Faits:
A. A._ est au bénéfice depuis le 1er octobre 1997 d'une rente entière de l'assurance-invalidité ainsi que de prestations complémentaires à cette rente et d'un subside à l'assurance-maladie.
Par courriers des 14 septembre, 15 octobre et 15 novembre 2010, le Service des prestations complémentaires de la République et canton de Genève (ci-après: le SPC) a réclamé de l'intéressée la production de plusieurs pièces justificatives, requête à laquelle elle n'a répondu que de manière partielle le 15 décembre 2010. Par courrier du 26 janvier 2011, le SPC lui a accordé un dernier délai pour faire parvenir les documents manquants, en l'avertissant qu'à défaut, il se verrait dans l'obligation de supprimer le droit aux prestations et d'examiner la question de la restitution totale des prestations versées au cours des cinq dernières années.
Par décisions du 28 février 2011, le SPC a, d'une part, supprimé à compter de cette date le droit de l'assurée aux prestations complémentaires et au subside de l'assurance-maladie, et, d'autre part, réclamé, après révision du dossier, le remboursement de la somme de 18'824 fr. au titre des prestations complémentaires perçues en trop au cours de la période courant du 1er avril 2006 au 28 février 2011.
Par courrier du 1er mai 2011, A._, agissant par l'intermédiaire de sa fille B._, a demandé la restitution du délai pour former opposition et, dans le même temps, formé opposition contre les décisions du 28 février 2011.
Estimant qu'il n'existait aucun motif pour restituer le délai d'opposition, l'assurée n'ayant pas été dans l'impossibilité de défendre elle-même ses intérêts ou de mandater un tiers à cette fin, le SPC a, par décision du 4 juillet 2011, déclaré irrecevable l'opposition pour cause de tardiveté.
B. A._ a déféré cette décision devant la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales. Dans le cadre de l'instruction de ce recours, la juridiction cantonale a entendu en audience l'assurée, sa fille, la doctoresse N._, psychiatre traitant, P._, aide familiale, et I._, infirmier en charge de l'assurée depuis plusieurs années au centre de consultation X._. Par jugement du 7 février 2012, la Cour de justice a admis le recours formé par A._, annulé "la décision du SPC du 28 février 2011, en tant qu'elle porte sur la suppression des prestations pour le futur, et sa décision sur opposition du 4 juillet 2011" (chiffre 3 du dispositif) et renvoyé "le dossier au SPC pour qu'il se prononce, d'une part, sur les prestations due[s] à l'intéressée entre le 1er mars et le 30 juin 2011 et d'autre part, sur l'opposition de l'intéressée contre sa décision du 28 février 2011" (chiffre 4 du dispositif).
C. Le SPC interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il conclut à l'annulation partielle, en tant qu'il concerne le droit aux prestations complémentaires fondées sur le droit fédéral. Il demande qu'il soit constaté que l'opposition formée contre les décisions du 28 février 2011 est irrecevable, motif pris de sa tardiveté, et que les conditions d'une restitution du délai au sens de l'art. 41 LPGA ne sont pas réunies.
A._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le point de départ du présent litige est constitué par la décision sur opposition du 4 juillet 2011 rendue par le recourant, par laquelle il a déclaré irrecevable l'opposition formée par l'intimée. Le litige soumis à la juridiction cantonale portant donc exclusivement sur une décision de non-entrée en matière, seule devait être examinée la question de savoir si c'est à juste titre que le recourant avait rejeté la demande en restitution du délai d'opposition et déclaré irrecevable l'opposition formée par l'intimée (ATF 121 V 157 consid. 2b p. 159; voir également arrêt U 185/95 du septembre 1996 consid. 1a et les références, in SVR 1997 UV n° 66 p. 225). Aussi, comme le relève le recourant dans son mémoire de recours, la juridiction cantonale ne pouvait pas se prononcer sur le fond du litige, soit sur le point de savoir si le droit aux prestations complémentaires devait être supprimé. En tant que le jugement attaqué annule la décision du 28 février 2011 portant sur la suppression des prestations pour le futur, il doit être annulé.
2. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
3. Est litigieux en l'espèce le point de savoir si l'intimée peut être mise au bénéfice d'une restitution du délai pour former opposition.
3.1 Selon l'article 41 LPGA, si le requérant ou son mandataire a été empêché, sans sa faute, d'agir dans le délai fixé, celui-ci est restitué pour autant que, dans les 30 jours à compter de celui où l'empêchement a cessé, le requérant ou son mandataire ait déposé une demande motivée de restitution et ait accompli l'acte omis. Par empêchement non fautif d'accomplir un acte de procédure, il faut comprendre non seulement l'impossibilité objective ou la force majeure - par exemple en raison d'une maladie psychique entraînant une incapacité de discernement (ATF 108 V 226 consid. 4 p. 228: voir également arrêt I 468/05 du 12 octobre 2005 consid. 3.1) -, mais également l'impossibilité subjective due à des circonstances personnelles ou une erreur excusables. La maladie peut être considérée comme un empêchement non fautif et, par conséquent, permettre une restitution d'un délai de recours, si elle met la partie recourante ou son représentant légal objectivement ou subjectivement dans l'impossibilité d'agir par soi-même ou de charger une tierce personne d'agir en son nom dans le délai (ATF 119 II 86 consid. 2 p. 87; 112 V 255; arrêt 8C_767/2008 du 12 janvier 2009, consid. 5.3.1).
3.2 Est capable de discernement au sens du droit civil celui qui a la faculté d'agir raisonnablement (art. 16 CC). Cette disposition comporte deux éléments, un élément intellectuel, la capacité d'apprécier le sens, l'opportunité et les effets d'un acte déterminé, et un élément volitif ou caractériel, la faculté d'agir en fonction de cette compréhension raisonnable, selon sa libre volonté (ATF 134 II 235 consid. 4.3.2 p. 239; 124 III 5 consid. 1a p. 8; 117 II 231 consid. 2a p. 232). La capacité de discernement est relative: elle ne doit pas être appréciée dans l'abstrait, mais concrètement, par rapport à un acte déterminé, en fonction de sa nature et de son importance, les facultés requises devant exister au moment de l'acte (ATF 134 II 235 consid. 4.3.2 p. 239; 118 Ia 236 consid. 2b in fine p. 238).
3.3 Une personne n'est privée de discernement que si sa faculté d'agir raisonnablement est altérée, en partie du moins, par l'une des causes énumérées à l'art. 16 CC, dont la maladie mentale, la faiblesse d'esprit ou une autre altération, semblable, de la pensée, à savoir des états anormaux suffisamment graves pour avoir, dans le cas particulier et le secteur d'activité en cause, effectivement altéré la faculté d'agir raisonnablement. Par maladie mentale, il faut entendre des troubles psychiques durables et caractérisés, ayant sur le comportement extérieur du sujet des conséquences évidentes, qualitativement et profondément déconcertantes pour un profane averti (ATF 117 II 231 consid. 2a in fine p. 233/234; 85 II 452 consid. 3a p. 460; 62 II 263 p. 264).
3.4 La preuve de la capacité de discernement pouvant se révéler difficile à apporter, la pratique considère que celle-ci doit en principe être présumée, sur la base de l'expérience générale de la vie. Cette présomption n'existe toutefois que s'il n'y a pas de raison générale de mettre en doute la capacité de discernement de la personne concernée, ce qui est le cas des adultes qui ne sont pas atteints de maladie mentale ou de faiblesse d'esprit, à savoir des états anormaux suffisamment graves pour altérer effectivement la faculté d'agir raisonnablement en relation avec l'acte considéré. Pour ces derniers, la présomption est inversée et va dans le sens d'une incapacité de discernement (ATF 134 II 235 consid. 4.3.3 p. 240 et les références).
3.5 Les constatations relatives à l'état de santé mentale d'une personne, la nature et l'importance d'éventuels troubles de l'activité de l'esprit, le fait que la personne concernée pouvait se rendre compte des conséquences de ses actes et pouvait opposer sa propre volonté aux personnes cherchant à l'influencer relèvent de l'établissement des faits. En revanche, la conclusion que le juge en a tirée quant à l'application de l'une ou l'autre des deux règles dégagées par la jurisprudence relève du droit et le Tribunal fédéral la revoit librement (ATF 124 III 5 consid. 4; 117 II 231 consid. 2c).
4. 4.1 Se fondant sur les observations rapportées par la doctoresse N._ ainsi que sur les témoignages de l'aide familiale et de l'infirmier, la juridiction cantonale a considéré qu'en raison d'une dégradation de son état de santé psychique survenue durant la période courant du mois de décembre 2010 au mois d'avril 2011, l'intimée avait été empêchée, sans faute de sa part, de s'opposer aux décisions du 28 février 2011 et de charger une tierce personne d'agir en son nom, n'étant plus en mesure, faute de capacité volitive, de s'exprimer par elle-même et d'entreprendre les démarches nécessaires en vue de la résolution de ses problèmes.
4.2 Le recourant reproche en substance à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits pertinents consécutive à une mauvaise appréciation des preuves. Il estime que rien ne permettait de conclure que l'état de santé de l'intimée était d'une sévérité telle à réception des décisions du 28 février 2011 - une éventuelle incapacité de discernement n'ayant pas pu être établie - qu'elle était dans l'impossibilité de défendre elle-même ses intérêts ou de mandater un tiers à cette fin. Ce faisant, le recourant se borne à ne proposer que sa propre appréciation des faits, sans tenter d'établir que celle effectuée par la juridiction cantonale serait arbitraire. On rappellera qu'il n'appartient pas au Tribunal fédéral de rechercher les raisons éventuelles pour lesquelles le jugement attaqué devrait être annulé, mais à la partie recourante d'établir en quoi l'appréciation opérée par l'autorité cantonale serait manifestement inexacte ou incomplète (cf. supra consid. 2). Or, le recourant ne prend à aucun moment position sur les motifs du jugement attaqué et ne discute d'aucune façon la question de l'absence de capacité volitive de l'intimée. Dans ces conditions, il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation des faits effectuée par les premiers juges.
4.3 Au surplus, on ajoutera que le recourant focalise son argumentation sur la capacité générale de discernement de l'intimée, estimant, à la lumière des actes courants de la vie qu'elle parvenait à accomplir, qu'elle était à même, nonobstant certaines difficultés, de gérer ses affaires administratives, ou du moins de mandater un tiers pour ce faire. Ce faisant, le recourant méconnaît la jurisprudence selon laquelle la capacité de discernement ne doit pas être appréciée dans l'abstrait, mais concrètement, par rapport à un acte déterminé, en fonction de sa nature et de son importance. En l'occurrence, il s'agissait de déterminer si l'intimée était en mesure de réagir de manière conforme à ce que l'on était en droit d'attendre d'elle. Or, la juridiction cantonale a considéré que les décisions du 28 février 2011 étaient venues interférer si brutalement avec le fonctionnement extrêmement ritualisé de l'intimée, mis notamment en évidence par les témoignages de l'aide familiale et de l'infirmier, qu'elle n'avait plus été en mesure d'agir. Faute de dire en quoi cette appréciation devrait être qualifiée d'arbitraire, les considérations du recourant ne sont pas de nature à remettre en cause le jugement entrepris.
5. 5.1 Sur le vu de ce qui précède, le jugement entrepris ne viole pas le droit fédéral et doit être confirmé en tant qu'il a pour objet la question de la restitution du délai pour former opposition. Ce nonobstant, le recours doit être très partiellement admis et le jugement attaqué annulé dans la mesure où il annule la décision du 28 février 2011 portant sur la suppression des prestations pour le futur (cf. supra consid. 1).
5.2 Vu l'issue du litige, les frais de justice seront supportés pour quatre cinquièmes par le recourant et pour un cinquième par l'intimée.
5.3 Le présent arrêt rend en outre sans objet la requête d'effet suspensif déposée par le recourant.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est très partiellement admis au sens des considérants.
2. Le dispositif du jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 7 février 2012 est modifié comme suit:
3. Annule la décision sur opposition du Service des prestations complé- mentaires du 4 juillet 2011.
4. Renvoie le dossier au Service des prestations complémentaires pour qu'il se prononce sur l'opposition de l'intéressée contre sa décision du 28 février 2011.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis pour 400 fr. à la charge du recourant et pour 100 fr. à la charge de l'intimée.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 26 juin 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
Le Greffier: Piguet