Sachverhalt:
A. S._ (geb. am xxxx 2005) ist der gemeinsame Sohn von T._ und R._. Die Eltern waren nie verheiratet und der Mutter stand die alleinige elterliche Sorge zu. Am 25. März 2008 verstarb T._ bei einem Verkehrsunfall. Seither befindet sich S._ in der Obhut seines Vaters.
B. B.a Mit Beschluss vom 27. März 2008 ernannte die Vormundschaftsbehörde A._ U._ als Beiständin von S._ und beauftragte sie, die Frage der Zuteilung der elterlichen Sorge zu prüfen.
B.b Am 24. April 2008 lehnte die Vormundschaftsbehörde den Antrag auf Übertragung der elterlichen Sorge an die Tante, X._, und die Übergabe von S._ in die Obhut der Grosseltern, Y._ und Z._, ab. U._ wurde beauftragt, nach Ablauf von zwei Monaten Bericht und Antrag betreffend die Übertragung der elterlichen Sorge an den Kindsvater, R._, sowie die Einräumung und Ausgestaltung des Besuchsrechts der Grosseltern und der Tante zu erstatten.
Das Departement des Innern des Kantons Solothurn schützte diesen Beschluss am 3. Juli 2008.
B.c Auf Empfehlung von U._ beschloss die Vormundschaftsbehörde am 14. August 2008, dass die elterliche Sorge an den Kindsvater übertragen, den Grosseltern jedoch ein Besuchsrecht von jedem zweiten Wochenende von Freitag, 19 Uhr, bis Sonntag, 17 Uhr, zugestanden werde. Im Übrigen wurde neu W._ als Beiständin von S._ ernannt.
Das Departement des Innern schützte diesen Beschluss am 22. Dezember 2008.
B.d Gegen die Verfügung des Departements des Innern erhoben X._ sowie Y._ und Z._ Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Sie verlangten insbesondere die Aufhebung des vormundschaftlichen Beschlusses und die Errichtung der Vormundschaft über das Kind S._. X._ sei als Vormündin einzusetzen und ihr sei die Obhut über S._ zu übertragen. Dem Kindsvater R._ sei ein angemessenes Besuchs- und Ferienrecht einzuräumen.
Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 15. Mai 2009 ab und auferlegte den Beschwerdeführern die Verfahrens- und Parteikosten.
C. X._ (fortan: Beschwerdeführerin 1) sowie Y._ und Z._ (fortan: Beschwerdeführer 2) gelangten mit Beschwerde in Zivilsachen vom 24. Juni 2009 an das Bundesgericht. Sie verlangen die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils und wiederholen im Weiteren die vor dem Verwaltungsgericht gestellten Anträge. Eventualiter beantragen sie die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht. Es sind keine Antworten eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Vor Bundesgericht ist die Frage streitig, ob in Anwendung von Art. 298 Abs. 2 ZGB die elterliche Sorge über das Kind S._ an den Kindsvater übertragen werden soll oder ob stattdessen eine Vormundschaft zu errichten und die Beschwerdeführerin 1 als Vormündin einzusetzen sowie dieser die Obhut zu übertragen ist. Der angefochtene letztinstanzliche Entscheid (Art. 75 Abs. 1 BGG) betrifft eine Zivilsache, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich offen steht (Art. 72 Abs. 1 BGG).
1.2 Auf die Beschwerde kann nur eingetreten werden, wenn der Beschwerdeführer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG; BGE 133 III 421 E. 1.1 S. 425 f.). Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG). Es untersucht deshalb grundsätzlich von Amtes wegen, ob und inwiefern eine Beschwerde zulässig ist. Immerhin ist die Beschwerde gemäss Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG hinreichend zu begründen. Der Beschwerdeführer hat darzulegen, dass die gesetzlichen Legitimationsvoraussetzungen gegeben sind. Soweit diese nicht ohne weiteres ersichtlich sind, ist es nicht Aufgabe des Bundesgerichts, anhand der Akten oder weiterer, noch beizuziehender Unterlagen nachzuforschen, ob und inwiefern der Beschwerdeführer zur Beschwerde zuzulassen ist (BGE 133 II 249 E. 1.1. S. 251; 133 II 353 E. 1 S. 356; Urteile 5A_493/2007 vom 20. August 2008 E. 2 und 5A_443/2008 vom 14. Oktober 2008 E. 2).
1.2.1 Die Beschwerdeführerin 1 verlangt die Errichtung der Vormundschaft über ihren Neffen S._ und beantragt ihre Einsetzung als dessen Vormündin. Ihr Begehren stützt sie auf Art. 381 ZGB. Zur Begründung führt sie aus, die verstorbene Kindsmutter habe am 11. Februar 2006 eine Vorsorgevollmacht errichtet und darin angeordnet, dass (unter anderem) bei ihrem Tod das alleinige Sorgerecht über S._ der Beschwerdeführerin 1 zu übertragen sei.
1.2.2 Gemäss Art. 298 Abs. 2 ZGB überträgt die Vormundschaftsbehörde beim Tod einer unverheirateten Mutter die elterliche Sorge dem Vater oder bestellt dem Kind einen Vormund, je nachdem, was das Wohl des Kindes erfordert.
Die Behörde hat bei der Wahl des Vormunds einem tauglichen nahen Verwandten des zu Bevormundenden den Vorzug zu geben, sofern nicht wichtige Gründe dagegen sprechen (Art. 380 ZGB ). Hat die zu bevormundende Person oder deren Vater oder Mutter jemanden als den Vormund ihres Vertrauens bezeichnet, so soll dieser Bezeichnung, wenn nicht wichtige Gründe dagegen sprechen, Folge geleistet werden (Art. 381 ZGB).
Das Bundesgericht hat wiederholt entschieden, dass ein Verwandter weder gestützt auf Art. 380 ZGB noch auf Art. 381 ZGB einen Anspruch auf die Ernennung zum Vormund herleiten kann (BGE 118 Ia 229 E. 2 S. 230 f.; 117 Ia 506 S. 507; 107 II 506 E. 3 S. 506 f.; 107 Ia 343 E. 2 S. 344 f.; Urteil 5A_443/2008 vom 14. Oktober 2008 E. 2.2). In BGE 117 Ia 506 S. 507 hat es ausgeführt, dass im Randtitel von Art. 380 ZGB zwar von einem "Vorrecht" die Rede sei, damit aber nicht gemeint sein könne, dass die Verwandten geradezu einen Anspruch darauf hätten, zum Vormund ernannt zu werden. Das Vorrecht werde nicht im Interesse des Verwandten gewährt, sondern in jenem des Mündels bzw. im öffentlichen Interesse, weil der Gesetzgeber von der widerlegbaren Vermutung ausgehe, ein Verwandter sei als Vormund am besten geeignet. Gleich verhalte es sich mit Artikel 381 ZGB. Dem Verwandten oder dem vorgeschlagenen Vormund des Vertrauens gehe daher die Beschwerdelegitimation ab. Anzumerken ist, dass Art. 388 Abs. 2 ZGB, wonach die Wahl des Vormunds von jedermann, der ein Interesse hat, angefochten werden kann, daran nichts zu ändern vermag. Es handelt sich dabei um eine für das Gebiet des Vormundschaftsrechts geltende Sondervorschrift, die auf das Verfahren der Beschwerde in Zivilsachen nicht anwendbar ist. Die Beschwerdelegitimation beurteilt sich ausschliesslich nach Art. 76 BGG (vgl. BGE 126 I 43 E. 1a S. 44).
1.2.3 Vor diesem Hintergrund ist es nicht ohne weiteres ersichtlich, inwiefern die Beschwerdeführerin 1 durch die Übertragung der elterlichen Sorge an den Kindsvater in ihren rechtlich geschützten Interessen tangiert sein sollte. Demzufolge läge es an ihr, in ihrer Begründung darzutun, woraus sie ein Recht ableitet, die Errichtung der Vormundschaft über S._ zu verlangen und zu dessen Vormündin ernannt zu werden. Sie begnügt sich jedoch damit, ihren Anspruch auf Art. 381 ZGB zu stützen, ohne sich explizit zur Beschwerdelegitimation zu äussern. Inwiefern die Beschwerdeführerin 1 zudem ein rechtlich geschütztes Interesse aus Art. 298 Abs. 2 ZGB herleiten könnte, ist ebenfalls weder ersichtlich noch dargetan. Auf ihre Beschwerde kann daher nicht eingetreten werden.
1.2.4 Inwiefern die Beschwerdeführer 2 als Grosseltern ein rechtlich geschütztes Interesse haben sollten, wenn sie dazu nicht einmal Anträge stellen, ist ebenfalls nicht ersichtlich. Auch auf ihre Beschwerde kann nicht eingetreten werden.
1.3 Die Beschwerdeführer verlangen weiter die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Entscheids bezüglich die Auferlegung der Verfahrens- und Parteikosten. Betreffend diesen Antrag sind die Beschwerdeführer zwar legitimiert, sie begründen ihn jedoch mit keinem Wort. Weil die Begründungsanforderungen an eine Beschwerde in Zivilsachen damit nicht erfüllt sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), ist auch auf dieses Begehren nicht einzutreten. Anzumerken ist, dass auch keine Neuverteilung der Kosten gemäss Art. 67 BGG und Art. 68 Abs. 5 BGG erfolgen kann, da der angefochtene Entscheid vorliegend nicht geändert wird.
2. Auf die Beschwerde ist somit insgesamt nicht einzutreten. Ausgangsgemäss tragen die Beschwerdeführer unter solidarischer Haftbarkeit die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. September 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin:
Hohl Gut