Sachverhalt:
A. A.a Am 3. Dezember 2009 warfen Jugendliche mehrere Schneebälle auf die frisch gereinigte Schaufensterscheibe des Ladengeschäfts des Beschwerdegegners A._ in O._. Die Jugendlichen rannten nach seinen Angaben Richtung S._strasse davon. Er nahm deren Verfolgung auf und traf auf Höhe der S._strasse den Beschwerdeführer X._ (geb. 1994) sowie dessen Kollegen. Angesprochen auf die Schneebälle, machten sich diese davon, wobei der Beschwerdegegner X._ fassen konnte. Dieser macht geltend, der Beschwerdegegner habe ihn bäuchlings, mit dem Gesicht voraus, in einen Schneehaufen gedrückt und ihm anschliessend Schnee ins Gesicht beziehungsweise in den Mund gestopft. Dabei sei er auf ihm gekniet und dann mit dem Körper auf ihn "gegangen". Er habe ihm dadurch mehrere Verletzungen zugefügt. Der Beschwerdegegner will dagegen X._ lediglich in den Schnee gedrückt und ihm Schnee ins Gesicht gerieben ("eingesalzen") haben.
A.b Die Mutter des Beschwerdeführers stellte am 4. Dezember 2009 Strafantrag gegen Unbekannt. Das Untersuchungsamt Gossau hob in der Folge das Strafverfahren wegen Tätlichkeiten gegen den Beschwerdegegner mit Verfügung vom 25. Mai 2010 auf.
B. X._ erhob gegen die Aufhebungsverfügung Beschwerde an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Am 17. September 2010 bestätigte diese die Aufhebungsverfügung im Zusammenhang mit den geltend gemachten Verletzungen. In Bezug auf das "in den Schnee Drücken und Einsalzen" hob es die Aufhebungsverfügung des Untersuchungsamts Gossau auf, stellte das Strafverfahren gegen den Beschwerdegegner jedoch definitiv ein.
C. X._ führt Beschwerde in Strafsachen beim Bundesgericht. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben, und der Beschwerdegegner sei wegen Tätlichkeiten zu verurteilen und angemessen zu bestrafen. Der Beschwerdegegner sei ausserdem zu verpflichten, ihm Schadenersatz in Höhe von Fr. 244.11 und eine Genugtuung von Fr. 500.-- zu leisten. Eventualiter sei die Angelegenheit zur erneuten Entscheidfindung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D. Die Vorinstanz sowie die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen verzichten auf eine Vernehmlassung. Der Beschwerdegegner beantragt, die Beschwerde sei unter Kosten- und Entschädigungsfolge zu Lasten des Beschwerdeführers abzuweisen.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG).
1.1 Der Beschwerdeführer begründet seine Legitimation mit der Tatsache, dass er bereits am Vorverfahren beteiligt gewesen und damit gestützt auf Art. 81 Abs. 1 BGG ohne Weiteres zur Beschwerde legitimiert sei (Beschwerde, S. 4).
1.2 Gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten (lit. a) und - was der Beschwerdeführer übersieht - ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Da der Strafanspruch dem Staat zusteht, kommt dem Beschwerdeführer (soweit er blosser Geschädigter ist) nach geltendem Recht kein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG zu, die Einstellung des Strafverfahrens in der Sache anzufechten (BGE 136 IV 29 mit zahlreichen Hinweisen; 133 IV 228 E. 2).
1.3 Ein Beschwerderecht steht hingegen dem Opfer zu, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Opfer ist jede Person, die durch eine Straftat in ihrer körperlichen, sexuellen oder psychischen Integrität unmittelbar beeinträchtigt worden ist (Art. 2 Abs. 1 OHG).
1.4 Gemäss ärztlichem Attest von Dr. med. D._, O._, vom 4. Dezember 2009 wies der Beschwerdeführer am Folgetag Schürfwunden im Bereich der linken Wange, eine Schwellung und Schürfung um das rechte Auge und beim Nasenphiltrum, eine Schwellung der Unterlippe mit kleiner inwendiger Verletzung, eine muskuläre Verhärtung des Rückens unterhalb der Schulterblätter sowie einen Rippenkompressionsschmerz der unteren Thoraxapparatur auf. Nach der ärztlichen Feststellung habe er immer noch verstört und ängstlich gewirkt bei sonst stabilem Allgemeinzustand (Beschwerdebeilage 3).
1.5 Für die Opferstellung nach Opferhilfegesetz muss die Beeinträchtigung der körperlichen, sexuellen oder psychischen Integrität von einem gewissen Gewicht sein. Bagatelldelikte wie etwa Tätlichkeiten, die nur unerhebliche Beeinträchtigungen bewirken, sind vom Anwendungsbereich des Opferhilfegesetzes grundsätzlich ausgenommen. Entscheidend für die Opferstellung ist allerdings nicht die Schwere der Straftat, sondern der Grad der Betroffenheit der geschädigten Person. So kann etwa eine Tätlichkeit die Opferstellung begründen, wenn sie zu einer nicht unerheblichen psychischen Beeinträchtigung führt (zum Ganzen BGE 125 II 265 E. 2a/aa und 2e/bb je mit Hinweisen; so auch DOMINIK ZEHNTNER, in: Peter Gomm/Dominik Zehntner, Kommentar zum Opferhilfegesetz, 3. Aufl. 2009, Art. 1 N 38). Entscheidend ist, dass die Beeinträchtigung der Integrität des Geschädigten das legitime Bedürfnis begründet, die Hilfsangebote und die Schutzrechte des Opferhilfegesetzes - ganz oder zumindest teilweise - in Anspruch zu nehmen (BGE 125 II 265 E. 2a/aa in fine; ZEHNTNER, a.a.O.).
Die Verletzungen des Beschwerdeführers, deren Ursachen gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen teilweise nicht abschliessend geklärt sind, sowie dessen psychische Beeinträchtigung sind als leicht einzustufen. Sie erreichen offensichtlich nicht ein Mass, das nach Hilfsangeboten und/oder Schutzrechten des Opferhilfegesetzes verlangen würde, weshalb seine Opferstellung zu verneinen ist. Da sich der Beschwerdeführer auch nicht in anderer Weise auf ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids berufen kann, ist er zur Beschwerde in Strafsachen nicht legitimiert.
1.6 Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG). Der Beschwerdegegner obsiegt mit seinem Antrag auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde, weshalb ihm der Beschwerdeführer eine angemessene Entschädigung auszurichten hat (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat dem Beschwerdegegner eine Entschädigung von Fr. 1'000.-- auszurichten.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Präsidenten der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Keller