Faits:
A. X._, né en 1951, et dame X._, née en 1966, se sont mariés le 4 février 1994 à Genève, sans conclure de contrat de mariage. Aucun enfant n'est issu de leur union. X._ a une fille, aujourd'hui majeure, née d'une précédente union.
Les conjoints se sont séparés en avril 2006.
Le 16 juin 2006, l'épouse a ouvert action en divorce.
Sur mesures provisoires, l'épouse a été condamnée à verser au mari une contribution d'entretien, arrêtée en dernier lieu à 2'550 fr. par mois dès le 1er mars 2007, ainsi qu'à payer la charge hypothécaire de l'ancien domicile conjugal, attribué au mari.
En cours de procédure, les conjoints ont trouvé un accord portant sur la liquidation de leur régime matrimonial, le partage de leurs avoirs de prévoyance professionnelle et la répartition du mobilier de ménage. A teneur de cette convention, du 21 janvier 2008, l'épouse a versé au mari 345'573 fr.90 au titre de la liquidation du régime matrimonial et 175'881 fr. ensuite du partage de la prévoyance professionnelle. Compte tenu de ses propres avoirs, d'un montant de 129'782 fr., la fortune du mari s'élève ainsi à 475'355 fr.90, alors que l'épouse dispose d'une somme de 471'998 fr.40.
Par jugement du 25 septembre 2008, le Tribunal de première instance de Genève a prononcé le divorce et, entre autres points, a condamné l'épouse à payer au mari une contribution d'entretien, indexée, d'un montant de 1'000 fr. par mois dès l'entrée en vigueur du jugement, sans limitation de durée.
Tant le mari que l'épouse ont appelé de ce jugement en ce qui concerne la question de la contribution d'entretien. Le premier a conclu au versement en sa faveur d'un montant de 3'850 fr. par mois; la seconde a demandé, principalement, qu'il soit constaté qu'elle ne doit aucune contribution d'entretien et, subsidiairement, que le paiement de la rente mensuelle de 1'000 fr. fixée par le juge de première instance soit limité au 3 janvier 2016, date à laquelle le mari sera à la retraite.
Par arrêt du 20 mars 2009, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a partiellement annulé le jugement de première instance et, statuant à nouveau, a limité le versement de la contribution d'entretien de 1'000 fr. par mois au 31 janvier 2015.
B. Chacune des parties exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, dont elles demandent l'annulation. L'épouse conclut, principalement, à être libérée du paiement de toute contribution d'entretien. A titre subsidiaire, elle propose le versement d'une pension limitée à 284 fr.35 par mois jusqu'au 31 janvier 2015. Le mari requiert que la contribution mensuelle soit portée à 2'125 fr. pour une durée illimitée.
Les époux proposent chacun le rejet du recours de l'autre partie.
Considérant en droit:
1.1 Les deux recours sont dirigés contre la même décision, reposent sur les mêmes faits et soulèvent des questions juridiques analogues; dans ces conditions, il se justifie de les joindre et de statuer à leur sujet par un seul arrêt (art. 24 PCF, applicable par renvoi de l'art. 71 LTF; cf. ATF 124 III 382 consid. 1a p. 385; 123 II 16 consid. 1 p. 20).
1.2 Interjetés dans le délai de 30 jours prévu par l'art. 100 al. 1 LTF - compte tenu de la suspension des délais de l'art. 46 al. 1 let. a LTF - par des parties qui ont qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue par une autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (art. 75 LTF), dans une affaire de divorce (art. 72 al. 1 LTF) dont seuls des effets accessoires de nature pécuniaire d'une valeur supérieure à 30'000 fr. sont litigieux (art. 74 al. 1 let. b LTF; ATF 116 II 493 consid. 2b p. 495; également ATF 133 III 393 consid. 2 p. 395), les recours en matière civile en cause sont en principe recevables.
1.3 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties. Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 133 IV 150 consid. 1.2 p. 152). De surcroît, il ne connaît de la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), les exigences de motivation correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397).
1.4 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF) et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), à savoir arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 134 IV 36 consid. 1.4.1 p. 39; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF; sur la portée de cette disposition: arrêt 4A_36/2008 du 18 février 2008, consid. 4.1).
2. Se plaignant d'une violation de l'art. 125 CC, l'épouse conteste le principe même de l'allocation d'une contribution d'entretien au mari. Elle fait valoir, en substance, que le mariage n'a eu aucune incidence sur la situation professionnelle de l'intimé, qui a continué de travailler comme par le passé en tant que musicien et chanteur durant toute la vie commune, de même qu'après la séparation, survenue en 2006. Partant, l'union conjugale et, notamment, la répartition des tâches entre les époux, n'aurait eu aucun impact décisif sur l'indépendance économique de l'intéressé. Sur ce point, elle reproche à la cour cantonale d'avoir arbitrairement retenu que l'intimé aurait probablement cherché à développer davantage ses activités lucratives s'il avait été contraint de subsister au moyen de son seul revenu. Elle critique en outre la constatation selon laquelle il aurait bénéficié d'un train de vie élevé en se contentant de se consacrer à ses activités musicales. Enfin, elle conteste s'être accommodée du choix de son époux et avoir accepté d'entretenir le ménage, aucun élément de fait ne permettant de retenir qu'elle seule assumait les charges de celui-ci.
Par ailleurs, la recourante soutient essentiellement que l'intimé n'a de toute façon droit à aucune contribution d'entretien dès lors qu'il est économiquement indépendant, la constatation de l'arrêt entrepris selon laquelle il ne serait pas en mesure de pourvoir seul à son entretien convenable étant insoutenable.
2.1 Aux termes de l'art. 125 al. 1 CC, si l'on ne peut raisonnablement attendre d'un époux qu'il pourvoie lui-même à son entretien convenable, y compris à la constitution d'une prévoyance vieillesse appropriée, son conjoint lui doit une contribution équitable. Cette disposition concrétise deux principes: d'une part, celui de l'indépendance économique des époux après le divorce qui postule que, dans toute la mesure du possible, chaque conjoint doit désormais subvenir à ses propres besoins et, d'autre part, celui de la solidarité qui implique que les époux doivent supporter en commun non seulement les conséquences de la répartition des tâches convenue durant le mariage (art. 163 al. 2 CC), mais également des autres motifs qui empêcheraient l'un d'eux de pourvoir à son entretien. Dans son principe, comme dans son montant et sa durée, l'obligation d'entretien doit être fixée en tenant compte des éléments énumérés de façon non exhaustive à l'art. 125 al. 2 CC (ATF 132 III 598 consid. 9.1 p. 600 et les arrêts cités).
Une contribution est due si le mariage a concrètement influencé la situation financière de l'époux créancier («lebensprägend»). Selon la jurisprudence, quand le mariage a eu un impact décisif sur la vie du conjoint concerné, il a en principe droit au maintien du niveau de vie mené durant le mariage, alors que, dans le cas contraire, il convient de s'en tenir à la situation qui était la sienne avant le mariage (ATF 135 III 59 consid. 4.1 p. 61). Si le mariage a duré au moins dix ans - période à calculer jusqu'à la date de la séparation des parties (ATF 132 III 598 consid. 9.2 p. 600; 127 III 136 consid. 2c p. 140) -, il a eu, en règle générale, une influence concrète (sur cette question: cf. les arrêts 5C.169/2006 du 13 septembre 2006, consid. 2.4, in FamPra.ch 2007 p. 146; 5C.49/2005 du 23 juin 2005, consid. 2, in FamPra.ch 2005 p. 919; cf. également Schwenzer, FamKomm Scheidung, n. 48 ad art. 125 CC), cette présomption pouvant toutefois être renversée (ATF 135 III 59 consid. 4.1 p. 61 et les références citées). La jurisprudence retient également que, indépendamment de sa durée, un mariage influence concrètement la situation des conjoints lorsque ceux-ci ont des enfants communs (ATF 135 III 59 consid. 4.1 p. 61) ou en cas de déracinement culturel (arrêt 5C.38/2007 du 28 juin 2007, consid. 2.8, in FamPra.ch 2007 p. 930). Dans ces cas, on admet que la confiance dans la continuation du mariage et dans le maintien de la répartition des rôles convenue librement par les parties mérite objectivement d'être protégée (arrêts 5A_384/2008 du 21 octobre 2008, consid. 3.1; 5C.169/2006 du 13 septembre 2006, consid. 2.4).
2.2 L'autorité cantonale considère que le mariage a engendré des répercussions sur la carrière professionnelle du mari, en ce sens qu'il est probable qu'il aurait cherché à développer davantage ses activités lucratives s'il avait été contraint de subvenir à ses besoins par le seul produit de son travail. Grâce aux revenus de son épouse, qui avait accepté de fait d'entretenir le ménage, il avait bénéficié d'un train de vie élevé tout en se contentant d'exercer ses activités artistiques. Devrait-on admettre que le mariage n'a pas eu d'incidence sur la carrière du mari qu'il serait de toute manière justifié, vu son âge et pour autant qu'il ne soit pas en mesure de pourvoir à son propre entretien, de lui allouer une contribution limitée à la couverture de son minimum vital élargi, en vertu du principe de la solidarité.
2.2.1 En l'occurrence, une éventuelle obligation d'entretien en faveur du mari ne peut se justifier par la compensation de désavantages liés au mariage: l'union des parties a certes duré douze ans jusqu'à la séparation, mais les conjoints n'ont pas eu d'enfant et le mari n'a pas renoncé à exercer son activité professionnelle durant le mariage. Celui-ci prétend qu'il a cessé son travail il y a plus de douze ans pour s'occuper des tâches ménagères: cette affirmation se trouve toutefois en contradiction avec l'arrêt cantonal, qui retient que depuis les années 1970, le mari a exercé des activités artistiques, notamment en se produisant dans un orchestre et en jouant dans divers piano-bars; s'il affirmait avoir arrêté de travailler dès 1996 pour se consacrer aux soins du ménage, conformément au souhait de son épouse, celle-ci contestait cette allégation, faisant valoir qu'un jardinier et une femme de ménage étaient employés à cet effet. Selon l'autorité cantonale, les pièces produites par l'épouse démontraient que le mari avait continué de travailler comme pianiste pendant toute la durée du mariage, le dernier document en attestant datant de 2007; lors des périodes où il n'exerçait pas d'activités artistiques, il avait perçu des indemnités de chômage et avait pu bénéficier d'emplois temporaires proposés par l'Etat. Ses revenus nets s'étaient ainsi élevés, pendant toute la vie commune, à quelque 3'000 fr. par mois.
Le mari ne démontre pas que ces constatations seraient insoutenables (sur la notion d'arbitraire dans le contexte de l'appréciation des preuves: ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9 et les arrêts cités). Dans une argumentation essentiellement appellatoire et, partant, irrecevable, il se borne à opposer son opinion à celle de l'autorité cantonale, ce qui n'est pas suffisant au regard des exigences de motivation de l'art. 106 al. 2 LTF. Dans ces conditions, on ne saurait considérer, contrairement à l'opinion de la Cour de justice, que l'union conjugale a eu un impact décisif sur la carrière professionnelle du mari ni, par conséquent, sur sa capacité de gain. En effet, avant le mariage déjà, l'intéressé exerçait des activités artistiques dont il n'est pas établi, ni du reste contesté par celui-ci, qu'elles lui auraient procuré des ressources supérieures à celles qu'il a réalisées durant la vie commune. A cet égard, l'affirmation des juges précédents, selon laquelle il se serait efforcé de développer ses activités lucratives s'il n'avait pu bénéficier des revenus confortables de son épouse, ne se fonde sur aucun élément concret et, sous l'angle de l'expérience générale, n'apparaît guère convaincante. L'autorité cantonale a ainsi violé le droit fédéral en considérant que le mari avait droit à une contribution d'entretien au motif que le mariage aurait eu une influence concrète sur sa situation financière («lebensprägend»).
2.2.2 Exceptionnellement, la confiance du conjoint concerné - créée par l'autre - dans la continuation du mariage et dans le maintien de la répartition des rôles peut devoir être protégée même si le mariage n'a pas eu un impact décisif sur la capacité de gain de l'intéressé (arrêt 5C.169/2006 du 13 septembre 2006, consid. 2.6). En l'occurrence, l'arrêt entrepris ne contient cependant aucune constatation qui justifierait de s'écarter du principe consistant à replacer l'intimé dans la situation qui était la sienne avant le mariage (ATF 135 III 59 précité).
2.3 Sur le vu de ce qui précède, le recours de l'épouse apparaît fondé et doit par conséquent être admis, sans qu'il y ait lieu de l'examiner plus avant. Le sort du recours scelle celui du recours du mari: visant à l'octroi d'une contribution d'entretien plus élevée que la rente allouée en instance cantonale, de surcroît pour une durée illimitée, ce dernier recours ne peut qu'être rejeté.
3. L'intimé, qui succombe, supportera dès lors les frais et dépens de la présente procédure (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu de modifier la répartition des dépens de la procédure cantonale (cf. art. 68 al. 5 LTF), que la Cour de justice a compensés eu égard à la qualité des parties.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de l'épouse (5A_275/2009) est admis et l'arrêt entrepris est réformé en ce sens qu'elle ne doit aucune contribution d'entretien au mari.
2. Le recours du mari (5A_308/2009) est rejeté.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du mari.
4. Une indemnité de 5'000 fr., à verser à l'épouse à titre de dépens, est mise à la charge du mari.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 25 novembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot