Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 29. Oktober 2007 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die Beschwerde der Stiftung X._ und der Y._ AG gegen die Erteilung der Baubewilligung an die Einwohnergemeinde Brienz zur Erneuerung der Druckleitung zum Wasserkraftwerk Giessbach ab. Das Bundesgericht hiess eine dagegen erhobene Beschwerde gut, hob das Urteil auf und wies die Angelegenheit zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurück. Zur Begründung führte es an, das Verwaltungsgericht habe in Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf eine beantragte öffentliche Verhandlung verzichtet.
Mit Eingabe vom 15. Januar 2009 an das Verwaltungsgericht stellten die Stiftung X._ und die Y._ AG den Antrag, die zurückgewiesene Angelegenheit sei in einer anderen Besetzung zu beurteilen. Es bestehe der Anschein der Befangenheit. Abteilungspräsident Beat Stalder leitete daraufhin die Akten zur weiteren Behandlung an den stellvertretenden Abteilungspräsidenten weiter. Dieser forderte die betroffenen Verwaltungsrichter und den Kammerschreiber mit Verfügung vom 20. Januar 2009 auf, sich zum Ablehnungsbegehren zu äussern. Während sich Abteilungspräsident Beat Stalder eines Antrags enthielt, schlossen Verwaltungsrichter Robert Burkhard, Verwaltungsrichterin Esther Steinmann und Kammerschreiber Daniel Born auf Abweisung des Ablehnungsgesuchs. Mit Urteil vom 20. April 2009 wies das Verwaltungsgericht das Ablehnungsgesuch ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 15. Mai 2009 beantragen die Stiftung X._ und die Y._ AG im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts sei aufzuheben. Sie rügen eine Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK sowie eine willkürliche Anwendung von Art. 9 Abs. 1 lit. b des Gesetzes des Kantons Bern vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege (VRPG; BSG 155.21).
Das Verwaltungsgericht und die vom Ablehnungsgesuch betroffenen Personen beantragen in ihrer jeweiligen Vernehmlassung die Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Beim angefochtenen Urteil des Verwaltungsgerichts handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen, selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 92 BGG). Ihm liegt ein Verfahren über eine Baubewilligung und eine Rodung, mithin eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit zu Grunde (Art. 82 lit. a BGG). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen besonderen Erwägungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2 In seiner Vernehmlassung erklärt Daniel Born, er habe seine Stelle als Kammerschreiber am Verwaltungsgericht auf Ende Juni 2009 gekündigt. Da er am ausstehenden Entscheid des Verwaltungsgerichts nicht mehr beteiligt sein wird, ist die Beschwerde insofern gegenstandslos geworden (Art. 32 Abs. 2 BGG).
2. 2.1 Die Beschwerdeführerinnen sind der Ansicht, das angefochtene Urteil verstosse schon deshalb gegen den Anspruch auf einen unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter gemäss Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, weil die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 29. Oktober 2007 durch das Bundesgericht allein aus formellen Gründen erfolgt sei. An der Sach- und Rechtslage habe sich nichts geändert. Zudem habe sich das Verwaltungsgericht zur Beschwerde gegen sein Urteil mit tendenziösen und irreführenden Behauptungen vernehmen lassen. Es habe seine Überzeugung mit derartigem Eifer zum Ausdruck gebracht, dass das Verfahren nun nicht mehr als offen erscheine.
2.2 Nach der in Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK enthaltenen Garantie des verfassungsmässigen Richters hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Liegen bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vor, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit begründen, so ist die Garantie verletzt.
Eine gewisse Besorgnis der Voreingenommenheit und damit Misstrauen in das Gericht kann bei den Parteien immer dann entstehen, wenn einzelne Gerichtspersonen in einem früheren Verfahren mit der konkreten Streitsache schon einmal befasst waren. In einem solchen Fall so genannter Vorbefassung stellt sich die Frage, ob sich ein Richter durch seine Mitwirkung an früheren Entscheidungen in einzelnen Punkten bereits in einem Mass festgelegt hat, die ihn nicht mehr als unvoreingenommen und dementsprechend das Verfahren als nicht mehr offen erscheinen lassen (BGE 134 I 238 E. 2.1 S. 240; 131 I 113 E. 3.4 S. 116 f.; je mit Hinweisen).
Ob eine unzulässige, den Verfahrensausgang vorwegnehmende Vorbefassung eines Richters vorliegt, kann nicht generell gesagt werden. Es ist vielmehr in jedem Einzelfall - anhand aller tatsächlichen und verfahrensrechtlichen Umstände - zu untersuchen, ob die konkret zu entscheidende Rechtsfrage trotz Vorbefassung als noch offen erscheint (BGE 131 I 113 E. 3.4 S. 117 mit Hinweisen). Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Pflicht zum Ausstand in einem gewissen Spannungsverhältnis zum Anspruch auf den gesetzlichen Richter steht und deshalb nicht leichthin zu bejahen ist (BGE 112 Ia 290 E. 3a S. 293 und E. 5e S. 303 f.; Urteil 1B_60/2007 vom 21. September 2007 E. 3.1; je mit Hinweisen).
2.3 Im Fall einer Rückweisung steht der am aufgehobenen Entscheid beteiligte Richter bei der Neubeurteilung der Streitsache nicht von vornherein unter dem Anschein der Befangenheit. Dies gilt im Übrigen unabhängig davon, ob und inwieweit sich die Rechtsmittelinstanz in materieller Hinsicht geäussert hat (vgl. BGE 131 I 113 E. 3.6 S. 120 und Urteil 1P.40/1999 vom 31. Januar 2000 E. 2c). Ein Anschein der Befangenheit ergibt sich dementsprechend auch nicht aus dem blossen Umstand, dass sich das Verwaltungsgericht bereits in einem früheren Entscheid mit anderen Aspekten desselben Projekts zu befassen hatte (vgl. für den vorliegenden Fall die Urteile 1A.151/2002 vom 22. Januar 2003 und 1C_421/2007 vom 12. November 2008).
2.4 Es ist indessen denkbar, dass ein Richter aufgrund weiterer Umstände bei der Neubeurteilung nicht mehr unvoreingenommen ist. Zu diesen Umständen können auch Fehler in der Verfahrensführung zählen. Der Anspruch auf den verfassungsmässigen Richter umfasst allerdings nicht die Garantie fehlerfreien richterlichen Handelns. Entsprechende Mängel vermögen grundsätzlich keinen Anschein der Befangenheit eines Richters zu begründen. Verfahrensverstösse oder ein möglicherweise falscher materieller Entscheid sind im Allgemeinen im dazu vorgesehenen Rechtsmittelverfahren zu rügen. Anders verhält es sich lediglich, wenn besonders krasse und wiederholte Irrtümer vorliegen, diese einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkommen und sich einseitig zu Lasten einer der Prozessparteien auswirken können (BGE 125 I 119 E. 3e S. 124; 115 Ia 400 E. 3b S. 404; 114 Ia 153 E. 3b/bb S. 158 f.; je mit Hinweisen). Ähnliches gilt für die Vernehmlassung im Verfahren vor Bundesgericht gemäss Art. 102 Abs. 1 BGG. In der Vernehmlassung geäusserte Ansichten der Vorinstanz begründen auch dann grundsätzlich keinen Anschein der Befangenheit, wenn sie sich in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht später als falsch herausstellen sollten.
2.5 Die Ausführungen des Verwaltungsgerichts in seiner Vernehmlassung vom 12. Dezember 2007 sind durchgängig sachbezogen. Sie können auch im Stil nicht als "vehementes Plädoyer für das angefochtene Urteil" bezeichnet werden, wie dies die Beschwerdeführerinnen behaupten. Selbst wenn sich die darin geäusserten Ansichten in einem späteren Rechtsmittelverfahren teilweise als falsch herausstellen sollten, so kann nicht gesagt werden, die beteiligten Richter hätten sich in einem Mass festgelegt, die sie nicht mehr als unvoreingenommen erscheinen lassen.
Die Rüge der Verletzung von Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK erweist sich als unbegründet.
3. 3.1 Die Beschwerdeführerinnen machen weiter eine willkürliche Anwendung von Art. 9 Abs. 1 lit. b VRPG geltend (Art. 9 BV). Nach dieser kantonalrechtlichen Bestimmung tritt eine Person, die eine Verfügung oder einen Entscheid zu treffen oder vorzubereiten oder als Mitglied einer Behörde zu amten hat, in den Ausstand, wenn sie am Vorentscheid mitgewirkt hat.
3.2 Nach der ständigen Praxis des Bundesgerichts liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 133 I 149 E. 3.1 S. 153; 131 I 467 E. 3.1 S. 473 f.; je mit Hinweisen).
3.3 Verwaltungsrichter Beat Stalder weist in seiner Vernehmlassung vom 4. Juni 2009 darauf hin, dass Art. 9 Abs. 1 lit. b VRPG entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerinnen nicht auf die Zusammensetzung der Justizbehörde nach einem oberinstanzlichen Rückweisungsentscheid abziele, sondern auf jene zum Beispiel nach Richterwahlen denkbare Konstellation, in der eine Gerichtsperson bereits am unterinstanzlichen Entscheid mitgewirkt habe. In demselben Sinn umschreiben MERKLI, AESCHLIMANN und HERZOG die Vorbefassung gemäss der angerufenen Bestimmung. Wer bereits am Vorentscheid, das heisse am angefochtenen Entscheid, mitgewirkt habe, dürfe keinen Einfluss auf die Überprüfung in oberer Instanz nehmen. Die Aufhebung des Entscheids durch eine obere Instanz und Rückweisung zu neuem Entscheid löse dagegen keine Ausstandspflicht nach Art. 9 Abs. 1 lit. b VRPG aus (MERKLI/AESCHLIMANN/HERZOG, Kommentar zum Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege im Kanton Bern, 1997, N. 11 zu Art. 9 VRPG). Diese Auslegung des Begriffs "Vorentscheid" in Art. 9 Abs. 1 lit. b VRPG durch die Vorinstanz ist keineswegs unhaltbar, wie dies die Beschwerdeführerinnen behaupten. Die Rüge der Verletzung des Willkürverbots ist abzuweisen.
4. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde gegenstandslos geworden ist, soweit sie sich gegen Kammerschreiber Daniel Born richtet. Im Übrigen erweist sie sich als unbegründet und ist abzuweisen. Diesem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten den unterliegenden Beschwerdeführerinnen aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie haben keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird als erledigt vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben, soweit sie sich gegen Kammerschreiber Daniel Born richtet. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden den Beschwerdeführerinnen auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Dold