Sachverhalt:
A. Die X._ AG (Beschwerdegegnerin) betreibt in Q._ eine Klinik. Auf den 1. September 2007 stellte sie A._ (Beschwerdeführerin) als Geschäftsleitungsmitglied ein und übertrug ihr die Leitung des Ressorts Marketing und Organisation sowie Pflege und Therapie. Sie hatte den Geschäftsbetrieb neu zu strukturieren. Dies erwies sich als notwendig, da bisher Strukturen fehlten, der Betrieb schnell wuchs und Dr. B._ Chefarzt, Verwaltungsratsdelegierter und Aktionär in einer Person war. Im Sommer 2008 kam es zu Konflikten zwischen B._ und der Beschwerdeführerin, welche die Zusammenarbeit erschwerten. Mit Schreiben vom 27. August 2008 beschwerte sich die Beschwerdeführerin beim Verwaltungsrat über das die Mitarbeitenden verunsichernde und Ängste in Bezug auf den Arbeitsplatz auslösende Verhalten von B._, das ihr verunmögliche, ihre Aufgabe zu erfüllen. Sie erklärte, sie erwarte vom Verwaltungsrat umgehend einen klaren Vorschlag zur Lösung dieses unhaltbaren Zustands, und schilderte in der Folge beispielhaft einige Vorfälle aus dem Monat August 2008, welche das destruktive Verhalten von B._ veranschaulichen sollten. Die Beschwerdegegnerin leistete dieser Aufforderung keine Folge, sondern kündigte am 17. September 2008 das Arbeitsverhältnis auf den 31. Dezember 2008 und stellte die Beschwerdeführerin frei.
B. Am 16. April 2009 klagte die Beschwerdeführerin beim Einzelrichter des Kantonsgerichts von Appenzell Ausserrhoden gegen die Beschwerdegegnerin auf Zahlung von Fr. 30'000.-- nebst Zins als Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung. Der Einzelrichter wies die Klage am 9. Juli 2009 ab. Die von der Beschwerdeführerin erhobene Appellation wies der Einzelrichter-Stellvertreter des Obergerichts von Appenzell Ausserrhoden am 14. Juni 2010 ab.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, den Entscheid des Einzelrichter-Stellvertreters aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihr Fr. 30'000.-- nebst Zins zu bezahlen. Eventuell sei die Sache zu entsprechender Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. Nach dem angefochtenen Urteil erachtete die Beschwerdeführerin die Kündigung als missbräuchlich (Art. 336 Abs. 1 lit. d OR), weil sie diese umgehend erhielt, nachdem sie sich an den Verwaltungsrat gewandt hatte mit dem Ziel, Unterstützung zu erhalten, um ihre persönlichen Differenzen mit Dr. B._ ausräumen zu können. Die Beschwerdegegnerin habe es indessen unterlassen, sich um eine Lösung des Konfliktes zu bemühen. Die Beschwerdegegnerin hielt dem entgegen, mit der Kündigung habe sie sich für das Wohl der gesamten Gesellschaft und gegen die Beschwerdeführerin entschieden. Diese habe ungeachtet ihrer Qualifikation im kommunikativen Bereich die in sie gesetzten Erwartungen nicht erfüllt. Sie habe nicht verstanden, dass es an der Schnittstelle zwischen der operativen und der ärztlichen Führung besonderer kommunikativer Fähigkeiten bedürfe.
1.1 Die Vorinstanz hielt dafür, die Kündigung müsste als missbräuchlich im Sinne von Art. 336 OR qualifiziert werden, wenn die Beschwerdegegnerin allein wegen des Schreibens vom 27. August 2008 gekündigt hätte. Der enge zeitliche Zusammenhang zwischen dem Schreiben der Beschwerdeführerin vom 27. August 2008 und der Kündigung indiziere, dass das betreffende Schreiben die Kündigung ausgelöst habe. Indes belege der Mailverkehr der Beschwerdeführerin mit B._ vom März 2008, dass das Verhältnis zwischen diesen beiden Personen bereits damals belastet war, und bilde ein Indiz dafür, dass das Schreiben der Beschwerdeführerin vom 27. August 2008 nicht alleiniger Grund für die Kündigung gewesen sein müsse. Die Beschwerdeführerin habe mithin den Beweis der hohen Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihr Schreiben den alleinigen bzw. hauptsächlichen Grund der Kündigung gebildet habe, nicht erbracht. Den Vorwurf, die Beschwerdegegnerin habe keine Massnahmen zur Bewältigung des Konfliktes ergriffen, erachtete die Vorinstanz als unbegründet. Die Geschäftsleitung, insbesondere auch B._, hätten mehrfach und über längere Zeit versucht, die aufgetauchten Kommunikationsprobleme zu lokalisieren, zu besprechen und einer Lösung zuzuführen. Trotz diesen Bemühungen habe sich der Konflikt immer mehr zugespitzt. Aufgrund ihrer kompromisslosen Haltung habe die Beschwerdeführerin den Konflikt mitzuvertreten. Eine Lösung des Konflikts sei letztlich nicht möglich gewesen.
1.2 Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, um die Missbräuchlichkeit der Kündigung im Sinne von Art. 336 Abs. 1 lit. d OR zu verneinen, genüge nicht, dass das Schreiben der Beschwerdeführerin möglicherweise nicht alleiniger Grund der Kündigung gewesen sei. Rechtlich massgebend sei vielmehr, ob das missbräuchliche Motiv ausschlaggebend, bzw. ob der verpönte Grund unmittelbarer Anlass zur Kündigung oder mindestens derart wesentlich gewesen sei, dass ohne sein Vorliegen eine Kündigung nicht ausgesprochen worden wäre (STREIFF/VONKAENEL, Arbeitsvertrag, 6. Auflage, N. 20 zu Art. 336 OR S. 698 mit Hinweisen). Der Beweis dafür könne jedoch nicht vom Gekündigten verlangt werden. Stehe ein missbräuchliches Teilmotiv einmal mit hoher Wahrscheinlichkeit fest, habe vielmehr der Kündigende nachzuweisen, dass er auch ohne Vorliegen des verpönten Grundes gekündigt hätte. Allein die Möglichkeit eines weiteren (nicht missbräuchlichen) Kündigungsgrundes lasse den Kausalzusammenhang mit dem festgestellten missbräuchlichen Motiv nicht entfallen, wenn der Beweisgrad der hohen Wahrscheinlichkeit angewendet werde. Aufgrund der von der Vorinstanz verbindlich festgestellten blossen Möglichkeit eines weiteren Motivs bleibe es beim erstellten massgebenden Kausalzusammenhang der Kündigung mit dem Schreiben der Beschwerdeführerin, mit welchem sie nach Treu und Glauben Ansprüche aus dem Arbeitsverhältnis geltend mache. Dass es das Schreiben der Beschwerdeführerin war, welches die Beschwerdegegnerin zur Kündigung veranlasst habe, werde im Übrigen durch den Umstand erhärtet, dass die Beschwerdegegnerin danach die Kündigung ausgesprochen habe, ohne zuvor einen tauglichen Konfliktlösungsversuch unternommen zu haben. Darüber hinaus rügt die Beschwerdeführerin die Sachverhaltsfeststellung mit Bezug auf die vorinstanzliche Kausalitätsbeurteilung als unvollständig. Sie legt unter Aktenhinweis dar, dass sie vor Vorinstanz im Einzelnen mit Beweisofferten begründet hat, weshalb es nicht ihre persönlichen Eigenschaften (Kommunikationsdefizit) waren, welche die Zusammenarbeit erschwerten, sondern das Fehlverhalten von Dr. B._, welches der Beschwerdegegnerin anzurechnen sei.
2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252). Wie bereits nach Art. 64 OG ist eine Ergänzung des Sachverhalts, wie ihn die letzte kantonale Instanz festgestellt hat, auch gemäss Art. 105 Abs. 2 BGG möglich, wenn die Vorinstanz nicht alle relevanten Tatsachen für die korrekte Anwendung des materiellen Rechts feststellt. Gleich wie nach Art. 64 OG muss das Bundesgericht auch unter der Geltung des BGG ein Urteil wegen unvollständiger Sachverhaltsfeststellung aufheben können, soweit es deswegen an der richtigen Anwendung des Bundesprivatrechts gehindert ist, vorausgesetzt, die Partei, welche sich auf die unvollständige Sachverhaltsfeststellung beruft, weise nach, dass sie entsprechenden Behauptungen im kantonalen Verfahren prozesskonform aufgestellt hat, damit aber zu Unrecht nicht gehört wurde (Urteil des Bundesgerichts, 4A_290/2007 vom 10. Dezember 2007 E. 5.1, publ. in: SJ 2008 I S. 346 mit Hinweisen; vgl. auch BGE 133 IV 293 E. 3.4.2 S. 295 f.).
2.1 Das Schweizerische Arbeitsvertragsrecht geht vom Grundsatz der Kündigungsfreiheit aus (vgl. Art. 335 OR; BGE 132 III 115 E. 2.1 S. 116; 131 III 535 E. 4.1 S. 537 f.; 127 III 86 E. 2a S. 88).
2.1.1 Für die Rechtmässigkeit einer Kündigung bedarf es grundsätzlich keiner besonderen Gründe. Missbräuchlich ist die Kündigung nur, wenn sie aus bestimmten unzulässigen Gründen ausgesprochen wird, die in Art. 336 OR umschrieben werden, wobei diese Aufzählung nicht abschliessend ist. Es sind deshalb - neben den in Art. 336 OR aufgeführten - weitere Tatbestände ohne weiteres denkbar und vom Bundesgericht auch schon mehrfach anerkannt worden (BGE 134 III 108 E. 7.1 S. 110; 132 III 115 E. 2.1 S. 116 f.). Der Vorwurf der Missbräuchlichkeit setzt indessen voraus, dass die geltend gemachten Gründe eine Schwere aufweisen, die mit jener der in Art. 336 OR ausdrücklich aufgeführten vergleichbar ist (BGE 132 III 115 E. 2.1 S. 117; 131 III 535 E. 4.2 S. 538).
2.1.2 Grundsätzlich knüpft der sachliche Kündigungsschutz am Motiv der Kündigung an. Die Missbräuchlichkeit kann sich aber auch aus der Art und Weise ergeben, wie die kündigende Partei ihr Recht ausübt. Auch wenn eine Partei die Kündigung rechtmässig erklärt, muss sie das Gebot schonender Rechtsausübung beachten (BGE 131 III 535 E. 4.2 S. 538 f.; 125 III 70 E. 2b S. 73; 118 II 157 E. 4b/cc S. 166 f.). Ein krass vertragswidriges Verhalten, namentlich eine schwere Persönlichkeitsverletzung im Umfeld einer Kündigung, kann diese als missbräuchlich erscheinen lassen (BGE 132 III 115 E. 2.2 S. 117). Zu beachten ist nämlich, dass der Arbeitgeber gemäss Art. 328 OR verpflichtet ist, die Persönlichkeit des Arbeitnehmers zu achten und zu schützen. Er hat sich jedes durch den Arbeitsvertrag nicht gerechtfertigten Eingriffs in die Persönlichkeitsrechte zu enthalten und diese auch gegen Eingriffe von Vorgesetzten, Mitarbeitern oder Dritten zu schützen. Diese Fürsorgepflichten bilden das Korrelat der Treuepflicht des Arbeitnehmers (Art. 321a OR; BGE 132 III 115 E. 2.2 S. 117, 257 E. 5.1 S. 259). Daraus hat das Bundesgericht abgeleitet, dass eine Kündigung nicht missbräuchlich ist, wenn wegen des schwierigen Charakters eines Arbeitnehmers eine konfliktgeladene Situation am Arbeitsplatz entstanden ist, die sich schädlich auf die gemeinsame Arbeit auswirkt, und wenn der Arbeitgeber zuvor sämtliche ihm zumutbaren Vorkehren getroffen hat, um den Konflikt zu entschärfen. Hat sich der Arbeitgeber nicht oder ungenügend um die Lösung des Konflikts bemüht, ist er seiner Fürsorgepflicht nicht hinreichend nachgekommen, weshalb sich die Kündigung als missbräuchlich erweist (BGE 132 III 115 E. 2.2 S. 117; 125 III 70 E. 2c S. 74).
2.1.3 Beruht eine Kündigung auf verschiedenen Gründen, wovon einige missbräuchlich sind, andere hingegen nicht, so stützt das Gericht seinen Entscheid über die Missbräuchlichkeit der Kündigung auf jenen Kündigungsgrund ab, der für die kündigende Partei wahrscheinlich der überwiegende und ausschlaggebende Grund war. Bei Vorliegen eines missbräuchlichen und eines weiteren Kündigungsgrundes trägt der Arbeitgeber die Beweislast dafür, dass die Kündigung auch ausgesprochen worden wäre, wenn der als missbräuchlich zu bewertende Grund nicht existiert hätte (Urteil des Bundesgerichts 4P.205/2000 vom 6. März 2001 E. 3a mit Hinweisen, publ. in: JAR 2002 S. 238 ff.).
2.2 Was die Frage des massgeblichen Kündigungsgrundes betrifft, hat die Beschwerdeführerin an der angeführten Stelle in der Tat unter Anrufung diverser Zeugen vorgebracht, sie habe ihre Strukturierungsaufgabe von Anfang an tatkräftig, kompetent und effizient angepackt und sei bei den Mitarbeitern dank ihrer Kommunikationsstärke auf hohe Akzeptanz gestossen, im Unterschied zu C._. Im Mai 2008 sei sie denn auch von der Beschwerdegegnerin als zukünftige CEO vorgeschlagen worden, womit auch B._ einverstanden gewesen sei. Noch anfangs Juli 2008 sei klar gewesen, dass die Übernahme der CEO-Position nur von ihrer Zusage abhängig gewesen sei, was sich aus einem Schreiben des Verwaltungsratspräsidenten vom 4. Juli 2008 ergebe. Der Vorwurf der Kommunikationsdefizite sei daher unbegründet. Die effektive Problematik reduziere sich auf den Konflikt mit B._ und den Umstand, dass sich die Beschwerdeführerin gegen dessen Agieren gewehrt habe. Alsdann führte die Beschwerdeführerin in der Appellation, erläutert anhand von Beispielen mit Beweisofferten, aus, B._ habe sich über Vereinbarungen betreffend Zuständigkeit hinweggesetzt, was ihre Arbeit erschwert und zu Auseinandersetzungen geführt habe. Dies habe die Mitarbeitenden verunsichert, was die Beschwerdeführerin im Schreiben vom 27. August 2008 gegenüber dem Verwaltungsrat thematisiert habe. Sie legte auch im Einzelnen dar, wie sich B._ anlässlich eines den administrativen Leiter involvierenden Vorfalls verhalten hat und zeigt auf, inwiefern sich daran ihrer Ansicht nach die Kommunikationsdefizite von B._ manifestierten. Die Beschwerdeführerin setzte sich alsdann detailliert mit den ihr gegenüber erhobenen Vorwürfen auseinander, berief sich auf Tatsachen, welche diese widerlegen sollten und offerierte dazu Beweise. Im weiteren schilderte sie substanziiert, wiederum untermauert mit Beweisofferten, inwiefern B._ wegen nicht eingehaltener Zusagen und unzulänglicher Kommunikation im Sekretariat und in der Apotheke ein Durcheinander veranstaltet habe. Er sei auch nicht bereit gewesen, sein eigenes Verhalten zu hinterfragen, sondern habe sich auf die Beschwerdeführerin eingeschossen. Nach ihrem Hilferuf an den Verwaltungsrat sei das Führungsgremium in Kenntnis der Konfliktsituation nicht nur untätig geblieben, sondern habe sich in der Folge der Einfachheit halber der Position von B._ angeschlossen und ihr gekündigt, ihrer Ansicht nach allerdings um den Preis der Missbräuchlichkeit.
2.3 Wie die Beschwerdeführerin zutreffend darlegt, ist der Umstand, dass das Verhältnis zwischen der Beschwerdeführerin und B._ bereits im März 2008 belastet gewesen sein soll, für die Kündigung nicht erheblich, sofern die Beschwerdeführerin noch im Juli 2008 als CEO vorgesehen war, da diesfalls ausgeschlossen werden kann, dass für die Beschwerdegegnerin damals eine Kündigung wegen des schwierigen Verhältnisses zwischen der Beschwerdeführerin und B._ im Raume stand. Für die Frage der Missbräuchlichkeit der Kündigung ist daher wesentlich, ob die Beschwerdegegnerin am 4. Juli 2008 noch immer zur Beförderung der Beschwerdeführerin bereit war. Indem sich die Vorinstanz über die Behauptung, die Beschwerdegegnerin habe die Beschwerdeführerin noch im Sommer 2008 zum CEO machen wollen, hinwegsetzte und diesbezüglich keine Feststellung traf, hat sie den Sachverhalt in einem rechtserheblichen Punkte unvollständig festgestellt. Die betreffende Rüge der Beschwerdeführerin ist daher begründet. Lässt sich die angeführte Behauptung beweisen, entfällt der Umstand, dass das Verhältnis zwischen der Beschwerdeführerin und B._ im März 2008 belastet war, als Indiz für einen zulässigen Kündigungsgrund, und der Nachweis der Missbräuchlichkeit der Kündigung wäre ohne weiteres erbracht, wie auch die Vorinstanz erkannte (Kündigung als Reaktion auf den Brief vom 27. August 2008, mit welchem die Beschwerdeführerin die Beschwerdegegnerin um Unterstützung bat, damit sie ihre Aufgabe im Betrieb unbehindert erfüllen konnte). Gegebenenfalls obläge der Beschwerdegegnerin, bei Vorliegen eines missbräuchlichen und eines weiteren Kündigungsgrundes der Nachweis dafür, dass sie der Beschwerdeführerin auch ohne den als missbräuchlich zu bewertenden Grund gekündigt hätte (vgl. E. 2.1.3 hiervor).
3. 3.1 Sollte sich der klarerweise missbräuchliche Kündigungsgrund (Retorsion) nicht beweisen lassen, stellt sich die Frage, ob der weitere Grund, soweit er von der Beschwerdegegnerin angerufen worden wäre, was die Beschwerdeführerin bestreitet, die Kündigung nicht ebenfalls als missbräuchlich erscheinen lässt.
3.2 Was die Möglichkeit, taugliche Massnahmen zur Bewältigung des Konflikts zu ergreifen, anbelangt, rügt die Beschwerdeführerin mit Aktenhinweisen, die Vorinstanz habe massgebende Sachvorbringen übergangen, nämlich jene, wonach auch andere Mitarbeiter mit dem Verhalten von Dr. B._ Schwierigkeiten bekundet hätten. Schon aus diesem Grunde wäre für die Beschwerdegegnerin naheliegend, zumutbar und letztlich von Vorteil gewesen, sich mit dieser Thematik wenigstens auseinanderzusetzen. Im Übrigen habe die Vorinstanz, sollte auf den Kündigungsgrund der konflikthaften Situation abgestellt werden, Art. 336 OR bzw. Art. 8 ZGB verletzt, weil sie die substanziierten Behauptungen und dazu offerierten Beweise nicht abnahm, mit welchen die Beschwerdeführerin dargelegt hatte, dass es nicht die persönlichen Kommunikationsdefizite der Beschwerdeführerin waren, welche die Zusammenarbeit im Betrieb wesentlich beeinträchtigten, sondern vielmehr das Fehlverhalten von B._, welches der Beschwerdegegnerin anzurechnen und von ihr zu vertreten sei, könne doch die Kündigung nicht mit den Folgen der eigenen Vertragsverletzung gerechtfertigt werden.
3.3 Auch diese Rüge ist begründet. Wie dargelegt hat die Beschwerdeführerin an der angeführten Stelle die betreffenden Behauptungen substanziiert erhoben und dazu Beweise offeriert. Weshalb die Vorinstanz diese Vorbringen unbeachtet liess, ist dem angefochtenen Urteil nicht zu entnehmen. Gelingt der Beschwerdeführerin der Beweis dafür, dass B._ durch seine Missachtung vereinbarter Zuständigkeiten die Beschwerdeführerin bei der Erfüllung der ihr obliegenden Aufgabe, Strukturen in den Betrieb zu bringen, behinderte, wie die Beschwerdeführerin unter Angabe von Beweisen detailliert geschildert hat, und dass ihr keine Kommunikationsdefizite vorgeworfen werden können, ist der Folgerung der Vorinstanz, eine Lösung des Konflikts sei wegen der Verhaltens der Beschwerdeführerin unmöglich gewesen, die Grundlage entzogen. Auch unter diesem Gesichtspunkt erweist sich der von der Vorinstanz ermittelte Sachverhalt als ungenügend und ist zu ergänzen, sollte der Beweis dafür, dass die Kündigung wegen des Schreibens vom 27. August 2008 erfolgte, misslingen.
4. Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde gutzuheissen, das angefochtenen Urteil aufzuheben und die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG), wobei die Gerichtskosten nach Art. 65 Abs. 4 lit. c BGG auf Fr. 1'000.-- festzusetzen sind.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird das Urteil des Einzelrichter-Stellvertreters am Obergericht von Appenzell-Ausserrhoden vom 14. Juni 2010 aufgehoben und die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. November 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Luczak