Sachverhalt:
A. Die 1970 geborene S._, hauptsächlich als Raumpflegerin mit einem Pensum von rund 10 Wochenstunden in der Firma X._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, erlitt am 11. Februar 2002 einen Verkehrsunfall. Sie hatte den von ihr gelenkten VW Golf Variant innerorts angehalten, um ein Abbiegemanöver vorzunehmen. Ein nachfolgender BWM prallte ins Heck des VW. Nach dem Unfall traten Beschwerden insbesondere im Nacken auf. Die Hausärztin diagnostizierte eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und bestätigte eine Arbeitsunfähigkeit (Arztbericht vom 12. Mai 2002). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Nach verschiedenen Sachverhaltsabklärungen (u.a. Einholung einer biomechanischen Kurzbeurteilung der Arbeitsgruppe für Unfallmechanik vom 9. Juli 2002, und eines medizinischen Gutachtens der Klinik Y._ vom 14. Januar 2004) eröffnete sie der Versicherten mit Verfügungen vom 9. und 16. August 2004, die dem Taggeld zugrunde liegende Arbeitsunfähigkeit werde ab 19. Februar 2004 auf 25 % herabgesetzt; sodann würden die Leistungen auf den 16. August 2004 gänzlich eingestellt, da es an einem rechtserheblichen Zusammenhang zwischen den noch bestehenden Beschwerden und dem Unfall vom 11. Februar 2002 fehle. Diese Verfügungen nahm der Versicherer am 23. März 2005 aus formellen Gründen zurück. Am 19. August 2005 verfügte er erneut und inhaltlich gleich auf Herabsetzung des Taggeldes und Einstellung der Leistungen. Die von S._ erhobene Einsprache mit dem Antrag, es seien ab 19. Februar 2004 ein Taggeld entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 50 %, ab 16. Mai 2004 weiterhin die gesetzlichen Leistungen und zudem eine Invalidenrente sowie eine Integritätsentschädigung zuzusprechen, wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 6. Dezember 2005).
B. Beschwerdeweise erneuerte S._ ihre Leistungsbegehren. In teilweiser Gutheissung des Rechtsmittels verpflichtete das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern die SUVA, für die Zeit vom 19. Februar bis 15. August 2004 ein Taggeld entsprechend einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % auszurichten. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Entscheid vom 28. September 2007).
C. S._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei, soweit den Leistungsanspruch ab 16. August 2004 betreffend, aufzuheben und es seien ab diesem Zeitpunkt weiterhin die gesetzlichen Leistungen sowie eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung zuzusprechen. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D. Mit Eingaben vom 25. März resp. 21. April 2008 ergänzen die Parteien ihre Vorbringen im Hinblick auf das Urteil BGE 134 V 109.
Erwägungen:
1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin aus dem Unfall vom 11. Februar 2002 ab 16. August 2004 weiterhin Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat. Der Taggeldanspruch bis 15. August 2004 ist letztinstanzlich nicht umstritten.
Die massgeblichen Rechtsgrundlagen sind im angefochtenen Entscheid und im Einspracheentscheid, auf den die Vorinstanz verweist, zutreffend dargelegt. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der sog. Schleudertrauma-Praxis, welche bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen zur Anwendung gelangt, auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen). Anzufügen bleibt, dass das Bundesgericht die Schleudertrauma-Praxis jüngst präzisiert hat (BGE 134 V 109 E. 9 und 10 S. 121 ff.).
2. 2.1 Das kantonale Gericht hat erwogen, im Bereich der HWS liege keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vor, welche ab 16. August 2004 noch bestandene Beschwerden zu erklären vermöge.
Diese im angefochtenen Entscheid einlässlich begründete Beurteilung ist nach Lage der medizinischen Akten richtig. Was die Versicherte vortragen lässt, führt zu keinem anderen Ergebnis:
Die im Gutachten der Klinik Y._ vom 14. Januar 2004 beschriebenen Befunde (cervicale Druckdolenzen, paravertebraler Hartspann, leichte Einschränkungen der HWS-Beweglichkeit) gestatten nicht den Schluss auf ein klar fassbares organisches Substrat. Dies hat das Bundesgericht wiederholt festgestellt (vgl. aus jüngster Zeit etwa Urteile 8C_806/2007 vom 7. August 2008, E. 8, insbes. E. 8.3, und 8C_369/2007 vom 6. Mai 2008, E. 3, je mit Hinweisen). Die von der Versicherten erwähnten Urteile U 442/06 vom 17. September 2007 und U 155/05 vom 6. September 2006 rechtfertigen kein anderes Ergebnis.
Gleiches gilt für den in der Beschwerde erwähnten Röntgenbericht vom 17. Oktober 2003, welcher nicht die HWS betrifft.
Was sodann die mittels MRI-Untersuchung der HWS vom 27. September 2002 festgestellte diskrete Chrondrose betrifft, hat es mit der Feststellung sein Bewenden, dass diesem Befund von ärztlicher Seite keine relevante Bedeutung für aufgetretene Beschwerden beigemessen wurde. Auch eine Unfallkausalität wurde nicht bestätigt.
2.2 Der natürliche Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 11. Februar 2002 und den noch bestehenden Beschwerden im Bereich der HWS ist gemäss dem diesbezüglich nicht umstrittenen vorinstanzlichen Entscheid gegeben. Wie das kantonale Gericht weiter zutreffend erwogen hat, bedarf die Adäquanzfrage einer besonderen Prüfung, da es nach dem Gesagten an organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolgen fehlt (E. 1 und 2.1 hievor). Diese Prüfung hat das kantonale Gericht nach der Schleudertrauma-Praxis vorgenommen. Dagegen werden von keiner Seite Einwendungen erhoben.
2.3 Die Vorinstanz hat den Unfall vom 11. Februar 2002 als mittelschweres Ereignis im Grenzbereich zu den leichten Unfällen eingestuft. Das ist aufgrund des augenfälligen Geschehensablaufes im Lichte der Rechtsprechung zur Unfallschwere bei Auffahrkollisionen auf ein (haltendes) Fahrzeug (RKUV 2005 Nr. U 549 S. 236, U 380/04, E. 5.1.2 mit Hinweisen) richtig und nicht umstritten.
Von den weiteren massgeblichen Kriterien müssten demnach für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6a S. 367).
2.3.1 Die Adäquanzkriterien wurden teilweise durch BGE 134 V 109 modifiziert. Das kantonale Gericht hat sie noch in ihrer früheren Fassung geprüft und ist zum Ergebnis gelangt, es lägen lediglich und nicht in besonders ausgeprägter Weise diejenigen der Dauerbeschwerden sowie des Grades und der Dauer der Arbeitsunfähigkeit vor. Die Versicherte lässt geltend machen, es seien mehrere der massgeblichen Kriterien in der früheren wie auch in der geänderten Umschreibung teilweise in ausgeprägter Weise gegeben.
2.3.2 Ohne weiteres zu verneinen sind unbestrittenermassen die (unveränderten) Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls und der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert.
2.3.3 Entgegen der von der Versicherten vertretenen Auffassung sind auch die folgenden drei Kriterien nicht erfüllt:
Dies gilt zunächst für das (unveränderte) Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen. Es traten weder schleudertraumatypische Beschwerden in besonders schwerer Weise auf, noch wurde das Beschwerdebild durch besondere Umstände, wie etwa eine ungünstige Körperhaltung beim Unfall, beeinflusst, noch waren gravierende zusätzliche Verletzungen zu verzeichnen (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 128 f.). Namentlich findet in den Akten keine Stütze, dass ein Vorzustand im Rückenbereich einen relevanten Einfluss gehabt hat, wie die Versicherte geltend machen lässt.
An medizinischer Behandlung ist zunächst eine rund einmonatige stationäre Rehabilitation zu verzeichnen. Weiter wurde im Wesentlichen ein- bis zweimal wöchentlich Physiotherapie durchgeführt, wobei allerdings (unter anderem während Auslandferien) erhebliche behandlungsfreie Zeiträume zu verzeichnen waren. Zudem wurden phasenweise komplementärmedizinische Massnahmen vorgenommen sowie Medikamente eingenommen, und es fanden periodisch ärztliche Beratungen statt. Dies alles genügt nicht, um auf eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung (frühere Umschreibung des Kriteriums: ungewöhnlich lange Dauer der ärztlichen Behandlung) schliessen zu können.
Um das (unveränderte) Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs oder besonderer Komplikationen bejahen zu können, müssten besondere Gründe vorliegen, welche die Heilung beeinträchtigt haben. Solche Gründe sind nicht erkennbar. Die geltend gemachte Hartnäckigkeit der aufgetretenen Beschwerden genügt nicht (zum Ganzen: Urteil 8C_57/2008 vom 16. Mai 2008, E. 9.6.1 mit Hinweis).
2.3.4 Es verbleiben die Kriterien der erheblichen Beschwerden (früher: Dauerbeschwerden) und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen (früher: Grad und Dauer der Arbeitsunfähigkeit). Selbst wenn indessen beide Kriterien bejaht würden, wäre keine Häufung adäquanzrelevanter Faktoren gegeben. Zudem liegen die besagten Kriterien jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter oder auffallender Weise vor. Soweit die Versicherte hinsichtlich der Arbeitsunfähigkeit eine andere Auffassung vertritt, kann ihr nicht gefolgt werden. Dem stünde zum einen entgegen, dass schon kurz nach dem Unfall zumindest teilweise wieder Reinigungsarbeiten in einem Zweitarbeitsverhältnis verrichtet werden konnten. Zum anderen ist der gezeigte Einsatz der Versicherten zur Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit zwar anerkennenswert. Er ist aber nicht als derart überdurchschnittlich zu betrachten, dass dies das Kriterium als besonders ausgeprägt erfüllt erscheinen liesse.
2.4 Zusammenfassend hat das kantonale Gericht den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 11. Februar 2002 und den noch bestehenden Beschwerden im Bereich der HWS und damit die Leistungspflicht der SUVA zu Recht verneint. An diesem Ergebnis vermögen sämtliche weiteren Vorbringen der Versicherten nichts zu ändern.
3. Soweit die Versicherte mit dem Hinweis auf die Röntgenuntersuchung vom 15. Oktober 2003 (vgl. E. 2.1 hievor) eine Unfallkausalität von noch bestehenden Beschwerden im lumbalen Rückenbereich geltend machen wollte, könnte ihr nicht gefolgt werden. Aus dem Bericht vom 17. Oktober 2003 über diese Untersuchung ergibt sich - wie auch aus den übrigen medizinischen Akten - keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge. Damit wäre auch hier der adäquate Kausalzusammenhang zu prüfen und jedenfalls zu verneinen.
4. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin als der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die unentgeltliche Rechtspflege im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten kann gewährt werden (Art. 64 BGG), da die Bedürftigkeit, wenn auch als Grenzfall, zu bejahen ist und die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen war (BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372, je mit Hinweisen). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Dr. Bruno Häfliger, Luzern, wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2500.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. September 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz