Sachverhalt:
A. Z._ und X._ heirateten am xxxx 1992 in Portugal. Dieser Ehe entsprossen die drei Kinder R._ (1997), S._ (1999) und T._ (1999). Mit Urteil vom 1. Oktober 2009 schied das Gerichtspräsidium Lenzburg die Ehe der Parteien, stellte die drei Kinder unter die elterliche Sorge von Z._, regelte den Unterhalt zugunsten der Kinder und die Indexierung deren Unterhaltsbeitrages sowie den persönlichen Umgang von X._ mit seinen Kindern. Im Weiteren wies das Gerichtspräsidium das Begehren von Z._ auf Ausrichtung eines persönlichen Unterhaltsbeitrages ab. Die erste Instanz ging von einem monatlichen Einkommen von X._ aus unselbstständiger Erwerbstätigkeit von Fr. 6'500.-- und von Fr. 4'448.00 (inkl. Kinderzulagen; inkl. Anteil 13. Monatslohn) für Z._ aus. Ferner wurden Schulden von X._ von Fr. 90'000.-- aufgeführt (Dispositiv-Ziffern 7 und 9).
B. In teilweiser Gutheissung der Appellation von Z._ hob das Obergericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 25. Januar 2011 die hier relevanten Ziffern 7 und 9 des erstinstanzlichen Urteils auf und verpflichtete seinerseits Z._ einen monatlich vorschüssigen Unterhaltsbeitrag von Fr. 700.-- ab Eintritt der Rechtskraft des obergerichtlichen Urteils bis und mit August 2015 zu bezahlen (neue Ziff. 7.1). Ferner wurde festgestellt, dass der gebührende Unterhalt von Z._ im Umfang von Fr. 350.-- nicht gedeckt sei (neue Ziff. 7.2). Das Obergericht ging dabei von einem Einkommen des X._ von Fr. 6'500.-- aus, bezifferte dasjenige der Z._ aber abweichend von der ersten Instanz auf Fr. 1'830.-- pro Monat (neue Ziff. 9).
C. X._ hat gegen das ihm am 3. Februar 2011 zugestellte Urteil des Obergerichts am 7. März 2011 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er stellt den materiellen Antrag, die Ziffern 7 und 9 des bezirksgerichtlichen Urteils seien nicht abzuändern; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
D. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Abweisung des Gesuchs des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung und beantragt ihrerseits die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
E. Mit Präsidialverfügung vom 30. März 2011 wurde der Beschwerde für die bis und mit Februar 2011 geschuldeten persönlichen Unterhaltsbeiträge aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist die kantonal letztinstanzliche Festsetzung des persönlichen Unterhaltsbeitrages für die Beschwerdegegnerin (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Dabei handelt es sich um eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) vermögensrechtlicher Natur. Strittig war vor der letzten kantonalen Instanz ein Unterhaltsbeitrag zugunsten der Beschwerdegegnerin (Fr. 700.-- pro Monat bis und mit August 2015), der den Betrag von Fr. 30'000.-- bei Weitem erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die rechtzeitig eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 BGG) ist somit einzutreten.
1.2 In der Beschwerde ist in Auseinandersetzung mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245), wobei eine allfällige Verletzung verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 135 III 232 E. 1.2 S. 234). Wird eine Sachverhaltsfeststellung beanstandet, muss in der Beschwerdeschrift dargelegt werden, inwiefern diese Feststellung willkürlich oder durch eine andere Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) zustande gekommen ist (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.2 und 1.4.3 S. 255) und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 in fine BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22). Auf rein appellatorische Kritik am Sachverhalt tritt das Bundesgericht nicht ein. In der Beschwerde in Zivilsachen dürfen keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorgebracht werden, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (Art. 99 Abs. 1 BGG). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein soll (BGE 133 III 393 E. 3 S. 395).
1.3 Soweit der Beschwerdeführer unter der Rubrik "Sachverhalt" von einem anderen als dem vom Obergericht festgestellten Sachverhalt ausgeht, ist auf die Beschwerde von vornherein nicht einzutreten, handelt es sich doch dabei ausschliesslich um appellatorische Kritik. Überdies wird in der Beschwerde nicht erörtert, inwiefern die Voraussetzungen für eine Berücksichtigung neuer Tatsachen erfüllt sein sollen.
2. Das Obergericht ist mit Bezug auf die Einkommensverhältnisse bei der Beschwerdegegnerin davon ausgegangen, der Sohn der Parteien, S._, sei in der Schule durch Konzentrationsschwierigkeiten aufgefallen; zur schulischen Förderung benötige er klarer Strukturen und Grenzen, die er in der Vergangenheit aufgrund der Betreuungssituation zu Hause nicht ausreichend erhalten habe. Vor dem Hintergrund des von verschiedenen Seiten monierten Betreuungsdefizits sei nachvollziehbar, dass die Beschwerdegegnerin ihr Erwerbspensum als Kassiererin ab Oktober 2009 auf 50% reduziert habe. Der Beschwerdegegnerin sei daher eine Ausdehnung der Erwerbstätigkeit aufgrund der ihr obliegenden Kinderbetreuungspflichten zurzeit und mit Rücksicht auf den erhöhten Betreuungsbedarf der bereits verhaltensauffälligen Zwillingssöhne auch bis zu deren vollendetem 16. Altersjahr nicht zuzumuten. Gestützt auf diese Überlegungen hat das Obergericht ein Einkommen der Beschwerdegegnerin für ihre 50%-ige Erwerbstätigkeit von Fr. 1'830.-- (inkl. 13. Monatslohn, exkl. Kinderzulagen) berücksichtigt, ohne ein behauptetes und zum Beweis verstelltes Nebeneinkommen der Beschwerdegegnerin mit einzubeziehen. Sodann hat es das Einkommen des Beschwerdeführers ohne Durchführung weiterer, vom Beschwerdeführer verlangter Beweiserhebungen - wie schon die erste Instanz - auf Fr. 6'500.-- pro Monat festgesetzt.
Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe vor der letzten kantonalen Instanz die Einvernahme der Tochter zum behaupteten Nebeneinkommen der Beschwerdegegnerin verlangt. Das Obergericht habe diesen Beweisantrag nicht berücksichtigt und sei einfach vom erstinstanzlich festgesetzten Einkommen der Beschwerdegegnerin ausgegangen. Sodann habe er in der Appellationsantwort vom 14. Dezember 2010 den Jahresabschluss 2009 als Beweis offeriert, womit hätte belegt werden können, dass sein persönliches Einkommen für das Jahr 2009 Fr. 55'018.18 betragen habe. Entgegen der Auffassung des Obergerichts wäre daher von einem durchschnittlichen Monatseinkommen von weit weniger als Fr. 6'000.-- auszugehen gewesen, sodass er nicht in der Lage sei, der Beschwerdegegnerin einen Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 700.-- zu bezahlen. Das Obergericht habe auch hier den offerierten Beweis nicht abgenommen und sei wie die erste Instanz von einem durchschnittlichen Monatseinkommen von Fr. 6'500.-- ausgegangen. Mit seinem Vorgehen habe das Obergericht sowohl den Beweisführungsanspruch des Beschwerdeführers als auch Art. 125 ZGB verletzt.
2.1 Artikel 8 ZGB verleiht der beweisbelasteten Partei das Recht für rechtserhebliche Tatsachen zum ihr obliegenden Beweis zugelassen zu werden, soweit sie im kantonalen Verfahren form- und fristgerechte Beweisanträge gestellt hat (BGE 114 II 289 E. 2a, S. 290; BGE 97 II 193 E. 3, S. 196 f.). Diese Bestimmung schliesst aber eine vorweggenommene Würdigung von Beweisen nicht aus. Es bleibt daher dem Sachgericht unbenommen, von beantragten Beweiserhebungen deshalb abzusehen, weil es sie von vornherein nicht für geeignet hält, die behaupteten Tatsachen zu beweisen, oder es seine Überzeugung bereits aus anderen Beweisen gewonnen hat und davon ausgeht, dass weitere Abklärungen am massgeblichen Beweisergebnis nichts mehr zu ändern vermöchten (zum Ganzen: BGE 122 III 219 E. 3c S. 223 mit weiteren Hinweisen). Das Bundesgericht greift nur ein, wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, auf einem offenkundigen Versehen beruht oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 124 I 208 E. 4a S. 211 mit weiteren Hinweisen).
2.2 Was die behaupteten Nebeneinnahmen der Beschwerdegegnerin aus Reinigungsarbeiten in diversen Bars und Restaurants anbelangt, ist das Obergericht auf diese Behauptung des Beschwerdeführers mangels substanziierter Vorbringen zu konkreten Einsatzorten oder Arbeitgebern nicht weiter eingegangen, zumal seiner Ansicht nach aufgrund dieser Sachlage eine Beweiserhebung unmöglich gewesen ist. Es hat damit implizite die Befragung der Tochter als untaugliches Beweismittel für die Ermittlung angeblicher Zusatzeinnahmen der Beschwerdegegnerin betrachtet. Der Beschwerdeführer geht auf diese Ausführungen des Obergerichts nicht substanziiert ein und legt insbesondere nicht dar, inwiefern diese antizipierte Beweiswürdigung im Ergebnis willkürlich sein soll. Auf die Rüge ist nicht einzutreten (E. 1.2).
2.2 Was die behaupteten Nebeneinnahmen der Beschwerdegegnerin aus Reinigungsarbeiten in diversen Bars und Restaurants anbelangt, ist das Obergericht auf diese Behauptung des Beschwerdeführers mangels substanziierter Vorbringen zu konkreten Einsatzorten oder Arbeitgebern nicht weiter eingegangen, zumal seiner Ansicht nach aufgrund dieser Sachlage eine Beweiserhebung unmöglich gewesen ist. Es hat damit implizite die Befragung der Tochter als untaugliches Beweismittel für die Ermittlung angeblicher Zusatzeinnahmen der Beschwerdegegnerin betrachtet. Der Beschwerdeführer geht auf diese Ausführungen des Obergerichts nicht substanziiert ein und legt insbesondere nicht dar, inwiefern diese antizipierte Beweiswürdigung im Ergebnis willkürlich sein soll. Auf die Rüge ist nicht einzutreten (E. 1.2).
2.3 2.3.1 Mit Bezug auf das Einkommen des Beschwerdeführers lässt sich dem erstinstanzlichen Urteil entnehmen, dass das Gerichtspräsidium Lenzburg für die Ermittlung der Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers mangels zuverlässiger Daten (Jahresabschlüsse bzw. Steuerveranlagungen) ein hypothetisches Einkommen angenommen hat. Ausdrücklich hat es dafürgehalten, es sollte dem Beschwerdeführer bei gutem Willen und vollem Arbeitseinsatz anknüpfend an seine angestammte Erwerbstätigkeit in der Reinigungsbranche möglich sein, in Zukunft ein Einkommen von Fr. 6'500.-- pro Monat zu erzielen, das sich ungefähr in der Mitte zwischen seinen früheren Einkünften und dem mutmasslichen Lohn eines Angestellten in der Reinigungsbranche befinde.
2.3.2 Dem Beschwerdeführer geht es darum, dass seine Leistungsfähigkeit allein aufgrund des Jahresabschlusses 2009 festgesetzt wird. Damit übersieht er indes die bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach der Reingewinn des letzten Jahres nur bei stetig sinkenden oder steigenden Erträgen für die Bestimmung der Leistungsfähigkeit des Selbstständigerwerbenden massgebend sein kann (Urteil 5D_167/2008 vom 13. Januar 2009 E. 2, in: Fampra.ch 2009 S. 464). Als Regel haben Rechtsprechung und Lehre aufgestellt, dass bei starken Schwankungen des Einkommens des Selbstständigerwerbenden auf den durchschnittlichen Reingewinn mehrerer Jahre abgestellt werden soll, wobei besonders gute oder besonders schlechte Abschlüsse unter Umständen ausser Betracht fallen können (FRANÇOISE BASTONS BULLETTI, L'entretien après divorce, Méthodes de calcul, montant, durée et limites in: SJ 2007 S. 77 ff., 80-81 et note 19 S. 81; INGEBORG SCHWENZER, FamKomm Scheidung, Band 1, 2. Aufl. 2011, N. 17 zu Art. 125 ZGB; Urteil 5A_203/2009 vom 27. August 2009 E. 2, Zusammenfassung in: Fampra.ch 2009 S. 1064). Der Beschwerdeführer zeigt nicht rechtsgenüglich auf, weshalb im konkreten Fall der Reingewinn eines einzelnen Jahres zu berücksichtigen gewesen wäre. Soweit der Beschwerdeführer überhaupt die Möglichkeit bestreitet, das von den kantonalen Instanzen angenommene hypothetische Einkommen von monatlich Fr. 6'500.-- zu erzielen, handelt es sich ausschliesslich um appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid, wobei abgesehen davon die angebliche Unmöglichkeit auch nicht mit einem einzigen Jahresabschluss nachgewiesen werden kann. Aufgrund der gegebenen Umstände war das Obergericht jedenfalls nicht gehalten, den Jahresabschluss 2009 als Beweismittel zuzulassen. Von einer Verletzung des Beweisführungsanspruchs (Art. 8 ZGB) bzw. von Art. 125 ZGB kann keine Rede sein.
3. Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist für das bundesgerichtliche Verfahren keine Entschädigung zuzusprechen, zumal sie mit ihrem Antrag auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung nur teilweise durchgedrungen ist und in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
4. Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann angesichts der offensichtlichen Aussichtslosigkeit des Beschwerdeverfahrens nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch der Beschwerdegegnerin ist gutzuheissen, da sich ihr Standpunkt bezüglich des Gesuchs des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung nicht als aussichtslos erwiesen hat und die Beschwerdeführerin bedürftig ist (Art. 64 Abs. 1 und 32 BGG). Ihr ist ein amtlicher Rechtsbeistand beizugeben, welcher für die Abfassung der Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist, zumal der Beschwerdegegnerin keine Entschädigung zugesprochen worden ist. Bei der Festsetzung der Entschädigung ist zu berücksichtigen, dass in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen. Das entsprechende Gesuch der Beschwerdegegnerin wird gutgeheissen und es wird ihr Rechtsanwalt Stephan Weber als Rechtsbeistand beigegeben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Rechtsanwalt Weber wird für seine Bemühungen ein Honorar von Fr. 200.-- aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Juli 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zbinden