Sachverhalt:
A. Die türkische Staatsangehörige X._ (geb. 1972) reiste im Juli 2001 legal in die Schweiz ein, wo sie vier Tage später ihren Landsmann V._ (geb. 1968) heiratete. Dieser besass damals als anerkannter Flüchtling eine Aufenthaltsbewilligung für den Kanton Zürich; seit April 2002 verfügt er über die Niederlassungsbewilligung. Am 5. September 2001 erhielt X._ eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehegatten.
Im Mai 2002 wurde die eheliche Wohngemeinschaft aufgehoben und am 17. September 2002 der gemeinsame Sohn Y._ geboren. Die Ehe wurde im Juni 2004 rechtskräftig geschieden, der Sohn unter die elterliche Sorge der Mutter gestellt und der Vater zur Zahlung von Kindesunterhalt verpflichtet.
Den im Oktober 2002 von X._ eingereichten Antrag, ihren Sohn in die Flüchtlingseigenschaft seines Vaters einzubeziehen, lehnte das Bundesamt für Flüchtlinge (heute Bundesamt für Migration) am 6. Oktober 2003 ab. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht am 3. September 2007 ab.
Am 9. Dezember 2008 verweigerte die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich die am 3. Januar 2005 beantragte Verlängerung der Aufenthaltsbewilligungen von X._ und ihrem Sohn; sie setzte ihnen eine Frist zum Verlassen des Kantonsgebiets. Die von ihnen dagegen im Kanton erhobenen Rechtsmittel wurden vom Regierungsrat am 27. Mai 2009 und vom Verwaltungsgericht am 18. November 2009 abgewiesen.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 22. Januar 2010 beantragen X._ und Y._ dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich wegen Verletzung von Art. 13 BV und Art. 8 EMRK aufzuheben und ihnen die Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
Das Verwaltungsgericht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Migration ersucht um Abweisung der Beschwerde. Die Sicherheitsdirektion und der Regierungsrat haben sich nicht vernehmen lassen.
C. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde hinsichtlich der mit dem angefochtenen Urteil verbundenen Ausreiseverpflichtung am 27. Januar 2010 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts ist nur zulässig, soweit das Bundesrecht oder das Völkerrecht den Beschwerdeführern einen Bewilligungsanspruch einräumt (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG).
1.2 Am 1. Januar 2008 ist das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) in Kraft getreten. Da das Gesuch um Erneuerung der Aufenthaltsbewilligungen noch vorher - im Jahr 2005 - gestellt wurde, ist das vor dem 1. Januar 2008 geltende materielle Recht anwendbar (vgl. Art. 126 Abs. 1 und 2 AuG). Das gilt auch für die prozessuale Frage, ob ein Bewilligungsanspruch im Sinne von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG besteht (BGE 135 I 143 E. 1.2 S. 145 mit Hinweis).
1.3 Gemäss Art. 17 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121, in der Fassung vom 23. März 1990, AS 1991 1034 1043) hat der Ehegatte eines Ausländers, der im Besitz der Niederlassungsbewilligung ist, Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange die Eheleute zusammen wohnen (Satz 1). Nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren hat der Ehegatte ebenfalls Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung (Satz 2). Ledige Kinder unter 18 Jahren haben Anspruch auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung, wenn sie mit ihren Eltern zusammen wohnen (Satz 3).
Die Beschwerdeführerin 1 lebte ab Mai 2002 nicht mehr mit ihrem (damaligen) Ehemann zusammen. Seither kann sie sich nicht mehr auf die Ehe berufen, um einen Anspruch nach Art. 17 Abs. 1 Satz 1 ANAG zu begründen. Die Gründe für die Trennung spielen dabei keine Rolle. Im Übrigen ist die Ehe seit Juni 2004 rechtskräftig geschieden. Die Beschwerdeführerin 1 kann auch keinen vom Fortbestand der Ehe oder des Zusammenwohnens unabhängigen Anspruch nach Art. 17 Abs. 2 Satz 2 ANAG geltend machen, da die Ehe schon formell bloss knapp drei Jahre gedauert hat (vgl. BGE 130 II 49 E. 3.2 S. 53 f., 113 E. 4.1 und 4.3 S. 116 ff.; 126 II 269 E. 2b und c S. 271 f.). Der im September 2002 geborene Sohn (Beschwerdeführer 2) kann aus Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG ebenfalls keinen Anspruch ableiten, da sich die Eltern bereits im Mai 2002, also vor seiner Geburt getrennt haben und er nie mit dem Vater zusammen gewohnt hat (vgl. Urteile des Bundesgerichts 2A.10/2001 vom 11. Mai 2001 E. 1a/aa und 2A.508/2005 vom 16. September 2005 E. 1).
1.4 Die Beschwerdeführer berufen sich denn auch ausdrücklich allein auf einen aus Art. 8 EMRK und Art. 13 BV abgeleiteten Anspruch. Zum einen gehe es darum, dass der Sohn seine Beziehung zu dem in der Schweiz niedergelassenen Vater weiter pflegen könne. Zum anderen drohe bei Rückkehr in die Türkei eine zwangsweise Trennung von Mutter und Kind sowie Ersterer auch eine Zwangsheirat.
Damit ein (potentieller) Anspruch im Sinne von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG aus dem Recht auf Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV abgeleitet werden kann, muss grundsätzlich mindestens ein Familienangehöriger über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz verfügen. Zudem muss zwischen diesem Familienangehörigen und demjenigen Ausländer, für den ein Bewilligungsanspruch geltend gemacht wird, eine tatsächlich gelebte familiäre Beziehung bestehen (BGE 122 II 1 E. 1e S. 5, 289 E. 1c S. 292).
Keiner der Beschwerdeführer verfügt derzeit über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht in der Schweiz. Ein solches Recht hat allerdings der Vater des Beschwerdeführers 2, dem im Jahr 2002 eine Niederlassungsbewilligung erteilt wurde, die bisher weder widerrufen wurde noch erloschen ist (vgl. Art. 6 und Art. 9 Abs. 3 ANAG sowie Art. 34 und Art. 63 AuG). Der Vater lebt nicht mit seinem Sohn zusammen, sieht ihn aber mindestens einmal pro Woche für einen Nachmittag, was nach den Feststellungen der Vorinstanz für den heute siebenjährigen Knaben "sehr wichtig" sei. Damit wird ein Besuchsrecht ausgeübt. Der Vater nahm die Kontakte zu seinem Sohn jedoch erst auf Druck von Drittpersonen auf (s. E. 2.2 und 2.3 hienach). Ob das unter diesen Umständen genügt, um einen grundsätzlichen Bewilligungsanspruch im Sinne von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG zu begründen, ist zweifelhaft. Diese Frage kann indes offen gelassen werden, da sich die Beschwerde jedenfalls als unbegründet erweist (vgl. zum Eintreten: BGE 136 II 177 E. 1.2 S. 180; erwähntes Urteil 2A.10/2001 E. 1a/aa in fine und bb sowie Urteile 2D_138/2008 vom 10. Juni 2009 E. 2.2 und 2C_697/2008 vom 2. Juni 2009 E. 1.3).
2. 2.1 Zwar haben sich die Beschwerdeführer weder strafrechtlich noch fremdenpolizeilich ein Fehlverhalten zuschulden kommen lassen. Sie geniessen einen tadellosen Leumund. Das reicht für die Erteilung bzw. Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung allerdings noch nicht aus, denn die Schweiz verfolgt mit Bezug auf Niederlassung und Aufenthalt von Ausländern eine restriktive Politik, dies namentlich im Interesse eines ausgewogenen Verhältnisses zwischen schweizerischer und ausländischer Wohnbevölkerung, der Schaffung günstiger Rahmenbedingungen für die Eingliederung der in der Schweiz ansässigen Ausländer und der Verbesserung der Arbeitsmarktstruktur sowie einer möglichst ausgeglichenen Beschäftigung (vgl. Art. 16 ANAG bzw. Art. 3 AuG sowie Art. 1 der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer [BVO; AS 1986 1791]). Das Bundesgericht hat wiederholt entschieden, dass diese gesetzgeberischen Ziele im Lichte des Art. 8 Ziff. 2 EMRK legitim sind (vgl. BGE 120 Ib 1 E. 4b S. 5, 22 E. 4a S. 25).
Aus der Europäischen Menschenrechtskonvention ergibt sich somit weder ein uneingeschränktes Recht auf Einreise noch auf Wahl des für das Familienleben am geeignetsten erscheinenden Orts. Erweist sich die Ausreise für sämtliche Familienangehörigen nicht von vornherein als ohne weiteres zumutbar, ist eine Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV geboten, welche allen Umständen des Einzelfalles Rechnung trägt (BGE 135 I 153 E. 2.1 S. 155 mit Hinweisen). Dabei darf der Aufenthalt gemäss der Konvention nur verweigert werden, wenn die öffentlichen Interessen an der Fernhaltung der Ausländer die gegenüberstehenden Interessen an der Bewilligung des Aufenthalts in dem Sinne überwiegen, dass sich der Eingriff in das geschützte Recht auf Familienleben als notwendig erweist (BGE 122 II 1 E. 2 S. 6 mit Hinweisen). Die Bewilligung des Aufenthalts für einen Ausländer, der keine Wohngemeinschaft mit einem anwesenheitsberechtigten Familienangehörigen bildet, setzt dabei regelmässig voraus, dass sie immerhin eine intensive Beziehung zueinander pflegen (erwähnte Urteile 2A.10/2001 E. 2c und 2A.508/2005 E. 2.2.3; Urteil 2A.412/1998 vom 15. Dezember 1998 E. 3a).
2.2 Vorliegend verfügt der Kindsvater über eine Niederlassungsbewilligung. Zudem wurde er in der Schweiz als Flüchtling anerkannt. Daher ist es ihm nicht zumutbar in sein Herkunftsland zurückzukehren. Allerdings geht die Vorinstanz davon aus, dass dieser sich erst im Februar 2009 aufgrund eines monatelangen Drucks türkischer Freunde und Nachbarn dazu bewegen liess, seinen anfänglich abgelehnten Sohn mindestens einmal pro Woche für einen Nachmittag zu sehen. Somit ist nach Auffassung der Vorinstanz davon auszugehen, dass beim Kindsvater der Wille zu einer intakten familiären Beziehung zu seinem Sohn fehlt.
2.3 Es ist ebenfalls das Wohl des Kindes zu berücksichtigen, wie sich namentlich aus Art. 3 der UNO-Kinderrechtskonvention vom 20. November 1989 (KRK; SR 0.107) ergibt, auf den das Bundesgericht im Zusammenhang mit dem Aufenthalt von Kindern Bezug nimmt (vgl. BGE 136 II 78 E. 4.8 S. 87). Über Art. 8 EMRK hinaus gehende Ansprüche auf Bewilligung ergeben sich aus der Kinderrechtskonvention jedoch nicht (vgl. BGE 124 II 361 E. 3b S. 367 f.).
Die Vorinstanz erachtet als glaubhaft, dass dem Sohn die Kontakte mit dem Vater sehr wichtig sind. Diese werden von der Türkei aus kaum oder nicht mehr im selben Masse aufrechterhalten werden können. Ausserdem ist zweifelhaft, ob der Vater als anerkannter Flüchtling überhaupt dorthin reisen kann, um seinen Sohn zu besuchen. Allerdings hatte der Kindsvater anfänglich - über Jahre hinweg - keine Kontakte zu seinem Sohn. Auch aktuell beschränkt sich die Pflege der Beziehung auf rund einen wöchentlichen Besuch am Nachmittag.
Wohl beantragte der Vater im Scheidungsverfahren zunächst das Sorgerecht für seinen Sohn. Schliesslich willigte er aber in die Übertragung des alleinigen Sorge- und Obhutsrechts auf die Beschwerdeführerin 1 ein. Wie ausgeführt, war er in der Folge nicht bestrebt, überhaupt eine Beziehung zu seinem Sohn aufzubauen und zu unterhalten. Ihm ging es darum, dass die Mutter und damit auch das Kind möglichst rasch in die Türkei zurückgeschickt werden. Nach den Feststellungen der Vorinstanz will sich der Vater bei seinen Begegnungen mit seinem Sohn nicht fotografieren lassen. Ausserdem befürchtet die Beschwerdeführerin 1, der Vater würde den Kontakt zum Sohn wieder abbrechen, falls er erfahren würde, dass dieser noch nicht über ein geregeltes Aufenthaltsrecht in der Schweiz verfügt. Der Kindsvater nahm die Kontakte auch nicht von sich aus auf, sondern erst auf Betreiben von Drittpersonen. Damit geht die Vorinstanz zutreffend davon aus, dass es an der Gegenseitigkeit der Beziehung zwischen Vater und Sohn fehlt. Es kann insbesondere nicht davon die Rede sein, dass die Besuchskontakte in grosszügiger Weise kontinuierlich, spontan und reibungslos stattfinden.
Demzufolge fehlt es an einer intensiven Beziehung zwischen Vater und Sohn. Deshalb scheidet die Bewilligung des Aufenthalts für den Sohn und daraus abgeleitet auch für die Mutter aus (vgl. erwähnte Urteile 2A.10/2001 E. 2c und 2A.508/2005 E. 2.2.3 und 2.2.4).
2.4 Zwar meint die Vorinstanz zu Unrecht, die Aufenthaltsbewilligung hätte selbst bei einer tatsächlich gelebten Beziehung zwischen Vater und Sohn verweigert werden dürfen, weil sich Letzterer noch in einem anpassungsfähigen Alter befinde. Dieser Aspekt ist hier jedoch nicht entscheidend, da die vorauszusetzende Intensität der erwähnten Beziehung nicht gegeben ist.
2.5 Soweit sich die Beschwerdeführer darauf berufen, ihnen drohe in der Heimat eine Trennung und der Mutter eine Zwangsheirat, machen sie bloss Befürchtungen geltend, die sie durch nichts belegen. Zudem gilt die Europäische Menschenrechtskonvention auch in der Türkei, so dass diesbezüglich die dortigen Behörden und Gerichte angerufen werden können. Die Beschwerdeführer haben weder behauptet noch dargelegt, dass sie in der Türkei keinen wirksamen Rechtsschutz erlangen könnten bzw. dass die türkischen Behörden die Verletzung der Europäischen Menschenrechtskonvention in diesem Bereich hinnehmen würden.
3. Nach dem Dargelegten erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit auf sie einzutreten ist. Bei diesem Ausgang hätten die Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie sind jedoch bedürftig und ihr Rechtsbegehren erschien nicht zum Vornherein aussichtslos. Daher ist ihnen ihrem Gesuch entsprechend die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung nach Art. 64 BGG zu gewähren.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung wird gutgeheissen:
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Rechtsanwältin Daniela Langenauer wird für das bundesgerichtliche Verfahren als unentgeltliche Rechtsbeiständin eingesetzt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'800.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. August 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Merz