Faits:
A. A.a E._ a été blessé par un tir de chevrotine lors d'une altercation entre son père et un tiers, le 2 novembre 1998. Il a subi des lésions de la cheville gauche, avec destruction complète du pilon tibial et dévascularisation complète du pied par déchirure des trois artères du trépied. Une première intervention chirurgicale pratiquée le 3 novembre 1998 a permis de retirer les corps étrangers, de mettre en place un fixateur externe, de procéder à une résection-anastomose de l'artère tibiale antérieure ainsi qu'à une ligature de l'artère péronière, et de réaliser un pontage veineux termino-terminal de l'artère tibiale postérieure. Plusieurs autres interventions ont été nécessaires par la suite, avec notamment un comblement de la perte de substance constatée au tiers distal de la jambe gauche par lambeau libre du grand dorsal et une greffe de Tiersch, le 9 novembre 1998, une arthrodèse de la cheville gauche par greffe prise sur le bassin, le 14 août 1999, et la mise en place, le 10 février 1999, ainsi que le retrait, le 28 janvier 2000, du matériel nécessaire à la réalisation d'un allongement osseux selon Ilizarov.
La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après : CNA) a pris en charge le traitement médical et alloué des indemnités journalières. E._ a par ailleurs déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, qui lui a alloué une rente entière d'invalidité avec effet dès le 1er novembre 1999 (décision du 25 octobre 2000).
A.b Avant son accident, E._ percevait des indemnités journalières de l'assurance-chômage. Il suivait un semestre de motivation organisé par l'Oeuvre suisse d'entraide ouvrière (OSEO) et s'apprêtait à effectuer un apprentissage de coiffeur au sein de l'entreprise X._ SA. Le début de l'apprentissage était prévu pour la rentrée scolaire 1999. En raison des séquelles de l'accident l'assuré n'a pas pu entreprendre la formation envisagée et a dû s'orienter vers une activité n'imposant pas, notamment, de stations debout prolongées. Il a commencé un apprentissage d'employé de bureau au centre Y._, le 16 juillet 2001. Cette formation était prise en charge par l'assurance-invalidité à titre de formation professionnelle initiale (art. 16 LAI). La mesure a toutefois été interrompue dès le 1er décembre 2002, en raison d'un état dépressif sévère de l'assuré. Selon un rapport des docteurs M._ et C._ du 4 février 2003, il s'agissait d'une dépression réactionnelle à l'accident du 2 novembre 1998, qui avait été aggravée par le décès de la mère de l'assuré en décembre 2002, en raison d'un cancer. E._ était incapable de travailler pour une durée indéterminée.
L'Office AI a confié au docteur O._, psychiatre, le soin de réaliser une expertise. Dans un rapport du 6 décembre 2004, ce médecin a posé les diagnostics de dysthymie et de traits narcissiques. L'assuré avait subi un effondrement narcissique à la suite de l'accident, puis développé un état dépressif sévère après le décès de sa mère. A l'époque de l'expertise, il présentait une humeur morose, sans état dépressif patent. La dysthymie était un état dépressif chronique de faible intensité, qui entraînait une incapacité de travail de 20 à 30 %.
Le 8 août 2005, E._ a repris son apprentissage d'employé de bureau. Nonobstant une mise en garde que lui avait adressée l'Office AI le 14 juillet 2006, il a définitivement interrompu cette formation le 7 septembre 2006. L'Office AI a confié au docteur R._, psychiatre et psychothérapeute, le soin de procéder à une nouvelle expertise en vue de se prononcer sur l'exigibilité d'une reprise d'une formation ou d'une activité professionnelle. Celui-ci a posé les diagnostics de troubles de l'adaptation et de réaction dépressive brève. Ces atteintes à la santé de l'assuré n'entraînaient pas d'incapacité de travail dans une activité adaptée à son niveau cognitif et à sa motivation. Sur ce point, l'expert a précisé que l'assuré aurait certainement eu quelques difficultés à terminer sa formation d'employé de bureau, mais qu'il aurait pu, peut-être, les surmonter avec un peu d'effort. Le niveau cognitif dont il disposait n'était vraiment efficace que lorsqu'il était sous-tendu par une forte motivation, qu'il n'éprouvait toutefois pas pour la formation entreprise (rapport du 18 mars 2007). Pour sa part, le docteur H._, médecin au Service médical régional Z._, a considéré que l'assuré disposait d'une pleine capacité de travail dans une activité sans charges lourdes et permettant d'éviter les stations debout prolongées ou les déplacements (rapport du 15 avril 2007).
Par décision du 11 janvier 2008, l'Office AI a mis fin au versement de la rente d'invalidité allouée précédemment, avec effet dès le 28 février 2008. Le Tribunal cantonal valaisan a rejeté le recours de l'assuré contre cette décision, par jugement du 19 janvier 2009.
A.c Entre-temps, la CNA a procédé à diverses mesures d'instruction. Selon deux rapports des 12 et 13 septembre 2005 du docteur N._, médecin d'arrondissement et spécialiste en chirurgie, l'état de la cheville gauche de l'assuré pouvait être considéré comme stabilisé. Le docteur N._ a notamment constaté une arthrodèse tibio-astragalienne consolidée, avec une articulation sous-astragalienne complètement bloquée. Le lambeau musculaire au côté interne formait une voussure encore douloureuse et la sensibilité du bord interne du pied était diminuée. La jambe gauche était raccourcie de deux centimètres et l'assuré présentait une importante amyotrophie du mollet, avec une différence de périmètre de 10 cm par rapport au membre inférieur droit. L'assuré portait une orthèse tibiale et un soulier égalisant la différence de longueur avec une barre de déroulement. Lorsqu'il se déplaçait avec l'attelle et les chaussures orthopédiques, il marchait quasiment sans boiterie. A pieds nus, il marchait avec une boiterie de raccourcissement à gauche, le pied en rotation externe; le déroulement du pied n'était pas possible et l'assuré montait et descendait les escaliers à pas non alternés. Le docteur N._ a proposé de retenir un taux d'atteinte à l'intégrité de 25 % en raison principalement de l'arthrodèse et de la déformation des parties molles de la cheville.
Par décision du 22 septembre 2005, la CNA a alloué à l'assuré une indemnité fondée sur une atteinte à l'intégrité de 25 %. A la suite d'une opposition de E._, elle a demandé au docteur T._ (division de médecine des assurances de la CNA) de prendre position. Celui-ci a proposé de reconnaître une atteinte à l'intégrité de 29 %, pour tenir compte également de l'atrophie musculaire prononcée et de douleurs résiduelles en cas de sollicitation du membre inférieur gauche (rapports des 8 et 29 juin 2006). Par décision sur opposition du 7 juillet 2006, la CNA a réformé la décision du 22 septembre 2005 en ce sens qu'elle allouait à l'assuré une indemnité fondée sur une atteinte à l'intégrité de 29 %. Le Tribunal cantonal valaisan a rejeté le recours formé contre la décision sur opposition, par jugement du 9 août 2007.
Le 7 décembre 2007, le docteur N._ a procédé à un nouvel examen de l'assuré, sans constater de changement notable depuis le mois de septembre 2005. Il a attesté une pleine capacité de travail dans une activité légère sans port de lourdes charges et permettant d'éviter les stations debout prolongées ou les déplacements fréquents (rapports des 10 décembre 2007 et 11 janvier 2008). Par décision du 11 janvier 2008 et décision sur opposition du 25 février 2008, la CNA a nié le droit de l'assuré à une rente de l'assurance-accidents. Elle s'est référée aux renseignements donnés par l'entreprise X._ SA, d'après lesquels le salaire d'un coiffeur disposant d'un certificat fédéral de capacité et de quelques années de pratique était, en 2006 et 2007, de 40'800 francs par an, ainsi qu'à cinq descriptions de postes de travail adaptés au handicap de l'assuré, pour constater que ce dernier pouvait réaliser un revenu quasiment identique, malgré les séquelles de l'accident, à celui qu'il aurait pu réaliser sans atteinte à la santé.
B. E._ a déféré la cause au Tribunal cantonal valaisan, qui a rejeté le recours par jugement du 15 octobre 2009.
C. L'assuré interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement, dont il demande, en substance, la réforme en ce sens qu'une rente fondée sur un taux d'invalidité de 19 % lui soit allouée avec effet dès le 1er avril 2007, sous suite de frais et dépens. A défaut d'une telle réforme, il conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouveau jugement. Il demande, par ailleurs, l'octroi de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale.
L'intimée a conclu au rejet des recours, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public remplit les conditions de recevabilité posées par les art. 82 à 85 LTF. Partant, en raison de son caractère subsidiaire, le recours constitutionnel n'est pas recevable (art. 113 LTF).
2. Le jugement entrepris expose les dispositions légales et la jurisprudence relatives à la notion d'invalidité (art. 8 LPGA) ainsi qu'à à la manière d'évaluer le taux d'invalidité (art. 16 LPGA), de sorte qu'il convient d'y renvoyer.
3. 3.1 Le recourant soulève le grief de violation du droit d'être entendu (art. 29 Cst.) et du droit à un procès équitable (art. 6 CEDH), au motif que les premiers juges n'ont pas pris formellement position sur une requête en complément de preuve qu'il avait déposée (demande d'expertise pluridisciplinaire). Le grief est toutefois mal fondé, puisque les premiers juges ont expressément indiqué, en se référant au jugement rendu le 19 janvier 2009 dans le litige opposant le recourant à l'Office AI, qu'une nouvelle expertise n'était pas nécessaire en raison des pièces médicales probantes figurant au dossier. Le seul fait que le rejet de la requête d'instruction complémentaire ne figure pas expressément dans le dispositif du jugement entrepris ne permet pas de conclure à un déni de justice sur ce point.
3.2 Le recourant semble également se plaindre, en soulevant le grief de violation du droit d'être entendu en rapport avec le refus d'administrer une expertise pluridisciplinaire, d'une mauvaise appréciation anticipée des preuves figurant au dossier. A cet égard, son argumentation se confond avec les critiques relatives aux constatations de fait des premiers juges. Elle sera donc traitée avec le fond du litige.
4. 4.1 Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir tenu pour établie, en se fondant notamment sur les constatations du docteur N._, une pleine capacité de travail dans une activité ne nécessitant pas le port de lourdes charges, ni de rester longtemps debout ou de se déplacer fréquemment. Il soutient que le docteur V._ avait attesté une capacité de travail « à moyen terme à plein temps, soit 8 heures par jour, avec des positions assise/debout alternées, pas de port de charge de plus de dix kilos, pas de travaux lourds, pas de marches répétitives et pas d'exposition à des intempéries ou à des sols humides ». Toujours selon le docteur V._, le pronostic à long terme était réservé.
4.2 Les premiers juges n'ont pas considéré, à juste titre, que les constatations du docteur V._ auxquelles se réfère le recourant, d'une part, et celles du docteur N._, d'autre part, s'opposaient. Pour l'essentiel, les limitations constatées par l'un et l'autre médecin sont identiques. Le fait que le docteur V._ recommande une alternance des positions et d'éviter l'exposition à des intempéries ou à des sols humides implique, certes, que le recourant doit pouvoir se lever de temps à autre et qu'il devra travailler à l'intérieur plutôt qu'à l'extérieur, ce que les premiers juges n'ont pas expressément constaté. Mais quoi qu'il en soit, même si on les tient pour établies, ces limitations supplémentaires ne revêtent pas le caractère déterminant que leur prête le recourant, comme on le verra ci-après (consid. 5.2). Par ailleurs, contrairement à ce que soutient ce dernier, rien ne permet de considérer que le docteur V._ aurait omis de se prononcer sur une éventuelle diminution de rendement dans les activités décrites comme adaptées. L'attestation d'une capacité de travail à plein temps dans ces activités, sans indication d'une diminution de rendement, justifie plutôt de constater une pleine capacité de travail. Enfin, que le docteur V._ n'ait attesté une capacité de travail résiduelle qu'à moyen terme, en réservant son pronostic à long terme, ne justifie pas de prendre d'emblée en considération, pour fixer le taux d'invalidité actuel du recourant, une hypothétique diminution de la capacité de travail dans le futur. Le cas échéant, une procédure de révision du droit à la rente permettra de prendre en considération l'évolution de l'état de santé du recourant. De ce point de vue également, le recours est mal fondé.
5. 5.1 Compte tenu de la capacité résiduelle de travail qu'ils ont constatée, les premiers juges ont considéré que le recourant pouvait encore réaliser un revenu de 53'277 fr. 55 en 2007. A cet égard, il se sont référés aux données de l'Enquête suisse sur la structure des salaires 2006 (ESS 2006), publiée par l'Office fédéral de la statistique. Le recourant conteste disposer d'une telle capacité résiduelle de gain.
5.2 Lorsque l'assuré n'a pas repris d'activité lucrative, alors que cela serait raisonnablement exigible, la jurisprudence admet d'établir le revenu qu'il pourrait réaliser en se référant aux données statistiques de l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ATF 126 V 75 consid. 3b/bb p. 76). Il résulte de ces données que le salaire mensuel brut médian des hommes exerçant une activité simple et répétitive dans le secteur privé (niveau de qualification 4) était de 4'732 fr. en 2006 (ESS 2006, table TA1, p. 25). Contrairement à ce que soutient le recourant, qui ne motive pas son recours sur ce point, il n'y a pas de raison de se fonder sur la moyenne des revenus dans les branches professionnelles sous chiffres 90 à 93 exclusivement («autres services collectifs et personnels»).
Après adaptation du montant de 4'732 fr. à l'évolution de l'indice des salaires nominaux entre 2006 et 2007 (+ 1,6 %; La Vie économique 12/2008, table B 10.2, p. 95), le revenu mensuel à prendre en considération pour 2007 est de 4'807 fr. 71. Il convient encore de majorer ce montant en raison du fait que les salaires bruts standardisés sont calculés sur la base d'un horaire de travail de 40 heures par semaine, soit une durée hebdomadaire inférieure à la moyenne dans les entreprises en 2007 (41.7 heures; La Vie économique 12/2008, tableau B 9.2 p. 94). L'adaptation nécessaire conduit à un revenu mensuel de 5'012 fr. 04. Il faut, enfin, procéder à une déduction en raison des facteurs propres à la personne de l'assuré et qui limitent ses perspectives salariales, tels que le handicap, l'âge, les années de service, la nationalité, le type d'autorisation de séjour ou le taux d'occupation (cf. ATF 126 V 75 consid. 5 p. 78). La capacité résiduelle de gain de 53'277 fr. 55 par an, ou 4'439 fr. 80 par mois, retenue par la juridiction cantonale, correspond à une déduction légèrement supérieure à 10 % et prend suffisamment en considération l'ensemble des circonstances personnelles, y compris les limitations constatées par le docteur V._. Le recourant demande qu'une déduction plus importante soit effectuée en raison, plus particulièrement, de l'absence de formation professionnelle complète, mais ce point de vue n'est pas fondé, dès lors que l'on se réfère à un revenu dans des activités simples et répétitives ne requérant aucune formation.
6. 6.1 La juridiction cantonale a considéré que le recourant aurait réalisé un revenu de 53'692 fr. 90, dans la profession de coiffeur, s'il n'avait pas subi d'atteinte à sa santé. Elle s'est référée, sur ce point, au revenu hypothétique fixé par l'Office AI en se fondant sur le salaire médian des hommes disposant de connaissances professionnelles spécialisées dans le domaine des services personnels pour l'année 2006 (ESS 2006, table TA1, p. 25 : 4292 fr. par mois pour le niveau de qualification 3). Le recourant demande que l'on prenne pour référence le salaire médian pour le niveau de qualification 1, plutôt que le niveau 3, ou alors que l'on se fonde sur le salaire médian pour le niveau de qualification 3 dans «la branche économique no 1». Il soutient qu'en l'absence d'atteinte à la santé, il aurait certainement ouvert son propre salon de coiffure. A défaut, il aurait très vraisemblablement changé de secteur et travaillé dans une branche professionnelle mieux rémunérée.
6.2 Le revenu que pourrait réaliser l'assuré sans invalidité est en principe établi sans prendre en considération les possibilités théoriques de développement professionnel ou d'avancement, à moins que des indices concrets rendent très vraisemblable qu'elles se seraient réalisées. Cela pourra être le cas lorsque l'employeur a laissé entrevoir une telle perspective d'avancement ou a donné des assurances dans ce sens. En revanche, de simples déclarations d'intention de l'assuré ne suffisent pas; l'intention de progresser sur le plan professionnel doit s'être manifestée par des étapes concrètes, tels que la fréquentation d'un cours, le début d'études ou la passation d'examens (arrêt U 87/05 du 13 septembre 2005, in RAMA 2006 no U 568 p. 67 consid. 2). En l'occurrence, les premiers juges se sont référés au salaire médian, selon l'ESS 2006, des hommes disposant de connaissances spécialisées dans le secteur des services personnels, en raison de l'apprentissage de coiffeur que le recourant s'apprêtait à commencer avant l'accident. Il n'y a en revanche pas d'indice concret au dossier qui permettrait d'admettre que le recourant se serait mis à son compte rapidement après la fin de son apprentissage ou qu'il aurait changé de profession pour exercer une activité requérant des connaissances spécialisées dans une autre branche professionnelle, alors qu'il n'y disposait d'aucune formation particulière.
6.3 Le recourant se réfère encore à l'arrêt I 931/06 du 3 octobre 2007, d'après lequel il convient de tenir compte, dans certaines circonstances, du fait qu'un assuré réalisait, avant la survenance de l'atteinte à la santé, un revenu nettement inférieur aux salaires habituels de la branche pour des raisons étrangères à l'invalidité. Il convient dans ce cas de procéder à une adaptation du revenu d'invalide établi sur la base de données salariales statistiques, d'une part, ou du revenu hypothétique sans invalidité fondé sur les renseignements concrets obtenus auprès de l'ancien employeur de l'assuré, d'autre part. Il faut en effet que les facteurs étrangers à l'invalidité qui réduisent les perspectives de gain de l'intéressé soient pris en considération de la même manière, ou soient exclus du calcul, pour établir chacun des deux termes de la comparaison des revenus (cf. également ATF 135 V 297 consid. 5 sv. p. 299 ss; 134 V 322 consid. 4 sv. p. 325, qui apportent des précisions sur la manière de procéder dans une telle situation).
En l'espèce, les premiers juges n'ont pas établi le revenu hypothétique sans invalidité sur la base de renseignements salariaux obtenus auprès de l'employeur de l'assuré, mais en se référant directement au salaire médian des hommes disposant de connaissances spécialisées dans la branche des services personnels, selon l'ESS 2006. Les deux termes de la comparaison de revenus ont donc été établis sur une base statistique et il n'y a aucun motif de procéder à une adaptation supplémentaire du revenu d'invalide ou du revenu hypothétique sans invalidité dans le sens demandé par le recourant.
6.4 Compte tenu de ce qui précède, le taux d'invalidité présenté par le recourant a été évalué correctement par les premiers juges. Il n'atteint pas le seuil de 10 % à partir duquel le droit à une rente de l'assurance-accident est ouvert, de sorte que les conclusions du recourant sont mal fondées.
7. Les frais de justice sont à la charge du recourant, qui ne peut prétendre de dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). Il convient toutefois d'accepter sa demande d'assistance judiciaire, dès lors qu'il a établi son indigence, que le recours n'était pas d'emblée dénué de chances de succès et que l'assistance d'un avocat était indiquée (cf. art. 64 al. 1 et 2 LTF). Le recourant est rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du tribunal s'il se trouve ultérieurement en mesure de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté.
3. L'assistance judiciaire est accordée au recourant.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
5. Me Jean-Michel Duc est désigné en tant qu'avocat d'office du recourant et une indemnité de 2'800 fr. lui est allouée à titre d'honoraire, supportée par la caisse du Tribunal.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal valaisan et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 23 septembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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