Erwägungen:
1. Das Amt für Migration des Kantons Schwyz widerrief am 21. September 2009 die Niederlassungsbewilligung des 1985 geborenen, aus dem Kosovo stammenden X._ und ordnete gleichzeitig dessen Wegweisung an. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies am 15. April 2010 eine diesbezügliche Beschwerde kantonal letztinstanzlich ab. X._ focht den verwaltungsgerichtlichen Entscheid am 25. Mai 2010 mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht an.
Mit Verfügung vom 27. Mai 2010 wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, spätestens am 18. Juni 2010 einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- einzuzahlen. Da der Kostenvorschuss bis dahin nicht bei der Bundesgerichtskasse eingegangen war, wurde dem Beschwerdeführer eine nicht erstreckbare Frist zur Vorschussleistung bis zum 8. Juli 2010 angesetzt, verbunden mit der Androhung, dass auf das Rechtsmittel nicht eingetreten würde, wenn der Vorschuss nicht innerhalb der Nachfrist dem Konto der Gerichtskasse gutgeschrieben und nicht innerhalb von zehn Tagen seit Ablauf der Nachfrist eine Bestätigung über die rechtzeitige Belastung eines Postcheck- oder Bankkontos vorgelegt werde. Der Vorschuss wurde dem Konto der Bundesgerichtskasse am 13. Juli 2010 gutgeschrieben; der dem Bundesgericht vorliegende Zahlungsbeleg liess für sich allein nicht erkennen, dass bzw. ob die Zahlung fristgerecht ausgeführt worden war. Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers nahm am 16. August 2010 innert der ihm hierfür eingeräumten Frist Stellung zur Frage der Fristwahrung. Er erklärte, dass der Vorschussbetrag erst am 9. Juli 2010 bei der Post einbezahlt worden sei, wobei aber die Gründe für die Verspätung dem Beschwerdeführer nicht angelastet werden könnten.
Die Eingabe vom 16. August 2010 ist als Fristwiederherstellungsgesuch zu betrachten. Es ist weder dazu noch zur Beschwerde selbst ein Schriftenwechsel durchgeführt worden.
2. Die Partei, die das Bundesgericht anruft, hat einen Kostenvorschuss in der Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten zu leisten (Art. 62 Abs. 1 BGG). Der Instruktionsrichter bzw. der Abteilungspräsident (vgl. Art. 32 Abs. 1 BGG) setzt zur Leistung des Kostenvorschusses eine angemessene Frist und bei deren unbenütztem Ablauf eine Nachfrist an, wobei das Bundesgericht auf die Eingabe nicht eintritt, wenn der Vorschuss auch innert der Nachfrist nicht geleistet wird (Art. 62 Abs. 3 BGG).
Da vorliegend der Kostenvorschuss zugestandenermassen verspätet geleistet worden ist, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden, es sei denn, es lägen Gründe für die Wiederherstellung der Frist vor.
3. 3.1 Eine versäumte Frist kann gemäss Art. 50 Abs. 1 BGG wiederhergestellt werden, wenn eine Partei oder ihr Vertreter unverschuldeterweise abgehalten worden ist, fristgerecht zu handeln, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Fristwiederherstellung ist nur zu gewähren, wenn die darum ersuchende Partei klarerweise kein Verschulden an der Säumnis trifft und sie bei gewissenhaftem Vorgehen rechtzeitig hätte handeln können; es gilt ein strenger Massstab (vgl. BGE 119 II 86; 112 V 255; Urteile 6S.54/2006 vom 2. November 2006 E. 2.2 und 1P.123/2005 vom 14. Juni 2005 E. 1.2 mit Hinweisen, je zum mit Art. 50 Abs. 1 BGG im Wesentlichen übereinstimmenden Art. 35 Abs. 1 des bis Ende 2006 in Kraft stehenden Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege; JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Commentaire de la LTF, Berne 2009, N. 7 zu Art. 50 BGG; PETER ARNOLD, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, N. 5 zu Art. 50 BGG; YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Berne 2008, N. 1327 ff. zu Art. 50 BGG). Geht es um die Vornahme einer einfach zu bewerkstelligenden Prozesshandlung wie die Bezahlung eines Kostenvorschusses, ist Fristwiederherstellung erst recht nur mit Zurückhaltung zu gewähren (FRÉSARD, a.a.O.).
Ein Fristwiederherstellungsgrund ist von der betroffenen Partei konkret darzutun und zu belegen.
3.2 Vorliegend liess der Beschwerdeführer die ihm am 27. Mai 2010 auf den 18. Juni 2010 angesetzte Zahlungsfrist unbenutzt verstreichen, weil er, wie er in der Eingabe vom 16. August 2010 ausführt, Mitte Monat nicht genügend Geld zur Verfügung gehabt habe. Es wurde ihm am 29. Juni 2010 eine Nachfrist zur Vorschussleistung bis zum 8. Juli 2010 angesetzt, unter ausdrücklichem Hinweis darauf, dass bei verspäteter Vorschussleistung auf die Beschwerde nicht eingetreten würde. Dem Beschwerdeführer war damit nachhaltig die Wichtigkeit rechtzeitiger Zahlung aufgezeigt worden, was durch die detaillierten Hinweise betreffend den Nachweis der rechtzeitigen Zahlung noch unterstrichen wurde.
Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe der Aufforderung darum nicht rechtzeitig Folge leisten können, weil ihm der Arbeitslohn für den Juni nicht wie üblich Ende Monat auf sein Konto überwiesen worden sei; der Arbeitgeber habe, trotz entsprechender Zusicherungen, die Lohnzahlung hinausgezögert; schliesslich habe er, auf die Wichtigkeit der Kostenvorschussleistung hingewiesen, in Aussicht gestellt, den Vorschuss selber zu begleichen, wobei er noch am 8. Juli 2010 versprochen habe, die Überweisung per E-Banking vorzunehmen, was nicht geklappt habe; der Arbeitgeber sei dann bereit gewesen, die Vorschusssumme dem Beschwerdeführer in bar zu übergeben, was er dann aber erst spät am Abend getan habe, sodass, weil alle Poststellen schon geschlossen waren, eine rechtzeitige Einzahlung nicht möglich gewesen sei. Diesem vom Rechtsvertreter verfassten Schreiben ist ein vom Beschwerdeführer eigenhändig verfasstes Schreiben beigelegt. Darin wird erklärt, dass er beim Bundesgericht angerufen habe, da er das Geld nicht gehabt habe; dabei habe ihm eine freundliche Frau erklärt, dass es nichts ausmachen würde, wenn er den Betrag am 9. Juli 2010 überweisen und eine Zahlungsbestätigung per Fax zusenden würde. Er sei so vorgegangen, da ihm der Arbeitgeber den Geldbetrag von Fr. 2'000.-- am Vorabend vorbeigebracht habe.
Bei der vom Beschwerdeführer bzw. von seinem Vertreter geschilderten Situation musste ihnen klar sein, dass sie sich nicht auf rechtzeitiges Handeln des Arbeitgebers verlassen konnten; mögliche (weitere) Verzögerungen waren klar voraussehbar. Spätestens am 8. Juli 2010 hätte Anlass bestanden, beim Bundesgericht unter Darlegung der besonderen Umstände formell (d.h. mit einem schriftlichen Gesuch) die ausnahmsweise Erstreckung der Nachfrist zu beantragen; was nach beschwerdeführerischer Auffassung gültiger Fristwiederherstellungsgrund sein soll, hätte erst recht zur Begründung eines rechtzeitigen Fristerstreckungsgesuchs vorgebracht werden können. Weiter vermag der Beschwerdeführer nicht nachzuweisen, vielmehr muss ausgeschlossen werden, dass eine Verantwortliche der Bundesgerichtskanzlei ihm mitgeteilt hätte, die Frist könne durch Bezahlung des Vorschusses einen Tag nach deren Ablauf gewahrt werden. Sodann ist nicht leicht nachvollziehbar, warum der Beschwerdeführer nicht seinerseits spätestens am Nachmittag des 8. Juli 2010 seinen Arbeitgeber aufgesucht hat, um das Geld abzuholen. Ausserdem sind die Ausführungen über die Gründe der Verspätung nicht widerspruchsfrei: Namentlich erstaunt, dass der Beschwerdeführer am 8. Juli 2010 noch während der Büro-Öffnungszeiten der Bundesgerichtskanzlei erklärt haben will, er werde den geschuldeten - ihm trotz der mehrfach hervorgehobenen Unzuverlässigkeit des Arbeitgebers nun offenbar definitiv zur Verfügung stehenden - Betrag am nächsten Tag bar einbezahlen; andererseits soll der Arbeitgeber erst am Abend des 8. Juli 2010 erklärt haben, dass das E-Banking nicht funktioniere, und das Geld noch später am Abend zu einem Zeitpunkt vorbeigebracht haben, da "sämtliche Poststellen" bereits geschlossen waren. Schliesslich hat der Beschwerdeführer innert der ihm eingeräumten Frist zur Stellungnahme keine Bestätigung des Arbeitgebers über die fehlende bzw. verspätete Lohnzahlung beschafft bzw. beschaffen können; vor allem aber hat er davon abgesehen, einen Kontoauszug vorzulegen, aus dem sich ergäbe, dass Ende Juni bzw. auch in den ersten Tagen des Monats Juli 2010 keine Lohnüberweisung stattgefunden habe, was naheliegend und leicht zu bewerkstelligen gewesen wäre. Unter diesen Umständen ist das Vorliegen eines unverschuldeten Hinderungsgrundes im Sinne von Art. 50 Abs. 1 BGG nicht dargetan.
3.3 Fehlt es an entschuldbaren Gründen für das Verpassen der Zahlungsfrist, kann dem Beschwerdeführer grundsätzlich auch nicht darum Fristwiederherstellung gewährt bzw. davon abgesehen werden, die gesetzlich vorgesehene Säumnisfolge eintreten zu lassen, weil der angefochtene Entscheid für ihn weitreichende Folgen hat (vgl. Urteile 2C_450/2008 vom 1. Juli 2008 E. 2.3.4 und 2C_645/2008 vom 24. Juni 2009 E. 2.2 mit Hinweisen).
4. Das Fristwiederherstellungsgesuch ist nach dem Gesagten abzuweisen, und auf die Beschwerde ist gestützt auf Art. 62 Abs. 3 BGG nicht einzutreten.
Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. September 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Feller