Fatti:
A. Con sentenza 28 dicembre 2011 il Pretore aggiunto del Distretto di Lugano ha pronunciato il divorzio fra A._ e B._. Ha nel contempo ratificato una convenzione 20 settembre 2011, nella quale le parti disponevano - fra l'altro - l'affidamento del figlio C._ (1999) alla madre, regolavano il diritto di visita paterno e fissavano contributi alimentari per il minorenne. In assenza di un accordo sull'esercizio in comune dell'autorità parentale e non risultando l'esercizio in comune nell'interesse del figlio, il Pretore aggiunto ha attribuito l'autorità parentale alla madre, confermando altresì una curatela educativa in favore del figlio istituita dalla Commissione tutoria regionale 3 in data 27 ottobre 2009.
B. Contro la decisione pretorile A._ è insorto con appello 27 gennaio 2012, postulando l'attribuzione dell'autorità parentale in comune ai genitori; in subordine ha chiesto il rinvio dell'incarto alla prima istanza per l'assunzione della testimonianza dello psicologo D._ e l'audizione del figlio C._. Ha infine postulato la concessione del gratuito patrocinio.
Con la qui impugnata decisione 24 febbraio 2012, il Tribunale di appello del Cantone Ticino ha respinto l'appello e la richiesta di gratuito patrocinio, prescindendo dal prelevare spese.
C. Contro la citata decisione del Tribunale di appello, A._ (qui di seguito: ricorrente) ha inoltrato in data 13 marzo 2012 un ricorso in materia civile, postulando l'annullamento del giudizio cantonale e reiterando la richiesta di attribuzione dell'autorità parentale a entrambi i genitori in comune. In subordine ha chiesto il rinvio dell'incarto alla prima istanza per il riesame della questione sull'autorità parentale in comune. Ha inoltre chiesto il gratuito patrocinio per la procedura di ricorso dinanzi al Tribunale federale.
Non sono state chieste osservazioni.
Diritto:
1. 1.1 Impugnata è una decisione finale (art. 90 LTF) di ultima istanza cantonale pronunciata su ricorso da una corte superiore (art. 75 cpv. 1 e 2 LTF) concernente le conseguenze accessorie non pecuniarie di un divorzio, dunque in una vertenza civile ai sensi dell'art. 72 cpv. 1 LTF. L'impugnativa è presentata dalla parte soccombente in istanza cantonale (art. 76 cpv. 1 LTF) ed è tempestiva (art. 100 cpv. 1 LTF). Essa soddisfa i menzionati requisiti formali e può essere esaminata nel merito.
1.2 Il Tribunale federale applica il diritto d'ufficio (art. 106 cpv. 1 LTF). Ciò nondimeno, giusta l'art. 42 cpv. 2 LTF, nei motivi del ricorso occorre spiegare in modo conciso perché l'atto impugnato viola il diritto. Ciò significa che il ricorrente deve almeno confrontarsi brevemente con i considerandi della sentenza impugnata pena l'inammissibilità del gravame (DTF 134 II 244 consid. 2.1) e che ciò deve avvenire nell'atto ricorsuale medesimo, il rinvio ad altri atti ed allegati non costituendo valida motivazione (DTF 133 II 396 consid. 3.1; 126 III 198 consid. 1d; sentenza 5A_477/2010 del 27 gennaio 2011 consid. 1.2, non pubblicato in DTF 137 III 97). Giova poi ricordare che il Tribunale federale esamina la violazione di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale soltanto se il ricorrente ha sollevato e motivato tale censura (art. 106 cpv. 2 LTF). Il ricorrente deve spiegare in modo chiaro e dettagliato, alla luce dei considerandi della sentenza impugnata, in che modo sarebbero stati violati diritti costituzionali (DTF 135 III 232 consid. 1.2 con rinvii).
1.3 In linea di massima il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF). Può scostarsene o completarlo soltanto se è stato effettuato in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF); quest'ultima definizione corrisponde a quella di arbitrio (DTF 133 II 249 consid. 1.2.2). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF).
2. 2.1 Per l'essenziale, il ricorrente motiva il proprio ricorso adducendo che i Giudici cantonali hanno applicato troppo alla lettera gli art. 133 e 298a cpv. 1 CC, ignorando i cambiamenti sociali e di costume intervenuti negli anni successivi all'introduzione delle norme citate. In applicazione dell'attuale art. 133 CC il giudice deve poter in particolare attribuire l'autorità parentale ad entrambi i genitori divorziati seguendo il principio inquisitorio, anche se uno di essi vi si oppone. Il ricorrente si richiama pure all'art. 8 CEDU, chiedendo che ne venga constatata la violazione in applicazione dell'art. 95 lett. b LTF.
Il Tribunale di appello ha constatato, in fatto, che per un'applicazione dell'art. 298a cpv. 1 CC fa in ogni caso difetto una richiesta congiunta in tal senso da parte dei genitori. Tale constatazione è rimasta incontestata avanti al Tribunale federale. In diritto, i Giudici cantonali hanno rilevato che il testo degli art. 298a cpv. 1 e 133 cpv. 1 CC è inequivocabile nell'esigere che in caso di divorzio l'autorità parentale sia attribuita a un genitore, fatta salva la possibilità per i genitori di chiedere congiuntamente l'autorità parentale in comune; non è pertanto possibile discostarsi dal testo chiaro delle norme né applicare anticipatamente il disegno di legge attualmente al vaglio delle autorità politiche. Il Tribunale di appello ha aggiunto che, facendo difetto una richiesta congiunta dei genitori, non soccorre indagare se l'attribuzione dell'autorità parentale in comune sarebbe compatibile con il bene del figlio.
Per costante giurisprudenza, in caso di divorzio la regola consiste nell'attribuzione dell'autorità parentale ad uno dei genitori, conformemente all'art. 133 cpv. 1 CC; il mantenimento dell'esercizio dell'autorità parentale da parte dei genitori in comune rappresenta l'eccezione (art. 133 cpv. 3 CC). Tale eccezione non può essere imposta a uno dei genitori contro la sua volontà (da ultimo sentenza 5A_497/2011 del 5 dicembre 2011 consid. 2.1.3 con rinvii). La tesi ricorsuale secondo la quale il giudice deve poter attribuire l'autorità parentale in comune anche senza richiesta congiunta, ed anzi anche se uno dei genitori vi si oppone, non è compatibile con l'inequivocabile testo della legge. In punto all'interpretazione delle menzionate norme del Codice civile il Tribunale di appello si è pertanto conformato alla giurisprudenza del Tribunale federale.
Ci si potrebbe tuttavia chiedere se - alla luce della CEDU - il solo riferimento all'assenza di richiesta congiunta dei genitori sia sufficiente per rifiutare il mantenimento dell'esercizio in comune dell'autorità parentale. La conformità dell'art. 133 cpv. 3 CC agli art. 8 e 14 CEDU è d'altronde oggetto di un ricorso pendente dinanzi alla Corte europea dei diritti dell'uomo (sentenza 5A_420/2010 dell'11 agosto 2011). La questione può in concreto rimanere indecisa. La censura di violazione dell'art. 8 CEDU è infatti manifestamente non motivata in modo sufficiente (supra consid. 1.2). Giova inoltre rilevare che il Giudice di prime cure aveva in ogni modo esaminato l'attribuzione dell'autorità parentale in funzione dell'interesse del figlio (supra consid. in fatto A; v. anche sentenze 5A_540/2011 del 30 marzo 2012 consid. 3, non pubblicato in DTF 138 III 348; 5A_72/2011 del 22 giugno 2011 consid. 2.2).
Nella misura della loro ammissibilità, le censure si rivelano pertanto infondate.
2.2 Il ricorrente eccepisce poi una violazione dell'art. 8 Cost. relativo all'eguaglianza giuridica fra uomo e donna "in particolare per quanto concerne la famiglia" e dell'art. 11 Cost. sulla protezione dei fanciulli.
L'argomentazione ricorsuale, ripresa testualmente, è lungi dal soddisfare le esigenze di motivazione previste per il ricorso in materia civile, in particolare per quelle accresciute vigenti qualora si voglia criticare una pretesa violazione dei diritti fondamentali (art. 106 cpv. 2 LTF; supra consid. 1.2): il ricorrente non spiega per nulla la pretesa disuguaglianza di trattamento fra uomo e donna, e ancora meno espone in cosa consista l'asserita violazione dell'art. 11 Cost. Quanto alla menzione della revisione di legge in discussione, non si capisce quale senso essa debba avere nella logica argomentativa del ricorrente. Peraltro, il Tribunale federale ha già avuto modo di spiegare perché, nel presente caso, non ci si possa riferire al progetto di legge: questo, infatti, prevede una normativa fondamentalmente diversa e non un semplice adattamento dell'attuale. Dal nuovo diritto si può anzi dedurre l'esatta portata di quello vigente (DTF 117 II 523 consid. 1g; 124 II 193 consid. 5d; 125 III 401 consid. 2a; con puntuale riferimento alla revisione delle norme qui discusse v. da ultimo sentenza 5A_793/2011 del 3 febbraio 2012 consid. 6.8.3).
Queste censure vanno dichiarate inammissibili.
2.3 Il ricorrente sostiene infine di aver già invocato in appello la violazione degli art. 8 CEDU, 8 e 11 Cost., senza che la Corte cantonale abbia preso posizione in merito.
Se pensata come censura di una violazione del proprio diritto di essere sentito, nella forma di un'insufficiente motivazione della sentenza impugnata (art. 29 cpv. 2 Cost.), la censura va dichiarata inammissibile per carenza di motivazione, mancando addirittura la menzione del diritto fondamentale che il ricorrente ritiene violato e l'implicito rinvio all'appello cantonale non potendovi supplire (supra consid. 1.2).
3. Ne discende che il ricorso va respinto nella ridotta misura della sua ammissibilità. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 LTF). La domanda di gratuito patrocinio formulata dal ricorrente è insufficientemente motivata; inoltre, come i considerandi che precedono dimostrano, il gravame non aveva sin dall'inizio alcuna possibilità di esito favorevole. Essa va pertanto respinta (art. 64 cpv. 1 LTF). In considerazione della manifestamente precaria situazione economica del ricorrente si percepisce una tassa di giustizia ridotta. Non sono dovute ripetibili all'opponente, che non è stata invitata a prendere posizione avanti al Tribunale federale e che non è dunque incorsa in spese per la procedura federale.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2. La domanda di assistenza giudiziaria del ricorrente è respinta.
3. Le spese giudiziarie di fr. 500.-- sono poste a carico del ricorrente.
4. Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla I Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.