Sachverhalt:
A. Die 1983 geborene B._ meldete sich am 19. März 2004 unter Hinweis auf zwei Unfälle mit Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) vom 1. Januar 2002 und 9. Dezember 2003 bei der Eidgenössischen Invalidenversicherung zum Leistungsbezug (Berufsberatung, Rente) an. Die IV-Stelle Luzern führte erwerbliche Abklärungen durch und holte Auskünfte der Versicherten, der mit den beiden Unfällen befassten Behörden sowie des Motorfahrzeughaftpflichtversicherers ein. Ausserdem zog sie Berichte und Stellungnahmen des Zentrums X._, vom 21. Oktober 2003, 26. Januar 2004 (je mit Vorakten) und 3. Mai 2004, der Klinik Y._ vom 13. Juli 2004 sowie des Dr. med. K._, Allgemeine Medizin FMH, vom 17. Januar 2005 (mit Vorakten) bei. Anschliessend lehnte sie es mit Verfügung vom 22. Februar 2005 ab, eine Rente auszurichten. Daran wurde - nachdem die Versicherte einen weiteren Bericht des Zentrums X._ vom 31. Januar 2005 sowie ein Gutachten des Zentrums W._, vom 24. August 2005 (mit Teilgutachten des Dr. med. O._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom 15. Juli 2005) hatte einreichen lassen - mit Einspracheentscheid vom 14. September 2005 festgehalten.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die IV-Stelle zurückwies, damit diese, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, neu verfüge (Entscheid vom 12. Oktober 2006).
C. Die IV-Stelle führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und "die Angelegenheit sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die ihr obliegenden Prüfungen der strittigen Fragen vornehme und Entscheidungen im Sinne der Beschwerdebegründung treffe"; eventuell sei "die Richtigkeit des angefochtenen Einspracheentscheides der IV-Stelle Luzern vom 14. September 2005 zu bestätigen".
B._ lässt auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Am 1. Januar 2007 ist das Bundesgesetz über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) in Kraft getreten (AS 2006 1205, 1243). Damit wurden das Eidgenössische Versicherungsgericht und das Bundesgericht in Lausanne zu einem einheitlichen Bundesgericht (an zwei Standorten) zusammengefügt (Seiler/von Werdt/ Güngerich, Bundesgerichtsgesetz [BGG], Bern 2007, S. 10 Rz 75). Dieses Gesetz ist auf die nach seinem Inkrafttreten eingeleiteten Verfahren des Bundesgerichts anwendbar, auf ein Beschwerdeverfahren jedoch nur dann, wenn auch der angefochtene Entscheid nach dem Inkrafttreten dieses Gesetzes ergangen ist (Art. 132 Abs. 1 BGG). Da der kantonale Gerichtsentscheid am 12. Oktober 2006 und somit vor dem 1. Januar 2007 erlassen wurde, richtet sich das Verfahren nach dem bis 31. Dezember 2006 in Kraft gestandenen Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) vom 16. Dezember 1943 (vgl. BGE 132 V 393 E. 1.2 S. 395).
1.2 Der angefochtene Entscheid betrifft Leistungen der Invalidenversicherung. Das Bundesgericht prüft daher nur, ob das vorinstanzliche Gericht Bundesrecht verletzte, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, oder ob der rechtserhebliche Sachverhalt offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt wurde (Art. 132 Abs. 2 OG [in der Fassung gemäss Ziff. III des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Änderung des IVG, in Kraft gewesen vom 1. Juli bis 31. Dezember 2006], in Verbindung mit Art. 104 lit. a und b sowie Art. 105 Abs. 2 OG).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Versicherungsleistungen (berufliche Massnahmen, Rente) und in diesem Rahmen die Frage, ob das kantonale Gericht die Sache zu Recht zur Ergänzung der Abklärungen an die IV-Stelle zurückgewiesen hat.
2.1 Was die Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts anbelangt, handelt es sich bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der Beschwerdegegnerin grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 398), welche letztinstanzlich nur darauf überprüft werden können, ob sie offensichtlich unrichtig, unvollständig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen erfolgt sind (Erw. 1.2 hiervor). Dagegen steht eine frei überprüfbare Rechtsfrage zur Diskussion, soweit gerügt wird, das kantonale Gericht habe den Grundsatz der freien Beweiswürdigung (dazu BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) und die daraus fliessende Pflicht zu umfassender, sorgfältiger, objektiver und inhaltsbezogener Würdigung der medizinischen Berichte und Stellungnahmen verletzt (BGE 132 V 393 E. 4.1 S. 400).
2.2 Mit Blick auf die dargelegte Kognitionsregelung lässt es sich nicht als offensichtlich unrichtig bezeichnen, wenn die Vorinstanz zum Ergebnis gelangt ist, die medizinischen Akten bildeten keine hinreichend zuverlässige Grundlage für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit der Beschwerdegegnerin. Ebenso wenig bildet diese Feststellung das Ergebnis einer Verletzung wesentlicher Verfahrensvorschriften. Insbesondere ist es nicht zu beanstanden, wenn das kantonale Gericht, nachdem es zum Ergebnis gelangt war, die medizinischen Akten seien nicht hinreichend aussagekräftig, gestützt auf den Untersuchungsgrundsatz (BGE 125 V 193 E. 2 S. 195) zusätzliche Abklärungen in Form einer ergänzenden psychiatrischen Begutachtung als notwendig erachtete.
2.3 Soweit die Beschwerde führende IV-Stelle dem kantonalen Gericht sinngemäss vorwirft, es habe den Grundsatz der freien Beweiswürdigung verletzt, kann ihr ebenfalls nicht gefolgt werden. Vielmehr hat die Vorinstanz mit nachvollziehbarer und überzeugender Begründung sowie unter ausführlicher Bezugnahme auf die medizinischen Akten dargelegt, warum sie den rechtserheblichen Sachverhalt als in psychiatrischer Hinsicht nicht hinreichend abgeklärt beurteilte. Der IV-Stelle ist zwar darin zuzustimmen, dass die diesbezüglichen Ausführungen im Bericht des Zentrums X._ vom 31. Januar 2005 sowie im Teilgutachten des Dr. med. O._ vom 15. Juli 2005 den Anforderungen an eine beweiskräftige medizinische Stellungnahme (BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) nicht gerecht werden und keine zuverlässige Beurteilung der Zumutbarkeit einer Erwerbstätigkeit ermöglichen. Dasselbe gilt aber auch für die gegenteiligen Aussagen des regionalen ärztlichen Dienstes der IV (RAD), welche auf den Akten sowie einem informellen "Triage-Gespräch" basieren und, wie die Vorinstanz dargelegt hat, als Bericht im Sinne von Art. 49 Abs. 3 IVV der versicherungsinternen Entscheidfindung dienen, aber nicht eine erforderliche spezialärztliche Abklärung ersetzen können.
3. Das Verfahren hat IV-Leistungen zum Gegenstand und ist deshalb kostenpflichtig (Art. 134 Satz 2 OG, gültig gewesen vom 1. Juli bis 31. Dezember 2006; vgl. Erw. 1.1 und 1.2). Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 135 OG). Die Versicherte hat Anspruch auf eine Parteientschädigung zu Lasten der IV-Stelle (Art. 159 Abs. 1 und 2 in Verbindung mit Art. 135 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt und mit dem geleisteten Kostenvorschuss verrechnet.
3. Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin für das letztinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1500.- (einschliesslich Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen zugestellt.
Luzern, 22. Februar 2007
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: