Sachverhalt:
A. X._ (geb. 1974) und Z._ (geb. 1970) sind die nicht verheirateten Eltern des Y._ (geb. 20. März 2005). Auf Antrag der Parteien wurde der Sohn mit Beschluss der Vormundschaftsbehörde Aarau vom 7. November 2005 unter die gemeinsame Sorge der Eltern gestellt. Nach der Auflösung des gemeinsamen Haushaltes praktizierten die Eltern ein System mit alternierender Obhut.
Am 26. Februar 2009 ersuchte die Mutter die Vormundschaftsbehörde Aarau, die elterliche Sorge auf sie alleine zu übertragen und das bisher praktizierte Betreuungskonzept der Eltern zu genehmigen. In einem selbständigen Gesuch vom 6. März 2009 beantragte der Vater, es sei der Mutter die Obhut über den Sohn zu entziehen. In seiner Vernehmlassung vom 16. März 2009 zum Gesuch der Mutter beantragte er seinerseits die Zuweisung der alleinigen elterlichen Sorge an ihn unter Gewährung eines üblichen Besuchsrechts zugunsten der Mutter. Mit Entscheid vom 24. März 2009 wies das Bezirksamt Aarau beide Anträge um Zuweisung der alleinigen elterlichen Sorge ab, hiess jedoch das Gesuch des Vaters betreffend den Obhutsentzug gut und errichtete eine Erziehungsbeistandschaft.
B. Gegen diesen Entscheid erhob die Mutter Beschwerde beim Obergericht des Kantons Aargau und beantragte, die elterliche Sorge über ihren Sohn sei ihr zu übertragen und das bisher gelebte Betreuungskonzept (je 50% für beide Elternteile) zu genehmigen. Präsidialiter wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt und die Obhut für die Dauer des Verfahrens je zu 50% den beiden Elternteilen übertragen. Am 5. Mai 2009 hiess die Kammer für Vormundschaftswesen des Obergerichts als zweitinstanzliche vormundschaftliche Aufsichtsbehörde die Beschwerde teilweise gut, hob den Entscheid des Bezirksamts Aarau vom 24. März 2009 auf und wies die Sache zu weiteren Abklärungen und neuem Entscheid zurück. Gleichzeitig legte die Kammer die Obhut im Sinne der bereits angeordneten vorsorglichen Massnahme fest. Mit Entscheid vom 14. August 2009 wies das Bezirksamt Aarau das Gesuch der Mutter um Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge ab, während es den nämlichen Antrag des Vaters unter gleichzeitiger Regelung des Besuchsrechts der Mutter guthiess. Damit wurde die Frage des Obhutsentzuges gegenstandslos.
C. Das von der Mutter dagegen ergriffene Rechtsmittel blieb in der Hauptfrage erfolglos; mit Entscheid vom 17. Februar 2010 hiess die Kammer für Vormundschaftswesen des Obergerichts des Kantons Aarau ihre Beschwerde zwar teilweise gut und regelte das Besuchs- und Ferienrecht neu, wies aber die Beschwerde im Übrigen und damit den Antrag der Mutter auf alleinige Zuweisung der elterlichen Sorge ab.
D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 30. März 2010 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht und beantragt, ihr die elterlichen Sorge über den Sohn zuzuteilen und das Besuchsrecht des Vaters zu regeln.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid einer vormundschaftlichen Aufsichtsbehörde, der die Zuteilung der elter-lichen Sorge betrifft, so dass die Beschwerde in Zivilsachen gegeben ist (Art. 72 Abs. 2 Ziff. 7, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
1.2 Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dabei ist es unerlässlich, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die Beschwerdeführerin soll in der Beschwerdeschrift mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. BGE 121 III 397 E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten, einschliesslich Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255), geltend gemacht wird. Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 246; 133 III 585 E. 4.1 S. 588 f.).
1.3 Nach Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
2. Die Beschwerdeführerin macht zunächst Willkür in der Sachverhaltsfeststellung geltend, indem die Kammer den Umfang der Fremdbetreuung des Sohnes in den letzten zwei Jahren vor dem angefochtenen Entscheid sowie die Möglichkeiten der Beschwerdeführerin der eigenen Betreuung qualifiziert unrichtig festgestellt habe. Dies sei insofern relevant, weil die Kammer aus der unrichtigen Feststellung, dass die Eltern - bisher und auch in der Zukunft - auf Fremdbetreuung angewiesen seien, den Schluss gezogen habe, das Kriterium der persönlichen Betreuung bei der Sorgerechtszuteilung an Bedeutung verliere. Die Kammer habe mit ihrem Entscheid genau das herbei geführt, was es angab, verhindern zu wollen, nämlich eine Änderung der bisherigen Betreuungsverhältnisse; mit dem angefochtenen Urteil habe sich das Mass an Fremdbetreuung erhöht und der gewohnte Betreuungsanteil durch die Mutter auf ein Minimum verringert.
Es trifft zu, dass mit dem angefochtenen Urteil die bisherigen Betreuungsverhältnisse nicht beibehalten werden können. Dies liegt in erster Linie an der gesetzlichen Regelung, wonach ohne Zustimmung beider Elternteile eine gemeinsame elterliche Sorge nicht angeordnet werden kann (Art. 298a ZGB). Mit der Zuweisung der elterlichen Sorge ist grundsätzlich auch die Obhut verbunden. Die Rechtsprechung lässt deshalb nicht zu, über ein System alternierender Obhut de facto eine geteilte elterliche Sorge zu erwirken (Urteil 5A_564/2009 vom 17. November 2009 E. 2; Urteil 5C.11/2006 vom 9. Februar 2007 E. 5.3.4). Bei Eltern, die mit dem gegenseitigen Einverständnis die elterliche Sorge gemeinsam ausüben bzw. die Obhut teilen, führt der Entzug der elterlichen Sorge zulasten des einen Elternteils automatisch zu reduzierten Möglichkeiten, das gemeinsame Kind persönlich betreuen zu können. Insofern die Beschwerdeführerin die gesetzliche Lösung als solche kritisiert, geht ihre Rüge an der Sache vorbei. Darauf ist nicht einzutreten.
3. Sodann beanstandet die Beschwerdeführerin die Behauptung des Obergerichtes, wonach der Unterschied zu den Betreuungsmöglichkeiten des Kindsvaters nicht derart gross sei, wie sie vorgebe; diese pauschale Schlussfolgerung stelle eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung dar.
Bei der Beurteilung der Bedeutung des Unterschiedes in den Betreuungsmöglichkeiten handelt es sich nicht um eine Sachverhalts- sondern um eine Wertungs- und damit um eine Ermessensfrage, welche im diesbezüglichen Sachzusammenhang zu würdigen sein wird (s. E. 4 sogleich).
4. Üben nicht verheiratete Eltern die elterliche Sorge über gemeinsame Kinder gemeinsam aus, ist die Zuteilung neu zu regeln, wenn dies wegen wesentlicher Veränderung der Verhältnisse zum Wohl des Kindes geboten ist (Art. 298a Abs. 2 ZGB). Das Vorliegen dieser Voraussetzung ist unter den Parteien nicht bestritten. Hauptstreitpunkt bildet die Frage, unter wessen elterliche Sorge der Sohn gestellt werden soll.
4.1 Die Rechtsanwendung überprüft das Bundesgericht im Rahmen begründeter Rügen (Art. 42 Abs. 2 BGG) von Amtes wegen und mit voller Kognition (Art. 106 Abs. 1 BGG). Gemäss Art. 298a Abs. 2 ZGB ist die elterliche Sorge, die nicht mehr gemeinsam ausgeübt werden kann, einem Elternteil zuzuteilen und dabei alle für das Kindeswohl massgebenden Umstände zu berücksichtigen. Auf die Meinung des Kindes ist, soweit tunlich, Rücksicht zu nehmen. Im Übrigen sind für die Zuteilung die vom Bundesgericht in der langjährigen Rechtsprechung zum früheren Art. 156 ZGB umschriebenen Kriterien wegleitend. Entscheidend ist demnach stets das Kindeswohl (BGE 115 II 206 E. 4a S. 209, 317 E. 2 S. 319; 117 II 353 E. 3 S. 354 f.). Den Bedürfnissen der Kinder ist entsprechend ihrem Alter, ihren Neigungen und ihrem Anspruch auf elterliche Fürsorglichkeit, Zuwendung und Erziehung bestmöglich zu entsprechen. Als massgebliche Gesichtspunkte stehen dabei im Vordergrund die persönlichen Beziehungen der Eltern zu den Kindern, ihre erzieherischen Fähigkeiten und ihre Bereitschaft, die Kinder in eigener Obhut zu haben und sie weitgehend persönlich zu betreuen und zu pflegen. Zudem ist dem Bedürfnis der Kinder nach der für eine harmonische Entfaltung in körperlicher, seelischer und geistiger Hinsicht notwendigen Stabilität der Verhältnisse Rechnung zu tragen (BGE 114 II 200 E. 3 S. 201 f.; 112 II 381 E. 3 S. 382 f.). Bei ungefähr gleicher Erziehungs- und Betreuungsfähigkeit beider Eltern kommt dem letztgenannten Kriterium besonderes Gewicht zu. Unter Umständen kann die Möglichkeit der persönlichen Betreuung auch dahinter zurücktreten (Urteil 5C.212/2005 vom 25. Januar 2006 E. 4.2 und 4.4.1, publ. in: FamPra.ch 2006 S. 753). Die die Neugestaltung der elterlichen Sorge zufolge veränderter Verhältnisse regelnde Bestimmung von Art. 298a Abs. 2 ZGB enthält unbestimmte Rechtsbegriffe, für deren Ausfüllung das Sachgericht auf sein Ermessen verwiesen ist (Art. 4 ZGB). Bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide übt das Bundesgericht Zurückhaltung. Es greift nur ein, wenn einschlägige Kriterien grundlos ausser Betracht geblieben oder offenkundig falsch gewichtet worden sind oder wenn die Zuteilung auf Überlegungen abgestützt worden ist, die unter dem Gesichtswinkel des Kindeswohls bedeutungslos sind oder gegen die dargelegten bundesgerichtlichen Grundsätze verstossen (BGE 117 II 353 E. 3 S. 355). Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 132 III 49 E. 2.1 S. 51; 130 III 571 E. 4.3 S. 576; je mit Hinweisen).
4.2 Vorab stellte die Kammer fest, dass Vater und Mutter gleichermassen über die notwendigen erzieherischen Fähigkeiten verfügen und beide in der Lage wären, das Sorgerecht über das gemeinsame Kind unter Wahrung des Kindeswohls auszuüben (E. 2.3 des angefochtenen Entscheids). Weiter qualifizierte die Kammer beide Eltern als gleichwertige Bezugspersonen (E. 2.4 des angefochtenen Entscheids), was seitens der Beschwerdeführerin nicht beanstandet wird. Deshalb, so folgerte die Kammer, komme der besseren Möglichkeit der unmittelbaren persönlichen Betreuung und insbesondere der Stabilität der Verhältnisse eine entscheidende Bedeutung zu.
Mit Bezug auf die Möglichkeit der persönlichen Betreuung stellte die Kammer fest, dass beide Eltern berufstätig und während des Zusammenlebens auf Fremdbetreuung angewiesen gewesen seien und dies inskünftig auch sein würden. Das Kind habe sich an diese Fremdplatzierung gewöhnt. Unter diesen Umständen verliere das Kriterium der persönlichen Betreuung bei der Sorgerechtszuteilung an Bedeutung, denn es könne nicht im wohlverstandenen Interesse des Kindes sein, die bisherigen Verhältnisse ohne wichtigen Grund zu verändern. Es sei daher nicht auf die Stunde genau zu prüfen, welcher Elternteil einen höheren Anteil an persönlicher Betreuung zu leisten vermöge. Vielmehr gehe es darum, dem Kind, welches schon bisher zu einem wesentlichen Teil fremd betreut werde, den bisherigen Umfang an persönlicher Betreuung zu erhalten. Schliesslich sei zu betonen, dass das Kind seit Sommer 2009 den Kindergarten besuche und während dieser Zeit ohnehin nicht persönlich betreut werden müsse.
Die Kammer erwog weiter, es sei davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin aufgrund ihrer Tagesarbeitszeiten insgesamt mehr Zeit für die persönliche Betreuung des Kindes aufwenden könne. Indes sei der Unterschied zu den Möglichkeiten des Vaters keineswegs derart gross, wie dies die Beschwerdeführerin vorgebe. So könne alleine schon die Behauptung, durch die Reduktion des Arbeitspensums um 20% erhöhe sich die Möglichkeit zur persönlichen Betreuung um 10 bis 15 Stunden offensichtlich nicht stimmen. Sodann habe die Beschwerdeführerin die Betreuungsmöglichkeiten des Vaters zu tief veranschlagt. Es erscheine vor allem weder notwendig noch sinnvoll, die persönlichen Betreuungsmöglichkeiten mit mathematischer Genauigkeit zu ermitteln; für die Beurteilung reiche ein summarischer Überblick. Demnach sei beim Vater unter der Woche von einer persönlichen Betreuung von drei halben Tagen auszugehen. Hinzu kämen die Morgenstunden bis zum Kindergarten- bzw. Krippenbeginn sowie die Abende abzüglich desjenigen, an dem er sich sportlich betätige. Dieses Betreuungskonzept könne aufgrund der regelmässigen Arbeitszeiten des Vaters konstant aufrecht erhalten werden, selbst wenn er die ihm angebotene Stelle als Oberarzt antreten werde. Demgegenüber variiere bei der Mutter das Ausmass der persönlichen Betreuung infolge unregelmässiger Arbeitszeiten. So könne sie sich je nach Art des Dienstes unter der Woche teilweise mehrere Tage hintereinander persönlich um das Kind kümmern, sofern es nicht den Kindergarten besuche. Auf der anderen Seite gebe es auch Wochen, an denen diese Möglichkeit infolge gehäuften Tagesdienstes nicht gegeben sei. Weil sie zudem Wochenenddienste leiste und diese Arbeitstage kompensieren könne, sei es plausibel, dass sie trotz nach wie vor höherem Arbeitspensum unter der Woche insgesamt mehr Zeit für die persönliche Betreuung des Kindes aufwenden könne. Dafür leiste sie regelmässig Nachtdienst, was, sofern sich das Kind in ihrer Obhut befinde, eine Fremdbetreuung nachtsüber zur Folge habe. Insgesamt habe die Mutter zwar unter der Woche mehr Zeit für die persönliche Betreuung zur Verfügung, diese Zeit falle aber unregelmässig an und sie sei während des Nachtdienstes auf Fremdbetreuung angewiesen. Demgegenüber vermöge der Vater beruflich bedingt unter der Woche zwar weniger Zeit aufzuwenden, dies dafür aber immer im selben Ausmass und an den gleichen Tagen. Nachdem im vorliegenden Fall das Ausmass der persönlichen Betreuung nicht entscheidendes Kriterium darstelle, erweise sich das Betreuungskonzept des Vaters als kindgerechter, denn es vermittle Stabilität und Regelmässigkeit und es entspreche in etwa dem bisherigen Ausmass an Fremdbetreuung.
4.3 Die Beschwerdeführerin legt im Detail dar, weshalb sie noch mehr Zeit für die persönliche Betreuung ihres Sohnes aufwenden könne, als die Kammer angenommen habe. Seit sie 80% arbeite, könne sie den Sohn ca. 35 Stunden pro Woche persönlich betreuen. Bis November 2009 seien es 25 Stunden gewesen, und trotzdem habe sie an der Hälfte aller Wochentage einen Mittagstisch in der Familie anbieten können, während dies beim Vater unmöglich gewesen sei. Seit der Reduktion ihres Arbeitspensums um 20% könne sie den Sohn zehn Stunden mehr als bisher persönlich betreuen. Bei einer vertraglich festgelegten Arbeitszeit von 50 Stunden pro Woche entsprächen 20% genau zehn Stunden. Es sei nicht einsichtig, weshalb für die Kammer diese Rechnung "offensichtlich nicht stimmen" könne, und diese sei in Willkür verfallen. Der Vater könne den Sohn höchstens fünfzehn Stunden pro Woche betreuen. Damit ergebe sich zwischen ihr und dem Vater ein Unterschied von zwanzig Stunden pro Woche, an denen sie persönlich zum Sohn schauen könne. Diese Differenz sei nicht vernachlässigbar, und zwar selbst dann nicht, wenn der Sohn seit Sommer 2009 den Kindergarten besuche. Dieser daure für ein fünfjähriges Kind 3,5 Stunden pro Tag. Ob dieses die restlichen 2/3 des Tages (6,5 Stunden) regelmässig in Fremdbetreuung verbringe oder zumindest jeden zweiten Tag einen Mittagstisch in der Familie bekomme, sei ein grosser Unterschied, zumal das Kind seit zwei Jahren nichts anderes mehr gewohnt sei. Es stimme zwar, dass das Ausmass der persönlichen Betreuung infolge unregelmässiger Arbeitszeiten variiere. Es stimme aber nicht, dass "es auch Wochen geben [werde], an denen diese Möglichkeit infolge gehäuften Tagdiensten nicht gegeben [sei]." Seit sie 80% arbeite, habe sie mindestens einen Tag frei pro Woche. Zudem habe die Kammer ihre anlässlich der Parteibefragung gemachten Aussagen unberücksichtigt gelassen, wonach sie ab Juli 2010 an der neuen Stelle einen dreiwöchigen Arbeitsrhythmus haben werde mit zwei ganzen freien Tagen in der 1. Woche, drei Tagen plus Wochenende in der 2. Woche und eine ganze freie Woche samt Wochenende in der 3. Woche. Die Möglichkeit, den Sohn persönlich zu betreuen, werde in dieser Zeit noch grösser sein als heute. Ferner sei es willkürlich, ihr vorzuhalten, sie sei nachtsüber häufig auf Fremdbetreuung angewiesen, denn Qualität und Aufwand einer Betreuung nachtsüber sei nicht vergleichbar mit der Betreuung tagsüber. Schliesslich sei es auch falsch, wenn man ihr unterstelle, nach dem Erwerb des Fachtitels werde sie eine neue Stelle und damit auch den Wohnort wechseln müssen; in und um A._ gebe es zahlreiche Möglichkeiten, auf Teilzeitbasis ihren Beruf ausüben zu können.
4.4 Insgesamt erschöpfen sich die Einwendungen der Beschwerdeführerin in einer Darstellung aus ihrer Sicht, die weitgehend auf pauschaler Kritik an der Begründung des angefochtenen Urteils und allgemein gehaltenen Spekulationen beruht. Einerseits zeigt sie auf, dass sie insgesamt mehr Zeit für die persönliche Betreuung des Sohnes aufwenden könne. Andererseits bestätigt sie mit ihren Ausführungen das Element der Unregelmässigkeit. Sie mindert die Bedeutung der Fremdbetreuung an Abend- bzw. Morgenstunden, welche zufolge der zu leistenden Nachtdienste anfallen, mit der Begründung, in der Nacht fielen weniger bedeutende Betreuungsaufgaben und im Übrigen übernachte das Kind gerne bei Schulkameraden. Schliesslich ist aus ihren Ausführungen herauszulesen, dass die Beschwerdeführerin meint, diese Nachteile würden durch die häufigere persönliche Betreuung aufgewogen. Diese Überlegungen sind zwar nachvollziehbar, zeigen aber lediglich auf, wie die Beschwerdeführerin die massgeblichen Kriterien für die Zuteilung der elterlichen Sorge angewendet bzw. gewichtet haben möchte. Indes bringt sie nichts vor, woraus der Schluss zu ziehen wäre, dass die Kammer mit ihrer Beurteilung, wonach die Unterbringung des Sohnes beim Vater mehr Stabilität und Regelmässigkeit vermittle, für die Kinderzuteilung wesentliche Aspekte grundlos ausser Acht gelassen oder offenkundig falsch gewichtet hat, oder dass es Überlegungen angestellt hat, die unter dem Gesichtswinkel des Kindeswohls bedeutungslos sind. Die Kammer hat die Stabilität und Regelmässigkeit der persönlichen Betreuung (durch den Vater) in den Vordergrund gerückt, weil der Sohn bereits heute fremd betreut und die Fremdbetreuung im Falle der Zuweisung der elterlichen Sorge an den Vater im bisherigen Ausmass verbleiben werde. Die Gewichtung des Kriteriums der Stabilität, wie sie die Kammer vorgenommen hat, gibt keinen Anlass, um in das ihr zustehende Ermessen einzugreifen.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin unterliegt und wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist indes nicht geschuldet, weil dem Beschwerdegegner kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Vormundschaftswesen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett