Erwägungen:
1. Der Beschwerdeführer hat mit Postaufgabe vom 1. Oktober 2010 beim Bundesgericht gegen das Urteil der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn vom 21. September 2010 Beschwerde in Zivilsachen erhoben mit dem Begehren, das Urteil zu überprüfen. Sodann ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
2. 2.1 In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 135 III 232 E. 1.2 S. 234).
2.2 Die Aufsichtsbehörde hat erwogen, der Pfändungsvollzug datiere vom 12. August 2010; Pfändungsanschlüsse seien innert der 30-tägigen Frist von Art. 110 SchKG möglich, womit der Pfändungsanschluss vom 25. August 2010 nicht zu beanstanden sei. Dem Gläubiger sei unbenommen, den Pfändungsanschluss zu erklären, auch wenn sich der Schuldner zur Leistung von Teilzahlungen bereit erklärt habe.
2.3 Der Beschwerdeführer setzt sich in seiner Beschwerde mit der entscheidenden Erwägung der Aufsichtsbehörde nicht auseinander und zeigt nicht auf, inwiefern die kantonale Aufsichtsbehörde Bundesrecht verletzt haben könnte. Er will einfach, dass das Bundesgericht gleichsam wie eine Aufsichtsbehörde von Amtes wegen überprüft, ob das angefochtene Urteil mit dem Bundesrecht zu vereinbaren ist. Das Bundesgericht ist aber nicht Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, welche Rolle der Gesetzgeber vielmehr dem Bundesrat zugewiesen hat (Art. 15 SchKG).
2.4 Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) durch die Präsidentin der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer nicht einzutreten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
3. Die Beschwerde hat sich als von Anfang an aussichtslos erwiesen, weshalb das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt Olten-Gösgen und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden