Faits:
A. A.a L._, né en 1947, travaillait comme moniteur dans les ateliers X._. A ce titre, il était assuré contre les accidents par La Caisse Vaudoise, assurance en cas de maladie et d'accidents (ci-après : la Caisse Vaudoise).
Le 27 mars 2001, alors qu'il promenait son chien, ce dernier a aperçu un autre chien et a tiré fortement sur sa laisse. L'assuré a ressenti une vive douleur à l'épaule droite et une difficulté à la mouvoir. Il s'est néanmoins rendu à son travail le lendemain. Deux jours plus tard, le 29 mars 2001, il s'est à nouveau fait mal à l'épaule droite en tirant sur un transpalette. En l'absence d'amélioration de la situation les jours suivants, il s'est rendu à la Permanence chirurgicale Y._, où le diagnostic de conflit sous-acromial sur lésion du sus-épineux de l'épaule droite a été posé. Un traitement conservateur lui a été prescrit (rapport du 12 avril 2001 du docteur A._). Le docteur D._ a réalisé une imagerie par résonance magnétique de l'épaule droite, le 29 mai 2001, qui a mis en évidence une déchirure complète du tendon sus-épineux. Le 5 juillet suivant, le docteur S._ a pratiqué une intervention chirurgicale (réinsertion d'une lésion complète du sus-épineux, ténodèse du long chef du biceps dans sa gouttière, fermeture de l'intervalle de la coiffe, acromioplastie de l'épaule droite); lors de l'opération, il a constaté une déchirure du ligament coraco-huméral.
Par décision du 21 mai 2002, la Caisse Vaudoise a nié le caractère accidentel des événements des 27 et 29 mars 2001 et, partant, le droit de L._ à des prestations d'assurance. A la suite d'une opposition de l'assuré, elle a présenté l'offre transactionnelle suivante, par lettre du 10 avril 2003 : «[...] Tous droits réservés, nous vous proposons de retirer l'opposition élevée le 14 juin 2002 contre la décision du 21 mai 2002 à la condition que La Caisse Vaudoise :
1. Règle directement le séjour hospitalier à la Clinique Z._ du 5 au 12 juillet 2001.
2. Octroie à votre client une contribution forfaitaire de fr. 3'000.-- (découvert caisse-maladie/frais de déplacement).
3. Alloue en sus une indemnité "pour atteinte à l'intégrité" de 5 % (gain annuel fr. 106'800), soit fr. 5340.--.
Nous restons dans l'attente de votre accord avec ce qui précède et vous prions de nous communiquer une adresse de paiement pour le versement de fr. 8'340.-- qui liquidera définitivement le dossier de cette affaire.»
Le 15 août 2003, l'assuré a répondu qu'il était «à la rigueur d'accord de se contenter d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité corporelle de 15 %, [soit 16 020 fr.]. A ce montant, il [fallait] ajouter une contribution forfaitaire de fr. 3'000.- pour les frais de déplacement.» Enfin, l'assuré déclarait partir de l'idée que l'assureur-accidents avait directement réglé le séjour hospitalier à la Clinique Z._.
La Caisse Vaudoise a réagi en étendant son offre comme suit : «[...] Dans le cadre d'un arrangement à l'amiable, nous ne sommes [...] pas opposés à arrondir notre offre du 10 avril 2003 en portant le montant de Fr. 8'340.- à Fr. 15'000.-, ceci indépendamment du règlement de la facture à la Clinique Z._ [...]. En cas d'accord, nous vous remercions de retirer l'opposition élevée le 14 juin 2002 et de nous communiquer une adresse de paiement. Ce versement offert sans reconnaissance d'obligation liquidera définitivement le dossier de cette affaire. [...]» (lettre du 21 août 2003 au mandataire de l'assuré).
Par l'intermédiaire de son avocat, L._ a répondu, le 28 août 2003, qu'il acceptait la proposition de l'assureur-accidents et l'invitait à lui verser le montant de 15 000 fr. sur un compte bancaire dont il donnait la référence. Le 15 septembre, la Caisse Vaudoise a adressé directement à l'assuré un avis de crédit de 15 000 fr. correspondant à 78 indemnités journalières. Le mandataire de l'assuré a réagi le 19 novembre suivant en écrivant à l'assureur-accidents : «Mon client [...] me transmet votre décompte du 15 septembre 2003 dont copie ci-jointe. Le montant de fr. 15'000.- résulte d'un accord transactionnel concernant une atteinte à l'intégrité corporelle de mon mandant. Je ne comprends pas pourquoi celui-ci est justifié, dans votre décompte, par le versement d'indemnités journalières pour une période de 78 jours. [...]» La Caisse Vaudoise lui a répondu, le 17 décembre 2003 : «Maître, nous vous remercions de votre lettre du 19 novembre 2003. Nous comprenons volontiers votre réaction. Comme vous le relevez, le libellé de ce décompte, utilisé pour les besoins de la saisie informatique du paiement, est erroné et ne doit pas être pris en considération. Il y a lieu de se référer exclusivement à notre lettre du 21 août 2003. Nous vous prions d'excuser cette imprécision bien involontaire. [...]»
A.b Entre-temps, l'assuré s'est blessé au genou gauche en tombant dans des escaliers, le 6 août 2002. Il a consulté le docteur R._, médecin généraliste, qui a posé le diagnostic d'entorse du genou gauche et attesté une incapacité de travail totale dès le 8 août 2002 (rapport du 17 septembre 2002). Il a également consulté le docteur V._, spécialiste en médecine interne, qui a fait état d'un épanchement post-traumatique du genou gauche avec suspicion d'une lésion du ligament croisé antérieur (rapport du 7 septembre 2002). Le 12 août 2002, le docteur T._ a réalisé une imagerie par résonance magnétique du genou gauche et a mis en évidence une déchirure de la corne postérieure du ménisque externe, avec remaniement de la corne antérieure du ménisque externe et de la corne postérieure du ménisque interne, épanchement articulaire, kyste poplité partiellement rompu, remaniement du ligament croisé antérieur correspondant à une lésion post-traumatique, mais sans désinsertion (rapport du 12 août 2002). Pour sa part, le docteur W._ a fait état d'une suspicion d'une déchirure du ménisque externe et d'une lésion du ligament croisé antérieur; il a prescrit un traitement conservateur (rapport du 4 septembre 2002). Le 11 décembre suivant, il a posé le diagnostic de suspicion d'une lésion du ménisque interne gauche et de syndrome fémoro-rotulien douloureux gauche. Il précisait que l'assuré présentait, à la suite d'un accident survenu en 1985, une légère arthrose fémoro-tibiale interne, auparavant asymptomatique, et qui pourrait «jouer un rôle plus tard».
La Caisse Vaudoise a pris en charge les frais médicaux et alloué des indemnités journalières jusqu'au 31 mai 2003. Pour la période postérieure, elle a nié le lien de causalité entre l'accident du 6 août 2002 et les symptômes présentés par l'assuré (décision du 18 septembre 2003). A la suite d'une opposition de l'assuré, la Caisse Vaudoise a transmis le dossier à son médecin-conseil, le docteur U._. Dans une prise de position du 2 novembre 2003, celui-ci a exposé qu'aucune lésion anatomique significative imputable à l'événement du 6 août 2002 n'avait été mise en évidence, une possible déchirure méniscale postéro-externe aiguë étant peu probable en l'absence d'une clinique y relative (gonalgies postéro-externe). En réalité, l'accident avait surtout révélé un état pathologique pré-existant, état dégénératif avancé qui avait conduit à une proposition d'ostéotomie de réaxation du membre inférieur. Dans une telle situation, «le statu quo ante [pouvait] être considéré comme retrouvé à l'échéance maximale de six semaines».
Le 19 janvier 2005, le docteur W._ a précisé, dans une lettre au mandataire de l'assuré, que celui-ci présentait, d'une part, un syndrome fémoro-rotulien douloureux à la suite d'une chute dans des escaliers le 6 août 2002 et, d'autre part, une arthrose fémoro-tibiale interne gauche, à la suite d'un accident survenu en 1985. Le statu quo ante n'était pas atteint à ce jour. Après une nouvelle détermination du docteur U._, du 24 mai 2005, la Caisse Vaudoise a nié le droit à des prestations d'assurance pour la période postérieure au 31 mai 2003, en relation avec l'accident du 6 août 2002 (décision sur opposition du 30 mai 2005). L'assuré a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud.
A.c Par lettres des 28 juin, 10 octobre et 21 décembre 2005 à la Caisse Vaudoise, l'assuré a demandé l'octroi d'une rente d'invalidité en raison des atteintes subies à l'épaule droite et au genou gauche. Par décision et décision sur opposition des 19 janvier et 15 juin 2006, l'assureur-accidents a refusé d'entrer en matière sur cette demande. Il a considéré que la question du droit aux prestations pour les atteintes à l'épaule droite avait été définitivement réglée par la transaction conclue avec l'assuré les 21/28 août 2003. Par ailleurs, le droit de l'assuré à des prestations en raison des douleurs ressenties dans le genou gauche depuis l'accident du 6 août 2002 faisait l'objet d'une procédure de recours devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, dont il convenait d'attendre l'issue.
L._ a recouru contre la décision sur opposition du 15 juin 2006, en concluant à l'octroi d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 50 % dès le mois de juillet 2005. A l'appui de son recours, il a produit un projet de décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Vaud, qui prévoyait l'octroi d'une demi-rente d'invalidité pour la période du 1er janvier au 30 avril 2005, puis d'une rente entière.
B. Par jugement du 6 avril 2006, le Tribunal des assurance du canton de Vaud a rejeté le recours contre la décision sur opposition du 30 mai 2005. Le 5 décembre suivant, il a rejeté le recours contre la décision sur opposition du 15 juin 2006, dans la mesure où il était recevable.
C. Par acte du 21 août 2006, l'assuré a interjeté un recours contre le jugement du 6 avril 2006. Il conclut, en substance, à la réforme du jugement entrepris en ce sens que la Caisse Vaudoise soit condamnée à prendre en charge les frais médicaux et à lui allouer des indemnités journalières pour la période postérieure au 31 mai 2003, en raison de l'accident survenu le 6 août 2002 (cause U 378/06).
L._ a également recouru contre le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 5 décembre 2006. Il conclut à l'annulation du jugement entrepris et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle statue à nouveau «sur le recours interjeté le 22 juin 2006 contre la décision de l'intimée du 15 juin 2006 concernant l'octroi d'une rente d'invalidité à un taux de 50 %, suite aux accidents dont le recourant a été la victime en 2001 et 2002 à l'épaule droite et au genou gauche, et ceci à partir du 1er juillet 2005» (cause U 77/07).
L'intimée conclut au rejet de chacun des recours interjetés par l'assuré, alors que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 La loi fédérale sur le Tribunal fédéral du 17 juin 2005 (LTF; RS 173.110) est entrée en vigueur le 1er janvier 2007 (RO 2006 1205, 1242). Les deux jugement entrepris ont été rendus avant cette date, de sorte que la procédure reste régie par l'OJ (art. 132 al. 1 LTF; ATF 132 V 393 consid. 1.2 p. 395).
1.2 Les recours portent sur des états de faits connexes, concernent les mêmes parties et portent sur des questions juridiques étroitement liées. Il convient par conséquent de joindre les causes (cf. ATF 128 V 192).
2. Le litige porte notamment sur le droit du recourant à des indemnités journalières et à la prise en charge du traitement médical pour la période postérieure au 31 mai 2003, en raison des douleurs persistantes dont il souffre au genou gauche depuis l'accident du 6 août 2002. Les premiers juges ont nié que les symptômes présentés par le recourant fussent encore en relation de causalité naturelle avec l'accident assuré et ont confirmé la décision sur opposition du 30 mai 2005 par laquelle l'intimée a mis fin aux prestations allouées à l'assuré.
2.1 Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir insuffisamment motivé le jugement entrepris, du 6 avril 2006. Il lui reproche également d'avoir arbitrairement apprécié les preuves en se fondant sans raisons sur l'avis du docteur U._, en dépit des constatations du docteur W._. Ces griefs ne sont toutefois pas fondés. Les premiers juges ont exposé sur quels rapports médicaux ils fondaient leur jugement et précisé pour quels motifs ils écartaient les conclusions du docteur W._ relatives à l'origine accidentelle des symptômes présentés par l'assuré postérieurement au 31 mai 2003. Le recourant était en mesure, sur la base de ce jugement, de comprendre pourquoi le droit aux prestations était nié et de motiver un éventuel recours. L'appréciation des preuves par les premiers juges ne prête par ailleurs pas le flanc à la critique, comme on le verra ci-après (consid. 2.2.3).
2.2 Sur le fond, le recourant se plaint d'une violation de l'art. 36 al. 1 LAA, d'après lequel en cas de concours de diverses causes du dommage, les prestations pour soins, les remboursements de frais ainsi que les indemnités journalières et les allocations pour impotent ne sont pas réduits lorsque l'atteinte à la santé n'est que partiellement imputable à l'accident.
2.2.1 L'assurance-accidents est en principe tenue d'allouer ses prestations en cas d'accident professionnel ou non professionnel (art. 6 al. 1 LAA). Par accident, on entend toute atteinte dommageable, soudaine et involontaire, portée au corps humain par une cause extérieure extraordinaire qui compromet la santé physique ou mentale (art. 2 al. 2 LAMal; art. 9 al. 1 OLAA, dans leur teneur en vigueur au moment de l'événement du 3 août 2002; cf. ATF 127 V 466, consid. 1 p. 467).
Un rapport de causalité naturelle (et adéquate) est nécessaire entre l'atteinte à la santé et l'événement accidentel. La condition du rapport de causalité naturelle est remplie lorsque sans l'événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout ou ne serait pas survenu de la même manière. Il n'est pas nécessaire que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte : il suffit qu'associé éventuellement à d'autres facteurs, il ait provoqué l'atteinte à la santé, c'est-à-dire qu'il se présente comme la condition sine qua non de cette atteinte. Savoir s'il existe un lien de causalité naturelle est une question de fait, généralement d'ordre médical, qui doit être résolue selon la règle du degré de vraisemblance prépondérante. Il ne suffit pas que l'existence d'un rapport de cause à effet soit simplement possible; elle doit pouvoir être qualifiée de probable dans le cas particulier (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406; Frésard/Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in : Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht, Vol. XIV [Meyer, édit.], 2ème éd., Bâle, Genève, Munich 2007, n. 79 p. 865).
En cas d'état maladif antérieur, si l'accident n'a fait que déclencher un processus qui serait de toute façon survenu sans cet événement, le lien de causalité naturelle entre les symptômes présentés par l'assuré et l'accident doit être nié lorsque l'état maladif antérieur est revenu au stade où il se trouvait avant l'accident (statu quo ante) ou s'il est parvenu au stade d'évolution qu'il aurait atteint sans l'accident (statu quo sine; RAMA 1992 n. U 142 p. 75, consid. 4b; Frésard/Moser-Szeless, op. cit., n. 80 p. 865).
2.2.2 Aux termes de l'art. 6 al. 2 LAA, le Conseil fédéral peut inclure dans l'assurance des lésions corporelles qui sont semblables aux conséquences d'un accident. En vertu de cette délégation de compétence, le Conseil fédéral a édicté l'art. 9 al. 2 OLAA, qui prévoit que les lésions suivantes sont assimilées à un accident, même si elles ne sont pas causées par un facteur extérieur de caractère extraordinaire, pour autant qu'elles ne soient pas manifestement imputables à une maladie ou à des phénomènes dégénératifs :
a. Les fractures;
b. Les déboîtements d'articulations;
c. Les déchirures du ménisque;
d. Les déchirures de muscles;
e. Les élongations de muscles;
f. Les déchirures de tendons;
g. Les lésions de ligaments;
h. Les lésions du tympan.
Cette liste est exhaustive (ATF 116 V 136 consid. 4a p. 140, 145 consid. 2b p. 147).
La notion de lésion assimilée à un accident a pour but d'éviter, au profit de l'assuré, la distinction souvent difficile entre maladie et accident. Aussi les assureurs-accidents LAA doivent-ils assumer un risque qui, en raison de la distinction précitée, devrait en principe être couvert par l'assurance-maladie. Les lésions mentionnées à l'art. 9 al. 2 OLAA sont assimilées à un accident même si elles ont, pour l'essentiel, une origine vraisemblablement maladive ou dégénérative, pour autant qu'une cause extérieure ait, au moins, déclenché les symptômes dont souffre l'assuré (ATF 129 V 466, 123 V 43 consid. 2b p. 44, 116 V 145 consid. 2c p. 147, 114 V 298 consid. 3c p. 301). Compte tenu de cette jurisprudence, on ne saurait admettre qu'une lésion assimilée à un accident au sens de l'art. 9 al. 2 OLAA - malgré son origine en grande partie dégénérative - a fait place à l'état de santé dans lequel se serait trouvé l'assuré sans l'accident (statu quo sine) tant que le caractère désormais exclusivement maladif ou dégénératif de l'atteinte à la santé n'est pas clairement établi. A défaut, on se trouverait à nouveau confronté, immédiatement après avoir admis l'existence d'une lésion assimilée à un accident, à la difficulté de distinguer entre l'origine dégénérative ou accidentelle de cette lésion (cf. arrêt U 220/02 du 6 août 2003 consid. 2).
2.2.3 D'après le rapport d'imagerie par résonance magnétique établi par le docteur T._ le 12 août 2002, le recourant présente une déchirure de la corne postérieure du ménisque externe. Il ne ressort toutefois pas des différents rapports médicaux au dossier que les symptômes douloureux dont souffre l'assuré - et qui justifient sa demande de prestations de l'assurance-accidents pour la période postérieure au 31 mai 2003 - découlent de cette atteinte méniscale. Ainsi, dans un rapport du 19 janvier 2005, le docteur W._ constate, sans mentionner la déchirure méniscale, que l'assuré présente d'une part, un syndrome fémoro-rotulien douloureux et, d'autre part, une arthrose fémoro-tibiale interne gauche; les symptômes sont dus principalement au syndrome fémoro-rotulien, pour le traitement duquel une opération de valgisation de la tête du tibia gauche a été proposée. Pour sa part, le docteur U._ a exposé, dans un rapport du 2 novembre 2003, que l'absence de gonalgies postéro-externe rendait peu vraisemblable une déchirure méniscale postéro-externe aiguë; le 24 mai 2005, il ajoutait qu'à la suite de l'accident du 2 août 2002, l'assuré avait présenté des gonalgies antéro-internes et que les examens médicaux avaient démontré la présence d'une arthrose fémoro-tibiale interne modérée et d'une arthrose fémoro-patellaire débutante; une lésion méniscale postéro-externe avait été constatée, qui ne semblait pas avoir de traduction clinique.
Toujours d'après le docteur U._, l'arthrose fémoro-patellaire et l'arthrose fémoro-tibiale sont des atteintes dégénératives qui peuvent tout à fait expliquer les douleurs ressenties par l'assuré postérieurement au 31 mai 2003, en particulier le syndrome fémoro-tibial dont fait état le docteur W._. En revanche, aucune lésion anatomique consécutive à l'accident n'a été mise en évidence, qui pourrait expliquer la persistance, au-delà de quelques semaines, des symptômes présentés par l'assuré. Contrairement à ce que soutient le recourant, le docteur W._ n'a opposé aucune constatation convaincante à ces conclusions. En attestant que le statu quo ante, c'est-à-dire un genou sans problème, n'était pas encore atteint le 19 janvier 2005, ce médecin ne dit rien de la progression des atteintes maladives depuis l'accident et de l'évolution vers un statu quo sine. Par ailleurs, dans un rapport du 11 décembre 2002, il précisait lui-même que l'arthrose fémoro-tibiale pourrait jouer un rôle dans l'évolution du cas. Enfin, le 26 mai 2003, il attestait une incapacité de travail de 30 %, à moitié au minimum à cause de l'épaule droite, «le reste pour une affection du genou gauche (syndrome fémoro-rotulien douloureux, maladie).» Dans ces conditions, les premiers juges ont suivi à juste titre l'avis du docteur U._ et nié l'existence d'un rapport de causalité naturelle entre l'accident du 6 août 2002 et les douleurs présentées par l'assuré au genou gauche postérieurement au 31 mai 2003. En l'absence d'un tel rapport de causalité, ils ont nié avec raison le droit aux prestations, sans violer l'art. 36 al. 1 LAA.
3. 3.1 L'intimée a refusé de statuer sur la demande de rente présentée par le recourant en raison des affections dont il souffre à l'épaule droite depuis les événements des 27 et 29 mars 2001. Elle a considéré que les conséquences d'éventuelles atteintes accidentelles à l'épaule droite avaient été définitivement liquidées par transaction des 21/28 août 2003. Elle a également refusé d'entrer en matière sur la question du droit à la rente en relation avec les douleurs ressenties par l'assuré au genou gauche, comme le demandait aussi l'assuré, dès lors qu'elle avait déjà nié que ces douleurs fussent en relation de causalité avec l'accident du 6 août 2002 et que sa décision faisait l'objet d'une procédure de recours. Les premiers juges ont confirmé le point de vue de la Caisse Vaudoise, que le recourant conteste en instance fédérale.
3.2 3.2.1 Aux termes de l'art. 50 LPGA, les litiges portant sur des prestations des assurances sociales peuvent être réglés par transaction (al. 1). L'assureur est tenu de notifier la transaction sous la forme d'une décision sujette à recours (al. 2). Les al. 1 et 2 s'appliquent par analogie à la procédure d'opposition ainsi qu'à la procédure de recours (al. 3).
3.2.2
3.2.2.1 L'intimée n'a rendu ni décision sur opposition formalisant la transaction des 21/28 août 2003, ni décision de clôture de la procédure en raison de l'accord passé avec l'assuré. Les premiers juges ont néanmoins considéré que cet accord produisait les mêmes effets qu'une décision entrée en force, dès lors qu'il avait été appliqué sans que l'assuré soulève d'objection dans un délai raisonnable. La juridiction cantonale s'est référée, sur ce point, à la jurisprudence d'après laquelle l'octroi de prestations par un assureur social, sans décision formelle, peut produire les mêmes effets qu'une décision entrée en force si l'assuré n'a pas, dans un délai d'examen et de réflexion convenable, manifesté son désaccord ou sa volonté de voir statuer sur ses droits dans un acte administratif susceptible de recours (ATF 126 V 23, 122 V 369 consid. 3). Cette argumentation ne peut toutefois pas être suivie, pour les motifs exposés ci-après.
3.2.2.2 D'après l'art. 49 al. 1 LPGA, l'assureur doit rendre par écrit les décisions qui portent sur des prestations, créances ou injonctions importantes ou avec lesquelles l'intéressé n'est pas d'accord. Seules les prestations, créances et injonctions qui ne sont pas visées par cette disposition peuvent être traitées selon une procédure simplifiée (art. 51 al. 1 LPGA). La jurisprudence citée par la juridiction cantonale trouve application dans le cadre de cette procédure simplifiée (ATF 132 V 412 consid. 5 p. 417 sv.).
Il découle des dispositions citées qu'un assureur-accidents ne peut pas nier définitivement le droit à toute prestation en relation avec un accident assuré en mettant simplement fin, en procédure simplifiée, à l'octroi de prestations temporaires (indemnité journalière et traitement médical). Dans la mesure où des prestations durables sont en jeu, il lui appartient de rendre une décision formelle (ATF 132 V 412 consid. 4 p. 417). Une transaction passée avec l'assuré ne dispense pas l'assureur-accidents de rendre une telle décision, comme le prévoit expressément l'art. 50 al. 2 LPGA.
3.3 En l'occurrence, la transaction passée entre les parties n'a jamais été suivie d'une décision formelle, rendue conformément à l'art. 50 al. 2 LPGA. Elle n'a donc pas acquis la force matérielle de chose décidée et l'intimée ne pouvait refuser de statuer sur le droit à la rente au motif que la question était définitivement réglée. Il lui appartiendra d'entrer en matière sur la demande présentée par l'assuré, de procéder à un examen au fond et de statuer sur le droit à la rente eu égard à d'éventuelles atteintes à la santé consécutives aux événements des 27 et 29 mars 2001. En revanche, contrairement à ce que demande le recourant, elle n'aura pas à prendre en considération les affections du genou gauche persistant après le 31 mai 2003, dès lors qu'elles ne sont pas d'origine accidentelle et n'ouvrent pas droit à des prestations de l'assurance-accidents (consid. 2 ci-avant).
4. Le recourant ne peut prétendre des dépens que pour l'une des procédures de recours, ses conclusions contre le jugement du 6 avril 2006 du Tribunal des assurances du canton de Vaud étant mal fondées (art. 159 al. 1 OJ). La procédure est gratuite (art. 134 OJ).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes U 378/06 et U 77/07 sont jointes.
2. Le recours interjeté contre le jugement du 6 avril 2006 du Tribunal des assurances du canton de Vaud est rejeté.
3. Le recours interjeté contre le jugement du 5 décembre 2006 du Tribunal des assurances du canton de Vaud est admis, en ce sens que ledit jugement ainsi que la décision sur opposition du 15 juin 2006 de La Caisse Vaudoise, assurance en cas de maladie et d'accidents, sont annulés, la cause étant renvoyée à l'intimée pour qu'elle statue sur le droit à la rente, conformément aux considérants.
4. Il n'est pas perçu de frais de justice.
5. L'intimée versera au recourant la somme de 2500 fr. (y compris la taxe à la valeur ajoutée) à titre de dépens pour l'instance fédérale.
6. Le Tribunal des assurances du canton de Vaud statuera sur les dépens pour la procédure de première instance, à la suite du recours interjeté contre la décision sur opposition rendue par l'intimée le 15 juin 2006, au regard de l'issue de procès de dernière instance.
7. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 24 septembre 2007
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier: