Faits:
A. Par décision du 22 avril 2009, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a nié le droit de S._ à une rente d'invalidité.
B. Le 25 mai 2009, le prénommé a déféré cette décision au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui : Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales). Dans le cadre de ce recours, il a présenté une demande d'assistance juridique.
Par décision du 1er juillet 2009, le Vice-Président du Tribunal de première instance a accordé une assistance juridique à S._, limitée aux frais, pour interjeter son recours. Les honoraires de son mandataire, Me Berardi, avocat à Genève, ont expressément été exclus de l'octroi de l'assistance.
Par décision du 27 novembre 2009, le Vice-Président de la Cour de justice a annulé la décision du 1er juillet 2009 et accordé une assistance juridique administrative à S._, avec effet au 25 mai 2009, pour recourir contre la décision de l'office AI du 22 avril 2009. Me Berardi a été nommé comme avocat pour assister S._. Par ailleurs, dans les considérants de sa décision, le Vice-Président a précisé qu'il statuait sans frais et dépens dans le cadre des procédures d'assistance juridique; en conséquence, les conclusions de S._ tendant à une indemnité de procédure étaient sans objet.
S._ a formé une réclamation contre cette décision en concluant, avec suite de dépens, à l'octroi d'une indemnité de procédure pour les frais indispensables au recours ayant abouti à la décision du 27 novembre 2009.
Par décision du 16 mars 2010, la Cour de justice a rejeté la réclamation.
C. S._ interjette un recours en matière de droit public ainsi qu'un recours constitutionnel subsidiaire contre cette décision dont il demande l'annulation, en concluant à ce que la cause soit renvoyée au Vice-Président de la Cour de justice afin qu'il fixe les dépens de la procédure de recours et de réclamation subséquente. Par ailleurs, il conclut à ce que son mandataire soit désigné comme avocat d'office devant le Tribunal fédéral.
Interpellé sur l'état d'avancement de la procédure de recours, le Tribunal cantonal des assurances sociales a fait savoir au Tribunal fédéral qu'une expertise judiciaire avait été ordonnée et que le rapport médical demandé n'avait pas encore été rendu (lettre du 21 juin 2010).
Quant à la Cour de justice, elle s'est référée aux considérants de la décision entreprise du 16 mars 2010, dans sa réponse au recours.
Par lettre du 23 novembre 2010, Me Berardi produit des observations à propos d'un arrêt de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral du 10 novembre 2010 (2D_50/2010). Il précise qu'en tant que de besoin, il recourt également en son nom propre (mais pour le compte de la Fondation suisse du service social international).
Considérant en droit:
1. La décision entreprise porte exclusivement sur la question du versement d'une indemnité de dépens dans le cadre du recours formé contre la décision du 1er juillet 2009 portant refus des honoraires de l'avocat de l'assistance juridique. Il s'agit d'une décision incidente au sens de l'art. 93 al. 1 LTF, car elle ne met fin ni à la procédure de recours dirigé contre la décision de l'office AI du 22 avril 2009, ni à la procédure incidente d'assistance judiciaire ouverte parallèlement à la précédente. Le recours n'est donc recevable que si cette décision peut causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF, en liaison avec l'art. 117 LTF), la seconde hypothèse prévue à l'art. 93 al. 1 let. b LTF n'étant pas pertinente.
A cela il faut ajouter que le recourant doit être particulièrement atteint par la décision attaquée (art. 89 al. 1 let. b LTF) et avoir un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 let. c LTF).
2. La décision du 16 mars 2010 n'est pas susceptible d'occasionner pour l'heure un préjudice irréparable de quelque nature que ce soit au recourant. De plus, on voit mal en quoi consisterait l'intérêt actuel et digne de protection du recourant à recourir. En effet, pour le cas où il obtiendrait entièrement gain de cause, le recourant aurait droit, à charge de l'office AI, au remboursement de ses frais et dépens dans la mesure fixée par le tribunal (art. 61 let. g LPGA). A l'inverse, si le recourant devait perdre le procès qui l'oppose à l'office AI devant la juridiction cantonale qui fonctionne en tant que tribunal cantonal des assurances, son avocat d'office serait alors indemnisé au titre de l'assistance judiciaire gratuite (art. 61 let. f LPGA). Dans les deux éventualités, on tiendrait compte, en fixant les dépens respectivement les honoraires de l'avocat d'office, des coûts et frais liés aux démarches qui étaient nécessaires pour obtenir l'assistance judiciaire gratuite.
La question de la rémunération de Me Berardi pour l'ensemble de l'activité qu'il a déployée depuis le 25 mai 2009 (aussi bien dans la procédure de recours en matière d'assurance-invalidité que pour l'octroi de l'assistance juridique) devra être résolue une fois qu'aura été rendue une décision définitive sur le fond, éventualité qui n'était pas encore réalisée lorsque le recourant a saisi le Tribunal fédéral (voir la lettre du Tribunal cantonal des assurances du 21 juin 2010). Dès lors, en l'absence de décision finale, le recourant n'a pas qualité pour recourir contre la décision litigieuse du 16 mars 2010, aussi bien en vertu de l'art. 89 al. 1 LTF (il se plaint essentiellement d'une violation de l'art. 61 let. g LPGA dans son recours en matière de droit public) que de l'art. 115 LTF (il se prévaut d'une application arbitraire de l'art. 87 al. 2 LPA-GE dans son recours constitutionnel subsidiaire).
3. La déclaration du 23 novembre 2010, par laquelle Me Berardi précise qu'il recourt également en tant que de besoin en son nom propre contre la décision du 16 mars 2010, est à l'évidence tardive (art. 100 al. 1 LTF) et donc inopérante. Il ressort d'ailleurs clairement du mémoire de recours et de la procuration annexée à celui-ci que Me Berardi avait agi à ce moment-là uniquement pour le compte de S._.
4. Vu l'issue de la procédure, le recourant devrait en supporter les frais (art. 66 al. 1 LTF). Sa demande d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale doit par ailleurs être rejetée, dès lors que ses conclusions étaient d'emblée dénuées de chances de succès. Compte tenu des circonstances, il convient cependant de renoncer à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1 in fine LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 mars 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Berthoud