Erwägungen:
1. Der 1985 geborene A._ trat am 1. August 2004 bei der Forstbetriebsgemeinschaft Dorneckberg-Süd (gegründet von den zwei Gemeinden Seewen und Büren sowie dem Kanton Solothurn) eine Lehre zur (Zusatz-)Ausbildung als Forstwart an. Am 8. November 2004 erlitt er auf dem Waldgebiet der Gemeinde Seewen einen schweren Arbeitsunfall und liegt seither im Wachkoma, zurzeit in einem spezialisierten Pflegeheim für körperlich Schwerstbehinderte.
Am 20. Juli 2009 wurden beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zwei Klagen gegen den Kanton eingereicht. A._ klagte auf die Bezahlung von Schadenersatz in der Höhe von Fr. 1'447'636.-- nebst Zins, von Schadenersatz für die künftigen Kosten der Pflege nach richterlichem Ermessen sowie von Genugtuung in der Höhe von Fr. 393'200.-- nebst Zins. B._ und C._ (die Eltern von A._) sowie D._ (seine Schwester) klagten auf Bezahlung von Genugtuung in der Höhe von Fr. 300'000.-- nebst Zins seit dem Unfalltag.
Mit Urteil vom 11. August 2010 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die Klagen ab. Die Begehren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung von A._ und D._ wies das Verwaltungsgericht wegen Aussichtslosigkeit der Klagen ab.
2. A._ sowie seine Eltern und seine Schwester reichten am 13. September 2010 beim Bundesgericht gemeinsam eine Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts ein, welches sie als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventuell als Beschwerde in Zivilsachen und subsidiär als Verfassungsbeschwerde verstehen. Die Beschwerde war verbunden mit dem Gesuch, es sei ihnen die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren; diesbezüglich ersuchten sie um Zustellung eines entsprechenden Formulars und um Ansetzen einer Frist zur Einreichung der Unterlagen zur Deklaration der aktuellen Einkommens- und Vermögensverhältnisse.
Mit Schreiben vom 15. September 2010 wurden die Beschwerdeführer darauf hingewiesen, dass die Bundesgerichtskanzlei kein Formular für Gesuche um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege benütze. Sie wurden darüber belehrt, dass die Partei in geeigneter Form umfassend über ihre finanziellen Verhältnisse Auskunft zu geben habe; erforderlich seien eine vollständige Zusammenstellung der durchschnittlichen monatlichen Einkünfte (einschliesslich Vermögenserträge) und notwendigen Ausgaben sowie komplette Angaben über die Vermögensverhältnisse, mit entsprechenden Belegen. Es wurde ihnen Frist bis 11. Oktober 2010 zur Einreichung einer diesen Anforderungen genügenden Gesuchsbegründung angesetzt. In Nachachtung eines entsprechenden Gesuchs vom 11. Oktober 2010 wurde ihnen diese Frist letztmals bis zum 29. Oktober 2010 erstreckt.
Am 27. Oktober 2010 haben die Beschwerdeführer verschiedene Unterlagen eingereicht und einzelne Zahlen kommentierend hervorgehoben.
3. 3.1 Das Bundesgericht befreit eine Partei, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, auf Antrag von der Bezahlung der Gerichtskosten, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Art. 64 Abs. 1 BGG). Unter den gleichen Voraussetzungen bestellt es der Partei einen Anwalt, wenn dies zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist (Art. 64 Abs. 2 BGG).
Bedürftig ist, wer die Leistung der erforderlichen Prozess- und Parteikosten nur erbringen kann, wenn er die Mittel angreift, die er zur Deckung des Grundbedarfs für sich und seine Familie benötigt; dabei sind nebst den Einkommens- auch die Vermögensverhältnisse zu berücksichtigen (BGE 128 I 225 E. 2.5.1 S. 232; BGE 125 IV 161 E. 4a S. 164; 124 I 1 E. 2a S. 2; 118 Ia 369 E. 4a S. 370). Dem um unentgeltliche Rechtspflege Ersuchenden obliegt es, seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit wie möglich zu belegen. Er muss die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung zumindest ausreichend glaubhaft machen. Aus den eingereichten Belegen muss auf jeden Fall sein aktueller Grundbedarf hervorgehen. Die Belege haben zudem über sämtliche finanziellen Verpflichtungen des Gesuchstellers selber und gegebenenfalls seiner Familienangehörigen sowie über deren Einkommens- und Vermögensverhältnisse Aufschluss zu geben (vgl. BGE 127 I 202 E. 3 S. 204 ff., insbesondere E. 3c-f S. 206 ff.). Kommt der Gesuchsteller diesen Obliegenheiten nicht nach, wird das Gesuch abgewiesen (vgl. BGE 125 IV 161 E. 4a S. 164 f.; 120 Ia 179 E. 3a S. 181 f.).
3.2 Die Beschwerdeführer haben am 27. Oktober 2010 verschiedene Unterlagen (Bankbelege, Steuerveranlagungen etc.) eingereicht. Kommentiert werden im entsprechenden Begleitschreiben einige den Beschwerdeführer 1 betreffende Zahlen. Die Ausführungen zum für diesen per 2010 ausgewiesenen steuerbaren Vermögen von Fr. 356'000.-- sind nicht geeignet darzutun, warum diese aus einer vor Jahren erhaltenen Kapitalabfindung stammende Summe aktuell für die Finanzierung des vorliegenden Verfahrens nicht zur Verfügung stehen sollte. Auch ohne dass näher auf die Frage des Angehörigenschadens und die entsprechenden Auswirkungen auf die finanziellen Verhältnisse sämtlicher Familienangehörigen einzugehen ist, leuchtet die Bemerkung des Rechtsvertreters, dass "mein" Mandant "an sich" überschuldet sei, nicht ein. Ohnehin ist nur vom Beschwerdeführer 1 die Rede; über die aktuellen Einkommens- und Vermögensverhältnisse der Eltern und der Schwester lässt sich dem Schreiben vom 27. Oktober 2010 nichts entnehmen. Es fehlt an einer geordneten, übersichtlichen und umfassenden Darstellung der massgeblichen finanziellen Verhältnisse sämtlicher Beschwerdeführer; sie sind ihrer diesbezüglichen, ihnen am 15. September 2010 klar in Erinnerung gerufenen Mitwirkungspflicht nicht nachgekommen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist mangels Bedürftigkeitsnachweises abzuweisen.
3.3 Den Beschwerdeführern ist mit separater Verfügung Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses anzusetzen.
Demnach verfügt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2. Diese Verfügung wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. November 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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