Erwägungen:
1. X._ (geb. 1978, alias Y._) stammt aus Pakistan. Das Bundesamt für Migration trat am 6. Februar 2008 auf ein zweites Asylgesuch von ihm nicht ein und wies ihn weg. Das Bundesverwaltungsgericht bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin am 19. Februar 2008. Das Ausländeramt des Kantons St. Gallen nahm X._ am 15. Juli 2008 in die "kleine" Ausschaffungshaft (Art. 77 AuG [SR 142.20]), welche der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am 18. Juli 2008 prüfte und bis zum 13. September 2008 genehmigte. Am 29. August 2008 wies er ein Haftentlassungsgesuch von X._ ab, wogegen dieser am 11. September 2008 (Posteingang 12. September 2008) mit dem Antrag an das Bundesgericht gelangte, er sei aus der Ausschaffungshaft zu entlassen.
2. 2.1 Gegen kantonale richterliche Entscheide betreffend Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen, falls der Betroffene an der Beurteilung seiner Eingabe ein aktuelles praktisches Interesse hat (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG; vgl. zu Art. 103 lit. a OG: BGE 131 II 670 E. 1.2, 361 E. 1.2). Fällt dieses im Verlauf des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt erklärt; fehlte es schon bei der Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (vgl. BGE 118 Ia 488 E. 1a; 118 Ib 1 E. 2 S. 7; 111 Ib 56 E. 2; Urteil 2C_413/2008 vom 24. Juni 2008, E. 1). Der Beschwerdeführer ist gestützt auf Art. 77 AuG in die "kleine" Ausschaffungshaft genommen worden (fehlende Mitwirkung bei der Beschaffung der Reisepapiere); diese ist auf höchstens 60 Tage beschränkt und deshalb hier am 13. September 2008 beendet worden. Das Interesse an der Beurteilung der vorliegenden Eingabe ist damit nachträglich dahingefallen. Zwar plant das Ausländeramt des Kantons St. Gallen offenbar eine Ausschaffungshaft nach Art. 76 AuG, deren Zulässigkeit hängt jedoch von anderen Voraussetzungen ab (Art des Wegweisungsentscheids, Haftgründe usw.) als die hier angefochtene Festhaltung, weshalb kein Interesse fortbesteht, die Eingabe in der Sache dennoch zu beurteilen. Es rechtfertigt sich auch nicht, ausnahmsweise vom Erfordernis des aktuellen Interesses abzusehen (vgl. BGE 131 II 670 E. 1.2 S. 674): Der Beschwerdeführer hätte seine Einwände früher erheben können und müssen. Es steht ihm frei, gegen eine erneute richterliche Haftgenehmigung allenfalls wiederum an das Bundesgericht zu gelangen.
2.2 Über die Kosten- und Entschädigungsfrage ist gestützt auf eine summarische Prüfung zu entscheiden. Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu vertiefen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen; vielmehr muss es bei einer knappen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben (vgl. das Urteil 2C_413/2008 vom 24. Juni 2008, E. 2.1). Die Eingabe des Beschwerdeführers hätte keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg gehabt: Der Beschwerdeführer hat am 5. August 2008 eine unbegleitete und am 9. September 2008 eine begleitete Ausschaffung vereitelt, so dass er nunmehr im Rahmen eines Sonderflugs wird repatriiert werden müssen. Zwar soll seine Lebenspartnerin, welche offenbar in der Schweiz vorläufig aufgenommen ist, von ihm im dritten/vierten Monat schwanger sein, das verschafft ihm indessen kein offensichtliches Anwesenheitsrecht; er ist aus der Schweiz vielmehr rechtskräftig weggewiesen worden. Die Bewilligungsfrage bildet grundsätzlich nicht Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens (vgl. BGE 128 II 193 E. 2.2 S. 197 ff.; 125 II 217 E. 2 S. 220). Die angeblich geplante Heirat ist zudem nicht weiter konkretisiert; der Beschwerdeführer und seine Partnerin haben bisher keinerlei Schritte hierzu eingeleitet. Der Beschwerdeführer wird unter diesen Umständen den Ausgang eines allfälligen Bewilligungsverfahrens in seiner Heimat abwarten müssen (vgl. Art. 17 AuG). Die Beschwerde wäre somit offensichtlich unbegründet gewesen, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen ist (Art. 64 BGG). Auf Grund der Umstände sind dennoch keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Kantonalen Ausländeramt St. Gallen, der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen, Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar