Sachverhalt:
A. A.a P._, geboren 1970, erlitt am 30. Mai 2001 als Autolenker einen Heckauffahrunfall. Er meldete sich im Juni 2002 zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Vom 1. Juli 1998 bis 30. Juni 2001 war P._ im Rahmen eines befristeten Arbeitsverhältnisses als Fussballspieler bei der F._ AG beschäftigt. Dr. med. B._, Chefarzt Neurorehabilitation, Parkinson-Zentrum und Epileptologie der Klinik X._ erstattete im Auftrag des für den Verkehrsunfall vom 30. Mai 2001 zuständigen Unfallversicherers am 18. Dezember 2003/14. April 2004 ein medizinisches Gutachten. P._ liess am 17. Dezember 2004 bei Dr. med. H._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, ein psychiatrisches und am 27. Mai 2005 bei Dr. med. M._, Spezialarzt FMH für Neurologie ein neurologisches/neuropsychologisches Gutachten erstellen. Die IV-Stelle Bern ordnete bei der Stiftung Q._ für berufliche Integration eine Abklärung an, über die am 21. August 2007 berichtet wurde, und holte ein interdisziplinäres MEDAS-Gutachten vom 15. April 2008 ein. Mit Vorbescheid vom 14. Mai 2008 stellte die IV-Stelle dem Versicherten die Verneinung eines Rentenanspruchs in Aussicht. P._ erhob dagegen am 28. Mai 2008 Einwände und nahm am 25. Juni 2008 Stellung zum MEDAS-Gutachten. Hiezu äusserten sich die MEDAS am 7. Juli 2008 und Dr. med. E._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie FMH, vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) der IV-Stelle Bern am 13. Oktober 2008. Mit Verfügung vom 21. Oktober 2008 verneinte die IV-Stelle den Anspruch auf eine Invalidenrente.
A.b Mit Entscheid vom 31. August 2007 hat das Verwaltungsgericht des Kantons Bern eine vom Unfallversicherer zugesprochene Übergangsentschädigung aufgehoben und festgestellt, dass über den 1. August 2005 hinaus kein Anspruch auf Leistungen aus Unfallversicherung bestehe. Dies wurde mit Urteil 8C_614/2007 des Bundesgerichts vom 10. Juli 2008 bestätigt.
B. Die von P._ gegen die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 21. Oktober 2009 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 28. Oktober 2010 ab.
C. P._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid vom 28. Oktober 2010 aufzuheben und die IV-Stelle zu verpflichten, die gesetzlich geschuldeten Leistungen, insbesondere eine Invalidenrente, auszurichten.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2. 2.1 Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 135 V 194). Solche Umstände können namentlich in formellrechtlichen Mängeln des angefochtenen Entscheides liegen, mit denen die Partei nicht rechnete und nach Treu und Glauben nicht zu rechnen brauchte, oder darin, dass die Vorinstanz materiell in einer Weise urteilt, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals rechtserheblich werden. Der vorinstanzliche Verfahrensausgang allein bildet noch keinen hinreichenden Anlass im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG für die Zulässigkeit von unechten Noven, die bereits im kantonalen Verfahren ohne Weiteres hätten vorgebracht werden können. Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden (echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (Urteil 8C_652/2010 vom 22. September 2010 E. 3.1).
2.2 Das letztinstanzlich erstmals aufgelegte Privatgutachten von Prof. Dr. med. C._, Leiter des Bereichs für Schmerztherapie, Klinik für Anästhesiologie und Schmerztherapie, Spital Y._, vom 1. Juni 2009 stellt ein unzulässiges Novum im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG dar. Es wurde lange vor dem vorinstanzlichen Entscheid vom 28. Oktober 2010 erstellt. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, weshalb er es nicht im kantonalen Verfahren eingereicht hat. Das Gutachten äussert sich zudem zu einer Frage (Verletzungen der Halswirbelsäule), die bereits vor dem kantonalen Gericht streitig war, so dass nicht erst durch den vorinstanzlichen Entscheid Anlass zu seiner Einreichung bestand. Der Beschwerdeführer hat denn auch selber entsprechende Ausführungen in seiner vorinstanzlichen Beschwerde gemacht und auch eine Begutachtung durch Prof. Dr. med. C._ verlangt. Es wird somit nicht weiter auf dieses Privatgutachten eingegangen.
