Sachverhalt:
A. A.a Am 24. September 2010 liess das Betreibungsamt Zürich 11 die Zahlungsbefehle in den vom Staat A._ und von der Stadt A._ eingeleiteten Betreibungen Nrn. 1 und 2 im Schweizerischen Handelsamtsblatt und im Amtsblatt des Kantons Zürich publizieren, nachdem die persönlichen und polizeilichen Zustellversuche an X._ nicht erfolgreich waren. Es wurde kein Rechtsvorschlag erhoben. Die daraufhin ausgestellten Pfändungsankündigungen konnten dem Vertreter des Betriebenen am 25. November 2010 im Amtslokal des Betreibungsamtes ausgehändigt werden.
A.b Am 30. November 2010 stellte X._ beim Bezirksgericht Zürich als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde über Betreibungsämter das Gesuch, die Frist für den Rechtsvorschlag in den Betreibungen Nr. 1 und 2 wieder herzustellen. Die Eingabe wurde sinngemäss als Beschwerde gegen die Zustellung durch öffentliche Bekanntmachung der beiden Zahlungsbefehle, eventualiter als Gesuch um Wiederherstellung der jeweiligen Rechtsvorschlagsfristen entgegengenommen und mit Beschluss vom 30. März 2011 insgesamt abgewiesen.
B. Hiergegen gelangte X._ am 5. Mai 2011 an das Obergericht des Kantons Zürich als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs und erneuerte seinen vor dem Bezirksgericht erhobenen Antrag. Mit Beschluss vom 9. Juni 2011 trat das Obergericht auf die Beschwerde wegen Verspätung nicht ein.
C. X._ ist mit Beschwerde vom 30. Juni 2011 und einer Ergänzung vom 19. Juli 2011 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des Beschlusses der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz. Zudem begehrt er die Gewährung der aufschiebenden Wirkung, welchem Gesuch sich das Betreibungsamt sowie der Staat Zürich und die Stadt Zürich als Beschwerdegegner widersetzen.
Mit Verfügung vom 5. September 2011 gewährte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung.
In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden. Mit der Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung haben sich das Betreibungsamt und die Beschwerdegegner unaufgefordert zur Beschwerde vernehmen lassen.
Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden über Verfügungen der Vollstreckungsorgane gemäss Art. 17 SchKG unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG i.V.m. Art. 19 SchKG). Sie ist unabhängig von einer gesetzlichen Streitwertgrenze gegeben (Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Die Beschwerde vom 30. Juni 2011 gegen die verfahrensabschliessende Entscheidung (Art. 90 BGG) ist innert zehntägiger Frist erhoben worden (Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG) und grundsätzlich zulässig. Nicht berücksichtigt wird hingegen die nach Ablauf der Beschwerdefrist nachgereichte Ergänzung vom 19. Juli 2011.
1.2 Mit der Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und kantonalen verfassungsmässigen Rechte geltend gemacht werden (Art. 95 BGG). Die Feststellung des Sachverhaltes kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels überdies für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Ansonsten ist der vorinstanzlich festgestellte Sachverhalt für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Die Ausführungen zur Rechtskraft der in Betreibung gesetzten Forderungen und das Begehren, hierzu das Steueramt Zürich zu befragen, bleiben daher unberücksichtigt.
1.3 Die Beschwerde ist zu begründen (Art. 42 Abs. 1 BGG). Es ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides auseinandersetzt. Ansonsten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Wird die Verletzung des Willkürverbotes geltend gemacht, so ist nach Art. 106 Abs. 2 BGG im Einzelnen darzulegen, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.).
2. Anlass zum vorliegenden Verfahren bildet einzig die Frage der Rechtzeitigkeit der Beschwerde an die Vorinstanz als obere kantonale Aufsichtsbehörde.
2.1 Der Entscheid einer unteren kantonalen Aufsichtsbehörde kann innert zehn Tagen nach der Eröffnung an die obere kantonale Aufsichtsbehörde weitergezogen werden (Art. 18 Abs. 1 SchKG). Das Verfahren richtet sich nach den Bestimmungen des Bundesrechts (Art. 20a Abs. 2 SchKG), einschliesslich der verfassungsmässigen Vorgaben; im Übrigen regeln die Kantone das Verfahren (Art. 20a Abs. 3 SchKG; vgl. Urteil 5A_125/2011 vom 13. April 2011 E. 3 Ingress). Die seit dem 1. Januar 2011 in Kraft stehende schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO, SR 272) regelt das Verfahren vor den kantonalen Instanzen für die gerichtlichen Angelegenheiten des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts (Art. 1 lit. c ZPO). Die betreibungsrechtliche Beschwerde (Art. 17 f. SchKG) steht indessen ausserhalb der ZPO (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur ZPO, BBl 2006 7221, Ziff. 5.1, S. 7258). Ob für die Fristwahrung im kantonalen Beschwerdeverfahren die Betreibungsferien gelten, richtet sich seit jeher ausschliesslich nach den hiefür aufgestellten Regeln (Art. 56 Ziff. 2 und Art. 63 SchKG), was der Gesetzgeber jüngst noch bekräftigt hat (Art. 145 Abs. 4 ZPO).
2.2 Gegenstand des kantonalen Beschwerdeverfahrens bildete vorab die Zustellung von zwei Zahlungsbefehlen durch öffentliche Bekanntmachung (Ediktalzustellung). Die untere Aufsichtsbehörde sah die hierfür geltenden Voraussetzungen im konkreten Fall als gegeben an (Art. 66 Abs. 4 Ziff. 2 SchKG). Im Weiteren erblickte sie in den Vorbringen des Beschwerdeführers keinen Grund, die Frist für die Erhebung des Rechtsvorschlages in den beiden Betreibungen wieder herzustellen (Art. 33 Abs. 4 SchKG). Die Beschwerde des Betriebenen wurde daher mit Beschluss vom 30. März 2011 abgewiesen. Die Zustellung an ihn erfolgte am 7. April 2011. Am 5. Mai 2011 wandte sich der Beschwerdeführer an die obere kantonale Aufsichtsbehörde, welche seine Eingabe als verspätet erachtete und darauf nicht eintrat.
2.3 Soweit der Beschwerdeführer meint, "die Begründung der Ediktalzustellung sei Gegenstand des Gesuchs um Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist" und daher gelte für die Anfechtung des erstinstanzlichen Beschlusses in beiden Fällen aufgrund der Betreibungsferien der Friststillstand samt Fristverlängerung um drei Tage, kann ihm nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz hat die Frage der fristgerechten Anfechtung der Ediktalzustellung zu Recht von derjenigen des fristgerechten Gesuchs um Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist getrennt und gesondert beantwortet. Diese Betrachtungsweise ergibt sich aus der einlässlichen Begründung des angefochtenen Entscheides. Ebenso ist die Erstinstanz verfahren, womit kein "neuer Sachverhalt" vorliegt, wie der Beschwerdeführer behauptet, und daher auch kein Anlass bestanden hatte, den Beschwerdeführer in dieser Hinsicht eigens zur Stellungnahme einzuladen. Von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) kann daher keine Rede sein.
2.4 Die Vorinstanz ist zum Schluss gekommen, dass in der Beurteilung der Beschwerde gegen die Ediktalzustellung durch die untere kantonale Aufsichtsbehörde keine Betreibungshandlung liege und daher weder die Vorschriften über die Betreibungsferien (Art. 56 SchKG) noch über die Fristverlängerung (Art. 63 SchKG) zur Anwendung kommen. Damit erweise sich die Beschwerde hierüber als verspätet. Die Abweisung des Gesuchs um Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist durch die untere Aufsichtsbehörde hat die Vorinstanz zwar als Betreibungshandlung qualifiziert. Sie hat aber offen gelassen, ob die Rechtsmittelfrist sich aufgrund von Art. 63 SchKG um drei Tage verlängere. Da die Betreibungsferien mit dem Sonntag nach Ostern enden, konkret am 1. Mai 2011, hätte die Verlängerung des Fristenlaufs um drei Tage die Einreichung der Beschwerde am 4. Mai 2011 und nicht erst am 5. Mai 2011 erfordert, wie der Beschwerdeführer meine.
2.5 Eine Betreibungshandlung im Sinne von Art. 56 SchKG liegt allgemein nur vor, wenn eine Amtshandlung der hierfür zuständigen Behörde den Betreibenden seinem Ziel näherbringt und in die Rechtsstellung des Betriebenen eingreift (BGE 121 III 88 E. 6c/aa S. 91; vgl. AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 8. Aufl. 2008, § 11 Rz. 40; GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, Bd. I, 1999, N. 28 f. zu Art. 56). Nach ständiger Rechtsprechung stellen Entscheide der Aufsichtsbehörden, die sich bloss über die Begründetheit einer Beschwerde aussprechen, ohne den Vollstreckungsorganen eine bestimmte Betreibungshandlung vorzuschreiben oder eine solche selbst anzuordnen, keine Betreibungshandlung dar, welche dem Rechtsstillstand nach Art. 56 SchKG unterliegt (BGE 117 III 4 E. 3 S. 5; 121 III 88 E. 6c/aa S. 91; Urteil 5A_550/2007 E. 3.3 vom 28. November 2007 E. 3.3, in: Pra 2008 Nr. 29 S. 218). Dies wird vom Beschwerdeführer denn auch nicht wirklich in Frage gestellt. Soweit die Zulässigkeit der Ediktalzustellung Gegenstand des kantonalen Verfahrens bildete, hat die Vorinstanz daher die Beschwerde gegen den erstinstanzlichen Beschluss zu Recht als verspätet erachtet. Ihr Nichteintretensentscheid verletzt insoweit kein Bundesrecht.
2.6 Die Abweisung des Gesuchs um Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist hatte keine Anweisungen an das Betreibungsamt zur Folge, welche die laufenden Betreibungsverfahren beeinflusst hätten. Insbesondere sind die weitern Vollstreckungsmassnahmen gerade nicht gestoppt worden, sondern es wird bestätigt, dass der Fortsetzung der Betreibungen nichts (u.a. kein Rechtsvorschlag) entgegensteht. Durch die Zustellung des abweisenden Gesuchsentscheides an den Schuldner wird das Betreibungsverfahren nicht in ein vorgerückteres Stadium gebracht (vgl. JAEGER, Schuldbetreibung und Konkurs, Bd. I, 1911, N. 3 zu Art. 56, S. 122, ohne Erwähnung von aArt. 77 SchKG, welcher Art. 33 Abs. 4 SchKG entspricht [Botschaft vom 8. Mai 1991 über die Änderung des SchKG, BBl 1991 III 1, Ziff. 202.73, S. 64]; a.M. WYSSEN, Geschlossene Zeiten, Betreibungsferien und Rechtsstillstand, Art. 56 ff. SchKG, 1995, S. 58). Damit stellt der Beschluss der unteren kantonalen Aufsichtsbehörde auch in diesem Punkt keine Betreibungshandlung dar. Daher durfte die Vorinstanz auf die dagegen erhobene Beschwerde nicht eintreten, ohne Bundesrecht zu verletzen.
3. Nach dem Gesagten ist der Beschwerde insgesamt kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegner sind mit ihrem Antrag auf Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung unterlegen. Eine Parteientschädigung ist ihnen daher nicht zuzusprechen, zumal ihnen im weiteren bundesgerichtlichen Verfahren keine ersatzpflichtigen Kosten entstanden sind.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Oktober 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Levante