Faits:
A. A.a M._, né en 1944, travaillait en qualité d'infirmier instrumentiste au service de l'Hôpital X._. Il était assuré contre les accidents par La Bâloise, Compagnie d'Assurances (ci-après : la Bâloise).
Les 23 novembre et 24 décembre 2001, M._ a été victime de deux accidents. Le premier lui a occasionné un important traumatisme par écrasement du gros orteil droit, une entorse bénigne du genou droit et un lumbago aigu post-effort. Le second s'est déroulé lors d'un séjour à l'étranger : alors qu'il sortait du domicile d'un ami, l'assuré a glissé sur des escaliers verglacés et a chuté; sa tête a heurté le sol, ce qui a entraîné une perte de connaissance de plusieurs heures. Les médecins du Centre médical Y._, où l'assuré a immédiatement été hospitalisé, ont mis en évidence une lésion hyperextensionnelle de la colonne cervicale et de la moelle épinière, une tétraparésie, une spondylarthrose cervicale et une discarthrose C5-C6. Rapatrié le 9 janvier 2002 en Suisse, l'intéressé a séjourné à l'Hôpital Z._ jusqu'au 25 janvier suivant, date de son retour à domicile. Selon le rapport de sortie de l'hôpital (du 29 janvier 2002), il souffrait d'un status post-traumatisme cranio-cérébral avec parésie résiduelle du membre supérieur droit faiblement régressive, d'un état dépressif réactionnel et d'une cervicarthrose pluriétagée à prédominance C5-C6 avec status post-contusion cervicale. En raison d'une thymie à caractère dépressif, il a été adressé au docteur S._, psychiatre et psychothérapeute, qui a diagnostiqué un épisode dépressif sévère sans symptôme psychotique (rapport du 21 mai 2002).
Dans un rapport du 13 septembre 2002, le docteur H._, spécialiste en neurologie mandaté comme expert par la Bâloise, a diagnostiqué un status après chute ayant entraîné probablement un traumatisme cranio-cérébral et une contusion médullaire s'étant traduits par un coma et une tétraparésie transitoires, des cervico-brachialgies, des troubles sensitivomoteurs hémicorporels droits persistants sans substrat organique démontrable, ainsi qu'une surcharge psychogène dans le cadre d'un état anxio-dépressif. Selon l'expert, il n'existait plus aucune lésion organique objectivable en relation de causalité naturelle avec l'accident du 24 décembre 2001; le tableau présenté par l'assuré était essentiellement de nature psychogène, même si une « épine organique » sous-jacente ne pouvait être totalement exclue.
La Bâloise a ensuite confié à la doctoresse U._, médecin à l'Hôpital V._, la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique. Selon le rapport du 2 septembre 2003 établi par ce médecin, l'assuré présentait une personnalité narcissique avec des défenses obsessionnelles ainsi que des traits hystériques et démonstratifs. La symptomatologie présentée n'était plus en relation de causalité avec les événements traumatiques vécus par l'assuré, mais était exclusivement d'origine maladive.
Par décision du 14 octobre 2003, la Bâloise a constaté que les plaintes de M._ n'étaient plus en relation de causalité naturelle avec les accidents des 23 novembre et 24 décembre 2001; elle a mis fin aux prestations de l'assurance-accidents avec effet dès le 31 octobre 2003. La Bâloise a maintenu son refus d'allouer des prestations au-delà du 31 octobre 2003 par décision sur opposition du 15 janvier 2004.
B. B.a Par jugement du 17 février 2005, le Tribunal administratif du canton de Fribourg a rejeté le recours formé par l'assuré contre cette décision sur opposition. M._, qui a encore séjourné du 25 mai au 29 juin 2005 à la Clinique R._, a déféré la cause au Tribunal fédéral des assurances. Ce dernier a annulé le jugement du 17 février 2005 et renvoyé la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle complète l'instruction par une nouvelle expertise et statue à nouveau (arrêt du 21 octobre 2005).
B.b Du 2 avril au 28 avril 2007, M._ a suivi une nouvelle cure à la Clinique R._. Auparavant, le Tribunal administratif du canton de Fribourg avait confié au docteur C._ le soin de réaliser une expertise psychiatrique. Celui-ci a rendu son rapport le 19 juillet 2007. Il a posé les diagnostics de syndrome dépressif anxieux d'intensité moyenne (F32.1 selon l'ICD-10), de trouble moteur dissociatif du bras droit (F44.4), de trouble douloureux somatoforme persistant (F45.4) et de discret syndrome psycho-organique post-commotionnel (F07.2). Ces troubles avaient une composante à la fois psycho-organique et psychiatrique; ils n'étaient pas présents avant l'accident du 24 décembre 2001. L'expert a proposé d'admettre un lien de causalité naturelle avec cet accident.
Chacune des parties s'est ensuite déterminée, la Bâloise produisant notamment une prise de position du 25 septembre 2007 de son médecin-conseil, le docteur K._, à L._. Puis le Tribunal cantonal fribourgeois a statué en rejetant le recours de l'assuré, par jugement du 12 juin 2008. Il a tenu pour établi un rapport de causalité naturelle entre l'accident du 24 septembre 2001 et les affections constatées par le docteur C._, mais a nié l'existence d'un rapport de causalité adéquate.
C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il demande l'annulation. En substance, il conclut à la condamnation de l'intimée au paiement d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité, ainsi qu'au maintien du paiement d'indemnités journalières ou à l'octroi d'une rente pour la période postérieure au 31 octobre 2003. A l'appui de son recours, il a produit un rapport établi par le docteur F._, médecin consultant à l'Hôpital T._, à P._, faisant état de diverses atteintes cérébrales (rapport du 4 août 2008).
L'intimée a produit une prise de position du docteur G._ relative au rapport du docteur F._ et a conclu au rejet du recours, sous suite de frais. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Dans l'arrêt de renvoi du 21 octobre 2005, le Tribunal fédéral des assurances a déclaré irrecevables les conclusions du recourant relatives à une indemnité pour atteinte à l'intégrité, faute de décision de l'intimée sur ce point (consid. 1). De telles conclusions ne sont pas davantage recevables dans la présente procédure, l'objet de la contestation étant resté le même (sur la notion de décision déterminant l'objet de la contestation pouvant être déférée en justice par voie de recours, cf. ATF 125 V 413 consid. 1a p. 414; ULRICH MEYER/ISABEL VON ZWEHL, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, in : Mélanges Pierre Moor, 2005 no 8 p. 439). Compte tenu de cette irrecevabilité et des autres conclusions prises par le recourant, seul reste litigieux le droit à des indemnités journalières ou à une rente de l'assurance-accidents pour la période postérieure au 31 octobre 2003.
2. Aux termes de l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté dans un recours au Tribunal fédéral, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Cette règle s'applique également lorsque la procédure porte sur des prestations en espèces de l'assurance-accidents ou de l'assurance militaire, nonobstant le pouvoir d'examen relativement étendu dont dispose le Tribunal fédéral dans ce type de litige (art. 105 al. 3 LTF; ATF 135 V 194). En l'occurrence, les nouveaux documents médicaux produits par le recourant et l'intimée ne résultent pas du jugement entrepris, au sens de l'art. 99 al. 1 LTF, et ne peuvent donc pas être pris en considération. Dans le même sens, la demande de complément d'instruction présentée par l'intimée, qui ne pourrait elle aussi qu'aboutir à la production de preuves nouvelles, doit être rejetée.
Le recourant soutient, certes, que le rapport du docteur F._ du 14 août 2008 pourrait fonder une demande immédiate de révision de l'arrêt du Tribunal fédéral en cas de rejet de son recours. Cela paraît douteux, compte tenu des conditions posées pour la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral (cf. en particulier l'art. 125 LTF, en relation avec l'art. 61 let. i LPGA; voir également PIERRE FERRARI, in Commentaire de la LTF, 2009, no 2 sv. p. 1215 sv.). Quoi qu'il en soit, cette question ne se pose pas en l'espèce, compte tenu de ce qui suit.
3. 3.1 Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel ou de maladie professionnelle. Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose notamment entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé un lien de causalité naturelle. Cette condition est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé : il suffit qu'associé éventuellement à d'autres facteurs, il ait provoqué l'atteinte à la santé, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de cette atteinte. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte en question sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait que l'administration ou, le cas échéant, le juge, examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée en se conformant à la règle du degré de la vraisemblance prépondérante (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3 p. 406).
3.2 En matière de lésions du rachis cervical par accident de type « coup du lapin », de traumatisme analogue ou de traumatisme cranio-cérébral sans preuve d'un déficit fonctionnel organique, l'existence d'un lien de causalité naturelle entre l'accident et l'incapacité de travail ou de gain doit en principe être reconnue en présence d'un tableau clinique typique présentant de multiples plaintes (maux de tête diffus, vertiges, troubles de la concentration et de la mémoire, nausées, fatigabilité, troubles de la vue, irritabilité, dépression, modification du caractère, etc.). Encore faut-il que l'existence d'un tel traumatisme et de ses suites soit dûment attestée par des renseignements médicaux fiables (ATF 119 V 335 consid. 1 p. 337 sv., 117 V 359 consid. 4b p. 360 sv.). La jurisprudence a posé récemment diverses exigences sur les mesures d'instruction nécessaires de ce point de vue. Elle a considéré, en particulier, qu'une expertise pluridisciplinaire est indiquée si l'état de santé de l'assuré ne présente ou ne laisse pas espérer d'amélioration notable relativement rapidement après l'accident, c'est-à-dire dans un délai d'environ six mois (ATF 134 V 109 consid. 9 p. 122 ss).
4. 4.1 La juridiction cantonale a considéré que le recourant souffrait d'atteintes à la santé psychique en relation de causalité naturelle avec l'accident assuré. Elle s'est fondée pour l'essentiel, sur l'expertise du docteur C._. L'intimée en conteste la valeur probante en s'appuyant sur une prise de position établie par son médecin-conseil et sur le rapport établi par la doctoresse U._ le 2 septembre 2003.
4.2 Dans l'arrêt de renvoi du 21 octobre 2005, le Tribunal fédéral des assurances a considéré, en se fondant sur l'expertise réalisée par le docteur H._, que l'existence d'une atteinte organique objectivable, en particulier d'une atteinte cérébrale, n'était pas démontrée au degré de la vraisemblance prépondérante. Il n'y a pas lieu de revenir sur ce point. Il n'en reste pas moins que le recourant a subi un traumatisme cranio-cérébral et qu'il présente depuis lors de nombreux symptômes entrant dans le tableau clinique décrit au considérant 3.2 ci-avant. Sans pouvoir mettre en évidence une atteinte organique démontrable, le docteur H._ n'a pas exclu l'existence d'une « épine organique sous-jacente ». De manière plus affirmative, les docteurs E._ et A._, médecins à la Clinique R._, ont fait état d'indices cliniques d'une atteinte cérébrale organique, qu'il était toutefois difficile de distinguer clairement de l'évolution psycho-pathologique du patient (rapport du 18 juillet 2005). Enfin, le docteur C._ a souligné qu'une atteinte organique lui paraissait vraisemblable, en renonçant toutefois à se prononcer plus précisément sur ce point compte tenu, notamment, de son domaine de spécialité.
Il ressort de ces différents avis médicaux que certaines indices laissent soupçonner une atteinte organique à la santé, quand bien même celle-ci ne peut être démontrée au degré de la vraisemblance prépondérante. Partant, on peut se demander s'il ne faudrait pas appliquer, en l'espèce, la jurisprudence exposée au considérant 3.2 ci-avant pour statuer sur la question du rapport de causalité naturelle entre l'accident assuré et les affections dont souffre le recourant. Il n'y a pas lieu de trancher la question. En effet, même en considérant que les atteintes à la santé du recourant sont exclusivement d'ordre psychique, il faut admettre qu'elles sont en relation de causalité naturelle avec l'accident assuré, comme l'ont admis les premiers juges.
4.3 Le docteur C._ disposait d'un dossier complet et a eu trois entretiens avec l'assuré. Après un rappel des faits, il a décrit les plaintes actuelles de l'assuré et ses propres observations cliniques, puis a procédé à une « appréciation et discussion ». Il y a exposé de manière plus détaillée, sur sept pages, son analyse et ses constatations relatives à l'état de santé de l'assuré, ainsi qu'à l'origine accidentelle des atteintes à la santé mises en évidence. Il y précise que des atteintes à la santé psychique importantes, et distinctes d'atteintes psycho-organiques plus directement liées au traumatisme cranio-cérébral, sont apparues rapidement après l'accident. Au moment de l'expertise, ces atteintes à la santé psychique dominaient à ce point le tableau clinique qu'il a renoncé à proposer de nouvelles investigations somatiques. En substance, l'expert considère que le recourant avait toujours été en bonne santé avant l'accident, qu'il était assidu au travail, voire hyperactif, s'efforçant depuis son arrivée en Suisse d'afficher un comportement exemplaire et un modèle de « réussite » professionnelle, sociale et économique. L'expert a évoqué dans ce contexte des traits obsessionnels (perfectionnisme, rationalisation) et narcissiques (identité peu assurée en quête de la reconnaissance d'autrui, crainte de l'échec), avec une certaine psychorigidité. Il a ensuite fait un lien entre les événements biographiques décrits et ces traits de personnalité prémorbide, d'une part, et l'accident du 24 décembre 2001 d'autre part. Il a ainsi expliqué que l'accident avait entraîné un coma de quatre à six heures, au sortir duquel l'assuré s'était trouvé confronté à une tétraplégie, devenue progressivement tétraparésie, accompagnée de douleurs et de troubles cognitifs cérébraux. Cet accident, et les circonstances dans lesquelles l'assuré s'est réveillé, ont été vécus comme un cataclysme, entraînant très rapidement un syndrome dépressif anxieux sévère dû à l'effondrement des ressources adaptatives; il en est résulté une désorganisation de la personnalité de l'assuré. De manière inconsciente, celui-ci a progressivement répondu au syndrome dépressif anxieux initial par le développement de troubles somatoformes douloureux et d'un syndrome moteur dissociatif du bras droit. En réponse aux questions posées, l'expert a ajouté que les troubles psychiques entraînaient une incapacité de travail totale, probablement définitive, et qu'ils étaient en relation de causalité naturelle avec l'accident assuré.
4.4 Compte tenu de ce qui précède, l'expertise du docteur C._ répond en tous points aux exigences posées par la jurisprudence en la matière. On observera en particulier que l'expert ne s'est pas limité à un exposé relativement abstrait de divers mécanismes psychiques, mais qu'il a pris soin de mettre en rapport ses explications d'ordre médical avec des éléments tirés de l'anamnèse. Contrairement à l'opinion de l'intimée et de son médecin-conseil, l'expertise n'apparaît pas incohérente et rien ne permet d'affirmer qu'elle ne reposerait pas sur des données scientifiques, ou que l'expert se serait écarté d'une « evidence based medicine ». Il est vrai que le docteur C._ n'a pas procédé à une véritable critique du rapport établi précédemment par la doctoresse U._, bien qu'il s'en soit distancié. Mais d'une part, les premiers juges n'ont formulé aucune question dans ce sens. D'autre part, on comprend bien que le point de vue du docteur C._ diverge de celui de sa consoeur dès lors qu'il nie, contrairement à elle, l'existence d'un syndrome dépressif avant le 24 décembre 2001. Sur ce point, la doctoresse U._ s'est appuyée sur des déclarations du docteur I._ lors d'une conversation téléphonique, déclarations dont ce dernier a par la suite clairement exposé qu'elles avaient mal été interprétées (lettre du 6 avril 2004). Ces précisions apportées par le docteur I._, ainsi que le poids considérable attribué par la doctoresse U._, dans son analyse, à l'existence d'un syndrome dépressif avant l'événement du 24 décembre 2001, conduisent à diminuer sérieusement la valeur probante de l'expertise établie par ses soins. Il s'ensuit que les premiers juges s'en sont tenus à juste titre aux constatations et conclusions du docteur C._ relatives à l'existence d'un rapport de causalité naturelle entre les atteintes à la santé psychique du recourant et l'accident assuré.
5. 5.1 Le droit à des prestations d'assurance suppose également, entre l'accident et l'atteinte à la santé, un lien de causalité adéquate. En cas d'atteinte à la santé physique, ce lien est généralement admis sans autre examen dès lors que le rapport de causalité naturelle est établi (cf. ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103). En revanche, la jurisprudence a posé plusieurs critères en vue de juger du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident et des troubles d'ordre psychique développés ensuite par la victime. Elle a tout d'abord classé les accidents en trois catégories, en fonction de leur déroulement : les accidents insignifiants ou de peu de gravité (par exemple une chute banale), les accidents de gravité moyenne et les accidents graves. Pour procéder à cette classification, il convient non pas de s'attacher à la manière dont l'assuré a ressenti et assumé le choc traumatique, mais bien plutôt de se fonder, d'un point de vue objectif, sur l'événement accidentel lui-même. En présence d'un accident de gravité moyenne, il faut prendre en considération un certain nombre de critères, dont les plus importants sont les suivants :
les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident;
la gravité ou la nature particulière des lésions physiques compte tenu notamment du fait qu'elles sont propres, selon l'expérience, à entraîner des troubles psychiques;
la durée anormalement longue du traitement médical;
les douleurs physiques persistantes;
les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident;
les difficultés apparues au cours de la guérison et des complications importantes;
le degré et la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques.
Tous ces critères ne doivent pas être réunis pour que la causalité adéquate soit admise. Un seul d'entre eux peut être suffisant, notamment si l'on se trouve à la limite de la catégorie des accidents graves. Inversement, en présence d'un accident se situant à la limite des accidents de peu de gravité, les circonstances à prendre en considération doivent se cumuler ou revêtir une intensité particulière pour que le caractère adéquat du lien de causalité soit admis (ATF 115 V 133 consid. 6c p. 140, 403 consid. 5c p. 409).
5.1 En cas d'atteintes à la santé sans preuve de déficit organique consécutives à un traumatisme de type « coup du lapin » à la colonne cervicale, un traumatisme analogue ou un traumatisme cranio-cérébral, la jurisprudence apprécie le caractère adéquat du rapport de causalité en appliquant, par analogie, les mêmes critères que ceux dégagés à propos des troubles d'ordre psychique. L'examen de ces critères est toutefois effectué sans faire de distinction entre les composantes physiques ou psychiques : les critères relatifs à la gravité ou à la nature particulière des lésions subies, aux douleurs persistantes ou à l'incapacité de travail sont déterminants, de manière générale, sans référence aux seules lésions ou douleurs physiques (ATF 117 V 359 consid. 6a p. 366 sv.; voir également arrêt U 249/01 du 30 juillet 2002 consid. 4a, in RAMA 2002 no U 470 p. 531). Par ailleurs, toujours en relation avec l'appréciation du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident de type « coup du lapin » ou un traumatisme cranio-cérébral et des atteintes à la santé sans preuve de déficit organique, le Tribunal fédéral a précisé que le critère faisant référence au traitement médical était rempli en cas de traitement prolongé spécifique et pénible, que les douleurs prises en considération devaient revêtir une certaine intensité et que l'incapacité de travail devait être importante, en dépit des efforts reconnaissables de l'assuré (ATF 134 V 109 consid. 10 p. 126).
Nonobstant ce qui précède, il convient d'appliquer la jurisprudence exposée au consid. 5.1 ci-avant (ATF 115 V 133 et 403), en particulier en distinguant entre atteintes d'origine psychique et atteintes organiques, même en cas de traumatisme de type « coup du lapin », de traumatisme analogue ou de traumatisme cranio-cérébral, lorsque les troubles psychiques apparus après l'accident constituent clairement une atteinte à la santé distincte et indépendante du tableau clinique consécutif à un traumatisme de ce type (arrêt U 96/00 du 12 octobre 2000 consid. 2b, in RAMA 2001 no U 412 p. 79; cf. également ATF 134 V 109 consid. 9.5 p. 125 sv. et arrêts 8C_957/2008 du 1er mai 2009 consid. 4, 8C_425/2007 du 9 juillet 2008 consid. 4.2 et 8C_124/2007 du 20 mai 2008 consid. 3.2).
6. 6.1 En l'espèce, la jurisprudence relative au rapport de causalité entre des troubles psychiques et un accident assuré est applicable indépendamment du point de savoir si le recourant souffre encore directement de séquelles du traumatisme cranio-cérébral, sans preuve de déficit organique, ou s'il souffre exclusivement d'affections psychiques. Quoi qu'il en soit, en effet, des troubles psychiques importants et distincts d'affections psycho-organiques après un traumatisme cranio-cérébral ont rapidement dominé le tableau clinique.
6.2 La juridiction cantonale a nié l'existence d'un rapport de causalité adéquate entre l'accident assuré et les atteintes à la santé psychique dont souffre le recourant. Elle a considéré que la chute dans un escalier, le 24 décembre 2001, était de gravité moyenne au sens de la jurisprudence. Il convient toutefois de préciser qu'au regard de la violence du choc, qui a provoqué un coma de quatre à six heures, cet accident se situe au moins à la limite de la catégorie des accidents graves. Par ailleurs, le recourant s'est réveillé, plusieurs heures après sa perte de connaissance, dans une chambre d'hôpital, en ayant perdu l'usage et la sensibilité de ses membres. Ces symptômes ont rapidement régressé, mais le recourant a été maintenu au lit strict jusqu'à deux jours avant son transfert pour l'Hôpital Z._ le 9 janvier 2002. Il a alors été mis en position assise, puis debout, ce qu'il a difficilement supporté au départ en raison de vertiges, ainsi que d'un sentiment d'insécurité et de forte faiblesse dans les mains et les jambes. Les symptômes initiaux ont pu lui faire craindre qu'il perdrait l'usage de ses quatre membres et provoquer un choc important. Ils entrent en considération, pour l'examen du rapport de causalité adéquate, soit au titre de circonstances particulièrement impressionnantes de l'accident, soit au titre de lésions physiques propres à entraîner des troubles psychiques. Une durée de quatre à six heures les sépare de l'accident, certes, mais pas dans la perception qu'a pu en avoir l'assuré immédiatement à son réveil; par ailleurs, à ce stade, la perte de l'usage et de la sensibilité des quatre membres ne résultait pas, selon toute vraisemblance, d'atteintes à la santé psychique. Dans la mesure où l'accident subi le 24 décembre 2001 est au moins à la limite d'un accident grave, ces seules circonstances suffisent à admettre le lien de causalité adéquate litigieux (cf. arrêt U 2/07 du 19 novembre 2007 consid. 5.3.3, in SVR 2008 UV no 8 p. 26).
7. 7.1 Il ressort de ce qui précède que les symptômes présentés par le recourant postérieurement au 31 octobre 2003 sont en relation de causalité naturelle et adéquate avec l'accident assuré. Le docteur C._ atteste, de manière probante, la persistance d'une incapacité de travail durable en raison de ces symptômes. L'intimée n'était donc pas en droit de mettre fin à ses prestations en espèces dès cette date. La cause lui sera retournée pour qu'elle statue sur les prestations (indemnités journalières, rente) dues au recourant.
7.2 Le recourant voit ses conclusions admises pour l'essentiel, de sorte qu'il peut prétendre une indemnité de dépens à la charge de l'intimée (art. 68 al. 1 LTF). Cette dernière supportera par ailleurs les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis dans la mesure où il est recevable. Le jugement du Tribunal cantonal fribourgeois, du 12 juin 2008, et la décision sur opposition de La Bâloise Compagnie d'Assurances, du 15 janvier 2004, sont annulés, la cause étant renvoyée à l'intimée pour nouvelle décision au sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera au recourant la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal fribourgeois pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal fribourgeois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 août 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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