Erwägungen:
1. X._, Staatsangehöriger der Demokratischen Republik Kongo, geb. 1970, reiste am 1. November 2002 als Asylbewerber in die Schweiz ein. Das Asylgesuch wurde, unter gleichzeitiger Anordnung der Wegweisung, am 17. Februar 2003 abgewiesen. Die Schweizerische Asylrekurskommission wies die gegen die entsprechende Verfügung erhobene Beschwerde mit Urteil vom 22. September 2006 ab. Ein Wiedererwägungsgesuch von X._ blieb erfolglos (Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 30. August 2007).
Am 22. Dezember 2007 reichte X._ beim Amt für Migration des Kantons Luzern ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung (Härtefallbewilligung im Sinne von Art. 14 Abs. 2 AsylG) ein. Das Amt für Migration trat mit Verfügung vom 10. April 2008 darauf nicht ein. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern wies die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde am 24. Juni 2008 ab. Am 29. Juli 2008 erhob X._ beim Bundesgericht Beschwerde gegen den Beschwerdeentscheid des Departements; im Wesentlichen beantragt er, es sei ihm die weitere Anwesenheit in der Schweiz zu gestatten. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Der Beschwerdeführer ist abgewiesener Asylbewerber. Gemäss Art. 14 Abs. 1 AsylG kann eine asylsuchende Person ab Einreichung des Asylgesuches bis zur Ausreise nach einer rechtskräftig angeordneten Wegweisung kein Verfahren um Erteilung einer ausländerrechtlichen Aufenthaltsbewilligung einleiten, ausser es bestehe ein Anspruch auf deren Erteilung. Nun kann ein Kanton mit Zustimmung des Bundesamtes für Migration einer ihm nach dem Asylgesetz zugewiesenen Person, die sich seit Einreichung des Asylgesuchs mindestens fünf Jahre in der Schweiz aufhält, eine Aufenthaltsbewilligung erteilen, wenn wegen fortgeschrittener Integration ein schwerwiegender persönlicher Härtefall vorliegt (Art. 14 Abs. 2 AsylG); will er von dieser Möglichkeit Gebrauch machen, so meldet er dies dem Bundesamt unverzüglich (Art. 14 Abs. 3 AsylG); die betroffene Person hat nur beim Zustimmungsverfahren des Bundesamtes Parteistellung (Art. 14 Abs. 4 AsylG). Aus dieser Regelung, die entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers (S. 3 der Beschwerdeschrift) nicht erst, wie das neue Ausländergesetz, am 1. Januar 2008 in Kraft getreten, sondern bereits seit dem 1. Januar 2007 wirksam ist, ergibt sich, dass Ausländern, deren Asylgesuch abgewiesen und die weggewiesen worden sind und die weder aus einer bundesgesetzlichen Norm noch aus Völkerrecht einen Bewilligungsanspruch ableiten können, kein Recht auf ein formelles kantonales Bewilligungsverfahren zusteht. Dies bedeutet, dass sie einen (letztinstanzlichen) kantonalen Entscheid, der die Frage einer Bewilligungserteilung nach Art. 14 Abs. 2 AsylG zum Gegenstand hat, nicht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht anfechten können (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Als bundesrechtliches Rechtsmittel käme höchstens die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) in Betracht, mit welcher ausschliesslich die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann (Art. 116 BGG), wobei in der Beschwerdeschrift konkret aufzuzeigen wäre, inwiefern solche Rechte verletzt worden sein sollen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Zu diesem ausserordentlichen Rechtsmittel ist indessen nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG). Da der Beschwerdeführer keinen Rechtsanspruch auf eine Bewilligung gemäss Art. 14 Abs. 2 AsylG hat und ihm darüber hinaus im kantonalen Verfahren keine Parteistellung zukommt, hat er unter keinem Titel ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung des den Nichteintretensentscheid des Amtes für Migration schützenden angefochtenen Entscheids; namentlich ist er nicht zur einzigen von ihm erhobenen Verfassungsrüge (Verletzung des Willkürverbots) legitimiert (vgl. BGE 133 I 185 E. 6 S. 197 ff.).
Damit ist auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG) im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer sowie dem Amt für Migration und dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. August 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller