Faits:
A. B._ travaillait pour un établissement médico-social en tant qu'infirmière. Son licenciement avec effet immédiat le 28 juillet 2008 a entraîné une décompensation anxio-dépressive aiguë totalement incapacitante. L'assurée a requis des indemnités journalières d'«HOTELA Caisse maladie» (ci-après: HOTELA) le 26 août 2008.
La caisse maladie a d'abord recueilli l'opinion des doctoresses S._ et N._, psychiatres traitants, puis confié la réalisation d'une expertise au docteur M._, psychiatre. Les premières ont attesté une incapacité totale de travail pour la période comprise entre le 1er août et le 30 septembre 2008 causée par un épisode dépressif sévère, sans symptôme psychotique (rapport du 3 octobre 2008), tandis que le second a constaté une amélioration de la symptomatologie dépressive et pronostiqué un amendement complet pour le 1er décembre 2008 (rapport du 28 octobre 2008). Sur la base de ces éléments, HOTELA a informé l'intéressée qu'elle entendait mettre fin au versement des prestations dès la fin du mois de novembre 2008 (courrier du 7 novembre 2008 entériné par décision du 20 février 2009). B._ a formé opposition contre cette décision. La caisse maladie a alors mandaté le docteur E._, psychiatre, pour qu'il mette en oeuvre une seconde expertise. L'expert a retenu un état dépressif majeur de gravité légère à moyenne permettant la reprise d'un travail à au moins 80 % à partir du 1er mai 2009 sauf avis contraire du médecin traitant (conclusions du 16 avril 2009 et rapport du 15 mai suivant). Se référant à ce document, HOTELA a annulé la décision du 20 février 2009 et communiqué à l'assurée son intention de prolonger le paiement des prestations jusqu'au 30 avril 2009 (courrier du 22 avril 2009 entériné par décision du 1er juillet suivant). Malgré l'opposition de l'intéressée qui requérait la poursuite du versement des indemnités journalières au-delà du 30 avril 2009 et l'avis des doctoresses S._ et L._, psychiatres traitants, qui soutenaient la démarche de leur patiente (rapport du 23 juillet 2009), cette décision a été confirmée (décision sur opposition du 31 juillet 2009).
B. B._ a déféré la décision sur opposition à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois. Relevant que le docteur E._ réservait l'opinion contraire des médecins traitants, qui attestaient encore une incapacité totale de travail (rapport des doctoresses S._ et L._ du 9 septembre 2009), elle concluait substantiellement à la poursuite du paiement des indemnités journalières fondées sur un taux d'incapacité de travail de 100 % au-delà du 30 avril 2009.
La juridiction cantonale a accédé au conclusions de l'assurée pour les motifs invoqués par cette dernière (jugement du 30 août 2010).
C. La caisse maladie interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement. Elle en requiert l'annulation et conclut, sous suite de frais et dépens, à la confirmation de la décision ou, subsidiairement, au renvoi de la cause aux premiers juges pour instruction complémentaire. Elle dépose en outre un certain nombre de pièces (rapports d'examen psychologique et médicaux, décision administrative) tirées du dossier de l'assurance-invalidité.
L'intéressée a conclu au rejet du recours sous suite de frais et dépens. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF incluant les droits fondamentaux) est dirigé contre la décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière d'assurance maladie sociale (art. 1a al. 1 LAMal, art. 82 let. a LTF) par la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois (art. 86 al. 1 let. d LTF) et ne tombe pas sous le coup d'une des exceptions de l'art. 83 LTF. La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte. Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF).
2. Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
3. En l'occurrence, le litige porte sur le droit de l'intimée à des indemnités journalières versées par l'assureur-maladie social (art. 1a al. 1 in fine LAMal), singulièrement sur le point de savoir si la capacité résiduelle de travail de l'assurée justifie ou non la suppression des prestations mentionnées à partir du 1er mai 2009.
4. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables au cas d'espèce. Il suffit donc d'y renvoyer.
5. 5.1 La caisse maladie recourante développe contre le jugement entrepris six griefs supposés établir une appréciation arbitraire des preuves ainsi qu'une violation du droit fédéral.
5. 5.1 La caisse maladie recourante développe contre le jugement entrepris six griefs supposés établir une appréciation arbitraire des preuves ainsi qu'une violation du droit fédéral.
5.2 5.2.1 Elle reproche d'abord à la juridiction cantonale de n'avoir pas tenu compte des conclusions du docteur M._ (recours ch. 1 p. 6 s.), ni de celles du docteur E._ (recours ch. 2 p. 7 s.) et de leur avoir indûment préféré celles des médecins traitants (recours ch. 3 p. 8 ss).
5.2.2 Il ressort de l'état de fait de l'acte attaqué que, sur le plan procédural, la recourante a annulé sa décision du 20 février 2009 (suppression des indemnités journalières à partir du 1er décembre 2008), basée exclusivement sur l'avis du docteur M._, en se référant explicitement à l'avis du docteur E._, sur lequel repose entièrement la décision litigieuse du 31 juillet 2009 (suppression des indemnités journalières à partir du 1er mai 2009). Il apparaît encore que, sur le plan médical, tant les experts que les médecins traitants s'accordent quant à la nature de la pathologie existante (épisode dépressif sévère sans symptôme psychotique, état dépressif majeur de gravité légère à moyenne) mais que leurs opinions divergent quant à la date de l'amendement total ou partiel de cette pathologie. Pour le docteur M._, l'évolution générée par le suivi et le traitement instaurés laissait augurer une reprise du travail pour le 1er décembre 2008. Le docteur E._ envisageait une capacité de travail d'au moins 80 % à partir du 1er mai 2009 pour autant que l'assurée suive pendant quelque temps un traitement particulier et que ses médecins traitants n'en attestent pas l'inefficacité. Ceux-ci constataient le 9 septembre 2009 l'absence d'amélioration de l'état psychique de leur patiente en dépit d'entretiens médico-psychiatriques couplés à un traitement psychotrope ad hoc. Mettant en évidence la réserve émise par le docteur E._ quant à un avis médical postérieur pouvant valablement contrer son pronostic, les premiers juges ont déduit de ce qui précède que la symptomatologie dépressive ne s'était aucunement amendée à la date du 1er mai 2009 et ont réformé la décision litigieuse dans le sens d'une poursuite du versement des prestations.
5.2.3 L'argumentation développée ne démontre pas le caractère manifestement inexact ou arbitraire (sur cette notion, cf. ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9) de la constatation des faits par la juridiction cantonale.
Il paraît d'abord malvenu de la part de la recourante de reprocher aux premiers juges de ne pas avoir pris en compte les conclusions du docteur M._ dans la mesure où elle les a elle-même implicitement, mais clairement, désavouées par son comportement. On relèvera encore au sujet de ce grief que toutes les considérations portant sur les déclarations contradictoires de l'intimée à propos d'une perte d'intégration sociale rencontrée «dans le cadre de fibromyalgie invalidante» ne sont d'aucune utilité à la recourante pour établir la pertinence ou la prééminence des conclusions du docteur M._ dès lors que ce diagnostic n'a jamais été posé en l'espèce et qu'il ne ressort aucunement des documents médicaux disponibles que ce critère ait d'une quelconque manière légitimé à lui seul, ni même en lien avec d'autres, le taux d'incapacité de travail retenu.
Il ne peut pareillement être reproché à la juridiction cantonale de s'être indûment écartée du rapport du docteur E._ ou de lui avoir préféré l'avis des médecins traitants puisque, contrairement à ce que la recourante soutient et comme le suggère le jugement attaqué, il n'existe aucune contradiction dans les documents médicaux qui pourrait justifier la négation de la valeur probante de l'un ou l'autre. Il apparaît effectivement que les conclusions des experts ne sont que des pronostics et que la réserve émise par le docteur E._ quant à un avis médical postérieur contraire existe bel et bien (cf. rapport d'expertise p. 16). On ajoutera encore que le fait pour les médecins traitants d'avoir soutenu leur patiente dans son opposition ou d'avoir instauré trois visites hebdomadaires dans un centre thérapeutique de jour ne prouve pas ni ne rend vraisemblable l'absence de pertinence de leurs propres conclusions. On notera enfin que, dans le cadre du litige, il n'appartenait pas aux premiers juges de délimiter la période d'incapacité de travail mais qu'il leur incombait uniquement de se prononcer sur le bien-fondé de la suppression des indemnités journalières au 1er mai 2009. L'invocation de documents postérieurs à la décision litigieuse tirés du dossier de l'assurance-invalidité pour appuyer la thèse défendue n'est par ailleurs pas recevable dans la mesure où ni les faits nouveaux ni les preuves nouvelles ne peuvent être présentés céans (art. 99 LTF).
Il ne peut pareillement être reproché à la juridiction cantonale de s'être indûment écartée du rapport du docteur E._ ou de lui avoir préféré l'avis des médecins traitants puisque, contrairement à ce que la recourante soutient et comme le suggère le jugement attaqué, il n'existe aucune contradiction dans les documents médicaux qui pourrait justifier la négation de la valeur probante de l'un ou l'autre. Il apparaît effectivement que les conclusions des experts ne sont que des pronostics et que la réserve émise par le docteur E._ quant à un avis médical postérieur contraire existe bel et bien (cf. rapport d'expertise p. 16). On ajoutera encore que le fait pour les médecins traitants d'avoir soutenu leur patiente dans son opposition ou d'avoir instauré trois visites hebdomadaires dans un centre thérapeutique de jour ne prouve pas ni ne rend vraisemblable l'absence de pertinence de leurs propres conclusions. On notera enfin que, dans le cadre du litige, il n'appartenait pas aux premiers juges de délimiter la période d'incapacité de travail mais qu'il leur incombait uniquement de se prononcer sur le bien-fondé de la suppression des indemnités journalières au 1er mai 2009. L'invocation de documents postérieurs à la décision litigieuse tirés du dossier de l'assurance-invalidité pour appuyer la thèse défendue n'est par ailleurs pas recevable dans la mesure où ni les faits nouveaux ni les preuves nouvelles ne peuvent être présentés céans (art. 99 LTF).
5.3 5.3.1 La recourante reproche ensuite aux premiers juges d'avoir violé leur devoir d'instruire la cause d'office (art. 61 let. c LPGA). Elle soutient que, si ceux-ci n'entendaient pas suivre les conclusions des docteurs M._ et E._, ils se devaient de mettre en oeuvre une expertise judiciaire pour démontrer le caractère infondé des expertises disponibles (recours ch. 4 p. 11). Elle estime également qu'il incombait à la juridiction cantonale de se procurer le dossier de l'assurance-invalidité qui a abouti à une solution diamétralement opposée (recours ch. 5 p. 11).
5.3.2 Ces deux griefs ne sont pas plus fondés que les trois premiers. Outre le fait que l'autorité amenée à statuer peut légitimement renoncer à accomplir des actes complémentaires d'instruction lorsqu'elle est persuadée que ceux-ci ne changeront rien à sa conviction (sur l'appréciation anticipée des preuves, cf. notamment arrêt 9C_986/2008 du 29 mai 2009 consid. 3 et les références), on relèvera que les premiers juges n'étaient pas tenus de prendre en compte la décision de l'assurance-invalidité dès lors que cette décision était postérieure à l'état de fait déterminant et qu'elle repose de toute façon sur les même documents médicaux (en particulier l'expertise du docteur E._) ou l'avis des mêmes médecins dont elle apprécie différemment les conclusions. Que l'assurée ait elle-même requis la réalisation d'une expertise judiciaire n'y change rien - et ne démontre en tout cas pas qu'elle était consciente de la faiblesse de sa position - dès lors qu'il ne s'agissait que d'une conclusion subsidiaire (recours cantonale p. 6) pour le cas où il n'aurait pas été accédé à sa conclusion principale.
5.3.2 Ces deux griefs ne sont pas plus fondés que les trois premiers. Outre le fait que l'autorité amenée à statuer peut légitimement renoncer à accomplir des actes complémentaires d'instruction lorsqu'elle est persuadée que ceux-ci ne changeront rien à sa conviction (sur l'appréciation anticipée des preuves, cf. notamment arrêt 9C_986/2008 du 29 mai 2009 consid. 3 et les références), on relèvera que les premiers juges n'étaient pas tenus de prendre en compte la décision de l'assurance-invalidité dès lors que cette décision était postérieure à l'état de fait déterminant et qu'elle repose de toute façon sur les même documents médicaux (en particulier l'expertise du docteur E._) ou l'avis des mêmes médecins dont elle apprécie différemment les conclusions. Que l'assurée ait elle-même requis la réalisation d'une expertise judiciaire n'y change rien - et ne démontre en tout cas pas qu'elle était consciente de la faiblesse de sa position - dès lors qu'il ne s'agissait que d'une conclusion subsidiaire (recours cantonale p. 6) pour le cas où il n'aurait pas été accédé à sa conclusion principale.
5.4 5.4.1 La caisse recourante reproche enfin à la juridiction cantonale de ne pas avoir tenu compte du principe selon lequel l'assuré a l'obligation de diminuer son dommage. Il y voit une prime à la mauvaise volonté de l'intimée (recours ch. 6 p. 13 s.).
5.4.2 Ces considérations ne sont toujours pas pertinentes. Elles vont clairement à l'encontre des conclusions médicales bien comprises figurant au dossier. Que l'assurée ait qualifié d'illusoire toute reprise d'une activité lucrative à cause de son âge notamment ne change rien au fait que tous les médecins consultés ont attesté l'existence d'un état dépressif qui, au regard de ce qui précède (cf. consid. 5.2), influençait toujours la capacité de travail en date de 1er mai 2009.
6. Vu l'issue du litige, la recourante assumera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Elle ne saurait prétendre des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF) au contraire de l'intimée qui obtient gain de cause (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. La recourante versera à l'intimée la somme de 1'800 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 20 juin 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Cretton