Das Bundesgericht stellt fest und zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht stellt fest und zieht in Erwägung:
1. Der aus Bosnien/Herzegowina stammende A._ (geb. 1964) war 1989 bis 1991 als Saisonnier in der Schweiz tätig. Nach Aufenthalten in Österreich, Deutschland und Kroatien reiste er Ende 2002 wieder in die Schweiz ein. Aus erster Ehe hat A._ die drei Kinder B._ (geb. 1988), C._ (geb. 1991) und D._ (geb. 1995). Am 18. Januar 2003 heiratete er die Schweizer Bürgerin E._ (geb. 1964). In der Folge erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung und es wurde ihm der Familiennachzug seiner drei Kinder bewilligt.
Am 7. November 2003 zog E._ aus dem gemeinsamen Haushalt aus. Mit Urteil vom 24. Juni 2004 hob das Amtsgericht Hochdorf den gemeinsamen Haushalt auf. Die Eheleute leben nach wie vor getrennt; eine von der Ehefrau eingereichte Scheidungsklage wurde zurückgezogen.
Am 29. November 2005 wies das Amt für Migration des Kantons Luzern das Gesuch von A._ und seiner drei Kinder um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies die Betroffenen weg. Eine hiegegen gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern am 7. April 2006 ab, soweit es darauf eintrat. Im Übrigen überwies es die Beschwerde im Sinne der Erwägungen an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern zur Behandlung als Verwaltungsbeschwerde (Prüfung der Anträge im Rahmen des freien Ermessens gemäss Art. 4 ANAG).
Mit Entscheid vom 7. September 2006 wies das Departement die Beschwerde ab.
Mit Entscheid vom 7. September 2006 wies das Departement die Beschwerde ab.
2. Die hiegegen von A._, B._, C._ und D._ mit gemeinsamer Eingabe vom 9. Oktober 2006 beim Bundesgericht erhobene "Beschwerde" erweist sich als offensichtlich unzulässig und ist deshalb im vereinfachten Verfahren nach Art. 36a OG (Verzicht auf Einholung von Akten und Vernehmlassungen, summarische Begründung) zu erledigen:
2.1 Die Verweigerung einer fremdenpolizeilichen Aufenthaltsbewilligung kann nur dann mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde angefochten werden, wenn der Ausländer gestützt auf eine Sondernorm des Bundesrechts oder eines Staatsvertrags einen Anspruch auf die Bewilligung besitzt (Art. 100 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 e contrario OG; BGE 130 II 281 E. 2.1 S. 284 mit Hinweis).
2.2 Die Beschwerdeführer sind alle bloss im Besitze einer Aufenthaltsbewilligung, auf deren Erteilung oder Verlängerung grundsätzlich kein Anspruch besteht (vgl. BGE 119 Ib 91 E. 1d S. 95). Der Beschwerdeführer 1 beruft sich auf seine Ehe mit einer Schweizerin, was ihm gemäss Art. 7 Abs. 1 ANAG einen Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung verschaffe (Beschwerdeschrift S. 2). Er lässt ausser Acht, dass das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern - gemäss unwidersprochener Darstellung im angefochtenen Departementsentscheid - mit Urteil vom 7. April 2006 erkannt hat, dass der Beschwerdeführer 1 aufgrund des Rechtsmissbrauchsverbotes aus dieser inhaltsleer gewordenen Ehe keinen Aufenthaltsanspruch nach Art. 7 ANAG ableiten könne. Dieses Urteil ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen. Damit ist das Fehlen eines Rechtes auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung - was die Ansprüche nach Art. 7 ANAG anbelangt - verbindlich festgestellt und das Rechtsmittel der Verwaltungsgerichtsbeschwerde insoweit ausgeschlossen. Es liegen auch keine sonstigen Sachumstände vor, welche ein Anwesenheitsrecht aufgrund der Garantie von Art. 8 EMRK bzw. der entsprechenden Normen der Bundesverfassung (Art. 13/14 BV) zu begründen vermöchten. Nachdem der Beschwerdeführer 1 kein gesetzliches Recht auf eine Aufenthaltsbewilligung besitzt, können auch seine Kinder (soweit nicht ohnehin volljährig) aus dem Aufenthaltsstatus des Vaters kein Aufenthaltsrecht ableiten. Es liegt keine familientrennende Massnahme vor, welche gegen Art. 8 EMRK verstossen könnte.
Das Rechtsmittel der Verwaltungsgerichtsbeschwerde steht nach dem Gesagten nicht offen.
2.3 Mangels eines Eingriffes in rechtlich geschützte Interessen (Art. 88 OG) wären die Beschwerdeführer auch nicht legitimiert, die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung mit staatsrechtlicher Beschwerde anzufechten. Eine Verletzung von formellen Parteirechten, welche unabhängig von der Legitimation in der Sache mit staatsrechtlicher Beschwerde gerügt werden kann (BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 312 f.; 127 II 161 E. 3b S. 167 mit Hinweisen), wird mit der vorliegenden Eingabe nicht geltend gemacht.
3. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 156 in Verbindung mit Art. 153 und 153a OG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 159 Abs. 2 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird den Beschwerdeführern auferlegt, unter solidarischer Haftung.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 1'500.-- wird den Beschwerdeführern auferlegt, unter solidarischer Haftung.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern und dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Oktober 2006
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: