Faits:
A. C._, né en 1951, a travaillé au service de X._, à N._. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de La Suisse, Société d'assurances contre les accidents, dont le portefeuille a été repris le 12 juillet 2005 par Helsana Accidents SA (ci-après: Helsana).
Il a été victime d'un accident de la circulation le 15 novembre 2004, alors qu'il circulait au guidon de son scooter.
Helsana a pris en charge le cas. Par décision du 16 juillet 2009, elle a alloué à l'assuré, à partir du 1er mars 2008, une rente d'invalidité (complémentaire à la rente de l'assurance-invalidité) fondée sur un taux d'incapacité de gain de 100 %, découlant de séquelles ostéoarticulaires et de troubles dépressifs sévères. En outre, elle lui a accordé une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 30 %, soit 20 % pour une gonarthrose au genou droit et 10 % pour une arthrose à la cheville droite.
Saisie d'une opposition de l'assuré qui concluait à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 85 % afin de tenir compte des troubles dépressifs sévères et d'une dysfonction érectile, Helsana l'a rejetée par décision du 26 janvier 2010.
B. C._ a recouru contre cette décision sur opposition devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais en concluant à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 85 %.
Par jugement du 6 octobre 2010, la juridiction cantonale a partiellement admis le recours, annulé la décision sur opposition attaquée et renvoyé la cause à Helsana pour nouvelle décision au sens du considérant 3d, aux termes duquel il incombait à l'assureur-accidents de fixer le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité compte tenu des troubles psychiques et des troubles uro-génitaux, en plus des séquelles ostéoarticulaires.
C. Helsana interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement dont elle demande l'annulation.
L'intimé conclut au rejet du recours, à la constatation par le Tribunal fédéral qu'il a droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 85 %, avec intérêt à 5 % l'an depuis le 16 juillet 2009, et, subsidiairement, à la confirmation du jugement attaqué, le tout sous suite de frais et dépens.
La juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b).
En l'occurrence, le tribunal cantonal a reconnu le droit de l'assuré à une indemnité pour atteinte à l'intégrité pour des troubles psychiques et des troubles uro-génitaux, en plus des séquelles ostéoarticulaires prises en compte par l'assureur-accidents, et il a renvoyé la cause à celui-ci pour qu'il fixe à nouveau le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité. D'un point de vue purement formel, il s'agit donc d'une décision de renvoi, soit une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF. Aussi, le recours n'est-il admissible qu'aux conditions posées à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF.
1.2 1.2.1 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF s'entend du dommage qui ne peut pas être réparé ultérieurement, notamment par la décision finale.
Selon la jurisprudence, conformément à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, dans la mesure où elles ne sont pas immédiatement données, la partie recourante doit exposer en quoi les conditions de recevabilité sont réunies. Il lui appartient notamment d'alléguer et d'établir la possibilité qu'une décision incidente lui cause un dommage irréparable (ATF 134 III 426 consid. 1.2 p. 428 s. et les références citées), à moins que celui-ci ne fasse d'emblée aucun doute (arrêts 2C_8/2011 du 3 mars 2011 consid. 2.2; 2C_687/2009 du 17 février 2010 consid. 1.3.2).
Le Tribunal fédéral considère qu'il y a un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF lorsqu'une autorité dotée du pouvoir de décision est contrainte par un jugement de renvoi de rendre une décision à ses yeux contraire au droit. Comme elle n'a pas qualité pour attaquer sa propre décision, celle-ci pourrait entrer en force sans que l'autorité puisse la déférer au Tribunal fédéral. Pour pallier cet inconvénient, il convient qu'une autorité ayant qualité pour recourir puisse, en vertu de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, attaquer d'emblée la décision de renvoi, ou le prononcé qui la confirme, devant le Tribunal fédéral (cf. ATF 133 V 477 consid. 5.2.4 p. 484 s.; arrêts 8C_478/2010 du 25 mars 2011 consid. 1.2; 8C_607/2009 du 25 août 2009 consid. 2.2.1; 2C_258/2008 du 27 mars 2009 consid. 3.6.1).
1.2.2 En l'espèce, le jugement attaqué a un effet contraignant pour la recourante en ce sens qu'elle doit statuer sur le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité tout en étant liée par l'obligation de prendre en compte les troubles psychiques et les troubles uro-génitaux. Dans ces conditions, le jugement incident entraîne sans aucun doute un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Le recours est donc admissible, bien que la recourante n'allègue pas l'existence d'un tel préjudice.
1.2.3 Par ailleurs, le recours, dirigé contre un arrêt rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), et déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, est recevable.
Partant, en raison de son caractère subsidiaire, le recours constitutionnel n'est pas recevable (art. 113 LTF).
2. Le délai pour recourir contre le jugement du 6 octobre 2010 était largement échu lorsque l'intimé a déposé sa réponse au recours. Par conséquent, il ne pouvait que proposer l'irrecevabilité ou le rejet, en tout ou partie, dudit recours. Il n'avait plus la faculté de prendre des conclusions indépendantes, c'est-à-dire, en l'occurrence, de conclure à ce que le Tribunal fédéral constate qu'il a droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 85 %, avec intérêt à 5 % l'an depuis le 16 juillet 2009, vu l'interdiction du recours joint (cf. ATF 124 V 153 consid. 1 p. 155; 120 V 121 consid. 6 p. 127 et la référence; arrêt 9C_846/2010 du 12 août 2011, consid. 3).
3. Le litige porte sur le taux de l'atteinte à l'intégrité, singulièrement sur le point de savoir si celui-ci doit être fixé compte tenu des troubles psychiques et des troubles uro-génitaux, en plus des séquelles ostéoarticulaires déjà prises en compte par l'assureur-accidents à raison d'un taux de 30 %.
Le jugement entrepris portant sur des prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 3 LTF).
4. Par un premier moyen, la recourante invoque une violation de son droit d'être entendue en alléguant que le jugement attaqué n'est pas suffisamment motivé dans la mesure où il n'indique pas la position de la juridiction cantonale au sujet de l'argumentation de l'intéressée tirée des "remarques préliminaires d'ordre général" contenues dans la table 19 des indemnisations des atteintes à l'intégrité selon la LAA (atteinte à l'intégrité pour les séquelles psychiques) établie par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu, consacré à l'art. 29 al. 2 Cst., le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision; elle n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les arguments invoqués par les parties (ATF 129 I 232 consid. 3.2 p. 236; 126 I 97 consid. 2b p. 102 s.).
En l'occurrence, le grief de la recourante est mal fondé, dès lors que le jugement attaqué indique de manière suffisamment claire les motifs retenus, même s'il ne prend pas position sur tous les arguments invoqués par l'intéressée dans sa réponse au recours.
5.1 5.1.1 La juridiction cantonale a reconnu le droit de l'assuré à une indemnité pour atteinte à l'intégrité pour ses troubles psychiques (état dépressif sévère) en plus du montant alloué par l'assureur-accidents pour les atteintes ostéoarticulaires. Elle a admis l'existence d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre les troubles psychiques et l'accident, ce que la recourante avait elle-même admis en fixant le taux d'incapacité de gain déterminant pour le calcul de la rente d'invalidité. En outre, la juridiction précédente a considéré que les troubles en question constituaient une atteinte importante et durable à l'intégrité psychique au sens des art. 24 al. 1 LAA et 36 al. 1 OLAA. Se référant aux principes jurisprudentiels développés à l'arrêt ATF 124 V 29, elle a admis le caractère durable de l'atteinte en se fondant sur la pratique applicable à la question de la causalité adéquate en cas de troubles psychiques consécutifs à un accident. Dans le cas particulier, elle a considéré - à l'instar de la recourante - que quatre des sept critères objectifs définis par la jurisprudence pour examiner le caractère adéquat du lien de causalité entre une atteinte à la santé psychique et un accident de gravité moyenne (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409) étaient réalisés, à savoir la gravité et la nature particulière des lésions physiques, les douleurs physiques persistantes, les difficultés apparues au cours de la guérison, ainsi que le degré et la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques. Par ailleurs, la juridiction précédente est d'avis que les troubles psychiques de l'assuré se distinguant nettement des variantes usuelles de troubles psychiques qui peuvent se développer dans le courant de la vie, on était en présence d'un cas exceptionnel qui justifiait que l'on s'écartât de la règle selon laquelle le caractère durable de l'atteinte doit en principe être nié si l'accident est de gravité moyenne (ATF 124 V 29 consid. 5c/bb p. 45; 209 consid. 4b p. 214).
5.1.2 De son côté, la recourante ne conteste pas le caractère important et durable de l'atteinte à l'intégrité psychique subie par l'intimé (symptomatologie anxio-dépressive réactionnelle avec évolution chronique et résistante à toute thérapie; modification durable de la personnalité; effondrement de ressources d'adaptation au changement). Elle soutient toutefois que cette atteinte doit être prise en compte de manière globale dans l'évaluation de l'indemnité et que, dans la mesure où ils découlent des séquelles somatiques et des douleurs chroniques, ces troubles psychiques ont été déjà pris en compte dans le taux de 30 %, lequel correspond, selon elle, à la totalité de l'atteinte. La recourante se réfère pour cela aux "remarques préliminaires d'ordre général" contenues dans la table 19 des indemnisations des atteintes à l'intégrité selon la LAA, établie par la CNA, dont le texte est le suivant:
En règle générale, les troubles psychiques se développent après des accidents qui se sont soldés par des lésions corporelles. Il n'est pas toujours possible d'opérer une césure entre troubles somatiques et psychiques. Pour cette raison, l'ensemble du dommage et non pas chaque dommage considéré isolément doit être pris en compte (v. art. 36 al. 3 OLAA), l'accent étant mis soit sur l'atteinte somatique, soit sur l'atteinte psychique. Si persistent par exemple des suites d'un polytraumatisme des troubles fonctionnels d'étiologie somatique et des douleurs chroniques, les troubles psychiques que celles-ci ont induits sont pris en compte globalement dans l'évaluation de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité. Ce n'est que dans les cas où des troubles psychiques de nature différente sont constatés qu'une évaluation psychiatrique est nécessaire pour déterminer si une atteinte à l'intégrité psychique supplémentaire est présente qui n'a pas été prise en compte dans l'estimation de base.
En règle générale, les troubles psychiques se développent après des accidents qui se sont soldés par des lésions corporelles. Il n'est pas toujours possible d'opérer une césure entre troubles somatiques et psychiques. Pour cette raison, l'ensemble du dommage et non pas chaque dommage considéré isolément doit être pris en compte (v. art. 36 al. 3 OLAA), l'accent étant mis soit sur l'atteinte somatique, soit sur l'atteinte psychique. Si persistent par exemple des suites d'un polytraumatisme des troubles fonctionnels d'étiologie somatique et des douleurs chroniques, les troubles psychiques que celles-ci ont induits sont pris en compte globalement dans l'évaluation de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité. Ce n'est que dans les cas où des troubles psychiques de nature différente sont constatés qu'une évaluation psychiatrique est nécessaire pour déterminer si une atteinte à l'intégrité psychique supplémentaire est présente qui n'a pas été prise en compte dans l'estimation de base.
5.2 5.2.1 Selon l'art. 24 al. 1 LAA, l'assuré qui souffre d'une atteinte importante et durable à son intégrité physique, mentale ou psychique par suite de l'accident a droit à une indemnité équitable pour atteinte à l'intégrité. Aux termes de l'art. 36 al. 1 OLAA, une atteinte à l'intégrité est réputée durable lorsqu'il est prévisible qu'elle subsistera avec au moins la même gravité pendant toute la vie; elle est réputée importante lorsque l'intégrité physique, mentale ou psychique subit, indépendamment de la diminution de la capacité de gain, une altération évidente ou grave.
5.2.2 Selon la jurisprudence (ATF 124 V 29; 209), des troubles psychiques consécutifs à un accident ouvrent droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité lorsqu'il est possible de poser de manière indiscutable un pronostic individuel à long terme qui exclut pratiquement pour toute la vie une guérison ou une amélioration. Pour se prononcer sur le caractère durable de l'atteinte à l'intégrité et sur la nécessité de mettre en oeuvre une instruction d'ordre psychiatrique, on se fondera sur la pratique applicable à la question de la causalité adéquate en cas de troubles psychiques consécutifs à un accident (ATF 115 V 133; 403).
D'après cette jurisprudence, il n'y a pas lieu de prendre en considération la manière dont l'accident a été vécu mais il convient de se fonder sur l'événement accidentel lui-même. Par ailleurs, l'existence d'un lien de causalité adéquate entre un accident insignifiant ou de peu de gravité et des troubles psychiques peut, en règle générale, être d'emblée niée, tandis qu'en principe, elle doit être admise en cas d'accident grave; pour admettre le caractère adéquat du lien de causalité entre un accident de gravité moyenne et des troubles psychiques, il faut que soient réunis certains critères particuliers et objectifs (ATF 115 V 133 consid. 6 p. 139 s.; 403 consid. 5 p. 407 s.).
Conformément à cette jurisprudence et à la doctrine psychiatrique majoritaire, le droit à une indemnité pour atteinte à l'intégrité doit être en principe nié en cas d'accident insignifiant ou de peu de gravité, même si l'existence d'un lien de causalité adéquate est exceptionnellement admise. En cas d'accident de gravité moyenne également, le caractère durable de l'atteinte doit, en règle générale, être nié sans qu'il soit nécessaire de mettre en oeuvre dans chaque cas une instruction plus approfondie au sujet de la nature et du caractère durable de l'atteinte psychique. Il ne convient de s'écarter de ce principe que dans des cas exceptionnels, à savoir lorsque l'on se trouve à la limite de la catégorie des accidents graves, pour autant que les pièces du dossier fassent ressortir des indices évidents d'une atteinte particulièrement grave à l'intégrité psychique, qui ne paraît pas devoir se résorber. On doit voir de tels indices dans les circonstances qui sont en connexité étroite avec l'accident et qui servent de critères lors de l'examen de la causalité adéquate (ATF 115 V 133 consid. 6c p. 140 s.; 403 consid. 5c p. 409 s.), pour autant qu'ils revêtent une importance et une intensité particulières et qu'en tant que facteurs stressants, ils ont, de manière évidente, favorisé l'installation de troubles durables pour toute la vie. Enfin, en cas d'accidents graves, le caractère durable de l'atteinte à la santé psychique doit toujours être examiné, au besoin par la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique, pour autant qu'il n'apparaisse pas déjà évident sur le vu des éléments ressortant du dossier (ATF 124 V 29 consid. 5c p. 44 s.; 209 consid. 4b p. 213 s.).
5.3 La juridiction cantonale n'a pas qualifié l'accident du 15 novembre 2004 mais s'est contentée de se référer à la décision du 16 juillet 2009, dans laquelle Helsana avait retenu que cet événement était de gravité moyenne, sans préciser si celui-ci se situait à la limite inférieure ou supérieure de cette catégorie.
En l'espèce, l'intimé circulait au guidon de son scooter en ville de N._ sur une route secondaire. Dans le sens opposé circulait une voiture de livraison dont le conducteur s'est assoupi. Ce véhicule a alors poursuivi sa route tout droit alors que celle-ci tournait à droite. Ce faisant, il a franchi la ligne de sécurité et s'est retrouvé sur la voie de circulation des usagers de la route venant en sens inverse. L'avant de la camionnette a alors violemment percuté le scooter de l'assuré qui a été précipité au sol. L'intéressé a été transporté en ambulance à l'hôpital, où les médecins ont fait état de multiples fractures aux membres inférieurs (fémur droit, rotule droite, tibia droit, malléole droite et col du fémur gauche). En l'occurrence, le choc subi a été particulièrement violent étant donné que le conducteur de la voiture de livraison n'a pas freiné avant l'impact. En outre, au guidon d'un scooter, l'assuré était très vulnérable en cas de collision frontale avec un véhicule de ce type. Cela étant, l'événement du 15 novembre 2004 doit être classé dans la catégorie des accidents de gravité moyenne, à la limite des accidents graves (pour un cas semblable: arrêt du Tribunal fédéral des assurances U 90/90 du 23 décembre 1991).
En outre, à l'instar de la recourante et de la juridiction cantonale, il y a lieu de considérer que quatre des sept critères objectifs définis par la jurisprudence pour examiner le caractère adéquat du lien de causalité entre une atteinte à la santé psychique et un accident de gravité moyenne sont en l'occurrence réalisés, à savoir la gravité et la nature particulière des lésions physiques, les douleurs physiques persistantes, les difficultés apparues au cours de la guérison, ainsi que le degré et la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques. Par ailleurs, il est indéniable qu'il existe des indices évidents d'une atteinte particulièrement grave, dans la mesure où les critères réalisés revêtent une importance et une intensité particulières et ont favorisé de manière évidente l'installation de troubles durables.
Les conditions posées par la jurisprudence à l'indemnisation des troubles psychiques subis par l'intimé apparaissent ainsi réalisées.
5.4 En cas de concours de plusieurs atteintes à l'intégrité physique, mentale ou psychique, dues à un ou plusieurs accidents, l'indemnité pour atteinte à l'intégrité est fixée d'après l'ensemble du dommage; l'indemnité totale ne peut dépasser le montant maximum du gain annuel assuré (art. 36 al. 3, première et deuxième phrases, OLAA). La jurisprudence a reconnu la légalité de cette disposition réglementaire, également dans le cas où les atteintes à l'intégrité sont dues à différents accidents (arrêt 8C_812/2010 du 2 mai 2011 consid. 6).
En présence d'une ou de plusieurs atteintes à l'intégrité physique et d'une atteinte à l'intégrité psychique, dont les conditions d'indemnisation sont réalisées, la réglementation posée à l'art. 36 al. 3 OLAA ne permet pas de considérer que les troubles psychiques sont déjà indemnisés par l'octroi d'une indemnité pour l'atteinte à l'intégrité physique. Certes, le but de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité est de compenser par le versement d'un montant en espèces les souffrances physiques, ainsi que psychiques ressenties par l'assuré ensuite d'une atteinte à son intégrité. Elle s'apparente ainsi à l'indemnité pour tort moral selon le droit privé (ALFRED MAURER, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, 1985, p. 413 s.; JEAN-MAURICE FRÉSARD/MARGIT MOSER-SZELESS, L'assurance-accidents obligatoire, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2ème éd. 2007, p. 915 n. 229). Toutefois, lorsque comme en l'occurrence, les troubles psychiques constituent une atteinte particulièrement grave, justifiant une indemnisation selon les art. 24 al. 1 LAA et 36 al. 1 OLAA, on ne saurait admettre que celle-ci est pleinement réalisée par le seul versement d'une indemnité pour l'atteinte à l'intégrité physique qui est à l'origine des souffrances psychiques.
Vu ce qui précède, le taux de l'atteinte à l'intégrité ouvrant droit à l'indemnité doit être fixé compte tenu des troubles psychiques, en plus des séquelles ostéoarticulaires déjà indemnisées à raison d'un taux de 30 %.
6. En ce qui concerne les troubles uro-génitaux (troubles de la miction, de l'érection et de l'éjaculation), la juridiction cantonale a jugé qu'ils devaient être pris en compte dans le taux déterminant pour le calcul de l'indemnité. Elle a considéré que, bien qu'ils n'aient pas pu être établis du point de vue organique, ces troubles devaient être indemnisés au titre de l'atteinte à l'intégrité psychique. Elle s'est référée pour cela au "commentaire" contenu dans le tableau 22 des indemnisations des atteintes à l'intégrité selon la LAA (perte d'intégrité en cas de perte des organes sexuels ou de la capacité de reproduction), établi par la CNA. Selon ce texte, les pertes de fonction de nature organique présupposent la preuve d'un lien de causalité pour le moins vraisemblable (et non pas seulement possible) avec la lésion accidentelle; des pertes non explicables du point de vue organique sont à considérer selon les critères de base des troubles psychiques (lien de causalité naturelle et adéquate).
De son côté, la recourante fait valoir qu'une sténose urétrale post-traumatique a été suspectée par le docteur T._, spécialiste en urologie (rapport du 22 juillet 2008), lequel n'a toutefois pas procédé à des investigations urétrales en raison des troubles psychiques qui avaient empêché l'assuré d'accepter de telles investigations. Aussi, la recourante est-elle d'avis qu'en l'absence d'un diagnostic clair, la juridiction cantonale ne pouvait pas conclure que les troubles en question étaient de nature psychique.
Le point de vue de la recourante est bien fondé. En l'absence d'un diagnostic, on ignore si l'affection en cause est de nature physique ou psychique. En effet, si le docteur T._ a suspecté une sténose urétrale post-traumatique, le docteur V._, médecin-conseil de la recourante, est d'avis, de son côté, que ce trouble est de nature psychique (rapport du 14 septembre 2009). Or, si celui-ci est d'ordre somatique, on ne peut exclure - au degré de la vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves en droit des assurances sociales (ATF 125 V 146 consid. 2c p. 150; 117 V 194 consid. 3bp. 195 et les références) - que l'affection en question soit d'origine maladive. C'est pourquoi un complément d'instruction est nécessaire sur ce point.
7. Vu ce qui précède, la recourante, à qui la cause doit être renvoyée pour fixer le montant de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité compte tenu des troubles psychiques en plus des troubles ostéoarticulaires, complétera l'instruction au sujet de la nature de l'affection uro-génitale, ainsi que sur l'existence éventuelle d'une relation de causalité entre cette affection et l'accident.
8. Vu ce qui précède, le recours en matière de droit public se révèle partiellement bien fondé.
Etant donné l'issue du litige, les frais de justice seront répartis entre les parties (art. 66 al. 1 LTF). Par ailleurs, la recourante, qui n'obtient que partiellement gain de cause, versera des dépens réduits à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est partiellement admis. Le chiffre 1 du dispositif du jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais du 6 octobre 2010 est réformé au sens du considérant 7. Le recours est rejeté pour le surplus.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis pour 500 fr. à la charge de la recourante et pour 250 fr. à la charge de l'intimé.
4. La recourante versera à l'intimé la somme de 2'000 fr. à titre de dépens réduits pour l'instance fédérale.
5. Le chiffre 3 du dispositif du jugement attaqué est annulé et le dossier est renvoyé à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure cantonale.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 28 septembre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd