Sachverhalt:
A. X._ (Jahrgang 1965) und Z._ (Jahrgang 1962) heirateten am xxxx 1991. Sie sind Eltern eines Sohnes (Jahrgang 1993) und zweier Töchter (Jahrgang 1994 und 1997). Am 1. Januar 2009 hoben die Ehegatten ihren gemeinsamen Haushalt auf. X._ arbeitet hauptberuflich als selbständiger Landwirt. Daneben ist er teilzeitlich als Landmaschinenmechaniker angestellt (früher 50%, seit der Trennung 25%). Z._ betreute während des ehelichen Zusammenlebens die Kinder, besorgte den Haushalt, beteiligte sich an der Arbeit auf dem Landwirtschaftsbetrieb und betrieb dort seit 2007 eine Hundepension. Seit der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts ist sie mit einem Pensum von 50% als Pferdepflegerin tätig.
B. B.a Auf das Eheschutzgesuch von Z._ hin regelte das Kreisgericht A._ mit Entscheid vom 19. August 2009 das Getrenntleben der Ehegatten. Insbesondere stellte es den Sohn und die ältere Tochter unter die Obhut des Vaters und die jüngere Tochter unter die Obhut der Mutter. Es regelte den persönlichen Verkehr und verpflichtete den Ehemann zu Unterhaltszahlungen an seine Ehefrau von monatlich Fr. 900.-- und zur Weiterleitung der Kinderzulage für die jüngste Tochter. Hingegen sah es von Kinderunterhaltsbeiträgen ab.
B.b Dagegen rekurrierten beide Parteien, beschränkt auf den Kinder- und Ehegattenunterhalt, an das Kantonsgericht St. Gallen. Dieses verpflichtete X._ mit Entscheid vom 18. Februar 2010 zur Leistung eines Unterhaltsbeitrages für die jüngste Tochter von Fr. 700.-- ab Januar 2009 und Fr. 900.-- ab August 2009 (Ziff. 1 des Dispositivs). Weiter hielt es fest, dass kein Ehegattenunterhalt zu leisten ist (Ziff. 2 des Dispositivs), der Eheschutzentscheid im Übrigen unverändert bleibt (Ziff. 3 des Dispositivs) und die Gerichtskosten hälftig zu tragen sind (Ziff. 4 des Dispositivs).
C. Dem Bundesgericht beantragt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) in seiner Beschwerde vom 19. März 2010 die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Entscheides betreffend Kinderunterhalt und Kostenverlegung (Ziff. 1 und 4 des Dispositivs). Es sei kein Kinderunterhaltsbeitrag zuzusprechen. Eventuell sei dieser auf Fr. 345.-- zu reduzieren. Subeventuell beantragt er, die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Zudem ersucht er um aufschiebende Wirkung.
Z._ (nachfolgend Beschwerdegegnerin) schliesst auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung, während sich das Kantonsgericht dazu nicht hat vernehmen lassen. Mit Verfügung vom 26. April 2010 hat die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung für die bis und mit Februar 2010 geschuldeten Unterhaltsbeiträge zuerkannt.
In der Sache verlangt die Beschwerdegegnerin mit Vernehmlassung vom 30. Juni 2010 die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Kantonsgericht hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Eheschutzentscheid betreffend Kinderunterhalt (Art. 176 Abs. 3 ZGB). Die Beschwerde in Zivilsachen gemäss Art. 72 ff. BGG ist damit grundsätzlich zulässig. Geprüft werden kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 98 BGG), soweit eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet wird (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 III 393 E. 5.2 und 6 S. 397).
1.2 Vor Bundesgericht dürfen keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (Art. 99 Abs. 1 BGG). Ob die von der Beschwerdegegnerin eingereichte Urkunde und die neuen Anträge (Aktenedition und Zeugenbefragung) Beweismittel betreffen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind (BGE 135 I 221 E. 5.2.4 S. 229 f. mit Hinweisen) oder bereits anlässlich des kantonsgerichtlichen Verfahrens Bestand hatten, aber nicht vorgebracht wurden (BGE 136 III 123 E. 4.4.3 S. 128 f.), kann offen bleiben. Diese Beweismittel sind unzulässig und unbeachtlich. Was die Beweisanträge betrifft, ist die Beschwerdegegnerin zudem darauf hinzuweisen, dass es nicht Aufgabe des Bundesgerichts ist, Beweise abzunehmen und Tatsachen festzustellen, über die sich das kantonale Sachgericht nicht ausgesprochen hat (BGE 135 III 31 E. 2.2 S. 33).
2. 2.1 Der Unterhaltsbeitrag für das Kind wird im Eheschutzverfahren nach Art. 285 ZGB bemessen (Art. 176 Abs. 3 ZGB). Er soll den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen und ausserdem Vermögen und Einkünfte des Kindes sowie den Beitrag des nicht obhutsberechtigten Elternteils an der Betreuung des Kindes berücksichtigen (Art. 285 Abs. 1 ZGB).
2.2 Der Beschwerdeführer rügt mehrmals eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung. Auf diese Rügen ist vorgängig einzugehen. Im Einzelnen bringt er vor, das Kantonsgericht sei bei der Beurteilung seiner Leistungsfähigkeit ohne Begründung von den gutachterlichen Tatsachenfeststellungen abgewichen (E. 3 unten). Sodann habe es im Rahmen seiner Bedarfsberechnung die Wohnkosten für ihn und die beiden unter seiner Obhut stehenden Kinder falsch berechnet (E. 4 unten).
2.3 Die Beweiswürdigung ist offensichtlich unrichtig - und damit willkürlich (vgl. BGE 135 III 397 E. 1.5 S. 401) - im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist, in Widerspruch zu den Akten steht oder dem Sinn für Gerechtigkeit und Billigkeit zuwiderläuft oder auch wenn der Richter die Akten auf unhaltbare Art und Weise ausgelegt, erhebliche Beweise verkannt oder sich ausschliesslich auf einen Teil der Beweismittel gestützt hat (BGE 134 V 53 E. 4.3 S. 62).
3.1 3.1.1 Für die Beurteilung der Einkommensverhältnisse holte das Kantonsgericht ein Gutachten des Landwirtschaftlichen Zentrums St. Gallen ein. Darin stellte der Gutachter gestützt auf den von ihm erstellten Betriebsvoranschlag fest, dass in den nächsten Jahren von einem durchschnittlichen Jahreseinkommen des Beschwerdeführers aus dem Landwirtschaftsbetrieb von Fr. 28'000.-- auszugehen sei. Der Beschwerdeführer arbeite ungefähr 2'700 Stunden pro Jahr, was in der Landwirtschaft einem Pensum von 96% entspreche. Nicht einberechnet sei darin die Haushaltführung. Der Gutachter erachtete eine zusätzliche Nebenerwerbstätigkeit nur während der Winterzeit und im Umfang von ungefähr 200 Stunden als möglich und vertretbar. Bei einer darüber hinausgehenden Arbeitsbelastung würden der Landwirtschaftsbetrieb und wohl auch die Gesundheit des Beschwerdeführers "darunter leiden" (S. 4 des Gutachtens).
3.1.2 Das Kantonsgericht stellte in seinen Erwägungen auf das landwirtschaftliche Jahreseinkommen gemäss Gutachten ab. Was die Nebenerwerbstätigkeit betrifft, hielt es fest, der Beschwerdeführer arbeite auf dem Landwirtschaftsbetrieb in einem Pensum von 96%, verrichte daneben Haushaltarbeiten und betreue (alleine) die beiden Kinder. Mit Verweis auf Lehre und Rechtsprechung führte das Kantonsgericht an, bei der Trennung sei grundsätzlich und insbesondere in engen finanziellen Verhältnissen zu erwarten, dass eine schon bisher betriebene Nebenbeschäftigung im selben Umfang fortgesetzt werde. Insbesondere im Verhältnis zu unmündigen Kindern seien hohe Anforderungen an die Ausnützung der Erwerbskraft zu stellen.
Da das jüngere Kind demnächst das 16. Altersjahr erreiche und sich auch die Grosseltern im Haushalt beteiligten, erachtete das Kantonsgericht insgesamt eine Nebenerwerbstätigkeit des Beschwerdeführers mit einem Pensum von 25% als zumutbar. Ein grösseres Arbeitspensum sei ihm jedoch nicht möglich (Ziff. II/3 des angefochtenen Entscheides).
3.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz sei ohne jegliche Begründung vom gerichtlichen Gutachten des Landwirtschaftlichen Zentrums St. Gallen abgewichen. Über die Ausführungen des Gutachters, wonach eine Nebenerwerbstätigkeit von mehr als 200 Stunden pro Jahr für den Betrieb und die Gesundheit schädlich sei, habe es sich hinweggesetzt, obwohl er in seiner Eingabe an das Kantonsgericht vom 26. Januar 2010 noch ausdrücklich darauf hingewiesen habe. In diesem Vorgehen liege eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV), dürfe doch in Fachfragen nicht ohne triftige Gründe von Gutachten abgewichen werden (S. 8 der Beschwerde).
3.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz sei ohne jegliche Begründung vom gerichtlichen Gutachten des Landwirtschaftlichen Zentrums St. Gallen abgewichen. Über die Ausführungen des Gutachters, wonach eine Nebenerwerbstätigkeit von mehr als 200 Stunden pro Jahr für den Betrieb und die Gesundheit schädlich sei, habe es sich hinweggesetzt, obwohl er in seiner Eingabe an das Kantonsgericht vom 26. Januar 2010 noch ausdrücklich darauf hingewiesen habe. In diesem Vorgehen liege eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV), dürfe doch in Fachfragen nicht ohne triftige Gründe von Gutachten abgewichen werden (S. 8 der Beschwerde).
3.3 3.3.1 Wie jedes Beweismittel unterliegen auch Gutachten der freien richterlichen Beweiswürdigung. Trotz seiner grundsätzlichen Freiheit in der Beweiswürdigung darf das Gericht aber in Fachfragen nicht ohne triftige Gründe von Gutachten abweichen und muss Abweichungen begründen. Hingegen ist die Beurteilung von Rechtsfragen alleinige Aufgabe des Richters (BGE 133 II 384 E. 4.2.3 S. 391; 132 II 257 E. 4.4.1 S. 269).
3.3.2 Ob das Einkommen in der angenommenen Höhe zugemutet werden kann, ist Rechtsfrage, ob dessen Erzielung auch als tatsächlich möglich erscheint, ist hingegen Tatfrage (vgl. die Frage des hypothetischen Einkommens betreffend: BGE 128 III 4 E. 4c/bb S. 7 f.; 126 III 10 E. 2b S. 12 f.). Vorliegend hat das Gericht zur Ermittlung des landwirtschaftlichen Einkommens sowie zur beruflichen Belastung des Beschwerdeführers ein Gutachten eingeholt. Die Feststellungen des Gutachters zur Möglichkeit einer Nebenerwerbstätigkeit aus betrieblicher Sicht stellen eine Tatfrage dar (vgl. auch KUMMER, Grundriss des Zivilprozessrechts, 4. Aufl. 1984, S. 226). Soweit der landwirtschaftliche Gutachter hingegen festhält, eine höhere Nebenerwerbstätigkeit sei "vermutlich" auch für die Gesundheit schädlich, handelt es sich nicht um Tatsachen, sondern um Mutmassungen.
3.3.3 Das Kantonsgericht hat sich mit den gutachterlichen Feststellungen zur Möglichkeit und dem Umfang einer Nebenerwerbstätigkeit aus betrieblicher Sicht nicht auseinandergesetzt. Vielmehr hat es sich mit seiner Feststellung, ein höheres Arbeitspensum als 25% sei nicht möglich, in direkten Widerspruch zum Gutachten gesetzt. Das Gutachten hält nämlich im Ergebnis fest, dass auch ein Pensum unter 25%, das aber 200 Arbeitsstunden pro Jahr übersteigt, aus betrieblicher Sicht nicht möglich ist. Die unter Verweis auf Lehre und Praxis erfolgten Ausführungen des Kantonsgerichts betreffen nicht die Möglichkeit, sondern nur die Rechtsfrage der Zumutbarkeit.
3.4 Indem das Kantonsgericht damit eine Nebenerwerbstätigkeit von 25%, womit 200 Arbeitsstunden pro Jahr deutlich überschritten werden, als möglich erachtete, setzte es sich ohne jegliche Begründung über die tatsächlichen Feststellungen im landwirtschaftlichen Gerichtsgutachten hinweg. Damit erweist sich die kantonsgerichtliche Beweiswürdigung als willkürlich (BGE 130 I 337 E. 5.4.2 S. 345 f.) und die Rüge ist begründet.
4. 4.1 Das Kantonsgericht führte bei der Bedarfsberechnung des Beschwerdeführers und der beiden unter seiner Obhut stehenden Kinder aus, die Wohnkosten setzten sich bei einem Hauseigentümer aus dem Hypothekarzins, den öffentlich-rechtlichen Abgaben und den Unterhaltskosten zusammen. Da der Hypothekarzins gemäss der Einkommensberechnung im Betriebsvoranschlag des Gutachtens des Landwirtschaftlichen Zentrums St. Gallen bereits beim Einkommen des Beschwerdeführers abgezogen werde, sei dieser bei den Wohnkosten nicht mehr zu beachten. Das Kantonsgericht berücksichtigte deshalb nur Wohnkosten in der Höhe von monatlich Fr. 200.--, die es hälftig auf den Beschwerdeführer und die beiden Kinder verteilte (Ziff. II/7 des angefochtenen Entscheides).
4.2 4.2.1 Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, im Betriebsvoranschlag seien zwar bei den Ausgaben Hypothekarzinsen in der Höhe von Fr. 9'800.-- pro Jahr berücksichtigt. Gleichzeitig sei aber bei den Einnahmen ein geschätzter Mietwert von Fr. 5'100.-- angenommen worden. Dieser betreffe keine effektiven Einnahmen, da das Wohnhaus nicht vermietet werde. Vielmehr hätten damit für die Berechnung des landwirtschaftlichen Einkommens die Hypothekarzinsen für das Wohnhaus ausgeschieden werden sollen. Indem im Betriebsvoranschlag zwar Hypothekarzinsen für den ganzen Betrieb (inklusive Wohnhaus) abgezogen, aber gleichzeitig ein fiktiver Mietwert (für das Wohnhaus) aufgerechnet worden sei, bedeute dies, dass die Hypothekarzinsen für das Wohnhaus bei seinem Einkommen gerade nicht berücksichtigt worden seien. Die Tatsachenfeststellungen des Kantonsgerichts würden sich damit als offensichtlich unrichtig und willkürlich erweisen (S. 3 ff. der Beschwerde).
4.2.2 Auch diese Rüge des Beschwerdeführers ist begründet. Wie aus dem Gutachten des Landwirtschaftlichen Zentrums St. Gallen hervorgeht, betrifft der im Betriebsvoranschlag berücksichtigte Hypothekarzins den gesamten Betrieb einschliesslich des Wohnhauses. Eine Differenzierung zwischen den gewerblichen und privat genutzten Gebäuden und Flächen liegt dem Gutachten nicht zugrunde (vgl. Ziff. 6 und 3 des Gutachtens). Damit ist im Betriebsvoranschlag auf der Ausgabenseite auch der Hypothekarzins für das Wohnhaus berücksichtigt. Gleichzeitig wurde aber auf der Einnahmeseite ein Mietwert von jährlich Fr. 5'100.-- angenommen. Hat das Kantonsgericht bei der Berechnung des Einkommens des Beschwerdeführers diesen Mietwert hinzugerechnet, muss dieser Betrag aber bei den Wohnkosten wiederum berücksichtigt werden. So ist denn auch das Kreisgericht bereits vorgegangen (vgl. S. 4 und 6 des kreisgerichtlichen Entscheides). Warum das Kantonsgericht entgegen der entsprechenden Hinweise des Beschwerdeführers in der Rekursantwort vom 10. November 2009 (S. 2 f.) von der erstinstanzlichen Berechnung abgewichen ist, legt es nicht dar. Die Beweiswürdigung des Kantonsgerichts ist aktenwidrig und damit willkürlich.
5. Erweist sich die Beschwerde in Bezug auf die kantonsgerichtliche Sachverhaltsfeststellung als begründet, erübrigt sich die Prüfung der weiteren Rügen. Die Beschwerde ist demnach gutzuheissen. Hat die Vorinstanz den Sachverhalt rechtswidrig festgestellt, ist die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung im Sinne der Erwägungen und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG).
6. Bei diesem Verfahrensausgang rechtfertigt es sich, die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Parteikosten werden wettgeschlagen (Art. 68 Abs. 1 BGG). Aufgrund des Ausgangs des Verfahrens um aufschiebende Wirkung drängt sich keine anderweitige Verlegung auf.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und die Ziff. 1 und 4 des Entscheides des Kantonsgerichts St. Gallen, Einzelrichter im Familienrecht, vom 18. Februar 2010 aufgehoben. Die Sache wird insoweit zu neuer Beurteilung im Sinne der Erwägungen an das Kantonsgericht zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3. Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter im Familienrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. August 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Bettler