Sachverhalt:
A. Die australischen Behörden führen unter anderem gegen Z._ eine Strafuntersuchung wegen Verstosses gegen die Meldepflicht zur Offenlegung von Beteiligungen an einer Aktiengesellschaft und Meineids. Sie ersuchten die Schweizer Behörden in verschiedner Hinsicht um Rechtshilfe, so unter anderem um die Herausgabe von Unterlagen betreffend das von der Bank A._ in Zürich für die Firma L._ geführte Konto Nr. 1; ebenso betreffend das von der Bank B._ für die Stiftung S._ geführte Konto Nr. 2.
B. Mit Teil-Schlussverfügung vom 10. Januar 2005 entsprach die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich dem Rechtshilfeersuchen unter anderem insoweit, als sie die bei den beiden Banken erhobenen Unterlagen zu den genannten Konten der ersuchenden Behörde herausgab.
C. Auf den von Z._ dagegen erhobenen Rekurs trat das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 4. Juni 2005 nicht ein. Es verneinte die Rekurslegitimation.
D. Z._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, den Beschluss des Obergerichtes sowie die Teil-Schlussverfügung aufzuheben und die Rechtshilfe zu verweigern; unabhängig vom angefochtenen Beschluss und der konkret zugrunde liegenden Teil-Schlussverfügung sei die Rechtshilfe im vorliegenden Verfahren (REC 3/2004/051) insgesamt zu verweigern; die Staatsanwaltschaft I sei anzuweisen, sämtliche im Rahmen des vorliegenden Rechtshilfeverfahrens beschlagnahmten Unterlagen, insbesondere die Bankunterlagen, die bei den Banken A._ und B._ erhoben wurden, an die jeweils betroffene Bank bzw. Amtsstelle zurückzugeben.
In prozessualer Hinsicht beantragt er, der Verwaltungsgerichtsbeschwerde sei aufschiebende Wirkung zuzuerkennen; es sei eine mündliche, nicht-öffentliche Parteiverhandlung anzuordnen.
E. Die Staatsanwaltschaft I und das Obergericht haben auf Vernehmlassung verzichtet.
Das Bundesamt für Justiz beantragt unter Hinweis auf die seines Erachtens zutreffenden Erwägungen des Obergerichts die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer macht (S. 11 ff.) geltend, die Vorinstanz habe die Rekurslegitimation zu Unrecht verneint. Das Vorbringen ist zulässig (BGE 124 II 124 E. 1b; 122 II 130 E. 1, mit Hinweisen; ROBERT ZIMMERMANN, La Coopération judiciaire internationale en matière pénale, 2. Aufl., Bern 2004, S. 351 N. 308). Auf die Beschwerde ist insoweit einzutreten.
2. 2.1 Gemäss Art. 80h lit. b des Bundesgesetzes vom 20. März 1981 über internationale Rechtshilfe in Strafsachen (IRSG; SR 351.1) ist zur Beschwerde berechtigt, wer persönlich und direkt von einer Rechtshilfemassnahme betroffen ist und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung hat. Personen, gegen die sich das ausländische Strafverfahren richtet, sind nach Art. 21 Abs. 3 IRSG ebenfalls nur unter den gleichen Voraussetzungen zur Beschwerde befugt.
Nach der Rechtsprechung liegt ein schutzwürdiges Interesse nicht schon dann vor, wenn jemand irgend eine Beziehung zum Streitobjekt zu haben behauptet. Vielmehr muss eine vom einschlägigen Bundesrecht erfasste spezifische Beziehungsnähe gegeben sein. Eine bloss mittelbare Betroffenheit genügt nicht (BGE 128 II 211 E. 2.3 S. 217 mit Hinweisen). Als persönlich und direkt betroffen gilt bei der Erhebung von Kontoinformationen der Kontoinhaber (Art. 9a lit. a der Verordnung vom 24. Februar 1982 über internationale Rechtshilfe in Strafsachen [IRSV; SR 351.11]). Der am Konto nur wirtschaftlich Berechtigte ist grundsätzlich nicht zur Beschwerde befugt. Eine Ausnahme gilt dann, wenn die juristische Person, die als Kontoinhaberin geführt wird, nicht mehr besteht (BGE 123 II 153 E. 2). Der wirtschaftlich Berechtigte muss die Auflösung der juristischen Person mit amtlichen Dokumenten beweisen (Urteile 1A.10/2000 vom 18. Mai 2000 E. 1e und 1A.131/1999 vom 26. August 1999 E. 3b; ZIMMERMANN, a.a.O., S. 352 Fn. 2088). Nicht zur Beschwerde befugt ist der Verfasser von Schriftstücken, die im Besitze eines Dritten beschlagnahmt werden (BGE 130 II 162 E. 1.1 S. 164; 123 II 161 E. 1d S. 164 f.; 116 Ib 106 E. 2a S. 109 ff.); ebenso wenig eine Drittperson, die in Kontounterlagen erwähnt ist, etwa als Empfänger einer vom Kontoinhaber vorgenommenen Überweisung (BGE 128 II 211 E. 2.3 S. 218 mit Hinweisen).
2.2 Der Beschwerdeführer ist nicht Inhaber der beiden Konten, über welche der ersuchenden Behörde Auskunft erteilt werden soll. Inhaber des Kontos bei der Bank A._ ist die Firma L._; des Kontos bei der Bank B._ die Stiftung S._. Der Beschwerdeführer stellt das nicht in Frage. Er macht auch nicht geltend, eine dieser beiden juristischen Personen bestehe nicht mehr. Erst recht belegt er dies nicht mit amtlichen Dokumenten. Die Firma L._ und die Stiftung S._ konnten somit Rekurs erheben. Damit hatte die Vorinstanz keinen Grund, dem Beschwerdeführer die Rekurslegitimation zuzuerkennen. Wie sie (S. 5 E. 2) zutreffend darlegt, war der Beschwerdeführer als lediglich wirtschaftlich Berechtigter an zwei Unterkonten des Kontos Nr. 1 und als in den Unterlagen des Kontos Nr. 2 Erwähnter nicht zum Rekurs befugt.
Die Erwägungen der Vorinstanz sind in keiner Weise zu beanstanden. Sie hat im Lichte der Rechtsprechung die Rekurslegitimation offensichtlich zu Recht verneint.
2.3 Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist allein die Frage der Rekurslegitimation. Auf die darüber hinausgehenden umfangreichen Ausführungen in der Beschwerde ist deshalb nicht einzutreten.
Da die Sache klar und spruchreif ist, erübrigt sich die beantragte Parteiverhandlung.
Mit dem vorliegenden Entscheid ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung hinfällig. Die Beschwerde hatte im Übrigen ohnehin von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung (Art. 21 Abs. 4 lit. b und Art. 80l Abs. 1 IRSG).
3. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (Art. 156 Abs. 1 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I, Abteilung B, und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, sowie dem Bundesamt für Justiz, Abteilung internationale Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2005
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: