Sachverhalt:
A.
Die 1963 geborene S._ ist Mutter zweier Kinder (Jahrgang 1991 und 1996) und arbeitete zuletzt von Dezember 1994 bis Juli 1997 als Kundenberaterin bei der Firma B._. Am 29. August 1997 meldete sie sich wegen Rückenbeschwerden bei der Invalidenversicherung zu beruflichen Massnahmen an. Mit Verfügung vom 30. März 1999 lehnte die IV-Stelle berufliche Massnahmen ab, während sie mit Verfügung vom 15. Juni 1999 ihr bei einem Invaliditätsgrad von 62 % eine halbe Rente der Invalidenversicherung ab 1. Juni 1997 zusprach. Der Anspruch auf eine halbe Rente wurde revisionsweise in den Jahren 2003, 2004 und 2006 bestätigt. Anlässlich des Revisionsverfahrens im Jahr 2009 veranlasste die Verwaltung eine bidisziplinäre Begutachtung. Gestützt auf das Gutachten der Dres. med. J._, Facharzt FMH für Rheumatologie und Facharzt FMH für Innere Medizin, und T._, Facharzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 24. September 2010 hob die Verwaltung ihre Verfügung vom 15. Juni 1999 wiedererwägungsweise auf (Verfügung vom 30. März 2011).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 13. Februar 2013 ab.
C.
S._ lässt Beschwerde führen und beantragen, es sei ihr auch nach dem 30. April 2011 eine halbe Invalidenrente zuzusprechen.
Die IV-Stelle beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (Art. 95 lit. a BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin auch nach dem 30. April 2011 einen Anspruch auf eine halbe Invalidenrente hat. Die Aufhebung der Wiedererwägungsverfügung vom 30. März 2011 sowie die substituierte Begründung nach Gewährung des rechtlichen Gehörs wurden nicht bestritten und halten vor Bundesrecht stand (Urteil 9C_994/2010 vom 12. April 2011 in: SVR 2011 IV Nr. 71 S. 213 E. 2; BGE 125 V 368).
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat die für die Beurteilung der Streitsache massgebenden Bestimmungen und Grundsätze zutreffend dargelegt. Insbesondere hat es die Voraussetzungen für eine Rentenrevision richtig festgehalten (Art. 17 ATSG). Darauf wird verwiesen.
Weiter stellte die Vorinstanz als zeitlichen Referenzpunkt für die Prüfung einer anspruchserheblichen Änderung zu Recht auf die Mitteilung vom 5. März 2003 ab. Diese basierte auf dem Gutachten des Instituts X._ vom 4. Februar 2003. Die Gutachter attestierten der Beschwerdeführerin eine 50%-ige Arbeitsunfähigkeit in einer leichten bis mittelschweren Tätigkeit und diagnostizierten ein chronisches zervikospondylogenes und lumbospondylogenes Schmerzsyndrom.
3.2. Die Vorinstanz stellte sodann unbestrittenermassen fest, die Expertise der Dres. med. J._ und T._ vom 24. September 2010 erfülle die höchstrichterlichen Anforderungen an ein Gutachten (BGE 134 V 132 E. 5.1 S. 232, 125 V 351 E. 3a S. 358). Darin wurde aus rheumatologischer Sicht eine Fibromyalgie (ICD-10 M79.0) diagnostiziert, welche sich bei einer adaptierten Tätigkeit nicht einschränkend auf die Arbeitsfähigkeit auswirke. Der psychiatrische Gutachter stellte die Diagnose einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung (ICD-10 F45.4) ohne Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit. Darauf stellte das kantonale Gericht ab, da die Beschwerdeführerin zudem seit August 2010 eine Tätigkeit als Tagesmutter in einem 70 bis 80 %-Pensum aufgenommen habe. Beschwerdeweise wird hingegen gerügt, der Gesundheitszustand sei unverändert, es werde lediglich eine unterschiedliche Einschätzung der Arbeitsfähigkeit vorgenommen.
3.3. Gestützt auf das rheumatologische Teilgutachten ist seit der Beurteilung im Gutachten des Instituts X._ von einem veränderten Beschwerdebild auszugehen. Der Rheumatologe erklärte überzeugend, weshalb zwischenzeitlich eine Fibromyalgie diagnostiziert werden müsse im Sinne einer weichteilrheumatischen Symptomatik und die zervikalen und lumbalen Beschwerden nur noch als Unterdiagnose zu stellen seien. So seien anlässlich der jetzigen Untersuchung multiple vegetative Begleitsymptome positiv und die Anzahl der Druckstellen bezüglich einer Fibromyalgie erfüllt, während anlässlich der Begutachtung im Jahr 2003 nur zehn dieser Druckstellen erfüllt gewesen seien. Insgesamt sei deshalb von einer Schmerzgeneralisierung ohne objektive Befunde auszugehen, was durch die Röntgenbilder der HWS mit nur sehr geringen degenerativen Veränderungen sowie der klinischen Untersuchung, bei welcher sich die Beschwerdeführerin frei bewegte, untermauert werde. In einer leichten bis gelegentlich mittelschweren Tätigkeit sei die Versicherte deshalb nicht eingeschränkt. Im psychiatrischen Teilgutachten diagnostizierte der Psychiater dementsprechend eine anhaltende somatoforme Schmerzstörung (ICD F45.4) und begründete dabei einleuchtend, weshalb daraus keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit resultiere. Insgesamt stellten die Experten Dres. med. J._ und T._ in ihrem Gutachten vom 24. September 2010 nachvollziehbar andere Diagnosen und schätzten die Arbeitsfähigkeit ab Begutachtungszeitpunkt auf 100 %. Hingegen beschrieben sie keine Verbesserung des Gesundheitszustands. Dies schliesst jedoch eine revisionsrechtliche erhebliche Steigerung des tatsächlichen Leistungsvermögens (Arbeitsfähigkeit) - sei es aufgrund eines objektiv geminderten Schweregrades ein- und desselben Leidens, sei es aufgrund einer verbesserten Leidensanpassung der versicherten Person - nicht aus. Ob eine derartige tatsächliche Änderung oder ob eine revisionsrechtlich unbeachtliche abweichende ärztliche Einschätzung eines im Wesentlichen gleich gebliebenen Gesundheitszustandes vorliegt, bedarf - auch mit Blick auf die mitunter einschneidenden Folgen für die versicherte Person - einer sorgfältigen Prüfung. Dabei gilt der Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit; die blosse Möglichkeit einer Verbesserung tatsächlicher Art genügt nicht (Urteil 8C_373/2012 vom 25. Oktober 2012 E. 5.1).
3.4. Indem die Vorinstanz von einem Revisionsgrund wegen einer verbesserten Leidensanpassung ausging, erlangten die Tatsachen, auf welche sie diese Begründung stützte, eine erhebliche rechtliche Bedeutung, weshalb zu prüfen ist, ob auf den festgestellten Sachverhalt der Vorinstanz abzustellen ist. Mit Schreiben vom 13. Oktober 2010 an die IV-Stelle hielt die Beschwerdeführerin fest, sie betreue seit August 2010 an vier Tagen die Woche während sieben bis acht Stunden zwei Kinder, mit denen sie spiele, esse und Schulaufgaben mache. Sie beabsichtige, ein bis zwei weitere Kinder zu betreuen, weshalb sie die IV-Stelle ersuche, ihr eine Weiterbildung im Bereich Tagesmutter zu finanzieren. In der Beschwerde lässt sie dies dahin gehend präzisieren, dass sich ihre Betreuungstätigkeit auf die Randzeiten vor und nach der Schule beschränkten. Es ist somit ungenügend erstellt, in welchem Umfang die Versicherte tatsächlich der Tätigkeit als Tagesmutter nachkommt. Dies ist deshalb von besonderer Bedeutung, weil ihr seit Rentenzusprache im Umfang von vier Stunden täglich eine leichte bis mittelschwere Tätigkeit zugemutet wurde. Zum jetzigen Zeitpunkt kann aufgrund des ungenügend erstellten Sachverhalts keine Verbesserung des Leistungsvermögens geschlussfolgert werden. Das Gleiche gilt für das als Tagesmutter erzielte Einkommen, weshalb sich die Vorinstanz hinsichtlich der Invaliditätsbemessung beim Einkommensvergleich auf Tabellenlöhne stützte. Die Sache ist deshalb an die Verwaltung zurückzuweisen, damit sie die tatsächlichen Verhältnisse abkläre. Insbesondere wird sie zu prüfen haben, in welchem Umfang die Versicherte ihre Tätigkeit als Tagesmutter aufgenommen hat und was sie dabei verdient. Erst in der Folge kann darüber befunden werden, ob ein Revisionsgrund wegen einer verbesserten Leidensanpassung gegeben ist.
4.
Die Rückweisung der Sache zum erneuten Entscheid kommt praxisgemäss einem Obsiegen der beschwerdeführenden Partei gleich. Die Beschwerdegegnerin hat daher im vorliegenden Verfahren die Gerichtskosten zu tragen und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 13. Februar 2013 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 30. März 2011 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die IV-Stelle zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. September 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Die Gerichtsschreiberin: Polla