Sachverhalt:
A. F._ (geb. 1967) meldete sich am 21. August 2003 zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Die Versicherte war am 23. Dezember 1999, 21. Mai 2001 und am 28. Juli 2002 in Verkehrsunfälle verwickelt. Dr. med. H._, Spezialarzt FMH für Chirurgie, spez. Wirbelsäulenleiden, Schleudertrauma und orthopädische Traumatologie, diagnostizierte am 8. September 2003 ein zervikozephales Syndrom mit Begleitschwindel und Verdacht auf neuropsychologische Defizite bei Status nach Distorsion der Halswirbelsäule, Status nach Myokardinfarkt sowie Status nach Urosepsis. Am 24. Juli 2004 wurde F._ Mutter eines Mädchens. Das seit 16. April 1999 bestehende Arbeitsverhältnis bei der Unternehmung A._ wurde per 31. März 2005 aufgelöst. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) holte am 6. September 2005 beim medizinischen Institut X._ eine interdisziplinäre Expertise ein. Die IV-Stelle des Kantons Zürich stellte Ergänzungsfragen. Das Gutachten wurde am 27. Juli 2006 abgeliefert. Mit Verfügung vom 19. Dezember 2006 stellte die SUVA ihre Leistungen auf den 31. Dezember 2006 ein.
Am 1. März 2007 lehnte die IV-Stelle die Ausrichtung von beruflichen Massnahmen ab, da solche aufgrund des Gesundheitszustandes zurzeit nicht möglich seien. Am 8. Juni 2007 lehnte die IV-Stelle auch den Antrag auf Ausrichtung einer ganzen, eventuell einer halben Invalidenrente ab 1. Juli 2003 ab mit der Begründung, F._ sei die Erzielung eines rentenausschliessenden Einkommens zumutbar. Die gutachtlich erhobenen organischen Gesundheitsschädigungen begründeten lediglich eine Arbeitsunfähigkeit von 20 %; die ebenfalls diagnostizierte somatoforme Schmerzstörung und leichte depressive Episode erfüllten nicht die an einen dauerhaften invalidisierenden Gesundheitsschaden gestellten Anforderungen.
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die von F._ gegen die Verfügung der IV-Stelle vom 8. Juni 2007 erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 15. September 2009).
C. F._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, mit Wirkung ab 1. Juli 2003 eine ganze und mit Wirkung ab 1. Juni 2004 eine halbe Invalidenrente zuzusprechen.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Das Bundesgericht prüft, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254 mit Hinweisen).
1.2 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 132 V 393 zur auch unter der Herrschaft des BGG gültigen Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen im Bereich der Invaliditätsbemessung [Art. 16 ATSG]).
2. Das kantonale Gericht hat - nicht offensichtlich unrichtig und damit für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG) - festgestellt, gemäss dem Gutachten des medizinischen Instituts X._ und bei Anwendung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung betreffend die Überwindbarkeit einer Schmerzsymptomatik (BGE 131 V 49; 130 V 352) sei die Beschwerdeführerin in der Lage, in der zuletzt ausgeübten Tätigkeit wie auch in jeder anderen Tätigkeit im Umfang von 80 % erwerbstätig zu sein. Dies wird von der Beschwerdeführerin zu Recht nicht mehr in Frage gestellt. Die Vorinstanz ging im Hinblick auf die Ermittlung des Invaliditätsgrades im Jahr des geltend gemachten Rentenbeginns (2003) von einem hypothetischen Einkommen ohne Gesundheitsschaden (Valideneinkommen) von Fr. 69'556.- sowie von einem Invalideneinkommen von Fr. 43'429.- aus. Das Invalideneinkommen ermittelte sie auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung des Bundesamtes für Statistik (LSE) für das Jahr 2002. Dies wird von der Beschwerdeführerin an sich ebenso wenig beanstandet wie die Festlegung des Valideneinkommens. Umstritten ist jedoch, ob die Vorinstanz innerhalb der Tabelle A 1 der LSE 2002 (statistischer Durchschnittslohn [Zentralwert] der Frauen im privaten Sektor; S. 43) zu Recht das Anforderungsniveau 3 herangezogen hat. Zudem rügt die Beschwerdeführerin, eine halbjährige vollständige Arbeitsunfähigkeit nach dem Herzinfarkt sei von der Vorinstanz nicht berücksichtigt worden.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin verlangt, für die Ermittlung des Invalideneinkommens sei im Rahmen der Tabellenwerte nicht Anforderungsniveau 3 ("Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt"), sondern Anforderungsniveau 4 ("einfache und repetitive Tätigkeiten") massgebend. Wie die Wahl der Tabelle als solcher ist auch die Bezeichnung der massgeblichen Stufe als frei überprüfbare Rechtsfrage zu qualifizieren (SVR 2008 IV Nr. 4 S. 9 E. 4.2.2). Hingegen betreffen die Feststellungen über die Tatsachen, welche für die Einreihung wegleitend sind, eine Tatfrage.
3.2 Die Vorinstanz stellte fest, die Beschwerdeführerin habe keine berufliche Ausbildung abgeschlossen. Allerdings habe sie durch jahrelange Berufspraxis und Weiterbildung fundiertes Fachwissen in den Bereichen Dienstleistungen (Teamführung, Übernahme von Verantwortung, Einführung von neuen Mitarbeitern), Service (Umgang mit Kunden, Vorbereitung des Menüs, Führung des Kassenbuchs) und Detailhandel (Präsentation und Bestellung von Lebensmitteln, Kundenbetreuung, Führung des Kassenbuchs) erworben. So habe sie es in ihrer letzten Anstellung vermocht, durch ihren Einsatz und ihr Interesse am Beruf sich von einer Sortiererin zur Teamleiterin im Führungsteam hinaufzuarbeiten. Da die Versicherte in verschiedenen Bereichen fundierte Berufs- und Fachkenntnisse habe erwerben können, rechtfertige es sich, von Anforderungsniveau 3 auszugehen.
3.2 Die Vorinstanz stellte fest, die Beschwerdeführerin habe keine berufliche Ausbildung abgeschlossen. Allerdings habe sie durch jahrelange Berufspraxis und Weiterbildung fundiertes Fachwissen in den Bereichen Dienstleistungen (Teamführung, Übernahme von Verantwortung, Einführung von neuen Mitarbeitern), Service (Umgang mit Kunden, Vorbereitung des Menüs, Führung des Kassenbuchs) und Detailhandel (Präsentation und Bestellung von Lebensmitteln, Kundenbetreuung, Führung des Kassenbuchs) erworben. So habe sie es in ihrer letzten Anstellung vermocht, durch ihren Einsatz und ihr Interesse am Beruf sich von einer Sortiererin zur Teamleiterin im Führungsteam hinaufzuarbeiten. Da die Versicherte in verschiedenen Bereichen fundierte Berufs- und Fachkenntnisse habe erwerben können, rechtfertige es sich, von Anforderungsniveau 3 auszugehen.
3.3 3.3.1 Die Vorinstanz stützt sich bei ihren Ausführungen über das Fachwissen und die Weiterbildung auf Akten der Beschwerdegegnerin respektive den von der Beschwerdeführerin selber verfassten Lebenslauf. Im Arbeitszeugnis der Unternehmung A._ vom 31. März 2005 wird festgehalten, dass die Versicherte als Teamleiterin im Führungsteam eingesetzt wurde. Sie habe dort "die Ressourcen nach wirtschaftlichen Grundsätzen" eingesetzt und zusammen mit dem Leiter Betrieb die Strategie erarbeitet. Im Hinblick auf die Verfolgung der vorgegebenen Ziele habe sie Mitarbeiter gecoacht und den Personaldienst über deren Zielerreichung informiert. Die Beschwerdeführerin habe für ihre Aufgaben gute Voraussetzungen mitgebracht und sich während ihrer Einsatzzeit gutes Fachwissen aneignen können. Ihre Kenntnisse hätten sich dank ihres Einsatzes und ihrem Interesse am Beruf auf einem guten Stand befunden.
3.3.2 Mit dem Einwand, sie habe kein fundiertes Fachwissen erwerben können und sich nur in einem nicht mit einer Berufsausbildung vergleichbaren Rahmen weitergebildet, übt die Beschwerdeführerin appellatorische Kritik an der Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts (vgl. Urteil 9C_161/2009 vom 18. September 2009 E. 1.2). Hingegen ist nicht ersichtlich, inwiefern diese Feststellungen oder die daraus gezogenen Schlussfolgerungen rechtsfehlerhaft sein sollten.
3.3.3 Die Beschwerdeführerin ist in ihrer Arbeitsfähigkeit lediglich durch die körperlichen Beschwerden eingeschränkt. Angesichts des ausgewiesenen beruflichen Werdegangs sind ihr nicht bloss einfache und repetitive Verweisungstätigkeiten zugänglich. Vielmehr erscheint es sachgerecht, das Invalideneinkommen anhand von Arbeiten zu bemessen, für welche "Berufs- und Fachkenntnisse vorausgesetzt" werden; zumal auch in Abgrenzung von den Anforderungen der nächsthöheren Stufe 2 ("Verrichtung selbständiger und qualifizierter Arbeiten") damit keine nicht realisierbaren Erwerbsmöglichkeiten unterstellt werden. Demgemäss ist die vorinstanzliche Ermittlung des Invalideneinkommens grundsätzlich zutreffend.
4. Zu klären bleibt, ob die Beschwerdeführerin zu Recht vorbringt, die Vorinstanz habe eine halbjährige vollständige Arbeitsunfähigkeit zu Unrecht nicht berücksichtigt.
4.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie sei im Zeitraum vom 30. Juli 2003 zuerst wegen einer Urosepsis und hernach wegen eines Herzinfarktes während eines halben Jahres arbeitsunfähig gewesen. Dazu verweist sie auf einen Bericht des Spitals Y._ vom 20. Januar 2004. Die Beschwerdeführerin beanstandet zu Recht, dass die Vorinstanz diesen Umstand nicht aufgegriffen hat. Es liegt diesbezüglich eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts vor; die Behebung dieses Mangels ist für den Ausgang des Verfahrens massgebend (vgl. Art. 97 Abs. 1 BGG).
4.2 Die Beschwerdeführerin leitet aus der geltend gemachten vollständigen Arbeitsunfähigkeit während eines halben Jahres ab, es stehe ihr vom 1. Juli 2003 bis 31. Mai 2004 eine ganze Rente zu. Diese Schlussfolgerung ist unzutreffend. Die Vorinstanz hielt fest, dass die Beschwerdeführerin erst seit dem Unfall vom 28. Juli 2002 in ihrer Arbeitsfähigkeit in wechselndem Ausmass dauernd eingeschränkt sei. Dabei ist anzunehmen, dass nach dem Unfallereignis vom 28. Juli 2002 bis zum Auftreten der Urosepsis lediglich eine Arbeitsunfähigkeit von 20 % vorlag. Zwar attestierte Dr. H._ eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit vom 29. Juli 2002 bis 23. April 2003 und eine 85%ige Arbeitsunfähigkeit vom 24. April 2003 bis 29. Juli 2003 (Bericht vom 8. September 2003). Jedoch wurden die Annahmen betreffend die Arbeitsunfähigkeit seit dem Unfallereignis vom 28. Juli 2002 im Rahmen der interdisziplinären Begutachtung durch das medizinische Institut X._ nicht bestätigt. Danach ist das somatische Beschwerdebild seit den drei Unfällen vorhanden. Aufgrund der rein somatischen Befunde ermittelten die Gutachter des medizinischen Instituts X._ eine Arbeitsunfähigkeit von 20 %. Daher ist für den Zeitraum vom 28. Juli 2002 (dritter Unfall) bis zum Beginn der Urosepsis (Ende Juli 2003) lediglich eine Arbeitsunfähigkeit von 20 % überwiegend wahrscheinlich (vgl. BGE 126 V 353 E. 5b S. 360).
Von einer Rückweisung zur weiteren Abklärung sind keine wesentlichen neuen Erkenntnisse zu erwarten. Einerseits ist festzustellen, dass für den bereits relativ weit zurückliegenden massgebenden Zeitraum (28. Juli 2002 bis 29. Juli 2003) kaum noch sachdienliche weiterführende Angaben erhältlich wären. Anderseits ist eine psychische Überlagerung der Unfallfolgen vom 28. Juli 2002 gegeben, welche die Vorinstanz als überwindbar qualifizierte. Dies bedeutet, dass die Beschwerdeführerin nicht wie anbegehrt ab Beginn ihrer Arbeitsunfähigkeit von 100 % infolge der Urosepsis respektive des Herzinfarktes Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung hat.
4.3 Gemäss Art. 29 Abs. 1 lit. b IVG (in der hier massgebenden, bis 31. Dezember 2007 gültigen Fassung) entsteht der Rentenanspruch frühestens in dem Zeitpunkt, zu welchem die Versicherte während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens zu 40 % arbeitsunfähig gewesen war. Die Rentenhöhe ist sowohl vom Ausmass der nach Ablauf der Wartezeit weiterhin bestehenden Erwerbsunfähigkeit als auch von einem entsprechend hohen Grad der durchschnittlichen Arbeitsunfähigkeit während des vorangegangenen Jahres abhängig. Somit kommt eine ganze Rente erst in Betracht, wenn der Versicherte während eines Jahres durchschnittlich mindestens zu 70 % arbeitsunfähig gewesen und weiterhin wenigstens im gleichen Umfang invalid im Sinne von Art. 28 Abs. 1 IVG (resp. Art. 28 Abs. 2 IVG in der seit 1. Januar 2008 geltenden Fassung) ist (Urteile 9C_718/2008 vom 2. Dezember 2008 E. 4.1.1 und I 392/02 vom 23. Oktober 2003 E. 4.2.1).
Die Beschwerdeführerin war vom 28. Juli 2002 bis 29. Juli 2003 zu 20 % und ab 30. Juli 2003 zu 100 % arbeitsunfähig. Eine durchschnittlich 40%ige Arbeitsunfähigkeit ist erst auf Ende Oktober 2003 gegeben (neun Monate 20%ige Arbeitsunfähigkeit und drei Monate 100%ige Arbeitsunfähigkeit; zur Berechnung vgl. Anhang II des Kreisschreibens über Invalidität und Hilflosigkeit in der Invalidenversicherung [KSIH] in der ab 1. Januar 2004 gültigen Fassung). Die Beschwerdeführerin hat somit ab 1. November 2003 Anspruch auf eine Viertelsrente.
Die Beschwerdeführerin war vom 28. Juli 2002 bis 29. Juli 2003 zu 20 % und ab 30. Juli 2003 zu 100 % arbeitsunfähig. Eine durchschnittlich 40%ige Arbeitsunfähigkeit ist erst auf Ende Oktober 2003 gegeben (neun Monate 20%ige Arbeitsunfähigkeit und drei Monate 100%ige Arbeitsunfähigkeit; zur Berechnung vgl. Anhang II des Kreisschreibens über Invalidität und Hilflosigkeit in der Invalidenversicherung [KSIH] in der ab 1. Januar 2004 gültigen Fassung). Die Beschwerdeführerin hat somit ab 1. November 2003 Anspruch auf eine Viertelsrente.
4.4 4.4.1 Betreffend den weiteren Verlauf macht die Beschwerdeführerin geltend, die vollständige Arbeitsunfähigkeit habe während eines halben Jahres bestanden. Eine halbjährige Arbeitsunfähigkeit ist auch aktenmässig belegt. Die Arbeitsunfähigkeit wegen der Urosepsis begann am 30. Juli 2003; am 4. August 2003, als die Beschwerdeführerin aus dem Spital entlassen werden sollte, kam es zu einem Herzinfarkt. Der SUVA-Kreisarzt berichtet am 4. März 2004, nach Abschluss der Rehabilitation sei die Beschwerdeführerin seit dem 1. März 2004 "aus kardialer Sicht" wieder vollständig arbeitsfähig. Dem Bericht des Spitals Y._ vom 20. Januar 2004 kann eine anhaltende Behandlungsbedürftigkeit entnommen werden; jedoch wird keine Beeinträchtigung mehr beschrieben, welche eine Arbeitsunfähigkeit über Januar 2004 hinaus begründen würde. Danach ist anzunehmen, dass die Beschwerdeführerin ab 1. Februar 2004 nur noch wie vor Beginn der Urosepsis am 30. Juli 2003 zu 20 % arbeitsunfähig war.
4.4.2 Bei einer Verschlechterung der Erwerbsfähigkeit ist im Hinblick auf eine revisionsweise Neufestsetzung des Rentenanspruchs gemäss Art. 17 ATSG die anspruchsbeeinflussende Änderung zu berücksichtigen, sobald sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate angedauert hat (Art. 88a Abs. 2 IVV). Daraus folgt, dass eine revisionsweise Erhöhung der Rente keine neue Wartezeit nach aArt. 29 Abs. 1 lit. b IVG voraussetzt (BGE 121 V 264 E. 6b/dd S. 275; 109 V 125; AHI 2001 S. 277 E. 4, I 11/00).
4.4.3 Nach dem in E. 4.3 Gesagten hat die Beschwerdeführerin nach Ablauf der gesetzlichen Wartezeit Ende Oktober 2003 mit Wirkung ab November 2003 Anspruch auf eine Viertelsrente. Da die Dreimonatsfrist gemäss Art. 88a Abs. 2 IVV nicht vor der Entstehung des Rentenanspruchs zu laufen beginnt (AHI 2001 S. 277 E. 4), kann die seit August 2003 bestehende vollständige Arbeitsunfähigkeit erst ab November 2003 in Betracht gezogen werden. Dieselbe endete allerdings gleichzeitig mit dem Ablauf der Dreimonatsfrist Ende Januar 2004. Nach Art. 88a Abs. 1 IVV ist eine anspruchsmindernde Sachverhaltsänderung jedenfalls zu berücksichtigen, nachdem sie ohne wesentliche Unterbrechung drei Monate angedauert hat und voraussichtlich weiterhin andauern wird. Diese Bestimmung bewirkt nun aber nicht, dass - entsprechend einer um drei Monate aufgeschobenen Berücksichtigung der gesundheitlichen Besserung - ein auf den Zeitraum Februar bis April 2004 befristeter Anspruch auf eine ganze Invalidenrente entstünde. Denn Gegenstand einer Revision kann nur ein bereits bestehender Anspruch sein. Ist, wie hier, die vorübergehende Verschlimmerung des Gesundheitszustandes zugleich mit dem Ablauf der Dreimonatsfrist wieder dahingefallen, war ein Ganzrentenanspruch zu keinem Zeitpunkt begründet.
4.5 In Anwendung von Art. 88a Abs. 1 IVV hat die Beschwerdeführerin daher während dreier Monate über die Beendigung der Arbeitsunfähigkeit hinaus, das heisst für den Zeitraum November 2003 bis April 2004, Anspruch auf eine Viertelsrente. Ein weitergehender Rentenanspruch besteht nicht.
5. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten den Parteien anteilsmässig aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die IV-Stelle hat der Beschwerdeführerin eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Vorinstanz wird die Gerichts- und Parteikosten entsprechend dem Ausgang des letztinstanzlichen Verfahrens neu festzulegen haben.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 15. September 2009 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 8. Juni 2007 werden dahin abgeändert, dass die Beschwerdeführerin für den Zeitraum 1. November 2003 bis 30. April 2004 Anspruch auf eine Viertelsrente hat. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Von den Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin Fr. 400.- und der Beschwerdegegnerin Fr. 100.- auferlegt.
3. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Gerichts- und Parteikosten des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Eidgenössischen Ausgleichskasse und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 2. März 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub