Erwägungen:
1. Die Vorinstanz erklärte den Beschwerdeführer im angefochtenen Entscheid der Beschimpfung schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingten Geldstrafe von 3 Tagessätzen zu Fr. 60.-- bei einer Probezeit von zwei Jahren. Es wird ihm vorgeworfen, bei der Geschädigten zu Hause angerufen und zu deren Ehemann gesagt zu haben, wo er seine "alte Moore" habe. Mit Beschwerde in Strafsachen strebt der Beschwerdeführer einen Freispruch an. Er bemängelt die Beweiswürdigung im angefochtenen Entscheid und wirft der Vorinstanz sinngemäss Willkür gemäss Art. 9 BV vor.
2. Willkür bei der Beweiswürdigung liegt nur vor, wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen (BGE 135 V 2 E. 1.3). Die Rüge der Willkür muss vor Bundesgericht präzise vorgebracht und begründet werden, ansonsten darauf nicht eingetreten wird (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 136 I 65 E. 1.3.1).
3. Die Vorinstanz stützt den Schuldspruch der Beschimpfung auf die als stimmig und glaubhaft erachteten Aussagen der Geschädigten und ihres Ehemanns. Die Aussagen des Beschwerdeführers erachtet sie als nicht überzeugend. Seine Vorbringen gegen die Glaubwürdigkeit der Geschädigten gingen an der Sache vorbei. Diese habe bereits in der polizeilichen Einvernahme vom 8. August 2005 in aller Klarheit festgehalten, dass sie die Stimme des Anrufers, welche sie als diejenige des Beschwerdeführers identifizierte, gut habe hören können.
Was der Beschwerdeführer gegen die vorinstanzliche Beweiswürdigung vorbringt, erschöpft sich im Wesentlichen in rein appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid, indem er die Aussagen der Geschädigten und ihres Ehemannes als Lügen abtut, diesen die Beweiskraft abspricht und sie einer eigenen Beweiswürdigung unterzieht. Damit ist er nicht zu hören. Sein Einwand, der Ehemann der Geschädigten habe vor der Amtsgerichtsstatthalterin zweimal bestätigt, seine Ehefrau sei während des angeblichen Telefonanrufs nicht unmittelbar neben ihm gestanden, ist unbehelflich und lässt die Beweiswürdigung der Vorinstanz nicht als willkürlich erscheinen. Denn entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann daraus nicht abgeleitet werden, die Geschädigte habe das Telefongespräch nicht gehört bzw. seine Stimme nicht erkennen können Der angefochtene Entscheid ist mithin unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden.
Anzufügen bleibt, dass Zeugenaussagen des Ehepartners im Strafverfahren zulässig sind (vgl. Art. 62 ff. der Strafprozessordnung des Kantons Solothurn). Wie aus dem angefochtenen Entscheid hierzu ferner hervorgeht, ist der Ehemann der Geschädigten nach Massgabe der einschlägigen Vorschriften vor der Einvernahme zur Wahrheit ermahnt, auf das Zeugnisverweigerungsrecht und auf die strafrechtlichen Folgen eines falschen Zeugnisses hingewiesen worden. Weshalb seine Aussagen nicht rechtsgültig sein sollten, ist folglich entgegen der Beschwerde nicht ersichtlich.
Die Beschwerde ist damit im Verfahren von Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
4. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das nachträglich gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Favre Arquint Hill