Sachverhalt:
A. Am 11. Dezember 2006 machte Y._ (Beschwerdegegner) beim Bezirksgericht Zürich gegen die Bank X._ AG (Beschwerdeführerin) eine Klage auf Bezahlung folgender Beträge, je nebst Zins zu 5 % seit dem 15. August 2006, anhängig: Fr. 2'633'853.62, USD 3'987'070.90 und EUR 23'419'610.87.
Die Parteien erstatteten am 30. November 2010 ihre Beweisantretungsschriften. Darin führte die Beschwerdeführerin u.a. Folgendes aus:
"Der Kläger hatte seinen tatsächlichen Wohnsitz gemäss seinen eigenen Ausführungen in Zürich und wäre hier unbeschränkt steuerpflichtig gewesen. Die Beklagte fordert das Bezirksgericht auf, nun unverzüglich seiner gesetzlichen Meldepflicht [gemeint Anzeige an die Steuerbehörden gemäss § 121 Steuergesetz/ZH] nachzukommen, ansonsten die Beklagte von einer Befangenheit des Spruchkörpers ausgehen müsste."
Am 9. Februar 2011 erliess das Bezirksgericht den Beweisabnahmebeschluss. Darin begründete es auch, weshalb es der Aufforderung der Beschwerdeführerin zur Erstattung einer Anzeige gemäss § 121 StG/ZH nicht nachkomme.
B. Mit Eingabe an das Bezirksgericht vom 28. März 2011 stellte die Beschwerdeführerin den Antrag, dass die am Beweisabnahmebeschluss vom 9. Februar 2011 mitwirkenden Mitglieder der 8. Abteilung des Bezirksgerichts Zürich, d.h. Bezirksrichterin lic. iur. Marie Schurr, Bezirksrichterin Dr. Susanne Vogel und Bezirksrichter lic. iur. Alain Kessler in den Ausstand zu treten hätten.
Die drei abgelehnten Richter übermittelten das Ausstandsbegehren an das Obergericht. Dessen Verwaltungskommission entschied gemäss § 101 Abs. 1 aGVG/ZH als Aufsichtsbehörde über die Bezirksrichter erstinstanzlich über das Ausstandsbegehren und wies dieses mit Beschluss vom 18. April 2011 ab.
C. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Zivilsachen, den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts vom 18. April 2011 aufzuheben; eventualiter sei die Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs an die Vorinstanz zurückzuweisen. Es sei festzustellen, dass die am Beweisabnahmebeschluss vom 9. Februar 2011 (Prozess Nr. CG060238) mitwirkenden Mitglieder der 8. Abteilung des Bezirksgerichts Zürich, d.h. Bezirksrichterin lic. iur. Marie Schurr, Bezirksrichterin Dr. Susanne Vogel und Bezirksrichter lic. iur. Alain Kessler als befangen erscheinen und sie seien anzuweisen, in den Ausstand zu treten. Das Bezirksgericht Zürich sei anzuweisen, die unter Mitwirkung der unter Ziff. 2 genannten Bezirksrichter vorgenommenen Verfahrensschritte zu wiederholen.
Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde abzuweisen. Die Vorinstanz verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Die Parteien erstatteten Replik und Duplik.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 136 II 101 E. 1 S. 103, 470 E. 1 S. 472; 135 III 212 E. 1).
1.1 Der angefochtene Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts bildet einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren. Gegen einen solchen Zwischenentscheid ist die Beschwerde zulässig (Art. 92 Abs. 1 BGG).
1.2 Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (BGE 134 V 138 E. 3 S. 144; 133 III 645 E. 2.2). In der Hauptsache geht es nach den vorinstanzlichen Feststellungen um eine Zivilrechtsstreitigkeit mit einem Streitwert von Fr. 44'690'184.55, mithin weit über 30'000 Franken. In der Hauptsache ist demnach die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.3 Nach Art. 75 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Bei der letzten kantonalen Instanz muss es sich um ein oberes Gericht handeln (Art. 75 Abs. 2 Satz 1 BGG). Zudem muss dieses obere Gericht als Rechtsmittelinstanz entscheiden (Art. 75 Abs. 2 Satz 2 BGG), es sei denn, es liege einer der Ausnahmefälle von Art. 75 Abs. 2 lit. a bis c BGG vor. Die den Kantonen zur Anpassung ihrer Bestimmungen an Art. 75 Abs. 2 BGG gewährte Übergangsfrist (Art. 130 Abs. 2 BGG) ist mit Inkrafttreten der Schweizerischen Zivilprozessordnung am 1. Januar 2011 abgelaufen. Seit dem 1. Januar 2011 ist somit die Beschwerde in Zivilsachen, wie im Übrigen auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 114 BGG), nur noch zulässig gegen Urteile letzter kantonaler Instanzen, die zugleich obere Gerichte sind und - unter Vorbehalt der Ausnahmen - auf Rechtsmittel hin entschieden haben (BGE 137 III 238 E. 2.2 in fine S. 240).
Das Bundesgericht hat kürzlich in einem zur vorliegenden Konstellation analogen Fall klargestellt, dass der Grundsatz der double instance auch für die Anfechtung von Zwischenentscheiden gilt (BGE 5A_320/2011 vom 8. August 2011 E. 2.2).
Die Verwaltungskommission des Obergerichts entschied nicht als Rechtsmittelinstanz über den Ausstand der drei Bezirksrichter, sondern als erste und einzige Instanz. Das Bundesrecht sieht im vorliegenden Fall keine Ausnahme vom Grundsatz vor, dass die Vorinstanz des Bundesgerichts als Rechtsmittelinstanz geurteilt haben muss. Die gesetzlichen Anforderungen an die Vorinstanz nach Art. 75 Abs. 2 BGG sind demnach nicht erfüllt. Auf die Beschwerde kann nicht eingetreten werden.
2. Bei diesem Verfahrensausgang wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Dem geringen Aufwand des Gerichts wird durch eine reduzierte Gerichtsgebühr Rechnung getragen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. September 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Widmer