Faits :
A.
Depuis février 1997, A.A._ a exercé une activité lucrative indépendante en qualité de médecin-anesthésiste à D._. Domiciliée alors avec son mari, B.A._, dans le canton de Berne, elle a régulièrement déclaré les revenus afférents à son activité dans ce canton, qui a effectué une répartition intercantonale.
Les époux B.A._ et A.A._ sont établis à C._ (NE) depuis l'été 2001.
B.
Par une décision de taxation rectificative définitive datée du 28 décembre 2003, le Service cantonal des contributions de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) "a taxé les époux en reprenant les chiffres du canton de Berne pour les années 1997 et 1998 par une seule taxation 1998 et regroupant 690 jours" (arrêt attaqué p. 2 par. 2). Cette taxation a été contestée pour divers motifs concernant notamment la date de son envoi, le fait qu'elle n'avait pas été reçue et que des poursuites avaient été intentées avant l'envoi de la facture. Elle a été notifiée à nouveau au mandataire des contribuables le 18 avril 2005.
Par arrêt du 4 décembre 2008, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal administratif; actuellement la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, ci-après: le Tribunal cantonal; cf. arrêt 2C_704/2011 du 4 novembre 2011 consid. 1.3), confirmant un jugement du Tribunal fiscal du même canton du 3 mars 2008 (ci-après: le Tribunal fiscal), a considéré que le droit de procéder à la taxation de l'année 1998 n'était pas prescrit et renvoyé la cause au Tribunal fiscal pour qu'il examine les bases chiffrées de la taxation.
Le 28 septembre 2010, le Tribunal fiscal a annulé la taxation cantonale 1998 et la décision sur réclamation en ce qui concernait les facteurs retenus pour 1998. Il a pour le reste confirmé l'exactitude des bases de taxation pour 1997 et constaté que la question de la prescription avait été réglée par le Tribunal administratif. Il a renvoyé le dossier au Service cantonal pour qu'il effectue la taxation au sens des considérants en tenant compte, le cas échéant, d'un motif de taxation intermédiaire dans le chef de l'époux pour l'année 1998. Cet arrêt n'a pas été contesté.
Le 1er juillet 2013, le Service cantonal a notifié une nouvelle taxation définitive pour la période du 1er février 1997 au 31 décembre 1998 portant sur 690 jours sans changement par rapport à celle rendue initialement. Les époux A._ ont formé opposition en faisant valoir que la taxation de deux années sous la dénomination 1998 était irrégulière et que l'année 1997 devait faire l'objet d'une taxation séparée, dès lors que le droit de taxer était prescrit. Leur réclamation a été rejetée le 9 août 2013.
Les époux A._ ont recouru auprès du Tribunal cantonal. Le Service cantonal a exposé avoir égaré son dossier.
Par arrêt du 26 septembre 2014, le Tribunal cantonal a rejeté le recours dans la mesure de sa recevabilité.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 26 septembre 2014, A.A._ et B.A._ forment un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Ils concluent principalement à l'annulation de l'arrêt attaqué et à ce qu'il soit constaté que le Service des contributions est déchu de son droit de taxer, subsidiairement à ce qu'il soit constaté que la prescription est acquise pour la créance fiscale ayant trait à la période du 1er février 1997 au 31 décembre 1997, plus subsidiairement encore au renvoi de la cause à l'autorité intimée pour nouvelle décision au sens des considérants.
Le Tribunal cantonal n'a pas formulé d'observations, se référant aux motifs de l'arrêt attaqué et concluant au rejet du recours. Au terme de ses déterminations, le Service cantonal propose le rejet du recours. L'Administration fédérale des contributions a renoncé à formuler des observations, l'objet du litige concernant l'impôt direct cantonal et communal.
Considérant en droit :
1.
Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par une autorité cantonale judiciaire supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), le présent recours ne tombe pas sous le coup d'une des exceptions mentionnées à l'art. 83 LTF. Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et en la forme prévue (art. 42 LTF) par les contribuables, destinataires de l'arrêt attaqué qui ont un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celui-ci (art. 89 al. 1 LTF), le recours en matière de droit public est en principe recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement juridique sur les faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (ATF 138 I 49 consid. 7.1 p. 51) - ou en violation du droit (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF) doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356).
2.2. Le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF). Cependant, il ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été invoqué et motivé par le recourant, selon le principe d'allégation (art. 106 al. 2 LTF; ATF 137 II 305 consid. 3.3 p. 310 s.; 134 I 83 consid. 3.2 p. 88). En revanche, sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), l'on ne peut invoquer la violation du droit cantonal ou communal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (art. 95 LTF e contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou la garantie d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine alors de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 136 II 304 consid. 2.5 p. 314; arrêt 2C_668/2013 du 19 juin 2014 consid. 2.1).
3.
En l'absence d'une réglementation expresse contraire, le droit applicable à la taxation est celui en vigueur pendant la période fiscale en cause (arrêt 2C_416/2013 du 5 novembre 2014 consid. 5.1, in RDAF 2014 II 40). Le litige concerne exclusivement l'impôt cantonal et communal pour la période allant du 1er février 1997 au 31 décembre 1998. A cette époque, la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes (LHID; RS 642.14) n'était pas encore obligatoire pour les cantons (cf. art. 72 LHID). Le canton de Neuchâtel a adapté sa législation au droit harmonisé au travers de la loi neuchâteloise du 21 mars 2000 sur les contributions directes, entrée en vigueur le 1er janvier 2001 (LCdir/NE; RSN 631.0). Par conséquent, la période litigieuse 1997 et 1998 était régie par la l'ancienne loi neuchâteloise du 9 juin 1964 sur les contributions directes (ci-après: aLCdir/NE), soit par du droit cantonal non encore harmonisé.
Il en découle que l'examen par le Tribunal fédéral du droit cantonal pertinent est limité à l'arbitraire ou à la violation d'autres droits constitutionnels en fonction des griefs soulevés par les recourants (cf. consid. 2.2 ci-dessus). Cela vaut pour toutes les questions relevant uniquement du droit cantonal.
4.
4.1. Compte tenu de l'écoulement du temps, il convient de s'interroger sur l'existence de la prescription absolue. Il sied de préciser que, comme les recourants ne formulent aucun grief à cet égard, la question de la prescription absolue n'a pas à être traitée d'office dans la mesure où elle découlerait du droit cantonal (cf. consid. 2.2 ci-dessus). Au demeurant, l'art. 126 aLCdir/NE qui régissait la prescription de l'assujettissement à l'impôt ne prévoyait pas de prescription absolue. En revanche, dès lors que la LHID contient des dispositions imposant une prescription absolue, la Cour de céans doit examiner d'office en tant que la matière relève du droit fédéral matériel (art. 106 al. 1 LTF) dans quelle mesure les délais prévus par la LHID s'appliquent à la présente cause et, le cas échéant, vérifier si la prescription absolue du droit de taxer est atteinte (cf. ATF 138 II 169 consid. 3.2; arrêt 2C_724/2010 du 27 juillet 2011 consid. 6, in RDAF 2012 II 37).
4.2. L'art. 47 al. 1 LHID prévoit que le droit de taxer se prescrit par cinq ans à compter de la fin de la période fiscale; en cas de suspension ou d'interruption de la prescription, celle-ci est acquise dans tous les cas quinze ans après la fin de la période fiscale. L'art. 47 LHID est ainsi le pendant de l'art. 120 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'impôt fédéral direct (LIFD; RS 642.11) en matière d'impôt fédéral direct (Bernhard J. Greminger, in Zweifel/Athanas [éd.], Bundesgesetz über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG], 2e éd. 2002, n° 3 ad art. 47 LHID). Il convient donc, en vertu du principe d'harmonisation verticale (ATF 130 II 65 consid. 5.2 p. 72 ss), de donner la même portée à l'art. 47 LHID.
4.3. En matière d'impôt fédéral direct, l'ancien arrêté du Conseil fédéral du 9 décembre 1940 sur la perception d'un impôt fédéral direct (aAIFD) ne prévoyait pas de prescription absolue, contrairement à la LIFD (art. 120 al. 4 LIFD s'agissant du droit de taxer et art. 121 al. 3 LIFD concernant le droit de percevoir l'impôt). Estimant qu'il serait choquant et difficilement compatible avec le principe de l'égalité que la prescription de créances nées sous l'ancien droit puisse continuer à courir alors que des créances fiscales nées sous l'empire du nouveau droit, et par conséquent plus récentes, auraient été atteintes par la prescription absolue, le Tribunal fédéral a posé que le délai de prescription absolue de quinze ans du droit de procéder à la taxation de l'art. 120 al. 4 LIFD et celui de dix ans concernant le droit de percevoir l'impôt prévu à l'art. 121 al. 3 LIFD devaient être appliqués à titre de dispositions transitoires; la prescription absolue du droit de taxer, qui commence à courir au moment de l'entrée en vigueur du nouveau droit, serait ainsi atteinte en 2010, et au plus tard en 2020 s'agissant du droit de percevoir l'impôt pour les prétentions de l'ancien droit (ATF 126 II 1 consid. 3 p. 6; arrêt 2C_267/2010 du 8 avril 2011 consid. 5.1 et 5.2).
4.4. Le parallèle peut être tiré s'agissant des anciennes législations cantonales ne connaissant pas de prescription absolue et la LHID qui introduit cette notion. Pour éviter que des prétentions fiscales cantonales nées sous l'ancien droit ne soient pas prescrites, alors que d'autres découlant du droit harmonisé le seraient, il convient d'appliquer les règles posées en matière de LIFD.
La LHID est entrée en vigueur le 1er janvier 1993, mais a laissé aux cantons un délai maximal de huit ans pour adapter leur législation (art. 72 LHID). Le moment déterminant n'est donc pas celui de l'entrée en vigueur de la LHID, mais le moment où le canton a adapté sa législation, au plus tard le 1er janvier 2001. En l'occurrence, la nouvelle loi neuchâteloise sur les contributions directes est entrée en force le 1er janvier 2001 (cf. consid. 3 ci-dessus). Partant, le délai de prescription absolue de quinze ans du droit de taxer, découlant de l'art. 47 al. 1 LHID et repris à l'art 186 al. 4 LCdir/NE, arrivera à échéance en 2016. La prescription absolue n'est donc pas encore atteinte.
5.
Dans un premier grief, les recourants critiquent la façon dont le Service des contributions a géré le dossier tout au long de la procédure. Ils estiment que, par son activité, l'administration fiscale a violé leur droit d'être entendu, les a empêchés d'exercer leur droit de réponse et d'obtenir une décision dûment motivée.
Cette critique n'est pas recevable. Les recourants perdent de vue qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral de vérifier la façon dont l'administration cantonale a géré le dossier, mais uniquement d'examiner si l'arrêt attaqué rendu par le Tribunal cantonal le 26 septembre 2014 est conforme au droit. Or, les recourants ne formulent à cet égard aucun grief direct et précis, comme l'art. 106 al. 2 LTF le leur imposait en lien avec une violation de leur droit d'être entendu. En particulier, ils n'expliquent pas en quoi la décision entreprise comporterait des lacunes ou serait insuffisamment motivée ni en quoi l'existence d'un dossier reconstitué à la suite de sa perte par les autorités fiscales cantonales aurait empêché les juges cantonaux de traiter de l'affaire.
6.
Les recourants soutiennent que la gestion calamiteuse du dossier devrait entraîner la déchéance du droit de taxer du Service des contributions, par analogie avec la jurisprudence en cas de rappel d'impôt.
A nouveau, les recourants ne s'en prennent pas directement à l'arrêt attaqué. Au demeurant, la jurisprudence qu'ils citent est liée à la spécificité de la procédure de rappel d'impôt, qui permet à l'autorité fiscale de percevoir après coup des impôts qui n'ont, à tort, pas été perçus dans le cadre de la procédure de taxation (ATF 121 II 257 consid. 4b p. 264 s.). Une telle procédure est exclue lorsque l'autorité fiscale aurait dû se rendre compte de l'état de fait incomplet ou inexact au moment où elle a procédé à la taxation. L'objectif est d'éviter que le fisc revienne sur une première décision entrée en force alors que celle-ci contenait indiscutablement des inexactitudes flagrantes qui ne pouvaient lui échapper (cf. arrêt 2C_104/2008 du 20 juin 2008 consid. 3.3 cité par les recourant). On ne voit pas ce qui justifierait d'appliquer ces règles en procédure de taxation.
7.
En dernier lieu, les recourants soutiennent que la décision attaquée est, en lien avec la prescription de la créance d'impôt de 1997, "entachée d'un vice grave et indiscutable". En substance, ils relèvent qu'en déclarant leur grief tiré de la prescription irrecevable au motif que le jugement du Tribunal administratif du 4 décembre 2008 et celui du Tribunal fiscal du 28 septembre 2010 avaient acquis force de chose jugée, le Tribunal cantonal est tombé dans l'arbitraire.
7.1. S'agissant du refus d'entrer en matière du Tribunal cantonal, les recourants allèguent uniquement qu'il s'agit en droit public d'une question qui doit être constatée d'office.
La critique n'est pas fondée, car la question de l'éventuelle survenance du délai de cinq ans relatif à la prescription du droit de taxer des recourants a fait l'objet de décisions au cours de la procédure. Deux décisions ont déclaré que le délai de prescription relatif de cinq ans du droit de taxer prévu par le droit cantonal n'était pas arrivé à échéance, à savoir un jugement du Tribunal fiscal du 3 mars 2008, qui a été confirmé par le Tribunal administratif dans un arrêt du 4 décembre 2008, qui renvoyait au surplus la cause au Tribunal fiscal pour qu'il examine les bases chiffrées de la taxation. Quant au jugement du Tribunal fiscal du 28 septembre 2010 rendu sur renvoi, il mentionne que la question de la prescription a été réglée par le Tribunal administratif.
7.2. On pourrait certes se demander si l'arrêt du Tribunal administratif du 4 décembre 2008 qui statue sur la prescription et renvoie la cause à l'instance précédente, ne constitue pas une décision incidente contre laquelle un recours serait possible en application de l'art. 93 al. 3 LTF (cf. arrêt 2C_232/2012 du 23 juillet 2012 consid. 1.6, in Archives 81 p. 414). La question n'a pas à être tranchée. En effet, même si la jurisprudence n'exige pas que la partie prenne des conclusions formelles en annulation de la décision incidente attaquée en application de l'art. 93 al. 3 LTF, il faut que cette décision fasse l'objet de griefs suffisamment motivés en droit (arrêts 4A_424/2011 du 2 novembre 2011 consid. 1.5.1; 2D_26/2010 du 13 mai 2010 consid. 2.1). Il aurait donc appartenu aux recourants de s'en prendre expressément à cet arrêt et d'expliquer, par une motivation précise, en quoi le Tribunal administratif serait tombé dans l'arbitraire en refusant d'admettre que la prescription relative de l'art. 126 aLCdir/NE n'aurait pas été atteinte. Or, non seulement les recourants ne démontrent pas l'arbitraire ni l'application insoutenable du droit cantonal, mais ils ne se fondent que sur les arrêts du Tribunal fiscal du 3 mars 2008 et du 28 septembre 2010, soit des décisions qui n'émanent pas de l'autorité cantonale de dernière instance.
Dans ces circonstances, le recours ne peut qu'être rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité.
8.
Compte tenu de l'issue du litige, les frais seront mis à la charge des recourants qui succombent, solidairement entre eux (art. 66 al. 1 et 5 LTF). Il ne sera pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge des recourants, solidairement entre eux.
3.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire des recourants, au Service des contributions et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, ainsi qu'à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 15 janvier 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
Le Greffier : Tissot-Daguette