Faits:
Faits:
A. Le 2 août 2002, l'Association pour un autre Rôtillon (APAR) a sollicité de la Municipalité de la commune de Lausanne (ci-après: la municipalité) l'autorisation d'occuper le parking du quartier du Rôtillon, au centre de la ville, durant les soirées des 30 et 31 août 2002. Cette association entendait y organiser les "IIèmes Rôtillonades du IIIème Millénaire", manifestation présentant au public différentes animations. Le parking du Rôtillon fait partie du domaine public communal.
Le 19 août 2002, la municipalité a refusé l'autorisation requise, en invoquant les nuisances que subiraient les habitants du voisinage.
Le 19 août 2002, la municipalité a refusé l'autorisation requise, en invoquant les nuisances que subiraient les habitants du voisinage.
B. Le 25 août 2002, l'APAR a écrit à la municipalité pour lui demander de revoir sa position.
B. Le 25 août 2002, l'APAR a écrit à la municipalité pour lui demander de revoir sa position.
C. Simultanément, le 27 août 2002, l'APAR a saisi le Tribunal administratif du canton de Vaud d'un recours contre la décision municipale du 19 août 2002. Le Tribunal administratif a tenu audience le 29 août suivant et il a statué le jour même (l'arrêt motivé porte la date du 12 septembre 2002). Il a réformé la décision attaquée en ce sens que l'autorisation demandée par l'APAR était délivrée pour une manifestation conforme au programme annoncé par cette association. Le Tribunal administratif a renoncé à percevoir un émolument judiciaire; il a en revanche condamné la commune de Lausanne à verser à l'APAR des dépens, arrêtés à 1'000 fr.
C. Simultanément, le 27 août 2002, l'APAR a saisi le Tribunal administratif du canton de Vaud d'un recours contre la décision municipale du 19 août 2002. Le Tribunal administratif a tenu audience le 29 août suivant et il a statué le jour même (l'arrêt motivé porte la date du 12 septembre 2002). Il a réformé la décision attaquée en ce sens que l'autorisation demandée par l'APAR était délivrée pour une manifestation conforme au programme annoncé par cette association. Le Tribunal administratif a renoncé à percevoir un émolument judiciaire; il a en revanche condamné la commune de Lausanne à verser à l'APAR des dépens, arrêtés à 1'000 fr.
D. La municipalité a formé un recours de droit public contre l'arrêt du Tribunal administratif. Le Tribunal fédéral a admis ce recours par un arrêt rendu le 18 octobre 2002, annulant la décision attaquée (cause 1P.536/2002). L'annulation est fondée sur une violation des règles garantissant l'indépendance et l'impartialité des autorités judiciaires.
D. La municipalité a formé un recours de droit public contre l'arrêt du Tribunal administratif. Le Tribunal fédéral a admis ce recours par un arrêt rendu le 18 octobre 2002, annulant la décision attaquée (cause 1P.536/2002). L'annulation est fondée sur une violation des règles garantissant l'indépendance et l'impartialité des autorités judiciaires.
E. Après l'arrêt du Tribunal fédéral, le juge instructeur du Tribunal administratif - lequel avait présidé la cour ayant rendu l'arrêt des 29 août et 12 septembre 2002 - a informé les parties, par une ordonnance du 22 octobre 2002, que la cause était devenue sans objet et qu'il convenait de mettre un terme à la procédure en statuant sur les frais et dépens, conformément à l'art. 52 de la loi cantonale sur la juridiction et la procédure administratives (LJPA), appliqué par analogie. Un délai au 31 octobre 2002 a été fixé aux parties pour communiquer leurs déterminations, étant précisé que la décision serait prise ensuite.
La municipalité n'a pas déposé d'observations. L'APAR s'est pour sa part déterminée le 31 octobre 2002.
La municipalité n'a pas déposé d'observations. L'APAR s'est pour sa part déterminée le 31 octobre 2002.
F. Le 4 novembre 2002, le juge instructeur du Tribunal administratif a déclaré sans objet le recours formé par l'APAR contre la décision de la municipalité et il a rayé la cause du rôle; il a retenu que la manifestation litigieuse avait déjà eu lieu aux dates fixées, et que les circonstances politiques avaient évolué après l'adoption, le 22 septembre 2002 en votation populaire, de crédits pour le réaménagement de la rue desservant le quartier du Rôtillon, projet auparavant contesté par l'APAR qui avait organisé sa manifestation dans la perspective de cette votation. Le juge instructeur n'a pas mis d'émolument judiciaire à la charge des parties, mais il a alloué à l'APAR une indemnité de 1'000 fr. à titre de dépens, à verser par la commune de Lausanne.
F. Le 4 novembre 2002, le juge instructeur du Tribunal administratif a déclaré sans objet le recours formé par l'APAR contre la décision de la municipalité et il a rayé la cause du rôle; il a retenu que la manifestation litigieuse avait déjà eu lieu aux dates fixées, et que les circonstances politiques avaient évolué après l'adoption, le 22 septembre 2002 en votation populaire, de crédits pour le réaménagement de la rue desservant le quartier du Rôtillon, projet auparavant contesté par l'APAR qui avait organisé sa manifestation dans la perspective de cette votation. Le juge instructeur n'a pas mis d'émolument judiciaire à la charge des parties, mais il a alloué à l'APAR une indemnité de 1'000 fr. à titre de dépens, à verser par la commune de Lausanne.
G. Agissant par la voie du recours de droit public, la municipalité demande au Tribunal fédéral d'annuler cette décision. La recourante se prévaut de l'autonomie communale et se plaint de violations des art. 29 et 30 Cst. (en relation avec l'art. 6 par. 1 CEDH) ainsi que d'une application arbitraire, ou contraire à l'art. 9 Cst., des art. 52 et 55 LJPA. En substance, selon elle, le recours de l'APAR aurait été classé abusivement, par un magistrat qui aurait dû se récuser et de toute manière ne pas statuer seul, et les dépens n'auraient pas dû être mis à sa charge.
L'APAR conclut à l'irrecevabilité du recours de droit public, subsidiairement à son rejet. Le Tribunal administratif propose le rejet du recours.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. La recourante prétend que le magistrat qui a rendu la décision attaquée aurait dû se récuser, car il avait déjà participé à la décision du 29 août 2002, annulée par le Tribunal fédéral. Or ce magistrat avait annoncé, dans son ordonnance du 22 octobre 2002, qu'il entendait rendre lui-même une décision rayant la cause du rôle. Tandis qu'elle aurait pu réagir dans le délai de déterminations fixé dans ladite ordonnance, la recourante n'a pas présenté d'emblée une demande de récusation (laquelle aurait alors été transmise à la Cour plénière du Tribunal administratif - cf. art. 15 al. 2 let. e et art. 43 LJPA). Or, selon la jurisprudence, le grief tiré de la prévention du juge doit être soulevé aussitôt que possible. Celui qui omet de dénoncer immédiatement un tel vice, quand le motif de récusation était déjà connu auparavant, et laisse le procès se dérouler sans intervenir, agit contrairement à la bonne foi et voit se périmer son droit de se plaindre ultérieurement de la violation qu'il allègue (ATF 128 V 82 consid. 2b p. 85; 126 III 249 consid. 3c p. 253; 121 I 225 consid. 3 p. 229; 120 Ia 19 consid. 2c/aa p. 24, et les arrêts cités). Il en va ainsi dans le cas particulier et le grief n'a pas à être examiné.
1. La recourante prétend que le magistrat qui a rendu la décision attaquée aurait dû se récuser, car il avait déjà participé à la décision du 29 août 2002, annulée par le Tribunal fédéral. Or ce magistrat avait annoncé, dans son ordonnance du 22 octobre 2002, qu'il entendait rendre lui-même une décision rayant la cause du rôle. Tandis qu'elle aurait pu réagir dans le délai de déterminations fixé dans ladite ordonnance, la recourante n'a pas présenté d'emblée une demande de récusation (laquelle aurait alors été transmise à la Cour plénière du Tribunal administratif - cf. art. 15 al. 2 let. e et art. 43 LJPA). Or, selon la jurisprudence, le grief tiré de la prévention du juge doit être soulevé aussitôt que possible. Celui qui omet de dénoncer immédiatement un tel vice, quand le motif de récusation était déjà connu auparavant, et laisse le procès se dérouler sans intervenir, agit contrairement à la bonne foi et voit se périmer son droit de se plaindre ultérieurement de la violation qu'il allègue (ATF 128 V 82 consid. 2b p. 85; 126 III 249 consid. 3c p. 253; 121 I 225 consid. 3 p. 229; 120 Ia 19 consid. 2c/aa p. 24, et les arrêts cités). Il en va ainsi dans le cas particulier et le grief n'a pas à être examiné.
2. Invoquant les garanties générales de procédure (art. 29 Cst.) et les garanties de procédure judiciaire (art. 30 Cst.), la recourante soutient que, même pour constater le cas échéant l'irrecevabilité du recours contre la décision municipale parce que l'association requérante de l'autorisation ne pouvait plus se prévaloir d'un intérêt actuel à l'obtention d'un jugement, le Tribunal administratif aurait dû statuer en section, soit dans une composition comprenant un juge et deux assesseurs.
2.1 Par l'ordonnance précitée du 22 octobre 2002, le magistrat concerné a informé les parties que la procédure se déroulerait conformément à l'art. 52 LJPA, appliqué par analogie. Cette norme, sous le titre "Retrait du recours", a la teneur suivante:
"Le retrait du recours met fin à la procédure; le magistrat instructeur raye la cause du rôle et statue sur les frais et dépens.
L'autorité intimée peut, pendant la procédure de recours, rapporter ou modifier sa décision. Le recourant est alors invité à dire s'il retire, maintient ou modifie son recours.
Lorsque, par suite d'une modification de la décision attaquée, le recours est devenu sans objet, le magistrat instructeur raye la cause du rôle et statue sur les frais et dépens."
Le droit cantonal prévoit encore, dans d'autres hypothèses, que le magistrat instructeur statue seul sur le sort d'un recours (cf. art. 33 et 35 LJPA, concernant certains cas d'irrecevabilité). En principe toutefois, il appartient aux sections du Tribunal administratif - un juge et deux assesseurs - de statuer sur les recours administratifs (art. 16 LJPA).
2.2 Après l'ordonnance du 22 octobre 2002, la municipalité recourante était en mesure de contester, dans le délai de déterminations, l'application de l'art. 52 LJPA et donc le choix d'une procédure prenant fin par une décision du seul magistrat instructeur. En renonçant à le faire, la recourante a laissé se périmer son droit de requérir de l'autorité qu'elle statue dans une autre composition, en vertu d'autres règles de procédure. Ce grief doit donc lui aussi être écarté, pour les motifs déjà exposés au sujet de la récusation (supra, consid. 1; cf. également ATF 120 Ia 19 consid. 2c/bb p. 24).
2.2 Après l'ordonnance du 22 octobre 2002, la municipalité recourante était en mesure de contester, dans le délai de déterminations, l'application de l'art. 52 LJPA et donc le choix d'une procédure prenant fin par une décision du seul magistrat instructeur. En renonçant à le faire, la recourante a laissé se périmer son droit de requérir de l'autorité qu'elle statue dans une autre composition, en vertu d'autres règles de procédure. Ce grief doit donc lui aussi être écarté, pour les motifs déjà exposés au sujet de la récusation (supra, consid. 1; cf. également ATF 120 Ia 19 consid. 2c/bb p. 24).
3. La recourante se plaint d'une violation du droit d'être entendu, garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., parce que le juge instructeur ne lui a pas communiqué d'office les déterminations du 31 octobre 2002 déposées par l'association intimée, afin de lui permettre d'argumenter à ce propos.
Dans le cas particulier, comme on vient de le rappeler, la possibilité a été donnée aux deux parties de se déterminer, dans le même délai, sur l'application de l'art. 52 LJPA. L'objet et le fondement juridique de la décision attaquée ont ainsi été clairement annoncés, avant qu'elle ne soit rendue. Même si la recourante estime - de façon quelque peu surprenante dans ces conditions - que la décision attaquée a été prise "subrepticement", il est manifeste que les déterminations de l'intimée n'ont pas amené le juge instructeur à adopter une argumentation juridique nouvelle et inattendue, ni à retenir des faits dont elle n'avait pas connaissance. De jurisprudence constante, le droit constitutionnel ne confère pas, sauf circonstances spéciales, un droit de répliquer après le dépôt de la réponse de la partie adverse (cf. ATF 114 Ia 84 consid. 3 p. 87, 307 consid. 4b p. 314; 111 Ia 2 consid. 3 p. 3). Le droit d'être entendu de la recourante n'a donc, à l'évidence, pas été violé.
Dans le cas particulier, comme on vient de le rappeler, la possibilité a été donnée aux deux parties de se déterminer, dans le même délai, sur l'application de l'art. 52 LJPA. L'objet et le fondement juridique de la décision attaquée ont ainsi été clairement annoncés, avant qu'elle ne soit rendue. Même si la recourante estime - de façon quelque peu surprenante dans ces conditions - que la décision attaquée a été prise "subrepticement", il est manifeste que les déterminations de l'intimée n'ont pas amené le juge instructeur à adopter une argumentation juridique nouvelle et inattendue, ni à retenir des faits dont elle n'avait pas connaissance. De jurisprudence constante, le droit constitutionnel ne confère pas, sauf circonstances spéciales, un droit de répliquer après le dépôt de la réponse de la partie adverse (cf. ATF 114 Ia 84 consid. 3 p. 87, 307 consid. 4b p. 314; 111 Ia 2 consid. 3 p. 3). Le droit d'être entendu de la recourante n'a donc, à l'évidence, pas été violé.
4. La recourante se plaint d'une application arbitraire de l'art. 52 LJPA car l'association intimée souhaitait, d'après ses déterminations du 31 octobre 2002, non pas un classement de l'affaire mais une décision sur le fond. Ce grief est manifestement irrecevable car la recourante ne se prévaut pas, à ce propos, de ses intérêts propres et juridiquement protégés (cf. art. 88 OJ; cf. notamment ATF 126 I 81 consid. 3b p. 85), mais bien plutôt de ceux qu'aurait pu invoquer l'association intimée. La décision attaquée entraîne en effet, formellement, l'entrée en force de la décision prise le 19 août 2002 par la municipalité; celle-ci ne peut pas elle-même prétendre, par la voie du recours de droit public, à obtenir finalement un autre résultat.
Cela étant, la recourante soutient que la décision déclarant sans objet le recours de l'association est arbitraire parce qu'elle a été rendue au mépris du principe de l'autorité de la chose jugée, après l'arrêt du Tribunal fédéral du 18 octobre 2002 (1P.536/2002). Même s'il était recevable, ce grief serait manifestement mal fondé. Le Tribunal fédéral s'est borné, dans son premier arrêt, à annuler l'arrêt du Tribunal administratif, sans donner d'instructions à cette juridiction. Si le Tribunal fédéral a considéré, le 18 octobre 2002, que la municipalité conservait un intérêt actuel et pratique à l'annulation d'une décision cantonale autorisant une manifestation sur le domaine public communal, alors que cette manifestation s'était déjà déroulée (arrêt 1P.536/2002, consid. 1.3), on ne saurait en déduire que, réciproquement, le Tribunal administratif était tenu de reconnaître à l'association intimée un intérêt actuel et pratique à demander l'annulation de la décision négative du 19 août 2002 de la municipalité. Les deux situations se distinguent en effet clairement.
Cela étant, la recourante soutient que la décision déclarant sans objet le recours de l'association est arbitraire parce qu'elle a été rendue au mépris du principe de l'autorité de la chose jugée, après l'arrêt du Tribunal fédéral du 18 octobre 2002 (1P.536/2002). Même s'il était recevable, ce grief serait manifestement mal fondé. Le Tribunal fédéral s'est borné, dans son premier arrêt, à annuler l'arrêt du Tribunal administratif, sans donner d'instructions à cette juridiction. Si le Tribunal fédéral a considéré, le 18 octobre 2002, que la municipalité conservait un intérêt actuel et pratique à l'annulation d'une décision cantonale autorisant une manifestation sur le domaine public communal, alors que cette manifestation s'était déjà déroulée (arrêt 1P.536/2002, consid. 1.3), on ne saurait en déduire que, réciproquement, le Tribunal administratif était tenu de reconnaître à l'association intimée un intérêt actuel et pratique à demander l'annulation de la décision négative du 19 août 2002 de la municipalité. Les deux situations se distinguent en effet clairement.
5. La recourante voit dans sa condamnation aux dépens une application arbitraire du droit cantonal. En contestant à ce propos la décision attaquée, elle peut manifestement se prévaloir de ses intérêts propres et juridiquement protégés (cf. art. 88 OJ).
5.1 Saisi d'un recours de droit public pour arbitraire (art. 9 Cst.), le Tribunal fédéral n'annulera la décision attaquée que si elle méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. En d'autres termes, il ne s'écartera de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, si elle a été adoptée sans motif objectif ou en violation d'un droit certain. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 127 I 54 consid. 2b p. 56, 60 consid. 5a p. 70; 126 III 438 consid. 3 p. 440; 125 I 166 consid. 2a p. 168; 125 II 10 consid. 3a p. 15, 129 consid. 5b p. 134 et les arrêts cités).
5.2 Conformément à l'art. 52 LJPA, il appartenait au juge instructeur, considérant que le recours était devenu sans objet, de statuer sur les frais et dépens. D'après l'art. 55 al. 1 LJPA, applicable lorsque le Tribunal administratif rend un arrêt, les dépens sont en principe supportés par la partie qui succombe; l'art. 55 al. 3 LJPA réserve un autre mode de répartition, lorsque l'équité l'exige. Dans le cas particulier, la décision attaquée retient que cette question "doit être résolue au vu des mérites respectifs des positions des parties en procédure, tels qu'ils apparaissaient au moment où l'affaire est devenue sans objet".
L'allocation de dépens à la partie qui obtient gain de cause ne découle pas des principes généraux du droit ni des garanties de la Constitution fédérale; cela relève de la seule législation cantonale de procédure, dont le Tribunal fédéral n'examine l'application que sous l'angle de l'arbitraire (ATF 104 Ia 9 consid. 1 p. 13; arrêt P.1719/1984 in ZBl 86/1985 p. 508 consid. 2a). Les critères retenus dans la décision attaquée, en l'absence d'une règle légale claire pour les cas où un recours devient sans objet, correspondent à ce que prévoit la loi fédérale d'organisation judiciaire en pareille hypothèse: il est statué sur les dépens "par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de choses existant avant le fait qui met fin au litige" (art. 72 de la loi fédérale de procédure civile fédérale [PCF; RS 273], par renvoi de l'art. 40 OJ). Ces principes ne sont manifestement pas, en eux-mêmes, arbitraires.
5.3 S'agissant du sort des dépens dans le cas particulier, le juge instructeur a considéré qu'il n'avait pas à "s'écarter des considérants de l'arrêt du 29 août 2002 sur lesquels le Tribunal fédéral n'a pas émis d'opinion susceptible de lier l'autorité cantonale". En d'autres termes, puisque le Tribunal administratif avait d'abord, en pesant les intérêts en présence, estimé que la manifestation devait être autorisée et que le Tribunal fédéral, dans son arrêt du 18 octobre 2002, s'est borné à sanctionner un vice dans la composition de la cour cantonale, l'appréciation anticipée sommaire sur laquelle repose la répartition des dépens lorsque le recours devient sans objet, pouvait se référer à l'argumentation déjà développée par le Tribunal administratif. La recourante ne prétend pas que les critères retenus pour cette argumentation seraient dépourvus de pertinence; on ne voit pas d'emblée qu'ils auraient été appliqués de manière arbitraire.
La recourante soutient néanmoins qu'elle aurait révoqué ou rapporté sa première décision négative le 29 août 2002 en fin de matinée (soit avant la séance du Tribunal administratif), autorisant dès lors la manifestation pour autant qu'elle ait lieu sur une autre place publique de la ville, la place de l'Europe. Or il n'est pas fait mention de cette nouvelle décision, communiquée oralement à l'association intimée, dans l'arrêt du Tribunal administratif des 29 août/12 septembre 2002. La juridiction cantonale n'a donc pas considéré que la première décision avait été véritablement rapportée ou modifiée, et donc qu'il y avait lieu de procéder conformément à l'art. 52 al. 2 LJPA (cf. supra, consid. 2.1). Dans ces circonstances et en l'absence d'une nouvelle décision communiquée par écrit à l'autorité cantonale de recours, la dernière prise de position municipale pouvait sans arbitraire être interprétée comme une simple proposition transactionnelle dont il n'y avait pas lieu de tenir compte dans le jugement. Il n'était alors pas non plus arbitraire d'en faire abstraction pour statuer sur les dépens de la procédure devenue sans objet.
Dans son résultat, la décision attaquée ne se révèle en définitive pas arbitraire, car on ne voit pas que d'autres critères ou éléments de fait auraient dû impérativement être retenus. Les griefs de la recourante sont donc mal fondés.
Dans son résultat, la décision attaquée ne se révèle en définitive pas arbitraire, car on ne voit pas que d'autres critères ou éléments de fait auraient dû impérativement être retenus. Les griefs de la recourante sont donc mal fondés.
6. Il s'ensuit que le recours de droit public doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Il n'y a pas lieu de percevoir un émolument judiciaire (art. 156 al. 2 OJ). La commune de Lausanne aura en revanche à payer à l'association intimée, assistée par un avocat, une indemnité à titre de dépens (art. 159 al. 1 et 2 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours de droit public est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
1. Le recours de droit public est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
2. Il n'est pas perçu d'émolument judiciaire.
3. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à l'Association pour un autre Rôtillon (APAR) à titre de dépens, est mise à la charge de la commune de Lausanne.
3. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à l'Association pour un autre Rôtillon (APAR) à titre de dépens, est mise à la charge de la commune de Lausanne.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie à la Municipalité de Lausanne, au mandataire de l'association intimée et au Tribunal administratif du canton de Vaud.
Lausanne, le 7 mars 2003
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier: