Sachverhalt:
A. Staatsanwältin Bettina Groth (Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich) führte eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen einfacher Körperverletzung. Es wurde ihm zur Last gelegt, am 10. September 2006 seinen 1997 geborenen Sohn geschlagen zu haben.
Mit Aufsichtsbeschwerde vom 6. Juni 2007 beantragte X._, die Strafuntersuchung sei Staatsanwältin Groth wegen Voreingenommenheit und Befangenheit zu entziehen und einem anderen Untersuchungsbeamten zuzuteilen; es sei festzustellen, dass die Einvernahme von X._ vom 6. Juni 2007 nichtig sei; eventualiter seien gegen Staatsanwältin Groth aufsichtsrechtliche, allenfalls disziplinarische Massnahmen zu ergreifen.
Mit Entscheid vom 3. August 2007 wies die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich diese Begehren ab.
B. Den von X._ dagegen erhobenen Rekurs schrieb die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich (im Folgenden: Direktion der Justiz) mit Verfügung vom 21. November 2007 zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab (Ziffer I.). Auf das Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung trat sie nicht ein (Ziffer II.). Kosten erhob sie keine (Ziffer III.).
Die Direktion der Justiz erwog, mit Verfügung vom 27. September 2007 habe die Staatsanwältin die Strafuntersuchung eingestellt. Diese Verfügung sei lediglich mit Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen von der Mitangeschuldigten des Rekurrenten angefochten worden. Die Strafuntersuchung sei folglich beendet. Damit werde das Ablehnungsbegehren gegenstandslos. Der Rekurs gegen die Abweisung des Ablehnungsbegehrens sei zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt abzuschreiben. Was das Begehren des Rekurrenten um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung und Prozessvertretung für das Rekursverfahren betreffe, sei festzuhalten, dass es sich vorliegend um ein strafprozessuales Verfahren handle. Der zürcherische Strafprozess kenne das Institut der unentgeltlichen Prozessführung grundsätzlich nicht. Die für den Strafprozess zuständige Behörde habe über die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes und dessen Entschädigung zu befinden. Auf das Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung sei deshalb nicht einzutreten. Da die Gegenstandslosigkeit nicht vom Rekurrenten zu vertreten sei, seien keine Kosten zu erheben.
C. X._ führt "Beschwerde in Strafsachen und Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten" mit dem Antrag, Dispositiv Ziffer II. der Verfügung der Direktion der Justiz sei aufzuheben; dem Beschwerdeführer sei für die vorinstanzlichen Verfahren in Anwendung von Art. 107 Abs. 2 BGG die unentgeltliche Prozessführung und die unentgeltliche Prozessvertretung in der Person von Rechtsanwalt Peter Hübner zu bewilligen; eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz in Anwendung von Art. 107 Abs. 2 BGG zurückzuweisen.
D. Die Oberstaatsanwaltschaft und Staatsanwältin Groth haben auf Vernehmlassung verzichtet.
Die Direktion der Justiz beantragt unter Hinweis auf die angefochtene Verfügung die Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Gemäss Art. 78 Abs. 1 BGG beurteilt das Bundesgericht Beschwerden gegen Entscheide in Strafsachen. Der Begriff "Entscheide in Strafsachen" umfasst sämtliche Entscheidungen, denen materielles Strafrecht oder Strafprozessrecht zu Grunde liegt. Mit anderen Worten kann grundsätzlich jeder Entscheid, der die Verfolgung oder die Beurteilung einer Straftat betrifft und sich auf Bundesrecht oder auf kantonales Recht stützt, mit der Beschwerde in Strafsachen angefochten werden (Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 S. 4313).
Im kantonalen Verfahren ging es darum, ob Staatsanwältin Groth, welche die Strafuntersuchung gegen den Beschwerdeführer führte, durch einen anderen Untersuchungsbeamten zu ersetzen sei. Die Vorinstanz stützt ihren Entscheid, auf das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung nicht einzutreten, auf das kantonale Strafprozessrecht. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich daher um einen solchen in Strafsachen nach Art. 78 Abs. 1 BGG. Damit ist die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
1.2 Die Vorinstanz hat kantonal letztinstanzlich entschieden. Gegen ihren Entscheid ist die Beschwerde nach Art. 80 in Verbindung mit Art. 130 Abs. 1 BGG zulässig.
1.3 Gemäss Art. 81 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer a) vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat; und b) ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, inbesondere die beschuldigte Person (Ziff. 1).
Der Beschwerdeführer war Beschuldigter. Er hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids, soweit die Vorinstanz auf sein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung nicht eingetreten ist (vgl. Urteil 1P.411/2002 vom 6. November 2002 E. 1). Seine Beschwerdelegitimation ist somit gegeben.
1.4 Als die Vorinstanz den angefochtenen Entscheid traf, war die Strafuntersuchung gegen den Beschwerdeführer bereits rechtskräftig eingestellt. Dies spricht dafür, dass es sich beim angefochtenen Entscheid um einen Endentscheid nach Art. 90 BGG handelt. Wie es sich damit verhält, kann jedoch dahingestellt bleiben. Die Beschwerde wäre auch dann zulässig, wenn man annehmen wollte, es handle sich um einen Zwischenentscheid über den Ausstand nach Art. 92 BGG; ja selbst dann, wenn man davon ausginge, es handle sich um einen anderen Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG, da durch das Nichteintreten auf ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung in aller Regel ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG droht (vgl. BGE 126 I 207 E. 2a S. 210; Urteil 1P.411/2002 vom 6. November 2002 E. 1).
1.5 Gemäss Art. 95 lit. a BGG kann der Beschwerdeführer insbesondere die Verletzung von Bundesrecht rügen (Art. 95 lit. a BGG).
2. Der Beschwerdeführer macht geltend, entgegen der Auffassung der Vorinstanz seien für die Beurteilung des bei ihr gestellten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege nicht die Bestimmungen der Zürcher Strafprozessordnung anwendbar, sondern jene des Zürcher Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 (VRG; LS 175.2).
Darauf kann nicht eingetreten werden, weil es insoweit um eine Frage der Anwendung des kantonalen Prozessrechts geht. Die Verletzung einfachen kantonalen Gesetzesrechts kann der Beschwerdeführer hier nicht geltend machen (vgl. Art. 95 lit. c und d BGG). Inwiefern die Vorinstanz das kantonale Verfahrensrecht willkürlich und damit in Verletzung von Art. 9 BV angewandt habe, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Das Bundesgericht hat sich deshalb dazu nicht zu äussern (Art. 106 Abs. 2 BGG).
3. Soweit der Beschwerdeführer eine Rechtsverweigerung nach Art. 94 BGG rügt, ist die Beschwerde ebenfalls unbehelflich.
Diese Bestimmung hat die Untätigkeit einer Behörde zum Gegenstand (die Weigerung, einen Entscheid zu fällen), weshalb ein eigentliches Beschwerdeobjekt gar nicht vorliegt (Botschaft, a.a.O., S. 4334). Im hier zu beurteilenden Fall ist die Vorinstanz nicht untätig geblieben und hat es nicht abgelehnt, einen anfechtbaren Entscheid zu fällen. Vielmehr hat sie einen solchen getroffen.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer bringt (S. 10 Ziff. 8) vor, selbst wenn die Zürcher Strafprozessordnung das Institut der unentgeltlichen Prozessführung nicht vorsehen sollte, änderte dies am Ergebnis nichts; diesfalls hätte er einen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gestützt auf Art. 29 Abs. 3 BV. Die Vorinstanz hätte deshalb auf sein Gesuch eintreten müssen.
4.2 Der Beschwerdeführer macht insoweit eine Verletzung von Bundesrecht geltend. Das Vorbringen ist nach Art. 95 lit. a BGG zulässig.
4.3 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege ergibt sich als Mindestgarantie aus Art. 29 Abs. 3 BV. Danach hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Mit dem verfassungsrechtlichen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege soll verhindert werden, dass dem bedürftigen Rechtsuchenden der Zugang zu Gerichts- und Verwaltungsinstanzen in nicht zum vornherein aussichtslosen Verfahren wegen seiner wirtschaftlichen Verhältnisse verwehrt oder erschwert wird. Dieses Recht gewährleistet der bedürftigen Person, dass die entsprechende Gerichts- oder Verwaltungsinstanz ohne vorherige Hinterlegung oder Sicherstellung von Kosten tätig wird. Indessen garantiert der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege keine definitive Übernahme der Kosten durch den Staat. Gelangt die bedürftige Person im Laufe des Verfahrens oder aufgrund des Prozessausgangs in den Besitz ausreichender Mittel, kann ihr die unentgeltliche Rechtspflege verweigert oder wieder entzogen werden. Aufgrund der Rechtswohltat ausbezahlte Beträge können ferner selbst nach Erledigung des Prozesses zurückverlangt werden, wenn sich die wirtschaftliche Situation des Begünstigten ausreichend verbessert hat (BGE 122 I 322 E. 2c S. 324; Urteil 1P.411/2002 vom 6. November 2002 E. 3.2, mit Hinweisen). Eine Partei, die über einen geeigneten rechtskundigen Vertreter verfügt, der zu ihrer Vertretung im Prozess nicht nur in der Lage, sondern ohne Vorschiessung der Kosten auch bereit oder verpflichtet ist, kann nicht unter Berufung auf Art. 29 Abs. 3 BV die Ernennung eines Armenanwalts verlangen. Unter dem Gesichtspunkt des aus Art. 29 Abs. 3 BV fliessenden Anspruchs auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand ist nicht wesentlich, wer letztlich die Kosten der Prozessvertretung trägt und nach welchen Regeln sich der Entschädigungsanspruch des Vertreters richtet. Massgebend ist allein, dass die erforderliche Vertretung im Prozess gesichert ist (BGE 100 Ia 87 E. 4 S. 90).
4.4 Der Beschwerdeführer macht nicht geltend und es ist aus den Akten nicht ersichtlich, dass die Vorinstanz für das Rekursverfahren einen Kostenvorschuss verlangt hätte. Im angefochtenen Entscheid hat sie keine Kosten erhoben. Insoweit kann Art. 29 Abs. 3 BV im Lichte der angeführten Rechtsprechung von vornherein nicht verletzt sein. Der Beschwerdeführer macht dies in einer den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise auch nicht geltend.
Es stellt sich einzig die Frage, ob die Vorinstanz unter dem Gesichtswinkel von Art. 29 Abs. 3 BV auf das Gesuch um Beiordnung von Rechtsanwalt Hübner als unentgeltlichen Rechtsbeistand hätte eintreten müssen.
Wie der Beschwerdeführer (S. 4 Ziff. 3) selber darlegt, hat ihm der Stellvertretende Präsident des Bezirksgerichts Zürich mit Verfügung vom 21. März 2007 (act. 14/2) Rechtsanwalt Hübner als amtlichen Verteidiger im Sinne von § 11 Abs. 2 Ziff. 5 StPO/ZH beigegeben. Gemäss § 12 Abs. 2 StPO/ZH wird der amtliche Verteidiger aus der Staatskasse nach dem Anwaltstarif entschädigt. Über die endgültige Kostenauflage wird bei Abschluss des Verfahrens entschieden.
Der Beschwerdeführer hatte demnach im Zeitpunkt der Rekurserhebung bereits einen unentgeltlichen Rechtsbeistand. Die Vertretung des Beschwerdeführers im Rekursverfahren war damit gesichert. Zwar gewährleistet § 12 Abs. 2 StPO/ZH dem Beschuldigten keine endgültige Übernahme der Anwaltskosten. Dieses Recht verleiht ihm nach der dargelegten Rechtsprechung aber auch Art. 29 Abs. 3 BV nicht.
Bei dieser Sachlage verletzt es Art. 29 Abs. 3 BV ebenso wenig, wenn die Vorinstanz auf das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung nicht eingetreten ist, soweit es um die Beiordnung von Rechtsanwalt Hübner als unentgeltlichen Rechtsbeistand ging.
5. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Da sie aussichtslos war, kann das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren nach Art. 64 BGG nicht bewilligt werden.
Von der Mittellosigkeit des Beschwerdeführers ist aufgrund der Akten (act. 17/3) allerdings auszugehen. Mit Blick darauf wird auf die Erhebung von Kosten verzichtet (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwältin Bettina Groth, der Oberstaatsanwaltschaft sowie der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Mai 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri