Faits:
A. Le 6 juin 2006, X._, qui s'était présenté comme "futur divorcé", père de deux enfants et avocat de profession, a pris à bail de A._, qui était usufruitier du bien immobilier, un appartement de six pièces à Genève, moyennant un loyer de 4'300 fr. par mois, charges comprises. Le contrat a été conclu pour une durée déterminée, soit du 1er juin 2006 au 31 mai 2007. Lors de la négociation du loyer, X._ a fait valoir le désavantage majeur résultant pour lui du terme fixe du bail, à savoir la nécessité de se meubler dans l'incertitude de pouvoir réutiliser ensuite ses meubles ailleurs.
Le 9 novembre 2006, le gérant de l'immeuble a informé X._ que Y._ était devenue pleinement propriétaire du bien immobilier et qu'elle reprenait le contrat en tant que bailleresse.
Le 24 novembre 2006, le gérant de l'immeuble a confirmé à X._ que le contrat prendrait fin à l'échéance convenue, le 31 mai 2007.
B. Le 22 janvier 2007, X._ a déposé une requête en prolongation du bail devant la Commission de conciliation des baux et loyers du canton de Genève. Par décision du 9 novembre 2007, la commission a accordé au locataire une unique prolongation de bail au 31 mai 2008.
X._ a saisi le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève, demandant d'abord une première prolongation au 31 mai 2009, puis une prolongation pour la durée maximale de l'art. 272b al. 1 CO, soit jusqu'au 31 mai 2011.
Dans la procédure, il a fait valoir qu'il était commode pour lui d'avoir un logement proche de celui de son épouse et de l'école que fréquentent les enfants, afin de pouvoir exercer dans de bonnes conditions la garde alternée sur eux.
Quant à la bailleresse, qui avait tout d'abord envisagé de vendre son bien et qui a donné naissance à un troisième enfant à la fin de l'année 2008, elle a soutenu qu'elle avait connu des périodes de chômage et qu'elle jugeait plus avantageux pour elle d'occuper, avec son époux et ses enfants, l'appartement de six pièces dont elle est propriétaire, plutôt que l'appartement de cinq pièces qu'elle loue actuellement.
Par jugement du 5 janvier 2009, le Tribunal des baux et loyers a rejeté la demande de prolongation de bail formée par X._.
Saisie par X._, la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève a confirmé ce jugement par arrêt du 5 octobre 2009. La cour cantonale a retenu que le locataire était conscient du fait que le bail était d'une durée limitée à un an et qu'il n'a pas prouvé avoir reçu une quelconque promesse que le contrat serait renouvelé après son échéance. Compte tenu de la situation financière du locataire, qui peut s'acquitter d'un loyer de 4'300 fr. par mois, il ne devrait pas avoir de grandes difficultés à trouver un logement comparable, surtout qu'il a déjà bénéficié, dans les faits, d'une prolongation substantielle. Pour ce qui est de la garde alternée, la cour cantonale a constaté qu'elle avait pris fin à la suite d'un arrêt du Tribunal fédéral, du 29 juin 2009, rejetant un recours contre un arrêt du 20 mars 2009 de la Cour de justice de Genève, lequel, sur mesures provisoires, avait confié l'autorité parentale et la garde sur les deux enfants à la mère, en raison du conflit aigu existant entre les époux qui ne permettait pas le maintien de la garde alternée. Par ailleurs, la cour cantonale a considéré que le désir de la bailleresse d'occuper elle-même l'appartement litigieux était crédible et qu'il paraissait légitime, à la suite de la naissance de son troisième enfant, qu'elle souhaitât habiter dans un appartement comportant davantage de pièces, "même si cela doit lui être moins favorable financièrement".
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Invoquant une violation des art. 112 LTF, 9 et 29 Cst., 6 CEDH, 2 CC, 272 et 272b CO, il conclut principalement à l'annulation de la décision attaquée et à l'octroi d'une prolongation du bail jusqu'au 31 mai 2011. Sa requête d'effet suspensif a été admise par ordonnance présidentielle du 9 décembre 2009.
L'intimée propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 En cas de litige relatif à une prolongation du bail, la valeur litigieuse correspond à la totalité du loyer et des charges qui seraient dus entre le moment où la cour cantonale a statué et l'échéance de la prolongation de bail demandée (ATF 113 II 406 consid. 1 p. 407 s.; 109 II 351 consid. 1). Sachant en l'espèce que le loyer est de 4'300 fr. par mois et que la prolongation est demandée jusqu'au 31 mai 2011, il n'est pas douteux que la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr., requise en matière de bail à loyer par l'art. 74 al. 1 let. a LTF, est atteinte. En conséquence, le recours en matière civile est ouvert, et non pas le recours constitutionnel qui lui est subsidiaire (art. 113 LTF), contrairement aux indications données par la cour cantonale.
Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions en prolongation du bail (art. 76 al. 1 LTF) et dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF), le recours est en principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 45 al. 1, 48 al. 1 et 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2 Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4 ). Par exception à la règle selon laquelle il examine le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur une violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
1.4 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF).
2. 2.1 Le recourant demande préalablement au Tribunal fédéral de surseoir à statuer dans l'attente d'une décision à rendre dans la procédure qui l'oppose à son épouse.
En vertu des art. 71 LTF et 6 al. 1 PCF, l'examen du recours peut être suspendu pour des raisons d'opportunité, notamment lorsque le jugement d'un autre litige peut influencer l'issue du procès (cf. Florence Aubry Girardin, in Commentaire de la LTF, n° 9 ad art. 71 LTF et les arrêts non publiés cités).
La situation familiale du locataire, en tant qu'elle est pertinente pour statuer sur une prolongation du bail, doit être déterminée au moment où le juge statue; on ne saurait différer la décision - ce qui équivaudrait à accorder une prolongation de fait - pour le seul motif qu'elle pourrait éventuellement changer à l'avenir. Le recourant est engagé dans une procédure de divorce complexe, générant de nombreuses décisions judiciaires, et on ne saurait, dans la pesée des intérêts, exiger de la bailleresse qu'elle en attende l'issue. Au demeurant - comme on le verra -, cette question n'a pas l'importance que le recourant lui prête. Il n'y a donc pas lieu de suspendre l'examen du recours.
2.2 Le recourant demande également au Tribunal fédéral, à titre préliminaire, d'annuler la décision attaquée parce qu'elle ne contiendrait pas les éléments de fait nécessaires.
Selon l'art. 112 al. 3 LTF le Tribunal fédéral peut annuler une décision si celle-ci ne satisfait pas aux exigences fixées à l'al. 1. L'art. 112 al. 1 let. b LTF prévoit que la décision doit contenir notamment les motifs déterminants de fait. Cette exigence ne concerne cependant que les faits qui ont un caractère déterminant, c'est-à-dire ceux qui influencent l'issue de la procédure. Comme l'autorité n'a donc pas à relater des faits sans pertinence pour la décision à rendre, la motivation cantonale doit se concentrer sur les points décisifs, qui sont nécessaires pour comprendre la décision rendue (Bernard Corboz, in Commentaire de la LTF, n° 24 ad art. 112 LTF).
En l'espèce, la cour cantonale a clairement analysé tous les critères prévus par l'art. 272 al. 2 CO, en énonçant sans ambiguïté les faits décisifs qu'elle retenait. Elle a ainsi relevé que le bail était conclu pour une durée déterminée d'une année et que le locataire en avait parfaitement conscience, sans avoir aucune garantie quelconque d'un renouvellement après l'échéance. Elle a constaté que le locataire était dans une situation financière favorable et que celle-ci lui permettait de trouver une solution de remplacement compte tenu de l'état du marché local du logement. L'autorité cantonale a mentionné le conflit conjugal que connaît le recourant et constaté que celui-ci n'avait actuellement ni l'autorité parentale ni la garde sur ses enfants. Quant à la bailleresse, la cour cantonale a estimé que son désir d'occuper le logement était crédible et qu'il pouvait être considéré comme légitime en raison de l'accroissement de sa famille (trois enfants) qui pouvait justifier un logement comportant davantage de pièces. L'arrêt attaqué contient manifestement les éléments de fait qui permettent de comprendre sur quelles bases l'autorité a statué et de contrôler la manière dont elle a appliqué le droit fédéral. Ainsi, il n'y a pas de violation de l'art. 112 LTF.
2.3 Invoquant un déni de justice (art. 29 al. 1 Cst.), une violation du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) et une transgression de l'art. 6 CEDH, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir pris connaissance de l'arrêt 5A_571/2009 rendu le 29 juin 2009 par le Tribunal fédéral et d'avoir constaté qu'il n'exerçait plus une garde alternée sur ses enfants.
Le recourant ne peut pas faire grief à la cour cantonale d'avoir pris connaissance de sa procédure de divorce, puisque lui-même en a demandé l'apport.
Il ne peut pas non plus invoquer un effet de surprise, puisqu'il a lui-même nécessairement connaissance de sa propre procédure en divorce et, ipso facto, de l'arrêt que le Tribunal fédéral a rendu dans ce contexte.
Le recourant ne disconvient pas que le Tribunal fédéral a rendu l'arrêt cité par la cour cantonale et que celui-ci a pour effet de lui retirer la garde alternée. Sachant que les arrêts du Tribunal fédéral acquièrent force de chose jugée le jour où ils ont été prononcés (art. 61 LTF) et ne sont susceptibles d'aucun recours, il n'y a plus matière à discussion sur le fait que le recourant n'exerce plus la garde alternée sur ses enfants. On observera que le recourant n'énonce - contrairement aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF - aucune règle de procédure cantonale qui aurait été violée arbitrairement.
Le recourant se plaint en définitive de n'avoir pas pu commenter devant le juge des baux et loyers un arrêt du Tribunal fédéral rendu au sujet de son conflit conjugal. On ne discerne aucun intérêt à un tel exposé. L'argument a manifestement un but dilatoire. L'interdiction de l'abus de droit (art. 2 al. 2 CC) s'applique également dans le domaine de la procédure (ATF 132 I 249 consid. 5 p. 252) et les procédés purement dilatoires sont constitutifs d'abus de cette nature et ne sont pas protégés par la loi (ATF 132 I 249 consid. 5 p. 253 in initio).
2.4 Invoquant l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.), le recourant se plaint de la manière dont le besoin de l'intimée a été déterminé.
Ce grief concerne manifestement l'établissement des faits. Or, le Tribunal fédéral est en principe lié par les faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). La seule question posée est donc de savoir si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF), c'est-à-dire de manière arbitraire (ATF 135 III 397 consid. 1.5). Il incombe au recourant, par une argumentation circonstanciée, de montrer en quoi l'arbitraire serait réalisé (ATF 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Encore faut-il que la modification demandée soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Le recourant soutient que la bailleresse veut vendre son appartement, et non pas l'occuper elle-même. L'argumentation qu'il présente sur ce point est clairement appellatoire; il ne démontre pas, en se référant à des preuves précises apportées dans la procédure, qu'il était insoutenable de croire que l'intimée voulait occuper l'appartement litigieux. Faute de motivation suffisante, il n'y a pas lieu d'entrer en matière.
Le recourant conteste que l'appartement litigieux soit plus spacieux que l'appartement actuellement occupé par l'intimée. Ni l'arrêt attaqué, ni le recours ne contiennent la moindre information sur la surface des deux appartements. En revanche, la cour cantonale a retenu que l'appartement litigieux a six pièces, tandis que l'appartement occupé par l'intimée a cinq pièces. Le recourant ne prétend pas que cette constatation serait arbitraire (art. 106 al. 2 LTF). Lorsqu'une famille s'agrandit, il est parfaitement légitime de souhaiter avoir une pièce supplémentaire pour une personne de plus. On ne voit donc pas en quoi l'argumentation cantonale serait critiquable. Les explications du recourant, par lesquelles il semble vouloir comparer seulement quelques pièces, sont impropres à influer sur le sort de la décision (art. 97 al. 1 LTF).
La discussion sur l'intérêt économique de la bailleresse est également vaine (art. 97 al. 1 LTF). Du moment que la cour cantonale a retenu que l'intimée, ayant un enfant de plus, avait un intérêt légitime à avoir une pièce additionnelle "même si cela doit lui être moins favorable financièrement" (arrêt attaqué p. 9), la discussion sur l'intérêt financier de la bailleresse n'est pas de nature à conditionner l'issue de la querelle.
2.5 Invoquant également l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.), le recourant récrimine quant à la manière dont son besoin a été analysé, cela sans que l'on puisse discerner clairement s'il s'en prend à une constatation de fait ou à l'analyse juridique opérée par la Chambre d'appel. Quoi qu'en pense le recourant, la circonstance qu'il ait la garde alternée sur ses enfants ou un droit de visite étendu ne change pas fondamentalement la situation. En tout état de cause, il a un intérêt personnel sérieux à entretenir des relations étroites avec ses enfants. Dans tous les cas où des parents se séparent, il est inévitable qu'ils aient désormais des logements plus ou moins éloignés l'un de l'autre. Il n'est pas rare qu'ils ne vivent plus dans le même quartier. On ne saurait en déduire, compte tenu des possibilités actuelles de déplacement, que le père est privé de toute chance de garder un contact étroit avec ses enfants. In casu, la cour cantonale a même retenu - sans que le recourant ne se prévale d'arbitraire à ce sujet - qu'il pourrait, vu ses capacités financières, trouver un autre logement dans le même quartier (arrêt attaqué p. 9 consid. 2.4). Le recourant se plaint amèrement de l'attitude de son épouse à son endroit et du fait qu'elle pratiquerait une "aliénation parentale"; on ne voit cependant pas en quoi ce comportement dépendrait de la localisation de son propre logement. En essayant de manière inutile d'établir un lien entre son pénible conflit conjugal et la prolongation du bail, le recourant s'écarte des faits et des considérations pertinentes. On ne discerne pas l'ombre d'un quelconque arbitraire.
2.5.1 Selon l'art. 272 al. 1 CO, le locataire peut demander la prolongation d'un bail singulièrement de durée déterminée lorsque la fin du contrat aurait pour lui ou sa famille des conséquences pénibles sans que les intérêts du bailleur le justifient. Pour trancher la question, le juge doit procéder à une pesée des intérêts en prenant en considération notamment les circonstances de la conclusion du bail et le contenu du contrat, la durée du bail, la situation personnelle, familiale et financière des parties ainsi que leur comportement, le besoin que le bailleur ou ses proches parents ou alliés peuvent avoir d'utiliser eux-mêmes les locaux ainsi que l'urgence de ce besoin, et la situation sur le marché local du logement ou des locaux commerciaux (art. 272 al. 2 CO). S'agissant d'un logement, la durée maximum de la prolongation est de quatre ans; dans cette limite, le juge peut accorder une ou deux prolongations (art. 272b al. 1 CO).
Lorsque - comme c'est le cas en l'espèce - le bail est d'une durée déterminée, le juge se montrera particulièrement restrictif à admettre une prolongation du bail, puisque l'intention reconnaissable de son cocontractant était de ne pas le prolonger (David Lachat, Le bail à loyer, 2008, chap. 30, n° 3.5 p. 774; Peter Higi, Commentaire zurichois, n° 213 ad art. 272 CO; Roger Weber, Commentaire bâlois, Obligationenrecht I, 4e éd., n° 14 ad art. 272 CO; SVIT-Kommentar Mietrecht, 3e éd. 2008, n° 13 ad art. 272 CO). La capacité économique du locataire est un élément important pour apprécier s'il aura ou non des difficultés à se reloger (Higi, op. cit., n° 208 ad art. 272 CO). L'état du marché immobilier relève des constatations de fait et le locataire qui entend se prévaloir d'une situation tendue doit en apporter la preuve (Lachat, op. cit., chap. 30 n° 3.10 p. 781). Lorsque le bail a duré très longtemps, il sied, dans une certaine mesure, de tenir compte du fait qu'il est pénible pour le locataire de changer son cadre de vie (Lachat, op. cit., chap. 30 n° 3.6; Higi, op. cit., n° 144 ad art. 272 CO; Weber, op. cit., n° 8 ad art. 272 CO). Un accroissement de la famille du bailleur peut en principe justifier qu'il ait besoin de changer de logement (Higi, op. cit., n° 197 ad art. 272 CO).
Le juge apprécie librement, selon les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC), s'il y a lieu de prolonger le bail et, dans l'affirmative, pour quelle durée. Il doit procéder à la pesée des intérêts en présence et tenir compte du but d'une prolongation, consistant à donner du temps au locataire pour trouver des locaux de remplacement; il lui incombe de prendre en considération tous les éléments pertinents du cas particulier. Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou, au contraire, lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; en outre, le Tribunal fédéral redresse les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 135 III 121 consid. 2 p. 123 s. et les arrêts cités).
2.5.2 En l'occurrence, le contrat a été conclu pour une durée déterminée. Le locataire en était conscient, puisqu'il a invoqué cette circonstance pour négocier une diminution du loyer qui était proposé. Dès lors que le bailleur avait clairement manifesté, lors de la conclusion du contrat, sa volonté de ne s'engager que jusqu'à une échéance déterminée, une prolongation du bail ne peut être accordée qu'avec retenue. Le bail n'a duré qu'une année, de sorte que l'on ne saurait imaginer que le locataire s'est enraciné en ce lieu et qu'il lui est particulièrement pénible de déménager. La cour cantonale a retenu - sans que le recourant n'invoque précisément l'arbitraire à ce sujet - qu'il avait des revenus suffisants pour trouver un logement comparable, même en restant dans la vieille ville. Comme on l'a vu, son intérêt à rester proche du logement de son épouse, avec laquelle il est en conflit aigu, paraît de faible importance, surtout que l'on ne voit pas pourquoi il ne pourrait pas continuer d'entretenir des relations étroites avec ses enfants même s'il était logé un peu plus loin. La cour cantonale a retenu sans arbitraire que la bailleresse avait l'intention d'occuper le logement litigieux avec son époux et ses trois enfants; la naissance d'un nouvel enfant rend légitime le désir d'avoir une pièce de plus. Procédant ainsi à une pesée des intérêts, la cour cantonale est parvenue à la conclusion qu'une prolongation du bail ne se justifiait pas dans le cas présent. En prenant une telle décision, la cour cantonale n'a pas abusé du large pouvoir d'appréciation qui lui est reconnu en matière de prolongation de bail.
Il n'y a en conséquence aucune trace d'une violation des art. 272 et 272b CO ainsi que de l'art. 2 al. 2 CC, de sorte que le recours doit être entièrement rejeté.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la partie qui succombe (art. 66 al. 1, 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre d'appel en matière de baux et loyers du canton de Genève.
Lausanne, le 1er février 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet