Sachverhalt:
A. Die 1977 geborene H._ war als Croupier in der Firma C._ AG tätig und dadurch bei der Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 10. Januar 2003 einen Verkehrsunfall erlitt. Der von ihr gelenkte Opel Corsa geriet auf die Gegenfahrbahn und prallte seitlich frontal in einen entgegenkommenden Fiat Brava. H._ suchte wegen danach aufgetretenen Beschwerden an Rücken und Nacken am 20. Januar 2003 den Hausarzt auf. Dieser stellte Druckdolenzen entlang der gesamten paravertebralen Muskulatur von Halswirbelsäule (HWS), Brustwirbelsäule und Lendenwirbelsäule, im Bereich der HWS auch empfindliche Processi spinosi sowie druckdolente Muskelansatzpunkte occipital fest, diagnostizierte ein Distorsionstrauma der Wirbelsäule und bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit ab 20. Januar 2003 (Arztbericht vom 4. Februar 2003). Am 18. Februar 2003 nahm H._ die Arbeit wieder vollumfänglich auf. Es wurde noch Physiotherapie angewendet bis 3. April 2003. Danach schloss die Allianz den Fall formlos ab. Am 26. April 2004 wurden ihr starke Schmerzen im Nackenbereich als Rückfall gemeldet. Der Versicherer holte nebst weiteren Sachverhaltsabklärungen ein Gutachten der Frau Dr. med. F._, Orthopädische Chirurgie FMH, vom 5. April 2005 ein und erbrachte, wie schon im Grundfall, die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Verfügung vom 16. April 2007 eröffnete die Allianz der Versicherten, die Leistungen würden auf den 31. Mai 2007 eingestellt. Zur Begründung wurde ausgeführt, es fehle am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den noch bestehenden Beschwerden und dem Unfall vom 10. Januar 2003. Die vom Krankenversicherer der H._ hiegegen vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache der Versicherten wies die Allianz ab (Einspracheentscheid vom 30. Mai 2008).
B. Beschwerdeweise beantragte H._, es seien über den 31. Mai 2007 hinaus Leistungen (Taggeld, Heilungskosten, Rente etc.) zuzusprechen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies die Beschwerde mit Entscheid vom 12. November 2008 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt H._ ihr vorinstanzliches Rechtsbegehren erneuern.
Die Allianz schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin aus dem Unfall vom 10. Januar 2003 über den 31. Mai 2007 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die für einen Leistungsanspruch im Grundfall und bei Rückfällen erforderlichen kausalen Zusammenhänge mit den sich jeweils stellenden Beweisfragen.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (sog. Psycho-Praxis), während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (sog. Schleudertrauma-Praxis; zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Das kantonale Gericht hat zunächst erwogen, dass keine organisch objektiv ausgewiesene Folge des Unfalles vom 10. Januar 2003 besteht, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermöchte. Diese Beurteilung ist nach Lage der Akten richtig und auch nicht umstritten.
Liegt keine solche Unfallfolge vor, schliesst das zwar die natürliche Unfallkausalität der bestehenden Beschwerden nicht aus. Anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat kann der adäquate Kausalzusammenhang aber nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (E. 2 hievor). Ergibt sich hiebei, dass es an der Adäquanz fehlt, erübrigen sich auch Weiterungen zur natürlichen Kausalität (vgl. SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67 E. 3c [U 183/93]; Urteil 8C_42/2007 vom 14. April 2008 E. 2 mit Hinweisen).
Unfallversicherer und Vorinstanz haben die Adäquanz geprüft und verneint.
3.1 Die Beschwerdeführerin wendet zunächst ein, es sei zu früh die Adäquanz geprüft und gestützt darauf der Fall abgeschlossen worden.
3.1.1 Nach Gesetz (Art. 19 Abs. 1 UVG) und Praxis hat der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung von Heilbehandlung und Taggeld sowie Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes der versicherten Person erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind (BGE 134 V 109 E. 4.1 S. 112 mit Hinweisen). Ob eine namhafte Besserung noch möglich ist, bestimmt sich insbesondere nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit diese unfallbedingt beeinträchtigt ist. Dabei verdeutlicht die Verwendung des Begriffes "namhaft" durch den Gesetzgeber, dass die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen muss. Unbedeutende Verbesserungen genügen nicht (E. 4.3 S. 115).
3.1.2 Eingliederungsmassnahmen der IV stehen im vorliegenden Fall nicht zur Diskussion. Die Beschwerdeführerin macht vielmehr wie schon vorinstanzlich geltend, gemäss dem von der IV eingeholten Gutachten des Begutachtungszentrums X._ vom 19. März 2008 bestehe eine Arbeitsunfähigkeit von 30 %, welche nur vorübergehender Natur sei. Von der Heilbehandlung könne demnach eine Steigerung der Arbeitsfähigkeit von 30 % erwartet werden, was als namhafte Besserung zu betrachten sei.
Eine entsprechende Prognose enthält das Gutachten des Begutachtungszentrums X._ vom 19. März 2008 indessen nicht. Namentlich wird darin nicht bestätigt, von den empfohlenen Behandlungsmassnahmen sei eine Steigerung der Arbeitsfähigkeit zu erwarten. Dies erscheint auch unwahrscheinlich, raten die Experten doch lediglich "zu aktivierenden physiotherapeutischen Massnahmen mit einem Heimübungsprogramm sowie zur Aufnahme einer leichten sportlichen Tätigkeit, beispielsweise Joga", sowie aus psychiatrischer Sicht "zum Einsatz eines sedierenden Antidepressivums auf die Nacht anstelle des Hypnotikums". Es finden sich auch in den übrigen medizinischen Akten keine Anhaltspunkte dafür, dass weitere Heilbehandlung über den 31. Mai 2007 hinaus eine namhafte Besserung erwarten liess. Damit kann offenbleiben, ob die von den Experten des Begutachtungszentrums X._ empfohlenen Behandlungsmassnahmen überhaupt unfallkausalen Gesundheitsschäden gelten, was die Vorinstanz verneint hat.
3.2 Die Allianz hat den adäquaten Kausalzusammenhang nach der Psycho-Praxis geprüft. Die Beschwerdeführerin erachtet die Schleudertrauma-Praxis für massgebend. Welche dieser Auffassungen zutrifft, muss mit dem kantonalen Gericht nicht abschliessend beantwortet werden, wenn die Adäquanz auch nach der Schleudertrauma-Praxis, die in der Regel (vgl. aus jüngster Zeit Urteil 8C_25/2009 vom 12. Juni 2009 E. 4.2 Ingress mit Hinweis) und jedenfalls hier für die versicherte Person günstiger ist als die Psycho-Praxis, zu verneinen ist. Das gilt es zu prüfen.
3.2.1 Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126; E. 2 hievor). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.2 und 5.3.1 [U 2, 3 und 4/07]; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat die Kollision vom 10. Januar 2003 bei den Unfällen im mittelschweren Bereich und dort nicht nahe den schweren oder den leichten Unfällen eingestuft. Diese Beurteilung ist nicht zu beanstanden. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung liegt kein schwererer Unfall im mittleren Bereich vor. Als Unfälle mit diesem Schweregrad werden regelmässig nur Ereignisse qualifiziert, die mit markant höheren Krafteinwirkungen verbunden sind (vgl. RKUV 2005 Nr. U 555 S. 322 E. 3.4.1 [U 458/04] und Nr. U 548 S. 228 E. 3.2.2 [U 306/04]; Urteil 8C_609/2007 vom 22. August 2008 E. 4.1.3, je mit Hinweisen).
3.2.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; die Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen; vgl. BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130) müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f.; 117 V 359 E. 6 S. 367 f.).
Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, es seien einzig und nicht in besonders ausgeprägter Weise die beiden Kriterien der erheblichen Beschwerden und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen erfüllt. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin ist zudem von einer besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls und von einer besonderen Art der erlittenen Verletzung auszugehen. Zudem sei das Kriterium der Arbeitsunfähigkeit in besonders ausgeprägter Weise erfüllt. Die weiteren adäquanzrelevanten Kriterien werden, nach Lage der Akten zu Recht, nicht geltend gemacht.
3.2.3 Der Frontalkollision vom 10. Januar 2003 kann eine gewisse Eindrücklichkeit nicht abgesprochen werden. Als besonders ist diese aber bei der gebotenen objektiven Betrachtungsweise und im Lichte der Praxis zu vergleichbaren oder prägnanteren Unfällen (zum Ganzen: Urteil 8C_467/2008 vom 4. November 2008 E. 6.2.1 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 8C_609/2007 vom 22. August 2008 Sachverhalt A und E. 4.2.1) nicht zu betrachten. Daran ändert entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nichts, dass die Versicherte aufgrund der nach vorne geneigten Kopfstellung nicht auf den Unfall vorbereitet war und wegen des sich beim Ereignis öffnenden Airbags nichts sehen konnte und dass die beteiligten Fahrzeuge erst im an die Strasse grenzenden Wiesland zum Stillstand kamen. Das Kriterium ist daher nicht erfüllt.
Zur Bejahung des Kriteriums der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen bedarf es einer besonderen Schwere der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden oder - was hier zur Diskussion gestellt wird - besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können. Diese können beispielsweise in einer beim Unfall eingenommenen besonderen Körperhaltung und den dadurch bewirkten Komplikationen bestehen (BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 128 mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall wird geltend gemacht, die Versicherte habe den Kopf nach unten gehalten, weil sie die Autoscheibe habe herunterlassen wollen. Dies genügt jedoch unter den konkreten Umständen nicht, um das Kriterium bejahen zu können (vgl. Urteil 8C_598/2008 vom 8. April 2009 E. 3.2.2), zumal keine Anhaltspunkte dafür bestehen, dass diese Kopfstellung zu Komplikationen geführt hätte. Andere Umstände, welche gegebenenfalls die Bejahung des Kriteriums gestatten könnten, werden nicht geltend gemacht.
Das kantonale Gericht hat das Kriterium der Arbeitsunfähigkeit namentlich aufgrund der von der Versicherten gezeigten Anstrengungen, sich wieder optimal in den Arbeitsprozess einzugliedern, bejaht. Es ist aber zum Ergebnis gelangt, in besonders ausgeprägter Weise liege das Kriterium nicht vor. Diese Beurteilung ist entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht zu beanstanden, zumal schon kurz nach dem Unfall vom 10. Januar 2003 und während mehr als einem Jahr wieder eine volle Arbeitsfähigkeit bestand. Ob das Kriterium überhaupt in der einfachen Form vorliegt, braucht, genauso wie beim von der Vorinstanz ebenfalls als erfüllt betrachteten Kriterium der erheblichen Beschwerden, nicht abschliessend beantwortet zu werden. Denn auch bejahendenfalls wäre mit zwei Kriterien der adäquate Kausalzusammenhang nicht gegeben. Das kantonale Gericht hat demnach einen weiteren Leistungsanspruch zu Recht verneint.
4. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Juli 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz