Faits:
A. C._, enseignante, est assurée auprès de La Caisse Vaudoise contre le risque d'accidents.
Par déclaration de sinistre LAA du 25 novembre 2008, l'employeur a informé La Caisse Vaudoise que l'assurée s'était fracturé une dent, le 7 octobre 2008, à son domicile. Il a indiqué ce qui suit: « Madame C._ mangeait une saucisse à rôtir lorsque elle a croqué un petit os qui lui a cassé une dent ». Par la suite, l'assurée a précisé qu'elle avait ressenti une douleur « en mordant dans un corps étranger ( cailllou ? ) très dur ».
Par décision du 21 janvier 2009, l'assureur-accidents a refusé de prendre en charge le traitement prévu pour la lésion dentaire (facture de 1'716 fr. )
C._ a fait opposition à cette décision. Elle a remis à l'assureur le fragment à l'origine du bris de dent.
Le 17 juin 2009, La Caisse Vaudoise a mandaté l'unité de Médecine Forensique du Centre X._ du Centre Hospitalier Y._. Selon les conclusions du docteur P._, odontologiste consultant, du 15 décembre 2009, le corps étranger correspondait, de façon certaine, à un fragment dentaire sans que des éléments parlant en faveur d'une autre hypothèse n'eussent été mis en évidence.
Considérant que l'assurée n'avait pas établi, au degré de la vraisemblance prépondérante, qu'une cause extérieure extraordinaire était à l'origine de la lésion dentaire, La Caisse Vaudoise a confirmé son point de vue par décision sur opposition du 23 décembre 2009.
B. C._ a déféré cette décision à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois.
Dans le cadre de l'instruction, le docteur P._ a donné des précisions par courrier électronique du 1er mai 2010. Il a déclaré que le fragment était essentiellement de l'émail, substance qui ne contient pas de matériel génétique; la structure du fragment était compatible avec celle d'un émail d'origine humaine avec une probabilité supérieure à 50 %; il semblait assez probable qu'il provienne de la dent de l'assurée, si celle-ci l'avait trouvée après avoir mordu dans l'aliment litigieux.
Entendu comme témoin le 11 juin 2010, le docteur G._, médecin dentiste traitant, a déclaré avoir vu le fragment que sa patiente lui avait présenté: il s'agissait avec certitude d'un corps étranger. Il a cependant indiqué qu'il ne disposait pas à son cabinet des équipements nécessaires pour analyser cet objet. Il a en outre précisé que la dent n° 26 avait déjà été réparée et qu'elle présentait un amalgame.
Par jugement du 14 juin 2010, la juridiction cantonale a rejeté le recours.
C. C._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement en concluant, à titre principal, à ce qu'il soit réformé en ce sens que La Caisse Vaudoise est tenue de prendre à sa charge les frais de traitement dentaire résultant de l'incident du 7 octobre 2008. A titre subsidiaire, elle demande l'annulation du jugement entrepris et le renvoi de la cause à l'instance cantonale.
Considérant en droit:
1. Le recours interjeté devant le Tribunal fédéral est formé pour violation du droit fédéral (art. 96 let. a LTF) - incluant les droit fondamentaux -- et est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) sans qu'aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF ne soit réalisée. La voie du recours en matière de droit public est dès lors ouverte. Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF).
2. Le litige porte sur la prise en charge d'un traitement dentaire, soit une prestation en nature de l'assurance-accidents (cf. art. 15 LPGA), de sorte que le Tribunal fédéral est lié par les faits constatés par la juridiction précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
3. Le jugement entrepris expose correctement la notion d'accident (art. 4 LPGA), ainsi que les conditions auxquelles la jurisprudence admet le caractère accidentel d'un dommage dentaire à la suite d'un acte de mastication normal (notamment RAMA 2006 no U 572 p. 84 consid. 3, arrêt U 367/04). Il suffit d'y renvoyer.
4. 4.1 Les premiers juges ont retenu, sur le vu du rapport du docteur P._ du 15 décembre 2009 (complété par le courrier électronique du 1er mai 2010), que le fragment en cause était un morceau de la propre dent brisée de l'assurée et non pas un corps étranger. Ils ont écarté l'avis du docteur G._ au motif que celui-ci n'avait pas été en mesure de procéder à une analyse approfondie.
4.2 Cette appréciation des preuves par les premiers juges échappe au grief d'arbitraire (cf. ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références). On doit ainsi admettre que le corps en question était un fragment d'émail probablement d'origine humaine et provenant vraisemblablement de la dent de l'assurée. L'hypothèse selon laquelle il s'agirait d'un fragment d'origine animale peut donc être écartée et on ne saurait par ailleurs retenir, au degré de vraisemblance prépondérante, que le fragment en question provenait de la dent d'une tierce personne. Des mesures d'instruction supplémentaires n'apporteraient pas de nouveaux éléments décisifs. En particulier, l'expertise génétique demandée par la recourante - outre le fait qu'il s'agirait d'une mesure disproportionnée par rapport à l'objet du litige (prise en charge d'une facture de 1'716 fr.) - ne paraît pas adéquate. En effet, ainsi qu'il résulte des explications du docteur P._ (courrier électronique du 1er mai 2010), le fragment en cause, constitué essentiellement d'émail, ne contient pas de matériel génétique. En conséquence, les premiers juges ont, à juste titre, retenu que l'un des éléments constitutifs de l'accident, savoir le facteur extérieur, n'était pas rempli.
5. Manifestement infondé, le recours doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'art. 109 al. 2 let. a LTF. La recourante, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1, 1ère phrase, LTF). Pour le même motif, elle n'a pas droit aux dépens qu'elle prétend.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 20 janvier 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Juge présidant: La Greffière:
Leuzinger Berset