Sachverhalt:
A. S._, geboren 1965, war Geschäftsführer der Firma X._ AG und in dieser Eigenschaft bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft (nachfolgend: Mobiliar oder Beschwerdeführerin) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 21. Juli 2000 zog er sich als Motorradfahrer bei einem Überholmanöver anlässlich einer Kollision mit einem linksabbiegenden Traktor ein Polytrauma (mit unter anderem Mittelgesichtsfrakturen, AC-Gelenksfraktur rechts, Rippenfrakturen, Leberruptur, Fraktur des Processus transversus am Lendenwirbelkörper [LWK] 1 sowie einem schweren Schädelhirntrauma bei einem Wert nach der Glasgow-Coma-Scale [GCS] von 4-5) zu. Bewusstlos wurde er von der Schweizerischen Rettungsflugwacht in das Spital Y._ transportiert, wo er bis zum 29./30. Juli 2000 in einem künstlichen Koma gehalten wurde. Am 14. August 2000 wurde er in die Klinik Z._ verlegt, wo er bis zum 25. August 2000 zur stationären Rehabilitation weilte. Bei Austritt war er selbstständig, mobil in der Ebene und auf der Treppe sowie autofahrtauglich. Die Belastbarkeit der rechten Schulter war eingeschränkt. Bis zum 6. September 2000 wurde ihm eine Arbeitsunfähigkeit von 50% attestiert. Anlässlich von Kontrolluntersuchungen klagte er am 21. September 2000 noch über Beschwerden im linken Kiefergelenk sowie in der rechten Schulter und am 18. Oktober 2000 über eine Hyposensibilität am lateralen Oberschenkel rechts mit diskreter Hautverfärbung. Der damaligen Freundin von S._, Dr. med. B._, Radiologin an der Klinik Q._, gelang es laut ihrem Bericht vom 10. Dezember 2002 erst gut ein Jahr nach dem Unfall, den Versicherten von der Behandlungsbedürftigkeit der seither festgestellten Persönlichkeitsveränderungen zu überzeugen. Gemäss Bericht der Klinik A._ vom 12. Februar 2004 nahm S._ im Oktober 2001 mit dem Leiter dieser Klinik, dem Psychiater Prof. Dr. med. R._, Kontakt auf. Dieser behandelte ihn - trotz wiederhergestellter körperlicher Funktionsfähigkeit - wegen deutlich zurückgebildeter Leistungsfähigkeit, Überforderung und Insuffizienzgefühlen medikamentös. Rückfallweise übernahm die Mobiliar die Sanierung der Pseudarthrose im rechten Schultergelenk mit zwei weiteren operativen Eingriffen im Sommer 2002. Ab September 2003 liess sich der Versicherte wegen einer posttraumatischen Belastungsstörung mit Depression und Suizidalität (F43.1 nach ICD-10) ambulant und vom 20. Januar bis 6. Februar 2004 stationär in der Klinik A._ behandeln (Bericht vom 12. Februar 2004). Am 3. März 2004 musste über die Firma des Versicherten der Konkurs eröffnet werden. Bei einem trotz der verschiedenen operativen Eingriffen anhaltenden, chronisch persistierenden Schmerzsyndrom in der rechten dominanten Schulter (Bericht der Klinik D._ vom 7. April 2004) blieb S._ in ambulanter psychotherapeutischer und medikamentöser Behandlung des Prof. Dr. med. R._ (Bericht vom 28. Februar 2005). Am 29. März 2005 folgte ein erneuter operativer Eingriff am rechten Schultergelenk. Gestützt auf das psychiatrische Gutachten des Dr. med. G._, vom 13. Mai 2005 sowie dessen Ergänzungsbericht vom 14. November 2005 lehnte die Mobiliar mit Verfügung vom 12. Dezember 2005, bestätigt durch Einspracheentscheid vom 9. August 2006, "einen Anspruch auf Versicherungsleistungen aus der obligatorischen Unfallversicherung UVG betreffend [...] psychischer Beschwerden" ab, weil diese weder in einem natürlichen noch in einem adäquaten Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 21. Juli 2000 stünden.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde des S._ hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 11. Juli 2007 gut und wies die Mobiliar an, die Leistungen nach UVG auszurichten.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Mobiliar die Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides.
Während S._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung.
D. Am 16. November 2007 lässt S._ unaufgefordert weitere Unterlagen einreichen.
E. Mit Eingaben vom 7. und 24. April 2008 äussern sich die Parteien im Hinblick auf das zwischenzeitlich ergangene Urteil BGE 134 V 109.
Erwägungen:
1. Strittig ist, ob die Mobiliar in Bezug auf die nach dem Unfall vom 21. Juli 2000 aufgetretenen psychogenen Störungen des Versicherten leistungspflichtig ist.
2. 2.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Die nach Ablauf der Rechtsmittelfrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) mit Schreiben vom 16. November 2007 unaufgefordert eingereichte Eingabe bleibt unberücksichtigt, da sie nicht im Rahmen eines zweiten Rechtsschriftenwechsels einging und keine revisionsrechtlich erheblichen Tatsachen im Sinne von Art. 123 Abs. 2 lit. a BGG enthält (Urteil 9C_436/2007 vom 6. Dezember 2007 E. 6.1.1 i.f. u.a. mit Hinweis auf die zu Art. 137 lit. b OG ergangene, unter der Herrschaft des BGG weiterhin gültige Rechtsprechung; BGE 127 V 353 E. 5b S. 358). Zudem beziehen sich die am 16. November 2007 neu eingereichten medizinischen Untersuchungsergebnisse auf einen Gesundheitszustand ausserhalb des für die Beurteilung zeitlich massgebenden Sachverhalts (vgl. dazu BGE 121 V 362 E. 1b S. 366; vgl. auch BGE 131 V 242 E. 2.1 S. 243). Die erst nach Erlass des in zeitlicher Hinsicht regelmässig die Grenze der gerichtlichen Beurteilung bildenden (BGE 130 V 445 E. 1.2 S. 446 mit Hinweisen) Einspracheentscheides (hier: vom 9. August 2006) erstellten Unterlagen bleiben daher grundsätzlich unberücksichtigt.
4. 4.1 Die Leistungspflicht eines Unfallversicherers gemäss UVG setzt zunächst voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (Krankheit, Invalidität, Tod) ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht. Ursachen im Sinne des natürlichen Kausalzusammenhangs sind alle Umstände, ohne deren Vorhandensein der eingetretene Erfolg nicht als eingetreten oder nicht als in der gleichen Weise bzw. nicht zur gleichen Zeit eingetreten gedacht werden kann. Entsprechend dieser Umschreibung ist für die Bejahung des natürlichen Kausalzusammenhangs nicht erforderlich, dass ein Unfall die alleinige oder unmittelbare Ursache gesundheitlicher Störungen ist; es genügt, dass das schädigende Ereignis zusammen mit anderen Bedingungen die körperliche oder geistige Integrität der versicherten Person beeinträchtigt hat, der Unfall mit andern Worten nicht weggedacht werden kann, ohne dass auch die eingetretene gesundheitliche Störung entfiele. - Ob zwischen einem schädigenden Ereignis und einer gesundheitlichen Störung ein natürlicher Kausalzusammenhang besteht, ist eine Tatfrage, worüber die Verwaltung bzw. im Beschwerdefall das Gericht im Rahmen der ihm obliegenden Beweiswürdigung nach dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu befinden hat. Die blosse Möglichkeit eines Zusammenhangs genügt für die Begründung eines Leistungsanspruches nicht (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen).
4.2 Die Leistungspflicht des Unfallversicherers setzt im Weiteren voraus, dass zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden ein adäquater Kausalzusammenhang besteht. Danach spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 mit Hinweisen). Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen (BGE 117 V 359 E. 6 S. 366 ff. und 369 E. 4 S. 382 ff., 115 V 133 E. 6 S. 138 ff.). Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140), während bei Schleudertraumen (BGE 117 V 359 E. 6a S. 367) und äquivalenten Verletzungen der HWS (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 2) sowie Schädelhirntraumen (BGE 117 V 369 E. 4b S. 383) nach der sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (vgl. zum Ganzen auch BGE 127 V 102 E. 5b/bb S. 103 und SVR 2007 UV Nr. 8 S. 27, E. 2 ff., U 277/04, je mit Hinweisen).
4.3 Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht jüngst die sogenannte Schleudertrauma-Praxis in zweierlei Hinsicht präzisiert hat: Zum einen wurden die Anforderungen an den Nachweis einer natürlich unfallkausalen Verletzung, welche die Anwendung dieser Praxis bei der Prüfung des adäquaten Kausalzusammenhangs rechtfertigt, erhöht. Zum anderen wurden die Kriterien, welche abhängig von der Unfallschwere gegebenenfalls in die Adäquanzbeurteilung einzubeziehen sind, teilweise modifiziert (BGE 134 V 109 E. 9 und 10 S. 121 ff.). Die bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall geltenden Grundsätze liess das Bundesgericht hingegen unverändert bestehen (E. 6.1 des erwähnten Urteils [S. 116]).
5. Die Mobiliar verneinte den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen den psychischen Beschwerden des Versicherten und dem Unfall vom 21. Juli 2000 gestützt auf das psychiatrische Gutachten des Dr. med. G._,vom 13. Mai 2005 sowie dessen zusätzliche Stellungnahme vom 14. November 2005.
5.1 Vorweg ist klarzustellen, dass die uneingeschränkte Ablehnung einer Leistungspflicht in Bezug auf sämtliche, nach dem Unfall vom 21. Juli 2000 aufgetretenen psychogenen Beeinträchtigungen, wie sie die Beschwerdeführerin am 12. Dezember 2005 formell verfügt und mit Einspracheentscheid vom 9. August 2006 bestätigt hat, angesichts der klaren Aktenlage unhaltbar ist.
5.1.1 Zum einen unterliess es die Mobiliar, Dr. med. G._ vor der psychiatrischen Begutachtung über die vorangehende, fachärztlich psychiatrische Behandlung vollständig zu dokumentieren. So hatte der Gutachter im Mai 2005 weder Kenntnis vom Bericht der Psychologin Dr. phil. V._, vom 4. November 2003 noch vom anfänglichen Verlauf und der ursprünglichen Diagnose bei Aufnahme der psychiatrischen Behandlung durch Prof. Dr. med. R._ ab Oktober 2001 sowie ab August/September 2003. Insoweit kommt dem Gutachten des Dr. med. G._ vom 13. Mai 2005 keine ausschlaggebende Beweiskraft zu. Zum anderen schränkte die Beschwerdeführerin die Fragestellung an den psychiatrischen Experten dahingehend ein, als dieser ausdrücklich nur zum Kausalzusammenhang der zwischen 20. Januar 2004 und 8. Februar 2005 feststellbaren gesundheitlichen Störungen Stellung zu nehmen hatte. Demzufolge lassen sich aus dem Gutachten des Dr. med. G._ vom 13. Mai 2005 - entgegen der Mobiliar - keine Schlussfolgerungen im Hinblick auf eine vollumfängliche Verneinung des natürlichen Kausalzusammenhanges in Bezug auf sämtliche, in der Folge des Unfalles vom 21. Juli 2000 aufgetretenen psychogenen Störungen des Beschwerdegegners ziehen.
5.1.2 Als direkte, offensichtlich natürlich kausale Folgen des Unfalles vom 21. Juli 2000 und der dabei zugezogenen Kopfverletzungen traten beim Versicherten noch während der initialen Hospitalisierung eine Reihe von psychogenen Beschwerden auf, welche am 4. August 2000 eine neuropsychologische Untersuchung, am 7. August 2000 ein psychiatrisches Konsilium und am 10. August 2000 ein psychiatrisches Rekonsilium erforderten. Dr. med. H._ von der Psychiatrischen Klinik Y._ ordnete eine medikamentöse Therapie an und empfahl angesichts der grossen psychischen Spannung mit Agitationszuständen und Schlafstörungen weiterhin eine Sitzwache am Bodenbett des Beschwerdegegners.
5.1.3 Gemäss Austrittsbericht vom 14. August 2000 des Prof. Dr. med. T._, Direktor des Spitals Y._, kam es nach der Extubation ab 1. August 2000 zu einer "posttraumatischen Verarbeitungsstörung mit Unruhe und nächtlichen Albträumen". Laut Bericht des Dr. med. H._ vom 7. August 2000 war der Versicherte am vierten Tag nach Austritt aus der Intensivstation bei anhaltender Hospitalisierung in der Klinik für Unfallchirurgie des Spitals Y._ noch immer zeitlich sehr ungenau orientiert. Auf eine genauere Exploration der Gedächtnisstörung wurde verzichtet, "da der Patient ohnehin schon recht angespannt" wirkte. Im Gespräch kam es zu häufigen Wiederholungen, weshalb der Verdacht auf Konfabulationen geäussert wurde. Er klagte über Schlafstörungen, weil er sich nachts ständig Gedanken mache, wie es zum Unfall gekommen sei. Zudem betonte er, dass er höchstens noch drei Tage bereit sei, im Spital zu bleiben, dann werde er austreten; er sei schon jetzt in der Lage, zwanzig Kilometer weit zu marschieren. Nach Auffassung des explorierenden Facharztes überschätzte der Beschwerdegegner einerseits seine eigene Leistungsfähigkeit, spürte aber andererseits seine Einschränkungen, "was bei ihm zu einer grossen psychischen Spannung" führte. Dr. med. H._ ging in seiner Beurteilung von einer Anpassungsstörung mit psychischer Anspannung (F43.23 nach ICD-10) sowie von einem Verdacht auf ein organisches Psychosyndrom nach Schädelhirntrauma (F07.2 nach ICD-10) aus. Angesichts dieses Verdachtes auf eine hirnorganische Störung empfahl er unbedingt eine neuropsychologische Testung. Diese ergab gemäss Bericht des Spitals Y._ vom 9. August 2000 eine reduzierte Aufmerksamkeitsleistung im Sinne einer reduzierten Fehlerkontrolle. Diese Einschränkungen könnten für die reduzierte Lern- und Gedächtnisleistung sowie für einen allgemein verminderten Antrieb mitverantwortlich sein. Das psychiatrische Rekonsil vom 10. August 2000 ergab zwar Anhaltspunkte für eine weitere Erholung, doch bestand nach wie vor eine grosse Diskrepanz zwischen Selbst- und Fremdeinschätzung der Leistungsfähigkeit des Versicherten. Auf Defizite reagierte dieser sehr gekränkt. Er selber erwähnte, dass er sehr narzisstisch sei und es deshalb schlecht vertrage, wenn er in einem Test nicht optimale Leistungen erbringen könne. Dank seines starken Leistungswillens und seiner hohen Leistungsbereitschaft war er bereits nach zwölftägigem Rehabilitationsaufenthalt in der Klinik Z._ ab 25. August 2000 wieder zu 50% und ab 6. September 2000 zu 100% arbeitsfähig.
5.1.4 Aktenkundig besteht kein Zweifel und ist unbestritten, dass der Beschwerdegegner schon vor dem Unfall an einer bis zum Unfall nicht behandlungsbedürftigen narzisstischen Störung litt, weshalb er unter anderem zehn Tage nach Beginn der Rekrutenschule aus dieser infolge psychischer Beeinträchtigungen entlassen worden war. Doch blieb er bis zum Unfall nachweislich beruflich sehr erfolgreich. Dies bestätigte mit Schreiben vom 10. Dezember 2002 auch die Ex-Freundin des Versicherten, Dr. med. B._, welche zwischen 1995 und Ende 2001, abgesehen von zwei Unterbrüchen, mit dem Beschwerdegegner liiert war. Diese führte glaubhaft - unter ausdrücklichem Hinweis darauf, dass sie nicht über fachärztlich psychiatrische Kenntnisse verfüge - und im Wesentlichen übereinstimmend mit den Berichten des Prof. Dr. med. R._ vom 16. September und 25. August 2005 sowie vom 12. Februar 2004 aus, dass der Versicherte den Unfall - trotz erheblicher Verletzungen - "körperlich weit überdurchschnittlich gut überstanden", jedoch den eigentlichen inneren Zustand hinter der äusserlichen Fassade zu verdrängen versucht habe. Die Gedächtnisleistungen seien reduziert geblieben. Zwar habe er seine AHV-Nummer nach wie vor auswendig gewusst, doch habe er bei Einkäufen vieles zu besorgen vergessen, obwohl er es auf einer Liste aufgeschrieben hatte. Er habe Mühe gehabt, sich an den Anfang eines Gespräches zu erinnern. Seine Defizite seien ihm erst allmählich bewusst geworden und er habe mit Aggressionen darauf reagiert. Dass er - als vor dem Unfall mehrfach ausgezeichneter T._ seiner Firma X._ - nach dem Unfall Angestellte habe entlassen müssen und von Geschäftspartnern unter Druck gesetzt worden sei, habe ihn arg mitgenommen. Tagelang sei er nicht mehr aus dem Haus gegangen, habe nichts gegessen und telefonische Anrufe nicht mehr beantwortet. Der Wechsel von Phasen mit Agitation und Episoden völliger Apathie, seine Ich-Fixiertheit und sein Misstrauen ihr als Freundin gegenüber hätten ihre Paar-Beziehung belastet. "Erst gut ein Jahr später [sei] es ihr mit enormem Aufwand gelungen, ihm klar zu machen, in welchem Zustand er sich befand [...]". Daraufhin habe er Prof. Dr. med. R._ aufgesucht, welcher ihn medikamentös antidepressiv behandelt und ihm eine stationäre Aufnahme in die Klinik A._ empfohlen habe. Letzteres habe er aber abgelehnt. Nachdem die Medikamente einigermassen Erfolg gezeigt hatten und sich sein Zustand zunehmend stabilisierte, löste Dr. med. B._ die schwierige Partnerschaft mit dem Beschwerdegegner Ende 2001 auf.
5.1.5 Obwohl die medikamentös antidepressive Therapie des Prof. Dr. med. R._ ab Spätsommer 2001 (gut ein Jahr nach Unfall) offenbar nicht über einen Sozialversicherungsträger abgewickelt worden war, steht nach Aktenlage mit dem im Sozialversicherungsrecht geltenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (BGE 129 V 177 E. 3.1 S. 181 mit Hinweisen) fest, dass die entsprechenden therapeutischen Massnahmen - bereits damals, wie auch ab August/September 2003 - bei ausgewiesener Behandlungsbedürftigkeit tatsächlich durchgeführt wurden und in einem offensichtlichen natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 21. Juli 2000 standen. Soweit der erst nach Abschluss seines psychiatrischen Gutachtens vom 13. Mai 2005 vollständig medizinisch dokumentierte Dr. med. G._ in seiner nachträglichen Stellungnahme vom 14. November 2005 unbeirrt - und nach Angaben des Versicherten in einem Telefongespräch zwischen ihm und dem begutachtenden Psychiater vom 18. Mai 2005 sogar "unwirsch" - an seiner ursprünglichen Auffassung festhielt, wonach die in der Folge des Unfalles aufgetretenen psychischen Beschwerden höchstens "möglicherweise im Sinne einer Teilursache" in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfall stünden, steht diese im psychiatrischen Gutachten vertretene, nicht überzeugend begründete Einschätzung im Widerspruch zu den übrigen fachärztlichen Beurteilungen. Dr. med. G._ zweifelte an der Aufnahme der psychiatrisch medikamentösen Behandlung ab Oktober 2001 durch den mit dem Versicherten privat bekannt gewesenen Prof. Dr. med. R._ und verneinte auf Grund der langen Latenz zwischen der angeblich erst im Herbst 2003 erfolgten Behandlungsaufnahme und dem Ereignis vom 21. Juli 2000 die natürliche Unfallkausalität der psychogenen Störungen. Diesbezüglich kann nicht auf das psychiatrische Gutachten abgestellt werden. Vielmehr stand nach Aktenlage bereits die im zweiten Halbjahr 2001 durchgeführte medikamentös antidepressive Behandlung in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Unfall vom 21. Juli 2000. Die überwiegende Wahrscheinlichkeit der natürlichen Unfall-Teilkausalität kann gestützt auf die vorhandenen Akten weder mit Blick auf die anterograde Gedächtnisstörung als Auswirkung einer posttraumatischen Belastungsstörung (Bericht der Psychologin Dr. phil. V._ vom 4. November 2003) noch hinsichtlich der stationären psychiatrischen Behandlung vom 20. Januar bis 6. Februar 2004 wegen akuter Suizidalität bei depressivem Zustandsbild und situationsgebundenen Flashbacks mit Panikattacken verneint werden.
5.1.6 Die Beschwerdeführerin legt nicht dar und es sind keine Anhaltspunkte dafür ersichtlich, dass die Angaben der Dr. med. B._ vom 10. Dezember 2002 (vgl. E. 5.1.4), der Psychologin Dr. phil. V._ vom 4. November 2003 und des Prof. Dr. med. R._ zu den seit dem Unfall aufgetretenen und ab Oktober 2001 wiederholt fachärztlich behandelten psychogenen Störungen tatsachenwidrig wären oder sonstwie begründete Zweifel an der Glaubwürdigkeit dieser Aussagen bestünden. Daran ändert nichts, dass offensichtlich schon vor dem Unfall gewisse auffallende Persönlichkeitseigenschaften (vgl. Bericht der Dr. phil. V._ vom 4. November 2003 S. 4 und psychiatrisches Gutachten des Dr. med. G._ vom 13. Mai 2005 S. 5) feststellbar waren, welche jedoch vor dem Unfall weder behandlungsbedürftig waren noch zu Arbeitsunfähigkeit führten.
5.1.7 Nach dem Gesagten steht - entgegen der Mobiliar - fest, dass die in der Folge des Ereignisses vom 21. Juli 2000 aufgetretenen psychogenen Beeinträchtigungen des Versicherten grundsätzlich zumindest teilweise mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem versicherten Unfall stehen.
5.2 Schliesslich ist festzuhalten, dass die Leistungspflicht der Mobiliar ab 2004 ohnehin nicht nur im Zusammenhang mit psychogenen Störungen stand, sondern offensichtlich auch somatische Einschränkungen betraf, deren natürliche Unfallkausalität von der Beschwerdeführerin zu Recht nie in Frage gestellt wurde. So litt der Versicherte seit dem Unfall unter "Beschwerden im Bereich der rechten Schulter bzw. des rechten Armes". Nach Ausräumung von ausgedehnten heterotopen Ossifikationen im rechten Schultergelenk und einer Resektion des AC-Gelenks sowie einer AC-Transfixation mit Drahtschlinge und PDS-Kordel am 18. Juli 2002, klagte der Beschwerdegegner wenige Tage nach dieser Operation erneut über zunehmende Schmerzen im rechten Schultergelenk, wobei sich radiologisch ausgerissenes Osteosynthese-Material zeigte, weshalb am 13. August 2002 eine Refixation des coraco-acromialen Ligaments an die Clavicula durchgeführt werden musste. Prof. Dr. med. R._ diagnostizierte gemäss Bericht vom 12. Februar 2004 nicht nur eine posttraumatische Belastungsstörung mit Suizidalität (F43.1 nach ICD-10), sondern unter anderem auch chronisch persistierende Schulterschmerzen rechts, weshalb er den Versicherten in der Klinik D._ zur Abklärung anmeldete. Die spezialmedizinischen Untersuchungen führten nach Entwicklung einer Coracoidpseudarthrose schliesslich zur rechtsseitigen Schulterrevision vom 29. März 2005. Obwohl diese Operation eine deutliche Verbesserung der Lebensqualität zur Folge hatte und der Beschwerdegegner ab 4. Juli 2005 wieder voll arbeitsfähig war, blieben hypertrophe Narben an Flanke/Thorax seitlich gemäss Bericht des Dr. med. C._, vom 12. Juli 2005 zunächst behandlungsbedürftig.
5.3 Stehen zusammenfassend nicht nur die anhaltenden und/oder rezidivierenden somatischen Beschwerden, sondern auch die psychogenen Beeinträchtigungen, welche in der Folge des Unfalles auftraten und seither wiederholt fachärztlich behandelt werden mussten, mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zumindest teilweise in einem natürlichen Kausalzusammenhang mit dem Ereignis vom 21. Juli 2000, bleibt nachfolgend einzig zu prüfen, ob die Vorinstanz zu Recht die Adäquanz des Kausalzusammenhanges zwischen den fraglichen psychischen Beschwerden und dem Unfall bejaht hat.
6. 6.1 Der Beschwerdegegner erlitt am 21. Juli 2000 neben multiplen Verletzungen ein schweres Schädelhirntrauma mit einem GCS-Wert von 4 bis 5 (Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts U 276/04 vom 13. Juli 2005, E. 2.2.2). Obwohl das Schädel-CT unauffällig war und nur eine Commotio, nicht aber eine Contusio cerebri diagnostiziert wurde, besteht angesichts der erlittenen typischen funktionellen Defizite kein Zweifel, dass die Adäquanzprüfung hier praxisgemäss (BGE 134 V 109 E. 6.2.2 S. 117 und E. 9 S. 121 ff.; vgl. auch Urteil U 75/07 vom 23. Oktober 2007, E. 4.2.1 i.f.) analog der für Schleudertraumen der HWS ohne organisch objektiv ausgewiesene Beschwerden entwickelten Rechtsprechung (BGE 117 V 359 E. 6a S. 367) zu erfolgen hat, welche auch bei entsprechenden Beschwerden nach Schädelhirntraumen (BGE 117 V 369 E. 4b S. 383) anwendbar ist.
6.2 Gemäss BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. ist auch weiterhin zu prüfen, ob, ausgehend vom augenfälligen Geschehensablauf, ein leichter, mittlerer oder schwerer Unfall vorliegt. Für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften massgebend (Urteil U 2/07 vom 19. November 2007, E. 5.3.1; vgl. auch vgl. RKUV 1998 Nr. U 335 S. 207 E. bb). Das Ereignis vom 21. Juli 2000 ist mit der Vorinstanz praxisgemäss (RKUV 2005 Nr. U 555 S. 324 E. 3.4 [U 458/04], 2005 Nr. U 548 S. 230 E. 3.2.2 [U 306/04], 1999 Nr. U 330 S. 122 ff. E. 4b/aa, je mit Hinweisen) den schweren Unfällen im mittleren Bereich zuzuordnen. Den polizeilichen Akten sind keine Angaben zur Kollisionsgeschwindigkeit des Motorrades beim Zusammenprall mit dem Traktor zu entnehmen. Eingangs des Dorfes O._ - bei einer signalisierten Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h - in einer unübersichtlichen Rechtskurve, in welcher der Beschwerdegegner mit seinem Motorrad eine abbremsende Personenwagenkolonne zu überholen versuchte, stand gemäss Unfallbeschreibung dem Motorradfahrer plötzlich der aus der Kolonne heraus nach links abbiegende Traktor mit Heuwagen-Anhänger quer im Weg, weil ein entgegenkommendes Auto diesem Gefährt den Vortritt gewährte. Die Polizei konnte trotz trockener Fahrbahn keine Bremsspuren sicherstellen. Es ist folglich von einer ungebremsten Kollision zwischen dem schweren Motorrad (Ducati 900 SS Desmo) und dem Traktor auszugehen. Am Motorrad wurden die Gabel, der Lenker, die Verschalung und der Tank beschädigt. Die Polizei schätzte den Schaden am Motorrad auf etwa Fr. 10'000.-. Am linken Vorderrad des Traktors hafteten Farbspuren und Benzin aus dem zerborstenen Benzintank des Motorrades. Obwohl der Traktorfahrer vor dem Linksabbiegemanöver noch einen Blick zurück tätigte und dabei noch kein überholendes Fahrzeug wahrnehmen konnte, wurde er sodann unvermittelt nach dem langsamen Anfahren von der seitlichen Frontalkollision mit dem Motorrad überrascht, was auf eine erhebliche Geschwindigkeit des herannahenden Motorrades schliessen lässt. Nur so lässt sich erklären, weshalb es dem Versicherten nicht mehr möglich war, rechtzeitig eine Vollbremsung oder ein Ausweichmanöver einzuleiten. Seine multiplen und gravierenden Verletzungen sowie der Sachschaden am Motorrad lassen auf die Einwirkung erheblicher Kollisionskräfte auf den Körper des Beschwerdegegners schliessen. Hier ist nach dem Gesagten von einem schweren Unfall im mittleren Bereich auszugehen.
6.3 Im Falle eines schwereren Ereignisses im mittleren Bereich bzw. eines solchen im Grenzbereich zu den schweren Unfällen genügt es rechtsprechungsgemäss (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126, 117 V 359 E. 6b S. 367; RKUV 2005 Nr. U 555 S. 326 E. 3.5.1, U 458/04) zur Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs, dass nur ein einziges der adäquanzrechtlich massgebenden Kriterien im Sinne von BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130 (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen) gegeben ist, ohne dass dieses eine Kriterium notwendigerweise in besonders ausgeprägter Weise erfüllt zu sein braucht (Urteil U 2/07 vom 19. November 2007, E. 5.3 mit Hinweis).
6.3.1 Hinsichtlich des schweren Schädelhirntraumas mit einem GCS-Wert von 4-5 (vgl. E. 6.1 hievor) sowie angesichts der zahlreichen weiteren erheblichen Verletzungen (mehrere Mittelgesichtsfrakturen, eine AC-Gelenksluxation Tossy III rechts, ein schweres stumpfes Thoraxtrauma mit Spannungspneumo-/Hämatothorax beidseits, Lungenkontusionen beidseits und Rippenfrakturen rechts [5-7], einer Leberruptur mit intrahepatischem Hämatom [Segmente 7 und 8], einer Fraktur des Processus transversus LWK 1 links sowie einer Rissquetschwunde suprapatellar am linken Knie mit Eröffnung des Kniegelenkes) ist das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzung (SVR 2007 UV Nr. 26 S. 86 E. 5.3, U 339/06; RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236 E. 5.2.3 mit Hinweisen, U 380/04) eindeutig zu bejahen. Diese kann sich in erheblichen Verletzungen zeigen, welche sich die versicherte Person neben dem Schleudertrauma, der äquivalenten HWS-Verletzung oder dem Schädelhirntrauma beim Unfall zugezogen hat (BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127 mit Hinweisen). Die entsprechenden Voraussetzungen sind mit Blick auf die hier eingangs beschriebenen Unfallfolgen in Verbindung mit dem schweren Schädelhirntrauma erfüllt.
6.3.2 Auch das präzisierte Kriterium der erheblichen Beschwerden ist - wenn auch nicht in ausgeprägter Weise - als erfüllt zu betrachten. Es beurteilt sich nach den glaubhaften Schmerzen und nach der Beeinträchtigung, welche die verunfallte Person durch die Beschwerden im Lebensalltag erfährt (BGE 134 V 109 E. 10.2.4 S. 128). Nach anfänglicher Hospitalisierung im Spital Y._ vom Unfalltag (21. Juli 2000) bis 14. August 2000 folgte ein stationärer Rehabilitationsaufenthalt in der Klinik Z._ bis zum 25. August 2000. Zwar konnte die Nachbehandlung im Spital Y._ im November 2000 trotz anhaltender Beschwerden in der rechten Schulter bei gewissen Überkopf-Bewegungen einstweilen abgeschlossen werden. Neben den seit Oktober 2001 geklagten psychogenen Beeinträchtigungen erforderten die zunehmenden Schulterbeschwerden im Sommer 2002 erneut zwei operative Eingriffe mit je gut einwöchigen stationären Spitalaufenthalten. Die Refixation des coraco-acromialen Ligaments mit Drahtschlinge an Clavicula vom 13. August 2002 zeigte anlässlich der Röntgenkontrolle vom 15. Oktober 2002, dass die Drahtschlinge gebrochen war, ohne dass es zu einem erheblichen Hochstand der rechten Schulter kam. Der Beschwerdegegner wünschte in jenem Zeitpunkt keinen weiteren operativen Eingriff. Bei einer seit September 2003 intensivierten ambulanten Behandlung der psychogenen Beeinträchtigungen und einem chronisch persistierenden Schmerzsyndrom in der rechten Schulter kam es zwischen 20. Januar und 6. Februar 2004 unter anderem wegen einer posttraumatischen Belastungsstörung mit akuter Suizidalität bei einem depressiven Zustandsbild sowie situationsgebundenen Flashbacks und Panikattacken zu einer stationären Behandlung in der Klinik P._. Am 29. März 2005 erfolgte angesichts der wahrscheinlich sekundären Entwicklung einer Coracoidpseudarthrose seit Sommer 2002 eine weitere operative Schulterrevision rechts. Zudem litt der Versicherte unter hypertrophen Narben an der Flanke/Thorax seitlich. Obwohl er schon vier Tage nach Entlassung aus der Hospitalisierung auf der Intensivstation anlässlich des psychiatrischen Konsiliums vom 7. August 2000 die - aus medizinischer Sicht offensichtlich unhaltbare - Auffassung vertrat, er sei jetzt schon in der Lage, zwanzig Kilometer weit zu marschieren, und verschiedene weitere Anhaltspunkte aktenkundig auf eine Selbstüberschätzung seiner Leistungsfähigkeit hinweisen, steht nach den medizinischen Unterlagen fest, dass der Beschwerdegegner seit dem Unfall anhaltend zumindest an unterschiedlich starken, mehrfach operativ behandlungsbedürftigen rechtsseitigen Schulterschmerzen litt.
6.4 Nach dem Gesagten ist nicht nur eines, sondern sind sogar mindestens zwei Adäquanzkriterien erfüllt, was angesichts des schweren Unfalles im mittleren Bereich zur Bejahung der Adäquanz des Kausalzusammenhanges (vgl. E. 6.3 hievor) zwischen den in der Folge des Unfalles vom 21. Juli 2000 aufgetretenen, natürlich kausalen (vgl. E. 5.3 hievor) psychogenen Beschwerden und dem genannten Ereignis führt. Die Mobiliar hat diesbezüglich folglich - insbesondere auch hinsichtlich der stationären Behandlungsbedürftigkeit zwischen 20. Januar und 6. Februar 2004 sowie der damit zusammenhängenden Arbeitsunfähigkeit - nach Massgabe des angefochtenen Entscheids die gesetzlichen Leistungen im Sinne des UVG zu erbringen. Die Vorinstanz hat somit die Adäquanz des Kausalzusammenhanges im Ergebnis zu Recht bejaht.
7. 7.1 Da die Mobiliar nicht unter die Kostenbefreiung von Art. 66 Abs. 4 BGG fällt (BGE 133 V 642), hat sie dem Ausgang des Verfahrens entsprechend die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
7.2 Die unterliegende Beschwerdeführerin hat dem Versicherten eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. September 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Hochuli