Fatti:
A. A.a A._ , nato nel 1966, è entrato alle dipendenze della Fondazione X._ in qualità di manutentore tuttofare nel mese di marzo 2008 e in quanto tale, tramite il datore di lavoro, è stato assicurato ai fini previdenziali presso la GastroSocial Cassa pensione (in seguito: GastroSocial) fino al 31 marzo 2010. Il 28 maggio 2008 è rimasto vittima di un "infortunio" sul lavoro ("strappo alla schiena") a seguito del quale non ha più ripreso l'attività professionale.
A.b Il 12 febbraio 2009 A._ ha presentato una domanda di prestazioni AI. L'Ufficio AI del Cantone Ticino (UAI) ha esperito gli accertamenti del caso, tra i quali una perizia reumatologica a cura del dott. C._, il quale con referto del 22 marzo 2010 - posta la diagnosi di sindrome da dolore cronico, alterazioni degenerative del rachide lombare, esiti da morbo di Scheuermann, disturbi statici del rachide - ha dichiarato l'interessato inabile al lavoro in maniera completa dal 28 maggio 2008 al 9 dicembre 2009, parzialmente inabile al lavoro (al 40%) nell'attività pregressa dal 10 dicembre 2009 e, sempre da tale data, pienamente abile in attività sostitutiva confacente al suo stato di salute. Sulla base di questa valutazione, l'amministrazione con decisione del 2 febbraio 2011 (preavvisata il 10 settembre 2010 e notificata anche a GastroSocial) ha attribuito all'assicurato una rendita intera AI (per un grado d'invalidità del 100%) dal 1° agosto 2009 (sei mesi dopo la presentazione della domanda: art. 29 cpv. 1 LAI) al 31 marzo 2010 (tre mesi dopo il miglioramento constatato in ambito medico). Per il seguito l'UAI ha negato ulteriori prestazioni, accertando un grado d'invalidità insufficiente (1.4%).
Adito su ricorso dell'interessato, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino ha annullato la decisione amministrativa e ha rinviato gli atti all'UAI per complemento istruttorio, segnatamente per valutazione degli aspetti di natura psichiatrica (pronuncia del 17 agosto 2011). L'UAI ha quindi incaricato a tale scopo il Centro peritale per le assicurazioni sociali. Con rapporto del 2 dicembre 2011, i periti, rilevata una sindrome depressiva con episodio di media gravità (ICD 10:F32.1), hanno stabilito una incapacità lavorativa del 50% in ogni attività dalla data della perizia. Preso atto di queste conclusioni e accertata una situazione invariata dal profilo somatico, l'UAI ha confermato il diritto alla rendita intera dal 1° agosto 2009 al 31 marzo 2010, mentre ha riconosciuto una (nuova) mezza rendita dal 1° gennaio 2012 (al termine di un nuovo periodo annuo di attesa iniziato, secondo l'UAI, il 1° gennaio 2011), oltre alle rendite per i due figli X._ e Y._ (decisione del 2 marzo 2012, preavvisata il 6 dicembre 2011 e ugualmente notificata a GastroSocial).
A.c A._ si è quindi rivolto a GastroSocial, la quale ha tuttavia negato un suo obbligo di prestazioni dal profilo della previdenza professionale osservando che non poteva essere ritenuta responsabile per la nuova malattia insorta successivamente alla fine del rapporto di affiliazione, terminato il 31 marzo 2010.
B. Mediante petizione del 2 luglio 2012, l'interessato ha chiesto al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino di condannare GastroSocial al versamento di una rendita intera d'invalidità della previdenza professionale dal 1° maggio 2009 e di una mezza rendita dal 1° gennaio 2012, oltre alle rendite per i suoi due figli (X._ e Y._). Per pronuncia del 31 ottobre 2012 la Corte cantonale ha respinto la petizione. In sintesi, il giudice di prime cure ha ritenuto che la Cassa pensione non era tenuta a versare prestazioni d'invalidità poiché l'inizio dell'incapacità lavorativa di rilievo che aveva portato al riconoscimento di una mezza rendita risaliva a una data successiva al marzo 2010, sicché faceva difetto il nesso materiale con la precedente rendita intera temporanea. Per il resto, ha concesso all'assicurato l'assistenza giudiziaria con gratuito patrocinio.
C. A._ ha presentato ricorso al Tribunale federale al quale ribadisce le richieste di sede cantonale oltre a chiedere l'assistenza giudiziaria e il gratuito patrocinio anche per la procedura federale. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
GastroSocial propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Costituisce una violazione del diritto federale, liberamente riesaminabile, in particolare anche l'accertamento incompleto dei fatti determinanti come pure la violazione della massima inquisitoria che costituisce una norma essenziale di procedura (cfr. sentenza 9C_468/2009 del 9 settembre 2009 consid. 1.2 con riferimento). Il riesame di una tale questione entra in particolare in linea di considerazione nell'ipotesi in cui un fatto decisivo è stato stabilito sulla base di un sostrato probatorio incompleto. Per il resto, il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF). Può rettificare o completare d'ufficio l'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore se è stato svolto in modo manifestamente inesatto, ovvero arbitrario (DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62), oppure in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 (art. 105 cpv. 2 LTF), e a condizione che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF).
2. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, il Tribunale cantonale ha correttamente esposto le norme e i principi giurisprudenziali disciplinanti la materia, rammentando in particolare le regole che reggono il diritto alle prestazioni di invalidità della previdenza professionale obbligatoria (art. 23 LPP), l'estensione del diritto alla rendita (art. 24 cpv.1 LPP), la nascita di tale diritto (art. 26 cpv. 1 LPP in relazione con l'art. 29 LAI) e il concetto di incapacità lavorativa rilevante dal profilo della LPP. A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione, non senza tuttavia ricordare che affinché un istituto di previdenza possa essere chiamato a fornire prestazioni, l'incapacità di lavoro deve essersi manifestata in un'epoca in cui l'assicurato era ad esso affiliato. Inoltre, tra detta incapacità e la susseguente invalidità deve sussistere uno stretto nesso materiale e temporale. A questo riguardo questa Corte ha precisato che vi è segnatamente connessione materiale se il danno alla salute all'origine dell'invalidità è essenzialmente lo stesso che si era già manifestato durante l'affiliazione al (precedente) istituto di previdenza e che ha causato un'incapacità di lavoro di una certa importanza (di almeno il 20%; DTF 123 V 262 consid. 1c pag. 264; cfr. inoltre sentenza 9C_335/2011 del 14 marzo 2012 consid. 2 con riferimenti). Questi principi valgono di massima, in assenza di disposizioni statutarie contrarie, anche in materia di previdenza professionale più estesa (cfr. SVR 1994 BVG n. 14 pag. 38 consid. 2b; DTF 117 V 329 consid. 3 pag. 332).
3. La Corte cantonale ha negato, sulla base degli atti medici all'inserto, l'esistenza di un nesso materiale tra l'incapacità lavorativa per motivi somatici manifestatasi prima del marzo 2010 e i (successivi) problemi psichici che hanno fondato il diritto alla mezza rendita dal 1° gennaio 2012 essenzialmente poiché non risultava che i problemi psichici invalidanti avessero causato un'incapacità lavorativa di rilievo durante l'affiliazione alla convenuta.
3.1 Pur essendo quella della connessione materiale e temporale una questione di diritto e in quanto tale liberamente riesaminabile dal Tribunale federale, essa si apprezza comunque sulla base dei fatti accertati dall'autorità giudiziaria cantonale, e in particolare dei documenti medici. I quali fatti vincolano la Corte federale nella misura in cui non sono stati accertati in maniera manifestamente inesatta o incompleta (o comunque contraria al diritto). Spetta pertanto al ricorrente che nella fattispecie intende contestare i fatti accertati dall'autorità inferiore spiegare, in maniera circostanziata, per quale motivo ritiene che le condizioni di una delle citate eccezioni previste all'art. 105 cpv. 2 LTF sarebbero realizzate (v. sopra, consid. 1).
3.2 Sennonché, il ricorrente, limitandosi a sollevare perlopiù censure di natura appellatoria, in quanto tali inammissibili in sede federale, difficilmente adempie a queste esigenze di motivazione in relazione ai fatti posti a fondamento del giudizio impugnato. Allegando al gravame un ulteriore attestato medico dello psichiatra dott. M._, datato 22 novembre 2012, l'insorgente osserva di essere già stato in cura, nel periodo tra agosto 2008 e gennaio 2009, per uno stato depressivo reattivo all'infortunio del 28 maggio 2008. Il danno psichico si sarebbe dunque manifestato già durante il rapporto di previdenza e avrebbe contribuito all'evoluzione della malattia, essendo indissolubilmente legato con il danno somatico. A parte il fatto che il nuovo documento è chiaramente irricevibile poiché posteriore alla data del giudizio impugnato (art. 99 cpv. 1 LTF; Ulrich Meyer/Johanna Dormann, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2a ed. 2011, n. 43 ad art. 99 LTF), il ricorrente dimentica che non è l'apparizione dei disturbi in quanto tale a costituire l'evento assicurato ai sensi dell'art. 23 LPP, ma piuttosto l'intervento di una incapacità lavorativa di una certa importanza (di almeno il 20%) dovuta all'affezione invalidante. Anche volendo ammettere che l'affezione psichica fosse già apparsa in un'epoca in cui l'assicurato era ancora affiliato presso la Cassa opponente, ciò non basta a giustificare un obbligo di prestazione a carico di quest'ultima poiché il disturbo in questione non aveva ancora avuto alcuna incidenza (di rilievo) sulla capacità lavorativa. Il momento dell'insorgenza dell'incapacità lavorativa determinante deve infatti essere sufficientemente provata. Se nel diritto del lavoro già un'incapacità lavorativa di pochi giorni dev'essere dimostrata con un certificato medico o in altro modo, a maggior ragione non si può prescindere dal pretendere sufficienti e chiare prove in relazione all'inabilità lavorativa di riferimento per la previdenza professionale, dove le conseguenze sono di più ampia portata (rendite vitalizie, ecc.). Queste prove non possono essere sostituite da considerazioni e congetture speculative, bensì devono potersi dedurre con il grado di verosimiglianza preponderante usuale nel diritto delle assicurazioni sociali (cfr. sentenza B 68/06 del 31 agosto 2007 consid. 6.4 con riferimenti). Ora, l'accertamento del primo giudice che nel caso di specie ha rilevato l'assenza di indizi chiari e sufficienti per ammettere non soltanto la presenza di un'affezione psichica, ma anche e soprattutto di una incapacità lavorativa di rilievo ad essa associabile già durante il rapporto di previdenza è tutt'altro che arbitrario. Del resto non va dimenticato che pure l'UAI ha riconosciuto il diritto alla mezza rendita dal 1° gennaio 2012 per motivi psichici riconducendo la nuova inabilità a un danno alla salute diverso dall'incapacità lavorativa oggetto della prima rendita. Ne discende che su questo punto il ricorso va respinto siccome manifestamente infondato e la pronuncia cantonale confermata.
4. Diverso è invece il discorso per quanto concerne la richiesta di prestazioni a dipendenza dell'affezione somatica, per la quale l'UAI ha riconosciuto una rendita intera limitata nel tempo, e più precisamente dal 1° agosto 2009 (sei mesi dopo la presentazione della domanda conformemente all'art. 29 cpv. 1 LAI) al 31 marzo 2010 (tre mesi dopo l'accertato miglioramento).
4.1 Come si evince dagli art. 23, 24 cpv. 1 e 26 cpv. 1 LPP, fra primo (assicurazione per l'invalidità) e secondo pilastro (previdenza professionale) esiste un forte legame funzionale. Questo legame mira, da un lato, a garantire un coordinamento materiale esteso tra primo e secondo pilastro e, dall'altro, a esentare quanto più possibile gli organi della previdenza professionale dai dispendiosi accertamenti riguardanti le condizioni, l'estensione e l'inizio del diritto alle prestazioni d'invalidità del secondo pilastro (DTF 133 V 67 consid. 4.3.2 pag. 69; 132 V 1 consid. 3.2 pag. 4). Tanto in materia di previdenza obbligatoria quanto in materia di previdenza più estesa (se l'istituto di previdenza ha deciso per via di regolamento di estendere la previdenza al di là delle esigenze minime di legge), la valutazione dell'invalidità effettuata dagli organi dell'assicurazione per l'invalidità assume, in assenza, come in concreto, di disposizione statutaria contraria, forza vincolante per gli organi della previdenza professionale. Sempre che tale valutazione non risulti manifestamente insostenibile e che l'istituto di previdenza sia stato adeguatamente coinvolto nella procedura AI, ciò significa in particolare che il diritto a una rendita d'invalidità LPP (art. 23 LPP), la sua entità (art. 24 cpv. 1 LPP) e il suo inizio (art. 26 cpv. 1 LPP) si determinano per analogia alle disposizioni della LAI (DTF 134 V 64 consid. 4.1.2 pag. 70).
4.2 La Corte cantonale ha pacificamente accertato che l'affezione di natura somatica, conseguente all'infortunio del 28 maggio 2008 e posta a fondamento dell'assegnazione della rendita intera AI dal 1° agosto 2009 al 31 marzo 2010, è intervenuta in un periodo in cui l'assicurato era affiliato alla GastroSocial e subiva una (completa) inabilità lavorativa di rilievo. Il ricorrente, ancorché in maniera invero un po' confusa, si prevale di questa situazione e chiede di riprendere la valutazione dell'AI - vincolante, poiché correttamente notificata all'istituto di previdenza e non (più) contestata dalle parti - per ottenere (pure) l'assegnazione di una rendita intera dal 1° maggio 2009 per le conseguenze invalidanti sia delle affezioni somatiche che - a torto, per quanto visto in precedenza - di quelle psichiche.
4.3 Richiamata la prassi esposta al considerando 4.1, non vi è motivo per non riprendere la vincolante valutazione dell'AI e per non riconoscere all'assicurato, almeno nel suo principio, una rendita intera dal 1° agosto 2009 (cfr. art. 26 cpv. 1 LPP in relazione con l'art. 29 cpv. 1 LAI; Hans-Ulrich Stauffer, Berufliche Vorsorge, 2a ed. 2012, pag. 337 n. 921) al 31 marzo 2010, oltre alle rendite per i due figli X._ e Y._ (art. 25 LPP), per le conseguenze invalidanti di natura somatica.
4.3.1 La pronuncia cantonale non si è minimamente espressa su questo aspetto. Verosimilmente - ma in mancanza di concrete constatazioni della Corte cantonale si tratta di mere congetture - perché ha fatto affidamento sulla nota all'incarto 28 febbraio 2011 e sul successivo scritto 14 marzo 2011 dell'istituto di previdenza. In particolare nella prima, l'opponente aveva osservato, con riferimento all'incapacità lavorativa assicurata per motivi somatici, di non dovere probabilmente ("wahrscheinlich") pagare alcuna rendita (del secondo pilastro) perché, pur essendo di per sé dovuta fino al 31 marzo 2010, l'assicuratore d'indennità giornaliera in caso di malattia (AXA Winterthur) aveva già versato indennità fino al 28 maggio 2010. Quand'anche il motivo - l'unico ipotizzabile - fosse questo, la decisione di non esaminare il diritto a una rendita del secondo pilastro non potrebbe comunque essere condivisa.
4.3.2 L'ordinamento in materia di previdenza professionale contiene norme di coordinamento con l'assicurazione malattia. L'art. 26 cpv. 2 LPP prevede in particolare che l'istituto di previdenza può stabilire nelle sue disposizioni regolamentari che il diritto alle prestazioni sia differito fintanto che l'assicurato riscuote il salario completo. Basandosi su questa disposizione di legge come pure sull'art. 34a cpv. 1 LPP - che l'ha incaricato di emanare prescrizioni per impedire indebiti profitti dell'assicurato o dei suoi superstiti in caso di concorso di prestazioni - il Consiglio federale ha autorizzato all'art. 26 OPP 2 gli istituti di previdenza a differire il diritto a prestazioni d'invalidità fino all'esaurimento del diritto all'indennità giornaliera se: a) l'assicurato, in sostituzione del salario intero, riceve indennità giornaliere dell'assicurazione contro le malattie, che ammontino almeno all'80 per cento del salario di cui è privato, e b) se le indennità giornaliere sono state finanziate almeno per la metà dal datore di lavoro. Si tratta di una norma di coordinamento temporale tesa ad evitare che l'assicurato - il quale riscuote il suo salario o delle prestazioni sostitutive che esonerano il datore di lavoro dal relativo versamento - non disponga, dopo l'invalidità, di mezzi finanziari superiori a quelli di cui beneficava in precedenza. Il diritto a una rendita d'invalidità può tuttavia soltanto essere differito se le disposizioni regolamentari lo prevedono espressamente (DTF 128 V 243 consid. 2b pag. 247; 123 V 193 consid. 5c/cc pag. 199 con riferimenti).
4.3.3 Dovendo necessariamente ricorrere all'esame dell'incarto (art. 105 cpv. 2 LTF), emerge che l'istituto di previdenza opponente contempla la possibilità di differire le proprie prestazioni fintanto che vengono a scadenza prestazioni d'indennità giornaliera dell'assicurazione malattia o infortuni (art. 9.1 del Regolamento). Allo stesso tempo risulta che le indennità giornaliere di malattia versate dalla AXA Winterthur coprivano l'80% del salario. Non è per contro chiaro se le indennità giornaliere fossero anche finanziate almeno per la metà dal datore di lavoro. Il giudizio impugnato, come detto, non si pronuncia su tale questione e rende pertanto necessario un complemento istruttorio (cfr. DTF 129 V 15 consid. 5b pag. 26). Complemento che del resto si impone anche perché l'Ufficio AI ha compensato, per fr. 9'944.-, parte delle rendite AI arretrate con le pretese di restituzione della AXA Winterthur (cfr. decisione del 2 febbraio 2011, poi sostituita da quella del 2 marzo 2012). La Corte cantonale dovrà verificare se in questo modo le indennità giornaliere in caso di malattia restanti (non toccate dalla restituzione/compensazione) raggiungano comunque la soglia dell'80% stabilita dall'art. 26 OPP 2, posto che se ciò non fosse il caso la possibilità di differimento riservata dalla stessa norma verrebbe a cadere (cfr. RSAS 2010 pag. 280, 9C_1026/2008, consid. 7.2; 2006 pag. 37, B 27/04, consid. 1 e 2).
4.3.4 In sintesi, il ricorrente ha diritto a una rendita intera dal 1° agosto 2009 al 31 marzo 2010 (oltre alle rendite per i due figli X._ e Y._), eventualmente differita. Di conseguenza la pronuncia impugnata dev'essere annullata e la causa rinviata all'istanza precedente perché stabilisca l'entità delle prestazioni d'invalidità (eventualmente) dovute ed esamini ugualmente se (e in quale misura) non si giustifichi pure una riduzione per ragioni di sovrindennizzo. In questa misura il ricorso dev'essere parzialmente accolto.
5. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e vanno ripartite fra le parti (art. 66 cpv. 1 LTF). Il ricorrente ha chiesto di essere posto al beneficio dell'assistenza giudiziaria e del gratuito patrocinio. Tuttavia, nella misura in cui non è divenuta priva d'oggetto a seguito dell'accoglimento parziale del ricorso, la domanda va (per la parte rimanente) respinta (cfr. sentenza 5P.432/2006 del 14 maggio 2007 consid. 5.4). In effetti, la richiesta di prestazioni (anche dopo il 31 marzo 2010) a dipendenza dell'invalidità psichica era - tenuto conto della prassi in materia e degli accertamenti della Corte cantonale - sin dall'inizio priva di possibilità di successo. Parzialmente vincente in causa A._ , rappresentato da un legale, ha diritto a un'indennità di parte ridotta (art. 68 cpv. 1 LTF). Per contro, sebbene risulti ugualmente parzialmente vincente e patrocinata da un legale esterno, la Cassa pensione opponente non ha diritto a ripetibili poiché è incaricata di compiti di diritto pubblico (art. 68 cpv. 3 LTF; cfr. SVR 2011 BVG n. 19 pag. 70, 9C_80/2010, consid. 7).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è parzialmente accolto. La sentenza del Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino del 31 ottobre 2012 è annullata. La causa è rinviata all'autorità inferiore per nuova decisione nel senso dei considerandi. Per il resto, il ricorso è respinto.
2. Nella misura in cui non è divenuta priva di oggetto, la domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3. Le spese giudiziarie, fissate in complessivi fr. 500.-, sono poste a carico del ricorrente in misura di fr. 300.- e dell'opponente in misura di fr. 200.-.
4. L'opponente verserà al patrocinatore del ricorrente la somma di fr. 1'000.- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
5. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale delle assicurazioni sociali.