Sachverhalt:
A. Die IV-Stelle des Kantons Zürich stellte C._ am 9. März 2009 den "Verfügungsteil 2" betreffend Invalidenrente als Vorbescheid zu und eröffnete ihr damit die Absicht, mit Wirkung ab 1. Mai 2008 eine bis 31. Oktober 2008 befristete ganze Invalidenrente zuzusprechen. Gleichzeitig wies sie darauf hin, dass nach Ablauf der Frist zur Stellungnahme zum vorgesehenen Entscheid die Unterlagen an die zuständige Ausgleichskasse weitergeleitet würden zur Berechnung der Höhe der Geldleistung. Nachdem die Versicherte am 23. April 2009 ihre Stellungnahme eingereicht hatte, übermittelte ihr die Ausgleichskasse den "Verfügungsteil 2" zusammen mit einem vom 8. September 2009 datierten Begleitzettel.
B. Mit Eingabe vom 19. Oktober 2009 liess C._ dagegen Beschwerde einreichen mit dem Antrag, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und es sei ihr eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; eventuell sei die Sache zwecks weiterer Abklärungen an die IV-Stelle zurückzuweisen. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich trat mit Entscheid vom 31. Dezember 2009 auf die Beschwerde nicht ein (Ziff. 1 des Entscheiddispositivs) und auferlegte C._ Verfahrenskosten von Fr. 200.- (Ziff. 2 des Entscheiddispositivs).
C. Dagegen lässt C._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei das kantonale Gericht anzuweisen, auf die Beschwerde vom 19. Oktober 2009 einzutreten und diese materiell zu behandeln; eventuell sei Dispositiv Ziff. 2 aufzuheben.
Während das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) auf eine Stellungnahme verzichtet, schliesst die IV-Stelle unter Hinweis auf die Begründung im vorinstanzlichen Entscheid auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. Die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den Nichteintretensentscheid des Sozialversicherungsgerichts vom 31. Dezember 2009. Dabei handelt es sich um einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG in Verbindung mit Art. 82 Abs. 1 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG und damit um ein zulässiges Anfechtungsobjekt. Da ein Ausnahmetatbestand gemäss Art. 83 BGG nicht vorliegt und auch die übrigen Prozessvoraussetzungen gemäss Art. 89 und Art. 95 BGG erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. 2.1 Anfechtungsobjekt einer Beschwerde beim kantonalen Sozialversicherungsgericht bildet eine Verfügung im Sinne von Art. 49 ATSG (Art. 56 in Verbindung mit Art. 57 ATSG, anwendbar durch Verweis in Art. 1 Abs. 1 IVG; vgl. auch BGE 131 V 164 E. 2.1). Gemäss Art. 49 Abs. 1 ATSG (in Verbindung mit Art. 49 Abs. 4 und 34 ATSG) eröffnet die Behörde ihre Verfügungen den Parteien schriftlich. Die Verfügungen sind mit einer Rechtsmittelbelehrung zu versehen und zu begründen, wenn sie den Begehren der Parteien nicht voll entsprechen (Art. 49 Abs. 3 Satz 1 und 2 ATSG). Aus mangelhafter Eröffnung darf den Parteien kein Nachteil erwachsen (Art. 49 Abs. 3 Satz 3 ATSG).
2.2 Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung kann auch der Empfänger einer nicht als solche bezeichneten Verfügung ohne Rechtsmittelbelehrung diese nicht einfach ignorieren; er ist vielmehr gehalten, sie innert der gewöhnlichen Rechtsmittelfrist anzufechten oder sich innert nützlicher Frist nach den in Frage kommenden Rechtsmitteln zu erkundigen, wenn er den Verfügungscharakter erkennen kann und sie nicht gegen sich gelten lassen will (BGE 129 II 125 E. 3.3 S. 134; 119 IV 330 E. 1c S. 334). Gemäss einem aus dem Prinzip von Treu und Glauben fliessenden und, wie dargelegt, in Art. 49 Abs. 3 ATSG ausdrücklich verankerten Grundsatz des öffentlichen Prozessrechts darf den Parteien aus einer fehlerhaften behördlichen Rechtsmittelbelehrung zwar kein Nachteil erwachsen. Wer aber die Unrichtigkeit der Rechtsmittelbelehrung erkannte oder bei zumutbarer Sorgfalt hätte erkennen müssen, kann sich nicht auf den genannten Grundsatz berufen. Rechtsuchende geniessen keinen Vertrauensschutz, wenn sie bzw. ihr Rechtsvertreter den Mangel allein schon durch Konsultierung der massgeblichen Verfahrensbestimmung hätten erkennen können. Allerdings vermag nur eine grobe prozessuale Unsorgfalt der betroffenen Partei oder ihres Anwaltes eine falsche Rechtsmittelbelehrung aufzuwiegen (BGE 129 II 125 E. 3.3 S. 134 f.; 124 I 255 E. 1a/aa S. 258). Sinngemäss das Gleiche muss gelten, wenn umstritten ist, ob der Verfügungscharakter eines Schreibens erkennbar ist (BGE 129 II 125 E. 3.3 S. 135).
3. 3.1 Nach den Feststellungen der Vorinstanz enthält der mit Beschwerde angefochtene "Verfügungsteil 2" weder den Verfügungskopf mit dem Erlasser und dem Datum der Verfügung, noch das (anfechtbare) Dispositiv mit den Rentenbeträgen und den für die Rente massgebenden Berechnungselementen. Das kantonale Gericht betrachtete das informell übermittelte Schreiben daher nicht als anfechtbare Verfügung. Vielmehr habe die zuständige Ausgleichskasse gestützt auf "Verfügungsteil 2" die Geldleistungen aufgrund der von der IV-Stelle gemachten Angaben zu berechnen und im Anschluss daran die Verfügung - unter Einschluss des von der IV-Stelle verfassten "Verfügungsteils 2" - zu erstellen und im Namen der IV-Stelle zu versenden. Erst diese vollständige, gemäss den Angaben von "Verfügungsteil 2" erlassene Verfügung, welche auch den von der Ausgleichskasse in Zahlen ermittelten Betrag der Invalidenrente festhalte, sei anfechtbar.
3.2 Die Beschwerdeführerin stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, die mit Beschwerde vom 19. Oktober 2009 angefochtene, mit einer Rechtsmittelbelehrung versehene Verfügung stelle ein taugliches Anfechtungsobjekt dar, da damit verbindlich über den Rentenanspruch entschieden worden sei. Das Fehlen von "Verfügungsteil 1" stelle zwar eine mangelhafte Eröffnung dar, welche jedoch insofern ohne Belang sei, als nicht die Rentenbeträge, sondern die Einstellung der Rente streitig sei. Überdies habe ihr Rechtsvertreter nach Eingang der IV-Akten am 8. Oktober 2009 Kenntnis vom "Verfügungsteil 1" nehmen können, weshalb der Beschwerde auch kein rein vorsorglicher Charakter zukomme.
4. 4.1 Während die IV-Stelle gemäss Art. 57 Abs. 1 lit. f IVG über die Invalidität zu befinden hat, fällt der AHV-Ausgleichskasse laut Art. 60 Abs. 1 lit. b IVG die Aufgabe zu, die Berechnung der Renten vorzunehmen. Die IV-Stelle übermittelt ihren Verfügungsteil als Vorbescheid der versicherten Person (Art. 57a Abs. 1 IVG) und der Ausgleichskasse, damit diese die Rentenberechnung vornehmen kann (Art. 73bis Abs. 1 und 2 lit. c IVV). Eine Rentenverfügung der Invalidenversicherung gliedert sich somit praktisch in zwei Teile. Der Verfügungsteil der Ausgleichskasse (1. Teil) enthält die Bezeichnung als "Verfügung" und nennt den Adressat. Ferner werden das Datum, die Versichertennummer sowie Name und Vorname der versicherten Person festgehalten. Es folgen Angaben zur Leistung und deren Berechnung. Der zweite Teil enthält die gesetzlichen Grundlagen, das Abklärungsergebnis und den Invaliditätsgrad. Abschliessend folgt der Hinweis auf die Rechtsmittelbelehrung. Der Verfügungsteil der Ausgleichskasse wird demjenigen der IV-Stelle vorangestellt. Den Versand der "Gesamtverfügung" nimmt in der Regel die Ausgleichskasse namens der IV-Stelle vor (vgl. Rz. 3039 ff. des Kreisschreibens des BSV über das Verfahren in der Invalidenversicherung [Stand 1. Januar 2008]).
