Sachverhalt:
A. A._ (Beschwerdeführer) wurde am 20. Januar 2005 in der Chirurgischen Klinik des Spitals Y._ wegen Beschwerden im linken Ellenbogengelenk ("Tennisellenbogen", Epicondylitis humeri radialis) operiert. Der operierende Oberarzt ordnete die Fadenentfernung in 14 Tagen und die Ruhigstellung mit einer Mecron-Schiene an. Bereits am 31. Januar 2005 entfernte der Oberarzt die Fäden. Darauf kam es zu Komplikationen. Der Hausarzt des Beschwerdeführers stellte noch am gleichen Tag eine Wunddehiszenz (Auseinanderweichen der Ränder der Wunde) fest und vernähte die Wunde mit zwei Stichen, welche er am 10. Februar 2005 wieder entfernte. Wegen weiterer Komplikationen suchte der Beschwerdeführer wiederholt das Spital auf. Schliesslich übernahm der Chefarzt der chirurgischen Klinik das Wundmanagement und entfernte am 4. März 2005 operativ nekrotisches Gewebe. Am 10. März 2005 entliess das Spital den Beschwerdeführer in die ambulante Weiterbehandlung beim Hausarzt. Am 5. April 2005 schloss es die Behandlung ab und überliess den Beschwerdeführer zur weiteren Betreuung dem Hausarzt.
B. Während der Beschwerdeführer die ursprüngliche Operation nicht beanstandet, ist er der Auffassung, die Nachbehandlung sei nicht korrekt erfolgt, namentlich seien die Fäden zu früh entfernt worden. Aus diesem Grund meldete er am 24. bzw. am 28. April 2006 beim Spital zur Wahrung der Verjährungsfrist ein Schadenersatz- und Genugtuungsbegehren an. Die X._ AG (Beschwerdegegnerin), zu der das Spital seit dem 1. Januar 2006 gehört, beschied dem Beschwerdeführer am 11. Mai 2006, die Eingabe ermögliche es ihr nicht, Stellung zu nehmen, und vermöge keine Fristen nach Verantwortlichkeitsgesetz (Gesetz über die Haftung des Staates, der Gemeinden, der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten und Arbeiter, BGS 124.21, nachfolgend VG) auszulösen.
C. Am 4. August 2006 reichte der Beschwerdeführer ein Vorladungsbegehren beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn ein. Das Gericht entscheidet nach kantonalem Recht gemäss § 48 Abs. 1 lit. a des Gesetzes über die Gerichtsorganisation (GO; BGS 125.12) als einzige Instanz über vermögensrechtliche Ansprüche öffentlichrechtlicher Natur zwischen Privaten einerseits und den Gemeinden andererseits. Die Rechtsbeziehungen der Beschwerdegegnerin unterstehen nach dem kantonalen Spitalgesetz (SpiG; BGS 817.11) dem kantonalen öffentlichen Recht. Am 19. Oktober 2006 begründete der Beschwerdeführer seine Klage und beantragte, das Verfahren vorerst auf die Frage der Widerrechtlichkeit des Verhaltens der Beschwerdegegnerin zu beschränken und eine öffentliche Verhandlung durchzuführen. In der Klageantwort verlangte auch die Beschwerdegegnerin eine Beschränkung des Verfahrens auf die Frage der Widerrechtlichkeit einerseits, andererseits aber auch auf die Frage der Verjährung. Diesem Antrag schloss sich der Beschwerdeführer in der Replik an, in der er seine Forderung erstmals auf Fr. 2'825.70 bezifferte, Mehrforderung vorbehalten. Bei dem Betrag handelt es sich um den Haushaltsschaden für den Zeitraum 20. Januar bis 6. April 2005.
D. Während die Beschwerdegegnerin im kantonalen Verfahren geltend machte, die Behandlung im Spital sei am 5. April 2005 abgeschlossen gewesen, so dass die Eingabe vom 28. April 2006, soweit sie überhaupt als Schadenersatzbegehren gelten könne, jedenfalls nach Ablauf der Verwirkungsfrist erfolgt sei, ist der Kläger der Auffassung, das Spital habe die Behandlung nicht am 5. April 2005 abgeschlossen, sondern die abschliessende Behandlung an den Hausarzt delegiert. Zu diesem Zeitpunkt habe der Beschwerdeführer noch keine Kenntnis vom Schaden im Rechtssinne gehabt.
E. Das Verwaltungsgericht beurteilte die Begehren des Beschwerdeführers gestützt auf das Verantwortlichkeitsgesetz. Gemäss § 11 Abs. 3 VG sind Ersatzbegehren innert eines Jahres seit Kenntnis des Schadens, spätestens aber nach 10 Jahren seit der schädigenden Handlung beim zuständigen Departement, beziehungsweise beim geschäftsleitenden Organ der beklagten öffentlich-rechtlichen Körperschaft einzureichen, ansonsten die Haftung erlischt. Das Verwaltungsgericht erwog, den Begriff Kenntnis des Schadens umschreibe das Verantwortlichkeitsgesetz nicht, so dass nach § 6 VG diesbezüglich die Vorschriften des schweizerschen Obligationenrechts zur Anwendung kämen. In Auslegung von Art. 60 OR erkannte das Verwaltungsgericht, Existenz, Beschaffenheit und wesentliche Merkmale des Schadens müssten in einem Ausmass bekannt sein, das der geschädigten Person erlaube, den wirklichen Umfang grössenordnungsmässig zu bestimmen. Sei die Behandlung des Personenschadens abgeschlossen, die Frage, ob ein Dauerschaden zurückbleiben werde, aber noch ungewiss, liege noch keine Kenntnis des Schadens vor, da der Geschädigte nicht gezwungen werden solle, Teilklagen einzureichen. Demgegenüber dürfe der Geschädigte aber auch nicht zuwarten, bis er in der Lage sei, den Schaden genauestens zu beziffern. Das Verwaltungsgericht ging davon aus, vom Haushaltsschaden für die eingeklagte Periode habe der Kläger am 6. April 2005 Kenntnis gehabt, auch wenn er ihn frankenmässig noch nicht habe genau beziffern können. Auch habe der Kläger gewusst, gegen wen er den Anspruch geltend machen musste, laste er doch alle Handlungen und Unterlassungen, welche die Komplikationen bei der Heilung verursacht haben sollten, dem Spital an. Daher sei das Schadenersatzbegehren vom 24./28 April 2006 nach Ablauf der einjährigen Verwirkungsfrist und damit verspätet erhoben worden.
F. Nachdem das Bundesgericht die Angelegenheit mit Urteil 4D_22/2007 vom 16. Juli 2007 zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen hatte, kam dieses mit Urteil vom 22. November 2007 im Wesentlichen wieder zu demselben Ergebnis, nachdem es ein im Verlaufe der Verhandlung gestelltes Ausstandsbegehren gegen zwei Richter und den Gerichtsschreiber, die bereits am ersten Urteil des Verwaltungsgerichts beteiligt gewesen waren, zufolge Verspätung und mangels hinreichender Begründung abgewiesen hatte. Der Beschwerdeführer erhebt Beschwerde in Zivilsachen und eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde und beantragt, den angefochtenen Entscheid aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit Schreiben vom 15. Januar 2008 stellt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht eine weitere Beschwerdeschrift zu, mit der Bitte, die zuerst eingereichte durch diese zu ersetzen. Das Gesuch um aufschiebende Wirkung hiess das Bundesgericht am 28. Januar 2008 gut. Die Beschwerdegegnerin und das Verwaltungsgericht schliessen auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen (Art. 100 Abs. 1 BGG). Nach den Ausführungen des Beschwerdeführers selbst wurde der angefochtene Entscheid seinem Rechtsvertreter am 29. November 2007 zugestellt. Fristen, die durch eine Mitteilung oder den Eintritt eines Ereignisses ausgelöst werden, beginnen am folgenden Tag zu laufen (Art. 44 Abs. 1 BGG). Gesetzlich oder richterlich nach Tagen bestimmte Fristen stehen unter anderem vom 18. Dezember bis und mit dem 2. Januar still (Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG). Eingaben müssen spätestens am letzten Tag der Frist beim Bundesgericht eingereicht oder zu dessen Handen der Schweizerischen Post oder einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung übergeben werden (Art. 48 Abs. 1 BGG).
1.1 Die Frist zur Beschwerdeeingabe begann nach dem Gesagten einen Tag nach Zustellung des angefochtenen Entscheides am 30. November 2007, stand vom 18. Dezember 2007 bis zum 2. Januar 2008 still und endete am Montag, den 14. Januar 2008, an welchem Tag die erste Fassung der Beschwerdeschrift der Post übergeben wurde. Diese Eingabe erfolgte mithin fristgemäss.
1.2 Die zweite Fassung wurde dem Bundesgericht mit Begleitbrief, datiert vom 15. Januar 2008, zugesandt. Die Postaufgabe erfolgte am selben Tag und damit nach Ablauf der Beschwerdefrist. Eine Begründung für das Nachreichen der zweiten Fassung der Beschwerdeschrift gibt der Beschwerdeführer nicht und stellt auch kein Gesuch um Wiederherstellung der Frist (Art. 50 BGG). Damit erweist sich diese Fassung als verspätet und bleibt unbeachtlich.
2. Der Beschwerdeführer hält die Beschwerde in Zivilsachen für zulässig, da Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) zu beantworten seien. Sowohl § 11 Abs. 3 VG als auch Art. 60 Abs. 1 OR würden als Beginn der relativen Verjährungsfrist lediglich die Kenntnis des Schadens als solche nennen. Massgebend für diese Kenntnis sei, dass der gesamte schädigende Vorgang abgeschlossen sei. Der Beschwerdeführer übersieht, dass sich die Haftung der Beschwerdegegnerin nach dem kantonalen Verantwortlichkeitsgesetz beurteilt, welches ergänzend auf das OR verweist. Damit bilden dessen Bestimmungen kantonales Recht (BGE 79 II 424 E. 1 S. 431 f.; 89 II 203 E. 3 S. 212; vgl. auch BGE 127 III 248 E. 1a S. 251, je mit Hinweisen) und sind der Nachprüfung durch das Bundesgericht grundsätzlich entzogen (Art. 95 BGG). Insoweit kann sich auch keine Frage von grundsätzlicher Bedeutung stellen. Das Bundesgericht kann (in der Beschwerde in Zivilsachen wie in der subsidiären Verfassungsbeschwerde) lediglich prüfen, ob die Anwendung kantonalen Rechts willkürlich ist und Art. 9 BV verletzt. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist daher nicht einzutreten.
3. Zu behandeln bleibt die subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Soweit der Beschwerdeführer aber in dieser vom Sachverhalt, den die Vorinstanz festgestellt hat, abweicht, ohne eine hinreichend begründete Sachverhaltsrüge zu erheben (Art. 118, Art. 116 und Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 445 mit Hinweis), bleiben die entsprechenden Ausführungen unter Vorbehalt allenfalls zulässiger Noven (Art. 99 BGG) unbeachtet.
4. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruches auf einen unbefangenen Richter und verweist auf einen Presseartikel vom 23. November 2007, in welchem über die Verhandlung folgendes zu lesen sein soll:
"... Es herrschte gestern eine sonderbare Stimmung im Gerichtssaal: Der Gerichtspräsident scholt den Geschädigtenvertreter mehrmals in barschem Ton, das Beweisverfahren wurde begleitet von kichernden Richtern. Der Opferanwalt hatte zunehmend Mühe, noch ernst genommen zu werden. Ungefähr nach einer halben Stunde wurde es dem Anwalt zu bunt. Er beantragte ein Ausstandsverfahren. ..."
Er macht geltend, sein Ausstandsbegehren sei als verspätet und rechtsmissbräuchlich abgewiesen worden. Die Befangenheit des Gerichts könne sich aber auch erst während der Verhandlung bemerkbar machen, wenn der Richter zum Ausdruck bringe, dass er die Sache nicht ernst nehme oder dass er sich nur widerwillig auf die Sache einlasse. Ausserdem hätte der Gerichtspräsident von sich aus und von Amtes wegen in den Ausstand treten müssen, weil er mit der Sache vorbefasst gewesen sei. Die Zusammensetzung des Gerichts sei den Parteien im Vorfeld der Verhandlung nicht bekanntgegeben worden.
4.1 Nach dem Grundsatz von Treu und Glauben und dem Verbot des Rechtsmissbrauchs ist es nicht zulässig, formelle Rügen, die in einem früheren Prozessstadium hätten geltend gemacht werden können, bei ungünstigem Ausgang noch später vorzubringen (BGE 132 II 485 E. 4.3 S. 496; 124 I 121 E. 2 S. 123).
4.2 Gemäss dem angefochtenen Entscheid stellte der Beschwerdeführer das Ausstandsbegehren wegen "Wiederholungsgefahr", beziehungsweise der Gefahr, dass das Gericht nach der Rückweisung zur Neubeurteilung noch einmal gleich entscheide. In den tatsächlichen Feststellungen findet sich kein Hinweis darauf, dass der Beschwerdeführer ein Fehlverhalten der Richter während der Verhandlung thematisiert hätte. Unter dem Gesichtspunkt von Treu und Glauben war der Beschwerdeführer aber gehalten, die Umstände offen zu legen, aus denen sich die Befangenheit ergibt. Namentlich kann er sich nicht an der Verhandlung auf die angeblich unzulässige Vorbefassung berufen und den Ausgang des Verfahrens abwarten, um den Vorwurf des ungebührlichen Verhaltens von Gerichtspersonen während der Verhandlung nachzuschieben.
4.3 Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass ihm die Zusammensetzung des Gerichts und damit die geltend gemachte Vorbefassung zu Beginn der Verhandlung nicht ersichtlich gewesen wäre. Er hätte sämtliche Einwände, die sich nicht erst aus dem Verhalten in der Verhandlung ergaben, bereits in diesem Zeitpunkt geltend machen können und müssen. Damit konnte die Vorinstanz ohne Verletzung verfassungsmässiger Rechte des Beschwerdeführers sein Ausstandsbegehren aus formellen Gründen zufolge Verspätung und mangels hinreichender Begründung abweisen.
5. Materiell ist die Vorinstanz der Auffassung, bei Beurteilung einer Teilklage sei für die Frage der Verwirkung allein massgebend, ob der als Teilschaden eingeklagte Teilbetrag in seiner Gesamtheit bereits feststehe. Allfällige Ungewissheiten bezüglich nicht eingeklagter Schadensposten seien nicht von Belang.
5.1 Diese Auffassung verstösst nach Meinung des Beschwerdeführers gegen Bundesrecht. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann der Beschwerdeführer indessen nur eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügen. Die Vorinstanz hat Art. 60 OR im Rahmen des kantonalen Rechts angewendet. Selbst eine von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu Art. 60 OR abweichende Auslegung verletzt nicht zwingend die verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers. In seiner Rechtsprechung zu Art. 60 OR stellt das Bundesgericht anders als die Vorinstanz für den Beginn der Verjährung auf die Kenntnis des Gesamtschadens ab, auch wenn mit der Teilklage nur Schadensposten verlangt werden, die bereits zu einem früheren Zeitpunkt bekannt waren (vgl. BGE 109 II 418 E. 4 S. 422 f.). Der Beschwerdeführer verkennt aber die Tragweite des angefochtenen Entscheides, wenn er ausführt, die Auffassung der Vorinstanz liefe darauf hinaus, dass bereits 24 Stunden nach dem Ereignis der erste Teilschaden eingetreten sei und damit die Frist zu laufen beginne. Die Kenntnis dieses Teilschadens ist nur massgeblich, sofern er zum Gegenstand einer Teilklage gemacht wird. Dem Geschädigten bleibt unbenommen, auf Teilklagen zu verzichten und ein Jahr ab Kenntnis den Gesamtschaden geltend zu machen. Die Auslegung der Vorinstanz führt demnach nicht dazu, dass der Beschwerdeführer gegen seinen Willen Teilklage erheben müsste (vgl. BGE 109 II 418 E. 4 S. 422 f.) oder gezwungen wäre Schadensposten einzuklagen, die er noch nicht abschätzen kann (vgl. schon BGE 74 II 30 E. 1 S. 34), sondern schränkt lediglich die Möglichkeit, Teilklagen zu erheben, zeitlich ein. Die Ausführungen des Beschwerdeführers berücksichtigen dies nicht und gehen an der Sache vorbei, weshalb nicht darauf einzutreten ist. Inwiefern die dargelegte Auslegung der Vorinstanz auch im Ergebnis offensichtlich unhaltbar sein soll, legt der Beschwerdeführer damit nicht hinreichend dar und genügt insoweit den strengen Begründungsanforderungen von Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 117 BGG nicht, weshalb das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid in diesem Punkt nicht überprüfen kann. Damit kommt auch der Frage, ob der Gesamtschaden im von der Vorinstanz angenommenen Zeitpunkt bereits abgeschlossen war, keine Bedeutung zu und ist insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten.
5.2 Soweit der Beschwerdeführer mit Blick auf seine begrenzten kognitiven Fähigkeiten die Kenntnis des eingeklagten Schadens bestreitet und den angefochtenen Entscheid in diesem Zusammenhang als willkürlich bezeichnet, fehlen jegliche Ausführungen, weshalb ihm die Abschätzung des ihm für die eingeklagte Zeitspanne entstandenen Haushaltschadens unmöglich gewesen sein soll. Um zu realisieren, welche früher erledigten Hausarbeiten der Beschwerdeführer nicht mehr oder nicht mehr gleich gut bewältigen konnte, reichen auch eingeschränkte kognitive Fähigkeiten. Nicht gefolgt werden kann dem Beschwerdeführer, soweit er geltend macht, er habe erst nach Vorliegen eines Gutachtens feststellen können, dass er einen Haushaltschaden erlitten habe, da für die Schadenskenntnis nicht notwendig ist, dass der Geschädigte in der Lage ist, die Schadensberechnung ohne fremde Hilfe selbst durchzuführen (vgl. schon BGE 89 II 415 E. 1b S. 417). Im Übrigen kann insoweit auf die zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden.
5.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe zunächst abklären müssen, welche der an der Behandlung beteiligten Personen in welchem Umfang für den Schaden verantwortlich gewesen seien. Daher sei die Auffassung, der Beschwerdeführer habe bereits am 5. April 2005 Kenntnis vom Schaden gehabt, lebensfremd und willkürlich. Selbst wenn neben der Beschwerdegegnerin noch andere Personen, (wie der Hausarzt des Beschwerdeführers) als haftpflichtige Personen in Frage kommen sollten, könnte der Beschwerdeführer daraus nichts zu seinen Gunsten ableiten. Mangels abweichender Regelungen im Verantwortlichkeitsgesetz (anders für die Haftung der Beamten gegenüber dem Staat, § 15 VG) haftet die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer, wenn sie den Schaden gemeinsam mit anderen verursacht haben sollte, solidarisch (Art. 50 f. OR). Daher musste der Anteil, den die Beschwerdegegnerin am eingeklagten Haushaltsschaden zu tragen hatte, nicht abschätzbar sein. Die Vorinstanz, auf deren Erwägungen verwiesen werden kann, ging zudem ohne Willkür davon aus, der Kläger habe gewusst, dass er seine Ersatzforderung gegen das Spital richten musste. Insoweit ist der angefochtene Entscheid verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden.
5.4 Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer auf den Vorentwurf zur Revision der Vereinheitlichung des Haftpflichtrechts EJPD verweist und ausführt, dieser sehe eine dreijährige Frist ab Schadenskenntnis vor. Ob der Beschwerdeführer seine Ansprüche rechtzeitig geltend gemacht hat, beurteilt sich nicht nach diesem Vorentwurf, sondern nach § 11 Abs. 3 VG.
5.5 Der Beschwerdeführer rügt als Verletzung des Gleichbehandlungsgebots, dass dem Fristerstreckungsgesuch der Gegenpartei vom 10. November 2006 stattgegeben worden sei, weil weitere medizinische Abklärungen notwendig seien, während vom Beschwerdeführer erwartet würde, er hätte bereits am 5. April 2005 in medizinischer Hinsicht alles wissen sollen. Der Beschwerdeführer verkennt, dass er zu diesem Zeitpunkt nach Auffassung der Vorinstanz lediglich den Umfang des eingeklagten Teilschadens bereits überschauen musste. Nach den Feststellungen der Vorinstanz erfolgte die Konkretisierung des Rechtsbegehrens erst mit der Replik am 26. März 2007. Am 10. November 2006 stand mithin noch gar nicht fest, dass der Beschwerdeführer mit der Teilklage nur einen Teilschaden geltend machen wollte, dessen Umfang seit dem 5. April 2005 bereits feststand. Die Rüge ist offensichtlich unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
6. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. März 2008
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Corboz Luczak