Sachverhalt:
A.
A.a. Die B._ Holding AG mit Sitz in U._ hat als statutarischen Zweck u.a. die Finanzierung und Beteiligung an Gesellschaften (sowie deren Beratung) im Bereich von Energie-Beteiligungen und deren Verwaltung.
A.b. Am 1. Februar 2013 erliess die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (FINMA) - im Wesentlichen gestützt auf die Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 22. Juni 2007 über die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (Finanzmarktaufsichtsgesetz, FINMAG; SR 956.1 [Stand am 20. Dezember 2012]) sowie auf diejenigen des Bundesgesetzes vom 8. November 1934 über die Banken und Sparkassen (Bankengesetz, BankG; SR 952.0 [Stand am 1. Januar 2013]) - eine Verfügung in Sachen B._ Holding AG, C._, D._ und A._. Darin erwog sie, C._ sei einziger Verwaltungsrat der B._ Holding AG und besitze 25 % ihrer Aktien. D._ besitze 75 % der Aktien und sei Geschäftsführer der B._ Holding AG. A._ sei mit einem Geschäftsbesorgungsvertrag mit der B._ Holding AG verbunden. Es rechtfertige sich eine gruppenweise Betrachtung der Vorgänge um die B._ Holding AG und A._, was zur Folge habe, dass die aufsichtsrechtlichen Konsequenzen alle Beteiligten träfen, selbst wenn nicht alle Involvierten an sämtlichen Handlungen teilgenommen hätten. Die B._ Holding AG habe gestützt auf verschiedene Anlageverträge von 183 Anlegern Gelder in der Höhe von 4,39 Millionen Franken entgegen genommen. Die durch die B._ Holding AG angebotenen Anlagemöglichkeiten wiesen sämtliche Merkmale einer Publikumseinlage im Sinne des Bankengesetzes auf. Der Vertrieb dieser Energieanleihen sei über ein von A._ betreutes Maklernetz erfolgt. Zudem habe die B._ Holding AG Werbung über ihre Webseite (www.b._.com) betrieben, welche ohne "Login" öffentlich zugänglich gewesen sei. Ferner habe die B._ Holding AG von weit über 20 Anlegern Gelder entgegen genommen, so dass die Gewerbsmässigkeit ohnehin zu bejahen sei. Die FINMA ging im Weiteren davon aus, dass die B._ Holding AG mit den entgegen genommenen Geldern kaum oder gar keine Investitionen getätigt, sondern den grössten Teil der Gelder an verschiedene Empfänger ausbezahlt hat. Zusammenfassend hielt die FINMA fest, die B._-Gruppe habe gewerbsmässig Publikumseinlagen entgegen genommen, ohne über die dafür notwendige Bankenbewilligung zu verfügen. Damit habe sie gegen das Bankengesetz verstossen. Ferner sei die B._ Holding AG überschuldet, weshalb der Konkurs über sie zu eröffnen sei. Gegen C._ und D._ seien Verbote der Ausübung einer Banktätigkeit und der entsprechenden Werbung in genereller Form auszusprechen. Die Ausübungs- und Werbeverbote seien sodann gestützt auf Art. 34 des Finanzmarktaufsichtsgesetzes zu publizieren.
Demgemäss verfügte die FINMA, es werde festgestellt, dass die B._ Holding AG, A._, C._ und D._ ohne Bewilligung gewerbsmässig Publikumseinlagen entgegen genommen und damit aufsichtsrechtsrechtliche Bestimmungen (Bankengesetz) schwer verletzt hätten (Dispositiv-Ziff. 1). Weiter eröffnete sie am 4. Februar 2013, 08.00 Uhr, den Konkurs über die B._ Holding AG. Die bis anhin im Handelsregister eingetragenen Vertretungsbefugnisse der jeweiligen Organe wurden gelöscht (Dispositiv-Ziff. 2-8). Den ins Recht gefassten C._, D._ und A._ verbot die FINMA generell, unter jeglicher Bezeichnung selbst oder über Dritte, Publikumseinlagen gewerbsmässig entgegenzunehmen oder für die Entgegennahme von Publikumseinlagen in irgendeiner Form Werbung zu betreiben, unter Hinweis auf die Strafandrohungen von Art. 48 und 44 FINMAG sowie Art. 46 und 49 BankG (Dispositiv-Ziff. 9, 10). Sie verfügte sodann, dass die Dispositivziffern 9 und 10 nach Eintritt der Rechtskraft der angefochtenen Verfügung betreffend D._ für die Dauer von fünf Jahren und betreffend C._ und A._ für die Dauer von zwei Jahren auf ihrer Internetseite (www.finma.ch) veröffentlicht werden (Dispositiv-Ziff. 11). Die Ziffern 2 bis 8 des Verfügungsdispositivs wurden für sofort vollstreckbar erklärt, wobei die Tätigkeit des Konkursliquidators bis zum Eintritt der Rechtskraft der Verfügung auf sichernde und werterhaltende Massnahmen beschränkt wurde (Dispositiv-Ziff. 12). Die Kosten des Untersuchungsbeauftragten (Fr. 82'146.05 [inkl. MwSt]) und die Verfahrenskosten (Fr. 36'000.--) wurden sämtlichen Verfügungsadressaten solidarisch auferlegt (Dispositiv-Ziff. 13, 14).
B.
B.a. Gegen diese Verfügung erhoben die B._ Holding AG sowie C._ und D._ am 6. März 2013 gemeinsam Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Sie stellten folgende Anträge:
"1. Die Ziffern 1-14 der Verfügung der Eidgenössischen Finanzmarktaufsicht vom 1. Februar 2013 seien aufzuheben und es sei festzustellen, dass keine unterstellungspflichtige Tätigkeit besteht, und eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zur korrekten Durchführung und Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen,
2. eventualiter sei die Rechtswidrigkeit des angefochtenen Entscheids festzustellen."
B.b. Mit Zwischenverfügung vom 13. März 2013 forderte das Bundesverwaltungsgericht die B._ Holding AG auf, einen Kostenvorschuss von Fr. 5'000.-- zu bezahlen. C._ und D._ wurden aufgefordert, je einen Kostenvorschuss von Fr. 3'500.-- zu bezahlen. Die Beträge seien bis 8. April 2013 der Gerichtskasse zu überweisen. Für den Fall der Nichtbezahlung innert der angesetzten Frist wurde angedroht, auf die Beschwerde werde nicht eingetreten. Mit Verfügung vom 9. April 2013 hiess der Instruktionsrichter das Fristerstreckungsgesuch der drei Beschwerdeführer gut und erstreckte die angesetzte Frist zur Leistung des jeweiligen Kostenvorschusses bis zum 8. Mai 2013.
B.c. Mit Verfügung vom 16. Mai 2013 gewährte das Bundesverwaltungsgericht der B._ Holding AG das rechtliche Gehör zur Frage der Rechtzeitigkeit der Kostenvorschusszahlung. Die B._ Holding AG beantragte, es sei die Rechtzeitigkeit der Kostenvorschusszahlung festzustellen; eventualiter sei die Frist zur Leistung des Kostenvorschusses wieder herzustellen. Mit Teilurteil vom 22. Oktober 2013 wies das Bundesverwaltungsgericht das Fristwiederherstellungsgesuch ab und trat auf die Beschwerde der B._ Holding AG nicht ein.
C.
Mit Eingabe vom 22. November 2013 erhebt die B._ Holding AG beim Bundesgericht "Beschwerde" mit dem Antrag, das angefochtene Teilurteil aufzuheben und das Verfahren an die Vorinstanz zur Entscheidung zurückzuweisen. Zudem beantragt sie Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 17. Januar 2014 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen, soweit darauf einzutreten war.
Die FINMA beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 91 lit. b BGG) und die Beschwerdeführerin ist als vom angefochtenen Nichteintretensentscheid Betroffene zur Beschwerde legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2. Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die richtige Anwendung des Bundesrechts (Art. 95 lit. a und Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig (d.h. willkürlich) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2.
Streitgegenstand ist einzig, ob das Bundesverwaltungsgericht zutreffend erkannt hat, der Kostenvorschuss sei nicht rechtzeitig bezahlt worden, und ob das Gericht das Fristwiederherstellungsgesuch zu Recht abgewiesen hat .
Auf das Beschwerdeverfahren vor Bundesverwaltungsgericht findet das VwVG Anwendung (Art. 37 VGG). Nach Art. 63 Abs. 4 VwVG erhebt die Beschwerdeinstanz vom Beschwerdeführer einen Kostenvorschuss in der Höhe der mutmasslichen Verfahrenskosten. Zu dessen Leistung ist dem Beschwerdeführer eine angemessene Frist anzusetzen unter Androhung des Nichteintretens. Eine Nachfrist zur Behebung der unbenutzten Zahlungsfrist kennt das VwVG - anders als etwa Art. 62 Abs. 3 Satz 2 BGG - nicht (Urteil 2C_699/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 3.1, StR 2013 S. 53). Die Frist für die Zahlung eines Vorschusses ist gewahrt, wenn der Betrag rechtzeitig zu Gunsten der Behörde der Schweizerischen Post übergeben oder einem Post- oder Bankkonto in der Schweiz belastet worden ist (Art. 21 Abs. 3 VwVG). Eine behördlich angesetzte Frist kann aus zureichenden Gründen erstreckt werden, wenn die Partei vor Ablauf der Frist darum nachsucht (Art. 22 Abs. 2 VwVG). Ist der Gesuchsteller oder sein Vertreter unverschuldeterweise abgehalten worden, binnen Frist zu handeln, so wird diese wieder hergestellt, sofern er unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt (Art. 24 Abs. 1 VwVG).
3. Rechtzeitigkeit der Zahlung
3.1. Die Vorinstanz hat gestützt auf eine Eingabe der E._ AG vom 17. Oktober 2013 festgestellt, die Transaktion von Fr. 5'000.- zu Gunsten des Kontos des Bundesverwaltungsgerichts sei am 8. Mai 2013 um 13.04 Uhr mit Fälligkeitsdatum 10. Mai 2013 mit den Sicherheitselementen der E-Finance -Teilnehmernummer erfasst und am 10. Mai 2013 dem Konto xxx belastet worden. Demgemäss sei die Zahlung verspätet, da der Zeitpunkt der Belastung des Kontos massgebend sei.
3.2. Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Zahlung sei so erfasst worden, dass sie auch am 8. Mai 2013 dem Konto hätte belastet werden müssen. Die Zahlung sei demnach rechtzeitig erfolgt. Daraus, dass die Zahlung bereits am 8. Mai hätte belastet werden müssen, ergibt sich jedoch nicht, dass sie effektiv auch am 8. Mai belastet wurde. Die Feststellung der Vorinstanz, die Belastung sei erst am 10. Mai erfolgt, ist nicht offensichtlich unrichtig und daher verbindlich (vorne E. 1.2).
3.3. Bei dieser Sachlage gilt der Kostenvorschuss als nicht rechtzeitig erfolgt, da der Zeitpunkt der Belastung massgebend ist, nicht derjenige, in dem die Belastung hätte erfolgen müssen. Es genügt deshalb nicht, am letzten Tag der Frist den Überweisungsauftrag zu erteilen. Das Risiko, dass die E._ AG die Belastung nicht rechtzeitig vornimmt, trägt nach dem bewussten gesetzgeberischen Entscheid der Beschwerdeführer (BBl 2001 S. 4299 [zu Art. 44 E-BGG, gleichlautend wie Art. 48 Abs. 4 BGG und Art. 21 Abs. 3 VwVG]; Urteil 1F_34/2011 vom 17. Januar 2012 E. 2.3, RtiD 2012 II S. 178; Moser/Beusch/Kneubühler, Prozessieren vor dem Bundesverwaltungsgericht, 2. A. 2013, Rz. 4.36, AMSTUTZ/ARNOLD, Basler Kommentar BGG, 2. A. 2011, Rz. 28 zu Art. 48; URS PETER CAVELTI, Kommentar VwVG, 2008, Rz. 21 zu Art. 21; DOLGE, in: SPÜHLER/AEMISEGGER/DOLGE/VOCK, Bundesgerichtsgesetz Kommentar, 2. A. 2013, Rz. 6 zu Art. 48; MAITRE/THALMANN, Praxiskommentar VwVG, 2009, Rz. 27 zu Art. 21). Es ist auch nicht überspitzt formalistisch, in diesem Fall auf die Beschwerde wegen nicht rechtzeitiger Leistung des Kostenvorschusses nicht einzutreten (Urteil 2C_250/2009 vom 2. Juni 2009 E. 5, RDAF 2009 II S. 516).
4. Fristwiederherstellung
4.1. Voraussetzung für eine Fristwiederherstellung ist, dass der Beschwerdeführer oder sein Vertreter unverschuldeterweise abgehalten worden ist, fristgerecht zu handeln. Nach der Rechtsprechung ist die Wiederherstellung nur bei klarer Schuldlosigkeit zu gewähren (Urteile 1P.123/2005 vom 14. Juni 2005 E. 1, in: ZBl 107/2006 S. 390; 1C_294/2010 vom 28. Oktober 2010 E. 3 und 2C_222/2014 vom 10. März 2014 E. 2.4). In Frage kommt objektive Unmöglichkeit wie beispielsweise Naturkatastrophen, Militärdienst oder schwerwiegende Erkrankung, oder subjektive Unmöglichkeit, wenn zwar die Vornahme einer Handlung, objektiv betrachtet, möglich gewesen wäre, die betroffene Person aber durch besondere Umstände, die sie nicht zu vertreten hat, am Handeln gehindert worden ist; in Betracht kommen insbesondere unverschuldete Irrtumsfälle (Urteil 2C_699/2012 vom 22. Oktober 2012 E. 3.2, m.H.).
4.2. Dass eine objektive Unmöglichkeit bestanden hätte, wird nicht geltend gemacht und ist nicht ersichtlich.
4.3. In Bezug auf die subjektive Unmöglichkeit bringt die Beschwerdeführerin vor, sie sei davon ausgegangen, die Zahlung würde spätestens am 7. Mai 2013 belastet; als sie festgestellt habe, dass dies nicht geschehen sei, habe sie am 8. Mai 2013 telefonisch bei der E._ AG reklamiert, worauf diese versprochen habe, die Zahlung am gleichen Tag auszuführen. Sie - die Beschwerdeführerin - habe daher davon ausgehen dürfen, dass die Zahlung rechtzeitig erfolgen werde.
4.3.1. Die Vorinstanz hat dazu festgestellt, die Beschwerdeführerin habe sich mehrfach widersprochen; das Telefongespräch mit dem Kundendienst der E._ AG vom 8. Mai 2013 und die behauptete Zusicherung stünden nicht fest; es sei davon auszugehen, dass C._ (für die Beschwerdeführerin) den Kostenvorschuss am 8. Mai erfasst habe; er habe nicht damit rechnen können, dass das Konto am gleichen Tag belastet werde. Daraus folgert die Vorinstanz, die Verspätung sei nicht unverschuldet.
4.3.2. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung erscheint durch die Kritik der Beschwerdeführerin nicht als offensichtlich unrichtig: In der von der Beschwerdeführerin erwähnten eidesstattlichen Erklärung vom 2. Oktober 2013 hat C._ bestätigt, dass er die Zahlung "am 08.05.2013 in Auftrag gegeben habe". Die Beschwerdeführerin konnte deshalb nicht davon ausgehen, dass sie bereits am 7. Mai belastet würde. Nach der dargelegten Rechtslage (E. 3.3) genügt es nicht, die Zahlung am letzten Tag der Frist in Auftrag zu geben. Wer dies dennoch tut, handelt grundsätzlich nicht unverschuldet im Sinne von Art. 24 Abs. 1 VwVG. Der blosse Umstand, dass die E._ AG eine (kostenpflichtige) Express-Zahlung erlaubt, wie die Beschwerdeführerin vorbringt, ändert daran nichts, zumal sie nicht einmal behauptet, geschweige denn belegt, sie habe eine solche Express-Zahlung in Auftrag gegeben. Sodann fehlt jeglicher objektive Beleg für die behauptete Zusicherung der E._ AG, sie werde die Zahlung am gleichen Tag ausführen. Unmassgeblich ist schliesslich, dass die Kostenvorschüsse von C._ und D._ rechtzeitig dem gleichen Konto belastet wurden; denn es steht nicht fest, dass diese Zahlungen auch am gleichen Tag in Auftrag gegeben worden sind.
4.3.3. Die Vorinstanz hat damit das Fristwiederherstellungsgesuch mit Recht abgewiesen.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang trägt die Beschwerdeführerin die Kosten des Verfahrens (Art. 65/66 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Eidgenössischen Finanzmarktaufsicht und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juli 2014
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein