Sachverhalt:
A.
A. und B.Y._ sind die Adoptiveltern der Kinder C._ (geb. 2004) und D._ (geb. 2006). Die Familie wohnt in der Gemeinde X._ (SZ).
B.
Als sie rund fünf Jahre alt war, wurde C._ wegen Verhaltensauffälligkeiten kinderpsychiatrisch untersucht. In seinem Abklärungsbericht vom 22. Dezember 2009 diagnostizierte der Kinder- und Jugendpsychiatrische Dienst eine Anpassungsstörung an die Adoptivsituation mit vorwiegender Störung des Sozialverhaltens im familiären Rahmen. Im Jahre 2012 verbrachte C._ vier Monate in der Psychiatrischen Klinik S._ in G._ (TG). Anfang 2013 trat sie auf eigenen Wunsch und mit Unterstützung der Eltern erneut für eine vierwöchige stationäre Behandlung in diese Klinik ein. Der Schulrat der Gemeinde X._ organisierte für das Kind eine persönliche Klassen-Assistenz und beauftragte einen schulischen Heilpädagogen. Ende Mai 2013 musste C._ wegen zunehmender akuter Suizidalität notfallmässig in die Klinik T._ in H._ (SG) eingewiesen werden. Am 4. Juli 2013 beriet die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Innerschwyz mit der Kinderärztin, der Psychiaterin und dem Vertreter des schulpsychologischen Dienstes das weitere Vorgehen. In der Folge fand eine Besprechung mit den Adoptiveltern statt. Mit Schreiben vom 6. August 2013 lud die KESB Innerschwyz die Gemeinde X._ ein, zu den geplanten Massnahmen (u.a. Platzierung im U._ in I._ [SG]) Stellung zu nehmen. In ihrer Antwort vom 14. August 2013 äusserte sich die Fürsorgebehörde der Gemeinde X._dahin gehend, dass die Gemeinde als Hauptkostenträgerin mehr Klarheit erlangen möchte und eine persönliche Anhörung wünsche, bevor nächste Schritte eingeleitet werden. Zudem beantragte sie, die Variante "Pflegefamilie" zu prüfen. Gleichentags liess sich auch der Schulrat X._ vernehmen und stellte in Aussicht, die persönliche Klassen-Assistenz fortzuführen; im Übrigen sei eine Umplatzierung in eine andere Familie zu prüfen.
C.
Mit Beschluss vom 27. August 2013 entschied die KESB Innerschwyz, die gemeinsame elterliche Obhut von A. und B.Y._ über C._ gestützt auf Art. 310 Abs. 1 ZGB aufzuheben und das Mädchen im U._ in I._ zu platzieren. Überdies setzte die KESB gestützt auf Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB eine Beiständin ein, der sie einen umfassenden Beratungs-, Mitwirkungs- und Überwachungsauftrag erteilte.
D.
Die Gemeinde X._ liess beim Verwaltungsgericht Schwyz am 1. Oktober 2013 Beschwerde erheben mit dem Antrag, den Beschluss der KESB Innerschwyz vollumfänglich aufzuheben. Gleichentags liess die Gemeinde X._ beim Departement des Innern des Kantons Schwyz eine Aufsichtsbeschwerde einreichen, die ebenfalls die Aufhebung des Beschlusses vom 27.August 2013 bezweckt. Im Beschwerdeverfahren kam das Verwaltungsgericht zum Schluss, die Gemeinde sei nicht zur Beschwerde legitimiert. Mit Entscheid vom 27. November 2013 trat es daher nicht auf die Beschwerde ein.
E.
Mit Eingabe vom 30. Dezember 2013 unterbreitet die Gemeinde X._ (Beschwerdeführerin) dem Bundesgericht eine Beschwerde in Zivilsachen bzw. eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Sie stellt das Begehren, den Entscheid des Verwaltungsgerichts "vollumfänglich aufzuheben" und die Angelegenheit zur materiellen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Das Bundesgericht hat die Verfahrensbeteiligten zur Stellungnahme eingeladen. Die Beschwerdegegner A. und B.Y._ erklären mit Schreiben vom 20. Februar 2014, auf eine Stellungnahme zu verzichten, und teilen dem Bundesgericht mit, dass sich C._ im U._ in I._ sehr gut eingelebt und sich die Familiensituation entspannt habe. Auch die KESB Innerschwyz verzichtet auf eine Vernehmlassung (Eingabe vom 4. März 2014). Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz stellt mit Schreiben vom 6. März 2014 den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Eingaben wurden zur Wahrung des rechtlichen Gehörs den jeweils anderen Beteiligten zugestellt.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin wehrt sich gegen den Entscheid, mit dem das Verwaltungsgericht ihr im Streit um die Kindesschutzmassnahmen für C._ die Befugnis zur Beschwerde abspricht. Das ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Sache ist nicht vermögensrechtlicher Natur (vgl. Urteil 5A_188/2007 vom 13. Juni 2007 E. 2). Dass die umstrittenen Kindesschutzmassnahmen Kosten verursachen, ändert daran nichts. Die Beschwerdeführerin hat ein im Sinne von Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG schutzwürdiges Interesse an der Beantwortung der Frage, ob sie zur Beschwerde gegen den Beschluss der KESB Innerschwyz vom 27. August 2013 befugt sei. Auf die im Übrigen rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Gegen Entscheide der Erwachsenenschutzbehörde kann Beschwerde beim zuständigen Gericht erhoben werden (Art. 450 Abs. 1 ZGB). Zur Beschwerde befugt sind gemäss Art. 450 Abs. 2 ZGB die am Verfahren beteiligten Personen (Ziff. 1), die der betroffenen Person nahestehenden Personen (Ziff. 2) und Personen, die ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids haben (Ziff. 3).
Das Verwaltungsgericht stellt fest, der Bundesgesetzgeber habe die Gemeinwesen, die als Kostenträger für Massnahmen der Kindes- oder Erwachsenenschutzbehörde in Frage kommen können, in Art. 450 Abs. 2 ZGB nicht ausdrücklich zur Beschwerde ermächtigt. Es stelle sich daher die Frage, ob und gegebenenfalls inwieweit Gemeinwesen unter Ziff. 3 oder allenfalls unter Ziff. 1 von Art. 450 Abs. 2 ZGB fallen können. Die Vorinstanz zitiert aus den parlamentarischen Beratungen über die Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches im Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht und schildert die Meinungen verschiedener juristischer Autoren. Wie die Entstehungsgeschichte des neuen Erwachsenenschutzrechts zeige, sei es dem Gesetzgeber darum gegangen, den Kindes- und Erwachsenenschutz durch eine verbesserte Behördenorganisation zu professionalisieren und die Rechtsstaatlichkeit zu verbessern. Mit dem Erfordernis der Professionalität und der Interdisziplinarität lasse es sich grundsätzlich nicht vereinbaren, den Gemeinwesen, die als Kostenträger von Kindes- oder Erwachsenenschutzmassnahmen tangiert werden, gegen kostenverursachende Anordnungen der Fachbehörde aus ihrer finanziellen Betroffenheit heraus ein generelles Beschwerderecht einzuräumen. Anders zu entscheiden hiesse letztlich, die Entscheidungskompetenz der neuen Fachbehörde auszuhöhlen, indem diese bei kostspieligen Massnahmen auch noch mit dem Widerstand des sparwilligen Gemeinwesens bzw. mit einer Beschwerde (-möglichkeit) desselben rechnen müsste. Dadurch bestünde die Gefahr, dass nach den konkreten Umständen und im Hinblick auf das Kindeswohl bzw. den Schutzzweck gebotene Massnahmen aus finanziellen Gründen (bzw. um eine Beschwerde des Gemeinwesens zu vermeiden) nicht rechtzeitig angeordnet bzw. hinausgeschoben werden und unter Umständen ganz unterbleiben. Ein Gemeinwesen, das allfällige Kosten einer kindes- oder erwachsenenschutzrechtlichen Massnahme trage, falle daher in keine der in Art. 450 Abs. 2 Ziff. 1-3 ZGB genannten Kategorien. Insbesondere sei das finanzielle Interesse des als Kostenträger involvierten Gemeinwesens lediglich ein tatsächliches, nicht aber ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB. Das Verwaltungsgericht kommt zum Schluss, die Regelung von Art. 450 Abs. 2 ZGB sei abschliessend. Hätte der Gesetzgeber gewollt, dass kostenpflichtigen Gemeinwesen ein Beschwerderecht gegen Anordnungen der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde zukommen soll, so hätte er eine solche Beschwerdebefugnis "expressis verbis" normiert. War dem Gesetzgeber aber die Schaffung der Fachbehörden ein wichtiges Revisionsanliegen, so sei nicht einzusehen, weshalb er mit einer Beschwerdebefugnis für kostenpflichtige Gemeinwesen eine "rechtliche Plattform" für die Austragung von Konflikten zwischen Gemeinwesen und Fachbehörde hätte bereitstellen sollen. Im Ergebnis sei die Beschwerdeführerin deshalb nicht befugt, gegen den Beschluss der KESB Innerschwyz vom 27. August 2013 Beschwerde zu erheben.
3.
Streitig ist zunächst, welchen Vorschriften das behauptete Beschwerderecht der Gemeinde X._ im kantonalen Rechtsmittelverfahren untersteht.
3.1. Die Gemeinde X._ wehrt sich dagegen, dass die in Art. 450 ff. ZGB enthaltenen Vorschriften über das Verfahren vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz, insbesondere diejenigen betreffend die Rechtsmittelbefugnis, nicht nur für das erwachsenenschutzrechtliche, sondern in gleicher Weise auch für das kindesschutzrechtliche Beschwerdeverfahren gelten sollen. Nach Art. 314 Abs. 1 ZGB seien im Verfahren vor der Kindesschutzbehörde die Bestimmungen über das Verfahren vor der Erwachsenenschutzbehörde (Art. 443 ff. ZGB) sinngemäss anwendbar. Hingegen fehle es im Kindesschutzrecht an einem entsprechenden gesetzlichen Verweis, was das Verfahren vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz (Art. 450 ff. ZGB) angehe. Aufgrund dessen steht für die Beschwerdeführerin fest, dass sich die Art. 450 ff. ZGB nicht "1 zu 1" auf das kindesschutzrechtliche Beschwerdeverfahren übertragen lassen. Die Beschwerdeführerin argumentiert, Kinder genössen aufgrund des Übereinkommens über die Rechte des Kindes gerade auch im Rahmen der Rechtsanwendung einen besonderen Schutz. Werde, wie im vorliegenden Fall, festgestellt, dass in einem Verfahren Rechte des Kindes verletzt worden sind, so rechtfertige dies auf jeden Fall nicht eine "enge", sondern eine "weite" Beschwerdelegitimation. Soweit im Verfahren vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz Kindesschutzmassnahmen in Frage stünden, sei daher auch bei der Beschwerdelegitimation des Gemeinwesens ein "milder Massstab" anzusetzen.
3.2. Die These der Beschwerdeführerin findet in der gesetzlichen Ordnung keine Stütze. Zu Recht verweist das Verwaltungsgericht auf Art. 440 Abs. 3 ZGB und die dazugehörigen Ausführungen in der bundesrätlichen Botschaft, wonach die Erwachsenenschutzbehörde auch die Aufgaben der Kindesschutzbehörde innehat, für den Kindes- und Erwachsenenschutz mit anderen Worten ein und dieselbe Behörde zuständig ist (Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7074). Für das Verfahren vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz bedeutet Art. 440 Abs. 3 ZGB nichts anderes, als dass zu den beschwerdefähigen Entscheiden der Erwachsenenschutzbehörde im Sinne von Art. 450 Abs. 1 ZGB auch diejenigen Entscheide gehören, welche die Erwachsenenschutzbehörde in ihrer Funktion als Kindesschutzbehörde gefällt hat (s. Urteil 5A_852/2013 vom 20. März 2014 E. 2.1). Daran ändert auch Art. 314 Abs. 1 ZGB nichts, auf den sich die Beschwerdeführerin beruft. Denn zum Verfahren vor der Kindesschutzbehörde, auf das nach der zuletzt zitierten Vorschrift die Bestimmungen über das Verfahren vor der Erwachsenenschutzbehörde sinngemäss anwendbar sind, gehört auch der (End-) Entscheid, mit dem das Verfahren seinen Abschluss findet. Unterliegt in diesem Verfahren der Entscheid der Erwachsenenschutzbehörde aber der Beschwerde nach Art. 450 ff. ZGB, so muss sinngemäss das Gleiche auch für den Entscheid der Kindesschutzbehörde gelten (vgl. Botschaft, a.a.O., S. 7075). Für einen "milden" Massstab, wie ihn die Beschwerdeführerin im kindesschutzrechtlichen Verfahren bei der Beschwerdebefugnis anwenden will, bleibt damit kein Platz.
4.
Gegenstand des Verfahrens bildet zur Hauptsache die Frage, ob die Gemeinde X._ im Kindesschutzverfahren betreffend C._ als Person gelten kann, die im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat.
4.1. Die Gemeinde X._ verweist auf die zitierte bundesrätliche Botschaft, wonach sich die Beschwerdebefugnis materiell am alten Art. 420 ZGB anlehne. Nachdem das Gemeinwesen unter dem bisherigen Recht (aArt. 378 und 373 ZGB) legitimiert gewesen sei, müsse es auch nach neuem Recht zur Beschwerde zugelassen werden. Entgegen der Auffassung des Verwaltungsgerichts (s. E. 2) rechtfertige die Professionalisierung des Vormundschaftswesens keinesfalls, dem kostenpflichtigen Gemeinwesen die Beschwerdebefugnis abzusprechen. Das kostenpflichtige Gemeinwesen sei mit den lokalen Verhältnissen besser vertraut und kenne die Person des Schutzbedürftigen bzw. dessen Umfeld besser als die Fachbehörde. Es müsse sich daher gegen einen Entscheid wehren können, der die Besonderheiten des Einzelfalls nicht hinreichend berücksichtige. Werde dem kostenpflichtigen Gemeinwesen der Beschwerdeweg versperrt, so sei die Fachbehörde dazu verleitet, die Interessen des Gemeinwesens zu vernachlässigen, das durch den Entscheid der Fachbehörde mit einer Kostenpflicht konfrontiert wird. Daher müsse das kostenpflichtige Gemeinwesen eine Überprüfung des Entscheids der Fachbehörde erzwingen und sich mittels Beschwerde darauf berufen können, dass seine Interessen völlig übergangen worden sind bzw. unter Berücksichtigung dieser Interessen ein anderer, für die schutzbedürftige Person gleichwertiger oder sogar besserer Entscheid hätte gefällt werden müssen. Was das Erfordernis eines rechtlich geschützten Interesses im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB angeht, bestreitet die Beschwerdeführerin, dass das finanzielle Interesse des als Kostenträger involvierten Gemeinwesens nur ein tatsächliches Interesse darstelle. Das Gemeinwesen, das Fürsorgeleistungen erbringen müsse, sei in seinen eigenen schutzwürdigen hoheitlichen Interessen berührt und damit zur Beschwerde ermächtigt. Dies gelte auch für ein Gemeinwesen, das gestützt auf die anwendbare Schulgesetzgebung über das übliche Mass hinaus für Unterrichtskosten aufkommen müsse. Schliesslich beteuert die Gemeinde X._, sich über ihre finanziellen Interessen hinaus auch auf das Interesse an der richtigen Rechtsanwendung zu berufen, das ebenfalls ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB sei.
4.2. Wohl geht aus der bundesrätlichen Botschaft hervor, dass sich die Befugnis zur Beschwerde materiell am früheren Art. 420 ZGB anlehnt (Botschaft, a.a.O., S. 7084). Allein daraus folgt aber nicht, dass die Beschwerdebefugnis des Gemeinwesens unter dem neuen Kindes- und Erwachsenenschutzrechts generell zu bejahen ist, wie die Beschwerdeführerin meint. Daran vermag auch ein unter dem alten Recht ergangenes Urteil des Bundesgerichts (BGE 135 V 134) nichts zu ändern, noch die altrechtlichen Vorschriften, auf die sich die Beschwerdeführerin beruft: aArt. 373 ZGB betraf nicht das Beschwerde-, sondern das Entmündigungsverfahren und hielt als blosse Verweisnorm lediglich fest, dass die Kantone die für die Entmündigung zuständigen Behörden und das Verfahren bestimmen. Auch aArt. 378 Abs. 2 ZGB räumte der Vormundschaftsbehörde der Heimat kein bedingungsloses Beschwerderecht gegen die Bevormundung eines Heimatangehörigen in einem anderen Kanton ein, sondern nur "zur Wahrung der Interessen" dieses Angehörigen.
Welche Bewandtnis es mit der Beschwerdebefugnis hat, bestimmt sich nicht abstrakt, sondern nach den Vorschriften des geltenden Rechts, die es auf den konkreten Fall der Gemeinde X._ anzuwenden gilt. Mit Bezug auf Art. 450 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB führt die bundesrätliche Botschaft aus, dass gestützt auf diese Vorschrift auch andere Personen, das heisst Dritte zur Beschwerde befugt sind, die nicht als nahestehende Person im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 2 ZGB gelten können, jedoch ein rechtlich geschütztes Interesse haben. Ein bloss tatsächliches Interesse genügt nicht. Vorausgesetzt ist ein rechtlich geschütztes Interesse des Dritten, das durch das Kindes- bzw. Erwachsenenschutzrecht geschützt werden soll. Das fragliche Interesse muss ein eigenes Interesse der Drittperson sein (Botschaft, a.a.O.). Die Geltendmachung dieses eigenen (wirtschaftlichen oder ideellen) rechtlich geschützten Interesses ist also nur zulässig, wenn es mit der fraglichen Massnahme direkt zusammenhängt bzw. mit der Massnahme geschützt werden soll und deshalb von der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde hätte berücksichtigt werden müssen (Patrick Fassbind, Erwachsenenschutz, 2012, S. 136). Dieses Verständnis des rechtlich geschützten Interesses im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB steht in der Tat auf einer Linie mit der Rechtsprechung zu aArt. 420 ZGB: Schon mit der früheren vormundschaftlichen Beschwerde konnte ein Dritter eigene Interessen nur insofern verfolgen, als bei der angefochtenen Handlung die geltend gemachten Rechte oder Interessen überhaupt berücksichtigt werden mussten (BGE 137 III 67 E. 3.1 S. 69 mit Hinweisen). Aus dem Gesagten folgt, dass ein Dritter nicht zur Beschwerde befugt ist, wenn er vorgibt, Interessen der betroffenen Person wahrzunehmen, aber nicht als nahestehende Person in Betracht fällt (Botschaft, a.a.O., S. 7084 f.; so auch Philippe Meier/Suzana Lukic, Introduction au nouveau droit de la protection de l'adulte, 2011, S. 59 f.; Daniel Steck, in: Büchler/Häfeli/Leuba/Stettler, FamKOMM Erwachsenenschutz, 2013, N. 27 zu Art. 450 ZGB; Christof Bernhart, Handbuch der fürsorgerischen Unterbringung, 2011, S. 306; Hermann Schmid, Erwachsenenschutz, Kommentar zu Art. 360-456 ZGB, 2010, N. 25 zu Art. 450 ZGB). Angewendet auf den konkreten Fall ergibt sich daraus folgende Rechtslage:
4.3. Zuerst ist zu prüfen, ob das finanzielle Interesse der Gemeinde X._, die Kosten der angeordneten Fremdplatzierung des Kindes nicht übernehmen zu müssen, als rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB gelten kann. Von vornherein vergeblich beruft sich die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang auf BGE 134 II 45. Zwar hat das Bundesgericht in diesem Entscheid erkannt, dass Gemeinwesen gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerde an das Bundesgericht legitimiert sein können, soweit sie in schutzwürdigen eigenen hoheitlichen Interessen berührt sind, was auch bei vermögensrechtlichen Interessen der Fall sein kann, zum Beispiel wenn das Gemeinwesen als Erbringer von Fürsorgeleistungen betroffen ist (BGE 134 II 45 E. 2.2.1 S. 47). Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin unterstellt, ist das schutzwürdige Interesse, wie es Art. 89 Abs. 1 und auch Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG voraussetzt, nicht mit dem rechtlich geschützten Interesse gleichzusetzen, von dem das Gesetz in Art. 450 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB die Beschwerdebefugnis des Dritten abhängig macht (vgl. François Bohnet, Autorités et procédure en matière de protection de l'adulte, Droit fédéral et droit cantonal, in: Guillod/Bohnet, Le nouveau droit de la protection de l'adulte, 2012, S. 66). Wie die Rechtsprechung zum Bundesgerichtsgesetz zeigt, kann das schutzwürdige Interesse im Sinne von Art. 89 Abs. 1 BGG auch (bloss) tatsächlicher Natur sein (vgl. BGE 133 I 286 E. 2.2 S. 290). Wo das Gesetz - wie auch für die Befugnis zur subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 115 lit. b BGG) - aber ein rechtlich geschütztes Interesse verlangt, genügt ein tatsächliches nicht (Urteil 2D_63/2008 vom 27. Juni 2008 E. 1.2). Nichts anderes ergibt sich aus der jüngsten Rechtsprechung zu Art. 89 Abs. 1 BGG, wonach das Gemeinwesen, selbst wenn es die Voraussetzungen von Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG nicht erfüllt, im Sinne einer allgemeinen Beschwerdelegitimation gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG auch die Auferlegung einer finanziellen Verpflichtung durch ein übergeordnetes Gemeinwesen anfechten kann, wenn es darlegt, dass es in hoheitlichen Befugnissen berührt ist und zentrale öffentliche Interessen auf dem Spiel stehen (s. Urteil 2C_169/2013 vom 20. Januar 2014 E. 1 mit Hinweisen, zur Publikation vorgesehen). Diese Rechtsprechung bezieht sich auf einen Fall, in welchem eine kantonale Behörde einer Gemeinde finanzielle Lasten auferlegt hat. Sie lässt sich nicht auf die vorliegende Zivilstreitigkeit übertragen, in der die KESB Innerschwyz den Kindeseltern gegenübersteht und in ihrem Beschluss vom 27. August 2013 keinen konkreten Entscheid getroffen hat, wonach die Gemeinde X._ für die angeordnete Kindesschutzmassnahme aufkommen müsste. Schliesslich setzt die Beschwerdebefugnis nach Art. 450 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB voraus, dass das Interesse des Dritten mit der fraglichen Massnahme geschützt werden soll und bei der Entscheidfindung hätte einbezogen werden müssen (E. 4.2). Darauf kommt es an, wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen.
Im vorliegenden Fall hat die KESB Innerschwyz die elterliche Obhut der Beschwerdegegner über C._ aufgehoben und das Kind in einer Institution platziert (Sachverhalt Bst. C). Diese Massnahme stützt sich auf Art. 310 Abs. 1 ZGB. Danach hat die Kindesschutzbehörde den Eltern das Kind wegzunehmen und es in angemessener Weise unterzubringen, wenn der Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden kann. Gefährdet ist das Kind, wenn es in der elterlichen Obhut nicht in der für seine körperliche, geistige und sittliche Entwicklung nötigen Weise geschützt und gefördert wird (Urteil 5C.117/2002 vom 1. Juli 2002 E. 3.1). Auch in Art. 310 Abs. 1 ZGB tritt der in Art. 307 Abs. 1 ZGB verankerte Grundsatz der Subsidiarität zutage, wonach die Kindesschutzbehörde zum Schutz des Kindes die geeigneten Massnahmen zu treffen hat, wenn das Wohl des Kindes gefährdet ist und die Eltern nicht von sich aus für Abhilfe sorgen oder wenn sie dazu ausserstande sind. Solange sich die Gefährdung des Kindeswohls durch ambulante, die Familiengemeinschaft respektierende Massnahmen abwenden lässt, darf die Behörde den Eltern das Kind nicht wegnehmen; sie hat mithin - getreu der Maxime der Verhältnismässigkeit - immer die mildeste Erfolg versprechende Massnahme anzuordnen (zum Ganzen Urteil 5A_701/2011 vom 12. März 2012 E. 4.2.1; s. auch Urteil 5C.71/2005 vom 26. April 2005 E. 3.4, nicht publ. in: BGE 131 III 409). Beim Entscheid über den Obhutsentzug und die Unterbringung des Kindes ist also allein die Gefährdung des Kindeswohls ausschlaggebend. Dass die Kindesschutzbehörde bei diesem Entscheid auch die wirtschaftlichen Interessen der Wohnsitzgemeinde als Kostenträgerin der Massnahme berücksichtigen müsste, lässt sich dem Gesetz hingegen nicht entnehmen. Nicht anders verhält es sich mit der Forderung des Gesetzgebers, dass die Behörde das Kind im Falle einer Wegnahme "in angemessener Weise" unterzubringen hat: Ob das Kind in eine Pflegefamilie, eine betreute Wohngruppe oder in ein Pflegeheim zu geben ist, beurteilt sich wiederum allein unter dem Blickwinkel der spezifischen Gefährdungslage (vgl. Urteil 5C.258/2006 vom 22. Dezember 2006 E. 3.1.1).
4.4. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das Kindesschutzrecht von der Behörde nicht verlangt, bei der Anordnung eines Obhutsentzugs mit Fremdplatzierung nach Art. 310 Abs. 1 ZGB auch dem finanziellen Interesse des allenfalls kostenpflichtigen Gemeinwesens Rechnung zu tragen. Daraus folgt, dass dieses Interesse durch die erwähnte anwendbare zivilrechtliche Norm nicht im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB rechtlich geschützt ist. Soweit sich die Beschwerdeführerin über die Verletzung von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB beklagt, ist ihre Beschwerde unbegründet.
5.
Soweit die Gemeinde X._ der KESB Innerschwyz weiter vorwirft, den Sachverhalt nicht hinreichend abgeklärt, das Wohl von C.Y._ nicht ins Zentrum ihrer Bemühungen gestellt und mit der Fremdplatzierung des Mädchens nicht die mildeste Massnahme getroffen zu haben, macht sie nicht ihre eigenen Interessen, sondern diejenigen des betroffenen Kindes geltend. Mit diesen Vorbringen wäre sie vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz nach dem Gesagten nur zu hören, wenn sie im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 2 ZGB als nahestehende Person von C._ gelten könnte. Nahestehende Personen sind nach Lehre und Rechtsprechung Personen, die den Betroffenen gut kennen und aufgrund ihrer Eigenschaften und ihrer Beziehungen zu ihm als geeignet erscheinen, seine Interessen wahrzunehmen, auch wenn die Beschwerdebefugnis der nahestehenden Person nicht notwendigerweise voraussetzt, dass sie tatsächlich Interessen des Betroffenen wahrnimmt. Eine Rechtsbeziehung ist für das Näheverhältnis nicht erforderlich; entscheidend ist vielmehr die faktische Verbundenheit, wie sie zum Beispiel bei Eltern, Kindern, anderen Verwandten, Freunden, Lebensgefährten, aber auch bei Beistandspersonen, Ärzten, Sozialarbeitern oder Geistlichen gegeben sein kann (s. Botschaft, a.a.O.; Urteil 5A_663/2013 vom 5. November 2013 E. 3; DANIEL STECK, a.a.O., N. 24 zu Art. 450 ZGB; PHILIPPE MEIER/SUZANA LUKIC, a.a.O., S. 58 f.; PATRICK FASSBIND, a.a.O., S. 138 f.; vgl. zum alten Recht BGE 137 III 67 E. 3.4.1 S. 70). Dass sie selbst bzw. eine natürliche Person, die als Organ oder auf andere Weise in ihren Diensten steht, C._ besonders gut kennen und diesem Kind im geschilderten Sinne nahestehen würde, macht die Gemeinde X._ nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Eine Befugnis zur Beschwerde gegen den Beschluss der KESB Innerschwyz vom 27. August 2013 vermag die Gemeinde X._ also nicht - gestützt auf Art. 450 Abs.2 Ziff.2 ZGB -mit dem Hinweis zu begründen, dass sie (auch) die Interessen des Kindes wahrnehme. Auch insofern erweist sich ihre Beschwerde als unbegründet.
6.
Die Gemeinde X._ stellt sich weiter auf den Standpunkt, sie sei auch als am Verfahren beteiligte Person im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 1 ZGB zur Beschwerde gegen den Beschluss der KESB Innerschwyz vom 27. August 2013 befugt. Sie beruft sich darauf, bereits am Verfahren vor der Kindesschutzbehörde teilgenommen zu haben. Sowohl der Schulrat als auch die Fürsorgebehörde hätten sich zum in Aussicht gestellten Entscheid vernehmen lassen; der erwähnte Beschluss sei ihnen auch eröffnet worden. Auch diese Sichtweise geht fehl:
Mit den am Verfahren beteiligten Personen im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 1 ZGB sind in erster Linie die betroffenen Personen gemeint (vgl. Botschaft, a.a.O., S. 7084), das heisst die natürlichen Personen, die von der behördlichen Massnahme als Hilfsbedürftige oder Schutzbefohlene unmittelbar berührt sind. Dazu zählen im Kindesschutzverfahren neben dem Kind selbst in aller Regel auch die Eltern. Soweit die Handlungen oder Unterlassungen eines Beistands zum Gegenstand des Verfahrens geworden sind, muss auch der Beistand als beteiligte Person gelten (s. PHILIPPE MEIER/SUZANA LUKIC, a.a.O., S. 58; HERRMANN SCHMID, a.a.O., N.21 zu Art.450 ZGB). Alsdann findet sich im Schrifttum an verschiedenen Stellen der Hinweis, neben den direkt betroffenen Personen könnten auch weitere Personen im Sinne von Art. 450 Abs. 2 Ziff. 1 ZGB am Verfahren beteiligt sein, soweit sie sich im erstinstanzlichen Verfahren vor der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde tatsächlich beteiligt haben, von Amtes wegen beteiligt wurden oder ihnen mindestens der Entscheid der Behörde zugestellt wurde ( DANIEL STECK, a.a.O., N. 22 zu Art. 450 ZGB; PATRICK FASSBIND, a.a.O., S. 137; CHRISTOPH HÄFELI, Grundriss zum Erwachsenenschutzrecht mit einem Exkurs zum Kindesschutz, 2013, S. 296; HERRMANN SCHMID, a.a.O., N. 21 f. zu Art. 450 ZGB). Allein der Umstand, dass eine Person im erstinstanzlichen Verfahren zur Stellungnahme eingeladen oder dass ihr der Entscheid eröffnet wurde, verschafft ihr jedoch nicht ohne Weiteres auch die Befugnis zur Beschwerde gegen den Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde. Denn nahestehende Personen oder Dritte, auch wenn sie sich im beschriebenen Sinn am Verfahren beteiligt haben, sind nur im Rahmen ihrer nach Art. 450 Abs. 2 Ziff. 2 oder 3 ZGB bestehenden Legitimation zur Beschwerde zuzulassen ( PATRICK FASSBIND, a.a.O., S. 138). Kann eine Person - wie hier die Gemeinde X._ - als öffentlich-rechtliche Körperschaft nicht unmittelbar von der angeordneten Massnahme betroffen sein und weder als nahestehende Person (E.5) noch als Drittperson (E. 4) gelten, so muss ihr der Zugang zur Beschwerde gegen den Entscheid der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde versperrt bleiben. Die Beschwerde ist deshalb auch in dieser Hinsicht unbegründet. Damit kann offenbleiben, ob die vom neuen Kindes- und Erwachsenenschutzrecht geforderte Professionalität einem Beschwerderecht des die Massnahme finanzierenden Gemeinwesens generell entgegensteht, wie dies die Vorinstanz (s. E. 2) anzunehmen scheint und ein Teil der Lehre postuliert ( PATRICK FASSBIND, a.a.O., S. 140).
7.
Schliesslich rügt die Gemeinde X._, indem das Verwaltungsgericht ihr die Befugnis zur Beschwerde gegen den Beschluss der KESB Innerschwyz vom 27. August 2013 abspreche, verletze es die in § 69 Abs. 2 der Verfassung des Kantons Schwyz vom 24. November 2010 (KV/SZ; SRSZ 100.100) garantierte Gemeindeautonomie.
7.1. Die Verletzung kantonaler verfassungsmässiger Rechte, darunter die Garantie der Gemeindeautonomie, prüft das Bundesgericht frei (Art. 95 lit. c BGG). Soweit es dabei allerdings um die Auslegung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht geht, prüft dies das Bundesgericht ausschliesslich unter dem Gesichtswinkel der Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots (BGE 138 I 143 E. 2 S. 149 f.). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (E. 2).
7.2. Die Bundesverfassung gewährleistet die Gemeindeautonomie in den Grenzen, die das kantonale Recht vorgibt. Über Autonomie verfügt eine Gemeinde in jenen Sachbereichen, die das kantonale Recht nicht abschliessend ordnet, sondern ihr ganz oder teilweise zur Regelung überlässt, sofern ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit eingeräumt wird (BGE 138 I 143 E. 3.1 S. 150; 135 I 233 E. 2.2 S. 241 f.). Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung des kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz setzt keine Autonomie in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (BGE 133 I 128 E. 3.1 S. 130 f.; 129 I 410 E. 2.1. S. 413; je mit Hinweisen).
7.3. Die Verletzung der Gemeindeautonomie setzt nach dem Gesagten zunächst voraus, dass die Gemeinde im fraglichen Bereich autonom ist. Gemäss Art. 440 Abs. 1 Satz 2 ZGB bestimmen die Kantone die Erwachsenenschutzbehörde, die auch die Aufgaben der Kindesschutzbehörde wahrnimmt (Art. 440 Abs. 3 ZGB; s. E. 4.2). Es bleibt der kantonalen Organisationsfreiheit überlassen, diese Behörde auf Gemeinde-, Bezirks-, Kreis- oder Regionsebene zu organisieren (Botschaft, a.a.O., S. 7073). Der Kanton Schwyz hat die bisherigen kommunalen Strukturen aufgehoben und kantonale Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden geschaffen (§ 5 des schwyzerischen Einführungsgesetzes zum schweizerischen Zivilgesetzbuch vom 14. September 1978 [SRSZ 210.100]). Dass der Kanton Schwyz den Gemeinden auf dem Gebiet des Kindesschutzes und insbesondere hinsichtlich der Finanzierung von Kindesschutzmassnahmen trotzdem noch einen geschützten Autonomiebereich zuweist, lässt sich der Verfassung des Kantons Schwyz nicht entnehmen. § 69 Abs. 2 KV/SZ, auf den sich die Beschwerdeführerin beruft, schreibt die Autonomie der Gemeinden lediglich allgemein "im Rahmen des übergeordneten Rechts" fest, desgleichen § 71 KV/SZ, wonach die Gemeinden die staatlichen Tätigkeiten ausüben, die ihnen das kantonale Recht überträgt (Abs. 1), und für die örtlichen Angelegenheiten zuständig sind, die keiner anderen Körperschaft zugewiesen sind (Abs. 2). Eine Gemeindeautonomie lässt sich auch nicht aus den Vorschriften des schwyzerischen Gesetzes über soziale Einrichtungen vom 28. März 2007 (SEG/SZ; SRSZ 380.300) herleiten, auf die sich die Beschwerdeführerin beruft: Nach § 10 Abs. 2 SEG/SZ haben die Gemeinden subsidiär für die Betreuungs- und Aufenthaltskosten in Einrichtungen für Kinder und Jugendliche und für Personen in besonderen Notlagen aufzukommen. Gemäss § 20 Abs. 1 SEG/SZ bedeutet diese Subsidiarität der Kostenpflicht, dass die Gemeinden die erwähnten Kosten nur tragen müssen, sofern die betreuungsbedürftige Person oder die gesetzlich Verpflichteten die Kosten nicht decken können. Dass die zitierten kantonalen Normen der zuständigen Gemeinde über den erwähnten Grundsatz der Subsidiarität hinaus noch einen Ermessenspielraum überliessen, die Übernahme der Kosten zu verweigern oder sogar auf die angeordnete Kindesschutzmassnahme zurückzukommen, und das Verwaltungsgericht diesen Autonomiebereich in verfassungswidriger Weise übersehen hätte, macht die Beschwerdeführerin freilich nicht geltend. Prüft das Bundesgericht die Auslegung des kantonalen Gesetzes- und Verordnungsrechts aber nur auf Rüge hin (Art. 106 Abs. 2 BGG; E. 7.1), so ist es auch nicht seine Aufgabe, von sich aus nach weiteren Normen des kantonalen Rechts zu forschen, aus denen sich ein Autonomiebereich ergeben könnte, wie ihn sich die Gemeinde X._ vorzustellen scheint. Schliesslich macht die Beschwerdeführerin auch nicht geltend, dass die fragliche Kostenbeteiligung, zu der sie auch ihren eigenen Ausführungen zufolge nur subsidiär verpflichtet ist, geeignet wäre, sie selbst als öffentlich-rechtliche Körperschaft in ihrer Existenz ernstlich zu gefährden. Der Vorwurf, der angefochtene Entscheid verletze die Gemeindeautonomie der Beschwerdeführerin, erweist sich demnach als unbegründet.
8.
Wie die vorigen Ausführungen zeigen, ist die Beschwerde insgesamt unbegründet. Sie ist abzuweisen. Es bleibt somit beim Entscheid des Verwaltungsgerichts, wonach auf die Beschwerde der Gemeinde X._ vom 1. Oktober 2013 nicht eingetreten wird. Ob und gegebenenfalls unter welchen Voraussetzungen sich die Gemeinde X._ aufsichtsrechtlich gegen ihrer Meinung nach zu kostspielige Kindesschutzmassnahmen der KESB Innerschwyz wehren kann, ist nicht Gegenstand des vorliegenden, sondern eines anderen Verfahrens, das die Gemeinde schon angestrengt hat (s. Sachverhalt Bst. D). Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Gemeinde X._. Gerichtskosten sind keine zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Den Beschwerdegegnern, die auf eine Stellungnahme verzichtet haben und nicht anwaltlich vertreten sind, ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Innerschwyz bzw. dem Kanton Schwyz ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Innerschwyz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. März 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn