Sachverhalt:
A. Die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht führt u.a. gegen X._ ein Verwaltungsverfahren betreffend Entstehung, Betrieb und Einstellung des Mitarbeiterprogramms der Z._-Gruppe. Dieser wird unter anderem vorgeworfen, die Aufsichtsbehörde nicht adäquat über das Mitarbeiterbeteiligungsprogramm und dessen Aufhebung informiert zu haben.
X._ gelangte am 25. Januar 2011 an die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht und verlangte den Ausstand von deren Mitarbeiter Y._. Im Wesentlichen machte er geltend, Y._ sei aufgrund einer Äusserung in einer am 14. Juli 2010 an verschiedene Mitarbeiter der Eidgenössischen Finanzmarktaufsicht weitergeleiteten E-Mail befangen. Das Gesuch wurde mit Verfügung vom 18. Februar 2011 abgewiesen und einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung entzogen. Dagegen erhob X._ Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht, dessen Instruktionsrichter am 22. März 2011 das Gesuch um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung sowie das Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Massnahme abwies. X._ focht diese Zwischenverfügung mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht an. Nachdem das Bundesverwaltungsgericht am 8. Juni 2011 die Beschwerde von X._ betreffend die Ausstandsfrage abgewiesen hatte, schrieb das Bundesgericht das bei ihm hängige Verfahren mit Verfügung vom 7. Juli 2011 wegen Gegenstandslosigkeit ab.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt X._ dem Bundesgericht im Wesentlichen, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. Juni 2011 aufzuheben und festzustellen, dass Y._ als befangen erscheine.
Die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Das Bundesverwaltungsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
C. Mit Verfügung vom 1. September 2011 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung bzw. vorsorgliche Massnahmen abgewiesen.
Erwägungen:
1. Der im Zusammenhang mit einem von der Eidgenössischen Finanzmarktaufsicht geführten aufsichtsrechtlichen Verwaltungsverfahren gegen die Versicherungsgesellschaft stehende Entscheid der Vorinstanz über das Ausstandsbegehren des Beschwerdeführers betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts, weshalb er beim Bundesgericht angefochten werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 lit. a, Art. 90 BGG).
2. 2.1 Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts (Art. 97 BGG). Diese erblickt er darin, dass die Vorinstanz die "informellen Einvernahmen" vom September und Dezember 2010 ausklammere.
2.2 Die Rüge ist offensichtlich unbegründet, denn die Vorinstanz hat diese Befragungen erwähnt, sie indessen anders als der Beschwerdeführer gewürdigt und ihnen nicht die von diesem gewünschte Bedeutung zugemessen (angefochtenes Urteil E. 6). Im Übrigen zeigt der Beschwerdeführer ohnehin nicht auf, inwiefern diese Feststellungen für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein könnten.
2.3 Offensichtlich unbegründet ist auch der in diesem Zusammenhang erhobene Vorwurf der Gehörsverletzung. Denn die Vorinstanz hat die in Frage stehenden Befragungen keineswegs nicht beachtet, sondern sie anders beurteilt.
3. 3.1 Weiter rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, die er darin erblickt, dass ihm die Vorinstanz keine angemessene Frist zur Beantwortung der Stellungnahme der Eidgenössischen Finanzmarktaufsicht vom 13. Mai 2011 gewährt habe.
3.2 Die in Frage stehende kurze Eingabe enthielt keine wesentlichen neuen Vorbringen, die eine längere Frist zu deren Beantwortung erfordert hätten. Die dem Beschwerdeführer zudem am 17. Mai 2011 auf sein Ersuchen hin bis zum 24. Mai 2011 erstreckte Frist kann unter diesen Umständen nicht als willkürlich kurz bezeichnet werden. Von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs kann daher nicht die Rede sein.
4. 4.1 Nach dem auch für das Verfahren der eidgenössischen Finanzmarktaufsicht geltenden Art. 10 Abs. 1 VwVG (Art. 53 FINMAG) haben Personen, die eine Verfügung zu treffen oder diese vorzubereiten haben, in den Ausstand zu treten, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse haben (lit. a), mit einer Partei durch Ehe oder eingetragene Partnerschaft verbunden sind oder mit ihr eine faktische Lebensgemeinschaft führen (lit. b), mit einer Partei in gerader Linie oder bis zum dritten Grade in der Seitenlinie verwandt oder verschwägert sind (lit. bbis), Vertreter einer Partei sind oder für eine Partei in der gleichen Sache tätig waren (lit. c) oder aus anderen Gründen in der Sache befangen sein könnten (lit. d).
4.2 Die Generalklausel von Art. 10 Abs. 1 lit. d VwVG gilt als erfüllt, wenn Tatsachen vorliegen, die das Misstrauen in die Unbefangenheit und damit in die Unparteilichkeit des Amtsinhabers objektiv rechtfertigen. Auf das subjektive Empfinden der Partei, welche die Befangenheit behauptet, kommt es dabei ebensowenig an wie darauf, ob tatsächlich eine Befangenheit besteht. Es genügt, dass der Anschein einer solchen durch objektive Umstände und vernünftige Gründe glaubhaft dargetan erscheint. Für verwaltungsinterne Verfahren gilt dabei nicht der gleich strenge Massstab wie gemäss Art. 30 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK für unabhängige richterliche Behörden; gerade die systembedingten Unzulänglichkeiten des verwaltungsinternen Verfahrens haben zur Schaffung unabhängiger richterlicher Instanzen geführt. Im Interesse einer beförderlichen Rechtspflege sind Ablehnungs- und Ausstandsbegehren gegen nicht richterliche Justizpersonen bzw. gegen Personen, die an einem Verwaltungsentscheid in irgendeiner Form beratend oder instruierend mitwirken, nicht leichthin gutzuheissen. Die für den Anschein der Befangenheit sprechenden Umstände müssen jeweils im Einzelfall unter Berücksichtigung der Funktion und der Organisation der betroffenen Verwaltungsbehörde gewichtet werden (Urteil 2C_732/2008 vom 24. März 2009 E. 2.2.1, mit Hinweisen). Der sich aufdrängende Anschein der Befangenheit ist indessen stets zu vermeiden, selbst wenn für Unbefangenheit und Unparteilichkeit nicht die für ein Gerichtsmitglied geltenden Massstäbe anzuwenden sind (Urteil I 478/04 vom 5. Dezember 2006 E. 2.2.2).
5. 5.1 Der Beschwerdeführer beanstandet zunächst als "subjektive Befangenheit", Y._ habe im Sinne von Art. 10 Abs. 1 lit. a VwVG ein persönliches Interesse am Ausgang des Verfahrens gehabt.
5.2 Die unter diesem Gesichtspunkt vorgetragenen Argumente (auf dem Spiel stehende berufliche Glaubwürdigkeit, Infragestellen der Amtsführung und der Fähigkeiten, Zwangs- und Drucksituation durch Medienberichte, bewusste Falschinformation von Kollegen, Ablenken von eigenen Versäumnissen, Rettung der beruflichen Glaubwürdigkeit) sind unter den gegebenen konkreten Umständen nicht geeignet, eine Befangenheit von Y._ darzutun. Dieser ist grundsätzlich vom Hauptverfahren, welches sich gegen die Z._-Gruppe und natürliche Personen - darunter der Beschwerdeführer als Verwaltungsrat -, richtet, nicht mehr betroffen als jeder mit entsprechenden Ermittlungen befasste Mitarbeiter der Finanzmarktaufsicht. Der Ausgang dieses Verfahrens berührt auch seine Person oder Position nicht in einer Weise, die ihn als befangen erscheinen liesse. Der Beschwerdeführer bringt auch keine konkreten Anhaltspunkte vor, die erkennen liessen, dass sich Y._ in Bezug auf den Ausgang des Untersuchungsverfahrens bereits eine Meinung gebildet oder dass dieser inhaltlich einseitig auf das Untersuchungsergebnis Einfluss genommen hätte. Von Bedeutung ist in diesem Zusammenhang die Feststellung der Vorinstanz, dass die Entscheidkompetenz im in Frage stehenden Verfahren nicht bei Y._ - der zudem keine federführende Funktion innehat -, sondern beim Enforcement-Ausschuss der Finanzmarktaufsicht liegt. Dass allenfalls zuvor übersehen worden ist, dass der in Frage stehende Aktienrückkaufpreis rechtlich möglicherweise zu beanstanden wäre, vermag keine Befangenheit zu begründen. Namentlich fehlen in den Akten, insbesondere im E-Mail vom 14. Juli 2010 konkrete Anhaltspunkte dafür, dass Y._ Mitarbeiter bewusst falsch informiert haben soll. Es kann im Übrigen auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (E. 4), denen nichts weiter beizufügen ist.
6. 6.1 Der Beschwerdeführer erachtet sodann Y._ aus weiteren Gründen als befangen im Sinne von Art. 10 Abs.1 lit. d VwVG.
6.2 Dass die Untersuchung erst aufgrund von Medienberichten sowie Anfragen von Medienschaffenden und Politikern eingeleitet worden sei, vermag keine Befangenheit von Y._ zu begründen. Das Argument, dieser habe das Verfahren eingeleitet, um von eigenen Fehlern und Versäumnissen abzulenken, entbehrt jeder Grundlage in den Akten. Irgendwelche Verfehlungen werden Y._ weder in den erwähnten Presseberichten noch den Äusserungen der Politiker vorgeworfen.
6.3 Auch die unter dem Titel "unzulässige negative Bemerkungen über Verfahrensbeteiligte" vorgetragenen Gesichtspunkte lassen keine Befangenheit von Y._ erkennen. Von einer unzulässigen Vorverurteilung kann keine Rede sein. Was die Formulierung "Was für eine Schummelei mit diesem Aktienpreis ..." betrifft, so hat die Vorinstanz - unter Berücksichtigung der Adressaten der Mitteilung und der fehlenden Entscheidbefugnis von Y._ - mit eingehender Begründung dargelegt, weshalb diese zwar als negativ gefärbte Äusserung anzusehen sei, aber nicht den Anschein der Befangenheit zu erwecken vermöge. Es kann darauf verwiesen werden (E. 5).
6.4 Der Beschwerdeführer beanstandet sodann unzulässige informelle Einvernahmen von Auskunftspersonen, die Verletzung der Protokollierungspflicht sowie das Erstellen einer fehlerhaften Aktennotiz als mehrfache schwere Amtspflichtverletzungen von Y._, welche dessen "objektive" Befangenheit offenbaren würden.
Es kann dazu ebenfalls auf die Ausführungen der Vorinstanz (E. 6) verwiesen werden, auf deren Wiederholung hier verzichtet werden kann. Von schweren Amtspflichtverletzungen, die allenfalls eine Ausstandspflicht zu begründen vermöchten, kann offensichtlich keine Rede sein. Ein allfälliger Widerspruch zwischen Aktennotizen und Einvernahmeprotokollen wird gegebenenfalls im Rahmen der Beweiswürdigung im Verlauf des weiteren Verfahrens zu berücksichtigen sein; eine Befangenheit lässt sich daraus nicht ableiten. Dasselbe gilt für den Einwand des Beschwerdeführers, die Verfahrenshandlungen seien gemäss Enforcement Policy der Finanzmarktaufsicht, wonach laufende Aufsicht und Enforcement zu trennen seien, in der Person von Y._ durch eine unzuständige Person vorgenommen worden.
6.5 Die Vorinstanz durfte demnach ohne Verletzung von Bundesrecht zum Schluss gelangen, dass in Bezug auf Y._ keine Ausstandsgründe im Sinne von Art. 10 VwVG vorliegen.
7. Die Beschwerde ist aus diesen Gründen abzuweisen. Entsprechend diesem Ausgang hat der Beschwerdeführer die Kosten des Verfahrens vor Bundesgericht zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Küng