Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene M._, seit 1989 in der Schweiz lebend und seit 1995 eingebürgert, meldete sich im Juli 2008 bei der Invalidenversicherung an und beantragte eine Rente. Nach Abklärungen (u.a. Gutachten des medizinischen Zentrums X._ vom 21. November 2009) und nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich mit Verfügung vom 2. Juni 2010 einen Rentenanspruch.
B. Die Beschwerde der M._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 30. Juni 2011 ab.
C. M._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 30. Juni 2011 und die Verfügung vom 2. Juni 2010 seien aufzuheben und die Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit sie hernach nochmals über den Rentenanspruch entscheide.
Erwägungen:
1. Die Vorinstanz hat als Ergebnis der Würdigung der medizinischen Unterlagen festgestellt, es sei davon auszugehen, dass kein invalidisierender Gesundheitsschaden ausgewiesen und es der Beschwerdeführerin bei Aufbietung allen guten Willens und in Nachachtung der Schadenminderungspflicht zuzumuten sei, zu 100 % ihrer zuletzt ausgeübten Tätigkeit als angelernte Köchin nachzugehen.
2. Die Vorbringen in der Beschwerde, soweit damit nicht unzulässige appellatorische Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung geübt wird (Art. 105 Abs. 2 BGG; Urteile 9C_735/2010 vom 21. Oktober 2010 E. 3 und 4A_28/2007 vom 30. Mai 2007 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 133 III 421), sind nicht geeignet, eine Verletzung von Bundesrecht durch die Vorinstanz (Art. 95 lit. a BGG) darzutun:
2.1 Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des Grundsatzes der freien Beweiswürdigung (vgl. dazu BGE 125 V 351 E. 3a S. 352) und des Anspruchs auf prozessuale Chancengleichheit durch die pauschale, undifferenzierte Bevorzugung des Gutachtens des medizinischen Zentrums X._ vom 21. November 2009 durch die Vorinstanz. Zur Begründung beruft sie sich im Wesentlichen auf BGE 137 V 210. In diesem Grundsatzurteil hat das Bundesgericht verschiedene Fragen formeller Natur im Zusammenhang mit Administrativgutachten von medizinischen Abklärungsstellen (MEDAS) im Sinne von Art. 72bis IVV geklärt. Insbesondere hat es die Mitwirkungsrechte der zu begutachtenden Versicherten gestärkt. Solche Mängel werden indessen nicht gerügt. Der Umstand allein, dass abweichende (fach-)ärztliche Meinungen in Bezug auf die Arbeitsfähigkeit aus medizinischer Sicht bestehen, spricht unter verfassungs- und konventionsrechtlichem Gesichtswinkel nicht gegen den Beweiswert des von der IV-Stelle eingeholten Gutachtens vom 21. November 2009. Etwas anderes macht auch die Beschwerdeführerin zu Recht nicht geltend.
2.2 Im Weitern ist unbestritten, dass bei der psychiatrischen Untersuchung kein Dolmetscher anwesend war. Im eingeschrieben zugestellten Schreiben vom 17. August 2009, in welchem die Abklärungsstelle die Namen der Gutachter und die Untersuchungstermine bekanntgab, war die Beschwerdeführerin ausdrücklich und durch Fettdruck hervorgehoben danach gefragt worden, ob sie eine Dolmetscherin brauche und wenn ja, in welcher Sprache. Offensichtlich stellte sie keinen solchen Antrag. Die Gutachterinnen erachteten eine Übersetzungshilfe nicht als erforderlich (vgl. AHI 2004 S. 143, I 245/00 E. 4.2.1). Im psychiatrischen Teilgutachten wurde festgehalten, die Explorandin spreche gebrochen deutsch. Eigentliche Verständigungsprobleme bestanden indessen nicht. Es wird denn auch lediglich ein von der rheumatologischen Gutachterin anamnestisch unrichtig erfasster Sachverhalt erwähnt. Dass ohne dieses Missverständnis eine andere Diagnose gestellt worden und die Einschätzung der Arbeitsfähigkeit anders ausgefallen wäre, ist indessen nicht anzunehmen. Das Vorbringen, die psychiatrische Exploration habe nur eine Stunde gedauert, ist neu. Inwiefern es erst durch den vorinstanzlichen Entscheid veranlasst resp. rechtswesentlich wurde, wird nicht dargelegt. Es hat daher ausser Betracht zu bleiben (Art. 99 Abs. 1 BGG; Urteil 9C_731/2011 vom 31. Oktober 2011 E. 4.1). Abgesehen davon spricht eine Dauer der Untersuchung von einer Stunde nicht gegen die Aussagekraft der gestützt darauf gewonnenen Erkenntnisse (vgl. Urteil 9C_121/2008 vom 4. August 2008 E. 4.1).
2.3 Sodann kann nicht davon gesprochen werden, die Rheumatologin der Abklärungsstelle habe das Ergebnis der eigentlichen psychiatrischen Begutachtung vorweggenommen durch Fokussierung auf die "Diskrepanz zwischen den klinischen und radiologischen objektivierbaren Befunden im Vergleich zu den von der Versicherten demonstrierten Beschwerden und Schmerzen" und Deutung der Schmerzangaben als Selbstlimitierung/Aggravation. Der psychiatrischen Gutachterin standen die Ergebnisse der drei Wochen vorher durchgeführten rheumatologischen Untersuchung nicht zur Verfügung. Abgesehen davon kommt den Rheumatologen auch in Bezug auf psychosomatische Beschwerdebilder eine (beschränkte) Beurteilungskompetenz zu (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 704/03 vom 28. Dezember 2004 E. 4.1.1). Im Übrigen kann aus dem - nicht bestrittenen - Umstand, dass die geklagten Schmerzen sich nicht (vollständig) durch nachweisbare organische Defekte erklären liessen, nicht geschlossen werden, die rheumatologische Gutachterin habe Zweifel an der Glaubwürdigkeit der Explorandin gehabt und daraus unrichtige Schlüsse gezogen. Von einer Verletzung von Denkgesetzen kann nicht gesprochen werden. In diesem Zusammenhang durfte die Vorinstanz in einer Eventualbegründung auch prüfen, ob unter der Annahme, dass zusätzlich eine Fibromyalgie, ein chronisch generalisiertes Schmerzsyndrom oder eine somatoforme Schmerzstörung gegeben ist, ein invalidisierender psychischer Gesundheitsschaden zu bejahen wäre. Die diesbezüglichen vorinstanzlichen Erwägungen werden nicht als bundesrechtswidrig gerügt.
2.4 Schliesslich bringt die Beschwerdeführerin vor, die Vorinstanz habe ihr unterstellt, die wenigen Arztbesuche beim behandelnden Psychotherapeuten seien überwiegend im Hinblick auf eine mögliche Berentung erfolgt, und das Tragen von "Pumps" bei der rheumatologischen Untersuchung als Indiz für ihre Unglaubwürdigkeit gewertet. Sie legt indessen nicht dar, inwiefern die diesbezüglichen vorinstanzlichen Feststellungen entscheidwesentlich sind. Nicht ersichtlich ist, inwiefern sich in den vorinstanzlichen Erwägungen betreffend die Gelenkschmerzen zeigen soll, dass ein Abstellen auf das Administrativgutachten nicht zu rechtfertigen ist.
Die Beschwerde ist unbegründet.
3. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, einstweilen indes auf die Gerichtskasse genommen.
3. Zufolge Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung wird Rechtsanwältin Evalotta Samuelsson für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- aus der Gerichtskasse entschädigt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. November 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Fessler