Erwägungen:
1. Mit Verfügung vom 6. Februar 2009 erteilte der Rechtsöffnungsrichter beim Kantonsgericht Zug der Beschwerdegegnerin in der gegen den Beschwerdeführer angehobenen Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamtes A._ definitive Rechtsöffnung für Fr. 12'485.15 nebst Zins zu 5% seit dem 3. Juni 2008. Das Begehren stützte sich auf den rechtskräftigen Beschluss des Regierungsrates des Kantons Zug vom 10. Juli 2007, welcher den Beschwerdeführer verpflichtet, die bezogene Sozialhilfe in der Höhe von Fr. 12'485.15 inklusive Zins zurückzuerstatten. Die Justizkommission des Obergerichts des Kantons Zug trat mit Beschluss vom 27. März 2009 auf eine dagegen gerichtete Beschwerde nicht ein. Mit einer am 8. Mai 2009 der Post übergebenen Verfassungsbeschwerde ersucht der Beschwerdeführer um Aufhebung des obergerichtlichen Beschlusses und um Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
2. Die Justizkommission hat erwogen, aus den Akten gehe hervor, dass sich der Beschwerdeführer trotz gerichtlicher Bekanntmachung im Amtsblatt des Kantons Zug vom 23. Januar 2009 innert der ihm gesetzten Frist von sieben Tagen nicht zum Rechtsöffnungsgesuch habe vernehmen lassen. Seine Vorbringen seien daher insgesamt neu. Der Beschwerdeführer habe nicht wahrscheinlich gemacht, dass er die Vorbringen früher nicht gekannt bzw. trotz grosser Anstrengung nicht habe anrufen können (§ 212 i.V.m. § 205 Abs. 1 ZPO/ZG). Ferner habe er nicht dargelegt und es sei auch nicht ersichtlich, weshalb er seine Einwendungen nicht bereits im vorinstanzlichen Verfahren habe einbringen können. Er sei folglich damit nicht zu hören. Auf die Beschwerde sei daher nicht einzutreten.
Im Übrigen wäre die Beschwerde selbst bei rechtzeitig erhobenen Einwendungen abzuweisen: Soweit der Beschwerdeführer geltend mache, das Sozialamt habe das Urteil durch Täuschung erlangt, könne er damit von vornherein nicht gehört werden. Wenn er schliesslich mutmasse, es könne der Tatbestand der Begünstigung erfüllt sein, sei es ihm unbenommen, deswegen Strafanzeige bei der zuständigen Behörde zu erstatten. Für eine Anzeige von Amtes wegen bestehe kein Anlass.
3. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den vorgenannten Erwägungen nicht auseinander, sondern er macht im Wesentlichen nur geltend, die Frist von sieben Tagen sei zu kurz und das SchKG sage nichts über solche Fristen aus. Diese Begründung der Beschwerde entspricht den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG bzw. von Art. 106 Abs. 2 BGG (BGE 134 I 83 E. 3.2. S. 88 mit Hinweisen; 133 IV 286 E. 4.1 S. 287 f.) nicht.
4. Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) durch die Präsidentin der Abteilung unter Kostenfolge für den Beschwerdeführer (Art. 66 Abs. 1 BGG) nicht einzutreten.
5. Da sich die Beschwerde von Anfang an als aussichtslos erwiesen hat, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 700.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, Justizkommission, Zivilrechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Mai 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden