Sachverhalt:
A. X._ (Beschwerdeführer) und Z._ (Beschwerdegegnerin) stehen seit Dezember 2005 vor dem Eheschutzrichter des Bezirks Bülach. Die erstinstanzliche Verfügung vom 10. Juli 2006 wurde der Beschwerdegegnerin am 27. Oktober 2006 zugestellt; das Exemplar für den Beschwerdeführer wurde - mangels Nennung eines Zustellungsempfängers in der Schweiz - in den Akten abgelegt. Auf einen Rekurs des Beschwerdeführers vom 15. Januar 2007 trat das Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, wegen Verspätung nicht ein, unter gleichzeitiger Abweisung seines Gesuchs um Gewährung des Armenrechts. Das Kassationsgericht des Kantons Zürich hob jedoch besagten Entscheid mit Beschluss vom 27. September 2007 wegen Verletzung des rechtlichen Gehörs des Beschwerdeführers auf und wies die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen zurück; es nahm jedoch bereits zu den übrigen Rügen des Beschwerdeführers Stellung. Das Obergericht hat die Sache wieder aufgenommen. In Nachachtung des kassationsgerichtlichen Beschlusses hat es dem Beschwerdeführer die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin zu seinem Fristwiederherstellungsgesuch vom 6. Februar 2007 zugestellt.
B. Am 5. November 2007 ist der hier angefochtene Beschluss des Obergerichtes ergangen, wodurch auf den Rekurs des Beschwerdeführers erneut nicht eingetreten wird, unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Beschwerdeführers, dessen Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung inklusive Prozessverbeiständung abgewiesen wird.
Dagegen hat der Beschwerdeführer Nichtigkeitsbeschwerde beim Kassationsgericht des Kantons Zürich eingereicht, welche mit Beschluss vom 18. März 2008 abgewiesen wurde.
C. Mit getrennten Eingaben vom 30. April 2008 hat der Beschwerdeführer sowohl den kassationsgerichtlichen Beschluss (Verfahren 5A_287/2008) als auch den obergerichtlichen Beschluss (Verfahren 5A_286/2008) angefochten. Für beide bundesgerichtlichen Verfahren ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Mit Verfügung vom 18. Mai 2008 hat der Präsident der erkennenden Abteilung des Bundesgerichts praxisgemäss die anbegehrte aufschiebende Wirkung für die verfallenen, nicht jedoch für die künftig geschuldeten Unterhaltsbeiträge gewährt.
In keinem der zwei Verfahren ist eine Stellungnahme in der Sache eingefordert worden.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit der ihm unterbreiteten Beschwerden (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 134 III 115 E. 1, 235 E. 1, 379 E. 1; 133 III 439 E. 2; 132 III 747 E. 4 S. 748).
2. An den Verfahren 5A_286/2008 und 5A_287/2008 sind dieselben Parteien beteiligt. Den Beschwerden liegt derselbe Sachverhalt zu Grunde - die Frage der Rechtzeitigkeit des kantonalen Rekurses des Beschwerdeführers vom 15. Januar 2007 - und der Beschwerdeführer stellt deckungsgleiche Anträge. Obwohl die zwei Beschwerden nicht von derselben Gerichtsbehörde stammen, rechtfertigt es sich dennoch, beide Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden in einem Urteil zu behandeln (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 24 BZP; BGE 133 IV 215 E. 1 S. 217).
3. 3.1 Die Beschwerde 5A_286/2008 vom 30. April 2008 richtet sich gegen den Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 5. November 2007. Die Beschwerde in Zivilsachen ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Nicht erforderlich ist die Einlegung eines ausserordentlichen Rechtsmittels, mit welchem nicht alle vor Bundesgericht zulässigen Rügen erhoben werden können. Wird das ausserordentliche kantonale Rechtsmittel aber ergriffen, beginnt die Beschwerdefrist gegen den Entscheid des oberen kantonalen Gerichts erst mit der Eröffnung des Entscheids der zusätzlichen Rechtsmittelinstanz (Art. 100 Abs. 6 BGG). Können allerdings mit dem ausserordentlichen kantonalen Rechtsmittel alle vor Bundesgericht zulässigen Rügen geltend gemacht werden, erfordert Art. 75 Abs. 1 BGG die Erschöpfung dieses kantonalen Rechtsmittelzuges und ist die Beschwerde gegen den Entscheid des oberen ordentlichen kantonalen Gerichts - des Obergerichtes - unzulässig (BGE 133 III 585 E. 3.1).
3.2 Zu prüfen ist daher zunächst, ob vor dem Kassationsgericht alle vor Bundesgericht zulässigen Rügen geltend gemacht werden konnten. Nach § 281 ZPO/ZH kann gegen Vor-, Teil-, und Endentscheide sowie gegen Rekursentscheide und Rückweisungen im Berufungsverfahren Nichtigkeitsbeschwerde erhoben werden, wenn geltend gemacht wird, der angefochtene Entscheid beruhe zum Nachteil des Nichtigkeitsklägers auf einer Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes (Ziff. 1), auf einer aktenwidrigen oder willkürlichen tatsächlichen Annahme (Ziff. 2) oder auf einer Verletzung klaren materiellen Rechts (Ziff. 3). Ausgeschlossen ist die Nichtigkeitsbeschwerde, wenn das Bundesgericht einen Mangel frei überprüfen kann (§ 285 Abs. 2 ZPO/ZH; Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. Zürich 2000, N. 6 zu § 285 ZPO [BGE 133 III 585 E. 3.2]).
3.3 Eheschutzentscheide gelten nach der Rechtsprechung als vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5), so dass nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich des Willkürverbots (Art. 9 BV), geltend gemacht werden kann.
3.4 Mit der gegen den Beschluss des Obergerichts erhobenen Beschwerde in Zivilsachen rügt der Beschwerdeführer die Verletzung von Art. 9 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK (Willkürverbot) sowie von Art. 29 Ziff. 2 [recte: Abs. 2] BV (Anspruch auf rechtliches Gehör). Verfassungsrügen überprüft das Bundesgericht zwar an sich frei.
Nach herrschender Auffassung ist allerdings eine eher weite Auslegung des Begriffes des wesentlichen Verfahrensgrundsatzes gemäss § 281 Ziff. 1 ZPO/ZH angezeigt. Darunter fallen nicht nur Vorschriften des kantonalen Zivilprozessrechts, sondern ebenso bundesrechtliche Verfahrensgrundsätze (Frank/Sträuli/Messmer, a.a.O., N. 16 und 17 zu § 281 Ziff. 1 ZPO/ZH). Artikel 29 BV handelt von den Verfahrensgarantien. Dessen Absatz 1 umschreibt allgemeine Rechte, wie etwa das Verbot der Rechtsverweigerung und -verzögerung sowie das Verbot des überspitzten Formalismus (Mahon, in: Aubert/Mahon, Petit commentaire de la Constitution fédérale de la Confédération suisse, 2003, N. 4 zu Art. 29 BV), während Absatz 2 den Anspruch auf rechtliches Gehör beinhaltet. Absatz 3 schliesslich regelt die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Bezug auf die Ansprüche gemäss den Absätzen 2 und 3 gehen Lehre und Rechtsprechung davon aus, es handle sich um vom Kassationsgericht frei zu prüfende wesentliche Verfahrensgrundsätze im Sinne von § 281 Ziff. 1 ZPO (für das rechtliche Gehör: Spühler/Vock, Rechtsmittel in Zivilsachen im Kanton Zürich und im Bund, 1999, S. 67; BGE 104 Ia 408 E. 3b S. 411; für die unentgeltliche Rechtspflege: Spühler/Vock, a.a.O., S. 67; ZR 97/1998 Nr. 31 S. 92 f. E. 2; 104/2005 Nr. 9 S. 26 f. E. 2.2b). Ähnliches gilt für die in Art. 29 Abs. 1 BV umschriebenen Verfahrensgarantien.
Auch die übrigen Rügen konnten mit der kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde geltend gemacht werden. So entspricht die Rüge der willkürlichen Beweiswürdigung und Sachverhaltsermittlung im Wesentlichen derjenigen der aktenwidrigen oder willkürlichen Annahmen (§ 281 Ziff. 2 ZPO/ZH; Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. Zürich 2000, N. 12 zu § 148 ZPO und N. 45 zu § 281 ZPO). Schliesslich ist das Kassationsgericht auf die Rüge der willkürlichen Anwendung kantonalen Rechts eingetreten und hat sie materiell behandelt. Ob das Kassationsgericht dies unter dem Blickwinkel der Verletzung klaren materiellen Rechts, auf Art. 10 der Kantonsverfassung bezogen (§ 281 Ziff. 3 ZPO/ZH), bzw. wiederum der Verletzung eines wesentlichen Verfahrensgrundsatzes, auf die Anwendung von § 30 ZPO bezogen (§ 281 Ziff. 1 ZPO/ZH) hat, kann angesichts des Ergebnisses der vorliegenden Beschwerde offenbleiben, zumal die Beschwerdeschrift sich dazu nicht äussert.
3.5 Konnten aber mit dem kantonalen ausserordentlichen Rechtsmittel alle vor Bundesgericht zulässigen Rügen geltend gemacht werden, ist die gegen den Beschluss des Obergerichts vom 5. November 2007 erhobene Beschwerde mangels Erschöpfung des kantonalen Instanzenzuges unzulässig; darauf ist nicht einzutreten (BGE 133 III 585 E. 3.5).
4. Im Beschwerdeverfahren 5A_287/2008 nimmt sich der Beschwerdeführer des kassationsgerichtlichen Zirkulationsbeschlusses vom 18. März 2008 an. Er rügt in verschiedenem Zusammenhang die Verletzung des Willkürverbotes und seines Anspruchs auf rechtliches Gehör.
4.1 Da gegen Eheschutzentscheide nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden kann (Art. 98 BGG; E. 3.3 vorne), gelangen die Art. 95 und 97 BGG und auch Art. 105 Abs. 2 BGG nicht zur Anwendung. Die hier gegebenen Verhältnisse entsprechen denjenigen bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff.; BGE 133 III 585 E. 4.1). Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substantiiert darlegen, worin die Verletzung besteht (vgl. der zu Art. 90 OG ergangene BGE 130 I 26 E. 2.1 S. 31, 258 E. 1.3). Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechtes nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 98 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 3.2).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (analog Art. 118 BGG). Es kann davon nur abweichen, wenn die Sachverhaltsfeststellung unter Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts zustande kam (Art. 118 Abs. 2 und Art. 98 BGG), was der Beschwerdeführer präzise geltend zu machen hat (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 III 439 E. 3.2; 118 Ia 20 E. 5a).
4.2 Der Beschwerdeführer rügt, das Kassationsgericht habe übersehen, dass das Obergericht seinen Entscheid nicht begründet hatte. Nachdem die Sache vom Kassationsgericht mit Beschluss vom 27. September 2007 an das Obergericht zurückgewiesen worden war, hätte sich Letzteres nicht damit begnügen dürfen, zur Begründung seines neuen Entscheides vom 5. November 2007 auf die beiläufigen Ausführungen des Kassationsgerichtes im Rückweisungsbeschluss zu verweisen, sondern hätte ihn umfassend neu begründen müssen. Das Kassationsgericht hätte sich im Rückweisungsbeschluss darauf beschränken sollen, nur zur schliesslich bejahten Rüge Stellung zu nehmen; seine weiteren Ausführungen "im Interesse der Prozessökonomie" hätten in Wahrheit den Zweck verfolgt, unter Hinweis auf § 141a GVG/ZH dem Beschwerdeführer den Rechtsmittelweg präventiv abzuschneiden.
4.2.1 Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) folgt unter anderem die grundsätzliche Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass der Betroffene den Entscheid gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Die Begründung muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist hingegen, dass sich der Entscheid mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (BGE 133 III 439 E. 3.3; 130 II 530 E. 4.3 S. 540; 129 I 232 E. 3.2; 126 I 97 E. 2b).
4.2.2 Das Kassationsgericht, das sich mit derselben Rüge und derselben Argumentation auseinanderzusetzen hatte wie zuvor das Obergericht, hat zweierlei festgehalten: Einerseits, dass der Beschwerdeführer den Rückweisungsbeschluss des Kassationsgerichts vom 27. September 2007 - als Zwischenentscheid gemäss Art. 93 Abs. 3 BGG - allenfalls zusammen mit dem Endentscheid vor Bundesgericht anfechten und somit die darin aufgeführten Argumente rügen könne. Andererseits, dass die Übernahme von Argumenten aus einem früheren Entscheid mittels Verweisung weder gegen kantonalrechtliche Vorschriften noch gegen den verfassungsrechtlichen Anspruch verstosse.
4.2.3 Dem zweiten Argument hält der Beschwerdeführer apodiktisch eine Pflicht zu neuer Begründung entgegen, ohne freilich zu erklären, auf welcher Grundlage diese Pflicht gründen soll. Warum es unvertretbar sein soll, in einem Rückweisungsentscheid bereits Überlegungen namhaft zu machen, die die untere Instanz anlässlich der neuen Entscheidung wird berücksichtigen müssen, wird mit der Feststellung, dass "es nicht sein [könne]", nicht rechtsgenüglich begründet.
4.2.4 Auf die Rüge der Verletzung seines Anspruches auf rechtliches Gehör in Form einer unzulässigen Begründung ist nicht einzutreten.
4.2.5 Weil diese Begründung im Ergebnis nicht zu beanstanden ist, erübrigt sich eine Stellungnahme zum erstgenannten Argument des Kassationsgerichtes - das der Beschwerdeführer ohnehin gar nicht aufgreift und auch nicht implizite geltend macht, der erste kassationsgerichtliche (Rückweisungs)Entscheid werde mitangefochten.
4.3 Der Beschwerdeführer rügt sodann, das Kassationsgericht habe willkürlich angenommen, die schweizerische Botschaft in Kuweit sei nicht für Qatar akkreditiert; die unterbliebene Berücksichtigung dieser Tatsache verletze darüber hinaus seinen Anspruch auf rechtliches Gehör.
Ein Gericht, welches einen Sachumstand nicht im Sinne des Beschwerdeführers würdigt, verletzt in der Regel dessen Anspruch auf rechtliches Gehör nicht (vgl. Urteil des Bundesgerichts 5A_59/2007 vom 20. November 2007 E. 2.3 am Ende; 5A_256/2007 vom 20. Juli 2007 E. 3.1 am Ende; zum Verhältnis zwischen Beweisführungsanspruch gemäss Art. 8 ZGB und rechtlichem Gehör vgl. 5A_193/2008 vom 13. Mai 2008 E. 3.1) Diese Sachverhaltsfeststellung könnte indessen willkürlich sein. Ob dies vorliegend zutrifft, ist indessen nicht zu beantworten: Das Kassationsgericht verweist diesbezüglich auf seine Ausführungen im ersten Rückweisungsbeschluss vom 27. September 2007 und betont, dass es in Anwendung von § 104a GVG/ZH nicht darauf zurückzukommen gedenke. Der Beschwerdeführer kritisiert die vom Kassationsgericht angeführte rechtliche Grundlage mit keinem Wort, und in der Sache setzt er sich mit den Argumenten des Kassationsgerichts im Rückweisungsentscheid vom 27. September 2007 gar nicht auseinander. Auf die unsubstantiierte Rüge ist deshalb nicht einzutreten.
4.4 Der Beschwerdeführer beteuert auch vor Bundesgericht, die kantonalzürcherische ZPO werde durch das Haager Übereinkommen i.V.m. Art. 10 KV/ZH derogiert, weshalb ihm die fragliche Zustellung zwingend ins Ausland hätte übermittelt werden müssen. Die Verweigerung dieser Zustellungsart verletze Art. 9 BV, Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 10 KV/ZH. Das Kassationsgericht hat sich bei dieser Rüge nicht mit der Verweisung auf früher Ausgeführtes begnügt, sondern ausführlich dargelegt, dass seiner Meinung nach das Übereinkommen über die Zustellung gerichtlicher und aussergerichtlicher Schriftstücke im Ausland in Zivil- und Handelssachen (HZÜ65; SR 0.274.131) ohnehin nicht zur Anwendung gelange, denn dieses Übereinkommen verleihe einem Schweizer Bürger keinen Anspruch auf Zustellung am ausländischen Aufenthalts- oder Wohnort, weshalb § 30 ZPO/ZH nicht gegen übergeordnetes Recht verstosse. Indem der Beschwerdeführer sich darauf beschränkt, zu wiederholen, dass das kantonale Prozessrecht vom kantonalen Verfassungsrecht derogiert werde, unterlässt er eine Auseinandersetzung mit der kassationsgerichtlichen Begründung. Auch auf diese Rüge kann folglich wegen offensichtlich unzureichender Begründung nicht eingetreten werden.
4.5 Der Beschwerdeführer rügt im Weiteren, dass es willkürlich sei und sein rechtliches Gehör verletze, wenn angenommen werde, seine Nichtigkeitsbeschwerde habe im Zusammenhang mit seinen Einwendungen gegen das vermeintlich unzulässige "Zu-den-Akten-Legen" den formellen Anforderungen nicht entsprochen, habe er doch lediglich Rechtsfragen erörtert. Das Kassationsgericht hat in diesem Zusammenhang konkret die unterbliebene Bezeichnung der angefochtenen Erwägungen sowie derjenigen Aktenstellen, auf welche der Beschwerdeführer sich stützen wollte, bemängelt. Zur korrekten Begründung seiner Rüge hätte nun der Beschwerdeführer - unter punktuellem Hinweis auf seine Rechtsschrift vor Kassationsgericht - aufzeigen sollen, dass er die jeweils angefochtene Erwägung genau angegeben, und dass er die für seine Kritik erforderlichen Dokumente genau bezeichnet hatte. Dies tut er auch vor Bundesgericht nicht, sondern begnügt sich mit einer pauschalen Bestreitung, die es verunmöglicht, die Richtigkeit seiner Rüge zu überprüfen. Wie schon vor dem Kassationsgericht erfüllen die Ausführungen des Beschwerdeführers auch vor dem Bundesgericht die einschlägigen Begründungsvoraussetzungen nicht. Auch auf diese Rüge ist nicht einzutreten.
4.6 Sein Hinweis schliesslich, dass gemäss dem kassationsgerichtlichen Rückweisungsbeschluss vom 27. September 2007 die Rüge betreffend das "Zu-den-Akten-Legen" mit dem Endentscheid anfechtbar sei, findet sich nur in seiner Beschwerdeschrift betreffend den obergerichtlichen Beschluss vom 5. November 2007; weil aber auf jene Beschwerde nicht eingetreten werden konnte (vorne E. 3, insbesondere E. 3.5), muss sein Hinweis unbeachtet bleiben.
5. Aus dem Gesagten erhellt, dass auf beide Beschwerden nicht eingetreten werden kann. Weil die gestellten Begehren von vornherein offensichtlich aussichtslos waren, kann die anbegehrte unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren nicht bewilligt werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die Verfahrenskosten trägt der Beschwerdeführer (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin, die sich lediglich zur Gewährung der aufschiebenden Wirkung geäussert und dabei erfolglos deren Verweigerung beantragt hat, ist keine Entschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerdeverfahren 5A_286/2008 und 5A_287/2008 werden vereinigt
2. .
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3. Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. November 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Schett