Erwägungen:
1.
X._ wurde mit Verfügung vom 24. August 2010 für die Staats- und die direkte Bundessteuer 2008 nach pflichtgemässem Ermessen veranlagt. Auf die von ihm dagegen erhobene Einsprache wurde am 20. Dezember 2012 mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht eingetreten, was das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 19. April 2013 geschützt hat. Am 15. Juni 2013 hat X._ gegen diesen Entscheid hinsichtlich der Staatssteuer (Verfahren 2C_556/2013) und der direkten Bundessteuer (2C_568/2013) Beschwerden an das Bundesgericht erhoben. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt, sondern nur die kantonalen Akten beigezogen. Am 25. Juni 2013 wurden Gesuche um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
2.
In den Verfahren 2C_1284/2012 und 2C_1285/2012 ging es in Bezug auf die Ermessungsveranlagungen gegenüber dem Beschwerdeführer für die Staats- und die direkte Bundessteuer 2007 im Wesentlichen um die gleichen Fragen wie hier. Mit Urteil vom 15. Februar 2013 hat das Bundesgericht die Beschwerden im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG als offensichtlich unbegründet abgewiesen, soweit es darauf überhaupt eingetreten ist. Dasselbe drängt sich auch im vorliegenden Verfahren auf. Für die Begründung kann somit grundsätzlich auf das genannte Urteil verwiesen werden, daneben auf den angefochtenen Entscheid vom 19. April 2013.
3.
Im Weiteren ist noch Folgendes festzuhalten:
3.1. Entscheidend ist hier eine gesetzliche Regelung, die sowohl im Recht der direkten Bundessteuer als in demjenigen der Kantons- und Gemeindesteuer gilt (vgl. Art 132 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11]; Art. 48 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]; § 151 Abs. 3 des Steuergesetzes des Kantons Schwyz vom 9. Februar 2000) : Unterlässt es der Pflichtige trotz (hier wiederholter) Mahnung, seine Steuererklärung einzureichen und zwingt er die Behörden dazu, ihn nach pflichtgemässem Ermessen zu veranlagen, so verliert er zwar nicht jegliche Möglichkeit, die so ergangene Veranlagung anzufechten. Diese Möglichkeit ist indessen - wie das der Gesetzgeber selber in aller Deutlichkeit festgelegt hat - nur noch eine sehr eingeschränkte. Die Veranlagung kann bloss noch dann korrigiert werden, wenn sie sich als geradezu offensichtlich unrichtig erweist, was mit einer entsprechend substantiierten Begründung geltend gemacht werden muss (vgl. dazu auch E. 3.2 des angefochtenen Entscheids).
Es ist diese grundlegende und zwingend verbindliche Wertung des Gesetzgebers, welche der Beschwerdeführer weiterhin ausser Acht lässt, obwohl die Behörden ihn inzwischen schon mehrere Male darauf aufmerksam gemacht haben. Er scheint immer noch zu meinen, dass es genüge, im Einspracheverfahren der Ermessensveranlagung seine abweichenden Berechnungen entgegenzusetzen, ohne eine irgendwie substantiierte Begründung und lediglich gestützt auf eine nicht einmal vollständig nachgereichte Steuererklärung sowie bestenfalls lückenhafte Belege. So erwies sich seine Einsprache für 2008 in Bezug auf die Begründungs- und Nachweispflicht als derart ungenügend, dass sie keinesfalls geeignet war, die ergangene Ermessensveranlagung als qualifiziert falsch erscheinen zu lassen. Dementsprechend hat das Verwaltungsgericht den Nichteintretensentscheid der Einsprachebehörde ohne weiteres schützen dürfen (vgl. E. 3.3 bis 3.6 des angefochtenen Entscheids).
3.2. In Verkennung der tatsächlich zu beurteilenden Fragen erhebt der Beschwerdeführer zahlreiche Vorwürfe gegenüber den Steuer (gerichts) behörden. Diese Vorwürfe erweisen sich jedoch allesamt als offensichtlich unbegründet, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann (vgl. E. 2.1, 2.2 u. 3.1 des oben in E. 2 genannten Bundesgerichtsurteils).
Vom Ansatz her unzutreffend ist u.a. die Behauptung, die Einsprachebehörde müsste eine von der Verwaltung unabhängige Gerichtsinstanz sein (vgl. E. 1.8.2 u. 1.8.3 des angefochtenen Entscheids). Genauso irrig ist die Meinung, auf das Steuerveranlagungsverfahren (bzw. das darauf folgende Rechtsmittelverfahren) seien die EMRK-Garantien anwendbar oder solche des ZGB bzw. des OR usw.
Offensichtlich unbegründet sind daneben die zahlreichen Verfassungsrügen, soweit sie den insoweit geltenden Begründungserfordernissen (vgl. E. 2.1 des Urteils 2C_1284/2012) überhaupt - in (sehr) geringem Ausmass - zu genügen vermögen. Grundlegend fehl geht der Beschwerdeführer auch in der Annahme, dass die Behörden ihm von Amtes wegen einen fachmännischen Rechtsbeistand zur Verfügung stellen müssten, um seine Eingaben in einer den genannten Erfordernissen entsprechenden Weise zu verfassen.
Nicht nachvollziehbar ist schliesslich die Behauptung des Beschwerdeführers, die kantonalen Steuer (gerichts) behörden seien ihm gegenüber voreingenommen. In Wirklichkeit hat die Veranlagungsbehörde ihm im Einspracheverfahren (namentlich durch den ihm unterbreiteten Vergleichsvorschlag bzw. ihre Bereitschaft zu einer Besprechung) ein Wohlwollen entgegengebracht, zu dem sie unter den gegebenen Umständen und von Gesetzes wegen nicht verpflichtet gewesen wäre. Der tatsächlich entscheidende Punkt des vorliegenden Rechtsstreits ist - wie schon hervorgehoben (vgl. oben E. 3.1) - ein ganz anderer: Hätte der Beschwerdeführer seine Steuererklärung rechtzeitig, vollständig und mit den erforderlichen lückenlosen Belegen eingereicht, hätte er sich nicht in die (für ihn mit unlösbaren Problemen verbundene) Lage versetzt, nachweisen zu müssen, dass die von seiner eigenen Auffassung abweichenden Veranlagungspunkte auf geradezu willkürlich falschen Fehleinschätzungen der Behörde beruhten.
4.
Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_556/2013 und 2C_568/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer II, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. August 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Matter