Im Übrigen fällt auf, dass dem Privatgutachter offenbar nur unvollständige Akten vorlagen. So verfügte er anscheinend nicht über die Urteile der Vorinstanz wie auch des Bundesgerichts im unfallversicherungsrechtlichen Verfahren und - was besonders schwer wiegt - das MEDAS-Gutachten vom 15. April 2008, das dem Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Auftragserteilung an Prof. Dr. med. C._ am 23. Februar 2009 schon längst bekannt war.
2.3 Der Beschwerdeführer wirft der MEDAS Befangenheit vor. Dieser Einwand wird jedoch erstmals vor Bundesgericht erhoben. Er ist daher prozessual unzulässig. Im Übrigen ist auf die Rechtsprechung hinzuweisen, wonach von ganz ausserordentlichen Fällen abgesehen nur die für eine Behörde tätigen Personen, nicht aber die Behörde als solche befangen sein können. Ausstandsbegehren gegen sämtliche Mitglieder einer Behörde sind nur zulässig, wenn gegen jedes einzelne Mitglied spezifische Ausstandsgründe geltend gemacht würden, die über die Kritik hinausgehen, die Behörde als solche sei befangen. Entsprechendes gilt auch hinsichtlich einer Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) nach Art. 72bis IVV (BGE 9C_243/2010 vom 28. Juni 2011 E. 1.3.3; Urteile 9C_511/2009 vom 30. November 2009 E. 4.2.1 und 9C_500/2009 vom 24. Juni 2009 E. 2.1). Im Weitern stellt nach ständiger Rechtsprechung der Umstand, dass ein Arzt wiederholt von einem Sozialversicherungsträger als Gutachter beigezogen wird, für sich allein keinen Ausstandsgrund dar (SVR 2008 IV Nr. 22, 9C_67/2007 E. 2.4 mit Hinweisen; erwähntes Urteil 9C_511/2009 E. 4.2.1; vgl. sodann, auch zum Folgenden, erwähnten BGE 9C_243/2010 E. 1.3.2). Ebenso ist zu vermerken, dass die Beweiserhebungen der Verwaltung im vorangegangenen nichtstreitigen Verfahren keine Parteihandlungen darstellen (BGE 136 V 376).
2.4 Ebenfalls erstmals in diesem Verfahren und somit prozessual verspätet bringt der Beschwerdeführer vor, dass der am MEDAS-Gutachten vom 15. April 2008 beteiligte Dr. med. K._ nicht über einen schweizerischen Facharzttitel verfüge. Im Urteil 8C_253/2010 vom 15. September 2010 E. 5.2 wurde zudem festgestellt, dass eine solche Facharztausbildung nicht zwingende Voraussetzung für die Eignung einer Ärztin oder eines Arztes als Gutachtensperson in einer bestimmten medizinischen Disziplin darstellt. Es wird auch nicht verlangt, dass der medizinische Gutachter eine FMH-Ausbildung nachweist; eine im Ausland erworbene Fachausbildung genügt (erwähnter BGE 9C_243/2010 E. 3.2.2 mit Hinweis). Es ist gerichtsnotorisch, dass Dr. med. K._ als Facharzt für Neurologie und Psychiatrie in der psychiatrischen Poliklinik des Spitals Z._ tätig gewesen war (Urteil I 702/04 vom 11. Oktober 2005 E. 2). Wenn ihn das kantonale Gericht als geeignet ansah, die hier vorgenommene Gutachtertätigkeit durchzuführen, ist dies daher nicht zu beanstanden, zumal gemäss Medizinalberuferegister (www.medregom.admin.ch, besucht am 5. August 2011) Dr. med. K._ 1978 die Weiterbildungstitel "Neurologie" und "Psychiatrie und Psychotherapie" in Deutschland erwarb und diese am 29. Juli 2011 auch in der Schweiz anerkannt wurden.
2.5 Dr. phil. S._, Neuropsychologie FSP, wurde bereits bei der Vorinstanz und wird auch im vorliegenden Verfahren vorgehalten, er sei Psychologe und verfüge nicht über eine medizinische Ausbildung. Für eine neuropsychologische Untersuchung, die anschliessend Voraussetzung für die neurologische Beurteilung bildet, kann indessen sehr wohl ein Psychologe beigezogen werden, wenn der Neurologe diese Untersuchung nicht selber vornimmt. Die Ergebnisse der Abklärung sind denn auch, wie im MEDAS-Gutachten festgehalten, in die interdisziplinäre Beurteilung eingeflossen. Die MEDAS-Expertise wurde im Übrigen nicht nur vom neurologischen und psychiatrischen Gutachter, sondern auch durch den Experten Dr. med. A._, Innere Medizin und Rheumatologie FMH, unterzeichnet.
3. 3.1 Dem MEDAS-Gutachten wird mangelnde Wissenschaftlichkeit im Zusammenhang mit den Auswirkungen der erlittenen HWS-Distorsion vorgeworfen. Jedoch ist nicht erkennbar, worauf sich diese Behauptung des Beschwerdeführers stützt. Effektiv nahmen die medizinischen Experten eine differenzierte Beurteilung vor, indem sie festhielten, dass der Beschwerdeführer HWS-bedingt zwar nicht mehr als Fussballspieler, aber doch noch als Fussballtrainer tätig sein könne. Zudem gilt gemäss BGE 136 V 279, dass die in BGE 130 V 352 im Zusammenhang mit somatoformer Schmerzstörung entwickelten Kriterien auch bei der Beurteilung der invalidisierenden Wirkung einer spezifischen HWS-Verletzung ohne organisch nachweisbare Funktionsausfälle analog anzuwenden sind, wobei dem der allenfalls organische Charakter des Leidens nicht entgegensteht. Auch vor diesem Hintergrund kann der Einschätzung der MEDAS-Experten, wonach die HWS-distorsionsbedingte Arbeitsunfähigkeit als Fussballtrainer etwa sechs Wochen andauerte, nicht mangelnde Wissenschaftlichkeit entgegen gehalten werden.
3.2 Der Beschwerdeführer bringt vor, die Gutachter B._, H._ und M._ wie auch Dr. med. R._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, gingen alle von anderen Werten an Arbeitsunfähigkeit als die MEDAS-Gutachter aus.
Dr. med. B._ hat sich aber im Gutachten vom 14. April 2004 lediglich zur Arbeitsfähigkeit als Fussballspieler geäussert. Zur Arbeitsfähigkeit als Fussballtrainer nahm er nicht abschliessend und zu derjenigen in anderen Tätigkeiten überhaupt nicht Stellung. Die Dres. med. M._ und H._ unterschieden nicht zwischen der Arbeitsfähigkeit als Fussballspieler und als Fussballtrainer, obwohl es sich augenscheinlich nicht um gleiche Tätigkeiten handelt. Das spricht gegen eine differenzierte und aussagekräftige Beurteilung der beiden Privatgutachter. Bei Dr. med. R._ handelt es sich um den behandelnden Psychiater des Beschwerdeführers. Soweit dieser Arzt am 6. März 2006 zu einer anderen Beurteilung der Arbeitsfähigkeit als die MEDAS gelangt ist, ist dem Umstand Rechnung zu tragen, dass die psychiatrische Exploration von der Natur der Sache her nicht ermessensfrei erfolgen kann und dem begutachtenden Psychiater deshalb praktisch immer einen gewissen Spielraum eröffnet, innerhalb dessen verschiedene medizinisch-psychiatrische Interpretationen möglich, zulässig und zu respektieren sind, sofern der Experte lege artis vorgegangen ist. Daher und unter Beachtung der Divergenz von medizinischem Behandlungs- und Abklärungsauftrag (BGE 124 I 170 E. 4 S. 175; Urteil I 701/05 vom 5. Januar 2007 E. 2 in fine mit zahlreichen Hinweisen; vgl. auch erwähnten BGE 9C_243/2010 E. 1.2.4 in fine) kann es nicht angehen, eine medizinische Administrativ- oder Gerichtsexpertise stets dann in Frage zu stellen und zum Anlass weiterer Abklärungen zu nehmen, wenn der behandelnde Arzt nachher zu unterschiedlichen Einschätzungen gelangt oder an vorgängig geäusserten abweichenden Auffassungen festhält (Urteil 8C_567/2010 vom 19. November 2010 E. 3.2.2). Bei genauer Betrachtung bieten auch die Aussagen des Dr. med. R._ keine verlässliche Grundlage, um die Einschätzung der MEDAS-Experten in Frage stellen zu können.
3.3 Der Beschwerdeführer macht geltend, dass eine Objektivierung der unfallkausalen Fazettengelenkläsionen vorliege. Die Vorinstanz hat dies jedoch mit überzeugender Begründung verneint.
Selbst wenn aber unfallkausale Fazettengelenkläsionen vorlägen, änderte dies nichts an der Aussagekraft des MEDAS-Gutachtens, da dort nicht unterschieden wurde, ob nun unfallkausale oder nicht unfallkausale Beschwerden geklagt wurden. Zu erwähnen bleibt, dass die MEDAS-Experten demgegenüber die objektivierbaren Selbstlimitierungen des Beschwerdeführers thematisierten. Diese Selbstlimitierungen waren bereits im Abklärungsbericht der Stiftung Q._ für berufliche Integration vom 21. August 2007 erwähnt worden. Sie wurden im Rahmen der MEDAS-Begutachtung, insbesondere durch Auswertung der neuropsychologischen Testuntersuchung, näher betrachtet.
3.4 Die Vorinstanz stellte somit den Sachverhalt nicht offensichtlich unrichtig fest oder verletzte sonstwie Recht, indem sie das MEDAS-Gutachten als beweiswertig beurteilte. Dieses erfüllt denn auch die von Lehre und Rechtsprechung für Gutachten verlangten Kriterien, wie dies das kantonale Gericht zutreffend festgehalten hat.
4. Die Vorinstanz hat erkannt, gestützt auf das MEDAS-Gutachten vom 15. April 2008 sei die Tätigkeit eines professionellen Fussballspielers aufgrund der festgestellten HWS-Veränderungen als kontraindiziert zu betrachten. Hingegen wären bereits seit Sommer 2001 die Tätigkeit eines Fussballtrainers und andere angepasste Tätigkeiten vollumfänglich und ohne Leistungsminderung zumutbar. Damit ist eine mindestens 40%ige Arbeitsunfähigkeit als professioneller Fussballspieler während eines Jahres nach dem Unfallereignis vom 30. Mai 2001 und somit ein Ablauf der einjährigen Frist gemäss Art. 29 Abs. 1 lit. b IVG (in der bis 31. Dezember 2007 gültigen Form) am 30. Mai 2002 anzunehmen.
Das kantonale Gericht hat sodann keinen eigentlichen Einkommensvergleich zur Bestimmung des Invaliditätsgrades vorgenommen. Es hat vielmehr erwogen, in der Verweisungstätigkeit eines Fussballtrainers könne der Versicherte einen Jahresverdienst zwischen Fr. 120'000.- und Fr. 180'000.- erzielen. Damit liege von vornherein keine Erwerbseinbusse und mithin keine rentenbegründende Invalidität vor.
4.1 Umstritten ist zunächst das trotz gesundheitlicher Beeinträchtigung zumutbarerweise noch erzielbare Einkommen (Invalideneinkommen), und dabei die Frage, ob der Beschwerdeführer als Fussballtrainer arbeiten und damit ein Einkommen im besagten Rahmen erzielen könnte.
Bei der Bestimmung des Invalideneinkommens ist von realistischen Verweistätigkeiten und damit gegebenen Erwerbsmöglichkeiten auszugehen.
4.1.1 Im vorliegenden Fall verhält es sich gemäss dem angefochtenen Entscheid so, dass der Versicherte das Trainer-Diplom der Kategorie C erworben hat, was ihn befähige, Kinder und Jugendliche bis 16 Jahre zu trainieren. Es bedürfte nun aber näherer Betrachtung, ob der Beschwerdeführer den Beruf eines Fussballtrainers tatsächlich, wie von der Vorinstanz angenommen, ohne gesundheitsbedingte Beeinträchtigung ausüben könnte. Zwar wird dies im MEDAS-Gutachten vom 15. April 2008 bejaht. Die medizinischen Experten sind dabei aber davon ausgegangen, nach ihrer Auffassung "bis zum Beweis des Gegenteils" liessen sich die Aufgaben eines Trainers auch ohne aktive Kopfballdemonstrationen - welche aufgrund der HWS-Veränderungen kontraindiziert wären - ausüben. Dass dies zutrifft, erscheint durchaus fraglich. Wie es sich damit verhält, muss aber nicht abschliessend beantwortet werden, da auf das vorinstanzlich angenommene Invalideneinkommen aus dem nachfolgend behandelten Grund nicht abgestellt werden kann.
4.1.2 Das kantonale Gericht geht wie dargelegt davon aus, der Versicherte könne als Fussballtrainer zumutbarerweise ein Jahreseinkommen zwischen Fr. 120'000.- und Fr. 180'000.- erzielen. Es stützt sich dabei einzig auf eine Lohnangabe des Versicherten in dessen vorinstanzlicher Beschwerde. Diese Angabe stellt indessen keine verlässliche Grundlage zur Bestimmung des Invalideneinkommens dar. Zunächst ist festzuhalten, dass sie sich auf das vom Beschwerdeführer postulierte Einkommen ohne gesundheitsbedingte Einschränkung (Valideneinkommen) bezog. Das spricht gegen eine Übertragung auf das Invalideneinkommen, zumal aufgrund der HWS-Problematik eine gewisse Beeinträchtigung bei der Tätigkeit eines Fussballtrainers zumindest nicht auszuschliessen ist. Sodann fehlen Anhaltspunkte, welche eine konkrete Einstufung innerhalb des genannten, sehr weiten Einkommensrahmens gestatten würden. Die Ober- und die Untergrenze des angegebenen Verdienstrahmens lassen sich ebenfalls nicht zuverlässig verifizieren. Der Beruf eines professionellen Fussballtrainers ist denn auch eine ausgesprochene Nischentätigkeit mit schwer abschätzbaren und wohl auch stark variierenden Einsatz- und Verdienstmöglichkeiten. Indem das kantonale Gericht das Invalideneinkommen trotz dieser gewichtigen Vorbehalte auf die Lohnangabe des Versicherten zum Valideneinkommen stützte, stellte es den rechtserheblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig und überdies unvollständig fest.
4.1.3 Es fragt sich, wie das Invalideneinkommen dennoch bestimmt werden kann. Konkrete Angebote für Trainerstellen liegen offensichtlich nicht vor. Auch mangelt es an statistischen Angaben, welche gestützt auf eine genügende Anzahl erhobener Daten verlässliche Rückschlüsse auf ein üblicherweise zu erwartendes Trainereinkommen zuliessen. Unter diesen Umständen rechtfertigt sich, das Invalideneinkommen anhand von Tabellenlöhnen gemäss der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (LSE) zu bestimmen (BGE 126 V 75). Massgebend für die Invaliditätsbemessung sind die Verhältnisse bei Beginn eines allfälligen Rentenanspruchs (BGE 129 V 222), hier demnach diejenigen im Jahr 2002. Mit Blick auf die langjährige Fussballerkarriere und das erworbene Trainerdiplom C ist am ehesten auf die Durchschnittslöhne der Tätigkeiten im Bereich Unterhaltung/Kultur/ Sport auf dem Anforderungsniveau 3 (Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt) der den gesamten privaten Sektor umfassenden LSE-Tabelle TA1 abzustellen. Der entsprechende monatliche Bruttolohn (Zentralwert bei einer standardisierten Arbeitszeit von 40 Wochenstunden) der Männer beträgt Fr. 5'569.- (LSE 2002 TA1 S. 43). Die Umrechnung auf die betriebsübliche wöchentliche Arbeitszeit im Bereich "sonstige Dienstleistungen" von 41.8 Wochenstunden (Die Volkswirtschaft, Heft 6/2011, Tabelle B 9.2 S. 94) und auf zwölf Monate ergibt ein Jahreseinkommen von Fr. 69'835.-. Dieses ist, da keine Faktoren ersichtlich sind, welche einen sog. leidensbedingten Abzug rechtfertigen könnten (vgl. BGE 126 V 75), dem Invalideneinkommen im Jahr 2002 gleichzusetzen. Dieses Einkommen ist dem Valideneinkommen entgegenzusetzen.
4.2 Für die Ermittlung des Valideneinkommens ist rechtsprechungsgemäss entscheidend, was die versicherte Person im Zeitpunkt des frühestmöglichen Rentenbeginns nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunde tatsächlich verdienen würde, und nicht, was sie bestenfalls verdienen könnte. Dabei wird in der Regel am zuletzt erzielten, nötigenfalls der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung angepassten Verdienst angeknüpft, da erfahrungsgemäss die bisherige Tätigkeit ohne Gesundheitsschaden fortgesetzt worden wäre. Ausnahmen von diesem Erfahrungssatz müssen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt sein (BGE 135 V 58 E. 3.1 S. 59; 134 V 322 E. 4.1 S. 325; je mit Hinweisen).
Weder Verwaltung noch Vorinstanz haben Feststellungen zum Valideneinkommen getroffen. Alleine auf die Angaben des Versicherten zu seinen Verdienstaussichten im Gesundheitsfall kann unter den gegebenen Verhältnissen nicht abgestellt werden. Die Akten bieten ebenfalls nicht genügenden Aufschluss. Der Sachverhalt muss daher ergänzt werden, damit eine verlässliche Bestimmung des Valideneinkommens und, durch dessen Gegenüberstellung mit dem erwähnten Invalideneinkommen, des Invaliditätsgrades möglich wird. Die Sache wird hiefür und zur neuen Verfügung über den Rentenanspruch an die Verwaltung zurückgewiesen. In diesem Sinne ist die Beschwerde gutzuheissen.
5. Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung gilt praxisgemäss als vollständiges Obsiegen der Beschwerde führenden Person im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235; Urteil 8C_73/2011 vom 1. April 2011 E. 6 mit Hinweis). Demnach hat die IV-Stelle die Gerichtskosten zu tragen und dem Versicherten eine Parteientschädigung zu entrichten.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 28. Oktober 2010 und die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 21. Oktober 2008 aufgehoben werden und die Sache an die IV-Stelle Bern zurückgewiesen wird, damit sie, nach erfolgter Abklärung im Sinne der Erwägungen, über den Rentenanspruch neu verfüge.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. August 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz