Erwägungen:
1. Am 8. Dezember 2001 ersuchte X._ die Stadt Schaffhausen um Erteilung des Gemeindebürgerrechts für sich und seine Familie. Am 3. Juli 2003 zog er das Gesuch in Bezug auf seine Ehefrau zurück. Mit Schreiben vom 19. August 2004 teilte der Stadtrat dem Amt für Justiz und Gemeinden des Kantons Schaffhausen mit, dass er die Einbürgerung von X._ und seinen Kindern nicht befürworte. Am 2. November 2005 unterbreitete das Amt für Justiz und Gemeinden diese Stellungnahme dem Bundesamt für Migration, beantragte ebenfalls die Verweigerung der Einbürgerungsbewilligung und ersuchte um einen Entscheid. Das Bundesamt lehnte daraufhin das Gesuch um Erteilung der eidgenössischen Einbürgerungsbewilligung ab. Die von X._ hiergegen erhobene Beschwerde wurde vom Bundesverwaltungsgericht gemäss Entscheid vom 12. Januar 2010 gutgeheissen; gleichzeitig wies es die Sache zur Neubeurteilung an das Bundesamt für Migration zurück.
Mit Beschluss vom 9. Juni 2010 lehnte der Bürgerrat der Stadt Schaffhausen das von X._ für sich und seine Kinder gestellte Gesuch um Erteilung des Gemeindebürgerrechts ab. Den vom Gesuchsteller hiergegen erhobenen Rekurs wies der Regierungsrat des Kantons Schaffhausens mit Beschluss vom 30. November 2010 ab.
Am 11. Dezember 2010 gelangte X._ mit einer Verwaltungsgerichtsbeschwerde ans Obergericht des Kantons Schaffhausen. Mit Entscheid vom 1. Juli 2011 hat das Obergericht die Beschwerde abgewiesen.
2. Gegen den obergerichtlichen Entscheid vom 1. Juli 2011 führt X._ mit Eingabe vom 29. Juli 2011 der Sache nach Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht.
Das Bundesgericht hat darauf verzichtet, Vernehmlassungen zur Beschwerde einzuholen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Beschwerdebegründung - unabhängig von der Art des nach BGG offen stehenden Rechtsmittels - in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (s. auch Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Dies setzt voraus, dass sich der Beschwerdeführer jedenfalls kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten geltend gemacht wird, einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und - wie namentlich im vorliegenden Fall der Sache nach - Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung. Das Bundesgericht prüft solches nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine derartige Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Das Obergericht hat im angefochtenen Urteil ausführlich dargelegt, dass bzw. weshalb es die massgebenden Bestimmungen des Bürgerrechtsgesetzes als nicht erfüllt erachtet. Der Beschwerdeführer stellt der zugrunde liegenden Sachverhaltsfeststellung seine Sicht der Dinge gegenüber, und nebstdem übt er ganz allgemein Kritik an den zuständigen Einbürgerungsbehörden. Was er vorbringt, beschränkt sich indes auf eine appellatorische Kritik an den dem obergerichtlichen Entscheid zugrunde liegenden Erwägungen. Auf solche Kritik tritt das Bundesgericht gemäss ständiger Rechtsprechung nicht ein (s. die vorstehend bereits zitierten Urteile).
Mit seinen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer somit nicht sachbezogen und rechtsgenüglich mit dem angefochtenen Entscheid bzw. dessen Erwägungen auseinander. Er legt nicht im Einzelnen dar, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzen soll.
Da die Vorbringen des Beschwerdeführers keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Entscheids darstellen, ist bereits mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die vorliegende Beschwerde nicht einzutreten.
Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bürgerrat der Stadt Schaffhausen sowie dem Regierungsrat und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. August 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aemisegger
Der Gerichtsschreiber: Bopp