Sachverhalt:
A. Am 8. März 2011 erteilte das Bezirksgericht A._ Y._ in der gegen X._ laufenden Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamtes B._ die definitive Rechtsöffnung für Fr. 18'301.15 zuzüglich Zins und Kosten. Gegenstand des Entscheides bilden die ausstehenden Unterhaltsbeiträge für den Zeitraum vom November 2007 bis Dezember 2010. Das Gericht stellte fest, dass keine Urkunden vorgelegt worden waren, welche die von X._ geltend gemachte Tilgung durch Verrechnung belegen würden.
B. X._ gelangte am 15. März 2011 mit einer negativen Feststellungsklage an das Friedensrichteramt B._. Tags darauf ersuchte er das Bezirksgericht A._ um den Erlass vorsorglicher Massnahmen im Sinne von Art. 261 ff. ZPO. Insbesondere verlangte er, dem definitiven Rechtsöffnungstitel die aufschiebende Wirkung zu erteilen und das Betreibungsamt B._ anzuweisen, sämtliche Betreibungshandlungen im Verfahren Nr. 1 zu sistieren. Dieses Begehren sowie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wurden am 18. März 2011 abgewiesen.
C. Das Obergericht des Kantons Zürich, an welches X._ daraufhin gelangt war, wies seine Berufung und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das zweitinstanzliche Verfahren am 26. April 2011 ab.
D. Mit Beschwerde in Zivilsachen, allenfalls subsidiärer Verfassungsbeschwerde, vom 30. Mai 2011 ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils und erneuert sein Begehren um Anweisung an das Betreibungsamt B._, die Betreibungshandlungen im Verfahren Nr. 1 zu sistieren. Zudem begehrt er die Gewährung der aufschiebenden Wirkung, welchem Gesuch sich Y._ widersetzt. Beide Parteien stellen für das bundesgerichtliche Verfahren das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
E. Mit Verfügung vom 7. Juni 2011 gewährte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung dahingehend, dass das Betreibungsamt die gepfändeten Beträge einstweilen nicht auszahlen darf.
In der Sache sind keine Antworten eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 135 III 212 E. 1 S. 216).
1.1 Angefochten ist ein kantonal letztinstanzliches Urteil (Art. 75 Abs. 1 BGG), mit welchem über die erstinstanzlich verweigerte Anordnung vorsorglicher Massnahmen im Sinne von Art. 261 ff. ZPO befunden worden war, nachdem zuvor beim Friedensrichteramt eine negative Feststellungsklage über Fr. 18'301.15 anhängig gemacht wurde. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid, dessen Anfechtbarkeit sich nach dem Rechtsweg in der Hauptsache richtet (BGE 133 III 645 E. 2.2 S. 647). Im vorliegenden Fall geht es um eine Zivilsache mit Vermögenswert, wobei die strittige Forderung Fr. 18'301.15 beträgt und damit die gesetzliche Streitwertgrenze nicht erreicht wird (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher nur gegeben, sofern sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), welches Erfordernis vom Beschwerdeführer darzutun ist (BGE 136 II 489 E. 2.6 S. 493). Allein der Umstand, dass sich das Bundesgericht bisher zur Bedeutung von Art. 261 ff. ZPO nicht umfassend äussern konnte, wie der Beschwerdeführer ausführt, lässt noch keine solche Rechtsfrage erkennen. Hinzu kommt, dass sich die mit der negativen Feststellungsklage aufgeworfene Rechtsfrage, Tilgung von Unterhaltsansprüchen durch Verrechnung, jederzeit auch mit einem Streitwert oberhalb der gesetzlichen Grenze stellen könnte (BGE 134 III 267 E. 1.2.3 S. 270; Urteil 5A_309/2009 E. 1.5 vom 9. Juni 2009). Damit steht die Beschwerde in Zivilsachen nicht zur Verfügung und die Eingabe ist als Verfassungsbeschwerde entgegen zu nehmen.
1.2 Das angefochtene Urteil stellt einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG dar (vgl. allgemein BGE 134 I 83 E. 3.1 S. 86/87). Er ist im vorliegenden Fall nur anfechtbar, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte (lit. a). Erforderlich ist ein Nachteil rechtlicher Natur, der sich auch in einem späteren günstigen Entscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt (BGE 136 II 165 E. 1.2.1 S. 170), wobei die blosse Möglichkeit genügt (BGE 134 III 188 E. 2.1 S. 190). Hingegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (BGE 134 III 188 E. 2.2 S. 191). Es obliegt dem Beschwerdeführer darzutun, inwiefern der angefochtene Entscheid ihm einen Rechtsnachteil bringen könnte, soweit ein solcher nicht offensichtlich ist (BGE 133 III 629 E. 2.3.1 S. 632)
1.2.1 Die Vorinstanz hat das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen und damit die Sistierung der Betreibungshandlungen als offensichtlich unbegründet abgewiesen. Insbesondere hat sie das Vorliegen eines nicht leicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne von Art. 261 Abs. 1 ZPO verneint, da der Beschwerdeführer bei einer allfälligen Gutheissung seiner Feststellungsklage die inzwischen bereits bezahlten Unterhaltsbeiträge mit künftigen verrechnen könne.
1.2.2 Der Beschwerdeführer legt nicht rechtsgenüglich dar, dass aus dem angefochtenen Entscheid ein Rechtsnachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG erwachsen könnte. Soweit er sich zu dieser Eintretensvoraussetzung überhaupt äussert, weist er lediglich auf die Gefahr hin, für seine Gegenforderung einen Verlustschein zu erhalten, wenn er während des laufenden Hauptverfahrens aufgrund des Fortgangs der Betreibung die Unterhaltszahlungen gemäss Rechtsöffnungsentscheid weiterhin leisten müsste. Zugleich müsste er infolge dieser Zahlungen über Monate unter dem Existenzminimum leben. Diese allgemein gehaltenen Vorbringen lassen ausser Acht, dass die Durchsetzung einer Forderung gegenüber dem Schuldner in der Regel keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil darstellt, wenn er die geleisteten Beträge beim Obsiegen in der Sache zurückfordern kann (Urteil 5D_52/2010 vom 10. Mai 2010 E. 1.1.1, in: SJ 2011 I S. 134). Dass dies für seine Gegenforderung konkret nicht der Fall sein könnte, wird weder dargetan noch liegt es auf der Hand. Immerhin dauert die Unterhaltspflicht des Beschwerdeführers noch bis Februar 2013. Soweit sich die Beschwerde gegen die Abweisung der vorsorglichen Massnahme richtet, erweist sie sich als unzulässig.
2. Die Vorinstanz hat zudem die Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch das Bezirksgericht abgewiesen und ebenso das entsprechende Gesuch für das kantonale Berufungsverfahren. Ihrer Ansicht nach waren die Begehren vor erster wie vor zweiter Instanz aussichtslos.
2.1 Der Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege stellt einen Zwischenentscheid mit einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG dar (Urteil 5A_447/2007 vom 13. Dezember 2007 E. 1, nicht publ. in: BGE 134 I 12). Insoweit ist die Beschwerde grundsätzlich zulässig.
2.2 Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass ihm das kantonale Recht weitergehende Ansprüche einräumt, als die in Art. 29 Abs. 3 BV verankerte Minimalgarantie. Danach hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Als aussichtslos gelten Begehren, bei denen die Gewinnaussichten geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Halten sich die beiden Prognosen die Waage, so kann nicht von Aussichtslosigkeit des Begehrens gesprochen werden. Massgebend ist, ob sich eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob die Erfolgsaussichten im Einzelfall genügend sind, ist aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung zu klären (BGE 133 III 614 E. 5 S. 616).
2.3 Der Beschwerdeführer macht nunmehr die Verletzung von Art. 29 Abs. 3 BV geltend. Indes erschöpft sich die Rüge im Hinweis auf seine Mittellosigkeit und die Durchsetzung seiner Rechtsansprüche, welche durch den Entscheid in Frage gestellt werde. Damit kommt er der gesetzlichen Begründungspflicht nicht nach (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 117 BGG). Insbesondere setzt er sich mit der für die Vorinstanz einzig entscheidenden Frage der Prozesschancen mit keinem Wort auseinander.
3. Nach dem Gesagten ist der Beschwerde insgesamt kein Erfolg beschieden. Sie erwies sich aufgrund der mangelhaften Beschwerdebegründung von vorneherein aussichtslos. Demzufolge ist das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Dies gilt ebenso für das Gesuch der Beschwerdegegnerin im Hinblick auf die Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Da das Bundesgericht üblicherweise die einstweilige Zurückhaltung der gepfändeten Beträge durch das Betreibungsamt anordnet, erwies sich ihr Ersuchen um Auszahlung der Unterhaltsbeiträge als aussichtslos. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege beider Parteien wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungsamt B._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Juli 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante