Faits:
A. A.a Luis Fernandez est un entraîneur de football français. Il est actuellement le sélectionneur de l'équipe nationale d'Israël.
La Fédération Internationale de Football Association (FIFA) est une association inscrite au Registre du commerce au sens des art. 60 ss du Code civil suisse (CC). Le siège de la FIFA est à Zurich.
A.b Le 24 juin 2005, Luis Fernandez a été engagé en qualité d'entraîneur d'Al-Rayyan Sports Club, club de football de Doha (Qatar). Le 13 novembre de la même année, il a mis fin de manière anticipée à son contrat de travail, avec l'accord de son employeur, pour rejoindre le club israélien Beitar Jérusalem FC, dont le dénommé Arcadi Gaydamak est le président. En contrepartie, il s'est engagé à verser au club qatari la somme de 400'000 euros. Le même jour, les coordonnées bancaires de ce club lui ont été communiquées afin qu'il procédât au versement de cette somme.
Par la suite, un représentant de Luis Fernandez a reçu, par télécopie émanant d'une société Imperial Foundation, Curaçao (ci-après: Imperial), l'instruction de verser ladite somme sur un compte bancaire genevois au nom de cette société. Le 16 janvier 2006, un ordre de transfert de 400'000 euros en faveur de celle-ci a été donné par une société Amatti SA, aux Seychelles.
A.c Le 22 février 2006, Al-Rayyan Sports Club a saisi la FIFA d'une demande visant, notamment, à obtenir de son ancien entraîneur le paiement des 400'000 euros que celui-ci s'était engagé à lui verser.
Alléguant l'avoir déjà fait, Luis Fernandez a conclu au rejet de la demande.
Par décision du 13 mars 2008, la Commission du Statut du Joueur de la FIFA (ci-après: CSJ FIFA), considérant que la preuve de ce paiement n'avait pas été apportée, a condamné l'entraîneur français à verser au club qatari la somme de 400'000 euros et les intérêts y afférents dans les 30 jours suivant la notification de ladite décision.
Luis Fernandez a appelé de cette décision devant le Tribunal Arbitral du Sport (TAS). Cependant, la cause a été rayée du rôle, par décision du 18 novembre 2008 du Président suppléant de la Chambre d'appel du TAS, les avances de frais requises n'ayant pas toutes été payées. Un recours en matière civile du prénommé visant cette décision a été rejeté, dans la mesure où il était recevable, par arrêt du Tribunal fédéral du 20 février 2009 (cause 4A_600/2008).
A.d Le 27 mai 2009, Al-Rayyan Sports Club a requis de la FIFA l'ouverture d'une procédure disciplinaire à l'encontre de Luis Fernandez au motif que celui-ci ne lui avait toujours pas versé les 400'000 euros, intérêts en sus, qu'il avait été condamné à lui payer par la CSJ FIFA dont la décision du 13 mars 2008 était définitive.
Par décision rendue le 26 novembre 2009 et rédigée en anglais, la Commission de Discipline de la FIFA (ci-après: CD FIFA), appliquant l'art. 64 du Code disciplinaire de la FIFA (ci-après: CDF), a imparti à Luis Fernandez un dernier délai de grâce de 60 jours pour s'acquitter de sa dette sous peine de se voir imposer automatiquement une suspension de toute activité relative au football par la CD FIFA sur simple requête du créancier.
B. Le 23 décembre 2009, Luis Fernandez a interjeté appel auprès du TAS afin d'obtenir l'annulation de cette décision. A titre préalable, il a demandé au TAS d'accorder l'effet suspensif à son appel et de surseoir à statuer dans l'attente de l'instruction de la plainte pénale qu'il s'apprêtait à déposer à Genève à l'encontre d'Arcadi Gaydamak.
En date du 13 janvier 2010, l'appelant a effectivement porté plainte, avec constitution de partie civile, contre cette personne pour abus de confiance et/ou escroquerie.
Dans son mémoire d'appel du 14 janvier 2010, Luis Fernandez a complété ses conclusions.
Le 18 janvier 2010, le TAS a ordonné la suspension de la décision attaquée, la FIFA ne s'opposant pas à cette mesure.
L'intimée a conclu au rejet de l'appel dans sa réponse du 11 février 2010.
Le 3 septembre 2010, la Formation du TAS, composée de trois arbitres, a rendu sa sentence, rédigée en français. Rejetant l'appel, elle a confirmé la décision disciplinaire attaquée, prononcé la gratuité de la procédure, sous réserve du droit de greffe versé par l'appelant, et dit que chaque partie supporterait ses propres frais et dépens. Les motifs retenus par les arbitres pour étayer cette sentence seront indiqués plus loin dans la mesure nécessaire au traitement des griefs formulés par le recourant.
C. Le 28 octobre 2010, Luis Fernandez a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation de ladite sentence.
La FIFA conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Quant au TAS, il a renoncé à déposer une réponse.
Par ordonnance du 23 novembre 2010, la présidente de la Ire Cour de droit civil a rejeté la demande d'effet suspensif. Dans une seconde ordonnance, du 26 novembre 2010, elle a rejeté la requête du recourant tendant à ce que l'intimée produise ses écritures en français.
Le 10 mars 2011, la présidente de la Ire Cour de droit civil a interpellé les parties pour leur signaler que, d'après un communiqué de presse, le recourant aurait réglé sa dette envers Al-Rayyan Sports Club, ce qui aurait amené la FIFA à lever la mesure de suspension qu'elle lui aurait infligée entre-temps. Elle leur demandait, en conséquence, de lui indiquer ce qu'il en était réellement et de lui faire connaître leur avis quant à l'incidence de cet état de choses sur la procédure en cours devant le Tribunal fédéral. Dans une lettre du 11 mars 2011 de son mandataire, la FIFA a précisé que le recourant s'était effectivement acquitté de sa dette envers le club qatari après l'expiration du délai de grâce, si bien qu'elle avait levé la mesure de suspension qu'elle lui avait imposée antérieurement en exécution de la décision prise le 26 novembre 2009 par la CD FIFA. A son avis, le recours devait ainsi être déclaré irrecevable, faute pour son auteur de conserver un intérêt juridique à l'annulation de la sentence attaquée. De son côté, le recourant a fait savoir, dans une lettre de son mandataire du 22 mars 2011, confirmée le 24 du même mois, que, s'il avait certes versé la somme de 484'855,55 euros au club qatari, il l'avait fait sous la contrainte, exposé qu'il était au risque de ne plus pouvoir exercer son activité lucrative à ce défaut, de sorte qu'il conservait la qualité pour recourir contre la sentence ayant confirmé la décision disciplinaire qui lui avait fait courir semblable risque.
Considérant en droit:
1. Dans le domaine de l'arbitrage international, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions prévues par les art. 190 à 192 LDIP (art. 77 al. 1 LTF).
1.1 Le siège du TAS se trouve à Lausanne. L'une des parties au moins (en l'occurrence, le recourant) n'avait pas son domicile en Suisse au moment déterminant. Les dispositions du chapitre 12 de la LDIP sont donc applicables (art. 176 al. 1 LDIP).
1.2 Se prévalant des circonstances relatées sous let. C. du présent arrêt, l'intimée dénie au recourant la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF, dans sa version antérieure au 1er janvier 2011). Selon elle, comme l'entraîneur français a finalement exécuté l'obligation dont l'inexécution, dans le délai imparti, avait conduit à sa mise en demeure - avec menace de suspension de toute activité relative au football - par décision de la CD FIFA du 26 novembre 2009 confirmée dans la sentence attaquée, il ne pourrait plus faire valoir un intérêt personnel, actuel et juridiquement protégé à ce que le Tribunal fédéral examine si cette sentence a été rendue en violation des garanties découlant de l'art. 190 al. 2 LDIP invoquées par lui.
Le problème est effectivement délicat. Avant de le traiter, il sied d'observer que, dans la mesure où le débiteur a payé le créancier après le dépôt de son recours, son intérêt à recourir aurait disparu, de ce fait, alors que la procédure fédérale était déjà pendante. Aussi ne saurait-il être question, en l'espèce, de déclarer le recours irrecevable, mais, tout au plus, de constater qu'il est devenu sans objet (sur cette distinction, cf. FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, nos 11 ss ad art. 32 LTF, et BERNARD CORBOZ, in op. cit., n° 28 ad art. 76 LTF).
Dans sa décision du 26 novembre 2009, confirmée par la sentence du TAS dont est recours, la CD FIFA n'a pas infligé une amende disciplinaire au recourant; elle lui a simplement accordé un délai de grâce pour s'acquitter de sa dette, sous la commination d'une suspension de toute activité relative au football. Dès lors qu'il a payé son dû, le recourant ne court plus le risque d'une telle suspension. Il n'a donc, en principe, plus d'intérêt actuel à faire annuler la sentence qui confirmait la validité de la fixation du délai de grâce et lui indiquait la conséquence liée au non-respect de ce délai. Par ailleurs, même si cette sentence était annulée par le Tribunal fédéral, le recourant ne pourrait pas obtenir le remboursement de la somme qu'il a versée au club qatari, puisque son obligation de ce chef a été constatée définitivement dans la décision condamnatoire en force rendue le 13 mars 2008 par la CSJ FIFA.
Il est cependant difficile d'exclure tout intérêt résiduel du recourant à l'annulation de la sentence incriminée. Premièrement, s'il s'avérait que la CD FIFA n'aurait pas dû contraindre le recourant à s'exécuter dans le délai de grâce, mais aurait dû surseoir à statuer jusqu'à droit jugé dans la procédure pénale que l'intéressé avait l'intention d'introduire à Genève, et si, par hypothèse, cette procédure révélait que le club qatari a touché une seconde fois la somme de 400'000 euros, intérêts en sus, le recourant, au cas où il ne parviendrait pas à se faire rembourser par ce club la somme payée à double, pourrait peut-être envisager d'introduire une action en responsabilité contre l'intimée en faisant valoir que, si la décision du 26 novembre 2009 n'avait pas été rendue, il n'aurait jamais payé une seconde fois. Deuxièmement, il ressort des explications des parties, et singulièrement de la lettre du 7 mars 2011 par laquelle la FIFA a levé cette mesure, que le recourant a effectivement été suspendu entre le moment où la sentence du 3 septembre 2010 a été rendue et celui où il a payé sa dette. S'il en est résulté pour lui un préjudice matériel et/ou moral dont il souhaite se faire indemniser par qui de droit, le recourant conserve un intérêt à faire constater, au préalable, que le TAS a violé les garanties que lui confère l'art. 190 al. 2 LDIP en avalisant la décision de la CD FIFA qui a entraîné sa suspension. Troisièmement, le recourant pourrait, de toute façon, faire valoir une lésion de ses intérêts, sinon sur le fond, du moins sur la question des frais et dépens. En effet, la sentence attaquée dit que le droit de greffe de 500 fr. versé par lui reste acquis au TAS; de plus, elle décrète que chaque partie supportera ses propres frais et dépens, alors qu'il souhaitait que ceux-ci fussent mis à la charge de l'intimée.
Force est, dès lors, d'admettre que le présent recours n'est pas sans objet, même si l'intérêt du recourant à son admission apparaît tout sauf évident.
1.3 L'intimée conteste, en outre, que le recours ait été interjeté en temps utile. Elle relève, à ce propos, que la sentence entreprise a été notifiée aux parties par fax du 6 septembre 2010. A son avis, le mémoire, déposé le 27 (recte: 28) octobre 2010 par le recourant, l'a donc été après l'expiration du délai légal de 30 jours courant dès cette notification (art. 100 al. 1 LTF). L'objection n'est pas fondée.
En vertu de l'art. 100 al. 1 LTF, le recours contre une décision doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les 30 jours qui suivent la notification de l'expédition complète. Ce délai n'est pas prolongeable (art. 47 al. 1 LTF). Dans un arrêt récent (arrêt 4A_392/2010 du 12 janvier 2011 consid. 2.3.2), qui fait référence à un précédent allant dans le même sens (arrêt 4A_582/2009 du 13 avril 2010 consid. 2.1.2, non publié in ATF 136 III 200), le Tribunal fédéral a jugé que la notification par fax d'une sentence du TAS en matière d'arbitrage international ne fait pas courir le délai de l'art. 100 al. 1 LTF: d'une part, la signature manuscrite ne saurait être remplacée par la signature de l'original de l'acte dont une copie est faxée aux destinataires de la sentence (cf., mutatis mutandis, l'ATF 121 II 252 consid. 3); d'autre part, le fax n'est généralement pas un moyen permettant la preuve de la notification.
En l'occurrence, le secrétariat du TAS a faxé aux intéressés une copie de ladite sentence en les informant qu'ils recevraient ultérieurement l'original de la sentence. Il leur a communiqué celui-ci le 27 du même mois. Sans être contredit, le recourant déclare avoir reçu le pli contenant la sentence originale le 28 septembre 2010. En déposant, le le 28 octobre 2010, un mémoire qui satisfait aux exigences de forme fixées par la loi (art. 42 al. 1 LTF), il a donc agi dans le délai légal.
Rien ne s'oppose, dès lors, à l'entrée en matière. Demeure réservé l'examen de la recevabilité des différents griefs formulés par le recourant.
2. 2.1 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par le Tribunal arbitral (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut rectifier ou compléter d'office les constatations des arbitres, même si les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit (cf. l'art. 77 al. 2 LTF qui exclut l'application de l'art. 105 al. 2 LTF). En revanche, comme c'était déjà le cas sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire (cf. ATF 129 III 727 consid. 5.2.2; 128 III 50 consid. 2a et les arrêts cités), le Tribunal fédéral conserve la faculté de revoir l'état de fait à la base de la sentence attaquée si l'un des griefs mentionnés à l'art. 190 al. 2 LDIP est soulevé à l'encontre dudit état de fait ou que des faits ou des moyens de preuve nouveaux sont exceptionnellement pris en considération dans le cadre de la procédure du recours en matière civile (cf. art. 99 al. 1 LTF).
2. 2.1 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par le Tribunal arbitral (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut rectifier ou compléter d'office les constatations des arbitres, même si les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit (cf. l'art. 77 al. 2 LTF qui exclut l'application de l'art. 105 al. 2 LTF). En revanche, comme c'était déjà le cas sous l'empire de la loi fédérale d'organisation judiciaire (cf. ATF 129 III 727 consid. 5.2.2; 128 III 50 consid. 2a et les arrêts cités), le Tribunal fédéral conserve la faculté de revoir l'état de fait à la base de la sentence attaquée si l'un des griefs mentionnés à l'art. 190 al. 2 LDIP est soulevé à l'encontre dudit état de fait ou que des faits ou des moyens de preuve nouveaux sont exceptionnellement pris en considération dans le cadre de la procédure du recours en matière civile (cf. art. 99 al. 1 LTF).
2.2 2.2.1 Dans une première partie de son mémoire, le recourant indique qu'il "réexposera de manière synthétique les faits". Force est toutefois de constater que, dans cet exercice, il ne se limite pas à reproduire les faits retenus dans la sentence attaquée, mais s'en écarte sensiblement sans se prévaloir pour cela de l'une des exceptions réservées par la jurisprudence susmentionnée. Ainsi, lorsqu'il affirme avoir payé le montant de 400'000 euros sur le compte bancaire genevois de la société Imperial, en date du 16 janvier 2006, le recourant s'écarte de la constatation topique des arbitres, dont il appert que l'ordre de transfert de ladite somme a été donné par une société Amatti SA, aux Seychelles. Il en va de même de son affirmation selon laquelle la CSJ FIFA et la CD FIFA l'ont condamné à payer, respectivement sommé de payer, "à nouveau" ou "une seconde fois" la somme en question. Sur la base des seuls faits constatés dans la sentence du 3 septembre 2010, le Tribunal fédéral ne peut donc tenir aucune de ces deux affirmations pour avérée.
2.2.2 Le recourant revient encore sur "l'état de fait retenu par la sentence arbitrale" dans le cadre de l'exposé de ses griefs.
Selon lui, en requérant de la Formation qu'elle sursoie à statuer jusqu'à droit jugé sur sa plainte pénale pour escroquerie et abus de confiance déposée à Genève, il avait offert de prouver un fait pertinent dans le cadre de la procédure disciplinaire diligentée par la FIFA à son encontre, à savoir sa qualité de victime d'une grave infraction pénale commise par le club qatari ou le club israélien. Aussi, en ne donnant pas suite à sa requête ad hoc, les arbitres auraient-ils violé "l'ordre public procédural protégé par l'article 190 alinéa 2 lettre e, soit notamment le droit d'être entendu, respectivement le droit à la preuve du recourant et le droit à un procès équitable ..." (recours, p. 5/6 n. 2 s.). La recevabilité du grief, tel qu'il est présenté, est déjà sujette à caution: non seulement le recourant ignore le caractère subsidiaire de l'ordre public procédural (arrêt 4P.105/2006 du 4 août 2006 consid. 5.3 et les références), mais il rattache en outre à cette notion une autre garantie, celle du droit d'être entendu, faisant l'objet d'une disposition spécifique - l'art. 190 al. 2 let. d LDIP - qu'il n'invoque pas. Or, le Tribunal fédéral n'examine que les griefs qui ont été invoqués et motivés dans le recours (art. 77 al. 3 LTF). Quoi qu'il en soit, le recourant ne s'emploie pas à réfuter l'argument de la Formation, fondé sur une jurisprudence publiée (ATF 119 II 386 consid. 1c), selon lequel le principe rendu par l'adage "le pénal tient le civil en l'état" ne fait pas partie intégrante de l'ordre public au sens de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP. De même laisse-t-il intacts le motif subsidiaire des arbitres voulant qu'il n'ait pas démontré en quoi la plainte pénale visant notamment Arcadi Gaydamak était propre à avoir une incidence sur la procédure de recouvrement initiée par Al-Rayyan Sports Club, ainsi que leur conclusion quant à l'absence d'incidence de la procédure pénale ouverte contre cette personne physique sur la procédure opposant la FIFA au recourant. Insuffisamment motivé, le grief examiné, pris dans sa première branche, est dès lors irrecevable.
Dans la seconde branche du même moyen, le recourant reproche à la Formation d'avoir "bafoué [son] droit d'être entendu, [son] droit à la preuve et [son] droit à un procès équitable [...] en refusant d'instruire les questions, pertinentes, relatives à sa licence dans une mesure incompatible avec l'ordre public procédural de l'art. 190 alinéa 2 LDIP" (recours, p. 6 n. 4). Force est de relever, ici aussi, le mélange fait par le recourant entre les différentes garanties prévues par cette disposition. Au demeurant, le recourant n'invoque pas, dans son mémoire, le grief tiré de l'incompétence ratione personae du TAS. Comme il ne se plaint pas de la violation de l'art. 190 al. 2 let. b LDIP, sa critique touchant la constatation incriminée est ainsi sans objet car, même fondée, elle n'entraînerait pas l'annulation de la sentence de ce chef, faute d'un grief correspondant. Le moyen considéré est, en conséquence, irrecevable dans sa seconde branche également.
3. Le recourant dénonce ensuite une violation de l'ordre public matériel.
3.1 Une sentence est contraire à l'ordre public matériel lorsqu'elle viole des principes fondamentaux du droit de fond au point de ne plus être conciliable avec l'ordre juridique et le système de valeurs déterminants; au nombre de ces principes figurent, notamment, la fidélité contractuelle, le respect des règles de la bonne foi, l'interdiction de l'abus de droit, la prohibition des mesures discriminatoires ou spoliatrices, ainsi que la protection des personnes civilement incapables (ATF 132 III 389 consid. 2.2.1).
3.1 Une sentence est contraire à l'ordre public matériel lorsqu'elle viole des principes fondamentaux du droit de fond au point de ne plus être conciliable avec l'ordre juridique et le système de valeurs déterminants; au nombre de ces principes figurent, notamment, la fidélité contractuelle, le respect des règles de la bonne foi, l'interdiction de l'abus de droit, la prohibition des mesures discriminatoires ou spoliatrices, ainsi que la protection des personnes civilement incapables (ATF 132 III 389 consid. 2.2.1).
3.2 3.2.1 A l'appui de son grief de violation de l'ordre public matériel, le recourant reproche, en premier lieu, au TAS d'avoir méconnu les principes in dubio pro reo, ne bis in idem et nullum crimen sine lege. Il invoque ensuite la liberté économique, l'interdiction de la privation de liberté pour dette et l'exigence de la proportionnalité. L'intéressé fait encore fond sur l'art. 6 al. 1 du Pacte international du 16 décembre 1996 relatif aux droits économiques, sociaux et culturels (Pacte ONU I; RS 0.103.1), en tant qu'il commande aux Etats contractants de reconnaître le droit au travail et de prendre des mesures appropriées pour sauvegarder ce droit. Il se réfère aussi à l'art. 27 al. 2 de la Constitution fédérale de la Confédération suisse qui garantit le libre choix et le libre exercice de la profession. Il se prévaut, enfin, de l'adage "pas de peine sans culpabilité" (recours, p. 7 n. 7 à 11).
Le simple énoncé de ces griefs démontre que le recourant confond le Tribunal fédéral avec une cour d'appel qui chapeauterait le TAS et vérifierait librement le bien-fondé des sentences en matière d'arbitrage international rendues par cet organe juridictionnel privé. Or, tel n'est pas le rôle de l'autorité judiciaire suprême du pays lorsqu'elle est saisie d'un recours au sens de l'art. 77 al. 1 LTF dans lequel est invoquée l'incompatibilité de la sentence attaquée avec l'ordre public, comme cela ressort de la définition de cette notion.
Il ne suffit pas de dresser un catalogue de libertés et de droits conventionnels ou constitutionnels, ainsi que de principes juridiques régissant le procès pénal, puis de décréter sans autres explications qu'ils font tous partie de l'ordre public matériel, pour que tel soit le cas. Dans ce contexte aussi, le recourant mélange d'ailleurs des garanties matérielles (le droit au travail, la liberté économique, etc.) avec des garanties procédurales (in dubio pro reo, ne bis in idem, etc.), qu'il range dans une seule et même catégorie (l'ordre public matériel), ce qui n'est pas admissible. D'où il suit que la recevabilité de son grief tiré de la violation de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP apparaît pour le moins sujette à caution.
3.2.2 Passant "au cas d'espèce" (recours, p. 8 s. n.), le recourant expose ensuite sa propre appréciation juridique des circonstances de la cause; il le fait, toutefois, sur un mode appellatoire, en s'écartant au besoin des seules constatations figurant dans la sentence attaquée et en renvoyant, le plus souvent sans autres explications, au catalogue de principes et de garanties dressé par lui. Pareille manière d'argumenter ne satisfait pas aux exigences strictes en matière de motivation d'un recours en matière civile fondé sur la violation de l'ordre public au sens de l'art. 190 al. 2 let. e LDIP. Pour le surplus, les remarques suivantes peuvent être faites quant aux critiques que le recourant formule dans ce cadre-là.
Lorsqu'il soutient avoir été victime de manoeuvres frauduleuses et astucieuses de la part des dirigeants de l'un des deux clubs susmentionnés, ajoutant qu'il est incontesté qu'il a cru, de bonne foi, honorer sa dette en ordonnant le transfert des 400'000 euros sur un compte en Suisse désigné par son ancien employeur, le recourant va bien au-delà des constatations faites par la Formation dans la sentence litigieuse (cf. consid. 2.2.1 ci-dessus).
La même objection peut du reste être opposée, par identité de motif, à son affirmation voulant qu'il n'ait pas agi de manière coupable et qu'il n'ait pas commis la moindre faute puisqu'il a ordonné le transfert de la somme précitée.
Par ailleurs, c'est toujours sur la base de la même prémisse de fait, non avérée, que le recourant déplore qu'il soit porté atteinte au libre choix et au libre exercice de sa profession, du fait de l'interdiction qui lui est faite d'exercer son activité professionnelle jusqu'à ce qu'il se soit acquitté de sa dette envers le club qatari. Il concède, du reste, que l'on puisse trouver admissible qu'une association suspende l'un de ses membres qui ne s'est pas acquitté d'une dette envers un autre membre par pure complaisance, mais ajoute qu'il devrait en aller différemment à l'égard de celui qui, de bonne foi, s'efforce de s'acquitter de sa dette mais est victime de manoeuvres frauduleuses diligentées par l'un des membres de cette association. Cependant, comme on l'a déjà souligné à moult reprises, la seconde hypothèse envisagée par le recourant n'est pas celle qui résulte de la sentence entreprise.
En tout état de cause, mis à part le fait que le recourant a été en mesure de s'acquitter de sa dette à l'égard du club qatari pendant l'instruction de la présente procédure de recours, ses affirmations relatives à son absence de moyens financiers lui permettant de le faire et aux effets dramatiques qu'entraînerait pour sa carrière d'entraîneur de football l'interdiction d'exercer son activité lucrative jusqu'au paiement de la dette en question ne sont nullement prouvées. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle la demande d'effet suspensif présentée par l'intéressé a été rejetée.
Dans ces conditions, le moyen pris de la violation de l'ordre public matériel, à le supposer recevable, tombe à faux.
4. Au terme de cet examen, il y a lieu de rejeter le recours, en tant qu'il est recevable. Par conséquent, le recourant, qui succombe, devra payer les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF) et indemniser l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 11 avril 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo