Sachverhalt:
A. A._ war ab dem 27. Juni 2007 bei der B._ Transporte AG als Chauffeur angestellt und über seine Arbeitgeberin bei der X._ Versicherungen AG kollektiv krankentaggeldversichert. Am 13. November 2007 meldete die B._ Transporte AG der X._ Versicherungen AG eine ab dem 4. Oktober 2007 bestehende Arbeitsunfähigkeit von A._. Die X._ Versicherungen AG lehnte Leistungen ab dem 22. Oktober 2007 mit Schreiben vom 23. November 2007 sowie 13. Februar 2009 ab, da der Arbeitsvertrag des Versicherten bis zum 21. Oktober 2007 befristet gewesen sei.
B. Am 12. März 2010 erhob A._ vor dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage gegen die X._ Versicherungen AG und beantragte, diese sei zu verurteilen, ihm Leistungen aus der Taggeldversicherung im Betrag von Fr. 21'927.10 nebst Zins zu bezahlen. Es sei davon Vormerk zu nehmen, dass es sich vorliegend lediglich um eine Teilklage handle; die Geltendmachung weiterer Taggelder bleibe ausdrücklich vorbehalten. Mit Urteil vom 3. Juli 2012 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab.
C. A._ (Beschwerdeführer) verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben, und die Klage gegen die X._ Versicherungen AG (Beschwerdegegnerin) sei gutzuheissen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
D. Mit Verfügung vom 29. November 2012 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abgewiesen. In der Folge überwies der Beschwerdeführer den verlangten Kostenvorschuss fristgerecht.
Erwägungen:
1. Zu beurteilen ist die Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss Art. 12 Abs. 2 und 3 des Bundesgesetzes vom 18. März 1994 über die Krankenversicherung (KVG; SR 832.10) dem Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 72-77 BGG in Betracht kommt (BGE 138 III 2 E. 1.1; 133 III 439 E. 2.1 mit Hinweis).
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG). Da das Sozialversicherungsgericht als einzige kantonale Instanz im Sinne von Art. 7 ZPO sowie Art. 75 Abs. 2 lit. a BGG entschieden hat (vgl. § 2 Abs. 2 lit. b des Gesetzes des Kantons Zürich vom 7. März 1993 über das Sozialversicherungsgericht [LS 212.81]), ist die Beschwerde in vermögensrechtlichen Angelegenheiten wie der vorliegenden gemäss Art. 74 Abs. 2 lit. b BGG unabhängig von der Erreichung der Streitwertgrenze nach Art. 74 Abs. 1 BGG zulässig (BGE 138 III 2 E. 1.2.2). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
2. 2.1 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 135 III 397 E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Vorbringen sind nur zulässig, soweit erst der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
Der Beschwerdeführer, der die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (vgl. BGE 136 II 508 E. 1.2; 135 I 19 E. 2.2.2; 133 II 249 E. 1.4.3; 133 III 350 E. 1.3, 393 E. 7.1, 462 E. 2.4). Soweit der Beschwerdeführer den Sachverhalt ergänzen will, hat er zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass er entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: BGE 137 III 539; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 134 III 570). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (BGE 133 II 249 E. 1.4.3).
2.2 Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 138 IV 13 E. 5.1; 134 II 124 E. 4.1; 132 III 209 E. 2.1). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung des Beschwerdeführers übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (BGE 135 II 356 E. 4.2.1; 129 I 8 E. 2.1 S. 9; 116 Ia 85 E. 2b). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche grundlos ausser Acht lässt (vgl. BGE 129 I 8 E. 2.1; 120 Ia 31 E. 4b). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE 134 II 244 E. 2.2; 130 I 258 E. 1.3). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. BGE 116 Ia 85 E. 2b).
3. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer sei unbestrittenermassen am 4. Oktober 2007 erkrankt. Sodann sei aufgrund der ärztlich attestierten Arbeitsunfähigkeiten erstellt, dass er bis am 26. Oktober 2007 zu 100 % arbeitsunfähig gewesen sei, anschliessend aber wieder seiner Tätigkeit habe nachgehen können. Erst nach fast vier Monaten sei vom 23. bis zum 27. Februar 2008 erneut Arbeitsunfähigkeit eingetreten. Hierauf habe während einer Periode von sechs Monaten vollständige Arbeitsfähigkeit vorgelegen, bevor der Beschwerdeführer ab dem 1. September 2008 dauernd zu 30 % arbeitsunfähig geworden sei mit Phasen vollständiger Arbeitsunfähigkeit während der Dauer verschiedener Hospitalisationen.
Weiter führte die Vorinstanz aus, das Arbeitsverhältnis des Beschwerdeführers mit der B._ Transporte AG sei gemäss dem schriftlichem Arbeitsvertrag vom 10. Juli 2007 ab dem 27. Juni 2007 bis zum 31. August 2007 befristet gewesen. Strittig sei, ob der Beschwerdeführer über diesen Zeitpunkt hinaus in einem befristeten oder unbefristeten Arbeitsverhältnis gestanden habe. Aufgrund einer Würdigung der Parteivorbringen und der Akten kam die Vorinstanz zum Schluss, das Arbeitsverhältnis sei nach Ablauf der Befristung per 31. August 2007 von den Vertragsparteien stillschweigend fortgesetzt worden, weshalb sich der Beschwerdeführer zumindest im Zeitpunkt seiner Erkrankung am 4. Oktober 2007 in ungekündigter und - gemäss Art. 334 Abs. 2 OR - unbefristeter Anstellung befunden habe. Eine andere Frage sei demgegenüber, bis wann das Arbeitsverhältnis in der Folge angedauert habe, wovon die Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin letztlich abhänge. Um dies zu beurteilen, untersuchte die Vorinstanz das Parteiverhalten. Sie erwog, der Beschwerdeführer habe anlässlich seiner Genesung (nach dem 26. Oktober 2007 respektive dem 27. Februar 2008) der Arbeitgeberin weder seine Arbeitskraft offeriert noch sich entsprechend gemeldet, weshalb von einer Auflösung des Arbeitsverhältnisses spätestens im Zeitraum vom 28. Februar 2008 bis 31. August 2008 auszugehen sei. Somit sei der Beschwerdeführer bei Eintritt der erneuten Arbeitsunfähigkeit ab dem 1. September 2008 nicht mehr bei der Beschwerdegegnerin versichert gewesen, weshalb diese - da während der Dauer der Betriebszugehörigkeit insgesamt nicht Arbeitsunfähigkeit von über 30 Tagen (entsprechend der vereinbarten Wartefrist) vorgelegen habe - keine Leistungspflicht treffe.
4. Der Beschwerdeführer rügt eine offensichtlich unrichtige respektive willkürliche Sachverhaltsfeststellung. Er kritisiert die - auf sein äusseres Verhalten abgestützte - vorinstanzliche Feststellung, er sei "nach den beiden initialen Phasen der Arbeitsunfähigkeit" nicht mehr gewillt gewesen, für die B._ Transporte AG zu arbeiten. Er beanstandet, die Vorinstanz habe den Umstand falsch gewürdigt, dass er (nach dem 26. Oktober 2007 respektive dem 27. Februar 2008) weder auf der Weiterführung des Arbeitsverhältnisses bestanden noch seine Arbeitskraft offeriert habe. Die Vorinstanz habe nämlich ausgeblendet, dass er (der Beschwerdeführer) im damaligen Zeitpunkt nach Treu und Glauben habe davon ausgehen dürfen und müssen, er sei zu 100 % arbeitsunfähig, da ihm seine Ärzte dies so kommuniziert und entsprechende Arbeitsunfähigkeitszeugnisse ausgestellt hätten. Vor diesem Hintergrund - so der Beschwerdeführer - könne nicht gesagt werden, dass er nicht gewillt gewesen sei, zu arbeiten, selbst wenn in retrospektiver Betrachtungsweise aufgrund aufwendiger Gutachten resultiere, dass er während gewisser Phasen doch arbeitsfähig gewesen sein solle.
Mit diesen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung nicht als willkürlich auszuweisen. Sie verfehlen bereits die Begründungsanforderungen an eine Willkürrüge (Erwägung 2.2): Die Vorinstanz hat einen tatsächlichen Willen des Beschwerdeführers festgestellt, nicht mehr für die B._ Transporte AG tätig zu sein, wobei sie diese Feststellung beweiswürdigend auf sein Verhalten anlässlich seiner Genesung stützte. Dem hält der Beschwerdeführer lediglich in appellatorischer Weise seine eigene Auffassung entgegen, es treffe nicht zu, dass er nicht mehr habe arbeiten wollen, und die Vorinstanz habe die Beweise falsch gewürdigt. Inwiefern die Beweiswürdigung geradezu unhaltbar sein soll, zeigt er dagegen nicht auf. Die Rüge erweist sich insofern als unzureichend begründet. Des Weiteren ergänzt der Beschwerdeführer in unzulässiger Weise den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt, indem er ausführt, seine Ärzte hätten ihn für den massgebenden Zeitraum zu 100 % arbeitsunfähig erklärt und ihm entsprechende Arbeitsunfähigkeitszeugnisse ausgestellt, ohne darzulegen, dass er diese Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat. Es ist demnach ohne Weiteres vom Sachverhalt auszugehen, den die Vorinstanz festgestellt hat.
Im Übrigen erschiene die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung jedenfalls auch dann nicht als geradezu willkürlich, wenn man zu Gunsten des Beschwerdeführers unterstellte, er sei in den massgeblichen Zeitperioden (also nach den vorinstanzlich festgestellten Perioden der Arbeitsunfähigkeit) weiterhin zu 100 % krankgeschrieben gewesen und habe daher keinen Anlass gehabt, seine Arbeit zu offerieren: Es ist nämlich nicht festgestellt und der Beschwerdeführer behauptet auch nicht, er habe die Arbeitgeberin stattdessen über seine weitere Abwesenheit informiert und ihr namentlich seine Arztzeugnisse eingereicht, wie es von einem Arbeitnehmer zu erwarten wäre, der sich in einem fortdauernden Arbeitsverhältnis wähnt. Die vorinstanzliche Feststellung, der Beschwerdeführer sei nach seiner Genesung nicht mehr gewillt gewesen, für die B._ Transporte AG zu arbeiten, wäre somit auch unter Zugrundelegung des vom Beschwerdeführer behaupteten Sachverhalts nicht geradezu unhaltbar.
Der Beschwerdeführer vermag somit keine willkürliche, rechtserhebliche Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz aufzuzeigen.
5. Der Beschwerdeführer beanstandet weiter, die Vorinstanz habe Art. 337d OR verletzt, da sein Verhalten nur dann als fristloses Verlassen der Arbeitsstelle im Sinne dieser Bestimmung qualifiziert werden könnte, wenn er sich "eines unzutreffenden Arztzeugnisses bzw. einer unzutreffenden Arbeitsunfähigkeitsbestätigung" bewusst gewesen wäre. Soweit dies nicht nachgewiesen sei, stelle sein Fernbleiben von der Arbeit kein fristloses Verlassen der Arbeitsstelle dar. Überdies habe ihm die B._ Transporte AG "in einem früheren Zeitpunkt" bereits "unmissverständlich mitgeteilt", dass ihrer Ansicht nach gar kein Arbeitsverhältnis mehr vorliege, weshalb sich ein Bestehen auf die Weiterführung des Arbeitsverhältnisses bzw. das Offerieren der Arbeit als sinnlos erwiesen hätte. Damit gehe auch die vorinstanzliche Berufung auf BGE 121 V 277, in dem der Arbeitnehmer die Arbeit nach einer Ferienperiode "ohne Grund" nicht wieder aufgenommen habe, fehl.
Diese Argumentation verfängt nicht: Der Beschwerdeführer stützt sie nämlich auf Sachverhaltselemente, die im angefochtenen Urteil so nicht festgestellt sind, ohne dazu zulänglich begründete Sachverhaltsrügen zu erheben (vgl. Erwägungen 2. und 4.). Sie entbehrt damit der Grundlage. Die Behauptung, dass die Arbeitgeberin ihm mitgeteilt habe, es bestehe ihrer Ansicht nach kein Arbeitsverhältnis mehr, ist neu und daher ohnehin unzulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG). Im Übrigen braucht vorliegend gar nicht beurteilt zu werden, ob die Voraussetzungen von Art. 337d OR erfüllt sind: Gemäss den bindenden vorinstanzlichen Feststellungen war der Beschwerdeführer nicht gewillt, nach seiner Genesung wieder für die B._ Transporte AG zu arbeiten, und auch die Arbeitgeberin ging davon aus, dass das Arbeitsverhältnis beendet war. Die Vorinstanz schloss mit anderen Worten auf eine tatsächliche Einigung der Parteien über die Beendigung des Arbeitsverhältnisses, d.h. stützte den Entscheid - zumindest auch - auf den sachverhaltsmässig festgestellten übereinstimmenden Willen der Parteien, das Arbeitsverhältnis aufzulösen. Spätestens damit wurde dieses beendet, was die Vorinstanz zutreffend erkannte. Ob dieser tatsächlichen Einigung ein ungerechtfertigtes Verlassen der Arbeitsstelle durch den Arbeitnehmer vorausgegangen war, ist bei dieser Sachlage nicht von Bedeutung, zumal vorliegend über den Anspruch des Beschwerdeführers auf Krankentaggeld und nicht über den Entschädigungsanspruch der Arbeitgeberin gemäss Art. 337d OR zu entscheiden ist. Der angefochtene Entscheid ist demnach auch in dieser Hinsicht nicht zu beanstanden.
6. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Beschwerdeantwort eingeholt wurde, ist keine Parteientschädigung zu sprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Februar 2013
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Kölz