Faits:
A.
X._, née en 1963 et domiciliée à Z._ (France), est sage-femme. Elle a exercé cette profession en France depuis l'obtention de son diplôme, en 1986. Le 8 avril 2011, elle a sollicité du Département des affaires régionales, de l'économie et de la santé du canton de Genève (ci-après: le Département) l'autorisation de pratiquer à titre indépendant sur le territoire genevois, par le bais d'un formulaire de demande d'autorisation. A cette occasion elle a spécifié, conformément au libellé dudit formulaire, n'avoir jamais fait l'objet d'une procédure pénale ou administrative pour des faits incompatibles avec sa profession. L'autorisation de pratiquer lui a été délivrée le 3 mai 2011.
Le 16 octobre 2012, le médecin cantonal du canton de Genève a auditionné X._ après avoir appris que la chambre disciplinaire de l'ordre des sages-femmes de la région Rhône-Alpes, Provence, Côte d'Azur, Corse et Franche Comté avait prononcé à son encontre, le 9 juillet 2012, une interdiction d'exercer sa profession pendant un an, à la suite d'une plainte déposée le 18 juillet 2011. Cette sanction avait été infligée au motif que le site internet de l'intéressée évoquait des thérapies contraires aux règles déontologiques de la profession, telles que des formations sur la naissance par le tarot, des massages ayurvédiques par un psycho-énergéticien, la méthode du " bébé lotus " (qui laisse le cordon ombilical attaché au placenta jusqu'à ce qu'il s'en détache), des rites celtes, ainsi que diverses thérapies dites douces, non validées scientifiquement, au risque de mettre en danger la santé des mères et des bébés et dans un but lucratif. Il ressortait par ailleurs de la décision d'interdiction du 9 juillet 2012 que X._ avait déjà fait l'objet d'un avertissement le 31 janvier 2011 en raison de dysfonctionnements de son site internet.
Au cours de l'audition du 16 octobre 2012, X._ a été interrogée sur les faits qui lui étaient reprochés en France. A cette occasion, elle a expliqué qu'elle n'avait pas mentionné l'existence de l'avertissement du 31 janvier 2011 dans le formulaire de demande d'autorisation de pratiquer à Genève, celui-ci étant, selon elle, sans rapport avec des faits incompatibles avec l'exercice de sa profession et ne remettant pas en cause ses compétences professionnelles, et qu'elle n'avait pas non plus mentionné la procédure ayant abouti à la sanction du 9 juillet 2012, celle-ci ayant été initiée postérieurement à la date du dépôt de sa demande.
B.
Le 20 décembre 2012, le Département a révoqué l'autorisation de pratiquer de X._.
Le 30 janvier 2013, X._ a déposé un recours contre cette décision auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice), sollicitant d'être à nouveau autorisée à pratiquer sa profession à titre indépendant sur territoire genevois.
Le 27 août 2013, la Cour de justice a admis le recours de X._ et annulé la décision du 20 décembre 2012 du Département. La décision de révocation du Département a été prise en application de l'art. 128 al. 3 de la loi genevoise sur la santé du 7 avril 2006 (LS; RSG K 1 03), qui prévoit que le droit de pratiquer peut être révoqué lorsque le Département a connaissance après coup de faits qui auraient justifié un refus de son octroi. La Cour de justice a rappelé à cet égard que l'octroi d'une autorisation de pratiquer d'un professionnel de la santé était soumis à plusieurs conditions libellées à l'art. 75 LS qui prévoit notamment que le professionnel de la santé ne doit pas avoir fait l'objet de sanction administrative ou de condamnation pénale pour une faute professionnelle grave ou répétée ou pour un comportement indigne de sa profession (art. 75 al. 1 let. c LS). Or, la Cour de justice a estimé qu'il n'était pas possible de déduire de l'avertissement du 31 janvier 2011 que X._ avait commis une faute grave ou répétée ou adopté un comportement indigne de la profession au sens de cette disposition. En outre, l'intéressée n'avait pas l'obligation de mentionner l'existence de cet avertissement dans sa demande d'autorisation, puisque celui-ci ne concernait pas des faits incompatibles avec l'exercice de sa profession. En conséquence, X._ remplissait les conditions nécessaires à l'octroi d'une autorisation de pratiquer au moment de sa requête, de sorte que les conditions de révocation de l'autorisation prévues à l'art. 128 al. 3 LS n'étaient pas réalisées.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, le Conseil d'Etat de la République et canton de Genève (ci-après: le Conseil d'Etat) conclut à l'annulation de l'arrêt du 27 août 2013 de la Cour de justice, à la confirmation de la décision du 20 décembre 2012 du Département et à la condamnation de X._ de tous les frais et dépens de la cause.
Par courrier du 12 octobre 2013 adressé à la Cour de céans, X._ s'est spontanément déterminée sur le sort du recours.
Considérant en droit:
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (art. 29 al. 1 LTF; ATF 138 I 435 consid. 1 p. 439). Toutefois, lorsque les conditions de recevabilité, en particulier la qualité pour recourir, ne ressortent pas à l'évidence de la décision attaquée ou du dossier de la cause, comme tel est le cas en l'espèce, le recourant doit exposer en quoi elles sont réunies, sous peine d'irrecevabilité (art. 42 al. 1 et 2 LTF; ATF 133 II 353 consid. 1 p. 356; arrêt 1C_412/2012 du 22 juillet 2013 consid. 1).
1.1. La qualité pour former un recours en matière de droit public est régie à l'art 89 LTF. Selon l'art. 89 al. 1 LTF, a cette qualité quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a), est particulièrement atteint par la décision ou l'acte normatif attaqué (let. b) et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (let. c).
Le droit de recourir des collectivités publiques est visé en premier lieu à l'art. 89 al. 2 LTF. Si les conditions de cet alinéa ne sont pas remplies, il faut examiner si l'autorité peut invoquer l'art. 89 al. 1 LTF (ATF 133 II 400 consid. 2.4.1; arrêt 2C_1016/2011 du 3 mai 2012 consid. 1.2.1).
1.2. Le Département cantonal en tant que branche de l'administration ne pouvait interjeter un recours, ni sous l'angle de l'art. 89 al. 2 let. d LTF, aucune loi fédérale ne lui accordant le droit de recourir en la matière, ni en application de l'art. 89 al. 1 LTF (cf. ATF 138 II 506 consid. 2.1 p. 508 s.; 134 II 45 consid. 2.2.3 p. 48). Le canton peut en revanche agir en son nom, par l'intermédiaire du Conseil d'Etat, en tant qu'autorité exécutive suprême (ATF 135 II 12 consid. 1.2.3 p. 16), à condition qu'il remplisse les exigences de l'art. 89 LTF.
1.3. A juste titre, le Conseil d'Etat n'invoque pas l'art. 89 al. 2 let. c LTF. En effet, cette disposition ne permet en principe pas au canton de recourir pour attaquer une décision de son propre tribunal administratif (ATF 133 II 400 consid. 2.4.1 p. 405 s., confirmé in arrêts 1C_412/2012 du 22 juillet 2013 consid. 1.2; 2C_620/2012 du 14 février 2013 consid. 1.2.3 in RDAF 2013 II 197). En outre, le recourant ne se plaignant pas d'une violation de l'art. 3 Cst., le point de savoir si celui-ci pourrait se fonder sur l'art. 89 al. 2 let. c LTF sous cet angle n'a pas à être examiné (question évoquée in arrêt 2C_1016/2011 du 3 mai 2012 consid. 1.2.1 non publié in ATF 138 I 196). Quant aux autres hypothèses de l'art. 89 al. 2 LTF, elles n'entrent pas en ligne de compte.
1.4. Reste la clause générale de l'art. 89 al. 1 LTF. Selon la jurisprudence, une collectivité publique peut fonder son recours sur cette disposition lorsqu'elle est touchée dans ses prérogatives de puissance publique ( "in ihren hoheitlichen Befugnissen berührt ") et dispose d'un intérêt public propre digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'acte attaqué (cf. ATF 136 I 265 consid. 1.4 p. 268; 136 II 383 consid. 2.3 et 2.4 p. 386 s.). Lorsqu'il est porté atteinte à ses intérêts spécifiques, la collectivité publique peut ainsi se voir reconnaître la qualité pour recourir, pour autant qu'elle soit touchée de manière qualifiée (arrêts 2C_736/2010 du 23 février 2012 consid. 1.3; 2C_931/2010 du 28 mars 2011 consid. 2.5). Tel est le cas lorsqu'un acte de puissance publique concerne des intérêts publics essentiels dans un domaine de politique qui relève de la compétence de l'autorité (ATF 137 IV 269 consid. 1.4 p. 274; 136 II 383 consid. 2.4 p. 386; 136 V 346 consid. 3.3.2 p. 349; 135 II 12 consid. 1.2.2 p. 15 s.). En revanche, le simple intérêt public à la bonne application du droit est insuffisant pour fonder la qualité ordinaire pour recourir des collectivités (ATF 136 II 274 consid. 4.2 p. 279; 134 II 45 consid. 2.2.1 p. 47). Compte tenu de ces principes, la qualité pour recourir du canton dérivée de l'art. 89 al. 1 LTF ne doit être admise que de manière limitée (arrêt 2C_1016/2011 du 3 mai 2012 consid. 1.2.1 non publié in ATF 138 I 196).
Sur la base de l'art. 89 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral a en particulier ouvert le recours à un canton contre une décision du Tribunal administratif fédéral autorisant, en vertu de la loi fédérale du 6 octobre 1995 sur le marché intérieur (LMI; RS 943.02), une psychothérapeute à exercer son activité indépendante; en effet, le prononcé en cause avait la valeur d'un précédent propre à contraindre le canton à délivrer, en contradiction avec le droit cantonal, de nombreuses autres autorisations similaires et des intérêts importants de santé publique étaient en jeu (ATF 135 II 12 consid. 1.2.2 p. 15 s.). Dans une autre cause, le Tribunal fédéral a reconnu au canton de Genève le droit de recourir contre un arrêt cantonal déniant au Service des votations et élections un droit d'intervention en cas de violation de la loi cantonale sur l'exercice des droits politiques (arrêt 1C_507/2010 du 9 juin 2011 consid. 1.2.2 s.). Dans l'arrêt 9C_476/2010 du 24 novembre 2010, la qualité pour recourir du canton a été admise s'agissant d'un arrêt du Tribunal administratif fédéral qui annulait partiellement un règlement que l'exécutif cantonal avait adopté selon des compétences normatives propres (consid. 1, in: SVR 2011 BVG n° 17 p. 62; exemples cités in arrêt 2C_1016/2011 du 3 mai 2012 consid. 1.2.2 non publié in ATF 138 I 196).
1.5. En l'espèce, la décision attaquée revient à autoriser une sage-femme à exercer sa profession. Contrairement à ce que soutient le Conseil d'Etat, cette décision ne saurait avoir valeur d'un précédent empêchant l'autorité compétente de révoquer à l'avenir des autorisations de pratiquer à des professionnels de la santé sur la base d'avertissements. En effet, la Cour de justice ne retient pas que l'avertissement ne peut constituer une sanction administrative; elle a simplement cherché à déterminer le contenu matériel de l'avertissement du 31 janvier 2011 pour déterminer si l'intimée avait l'obligation d'en faire mention dans le formulaire de demande d'autorisation et si cet avertissement sanctionnait par ailleurs une faute professionnelle grave ou répétée ou un comportement indigne de la profession au sens de l'art. 75 al. 1 let. c LS. Ainsi, l'arrêt attaqué ne saurait avoir valeur de précédent remettant en question ou limitant les prérogatives de puissance publique de l'autorité compétente en matière sanitaire, telles qu'elles sont prévues par la loi sur la santé. Il s'agit de manière caractéristique d'une situation où l'intérêt en jeu est la correcte application du droit, dans laquelle l'art. 89 LTF ne confère pas aux cantons la qualité pour recourir en vue de contester les décisions de leurs propres tribunaux supérieurs. L'arrêt attaqué n'empêche au demeurant pas le Département de révoquer l'autorisation de pratiquer de l'intimée, s'il devait s'avérer, à l'avenir, que celle-ci ne remplit plus les conditions du droit de pratiquer.
1.6. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être déclaré irrecevable. Conformément à l'art. 66 al. 4 LTF, il ne sera pas perçu de frais judiciaires. Aucun échange d'écritures n'ayant été ordonné, il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimée, ce d'autant qu'elle n'est pas représentée par un avocat (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de Justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 1ère section.
Lausanne, le 25 octobre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
La Greffière: Vuadens