Faits:
A. P._ (né en 1942 et domicilié à Genève) travaillait comme technicien en téléphonie au service de la société X._ SA (ci-après: la société) depuis 1970. En tant que tel, il était assuré au titre de la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse de pension de X._ SA (ci-après: la caisse). Après que la société a annoncé au cours du mois d'août 2001 une restructuration d'entreprise, qui comportait notamment le licenciement de P._, celui-ci a été mis en arrêt de travail total pour motifs de santé. La société lui a alors proposé de prendre une retraite anticipée dès le 1er octobre 2002, moyennant notamment une augmentation de son capital de couverture de 165'550 fr. (lettre du 12 septembre 2001). Le 4 mars 2002, la société a mis un terme aux rapports de travail avec effet au 30 juin 2002.
Ayant présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, le 20 mars 2002, P._ a été mis au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité, assortie d'une rente pour conjoint, du 1er août 2002 au 28 février 2003, puis d'une demi-rente dès le 1er mars 2003 (décisions de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité du 10 décembre 2003 et arrêt I 404/05 du Tribunal fédéral du 19 septembre 2006). Ensuite de ces décisions, P._ s'est adressé à la caisse en lui réclamant, en vain, des prestations d'invalidité, et lui a fait notifier un commandement de payer, le 24 septembre 2007, pour un montant de 100'000 fr. plus intérêts à 5% dès le 1er août 2001.
B. B.a Par demande du 23 septembre 2009, P._ a ouvert action contre la caisse devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales), en concluant à ce qu'elle soit condamnée au versement d'un montant de 114'865 fr. 50 plus intérêts à 5% dès le 1er février 2005, (représentant une rente d'invalidité entière du 1er août 2002 au 28 février 2003, une demi-rente du 1er mars au 30 septembre 2007 et une somme de 670 fr. 50 au titre de réparation du préjudice subi).
Par jugement "sur partie et incident" du 15 mars 2010, le tribunal a constaté que la caisse était tenue de verser au demandeur des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle et l'a invitée à lui fournir le calcul de la rente d'invalidité, ainsi que les documents utiles au sens des considérants dans un délai de 30 jours à partir de l'entrée en force de son prononcé. Le recours formé par la caisse contre cette décision a été déclaré irrecevable par arrêt du Tribunal fédéral du 10 juin 2010.
B.b Poursuivant l'instruction de la cause, le tribunal a fixé au 16 août 2010 le délai dans lequel la caisse était invitée à fournir les pièces pertinentes. La caisse a versé différents documents à la procédure et explicité sa position; l'intéressé s'est déterminé à leur sujet. Par jugement du 27 juin 2011, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a condamné la caisse à verser à P._ une somme de 69'520 fr. avec intérêts à 5% dès le 24 septembre 2007 (ch. 1 du dispositif) et pris acte de l'engagement de la caisse de verser à P._ une somme de 1250 fr. en l'y condamnant en tant que de besoin (ch. 2 et 3 du dispositif).
C. C.a Par demande datée du 8 septembre 2011, P._ a sollicité de la Cour de justice de la République et canton de Genève la révision de son jugement du 27 juin 2011.
C.b En parallèle, P._ et la caisse ont tous deux interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement, la caisse déférant également le jugement du 15 mars 2010 au Tribunal fédéral.
Sous suite de frais et dépens, la caisse conclut à l'annulation des jugements cantonaux du 27 juin 2011 et 15 mars 2010 et au rejet de la demande formée par P._ devant la juridiction cantonale. Elle sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif à son recours (cause 9C_629/2011).
De son côté, sous suite de dépens, P._ conclut à l'annulation du jugement cantonal du 27 juin 2011 et à ce que la caisse soit condamnée à lui verser une somme de 72'047 fr. avec intérêts à 5% dès le 24 août 2007. Il requiert aussi la suspension de la procédure jusqu'à droit connu sur la demande de révision du jugement du 27 juin 2011 et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire (cause 9C_668/2011).
Les parties se sont déterminées sur leur recours respectif, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se prononcer.
D. D.a Par ordonnance du 24 octobre 2011, le Tribunal fédéral a joint les deux causes, admis la requête d'octroi de l'effet suspensif de la caisse et suspendu la procédure jusqu'à droit connu sur la demande de révision datée du 8 septembre 2011.
D.b Le 24 octobre 2011, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a déclaré irrecevable la demande de révision présentée par P._, ce dont elle a informé le Tribunal fédéral le 14 novembre 2011.
Considérant en droit:
1. La juridiction cantonale s'étant prononcée le 24 octobre 2011 sur la demande de révision de son jugement du 27 juin 2011, la suspension de la procédure ordonnée le même jour par le Tribunal fédéral n'a plus d'objet.
2. 2.1 Dans son recours, la caisse conteste avant tout le jugement cantonal du 15 mars 2010. Ce prononcé, qui constituait une décision incidente au sens de l'art. 93 al. 1 LTF, a fait l'objet d'un recours auprès du Tribunal fédéral qui a été déclaré irrecevable, faute de dommage irréparable (arrêt 9C_390/2010 du 10 juin 2010). Conformément à l'art. 93 al. 3 LTF, il peut toutefois être attaqué par un recours contre la décision finale, à condition qu'il influe sur le contenu de celle-ci. Dès lors que par le jugement incident, la juridiction cantonale a admis l'obligation de l'institution de prévoyance de verser des prestations d'invalidité à P._, cet arrêt a influé sur le contenu du jugement final du 27 juin 2011 qui a porté sur la détermination des montants dus à titre de rentes d'invalidité. Les moyens présentés à cet égard dans le cadre du recours contre ce dernier arrêt sont dès lors recevables en vertu de l'art. 93 al. 3 LTF.
2.2 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon l'art. 95 sv. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) et peut rectifier ou compléter d'office les constatations de celle-ci si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
3. 3.1 Au regard du recours de la caisse, le litige porte tout d'abord sur le point de savoir si elle est tenue de verser à P._ une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle (obligatoire et surobligatoire) pour la période du 1er août 2002 au 30 septembre 2007, ce qu'elle conteste en admettant que l'intéressé avait droit depuis juillet 2002 à une rente de vieillesse en raison d'une retraite anticipée. Elle ne remet en revanche pas en cause son engagement de verser une somme de 1250 fr. à l'intéressé, de sorte que ce point sort du cadre du litige soumis au Tribunal fédéral.
3.2 Le jugement du 15 mars 2010 expose de manière complète les règles légales et la jurisprudence sur le droit à des prestations d'invalidité (art. 23 LPP) et la naissance de ce droit (art. 26 LPP), ainsi que sur le droit à une rente de vieillesse de la prévoyance professionnelle obligatoire (art. 13 LPP). Il suffit d'y renvoyer.
3.3 On précisera qu'en ce qui concerne la "reconnaissance de l'invalidité", l'art. 42 du Règlement de la Caisse de pensions de X._ SA (version 2002; ci-après: le règlement) prévoit que "l'assuré qui est reconnu invalide par l'AI, est également reconnu invalide par la Caisse avec effet à la même date et dans la même mesure, pour autant qu'il ait été affilié à la Caisse lorsque a débuté l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité". Selon l'art. 43 ch. 1 du règlement, "le droit à la rente d'invalidité de la Caisse prend naissance le jour de l'ouverture du droit à la rente AI". Il "s'éteint le jour où cesse le droit à la rente AI, mais au plus tard au jour de la retraite réglementaire, l'assuré ayant droit, à cette date, à la rente de retraite" (art. 43 ch. 3 du règlement).
Quant à la "rente de retraite", l'art. 35 du règlement prévoit que "le droit à la rente de retraite prend naissance au jour de la retraite réglementaire selon l'art. 14 [soit l'âge ordinaire de la retraite AVS], et s'éteint à la fin du mois au cours duquel le bénéficiaire décède; l'article 37 est réservé". Selon cette disposition, "si un assuré quitte le service de l'Employeur avant le jour de la retraite réglementaire, mais après le dernier jour du mois au cours duquel il atteint l'âge de 57 ans, il cesse de verser des cotisations et est immédiatement mis au bénéfice d'une rente de retraite anticipée, dans la mesure où il ne demande pas que sa prestation de libre-passage soit transférée à l'institution de prévoyance d'un nouvel employeur; l'alinéa 3 est réservé". Aux termes de cet alinéa, "en dérogation à l'alinéa 1, l'assuré peut différer la date dès laquelle la rente de retraite est servie; le cas échéant, le taux applicable en vertu de l'annexe A au présent règlement est celui qui découle de l'âge de l'assuré à la date dès laquelle la rente de retraite est servie".
4. 4.1 Selon les constatations de la juridiction cantonale, qui ne sont pas contestées par les parties et lient le Tribunal fédéral (supra consid. 2.2), les organes de l'assurance-invalidité ont reconnu que P._ présentait un degré d'invalidité de 100% à partir du 1er août 2002, puis de 50% dès le 1er mars 2003. L'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité était par ailleurs survenue en août 2001, soit à un moment où l'intéressé était encore assuré auprès de la caisse recourante. De plus, la décision de l'assurance-invalidité liait l'institution de prévoyance, comme le prévoyait son règlement.
4.2 De ces constatations, la juridiction cantonale a déduit que le cas de prévoyance invalidité était survenu le 1er août 2002, au moment où l'assuré avait bénéficié des prestations de l'assurance-invalidité. Considérant néanmoins que l'événement assuré ne coïncidait pas avec la naissance du droit à la rente de l'assurance-invalidité, mais correspondait selon l'art. 23 LPP à la survenance de l'incapacité de travail dont la cause était à l'origine de l'invalidité, elle a retenu que P._ devait pouvoir bénéficier des prestations d'invalidité dès lors que l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité remontait à août 2001, date à laquelle il était affilié à la caisse recourante. Le cas de prévoyance vieillesse n'avait en effet pas pu se produire avant la survenance de l'invalidité, parce que l'intéressé n'avait pas accepté sa mise à la retraite anticipée; l'art. 23 LPP avait précisément pour but d'empêcher qu'un employeur pût licencier un assuré malade avant la survenance de l'invalidité et le mettre le cas échéant au bénéfice d'une retraite anticipée, pour éviter de servir des prestations d'invalidité. L'assuré avait clairement fait savoir à la caisse qu'il n'entendait pas bénéficier d'une mise à la retraite anticipée au détriment de ses droits en matière de prestations d'invalidité et celle-ci ne lui avait accordé aucune rente de retraite anticipée, commençant à verser des prestations de vieillesse seulement à compter du 1er octobre 2007, soit à l'âge légal de la retraite. Aussi, la caisse devait-elle répondre de l'invalidité de l'assuré et lui servir les prestations légales et réglementaires à ce titre.
5. 5.1 La prévoyance professionnelle assure les risques de vieillesse, de décès et d'invalidité. L'incapacité de travail en tant que telle ne constitue en revanche pas un risque assuré par la prévoyance professionnelle. La survenance de l'incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de l'invalidité, n'est déterminante selon l'art. 23 LPP que pour la question de la durée temporelle de la couverture d'assurance: si l'incapacité de travail est survenue pendant la durée pendant laquelle l'intéressé était affilié à une institution de prévoyance, celle-ci est tenue de prester, même si l'invalidité est survenue après la fin des rapports de prévoyance. L'obligation de prester en tant que telle ne prend naissance qu'avec et à partir de la survenance de l'invalidité et non pas déjà avec celle de l'incapacité de travail. Cette incapacité ne correspond donc pas au cas de prévoyance, qui ne se produit qu'au moment de la survenance effective de l'événement assuré, en cas de décès ou d'invalidité. Comme l'a précisé le Tribunal fédéral dans ses arrêts ATF 134 V 28 consid. 3.4.2 p. 32 et 135 V 13 consid. 2.6 p. 17, auxquels se réfère à juste titre la caisse recourante, la survenance du cas de prévoyance invalidité coïncide dès lors du point de vue temporel avec la naissance du droit à des prestations d'invalidité (art. 26 al. 1 LPP). Ce droit prend naissance au même moment que le droit à une rente de l'assurance-invalidité pour la prévoyance professionnelle obligatoire (ATF 123 V 269 consid. 2a p. 271), et pour la prévoyance plus étendue lorsque la notion d'invalidité définie par le règlement correspond, comme en l'espèce, à celle de l'assurance-invalidité.
Dans la mesure où la juridiction cantonale s'est écartée de ces principes, en donnant de l'art. 23 LPP une interprétation contraire à la jurisprudence exposée - selon elle, la survenance de l'invalidité ne coïncide pas avec la naissance du droit à la rente de l'assurance-invalidité, mais correspond à la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité -, ses considérations ne peuvent pas être suivies; elles se fondent au demeurant sur un passage de doctrine (VIRET, L'invalidité dans la prévoyance professionnelle selon la jurisprudence du Tribunal fédéral des assurances, Aspects de la sécurité sociale [ASS] 2/1997 p. 20) relatif à une jurisprudence qui a été précisée depuis par les ATF 134 V 28 et 135 V 13. Conformément à ce qu'ont cependant admis les premiers juges (non sans entrer en contradiction avec leurs propres considérations), le cas de prévoyance invalidité est en principe survenu le 1er août 2002, soit au moment à partir duquel P._ a été mis au bénéfice d'une rente d'invalidité de l'assurance-invalidité (fondée sur un degré d'invalidité de 100%).
5.2 La survenance du risque invalidité suppose toutefois qu'un autre risque assuré, singulièrement le risque "vieillesse", ne se soit pas réalisé auparavant auprès de la même institution de prévoyance, ce qu'il reste à examiner. Après la naissance du droit aux prestations de vieillesse en raison de la survenance de l'âge de la retraite (anticipée), l'assuré ne peut plus bénéficier d'une rente d'invalidité de l'institution de prévoyance au moment de la survenance de l'invalidité. Le cas de prévoyance "vieillesse" s'est en effet produit, ce qui fait perdre à l'ayant droit sa qualité d'assuré de l'institution de prévoyance (art. 10 al. 2 LPP; cf. JÜRG BRECHBÜHL, in Commentaire LPP et LFLP, 2010, n° 14 ad art. 10 LPP), l'assuré faisant partie dès ce moment des bénéficiaires de rente. Faute de salaire assuré (et d'activité lucrative exercée) - sous réserve de l'assurance prolongée prévue par l'art. 10 al. 3 LPP, dont P._ ne peut rien tirer en sa faveur -, le risque "invalidité" n'est par conséquent plus assuré (CHRISTIAN WENGER, Probleme rund um die vorzeitige Pensionierung in der beruflichen Vorsorge, 2009, p. 81). En d'autres termes, le cas de prévoyance "vieillesse" exclut la survenance du cas de prévoyance "invalidité" (BASILE CARDINAUX, Der Eintritt des Vorsorgefalls in der beruflichen Vorsorge, in Soziale Sicherheit - Soziale Unsicherheit, Mélanges Erwin Murer, 2010, p. 147).
5.2.1 D'après l'art. 13 al. 1 let. a LPP, les hommes ont droit à des prestations de vieillesse dès qu'ils ont atteint l'âge de 65 ans. En dérogation à ce principe, les dispositions réglementaires de l'institution de prévoyance peuvent prévoir que le droit aux prestations de vieillesse prend naissance dès le jour où l'activité lucrative prend fin (art. 13 al. 2 1ère phrase LPP). Dans cette hypothèse, seule est visée l'activité lucrative sur laquelle repose le rapport d'assurance avec l'institution de prévoyance, l'assuré n'ayant pas à renoncer à toute autre activité lucrative (ATF 120 V 306 consid. 4b p. 310; cf. aussi ATF 126 V 89 consid. 5 p. 92 s.; 129 V 381 consid. 4 p. 382 ss; THOMAS FLÜCKIGER, in Commentaire LPP et LFLP, 2010, n° 15 ad art. 13 LPP; ISABELLE VETTER-SCHREIBER, BVG Kommentar, 2009, n° 4 ad art. 13 LPP). L'art. 13 al. 2 LPP permet donc à l'institution de prévoyance d'envisager un cas de prévoyance à partir d'un âge inférieur - dont la limite est fixée, depuis le 1er janvier 2006, à 58 ans, sous réserve d'exceptions (art. 1i OPP 2) -, à condition que l'assuré ait cessé son activité lucrative.
En conséquence, lorsque les institutions de prévoyance accordent la possibilité d'une retraite anticipée, la survenance du cas de prévoyance "vieillesse" a lieu non seulement lorsque l'assuré atteint l'âge légal de la retraite selon l'art. 13 al. 1 LPP, mais aussi lorsqu'il atteint l'âge auquel le règlement lui donne droit à une retraite anticipée. Si la résiliation du rapport de travail intervient à un âge auquel l'assuré peut, en vertu des dispositions du règlement de l'institution de prévoyance, prétendre des prestations de vieillesse au titre de la retraite anticipée, le droit à des prestations de vieillesse prévues par le règlement naît indépendamment de l'intention de l'assuré d'exercer une activité lucrative ailleurs (ATF 129 V 381; 120 V 306; pour la situation différente existant depuis le 1er janvier 2010, cf. l'art. 2 al. 1bis LFLP et BASILE CARDINAUX, loc. cit.). Il en va autrement lorsque le règlement subordonne l'octroi de prestations à titre de retraite anticipée à une déclaration de volonté de l'assuré: dans ce cas, l'événement vieillesse excluant le droit à une prestation de sortie n'intervient que si l'assuré a fait valoir ses prétentions (arrêt B 38/00 du 24 juin 2002, résumé in RSAS 2003 p. 353).
5.2.2 La caisse recourante a fait usage de la possibilité aménagée à l'art. 13 al. 2 LPP et prévu un départ à la retraite anticipée. Conformément à l'art. 37 du règlement (consid. 3.3 supra), la dissolution des rapports de travail avant que l'assuré ait atteint 65 ans, mais après qu'il a atteint 57 ans, ouvre le droit aux prestations de vieillesse, pour autant "qu'il ne demande pas que sa prestation de libre-passage soit transférée à l'institution de prévoyance d'un nouvel employeur". La fin des rapports de travail dans les huit ans avant que l'assuré n'atteigne l'âge de 65 ans déclenche donc automatiquement les prétentions de vieillesse et, partant, la survenance du cas de prévoyance "vieillesse", à moins que l'assuré ne poursuive l'exercice d'une activité lucrative auprès d'un nouvel employeur et demande le versement de la prestation de libre passage à l'institution de prévoyance auprès de laquelle est affilié celui-ci. La disposition réglementaire ne subordonne en revanche pas l'octroi des prestations de vieillesse à une déclaration de volonté de l'assuré, de sorte que le risque "vieillesse" survient même contre son gré si les rapports de travail prennent fin dans la période déterminante et qu'il ne reprend pas une activité au service d'un autre employeur.
5.2.3 Il est incontesté au regard des faits établis par la juridiction cantonale que P._, âgé de 59 ans au moment où ont pris fin les rapports de travail (au 30 juin 2002), n'a pas continué à exercer une activité lucrative au-delà de cette date, ni demandé à la caisse le versement d'une prestation de libre passage. Par conséquent, et nonobstant le fait (tel que constaté par les premiers juges) que l'intéressé ne voulait pas bénéficier d'une mise à la retraite anticipée et en avait informé son institution de prévoyance, le cas de prévoyance "vieillesse" est survenu le 30 juin 2002. Dès lors que le passage à la retraite anticipée est survenu avant que ne se produise le cas de prévoyance "invalidité", la caisse n'est pas tenue de verser des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle.
6. Il résulte de ce qui précède que le recours de la caisse doit être admis, ce qui conduit à l'annulation du jugement du 15 mars 2010, ainsi que du ch. 1 du dispositif du jugement du 27 juin 2011, qui fixe le montant dû par l'institution de prévoyance à titre de prestations d'invalidité.
On précisera qu'il n'y a pas lieu d'examiner la motivation de la caisse recourante selon laquelle elle se serait entièrement acquittée des prestations de vieillesse dues à P._ en raison de la retraite anticipée pour la période considérée, parce qu'elle lui aurait versé une rente de vieillesse non diminuée à partir du 1er octobre 2007. En l'absence de conclusions des parties portant sur des prestations de vieillesse, cet aspect des rapports de prévoyance ne fait pas partie du litige soumis au Tribunal fédéral et n'a pas à être examiné.
7. Compte tenu des motifs et des conclusions de son recours, P._ ne conteste le jugement final entrepris que sur un point: en plus des prestations reconnues par la juridiction cantonale, il aurait droit à un montant de 2527 fr. - soit la différence entre la somme reconnue par les premiers juges (de 69'520 fr.) et le montant formulé dans ses conclusions (de 72'047 fr.) -, correspondant à la rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle pour le mois de septembre 2002 (prestation que la juridiction cantonale a considérée comme prescrite). Dès lors que l'obligation de la caisse de verser des prestations d'invalidité doit, comme on l'a vu, être niée, les conclusions du recourant sont mal fondées, ce qui conduit à leur rejet.
8. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de P._, qui ne peut prétendre de dépens (art. 66 al. 1 LTF et 68 al. 1 LTF). Sa demande d'assistance judiciaire doit être rejetée, dès lors que la condition de l'indigence n'est, en l'espèce, pas réalisée (cf. art. 64 al. 1 et 2 LTF). Compte tenu, en effet, des revenus (6076 fr.) et des charges (2568 fr. 20) des époux Pupillo, tels qu'indiqués dans le questionnaire pour l'assistance judiciaire et établis par les pièces produites, ainsi que du montant destiné à couvrir leurs besoins de base de 2040 fr. (1700 francs majoré de 20%), le requérant a à disposition un montant mensuel de 1467 fr. 80 (6076 - 4608,20) qui lui permet d'assumer les frais de la procédure et de représentation par un avocat.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours formé par P._ est rejeté.
2. Le recours formé par la Caisse de Pension de X._ SA est admis. Le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 15 mars 2010 et le ch. 1 du dispositif du jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 27 juin 2011 sont annulés.
3. La requête d'assistance judiciaire de P._ est rejetée.
4. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de P._.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 mai 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
La Greffière: Moser-Szeless