Sachverhalt:
A. In Gutheissung eines von X._ eingereichten Begehrens ordnete das Kantonsgerichtspräsidium Nidwalden (Präsidentin II) am 8. August 2007 im Sinne vorsorglicher Massnahmen hauptsächlich an, dass die vorläufige Löschung des auf drei Grundstücken von ihm zu Gunsten von Z._ eingetragenen Kaufrechts vorzumerken sei. Gleichzeitig wurde X._ eine Frist von drei Monaten angesetzt, um die im ordentlichen Verfahren geltend zu machenden Anträge beim Friedensrichter einzureichen. Z._ wurde zur Tragung der Gerichtskosten von insgesamt Fr. 7'676.-- und zur Zahlung einer Parteientschädigung von Fr. 13'172.65 an X._ verpflichtet (Dispositiv-Ziffern 3 und 4).
Gegen diese Nebenfolgen erhob Z._ Nichtigkeitsbeschwerde, worauf das Obergericht Nidwalden (Kassationsabteilung) am 22. November 2007 die Dispositiv-Ziffern 3 und 4 der kantonsgerichtlichen Verfügung aufhob und erkannte, die Gerichtskosten würden vorläufig X._ auferlegt und die Parteikosten würden unter Vorbehalt der im Haupturteil zu treffenden definitiven Regelung der Kosten vorläufig wettgeschlagen.
B. Mit Eingabe vom 19. Mai 2008 erhebt X._ Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er beantragt, das obergerichtliche Urteil vom 22. November 2007 aufzuheben und die Verfügung des Kantonsgerichtspräsidiums Nidwalden vom 8. August 2007 zu bestätigen.
Durch Präsidialverfügung vom 5. Juni 2008 ist den Beschwerden antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Vernehmlassungen zur Sache sind nicht eingeholt worden.
Erwägungen:
1. In vermögensrechtlichen Angelegenheiten der vorliegenden Art steht die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich nur offen, wenn der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Dass letzteres hier zutreffe, macht der Beschwerdeführer selbst nicht geltend. Indessen ist er der Ansicht, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG, so dass die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig sei. Wie darzulegen sein wird, ist auf die Beschwerde ohnehin aus einem anderen Grund nicht einzutreten, so dass die angesprochene Frage nicht abschliessend erörtert zu werden braucht. Festgehalten sei immerhin, dass der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung restriktiver auszulegen ist als in der vom Beschwerdeführer angerufenen bundesrätlichen Botschaft dargelegt, da erst im Verlaufe der parlamentarischen Beratungen nachträglich noch das Rechtsmittel der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) in das Gesetz aufgenommen wurde (dazu BGE 133 III 493 E. 1.1 S. 495 mit Hinweisen auf die Literatur).
2. Die Beschwerde in Zivilsachen wie auch die vom Beschwerdeführer ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde sind grundsätzlich nur gegen Endentscheide, d.h. gegen Entscheide zulässig, die das Verfahren abschliessen (Art. 90, für die Verfassungsbeschwerde in Verbindung mit Art. 117 BGG).
2.1 Entscheide über vorsorgliche Massnahmen sind nur dann Endentscheide, wenn sie in einem eigenständigen Verfahren ergehen. Selbständig eröffnete Massnahmenentscheide, die vor oder während eines Hauptverfahrens erlassen werden und nur für die Dauer des Hauptverfahrens bzw. unter der Bedingung, dass ein solches eingeleitet wird, Bestand haben, stellen dagegen Zwischenentscheide im Sinne von Art. 93 BGG dar (BGE 134 I 83 E. 3.1 S. 86 f. mit Hinweisen).
2.2 Gegenstand der vorliegenden Beschwerden ist die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen im Rahmen einer Anordnung vorsorglicher Massnahmen. Nach dem ausdrücklichen Wortlaut der kantonsgerichtlichen Verfügung vom 8. August 2007 haben letztere über die dem Beschwerdeführer angesetzte Frist hinaus nur Bestand, wenn ein Hauptverfahren eingeleitet wird. Zudem hat die Vorinstanz festgelegt, dass die Gerichtskosten (nur) vorläufig dem Beschwerdeführer auferlegt und die Parteikosten (nur) vorläufig wettgeschlagen würden, und sie hat ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die definitive Regelung dem Haupturteil vorbehalten bleibe. Eine endgültige Erledigung der Sache liegt mithin auch hinsichtlich der Kosten- und Entschädigungsfrage nicht vor. Die Beschwerden richten sich demnach gegen einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG.
2.3 Die Beschwerde in Zivilsachen und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde fallen gegen Zwischenentscheide nur dann in Betracht, wenn diese eine Zuständigkeitsfrage oder ein Ausstandsbegehren betreffen (Art. 92 [in Verbindung mit Art. 117] BGG) oder wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können bzw. wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. a und b [in Verbindung mit Art. 117] BGG). Dass einer dieser Tatbestände hier gegeben wäre, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Ein solcher ist denn auch nicht ersichtlich. Insbesondere ist zum Fall des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zu bemerken, dass es sich - entsprechend dem Begriff, der für das frühere Recht (Art. 87 Abs. 2 OG) galt - um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln muss, der auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden kann (BGE 134 I 83 E. 3.1. S. 87; 134 III 188 E. 2.1 S. 190, mit Hinweisen). Davon kann hier, wo die für den Beschwerdeführer nachteilige (vorläufige) Kosten- und Entschädigungsregelung ausdrücklich unter dem Vorbehalt des Entscheids des für das Hauptverfahren zuständigen Gerichts getroffen wurde, keine Rede sein.
3. Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerden nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegner ist mit seinem Antrag, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung nicht zuzusprechen, unterlegen, und zur Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Unter diesen Umständen entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Nidwalden (Kassationsabteilung) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. August 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel