Sachverhalt:
A. A.a Der Kleine Landrat (Exekutive) der Landschaft Davos Gemeinde erliess am 15. Mai 2007 für das gesamte Gemeindegebiet eine Planungszone zur Sicherstellung der "Reglementierung" des Zweitwohnungsbaus (Kontingentierungs- und Lenkungsabgabepflicht für Zweitwohnungen). Ziff. 3 dieses Beschlusses lautet wie folgt:
"3. Lenkungsabgaben zur Förderung des Erstwohnungsbaus und zur Förderung der traditionellen Hotellerie
3.1 Der Gemeinde sind folgende Lenkungsabgaben zu entrichten:
- Für jede erstellte Zweitwohnung eine Abgabe von Fr. 200.-- pro m2 BGF
- Für jede in eine Zweitwohnung umgenutzte Erstwohnung Fr. 200.-- pro m2 BGF
- Für jeden m2 BGF bisheriger Hotelnutzung (inkl. Bereich Hotels gemäss Art. 120 BauG) bei einer Umnutzung in Zweitwohnungen eine Abgabe von Fr. 1000.--.
3.2 Die Abgaben sind vor Baubeginn der Gemeinde zu bezahlen und werden von der Gemeinde verwaltet. Sollte die Planungszone aufgehoben werden oder die geplante gesetzliche Regelung keine Lenkungsabgaben vorsehen, werden die Beträge zurückerstattet mit dem gleichen Zins, den der Kanton Graubünden für Steuer- rückzahlungen anwendet."
A.b Am 30. April 2008 reichte die X._ AG ein Baugesuch ein für den Abbruch einiger Häuser und den Neubau eines Wohn- und Geschäftshauses auf den Parzellen Nr. xxx, yyy, zzz und aaa Davos Platz. Der Kleine Landrat erteilte am 14. Juli 2009 die nachgesuchte Bewilligung. Die Baubewilligung enthält eine Ziff. 5, welche wie folgt lautet:
"5. Es wird festgestellt, dass das geplante Bauvorhaben der Kontin- gents- und Lenkungsabgabenpflicht gemäss geltender Planungs- zone vom 15. Mai 2007 untersteht:
4.1 Die festgesetzte Lenkungsabgabe von Fr. 302'140.-- (1'510.70 m2 BGF à Fr. 200.--) ist vor Baubeginn der Gemeinde zu bezahlen.
4.2 Sollte die Planungszone aufgehoben werden oder die geplante ge- setzliche Regelung keine oder eine andere Lenkungsabgabe vor- sehen, wird eine allfällige Differenz zur veranlagten Lenkungsab- gabe zurückerstattet bzw. nachbelastet."
Die Bewilligung samt der darin enthaltenen Verpflichtung zur Bezahlung der Lenkungsabgabe blieb unangefochten. Die X._ AG entrichtete die verlangte Abgabe im Sommer 2009.
A.c Inzwischen hatte eine andere Bauherrin eine analoge Abgabenforderung der Gemeinde Davos beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden angefochten. Dieses hatte die Beschwerde mit Urteil vom 28. April 2009 gutgeheissen und die verfügte Lenkungsabgabe aufgehoben, weil dafür keine genügende gesetzliche Grundlage bestehe. Die Gemeinde Davos erhob dagegen am 18. August 2009 Beschwerde ans Bundesgericht, welche mit Urteil vom 4. Januar 2010 (Verfahren 1C_363/2009) abgewiesen wurde.
B. Am 26. Januar 2010 und am 11. März 2010 beantragte die X._ AG die Rückerstattung der bezahlten Lenkungsabgabe, was der Kleine Landrat mit Verfügung vom 30. März 2010 ablehnte. Dagegen beschwerte sich die X._ AG ohne Erfolg beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden; dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 14. September 2010 ab.
C. Mit Eingabe vom 1. Februar 2011 führt die X._ AG beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die Gemeinde Davos sei zu verpflichten, ihr Fr. 302'140.-- nebst Zins zu 4 % seit dem 18. August 2009 zu bezahlen. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Gemeinde Davos und das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts hat die Angelegenheit am 26. August 2011 an einer öffentlichen Sitzung beraten.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss Art. 83 BGG fällt und daher mit dem ordentlichen Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführerin ist gestützt auf Art. 89 Abs. 1 BGG zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert; auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist daher einzutreten.
Mit freier Kognition überprüft das Bundesgericht u.a. die richtige Anwendung von Bundesrecht und Völkerrecht (Art. 95 lit. a und lit. b BGG), aber - abgesehen von hier nicht in Betracht kommenden Fällen (Art. 95 lit. c - lit. e BGG) - nicht diejenige des kantonalen (oder kommunalen) Rechts; hier beschränkt sich die Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts darauf, ob durch die Anwendung kantonalen bzw. kommunalen Rechts Bundesrecht (unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts) oder Völkerrecht verletzt wird, wobei namentlich die willkürliche Anwendung kantonalen Rechts in Betracht fällt.
Das Bundesgericht stellt grundsätzlich auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt ab (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diese Sachverhaltsfeststellungen können vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig - d.h. willkürlich - sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Nach Rechtsprechung und Lehre gilt auch im Verwaltungsrecht als allgemeiner Rechtsgrundsatz analog zu Art. 62 ff. OR, dass Zuwendungen, die aus einem nicht verwirklichten oder nachträglich weggefallenen Rechtsgrund erfolgen, zurückzuerstatten sind. Darunter fallen namentlich auch Leistungen, auf welche materiellrechtlich kein Anspruch besteht. Eine Leistung ist jedoch nicht ohne Rechtsgrund erbracht worden, wenn sie aufgrund einer zwar materiellrechtlich falschen, aber rechtskräftigen Verfügung erfolgt ist und kein Grund besteht, auf diese Verfügung zurückzukommen (BGE 124 II 570 E. 4b und E. 4c S. 578 f.; 105 Ia 214 E. 5 S. 217; 98 Ia 568 E. 3 S. 571; Urteile 1A.137/2001 vom 4. Juli 2002 E. 5.1; 2A.18/2007 vom 8. August 2007 E. 3.3; IMBODEN/RHINOW, Schweizerische Verwaltungsrechtsprechung, 6. Aufl. 1986, Nr. 32.B S. 191; PIERRE MOOR, Droit administratif, Vol. 2, 2. Aufl. 2002, S. 147 ff.; BLAISE KNAPP, Précis de droit administratif, 4. Aufl. 1991, S. 166 Rz. 756 f.; HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. Aufl. 2010, S. 176 f.; RHINOW/KRÄHENMANN, Schweizerische Verwaltungsrechtsprechung, Ergänzungsband, 1990, Nr. 32.B.I S. 93).
2.2 Die Verwaltungsbehörden können unter bestimmten Voraussetzungen ihre Verfügungen in Wiedererwägung ziehen. Sie sind dazu gehalten, soweit sich eine entsprechende Pflicht aus einer gesetzlichen Regelung oder einer konstanten Verwaltungspraxis ergibt; überdies ergibt sich gestützt auf Art. 29 BV ein Anspruch auf Wiedererwägung, wenn sich die Verhältnisse seit dem ersten Entscheid erheblich geändert haben oder wenn der Gesuchsteller Tatsachen und Beweismittel anführt, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder hierzu keine Veranlassung bestand. Die Wiedererwägung oder Revision darf aber nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder in Frage zu stellen oder gesetzliche Vorschriften über die Rechtsmittelfristen zu umgehen (BGE 136 II 177 E. 2.1 S. 181; 130 IV 72 E. 2.2 S. 74; 127 I 133 E. 6 S. 137 f.; 124 II 1 E. 3a S. 5 f.; 120 Ib 42 E. 2b S. 46 f.; 113 Ia 146 E. 3a S. 152; Urteile 1C_217/2010 vom 3. Februar 2011 E. 3.3; 2C_274/2009 vom 28. Oktober 2009 E. 2.2; HÄFELIN/MÜLLER/UHLMANN, a.a.O., S. 233 Rz. 1042 f., S. 421 Rz. 1833; IMBODEN/RHINOW, a.a.O., Nr. 43 B.III S. 264 f.; RHINOW/KOLLER/KISS/THURNHERR/BRÜHL-MOSER, Öffentliches Prozessrecht, 2. Aufl. 2010, S. 196 f.; KÖLZ/HÄNER, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl. 1998, S. 157 f., 160; ANNETTE GUCKELBERGER, Der Widerruf von Verfügungen im schweizerischen Verwaltungsrecht, ZBl 108/2007, S. 311). Eine ursprünglich fehlerhafte, aber nicht angefochtene Verfügung ist nicht schon deswegen nachträglich abzuändern, weil sich durch Gerichtsurteile in Parallelverfahren ergeben hat, dass eine andere Rechtslage gilt, als von der verfügenden Behörde ursprünglich angenommen wurde. Eine unrichtige Rechtsanwendung ist grundsätzlich im Anschluss an die Verfügung durch Ergreifen von ordentlichen Rechtsmitteln geltend zu machen und rechtfertigt nur dann ganz ausnahmsweise ein Rückkommen auf die Verfügung, wenn dieser schwerwiegende materielle Fehler anhaften (Urteil 2A.18/2007 vom 8. August 2008 E. 2.2; TSCHANNEN/ZIMMERLI/MÜLLER, Allgemeines Verwaltungsrecht, 3. Aufl. 2009, § 31, Rz. 39 f., S. 293). Auch eine nachträgliche Praxis- oder Rechtsprechungsänderung ist kein Grund für einen Widerruf rechtskräftiger Abgabenverfügungen (BGE 120 V 128 E. 3b S. 131; 102 Ib 45 E. 1b S. 48; IMBODEN/RHINOW, a.a.O., Nr. 43.B.IV.b S. 265; KÖLZ/HÄNER, a.a.O., S. 160 Rz. 439).
2.3 Auch die Feststellung der Verfassungswidrigkeit eines Erlasses in einem inzidenten Normenkontrollverfahren lässt die früher ergangenen Anwendungsakte grundsätzlich unberührt. Die akzessorische Normenkontrolle führt im Unterschied zur abstrakten nicht zur formellen Aufhebung der als verfassungswidrig erkannten Rechtsnormen, sondern lediglich dazu, dass deren Anwendung im konkreten Anwendungsfall unterbleibt. Die entsprechende Rechtswirkung entfaltet sich wegen des individualrechtlichen Charakters von Rechtsmittelverfahren einzig gegenüber denjenigen Parteien, die am konkreten Verfahren direkt beteiligt sind (BGE 98 Ia 568 E. 5b S. 572 ff.; Urteil 2A.18/2007 vom 8. August 2008 E. 2.4; 2P.112/2003 vom 29. August 2003 E. 2.4.2 und E. 3.3 in: RDAF 2004 II S. 161; 2P.216/1997 vom 1. Dezember 1997 E. 3c). Eine Ausnahme gilt nur dann, wenn die Anwendung dieser Regel zu einem schockierenden Ergebnis führt oder die Unterlassung der Anfechtung auf einen entschuldbaren Irrtum des Adressaten zurückzuführen ist (BGE 98 Ia 568 E. 5b S. 572 ff.; Urteile 2C_564/2008 vom 12. September 2008 E. 5; 2A.294/1998 vom 2. November 1998 E. 7b in: Pra 1999 Nr. 52) oder wenn die als rechtswidrig erkannte Verfügung an derart groben Mängeln leidet, dass sie als nichtig erscheint (Urteile 2A.18/2007 vom 8. August 2008 E. 2.4; 2P.112/2003 vom 29. August 2003 E. 2.4.2 in: RDAF 2004 II S. 161).
3. 3.1 Im vorliegenden Fall steht fest, dass die streitige Gebühr in einer rechtskräftig gewordenen Verfügung festgelegt wurde. Die Vorinstanz hat erwogen, unter diesen Umständen könne nur unter den Voraussetzungen einer Revision, eines Widerrufs oder bei Nichtigkeit der Verfügung auf den Entscheid bezüglich der Lenkungsabgabe zurückgekommen werden. Nichtigkeit liege nicht vor. Ein Widerruf nach Art. 25 des Gesetzes des Kantons Graubünden vom 31. August 2006 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/GR) komme nicht in Frage; diese Bestimmung sei auf Dauerverfügungen zugeschnitten, die bei ihrem Erlass rechtmässig waren, aber wegen wesentlich geänderter Sach- oder Rechtslage nicht mehr gesetzeskonform seien. Hier regle die Verfügung aber eine einmalige Rechtsfolge und sei ursprünglich fehlerhaft. Dafür stehe nicht der Widerruf, sondern die Revision oder Wiedererwägung zur Verfügung. Auch bei ursprünglicher Fehlerhaftigkeit könne zwar ein Widerruf in Betracht gezogen werden; dagegen spreche aber insbesondere, dass es die Beschwerdeführerin unterlassen habe, die Verfügung anzufechten; es bestehe daher kein hinreichender Grund für einen Widerruf. Ein Revisionsgrund (Art. 67 VRG/GR) liege nicht vor, da dies neue "Geschehnisse im Seinsbereich" voraussetze; neue rechtliche Überlegungen oder Praxisänderungen oder die gerichtliche Ungültigerklärung von gesetzlichen Grundlagen seien kein Revisionsgrund.
3.2 Diese Erwägungen entsprechen der hiervor in E. 2 dargelegten Rechtslage. Sie beruhen auch nicht auf einer willkürlichen Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts (Art. 24, 25 und 67 VRG/GR), welches seinerseits mit den verfassungsrechtlichen Anforderungen übereinstimmt (Urteil 1C_217/2010 vom 3. Februar 2011 E. 3.3). Namentlich konnte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, dass sich Art. 25 VRG/GR auf eine nachträgliche Fehlerhaftigkeit bezieht (ebenso Urteil 1C_217/2010 vom 3. Februar 2011 E. 3.4). Sie hat darüber hinaus geprüft, ob ein Widerruf infolge ursprünglicher Fehlerhaftigkeit vorzunehmen sei und dies mit der Begründung verneint, die Beschwerdeführerin habe es unterlassen, die Verfügung anzufechten. Auch diese Argumentation stimmt mit der dargelegten Rechtsprechung überein. Unbehelflich ist insbesondere die Rüge der Beschwerdeführerin, das Verwaltungsgericht habe Art. 24 Abs. 2 VRG/GR willkürlich ausgelegt, indem es nicht geprüft habe, ob die erste Instanz materiell zu Recht die ursprüngliche Verfügung als nicht zweifellos unrichtig bzw. ihre Korrektur als von unerheblicher Bedeutung eingestuft habe. Selbst wenn auf ein Wiedererwägungsgesuch eingetreten wird, muss eine ursprünglich fehlerhafte rechtskräftige Verfügung, die einen einmaligen Sachverhalt regelt, nicht schon deshalb aufgehoben werden, weil sie materiellrechtlich falsch war. Die Rechtsprechung, auf die sich die Beschwerdeführerin beruft (BGE 116 V 62), stammt aus dem Sozialversicherungsrecht, wo eine besondere Regelung der Wiedererwägung besteht (vgl. heute Art. 53 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts [ATSG; SR 830.1]), die nicht gleichermassen im übrigen Verwaltungsrecht gilt und im Übrigen keinen Anspruch auf Wiedererwägung gibt (BGE 133 V 50 E. 4.1 S. 52 ff.). Unter den hier massgeblichen Willkürgesichtspunkten ist der vorinstanzliche Entscheid schliesslich auch insoweit nicht zu beanstanden, als er einen Revisionsgrund (Art. 67 VRG/GR) und die Nichtigkeit der Abgabenverfügung verneint.
4. 4.1 Nach dem bisher Ausgeführten steht fest, dass die Beschwerdeführerin gestützt auf die allgemeinen Grundsätze zur Rückerstattung ungerechtfertigter Leistungen keinen Rückzahlungsanspruch hat. Indes beruft sich die Beschwerdeführerin im vorliegenden Fall auch auf den Schutz von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV): Sie habe darauf vertraut, dass die Gemeinde die Abgabe zurückerstatten werde, falls das Bundesgericht die Beschwerde der Gemeinde gegen das eingangs (Sachverhalt Ziff. A.c) erwähnte Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 28. April 2009 betreffend eine andere Bauherrin abweist. Einzig deshalb habe sie, die Beschwerdeführerin, von einer Anfechtung der sie betreffenden Verfügung vom 14. Juli 2009 abgesehen.
4.2 Die Vorinstanz hat einen Anspruch auf Vertrauensschutz verneint, weil keine entsprechende Zusicherung des dafür zuständigen Kleinen Landrates vorliege (E. 6 des angefochtenen Entscheids). Diese Argumentation trägt jedoch dem Umstand nicht Rechnung, dass - wie die Beschwerdeführerin mit Recht vorbringt - die Verfügung vom 14. Juli 2009 selber bereits einen ausdrücklichen Rückerstattungsvorbehalt enthält für den Fall, dass (a) die Planungszone aufgehoben oder (b) die geplante gesetzliche Regelung keine oder eine andere Lenkungsabgabe vorsehen werde. Nachfolgend zu prüfen bleibt somit, ob die in der Verfügung genannten Bedingungen für eine Rückerstattung erfüllt wurden.
4.3 Unstrittig ist, dass die von der Gemeinde Davos schliesslich erlassene formell-gesetzliche Regelung nicht auf die Erhebung einer Lenkungsabgabe verzichtet: Die am 25. März 2010 vom Grossen Landrat verabschiedete und an der Urnenabstimmung vom 13. Juni 2010 vom Souverän angenommene Vorlage sieht sogar eine Lenkungsabgabe von Fr. 500.-- pro Quadratmeter Bruttogeschossfläche (statt Fr. 200.--/m2 BGF in der Planungszone vom 15. Mai 2007) vor. Diese Bedingung ist somit nicht eingetreten.
4.4 Anders ist die Lage bezüglich die Aufhebung der Planungszone: Hier präzisiert die Verfügung vom 14. Juli 2009 nicht, durch wen diese Aufhebung zu erfolgen hat. Wie die nachfolgenden Überlegungen zeigen, muss der Rückerstattungsvorbehalt nach seinem Wortlaut und Sinn auch dann gelten, wenn die Aufhebung durch ein Gericht erfolgt.
Im Wesentlichen beabsichtigte die Gemeinde mit der Errichtung der Planungszone die vorläufige Erhebung einer Lenkungsabgabe bis zur Einführung einer diesbezüglichen gesetzlichen Grundlage. Genau dieses Vorgehen erwies sich angesichts der bereits erwähnten Urteile des Verwaltungsgerichts vom 28. April 2009 und des Bundesgerichts vom 4. Januar 2010 als unzulässig. Hinzu kommt Folgendes, was die Vorinstanz zwar nicht ausdrücklich festgestellt hat, sich aber aus den Akten ergibt und daher vom Bundesgericht ergänzend festgestellt werden kann (Art. 105 Abs. 2 BGG): Die Planungszone vom 15. Mai 2007 war bereits im Zeitpunkt der Erteilung der Baubewilligung durch die Planungszone vom 5. August 2008 ersetzt worden, nachdem die kommunale Volksinitiative, zu deren Sicherung die Planungszone vom 15. Mai 2007 erlassen worden war, in der Volksabstimmung vom 1. Juni 2008 abgelehnt worden war. Diese neue Planungszone enthielt - soweit hier von Interesse - eine analoge Lenkungsabgabe wie diejenige vom 15. Mai 2007. Gegen diese neue Planungszone hatten zwei Personen Beschwerde beim Bündner Regierungsrat und anschliessend (am 16. März 2009) beim Verwaltungsgericht erhoben. Dieses stellte mit Urteil vom 30. September 2009 klar, dass mit der Planungszone vom 5. August 2008 diejenige vom 15. Mai 2007 dahingefallen war. Sodann bestätigte es die Planungszone zwar im Grundsatz, hob indessen die in Ziff. 3 der Planungszonenvorschriften vorgesehene Ermächtigung zur Erhebung einer Lenkungsabgabe mangels formell-gesetzlicher Grundlage auf. Die Norm, auf welche sich die hier streitige Abgabe letztlich gestützt hatte, war damit nicht etwa bloss in einem inzidenten Normenkontrollverfahren als verfassungswidrig beurteilt (vgl. E. 2.3 hiervor), sondern in einem abstrakten Normenkontrollverfahren formell aufgehoben worden, so dass die gesetzliche Grundlage für die Erhebung der Abgabe überhaupt wegfiel.
Zu berücksichtigen sind im vorliegenden Fall auch die Gesamtumstände und insbesondere die zeitlichen Abläufe: Die Gemeinde forderte die im Streit liegende Abgabe bereits mit Erteilung der Baubewilligung vom 14. Juli 2009, d.h. im Voraus. Sie tat dies im vollen Wissen darum, dass das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden schon in seinem Urteil vom 28. April 2009 festgestellt hatte, dass für eine solche Lenkungsabgabe keine hinreichende gesetzliche Grundlage existiert. Die Gemeinde hat zwar das besagte Urteil in der Folge beim Bundesgericht angefochten. Dennoch musste ihr klar sein, dass die Beschwerdeführerin den Rückerstattungsvorbehalt bei dieser Sachlage in guten Treuen so verstehen kann und darf, dass mit einer Aufhebung der Planungszone auch die (rechtskräftige) Feststellung der Rechtswidrigkeit der Abgabe gemeint ist und deshalb eine Rückerstattung erfolgt, falls das Bundesgericht das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 28. April 2009 bestätigt. Der Grundsatz von Treu und Glauben gebietet es mithin, den Rückerstattungsvorbehalt in Ziff. 4.2 (recte wohl Ziff. 5.2) der Baubewilligung vom 14. Juli 2009 im Sinne der Beschwerdeführerin zu verstehen.
4.5 Da die Abgabe gemäss dem Obenstehenden schon aufgrund des in der Baubewilligung selber enthaltenen Vorbehaltes zurückzuerstatten ist, war eine weitere diesbezügliche Zusicherung des Kleinen Landrates entbehrlich, und die Beschwerdeführerin kann sich zur Begründung ihres Rückforderungsanspruchs auf den Schutz ihres Vertrauens berufen.
5. Die Beschwerde erweist sich damit als begründet und dem Rechtsbegehren ist vollumfänglich stattzugeben, zumal die Gemeinde Davos gegen das Quantitativ der Forderung und den beantragten Zins keine Einwände erhebt. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Gemeinde Davos, um deren Vermögensinteressen es geht, die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG). Im Weitern hat die Gemeinde Davos die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Graubünden vom 14. September 2010 aufgehoben und die Gemeinde Davos verpflichtet, der Beschwerdeführerin Fr. 302'140.-- nebst Zins zu 4 % seit dem 18. August 2009 zu bezahlen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Gemeinde Davos auferlegt.
3. Die Gemeinde Davos hat der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 6'000.-- zu bezahlen.
4. Zur Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens wird die Angelegenheit an das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Gemeinde Davos und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. August 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Zähndler