Faits:
A. D._, né en 1961, a obtenu en 1979 un certificat fédéral de capacité de serviceman dans le domaine automobile. Dès 1985, il a travaillé en qualité de livreur-monteur de meubles jusqu'en 1997, année où il s'est retrouvé au chômage. En 1999, il a subi une cure de hernie discale L5-S1 gauche. A cette époque, il a ouvert avec son épouse une boutique de prêt-à-porter, où il a été gestionnaire de stock. La réapparition de douleurs lombaires a entraîné une incapacité totale de travailler en décembre 2005; une spondylodèse transforaminale L5-S1 a été pratiquée en mars 2006.
Le 12 septembre 2006, D._ s'est annoncé à l'assurance-invalidité. Le docteur R._, spécialiste en médecine physique et rééducation, a attesté que la capacité de travail était nulle dans les anciennes activités de serviceman et de livreur-monteur de meubles, de 50 % en tant que vendeur dans un magasin d'habits avec gestion du stock, et de 75 % dans une activité adaptée respectant les limitations fonctionnelles (rapport du 25 août 2008).
Par décision du 30 octobre 2008, faisant suite à un projet du 13 juin 2008, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (l'office AI) a rejeté la demande; compte tenu du revenu annuel de 47'085 fr. (moyenne des trois dernières années) qu'il aurait pu réaliser en 2006 sans atteinte à la santé, D._ ne présentait pas un taux d'invalidité susceptible d'ouvrir le droit à une rente.
B. D._ a déféré cette décision au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel (aujourd'hui : Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public) dont il a demandé l'annulation, en concluant principalement à l'octroi d'une rente, subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI.
La juridiction cantonale a fixé le revenu annuel sans invalidité à 45'500 fr. (3'500 x 13) en se fondant sur le questionnaire pour employeur du 21 octobre 2006 (boutique). La comparaison de ce gain avec un revenu d'invalide de 36'833 fr., établi sur la base des statistiques de l'Enquête suisse sur la structure des salaires 2006 en tenant compte d'une capacité de travail de 75 % dans une activité adaptée et d'un abattement de 15 %, a mis en évidence une perte de gain de 19 %, entraînant le rejet du recours (jugement du 18 mai 2010).
C. D._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, avec suite de frais et dépens, en concluant à l'octroi d'une rente d'invalidité.
L'office intimé et l'Office fédéral des assurances sociales ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références). Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
La constatation des revenus comparables dans le cadre de la détermination du taux d'invalidité (cf. art. 16 LPGA) se présente en tant que question de fait dans la mesure où elle repose sur une appréciation concrète des preuves, mais en tant que question de droit dans la mesure où la décision s'oriente sur l'expérience générale de la vie (arrêt 9C_189/2008 du 19 août 2008, consid. 1, in SVR 2009 IV n° 6 p. 11).
2. Devant le tribunal administratif, le recourant avait reproché en particulier à l'office intimé de n'avoir pas retenu le salaire qu'il percevait en qualité de livreur-monteur de meubles à titre de revenu sans invalidité. Le recourant avait exposé à ce propos qu'il avait quitté cet emploi (en 1997) en raison d'une recrudescence de ses lombosciatalgies, si bien que le revenu qu'il retirait de l'activité déployée avec son épouse au sein de la boutique de prêt-à-porter constituait déjà un revenu d'invalide.
La juridiction cantonale a écarté cet argument. Après avoir rappelé que l'invalidité se détermine, en règle générale, d'après le dernier salaire perçu avant l'atteinte à la santé, elle a constaté que l'incapacité de travail du recourant remontait au 22 décembre 2005, alors qu'il était gestionnaire de stock pour le compte de la boutique. Les premiers juges ont certes relevé que le recourant avait déclaré que la cessation de son activité de livreur-monteur de meubles en 1997 était liée à ses problèmes dorsaux; ils ont toutefois constaté que cet emploi avait pris fin en raison de la faillite de l'employeur, la société X._, prononcée le 1er septembre 1997. Les juges cantonaux ont ajouté, en se référant au dossier, que le recourant n'avait subi, à l'époque, aucune incapacité de travail de longue durée, pas même après la cure de hernie discale en 1999, l'opération ayant été une réussite complète. Dès lors qu'il n'était pas établi, au degré de la vraisemblance prépondérante, que le recourant avait quitté son travail de livreur-monteur de meubles et s'était s'orienté vers une activité commerciale de prêt-à-porter en raison de ses lombosciatalgies, le tribunal administratif a admis que l'intimé avait tenu compte à juste titre du revenu de gestionnaire de stock (comme revenu sans invalidité) lors de la fixation du degré d'invalidité.
3. 3.1 Le recourant conteste la voie que tribunal cantonal a suivie. Il rappelle que ses problèmes dorsaux avaient commencé bien avant 2005 et soutient qu'il avait dû quitter son travail de livreur-monteur de meubles en 1997 en raison de ses lombosciatalgies. Il se prévaut notamment d'un avis du docteur B._ (rapport du 8 septembre 1999). Le recourant précise qu'il espérait éviter une opération en cessant ce travail physiquement lourd, mais qu'une intervention avait néanmoins été nécessaire en 1999. Il ajoute qu'il n'avait pas pu reprendre cette activité, d'ailleurs fortement déconseillée par ses médecins. Le salaire perçu dans la boutique de prêt-à-porter constituait ainsi déjà un gain d'invalide, de sorte que son revenu annuel sans invalidité devrait être fixé à 72'574 fr. en 2006 (après indexation du salaire mensuel de 5'417 fr. qu'il percevait en 1997). En comparant ce gain au revenu d'invalide de 36'833 fr. retenu par l'instance précédente, le taux d'invalidité serait de 49 %.
De l'avis du recourant, si l'on devait admettre que l'activité de livreur-monteur de meubles avait pris fin en raison de la faillite de l'ancien employeur, cela ne justifierait pas pour autant de nier que le changement d'activité était lié à ses problèmes de santé. Le recourant soutient qu'il aurait recherché un nouvel emploi dans le même secteur économique, sans ses problèmes dorsaux, compte tenu de son expérience. L'activité déployée avec son épouse lui avait en définitive permis d'adapter les horaires à son état de santé. En conséquence, le recourant estime que le refus auquel il se heurte aujourd'hui revient à le pénaliser d'avoir essayé de rester dans une vie active, plutôt que de s'être annoncé d'emblée à l'AI.
3.2 Quant au revenu provenant de son activité au sein de la boutique, le recourant conteste le montant annuel de 45'500 fr. (3'500 fr., 13 fois l'an) retenu par les premiers juges. A son avis, ce montant a été fixé de manière erronée, car le salaire mensuel de 3'500 fr. ne correspond pas à un rendement de 100 %. Alléguant qu'il avait été engagé par la boutique, le 1er septembre 1999, pour un salaire mensuel de 5'500 fr., le recourant soutient que le nouveau contrat daté du 1er janvier 2005 prévoit un salaire de 3'500 fr. et tient compte des limitations physiques et de son rendement diminué. A cela s'ajoute un revenu annuel de 2'565 fr. qu'il a retiré d'une activité accessoire d'enquêteur exercée en 2005 pour le compte de la société I._.
4. 4.1 Par son discours, le recourant remet derechef en question le moment déterminant de la survenance de son incapacité de travail. Ce faisant, il s'en prend essentiellement aux constatations de faits de la juridiction cantonale, laquelle avait retenu, d'une part, que la fin de l'activité de livreur-monteur de meubles en 1997 n'était pas due à son état de santé mais à la faillite de son ancien employeur et d'autre part, que l'incapacité de travail était survenue en décembre 2005.
Le recourant oppose sa propre appréciation de la situation, sans toutefois exposer (ni démontrer a fortiori) en quoi les faits importants pour le jugement de la cause auraient été établis en violation du droit ou de manière insoutenable. A cet égard, si l'existence d'une hernie discale L5-S1 gauche en 1999 n'est pas contestée, rien ne permet en revanche d'admettre que le recourant aurait présenté auparavant, singulièrement en 1997, une incapacité de travail due à des lombosciatalgies. Sur ce point, les constatations de faits du tribunal cantonal n'apparaissent ni critiquables, ni même en porte-à-faux avec l'avis du docteur B._ (cf. rapport du 8 septembre 1999) que le recourant avait produit en première instance.
A la lumière du dossier, les premiers juges ont établi les faits de manière à lier le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) en admettant que l'atteinte à la santé invalidante était survenue à l'époque où le recourant travaillait au sein de la boutique. Dans ces conditions, le revenu sans invalidité doit être fixé sur la base du salaire que le recourant a perçu en tant que gestionnaire de stock.
4.2 Les constats de faits des premiers juges n'apparaissent pas davantage insoutenables à propos de la fixation du revenu sans invalidité (45'500 fr. par an en 2006). En effet, les juges cantonaux se sont fondés sur le questionnaire d'employeur du 21 octobre 2006, dont il ressort explicitement que le recourant aurait gagné 45'500 fr. par an, sans atteinte à la santé, en exerçant son activité auprès de la boutique (ch. 17). De plus, il ressort du même questionnaire que le gain annuel du recourant s'était élevé à 46'962 fr. en 2004 comme indépendant, puis à 42'000 fr. en tant que salarié dès le 1er janvier 2005 (ch. 21).
En revanche, les faits constatés dans le jugement attaqué sont incomplets dans la mesure où le revenu annuel de 2'565 fr. provenant de l'activité accessoire exercée en 2005 pour le compte de la société I._ n'a pas été pris en compte dans le calcul du revenu sans invalidité (cf. questionnaire pour l'employeur du 25 septembre 2006). Toutefois, même en l'intégrant à ce revenu (art. 105 al. 2 LTF), ce correctif n'a aucune incidence sur l'issue du litige, car le degré d'invalidité s'élève alors à 23 % (36'833 / 45'500 + 2'565), respectivement à 32 % si l'on tenait compte de l'abattement maximal de 25 %. On précisera que la détermination du revenu d'invalide par la juridiction cantonale n'est ni contestée ni sujette à discussion.
5. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 6 juillet 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud