Faits:
A.
Par décision du 3 décembre 2009, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a fixé le taux d'invalidité de A._ à 25 % et refusé de lui allouer une rente d'invalidité.
B.
Par jugement du 31 janvier 2013, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a admis le recours de A._ et lui a accordé un quart de rente d'invalidité à compter du 13 septembre 2003.
C.
A._ a, le 13 mars 2013, interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement en concluant principalement au versement d'une rente entière dès le 1 er septembre 2003.
Par ordonnance du 14 mars 2013, notifiée à son destinataire le 15 mars 2013, le Tribunal fédéral a invité Me Marc Mathey-Doret à produire jusqu'au 9 avril 2013 une procuration de A._ par laquelle celui-ci lui conférait expressément le pouvoir de recourir contre l'arrêt cantonal, dès lors que la procuration datée du 17 septembre 2004 et remise par l'avocat avec le mémoire de recours ne comprenait pas une telle autorisation. Le Tribunal l'a averti qu'à défaut, le mémoire de recours ne serait pas pris en considération.
Me Marc Mathey-Doret n'ayant pas donné suite à l'ordonnance, le Tribunal fédéral a déclaré le recours irrecevable par arrêt du 19 avril 2013 (9C_202/2013).
D.
Sous pli déposé le 2 mai 2013, A._ forme une demande de révision de l'arrêt du 19 avril 2013 dont il requiert l'annulation, avec suite de dépens. Il demande l'annulation des ch. 3 et 4 du jugement cantonal du 31 janvier 2013, avec suite de dépens, en concluant principalement au versement d'une rente entière d'invalidité dès le 1 er septembre 2003, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision.
E.
De son côté, l'office AI a également interjeté un recours en matière de droit public contre le jugement du 31 janvier 2013. Le Tribunal fédéral a rejeté le recours par arrêt de ce jour (9C_171/2013).
Considérant en droit:
1.
L'arrêt du 19 avril 2013, dont la révision est requise, a été rendu en application des art. 40 al. 2 et 42 al. 5 LTF, par un juge unique selon la procédure simplifiée de l'art. 108 al. 1 let. a et al. 2 LTF.
2.
Le requérant produit deux procurations établies les 13 et 18 mars 2013, par lesquelles il avait donné mandat à Me Marc Mathey-Doret de le représenter et de l'assister dans le cadre des recours dirigés contre le jugement du 31 janvier 2013. Le mandataire allègue que l'omission de l'envoi au Tribunal fédéral de la procuration datée du 18 mars 2013, établie à la suite de l'ordonnance du 14 mars 2013, résulte d'un malheureux concours de circonstances dont il impute la responsabilité à un auxiliaire de son étude; le requérant et le mandataire précisent qu'ils n'ont eu aucune volonté de ne pas donner suite à la demande.
La Cour de céans prend acte de ces explications, en constatant que le mandataire ne demande toutefois ni la restitution du délai au sens de l'art. 50 LTF ni que la requête en révision soit admise du chef de l'erreur d'un auxiliaire.
3.
3.1. En premier lieu, le requérant fonde sa requête sur l'art. 121 let. d LTF, à teneur duquel la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si, par inadvertance, le tribunal n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier.
Le requérant se réfère à la procuration du 17 septembre 2004 qu'il avait remise avec le recours dirigé contre le jugement du 31 janvier 2013. Il soutient que Tribunal fédéral est parti de la prémisse erronée, soit par erreur, soit en méconnaissant la pièce, soit en en déformant le contenu, que la procuration du 17 septembre 2004 ne comprenait pas d'autorisation de recourir devant le Tribunal fédéral. Cette inadvertance a conduit à une mauvaise application du droit fédéral, car le Tribunal fédéral a ainsi jugé à tort que son mandataire n'avait pas justifié de ses pouvoirs.
Par ailleurs, le requérant soutient que l'arrêt querellé repose sur un état de fait incomplet, car il omet de tenir compte que deux recours croisés ont été interjetés contre le jugement du 31 janvier 2013. Dès lors que son mandataire avait été invité à répondre au recours de l'office AI (cf. 9C_171/2013), par ordonnance du 18 mars 2013, le requérant et son mandataire estiment qu'ils étaient fondés à penser que l'ordonnance du 14 mars 2013 était caduque. A cet égard, il est d'avis que la notification subséquente d'une ordonnance du tribunal, rendue le 29 avril 2013, par laquelle une procuration était demandée à son mandataire pour répondre au recours de l'office AI, a été dictée par les circonstances; elle lui paraît contraire à la pratique usuelle du tribunal, discriminatoire et constitutive d'un cas de formalisme excessif.
3.2.
3.2.1. Dans l'arrêt du 19 avril 2013, le Tribunal fédéral a constaté qu'à teneur de l'ordonnance du 14 mars 2013, M e Marc Mathey-Doret avait été invité à produire une nouvelle procuration à peine d'irrecevabilité du recours, mais qu'il ne s'était pas conformé aux instructions du tribunal.
Comme ces faits sont avérés, leur constat ne procède pas d'une inadvertance manifeste au sens de l'art. 121 let. d LTF.
3.2.2. En annexe au mémoire de recours du 13 mars 2013, M e Marc Mathey-Doret avait produit une procuration datée du 17 septembre 2004, à teneur de laquelle A._ lui donnait mandat, avec faculté de substitution, de le représenter aux fins de: " Agir auprès de tous intéressés, autorités administratives et/ou judiciaires ". Dans l'ordonnance du 14 mars 2013 (9C_202/2013), le Tribunal fédéral avait considéré que l'autorisation de recourir contre le jugement du 31 janvier 2013 ne ressortait pas expressément de la procuration du 17 septembre 2004, de sorte qu'il avait invité le mandataire du requérant à produire une nouvelle procuration, dont le contenu avait été fixé. Le Tribunal fédéral avait ainsi clairement exposé les raisons pour lesquelles il ne pouvait se satisfaire de la procuration établie en 2004, si bien que l'ordonnance du 14 mars 2013 et l'arrêt du 19 avril 2013 ne procèdent pas tour à tour d'une inadvertance manifeste du tribunal dans la lecture ou l'appréciation de cette procuration, mais au contraire de décisions prises en connaissance de cause.
A l'examen de la procuration du 17 septembre 2004, on ne peut d'ailleurs que constater que la nature de l'affaire ne ressortait pas de ce document, d'une portée vague et déjà fort ancien. Dans ce contexte, on rappellera que l'un des buts d'une procuration est d'établir que le mandataire qui déclare représenter une partie en justice agit bien avec l'accord de cette partie. La procuration ne doit pas forcément avoir été signée avant le dépôt du recours, ni même avant l'échéance du délai de recours (cf. arrêt 8C_102/2009 du 26 octobre 2009 consid. 1.3, cité par le requérant). Le Tribunal fédéral est ainsi légitimé à vérifier qu'une personne a bien la volonté de recourir (voir par ex. l'arrêt 9C_705/2008 du 10 octobre 2008), singulièrement lorsqu'une procuration analogue à celle du 17 septembre 2004 lui est soumise. La loi permet au tribunal d'exiger une procuration en faveur de celui qui se prétend mandaté (art. 40 al. 2 LTF) et règle le sort de l'affaire si le mandataire n'est pas autorisé (art. 42 al. 5 LTF). En d'autres termes, cela implique que le juge instructeur peut requérir, s'il l'estime nécessaire, une procuration actualisée et topique, sans pour autant que sa demande relève du formalisme excessif. Si l'on suivait le discours du requérant, une partie pourrait en définitive décider elle-même du contenu et de la validité des procurations qu'elle entend déposer devant le Tribunal fédéral et, plus généralement, choisir à sa guise de se conformer ou non aux directives du juge instructeur, sans que cela puisse avoir d'incidence sur la suite de la procédure. Les art. 32 al. 1, 40 al. 2 et 42 al. 5 LTF seraient ainsi dénués de toute portée.
Pour les mêmes motifs, le Tribunal fédéral est fondé à requérir la production d'une procuration en faveur du mandataire qui dépose une réponse à un recours, comme cela a été le cas dans l'affaire parallèle 9C_171/2013 jugée ce jour et conformément à sa pratique usuelle. Si le mandataire n'obtempère pas, son écriture n'est pas prise en considération.
En l'occurrence, en ne déposant pas la procuration requise, le mandataire n'a pas seulement omis d'accomplir un acte procédural dans le délai imparti, mais il a également donné l'impression au tribunal qu'il avait renoncé à confirmer la volonté de son mandant de recourir contre le jugement du 31 janvier 2013. A défaut d'inadvertance manifeste du tribunal, la demande de révision est dès lors infondée sous l'angle de l'art. 121 let. d LTF.
4.
4.1. En second lieu, le requérant soutient que la demande de révision devrait être accueillie en vertu de l'art. 121 let. a LTF. D'après cette règle légale, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si les dispositions concernant la composition du tribunal ou la récusation n'ont pas été observées.
Selon le requérant, la Cour de céans a modifié sa jurisprudence et sa pratique, suivant lesquelles l'art. 40 al. 2 LTF n'exige pas de procuration spéciale pour recourir au Tribunal fédéral et qu'une procuration générale pour la défense de tous les intérêts de la personne représentée vaut également pour la procédure devant cette juridiction. Comme la procuration du 17 septembre 2004 répondait aux exigences de l'art. 40 al. 2 LTF, son recours n'était donc pas manifestement irrecevable au sens de l'art. 108 al. 1 let. a LTF, si bien que sa cause aurait dû être tranchée dans une composition ordinaire à trois juges au moins (art. 20 al. 1 LTF).
4.2. Malgré les allégués du requérant, la pratique qu'il incrimine est bien établie. A titre d'exemple, on peut renvoyer aux arrêts 9C_417/2008 du 26 septembre 2008, 9C_977/2009 du 17 décembre 2009, 9C_1060/2009 du 26 janvier 2010 et 9C_1023/2010 du 18 février 2011. Elle est du reste connue de l'étude X._ à M._, laquelle avait donné suite à une requête de même nature du Tribunal fédéral dans la cause 9C_949/2009, jugée le 30 avril 2010.
Dès lors que le recours était manifestement irrecevable, ne serait-ce qu'à défaut d'avoir produit dans le délai imparti la procuration requise, la cause 9C_202/2013 pouvait être liquidée par un juge unique selon la procédure simplifiée de l'art. 108 al. 1 let. a et al. 2 LTF. Il s'ensuit que le grief tiré d'une composition irrégulière du tribunal (art. 121 let. a LTF) est également dépourvu de fondement.
5.
Le requérant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
La demande de révision est rejetée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du requérant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 27 novembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Berthoud