Faits:
A. Les époux A._ et B._, séparés, occupent deux appartements distincts dans un immeuble dont leur fille est propriétaire. Ils bénéficient de prestations complémentaires à l'AVS.
Par deux décisions du 25 juillet 2008, la Caisse de compensation du canton du Jura (la caisse) a alloué à B._ une prestation complémentaire mensuelle de 1'095 fr. du 1er mars au 31 décembre 2007 (première décision), ce montant étant inchangé à partir du 1er janvier 2008 (seconde décision). B._ s'est opposée à ces décisions en contestant le montant de 8'640 fr. retenu à titre de loyer (7'800 fr. de loyer et 840 fr. de charges) dans le cadre des dépenses reconnues. Elle a soutenu que le loyer mensuel s'élève à 1'300 fr., conformément au contrat de bail du 15 mars 2004 qu'elle a conclu avec sa fille. La caisse a rejeté l'opposition par décision du 3 octobre 2008, motifs pris que les quittances de loyer font état d'un montant mensuel de 650 fr. auxquels s'ajoutent 70 fr. pour les charges, soit 8'640 fr. par an.
La prestation complémentaire revenant à A._ a fait l'objet d'une autre décision de la caisse du 25 juillet 2008, dans laquelle le loyer à prendre en considération a été fixé à 7'140 fr. La caisse l'a porté à 10'800 fr. (à compter du 1er juin 2008), dans une décision sur opposition du 28 janvier 2009.
B. B._ a déféré la décision du 3 octobre 2008 à la Chambre des assurances du Tribunal cantonal du canton du Jura, en concluant à ce qu'un montant mensuel de 1'300 fr. fût pris en compte à titre de loyer dans le calcul de sa prestation complémentaire.
La juridiction cantonale l'a déboutée par jugement du 30 juin 2009.
C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant à ce que le montant du loyer déterminant pour le calcul de la prestation complémentaire soit fixé à 1'300 fr. par mois, sous déduction de 200 fr. pour l'usage du mobilier. Elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le montant qui doit être pris en compte à titre de loyer dans le calcul de la prestation complémentaire de la recourante à compter du 1er mars 2007.
2. La solution du litige ressortit aux art. 3b al. 1 let. b aLPC (en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007) et 10 al. 1 let. b LPC (en vigueur depuis le 1er janvier 2008). D'un point de vue matériel, ces dispositions sont les mêmes. Il y est prévu que les dépenses reconnues comprennent le loyer d'un appartement et les frais accessoires y relatifs. En cas de présentation d'un décompte final des frais accessoires, ni demande de restitution, ni paiement rétroactif ne peuvent être pris en considération. Selon l'art. 10 al. 1 let. b LPC, le montant annuel maximal reconnu est de 13'200 fr. pour les personnes seules (ch. 1).
Les premiers juges ont rappelé que seul le montant du loyer effectivement payé doit entrer en ligne de compte dans le calcul de la prestation complémentaires (arrêt 8C_259/2008 du 11 août 2008; arrêt P 58/05 du 9 octobre 2006 consid. 6). Si un contrat de bail a été conclu entre le propriétaire de l'immeuble et l'assuré, et si le loyer brut convenu est effectivement payé, ce loyer est déterminant pour le calcul de la prestation complémentaire annuelle, à moins qu'il n'apparaisse comme majoré de façon manifestement abusive (arrêt P 62/00 du 1er juin 2001 consid. 3a).
3. En l'espèce, le tribunal cantonal a constaté que la recourante s'était acquittée de la somme de 8'640 fr. en 2007 à titre de loyer, aucune modification n'apparaissant pour l'année 2008. Quant aux charges, les juges cantonaux ont admis que les allégués de la recourante relatifs à des montants supérieurs à 70 fr. par mois n'étaient pas prouvés. Dès lors que la quittance du 30 juin 2008 portait la mention «à valoir sur loyers», le tribunal n'a retenu que les sommes effectivement payées chaque mois, indépendamment du loyer prévu selon le contrat de bail, en précisant qu'un loyer fictif supérieur au montant effectivement versé ne devait pas être pris en compte. Singulièrement, les premiers juges ont considéré que le loyer versé ne constituait ni un montant préférentiel de la part de la bailleresse ni une prestation d'assistance au profit de sa mère, en précisant que des prestations allouées à titre précaire ou bénévole peuvent faire l'objet d'un réexamen périodique (consid. 4.2 du jugement attaqué). Le tribunal a aussi retenu que le critère de la valeur locative ne s'applique qu'aux propriétaires ou aux usufruitiers qui habitent leur propre appartement, ce qui n'est pas le cas de la recourante (consid. 4.3).
4. La recourante se plaint d'arbitraire dans le traitement de son cas. Elle estime qu'il est saugrenu de parler de loyer fictif, d'autant que la valeur locative de l'immeuble (qui comporte deux appartements) a été portée de 15'600 fr. à 21' 710 fr. le 16 novembre 2006 et répartie à raison de 50 % pour chaque locataire.
La recourante se prévaut aussi d'une inégalité de traitement commise à son détriment, car son époux a seul obtenu de la caisse intimée, le 28 janvier 2009, une augmentation du loyer à prendre en considération (de 7'140 fr. à 10'800 fr.). Pourtant, allègue-t-elle, tous deux avaient fait valoir les mêmes montants et motifs dans leurs oppositions respectives aux décisions du 25 juillet 2008.
5. Le point de savoir si l'on se trouve en présence d'un loyer fictif, ainsi que les premiers juges l'ont retenu (le contrat de bail du 15 mars 2004 porte sur un loyer de 15'600 fr. par an toutes charges comprises), relève d'une question de fait qui lie le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF). Les moyens que soulève la recourante ne permettent pas d'admettre que la juridiction cantonale aurait constaté l'existence d'un loyer fictif de manière manifestement erronée (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 LTF). Notamment, la recourante n'allègue pas que sa fille aurait tenté - même vainement - d'obtenir le paiement de loyers en souffrance, en exécution des termes du contrat de bail.
Le moyen tiré d'une inégalité de traitement avec A._, en regard des décisions des 25 juillet 2008 et 28 janvier 2009 notifiées à ce dernier, n'est pas mieux fondé. En effet, jusqu'en mai 2008, le loyer pris en compte dans le calcul de la prestation complémentaire de A._ était inférieur à celui de son épouse, soit un montant annuel de 7'140 fr. (loyer et charges) au lieu de 8'640 fr. Dans l'opposition que A._ a formée contre la décision du 25 juillet 2008 qui le concerne, ainsi que dans une écriture parvenue à l'intimée le 2 décembre 2008, le prénommé a indiqué que son bail portait sur un loyer mensuel avec charges de 900 fr. La recourante a toutefois tenu un discours différent, dans son opposition du 25 août 2008, alléguant que son loyer net s'élève à 1'300 fr. Confrontée à des situations distinctes, l'administration pouvait les traiter différemment sans s'exposer au grief de violation du principe de l'égalité de traitement.
En tout état de cause, les conclusions de la recourante sont infondées dans la mesure où elle demande la prise en compte d'un loyer mensuel de 1'300 fr. dans le calcul de sa prestation complémentaire. Non seulement on se trouve en présence d'un loyer dont une part est fictive, mais les sommes revendiquées excèdent le plafond annuel de 13'200 fr. fixé par la loi (art. 10 al. 1 let. b ch. 1 LPC), s'agissant d'une personne séparée (art. 1er al. 4 let. a OPC-AVS/AI).
6. La recourante, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF). Comme elle remplit les conditions de l'assistance judiciaire, elle sera provisoirement dispensée du paiement des frais (art. 64 al. 1 LTF), l'art. 64 al. 4 LTF étant réservé.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée à la recourante.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du tribunal.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 juillet 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud