Erwägungen:
1. Im Rahmen eines vor dem Friedensrichteramt Stein am Rhein hängigen Verfahrens lehnte X._ den Friedensrichter Ueli Wehrli als befangen ab. Mit Entscheid vom 5. Februar 2010 hat der Präsident des Obergerichts des Kantons Schaffhausen das Ausstandsbegehren abgewiesen.
Hiergegen führt X._ Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag, der Entscheid vom 5. Februar 2010 sei aufzuheben. Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Vernehmlassungen zur Beschwerde einzuholen.
2. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. in diesem Zusammenhang auch BGE 134 I 313 E. 2 S. 315 sowie 134 II 349 E. 3 S. 351 f.; 133 II 249 insb. E. 1.4 S. 254). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer kritisiert den angefochtenen Entscheid auf ganz allgemeine Weise. Dabei legt er indes nicht im Einzelnen dar, inwiefern dessen Begründung bzw. der Entscheid im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Mangels einer hinreichenden Begründung ist daher auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
3. Angesichts der Aussichtslosigkeit des vorliegenden Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht stattzugeben (Art. 64 BGG). Entsprechend sind die bundesgerichtlichen Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. März 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp