Fatti:
A. In seguito al suo matrimonio celebrato il 19 luglio 2003 con il connazionale C._, titolare di un permesso di domicilio in Svizzera, B._, cittadina serba, è stata autorizzata il 25 ottobre 2003 ad entrare nel nostro Paese, ove ha ottenuto un permesso di dimora annuale per vivere con il marito. In patria, presso i genitori, ha lasciato il figlio A._, nato da una precedente relazione.
B. Il 26 luglio 2006 la Sezione dei permessi e dell'immigrazione ha respinto la domanda di ricongiungimento familiare presentata il 19 maggio 2006 da B._ a favore del figlio A._. L'autorità ha considerato che il ricongiungimento era tardivo e volto essenzialmente ad offrire al figlio condizioni di vita migliori. Tale diniego è stato confermato il 30 gennaio 2007 dal Consiglio di Stato del Cantone Ticino, con giudizio cresciuto in giudicato incontestato.
C. Autorizzato ad entrare in Svizzera il 7 luglio 2007 al beneficio di un visto turistico della durata di tre mesi A._ ha chiesto, il 22 agosto successivo, il rilascio di un permesso di dimora per stare con la madre. Egli ha fatto valere che le condizioni di salute dei nonni materni, presso i quali aveva finora vissuto, erano peggiorate in misura tale da non poterlo più accudire.
L'istanza è stata respinta dapprima dalla Sezione dei permessi e dell'immigrazione, il 10 ottobre 2007, e poi dal Consiglio di Stato il 13 novembre 2007, il quale l'ha trattata come una domanda di riesame. Quest'ultimo giudizio è stato confermato su ricorso dal Tribunale cantonale amministrativo il 25 marzo 2008; la Corte cantonale ha ritenuto, in sintesi, che i problemi di salute dei nonni non costituivano dei fatti nuovi tali da giustificare il riesame del caso.
D. Il 5 maggio 2008 A._, rappresentato dalla madre, ha esperito dinanzi al Tribunale federale un gravame intitolato ricorso di diritto amministrativo, con cui chiede che la sentenza cantonale sia annullata e che gli sia rilasciato un permesso di dimora; in via subordinata domanda che la causa venga rinviata all'autorità inferiore perché abbia ad esprimersi e ad istruire l'incarto nel senso dei considerandi. Lamenta un'istruttoria manifestamente lacunosa e sommaria ed una conseguente violazione dell'art. 8 CEDU.
Chiamati ad esprimersi la Sezione dei permessi e dell'immigrazione e l'Ufficio federale della migrazione propongono la reiezione del ricorso. Il Consiglio di Stato si è rimesso al giudizio di questa Corte, mentre il Tribunale cantonale amministrativo si è limitato a riconfermarsi nella motivazione e nelle conclusioni della propria sentenza.
Diritto:
1. 1.1 Come accennato, il gravame è intitolato "ricorso di diritto amministrativo". Il ricorrente dimentica tuttavia che detto rimedio era disciplinato dalla legge federale sull'organizzazione giudiziaria del 16 dicembre 1943, la quale è stata abrogata dalla legge sul Tribunale federale del 17 giugno 2005 (LTF), entrata in vigore il 1° gennaio 2007. Siccome la decisione impugnata è stata emanata dopo questa data, la presente vertenza è retta dalla nuova normativa (art. 132 cpv. 1 LTF). L'errata denominazione di un rimedio giuridico non comporta comunque alcun pregiudizio per la parte ricorrente, se il suo allegato adempie le esigenze formali del tipo di ricorso effettivamente esperibile (DTF 133 I 300 consid. 1.2 con rinvii).
1.2 Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione la sua competenza (art. 29 cpv. 1 LTF), rispettivamente l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (DTF 134 IV 36 consid. 1; 133 II 249 consid. 1.1; 133 I 185 consid. 2 e rispettivi riferimenti).
2. 2.1 Secondo l'art. 83 lett. c n. 2 LTF, il ricorso in materia di diritto pubblico è inammissibile contro le decisioni in materia di diritto degli stranieri concernenti i permessi o autorizzazioni al cui ottenimento né il diritto federale né il diritto internazionale conferiscono un diritto.
2.2 A giusta ragione il ricorrente non pretende di vantare un diritto a soggiornare in Svizzera in virtù della legislazione interna o di un trattato bilaterale concluso con il suo paese d'origine. Un diritto al rilascio di un'autorizzazione di soggiorno per i figli minorenni di stranieri residenti in Svizzera può risultare, a determinate condizioni, dalla garanzia della vita privata e familiare sancita dall'art. 8 CEDU, a cui si appella invece il ricorrente. Sotto questo profilo occorre, da un lato, che lo straniero abbia un diritto certo ad ottenere il rinnovo del permesso di cui dispone e, dall'altro, che intrattenga con i figli una relazione familiare intatta ed effettivamente vissuta (DTF 130 II 281 consid. 3.1; 129 II 193 consid. 5.3.1, 215 consid. 4.1). Come già constatato nella sentenza impugnata, la madre del ricorrente ha di principio diritto alla proroga del suo permesso di dimora, essendo sposata con uno straniero titolare di un permesso di domicilio. Per quanto concerne le relazioni familiari, va osservato che quand'anche sussistessero dei dubbi sull'intensità del legame prima dell'arrivo del figlio in Svizzera, questi convive con la madre dal mese di luglio 2007: si può quindi considerare che la loro relazione è intatta ed effettivamente vissuta nel senso richiesto dalla prassi. L'impugnativa, inoltrata tempestivamente (art. 100 cpv. 1 LTF) da una persona legittimata ad agire (art. 89 cpv. 1 LTF) è, quindi, in linea di principio, ammissibile.
3. Oggetto di disamina è una domanda di riesame. Al riguardo va ricordato che per consolidata giurisprudenza, un'autorità deve procedere al riesame di una decisione solo se le circostanze si siano modificate in modo rilevante dopo la prima decisione, oppure se l'interessato invochi fatti o mezzi di prova rilevanti che non conosceva o dei quali non poteva o non aveva ragioni di prevalersi al momento della prima decisione (DTF 124 II 1 consid. 3a; 120 Ib 42 consid. 2b; SJ 2004 I pag. 389). Se l'autorità competente reputa che queste condizioni non siano adempiute, può rifiutarsi di esaminare nel merito la domanda. In questo caso il richiedente non dispone di nuove facoltà di ricorso nel merito; può semplicemente insorgere contro il fatto che è stata negata a torto la sussistenza dei requisiti al riesame (DTF 113 Ia 146 consid. 3c; 109 Ib 246 consid. 4a).
4. Nella sentenza querelata (cfr. pag. 7 seg.) il Tribunale amministrativo cantonale ha esposto le norme legali e la giurisprudenza concernenti il ricongiungimento differito dei figli minorenni con un solo genitore in virtù dell'art. 8 CEDU (DTF 133 II 6 consid. 3 e numerosi riferimenti). Ci si limita pertanto a ricordare che, in tale caso, non vi è un diritto incondizionato a far venire in Svizzera dei figli che sono cresciuti all'estero nella cerchia familiare dell'altro genitore o presso altre persone di fiducia, ad esempio i nonni. L'accoglimento della domanda presuppone che siano intervenuti importanti cambiamenti delle circostanze, in particolare d'ordine familiare, come ad esempio un mutamento nelle possibilità di cura e presa a carico educativa dei figli all'estero (DTF 133 II 6 consid. 3.1; 130 II 1 consid. 2.2; 129 II 11 consid. 3.1; 126 II 329 consid. 2a e 3b; 125 II 585 consid. 2a). La prova di un tale cambiamento delle circostanze soggiace ad esigenze severe, in particolare quanto più il figlio si avvicina alla maggiore età (DTF 129 II 11 consid. 3.3.2; 124 II 361 consid. 4c).
5. 5.1 Il ricorrente insiste in primo luogo sui legami seguiti ed esclusivi che ha sempre avuto con la madre e sul fatto che in patria non ha altri parenti al di fuori dei nonni materni. Al loro proposito afferma che, anche se la salute della nonna non era delle migliori negli anni passati, tuttavia vi è stato un aggravamento improvviso, attestato da certificati medici chiari e dettagliati, nei mesi precedenti la seconda domanda di ricongiungimento, che ha comportato una degenza ospedaliera, la necessità di farsi aiutare continuamente da terzi per le attività domestiche e soprattutto l'apparizione di scompensi psicotici. Riguardo al nonno adduce che, anche se i suoi problemi di salute erano preesistenti, tuttavia il cumulo delle due patologie fa apparire come assolutamente improponibile che essi abbiano ad accudirlo. Orbene il Tribunale cantonale amministrativo piuttosto che approfondire tali aspetti, ampiamente documentati, li ha invece del tutto ignorati. L'istruttoria della causa sarebbe pertanto lacunosa e sommaria, ciò che avrebbe poi condotto l'autorità a rifiutare a torto di procedere a un riesame.
5.2 Dopo aver riportato ampi estratti delle traduzioni dei certificati medici prodotti in sede cantonale, la Corte ticinese è giunta alla conclusione che i lamentati problemi di salute dei nonni non erano tali da impedire al ricorrente, ormai sedicenne, di continuare a vivere nel paese d'origine. In primo luogo ha osservato che i disturbi in questione erano precedenti alla prima domanda di ricongiungimento, presentata nel 2006, e non avevano impedito ai nonni di occuparsi del nipote fino a quando egli era giunto nel nostro Paese. Essa ha poi espresso perplessità sul fatto che tale problematica era stata fatta valere solo dopo che il ricorrente era stato autorizzato ad entrare in Svizzera per rendere visita alla madre. Infine, dopo aver rilevato le difficoltà alle quali l'interessato sarebbe andato incontro, dovendosi inserire in un sistema culturale e linguistico sensibilmente diverso dal suo, con il rischio di trovarsi confrontato con rilevanti problemi d'integrazione, i giudici cantonali hanno osservato che l'insorgente aveva nel frattempo concluso la scuola dell'obbligo ed aveva l'età per iniziare un apprendistato ed entrare nel mondo del lavoro: egli era quindi oramai in grado di affrontare la vita in modo indipendente nel paese dove era nato e cresciuto ed aveva i suoi legami sociali e culturali più stretti. A loro avviso, il relativo peggioramento delle condizioni psichiche della nonna non costituiva un motivo sufficiente per riesaminare il caso, considerato inoltre che i nonni potevano, se del caso, farsi aiutare da terzi, visti i modesti bisogni di custodia del nipote in età adolescenziale.
5.3 L'argomentazione sviluppata dalla Corte cantonale va condivisa. Nel certificato medico del 26 luglio 2007 sono elencati i vari disturbi di cui soffre il nonno, di cui un'angina post infarto (che risale a due anni prima, cfr. certificato medico del 12.09.07). Per quanto concerne la nonna, in una dichiarazione sottoscritta il 6 settembre 2007 ella parla della sua salute precaria nonché di malanni che si manifestano sotto forma di gonfiatura delle articolazioni, mentre nel certificato medico del 12 settembre 2007 viene indicato che "(...) è seguita e curata da tanto tempo per reumatismo, dolori nella zona delle spalle e del collo, nella zona lombare, nelle articolazioni e per difficoltà neurotiche (....), da 3-4 anni manifesta sintomi di depressione e ansia e da un anno un vero depressivo quadro clinico" e si conclude indicando che "(...) è afflitta da diverse malattie e da 3-4 anni soffre di depressione con la tendenza di progredire nella malattia psicotico depressivo (..)". In quello redatto il 5 dicembre 2007 è ribadito che "(...) da anni addietro le è stato diagnosticato disturbi (...), da circa 3-4 anni la forma clinica si complica con una sintomatologia depressiva sempre più pesante (...)". Infine in quello allestito il 25 febbraio 2008 si ripete che ella è da considerarsi "(...) un caso piuttosto grave negli ultimi 3 anni, è inabile al lavoro al 100 % (...)". Da quel che precede emerge quindi che è da anni che la nonna soffre di diversi disturbi sia dal profilo fisico che psichico e che la sua salute si degrada, precisando inoltre che, contrariamente a quanto affermato nel gravame, ella non è mai stata ricoverata in ospedale, vista l'opposizione del marito (cfr. certificato medico del 05.12.2007). Orbene, oltre al fatto che, come già osservato nella sentenza cantonale, neanche in questa sede si capisce perché, quando è stata presentata la prima richiesta di ricongiungimento familiare, nulla è stato addotto al riguardo allorché si tratta di una situazione che si protrae da anni, comunque sia non risulta né è stato affermato e ancora meno dimostrato che i vari e numerosi problemi di salute dei nonni - presenti da anni - hanno creato loro delle difficoltà per provvedere alle necessità e all'educazione del nipote fino alla sua partenza nel luglio 2007. Considerata ora l'età del ragazzo, diciassettenne, la sua conseguente maturità e la relativa indipendenza acquisita e, di riflesso, il fatto che egli ha attualmente dei bisogni educativi e di custodia diminuiti, ne discende che l'asserito peggioramento della salute della nonna, anche se è un fatto nuovo, non appare però decisivo al punto d'implicare un mutamento radicale della situazione di fatto esistente quando è stata emanata la prima decisione.
In queste condizioni, sebbene uno dei certificati medici affermi l'impossibilità fisica e psichica della nonna di occuparsi del nipote, il suo stato di salute appare in realtà ancora sufficientemente buono per poter rispondere in modo adeguato alle esigenze educative e di custodia del ragazzo, le quali come accennato in precedenza sono del resto modeste (cfr. DTF 129 II 249 consid. 2.2; RDAT II-2001 n. 61, consid. 3c). Inoltre, come rilevato a giusto titolo dal Tribunale cantonale amministrativo, i nonni hanno sempre la possibilità, se del caso, di farsi coadiuvare da terzi di fiducia. Al riguardo si può aggiungere che la progressiva anzianità dei nonni è un fattore che il genitore emigrante prende in conto ed accetta al momento di partire per l'estero e di lasciar loro il figlio in custodia. Egli deve quindi di principio sopportare le conseguenze che ne derivano dal profilo dei legami familiari (DTF 129 II 11 consid. 3.4; sentenza 2A.238/2003 del 26 agosto 2003, consid. 3.2).
5.4 Da quel che precede risulta che le censure sollevate dal ricorrente sono prive di pertinenza e che è a giusto titolo che il Tribunale cantonale amministrativo ha rifiutato di procedere ad un riesame della fattispecie, giudicando che non vi era stata una modifica notevole della situazione di fatto. Il ricorso, manifestamente infondato, va pertanto respinto e il giudizio impugnato va confermato.
6. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF) mentre non si attribuiscono ripetibili per la sede federale ad autorità vincenti (art. 68 cpv. 3 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 1'500.-- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Sezione dei permessi e dell'immigrazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino nonché all'Ufficio federale della migrazione.