Erwägungen:
1. X._ (geb. 1975) stammt aus dem Libanon. Er reiste am 4. Juni 2001 illegal in die Schweiz ein. Das Bundesamt für Migration wies am 22. November 2006 sein Asylgesuch ab und hielt ihn an, das Land zu verlassen. Das Bundesverwaltungsgericht bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin am 8. März 2007. Am 3. Juli 2007 teilte das Bundesamt für Migration dem Ausländeramt St. Gallen mit, dass die libanesische Botschaft bereit sei, für X._ einen Laissez-passer auszustellen. Am 17. Januar 2008 nahm das Ausländeramt X._ in Anwendung von Art. 77 AuG (SR 142.20) in Ausschaffungshaft ("fehlende Mitwirkung bei der Beschaffung der Reisepapiere"). Die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen genehmigte diese am 18. Januar 2008 bis zum 16. März 2008. X._ gelangte hiergegen am 24. Januar 2008 mit dem sinngemässen Antrag an das Bundesgericht, ihn aus der Haft zu entlassen und nicht in den Libanon zurückzuschicken.
2. Seine Eingabe ist - soweit er sich darin überhaupt sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt (Art. 42 Abs. 2 BGG) - offensichtlich unbegründet und kann aufgrund der eingeholten Unterlagen ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden:
2.1 Die zuständige kantonale Behörde kann gestützt auf Art. 77 AuG eine Person zur Sicherstellung des Vollzugs der Weg- oder Ausweisung für maximal sechzig Tage in Haft nehmen, wenn (a) ein vollstreckbarer Entscheid vorliegt, (b) die Schweiz nicht in der angesetzten Frist verlassen wurde und (c) die Behörde die Reisepapiere beschaffen musste. Die für den Vollzug der Weg- oder Ausweisung notwendigen Vorkehrungen sind umgehend zu treffen (Art. 77 Abs. 3 AuG). Die Zulässigkeit der Haft muss innert 96 Stunden durch die richterliche Behörde in einem schriftlichen Verfahren überprüft werden (Art. 80 Abs. 2 Satz 2 AuG). Ziel dieser Unterart der Ausschaffungshaft ist es, zu verhindern, dass der Betroffene untertaucht, nachdem die Reisepapiere von den zuständigen Behörden beschafft worden sind. Die Haft knüpft an die rechtskräftige und vollstreckbare Wegweisungsverfügung an; die Ausreisefrist muss unbenutzt abgelaufen und das Reisepapier von den Behörden bereits beschafft worden sein (vgl. die Botschaft vom 8. März 2002 zum Bundesgesetz über die Ausländerinnen und Ausländer, in: BBl 2002 3709 ff., dort S. 3817).
2.2 Diese Voraussetzungen sind vorliegend erfüllt: Das Asylgesuch des Beschwerdeführers ist am 8. März 2007 rechtskräftig abgewiesen und er angehalten worden, die Schweiz bis zum 12. April 2007 zu verlassen, was er nicht getan hat. Das Bundesamt für Migration bzw. das mit dem Vollzug der Wegweisung beauftragte Migrationsamt vermochten bei der libanesischen Botschaft ein Reisepapier für ihn zu beschaffen; am 17. Januar 2008 buchten sie den Rückflug nach Beirut für den 2. Februar 2008 und ordneten gleichzeitig die Ausschaffungshaft (Art. 77 AuG) an, welche der Haftrichter fristgerecht bestätigte. Der angefochtene Entscheid verletzt deshalb kein Bundesrecht. Die Genehmigung der Haft für die maximale Dauer ist auch nicht unverhältnismässig, da allenfalls ein Sonderflug organisiert werden muss, sollte sich der Beschwerdeführer (weiterhin) weigern, freiwillig auszureisen bzw. den unbegleiteten Rückflug anzutreten.
2.3 Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, nicht in den Libanon zurückkehren zu können, da er dort verfolgt werde, verkennt er, dass hierüber im Asylverfahren rechtskräftig entschieden worden ist und diese Frage nicht (mehr) Gegenstand der Haftprüfung bildet. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht ist gegen asylrechtliche Wegweisungsentscheide ausgeschlossen (Art. 83 lit. c Ziff. 4 AuG). Für alles Weitere wird auf die Begründung im angefochtenen Entscheid verwiesen (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Aufgrund der Umstände (Bedürftigkeit, unmittelbar bevorstehende Ausschaffung) rechtfertigt es sich jedoch, keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Das Ausländeramt des Kantons St. Gallen wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass der vorliegende Entscheid dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt des Kantons St. Gallen, der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen, Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar