Sachverhalt:
A. X._ wurde am 23. März 2010 in Abänderung einer früheren Eheschutzverfügung vom Bezirksgerichtspräsidium Weinfelden unter anderem verpflichtet, seiner Ehefrau Y._ monatliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 550.-- vom 1. November 2009 bis 31. Januar 2010 und von Fr. 535.-- ab dem 1. Februar 2010 zu bezahlen. Der Unterhaltsbetrag für die gemeinsame Tochter A._ von monatlich Fr. 900.-- wurde bestätigt. Das massgebliche Einkommen von X._ berechnete das Bezirksgerichtspräsidium unter Einbezug von Ergänzungsleistungen von monatlich Fr. 1'038.-- vom 1. November 2009 bis 31. Januar 2010 bzw. von Fr. 1'191.-- ab 1. Februar 2010.
B. Ein gegen diese Verfügung von X._ erhobener Rekurs wurde vom Obergericht des Kantons Thurgau am 21. Juni 2010 abgewiesen.
C. Am 26. August 2010 hat das Amt für AHV und IV des Kantons Thurgau (Beschwerdeführer bzw. Amt) gegen diesen Entscheid Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Es beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Rückweisung zur Neuberechnung der Unterhaltsbeiträge ohne Berücksichtigung der gewährten Ergänzungsleistungen.
In einem Schreiben vom 27. August 2010 hat der Rechtsvertreter von X._ dem Bundesgericht mitgeteilt, sowohl dieser wie auch dessen Amtsvormund seien mit der Beschwerde einverstanden und legitimierten sie als im Namen von X._ eingereicht, dies unter dem Vorbehalt, dass für X._ keine Kostenfolgen entstehen dürften. Vorsorglich ersucht er um unentgeltliche Prozessführung.
Vernehmlassungen sind keine eingeholt worden. Im Rahmen des Aktenbeizugs beantragt das Obergericht des Kantons Thurgau unaufgefordert, auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 133 III 489 E. 3 mit Hinweis; 134 III 115 E. 1 S. 117 mit Hinweisen). Da die Beschwerde allerdings hinreichend zu begründen ist (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), muss der Beschwerdeführer die Erfüllung der gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen darlegen. Soweit ihr Vorliegen nicht auf der Hand liegt, hat das Bundesgericht nicht die Pflicht, anhand der Akten nachzuforschen, ob und inwiefern der Beschwerdeführer zur Beschwerde zuzulassen ist (BGE 133 II 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404; je mit Hinweis).
1.1 Gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerdeführung berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und zudem ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids aufweist (lit. b). Gegen Entscheide gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG steht das Beschwerderecht auch der Bundeskanzlei, den Departementen des Bundes oder, soweit Bundesrecht es vorsieht, den ihnen unterstellten Dienststellen zu, wenn der angefochtene Entscheid die Bundesgesetzgebung in ihrem Aufgabenbereich verletzen kann (Art. 76 Abs. 2 BGG).
1.2 Das Amt behauptet zwar das Vorliegen eines rechtlich geschützten Interesses, begründet dieses aber nicht. Materiell bezweckt das Amt eine Neuberechnung der familienrechtlichen Unterhaltszahlungen ohne Berücksichtigung der Ergänzungsleistungen des Unterhaltspflichtigen. Nach Ausführungen des Amtes würden andernfalls die Ergänzungsleistungen im Ergebnis dazu missbraucht, den Unterhalt von Personen mitzufinanzieren, die nicht in die Anspruchsberechnung einbezogen seien. Zudem müssten die überhöhten Unterhaltszahlungen bei einer neuen Berechnung der Ergänzungsleistungen als Ausgabe anerkannt werden (Art. 10 Abs. 3 lit. e ELG [SR 831.30]), was zur Erhöhung der Leistungen führen würde.
Das Amt will mit der Beschwerde demnach eine künftige Erhöhung der Ergänzungsleistungen von X._ verhindern; es nimmt somit eigene finanzielle Interessen wahr. Dieses Eigeninteresse ist aber rechtlich nicht geschützt, denn es ist weder ersichtlich noch dargetan, inwiefern damit ein eigener Rechtsanspruch gegenüber den Beschwerdegegnern geltend gemacht wird bzw. inwieweit sich die Beschwerde auf Rechtsnormen stützt, welche die Wahrung dieses finanziellen Interesses zum Ziel haben (vgl. Bernard Corboz, in: Commentaire de la LTF, 2009, N. 30 zu Art. 76 BGG; Urteil 4A_207/2008 vom 23. September 2008 E. 1.1). Ein rechtlich geschütztes Interesse an der Herabsetzung der Unterhaltsverpflichtung käme X._ als Unterhaltsschuldner zu. Zur Wahrung fremder, privatrechtlicher Interessen in eigenem Namen ist das Amt jedoch nicht legitimiert. Schliesslich vermag auch Art. 76 Abs. 2 BGG dem Amt keine Beschwerdeberechtigung zu verschaffen, weil es weder Bundesbehörde im Sinne dieser Norm ist noch ein Anfechtungsobjekt aus dem Gebiet von Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG vorliegt. Auf die Beschwerde des Amtes ist folglich nicht einzutreten.
1.3 X._ hat innerhalb der Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) das Handeln des Amtes unterstützt. Es ist zu untersuchen, wie diese Stellungnahme zu qualifizieren ist.
1.3.1 In Zivil- und Strafsachen sind vor Bundesgericht nur Anwälte zur Vertretung zugelassen, die nach dem Bundesgesetz vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) oder nach einem Staatsvertrag berechtigt sind, Parteien vor schweizerischen Gerichtsbehörden zu vertreten (Art. 40 Abs. 1 BGG). Es gilt demnach ein Anwaltsmonopol zur Vertretung vor Bundesgericht. Besteht dieses Monopol, kann ein Nichtanwalt nicht durch nachträgliche Zustimmung des vollmachtlos Vertretenen zur Stellvertretung zugelassen werden (MAX GULDENER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 1979, S. 138). Im Übrigen hat das Amt gar nicht behauptet, im Namen von X._, d.h. als Vertreter, zu handeln. Es liegt mithin kein vollmachtloses Vertretungshandeln vor, welches genehmigt werden könnte. Aus all dem folgt, dass X._ dem Amt nicht nachträglich Vollmacht zur Beschwerde zu erteilen vermochte.
1.3.2 Es bleibt die Frage, ob X._ durch seine Erklärung an das Bundesgericht selber Beschwerde erhoben hat. Nach dem Wortlaut seines Schreibens erklärt er sich mit der fremden Beschwerde einverstanden und legitimiert diese als im eigenen Namen eingebracht. Er stellt jedoch weder selber Anträge in der Sache noch fügt er eine Begründung bei. Stattdessen schliesst er sich bloss der Beschwerde des Amtes, ihren Anträgen und ihrer Begründung an. Dies als eigene Beschwerdeerhebung aufzufassen, liefe auf eine Umgehung von Art. 40 Abs. 1 BGG hinaus, da es der Genehmigung des Handelns eines Nichtanwalts gleichkäme. Eine solche Umgehung ist unzulässig. Zudem entspricht es konstanter Rechtsprechung, dass die Beschwerdebegründung - und umso mehr die Anträge - in der Beschwerde selber enthalten sein müssen und der blosse Verweis auf andere Rechtsschriften oder Akten nicht ausreicht (BGE 133 II 396 E. 3.1 S. 400 mit Hinweisen). Schliesslich steht die Zustimmung von X._ zur Beschwerde des Amtes unter der Bedingung, dass ihm keine Kosten anfallen dürfen. Diese Bedingung ist durch das vorsorgliche Gesuch um unentgeltliche Prozessführung keineswegs aufgehoben. Das Gesuch könnte wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen werden und in diesem Fall würden ihm womöglich Kosten entstehen, und zwar allenfalls selbst bei Rückzug der Beschwerde (vgl. Art. 66 Abs. 2 BGG). Die bedingte Beschwerdeerhebung ist jedoch grundsätzlich unzulässig (BGE 134 III 332 E. 2 S. 333 ff. mit Hinweisen). Würde die Eingabe von X._ als Beschwerde aufgefasst, könnte auf sie nach dem Gesagten ganz offensichtlich nicht eingetreten werden. Sie ist somit nicht als (unzulässige) Beschwerde, sondern als zulässige, wenn auch unaufgeforderte Vernehmlassung aufzufassen. Diese bedarf keiner weiteren, materiellen Behandlung, da auf die Beschwerde des Amtes nicht eingetreten werden kann.
2. 2.1 Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt das Amt die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es hat zur Wahrung seiner Vermögensinteressen gehandelt (Art. 66 Abs. 4 BGG; vgl. BGE 133 V 642; Urteil 8C_594/2007 vom 10. März 2008 E. 7.1; Urteil 8C_67/2007 vom 25. September 2007 E. 6). Den Beschwerdegegnern ist kein entschädigungswürdiger Aufwand entstanden, weshalb keine Parteientschädigung zu sprechen ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
2.2 Da X._ keine Gerichtskosten trägt, ist sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege insoweit gegenstandslos. Was die Parteikosten für die Vernehmlassung betrifft, so ist eine Abweisung des Gesuchs bereits deshalb gerechtfertigt, weil seine Stellungnahme unaufgefordert ergangen ist (Art. 64 Abs. 2 BGG; CORBOZ, a.a.O., N. 57 zu Art. 64 BGG). Dazu kommt, dass sich die Stellungnahme inhaltlich als aussichtslos erwiesen hat, da sie nicht geeignet war, den Standpunkt des Amtes zu stützen (Art. 64 Abs. 1 BGG). In dieser Beziehung ist das Gesuch abzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch von X._ um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht als gegenstandslos abzuschreiben ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Amt für AHV und IV des Kantons Thurgau auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. November 2010
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Zingg