Erwägungen:
1. X._ (geb. 1990) stammt nach eigenen Angaben aus Sierra Leone. Das Amt für Migration Luzern nahm ihn am 12. Februar 2008 in Ausschaffungshaft, welche der Einzelrichter am Verwaltungsgericht des Kantons Luzern am 14. Februar 2008 prüfte und bis zum 11. Mai 2008 bestätigte. X._ beantragt vor Bundesgericht sinngemäss, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Seine Eingabe erweist sich aufgrund der eingeholten Unterlagen als offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden; es braucht unter diesen Umständen nicht geprüft zu werden, ob sie den Begründungsanforderungen von Art. 42 BGG genügen würde:
2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig weggewiesen worden. Das Bundesamt für Migration ist auf sein Asylgesuch nicht eingetreten, da er den Behörden ohne entschuldbare Gründe nicht innerhalb von 48 Stunden Reise- oder Identitätspapier abgegeben hat (Art. 32 Abs. 2 lit. a in Verbindung mit Art. 32 Abs. 3 AsylG [SR 142.31]). Er erfüllt damit den Haftgrund von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 2 AuG (SR 142.20; BGE 130 II 377 ff.). Da er seinen verfahrensrechtlichen Mitwirkungspflichten nicht nachgekommen ist, besteht bei ihm auch Untertauchensgefahr im Sinne der Rechtsprechung zu Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 AuG. Der Beschwerdeführer hat schliesslich wiederholt erklärt, auf keinen Fall bereit zu sein, in seine Heimat zurückzukehren (vgl. BGE 130 II 56 E. 3.1 S. 58 f.). Es liegen keine Anhaltspunkte dafür vor, dass sich die Behörden nicht mit dem nötigen Nachdruck um seine Ausschaffung bemühen werden oder diese zurzeit nicht absehbar erschiene; die angefochtene Ausschaffungshaft verletzt deshalb kein Bundesrecht.
2.2 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Schweiz bei einer Haftentlassung freiwillig verlassen zu wollen, ist nicht ersichtlich, wie er dies ohne gültige Reisepapiere legal tun könnte. Nur sein Heimatstaat ist verpflichtet, ihn auch ohne solche zurückzunehmen (BGE 133 II 97 E. 4.2.2). Der Beschwerdeführer hat es jederzeit in der Hand, seine Festhaltung zu beenden, indem er mit den Behörden bei der Beschaffung seiner Papiere kooperiert. Sollten es ihm diese erlauben, legal in einen Drittstaat auszureisen, wird er die Schweiz gegebenenfalls dorthin verlassen können (Art. 69 Abs. 2 AuG). Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, er habe sich hier nichts zu Schulden kommen lassen, verkennt er, dass die Ausschaffungshaft keine Strafe bildet, sondern dazu dient, den Vollzug seiner Wegweisung sicherzustellen, der aufgrund seines Verhaltens im Asylverfahren gefährdet erscheint. Der Einwand, bei einer Rückkehr in sein Heimatland werde er verfolgt werden, bildet nicht Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens; die Frage wurde im Asylverfahren rechtskräftig beurteilt und kann vom Bundesgericht nicht mehr überprüft werden (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Seinem jugendlichen Alter ist im Rahmen des Festhaltungsvollzugs angemessen Rechnung zu tragen. Für alles Weitere wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. Aufgrund der besonderen Umstände (Bedürftigkeit, absehbarer Wegweisungsvollzug usw.) kann davon abgesehen werden, Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Migrationsamt des Kantons Luzern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt des Kantons Luzern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar