Erwägungen:
1. Mit Beschluss vom 14. Januar 2008 erklärte der Bezirksrat Winterthur acht Personen als vollamtliche Mitglieder des Bezirksgerichts mit einem Beschäftigungsgrad von je 100% sowie zwei Personen als teilamtliche Mitglieder des Bezirksgerichts mit einem Beschäftigungsgrad von je 50% als in stiller Wahl gewählt. Zudem wurde ein vollamtliches Mitglied in stiller Wahl als Präsident gewählt erklärt. Gegen diesen Beschluss des Bezirksrates Winterthur erhob X._ mit Eingabe vom 22. Januar 2008 Stimmrechtsrekurs an den Regierungsrat. Der Regierungsrat des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 6. Februar 2008 auf den Stimmrechtsrekurs nicht ein. Zur Begründung führte der Regierungsrat zusammenfassend aus, der Rekurrent sei weder im Bezirk Winterthur stimmberechtigt noch mache er geltend, selber bei den Erneuerungswahlen im Bezirk Winterthur zu kandidieren. Er sei deshalb zum Rekurs nicht legitimiert. Im Übrigen wäre der Rekurs als unbegründet abzuweisen, da keine Gründe geltend gemacht würden, welche eine Verletzung von politischen Rechten oder von Vorschriften über ihre Ausübung darstellen könnten.
2. X._ führt mit Eingabe vom 7. April 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) gegen den Beschluss des Regierungsrates des Kantons Zürich vom 6. Februar 2008. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennt die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer, der nicht behauptet, im Bezirk Winterthur stimmberechtigt zu sein, legt nicht dar, inwiefern der Regierungsrat mit seinem Nichteintretensbeschluss verfassungsmässige Rechte oder kantonale Bestimmungen über die politischen Rechte verletzt haben sollte. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG ist somit auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksrat Winterthur und dem Regierungsrat des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. April 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli