Sachverhalt:
A. Der 1989 geborene P._ war bis 31. Mai 2005 Lehrling bei der Firma S._ AG. Am 30. August 2005 stellte er Antrag auf Arbeitslosenentschädigung. Mit Verfügung vom 23. September 2005 verneinte die Öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons Solothurn (nachfolgend Arbeitslosenkasse) den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung ab 1. September 2005. Seit 7. November 2005 nahm P._ an einem im Auftrag des Amtes für Wirtschaft und Arbeit (AWA) des Kantons Solothurn durchgeführten Jugendprogramm (JUP) des Vereins X._ teil. Dieses JUP wurde auf den 31. Juli 2006 aufgelöst, da er am 6. Juli 2006 einen Lehrvertrag mit Beginn ab 1. August 2006 unterzeichnet hatte. Am 23. Juli 2006 erlitt er einen Verkehrsunfall, bei dem er verletzt wurde. Mit Verfügung vom 9. Juli 2007 eröffnete ihm die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA), als JUP-Teilnehmer ohne Taggeldberechtigung der Arbeitslosenkasse gehöre er nicht zum Kreis der SUVA-versicherten Personen; eine SUVA-Versicherungsdeckung lasse sich auch nicht aus dem Schnuppereinsatz vom 2. Juni 2006 ableiten, da sich der Unfall nach Ablauf der 30-tägigen Nachdeckungsfrist zugetragen habe. Die Einsprache des P._ wies sie mit Entscheid vom 13. September 2007 ab. Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn mit Entscheid vom 13. Januar 2009 ab. In teilweiser Gutheissung der dagegen eingereichten Beschwerde hob das Bundesgericht diesen Entscheid auf. Es wies die Sache an die Vorinstanz zurück, damit sie im Sinne der Erwägungen über die Beschwerde neu entscheide. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Urteil 8C_286/2009 vom 5. November 2009, publ. in ARV 2010 S. 50).
B. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde hob das kantonale Gericht den Einspracheentscheid der SUVA vom 13. September 2007 auf und bejahte grundsätzlich die Versicherungsdeckung des P._ durch die SUVA für den Unfall vom 23. Juli 2006 (Entscheid vom 24. August 2010).
C. C.a Mit Beschwerde beantragt die Arbeitslosenkasse die Aufhebung des kantonalen Entscheides.
P._ verzichtet unter Verweis auf den kantonalen Entscheid auf eine Vernehmlassung und verlangt die Vereinigung dieses Verfahrens mit dem Verfahren 8C_804/2010. Die SUVA schliesst auf Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
C.b Die SUVA erhob gegen den kantonalen Entscheid vom 24. August 2010 ebenfalls Beschwerde. Diese ist Gegenstand des Verfahrens 8C_804/2010.
Erwägungen:
1. Entgegen dem Antrag des Beschwerdegegners ist eine Vereinigung dieses Verfahrens mit dem Verfahren 8C_804/2010 nicht gerechtfertigt, da - wie die folgenden Erwägungen zeigen - auf die Beschwerde der Arbeitslosenkasse nicht einzutreten ist.
2. Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 135 V 98 E. 1 S. 99). Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer unter anderem ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG). Dieses Interesse muss bei der Beschwerdeeinreichung und im Zeitpunkt der Urteilsfällung aktuell und praktisch sein. Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (BGE 2C_823/2009 vom 19. Oktober 2010 E. 1.3.1 mit Hinweisen).
3. 3.1 Das Bundesgericht hat im Urteil ARV 2010 S. 5 in E. 9.4 erwogen, der Beschwerdegegner sei im Zeitpunkt seines Unfalls vom 23. Juli 2006 nicht bei der SUVA obligatorisch unfallversichert gewesen. Weiter führte es in E. 12.2.2 aus, nach ständiger Rechtsprechung betreffend die Abredeversicherung einer arbeitslosen Person gemäss Art. 3 Abs. 3 UVG und Art. 8 UVV in Verbindung mit Art. 2 und 3 UVAL treffe die Informationspflicht nach Art. 72 UVV grundsätzlich die Organe der Arbeitslosenversicherung, welche in diesem Regelungszusammenhang als Organe der Unfallversicherungsdurchführung tätig seien. Verletzten demnach die Organe der Arbeitslosenversicherung ihre Pflicht, eine versicherte Person über die Möglichkeit einer Verlängerung des Unfallversicherungsschutzes durch Abschluss einer Abredeversicherung zu orientieren, habe dies unter bestimmten Voraussetzungen eine Leistungspflicht der SUVA zur Folge. Diese Rechtsprechung sei entsprechend auch anwendbar, wenn die Organe der Arbeitslosenversicherung bezüglich der Frage des Bestehens oder Nichtbestehens der Versicherungsdeckung der arbeitslosen Person bei der SUVA die Informationspflicht verletzten oder eine falsche Auskunft erteilten. Falls diesbezüglich die Voraussetzungen des Vertrauensschutzes erfüllt seien, habe dies demnach eine Leistungspflicht der SUVA zur Folge. Die Sache sei somit an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie den Leistungsanspruch des Beschwerdeführers in diesem Lichte prüfe.
3.2 Im Nachgang zu diesem Urteil stellte die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid fest, die Organe der Arbeitslosenversicherung hätten gegenüber P._ falsche bzw. irreführende Angaben betreffend Bestehen oder Nichtbestehen einer Unfallversicherungsdeckung gemacht, weshalb diesbezüglich die Voraussetzungen des Vertrauensschutzes erfüllt seien. Folglich bejahte sie - in Abweichung von der materiellen Rechtslage - grundsätzlich die Versicherungsdeckung des P._ durch die SUVA für den Unfall vom 23. Juli 2006.
Nach dem Gesagten ist formell wie materiell die SUVA Adressat des angefochtenen Entscheides. Die Arbeitslosenkasse hingegen kann weder formell noch materiell als Adressat eines sie belastenden Entscheides angesehen werden, auch wenn sie am kantonalen Verfahren als Beigeladene teilnahm. Ein Rechtsschutzinteresse wäre ihr wohl nicht abzusprechen, falls ihr ein Rückgriffsanspruch seitens der SUVA in Aussicht gestellt worden wäre (vgl. nicht publ. E. 1b des Urteils BGE 106 Ib 336). Dass die SUVA einen Rückgriff angekündigt hätte, macht die Arbeitslosenkasse indessen nicht geltend und geht auch nicht aus den Akten hervor. Demnach ist auf ihre Beschwerde mangels schützwürdigen Interesses an der Aufhebung des kantonalen Entscheides nicht einzutreten, zumal die Voraussetzungen für einen Verzicht auf dieses Erfordernis nicht erfüllt sind (siehe E. 2 hievor).
4. Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; BGE 133 V 637).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 300.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA), dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Februar 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Leuzinger Jancar