Sachverhalt:
A. Die 1939 geborene S._ war in einem Gasthaus tätig und dadurch bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Allianz) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 19. September 2004 bei einem Verkehrsunfall Verletzungen erlitt. Die Allianz gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 8. November 2009 schloss sie den Fall unter Zusprechung einer Integritätsentschädigung auf der Grundlage einer Integritätseinbusse von 25 % rückwirkend per Ende 2006 ab, wobei sie im Zusammenhang mit einer am 30. Juli 2009 durchgeführten Operation noch vorübergehend Heilbehandlung gewährte. Auf die von der Versicherten gegen die Verfügung vom 8. November 2009 erhobene Einsprache hin holte die Allianz ein Gutachten des Zentrums X._, vom 24. Februar 2011 ein. Mit Entscheid vom 2. September 2011 wies der Unfallversicherer die Einsprache ab. Er bestätigte die Integritätsentschädigung, setzte den Zeitpunkt des Fallabschlusses neu auf 1. April 2006 fest und verneinte jeden weiteren Leistungsanspruch, auch den auf eine Invalidenrente.
B. Beschwerdeweise beantragte S._, in Aufhebung der Verfügung vom 8. November 2009 und des Einspracheentscheids vom 2. September 2011 seien weitere Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen sowie eine Invalidenrente und eine höhere Integritätsentschädigung zuzusprechen. Das Obergericht Appenzell Ausserrhoden gewährte ihr die unentgeltliche Verbeiständung. Mit Entscheid vom 25. April 2012 wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids beantragen und im Übrigen ihre vorinstanzlichen Rechtsbegehren erneuern. Weiter wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die Allianz hat den Fall auf den 1. April 2006 abgeschlossen. Das kantonale Gericht hat dies bestätigt. Im besagten Zeitpunkt sei von einer Fortführung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes der Versicherten mehr zu erwarten gewesen und und Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung hätten nicht zur Diskussion gestanden. Damit seien die Voraussetzungen für den Abschluss des Falles, unter Einstellung der Heilbehandlungs- und der Taggeldleistungen, erfüllt.
Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen Würdigung der Sach- und Rechtslage. Sie trägt den Grundsätzen zum Fallabschluss (Art. 19 Abs. 1 UVG; BGE 134 V 109) vollumfänglich Rechnung.
Die Versicherte beschränkt sich in der Beschwerde weitgehend auf eine wortwörtliche Wiederholung ihrer vorinstanzlichen Vorbringen, ohne sich mit den Erwägungen im angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen. Das stellt sogar in Frage, ob die Beschwerde überhaupt den gesetzlichen Begründungsanforderungen gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG zu genügen vermag (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f. und E. 2.3 S. 246 f.). Selbst wenn dies noch knapp bejaht wird, ist jedenfalls festzustellen, dass die Vorbringen nicht geeignet sind, die Beurteilung des kantonalen Gerichts als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. Das gilt auch hinsichtlich der vorinstanzlichen Würdigung der Vorverschiebung des Fallabschlusses auf den 1. April 2006, der Operation vom 30. Juli 2009 und der aufliegenden medizinischen Gutachten.
3. Beim Fallabschluss ist der Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung zu prüfen (vgl. BGE 134 V 109 E. 3.2 S. 113 und E. 4.1 S. 114).
3.1 Die Allianz hat im Einspracheentscheid vom 2. September 2011 nach Darlegung der massgeblichen Rechtsgrundlagen eine solche Prüfung vorgenommen. Sie ist zum Ergebnis gelangt, der Invaliditätsgrad liege jedenfalls unter den gemäss Art. 18 Abs. 1 UVG für eine Invalidenrente mindestens erforderlichen 10 %, weshalb ein Rentenanspruch entfalle. Sodann hat sie erkannt, der unfallbedingte Integritätsschaden bestehe in einer Arthrose des unteren Sprunggelenkes und sei auf 25 % festzusetzen, weshalb Anspruch auf eine entsprechende Integritätsentschädigung bestehe.
3.2 Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid namentlich erwogen, der Einspracheentscheid enthalte einlässliche und ausführliche Ausführungen zur Invalidenrente und zur Integritätsentschädigung. Im Rahmen des Beschwerdeverfahrens habe sich die anwaltlich vertretene Versicherte darauf beschränkt, die schon einspracheweise gestellten Anträge zu wiederholen. Sie habe es aber unter Missachtung des Rügeprinzips unterlassen, diese Anträge zu begründen und sich mit den Erwägungen der Allianz auch nur ansatzweise auseinanderzusetzen. Auf die Beschwerde sei daher bezüglich Invalidenrente und Integritätsentschädigung nicht einzutreten. Die Beschwerde wäre aber in diesen Punkten auch inhaltlich abzuweisen.
3.3 Die Versicherte macht geltend, ihre vorinstanzliche Beschwerde habe durchaus eine hinreichende Begründung enthalten. Abgesehen davon wäre das kantonale Gericht gehalten gewesen, sie zur Verbesserung des Rechtsmittels aufzufordern.
Das kantonale Gericht hat zu letzterem Punkt erwogen, für eine solche Aufforderung habe kein Anlass bestanden, zumal die Allianz in ihrer Vernehmlassung auf die ungenügende Begründung der Beschwerde hingewiesen und die Versicherte trotzdem keine Replik eingereicht habe, in welcher sie die Anträge hätte weitergehend begründen können. Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden.
Was den Inhalt der vorinstanzlichen Beschwerde angeht, ist festzuhalten, dass diese das Gutachten des Zentrums X._ vom 24. Februar 2011 nicht einmal erwähnt, obschon die Allianz es als massgebliche Grundlage für die Beurteilung der verbliebenen Leistungsfähigkeit betrachtet hat. Die Beschwerde äussert sich auch nicht zum Einkommensvergleich, den der Unfallversicherer vorgenommen hat. Auch die letztinstanzliche Beschwerde enthält keine entsprechenden Ausführungen, weshalb sich auch hier grundsätzlich die Eintretensfrage stellt.
3.4 Weiterungen zur Begründungspflicht der Beschwerde führenden Partei erübrigen sich aber. Denn jedenfalls sind sämtliche vor- und letztinstanzlichen Vorbringen der Versicherten nicht geeignet, den auf einer sorgfältigen Würdigung der Sach- und Rechtslage beruhenden Einspracheentscheid und den diesen bestätigenden vorinstanzlichen Entscheid inhaltlich oder formellrechtlich in Frage zu stellen. Die Beschwerde ist daher bezüglich Invalidenrente und Integritätsentschädigung ebenfalls unbegründet.
4. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) wird infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abgewiesen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht von Appenzell Ausserrhoden, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Januar 2013
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Lanz