Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Das Strafgericht Basel-Stadt erklärte X._ mit Urteil vom 16. April 1997 des Mordes und des Diebstahls schuldig, verurteilte ihn (unter Anrechnung der Untersuchungshaft und des vorläufigen Strafvollzugs seit dem 7. Januar 1995) zu 11 Jahren Zuchthaus und ordnete gestützt auf Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB eine intensive Psychotherapie an. X._ verbüsste die Strafe in der Folge in den Anstalten Bostadel, Schällenmätteli, Thorberg und St. Johannsen. Die Strafverbüssung ist am 6. Januar 2006 nunmehr beendet worden.
A. Das Strafgericht Basel-Stadt erklärte X._ mit Urteil vom 16. April 1997 des Mordes und des Diebstahls schuldig, verurteilte ihn (unter Anrechnung der Untersuchungshaft und des vorläufigen Strafvollzugs seit dem 7. Januar 1995) zu 11 Jahren Zuchthaus und ordnete gestützt auf Art. 43 Ziff. 1 Abs. 1 StGB eine intensive Psychotherapie an. X._ verbüsste die Strafe in der Folge in den Anstalten Bostadel, Schällenmätteli, Thorberg und St. Johannsen. Die Strafverbüssung ist am 6. Januar 2006 nunmehr beendet worden.
B. Im Laufe der Strafverbüssung bekundete X._ Mühe mit der Integration in den Strafanstalten, zeigte wenig Motivation für regelmässige Arbeitseinsätze und soll sich mit seiner Tat und Drogensucht nicht vertieft auseinandergesetzt haben. Es wurde eine unverändert hohe Rückfallgefahr in Bezug auf Aggressionsdelikte angenommen. Am 6. Februar 2002 wurde die bedingte Entlassung verweigert. Die Vollzugsbehörde hat die Bemühungen um Vollzug der ambulanten Behandlung eingestellt und das Verfahren dem Strafgericht Basel-Stadt am 6. Juni 2003 zur Entscheidung über das weitere Vorgehen überwiesen.
Mit Entscheid vom 18. April 2005 hob das Strafgericht Basel-Stadt die gegen X._ angeordnete ambulante Massnahme auf und ordnete stattdessen in Anwendung von Art. 43 Ziff. 3 Abs. 3 und Ziff. 1 Abs. 2 StGB die Verwahrung an. Dagegen ist beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 2. September 2005 Appellation erhoben worden; dieses Verfahren ist noch nicht abgeschlossen.
Die Appellationsgerichtspräsidentin ordnete am 25. Oktober 2005 gestützt auf § 198 Abs. 1 der Basler Strafprozessordnung ab dem Strafende am 6. Januar 2006 zur Sicherung des Strafgerichtsurteils die vorläufige Verwahrung gemäss Art. 43 Ziff. 1 Abs. 2 StGB an. Das Bundesgericht hat diese Anordnung auf staatsrechtliche Beschwerde vom 15. November 2005 hin mit Urteil vom 15. Dezember 2005 aufgehoben (Verfahren 1P.743/2005).
Die Appellationsgerichtspräsidentin ordnete am 25. Oktober 2005 gestützt auf § 198 Abs. 1 der Basler Strafprozessordnung ab dem Strafende am 6. Januar 2006 zur Sicherung des Strafgerichtsurteils die vorläufige Verwahrung gemäss Art. 43 Ziff. 1 Abs. 2 StGB an. Das Bundesgericht hat diese Anordnung auf staatsrechtliche Beschwerde vom 15. November 2005 hin mit Urteil vom 15. Dezember 2005 aufgehoben (Verfahren 1P.743/2005).
C. Die Appellationsgerichtspräsidentin hat nach Durchführung einer Verhandlung am 3. Januar 2006 für die vorläufige Dauer von vier Wochen ab dem 6. Januar 2006 wegen Fortsetzungsgefahr Haft angeordnet. Sie begründete diese Massnahme (erst) in ihrer Vernehmlassung zuhanden des Bundesgerichts. Darin führte sie im Wesentlichen aus, es handle sich um eine Haft im Nachverfahren, die nach § 198 und 71 der Basler Strafprozessordnung verfügt werden könne. In Bezug auf den Tatverdacht bzw. die Wahrscheinlichkeit für die Anordnung einer freiheitsentziehenden Massnahme bezog sie sich auf die ursprüngliche Verurteilung bzw. das Strafgerichtsurteil vom 18. April 2005. Schliesslich erachtete sie den Haftgrund der Fortsetzungsgefahr in Anbetracht der konkreten Gegebenheiten als gegeben.
C. Die Appellationsgerichtspräsidentin hat nach Durchführung einer Verhandlung am 3. Januar 2006 für die vorläufige Dauer von vier Wochen ab dem 6. Januar 2006 wegen Fortsetzungsgefahr Haft angeordnet. Sie begründete diese Massnahme (erst) in ihrer Vernehmlassung zuhanden des Bundesgerichts. Darin führte sie im Wesentlichen aus, es handle sich um eine Haft im Nachverfahren, die nach § 198 und 71 der Basler Strafprozessordnung verfügt werden könne. In Bezug auf den Tatverdacht bzw. die Wahrscheinlichkeit für die Anordnung einer freiheitsentziehenden Massnahme bezog sie sich auf die ursprüngliche Verurteilung bzw. das Strafgerichtsurteil vom 18. April 2005. Schliesslich erachtete sie den Haftgrund der Fortsetzungsgefahr in Anbetracht der konkreten Gegebenheiten als gegeben.
D. Gegen diese Verfügung der Appellationsgerichtspräsidentin hat X._ am 6. Januar 2006 staatsrechtliche Beschwerde erhoben. Er stellt den Antrag, die Verfügung sei aufzuheben und das Appellationsgericht sei anzuweisen, ihn umgehend aus der Haft zu entlassen. Er rügt wegen der mangelnden Begründung eine Verletzung des rechtlichen Gehörs und macht geltend, es fehle an einer gesetzlichen Grundlage in der Basler Strafprozessordnung für die Anordnung der angefochtenen Haft.
Die Appellationsgerichtspräsidentin stellt mit ausführlicher Begründung Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Denselben Antrag stellt die Staatsanwaltschaft.
Der Beschwerdeführer hält in seiner Replik an seinen Anträgen fest und ergänzt aufgrund der Vernehmlassung der Appellationsgerichtspräsidentin seine Beschwerdebegründung.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Die angefochtene Haftanordnung im sog. Nachverfahren dient der Sicherung des Strafgerichtsurteils vom 18. April 2005. Sie kann sich - wie bereits im bundesgerichtlichen Urteil vom 15. Dezember 2005 dargelegt und entgegen der in der Vernehmlassung zum Ausdruck gebrachten Auffassung der Appellationsgerichtspräsidentin - nicht auf das Schweizerische Strafgesetzbuch stützen, sondern beruht grundsätzlich auf kantonalem Prozessrecht (vgl. E. 2 des bundesgerichtlichen Urteils vom 15. Dezember 2005). Die vom Strafgericht ausgesprochene Verwahrung bildet nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Damit ist die staatsrechtliche Beschwerde zulässig (Art. 84 Abs. 1 lit. a OG). Zulässig sind auch die Anträge des Beschwerdeführers.
Der Beschwerdeführer weist darauf hin, dass es ihm nicht zum Nachteil gereichen kann, wenn die Basler Gerichte - trotz eines entsprechenden Antrags der Strafvollzugsbehörden vom 6. Juni 2003 - nicht in der Lage waren, einen Entscheid über die Änderung der Massnahme vor dem Ende des Strafvollzugs am 6. Januar 2006 zu treffen. Damit beanstandet er letztlich die Dauer des zugrunde liegenden Verfahrens, ohne indessen eine den Anforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG genügende Rüge zu erheben. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Im Übrigen erfährt das Verfahren durch das bundesgerichtliche Verfahren keine wesentliche Verzögerung.
Darüber hinaus geben die Eintretensvoraussetzungen zu keinen Bemerkungen Anlass.
Darüber hinaus geben die Eintretensvoraussetzungen zu keinen Bemerkungen Anlass.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt vorerst eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, weil die angefochtene Haftanordnung entgegen § 70 der Strafprozessordnung des Kantons Basel-Stadt (StPO) ausser dem Hinweis auf die Fortsetzungsgefahr keine Begründung enthält. Damit macht er implizit eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV geltend.
Gemäss Art. 29 Abs. 2 BV haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Aus dem Grundsatz des rechtlichen Gehörs ergibt sich die Pflicht der Behörden, ihre Verfügungen und Entscheide zu begründen. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde leiten liess und auf welche sich ihr Entscheid stützt (vgl. BGE 129 I 232 E. 3.2 S. 236). Nach § 70 Abs. 1 StPO erfolgt die Anordnung durch einen Haftbefehl (Abs. 1); dieser hat eine kurze Begründung der Anordnung (Tatverdacht, Haftgrund) sowie den Hinweis auf das Recht zu enthalten, Beschwerde zu führen, jederzeit ein Haftentlassungsgesuch zu stellen sowie bei der Verlängerung der Haft eine erneute mündliche Verhandlung zu verlangen (Abs. 2).
Die angefochtene Verfügung besteht lediglich aus dem Dispositiv und dem Hinweis auf die Bejahung von Fortsetzungsgefahr. Sie genügt damit weder den Anforderungen der Strafprozessordnung (unabhängig von der Frage nach der Natur der Haft) noch denjenigen der Bundesverfassung.
Der Mangel der unzureichenden Begründung kann indessen unter bestimmten Voraussetzungen, die vorliegend erfüllt sind, im bundesgerichtlichen Verfahren geheilt werden, wenn die Appellationsgerichtspräsidentin die angefochtene Verfügung in ihrer Vernehmlassung nunmehr begründet und der Beschwerdeführer im Rahmen seiner Replik dazu Stellung nehmen kann (vgl. BGE 107 Ia 1, 129 I 129 E. 2.2.3 S. 135). Dadurch erwächst dem Beschwerdeführer kein ernstlicher Nachteil. Dem Umstand, dass der Verfahrensmangel nachträglich geheilt wird, ist indessen bei der Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen angemessen Rechnung zu tragen (ZBl 105/2004 S. 497 E. 6.3, BGE 107 Ia 1). Damit fällt eine Aufhebung des angefochtenen Entscheides allein wegen der unzureichenden Begründung ausser Betracht.
2.2 Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung von Art. 5 Ziff. 2 EMRK, weil er nicht hinreichend über die Gründe seiner Festnahme und über die gegen ihn erhobenen Beschuldigungen informiert worden sei. Er nimmt indessen in keiner Weise Bezug auf die am 3. Januar 2006 durchgeführte Verhandlung, an der die Appellationsgerichtspräsidentin gemäss Protokoll über den Verfahrensgegenstand informiert hatte. Damit ist die Beschwerde in diesem Punkte abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.2 Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung von Art. 5 Ziff. 2 EMRK, weil er nicht hinreichend über die Gründe seiner Festnahme und über die gegen ihn erhobenen Beschuldigungen informiert worden sei. Er nimmt indessen in keiner Weise Bezug auf die am 3. Januar 2006 durchgeführte Verhandlung, an der die Appellationsgerichtspräsidentin gemäss Protokoll über den Verfahrensgegenstand informiert hatte. Damit ist die Beschwerde in diesem Punkte abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
3. Zur Hauptsache macht der Beschwerdeführer geltend, nach der Verbüssung seiner Freiheitsstrafe bestehe keine gesetzliche Grundlage für eine Haftanordnung, welcher somit die Bedeutung der Fortführung des Strafvollzuges zukomme. Die Basler Strafprozessordnung kenne lediglich die Untersuchungshaft, indessen keine Sicherheitshaft und insbesondere keine Haft für ein sog. Nachverfahren.
3.1 Vorerst ist festzuhalten, dass die vom Gesetzgeber verwendete Terminologie für sich allein nicht ausschlaggebend sein kann. Die Strafprozessordnung von 1931 (aStPvO) nannte im Abschnitt über die Zwangsmittel zur Durchführung des Strafverfahrens ausschliesslich die Sicherheitshaft (§ 53 ff. aStPO). Demgegenüber regeln § 69 ff. StPO lediglich die Untersuchungshaft. Sowohl die alte wie die geltende Strafprozessordnung unterscheiden somit in terminologischer Hinsicht nicht zwischen Untersuchungs- und Sicherheitshaft (vgl. zur allgemein gebräuchlichen Terminologie Hauser/Schweri/Hartmann, Schweizerisches Strafprozessrecht, 6. Aufl. 2005, § 68 Rz. 1). Demnach ist ohne Rücksicht auf die in der Strafprozessordnung verwendeten Ausdrücke zu prüfen, ob sich die angefochtene Haftanordnung auf die Strafprozessordnung abstützen kann.
3.2 Nach Art. 31 Abs. 1 BV und Art. 5 Ziff. 1 EMRK darf einer Person die Freiheit nur in den vom Gesetz selbst vorgesehenen Fällen und nur auf die im Gesetz vorgeschriebene Weise entzogen werden. Mit der über den Beschwerdeführer angeordneten Haft ist dessen Recht auf persönliche Freiheit gemäss Art. 10 Abs. 2 BV eingeschränkt worden. Einschränkungen sind gemäss Art. 36 BV zulässig, wenn sie auf einer gesetzlichen Grundlage beruhen, im öffentlichen Interesse liegen und verhältnismässig sind sowie den Kerngehalt wahren. Als schwerer Grundrechtseingriff muss ein Freiheitsentzug im Gesetz selber vorgesehen werden (vgl. BGE 128 I 184 E. 2.1 S. 186, mit Hinweisen). Vor diesem Hintergrund stellt sich die Frage, ob die angefochtene Haft sich auf die Basler Strafprozessordnung abstützen lässt.
3.3 Wie dargelegt, soll die angefochtene Haft der Sicherung des Urteils des Strafgerichts dienen und stellt damit eine sichernde Massnahme dar. Dieses Strafgerichtsurteil stellt keinen erstmaligen Entscheid dar, sondern ist im Rahmen eines sog. Nachverfahrens ergangen. Als Nachverfahren gelten jene Verfahren, in denen sich ein Gericht im Nachgang zu einem Urteil im Hinblick auf eine Massnahme oder den Vollzug einer aufgeschobenen Strafe mit der Sache nochmals zu befassen hat. Dieses Nachverfahren wird beim Gericht durch eine entsprechende Eingabe der Vollzugsbehörde anhängig gemacht. In diesem Zusammenhang kann sich die Frage der Sicherung des Nachverfahrens und insbesondere die Frage stellen, ob Haft bzw. Sicherheitshaft angeordnet werden könne (vgl. das den Kanton Zürich betreffende Urteil BGE 128 I 184 E. 2.2 S. 186, mit Hinweisen).
Im Urteil vom 15. Dezember 2005 hat das Bundesgericht bereits ausgeführt, dass § 198 Abs. 1 StPO die Anordnung der nötigen Verfügungen zur Sicherung einer freiheitsentziehenden Strafe oder Massnahme allgemein erlaubt, wenn ein Gericht eine solche ausspricht und das Urteil noch nicht rechtskräftig geworden ist; das kann namentlich zutreffen, wenn gegen ein erstmaliges Urteil des Strafgerichts Appellation erhoben wird. Zu den zu treffenden nötigen Verfügungen zählt insbesondere auch die Anordnung von Haft. In Anwendung von § 198 Abs. 2 StPO (bzw. in analoger Anwendung von § 71 Abs. 1 lit. b StPO) ist hierfür die Präsidentin oder der Präsident des Appellationsgerichts zuständig. Insoweit erweist sich die Rüge, die Basler Strafprozessordnung kenne (materiell gesehen) keine Sicherheitshaft und erlaube lediglich die Haft zum Zwecke der Strafuntersuchung, als unbegründet.
Dasselbe gilt auch im sog. Nachverfahren. Zur Sicherung einer in einem Nachverfahren ausgesprochenen freiheitsentziehenden Massnahme können nach § 198 Abs. 1 StPO die notwendigen Verfügungen und insbesondere auch Haft angeordnet werden, wenn die Massnahme vom Gericht ausgesprochen worden ist und das Urteil noch nicht rechtskräftig geworden ist. Das gilt insbesondere im vorliegenden Fall, in dem das Strafgericht im Nachverfahren eine Verwahrung angeordnet hat und sein Urteil wegen der erhobenen Appellation noch nicht rechtskräftig geworden ist. Zuständig für eine derartige Haft ist in der vorliegenden Konstellation die Präsidentin des Appellationsgerichts.
Daraus ergibt sich, dass die angefochtene Haftanordnung in § 198 Abs. 1 StPO eine hinreichende gesetzliche Grundlage findet und vor der Verfassung standhält. Damit stellt sich die Frage nach den Voraussetzungen für eine derartige Haft.
Daraus ergibt sich, dass die angefochtene Haftanordnung in § 198 Abs. 1 StPO eine hinreichende gesetzliche Grundlage findet und vor der Verfassung standhält. Damit stellt sich die Frage nach den Voraussetzungen für eine derartige Haft.
4. 4.1 Die Voraussetzungen für die zulässige Haftanordnung ergeben sich aus der Bestimmung von § 198 StPO selber. Erforderlich ist das Vorliegen eines (nicht rechtskräftigen) Urteils, mit dem eine freiheitsentziehende Strafe oder Massnahme angeordnet worden ist. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers bedarf es nach dem Wortlaut von § 198 StPO keines spezifischen Tatverdachts wie bei der Untersuchungshaft. Einen solchen erfordern auch Art. 31 Abs. 1 BV und Art. 5 Ziff. 1 lit. a EMRK nicht. Das Bundesgericht hat im genannten Urteil betreffend den Kanton Zürich denn auch festgehalten, dass die Prüfung eines dringenden Tatverdachts entfalle (BGE 128 I 184 E. 2.3.2 S. 189).
Aufgrund des Urteils des Strafgerichts vom 18. April 2005 ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine freiheitsentziehende Massnahme bzw. eine Verwahrung angeordnet werde, ohne weiteres anzunehmen (vgl. BGE 128 I 184 E. 2.3.2 S. 189). Daran vermag der Umstand nichts zu ändern, dass der Beschwerdeführer die Rechtmässigkeit dieses Urteils in Zweifel zieht. Darüber ist vorerst im Appellationsverfahren zu befinden.
4.2 Wie das Bundesgericht bereits im Entscheid vom 15. Dezember 2005 festgehalten hat, bedarf es zusätzlich des Vorliegens eines speziellen Haftgrundes (vgl. BGE 128 I 184 E. 2.3.2 S. 189). Hierfür ist auf § 69 StPO Bezug zu nehmen.
In der angefochtenen Verfügung wird Fortsetzungsgefahr (im Sinne von § 69 lit. c StPO) angenommen. In der Vernehmlassung begründet die Appellationsgerichtspräsidentin die Fortsetzungsgefahr wie folgt: Dr. Sachs habe in seinem Gutachten vom 3. November 2003 auf eine sehr hohe Wahrscheinlichkeit des Rückfalls hingewiesen und festgestellt, dass "in Bezug auf das Rückfallrisiko nur ungünstige Faktoren vorliegen". Er habe daraus auf "eine sehr ungünstige Prognose und eine sehr hohe Wahrscheinlichkeit für das Wiederauftreten von Gewaltstraftaten bzw. Aggressionsdelikten" geschlossen. Der Experte habe diese Auffassung anlässlich der erstinstanzlichen Hauptverhandlung bestätigt und ausgeführt, angesichts des Umstandes, dass die Aggressivität insbesondere von Provokationen und Drogenkonsum abhängig sei, könne nicht genau gesagt werden, ob und wann sich eine solche Situation wieder ergebe. Dem fügte die Appellationsgerichtspräsidentin an, dass daraus, dass sich der genaue Zeitpunkt für eine Wiederholungstat nicht im Voraus klar bestimmen lasse, nicht auf eine Minderung des Rückfallrisikos oder Relativierung der Expertenaussage geschlossen werden könne.
Demgegenüber macht der Beschwerdeführer geltend, der Experte habe in seinem Gutachten eine Wiederholungsgefahr zwar nicht ausgeschlossen, diese Aussage indessen anlässlich der mündlichen Befragung erheblich relativiert und darauf hingewiesen, dass Wiederholungsgefahr nicht akut, sondern höchstens bei entsprechender Konstellation bestehe. Dem fügt er in der Replik an, dass gemäss der Expertenaussage Wiederholungsgefahr nur bei exakt gleicher Konstellation bestehe.
Es ist nicht bestritten, dass die Begutachtung des Beschwerdeführers durch den Experten "eine sehr schlechte Prognose (ergab), wodurch die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von zukünftigen Gewalt- und Aggressionsstraftaten durch den Expl. als sehr hoch einzustufen ist" (Gutachten S. 32). Anlässlich der Hauptverhandlung vom 18. April 2005 führte der Experte u.a. Folgendes aus: "Auslöser (der Anlasstat) war Aggressivität und auch Drogen. (...) Vor allem bestehen nach wie vor Probleme in Beziehungsfähigkeit, schlechte Impulskontrolle, Schwierigkeiten, eigene Bedürfnisse zu erkennen und Konsequenzen zu sehen. Er (der Beschwerdeführer) handelt nach eigenen Bedürfnissen, ohne dabei die Konsequenzen für sich oder andere zu berücksichtigen. Die Rückfallgefahr ist immer noch vorhanden. Es bestehen sehr viel Items, die eine Rückfallgefahr indizieren. Es wäre möglich, dass sich Herr X._ sehr lange bewähren würde. Die Aggressivität ist situationsbedingt. Bei der Anlasstat spielten Provokation und Drogen eine Rolle. Wann sich und ob sich eine solche Situation wieder ergeben würde, kann natürlich nicht gesagt werden."
In Anbetracht dieser Äusserungen des Experten kann die Wiederholungsgefahr im Sinne von § 69 lit. c StPO als gegeben betrachtet werden. Im Gutachten wird eine schlechte Prognose gestellt und die Wahrscheinlichkeit von neuen Gewalt- und Aggressionsakten als sehr hoch eingestuft. Anlässlich der Verhandlung wird demgegenüber lediglich der Zeitpunkt neuer Straftaten relativiert. Es ist davon die Rede, dass sich der Beschwerdeführer unter bestimmten Verhältnissen über längere Zeit bewähren könnte. Gleichermassen wird darauf hingewiesen, dass die Aggressivität des Beschwerdeführers situationsbedingt sei und daher neue Gewalt- und Aggressionsakte stark von konkreten Gegebenheiten abhängen. Dazu gehören äussere Umstände wie auch der Konsum von Drogen. Solche Gegebenheiten können jederzeit eintreten und dementsprechend können Gewalt- und Aggressionsakte in keinem Moment ausgeschlossen werden. Darüber hinaus scheint der Beschwerdeführer nicht in der Lage zu sein, die Konsequenzen seines Verhaltens auf Drittpersonen zu erfassen. Bei dieser Sachlage kann gesamthaft gesehen nicht ausgeschlossen werden, dass der Beschwerdeführer schon in einem sehr frühen Zeitpunkt erneut gewalttätig werden könnte. Damit ist eine Wiederholungsgefahr nicht nur abstrakt, sondern auch vor dem Hintergrund der tatsächlichen Gegebenheiten konkret dargetan.
Damit erweist sich die Rüge, es fehle am Erfordernis der Wiederholungsgefahr, als unbegründet.
Damit erweist sich die Rüge, es fehle am Erfordernis der Wiederholungsgefahr, als unbegründet.
5. Demnach ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer hat um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Seine Mittellosigkeit kann ohne weiteres angenommen werden. Zudem war er auf einen Rechtsvertreter angewiesen. Dem Gesuch ist daher stattzugeben. Demnach sind keine Kosten zu erheben. Bei der Entschädigung des Rechtsvertreters gilt es indessen die mangelnde Begründung des angefochtenen Entscheides (oben E. 2.1)
zu berücksichtigen (Art. 159 Abs. 5 in Verbindung mit Art. 156 Abs. 6 OG). Daher hat der Kanton Basel-Stadt einen Teil der dem Rechtsvertreter zuzusprechenden Entschädigung zu übernehmen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
2. Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
3. Im Übrigen wird dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege gewährt:
3.1 Es werden keine Kosten erhoben.
3.2 Advokat Dr. Stefan Suter wird als amtlicher Rechtsvertreter bezeichnet und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
3.2 Advokat Dr. Stefan Suter wird als amtlicher Rechtsvertreter bezeichnet und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie der Staatsanwaltschaft und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Januar 2006
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: