Erwägungen:
1.
X._ erhob am 3. Mai 2013 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 19. März 2013 betreffend Widerruf der Niederlassungsbewilligung und Wegweisung. Mit Verfügung vom 13. Mai 2013 wurde ihm Frist bis 4. Juni 2013 zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.-- angesetzt. Am letzten Tag der Zahlungsfrist ersuchte der Rechtsvertreter von X._ vorsorglich um Erstreckung der Zahlungsfrist bis 3. Juli 2013, was er damit begründete, dass der Betroffene derzeit krank sei und er ihn nicht erreichen könne. Gestützt auf dieses Gesuch wurde die Zahlungsfrist bis zum 3. Juli 2013 erstreckt, wobei darauf hingewiesen wurde, dass die Fristerstreckung als Nachfrist im Sinne von Art. 62 Abs. 3 BGG gelte und im Unterlassungsfall auf die Beschwerde nicht eingetreten würde. Am 3. Juli 2013, am letzten Tag der grosszügig bemessenen Nachfrist (diese beträgt im Regelfall rund zehn Tage), ersuchte der Rechtsvertreter um Gewährung von Ratenzahlungen (vier Raten à Fr. 500.--). Er erklärte neu, den Vorschuss nicht in einer einmaligen Zahlung leisten zu können, weil er (nicht spezifizierte) Unterstützungs- und Fürsorgepflichten für die kranke Ehefrau und für den arbeitslosen Bruder innehabe. Mit Urteil 2C_399/2013 vom 4. Juli 2013 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein; dies mit der Begründung, dass mit dem Ratenzahlungsgesuch kein ausserordentlicher Grund dargetan worden sei, der eine ausnahmsweise Erstreckung der Nachfrist erlaube.
Mit vom 18. August 2013 datiertem Fristwiederherstellungsgesuch beantragt X._ dem Bundesgericht, es sei die richterliche Frist zur Bezahlung des Gerichtskostenvorschusses von Fr. 2'000.-- im Verfahren 2C_399/2013 wiederherzustellen; es sei über seine Beschwerde vom 3. Mai 2013 auch materiellrechtlich zu entscheiden. Das Gesuch wurde am 19. August 2013 zur Post gegeben; gleichentags wurde auch der vollständige, für das Verfahren 2C_399/2013 verlangte Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu Handen der Bundesgerichtskasse bei der Post einbezahlt.
2.
2.1. Ist eine Partei oder ihr Vertreter durch einen anderen Grund als die mangelhafte Eröffnung unverschuldeterweise davon abgehalten worden, fristgerecht zu handeln, so wird die Frist wiederhergestellt, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt (Art. 50 Abs. 1 BGG). Wiederherstellung kann auch nach Eröffnung des Urteils bewilligt werden; wird sie bewilligt, so wird das Urteil aufgehoben (Art. 50 Abs. 2 BGG).
2.2. Der Gesuchsteller macht geltend, er habe damit rechnen dürfen, dass seinem innert der Nachfrist gestellten Ratenzahlungsgesuch entsprochen werde; es seien durch Krankheit seiner Ehefrau nicht eingeplante Kosten von Fr. 5'500.-- entstanden; zudem habe er für den Lebensunterhalt seines im gemeinsamen Haushalt lebenden arbeitslosen Bruders aufkommen müssen. Mit diesen Vorbringen ist der Gesuchsteller im Fristwiederherstellungsverfahren nicht zu hören:
Im Fristwiederherstellungsverfahren kann nicht nachträglich ein Umstand als unverschuldetes Hindernis im Sinne von Art. 50 Abs. 1 BGG geltend gemacht werden, der sich bereits vor Ablauf der verpassten Frist realisiert hatte und gestützt auf den im ursprünglichen Verfahren in Anwendung von Art. 47 Abs. 2 BGG rechtzeitig, d.h. noch vor Fristablauf, ein Fristerstreckungsgesuch hätte gestellt werden können. Die rechtzeitige Bezahlung des Kostenvorschusses verhindernde Zahlungsschwierigkeiten müssen vor Fristablauf vorgebracht und rechtsgenügend substantiiert werden (Urteil 2F_7/2010 vom 15. Oktober 2010 E. 3.2 und 3.3). Besondere Anforderungen gelten für Gesuche um Erstreckung der Nachfrist zur Leistung des Kostenvorschusses gemäss Art. 62 Abs. 3 BGG, wie im Gegenstand des vorliegenden Fristwiederherstellungsgesuchs bildenden Urteil 2C_399/2013 unter Hinweis auf die Rechtsprechung (Urteil 2C_242/2012 vom 24. Mai 2012) dargelegt worden ist; solchen Gesuchen kann nur ganz ausnahmsweise entsprochen werden. Der Beschwerdeführer hat zwar mit seinem Ratenzahlungsgesuch vom 3. Juli 2013 noch innert der Nachfrist um Fristerstreckung ersucht. Indessen erkannte das Bundesgericht mit seinem Urteil vom 4. Juli 2013, dass sein Begehren den erwähnten erhöhten Begründungsanforderungen unter Berücksichtigung der gesamten Abläufe seit Eröffnung der ursprünglichen Kostenvorschuss-Verfügung vom 13. Mai 2013 nicht genügte. Auf diese - rechtliche - Qualifizierung des Gesuchs vom 3. Juli 2013 kann im Fristwiederherstellungsverfahren nicht zurückgekommen werden. Im Übrigen bleibt unerfindlich, warum die heutigen Angaben zur finanziellen Situation nicht schon im Gesuch vom 3. Juli 2013 hätten vorgebracht werden können.
2.3. Soweit auf das Fristwiederherstellungsgesuch überhaupt eingetreten werden kann, ist es offensichtlich unbegründet und ohne Anordnung eines Schriftenwechsels oder anderer Instruktionsmassnahmen abzuweisen.
2.4. Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Gesuchsteller aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller