Erwägungen:
1. Am 22. November 2007 übergab X._ der Kantonspolizei Bern in Thun eine "Klage" wegen Beihilfe zur schweren Körperverletzung und weiterer Straftatbestände, die sich gegen verschiedene Ärzte richtete. Die Eingabe befasst sich mit einem Vorfall, der sich am 12. März 2003 im Inselspital Bern zugetragen hatte und der bereits mehrfach Gegenstand von Gerichtsverfahren bildete.
Am 4./5. März 2008 beschlossen der regionale Untersuchungsrichter 1 von Bern-Mittelland und der zuständige Staatsanwalt, auf die Anzeige nicht einzutreten.
Hiergegen rekurrierte X._ an die Anklagekammer des Obergerichts des Kantons Bern, wobei er u.a. Verfahrensmängel geltend machte und namentlich gegen Oberrichterin Schnell ein Ablehnungsbegehren stellte. Mit Beschluss vom 8. Juli 2008 trat die Anklagekammer auf den Rekurs und auf das Ablehnungsbegehren nicht ein.
2. Mit Eingabe vom 31. Juli 2008 führt X._ der Sache nach Beschwerde in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG) mit dem Antrag, der Beschluss vom 8. Juli 2008 sei aufzuheben.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unab-hängig von der Art des nach BGG offenstehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch BGE 133 II 249 insb. E. 1.4 S. 254). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer kritisiert den Beschluss der Anklagekammer nur auf ganz allgemeine Weise. Dabei unterlässt er es, sich sachbezogen mit den dem Beschluss zugrunde liegenden Erwägungen auseinanderzusetzen. Insbesondere legt er nicht im Einzelnen dar, inwiefern die Begründung des Beschlusses bzw. dieser im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Mangels einer hinreichenden Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
Verhält es sich so, braucht nicht weiter erörtert zu werden, ob auch die weiteren Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind.
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Stellvertretenden Generalprokurator und dem Obergericht des Kantons Bern, Anklagekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. August 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp