Erwägungen:
1. Mit Eingabe vom 16. August 2008 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern betreffend Quellensteuer vom 15. Juli 2008. Er beantragt sinngemäss, es sei das Urteil aufzuheben ("abzuweisen") und die nicht geschuldete Quellensteuer des Jahres 2005 zurückzuerstatten. In verfahrensrechtlicher Hinsicht stellt er das Gesuch, es sei ihm die Frist für die Nachreichung einer umfassenden Beschwerdebegründung nebst Beweisurkunden bis 22. September 2008 zu erstrecken.
Mit Schreiben vom 25. August 2008 wurde dem Beschwerdeführer mitgeteilt, die Beschwerdeeingabe enthalte keine Beschwerdebegründung und erfülle daher die formellen Anforderungen nicht. Als gesetzlich bestimmte Frist könne die Beschwerdefrist nicht erstreckt werden (Art. 47 Abs. 1 BGG). Indessen habe die Frist infolge der Gerichtsferien vom 15. Juli bis 15. August stillgestanden (Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG) und laufe sie mithin noch längere Zeit. Er habe die Möglichkeit, noch innert laufender Beschwerdefrist eine formgültige Beschwerde einzureichen. Mit Eingabe vom 18. September 2008 (Posteingang) reichte der Beschwerdeführer eine weitere Beschwerde ein.
2. Zu prüfen ist, ob auf die Beschwerde eingetreten werden kann.
2.1 Es ist offensichtlich, dass die Eingabe des Beschwerdeführers vom 16. August 2008 keine Begründung enthielt und damit dem Erforderniss der Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 BGG) nicht genügte. Das hatte auch der Beschwerdeführer erkannt, verlangte er doch selbst, es sei ihm die Frist zur Nachreichung der umfassenden Begründung bis 22. September 2008 zu erstrecken (was nach Art. 47 Abs. 1 BGG nicht bewilligt werden konnte). Auf die Eingabe vom 16. August 2008 kann daher nicht eingetreten werden. Es fragt sich, ob die zweite Beschwerdeeingabe vom 18. September 2008 (Posteingang), mit welcher der Beschwerdeführer das Versäumte nachholte, rechtzeitig innert der Beschwerdefrist erfolgte.
2.2 Gemäss Art. 48 Abs. 1 BGG müssen Eingaben spätestens am letzten Tag der Frist beim Bundesgericht eingereicht oder zu dessen Handen der Schweizerischen Post oder einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung übergeben werden. Unter der Schweizerischen Post ist eine schweizerische Poststelle zu verstehen. Die Übergabe an die ausländische Post genügt nicht (BGE 104 Ia 4; Poudret/Sandoz-Monod, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, N 4.3.3 zu Art. 32 OG). Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern wurde am 17. Juli 2008 versandt und am 18. Juli 2008 an der vom Beschwerdeführer angegebenen schweizerischen Zustelladresse in Empfang genommen (vgl. Handvermerk auf dem Urteil oben rechts). Das Urteil gilt daher in diesem Zeitpunkt als zugestellt und eröffnet. Dass es den Beschwerdeführer an seinem Wohnort in Berlin am 31. Juli 2008 erreichte, hat auf den Fristenlauf keinen Einfluss. Infolge der Gerichtsferien vom 15. Juli bis und mit 15. August 2008 stand die Beschwerdefrist still (Art. 46 BGG). Sie begann mit Ablauf des Friststillstands am 16. August zu laufen und endigte unter Berücksichtigung des Fristenlaufs an Samstagen und Sonntagen am Montag, 15. September 2008. Die Frist ist daher nur eingehalten, wenn die Sendung spätestens am 15. September 2008, 24.00 Uhr, dem Empfänger oder der schweizerischen Post übergeben worden war.
2.2.1 Wie sich aus den Angaben im Suchsystem der schweizerischen Post "Track & Trace International" ergibt, verliess die Sendung von Deutschland nach der Schweiz mit der Sendungsnummer RR026797627DE die Grenzstelle im Aufgabeland (Deutschland) am 17. September 2008 um 05.15 Uhr. Sie erreichte die Grenzstelle des Bestimmungslandes (Schweiz) noch am gleichen Tag, wo sie - uno actu - um 16.18 Uhr vom Zoll freigegeben, an das Briefzentrum International übergeben und von dort als "Einschreiben R National" (Nr. 98.00.801063.31926987) weitergeleitet wurde. Gemäss "Track & Trace" (für inländische Post) wurde die Sendung am 18. September 2008, 07.30 Uhr, dem Schweizerischen Bundesgericht in Lausanne zugestellt. Das stimmt mit dem Eingangsstempel der Bundesgerichtskanzlei wie auch mit dem Sendungsstatus der deutschen Post zum Einschreiben mit der Nummer RR026797627DE überein. Am 15. September 2008 um 24.00 Uhr lief die Beschwerdefrist ab. Bis am 17. September 2008, 05.14 Uhr, befand sich die Sendung indessen noch im Aufgabeland. Sie konnte sich folglich nicht im Besitz der schweizerischen Post befunden haben. Auf die verspätete Beschwerde ist nicht einzutreten.
3. Die Beschwerde ist offensichtlich unzulässig und im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG ohne weiteren Schriftenwechsel zu erledigen.
Der Beschwerdeführer beantragt Befreiung von der Kostenpflicht. Der Präsident als Einzelrichter entscheidet hierüber ebenfalls im vereinfachten Verfahren (Art. 64 Abs. 3 Satz 2 BGG). Die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege setzt ausser der Bedürftigkeit der Prozesspartei voraus, dass deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheinen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Eine ohne Begründung und verspätet eingereichte Beschwerde erscheint von vornherein als offensichtlich aussichtslos, weshalb dem Gesuch nicht stattgegeben werden kann. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65, 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident der Abteilung:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Wyssmann