Erwägungen:
1. X._ (geb. 1987) stammt nach eigenen Angaben aus Nigeria, reiste jedoch mit einem echten südafrikanischen Pass in die Schweiz ein, wo er unter dem Namen Y._ erfolglos um Asyl nachsuchte. Das Amt für Migration des Kantons Zug nahm ihn am 28. Mai 2008 in Ausschaffungshaft, welche der Haftrichter am Verwaltungsgericht des Kantons Zug am 30. Mai 2008 prüfte und bis zum 27. August 2008 genehmigte. X._ ist hiergegen mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht gelangt, er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Die Eingabe ist - soweit sich der Beschwerdeführer darin überhaupt sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt (Art. 42 Abs. 2 BGG) - offensichtlich unbegründet und kann ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden:
2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen worden (Nichteintretensentscheid des Bundesamts für Migration vom 8. Mai 2008, bestätigt durch das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 22. Mai 2008); er weigert sich jedoch nach wie vor, das Land legal zu verlassen. Der Beschwerdeführer hat zu seiner Identität und Herkunft widersprüchliche Angaben gemacht. Gestützt auf dieses Verhalten besteht bei ihm "Untertauchensgefahr" im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und 4 AuG [SR 142.20]; BGE 130 II 56 E. 3.1 S. 58 f.); zudem erfüllt er den Haftgrund von Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 AuG (asylrechtlicher Nichteintretensentscheid gestützt auf Art. 32 Abs. 2 lit. a AsylG: Nichtbeibringen von Papieren ohne entschuldbare Gründe bei fehlenden Hinweisen auf eine Verfolgungssituation, vgl. BGE 130 II 488 ff.).
2.2 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, in seiner Heimat verfolgt zu werden, verkennt er, dass hierüber im Asylverfahren rechtskräftig entschieden worden ist und er diese Frage im Haftprüfungsverfahren nicht mehr aufwerfen kann (vgl. BGE 128 II 193 E. 2.2 S. 197 ff.; 125 II 217 E. 2 S. 220). Bezüglich seines Einwands, bei einer Haftentlassung bereit zu sein, sich in einen Drittstaat zu begeben, ist nicht ersichtlich, wie er dies ohne gültige Reisepapiere rechtmässig tun könnte; nur sein Heimatstaat ist verpflichtet, ihn gegebenenfalls auch ohne solche zurückzunehmen (vgl. BGE 133 II 97 E. 4.2.2). Der Beschwerdeführer kann die Dauer seiner ausländerrechtlich begründeten Festhaltung verkürzen, indem er bei der Organisation seiner Heimkehr mit den Behörden zusammenarbeitet. Sollte er gültige Reisepapiere vorlegen, werden die schweizerischen Behörden allenfalls prüfen können, ob ein legaler Wegweisungsvollzug in einen anderen Staat möglich ist (Art. 69 Abs. 2 AuG).
2.3 Die Ausschaffungshaft setzt lediglich voraus, dass ein erstinstanzlicher Wegweisungsentscheid vorliegt (so ausdrücklich Art. 76 Abs. 1 AuG); dieser muss (noch) nicht rechtskräftig sein; der Beschwerdeführer wendet deshalb vergeblich ein, er habe vom Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts keine Kenntnis gehabt und die Schweiz deshalb nicht rechtzeitig (illegal: vgl. Art. 115 Abs. 2 AuG) verlassen können; nur die Durchsetzungshaft setzt voraus, dass der Betroffene innerhalb der ihm angesetzten Frist nicht freiwillig (legal) ausgereist ist. Für alles Weitere wird auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. Aufgrund der Umstände rechtfertigt es sich, keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG). Das Amt für Migration des Kantons Zug wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Haftrichter, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar