Erwägungen:
1. X._, geboren 1974, aus der Ukraine stammend, beantragte dem Bundesgericht mit Eingabe vom 12. Februar 2009 "den Rekurs gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 12. Dezember 2008 betreffend Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung". Unter Hinweis auf ein früheres ihn betreffendes Urteil (2D_35/2008 vom 17. März 2008) wurde ihm im Auftrag des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts am 13. Februar 2009 mitgeteilt, dass er - innert der gesetzlichen Beschwerdefrist von 30 Tagen - eine mit Begründung versehene Beschwerdeschrift einreichen müsse und zudem das anzufechtende Urteil nachzureichen habe. Mit einer weiteren als "Rekurs" bezeichneten Eingabe vom 17. Februar 2009 liess X._ dem Bundesgericht das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht vom 12. Dezember 2008 zukommen, womit dieses seinen Rekurs betreffend Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und Wegweisung abgewiesen hatte; dabei erwähnte er, dass ihm dieses am 6. Februar 2009 zugestellt worden war, und er dankte "im Voraus für Ihre Bemühungen". Am 6. März 2009 (Postaufgabe) sodann reichte er eine wiederum als "Rekurs" bezeichnete, vom 5. März 2009 datierte Rechtsschrift nach; er stellt den Antrag, es sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
2. Wie dem Beschwerdeführer bereits im Urteil 2D_35/2008 vom 17. März 2008 erläutert worden ist, haben die für das Bundesgericht bestimmten Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Spezifisch vorzubringen und zu begründen ist die Rüge, verfassungsmässige Rechte (Grundrechte) seien verletzt worden.
Da dem Beschwerdeführer eine Aufenthaltsbewilligung allein zu Studienzwecken erteilt worden war, hat er keinen Rechtsanspruch auf deren Verlängerung. Mithin ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das die Bewilligungsverweigerung und die Wegweisung bestätigende Urteil des Appellationsgerichts unzulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 und 4 BGG). Als bundesrechtliches Rechtsmittel käme höchstens die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) in Betracht, mit welcher bloss die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden kann.
Die beiden "Rekursschreiben" vom 12. und 17. Februar 2009 enthalten überhaupt keine Begründung. Die Eingabe vom 5./6 März 2009 enthält zwar einen Antrag und eine Begründung. Indessen nennt der Beschwerdeführer kein verfassungsmässiges Recht und zeigt er nicht auf, inwiefern ein solches durch die Verweigerung der Bewilligungsverlängerung verletzt worden sein könnte.
Auf die offensichtlich einer hinreichenden Begründung entbehrende Beschwerde (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 400.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, als Verwaltungsgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller