Erwägungen:
1. Am 11. April 2011 erstattete X._ bei der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich Strafanzeige gegen den Polizeibeamten Y._ und gegen Unbekannt "wegen dringenden Verdachts der vorsätzlichen Verletzung von Art. 181 (Nötigung), 156 (Erpressung), 183 (Freiheitsberaubung und Entführung), 145 (Veruntreuung und Entzug), 163 (betrügerischer Konkurs und Pfändungsbetrug) etc. StGB". Mit Verfügung vom 15. Juni 2011 eröffnete die Oberstaatsanwaltschaft eine Strafuntersuchung und überwies das Verfahren zuständigkeitshalber an die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich.
Am 29. September 2011 wies die Oberstaatsanwaltschaft ein von X._ im genannten Verfahren im Hinblick auf die Privatklägerschaft gestelltes Gesuch um Bestellung einer unentgeltlichen Rechtsbeistandschaft ab.
Hiergegen wandte sich X._ mit einer Beschwerde ans Obergericht des Kantons Zürich. Dessen III. Strafkammer hat die Beschwerde mit Beschluss vom 15. Dezember 2011 abgewiesen, soweit sie darauf eingetreten ist.
2. Mit Eingabe vom 9. März 2012 führt X._ Beschwerde ans Bundesgericht. Er beantragt (soweit hier wesentlich), der Beschluss vom 15. Dezember 2011 sei aufzuheben.
Das Bundesgericht hat verzichtet, Vernehmlassungen zur Beschwerde einzuholen.
3. Wie dem Beschwerdeführer schon wiederholt mitgeteilt wurde, ist nach Art. 42 Abs. 2 BGG in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Der Beschwerdeführer setzt sich nicht sachbezogen mit den ausführlichen obergerichtlichen Ausführungen auseinander und vermag nicht aufzuzeigen, inwiefern seine Eingaben im kantonalen Verfahren rechts- bzw. verfassungswidrig behandelt worden sein sollen. Da die von ihm vorgetragenen Rügen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des von ihm beanstandeten obergerichtlichen Beschlusses vom 15. Dezember 2011 darstellen, ist bereits mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Somit brauchen die übrigen Eintretensvoraussetzungen, insbesondere auch diejenigen nach Art. 93 BGG, nicht weiter erörtert zu werden.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Da die Beschwerde nach dem Gesagten offensichtlich aussichtslos ist, ist das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung abzuweisen (Art. 64 BGG). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. März 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp