Faits:
A. Le 3 février 2009, Y._ a ouvert devant le Tribunal de première instance du canton de Genève une action en modification du jugement de divorce rendu le 3 avril 2000 par le Tribunal du district de Lausanne. Il a requis la suppression de la contribution due à son fils majeur, X._.
La cause a été attribuée à la Présidente de la 8ème Chambre du Tribunal de première instance, qui a convoqué les parties à deux audiences de comparution personnelle, les 17 mars et 5 mai 2009.
Dans son mémoire-réponse du 25 mai 2009, X._ s'est opposé à la demande et a conclu, reconventionnellement, à ce que son père soit condamné à lui verser 39'846 fr., avec intérêts, à titre de contribution d'entretien pour les mois de juillet à décembre 2007, de janvier à décembre 2008 et de janvier à mai 2009.
B. Le 6 mai 2009, X._ a saisi le Tribunal de première instance d'une demande de récusation de la Présidente de la 8ème Chambre du Tribunal de première instance. En bref, il a allégué que, par son attitude lors des séances des 17 mars et 5 mai 2009, celle-ci avait démontré ne plus pouvoir traiter la cause en toute impartialité.
Par décision du 4 juin 2009, le Tribunal de première instance a rejeté la requête. Il a retenu, en substance, que la proposition d'une démarche de médiation et la tentative de conciliation ne traduisaient aucun parti pris, que les tensions apparues lors de l'audience du 5 mai 2009 devaient être imputées à l'avocat de X._, qui devait se conformer aux injonctions du juge d'entendre les parties en « chambre du conseil », indépendamment de la question de savoir si cette institution excluait ou non la présence des mandataires.
C. X._ interjette un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral, concluant à l'annulation de la décision cantonale et à la récusation de la magistrate concernée.
L'autorité cantonale n'a pas été invitée à répondre.
D. Par ordonnance du 2 juillet 2009, la Présidente de la IIe Cour de droit civil a accordé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 1 consid. 1.1 p. 3; 134 V 443 consid. 1 p. 444).
1.1 Le recours a été déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. a et 100 al. 1 LTF) par la partie qui a succombé devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 LTF). Il est en outre dirigé contre une décision incidente, prise et notifiée séparément du fond, portant sur la récusation du magistrat appelé à statuer dans la cause opposant le recourant à son père. Selon l'art. 92 al. 1 LTF, une telle décision peut faire l'objet d'un recours immédiat devant le Tribunal fédéral. La voie de droit suit alors celle offerte contre la décision sur le fond. En l'espèce, la décision attaquée se rapporte à une procédure en modification d'un jugement de divorce visant la suppression des aliments dus à l'enfant majeur et à l'action reconventionnelle de ce dernier tendant au paiement d'arriérés de contributions à concurrence de 39'846 fr., plus intérêts, à savoir sur une affaire civile de nature pécuniaire, dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. c et 74 al. 1 let. b LTF).
La voie du recours en matière civile est donc ouverte (art. 72 LTF), de telle sorte que celle du recours constitutionnel subsidiaire ne l'est pas (art. 113 LTF).
1.2 A lui seul, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit cependant pas à son auteur, pour autant que les conditions d'une conversion en la voie de droit adéquate soient réunies (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382 et les arrêts cités). C'est le cas en l'espèce, le recourant invoquant la violation de droits constitutionnels, lesquels sont inclus dans la notion de droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF. Il convient ainsi de traiter l'écriture comme un recours en matière civile.
2. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties. Compte tenu des exigences de motivation posées à l'art. 42 al. 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 133 IV 150 consid. 1.2 p. 152). Il ne connaît en outre de la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), les exigences de motivation correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397).
3. Le recourant se plaint concurremment de la violation de l'art. 30 al. 1 Cst., qui garantit l'accès à un tribunal impartial, et d'une application arbitraire de l'art. 91 de la loi genevoise sur l'organisation judiciaire, du 22 novembre 1941 (LOJ/GE; RS/GE E 2 05), selon lequel tout juge est récusable s'il a manifesté son avis avant le temps d'émettre son opinion pour le jugement (let. e), s'il a fait relativement à la cause quelque promesse ou quelque menace à l'une des parties (let. h) et s'il a, de toute autre manière, témoigné haine ou faveur pour l'une des parties (let. i).
3.1 Le recourant ne prétend pas que la protection conférée par l'art. 91 LOJ/GE serait plus étendue que celle offerte par l'art. 30 al. 1 Cst. Son grief sera dès lors examiné exclusivement au regard de cette dernière disposition.
La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par l'art. 30 al. 1 Cst. permet de demander la récusation d'un juge dont le comportement ou la situation est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité. Elle vise à éviter que des circonstances extérieures à l'affaire puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie; il suffit que les circonstances donnent l'apparence d'une prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat; seules des circonstances objectivement constatées doivent être prises en considération; les impressions purement individuelles ne sont en effet pas décisives (ATF 134 I 20 consid. 4.2 p. 21, 238 consid. 2.1 p. 240).
3.2 Selon le recourant, lors de l'audience du 17 mars 2009, la Présidente de la 8ème Chambre du Tribunal de première instance lui aurait reproché, sur un ton moralisateur, d'être responsable de l'interruption des relations personnelles avec son père et aurait exprimé des doutes quant à la recevabilité d'une éventuelle demande reconventionnelle en paiement de contributions arriérées. Il voit dans cette attitude une apparence de prévention.
Ce grief n'est pas fondé. Comme l'a relevé l'autorité cantonale - sans que le recourant ne soulève aucun grief à cet égard (art. 106 al. 2 LTF) -, aucun élément objectif du dossier n'établit que la juge aurait d'emblée, sur un ton moralisateur, imputé au recourant la responsabilité de la rupture des relations personnelles; tel pouvait d'ailleurs difficilement être le cas, dès lors que la version des faits du recourant n'a été délivrée qu'ultérieurement, soit dans la réponse du 25 mai 2009. Pour le surplus, on ne voit pas en quoi le fait d'interroger le mandataire du recourant sur le fondement d'une demande reconventionnelle en paiement d'arriérés de contributions, alors même qu'un jugement condamnait déjà le père à verser les montants en question, serait de nature à faire naître un doute sur l'impartialité de la magistrate saisie, ce d'autant plus qu'un délai pour le dépôt d'une telle action a été par la suite imparti, soit le 5 mai 2009. Enfin, il ne ressort pas du procès-verbal de l'audience du 17 mars 2009 que la médiation préconisée ait été imposée aux parties. Il en résulte au contraire que celles-là se sont mises d'accord pour « reprendre contact et [...] consulter un médiateur » et ont déclaré qu'elles « entamer[aient] des démarches dans ce sens ». Au demeurant, on ne voit pas en quoi la décision de la juge à cet égard traduirait un parti pris contre le recourant. En effet, la médiation pouvait tout aussi bien aboutir à une reprise des relations personnelles, hypothèse plutôt défavorable pour le père, qui invoquait l'absence de tout contact pour se libérer de son obligation d'entretien.
3.3 Le recourant soutient par ailleurs que l'apparence de prévention de la Juge à son égard s'est confirmée lors de la seconde audience du 5 mai 2009. En bref, il se réfère au fait que la magistrate a voulu ordonner l'audition des parties « en chambre du conseil » sans la présence des avocats, qu'elle l'a fait afin de faire pression sur lui, et qu'elle lui aurait indiqué qu'il aurait à subir les conséquences procédurales de son refus d'être entendu ainsi.
Ces arguments ne résistent pas à l'examen. Au terme de la séance du 17 mars 2009, les parties s'étaient mises d'accord sur une reprise de contact et la consultation d'un médiateur et avaient exposé qu'elles entreprendraient des démarches en ce sens. En fait, tel n'a pas été le cas. Le père a déclaré qu'il avait attendu un signe de la part de son fils, tout en laissant entendre qu'il ne lui appartenait pas de prendre les devants. Le recourant a quant à lui bien pris une initiative, mais pour, sous la plume de son avocat, refuser en l'état tout rapprochement, motifs pris, selon ses déclarations à l'audience du 5 mai 2009, que le rétablissement des liens personnels ne pouvait intervenir qu'après la thérapie qu'il avait commencée, laquelle prendrait du temps. Dans ces circonstances, on ne saurait reprocher à la Présidente d'avoir voulu tenter - qui plus est dans un litige concernant le droit de la famille - elle-même une conciliation, possibilité que lui offre l'art. 54 LPC/GE. Quant à son choix de vouloir entendre les parties en chambre du conseil sans la présence des mandataires, rien n'indique qu'il était motivé pour faire pression sur le recourant. Certes, des tensions sont apparues à ce sujet. Elles ont toutefois résulté des divergences d'interprétation de la loi entre la magistrate et le conseil du recourant. Elles font parties de la vie du prétoire et ne constituent pas un indice permettant objectivement de retenir une quelconque apparence de prévention qui ferait douter de l'impartialité de la Présidente du Tribunal. Il n'y a pas lieu de craindre que celle-ci ne prenne pas équitablement en considération, dans la procédure ultérieure, les moyens et arguments du recourant, tels qu'ils résultent de la réponse du 25 mai 2009. Le fait que, tenant compte du refus du fils d'affronter seul son père, elle a finalement renoncé à ordonner une chambre du conseil abonde du reste en ce sens. A cet égard, aucun élément ne permet de retenir l'interprétation donnée par le recourant - menaces de sanctions procédurales en cas de refus d'être entendu à huis clos - aux termes « compte tenu de l'attitude du défendeur ».
4. Vu ce qui précède, le recours, traité comme recours en matière civile, doit être rejeté. Comme il était par ailleurs d'emblée dénué de toute chance de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'autorité cantonale (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours, traité comme recours en matière civile, est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant et au Tribunal de première instance du canton de Genève.
Lausanne, le 2 septembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Jordan