Sachverhalt:
A. X._ und Y._, beide geboren 1964, heirateten im Februar 1989. Sie sind die Eltern der beiden Kinder A._, geboren 1996, und B._, geboren am 1998. Seit 1. Januar 2002 leben sie getrennt. Im Rahmen eines im Jahre 2002 durchgeführten Eheschutzverfahrens wurde X._ verpflichtet, an den Unterhalt seiner Kinder monatlich je Fr. 1'050.-- zuzüglich Kinderzulagen und an denjenigen der Ehefrau einen solchen von monatlich Fr. 2'560.-- zu zahlen.
B. Mit Eingabe vom 1. Juni 2004 reichte Y._ beim Richteramt R._ das Vorladungsbegehren auf Ehescheidung ein. Beide Ehegatten erklärten, dass für die Dauer des Scheidungsverfahrens die eheschutzrichterlichen Massnahmen weiter gelten sollen. Auf Begehren von X._ wurde der Unterhaltsbeitrag für Y._ am 16. Dezember 2005 mit Wirkung ab 1. August 2005 auf monatlich Fr. 1'400.-- herabgesetzt.
Der Präsident des Richteramtes R._ sprach ebenfalls am 16. Dezember 2005 die Scheidung der Ehe aus. Gleichzeitig verpflichtete er X._ unter anderem, an den Unterhalt der unter die elterliche Sorge der Mutter gestellten beiden Kinder Beiträge von monatlich je Fr. 1'100.-- und an denjenigen von Y._ bis zu deren Erreichen des AHV-Alters solche von monatlich Fr. 1'300.-- zu zahlen.
Beide Parteien appellierten an das Obergericht des Kantons Solothurn. Am 20. Juni 2007 erkannte dieses unter anderem, dass der Y._ zugesprochene Unterhaltsbeitrag auf monatlich Fr. 1'500.-- festgesetzt werde (Dispositiv-Ziff. 4). Es hielt ausdrücklich fest, dass bei der Festsetzung der Unterhaltsbeiträge von einem monatlichen Nettoeinkommen von X._ von Fr. 8'000.-- und von einem solchen von Y._ von Fr. 880.-- (jeweils ohne Kinderzulagen und einschliesslich 13. Monatslohn) ausgegangen worden sei (Dispositiv-Ziff. 7).
C. X._ führt mit Eingabe vom 23. August 2007 Beschwerde in Zivilsachen und beantragt, die Dispositiv-Ziffern 4 und 7 des obergerichtlichen Urteils aufzuheben, vorzumerken, dass keine Partei der anderen persönliche Unterhaltsbeiträge zu bezahlen habe, und bei ihm von einem monatlichen Nettoeinkommen von Fr. 5'200.-- auszugehen.
Vernehmlassungen zur Beschwerde sind nicht eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Gegenstand der Beschwerde ist ein letztinstanzlicher Endentscheid in einer Zivilsache vermögensrechtlicher Natur (Art. 72 Abs. 1, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Der für die Zulassung der Beschwerde erforderliche Streitwert von 30'000 Franken (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) ist bei einer Kapitalisierung der Unterhaltsbeiträge, die im kantonalen Verfahren strittig geblieben waren, offensichtlich erreicht (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 4 BGG). Auf die von der unterlegenen Partei (Art. 76 Abs. 1 BGG) rechtzeitig eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 BGG) ist aus formeller Sicht mithin ohne weiteres einzutreten.
2. Mit Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG).
2.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist deshalb weder durch die in der Beschwerdeschrift erhobenen Argumente noch durch die vorinstanzliche Begründung eingeschränkt; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem geltend gemachten Grund gutheissen, eine Beschwerde aber auch mit einer von der vorinstanzlichen Argumentation abweichenden Begründung abweisen. Angesichts der in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG festgelegten allgemeinen Begründungspflicht prüft das Bundesgericht allerdings grundsätzlich nur die erhobenen Rügen. Es ist auf jeden Fall nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, soweit solche nicht (mehr) vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2.2 Unter das Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG fallen auch verfassungsmässige Rechte des Bundes (BGE 133 III 446 E. 3.1 S. 447; 133 I 201 E. 1 S. 203). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b OG - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 III 393 E. 6 S. 397; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254).
2.3 Nach Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann sich mit anderen Worten nicht darauf beschränken, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Instanz, die den dargelegten Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten. Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von Art. 105 Abs. 2 BGG, die dem Richter geradezu in die Augen springen (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255).
3. 3.1 Das Obergericht hat den Antrag des Beschwerdeführers, die Liegenschaft der Parteien so rasch wie möglich zu veräussern, abgewiesen und der Beschwerdegegnerin an jener ein bis zum 31. Juli 2014 (16. Altersjahr des Sohnes B._) befristetes Wohnrecht eingeräumt (Dispositiv-Ziffern 6.2 und 6.3). Zur Begründung verweist es auf Art. 121 ZGB, wonach gewährleistet sein soll, dass ein Ehegatte und namentlich die Kinder im Scheidungsfall unabhängig von den bisherigen Rechtsverhältnissen in der Wohnung verbleiben könnten, wenn dies aufgrund der konkreten Umstände als gerechtfertigt erscheine. Aus dem Wortlaut der angerufenen Bestimmung gehe deutlich hervor, dass die Interessen der Kinder, die bisher in der Familienwohnung gelebt hätten, anderen Interessen grundsätzlich vorgingen. Sodann hält die Vorinstanz fest, dass nach den Ausführungen der Beschwerdegegnerin die Kinder durch die Trennung sehr litten und psychische Probleme hätten, die behandelt werden müssten. Das Haus in T._ bilde insbesondere in dieser sehr belasteten Zeit eine wichtige Konstante für die Kinder. Demgegenüber begründe der Beschwerdeführer, der sich zum Begehren der Beschwerdegegnerin mit keinem Wort äussere, seinen Antrag auf Veräusserung des Hauses lediglich damit, dass er nicht genug Geld habe, um die Unterhaltsbeiträge zu zahlen.
3.2 Auf die Ausführungen des Obergerichts nimmt der Beschwerdeführer einzig insofern Bezug, als er erklärt, dass wir es in der Schweiz mit Helden zu tun hätten oder aber die Zukunft ganz düster aussehe, wenn Kinder sich nur (gut) entwickeln könnten, falls sie in einem Eigenheim und dazu in einer "geschützten" Umgebung wie in T._ aufwüchsen. Damit setzt er sich indessen nicht in einer den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügenden Form mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinander. In diesem Punkt ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten.
4. 4.1 Zu den persönlichen Verhältnissen hat das Obergericht unter anderem festgehalten, die Beschwerdegegnerin leide an der unheilbaren Krankheit Multiple Sklerose und arbeite heute zu 20 %. Mehr könne ihr angesichts ihres Gesundheitszustandes nicht zugemutet werden. Der behandelnde Arzt, Dr. med. C._, führe in seinem Bericht vom 9. April 2007 aus, dass die Arbeitsfähigkeit in sieben Jahren, d.h. im Zeitpunkt des 16. Altersjahres von B._, im besten Fall bei 20 % bleiben werde. Mit einer Verbesserung des Zustandes gegenüber der heutigen Situation könne nicht gerechnet werden, so dass der Beschwerdeführer zu verpflichten sei, der Beschwerdegegnerin einen Unterhaltsbeitrag bis zur Erreichung des AHV-Alters zu zahlen.
4.2 In diesen Ausführungen der Vorinstanz liegt eine Würdigung von tatsächlichen Gegebenheiten. Der Beschwerdeführer hätte deshalb dartun müssen, dass diese willkürlich sei oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhe (s. oben E. 2.3). Dass letzteres der Fall sei, macht er nicht geltend. Seine Vorbringen, eine Krankheit sei in der Regel nicht ein statischer Zustand, sondern einer permanenten Veränderung unterworfen und es finde gerade auch auf diesem Gebiet (gemeint wohl der Multiplen Sklerose) eine nicht unerhebliche Forschung statt, sind im Übrigen rein appellatorischer Natur und auf jeden Fall nicht geeignet, die Feststellungen der Vorinstanz als willkürlich erscheinen zu lassen.
5. 5.1 Bezüglich der Einkommenssituation auf Seiten des Beschwerdeführers hat das Obergericht festgehalten, dieser habe bereits während des Eheschutz- und dann auch noch während des Scheidungsverfahrens seine Arbeitsstelle sehr oft gewechselt, wobei der Bruttolohn immer leicht gesunken sei. Heute verdiene der Beschwerdeführer als Mechaniker brutto Fr. 72'000.-- im Jahr. Auf die stetige Verschlechterung der Einkommenslage angesprochen, habe er erklärt, er habe psychische Probleme gehabt und sich in Therapie begeben müssen; bei der früheren Arbeitgeberin habe er Schwierigkeiten bekommen, er habe dann etwas anderes gefunden und dabei versucht, das Einkommen in gleicher Höhe zu halten; am Arbeitsplatz habe er aber nicht zu leisten vermocht, was abgemacht gewesen sei, so dass er das Angebot als Mechaniker angenommen habe; jetzt gehe es ihm psychisch besser, er müsse nicht für andere schauen. Die Vorinstanz hält dafür, dass mit dem definitiven Abschluss des Scheidungsverfahrens sich der angebliche psychische Druck erheblich verringern dürfte, so dass der gut ausgebildete Beschwerdeführer seinen Arbeitseinsatz werde steigern können. Es sei nicht ausgeschlossen, dass er bereits wieder eine besser bezahlte Arbeitsstelle bei seiner jetzigen Arbeitgeberin in Aussicht habe, sei es doch eher erstaunlich, dass ein "gewöhnlicher" Mechaniker, der nicht im Aussendienst tätig sei, ein Geschäftsauto zur Verfügung habe. Dem Beschwerdeführer sei unter den angeführten Umständen ein Nettoeinkommen von monatlich Fr. 8'000.-- anzurechnen.
5.2 Dass die tatsächlichen Annahmen der Vorinstanz zu seinem Einkommen willkürlich wären, macht der Beschwerdeführer selbst nicht geltend. Seine Vorbringen, es handle sich bei diesen Annahmen um reine Spekulationen und es sei nicht einzusehen, weshalb sich verschiedene Unternehmen dazu hergäben, ihm einen schlechteren Vertrag zu geben und dann einen besseren in Aussicht zu stellen, sind denn auch nicht geeignet, die vorinstanzlichen Annahmen als vollkommen unhaltbar erscheinen zu lassen. Das Gleiche gilt für das zu den obergerichtlichen Ausführungen betreffend die vom Beschwerdeführer geltend gemachten psychischen Probleme Vorgebrachte. Gegen den Gedankengang der Vorinstanz ist im Übrigen insofern nichts einzuwenden, als bei einer Belastung durch das Scheidungsverfahren davon ausgegangen werden durfte, dass nach dessen Abschluss sich die psychische Verfassung des Beschwerdeführers verbessern werde, was sodann eine Steigerung des Arbeitseinsatzes bis auf das frühere Niveau ermöglichen werde.
6. Soweit auf die Beschwerde einzutreten ist, ist sie nach dem Gesagten abzuweisen. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Da keine Vernehmlassungen zur Beschwerde eingeholt worden und der Beschwerdegegnerin somit keine Kosten erwachsen sind, entfällt die Zusprechung einer Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (Zivilkammer) des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. März 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Raselli Gysel