Sachverhalt:
A. Die 1957 geborene S._ ist Mutter von zwei Kindern (geboren 1987 und 1988) sowie promovierte Chemikerin. Sie war seit 1. April 1989 als Chemielehrerin an der Schule X._ tätig; zuerst als Hilfslehrerin, seit 1991 als Lehrbeauftragte und seit 1999 als Hauptlehrerin für Chemie/Naturwissenschaftliches Propädeutikum. In den Schuljahren 2003/2004 und 2004/2005 war sie Mitglied des Rektorats. Ab Schuljahr 2005/2006 war sie wiederum in der Funktion als Hauptlehrerin für Chemie tätig. Seit Ende 2005 erhob sie wiederholt und in immer kürzeren Abständen vorwiegend per E-Mail sowie anlässlich von Besprechungen massive, teils sogar ehrverletzende Vorwürfe gegen Fachkollegen, die Schulleitung und den Bildungsdirektor des Kantons Y._ (nachfolgend: Bildungsdirektor). Die mehrfach empfohlene Beanspruchung externer professioneller Unterstützung lehnte sie ab. Am 31. März 2006 ersuchte die Schulleitung den Bildungsdirektor um Auflösung des Arbeitsverhältnisses mit S._. Anlässlich einer Besprechung vom 5. April 2006 zwischen dieser, ihrer damaligen Rechtsvertreterin, dem Rektor des Obergymnasiums der Schule X._ und dem Bildungsdirektor wurden eine fristlose Kündigung oder eine einvernehmliche Auflösung per Ende Juli 2006 diskutiert und eine Frist zur schriftlichen Stellungnahme im Rahmen des rechtlichen Gehörs bis 22. April 2006 vereinbart. Gleichzeitig wurde S._ mit sofortiger Wirkung freigestellt und einvernehmlich eine für alle Beteiligten verbindliche Kommunikationsregelung festgelegt. Am 7. April 2006 wandte sich S._ in Verletzung der Kommunikationsregelung an einen weiten Kreis neuer E-Mail-Empfänger und liess dem Bildungsdirektor eine Kopie dieser E-Mail zukommen. Deshalb stellte der Bildungsdirektor S._ gleichentags die fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses mit sofortiger Wirkung in Aussicht und gewährte ihr bis 12. April 2006 Frist zur schriftlichen Stellungnahme. Mit Schreiben vom 12. April 2006 versicherte die Rechtsvertreterin, S._ werde sich nunmehr an die Kommunikationsregelung halten, sie lasse sich für ihr Verhalten entschuldigen und habe inzwischen einen Psychologen kontaktiert. Weiter ersuchte sie um Verzicht auf die fristlose Kündigung, um Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses oder eventuell um eine einvernehmliche Vertragsauflösung. Gestützt auf dieses Schreiben erklärte sich der Bildungsdirektor bereit, den Ablauf der gesetzten Frist zur schriftlichen Stellungnahme im Rahmen des rechtlichen Gehörs bis 22. April 2006 abzuwarten, um gegebenenfalls auch die Chance einer einvernehmlichen Auflösung des Arbeitsverhältnisses zu wahren. Noch vor Ablauf dieser Frist gelangte S._ erneut per E-Mail mit weiteren ungerechtfertigten negativen Äusserungen über Fachschaftskollegen und die Schulleitung an den Bildungsdirektor. Nachdem sich die Schulleitung zur Stellungnahme der Rechtsvertreterin von S._ hatte vernehmen lassen, unterbreitete der Bildungsdirektor letzterer am 28. April 2006 eine Vereinbarung betreffend einvernehmlicher Auflösung des Arbeitsverhältnisses per 31. Juli 2006 zur Unterzeichnung und Retournierung bis 5. Mai 2006. Statt dessen gelangte S._ am 1. Mai 2006 mit neuen Drohungen gegen den Bildungsdirektor sowie ehrverletzenden Äusserungen gegen Fachschaftskolleginnen und -kollegen an den Bildungsdirektor. Am 4. Mai 2006 mandatierte sie eine neue Rechtsvertreterin, welche mit Schreiben vom 5. Mai 2006 um Fristerstreckung und Akteneinsicht ersuchte. Mit einer weiteren E-Mail vom 13. Mai 2006 erhob S._ zum wiederholten Male schwerwiegende und ungerechtfertigte Vorwürfe gegen den Bildungsdirektor. Dieser erklärte daraufhin der neuen Rechtsvertreterin am 15. Mai 2006, er sehe sich auf Grund dieser Äusserungen von S._ nicht mehr an das Angebot der Vergleichsvereinbarung gebunden. Letztere liess sich hiefür durch ihre Rechtsvertreterin am 15. Mai 2006 wiederum entschuldigen und geltend machen, die erhobenen Anschuldigungen seien Ausdruck ihrer psychischen Ausnahmesituation, weshalb sie sich in psychiatrische Behandlung begeben habe.
Am 17. Mai 2006 verfügte die Direktion für Bildung und Kultur des Kantons Y._ (nachfolgend: DBK oder Beschwerdegegnerin) die fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses mit S._ aus wichtigen Gründen, stellte die Lohnzahlung mit gleichem Datum ein und entliess sie aus ihrer Expertentätigkeit an den privaten Maturitätsschulen. Auf Grund der massiven Anwürfe, welche S._ trotz gegenteiliger einvernehmlicher Kommunikationsregelung erneut wiederum gegen Fachkollegen, die Schulleitung und den Bildungsdirektor des Kantons Y._ erhoben habe, sei eine Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht mehr zumutbar. Die hiegegen gerichtete Beschwerde der S._ wies der Regierungsrat des Kantons Y._ mit Entscheid vom 13. März 2007 ab.
Zum Zwecke der "Abklärung einer eventuellen Krankheit und zur möglichen Behandlung" wies das zuständige Bezirksamt Z._ S._ am 28. März 2007 im Rahmen eines fürsorgerischen Freiheitsentzuges in die Psychiatrische Klinik A._ ein, wo während des bis zum 29. Juni 2007 dauernden stationären Aufenthaltes eine paranoide Schizophrenie diagnostiziert wurde. Die seit Ende März 2007 behandelnden Ärzte zogen in Betracht, dass die psychische Erkrankung schon vor der vollständigen Arbeitsunfähigkeit ab 28. März 2007 Einfluss auf das Verhalten von S._ gegenüber ihrem sozialen Umfeld gehabt habe. Inwieweit Vorgesetzte und Mitarbeiter hiervon betroffen waren, könne "zwar angenommen, nicht aber bewiesen werden, da ärztliche Beurteilungen der Arbeitsunfähigkeit wegen einer psychischen Erkrankung für den Zeitraum 2004 bis zum 27. März 2007 nicht [vorlägen]."
B. Die von S._ gegen den Entscheid des Regierungsrates des Kantons Y._ vom 13. März 2007 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug ab (Entscheid vom 25. November 2008).
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt S._ beantragen, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei der Regierungsrat des Kantons Y._ "zu verurteilen, der Beschwerdeführerin die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen, eventualiter sei [...] die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz, eventualiter an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen."
Der Regierungsrat des Kantons Y._ und die Vorinstanz schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. BGE 135 II 94 E. 1 S. 96; Urteil 8C_264/2009 vom 19. Mai 2009 E. 1; je mit Hinweisen).
1.1 Der angefochtene Entscheid, ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG), betrifft die Kündigung eines öffentlich-rechtlichen Arbeitsverhältnisses - also eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG - und damit verbundene Entschädigungsforderungen. Es handelt sich somit um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, weshalb der Ausschlussgrund nach Art. 83 lit. g BGG nicht vorliegt. Die Streitwertgrenze von Fr. 15'000.- (Art. 51 Abs. 1 lit. a, Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG) ist überschritten.
1.2 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können Rechtsverletzungen im Sinne von Art. 95 BGG gerügt werden. Rügen gegen die Sachverhaltsfeststellung sind nur zulässig, wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann. "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252). Die Rüge, im Rahmen der Sachverhaltsfeststellung sei der grundrechtliche Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden, kann jedoch uneingeschränkt erhoben werden (Urteil des Bundesgerichts 1C_560/2008 vom 6. April 2009 E. 1.2 mit Hinweis).
2. 2.1 Die unter anderem gestützt auf mehr als fünfzig E-Mail-Nachrichten aus dem Zeitraum zwischen Ende 2005 und Mitte Mai 2006 hinreichend dokumentierten Äusserungen der Beschwerdeführerin mit entsprechenden Vorwürfen, Beleidigungen und Drohungen gegen Arbeitskolleginnen und -kollegen, die Schulleitung sowie den Bildungsdirektor lassen nicht ernsthaft in Frage stellen, dass bei Erlass der Verfügung vom 17. Mai 2006 die Voraussetzungen der fristlosen Auflösung des Arbeitsverhältnisses im Sinne von § 16 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Y._ vom 1. September 1994 über das Arbeitsverhältnis des Staatspersonals (Personalgesetz; BGS 154.21) erfüllt waren und spätestens ab diesem Zeitpunkt eine Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nach Treu und Glauben nicht mehr zumutbar war. Das kantonale Gericht hat sodann festgestellt, dass zwar gemäss Bericht der Psychiatrischen Klinik A._ vom 31. Januar 2008 - rückblickend - auffällige Verhaltensweisen schon vor der fristlosen Auflösung des Arbeitsverhältnisses erkennbar gewesen seien, dass jedoch am 17. Mai 2006 noch keine die Verantwortlichkeit aufhebende Urteilsunfähigkeit bestanden habe.
2.2 Die Beschwerdeführerin rügt, der angefochtene Entscheid verletze den Grundsatz des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK), das Verhältnismässigkeitsprinzip (Art. 5 Abs. 2 BV) sowie das Willkürverbot (Art. 9 BV).
2.2.1 Entgegen der Beschwerdeführerin war die am 17. Mai 2006 verfügte - mit regierungsrätlichem und mit vorinstanzlichem Entscheid jeweils bestätigte - fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses ausführlich begründet und folglich ohne weiteres sachgerecht anfechtbar (vgl. Pra 2003 Nr. 113 S. 601, 4P.142/2002 vom 8. Oktober 2002 E. 2.2; BGE 126 I 97 E. 2b S. 102 mit weiteren Hinweisen). Von einer Verletzung der Begründungspflicht kann hier keine Rede sein. Die Begründungspflicht und der Anspruch auf Begründung sind nicht bereits dadurch verletzt, dass sich die urteilende Behörde nicht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (Urteil 1C_183/2008 vom 23. Mai 2008 E. 4.1 mit Hinweisen). Der vorinstanzliche Entscheid genügt diesen Anforderungen. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör ist nicht ersichtlich.
2.2.2 Soweit die Beschwerdeführerin rügt, durch die strittige fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses habe die DBK den allgemeinen Verfassungsgrundsatz im Sinne von Art. 5 Abs. 2 BV verletzt, weist sie selber zu Recht darauf hin, dass das Bundesgericht wegen Verletzung des Verhältnismässigkeitsgebots ausserhalb von Grundrechtseingriffen (Art. 36 Abs. 3 BV) praxisgemäss nur dann einschreitet, wenn die kantonalrechtliche Anordnung offensichtlich unverhältnismässig ist und damit gleichzeitig gegen das Willkürverbot verstösst (BGE 134 I 153 E. 4.3 S. 158). Es besteht keine Veranlassung, von dieser Rechtsprechung abzuweichen. Die Auffassung der Beschwerdeführerin, wonach die Beschwerdegegnerin nach der Freistellung keinen Grund mehr gehabt habe, das Arbeitsverhältnis fristlos aufzulösen, steht im Widerspruch zu den tatsächlichen Verhältnissen. Die Beschwerdeführerin erkannte bei sich selber keinen Bedarf an Unterstützung oder externer Beratung, obwohl ihr von Seiten der Schulleitung und der DBK mehrfach empfohlen worden war, professionelle Hilfsangebote in Anspruch zu nehmen. Statt dessen brach die Beschwerdeführerin das wiederholt abgegebene Versprechen, weitere ehrverletzende Äusserungen zu unterlassen, immer wieder von neuem. Auch die Freistellung ab 5. April 2006, welche zur Beruhigung der Situation beitragen und die Suche nach einer einvernehmlichen Auflösung des Arbeitsverhältnisses ermöglichen sollte, hatte die Beschwerdeführerin nur dazu benutzt, um in Verletzung der zwei Tage zuvor eingegangenen Verpflichtung an einen weiten Adressatenkreis per E-Mail neue ehrverletzende Anwürfe gegen Mitglieder der Schule X._ zu erheben. Nachdem die bisher im öffentlichen Interesse zum Schutze des guten Rufes und des Ansehens der Schule X._, der Schulleitung, des Lehrerkollegiums und der DBK gegen die immer neuen Vorwürfe der Beschwerdeführerin ergriffenen Massnahmen nicht erfolgreich waren, kam es schliesslich am 17. Mai 2006 zur fristlosen Auflösung des Arbeitsverhältnisses. Von einer offensichtlich unverhältnismässigen Anordnung der DBK kann unter den gegebenen Umständen mit Blick auf die strittige fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses keine Rede sein.
2.2.3 Das kantonale Gericht hat festgestellt, dass sich die Beschwerdeführerin in den ersten fünf Monaten des Jahres 2006 - auch für ihr soziales Umfeld ersichtlich - in einer psychischen Ausnahmesituation befand. Entsprechend auffällige Verhaltensweisen, "welche zum Teil mit Prodromal-Symptomen einer Schizophrenie vereinbar sind", waren gemäss Einschätzung des Dr. med. L._ von der Psychiatrischen Klinik A._ jedoch erst nach Kenntnisnahme von der Ende März 2007 - also rund zehn Monate nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses - gestellten Diagnose als solche erkennbar. Dass die Beschwerdeführerin bereits im April/Mai 2006 "psychisch krank" und deswegen ganz oder teilweise arbeitsunfähig war, ist nicht ausgewiesen, sondern erst für den Zeitraum ab Ende März 2007 medizinisch belegt. Aktenkundig steht vielmehr fest und ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin bis zu ihrer Freistellung mit sofortiger Wirkung ab 5. April 2006 den anspruchsvollen und nach ihren eigenen Selbstansprüchen qualitativ hochstehenden Chemieunterricht zu erteilen vermochte, ohne dass diesbezüglich an der Urteils- und/oder Arbeitsfähigkeit gezweifelt worden wäre. Offensichtlich war sie auch in der Lage, selbstständig wiederholt neue Rechtsvertreter zu mandatieren und neue Rechtsvertretungsvollmachten zu erteilen. Aus dem in den Akten verzeichneten E-Mail-Verkehr geht zudem hervor, dass sie im April/Mai 2006 durchaus fähig war, klare Gedanken in gewandter Ausdrucksform fehlerfrei, sachlich und verständlich abzufassen. Zudem liess die Beschwerdeführerin zu ihrer Entschuldigung mit Schreiben vom 24. April 2006 - ohne weiteres nachvollziehbar - geltend machen, ihr Verhalten stehe im Zusammenhang mit "einer äusserst schwierigen und sehr spannungsgeladenen Scheidungssituation". Entgegen der Beschwerdeführerin zeigen sich keine Anhaltspunkte dafür, dass sie selber auf ihre eigenen Handlungen, welche schliesslich zur fristlosen Auflösung des Arbeitsverhältnisses geführt haben, "keinen Einfluss" mehr hatte. Vielmehr hat die Vorinstanz unter den gegebenen Umständen willkürfrei festgestellt, dass die Beschwerdeführerin bis zum Zeitpunkt der fristlosen Auflösung des Arbeitsverhältnisses nicht in einem die Verantwortlichkeit für ihr Verhalten aufhebenden Ausmass unfähig war, vernunftgemäss zu handeln. Die in E. 6.2 des Urteils 2A.518/2003 vom 10. Februar 2004 aufgeworfene Frage, ob eine allfällige Urteilsunfähigkeit überhaupt die fristlose Kündigung auszuschliessen vermöchte bzw. wieweit ein eigentliches Verschulden für das der Kündigung zugrunde gelegte Verhalten von Bedeutung wäre, kann hier demzufolge weiterhin offen bleiben.
2.3 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass das kantonale Gericht ohne das Willkürverbot oder den Anspruch auf rechtliches Gehör zu verletzten in Bestätigung des regierungsrätlichen Beschwerdeentscheides vom 13. März 2007 die am 17. Mai 2006 von der DBK verfügte fristlose Auflösung des Arbeitsverhältnisses mit der Beschwerdeführerin geschützt hat.
3. Dem Prozessausgang entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Kosten des letztinstanzlichen Verfahrens zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Verwaltungsrechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. August 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Hochuli