Erwägungen:
1.
X._ stellte am 21. September 2012 Strafanzeige gegen unbekannte Mitarbeiter der Sozialen Dienste der Stadt Zürich wegen Nötigung, Verleumdung/Ehrverletzung/Persönlichkeitsverletzung, Amtsmissbrauchs usw. X._ warf den beschuldigten Personen vor, ihn amtsmissbräuchlich um Sozialhilfegelder betrogen zu haben. Teils habe man ihm die Auszahlung der Gelder ganz verweigert, teils habe man ihm zu wenig ausbezahlt. Seine Existenz sei dadurch zerstört worden, was eine Verleumdung darstelle. Einen Leistungsentscheid habe er nie erhalten, weshalb er sich nie auf dem Rechtsmittelweg habe zur Wehr setzen können. Die beschuldigten Personen hätten die AHV-Beiträge rechtswidrig nicht einbezahlt, so dass ihm Beitragslücken entstanden seien.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich überwies mit Verfügung vom 12. November 2012 ein Gesuch der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl betreffend Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl beantragte die Nichterteilung der Ermächtigung, da nach summarischer Prüfung kein deliktsrelevanter Verdacht vorliege. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 23. April 2013 der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zum Entscheid über die Untersuchungseröffnung bzw. Nichtanhandnahme des Verfahrens nicht. Die Strafkammer führte dabei aus, dass die Frage, ob und in welcher Höhe X._ Sozialhilfegelder zustünden, eine verwaltungsrechtliche sei. Für diesbezügliche Rügen habe er den verwaltungsrechtlichen Rechtsweg zu beschreiten. Dies gelte auch für das Vorbringen, es sei keine Verfügung ergangen. Eine sorgfältige Durchsicht der Eingabe und der Beilagen von X._ hätte keine Anhaltspunkte für einen Anfangsverdacht für die geltend gemachten Strafbestimmungen ergeben.
2.
X._ führt mit Eingabe vom 28. Juni 2013 (Postaufgabe 30. Juni 2013) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 23. April 2013. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung der III. Strafkammer, die zur Nichterteilung der Ermächtigung führte, nicht auseinander. Er legt nicht dar, inwiefern die III. Strafkammer in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise das Vorliegen eines Anfangsverdachts für die von ihm vorgebrachten Strafbestimmungen verneint haben sollte. Er vermag daher nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selber im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Sihl, der Oberstaatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli