Faits:
A. G._ est affilié à Helsana Assurances SA pour l'assurance obligatoire des soins et une assurance complémentaire d'hospitalisation.
A la suite d'un bilan ayant permis de découvrir une lésion du conduit auditif interne gauche, le docteur R._, médecin du Service de neurochirurgie de l'Hôpital X._, a adressé G._ au professeur E._, directeur du Centre de Neurochirurgie Y._, qui a vu le patient en consultation le 10 novembre 2008 (rapport du 4 décembre 2008). Le 5 décembre 2008, le professeur E._ a informé le médecin-conseil d'Helsana que l'assuré était atteint d'un schwannome vestibulaire. Afin d'effectuer une prise en charge thérapeutique permettant d'offrir au patient les meilleures chances pronostiques de conservation de l'audition, il préconisait un traitement de radio-chirurgie par une génération récente, automatisée, de technologie Gamma Knife, dont la littérature médicale récente avait montré clairement les avantages, et demandait l'autorisation de réaliser ce traitement auprès du Centre de radio-neurochirurgie Z._ en France (équipé d'un Leksell Gamma Knife PerfeXion). Le 8 janvier 2009, Helsana a refusé de verser une quelconque participation, au motif que ce traitement était faisable en Suisse.
Dans une lettre du 22 janvier 2009, le professeur E._ a relevé qu'il existait effectivement un Gamma Knife à la Clinique W._ de U._, mais qu'il s'agissait d'un modèle correspondant à la version classique, avec réglages manuels, dont les sources de cobalt n'avaient pas été remplacées depuis plus de dix ans. Selon lui, les résultats qu'on pouvait attendre de traitements réalisés avec cette technologie ne correspondaient pas aux standards actuels et ne permettaient pas de s'assurer d'offrir toutes les chances de conservation de l'audition ainsi qu'un minimum de risque d'effets secondaires. Helsana, se fondant sur un avis de son médecin-conseil du 12 février 2009, a informé l'assuré le 13 février 2009 que la lésion dont il était atteint pouvait être traitée de manière adéquate en Suisse et qu'il n'était pas impératif d'un point de vue médical que ce traitement soit effectué à l'Hôpital Z._ en France, ce qui excluait toute prise en charge par l'assurance obligatoire des soins. G._ ayant contesté ce point de vue et demandé la mise en oeuvre d'une expertise médicale, Helsana l'a invité à prendre contact avec le docteur I._, directeur du Centre Gamma Knife de U._ et "président de neurochirurgie W._".
Du 17 au 19 février 2009, G._ a séjourné dans le cadre du Groupe hospitalier Z._ en France, où il a subi un traitement par Gamma-Knife. Helsana ayant reçu les documents y relatifs, dont un devis d'hospitalisation à hauteur de 6'064 EUR, elle a versé à ce titre trois mille francs à l'assuré le 23 avril 2009 par le biais de l'assurance complémentaire d'hospitalisation.
Dans un avis du 2 mars 2009, le docteur I._ a informé Helsana que les sources de cobalt du Gamma Knife de U._ avaient été remplacées pour la dernière fois en 2001 et que la dose délivrée était (actuellement) supérieure à 1,5 Gy/minute, ce qui la situait parfaitement dans le domaine thérapeutique. A U._, le Gamma Knife correspondait au modèle classique ayant servi aux données cliniques recensées dans les publications internationales et les réglages manuels avaient toujours été effectués exclusivement par deux neurochirurgiens ou par un neurochirurgien et un physicien médical. Les résultats obtenus étaient au minimum aussi bons que ceux des autres centres à l'étranger disposant par exemple de machines robotisées. Le centre Gamma Knife de U._ disposait d'une grande expérience et enregistrait dans les résultats à long terme moins de 1 % de parésies faciales et une préservation de l'audition de l'ordre de 78 %.
Par décision du 19 août 2009, Helsana a refusé de participer, par le biais de l'assurance obligatoire des soins, aux frais consécutifs au séjour stationnaire volontaire effectué par G._ du 17 au 19 février 2009 dans le cadre du Groupe hospitalier Z._ en France. Le 21 septembre 2009, G._ a formé opposition contre cette décision. Par décision du 12 novembre 2009, Helsana a rejeté l'opposition.
B. Le 22 décembre 2009, G._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales - aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales -, en concluant à son annulation et à la désignation d'un expert médical avec pour mission de l'examiner et de dire «si au vu des dernières connaissances scientifiques en matière de traitement GAMMA KNIFE, des techniques et de l'ancienneté du matériel utilisé tant au Centre hospitalier Z._ en France qu'à la Clinique W._ de U._, le patient avait la plus grande chance de récupérer ses facultés acoustiques avec le minimum de conséquence(s) opératoires sur sa santé».
Par arrêt du 27 mai 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. G._, qui déclare former appel contre ce jugement, interjette un recours en matière de droit public contre celui-ci en concluant à sa réforme en ce sens qu'Helsana est condamnée à lui payer la somme de 8'875 fr. (6'064 EUR) au titre de l'assurance obligatoire des soins pour le traitement de la lésion du conduit auditif interne pratiqué à l'Hôpital Z._ en France du 17 au 19 février 2009. A titre subsidiaire, il reprend sa conclusion de première instance tendant à la désignation d'un expert médical.
Helsana Assurances SA conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant ainsi limité ni par les arguments du recourant, ni par la motivation de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p.140). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF). Il examine sur la base des griefs soulevés dans le recours si le jugement entrepris viole (notamment) le droit fédéral dans l'application des règles pertinentes du droit matériel et de preuve (art. 95 let. a LTF) y compris une éventuelle constatation des faits manifestement inexacte ou en violation du droit (art. 97 al. 1, art. 105 al. 2 LTF).
2. Le litige porte sur le droit du recourant à la prise en charge par l'assurance obligatoire des soins du traitement médical subi à l'étranger pendant la période du 17 au 19 février 2009.
3. Le jugement entrepris expose correctement les règles et principes applicables en cas de traitement à l'étranger (art. 34 al. 2 LAMal, art. 36 OAMal; voir ATF 131 V 271 consid. 3.1 et 3.2 p. 274 s.), où s'applique également l'art. 32 al. 1 (1ère phrase) LAMal selon lequel les prestations mentionnées aux art. 25 à 31 doivent être efficaces, appropriées et économiques (ATF 134 V 330 consid. 2.2 p. 332; GEBHARD EUGSTER, Krankenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2ème éd., ch. 483). Il rappelle à bon droit que quand des traitements appropriés sont couramment pratiqués en Suisse et qu'ils correspondent à des protocoles largement reconnus, l'assuré n'a pas droit à la prise en charge d'un traitement à l'étranger en vertu de l'art. 34 al. 2 LAMal. C'est pourquoi les avantages minimes, difficiles à estimer ou encore contestés d'une prestation fournie à l'étranger, ne constituent pas des raisons médicales au sens de cette disposition; il en va de même du fait qu'une clinique à l'étranger dispose d'une plus grande expérience dans le domaine considéré (ATF 134 V 330 consid. 2.3 p. 333, 131 V 271 consid. 3.2 p. 275). Une interprétation stricte des raisons médicales doit être de mise (ATF 134 V 330 consid. 2.4 p. 333, 131 V 271 consid. 3.2 p. 275 et la référence à GUY LONGCHAMP, Conditions et étendue du droit aux prestations de l'assurance-maladie sociale, thèse Lausanne 2004, p. 262; dans le même sens EUGSTER, in op. cit., ch. 482).
4. La juridiction cantonale a retenu qu'en Suisse, le traitement des schwannomes était couramment pratiqué et correspondait aux protocoles largement reconnus. Ainsi, l'offre thérapeutique en Suisse devait être considérée comme appropriée, même si elle n'était pas la meilleure ou à l'avant-garde. Se ralliant à l'avis du docteur I._ du 2 mars 2009, l'autorité précédente a relevé que les résultats cliniques obtenus au Centre Gamma Knife de U._ avec le modèle classique étaient, en comparaison internationale, tout aussi bons et similaires à ceux obtenus avec la version robotisée, en particulier dans les résultats à long terme où il enregistrait moins de 1 % de parésies faciales et une préservation de l'audition de l'ordre de 78 %. Il en résultait que le bénéfice thérapeutique du traitement prodigué au Centre de radio-neurochirurgie Z._ en France, soit "un gain de 1 % en matière de parésies faciales ou de 3 % en terme d'audition à long terme", ne constituait pas une raison médicale pouvant justifier un traitement à l'étranger.
4.1 Le recourant fait valoir que le risque de perte de l'audition constituait dans son cas une raison médicale d'une gravité particulière, puisque la perte de ses facultés auditives l'aurait empêché de continuer à pratiquer comme médecin psychiatre. Il n'est toutefois pas démontré, ainsi que l'a relevé la juridiction cantonale, qu'un traitement par un appareil Gamma Knife classique présenterait effectivement des risques importants et notablement plus élevés qu'un traitement utilisant un appareil Gamma Knife robotisé. Du jugement entrepris, il résulte que le Centre Gamma Knife de U._ enregistre des résultats en ce qui concerne la préservation de l'audition qui sont à long terme de l'ordre de 78 %, résultats que le recourant ne met pas en doute. Sur le vu des explications du docteur E._ en ce qui concerne les avantages d'un appareil Gamma Knife robotisé, il apparaît que si le traitement du schwannome vestibulaire avait été effectué au Centre Gamma Knife de U._, le risque de perte de l'audition pour le recourant n'aurait pas été notablement plus élevé qu'au Centre de radio-neurochirurgie Z._ en France (sur l'interprétation restrictive des raisons médicales de l'art. 34 al. 2 LAMal, cf. ATF 134 V 330 consid. 4.1 p. 336 s.).
4.2 L'autorité précédente a retenu qu'il n'y avait pas d'urgence, du fait que le recourant avait effectué un déplacement volontaire à l'étranger, ce qui excluait précisément tout caractère d'urgence du traitement. Le fait que le recourant, ainsi qu'il le relève, s'est conformé à l'avis du professeur E._ et s'est rendu à l'étranger sur prescription de ce spécialiste pour y subir un traitement, ne permet pas de faire abstraction du fait qu'il s'est rendu à l'étranger dans le but de suivre le traitement d'un schwannome, ce qui, au regard de l'art. 36 al. 2 dernière phrase OAMal, permet de conclure qu'il n'y avait pas d'urgence.
4.3 Du jugement entrepris, il ressort que le médecin-conseil de l'intimée, dans son avis du 12 février 2009 où il se référait à un entretien avec le professeur L._ de l'Hôpital Universitaire de U._, a indiqué qu'une thérapie en France n'était pas impérative d'un point de vue médical, que d'un point de vue histologique le neurinome du nerf acoustique était généralement un schwannome et le Gamma Knife autorisé par l'OPAS pour cette indication et que le Linac à l'Hôpital Universitaire de U._ constituait une alternative thérapeutique, l'accélérateur linéaire permettant également de traiter le problème selon les règles de l'art. Il résulte également du jugement entrepris que dans son avis du 2 mars 2009, le docteur I._ a relevé que de façon générale, la machine ne représentait qu'un aspect de la chaîne globale de traitement et que le résultat des traitements dépendait en premier lieu de l'expérience et de la méticulosité du neurochirurgien responsable et de son équipe. Ainsi, on pouvait mettre la machine la plus moderne entre les mains d'un médecin irresponsable ou inexpérimenté et obtenir des résultats de la pire espèce et, à l'inverse, on pouvait confier un modèle plus ancien à un médecin consciencieux et expérimenté et obtenir d'excellents résultats. La réputation internationale du Centre Gamma Knife de U._ plaidait en faveur de son appartenance à cette dernière catégorie. Rien ne justifiait dès lors qu'une caisse-maladie suisse (soit l'assurance obligatoire des soins) prenne en charge les coûts d'un traitement Gamma Knife à l'étranger.
Sur le vu des avis concordants mentionnés ci-dessus du médecin-conseil de l'intimée et du docteur I._ en ce qui concerne l'offre thérapeutique en Suisse en matière de traitement des schwannomes et son caractère approprié, les affirmations du recourant selon lesquelles l'autorité précédente s'est fondée de manière unilatérale sur l'avis du docteur I._, au lieu de procéder à une instruction complémentaire par la mise en oeuvre d'une expertise médicale, ne permettent pas de considérer que la juridiction cantonale, en retenant qu'en Suisse le traitement des schwannomes était couramment pratiqué et correspondait aux protocoles largement reconnus, ait établi les faits de façon manifestement inexacte ou en violation du droit (supra, consid. 1). Les avis du médecin-conseil de l'intimée et du docteur I._ sur l'offre thérapeutique en Suisse en matière de traitement des schwannomes suffisaient pour statuer en pleine connaissance de cause, de sorte que l'autorité précédente pouvait se dispenser d'administrer d'autres preuves (appréciation anticipée des preuves; ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157, 125 I 127 consid. 6c/cc p. 135), une telle manière de procéder ne violant pas le droit du recourant d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst. (ATF 136 I 229 consid. 5.3 p. 236; 124 V 90 consid. 4b p. 94; 122 V 157 consid. 1d p. 162). On relèvera que dans son avis du 22 janvier 2009, le professeur E._ s'était exprimé sur le Gamma Knife de U._ et que le docteur I._, en sa qualité de directeur du Centre Gamma Knife de U._ et de "président de neurochirurgie W._", était le mieux à même de prendre position à ce propos. Une expertise médicale comportant l'examen de l'assuré ne se justifiait donc pas. Le jugement entrepris, en concluant que l'offre thérapeutique en Suisse en matière de traitement des schwannomes était appropriée, est ainsi conforme au droit fédéral (supra, consid. 3). Le recours est mal fondé de ce chef.
5. Le recourant entend se prévaloir de l'ALCP. Toutefois, ainsi que l'a relevé la juridiction cantonale, les conditions mises à l'octroi de prestations par l'art. 22 du règlement n° 1408/71 (RS 0.831.109.268.1), applicable en vertu de l'Accord, ne sont manifestement pas remplies. N'ayant pas été autorisé par l'institution compétente en Suisse à se rendre en France pour y recevoir des soins appropriés à son état, il ne se trouve donc pas dans la situation de l'art. 22 par. 1 point c) du règlement n° 1408/71 et ne saurait en déduire un droit à des prestations (ATF 132 V 46 consid. 4.2.2 p. 52; arrêt K 16/06 du 26 février 2007, consid. 5.2). L'art. 22 par. 1 point a) du règlement n° 1408/71 n'entre manifestement pas en considération dans le cas particulier. Le recours est mal fondé.
6. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 25 février 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner