Sachverhalt:
A. Der aus dem Kosovo stammende A._, geb. 26. Juli 1957, heiratete 1988 eine Schweizerin (geb. 1949), worauf ihm die Aufenthaltsbewilligung im Kanton Thurgau erteilt wurde. Am 4. Oktober 1994 wurde er erleichtert eingebürgert. Die Ehe wurde am 14. Februar 2001 vom Bezirksgericht in Arbon rechtskräftig geschieden. Am 27. November 2003 verstarb seine vormalige Ehefrau.
Während seiner Ehe unterhielt A._ in seinem Heimatland eine Beziehung mit der Landsfrau B._, geb. 20. November 1965, aus welcher die vier Kinder C._ (geb. 10. Oktober 1990), D._ (geb. 10. Februar 1992), E._ (geb. 15. April 1995) und F._ (geb. 9. Juli 2001) hervorgingen. Die beiden letztgenannten Kinder erhielten durch Abstammung das Schweizer Bürgerrecht. Am 15. August 2001 gingen A._ und B._ die Ehe ein.
B. Mit Verfügung vom 10. Juli 2006 wies das Migrationsamt des Kantons Thurgau ein von A._ am 8. Dezember 2005 eingereichtes Gesuch um Familiennachzug für seine Ehefrau und die beiden Kinder C._ und D._ ab. Ein Rekurs an das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau blieb erfolglos (Entscheid vom 16. Oktober 2007). Das Departement begründete die Verweigerung des Familiennachzugs im Wesentlichen damit, dass ein Fall von Rechtsmissbrauch vorliege und zudem die Gefahr einer Fürsorgeabhängigkeit bestehe.
C. Mit Entscheid vom 6. Februar 2008 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau eine von A._ dagegen eingereichte Beschwerde teilweise gut, indem es die Sache zur Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung für die Ehefrau an das Migrationsamt zurückwies. Hinsichtlich des anbegehrten Nachzugs der beiden Kinder wies es die Beschwerde ab.
D. Mit Eingabe vom 16. April 2008 erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, den verwaltungsgerichtlichen Entscheid insoweit aufzuheben, als damit die Beschwerde betreffend den Familiennachzug der Kinder C._ und D._ abgewiesen wird, und den Kanton Thurgau anzuweisen, den Familiennachzug für die Kinder C._ und D._ zu bewilligen.
Das Migrationsamt, das Departement für Justiz und Sicherheit und das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie das Bundesamt für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Das streitige Familiennachzugsgesuch wurde vor Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) am 1. Januar 2008 eingereicht und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen (Art. 126 Abs. 1 AuG).
1.3 Gemäss Art. 17 Abs. 2 dritter Satz ANAG haben ledige Kinder unter 18 Jahren Anspruch auf Einbezug in die Niederlassungsbewilligung ihrer Eltern, wenn sie mit diesen zusammen wohnen. Die genannte Bestimmung gilt sinngemäss auch für ausländische Kinder eines Schweizers (grundlegend: BGE 118 Ib 153 E. 1b S. 155 f.; ferner: BGE 130 II 137 E. 2.1 S. 141; 129 II 249 E. 1.2 S. 252).
Der Beschwerdeführer verfügt über das Schweizer Bürgerrecht. Seine beiden nachzuziehenden Kinder ohne Schweizer Bürgerrecht waren zum Zeitpunkt der Gesuchseinreichung, auf den es im Rahmen von Art. 17 Abs. 2 ANAG für die Eintretensfrage ankommt (statt vieler: BGE 129 II 249 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen), noch nicht 18 Jahre alt, womit ein grundsätzlicher Rechtsanspruch auf deren Nachzug besteht. Da die Kinder auch heute noch nicht volljährig sind, kann sich der Beschwerdeführer zudem auf das in Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV garantierte Recht auf Achtung des Familienlebens berufen (vgl. BGE 129 II 249 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen).
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist demzufolge einzutreten. Ob die Bewilligung verweigert werden durfte, weil ein Verstoss gegen das Rechtsmissbrauchsverbot gegeben ist, betrifft nicht das Eintreten, sondern bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. BGE 128 II 145 E. 1.1.5 S. 150 mit Hinweisen).
1.4 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt u.a. hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 IV 286 E. 1.4 S. 287).
1.5 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Zweck des Familiennachzugs ist es, das Leben in der Familiengemeinschaft zu ermöglichen. Der Gesetzeswortlaut verdeutlicht, dass die rechtliche Absicherung des Zusammenlebens der Gesamtfamilie angestrebt wird: Verlangt wird ausdrücklich dass die Kinder "mit ihren Eltern" (Plural) zusammenwohnen werden. Auch die innere Systematik von Art. 17 Abs. 2 ANAG geht vom Zusammenleben mit Mutter und Vater aus. Die Nachzugsregelung ist daher auf Familien zugeschnitten, in denen die (leiblichen) Eltern einen gemeinsamen ehelichen Haushalt führen (BGE 129 II 11 E. 3.1.1 S. 14; 126 II 329 E. 2a S. 330; 119 Ib 81 E. 2c S. 86; 118 Ib 153 E. 2b S. 159).
Im Unterschied zum nachträglichen Nachzug von Kindern geschiedener oder getrennt lebender Eltern, bei dem es nicht um die Zusammenführung der Gesamtfamilie geht (vgl. BGE 129 II 249 E. 2.1 S. 252 f. mit Hinweisen), bedarf es bei Kindern, deren Eltern in der Schweiz zusammenleben, keiner besonderer stichhaltiger Gründe, welche die verzögerte Geltendmachung des Nachzugsrechts rechtfertigen. Innerhalb der allgemeinen Schranken von Art. 17 Abs. 2 Satz 3 ANAG ist der Nachzug von gemeinsamen Kindern durch beide Eltern zusammen jederzeit zulässig; vorbehalten bleibt einzig das Rechtsmissbrauchsverbot (eingehend: BGE 126 II 329 E. 3a/3b S. 332 f.; ferner: BGE 129 II 11 E. 3.1.2 S. 14; vgl. auch BGE 130 II 1 E. 2.2 S. 4).
Will ein niedergelassener (oder eingebürgerter) Ausländer - wie vorliegend - gleichzeitig seine Ehefrau und die gemeinsamen Kinder in die Schweiz nachziehen, so ist dieser Fall als Familiennachzug von zusammenlebenden Eltern zu qualifizieren (vgl. etwa Urteil 2A.31/2005 vom 26. Mai 2005, E. 2). Anzumerken bleibt, dass der Beschwerdeführer nach eigenem Bekunden abgesehen von seiner Ehefrau den Nachzug aller vier Kinder beabsichtigt, die beiden jüngsten Kinder indessen nicht ins vorliegende Verfahren einbezogen werden mussten, da sie als Schweizer Bürger keiner fremdenpolizeilichen Anwesenheitsbewilligung bedürfen.
2.2 Rechtsmissbrauch liegt insbesondere dann vor, wenn ein Rechtsinstitut zweckwidrig zur Verwirklichung von Interessen verwendet wird, die dieses Rechtsinstitut nicht schützen will (BGE 128 II 145 E. 2.2 S. 151 mit Hinweisen). Beim Nachzug von Ehegatten ist dies der Fall, wenn ein Ausländer sich im Verfahren um Erteilung einer fremdenpolizeilichen Aufenthaltsbewilligung auf eine Ehe beruft, welche nur (noch) formell und ohne Aussicht auf Aufnahme bzw. Wiederaufnahme einer ehelichen Gemeinschaft besteht (vgl. BGE 130 II 113 E. 4.2 S. 117 mit Hinweisen). Beim Nachzugsrecht für Kinder liegt Rechtsmissbrauch vor, wenn nicht die Herstellung der Familiengemeinschaft in der Schweiz beabsichtigt wird, sondern Art. 17 Abs. 2 ANAG zweckwidrig für die Beschaffung einer Niederlassungsbewilligung allein im Hinblick auf eine künftige selbständige Anwesenheit als Erwachsener und eine Erwerbsaufnahme in der Schweiz, d.h. zwecks Verschaffung besserer Zukunftsaussichten angerufen wird (vgl. BGE 126 II 329 E. 3b S. 333).
2.3 Das Verwaltungsgericht kam im angefochtenen Entscheid zum Ergebnis, dass der Beschwerdeführer zwar sein Aufenthalts- und das Schweizer Bürgerrecht in rechtsmissbräuchlicher Art erlangt habe; es liege indessen heute eine echte eheliche Gemeinschaft vor, weshalb das Rechtsmissbrauchsverbot dem Nachzug der Ehefrau nicht entgegengehalten werden könne. Die Gefahr einer andauernden Fürsorgeabhängigkeit sei mit Blick auf den behördlich bestätigten Anspruch des Beschwerdeführers auf eine ganze IV-Rente und den insofern zu erwartenden Ehegatten- und Kinderrenten zu verneinen. Was den Nachzug der beiden ausländischen Kinder des Beschwerdeführers angeht, wirft ihm das Gericht vor, nach der Heirat im Jahre 2001 mit der Einreichung des betreffenden Gesuches noch vier Jahre zugewartet zu haben, woraus zu schliessen sei, dass es ihm nicht primär um das Familienleben, sondern in erster Linie darum gegangen sei, den beiden älteren Kindern den Zugang zum schweizerischen Arbeitsmarkt zu verschaffen. In Bezug auf die beiden Kinder sei das Nachzugsgesuch rechtsmissbräuchlich und daher abzuweisen. Ob die Ehefrau unter diesen Umständen vom für sie bewilligten Nachzug Gebrauch machen wolle, bleibe ihr überlassen.
2.4 Die beiden in Frage stehenden Kinder des Beschwerdeführers sind heute nicht ganz 18 bzw. 16 Jahre alt. Im Zeitpunkt der Einreichung des Nachzugsgesuchs waren sie 15 bzw. 13 Jahre alt. Sie standen damit nicht unmittelbar vor Erreichung der Volljährigkeit, und es kann nicht gesagt werden, aufgrund des Alters der Kinder habe das Ziel des gemeinsamen Familienlebens keine oder nur noch eine nebensächliche Rolle gespielt. Insoweit wäre das Vorliegen eines Rechtsmissbrauches zu verneinen.
Der Beschwerdeführer begründet sein gut vierjähriges Zuwarten mit der Stellung des Nachzugsgesuches damit, dass er auch nach der Scheidung von seiner schweizerischen Ehefrau noch rund 2 1⁄2 Jahre mit dieser weiter zusammengelebt und sie bis zu ihrem Tod am 27. November 2003 gepflegt habe. Zudem habe er damals über kein festes Einkommen verfügt und ein Gesuch bei der Invalidenversicherung hängig gehabt. Nachdem sich dieses IV-Verfahren in die Länge gezogen habe, habe er sich trotz seiner unsicheren finanziellen Situation im Jahre 2005 zur Einreichung des Familiennachzugsgesuchs entschlossen; die IV-Rente sei ihm erst nachträglich zugesprochen worden.
Nach dieser eigenen Darstellung will der Beschwerdeführer den an sich von Anfang an beabsichtigten Familiennachzug nicht oder nicht allein wegen fehlender finanzieller Mittel, sondern wegen des weiteren Zusammenlebens mit seiner geschiedenen krebskranken Ehefrau hinausgeschoben haben. Massgebend für sein - menschlich insofern einfühlsames - Verhalten waren damit Gründe, welche ausserhalb der gemeinsamen familiären Sphäre der heutigen Ehegatten lagen und dem Ziel des Zusammenlebens mit Ehefrau und Kindern, welchem das gesetzlich verankerte Nachzugsrecht dienen soll, sogar zuwiderliefen. Ob bereits diese Motivation für sich allein gesehen die verzögerte Geltendmachung des Nachzugsrechts als rechtsmissbräuchlich erscheinen lässt, kann dahingestellt bleiben.
2.5 Die aus Art. 7 und 17 ANAG ableitbaren Ansprüche auf eine ausländerrechtliche Bewilligung für Familienmitglieder stehen nicht nur in Bezug auf den Zeitpunkt ihrer Geltendmachung, sondern auch in sonstiger Hinsicht unter dem Vorbehalt des Rechtsmissbrauchs.
Vorliegend steht ausser Frage, dass der Beschwerdeführer sein Schweizer Bürgerrecht in krass rechtsmissbräuchlicher Weise erworben hat. Eine Nichtigerklärung der Einbürgerung wegen Erschleichens durch falsche Angaben oder Verheimlichung wesentlicher Tatsachen konnte vorliegend einzig deshalb nicht mehr erfolgen, weil die Fünfjahresfrist gemäss Art. 41 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0) bei Entdeckung des Sachverhalts bereits abgelaufen war (vgl. zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung in derartigen Konstellationen: BGE 130 II 482; 128 II 97). Der Beschwerdeführer hat das Schweizer Bürgerrecht damit zwar gültig erworben, und er kann sich für den Nachzug seiner heutigen Familie im Grundsatz auf Art. 7 und 17 ANAG bzw. die Garantien von Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV berufen. Es ist den Fremdenpolizeibehörden indessen in einer solchen Konstellation nicht verwehrt, bei der Prüfung eines Familiennachzugsgesuchs die (fragwürdigen) Umstände des Erwerbs des Anwesenheitstitels mit in Betracht zu ziehen, aus welchem weitere fremdenpolizeiliche Anwesenheitsrechte abgeleitet werden sollen. Wenn das Verwaltungsgericht bei der gegebenen Sachlage den beantragten Familiennachzug für die beiden älteren Kinder, die heute kurz vor Erreichung der Volljährigkeit stehen, nicht bewilligt hat, lässt sich dies jedenfalls im Ergebnis nicht beanstanden. Ob die finanziellen Mittel des vollinvaliden Beschwerdeführers für den Unterhalt einer sechsköpfigen Familie ausreichen würden, bedarf insofern keiner weiteren Prüfung. Inwieweit das Rechtsmissbrauchsverbot auch dem Nachzug der Ehefrau hätte entgegengehalten werden können, wie dies das kantonale Departement für Justiz und Sicherheit in seinem Rekursentscheid getan hat, ist nicht weiter zu untersuchen, da die Bewilligungserteilung an die Ehefrau im Verfahren vor Bundesgericht nicht mehr Streitgegenstand bildet.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet abzuweisen.
Entsprechend dem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt, dem Departement für Justiz und Sicherheit und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Moser