Faits:
A. S._, née en 1944, était obligatoirement assurée contre les accidents auprès de la Nationale Suisse Assurances (ci-après: la Nationale).
Le 23 février 2005, elle a fait une chute dans sa cuisine; elle a subi une fracture du péroné gauche. La Nationale a pris en charge le cas. Dans la nuit du 3 au 4 août 2005, elle a été victime d'une nouvelle chute, cette fois dans les escaliers de sa maison. Elle a souffert d'un traumatisme cranio-cérébral. Hospitalisée d'urgence à l'Hôpital X._, elle a été transférée le 7 août 2005 à l'Hôpital Y._. Elle a ensuite été adressée à la Clinique Z._, où elle a séjourné à partir du 23 août 2005. Les frais médicaux liés à ces trois hospitalisations ont été pris en charge par la Nationale.
Le 17 octobre 2005, l'assurée a quitté la Clinique Z._ pour être transférée au Centre W._. Des correspondances ont été échangées entre le Centre W._ et la Nationale. L'assurée a quitté le Centre W._ le 27 février 2006. Le 21 mars 2006, celui-ci a écrit à la Nationale pour lui communiquer le bilan de sortie de la patiente et pour lui transmettre la facturation des frais de séjour. Le montant du décompte final s'élevait à 43'790 fr.
L'assurée est décédée le 23 mars 2006. Sa succession a été répudiée. Le 30 avril 2006, la Nationale a informé le Centre W._ qu'elle acceptait de prendre en charge une partie des frais de séjour de son assurée dans cet établissement, soit 5'535 fr. Selon elle, les suites des deux accidents assurés ne nécessitaient pas la poursuite d'un traitement hospitalier au-delà du 31 octobre 2005.
B. Le 24 juin 2008, le Centre W._ a saisi le Tribunal arbitral en matière d'assurance-accidents du canton du Jura en prenant les conclusions suivantes:
1. Ouvrir une procédure de conciliation devant le tribunal arbitral portant sur le paiement d'une somme de fr. 38'255.- demandée à la Nationale Suisse Assurances pour les prestations fournies à S._ par le Centre W._.
2. En cas d'échec de conciliation, condamner la Nationale Suisse Assurances au paiement de la somme de fr. 38'255.- ainsi que des intérêts moratoires, ou d'une autre somme à dire de justice, sous suite de frais et dépens.
Dans sa réponse du 15 août 2008, la défenderesse a soulevé le grief d'incompétence ratione materiae du Tribunal arbitral en matière d'assurance-accidents.
Statuant en la voie incidente le 28 février 2009, le Tribunal arbitral a admis sa compétence pour statuer sur le litige.
C. La Nationale a formé un recours en matière de droit public en demandant au Tribunal fédéral d'annuler le jugement du Tribunal arbitral et de déclarer irrecevable la demande du 24 juin 2008.
Le Centre W._ a conclu au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 1 consid. 1.1 p. 3; 134 V 443 consid. 1 p. 444).
2. 2.1 Selon l'art. 92 LTF, les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation peuvent faire l'objet d'un recours (al. 1). Ces décisions ne peuvent plus être attaquées ultérieurement (al. 2). Par leur nature, les questions concernant la compétence de l'autorité et sa composition régulière doivent en effet être tranchées préliminairement, de manière définitive, avant que ne se poursuive la procédure (BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, n. 20 ad art. 92).
2.2 Il en résulte en l'espèce que le recours immédiat devant le Tribunal fédéral est ouvert. Les autres conditions de recevabilité sont par ailleurs remplies. En effet, le recours est dirigé contre un jugement rendu en matière de droit public (art. 82 let. a LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), dont la décision finale est sujette à recours devant le Tribunal fédéral (art. 57 al. 5 LAA).
3. La question est de savoir si le Tribunal arbitral en matière d'assurance-accidents est compétent pour connaître de la contestation portée devant lui par le Centre W._.
3.1 Selon l'art. 57 LAA, les litiges entre assureurs et personnes exerçant une activité dans le domaine médical, laboratoires, établissements hospitaliers et établissements de cure sont jugés par un tribunal arbitral dont la juridiction s'étend à tout le canton (al. 1). Le tribunal compétent est celui du canton dans lequel se trouve l'installation permanente d'une de ces personnes ou d'un de ces établissements (al. 2). Les cantons désignent le tribunal arbitral et fixent la procédure; à moins que le cas n'ait déjà été soumis à un organisme de conciliation prévu par convention, le tribunal arbitral ne peut être saisi sans procédure de conciliation préalable; il se compose d'un président neutre et de représentants des parties en nombre égal (al. 3).
3.2 De manière générale, les règles de compétence développées pour les tribunaux arbitraux en matière d'assurance-maladie, tant sous le régime de la LAMA que sous celui de la LAMal, sont applicables à l'art. 57 LAA. La notion de litige susceptible d'être soumis au tribunal arbitral doit être entendue au sens large (ATF 111 V 342 consid. 1b p. 346). Il est nécessaire, cependant, que soient en cause des rapports juridiques qui résultent de la loi concernée (LAMal, LAA) ou qui ont été établis en vertu de cette loi. Le litige doit concerner la position particulière de l'assureur ou du fournisseur de prestations dans le cadre de cette même loi. Si ces conditions ne sont pas réalisées, le litige relève de la compétence du juge civil (ATF 131 V 191 consid. 2 p. 192).
4. 4.1 Selon l'art. 10 al. 1 LAA, l'assuré a droit au traitement médical approprié des lésions résultant de l'accident, à savoir, en particulier, au traitement ambulatoire dispensé par le médecin (let. a), au traitement, à la nourriture et au logement en salle commune dans un hôpital (let. c). Selon l'art. 48 al. 1 LAA, l'assureur peut prendre les mesures qu'exige le traitement approprié de l'assuré en tenant compte équitablement des intérêts de celui-ci et de ses proches. Sous le titre «Limites du traitement», l'art. 54 LAA prévoit par ailleurs ceci: «Lorsqu'ils soignent des assurés, leur prescrivent ou leur fournissent des médicaments, prescrivent ou appliquent un traitement ou font des analyses, ceux qui pratiquent aux frais de l'assurance-accidents doivent se limiter à ce qui est exigé par le but du traitement».
4.2 Le système mis en place ici confère un grand pouvoir à l'assureur-accidents. Ce dernier exerce un contrôle sur le traitement en cours qu'il garantit à l'assuré à titre de prestation en nature. Ce contrôle ne s'exerce pas directement à l'endroit du patient, mais à l'égard du fournisseur, notamment le médecin traitant (FRANÇOIS-X. DESCHENAUx, Le précepte de l'économie du traitement dans l'assurance-maladie sociale, en particulier en ce qui concerne le médecin, in Mélanges pour le 75e anniversaire du Tribunal fédéral des assurances, Berne 1992, p. 529 s.). L'indemnisation a lieu selon le système du tiers payant. Dans une certaine mesure, les fournisseurs de prestations se trouvent dans une situation de dépendance à l'égard de l'assureur LAA. La responsabilité ultime pour le traitement appartient à l'assureur (ATF 134 V 189 consid. 3.3 p. 196; SVR 2009 UV no 9 p. 35 consid. 4.2.1, arrêt 8C_510/2007 du 3 octobre 2008) et c'est auprès de lui, en principe tout au moins, qu'ils doivent demander l'autorisation de prendre les mesures qui leur paraissent indiquées pour le traitement du patient (DESCHENAUX, ibidem). Le principe des prestations de soins en nature - où l'assureur est censé fournir lui-même le traitement médical même s'il le fait par l'intermédiaire d'un médecin ou d'un hôpital - implique en outre que les médecins et autres fournisseurs soient tenus de communiquer à l'assureur les données médicales indispensables. C'est la raison pour laquelle l'entrée en vigueur de la loi fédérale du 19 juin 1992 sur la protection des données (LPD) a nécessité ultérieurement l'introduction d'une base légale formelle dans la LAA relative à la communication des données. Le législateur l'a fait en adoptant l'art. 54a LAA, en vigueur depuis le 1er janvier 2001 et qui, sous le titre «Devoir d'information du fournisseur de prestations» prévoit que le fournisseur de prestations remet à l'assureur une facture détaillée et compréhensible; il lui transmet également toutes les indications nécessaires pour qu'il puisse se prononcer sur le droit aux prestations et vérifier le calcul de la rémunération ou le caractère économique de la prestation (voir ATF 134 V 189 consid. 3.2 p. 195).
4.3 Après la survenance d'un cas d'assurance, il s'établit donc entre le fournisseur de prestations et l'assureur-accidents un rapport particulier de droits et d'obligations fondé sur la LAA et qui repose notamment sur le fait que le premier fournit les prestations en nature pour le compte et sous la responsabilité du second. Les litiges concernant les limites du traitement selon l'art. 54 LAA participent de ce rapport particulier et relèvent donc du tribunal arbitral. C'est particulièrement le cas lorsque le fournisseur de prestations fait valoir une créance d'honoraires à l'encontre de l'assureur-accidents pour les mesures dont le caractère approprié ou économique est contesté par l'assureur (ALFRED MAURER, Schweizerisches Unfallversicherungsrecht, 2e éd. 1989, p. 617 s.; GHÉLEW/RAMELET/RITTER, Commentaire de la loi sur l'assurance-accidents [LAA], Lausanne 1992, p. 199; GHISLAINE FRÉSARD-FELLAY, Les tribunaux arbitraux institués par l'art. 57 LAA, RSAS 1989 p. 295 ss; THOMAS A. BÜHLMANN, Die rechtliche Stellung der Medizinalpersonen im Bundesgesetz über die Unfallversicherung vom 20. März 1981, thèse Berne 1985, p. 207).
4.4 En l'espèce, la recourante ne conteste pas devoir prendre en charge le traitement médical consécutif à l'accident de l'assurée décédée. Ce qu'elle conteste, en revanche, c'est le caractère approprié ou économique du séjour de l'assurée au Centre W._, dont elle estime qu'il n'était plus nécessaire au-delà du 31 octobre 2005, comme le constatent d'ailleurs les premiers juges. On doit ainsi admettre qu'il s'agit d'une contestation qui relève du tribunal arbitral institué par l'art. 57 LAA.
4.5 La recourante objecte, certes, qu'elle n'a rendu aucune décision sur l'octroi des prestations litigieuses. Elle fait valoir qu'elle n'a pas admis le principe d'une prise en charge des prestations fournies par l'intimé. Elle affirme n'avoir jamais été informée des pourparlers téléphoniques entre la Clinique Z._ et l'intimé. Ce n'est que deux mois après que l'assurée a été transférée au Centre W._ qu'elle aurait été informée du séjour de son assurée dans cet établissement. La recourante affirme avoir été mise devant le fait accompli.
Ces objections ne sont toutefois pas fondées. La saisine du Tribunal arbitral (par la voie de l'action) ne présuppose pas une décision préalable de l'assureur. Quant au fait que la Nationale n'aurait pas été informée du transfert de l'assurée au Centre W._, il ne concerne pas la compétence du tribunal arbitral en tant que telle. Si le fournisseur de prestations omet d'informer l'assureur LAA des éventuelles mesures prises en urgence ou des mesures qu'il entend mettre en oeuvre, cela relève du litige au fond. Une telle omission peut éventuellement conduire à la réduction, voire à la perte de la créance d'honoraires vis-à-vis de l'assureur (DESCHENAUX, op. cit., p. 530; MAURER, op. cit., p. 297). Ce sont là des questions qui ressortissent à la compétence du tribunal arbitral.
5. En conclusion, c'est à bon droit que le tribunal arbitral s'est déclaré compétent ratione materiae. Le recours est ainsi mal fondé. Succombant, la recourante supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Bien qu'il obtienne gain de cause, l'intimé, qui n'est pas représenté, n'a pas droit aux dépens qu'il prétend.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, d'un montant de 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal arbitral en matière de litiges d'assurance-accidents et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 9 décembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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