Erwägungen:
1. 1.1 Der Beschwerdeführer war am 19. August 2011 durch einen Arzt des Kantonsspitals Aarau im Rahmen fürsorgerischer Freiheitsentziehung "vorläufig" in die Psychiatrische Klinik A._, Kanton Zug, eingewiesen worden. Dort verfügte ein Arzt dieser Klinik am 24. August 2011 die (definitive) fürsorgerische Freiheitsentziehung.
1.2 Der anwaltlich verbeiständete Beschwerdeführer gelangte dagegen am 26. August 2011 an das Landgerichtspräsidium Ursern (Kanton Uri; angeblicher Wohnsitz des Beschwerdeführers) und verlangte die Entlassung aus der Anstalt sowie die Bestellung eines amtlichen Anwalts. Das Landgerichtspräsidium trat mit Beschluss vom 30. August 2011 auf die Beschwerde nicht ein und überwies sie zuständigkeitshalber an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau. Es hielt dafür, auch wenn der Beschwerdeführer seine Schriften noch nicht von B._, Kanton Uri, nach C._, Kanton Aargau, verlegt habe, habe er doch seinen Wohnsitz mit der Absicht dauernden Verbleibens von B._ nach C._ verlegt, womit das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau zur Überprüfung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung zuständig sei. Der Beschluss des Landgerichtspräsidiums Ursern wurde beim Obergericht des Kantons Uri (OG Z 11 14) angefochten. Der Beschwerdeführer ist am 29. August 2011 aus der Klinik entlassen worden.
1.3 Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, an welches die Beschwerde überwiesen worden war, trat mit Beschluss vom 1. September 2011 darauf nicht ein und überwies sie an das Verwaltungsgericht des Kantons Zug, wo am 24. August 2011 die Zurückbehaltung des Beschwerdeführers durch den Arzt der Psychiatrischen Klinik A._ erfolgt war. Es ging davon aus, im interkantonalen Verhältnis richte sich die Zuständigkeit nach dem Aufenthalt des Betroffenen.
1.4 Der Beschwerdeführer hat am 5. Oktober 2011 das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 1. September 2011 beim Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen angefochten. Er beantragt, diesen Entscheid aufzuheben und das Verwaltungsgericht anzuweisen, die Beschwerde vom 26. August 2011 materiell zu behandeln.
1.5 Einem Antrag des Beschwerdeführers entsprechend setzte die Präsidentin der II. Zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts mit Verfügung vom 7. Oktober 2011 das Beschwerdeverfahren bis zur rechtskräftigen Erledigung des vor Obergericht des Kantons Uri hängigen Verfahrens OG Z 11 14 aus.
1.6 Am 8. Februar 2012 reichte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht den mit einer Rechtskraftbescheinigung versehenen Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri vom 30. November 2011 ein, wonach der Beschluss des Landgerichtspräsidiums Ursern (Kanton Uri) vom 30. August aufgehoben und die Sache zur Behandlung der Beschwerde und des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege an diese Instanz zurückgewiesen worden ist. Das Obergericht des Kantons Uri nahm entgegen der Auffassung des Landgerichtspräsidiums an, der Wohnsitz des Beschwerdeführers habe sich zum Zeitpunkt der Anordnung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung im Kanton Uri befunden, womit das Landgerichtspräsidium Ursern örtlich zuständig sei.
1.7 Mit Schreiben vom 21. Februar 2012 erhielt der Beschwerdeführer Gelegenheit, sich zur geplanten Abschreibung des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens und zur Kostenverlegung zu äussern, die er mit Eingabe vom 5. März 2012 wahrgenommen hat.
2. Mit dem Entscheid des Obergerichts des Kantons Uri vom 30. November 2011 ist das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren betreffend den Entscheid des Obergerichts des Kanton Aargau vom 1. September 2011 gegenstandslos geworden, zumal sich nunmehr die Behörden des Kantons Uri als für die gerichtliche Beurteilung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung bzw. für die Behandlung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege örtlich zuständig erklärt haben. Damit ist das vorliegende Verfahren in Anwendung von Art. 32 Abs. 2 BGG durch den Einzelrichter als gegenstandslos abzuschreiben.
3. Den Umständen des konkreten Falles entsprechend werden keine Kosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
4. Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau ging davon aus, im interkantonalen Verhältnis richte sich die Zuständigkeit für die gerichtliche Beurteilung der fürsorgerischen Freiheitsentziehung nach dem Aufenthalt des Betroffenen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der entscheidwesentlichen Erwägung nicht auseinander (Art. 42 Abs. 2 BGG). Er äussert sich zur Frage des Wohnsitzes und vertritt die Auffassung, dass sich dieser im Kanton Uri befinde. Unter diesen Voraussetzungen haben sich die Gewinnaussichten des vorliegenden Beschwerdeverfahrens als bedeutend geringer erwiesen als die Verlustgefahren, womit die Beschwerde als aussichtslos bezeichnet werden muss. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, soweit es mangels Erhebung von Gerichtskosten nicht gegenstandslos geworden ist.
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Das Verfahren 5A_694/2011 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Diese Verfügung wird dem Beschwerdeführer, der Psychiatrischen Klinik A._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden