Faits:
A. A.a C._ a travaillé au service de l'Hôpital X._. A ce titre, elle était assurée contre les accidents par la Caisse vaudoise.
Le 25 janvier 2005, elle a fait une chute sur du verglas. Deux jours plus tard, le 27 janvier, elle a consulté le docteur T._, qui a posé les diagnostics de contusion fermée du bras droit, ecchymose du genou gauche, contractures musculo-tendineuses cervico-scapulaires et tendinite d'insertion aux crêtes illiaques. Il a prescrit un traitement anti-inflammatoire.
C._ a repris le travail le 3 février 2005. Le lendemain, elle a toutefois consulté le service des urgences de l'Hôpital Y._ en raison de douleurs persistantes dans la région thoracique. Des radiographies lombaires ont été effectuées, qui ont permis de mettre en évidence une fracture-enfoncement du plateau supérieur de D12, sans lésion du mur postérieur, ainsi que des discopathies en L2-L4 et L4-L5. L'assurée est restée hospitalisée pour un traitement conservateur, du 4 au 11 février 2005 (rapport du 17 février 2005 des docteurs H._ et U._). Entre-temps, le 7 février 2005, l'Hôpital X._ avait annoncé l'accident subi par son employée à la Caisse vaudoise, en précisant que C._ présentait des contusions du genou gauche et du dos, et qu'elle était en incapacité de travail depuis le 26 janvier 2005. La Caisse vaudoise a pris en charge le traitement médical et alloué des indemnités journalières.
Le docteur H._ a assuré le suivi médical de l'assurée après sa sortie d'hôpital. Il a régulièrement attesté une incapacité de travail totale. Lors d'un examen clinique pratiqué le 27 avril 2005, C._ s'est plainte de douleurs à l'épaule droite à la mobilisation, notamment en abduction-rotation externe et interne. Dans un rapport du 27 juin 2005, le docteur H._ a posé le diagnostic de probable tendinopathie du tendon sus-épineux à droite, en ajoutant que la situation n'avait pas évolué depuis la consultation du 27 avril 2005. Il a demandé la réalisation de radiographies de l'épaule droite (arthro-IRM), par le docteur S._. Sur la base de cet examen, ce dernier a posé le diagnostic de tendinopathie de grade III de la coiffe des rotateurs, atteignant le tendon du sus- et partiellement du sous-épineux, associant vraisemblablement des fissures partielles. Celles-ci prenaient probablement leur point de départ de la face profonde du tendon et restaient indissociables des foyers inflammatoires. Le docteur S._ a également constaté des anomalies de l'environnement de la coiffe des rotateurs (acromion de type III crochu avec bascule inféro-latérale), favorisant un conflit sous-acromio-deltoïdien (rapport du 27 juin 2005).
A la demande de la Caisse vaudoise, le docteur D._, médecin-conseil de l'assurance-accidents, a examiné le dossier de l'assurée. Dans un rapport du 19 août 2005, il a exposé qu'au regard des radiographies à disposition, la fracture de D12 constatée lors de l'hospitalisation de l'assurée à l'Hôpital Y._ en février était probablement ancienne, l'accident du 25 janvier 2005 n'ayant vraisemblablement entraîné qu'une contusion. Compte tenu des troubles dégénératifs « limités à l'étage D11-12 », de la pénibilité du travail exercé par l'assurée et d'un probable déconditionnement, il proposait de fixer le statu quo ante après un délai maximal de six à huit semaines après l'accident. Ce délai serait de trois à quatre mois si l'on admettait que la fracture de D12 était due à l'accident assuré. En ce qui concerne la symptomatologie de l'épaule droite, le docteur D._ a nié l'existence d'un rapport de causalité naturelle avec l'accident. En l'absence de symptômes douloureux documentés médicalement avant le 27 avril 2005, cette atteinte étaient plus vraisemblablement due à une tendinopathie dégénérative de la coiffe.
Par décision du 1er septembre 2005, la Caisse vaudoise a nié le droit à des prestations d'assurance avec effet rétroactif au 30 juin 2005.
A.b C._ s'est opposée à cette décision, en demandant la mise en oeuvre d'une expertise médicale. Pour sa part, le docteur H._ a écrit au docteur D._, le 5 septembre 2005, pour faire part de son étonnement à la suite du rapport du 19 août 2005. Il relevait notamment l'absence d'antécédent traumatique du rachis dorsal ou lombaire, qui pourrait expliquer une fracture « ancienne ».
En accord avec l'assurée, la Caisse vaudoise a confié au docteur L._, spécialiste en orthopédie et traumatologie, le soin de réaliser une expertise. Dans un rapport du 1er novembre 2006, ce médecin a posé les diagnostics de dorso-lombalgies chroniques, status après fracture-tassement du mur antérieur et latéral droit de D12, discarthrose D11-D12, ostéopénie et tendinopathie du sus- et du sous-épineux de l'épaule droite. Il a qualifié de possible le lien de causalité naturelle entre la fracture de D12 et les atteintes à l'épaule droite de l'assurée, d'une part, et l'accident du 12 janvier 2005, d'autre part. Il a exclu un tel lien de causalité entre l'accident et les autres atteintes à la santé diagnostiquées. En admettant l'existence d'un lien de causalité naturelle entre la fracture de D12 et l'accident, le statu quo sine était retrouvé après trois à quatre mois. Il s'agissait en effet d'une petite fracture qui n'intéressait pas le mur postérieur et ne provoquait pas de trouble statique important. Les douleurs persistantes étaient plutôt en relation de causalité avec la discopathie de D11-D12, préexistante. Quant à l'épaule droite, le statu quo sine avait été retrouvé quatre à six semaines après l'accident, en admettant que celui-ci n'avait entraîné qu'une contusion. Le docteur L._ a nié la persistance d'une atteinte à l'intégrité d'origine accidentelle.
Par décision sur opposition du 14 août 2007, la Caisse vaudoise a maintenu son refus d'allouer des prestations au-delà du 30 juin 2005.
B. L'assurée a déféré la cause au Tribunal des assurances du canton de Vaud. En cours de procédure, elle a notamment produit une expertise établie à sa demande par le docteur N._, le 30 juin 2008. Celui-ci a exposé que les discussions de ses confrères relatives à l'origine accidentelle ou non de la fracture-tassement de D12, pour intéressantes qu'elles fussent, ne permettaient pas de se déterminer de manière absolue sur ce point. Pour sa part, il considérait qu'un lien de causalité avec l'accident était l'hypothèse la plus vraisemblable. En ce qui concerne l'épaule droite de l'assurée, il a constaté que celle-ci présentait bien un conflit sous-acromial antérieur à l'accident, mais que cet accident avait déclenché les douleurs. Le docteur N._ considérait donc que le rapport de causalité entre les douleurs de l'épaule et l'accident était probable.
Par jugement du 10 septembre 2008, le Tribunal des assurances du canton de Vaud a partiellement admis le recours. En substance, il a condamné l'assurance-accidents à prendre en charge le traitement médical et à verser des indemnités journalières jusqu'au 30 septembre 2005. Il a également alloué à la recourante une indemnité de dépens de 500 francs.
C. C._ et la Caisse Vaudoise ont chacune interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement. En substance, l'assurée en demande la réforme en ce sens que la Caisse vaudoise soit condamnée à prendre en charge le traitement médical et à allouer des indemnités journalières pour la période postérieure au 30 septembre 2005, sous suite de dépens. A titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation du jugement entrepris et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire et nouveau jugement. Pour sa part, la Caisse vaudoise conclut à l'annulation du jugement entrepris et à la confirmation de la décision sur opposition du 14 août 2007. Chacune des parties demande le rejet des conclusions prises par la partie adverse. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Les deux recours opposent les mêmes parties, portent sur un seul complexe de faits, soulèvent des questions juridiques communes et sont dirigés contre le même jugement. Il convient par conséquent de joindre les causes (ATF 131 V 59 consid. 1 p. 60; 128 V 124 consid. 1 p. 126, 192 consid. 1 p. 194).
2. 2.1 C._ fait grief aux premiers juges d'avoir violé son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst). Selon elle, ils ne l'ont pas informée en temps utile du fait qu'ils s'apprêtaient à statuer sur ses conclusions. A l'époque où le jugement entrepris a été rendu, elle envisageait de subir une intervention chirurgicale sur son épaule droite. C._ avait l'intention d'en informer les premiers juges, afin qu'ils entendent le docteur B._, qui devait pratiquer l'opération. Elle a été surprise par la décision rapide de la juridiction cantonale, « d'autant plus incompréhensible qu'une procédure était parallèlement en cours, suite à une décision de l'assurance-invalidité ». Peu auparavant, les premiers juges l'avaient informée du fait que l'expertise du docteur N._ était versée au dossier et lui avaient communiqué les réponses de différents médecins à une demande qu'il leur avait adressée. L'assurée soutient que si elle avait été informée de la volonté des premiers juges de rendre une décision à bref délai, elle n'aurait pas manqué de requérir l'audition du docteur N._ et celle du docteur B._.
2.2 2.2.1 Aux termes de l'art. 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droit fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. En l'occurrence, il paraît douteux que le grief de violation de l'art. 29 al. 2 Cst., soulevé par l'assurée, soit suffisamment motivé. L'assurée n'invoque aucune disposition de droit cantonal ou fédéral qui aurait obligé les premiers juges à lui annoncer expressément et formellement la clôture de la procédure d'instruction; elle ne cite pas davantage une jurisprudence qui déduirait une telle obligation du droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. La question de la recevabilité du grief peut toutefois demeurer ouverte dès lors qu'il est, quoi qu'il en soit, mal fondé.
2.2.2 L'art. 29 al. 2 Cst. garantit aux parties à une procédure judiciaire ou administrative le droit d'être entendues. La jurisprudence en a déduit, en particulier, le droit pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision soit prise à son détriment, celui de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision, celui d'avoir accès au dossier, celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (ATF 132 V 368 consid. 3.1 p. 370 et les références). Les exigences du droit d'être entendu ne sont pas respectées si le tribunal communique une prise de position (ou une pièce nouvelle) à une partie, mais lui signifie dans le même temps que l'échange d'écritures est terminé, privant ainsi la partie de toute possibilité de présenter ses observations (cf. ATF 132 I 42 consid. 3.3.2 p. 46 et les références). Lorsque le droit de procédure applicable prévoit qu'il n'y a en principe qu'un seul échange d'écritures - comme c'est le cas devant le Tribunal fédéral (cf. art. 102 al. 1 et 3 LTF) -, l'autorité peut se limiter, dans un premier temps, à communiquer la prise de position à titre d'information, sans avis formel de la possibilité de répliquer; pour autant que le juge n'ait pas clôturé l'échange d'écritures, la partie est ainsi mise en situation de faire ou non usage de son droit de réplique; si elle s'en abstient, elle est censée y avoir renoncé après l'écoulement d'un délai raisonnable (cf. ATF 133 I 98 consid. 2.2 p. 99 sv.; 132 I 42 consid. 3.3.3 sv. p. 46 sv.; voir également arrêt 2C_688/2007 du 11 février 2008, consid. 2.2). Au terme de ce délai, le juge peut statuer sans avis formel de clôture de l'échange d'écritures ou de l'instruction, sous réserve d'une disposition de procédure prévoyant expressément une telle obligation.
2.2.3 En l'espèce, le Juge instructeur en instance cantonale a, par acte du 26 octobre 2007, invité l'assurée à préciser si elle renonçait ou non à des débats oraux. Après avoir dans un premier temps demandé la convocation de tels débats, l'assurée y a renoncé par lettres des 28 février et 16 mai 2008. Le 8 juillet suivant, elle a produit l'expertise du docteur N._. Le Juge instructeur a versé au dossier cette nouvelle pièce, ainsi que le dossier radiologique dont il avait préalablement demandé la production par les différents médecins consultés par l'assurée. Il a informé les deux parties de ces démarches, sans autre commentaire, par lettre du 11 juillet 2008. Si l'assurée entendait réagir à ces nouveaux documents, elle avait toute latitude pour le faire avant le 10 septembre 2008. Elle n'expose pas en quoi les premiers juges lui auraient donné un motif particulier de penser qu'ils attendraient encore avant de statuer sur le litige; elle n'allègue pas davantage qu'elle aurait demandé une suspension de procédure dans l'attente de nouvelles preuves qu'elle entendait produire. Dans ces circonstances, compte tenu du délai écoulé entre le 11 juillet et le 10 septembre 2008, la juridiction cantonale pouvait considérer que C._ avait implicitement renoncé à se déterminer sur les nouvelles pièces médicales et que la cause était en état d'être jugée. Il n'en va pas différemment si l'on prend en considération les féries du 15 juillet au 15 août inclusivement, prévues par l'art. 38 al. 4 LPGA, en relation avec l'art. 60 al. 2 LPGA. Il convient par conséquent de rejeter le grief de violation du droit d'être entendu soulevé par l'assurée.
3. 3.1 Sur le fond, le litige porte sur le droit de C._ à des prestations en nature (traitement médical) et en espèces (indemnités journalières) de la Caisse vaudoise pour la période postérieure au 30 juin 2005. Il s'agit plus particulièrement de déterminer si les atteintes à la santé présentées par l'assurée, postérieurement à cette date, étaient encore dues à l'accident du 25 janvier 2005.
3.2 Le jugement entrepris expose les dispositions légales et la jurisprudence applicables en l'espèce, de sorte qu'il convient d'y renvoyer. On ajoutera qu'aux termes de l'art. 9 al. 2 OLAA (en relation avec l'art. 6 al. 2 LAA), les fractures (let. a) et déchirures de tendons (let. f) sont assimilées à un accident, même si elles ne sont pas causées par un facteur extérieur de caractère extraordinaire, pour autant qu'elles ne soient pas manifestement imputables à une maladie ou à des phénomènes dégénératifs.
4. 4.1 Les premiers juges ont d'abord considéré que la lésion vertébrale en D12, constatée par les différents médecins consultés, était en relation de causalité naturelle avec l'accident. Ils ont ensuite ajouté « que pour une travailleuse de force alitée pendant dix jours, le déficit fonctionnel est de 30 %, déficit dont le délai de récupération est plus long, d'au moins deux mois. Tenant compte des deux pathologies dont est affectée la recourante et donc des deux récupérations en parallèle, un délai de huit à neuf mois pour retrouver le statu quo ante paraît raisonnable, ce qui reporte le terme de la prise en charge des prestations par la Caisse vaudoise au 30 septembre 2005. »
4.2 La Caisse vaudoise conteste que l'accident ait entraîné une fracture de la vertèbre D12. Elle rappelle, en outre, que d'après le docteur L._, si l'on admettait une relation de causalité naturelle entre la fracture vertébrale et l'accident, il faudrait considérer que le statu quo sine était atteint après trois à quatre mois, soit au plus tard le 25 mai 2005. Elle conteste, enfin, tout lien de causalité naturelle entre les lésions de l'épaule droite et l'accident assuré.
Pour sa part, C._ se réfère au rapport du docteur N._, dont elle déduit qu'il subsiste un rapport de causalité entre l'accident assuré et la persistance de douleurs aussi bien au niveau du dos que de l'épaule droite, postérieurement au 30 septembre 2005. En rapport avec les lésions de l'épaule droite, elle se réfère par ailleurs à l'art. 9 al. 2 OLAA.
5. 5.1 Au terme d'une expertise probante, remplissant tous les critères posés par la jurisprudence en la matière (cf. ATF 125 V 351 consid. 3 p. 352), le docteur L._ a proposé de nier l'existence d'un rapport de causalité entre l'accident assuré et les lésions de l'épaule droite dont souffre l'assurée. Il a exposé de manière convaincante que cette épaule présentait, déjà avant l'accident d'importantes atteintes dégénératives; en outre, l'assurée s'était plainte, certes, de douleurs à l'épaule droite lors de la consultation du docteur T._, le 27 janvier 2005, mais n'avait par la suite plus fait part de telles douleurs jusqu'au 27 avril 2005. Dans son rapport du 19 août 2005, le docteur D._ s'était exprimé dans le même sens.
5.2 Le seul médecin à constater l'existence d'une relation de causalité naturelle entre l'accident du 25 janvier 2005 et les douleurs persistantes de l'épaule droite est le docteur N._. Ce dernier admet qu'un conflit sous-acromial osseux était déjà présent avant l'accident, mais qu'il était asymptomatique; en outre, il s'était aggravé, après l'accident, d'une inflammation importante, voire d'une déchirure partielle.
Cette argumentation repose largement sur un raisonnement de type « post hoc, ergo propter hoc », en principe insuffisant pour établir un rapport de causalité entre une atteinte à la santé et un accident assuré (cf. ATF 119 V 335 consid. 2b/bb p. 340 ss; arrêt U 215/97 du 23 février 1999 consid. 3b, in RAMA 1999 no U 341 p. 408 sv.). L'apparition de douleurs à la suite d'un accident constitue au mieux un indice en faveur d'un rapport de causalité naturelle. En l'occurrence, il n'y a pas d'autre circonstance sur laquelle s'appuyer pour corroborer cet indice et établir un tel lien de causalité. Surtout, l'assurée n'a décrit aucune douleur de l'épaule droite entre le 27 janvier 2005 (date de la consultation du docteur T._) et le 27 avril suivant, soit un intervalle de trois mois sans symptômes douloureux documentés médicalement. Or, compte tenu du caractère relativement détaillé du rapport de sortie du 17 février 2005 de l'Hôpital Y._, il faut considérer que si l'assurée avait décrit des douleurs pendant l'hospitalisation, celles-ci y figureraient. Le docteur H._ s'est par ailleurs montré particulièrement clair sur l'absence de plaintes relatives à l'épaule droite jusqu'au 27 avril 2005.
5.3 Compte tenu de ce qui précède, l'existence d'un rapport de causalité naturelle entre l'accident du 25 janvier 2005 et les douleurs exprimées par l'assurée dès le 27 avril 2005 ne peut pas être tenue pour établie. L'intervalle de trois mois sans que l'assurée expose à un médecin souffrir de douleurs de l'épaule droite, malgré plusieurs consultations et une hospitalisation, exclut également d'appliquer l'art. 9 al. 2 let. f OLAA, en relation avec une éventuelle déchirure de la coiffe des rotateurs dont les symptômes auraient été déclenchés par la chute survenue en janvier 2005. L'assurée ne peut donc prétendre aucune des prestations d'assurances litigieuses en raison des atteintes dont elle souffre à l'épaule droite.
6. Les avis des médecins sont partagés sur le point de savoir si la fracture de la vertèbre D12 est en relation de causalité naturelle ou non avec l'accident du 25 janvier 2005. Il n'est toutefois pas nécessaire de trancher cette question. En effet, même si l'on devait considérer, par hypothèse, que la fracture est d'origine accidentelle ou qu'elle constitue une lésion assimilée à un accident (art. 9 al. 2 let. a OLAA), il faudrait tenir pour établie l'évolution vers un statu quo sine au moment où l'assurance-accidents a mis fin aux prestations, le 30 juin 2005. En effet, les docteurs D._ et L._ ont tous deux attesté que la fracture vertébrale, à supposer qu'elle ait été causée par l'accident du 25 janvier 2005, était consolidée et que le statu quo sine avait été atteint trois à quatre mois après l'accident. Le docteur N._ n'a pas mis en cause cette constatation et a précisé que « le traitement de 3 à 4 mois est correct selon l'ordre des choses ». Dans ces conditions, on cherche en vain au dossier, un autre document médical sur lequel les premiers juges se seraient fondés pour considérer que le statu quo ante (recte : statu quo sine) n'était établi que le 30 septembre 2005, ou qui justifierait un renvoi de la cause pour qu'une nouvelle expertise soit réalisée, comme le demande l'assurée à titre subsidiaire.
7. Vu ce qui précède, la juridiction cantonale a considéré à tort que les atteintes à la santé présentées par l'assurée postérieurement au 30 juin 2005 étaient en relation de causalité naturelle avec l'accident assuré. La Caisse vaudoise n'est donc pas tenue d'allouer des prestations pour la période postérieure à cette date. Elle voit son recours admis, alors que les conclusions de C._ sont intégralement rejetées. L'assurée supportera ses propres dépens et les frais de justice (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 8C_940/2008 et 8C_942/2008 sont jointes.
2. Le recours de la Caisse vaudoise contre le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 10 septembre 2008 est admis et le jugement entrepris est annulé.
3. Le recours de C._ est rejeté.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 1500 fr., sont mis à la charge de C._.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal vaudois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 25 août 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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