Sachverhalt:
A. X._, türkischer Staatsangehöriger, geboren 1960, erhielt 1991 im Kanton Aargau eine Aufenthaltsbewilligung, die am 21. Februar 2001 in eine Niederlassungsbewilligung umgewandelt wurde. In der Folge zog er seine Ehefrau und die drei gemeinsamen Kinder in die Schweiz nach. Am 1. März 2005 trennte er sich von seiner Ehefrau und kehrte per 31. Juli 2005 in die Türkei zurück, worauf die Niederlassungsbewilligung erlosch. Am 2. Mai 2008 reiste X._ erneut in die Schweiz ein, nachdem das Migrationsamt des Kantons Aargau ein Gesuch der Ehefrau um Nachzug ihres Ehemannes bewilligt und diesem eine bis zum 31. Mai 2009 gültige Aufenthaltsbewilligung erteilt hatte. Wegen Wegfalls der bei der Bewilligungserteilung verlangten finanziellen Sicherheit verfügte das Migrationsamt des Kantons Aargau am 14. Juli 2009 die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und ordnete die Wegweisung X._s an. Diese Verfügung erwuchs in Rechtskraft.
B. Am 24. Juni/26. Juli 2010 reichte X._ ein Asylgesuch ein. Mit Verfügung vom 28. Februar 2011 trat das Bundesamt für Migration auf dieses Gesuch nicht ein, wies X._ aus der Schweiz weg, setzte ihm Ausreisefrist bis zum 30. März 2011 und verpflichtete den Kanton Aargau, die Wegweisungsverfügung zu vollziehen. Auf Beschwerde hin hob das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 1. April 2011 die Verfügung des Bundesamts für Migration vom 28. Februar 2011 auf. Es erwog, mit der Eingabe vom 24. Juni 2010 habe X._ kein Asylgesuch gestellt, sondern einzig um Feststellung der Unzulässigkeit oder Unzumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs ersucht. Darüber sei aber bereits mit der Verfügung vom 14. Juli 2009 rechtskräftig entschieden worden, weshalb kein schutzwürdiges Interesse an der Feststellung der Unzumutbarkeit oder Unzulässigkeit des Wegweisungsvollzugs bestehe.
C. Am 6. Mai 2011 ersuchte X._ das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau um wiedererwägungsweise Prüfung der Zumutbarkeit und Zulässigkeit des Wegweisungsvollzugs. Darauf trat das Migrationsamt mit Schreiben vom 13. Mai 2011 nicht ein. Die dagegen erhobene Einsprache wies es mit Entscheid vom 11. Juli 2011 ab.
Dagegen erhob X._ Beschwerde an das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau mit dem Antrag, das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau sei anzuweisen, ein Verfahren zur Prüfung der Unzulässigkeit oder Unzumutbarkeit der Wegweisung einzuleiten und dem Bundesamt für Migration einen Antrag um vorläufige Aufnahme zu stellen. Das Rekursgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 22. März 2012 ab.
D. X._ (hienach: der Beschwerdeführer) erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Rekursgerichts im Ausländerrecht des Kantons Aargau sei aufzuheben und das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau sei anzuweisen, die Verfügung vom 14. Juli 2009 in Revision oder Wiedererwägung zu ziehen. Zugleich ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Von der Bundesgerichtskanzlei aufgefordert, einen Kostenvorschuss zu bezahlen, überwies er diesen, ersuchte aber um Rückerstattung, sofern die Mittellosigkeit als glaubhaft erachtet werde. Das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau sowie das Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Beschwerdeführer verzichtet auf weitere Bemerkungen, obwohl er in seiner subsidiären Verfassungsbeschwerde darum ersucht hatte, es sei ihm ein "Replikrecht zu allfälligen Stellungnahmen des Beschwerdegegners" einzuräumen.
Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 14. Mai 2012 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der eingereichten Rechtsmittel von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer erhebt ausdrücklich subsidiäre Verfassungsbeschwerde, nicht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, und beantragt Revision, eventualiter Wiedererwägung der Verfügung des Migrationsamts des Kantons Aargau vom 14. Juli 2009. Mit dieser Verfügung wurde einerseits die Aufenthaltsbewilligung nicht verlängert, andererseits die Wegweisung angeordnet, sodass sich das vor Bundesgericht gestellte Begehren an sich auf beide Teile beziehen könnte. In Bezug auf die Aufenthaltsbewilligung wäre vor Bundesgericht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, soweit der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise geltend macht, er habe aufgrund seiner Ehe einen Anspruch auf Bewilligung (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario; vgl. hinten E. 4). Indessen können vor Bundesgericht keine Anträge gestellt werden, die nicht bereits vor der Vorinstanz gestellt worden sind (Art. 99 Abs. 2 BGG). Im vorinstanzlichen Verfahren hat der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer nicht um Wiedererwägung der Nichterteilung der Aufenthaltsbewilligung ersucht, sondern ausdrücklich nur um Prüfung der Unzulässigkeit oder Unzumutbarkeit der Wegweisung und um Beantragung einer vorläufigen Aufnahme. Nur dies kann Streitgegenstand vor Bundesgericht sein. Diesbezüglich ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 3 und 4 BGG) und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zulässig (Art. 113 ff. BGG).
2. Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Das Bundesgericht prüft diese Verletzung nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. Art. 117 BGG). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 134 I 83 E. 3.2 S. 88 mit Hinweisen). Das Bundesgericht legt seinem Entscheid den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 116 BGG beruht (Art. 118 BGG).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Art. 3 EMRK (Verbot der Folter): Er sei psychisch krank und auf Betreuung angewiesen, die in der Türkei nicht möglich sei. Im Falle einer Wegweisung drohe ihm Verwahrlosung.
3.2 Die Vorinstanz hat - u.a. mit Hinweis auf eine ausführliche Länderanalyse des Bundesamtes für Migration - eingehend dargelegt, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner psychischen Krankheit auf medizinische Behandlung angewiesen sei, diese aber auch in der Türkei möglich sei. Der Beschwerdeführer bringt auch nicht ansatzweise vor, dass und inwiefern diese Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig sein soll. Diese ist somit für das Bundesgericht verbindlich. Bei dieser Sachlage ist in keiner Weise erkennbar, inwiefern die Wegweisung des Beschwerdeführers gegen Art. 3 EMRK verstossen sollte.
4. Der Beschwerdeführer rügt sodann eine Verletzung des Rechts auf Familienleben (Art. 13 Abs. 1 und Art. 14 BV, Art. 8 Ziff. 1 EMRK und Art. 17 UNO-Pakt II). Er bringt vor, er habe aufgrund seines Gesundheitszustands und seiner fehlenden Rechtskenntnisse die Einsprachefrist gegen die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung verpasst. Weil er verheiratet sei, liege die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht mehr im Ermessen des Amtes für Migration und Integration des Kantons Aargau. Zudem sei er auf die Betreuung durch seine Ehefrau und Kinder angewiesen. Diese Beschwerdebegründung bezieht sich auf die Aufenthaltsbewilligung, die indessen gar nicht Gegenstand des Verfahrens ist (E. 1).
5. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet. Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Rekursgericht im Ausländerrecht des Kantons Aargau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher