Sachverhalt:
A. Die 1962 geborene B._ war als Ausrüsterin im Werk N._ der Firma H._ AG bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen versichert, als sie am 9. Dezember 2004 bei der Arbeit ihren rechten Zeigefinger an einem heissen Werkzeug einklemmte und sich eine drittgradige Verbrennung zuzog. Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht für die Folgen dieses Ereignisses und erbrachte die gesetzlichen Leistungen, stellte diese jedoch mit Verfügung vom 24. Januar 2006 und Einspracheentscheid vom 17. Januar 2007 per 31. Januar 2006 ein, da die darüberhinaus anhaltend geklagten Beschwerden nicht mehr adäquat kausal durch das Unfallereignis verursacht worden seien.
B. Die von B._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus mit Entscheid vom 27. Februar 2008 in dem Sinne teilweise gut, als es unter Aufhebung des Einspracheentscheides die Sache zur Ergänzung des Sachverhaltes und zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die SUVA zurückwies.
C. Mit Beschwerde beantragt die SUVA, es sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides der Einspracheentscheid vom 17. Januar 2007 und damit die Leistungseinstellung per 31. Januar 2006 zu bestätigen.
Während B._ auf Abweisung der Beschwerde schliesst, beantragt die Vorinstanz, es sei nicht auf die Beschwerde einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Nachdem der Instruktionsrichter mit Verfügung vom 3. Juni 2008 eine Sistierung des Verfahrens abgelehnt hat, reicht B._ am 9. Juli 2008 eine ergänzende Stellungnahme des Dr. med. C._ zu den Akten.
Erwägungen:
1. 1.1 Das BGG unterscheidet in Art. 90 bis 93 zwischen End-, Teil- sowie Vor- und Zwischenentscheiden und schafft damit eine für alle Verfahren einheitliche Terminologie. Ein Endentscheid ist ein Entscheid, der das Verfahren prozessual abschliesst (Art. 90 BGG), sei dies mit einem materiellen Entscheid oder Nichteintreten, z.B. mangels Zuständigkeit. Der Teilentscheid ist eine Variante des Endentscheids. Mit ihm wird über eines oder einige von mehreren Rechtsbegehren (objektive und subjektive Klagehäufung) abschliessend befunden. Es handelt sich dabei nicht um verschiedene materiellrechtliche Teilfragen eines Rechtsbegehrens, sondern um verschiedene Rechtsbegehren. Vor- und Zwischenentscheide sind alle Entscheide, die das Verfahren nicht abschliessen und daher weder End- noch Teilentscheid sind; sie können formell- und materiellrechtlicher Natur sein. Voraussetzung für die selbstständige Anfechtbarkeit materiellrechtlicher Zwischenentscheide ist gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zunächst, dass sie selbstständig eröffnet worden sind. Erforderlich ist sodann alternativ, dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gut zu machenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
1.2 Beschlägt ein Rechtsstreit verschiedene Aspekte, und wird - etwa aus prozessökonomischen Gründen - über einen dieser Aspekte vorab entschieden, so handelt es sich beim Entscheid der letzten kantonalen Instanz je nach Ausgang des Verfahrens um einen End- oder um einen Vorentscheid: Wird etwa bei mehreren kumulativ zu erfüllenden Anspruchsvoraussetzungen eine dieser Voraussetzungen vorab geprüft und verneint, so wird es sich beim kantonalen Entscheid in der Regel um einen Endentscheid handeln, der gemäss Art. 90 BGG ohne weiteres anfechtbar ist. Wird demgegenüber von mehreren Anspruchsvoraussetzungen eine vorab bejaht, so handelt es sich beim kantonalen Entscheid um einen Vorentscheid (weitere Beispiele bei FELIX UHLMANN, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008, N 4 zu Art. 92 BGG), welcher vor Bundesgericht nur dann anfechtbar ist, wenn die Voraussetzungen von Art. 93 BGG erfüllt sind.
1.3 Gelangt in einem Verwaltungsverfahren die Verwaltung zum Schluss, eine von mehreren kumulativ zu erfüllenden Anspruchsvoraussetzungen sei nicht erfüllt, so ist es zulässig, dass sie ihre Leistungspflicht verneint, ohne die anderen Anspruchsvoraussetzungen zu prüfen. Auch im daran sich allenfalls anschliessenden kantonalen Verwaltungsgerichtsverfahren wird in der Regel lediglich das Vorliegen dieser einen Anspruchsvoraussetzung geprüft (vgl. BGE 125 V 413 E. 1a S. 414). Könnte die Verwaltung einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid, wonach diese eine Voraussetzung erfüllt ist, nicht vor Bundesgericht anfechten, so hätte dies zur Folge, dass sie zur Prüfung der weiteren Anspruchsvoraussetzungen schreiten müsste und - sollten diese zu bejahen sein - gezwungen wäre, eine ihres Erachtens rechtswidrige, leistungszusprechende Verfügung zu erlassen. Diese könnte sie in der Folge nicht selber anfechten; da die Gegenpartei in der Regel kein Interessen haben wird, den allenfalls zu ihren Gunsten rechtswidrigen Endentscheid anzufechten, könnte der kantonale Vorentscheid nicht mehr korrigiert werden und würde zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil für die Verwaltung führen (vgl. BGE 133 V 477 E. 5.2 S. 483 ff.).
1.4 Das kantonale Gericht hat mit Entscheid vom 27. Februar 2008 den Einspracheentscheid der Beschwerdeführerin vom 17. Januar 2007 aufgehoben, damit diese nach weiteren medizinischen Abklärungen über den Zeitpunkt des Fallabschlusses neu befinde. Gleichzeitig bejahte es den rechtsgenüglichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis vom 9. Dezember 2004 und den über den 31. Januar 2006 anhaltend geklagten gesundheitlichen Beschwerden. Ein rechtsgenüglicher Kausalzusammenhang ist eine Anspruchsvoraussetzung unter anderen in Zusammenhang mit Leistungen der Unfallversicherung (vgl. auch BGE 134 V 109 E. 3.2 S. 113). Der kantonale Entscheid ist demnach als Vorentscheid zu qualifizieren. Hätte er Bestand, so wäre die Beschwerdeführerin unter Umständen gezwungen, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen, womit sie offensichtlich einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil erlitte (vgl. Urteil 8C_554/2007 vom 20. Juni 2008, E. 1.4). Auf ihre Beschwerde ist demnach einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. 3.1 Die Zusprechung von Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung setzt grundsätzlich das Vorliegen eines Berufsunfalles, eines Nichtberufsunfalles oder einer Berufskrankheit voraus (Art. 6 Abs. 1 UVG). Der Unfallversicherer haftet jedoch für einen Gesundheitsschaden nur insoweit, als dieser nicht nur in einem natürlichen, sondern auch in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum versicherten Ereignis steht (BGE 129 V 177 E. 3 S. 181). Dabei spielt die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt (BGE 134 V 109 E. 2 S. 111 f.; 127 V 102 E. 5b/bb S. 103). Objektivierbar sind Untersuchungsergebnisse, die reproduzierbar sind und von der Person des Untersuchenden und den Angaben des Patienten unabhängig sind. Von organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen kann somit erst dann gesprochen werden, wenn die erhobenen Befunde mit apparativen/bildgebenden Abklärungen bestätigt wurden und die hiebei angewendeten Untersuchungsmethoden wissenschaftlich anerkannt sind (Urteil 8C_806/2007 vom 7. August 2008, E. 8.2 mit zahlreichen Hinweisen). Sind die geklagten Beschwerden natürlich unfallkausal, nicht aber in diesem Sinne objektiv ausgewiesen, so ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind gegebenefalls weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f.). Hat die versicherte Person einen Unfall erlitten, welcher die Anwendung der Schleudertrauma-Rechtsprechung rechtfertigt, so sind hierbei die durch BGE 134 V 109 E. 10 S. 126 ff. präzisierten Kriterien massgebend. Ist diese Rechtsprechung nicht anwendbar, so sind grundsätzlich die Adäquanzkriterien, welche für psychische Fehlentwicklungen nach einem Unfall entwickelt wurden (BGE 115 V 133 E. 6c/aa S. 140), anzuwenden (BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f.; vgl. auch Urteil 8C_583/2007 vom 10. Juni 2008, E. 2.2).
3.2 Zu medizinischen Kontroversen und den diesbezüglichen Vorbringen der Parteien hat das Gericht nicht näher Stellung zu nehmen. Es ist nicht Sache des Sozialversicherungsgerichts, medizinisch-wissenschaftliche Kontroversen zu klären; seine Aufgabe beschränkt sich darauf, die Unfallkausalität aufgrund der im konkreten Fall gegebenen Verhältnisse und unter Berücksichtigung der medizinischen Lehrmeinung zu beurteilen (BGE 134 V 231 E. 5.3 S. 234).
4. 4.1 Das kantonale Gericht hat nach umfassender Würdigung der gesamten medizinischen Akten geschlossen, überwiegend wahrscheinlich leide die Versicherte in Folge des Ereignisses vom 9. Dezember 2004 an einem "Complex Regional Pain Syndrome" des Types II (nachstehend: CRPS II). Da der Gesundheitsschaden im Sinne der in E. 3.1 hiervor dargelegten Rechtsprechung hinreichend nachgewiesen sei, erübrige sich eine spezielle Adäquanzprüfung.
Die SUVA macht demgegenüber geltend, verschiedene Kriterien, die gemäss der herrschenden medizinischen Lehre erfüllt sein müssten, um ein CRPS II zu diagnostizieren, lägen bei der Beschwerdegegnerin nicht vor. Die anhaltenden Beschwerden der Versicherten seien psychischer Natur; die Adäquanz eines allfälligen Kausalzusammenhanges zwischen Unfall und diesen Beschwerden sei daher nach der Rechtsprechung von BGE 115 V 133 zu prüfen und zu verneinen.
4.2 Entgegen der Ansicht der Parteien kann im vorliegenden Streit letztlich offenbleiben, ob das Leiden der Versicherten aus medizinisch-theoretischer Sicht tatsächlich als CRPS II zu bezeichnen ist oder nicht. Es kann folglich auch dahingestellt bleiben, ob die ärztliche Beurteilung des SUVA-Arztes Dr. med. R._ vom 13. März 2008 und die Stellungnahme des Dr. med. C._ vom 8. Juli 2008 mit Blick auf Art. 99 Abs. 1 BGG als Beweismittel zulässig wären. Entscheidend ist viel mehr, ob die anhaltend geklagten Beschwerden der Versicherten auf einen organisch hinreichend nachgewiesenen Unfallschaden zurückzuführen sind (vgl. E. 3.2 hievor).
4.3 Dem Sonographie-Befund des P._, Leiter Sonographie der Klinik Z._, vom 12. Juni 2007 ist zu entnehmen, dass bei der dynamischen Untersuchung des verletzten Fingers kein Gleiten der FDP-Sehne nachweisbar sei, es bestehe eine hypodense Sehnenstruktur. Zudem fehle das radiale Gefässbündel vom PIP- bis zum DIP-Gelenk. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, liegt somit ein organisch hinreichend nachgewiesener Gesundheitsschaden vor. Wie Dr. med. C._ in seinem Gutachten vom 15. Juli 2007 nachvollziehbar darlegt, ist dieser Schaden überwiegend wahrscheinlich auf die am 9. Dezember 2004 erlittene drittgradige Verbrennung zurückzuführen.
4.4 Somit stellt sich einzig noch die Frage, ob die subjektiv geklagten Beschwerden sich durch den objektiv nachgewiesenen Unfallfolgeschaden erklären lassen. Hiebei ist zu beachten, dass in der Hand eine Vielzahl anatomischer Strukturen und funktioneller Einheiten auf engem Raum vereint ist und deshalb auch "kleine" Störungen oder Verletzungen zu grossen Ausfällen führen können (vgl. etwa Berger und andere, Handchirurgie, in: Berchtold und andere, Chirurgie, 4. Aufl. 2001, S. 829 ff., S. 830).
4.4.1 Dr. med. H._, Facharzt Plastische und Wiederherstellungschirurgie speziell Handchirurgie FMH, vertritt in seiner handchirurgischen Stellungnahme vom 1. Juli 2005 die Meinung, die aktive Streckhaltung des rechten Zeigefingers respektive die entsprechende Beugehemmung sei allein aufgrund der klinischen Befunde nicht zu erklären. Am wahrscheinlichsten sei es, dass die Beschwerden auf die von Dr. med. K._, Facharzt Psychiatrie und Psychotherapie FMH, diagnostizierte Konversionsstörung zurückzuführen sei. Diese Diagnose setzt voraus, dass die für die Störung charakteristischen Symptome nicht durch eine körperliche Krankheit erklärt werden können (vgl. Dilling/Freyberger (Hrsg.), Taschenführer zur ICD-10-Klassifikation psychischer Störungen, 3. Aufl. Bern 2006, S. 170). Die beiden Ärzte konnten indessen den erst später erhobenen Sonographiebefund nicht kennen - selber verzichteten sie auf eine Ultraschall-Untersuchung. Somit kann ihrer Stellungnahme keine massgebende Bedeutung zukommen.
4.4.2 In ihrer Beurteilung vom 10. Oktober 2007 halten die SUVA-Ärzte Dres. med. S._, Fachärztin Neurologie FMH, und R._, Facharzt Chirurgie FMH, fest, dass der erhobene Sonographie-Befund die sanduhrförmige Einschnürung des Fingermittelgliedes nicht erklären könne. Dies ist allerdings nicht weiter von Bedeutung, da dieselben Ärzte bereits in ihrer Beurteilung vom 10. Januar 2007 nachvollziehbar ausgeführt haben, diese Einschnürung verursache keine ins Gewicht fallende Behinderung, sondern stelle lediglich eine merkwürdige, ästhetisch nicht störende Fehlform des distalen Zeigefingers dar.
4.4.3 Gemäss der Einschätzung des Dr. med. C._, Chirurgie speziell Handchirurgie FMH, in seinem Gutachten vom 15. Juli 2007 ist das Beschwerdebild der Versicherten durch die Beschädigung des radialen Fingernerven geprägt. Aufgrund der erhobenen Befunde sei die Läsion des Nerven plausibel. Diese Einschätzung stimmt insofern mit jener der SUVA-Ärzte Dres. med. S._ und R._ vom 10. Oktober 2007 überein, als auch diese Ärzte unter anderem festhalten, der Sonographiebefund könne die Funktionsbeeinträchtigung der Sehne sowie eine Schädigung des Ramus superficialis des digitalen Endastes des Nervus radialis erklären. Aufgrund dieser Einschätzungen erscheint es als überwiegend wahrscheinlich, dass die von der Versicherten über den 31. Januar 2006 anhaltend geklagten Beschwerden auf ein im Sinne der in E. 3.2 erwähnten Rechtsprechung objektiv nachgewiesenen Gesundheitsschaden beruhen.
4.5 Beruhen die geklagten Beschwerden auf einem objektiv nachgewiesenen Gesundheitsschaden, so entfällt die Notwendigkeit einer speziellen Adäquanzprüfung im Sinne des BGE 115 V 133. Der Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und den geklagten Beschwerden ist weiterhin adäquat, ohne dass die Frage geprüft werden müsste, ob das Beschwerdebild medizinisch tatsächlich einem CRPS II entspricht. Die Vorinstanz hat folglich zu Recht die Sache zur Prüfung der weiteren Anspruchsvoraussetzungen an die SUVA zurückgewiesen. Die Beschwerde ist demnach abzuweisen.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 133 V 642 E. 5). Diese hat der Beschwerdegegnerin überdies eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 BGG). Entgegen dem Antrag der Beschwerdegegnerin ist bei deren Festsetzung die Honorarrechnung des Dr. med. C._ vom 9. Juli 2008 nicht zu berücksichtigen, weil sich der medizinische Sachverhalt auch ohne die Stellungnahme dieses Arztes vom 8. Juli 2008 schlüssig feststellen liess (vgl. auch E. 4.2 hievor).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. Dezember 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer