Faits:
A.
Le 31 décembre 1989, X._ et la société fribourgeoise A._ SA, devenue par la suite Z._ SA, ont conclu un contrat de fiducie. La société s'obligeait à acquérir et administrer des terrains dans l'Oklahoma (USA) en son nom propre, mais pour le compte de X._. Celui-ci s'engageait à remettre les fonds nécessaires. Le montant total des investissements devait s'élever à USD 936'538,46. Le contrat prévoyait l'application du droit suisse et contenait une élection de for en faveur des tribunaux fribourgeois.
Le fiduciant a résilié le contrat en été 1999. Le 8 juin 2002, il a ouvert action contre la fiduciaire dans l'Oklahoma et a initié une procédure de discovery.
B.
B.a. Le 22 décembre 2003, la fiduciaire (ci-après: la demanderesse) a ouvert action contre le fiduciant (ci-après: le défendeur) devant le Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine. Elle concluait notamment au paiement d'un montant total de USD 878'150,86, tout en réservant d'éventuelles prétentions supplémentaires. La demande était fondée sur le contrat de fiducie.
Par réponse du 14 juin 2004, le défendeur a pris les conclusions suivantes:
"1. La plainte est à rejeter.
2. Au cas où les preuves concernant les actifs, apportés par la plaignante, seraient reconnues, il faudrait que le tribunal statue que Z._ SA n'est pas en droit de prélever une partie de ses revendications sur le montant de 300'000 USD mis à disposition par X._ de la ... Corporation. (...) "
Dans une ordonnance du 4 août 2004, le Président du Tribunal civil a notamment relevé que diverses questions devraient être tranchées à titre préjudiciel, dont celle de la suspension de cause en raison de l'introduction d'une procédure préalable devant les autorités américaines.
Par courrier du 28 juin 2010, la demanderesse a informé le Président que la procédure entamée aux Etats-Unis était terminée, les tribunaux américains ayant accepté le déclinatoire soulevé en raison de l'élection de for insérée dans le contrat de fiducie. Précisant que des pourparlers transactionnels étaient en cours, elle se réservait le droit de compléter sa demande en cas d'échec des négociations.
Le 28 juillet 2010, le défendeur a annoncé au tribunal qu'aucun accord n'avait pu être conclu.
Par ordonnance du 16 septembre 2010, le Président a imparti à la demanderesse un délai au 22 octobre 2010 pour compléter sa demande. Le 15 octobre 2010, cette partie a déposé un mémoire dont les conclusions tendaient désormais au paiement de USD 1'232'778,90. S'ajoutait en particulier une prétention en indemnisation des frais d'avocat engagés dans la procédure américaine. Le tribunal a communiqué cette écriture au défendeur le 18 avril 2011, en lui impartissant un délai pour répondre.
Le 16 août 2011, le défendeur a déposé une écriture contenant les conclusions suivantes:
"I. Conclusions
1. Principalement : la demande est rejetée.
Subsidiairement : la demande est compensée.
II. Conclusions reconventionnelles
1. La demanderesse est condamnée à payer un montant total de US$ 936'538.46 au cours du 1 janvier 1990 de US$ 1 / CHF 1,5150 soit CHF 1'418'855.75 avec intérêts de 5% dès le 1 janvier 1990.
- Le tout sous suite de frais et dépens."
Le défendeur prétendait ainsi obtenir la restitution de l'investissement effectué dans le cadre du contrat de fiducie.
Le 21 novembre 2011, la demanderesse a déposé une réplique dont les conclusions tendaient au paiement de USD 1'232'778,90, soit CHF 1'735'314,65. Elle a en outre conclu à l'irrecevabilité de la demande reconventionnelle, subsidiairement à son rejet.
Le défendeur a dupliqué le 9 mars 2012. La demanderesse a déposé des déterminations le 29 juin 2012.
Le Président du Tribunal civil a demandé aux parties si elles entendaient plaider sur la recevabilité de la demande reconventionnelle. Toutes deux ont répondu par la négative.
Par jugement du 21 novembre 2012, le Tribunal civil a déclaré irrecevable la demande reconventionnelle, pour les motifs suivants: ladite demande était tardive dès lors qu'elle avait été déposée après l'expiration du délai de réponse. Elle devait en principe être traitée comme une action indépendante. En l'occurrence, le défendeur avait agi après le 1er janvier 2011, de sorte que son action était régie par le nouveau CPC [RS 272], tandis que l'ancien Code de procédure civile fribourgeois (aCPC/FR) gouvernait l'action principale introduite en 2003. L'on ne pouvait joindre des causes soumises à des procédures différentes. Au demeurant, la demande introduite par le défendeur ne respectait pas l'exigence de la conciliation préalable. Partant, elle était irrecevable.
B.b. Le défendeur a formé appel auprès du Tribunal cantonal fribourgeois, dont la I e Cour d'appel civil a confirmé le jugement d'irrecevabilité par arrêt du 17 mai 2013.
C.
Le défendeur saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile, dans lequel il requiert que sa demande reconventionnelle soit déclarée recevable, subsidiairement qu'elle soit traitée par les autorités cantonales comme une nouvelle demande soumise à l'ancien CPC fribourgeois et qu'elle soit jointe à la cause initiée par la demanderesse.
La demanderesse conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.
Le recours bénéficie de l'effet suspensif en vertu d'une ordonnance présidentielle du 10 octobre 2013.
Considérant en droit:
1.
L'arrêt attaqué statue de façon finale sur l'action reconventionnelle du défendeur contre la demanderesse. Il s'agit d'une décision partielle susceptible de recours (art. 91 let. a LTF; cf. ATF 132 III 785 consid. 2 i.f. ), et non pas d'une décision incidente comme le plaide la demanderesse. La valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. requise par l'art. 74 al. 1 let. b LTF est manifestement atteinte, ce qu'admettent au demeurant les deux parties.
2.
Le défendeur dénonce une application arbitraire des art. 133 al. 1 et 161 aCPC/FR. L'analyse selon laquelle il aurait déposé tardivement sa demande reconventionnelle serait insoutenable.
2.1. Le principe de simultanéité des moyens d'attaque et de défense impose aux parties de présenter leurs moyens en une seule fois et à un stade donné de la procédure; il est assorti d'atténuations. Avant l'entrée en vigueur du CPC, cette question relevait des droits cantonaux ( FABIENNE HOHL, Procédure civile, tome I, 2001, n os 806-808 et 813).
La réglementation découlant de l'ancien CPC fribourgeois est la suivante:
Art. 130 II. Production des moyens d'attaque et de défense
1 Les parties articulent en une fois, sous peine de déchéance, tous leurs moyens d'attaque ou de défense; (...).
2 Les allégations de fait et les moyens de preuve peuvent encore être complétés jusqu'au début de l'administration des preuves. Ils ne peuvent l'être subséquemment que si la production n'en était pas possible auparavant, si le retard est excusable ou si des faits nouveaux ressortent des preuves administrées d'office par le juge.
(...)
Art. 131 III. Modification de la demande
1 Le demandeur peut modifier ses conclusions ou en prendre de plus amples, pourvu que les conclusions nouvelles soient en connexité juridique avec la demande primitive.
2 L'allégation de faits nouveaux à l'appui des conclusions modifiées n'est possible que dans les limites de l'article 130 al. 2 et 3.
(...)
Art. 133 2. Reconvention
1 Le défendeur peut former une demande reconventionnelle devant le juge saisi de la demande principale si celui-ci est compétent à raison de la matière pour connaître de la reconvention et si les deux demandes sont soumises à la même procédure.
(...)
Art. 160 D. Notification de la demande
1 Le président fait notifier la demande au défendeur en lui fixant un délai pour produire sa réponse.
(...)
Art. 161 2. Réponse
A. Contenu
1 La réponse contient:
(...)
c) le cas échéant, la demande reconventionnelle du défendeur.
La demande reconventionnelle est une action introduite par le défendeur contre le demandeur dans le procès pendant ( HOHL, op. cit., n° 362; ATF 124 III 207 consid. 3a p. 208).
2.2.
2.2.1. L'analyse du Tribunal cantonal est en substance la suivante: conformément à la jurisprudence, la reconvention devait être introduite dans la réponse au plus tard, en vertu du principe de simultanéité des moyens d'attaque et de défense (RFJ 1997 p. 271; cf. aussi HOHL, op. cit., n° 379). Le demandeur était autorisé à préciser ou compléter sa demande initiale dans les limites des art. 130 al. 2 et 131 al. 1 aCPC/FR. Toutefois, la reconvention sortait de ce cadre, dès lors qu'elle constituait une nouvelle action, et non pas seulement une nouvelle conclusion formulée dans le cadre d'une action déjà pendante. Exercée après le délai de réponse, l'action reconventionnelle était tardive.
2.2.2. L'on ne discerne pas d'arbitraire dans ce raisonnement. L'art. 161 aCPC/FR (comme l'actuel art. 224 al. 1 CPC) prévoit que la demande reconventionnelle est introduite dans la réponse. S'il n'agit pas à ce stade, le défendeur ne peut pas ensuite se prévaloir de l'art. 131 al. 1 aCPC/FR, qui suppose la préexistence de conclusions, que le défendeur n'a précisément pas prises (cf. RFJ 1997 p. 271; pour le nouveau CPC: LAURENT KILLIAS, in Berner Kommentar, 2012, n° 46 ad art. 224 CPC). Aucune disposition du code fribourgeois ne réserve la possibilité d'exercer l'action reconventionnelle ultérieurement, contrairement à ce que prévoyait par exemple le droit zurichois (§ 117 aZPO/ZH). Les commentateurs du nouveau CPC sont aussi d'avis qu'à défaut de disposition expresse, le défendeur ne peut pas intenter l'action reconventionnelle après le délai de réponse ( DANIEL WILLISEGGER, in Basler Kommentar, 2 e éd. 2013, n° 33 ad art. 224 CPC), même lorsque les conditions pour modifier une demande sont réalisées ( STAEHELIN/STAEHELIN/GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 2 e éd. 2013, § 21 n. 4; ROGER DÜRR, in Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], BAKER & MC KENZIE éd., 2010, n° 12 ad art. 224 CPC), respectivement lorsque le demandeur principal modifie son action ( ERIC PAHUD, in Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO] Kommentar, BRUNNER/GASSER/SCHWANDER éd., 2011, n° 12 ad art. 224 CPC).
2.2.3. Le défendeur ne critique pas à proprement parler le fait que la reconvention doit être exercée dans le délai de réponse. Il tient pour arbitraire l'analyse selon laquelle il a agi hors du cadre de la réponse. Il observe que d'après la terminologie employée par le tribunal et la demanderesse, il était question de "compléter" la demande; cela signifiait donc que la demande n'était pas définitivement formulée et que l'écriture du 15 octobre 2010 faisait encore partie de la demande. La phase "réponse" ne pouvait se clore avant celle de la demande complète. Le tribunal aurait "élargi" le premier échange d'écritures en ordonnant un complément de demande.
Le défendeur joue avec les mots. La demande déposée le 22 décembre 2003 lui a été notifiée et un délai de réponse lui a été imparti (dossier cantonal, p. 37 et p. 39). Le 14 juin 2004, il a conclu au rejet de la demande et pris une conclusion subsidiaire. Il n'y avait pas trace d'une conclusion reconventionnelle, et le défendeur ne le prétend pas.
La procédure civile a ensuite connu une interruption de fait pendant quelques années, en raison du procès pendant aux Etats-Unis (cf. jgt de première instance, p. 8). A l'issue de celui-ci, la demanderesse a annoncé sa volonté de "compléter" sa demande. Le Président du tribunal l'a invitée à agir dans un certain délai. Selon l'autorité précédente, la demanderesse a ainsi fait usage de la possibilité de modifier sa demande initiale (art. 131 al. 1 aCPC/FR). L'on ne discerne pas d'arbitraire dans cette analyse. Une fois l'écriture déposée, le juge a accordé un délai au défendeur pour "répondre". Il ne s'agit manifestement pas du délai de réponse de l'art. 160 al. 1 aCPC/FR, qui avait déjà expiré quelques années avant. L'on ne se trouve pas dans un cas où le juge aurait suspendu la procédure juste après le dépôt de la demande, avant d'avoir invité le défendeur à répondre. En bref, il n'était pas insoutenable de conclure que le défendeur avait agi à titre reconventionnel après l'expiration du délai de réponse.
Au passage, le défendeur relève que les conclusions nouvelles de la partie adverse ne sont pas connexes à sa demande initiale; il ne dénonce toutefois pas une application arbitraire de l'art. 131 al. 1 aCPC/FR, ce qui clôt toute discussion.
2.3. Le défendeur invoque une violation du principe de l'égalité des armes, fondé sur l'art. 29 Cst., en ce sens qu'il serait indûment privé de la possibilité de modifier sa réponse et de formuler une demande reconventionnelle, alors que la partie adverse a été autorisée à compléter sa demande.
Encore une fois, la partie adverse a fait usage de la possibilité légale de modifier sa demande. Quant à l'action reconventionnelle, les juges fribourgeois ont constaté qu'elle n'était aucunement guidée par l'évolution du litige entre 2004 et 2010, trouvant son fondement dans la résiliation du contrat de fiducie intervenue en 1999; qu'en d'autres termes, le défendeur aurait pu agir en 2004 déjà. Celui-ci, dans le présent recours, affirme avoir appris grâce à la discovery américaine que la demanderesse avait détourné ses fonds, au lieu de les investir conformément aux instructions données. Toutefois, les décisions cantonales ne constatent rien de tel; elles se réfèrent au contraire à un courrier dans lequel le défendeur soutient que la procédure étrangère n'avait aucun lien avec le procès fribourgeois. En définitive, l'on ne saurait reprocher à l'autorité précédente un arbitraire ou une violation de l'art. 29 Cst., étant entendu qu'après le délai de réponse, le défendeur garde la possibilité d'agir dans une procédure distincte. Pour le surplus, le défendeur a pu se déterminer sur la demande modifiée.
2.4. Le défendeur plaide que les juges fribourgeois auraient à tout le moins dû traiter ses conclusions reconventionnelles comme une nouvelle demande, la soumettre à l'ancienne procédure fribourgeoise et la joindre à l'action principale. Il fait observer que la demande modifiée [déposée le 15 octobre 2010] lui a été notifiée six mois plus tard [soit le 18 avril 2011], après l'entrée en vigueur du nouveau CPC. Vu le retard pris, les juges fribourgeois ne pouvaient le priver de la possibilité de joindre les procédures, sauf à verser dans le formalisme excessif.
La cour cantonale a souligné que le droit fédéral comme l'ancien droit cantonal autorisent la jonction de causes uniquement lorsqu'elles sont régies par la même procédure (art. 224 al. 1 CPC; art. 133 al. 1 aCPC/FR); que par ailleurs, l'interdiction du formalisme excessif ne saurait avoir pour effet de déroger aux règles impératives du droit fédéral concernant le droit transitoire et de permettre à celui qui l'invoque de choisir la procédure qui lui convient le mieux. Un tel raisonnement - que le défendeur ne discute pas - ne va nullement à l'encontre du droit fédéral. Peut dès lors rester indécise la question de savoir si le défendeur a ou non reçu en octobre 2010 une copie de la demande modifiée.
2.5. Le défendeur objecte enfin qu'il n'était ni nécessaire, ni compréhensible d'exiger une tentative de conciliation, alors que la partie adverse avait déjà accompli une telle démarche en 2003.
L'art. 198 let. g CPC prévoit une dispense à la tentative de conciliation préalable en cas d'action reconventionnelle; cette exception tient au fait que l'action du défendeur est introduite dans une procédure déjà en cours (cf. JAMES T. PETER, in Berner Kommentar, n° 13 ad art. 198 CPC; FRANÇOIS BOHNET, in CPC commenté, 2011, n° 28 ad art. 198 CPC). En l'occurrence, l'action du défendeur ne pourrait être traitée que dans une procédure distincte, pour les motifs déjà exposés; elle ne saurait donc échapper à la phase de conciliation (cf. art. 198 et 199 CPC a contrario ). Le non-respect de cette exigence entraîne l'irrecevabilité de la demande (cf. art. 221 al. 2 let. b en liaison avec l'art. 59 al. 1 CPC; Message du 28 juin 2006 relatif au code de procédure civile suisse, FF 2006 6941; SIMON ZINGG, in Berner Kommentar, n° 161 ad art. 59 CPC; BOHNET, op. cit., n° 63 s. ad art. 59 CPC). Sur ce dernier point non plus, la décision attaquée n'est pas contraire au droit fédéral.
3.
En définitive, le défendeur et recourant succombe. En conséquence, il devra supporter les frais et dépens de la présente procédure.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Un émolument judiciaire de 3'000 fr. est mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 3'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la I e Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 6 janvier 2014
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
La Greffière: Monti