Sachverhalt:
Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 27. Januar 2004 setzte die Ausgleichskasse Luzern gegenüber ihrem Mitglied S._ die für 2001 geschuldeten Beiträge aus selbstständiger Erwerbstätigkeit ausgehend von einem beitragspflichtigen Einkommen von Fr. 1'123'500.- fest. Dieser Betrag basiert auf den der Kasse am 17. Januar 2004 gemeldeten Ziffern aus der Veranlagung für die direkte Bundessteuer 2001. Er umschliesst einen Schulderlass der Bank X._ gegenüber der einfachen Gesellschaft F._, an welcher S._ zu 97.6 % beteiligt ist, in der diesem Anteil entsprechenden Höhe von Fr. 1'075'354.-.
Auf Einsprache hin hielt die Ausgleichskasse - nach Einholung ergänzender Auskünfte der Steuerbehörden vom 12. März 2004 - mit Entscheid vom 7. April 2004 an den verfügten Beiträgen fest.
Auf Einsprache hin hielt die Ausgleichskasse - nach Einholung ergänzender Auskünfte der Steuerbehörden vom 12. März 2004 - mit Entscheid vom 7. April 2004 an den verfügten Beiträgen fest.
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern teilweise gut. Es bestätigte die Beitragsverfügung in zwei letztinstanzlich nicht zur Diskussion stehenden Nebenpunkten (Liegenschaftengewinn, Erlös aus Verkauf Lebensversicherung), hob jedoch den Einspracheentscheid insoweit auf, als ihm der Schulderlass (als Teil des beitragspflichtigen Einkommens) zu Grunde liegt, und wies die Sache zur Neufestlegung der für 2001 geschuldeten Beiträge an die Ausgleichskasse zurück (Entscheid vom 16. Dezember 2004).
B. Die hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern teilweise gut. Es bestätigte die Beitragsverfügung in zwei letztinstanzlich nicht zur Diskussion stehenden Nebenpunkten (Liegenschaftengewinn, Erlös aus Verkauf Lebensversicherung), hob jedoch den Einspracheentscheid insoweit auf, als ihm der Schulderlass (als Teil des beitragspflichtigen Einkommens) zu Grunde liegt, und wies die Sache zur Neufestlegung der für 2001 geschuldeten Beiträge an die Ausgleichskasse zurück (Entscheid vom 16. Dezember 2004).
C. Die Ausgleichskasse führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, der kantonale Gerichtsentscheid sei aufzuheben, soweit er die Beitragspflicht auf dem gewährten Schulderlass verneint.
Während S._ auf Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde schliessen lässt, beantragt das Bundesamt für Sozialversicherung (BSV) deren Gutheissung.
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
Das Eidg. Versicherungsgericht zieht in Erwägung:
1. Streitig und als Frage des Bundesrechts frei zu prüfen (Art. 104 lit. a in Verbindung mit Art. 132 OG) ist einzig, ob der von der Bank X._ zu Gunsten der einfachen Gesellschaft F._ - an welcher der Beschwerdegegner weit überwiegend beteiligt ist - im Jahr 2001 gewährte Schulderlass über insgesamt Fr. 1'101'797.- (Fr. 1'201'797.- minus Restschuld Fr. 100'000.-) anteilig beitragspflichtiges Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit darstellt. Während das kantonale Gericht dies gestützt auf BGE 98 V 186 verneint, beruft sich die Beschwerde führende Kasse - und ihr folgend das BSV - auf das Urteil H. vom 2. Dezember 2004, H 174/04 (Erw. 4).
1. Streitig und als Frage des Bundesrechts frei zu prüfen (Art. 104 lit. a in Verbindung mit Art. 132 OG) ist einzig, ob der von der Bank X._ zu Gunsten der einfachen Gesellschaft F._ - an welcher der Beschwerdegegner weit überwiegend beteiligt ist - im Jahr 2001 gewährte Schulderlass über insgesamt Fr. 1'101'797.- (Fr. 1'201'797.- minus Restschuld Fr. 100'000.-) anteilig beitragspflichtiges Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit darstellt. Während das kantonale Gericht dies gestützt auf BGE 98 V 186 verneint, beruft sich die Beschwerde führende Kasse - und ihr folgend das BSV - auf das Urteil H. vom 2. Dezember 2004, H 174/04 (Erw. 4).
2. 2.1 Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit ist jedes Erwerbseinkommen, das nicht Entgelt für in unselbstständiger Stellung geleistete Arbeit darstellt (Art. 9 Abs. 1 AHVG in der seit 1. Januar 1948 geltenden, unverändert gebliebenen Fassung). Darunter fallen laut Art. 17 AHVV (in der bis 31. Dezember 1994 gültig gewesenen Fassung) das in selbstständiger Stellung erzielte Einkommen aus Land- und Forstwirtschaft, Handel, Gewerbe, Industrie und freien Berufen, einschliesslich u.a. eingetretene und verbuchte Wertvermehrungen und Kapitalgewinne von zur Führung kaufmännischer Bücher verpflichteten Unternehmungen (lit. d).
2.2 Mit Bezug auf diese Normenlage hat das Eidgenössische Versicherungsgericht in BGE 98 V 186 erwogen: während zum steuerbaren Einkommen gemäss dem damaligen Wehrsteuerbeschluss (später: Beschluss über die direkte Bundessteuer [BdBSt]) das gesamte Einkommen eines Steuerpflichtigen aus Erwerbstätigkeit, Vermögensertrag oder anderen Einnahmequellen zählt, erfasst das beitragspflichtige Einkommen nur das Erwerbseinkommen. Als solches gelten die Einkünfte, die dem Versicherten aus einer Tätigkeit zufliessen und dadurch seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit erhöhen (BGE 98 V 189 Erw. 2b und 3a). Die grundsätzliche Verbindlichkeit der Angaben in der Steuermeldung, welche auf Grund der rechtskräftigen Veranlagung über die direkte Bundessteuer erstattet wird (Art. 23 Abs. 4 AHVV; BGE 98 V 188 Erw. 2a) kann daher nur insoweit gelten, als überhaupt Erwerbseinkommen vorliegt, was die Ausgleichskasse selbstständig zu prüfen hat (BGE 98 V 188 f. Erw. 2b). Ob der Erlass einer Geschäftsschuld beitragspflichtiges Einkommen darstellt, hängt davon ab, ob es sich um ein Entgelt für eine Tätigkeit des Schuldners im Interesse des verzichtenden Gläubigers handelt. Im konkreten Fall, wo der Schulderlass vor allem mit Rücksicht auf die voraussichtliche Uneinbringlichkeit der Forderung erklärt worden war, lag kein Entgelt für eine Tätigkeit und damit auch kein beitragspflichtiges Einkommen vor (BGE 98 V 189 f. Erw. 3b).
2.3 In Anwendung dieser Erwägungen ist das kantonale Gericht zum Schluss gekommen, es bestünden keine aktenmässigen Anhaltspunkte für den Leistungscharakter des Erlasses. Die Gläubigerin, welche den Forderungsverzicht einging, sei offensichtlich die Darlehensgeberin für eine - geschäftliche - Liegenschaft gewesen, welche anteilmässig im Eigentum des Beitragspflichtigen gestanden habe. Ein Zusammenhang mit einer Gegenleistung des Beitragspflichtigen in dessen Eigenschaft als Architekt oder Liegenschaftenhändler werde weder behauptet noch ergebe er sich aus den Akten. Der fragliche Schulderlass könne daher nicht als Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit qualifiziert werden.
2.3 In Anwendung dieser Erwägungen ist das kantonale Gericht zum Schluss gekommen, es bestünden keine aktenmässigen Anhaltspunkte für den Leistungscharakter des Erlasses. Die Gläubigerin, welche den Forderungsverzicht einging, sei offensichtlich die Darlehensgeberin für eine - geschäftliche - Liegenschaft gewesen, welche anteilmässig im Eigentum des Beitragspflichtigen gestanden habe. Ein Zusammenhang mit einer Gegenleistung des Beitragspflichtigen in dessen Eigenschaft als Architekt oder Liegenschaftenhändler werde weder behauptet noch ergebe er sich aus den Akten. Der fragliche Schulderlass könne daher nicht als Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit qualifiziert werden.
3. 3.1 Am 1. Januar 1995 ist das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer (DBG) in Kraft getreten, welches den BdBSt ablöste. Parallel dazu wurden auch die Art. 17 ff. AHVV geändert. Nach dem neuen Art. 17 AHVV galten als Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit alle in selbstständiger Stellung erzielten Einkünfte aus einem Handels-, Industrie-, Gewerbe-, Land- und Forstwirtschaftsbetrieb, aus einem freien Beruf sowie aus jeder anderen selbstständigen Erwerbstätigkeit, einschliesslich der Kapital- und Überführungsgewinne nach Art. 18 Abs. 2 DBG und der Gewinne aus der Veräusserung von land- und forstwirtschaftlichen Grundstücken nach Art. 18 Abs. 4 DBG (Fassung gemäss Änderungsnovelle vom 26. September 1994, in Kraft ab 1. Januar 1995; AS 1994 2163, 2165). Mit Änderung vom 1. März 2000 wurde Art. 17 AHVV wie folgt ergänzt: "... nach Art. 18 Abs. 4 DBG, mit Ausnahme der Einkünfte aus zu Geschäftsvermögen erklärten Beteiligungen nach Art. 18 Abs. 2 DBG" (AS 2000 1441).
3.2 Wie das Eidgenössische Versicherungsgericht in dem von der Beschwerdeführerin erwähnten Urteil H. vom 2. Dezember 2004, H 174/04, Erw. 4.2, erwogen hat, nimmt Art. 17 AHVV (in der bis 31. Dezember 2000 gültig gewesenen Fassung) die in Art. 18 Abs. 1 DBG verwendeten Begriffe wieder auf und verweist überdies bezüglich der Kapital- und Überführungsgewinne auf Art. 18 Abs. 2 DBG sowie hinsichtlich der Gewinne aus der Veräusserung von land- und forstwirtschaftlichen Grundstücken auf Art. 18 Abs. 4 DBG. Die Bestimmung formalisiert somit bei der Umschreibung des Einkommens aus selbstständiger Erwerbstätigkeit eine Harmonisierung zwischen dem Beitragsrecht der AHV und dem Steuerrecht. Soweit das AHVG und die AHVV keine abweichende Regelung enthalten, unterliegen grundsätzlich alle steuerbaren Einkünfte aus selbstständiger Erwerbstätigkeit auch der Beitragspflicht (Hanspeter Käser, Die Auswirkungen des DBG, in: René Schaffhauser/Ueli Kieser [Hrsg.], Aktuelle Fragen aus dem Beitragsrecht der AHV, St. Gallen 1998, S. 49 ff., 57). Dem Recht der direkten Bundessteuer liegt als einkommenstheoretisches Konzept die Reinvermögenszugangstheorie zu Grunde (BGE 125 V 383 Erw. 2b, 122 I 101 Erw. 4a; nicht veröffentlichtes Urteil G. des Bundesgerichts vom 27. Januar 2003, 2P.233/2002). Danach bilden prinzipiell sämtliche Zugänge zum Reinvermögen eines Subjekts während einer bestimmten Periode steuerbares Einkommen. Dazu zählt, wie im zitierten Urteil weiter dargelegt wurde, auch die Vermögensveränderung, welche aus dem Forderungsverzicht eines Gläubigers resultiert (BGE 115 Ib 272; nicht veröffentlichtes Urteil M. vom 28. September 1989 [2A.263/1988]; Felix Richner/Walter Frei/Stefan Kaufmann, Handkommentar zum DBG, Zürich 2003, N 61 zu Art. 58; Marco Duss, Forderungsverzicht durch Aktionäre im Zusammenhang mit Sanierungen von Aktiengesellschaften, in: Archiv für schweizerisches Abgaberecht, Bd. 50, S. 273 ff.; Xavier Oberson, Aspects fiscaux de l'assainissement des sociétés de capitaux, Etudes réunies en l'honneur de Louis Dallèves, Basel/Genf/München 2000, S. 189 f.; vgl. auch Art. 31 Abs. 2 DBG, welcher voraussetzt, dass erfolgswirksame Sanierungsleistungen, zu welchen auch Forderungsverzichte von Fremdkapitalgebern zählen [Peter Locher, Kommentar zum DBG, I. Teil, Therwil/Basel 2001, S. 771 f., Rz. 15 zu Art. 31], grundsätzlich einen steuerbaren Vermögenszugang darstellen). Die bei Selbstständigerwerbenden prinzipiell geltende Übereinstimmung des steuer- und beitragsrechtlichen Einkommensbegriffs erfasst auch die Behandlung des Schulderlasses.
3.2 Wie das Eidgenössische Versicherungsgericht in dem von der Beschwerdeführerin erwähnten Urteil H. vom 2. Dezember 2004, H 174/04, Erw. 4.2, erwogen hat, nimmt Art. 17 AHVV (in der bis 31. Dezember 2000 gültig gewesenen Fassung) die in Art. 18 Abs. 1 DBG verwendeten Begriffe wieder auf und verweist überdies bezüglich der Kapital- und Überführungsgewinne auf Art. 18 Abs. 2 DBG sowie hinsichtlich der Gewinne aus der Veräusserung von land- und forstwirtschaftlichen Grundstücken auf Art. 18 Abs. 4 DBG. Die Bestimmung formalisiert somit bei der Umschreibung des Einkommens aus selbstständiger Erwerbstätigkeit eine Harmonisierung zwischen dem Beitragsrecht der AHV und dem Steuerrecht. Soweit das AHVG und die AHVV keine abweichende Regelung enthalten, unterliegen grundsätzlich alle steuerbaren Einkünfte aus selbstständiger Erwerbstätigkeit auch der Beitragspflicht (Hanspeter Käser, Die Auswirkungen des DBG, in: René Schaffhauser/Ueli Kieser [Hrsg.], Aktuelle Fragen aus dem Beitragsrecht der AHV, St. Gallen 1998, S. 49 ff., 57). Dem Recht der direkten Bundessteuer liegt als einkommenstheoretisches Konzept die Reinvermögenszugangstheorie zu Grunde (BGE 125 V 383 Erw. 2b, 122 I 101 Erw. 4a; nicht veröffentlichtes Urteil G. des Bundesgerichts vom 27. Januar 2003, 2P.233/2002). Danach bilden prinzipiell sämtliche Zugänge zum Reinvermögen eines Subjekts während einer bestimmten Periode steuerbares Einkommen. Dazu zählt, wie im zitierten Urteil weiter dargelegt wurde, auch die Vermögensveränderung, welche aus dem Forderungsverzicht eines Gläubigers resultiert (BGE 115 Ib 272; nicht veröffentlichtes Urteil M. vom 28. September 1989 [2A.263/1988]; Felix Richner/Walter Frei/Stefan Kaufmann, Handkommentar zum DBG, Zürich 2003, N 61 zu Art. 58; Marco Duss, Forderungsverzicht durch Aktionäre im Zusammenhang mit Sanierungen von Aktiengesellschaften, in: Archiv für schweizerisches Abgaberecht, Bd. 50, S. 273 ff.; Xavier Oberson, Aspects fiscaux de l'assainissement des sociétés de capitaux, Etudes réunies en l'honneur de Louis Dallèves, Basel/Genf/München 2000, S. 189 f.; vgl. auch Art. 31 Abs. 2 DBG, welcher voraussetzt, dass erfolgswirksame Sanierungsleistungen, zu welchen auch Forderungsverzichte von Fremdkapitalgebern zählen [Peter Locher, Kommentar zum DBG, I. Teil, Therwil/Basel 2001, S. 771 f., Rz. 15 zu Art. 31], grundsätzlich einen steuerbaren Vermögenszugang darstellen). Die bei Selbstständigerwerbenden prinzipiell geltende Übereinstimmung des steuer- und beitragsrechtlichen Einkommensbegriffs erfasst auch die Behandlung des Schulderlasses.
4. 4.1 Die Frage, ob und inwiefern das Urteil H. vom 2. Dezember 2004 eine Abkehr von den in BGE 98 V 186 formulierten Grundsätzen darstelle, ist wie folgt zu beantworten: Es gilt nach wie vor die auch nach den am 1. Januar 1995 und 1. Januar 2001 in Kraft getretenen Änderungen mehrfach bestätigte Rechtsprechung, dass die AHV-Organe hinsichtlich der Qualifikationsfrage, ob überhaupt Erwerbseinkommen (und nicht beitragsfreier Kapitalertrag) vorliege, nicht an die steuerrechtliche Betrachtungsweise gebunden sind, so wenig wie in Bezug auf die Abgrenzung zwischen Geschäfts- und Privatvermögen oder das Vorliegen selbstständiger oder unselbstständiger Erwerbstätigkeit (vgl. etwa SVR 2003 AHV Nr. 15 S. 39 Erw. 2 mit Hinweisen; Käser, a.a.O., S. 57 f.). Abgesehen davon ist aber der Begriff des Einkommens aus selbstständiger Erwerbstätigkeit im AHV-Recht - unter Vorbehalt besonders statuierter Abweichungen - mit demjenigen der direkten Bundessteuer in Übereinstimmung gebracht worden (BGE 125 V 220 Erw. 5c).
4.2 Aus dem Gesagten ergibt sich, dass der Forderungsverzicht zu Gunsten eines Selbstständigerwerbenden immer dann beitragspflichtiges Erwerbseinkommen darstellt, wenn er eine Geschäftsschuld betrifft. Hingegen führt ein Schulderlass dann nicht zur Annahme eines selbstständigen Erwerbseinkommens, das der Beitragspflicht unterliegt, wenn es sich um eine Privatschuld handelt, die mit der selbstständigen Erwerbstätigkeit in keinem Zusammenhang steht.
4.3 Es besteht kein Zweifel, dass das Darlehen der Bank X._ im Zusammenhang mit der beruflichen Tätigkeit des Beschwerdegegners stand, welche dieser ausübte, indem er an einer einfachen Gesellschaft partizipierte, die den Kauf, die Überbauung und den anschliessenden teilweisen Verkauf einer grösseren Baulandparzelle bezweckte. Der entsprechende Schulderlass betrifft somit eine Geschäftsschuld, weshalb die Beitragspflicht gegeben ist. Nicht relevant kann nach dem Gesagten sein, ob der Beschwerdegegner gegenüber der auf die Amortisation verzichtenden Bank eine Gegenleistung erbracht hat.
4.4 Wie das Eidgenössische Versicherungsgericht bereits im zitierten Urteil H. vom 2. Dezember 2004, Erw. 5, dargelegt hat, führt auch der in der Vernehmlassung vorgebrachte Umstand, dass die steuerrechtlich bestehende Möglichkeit der Verrechnung periodenfremder Verluste im Beitragsrecht der AHV nicht gegeben ist (ZAK 1988 S. 452 f. Erw. 6; Urteil R. vom 4. Dezember 2003, H 255/03, Erw. 3), zu keiner abweichenden Beurteilung.
4.4 Wie das Eidgenössische Versicherungsgericht bereits im zitierten Urteil H. vom 2. Dezember 2004, Erw. 5, dargelegt hat, führt auch der in der Vernehmlassung vorgebrachte Umstand, dass die steuerrechtlich bestehende Möglichkeit der Verrechnung periodenfremder Verluste im Beitragsrecht der AHV nicht gegeben ist (ZAK 1988 S. 452 f. Erw. 6; Urteil R. vom 4. Dezember 2003, H 255/03, Erw. 3), zu keiner abweichenden Beurteilung.
5. Bei diesem Verfahrensausgang hätte der Beschwerdegegner als unterliegende, das Prozessrisiko tragende Partei an sich die Gerichtskosten zu übernehmen (Art. 135 in Verbindung mit Art. 156 Abs. 1 OG). In Anbetracht der speziellen Lage, namentlich des Umstandes, dass der Beschwerdegegner den kantonalen Gerichtsentscheid nicht zu vertreten hat, ist indessen von einer Kostenerhebung abzusehen.
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
Demnach erkennt das Eidg. Versicherungsgericht:
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 16. Dezember 2004 im Punkte des Schulderlasses aufgehoben.
1. In Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern vom 16. Dezember 2004 im Punkte des Schulderlasses aufgehoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 5000.- wird der Beschwerdeführerin zurückerstattet.
3. Der geleistete Kostenvorschuss von Fr. 5000.- wird der Beschwerdeführerin zurückerstattet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherung zugestellt.
Luzern, 6. Juli 2005
Im Namen des Eidgenössischen Versicherungsgerichts
Der Präsident der I. Kammer: Der Gerichtsschreiber: