Faits:
A.
Le 10 août 2001 à A._ (Kosovo), X._, ressortissant kosovar né en 1979, a épousé Y._, ressortissante suisse née en 1982. Il l'a rejointe en Suisse le 27 octobre 2001.
Par requête du 10 septembre 2005, X._ a demandé la naturalisation facilitée qu'il a obtenue le 3 septembre 2007, après avoir co-signé avec son épouse le 26 mars 2007 une déclaration confirmant la stabilité et l'effectivité de la communauté conjugale.
Le 7 février 2008, les époux ont déposé une requête commune en divorce, assortie d'une convention sur les effets accessoires signée le 4 février 2008. Le divorce a été prononcé le 4 septembre 2008. Les deux ex-époux se sont remariés, le 2 juin 2009 pour Y._ et le 10 août 2009 pour X._; ce dernier a épousé au Kosovo une ressortissante de ce pays, née en 1979.
B.
Par courrier du 29 janvier 2010, l'Office fédéral des migrations (ODM) a informé X._ qu'il devait examiner s'il y avait lieu d'annuler la naturalisation facilitée, compte tenu de la requête de divorce déposée le 7 février 2008, du jugement de divorce intervenu le 4 septembre 2008 et du seconde mariage de l'intéressé le 10 août 2009. Le 15 février 2010, X._ a expliqué qu'il avait vécu très heureux avec Y._, mais que celle-ci ne lui avait pas donné d'enfant, ce qui était très important pour lui. N'ayant pas réussi à surmonter ce problème, ils avaient divorcé. Il a relevé n'avoir connu sa seconde épouse qu'après son divorce et que sa situation en Suisse était exemplaire (stabilité professionnelle, absence de poursuites tant civiles que pénales). En date du 12 mars 2010, X._ a produit une lettre de son ex-épouse du 1 er mars 2010 expliquant que lors de son mariage, son ex-mari lui avait souvent demandé de fonder une famille, mais qu'elle avait toujours refusé. Y._ a été entendue le 27 avril 2010, exposant en particulier que les époux avaient été en désaccord sur la question d'une éventuelle descendance commune dès le début de leur mariage. Le couple avait commencé à avoir des difficultés fin 2006 ou début 2007 car Y._ ne désirait toujours pas avoir d'enfant. Elle a également déclaré qu'elle avait contracté un emprunt sans en parler à son ex-époux, ce qu'il n'avait pas apprécié. Ayant reçu une copie du procès-verbal d'audition, X._ n'a pas formulé d'autre observation, ni produit de pièce complémentaire.
Après avoir obtenu l'assentiment des autorités cantonales, l'ODM a, par décision du 13 juillet 2010, annulé la naturalisation facilitée. L'enchaînement des faits - rejet de la demande d'asile assortie d'un renvoi (12 mars 1999), levée définitive de l'admission provisoire (16 août 1999), rencontre de sa future épouse alors qu'il était dépourvu d'autorisation de séjour (fin 2000), mariage au Kosovo avec celle-ci, alors âgée de 19 ans (10 août 2001), requête de naturalisation facilitée (10 septembre 2005), déclaration commune (26 mars 2007), octroi de la nationalité (3 septembre 2007), dépôt de la requête commune de divorce (7 février 2008), jugement de divorce (4 septembre 2008), mise en place rapide de nouveaux projets matrimoniaux de la part des deux époux (mariages les 2 juin et 10 août 2009) -, le profond désaccord des époux au sujet d'une possible descendance, ainsi que le caractère dépensier attribué à l'ex-épouse permettaient de retenir que le mariage de X._ n'était pas constitutif d'une communauté conjugale effective et stable au moment de la déclaration commune ou lors du prononcé de naturalisation facilitée. Celle-ci avait donc été octroyée sur la base de déclarations mensongères, voire d'une dissimulation de faits essentiels.
C.
Par arrêt du 2 mai 2013, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours formé par X._. Se prononçant tout d'abord sur l'absence de motivation reprochée à l'ODM, cette autorité a relevé que l'intéressé avait pu déposer un mémoire de recours circonstancié et que si l'office ne s'était pas expliqué sur certaines pièces du dossier relatives à la demande de naturalisation, il avait complété son argumentation durant la procédure de recours, motivation sur laquelle l'intéressé avait pu ensuite se déterminer. Les premiers juges ont ensuite retenu que l'enchaînement chronologique particulièrement rapide des faits était de nature à fonder la présomption de fait que la stabilité requise du mariage n'existait déjà plus lors de la déclaration commune, à tout le moins lors de l'octroi de la nationalité. Ils ont ensuite constaté qu'aucun événement extraordinaire susceptible d'expliquer une détérioration rapide du lien conjugal n'avait été rendu vraisemblable. Enfin, le Tribunal administratif fédéral a rappelé qu'il était sans pertinence pour déterminer s'il y avait eu une obtention frauduleuse de la nationalité que l'intéressé soit bien intégré en Suisse.
D.
Par mémoire du 10 juin 2013, X._ forme un recours en matière de droit public, concluant, à titre principal, à l'annulation de cet arrêt, ainsi que de la décision de l'ODM et, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants.
Invités à se déterminer, le Tribunal administratif fédéral a renoncé à former des observations, tandis que l'ODM a conclu au rejet.
Par ordonnance du 28 juin 2013, le Juge présidant de la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif.
Considérant en droit:
1.
L'arrêt attaqué émane du Tribunal administratif fédéral et concerne l'annulation de la naturalisation facilitée accordée au recourant, si bien qu'il peut faire l'objet d'un recours en matière de droit public (art. 82 let. a et 86 al. 1 let. a LTF). Le motif d'exclusion de l'art. 83 let. b LTF n'entre pas en ligne de compte, dès lors qu'il s'agit en l'espèce de la naturalisation facilitée et non pas de la naturalisation ordinaire. Pour le surplus, le recourant possède la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF et les conditions de recevabilité sont remplies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Dans un premier grief, le recourant soutient que l'autorité précédente n'aurait pas examiné l'entier des reproches qu'il avait soulevés devant elle. Elle ne se serait ainsi pas prononcée sur la pesée d'intérêts erronée effectuée par l'ODM, ainsi que sur la violation du principe de proportionnalité par cet office.
2.1. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et exercer son droit de recours à bon escient. Pour répondre à ces exigences, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Il n'a toutefois pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige (ATF 138 IV 81 consid. 2.2 p. 84, I 232 consid. 5.1 p. 237 et les arrêts cités). Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée. La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision (arrêts 2C_23/2009 du 25 mai 2009 consid. 3.1, in RDAF 2009 II p. 434; 1C_246/2013 du 4 juin 2013 consid. 2.1). En revanche, une autorité se rend coupable d'une violation du droit d'être entendu si elle omet de se prononcer sur des griefs qui présentent une certaine pertinence ou de prendre en considération des allégués et arguments importants pour la décision à rendre (ATF 133 III 235 consid. 5.2 p. 248; 126 I 97 consid. 2b p. 102 s.).
2.2. En l'espèce et contrairement à ce que soutient le recourant, le Tribunal administratif fédéral s'est prononcé sur les reproches soulevés (cf. consid. 10 de l'arrêt attaqué). Si sa motivation à cet égard est brève, elle ne prête cependant pas le flanc à la critique. En effet, les éléments invoqués par le recourant à l'appui de ses griefs et repris dans son mémoire devant le Tribunal fédéral - excellente intégration en Suisse depuis quatorze ans, participation à la vie sociale, connaissance parfaite d'une langue nationale, absence de procédure pénale à son encontre - ne viennent pas démontrer l'existence d'une communauté conjugale stable avec son ex-épouse au moment de la déclaration commune le 26 mars 2007 ou lors de l'octroi de la naturalisation le 3 septembre 2007 (arrêt 1C_2064/2011 du 23 août 2011 consid. 3.3 in fine).
C'est donc avec raison que l'autorité précédente a retenu qu'ils étaient sans pertinence pour l'examen du présent litige et, partant, le recours doit être rejeté sur ce point.
3.
Le recourant reproche ensuite aux premiers juges d'avoir procédé à un raisonnement arbitraire et donc insoutenable pour rendre leur décision confirmant l'annulation de la naturalisation facilitée.
3.1. L'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'instance précédente que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 138 III 378 consid. 6.1 p. 379 s.; 136 I 316 consid. 2.2.2 p. 318 s.; 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.; 134 I 263 consid. 3.1 p. 265 s.). En particulier, lorsque la partie recourante s'en prend à l'appréciation des preuves et à l'établissement des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (ATF 138 III 393 c. 4.3.1 p. 198; 137 III 226 consid. 4.2 p. 284).
3.2. Conformément aux art. 41 al. 1 de la loi fédérale du 29 septembre 1952 sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse (LN ou loi sur la nationalité; RS 141.0) dans sa teneur jusqu'au 1 er mars 2011 et 14 al. 1 de l'ordonnance du 17 novembre 1999 sur l'organisation du Département fédéral de justice et police (RS 172.213.1), l'ODM peut, avec l'assentiment de l'autorité du canton d'origine, annuler dans les cinq ans une naturalisation facilitée obtenue par des déclarations mensongères ou par la dissimulation de faits essentiels.
3.2.1. Pour qu'une naturalisation facilitée soit annulée, il faut qu'elle ait été acquise grâce à un comportement déloyal et trompeur : l'intéressé doit avoir donné sciemment de fausses informations à l'autorité ou l'avoir délibérément laissée dans l'erreur sur des faits qu'il savait essentiels (ATF 135 II 161 consid. 2 p. 165; 132 II 113 consid. 3.1 p. 114 s. et les arrêts cités). Tel est notamment le cas si le requérant déclare vivre en communauté stable avec son conjoint alors qu'il envisage de se séparer une fois obtenue la naturalisation facilitée; peu importe que son mariage se soit ou non déroulé jusqu'ici de manière harmonieuse (arrêts 1C_256/2012 du 22 novembre 2012 consid. 3.2.1; 1C_406/2009 du 28 octobre 2009 consid. 3.1.1 et l'arrêt cité).
La nature potestative de l'art. 41 al. 1 LN confère une certaine liberté d'appréciation à l'autorité compétente, qui doit toutefois s'abstenir de tout abus dans l'exercice de celle-ci. Commet un abus de son pouvoir d'appréciation l'autorité qui se fonde sur des critères inappropriés, ne tient pas compte de circonstances pertinentes ou rend une décision arbitraire, contraire au but de la loi ou au principe de la proportionnalité (ATF 129 III 400 consid. 3.1 p. 403; 128 II 97 consid. 4a p. 101 et les arrêts cités).
3.2.2. La notion de communauté conjugale suppose non seulement l'existence formelle d'un mariage, mais encore une véritable communauté de vie des conjoints; tel est le cas s'il existe une volonté commune et intacte de ceux-ci de maintenir une union conjugale stable; une séparation survenue peu après l'octroi de la naturalisation constitue un indice de l'absence de cette volonté lors de l'obtention de la citoyenneté suisse (ATF 135 II 161 consid. 2 p. 165; 130 II 482 consid. 2 p. 484; 128 II 97 consid. 3a p. 98 s.; 121 II 49 consid. 2b p. 51 s.).
La procédure administrative fédérale est régie par le principe de la libre appréciation des preuves (art. 40 de la loi fédérale du 4 décembre 1947 de procédure civile fédérale [PCF; RS 273], applicable par renvoi de l'art. 19 PA [RS 172.021]). Ce principe vaut également devant le Tribunal administratif fédéral (art. 37 LTAF [RS 173.32]). L'administration supporte le fardeau de la preuve lorsque la décision intervient, comme en l'espèce, au détriment de l'administré. Cela étant, la jurisprudence admet que l'autorité puisse se fonder sur une présomption pour établir que le conjoint naturalisé a menti lorsqu'il a déclaré former une union stable, dans la mesure où il s'agit d'un fait psychique, lié à des éléments relevant de la sphère intime et difficiles à prouver (ATF 135 II 161 consid. 3 p. 166; 130 II 482 consid. 3.2 p. 485 s.). Si l'enchaînement rapide des événements fonde une telle présomption, c'est alors à l'administré qu'il incombe de la renverser (ATF 130 II 482 consid. 3.2 p. 486). Il n'a pas besoin, pour cela, de rapporter la preuve contraire : il suffit qu'il parvienne à faire admettre l'existence d'une possibilité raisonnable qu'il n'ait pas menti en déclarant former une communauté stable avec son conjoint. Il peut le faire notamment en rendant vraisemblable, soit la survenance d'un événement extraordinaire susceptible d'expliquer une détérioration rapide du lien conjugal, soit l'absence de conscience de la gravité de ses problèmes de couple et, ainsi, l'existence d'une véritable volonté de maintenir une union stable avec son conjoint lorsqu'il a signé la déclaration (ATF 135 II 161 consid. 3 p. 165 s. et les arrêts cités).
3.3. Selon le recourant, la décision attaquée violerait les art. 8 Cst. et 14 CEDH dès lors que la notion de communauté conjugale impliquerait, en matière de naturalisation facilitée, une communauté de vie étroite, de toit, de table et de lit. En revanche, cette définition ne s'appliquerait plus aux citoyens suisses depuis l'abrogation de l'art. 160 al. 2 CC dont la teneur était, jusqu'au 31 décembre 1987, que le mari - chef de famille au sens de l'alinéa 1 de ce même article - choisissait la demeure commune (FF 1907 VI 28; RO 1986 122).
Le recourant omet de mentionner qu'à la suite de ce même changement législatif, dont l'objectif était notamment de réaliser l'égalité dans le couple (cf. Message du Conseil fédéral du 11 juillet 1979, FF 1979 II 1179), a été adopté l'art. 162 CC. Selon cette disposition - toujours en vigueur à ce jour -, les époux choisissent ensemble la demeure commune (RO 1986 I 122; FF 1979 II 1179). Force est donc de constater que la révision législative n'avait pas comme but d'abandonner la notion de demeure commune. En conséquence, l'argumentation du recourant liée à une violation du principe de l'égalité fondée sur l'abrogation de l'art. 160 al. 2 aCC tombe à faux.
Au demeurant et si, par ce biais, le recourant entendait contester le mécanisme de présomption de fait qui prévaut dans le droit de la naturalisation facilitée, il sied de rappeler que celui-ci a été maintes fois confirmé par la jurisprudence (cf. notamment ATF 135 II 161 consid. 3 p. 166).
3.4. Le Tribunal administratif fédéral a d'ailleurs considéré qu'en l'espèce, l'enchaînement chronologique particulièrement rapide des faits et avant tout le court laps de temps qui s'était écoulé entre l'octroi de la nationalité (le 3 septembre 2007), le dépôt de la demande commune de divorce (le 7 février 2008) et la séparation du couple (février 2008) étaient de nature à fonder la présomption de fait que la stabilité requise du mariage du recourant n'existait déjà plus au moment de la déclaration commune (le 26 mars 2007), à tout le moins lors du prononcé de la naturalisation facilitée. Selon l'autorité précédente, un ménage uni depuis plusieurs années ne se brisait pas dans un laps de temps aussi court (cinq mois entre le prononcé de naturalisation et le dépôt de la requête commune de divorce), sans qu'un événement extraordinaire en soit la cause et/ou sans que les conjoints n'en aient eu le pressentiment.
3.5. Le recourant ne remet pas ces constatations en cause, mais soutient en substance qu'il n'aurait pas été conscient de la gravité des problèmes de son couple au moment de la signature de la déclaration commune.
Ainsi que l'ont rappelé les premiers juges, l'une des divergences principales entre les conjoints concernait la question d'une éventuelle descendance. L'opinion de son ex-épouse sur ce sujet - important, voire déterminant, pour un couple - était connue du recourant depuis la conclusion de leur mariage. Cette problématique semble avoir été abordée par les époux à différentes reprises, dès lors que le recourant reconnaît que leur désaccord à ce propos a été crescendo. Ce faisant, il démontre qu'il était conscient de l'impact de ce différend sur leur relation de couple. S'il pouvait espérer faire changer d'avis son ex-épouse au début de leur mariage, celle-ci a réitéré sa volonté de ne pas avoir d'enfant à la fin de l'année 2006 ou au début de l'année 2007, période durant laquelle elle a situé le début de leurs difficultés conjugales. Au regard des aspirations toujours inconciliables des conjoints au sujet des enfants au début de l'année 2007, le recourant ne pouvait alors plus sous-estimer les conséquences que cela pouvait impliquer pour l'avenir de son couple.
En conséquence, l'autorité précédente n'a pas violé le droit fédéral, ni a fortiori commis d'arbitraire, en retenant que le recourant n'avait pas réussi à renverser de manière vraisemblable la présomption d'absence de communauté conjugale stable et orientée vers l'avenir, constatation qui résultait de l'enchaînement rapide des événements. Une annulation de la naturalisation facilitée entrait ainsi en considération en raison de la dissimulation de faits essentiels (art. 41 al. 1 LN).
4.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant qui succombe doit supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office fédéral des migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 29 août 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Kropf