Sachverhalt:
A. Der 1960 geborene S._ war als Lagermitarbeiter in der Firma X._ tätig und dadurch bei der "Generali Allgemeine Versicherungen" (nachfolgend: Generali) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 31. Oktober 2000 wurde er nachts als Fussgänger von einem Fahrrad angefahren und stürzte zu Boden. Dabei zog er sich verschiedene Verletzungen zu. Die Generali gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Schreiben vom 20. September 2004 teilte sie dem Versicherten mit, die Taggeldleistungen würden auf den 31. August 2004 eingestellt. Nachdem S._ hiegegen opponiert hatte, verfügte die Generali am 27. Februar 2006, das Taggeld werde auf den 31. Oktober 2004 eingestellt. Sie verneinte überdies einen Anspruch auf eine Invalidenrente und sprach dem Versicherten eine Integritätsentschädigung auf der Grundlage eines Integritätsschadens von 17,5 % zu. S._ erhob Einsprache. Er akzeptierte die zugesprochene Integritätsentschädigung, beantragte aber, es sei überdies eine Invalidenrente nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von 40 % auszurichten; eventuell seien weitere Abklärungen vorzunehmen und währenddessen Taggelder auszurichten. Die Generali hielt mit Einspracheentscheid vom 30. November 2007 an ihrer Verfügung fest.
B. Die von S._ gegen den Einspracheentscheid der Generali erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 15. Oktober 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Eine öffentliche Verhandlung wurde nicht durchgeführt.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ nebst der Zusprechung weiterer resp. höherer Leistungen, eventuell der Rückweisung der Sache zu weiterer medizinischer Abklärung und zum neuen Entscheid an die Vorinstanz resp. den Unfallversicherer, beantragen, "es sei eine öffentliche Gerichtsverhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK mit Publikums- und Presseanwesenheit einzuberufen und durchzuführen".
Die General schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Der Beschwerdeführer beantragt eine öffentliche Gerichtsverhandlung. Gemäss Begründung des Begehrens geht es ihm nicht darum, dass das Bundesgericht eine mündliche Parteiverhandlung (vgl. hiezu: Art. 57 und Art. 59 Abs. 1 BGG) durchführen soll. Es wird vielmehr geltend gemacht, das kantonale Gericht habe Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt, indem es ohne eine öffentliche Verhandlung entschied. Diese formellrechtliche Rüge ist zuerst zu behandeln.
3. 3.1 Nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jedermann Anspruch darauf, dass seine Sache in billiger Weise öffentlich und innerhalb einer angemessenen Frist von einem unabhängigen und unparteiischen, auf Gesetz beruhenden Gericht gehört wird, das über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen oder über die Stichhaltigkeit der gegen ihn erhobenen strafrechtlichen Anklage zu entscheiden hat (Satz 1). Dieselbe Konventionsbestimmung sieht Ausnahmen vom Öffentlichkeitsgrundsatz vor im Interesse der Sittlichkeit, der öffentlichen Ordnung oder der nationalen Sicherheit oder wenn die Interessen von Jugendlichen, der Schutz des Privatlebens von Prozessparteien oder die Gefahr einer Beeinträchtigung der Rechtspflege es gebieten (Satz 2).
3.2 Im Sozialversicherungsprozess hat das erstinstanzliche Gericht grundsätzlich eine öffentliche Verhandlung anzuordnen, wenn eine solche beantragt wird. Als Gründe für eine Ausnahme von diesem Prinzip fallen nebst den im zitierten Art. 6 Ziff. 1 Satz 2 EMRK genannten Umständen namentlich in Betracht, dass der Antrag nicht frühzeitig genug gestellt wurde, als schikanös erscheint oder auf eine Verzögerungstaktik schliessen lässt und damit dem Grundsatz der Einfachheit und Raschheit des Verfahrens zuwider läuft oder gar rechtsmissbräuchlich ist. Weiter erscheint der Verzicht auf eine beantragte öffentliche Verhandlung durch das erstinstanzliche Gericht als zulässig, wenn sich auch ohne eine solche mit hinreichender Zuverlässigkeit erkennen lässt, dass eine Beschwerde offensichtlich unbegründet oder unzulässig ist. Dasselbe gilt, wenn eine Materie hochtechnischen Charakters zur Diskussion steht, wobei darunter etwa rein rechnerische, versicherungsmathematische oder buchhalterische Probleme zu verstehen sind, nicht aber andere dem Sozialversicherungsprozess inhärente Fragestellungen wie beispielsweise die Würdigung medizinischer Gutachten. Schliesslich kann von einem nachträglichen Verzicht auf eine zunächst verlangte öffentliche Verhandlung ausgegangen werden, wenn das kantonale Gericht allein schon aufgrund der Akten zum Schluss gelangt, den materiellen Rechtsbegehren der die Verhandlung beantragenden Partei sei zu entsprechen (BGE 122 V 47 E. 3b S. 55 ff.; Urteil 8C_842/2009 vom 26. Januar 2010 E. 3.2).
4. Nach den dargelegten Gesichtspunkten ist zu prüfen, ob das kantonale Gericht von der Anordnung einer öffentlichen Verhandlung absehen durfte, ohne damit Art. 6 Ziff. 1 EMRK zu verletzen.
4.1 Der Beschwerdeführer hatte beantragt, es sei eine öffentliche Gerichtsverhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK mit Publikums- und Presseanwesenheit durchzuführen. Der Antrag wurde in der vorinstanzlichen Beschwerdeschrift und damit rechtzeitig gestellt (BGE 122 V 47 E. 3b/bb S. 56; Urteil 8C_842/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.1). Er ist zudem klar und unmissverständlich.
4.2 Zu prüfen ist somit, ob das kantonale Gericht seinen Entscheid gestützt auf einen der rechtsprechungsgemäss vorgesehenen Ausnahmegründe trotz Vorliegens eines entsprechenden Antrags ohne öffentliche Verhandlung fällen durfte.
Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, der Anspruch auf eine öffentliche Verhandlung nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK schliesse nicht aus, dass auf Beweismassnahmen, wie die beantragte Befragung, verzichtet werde. Das aus medizinischen Laien bestehende Sozialversicherungsgericht sei bei der vorzunehmenden Beurteilung der streitigen medizinisch-technischen Arbeitsfähigkeit nicht in der Lage, aus dem persönlichen Eindruck vom Versicherten eine verlässlichere Entscheidungsgrundlage zu gewinnen als aus dem Studium der medizinischen Akten. Zu beachten sei auch das öffentliche Interesse an einer beförderlichen Verfahrenserledigung.
4.3 Als Gründe, welche die Ablehnung der beantragten Verhandlung allenfalls zu rechtfertigen vermöchten, fallen namentlich die bessere Eignung des schriftlichen Verfahrens bei hochtechnischen Fragen einerseits und die allgemein im Sozialversicherungsprozess gebotene Einfachheit und Raschheit des Verfahrens in Betracht (vgl. Art. 61 lit. a ATSG; Urteil 8C_842/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.2).
4.3.1 In materieller Hinsicht ist der Anspruch auf weitere resp. höhere Leistungen streitig. Dabei ist unter anderem umstritten, ob die Schulter- und HWS-Beschwerden, an welchen der Versicherte leidet, ganz oder teilweise in einem natürlichen Kausalzusammenhang zum Unfall vom 31. Oktober 2000 stehen und bejahendenfalls, welche Auswirkungen dies auf die Arbeitsfähigkeit des Versicherten hat.
Die Frage des - für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen - Kausalzusammenhangs zwischen geklagten Beschwerden und einem versicherten Unfallereignis lässt sich nicht als "hochtechnisch" im Sinne der Rechtsprechung bezeichnen (vgl. BGE 122 V 47 E. 2d S. 52, 3b/ee S. 57 f.; Urteil 8C_842/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.3, auch zum Folgenden). Auch kann nicht gesagt werden, dass unter solchen Umständen eine zuverlässige Urteilsfindung eher in einem ausschliesslich schriftlichen Verfahren gewährleistet wäre und von einer zusätzlich durchgeführten mündlichen Verhandlung ohnehin keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären. Mit dieser Begründung lässt sich somit der Anspruch auf eine öffentliche Verhandlung im vorliegenden Fall nicht verneinen, zumal keine Anhaltspunkte dafür vorliegen, dass es sich unter den hier gegebenen Umständen anders verhalten sollte.
4.3.2 Dem Aspekt der beförderlichen Verfahrenserledigung ist namentlich bei offensichtlich unbegründeten oder unzulässigen Beschwerden Rechnung zu tragen (Urteile 8C_842/2009 vom 26. Januar 2010 E. 4.2 und 8C_442/2009 vom 28. August 2009 E. 4.2 mit Hinweisen). Um eine solche Beschwerde handelt es sich hier nicht, wie auch die einlässlichen Erwägungen im angefochtenen Entscheid zu den streitigen Leistungsansprüchen zeigen. Der von der Vorinstanz angeführte Umstand, dass der Rechtsvertreter des Versicherten in anderen Fällen ebenfalls eine öffentliche Verhandlung beantragt hat, rechtfertigt noch nicht die Folgerung, die Durchführung einer solchen Verhandlung im vorliegenden Fall verstosse gegen das Gebot eines einfachen und raschen Verfahrens. Es bestehen auch sonst keine Anhaltspunkte hiefür.
4.4 Triftige Gründe, welche gegen eine öffentliche Verhandlung sprechen, sind auch anderweitig nicht ersichtlich. Indem das kantonale Gericht dennoch von der ausdrücklich beantragten mündlichen Verhandlung gemäss Art. 6 Abs. 1 EMRK absah, hat es der konventionsrechtlich gewährleisteten Verfahrensgarantie nicht hinreichend Rechnung getragen. Es erweist sich deshalb als unumgänglich, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie den Verfahrensmangel behebe und die verlangte öffentliche Verhandlung durchführe.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Als unterliegende Partei hätte grundsätzlich die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 133 V 642) und dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 BGG). Unnötige Kosten hat indessen zu bezahlen, wer sie verursacht (Art. 66 Abs. 3 und Art. 68 Abs. 4 BGG). Dies gestattet auch, ausnahmsweise die Gerichts- und Parteikosten der Vorinstanz resp. dem Gemeinwesen, dem diese angehört, aufzuerlegen, namentlich, wenn die Vorinstanz in qualifizierter Weise die Pflicht zur Justizgewährleistung verletzt hat (Urteil 8C_830/2009 vom 4. Januar 2010 E. 3.1 mit Hinweis; THOMAS GEISER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N 25 zu Art. 66 und N 18 zu Art. 68 BGG; SEILER/VON WERTH/GÜNGERICH, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2007, N 43 zu Art. 66 und N 32 f. zu Art. 68 BGG). Ein solcher Fall liegt hier vor und rechtfertigt, dem Kanton Solothurn die Gerichtskosten aufzuerlegen, zumal die Vorinstanz von einer öffentlichen Verhandlung absah, obschon sie aufgrund des gleichen Verfahrensmangels in einem kurz vor dem hier angefochtenen Entscheid ergangenen bundesgerichtlichen Urteil (8C_442/2009 vom 28. August 2009) eine Rückweisung hinzunehmen hatte.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 15. Oktober 2009 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 30. November 2007 neu entscheide.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Kanton Solothurn auferlegt.
3. Der Kanton Solothurn hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 21. Mai 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz