Sachverhalt:
A. Der aus der Türkei stammende X._ reiste am 19. Oktober 1999 illegal in die Schweiz ein und hielt sich hier in den folgenden Monaten ohne Bewilligung auf. Am 18. Februar 2000 heiratete er die Schweizerin Y._, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Obwohl die Ehe mit Urteil vom 22. März 2006 mittlerweile geschieden worden war, unterbreitete das Migrationsamt des Kantons Zürich im Februar 2007 die weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung dem Bundesamt für Migration zur Genehmigung.
B. Das Bundesamt verweigerte mit Verfügung vom 9. August 2007 seine Zustimmung. Zur Begründung führte es im Wesentlichen an, dass zahlreiche Indizien auf das Bestehen einer Scheinehe hindeuteten, weshalb die Berufung auf diese Ehe im fremdenpolizeilichen Verfahren rechtsmissbräuchlich sei. Eine gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde wurde vom Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 26. September 2008 abgewiesen.
C. Mit Eingabe vom 7. November 2008 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts und die Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung.
Auf die Anordnung eines Schriftenwechsels wurde verzichtet.
Erwägungen:
1. Auf die Beschwerde kann grundsätzlich eingetreten werden, da sie unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) und Form (Art. 42 BGG) von einer durch die Entscheidung besonders berührten Partei mit einem schutzwürdigen Interesse an deren Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 BGG) eingereicht wurde. Sie richtet sich gegen einen vom Bundesverwaltungsgericht (Art. 86 Abs. 1 lit. a BGG) gefällten Endentscheid (Art. 90 BGG) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG). Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten allerdings unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Soweit sich die vorliegende Beschwerde gegen die Verweigerung einer Aufenthaltsbewilligung nach freiem Ermessen (Art. 4 ANAG; E. 7 und E. 8 des angefochtenen Entscheids) richtet, ist sie daher unzulässig, und es ist in diesem Umfang nicht darauf einzutreten.
2. 2.1 Da das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung vor dem 1. Januar 2008 eingereicht wurde, ist für das vorliegende Verfahren noch das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) massgeblich (vgl. Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG; SR 142.20]).
2.2 Nach Art. 7 Abs. 1 ANAG hat der ausländische Ehegatte einer Schweizer Bürgerin grundsätzlich Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (Satz 1) sowie nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung (Satz 2). Wie erwähnt, wurde die Ehe des Beschwerdeführers mit seiner Schweizer Gattin am 22. März 2006 geschieden. Er hat deshalb grundsätzlich keinen Anspruch mehr auf eine Aufenthaltsbewilligung nach Art. 7 Abs. 1 erster Satz ANAG. Sollte er aber vor der Scheidung einen Anspruch auf eine Niederlassungsbewilligung gemäss dem zweiten Satz von Art. 7 Abs. 1 ANAG erworben haben, so kann er sich hierauf auch nach Beendigung der Ehe berufen. Wohl steht vorliegend keine Niederlassungsbewilligung in Frage, hat sich doch der Beschwerdeführer in den bisherigen Verfahren darauf beschränkt, die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu beantragen. Indessen könnte ihm, falls ein Anspruch auf eine Niederlassungsbewilligung bestünde, die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung umso weniger verweigert werden (BGE 128 II 145 E. 1.1.4 f. S. 149 f. mit Hinweisen), zumal Letztere ein weniger gefestigtes Anwesenheitsrecht vermittelt.
2.3 Nachdem die Ehe des Beschwerdeführers mit seiner Schweizer Ehefrau mehr als fünf Jahre gedauert hat, bevor die Scheidung rechtskräftig wurde, hätte er grundsätzlich Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung. Wie bereits die Vorinstanz zutreffend ausführte, besteht ein solcher Anspruch jedoch dann nicht, wenn die Ehe eingegangen worden ist, um die Vorschriften über Aufenthalt und Niederlassung von Ausländern und namentlich jene über die Begrenzung der Zahl der Ausländer zu umgehen (Art. 7 Abs. 2 ANAG). Erfasst wird davon die sogenannte Scheinehe bzw. Ausländerrechtsehe, bei der die Ehegatten von vornherein keine echte eheliche Gemeinschaft beabsichtigen. Aber auch wenn die Ehe nicht bloss zum Schein eingegangen worden ist, heisst dies nicht zwingend, dass dem ausländischen Ehepartner der Aufenthalt ungeachtet der weiteren Entwicklung gestattet werden muss. Zu prüfen ist diesfalls, ob sich die Berufung auf die Ehe nicht anderweitig als rechtsmissbräuchlich erweist, was namentlich dann der Fall ist, wenn ein Ausländer sich im fremdenpolizeilichen Verfahren auf eine Ehe beruft, welche nur noch formell besteht oder aufrechterhalten wird mit dem alleinigen Ziel, ihm eine Anwesenheitsbewilligung zu ermöglichen. Dieses Ziel wird von Art. 7 ANAG nicht geschützt (BGE 131 II 265 E. 4.2 S. 267 mit Hinweisen).
2.4 Das Bundesverwaltungsgericht erwog, dass zahlreiche Indizien für das Vorliegen einer Scheinehe vorhanden seien (E. 6.3 des angefochtenen Entscheids): So sei der Beschwerdeführer zum Zeitpunkt der Eheschliessung verpflichtet gewesen, die Schweiz zu verlassen, zumal er illegal eingereist sei und sich anschliessend illegal hier aufgehalten habe. Aus der Einvernahme des Beschwerdeführers durch die Stadtpolizei Winterthur vom 19. November 2003 ergebe sich zudem, dass sich die Ehepartner erst kurze Zeit vor der Eheschliessung kennen gelernt hätten. Weiter erwog die Vorinstanz, dass die eheliche Gemeinschaft bereits kurze Zeit nach der Eheschliessung wieder aufgegeben worden sei, wobei diesbezüglich im Laufe des Verfahrens von den beiden Ehegatten sehr unterschiedliche Angaben gemacht worden seien. Es stehe jedoch fest, dass sich der Beschwerdeführer per 30. März 2001 bei der Einwohnerkontrolle von Schlieren angemeldet und angegeben habe, von seiner Ehefrau getrennt zu leben. Am 15. Februar 2002 habe das Bezirksgericht Winterthur ein erstes, von der Ehefrau eingeleitetes Scheidungsverfahren zufolge Rückzugs der Klage abgeschrieben und gleichzeitig die Trennung der Ehegatten festgestellt. In der Hauptverhandlung des neuerlichen Scheidungsverfahrens hätten beide Ehegatten am 21. März 2006 übereinstimmend ausgesagt, seit Februar 2002 getrennt zu leben. Das Bundesverwaltungsgericht ging deshalb davon aus, dass die eheliche Gemeinschaft bereits im März 2001, spätestens jedoch im Februar 2002 faktisch nicht mehr bestanden habe. Diese sei erst wieder aufgenommen worden, nachdem das Migrationsamt des Kantons Zürich dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 14. Oktober 2003 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ein erstes Mal verweigert gehabt habe: Am 20. Oktober 2003, nur vier Tage nach Erhalt der fraglichen Verfügung, habe sich der Beschwerdeführer nämlich wieder an der Adresse der Ehefrau angemeldet, worauf ihm das Migrationsamt am 27. November 2003 auch tatsächlich erneut eine Aufenthaltsbewilligung ausgestellt habe.
Der Beschwerdegegner wendet bezüglich des Vorwurfs der Scheinehe einzig ein, dass die Aussagen seiner geschiedenen Ehefrau nicht verlässlich seien und auf diese nicht abgestellt werden könne. Dieser Einwand erweist sich jedoch bereits deshalb als unerheblich, weil das Bundesverwaltungsgericht in den wesentlichen Erwägungen gar nicht auf die betreffenden Aussagen der geschiedenen Ehefrau des Beschwerdeführers abgestellt hat. Es stützte seinen Entscheid vielmehr auf objektive und vom Beschwerdeführer auch nicht bestrittene Gegebenheiten sowie auf ebenfalls unbestrittene Aussagen des Beschwerdeführers selbst.
Bei dieser Sachlage ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz zum Schluss gelangte, der Beschwerdeführer habe rechtsmissbräuchlich gehandelt, indem er seine Ehe mit einer Schweizer Bürgerin dazu benutzt habe, sich ein Aufenthaltsrecht zu verschaffen und zu erhalten. Die geführte Ehe begründet demnach keinen Rechtsanspruch des Beschwerdeführers auf einen Aufenthaltstitel gemäss Art. 7 Abs. 1 ANAG. Die Verweigerung der Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung ist mithin zu Recht erfolgt.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Januar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Zähndler