Faits:
A. C._, ressortissant philippin né en 1977, est arrivé en Suisse au mois de juillet 1986, accompagné de sa mère, fonctionnaire internationale au sein de l'Organisation X._, et de son père. A l'exception d'une période comprise entre le 30 septembre 1993 et le 17 juin 1996, il a depuis lors toujours vécu en Suisse. Au mois de juillet 1996, il s'est vu délivrer un permis « Ci » l'autorisant à exercer une activité lucrative en Suisse. A compter de cette date, il a travaillé par intermittence et a, à ce titre, cotisé à l'AVS/AI.
Atteint de schizophrénie paranoïde, C._ a déposé le 18 juillet 2003 une demande de prestations de l'assurance-invalidité tendant à l'octroi d'une rente. Par décision du 23 mai 2006, confirmée sur opposition le 28 février 2008, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande de prestations de l'assuré au motif qu'il ne remplissait pas les conditions d'assurance.
B. Par jugement du 16 novembre 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par l'assuré.
C. C._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. Le prononcé sur opposition du 28 février 2008 constitue l'objet de la contestation soumis à la juridiction cantonale de recours et définit la limite temporelle jusqu'à laquelle s'étend en principe l'examen juridictionnel. Selon une jurisprudence constante, le juge apprécie, en règle générale, la légalité des décisions attaquées d'après les règles applicables au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (ATF 130 V 445 consid. 1.2.1 p. 447).
3. La cause présente un élément d'extranéité puisque le recourant, s'il est domicilié en Suisse, est de nationalité philippine. Dans ces circonstances, le Tribunal fédéral examine d'office la question du droit applicable au litige (ATF 130 I 312 consid. 1.2 p. 318 et les références; ULRICH MEYER, in Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2008, n° 8 ad art. 106).
3.1 Selon l'art. 6 al. 2 LAI, les étrangers ont, sous réserve de l'art. 9 al. 3 LAI, droit aux prestations de l'assurance-invalidité aussi longtemps qu'ils conservent leur domicile et leur résidence habituelle en Suisse, mais seulement s'ils comptent, lors de la survenance de l'invalidité, au moins une année entière de cotisations ou dix ans de résidence ininterrompue en Suisse. Demeurent réservées les dispositions dérogatoires des conventions bilatérales de sécurité sociale conclues par la Suisse avec un certain nombre d'Etats pour leurs ressortissants respectifs.
3.2 La Convention de sécurité sociale du 17 septembre 2001 entre la Confédération suisse et la République des Philippines (RS 0.831.109.645.1; ci-après: la convention philippino-suisse de sécurité sociale) est entrée en vigueur le 1er mars 2004. Selon son art. 5, le versement des prestations acquises en vertu de la convention est garanti quel que soit le lieu de résidence (par. 1). Ce principe n'est toutefois pas applicable aux rentes ordinaires de l'assurance-invalidité suisse accordées aux assurés dont le degré d'invalidité est inférieur à 50 % ni aux rentes extraordinaires et allocations pour impotent de l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité suisse (par. 2; voir également le Message du 13 novembre 2002 concernant la Convention de sécurité sociale entre la Suisse et les Philippines, FF 2003 70 ch. 2.2.1).
4. Ressortissant philippin résidant en Suisse, le recourant peut prétendre, s'il en remplit les conditions, une rente ordinaire de l'assurance-invalidité, voire, le cas échéant, une rente extraordinaire.
4.1 Selon l'art. 8 al. 1 LPGA (et 4 al. 1 LAI), est réputée invalidité l'incapacité de gain totale ou partielle, présumée permanente ou de longue durée, qui résulte d'une atteinte à la santé physique, mentale ou psychique, provenant d'une infirmité congénitale, d'une maladie ou d'un accident. L'assuré a droit à une rente d'invalidité si sa capacité de gain ou sa capacité d'accomplir ses travaux habituels ne peut pas être rétablie, maintenue ou améliorée par des mesures de réadaptation raisonnablement exigibles, s'il a présenté une incapacité de travail d'au moins 40 % en moyenne durant une année sans interruption notable et si au terme de cette année, il est invalide à 40 % au moins (art. 28 al. 1 LAI; voir également art. 29 al. 1 let. b LAI, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007).
4.1 Selon l'art. 8 al. 1 LPGA (et 4 al. 1 LAI), est réputée invalidité l'incapacité de gain totale ou partielle, présumée permanente ou de longue durée, qui résulte d'une atteinte à la santé physique, mentale ou psychique, provenant d'une infirmité congénitale, d'une maladie ou d'un accident. L'assuré a droit à une rente d'invalidité si sa capacité de gain ou sa capacité d'accomplir ses travaux habituels ne peut pas être rétablie, maintenue ou améliorée par des mesures de réadaptation raisonnablement exigibles, s'il a présenté une incapacité de travail d'au moins 40 % en moyenne durant une année sans interruption notable et si au terme de cette année, il est invalide à 40 % au moins (art. 28 al. 1 LAI; voir également art. 29 al. 1 let. b LAI, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007).
4.2 4.2.1 En vertu de l'art. 36 al. 1 LAI, ont droit à une rente ordinaire de l'assurance-invalidité les assurés qui, lors de la survenance de l'invalidité, comptent une année entière au moins de cotisations (depuis le 1er janvier 2008: trois années).
4.2.2 En vertu des art. 39 al. 1 LAI et 42 al. 1 LAVS, le droit à une rente extraordinaire d'invalidité est réservé aux ressortissants suisses qui ont leur domicile et leur résidence habituelle en Suisse, s'ils ont le même nombre d'années d'assurance que les personnes de leur classe d'âge, mais n'ont pas droit à une rente ordinaire parce qu'ils n'ont pas été soumis à l'obligation de verser des cotisations pendant une année entière au moins. Selon l'art. 21 de la convention philippino-suisse de sécurité sociale, les ressortissants philippins ont droit aux rentes extraordinaires de l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité suisse aux mêmes conditions que les ressortissants suisses s'ils sont domiciliés en Suisse et si, immédiatement avant la date à partir de laquelle ils demandent la rente d'invalidité, ils ont séjourné en Suisse de manière ininterrompue pendant cinq ans au moins (par. 1 let. b). Les périodes durant lesquelles la personne concernée résidant en Suisse était dispensée de s'assurer auprès de l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité suisse ne sont pas prises en compte (par. 2 let. a; voir également ATF 120 V 405 consid. 4b p. 410 et l'arrêt cité).
Une rente extraordinaire d'invalidité peut donc être allouée à un ressortissant philippin, aux mêmes conditions qu'un ressortissant suisse, si immédiatement avant la date à partir de laquelle il demande la rente (et non pas immédiatement avant la survenance de l'événement assuré), il a séjourné de manière ininterrompue en Suisse pendant la période de carence prévue dans la loi. Si tel est le cas, il peut acquérir un droit à une rente extraordinaire, dès lors que l'invalidité est survenue avant l'accomplissement de sa 21ème année (jusqu'au 31 décembre 2007), respectivement de sa 23ème année (à compter du 1er janvier 2008) et qu'il n'a pas pu cotiser, sans faute de sa part, durant la période minimale (ATF 131 V 390 consid. 7.3.1 p. 402; arrêt I 810/05 du 5 février 2007 consid. 6.3; voir le Message du 5 mars 1990 concernant la 10ème révision de l'assurance-vieillesse et survivants, FF 1990 II 99; voir également Edgar Imhof, Ausländer/innen von ausserhalb der EU/EFTA und Sozialversicherungen - ein Überblick, RSAS 50/2006, n° 24 p. 447).
4.2.3 En vertu de l'art. 39 al. 3 LAI, ont également droit à une rente extraordinaire les invalides étrangers et apatrides qui remplissaient comme enfants les conditions fixées à l'art. 9 al. 3 LAI. D'après cette disposition, les ressortissants étrangers âgés de moins de 20 ans qui ont leur domicile et leur résidence habituelle en Suisse ont droit aux mesures de réadaptation s'ils remplissent eux-mêmes les conditions prévues à l'art. 6 al. 2 LAI ou si, lors de la survenance de l'invalidité, leur père ou mère compte, s'il s'agit d'une personne étrangère, au moins une année entière de cotisations ou dix ans de résidence ininterrompue en Suisse (let. a) et si eux-mêmes sont nés invalides en Suisse ou, lors de la survenance de l'invalidité, résidaient en Suisse sans interruption depuis une année au moins ou depuis leur naissance (let. b). Le but de l'art. 39 al. 3 LAI est de permettre aux invalides étrangers et apatrides domiciliés en Suisse, qui ont bénéficié ou auraient pu bénéficier de mesures de réadaptation de l'AI jusqu'à l'âge de leur majorité, de continuer à pouvoir bénéficier des prestations de l'assurance-invalidité au-delà de la majorité (BO 1967 CN 440; BO 1967 CE 303; voir également IMHOF, op. cit., p. 442 ). Dans ce sens, le chiffre 7104 des Directives concernant les rentes (DR) de l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité fédérale précise que les invalides étrangers et apatrides n'ont pas droit à une rente extraordinaire de l'AI lorsque, immédiatement avant l'accomplissement de leur 18ème année, ils ne pouvaient prétendre des prestations en nature, soit parce qu'ils n'étaient pas invalides au sens de la loi, soit parce qu'ils ne remplissaient pas les conditions d'assurance.
5. 5.1 En l'espèce, la juridiction cantonale a estimé que l'on ne se trouvait dans aucun des cas de figure décrits au considérant précédent. Les conditions du droit à une rente ordinaire n'étaient pas remplies, car le recourant ne comptait pas une année de cotisation au moment de la survenance de l'invalidité, soit au moment de l'accomplissement de ses 18 ans. Il en allait de même s'agissant du droit à une rente extraordinaire, qu'elle soit fondée sur l'art. 21 par. 1 de la convention philippino-suisse de sécurité sociale, le recourant ne comptant pas le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge au moment où il pouvait présenter pour la première fois une demande de rente, ou sur l'art. 39 al. 3 LAI, le recourant ne résidant pas en Suisse au moment de ses 18 ans.
5.2 Le recourant conteste le second point du jugement attaqué en faisant valoir que les premiers juges auraient violé le principe de l'égalité de traitement consacré à l'art. 4 par. 1 de la convention philippino-suisse de sécurité sociale. A son avis, il serait contraire audit principe d'exiger d'un ressortissant de nationalité philippine, invalide de naissance ou depuis son enfance, qu'il remplisse une condition - compter le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge au moment où il pourrait présenter pour la première fois une demande de rente - que les autorités n'exigeraient pas d'un ressortissant suisse placé dans la même situation.
6. 6.1 En substance, la juridiction cantonale a considéré d'une part que le moment auquel la personne intéressée devait compter le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge paraissait clairement être le moment où elle pouvait présenter pour la première fois une demande de rente extraordinaire. S'agissant d'un ressortissant des Philippines, celui-ci devait être fixé après 5 ans de résidence en Suisse, mais au plus tôt le 1er mars 2004 (entrée en vigueur de la convention). Elle a estimé d'autre part que l'exigence selon laquelle la personne intéressée devait compter le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge était seulement remplie dans le cas où elle avait été assurée dès le 1er janvier qui suivait la date où elle avait eu 20 ans révolus. Dans le cas du recourant, cette condition n'était pas réalisée, car il était au bénéfice jusqu'au 1er avril 2002 de privilèges et d'immunités relevant du droit international public.
6.2 Selon la jurisprudence du Tribunal fédéral, la réglementation de l'art. 42 al. 1 LAVS est directement discriminatoire en ce sens que cette disposition réserve le droit à une rente extraordinaire aux seuls ressortissants suisses. Les art. 4 par. 1 et 21 par. 1 de la convention philippino-suisse de sécurité sociale prévoient toutefois qu'une rente extraordinaire doit également être accordée à une personne de nationalité philippine aux mêmes conditions qu'une personne de nationalité suisse. Un ressortissant philippin, qui ne compte pas un nombre d'années d'assurance égal à celui des personnes de sa classe d'âge, ne subit en revanche aucune inégalité de traitement, car un ressortissant suisse se trouvant dans la même situation que lui, ne peut pas non plus prétendre à une rente extraordinaire (voir ATF 131 V 390 consid. 7.2 p. 401 et la référence).
6.3 Par ailleurs, le Tribunal fédéral a précisé que le refus d'octroyer une rente extraordinaire d'invalidité à une personne ne comptant pas le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge se justifiait par l'objectif poursuivi par ce genre de prestation et était conforme au principe de la proportionnalité. En exigeant que les personnes concernées aient le même nombre d'années d'assurance que les personnes de la classe d'âge, l'art. 42 al. 1 LAVS ne vise pas les requérants qui comptent une lacune de cotisations du fait de leur non-assujettissement à l'assurance pendant une certaine période de leur vie depuis le 1er janvier suivant la date où ils ont eu 20 ans révolus. Il vise des personnes qui, n'ayant pas encore atteint l'âge déterminant ou qui, tout en ayant été assujetties à l'assurance-invalidité suisse depuis cette limite d'âge, n'ont pas, avant la survenance du risque, cotisé du tout ou pendant une année, faute d'y avoir été obligées. Peuvent donc se voir allouer une rente extraordinaire d'invalidité exclusivement des personnes qui sont encore susceptibles d'atteindre une durée d'assurance complète, en vue de l'octroi d'une rente de vieillesse de l'AVS, jusqu'au 31 décembre précédant l'âge terme. Parallèlement, une rente ordinaire complète d'invalidité n'est allouée qu'à des personnes qui sont encore susceptibles d'atteindre une durée de cotisation (et par là-même d'assurance) complète en regard de la rente de vieillesse. Le but de la réglementation sur les rentes extraordinaires de l'AI est donc de ne pas pénaliser - parce qu'elles n'ont pas été tenues de payer des cotisations pendant une année avant la réalisation du risque - des personnes pouvant atteindre une durée d'assurance complète en vue de l'octroi d'une rente de vieillesse de l'AVS. La loi leur accorde une rente extraordinaire d'invalidité en principe égale au montant minimum d'une rente ordinaire complète. Elle les assimile aux personnes comptant le même nombre d'années de cotisations - d'une année entière au moins lors de la survenance du risque - (et donc aussi d'assurance) que les assurés de leur classe d'âge: ces personnes peuvent prétendre une rente ordinaire complète d'invalidité. Dans les deux cas, la prestation - sous forme soit de rente extraordinaire en principe égale au montant minimum d'une rente ordinaire complète, soit de rente ordinaire complète - tient compte d'une durée d'assurance complète (ATF 131 V 390 consid. 7.3.1 p. 402).
6.4 Les premiers juges ont retenu que le recourant n'a pas été assuré de façon ininterrompue à l'assurance-invalidité suisse depuis le 1er janvier suivant la date où il a eu 20 ans révolus, car il était au bénéfice jusqu'au 1er avril 2002 de privilèges et d'immunités relevant du droit international public. Cela étant, les faits retenus sont partiellement inexacts, de sorte qu'il convient de les corriger d'office (cf. supra consid. 1). A son retour en Suisse au mois de juillet 1996, le recourant s'est vu délivrer un permis spécial, appelé permis « Ci », l'autorisant à exercer une activité lucrative sur le territoire suisse. Le titulaire d'un permis « Ci » reste au bénéfice de l'ensemble des privilèges et immunités auxquels il a droit en qualité de membre de la famille d'un membre du personnel d'une mission permanente ou d'une organisation internationale, sauf en ce qui concerne son activité lucrative (voir également art. 1a al. 2 let. a LAVS en corrélation avec les art. 1b let. a RAVS et 22 al. 4 de l'ordonnance du 7 décembre 2007 relative à la loi fédérale sur les privilèges, les immunités et les facilités, ainsi que sur les aides financières accordés par la Suisse en tant qu'Etat hôte [OLEH; RS 191.121]). Pour autant qu'il ne bénéficie pas de prestations de l'assurance-chômage, le titulaire d'un permis « Ci » n'est par conséquent pas assuré à l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité durant les périodes où il n'exerce pas d'activité lucrative. Ainsi que cela ressort de son compte individuel, le recourant a travaillé par intermittence entre 1996 et 2002 sans avoir été mis au bénéfice de prestations de l'assurance-chômage durant les périodes chômées. Compte tenu du caractère irrégulier de l'activité lucrative et de l'absence d'assujettissement aux assurances sociales suisses durant les périodes chômées, il ne compte effectivement pas le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge et ne remplit pas les conditions de l'art. 42 al. 1 LAVS. Le jugement attaqué doit par conséquent être confirmé dans son résultat sur ce point.
7. Il n'y a pas lieu d'examiner les autres points tranchés par le jugement entrepris, puisqu'ils ne sont pas remis en cause par le recourant.
8. Mal fondé, le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1, 1ère phrase, LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 avril 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Cretton