Sachverhalt:
A. Im Frühjahr 2006 liess A._ (Beschwerdegegner) die Gesellschaften Y._ AG und Z._ AG mit Sitz in Liechtenstein gründen, wobei Letztere in der Folge in X._ Ltd. (Beschwerdeführerin) umfirmiert wurde.
Mit einer als Haftungsbescheid bezeichneten Verfügung des Finanzamts Konstanz vom 12. Oktober 2007 wurde die Y._ AG für "Steuerrückstände der Firma X._ Ltd., Vaduz" nach § 25d Abs. 1 des deutschen Umsatzsteuergesetzes "in Höhe von EUR 9'338'866.-- in Haft genommen", da die Y._ AG "Vorsteuerbeträge ... von der X._ Ltd." geltend mache, "die im Gegenzug diese Beträge weder angemeldet noch bezahlt" habe. Die Y._ AG wurde aufgefordert, den Haftungsbetrag bis zum 23. November 2007 zu überweisen.
Mitte 2008 liess die Beschwerdeführerin, die sich inzwischen in Liquidation befand, verschiedene Mobilien und Immobilien des Beschwerdegegners in M._, N._ und O._ für Arrestforderungen im Betrag von USD 2.1 Mio. und EUR 1.5 Mio. arrestieren. Dabei machte die Beschwerdeführerin geltend, der Beschwerdegegner habe diese Beträge im Jahr 2007 rechtsgrundlos von ihr erhalten.
B. B.a Am 17. Juli 2008 reichte die Beschwerdeführerin beim Kantonsgericht Zug eine Arrestprosequierungsklage gegen den Beschwerdegegner ein mit dem Rechtsbegehren, dieser sei zur Zahlung von USD 2.1 Mio. und EUR 1.5 Mio., zuzüglich Zins seit 13. Juni 2008 sowie Arrestkosten, zu verurteilen.
Mit Urteil vom 18. Januar 2010 wies das Kantonsgericht Zug die Klage der Beschwerdeführerin ab.
B.b Mit Urteil vom 21. Juni 2011 wies das Obergericht des Kantons Zug eine von der Beschwerdeführerin erhobene Berufung ab und bestätigte den kantonsgerichtlichen Entscheid vom 18. Januar 2010.
Das Obergericht erwog, die Beschwerdeführerin schliesse aus dem Haftungsbescheid des Finanzamts Konstanz vom 12. Oktober 2007 zu Unrecht, die darin erwähnten Steuerschulden im Betrag von EUR 9'338'866.-- hätten bei ihr Gewinne verunmöglicht, weshalb keine Dividenden hätten ausgeschüttet werden dürfen. Zum einen richte sich der Haftungsbescheid an die Y._ AG und es lasse sich daraus nicht ableiten, dass die Beschwerdeführerin zur Zahlung dieses Betrags verpflichtet worden sei. Zum anderen könne, selbst wenn eine Steuerschuld der Beschwerdeführerin über mehr als EUR 9 Mio. ausgewiesen wäre, daraus weder geschlossen werden, die Beschwerdeführerin verfüge einerseits nicht über die Mittel, diese Schuld zu begleichen, noch lasse sich daraus ableiten, es sei ihr als Folge dieser Steuerschuld das Erzielen eines Gewinns im Jahr 2007 verunmöglicht worden. Das Obergericht hielt insbesondere dafür, es wäre der Beschwerdeführerin ein Leichtes gewesen, ihre vom Beschwerdegegner bestrittene Behauptung der Mittellosigkeit und der fehlenden Voraussetzungen für eine Dividendenausschüttung durch Vorlage ihrer Geschäftsbücher zu beweisen, zu deren Führung sie gesetzlich verpflichtet gewesen sei. Dies habe sie aus dem Obergericht nicht bekannten Gründen unterlassen, obwohl der Beschwerdegegner wiederholt das Fehlen dieser Dokumente beanstandet habe. Entsprechend trage die Beschwerdeführerin die Folgen der Beweislosigkeit: Stehe nicht fest, dass die Voraussetzungen für eine Dividendenzahlung an den Beschwerdegegner im Jahr 2007 gefehlt hätten, sei von der Rechtmässigkeit der Ausschüttung auszugehen, womit dem eingeklagten Rückforderungsanspruch die Grundlage entzogen sei.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, es sei das Urteil des Obergerichts des Kantons Zug vom 21. Juni 2011 aufzuheben und die Klage gutzuheissen. Eventualiter sei das obergerichtliche Urteil aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Beschwerdegegner beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde.
D. Mit Verfügung vom 22. September 2011 wies das Bundesgericht das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab.
Erwägungen:
1. 1.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254; 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Macht der Beschwerdeführer beispielsweise eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) geltend, genügt es nicht, wenn er einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich; er hat vielmehr im Einzelnen zu zeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist (BGE 134 II 349 E. 3 S. 352; 133 I 1 E. 5.5 S. 5; 133 III 439 E. 3.2 S. 444).
Zu beachten ist, dass im vorliegenden Verfahren, das eine vermögensrechtliche Sache betrifft, nicht gerügt werden kann, das nach Art. 128 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 154 f. IPRG auf den Rückerstattungsanspruch anwendbare liechtensteinische Recht sei nicht richtig angewendet worden (vgl. Art. 96 lit. b BGG).
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss substantiiert darlegen, inwiefern die Voraussetzungen einer Ausnahme gemäss Art. 105 Abs. 2 BGG gegeben sind und das Verfahren bei rechtskonformer Ermittlung des Sachverhalts anders ausgegangen wäre. Ausserdem hat er mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen genannt hat (Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4339 Ziff. 4.1.4.3; Urteile 4A_37/2011 vom 27. April 2011 E. 1.3; 4A_187/2010 vom 6. September 2010 E. 1.3; 4A_526/2008 vom 21. Januar 2009 E. 3.2; vgl. auch BGE 115 II 484 E. 2a S. 485 f.). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (vgl. BGE 133 III 350 E. 1.3 S. 351 f., 393 E. 7.1 S. 398, 462 E. 2.4 S. 466 f.).
2. Die Beschwerdeführerin rügt im Zusammenhang mit den vorinstanzlichen Feststellungen zu ihrer Vermögenssituation eine Verletzung von Art. 8 ZGB sowie eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2.1 Die Beschwerdeführerin verkennt mit ihren Ausführungen, dass sich die Beweislastverteilung und das Recht auf Beweis im zu beurteilenden Fall nach dem anwendbaren liechtensteinischen Recht und nicht nach Art. 8 ZGB richten (vgl. BGE 127 III 519 E. 2a S. 522; 124 III 134 E. 2b/bb S. 143; 123 III 35 E. 2d S. 45; vgl. vorn E. 1.1).
Ohnehin wäre der Vorwurf der Verletzung von Art. 8 ZGB unbegründet. Die Bestimmung gibt der beweispflichtigen Partei unter anderem einen bundesrechtlichen Anspruch darauf, zum Beweis zugelassen zu werden, sofern ihr Beweisantrag rechtserhebliche Tatsachen betrifft und nach Form und Inhalt den Vorschriften des anwendbaren Prozessrechts entspricht (BGE 133 III 295 E. 7.1 S. 299 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin zeigt mit ihren Ausführungen keine Missachtung dieses Grundsatzes auf. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Ansicht ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz ihr Recht auf den Beweis verletzt hätte, zumal die Beschwerdeführerin nicht darlegt, mit welchem konkreten und prozesskonform beantragten Beweis sie nicht zugelassen worden wäre. Sie wiederholt lediglich ihre in der erstinstanzlichen Replik aufgestellten Behauptungen zum Stand ihrer liquiden Mittel, ohne dass sich ihren Ausführungen entnehmen liesse, welchen konkreten Beweis sie neben dem von der Vorinstanz berücksichtigten Arrestbefehl des liechtensteinischen Fürstlichen Landgerichts vom 31. Januar 2008 zu ihren Vermögensverhältnissen angeboten hätte.
Ebenfalls ins Leere stösst der im gleichen Zusammenhang erhobene Vorwurf, die Vorinstanz habe die Verhandlungsmaxime missachtet. Damit verkennt die Beschwerdeführerin - wie auch mit ihren übrigen Ausführungen zum kantonalen Verfahrensrecht - die beschränkte Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts (vgl. Art. 95 BGG). Inwiefern der Vorinstanz eine verfassungswidrige Anwendung kantonaler Verfahrensbestimmungen vorzuwerfen wäre, legt die Beschwerdeführerin nicht dar.
2.2 Unbehelflich sind sodann die Ausführungen in der Beschwerde zum angeblich vorhandenen Guthaben der Beschwerdeführerin im Jahr 2007. Die Beschwerdeführerin zitiert lediglich in appellatorischer Weise aus den Rechtsschriften der Parteien im kantonalen Verfahren sowie den Parteivorträgen anlässlich der Berufungsverhandlung, zeigt jedoch nicht auf, inwiefern die vorinstanzlichen Feststellungen offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich sein sollen (vgl. BGE 135 III 127 E. 1.5 S. 130).
Abgesehen davon leuchtet entgegen dem, was die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint, nicht ein, inwiefern sich aus dem Betrag ihres angeblichen Guthabens von Fr. 90'000.-- ergeben soll, dass sie im Jahr 2007 keinen Reingewinn habe ausweisen können, zumal der blosse Hinweis auf den Umfang der liquiden Mittel keine Rückschlüsse auf den Gewinn der Gesellschaft zulässt.
Die Rügen, die Vorinstanz habe Art. 8 ZGB verletzt bzw. den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt (Art. 97 Abs. 1 BGG), stossen ins Leere. Die vorinstanzliche Feststellung, wonach die Beschwerdeführerin den Beweis hinsichtlich ihrer Vermögensverhältnisse im Jahr 2007 mangels Vorlage der Geschäftsbücher nicht erbracht habe, ist nicht zu beanstanden. Damit fehlte es gemäss den Erwägungen des angefochtenen Entscheids an den Voraussetzungen des eingeklagten Rückforderungsanspruchs, und zwar unabhängig davon, ob und in welchem Umfang eine Steuerschuld der Beschwerdeführerin bestand. Es erübrigt sich daher, darauf einzugehen, ob die vorinstanzliche Feststellung, wonach sich aus dem Haftungsbescheid des Finanzamts Konstanz vom 12. Oktober 2007 keine Verpflichtung der Beschwerdeführerin zur Begleichung der Steuerschuld über EUR 9 Mio. ergebe, vor dem Willkürverbot (Art. 9 BV) standhält.
3. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz, welche die an den Beschwerdegegner zu zahlende Parteientschädigung zuzüglich der Mehrwertsteuer von 7.6 % berechnete, eine Verletzung der Begründungspflicht (vgl. Art. 29 Abs. 2 BV) vor.
3.1 Der Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verlangt insbesondere, dass das Gericht die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88 mit Hinweisen). Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung muss kurz die Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt (BGE 135 V 65 E. 2.4 S. 72). Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Es genügt, wenn der Entscheid gegebenenfalls sachgerecht angefochten werden kann (BGE 136 V 351 E. 4.2 S. 355; 134 I 83 E. 4.1 S. 88; 133 III 439 E. 3.3 S. 445; je mit Hinweisen).
3.2 Die Beschwerdeführerin kritisiert unter Hinweis auf verschiedenste kantonale Aktenstücke die Feststellung des schweizerischen Wohnsitzes des Beschwerdegegners durch die kantonalen Gerichte. Sie unterbreitet dem Bundesgericht ihre Sicht der Dinge und behauptet gestützt auf die Unterlagen deutscher Strafverfolgungsbehörden, der Beschwerdegegner wohne nicht in O._ SZ, sondern habe sich spätestens seit dem 12. Dezember 2008 definitiv nach Dubai abgesetzt bzw. er habe seinen Wohnsitz derzeit in R._, Deutschland. Sie behauptet lediglich, die Vorinstanz habe die Begründungspflicht verletzt, zeigt jedoch nicht auf, inwiefern ihr die vorinstanzliche Begründung verunmöglicht hätte, hinsichtlich der Feststellung des Wohnsitzes des Beschwerdegegners bzw. der Festsetzung der Parteientschädigung die Tragweite des Entscheids zu erkennen und ihn - im Rahmen der eingeschränkten Sachverhaltskontrolle im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren - sachgerecht anzufechten. Eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV ist nicht dargetan.
4. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 20'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 22'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, I. Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Leemann