Erwägungen:
1. Der nigerianische Staatsangehörige X._ reiste im Februar 2004 in die Schweiz ein und ersuchte unter falschem Namen - erfolglos - um Asyl. Am 12. November 2004 heiratete er eine Schweizer Bürgerin, woraufhin ihm eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Der gemeinsame Haushalt wurde im Juli 2006 aufgegeben (gerichtlich genehmigte Trennungsvereinbarung vom 31. August 2006) und seither nicht wieder aufgenommen; die Ehe ist am 16. Mai 2009 geschieden worden.
Mit Verfügung vom 2. April 2009 lehnten die Einwohnerdienste der Einwohnergemeinde A._ als zuständige Fremdenpolizeibehörde das Gesuch um eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von X._ ab und setzten ihm eine Ausreisefrist an. Die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern blieb erfolglos. Mit Urteil vom 25. Februar 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen den Direktionsentscheid vom 10. September 2009 erhobene Beschwerde ab, unter Neuansetzung der Aufreisefrist auf den 16. April 2010.
Mit als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneter Rechtsschrift in französischer Sprache vom 30. März 2010 beantragt X._ dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern, damit er seine Ausreise organisieren könne "en respectant (ses) obligations contractuelles découlant du droit de travail, du droit de bail et (son) droit aux assurances sociales".
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Die Beschwerdeschrift ist in französischer Sprache verfasst, das angefochtene Urteil in deutscher Sprache. Gemäss Art. 54 Abs. 1 BGG wird das Verfahren in der Regel in der Sprache des angefochtenen Entscheids geführt. Es besteht vorliegend kein Anlass, von dieser Regel abzuweichen, und das Urteil ergeht in der Amtssprache Deutsch.
2.2 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
Der Beschwerdeführer hat keinen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung: Wohl war er mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet und hatte er insofern gestützt auf Art. 42 Abs. 1 AuG einen Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Nach der mittlerweile erfolgten Scheidung besteht dieser gesetzliche Anspruch jedoch nicht fort: Ausgehend von seinen für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG) hat das Verwaltungsgericht zutreffend erkannt, dass die Ehegemeinschaft nicht drei Jahre gedauert hat (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG). Der Beschwerdeführer behauptet sodann keine Umstände, die geeignet wären, Grundlage für den Fortbestand des Bewilligungsanspruchs im Sinne von Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG zu bilden. Inwiefern sich nach Auflösung der Ehe einerseits und aus einer sechsjährigen Landesanwesenheit andererseits ein Bewilligungsanspruch aus dem vom Beschwerdeführer am Rande erwähnten Art. 8 EMRK ergeben könnte, bleibt unerfindlich (s. dazu namentlich BGE 130 II 281 E. 3 S. 285 ff.). Soweit die Beschwerde die Bewilligungsfrage zum Gegenstand hat, ist sie als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG unzulässig.
Hinsichtlich der Frage der Wegweisung ist das ordentliche Rechtsmittel in Anwendung von Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG).
2.3 Der Beschwerdeführer will seine Beschwerde subsidiär als Verfassungsbeschwerde gemäss Art. 113 ff. BGG behandelt wissen. Mit diesem Rechtsmittel kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG).
2.3.1 Hinsichtlich der Bewilligungsfrage selber ist der Beschwerdeführer zur subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht legitimiert: Mangels Bewilligungsanspruchs hat er diesbezüglich kein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids (Art. 115 lit. b BGG; vgl. dazu BGE 133 I 185). Bei der einzigen in diesem Zusammenhang erhobenen Verfassungsrüge (Art. 29 Abs. 2 BV) handelt es sich zwar um eine solche verfahrensrechtlicher Natur. Derartige Rügen sind gegebenenfalls trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst zulässig. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen, wie etwa die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei oder sich nicht mit sämtlichen Argumenten und Parteivorbringen auseinandersetze (vgl. BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313; 129 I 217 E. 1.4 S. 222; 126 I 81 E. 7b S. 94; 118 Ia 232 E. 1c S. 236; zur Weiterführung dieser so genannten "Star-Praxis" unter der Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes s. BGE 133 I 185 E. 6.2 S. 198 f.). Bei den unter dem Titel Gehörsverweigerung (Art. 29 Abs. 2 BV [in Verbindung mit Art. 8 EMRK]) gemachten Ausführungen des Beschwerdeführers handelt es sich um in dem Sinn unzulässige Vorbringen.
2.3.2 Der Beschwerdeführer beschwert sich auch über die Wegweisung bzw. die damit verbundenen Modalitäten (Ausreisefrist); diesbezüglich wäre er - im Prinzip - zur subsidiären Verfassungsbeschwerde legitimiert. Zu diesem Prozessthema wird als einziges verfassungsmässiges Recht der Grundsatz von Treu und Glauben angerufen. Inwiefern dieses Grundrecht durch die Vorgehensweise des Verwaltungsgerichts, welches dem Beschwerdeführer, der seit über einem Jahr ernsthaft mit einer Wegweisung rechnen muss, nochmals eine Ausreisefrist von sechs Wochen angesetzt hat, tangiert sein sollte, legt der Beschwerdeführer nicht in einer den gesetzlichen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG) genügenden Weise dar.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich ihrerseits als offensichtlich unzulässig bzw. entbehrt einer hinreichenden Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG).
2.4 Auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers ist damit - im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG - weder als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten noch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde einzutreten.
Mit diesem instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.5 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann schon darum nicht entsprochen werden, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien.
Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.--- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. April 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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