Sachverhalt:
A. Die 1972 geborene G._ war bei der Firma K._ AG angestellt und bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachfolgend Mobiliar) obligatorisch unfallversichert. Am 12. Juni 2006 bremste sie mit ihrem Auto vor einer Lichtsignalanlage ab, worauf der nachfolgende Lastwagen in das Heck ihres Autos stiess. Initial wurde bei ihr ein Zervikobrachialsyndrom diagnostiziert. Die Mobiliar erbrachte Heilbehandlung und Taggeld. Sie zog diverse Arztberichte, eine biomechanische Kurzbeurteilung der Arbeitsgruppe X._ vom 10. März 2008 und ein Gutachten der Stelle Y._ vom 21. Januar 2009 mit Ergänzung vom 11. Juni 2009 bei. Mit Verfügung vom 24. Juli 2009 stellte sie die Leistungen per Ende Februar 2009 mangels natürlicher und adäquater Unfallkausalität der noch bestehenden Beschwerden ein. Hiegegen erhoben die Versicherte und ihr Krankenversicherer Einsprache. Letzterer zog sie in der Folge zurück. Die Mobiliar wies die Einsprache der Versicherten und ihr Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren ab (Entscheid vom 9. Februar 2010).
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz ab (Dispositiv-Ziffer 1; Entscheid vom 26. Juli 2010).
C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherte die Aufhebung von Dispositiv-Ziffer 1 des kantonalen Entscheides; die Mobiliar sei zu verpflichten, für die Folgen des Unfalls vom 12. Juni 2006 fortdauernd die gesetzlichen UVG-Leistungen zu erbringen, insbesondere das halbe Taggeld ab 1. März 2009 nachzuleisten; für das Einspracheverfahren sei ihr die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren. Sie ersucht um Bewilligung der unentgeltlichen Prozessführung vor Bundesgericht.
Die Mobiliar und die Vorinstanz schliessen auf Beschwerdeabweisung der. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Indessen prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Versicherte ist italienische Staatsangehörige. Ungeachtet des am 1. Juni 2002 in Kraft getretenen Abkommens vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft einerseits und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten andererseits über die Freizügigkeit (FZA) ist materiell schweizerisches Recht anzuwenden (BGE 130 V 253 E. 2.4 S. 257, 128 V 315; Urteil 8C_1028/2009 vom 21. Mai 2010 E. 2).
3. Die Vorinstanz hat die Grundlagen über den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f.), die erforderliche Adäquanz des Kausalzusammenhangs im Allgemeinen sowie bei psychischen Unfallfolgen (BGE 115 V 133) und Folgen eines Unfalls mit Schleudertrauma der Halswirbelsäule (HWS) oder äquivalenter Verletzung ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle (BGE 134 V 109) im Besonderen richtig dargelegt. Gleiches gilt betreffend den Wegfall unfallbedingter Ursachen eines Gesundheitsschadens bei Erreichen des Status quo sine vel ante und die damit verbundene Beweislast (SVR 2009 UV Nr. 3 S. 9 E. 2.2 [8C_354/2007]), den Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 134 V 109 E. 9.5 S. 125) und den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 f. E. 5.1). Darauf wird verwiesen. Zu ergänzen ist, dass die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers bei organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen praktisch keine Rolle spielt, da sich hier die adäquate und natürliche Kausalität weitgehend decken (BGE 134 V 109 E. 2. S. 112).
4. Die Versicherte reicht in materiellrechtlicher Hinsicht neu einen Bericht des Prof. Dr. med. S._, FMH Physikalische Medizin und Rehabilitation, vom 9. September 2010 ein. Sie macht hiefür aber keine nach Art. 99 Abs. 1 BGG relevanten Gründe geltend (hiezu vgl. BGE 135 V 194; nicht publ. E. 2.3 des Urteils BGE 135 V 163, in SVR 2009 BVG Nr. 30 S. 109 [9C_920/2008]; SVR 2010 UV Nr. 17 S. 63 E. 4 [8C_239/2008]; Urteil 8C_683/2010 vom 5. November 2010 E. 3). Dies gilt auch für ihr Vorbringen, die Vorinstanz habe sich auf die Äusserung beschränkt, es überrasche nicht, dass Prof. Dr. med. S._ das Ergebnis des Gutachtens der Stelle Y._ nicht unterstütze. Dieser Bericht ist somit nicht zu berücksichtigen. Hievon abgesehen könnte die Versicherte daraus nichts zu ihren Gunsten ableiten.
5. Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, die Versicherte habe am 12. Juni 2006 überwiegend wahrscheinlich eine HWS-Distorsion erlitten; objektivierbare Verletzungen seien nicht diagnostiziert worden. Der von ihr in erster Linie bestrittene Vorzustand sei aufgrund der in den Akten liegenden Berichte - zumindest bezüglich der HWS-Beschwerden und des Schwindels - genügend belegt. Eine vorbestehende psychische Problematik sei nicht erstellt. Laut dem Gutachten der Stelle Y._ vom 23. Januar 2009 - das die praxisgemässen Anforderungen an eine medizinische Beurteilungsgrundlage erfülle - sei die Unfallkausalität der noch bestehenden Beschwerden der Versicherten zwar möglich, aber nicht überwiegend wahrscheinlich. Aufgrund der schon vor dem Unfall dokumentierten HWS-Beschwerden und Schwindelgefühle müsse angenommen werden, dass sich der Gesundheitszustand auch ohne den Unfall analog entwickelt hätte und der Status quo sine bereits einige Wochen nach dem Unfall erreicht gewesen sei. Deshalb habe die Mobiliar zu Recht die natürliche Unfallkausalität der anhaltenden Beschwerden verneint und die Leistungen per Ende Februar 2009 eingestellt. Die Versicherte habe nicht näher dargelegt, aus welchen konkreten Gründen auf das Gutachten der Stelle Y._ nicht abgestellt werden dürfe. Betreffend den von ihr nachgereichten Bericht des Prof. Dr. med. S._ vom 15. März 2010 sei Folgendes anzufügen: Das Gutachten der Stelle Y._ haben sich eingehend mit seiner abweichenden Meinung auseinandergesetzt. Auf die von ihm im Bericht vom 26. März 2009 am Gutachten der Stelle Y._ geübten Kritik seien die Gutachter der Stelle Y._ im Ergänzungsbericht vom 11. Juni 2009 eingegangen. Dass Prof. Dr. med. S._ das Ergebnis dieses Gutachten nicht unterstütze, überrasche bei dieser Sachlage nicht.
6. Die Versicherte bringt vor, sie habe ausführlich die Unschlüssigkeit des Gutachtens der Stelle Y._ vom 23. Januar 2009 dargelegt und den spekulativ unterstellten Vorzustand mit den der Mobiliar unterbreiteten Arztberichten widerlegt. Mit der Missachtung dieser Vorbringen sei ihr das rechtliche Gehör verweigert worden. Zudem habe sie der Vorinstanz gestützt auf die Stellungnahme des Prof. Dr. med. S._ vom 15. März 2010 ausführlich begründet dargelegt, weshalb auf das Gutachten der Stelle Y._ nicht abgestellt werden könne. Die Vorinstanz habe sich in Verletzung des Gehörsanspruchs überhaupt nicht mit dieser Stellungnahme auseinandergesetzt, sondern sich auf den Hinweis beschränkt, die Gutachter der Stelle Y._ und die Mobiliar hätten zu seinen Einwänden Stellung genommen. Mit der blossen Bemerkung, es überrasche nicht, dass Prof. Dr. med. S._ das Ergebnis des Gutachtens nicht unterstützte, habe die Vorinstanz die Prüfungspflicht gestützt auf den Gehörsanspruch verletzt.
Gemäss dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) hat die Behörde ihren Entscheid zu begründen. Indessen ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen der Parteien ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die Parteien über die Tragweite des Entscheides Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache weiterziehen können. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88; Urteil 8C_663/2010 vom 15. November 2010 E. 5.2.1). Diese Anforderungen erfüllt der angefochtene Entscheid. Selbst wenn eine Verletzung der Begründungspflicht vorläge, wäre indessen von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz im Sinne einer Heilung des Mangels abzusehen, da dem Bundesgericht die volle Kognition zusteht (E. 1 hievor) und die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren sind (BGE 132 V 387 E. 5.1 S. 390; Urteil 8C_57/2008 vom 16. Mai 2008 E. 5.2).
7. Soweit sich die Versicherte zur Begründung der Unfallkausalität ihrer Beschwerden auf die biomechanische Kurzbeurteilung der Arbeitsgruppe X._ vom 10. März 2008 beruft, ist dem entgegenzuhalten, dass diese keine hinreichende Grundlage für die Kausalitätsbeurteilung bildet; sie vermag allenfalls gewichtige Anhaltspunkte zur Unfallschwere zu liefern (RKUV 2003 Nr. U 489 S. 357 E. 3.2 [U 193/01]; Urteil 8C_735/2009 vom 2. November 2009 E. 5.2).
8. 8.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Hausärztin Frau Dr. med. O._, Innere Medizin FMH, habe am 14. Juni 2006 Parästhesien in der Schulter rechts zum Befund erhoben. Weiter beruft sie sich auf den Bericht der Frau Dr. med. W._, Rheumatologie FMH, vom 5. März 2010. Diese diagnostizierte Folgendes: 1. Posttraumatische Teilankylose der Schulter rechts bei/mit DD: Verdacht auf Rotatorenmanschettenruptur, zufolge muskulärer Dysbalance mit Schonhaltung im Rahmen von 2, fibröse Kapsulose. 2. Zerviko-spondylogenes Syndrom bei/mit Status nach Unfall vom 12. Juni 2006, HWS-Distorsion mit Verdacht auf Instabilität der oberen HWS, muskuläre Dysbalance mit Myogelosen im Schultergürtelbereich. Im Ultraschall habe eine Tendinose der Supra- und Subscapularsehne mit Verdacht auf Rotatorenmanschettenruptur objektiviert werden können. Da es sich um einen posttraumatischen Zustand handle, müsse mittels eines Arthro-MRI eine Supraspinatus- und Rotatorenmanschettenruptur ausgeschlossen werden, weil Ultraschall nicht schlüssig sei. Die Versicherte bringt vor, hieraus folge, dass sie beim Unfall vom 12. Juni 2006 organisch erfasste Verletzungen erlitten habe, die persistierten und sich verschlimmerten.
8.2 Das Gutachten der Stelle Y._ vom 23. Januar 2009 stützte sich auf eine radiologische Abklärung der rechten Schulter vom 20. März 2008, die unauffällige Befunde ergab. Zum am 4. April 2008 durchgeführten Ultraschall betreffend diese Schulter wurde im Gutachten der Stelle Y._ ausgeführt, die Ultraschalluntersuchung sei grundsätzlich sehr vom Untersucher abhängig; es sei keine zuverlässige Aussage zur Supraspinatussehne zulässig, zum Beispiel zeige kein Bild deren Querschnitt ausreichend. Gemäss dem Gutachten der Stelle Y._ entsprechen die Schulterschmerzen rechts einer krankhaften Entwicklung im Sinne einer Periartropathie ohne gesichertes organisches Korrelat. Die Vorinstanz berücksichtigte weiter die von der Mobiliar eingeholte Stellungnahme des Dr. med. R._, Facharzt für Chirurgie, vom 26. März 2010, der eine unfallbedingte Schädigung der rechten Schulter ebenfalls verneinte. Es sind keine Gründe ersichtlich, von diesen Einschätzungen abzuweichen. Auf weitere medizinische Abklärungen ist mithin zu verzichten, da hievon keine neuen Erkenntnisse zu erwarten sind (antizipierte Beweiswürdigung; BGE 134 I 140 E. 5.3 S. 148).
9. 9.1 Frau Dr. med. W._ diagnostizierte am 17. Oktober 2006 eine HWS-Distorsion mit grenzwertiger Instabilität C2/3; in den Funktionsaufnahmen könne eine leichte Instabilität C2/3 postuliert werden mit vermehrter Anterolisthesis in Inklination und grenzwertigen Wert im Funktionsdiagramm (der Befund sei grenzwertig). Dr. med. N._ gab im Bericht vom 2. September gestützt auf das Funktions-MRI (englisch: functional magnetic resonance imaging [fMRI]; deutsch: funktionelle Magnetresonanztomographie [fMRT]) vom 7. August 2008 an, der Befund im Bereich der Lig. alaria erscheine aufgrund der signifikanten Seitenunterschiede (trotz Berücksichtigung der bekannten Anomalien) pathologisch und somit mit grösster Wahrscheinlichkeit einem alten Teilriss links entsprechend. Zeichen einer Instabilität liessen sich auf den Funktionsaufnahmen zwar in einem sehr diskreten Ausmass nachweisen (laterale Translation C1 und C2 in Rechtsrotation), schlössen diese aber aus bekannten Gründen nicht aus. Die Versicherte bringt unter Berufung auf diese Berichte vor, die HWS-Instabilität zeige, dass sie beim Unfall vom 12. Juni 2006 organisch erfasste Verletzungen erlitten habe, die persistierten und sich verschlimmerten.
9.2 Im Bericht des Dr. med. N._ vom 2. September 2008 ist keine Rede von einem Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 12. Juni 2006 und den festgestellten Befunden. Die fMRI-Untersuchungen gestatten denn auch keinen gesicherten Nachweis organischer Störungen im HWS-Bereich nach Unfall mit Schleudertrauma resp. äquivalenter Verletzung (BGE 134 V 231; Urteil 8C_321/2010 vom 21. Juli 2010 E. 4.1.2). Im Bericht vom 5. März 2010 beschrieb Frau Dr. med. W._ aufgrund der Funktionsaufnahmen lediglich noch einen Verdacht auf Instabilität im Bereich der oberen HWS als Folge der Auffahrkollision vom Juni 2006. Wenn die Vorinstanz mithin festgestellt hat, die Pathologie im Bereich der Lig. alaria und die Instabilität C2/3 könnten nicht als unfallkausal angesehen werden, ist dies nicht zu beanstanden. Auf weitere Abklärungen ist in antizipierter Beweiswürdigung zu verzichten (vgl. E. 8.2 hievor).
10.
10.1 Die Versicherte wendet weiter ein, es sei willkürlich und unzutreffend, soweit die Vorinstanz unter Hinweis auf das Gutachten der Stelle Y._ vom 23. Januar 2009 von einem ausgewiesenen Vorzustand bezüglich der Wirbelsäule ausgehe. Die Gutachter der Stelle Y._ hätten bezüglich des medizinischen Vorzustandes beteuert, dass sie "im Rückblick nur spekulieren" könnten. Ihr Hinweis auf einen angeblichen Vorzustand sei nicht belegt und aus der Luft gegriffen. Ein unfallfremder Vorzustand müsse zum Befund erhoben und diagnostiziert werden, um beurteilen zu können, wie er sich nach dem schicksalmässigen Verlauf ohne Unfall eingestellt hätte (Status quo sine). Da diesbezüglich gutachterliche Feststellungen, Befunde und Diagnosen fehlten, sei das Gutachten für eine Beurteilung der durch den Unfall bewirkten und angeblich abgeklungenen Gesundheitsschädigung untauglich. Nur wenn der Unfall eine Gelegenheits- oder Zufallsursache für den Gesundheitsschaden sei, komme ihm beim Verhältnis von Ursache und Wirkung keine eigenständige Bedeutung zu; auch diese Frage sei nicht geklärt. Die Teilursache könne sich nicht im weiteren Verlauf zu einer Zufallsursache umwandeln. Von Letzterem gehe die Vorinstanz indessen aus, wenn sie, ohne den Status quo zu kennen, den Unfall vom 12. Juni 2006 als Zufallsursache unterstelle.
10.2 Zu den im Sinne von Art. 6 Abs. 1 UVG massgebenden Ursachen gehören auch Umstände, ohne deren Vorhandensein die gesundheitliche Beeinträchtigung nicht zur gleichen Zeit eingetreten wäre. Eine schadensauslösende traumatische Einwirkung wirkt also selbst dann leistungsbegründend, wenn der betreffende Schaden auch ohne das versicherte Ereignis früher oder später wohl eingetreten wäre, der Unfall somit nur hinsichtlich des Zeitpunkts des Schadenseintritts Conditio sine qua non war. Anders verhält es sich, wenn der Unfall nur Gelegenheits- oder Zufallsursache ist, welche ein gegenwärtiges Risiko, mit dessen Realisierung jederzeit zu rechnen gewesen wäre, manifest werden lässt, ohne im Rahmen des Verhältnisses von Ursache und Wirkung eigenständige Bedeutung anzunehmen (SVR 2007 UV Nr. 28 S. 94 E. 4.2 [U 413/05]). Ist der Unfall eine anspruchsbegründende Teilursache und nicht bloss eine (anspruchshindernde) Gelegenheits- oder Zufallsursache, ist der obligatorische Unfallversicherer bis zum Erreichen des Status quo sine vel ante und damit Wegfall einer Teilursächlichkeit leistungspflichtig (Urteil 8C_326/2006 vom 24. Juni 2008 E. 4).
10.3 Laut Bericht des dipl. Physiotherapeuten C._ vom 9. März 2010 habe die Versicherte im Jahre 2001 an einem zervikalen Hartspann rechts und in Folge davon an zeitweisen Kopfschmerzen gelitten. Unter Physiotherapie sei die Problematik wieder abgeklungen. Ab April 2006 bis 19. Mai 2006 sei sie wegen Drehschwindels insgesamt neunmal in physiotherapeutischer Behandlung gewesen. Dabei habe er keinen zervikalen Hartspann gefunden. Der Schwindel habe bei HWS-Extension und -Rotation beidseits provoziert werden können. Es hätten weder Schmerzen zervikal, thorakal noch in die Arme ausstrahlend bestanden. Nach neun Behandlungen sei die Schwindelproblematik weitgehend behoben gewesen. Frau Dr. med. O._ führte im Bericht vom 14. Juni 2006 aus, vor dem Unfall vom 12. Juni 2006 habe die Versicherte an behandlungsbedürftigen Nackenbeschwerden gelitten. Im Bericht vom 29. April 2008 gab Frau Dr. med. O._ an, im Februar 2006 habe bei der Versicherten ein Zervikalsyndrom mit Schwindel vorgelegen, wobei eine schwere Eisenmangelanämie bestanden habe. Unter Substitution sei der eher orthostatisch geprägte Schwindel verschwunden. Bei der Überprüfung sei die HWS-Beweglichkeit, insbesondere die Seitneigung nach links, eingeschränkt mit 30° gewesen. Ebenfalls habe sich ein Muskelhartspann gefunden, links ausgeprägt im Schulter-Scapulabereich. Unter Physiotherapie inklusive MTT sei die HWS in der Folge frei beweglich gewesen und es hätten keine Schmerzen mehr bestanden. Frau Dr. med. E._, Akupunktur ASA, führte im Bericht vom 18. Juni 2006 aus, die Versicherte habe sie erstmals am 17. Mai 2006 aufgesucht. Symptome seien seit Jahren Nackenprobleme und seit Januar 2006 Schwindelattacken gewesen. Bei der zweiten Konsultation am 31. Mai 2006 sei der Schwindel geringer gewesen und die Versicherte habe sich ruhiger gefühlt. Die dritte Konsultation habe am 5. Juli 2006 (mithin nach dem Unfall vom 12. Juni 2006) stattgefunden.
Im Gutachten der Stelle Y._ vom 23. Januar 2009 wurde ausgeführt, über die medizinische Grundlage der dokumentierterweise vorbestehenden Nackenbeschwerden könnten sie im Rückblick nur spekulieren. Die Röntgenbilder von September und Oktober 2006 zeigten als einzig auffälligen Befund eine verstärkte thorakale Kyphosierung mit diskreten, spondylophytären Abstützungsreaktionen im Bereich der statisch am meisten belasteten Konkavität. Diese Hyperkyphose dürfte am wahrscheinlichsten auf einen Morbus Scheuermann zurückzuführen sein, wofür aber die radiologischen Diagnosekriterien nicht erfüllt seien. Eine Hyperkyphose prädisponiere zu funktionellen Überbelastungen des zervikothorakalen Übergangs, was zu entsprechenden Nackenbeschwerden und mitunter zervikogen bedingtem Schwindel führen könne. Inwiefern Beschwerden eines früher erlittenen Schleudertraumas (so gemäss Angaben der Versicherten im Polizeiprotokoll) die vorbestehenden Nackenschmerzen erklärten, lasse sich aufgrund der verfügbaren Informationen nicht beurteilen. Andere mögliche Erklärungen für diese vorbestehenden Beschwerden könnten aus den vorliegenden medizinischen Akten nicht abgeleitet werden.
10.4 Nach dem Gesagten litt die Versicherte bereits vor dem Unfall vom 12. Juni 2006 klarerweise an Nacken- und Schwindelbeschwerden. Einen früheren Unfall insbesondere mit HWS- oder Körperbeteiligung verneinte die Hausärztin Frau Dr. med. O._ am 14. Juni 2006; auch die Versicherte negierte im Rahmen der Begutachtung der Stelle Y._ vorgängige Unfälle. Das Gutachten der Stelle Y._ führt ihre vorbestehenden Beschwerden auf eine Hyperkyphose der Wirbelsäule zurück. In diesem Lichte ist der Sachverhalt betreffend den Vorzustand hinreichend abgeklärt. Es sind keine Gründe ersichtlich, den Schluss der Gutachter der Stelle Y._, der Status quo sine sei nach spätestens 6 Monaten seit dem Unfall vom 12. Juni 2006 erreicht gewesen, in Frage zu stellen. Damit ist auch gesagt, dass der Unfall als anspruchsbegründende Teilursache der gesundheitlichen Beschwerden der Versicherten angesehen wurde. Auf weitere Abklärungen ist in antizipierter Beweiswürdigung zu verzichten (vgl. E. 8.2 hievor).
11. Da die gesundheitlichen Beschwerden der Versicherten nach dem Fallabschluss nicht mehr überwiegend wahrscheinlich unfallkausal waren, ist ihre Berufung auf Art. 36 UVG unbehelflich (BGE 126 V 116 E. 3b S. 117 f.; SVR 2010 UV Nr. 31 S. 125 E. 4.3 [8C_816/2009]).
12.
12.1 Die Vorinstanz hat die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung im Einspracheverfahren (Bedürftigkeit der gesuchstellenden Partei, fehlende Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren und sachliche Gebotenheit des Anwaltsbeizugs) richtig dargelegt (Art. 2 und 37 Abs. 4 ATSG in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 UVG). An die sachliche Gebotenheit der unentgeltlichen Verbeiständung ist ein sehr strenger Massstab anzulegen (BGE 132 V 200 E. 5.1.3 S. 204; SVR 2009 IV Nr. 48 S. 144 E. 4.4.1 [9C_991/2008]).
12.2 Die Vorinstanz hat erwogen, weder in tatsächlicher noch rechtlicher Hinsicht liege eine besonders komplexe Materie vor. Allein der Umfang des Gutachtens rechtfertige nicht den Beizug eines unentgeltlichen Rechtsvertreters im Einspracheverfahren, zumal die Versicherte in der Schweiz aufgewachsen sei und gute Deutschkenntnisse habe. Sie bringe zudem nicht vor, weshalb eine Verbeiständung durch Verbandsvertreter, Fürsorgestellen oder andere Fach- und Vertrauensleute sozialer Institutionen nicht in Betracht falle. Die Mobiliar habe die unentgeltliche Verbeiständung zu Recht abgelehnt.
Nach Erstellung des Gutachtens der Stelle Y._ vom 23. Januar 2009 und vor Verfügungserlass verlangte die Versicherte mit Eingabe vom 31. März 2009 von der Mobiliar vergeblich die Zustellung der im Rahmen des Gutachtens beigezogenen Akten des Krankenversicherers. Erst auf Einsprache hin stellte ihr die Mobiliar sämtliche Akten zu, wozu die Versicherte am 23. November 2009 Stellung nahm. Weiter hatte sich die Versicherte im Einspracheverfahren mit diversen Arztberichten, der biomechanischen Kurzbeurteilung vom 10. März 2008 und dem 54-seitigen Gutachten der Stelle Y._ vom 23. Januar 2009 samt dessen 5-seitiger Ergänzung vom 11. Juni 2009 auseinanderzusetzen. Es stellten sich schwierige tatsächliche und rechtliche Fragen, die eine fachliche Kompetenz voraussetzten, welche die Versicherte nicht aufwies und die ihr nur durch Beiordnung eines Rechtsanwalts verschafft werden konnte. Eine erhebliche Tragweite der Sache ist zu bejahen. Insgesamt war es geboten, dass sie sich im Einspracheverfahren anwaltlich verbeiständen liess. Weiter hat die Vorinstanz richtig erkannt, dass die Einsprache nicht als aussichtslos bezeichnet werden konnte und die Versicherte bedürftig ist. Damit sind die Voraussetzungen für die unentgeltliche Verbeiständung im Einspracheverfahren erfüllt. Die Sache ist an die Mobiliar zurückzuweisen, damit sie über die Entschädigungshöhe verfüge.
13. Die Rückweisung der Sache an die Mobiliar gemäss E. 12.2 hievor gilt bezüglich der Verfahrenskosten als Obsiegen der Versicherten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235); im Übrigen unterliegt sie. Somit sind die Verfahrenskosten zu zwei Dritteln ihr und zu einem Drittel der Mobiliar aufzuerlegen. Die unentgeltliche Rechtspflege kann der Versicherten, soweit sie unterliegt, gewährt werden, da die Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Beschwerde nicht von vornherein aussichtslos und die Vertretung notwendig war (Art. 64 BGG). Sie hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne teilweise gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 26. Juli 2010 und der Einspracheentscheid der Mobiliar vom 9. Februar 2010 in Bezug auf die unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren aufgehoben werden und die Sache an die Mobiliar zurückgewiesen wird, damit sie darüber im Sinne der Erwägung 12.2 verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden zu zwei Dritteln der Beschwerdeführerin und zu einem Drittel der Beschwerdegegnerin auferlegt. Der Anteil der Beschwerdeführerin wird vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Die Mobiliar hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 900.- zu entschädigen.
5. Rechtsanwalt Felix Barmettler wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'800.- ausgerichtet.
6. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz zurückgewiesen.
7. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 8. Februar 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Jancar