Sachverhalt:
A. Die IV-Stelle St. Gallen gewährte der 1997 in der Schweiz geborenen Schweizer Staatsangehörigen O._ auf Grund eines infantilen psychoorganischen Syndroms vom hypoaktiven Typ mit Verfügung vom 2. November 2005 medizinische Massnahmen (Behandlung des Geburtsgebrechens gemäss Ziff. 404 GgV Anhang, EEG-Kontrollen sowie ambulante Ergotherapie). Nachdem O._ am 10. März 2008 handelnd durch ihre Mutter sinngemäss um Verlängerung der Ergotherapie ersuchte und mitteilte, dass sie und ihre Mutter seit etwa zwei Jahren in Ecuador leben würden, überwies die IV-Stelle St. Gallen die Akten an die IV-Stelle für Versicherte im Ausland. Diese teilte O._ mit Vorbescheid vom 1. September 2008 mit, dass sie seit ihrer Ausreise aus der Schweiz am 1. Oktober 2005 nicht mehr der obligatorischen Versicherung unterstehe. Da sie innert Jahresfrist seit dem Ausscheiden aus der obligatorischen Versicherung der freiwilligen Versicherung nicht beigetreten sei, erfülle sie die versicherungsmässigen Voraussetzungen ab 1. Oktober 2005 nicht mehr, weshalb sie keinen Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen ab diesem Zeitpunkt mehr habe. Mit Verfügung vom 10. Oktober 2008 hielt die IV-Stelle an der Verneinung eines Leistungsanspruchs ab 1. Oktober 2005 fest.
B. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Entscheid vom 28. Oktober 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt O._ beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides sei die IV-Stelle für Versicherte im Ausland anzuweisen, ihre Leistungen in Form von Eingliederungsmassnahmen weiterhin zu erbringen.
Die IV-Stelle für Versicherte im Ausland schliesst auf Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG).
2. 2.1 Gemäss des bis 31. Dezember 2007 in Kraft gestandenen Art. 22quater Abs. 2 IVV haben Personen, die der obligatorischen oder freiwilligen Versicherung nicht oder nicht mehr unterstellt sind, Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen höchstens bis zum 20. Altersjahr, sofern mindestens ein Elternteil freiwillig oder nach Artikel 1a Abs. 1 Buchstabe c oder Abs. 3 AHVG oder auf Grund einer zwischenstaatlichen Vereinbarung während einer Erwerbstätigkeit im Ausland obligatorisch versichert ist. Gemäss dem seit 1. Januar 2008 geltenden Art. 9 Abs. 2 IVG haben Personen, die der Versicherung nicht oder nicht mehr unterstellt sind, höchstens bis zum 20. Altersjahr Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen, sofern mindestens ein Elternteil: a. freiwillig versichert ist; oder b. während einer Erwerbstätigkeit im Ausland obligatorisch versichert ist: 1. nach Artikel 1a Absatz 1 Buchstabe c AHVG, 2. nach Artikel 1a Absatz 3 Buchstabe a AHVG, oder 3. auf Grund einer zwischenstaatlichen Vereinbarung.
2.2 Streitig und zu prüfen ist der Anspruch der Versicherten auf medizinische Massnahmen. In Frage steht, ob die versicherungsmässigen Voraussetzungen im Rahmen der genannten Bestimmungen erfüllt sind. Unbestritten ist, dass die Versicherte und ihre Mutter nicht mehr obligatorisch versichert sind, da sie seit Oktober 2005 in Ecuador leben, sich zwar der freiwilligen Versicherung hätten anschliessen können, dies aber nicht getan haben. Während die Beschwerdeführerin geltend machen lässt, ihr Anspruch ergebe sich aus der Versicherteneigenschaft des Vaters, der obligatorisch - auf Grund seines Wohnsitzes - versichert und auch von Art. 22quater Abs. 2 IVV und Art. 9 Abs. 2 IVG erfasst sei, haben Vorinstanz und Verwaltung einen Anspruch verneint, da die genannten Normen als Ausnahmebestimmungen eine solche Interpretation nicht zuliessen.
3. 3.1 Ausgangspunkt jeder Auslegung bildet der Wortlaut der Bestimmung. Vom klaren, d.h. eindeutigen und unmissverständlichen Wortlaut darf nur ausnahmsweise abgewichen werden, u.a. dann nämlich, wenn triftige Gründe dafür vorliegen, dass der Wortlaut nicht den wahren Sinn der Norm wiedergibt. Solche Gründe können sich aus der Entstehungsgeschichte der Bestimmung, aus ihrem Grund und Zweck oder aus dem Zusammenhang mit andern Vorschriften ergeben (BGE 135 II 78 E. 2.2 S. 81; 135 V 215 E. 7.1 S. 229, 249 E. 4.1).
3.2 Eine historisch orientierte Auslegung ist für sich allein nicht entscheidend. Anderseits vermag aber nur sie die Regelungsabsicht des Gesetzgebers (die sich insbesondere aus den Materialien ergibt) aufzuzeigen, welche wiederum zusammen mit den zu ihrer Verfolgung getroffenen Wertentscheidungen verbindliche Richtschnur des Gerichts bleibt, auch wenn es das Gesetz mittels teleologischer Auslegung oder Rechtsfortbildung veränderten, vom Gesetzgeber nicht vorausgesehenen Umständen anpasst oder es ergänzt (BGE 129 I 12 E. 3.3 S. 16; 129 V 95 E. 2.2 S. 98). Die Vorarbeiten sind für die Gesetzesinterpretation weder verbindlich noch für die Auslegung unmittelbar entscheidend; denn ein Gesetz entfaltet ein eigenständiges, vom Willen des Gesetzgebers unabhängiges Dasein, sobald es in Kraft getreten ist. Insbesondere sind Äusserungen von Stellen oder Personen, die bei der Vorbereitung mitgewirkt haben, nicht massgebend, wenn sie im Gesetzestext nicht selber zum Ausdruck kommen. Das gilt selbst für Äusserungen, die unwidersprochen geblieben sind. Als verbindlich für das Gericht können nur die Normen selber gelten, die von der gesetzgebenden Behörde in der hierfür vorgesehenen Form erlassen worden sind. Das bedeutet nun nicht, dass die Gesetzesmaterialien methodisch unbeachtlich wären; sie können namentlich dann, wenn eine Bestimmung unklar ist oder verschiedene, einander widersprechende Auslegungen zulässt, ein wertvolles Hilfsmittel sein, um den Sinn der Norm zu erkennen und damit falsche Auslegungen zu vermeiden. Wo die Materialien keine klare Antwort geben, sind sie als Auslegungshilfe nicht dienlich. Insbesondere bei verhältnismässig jungen Gesetzen darf der Wille des historischen Gesetzgebers nicht übergangen werden. Hat dieser Wille jedoch im Gesetzestext keinen Niederschlag gefunden, so ist er für die Auslegung nicht entscheidend. Ist in der Gesetzesberatung insbesondere ein Antrag, das Gesetz sei im Sinne einer nunmehr vertretenen Auslegungsmöglichkeit zu ergänzen, ausdrücklich abgelehnt worden, dann darf diese Auslegungsmöglichkeit später nicht in Betracht gezogen werden (BGE 134 V 170 E. 4.1 S. 174 mit Hinweisen).
3.3 Verordnungsrecht ist gesetzeskonform auszulegen. Es sind die gesetzgeberischen Anordnungen, Wertungen und der in der Delegationsnorm eröffnete Gestaltungsspielraum mit seinen Grenzen zu berücksichtigen (BGE 128 V 20 E. 3a S. 24, 126 V 468 E. 5a S. 472, 122 V 85 E. 5a/aa S. 93).
3.4 Ausnahmebestimmungen sind weder restriktiv noch extensiv, sondern nach ihrem Sinn und Zweck im Rahmen der allgemeinen Regelung auszulegen (BGE 130 V 229 E. 2.2 S. 233; 118 Ia 175 E. 2d S. 179; 117 Ib 114 E. 7c S. 121; 114 V 298 E. 3e S. 302, je mit Hinweisen; vgl. BGE 131 V 279 E. 2.4 S. 285; 130 V 472 E. 6.5.6 S. 478).
4. 4.1 Der deutsche Wortlaut von Art. 22quater Abs. 2 IVV wie auch von Art. 9 Abs. 2 IVG ist klar: Mindestens ein Elternteil muss versichert sein, und zwar entweder freiwillig oder obligatorisch auf Grund der genannten Bestimmungen. Das Argument der Beschwerdeführerin, der Passus "mindestens" beziehe sich nicht nur auf "ein Elternteil", sondern auch "auf den Umstand der freiwilligen Versicherung", und zwar in dem Sinne, dass eine obligatorische Versicherung umso mehr genügen müsse, trifft offensichtlich nicht zu. In der Verordnung bzw. im Gesetz hätte diesfalls eine viel einfachere Formulierung gewählt werden können, wie etwa "sofern mindestens ein Elternteil versichert ist". Die differenzierte Festlegung, nach welchen gesetzlichen Grundlagen ein Elternteil obligatorisch versichert sein muss, hätte sich erübrigt. Zum gleichen Ergebnis führt die Konsultation der Fassungen beider Bestimmungen in französischer ("pour autant que l'un de leurs parents soit assuré facultativement ou obligatoirement au sens de l'art. 1a, al. 1, let. c, ou al. 3, LAVS"; "si l'un de ses parents: a. est assuré facultativement; b. est assuré obligatoirement pour une activité professionnelle exercée à l'étranger: 1. conformément à l'art. 1a, al. 1, let. c, LAVS, 2. conformément à l'art. 1a, al. 3, let. a, LAVS, 3. en vertu d'une convention internationale") und italienischer Sprache ("nella misura in cui almeno uno dei genitori sia assicurato facoltativamente o obbligatoriamente in virtú dell'articolo 1a capoversi 1 lettera c o 3 LAVS"; "purché almeno uno dei genitori: a. sia assicurato facoltativamente; o b. sia assicurato obbligatoriamente durante un'attività lucrativa esercitata all'estero: 1. secondo l'articolo 1a capoverso 1 lettera c LAVS, 2. secondo l'articolo 1a capoverso 3 lettera a LAVS, o 3. in virtù di una convenzione internazionale").
4.2 Der Sinn und Zweck dieser Bestimmungen besteht darin, die für die Gewährung von Eingliederungsmassnahmen erforderliche Versicherteneigenschaft (Art. 22quater Abs. 1 IVV, Art. 9 Abs. 1bis IVG) zu ersetzen, die ein versicherter Elternteil (z.B. ein der freiwilligen AHV/IV angeschlossener Auslandschweizer oder ein der obligatorischen Versicherung weiterhin angeschlossener Entsandter) auf Grund des Prinzips der Individualversicherung (vgl. AHI 2004 S. 172 mit Hinweisen; dies im Gegensatz zur Mit- oder Familienversicherung) seinem Kind nicht vermitteln kann (Ulrich Meyer, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum IVG, Zürich 2010, 2. Aufl., S. 113 f. mit Hinweis auf EVGE 1962 S. 108). Die genannten obligatorisch Versicherten (EDA-Mitarbeiter und Entsandte) haben häufig keine Wahlmöglichkeit zwischen der Versicherung des Wohnlandes und der obligatorischen Weiterversicherung in der Schweiz und deshalb meist auch keine Möglichkeit, ihre Kinder einer ausländischen Sozialversicherung anzuschliessen (AHI 2002 S. 18).
4.3 In systematischer Hinsicht ist festzuhalten, dass Absatz 2 der Bestimmungen die Ausnahmefälle zu Absatz 1 (Grundsatz des Erfordernisses der Versicherungsunterstellung) regelt.
4.4 Entstehungsgeschichtlich zeigt sich, dass in der gemäss AS 2000 89 auf den 1. Januar 2001 (im Rahmen des Wegfalls der Versicherungsklausel) eingeführten Bestimmung des Art. 22quater Abs. 2 IVV bereits die Variante der freiwilligen Versicherung mindestens eines Elternteils vorgesehen war. Rückwirkend auf den 1. Januar 2001 wurde die Bestimmung des Art. 22quater Abs. 2 IVV sodann um die obligatorische Versicherung mindestens eines Elternteils gemäss Art. 1 Abs. 1 lit. c oder Abs. 3 AHVG erweitert (AS 2001 200). Eine weitere - rein redaktionelle - Anpassung erfolgte per 1. Januar 2003 (AS 2001 3721).
Den Erläuterungen zu den Änderungen der IVV auf den 1. Januar 2002 (darin enthalten die Änderung von Art. 22quater Abs. 2 IVV per 1. Januar 2001) in AHI 2002 S. 18 f. lässt sich entnehmen, dass die Bestimmung des Art. 22quater IVV im Zuge der Aufhebung der Versicherungsklausel mit Wirkung auf den 1. Januar 2001 (Art. 6 Abs. 1 IVG; zu den Auswirkungen hinsichtlich Eingliederungsmassnahmen: Botschaft vom 28. April 1999 zur Änderung des Bundesgesetzes über die Alters- und Hinterlassenenversicherung, BBl 1999 1983 ff., 5012) eingeführt wurde, denn es mussten die Anspruchsvoraussetzungen für Eingliederungsmassnahmen in der IV neu umschrieben werden (AHI 2002 S. 17). Dabei sah der Verordnungsgeber mit Blick auf den von ihm statuierten Grundsatz, wonach Eingliederungsmassnahmen frühestens ab Versicherungsunterstellung und längstens bis Versicherungsende gewährt werden können, Handlungsbedarf hinsichtlich der Rechtsstellung der Kinder, weil diese unter Umständen (z.B. in der Schweiz geborenes Kind, das die Schweiz vor dem 5. Altersjahr verlässt, oder im Ausland geborenes Kind) der freiwilligen Versicherung selber nicht beitreten können, da diese mit der Revision der freiwilligen Versicherung (Änderung des AHVG vom 23. Juni 2000) nur noch Personen offen steht, die vorher während mindestens fünf Jahren obligatorisch versichert waren (Art. 2 Abs. 1 AHVG). Deshalb sah der Verordnungsgeber in Art. 22quater Abs. 2 IVV vor, dass die freiwillige Versicherung eines Elternteils genüge. Eine Ausdehnung auf Kinder eines obligatorisch versicherten Elternteils wollte der Verordnungsgeber nach den Erläuterungen in AHI 2002 S. 18 bewusst nicht; zur Begründung führte er an, dass Eingliederungsmassnahmen diesfalls auch an Kinder von Grenzgängern gewährt werden müssten und dass die Ausdehnung den Grundsatz, dass Eingliederungsmassnahmen nur ausnahmsweise im Ausland gewährt würden, zu stark aushöhle und erhebliche Mehrkosten verursache (AHI 2002 S. 18).
4.5 Allerdings entschied das Eidg. Versicherungsgericht im Urteil I 169/03 vom 12. Januar 2005, publiziert in SVR 2005 IV Nr. 34 S. 125, dass die Nichtanwendung der Ausnahmebestimmung des Art. 22quater Abs. 2 IVV auf nicht der Versicherung unterstellte schweizerische Staatsangehörige, deren Vater oder Mutter als Grenzgänger in der Schweiz erwerbstätig und somit obligatorisch versichert sind, mit dem Anspruch auf rechtsgleiche Behandlung nicht vereinbar sei. Der Anwendungsbereich des Art. 22quater Abs. 2 IVV sei dahingehend auszudehnen, als das Recht auf medizinische Massnahmen - soweit diese in der Schweiz durchgeführt werden - auch diesen Personen zuzuerkennen sei. Als entscheidend für den rechtsgleichen Anspruch auf Eingliederungsmassnahmen erachtete das Gericht den Umstand, dass das Kind der freiwilligen Versicherung nicht beitreten könne und die Eltern nicht die Möglichkeit hätten zu wählen, ob sie bei der Versicherung im Wohnsitzstaat oder in der Schweiz versichert sein wollen. Insofern bestehe exakt die gleiche Situation wie bei den in Art. 22quater Abs. 2 IVV genannten obligatorisch Versicherten.
Der diesem Urteil zu Grunde liegende Fall unterscheidet sich von dem hier zu beurteilenden dadurch, dass die Versicherte und ihre Mutter sehr wohl die Möglichkeit gehabt hätten, sich der freiwilligen Versicherung zu unterstellen und damit den Wegfall der Anspruchsvoraussetzungen zu verhindern. Insofern besteht für die Ausdehnung des Anwendungsbereichs von Art. 22quater Abs. 2 IVV bzw. Art. 9 Abs. 2 IVG kein Anlass. Aus demselben Grund ist auch die Berufung auf den Gleichbehandlungsgrundsatz von Art. 8 Abs. 1 BV nicht stichhaltig, da sich die Versicherte über ihre Mutter ohne weiteres hätte weiterhin versichern lassen können.
4.6 Im Rahmen der 5. IV-Revision wurde die Bestimmung des Art. 22quater Abs. 2 IVV, obwohl im Urteil I 169/03 als zu eng empfunden, praktisch unverändert auf Gesetzesstufe gehoben (Art. 9 Abs. 2 IVG, in Kraft seit 1. Januar 2008; BBl 2005 4561). In der Botschaft wird dazu festgehalten, die Ausnahme gelte nur für die Kinder von freiwillig Versicherten und von Personen, die während einer Beschäftigung im Ausland weiterhin obligatorisch in der AHV/IV versichert bleiben (sog. Entsandte), während alle übrigen im Ausland wohnhaften Kinder obligatorisch versicherter Eltern (wozu auch die Kinder von Grenzgängern gehören) mangels Versicherungsunterstellung nicht in den Genuss von Eingliederungsmassnahmen kommen könnten (BBl 2005 4562). Dabei wurde in der Sitzung vom 10. November 2005 der nationalrätlichen Kommission für soziale Sicherheit und Gesundheit das Urteil I 169/03 und die besondere Stellung der Grenzgänger zwar diskutiert, eine Änderung gegenüber der bundesrätlichen Vorlage indessen ausdrücklich abgelehnt. Man sprach sich bewusst gegen eine Ausdehnung des Anwendungsbereichs aus (Protokoll SKG-N vom 10. November 2005 S. 48 f.). Im Parlament wurde die unverändert eng formulierte Bestimmung diskussionslos angenommen (AB 2006 vom 21. März 2006 N S. 349; AB 2006 vom 22. Juni 2006 S S. 603).
4.7 Nach dem Gesagten führt die Interpretation der beiden Ausnahmebestimmungen von Art. 22quater Abs. 2 IVV und von Art. 9 Abs. 2 IVG zum klaren Ergebnis, dass deren Anwendungsbereich nicht ausgedehnt werden und sich die Beschwerdeführerin nicht darauf berufen kann.
4.8 Aus den von der Beschwerdeführerin weiter angerufenen Art. 3 und 23 des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) ergibt sich nichts anderes. Art. 3 KRK gilt als Leitgedanke, wobei sich der Bundesrat auch von anderen Überlegungen als dem Kindeswohl leiten lassen darf (BGE 136 I 297 E. 8.2 S. 308). Das Bundesgericht hat unter anderem die direkte Anwendbarkeit in Bezug auf die Bestimmungen des Art. 23 KRK verneint (keine self-executing Norm, SZS 210 S. 357 [Urteil 8C_295/2008 vom 22. November 2008] E. 4.2.1).
5. Die Gerichtskosten werden der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Bundesverwaltungsgericht und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. Mai 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Helfenstein Franke