Sachverhalt:
A. Z._ zog sich am 2. August 2008 bei einem Sturz mit ihrem Mountainbike in ein 15 Meter tiefer gelegenes Bachbett eine komplette Tetraplegie zu. Ab 1. Januar 2007 war sie als Lehrkraft im Stundenlohn für die Studio X._ GmbH tätig und damit bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachstehend: Mobiliar) obligatorisch für Berufs- und Nichtberufsunfälle versichert gewesen. Mit Verfügung vom 22. Mai 2008 hatte die Kommission Y._ sie befristet für die Zeit ab 1. August bis 19. Dezember 2008 als stellvertretende Primarlehrerin an den Schulen Y._ angestellt, wo eine Unfallversicherung bei der Visana Versicherungen AG (nachstehend: Visana) vorgesehen war. Der Schulunterricht nach den Sommerferien begann dort am 11. August 2008.
Am 2. Oktober 2008 verneinte die Visana ihre Leistungspflicht aus obligatorischer Versicherung für den Unfall vom 2. August 2008 verfügungsweise, weil für den Beginn der Versicherungsdeckung der tatsächliche Arbeitsantritt massgebend sei. Nachdem Z._, die CSS Versicherung als deren Krankenversicherer und die Mobiliar dagegen je Einsprache erhoben hatten, erliess die Visana am 10. Juli 2009 einen Entscheid, mit welchem sie die Einsprachen der Leistungsansprecherin selbst sowie der Mobiliar abwies und auf diejenige des Krankenversicherers nicht eintrat.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die von Z._ wie auch die von der Mobiliar dagegen erhobenen Beschwerden nach erfolgter Verfahrensvereinigung mit Entscheid vom 9. Februar 2010 ab.
C. C.a Z._ (nachstehend: Beschwerdeführerin) lässt beschwerdeweise beantragen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und die Visana zu verpflichten, ihr die gesetzlichen Leistungen für den Unfall vom 2. August 2008 zu erbringen (Verfahren 8C_272/2010).
C.b Mit denselben Begehren erhebt auch die Mobiliar Beschwerde ans Bundesgericht (Verfahren 8C_273/2010).
C.c Die Visana schliesst in beiden Verfahren auf Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Gesundheit jeweils auf eine materielle Stellungnahme verzichtet.
Erwägungen:
1. Da den beiden Beschwerden derselbe Sachverhalt zu Grunde liegt, sie den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen und sich die gleichen Rechtsfragen stellen, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren 8C_272/2010 und 8C_273/2010 zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (BGE 128 V 124 E. 1 S. 126 und 192 E. 1 S. 194; je mit Hinweisen).
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Im Streit, ob für ein Unfallereignis Versicherungsdeckung besteht, allerdings kommt diese Ausnahmeregelung ungeachtet dessen, dass von der Beurteilung der Streitfrage auch Ansprüche auf Geldleistungen der obligatorischen Unfallversicherung abhängen können, nicht zur Anwendung (BGE 135 V 412 E. 1.2.2 S. 414). Das Bundesgericht kann daher die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen im vorliegenden Fall nur im Rahmen von Art. 105 Abs. 1 und 2 (in Verbindung mit Art. 97 Abs. 1) BGG überprüfen.
3. Auf Grund der erhobenen Beschwerden ist zu prüfen, ob die Visana für den Unfall vom 2. August 2008 die gesetzlichen Leistungen aus obligatorischer Unfallversicherung gemäss UVG auszurichten hat. Dies hängt davon ab, ob die Verunfallte im Unfallzeitpunkt bereits als bei der Visana obligatorisch versichert gelten kann. Gesetzliche Grundlage für die Beurteilung dieser Frage ist Art. 3 Abs. 1 UVG, gemäss welchem - soweit hier von Belang - die Versicherung an dem Tag beginnt, an dem der Arbeitnehmer auf Grund der Anstellung die Arbeit antritt oder hätte antreten sollen. Die Entwicklung der zu dieser Bestimmung ergangenen Rechtsprechung des früheren Eidgenössischen Versicherungsgerichts hat das kantonale Gericht zutreffend aufgezeigt (BGE 118 V 177 und 119 V 220 sowie in RKUV 1995 Nr. U 230 S. 198 [U 208/94] und 2001 Nr. U 431 S. 317 [U 6/99] zumindest auszugsweise publizierte Urteile sowie Urteil U 317/02 vom 21. März 2003). Darauf braucht an dieser Stelle nicht im Einzelnen zurückgekommen zu werden.
4. 4.1 Laut Verfügung der Kommission Y._ vom 22. Mai 2008 wurde die Beschwerdeführerin befristet für die Zeit ab 1. August bis 19. Dezember 2008 als stellvertretende Primarlehrerin angestellt. Der Beginn des Arbeitsvertrages fiel also auf den 1. August 2008. Wegen der in diesem Zeitpunkt noch andauernden Schulferien wäre die eigentliche Unterrichtstätigkeit aber erst am 11. August 2008 aufgenommen worden. Die Visana stellt sich daher auf den Standpunkt, der effektive Arbeitsantritt wäre erst nach dem Unfallereignis vom 2. August 2008 am 11. August 2008 erfolgt. Der Unfall habe sich damit ereignet, als bei ihr noch keine Versicherungsdeckung bestand.
4.2 Mit der Vorinstanz grundsätzlich einig sind sich alle Beteiligten darin, dass für den Beginn der Versicherteneigenschaft der tatsächliche Arbeitsantritt der Beschwerdeführerin und nicht der Beginn des Arbeitsvertrages massgebend ist. Weil die Beschwerdeführerin aber bereits vor dem 11. August 2008 und auch schon vor dem Unfall vom 2. August 2008 zahlreiche Vorkehren im Hinblick auf die bevorstehende Aufnahme ihrer Tätigkeit als Lehrerin getroffen hatte, sind sie und die Mobiliar der Ansicht, der Arbeitsantritt sei am 1. August 2008 oder sogar noch früher erfolgt, sodass die aus dem Versicherungsverhältnis resultierende Leistungspflicht des Unfallversicherers die Visana treffe. Das kantonale Gericht indessen lehnt diese Betrachtungsweise mit der Begründung ab, die mit dem Lehrerinnenberuf verbundenen Verpflichtungen umfassten zwar neben der eigentlichen Unterrichtstätigkeit weitere vorbereitende und/oder begleitende Aufgaben, zu welchen auch die Einsätze der Beschwerdeführerin gehörten, doch bestehe zwischen diesen und der noch nicht angetretenen Stelle kein im Sinne der Rechtsprechung derart enger Konnex, dass diese dem Arbeitsantritt gleichgesetzt werden könnten.
4.3 Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid aufgelistet, wann, wo und inwiefern die Beschwerdeführerin laut Bestätigung der Schulen Y._ in Zusammenhang mit ihrer Anstellung als Lehrerin jeweils aktiv geworden ist. So hat sie bereits am 11. Juni 2008 hinsichtlich der Schulung in der neuen Klasse mit der bisherigen Lehrkraft ein Übergabegespräch geführt. Ein weiteres solches Gespräch fand am 26. Juni 2008 statt. Am 13. Juni 2008 konnte sie während einer Lektion die neue Klasse kennenlernen, worauf nach einem nochmaligen Übergabegespräch mit der früheren Stelleninhaberin gleichentags die Materialübergabe folgte. Am 18. Juni 2008 wurde von der Schulleitung eine obligatorische Einführung der Lehrkräfte an ihrem neuen Arbeitsort durchgeführt, an welcher auch die Beschwerdeführerin teilnahm. Am 14., 17., 21. und 24. Juli 2008 kam es jeweils zu gemeinsamen Vorbereitungsarbeiten wiederum mit der bisherigen Stelleninhaberin und am 29. Juli 2008 schliesslich wurde das Klassenzimmer zusammen mit ihrer Vorgängerin eingeräumt. Vom 7. bis am 11. Juli 2008 besuchte sie einen Einführungskurs für neue Lehrkräfte an der Pädagogischen Hochschule (Team- und Einzelcoaching: "Miteinander das neue Schuljahr vorbereiten").
4.4 Mit Recht hat das kantonale Gericht - wie in E. 4.2 hievor erwähnt - erkannt, dass die Aktivitäten der Beschwerdeführerin vor ihrem Unfall vom 2. August 2008 zu den üblichen und daher auch zu den Verpflichtungen zählenden Vorbereitungsaufgaben einer Lehrerin gehören. Nicht beigepflichtet werden kann der Vorinstanz hingegen darin, dass der notwendige "enge Konnex" zur späteren Tätigkeit fehle. Nach der Rechtsprechung beurteilt sich die Frage nach dem Zeitpunkt des Arbeitsantritts anhand des konkreten Arbeitsvertrages. Auch bei einer Lehrperson sind die effektiven Anstellungsbedingungen entscheidend. Dabei ist zu beachten, dass im Lehrerberuf generell nicht nur die Unterrichtszeit, sondern darüber hinaus auch ein grosser Teil der schulfreien Zeit zur Arbeitszeit gehört. Dies ist bei der Frage nach dem Zeitpunkt des Stellenantritts schon vor Aufnahme der eigentlichen Unterrichtstätigkeit zu berücksichtigen. Das Eidgenössische Versicherungsgericht hat denn in dem in RKUV 2001 Nr. U 431 S. 317 auszugsweise publizierten Urteil U 6/99 vom 10. Mai 2001 auch festgehalten, dass arbeitsvertragliche Obliegenheiten mit konkret arbeitsvorbereitendem Charakter als Antritt der Arbeit zu betrachten sind, wenn ein Arbeitnehmer solchen schon vor Beginn der Tätigkeit nachkommt, für die er eigentlich angestellt worden ist. Die in E. 4.3 hievor genannten Einsätze der Beschwerdeführerin waren gezielt auf den vorgesehenen künftigen Schulunterricht ausgerichtet und ermöglichten teils dessen Übernahme im Sinne einer unabdingbaren Voraussetzung erst. Zudem war ein Grossteil davon von der Schulbehörde sogar vorgeschrieben. Unter diesen Umständen ist nicht einzusehen, weshalb und inwiefern sie mit der geplanten Lehrerinnentätigkeit nicht in engem Konnex stehen sollten. Der von der Vorinstanz zitierte BGE 119 V 220 vermag - auch wenn es dort ebenfalls um den Stellenantritt einer Lehrerin ging - dies jedenfalls nicht zu begründen, standen im dort publizierten Urteil getätigte Vorbereitungshandlungen doch gar nicht zur Diskussion. Indem das kantonale Gericht die Vorkehren der Beschwerdeführerin nicht als Antritt der Arbeit anerkennen wollte, hat sie der Rechtsprechung zu Art. 3 Abs. 1 UVG (vgl. RKUV 2001 Nr. U 431 S. 317 [U 6/99] E. 3b) nicht genügend Beachtung geschenkt und damit Bundesrecht verletzt. Da nach dem Gesagten angenommen werden darf, dass die Beschwerdeführerin ihre Lehrerinnenstelle schon vor dem 2. August 2008 angetreten hat, ist der angefochtene Entscheid mit der Feststellung aufzuheben, dass die Visana für die Folgen des Mountainbike-Unfalles vom 2. August 2008 als Unfallversicherer aufzukommen hat.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Visana als unterliegende Partei die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG), welche - da auch eine Streitigkeit unter Versicherern über deren Zuständigkeit vorliegt - nach Massgabe von Art. 65 Abs. 3 BGG für beide (vereinigten) Verfahren auf gesamthaft Fr. 3'000.- festgelegt werden. Der obsiegenden Beschwerdeführerin steht - anders als der Mobiliar (Art. 68 Abs. 3 BGG) - eine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 8C_272/2010 und 8C_ 273/2010 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 9. Februar 2010 und der Einspracheentscheid der Visana Versicherungen AG vom 10. Juli 2009 werden aufgehoben. Es wird festgestellt, dass die Visana Versicherungen AG der versicherten Beschwerdeführerin die gesetzlichen Leistungen nach UVG zu erbringen hat.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden der Visana Versicherungen AG auferlegt.
4. Die Visana Versicherungen AG hat die versicherte Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.- zu entschädigen.
5. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung zurückgewiesen.
6. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. September 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl