Sachverhalt:
A. Y._ (geb. 1963) und X._ (geb. 1972) sind die unverheirateten, getrennt lebenden Eltern von A._ (geb. 2005). Über die bei der Mutter wohnende Tochter wurde am 20. März 2006 eine Erziehungsbeistandschaft errichtet. Im Haushalt von X._ leben auch noch ihre 1998 geborenen, seit 2002 unter Beistandschaft stehenden Zwillingssöhne. Die Obhut über ihren ältesten Sohn (geb. 1994) wurde der Mutter 2003 entzogen; er ist seither bei Pflegeeltern untergebracht.
Mit Beschluss vom 25. Juni 2008 übernahm die Vormundschaftsbehörde B._ die zuvor von der Vormundschaftsbehörde C._ geführte Beistandschaft für A._, ernannte eine Beiständin, übertrug dieser die Befugnis, mit den Eltern eine Besuchsrechtsregelung zu erstellen, den Kontakt der Eltern mit der Tochter zu überwachen, den Eltern überhaupt mit Rat und Tat zur Seite zu stehen sowie den Unterhaltsanspruch von A._ zu wahren. In einem separaten Beschluss des gleichen Tages wies die Vormundschaftsbehörde B._ die Gesuche des Vaters um Errichtung der gemeinsamen elterlichen Sorge und um Zuteilung der Obhut an ihn ab.
B. Y._ focht den Entscheid betreffend die gemeinsame elterliche Sorge und Obhutszuteilung am 7. Juli 2008 beim Bezirksrat D._ an. Mit Beschluss vom 28. August 2008 wies dieser die Beschwerde ab.
C. Gegen diesen Beschluss rekurrierte Y._ beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses hiess den Rekurs mit Beschluss vom 3. März 2010 teilweise gut, entzog der Mutter die Obhut über die Tochter A._ (Dispositiv-Ziff. 1), übertrug die Obhut über die Tochter an Y._ (Dispositiv-Ziff. 2), beschloss die Weiterführung der bereits errichteten Beistandschaft und übertrug sie der Vormundschaftsbehörde C._ (Dispositiv-Ziff. 3), lud diese ein, eine Person als Beistand für A._ zu ernennen (Dispositiv-Ziff. 4) und ersuchte die Vormundschaftsbehörde, den persönlichen Kontakt zur Mutter zu regeln (Dispositiv-Ziff. 5). Soweit weitergehend wies das Obergericht den Rekurs ab.
D. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. April 2010 wendet sich X._ (fortan Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht und beantragt, den Beschluss des Obergerichts vom 3. März 2010 aufzuheben, die Beschlüsse der Vormundschaftsbehörde B._ vom 25. Juni 2008 und des Bezirksrates D._ vom 28. August 2008 zu bestätigen und ihr die Obhut über A._ zu belassen. Für den Fall, dass ihr die Obhut über A._ entzogen werde, beantragt sie, die Vormundschaftsbehörde B._ oder eine andere geeignete Stelle zu beauftragen, eine angemessene Unterbringung von A._ abzuklären und darüber zu entscheiden. Schliesslich ersucht die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen (Verfügung vom 29. April 2010).
Zur Hauptsache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Die Beschwerdeführerin hat mit Post vom 7. Mai 2010 weitere Unterlagen eingereicht.
Erwägungen:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Es handelt sich um ein Beschwerdeverfahren betreffend eine Kindesschutzmassnahme (Art. 307 ff. ZGB) und damit um eine öffentlich-rechtliche Frage, die in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht. Dafür steht die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich offen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 7 BGG).
Angefochten ist ein letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG), mit dem in einem vormundschaftlichen Verfahren ein Obhutsentzug und eine Übertragung derselben an den leiblichen Vater verfügt wurden. Als sorgeberechtigte Mutter ist diese zur Beschwerde befugt. Somit erweist sich die Beschwerde in Zivilsachen dem Grundsatze nach als zulässig.
1.2 Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonaler verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (Art. 95 BGG).
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich die Beschwerdeführerin wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Allgemein gehaltene Einwände, die ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidgründen vorgebracht werden, genügen nicht (BGE 116 II 745 E. 3 S. 749; Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008, E. 2.3). Ebenso wenig genügt, wenn die Beschwerdeführerin in der Beschwerdeschrift bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigt (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.3 S. 246) oder wenn sie im Wesentlichen einfach das Gegenteil von dem behauptet, was die Vorinstanz erwogen hat (Urteil 5A_90/2009 vom 24. August 2009, E. 3.2). Genügt die Beschwerdeschrift diesen Begründungsanforderungen nicht, so ist darauf nicht einzutreten. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG); dies setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die minimalen Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG erfüllt.
1.3 Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255). Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Für derartige Rügen muss die Beschwerdeschrift die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 133 III 393 E. 6 S. 397; 130 I 258 E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen).
Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine "offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts" entspricht der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung (Botschaft, BBl 2001 IV 4338; BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252; 133 III 393 E. 7.1 S. 398). Dabei genügt es aber nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift im Einzelnen darzulegen, inwiefern diese willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sein sollen (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255). Eine materielle Rechtsverweigerung ist nicht schon dann gegeben, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar oder gar zutreffender erschiene, sondern nur dann, wenn das Ergebnis schlechterdings mit vernünftigen Gründen nicht zu vertreten ist (BGE 124 IV 86 E. 2a S. 88, mit Hinweisen; 120 Ia 369 E. 3a S. 373).
1.4 Gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die erwähnte Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Beweismitteln erfüllt sein soll (BGE 133 III 393 E. 3 S. 395). Die Beschwerdeführerin ist deshalb nicht zu hören, soweit sie den Entzug der Obhut über A._ mit solchen Dokumenten - wie z.B. die Stellungnahme der Beiständin und der Jugend- und Familienberatung vom 30. März 2010 - in Frage stellen will. Die nach Fristablauf eingereichten Unterlagen bleiben ebenfalls unbeachtlich.
2. In der Sache selbst verlangt die Beschwerdeführerin, dass ihr die Obhut über die Tochter A._ belassen werde. Das Obergericht habe die für Kindesschutzmassnahmen geltenden Grundsätze des Subsidiarität, Komplementarität, Qualität, Quantität und Proportionalität und schliesslich auch die für Kinderbelange geltende Untersuchungsmaxime verletzt.
2.1 Nach Art. 310 Abs. 1 ZGB hat die Vormundschaftsbehörde, wenn einer Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden kann, dieses den Eltern oder, wenn es sich bei Dritten befindet, Letzteren wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen. Kindesschutzmassnahmen bezwecken im Allgemeinen die Abwendung einer Gefährdung des Kindeswohls (CYRIL HEGNAUER, Grundriss des Kindesrechts, 5. Aufl., Bern 1999, S. 206 Rz. 27.09). Sie müssen zur Erreichung dieses Ziels erforderlich sein (Subsidiarität), und es ist immer die mildeste Erfolg versprechende Massnahme anzuordnen (Proportionalität); diese soll elterliche Bemühungen nicht ersetzen, sondern ergänzen (Komplementarität, s. zum Ganzen CYRIL HEGNAUER, a.a.O., S. 206 Rz. 27.10 ff.; MEIER/STETTLER, Droit de la filiation, Tome II: Effets de la filiation [art. 270 à 327 CC], 3. Aufl., Genf/Zürich/Basel 2006, S. 362 f. Rz. 679 f.).
Die Gefährdung des Kindes, die Anlass zur Wegnahme von den es betreuenden Eltern gibt, muss darin liegen, dass das Kind in der elterlichen Obhut nicht so geschützt und gefördert wird, wie es für seine körperliche, geistige und sittliche Entfaltung nötig wäre. Unerheblich ist, auf welche Ursachen die Gefährdung zurückzuführen ist: Sie können in den Anlagen oder in einem Fehlverhalten des Kindes, der Eltern oder der weiteren Umgebung liegen. Desgleichen spielt keine Rolle, ob die Eltern ein Verschulden an der Gefährdung trifft. Massgebend sind die Verhältnisse im Zeitpunkt der Entziehung. An die Würdigung der Umstände ist ein strenger Massstab zu legen. Die Entziehung ist nur zulässig, wenn andere Massnahmen ohne Erfolg geblieben sind oder von vornherein als ungenügend erscheinen.
2.2 Das Obergericht begründet seine Auffassung, das Kindeswohl sei zum Zeitpunkt des Urteils gefährdet, damit, dass die Beschwerdeführerin in der Gesamtbeurteilung ihrer familiären Situation seit längerem, aktuell und auch in Zukunft nur mit einem weit überdurchschnittlichen alltagspraktischen Hilfsangebot in der Lage sei, für sich und ihre Kinder, namentlich A._ zu sorgen. Diese erlebe ihre Mutter als eine weitgehend unselbständige, fremdbestimmte und auf Hilfe von Drittpersonen angewiesene Hauptbezugsperson, mit der sie gefühlsmässig eng verbunden sei. Damit werde A._ das Bild einer hilfs- und schutzbedürftigen Mutter vermittelt. Dies stelle im Hinblick auf die mit dem Älterwerden zunehmend nötig werdende Förderung zu selbständigem und eigenverantwortlichem Denken und Handeln eine denkbar schlechte Vorbildfunktion dar. A._ erfahre täglich, dass ihre Mutter ständig auf fremde Unterstützung zählen könne; ohne diese drohe der Haushalt rasch in Chaos und Verwahrlosung zu versinken. Trotz dieser überdurchschnittlichen Hilfestellung erfahre A._ bei ihrer Mutter wenig Stabilität, Halt gebende Strukturen, Verbindlichkeit und Zuverlässigkeit. Alleine und in eigener Verantwortung betreue die Beschwerdeführerin A._ tagsüber an einem Wochenende pro Monat; die drei anderen Wochenenden verbringe A._ beim Vater. An den restlichen Wochentagen seien entweder Drittpersonen im Haushalt oder A._ weile ganztags in der Kinderhüeti resp. werde von Drittpersonen betreut. Eine derart weit gehende Begleitung und Betreuung eines Elternteils resp. des unter seiner Obhut stehenden Kindes könne vor dem Hintergrund, dass ein Kind in erster Linie durch das Vor-Leben bzw. die Vorbildfunktion bezüglich Lebensgestaltung in seiner Herkunftsfamilie in seiner geistigen und seelischen Entwicklung gefördert werden soll mit dem Fernziel Gemeinschaftsfähigkeit und Eigenverantwortlichkeit nicht als zielführend qualifiziert werden. Im Gegenteil sei zu befürchten, dass die dauernde Anwesenheit von Hilfspersonen zu falschen Erwartungshaltungen von A._ führten, abgesehen davon, dass ihr ihre Mutter kein positives Vorbild bezüglich Wahrnehmung von Verantwortung vermittle, da diese grösste Mühe habe, für sich selber Strukturen zu schaffen, geschweige denn solche für ihre Kinder zu etablieren. Bei solchen Verhältnissen, d.h. über weite Strecken nicht ausreichend vorhandenen Ressourcen und Fähigkeiten der Mutter bezüglich Erziehungsaufgaben und Haushaltsführung bestehe eine erhebliche Gefahr, dass A._ in ihrer gesunden geistigen und seelischen Entwicklung fehlgeleitet werde. Dieser Gefahr könne durch das eng geknüpfte Helfernetz nicht begegnet werden; vielmehr sei zu befürchten, dass es zu einer Zementierung ungünstiger Verhaltensweisen führe. Aus all diesen Gründen sei der Beschwerdeführerin die Obhut über ihre Tochter zu entziehen.
2.2 Das Obergericht begründet seine Auffassung, das Kindeswohl sei zum Zeitpunkt des Urteils gefährdet, damit, dass die Beschwerdeführerin in der Gesamtbeurteilung ihrer familiären Situation seit längerem, aktuell und auch in Zukunft nur mit einem weit überdurchschnittlichen alltagspraktischen Hilfsangebot in der Lage sei, für sich und ihre Kinder, namentlich A._ zu sorgen. Diese erlebe ihre Mutter als eine weitgehend unselbständige, fremdbestimmte und auf Hilfe von Drittpersonen angewiesene Hauptbezugsperson, mit der sie gefühlsmässig eng verbunden sei. Damit werde A._ das Bild einer hilfs- und schutzbedürftigen Mutter vermittelt. Dies stelle im Hinblick auf die mit dem Älterwerden zunehmend nötig werdende Förderung zu selbständigem und eigenverantwortlichem Denken und Handeln eine denkbar schlechte Vorbildfunktion dar. A._ erfahre täglich, dass ihre Mutter ständig auf fremde Unterstützung zählen könne; ohne diese drohe der Haushalt rasch in Chaos und Verwahrlosung zu versinken. Trotz dieser überdurchschnittlichen Hilfestellung erfahre A._ bei ihrer Mutter wenig Stabilität, Halt gebende Strukturen, Verbindlichkeit und Zuverlässigkeit. Alleine und in eigener Verantwortung betreue die Beschwerdeführerin A._ tagsüber an einem Wochenende pro Monat; die drei anderen Wochenenden verbringe A._ beim Vater. An den restlichen Wochentagen seien entweder Drittpersonen im Haushalt oder A._ weile ganztags in der Kinderhüeti resp. werde von Drittpersonen betreut. Eine derart weit gehende Begleitung und Betreuung eines Elternteils resp. des unter seiner Obhut stehenden Kindes könne vor dem Hintergrund, dass ein Kind in erster Linie durch das Vor-Leben bzw. die Vorbildfunktion bezüglich Lebensgestaltung in seiner Herkunftsfamilie in seiner geistigen und seelischen Entwicklung gefördert werden soll mit dem Fernziel Gemeinschaftsfähigkeit und Eigenverantwortlichkeit nicht als zielführend qualifiziert werden. Im Gegenteil sei zu befürchten, dass die dauernde Anwesenheit von Hilfspersonen zu falschen Erwartungshaltungen von A._ führten, abgesehen davon, dass ihr ihre Mutter kein positives Vorbild bezüglich Wahrnehmung von Verantwortung vermittle, da diese grösste Mühe habe, für sich selber Strukturen zu schaffen, geschweige denn solche für ihre Kinder zu etablieren. Bei solchen Verhältnissen, d.h. über weite Strecken nicht ausreichend vorhandenen Ressourcen und Fähigkeiten der Mutter bezüglich Erziehungsaufgaben und Haushaltsführung bestehe eine erhebliche Gefahr, dass A._ in ihrer gesunden geistigen und seelischen Entwicklung fehlgeleitet werde. Dieser Gefahr könne durch das eng geknüpfte Helfernetz nicht begegnet werden; vielmehr sei zu befürchten, dass es zu einer Zementierung ungünstiger Verhaltensweisen führe. Aus all diesen Gründen sei der Beschwerdeführerin die Obhut über ihre Tochter zu entziehen.
2.3 2.3.1 Was die Beschwerdeführerin über mehrere Seiten gegen diese obergerichtlichen Erwägungen ausführt, ist praktisch durchwegs eine eigene, gegen die anderslautenden Feststellungen der Vorinstanz gerichtete Sicht der Dinge. Soweit es sich dabei nicht um neue - und damit gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG ohnehin unzulässige - Vorbringen handelt, legt sie nicht dar, inwieweit die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen offensichtlich unrichtig sein oder auf einer Rechtsverletzung beruhen sollen bzw. inwiefern die Behebung des behaupteten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein soll. Vielmehr beschränkt sie sich diesbezüglich durchwegs auf rein appellatorische und damit unzulässige Kritik am festgestellten Sachverhalt (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.).
2.3.2 Unter dem Titel der Willkür (Art. 9 BV), rechtsfehlerhaften Anwendung von Art. 310 ZGB und Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes beanstandet die Beschwerdeführerin, das Obergericht habe sich mit dem Abklärungsbericht des Jugendsekretariates D._ vom 8. Mai 2008, dem Rechenschaftsbericht von Frau E._ (ehemalige Beiständin von A._) vom 23. September 2009, der Stellungnahme der aktuellen Beiständin, Frau F._, vom 4. November 2009 oder dem Protokoll von Frau F._ über den zeitlichen Ablauf ihrer Tätigkeiten seit Fallaufnahme nicht einmal ansatzweise auseinandergesetzt.
Die Beschwerdeführerin führt indes nicht aus, welche Tatsachen sich aus den fraglichen Unterlagen ergeben und welches die Konsequenzen mit Bezug auf den Ausgang des angefochtenen Entscheids sein sollen. Insofern kommt sie ihrer Begründungspflicht nicht nach, so dass auf diese Rüge nicht eingetreten werden kann (E. 1.3). Im Übrigen hat sich das Obergericht darauf konzentriert, ein möglichst aktuelles Bild der Situation zu verschaffen und zahlreiche Personen befragt. Wenn es unter diesen Umständen einen Bericht aus dem Jahre 2008 oder auch den Rechenschaftsbericht der ehemaligen Beiständin nicht speziell erwähnte bzw. in seine Überlegungen einbezog, kann ihm daraus kein Vorwurf gemacht werden. Die aktuelle Beiständin wurde demgegenüber anlässlich der Gerichtsverhandlung vom 22. Januar 2010 befragt und angehört, und das Obergericht hat deren Aussagen sehr wohl in seine Erwägungen einbezogen (S. 26 des angefochtenen Entscheids); eine gesonderte Auseinandersetzung mit den beiden fraglichen Berichten dieser Beiständin bedurfte es unter diesen Umständen nicht.
2.3.3 Weiter wendet die Beschwerdeführerin ein, gemäss allen involvierten Fachpersonen genügten die bestehenden Massnahmen zur Gewährleistung des Kindeswohls. Damit ist die Beweiswürdigung angesprochen. Indes hätte die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang aufzeigen müssen, entweder dass das Obergericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, oder dass es auf Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (BGE 134 V 53 E. 4.3 S. 62; 129 I 8 E. 2.1 S. 9; 127 I 38 E. 2a S. 41, mit Hinweisen; s. auch Urteil 5A_423/2007 E. 6.1). Dass die Ergebnisse des Beweisverfahrens auch Schlüsse gestatten, die nicht mit den vom Sachgericht gezogenen übereinstimmen, bedeutet nicht schon Willkür (BGE 116 Ia 85 E. 2b S. 88). Die Beschwerdeführerin kommt diesen Anforderungen nicht nach, sodass auf die Rüge nicht eingetreten werden kann.
Im Übrigen hat das Obergericht sowohl die Effektivität der engmaschigen Betreuung der Beschwerdeführerin in Bezug auf das Wohlbefinden der Tochter als auch die notwendige Distanz des installierten Helfernetzes zur Beschwerdeführerin in Zweifel gezogen (S. 39 des angefochtenen Entscheids); damit hat es implizit aufgezeigt, weshalb es die Beurteilung der involvierten Fachpersonen nicht teilt. Die Beschwerdeführerin setzt sich nicht mit den fraglichen Erwägungen auseinander, so dass auch aus diesem Grunde darauf nicht eingetreten werden kann.
2.4 Gestützt auf die willkürfreien Feststellungen des Obergerichts erscheint die Annahme einer bestehenden Gefährdung des Kindeswohls nicht als bundesrechtswidrig. Sie zeigen namentlich auf, dass es der Beschwerdeführerin - trotz den bisher getroffenen vormundschaftlichen Massnahmen - nicht gelungen ist, die notwendigen elterlichen Kompetenzen zu entwickeln, um den Bedürfnissen nach Stabilität und Sicherheit wie auch altersentsprechender Förderung von A._ gerecht zu werden. Vor dem Hintergrund der erwähnten Sachverhaltsfeststellungen ist nicht ersichtlich, inwieweit sich diese Ausgangslage aus der Sicht der Tochter in naher Zukunft ändern würde, denn die bisher getroffenen (vormundschaftlichen) Massnahmen haben nichts dazu beigetragen, die Gefährdung des Kindeswohls zu beseitigen. Der bundesrechtskonformen Schlussfolgerung des Obergerichts, wonach sich die Gefährdung des Kindeswohls namentlich aus der Hilflosigkeit der Mutter und dem aus diesem Grunde errichteten engmaschigen Helfernetz ergibt, kann nicht entgegengehalten werden, es bestehe ein engmaschiges Helfernetz, weshalb weiter gehende Massnahmen unverhältnismässig seien. Mit dem angeordneten Obhutsentzug sind die von der Beschwerdeführerin angerufenen Grundsätze der Subsidiarität, Komplementarität, Qualität, Quantität und Proportionalität nicht verletzt und ist Art. 310 ZGB bundesrechtskonform angewandt worden.
2.5 Weiter beanstandet die Beschwerdeführerin, dass keine Übergangsregelung getroffen worden sei. Eine Erklärung, woraus sich der zumindest implizit behauptete Anspruch auf eine Übergangsregelung ergibt, bzw. wie eine solche aussehen müsste, bleibt sie indes schuldig. Auf diese Rüge ist nicht einzutreten.
2.6 Sodann rügt die Beschwerdeführerin auch noch die Verletzung von Art. 13 Abs. 1 BV und Art. 8 EMRK. Indessen führt sie nicht aus, welche Rechte diese Bestimmungen gewähren und inwiefern diese verletzt sein sollen. Darauf ist nicht einzutreten.
2.7 Der Vorwurf, der angefochtene Beschluss sei inkohärent, weil die beiden Zwillinge in der Obhut der Beschwerdeführerin belassen wurden, geht an der Sache vorbei. Aus dem Umstand, dass ihr die Obhut nicht auch noch über die sieben Jahre älteren Zwillingsbrüder entzogen wurde, kann sie nichts zu ihren Gunsten ableiten. Darauf ist nicht einzutreten.
3. Die Aufhebung der elterlichen Obhut nach Art. 310 Abs. 1 ZGB setzt (neben der Gefährdung des Kindes) weiter voraus, dass das Kind in angemessener Weise untergebracht wird (PETER BREITSCHMID, Basler Kommentar, ZGB I, 3. Aufl., N. 6 ff. zu Art. 310; CYRIL HEGNAUER, a.a.O., Rz. 27.41).
3.1 In diesem Zusammenhang rügt die Beschwerdeführerin unter anderem eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, weil das Obergericht sie zur Frage, wo die Tochter im Falle eines Obhutsentzuges unterzubringen sei, nicht angehört habe. Während des ganzen Rekursverfahrens seien die Möglichkeiten der Unterbringung von A._ nie ein Thema gewesen.
Der Vater hat bereits gegenüber der Vormundschaftsbehörde D._ und im Rahmen der beiden Rechtsmittelinstanzen die Übertragung der elterlichen Sorge, zumindest aber der Obhut über die Tochter an ihn beantragt. Damit war selbstredend und unmittelbar eine Unterbringung beim Vater Prozessgegenstand. Die Behauptung, die Unterbringung von A._ sei nie ein Thema gewesen, trifft offensichtlich nicht zu. Die Gehörsrüge ist unbegründet.
Der Vater hat bereits gegenüber der Vormundschaftsbehörde D._ und im Rahmen der beiden Rechtsmittelinstanzen die Übertragung der elterlichen Sorge, zumindest aber der Obhut über die Tochter an ihn beantragt. Damit war selbstredend und unmittelbar eine Unterbringung beim Vater Prozessgegenstand. Die Behauptung, die Unterbringung von A._ sei nie ein Thema gewesen, trifft offensichtlich nicht zu. Die Gehörsrüge ist unbegründet.
3.2 3.2.1 Ferner beanstandet die Beschwerdeführerin, das Obergericht habe in Verletzung der Untersuchungsmaxime zu wenig Abklärungen getroffen, namentlich die Anordnung eines Gutachtens unterlassen (Verletzung der Untersuchungsmaxime), den Sachverhalt unrichtig festgestellt (Art. 9 BV), die Beweismittel willkürlich gewürdigt (Art. 9 BV), und schliesslich übersehen, dass die Übertragung der Obhut an den Vater de facto den Abbruch der gelebten Mutter/Tochter-Beziehung bedeuten würde, weil der Vater "mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit" den Kontakt zwischen Mutter und Kind dauerhaft und langfristig unterbinden werde (Art. 310 ZGB).
3.2.2 In einem ersten Schritt erwog das Obergericht, dass die Unterbringung der Tochter in einer Pflegefamilie oder in einem Heim gegenüber der Platzierung bei einem leiblichen Elternteil grundsätzlich ungünstiger wäre. In einem zweiten Schritt prüfte das Obergericht, ob eine Unterbringung von A._ beim Vater in Frage komme, was es bejahte. Zur Zeit ihrer Geburt hätten die Eltern in einem gemeinsamen Haushalt gelebt. Trotz der Trennung sei der Kontakt zum Vater aufrecht erhalten geblieben. Derzeit nehme der Vater die Tochter dreimal monatlich an einem Wochenende von Freitagabend bis Montagabend zu sich auf Besuch, was nicht in Frage gestellt werde. A._ habe unzweifelhaft eine enge emotionale Bindung zu ihrem Vater. Dieser arbeite zurzeit 50 % und könne seine Arbeitszeit flexibel einteilen. Seine Partnerin sei schwanger und es sei geplant, die Erwerbstätigkeit aufzuteilen. Vorgesehen sei ein gemeinsamer Haushalt, um die Kinder gemeinsam bzw. beidseitig betreuen zu können. Sodann habe A._ einen guten Kontakt sowohl zum Sohn aus der früheren Ehe des Beschwerdegegners als auch zu dessen Mutter, denn diese hole A._ stets zu den Besuchswochenenden ab bzw. bringe sie zurück. Kritisch seien zwar seine Vorgeschichte mit Bezug auf einen übermässigen Alkoholkonsum bzw. ein Suchtverhalten, die tätlichen Auseinandersetzungen mit der Beschwerdeführerin und seine beschränkte Kooperationsbereitschaft in die Beurteilung einzubeziehen. Indessen gingen die Suchtthematik und Problematik der Gewaltvorfälle auf das Jahr 2006 zurück. Seither seien keine ähnlichen Vorkommnisse mehr bekannt geworden. Weiter sei sein Verhalten gegenüber den Vormundschaftsbehörden bzw. der Beiständin namentlich im Lichte der Lausproblematik zumindest verständlich. Dass der Beschwerdeführer A._ zu betreuen in der Lage sei, stehe ausser Frage. Dies habe er in der Vergangenheit bereits getan, und zwar nicht nur an arbeitsfreien Tagen. Im Jahr 2007 habe er sie auch ohne längere Vorbereitungszeit vorübergehend zu sich nehmen können, sodass angenommen werden dürfe, dass ihn die Aufnahme von A._ nicht vor unüberwindliche organisatorische Schwierigkeiten stellen werde.
3.2.3 In tatbeständlicher Hinsicht begnügt sich die Beschwerdeführerin im Wesentlichen damit, ihre eigene Sicht der Dinge zu beschreiben, ohne darzutun, welche Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung aus welchem Grund offensichtlich falsch sein soll und zu welchem Ergebnis das Obergericht bei richtiger Betrachtung hätte kommen müssen. Mit derartiger appellatorischer Kritik am vorinstanzlichen Urteil genügt sie den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht (E. 1.3). Insofern ist auf diese Rüge nicht einzutreten.
3.2.4 Nach der Praxis des Bundesgerichts gilt in sämtlichen Kinderbelangen die Untersuchungsmaxime. Danach ist das Sachgericht gehalten, von Amtes wegen alle Umstände zu berücksichtigen, die entscheidrelevant sein könnten. Die Pflicht zur Feststellung des Sachverhaltes von Amtes wegen ist indes nicht unbegrenzt. Namentlich sind die Parteien von ihrer Mitwirkungspflicht bei der Sachverhaltsabklärung jedoch nicht entbunden, und es bleibt in erster Linie ihre Sache, die rechtserheblichen Tatsachen und Beweismittel zu benennen (BGE 128 III 411 E. 3.2.1 S. 412). Sind Fragen rund um den persönlichen Verkehr zwischen einem Elternteil und seinem Kind, namentlich auch mit Bezug auf die Obhut bzw. Unterbringung zu beantworten, so liegt es im pflichtgemässen Ermessen des Gerichts, ob ein Gutachten zu den relevanten Fragenkomplexen einzuholen ist. Kann der massgebliche Sachverhalt - wie hier - auf andere Weise abgeklärt werden, so erweist sich der Verzicht auf die Anordnung eines Gutachtens nicht als bundesrechtswidrig und damit erst recht nicht als willkürlich (Urteil 5A_117/2007 vom 11. Oktober 2007 E. 6.2, mit Hinweisen).
3.2.5 Sodann steht dem Sachgericht bei der Frage der Unterbringung ein erhebliches Ermessen zu. Wohl überprüft das Bundesgericht Ermessensentscheide kantonaler Instanzen an sich frei. Es übt aber Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Rechtsprechung und Lehre anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätte spielen dürfen, oder wenn Umstände nicht in Betracht gezogen worden sind, die hätten beachtet werden müssen. Das Bundesgericht greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 128 III 428 E. 4 S. 432; s. auch Urteil 5A_726/2008 vom 19. Dezember 2008, E. 3.2).
Mit ihren Ausführungen zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, inwiefern das Obergericht mit seinen Erwägungen das ihm zustehende Ermessen missbraucht oder überschritten haben soll. Die Rüge ist ungenügend begründet, weshalb nicht auf sie eingetreten werden kann (E. 1.3).
3.3 Bleibt festzuhalten, dass das Obergericht in Ziffer 5 der ersten Dispositiv-Ziffer seines Beschlusses die Vormundschaftsbehörde C._ auffordert, den persönlichen Kontakt von A._ zur Beschwerdeführerin "im Sinne der Erwägungen" zu regeln. Es betonte die tiefe innere Beziehung von A._ zu ihrer Mutter und ihren zwei Brüdern und daher die Notwendigkeit regelmässiger Besuchskontakte. Freilich wird mit dem Obhutsentzug und der Unterbringung der Tochter beim Vater in die bisher gelebte Mutter/Tochter-Beziehung eingegriffen. Von einem dauerhaften Unterbinden jeglichen Kontaktes zwischen Mutter und Kind, wie dies die Beschwerdeführerin behauptet, kann indes keine Rede sein. Sollte sich der Vater in diesem Punkt widerspenstig zeigen, kann die zuständige Behörde die Unterbringung der Tochter bei diesem oder gar den Obhutsentzug rückgängig machen (s. E. 4.1 S. 45 des angefochtenen Entscheids).
4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Wie die vorstehenden Ausführungen zeigen, konnte der Beschwerde von Anfang an kein Erfolg beschieden sein, weshalb es an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (Art. 64 Abs. 1 BGG) und das betreffende Gesuch abzuweisen ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sodann hat sie den Beschwerdegegner für seine Vernehmlassung zur Frage der aufschiebenden Wirkung zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Lausanne, 5. Juli 2010
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Schett