Faits:
A. B._, née en 1952, a travaillé en qualité d'aide-infirmière à l'Hôpital X._ et était, à ce titre, assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Winterthur Assurances (actuellement: Axa Assurances SA [ci-après: Axa]).
Le 31 mai 2004, elle a chuté dans les escaliers à son domicile et a heurté son coude droit contre le mur.
En raison d'une inflammation au coude et de la persistance de douleurs, l'assurée s'est rendue deux jours plus tard au service des urgences de l'Hôpital X._. Son coude a été immobilisé au moyen d'une attelle plâtrée durant cinq semaines. L'intéressée s'est adressée ensuite au docteur C._, spécialiste en neurologie, lequel a diagnostiqué une mononeuropathie chronique du nerf interosseux postérieur droit sous l'arcade de Frohse et une épicondylite post-traumatique (rapport du 17 septembre 2004). Le 10 novembre 2004, le professeur H._, spécialiste en orthopédie, a procédé à une cure d'épicondylite selon Hohmann et à une neurolyse du rameau interosseux profond du nerf radial. Dans son protocole opératoire, ce médecin a fait état d'une épicondylite chronique avec une compression de la branche interosseuse profonde du nerf radial dans la loge de Frohse du côté droit.
Axa a pris en charge le cas et a confié une expertise à son médecin conseil, le docteur D._, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapport du 28 janvier 2005). Se fondant sur cette expertise, elle a informé l'assurée, le 4 mars 2005, de son intention de supprimer tout droit aux prestations à partir du 1er octobre 2004. L'intéressée a contesté la suppression de son droit en produisant un rapport d'expertise du professeur S._, spécialiste en orthopédie et chirurgie de la main (rapport du 15 juin 2005).
Axa a alors confié une autre expertise au docteur G._, spécialiste en neurologie, lequel a indiqué que le statu quo ante vel sine n'était pas encore atteint (rapport du 13 janvier 2006).
Les troubles se sont ensuite aggravés, entraînant une impotence fonctionnelle du membre supérieur droit. Après avoir requis une nouvelle fois les avis des docteurs G._ (rapport d'expertise du 27 avril 2007 et rapport complémentaire du 6 août 2007) et P._, spécialiste en chirurgie et médecin conseil d'Axa (rapport du 31 janvier 2008), celle-ci a rendu une décision le 11 décembre 2007, confirmée sur opposition le 13 février 2008, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assurée à des prestations d'assurance à partir du 1er septembre 2007.
De son côté, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel a alloué à l'intéressée une rente entière d'invalidité à partir du 1er mai 2005 (décision du 3 octobre 2007).
B. Saisi d'un recours contre la décision sur opposition de l'assureur-accidents du 13 février 2008, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel l'a rejeté par jugement du 11 novembre 2008.
C. B._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle requiert l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une rente complémentaire d'invalidité à partir du 1er mai 2005, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement.
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer sur celui-ci.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit éventuel de la recourante à des prestations de l'assurance-accidents après le 31 août 2007, singulièrement à une rente complémentaire d'invalidité.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète la jurisprudence relative à l'exigence d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre une atteinte à la santé et un événement dommageable de caractère accidentel. Il suffit donc d'y renvoyer.
2.1 La juridiction cantonale a confirmé le point de vue de l'intimée, selon lequel il n'existait pas de lien de causalité naturelle entre les troubles au membre supérieur droit persistant après le 31 août 2007 et l'accident du 31 mai 2004. Ces troubles consistent en un syndrome douloureux au coude droit (épicondylite, compression du nerf radial au niveau de l'arcade de Frohse) qui a finalement entraîné, trois ans après l'accident, une impotence fonctionnelle du membre supérieur et de l'épaule droits. Les premiers juges se sont fondés sur les avis des docteurs D._ (rapport du 28 janvier 2005), P._ (rapport du 31 janvier 2008) et G._ (rapport du 27 avril 2007 et rapport complémentaire du 6 août 2007), selon lesquels le statu quo ante vel sine a été atteint au plus tôt à l'échéance d'une période d'un mois après l'accident mais au plus tard après trois ans. Sur ce point, la juridiction cantonale a relevé que l'appréciation du professeur S._ (rapport du 15 juin 2005) - d'après lequel le statu quo ante vel sine n'est pas encore atteint - n'était pas de nature à mettre en doute les conclusions des médecins prénommés, du moment qu'elle reposait à tort sur l'idée qu'une épicondylite apparue avant l'accident était guérie au moment de la survenance de celui-ci et que la chute survenue le 31 mai 2004 était suffisamment violente pour entraîner des lésions graves.
De son côté, la recourante soutient qu'au regard des avis médicaux ci-dessus mentionnés, les troubles qui ont motivé l'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité sont sans aucun doute en relation de causalité naturelle avec l'accident. Se fondant sur le rapport d'expertise du docteur G._ du 13 janvier 2006, elle allègue que cet événement est très certainement à l'origine de la symptomatologie persistant au moment de cette première expertise. Cette symptomatologie s'est ensuite aggravée, aboutissant à une impotence fonctionnelle du membre supérieur droit, trouble qui ne correspond plus tant à une épicondylite qu'à une atteinte mono- ou pluri-tronculaire, selon le docteur G._ (rapport d'expertise du 27 avril 2007). Or, selon la recourante, ce médecin n'explique pas cette évolution défavorable du point de vue somatique, de sorte que ses conclusions ne permettent pas de nier l'existence d'un lien de causalité entre la symptomatologie actuelle et l'accident.
2.2 2.2.1 En l'occurrence, il est incontestable que la recourante a déjà souffert de douleurs au coude droit avant l'accident. Au mois de juin 2003, en effet, sont apparues des épicondylalgies qui ont amené l'intéressée à consulter le docteur M._, spécialiste en médecine générale, lequel a fait état d'une épicondylite latéro-postérieure. Selon ce médecin, les symptômes douloureux ont toutefois totalement disparu après infiltrations de Xylocaïne et de Cortisone dépôt (rapport du 7 novembre 2005). Le docteur G._ est toutefois d'avis que la disparition de la symptomatologie ne permet pas d'exclure une fragilisation antérieure de l'épicondyle et/ou de l'arcade de Frohse qui a finalement favorisé la récidive et surtout la chronification des douleurs. Comme il n'était pas possible de savoir si cette atteinte chronique était la suite de l'accident ou d'une affection préexistante, le docteur G._, dans un premier temps, a renoncé à définir clairement l'influence respective de ces deux facteurs dans la symptomatologie apparue après l'accident (rapport du 13 janvier 2006). Dans son second rapport d'expertise du 27 avril 2007, ce médecin a constaté une aggravation de l'atteinte fonctionnelle du membre supérieur droit avec une extension et une bâtardisation des anomalies qui évoquent moins une épicondylite qu'une atteinte mono- ou pluri-tronculaire. Selon l'expert, s'il existe une relation de causalité naturelle entre l'apparition des troubles et l'événement accidentel, l'atypie et l'importance de la symptomatologie actuelle s'expliquent difficilement par la seule influence de l'accident du 31 mai 2004, lequel n'était pas de nature, selon le cours ordinaire des choses, à entraîner les troubles, ainsi que leur répercussion fonctionnelle. Aussi, dans son rapport complémentaire du 6 août 2007, le docteur G._ a-t-il indiqué que le tableau clinique n'était plus dans une relation de causalité hautement vraisemblable avec l'accident et qu'en ce qui concerne les seules conséquences de cet événement, le statu quo ante vel sine a été atteint le 31 mai 2007, soit au plus tard trois ans après l'accident.
2.2.2 L'élément décisif pour apprécier la valeur probante d'un avis médical n'est en principe ni son origine, ni sa désignation sous la forme d'un rapport ou d'une expertise, mais bel et bien son contenu. Il importe, pour lui conférer pleine valeur probante, que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées (ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352 et les références; VSI 2001 p. 106, I 128/98 consid. 3a).
En l'occurrence, la motivation à l'appui des conclusions du docteur G._ n'apparaît pas pleinement convaincante. Si, comme l'indique ce médecin, la nature particulière de la symptomatologie actuelle s'explique difficilement par la seule influence de l'accident, lequel n'était pas propre, selon le cours ordinaire des choses, à entraîner une telle symptomatologie, cela ne permet pas d'établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, que l'accident n'est pas la condition sine qua non de la péjoration constatée. En effet, il n'est pas nécessaire qu'un accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé pour établir l'existence d'un lien de causalité naturelle. Il suffit que l'événement dommageable, associé éventuellement à d'autres facteurs, ait provoqué l'atteinte à la santé (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références). Du reste, le docteur G._ a exprimé ses doutes quant à l'origine de l'évolution défavorable du cas, se contentant de formuler l'hypothèse d'une extension régionale progressive des douleurs à travers une réaction de crispation devant la douleur persistante, amenant à un tableau de tendomyogélose extrêmement importante du membre supérieur droit avec limitation secondaire de la mobilité articulaire, allodynie et troubles sensitivo-moteurs subjectifs associés, l'alternative étant une algoneurodystrophie un peu atypique. Ses doutes ont d'ailleurs incité l'expert à préconiser un séjour à la Clinique Y._ afin, notamment, d'y effectuer une appréciation diagnostique (rapport du 27 avril 2007).
Certes, le docteur P._ a indiqué qu'en l'absence d'une atteinte structurelle déterminante due à l'accident, seule une aggravation passagère pouvait être scientifiquement reconnue et prise en charge à ce titre par l'assureur-accidents (rapport du 31 janvier 2008). Toutefois, en l'état du dossier, il existe un doute quant à la présence d'une atteinte en relation avec cet événement. En effet, une électroneuromyographie réalisée par le docteur C._ le 17 septembre 2004 a révélé des signes d'atteinte chronique dans les muscles dépendant du nerf interosseux postérieur droit. Par ailleurs, une nouvelle électroneuromyographie mise en oeuvre par le docteur G._ a permis de confirmer la présence d'une atteinte neurogène périphérique séquellaire, témoignant d'une lésion ancienne du nerf interosseux postérieur (rapport du 27 avril 2007). Or, selon cet expert, il n'est pas possible de savoir si cette atteinte est due à l'accident ou si elle découle d'une affection préexistante (rapport du 13 janvier 2006).
Quant au docteur D._, il attribue implicitement à une affection ancienne la compression du nerf radial sur l'arcade de Frohse, sans aucunement motiver son point de vue. Dans ces conditions, on ne peut conférer pleine valeur probante à ses conclusions selon lesquelles l'accident n'a fait que réactiver une épicondylite ancienne et le statu quo sine a été atteint un mois après cet événement (rapport du 28 janvier 2005).
De son côté, le professeur S._ a indiqué que la symptomatologie persistant au mois de juin 2005 était due à l'accident (rapport du 15 juin 2005). Cependant, comme il ne tient pas compte de l'aggravation importante de l'atteinte fonctionnelle survenue postérieurement et attestée par le docteur G._, cet avis médical n'est d'aucun secours pour connaître les incidences de l'accident sur la symptomatologie existant au moment déterminant.
2.2.3 Vu ce qui précède, il n'est pas possible, en l'état du dossier, de trancher le point de savoir s'il existe un lien de causalité naturelle entre l'atteinte à la santé persistant au-delà du 31 août 2007, date à laquelle l'intimée a supprimé le droit aux prestations de l'assurance-accidents, et l'événement survenu le 31 mai 2004. Il y a lieu dès lors de renvoyer la cause à l'intimée pour nouvelle décision après complément d'instruction sous la forme d'une expertise indépendante au sujet de la nature exacte et de l'origine des troubles dont souffre encore la recourante après le 31 août 2007.
La conclusion subsidiaire du recours se révèle ainsi bien fondée.
3. L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). En outre, la recourante a droit à une indemnité de dépens (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis en ce sens que la décision sur opposition de l'intimée du 13 février 2008 et le jugement du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel du 11 novembre 2008 sont annulés, la cause étant renvoyée à l'intimée pour complément d'instruction au sens des considérants et nouvelle décision.
2. Les frais judiciaires, d'un montant de 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Celle-ci versera à la recourante une indemnité de dépens de 2'800 fr. pour l'instance fédérale.
4. La cause est renvoyée au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel pour qu'il statue sur les dépens de la procédure cantonale au regard de l'issue du procès de dernière instance.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 décembre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant: Le Greffier:
Frésard Beauverd