Faits:
A. Par sentence du 12 mars 2012, Ulrich Haas, statuant en qualité d'arbitre unique du Tribunal Arbitral du Basketball (Basketball Arbitral Tribunal; ci-après: le BAT), anciennement dénommé FIBA Arbitral Tribunal (FAT), a condamné A._, joueuse de basketball professionnelle, à indemniser son ancien agent, la société X._.
B. Le 11 avril 2012, A._ a formé un recours en matière civile auprès du Tribunal fédéral aux fins d'obtenir l'annulation de cette sentence dont seul le dispositif lui avait été notifié. Par lettre séparée du même jour, confirmée le 25 mai 2012, elle a requis l'octroi de l'effet suspensif à son recours.
A l'invitation du Tribunal fédéral, le BAT a produit le dossier de la cause, le 2 mai 2012, et déposé sa réponse au recours, le 3 août 2012.
L'intimée X._ n'a pas été invitée à répondre au recours.
Le 7 août 2012, la réponse du BAT et ses annexes ont été communiquées à la recourante. Celle-ci n'a pas fait usage de la possibilité qui lui était offerte de se déterminer sur cette écriture jusqu'au 31 août 2012.
Considérant en droit:
1. D'après l'art. 54 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral rédige son arrêt dans une langue officielle, en règle générale dans la langue de la décision attaquée. Lorsque cette décision est rédigée dans une autre langue (ici l'anglais), le Tribunal fédéral utilise la langue officielle choisie par les parties. Devant le BAT, celles-ci ont utilisé l'anglais. Dans le mémoire qu'elle a adressé au Tribunal fédéral, la recourante a employé la langue ...; elle a cependant produit une traduction française de cette écriture. Conformément à sa pratique, le Tribunal fédéral rendra, par conséquent, son arrêt en français.
2. 2.1 Dans le domaine de l'arbitrage international, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions fixées par les art. 190 à 192 LDIP (art. 77 al. 1 LTF). Qu'il s'agisse de l'objet du recours, de la qualité pour recourir, du délai de recours et des conclusions prises par la recourante, aucune de ces conditions de recevabilité ne fait problème en l'espèce.
2.2 La recevabilité du recours soulève néanmoins une question délicate qu'il convient d'examiner d'office.
En application d'une disposition particulière des règles d'arbitrage du BAT (ci-après: AR), l'arbitre unique a notifié uniquement le dispositif de sa sentence aux parties. Aucune d'elles n'a fait usage de la possibilité, réservée par cette disposition, de demander, dans les dix jours, les motifs de cette décision en payant à cette fin l'avance de frais fixée par le Secrétariat du BAT. En s'abstenant de réclamer la notification d'une sentence motivée, la recourante a-t-elle implicitement renoncé à recourir contre cette sentence?
Une telle solution ne saurait être écartée d'emblée. Elle a d'ailleurs été adoptée, en procédure civile suisse, pour les décisions susceptibles d'appel ou de recours. L'art. 239 al. 2 du Code de procédure civile du 19 décembre 2008 (CPC; RS 272) prévoit, en effet, que, si la motivation n'est pas demandée, les parties sont considérées avoir renoncé à l'appel ou au recours. Cependant, il n'existe pas de disposition similaire en droit suisse de l'arbitrage interne et international. De plus, une doctrine quasi unanime admet que la renonciation aux motifs n'implique nullement une renonciation au droit de recourir contre la décision du tribunal arbitral, même si elle limite de manière drastique les possibilités de recours dès lors qu'une partie ne peut pas arguer que l'absence de motivation rend le contrôle de l'autorité de recours impossible (cf., parmi d'autres: ANDREAS BUCHER, Commentaire romand, Loi sur le droit international privé - Convention de Lugano, 2011, n° 4 ad art. 189 LDIP; BERNARD DUTOIT, Commentaire de la loi fédérale du 18 décembre 1987, 4e éd. 2005, n° 10 ad art. 189 LDIP; LALIVE/POUDRET/REYMOND, Le droit de l'arbitrage interne et international en Suisse, 1989, n° 14 ad art. 189 LDIP; MARKUS WIRTH, in Commentaire bâlois, Internationales Privatrecht, 2e éd. 2007, n° 37 ad art. 189 LDIP; URS ZENHÄUSERN, in Schweizerische Zivilprozessordnung (ZPO), Baker & McKenzie (éd.), 2010, n° 12 ad art. 384 CPC; PIERRE JOLIDON, Commentaire du Concordat suisse sur l'arbitrage, 1984, p. 476 i.m.; RÜEDE/HADENFELDT, Schweizerisches Schiedsgerichtsrecht, 2e éd. 1993, p. 300 i.f.).
Force est d'admettre, dans ces conditions, que la renonciation à la notification des motifs d'une sentence arbitrale ne constitue pas un obstacle juridique au dépôt d'un recours contre cette sentence, même si elle réduit sensiblement en fait les chances de succès de la partie qui entend attaquer la sentence non motivée.
Il y a lieu, partant, d'entrer en matière.
3. 3.1 Dans une large mesure, le recours soumis à l'examen du Tribunal fédéral apparaît d'emblée irrecevable.
Comme elle n'a pas demandé à recevoir les motifs de la sentence attaquée, la recourante expose en vain, en tête de son mémoire, les circonstances dans lesquelles le différend la divisant d'avec l'intimée a pris naissance, pour en déduire une violation par celle-ci des devoirs que lui imposait le contrat qui les liait. Faute d'avoir sous les yeux une décision motivée, la Cour de céans n'est, en effet, pas à même de vérifier si les allégations de la recourante correspondent ou non à la réalité. Pour le reste, le moyen pris de la seule violation du contrat imputée à l'intimée n'est pas recevable en tant que tel, car il n'entre dans aucune des hypothèses visées par l'art. 190 al. 2 LDIP.
En se prévalant directement d'une violation de l'art. 6 CEDH, la recourante méconnaît, par ailleurs, la jurisprudence voulant qu'une violation de la Convention européenne des droits de l'homme ne compte pas au nombre des motifs de recours limitativement énumérés à l'art. 190 al. 2 LDIP (arrêt 4A_238/2011 du 4 janvier 2012 consid. 3.1.2 et les références). N'entre pas non plus dans les prévisions de cette disposition le reproche, fait à l'arbitre unique, d'avoir mal appliqué le règlement d'arbitrage du BAT.
3.2 La recourante déplore, par ailleurs, une violation du principe d'égalité des parties ainsi que de son droit d'être entendue, motif pris de ce que l'arbitre unique aurait complètement ignoré la réponse à la requête d'arbitrage qu'elle avait adressée au Secrétariat du BAT le 2 décembre 2011. Contrairement aux précédents, ce double moyen est, en principe, recevable.
3.2.1 La sentence peut être attaquée, sur la base de l'art. 190 al. 2 let. d LDIP, lorsque l'égalité des parties ou leur droit d'être entendues en procédure contradictoire n'a pas été respecté.
L'égalité des parties, garantie par l'art. 182 al. 3 LDIP quelle que soit la procédure choisie, implique que la procédure soit réglée et conduite de manière à ce que chaque partie ait les mêmes possibilités de faire valoir ses moyens. En vertu de ce principe, le tribunal arbitral doit traiter les parties de manière semblable à toutes les étapes de la procédure, c'est-à-dire durant la phase de l'instruction, débats inclus le cas échéant, à l'exclusion de celle de la délibération du tribunal arbitral (arrêt 4A_360/2011 du 31 janvier 2012 consid. 4.1 et les références).
Quant au droit d'être entendu, lui aussi garanti par l'art. 182 al. 3 LDIP quelle que soit la procédure choisie, il est violé lorsque, par inadvertance ou malentendu, le tribunal arbitral ne prend pas en considération des allégués, arguments, preuves et offres de preuve présentés par l'une des parties et importants pour la décision à rendre (ATF 133 III 235 consid. 5.2 p. 248).
C'est le lieu de rappeler, au surplus, que la partie qui s'estime victime d'une violation de son droit d'être entendue ou d'un autre vice de procédure doit l'invoquer d'emblée dans la procédure arbitrale, sous peine de forclusion. En effet, il est contraire à la bonne foi de n'invoquer un vice de procédure que dans le cadre du recours dirigé contre la sentence arbitrale, alors que le vice aurait pu être signalé en cours de procédure (arrêt 4A_530/2011 du 3 octobre 2011 consid. 2.2). L'art. 3.2 AR a d'ailleurs codifié ce principe.
3.2.2 Il est évident que, si le BAT avait effectivement refusé d'accepter la réponse de la recourante à la requête d'arbitrage, le droit d'être entendu de l'intéressée aurait été violé de même que l'égalité des parties. L'arbitre unique est le premier à en convenir (réponse, n. 34).
Cependant, dans sa réponse au recours (n. 35 à 41), l'arbitre unique soutient fermement, avec pièces justificatives à l'appui, que le BAT n'a jamais reçu de réponse, contrairement aux affirmations de la recourante. Et les explications qu'il fournit à ce propos apparaissent convaincantes. Force est de constater, quoi qu'il en soit, que la recourante ne les contredit pas puisqu'elle n'a pas fait usage de la faculté qui lui avait été accordée de se déterminer à leur sujet. Or, il lui appartenait d'établir qu'elle avait envoyé la réponse litigieuse au Secrétariat du BAT et que celui-ci avait refusé de l'accepter. Partant, ses griefs sont voués à l'échec, faute pour elle d'avoir rapporté cette preuve.
Au demeurant, selon les indications chronologiques relatives au déroulement de la procédure arbitrale figurant dans la réponse (n. 43 à 57), l'arbitre unique, par courrier électronique - mode de communication applicable in casu en vertu du chiffre (V) de l'ordonnance de procédure du 22 novembre 2011 - daté du 18 janvier 2012, a informé les parties du fait que la recourante n'avait pas déposé la réponse ni payé sa part de l'avance de frais dans le délai imparti et a fixé à la recourante un délai de grâce expirant le 27 janvier 2012 pour réparer cette omission, sous peine de voir sa cause jugée par défaut. L'intéressée n'ayant pas obtempéré, le Secrétariat du BAT, par courrier électronique du 29 février 2012 dont la recourante a confirmé la lecture en date du 3 mars 2012, a porté à la connaissance des parties que la recourante n'avait pas déposé sa réponse dans le dernier délai qui lui avait été imparti le 18 janvier 2012, de sorte que l'arbitre unique avait décidé de clore l'instruction et de rendre une sentence, les parties étant dès lors invitées à produire un état détaillé des frais encourus jusqu'au 5 mars 2012 au plus tard. Il appert de ces indications que la recourante ne pouvait ignorer que le BAT n'avait pas reçu la réponse qu'elle était censée lui avoir adressée. Dans ces circonstances, l'art. 3.2 AR et, plus généralement, les règles de la bonne foi lui commandaient de protester sans délai auprès du BAT et de lui démontrer qu'il se trompait en affirmant qu'aucune réponse n'avait été déposée par elle. Dès lors, la recourante n'est plus recevable à venir se plaindre aujourd'hui du fait que le BAT ait refusé de prendre en considération la réponse qu'elle prétend lui avoir envoyée.
Par conséquent, les griefs fondés sur l'art. 190 al. 2 let. d LDIP tombent à faux.
3.3 Sur le fond, la recourante se réfère à l'arrêt 4A_558/2011, Matuzalem, du 27 mars 2012, publié in ATF 138 III 322, pour soutenir que les sanctions disciplinaires que la FIBA pourrait lui imposer, au cas où elle ne respecterait pas la sentence attaquée, constitueraient une entrave inadmissible à son avenir économique.
Il faut bien voir, toutefois, que ce n'est pas la sentence elle-même qui est susceptible de produire pareil effet, puisqu'elle ne prévoit pas de sanction pour le cas où la recourante ne verserait pas, en temps utile, la somme qui a été allouée à l'intimée. Or, c'est la sentence, et elle seule, qui forme l'objet du présent recours, non pas une éventuelle sanction ultérieure prononcée de ce chef par l'organe compétent de la FIBA (cf. arrêt 4A_458/2009 du 10 juin 2010 consid. 4.4.8).
4. Il suit de là que le présent recours ne peut qu'être rejeté dans la mesure où il est recevable. Partant, la demande d'effet suspensif dont il est assorti devient sans objet.
La recourante, qui succombe, devra payer les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). En revanche, elle n'aura pas à indemniser l'intimée pour ses dépens, cette partie n'ayant pas été invitée à déposer une réponse.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal Arbitral du Basketball.
Lausanne, le 14 décembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Carruzzo