Sachverhalt:
A. Die 1962 geborene B._ hatte sich am 2. Februar 2005 bei einem Arbeitsunfall eine Distorsion am linken Knie zugezogen. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), welche die gesetzlichen Leistungen erbracht hatte, sprach B._ ab 1. Dezember 2008 nebst einer Integritätsentschädigung eine Invalidenrente auf der Grundlage einer Erwerbsunfähigkeit von 26 % zu. Am 5. Februar 2007 meldete sich B._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Gestützt auf die eingeholten Arztberichte sowie eine interdisziplinäre Begutachtung durch den Psychiater Dr. med. S._ und den Rheumatologen Dr. med. R._ (Expertise vom 4./16. Mai 2009) gelangte die IV-Stelle zur Auffassung, dass die Voraussetzungen, unter denen bei der vorliegenden somatoformen Schmerzstörung eine Invalidität angenommen werden könne, nicht erfüllt seien. Dementsprechend lehnte sie den Rentenanspruch am 12. Januar 2010 verfügungsweise ab.
B. In teilweiser Gutheissung der hiegegen eingereichten Beschwerde sprach das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen B._ unter Aufhebung der Verfügung vom 12. Januar 2010 eine halbe Invalidenrente zu; zur Festsetzung des Rentenbeginns und der Rentenhöhe wies es die Sache an die IV-Stelle zurück (Entscheid vom 25. Mai 2012).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben.
Während B._ auf Abweisung der Beschwerde schliessen lässt, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Rückweisungsentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG, gegen welchen die Beschwerde u.a. zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a). Die Vorinstanz hat der Versicherten eine halbe Invalidenrente zugesprochen und gleichzeitig die Sache zur Festlegung von Rentenbeginn und Rentenhöhe an die Verwaltung zurückgewiesen. Damit wird diese gezwungen, eine ihres Erachtens rechtswidrige neue Verfügung zu erlassen, womit der irreparable Nachteil nach der Rechtsprechung zu bejahen ist (BGE 133 V 477 E. 5.2 S. 483). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.2 Dabei gilt im Hinblick auf die Beurteilung, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung - oder ein vergleichbarer ätiologisch-pathogenetisch unklarer syndromaler Zustand (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 399) - mit invalidisierender Wirkung vorliegt, Folgendes: Zu den vom Bundesgericht nur eingeschränkt überprüfbaren Tatsachenfeststellungen zählt zunächst, ob eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung vorliegt, und bejahendenfalls, ob eine psychische Komorbidität oder weitere Umstände gegeben sind, welche die Schmerzbewältigung behindern. Als Rechtsfrage frei überprüfbar ist, ob eine festgestellte psychische Komorbidität hinreichend erheblich ist und ob einzelne oder mehrere der festgestellten weiteren Kriterien in genügender Intensität und Konstanz vorliegen, um gesamthaft den Schluss auf eine nicht mit zumutbarer Willensanstrengung überwindbare Schmerzstörung und somit auf eine invalidisierende Gesundheitsschädigung zu gestatten (BGE 137 V 64 E. 1.2 S. 66; Urteil 9C_148/2012 vom 17. September 2012).
3. Die Vorinstanz hat die Rechtsprechung zum Vorliegen einer Invalidität bei somatoformen Schmerzstörungen (BGE 130 V 352 und seitherige Urteile), welche analog auf weitere pathogenetisch-ätiologisch unklare syndromale Beschwerdebilder ohne nachweisbare organische Grundlage anwendbar ist, richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Aufgrund des psychiatrischen Gutachtens des Dr. med. S._ vom 4. Mai 2009 ging das kantonale Gericht davon aus, dass die Versicherte an einer somatoformen Schmerzstörung leide und mehrere für die Annahme einer invalidisierenden Gesundheitsstörung massgebende Kriterien erfüllt seien. Namentlich der chronifizierte mehrjährige Krankheitsverlauf mit progredienter Symptomatik ohne wesentliche zwischenzeitliche Rückbildung sowie das Scheitern einer konsequent durchgeführten ambulanten und stationären Behandlung seien gegeben. Hinzu kämen eine - nicht sehr gravierende - chronische somatische Begleiterkrankung sowie ein gewisser sozialer Rückzug. Insgesamt erscheine damit die Einschätzung des Psychiaters glaubwürdig. Danach sei die Versicherte nur noch teilweise in der Lage, ihre Schmerzen willentlich zu überwinden, und ihre Ressourcen reichten nur noch für eine Teilzeittätigkeit von 50 % in einer angepassten Arbeit aus. Der Einkommensvergleich ergab einen Invaliditätsgrad von 51,4 % mit der Folge, dass die Vorinstanz der Beschwerdegegnerin eine halbe Invalidenrente zusprach, deren Beginn von der Verwaltung festzusetzen sei.
4.2 Die IV-Stelle wendet unter Hinweis auf das Urteil des Bundesgerichts 9C_710/2011 vom 20. März 2012 ein, dass eine Willensanstrengung nicht aufgeteilt werden könne. Entweder sei eine solche zumutbar oder nicht. Mit der Annahme einer Überwindbarkeit von 50 % werde dem Umstand nicht Rechnung getragen, dass die Unzumutbarkeit einer willentlichen Schmerzüberwindung und eines Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess nur in Ausnahmefällen anzunehmen sei. Mit einer zumutbaren Willensanstrengung könnte die Versicherte die Überzeugung, krank und arbeitsunfähig zu sein, überwinden. Relevant sei daher nur die somatisch bedingte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit, welche indessen keine einen Rentenanspruch begründende Erwerbseinbusse bewirke.
5. 5.1 Der IV-Stelle ist beizupflichten, dass die Unzumutbarkeit einer willentlichen Schmerzüberwindung und des Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess nach der Rechtsprechung nur in Ausnahmefällen anzunehmen ist (BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 353 f.). Ob im vorliegenden Fall entsprechend den Erwägungen des kantonalen Gerichts ein solcher Ausnahmefall gegeben ist, lässt sich aufgrund der medizinischen Unterlagen nicht schlüssig beurteilen. Dr. med. S._ äusserte sich in der Expertise vom 4. Mai 2009 im Abschnitt "Psychiatrische Beurteilung und Prognose" zum Krankheitsbild der Versicherten, ohne näher auf die Umstände des stationären Aufenthalts im Palliativ Zentrum im Spital X._ (26. August bis 5. September 2008) und eines längeren, zum Begutachtungszeitpunkt erst wenige Wochen zurückliegenden Aufenthalts in der Psychiatrischen Klinik L._ (vom 19. Januar bis 26. März 2009) einzugehen. Es blieb beim Hinweis darauf, dass die Klinikaufenthalte und auch die ambulante psychiatrische Behandlung bei Frau Dr. med. C._ erfolglos waren. Er diagnostizierte eine depressive Störung mittleren Grades, welche indessen nicht als psychische Komorbidität gelten könne, weil sie ausschliesslich im Zusammenhang mit der Schmerzstörung zu verstehen sei. Unter Bejahung einer körperlichen Begleiterkrankung (Knieleiden) gelangt der Gutachter alsdann zum Schluss, der Versicherten könne es in Anbetracht aller Begleitumstände nur noch teilweise zugemutet werden, willentlich ihre Schmerzen zu überwinden. Somatische und psychische Anteile seien nicht mehr zu trennen und die Arbeitsfähigkeit für angepasste Tätigkeiten sei seit Frühjahr 2008 zu 50 % eingeschränkt.
5.2 Die Expertise des Psychiaters Dr. med. S._ genügt den Anforderungen, welche an die Begutachtung von Versicherten mit der erwähnten Schmerzsymptomatik gestellt werden, nicht. Es liegt am Gutachter, durch die zur Verfügung stehenden diagnostischen Möglichkeiten fachkundiger Exploration der Verwaltung (und im Streitfall dem Gericht) aufzuzeigen, ob und inwiefern die versicherte Person über psychische Ressourcen verfügt, die es ihr - auch mit Blick auf die Kriterien - erlauben mit ihren Schmerzen umzugehen (BGE 130 V 352 E. 2.2.4 S. 355). Diese fachlichen Kriterien erfüllt die Expertise vom 4. Mai 2009 nur zum Teil. Die dem Psychiater obliegenden Einschätzungen und Wertungen im Zusammenhang mit den massgebenden Kriterien werden nur rudimentär oder sehr knapp vorgenommen. Das Gutachten erweckt ferner den Eindruck, dass es sich in weiten Teilen auf die Angaben der Beschwerdeführerin stützt. Auf allenfalls durchgeführte Tests und deren Ergebnisse wird hingegen in der fachärztlichen Beurteilung nicht Bezug genommen, ebenso fehlen sämtliche Hinweise auf andere Mittel psychiatrischer Exploration. Insgesamt fehlt der Expertise die notwendige Überzeugungskraft, welche Verwaltung und Gericht eine Entscheidung der erheblichen Tatfragen nach dem Regelbeweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit gestatten würde.
5.3 Liegt eine unvollständige und damit offensichtlich unrichtige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts durch das kantonale Gericht vor (Art. 97 Abs. 1 BGG), ist das Bundesgericht nicht daran gebunden. Die IV-Stelle, an welche die Sache zurückzuweisen ist, wird eine erneute psychiatrische Begutachtung anordnen und gestützt auf deren Ergebnisse über den Invalidenrentenanspruch der Versicherten neu verfügen.
6. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG), die auch keine Parteientschädigung vor Bundesgericht beanspruchen kann (Art. 68 BGG). Hingegen kann die vorinstanzliche Verlegung von Gerichts- und Parteikosten so belassen werden, da die Versicherte im Ergebnis eine Rückweisung erreicht hat, was praxisgemäss als volles Obsiegen gilt (vgl. BGE 110 V 54 E. 3a S. 57).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Dispositiv Ziff. 1 und 2 der Entscheides des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 25. Mai 2012 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 12. Januar 2010 werden aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle des Kantons St. Gallen zurückgewiesen, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Invalidenrentenanspruch neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Februar 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Der Gerichtsschreiber: Widmer