Faits:
A. P._ et C._ se sont mariés en 1986.
Par jugement du 18 mars 2010, devenu exécutoire le 11 juin 2010, la 6ème Chambre du Tribunal de première instance de la République et canton de Genève a prononcé le divorce des époux. Sous chiffres 7 et 8 du dispositif, elle a condamné C._ à verser à P._ une indemnité équitable au sens de l'art. 124 CC et transmis la cause au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) pour fixation du montant et du mode de règlement de celle-ci.
B. B.a Par jugement du 8 juillet 2010, le Tribunal cantonal des assurances sociales (1) s'est déclaré incompétent, (2) a refusé d'entrer en matière, (3) a invité P._ et C._ à mieux agir devant le juge du divorce et (4) rayé la cause du rôle.
B.b Par courrier du 23 août 2010, P._ a demandé au Tribunal cantonal des assurances sociales de revoir son jugement en ce sens que la cause devait être transmise d'office au juge du divorce. Le 25 août 2010, ce tribunal lui a répondu que les règles de procédure cantonale ne lui permettaient que de l'inviter à mieux agir auprès du juge du divorce.
C. P._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle requiert l'annulation des chiffres 3 et 4 du dispositif. Elle conclut au renvoi de la cause à la 6ème Chambre du Tribunal de première instance afin qu'elle complète le jugement de divorce. Elle assortit son recours d'une demande d'assistance judiciaire.
C._ a renoncé à se prononcer. De son côté, l'Office fédéral des assurances sociales (ci-après : l'OFAS) propose l'admission du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments du recourant ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. Dans un grief de nature formelle qu'il convient d'examiner en premier lieu, la recourante reproche au Tribunal cantonal des assurances sociales d'avoir violé son droit d'être entendue en omettant de lui laisser la possibilité de prendre position avant de statuer.
2.1 Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de caractère formel, dont la violation doit entraîner l'annulation de la décision attaquée, indépendamment des chances de succès du recourant sur le fond (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437; 126 V 130 consid. 2b p. 132 et les arrêts cités). La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu, notamment, le droit pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique (ATF 132 V 368 consid. 3.1 p. 370; 126 I 15 consid. 2a/aa p. 16; 124 V 180 consid. 1a p. 181; 372 consid. 3b p. 375 et les références). Le contenu et l'étendue du droit d'être entendu se détermine en fonction de la situation concrète et des intérêts en présence. Il n'y a pas de droit absolu et inconditionnel à être entendu avant que soit rendu un jugement de non-entrée en matière. Le principe de l'économie de la procédure commande en effet une non-entrée en matière sans entendre les parties si le moyen de droit est manifestement irrecevable. Tel est le cas uniquement lorsque le contexte factuel dans lequel celui-ci s'inscrit est clair et incontesté, si bien qu'aucun doute ne subsiste quant à la question de recevabilité en cause, laquelle peut être tranchée en l'état (arrêt H 181/05 du 16 mars 2006, consid. 2.3).
2.2 De façon générale, il n'appartient pas au juge des assurances sociales de se substituer au juge du divorce et d'examiner lui-même la question de l'indemnité équitable selon l'art. 124 CC (ATF 136 V 225 consid. 5.4 p. 228 s.; voir également le texte de l'art. 22b LFLP). Seul le juge du divorce dispose d'une vision d'ensemble de la situation économique concrète des parties et de leurs besoins de prévoyance respectifs. Pour fixer le montant de l'indemnité équitable, la jurisprudence exige en effet de tenir compte de façon adéquate de la situation patrimoniale après la liquidation du régime matrimonial ainsi que des autres éléments de la situation économique des parties après le divorce (ATF 131 III 1 consid. 4.2 p. 4 et la référence). Dès lors que la compétence du juge des assurances sociales n'était manifestement pas donnée en l'espèce, il était superflu d'entendre les parties sur ce point. En renonçant à interpeller la recourante, le Tribunal cantonal des assurances sociales n'a pas violé son droit d'être entendue.
3. La recourante reproche au Tribunal cantonal des assurances sociales une violation du droit fédéral en tant qu'il n'aurait pas transmis d'office la cause au juge du divorce, comme l'exigerait pourtant la jurisprudence.
3.1 Lorsque le juge des assurances sociales constate que le partage des prestations de sortie ordonné par le juge du divorce est impossible et s'oppose à l'exécution du jugement de divorce, il met en même temps en évidence l'existence d'une imperfection dans ledit jugement, puisque celui-ci ne permet pas de régler une question, à savoir le sort de la prévoyance professionnelle constituée pendant la durée du mariage, qui doit l'être nécessairement en vertu du droit fédéral (cf. ATF 104 II 289; SPÜHLER/FREI-MAURER, Berner Kommentar, n° 87 ss des remarques préliminaires aux art. 149-157 aCC). Or, le jugement de divorce n'est complet que s'il est entièrement exécutable, ce qui n'est pas le cas lorsque la question des aspects liés à la prévoyance professionnelle demeure indécise. Le juge des assurances sociales n'ayant pas la faculté de statuer sur l'octroi d'une indemnité équitable au sens de l'art. 124 CC (ATF 129 V 444 consid. 5.4 p. 449; cf. infra consid. 5.4), il revient au juge du divorce de compléter le jugement de divorce. Comme le rappelle l'OFAS, la procédure prévue à l'art. 142 al. 2 CC et dans la LFLP cantonne les conjoints divorcés dans un rôle passif, puisqu'ils n'ont aucune prise sur la transmission du dossier au juge des assurances sociales ou sur la décision de celui-ci de ne pas exécuter le partage. Dans ce contexte, exiger de leur part un acte matériel, tel que le dépôt d'un acte introductif d'instance, ne semble guère rationnel. D'ailleurs, la correction du jugement de divorce par le biais des actions prévues par le droit civil (révision, complètement ou modification du jugement de divorce) n'apparaît pas souhaitable, puisque cela permettrait aux parties de décider si elles entendent agir ou non. Or, en cas d'inaction des parties, le risque existe qu'une question que le législateur exige de régler impérativement dans le contexte d'un divorce, à savoir le sort de la prévoyance professionnelle constituée pendant la durée du mariage, demeure sans réponse. Pareille situation ne serait alors pas conforme à la volonté du législateur fédéral. Dans ces conditions, en tant que l'art. 142 al. 2 CC impose la transmission d'office du jugement de divorce au juge des assurances sociales pour qu'il exécute le partage des prestations de sortie, il convient d'admettre que cette disposition contient également l'obligation implicite pour le juge des assurances sociales de renvoyer d'office la cause à la juridiction civile, comme objet de sa compétence, lorsqu'il constate l'impossibilité d'exécuter le mandat qui lui a été confié par le juge du divorce. Le renvoi d'office au juge du divorce est la conséquence logique et nécessaire du système particulier mis en place par le législateur à l'art. 142 al. 2 CC (ATF 136 V 225 consid. 5.3.2 et 5.3.3 p. 228 s.).
3.2 Il suit de là que la cause doit être transmise d'office à la 6ème Chambre du Tribunal de première instance de la République et canton de Genève afin qu'elle reprenne l'instruction de la cause sur la question du montant de l'indemnité équitable et rende, après avoir entendu les parties, un nouveau jugement sur ce point. Dans ces conditions, il convient d'annuler le chiffre 3 du jugement attaqué invitant les parties à mieux agir devant le juge du divorce.
3.3 Vu l'issue du litige, la recourante obtient gain de cause, de sorte que l'intimé doit en principe supporter les frais de procédure. Cependant, compte tenu des circonstances, il est statué sans frais (art. 66 al. 1 LTF). La recourante a en revanche droit à des dépens. Dans la mesure où le Tribunal cantonal des assurances sociales a été rendu attentif à son obligation de transmettre d'office la cause au juge civil par l'arrêt 9C_388/2010 du 10 mai 2010, publié ensuite aux ATF 136 V 225, mais n'en a pas tenu compte, il se justifie de les mettre à la charge de la République et canton de Genève en lieu et place de l'intimé (art. 66 al. 3 LTF; ATF 133 V 402 consid. 5 p. 407 et les arrêts cités), ce qui rend la demande d'assistance judiciaire de la recourante sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis au sens des considérants.
2. Le chiffre 3 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 8 juillet 2010 est annulé. La cause est transmise à la 6ème Chambre du Tribunal de première instance de la République et canton de Genève afin qu'elle complète, au sens des considérants, le jugement de divorce du 18 mars 2010.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. La République et canton de Genève versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, au Tribunal de première instance du canton de Genève, 6ème Chambre, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 8 juin 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Bouverat