Faits:
A. Le 22 mai 2008, Z._ a été informée que les séances de logopédie qu'elle dispensait à A.X._ ne seraient plus remboursées par le Secrétariat genevois à la formation scolaire spéciale (ci-après: le SFSS), qui est sous la direction administrative du Service médico-pédagogique genevois (ci-après: le Service cantonal) lui-même rattaché au Département genevois de l'instruction publique.
A la suite du désaccord exprimé par Z._, le Service cantonal, par décision du 3 juin 2008 adressée à la logopédiste avec copie à B.X._, la mère de A.X._, a indiqué que, comme la logopédie avait été supprimée du catalogue des prestations médicales de l'assurance-invalidité, les prestations fournies par Z._ ne seraient remboursées par le SFSS que jusqu'au 22 mai 2008.
B. Contre la décision susmentionnée du 3 juin 2008, A.X._, représenté par sa mère, et Z._ ont déposé, le 25 juin 2008, un recours auprès du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (ci-après: le Tribunal des assurances), afin que A.X._ puisse poursuivre sa thérapie.
Par arrêt du 1er octobre 2008, le Tribunal des assurances s'est déclaré incompétent ratione materiae pour connaître du recours et a transmis d'office le dossier au Tribunal administratif genevois (ci-après: le Tribunal administratif). Il a considéré en substance que, comme l'assurance-invalidité fédérale ne réglait plus, depuis le 1er janvier 2008, l'octroi des prestations dans le domaine de la formation scolaire spéciale, la décision contestée n'était pas fondée sur une disposition fédérale en matière d'assurances sociales. Elle ne reposait pas non plus sur une loi cantonale dont le Tribunal des assurances pouvait connaître. Certes, il était prévu de conférer une compétence au Tribunal des assurances en la matière, mais la disposition topique ne devait entrer en vigueur que le 1er janvier 2009.
C. Par décision du 22 janvier 2009, le Tribunal administratif, se fondant sur la législation genevoise en matière d'organisation judiciaire dans sa teneur au 1er janvier 2009, a déclaré irrecevable le recours formé le 25 juin 2008 par A.X._ et Z._ et l'a transmis au Tribunal des assurances comme objet de sa compétence.
D. Contre la décision précitée du 22 janvier 2009, A.X._, agissant par sa mère, B.X._, a déposé un recours en matière de droit public, subsidiairement un recours constitutionnel subsidiaire, au Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de la décision attaquée, à ce qu'il soit dit que le Tribunal administratif est compétent pour connaître du recours du 25 juin 2008 et à ce qu'il soit ordonné à cette autorité d'entrer en matière et de rendre un jugement sur le fond, au besoin après instruction complémentaire. Le recourant requiert la production de différents dossiers.
Le Tribunal administratif s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les conclusions et le dispositif de la décision entreprise. Le Département genevois de l'instruction publique s'en remet à justice s'agissant d'une question de compétence entre deux tribunaux. Le Tribunal des assurances a confirmé qu'il s'estimait incompétent et que la cause entrait bien dans la compétence du Tribunal administratif.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 II 94 consid. 1 p. 96 et la jurisprudence citée).
1.1 Le litige porte sur le point de savoir quelle est l'autorité judiciaire compétente pour statuer sur la prise en charge du traitement de logopédie du recourant, attendu qu'il s'agit de prestations qui, depuis le 1er janvier 2008, ont été supprimées du catalogue couvert par l'assurance-invalidité. Le présent recours a ainsi pour objet une décision rendue dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), qui ne tombe pas sous le coup des exceptions de l'art. 83 LTF. Partant la voie du recours en matière de droit public est en principe ouverte.
1.2 Selon la jurisprudence, une décision par laquelle un tribunal déclare un recours irrecevable, notamment pour défaut de compétence, est une décision finale au sens de l'art. 90 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.1.1 p. 480). Une décision de renvoi est en principe considérée comme une décision incidente (cf. art. 92 et 93 LTF), car elle ne met pas fin à la procédure (ATF 133 V 477 consid. 4.2 p. 481).
La décision entreprise revêt les deux aspects, puisque le Tribunal administratif, constatant son incompétence, a refusé d'entrer en matière, tout en transmettant la cause au Tribunal des assurances pour qu'il statue sur le fond. Savoir s'il faut la qualifier de décision finale ou incidente peut toutefois demeurer indécis, dès lors que, même si elle était de nature incidente, la décision du 22 juin 2009 serait immédiatement attaquable auprès du Tribunal fédéral, s'agissant d'une question de compétence (cf. art. 92 LTF).
1.3 La décision attaquée émane d'un tribunal supérieur (art. 86 al. 2 LTF). Encore faut-il qu'elle ait été rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF). En droit genevois, l'art. 131 al. 3 Cst. (RSGE A 2 00) prévoit l'institution d'un Tribunal des conflits pour trancher les questions de compétence entre une juridiction administrative d'une part et une juridiction civile ou pénale d'autre part. Le Tribunal des conflits a été mis en oeuvre par la loi genevoise du 22 novembre 1941 sur l'organisation judiciaire (LOJ; RSGE E 2 05). L'art. 56L al. 1 LOJ précise qu'une voie de recours auprès du Tribunal des conflits est ouverte contre une décision rendue en dernière instance cantonale par l'une des juridictions concernées en cas de conflit avec une autre juridiction. En l'espèce, le litige concerne la compétence respective du Tribunal administratif et du Tribunal des assurances. Dès lors qu'il s'agit d'autorités judiciaires relevant toutes les deux de la juridiction administrative (cf. ATF 130 I 366 consid. 2.2 p. 368 s.), il n'y a pas de conflit entre deux juridictions, ce qui exclut la voie du recours auprès du Tribunal des conflits. Partant, la décision entreprise a été rendue en dernière instance cantonale.
1.4 Par ailleurs, interjeté en temps utile et dans les formes requises (cf. art. 42 et 100 al. 1 LTF), par le recourant, mineur représenté par sa mère (art. 304 CC; ATF 129 III 55 consid. 3.1.2 p. 57), qui est destinataire de l'acte attaqué et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), le recours est en principe recevable.
2. La voie du recours en matière de droit public étant ouverte, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF).
3. Le recourant demande la production de leurs dossiers par l'Office genevois de l'assurance-invalidité, le SFSS, le Tribunal des assurances et le Tribunal administratif.
Le Tribunal administratif et le Tribunal des assurances ont annexé leurs dossiers respectifs à leurs déterminations (cf. art. 102 LTF). L'Autorité de céans s'estime suffisamment renseignée pour statuer en l'état du dossier. Par conséquent, il y a lieu de rejeter la réquisition d'instruction du recourant dans la mesure où elle n'est pas satisfaite.
4. Entre autres critiques, le recourant affirme qu'en déclinant sa compétence le Tribunal administratif a violé la garantie de l'accès au juge.
4.1 La garantie générale de l'accès au juge figure à l'art. 29a Cst. Selon cette disposition, toute personne a droit à ce que sa cause soit jugée par une autorité judiciaire, sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce (cf. ATF 134 V 443 consid. 3.1 p. 446; 130 I 388 consid. 4 p. 393). Il s'agit d'une garantie minimale de procédure qui s'impose aux cantons (ANDREAS AUER ET AL., Droit constitutionnel suisse, vol. II, 2e éd. 2006, p. 561 n. 1195). La violation de la garantie de l'accès au juge se confond avec le déni de justice lorsqu'une autorité judiciaire n'entre pas en matière sur une cause qui lui est soumise dans la forme et les délais prévus par la loi, alors qu'elle relève de sa compétence (cf. arrêt H 236/00 du 29 janvier 2001 consid. 2b).
4.2 D'après la jurisprudence, en l'absence de dispositions transitoires contraires, les nouvelles règles de procédure doivent en principe être appliquées dès leur entrée en vigueur (ATF 129 V 113 consid. 2.2 p. 115). Cette règle ne s'applique cependant pas lorsque le litige a été déféré à une instance judiciaire avant l'entrée en vigueur du nouveau droit, le cas restant soumis à l'ancien droit, notamment quant à la compétence. En effet, conformément au principe de la perpetuatio fori, la compétence se détermine en fonction de la date d'ouverture de la procédure, sous réserve du cas où l'ancienne autorité n'existe plus (ATF 130 V 90 consid. 3.2 p. 93; 129 III 404 consid. 4.3.1 p. 406; arrêt 9C_313/2008 du 6 mars 2009 consid. 4.1, in SVR 2009 IV n° 44 p. 129).
4.3 En l'espèce, par arrêt du 1er octobre 2008, le Tribunal des assurances s'est déclaré incompétent ratione materiae et a transmis le dossier au Tribunal administratif. Ce dernier, par la décision du 22 janvier 2009 qui fait l'objet de la présente procédure, s'est à son tour déclaré incompétent et a retransmis le dossier au Tribunal des assurances. Dans ses déterminations adressées au Tribunal fédéral, le Tribunal des assurances a indiqué qu'il continuait à s'estimer incompétent pour connaître du recours. On est donc en présence d'un conflit négatif de compétence qui a pour effet de priver le recourant de l'accès à un juge. Reste à examiner laquelle de ces autorités devait statuer.
4.4 En droit genevois, le Tribunal administratif, désigné comme l'autorité supérieure ordinaire de recours en matière administrative (art. 56A al. 1 LOJ), est au bénéfice d'une clause générale de compétence, alors que le Tribunal des assurances ne peut se saisir que des causes relevant des matières limitativement énumérées à l'art. 56V LOJ (STEPHANE GRODECKI, Quelques réflexions sur l'histoire tumultueuse du Tribunal cantonal des assurances sociales genevois, RDAF 2005 I p. 35 ss, p. 37). La décision du Service cantonal du 3 juin 2008 attaquée devant le Tribunal des assurances se fonde sur le règlement genevois du 10 décembre 2007 relatif à la reprise des mesures de formation scolaire spéciale de l'assurance-invalidité (RFSAI; RSGE C 1 12.03), entré en vigueur le 1er janvier 2008 (art. 24 RFSAI). L'art. 20 al. 2 RFSAI prévoit que les décisions rendues par le SFSS peuvent faire l'objet d'un recours auprès du Tribunal des assurances. Conformément au système genevois, cette désignation ne suffit pas à elle seule à créer la compétence du Tribunal des assurances, mais elle suppose d'être concrétisée dans la LOJ. C'est ce que le législateur cantonal a fait, dans le cadre de modifications de la LOJ du 18 septembre 2008 entrées en vigueur le 1er janvier 2009. Ainsi, à la liste des domaines relevant de la compétence du Tribunal des assurances, il a été ajouté, à l'art. 56V al. 2 let. g LOJ, les contestations prévues à l'art. 20 al. 2 RFSAI. Des dispositions transitoires concernant spécifiquement les modifications du 18 septembre 2008 ont également été introduites à l'art. 162 al. 3 à 7 LOJ, qui prévoit notamment que:
"3 Les juridictions administratives visées par la modification du 18 septembre 2008 connaissent de tous les recours entrant dans leurs attributions déposés postérieurement à l'entrée en vigueur de la modification du 18 septembre 2008.
4 Les recours interjetés avant l'entrée en vigueur de la modification du 18 septembre 2008 et pendants devant une autre juridiction sont transmis d'office au Tribunal administratif, respectivement à la commission cantonale de recours en matière administrative, s'ils entrent dans leur compétence en vertu des dispositions du nouveau droit.
5 Toutefois, dans l'hypothèse visée à l'alinéa précédent, la juridiction compétente au moment du dépôt du recours reste saisie si toutes les parties en font la demande et que la cause est en état d'être jugée.
(...)"
4.5 Il ressort de la décision attaquée que le Tribunal administratif a simplement considéré qu'en vertu de l'art. 56V al. 2 let. g LOJ, le Tribunal des assurances était compétent pour statuer sur le recours interjeté par A.X._, de sorte que la cause devait lui être transmise. Il semble toutefois avoir échappé au Tribunal administratif que le recours avait été interjeté sur le plan cantonal le 25 juin 2008, soit à un moment où l'art. 56V al. 2 let. g LOJ n'était pas encore en vigueur. Or, les dispositions transitoires topiques ne prévoient, pour les recours interjetés comme en l'espèce avant l'entrée en vigueur du nouveau droit, que l'hypothèse où une cause relevant de la compétence du Tribunal administratif ou de la commission cantonale de recours en matière administrative en vertu du nouveau droit serait pendante auprès d'une autre autorité (cf. art. 162 al. 3 à 5 LOJ). Ces dispositions n'envisagent en revanche pas l'hypothèse inverse où le nouveau droit confierait la compétence de statuer, dans un domaine attribué auparavant au Tribunal administratif en vertu de sa compétence résiduelle, à une autre autorité. En l'absence de disposition transitoire traitant expressément de la question, rien ne justifie donc de s'écarter des principes généraux de procédure (cf. supra, consid. 4.2). Selon ceux-ci, l'autorité judiciaire compétente pour connaître du recours formé par A.X._ en juin 2008 doit être déterminée au regard des dispositions de procédure applicables à cette date. Or, à ce moment, l'art. 56V al. 2 let. g LOJ instituant la compétence du Tribunal des assurances pour connaître des contestations prévues à l'art. 20 al. 2 RFSAI n'était pas en vigueur. L'autorité compétente était donc bien le Tribunal administratif, en vertu de sa compétence générale. C'est donc à juste titre que le Tribunal des assurances lui a transmis la cause, le 1er octobre 2008.
Par conséquent, il convient d'admettre le recours, d'annuler la décision du Tribunal administratif du 22 janvier 2009 et de renvoyer la cause à cette autorité comme objet de sa compétence.
5. En principe, des frais judiciaires et des dépens ne peuvent être mis à la charge d'un canton si ses décisions font, comme en l'occurrence, l'objet d'un recours au Tribunal fédéral, sans que son intérêt patrimonial soit en cause (art. 66 al. 4 et 68 al. 3 LTF). Il y a lieu de déroger à ce principe lorsque la décision attaquée viole de manière qualifiée les règles d'application de la justice et cause de ce fait des frais aux parties (art. 66 al. 3 et 68 al. 4 LTF; ATF 133 V 402 consid. 5 p. 407 et la jurisprudence citée; arrêt 9C_557/2008 du 3 avril 2009 consid. 8.2, non publié in ATF 135 III 289). En déclarant le recours du 25 juin 2008 irrecevable pour défaut de compétence, le Tribunal administratif a commis un déni de justice formel, privant le recourant de l'accès à un juge. Il est donc justifié de mettre les frais de justice à la charge de la République et canton de Genève, qui supportera également les dépens dus au recourant (art. 68 al. 1 et 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est admis. La décision du 22 janvier 2009 est annulée et la cause transmise au Tribunal administratif genevois comme objet de sa compétence.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la République et canton de Genève.
4. La République et canton de Genève versera au recourant la somme de 2'000 fr. à titre de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Département de l'instruction publique, au Tribunal cantonal des assurances sociales et au Tribunal administratif de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 3 novembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Müller Dupraz