Faits:
A. F._ est affiliée à l'assurance maladie de SWICA Organisation de santé (ci-après : swica). Elle a fréquemment recouru aux services de X._ SA à compter du mois d'avril 2000 pour apaiser les migraines dont elle souffrait. Le traitement prodigué entre les mois de mars 2005 et mars 2006 a essentiellement consisté en des injections de péthidine (analgésique opiacé). L'assurée a cédé aux différents médecins intervenants toutes ses prétentions au remboursement du traitement par son assureur maladie.
A l'issue d'un échange de courriers entre swica et X._ SA visant à apprécier dans le cadre du remboursement des factures le caractère efficace, approprié et économique du traitement entrepris, la première a refusé de prendre en charge les quatre cent quarante-trois notes d'honoraires établies par la seconde pour la période allant du 31 mars 2005 au 26 mars 2006 pour une somme totale de 110'747 fr. au motif que le traitement prodigué ne remplissait aucun des critères mentionnés (décision du 18 mai 2006, confirmée le 15 août suivant). L'assureur maladie s'est essentiellement fondé sur l'avis de son médecin-conseil, forgé au terme d'un examen clinique de l'intéressée (rapport du docteur O._ du 24 avril 2006) dans la mesure où X._ SA se prévalait du secret professionnel pour refuser la transmission d'informations précises sur le motif des consultations, leur caractère d'urgence et le projet thérapeutique suivi (cf. notamment lettres et procès-verbal des 28 septembre et 14 octobre 2005, ainsi que 24 avril et 4 mai 2006). Le médecin-conseil a substantiellement relevé que F._ avait développé une sévère dépendance aux opiacés à la suite de l'administration régulière par X._ SA de péthidine, destinée initialement à soulager les céphalées dont celle-ci souffrait.
B. X._ SA a déféré la décision sur opposition au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui, Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève), concluant à ce que swica soit condamnée à assumer les frais de traitement facturés entre le 31 mars 2005 et le 26 mars 2006 dès lors que ses prestations remplissaient fondamentalement les critères d'efficacité, d'adéquation et d'économicité. L'assureur maladie a conclu au rejet du recours. Pendant la procédure, les premiers juges ont entendu le docteur L._, interniste traitant spécialisé en médecine de l'addiction (procès-verbal du 13 mars 2007), les parties et l'assurée (procès-verbal du 28 avril 2009) et ont confié la réalisation de deux expertises aux docteurs U._ et S._, psychiatres (rapports des 31 octobre 2008 et 28 janvier 2010). Sollicitées, les parties ont campé sur leur position.
La juridiction cantonale a rejeté le recours formé par X._ SA (jugement du 20 mai 2010). Si elle paraît avoir admis que l'administration de péthidine pouvait être efficace contre les migraines, elle en a toutefois nié le caractère adéquat et économique. Elle a également abouti à la même conclusion en ce qui concerne la prise en charge des personnes toxico- ou pharmaco-dépendantes dans le cadre d'un service d'urgence.
C. X._ SA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle en requiert l'annulation et reprend les mêmes conclusions qu'en première instance, sous suite de frais et dépens pour l'ensemble de la procédure.
swica conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (cf. ATF 135 III 1 consid. 1.1 p. 3).
1.2 La compétence pour connaître des demandes formées par le fournisseur de prestations à l'encontre de l'assureur maladie en vertu de la cession, par l'assuré, du droit au remboursement conformément à l'art. 42 al. 1 LAMal appartient au tribunal cantonal des assurances, non au tribunal arbitral de ce canton (arrêt 9C_320/2010 du 2 décembre 2010 in SJ 2011 I p. 197 consid. 4 qui confirme les principes posés par l'arrêt K 66/02 du 17 août 2004 in RAMA 2005 KV 312 p. 3, SVR 2005 KV no 19 p. 65, AJP 2005 p. 626, SZG 2005 no 7 p. 46).
2. Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
3. 3.1 Est litigieux le droit du recourant au remboursement par l'assureur intimé des coûts du traitement prodigué pour la période courant du 31 mars 2005 au 26 mars 2006, plus particulièrement le point de savoir si ledit traitement était efficace, approprié et économique.
3.2 Bien que les premiers juges aient correctement défini l'objet du litige, il subsiste un doute quant à la nature et à la forme du traitement à l'origine de la requête en remboursement.
Il apparaît effectivement que la juridiction cantonale a d'une part constaté que l'injection de péthidine soulageait de façon satisfaisante les douleurs dont souffrait l'assurée, même s'il ne s'agissait pas d'une médication indiquée dans le traitement des migraines (cf. jugement entrepris consid. 10 p. 18), et qu'elle a d'autre part justifié par des éléments ressortant au traitement de personnes toxico- ou pharmaco-dépendantes le caractère inapproprié et non économique du suivi de l'intéressée par le recourant (cf. acte attaqué consid. 13/c p. 17, consid. 14 p. 18, consid. 15 p. 18 s., consid. 16 p. 19 notamment). Il en résulte une confusion quant à la nature du traitement concerné (traitement des migraines par des injections de péthidine ou prise en charge d'un toxicomane). Cette confusion, dont on retrouve déjà la trace dans l'avis du docteur O._ qui a servi de fondement à la décision litigieuse, s'est perpétuée dans les opinions exprimées par les parties à tous les stades de la procédure. Elle est aussi accentuée par le contexte dans lequel les différentes interventions de la recourante se sont déroulées. Les premiers juges paraissent contradictoirement y voir un traitement unique (traitement des migraines ou de la dépendance) dispensé sous forme d'une multitude d'interventions ponctuelles, indépendantes et prodiguées en situation d'urgence (cf. jugement entrepris consid. 9 p. 15 s., consid. 16 p. 21 s.). Il convient d'éclaircir préalablement ces éléments.
Il apparaît effectivement que la juridiction cantonale a d'une part constaté que l'injection de péthidine soulageait de façon satisfaisante les douleurs dont souffrait l'assurée, même s'il ne s'agissait pas d'une médication indiquée dans le traitement des migraines (cf. jugement entrepris consid. 10 p. 18), et qu'elle a d'autre part justifié par des éléments ressortant au traitement de personnes toxico- ou pharmaco-dépendantes le caractère inapproprié et non économique du suivi de l'intéressée par le recourant (cf. acte attaqué consid. 13/c p. 17, consid. 14 p. 18, consid. 15 p. 18 s., consid. 16 p. 19 notamment). Il en résulte une confusion quant à la nature du traitement concerné (traitement des migraines par des injections de péthidine ou prise en charge d'un toxicomane). Cette confusion, dont on retrouve déjà la trace dans l'avis du docteur O._ qui a servi de fondement à la décision litigieuse, s'est perpétuée dans les opinions exprimées par les parties à tous les stades de la procédure. Elle est aussi accentuée par le contexte dans lequel les différentes interventions de la recourante se sont déroulées. Les premiers juges paraissent contradictoirement y voir un traitement unique (traitement des migraines ou de la dépendance) dispensé sous forme d'une multitude d'interventions ponctuelles, indépendantes et prodiguées en situation d'urgence (cf. jugement entrepris consid. 9 p. 15 s., consid. 16 p. 21 s.). Il convient d'éclaircir préalablement ces éléments.
3.3 3.3.1 Il ressort des documents disponibles que l'assurée présente des troubles psychiatriques diversement qualifiés par les médecins et qui trouvent vraisemblablement leur origine dans des événements traumatisants de l'enfance et de l'adolescence (cf. rapports des docteurs O._ [p. 1 s.], U._ [p. 2 s.] et S._ [p. 2 ss]). Celle-ci a simultanément développé des céphalées mixtes résistantes aux traitements entrepris (cf. rapports des docteurs U._ [p. 2] et S._ [p. 4 s.]) mais qui se seraient finalement calmées plusieurs années avant de réapparaître dans le cadre de difficultés personnelles et professionnelles (cf. rapport du docteur S._ [p. 5]). Elle a dans ce contexte ponctuellement dès l'an 2000 puis régulièrement par la suite fait appel à la recourante pour qu'elle soulage les douleurs liées aux migraines (cf. rapport du docteur S._ [p. 5]). L'inefficacité des antalgiques administrés a conduit à la prescription régulière de péthidine à partir du mois d'avril 2000 (cf. mémo non daté du docteur R._, médecin répondant et administrateur unique de X._ SA [p. 2], et rapport du docteur S._ [p. 5]). Les quatre cent quarante-trois factures produites démontrent que le traitement entrepris durant la période dont le remboursement est litigieux a essentiellement consisté dans l'injection répétée d'un tel produit. Le docteur R._ a en outre soutenu que la péthidine avait été systématiquement utilisée pour répondre à une plainte somatique (mémo du docteur R._ [p. 5]). Aucun élément du dossier ne permet par ailleurs d'envisager l'existence d'une dépendance préexistante à des produits stupéfiants dont l'injection de péthidine aurait été le traitement de substitution, ni d'admettre une modification du motif sous-tendant les consultations survenues durant l'année considérée (le traitement de la dépendance aurait succédé au traitement des migraines). Il résulte au contraire de ce qui précède que le projet thérapeutique dont l'efficacité, l'adéquation et l'économicité doivent en l'occurrence être analysées consiste uniquement dans le traitement de migraines par la prescription régulière de péthidine et non dans la prise en charge dans le cadre d'une structure d'urgence d'une dépendance générée par le traitement destiné à soigner la pathologie initiale (cf. rapport du docteur O._ [p. 2]). Toute considération ayant trait à ce dernier point n'est donc pas pertinente.
3.3.2 Il vient d'être mentionné que l'assurée a fréquemment fait appel à la recourante depuis le mois d'avril 2000 en tout cas. D'abord ponctuel, le rythme de ces appels s'est régularisé puis s'est accéléré jusqu'à en compter quatre cent quarante-trois entre les 31 mars 2005 et 26 mars 2006. Ces appels, jusqu'à cinq le même jour, ont toujours été motivés par les mêmes plaintes somatiques (douleurs causées par des migraines) et ont toujours, ou presque, reçu la même réponse (déplacement en urgence et injection de péthidine). Dans ces circonstances, il paraîtrait abusif pour la recourante d'arguer qu'elle n'était pas à même d'apprécier la nécessité médicale de chacune de ses interventions (cf. critères d'urgence selon le TARMED), même si celles-ci n'ont pas toutes été effectuées par le même médecin, et d'avoir ainsi dû faire face à quatre cent quarante-trois situations d'urgence. Elle ne le prétend d'ailleurs pas. Elle semble au contraire soutenir avoir instauré un traitement régulier de l'assurée (cf. recours consid. 9 p. 4, consid. 26 à 28 p. 8 et 9, consid. 35 p. 13). On relèvera encore que, dans le cadre de la procédure cantonale, le docteur R._ a été capable de produire deux rapports concernant l'intéressée (mémo non daté déjà mentionné et remarques du 26 février 2010) et que ces rapports très détaillés sur le plan anamnestique lui ont permis de poser des diagnostics précis (autres que les céphalées) et de discuter ceux posés par les deux experts au moyen des observations concrètes et des informations récoltées pendant une longue période. Le traitement dont l'efficacité, l'adéquation et l'économicité doivent en l'occurrence être examinées doit donc être considéré dans son ensemble et ne peut pas être regardé comme une succession d'interventions en urgence, indépendantes les unes des autres.
4. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables au cas d'espèce. Il suffit donc d'y renvoyer.
5. 5.1 Contrairement à ce qu'affirme la recourante, il ressort de l'acte attaqué que les premiers juges n'ont pas définitivement admis le caractère efficace et approprié du traitement entrepris. Ils ont reconnu que la péthidine soulageait de manière satisfaisante les douleurs dont l'assurée souffrait même s'il ne s'agissait pas d'une médication indiquée dans le traitement des migraines et qu'on pouvait de ce fait la considérer dans un premier temps comme efficace et appropriée puisque les autres remèdes prescrits n'avaient pas abouti au même résultat.
5.1.1 La juridiction cantonale n'est pas revenue sur le premier critère de son appréciation. Il y a cependant lieu de corriger ladite appréciation dès lors qu'elle viole manifestement le droit fédéral. Si l'efficacité d'un traitement se juge à l'aune du résultat produit sur l'atteinte à la santé et qui consiste en la disparition plus ou moins complète de celle-ci, il convient de relever que l'administration de péthidine n'a nullement permis de faire disparaître la maladie même si elle pouvait très temporairement en atténuer la symptomatologie douloureuse. On constatera également que, selon tous les médecins consultés, la prescription d'un tel médicament pour traiter des migraines n'a jamais été citée et encore moins recommandée par la doctrine médicale, de sorte que son efficacité n'a jamais été scientifiquement démontrée.
5.1.2 Les premiers juges sont par contre revenus sur le critère de l'adéquation. Même si les considérants de leur jugement portent essentiellement sur des éléments en relation avec la prise en charge adéquate d'une personne dépendante de produits stupéfiants, ils ont néanmoins constaté que la péthidine ne produisait ses effets que durant quelques heures et qu'il n'était pas contestable, ni contesté, que l'assurée avait développé une sévère dépendance à cette médication. Il apparaît dès lors que la prescription régulière de péthidine dans le contexte exposé ne répond à aucun projet thérapeutique particulier, que le bénéfice escompté ne tient aucun compte des risques encourus et que le résultat potentiel et finalement obtenu est bien plus grave que la situation initiale. On rappellera aussi que l'administration d'un tel produit n'est nullement indiquée pour le traitement de céphalées, selon tous les médecins consultés, dès lors qu'il s'agit d'un opiacé très puissant, proche de l'héroïne et engendrant très rapidement (après une ou deux semaines de traitement déjà d'après le docteur S._) une grave dépendance. On ajoutera encore que, s'il n'est pas absolument exclu d'avoir recours à des opioïdes pour traiter des douleurs, l'utilisation de telles substances ne se fait pas sans l'adoption de certaines précautions comme l'indiquent les documents déposés par le docteur L._ lors de son audition par la juridiction cantonale. Il ressort donc de ce qui précède que les premiers juges ont justement constaté le caractère inapproprié du traitement prodigué. L'argumentation de la recourante n'y change rien dès lors qu'elle porte essentiellement sur le syndrome de dépendance ainsi que l'existence et l'efficacité d'un traitement de substitution.
5.2 Les premiers juges ont enfin considéré que le critère de l'économicité n'était pas rempli. Ils ont substantiellement constaté qu'il n'incombait pas à un service d'urgence d'intervenir de manière répétée dans la situation de l'assurée qui aurait dû être prise en charge par une institution spécialisée en addictologie. X._ SA réfute cette conclusion dans la mesure où il était établi que l'assurée avait refusé tout autre traitement, en raison de l'échec de tout ce qui avait été entrepris, ou toute prise en charge. Elle en inférait le caractère économique de ses interventions puisqu'il s'agissait de la seule aide efficace et acceptée. Ce raisonnement n'est pas pertinent. Outre le fait que l'administration de péthidine a été jugée inefficace et inappropriée (cf. consid. 5.1), ce qui implique nécessairement sa non-économicité, on relèvera que l'assurée admet d'une part une composante psychique à ses céphalées et que le docteur R._ affirme d'autre part que les différents intervenants avaient tous perçu des troubles de la personnalité et suspecté une situation d'abus. Celui-ci pose en outre le diagnostic de syndrome douloureux somatoforme persistant (F 45.4 CIM-10: la plainte essentielle concerne une douleur intense et persistante s'accompagnant d'un sentiment de détresse, non expliqué entièrement par un processus physiologique ou un trouble physique et survenant dans un contexte de conflits émotionnels et de problèmes psychosociaux suffisamment importants pour être considérés par un clinicien comme la cause essentielle du trouble. Le trouble assure habituellement au patient une aide et une sollicitude accrues de l'entourage et des médecins). Dans ces circonstances, il est difficilement concevable qu'un professionnel choisisse de traiter uniquement la symptomatologie douloureuse d'une pathologie par l'injection d'un produit susceptible d'engendrer une sévère dépendance rapidement sans mettre en place un projet thérapeutique de fond. Les experts n'ont certes pas pu citer le traitement efficace et adéquat dans le cas particulier mais ont toutefois suggéré que la prise en charge par un neurologue et par un psychiatre était tout indiquée eu égard à la résistance aux traitements habituels en cas de migraines et à la sévère problématique psychiatrique. Le traitement n'est donc pas économique.
6. La recourante ne saurait invoquer le principe de la bonne foi, au motif que l'assureur intimé a inopinément refusé d'assumer les factures transmises régulièrement pendant une année, dès lors qu'il ressort clairement du dossier que les parties échangeaient des courriers concernant l'objet du litige depuis le début de l'année 2005 au moins.
7. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF) qui ne peut prétendre des dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à F._, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 6 juin 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Cretton