Sachverhalt:
A.
Y._ und Z._ schlossen am 24. November 1999 einen Ehe- und Erbvertrag, mit dem sie den überlebenden Ehegatten als Alleinerben einsetzten. Auf das Pflichtteilsrecht ihrer Söhne X._ und A._ wurden sie hingewiesen.
Am 15. Dezember 2006 verstarb Z._.
B.
B.a. Mit Klage vom 7. September 2012 an das Bezirksgericht Luzern verlangte Y._ von ihrem Sohn X._ die Bezahlung von Fr. 219'676.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 19. Mai 2008.
Zur Begründung führte die Klägerin an, ihr verstorbener Ehemann und der Beklagte hätten bei der Sparkasse N._ ein Depot eröffnet und seien darüber einzelverfügungsberechtigt gewesen. Die im Depot enthaltenen Vermögenswerte seien ausschliesslich im Eigentum ihres Ehemannes gestanden. Der Beklagte habe das Depot am 19. Mai 2008 aufgelöst und den gesamten Betrag von EUR 365'505.60 vereinnahmt. Die bis dahin angefallenen Zinsen habe er der Klägerin ausbezahlt. Die mehrfachen Aufforderungen um Erstattung des hälftigen Auszahlungsbetrages seien indessen erfolglos gewesen.
Mit Entscheid vom 21. Februar 2013 trat das Bezirksgericht nicht auf die Klage ein mit der Begründung, bei der Klage handle es sich um eine solche aus dem Gebiet des Erbrechts i.S. von Art. 1 Ziff. 2 lit. a LugÜ, weshalb dieses Übereinkommen und folglich der Gerichtsstand am Wohnsitz des Beklagten gemäss Art. 2 Ziff. 1 LugÜ nicht zur Anwendung gelange. International zuständig seien gemäss Art. 86 Abs. 1 IPRG vielmehr die Gerichte am letzten Wohnsitz des Erblassers in Deutschland.
B.b. Mit Entscheid vom 28. Mai 2013 hiess das Obergericht des Kantons Luzern die von der Klägerin erhobene Berufung gut, hob den Entscheid des Bezirksgerichts auf und wies die Sache zur materiellen Beurteilung an das Bezirksgericht zurück.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt X._ dem Bundesgericht, es sei der Entscheid des Obergerichts aufzuheben und das Urteil des Bezirksgerichts zu bestätigen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 138 III 46 E. 1).
1.1. Beim angefochtenen Entscheid des Obergerichts, mit dem dieses die internationale und örtliche Zuständigkeit des Bezirksgerichts Luzern zur Beurteilung der Klage der Beschwerdegegnerin gegen den Beschwerdeführer bejaht hat, handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das als letzte kantonale Instanz in einem Rechtsmittelverfahren über die Zuständigkeit geurteilt hat. Dagegen ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig (Art. 92 Abs. 1 i.V.m. Art. 75 BGG). Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens ist der Zwischenentscheid aber nur mit Beschwerde anfechtbar, wenn es auch der Endentscheid ist (BGE 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.). Dies trifft vorliegend zu, handelt es sich in der Hauptsache doch um eine vermögensrechtliche Angelegenheit mit einem Fr. 30'000.-- weit übersteigenden Streitwert (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.2.
1.2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht des Beschwerdeführers (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 135 II 384 E. 2.2.1; 133 II 249 E. 1.4.1; je mit Hinweisen).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 sowie Art. 106 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Der Beschwerdeführer soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die er im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit seiner Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.; 121 III 397 E. 2a S. 400; 116 II 745 E. 3 S. 749). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.; 131 III 384 E. 2.3 S. 387 f.; je mit Hinweisen).
1.2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, namentlich die Parteivorbringen in denselben (Urteil 4A_225/2013 vom 14. November 2013 E. 1.3.1, zur Publikation bestimmt). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
1.2.3. Der Beschwerdeführer verkennt diese Grundsätze in mehrfacher Hinsicht. So beruft er sich in seiner Eingabe ohne Erhebung tauglicher Sachverhaltsrügen auf Sachverhaltselemente, die im angefochtenen Entscheid keine Stütze finden. Soweit er sich gegen die vorinstanzlichen Feststellungen zum (Prozess-) Sachverhalt richtet, verkennt er sodann, dass blosse Verweise auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten den Begründungsanforderungen an eine Sachverhaltsrüge nicht genügen. Schliesslich unterlässt es der Beschwerdeführer grösstenteils, seine Rügen auf die als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz zu beziehen. Darauf kann nicht eingetreten werden.
2.
Der Beschwerdeführer macht sinngemäss geltend, die Klage der Beschwerdegegnerin betreffe das Gebiet des Erbrechts i.S. von Art. 1 Ziff. 2 lit. a LugÜ und sei damit vom Anwendungsbereich dieses Übereinkommens ausgenommen. Die Vorinstanz habe zu Unrecht die internationale Zuständigkeit des Bezirksgerichts Luzern gestützt auf Art. 2 Ziff. 1 LugÜ bejaht.
2.1. Unter Streitigkeiten aus dem Gebiet "des Erbrechts einschliesslich des Testamentsrechts" im Sinne von Art. 1 Abs. 2 Ziff. 1 LugÜ fallen alle Ansprüche des Erben "auf und an den Nachlass" (BGE 135 III 185 E. 3.4.1 S. 191). Das Auftreten erbrechtlicher Vorfragen hindert die Anwendung des LugÜ nicht. Ansprüche gegen Dritte, in die ein Erbe causa mortis nachfolgt, fallen folglich dann in den sachlichen Anwendungsbereich des Lugano-Übereinkommens, wenn sich der geltend gemachte Anspruch bereits im Vermögen des Erblassers befand, mithin nur die Aktivlegitimation des Erben auf einem erbrechtlichen Titel beruht. In solchen Fällen ist der Bestand und Inhalt des geltend gemachten Anspruchs nicht nach dem Erbstatut, sondern nach einem anderen vermögensrechtlichen Statut zu beurteilen und nur die Aktivlegitimation wird durch das Erbrecht im Sinne einer Vorfrage bestimmt (BGE 135 III 185 E. 3.4.2 S. 191).
2.2. Die Vorinstanz hielt fest, dass der Beschwerdeführer und der verstorbene Ehemann der Beschwerdegegnerin am 1. April 1997 bei der Sparkasse N._ ein Nummerndepot eröffneten. Gemäss den Vorbringen der Beschwerdegegnerin habe der Beschwerdeführer dieses Depot am 19. Mai 2008 aufgelöst und die darin befindlichen Vermögenswerte im Betrag von EUR 365'505.60 an sich genommen. Die im Depot enthaltenen Vermögenswerte seien jedoch ausschliesslich im Eigentum ihres Ehemannes gestanden, weshalb die Beschwerdegegnerin nunmehr den ihr als Erbin zustehenden Anteil fordere. Demgegenüber mache der Beschwerdeführer geltend, er sei alleiniger Depotinhaber gewesen und das sich darin befindliche Geld stamme ausschliesslich von ihm.
2.3. Gestützt auf diese Vorbringen hat die Vorinstanz zutreffend geschlossen, dass sich die Beschwerdegegnerin in ihrer Klage nicht auf einen erbrechtlichen Titel stützt, sondern einen Anspruch geltend macht, der bereits dem Erblasser gegenüber dem Beschwerdeführer am Depot zustand. Die Beschwerdegegnerin leitet mithin lediglich ihre Aktivlegitimation aus Erbrecht ab, stützt sich aber in der Hauptsache auf einen vermögensrechtlichen Titel, in den sie gemäss ihrer Darstellung causa mortis nachgefolgt ist. Die erbrechtliche Frage, ob und inwieweit die Beschwerdegegnerin tatsächlich in den Nachlass ihres Ehemannes sukzediert ist, bildet in der vorliegenden Auseinandersetzung lediglich eine Vorfrage, welche zuständigkeitsrechtlich irrelevant ist (vgl. SVEN RÜETSCHI, Vorfragen im schweizerischen Zivilprozess, Diss. Basel 2011, Rz. 181). Für den sachlichen Anwendungsbereich des LugÜ massgeblich ist die Hauptfrage, welche vorliegend nicht erbrechtlich ist. Die Vorinstanz ist damit zu Recht zum Schluss gelangt, dass die vorliegende vermögensrechtliche Auseinandersetzung nicht vom sachlichen Anwendungsbereich des LugÜ ausgenommen ist, womit das Bezirksgericht Luzern gestützt auf Art. 2 Ziff. 1 LugÜ international zuständig ist.
3.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit auf sie eingetreten werden kann, weshalb sie im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG abzuweisen ist.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden, weshalb ihr keine Parteientschädigung zusteht.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Hurni