Sachverhalt:
A.
Der Kanton Thurgau plant, die ihm gehörende Hauptstrasse am westlichen Dorfende von Ermatingen auszubauen. Das Projekt sieht die Sanierung der Fahrbahn und den Neubau eines Trottoirs vor. Die dagegen erhobene Einsprache der Privatklinik X._ AG sowie von W._ und Z._ wies das Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau am 11. April 2012 ab, was das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 12. September 2012 bestätigte.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen die Privatklinik X._ AG (Beschwerdeführerin 1), die Y._ AG (Beschwerdeführerin 2) und Z._ (Beschwerdeführerin 3), der Entscheid vom 12. September 2012 sei aufzuheben; das kantonale Strassenprojekt sei zu sistieren und zur Koordinierung mit den Arbeiten am Gestaltungsplan "Ermatingen West" und zur Auflage in überarbeiteter koordinierter Fassung an das Tiefbauamt zurückzuweisen.
Das Departement für Bau und Umwelt ersucht um Abweisung der Beschwerde, desgleichen das kantonale Verwaltungsgericht und die Gemeinde Ermatingen.
Die Beschwerdeführerinnen halten in der Stellungnahme zu den Vernehmlassungen der übrigen Verfahrensbeteiligten an ihren Anträgen fest.
C.
Mit Präsidialverfügung vom 3. Dezember 2012 ist das Gesuch der Beschwerdeführerinnen um aufschiebende Wirkung abgewiesen worden.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin 2 war nicht Partei im vorinstanzlichen Verfahren. Vor Bundesgericht ersucht sie, ins Verfahren einzutreten. Diesen Antrag begründet sie damit, die Beschwerdeführerin 3, Alleinaktionärin und einzige Verwaltungsrätin der Gesellschaft, habe ihr im Juli 2012 die Liegenschaft Nr. 736, Grundbuch Ermatingen, als Sacheinlage übertragen, was der Vorinstanz "leider" nicht mitgeteilt worden sei. Nachdem kein Verfahrensbeteiligter Einwendungen vorgebracht hat, ist von einer Zustimmung der Gegenpartei zum Wechsel der Partei im Sinne von Art. 17 Abs. 1 BZP (in Verbindung mit Art. 71 BGG) auszugehen und die Beschwerdeführerin 2 zum Verfahren zuzulassen.
Im Übrigen geben die Sachurteilsvoraussetzungen zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2.
Die Beschwerdeführerinnen haben in diesem Verfahren verschiedene Unterlagen eingereicht. Es kann offenbleiben, inwieweit es sich dabei um zulässige neue Beweismittel im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG handelt. Selbst bei deren Berücksichtigung ändert sich nichts an den nachstehenden Ausführungen.
3.
Streitgegenstand bildet die Frage, ob und gegebenenfalls wie das kantonale Strassenbauprojekt (Sanierung der Fahrbahn der Hauptstrasse am westlichen Dorfende von Ermatingen und Neubau eines Trottoirs) mit dem in Ausarbeitung befindlichen kommunalen Gestaltungsplan "Ermatingen West" abzustimmen ist. Nach Auffassung der Vorinstanz besteht keine (eigentliche) Koordinationspflicht zwischen den beiden Vorhaben. Die gesetzlich erforderliche Abstimmung sei in genügender Weise erfolgt. Die Beschwerdeführerinnen rügen, die Verneinung jeglichen Koordinationsbedarfs verletze Art. 25a des Bundesgesetzes vom 22. Juli 1979 über die Raumplanung (Raumplanungsgesetz, RPG; SR 700) und § 3 des thurgauischen Gesetzes vom 14. September 1992 über Strassen und Wege (StrWG; RB 725.1). Dabei werfen sie dem kantonalen Verwaltungsgericht eine willkürliche, teilweise auf einer Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehörs beruhende Sachverhaltsfeststellung vor.
4.
4.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG); es kann die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
4.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dabei prüft es die Auslegung und Anwendung kantonaler und kommunaler baurechtlicher Vorschriften grundsätzlich nur auf Willkür hin (Art. 9 BV; Urteil 1A_57/2006 vom 6. September 2006 E. 4.4.1, in: ZBl 108/2007 S. 453), sofern nicht eine schwerwiegende Grundrechtseinschränkung zur Diskussion steht (Urteil 1P.840/ 2006 vom 4. Juli 2007 E. 5.1). Die Beschwerde führende Partei trifft eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG). Sie hat anhand und in Auseinandersetzung mit den Erwägungen im angefochtenen Entscheid präzise darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid willkürlich ist (BGE 138 I 171 E. 1.4 S. 176; 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.).
Ebenfalls prüft das Bundesgericht die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung grundsätzlich bloss unter dem eingeschränkten Blickwinkel des Willkürverbots (BGE 136 II 101 E. 3 S. 104 f. mit Hinweisen; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG).
4.3. Nach der Rechtsprechung liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 137 I 1 E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
5.
5.1. Erfordert die Errichtung oder die Änderung einer Baute oder Anlage Verfügungen mehrerer Behörden, ist eine Behörde zu bezeichnen, die für ausreichende Koordination sorgt, u.a. für eine gemeinsame öffentliche Auflage aller Gesuchsunterlagen und die inhaltliche Abstimmung der Verfügungen; diese dürfen keine Widersprüche enthalten (Art. 25a Abs. 1-3 RPG). Diese Grundsätze sind auf das Nutzungsplanverfahren sinngemäss anwendbar (Art. 25a Abs. 4 RPG). Nach der Rechtsprechung ist eine Koordinationspflicht zu bejahen, wenn für die Verwirklichung eines Projekts verschiedene materiellrechtliche Vorschriften zu beachten sind, zwischen denen ein derart enger Sachzusammenhang besteht, dass sie nicht getrennt und unabhängig voneinander angewendet werden dürfen (BGE 126 II 26 E. 5d S. 39 f. mit Hinweisen; Urteile 1C_86/2012 vom 7. September 2012 E. 2.3 und 1A.141/2006 vom 27. September 2006 E. 5.1; Bernhard Waldmann/Peter Hänni, Raumplanungsgesetz, 2006, N. 32 f. zu Art. 25a RPG). Sind die massgeblichen Fragen Gegenstand verschiedener Verfahren, sind diese zeitlich zu koordinieren, wenn wegen des Erfordernisses einer inhaltlich abgestimmten Anwendung des materiellen Rechts keine Möglichkeit besteht, eines davon vorzuziehen (Urteil 1A.102/2001 vom 9. November 2001 E. 5a; vgl. auch Leo Schürmann/Peter Hänni, Planungs-, Bau- und besonderes Umweltschutzrecht, 3. Aufl. 1995, S. 350, und Michèle Hubmann Trächsel, Die Koordination von Bewilligungsverfahren für Bauten im Kanton Zürich, Diss. 1995, S. 13 unten).
5.2. Eine Koordinationspflicht gilt nach dem einschlägigen kantonalen Recht auch im Bereich des kantonalen und kommunalen Strassenbaus. Gemäss § 3 StrWG planen Kanton und Gemeinden ihre Strassen und Wege. Sie stimmen diese aufeinander ab (Abs. 1). Inhalt, Verfahren und Wirkung der Planung richten sich nach dem Baugesetz und dem Bundesgesetz über die Raumplanung (Abs. 2). Die kantonale Baugesetzgebung enthält keine koordinationsrechtlichen Bestimmungen im Zusammenhang mit Strassenbauprojekten des Kantons; lediglich bei kommunalen Baubewilligungsverfahren wird eine Verpflichtung zur zeitlichen und inhaltlichen Koordination statuiert (vgl. § 112 Abs. 1 des Planungs- und Baugesetzes vom 21. Dezember 2011 [RB 700] und § 52 der Verordnung des Regierungsrates vom 18. September 2012 zum Planungs- und Baugesetz und zur Interkantonalen Vereinbarung über die Harmonisierung der Baubegriffe [RB 700.1] bzw. § 106 Abs. 1 des Planungs- und Baugesetzes vom 16. August 1995, in Kraft bis 31. Dezember 2012, und § 19 und § 20 der dazugehörigen Verordnung des Regierungsrates vom 26. März 1996 sowie die Erläuterungen des Departements für Bau und Umwelt zum Planungs- und Baugesetz, 8. Koordinationsrechtliche Fragen, 5. Lieferung Januar 2002).
6.
Das kantonale Verwaltungsgericht hat erwogen, es gehe im Wesentlichen darum, die Kantonsstrasse im westlichen Teil von Ermatingen Richtung Mannenbach zu sanieren und ein Trottoir zu erstellen. Insbesondere das Trottoir sei nötig für die Erschliessung der Parzelle Nr. 782, auf welcher eine grössere Überbauung (mit 17 Einfamilienhäusern) geplant sei. Das Projekt müsse also unabhängig davon realisiert werden, ob ein allfälliger Gestaltungsplan "Ermatingen West" beschlossen werde. Abgesehen davon stehe nicht fest, ob dieser Gestaltungsplan überhaupt komme und wenn ja, zu welchem Zeitpunkt, und wie gross das davon erfasste Gebiet (Perimeter) dannzumal sein werde. Ein Einlenker von der Kantonsstrasse ins Gestaltungsplangebiet werde problemlos möglich sein und die zusätzlich dazu entstehenden Probleme würden minimal ausfallen. Eine Koordination im Sinne von Art. 25a RPG sei zweifelsfrei nicht notwendig. Eine auf § 3 StrWG gestützte Koordinationspflicht bestehe sinngemäss lediglich in Bezug auf das für die Erschliessung der Parzelle Nr. 782 notwendige Trottoir. Bei dieser Bestimmung handle es sich (ohnehin lediglich) um eine Ordnungsvorschrift, wonach die Behörden bei der Planung der Strassen und Wege zusammen zu arbeiten haben, was vorliegend geschehen sei. Eine eigentliche Koordinationspflicht im Sinne eines gemeinsam durchzuführenden Verfahrens enthalte § 3 StrWG offensichtlich nicht. Durch das aufgelegte Strassenbauprojekt werde ein allfälliger Einlenker ins Gestaltungsplangebiet "Ermatingen West" auch nicht in irgendeiner Weise vorbestimmt.
7.
7.1. Es steht ausser Frage und wird auch von den Beschwerdeführerinnen nicht bestritten, dass das geplante Trottoir entlang der Kantonsstrasse auch der Erschliessung der Liegenschaft Nr. 782 dient. In diesem Zusammenhang werden keine Vorschriften genannt, aus denen sich - etwa aus Gründen der Verkehrssicherheit - die Pflicht zur Erstellung des Trottoirs auf der dem Grundstück zugewandten Südseite der Strasse ergeben würde (vgl. Urteil 1C_414/2009 vom 16. April 2010 E. 2). Die Bewilligung für den Bau von Einfamilienhäusern auf der Liegenschaft Nr. 782 ist in diesem Verfahren im Übrigen nicht in Frage zu stellen, auch nicht unter dem Gesichtspunkt der hinreichenden Erschliessung (vgl. Art. 19 und Art. 22 Abs. 2 lit. b RPG sowie Urteil 1C_376/2007 vom 31. März 2008 E. 4.1 und 4.2).
Weiter hat das kantonale Verwaltungsgericht nicht festgestellt, dass das Trottoir auch der Erschliessung des Gestaltungsplangebiets "Ermatingen West" dient. Davon ist nach Auffassung der Beschwerdeführerinnen jedoch auszugehen. Danach soll das Trottoir auf der Nordseite der Kantonsstrasse angrenzend an und entlang des ganzen Gestaltungsplangebiets erstellt werden. Das kantonale Tiefbauamt als Vertreter der Bauherrschaft habe denn auch im Einsprache- und im Beschwerdeverfahren ihrer Darstellung nicht widersprochen, dass das Trottoir im Zusammenhang mit der Erschliessung des Gestaltungsplangebiets "Ermatingen West" zu sehen sei. Selbst wenn es sich so verhält und das Trottoir nicht bloss der Erschliessung der Liegenschaft Nr. 782 dient, ergibt sich daraus indessen nicht zwingend ein Koordinationsbedarf zwischen dem Strassenbauprojekt und dem Gestaltungsplanverfahren.
Sodann ist die als willkürlich gerügte Annahme des kantonalen Verwaltungsgerichts, es sei ungewiss, ob der Gestaltungsplan "Ermatingen West" jemals kommen werde, im Gesamtzusammenhang so zu verstehen, dass mit einer kurzfristigen Verabschiedung nicht zu rechnen ist. Demgegenüber ist das Strassenbauprojekt - abgesehen vom hier zu beurteilenden Streit - grundsätzlich ausführungsreif. Die Beschwerdeführerinnen behaupten nichts anderes. Ihr Hinweis darauf, dass das Gestaltungsplanverfahren einstufig durchgeführt werde, ändert nichts daran, und zwar umso weniger, als es gemäss ihren Vorbringen ein Verfahren mit Landumlegung ist (vgl. §§ 27 und 51 Abs. 2 des Planungs- und Baugesetzes).
7.2. Die Beschwerdeführerinnen erachten die Behauptung des kantonalen Verwaltungsgerichts als offensichtlich falsch, der Trottoirbau, die Sanierung der Staatsstrasse und die Einmündung der Erschliessungsstrasse aus dem Gestaltungsplangebiet in diese könnten völlig unabhängig voneinander geplant und ausgeführt werden. Gemäss dem "Landumlegungsvorschlag" der von der Gemeinde beauftragten Planungsfachleute sei die Einfahrt an einem unübersichtlichen und topografisch ungünstigen Ort vorgesehen. Es könne nur vermutet werden, dass ein gebührender Abstand von dem im Strassenbauprojekt geplanten Fussgängerstreifen mit Verkehrsinsel einzuhalten sei. Die (aktuelle) Lösung sei insbesondere unter dem Gesichtspunkt der Verkehrssicherheit und des Unterhalts nicht die beste. Ohne Koordinierung des Gestaltungsplanverfahrens mit Landumlegung mit dem Strassenbauprojekt werde die Palette möglicher Einfahrten massiv eingeschränkt. Dazu kämen überflüssige und überhöhte Kosten, weil zum Bau des Einlenkers der Erschliessungsstrasse in die sanierte Staatsstrasse ein Teil davon und vom neu erstellten Trottoir abzubrechen sei. Dabei sei nicht ausgeschlossen, dass die Beschwerdeführerin 1 sich daran zu beteiligen habe.
Entgegen diesen Vorbringen kann nicht gesagt werden, der Bau des Trottoirs und die Anlage des Fussgängerstreifens mit Verkehrsinsel präjudiziere in nennenswerter Weise den Gestaltungsplan, insbesondere den Ort der Einmündung der Erschliessungsstrasse in die Hauptstrasse. Wie der Beschwerdegegner in seiner Vernehmlassung u.a. unter Hinweis auf die angrenzende Länge des Gestaltungsplangebietes von 200 m ausführt, besteht diesbezüglich weiterhin eine grosse Wahlfreiheit, und zwar auch unter Berücksichtigung des Umstandes, dass eine Verkehrsinsel mehr Platz benötigt als ein blosser Fussgängerstreifen. Nach Auffassung der Beschwerdeführerinnen gäbe es unter dem Sicherheitsaspekt und topografisch bessere Lösungen weiter westlich als die geplante; dass diese bereits rechtskräftig beschlossen ist, machen sie - zu Recht - nicht geltend. Im Übrigen kann mit der Ausführung des Strassenbauprojektes nicht zugewartet werden, bis mit der Überbauung der Liegenschaft Nr. 782 begonnen wird, wie auch die Beschwerdeführerinnen unter Hinweis auf die Notwendigkeit einer hinreichenden Erschliessung einräumen. Da zudem nach nicht offensichtlich unrichtiger Feststellung der Vorinstanz nicht von einem baldigen Abschluss des Gestaltungsplanverfahrens mit einem rechtskräftigen Gestaltungsplan "Ermatingen West" ausgegangen werden kann, vermögen auch die Kosten der Erschliessung, insbesondere für die Erstellung des Einlenkers in die Hauptstrasse, keinen Koordinationsbedarf aufzuzeigen. Im Übrigen wird der Beschwerdegegner zu entscheiden haben, inwieweit Spielraum besteht bezüglich des Zeitpunktes, in welchem der Fussgängerübergang zu erstellen ist, und ob bis zur Fertigstellung der ersten Häuser auf der Liegenschaft Nr. 782 ein einfacher Fussgängerstreifen ohne Verkehrsinsel genügt. Nicht ausgeschlossen erscheint auch eine spätere Anpassung des Fussgängerübergangs.
7.3. Schliesslich ist die Auffassung des kantonalen Verwaltungsgerichts nicht willkürlich, § 3 Abs. 1 StrWG sei eine Ordnungsvorschrift, die bei der Strassenplanung eine Zusammenarbeit von Kanton und Gemeinden vorsehe, was in Bezug auf das Strassenbauprojekt bzw. das neu zu erstellende Trottoir denn auch geschehen sei. Der Beschwerdegegner und die Gemeinde bestätigen dies ausdrücklich in ihren Vernehmlassungen. Entgegen den Vorbringen in der Beschwerde besteht kein Anlass zu diesbezüglichen Zweifeln (vgl. auch § 19 Abs. 1 StrWG, wonach das Departement, welches den Bau von Kantonsstrassen und -wegen projektiert, die Gemeindebehörden von Anfang an einzubeziehen hat).
7.4. Zusammenfassend hat das kantonale Verwaltungsgericht mit der Verneinung einer Koordinationspflicht zwischen dem Strassenbauprojekt des Kantons am westlichen Dorfende von Ermatingen und der Gestaltungsplanung "Ermatingen West" der Gemeinde mangels eines hinreichend engen zeitlichen und sachlichen Zusammenhangs kein Bundesrecht verletzt, insbesondere nicht Art. 25a RPG und das Willkürverbot. Die Beschwerde ist somit unbegründet.
8.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführerinnen kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden den Beschwerdeführerinnen auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Politischen Gemeinde Ermatingen, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Fessler