Faits :
A.
B.A._ (1978) et A.A._ (1972) se sont mariés en 2009. De leur union sont issus les enfants C._, né en 2008, et D._, née en 2010.
L'épouse est également la mère de E._, né en 2000 d'une précédente relation, sur lequel elle exerce une garde alternée. Pour sa part, le mari est aussi le père de F._ et de G._, nés respectivement en 1999 et en 2003, de précédentes relations.
B.
Le 19 décembre 2014, B.A._ a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale et d'extrême urgence, tendant à ce que les époux soient autorisés à vivre séparés, à ce que la jouissance du domicile conjugal et la garde des enfants communs lui soient attribués.
Le Président du Tribunal d'arrondissement de La Côte a rejeté la requête de mesures d'extrême urgence le 22 décembre 2014.
Le 12 janvier 2015, l'épouse a déposé une nouvelle requête de mesures d'extrême urgence, après que les forces de l'ordre ont dû intervenir au domicile conjugal la veille pour une violente dispute entre les époux. Le Président du Tribunal d'arrondissement a rendu une ordonnance de mesures superprovisionnelles le 13 janvier 2015, autorisant les parties à vivre séparées et attribuant la garde des enfants, ainsi que la jouissance exclusive du domicile conjugal à l'épouse.
B.a. Par prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 16 mars 2015, le Président du Tribunal d'arrondissement a notamment autorisé les époux à vivre séparés pour une durée indéterminée, confié la garde sur les enfants communs à l'épouse, sous réserve d'un droit de visite du mari, attribué la jouissance du domicile conjugal à l'épouse et astreint l'époux à contribuer à l'entretien des siens.
Le 24 mars 2015, l'époux a formé appel contre ce prononcé, concluant principalement à ce que la garde des enfants lui soit confiée, subsidiairement, à ce que la garde partagée des enfants soit instaurée.
Le 27 mars 2015, l'épouse a également formé appel contre le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale, contestant le montant de la contribution d'entretien.
B.b. Statuant par arrêt du 9 juillet 2015, la Juge déléguée de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté tant l'appel de l'épouse que celui de l'époux en ce qui concerne la garde des enfants.
C.
Par acte du 30 septembre 2015, A.A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et, principalement, à sa réforme en ce sens que la garde des enfants lui est attribuée, subsidiairement, au renvoi de la cause à l'autorité précédente. Au préalable, le recourant sollicite d'être mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
D.
Le 9 octobre 2015, l'intimée a également requis l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Le 22 octobre 2015, elle a produit la copie d'échanges de SMS entre les parties et requis qu'il soit statué sans échange d'écritures.
Des observations n'ont pas été demandées.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le présent recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) ainsi que dans la forme légale (art. 42 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF; ATF 134 III 426 consid. 2.2; 133 III 393 consid. 4) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire matrimoniale (art. 72 al. 1 LTF; ATF 133 III 393 consid. 2). Le litige porte sur la garde des enfants, à savoir une affaire de nature non pécuniaire. Le recourant a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 let. a LTF) et a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 let. b LTF). Le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
1.2. Les documents produits par l'intimée, à savoir la copie de plusieurs échanges entre les époux de SMS entre le 2 et le 9 octobre 2015, sont d'emblée irrecevables, dès lors que ces moyens de preuve sont postérieurs à l'arrêt déféré (art. 99 al. 1 LTF).
2.
La décision attaquée porte sur des mesures protectrices de l'union conjugale (art. 172 à 179 CC), lesquelles sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5), de sorte que seule peut être invoquée à leur encontre la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés ("principe d'allégation", art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 139 I 229 consid. 2.2; 134 I 83 consid. 3.2; 133 III 393 consid. 5; 133 IV 286 consid. 1.4).
3.
Le recours a pour objet l'attribution de la garde des enfants communs.
4.
Le recourant soulève le grief d'application arbitraire (art. 9 Cst.) de l'art. 298 al. 1 CPC. Il fait valoir que la juge cantonale a confirmé la décision du Président du Tribunal d'arrondissement en " omettant de manière crasse le principe d'audition des enfants qui prévoit la tenue obligatoire d'une audition personnelle de ceux-ci lorsqu'il s'agit de régler le sort d'enfants mineurs selon l'art. 298 al. 1 CPC ". Le recourant expose qu'il ne ressort pas de la procédure que les enfants des parties ont été entendus au cours de dite procédure, qu'aucun juste motif ne s'y opposait et qu'il n'a jamais été rendu vraisemblable qu'une telle audition soit impossible, notamment pour des raisons d'âge. Il soutient que l'audition des enfants aurait permis de confirmer sa position au sujet de "l'incapacité éducative nécessaire" de son épouse et ainsi d'influencer directement la décision relative à la garde des enfants.
4.1. En vertu des principes de la bonne foi et de l'épuisement des griefs (art. 75 al. 1 LTF), le recours n'est ouvert qu'à l'encontre des décisions rendues par une autorité cantonale de dernière instance, ce qui suppose que la partie recourante ait épuisé toutes les voies de droit quant aux griefs qu'elle entend soumettre au Tribunal fédéral, portant sur des questions que celui-ci ne revoit pas d'office (ATF 135 III 1 consid. 1.2; 424 consid. 3.2; 134 III 524 consid. 1.3). Par conséquent, tous les moyens nouveaux sont exclus dans le recours en matière civile au sens de l'art. 98 LTF, que ceux-ci relèvent du fait ou du droit, sauf dans les cas où seule la motivation de la décision attaquée donne l'occasion de les soulever (ATF 133 III 638 consid. 2; arrêts 5A_577/2010 du 18 octobre 2010 consid. 1.2. publié in SJ 2011 I p. 101; 4A_716/2014 du 17 février 2015 consid. 2; 5A_458/2014 du 8 septembre 2014 consid. 2.2 et 4.2.2; 5A_547/2012 du 14 mars 2013 consid. 2.3;).
4.2. En l'occurrence, il ne ressort ni de l'arrêt déféré, ni du dossier cantonal que l'audition des enfants aurait été requise, ni devant le Président du Tribunal d'arrondissement, ni devant la Juge déléguée. Le recourant n'a jamais critiqué cet aspect devant les autorités cantonales, ni dans le cadre de son appel, ni dans sa réponse à l'appel interjeté par son épouse. La juge cantonale ne discute en outre pas dans son arrêt la nécessité d'entendre les enfants des parties, en sorte que la décision querellée n'ouvre pas pour la première fois la possibilité au recourant de critiquer cet aspect. Le grief d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application de l'art. 298 al. 1 CPC est donc d'emblée irrecevable faute d'épuisement des instances cantonales (art. 75 al. 1 LTF; cf. supra consid. 4.1).
5.
En conclusion, le recours doit être déclaré irrecevable ( cf. supra consid. 4.2). La requête d'assistance judiciaire du recourant pour la procédure fédérale ne saurait être agréée, ses conclusions étant d'emblée dénuées de chances de succès (art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer d'indemnité de dépens à l'intimée qui n'a pas été invitée à déposer d'observations (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Dans ces circonstances, la demande d'assistance judiciaire de l'intimée est sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
La demande d'assistance judiciaire de l'intimée est sans objet.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Juge déléguée de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 16 décembre 2015
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Gauron-Carlin