Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. X._ wird vorgeworfen, sie habe am Morgen des 23. Oktober 2006 zwei Pitbulls von der Leine gelassen, worauf diese unkontrolliert gestreunt und mehrere Personen bedroht hätten. Am Abend seien die Hunde über eine mangelhafte Umzäunung entwischt, worauf sie eine Passantin zu Fall gebracht hätten. Einige Wochen später hätten die Hunde einen Rettungssanitäter angegriffen und gebissen.
Mit Urteil vom 15. Januar 2008 verurteilte das Kreisgericht St. Gallen X._ wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Tierschutzgesetz zu einer Busse von Fr. 1'500.-- bzw. einer Ersatzfreiheitsstrafe von 15 Tagen. Die beiden Pitbulls wurden eingezogen, und es wurde deren Einschläferung angeordnet.
Das Kantonsgericht St. Gallen wies mit Urteil vom 5. März 2010 eine Berufung von X._ ab.
X._ wendet sich mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht und beantragt eine Aufhebung der Urteile des Kreis- und des Kantonsgerichts. Sie strebt einen Freispruch und eine Herausgabe der Hunde an.
2. Die Beschwerde richtet sich gegen den Sachverhalt, von dem die Vorinstanz ausgegangen ist. Der Sachverhalt kann vor Bundesgericht mit Erfolg nur angefochten werden, wenn die Vorinstanz ihn offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV festgestellt hat. Willkür liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid im bemängelten Punkt offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 134 I 140 E. 5.4). Die Rüge der Willkür muss vor Bundesgericht präzise vorgebracht und begründet werden, ansonsten darauf nicht eingetreten wird (Art. 106 Abs. 2 BGG). Dieser Voraussetzung genügt die vorliegende Beschwerde nicht, da sie sich auf unzulässige appellatorische Kritik beschränkt.
Die Vorinstanz geht zum Beispiel davon aus, die Beschwerdeführerin sei sich des problematischen Verhaltens ihrer Hunde bewusst gewesen (angefochtener Entscheid S. 6). Die Beschwerdeführerin behauptet demgegenüber, die Hunde seien sozialisiert, wie es bei Hunden selten vorkomme (Beschwerde S. 3). Dem steht indessen der Bericht einer Tierärztin entgegen, die bei beiden Pitbulls ein offenes Aggressionsverhalten gegenüber Menschen bzw. anderen Hunden diagnostizierte (Urteil Kreisgericht S. 10). Inwieweit das Abstellen auf diesen Bericht willkürlich sein könnte, ist nicht ersichtlich.
Die Vorinstanz stellt fest, der Rettungssanitäter habe bei der Attacke eine leichte Rötung ohne Verletzung der Hautoberfläche am Oberschenkel erlitten (angefochtener Entscheid S. 7). Die Beschwerdeführerin macht dagegen geltend, bei einem Biss wäre die Hose beschädigt worden, was nicht der Fall gewesen sei (Beschwerde S. 3). Da es indessen lediglich um eine Tätlichkeit und nicht um eine "eigentliche Beissattacke mit erheblichen Auswirkungen auf die physische Integrität eines Menschen" geht (angefochtener Entscheid S. 8), muss es nicht zwingend zu einem Riss in der Hose des Geschädigten gekommen sein.
3. Was die Einziehung und Einschläferung der Hunde betrifft, kann in Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. angefochtenen Entscheid S. 8-10). Was daran gegen das schweizerische Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte, ist nicht ersichtlich. Die Beschwerdeführerin schlägt zum Beispiel vor, sie wäre bereit, mit den Hunden nur noch versehen mit Maulkorb oder Maulbinde in die Öffentlichkeit zu gehen (Beschwerde S. 5). Dem ist mit der Vorinstanz entgegenzuhalten, dass sie bereits in der Vergangenheit die notwendige Konsequenz im Umgang mit den Tieren vermissen liess und sich bis heute uneinsichtig zeigt (angefochtener Entscheid S. 10). Dass ihre Einsicht mangelhaft ist, zeigt denn auch die Formulierung vor Bundesgericht, dass sie einen Maulkorb oder eine Maulbinde einzusetzen bereit sei, "wenn es verlangt wird" (Beschwerde S. 5). Dies deutet nicht darauf hin, dass sie selber von der Notwendigkeit eines Maulkorbs bzw. einer Maulbinde überzeugt wäre.
4. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn