Sachverhalt:
A.
Die Eheleute Y._ (Ehefrau) und X._ (Ehemann) sind die gemeinsamen Eltern der Kinder A._ (geb. 2008) und B._ (geb. 2011). Mit Entscheid vom 1. Oktober 2013 berechtigte der Einzelrichter am Bezirksgericht C._ die Parteien im Rahmen von Eheschutzmassnahmen zum Getrenntleben, stellte die gemeinsamen Kinder der Parteien unter die Obhut des Ehemannes und räumte der Ehefrau ein ausgedehntes Besuchsrecht ein. Das eheliche Haus wurde dem Ehemann zum Gebrauch zugewiesen. Im Weiteren verfügte der Einzelrichter die Herausgabe der hinterlegten Kinderpässe an den Ehemann und hob die Ausweis- und Schriftensperre gegenüber den beiden Kindern auf. Schliesslich sprach er keine Unterhaltsbeiträge zu.
B.
Die Ehefrau gelangte gegen diesen Entscheid mit Berufung an das Kantonsgericht Luzern und beantragte, die Kinder seien unter ihre Obhut zu stellen und dem Ehemann ein Besuchsrecht einzuräumen; ferner sei ihr das eheliche Haus zum Gebrauch zuzuweisen und der Ehemann zu verpflichten, an den Unterhalt der Kinder monatlich je Fr. 650.-- plus Kinderzulagen zu bezahlen und an ihren persönlichen Unterhalt mit Fr. 1'100.-- pro Monat beizutragen. Der Ehemann schloss auf Abweisung der Berufung und Bestätigung des angefochtenen Urteils. Mit Urteil vom 24. Januar 2014 hiess das Kantonsgericht die Berufung teilweise gut, stellte die Kinder unter die Obhut der Ehefrau und regelte das Besuchs- und Ferienrecht des Ehemannes. Diesen verpflichtete es überdies, ab Zustellung des Urteils je am Monatsersten zu 5% verzinsliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 650.-- pro Kind plus Kinderzulagen und Fr. 800.-- für die Ehefrau persönlich zu leisten.
C.
Der Ehemann (Beschwerdeführer) hat am 6. Februar 2014 beim Bundesgericht gegen das Urteil des Kantonsgerichts Beschwerde in Zivilsachen erhoben. Er beantragt, ihm die Obhut über die gemeinsamen Kinder zuzuweisen; ferner stellt er Anträge bezüglich des Besuchsrechts der Ehefrau (Beschwerdegegnerin). Schliesslich sei auf eine Zusprechung von Unterhaltsbeiträgen zu verzichten. In prozessualer Hinsicht verlangt er, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Für den Fall, dass der Beschwerde keine aufschiebende Wirkung zuerkannt werde, ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
D.
Entgegen dem Antrag der Beschwerdegegnerin wurde der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 25. Februar 2014 aufschiebende Wirkung zuerkannt.
E.
Mit Schreiben vom 6. März 2014 ersuchte der Beschwerdeführer das Bundesgericht, für eine weitere Beschlagnahme der Pässe der Kinder zu sorgen. Nach Erhalt des Schreibens des Bezirksgerichts C._ vom 11. März 2014, wonach die Pässe weiterhin beim Gericht verbleiben, ist das Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen mit Verfügung vom 13. März 2014 als gegenstandslos abgeschrieben worden. Ein weiteres Gesuch des Beschwerdeführers um Erlass vorsorglicher Massnahmen vom 18. März 2014 ist mit Verfügung vom 19. März 2014 abgewiesen worden.
F.
In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz in einer Eheschutzsache (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG). Vor Bundesgericht stehen das Obhuts- und Besuchsrecht sowie der Unterhalt und damit eine nicht vermögensrechtliche Zivilsache im Streit. Die Beschwerde unterliegt deshalb keinem Streitwerterfordernis. Sie ist grundsätzlich zulässig. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 98 BGG). Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von Art. 98 BGG nur auf Willkür, das heisst auf eine Verletzung von Art. 9 BV (vgl. BGE 116 II 625 E. 3b S. 628; Urteil 5A_261/2009 vom 1. September 2009 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 135 III 608; zum Willkürbegriff vgl. BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133). Für die Geltendmachung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 135 III 232 E. 1.2 S. 234; 134 I 83 E. 3.2 S. 88). Will der Beschwerdeführer die Verletzung des Willkürverbots geltend machen, reicht es sodann nicht aus, wenn er die Lage aus seiner eigenen Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
1.3. Eheschutzmassnahmen werden im summarischen Verfahren mit der ihm eigenen Beweismittel- und Beweisstrengebeschränkung angeordnet; es genügt blosses Glaubhaftmachen (BGE 127 III 474 E. 2b/bb S. 478). Von aufwändigen Beweismassnahmen ist daher grundsätzlich abzusehen (Urteile 5A_813/2013 vom 12. Mai 2014 E. 4.3; 5A_742/2008 vom 22. Januar 2009 E. 4.3).
1.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Vor Kantonsgericht war sowohl die Zuteilung der Obhut wie auch die Unterhaltsfrage strittig. Für den Beschwerdeführer bestand daher Anlass, sämtliche für seinen Standpunkt relevanten Tatsachen vorzutragen und die einschlägigen Beweismittel zu nennen. Gab somit nicht erst der angefochtene Entscheid Anlass zu neuen Vorbringen, erweisen sich die erstmals vor Bundesgericht geltend gemachten Tatsachen und die dafür angebotenen Beweismittel als unzulässig.
1.5. Da dem Begehren um aufschiebende Wirkung entsprochen wurde, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
2.
2.1. Haben die Ehegatten unmündige Kinder, so trifft das mit der "Regelung des Getrenntlebens" (Marginalie zu Art. 176 ZGB) befasste Eheschutzgericht die nötigen Massnahmen nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses (Art. 176 Abs. 3 ZGB). Für die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil gelten grundsätzlich die gleichen Kriterien wie im Scheidungsfall. Nach der Rechtsprechung hat das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern. Vorab muss deren Erziehungsfähigkeit geklärt werden. Ist sie bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und dazu bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, so die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten und insbesondere die Beziehung zum andern Elternteil zuzulassen und aktiv zu fördern (sog. Bindungstoleranz; zum Begriff Urteil 5A_138/2012 vom 26. Juni 2012 E. 3-5), der Grundsatz, Geschwister nach Möglichkeit nicht zu trennen, oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (zum Ganzen: Urteil 5A_720/2013 vom 4. März 2014 E. 2 mit Hinweisen).
2.2. Bei der Beurteilung der für die Obhutszuteilung massgebenden Kriterien verfügt das Sachgericht über grosses Ermessen (BGE 115 II 317 E. 2 und E. 3 S. 319 ff.). Auf Willkürbeschwerde hin greift das Bundesgericht deshalb nur ein, wenn das Sachgericht grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn es Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn es umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Der Ermessensentscheid muss sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 132 III 97 E. 1 S. 99 mit weiteren Hinweisen; vgl. zum Ganzen zuletzt Urteile 5A_720/2013 vom 4. März 2014 E. 2 und 5A_157/2012 vom 23. Juli 2012 E. 3.1, in: FamPra.ch 2012 S. 1094).
2.3.
2.3.1. Dem angefochtenen Urteil lässt sich entnehmen, dass die Beschwerdegegnerin gegenüber dem Vater des Beschwerdeführers den Vorwurf sexuellen Missbrauchs des Sohnes A._ erhoben hatte, wobei das diesbezüglich eingeleitete Strafverfahren mit einer Einstellung endete. Soweit der Beschwerdeführer von anderen Fakten ausgeht, ist darauf mangels genügender Rüge nicht einzutreten. In tatsächlicher Hinsicht ergibt sich des Weiteren, dass sich die Parteien anfänglich gegen den Grossvater von A._ solidarisierten und ernsthaft eine Ausreise ins Ausland erwogen. Nach der Einstellung des Strafverfahrens veränderten sich die Verhältnisse insofern, als der Beschwerdeführer nunmehr die Beschwerdegegnerin beschuldigte, mit einer absichtlich unwahren Anschuldigung einen Keil zwischen ihn und seine Eltern und damit in der Folge zwischen die Ehegatten getrieben zu haben. In dem von den Grosseltern gegen die Beschwerdegegnerin eingeleiteten Strafverfahren wegen falscher Anschuldigung hat sich der Beschwerdeführer auf die Seite seiner Eltern geschlagen und erhebt nun seinerseits Vorwürfe an die Adresse der Beschwerdegegnerin. Diese reiste am 27. Februar 2013 mit Zustimmung des Beschwerdeführers zusammen mit den Kindern nach Mexiko und kehrte am 22. Mai 2013 wieder in die Schweiz zurück. Nach den weiteren Feststellungen übergab der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin am Flughafen einen Rucksack mit einem Retour-Ticket nach Mexiko und nahm die Kinder zu sich. In der Folge verweigerte er der Beschwerdegegnerin den persönlichen Kontakt mit den Kindern, gewährte ihr aber nach der Instruktionsverhandlung vom 14. Juni 2013 ein grosszügiges Besuchsrecht.
2.3.2. Die Vorinstanz hat die Zuteilung der Obhut anhand der vom Bundesgericht aufgezeigten Kriterien geprüft und hat dazu zusammenfassend erwogen, die Betreuung und Pflege der Kinder könne grundsätzlich zu deren Wohl von beiden Parteien wahrgenommen werden. Der Beschwerdeführer habe - teilweise im Schutz des Rechtsvertreters und im Verbund mit seinen Eltern - ein eigenmächtiges Verhalten an den Tag gelegt. All diese Umstände bärgen für die Zukunft die Gefahr, dass er die Beschwerdegegnerin in der Defensive zu behalten versuche und ihr seine eigene Sicht der Dinge und die eigene Vorgehensweise unreflektiert aufzwinge. Der Beschwerdeführer vermöge nicht glaubhaft zu machen, dass er mehr Zeit für die persönliche Betreuung der Kinder aufbringe als die Beschwerdegegnerin. Der Vorteil der Stabilität bestehender örtlicher Verhältnisse biete ihm angesichts des Alters der Kinder keinen entscheidenden Vorteil für die Zuteilung der Obhut. Dass mit der vom Beschwerdeführer beantragten Zuteilung der Obhut allenfalls ein ökonomischer Vorteil verbunden sei, dürfe nicht ausschlaggebend sein. Aufgrund der konstanten, klaren und glaubhaften Aussagen der Beschwerdegegnerin sei davon auszugehen, dass sie in der Schweiz bleiben werde und damit den kontinuierlichen Kontakt zum Vater ermögliche. Ein Abwägen der aufgezeigten Kriterien führe zur Überzeugung, dass dem Wohl der Kinder mit einer Zuteilung der Obhut an die Beschwerdegegnerin besser gedient sei.
2.4.
2.4.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe trotz entsprechenden Antrages von der Befragung seiner Eltern abgesehen und sei dabei fälschlicherweise davon ausgegangen, sie würden während seiner Abwesenheit den grossen Teil der Betreuung der Kinder übernehmen. Das treffe indes nicht zu, zumal er bei den Besuchen seiner Eltern immer persönlich anwesend gewesen sei. Zudem gelte es, den guten Kontakt zwischen den Kindern und ihren Grosseltern zu pflegen. Mit der Ablehnung des Beweisantrages habe die Vorinstanz willkürlich die Darstellung des Beschwerdeführers nicht berücksichtigt.
2.4.2. Die Vorinstanz hat eine Befragung der Eltern des Beschwerdeführers mit der Begründung abgelehnt, diese bringe für die Zuteilung der Obhut keine verwertbaren Schlüsse, wobei vorab dem feindschaftlichen Verhältnis zwischen der Beschwerdegegnerin und ihren Schwiegereltern wegen des derzeit geführten Strafverfahrens Rechnung zu tragen sei. Mit dieser Erwägung der Vorinstanz setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Auf die Rüge ist daher mangels genügender Begründung (E. 1.2) nicht einzutreten.
2.5. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, die Vorinstanz habe mit einem falschen Verweis auf eine Stelle in der Berufung den Beizug der Akten des Strafverfahrens seiner Eltern gegen die Beschwerdegegnerin wegen falscher Anschuldigung verweigert. Tatsächlich habe er während des Verfahrens immer wieder dargetan, dass ein Zusammenhang zwischen dem von seinen Eltern eingeleiteten Strafverfahren und dem vorliegenden Eheschutzverfahren bestehe. Für beide Verfahren sei das falsche und uneinsichtige Verhalten der Beschwerdegegnerin ursächlich. Dieses Verhalten sei auch für die Frage der Zuteilung der Obhut von Bedeutung.
Der Beschwerdeführer hat in der Berufung ausdrücklich erklärt, es bestehe kein Zusammenhang zwischen dem Strafverfahren und dem Eheschutzverfahren. Er hat jedoch in der Tat dort ebenso ausgeführt, die Beschwerdegegnerin habe durch ihr falsches Verhalten sowohl gegenüber den Eltern des Beschwerdeführers als auch ihm gegenüber beide Verfahren veranlasst. Das reicht indes nicht aus, um den unterlassenen Beizug der Strafakten als willkürlich hinzustellen: Das Obergericht weist in der einschlägigen Erwägung auch darauf hin, dem entsprechenden Strafverfahren bleibe vorbehalten, eine allfällige falsche Anschuldigung der Beschwerdegegnerin gegenüber den Eltern des Beschwerdeführers abzuklären. War dieses Verfahren aber zum damaligen Zeitpunkt nicht abgeschlossen und keine falsche Anschuldigung der Beschwerdegegnerin nachgewiesen, so drängte sich der Beizug der Strafakten im Lichte des Summarverfahrens nicht auf. Von Willkür kann keine Rede sein.
2.6.
2.6.1. Die Vorinstanz ist von der Erziehungsfähigkeit des Beschwerdeführers ausgegangen. Soweit er sich dazu in seiner Beschwerde äussert und der Vorinstanz Willkür vorwirft, ist darauf nicht näher einzugehen.
2.6.2. Die Vorinstanz hat im Weiteren erwogen, sie habe aufgrund des Beweisergebnisses und des gewonnenen persönlichen Eindrucks keine Bedenken hinsichtlich der Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin. Insbesondere sah sie keine Veranlassung, ihr bezüglich des gegen die Grosseltern väterlicherseits eingeleitete Strafverfahrens wegen sexuellen Missbrauchs Böswilligkeit zu unterstellen.
2.6.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz weise zwar auf S. 4 unter Ziffer 4 darauf hin, die Beschwerdegegnerin erachte sich als erziehungsfähig; Vorbehalte des Beschwerdeführers bezüglich ihrer psychischen Gesundheit träfen - so die Beschwerdegegnerin - nicht zu. Indes habe die Vorinstanz dieses für die Frage der Erziehungsfähigkeit zentrale Element (psychische Gesundheit der Beschwerdegegnerin) trotz der Untersuchungsmaxime und entsprechender Hinweise und Belege in den Rechtsschriften, insbesondere im Gesuch vom 22. Mai 2013 (Seite 4 Ziff. 4) nicht abgeklärt.
Bei der vom Beschwerdeführer erwähnten Urkunde handelt es sich um einen Internet-Auszug betreffend das Münchhausen-Stellvertretersyndrom. Die Vorinstanz erachtete die Beschwerdegegnerin aufgrund des Beweisergebnisses und ihres persönlichen Eindrucks als erziehungsfähig. Es vermag nicht einzuleuchten, weshalb sie im Rahmen des Summarverfahrens ohne fundierte Verdachtsmomente weitere Abklärungen bezüglich des psychischen Gesundheitszustandes der Beschwerdegegnerin hätte vornehmen müssen. Aufgrund der vom Beschwerdeführer vorgebrachten Behauptung einer psychischen Krankheit der Beschwerdegegnerin und des erwähnten Internetauszuges bestand auch im Lichte der Untersuchungsmaxime keine Veranlassung, weitere Sachverhaltsermittlungen in diese Richtung zu tätigen. Insbesondere behauptet und belegt der Beschwerdeführer nicht, dass zum Zeitpunkt des Entscheides der Vorinstanz durch ärztliche Atteste bestätigte Vorbehalte bezüglich der psychischen Gesundheit der Beschwerdegegnerin bestanden.
2.6.4. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, die Beschwerdegegnerin habe ihren Sohn seit Dezember 2011 konstant instrumentalisiert und für ihre falschen Anschuldigungen (Vorwurf sexuellen Missbrauchs) gegenüber seinen Grosseltern missbraucht, obwohl sie spätestens nach den übereinstimmenden und klaren Aussagen der Grosseltern anlässlich der Befragung vom 25. Januar 2012 und aufgrund des Arztzeugnisses betreffend erektile Impotenz des Grossvaters hätte erkennen müssen, dass die Vorwürfe unbegründet seien. Zudem habe sie auch in ihrem Strafverfahren betreffend falsche Anschuldigungen die entsprechenden Vorwürfe wiederholt.
In diesem Zusammenhang genügt der Hinweis, dass das gegen die Beschwerdegegnerin angehobene Strafverfahren wegen falscher Anschuldigung zum Zeitpunkt des Urteils der Vorinstanz noch nicht abgeschlossen war. Unter diesen Umständen kann der Vorinstanz nicht zum Vorwurf gereichen, dass sie dem Ergebnis der Strafuntersuchung nicht vorgreifen wollte. Aufgabe der Untersuchungsbehörden ist gerade, die Umstände der Aussagen der Beschwerdegegnerin betreffend den angeblichen sexuellen Missbrauch abzuklären und zu beurteilen, ob sie den Vorwurf sexuellen Missbrauchs wider besseres Wissen erhoben hat. Beim momentanen Stand des Strafverfahrens verfiel die Vorinstanz jedenfalls im Ergebnis nicht in Willkür, indem sie der Beschwerdegegnerin kein böswilliges Verhalten unterstellte. Damit erübrigen sich weitere Ausführungen zu dem in diesem Zusammenhang Vorgetragenen.
2.7. Unter dem Aspekt der Bindungstoleranz wirft der Beschwerdeführer dem Kantonsgericht vor, es habe die konkrete Gefahr nicht gewürdigt, dass die Beschwerdegegnerin mit den Kindern nach Mexiko ausreisen werde. Sodann habe das Kantonsgericht in Verletzung von Art. 9 BV das Verhalten der Beschwerdegegnerin ab Dezember 2011 nicht berücksichtigt.
Das Kantonsgericht hat erwogen, das Verhalten der Beschwerdegegnerin ab dem 22. Mai 2013 (d.h. nach der Rückkehr aus Mexiko) habe zu keinen Beanstandungen Anlass gegeben. Die Beschwerdegegnerin habe sich der vereinbarten Besuchsrechtsregelung unterzogen und nicht in Ausübung von Selbstjustiz versucht, trotz offener Obhutsregelung die Rückgabe der Kinder zu verweigern und diese bei sich zu behalten. Ihr Verhalten lasse zweifelsfrei auf eine bestehende Bindungstoleranz schliessen. Aufgrund der glaubhaften Äusserungen der Beschwerdegegnerin sei davon auszugehen, dass sie die Schweiz nicht verlassen werde. Der Beschwerdeführer zeigt nicht substanziiert auf, inwiefern diese Beweiswürdigung der Vorinstanz willkürlich sein soll. Das gegen die Beschwerdegegnerin wegen falscher Anschuldigung angehobene Strafverfahren ist noch hängig, sodass zurzeit nicht feststeht, dass sie wider besseres Wissen vorgegangen ist (E. 2.4.4). Von Willkür kann keine Rede sein.
2.8.
2.8.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz gehe davon aus, dass die Beschwerdegegnerin die Betreuung der Kinder voraussichtlich vollumfänglich und persönlich wahrnehmen könne, selbst wenn sie dereinst ein berufliches Kleinpensum übernehmen werde. Dabei übersehe sie, dass ein Kleinpensum als Lehrerin von der betroffenen Person sehr grosse Flexibilität abverlange. Überdies sei der zu den Akten gelegte Praktikumsbericht irrelevant. Die Beschwerdegegnerin habe noch keine entscheidenden Schritte in Richtung einer Anerkennung ihres mexikanischen Berufsdiploms in der Schweiz unternommen. Sollte sie aber eine Anerkennung ihres Diploms ins Auge fassen, habe sie noch umfangreiche Vorbereitungsarbeiten zu leisten und erfolgreich einen Deutschkurs zu absolvieren, was ihre Betreuungsmöglichkeiten stark einschränken würde. Auf der anderen Seite spreche die Vorinstanz ihm (dem Beschwerdeführer) die Fähigkeit ab, die Kinderbetreuung vollumfänglich persönlich zu übernehmen. Relevant sei in diesem Zusammenhang, dass er seit dem 22. Mai 2013 seine Arbeitszeiten auf Abende verlegt habe. Zudem könne er an Wochenenden Events planen und diese auch an den Wochenenden durchführen. Die Vorinstanz verweise überdies auf die kritisch zu hinterfragende Betreuungsmöglichkeit durch die Grosseltern väterlicherseits, die aber bei richtiger Betrachtungsweise gar keine Probleme verursache. Zudem würde damit ein gutes Grosseltern-Enkel-Verhältnis gefördert. Richtig betrachtet bestehe beim Kriterium der persönlichen Betreuung kein Vorrang der Beschwerdegegnerin. Die gegenteilige Annahme der Vorinstanz sei willkürlich.
2.8.2. Dem angefochtenen Entscheid und auch den eben erwähnten Ausführungen des Beschwerdeführers ist zu entnehmen, dass die Beschwerdegegnerin zurzeit keiner Arbeit nachgeht und auch durch ihre Ausbildung bzw. das Verfahren betreffend Anerkennung ihres mexikanischen Diploms als Lehrerin nicht stark in Anspruch genommen wird. Da sie sich zurzeit ausschliesslich und vollumfänglich der Kinderbetreuung widmen kann, ist die Feststellung der Vorinstanz nicht willkürlich, daraus sei ein Vorrang der Beschwerdegegnerin mit Bezug auf das Kriterium der Kinderbetreuung zu erblicken.
2.9.
2.9.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz anerkenne einerseits, dass die bei ihm herrschenden stabilen sozialen Verhältnisse für die Kinder zu seinen Gunsten sprächen, relativiere dies anderseits aufgrund des Alters der Kinder, für welche die persönliche Beziehung zur Mutter wichtiger sei als die Verbundenheit mit der Örtlichkeit. Diese nicht weiter begründete Aussage der Vorinstanz sei willkürlich.
2.9.2. Die Vorinstanz hat unter Hinweis auf das Alter der Kinder (geb. 2008 und 2011) durchaus ohne Willkür davon ausgehen dürfen, die Beziehung zu ihrer Mutter sei wichtiger als die Verbundenheit mit den örtlichen Verhältnissen. Die Auffassung der Vorinstanz ist begründet und nachvollziehbar.
2.10. Zusammenfassend ergibt sich somit, dass die Vorinstanz die für die Obhutszuteilung massgebenden Kriterien berücksichtigt und bei deren Anwendung den Umständen des konkreten Falles Rechnung getragen hat. Von einem Missbrauch des Ermessens im beschriebenen Sinn (E. 2.2) kann keine Rede sein. Bleibt es aber bei der Obhutsregelung der Vorinstanz, fallen die Hinterlegung der Pässe der Kinder sowie die Schriftensperre dahin.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat den Beschwerdeführer berechtigt, seine Kinder jedes zweite Wochenende von Freitag 18.00 Uhr bis Sonntag 18.00 Uhr und jeden Mittwoch mit Ausnahme der Kindergarten- resp. Schulzeiten von 09.00 Uhr bis 17.00 Uhr auf Besuch zu nehmen und mit ihnen dreimal jeweils eine Woche Ferien zu verbringen. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe nicht beachtet, dass er in erster Linie an Wochenenden seiner Arbeit nachgehen müsse. Nicht beachtet worden sei überdies, dass sich die Parteien auf mindestens vier Wochen Ferien geeinigt hätten. Der Entscheid der Vorinstanz sei willkürlich.
3.2. Gemäss Verhandlungsprotokoll vom 17. Januar 2014 war der Beschwerdeführer mit der nunmehr getroffenen Besuchsrechtsregelung einverstanden. Vorbehalte bezüglich des Wochenendes sind nicht auszumachen. Was die Anzahl Wochen Ferien anbelangt, haben die Parteien zwar vier Wochen vorgesehen. Das Bezirksgericht hat indes dreimal je eine Woche als angemessen erachtet, welche Regelung das Kantonsgericht übernommen hat. Allein mit dem Hinweis auf die Vereinbarung von vier Wochen legt der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern die Vorinstanz ihr Ermessen missbraucht hat. Insgesamt sind die Vorbringen nicht geeignet, eine willkürlich Festsetzung des Besuchs- und Ferienrechts darzutun.
4.
4.1. Mit Bezug auf die Frage des Unterhalts ist einzig das vom Kantonsgericht berücksichtigte Einkommen des Beschwerdeführers strittig. Die Vorinstanz hat aufgrund der Jahresrechnung 2012 der beiden Geschäftspartner von rund Fr. 86'000.-- den Anteil des Beschwerdeführers auf rund Fr. 43'000.-- bzw. monatlich Fr. 3'600.-- festgelegt. Des weiteren hat sie die vom Unternehmen ausgerichtete Entschädigung von Fr. 5'346.-- bzw. Fr. 400.-- pro Monat für die Ausübung seiner Tätigkeit im privaten Büro zuhause hinzugerechnet. Berücksichtigt wurde ferner ein Zusatzeinkommen von rund Fr. 10'000.-- pro Jahr bzw. Fr. 900.-- pro Monat, was ein Gesamteinkommen von Fr. 4'900.-- ausmacht. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Betrag von Fr. 400.-- pro Zimmer hätte nur zu Hälfte berücksichtigt werden dürfen. Überdies habe das Einkommen aus der Nebenerwerbstätigkeit gemäss Steuererklärung lediglich Fr. 830.-- betragen.
4.2. Der Beschwerdeführer belegt nicht, dass auch sein Partner Fr. 400.-- für ein privates Zimmer beantragen kann. Erwiesen ist einzig die Benützung des privaten Büros durch den Beschwerdeführer. Sodann hat er anlässlich der Verhandlung vor dem Bezirksgericht vom 14. Juni 2013 im Rahmen einer Beweisaussage erklärt, das Einkommen aus Nebenerwerb betrage rund Fr. 10'400.--. Inwiefern die Vorinstanz unter den gegebenen Umständen das Einkommen willkürlich auf Fr. 4'900.-- festgesetzt haben soll, bleibt unerfindlich. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet.
5.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Entgegen dem Antrag der Beschwerdegegnerin wurde dem Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung entsprochen. Da in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt wurde, ist mit Bezug auf die Entschädigung des Gesuchs auf den Ausgang des Zwischenverfahrens abzustellen und folglich die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, den Beschwerdeführer für das Gesuch um aufschiebende Wirkung zu entschädigen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das Gesuch um aufschiebende Wirkung mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, und dem Bezirksgericht C._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2014
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden