Faits:
A. X._ et Dame X._ se sont mariés le 19 mars 1999 à Bex. Deux enfants sont issus de cette union: A._, née le *** 1999, et B._, né le *** 2001.
La situation des parties a fait l'objet de multiples ordonnances de mesures provisionnelles et d'extrême urgence depuis le 10 novembre 2008, date de l'ouverture de la procédure en divorce intentée par le mari.
Par ordonnance de mesures provisionnelles du 29 octobre 2009, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a, notamment, confié la garde des enfants au père, fixé le droit de visite de la mère et arrêté la contribution d'entretien due par le mari en faveur de l'épouse à 4'300 fr. par mois.
B. Statuant sur l'appel de chacune des parties le 3 mars 2010, le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois a, entre autres points, confié la garde des enfants à la mère, réservé le droit de visite du père et fixé la contribution à l'entretien de la famille mensuellement due par celui-ci à 5'500 fr. par mois dès le 1er juillet 2009.
La Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Chambre des recours) a, le 1er juin 2010, annulé l'arrêt du 3 mars 2010 et renvoyé la cause au Tribunal d'arrondissement pour nouvelles instruction et décision.
Statuant à nouveau par arrêt sur appel du 23 novembre 2010, le Tribunal d'arrondissement a, notamment, confié la garde des enfants au père, fixé le droit de visite de la mère, imparti à celle-ci un délai au 1er février 2011 pour quitter l'appartement conjugal, et condamné le mari à verser pour l'entretien des siens une contribution d'un montant de 4'850 fr. par mois, allocations familiales en sus, du 1er juillet 2009 jusqu'au départ de l'épouse du domicile familial, puis, dès ce moment-là, une pension mensuelle de 1'900 fr. en faveur de celle-ci.
C. Contre cet arrêt, l'épouse a interjeté, le 1er décembre 2010, un recours en nullité auprès de la Chambre des recours et, par acte du 23 décembre 2010, un recours en matière civile, assorti d'une requête d'effet suspensif, au Tribunal fédéral. Dans ce dernier mémoire, elle conclut à l'admission du recours et à l'annulation de l'arrêt attaqué, sous suite de frais et dépens. Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire. Des observations n'ont pas été requises sur le fond.
D. Par ordonnance du 7 janvier 2011, la Présidente de la cour de céans a admis la requête d'effet suspensif et suspendu l'instruction du recours en matière civile jusqu'à droit connu sur le recours en nullité cantonal.
La Chambre des recours a, par arrêt du 5 janvier 2011, rejeté le recours déposé devant elle. Le Tribunal fédéral a déclaré irrecevable, par arrêt de ce jour, le recours en matière civile interjeté par la recourante contre l'arrêt du 5 janvier 2011 (5A_132/2011).
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 III 426 consid. 1 p. 428 et les arrêts cités).
1.1 Le recours est dirigé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF; ATF 134 III 426 consid. 2.2 p. 431/432 et la jurisprudence citée) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). Comme les questions soumises au Tribunal fédéral - l'attribution du droit de garde et de la jouissance du domicile conjugal - ne sont pas de nature pécuniaire, le recours est ouvert indépendamment de la valeur litigieuse (cf. arrêt 5A_63/2011 du 1er juin 2011, consid. 1). Il a par ailleurs été interjeté par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF). Le recours est donc recevable au regard de ces dispositions.
1.2 La décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5 p. 396 et 585 consid. 3.3 p. 587), en sorte que le recourant ne peut se plaindre que de la violation de ses droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine un tel grief que s'il a été dûment invoqué et motivé (art. 106 al. 2 LTF), à savoir exposé de manière claire et détaillée (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88 et les arrêts cités). Lorsque le recourant se plaint d'arbitraire (art. 9 Cst.), il ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours dispose d'une libre cognition; il ne saurait se contenter d'opposer son opinion à celle de la juridiction précédente, mais doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision se fonde sur une application du droit manifestement insoutenable (ATF 134 II 349 consid. 3 p. 351/352 et les arrêts cités). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 III 589 consid. 2 p. 591/592).
1.3 Le recours en matière civile des art. 72 ss LTF étant une voie de réforme (art. 107 al. 2 LTF), le recourant ne peut se borner à demander l'annulation de la décision et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale, mais doit également, sous peine d'irrecevabilité, prendre des conclusions sur le fond du litige; il n'est fait exception à ce principe que lorsque le Tribunal fédéral, s'il admettait le recours, ne serait pas en mesure de statuer lui-même sur le fond et ne pourrait que renvoyer la cause à l'autorité cantonale (ATF 134 III 235 consid. 2 p. 236, 379 consid. 1.3 p. 383; 133 III 489 consid. 3.1 p. 489 s.; 132 III 186 consid. 1.2 p. 188; 95 II 433 consid. 1 p. 436). En l'occurrence, la recourante n'a pas pris de conclusions sur le fond, mais a conclu à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à l'autorité précédente afin que celle-ci instruise et statue à nouveau, sous suite de frais et dépens. Point n'est toutefois besoin de trancher l'admissibilité de telles conclusions, le recours devant de toute façon être rejeté.
2. Selon l'art. 75 al. 1 LTF, le recours n'est recevable qu'à l'encontre des décisions prises en dernière instance cantonale, ce qui signifie que les griefs soulevés devant le Tribunal fédéral ne doivent plus pouvoir faire l'objet d'un recours ordinaire ou extraordinaire de droit cantonal (ATF 134 III 524 consid. 1.3 p. 527). Dans le canton de Vaud, l'arrêt sur appel en matière de mesures provisionnelles pouvait faire l'objet d'un recours en nullité pour tous les motifs prévus par l'art. 444 al. 1 ch. 3 aCPC/VD, soit pour violation des règles essentielles de la procédure, y compris pour arbitraire dans l'appréciation des preuves (ATF 126 I 257 consid. 1b p 259). Il en résulte, sous l'angle de l'art. 75 al. 1 LTF, que l'arrêt sur appel rendu par le Tribunal d'arrondissement pouvait directement faire l'objet d'un recours en matière civile pour application arbitraire du droit de fond, tandis que le grief d'appréciation arbitraire des preuves devait être soulevé par la voie du recours en nullité au Tribunal cantonal, dont l'arrêt pouvait ensuite faire l'objet d'un recours en matière civile au Tribunal fédéral.
En tant qu'il s'en prend à l'appréciation des preuves, le présent recours en matière civile est donc irrecevable: les griefs correspondant devaient être invoqués - et l'ont d'ailleurs été, sans succès - dans le recours en matière civile (5A_132/2011) dirigé contre l'arrêt de la Chambre des recours. Il en va de même de la «violation de la règle essentielle de procédure vaudoise résultant de» l'art. 3 aCPC/VD (interdiction de statuer ultra ou extra petita), soulevée par la recourante à propos de l'attribution de la jouissance du domicile conjugal.
3. Le Tribunal d'arrondissement a considéré que la Chambre des recours, statuant sur le recours en nullité du mari, avait notamment jugé arbitraire de retenir que la mère était plus disponible que le père pour s'occuper des enfants. Se plaignant d'application insoutenable de la loi, la recourante prétend le contraire. Sous couvert de l'intitulé de ce grief, elle s'en prend en réalité à l'appréciation des preuves. Le moyen est par conséquent irrecevable dans le présent recours (cf. supra, consid. 2).
4. La recourante soutient que le critère de la stabilité du cadre psychoaffectif des enfants parle clairement en faveur du maintien de la garde à elle-même.
Dans la mesure où elle affirme que, dès la naissance des enfants, elle s'en est occupée sans discontinuer et de manière prépondérante par rapport à l'intimé, ses allégations ne trouvent aucun appui dans la décision attaquée, de sorte qu'elles ne peuvent être prises en considération. Par ailleurs, si ses qualités de mère ne sont pas contestées, les compétences éducatives de l'intimé ont été jugées supérieures aux siennes. A noter encore que les enfants continueront d'habiter dans l'ancien appartement conjugal, dont la jouissance a été attribuée à leur père. De plus, selon la recourante elle-même, ils voient régulièrement leur père, qui travaille à proximité immédiate: le transfert du droit de garde à celui-ci ne saurait dès lors constituer une atteinte à leur stabilité psychoaffective. Autant qu'il est recevable (art. 106 al. 2 LTF), le grief est par conséquent infondé.
5. Selon la recourante, les enfants ont certes été entendus par le SPJ, mais n'ont alors pas manifesté le souhait de vivre avec leur père. Elle se limite ensuite à prétendre que, l'art. 144 al. 2 aCC s'appliquant aussi aux procédures de mesures provisionnelles, le Tribunal d'arrondissement aurait «sans doute» dû entendre lui-même les enfants, en particulier sur l'évolution de leur situation pendant l'année qui a séparé l'évaluation du SPJ, datant de juillet 2009, et l'audience du 10 août 2010.
Quant bien même l'audition des enfants a eu lieu plus d'un an avant l'audience du 10 août 2010 et la reddition de l'arrêt du Tribunal d'arrondissement du 23 novembre suivant, le rapport du SPJ ne serait plus d'actualité que si la recourante faisait valoir qu'entretemps, les circonstances de fait se sont modifiées de façon décisive (cf. arrêt 5A_50/2010 du 6 juillet 2010, consid. 2.3.2); or, tel n'est pas le cas, l'arrêt attaqué mentionnant même une «absence d'éléments nouveaux» sur ce point. Par ailleurs, la recourante ne se plaint pas du fait qu'à l'époque, les enfants ont été entendus par le SPJ et non par le Tribunal d'arrondissement, ce qui, de surcroît, ne saurait être qualifié d'arbitraire: en effet, si l'audition de l'enfant est, en principe, effectuée par la juridiction compétente elle-même, elle peut l'être par un spécialiste de l'enfance, comme le collaborateur d'un service de protection de la jeunesse (arrêt 5A_50/2010 du 6 juillet 2010, consid. 2.1 et 2.3.1 et la jurisprudence citée). Autant qu'il est suffisamment motivé (art. 106 al. 2 LTF), le grief est donc infondé.
6. Dans la mesure où la recourante prétend que le rapport d'évaluation du SPJ ne permet pas de conclure que l'intimé présenterait des capacités éducatives supérieures aux siennes, ses allégations, qui ont trait à l'appréciation des preuves, sont irrecevables dans le présent recours. Il en va de même lorsqu'elle affirme que le SPJ a recommandé d'attribuer la garde des enfants à leur père en raison des incertitudes liées à sa capacité à elle de se ressaisir, mais que la dépression réactionnelle à sa situation conjugale dont elle a souffert est désormais surmontée (art. 75 al. 1 LTF; cf. supra, consid. 2).
7. Selon la recourante, on ne saurait se fonder exclusivement, pour l'attribution du droit de garde, sur le rapport d'évaluation du SPJ, actuellement largement dépassé. Le Tribunal d'arrondissement aurait dès lors dû ordonner d'office une expertise pédopsychiatrique, nécessairement plus approfondie qu'un simple rapport d'évaluation établi par une assistante sociale du SPJ.
Par cette argumentation, la recourante ne démontre pas que l'autorité cantonale aurait appliqué le droit fédéral de manière insoutenable sur ce point. L'affirmation selon laquelle le rapport du SPJ serait dépassé concernant la description de son état de santé ne repose en effet sur aucune constatation de l'arrêt attaqué. Elle n'avance en outre aucun argument qui permettrait de se convaincre de la nécessité, sinon de l'utilité, d'une expertise pédopsychiatrique, en particulier à ce stade de la procédure. Le grief est dès lors infondé.
8. En conclusion, le recours apparaît mal fondé et ne peut qu'être rejeté, dans la faible mesure de sa recevabilité, aux frais de son auteur (art. 66 al. 1 LTF). Dans la mesure où l'effet suspensif a été accordé au recours, il convient de fixer un nouveau délai à la recourante pour quitter le domicile conjugal.
Vu cette issue, prévisible, de la procédure, la requête d'assistance judiciaire de celle-ci ne saurait être agréée (art. 64 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens, dès lors que l'intimé n'a pas été invité à répondre sur le fond et qu'il a conclu au rejet de la demande d'effet suspensif alors que celle-ci a été admise.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Le délai imparti à la recourante pour quitter l'appartement conjugal, en emportant ses effets personnels et de quoi meubler son nouveau logement, est fixé au 1er septembre 2011.
3. La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 13 juillet 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Mairot