Sachverhalt:
A. In einem Beschwerdeverfahren betreffend Löschung aus dem liechtensteinischen Mehrwertsteuer-Register gelangte die X._, die ihren Sitz in A._ hat, gegen das Urteil des Verwaltungsgerichtshofs des Fürstentums Liechtenstein vom 29. März 2007 an das Bundesgericht. Dieses wies mit Urteil vom 8. Januar 2008 (zugestellt am 16. September 2008) die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ab, soweit es darauf eintrat (Verfahren 2C_195/ 2007).
B. Am 15. Oktober 2008 reichte die X._ beim Bundesgericht ein Revisionsgesuch ein. Sie beantragt, "auf die Revision sei einzutreten, sie sei gutzuheissen und das Urteil des Schweizerischen Bundesgerichts vom 8. Januar 2008 zu 2C_195/2007 sei dahingehend abzuändern, dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichtshofes des Fürstentums Liechtenstein vom 29. März 2007 zu VGH 2007/3 dahingehend abgeändert wird, dass der Säumnisbeschwerde der Beschwerdeführerin vom 16. Januar 2007 Folge gegeben und die angefochtene Verfügung der Liechtensteinischen Steuerverwaltung vom 6. Juni 2005 dahingehend abgeändert wird, dass sie wie folgt lautet: [es folgt eine Aufzählung der beantragten steuerbaren Entgelte resp. der Vorsteuern der Beschwerdeführerin vom 3. Quartal 2001 bis und mit 4. Quartal 2004]".
Im Eventualantrag beantragt die Gesuchstellerin Gutheissung und Abänderung des bundesgerichtlichen Urteils vom 8. Januar 2008 sowie Rückweisung zu neuem Entscheid. Dabei soll insbesondere die Frage der Prüfung des Optionsgesuches durch den Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein bzw. subeventuell durch die Liechtensteinische Steuerverwaltung neu geprüft werden.
C. Die Steuerverwaltung des Fürstentums Liechtenstein beantragt die Abweisung des Revisionsgesuchs und die Bestätigung des bundesgerichtlichen Urteils. Den gleichen Antrag stellt die Eidgenössische Steuerverwaltung, Hauptabteilung Mehrwertsteuer. Der Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein verzichtet auf eine Vernehmlassung.
In ihrer unaufgefordert eingereichten, als "Replik" bezeichneten Eingabe vom 9. Februar 2009 hält die Gesuchstellerin an den gestellten Anträgen fest.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Revision eines Bundesgerichtsurteils kann unter anderem verlangt werden, wenn das Bundesgericht einzelne Anträge unbeurteilt liess (Art. 121 lit. c BGG) oder in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (Art. 121 lit. d BGG). Findet das Bundesgericht, dass ein Revisionsgrund zutrifft, so hebt es den früheren Entscheid auf und entscheidet neu (Art. 128 Abs. 1 BGG). Revisionsbegehren gestützt auf Art. 121 lit. c und d BGG sind innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheides beim Bundesgericht einzureichen (Art. 124 Abs. 1 lit. b BGG).
1.2 Das Revisionsgesuch wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist und Form von einer durch das Urteil des Bundesgerichts besonders betroffenen Partei mit einem aktuellen Rechtschutzinteresse an dessen Aufhebung oder Änderung eingereicht. Auf die frist- und formgerecht eingereichte Eingabe ist demnach einzutreten.
2. 2.1 Letztinstanzliche liechtensteinische Entscheidungen über materielle Vorschriften der Mehrwertsteuer können ausschliesslich "in Bezug auf Rechtsfragen" beim Bundesgericht angefochten werden (Art. 11 der Vereinbarung vom 28. November 1994 zwischen der Schweizerischen Eidgenossenschaft und dem Fürstentum Liechtenstein zum Vertrag betreffend die Mehrwertsteuer im Fürstentum Liechtenstein [SR 0.641.295.142.1]). Eine Sachverhaltsprüfung steht dem Bundesgericht somit nicht zu, auch nicht in dem durch Art. 97 BGG eingeschränkten Rahmen.
2.2 Liegt ein Revisionsgrund nach Art. 121 lit. c BGG vor, so hat das Bundesgericht die von den Parteien gestellten Anträge in der Sache oder, soweit dies zulässig ist, bezüglich der Beweisführung zu behandeln. Nicht zu den Anträgen gehören die einzelnen Parteivorbringen (ELISABETH ESCHER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N 8 zu Art. 121 BGG).
Die Gesuchstellerin macht vorab geltend, es seien "einzelne Anträge, nämlich das Optionsgesuch, unbeurteilt geblieben". Aus den Akten ergibt sich jedoch klar, dass die Gesuchstellerin im Beschwerdeverfahren 2C_195/2007 in ihrer Beschwerdeschrift vom 3. Mai 2007 keinen Antrag auf Beurteilung eines Optionsgesuches für die subjektive Steuerpflicht durch das Bundesgericht gestellt hat. Ihre im Revisionsverfahren vorgetragene Rüge trifft deshalb nicht zu. Daraus ergibt sich, dass der Revisionsgrund gemäss Art. 121 lit. c BGG nicht gegeben ist.
2.3 Ein Revisionsgrund liegt auch dann vor, wenn das Gericht in den Akten liegende erheblichen Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (Art. 121 lit. d BGG). Ein solches Versehen ist dann gegeben, wenn beim bundesgerichtlichen Urteil eine Aktenstelle übergangen oder wenn diese unrichtig wahrgenommen wurde (BGE 115 II 399 E. 2a S. 400) und wenn sie überdies für die Entscheidfindung erheblich war (BGE 122 II 17 E. 3 S. 18 f.).
Die Gesuchstellerin macht geltend, das Bundesgericht habe aktenwidrig entschieden; es sei davon ausgegangen, aufgrund der vorhandenen Akten stehe nicht fest, ob überhaupt ein entsprechendes Optionsgesuch für die subjektive Steuerpflicht gestellt worden sei.
2.3.1 Aufgrund des Gesetzeswortlautes ist ein bundesgerichtliches Urteil nur dann in Revision zu ziehen, wenn das Gericht in den Akten liegende, erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Solche erhebliche Tatsachen sind im vorliegenden Fall nicht ersichtlich. Im bundesgerichtlichen Urteil vom 8. Januar 2008 wurde ausführlich dargelegt, weshalb die eingereichte Beschwerde abzuweisen war (vgl. insbesondere E. 2.1 bis 2.4). An dieser Begründung würde sich auch nichts ändern, wenn man das Ankreuzen der Frage nach freiwilliger Unterstellung als Stellen eines Optionsgesuchs verstehen wollte, weshalb es sich nicht um eine für das Verfahren wesentliche Tatsache handelt.
Hinzu kommt, dass die Gesuchstellerin bis zur Einleitung des Revisionsverfahrens nie geltend gemacht hat, dass von ihr bereits mit der Anmeldung als Mehrwertsteuerpflichtige bei der Liechtensteinischen Steuerverwaltung ein "ausdrückliches" Optionsgesuch gestellt worden sei. Die Frage bildete demnach nicht Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens und kann aus diesem Grunde in einem Revisionsverfahren nicht neu eingebracht werden. Im Übrigen ist das Bundesgericht an die Tatsachenfeststellungen der Vorinstanz gebunden, beschränkt sich doch seine Beurteilung lediglich auf Rechtsfragen (vgl. E. 2.1).
2.3.2 Die vom Bundesgericht im Beschwerdeverfahren vorgenommene rechtliche Würdigung, wonach die Praxis des Fürstentums Liechtenstein für Holding- und Sitzgesellschaften eine freiwillige Unterstellung unter die Steuerpflicht nicht zulässt, stützt sich auf Art. 27 Abs. 1 des liechtensteinischen Gesetzes vom 16. Juni 2000 über die Mehrwertsteuer (MWSTG/FL; LGBL 2000, Nr. 163). Diese sieht eine Optionsmöglichkeit nur für die in Art. 25 Abs. 1 MWSTG/FL genannten Tatbestände vor, nicht aber für die Holdinggesellschaften nach Art. 25 Abs. 3 MWSTG/FL. Da es sich hierbei um eine Rechtsfrage handelt, ist eine Neubeurteilung im vorliegenden Revisionsverfahren nicht möglich, selbst wenn man diesbezüglich zu einem anderen Schluss kommen würde. Das Revisionsverfahren steht nicht zur Verfügung, um bloss eine als falsch erachtete rechtliche Beurteilung im gewünschten Sinn zu korrigieren. Eine Revision setzt stets voraus, dass einer der in Art. 121 ff. BGG genannten Revisionsgründe vorliegt. Ein solcher ist hier aber nicht gegeben, weshalb das Revisionsgesuch vollumfänglich abzuweisen ist.
3. Das Revisionsgesuch erweist sich nach dem Gesagten als unbegründet und ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Gesuchstellerin aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Es ist keine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Gesuchstellerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Gesuchstellerin, der Liechtensteinischen Steuerverwaltung, dem Verwaltungsgerichtshof des Fürstentums Liechtenstein und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Winiger