Faits:
A. A.a M._, né en 1951, a travaillé comme manoeuvre dans le bâtiment dès l'âge de 14 ans, d'abord au Portugal, puis en Suisse, dès 1986. Il a notamment travaillé comme maçon pour l'entreprise X._, à partir du 1er octobre 1998. Le 24 mai 2002, cette société a informé la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) du fait que M._ souffrait d'allergies diverses touchant les mains, les bras, le front et les jambes. La doctoresse H._, spécialiste en dermatologie, a mis en évidence une double pathologie, soit une forte allergie à pratiquement tous les produits que l'intéressé touchait pendant son travail de maçon et une surinfection à Trichophyton rubrum. Le patient était alors en arrêt de travail et le médecin a exprimé l'avis qu'il ne pourrait plus travailler dans la branche du bâtiment (rapport du 9 avril 2002). Dans un rapport ultérieur, ce médecin a diagnostiqué une dermite de contact en raison d'une forte sensibilisation à la colophane, au thiuram-mix, à l'éthylène diamine, au Quaternium 15 et au formaldéhyde, soit des produits rencontrés pendant le travail. Le traitement, par stéroïdes locales, s'était terminé le 13 mai 2005. Il subsistait une incapacité de travail entière dans la profession de maçon pour une durée « indéfinie ».
A partir du 27 mai 2002, l'assuré a été suivi par son médecin traitant habituel, le docteur S._. En août 2002, il a subi une opération en raison d'une hernie inguinale. Le 27 septembre 2002, il a été examiné par le docteur T._, spécialiste FMH en médecine du travail. Selon les constatations de ce médecin, les lésions, au demeurant discrètes, se limitaient alors aux plantes et aux faces latérales internes des deux pieds. Des investigations étaient nécessaires pour en déterminer l'origine.
A.b Le 28 mars 2003, la CNA a informé l'assuré qu'elle prendrait en charge les suites de l'affection dermatologique depuis son annonce en 2002 (c'est-à-dire dès le 4 mars 2002) jusqu'au 14 août 2002. L'incapacité de travail qui perdurait depuis le 15 août 2002, consécutive à l'opération de la hernie inguinale, était étrangère à la maladie professionnelle et ne donnait pas droit aux prestations en cas de maladie professionnelle.
Le 9 avril 2003, la CNA a déclaré l'assuré inapte à tous les travaux au contact du ciment, des composés du chrome, de la colophane et des additifs de caoutchouc, avec effet rétroactif au 15 août 2002.
A.c Le 21 mai 2003, l'assuré a de nouveau été examiné par le docteur T._. Ce médecin a constaté que l'eczéma de contact allergique pris en charge comme maladie professionnelle n'était pas encore guéri, car il subsistait des lésions chroniques fluctuantes au niveau des mains et des pieds. Il a préconisé un suivi dermatologique. Il a noté, par ailleurs, que des troubles musculo-squelettiques avaient fait leur apparition au cours de l'automne 2002, alors que l'intéressé se trouvait en arrêt de travail depuis le mois de mars précédent et sans aucun phénomène déclenchant identifiable. Ces dernières pathologies n'avaient cependant pas de rapport démontré avec l'activité professionnelle de l'assuré. Malgré la persistance des lésions d'eczéma décrites, l'état cutané était néanmoins stabilisé, ce qui aurait permis la mise en oeuvre de mesures de réadaptation. Cependant, les pathologies musculo-squelettiques faisaient principalement, sinon exclusivement, obstacle à la mise en oeuvre de pareilles mesures.
Le patient a de nouveau été adressé à la doctoresse H._, qui a noté, dans un rapport du 16 juin 2003, que le status des mains était satisfaisant; il restait des lésions eczématiformes sur certains endroits, mais peu étendues et bien contrôlées.
A.d L'assuré a suivi un stage d'observation professionnelle dans un Centre d'observation professionnelle de l'assurance-invalidité du 1er septembre 2003 au 28 septembre 2003. Par la suite, le docteur C._ a établi une expertise à l'intention de l'Office de l'assurance-invalidité (rapport du 18 février 2005). L'expert a posé le diagnostic d'eczéma allergique de contact, de spondylarthrite ankylosante et de ruptures partielles du tendon du sus-épineux droit et du sus-scapulaire, avec conflit acromio-sous-acromial. Il a attesté une totale incapacité de travail et a écarté l'éventualité de mesures de réadaptation professionnelle en raison des limitations physiques, cutanées et ostéoarticulaires du patient. Le 3 novembre 2005, l'Office de l'assurance-invalidité a alloué à l'assuré une rente entière, fondée sur une incapacité de gain de 100 pour cent, à partir du 1er mars 2003.
A.e A la demande de la CNA, l'assuré a encore été examiné à l'Hôpital Y._. Dans un rapport du 24 mars 2006, le docteur P._, médecin consultant, a constaté l'absence de lésions cutanées au niveau des mains, du corps, des coudes, des genoux, du tronc et des plis. En revanche, le patient présentait un eczéma du visage, bénin et sans rapport avec l'eczéma professionnel, ainsi qu'un eczéma plantaire. A la suite de tests complémentaires, le docteur T._ a estimé que la dermatose des pieds n'était pas la conséquence de l'eczéma de contact assuré comme maladie professionnelle par la CNA (rapport du 11 juillet 2006).
Par décision du 19 janvier 2007, confirmée par décision sur opposition du 31 juillet suivant, la CNA a signifié à l'assuré son refus de lui allouer des prestations supplémentaires. Selon elle, l'eczéma des pieds et la dermite faciale ne relevaient pas d'une maladie professionnelle. Quant à l'eczéma des mains, il avait complètement disparu depuis le début de l'année 2005, de sorte que l'assuré aurait pu reprendre une activité en évitant les allergènes, ainsi que tout travail en milieu humide avec des irritants. Il ne subsistait donc pas de séquelles invalidantes des troubles dermatologiques assurés. Il ne restait qu'une prédisposition à une maladie et non une maladie professionnelle proprement dite. Par conséquent, le droit à une rente d'invalidité n'était pas ouvert. Au demeurant, même si l'on admettait l'existence d'une atteinte à la santé assurée, celle-ci n'aurait pas empêché l'intéressé de réaliser un revenu sensiblement égal à celui qu'il aurait pu obtenir en qualité de maçon. La maladie professionnelle n'était pas propre à entraîner une perte de gain.
B. Par jugement du 29 mai 2008, le Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève a rejeté un recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition de la CNA.
C. M._ interjette un recours en matière de droit public dans lequel il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et au renvoi de la cause à la CNA pour détermination de son taux d'invalidité et fixation du montant de la rente d'invalidité à laquelle il prétend. La CNA conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité de l'intimée.
2. Selon l'art. 9 LAA, sont réputées maladies professionnelles les maladies (art. 3 LPGA) dues exclusivement ou de manière prépondérante, dans l'exercice de l'activité professionnelle, à des substances nocives ou à certains travaux; le Conseil fédéral établit la liste de ces substances ainsi que celle de ces travaux et des affections qu'ils provoquent (al. 1). Sont aussi réputées maladies professionnelles les autres maladies dont il est prouvé qu'elles ont été causées exclusivement ou de manière nettement prépondérante par l'exercice de l'activité professionnelle (al. 2). Sauf disposition contraire, la maladie professionnelle est assimilée à un accident professionnel dès le jour où elle s'est déclarée; une maladie professionnelle est réputée déclarée dès que la personne atteinte doit se soumettre pour la première fois à un traitement médical ou est incapable de travailler au sens de l'art. 6 LPGA (al. 3).
D'autre part, selon l'art. 18 al. 1 LAA, si l'assuré est invalide (art. 8 LPGA) à 10 pour cent au moins par suite d'un accident, il a droit à une rente d'invalidité.
3. 3.1 Il n'est pas contesté que l'eczéma facial et plantaire dont souffre le recourant n'est pas une séquelle tardive de la maladie professionnelle. Cette affection n'engage pas la responsabilité de la CNA, pas plus d'ailleurs que les troubles musculo-squelettiques. Il n'y a pas lieu de revenir sur ce point.
3.2 En ce qui concerne l'eczéma de contact aux mains, l'intimée a nié le droit à une rente de l'assurance-accidents au motif qu'une simple allergie ne pouvait pas, comme telle, constituer une maladie professionnelle ouvrant droit à une rente de l'assurance-accidents, une fois disparus les symptômes après la cessation de l'exposition à la substance allergène. En l'occurrence, ces symptômes ont disparu et abstraction faite d'autres atteintes à la santé d'origine non professionnelle, l'assuré pourrait reprendre une activité professionnelle pour autant qu'il évite le contact avec les produits auxquels il est sensibilisé.
4.1 4.1.1 L'argumentation de l'intimée remonte à une jurisprudence relativement ancienne, dans laquelle le Tribunal fédéral des assurances avait opéré une distinction entre les maladies professionnelles qui sont encore actives dans l'organisme (p. ex. la silicose) et celles qui, à la suite d'un traitement, n'occasionnent plus de troubles physiques ou d'atteinte à la santé, du moins en l'absence de l'agent provocateur ou allergisant (p. ex. l'asthme ou l'eczéma). Les premières ouvraient le droit à une rente si elles entraînaient un changement d'activité impliquant une diminution de revenu; pour la silicose, un état pathologique était reconnu même si la maladie n'était pas « active » ou ne se manifestait pas par certains symptômes (voir ATFA 1967 p. 199). Pour les secondes, on considérait qu'elles résultaient d'une prédisposition qui n'était elle-même pas une maladie professionnelle assurée. Seules étaient assurées les poussées provoquées par le contact avec les substances déclenchantes. La perte de gain qui en résultait ne justifiait pas l'octroi d'indemnités journalières durant les périodes intermédiaires entre deux poussées ni l'allocation d'une rente en cas de reclassement dans une activité moins bien rémunérée (ATFA 1952 p. 5; 1958 p. 147; 1967 p. 1999 et arrêt du Tribunal fédéral des assurances U 16/69 du 20 novembre 1969, résumé dans le rapport annuel de la CNA 1969 p. 22 sous let. f; sur cette pratique, voir : ALFRED MAURER, Recht und Praxis der schweizerischen obligatorischen Unfallversicherung, 2ème éd., Berne 1963, p. 213 sv. et n. 41a p. 214; ALEXANDRA RUMO-JUNGO, Rechtssprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, Bundesgesetz über die Unfallversicherung, 3ème éd., p. 84).
4.1.2 Par la suite, la jurisprudence a admis, implicitement tout au moins, qu'un changement d'activité nécessité par un eczéma d'origine professionnelle pouvait dans certains cas fonder le droit à une rente d'invalidité si ce changement entraînait une perte de gain (arrêt U 19/88 du 24 octobre 1988). Dans le même sens, le Tribunal fédéral des assurances a jugé que l'apparition de crises d'asthme causée par la profession et due à une allergie aux isocyanates devait être considérée comme une maladie professionnelle. L'assuré qui doit changer de profession à la suite d'une maladie de ce type et qui encourt de ce fait une diminution de revenu peut prétendre une rente d'invalidité de la LAA (arrêt U 145/97 du 29 janvier 1999, in Plädoyer 2000 1 p. 53).
4.2 Lorsqu'elles font état d'une allergie ou d'une hypersensibilité à une substance nocive, ou encore d'une « prédisposition », et qu'elles en discutent la prise en charge par l'assurance-accidents, les différentes jurisprudences mentionnées ci-avant ne précisent pas toujours si cette allergie ou hypersensibilité à une substance nocive a elle-même été provoquée, exclusivement ou de manière prépondérante, par l'exercice de l'activité professionnelle. A cet égard, une clarification est nécessaire. Plus précisément, il convient de distinguer deux éventualités.
D'une part, une hypersensibilité à un ou plusieurs agents provocateurs qui subsiste après rémission d'une maladie professionnelle doit être distinguée d'une simple prédisposition. Une telle sensibilisation représente une modification de l'état de santé après un contact antigène et donc un état pathologique (PETER OMLIN, Die Invalidität in der obligatorischen Unfallversicherung: Mit besonderer Berücksichtigung der älteren Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer, thèse, Fribourg 1995, 2ème éd. 1999, p. 54). Si cette sensibilisation est due exclusivement ou de manière prépondérante à l'exposition à des substances nocives sur le lieu du travail, elle constitue, comme telle, une maladie professionnelle. Dans ce sens, l'asthme bronchique professionnel - pour lequel les farines et les isocyanates représentent des facteurs causals importants - fait partie des maladies professionnelles reconnues au même titre par exemple que la pneumoconiose; il implique souvent un changement de profession indispensable pour interdire tout contact avec le facteur déclenchant (voir MARTIN RÜEGGER, Berufsasthma und Befeuchterlunge, in Primary Care, 5/2005, p. 793 ss; P. VOGT/M. RÜEGGER, Berufsbedingte Krankheiten der Atemwege, in Swiss Medical Forum, 2002 p. 647 ss, plus spécialement p. 650). Si l'existence d'une maladie professionnelle est reconnue dans une telle situation, l'assurance-accidents doit allouer les prestations légales, et donc aussi une rente en cas de perte de gain consécutive à un changement de profession.
D'autre part, si au delà d'une simple poussée de symptômes, l'allergie ou l'hypersensibilité à une substance nocive n'est pas due à l'exercice de l'activité professionnelle assurée, de manière exclusive ou prépondérante, elle ne peut pas être considérée, comme telle, comme une maladie professionnelle, les conditions de l'art. 9 al. 1 LAA n'étant pas réunies. Seule peut alors entrer en considération la prise en charge de la poussée de symptômes provoquée par l'exposition professionnelle à la substance déclenchante, jusqu'à rémission (cf. consid. 4.1.1 supra).
4.3 Le recourant a travaillé comme manoeuvre dans le bâtiment pendant de nombreuses années, sans éprouver de symptômes allergiques, avant d'entrer au service d'une entreprise assurée par l'intimée. Il est donc peu vraisemblable que le contact aux substances nocives lors de l'activité professionnelle n'ait fait qu'activer une hypersensibilité préexistante. Il est par ailleurs établi que le recourant souffre, aux mains, d'un eczéma de contact à des substances nocives auxquelles il a été exposé dans son activité professionnelle. Cet eczéma est lié au contact du ciment, avec une sensibilisation au bichromate de potassium (rapport du docteur T._ du 1er octobre 2002). On peut donc admettre que le recourant a bien été sensibilisé, par l'exercice de son activité professionnelle, à des substances nocives au contact desquelles il ne peut plus travailler. L'intimée ne l'a du reste jamais contesté, mais a nié la persistance d'une maladie professionnelle au motif que les symptômes apparus après l'exposition aux substances nocives sur le lieu de travail avaient par la suite disparu. Or, comme on l'a vu (consid. 4.2 ci-avant), la seule disparition des symptômes ne permet pas de nier la persistance d'une maladie professionnelle, lorsqu'un assuré est devenu hypersensible ou allergique à une substance en raison de l'exercice de son activité professionnelle.
5. 5.1 Les premiers juges considèrent que, malgré la décision de la CNA qui l'a déclaré inapte dès le 15 août 2002 à des travaux en contact avec certains agents, le recourant n'a pas été obligé de changer de profession. En effet, dès cette date, il était incapable de travailler, en raison d'abord d'une hernie inguinale jusqu'au 15 septembre 2002, puis en raison de troubles musculo-squelettiques. Cette incapacité est devenue définitive. Par conséquent, dès le moment où l'incapacité de travail liée à la maladie professionnelle a pris fin, le recourant n'a pas pu reprendre une activité professionnelle en raison de troubles qui n'engagent pas la responsabilité de la CNA. Partant, il n'a jamais eu à subir ni pratiquement, ni abstraitement, une diminution de salaire en raison de son affection dermatologique. Ce n'est pas en raison d'une maladie professionnelle qu'il subit une perte de gain. Il n'y a dès lors pas lieu, concluent les premiers juges, d'examiner si le revenu que l'assuré pourrait obtenir dans une activité le mettant à l'abri de toute manifestation dermatologique est ou non inférieur au gain qu'il obtiendrait dans sa profession antérieure de maçon.
5.2 Le recourant soutient pour sa part que son incapacité de travail liée à sa maladie professionnelle est antérieure à l'incapacité de travail pour les troubles qui ne relèvent pas de la responsabilité de l'intimée. Son incapacité de travail, qui a entraîné son invalidité, est en partie imputable à la maladie professionnelle. Il estime avoir droit à une rente calculée en fonction de la différence entre le revenu qu'il réalisait comme maçon et le revenu dans une activité théoriquement adaptée compte tenu des limitations liées à la maladie professionnelle.
5.3 Le raisonnement des premiers juges fait implicitement appel à la notion de causalité dépassée ou dépassante. Cette notion vise des situations où un dommage aurait pu être causé par un certain fait, mais résulte en réalité d'autres circonstances (arrêt 8C_630/2007 du 10 mars 2008 consid. 5.2; arrêt 5C.125/2003 du 31 octobre 2003 consid. 3.3, in SJ 2004 I p. 407). En d'autres termes, elle vise le cas où un premier fait est susceptible d'entraîner un certain dommage, mais où ce dommage est causé par un second fait avant que le premier ne le fasse; le premier est dans ce sens « dépassé » par le second. La causalité dépassée crée simplement le risque d'un préjudice, mais pas un préjudice réel (voir FLORENCE AUBRY GIRARDIN, Les causes du dommage, in Les causes du dommage, 2007, p. 75 sv.; THOMAS PROBST, La causalité aujourd'hui, ibidem, p. 18; FRANZ WERRO, La responsabilité civile, 2005, no 181 ss). Ce n'est pas l'enchaînement chronologique des événements qui est à lui seul déterminant, mais la survenance du dommage, en l'occurrence la survenance d'une invalidité ouvrant droit à la rente (arrêt U 357/04 du 22 septembre 2005 consid. 2.4, in RAMA 2006 no U 570 p. 74; OMLIN, op. cit. p. 147; pour un cas de causalité dépassante, comparer avec l'arrêt 8C_630/2007, précité, dans lequel le traitement médical des suites d'un accident professionnel n'était pas terminé au moment où l'assuré a été victime d'une embolie pulmonaire et d'un infarctus).
5.4 En l'espèce, on n'est pas en présence d'un cas de causalité dépassante. Dès que la maladie professionnelle s'est déclarée, il est apparu d'emblée que l'assuré ne pourrait plus exercer sa profession de maçon. La doctoresse H._ indiquait que le traitement était terminé le 13 mai 2002 déjà et que l'incapacité de travail dans cette profession serait totale pour une durée « indéfinie ». A la suite de son examen du 27 septembre 2002, le docteur T._ notait que les lésions se limitaient alors aux faces latérales internes des deux pieds, avec une prédominance à gauche (soit des affections dermatologiques sans rapport avec la maladie professionnelle). En ce qui concerne les troubles musculo-squelettiques, le docteur S._ notait en janvier 2003 que des lombalgies étaient apparues en septembre 2002. Dans un précédent rapport, du 20 novembre 2002, à l'intention de l'Office de l'assurance-invalidité, ce même médecin indiquait plus précisément, s'agissant de l'eczéma, que le pronostic était « excellent » en dehors de l'allergène. Hormis cette affection, le patient se trouvait en « parfaite santé », sous réserve d'un début de lombarthrose se manifestant par des douleurs à la charge et cliniquement par une rigidité lombaire. Un recyclage dans une profession manuelle s'avérait « incontournable ». On peut déduire de ces renseignements médicaux que l'état de santé du recourant, lié à la maladie professionnelle, s'il nécessitait encore un suivi dermatologique, s'est assez rapidement stabilisé en l'absence de tout contact avec des facteurs causals. A fin 2002 en tout cas, il n'y avait plus lieu d'attendre une sensible amélioration de l'état de santé du recourant pour ce qui est des conséquences de l'affection assurée. Un droit potentiel à une rente de la CNA aurait déjà pu prendre naissance au cours de cette même année (art. 19 al. 1 LAA; ATF 134 V 109 consid. 4.3 p. 115), soit à une époque où, à dire de médecin, l'affection lombaire n'entraînait pas encore une incapacité notable de travail. Le fait que l'intéressé est devenu par la suite totalement incapable de travailler, notamment pour des problèmes de dos, ne libère donc pas l'assureur-accidents de sa responsabilité (cf. OMLIN, op. cit, p. 146 sv.).
5.5 Au demeurant, ce n'est pas en raison seulement de son état ostéoarticulaire que l'assurance-invalidité a reconnu à l'assuré un taux d'incapacité de gain de 100 pour cent. Aux limitations liées aux troubles musculo-squelettiques se sont ajoutées - certes dans une moindre mesure - les limitations liées au problème allergologique (pas de contact avec nombre de substances ni activités dans un milieu humide; rapport du docteur C._). C'est en définitive la conjugaison de ces deux types de limitations qui réduisait à néant toute possibilité pour l'assuré de reprendre une quelconque activité. On est donc en présence de deux causes partielles - sans corrélation entre elles - qui ont contribué à l'invalidité totale. Dans un tel cas de figure, les suites de l'accident (ou de la maladie professionnelle) doivent être assumées par l'assureur-accidents pour la part du dommage imputable à l'atteinte à la santé assurée (ATF 126 V 116 consid. 3a p. 117; arrêt U 357/04 cité consid. 2.2).
5.6 Il est vrai que la survenance (subséquente) de l'incapacité de travail consécutive aux troubles musculo-squelettiques empêchait toute mesure de reclassement de l'assuré dans un milieu libre de tout agent déclenchant. On est cependant fondé à considérer qu'un changement de profession n'aurait de toute façon pas permis à l'intéressé de réaliser un salaire équivalent à celui qu'il aurait obtenu en tant que maçon. Selon les indications fournies par son ex-employeur, l'assuré aurait gagné en 2002 un salaire horaire de 27 fr. 30, pour 2'226 heures de travail (y compris les vacances et les ponts compensés) plus 8,3 pour cent au titre de 13ème salaire. Cela donne un gain annuel de 65'813 fr. Le recourant était alors âgé de 51 ans. Il était sans formation et avait un faible niveau d'expression, surtout en français (rapport du docteur C._). Selon les observations faites au COPAI, ses chances de réadaptation - indépendamment de son état de santé - étaient considérées comme faibles (mauvaise image de soi, aucune vision de l'avenir sous un angle professionnel, adaptation faible à la nouveauté). Compte tenu de ces éléments, le recourant n'aurait vraisemblablement pu retrouver qu'un emploi sans qualification pour des tâches simples et répétitives. D'après l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ESS) 2002, le salaire mensuel brut (valeur centrale) des hommes exerçant une activité non qualifiée dans le secteur privé était de 4'557 fr. pour un horaire hebdomadaire de 40 heures. Pour un horaire de 41,7 heures (voir La Vie économique 12/2005, tableau B 9.2 p. 94), cela correspond à 4'750 fr. par mois, soit 57'000 fr. par an. C'est un montant de cet ordre que l'assuré, reclassé au mieux, aurait pu réaliser si des facteurs étrangers à l'affection assurée n'avaient pas entraîné une incapacité de travail. Il apparaît donc que la perte de gain est supérieure à 10 pour cent.
6. En conclusion, la CNA doit assumer la perte de gain résultant du changement de profession qu'impliquait l'interdiction pour le recourant de tout contact avec les substances allergènes. Il convient, en conséquence, de lui renvoyer la cause pour qu'elle calcule le taux d'invalidité et fixe le montant de la rente à laquelle il a droit.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales du 29 mai 2008, ainsi que la décision sur opposition du 31 juillet 2007, sont annulés, la cause étant renvoyée à la CNA pour nouvelle décision au sens des motifs.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. L'intimée versera au recourant une indemnité de dépens de 2'800 fr. pour la procédure fédérale.
4. Le Tribunal des assurances du canton de Genève est invité à statuer sur les dépens de la procédure cantonale en regard de l'issue du litige.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales du canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 6 juillet 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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