Faits:
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A.a Par décision du 10 mai 2004, Winterthur Assurances (depuis 2006: Axa Winterthur) a supprimé, à partir du 1er juin 2002, le droit de D._, né en 1951, à des prestations de l'assurance-accidents pour un accident survenu le 4 décembre 2001. Saisie d'une opposition, Axa Winterthur l'a partiellement admise par décision du 17 décembre 2004, en ce sens que le droit à des prestations pour les troubles au genou gauche a été maintenu jusqu'au 11 septembre 2002.
A.a Par décision du 10 mai 2004, Winterthur Assurances (depuis 2006: Axa Winterthur) a supprimé, à partir du 1er juin 2002, le droit de D._, né en 1951, à des prestations de l'assurance-accidents pour un accident survenu le 4 décembre 2001. Saisie d'une opposition, Axa Winterthur l'a partiellement admise par décision du 17 décembre 2004, en ce sens que le droit à des prestations pour les troubles au genou gauche a été maintenu jusqu'au 11 septembre 2002.
A.b D._ a recouru contre cette décision sur opposition devant le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève en concluant au maintien de son droit à l'indemnité journalière et à l'octroi des prestations dues à ce titre depuis le 1er janvier 2004, ainsi qu'à la prise en charge des frais médicaux occasionnés par son affection au genou gauche.
La juridiction cantonale a rendu un jugement le 7 novembre 2006. Statuant sur partie, d'une part, elle a constaté qu'aucun lien de causalité ne pouvait être mis en évidence entre la chute survenue le 4 décembre 2001 et les troubles dont souffre l'assuré au genou droit et au dos; statuant préparatoirement, d'autre part, elle a confié une expertise au docteur S._, spécialiste en chirurgie orthopédique, afin qu'il examine la nature de l'affection au genou gauche.
Saisi d'un recours contre la décision incidente ordonnant la mise en oeuvre de l'expertise médicale, le Tribunal fédéral l'a déclaré irrecevable par arrêt du 15 mars 2007 (U 584/06).
Par un second jugement du 14 octobre 2008, le tribunal cantonal a admis le recours dont il était saisi. Il a considéré, en résumé, qu'il existait un lien de causalité naturelle et adéquate entre les douleurs dont souffre l'assuré au genou gauche ensuite d'une déchirure du ménisque et l'accident survenu le 4 décembre 2001.
Par un second jugement du 14 octobre 2008, le tribunal cantonal a admis le recours dont il était saisi. Il a considéré, en résumé, qu'il existait un lien de causalité naturelle et adéquate entre les douleurs dont souffre l'assuré au genou gauche ensuite d'une déchirure du ménisque et l'accident survenu le 4 décembre 2001.
A.c Par lettre du 21 octobre 2008, l'assuré, par son mandataire, a demandé à Axa Winterthur le paiement de l'indemnité journalière pour la période du 1er janvier 2004 au 31 octobre 2008. En réponse à ce courrier, l'assureur-accidents lui a demandé, le 13 novembre 2008, de lui communiquer l'identité des médecins consultés depuis 2003 et de lui adresser les attestations d'incapacité de travail éventuellement en sa possession, afin qu'il puisse fixer les prestations dues au titre de l'indemnité journalière liée exclusivement à l'affection du genou gauche.
Le 20 novembre 2008, l'assuré a fait savoir à l'assureur-accidents qu'il n'acceptait pas que celui-ci soulevât des moyens dont il avait l'obligation de se prévaloir pendant la procédure judiciaire, sous peine de forclusion; au demeurant, Axa Winterthur avait reconnu sa responsabilité pour les suites de l'accident et lui avait alloué, durant la période du mois de juillet 2002 au mois de décembre 2003, une indemnité journalière correspondant à 80 % de son dernier salaire. Aussi, l'intéressé demandait-il le paiement d'un montant de 266'800 fr. correspondant aux prestations dues jusqu'au 31 octobre 2008.
Par courrier du 1er décembre 2008, Axa Winterthur a réitéré sa demande du 13 novembre précédent.
B. Par écriture du 15 décembre 2008, D._ a saisi le tribunal cantonal des assurances sociales d'une demande tendant au paiement par Axa Winterthur d'un montant de 239'228 fr. 90 - correspondant à des indemnités journalières pour la période du 1er janvier 2004 au 31 octobre 2008 - avec intérêt à 5 % l'an à partir du 1er novembre 2008.
En cours de procédure, il a modifié ses conclusions eu égard aux règles sur la surindemnisation et a conclu au paiement par Axa Winterthur des montants suivants:
14'693 fr. 10 avec intérêt à 5 % l'an à compter du 1er janvier 2005;
9'103 fr. avec intérêt à 5 % l'an à compter du 1er janvier 2006;
9'646 fr. avec intérêt à 5 % l'an à compter du 1er janvier 2007;
4'123 fr. avec intérêt à 5 % l'an à compter du 1er janvier 2008;
19'553 fr. avec intérêt à 5 % l'an à compter du 1er novembre 2008.
En outre, il demandait que l'assureur-accidents soit condamné à payer directement à l'Hospice général le montant de 6'949 fr. 90 avec intérêt à 5 % l'an à compter du 1er janvier 2005.
Par jugement du 26 mai 2009, la juridiction cantonale a rejeté la demande dont elle était saisie, motif pris du manque de collaboration dont avait fait preuve l'assuré en refusant de produire les documents - en particulier d'ordre médical - indispensables pour déterminer les effets de l'atteinte au genou gauche sur sa capacité de travail et sa capacité de gain.
C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en reprenant ses conclusions formées en instance cantonale, sous suite de frais et dépens. Il requiert l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'intimée conclut au rejet du recours, sous suite de frais et dépens. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit:
1. Interjeté par une partie particulièrement atteinte par la décision attaquée et qui a un intérêt digne de protection à son annulation (art. 89 al. 1 LTF), le recours, dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), est recevable, dès lors qu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi et que l'on ne se trouve pas dans l'un des cas d'exceptions mentionnés à l'art. 83 LTF.
2. Le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente lorsque le litige porte sur des prestations en espèces de l'assurance-accidents (art. 97 al. 2 LTF).
3. 3.1 Par le jugement attaqué, le tribunal cantonal a rejeté les conclusions de l'assuré, motif pris de son refus de collaborer à l'instruction de son droit à prestations, et il a laissé à l'assureur le soin de statuer sur ce point, après avoir donné la possibilité à l'intéressé de produire tous les documents qu'il jugerait nécessaires pour établir le montant des prestations qui lui sont dues.
Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir violé le principe de l'autorité de la chose jugée. Par son jugement du 14 octobre 2008, entré en force, les premiers juges ont en effet admis ses conclusions tendant au maintien de son droit à l'indemnité journalière et au paiement des indemnités dues à titre rétroactif depuis le 1er janvier 2004. Aussi, l'intéressé fait-il valoir que toute considération d'ordre médical était forclose et que la juridiction cantonale ne pouvait pas, par le jugement attaqué du 26 mai 2009, considérer qu'il devait encore produire des documents médicaux à l'appui de sa demande en paiement de l'indemnité journalière.
3.2 L'argumentation du recourant est mal fondée. Le jugement cantonal du 14 octobre 2008 a été précédé d'un jugement sur partie du 7 novembre 2006, par lequel la juridiction cantonale a constaté l'absence d'un lien de causalité entre les troubles au genou droit et au dos, et l'accident du 4 décembre 2001. Ce jugement est entré en force. C'est pourquoi, même si, par son jugement ultérieur du 14 octobre 2008, le tribunal cantonal a admis l'existence d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre les troubles affectant le genou gauche et l'événement susmentionné - et, partant, l'obligation de l'intimée d'allouer ses prestations en raison de ces troubles -, il n'en demeure pas moins que l'assureur-accidents ne doit pas répondre de l'ensemble de l'atteinte à la santé, du moment que les troubles au genou droit et au dos ne sont pas en relation de causalité avec l'événement du 4 décembre 2001.
Par ailleurs, le dispositif du jugement cantonal du 14 octobre 2008 est rédigé de telle manière qu'il nécessite le prononcé d'une décision de l'assureur-accidents pour délimiter l'étendue des prestations - en particulier de l'indemnité journalière (cf. art. 17 LAA) - dues en raison de l'atteinte au genou gauche. Pour instruire ce point, l'assureur aura besoin de certains renseignements que l'assuré est tenu de fournir en vertu de son devoir de collaborer (art. 28 al. 1 et 2 LPGA; art. 55 OLAA).
Cela étant, les premiers juges étaient fondés à rejeter les conclusions de l'assuré et à laisser à l'assureur-accidents le soin de statuer sur le montant des prestations dues en exécution de son jugement du 14 octobre 2008, après avoir donné la possibilité à l'intéressé de produire tous les documents nécessaires.
Le recours se révèle ainsi manifestement infondé.
4. Les conclusions du recourant étant d'emblée vouées à l'échec, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 et 2 LTF) et l'intéressé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
L'intimée, qui obtient gain de cause, a conclu à l'octroi de dépens. Elle ne saurait toutefois en prétendre en sa qualité d'organisation chargée de tâches de droit public (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 31 mai 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd