Sachverhalt:
A. Infolge der Heirat am 7. April 2000 mit dem Schweizer Bürger A._ (geb. 1952) erhielt X._ (geb. 1973), Staatsangehörige der Dominikanischen Republik, eine Aufenthaltsbewilligung für den Kanton Thurgau. Auch ihr Sohn Y._ (geb. 1995), der aus einer früheren Beziehung stammt und ebenfalls Staatsangehöriger der Dominikanischen Republik ist, erhielt im November 2000 eine Aufenthaltsbewilligung im Rahmen des Familiennachzugs. Im Mai 2001 trennten sich die Eheleute. Am 11. Dezember 2001 gebar X._ die gemeinsame Tochter Z._, die über das Schweizer Bürgerrecht verfügt und unter der elterlichen Obhut der Mutter steht. Die Aufenthaltsbewilligungen wurden letztmals bis zum 6. Oktober 2005 verlängert.
Am 21. November 2006 lehnte das Migrationsamt des Kantons Thurgau die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligungen von Mutter und Sohn ab. Die von ihnen dagegen eingereichten Rechtsmittel blieben erfolglos. Letztinstanzlich wies das Bundesgericht mit Urteil 2C_372/2008 vom 25. September 2008 ihre Beschwerde ab.
B. Am 17. November 2008 beantragten X._ und ihr Sohn Y._ dem Migrationsamt Thurgau mit einem "Wiedererwägungsgesuch", ihnen zu bewilligen, "bei ihrer Tochter bzw. Halbschwester in der Schweiz zu verbleiben, damit Frau X._ die Betreuung ihrer Tochter weiterhin in der Schweiz wahrnehmen kann". Das Migrationsamt erklärte am 24. November 2008, das "Wegweisungsverfahren" sei formell und materiell in Rechtskraft erwachsen, die im Gesuch vom 17. November 2008 gemachten Ausführungen könnten daran nichts ändern. Auf den dagegen gerichteten Rekurs trat das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau nicht ein. Die anschliessende Beschwerde von X._ und ihrem Sohn Y._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau am 4. Februar 2009 ab. Zur Begründung gab es an, die von den Beschwerdeführern geltend gemachte wesentliche Veränderung der Verhältnisse sei "in keiner Weise ersichtlich".
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 10. März 2009 beantragen X._, ihr Sohn Y._ und ihre Tochter Z._ dem Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 4. Februar 2009 aufzuheben und das kantonale Migrationsamt "anzuweisen, das Wiedererwägungsgesuch vom 17.11.2008 materiell zu prüfen". Darüber hinaus beantragen sie, das Verwaltungsgericht anzuweisen, ihnen für sämtliche kantonalen Rechtsmittelverfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu bewilligen. Diese waren ihnen sowohl vom kantonalen Departement als auch vom Verwaltungsgericht verweigert worden.
D. Das Migrationsamt sowie das Departement für Justiz und Sicherheit des Kantons Thurgau und das Bundesamt für Migration stellen den Antrag, die Beschwerde abzuweisen. Das Verwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
E. Mit Verfügung vom 16. März 2009 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
F. Am 2. Juni 2009 reichte das kantonale Migrationsamt Unterlagen nach.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist auf dem Gebiet des Ausländerrechts gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG nur zulässig, falls das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Anspruch auf eine fremdenpolizeiliche Bewilligung einräumt. Mit Blick auf die Ausführungen in E. 1.4 des in dieser Sache vorangegangenen Bundesgerichtsurteils vom 25. September 2008 ist ein Anspruch im Sinne der erwähnten Bestimmung hier grundsätzlich zu bejahen. Daran ändert nichts, dass bereits rechtskräftig eine entsprechende Bewilligung verweigert worden ist. Denn vorliegend geht es darum, ob sich die kantonalen Instanzen mit einem diesbezüglichen "Wiedererwägungsgesuch" hätten materiell befassen müssen. Demnach ist die fristgerecht eingereichte Beschwerde zulässig. Auf sie ist jedoch nicht einzutreten, soweit sie erstmals vor Bundesgericht (auch) im Namen der Tochter Z._ erhoben wird. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nur befugt, wer bereits bei der Vorinstanz am Verfahren beteiligt war oder dort unverschuldet nicht teilnehmen konnte (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG [formelle Beschwer]; BGE 133 II 181 E. 3.2 S. 187 mit Hinweisen). Das ist bei der Tochter nicht der Fall.
1.2 Auf die Beschwerde ist im Übrigen nur einzutreten, soweit sie den Rüge- und Begründungsanforderungen der Art. 42 Abs. 2, 97 Abs. 1 und 106 Abs. 2 BGG genügt. Namentlich Rügen hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten müssen präzise vorgebracht und begründet werden. Die Beschwerdeführer müssen sich mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Rein appellatorische Kritik genügt nicht (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4 S. 254 f.; 134 II 244 E. 2 S. 245 f., 349 E. 3 S. 351 f. mit Hinweisen). Über weite Strecken wiederholen die Beschwerdeführer in ihrer Eingabe an das Bundesgericht, was sie schon bei den kantonalen Instanzen vorgebracht hatten. Es kann hier aber offen gelassen werden, ob die Beschwerde den Begründungsanforderungen damit insgesamt genügt.
1.3 Die vom 2. Juni 2009 datierende Eingabe des kantonalen Migrationsamts erfolgte nach Ablauf der Vernehmlassungsfrist und nicht als Replik auf eine etwaige zwischenzeitliche Stellungnahme der anderen Verfahrensbeteiligten; sie betrifft zudem einen Vorgang vom 27. März bzw. 14. Mai 2009, d.h. aus der Zeit nach Fällung des angefochtenen Entscheids des Verwaltungsgerichts. Daher ist sie aus dem Recht zu weisen (vgl. Art. 102 und 105 Abs. 1 BGG; BGE 133 IV 342 E. 2.1 S. 345 f.; 134 IV 97 E. 5.1.3 S. 103).
2. Trotz rechtskräftigem Abschluss eines Verfahrens ist nach der unter Art. 4 aBV entwickelten bundesgerichtlichen Rechtsprechung eine Verwaltungsbehörde von Verfassungs wegen grundsätzlich verpflichtet, auf ein neues Gesuch einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert haben oder wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen, für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand (BGE 124 II 1 E. 3a S. 6 mit Hinweis). Diese Praxis behält unter Art. 29 BV ihre Gültigkeit (BGE 127 I 133 E. 6 S. 137; Urteil 2C_159/2007 vom 2. August 2007 E. 1.2). Hierauf stützen sich die Beschwerdeführer; sie machen hingegen nicht geltend, ob und inwieweit - allenfalls grosszügigeres - kantonales Recht willkürlich angewendet worden wäre.
3. Die Beschwerdeführer berufen sich darauf, dass die Schweizer Tochter bzw. Halbschwester Z._ inzwischen eingeschult, der Beschwerdeführerin 1 eine Rente der Invalidenversicherung zugesprochen und der Beschwerdeführer 2 in eine Schulstiftung aufgenommen wurde. Diese Umstände seien als wesentliche Änderung der bisherigen Verhältnisse zu werten.
3.1 Die Beschwerdeführer legen indes nicht dar, inwiefern es sich bei der erwähnten Aufnahme in die Schulstiftung um eine wesentliche Änderung handeln soll. Trotz entsprechender Beanstandungen durch die Vorinstanz beschränken sie sich erneut auf die nicht näher substantiierte Behauptung, der dortige Verbleib des Beschwerdeführers 2 sei "im Lichte des Kindeswohls dringend geboten". Es wird nicht einmal ausgeführt, warum er in diese Schule aufgenommen wurde und er nicht genauso gut eine andere Einrichtung, etwa in seinem Heimatland, aufsuchen kann.
3.2 Hinsichtlich der Invalidenrente hatte das Bundesgericht bereits im Urteil vom 25. September 2008 (dortige E. 3.3 Ingress) ausgeführt, wegen des angespannten Gesundheitszustands der Beschwerdeführerin 1 dürfe dem Gesichtspunkt der Sozialhilfeabhängigkeit keine wesentliche Bedeutung zugemessen werden; es fügte hinzu, dass dann aber umgekehrt auch der Umstand unerheblich sei, inwieweit diese Abhängigkeit nachträglich durch eine Invalidenrente gemildert werde. Mithin stellt die zwischenzeitliche Zusprechung dieser Rente keine wesentliche Änderung der Verhältnisse dar.
3.3 Bezüglich der Einschulung von Z._ hatte das Bundesgericht im soeben erwähnten Urteil (dortige E. 3.3.2) ausgeführt, dass sie im Zeitpunkt des verwaltungsgerichtlichen Entscheids sechseinhalb Jahre alt war und kurz vor der Einschulung stand; dass diese inzwischen wohl erfolgt sein dürfte, sei aus verfahrensrechtlichen Gründen nicht wesentlich, da es sich um eine unbeachtliche neue Tatsache handle. Eine Ausreise in die Heimat der Mutter dürfte für die Tochter nicht einfach sein, sei ihr aber angesichts ihres Alters und des Umstands, dass sie im hier massgeblichen Zeitpunkt noch nicht eingeschult war, noch zumutbar.
Wohl hat das Bundesgericht damals aus verfahrensrechtlichen Gründen (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 133 IV 342 E. 2.1 S. 345 f.; 134 IV 97 E. 5.1.3 S. 103) dem Umstand nicht Rechnung tragen können, dass die Schweizer Tochter nach Ergehen des angefochtenen Verwaltungsgerichtsurteils eingeschult wurde. Dennoch traf es seinen Entscheid im Bewusstsein, dass die Einschulung unmittelbar nach dem Entscheid der Vorinstanz bevorstand. Dass diese kurz darauf tatsächlich erfolgt ist, stellt - wie schon die Vorinstanz richtig bemerkt hat - deshalb noch keine entscheidende Änderung der Verhältnisse dar. Etwas anderes würde allenfalls gelten, falls seither längere Zeit vergangen wäre. Das ist hier rund ein Jahr nach Einschulung - bei Stellung des "Wiedererwägungsgesuchs" besuchte die Tochter die Schule sogar erst seit wenigen Monaten - gemäss der damals geltenden Praxis nicht der Fall (vgl. bezüglich der Angehörigen von EU-Bürgern Urteil 2A.475/2004 vom 25. Mai 2005 E. 4.7). Es macht letztlich auch keinen wesentlichen Unterschied, ob ein Kind kurz vor der Einschulung steht oder soeben den Schulbesuch aufgenommen hat. Das gilt hier erst recht, da den Behörden keine Verfahrensverzögerung anzulasten ist und die Einschulung in der Schweiz erst während des ausländerrechtlichen Verfahrens stattfand, als das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung gewährte. Als die letzte kantonale Instanz im ursprünglichen Verfahren seinen Entscheid fällte, ging Z._ noch nicht zur Schule. Zum "Wiedererwägungsgesuch" äusserten sich die drei kantonalen Instanzen sodann innert weniger Monate. Der gewöhnliche Zeitablauf als Folge der Prozessaktivität der Beschwerdeführer stellt ohne Hinzukommen besonderer Umstände keine wesentliche Änderung massgeblicher Tatsachen dar.
3.4 Die Beschwerdeführer legen schliesslich auch nicht substantiiert dar, dass die von ihnen angeführten Änderungen unter dem neuen Ausländerrecht zu einer für sie günstigeren Beurteilung als unter dem alten Recht führen könnten (s. auch nachfolgende E. 4).
4. Die Beschwerdeführer machen zusätzlich geltend, schon allein das Inkrafttreten des neuen Ausländergesetzes gebe einen Anspruch auf Behandlung ihres "Wiedererwägungsgesuchs".
4.1 Die Wiedererwägung von Verwaltungsentscheiden, die - wie hier - in Rechtskraft erwachsen sind, ist nicht beliebig zulässig (BGE 120 Ib 42 E. 2b S. 47 mit Hinweisen). Rechtskräftige Entscheide sollen auch bei späteren Rechtsänderungen grundsätzlich nicht wieder in Frage gestellt werden. Etwas anderes gilt, wenn der Gesetzgeber eine Rückwirkung vorgesehen hat. Das ist beim neuen Ausländergesetz indes nicht der Fall. Es würde zudem Art. 126 Abs. 1 AuG (SR 142.20) widersprechen, wenn mit einem "Wiedererwägungsgesuch" nachträglich die Anwendung des neuen Rechts auf einen rechtskräftig beurteilten und zeitlich abgeschlossenen Sachverhalt erwirkt werden könnte, obwohl dieser nach der gesetzlichen Übergangsregelung noch unter altem Recht zu behandeln war (vgl. zum AuG: Urteile 2C_492/2008 vom 26. Januar 2009 E. 3.4 und 2C_114/2009 vom 4. August 2009 E. 2.2 und 2.3).
Deshalb kommt eine Wiedererwägung eines bereits unter dem alten Recht definitiv beurteilten und zeitlich abgeschlossenen Sachverhalts allein wegen des späteren Inkrafttretens des neuen Ausländergesetzes nicht in Frage. Mithin kann sich die Beschwerdeführerin 1 nicht auf den von ihr zitierten Art. 50 AuG berufen, um einen neuen Anspruch auf Bewilligung infolge Auflösung der im Jahre 2000 begründeten Familiengemeinschaft zu erlangen. Denn es wurde - entsprechend Art. 126 Abs. 1 AuG - noch unter altem Recht rechtskräftig darüber befunden, ob sie trotz Auflösung dieser ehelichen Banden weiterhin einen Bewilligungsanspruch hatte.
4.2 Sofern wegen eines Sachverhalts, der nach rechtkräftigem Abschluss des ursprünglichen ausländerrechtlichen Verfahrens anhält, ein neuer Antrag gestellt wird und sich die Gesuchsteller dabei auf eine geänderte Rechtslage berufen, ist ein Anspruch auf Neubefassung bzw. auf einen neuen Sachentscheid hingegen nicht von vornherein ausgeschlossen (vgl. Piermarco Zen-Ruffinen, Le réexamen et la révision des décisions administratives, in: François Bohnet [Hrsg.], Quelques actions en annulation, 2007, S. 232, der von "décisions qui déploient un effet durable" spricht; Thomas Merkli/Arthur Aeschlimann/ Ruth Herzog, Kommentar zum Gesetz vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Bern, 1997, N. 3 und 19 ff. zu Art. 56). Das betrifft etwa Fälle, in denen eine in der Schweiz aufenthaltsberechtigte Person den Nachzug von Kindern begehrt und die maximale Altersgrenze, die das geänderte Recht insoweit für Kinder vorsieht, noch nicht erreicht worden ist.
Wie die Beschwerdeführer richtig bemerken, haben die Gesuchsteller gegenüber der Behörde aber darzutun, dass sich die massgebende Rechtslage nachträglich wesentlich verändert hat. Es genügt mithin nicht, lediglich zu erklären, es sei neues Recht in Kraft getreten, um kurz nach rechtskräftigem Abschluss eines Verfahrens einen Anspruch auf Neubefassung mit dem gleichen Lebenssachverhalt zu begründen.
Die Beschwerdeführer behaupten zwar, sie hätten in ihrem "Wiedererwägungsgesuch", bei welchem sie bereits anwaltlich vertreten waren, ausführlich dargelegt, inwieweit sich die Sach- und Rechtslage nachträglich verändert habe (vgl. S. 4 Ziff. 4 der Beschwerde). Sie führen gegenüber dem Bundesgericht jedoch nicht aus, was sie bei den Behörden für konkrete Rechtsänderungen, die für ihre Situation relevant sein sollen, angerufen hatten; bereits deshalb erweist sich ihre Rüge als unbehelflich (vgl. E. 1.2 hievor). Ihr bloss allgemeiner Hinweis auf das Inkrafttreten des neuen Ausländergesetzes genügt - wie erwähnt - nicht. Das Gleiche gilt für ihren zusätzlichen Hinweis auf eine angebliche, nicht näher dargestellte Praxis des Regierungsrates des Kantons Zürich (vgl. hiezu im Übrigen das Urteil des Bundesgerichts 2C_114/2009 vom 4. August 2009 E. 2.3).
Ergänzend sei bemerkt, dass die Beschwerdeführer in ihren Eingaben an die Vorinstanzen zwar noch ausgeführt haben, das Bundesgericht habe im Urteil vom 25. September 2008 erklärt, es sei wichtig, dass der Fall auf der Basis des alten Ausländergesetzes zu beurteilen sei und daher die nach dem neuen Ausländergesetz massgeblichen Integrationskriterien nicht mitberücksichtigt werden könnten. Die Beschwerdeführer haben dabei aber verschwiegen, dass das Bundesgericht damals ausdrücklich offen gelassen hatte, wie der Fall nach neuem Recht zu behandeln wäre; ebenso wenig hatte es insoweit zum Gesichtspunkt der Integration Stellung genommen. Deswegen kamen die Beschwerdeführer nicht umhin, in ihrem "Wiedererwägungsgesuch" darzutun, ob und wie das neue Recht ihnen eine möglicherweise günstigere Rechtsposition einräumt.
Unter den erwähnten Umständen hätten die Behörden mit Blick auf die Schweizer Tochter und die zwischenzeitliche Rechtsänderung zwar materiell darüber befinden können, ob eine Anpassung zu treffen ist. Eine Pflicht hiezu bestand aber nicht, da die Beschwerdeführer nicht hinreichend dargelegt hatten, inwiefern das Recht eine für sie günstige Änderung erfahren hat.
4.3 Ins Leere stösst die Berufung der Beschwerdeführer auf ein Urteil des Gerichtshofs der Europäischen Gemeinschaften (vom 19. Oktober 2004 in Sachen Zhu und Chen c. Secretary of State, C-200/02, Rec. 2004, S. I-9925). Zum einen war dieses Urteil von ihnen im Wiedererwägungsverfahren bei den kantonalen Instanzen nicht erwähnt worden. Zum anderen datiert es aus dem Jahr 2004 und kann somit nicht als "Wiederwägungsgrund" für ein im Jahr 2008 rechtskräftig abgeschlossenes Verfahren dienen. Jedenfalls haben die Beschwerdeführer nicht dargelegt, dass dieses Urteil erst unter dem neuen Ausländerrecht und nicht schon unter altem Recht für sie eine Rolle spielen konnte. Soweit sie diesbezüglich Art. 50 AuG erwähnen, wird auf die Ausführungen in vorstehender Erwägung 4.1 verwiesen.
4.4 Die Beschwerdeführer weisen schliesslich auf den in BGE 135 I 143 publizierte Bundesgerichtsentscheid vom 2. Februar 2009 hin. Den kantonalen Instanzen kann jedoch nicht vorgeworfen werden, dass sie dieses Urteil nicht berücksichtigt haben, da es im Zeitpunkt der von ihnen getroffenen Entscheide noch nicht veröffentlicht worden war. Deshalb ist es auch im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren nicht für die Frage zu berücksichtigen, ob die Vorinstanzen auf das "Wiedererwägungsgesuch" hätten eintreten müssen. Damit kann hier offen gelassen werden, inwiefern durch das erwähnte Urteil überhaupt eine Änderung eingetreten ist, welche eine erneute Befassung mit dem Anliegen der Beschwerdeführer rechtfertigen würde.
5. Nach dem Dargelegten haben die kantonalen Vorinstanzen nicht gegen Art. 29 BV verstossen, wenn sie auf das "Wiedererwägungsgesuch" nicht eingetreten sind bzw. die Rechtsmittel gegen einen solchen Nichteintretensentscheid abgewiesen haben.
6. Zu beantworten bleibt nur, ob die Vorinstanzen den Beschwerdeführern die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für die kantonalen Rechtsmittelverfahren zu gewähren hatten. Mangels Anrufung anderer Bestimmungen durch die Beschwerdeführer kommt hier nur eine Beurteilung nach Art. 29 Abs. 3 BV in Betracht. Gemäss dieser Norm hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Mit Blick auf vorstehende Ausführungen (E. 3 und 4) ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanzen von der Aussichtslosigkeit ihrer Begehren ausgegangen sind. Entsprechendes gilt für das bundesgerichtliche Verfahren, so dass auch vorliegend die unentgeltliche Rechtspflege gemäss Art. 64 BGG zu versagen ist.
7. Demzufolge ist die Beschwerde insgesamt abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Bei diesem Ausgang würden die Beschwerdeführer kostenpflichtig. Mit Blick auf ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse wird aber von der Erhebung von Kosten abgesehen (vgl. Art. 65 und 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen werden nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Migrationsamt, dem Departement für Justiz und Sicherheit sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Merz