Sachverhalt:
A. A.a X._ (geb. 1971), aus Syrien stammend, gelangte am 19. September 1995 in die Schweiz und reichte ein Asylgesuch ein, das am 18. Januar 1996 abgelehnt wurde. Dagegen erhob er am 19. Februar 1996 Beschwerde. Am 25. Oktober 1996 heiratete er die Schweizer Bürgerin A._ (geb. 1958). In der Folge erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung im Kanton Zürich. Seine Asylbeschwerde zog er am 21. November 1996 zurück.
A.b Am 31. Juli 2000 ersuchte X._ gestützt auf seine Ehe um erleichterte Einbürgerung. Die Eheleute unterzeichneten am 3. April 2002 zuhanden der Einbürgerungsbehörde eine gemeinsame Erklärung, wonach sie in einer tatsächlichen, ungetrennten, stabilen ehelichen Gemeinschaft an derselben Adresse zusammenlebten und weder Trennungs- noch Scheidungsabsichten bestünden. Ferner nahmen die Ehegatten unterschriftlich zur Kenntnis, dass die erleichterte Einbürgerung nicht möglich ist, wenn vor oder während des Einbürgerungsverfahrens einer der Ehegatten die Trennung oder Scheidung beantragt hat oder keine tatsächliche eheliche Gemeinschaft mehr besteht, und dass die Verheimlichung dieser Umstände zur Nichtigerklärung der Einbürgerung führen kann.
Am 22. April 2002 wurde X._ erleichtert eingebürgert und erwarb die Bürgerrechte des Kantons Aargau und der Gemeinde Zofingen.
A.c Am 15. August 2003 wurde die Ehe von X._ mit A._ geschieden. Am 31. August 2004 heiratete X._ in Damaskus eine syrische Staatsangehörige (geb. 1985).
A.d Das Bundesamt für Migration (BFM) teilte X._ am 30. April 2004 mit, dass gegen ihn ein Verfahren auf Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung eröffnet worden sei. Am 18. April 2007 erteilte der Kanton Aargau als Heimatkanton von X._ die Zustimmung zur Nichtigerklärung. Mit Verfügung vom 20. April 2007 erklärte das BFM die erleichterte Einbürgerung von X._ für nichtig.
X._ beschwerte sich am 18. Mai 2007 gegen die Verfügung des BFM beim Bundesverwaltungsgericht. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 24. August 2009 ab. Es ging dabei von der tatsächlichen Vermutung aus, dass spätestens mit Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung keine stabile eheliche Gemeinschaft zwischen dem Beschwerdeführer und seiner schweizerischen Ehefrau mehr bestanden habe und die erleichterte Einbürgerung erschlichen worden sei, und hielt dafür, dass diese tatsächliche Vermutung nicht habe umgestossen werden können.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._, es sei das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und auf die Nichtigerklärung der Einbürgerung zu verzichten (Ziff. 1). Es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen (Ziff. 2) und das Verfahren bis zum Wiedererwägungsentscheid des Bundesverwaltungsgerichts zu sistieren (Ziff. 3). Eventualiter seien die Akten an die Vorinstanz zurückzuweisen mit der Auflage, den Sachverhalt zu ergänzen und dem Beschwerdeführer Gelegenheit zu geben, sich im Rahmen des rechtlichen Gehörs dazu zu äussern (Ziff. 4). Ferner ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren (Ziff. 5).
C. Das Bundesverwaltungsgericht widersetzt sich dem Sistierungsantrag. Im Übrigen erachtet es die Beschwerde als unbegründet. Das BFM schliesst auf Beschwerdeabweisung und verzichtet auf eine weitere Stellungnahme. Der Beschwerdeführer liess sich nochmals vernehmen.
D. Mit Verfügung vom 28. Oktober 2009 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt und das Sistierungsgesuch abgewiesen.
Erwägungen:
1. Das angefochtene Urteil, ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG), betrifft eine Nichtigerklärung einer erleichterten Einbürgerung gestützt auf Art. 27 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, BüG; SR 141.0), somit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG. Die Sachurteilsvoraussetzungen sind grundsätzlich erfüllt. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2. Das Bundesverwaltungsgericht hat die bundesrechtlichen Voraussetzungen zur Nichtigerklärung der erleichterten Einbürgerung zutreffend dargelegt (vgl. angefochtenes Urteil E. 4, 5 und 8.1). Darauf wird verwiesen.
3. 3.1 Das Bundesverwaltungsgericht hat (in E. 7) auf die Umstände hingewiesen, wie der Beschwerdeführer zu einer erleichterten Einbürgerung gelangte: Einreise in die Schweiz als Asylbewerber im September 1995; Abweisung des Asylgesuchs im Januar 1996; während des hängigen Asylbeschwerdeverfahrens im Oktober 1996 Heirat des Beschwerdeführers mit einer 13 Jahre älteren Schweizer Bürgerin, welche der Beschwerdeführer vier Monate zuvor kennengelernt hatte; Gesuch um erleichterte Einbürgerung im Juli 2000; Informationsbericht der Stadtpolizei Zürich im August 2001, wonach der Beschwerdeführer nicht zusammen mit seiner Ehefrau an der den Behörden gemeldeten Adresse wohne; gemeinsame Erklärung über den Zustand der Ehe und erleichterte Einbürgerung im April 2002; Trennung der Eheleute im März 2003; gemeinsames Scheidungsbegehren im April 2003; Ehescheidung im August 2003; Heirat des Beschwerdeführers im August 2004 mit einer 14 Jahre jüngeren syrischen Staatsangehörigen, welche im April 2005 in die Schweiz zog.
Das Bundesverwaltungsgericht schloss aus diesen Eckdaten, namentlich der Korrelation zwischen dem Asylverfahren und der Aufnahme einer Beziehung zu einer Schweizer Bürgerin mit nachfolgender Heirat nach kurzer Bekanntschaft, der kurzen Zeitspanne von weniger als einem Jahr zwischen erleichterter Einbürgerung und definitiver Trennung, Wiederverheiratung ein Jahr nach der Scheidung, dass spätestens im Zeitpunkt der gemeinsamen Erklärung über den Zustand der Ehe und der erleichterten Einbürgerung (April 2002) keine stabile, auf Zukunft gerichtete Ehe zwischen dem Beschwerdeführer und seiner früheren Schweizer Ehefrau mehr bestanden habe. Diese Vermutung werde durch eine Anzahl von Indizien bestärkt, insbesondere durch die Angaben der Beteiligten selbst und durch den grossen Altersunterschied zwischen dem Beschwerdeführer und seiner früheren schweizerischen Ehefrau sowie durch die Wiederverheiratung mit einer gegenüber der früheren schweizerischen Ehefrau 27 Jahre jüngeren syrischen Staatsangehörigen.
Der Beschwerdeführer vermöge die tatsächliche Vermutung des Fehlens einer stabilen Ehe mit der Schweizerin im Zeitpunkt der erleichterten Einbürgerung nicht umzustossen. Insbesondere könne er sich nicht auf eine angeblich im Jahr 2003 ausgebrochene psychische Krankheit als Auslösungsgrund für die plötzliche Scheidung berufen. Gemäss einem mit der Rechtsmitteleingabe eingereichten Schreiben sei der Beschwerdeführer während der Scheidung oder kurz danach krank geworden. Wenn aber der Beschwerdeführer erst während oder nach der Scheidung krank geworden sei, so könne die Krankheit nicht Grund für die Auflösung der Ehe gewesen sein. Bezeichnenderweise habe die frühere Schweizer Ehefrau die Krankheit in der Befragung vom 22. März 2007 mit keinem Wort erwähnt.
Ein weiteres ausserordentliches Ereignis, das nach der erleichterten Einbürgerung zur Trennung bzw. Scheidung hätte führen können, werde nicht geltend gemacht und ergebe sich auch nicht aus den Akten.
3.2 Der Beschwerdeführer widersetzt sich dem Standpunkt der Vorinstanz, dass seine psychische Erkrankung (eine schizoaffektive Störung) keinen Zusammenhang mit der raschen Auflösung der Ehe mit der Schweizerin im Anschluss an die erleichterte Einbürgerung gehabt haben soll. Er macht geltend, die ersten Anzeichen seiner Krankheit hätten sich anfangs 2003 bemerkbar gemacht. Dieser Zeitpunkt stimme mit der Aussage seiner früheren Ehefrau überein, wonach die ehelichen Probleme anfangs 2003 bzw. im Frühling 2003 begonnen hätten. Der Beginn einer schizoaffektiven Störung könne nur selten genau bestimmt werden. In der Regel brauche dieses Leiden viele Tage, wenn nicht gar Wochen oder Monate, bis den Angehörigen klar werde, dass etwas nicht stimme. Wenn die Vorinstanz die Erkrankung inklusive ihrer Vorwirkungszeit und die damit verbundenen Auswirkungen auf die Umwelt des Erkrankten berücksichtigt hätte, so hätte sie zum Schluss kommen müssen, dass ein ausserordentlicher Grund für den raschen Zerfall der ehelichen Gemeinschaft vorgelegen habe und die Einbürgerung demnach nicht erschlichen worden sei.
Als Beleg für die Schwere seiner psychischen Erkrankung legt der Beschwerdeführer eine vom 24. Juni 2009 datierende Verfügung der Eidgenössischen Invalidenversicherung ins Recht, worin dem Beschwerdeführer rückwirkend per 1. September 2006 eine 100%-ige Invalidenrente zugesprochen wird.
3.3 Diese Ausführungen des Beschwerdeführers sind nicht plausibel. Wie das Bundesverwaltungsgericht in seiner Vernehmlassung ans Bundesgericht darlegt, hat der Beschwerdeführer in seiner an das BFM gerichteten Stellungnahme vom 17. April 2007 seine Krankheit nicht als möglichen Scheidungsgrund erwähnt. Auch die frühere Schweizer Ehefrau hat bei der im März 2007 im Rahmen des Verfahrens betreffend Nichtigerklärung der Einbürgerung erfolgten Befragung über die Gründe, die zur Trennung resp. Scheidung führten, die psychische Erkrankung des Beschwerdeführers nie erwähnt. Selbst wenn die Krankheit in ihrer Anfangsphase (Frühling 2003) vom Betroffenen selbst und seinen Angehörigen nicht hätte erkannt werden können, wie der Beschwerdeführer behauptet, so wäre sie zumindest im erstinstanzlichen Verfahren vor dem BFM, welches am 20. April 2007 seinen Abschluss fand, thematisiert worden. Indessen führt der Beschwerdeführer die Tatsache seiner psychischen Erkrankung erst vor dem Bundesverwaltungsgericht in das Verfahren ein und reicht vor Bundesgericht Unterlagen ein, die er in Erfüllung seiner Mitwirkungspflicht (vgl. Art. 13 VwVG) bereits im vorinstanzlichen Verfahren hätte vorlegen müssen (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG).
Dies deutet darauf hin, dass der Beschwerdeführer die Erkrankung vorschiebt, um von den übrigen Umständen, die mit der erleichterten Einbürgerung in Zusammenhang stehen (vgl. E. 3.1 hiervor), abzulenken. Im Übrigen ergibt sich aus der polizeilichen Befragung im März 2007, dass nach Ansicht der Ehefrau - entgegen dem Vorbringen des Beschwerdeführers - die ehelichen Schwierigkeiten bereits Mitte 2000, nicht Anfang 2003 resp. Frühling 2003 begonnen hatten.
Das Bundesverwaltungsgericht durfte deshalb ohne Weiteres davon ausgehen, dass die Ehe bereits während des Einbürgerungsverfahrens zerrüttet war und der Beschwerdeführer die Einbürgerung im Sinne der Rechtsprechung erschlichen hat.
4. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet und ist demnach abzuweisen. Der Beschwerdeführer hat ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt. Diesem kann entsprochen werden (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1 Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2 Rechtsanwältin Katja Ammann, Zürich, wird zur unentgeltlichen Rechtsbeiständin ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit einem Honorar von Fr. 1'500.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Féraud Schoder