Faits :
A.
Par ordonnance pénale du 10 juillet 2012, B._, assisté par Me A._ en tant que défenseur privé, a été reconnu coupable de diffamation, de violation d'une obligation d'entretien, ainsi que d'enlèvement de mineur; il a été condamné à une peine pécuniaire de 150 jours-amende à 60 fr. le jour, avec sursis pendant deux ans, ainsi qu'au paiement d'une amende de 500 fr. Le prévenu a formé opposition contre cette décision le 23 juillet 2012.
Par courrier électronique reçu le 15 octobre 2013, B._ a indiqué au Ministère public du canton du Valais n'avoir plus les moyens de payer son mandataire et ne plus souhaiter être défendu par un avocat. Le lendemain, le Procureur a désigné Me A._ en qualité de défenseur d'office du prévenu, relevant en particulier que le second n'avait formulé aucun grief à l'encontre du premier; cette décision prenait effet ce même jour. Le 4 décembre 2013, le Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal du Valais a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, le recours intenté par Me A._ contre cette décision.
B.
Le 20 janvier 2014, Me A._ forme un recours en matière pénale contre ce jugement, concluant à son annulation.
Invités à se déterminer, le Ministère public n'a pas formulé d'observations, tandis que le Juge unique a conclu à l'irrecevabilité du recours. Le 21 février 2014, le recourant a persisté dans ses conclusions.
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement les conditions de recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 139 III 133 consid. 1 p. 133).
1.1. La décision entreprise a été rendue dans une cause pénale (art. 78 LTF) par une autorité statuant en dernière instance cantonale (art. 80 al. 1 LTF) et le recours en matière pénale est donc ouvert.
Portant au fond sur la nomination d'un avocat d'office, l'arrêt attaqué a un caractère incident, puisqu'il ne met pas un terme à la procédure. Le recours au Tribunal fédéral n'est dès lors recevable qu'aux conditions de l'art. 93 al. 1 let. a LTF; l'hypothèse posée à l'art. 93 al. 1 let. b LTF n'est pas réalisée en l'espèce. Cependant, en tant que le recours au Tribunal fédéral porte notamment sur la question de l'existence même d'un droit de recours au niveau cantonal, soit les points déclarés irrecevables par le Juge unique, il peut être entré en matière indépendamment de l'exigence d'un préjudice irréparable (ATF 138 IV 258 consid. 1.1 p. 261).
1.2. La cour cantonale a déclaré irrecevables les griefs relatifs aux allégations (1) de violation du droit d'être entendu au motif qu'aucun délai n'avait été imparti au prévenu pour désigner un nouveau mandataire, (2) de violation des règles de notification internationale et (3) de nomination du recourant en tant qu'avocat d'office de manière contraire à la volonté du prévenu. Elle a considéré en substance que les droits invoqués ne tendaient pas à défendre les intérêts de l'avocat en tant que tel, mais ceux des parties à la procédure et que, dès lors, le premier n'était pas directement lésé, ne pouvant ainsi se prévaloir d'un intérêt juridiquement protégé pour recourir.
Dans une telle situation, sans tenir compte du défaut de qualité pour agir dans la cause elle-même, la partie recourante peut faire valoir la violation de ses droits procéduraux si le fait de ne pas en avoir tenu compte constitue un déni de justice formel. L'intérêt juridiquement protégé qu'exige l'art. 81 al. 1 let. b LTF ne découle pas, dans cette situation, d'une légitimation sur le fond, mais bien d'un droit de participer à la procédure. Peuvent ainsi être invoqués tous les griefs qui sont de nature formelle et qui peuvent être séparés de l'examen de la cause au fond. Ne sont en revanche pas recevables les griefs qui visent quant au résultat un examen matériel de la décision attaquée et le recourant qui n'a pas qualité pour recourir ne peut dès lors ni critiquer l'appréciation des preuves, ni faire valoir une motivation insuffisante (ATF 136 IV 41 consid. 1.4 p. 44).
En l'occurrence, le recourant invoque une violation de la procédure imposée par l'art. 132 CPP et mentionne brièvement l'absence alléguée de notification conforme aux règles internationales en la matière. Ce faisant, le recourant - avocat qui agit en son propre nom et pour son propre compte - n'apporte aucun élément propre à démontrer sa qualité pour recourir au sens de l'art. 382 al. 1 CPP; il n'explique pas plus en quoi il serait personnellement touché par ces éventuelles violations des droits de procédure accordés aux parties elles-mêmes. Or, une partie qui n'est pas concrètement lésée par la décision ne possède pas la qualité pour recourir et son recours est irrecevable ( NIKLAUS OBERHOLZER, Grundzüge des Strafprozessrechts, 3 ème éd. 2012, n o 1561; PIQUEREZ/MACALUSO, Procédure pénale suisse, 3 ème éd. 2011, n o 1911). Certes le recourant semble soutenir que si son client avait été interpellé, celui-ci aurait refusé sa nomination en tant que défenseur d'office (cf. ses observations complémentaires p. 2). Le recourant n'avance cependant aucun élément permettant d'étayer cette affirmation. Il est en particulier relevé que le prévenu semble n'avoir mis un terme au mandat qu'en raison de sa situation financière (cf. les courriers électroniques du prévenu adressés au Ministère public et au recourant, ainsi que celui adressé par ce dernier à son client ["If I correctly understand your last letter, you confirm that you don't have enough income to pay for a laywer"]).
Dès lors que la motivation présentée dans le mémoire de recours traite uniquement de questions matérielles et non de celles relatives à la recevabilité devant l'autorité cantonale, le recourant ne dispose pas de la qualité pour recourir s'agissant de ces premiers points.
2.
La juridiction cantonale est en revanche entrée en matière sur un aspect du recours cantonal, soit la désignation du recourant en tant qu'avocat d'office. Elle a ainsi retenu que le recourant, inscrit au registre cantonal valaisan des avocats, ne pouvait refuser sa nomination aux motifs d'une divergence d'opinion alléguée quant à la stratégie à suivre, ainsi que des possibles notes d'honoraires en souffrance, ces dernières n'ayant d'ailleurs pas conduit le recourant à résilier son mandat préalablement au souhait du prévenu de ne plus être défendu par un avocat. Cette autorité a encore considéré que la désignation du recourant se justifiait pour des motifs d'économie de procédure.
En l'espèce, dans son mémoire de recours, le recourant ne développe aucune argumentation pour remettre en cause ce raisonnement fondé notamment sur l'art. 133 CPP; il relève même que "la contestation n'a pas trait à [sa] désignation [...] en tant que défenseur d'office, mais bien dans le respect de la procédure imposée par l'art. 132" CPP (cf. son mémoire p. 6). Ce faisant, le recourant ne discute pas les motifs de la décision entreprise et il paraît dès lors douteux que sa motivation suffise au regard des exigences posées par l'art. 42 al. 2 LTF pour entrer en matière (ATF 140 III 86 consid. 2 p. 88 s. et les nombreuses références citées). Toutefois, au vu de l'issue du litige, la question de la recevabilité du recours sur ce point peut rester ouverte.
En effet, le recourant est tenu par l'art. 12 let. g de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (LLCA; RS 935.61) d'accepter les défenses d'office et les mandats d'assistance judiciaire dans le canton au registre duquel il est inscrit. De plus, il ne fait valoir aucun motif qui pourrait justifier de ne pas le désigner en l'espèce. Ainsi, il a assuré la défense du prévenu à ce jour, connaissant le dossier de ce dernier; sa désignation est donc conforme au principe d'économie de procédure. Certes, dans ses secondes observations, il affirme que, si la procédure au sens de l'art. 132 CPP avait été respectée, son mandant aurait indiqué ne pas vouloir être défendu par ses soins. Toutefois, contrairement à ce que le recourant voudrait sous-entendre - qui n'allègue au demeurant plus devant le Tribunal de céans l'hypothèse d'une divergence d'opinion - et au regard des courriers électroniques mentionnés ci-dessus, le mandat paraît n'avoir été résilié que pour des raisons financières. Or, sans autre explication, de tels motifs n'empêchent pas le recourant d'assurer à l'avenir une défense d'office de son ancien client. Cela vaut d'autant plus que les factures alléguées impayées depuis plus d'un an et demi (cf. ad. 4 de la partie Faits du mémoire cantonal) ne l'ont pas amené à résilier son mandat préalablement; elles n'apparaissent ainsi pas constitutives d'un éventuel conflit d'intérêts. Au demeurant et à toutes fins utiles, la désignation d'un avocat d'office et l'obligation faite à l'avocat d'accepter sa nomination tendent à sauvegarder les droits et les intérêts du justiciable, le cas échéant, également contre lui-même ( BOHNET/ MARTENET, Droit de la profession d'avocat, 2009, n o 1656).
Partant, c'est à juste titre que le Juge unique a confirmé la décision du Ministère public désignant le recourant avocat d'office du prévenu B._.
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Le recourant qui succombe supporte les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Il n'est pas alloué de dépens.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'Office central du Ministère public du canton du Valais et au Juge unique de la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 26 mai 2014
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : La Greffière :
Fonjallaz Kropf