Sachverhalt:
A. A.a M._ (geboren 1949) war nach seinem Studienabschluss als Dr. rer. pol. zunächst in verschiedenen Firmen in leitender Position tätig, bevor er im Jahre 1992 die X._ AG gründete. Als Leiter des Unternehmens führte er verschiedene Projekte in den Bereichen Restrukturierung und Neuausrichtung industrieller Unternehmen im In- und Ausland durch. Wegen einer im November 2003 aufgetretenen Erschöpfungsdepression meldete er sich im April 2005 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern holte den Bericht des behandelnden Psychiaters, Dr. med. J._ vom 10. Juli 2005 sowie den Arbeitgeberfragebogen vom 16. Juni 2005 ein und sprach dem Versicherten mit Verfügung vom 5. Dezember 2005 bei einem Invaliditätsgrad von 100 Prozent rückwirkend ab 1. November 2004 eine ganze Invalidenrente zu. Nachdem M._ die Erwerbstätigkeit im Rahmen eines Teilpensums von 20 Prozent ab August 2005 wieder aufgenommen hatte, setzte die IV-Stelle den Invaliditätsgrad auf 80 Prozent fest und bestätigte mit Verfügung vom 5. Januar 2006 den Anspruch auf eine ganze Invalidenrente auch ab November 2005.
A.b Im Rahmen des im Februar 2006 von Amtes wegen eingeleiteten Revisionsverfahrens zog die IV-Stelle die Verlaufsberichte des Dr. med. J._ vom 20. März 2006 und 14. September 2007, einschliesslich des Berichts des Neuropsychologen Dr. phil. G._ vom 20. Dezember 2006, bei. Zudem liess sie vom Institut Z._ ein neuropsychologisch-psychiatrisches Gutachten erstellen, welches von Frau dipl. psych. L._ (neuropsychologisches Teilgutachten) und Dr. med. Y._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, am 3. November 2008 erstattet wurde. Gestützt auf die medizinischen und erwerblichen Abklärungen erkannte die IV-Stelle auf einen Invaliditätsgrad von 40 Prozent und eröffnete M._ mit Verfügung vom 26. März 2009 die Herabsetzung der bisherigen ganzen auf eine Viertelsrente. Mit Verfügung vom 9. April 2009 setzte sie den monatlichen Rentenbetrag für die Zeit ab 1. Mai 2009 neu fest. Mit einer weiteren Verfügung vom 25. September 2009 sprach die IV-Stelle mit Wirkung ab 1. September 2009 eine zusätzliche Kinderrente zu.
B. M._ hat gegen die Verfügungen vom 26. März, 9. April und 25. September 2009 je separat Beschwerde erhoben. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vereinigte die Verfahren. Mit Entscheid vom 23. Juni 2010 trat dieses auf die gegen die Verfügungen vom 9. April und 25. September 2009 gerichteten Beschwerden nicht ein (Dispositiv-Ziffer 1). Die Beschwerde gegen die Verfügung vom 26. März 2009 hiess es in dem Sinne gut, als es die Verfügung aufhob und die IV-Stelle verpflichtete, dem Versicherten auch über den 1. Mai 2009 hinaus eine ganze Invalidenrente auszurichten (Dispositiv-Ziffer 2). Überdies auferlegte es der IV-Stelle die Gerichtskosten (Dispositiv-Ziffer 3) und verpflichtete sie zur Ausrichtung einer Parteientschädigung (Dispositiv-Ziffer 4).
C. Die IV-Stelle erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, die Dispositiv-Ziffern 2, 3 und 4 des angefochtenen Entscheids seien aufzuheben, und es seien die Anträge in der Vernehmlassung vom 27. August 2009 gutzuheissen. Zudem ersucht sie darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
M._ lässt beantragen, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen. Das Verwaltungsgericht schliesst unter Hinweis auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat sich nicht vernehmen lassen.
D. Mit Verfügung vom 18. Oktober 2010 hat der Präsident der I. sozialrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Der vorinstanzliche Entscheid spricht dem Beschwerdegegner eine ganze Invalidenrente zu. Mit Bezug auf die angefochtene Anspruchsberechtigung liegt ein Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG vor (vgl. BGE 133 V 477; SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 E. 1.1; ferner BGE 125 V 413 E. 2c S. 416). Die IV-Stelle, welche die vorinstanzliche Zusprechung einer ganzen Invalidenrente beanstandet, ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a BGG) legitimiert (Art. 89 BGG).
1. 1.1 Der vorinstanzliche Entscheid spricht dem Beschwerdegegner eine ganze Invalidenrente zu. Mit Bezug auf die angefochtene Anspruchsberechtigung liegt ein Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG vor (vgl. BGE 133 V 477; SVR 2008 IV Nr. 39 S. 131, 9C_684/2007 E. 1.1; ferner BGE 125 V 413 E. 2c S. 416). Die IV-Stelle, welche die vorinstanzliche Zusprechung einer ganzen Invalidenrente beanstandet, ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a BGG) legitimiert (Art. 89 BGG).
1.2 1.2.1 Die Beschwerde muss ein Rechtsbegehren enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (Art. 107 Abs. 2 BGG), muss auch das Rechtsbegehren grundsätzlich reformatorisch gestellt werden; ein blosser Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Rückweisung an die Vorinstanz ist nicht zulässig, ausser wenn das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte (BGE 134 III 379 E. 1.3 S. 383). Die Beschwerdeführerin stellt in Ziffer 1 formell den Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids und verweist in Ziffer 2 auf die im kantonalen Gerichtsverfahren gestellten Anträge. Der Beschwerdegegner macht geltend, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, weil ein materieller Antrag in der Sache fehle.
1.2.2 Bei der Beurteilung, ob ein genügender Antrag vorliegt, stellt das Gericht nicht nur auf die förmlich gestellten Anträge ab. Das Begehren kann sich auch aus der Begründung ergeben (BGE 136 V 131 E. 1.2 S. 136; 135 I 119 E. 4 S. 122; 133 II 409 E. 1.4.1 S. 414). Ein Verweis auf die im vorinstanzlichen Verfahren gestellten Anträge ist jedoch nicht hinreichend (Urteil 9C_495/2007 vom 20. März 2008 E. 1.2.2; 2A.251/2005 vom 29. November 2005 E. 1.3; LAURENT MERZ, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 18 zu Art. 42 BGG).
1.2.3 Aus der Beschwerdebegründung ergibt sich klar, dass die Beschwerdeführerin nicht nur die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids anstrebt, sondern auch die Bestätigung, dem Beschwerdegegner keine ganze, sondern höchstens eine halbe Invalidenrente ausrichten zu müssen. Die Beschwerde erweist sich somit in Bezug auf den Beschwerdeantrag Ziffer 1 als zulässig.
Nicht einzutreten ist hingegen auf die Beschwerde, soweit die IV-Stelle verlangt, gemäss ihren Anträgen in der Vernehmlassung vom 27. August 2009 des vorinstanzlichen Verfahrens zu entscheiden (Antrag Ziffer 2). Diesbezüglich ist der dem Bundesgericht eingereichten Beschwerdeschrift auch keine Begründung zu entnehmen.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3. In rechtlicher Hinsicht hat die Vorinstanz auf die Verfügung vom 26. März 2009 verwiesen, worin die IV-Stelle die gesetzlichen Bestimmungen zum Umfang des Rentenanspruchs (Art. 28 IVG) und zur Bemessung des Invaliditätsgrades nach der Einkommensvergleichsmethode (Art. 16 ATSG; SR 830.1) sowie zur Änderung des Anspruchs aufgrund einer Verbesserung der Erwerbsfähigkeit (Art. 88a Abs. 1 IVV) angeführt hat. Richtig hat die Vorinstanz zudem Art. 17 Abs. 1 ATSG erwähnt, woraus sich die Voraussetzungen für eine Rentenrevision ergeben. Der angefochtene Entscheid hält auch zutreffend fest, dass zeitlicher Ausgangspunkt für die Beurteilung einer anspruchserheblichen Änderung des Invaliditätsgrades die letzte rechtskräftige Verfügung ist, welche auf einer materiellen Prüfung des Rentenanspruchs beruht (BGE 133 V 108 E. 5.4 S. 114). Darauf wird verwiesen.
4. 4.1 Das kantonale Gericht hat in Würdigung der medizinischen Unterlagen, insbesondere gestützt auf das Gutachten des Instituts Z._ vom 3. November 2008 festgestellt, dass sich der Gesundheitszustand des Beschwerdegegners im Vergleichszeitraum vom 5. Dezember 2005 bis 26. März 2009 verbessert habe, indem die ursprünglich vom behandelnden Psychiater Dr. med. J._ diagnostizierte ausgeprägte und protrahierte Erschöpfungsdepression zu einer leichtgradigen depressiven Störung abgeklungen sei. In der bisherigen Tätigkeit als Manager oder in vergleichbaren Tätigkeiten sei der Versicherte nunmehr während 8.5 Stunden täglich und einer verminderten Leistungsfähigkeit von 20 Prozent arbeitsfähig.
4.2 Die Vorinstanz hat durch Einkommensvergleich (Art. 16 ATSG in Verbindung mit Art. 28a Abs. 1 IVG; BGE 128 V 29 E. 1 S. 30) einen Invaliditätsgrad von 80 Prozent ermittelt, was Anspruch auf eine ganze Rente gibt (Art. 28 Abs. 2 IVG). Das Einkommen, welches der Beschwerdegegner ohne invalidisierenden Gesundheitsschaden (Valideneinkommen) im Jahre 2009 hätte erzielen können, bezifferte sie auf Fr. 454'219.- bzw. Fr. 444'153.55. Dabei stützte sie sich zum einen auf den Durchschnittswert der Einträge im Individuellen Konto (IK-Auszug vom 30. September 2005) der Jahre 1992 (Beginn der Geschäftstätigkeit) bis 2003 (Eintritt des Gesundheitsschadens) und zum andern auf das während einem Jahr vor Krankheitseintritt im November 2003 erzielte Einkommen, angepasst an die Nominallohnentwicklung bis 2009. Unter Bezugnahme auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach aus einem "Über-100%-Pensum" stammendes Einkommen vollumfänglich zu berücksichtigen ist, wenn die versicherte Person regelmässig Überstunden leistet, eine Nebenerwerbstätigkeit ausübt oder selbständig erwerbstätig ist, bezog das kantonale Gericht das gesamte Einkommen aus der bisherigen Tätigkeit ohne Rücksicht auf den hiefür erforderlichen Aufwand in das Valideneinkommen mit ein.
4.3 Die rechnerische Ermittlung des Valideneinkommens wird von der IV-Stelle grundsätzlich nicht beanstandet. Die Beschwerdeführerin macht hingegen geltend, die Invalidenversicherung biete nur für eine übliche, normale erwerbliche Tätigkeit Versicherungsschutz. Daher sei das mit einem zeitlich deutlich überdurchschnittlichen und das gesundheitlich zumutbare Mass übersteigenden Arbeitseinsatz erwirtschaftete Einkommen - nach den Feststellungen des kantonalen Gerichts betrug die Arbeitszeit des Beschwerdegegners vor Eintritt des Gesundheitsschadens rund 16 Stunden pro Tag - für die vorzunehmende Vergleichsrechnung auf ein übliches volles Pensum umzurechnen. Nach Auffassung der IV-Stelle ist die bisherige Rechtsprechung in diesem Sinne zu ändern, da diese zum stossenden Ergebnis führe, dass die Sozialversicherung Kosten aufgrund eines gesundheitsschädigenden beruflichen Verhaltens zu tragen habe. Im vorliegenden Fall sei daher von einem üblichen Pensum von 8.5 Stunden und damit von einem Valideneinkommen von Fr. 241'304.- auszugehen.
4.4 Die Änderung einer Rechtsprechung muss sich auf ernsthafte sachliche Gründe stützen können, die - vor allem im Hinblick auf das Gebot der Rechtssicherheit - umso gewichtiger sein müssen, je länger die als falsch oder nicht mehr zeitgemäss erkannte Rechtsanwendung für zutreffend erachtet worden ist. Eine Praxisänderung lässt sich grundsätzlich nur begründen, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis der ratio legis, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelten Rechtsanschauungen entspricht (BGE 135 II 78 E. 3.2 S. 85; 135 III 66 E. 10 S. 79; 134 V 72 E. 3.3 S. 76).
4.4 Die Änderung einer Rechtsprechung muss sich auf ernsthafte sachliche Gründe stützen können, die - vor allem im Hinblick auf das Gebot der Rechtssicherheit - umso gewichtiger sein müssen, je länger die als falsch oder nicht mehr zeitgemäss erkannte Rechtsanwendung für zutreffend erachtet worden ist. Eine Praxisänderung lässt sich grundsätzlich nur begründen, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis der ratio legis, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelten Rechtsanschauungen entspricht (BGE 135 II 78 E. 3.2 S. 85; 135 III 66 E. 10 S. 79; 134 V 72 E. 3.3 S. 76).
4.5 4.5.1 Für die Ermittlung des Valideneinkommens ist entscheidend, was die versicherte Person im Zeitpunkt des Rentenbeginns nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunde tatsächlich verdient hätte. Dabei wird in der Regel am zuletzt erzielten, der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung angepassten Verdienst angeknüpft, da es empirischer Erfahrung entspricht, dass die bisherige Tätigkeit ohne Gesundheitsschaden fortgesetzt worden wäre. Ausnahmen müssen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt sein (BGE 134 V 322 E. 4.1 S. 325). Ist der zuletzt bezogene Lohn überdurchschnittlich hoch, ist er nur dann als Valideneinkommen heranzuziehen, wenn mit überwiegender Wahrscheinlichkeit feststeht, dass er weiterhin erzielt worden wäre (SVR 2009 IV Nr. 58 S. 181, 9C_5/2009).
4.5.2 Die Invalidenversicherung bietet als Erwerbsunfähigkeitsversicherung grundsätzlich nur Versicherungsschutz für eine übliche, normale erwerbliche Tätigkeit. In die Vergleichsrechnung einzubeziehen sind daher nur Einkünfte, die bei einem normalen Arbeitspensum erzielt werden (Urteil 9C_45/2008 vom 3. Juli 2008 E. 4.2). Praxisgemäss gehören dazu - ohne Rücksicht auf den hiefür erforderlichen zeitlichen oder leistungsmässigen Aufwand - auch regelmässig geleistete Überstunden sowie aus einer Nebenbeschäftigung oder selbständiger Erwerbstätigkeit fliessendes Entgelt. Eine herabgesetzte Anrechenbarkeit kommt dagegen bei Mehrfachbeschäftigungen über ein Vollpensum hinaus (Kumulierung von Erwerbs- und Haushaltarbeit, Ausübung verschiedener wirtschaftlich gleichbedeutender Erwerbstätigkeiten) zum Tragen (SVR 2008 IV Nr. 28 S. 89, I 433/06 E. 4.1.2; Urteil I 181/05 vom 3. Februar 2006 E. 2 mit Hinweisen).
4.5.3 Das Abstellen auf eine normale erwerbliche Tätigkeit bedeutet, dass Einkünfte nur dann als Validenlohn zu berücksichtigen sind, wenn sie bereits im Gesundheitsfall erzielt wurden und weiterhin erzielt worden wären, wenn die versicherte Person keine gesundheitliche Beeinträchtigung erlitten hätte (Urteil 9C_45/2008 vom 3. Juli 2008 E. 4.2). Dies schliesst indessen grundsätzlich nicht aus, dass auch aufgrund guter Berufskenntnisse, breiter Berufserfahrung, optimaler Leistung oder eines dauernd überdurchschnittlichen Arbeitspensums vor dem Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung erzielte sehr hohe Einkommen in den Einkommensvergleich miteinbezogen werden.
4.5.4 In der Literatur wird die Berücksichtigung hoher Löhne als Valideneinkommen bejaht und zwar selbst dann, wenn sie im Rahmen einer oberhalb eines bestimmten Durchschnitts liegenden Arbeitszeit erzielt wurden (PETER OMLIN, Die Invalidität in der obligatorischen Unfallversicherung, 2. Aufl. 1999, S. 181 f.; vgl. auch UELI KIESER, ATSG-Kommentar, 2. Aufl. 2009, N. 13 zu Art. 16 ATSG), wobei ULRICH MEYER (Bundesgesetz über die Invalidenversicherung, 2. Aufl. 2010, S. 305) die Berücksichtigung sehr hoher Löhne zumindest nicht ausschliesst. Die befürwortende Lehrmeinung geht davon aus, dass der Invaliditätsbeurteilung ein überdurchschnittlicher Lohn oder gar ein Spitzenlohn zugrunde zu legen ist, wenn besondere Umstände dafür sprechen, dass die versicherte Person tatsächlich einen solchen erzielt hat und weiterhin erzielen würde (OMLIN, a.a.O.). Die Rechtsprechung, gemäss welcher bei über ein Vollpensum hinausgehenden Mehrfachbeschäftigungen eine Kürzung auf ein 100 %-Pensum zu erfolgen hat (SVR 2008 IV Nr. 28 S. 89, I 433/06 E. 4.1.2), wird dagegen als nicht überzeugend betrachtet (KIESER, a.a.O.).
4.5.5 Weder das Invalidenversicherungsgesetz noch das ATSG sehen eine obere Grenze für das massgebende Valideneinkommen vor. Laut Art. 25 Abs. 1 IVV gelten als Erwerbseinkommen im Sinne von Art. 16 ATSG mutmassliche jährliche Erwerbseinkommen, von denen Beiträge gemäss AHVG erhoben würden. Massgebend für die Rentenberechnung sind sämtliche Erwerbseinkünfte, für welche AHV-Beiträge bezahlt wurden (Art. 36 Abs. 2 IVG und Art. 32 IVV in Verbindung mit Art. 29bis ff., insbesondere Art. 29quinquies Abs. 1 AHVG). Die Rechtsordnung verbietet es den versicherten Personen auch nicht, mehr als 8.5 Stunden pro Tag zu arbeiten. In zahlreichen Kaderpositionen ist dies denn auch keine Seltenheit. Unter dem Gesichtspunkt der rechtsgleichen Behandlung ist daher nicht einzusehen, weshalb gegebenenfalls nicht auch ein Entgelt als Validenlohn berücksichtigt wird, welches während einer überdurchschnittlichen Arbeitszeit erzielt worden ist (in diesem Sinne: KIESER, a.a.O.).
4.5.6 Soweit die Beschwerdeführerin vorbringt, es gehe nicht an, der Sozialversicherung Kosten eines gesundheitsschädigenden beruflichen Verhaltens der versicherten Person zu überbinden, vermag sie damit nicht durchzudringen. Zum einen fragt die Invalidenversicherung als grundsätzlich finale Versicherung nicht nach den Ursachen eines Gesundheitsschadens. Zum andern spielt die Frage der Zumutbarkeit bei der Ermittlung des Valideneinkommens - im Gegensatz zum Invalideneinkommen - keine Rolle. Massgebend ist nur, dass ein bestimmtes Einkommen erzielt wurde und ohne Invalidität weiterhin erzielt worden wäre. Dabei schliesst die Beschränkung des Valideneinkommens auf das normalerweise erzielbare Einkommen das Abstellen auf ein 8.5 Stunden pro Tag übersteigendes Arbeitspensum nicht aus.
4.5.7 Zusammenfassend ergibt sich somit, dass die IV-Stelle für die von ihr angestrebte Lösung einer systematischen Reduktion des bei einem überdurchschnittlichen zeitlichen Aufwand erzielten Einkommens auf ein 100 %-Pensum im Rahmen des Einkommensvergleichs keine überzeugenden Gründe vorzubringen vermag und solche auch nicht ohne weiteres zu erkennen sind. Offenbleiben kann, ob an der mit Urteil I 433/06 bestätigten Rechtsprechung festzuhalten ist, wonach das Valideneinkommen bei versicherten Personen, die Entgelte aus über ein Vollpensum übersteigenden Doppel- oder Mehrfachbeschäftigungen erzielen, auf der Grundlage eines Arbeitspensums von 100 Prozent zu bemessen ist.
4.6 Ob eine versicherte Person im Validenfall einer bestimmten Tätigkeit nachgehen würde, ist eine Tatfrage, soweit sie im Rahmen einer Würdigung der konkreten Lage beantwortet wird (BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399). Diesfalls prüft das Bundesgericht die vorinstanzlichen Feststellungen bloss daraufhin, ob sie offensichtlich unrichtig getroffen worden sind (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 BGG).
Nach den Feststellungen der Vorinstanz hätte der Beschwerdegegner die bisherige Tätigkeit als Geschäftsführer nicht aufgegeben, wenn er gesund geblieben wäre. Diese Annahme wird von der IV-Stelle nicht bestritten. Sie ist weder unhaltbar noch offensichtlich unrichtig. Die Vorinstanz konnte sodann aufgrund der IK-Einträge davon ausgehen (vgl. SVR 2010 IV Nr. 26 S. 79, 8C_9/2009 E. 3.3; Urteil 9C_683/2010 vom 10. Dezember 2010 E. 4.3), dass der Versicherte ohne Gesundheitsschaden mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ein Einkommen von Fr. 454'219.- bzw. Fr. 444'153.55 erzielen würde. Dieses Vergleichseinkommen wurde weder offensichtlich unrichtig noch in Verletzung von Bundesrecht ermittelt, weshalb das Bundesgericht daran gebunden ist.
5. 5.1 Die IV-Stelle macht weiter geltend, aufgrund des vorinstanzlichen Entscheids habe der Beschwerdegegner Anspruch auf eine ganze Invalidenrente, obwohl er aus medizinischer Sicht in seiner angestammten Tätigkeit bei einem üblichen Pensum von 8.5 Wochenstunden lediglich eine Leistungseinbusse von 20 Prozent verzeichne. Einem praktisch voll arbeitsfähigen Versicherten werde somit eine ganze Invalidenrente ausgerichtet.
5.2 Für das Invalideneinkommen massgebend ist dasjenige Entgelt, welches die versicherte Person aufgrund ihres konkreten Gesundheitsschadens zumutbarerweise noch zu erzielen in der Lage wäre (Art. 16 ATSG). Ein - in die Bemessung des Valideneinkommens - einbezogenes Zusatzeinkommen aus Nebenerwerb ist insoweit zu berücksichtigen, als die versicherte Person ein solches trotz ihrer gesundheitlichen Beeinträchtigung zumutbarerweise weiterhin erzielen kann. Hiefür ist gleich wie beim Haupterwerb massgebend, welche Arbeiten und Leistungen ihr aufgrund ihres Gesundheitsschadens nach ärztlicher Beurteilung noch zugemutet werden können (Urteil 9C_883/2007 vom 18. Februar 2008 E. 2.3). Dies muss nach dem in E. 4 hievor Gesagten auch dann gelten, wenn ein Einkommen mit hohem zeitlichen Einsatz erarbeitet wurde.
5.3 In diesem Zusammenhang gilt es jedoch zu beachten, dass allein aufgrund der mangelnden Zumutbarkeit des bisher geleisteten überdurchschnittlichen Pensums nicht automatisch auf eine Invalidität geschlossen werden darf. Ein solches Vorgehen widerspricht nicht nur dem Grundsatz, wonach die Invalidenversicherung als Erwerbsunfähigkeitsversicherung im Prinzip für eine normale erwerbliche Tätigkeit Versicherungsschutz bietet, sondern auch dem Grundsatz, dass im Rahmen des Einkommensvergleichs invaliditätsfremde Faktoren überhaupt nicht oder dann bei beiden Vergleichseinkommen gleichmässig zu berücksichtigen sind (Urteil 9C_883/2007 vom 18. Februar 2008 E. 2.4). So verhält es sich vorliegend jedoch nicht.
5.4 Entgegen der Auffassung der IV-Stelle ging das kantonale Gericht nicht davon aus, der Beschwerdegegner könne seine von 1992 bis 2003 ausgeübte Tätigkeit als Firmensanierer und "Troubleshooter" weiterhin ausüben. Solches ergibt sich auch nicht aus dem Gutachten des Instituts Z._. Darin kamen die Gutachter zum Schluss, dem Versicherten sei die bisherige Tätigkeit als Manager grundsätzlich zumutbar. Damit kann jedoch vernünftigerweise nicht die bis zum Ausbruch der Krankheit ausgeübte, psychisch belastende Tätigkeit als Sanierer von Drittfirmen und Restrukturierer vor Ort gemeint sein. Diese ist dem Beschwerdegegner nicht mehr zumutbar. Vielmehr ist die ärztliche Aussage so zu verstehen, dass ihm die seit dem Jahre 2005 auf Teilzeitbasis effektiv ausgeübte Stabstätigkeit ohne operative Führungsverantwortung im bisherigen Betrieb weiterhin zumutbar ist. Bezüglich dieser Tätigkeit ist der Beschwerdegegner nach ärztlicher Einschätzung bezogen auf ein Normalpensum von 8.5 Stunden zu 80 Prozent arbeitsfähig. Dem Versicherten ist somit nicht nur die ursprüngliche Tätigkeit, sondern auch das damalige überdurchschnittliche Pensum aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr zumutbar. Der beschwerdeführerische Einwand erweist sich daher als unbegründet.
6. 6.1 Für die Festsetzung des Invalideneinkommens ist primär von der beruflich-erwerblichen Situation auszugehen, in welcher die versicherte Person konkret steht. Übt sie nach Eintritt der gesundheitlichen Beeinträchtigung eine Erwerbstätigkeit aus, gilt grundsätzlich der damit erzielte Verdienst als Invalideneinkommen, wenn besonders stabile Arbeitsverhältnisse gegeben sind, weiter anzunehmen ist, dass sie die ihr verbliebene Arbeitsfähigkeit in zumutbarer Weise voll ausschöpft, und wenn das Einkommen aus der Arbeitsleistung als angemessen und nicht als Soziallohn erscheint (BGE 135 V 297 E. 5.2 S. 301 mit Hinweisen; Urteil 9C_118/2010 vom 22. April 2010 E. 4.1).
6.2 Da der Beschwerdegegner mit seiner seit 1. September 2006 in einem Teilpensum von 25 Prozent ausgeübten Tätigkeit seine medizinisch attestierte Arbeitsfähigkeit unbestreitbar nicht ausschöpft, hat das kantonale Gericht das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2008 des Bundesamtes für Statistik (LSE 08) ermittelt. Mit Blick auf die Ausbildung, die Berufserfahrung und den beruflichen Werdegang hat es dabei auf die Tabelle TA1 ("Monatlicher Bruttolohn [Zentralwert] nach Wirtschaftszweigen, Anforderungsniveau des Arbeitsplatzes und Geschlecht, Privater Sektor"), Sektor 3 ("Dienstleistungen"), Branche 74 (Erbringung von Dienstleistungen für Unternehmen), Anforderungsniveau 1+2 (Verrichtung höchst anspruchsvoller und schwieriger Arbeiten sowie Verrichtung selbständiger qualifizierter Arbeiten) abgestellt und unter Berücksichtigung einer wöchentlichen Arbeitszeit von 41.7 Stunden sowie der Nominallohnentwicklung entsprechend einer Leistungsfähigkeit von 80 Prozent auf einen massgebenden Jahreslohn von Fr. 92'095.95 erkannt.
6.2 Da der Beschwerdegegner mit seiner seit 1. September 2006 in einem Teilpensum von 25 Prozent ausgeübten Tätigkeit seine medizinisch attestierte Arbeitsfähigkeit unbestreitbar nicht ausschöpft, hat das kantonale Gericht das Invalideneinkommen auf der Grundlage der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung 2008 des Bundesamtes für Statistik (LSE 08) ermittelt. Mit Blick auf die Ausbildung, die Berufserfahrung und den beruflichen Werdegang hat es dabei auf die Tabelle TA1 ("Monatlicher Bruttolohn [Zentralwert] nach Wirtschaftszweigen, Anforderungsniveau des Arbeitsplatzes und Geschlecht, Privater Sektor"), Sektor 3 ("Dienstleistungen"), Branche 74 (Erbringung von Dienstleistungen für Unternehmen), Anforderungsniveau 1+2 (Verrichtung höchst anspruchsvoller und schwieriger Arbeiten sowie Verrichtung selbständiger qualifizierter Arbeiten) abgestellt und unter Berücksichtigung einer wöchentlichen Arbeitszeit von 41.7 Stunden sowie der Nominallohnentwicklung entsprechend einer Leistungsfähigkeit von 80 Prozent auf einen massgebenden Jahreslohn von Fr. 92'095.95 erkannt.
6.3 6.3.1 Die IV-Stelle rügt, die Bemessung des Invalideneinkommens sei zu Unrecht gestützt auf Tabellenlöhne ermittelt worden. Vielmehr sei vom ehemaligen Einkommen von Fr. 454'219.- auszugehen und dieses entsprechend der attestierten Leistungsfähigkeit von 8.5 Stunden pro Tag und unter Berücksichtigung der Leistungsminderung von 20 Prozent auf Fr. 193'043.- festzusetzen. Aus dem Vergleich von Validen- und Invalideneinkommen resultiere damit ein Invaliditätsgrad von 58 Prozent. Es handelt sich dabei um eine vom Bundesgericht frei zu beurteilende Rechtsfrage (BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399).
6.3.2 Wie in E. 5.4 hievor dargelegt, kann der Beschwerdegegner aus medizinischer Sicht seine frühere Tätigkeit als Sanierer fremder Unternehmen nicht mehr ausüben. Für die Festlegung des Invalideneinkommens ist daher nicht von jenem Einkommen auszugehen, sondern vom Verdienst, den er trotz Gesundheitsschaden zumutbarerweise noch realisieren kann (vgl. E. 6.1 hievor). Die Vorinstanz hat somit bei der Bestimmung des Invalideneinkommens zu Recht nicht auf das frühere Einkommen von Fr. 454'219.- abgestellt.
6.3.2 Wie in E. 5.4 hievor dargelegt, kann der Beschwerdegegner aus medizinischer Sicht seine frühere Tätigkeit als Sanierer fremder Unternehmen nicht mehr ausüben. Für die Festlegung des Invalideneinkommens ist daher nicht von jenem Einkommen auszugehen, sondern vom Verdienst, den er trotz Gesundheitsschaden zumutbarerweise noch realisieren kann (vgl. E. 6.1 hievor). Die Vorinstanz hat somit bei der Bestimmung des Invalideneinkommens zu Recht nicht auf das frühere Einkommen von Fr. 454'219.- abgestellt.
6.4 6.4.1 Für den Fall, dass für die Ermittlung des Invalideneinkommens Tabellenlöhne heranzuziehen sind, setzt sich die IV-Stelle gegen die Anwendung von Tabelle TA1 zur Wehr. Angesichts der beruflichen Qualifikation des über einen Hochschulabschluss verfügenden Beschwerdegegners sei vielmehr Tabelle TA11 ("Monatlicher Bruttolohn [Zentralwert und Quartilbereich] nach Ausbildung, beruflicher Stellung und Geschlecht - Privater Sektor und öffentlicher Sektor [Bund] zusammen") heranzuziehen und dort vom Anforderungsniveau 1+2 (oberes, oberstes und mittleres Kader), Bereich universitäre Hochschule auszugehen, was für Männer im Quartilbereich ein monatliches Einkommen von Fr. 20'215.- ergebe. Daraus resultiere bezogen auf die Leistungsfähigkeit des Beschwerdegegners ein Invalideneinkommen im Jahre 2009 von Fr. 210'056.-, was im Vergleich zum Valideneinkommen einem Invaliditätsgrad von 54 Prozent entspreche.
6.4.2 Nach der Rechtsprechung ist beim Einkommensvergleich aufgrund der LSE vom Zentralwert (Median) der Tabellengruppe A (standardisierte Bruttolöhne) auszugehen (BGE 124 V 321 E. 3b/aa S. 323). Üblich ist die Tabelle TA1 (BGE 126 V 75 E. 7a S. 81). Es besteht jedoch kein Grundsatz, wonach stets auf diese Tabelle abzustellen ist. Welche Tabelle zur Anwendung zu bringen ist, bestimmt sich nach den konkreten Umständen des Einzelfalls. Für qualifizierte Berufsleute mit Fach- und Hochschulabschluss kann es sich durchaus rechtfertigen, Tabelle 11 anzuwenden, wenn dies eine genauere Festsetzung des Invalideneinkommens erlaubt (Urteile 8C_704/2009 vom 27. Januar 2010 E. 4.2.1.1; 9C_87/2007 vom 25. Juli 2007 E. 3.4).
6.4.3 Nach der Rechtsprechung stellt die Frage nach der bei einem Einkommensvergleich gestützt auf die LSE anzuwendenden Tabelle eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage dar (BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399). Als für das Bundesgericht bereits verbindlich beurteilter Aspekt erscheint hingegen das für die Wahl einer bestimmten Tabelle der LSE entscheidende Vorhandensein konkret erforderlicher Voraussetzungen wie etwa einer spezifischen Ausbildung und weiterer Qualifikationen. Die Prüfung solcher bedeutsamer Gegebenheiten fällt in den Bereich der Sachverhaltserhebung und kann vom Bundesgericht - soweit eine auf einer Rechtsverletzung beruhende Sachverhaltsermittlung ausscheidet - grundsätzlich nur noch auf offensichtliche Unrichtigkeit hin überprüft werden (Urteil 8C_548/2007 vom 5. Mai 2008 E. 3.2).
6.4.4 Angesichts der beruflichen Qualifikation des Beschwerdegegners könnte es als sachgerecht erscheinen, das Invalideneinkommen mit der IV-Stelle auf der Basis von schwergewichtig die berufliche Stellung berücksichtigenden tabellarischen Ansätzen zu eruieren. Zu berücksichtigen gilt es jedoch, dass nicht der Quartilbereich, sondern der Zentralwert (Median) massgebend ist. Hinzu kommt, dass der Beschwerdegegner stets in der Privatwirtschaft tätig war. Es erscheint daher fraglich, ob er seine Kenntnisse gleichermassen in einer ähnlich verantwortungsvollen Position und in etwa derselben Einkommensklasse im öffentlichen Sektor einbringen könnte. Überdies wird er aufgrund der eingeschränkten Leistungsfähigkeit von 80 Prozent wohl kaum eine Stelle im oberen oder mittleren Kaderbereich (berufliche Stellung 1+2) besetzen können. Auch unter Berücksichtigung der Vorbringen der IV-Stelle ist daher nicht ersichtlich, inwiefern das Abstellen auf die Tabelle TA1 LSE 2008 bundesrechtswidrig sein sollte.
6.5 Bei Gegenüberstellung der beiden Einkommen (Fr. 454'219.- und Fr. 92'095.95) resultiert ein Invaliditätsgrad von gerundet 80 Prozent. Damit besteht Anspruch auf eine ganze Invalidenrente.
7. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, der Ausgleichskasse Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. Februar 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Hofer