Faits:
A. A.a Le 21 octobre 2005, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) a mis L._ au bénéfice d'une rente entière d'invalidité, assortie d'une rente pour enfant, à partir du 1er juin 2003. Dans sa décision, il lui demandait de prendre les dispositions nécessaires pour débuter le plus rapidement possible un traitement auprès d'un psychiatre, ce qui lui permettrait d'améliorer sa capacité de travail; il l'a également informée de la possibilité de réduire les prestations si l'assuré se soustrayait à un traitement raisonnablement exigible.
A.b Au cours d'une procédure de révision ouverte d'office en février 2006, L._ a indiqué à l'office AI que son état était stationnaire et que le dernier contrôle médical avait eu lieu chez le docteur T._, médecin-chef à l'Hôpital X._ (questionnaire du 29 juin 2006). De son côté, ce médecin a expliqué que la dernière consultation remontait au 12 mai 2004 et qu'il était prêt si nécessaire à convoquer la patiente pour une évaluation. Le 3 août 2006, l'administration a requis des informations complémentaires de l'assurée (nom et adresse du médecin traitant, date de la dernière visite, nom et adresse du psychiatre qu'elle aurait le cas échéant consulté durant la dernière année, date de la dernière consultation éventuelle). Cette demande étant restée sans réponse, l'office AI a, après quatre rappels (les 4 septembre, 13 octobre et 17 novembre 2006, ainsi que le 9 janvier 2007), notifié à l'intéressée une sommation (du 14 février 2007) dans laquelle il l'a rendue attentive à son obligation de renseigner et aux conséquences du refus de s'y conformer. Il lui a par ailleurs imparti un délai au 3 mars 2007 pour répondre, faute de quoi il rendrait sa décision sur la base du dossier en sa possession, ce qui pourrait conduire à la suppression des prestations.
Par courrier du 16 novembre 2007, l'office AI a informé l'assurée de la suspension de sa rente à compter (de la fin) du mois d'avril 2007 et lui a donné une nouvelle fois la possibilité de répondre aux questions posées précédemment, "avant de supprimer définitivement la rente". Ayant appris que le fils de l'intéressée, né le 28 juillet 2007, était décédé le 13 août 2007, il a décidé d'attendre le 15 février 2008 (note interne du 4 décembre 2007). A la suite d'un entretien téléphonique avec l'assurée du 18 février 2008, l'office AI lui a envoyé un courrier daté du même jour - puis une copie le 3 mars suivant - dans lequel il réitérait tant les questions que les avertissements antérieurs et lui impartissait un délai au 29 février 2008 pour répondre. Sans nouvelles de la part de L._, l'office AI a, par décision du 27 mars 2008, supprimé la rente d'invalidité avec effet au 1er mai 2007, date à laquelle la prestation avait été suspendue.
B. L'assurée a déféré cette décision au Tribunal administratif de la République et canton du Jura, qui l'a déboutée le 3 octobre 2008 en rejetant également sa demande d'assistance judiciaire.
C. L._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre le jugement cantonal, dont elle demande l'annulation. Sous suite de frais et dépens, elle conclut au maintien de sa rente entière d'invalidité au-delà du mois d'avril 2007 et à l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale; à titre subsidiaire, elle requiert le renvoi de la cause au Tribunal administratif jurassien pour qu'il rende une nouvelle décision sur le fond. Elle sollicite aussi le bénéfice de l'assistance judiciaire en instance fédérale.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
D. La IIe Cour de droit social a tenu une audience publique le 30 novembre 2009.
Considérant en droit:
1. Le recours étant recevable comme recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le recours constitutionnel subsidiaire est en l'espèce exclu (art. 113 LTF) et doit être déclaré irrecevable. Les griefs soulevés par la recourante dans son recours constitutionnel subsidiaire seront toutefois traités comme faisant partie intégrante du recours en matière de droit public interjeté parallèlement, dès lors que le droit fédéral au sens de l'art. 95 let. a LTF comprend les droits constitutionnels.
2. Le recours peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140).
Par ailleurs, le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Cette disposition lui donne la faculté de rectifier ou compléter d'office l'état de fait de l'arrêt attaqué dans la mesure où des lacunes ou erreurs dans celui-ci lui apparaîtraient d'emblée comme manifestes. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
Aucun fait ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF). En l'espèce, parmi les documents versés par la recourante à l'appui de ses conclusions, tant le certificat médical du 11 novembre 2008 - postérieur au jugement entrepris - que la décision de l'assureur-accidents du 19 septembre 2008 - qui n'a été produite qu'en instance fédérale - constituent des pièces nouvelles au sens de l'art. 99 al. 1 LTF et ne sont pas recevables de ce chef.
3. Le litige porte sur la suppression de la rente entière d'invalidité de la recourante à partir du 1er mai 2007 en raison d'une violation de l'obligation de renseigner.
3.1 Selon l'art. 28 al. 2 LPGA, celui qui fait valoir son droit à des prestations doit fournir gratuitement tous les renseignements nécessaires pour établir ce droit et fixer les prestations dues. Aux termes de l'art. 43 al. 1, première phrase, LPGA, l'assureur examine les demandes, prend d'office les mesures d'instruction nécessaires et recueille les renseignements dont il a besoin. L'assuré doit se soumettre à des examens médicaux ou techniques si ceux-ci sont nécessaires à l'appréciation du cas et qu'ils peuvent être raisonnablement exigés (art. 43 al. 2 LPGA). Si l'assuré ou d'autres requérants refusent de manière inexcusable de se conformer à leur obligation de renseigner ou de collaborer à l'instruction, l'assureur peut se prononcer en l'état du dossier ou clore l'instruction et décider de ne pas entrer en matière. Il doit leur avoir adressé une mise en demeure écrite les avertissant des conséquences juridiques et leur impartissant un délai de réflexion convenable (art. 43 al. 3 LPGA). Le cas échéant, l'assureur pourra rejeter la demande présentée par l'intéressé en considérant que les faits dont celui-ci entend tirer un droit ne sont pas démontrés (cf. ATF 117 V 261 consid. 3b p. 264 et les références).
L'art. 73 RAI (dans sa version en vigueur du 1er janvier 2004 au 31 décembre 2007) précise encore que si l'assuré ne donne pas suite, sans excuse valable, à la convocation à un examen médical, à une expertise, à une audition devant l'office AI ou à une demande de renseignements, l'office AI peut soit se prononcer en l'état du dossier, après avoir imparti à l'assuré un délai raisonnable avec indication des conséquences du défaut de collaboration, soit suspendre les éclaircissements et renoncer à entrer en matière. Toutefois, selon la jurisprudence, l'assureur ne peut se prononcer en l'état du dossier ou refuser d'entrer en matière que s'il ne lui est pas possible d'élucider les faits sans difficultés ni complications spéciales, malgré l'absence de collaboration de l'assuré (ATF 108 V 229 consid. 2 p. 231).
3.2 Entrée en vigueur le 1er janvier 2008, la modification de la LAI du 6 octobre 2006 (5ème révision AI) a introduit des règles précisant les obligations de l'assuré, notamment celle de collaborer à la mise en oeuvre de différentes mesures (art. 7 al. 2 LAI) et les sanctions entraînées par le manquement à ces devoirs.
Ainsi, l'art. 7b al. 1 LAI prévoit que les prestations peuvent être réduites ou refusées conformément à l'art. 21 al. 4 LPGA si l'assuré a manqué aux obligations prévues à l'art. 7 de la présente loi ou à l'art. 43 al. 2 LPGA. Selon l'art. 7b al. 2 LAI les prestations peuvent être réduites ou refusées, en dérogation à l'art. 21 al. 4 LPGA, sans mise en demeure et sans délai de réflexion (notamment) si l'assuré ne communique pas à un office AI les renseignements dont ce dernier a besoin pour remplir les tâches qui lui sont assignées par la loi (let. d). La décision de réduire ou de refuser des prestations doit tenir compte de toutes les circonstances du cas d'espèce, en particulier du degré de la faute et de la situation financière de l'assuré (art. 7b al. 3 LAI).
Concrétisant les conséquences d'un manquement aux obligations de collaborer, le Conseil fédéral a introduit un nouvel art. 86bis al. 1 RAI, lequel est également entré en vigueur au 1er janvier 2008 (Modification du RAI du 28 septembre 2007; RO 2007 5155). Cette disposition précise que si l'assuré a manqué aux obligations prévues à l'art. 7 LAI ou encore à l'art. 43 al. 2 LPGA, la rente est réduite au maximum de moitié pendant six mois au plus. Selon l'art. 86bis al. 2 RAI, dans les cas prévus à l'art. 7b al. 2 let. a à d LAI, la rente est réduite au maximum d'un quart pendant trois mois au plus. Dans les cas particulièrement graves, la rente peut être refusée (art. 86bis al. 3 RAI).
4. La juridiction cantonale a retenu qu'en ne donnant pas suite à la demande de renseignements du 3 août 2006 - laquelle portait sur des informations nécessaires à l'intimé pour se prononcer en connaissance de cause sur la révision de la rente -, la recourante avait fait preuve de négligence fautive. Aussi, l'intimé était-il en droit de suspendre puis de supprimer la rente de l'assurée en application de l'art. 7b al. 2 let. d LAI, dans la mesure où en l'absence des renseignements requis, il lui était impossible de statuer sur l'existence d'un motif de révision. De l'avis des premiers juges, l'intimé pouvait dès lors en déduire que l'état de santé de la recourante s'était amélioré, ceci d'autant plus qu'elle n'avait pas réagi à la suspension du versement de la rente dès le 1er mai 2007. La suppression était par ailleurs proportionnée à l'importance de la négligence fautive de la recourante, compte tenu des nombreux rappels et sommations qui lui avaient été notifiés et de la durée pendant laquelle elle avait manqué à son obligation de renseigner. Sa situation financière n'avait en outre pas été mise en péril, puisqu'elle ne s'était pas rendue compte jusqu'au 18 février 2008 de la suspension du versement de sa rente depuis le 1er mai précédent.
5. Compte tenu de la date à partir de laquelle la rente a été supprimée (1er mai 2007) par la décision administrative, il y a lieu d'examiner si la suppression est conforme au droit au regard des dispositions de la LPGA et de la LAI en vigueur à cette date (et jusqu'au 31 décembre 2007). En cas de réponse positive, la recourante n'aurait plus droit à une rente à partir du 1er mai 2007, sans que les dispositions modifiées ou introduites par la modification de la LAI du 6 octobre 2006 (5ème révision), en vigueur depuis le 1er janvier 2008, y changent quelque chose. A cet égard, dans la mesure où le jugement entrepris confirme la suppression de la rente en vertu de l'art. 7b al. 2 let. d LAI pour une période antérieure à l'entrée en vigueur de cette norme - application rétroactive qui n'est pas prévue par les dispositions transitoires de la modification du 6 octobre 2006 -, il est contraire au droit.
6. Au regard des dispositions alors applicables, la suppression de la rente avec effet au 1er mai 2007 peut être envisagée sous trois angles différents qu'il convient chacun d'examiner.
6.1 De manière générale, une rente d'invalidité peut être modifiée pour l'avenir, à savoir augmentée, réduite ou supprimée lorsque le taux d'invalidité du bénéficiaire de la rente subit une modification notable, conformément à l'art. 17 LPGA, qui prévoit les conditions de la révision de prestations durables.
En l'occurrence, au moment d'allouer la rente à la recourante, l'intimé a indiqué que selon les renseignements en sa possession, la capacité de travail de l'assurée devait s'améliorer si elle suivait un "traitement spécifique" auprès d'un psychiatre. L'office AI a ainsi émis le pronostic que l'état de santé de la recourante et sa capacité de travail allaient s'améliorer, respectivement augmenter à l'avenir. Ce pronostic ne s'est cependant pas réalisé. En effet, contrairement aux constatations de la juridiction cantonale à cet égard, qui apparaissent manifestement inexactes, voire insoutenables (consid. 2 supra), il n'est pas possible de retenir que l'état de santé de la recourante s'était amélioré au moment de la suspension de la rente. La seule circonstance que l'assurée n'a pas réagi à la demande de renseignements, puis à la suspension du versement de la rente (à partir du 1er mai 2007), ne permettait pas de faire quelque déduction que ce soit sur son état de santé. A défaut de tout renseignement médical sur l'évolution de la situation depuis le prononcé de la rente - les propres indications de la recourante (questionnaire du 29 juin 2006) n'étant pas suffisantes -, une modification de l'état de santé de la recourante ou de toute autre circonstance à prendre en considération sous l'angle de la révision prévue à l'art. 17 LPGA n'étaient pas établies au degré de la vraisemblance prépondérante. En conséquence, le droit à la rente ne pouvait être modifié en se fondant sur cette disposition.
6.2 Il en va de même en ce qui concerne la suppression prévue par l'art. 21 al. 4 LPGA. Selon cette disposition, les prestations peuvent être réduites ou refusées temporairement ou définitivement si l'assuré se soustrait ou s'oppose, ou encore ne participe pas spontanément, dans les limites de ce qui est exigé de lui, à un traitement ou à une mesure de réinsertion professionnelle raisonnablement exigible et susceptible d'améliorer sa capacité de travail ou d'offrir une nouvelle possibilité de gain. Une mise en demeure écrite l'avertissant des conséquences juridiques et lui impartissant un délai de réflexion convenable doit lui avoir été adressée.
Si dans sa décision initiale de rente, l'intimé a certes cité l'art. 21 al. 4 LPGA, il n'a toutefois pas indiqué de manière suffisamment explicite à la recourante qu'il lui enjoignait de se soumettre à un traitement, dont il n'a précisé ni la nature exacte, ni les modalités. A cet égard, les termes employés relèvent davantage d'une invitation que d'une réelle injonction, dont l'assurée ne pouvait, ni ne devait inférer qu'il s'agissait d'une obligation dont la violation était susceptible de produire des effets négatifs sur son droit à la rente d'invalidité. Les nombreux courriers et rappels envoyés par l'intimé à la recourante tout au long de la procédure administrative ne comprennent par ailleurs aucune mise en demeure assortie d'un temps de réflexion, par laquelle l'intimé aurait constaté que la recourante n'avait pas suivi le traitement en question et lui aurait imparti un délai pour s'y soumettre, faute de quoi sa prestation risquait d'être supprimée. Les conditions d'application de l'art. 21 al. 4 LPGA n'étaient dès lors pas réalisées.
6.3 Il reste à examiner si la suppression de la rente au 1er mai 2007 est conforme au droit sous l'angle de l'obligation de renseigner de l'assuré (art. 28 al. 2 LPGA, 43 al. 3 LPGA et 73 RAI).
6.3.1 Selon les constatations de la juridiction cantonale, la recourante n'a pas répondu aux questions posées par l'intimé, la première fois le 3 août 2006, ni aux nombreux rappels et sommations qui ont suivi (la dernière fois en 2007, le 16 novembre). Contrairement à ce qu'allègue la recourante, les renseignements demandés n'étaient pas inutiles ou superflus. Même si l'office AI pouvait comprendre au regard des réponses qu'elle avait apportées dans le questionnaire du 29 juin 2006 que le dernier contrôle médical avait eu lieu auprès du docteur T._ (deux ans auparavant, selon les indications subséquentes de celui-ci), il ignorait en revanche si elle avait entrepris des démarches en vue de commencer un traitement psychiatrique, comme elle y avait été invitée par la décision du 21 octobre 2005. Il se justifiait donc de lui demander des précisions à cet égard.
Comme l'a par ailleurs retenu la juridiction cantonale, l'attitude de la recourante n'était pas excusable. C'est en vain qu'elle prétend avoir présenté des troubles psychiques bien avant le mois d'août 2007 qui l'auraient empêchée de répondre aux différentes sollicitations de l'intimé et de saisir les conséquences d'un manque de collaboration. Il ressort des constatations des premiers juges que l'instruction médicale menée par l'administration dans le cadre de la demande de rente n'avait mis en évidence aucune incapacité de s'acquitter de tâches administratives. A défaut d'être attestée par un médecin, une telle incapacité pour la période ici déterminante n'est pas même rendue vraisemblable par les allégations de la recourante. Par conséquent, et quoi qu'elle en dise, la recourante a manqué de manière inexcusable à son obligation de renseignements (prévue à l'art. 28 al. 2 LPGA). Il est constant, par ailleurs, que l'intimé lui a, à plusieurs reprises, imparti un délai pour respecter son obligation et l'a avertie des conséquences de son attitude.
6.3.2 Dans une telle situation, lorsque l'assuré - comme la recourante - manque à son obligation de renseigner, l'art. 43 al. 3 LPGA (consid. 3.1 supra) prévoit que l'administration est en droit de se prononcer en l'état du dossier (l'alternative du refus d'entrer en matière n'étant pas pertinente ici). Elle ne peut alors se contenter d'examiner la situation sous l'angle du seul refus de collaboration de l'assuré, mais doit procéder à une évaluation du point de vue matériel à la lumière des pièces au dossier (arrêt I 988/06 du 28 mars 2007 consid. 7, in SVR 2007 IV n° 48 p. 156).
Dans le contexte particulier de la révision d'une prestation en cours, une telle évaluation en application de l'art. 43 al. 3 LPGA pourrait toutefois conduire à un résultat singulier. Lorsque l'assuré ne se conformerait pas à son devoir de renseignement et que le dossier ne contiendrait, comme en l'espèce, aucun élément permettant d'admettre que l'état de santé ou d'autres circonstances déterminantes sous l'angle de l'art. 17 LPGA se seraient modifiés (consid. 6.1 supra), l'absence d'informations aurait pour résultat que l'administration ne pourrait réduire ou supprimer la prestation. En d'autres termes, l'absence de collaboration de l'assuré n'entraînerait, dans le cadre particulier de la révision d'une rente d'invalidité, aucune conséquence défavorable pour lui (dans ce sens, MARKUS KRAPF, Selbsteingliederung und Sanktion in der 5. IV-Revision, RSAS 2008 p. 122 ss, p. 143). Une telle solution n'est cependant pas admissible, dès lors qu'elle permettrait à un assuré d'éviter la réduction ou la suppression de sa rente, en refusant toute collaboration avec l'administration, laquelle serait empêchée d'élucider les faits conduisant, le cas échéant, à la diminution ou la suppression des prestations.
6.3.3 L'application de l'art. 43 al. 3 LPGA dans un cas où des prestations sont en cours et où l'assuré qui les perçoit refuse de manière inexcusable de se conformer à son devoir de renseigner ou de collaborer à l'instruction de la procédure de révision, empêchant par là que l'organe d'exécution de l'assurance-invalidité établisse les faits pertinents, suppose que le fardeau de la preuve soit renversé. En principe, il incombe bien à l'administration d'établir une modification notable des circonstances influençant le degré d'invalidité de l'assuré, si elle entend réduire ou supprimer la rente. Toutefois, lorsque l'assuré refuse de façon inexcusable de la renseigner, il lui est impossible de démontrer les faits conduisant à une modification du taux d'invalidité. Dans un tel cas, lorsque l'assuré empêche fautivement que l'office AI administre les preuves nécessaires, il convient d'admettre un renversement du fardeau de la preuve (cf. consid. 2.2 non publié de l'ATF 129 III 181; HANS PETER WALTER, Beweis und Beweislast im Haftpflichtprozessrecht, in Haftpflichtprozess 2009, p. 47 ss, p. 58). Il appartient alors à l'assuré d'établir que son état de santé, ou d'autres circonstances déterminantes, n'ont pas subi de modifications susceptibles de changer le taux d'invalidité qu'il présente.
6.3.4 En l'espèce, la recourante, qui a manqué de manière inexcusable à son devoir de collaboration, n'a apporté aucun élément de preuve, voire même un indice, au cours de la procédure administrative pour rendre vraisemblable que son état de santé ne s'était pas amélioré. En conséquence, l'intimé était en droit, après avoir dûment imparti un délai à la recourante pour respecter son obligation de renseignements et l'avoir avertie des conséquences de son attitude, d'admettre que l'état de santé de l'assurée s'était amélioré à partir de la sommation du 14 février 2007. La suppression de la rente à partir du mois de mai 2007 (art. 88bis al. 2 let. b RAI) - du moins aussi longtemps que l'assurée persistait dans son refus de collaborer - était dès lors conforme au droit.
7. 7.1 Il résulte de ce qui précède que le jugement entrepris n'est pas critiquable dans son résultat et le recours se révèle mal fondé sur le fond.
7.2 En revanche, compte tenu déjà du fait que la juridiction cantonale a fondé son raisonnement sur une disposition légale qui n'était pas applicable pour la période litigieuse du 1er mai au 31 décembre 2007 (supra consid. 5), on ne saurait considérer que les conclusions du recours cantonal étaient dénuées de chances de succès au sens de l'art. 61 let. f LPGA. C'est donc à tort que l'autorité de recours de première instance a rejeté la demande d'assistance judiciaire de l'assurée et la conclusion y relative doit être admise; la recourante doit être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale.
8. La recourante, qui satisfait aux conditions de l'art. 64 al. 1 LTF, est dispensée de l'obligation de payer les frais judiciaires. Quant aux conditions auxquelles l'art. 64 al. 2 LTF subordonne la désignation d'un avocat d'office, elles sont également réalisées. L'attention de la recourante est cependant attirée sur le fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal si elle devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est partiellement admis en ce sens que le jugement du 3 octobre 2008 du Tribunal cantonal jurassien est annulé en tant qu'il porte sur le rejet de la demande d'assistance judiciaire gratuite présentée par la recourante. L._ a droit à l'assistance judiciaire pour la procédure de recours cantonale. Le recours est rejeté pour le surplus.
3. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal jurassien pour nouvelle décision sur la prise en charge des frais de la procédure antérieure et le montant à allouer à l'avocat de la recourante au titre de l'assistance judiciaire.
4. L'assistance judiciaire est accordée à la recourante.
5. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois provisoirement supportés par la caisse du Tribunal.
6. Me Pierre Boillat est désigné en tant qu'avocat d'office et une indemnité de 2800 fr., provisoirement supportée par la caisse du Tribunal, lui est allouée à titre d'honoraires.
7. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Chambre des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 novembre 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless