Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 16. Juni 2003, welche jene vom 9. September 2002 ersetzte, sprach die IV-Stelle Uri der 1952 geborenen R._ rückwirkend ab 1. Januar 2002 eine ganze Invalidenrente zu (Invaliditätsgrad: 100 %). Anlässlich einer erstmaligen Rentenrevision bestätigte die IV-Stelle in der Mitteilung vom 3. Juni 2005 einen unveränderten Zustand mit gleich gebliebenem Invaliditätsgrad. Gestützt auf das im Rahmen einer im Jahr 2008 durchgeführten Rentenrevision erstellte Gutachten vom 10. Februar 2009 des Dr. med. K._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, verfügte die IV-Stelle am 29. Juli 2009 die Herabsetzung des Leistungsanspruchs auf eine halbe Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 57 %) mit Wirkung ab 1. September 2009.
B. Die von R._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Uri mit der Feststellung gut, es bestehe weiterhin Anspruch auf eine ganze Invalidenrente (Entscheid vom 21. Januar 2011).
C. Die IV-Stelle erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, die Verfügung vom 29. Juli 2009 sei, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, zu bestätigen.
R._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde; eventualiter sei die Sache zu weiterer Abklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen lässt sich nicht vernehmen.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Zu den Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 lit. a BGG gehört auch die unvollständige Feststellung der rechtserheblichen Tatsachen (Urteile 9C_53/2008 vom 18. Februar 2009 E. 1.3, 9C_40/2007 vom 31. Juli 2007 E. 1; Ulrich Meyer, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 25, 36 und 59 zu Art. 105 BGG; HANSJÖRG Seiler, in: Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 24 zu Art. 97 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140).
2. 2.1 Zu prüfen ist die Zulässigkeit der wiedererwägungsweisen Reduktion der ab 1. Januar 2002 zugesprochenen ganzen auf eine halbe Invalidenrente ab 1. September 2009 (Art. 53 Abs. 3 ATSG). Hingegen ist die Rentenreduktion unter dem Gesichtswinkel der Revision (Art. 17 ATSG) und der prozessualen Revision (Art. 53 Abs. 1 ATSG) nicht Streitpunkt. Es steht die Frage im Zentrum, ob die Vorinstanz bezüglich der ursprünglichen Rentenverfügung vom 16. Juni 2003 von einem bundesrechtskonformen Verständnis der zweifellosen Unrichtigkeit ausgegangen ist. Die Feststellungen, welche der Beurteilung dieses unbestimmten Rechtsbegriffs zugrunde liegen, sind tatsächlicher Natur und folglich nur auf offensichtliche Unrichtigkeit oder Unvollständigkeit (E. 1) überprüfbar (SVR 2008 IV Nr. 53 S. 177 f. E. 4.2, I 803/06). Dagegen ist die Auslegung (Konkretisierung) des Begriffs der zweifellosen Unrichtigkeit als Wiedererwägungsvoraussetzung nach Art. 53 Abs. 2 ATSG Bundesrechtsfrage, die frei zu beurteilen ist (Urteil 9C_994/2010 vom 12. April 2011 E. 2).
2.2 Nach Art. 53 Abs. 2 ATSG kann der Versicherungsträger auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Unter diesen Voraussetzungen kann die Verwaltung eine Rentenverfügung auch dann abändern, wenn die Revisionsvoraussetzungen des Art. 17 ATSG nicht erfüllt sind. Wird die zweifellose Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenverfügung erst vom Gericht festgestellt, kann es die auf Art. 17 ATSG gestützte Revisionsverfügung mit dieser substituierten Begründung schützen (vgl. BGE 127 V 466 E. 2c S. 469, 125 V 368 E. 2 S. 369). Das Erfordernis der zweifellosen Unrichtigkeit ist in der Regel erfüllt, wenn eine Leistungszusprache aufgrund falsch oder unzutreffend verstandener Rechtsregeln erfolgt ist oder wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden. Anders verhält es sich, wenn der Wiedererwägungsgrund im Bereich materieller Anspruchsvoraussetzungen liegt, deren Beurteilung notwendigerweise Ermessenszüge aufweist. Erscheint die Beurteilung einzelner Schritte bei der Feststellung solcher Anspruchsvoraussetzungen (Invaliditätsbemessung, Arbeitsunfähigkeitsschätzung, Beweiswürdigung, Zumutbarkeitsfragen) vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage, wie sie sich im Zeitpunkt der rechtskräftigen Leistungszusprechung darboten, als vertretbar, scheidet die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit aus. Zweifellos ist die Unrichtigkeit, wenn kein vernünftiger Zweifel daran möglich ist, dass die Verfügung unrichtig war. Es ist nur ein einziger Schluss - derjenige auf die Unrichtigkeit der Verfügung - denkbar (Urteil 9C_760/2010 vom 17. November 2010 E. 2, publ. in: Plädoyer 2011/1 S. 65; SVR 2010 IV Nr. 5 S. 10, 8C_1012/2008; Urteil 9C_575/2007 vom 18. Oktober 2007 mit Hinweisen).
3. 3.1 Das vorinstanzliche Gericht erwog, die IV-Stelle habe die Versicherte im Rahmen der erstmaligen Rentengewährung gemäss Feststellungsblatt vom 21. Mai 2002 auch in einer Verweistätigkeit als nicht mehr arbeitsfähig erachtet. Nach aktueller Expertise vom 10. Februar 2009 sei der Gesundheitszustand seit der Rentenzusprache unverändert geblieben. Die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit sei laut Gutachten schwierig gewesen. Sie betrage 50 %, wobei das Pensum nach Ansicht des Experten, Dr. med. K._, auf täglich mehrere Stunden aufgeteilt werden müsse und Pausen einzuräumen seien. Damit gehe eine Leistungsreduktion einher, welche jedoch nicht beziffert werde. Die Einschätzung des Leistungsvermögens weise unter diesen Umständen erhebliche Ermessenszüge auf, welche die damalige Zusprache einer ganzen Invalidenrente als vertretbar erscheinen lasse. Eine zweifellose Unrichtigkeit der Rentenverfügung vom 16. Juni 2003 sei zu verneinen.
3.2 Die IV-Stelle argumentiert, der Entscheid über die Invalidenrente sei im Mai 2002 nicht spruchreif gewesen, weil die damals vorhandenen Berichte ein Aggravieren der Beschwerdegegnerin gezeigt hätten und ein psychophysischer Erschöpfungszustand im Vordergrund gestanden sei. Aufgrund dieser Aktenlage und wegen der fachärztlich nie bestätigten psychiatrischen Diagnosen hätte sich die IV-Stelle über die damals laufende psychiatrische Behandlung ins Bild setzen müssen. Mit der Unterlassung habe sie den Untersuchungsgrundsatz verletzt. Zudem habe der behandelnde Psychiater Zweifel an der Schwere des objektiven Krankheitsbildes geäussert. Der im Anschluss an den Aufenthalt in der Rehaklinik X._ subjektiv verbesserte Gesundheitszustand mache die Feststellung der IV-Stelle vom 21. Mai 2002, es sei der Versicherten unmöglich, einer ausserhäuslichen Arbeit nachzugehen, zusätzlich unverständlich. Die ursprüngliche Rentenverfügung sei hingegen nicht deswegen zweifellos unrichtig, weil kein Psychiater die Auswirkungen der somatoformen Schmerzstörung oder der Fibromyalgie auf die Arbeitsfähigkeit der Versicherten unersucht habe. Weiter hält die Verwaltung dafür, im Hinblick auf das Gutachten des Dr. med. K._ wäre der erstmalige Rentenentscheid anders ausgefallen.
4. 4.1 Die Vorinstanz hat die Frage der zweifellosen Unrichtigkeit der ursprünglichen Rentenverfügung anhand der Expertise vom 10. Februar 2009 geprüft, was rechtlich unzulässig ist (Art. 95 lit. a BGG; E. 2.1). Denn die wiedererwägungsrechtlichen Voraussetzungen beurteilen sich nach der Aktenlage, wie sie sich im Zeitpunkt der in Wiedererwägung gezogenen Rentenverfügung dargeboten hat (vgl. E. 2.2 hievor). Fest steht auch, dass die Beschwerdeführerin mit der Berufung auf die Expertise vom 10. Februar 2009 nichts zu ihren Gunsten herleiten kann. Mit Blick auf den vorinstanzlich nicht bundesrechtskonform angewendeten Rechtsbegriff der Wiedererwägung, ist der rechtserhebliche Sachverhalt unvollständig festgestellt, weshalb das Bundesgericht das Tatsächliche ergänzen kann (E. 1 hievor; Urteil 2C_641/2009 vom 21. Januar 2010 E. 4.1 und 4.2, publ. in: StR 65/2010, S. 576).
4.2 Der Verfügung vom 16. Juni 2003 und der damit ab 1. Januar 2002 zugesprochenen ganzen Invalidenrente lagen zur Hauptsache die Angaben der behandelnden Ärzte Dr. med. S._, Facharzt für Rheumatologie und Innere Medizin, und Dr. med. E._, Facharzt für Innere Medizin, sowie die Austrittsberichte des Spitals Y._ vom 29. März 2001 betreffend den stationären Aufenthalt vom 6. Februar bis 10. März 2001 und der Rheuma- und Rehabilitationsklinik X._ vom 12. Oktober 2001 (Aufenthalt vom 6. September bis 4. Oktober 2001) zugrunde. Die IV-Stelle folgte der Leistungsbeurteilung des Dr. med. E._ im Bericht vom 2. Mai 2002, welcher Arzt auch in einer leichten Tätigkeit eine Arbeitsfähigkeit verneinte. Dabei stützte er sich im Wesentlichen auf die Diagnose einer chronischen somatoformen Schmerzstörung, einer Periarthropathia humeroscapularis tendopathica beidseits, eines Carpaltunnelsyndroms und einer Fibromyalgie. Die Befunde sind in den früheren Arztberichten bereits erwähnt worden. Sodann hat die IV-Stelle ein Schreiben vom 30. August 2001 des Dr. med. G._, Ärztliche Leitung Sozial Psychiatrischer Dienst des Kantons Uri, an den behandelnden Arzt Dr. med. E._ zu den Akten genommen. Dieses enthält keine Diagnosen und Untersuchungsergebnisse werden nicht erwähnt; weitere Unterlagen des Dr. med. G._ sind nicht aktenkundig, auf welchen Umstand die IV-Stelle die Wiedererwägung gründet (E. 3.2 hievor).
5. 5.1 Bei der Fibromyalgie handelt es sich um eine Krankheit, über deren Genese Uneinigkeit besteht. Dessen ungeachtet ist sie eine von der Weltgesundheitsorganisation anerkannte rheumatologische Erkrankung (BGE 132 V 65 E. 3.2 und 3.3 S. 68). In diesem Lichte genügte die vom Rheumatologen Dr. med. S._ erhobene Fibromyalgie den Anforderungen an eine gesicherte Diagnosestellung. Das Fehlen einer zusätzlichen Bestätigung durch einen psychiatrischen Facharzt ändert wiedererwägungsrechtlich nichts. Mit Bezug auf die erstmals im Austrittsbericht des Spitals Y._ vom 29. März 2001 erwähnte somatoforme Schmerzstörung steht zwar nicht fest, ob sie nach einer psychiatrischen Untersuchung erhoben worden ist; hingegen erhielt der Psychiater des Spitals Y._, Dr. med. G._, eine Kopie des Austrittsberichts, und er behandelte die Versicherte im Anschluss an den stationären Aufenthalt. Es besteht kein triftiger Grund zur Annahme, Dr. med. G._ sei von anderen medizinischen Befunden ausgegangen, als sie sich aus dem Austrittsbericht des Spitals Y._ ergeben. Bestätigt wird dies durch den Bericht des Dr. med. S._ vom 16. August 2001, wonach die Beschwerdegegnerin mehrfach von Dr. med. G._ untersucht und behandelt worden sei, sie sich jedoch nicht auf ein psychosomatisches Krankheitsmodell habe einlassen können. Die psychiatrische Therapie fusste mithin auf dem psychosomatischen Charakter der Leiden, wie dies für die somatoforme Schmerzstörung und sinngemäss für die Fibromyalgie zutrifft (BGE 132 V 65 E. 4 S. 70; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts U 435/06 vom 19. Juni 2007 E. 5.2; Urteil U 376/04 vom 28. Juni 2005 E. 3.2.1). Sodann übersieht die IV-Stelle den Bericht der Rehaklinik X._ vom 12. Oktober 2001 über den stationären Aufenthalt vom 6. September bis 4. Oktober 2001, gemäss welchem eine klinisch-psychologische Abklärung stattgefunden hat. Der von der Rehaklinik X._ gestellten Diagnose einer chronischen somatoformen Schmerzstörung lag folglich eine fachpsychologische Untersuchung zugrunde. Die Fibromyalgie und die somatoforme Schmerzstörung waren nach Lage der ursprünglichen Akten auch ohne aktenkundige Bestätigung durch den behandelnden Psychiater Dr. med. G._ diagnostisch hinreichend erstellt.
5.2 Zwar erhob Dr. med. G._ im Schreiben vom 30. August 2001 den Verdacht auf Aggravation. Die von ihm unter anderem aus diesem Grund befürwortete stationäre Behandlung in der Rehaklinik X._ ergab keine den Verdacht bestätigende Anhaltspunkte; im Austrittsbericht vom 12. Oktober 2001 fehlen diesbezügliche Hinweise. Die IV-Stelle nahm den Bericht zu den Akten, womit sie zur Frage der Aggravation Abklärungen getroffen hat und der Untersuchungsmaxime nachgekommen ist. Da sodann sowohl eine Befundbesserung im Rahmen einer mehrwöchigen stationären Behandlung wie auch eine danach eingetretene erneute Verschlechterung der Gesundheit keinen ungewöhnlichen Verlauf darstellen, kann entgegen der offenbaren Betrachtungsweise der IV-Stelle (E. 3.2 hievor) daraus nichts für eine Aggravation und deswegen nötigem zusätzlichem Abklärungsbedarf hergeleitet werden. Auch in dieser Hinsicht liegt keine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes vor. Obwohl es nahe lag, vor der Rentenzusprache eine Stellungnahme des behandelnden Psychiaters einzuverlangen, begründet der Verzicht mit Blick auf die damalige Aktenlage nicht die zweifellose Unrichtigkeit der Rentenverfügung vom 16. Juni 2003.
5.3 Die IV-Stelle zog die ursprüngliche Rentenverfügung nicht deswegen in Wiedererwägung, weil die herangezogene Zumutbarkeitsbeurteilung vom 2. Mai 2002 nicht von einem Facharzt der Psychiatrie stammt (E. 3.2 hievor). Insofern bedarf es keiner Erörterung (BGE 125 V 413 E. 1b und 2c S. 415 ff.; 110 V 48 E. 4a S. 53). Mit Bezug auf die geltend gemachten Wiedererwägungsgründe steht - wie gezeigt - fest, dass die Beurteilung des Leistungsvermögens durch Dr. med. E._ anhand einer fachärztlich (Psychiatrie und Rheumatologie) untermauerten Diagnoseliste erging (E. 5.1) und Abklärungen wegen möglicher Aggravation stattgefunden haben (E. 5.2). Eine Verletzung der Untersuchungspflicht ist nicht erstellt. Der angefochtene Entscheid hält damit wiedererwägungsrechtlich im Ergebnis vor Bundesrecht stand.
6. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden IV-Stelle aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Uri, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Mai 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Ettlin