Sachverhalt:
A. Am 22. April 2009 erteilte die Bausektion der Stadt Zürich der Z._ AG die baurechtliche Bewilligung für einen Um- und Anbau am Wohnhaus Hönggerstrasse 20/Burgstrasse 21 auf dem Grundstück Kat.-Nr. WP2617 in Zürich 10 - Wipkingen. Der Umbau umfasst eine teilweise Änderung der inneren Einteilung mit neuem Treppenhaus vom Unter- bis zum Dachgeschoss, einen Ausbau des Dachgeschosses mit Dachaufbauten, Dachflächenfenstern und einer Anhebung des Dachs zu Wärmedämmzwecken. Das bisherige Nebengebäude Burgstrasse 21 soll abgebrochen und durch einen neuen, dreigeschossigen Anbau ersetzt werden. Der Anbau schliesst auf Höhe des dritten Obergeschosses des Haupthauses ab, mit einer Terrasse auf Höhe des vierten bzw. des Dachgeschosses.
B. Gegen die Baubewilligung rekurrierten X._ und die Y._ an die Baurekurskommission I des Kantons Zürich. Diese wies den Rekurs am 20. November 2009 ab.
C. Mit Beschwerde vom 31. Dezember 2009 gelangten X._ und die Y._ an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Am 2. Juni 2010 wies die I. Kammer, 1. Abteilung, des Verwaltungsgerichts die Beschwerde ab.
D. Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid haben X._ und die Y._ am 4. September 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht erhoben. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie der Baubewilligung vom 22. April 2009.
E. Die Stadt Zürich, die Z._ AG sowie das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen (soweit darauf einzutreten sei).
In ihrer Replik vom 16. November 2010 halten die Beschwerdeführer an ihren Anträgen fest.
Erwägungen:
1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid des Verwaltungsgerichts steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (Art. 82 ff. BGG).
Der Beschwerdeführer 1 ist Eigentümer des direkt angrenzenden Grundstücks Hönggerstrasse 22. Als solcher ist er durch das Bauvorhaben besonders betroffen und grundsätzlich zur Beschwerdeführung legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Auf seine Beschwerde ist daher grundsätzlich - vorbehältlich genügend begründeter Rügen - einzutreten.
Die Beschwerdeführerin 2 ist als kantonale (und nicht gesamtschweizerisch) tätige Heimatschutzorganisationen nicht nach Art. 12 des Bundesgesetzes vom 1. Juli 1966 über den Natur- und Heimatschutz (NHG; SR 451) i.V.m. Art. 89 Abs. 2 lit. d BGG zur Beschwerde legitimiert. Sie legt auch nicht dar, inwiefern der angefochtene Entscheid sie in eigenen Interessen (i.S.v. Art. 89 Abs. 1 BGG) berührt; dies ist auch nicht ersichtlich. Als Partei des kantonalen Verfahrens ist sie lediglich (aber immerhin) zur Erhebung formeller, die Verletzung ihrer Parteirechte betreffender Rügen legitimiert (vgl. Urteil 1C_367/2009 vom 27. Oktober 2009 E. 3). Auf ihre Beschwerde ist daher nur in diesem Umfang einzutreten.
2. Das Bundesgericht ist an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden, soweit dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht (Art. 105 und Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel können nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten - einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht - nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Für derartige Rügen gelten die gleichen Begründungsanforderungen, wie sie gestützt auf Art. 90 Abs. 1 lit. b OG für die staatsrechtliche Beschwerde gegolten haben (BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen).
3. Die Beschwerdeführer rügen in erster Linie, das Burgstrassequartier sei zu Unrecht nicht inventarisiert worden. Es handle sich um den letzten Zeugen der früheren kleinhandwerklich geprägten Dorfstruktur Wipkingens mit Vorgärten und pittoresken Werkstätten, zugehörigen Kaminen und unregelmässigen Kleinbauten. Entgegen § 203 Abs. 1 lit. c i.V.m. Abs. 2 des Zürcher Planungs- und Baugesetzes vom 7. September 1975 (PBG) und Art. 103 Abs. 2 der Zürcher Kantonsverfassung vom 27. Februar 2005 (KV/ZH) existiere in der Stadt Zürich überhaupt kein Inventar für Gebäudegruppen und Quartiere. Das Verwaltungsgericht habe sich mit dieser Rüge nicht auseinandergesetzt, sondern lediglich Ausführungen zur fehlenden denkmalschützerischen Funktion der Quartiererhaltungszone gemacht, was gar nicht streitig gewesen sei. Damit habe das Verwaltungsgericht das rechtliche Gehör verletzt.
Dieses Anliegen der Beschwerdeführer kam jedoch in der Beschwerdeschrift vor Verwaltungsgericht nicht oder jedenfalls nicht genügend deutlich zum Ausdruck: Einerseits beriefen sich die Beschwerdeführer selbst auf den Schutzzweck und die Vorschriften der Quartiererhaltungszone (Beschwerde Ziff. 3 S. 4 und Ziff. 6 ff. S. 6 ff.), weshalb sich das Verwaltungsgericht mit dieser Frage auseinandersetzen musste. Andererseits wurde die Rüge, die Stadt sei ihrer Inventarisierungspflicht gemäss § 203 Abs. 2 PBG ungenügend nachgekommen (Beschwerde S. 5 oben), in Ziff. 8 (S. 8) der Beschwerde dahingehend präzisiert, dass bei korrekter Anwendung der Zonenvorschriften i.S.v. § 203 PBG das Ensemble eigentlich in eine Kernzone gehöre. Diese Rüge wurde vom Verwaltungsgericht behandelt: Es legte dar, dass die Zonenordnung, d.h. die Zuweisung zur Quartiererhaltungs- anstatt zur Kernzone, im Baubewilligungsverfahren grundsätzlich nicht akzessorisch überprüft werden könne und vorliegend keine Ausnahme von diesem Grundsatz greife (E. 5.4 des angefochtenen Entscheids). Dies entspricht der bundesgerichtlichen Rechtsprechung und wird von den Beschwerdeführern auch nicht beanstandet.
Auch der Antrag der (anwaltlich vertretenen) Beschwerdeführer auf Einholung eines Gutachtens der kantonalen Denkmalpflegekommission "insbesondere für den Situationswert" (ohne nähere Präzisierung) liess nicht genügend klar erkennen, dass dieses Gutachten dazu dienen sollte, eine bislang unterbliebene Inventarisierung des Quartiers bzw. der Gebäudegruppe Burgstrasse nachzuholen. Es wurde denn auch vom Verwaltungsgericht anders verstanden, nämlich als Gutachten zur Einordnung des Bauvorhabens nach § 238 Abs. 1 PBG und zur gebotenen Rücksichtnahme auf Objekte des Natur- und Heimatschutzes (namentlich die Schutzobjekte Burgstrasse 14, 16 und 18) gemäss § 238 Abs. 2 PBG. Das Verwaltungsgericht erachtete die Einordnung des Bauprojekts als unproblematisch und verzichtete daher auf die beantragte Einholung eines Gutachtens der kantonalen Denkmalpflegekommission (E. 7.3 S. 10 des angefochtenen Entscheids).
Insgesamt kann daher dem Verwaltungsgericht keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorgeworfen werden.
Die von den Beschwerdeführern erst vor Bundesgericht aufgeworfene Frage, ob schützenswerte Quartiere ausserhalb von Ortskernen der Kernzone zugeteilt oder besonders inventarisiert werden müssen, betrifft die Auslegung kantonalen Gesetzesrechts, die vom Bundesgericht nicht frei geprüft werden kann. Die Beschwerdeführer erheben diesbezüglich keine (genügend begründeten) Verfassungsrügen. Schon aus diesem Grund kann darauf nicht eingetreten werden.
4. Die Beschwerdeführer rügen weiter (sinngemäss) eine Verletzung des rechtlichen Gehörs durch Verzicht auf den von ihnen beantragten Augenschein.
Das Verwaltungsgericht ging davon aus, dass die örtlichen Verhältnisse aus den Akten, insbesondere aus der von der Baurekurskommission anlässlich des Augenscheins erhobenen fotografischen Dokumentation, in rechtsgenügender Weise ersichtlich seien und sich deshalb ein Augenschein erübrige.
Diese Erwägung lässt keine Willkür erkennen. Dabei ist auch zu berücksichtigen, dass das Bauvorhaben noch nicht verwirklicht ist und daher nicht in Augenschein genommen, sondern nur anhand der Pläne beurteilt werden konnte. Das Verwaltungsgericht durfte daher ohne Verletzung des rechtlichen Gehörs auf einen Augenschein verzichten.
5. Die übrigen Rügen gegen den angefochtenen Entscheid sind appellatorischer Natur: Die Beschwerdeführer üben allgemeine Kritik am Entscheid des Verwaltungsgerichts, ohne genügend darzulegen, inwiefern dieser geradezu willkürlich sei oder in anderer Weise Bundesrecht oder kantonales Verfassungsrecht verletze. Auf diese Rügen kann daher nicht eingetreten werden (Art. 106 Abs. 2 BGG i.V.m. Art. 42 Abs. 2 BGG).
Dies gilt auch für die Rüge, die Vorinstanzen hätten in willkürlicher Weise die Einhaltung der Abstandsregeln nur auf einer Seite, gegenüber dem Gebäude Burgstrasse 19, verlangt, nicht aber auf der anderen Seite, gegenüber dem Gebäude des Beschwerdeführers 1. Das Verwaltungsgericht hatte dargelegt, dass auf der westlichen Seite (zum Grundstück WP47 des Beschwerdeführers 1) Art. 24g Abs. 3 der Bau- und Zonenordnung der Stadt Zürich vom 23. Oktober 1991/ 21. Dezember 2005 (BZO) zur Anwendung komme, wonach die seitlich geschlossene Bauweise zustimmungsfrei gestattet sei (E. 6.2 des angefochtenen Entscheids), d.h bis zur Grenze gebaut werden dürfe. Auf der östlichen Seite (zum Grundstück WP4494) werde daher offen gebaut, weshalb grundsätzlich der Grenz- und Gebäudeabstand gemäss §§ 270, 271 und 274 PBG einzuhalten seien (vgl. E. 8.2 und E. 9 des angefochtenen Entscheids). Die Beschwerdeführer setzen sich mit diesen Erwägungen nicht auseinander und legen nicht dar, inwiefern die Unterscheidung zwischen offener und geschlossener Bauweise willkürlich sei.
6. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG) und müssen die private Beschwerdegegnerin für die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens entschädigen (Art. 68 BGG). Die Stadt Zürich obsiegt in ihrem amtlichen Wirkungsbereich und hat daher keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die Z._ AG für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Stadt Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Gerber