Sachverhalt:
A. Am 29. Januar 2009 reichte X._ beim Untersuchungsrichteramt des Kantons Schaffhausen gegen A._ Strafanzeige wegen Vergewaltigung ein. Die Ermittlungsleitung lag bei der ausserordentlichen Untersuchungsrichterin Y._, welcher der Gerichtsaktuar Z._ zugeteilt ist. Die Schaffhauser Polizei vernahm X._ am 9. April 2009 als Auskunftsperson und A._ am 5. August 2009 als Beschuldigten ein. Am 7. August 2009 befragte die Polizei X._ ein zweites Mal als Auskunftsperson und vernahm sie im Anschluss daran als Beschuldigte wegen Verdachts der falschen Anschuldigung zum Nachteil von A._ ein.
Am 14. August 2009 stellte Y._ das Ermittlungsverfahren gegen A._ wegen Verdachts der Vergewaltigung zum Nachteil von X._ ein. Diese focht die Einstellung bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen an. Mit Einspracheentscheid vom 26. Oktober 2009 hob diese die Einstellungsverfügung auf und wies die Akten zur Ergänzung der Untersuchung ans Untersuchungsrichteramt zurück. Die Staatsanwaltschaft beanstandete insbesondere, dass keine untersuchungsrichterlichen Einvernahmen durchgeführt worden seien und wies das Untersuchungsrichteramt an, X._ als Auskunftsperson zu befragen. Am 2. November 2009 verfügte Y._ die Eröffnung eines Untersuchungsverfahrens gegen A._ wegen Verdachts der Vergewaltigung zum Nachteil von X._. Parallel dazu eröffnete Y._ am 21. Dezember 2009 ein Strafverfahren gegen X._ wegen Verdachts der falschen Anschuldigung zum Nachteil von A._.
B. Am 5. April 2010 lud Y._ im Verfahren gegen A._ wegen Verdachts der Vergewaltigung X._ auf den 10. Mai 2010 als Auskunftsperson vor. Am 7. April 2010 stellte X._ ein Ausstandsbegehren gegen die ausserordentliche Untersuchungsrichterin Y._ und den Gerichtsaktuaren Z._. Y._ übermittelte die Eingabe dem Präsidenten des Obergerichts des Kantons Schaffhausen und verschob die angesetzte Einvernahme von X._ auf einen späteren Zeitpunkt. In ihrer Stellungnahme im obergerichtlichen Ausstandsverfahren erklärte sich Y._ als nicht befangen und wies darauf hin, es sei bereits vor Eingang der Ausstandsgesuche entschieden worden, dass bei den untersuchungsrichterlichen Einvernahmen nicht Z._, sondern eine Gerichtsaktuarin das Protokoll führen werde.
Mit Entscheid vom 8. Mai 2010 wies der Präsident des Obergerichts das Ausstandsbegehren von X._ gegen die ausserordentliche Untersuchungsrichterin Y._ ab, soweit er darauf eintrat. Das Ausstandsverfahren gegen den Gerichtsaktuaren Z._ schrieb er als gegenstandslos ab.
C. Mit Eingabe vom 16. Juni 2010 führt X._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht mit den Anträgen, der Entscheid des Präsidenten des Obergerichts vom 8. Mai 2010 sei aufzuheben, die Befangenheit von Y._ und Z._ sei festzustellen, und Y._ sei von der weiteren Mitwirkung im Untersuchungsverfahren gegen A._ auszuschliessen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Präsident des Obergerichts reicht eine Vernehmlassung zur Beschwerde ein, ohne jedoch Anträge zu stellen. Y._ beantragt die Abweisung der Beschwerde. Z._ hat sich nicht vernehmen lassen. In ihrer Stellungnahme zu den Vernehmlassungen und in einer weiteren Eingabe vom 30. September 2010 hält die Beschwerdeführerin an ihren Rechtsauffassungen und Anträgen fest.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in Strafsachen gegen einen selbstständig eröffneten strafprozessualen Zwischenentscheid betreffend Ausstand von Mitgliedern der Strafverfolgungsorgane ist zulässig (Art. 78 und 92 BGG). Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2. Für den allgemeinen grundrechtlichen Anspruch auf Unabhängigkeit und Objektivität von Untersuchungs- und Anklagebehörden ist nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts Art. 29 Abs. 1 BV massgeblich. Die beschuldigte Person hat keinen Anspruch darauf, dass Untersuchungsbehörden mit qualifizierter richterlicher Unabhängigkeit im Sinne von Art. 30 Abs. 1 BV ausgestattet werden (vgl. BGE 127 I 196 E. 2b S. 198).
Der Unvoreingenommenheit von Untersuchungsrichtern kann zwar unter gewissen Gesichtspunkten eine ähnliche Bedeutung zukommen wie der richterlichen Unabhängigkeit und Unparteilichkeit. Die Grundsätze von Art. 30 Abs. 1 BV dürfen jedoch nicht unbesehen auf nicht richterliche Behörden bzw. auf Art. 29 Abs. 1 BV übertragen werden. Unter Berücksichtigung der verfahrensmässigen und gesetzlich vorgesehenen Konstellationen ist den unterschiedlichen Funktionen der Strafverfolgungsorgane Rechnung zu tragen. Von Untersuchungsrichtern sind Sachlichkeit, Unbefangenheit und Objektivität namentlich insofern zu erwarten, als sie sich vor Abschluss der Untersuchung grundsätzlich nicht darauf festlegen sollen, der beschuldigten Person ein strafbares Verhalten zur Last zu legen oder ein strafbares Verhalten auszuschliessen. Auch haben sie den entlastenden Indizien und Beweismitteln ebenso Rechnung zu tragen wie den belastenden (vgl. BGE 124 I 274 E. 3e S. 282; Urteil 1B_56/2008 vom 24. Juni 2008 E. 4; Hauser/Schweri/Hartmann, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Aufl., 2005, § 26 Rz. 12). Staatsanwälte oder Untersuchungsrichter können abgelehnt werden, wenn Umstände wie etwa strafprozessual unzulässige vorverurteilende Äusserungen vorliegen, welche nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken. In der Regel vermögen allgemeine Verfahrensmassnahmen, seien sie nun richtig oder falsch, als solche keine Voreingenommenheit der verfügenden Justizperson zu begründen. Soweit konkrete Verfahrensfehler beanstandet werden, sind in erster Linie die entsprechenden Rechtsmittel zu ergreifen. Als Ablehnungsgrund fallen nur besonders krasse oder ungewöhnlich häufige Versäumnisse und Mängel in Betracht (vgl. BGE 125 I 119 E. 3e S. 124; Urteil 1B_273/2009 vom 15. Dezember 2009 E. 2.2).
3. Die Beschwerdeführerin macht in verschiedener Hinsicht geltend, die beiden abgelehnten Personen der Untersuchungsbehörde verfügten in Bezug auf die Strafuntersuchung gegen A._ nicht über die erforderliche Unvoreingenommenheit.
3.1 Soweit die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe das Ausstandsverfahren gegen den Gerichtsaktuaren Z._ zu Unrecht als gegenstandslos abgeschrieben, dringt sie mit ihrer Beschwerde nicht durch.
Die Beschwerdeführerin stellte im vorinstanzlichen Verfahren den Antrag, Z._ sei zu veranlassen, im hängigen Strafverfahren in den Ausstand zu treten. Z._ sei auf der Internetplattform "Facebook" als "Freund" des beschuldigten A._ eingetragen. Es liege damit ein besonderes Freundschaftsverhältnis im Sinne von Art. 26 lit. b der Strafprozessordnung für den Kanton Schaffhausen vom 15. Dezember 1986 (StPO/SH; Schaffhauser Rechtsbuch 320.100) vor.
Nach Art. 26 lit. b StPO/SH kann ein Richter abgelehnt und damit von der weiteren Mitwirkung am Verfahren ausgeschlossen werden, wenn Tatsachen vorliegen, die ihn als befangen erscheinen lassen und Misstrauen gegen seine Unparteilichkeit erregen, vor allem wenn er zum Beschuldigten oder Geschädigten im Verhältnis besonderer Freundschaft oder Feindschaft oder in einem besonderen Pflicht- oder Abhängigkeitsverhältnis steht. Art 28 StPO/SH bestimmt, dass die Vorschriften über den Ausstand der Richter sinngemäss auch für alle übrigen in der Strafrechtspflege tätigen Mitarbeiter der Gerichte, der Strafverfolgungsbehörden und der Polizei gelten.
Die Vorinstanz erwägt, nach dem Wortlaut von Art. 26 StPO/SH gelte der Ausschluss ausdrücklich für das weitere Verfahren, und auch die Beschwerdeführerin habe ihre Beschwerde damit begründet, dass es aufgrund der Umstände ausgeschlossen erscheine, dass Z._ im vorliegenden Strafverfahren weiter tätig sei. Die bisherigen Amtshandlungen von Z._ habe die Beschwerdeführerin hingegen nicht angefochten. Indem Z._ in der Folge in den Ausstand getreten sei und am Strafverfahren nicht mehr mitwirke, sei dem Antrag der Beschwerdeführerin vollumfänglich entsprochen worden. Daher sei ihr Ablehnungsbegehren soweit Z._ betreffend gegenstandslos geworden.
Die Auffassung der Vorinstanz verletzt kein Bundesrecht. Insbesondere ist nicht ersichtlich und wird von der Beschwerdeführerin auch nicht behauptet, dass die Bestimmung von Art. 26 lit. b StPO/SH i.V.m. Art. 28 StPO/SH willkürlich angewendet worden wäre.
3.2 Die Beschwerdeführerin verlangt weiter den Ausstand der ausserordentlichen Untersuchungsrichterin Y._ und beruft sich dabei auf den Ablehnungsgrund des Vorliegens von Tatsachen, welche die abgelehnte Person als befangen erscheinen liessen und Misstrauen gegen ihre Unparteilichkeit erregten (vgl. Art. 26 StPO/SH). Die Beschwerdeführerin betont insbesondere, es gehe nicht an, vor der Vornahme der wesentlichen Verfahrensschritte im Hauptverfahren gegen A._ wegen Verdachts der Vergewaltigung (Durchführung der untersuchungsrichterlichen Einvernahmen) bereits ein Verfahren gegen das Opfer wegen Verdachts der falschen Anschuldigung einzuleiten und dieses Verfahren voranzutreiben (Hausdurchsuchung, Zeugenbefragungen).
3.2.1 Die ausserordentliche Untersuchungsrichterin Y._ stellte mit Verfügung vom 14. August 2009 das Ermittlungsverfahren gegen A._ wegen Verdachts der Vergewaltigung ein. Diese Verfügung hob die Staatsanwaltschaft mit Entscheid vom 26. Oktober 2009 auf und wies die Sache zur Ergänzung der Untersuchung - das heisst, insbesondere zur Befragung der Beschwerdeführerin als Auskunftsperson - ans Untersuchungsrichteramt zurück.
Damit stellt sich vorab die grundsätzliche Frage, ob sich Y._ unter dem Blickwinkel von Art. 29 Abs. 1 BV erneut mit der Sache befassen darf. Hierfür kann auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu Art. 30 Abs. 1 BV abgestellt werden. Bei einer Rückweisung durch die obere Instanz ist die Mitwirkung eines am aufgehobenen Entscheid beteiligten Richters bei der Neubeurteilung grundsätzlich zulässig. Vom Richter darf erwartet werden, dass er die Streitsache auch nach Aufhebung des Entscheids objektiv und unparteiisch behandelt (BGE 131 I 113 E. 3.6 S. 120; Urteil 1C_205/2009 vom 9. Juli 2009 E. 2). Die Tatsache, dass Y._ nach dem Rückweisungsentscheid der Staatsanwaltschaft vom 26. Oktober 2009 in der gleichen Sache erneut als Untersuchungsrichterin tätig ist, stellt somit als solche keinen Ausstandsgrund dar.
3.2.2 Fragen wirft jedoch das weitere Vorgehen von Y._ auf. In Umsetzung des Entscheids der Staatsanwaltschaft vom 26. Oktober 2009 verfügte sie vorab am 2. November 2009 die Eröffnung eines Untersuchungsverfahrens gegen A._ wegen Verdachts der Vergewaltigung. Zugleich verfügte sie jedoch am 21. Dezember 2009 auch die Eröffnung eines Untersuchungsverfahrens gegen die Beschwerdeführerin wegen Verdachts der falschen Anschuldigung. Im Rahmen dieses zweitgenannten Verfahrens liess Y._ am 22. Dezember 2009 eine Hausdurchsuchung durchführen (Sicherstellung der Personalakte der Beschwerdeführerin), und am 9. März 2010 vernahm sie zwei Zeugen ein. Während Y._ somit die Strafuntersuchung gegen die Beschwerdeführerin beförderlich behandelte, tätigte sie im Verfahren gegen A._ wegen Verdachts der Vergewaltigung, soweit ersichtlich, keine weiteren Untersuchungshandlungen. Insbesondere hat sie die Beschwerdeführerin bislang nicht als Auskunftsperson einvernommen.
Die Vorinstanz führt insoweit aus, die Einleitung eines Verfahrens gegen die Beschwerdeführerin wegen Verdachts der falschen Anschuldigung könne bei ihr den Eindruck erwecken, "ihre Anzeige werde nicht ernst genommen und der Spiess werde gegen sie umgedreht". Diese Einschätzung ist zutreffend. Die Eröffnung eines Untersuchungsverfahrens wegen Verdachts der falschen Anschuldigung setzt einen dringenden Tatverdacht voraus. Mit ihrem Vorgehen macht Y._ deutlich, dass sie erhebliche Zweifel hegt, dass der von der Beschwerdeführerin erhobene Vergewaltigungsvorwurf der Wahrheit entspricht - nota bene, ohne die Beschwerdeführerin je persönlich als Auskunftsperson einvernommen zu haben. Die Befürchtung der Beschwerdeführerin, Y._ werde das Untersuchungsverfahren gegen A._ wegen Verdachts der Vergewaltigung nicht mit der erforderlichen Offenheit führen, erscheint damit begründet.
Zusammenfassend zeigen sich folglich in der Verfahrensführung der ausserordentlichen Untersuchungsrichterin Y._ - Eröffnen und beförderliches Weiterführen der Strafuntersuchung gegen die Beschwerdeführerin, ohne diese bislang im Hauptverfahren gegen A._ als Auskunftsperson einvernommen zu haben - schwerwiegende Mängel, die geeignet sind, das Vertrauen in die Unvoreingenommenheit des Verfahrens auch bei objektiver Betrachtung zu erschüttern. Entgegen der im angefochtenen Entscheid gezogenen Schlussfolgerung erweist sich die Beschwerde in diesem Punkt damit als begründet. Bei diesem Ergebnis erübrigt sich ein Eingehen auf die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin.
4. Demnach ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen und der angefochtene Entscheid in Bezug auf die ausserordentliche Untersuchungsrichterin Y._ aufzuheben. Das zugrunde liegende Ausstandsbegehren ist gestützt auf Art. 107 Abs. 2 BGG gutzuheissen (vgl. Urteil 1B_242/2007 vom 28. April 2008 E. 3, nicht publ. in: BGE 134 I 238; Urteil 1B_263/2009 vom 11. Dezember 2009 E. 4). Soweit das Ausstandsverfahren gegen Z._ betreffend ist die Beschwerde hingegen abzuweisen.
Die Beschwerdeführerin wird im Umfang ihres Unterliegens kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG); Y._ und Z._ werden keine Gerichtskosten auferlegt (vgl. Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Schaffhausen hat die Beschwerdeführerin angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Im Übrigen ist die Sache zu neuer Entscheidung über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Ausstandsverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, der Entscheid der Vorinstanz vom 8. Mai 2010 in Bezug auf die ausserordentliche Untersuchungsrichterin Y._ aufgehoben und das Ausstandsgesuch gegen Y._ gutgeheissen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten und Parteientschädigung für das kantonale Ausstandsverfahren an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Der Kanton Schaffhausen hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, Y._, Z._ und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Oktober 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Stohner