Faits:
A. Ressortissant camerounais né en 1982, A._ a déposé, le 3 août 2002, une demande d'asile qui a été rejetée le 3 décembre 2002, un délai échéant le 28 janvier 2003 étant imparti à l'intéressé pour quitter la Suisse. Le 6 février 2003, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a adressé une demande de soutien aux autorités fédérales. Le 4 décembre 2006, un laissez-passer a été établi à l'intention de A._. Celui-ci ne s'est pas présenté à l'aéroport pour prendre le vol prévu le 28 janvier 2007, puis il a disparu.
Le 20 mai 2008, A._ a déposé une demande d'autorisation de séjour, en invoquant un projet de mariage avec une Suissesse, B._. Le 9 juin 2008, le Service cantonal a rejeté ladite demande parce que l'intéressé faisait l'objet d'une décision de renvoi et que, n'étant pas encore marié, il n'avait pas droit à une autorisation de séjour. Le Service cantonal a alors rappelé à l'intéressé qu'il était tenu de quitter le territoire suisse et attiré son attention sur le fait que des mesures de contrainte pourraient être requises s'il refusait de collaborer aux démarches de renvoi. Le 26 juin 2008, A._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: la Cour de droit administratif et public).
B. Le 30 juin 2008, A._ a été interpellé sur réquisition du Service cantonal, qui a déposé une demande de mise en détention administrative auprès du Juge de paix du district de Lausanne (ci-après: le Juge de paix). Celui-ci a ordonné, le même jour, la détention de A._ dès le 30 juin 2008.
Par arrêt du 22 juillet 2008, notifié le 5 août 2008, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois (ci-après: la Chambre des recours) a rejeté le recours de A._ contre l'ordonnance du Juge de paix du 30 juin qu'elle a confirmée. Elle a considéré qu'il existait des indices suffisants qui permettaient d'admettre que l'intéressé entendait se soustraire à l'exécution de son renvoi.
C. Le 12 août 2008, A._ et B._ ont déposé au Tribunal fédéral un recours en matière de droit public contre l'arrêt de la Chambre des recours. Ils concluent, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt attaqué et à la libération immédiate de A._. Ils requièrent la production de différents dossiers.
Le Tribunal fédéral n'a pas ordonné d'échange d'écritures. La Chambre des recours a produit son dossier dans le délai imparti à cette fin.
Par ordonnance du 13 août 2008, le Président de la IIe Cour de droit public a rejeté la requête de mesures provisionnelles contenue dans le recours.
1 Considérant en droit:
1. Le présent recours est irrecevable dans la mesure où il émane de B._, car celle-ci n'a pas qualité pour agir au regard de l'art. 89 al. 1 lettre a de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110). En effet, la prénommée n'a pas pris part à la procédure devant l'autorité précédente et elle ne prétend pas avoir été privée de la possibilité de le faire.
2. Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours peut critiquer les constatations de fait à la double condition que les faits aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause, ce que le recourant doit rendre vraisemblable par une argumentation répondant aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254/255; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287). La notion de "manifestement inexacte" correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252, 384 consid. 4.2.2 p. 391).
Le recourant reproche à la Chambre des recours d'être tombé dans l'arbitraire en omettant de mentionner, dans l'état de fait de l'arrêt attaqué, que lui-même et B._ avaient déposé, le 25 juin 2008, une requête formelle d'ouverture de la procédure de mariage. L'argumentation qu'il développe à ce sujet est essentiellement appel- latoire, de sorte que l'on peut se demander si elle est recevable. Au demeurant, les juges cantonaux ont mentionné son projet de mariage et relevé qu'aucune date n'avait encore été arrêtée, de sorte qu'on ne voit pas que cet élément ait été occulté de manière insoutenable. Quant à l'incidence de ce projet sur sa détention, elle relève du droit et non des faits.
3. Le recourant requiert la production des dossiers le concernant par la Chambre des recours, le Service de la population ainsi que la Cour de droit administratif et public; il demande encore que cette dernière produise son dossier dans la cause NT (réf. PE2008.0255). La Chambre des recours a produit son dossier. Pour le surplus, le recourant demande en définitive de nouveaux moyens de preuve; dès lors que ceux-ci ne résultent pas de l'arrêt attaqué, la requête est irrecevable (art. 99 al. 1 LTF).
4. Le litige porte sur la mise en détention de A._ que la Chambre des recours a confirmée sur la base de l'art. 76 al. 1 lettre b ch. 3 et 4 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20). Dans la présente procédure, il ne s'agit donc pas d'examiner le bien-fondé de la décision de renvoi du recourant (ATF 130 II 56 consid. 2 p. 58; 128 II 193 consid. 2.2.2 p. 197/198). Il ne sera donc pas entré en matière sur les critiques concernant ce point, notamment lorsque le recourant soutient que le renvoi porterait atteinte à sa vie familiale garantie par l'art. 8 par. 1 CEDH.
5. 5.1 Selon l'art. 76 al. 1 lettre b LEtr, lorsqu'une décision de renvoi ou d'expulsion de première instance a été notifiée, l'autorité compétente peut, afin d'en assurer l'exécution, mettre la personne concernée en détention si des éléments concrets font craindre qu'elle ne se soustraie au renvoi ou à l'expulsion, en particulier parce qu'elle ne se soumet pas à son obligation de collaborer (ch. 3) (sur les indices de danger de fuite, voir notamment ATF 130 II 56 consid. 3.1 p. 58/59 et la jurisprudence citée) ou si son comportement permet de conclure qu'elle se refuse à obtempérer aux instructions des autorités (ch. 4). En principe, la durée de la détention visée dans ces dispositions ne peut excéder trois mois; toutefois, elle peut, avec l'accord de l'autorité judiciaire cantonale, être prolongée de quinze mois au plus, si des obstacles particuliers s'opposent à l'exécution du renvoi ou de l'expulsion (art. 76 al. 3 LEtr). Les démarches nécessaires à l'exécution du renvoi ou de l'expulsion doivent être entreprises sans tarder (art. 76 al. 4 LEtr).
5.2 Le 3 décembre 2002, l'Office fédéral des réfugiés, devenu depuis lors l'Office fédéral des migrations, a non seulement rejeté la demande d'asile de A._, mais encore prononcé son renvoi en lui impartissant un délai échéant le 28 janvier 2003 pour quitter la Suisse. Ainsi, le recourant sait qu'il fait l'objet d'une décision de renvoi depuis plus de cinq ans et demi et il n'est pas parti volontairement. Il a omis de donner suite à une convocation du Service cantonal, le 10 janvier 2007. Le 19 janvier 2007, il a refusé de signer l'accusé de réception du plan de vol organisé pour le 28 janvier 2007, date à laquelle il ne s'est pas présenté à l'aéroport. Puis, il a disparu jusqu'au 20 mai 2008, date à laquelle il a demandé une autorisation de séjour en invoquant un projet de mariage avec une Suissesse. Il existe ainsi des indices sérieux et concrets permettant de conclure que l'intéressé a l'intention de se soustraire à son renvoi, de sorte que les conditions de l'art. 76 al. 1 lettre b ch. 3 LEtr sont remplies. En outre, le comportement du recourant, tel que décrit ci-dessus, tombe sous le coup de l'art. 76 al. 1 lettre b ch. 4 LEtr (cf. ATF 130 II 377 consid. 3.2.2 p. 382/383).
5.3 L'arrêt attaqué ne mentionne pas la durée de la détention prévue. A lui seul, cet élément ne suffit pas pour déclarer celle-ci inadmissible, mais il convient de rappeler que la détention ici en cause peut durer au maximum trois mois, soit jusqu'au 30 septembre 2008; elle pourra être prolongée si des obstacles particuliers s'opposent au renvoi du recourant (art. 76 al. 3 LEtr).
5.4 Le Service cantonal a adressé aux autorités fédérales une demande de soutien à l'exécution du renvoi le 6 février 2003, soit moins de dix jours après l'échéance du délai fixé à A._ pour quitter la Suisse. Le 9 juin 2008, en rejetant sa demande d'autorisation de séjour, le Service cantonal a rappelé à A._ son obligation de quitter le territoire suisse. Enfin, c'est à la requête de cette autorité que l'intéressé a été interpellé le 30 juin 2008. Ainsi, rien ne permet de penser que le Service cantonal, qui a déjà fait diligence ne respectera pas son obligation de célérité (cf. art. 76 al. 4 LEtr).
5.5 La jurisprudence admet qu'à certaines conditions un futur mariage peut rendre inadmissible la détention en vue du renvoi. Il faut pour cela que l'intéressé puisse compter sur la délivrance d'une autorisation de séjour à bref délai (arrêt 2A.38/2005 du 4 février 2005, consid. 2.3). Tel n'est pas le cas en l'espèce, dès lors qu'il ressort de l'arrêt attaqué que la date du mariage n'est pas fixée et que l'autorisation de séjour requise par le recourant a été refusée et fait l'objet d'une procédure qui est toujours pendante. Ces éléments ne suffisent donc pas à faire apparaître la mise en détention comme disproportionnée (art. 80 al. 4 LEtr.), ce d'autant que rien n'indique qu'il ne serait pas concevable que le recourant attende dans son pays les préparatifs du mariage et l'issue de la procédure d'autorisation de séjour (cf. art. 17 LEtr.; arrêt 2C_362/2008 du 16 mai 2008, consid. 2.2).
5.6 Enfin, l'exécution du renvoi ne s'avère pas d'emblée impossible pour des raisons juridiques ou matérielles (cf. art. 80 al. 6 lettre a LEtr a contrario) et elle devrait avoir lieu dans un délai raisonnable.
6. Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable, selon la procédure simplifiée de l'art. 109 al. 2 lettre a LTF. Succombant, les recourants n'ont pas droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF) et doivent supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge des recourants, solidairement entre eux.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire des recourants, au Juge de paix du district de Lausanne, au Service de la population, à la Chambre des recours et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 1er septembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Merkli Dupraz