Faits:
A. A.a T._, né en 1934, marié, est rentier de l'AVS. Depuis plusieurs années, il perçoit une prestation complémentaire à l'AVS y compris un subside pour la prime à l'assurance-maladie.
Par décisions du 23 novembre 2007, son épouse N._ a été mise au bénéfice d'une rente de l'AVS depuis le 1er décembre 2007, d'un montant mensuel de 1'240 fr. A cette occasion, la rente AVS de T._ a fait l'objet d'un nouveau calcul et cette prestation a été réduite de 1'075 fr. à 945 fr. par mois.
Le 11 janvier 2008, N._ a informé le Service cantonal des prestations complémentaires (SPC) qu'elle bénéficiait désormais d'une rente de vieillesse de l'AVS et que la rente de son époux avait été légèrement réduite. Présumant que ces nouveaux éléments étaient susceptibles d'entraîner des changements, elle a néanmoins exprimé le souhait que le subside pour l'assurance-maladie puisse être maintenu.
Par décision du 8 février 2008, le SPC a repris le calcul de la prestation complémentaire de T._ à partir du 1er janvier 2008. Le SPC a fixé les dépenses reconnues à 33'882 fr. par an; quant au revenu déterminant, il l'a établi à 15'925 fr. par an, les rentes de l'AVS ascendant à 13'260 fr. La situation financière du couple justifiait dès lors une augmentation du montant de la prestation complémentaire, laquelle est passé mensuellement de 917 à 1'497 fr., à quoi s'ajoutait le subside à l'assurance-maladie à raison de 419 fr. pour chaque conjoint.
Par décision du 15 décembre 2008, le SPC a recalculé le droit à la prestation complémentaire à compter du 1er décembre 2007. A cette occasion, il a rectifié le montant des rentes de l'AVS en le portant de 13'260 à 26'220 fr. par an, ce qui aboutissait à une prestation complémentaire mensuelle de 416 fr. Dès lors que T._ aurait dû recevoir pour la période du 1er décembre 2007 au 31 décembre 2008 une somme totale de 4'992 fr. au lieu des 18'794 fr. effectivement perçus, le SPC lui a demandé de restituer le montant de 13'802 fr. La décision n'a pas été attaquée.
A.b Le 12 février 2009, T._ a présenté au SPC une demande de remise de l'obligation de restituer la somme réclamée par la décision du 15 décembre 2008. Il se prévalait de sa bonne foi, dès lors que son épouse avait communiqué les revenus complémentaires du couple par lettre du 11 janvier 2008, et de la situation financière difficile que le remboursement engendrerait. Le SPC a rejeté la demande de remise, par décision du 19 mai 2009, confirmée sur opposition le 30 septembre 2009.
B. T._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui : Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant à son annulation et à la remise de son obligation de restituer la somme de 13'802 fr. Par jugement du 15 mars 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
Ce jugement a été annulé par le Tribunal fédéral (arrêt du 15 mars 2011, 9C_384/2010). La cause a été renvoyée à l'autorité cantonale afin qu'elle invite les parties à s'exprimer sur le manque de vigilance qui était reproché au recourant et ses conséquences dans le cas particulier sur la question de sa bonne foi, puis statue à nouveau. Après avoir repris l'instruction du cas, la Chambre des assurances sociales a rejeté derechef le recours, par jugement du 23 janvier 2012.
C. T._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant principalement à la remise de l'obligation de restituer la somme de 13'802 fr., subsidiairement au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour examen de la condition de la situation difficile, plus subsidiairement à ce que la bonne foi soit admise pour la période allant du 1er décembre 2007 au 8 février 2008. Il sollicite une dispense du versement de l'avance de frais.
Le SPC intimé et l'Office fédéral des assurances sociales n'ont pas été invités à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur les conditions de la remise de l'obligation de restituer la somme de 13'802 fr. Singulièrement, demeure litigieux le point de savoir si la bonne foi du recourant (au sens de l'art. 25 al. 1 LPGA) doit être niée pour le motif qu'il n'a pas en l'espèce signalé à l'intimé que le calcul du 8 février 2008 était erroné.
Les règles applicables à la solution du litige ont été exposées dans le jugement attaqué ainsi que dans l'arrêt 9C_384/2010, auxquels il suffit de renvoyer.
2. Les premiers juges ont constaté que les ressources prises en compte dans le calcul des prestations ressortaient clairement de la décision du 8 février 2008. En ce qui concerne la rente AVS perçue par l'épouse dès décembre 2007, les juges ont constaté qu'elle ne figurait pas dans le calcul; ils ont admis que cet élément n'aurait pas dû échapper à l'attention du recourant, d'autant que le montant indiqué à titre de rentes de l'AVS - 13'260 fr. par an - correspondait exactement à la rente mensuelle de 1'105 fr. que le recourant percevait depuis août 2006. La juridiction cantonale en a déduit qu'il apparaissait de manière évidente et sans la moindre difficulté que les nouveaux éléments annoncés - l'octroi d'une rente AVS à l'épouse de 1'240 fr. et la réduction de la rente du recourant à 945 fr. dès décembre 2007 - n'avaient pas été pris en compte. En pareilles circonstances, les juges cantonaux ont considéré que l'on pouvait attendre du recourant qu'il décèle l'erreur commise par l'intimé et qu'il l'annonce à ce dernier, étant précisé qu'il ne s'agissait en l'occurrence pas pour le recourant de vérifier tous les éléments de la feuille de calcul, mais uniquement la rubrique " rentes AVS ", laquelle ne présentait de surcroît aucune difficulté ou incertitude quant à sa qualification.
La juridiction cantonale a également relevé que l'intimé avait invité le recourant, notamment les 6 décembre 2006 et 12 décembre 2007, à contrôler attentivement les montants figurant dans les décisions de prestations, en précisant qu'au chapitre des ressources, il y avait lieu de vérifier tout particulièrement les rentes AVS/AI. Dans la mesure où l'épouse du recourant s'attendait à ce que les nouveaux éléments de revenus entraînent la suppression des prestations complémentaires ou du moins leur diminution (cf. lettre du 11 janvier 2008), la décision du 8 février 2008 ne pouvait qu'étonner le recourant et son épouse et les inciter à un examen encore plus attentif.
3. Le recourant se prévaut de sa bonne foi en invoquant les art. 5 al. 3 et 9 Cst. Il soutient que la plupart des postes mentionnés sur la feuille de calcul de la prestation complémentaire étaient incompréhensibles et partiellement invérifiables, en particulier dans la mesure où les années de référence prises en compte dans les calculs n'étaient pas indiquées. A son avis, la juridiction cantonale a fait preuve d'arbitraire et procédé contrairement aux règles de la bonne foi en considérant qu'il ne s'agissait en l'occurrence que de vérifier la rubrique " rentes AVS ", car la modification de la décision du 8 février 2008 concernait l'état de fortune. Il allègue que le SPC avait commis une erreur en omettant de revoir, à la baisse, plusieurs années durant, son état de fortune. Il soutient aussi qu'il ne s'attendait pas que l'intimé ne retienne pas, à cette occasion, les modifications que son épouse avait signalées le 11 janvier 2008, où la modification des rentes AVS du couple avait été annoncée. Le recourant reproche à l'intimé d'avoir réagi tardivement à cette communication, omettant de procéder à un examen complet de sa situation lorsqu'il avait rendu sa décision du 8 février 2008. Il relève également que si l'administration l'avait certes invité à contrôler attentivement les montants dans les décisions, il s'agissait à une occasion des éléments les plus récents en sa possession, à une autre des éléments qu'il allait recevoir.
Par ailleurs, le recourant se plaint d'une violation de l'obligation de l'intimé de renseigner et de conseiller, au sens de l'art. 27 LPGA. Dans ce contexte, il estime que les tables de calcul ne sont pas adaptées à des personnes âgées, à qui ne sont pas offerts les moyens de vérifier les calculs des prestations complémentaires.
4. Il est constant que les époux n'ont pas réagi à réception de la décision erronée de l'intimé du 8 février 2008, à teneur de laquelle la prestation complémentaire était portée mensuellement de 917 fr. à 1'497 fr. et le subside à l'assurance-maladie fixé à 419 fr. par conjoint.
Pour trancher la question de la bonne foi du recourant dans le contexte de la demande de remise de l'obligation de restituer les prestations indûment versées à la suite de cette décision, il faut tenir compte du fait que le couple avait annoncé à l'intimé qu'une rente AVS pour l'épouse allait désormais leur être allouée et que, conscients du changement susceptible d'intervenir dans le montant des prestations complémentaires, ils demandaient que dans ce cadre les subsides à l'assurance-maladie ne soient pas supprimés (cf. lettre du 11 janvier 2008). Le recourant ne pouvait rester passif à partir du moment où il avait constaté, en réponse au courrier précité, que le montant de la prestation complémentaire nouvellement fixée s'était accru au lieu d'avoir été réduit. Un examen sommaire de la feuille de calcul annexée à la décision du 8 février 2008 lui aurait d'emblée permis de constater que les revenus annoncés le 11 janvier 2008 n'avaient pas été pris en considération pour fixer le montant de la prestation complémentaire, ladite feuille ne présentant d'ailleurs aucune difficulté de lecture ou de compréhension.
Selon la jurisprudence rappelée au consid. 3e du jugement attaqué (cf. arrêt P 42/92 consid. 5b, cité par ULRICH MEYER, Die Rückerstattung von Sozialversicherungsleistungen, RSJB 131/1995 p. 483), on peut attendre de l'intéressé qu'il décèle des erreurs manifestes et qu'il en fasse l'annonce à la caisse. Le manque de vigilance du recourant, qui a omis de contrôler la feuille de calcul (pareil examen était prescrit par la communication du 12 décembre 2007, p. 3 au milieu) et d'informer l'administration de l'erreur manifeste qu'elle venait de commettre, exclut par conséquent sa bonne foi.
Quant au grief tiré de la violation de l'obligation de renseigner et de conseiller au sens de l'art. 27 LGPA, il est infondé. En effet, dans sa communication du 12 décembre 2007 où il donnait des renseignements relatifs à ses prestations, l'intimé avait également clairement indiqué au recourant qu'il pouvait obtenir au besoin des informations complémentaires.
5. Le recourant a conclu plus subsidiairement à ce que sa bonne foi soit admise pour la période allant du 1er décembre 2007 au 8 février 2008. Le recourant n'expose toutefois pas les raisons pour lesquelles sa bonne foi devrait être admise pour ce laps de temps et niée au-delà du 8 février 2008. En particulier, il ne démontre pas, même succinctement, en quoi le jugement attaqué serait contraire au droit sur ce point.
6. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF). Comme il remplit les conditions de l'assistance judiciaire, il sera provisoirement dispensé du paiement des frais (art. 64 al. 1 LTF), l'art. 64 al. 4 LTF étant réservé.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois provisoirement supportés par la caisse du tribunal.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 août 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Berthoud