Faits:
A. A.a Le 28 octobre 1999, A._, qui circulait en tête d'une colonne de voitures sur une route à Monthey, a enclenché son indicateur de direction gauche, dans l'intention de bifurquer, et s'est arrêté pour laisser la priorité à un véhicule circulant en sens inverse. X._, qui le suivait, s'est également arrêté. L'arrière de la voiture de ce dernier a alors été heurté par l'automobile de C._, laquelle a été emboutie par celle de B._ qui se trouvait en bout de file.
A.b À la suite de cette collision en chaîne, X._ a présenté une contusion cervicale entraînant une incapacité de travail de 100% jusqu'au 16 novembre 1999. Dans un rapport d'expertise du 20 novembre 1999, W._ Assurances, assurance responsabilité civile de C._, a chiffré à 9'350 fr. le dommage causé au véhicule de X._. Estimant que la responsabilité de l'accident n'incombait pas à son assuré, elle a dirigé X._ vers Z._ Assurances, assurance responsabilité civile de B._.
A.c Par décision du 11 janvier 2000, le Service de la circulation et de la navigation routière du canton du Valais a condamné B._ à une amende de 150 fr. pour violation simple des règles de la circulation routière (art. 90 ch. 1 LCR). Le 9 février 2000, il a renoncé à prononcer une sanction à l'égard de C._, l'infraction reprochée à ce dernier n'ayant pu être établie avec certitude.
A.d Le 29 juin 2001, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: la CNA) a refusé d'allouer à X._ une rente d'invalidité et une indemnité pour atteinte à l'intégrité ensuite de l'accident du 28 octobre 1999. La Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais a confirmé cette décision par jugement du 22 octobre 2002. Par arrêt du 12 janvier 2004, le Tribunal fédéral des assurances a rejeté le recours interjeté par X._ contre ce jugement.
B. B.a Le 10 octobre 2000, X._ a ouvert action contre W._ Assurances devant le juge de district de Monthey; il a conclu au paiement du montant de 9'350 fr. plus intérêts à 5% l'an dès le 18 (sic) octobre 1999 et a réservé le dommage physique et le tort moral qui seraient déterminés en cours de procédure.
W._ Assurances a conclu au rejet de la demande et a appelé en cause Z._ Assurances. Celle-ci a conclu au rejet des prétentions dirigées contre elle et a soulevé l'exception de prescription.
Par mémoire-réplique du 12 avril 2002, le demandeur a conclu au versement du montant de 9'350 fr., plus intérêts à 5% l'an dès le 18 octobre 1999, principalement par Y._ Assurances - qui avait entre-temps succédé juridiquement à W._ Assurances - et subsidiairement par Z._ Assurances; il a réservé dans les deux cas le dommage physique et le tort moral qui seraient déterminés en cours de procédure.
B.b Sur requête du demandeur, le juge de district, par ordonnance du 22 août 2002, a suspendu la cause jusqu'à droit connu sur le recours interjeté contre la décision de la CNA du 29 juin 2001 (cf. lettre A.d supra). Le 5 avril 2006, le demandeur a sollicité la reprise de la procédure, qui a repris le lendemain. L'instruction close, le juge de district a transmis le 5 juillet 2006 les actes de la cause au Tribunal cantonal.
Aux débats du 30 mai 2007, le demandeur a maintenu les conclusions formulées dans son mémoire-réplique. Y._ Assurances a soulevé l'exception de prescription et a conclu au rejet de la demande. Z._ Assurances a confirmé ses conclusions.
B.c Statuant par jugement du 12 novembre 2007, la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté la demande, avec suite de frais et dépens.
B.c.a Les juges cantonaux ont d'abord considéré que, si le demandeur avait conclu au paiement de 9'350 fr. en précisant dans les allégués que cette somme se rapportait au dommage matériel relatif à la perte de son véhicule automobile, il n'avait en revanche pris aucune conclusion chiffrée concernant le dommage physique et le tort moral, se bornant à réserver ce dommage dans une conclusion qui ne pouvait qu'être déclarée irrecevable.
B.c.b Examinant ensuite l'exception de prescription soulevée par la défenderesse et par l'appelée en cause, la cour cantonale a considéré que la prescription de deux ans (art. 83 al. 1 LCR) avait commencé à courir le 28 octobre 1999 et avait été interrompue par l'ouverture d'action du 10 octobre 2000 (art. 135 ch. 2 CO). Par la suite, l'ordonnance de suspension du juge de district du 22 août 2002 avait entraîné à la fois l'interruption de la prescription (art. 138 al. 1 CO) et la suspension de celle-ci jusqu'à la décision du Tribunal fédéral des assurances du 12 janvier 2004. Dès ce moment-là, un nouveau délai avait commencé à courir (art. 138 CO). Or aucun acte interruptif de prescription n'avait été accompli entre le 12 janvier 2004 et le 5 avril 2006, soit pendant plus de deux ans.
B.c.c Les juges cantonaux ont considéré que le demandeur ne pouvait se prévaloir d'un délai de prescription plus long sur la base d'un acte punissable (art. 83 al. 1, 2e phrase, LCR). En effet, l'accident du 28 octobre 1999 constituait tout au plus une violation simple des règles de la circulation routière (art. 90 ch. 1 LCR), comme l'avait retenu le Service de la circulation et de la navigation routière dans une décision entrée en force (cf. lettre A.c supra), soit une contravention pour laquelle le délai de prescription de l'action pénale était à l'époque fixé à une année. Par ailleurs, un délai de prescription plus long sur la base de lésions corporelles (art. 125 CP) n'entrait pas en ligne de compte, dès lors que les conclusions relatives aux dommages-intérêts fondés sur une telle infraction avaient été déclarées irrecevables.
C. Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, X._ conclut avec suite de frais et dépens à l'annulation de ce jugement et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Y._ Assurances conclut au rejet du recours, tandis que la cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt et que Z._ Assurances ne s'est pas déterminée sur le recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours est dirigé contre un jugement rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). La valeur litigieuse de la cause n'atteint toutefois pas le minimum légal de 30'000 fr. prévu pour le recours ordinaire en matière civile (art. 74 al. 1 let. b LTF) et aucun des cas de dispense prévus par l'art. 74 al. 2 LTF n'est réalisé. Partant, seul le recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF) est ouvert en l'espèce. C'est d'ailleurs cette voie que le recourant a empruntée.
1.2 Interjeté par la partie demanderesse qui a succombé dans ses conclusions en paiement prises devant l'autorité précédente et qui a donc qualité pour recourir (art. 115 LTF; cf. ATF 133 III 421 consid. 1.1), le recours est dirigé contre une décision finale (art. 117 et 90 al. 1 LTF) prise par un tribunal supérieur statuant en dernière instance cantonale (art. 114 et 75 LTF). Déposé en temps utile (art. 117 et 100 al. 1 LTF) et dans les formes prévues par la loi (art. 42 LTF), le recours constitutionnel subsidiaire est en principe recevable.
1.3 Ce recours ne peut être exercé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine que les griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 117 et 106 al. 2 LTF); l'auteur du recours doit indiquer quel droit constitutionnel aurait été violé et montrer, par une argumentation circonstanciée, en quoi consiste la violation (ATF 133 III 439 consid. 3.2 p. 444). Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF); il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis en violation d'un droit constitutionnel (art. 118 al. 2 et 116 LTF), ce que la partie recourante doit invoquer avec précision (art. 117 et 106 al. 2 LTF; ATF 133 III 439 consid. 3.2 p. 445). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 117 et 99 al. 1 LTF).
2. Le recourant invoque d'abord la violation de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.).
2.1 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; encore faut-il que la décision apparaisse arbitraire dans son résultat. À cet égard, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain; il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire préférable (ATF 133 I 149 consid. 3.1; 132 III 209 consid. 2.1 et les arrêts cités).
2.2 Avant d'examiner le grief d'arbitraire soulevé par le recourant (cf. consid. 2.3 infra), il convient de rappeler les principes applicables à la prescription, notamment à la prescription de plus longue durée du droit pénal, et à son interruption. Ces principes ont été correctement exposés par la cour cantonale et ne sont pas contestés par le recourant.
2.2.1 La prescription des actions en dommages-intérêts et en réparation du tort moral qui découlent d'accidents causés par des véhicules automobiles ou des cycles est réglée par l'art. 83 al. 1 LCR (RS 741.01). En vertu de cette disposition, lesdites actions se prescrivent par deux ans à partir du jour où le lésé a eu connaissance du dommage et de la personne qui en est responsable, mais en tout cas par dix ans dès le jour de l'accident; toutefois, si les dommages-intérêts dérivent d'un acte punissable soumis par les lois pénales à une prescription de plus longue durée, cette prescription de plus longue durée s'applique à l'action civile. L'art. 83 al. 1, 2e phrase, LCR doit être interprété conformément à la jurisprudence développée en relation avec l'art. 60 al. 2 CO, dont la teneur est identique (cf. ATF 131 III 430 consid. 1.2). La prescription de plus longue durée du droit pénal s'applique aussi à l'action directe du lésé, prévue par l'art. 65 al. 1 LCR, contre l'assureur en responsabilité civile (ATF 125 III 339 consid. 3b; 112 II 79 consid. 3; cf. ATF 122 III 225 consid. 5).
2.2.2 Pour que la prescription de plus longue durée du droit pénal soit applicable, il faut que l'acte comme tel soit objectivement punissable et qu'il puisse être attribué au défendeur (ATF 112 II 172 consid. II/2b p. 188; 106 II 213 consid. 4a). Le juge civil appliquera, à titre incident, les règles du droit pénal; il est toutefois lié par une condamnation pénale, par un prononcé libératoire constatant l'absence d'acte punissable ou par une décision de suspension de la procédure pénale assortie des mêmes effets qu'un jugement quant à son caractère définitif (ATF 122 III 225 consid. 4; 118 V 195 consid. 4a; 111 II 429 consid. I/2d p. 440; 106 II 213 consid. 3). L'application de la prescription pénale plus longue suppose aussi que l'infraction visée soit en relation de causalité naturelle et adéquate avec le préjudice donnant lieu à l'action civile (ATF 127 III 538 consid. 4b; 122 III 5 consid. 2c et les références citées). Il faut de plus que le bien juridique lésé entre dans le cercle des biens protégés par la norme pénale considérée (ATF 122 III 5 consid. 2c; 71 II 147 consid. 7b; Brehm, Berner Kommentar, Band VI/1/3/1, 1998, n. 67 ad art. 60 CO et les références citées).
2.2.3 La prescription est interrompue, avec pour effet qu'un nouveau délai commence à courir dès l'interruption (art. 137 al. 1 CO), notamment lorsque le créancier fait valoir ses droits par une action devant un tribunal (art. 135 ch. 2 CO). Elle est ensuite interrompue et recommence à courir, durant l'instance, à compter de chaque acte judiciaire des parties et de chaque ordonnance ou décision du juge (art. 138 al. 1 CO). L'interruption de la prescription fait courir un nouveau délai de prescription de plus longue durée à caractère pénal, tant que la prescription de l'action pénale n'est pas intervenue; si la prescription de l'action pénale est déjà intervenue, l'interruption ne fait courir qu'un nouveau délai de prescription de droit civil (ATF 131 III 430 consid. 1).
2.3 Se plaignant d'une violation de l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.), le recourant invoque le défaut d'application du délai de prescription plus long fondé sur l'acte punissable de l'art. 125 CP. Selon lui, en retenant que cette disposition n'était pas applicable au motif que les conclusions relatives aux dommages-intérêts fondés sur une telle infraction avaient été déclarées irrecevables (cf. lettre B.c.c supra), la cour cantonale aurait refusé d'examiner la question de la réalisation de l'infraction au sens de l'art. 125 CP, pour un motif arbitraire: en effet, l'irrecevabilité des conclusions relatives au dommage physique et au tort moral n'excluait pas que la prescription de plus longue durée du droit pénal ne fût pas acquise au moment de la reprise du procès le 6 avril 2006, car le recourant pouvait encore valablement chiffrer ses conclusions jusqu'aux débats.
Ce grief est mal fondé et procède d'une mauvaise compréhension du jugement attaqué. Il faut en effet distinguer entre les prétentions relatives au dommage matériel d'une part et celles relatives au dommage physique et au tort moral d'autre part. La prescription de plus longue durée du droit pénal n'entre en considération que pour les secondes, puisque la propriété n'entre pas dans le cercle des biens protégés par l'art. 125 CP (cf. consid. 2.2.2 in fine supra). Or s'agissant de dommages-intérêts et de réparation morale pour atteinte à l'intégrité corporelle, les juges cantonaux ont considéré que le demandeur n'avait pris aucune conclusion recevable, en l'absence de conclusions chiffrées (cf. lettre B.c.a supra). Dans ces conditions, l'autorité précédente ne saurait se voir reprocher de n'avoir pas examiné si la prescription de plus longue durée du droit pénal était applicable à ces prétentions, puisque celles-ci étaient de toute manière irrecevables pour le motif que le recourant n'avait pris aucune conclusion chiffrée concernant le dommage physique et le tort moral. Il importe peu que le recourant ait encore pu prendre des conclusions chiffrées au moment de la reprise de la procédure le 6 avril 2006 et jusqu'aux débats du 30 mai 2007, puisqu'il est constant qu'il ne l'a pas fait et que c'est pour ce motif - dont il n'y a pas lieu d'examiner le bien-fondé en l'absence de grief (cf. consid. 1.3 supra) - que l'autorité cantonale a déclaré la demande irrecevable en tant qu'elle se rapportait au dommage physique et au tort moral.
3. Le recourant invoque également une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), en raison d'un défaut de motivation du jugement entrepris.
3.1 Selon la jurisprudence, le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., implique notamment l'obligation pour le juge de motiver ses décisions, afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer ses droits de recours à bon escient. Le juge doit ainsi mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause, mais aussi à ce que l'autorité de recours puisse contrôler l'application du droit; il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, apparaissent pertinents (ATF 133 III 439 consid. 3.3; 129 I 232 consid. 3.2; 126 I 97 consid. 2b et les arrêts cités).
3.2 En l'espèce, le recourant soutient que le jugement attaqué comporterait un défaut de motivation crasse, dès lors que l'autorité précédente n'aurait aucunement motivé les raisons l'ayant poussée à omettre d'examiner la question de la prescription de plus longue durée du droit pénal et, corollairement, la réalisation de l'infraction pénale au sens de l'art. 125 CP.
Ce grief est dénué de fondement. La cour cantonale n'a en effet pas omis d'indiquer les motifs pour lesquels il n'y avait pas lieu d'examiner la question de la prescription de plus longue durée des dommages-intérêts dérivant d'un acte punissable au sens de l'art. 125 CP. Elle a exposé en substance, dans une motivation brève mais parfaitement claire (cf. lettre B.c.c supra), que cette prescription plus longue ne s'appliquerait le cas échéant qu'aux dommages-intérêts et à la réparation morale pour atteinte à l'intégrité corporelle et que la demande était de toute manière irrecevable sur ce point pour le motif que le recourant n'avait pris aucune conclusion chiffrée relative au dommage physique et au tort moral (cf. consid. 2.3 supra).
4. Il résulte de ce qui précède que le recours, mal fondé, doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera à l'intimée Y._ Assurances une indemnité à titre de dépens pour ses déterminations sur le recours (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 500 fr., à payer à l'intimée Y._ Assurances à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 9 avril 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Abrecht