4.2 Der Beschwerdeführerin ist zuzugestehen, dass sie nicht einfach untätig bleiben durfte, nachdem ihr Verfügungsteil 2 zugestellt und sie aufgrund ihrer Akteneinsicht von der bei den IV-Akten liegenden, Teil 1 und Teil 2 umfassenden Verfügung vom 15. September 2009 Kenntnis genommen hatte (vgl. Urteile 2C_619/2008 vom 27. März 2009 E. 3 und 2C_244/2007 vom 10. Oktober 2007). Der Vorinstanz ist zwar darin beizupflichten, dass sie den festgestellten Verfahrensmangel anzeigen oder ein Gesuch um Zustellung einer anfechtbaren Verfügung hätte stellen können. Dass die Versicherte nicht länger zuwartete und stattdessen Beschwerde erhob, ist indessen insofern nachvollziehbar, als sie keinen vollständigen Verlust ihrer prozessualen Rechte riskieren wollte, zumal es ihr erklärtermassen nur um eine Anfechtung der Befristung der Rente ging. Wie die Beschwerdeführerin jedoch selber einräumt, war der von der Ausgleichskasse mittels Begleitzettel vom 8. September 2009 zugestellte Verfügungsteil 2 zufolge Fehlens von Teil 1 mangelhaft, indem die Gesamtverfügung gar nie formrichtig eröffnet wurde (vgl. Erwägung 4.1 hievor). Das Vorgehen der Vorinstanz, unter diesen Umständen von einer materiellen Beurteilung der Beschwerde abzusehen und stattdessen mangels einer gültigen Verfügung und damit eines zulässigen Anfechtungsobjekts darauf nicht einzutreten, verletzt kein Bundesrecht, zumal keine Rechtsverzögerung geltend gemacht wurde. Der Beschwerdeführerin gehen damit keine Rechte verloren, weil sie die Verfügung nach deren Eröffnung mittels Beschwerde anfechten kann, worauf das kantonale Gericht ausdrücklich hinweist.
5. 5.1 Das Beschwerdeverfahren bei Streitigkeiten um die Bewilligung oder Verweigerung von IV-Leistungen vor dem kantonalen Versicherungsgericht ist aufgrund von Art. 69 Abs. 1bis IVG, in Abweichung von Art. 61 lit. a ATSG, kostenpflichtig.
5.2 Wie die Beschwerdeführerin zu Recht geltend macht, dürfen nach Art. 49 Abs. 3 Satz 3 ATSG aus der mangelhaften Eröffnung einer Verfügung der betroffenen Person keine Nachteile erwachsen. Vor dem Hintergrund der Unterlassung der Verwaltung kann es der Beschwerdeführerin mit Blick auf die Gerichtskosten nicht zum Nachteil gereichen, dass sie nach Kenntnisnahme der vollständigen Verfügung vom 15. September 2009 aufgrund der IV-Akten unmittelbar Beschwerde eingereicht hat, ohne die Verwaltung vorgängig auf den Verfahrensmangel hinzuweisen. Die vorinstanzliche Kostenauferlegung hält daher vor Bundesrecht nicht stand. Die Beschwerde ist somit im Kostenpunkt gutzuheissen.
6. 6.1 Insgesamt ist die Beschwerde demnach teilweise gutzuheissen und Ziff. 2 des Dispositivs des angefochtenen Entscheids aufzuheben. Das Sozialversicherungsgericht wird über die Kosten- und Entschädigungsfolgen für das kantonale Verfahren neu zu entscheiden haben.
6.2 Die Beschwerdeführerin unterliegt in der Hauptsache und obsiegt im Kostenpunkt. Die Gerichtskosten sind daher anteilsmässig zu verlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen teilweise gutgeheissen und Ziffer 2 des Dispositivs des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. Dezember 2009 aufgehoben. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die IV-Stelle wird angewiesen, der Beschwerdeführerin ohne weitere Verzögerung eine formell korrekte Verfügung zuzustellen.
3. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin Fr. 400.- und der Beschwerdegegnerin Fr. 100.- auferlegt.
4. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Mai 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer