Sachverhalt:
A. Im Dezember 2009 verschickte die Appenzeller Bahnen AG die Ausschreibungsunterlagen für die Sanierung des Bahnübergangs Mooshalde/Scheidweg in der Gemeinde Waldstatt (Appenzell Ausserrhoden) einerseits und für ein Systemangebot zur Erneuerung von 30 weiteren Bahnübergängen mit Sicherheitsanlagen andererseits im Einladungsverfahren. Eingeladen wurde auch die X._ AG (im Folgenden: X._), die ein Angebot für beide Beschaffungsprojekte einreichte.
Am 15. März 2010 teilte die Appenzeller Bahnen AG der X._ mit, der Auftrag für die Sanierung des Bahnübergangs Mooshalde/ Scheidweg sei an die Firma Y._ GmbH (RGS) in Aarau vergeben worden. Auf entsprechendes Begehren hin begründete die Appenzeller Bahnen AG ihre Wahl dahin, dass das qualitativ und wirtschaftlich beste Angebot berücksichtigt worden sei, d.h. dasjenige, das den tiefsten spezifischen Nutzwert aufgewiesen habe. Als weiteres wichtiges Kriterium sei auf eine möglichst kleine Produktevielfalt der Bahnsicherungsanlagen geachtet worden.
B. Hiergegen reichte die X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden ein.
B.a Sie beantragte, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen und der Auftrag sei ihr zuzuschlagen. Zur Begründung brachte sie namentlich vor, die Vergabe sei nicht nach den zum voraus bekanntgegebenen Kriterien erfolgt, sondern nur unter Berücksichtigung des Preises und der Produktevielfalt, die gar nicht als Kriterium genannt worden sei. Überhaupt sei von der Appenzeller Bahnen AG manipuliert worden, damit die Y._ GmbH berücksichtigt werden könne. Die Beschwerde habe gute Erfolgschancen, weshalb ein Vertragsschluss einstweilen zu verhindern sei.
B.b Das Verwaltungsgericht holte Vernehmlassungen der übrigen Verfahrensbeteiligten und des Tiefbauamts des Kantons Appenzell Ausserrhoden zum Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ein. Das Tiefbauamt machte insbesondere darauf aufmerksam, dass die Vergabe des Bahnübergangs Mooshalde/Scheidweg mit dem Bau des Hirschenkreisels koordiniert sei; dieser geniesse Priorität, und während des Umbaus müsse der gesamte Strassenverkehr zeitweise über den Knoten Mooshalde/Scheidweg geleitet werden. Der Kanton sei an einer schnellen Realisierung der Sanierung interessiert.
B.c Mit Verfügung vom 16. April 2010 wies der Verwaltungsgerichtspräsident von Appenzell Ausserrhoden als Einzelrichter das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung kostenfällig ab und hob das Superprovisorium vom 29. März 2010 auf. In der Begründung führte er aus, die Sanierung des Bahnübergangs Mooshalde/Scheidweg sei dringend nötig und der Umbau der Hirschenkreuzung mit den damit verbundenen Verkehrsumleitungen erhöhe das Sicherheitsproblem noch. Ein Aufschub der Sanierung würde dem Kanton wahrscheinlich auch hohe Mehrkosten verursachen, da die Planung und Realisierung geändert werden müssten. Das öffentliche Interesse an einer raschen Ausführung des Projekts überwiege deshalb die privaten Interessen der X._. Ob deren Beschwerde Erfolgschancen habe, sei im Übrigen zur Zeit noch völlig offen. Die Beschwerde beruhe zwar auf gut begründeten Mutmassungen, aber erst ein aufwendiges Beweisverfahren könne näheren Aufschluss über die Berechtigung der Anliegen der X._ geben.
C. Mit Eingabe vom 21. April 2010 führt die X._ subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht. Sie beantragt im Wesentlichen, die angefochtene Verfügung aufzuheben und das Superprovisorium des Verwaltungsgerichtspräsidenten vom 29. März 2010 wieder in Kraft zu setzen. Es gehe um zwei Verträge (Bahnübergang Mooshalde/Scheidweg und Systemangebot) mit einem hohen Auftragswert von 3,25 Mio. Franken. Entgegen der Ausführungen des Verwaltungsgerichts bestünden keine überwiegenden öffentlichen Interessen an der sofortigen Ausführung des Projekts Mooshalde/ Scheidweg. Die bestehende Schrankenanlage sei noch funktionstüchtig, und die neue würde ohnehin erst nach der Periode bereitstehen, während der Verkehrsumleitungen über diesen Bahnübergang geschehen müssten. Das private Interesse der X._ sei höher zu gewichten als die entgegenstehenden Interessen, da aus den Akten zweifelsfrei hervorgehe, dass sie das wirtschaftlich günstigste Angebot eingereicht und Anspruch auf den Zuschlag habe. Die Beweiswürdigung und die Interessenabwägung des Verwaltungsgerichtspräsidenten seien daher krass willkürlich. Schliesslich verstosse dessen Entscheid auch gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör, das Rechtsgleichheitsgebot, das Diskriminierungsverbot und die Wirtschaftsfreiheit. Prozessual ersucht die X._ um Erteilung der aufschiebenden Wirkung und um ergänzende vorsorgliche Massnahmen.
D. Die Y._ GmbH schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Sie weist insbesondere darauf hin, dass die bestehende Schrankenanlage Mooshalde/Scheidweg aus den Sechzigerjahren stamme und ihre Lebensdauer bereits überschritten habe. Der Linksabbieger hätte sofort mit einer neuen Schranke gesichert werden können. Im Übrigen könne die neue Anlage phasenweise in Betrieb genommen werden, weshalb ihre Erstellung für die Verkehrsumleitungen nicht zu spät erfolge.
Die Appenzeller Bahnen AG beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. An der Beschaffung bestehe zeitliche Dringlichkeit. Zudem sei bisher einzig der Zuschlag für den Bahnübergang Mooshalde/Scheidweg erteilt worden. Über das Systemangebot sei bisher nicht entschieden worden. Die Angebote für den vorgezogenen Bahnübergang Mooshalde/Scheidweg hätten gesondert beurteilt werden dürfen, und die Vergabe sei gemäss den publizierten Kriterien erfolgt.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
E. Mit verfahrensleitender Verfügung vom 23. April 2010 ordnete das Präsidium der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts im Sinne einer superprovisorischen Massnahme an, dass bis zum Entscheid über das Gesuch um aufschiebende Wirkung alle Vollziehungsvorkehren zu unterbleiben haben.
Erwägungen:
1. 1.1 Die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG). Die Beschwerdeführerin weist selber darauf hin, dass sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, weshalb der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. f BGG greift und ihr nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG zur Verfügung steht. Sie hat ihr Rechtsmittel entsprechend überschrieben und sich auf Verfassungsrügen beschränkt (vgl. Art. 116 BGG). Da sie am vorinstanzlichen Verfahren teilnimmt und als gegebenenfalls zuschlagsberechtigte Anbieterin ein rechtlich geschütztes Interesse (Art. 115 BGG) an der verfassungskonformen Anwendung der massgebenden Verfahrensbestimmungen hat, ist sie zur Beschwerdeführung legitimiert.
1.2 Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren nicht ab, sondern äussert sich nur zur aufschiebenden Wirkung des vor der Vorinstanz eingereichten Rechtsmittels. Es handelt sich daher nicht um einen End-, sondern bloss um einen Zwischenentscheid (vgl. Art. 90 und 93 BGG). Gegen derartige Entscheide steht die Beschwerde an das Bundesgericht nur offen, wenn entweder die Voraussetzungen von Art. 92 oder diejenigen von Art. 93 Abs. 1 lit. a oder lit. b BGG erfüllt sind. Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG lässt die Anfechtung eines Entscheids beim Bundesgericht zu, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dabei muss es sich - entsprechend dem Begriff des Nachteils im Sinne von Art. 87 OG - um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden könnte (BGE 134 I 83 E. 3.1 S. 87; 133 IV 288 E. 3.1 S. 291). Diese Voraussetzung ist hier erfüllt, könnte doch die Auftraggeberin - wenn das Rechtsmittel der Beschwerdeführerin keine aufschiebende Wirkung hat - den Vertrag mit der berücksichtigten Anbieterin abschliessen, womit die Beschwerdeführerin vom Auftrag endgültig ausgeschlossen wäre und höchstens noch Schadenersatz beanspruchen könnte (vgl. Art. 14 und 18 [e contrario] der Interkantonalen Vereinbarung über das öffentliche Beschaffungswesen vom 25. November 1994 [IVöB], welcher der Kanton Appenzell Ausserrhoden beigetreten ist [AS 2003 4119] i.V.m. Art. 4 Abs. 4 und Art. 6 des Gesetzes des Kantons Appenzell A.Rh. vom 24. September 2000 über das öffentliche Beschaffungswesen [GöB/AR]). Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist deshalb grundsätzlich einzutreten.
1.3 Nicht einzutreten ist auf die Begehren, soweit sie sich auf das Systemangebot beziehen. Hierzu ist noch kein Vergabeentscheid ergangen, und der Zuschlag des Systemangebots liegt daher vor dem Verwaltungsgericht auch nicht im Streit. Die diesbezüglichen Rechtsbegehren sprengen den Rahmen des Streitgegenstands und sind unzulässig.
1.4 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 118 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 116 BGG (Verletzung verfassungsmässiger Rechte) beruht. Eine entsprechende Beschränkung der Beschwerdegründe gilt zudem generell für die Anfechtung von Entscheiden über vorsorgliche Massnahmen (Art. 98 BGG), wozu auch Entscheide über die aufschiebende Wirkung gehören (BGE 134 II 192 E. 1.5 S. 196). Für die Rüge derartiger Verletzungen gelten die Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG sinngemäss (Art. 117 BGG).
2.1 Gemäss Art. 17 Abs. 1 und 2 IVöB i.V.m. Art. 4 Abs. 3 GöB/AR hat die Beschwerde gegen einen Vergabeentscheid grundsätzlich keine aufschiebende Wirkung. Die Beschwerdeinstanz kann der Beschwerde die aufschiebende Wirkung aber auf Gesuch hin oder von Amtes wegen beiordnen, wenn die Beschwerde als ausreichend begründet erscheint und keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen entgegenstehen.
2.1 Gemäss Art. 17 Abs. 1 und 2 IVöB i.V.m. Art. 4 Abs. 3 GöB/AR hat die Beschwerde gegen einen Vergabeentscheid grundsätzlich keine aufschiebende Wirkung. Die Beschwerdeinstanz kann der Beschwerde die aufschiebende Wirkung aber auf Gesuch hin oder von Amtes wegen beiordnen, wenn die Beschwerde als ausreichend begründet erscheint und keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen entgegenstehen.
2.2 Beim Entscheid über die aufschiebende Wirkung steht der zuständigen Behörde schon der Natur der Sache nach ein erheblicher Ermessensspielraum zu. Sie ist nicht gehalten, zeitraubende Abklärungen zu treffen, sondern muss in erster Linie auf die ihr zur Verfügung stehenden Akten abstellen. Bei der Interessenabwägung gemäss Art. 17 Abs. 2 IVöB darf insbesondere berücksichtigt werden, dass der Rekurs gegen einen Submissionsentscheid grundsätzlich keine aufschiebende Wirkung hat, woraus das Bundesgericht schliesst, dass dem öffentlichen Interesse an einer möglichst raschen Umsetzung des Vergabeentscheids von vornherein ein erhebliches Gewicht zukommt (Urteil des Bundesgerichts 2P.103/2006 E. 4.2.1). Der mutmassliche Ausgang des Verfahrens kann mit in Betracht gezogen werden, wenn die Aussichten eindeutig sind; gerade auch diesbezüglich beschränkt sich die zuständige Behörde aber auf eine "prima-facie"-Beurteilung, und das Bundesgericht belässt es auf Beschwerde hin erst recht bei einer vorläufigen Prüfung der Akten. Es kontrolliert - selbst wenn es mit einer ordentlichen Beschwerde angerufen werden kann - bloss, ob die Behörde beim Entscheid über die vorsorgliche Massnahme ihr Ermessen überschritten oder missbraucht hat, und hebt deren Entscheid nur auf, wenn sie wesentliche Interessen ausser Acht gelassen oder offensichtlich falsch bewertet hat. Letztlich greift es in derartigen Angelegenheiten nur ein, wenn die Interessenabwägung einer vernünftigen Grundlage entbehrt (vgl. die Urteile des Bundesgerichts 2P.93/2001 E. 2b; 2P.165/2002 E. 2.1.2; 2P.103/2006 E. 4.2.1).
2.3 Zu beachten ist sodann, dass Willkür in der Rechtsanwendung nicht bereits dann vorliegt, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Willkür liegt sodann nur vor, wenn nicht bloss die Begründung eines Entscheids, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist (BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen).
2.4 Willkür in der Beweiswürdigung begeht eine Behörde, wenn sie die Tragweite eines Beweismittels verkannt oder ein wichtiges Beweismittel ohne vernünftigen Grund ausser Acht gelassen hat, die Beweise einseitig würdigt und - selbst unter Berücksichtigung ihres grossen Ermessensspielraums bei der Würdigung von Beweisstücken - zu einem geradezu unhaltbaren oder auf offenkundigem Versehen beruhenden Beweisergebnis gelangt (BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9).
3. 3.1 Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe die Umstände betreffend die Gefahrensituation beim Bahnübergang Mooshalde/Scheidweg falsch ermittelt und sei gestützt darauf zu Unrecht zum Ergebnis gelangt, es bestehe ein (erhebliches) öffentliches Interesse an einer raschen Sanierung. Insbesondere sei der Betrieb auch im alten Zustand genügend sicher und könne die Inbetriebnahme der Schranke für den Linksabbieger ohnehin erst nach dem Umbau des Hirschenkreisels und der damit verbundenen Verkehrsumleitungen erfolgen.
3.2 Wie es sich genau mit der Verkehrssicherheit der einzelnen Verkehrsteilnehmer während der verschiedenen Umbauphasen verhält, brauchte die Vorinstanz jedoch nicht im Detail abzuklären (vgl. E. 2.2 hiervor). Es genügte und reicht auch hier aus, in diesem Zusammenhang darauf hinzuweisen, dass der Bahnübergang ein erhebliches Gefahrenpotential in sich birgt (offenbar besteht nicht einmal eine Zugsicherung) und seine Sanierung bzw. Anpassung an das heutige Verkehrsaufkommen augenfällig zu einer Verbesserung der Verkehrssicherheit führt. Dies bestreitet im Grunde auch die Beschwerdeführerin nicht. Schon deswegen durfte aber die Vorinstanz auf ein erhebliches allgemeines Interesse an einer raschen Ausführung des Sanierungsprojekts schliessen. Sie durfte auch ohne Willkür miteinbeziehen, dass die installierte Anlage aus den Sechzigerjahren stammt und das Ende ihrer technischen Lebensdauer erreicht hat (aus den Akten gehen diverse Betriebsstörungen und -probleme hervor), weshalb auch aus diesem Grund ein öffentliches Interesse an einer umgehenden Projektausführung angenommen werden durfte. Im Weiteren liegt es auf der Hand und bedarf keiner eingehenden Begründung, dass die eng aufeinander abgestimmte Ausführung verschiedener Sanierungsvorhaben an zusammenhängenden Verkehrsadern (hier des Bahnübergangs und der Hirschenkreuzung) die Planung, den Bau und die Verkehrslenkung während der Umbauperiode erleichtert, Friktionen und Gefahrensituationen vermindert und tendenziell zu Kosteneinsparungen führt. Die dahin gehenden allgemeinen Feststellungen und Folgerungen der Vorinstanz erscheinen ebenfalls in keiner Weise willkürlich, unabhängig davon, ob nun gewisse Details in allen Teilen zutreffend erfasst worden sind oder nicht. Keine entscheidende Rolle spielt insbesondere der Umstand, ob nun der Linksabbieger erst nach der sanierungsbedingten Verkehrsumleitung durch eine Schranke gesichert werden kann, wie die Beschwerdeführerin behauptet, oder ob dies bei sofortiger Realisierung schon während der Umleitung möglich gewesen wäre, wie die Beschwerdegegnerin vorgebracht hat. Es genügt festzuhalten, dass die Vorinstanz willkürfrei auf Umstände abgestellt hat, die ein öffentliches Interesse an einer raschen Sanierung belegen und dass sie dieses Interesse bei der Gewichtung ohne Willkür als bedeutend betrachten durfte.
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin hält sodann die Feststellungen und Schlüsse der Vorinstanz im Zusammenhang mit dem Einbezug ihrer Privatinteressen für willkürlich. Insbesondere habe der Verwaltungsgerichtspräsident verkannt, dass sie (und nicht die Beschwerdegegnerin) das wirtschaftlich günstigste Angebot eingereicht habe. Die Vergabestelle hätte nach den publizierten Kriterien zwingend die Rahmenrichtpreise der Systemangebote und die spezifischen Nutzwerte einbeziehen müssen und nicht einfach auf den offerierten Preis abstellen dürfen. Zudem habe sie auf ein zusätzliches, in den Ausschreibungsunterlagen nicht bekannt gegebenes und sogar wettbewerbswidriges Kriterium abgestellt (die möglichst kleine Produktevielfalt). Bei gebührendem Einbezug dieser Umstände hätte der Verwaltungsgerichtspräsident zum Schluss gelangen müssen, dass die Erfolgsaussichten der Beschwerde eindeutig positiv seien, und er hätte dies im Rahmen der Interessenabwägung auch entsprechend gewichten müssen. Seine Beurteilung, die Erfolgsaussichten der Beschwerde seien weder eindeutig positiv noch negativ, sei willkürlich.
4.2 Nach den Ausschreibungsunterlagen (Ziff. 2.1) soll der Zuschlag an das qualitativ und wirtschaftlich beste Angebot erfolgen. Die Qualitätskriterien und ihre Gewichtung sind in Ziff. 2.8.1 umschrieben. Für die Beschwerdeführerin resultierte unter dieser Rubrik eine Note/ Nutzwert von 445, für die Beschwerdegegnerin eine solche von 397. Das ist unbestritten. Unbestritten ist auch, dass die Eingabesummen für den Bahnübergang Mooshalde/Scheidweg Fr. 264'380.-- (für die Beschwerdeführerin) bzw. Fr. 225'200.-- ([nach oben angepasst von der Vergabestelle] für die Beschwerdegegnerin) betragen, was einen kombinierten Wert ("spezifischer Nutzwert") von 594 für die Beschwerdeführerin und von 567 für die Beschwerdegegnerin ergibt. So besehen ist das Angebot der berücksichtigten Beschwerdegegnerin für den erwähnten Bahnübergang qualitativ und wirtschaftlich das beste, weil es den tiefsten spezifischen Nutzwert aufweist.
4.3 Nun weist die Beschwerdeführerin an sich zu Recht darauf hin, dass die Ausschreibungsunterlagen in Ziff. 2.8.2. unter dem Titel "Eingabesumme" einen Gesamtkostenbetrag vorsieht, der sich aus dem Total der Grundkosten des Bahnübergangs Mooshalde/Scheidweg und den Rahmenrichtpreisen des Systemangebots zusammensetzt. Die Beschwerdeführerin nennt Rahmenrichtpreise von Fr. 450'420.-- (für sich) bzw. von Fr. 420'000.-- (für die Beschwerdegegnerin), die nicht einbezogen worden seien. Die Auftraggeberin Appenzeller Bahnen AG räumt ein, dass bei der Vergabe die Rahmenrichtpreise nicht berücksichtigt wurden. Sie erklärt dies damit, dass die Richtpreise noch nicht ausgewertet worden seien und der Zuschlag für das Systemangebot (Rahmenvertrag) noch nicht erfolgt sei. Sie habe unter Ziff. 2.6.1 (Titel: Projektteile/Teil-Offerten) ausdrücklich darauf aufmerksam gemacht, dass die Ausschreibung unterteilt werde in einen Teil 1 (Bahnübergang Mooshalde/Scheidweg) und einen Teil 2 (Systemangebot) und dass sie sich vorbehalte, die Optionen einzeln zu bestellen.
4.4 Ein solches Vorgehen vermag zwar an sich durchaus einzuleuchten, doch steht es mit den von der Auftraggeberin selber genannten Kriterien zur Beurteilung der Wirtschaftlichkeit in einem gewissen Widerspruch. Wie dieser - auch in Bezug auf künftige Einzel-Optionen - aufzulösen ist, liegt nicht auf der Hand. Unter diesen Umständen ist es verständlich und jedenfalls nicht unhaltbar, dass die Vorinstanz geschlossen hat, die Erfolgschancen der Beschwerde könnten derzeit weder als eindeutig positiv noch als eindeutig negativ beurteilt werden, sondern seien völlig offen. Als vertretbar erscheint diese Beurteilung umso eher, als die Auftraggeberin tatsächlich das für sich betrachtet wirtschaftlich günstigste Angebot berücksichtigt hat, was der Zielsetzung jeder Vergabe entspricht, wenngleich das Abweichen von den von ihr selber aufgestellten und als verbindlich bezeichneten Ausschreibungskriterien ernsthafte rechtliche Bedenken wecken muss. Im Rahmen des Entscheids über die aufschiebende Wirkung und der einzubeziehenden Erfolgschancen der Beschwerde aber entgeht die Würdigung der Vorinstanz dem Willkürvorwurf.
4.5 Für die Vergabe augenscheinlich keine Rolle gespielt hat sodann das von der Auftraggeberin Appenzeller Bahnen AG im Begründungsschreiben gegenüber der Beschwerdeführerin genannte weitere Kriterium der möglichst kleinen Produktevielfalt. Die Appenzeller Bahnen AG selber spricht von einer "unglücklichen Formulierung", womit es in diesem Zusammenhang sein Bewenden haben mag (die Tabellen und Zahlenzusammenstellungen zeigen die Unmassgeblichkeit dieses angeblichen weiteren Kriteriums einwandfrei auf) und der Vorinstanz weder eine Verletzung des Gleichbehandlungsgebots bzw. Diskriminierungsverbots noch Willkür vorgeworfen werden kann, wenn sie darauf nicht näher eingegangen ist.
5. Damit wird deutlich, dass der Verwaltungsgerichtspräsident nicht in Willkür verfallen ist, wenn er die Interessen an der raschen Ausführung des berücksichtigten Projekts zur Sanierung des Bahnübergangs Mooshalde/Scheidweg höher gewichtet hat als die Interessen der Beschwerdeführerin, die Angelegenheit während der Dauer des Beschwerdeverfahrens in der Schwebe zu halten. Die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung verstösst weder gegen Art. 9 BV (Willkürverbot) noch gegen Art. 8 BV (Rechtsgleichheitsgebot, Diskriminierungsverbot).
6. Die weiteren erhobenen Verfassungsrügen vermögen ebenfalls nicht durchzuschlagen. Auf zusätzliche Beweiserhebungen durfte die Vorinstanz in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung ohne Verletzung des verfassungsrechtlichen Gehörsanspruchs verzichten (vgl. BGE 130 II 425 E. 2.1 S. 429 und oben E. 2.2. und 2.3), und eine Verletzung der Wirtschaftsfreiheit liegt nach dem Ausgeführten nicht vor.
7. 7.1 Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
7.2 Bei diesem Ergebnis wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig. Sie hat die Verfahrenskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist ihr nicht aufzuerlegen, da die Beschwerdegegnerin nicht anwaltlich vertreten gewesen ist (vgl. Art. 68 Abs. 2 BGG) und die Auftraggeberin als Trägerin öffentlicher Aufgaben am Verfahren beteiligt ist und in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt (Art. 68 Abs. 3 BGG).
7.3 Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache werden das Gesuch der Beschwerdeführerin, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, und der Antrag auf ergänzende vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es werden keine Parteikosten gesprochen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin, den Appenzeller Bahnen AG und dem Verwaltungsgericht von Appenzell Ausserrhoden, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Mai 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Uebersax