Faits:
A. En 1996, X._, né en 1963, souffrait d'une gêne respiratoire au niveau du nez et d'une asymétrie du nez. Une dizaine d'années plus tôt, il avait été opéré à Toronto par le Dr A._ à la suite d'un accident ayant entraîné une fracture du nez. Le 6 mars 1996, il a subi une nouvelle opération du nez, pratiquée à la Clinique B._ par le Dr Y._, spécialiste FMH en chirurgie plastique et reconstructive. Au cours de l'intervention, le médecin a placé cinq mèches dans le nez de X._; une mèche est une bande de tissu ou de gaze mise en place dans une cavité.
Après cette deuxième intervention, une bosse s'est formée sur l'arête du nez et des inflammations locales persistantes se sont développées. X._ a consulté Y._ ainsi que d'autres médecins. Il a été contraint d'interrompre son activité professionnelle.
Le 26 mai 2003, X._ a été examiné par le professeur C._, responsable de l'unité de rhino-olfactologie de l'hôpital D._. Ce dernier a découvert, dans le vestibule de la fosse nasale droite, un fragment d'un tampon d'hémostase en gaze synthétique, soit un corps étranger d'origine chirurgicale mesurant 1,5 x 0,6 x 0,1 cm. Le 4 juin 2003, le professeur C._ a procédé à l'extraction de ce corps étranger. La zone endommagée du nez étant fortement fragilisée, il a déconseillé au patient d'entreprendre une reconstitution du nez en raison des dangers et aléas d'une telle intervention.
Le 28 avril 2004, X._ a informé Y._ qu'il entendait le rechercher en responsabilité.
Le conseil de X._ a soumis diverses questions au professeur C._. Celui-ci a notamment répondu que la mèche trouvée dans le nez n'avait pas de traceur métallique et n'était dès lors pas nécessairement décelable lors d'un examen radiologique ou rhinologique, que les matériaux tels que les mèches devaient contenir un traceur métallique ou, en tout cas, faire l'objet d'un contrôle très précis de leur nombre avant et à la fin de l'opération, que l'infection dont X._ avait souffert était très probablement due à la présence de la mèche, qu'il était totalement improbable que la mèche ait été oubliée par le Dr A._ sans que X._ n'en ait ressenti des effets secondaires et que si cette dernière éventualité «absurde» était tout de même envisagée, Y._ aurait alors dû trouver la mèche lors de l'intervention litigieuse, puisque le fragment de gaze se trouvait exactement dans le champ opératoire.
B. Par demande du 25 août 2006, X._ a ouvert action contre Y._ devant la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud, concluant en dernier lieu à ce que le médecin soit déclaré civilement responsable d'avoir oublié une mèche lors de l'intervention chirurgicale du 6 mars 1996, à ce qu'il soit condamné à lui payer 50'000 fr. avec intérêts à titre d'indemnité pour tort moral ainsi que les sommes de 274 fr. 50 et 48'257 fr. 10 avec intérêts pour ses frais médicaux et, enfin, à ce que ses droits soient réservés s'agissant du dommage pour perte de gain. Y._ a conclu au rejet de la demande.
Le professeur honoraire E._, spécialiste FMH en oto-rhino-laryngologie et en chirurgie cervico-faciale, a été commis comme expert judiciaire. Il s'est écarté de l'avis du professeur C._. L'expert a estimé que l'opération avait été pratiquée dans les règles de l'art selon une technique éprouvée. Il a envisagé deux hypothèses. Selon la première hypothèse, la mèche a été oubliée par le Dr A._; elle aurait pu être repoussée par Y._ lors de la section de l'arête nasale et, à partir de ce moment, provoquer une réaction inflammatoire. Or, d'après l'expert, on ne saurait reprocher à Y._ de ne pas avoir décelé la mèche lors de cette intervention difficile, puisqu'il opérait à l'aveugle et au doigté dans des tissus cicatriciels adhérents et hémorragiques. Selon la seconde hypothèse, la mèche a été introduite lors de l'opération dans le but de contenir une hémorragie et a été oubliée, ou un fragment de tulle utilisé pour maintenir en place des structures s'est détaché et incrusté dans la plaie. Comme Y._ ne pouvait pas voir la mèche, par hypothèse oubliée, dans les circonstances particulières de cette opération, un tel oubli ne constituerait pas une violation des règles de l'art.
Lors de l'audience de jugement du 26 mai 2010, l'expert a été entendu. Il a notamment déclaré qu'il était possible qu'un corps étranger reste dans le nez pendant près de dix ans de manière asymptomatique. Au cours de l'audience, X._ a requis une deuxième expertise. La Cour civile a rejeté cette réquisition, estimant suffisante l'expertise judiciaire du professeur E._.
Par jugement du même jour dont les considérants ont été notifiés le 17 novembre 2010, la Cour civile a rejeté la demande. Elle a jugé que l'avis de l'expert devait prévaloir sur celui du professeur C._. En effet, aucun élément objectif ne permettait de s'écarter de l'expertise judiciaire et cette dernière avait une valeur probante plus grande que les pièces techniques produites en procédure.
Contre ce jugement, X._ a interjeté un recours en nullité cantonal dans lequel il se plaignait d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits, ainsi que d'une violation des règles de la procédure cantonale en relation avec le refus d'une deuxième expertise.
C. C.a Sans attendre qu'il soit statué sur le recours cantonal (cf. ancien art. 100 al. 6 LTF), X._ a également formé un recours en matière civile contre le jugement de la Cour civile. Il y reprend les conclusions au fond telles que formulées devant les premiers juges; à titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale. Invoquant les art. 9 Cst. et 8 CC, il reproche à la Cour civile d'avoir apprécié les preuves et établi les faits de manière arbitraire, d'une part, et d'avoir violé son droit à la preuve, d'autre part.
Par ordonnance du 3 janvier 2011, la procédure a été suspendue jusqu'à droit connu sur le recours cantonal.
Par arrêt du 22 mars 2011 dont les considérants ont été notifiés le 26 mai 2011, la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours cantonal. En particulier, elle a jugé que l'appréciation des preuves effectuée par la Cour civile n'était pas arbitraire.
C.b Contre cet arrêt, X._ interjette un recours en matière civile, reprenant toujours les mêmes conclusions au fond; il conclut subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité cantonale. Il se plaint d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et invoque une violation de son droit d'être entendu.
C.c Y._ propose le rejet des deux recours.
Pour leur part, la Cour civile et la Chambre des recours se réfèrent aux considérants de leurs décisions.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le jugement de la Cour civile a été notifié alors que le code de procédure civile du canton de Vaud du 14 décembre 1966 (CPC/VD) était encore en vigueur. Cette décision pouvait alors faire l'objet d'un recours en nullité auprès de la Chambre des recours du Tribunal cantonal, notamment pour arbitraire dans l'appréciation des preuves et l'établissement des faits (cf. art. 444 CPC/VD; arrêt 4A_495/2007 du 12 janvier 2009 consid. 2.1; arrêt 4A_451/2008 du 18 novembre 2008 consid. 1; arrêt 4A_251/2009 du 29 juin 2009 consid. 1.2). Sur ces points, le recourant devait donc épuiser les voies de recours cantonales avant de saisir le Tribunal fédéral (art. 75 al. 1 LTF). Partant, le grief d'arbitraire soulevé dans le premier recours est irrecevable.
1.2 Pour des motifs liés à l'économie de la procédure, il se justifie de traiter ensemble dans un même arrêt les deux recours, dirigés l'un contre le jugement de la Cour civile et l'autre contre l'arrêt de la Chambre des recours.
2. Le recourant invoque l'arbitraire dans l'appréciation des preuves (art. 9 Cst.). En retenant qu'aucun élément objectif ne permettait de s'écarter de l'expertise judiciaire, la Cour civile aurait apprécié les preuves de manière arbitraire et la Chambre des recours aurait dû le reconnaître.
2.1 Le pouvoir d'examen de la Chambre des recours était limité à l'arbitraire. En pareil cas, le Tribunal fédéral examine librement la manière dont l'autorité cantonale de dernière instance a fait usage de sa cognition restreinte; dans le cadre des griefs articulés par le recourant, il recherchera si c'est à tort que cette autorité a nié l'arbitraire de l'appréciation critiquée. En effet, on ne saurait admettre une double limitation du pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (interdiction de l'«arbitraire au carré»; ATF 116 III 70 consid. 2b p. 71 s.; plus récemment arrêt 5A_53/2010 du 26 juin 2010 consid. 4.1 non publié in ATF 136 III 373; arrêt 4D_2/2008 du 28 mars 2008 consid. 2.2).
2.2 Selon la jurisprudence, l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable ou même préférable. Le Tribunal fédéral n'annule la décision attaquée que lorsque celle-ci est manifestement insoutenable, qu'elle se trouve en contradiction claire avec la situation de fait, qu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, ou encore lorsqu'elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.).
En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
Concernant plus particulièrement l'appréciation du résultat d'une expertise, lorsque l'autorité cantonale juge une expertise concluante et en fait sien le résultat, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'appréciation arbitraire des preuves que si l'expert n'a pas répondu aux questions posées, si ses conclusions sont contradictoires ou si, d'une quelconque autre façon, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même sans connaissances spécifiques, que le juge ne pouvait tout simplement pas les ignorer. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de vérifier si toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire; sa tâche se limite bien plutôt à examiner si l'autorité intimée pouvait, sans arbitraire, se rallier au résultat de l'expertise (ATF 133 II 384 consid. 4.2.3 p. 391; 132 II 257 consid. 4.4.1 p. 269; concernant plus spécialement l'expertise médicale, ATF 130 I 337 consid. 5.4.2 p. 345 s.; arrêt 4P.283/2004 du 12 avril 2005 consid. 3.1, in RDAF 2005 I p. 375).
Pour le surplus, le recourant qui invoque l'arbitraire doit exposer de manière précise en quoi la décision attaquée serait insoutenable (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246). L'examen du Tribunal fédéral est restreint aux griefs expressément soulevés et suffisamment motivés (cf. art. 106 al. 2 LTF).
2.3 Le recourant se limite pour l'essentiel à relever que les avis émis par l'expert judiciaire et par le professeur C._ sont radicalement opposés, tant sur des points particuliers que dans leurs conclusions. C'est manifestement le cas, comme les autorités cantonales l'ont d'ailleurs admis. Mais, à elle seule, cette constatation ne signifie pas encore qu'il était insoutenable de suivre l'avis de l'expert judiciaire, dont la compétence professionnelle et l'indépendance ne sont pas mises en cause, et cela nonobstant le fait que pour un profane en la matière, l'avis émis par le professeur C._, un spécialiste reconnu, ne paraît pas nécessairement moins convaincant.
Cela étant, la seule critique concrète développée dans le recours se rapporte à une prétendue contradiction dans le rapport d'expertise judiciaire. L'expert y admet qu'il est possible que la mèche ait été oubliée par le docteur A._ et qu'elle soit restée près de dix ans dans le nez du recourant sans causer d'effet secondaire; il explique la survenance des infections immédiatement après l'intervention litigieuse par le fait que la mèche aurait pu être déplacée par l'intimé lors de la section de l'arête nasale et qu'elle n'aurait provoqué des infections qu'à partir de ce moment-là, à la suite du déplacement. Le recourant objecte à cela qu'il n'y a pas eu de «section» de l'arête nasale lors de l'opération en cause, mais un «coup de râpe»; il se réfère à cet égard au rapport opératoire de l'intimé lui-même.
Contrairement à ce que le recourant prétend, le rapport en question ne fait nulle part mention d'un «coup de râpe»; en revanche, il comprend à deux reprises le terme «ostéotomie», qui se définit précisément comme une section chirurgicale d'un os afin de modifier son axe, sa taille ou sa forme. La critique est dès lors mal fondée.
Il s'ensuit que le recourant n'a pas démontré qu'il était insoutenable de se rallier aux conclusions de l'expert judiciaire.
3. Dans son recours contre l'arrêt de la Chambre des recours, le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu. A le suivre, l'autorité cantonale aurait dû ordonner une nouvelle expertise. Dans ce cadre, il invoque également l'art. 299 CPC/VD, alors applicable, selon lequel le juge peut ordonner des preuves complémentaires si, en cours de délibération, il l'estime nécessaire ou utile.
3.1 Comme le recourant ne soutient, ni a fortiori ne démontre que le droit de procédure cantonal lui accorderait un droit d'être entendu plus large que celui déduit du droit constitutionnel fédéral, le grief sera examiné au regard des garanties déduites de l'art. 29 al. 2 Cst.
Le droit d'être entendu comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuve pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 135 I 279 consid. 2.3 p. 282; 133 I 270 consid. 3.1 p. 277; 129 II 497 consid. 2.2 p. 504 s.). L'art. 29 al. 2 Cst. ne confère toutefois pas au justiciable un droit absolu à ce qu'une expertise requise soit effectuée, dans la mesure où l'autorité peut mettre un terme à l'instruction lorsque les preuves administrées lui permettent de se forger une conviction et que, procédant d'une façon non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient plus l'amener à modifier son opinion (cf. ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2.1 p. 429).
3.2 En l'espèce, les autorités cantonales ont admis les conclusions de l'expertise judiciaire; il n'a pas été démontré que, ce faisant, elles ont versé dans l'arbitraire. Dans ces circonstances, le droit d'être entendu ne commandait pas d'ordonner une deuxième expertise, ce d'autant moins que l'avis médical divergent ne ressortait pas d'une expertise privée établie après l'expertise judiciaire, mais émanait du médecin traitant et que l'expert judiciaire avait connaissance de cet avis lorsqu'il a exécuté son mandat (cf. ATF 125 V 351 consid. 3b p. 352 ss).
En conclusion, le grief tiré d'une violation d'être entendu ne peut être qu'écarté.
4. Dans son recours contre le jugement de la Cour civile, le recourant se plaint d'une violation de l'art. 8 CC. La cour cantonale aurait méconnu son droit à la preuve en refusant d'ordonner une deuxième expertise.
4.1 Un droit à la preuve et à la contre-preuve est déduit de l'art. 8 CC. Le juge viole cette disposition s'il refuse d'administrer une preuve régulièrement offerte, dans les formes et les délais prévus par la loi de procédure, et portant sur un fait pertinent pour l'appréciation juridique de la cause (ATF 133 III 189 consid. 5.2.2 p. 195, 295 consid. 7.1 p. 299 et les arrêts cités). Le juge enfreint également l'art. 8 CC s'il tient pour exactes les allégations non prouvées d'une partie, nonobstant leur contestation par l'autre (ATF 130 III 591 consid. 5.4 p. 601 s.; 114 II 289 consid. 2a p. 291). En revanche, l'art. 8 CC ne régit pas l'appréciation des preuves, de sorte qu'il ne prescrit pas quelles sont les mesures probatoires qui doivent être ordonnées (ATF 127 III 519 consid. 2a p. 522), ni ne dicte au juge comment forger sa conviction (ATF 128 III 22 consid. 2d p. 25; 127 III 248 consid. 3a p. 253, 519 consid. 2a p. 522). Cette disposition n'exclut pas non plus que le juge puisse, sur la base d'une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles, refuser l'administration d'une preuve supplémentaire au motif qu'il la tient pour impropre à modifier sa conviction (ATF 131 III 222 consid. 4.3 p. 226; 129 III 18 consid. 2.6 p. 24 ss).
4.2 En l'espèce, c'est bien à la suite d'une appréciation anticipée des preuves que la mesure probatoire requise a été refusée. En n'ordonnant pas une deuxième expertise, la Cour civile ne saurait par conséquent avoir violé l'art. 8 CC, ce qui scelle le sort du grief.
5. En conclusion, les recours doivent être rejetés dans la mesure où ils sont recevables.
Comme il succombe, le recourant prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les recours sont rejetés dans la mesure où ils sont recevables.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimé une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 22 novembre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Godat Zimmermann