Fatti:
A. Il 21 febbraio 2008 il Comune di Bellinzona ha presentato al suo Municipio una domanda di costruzione per una nuova casa per anziani sul fondo part. xxx, situato in località Vallone. Il fondo deriva dal frazionamento della particella yyy, sulla quale sorge villa Mariotti ed il relativo parco. È ubicato all'intersezione tra via Pantera e la salita Mariotti ed è inserito in un comparto attribuito dal piano regolatore ad edifici ed attrezzature pubbliche con la specifica "casa anziani". L'edificio progettato comprende 76 camere per gli ospiti e presenta sul lato strada cinque piani fuori terra. Lungo via Pantera era inoltre prevista la formazione di un posteggio alberato con 25 stalli per il personale e i visitatori.
B. A.A._, B.A._ e C.A._, la comunione ereditaria fu D._, E.E._ e F.E._ e I._, proprietari di fondi vicini, si sono opposti alla domanda di costruzione. Acquisito il preavviso favorevole dell'autorità cantonale, il 28 agosto 2008 il Municipio di Bellinzona ha rilasciato la licenza edilizia, respingendo nel contempo le opposizioni dei vicini. Con decisione del 16 settembre 2009, il Consiglio di Stato del Cantone Ticino ha evaso ai sensi dei considerandi il gravame presentato dagli opponenti contro la licenza edilizia, confermandola alla condizione di aumentare il numero dei posteggi da 25 a 36 (di cui 34 all'aperto), come alla variante presentata in sede di ricorso.
C. Adito da A.A._, B.A._ e C.A._ e dalla comunione ereditaria fu D._, con sentenza del 2 novembre 2009 il Tribunale cantonale amministrativo ne ha parzialmente accolto il ricorso. Ha annullato la decisione governativa e ha rinviato gli atti al Consiglio di Stato, affinché si pronunciasse nuovamente sul gravame degli opponenti una volta esperita la procedura di pubblicazione della variante relativa ai posteggi, completata da uno studio fonico che esa-minasse compiutamente le possibilità di ridurre maggiormente le immissioni foniche derivanti dal posteggio.
D. Dopo alcuni atti che non occorre qui evocare e dopo che il Municipio di Bellinzona aveva incaricato la K._ SA di allestire uno studio fonico, l'Esecutivo comunale ha pubblicato la variante concernente i posteggi, alla quale si sono opposti A.A._, B.A._ e C.A._, la comunione ereditaria fu D._, E.E._, F.E._, G.E._ e H.E._, I._ e J._. Acquisito il preavviso favorevole dell'autorità cantonale, il 9 agosto 2010 il Municipio di Bellinzona ha rilasciato la licenza edilizia per l'edificazione di 36 posteggi, respingendo contestualmente le opposizioni dei vicini, i quali hanno nuovamente adito il Consiglio di Stato. Con decisione del 7 dicembre 2010, il Governo ha respinto i gravami degli opponenti contro le licenze edilizie del 28 agosto 2008 e del 9 agosto 2010, confermandole.
E. Gli opponenti si sono allora aggravati al Tribunale cantonale amministrativo, che con sentenza del 3 gennaio 2012 ha parzialmente accolto il ricorso. Ha annullato la decisione governativa ed ha confermato le licenze edilizie rilasciate dal Municipio di Bellinzona alla condizione che fosse posata una barriera all'entrata del parcheggio e che gli stalli fossero suddivisi, destinando ai visitatori quelli situati a destra rispetto all'ingresso del posteggio, partendo dall'angolo sud-est, e al personale quelli restanti. Ha inoltre imposto che venga vietato ed impedito l'accesso al parcheggio nella fascia notturna (19.00-07.00), ad eccezione del personale attivo nello stesso periodo, e che i collaboratori del turno di notte facciano prioritariamente uso dei due posteggi interni.
F. A.A._, B.A._ e C.A._, la comunione ereditaria fu D._, E.E._, F.E._, G.E._ e H.E._, I._ e J._ impugnano questa sentenza con un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Chiedono di annullarla e di rinviare gli atti alla Corte cantonale perché sia nominato un perito giudiziario e sia emanato un nuovo giudizio dopo la completazione degli accertamenti di fatto. I ricorrenti criticano la costruzione del parcheggio facendo valere la violazione del diritto di essere sentiti, l'accertamento manifestamente inesatto dei fatti e la violazione del diritto federale in materia di protezione dell'ambiente.
G. La Corte cantonale e il Municipio di Bellinzona chiedono di respingere il ricorso. Il Consiglio di Stato si rimette al giudizio del Tribunale federale. I ricorrenti si sono confermati nelle loro conclusioni con replica del 7 maggio 2012. Invitato ad esprimersi sul ricorso, l'Ufficio federale dell'ambiente comunica di ritenere la sentenza impugnata conforme al diritto federale in materia di inquinamento fonico. Il Municipio ha comunicato il 4 luglio 2012 di confermarsi nella sua risposta.
H. Con decreto presidenziale del 23 marzo 2012, rilevato in particolare che la costruzione della casa per anziani in quanto tale non era contestata, è stato conferito al ricorso effetto sospensivo limitatamente alla costruzione del parcheggio litigioso.
Diritto:
1. 1.1 Presentato tempestivamente contro una decisione finale dell'ultima istanza cantonale, che ha sostanzialmente confermato il rilascio delle licenze edilizie, il ricorso in materia di diritto pubblico è di massima ammissibile sotto il profilo degli art. 82 lett. a, 86 cpv. 1 lett. d, 90 e 100 cpv. 1 LTF.
1.2 I ricorrenti hanno partecipato al procedimento in sede cantonale, segnatamente per quanto riguarda la variante relativa alla costruzione del posteggio, oggetto del presente litigio. Quali vicini del fondo dedotto in edificazione ed opponenti nella procedura edilizia, sono particolarmente toccati dalla decisione impugnata ed hanno un interesse degno di protezione al suo annullamento o alla sua modifica. La loro legittimazione a ricorrere giusta l'art. 89 cpv. 1 LTF, del resto non contestata dal Comune, può pertanto essere ammessa.
2. 2.1 I ricorrenti lamentano la violazione del diritto di essere sentiti, perché non è stata assunta una perizia giudiziaria indipendente sugli aspetti fonici legati al posteggio.
2.2 Il diritto di essere sentito, sancito dall'art. 29 cpv. 2 Cost., comprende tra l'altro il diritto per l'interessato di offrire mezzi di prova su punti rilevanti e di esigerne l'assunzione, di partecipare alla stessa e di potersi esprimere sulle relative risultanze nella misura in cui possano influire sulla decisione. Tale diritto non impedisce tuttavia all'autorità cantonale di procedere a un apprezzamento anticipato delle prove richieste e di rinunciare ad assumerle, se è convinta che non possono condurla a modificare la sua opinione. Nell'ambito di questa valutazione, le spetta un vasto margine di apprezzamento e il Tribunale federale interviene solo in caso di arbitrio (DTF 134 I 140 consid. 5.3; 131 I 153 consid. 3).
2.3 La Corte cantonale ha statuito sulla base degli atti, comprensivi della perizia fonica della K._ SA, degli aggiornamenti e delle precisazioni relativi alla stessa, nonché delle risultanze del sopralluogo, come pure degli accertanti eseguiti presso l'Ufficio del medico cantonale e la Casa anziani comunale di Bellinzona. Ha ritenuto che le conclusioni dello studio fonico, dei relativi complementi e delucidazioni erano confermate dall'autorità cantonale competente e risultavano sufficientemente attendibili ed esaurienti. Ha rilevato che i ricorrenti avevano potuto chiedere chiarimenti e prendere posizione al riguardo ed ha considerato che un'ulteriore perizia fonica da parte di un perito giudiziario non avrebbe portato altri elementi rilevanti per il giudizio, sicché non si giustificava di dare seguito alla richiesta.
I ricorrenti non sostanziano apprezzamenti arbitrari da parte della precedente istanza e non dimostrano che la rinuncia della Corte cantonale ad assumere una perizia fonica giudiziaria sarebbe basata su una valutazione insostenibile degli accertamenti esistenti. Essi si limitano a mettere genericamente in dubbio l'attendibilità del referto agli atti siccome commissionato dallo stesso Municipio committente dell'opera. Tuttavia, il fatto che lo studio fonico sia stato allestito su incarico del committente, non basta di per sé a renderlo inattendibile. Né si impone in relazione al diritto sulla protezione dell'ambiente, che in un caso come quello in esame la determinazione delle immissioni foniche sia necessariamente eseguita da un perito giudiziario, essendo per contro determinante che tale valutazione rispetti le esigenze del diritto federale. In tali condizioni, il fatto che la Corte cantonale non abbia dato seguito alla richiesta dei ricorrenti di ordinare un'ulteriore perizia (giudiziaria) non viola il loro diritto di essere sentiti (cfr. DTF 131 I 153 consid. 3; 130 II 425 consid. 2.1 e rinvii).
3. 3.1 I ricorrenti sostengono che, siccome è stato necessario completare gli atti e prendere in considerazione un'altra soluzione sulla gestione del posteggio e ritenuto che il Tribunale federale beneficia di un potere cognitivo limitato riguardo agli accertamenti di fatto, la Corte cantonale non avrebbe dovuto statuire direttamente sulla causa, ma rinviare gli atti al Governo per un nuovo giudizio, in modo da garantire un pieno doppio grado di giurisdizione.
3.2 I ricorrenti non fanno valere l'applicazione arbitraria di specifiche disposizioni del diritto procedurale cantonale, che impedirebbero alla Corte cantonale di eseguire direttamente ulteriori accertamenti ed imporrebbero necessariamente il rinvio della causa alla precedente autorità. D'altra parte, nella misura in cui hanno potuto portare a conoscenza dei giudici cantonali gli elementi a sostegno delle loro tesi, l'invocata garanzia non impone di principio un doppio grado di giurisdizione a livello cantonale (cfr. sentenza 1A.251/2006 del 30 aprile 2007 consid. 4.3, in: RtiD II-2007, pag. 32 in fine). In concreto, la Corte cantonale ha statuito liberamente sull'applicazione del diritto e dinanzi ad essa i ricorrenti hanno potuto esporre le loro argomentazioni riguardanti la conformità del posteggio alle norme applicabili, in particolare anche per quanto concerne gli aspetti fonici. Non risulta, in tali circostanze, che il mancato rinvio della causa al Consiglio di Stato abbia comportato una violazione dei loro diritti processuali.
4. 4.1 I ricorrenti lamentano un accertamento manifestamente inesatto ed incompleto dei fatti, nonché la violazione dell'ordinanza contro l'inquinamento fonico, del 15 dicembre 1986 (OIF; RS 814.41). Adducono che gli accertamenti e le valutazioni di carattere fonico eseguiti finora avrebbero perso di significato, siccome la Corte cantonale avrebbe adottato una nuova soluzione, modificando radicalmente le premesse di base. Sostengono che si imporrebbe un nuovo calcolo del livello di valutazione del rumore, tenendo conto della situazione stabilita nel giudizio impugnato.
4.2 La censura è formulata in termini generici e non rispetta i requisiti di motivazione degli art. 42 cpv. 2 e 106 cpv. 2 LTF. I ricorrenti non si confrontano infatti con i considerandi del giudizio impugnato, segnatamente con la portata delle condizioni imposte dalla Corte cantonale, spiegando per quali ragioni esse renderebbero necessari ulteriori accertamenti sotto il profilo fonico. Inammissibile su questo punto, il gravame è comunque anche infondato. La Corte cantonale ha infatti rilevato che, quale impianto fisso nuovo, il posteggio rispetta i valori di pianificazione conformemente all'art. 7 cpv. 1 lett. b OIF e all'allegato 6 dell'OIF. Ha d'altra parte ritenuto che il rumore derivante dal traffico indotto dall'opera progettata non comporta un superamento dei valori limite d'immissione giusta l'art. 9 lett. a OIF e l'allegato 3 dell'OIF. Queste conclusioni non sono seriamente messe in discussione dai ricorrenti, che ribadiscono in modo generale la necessità di una nuova valutazione da parte di un perito giudiziario. Le condizioni aggiunte dalla Corte cantonale alla licenza edilizia sono fondate sul principio della prevenzione e mirano, tenendo conto del principio della proporzionalità, a limitare ulteriormente, nella maggior misura possibile, le emissioni foniche dell'impianto. Esse non peggiorano la situazione sotto l'aspetto del rumore e non comportano un incremento dei valori fonici accertati, ma semmai una loro diminuzione. In tali circostanze, ragionevolmente, non può essere preteso che le misure di gestione del posteggio imposte dalla Corte cantonale abbiano fatto perdere rilevanza allo studio fonico agli atti.
5. 5.1 I ricorrenti criticano la mancata presa in considerazione, ai fini della determinazione delle immissioni foniche generate dal traffico indotto, della circolazione sulla salita Mariotti e della riflessione del rumore sulle facciate dell'edificio progettato. Sostengono che l'assenza di rilevamenti al riguardo avrebbe comportato una valutazione del rumore del traffico stradale non conforme all'art. 9 OIF. Secondo i ricorrenti, l'effetto di riflessione comporterebbe un incremento del rumore diurno di almeno 3 dB(A), che, aggiunto al nuovo traffico sulla salita Mariotti, condurrebbe al superamento del valore limite d'immissione.
5.2 La Corte cantonale ha rilevato che lo studio fonico stimava l'attuale traffico su via Pantera in 1'000 veicoli al giorno e che, a richiesta della stessa Corte, il dato è stato verificato e confermato dai rilievi bidirezionali svolti in pendenza della procedura ricorsuale: da questi rilevamenti è infatti risultato un traffico giornaliero medio di 968 veicoli. La precedente istanza ha ritenuto attendibile l'accertamento ed ha considerato ingiustificata la richiesta dei ricorrenti di eseguire rilevamenti sulla salita Mariotti, qualificata come strada più distante ed a fondo cieco.
5.3 I ricorrenti adducono che tre fondi di loro proprietà si affacciano sulla salita Mariotti, la quale presenterebbe un traffico giornaliero medio più elevato di quello su via Pantera, posto che vi circola anche il personale della stazione merci di San Paolo e del centro dell'Associazione bellinzonese per l'assistenza e la cura a domicilio.
Risulta tuttavia che il posteggio della casa per anziani è servito da via Pantera, alla quale è direttamente collegato. La maggiore sollecitazione riconducibile all'esercizio del posteggio si manifesta quindi in primo luogo su questa strada. La valutazione del perito, fondata sugli accertamenti relativi al traffico di via Pantera, è del resto stata confermata dall'autorità specialistica cantonale e i ricorrenti non sollevano al riguardo dubbi sulla pertinenza del luogo di rilevamento sotto il profilo delle regole tecniche e della pianificazione del traffico. In tali circostanze, ritenendo ingiustificati ulteriori accertamenti relativi al volume di traffico sulla salita Mariotti nel suo, peraltro breve, tratto iniziale che si diparte dalla strada cantonale, la Corte cantonale non ha ecceduto nel suo potere di apprezzamento.
5.4 Quanto ai rumori di riflesso, i giudici cantonali hanno accertato che la nuova casa per anziani non occupa su via Pantera tutto il fronte della particella xxx, una parte significativa del fondo essendo destinata al parcheggio, in particolare nella fascia posta dirimpetto al fronte delle case esistenti sull'altro lato di via Pantera. Non vedevano quindi come poteva verificarsi l'effetto corridoio paventato dai ricorrenti.
Gli accertamenti sulla situazione dei luoghi sono vincolanti per il Tribunale federale (art. 105 cpv. 1 LTF). I ricorrenti non ne sostanziano l'arbitrio e si limitano ad addurre un incremento di 3 dB(A) per gli effetti della pretesa riflessione, in modo generico e senza fare riferimento alle caratteristiche concrete dei manufatti. Comunque, negando in concreto un rumore di riflesso rilevante sotto il profilo della protezione dell'inquinamento fonico, la Corte cantonale non ha ecceduto nel proprio potere di apprezzamento, né ha altrimenti violato il diritto federale, in particolare ove si consideri che la facciata della casa per anziani è arretrata rispetto al limite del sedime stradale, non occupa tutta la lunghezza della particella dedotta in edificazione e le abitazioni contigue alla strada sul lato opposto di via Pantera sorgono dirimpetto al posteggio litigioso e non di fronte alla nuova costruzione.
6. 6.1 I ricorrenti criticano il calcolo eseguito dal perito riguardo al livello di valutazione del rumore prodotto dai movimenti di posteggio. Sostengono che, per tenere conto della componente impulsiva dei parcheggi per i visitatori, sarebbe occorso applicare un fattore KI di 4 dB(A), conformemente a quanto prevederebbero le raccomandazioni "Parkplatzlärmstudie" del Bayerisches Landesamt für Umwelt (6a ed., 2007).
6.2 I calcoli effettuati dall'esperto nell'ambito dello studio fonico e nel relativo aggiornamento costituiscono questioni tecniche su cui il Tribunale federale dà prova di riserbo (cfr. sentenza 1E.9/2005 dell'11 gennaio 2006 consid. 4, in: RtiD II-2006, pag. 174 segg.). D'altra parte, contrariamente a quanto sembrano ritenere i ricorrenti, le citate raccomandazioni costituiscono solo un ausilio per la determinazione delle immissioni foniche, decisivo essendo esclusivamente il diritto svizzero in materia di protezione contro l'inquinamento fonico (cfr. DTF 133 II 292 consid. 4.3; sentenza 1C_278/2010 del 31 gennaio 2011 consid. 4.4.3 e 4.4.6, in: URP 2011, pag. 135 segg.). Nella misura in cui i ricorrenti si limitano a mettere in dubbio la determinazione delle immissioni foniche, richiamando supplementi di livello più adeguati secondo le raccomandazioni tedesche, ma non spiegano con una motivazione conforme all'art. 42 cpv. 2 LTF per quali ragioni la perizia fonica non rispetterebbe le esigenze dell'OIF (cfr. allegato 6 dell'OIF), il gravame è quindi inammissibile. Risulta del resto che l'esperto ha tenuto conto dell'udibilità della componente impulsiva del rumore, applicando in concreto un fattore di correzione K3 pari a 2 dB(A) a norma del n. 33 cpv. 3 dell'allegato 6 OIF. Ove si consideri ch'egli nella scelta di questo coefficiente beneficiava di un certo margine di apprezzamento (cfr. ANNE-CHRISTINE FAVRE, La protection contre le bruit dans la loi sur la protection de l'environnement, 2002, pag. 167), le generiche contestazioni mosse dai ricorrenti sulla base delle raccomandazioni tedesche non permettono seriamente di ravvisare una violazione del diritto federale. Peraltro, come ha accertato la Corte cantonale, il "Parkplatzlärmstudie" (alla tabella n. 34 di pag. 86) non indica particolari correzioni per un posteggio, come quello in oggetto, destinato sia ai visitatori sia ai collaboratori. Il supplemento di 4 dB(A) prospettato dai ricorrenti sembra infatti riferito ad altri tipi di posteggio.
7. 7.1 I ricorrenti sostengono infine che l'art. 9 OIF sarebbe contrario all'art. 25 cpv. 1 LPAmb (RS 814.01), poiché permette di superare i valori di pianificazione, esigendo soltanto il rispetto dei valori limite d'immissione.
7.2 Giusta l'art. 25 cpv. 1 LPAmb, la costruzione di impianti fissi è autorizzata solo se le immissioni foniche da essi prodotte non superano da sole i valori di pianificazione nelle vicinanze. Questa esigenza è ripresa dall'art. 7 cpv. 1 lett. b OIF, secondo cui le emissioni foniche di un impianto fisso nuovo devono essere limitate in modo che le immissioni foniche da esso prodotte non superino i valori di pianificazione (cfr. DTF 129 II 238 consid. 4.1). In concreto è stato accertato, in modo vincolante per il Tribunale federale, che il posteggio, quale impianto fisso nuovo, rispetta questi valori.
L'art. 9 OIF, dal titolo marginale "maggiore sollecitazione degli impianti per il traffico", si riferisce per contro alle cosiddette immissioni secondarie, riconducibili all'aumento del traffico sulle strade esistenti. La disposizione prevede che l'esercizio di un impianto fisso nuovo o modificato sostanzialmente non deve comportare il superamento dei valori limite d'immissione a causa della maggiore sollecitazione di un impianto per il traffico (art. 9 lett. a OIF) né provocare, a causa della maggiore sollecitazione di un impianto per il traffico che deve essere risanato, immissioni foniche percettibilmente più elevate (art. 9 lett. b OIF).
7.3 I ricorrenti richiamano al riguardo l'opinione espressa da FAVRE (op. cit., pag. 308 segg.), che fa a sua volta riferimento a quella di ROBERT WOLF (Auswirkungen des Lärmschutzrechts auf Nutzungsplanung und Baubewilligung, in: AJP 1999, pag. 1067 seg. e Kommentar zum Umweltschutzgesetz n. 64 segg. all'art. 25). Questi autori mettono in dubbio la compatibilità dell'art. 9 OIF con l'art. 25 LPAmb. Le loro considerazioni si riferiscono tuttavia soprattutto alla lett. b della disposizione esecutiva, che sembra permettere senza riserve un aumento non percettibile del livello di rumore nel caso in cui il valore limite d'immissione sia già superato. In concreto, è stato accertato che il rumore del traffico stradale rispetta il valore limite d'immissione, sicché l'applicazione dell'art. 9 lett. b OIF non è in discussione. D'altra parte, il Tribunale federale ha avuto modo di precisare che l'art. 9 OIF non è illegale, nella misura in cui non sia interpretato quale disposizione esaustiva che esclude l'applicazione dell'art. 11 cpv. 2 LPAmb (cfr. sentenza 1C_10/2011 del 28 settembre 2011 consid. 4.1, in: URP 2012, pag. 19 segg.). Ora, i ricorrenti non sostengono che in applicazione del principio della prevenzione nella fattispecie si sarebbero imposte misure supplementari per limitare le immissioni del traffico stradale. La censura, sollevata in modo generico, non deve quindi essere vagliata oltre.
8. Ne segue che il ricorso deve essere respinto in quanto ammissibile. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono pertanto poste a carico dei ricorrenti (art. 66 cpv. 1 LTF). Non si assegnano ripetibili al Comune di Bellinzona (art. 68 cpv. 3 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 4'000.-- sono poste a carico dei ricorrenti.
3. Comunicazione alle parti, rispettivamente al loro patrocinatore, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché all'Ufficio federale dell'ambiente.