Faits :
A.
A._, ressortissant camerounais né en 1984, est entré pour la première fois en Suisse en 2005 et a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour pour études. Le 7 mai 2007, l'Office fédéral des migrations, devenu le Secrétariat d'Etat aux migrations depuis le 1er janvier 2015 (ci-après: le Secrétariat d'Etat), a refusé d'approuver le renouvellement de l'autorisation de séjour de l'intéressé, sollicité à la suite d'un changement d'orientation, et a prononcé son renvoi de Suisse. Le recours interjeté contre ce prononcé a été déclaré irrecevable par décision du Tribunal administratif fédéral du 18 août 2008.
Le 9 juin 2009, A._ a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour pour regroupement familial à la suite de son mariage avec B._, une ressortissante suisse. Un enfant est né de cette union le *** 2009. Le 6 avril 2010, B._ a déposé plainte contre son époux pour lésions corporelles simples, voies de fait, menaces et injures commises dans le cadre de violences conjugales. Le 23 avril 2010, l'épouse a déposé une requête en mesures protectrices de l'union conjugale. Lors de l'audience du 18 juin 2010, les époux se sont entendus sur la suspension de leur vie commune, le versement par le père d'une contribution d'entretien de 350 fr. par mois dès le 1er juin 2010 et l'attribution de la garde à la mère avec un droit de visite en faveur du père.
B.
Par mandat de répression du 9 janvier 2009, le Bureau neuchâtelois des créances judiciaires a infligé à A._ une amende de 880 fr. pour avoir effectué, entre les mois d'avril et juin 2008, une dizaine de voyages à bord des Chemins de fer fédéraux (CFF), sans avoir été muni d'un titre de transport valable.
L'intéressé a également fait l'objet de deux condamnations pénales: le 25 juin 2009, il a été condamné à 30 jours-amende avec sursis pendant deux ans, le jour-amende étant fixé à 10 fr., pour avoir séjourné et exercé une activité lucrative de manière illégale durant la période comprise entre le 30 juillet 2007 et le mois de mai 2009; le 26 mai 2010, il a été condamné à 20 jours-amende à 35 fr., avec sursis pendant deux ans, et à une amende de 250 fr., pour voies de fait, menaces et injures commises envers son épouse. Le 4 août 2010, l'intéressé a retiré l'opposition qu'il avait formée contre l'ordonnance pénale du 26 mai 2010.
Au 16 janvier 2015, A._ faisait l'objet de 36 poursuites pour plus de 39'000 fr. et de 24 actes de défaut de biens totalisant 30'000 fr.
C.
Le 20 août 2012, le Service des migrations de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) a prolongé l'autorisation de séjour en faveur de l'intéressé, sous réserve de l'approbation du Secrétariat d'Etat.
Le 9 juillet 2013, après avoir entendu l'intéressé, le Secrétariat d'Etat a refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de A._ et a prononcé son renvoi de Suisse. Par arrêt du 2 avril 2015, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours que A._ avait interjeté contre la décision du Secrétariat d'Etat.
D.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif fédéral du 2 avril 2015 et d'accorder la prolongation de son autorisation de séjour; subsidiairement, de renvoyer la cause à l'autorité intimée pour nouvelle décision au sens des considérants. Il demande le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à déposer des observations. Le Secrétariat d'Etat conclut au rejet du recours.
Par ordonnance du 18 mai 2015, le Président de la IIe Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.
Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Le recourant invoque, sous l'angle de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, son droit à entretenir une relation avec son enfant mineur de nationalité suisse. Ce motif étant potentiellement de nature à lui conférer un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour, son recours échappe au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF (cf. arrêt 2C_652/2013 du 17 décembre 2013 consid. 1.1, non publié in ATF 140 I 145).
1.2. Pour le surplus, dirigé contre un arrêt final (cf. art. 90 LTF) rendu par le Tribunal administratif fédéral (cf. art. 86 al. 1 let. a LTF), le recours a été déposé en temps utile compte tenu des féries (cf. art. 46 al. 1 let. a et art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (cf. art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Il est par conséquent recevable.
2.
Le recourant estime que l'autorité précédente a violé l'art. 50 LEtr. Il se prévaut notamment de sa relation avec son fils et de la durée de son séjour en Suisse.
2.1. Aux termes de l'art. 42 al. 1 LEtr, le conjoint d'un ressortissant suisse ainsi que ses enfants célibataires de moins de 18 ans ont droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui. En l'espèce, le recourant est encore marié avec une ressortissante suisse, dont il vit toutefois séparé sans que les conditions de l'art. 49 LEtr, autorisant une exception à l'exigence du ménage commun prévue aux art. 42 à 44 LEtr ne soient remplies, de sorte qu'il ne peut se prévaloir de l'art. 42 LEtr.
2.2. A juste titre, le recourant ne fonde pas son recours sur l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, dès lors qu'il est établi que son union conjugale avec une ressortissante suisse a duré moins de trois ans. Seul entre donc en considération l'art. 50 al. 1 let. b LEtr selon lequel, après dissolution de la famille, le conjoint étranger peut obtenir la prolongation de son autorisation de séjour si la poursuite de son séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures. Selon la jurisprudence, l'admission d'un cas de rigueur personnel survenant après la dissolution de la communauté conjugale suppose que, sur la base des circonstances d'espèce, les conséquences de la perte du droit de séjour pour la vie privée et familiale de la personne étrangère liées à ses conditions de vie après la perte du droit de séjour découlant de la communauté conjugale (art. 42 al. 1 et 43 al. 1 LEtr) soient d'une intensité considérable (ATF 138 II 393 consid. 3.1 p. 395). Le Tribunal fédéral a mis en lumière un certain nombre de situations dans lesquelles la poursuite du séjour en Suisse peut s'imposer, qui ne sont toutefois pas exhaustives (ATF 138 II 393 consid. 3.1 p. 395; 136 II 1 consid. 5.2 p. 3 s.; arrêt 2C_956/2013 du 11 avril 2014 consid. 3.1). Parmi celles-ci figurent notamment les violences conjugales (art. 50 al. 2 LEtr et 77 al. 2 OASA), qui doivent revêtir une certaine intensité (ATF 136 II 1 consid. 5.3 p. 4), la réintégration fortement compromise dans le pays d'origine et le cas dans lequel le conjoint duquel dépend le droit de séjour de l'étranger décède (ATF 137 II 345 consid. 3.2.2 p. 349). Les critères énumérés par l'art. 31 al. 1 OASA peuvent également entrer en ligne de compte, même si, considérés individuellement, ils ne suffisent pas à fonder un cas de rigueur (ATF 137 II 345 consid. 3.2.3 p. 349; arrêt 2C_500/2014 du 18 juillet 2014 consid. 7.1 et la référence citée). Parmi ces critères figurent notamment l'intégration du requérant et la durée de sa présence en Suisse.
S'agissant de la réintégration sociale dans le pays de provenance, l'art. 50 al. 2 LEtr exige qu'elle semble fortement compromise (ATF 136 II 1 consid. 5.3). La question n'est donc pas de savoir s'il est plus facile pour la personne concernée de vivre en Suisse, mais uniquement d'examiner si, en cas de retour dans le pays d'origine, les conditions de la réintégration sociale, au regard de la situation personnelle, professionnelle et familiale de l'étranger, seraient gravement compromises (cf. arrêt 2C_873/2013 du 25 mars 2014 consid. 4.1, non publié in ATF 140 II 289 et références).
En l'occurrence, le Tribunal administratif fédéral a constaté que le recourant avait vécu au Cameroun jusqu'à l'âge de 21 ans. Il y a ainsi passé son enfance, son adolescence et les premières années de sa vie d'adulte. En outre, l'intéressé a conservé des attaches familiales avec son pays d'origine où vit une partie de sa famille, en particulier sa mère avec qui il a encore des contacts, et où il est retourné au printemps 2013 pour des motifs d'ordre familial. Pour le reste, le Tribunal administratif fédéral a relevé que l'intéressé était encore jeune, en bonne santé et au bénéfice d'une expérience professionnelle, de sorte qu'il ne rencontrerait pas de difficultés particulières pour se réintégrer dans son pays d'origine. Il peut être renvoyé, sur ce point, aux considérants de l'arrêt attaqué, qui a dûment appliqué le droit fédéral. Le recourant reproche au Tribunal administratif fédéral de n'avoir pas tenu compte des années que le recourant a passées en Suisse. L'instance précédente a cependant constaté à juste titre que l'intéressé avait séjourné et travaillé illégalement en Suisse pendant près de deux ans. De même, entre le 20 mai 2010, date d'échéance de son autorisation de séjour, jusqu'à son recours déposé le 14 août 2013, le recourant a vécu au bénéfice d'une simple tolérance. Enfin, depuis août 2013, la présence du recourant sur le territoire suisse repose uniquement sur l'effet suspensif de son recours contre la décision du Secrétariat d'Etat. Il s'ensuit que le Tribunal administratif fédéral pouvait, sans violer le droit fédéral, considérer que la durée de son séjour en Suisse devait être relativisée. Quant aux difficultés financières dont le recourant fait état en cas de retour au pays, elles ne constituent pas des raisons personnelles majeures justifiant l'application de l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr. Le recours doit, partant, être rejeté sur ces points.
2.3. La jurisprudence admet que des raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr peuvent aussi découler d'une relation digne de protection avec un enfant qui a le droit de séjourner en Suisse (cf. ATF 139 I 315 consid. 2.1 p. 319; arrêts 2C_318/2013 du 5 septembre 2013 consid. 3.3; 2C_327/2010 du 19 mai 2011 consid. 2.2 in fine, non publié in ATF 137 I 247). L'étranger disposant d'un droit de visite sur son enfant habilité à résider en Suisse peut en principe exercer ce droit même s'il vit à l'étranger, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée. Le droit de visite d'un parent sur son enfant ne doit en effet pas nécessairement s'exercer à un rythme bimensuel et peut également être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents. Un droit plus étendu ne peut le cas échéant exister qu'en présence de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et économique, lorsque cette relation ne pourrait pratiquement pas être maintenue en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent, et que l'étranger a fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (cf. ATF 140 I 145 consid. 3.2 p. 147; 139 I 315 consid. 2.2 p. 319).
La jurisprudence a précisé, en lien avec l'art. 50 al. 1 let. b LEtr, que l'exigence du lien affectif particulièrement fort doit être considérée comme remplie lorsque les contacts personnels sont exercés dans le cadre d'un droit de visite usuel selon les standards d'aujourd'hui (en Suisse romande, il s'agit d'un droit de visite d'un week-end toutes les deux semaines et durant la moitié des vacances; ATF 139 I 315 consid. 2.5 p. 321 s. ; cf. aussi ATF 140 I 145 consid. 3.2 p. 148; arrêt 2C_318/2013 du 5 septembre 2013 consid. 3.3.2). Les autres conditions d'une prolongation de l'autorisation doivent en outre être remplies. Le parent étranger doit ainsi en particulier entretenir une relation économique particulièrement forte avec son enfant et avoir fait preuve en Suisse d'un comportement irréprochable (ATF 139 I 315 consid. 2.5 p. 321; arrêt 2C_318/2013 du 5 septembre 2013 consid. 3.3.2). Enfin, dans l'examen de la situation de l'étranger ne faisant plus ménage commun avec son conjoint suisse mais ayant encore l'autorité parentale sur leur enfant mineur de nationalité suisse sans en avoir la garde, la contrariété à l'ordre public ne constitue pas une condition indépendante rédhibitoire de refus de prolongation de l'autorisation de séjour. Il s'agit d'un élément parmi d'autres à prendre en compte dans la pesée globale des intérêts (ATF 140 I 145 consid. 4.3 p. 150 s.).
2.4. En l'espèce, il ressort des constatations du Tribunal administratif fédéral, qui lient le Tribunal de céans (cf. art. 105 al. 1 LTF), que le droit de visite du recourant a été graduellement élargi et, qu'avec le temps, ce dernier a su tisser des liens très forts avec son enfant. Sur le plan affectif, le recourant peut donc se prévaloir d'une relation particulièrement étroite avec son fils. Le maintien des liens affectifs en dépit de la rupture de l'union conjugale ne suffit cependant pas à justifier la prolongation de son autorisation de séjour. Comme l'a constaté le Tribunal administratif fédéral, l'intéressé n'a pas été régulier dans le versement de la pension alimentaire due à son fils, laquelle a été payée en grande partie par l'Office cantonal compétent. Au mois de janvier 2015, les arriérés de pension alimentaire en faveur de son fils s'élevaient à 6'228.75 fr. Le recourant met en avant sa situation financière difficile et reproche à l'instance précédente d'avoir fait preuve d'arbitraire en n'en tenant pas compte. Contrairement à ce qu'il prétend, le Tribunal administratif fédéral a pris en compte cet élément, mais a considéré qu'il n'était pas pertinent au vu de la jurisprudence du Tribunal fédéral selon laquelle la question de l'absence de versement de la pension alimentaire doit être appréciée de manière objective, sans égard aux raisons d'un tel manquement (cf. arrêts 2C_797/2014 du 13 février 2015 consid. 4.4; 2C_794/2014 du 23 janvier 2015 consid. 3.3; 2C_173/2009 du 10 septembre 2009 consid. 4.2). Le Tribunal fédéral a certes admis qu'il convenait de distinguer la situation dans laquelle l'étranger ne contribuait pas à l'entretien de l'enfant faute d'avoir été autorisé à travailler, de celle dans laquelle il ne faisait aucun effort pour trouver un emploi (cf. arrêt 2A.516/1999 du 16 février 2000 consid. 4 bb). Les exigences relatives à l'étendue de la relation que l'étranger doit entretenir avec son enfant d'un point de vue affectif et économique doivent rester dans l'ordre du possible et du raisonnable (cf. 2C_1125/2014 du 9 septembre 2015 consid. 4.6.2). Il ressort cependant de l'arrêt attaqué que le recourant a occupé un emploi à temps partiel du mois de mai 2006 au mois de septembre 2009, puis a travaillé, du mois d'août 2009 au mois d'avril 2012 en qualité de plongeur, d'aide de cuisine et d'employé polyvalent dans le cadre de missions temporaires. En 2011, l'intéressé a également bénéficié de prestations de l'assurance-chômage. En pareilles circonstances, rien ne permet de justifier un versement irrégulier de la pension alimentaire. C'est partant à bon droit que le Tribunal administratif fédéral a retenu que l'existence d'une relation économique particulièrement forte entre le recourant et son fils faisait défaut. A cela s'ajoute que le recourant ne peut pas se prévaloir d'un comportement irréprochable. S'il est vrai que le Tribunal fédéral a assoupli la jurisprudence en matière de comportement irréprochable lorsque l'étranger exerce l'autorité parentale conjointe sur son enfant mineur de nationalité suisse sans en avoir la garde, les agissements délictueux du recourant sont suffisamment graves pour qu'il n'y ait aucun doute sur l'absence de comportement irréprochable de l'intéressé durant son séjour en Suisse. De plus, sur le plan financier, il faut constater que l'intéressé fait l'objet de 36 poursuites et de 24 actes de défaut de biens, pour un montant total de 69'000 fr.
2.5. Dans ces conditions, le recourant ne présentant pas de lien économique fort avec son fils et ne pouvant se targuer d'un comportement irréprochable, il ne saurait être question de violation de l'art. 50 al. 1 let. b LEtr.
3.
Enfin, hormis les liens du recourant avec son fils, dont on a vu qu'ils ne justifient pas à eux seuls son séjour en Suisse, l'arrêt attaqué ne révèle aucun élément déterminant qui ferait apparaître le refus de prolonger l'autorisation de l'intéressé comme disproportionné (cf. art. 96 LEtr).
4.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Le recours étant manifestement dépourvu de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Par conséquent, les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant, mais ils seront fixés en tenant compte de sa situation financière (art. 66 al. 1 et 2 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Secrétariat d'Etat aux migrations, au Service des migrations du canton de Neuchâtel et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 1er octobre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Zünd
La Greffière : McGregor