A.- S._ (geboren 1955) war seit 1. Mai 1998 beim W._ als Betriebsassistentin angestellt und in dieser Eigenschaft bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (nachfolgend: SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 16. Oktober 1998 rutschte sie aus und stürzte auf den Kopf und den Rücken. Die erstbehandelnden Ärzte diagnostizierten eine commotio cerebri sowie den Verdacht auf eine commotio spinalis mit Hypästhesie des rechten Beins ohne obere Dermatombegrenzung (Bericht der Neurochirurgischen Klinik Y._, vom 30. Oktober 1998). S._ nahm am 25. Januar 1999 ihre Arbeit zu 50 % und ab 22. Februar 1999 zu 75 % wieder auf. Mit Verfügung vom 17. Januar 2000, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 16. Juni 2000, stellte die SUVA ihre Leistungen ab 1. Januar 2000 ein.
B.- Die sowohl von S._ sowie von ihrem Krankenversicherer, der Öffentlichen Krankenkasse Basel (nachfolgend: ÖKK), hiegegen erhobenen Beschwerden wies das Versicherungsgericht des Kantons Basel-Landschaft mit Entscheid vom 8. Juni 2001 ab.
C.- S._ lässt Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen mit dem Rechtsbegehren, es seien der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die SUVA anzuweisen, die gesetzlichen Leistungen über den 31. Dezember 1999 hinaus zu erbringen.
Die SUVA beantragt Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, während sich die ÖKK den Ausführungen und Begehren von S._ anschliesst. Das Bundesamt für Sozialversicherung verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1.- Die Vorinstanz hat die Bestimmung sowie Grundsätze über den natürlichen (BGE 119 V 337 Erw. 1, 118 V 289 Erw. 1b, je mit Hinweis) und den adäquaten Kausalzusammenhang (BGE 121 V 49 Erw. 3a, 117 V 361 Erw. 5a, je mit Hinweisen) als Voraussetzungen der Leistungspflicht eines Unfallversicherers (Art. 6 Abs. 1 UVG), insbesondere die Beurteilung der Adäquanz bei Unfällen mit psychischen Folgeschäden (BGE 115 V 138 Erw. 6 mit Hinweisen), zutreffend dargelegt. Dasselbe gilt für die Anforderungen an einen ärztlichen Bericht (BGE 125 V 352 Erw. 3a mit Hinweis), den im Sozialversicherungsrecht geltenden Untersuchungsgrundsatz (BGE 125 V 195 Erw. 2, 122 V 158 Erw. 1a, je mit Hinweisen) und den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 126 V 360 Erw. 5b, 125 V 195 Erw. 2, je mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
2.- Streitig ist, ob die SUVA auch nach dem 31. Dezember 1999 noch Leistungen in Zusammenhang mit dem Unfall vom 16. Oktober 1998 zu erbringen hat.
3.- Die erstbehandelnden Ärzte stellten eine commotio cerebri fest und äusserten den Verdacht auf commotio spinalis mit Hypästhesie des rechten Beins ohne obere Dermatombegrenzung (Bericht der Neurochirurgischen Klinik Y._, vom 30. Oktober 1998).
Die Rheumaklinik des Spitals B._, hielt in ihrem Bericht vom 29. Dezember 1998 einen Status nach Sturz mit commotio cerebri, commotio spinalis mit Hypästhesie rechtes Bein, SIG-Dysfunktion rechts und Verdacht auf Somatisierungstendenz mit depressiver Komponente sowie eine vorbestehende mediolaterale Diskushernie L5/S1, Adipositas, rezidivierende Migränekopfschmerzen und rezidivierende unklare Übelkeit fest. Nebst den eigenen Untersuchungen stützte sie sich auf das psychologische Konsilium von Frau lic. phil. L._ vom 9./15. Dezember 1998 ab, welches auf Grund "der sehr demonstrativen Schmerzpräsentation ohne entsprechendes radiologisches oder klinisches Korrelat" eingeholt wurde.
Im Zwischenbericht vom 16. Februar 1999 gab Dr. med. P._, Facharzt für Innere Medizin, eine Somatisierungstendenz mit depressiver Komponente als unfallfremden Faktor an und attestierte eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % seit 25. Januar 1999. Am 27. Januar und 15. September 2000 hielt er eine nach wie vor erhebliche Schwellung des rechten Beins fest, die eine volle Erwerbsfähigkeit verhindere.
Im Austrittsbericht der Klinik Z._ vom 23. Juli 1999 wurden deutlich regrediente, ätiologisch unklare Ruhe- und Nachtschmerzen des rechten Beins bei Status nach Sturz mit anamnestisch milder traumatischer Hirnverletzung und commotio spinalis, Sacroiliacalgelenkdysfunktion rechts und leichter venöser Insuffizienz sowie eine Anpassungsstörung mit bipolarem affektivem Mischzustand sowie ein Depersonalisations- und Derealisationssyndrom diagnostiziert. Der klinische Befund erkläre das Beschwerdebild nicht; der einzige pathologische Befund sei eine segmentale Dysfunktion des rechten Sacroiliacalgelenkes. Optisch falle eine leichte Schwellung des ganzen rechten Beins mit objektivierbarer Umfangdifferenz auf; eine tiefe Beinvenenthrombose habe durch das Institut für Röntgendiagnostik und Nuklearmedizin, Spital R._, ausgeschlossen werden können. Gemäss dem neurologischen Konsilium der Klinik B._ nichts zu ändern; denn diese enthalten keinerlei Begrüng vom 1. Juli 1999 habe sich nebst der commotio spinalis nichts Objektivierbares ergeben. Aus dem psychosomatischen Konsilium der Klinik T._ vom 19. Juli 1999 ergebe sich, dass die Patientin bereits früher wiederholt mit psychovegetativen Reaktionen und Dissoziationsstörungen auf Unfallerlebnisse reagiert habe. Aus psychiatrischer Sicht bestehe eine Arbeitsfähigkeit von 50 %, welche in den nächsten Wochen gesteigert werden sollte. Aus rheumatologischer Sicht sei die Versicherte bei Austritt voll arbeitsfähig.
Das Institut für Radiologie, Spital M._, hielt anlässlich des MRI vom 2. September 1999 einen unauffälligen Befund des Beckens und der Leiste fest.
Die kreisärztliche Untersuchung vom 24. November 1999 bei Dr. med. W._ ergab eine somatoforme Schmerzstörung ohne orthopädisches oder neurales Substrat. Die wechselbelastende Arbeit im angestammten Betrieb sei ohne Einschränkung zumutbar.
PD Dr. med. F._, Facharzt für Neurologie, Spital B._, hielt im Bericht vom 11. April 2000 fest, dass sich klinisch und elektrophysiologisch keine fassbaren Befunde feststellen liessen, wobei auch vorgängig durch die bildgebenden Untersuchungen ein pathologischer Prozess im Bereich von Wirbelsäule und Becken nicht nachgewiesen werden konnte. Weitere Abklärungen seien nicht angezeigt.
4.- Aus den ärztlichen Berichten ergeben sich keine auf den Unfall vom 16. Oktober 1998 zurückzuführende somatische Leiden. Insbesondere ist nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt, dass die Schwellung des rechten Beins Folge des Unfallereignisses ist. Denn es genügt nicht, dass es hiefür keine anderen Erklärungen gibt; vielmehr ist aus beweisrechtlicher Sicht verlangt, dass mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zwischen der konkreten Verletzung und dem Unfallereignis ein Zusammenhang besteht. Nachdem jedoch in all den verschiedenen Untersuchungen keinerlei Hinweis auf ein somatisches Substrat festgestellt werden konnte und bereits kurze Zeit nach dem Unfall die Beschwerden psychisch überlagert waren (vgl. Bericht des Spitals B._ vom 29. Dezember 1998), sind Vorinstanz und Verwaltung zu Recht von einem fehlenden somatischen Leiden ausgegangen und haben von weiteren medizinischen Abklärungen abgesehen. Daran vermögen auch die Atteste des Dr. med. P._ nichts zu ändern; denn diese enthalten keinerlei Begründung für seine Einschätzung, weshalb sie den Anforderungen an einen Arztbericht nicht genügen (BGE 125 V 352 Erw. 3a).
5.- a) Zu prüfen bleibt, ob die SUVA für psychische Leiden als Folge des Unfalles vom 16. Oktober 1998 aufzukommen hat.
b) Bei der Einteilung in leichte, mittelschwere und schwere Unfälle ist nicht das Unfallerlebnis der Betroffenen massgebend, sondern das objektiv erfassbare Unfallereignis. Ein gewöhnlicher Sturz oder ein Ausrutschen sind als leichte Unfälle anzusehen (BGE 115 V 139 Erw. 6a). Bei Stürzen von Leitern u.ä. kommt nebst den erlittenen Verletzungen der Fallhöhe ein grosses Gewicht zu (vgl. RKUV 1998 Nr. 307 S. 449 Erw. 3a mit Hinweisen). Angesichts des vom Geschehensablauf her einfachen Ausrutschens mit nachfolgendem Hinfallen ist das Ereignis vom 16. Oktober 1998 mit der Vorinstanz und unter Berücksichtigung des angeführten und durchaus vergleichbaren Falles (BGE 115 V 144 Erw. 11) als mittelschwer im Grenzbereich zu den leichten Unfällen einzuordnen. Demnach müssen für das Vorliegen des adäquaten Kausalzusammenhangs die weiteren Kriterien gehäuft oder eines in auffallender Weise erfüllt sein.
c) Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat das Kriterium der besonders dramatischen Begleitumstände oder einer besonderen Eindrücklichkeit etwa bejaht bei einer Raumpflegerin, welche bei der Arbeit von zwei scharfen Wach- und Schutzhunden angefallen wurde (Urteil J. vom 16. Juli 2001, U 146/01), bei einer Frau, die unversehens vom Sohn ihres Partners zu Boden geworfen, gewürgt, mit dem Kopf mehrfach auf den Boden geschlagen sowie in den Rücken und die Nieren getreten wurde (RKUV 2001 Nr. U 440 S. 350) oder bei einer Frau, welche an einem Verkehrsunfall in einem Tunnel mit drei involvierten Autos, einer getöteten und mehreren verletzten Personen beteiligt war (RKUV 1999 Nr. U 335 S. 207). Hingegen wurde es verneint bei einem Rechtshänder, dessen linke Hand im Druckwerk einer Tiefdruckmaschine eingeklemmt war und dessen Verletzungen rasch abheilten (Urteil V. vom 9. Juli 2001, U 111/01) oder bei einem Bauarbeiter, dessen Kopf von einem mit 22 km/h vorbeifahrenden Tram erfasst wurde und der sich eine leichte commotio cerebri oder contusio capitis sowie eine Stauchung der Halswirbelsäule und eine Distorsion dieses Wirbelsäulenabschnitts zuzog (unveröffentlichtes Urteil Z. vom 17. März 1995, U 196/93). In den in RKUV 1998 Nr. U 307 S. 449 Erw. 3a genannten Fällen mit geringer Sturzhöhe (2.5 bis 3 m und 1.2 m) wurde es ebenfalls verneint. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin ist dieses Kriterium demnach nicht erfüllt, ungeachtet davon, welcher der Schilderungen gefolgt wird. Des Weiteren erlitt die Versicherte keine schweren Verletzungen oder solche besonderer Art. Ebensowenig kann von einem schwierigen Heilungsverlauf oder einer ärztlichen Fehlbehandlung die Rede sein. Auch ist die ärztliche Behandlung nicht als aussergewöhnlich lang zu bezeichnen. Nachdem die Vorinstanz zu Recht festgehalten hat, dass die Beschwerden schon kurz nach dem Unfall psychisch überlagert waren (vgl. Bericht des Spitals B._ vom 29. Dezember 1998), und spätestens im Sommer 1999 aus somatischen Gründen keine Arbeitsunfähigkeit mehr bestand (vgl. Austrittsbericht der Klinik Z._ vom 23. Juli 1999), sind auch Grad und Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit nicht im erforderlichen Ausmass gegeben. Selbst wenn körperliche Dauerschmerzen zu bejahen wären, was angesichts der psychischen Überlagerung zumindest fraglich erscheint, ist weder eine Häufung noch das ausgeprägte Vorliegen eines einzelnen Kriteriums gegeben, womit es an der Adäquanz fehlt. Bei diesem Ergebnis kann die Frage des natürlichen Kausalzusammenhangs offen gelassen werden, da es bereits am adäquaten fehlt.
6.- Nach Art. 134 OG darf das Eidgenössische Versicherungsgericht im Beschwerdeverfahren über die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen den Parteien in der Regel keine Verfahrenskosten auferlegen. Diese Bestimmung wurde vom Gesetzgeber vor allem im Interesse der Versicherten geschaffen, die mit einem Sozialversicherer im Streit stehen. Der Grundsatz der Unentgeltlichkeit des Verfahrens vor dem Eidgenössischen Versicherungsgericht gilt nicht für den Fall, dass sich zwei Versicherer über die Leistungen aus Unfallfolgen für einen gemeinsamen Versicherten streiten (BGE 120 V 494 Erw. 3, 119 V 220 Erw. 4). Diese Sichtweise hat ihre Gültigkeit auch dort, wo ein Krankenversicherer auf Grund seiner aktiven Verfahrensbeteiligung in einer Streitigkeit zwischen einem Unfallversicherer und der versicherten Person Parteistellung erlangt (BGE 127 V 110 Erw. 6).
Das vorliegende Verfahren ist grundsätzlich kostenlos. Nachdem sich die ÖKK aktiv am Prozess beteiligte und Verfahrensanträge stellte, kommt ihr Parteistellung zu. Sie hat demnach als unterliegende Partei die Gerichtskosten zu tragen.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
I.Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen.
II.Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Öffentlichen
Krankenkasse Basel auferlegt.
III.Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht
des Kantons Basel-Landschaft, der Öffentlichen
Krankenkasse Basel und dem Bundesamt für Sozialversicherung
zugestellt.
Luzern, 14. Mai 2002
Im Namen des
Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der III. Kammer:
Die Gerichtsschreiberin: