Faits:
A. X._, doctoresse en médecine, domiciliée à ..., exploite un cabinet médical à Bienne. Un différend s'est élevé entre elle et l'assureur Y._ SA au sujet des prestations qu'elle percevait de ses patients dans le domaine des examens radiologiques; l'assureur lui contestait le droit de prélever une taxe de diagnostic qui, selon la convention tarifaire alors en vigueur, était destinée seulement aux médecins spécialistes en radiologie.
Le Tribunal arbitral des assurances sociales du canton de Berne a statué le 12 février 2005; il a prononcé que depuis le 1er janvier 1996, la doctoresse X._ n'avait plus le droit de prélever la taxe litigieuse; il a aussi prononcé que cette praticienne devait rembourser la taxe à ses patients affiliés à Y._ SA, en tant qu'elle l'avait prélevée après le 8 mai 2001. Le Tribunal fédéral des assurances a rejeté le recours de la doctoresse X._ le 19 juillet 2006.
Par acte du 18 octobre 2006, Z._ a déclaré céder à Y._ SA une créance au montant de 111 fr. contre la doctoresse X._, ayant pour objet le remboursement d'une taxe de diagnostic radiologique prélevée sans droit.
B. Le 23 avril 2007, Y._ SA a ouvert action contre la doctoresse X._ devant le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye, afin de faire reconnaître la créance acquise de Z._. Par jugement du 28 novembre suivant, ce magistrat a accueilli l'action et condamné la défenderesse à payer 111 fr.; il a définitivement levé son opposition au commandement de payer que l'autre partie lui avait fait notifier.
La défenderesse ayant recouru au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, la Ire Cour d'appel civil de ce tribunal a statué le 18 mars 2009; elle a confirmé le jugement.
C. Agissant par la voie du recours constitutionnel, la défenderesse saisit le Tribunal fédéral de conclusions tendant, en substance, à la réforme de l'arrêt de la Cour d'appel et au rejet de l'action, sous réserve d'un montant de 11 fr.25 qu'elle se déclare disposée à rembourser.
La demanderesse conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). La valeur litigieuse n'atteint pas le minimum légal de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF) et la cause ne correspond à aucun des cas de dispense prévus par la loi (art. 74 al. 2 LTF); en conséquence, celle-ci n'est susceptible que du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF), à l'exclusion du recours ordinaire en matière civile. Le recours est dirigé contre un jugement final et de dernière instance cantonale (art. 75 al. 1, 90 et 117 LTF). La défenderesse a pris part à l'instance précédente et elle a succombé dans des conclusions concernant son patrimoine personnel (art. 115 LTF). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours constitutionnel est en principe recevable, pour autant qu'il soit motivé conformément aux exigences légales.
Le recours constitutionnel ne peut être exercé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF); le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 et 117 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 III 439 consid. 3.2 p. 444).
2. La défenderesse se réfère à l'art. 9 Cst. et fait grief aux précédents juges de lui dénier arbitrairement le droit d'être rémunérée pour les services fournis à ses patients. Elle mentionne aussi l'art. 27 Cst., concernant la garantie de la liberté économique, et l'art. 23 de la Déclaration universelle des droits de l'homme du 10 décembre 1948; cette dernière disposition prévoit, en particulier, que « quiconque travaille a droit à une rémunération équitable ».
Une décision est arbitraire, donc contraire à l'art. 9 Cst., lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (ATF 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
Selon la jurisprudence relative aux recours formés pour violation de droits constitutionnels (art. 106 al. 2 ou 116 LTF), le plaideur qui se plaint d'arbitraire doit indiquer de façon précise en quoi la décision qu'il attaque est entachée d'un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; 133 II 396 consid. 3.2 p. 400).
3. Dans les instances cantonales, la défenderesse a contesté devoir rembourser la taxe de diagnostic qu'elle avait perçue de Z._, au montant de 111 fr.; subsidiairement, elle a soutenu que la convention tarifaire l'autorisait à exiger de cette patiente, si elle n'avait pas droit à la taxe, une rémunération au montant de 99 fr.75, et elle a déclaré éteindre par compensation, à concurrence de cette dernière somme, sa dette de remboursement. Les juges ont confirmé l'obligation de rembourser et ils ont retenu que la prétention élevée en compensation n'était pas établie.
A l'appui du recours constitutionnel, la défenderesse revient sur le débat tranché en 2006 par le Tribunal fédéral des assurances et elle persiste dans la thèse rejetée par la Cour d'appel. Son exposé consiste dans une longue discussion de ses propres arguments et des considérants de cette autorité, où on ne trouve pas sur quel point elle reproche réellement à cette dernière, sinon par de simples dénégations ou protestations, d'avoir commis une erreur indéniable ou de s'être livrée à une appréciation absolument insoutenable. Le grief d'arbitraire n'est donc pas motivé conformément aux exigences ci-rappelées.
L'argumentation présentée est aussi inapte à mettre en évidence une restriction inconstitutionnelle de la liberté économique; de la décision attaquée, il ne ressort d'ailleurs pas que la défenderesse eût dû fournir ses services professionnels sans rémunération. Le recours se révèle donc irrecevable, faute d'une motivation suffisante.
4. La défenderesse doit acquitter l'émolument judiciaire à percevoir par le Tribunal fédéral; il ne sera pas alloué de dépens à l'autre partie car celle-ci a procédé sans le concours d'un mandataire.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 500 francs.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 16 juin 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin