Sachverhalt:
A. In der von X._, Inhaber der Einzelfirma Y._, gegen A._ eingeleiteten Betreibung Nr. 1 verlangte das Betreibungsamt Z._ mit Verfügung vom 19. März 2008 einen Kostenvorschuss von Fr. 100.-- für die Ausstellung des Zahlungsbefehls.
Mit Eingabe vom 31. März 2008 erhob X._ Beschwerde beim Gerichtspräsidium B._ als unterer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen und beantragte, er sei von "sämtliche[n] Verfahrenskosten, Gebühren und Kostenvorschüssen" zu befreien.
Der Gerichtspräsident wies die Beschwerde am 21. April 2008 ab. X._ zog dieses Urteil an das Obergericht (Schuldbetreibungs- und Konkurskommission) des Kantons Aargau als obere kantonale Aufsichtsbehörde weiter, das die Beschwerde am 13. Januar 2009 seinerseits abwies. Diesen Entscheid nahm X._ am 21. Januar 2009 in Empfang.
B. Mit Eingabe vom 31. Januar 2009 führt X._ Beschwerde an das Bundesgericht und verlangt, er sei von "sämtlichen Betreibungskostenvorschüssen" zu befreien. Ausserdem ersucht er darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und eine Parteientschädigung zuzusprechen.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Der letztinstanzliche Entscheid über ein Armenrechtsgesuch stellt einen Zwischenentscheid dar, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (dazu BGE 129 I 129 E. 1.1 S. 131 mit Hinweisen) im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG bewirken kann. Bei einem Zwischenentscheid folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache - vorliegend eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache. Gegen Entscheide auf diesem Gebiet, die - wie hier - von der kantonalen Aufsichtsbehörde gefällt wurden, steht unabhängig eines Streitwerts die Beschwerde in Zivilsachen offen (Art. 72 Abs. 2 lit. a und Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG; BGE 133 III 350 E. 1.2 S. 351). Die vom 31. Januar 2009 datierte Beschwerde ist am 2. Februar 2009 (Montag) und damit rechtzeitig zur Post gebracht worden, zumal der letzte Tag der am 21. Januar 2009 ausgelösten Frist von zehn Tagen (Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG), der 31. Januar 2009, auf einen Samstag gefallen war (Art. 45 Abs. 1 BGG).
1.2 Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG), worunter auch verfassungsmässige Rechte des Bundes fallen (BGE 133 III 446 E. 3.1 S. 447; 133 I 201 E. 1 S. 203). In der Begründung der Beschwerde ist darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletze (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet wird (Art. 106 Abs. 2 BGG).
2. Soweit der Beschwerdeführer schon im kantonalen Verfahren mehr verlangt hatte als die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Sinne einer Befreiung von der Vorschusspflicht für die Ausstellung des Zahlungsbefehls in der Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamtes Z._, ist die Vorinstanz zu Recht auf sein Begehren nicht eingegangen. Für weitere Verfahrensschritte in der genannten Betreibung oder für andere Betreibungsverfahren wären gegebenenfalls neue Armenrechtsgesuche zu stellen.
3. 3.1 Mit der unteren kantonalen Aufsichtsbehörde hat das Obergericht die Abweisung des Armenrechtsgesuchs damit begründet, dass es sich bei den als Kostenvorschuss für den Zahlungsbefehl verlangten Fr. 100.-- um einen bescheidenen Betrag handle, der den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nicht rechtfertige. Es fügt bei, dass der Beschwerdeführer, auch wenn er in finanziell knappen Verhältnissen lebe, in der Lage sei, einen Kostenvorschuss von Fr. 100.-- zu zahlen, was sich schon daraus ergebe, dass er offenbar in anderen Verfahren derartige Kostenvorschüsse bezahlt habe.
3.2 Der Beschwerdeführer rügt, das Obergericht habe seine Beschwerde aufgrund falscher Tatsachen in aktenwidriger und willkürlicher Weise abgewiesen. Er sei bedürftig und lebe unter dem Existenzminimum, was von der Vorinstanz, die von "knappen Verhältnissen" spreche, verharmlost werde. Seit Juni 2007 habe er beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich eine Beschwerde hängig, weshalb er Fr. 502.-- weniger ausbezahlt erhalten habe und unter dem Existenzminimum lebe. Sodann erwecke der angefochtene Entscheid den Anschein, dass es nur um einen einzigen Zahlungsbefehl gehe. Tatsache sei aber, dass er mit seiner Einzelfirma mehrere Debitorenprozesse habe führen müssen, woraus im Jahr zehn bis zwanzig Verlustscheine resultiert hätten bzw. resultierten. Mithin habe er jährlich zehn- bis zwanzigmal die Zahlungsbefehlskosten vorzuschiessen. Zu den Betreibungskosten von Fr. 100.-- kämen dann jeweils auch noch Inkassokosten, Auslagen, Bearbeitungsgebühren und anderes hinzu, was im Jahr mehrere Tausend Franken ausmache.
4. Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege hat gemäss Art. 29 Abs. 3 BV jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und deren Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint.
4.1 Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege (Befreiung von der Pflicht zur Leistung des Kostenvorschusses für den Zahlungsbefehl) beruht hier letztlich auf der Verneinung der Bedürftigkeit des Beschwerdeführers. Bedürftig im Sinne der genannten Verfassungsbestimmung ist, wer die Kosten eines Verfahrens nur erbringen kann, wenn er die zur Deckung des Grundbedarfs für sich und seine Familie benötigten Mittel angreift (BGE 128 I 225 E. 2.5.1 S. 232; 125 IV 161 E. 4a S. 164, mit Hinweisen). Zu diesem Existenzminimum gehört, was zur Führung eines bescheidenen, aber menschenwürdigen Lebens laufend erforderlich ist. Es umfasst mit anderen Worten insbesondere die Aufwendungen für Wohnung, Kleidung, Ernährung, Gesundheitspflege, Versicherungen und Steuern; nicht darunter fällt hingegen die gewöhnliche Tilgung angehäufter Schulden (Urteil des Bundesgerichts 5C.256/2006 vom 21. Juni 2007 E. 6.1.1).
4.2 Was in der Beschwerde vorgebracht wird, ist nicht geeignet, den angefochtenen Entscheid als verfassungswidrig erscheinen zu lassen: Der Feststellung, es handle sich bei dem vom Betreibungsamt verlangten Kostenvorschuss von Fr. 100.-- um einen bescheidenen Betrag, widerspricht der Beschwerdeführer nicht. Da er seine Einkünfte und namentlich seinen Grundbedarf nicht im Einzelnen offen gelegt hat, ist auch nicht ersichtlich, wie sich die Bezahlung eines Betrags der genannten Höhe auf seine finanziellen Verhältnisse auswirkt. Der Hinweis auf eine grössere Zahl von Verlustscheinen, die aus mehreren von ihm geführten Debitorenprozessen resultiert hätten, ist unbehelflich. Der Beschwerdeführer spricht damit offensichtlich die Einleitung künftiger (Verlustscheins-)Betreibungen und das Anfallen weiterer Kostenvorschüsse an. Damit verkennt er, dass nach der dargelegten Rechtsprechung bei der Ermittlung des prozessrechtlichen Notbedarfs Auslagen, die im Zusammenhang mit anderen (Gerichts-)Verfahren anfallen, ausser Acht zu bleiben haben. Die ebenfalls geltend gemachten Inkassokosten und weiteren Auslagen werden in keiner Weise substantiiert. Es ist daher von vornherein nicht zu erörtern, ob und inwieweit solche Aufwendungen - etwa im Sinne von Berufsauslagen (dazu Alfred Bühler, Betreibungs- und prozessrechtliches Existenzminimum, in: AJP 2002, S. 649 f.) - bei der Ermittlung des Grundbedarfs allenfalls von Belang sein könnten.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Sie erschien unter den dargelegten Umständen von vornherein als aussichtslos. Das Gesuch des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, ist daher abzuweisen (vgl. Art. 64 Abs. 1 BGG), und es sind die Gerichtskosten ausgangsgemäss dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt Z._ und dem Obergericht (Schuldbetreibungs- und Konkurskommission) des Kantons Aargau als oberer betreibungsrechtlicher Aufsichtsbehörde schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Gysel