Faits:
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A. Du 29 janvier 1986 au 3 juin 1987, A._ a été administrateur-délégué de la société Z._ SA, dont le vice-président était B._.
Le 15 avril 1986, la Banques X._ (reprise en 1998 par la Banque Y._ SA, ci-après: Y._) a ouvert à Z._ SA un compte courant n° ..., avec une limite de crédit de 50 000 fr., moyennant le cautionnement solidaire et conjoint de B._ et A._, à concurrence de 55 000 fr.
Le 1er avril 1986, ces deux personnes avaient signé, en qualité de cautions solidaires, un document comportant une formule préimprimée de Y._, suivie d'un acte en brevet, établi par le notaire C._, pour un montant de 55 000 fr. La première partie de l'acte en brevet est dressée au verso de la formule imprimée de Y._; les deux cautions ont paraphé la page sur laquelle figure le début de l'acte notarié; celui-ci se termine sur une seconde feuille, collée à la formule imprimée, le sceau du notaire étant apposé à cheval sur les deux documents. La troisième et dernière page est signée par les deux cautions et par le notaire.
Le 1er avril 1986, ces deux personnes avaient signé, en qualité de cautions solidaires, un document comportant une formule préimprimée de Y._, suivie d'un acte en brevet, établi par le notaire C._, pour un montant de 55 000 fr. La première partie de l'acte en brevet est dressée au verso de la formule imprimée de Y._; les deux cautions ont paraphé la page sur laquelle figure le début de l'acte notarié; celui-ci se termine sur une seconde feuille, collée à la formule imprimée, le sceau du notaire étant apposé à cheval sur les deux documents. La troisième et dernière page est signée par les deux cautions et par le notaire.
B. Devant les difficultés financières de la société anonyme en liquidation, B._ a proposé un plan de remboursement qui n'a pu être tenu. Le 3 septembre 1992, la faillite a été prononcée à la demande de Y._, qui a produit une créance de 68 281 fr.99. L'Office des faillites de W._ lui a délivré un acte de défaut de biens pour ce montant. Le 23 avril 1993, Y._ a sommé A._, en sa qualité de caution solidaire, de lui payer le solde dû, soit 48 375 fr. Le 19 octobre 1998, Y._ a introduit une poursuite pour ce montant contre A._ qui a fait opposition totale le 3 novembre 1998. Le 10 juin 1999, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal a levé provisoirement cette opposition à concurrence de 48 375 fr. avec intérêts à 5% dès le 16 mai 1992. Le 21 juin 1999, A._ a introduit une action en libération de dette, que la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejetée par jugement du 2 avril 2001. La cour cantonale a condamné le demandeur à payer à la défenderesse la somme de 48 375 fr. avec intérêts, frais et dépens, et a levé définitivement l'opposition au commandement de payer à concurrence de ce montant.
B. Devant les difficultés financières de la société anonyme en liquidation, B._ a proposé un plan de remboursement qui n'a pu être tenu. Le 3 septembre 1992, la faillite a été prononcée à la demande de Y._, qui a produit une créance de 68 281 fr.99. L'Office des faillites de W._ lui a délivré un acte de défaut de biens pour ce montant. Le 23 avril 1993, Y._ a sommé A._, en sa qualité de caution solidaire, de lui payer le solde dû, soit 48 375 fr. Le 19 octobre 1998, Y._ a introduit une poursuite pour ce montant contre A._ qui a fait opposition totale le 3 novembre 1998. Le 10 juin 1999, la Cour des poursuites et faillites du Tribunal cantonal a levé provisoirement cette opposition à concurrence de 48 375 fr. avec intérêts à 5% dès le 16 mai 1992. Le 21 juin 1999, A._ a introduit une action en libération de dette, que la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejetée par jugement du 2 avril 2001. La cour cantonale a condamné le demandeur à payer à la défenderesse la somme de 48 375 fr. avec intérêts, frais et dépens, et a levé définitivement l'opposition au commandement de payer à concurrence de ce montant.
C. A._ a interjeté un recours de droit public et un recours en réforme au Tribunal fédéral contre cette décision. Ces recours ont été déclarés irrecevables par arrêt du 4 juillet 2002, dès lors qu'il était possible de former un recours en réforme cantonal, en application de l'art. 451a du code de procédure civile du canton de Vaud (ci-après: CPC/VD). Le 21 juillet 2002, A._ a usé de cette voie de droit. Par arrêt du 30 octobre 2003, la Chambre des recours du Tribunal cantonal a confirmé le jugement de la Cour civile du 2 avril 2001.
C. A._ a interjeté un recours de droit public et un recours en réforme au Tribunal fédéral contre cette décision. Ces recours ont été déclarés irrecevables par arrêt du 4 juillet 2002, dès lors qu'il était possible de former un recours en réforme cantonal, en application de l'art. 451a du code de procédure civile du canton de Vaud (ci-après: CPC/VD). Le 21 juillet 2002, A._ a usé de cette voie de droit. Par arrêt du 30 octobre 2003, la Chambre des recours du Tribunal cantonal a confirmé le jugement de la Cour civile du 2 avril 2001.
D. Parallèlement à un recours de droit public, A._ interjette un recours en réforme au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 30 octobre 2003. Il reproche à la cour cantonale d'avoir violé les art. 493 al. 2 CO et 55 al. 1 Titre final CC, concluant sur le fond à l'admission de son action en libération de dette.
La défenderesse conclut principalement au rejet du recours, subsidiairement à son irrecevabilité.
Le Tribunal cantonal se réfère à son arrêt.
Le Tribunal cantonal se réfère à son arrêt.
E. Par arrêt de ce jour, le Tribunal fédéral a rejeté le recours de droit public interjeté parallèlement par le demandeur.
Le Tribunal fédéral considère en droit:
Le Tribunal fédéral considère en droit:
1. 1.1 Selon l'art. 451a al. 1 CPC/VD, le recours en réforme cantonal peut être formé contre un jugement de la Cour civile, entre autres hypothèses, lorsque, dans une contestation pécuniaire susceptible d'un recours en réforme au Tribunal fédéral, la Cour a appliqué concurremment le droit fédéral et le droit cantonal, comme c'est ici le cas. Dans une telle hypothèse, seul l'arrêt rendu par la Chambre des recours peut être attaqué devant le Tribunal fédéral par la voie du recours en réforme (arrêt 4C.427/1993 du 14 septembre 1994, consid. 2b). Le demandeur a donc eu raison de n'entreprendre, par son recours en réforme fédéral, que l'arrêt de la Chambre des recours, à l'exclusion du jugement de la Cour civile. Cette circonstance n'interdit pas de se référer à ce jugement, dans la mesure où la Chambre des recours y fait siennes les constatations de fait et certains considérants de ce dernier.
1. 1.1 Selon l'art. 451a al. 1 CPC/VD, le recours en réforme cantonal peut être formé contre un jugement de la Cour civile, entre autres hypothèses, lorsque, dans une contestation pécuniaire susceptible d'un recours en réforme au Tribunal fédéral, la Cour a appliqué concurremment le droit fédéral et le droit cantonal, comme c'est ici le cas. Dans une telle hypothèse, seul l'arrêt rendu par la Chambre des recours peut être attaqué devant le Tribunal fédéral par la voie du recours en réforme (arrêt 4C.427/1993 du 14 septembre 1994, consid. 2b). Le demandeur a donc eu raison de n'entreprendre, par son recours en réforme fédéral, que l'arrêt de la Chambre des recours, à l'exclusion du jugement de la Cour civile. Cette circonstance n'interdit pas de se référer à ce jugement, dans la mesure où la Chambre des recours y fait siennes les constatations de fait et certains considérants de ce dernier.
2. Dans l'arrêt de principe déjà plusieurs fois mentionné à propos du recours de droit public (ATF 125 III 131), le Tribunal fédéral a rappelé que c'est le droit fédéral matériel qui détermine le contenu minimal que la forme authentique doit recouvrir pour que l'acte soit valable, les cantons devant établir les modalités de la forme authentique, à teneur de l'art. 55 al. 1 Titre final CC. En l'absence de définition dans le code civil, il appartient à la jurisprudence et à la doctrine de délimiter les contours de la notion fédérale de forme authentique (ATF 125 III 131 consid. 4a et 5b et les références, p. 133/134; Jürg Schmid, Commentaire bâlois, n. 6 et 7 ad art. 55 Titre final CC; cf. aussi Beck, Commentaire bernois, n. 5 et 14 ad art. 55 Titre final CC). En l'espèce, le demandeur ne soutient pas que l'acte de cautionnement ne respecte pas les conditions minimales fixées par le droit fédéral, mais qu'en écartant l'application du droit cantonal déterminant (art. 72 al. 1 et 99 de la loi vaudoise sur le notariat) la cour cantonale aurait déclaré valide un acte de cautionnement qui n'a pas été revêtu en réalité de la forme authentique visée par l'art. 493 al. 2 CO.
Dans la mesure où le moyen est recevable au regard de l'art. 55 al. 1 let. c OJ, il doit être rejeté pour les motifs énoncés dans l'arrêt du Tribunal de céans rendu ce jour sur le recours de droit public.
Dans la mesure où le moyen est recevable au regard de l'art. 55 al. 1 let. c OJ, il doit être rejeté pour les motifs énoncés dans l'arrêt du Tribunal de céans rendu ce jour sur le recours de droit public.
3. Invoquant l'art. 55 al. 1 Titre final CC, le demandeur estime que la jurisprudence fédérale ne permet pas de dresser la liste précise des formalités ou opérations dont la réunion opère, au regard du droit fédéral, la forme authentique.
Ce faisant, il se réfère aux modalités de mise en oeuvre de la forme authentique, qui relèvent du droit cantonal, que la Chambre des recours a implicitement vérifiées au consid. 4c in fine, p. 10 de son arrêt, en se rapportant aux motifs avancés par la Cour civile et fondés sur la jurisprudence cantonale, soit l'arrêt de principe JT 1995 III 108 ss. Comme l'art. 55 al. 1 Titre final CC n'est qu'une disposition de renvoi au droit cantonal en ce qui concerne les modalités de la forme authentique, la question a été traitée dans l'arrêt rendu ce jour entre les mêmes parties sur le recours de droit public.
Ce deuxième moyen doit être écarté.
Ce deuxième moyen doit être écarté.
4. Vu l'issue de la cause, le demandeur supportera les frais de justice et versera une indemnité de dépens à la défenderesse (art. 156 al. 1 et 159 al. 1 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
1. Le recours est rejeté.
2. Un émolument judiciaire de 2500 fr. est mis à la charge du demandeur.
2. Un émolument judiciaire de 2500 fr. est mis à la charge du demandeur.
3. Le demandeur versera à la défenderesse une indemnité de 3000 fr. à titre de dépens.
3. Le demandeur versera à la défenderesse une indemnité de 3000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué en copie aux mandataires des parties et à la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 17 février 2004
Au nom de la Ire Cour civile
du Tribunal fédéral suisse
Le président: La greffière: