Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die Stadt A._ will das Alterswohnheim im X._ erweitern und in ein Pflegezentrum umbauen. Unter anderem lud sie vier Unternehmungen ein, ihre Offerten für die Lieferung von Pflegebetten mit Zubehör einzureichen. Mit Schreiben vom 23. September 2003 teilte die von der Stadt beauftragte Bauleitung den Bewerbern mit, dass die Leistungen an die Firma C._ vergeben worden seien.
Am 2. Oktober 2003 erhob die Unternehmung B._ & Cie., beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich Beschwerde gegen den Vergabeentscheid. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragte sie, es sei der Beschwerde aufschiebende Wirkung zu erteilen und der Stadt A._ zu verbieten, den Vertrag mit der ausgewählten Anbieterin abzuschliessen. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2003 setzte der Präsident der 1. Abteilung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich der Stadt A._ sowie der Firma C._ eine Frist von 20 Tagen, um dem Verwaltungsgericht eine Beschwerdeantwort (einschliesslich Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung) einzureichen. Zugleich untersagte er der Stadt A._ einstweilen, bis zum Entscheid über das Gesuch um aufschiebende Wirkung, den Vertrag abzuschliessen. Die Stadt A._ ersuchte in der Folge um Verlängerung der Vernehmlassungsfrist um 20 Tage. Die (mit 7. November 2003 datierte, jedoch offensichtlich später zur Post gegebene) Antwort ging am 18. November 2003 beim Verwaltungsgericht ein. Mit Verfügung vom 26. November 2003 ordnete der Präsident von dessen 1. Abteilung einen zweiten Schriftenwechsel an. Er erteilte der Beschwerde "einstweilen weiterhin aufschiebende Wirkung" (Ziff. 1 des Verfügungs-Dispositivs) und setzte der B._ & Cie. eine nicht erstreckbare Frist von 10 Tagen an zur Einreichung einer Replik (Ziff. 2 des Verfügungs-Dispositivs).
Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 1. Dezember (Eingang beim Bundesgericht 2. Dezember) 2003 beantragt die Stadt A._, es sei Ziff. 1 der Verfügung vom 26. November 2003 aufzuheben und es sei der Beschwerde der B._ & Cie. vom 2. Oktober 2003 die aufschiebende Wirkung umgehend zu entziehen.
Über die staatsrechtliche Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 36a OG, ohne Schriftenwechsel oder andere Instruktionsmassnahmen (wie Einholen zusätzlicher Akten), sofort zu entscheiden.
Über die staatsrechtliche Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 36a OG, ohne Schriftenwechsel oder andere Instruktionsmassnahmen (wie Einholen zusätzlicher Akten), sofort zu entscheiden.
2. Da sich die staatsrechtliche Beschwerde als unbegründet erweist, kann die Frage ihrer Zulässigkeit offen bleiben. Die Zulässigkeit steht angesichts der Tatsache, dass die Behörde, deren Verfügung angefochten ist, innert kurzer Zeit neu verfügen wird, zumindest unter dem Gesichtspunkt von Art. 87 Abs. 2 OG nicht zweifelsfrei fest.
2. Da sich die staatsrechtliche Beschwerde als unbegründet erweist, kann die Frage ihrer Zulässigkeit offen bleiben. Die Zulässigkeit steht angesichts der Tatsache, dass die Behörde, deren Verfügung angefochten ist, innert kurzer Zeit neu verfügen wird, zumindest unter dem Gesichtspunkt von Art. 87 Abs. 2 OG nicht zweifelsfrei fest.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine verfassungswidrige Anwendung (Verletzung der Gemeindeautonomie in Verbindung mit dem Willkürverbot) von Art. 17 Abs. 1 und 2 der Interkantonalen Vereinbarung vom 25. November 1994 bzw. 15. März 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen (Konkordat; IVöB; SR 172.056.4 bzw. 172.056.5).
Gemäss § 1 des Gesetzes vom 22. September 1996 über den Beitritt des Kantons Zürich zur Interkantonalen Vereinbarung über das öffentliche Beschaffungswesen (Beitrittsgesetz) ist der Kanton Zürich dem Konkordat beigetreten. § 2 Abs. 1 des Beitrittsgesetzes sieht vor, dass unter anderem die Gemeinden diesem Gesetz nicht unterstellt sind. § 2 Abs. 2 des Beitrittsgesetzes ermächtigt jedoch den Regierungsrat, weitere Auftragsarten und Verfahrensbereiche sowie Auftraggeberinnen und Auftraggeber, insbesondere die Gemeinden, in die Regelung des Beschaffungswesens einzubeziehen und sie namentlich den Bestimmungen über das Beschwerdeverfahren zu unterstellen. Gestützt auf diese Bestimmung hat der Regierungsrat des Kantons Zürich mit Beschluss vom 1. Juli 1998 über das öffentliche Beschaffungswesen unter anderem die Städte und Gemeinden mit Wirkung ab dem 1. Januar 1999 in die kantonale Regelung des Beschaffungswesens einbezogen; dazu gehört auch die kantonale Submissionsverordnung vom 19. Juni 1997 (SubV). § 1 Abs. 2 SubV schreibt vor, dass auch unterhalb der vom Konkordat festgelegten Schwellenwerte die Vorschriften des Beitrittsgesetzes (und mithin des Konkordats) sowie der Submissionsverordnung analog gelten, soweit nichts Abweichendes geregelt wird.
Für die Gegenstand der angefochtenen Verfügung bildende Frage der aufschiebenden Wirkung ist damit Art. 17 IVöB massgeblich.
3.2 Gemäss Art. 17 Abs. 1 IVöB hat die Beschwerde gegen einen Vergabeentscheid keine aufschiebende Wirkung. Art. 17 Abs. 2 IVöB sieht vor, dass die Beschwerdeinstanz auf Gesuch oder von Amtes wegen die aufschiebende Wirkung erteilen kann, wenn die Beschwerde als ausreichend begründet erscheint und keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen entgegen stehen. Beim Entscheid über die Erteilung oder Verweigerung der aufschiebenden Wirkung steht der zuständigen Behörde der Natur der Sache nach ein besonders grosser Ermessensspielraum zu, und zwar auch in Bezug auf die "prima-facie"-Einschätzung der Erfolgsaussichten der Beschwerde. Die bundesgerichtliche Kontrolle hat sich, selbst wenn die Beschwerde als staatsrechtliche Beschwerde im Sinne von Art. 84 Abs. 1 lit. b OG zu betrachten ist, darauf zu beschränken, ob dieses - grosse - Ermessen missbraucht oder überschritten worden ist. Das Bundesgericht hebt eine Verfügung über die Gewährung oder Verweigerung der aufschiebenden Wirkung nur auf, wenn die zuständige Behörde wesentliche Interessen bzw. Gesichtspunkte ausser Acht gelassen oder offensichtlich falsch bewertet hat. Letztlich greift es nur ein, wenn die Interessenabwägung einer vernünftigen Grundlage entbehrt und zu einem unhaltbaren Ergebnis führt (vgl. dazu Urteile des Bundesgerichts 2P.165/2002 E. 2.1.2 und 2P.161/2002 E. 2, je vom 6. September 2002; 2P.93/2001 vom 3. Juli 2001 E. 2).
3.3 Die Beschwerdeführerin macht geltend, dass die angefochtene Verfügung hinsichtlich der Beurteilung der Beschwerdeaussichten auf einem willkürlichen Verständnis von Art. 17 Abs. 2 IVöB beruhe und der Richter zudem in willkürlicher Weise annehme, es stünden der Gewährung der aufschiebenden Wirkung keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen entgegen.
3.3.1 Richtig ist, dass der Präsident der 1. Abteilung des Verwaltungsgerichts festgehalten hat, dass die Beschwerde nicht als von vornherein aussichtslos erscheine. Entscheidend für ihn war indessen, dass aufgrund einer summarischen Würdigung der vorgebrachten Standpunkte die Erfolgsaussichten der Beschwerde nicht ausreichend beurteilt werden könnten, weshalb er einen zweiten Schriftenwechsel anordnete. Er tat dies gerade auch im Hinblick auf die Frage der aufschiebenden Wirkung, fällte er doch diesbezüglich keinen abschliessenden Entscheid; vielmehr schob er diesen bis zum Abschluss des zweiten Schriftenwechsels auf, wobei er der Beschwerde bloss "einstweilen" die aufschiebende Wirkung beliess. Damit aber hat er die Beschwerdeaussichten noch nicht im Sinne von Art. 17 Abs. 2 IVöB beurteilt und sich noch nicht darüber ausgesprochen, wann eine Beschwerde als "ausreichend begründet" zu betrachten sei. Die diesbezügliche Rüge der Beschwerdeführerin stösst ins Leere. Es könnte sich einzig fragen, ob sich unter den konkreten Umständen ein Aufschub der Entscheidung (unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten) rechtfertigte. Diese Frage fällt letztlich mit der zweiten Rüge zusammen, mit welcher die Beschwerdeführerin die Interessenabwägung gemäss Art. 17 Abs. 2 IVöB bemängelt und die sie insbesondere mit der behaupteten Dringlichkeit der Umsetzung des Vergabeentscheids begründet.
3.3.2 Dass dem öffentlichen Interesse an einer möglichst raschen Umsetzung des Vergabeentscheids zum Vornherein ein gewisses Gewicht beigemessen werden soll, ergibt sich aus Art. 17 Abs. 1 IVöB, wonach die Beschwerde gegen einen solchen Entscheid keine aufschiebende Wirkung hat. Vorliegend hat die Beschwerdeführerin sodann - bereits im kantonalen Verfahren - darzutun vermocht, dass eine zeitliche Dringlichkeit besteht. Umgekehrt darf das Interesse der übergangenen Bewerberin nicht unterschätzt werden, die Aufhebung eines allenfalls rechtswidrigen Vergabeentscheids zu erwirken; daran bestünde im Übrigen auch ein öffentliches Interesse, sollen doch Submissionsvorschriften nicht zuletzt eine möglichst zweckmässige Verwendung öffentlicher Finanzen sicherstellen.
Die angefochtene Verfügung trägt allen im Spiel stehenden Interessen Rechnung. So wie die Replikfrist angesetzt ist, bleibt die Möglichkeit bestehen, dass über das Gesuch nur unwesentlich nach Mitte Dezember 2003 entschieden werden kann, wenn die Beschwerdeführerin ihrerseits innert weniger Tage (beispielsweise innert dreier Tage, s. dazu Beschwerdeantrag Ziff. 2) zumindest hinsichtlich der Frage der aufschiebenden Wirkung dupliziert. Der Vertrag könnte dann noch in diesem Jahr abgeschlossen werden, was offenbar zur Einhaltung der Lieferfristen gerade noch genügen sollte (s. Bemerkung Beschwerdeschrift S. 14 unten). Warum der Vertrag spätestens am 10. Dezember 2003 unterzeichnet sein müsse, ist jedenfalls nicht schlüssig dargetan, nachdem die Lieferfrist 10 Wochen betragen soll und die Betten Mitte März 2004 bereitgestellt sein müssen (Beschwerdeschrift Ziff. I/5. S. 3). Schon aus diesem Grunde lässt sich die gerügte Interessenabwägung in verfassungsrechtlicher Hinsicht kaum bemängeln. Dazu kommt, dass der Beschwerdeführerin in der angefochtenen Verfügung vorgehalten wird, dass sie die volle, auf rund 40 Tage verlängerte Vernehmlassungsfrist ausgeschöpft habe. Damit wird - entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin - die zeitliche Dringlichkeit nicht (in willkürlicher Weise) verneint. Vielmehr wird damit nicht ohne Grund darauf verwiesen, dass in erster Linie das Verhalten der Beschwerdeführerin zur Dringlichkeit der Situation führte; sie konnte jedenfalls unter diesen Umständen nicht erwarten, dass das Verwaltungsgericht auf zusätzliche Abklärungen, die ihm nach der Aktenlage notwendig erschienen, verzichtete und auf ungenügender Grundlage zu ihren Gunsten entschied.
3.4 Die angefochtene Verfügung verstösst damit - auch im Ergebnis - nicht gegen das Willkürverbot und verletzt die Gemeindeautonomie der Beschwerdeführerin nicht.
3.4 Die angefochtene Verfügung verstösst damit - auch im Ergebnis - nicht gegen das Willkürverbot und verletzt die Gemeindeautonomie der Beschwerdeführerin nicht.
4. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet und, soweit darauf eingetreten werden kann (s. vorne E. 2), abzuweisen. Dementsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten der Beschwerdeführerin, welche im Submissionsverfahren Vermögensinteressen im Sinne von Art. 156 Abs. 2 OG wahrnimmt (Urteil 2P.342/1999 vom 31. Mai 2000 E. 6), aufzuerlegen (Art. 156 Abs. 1 und 2 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, der Firma C._ und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Dezember 2003
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: