Faits:
A. S._ travaille en qualité de secrétaire au service de X._. A ce titre, elle est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Allianz Suisse Société d'Assurances SA (ci-après: Allianz).
Le 8 novembre 2001, alors qu'elle arrivait à une intersection au volant de sa voiture, l'assurée a obliqué à gauche sans accorder la priorité à un motocycliste qui circulait normalement en sens inverse. L'intéressée ne s'est plainte d'aucune blessure. De son côté, le motocycliste a été grièvement blessé lors de la collision.
Dans les semaines qui ont suivi cet accident, l'assurée a ressenti des vertiges accompagnés de nausées et de déséquilibres, ainsi que des douleurs à la nuque et de la fatigue. Consulté le 8 décembre 2001, le docteur H._, spécialiste en médecine générale, a fait état d'une possible dysfonction labyrinthique et de cervicalgies post-contusionnelles. Il a attesté une incapacité de travail de 100 % du 22 février au 1er mars 2002, avec reprise du travail à 100 % dès le 2 mars suivant (rapport du 12 avril 2002).
L'assureur-accidents, qui avait pris en charge le cas, a recueilli de nombreux renseignements médicaux et confié une expertise au docteur M._, spécialiste en oto-rhino-laryngologie et médecin adjoint à l'Unité d'otoneurologie du Centre hospitalier Y._; rapport du 2 février 2007).
Par décision du 6 juillet 2007, Allianz a accordé à l'assurée une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 10 %, en raison des séquelles de l'accident, à savoir une affection au niveau de l'oreille interne, à l'origine d'un hydrops endolymphatique et de symptômes d'une maladie de Ménière. En outre, l'assureur-accidents a indiqué qu'il allait continuer de prendre en charge les frais des traitements médicaux nécessaires et appropriés, pour autant qu'il existât un lien de causalité naturelle entre l'accident et l'affection traitée.
A réception de factures de pharmacie concernant des médicaments délivrés les 9 janvier et 6 avril 2009, et d'une note d'honoraires du docteur R._, médecin traitant de l'assurée, Allianz a rendu une décision le 17 février 2010, confirmée sur opposition le 18 octobre suivant, par laquelle elle a refusé de prendre en charge désormais les frais du traitement relatif au syndrome de Ménière, motif pris de l'absence d'un lien de causalité entre ce trouble et l'accident du 8 novembre 2001. Bien qu'elle ait indiqué avoir admis par erreur l'existence d'un tel lien auparavant, Allianz a renoncé à réclamer la restitution des prestations déjà allouées.
B. Saisie d'un recours contre la décision sur opposition, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a rejeté par jugement du 31 octobre 2011.
C. S._ forme un recours contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi des prestations de l'assurance-accidents obligatoire.
L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. La juridiction cantonale en propose également le rejet.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était en droit, par sa décision sur opposition du 18 octobre 2010, de refuser de prendre en charge les médicaments délivrés les 9 janvier et 6 avril 2009 et les honoraires du docteur R._, ainsi que les frais de traitements nécessités dorénavant par le syndrome de Ménière.
Le jugement attaqué ne concernant pas l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par la juridiction précédente (art. 105 al. 1 et 3 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF.
La partie recourante ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. Il lui appartient de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
3. 3.1 Par un premier moyen, la recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir violé le droit fédéral en confirmant la suppression avec effet ex nunc et pro futuro, par l'intimée, de son droit à prestations, malgré l'existence d'une décision d'octroi de prestations entrée en force et en l'absence d'un motif de révocation dudit prononcé (reconsidération ou révision procédurale). En lui allouant, par sa décision du 6 juillet 2007, une indemnité pour atteinte à l'intégrité en raison d'une atteinte au niveau de l'oreille interne à l'origine d'un hydrops endolymphatique et de symptômes d'une maladie de Ménière, l'assureur-accidents a reconnu implicitement l'existence d'un lien de causalité naturelle et adéquate. Aussi, ne pouvait-il pas supprimer le droit à prestations, cela d'autant moins qu'il avait précisé vouloir continuer à prendre en charge les frais de traitements nécessaires et appropriés, la soi-disant réserve indiquée à cet égard n'étant rien d'autre qu'un rappel d'une règle générale du droit.
3.2 Selon la jurisprudence, l'assureur-accidents a la possibilité de mettre fin avec effet ex nunc et pro futuro à son obligation de prendre en charge le cas, qu'il avait initialement reconnue en versant des prestations, sans devoir invoquer un motif de reconsidération ou de révision procédurale. Il peut liquider le cas en alléguant le fait qu'un événement assuré - selon une appréciation correcte de la situation - n'est jamais survenu, ou que l'existence d'un lien de causalité doit être niée (ATF 130 V 380 consid. 2.3.1 p. 384). Le Tribunal fédéral des assurances a précisé en outre que les frais de traitement et l'indemnité journalière ne constituent pas des prestations durables au sens de l'art. 17 al. 2 LPGA, de sorte que les règles présidant à la révision des prestations visées par cette disposition légale (cf. ATF 137 V 424 consid. 3.1 p. 428 et la référence) ne sont pas applicables (ATF 133 V 57 consid. 6.7 p. 65).
En l'occurrence, l'intimée a supprimé, avec effet ex nunc et pro futuro, la prise en charge du traitement et a renoncé à réclamer la restitution des prestations allouées précédemment. La recourante ne saurait dès lors critiquer cette décision en soutenant qu'il n'existait pas de motif de reconsidération ou de révision procédurale des décisions (formelle et matérielle) d'octroi des prestations ou que l'assureur-accidents n'a pas respecté les règles applicables à la révision des prestations durables.
3.3 Il est vrai que la jurisprudence réserve les cas dans lesquels le droit à la protection de la bonne foi s'oppose à une suppression immédiate des prestations par l'assureur-accidents (ATF 130 V 380 consid. 2.3.1 p. 384). Découlant directement de l'art. 9 Cst. et valant pour l'ensemble de l'activité étatique, le principe de la bonne foi protège le citoyen dans la confiance légitime qu'il met dans les assurances reçues des autorités, lorsqu'il a réglé sa conduite d'après des décisions, des déclarations ou un comportement déterminé de l'administration (ATF 129 I 161 consid. 4.1 p. 170; 128 II 112 consid. 10b/aa p. 125 et les arrêts cités). Il permet à l'intéressé, lorsque certaines conditions cumulatives sont réunies, d'exiger que l'autorité respecte ses promesses et qu'elle évite de se contredire. Il faut notamment qu'il se soit fondé sur les assurances ou le comportement dont il se prévaut pour prendre des dispositions auxquelles il ne saurait renoncer sans subir de préjudice (ATF 131 II 627 consid. 6.1 p. 636 s.; 129 I 161 consid. 4.1 p. 170 et les références).
En l'occurrence, la recourante, qui allègue une violation du principe de la bonne foi, fait valoir qu'elle a entrepris des traitements et engagé des frais thérapeutiques "qu'elle ne saurait cesser sans subir de préjudice pécuniaire, ni dans son processus de guérison". Cela étant, elle ne prétend toutefois pas que ces soins n'ont pas été pris en charge par l'assureur-maladie obligatoire, de sorte qu'elle n'indique pas en quoi la suppression des prestations par l'assureur-accidents aurait entraîné pour elle un préjudice. L'argumentation tirée de la violation du droit à la protection de la bonne foi ne répond donc pas aux exigences de motivation de l'art. 42 al. 2 LTF.
4. 4.1 Dans sa décision sur opposition du 18 octobre 2010, l'intimée a nié l'existence d'une contusion labyrinthique ou de toute autre lésion lors de l'accident du 8 novembre 2001, de sorte que, selon elle, l'affection de l'oreille interne ne pouvait découler que d'une cophose préexistante ou d'un important stress lié à un choc émotionnel ressenti lors de l'événement. Cependant, elle a laissé indécise la question de l'existence d'un lien de causalité naturelle entre ce stress et l'affection, du moment que, selon elle, la causalité adéquate devait être niée sur la base des critères développés par la jurisprudence pour juger du caractère adéquat du lien de causalité entre un accident et une atteinte à la santé psychique.
Se fondant sur les conclusions de l'expert M._ (rapport du 2 février 2007), la juridiction cantonale a considéré que la recourante n'avait pas subi de lésion ni de contusion lors de l'accident et que seul un facteur de stress était à l'origine de l'hydrops endolymphatique et, partant, de la maladie de Ménière. Si donc l'affection de l'oreille interne découlait d'un facteur de stress, en revanche, l'accident du 8 novembre 2001, en particulier la violente émotion ressentie à la vue du choc subi par le motocycliste, ne constituait pas un événement dramatique propre à faire naître une terreur subite même chez une personne moins apte à supporter certains chocs nerveux. Aussi, la juridiction cantonale a-t-elle nié le caractère accidentel du traumatisme psychique à l'origine de l'affection de l'oreille interne.
4.2 En l'occurrence, la recourante ne fait valoir aucun argument apte à mettre en cause le point de vue de la juridiction précédente. En particulier, elle n'allègue pas avoir subi, lors de l'accident, une lésion ou une contusion à l'origine de l'affection actuelle, pas plus qu'elle ne soutient que le facteur de stress est le résultat d'un événement d'une grande violence survenu en sa présence et propre à faire naître une terreur subite même chez une personne moins capable de supporter certains chocs nerveux. Sur le vu des circonstances de l'accident du 8 novembre 2001, on doit considérer que le traumatisme psychique ne remplit pas la condition du caractère extraordinaire de l'atteinte et, partant, il n'est pas constitutif d'un accident au sens de la jurisprudence (ATF 129 V 402 consid. 2.1 p. 404).
5. Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Par ailleurs, l'intimée ne peut se voir allouer une indemnité de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 19 décembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd