Erwägungen:
1. Das Bezirksamt Kreuzlingen schrieb X._ im Zusammenhang mit einer Verurteilung zu einer Busse von Fr. 120.-- oder zwei Tagen Haft wegen Verletzung von Verkehrsregeln zur Umwandlungshaft aus. Gestützt darauf wurde dieser am 11. Januar 2010, als er beim Grenzübergang Kreuzlingen-Autobahn in die Schweiz einreiste, kontrolliert, wobei eine körperliche Durchsuchung erfolgte. X._ machte am 2. Februar 2010 gegenüber dem Bezirksamt Kreuzlingen eine Schadenersatzforderung von Fr. 1'000.-- geltend, weil er durch unnötige routinemässige Nacktinspektion und Kontrolle des Afters unmenschlich und erniedrigend behandelt worden sei; die Kontrolle habe aufgrund einer Ausschreibung zur Umwandlungshaft stattgefunden, die unrechtmässig sei, da ihm die zugrundeliegende Bussenverfügung nicht ordnungsgemäss zugestellt worden sei. Am 28. Februar 2010 verlangte X._ vom Bezirksamt umgehende Bearbeitung des Schadenersatzbegehrens. Am 9. Mai 2010 sodann gelangte er ans Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und ersuchte in Bezug auf die Schadenersatzklage um Prozesskostenhilfe; er bemängelte die Untätigkeit des Bezirksamtes. Der Präsident des Verwaltungsgerichts übermittelte die Sache am 12. Mai 2010 an das Bezirksamt Kreuzlingen und forderte dieses auf, sich der strafrechtlichen Angelegenheit anzunehmen bzw. sie allenfalls an die zuständige Instanz weiterzuleiten. X._ beschwerte sich am 16. Mai 2010 beim Bundesgericht über den Bescheid des Verwaltungsgerichtspräsidenten. Er bestritt das Vorliegen einer strafrechtlichen Angelegenheit; er führte aus, es gehe um eine verwaltungsrechtliche Sache und er wolle sich über die Untätigkeit des Bezirksamtes Kreuzlingen, das sich mit der Schadenersatzforderung vom 2. Februar 2010 nicht befasst habe, beklagen. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts liess dem Verwaltungsgericht am 27. Mai 2010 sämtliche Dokumente der Angelegenheit zukommen, damit es aufgrund der neuen Unterlagen seine allfällige Zuständigkeit im Sinne des Thurgauer Gesetzes vom 14. Februar 1979 über die Verantwortlichkeit (Verantwortlichkeitsgesetz) prüfen könne.
Am 21. Juli 2010 entschied das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, auf den Antrag vom 9. Mai 2010 werde zufolge sachlicher Unzuständigkeit nicht eingetreten; die Prozedur werde in Anwendung von § 5 Abs. 3 des kantonalen Gesetzes vom 23. Februar 1981 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG) an die Anklagekammer des Kantons Thurgau überwiesen. Gegen diesen Entscheid hat X._ am 6. August 2010 beim Bundesgericht Beschwerde eingereicht. Er stellt die Begehren, auf seinen Antrag vom 9. Mai 2010 sei zufolge sachlicher Zuständigkeit (des Verwaltungsgerichts) einzutreten und die Prozedur sei nicht an die Anklagekammer des Kantons Thurgau zu überweisen.
2. 2.1 Gemäss Art. 42 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten (Abs. 1). Dabei ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Abs. 2). Gerügt werden kann die Verletzung von schweizerischem Recht. Dazu gehören namentlich Bundesrecht (einschliesslich verfassungsmässige Rechte), Völkerrecht, kantonale verfassungsmässige Rechte und interkantonales Recht, nicht aber kantonales Gesetzes- oder Verordnungsrecht. Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht, kann im Wesentlichen bloss gerügt werden, dessen Auslegung und Anwendung verstosse gegen verfassungsmässige Rechte; entsprechende Rügen bedürfen besonderer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Vorliegend ist für die Bestimmung der für das Anliegen des Beschwerdeführers zuständigen kantonalen Behörde kantonales Recht massgeblich. Das Verwaltungsgericht hat sich mit dem Verhältnis zwischen dem Verantwortlichkeitsgesetz und dem Gesetz vom 30. Juni 1970/15. November 1991 über die Strafrechtspflege (Strafprozessordnung [StPO]) befasst und erkannt, dass dieses eine spezielle Regelung der Staatshaftung im Zusammenhang mit der Strafverfolgung enthalte, weshalb es jenem vorgehe. Dabei hat es, nach minutiöser Auslegung von § 65 StPO, erkannt, dass vorliegend nach dieser Haftungsnorm vorzugehen sei. Die rein appellatorischen Ausführungen des Beschwerdeführers sind in keiner Weise geeignet aufzuzeigen, inwiefern diese Erwägungen des Verwaltungsgerichts bzw. inwiefern der angefochtene Entscheid im Ergebnis verfassungsmässige Rechte verletze oder sonstwie mit schweizerischem Recht nicht vereinbar wäre. Es fehlt mithin offensichtlich an einer hinreichenden Beschwerdebegründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), und auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.2 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Die Umstände rechtfertigen es indessen, auf die Erhebung von Kosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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