenden Ergebnis nichts mehr ändern (SVR 2012 BVG Nr. 22 S. 89 E. 5.1 [9C_541/2011]; Urteil 8C_117/2012 E. 5).
4.
4.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die vom Versicherten seit März 2003 geklagten Rückenbeschwerden in einem natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 31. Mai 1991 stehen. Im Urteil 8C_117/2012 wies dass Bundesgericht die Vorinstanz an, einen ergänzenden Bericht des Prof. Dr. med. O._ einzuholen und erforderlichenfalls eine weitere medizinische Begutachtung anzuordnen.
4.2. Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, in der Beantwortung der Ergänzungsfragen vom 14. Mai 2013 habe Prof. Dr. med. O._ einerseits auf S. 18 angegeben, es müsse in Abwägung von zwei Wahrscheinlichkeiten klar davon ausgegangen werden, dass die beklagten Rückenbeschwerden mit deutlich grösserer Wahrscheinlichkeit indirekte (teilursächliche) Unfallfolgen seien als nicht. Auf S. 20 sei er davon ausgegangen, die zwischenzeitlich zunehmende Coxarthrose links sei nicht an den Rückenbeschwerden beteiligt. Weiter habe er dargelegt, aufgrund der anamnestischen Angaben des Versicherten und der radiologischen Untersuchungen könne ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den Rückenbeschwerden überwiegend wahrscheinlich ausgeschlossen werden. Auf die gerichtliche Frage, wie sich diese Angaben auf S. 18 und S. 20 zueinander verhielten, habe Prof. Dr. med. O._ am 25. Juli 2013 Folgendes geantwortet: 1. Die transfemorale Amputation habe zu den heute geklagten Rückenbeschwerden geführt (indirekte Unfallfolge); 2. Die Coxarthrosen seien an den Rückenbeschwerden nicht beteiligt; es bestehe kein Widerspruch zwischen den Angaben auf S. 18 und S. 20. Weiter habe er den Schluss gezogen, es bestehe eine natürliche Kausalitätskette zwischen dem Unfall vom 31. Mai 1991, der daraus resultierenden traumatischen Femuramputation und den (sekundären) Rückenbeschwerden. Schliesslich habe er die gerichtliche Frage, ob im konkreten Fall ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 31. Mai 1991 und den seit dem Jahr 2003 aufgetretenen Rückenbeschwerden bestehe, mit "Ja" beantwortet. Weiter sei hervorzuheben, dass Prof. Dr. med. O._ im Bericht vom 14. Mai 2013 auf Studien hingewiesen habe, aus denen eine Latenzzeit von mehr als 17 Jahren hervorgehe. Zusammenfassend sei aufgrund seiner voll beweiskräftigen Ausführungen darauf zu schliessen, dass der Unfall vom 31. Mai 1991 überwiegend wahrscheinlich eine (sekundäre) Teilursache für die beim Versicherten bestehenden Rückenschmerzen darstelle, weshalb die natürliche Unfallkausalität zu bejahen sei.
5.
Diesem vorinstanzlichen Ergebnis ist beizupflichten. Festzuhalten ist insbesondere Folgendes:
5.1. Im Hinblick auf die Beantwortung der vorinstanzlichen Ergänzungsfragen veranlasste Prof. Dr. med. O._ weitere radiologische Abklärungen der LWS, BWS, der Hüften sowie des Beckens und untersuchte den Versicherten erneut klinisch. Zudem nahm er eine ausführlichere Analyse der medizinischen Literatur zur Frage der Prävalenz von Rückenschmerzen bei am Oberschenkel amputierten Personen vor. Zur externen Validierung und Abschätzung der praktisch-klinischen Relevanz befragte er zusätzlich KD Dr. E._ und Prof. em. Dr. R._, Technische Orthopädie, Uniklinik A._ (Delphi-Methode). Prof. Dr. med. O._ führte aus, diese Institution sei im deutschsprachigen Raum mitführend und verfüge über eine enorm grosse Erfahrung mit diesen klinischen Problemen. Beide Kollegen hätten unabhängig voneinander bestätigt, das Rückenbeschwerden bei amputierten Patienten (insbesondere bei Oberschenkelamputation) ein häufiges und klinisch relevantes Problem seien (persönliche Mitteilungen). Aufgrund der Datenlage und der praktisch-klinischen Erfahrung gelte der Zusammenhang zwischen Rückenschmerzen und Amputationen an den unteren Extremitäten insbesondere bei transfemoralen Amputationen als gesichert. Gestützt auf diese zusätzlichen Abklärungen bejahte Prof. Dr. med. O._ die Frage, ob im konkreten Fall des Versicherten ein natürlicher Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 31. Mai 1991 und den seit dem Jahr 2003 aufgetretenen Rückenbeschwerden bestehe, wobei er von einer indirekten Teilursache (nicht näher quantifizierbar) ausging. In diesem Lichte ist der Vorinstanz beizupflichten, dass die Einschätzung des Prof. Dr. med. O._ die Anforderungen an eine rechtsgenügliche medizinische Beurteilungsgrundlage erfüllt (vgl. E. 3.1 hievor).
5.2. Die Allianz erhebt keine Rügen, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz zur Unfallkausalität der Rückenbeschwerden als unrichtig oder unvollständig (Art. 97 Abs. 2 BGG) oder den angefochtenen Entscheid als rechtsfehlerhaft nach Art. 95 BGG erscheinen lassen.
Unbehelflich ist das Vorbringen der Allianz, Prof. Dr. med. O._ habe in der Ergänzungsexpertise vom 14. Mai 2013 ausgeführt, der Beginn der Rückenschmerzen im Jahr 2003 sei mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit auf die frische (n) Kompressionsfrakturen bei (vorbestehenden) Hämangiomen zurückzuführen. Denn dieser Umstand schliesst die von ihm gleichzeitig bejahte Teilursächlichkeit des Unfalls vom 31. Mai 1991 mit nachfolgender Oberschenkelamputation nicht aus (vgl. E. 3.2 hievor).
Weiter macht die Allianz geltend, Prof. Dr. med. O._ habe ausgeführt, aufgrund der Datenlage und der praktisch-klinischen Erfahrung gelte der Zusammenhang zwischen Rückenschmerzen und Amputationen an den unteren Extremitäten insbesondere bei transfemoralen Amputationen als gesichert; indessen habe er selber relativiert, in der klinischen Medizin liessen sich solche Aussagen (fast ausnahmslos) nur für ein Kollektiv, nicht aber für den Einzelfall treffen. Dem ist entgegenzuhalten, dass die Einschätzung des Prof. Dr. med. O._ nicht nur hierauf, sondern auch auf eingehenden Untersuchungen des Versicherten basiert.
6.
Die unterliegende Allianz trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. März 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar