Erwägungen:
1. X._ klagte beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn gegen den Kanton Solothurn auf Bezahlung von Fr. 75'241.--. Mit Verfügung vom 5. November 2010 wies der Vizepräsident des Verwaltungsgerichts das Begehren des Klägers, es sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen, wegen Aussichtslosigkeit der Klage ab; zugleich wurde ihm Frist bis zum 26. November 2010 zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 3'000.-- angesetzt, unter Androhung des Nichteintretens auf die Klage bei Säumnis. Die Verfügung ist von X._ am 18. November 2010, einen Tag nach Ablauf der auf der Gerichtsurkunde vermerkten Abholfrist, entgegengenommen worden.
Am 10. Januar 2011 hat X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Verfügung des Verwaltungsgerichts erhoben. Da die Beschwerdefrist in Berücksichtigung von Art. 100 Abs. 1, Art. 44 Abs. 1, Art. 48 Abs. 1 sowie Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG spätestens am 3. Januar 2011 (allenfalls aber schon am 17. Dezember 2010, vgl. Art. 44 Abs. 2 BGG) abgelaufen und die Beschwerde mithin verspätet erhoben worden ist, ersucht der Beschwerdeführer um Wiederherstellung der Frist.
2. Der Beschwerdeführer verlangt den Ausstand verschiedener Bundesrichter. Auf das Begehren ist schon darum nicht weiter einzugehen, weil keiner der von ihm genannten Richter am vorliegenden Urteil mitwirkt und es somit gegenstandslos ist. Das Begehren um Mitwirkung von Bundesrichter Raselli als präsidierendes Mitglied entbehrt jeglicher Grundlage.
3. Eine versäumte Frist kann gemäss Art. 50 Abs. 1 BGG wiederhergestellt werden, wenn eine Partei oder ihr Vertreter unverschuldeterweise abgehalten worden ist, fristgerecht zu handeln, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Die Massgeblichkeit des Hindernisses muss sich aus der Begründung des Fristwiederherstellungsgesuchs und entsprechenden Belegen ergeben. Ein Krankheitszustand bildet nur dann ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht (BGE 119 II 86; 112 V 255; Urteil 6S.54/2006 vom 2. November 2006 E. 2.2, je zum mit Art. 50 Abs. 1 BGG im Wesentlichen übereinstimmenden Art. 35 Abs. 1 des bis Ende 2006 in Kraft stehenden Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege). Dass es sich so verhält, muss mit einschlägigen Arztzeugnissen belegt werden, wobei die blosse Bestätigung eines Krankheitszustandes und regelmässig selbst einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit zur Anerkennung eines Hindernisses im Sinne von Art. 50 Abs. 1 BGG nicht genügt (Urteil 2C_444/2010 vom 10. Juni 2010 E. 2). Vorliegend hat der Beschwerdeführer den entsprechenden Beweis offensichtlich nicht erbracht:
Der Beschwerdeführer hat unter anderem einen ärztlichen "Kurzbericht (stationär)" der Chirurgischen Klinik A._ vom 6. Oktober 2010 vorgelegt. Daraus ergibt sich, dass er vom 28. September bis zum 7. Oktober 2010 wegen einer Verletzung stationär behandelt wurde, während (zunächst) sechs Wochen Medikamente einzunehmen hatte und per 15. November 2010 zur klinischen und radiologischen Verlaufskontrolle aufgeboten wurde. Es versteht sich von selbst, dass sich weder diesem ärztlichen Bericht noch den übrigen Beschwerdebeilagen und Ausführungen in der Eingabe vom 10. Januar 2011 entnehmen lässt, es sei dem als master of law auftretenden Beschwerdeführer nicht möglich gewesen, im Zeitraum ab dem 18. November 2010 fristgerecht die keinen grossen Aufwand erfordernde Beschwerde gegen die Zwischenverfügung vom 5. November 2010 zu verfassen. Das Fristwiederherstellungsgesuch ist offensichtlich unbegründet und abzuweisen.
4. Da kein entschuldbarer Grund für die verspätete Beschwerdeeinreichung vorliegt, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Mit diesem instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
5. Dem auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon wegen Aussichtslosigkeit der gestellten Rechtsbegehren (Art. 64 BGG) nicht entsprochen werden.
Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Ausstandsbegehren ist gegenstandslos.
2. Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
3. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
4. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
5. Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
6. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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