Faits:
A. P._ oeuvrait au service de X._ SA à G._ (ci-après : X._) depuis le 10 avril 2007, en qualité de collaborateur « Helpdesk ». Cette société est active dans la production et les services de systèmes de distribution de carburant. Le 8 ou le 9 novembre 2007, le prénommé est tombé malade et a cessé de travailler. Le 15 novembre 2007, son employeur lui a rappelé, par avertissement écrit, son obligation de fournir un certificat médical en cas d'absence pour cause de maladie de plus de trois jours. Le lendemain, X._ a enjoint à l'assuré, par un second avertissement, de cesser avec effet immédiat une activité privée qu'il avait exercée durant le temps de travail et au moyen de l'infrastructure de l'employeur. Il est apparu en effet que Y._ SA avait demandé à P._ des instructions pour la livraison d'un container de meubles en provenance de Chine, sans lien aucun avec les activités de l'employeur.
Par lettre du 17 décembre 2007, X._ a résilié les rapports de service au 31 mars 2008, au motif que l'employé avait reçu deux avertissements pour comportement inadéquat et qu'il avait produit un certificat médical attestant une incapacité de travail pour une durée indéterminée; de plus, elle l'a libéré de ses fonctions avec effet immédiat. Cependant, après avoir intercepté de nouvelles communications de la part de Y._ et d'une entreprise chinoise au sujet d'une livraison de sofas devant avoir lieu au nom de P._ dans ses propres locaux, X._ a résilié le contrat de travail avec effet immédiat le 28 décembre 2007.
L'assuré a requis l'indemnité de chômage dès le 1er avril 2008. Il ressort de sa demande du 24 avril 2008 qu'il avait été totalement incapable de travailler pour cause de maladie jusqu'au 31 janvier 2008 et que, du 1er février au 31 mars 2008, il avait envisagé de mettre sur pied, en association avec sa femme, une activité d'indépendant dans la vente de mobilier et d'appareils électroniques importés de Chine; il avait renoncé à ce projet parce que celui-ci n'aurait pas procuré suffisamment de moyens d'existence à deux personnes.
Par décision du 27 juin 2008, le Service public de l'emploi du canton de Fribourg a reconnu l'aptitude au placement de l'assuré depuis le 24 avril 2008. Toutefois, par décision du 30 juin 2008, la caisse de chômage UNIA a suspendu le droit de l'intéressé à l'indemnité pendant 35 jours depuis le 1er janvier 2008, pour chômage fautif. Par décision du 24 juillet 2008, la caisse de chômage a rejeté l'opposition formée par P._.
Le 23 juin 2009, le Président du Tribunal civil Z._ a pris acte de la transaction passée, sans reconnaissance de responsabilité de part et d'autre, entre P._ et X._ pour régler les prétentions pécuniaires élevées par l'employé consécutivement à la fin des rapports de travail.
B. L'assuré a déféré la décision de la caisse de chômage du 24 juillet 2008 au Tribunal administratif du canton de Fribourg (devenu la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal). Ce recours a été rejeté par jugement du 12 mai 2011.
C. P._ interjette un recours en matière de droit administratif (recte : en matière de droit public) en concluant, sous suite de frais et dépens, à titre principal, à l'annulation de la décision de la caisse de chômage du 24 juillet 2008, à titre subsidiaire, au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction. Il a joint à son recours la copie d'une lettre adressée le 10 janvier 2008 par son assurance de protection juridique à X._.
La cour cantonale et la caisse de chômage proposent le rejet du recours. Quant au Secrétariat d'Etat à l'économie (seco), il a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. Si les conclusions sont ambiguës, elles doivent être interprétées à la lumière de la motivation contenue dans le mémoire (ATF 127 IV 101 consid. 1 p. 103 s. et les références citées; arrêt 2C_17/2011, du 24 juin 2011, consid. 2.1). En l'occurrence, le recourant ne conclut pas formellement à l'annulation du jugement entrepris, ni à celle de la décision de la caisse de chômage du 30 juin 2008. Il demande seulement, à titre principal, l'annulation de la décision que ladite caisse a rendue sur opposition le 24 juillet 2008 et, à titre subsidiaire, le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour complément d'instruction. Au regard de la motivation du recours, il apparaît toutefois que le litige porte bien sur la suspension du recourant dans l'exercice de ses droits à l'indemnité de chômage et que le jugement du 12 mai 2011 de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal fribourgeois est remis en cause.
3. Le recourant produit en instance fédérale la copie d'une lettre que l'avocat de son assurance de protection juridique a adressée à X._ le 10 janvier 2008 et qui, bien que mentionnée dans la procédure antérieure, n'avait jamais été déposée auparavant. En tant que la pièce nouvellement produite vise des faits ayant constitué l'objet de la procédure cantonale, elle doit être qualifiée de moyen de preuve nouveau ne résultant pas du jugement attaqué (cf. ULRICH MEYER/JOHANNA DORMANN, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2ème éd. 2011, n. 22 ad art. 99 LTF, p.1313). Elle est dès lors irrecevable et ne peut pas être prise en considération dans la présente procédure.
4. Selon l'art. 30 al. 1 let. a LACI, le droit de l'assuré à l'indemnité est suspendu lorsqu'il est établi que celui-ci est sans travail par sa propre faute. Est notamment réputé sans travail par sa propre faute l'assuré qui, par son comportement, en particulier par la violation de ses obligations contractuelles de travail, a donné à son employeur un motif de résiliation du contrat de travail (art. 44 let. a OACI).
La suspension du droit à l'indemnité prononcée en raison du chômage dû à une faute de l'assuré, en application de l'art. 44 let. a OACI, ne suppose pas une résiliation des rapports de travail pour de justes motifs au sens des art. 337 et 346 al. 2 CO. Il suffit que le comportement général de l'assuré ait donné lieu au congédiement de celui-ci, même sans qu'il y ait des reproches d'ordre professionnel à lui faire. Le chômage est imputable à une faute de l'assuré notamment en cas de violation par celui-ci d'obligations découlant du contrat de travail (arrêt C 223/05 du 16 novembre 2005, publié in SVR 2006 ALV No 15 consid. 1 p.51). Une suspension du droit à l'indemnité ne peut cependant être infligée à l'assuré que si le comportement reproché à celui-ci est clairement établi. Lorsqu'un différend oppose l'assuré à son employeur, les seules affirmations de ce dernier ne suffisent pas à établir une faute contestée par l'assuré et non confirmée par d'autres preuves ou indices aptes à convaincre l'administration ou le juge (ATF 112 V 245 consid. 1 et les arrêts cités; arrêts 8C_660/2009 du 18 mars 2010 consid. 3 et C 190/06 du 20 décembre 2006 consid. 1.2; GERHARDS, Kommentar zum Arbeitslosenversicherungsgesetz, n. 10 ss ad art. 30; BORIS RUBIN, Assurance-chômage, 2ème éd., p. 444).
5. A juste titre, la juridiction cantonale a considéré que la production tardive par le recourant du certificat médical destiné à justifier son absence pour cause de maladie ne pouvait, à elle seule, être à l'origine de la résiliation des rapports de travail. Les premiers juges ont en revanche retenu que le recourant avait bel et bien utilisé les infrastructures de son employeur pour développer et mener, seul ou avec son épouse, une activité de commerce de meubles avec la Chine. En outre, ils ont estimé que le recourant n'avait pas obtempéré à la mise en demeure expresse du 16 novembre 2007 puisque ses interlocuteurs avaient continué à utiliser l'adresse de l'employeur encore jusqu'à fin 2007.
Cette appréciation doit être quelque peu nuancée. En effet, selon l'art. 321a CO, le travailleur exécute avec soin le travail qui lui est confié et sauvegarde fidèlement les intérêts légitimes de l'employeur. Il s'agit là de droit dispositif (art. 361 et 362 CO a contrario), si bien que ces obligations peuvent être étendues ou limitées par une convention entre les parties. Selon le contrat de travail conclu entre le recourant et son employeur, il était interdit à celui-là de réaliser, soit pour son propre compte, soit pour le compte d'autrui, des travaux de nature à porter préjudice à l'entreprise ou à ses propres performances sans le consentement écrit de l'employeur (art. 10 al. 2). Le recourant n'a jamais prétendu avoir été autorisé par son employeur à recevoir, sur son lieu de travail, des correspondances relatives à une activité privée. Que le commerce de meubles en question fût déployé par l'épouse du recourant et non par lui-même, ne change rien aux faits, avérés et reconnus, que l'intéressé recevait des communications privées à son bureau chez X._ et qu'il attendait dans les locaux de l'employeur une livraison sans lien avec les activités de ce dernier. P._ a bien fait une entorse aux engagements contractuels qu'il avait pris vis-à-vis de X._ et a ainsi donné à l'employeur un motif de mettre fin aux rapports de travail.
Par ailleurs, le fait de communiquer, sans droit, à un partenaire commercial étranger à l'employeur l'adresse et d'autres coordonnées de ce dernier pour en faire un usage privé, à son profit ou au profit d'un tiers, constitue une violation du devoir de fidélité et de diligence du travailleur prévu à l'art. 321a CO, laquelle justifie la résiliation du contrat de travail.
En revanche, la circonstance que le recourant n'a pas empêché (ou n'a pas pu empêcher) que son employeur reçoive encore, vers fin décembre 2007, des communications commerciales étrangères aux activités de X._, qui lui étaient destinées, ne saurait être déterminante du moment que la résiliation du contrat de travail était intervenue le 17 décembre 2007 déjà.
Une suspension du droit à l'indemnité du recourant se justifie donc en application des articles 30 al.1 let. a LACI et 44 let. a OACI.
6. 6.1 Cela étant, Il reste à examiner la question de la durée de la suspension. Selon l'art. 30 al. 3 LACI, la durée de la suspension est proportionnelle à la gravité de la faute. En vertu de l'art. 45 al. 2 OACI, (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 mars 2011 applicable en l'espèce), elle est de 1 à 15 jours en cas de faute légère (let. a), de 16 à 30 jours en cas de faute de gravité moyenne (let. b) et de 31 à 60 jours en cas de faute grave (let. c).
6.2 Pour confirmer la durée de la suspension prononcée par la caisse de chômage, les juges cantonaux ont considéré ce qui suit :
« L'assuré est responsable de son licenciement. A tout le moins, il a utilisé les infrastructures de son employeur pour mener une activité indépendante. Ce dernier lui a demandé d'y mettre fin par le biais d'un avertissement. Possibilité lui a ainsi été donnée d'abandonner dite activité mais il n'a manifestement pas fait le nécessaire alors que l'on était raisonnablement en droit de l'attendre de sa part. Son contrat, de durée indéterminée, a été résilié en respect des délais de résiliation, puis de façon immédiate. Compte tenu de l'ensemble des circonstances, c'est dès lors à juste titre que la caisse a considéré qu'il avait commis une faute grave. En fixant la durée de la sanction à 35 jours timbrés, alors que le minimum est de 31 jours, elle n'a manifestement pas outrepassé son pouvoir d'appréciation. » (jugement attaqué, consid. 3b).
Comme cela a été relevé plus haut, le motif de la seconde résiliation des rapports de travail par l'employeur, avec effet immédiat celle-là, le 27 décembre 2007, ne peut être pris en considération, car la perte de l'emploi en question était déjà survenue. En outre, il ressort de la lettre du 17 décembre 2007 adressée par X._ à P._ que l'employeur a fondé sa décision de mettre fin à l'engagement de ce dernier non seulement sur les avertissements des 15 et 16 novembre 2007, mais aussi sur l'incapacité de travail d'une durée indéterminée pour cause de maladie de l'intéressé, laquelle ne peut découler d'une faute de ce dernier. En définitive, force est de retenir que la violation, par le recourant, d'obligations découlant du contrat de travail, telle qu'elle a été décrite plus haut (consid. 5), n'est que partiellement la cause de son renvoi.
Dès lors, l'appréciation de la gravité de la faute par les autorités précédentes ne peut pas être confirmée. Il faut au contraire retenir que cette faute se situe à la limite inférieure de la gravité moyenne, en particulier au regard d'un cas où l'assuré avait fait un usage répété de sa messagerie professionnelle à des fins privées et n'avait pas mis un terme à cet usage malgré les avertissements réitérés de l'employeur, causant ainsi son renvoi. Dans cette affaire (arrêt C 282/00 du 11 janvier 2001), où d'autres comportements encore de l'assuré étaient en cause, une faute jugée de gravité moyenne avait été sanctionnée d'une suspension de 25 jours. En l'occurrence, tout bien considéré, il se justifie de fixer la durée de la suspension à 16 jours. Le recours se révèle ainsi partiellement bien fondé.
7. Compte tenu de l'issue du litige, les frais de justice seront répartis par moitié entre le recourant et la caisse de chômage intimée.
Par ailleurs, le recourant a droit à une indemnité de dépens réduite (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis.
2. Le jugement du 12 mai 2011 du Tribunal cantonal fribourgeois, Cour des assurances sociales, est réformé en ce sens que la durée de la suspension du droit à l'indemnité journalière de P._ est fixée à 16 jours.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 250 fr. à la charge du recourant et pour 250 fr. à la charge de l'intimée.
4. L'intimée versera au recourant la somme de 1'800 fr. à titre d'indemnité de dépens pour la procédure fédérale.
5. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal fribourgeois, Cour des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal fribourgeois, Cour des assurances sociales, et au Secrétariat d'Etat à l'économie (SECO).
Lucerne, le 4 avril 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
La Greffière: Berset