Sachverhalt:
A.
Am 25. Juni 2012 ersuchte A._ (geb. 22. Mai 1995), gesetzlich vertreten durch ihren Vater, bei der luzernischen Dienststelle "Berufs- und Weiterbildung, Fachstelle Stipendien" um die Ausrichtung eines Ausbildungsbeitrages für einen Sprachaufenthalt in den USA. Dieser wurde von der "AFS Interkulturelle Programme" organisiert und fand - nachdem A._ ihre obligatorische Schulzeit beendet hatte - von August 2012 bis Juni 2013 statt. A._ lebte dort in einer Gastfamilie und besuchte regelmässig eine lokale Mittelschule. Die Kosten für den Sprachaufenthalt beliefen sich auf Fr. 13'700.--.
Am 1. August 2013 hat A._ die dreijährige Berufslehre zur Hotelfachfrau EFZ in Angriff genommen.
B.
Mit Verfügung vom 5. September 2012 hiess die Fachstelle das Gesuch teilweise gut und gewährte A._ ein Stipendium von Fr. 1'300.--. Gleichzeitig wies sie darauf hin, dass bei der Berechnung der Ausbildungsbeiträge nur die kostengünstigste Ausbildungsvariante berücksichtigt werden könne. In ihrem Fall würden die Ausbildungs- und Lebenshaltungskosten analog dem Besuch der nächstgelegenen öffentlichen Ausbildungsstätte (10. Schuljahr, Luzern) anerkannt.
Eine gegen diese Verfügung gerichtete Beschwerde beim Bildungs- und Kulturdepartement des Kantons Luzern blieb ohne Erfolg, und mit Urteil vom 16. Juli 2013 wies das Kantonsgericht Luzern die gegen den Departementsentscheid vom 15. April 2013 erhobene Beschwerde ebenfalls ab.
C.
Mit Eingabe vom 22. August 2013 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den implizit gestellten Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und ihr - der Beschwerdeführerin - einen Ausbildungsbeitrag von Fr. 4'900.-- (wie im Falle zweier Kantonsschüler [Gymnasiasten]) zuzusprechen. Gleichzeitig wird um unentgeltliche Rechtspflege und um Beiordnung eines Rechtsanwalts ersucht.
Die Dienststelle Berufs- und Weiterbildung, Fachstelle Stipendien, verzichtet auf Vernehmlassung. Das Bildungs- und Kulturdepartement schliesst ebenso wie das Kantonsgericht auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) eines oberen Gerichts (Art. 86 Abs. 2 BGG) über eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG), welche unter keinen der in Art. 83 BGG genannten Ausschlussgründe fällt, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist. Die Beschwerdeführerin ist hierzu legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Soweit die Vorinstanz - wie hier - kantonales Recht anzuwenden hatte, kann nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts (Art. 95 lit. a BGG). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts - in den Grenzen der vom Beschwerdeführer hinreichend substantiierten Rügen (Art. 106 Abs. 2 BGG) - lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (Art. 9 BV), sowie der kantonalen Verfassungsrechte (Art. 95 lit. c BGG) geprüft werden (BGE 137 V 143 E. 1.2 S. 145; 134 I 153 E. 4.2.2 S. 158; 134 II 349 E. 3 S. 351). Insbesondere tritt das Bundesgericht im Zusammenhang mit der Willkürrüge auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht ein (vgl. BGE 136 II 489 E. 2.8 S. 494; 133 II 396 E. 3.1 S. 399).
Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 137 I 1 E. 2.4 S. 5; 133 I 149 E. 3.1 S. 153; je mit Hinweisen).
1.3. Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG hat die Rechtsschrift die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Im Rahmen der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Vorbringen müssen sachbezogen sein, damit aus der Beschwerdeschrift ersichtlich ist, in welchen Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt (BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.). Vorliegend bezieht sich die Beschwerde zu einem Teil auf die Erwägungen im Beschwerdeentscheid des Bildungs- und Kulturdepartements und nicht auf diejenigen des Verwaltungsgerichts. Dies ist aber insofern zulässig, als die Vorinstanz ihrerseits auf die Begründung des Departements verweist.
1.4. Aufgrund der Rechtsanwendung von Amtes wegen (vorne E. 1.2) ist das Bundesgericht weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder sie mit einer vom angefochtenen Entscheid abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; BGE 138 III 537 E. 2.2 S. 540; 137 III 385 E. 3 S. 386; 133 III 545 E. 2.2 S. 550).
2.
2.1. Der angefochtene Entscheid stützt sich auf das kantonale Gesetz vom 9. September 2002 über Ausbildungsbeiträge (Stipendiengesetz, StipG; SRL Nr. 975) und die zugehörige Verordnung vom 25. März 2003 (StipV, SRL Nr. 575a).
Nach den hier massgebenden Erlassen beitragsberechtigt sind u.a. Ausbildungen auf der Sekundarstufe II (weiterführende Schulen, d.h. Gymnasien, übrige Mittelschulen, Berufsfachschulen, Berufsmittelschulen) sowie so genannte "Brückenangebote" zwischen der Sekundarstufe I (obligatorische Schulzeit) und der Sekundarstufe II (§ 5 Abs. 1 und 2 SipG in Verbindung mit § 1 lit. a StipV). Die Bemessung der Ausbildungsbeiträge wird im Kapitel III der StipV geregelt (so in § 8 die Höhe der anerkannten Ausbildungskosten und in § 9 die Höhe der anerkannten Lebenshaltungskosten). Bei freiwilligem Besuch einer ausserkantonalen oder privaten Ausbildungsstätte werden indessen höchstens die Ausbildungs- und Lebenshaltungskosten anerkannt, die an einer gleichwertigen innerkantonalen oder öffentlichen Ausbildungsstätte gewährt würden (§ 8 Abs. 2 in Verbindung mit § 9 Abs. 5 StipV).
2.2. Das Kantonsgericht hat im Wesentlichen erwogen, das Ziel eines Brückenangebotes sei die optimale Vorbereitung der Schulabgängerinnen und Schulabgänger auf die Berufsbildung oder eine weiterführende Schule. Ein Ausbildungsabschluss könne mit einem Brückenangebot - wie etwa dem zehnten Schuljahr - aber nicht erreicht werden. Das Gericht schützte sodann unter Verweis auf die Erwägungen seiner Vorinstanz deren Auffassung, der von der Beschwerdeführerin im Ausland absolvierte Sprachaufenthalt sei einem solchen Brückenangebot gleichzustellen und sei ausserdem auf freiwilliger Basis erfolgt, weshalb Ausbildungsbeiträge nur im Rahmen von § 8 Abs. 2 bzw. 9 Abs. 5 StipV ausgerichtet werden könnten.
2.3. Was die Beschwerdeführerin hiegegen vorbringt, ist - soweit ihre Eingabe sich nicht in Mutmassungen und blosser appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid erschöpft - nicht geeignet, den Vorwurf der Willkür zu begründen: Namentlich ist hier irrelevant, dass höhere Ausbildungs- und Lebenshaltungskosten einer Ausbildung im Ausland anerkannt werden können, wenn das angestrebte Ausbildungsziel "nur im Ausland erreicht werden kann" (§ 8 Abs. 3 bzw. § 9 Abs. 6 StipV), da das von der Beschwerdeführerin absolvierte AFS-Jahr u.a. mangels Abschlussmöglichkeit eben gerade nicht eine "Ausbildung" im Sinne der genannten Bestimmungen darstellt, sondern willkürfrei einem Brückenangebot gleichgestellt werden kann. Ebensowenig willkürlich erscheint, dass der Bedarfsberechnung nicht - wie von der Beschwerdeführerin postuliert (Ziff. 2.1.5.3 ihrer Eingabe) - die gesamten "Ausbildungskosten der zu finanzierenden Schulung", sondern die in § 8 StipV genannten Höchstbeträge zu Grunde gelegt werden, gelten die Ausbildungsbeiträge doch von Gesetzes wegen bloss als "Beitrag an den finanziellen Bedarf der gesuchstellenden Person" (§ 19 StipG) und geht es deshalb nicht um eine vollumfängliche Deckung des Bedarfs.
3.
Die Beschwerdeführerin rügt im Vergleich zu Kantonsschülern, die nach den anwendbaren luzernischen Regelungen für gleichartige Sprachaufenthalte höhere Ausbildungsbeiträge erhalten würden, eine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots (Art. 8 Abs. 1 BV).
3.1. Das Gebot der rechtsgleichen Behandlung - und der mit diesem eng verbundene Grundsatz des Willkürverbots (Art. 9 BV) - ist verletzt, wenn ein Erlass hinsichtlich einer entscheidwesentlichen Tatsache rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn er Unterscheidungen unterlässt, die sich auf Grund der Verhältnisse aufdrängen. Die Rechtsgleichheit ist verletzt, wenn Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich oder Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Die Frage, ob für eine rechtliche Unterscheidung ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen ersichtlich ist, kann zu verschiedenen Zeiten unterschiedlich beantwortet werden, je nach den herrschenden Anschauungen und Zeitverhältnissen. Dem Gesetzgeber bleibt im Rahmen dieser Grundsätze und des Willkürverbots ein weiter Spielraum der Gestaltung, den das Bundesgericht nicht durch eigene Gestaltungsvorstellungen schmälert (BGE 138 I 321 E. 3.1 S. 324; 137 V 121 E. 5.3 S. 125; je mit Hinweisen).
3.2. Das Kantonsgericht hat erwogen, die Beschwerdeführerin habe eine angebliche Ungleichbehandlung nicht bzw. nicht genügend substantiiert gerügt und sei damit ihrer Substantiierungspflicht nicht nachgekommen. Diese Argumentation überzeugt insofern nicht, als im Verfahren vor dem Departement die Ungleichbehandlung zwischen der Beschwerdeführerin und den Kantonsschülern gar nicht in Frage gestellt, sondern vom Departement eingeräumt worden war (vgl. Beschwerdeentscheid vom 15. April 2013 E. 5.2).
3.3. Indessen hat das Departement aber auch ausgeführt, ein wesentlicher Unterschied zwischen der Beschwerdeführerin und den Kantonsschülern bestehe darin, dass die erstere keine Kantonsschule besuche. Lernende der Kantonsschule absolvierten in der Regel einen Sprachaufenthalt als Austauschjahr während ihrer Ausbildung an der Kantonsschule. Praxisgemäss werde ihnen daher der Betrag für ein Schuljahr an der Kantonsschule (Fr. 465.--) an den auswärtigen Aufenthalt angerechnet. Demgegenüber habe die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung kein Gymnasium besucht und für Brückenangebote würde kein Schulgeld verlangt. Deshalb habe an den AFS-Sprachaufenthalt auch kein entsprechender Betrag angerechnet werden können.
3.4. Diese Begründung, welche das Bildungs- und Kulturdepartement für die unterschiedliche Behandlung von Kantonsschülern und Konstellationen, wie sie bei der Beschwerdeführerin vorliegen, vorträgt (vgl. Beschwerdeentscheid vom 15. April 2013 E. 5. 2 und Vernehmlassung an das Kantonsgericht vom 11. Juni 2013 Ziff. 2.2), ist verfassungsrechtlich haltbar: Ein freiwillig in Anspruch genommenes Brückenangebot zwischen der obligatorischen Schule und der Ausbildung darf zulässigerweise anders behandelt werden als ein Ausbildungsjahr, das Bestandteil einer anderen Ausbildung ist, auch wenn ein solches ebenfalls freiwillig absolviert wird, und auch wenn der Unterschied in der Behandlung mehr ausmacht als das Schulgeld von Fr. 465.--. Dass andere Möglichkeiten auch denkbar wären, macht die vom Kanton Luzern getroffene Lösung noch nicht verfassungswidrig.
Mit derart substituierter Begründung (vgl. vorne E. 1.4) kann das angefochtene Urteil somit bestätigt werden. Die dagegen erhobene Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Bei diesem Ergebnis wird die Beschwerdeführerin an sich kostenpflichtig (Art. 65/66 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann aber entsprochen werden (Art. 64 BGG), zumal ihre Beschwerde insbesondere wegen der teilweise wenig überzeugenden Begründung des Kantonsgerichts nicht aussichtslos erschien und sie (auch unter Einbezug der elterlichen Unterhaltspflicht, vgl. BGE 139 I 138, nicht publ. E. 4.4.2) bedürftig ist. Eine anwaltliche Vertretung (Art. 64 Abs. 2 BGG) erscheint angesichts des Umstandes, dass die Beschwerdeführerin in der Lage war, den vorinstanzlichen Entscheid durchaus sachgerecht anzufechten, nicht notwendig.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein