Sachverhalt:
A. Der 1951 geborene, bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) unfallversicherte B._ war bei der Firma S._ tätig, als er am 28. Februar 1995 mit dem Motorrad stürzte und sich dabei verschiedene Verletzungen zuzog. Mit Verfügung vom 9. Dezember 2005 sprach ihm die SUVA mit Wirkung ab 1. Januar 2006 eine Invalidenrente bei einer 100 prozentigen Erwerbsunfähigkeit zu. Nachdem die IV-Stelle Luzern dem Versicherten mit Verfügung vom 18. Mai 2006 ab 1. Juni 2006 eine ganze Invalidenrente gewährt hatte, berechnete die SUVA die Rente mit Verfügung vom 27. Juli 2006 als Komplementärrente. Mit Verfügung vom 3. November 2006 forderte sie vom Versicherten Fr. 152'146.90 an zuviel ausgerichteten Taggeldern zurück, die sie mit Nachzahlungen der Invalidenversicherung verrechnen werde. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 10. April 2007 fest.
B. Die von B._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern mit Entscheid vom 1. September 2008 in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache an die SUVA zurückwies, damit diese Sachverhaltsergänzungen bezüglich Kinder- und Familienzulagen resp. Betreuungszulagen wie auch hinsichtlich des Einsatzes bei der Betriebswehr vornehme und danach die Höhe des mutmasslichen Verdienstes bei der Firma S._ in den Jahren 1995 bis 2005 unter Berücksichtigung der Erwägungen neu berechne.
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, der Entscheid vom 1. September 2008 sei aufzuheben, und es sei "von der Abschöpfung von Überversicherungsentschädigungen bzw. von der Verrechnung mit Leistungen der Invalidenversicherung zufolge Überentschädigung" abzusehen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) ist zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (Art. 90 BGG) sowie gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren (Art. 92 Abs. 1 BGG). Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die Beschwerde nach Art. 93 BGG zulässig, sofern - alternativ - der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b).
1.2 In BGE 133 V 477 hat sich das Bundesgericht mit den in Art. 90 bis 93 BGG geregelten End-, Teil- sowie Vor- und Zwischenentscheiden befasst und erwogen, ein Rückweisungsentscheid schliesse das Verfahren nicht ab und sei somit nach der Regelung des BGG kein Endentscheid (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481 mit Hinweis). Weiter hat das Bundesgericht entschieden, in der Verpflichtung der Versicherungsträger zur Vornahme weiterer oder ergänzender Abklärungen und neuer Entscheidung durch das kantonale Gericht liege kein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG (und zwar selbst dann nicht, wenn die vorinstanzliche Feststellung, der rechtserhebliche Sachverhalt sei ungenügend abgeklärt, offensichtlich unrichtig wäre oder auf einer qualifiziert unrichtigen oder sogar willkürlichen Beweiswürdigung beruhte; Urteil 9C_613/2007 vom 23. Oktober 2007, E. 2.1). Schliesslich ist nach der Rechtsprechung auf Beschwerden gegen vorinstanzliche Rückweisungsentscheide, mit denen einzig eine ergänzende Sachverhaltsabklärung angeordnet wird, auch unter dem - letztinstanzlich frei überprüfbaren - Blickwinkel von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG in der Regel nicht einzutreten, da die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, wenn sie einen Zwischenentscheid nicht selbst anfechten, zumal ihnen immer noch dessen Anfechtung mit dem Endentscheid offen steht, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (Art. 93 Abs. 3 BGG). Die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden aus prozessökonomischen Gründen ist daher eine Ausnahme, die restriktiv zu handhaben ist (Urteil 9C_446/2007 vom 5. Dezember 2007, E. 3).
2. Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers, nicht um einen Endentscheid, sondern um einen Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG. Obwohl das kantonale Gericht materielle Teilaspekte der Überentschädigungsberechnung behandelt hat, ging es nicht um Entscheide über Begehren, die unabhängig von den anderen Fragen beurteilt werden können, sondern um Zwischenschritte zur Beurteilung des einen Begehrens, nämlich der Höhe der Überentschädigung (vgl. dazu BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481; HANSJÖRG SEILER, Rückweisungsentscheide in der neueren Sozialversicherungspraxis des Bundesgerichts, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2008, St. Gallen 2009, S. 23). Der vorinstanzliche Entscheid ist daher nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a oder b BGG anfechtbar. In der Beschwerde wird nicht dargetan - und es ist auch nicht ersichtlich -, inwiefern dem Versicherten durch den Rückweisungsentscheid des kantonalen Gerichts bezüglich der Überentschädigungsberechnung ein nicht wiedergutzumachender Nachteil droht oder ein bedeutender Aufwand an Zeit und Kosten erspart werden könnte. Der Beschwerdeführer wendet sich auch nicht gegen die Rückweisung zu weiteren Abklärungen hinsichtlich Höhe der Kinder- und Betreuungszulagen und der mutmasslichen Einkünfte für den Einsatz in der Betriebswehr, sondern lediglich gegen die im angefochtenen Entscheid getroffenen Feststellungen bezüglich Anrechnung von Zulagen für Pikettdienste und eines Nebenverdienstes als Hauswart. Diese binden zwar sowohl die Beschwerdegegnerin bei dem von ihr neu zu fällenden Entscheid, als auch das kantonale Gericht, welches den Zwischenentscheid erlassen hat, nicht aber das Bundesgericht. Der neue Entscheid der kantonalen Beschwerdeinstanz wird beim Bundesgericht anfechtbar sein. Dabei wird auch das noch angefochten werden können, was diese in ihrem ersten Urteil entschieden hat (Art. 93 Abs. 3 BGG; BGE 133 V 477 E. 5.2.3 S. 484; HANSJÖRG SEILER, a.a.O., S. 35). Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten.
3. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. Februar 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer