Faits:
A. Un accident de la circulation s'est produit à Genève le 7 juillet 1998. A._ conduisait une motocyclette; il fut heurté par une automobile qui approchait en sens inverse et obliquait à gauche. Victime de lésions corporelles, il subit une incapacité de travail totale jusqu'au 19 janvier 1999; depuis, une incapacité partielle subsiste au taux de 50%. La responsabilité civile du détenteur de l'automobile était couverte par X._ SA.
Le 15 novembre 2001, l'Office cantonal de l'assurance-invalidité du canton de Genève a établi un rapport détaillé concernant la situation de A._, proposant de retenir un taux d'invalidité de 50%. Des rentes d'invalidité furent accordées à A._ par décisions du 2 mai 2002 de l'assurance-accidents, du 20 mai 2003 de l'assurance-invalidité et du 11 mai 2004 de l'institution supplétive de prévoyance professionnelle.
A l'égard des prétentions existant éventuellement contre elle par suite de l'accident, la compagnie X._ SA a quatre fois déclaré par écrit qu'elle renoncerait à invoquer la prescription: le 12 mai 2000, le 11 avril 2001, le 9 avril 2002 et le 22 avril 2003, chaque fois jusqu'au 7 juillet de l'année suivante.
Le 13 mai 2005, A._ lui a fait notifier un commandement de payer au montant de 1'917'704 fr.28; elle a fait opposition.
Le 23 mai 2005, elle a une fois encore renoncé à invoquer la prescription, jusqu'au 31 décembre 2005 et à condition que la créance ne fût pas déjà prescrite lors de cette déclaration.
B. Le 10 avril 2006, A._ a ouvert action contre X._ SA devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. La défenderesse devait être condamnée à payer 1'917'704 fr.28 à titre de dommages-intérêts et de réparation morale, par suite de l'accident du 7 juillet 1998.
Invoquant la prescription, la défenderesse a conclu au rejet de l'action.
Le tribunal s'est prononcé le 6 décembre 2007; il a rejeté l'action.
Statuant le 19 septembre 2008 sur l'appel du demandeur, la Cour de justice a confirmé ce jugement. Elle a considéré que dès le 2 mai 2002 au plus tard, date de la première décision lui accordant une rente d'invalidité, le demandeur avait une connaissance suffisante du dommage consécutif à l'accident pour qu'il pût ouvrir action contre la défenderesse; un délai de prescription de deux ans avait couru dès cette date, pour échoir le 2 mai 2004; au jour du commandement de payer, le 13 mai 2005, la prescription était donc acquise à la défenderesse.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour de justice en ce sens que la défenderesse soit condamnée à payer diverses sommes au total de 1'917'704 fr.28 en capital, à titre de dommages-intérêts et de réparation morale, avec suites d'intérêts au taux de 5% par an dès les dates qu'il spécifie. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision.
La défenderesse conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Il est formé par une partie qui a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). Introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours est en principe recevable.
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 133 II 249 consid. 1.4.2). Il conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF).
2. Il est constant que le demandeur exerce une action en dommages-intérêts fondée sur les art. 58 al. 1 et 65 al. 1 de la loi fédérale sur la circulation routière (LCR), et que cette action est soumise au délai de prescription de deux ans prévu par l'art. 83 al. 1 LCR. Ce délai court du jour où le lésé a eu connaissance du dommage et de la personne qui en est responsable.
Selon la jurisprudence, la première de ces deux conditions légales s'accomplit au moment où le lésé acquiert une connaissance suffisante du dommage pour pouvoir ouvrir action, c'est-à-dire lorsque le lésé apprend, relativement à l'existence, à la nature et aux éléments du dommage, les circonstances propres à fonder et à motiver une demande en justice. Le lésé n'est pas censé différer sa demande jusqu'au moment où il connaît le montant absolument exact de son préjudice car au besoin, ce montant sera estimé selon l'art. 42 al. 2 CO (ATF 131 III 61 consid. 3.1.1 p. 68). Le dommage est tenu pour suffisamment défini lorsque le lésé détient assez d'éléments pour être en mesure de l'apprécier (ATF 111 II 55 consid. 3a p. 57; 109 II 433 consid. 2 p. 434; 108 Ib 97 consid. 1c p. 100). Si l'ampleur du préjudice dépend d'une situation qui évolue, la prescription ne court pas avant le terme de cette évolution (ATF 108 Ib 97 consid. 1c p. 100; 93 II 498 consid. 2 p. 503). En effet, selon le principe de l'unité du dommage, celui-ci doit être considéré comme un tout et non comme la somme de préjudices distincts. Par conséquent, en cas d'évolution de la situation, le délai de prescription ne court pas avant que le plus tardif des éléments du dommage ne soit apparu. Cette règle vise essentiellement le préjudice consécutif à une atteinte à la santé de la victime, quand il n'est pas possible d'en prévoir l'évolution avec suffisamment de certitude (ATF 112 II 118 consid. 4 p. 123).
3. La Cour de justice se réfère à ces critères. Elle analyse le rapport de l'Office cantonal AI; elle constate qu'à la date de ce document, l'état de santé du demandeur était stabilisé et que les conséquences de l'accident, sur sa capacité de gain, étaient désormais connues. Elle ajoute que, dans l'hypothèse où le demandeur aurait encore pu éprouver certains doutes au sujet de ses aptitudes futures, ceux-ci auraient été dissipés par la décision de l'assurance-accidents du 2 mai 2002, qui confirmait le taux d'invalidité proposé par le rapport et que le demandeur n'a pas contestée. De cela, la Cour retient que le délai de deux ans s'est écoulé dès cette date au plus tard.
A l'appui du recours au Tribunal fédéral, le demandeur soutient qu'il lui était nécessaire d'attendre, avant d'ouvrir action contre l'assureur du détenteur de l'automobile, d'avoir reçu notification des décisions de tous les assureurs sociaux, cela pour connaître le montant de leurs prestations et les imputer sur ses propres prétentions contre ce premier assureur, et ainsi, réduire autant que possible l'émolument de mise au rôle à acquitter lors du dépôt de sa demande en justice, et de plus, éviter de se trouver en situation de réduire ses conclusions pendant l'instance. Cette argumentation ne saurait être suivie car elle contredit la jurisprudence précitée selon laquelle, éventuellement, le lésé a connaissance du dommage alors qu'il ne peut pas encore en déterminer le montant exact. Si le lésé trouve souhaitable d'ajourner le dépôt de sa demande en justice, par exemple en vue de réduire au minimum les frais d'introduction, il lui est loisible d'interrompre la prescription, ce qui déclenche le cours d'un nouveau délai, en faisant notifier à l'adverse partie un commandement de payer ou une citation en conciliation (art. 135 ch. 2, 137 al. 1 CO).
Le demandeur fait aussi valoir que le taux d'invalidité évalué par l'office AI ne lie pas les divers assureurs sociaux, et que leurs décisions peuvent donc présenter des divergences à ce sujet. Il ne prétend cependant pas que dans son propre cas, après la décision du 2 mai 2002, une controverse de ce genre dût être concrètement envisagée. La Cour de justice constate au contraire que les conclusions du rapport n'étaient pas mises en doute.
C'est vainement que le demandeur discute encore la nature et le but des délais de prescription en droit civil, pour faire valoir que la défenderesse a toujours su que des prétentions seraient élevées contre elle par suite de l'accident. Contrairement à son opinion, la Cour de justice a correctement appliqué l'art. 83 al. 1 LCR, ce qui conduit au rejet du recours.
4. A titre de partie qui succombe, le demandeur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Le demandeur acquittera un émolument judiciaire de 17'000 francs.
3. Le demandeur versera à la défenderesse, à titre de dépens, une indemnité de 19'000 francs.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 23 décembre 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le président: Le greffier:
Corboz Thélin