Faits:
A. Y._ est l'exécuteur testamentaire de feu A._, décédé en 2007. Dans le cadre de sa mission, il a mis en vente un yacht stationné dans le port de Monaco, l'Ivan of Sandoway, et, le 9 juillet 2007, il a conclu avec X._ un contrat par lequel ce dernier s'obligeait à acquérir le navire pour le prix de 1'050'000 euros.
X._ n'a pas payé le prix. Après mise en demeure et fixation d'un dernier délai, Y._ lui a fait savoir le 20 juillet 2007 qu'il le tenait pour responsable du dommage causé par l'inexécution du contrat.
B. Le 27 septembre 2007, Y._ a ouvert action contre X._ devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. Après réduction des conclusions présentées, le défendeur devait être condamné à payer 163'190 fr. à titre de dommages-intérêts, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 9 juillet 2007.
Le défendeur a conclu au rejet de l'action.
Le tribunal s'est prononcé le 24 septembre 2009; il a rejeté l'action.
La Cour de justice a statué le 12 mars 2010 sur l'appel du demandeur. Elle a réformé le jugement et condamné le défendeur à payer 151'600 fr. avec intérêts selon les conclusions de la demande.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, le défendeur a requis le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour de justice en ce sens que l'action fût rejetée. Le ch. 5 de ses conclusions se lisait comme suit: « Condamner [le demandeur] en tous les dépens cantonaux (de première instance et d'appel) et fédéraux, y compris une équitable indemnité de procédure valant participation aux honoraires d'avocat du [défendeur] pour l'ensemble de ces instances. »
Le Tribunal fédéral a statué par arrêt du 12 août 2010 (4A_51/2010). Selon cette décision, le recours est admis et l'arrêt de la Cour de justice est réformé en ce sens que l'action est rejetée; le demandeur, à titre de partie qui succombe, doit acquitter un émolument judiciaire de 5'500 fr. et une indemnité de 6'500 fr. à verser au défendeur à titre de dépens. La décision est entièrement silencieuse quant aux frais et dépens de première instance et d'appel; en particulier, la cause n'est pas renvoyée à la Cour de justice pour que cette autorité statue à nouveau sur ces frais et dépens.
D. Le Tribunal fédéral est saisi d'une demande de révision dirigée contre l'arrêt du 12 août 2010, introduite par le défendeur. Celui-ci requiert que l'adverse partie soit condamnée, outre à l'indemnité précitée au montant de 6'500 fr., « en tous les dépens cantonaux (de première instance et d'appel) comprenant une équitable indemnité de procédure valant participation aux honoraires d'avocat du [défendeur] pour l'ensemble de ces instances ».
Le demandeur conclut principalement à l'irrecevabilité de la demande et subsidiairement à son rejet.
Considérant en droit:
1. Aux termes de l'art. 121 let. c LTF, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si le tribunal n'a pas statué sur certaines conclusions.
La demande présentement soumise au Tribunal fédéral est dirigée uniquement contre le dispositif de l'arrêt attaqué relatif aux frais et dépens du procès, tandis que le dispositif concernant les prétentions qui étaient l'objet de ce procès n'est pas contesté. En pareil cas, la demande de révision n'est recevable que si le motif invoqué se rapporte directement à la liquidation des frais et dépens; au regard de l'art. 121 let. c LTF, correspondant à l'art. 136 let. c aOJ, cette condition est satisfaite notamment lorsque la partie qui a obtenu gain de cause fait valoir, à l'appui de la demande de révision, qu'elle avait pris des conclusions tendant aux dépens et que le Tribunal fédéral a omis de lui allouer cette indemnisation (ATF 111 Ia 155 consid. 2 p. 155/156). Le défendeur affirme précisément que la Cour de céans n'a pas statué sur toutes ses conclusions relatives aux dépens. Pour le surplus, la demande a été introduite en temps utile (art. 124 al. 1 let. b LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF); elle est donc recevable.
2. Aux termes de l'art. 68 al. 1 et 5 LTF, le Tribunal fédéral décide, dans son arrêt, si et dans quelle mesure les frais de la partie qui obtient gain de cause sont supportés par celle qui succombe (al. 1); il confirme, annule ou modifie, selon le sort de la cause, la décision de l'autorité précédente sur les dépens; il peut fixer lui-même les dépens d'après le tarif fédéral ou cantonal applicable, ou laisser à l'autorité précédente le soin de les fixer (al. 5).
Le défendeur a exercé le recours en matière civile et obtenu entièrement gain de cause sur le fond. Ses conclusions qu'il tient pour méconnues portaient globalement sur les dépens de l'instance fédérale, selon l'art. 68 al. 1 LTF, et sur ceux des deux instances cantonales, selon l'art. 68 al. 5 LTF. L'indemnité allouée par 6'500 fr. se rapporte seulement à l'instance fédérale; pour le surplus, conformément à la pratique consacrée en matière civile et prévue par l'art. 68 al. 5 in fine LTF, il s'imposait de renvoyer l'affaire à la Cour de justice pour que cette autorité statue à nouveau sur les frais et dépens des deux instances cantonales. Par inadvertance, cette clause de renvoi a été omise dans le dispositif. Contrairement à ce que le demandeur affirme pour s'opposer à la demande de révision, l'indemnité de 6'500 fr. n'était pas destinée à couvrir globalement les dépens des trois instances. Compte tenu que la Cour de justice a alloué au demandeur, selon son arrêt et pour les deux instances cantonales, une indemnité de 15'000 fr. pour participation à ses frais d'avocat, la conjecture ainsi avancée appert d'emblée invraisemblable (cf. ATF 114 Ia 332 consid. 2a p. 333/334). La demande de révision se révèle donc fondée et le Tribunal fédéral doit remédier à l'omission ici constatée. Nonobstant l'art. 128 al. 1 LTF, il n'est pas nécessaire d'annuler l'arrêt attaqué.
3. Le demandeur s'est opposé sans succès à la demande de révision. Conformément aux art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF, il doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels son adverse partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande de révision est admise et l'arrêt du 12 août 2010 est complété en ce sens que la cause est renvoyée à la Cour de justice du canton de Genève pour statuer à nouveau sur les frais et les dépens de première instance et d'appel.
2. L'intimé acquittera un émolument judiciaire de 1'000 francs.
3. L'intimé versera une indemnité de 1'500 fr. au requérant, à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 21 octobre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin