Erwägungen:
X._ adressierte am 4. Juni 2010 ein Schreiben an das "Bundesgericht in Bern", welches an das Bundesverwaltungsgericht gelangte. Sie bat um eine Entscheidung im Streit mit ihrer Rechtsschutzversicherung, der Y._ AG, welche den Haftpflichtversicherungen, die ihre Gegenparteien seien, helfe; ein Richter solle dem langjährigen Haftpflichtstreit ein Ende setzen. Das Bundesverwaltungsgericht trat mit Urteil vom 8. Juni 2010 auf die Eingabe nicht ein; Kosten wurden nicht erhoben. Zur Begründung hielt es fest, dass keine mit Beschwerde bei ihm anfechtbare Verfügung vorliege; Streitigkeiten zwischen Versicherten und Versicherern aus Privatversicherungsrecht seien nicht öffentlichrechtlicher Natur und müssten auf dem Zivilprozessweg geltend gemacht werden; es sei zur Beurteilung der Sache nicht zuständig. Am 15. Juni 2010 gelangte X._ unter Bezugnahme auf das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts an das Bundesgericht; sie weist darauf hin, dass sie Ansprüche gegen Haftpflichtversicherungen geltend mache, und ersucht um Hilfe im Haftpflichtstreit mit der Y._ AG.
Das Bundesgericht ist nicht eine allgemeine Aufsichtsbehörde, die auf Anzeige hin tätig werden kann. Es beurteilt im begrenzten Rahmen gesetzlich umschriebener Verfahren Beschwerden namentlich gegen Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts und letzter kantonaler Instanzen (Art. 86 Abs. 1 lit. a und d des Bundesgerichtsgesetzes vom 17. Juni 2005 [BGG; SR 173.110]). Die beschwerdeführende Partei muss aufzeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletze (Art. 42 Abs. 2 BGG). Angefochten ist vorliegend ein Urteil des Bundesverwaltungsgerichts. Weder lässt sich dem Schreiben vom 15. Juni 2010 entnehmen noch ist sonst ersichtlich, inwiefern dieses Urteil Recht verletzen könnte. Soweit das Schreiben vom 15. Juni 2010 überhaupt als Beschwerde betrachtet werden kann, ist darauf nicht einzutreten. Auf die Erhebung von Kosten ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).
Die Beschwerdeführerin ist nochmals darauf hinzuweisen, dass sie ihre Haftpflichtforderungen oder andere Forderungen gegenüber Privatversicherungen grundsätzlich beim örtlich zuständigen Zivilgericht geltend machen muss und einen diesbezüglichen für sie negativen Entscheid vorerst beim oberen kantonalen Gericht anzufechten hätte. Ein Tätigwerden des Bundesgerichts käme - einzig - dann in Betracht, wenn bei ihm innert 30 Tagen Beschwerde gegen das beim oberen kantonalen Gericht erwirkte Urteil Beschwerde erhoben würde.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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