Faits:
A. X._, originaire du Congo-Brazzaville où il est né en 1959, a acquis la citoyenneté britannique avant 2003. Depuis cette année-là, il vit à Genève avec son épouse, employée auprès de l'ONU. Tous deux bénéficient de cartes de légitimation de fonctionnaires internationaux délivrées par le Département fédéral des affaires étrangères.
A l'occasion de la 60ème session de la Commission des Droits de l'Homme organisée à Genève sous les auspices de l'ONU, la République du Congo-Brazzaville s'est vu confier la tâche de coordonner les travaux pour l'Afrique dans ce domaine. Dans ce cadre-là, l'Ambassadeur et Représentant permanent de cet État auprès de l'ONU a engagé, le 5 avril 2004, X._ en qualité de «Secrétaire bureautique bilingue» avec le statut «d'agent du personnel local de l'Ambassade et de la Mission permanente». Dans une note du 7 avril 2004 adressée au Ministre des Affaires étrangères, l'Ambassadeur a expliqué avoir dû s'adjoindre les services de X._, «citoyen britannique d'origine congolaise en qualité d'expert-juriste bilingue pour renforcer la Mission dans l'énorme et délicate tâche de la coordination des droits de l'homme pour l'Afrique». Le 13 janvier 2005, X._ et l'Ambassadeur ont signé un second contrat de travail attestant l'engagement du premier en qualité de «Secrétaire bureautique bilingue» pendant trois ans pour un salaire mensuel de 5'000 fr.
En date du 16 mars 2005, le Ministère des Affaires étrangères de la République du Congo-Brazzaville a promulgué un arrêté confirmant l'engagement de X._ au poste de «secrétaire bilingue». La décision se référait à la réglementation nationale qui fixait les effectifs du personnel administratif, technique et de service des représentations diplomatiques et consulaires; en vertu de celle-ci, la Mission de Genève se voyait attribuer trois Secrétaires bureautiques recrutés localement, mais ne disposait d'aucun personnel administratif délégué par le Ministère des Affaires étrangères.
X._ a assumé sa mission d'expert juriste bilingue au sein de la Commission des Droits de l'Homme pour le compte de la République du Congo-Brazzaville, en tenant compte des instructions que l'Ambassadeur lui faisait communiquer au besoin. Dans le cadre de ses fonctions, il est arrivé à X._ d'utiliser la mention de «Senior Human Rights Lawyer/Expert», laquelle figurait également sur sa carte de visite. A une reprise et après avoir appelé l'Ambassadeur, il a représenté la République du Congo-Brazzaville au sein de la Commission lors d'un vote, au cours duquel il s'est abstenu.
Dès juin 2005, X._ a attiré l'attention de l'Ambassadeur sur le fait qu'il n'avait reçu qu'une partie de la rémunération convenue; d'autres rappels ont suivi.
Le 28 juillet 2005, l'Ambassadeur a signifié à X._ une «note de cessation de service» selon laquelle il était mis fin «aux fonctions de Monsieur X._, membre du Personnel local engagé en qualité de secrétaire bilingue». Le conseil de ce dernier a dénoncé le caractère abusif de la résiliation.
B. Par mémoire du 20 mars 2006 adressé au Tribunal des prud'hommes du canton de Genève, X._ a ouvert action contre la République du Congo-Brazzaville en paiement de 212'704 fr., à titre de salaires dus et d'indemnité pour congé-représailles. La République du Congo-Brazzaville a soulevé l'exception d'immunité de juridiction.
Par jugement du 9 juillet 2007, le Tribunal des prud'hommes a déclaré la demande irrecevable. Il a jugé que l'activité de X._ ne relevait pas d'un emploi subalterne, mais était liée à l'exercice de la puissance publique, de sorte que l'État défendeur était fondé à opposer au demandeur son immunité de juridiction.
Statuant le 4 avril 2008 sur appel de X._, le Président de la Cour d'appel des prud'hommes du canton de Genève a annulé le jugement de première instance, débouté la République du Congo-Brazzaville de son exception d'immunité, déclaré la demande recevable et renvoyé la cause au Tribunal des prud'hommes pour compléter au besoin l'instruction et statuer sur le fond. Il a retenu que X._ occupait un poste subalterne, essentiellement au motif qu'il n'avait pas le statut de diplomate, devait régulièrement rendre compte à l'Ambassadeur et recevait des instructions de ce dernier.
C. La République du Congo-Brazzaville interjette un recours en matière civile. Elle conclut à ce qu'il soit constaté que la juridiction des prud'hommes est incompétente pour connaître du litige et à ce que X._ soit débouté de toutes ses conclusions.
Par ordonnance du 6 juin 2008, le Président de la cour de céans a accordé l'effet suspensif requis par la recourante.
Dans le délai qui lui avait été imparti, l'intimé a déposé tout d'abord une réponse, dans laquelle il conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué, puis un «additif» à sa réponse.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 III 115 consid. 1 p. 117 et les arrêts cités).
1.1 L'arrêt attaqué est une décision qui ne met pas fin à la procédure; il a été rendu dans une cause civile puisqu'elle porte sur des prétentions découlant d'un contrat de travail. Le juge cantonal a rejeté l'exception d'immunité de juridiction soulevée par la recourante et admis la compétence des juridictions genevoises pour connaître de l'action introduite par l'intimé. Il s'agit donc d'une décision incidente sur la compétence, laquelle est susceptible d'un recours en matière civile pour autant que l'arrêt au fond le soit (art. 92 LTF; ATF 133 III 645 consid. 2.2 p. 647; cf. ATF 130 III 136 consid. 1.1 p. 139; 124 III 382 consid. 2a p. 385/386).
La décision entreprise a été rendue par l'autorité judiciaire cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). La valeur litigieuse, qui correspond au montant encore contesté devant la dernière instance cantonale (art. 51 al. 1 let. a LTF), est supérieure à 15'000 fr. (art. 74 al. 1 let. a LTF). Le recours en matière civile contre un arrêt final serait ouvert dans cette cause, de sorte qu'il est en principe recevable en l'espèce.
Au surplus, les règles sur l'immunité de juridiction reconnue aux États étrangers sont des normes de droit fédéral (ATF 130 III 136 consid. 1.1 p. 139). Leur application peut être revue dans le cadre d'un recours en matière civile (art. 95 let. a LTF).
1.2 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte, notion qui correspond à l'arbitraire, ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit donc expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées; à défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. ATF 130 III 138 consid. 1.4). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
L'ancien droit de procédure fédérale réservait expressément la possibilité de compléter les constatations de la dernière autorité cantonale (art. 64 OJ). Bien qu'il ne règle pas spécifiquement la question, le nouveau droit n'exclut pas cette faculté. Il considère que l'hypothèse de l'état de fait incomplet entre dans les prévisions de l'art. 105 al. 2 LTF, en ce sens que l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. Aussi le Tribunal fédéral doit-il, en tout cas, pouvoir continuer à sanctionner un état de fait incomplet qui l'empêcherait d'appliquer correctement le droit privé fédéral. Mais il ne le fera pas d'une manière plus large que lorsqu'il usait des pouvoirs que lui accordait jadis l'art. 64 OJ (arrêt 4A_290/2007 du 10 décembre 2007, consid. 5.1). Cette disposition ne conférait pas aux parties la faculté de compléter ad libitum les faits constatés par l'autorité cantonale, sous prétexte qu'un complètement desdits faits conduirait à une solution juridique différente du litige. Elle n'entrait en ligne de compte que si la décision attaquée ne contenait pas les constatations nécessaires à l'application du droit fédéral, alors que les faits pertinents passés sous silence avaient été allégués en conformité avec les règles fixées par la procédure cantonale. Il appartenait au recourant de démontrer que ces faits avaient été allégués correctement; à défaut, ils étaient considérés comme nouveaux (ATF 115 II 484 consid. 2a).
La recourante et, singulièrement, l'intimé se méprennent sur les possibilités de compléter ou de modifier l'état de fait retenu par l'autorité cantonale. Il n'est pas possible de présenter simplement une version différente ou plus détaillée des faits et de demander au Tribunal fédéral de se fonder sur celle-ci, sans démontrer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. Il appartenait en particulier aux parties d'expliquer pourquoi il était arbitraire d'avoir retenu un fait ou de ne pas avoir retenu un fait régulièrement allégué en instance cantonale, et en quoi cela influait sur la décision attaquée. Les développements d'ordre factuel figurant dans les mémoires sont pour l'essentiel irrecevables. Il n'est dès lors pas nécessaire de se prononcer sur la pertinence des nombreux détails de fait allégués, ni de s'attarder sur l'exposé concernant la dimension politique et technique des droits de l'homme auquel l'intimé se livre à titre introductif.
2. 2.1 Il n'est pas contesté que la compétence des autorités suisses doit être appréciée en l'espèce à la lumière des règles générales du droit international public relatives à l'immunité de juridiction, telles que dégagées par la jurisprudence du Tribunal fédéral (ATF 124 III 382 consid. 4a p. 388; 120 II 400 consid. 3d in fine p. 405/406).
2.2 De tout temps, la jurisprudence suisse a marqué une tendance à restreindre le domaine de l'immunité des États. Le principe de l'immunité de juridiction n'est pas une règle absolue. L'État étranger n'en bénéficie que lorsqu'il agit en vertu de sa souveraineté (jure imperii). En revanche, il ne peut pas s'en prévaloir s'il a agi comme titulaire d'un droit privé ou au même titre qu'un particulier (jure gestionis); en ce cas, l'État étranger peut être assigné devant les tribunaux suisses, à condition toutefois que le rapport de droit privé auquel il est partie soit rattaché de manière suffisante au territoire suisse (Binnenbeziehung). Les actes accomplis jure imperii (ou actes de souveraineté) se distinguent des actes accomplis jure gestionis (ou actes de gestion) non par leur but, mais par leur nature intrinsèque. Il convient ainsi de déterminer, en recourant si nécessaire à des critères extérieurs à l'acte en cause, si celui-ci relève de la puissance publique ou s'il s'agit d'un rapport juridique qui pourrait, dans une forme identique ou similaire, être conclu entre deux particuliers (ATF 124 III 382 consid. 4a p. 388/389; 120 II 400 consid. 4a et b p. 406/407).
En matière de contrat de travail, la jurisprudence admet que, si l'État accréditant peut avoir un intérêt important à ce que les litiges qui l'opposent à des membres de l'une de ses ambassades exerçant des fonctions supérieures ne soient pas portés devant des tribunaux étrangers, les circonstances ne sont pas les mêmes lorsqu'il s'agit d'employés subalternes. En tout cas, lorsque l'employé n'est pas un ressortissant de l'État accréditant et qu'il a été recruté puis engagé au for de l'ambassade, la juridiction du for peut être reconnue dans la règle. L'État n'est alors pas touché dans l'exercice des tâches qui lui incombent en sa qualité de titulaire de la puissance publique (ATF 120 II 400 consid. 4a p. 406, 408 consid. 5b p. 409/410; 110 II 255 consid. 4 p. 261).
Pour décider si le travail accompli par une personne qui est au service d'un État ressortit ou non à l'exercice de la puissance publique, il faut partir de l'activité en cause. En effet, à défaut de législation déterminant quelles fonctions permettent à l'État accréditant de se prévaloir, à l'égard de leurs titulaires, de son immunité, la désignation de la fonction exercée ne saurait être, à elle seule, un critère décisif. Aussi bien, selon les tâches qui lui sont confiées, tel employé apparaîtra comme un instrument de la puissance publique alors que tel autre, censé occuper un poste identique, devra être classé dans la catégorie des employés subalternes (ATF 120 II 408 consid. 5b p. 410).
La qualification d'emploi subalterne a notamment été donnée aux postes de chauffeur, de portier, de jardinier, de cuisinier (ATF 120 II 400 consid. 4b p. 406), de traducteur-interprète (ATF 120 II 408 consid. 5c p. 410/411), d'employé de bureau (ATF 110 II 255 consid. 4a p. 261), de femme de ménage (arrêt 4C.338/2002 du 17 janvier 2003, consid. 4.2, reproduit in ARV/DTA 2003 p. 92) et d'employée de maison (arrêt 4C.73/1996 du 16 mai 1997, reproduit in JAR 1998 p. 298); il s'agit de fonctions relevant essentiellement de la logistique, de l'intendance et du soutien, sans influence décisionnelle sur l'activité spécifique de la mission dans la représentation du pays.
3. 3.1 L'intimé possède la nationalité britannique et résidait à Genève lorsqu'il a été engagé par la recourante. Quoi qu'il en dise, ces circonstances ne font pas obstacle en l'espèce à l'immunité de juridiction de la recourante. En effet, l'intimé est né au Congo-Brazzaville, dont il est originaire. Comme la recourante le relève sans être contredite par l'intimé, ce dernier est également citoyen congolais, aucun élément de l'arrêt attaqué ne permettant de retenir que l'intéressé aurait abandonné sa nationalité d'origine. Au demeurant, la règle de la juridiction du for en faveur des employés engagés sur place et possédant une nationalité autre que celle de l'État accréditant, n'est pas absolue. En l'occurrence, une exception était, en tout état de cause, justifiée en raison des liens personnels que l'intimé entretient avec le Congo-Brazzaville et qui ont, parmi d'autres facteurs, motivé son engagement selon la note du 7 avril 2004 de l'Ambassadeur.
3.2 L'intimé a été engagé en raison de ses compétences de juriste bilingue spécialiste des droits de l'homme. Il devait renforcer la Mission de la recourante afin de permettre à cette dernière d'assumer la coordination des travaux de la Commission des Droits de l'Homme pour le continent africain, tâche qui revenait au Congo-Brazzaville cette année-là. L'intimé a accompli sa mission d'expert sous la direction et selon les directives de l'Ambassadeur, qui les lui transmettait directement ou par l'entremise du Ministre conseiller rattaché à la Mission. L'intimé a pris part à des réunions où siégeaient des diplomates; il a préparé des propositions et assuré la coordination entre diverses Missions africaines; à une occasion, il a, en accord avec l'Ambassadeur, représenté la recourante à l'occasion d'un vote de la Commission des Droits de l'Homme.
En sa qualité d'expert, l'intimé jouait un rôle significatif au sein de la délégation officielle de la recourante auprès d'une commission importante des Nations Unies, ce qui ressort notamment des contacts noués par l'intéressé avec les Missions d'autres États africains et du fait qu'il a été appelé à représenter formellement la recourante lors d'un vote de la Commission. Certes, l'intimé devait régulièrement faire rapport à l'Ambassadeur et ce dernier lui donnait des directives. Mais cette situation n'a rien d'exceptionnel pour une personne travaillant au service d'une ambassade ou d'une mission; on ne saurait déduire de cette circonstance que ladite personne occupe des fonctions subalternes comparables à celle du personnel de service. Même s'il ne jouissait pas du pouvoir décisionnel, l'intimé, en tant qu'expert chargé de tâches spécifiques, avait manifestement une influence sur les décisions prises par le chef de mission dans une activité diplomatique à un haut niveau. A cet égard, ni la spécialisation de l'activité, ni l'absence de statut diplomatique n'excluent que la personne en cause occupe une fonction supérieure.
Selon le contrat l'engageant «en qualité d'expert-consultant», l'intimé devait, entre autres, faire preuve de ponctualité, de tenue dans le service et de serviabilité. Il s'agit certes d'une clause que l'on s'attend plutôt à trouver dans le contrat de travail d'un employé subalterne. Elle apparaît toutefois manifestement comme une clause standard insérée dans les contrats du personnel local, statut sous lequel l'intimé pouvait être engagé. Au demeurant, ce ne sont pas ces exigences et les termes utilisés qui sont déterminants pour qualifier la nature de la fonction examinée, mais bien l'activité réellement exercée. Or, telles que décrites ci-dessus, les tâches confiées à l'intimé ne permettent pas de considérer celui-ci comme un employé subalterne de la Mission.
Sur le vu de ce qui précède, l'immunité de juridiction de la recourante doit être reconnue en l'espèce. Par conséquent, le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et la demande de l'intimé est irrecevable, faute de compétence des autorités judiciaires suisses pour en connaître.
4. Comme il succombe, l'intimé supportera les frais judiciaires et les dépens de la recourante dans la procédure fédérale (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Pour le surplus, la cause est renvoyée au Président de la Cour d'appel des prud'hommes afin qu'il statue sur les frais et dépens de la procédure cantonale (art. 68 al. 5 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
La demande déposée le 21 mars 2006 par X._ contre la République du Congo-Brazzaville est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante une indemnité de 7'000 fr. à titre de dépens.
4. La cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Président de la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 9 juillet 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Corboz Godat Zimmermann