Sachverhalt:
A. A.a X._ ist Eigentümer des Grundstückes Nr. 1 in A._. Er erwarb diese Liegenschaft in zwei Schritten. Im Jahre 1954 parzellierten die Geschwister G._ von ihrem Grundstück Nr. 2 eine Teilfläche von 2033 m2 ab, bildeten das neue Grundstück Nr. 1 und verkauften es X._. Zugleich wurde zu Lasten des Grundstückes Nr. 2 verlaufend an dessen östlicher Grenze ein Fusswegrecht in der Breite von 1.5 m zu Gunsten des Grundstückes Nr. 1 von und zur Strasse V._ begründet. Dem Eigentümer des begünstigten Grundstückes wurde das Recht eingeräumt, den Fussweg auf seine Kosten auszubauen. Im Jahre 1955 kaufte X._ im Hinblick auf den Zugang zur Strasse V._ von den Geschwistern G._ eine weitere Teilfläche von 208 m2 vom Grundstück Nr. 2, welche seinem Grundstück Nr. 1 zugeschlagen wurde. Er verpflichtete sich, auf der erworbenen Fläche, welche das Grundstück Nr. 2 vom neu gebildeten Grundstück Nr. 3 trennt, eine Zufahrtsstrasse zu bauen. Gleichzeitig wurde zu Lasten des Grundstückes Nr. 1 und zu Gunsten des Grundstückes Nr. 2 sowie des Grundstückes Nr. 3 ein Fuss- und Fahrwegrecht begründet. Zur Erstellung des Fahrwegs war der Eigentümer des Grundstückes Nr. 1 allein verpflichtet, währenddem die Zufahrten zu den berechtigten Grundstücken Sache der jeweiligen Eigentümer war. An den Unterhalt des Fahrwegs sollten die berechtigten Grundeigentümer im Verhältnis der Nutzung beitragen.
A.b Y._ und Z._ erwarben im Jahre 2002 von W._ das Grundstück Nr. 4, welches - wie das Grundstück Nr. 5 - im Jahre 1963 aus der Aufteilung des Grundstückes Nr. 2 entstanden war, zu hälftigem Miteigentum. Zu Gunsten dieses Grundstückes war ein Fuss- und Fahrwegrecht zu Lasten des Grundstückes Nr. 1 aus dem Jahre 1955 im Grundbuch eingetragen. In der Folge kam es zu Differenzen zwischen den Miteigentümern des Grundstückes Nr. 4 und dem Eigentümer des Grundstückes Nr. 1 über den Umfang des Fuss- und Fahrwegrechts aus dem Jahre 1955.
B. Am 15. Dezember 2005 gelangten Y._ und Z._ an das Bezirksgericht Kreuzlingen. Sie verlangten von X._ die Beseitigung des entlang der Zufahrtsstrasse auf seinem Grundstück Nr. 1 erstellten Drahtmaschenzaunes zwecks freier und unbehinderter Ausübung des zu Gunsten des Grundstückes Nr. 4 bestehenden Fuss- und Fahrwegrechts von und zur Strasse V._. Ferner habe X._ die von ihm auf dem Grundstück Nr. 4 montierte Strassenlampe und den von ihm auf seinem Grundstück aufgestellten und in das Grundstück Nr. 4 hineinragenden Briefkasten zu entfernen. Mit Urteil vom 15. Mai 2006 hiess das Bezirksgericht die Klage teilweise gut und legte fest, auf welcher Länge der Drahtmaschenzaun entfernt werden müsse. Das Begehren auf Entfernung der Strassenlampe und des Briefkastens wurde gutgeheissen. X._ wandte sich gegen die erstinstanzlich auferlegte Verpflichtung zur Entfernung des Drahtmaschenzaunes an das Obergericht des Kantons Thurgau, welches seine Berufung am 16. Januar 2007 abwies. Die Entfernung der Stassenlampe und des Briefkastens war in diesem Verfahren nicht mehr strittig.
C. X._ ist mit Beschwerde in Zivilsachen, eventuell mit Verfassungsbeschwerde vom 9. Mai 2007 an das Bundesgericht gelangt. Er verlangt die Aufhebung des obergerichtlichen Urteils, soweit er dadurch zur Entfernung des Drahtmaschenzaunes verpflichtet wird.
Der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde, eventuell Verfassungsbeschwerde am 4. Juni 2007 die aufschiebende Wirkung im Sinne der Erwägungen zuerkannt.
In der Sache sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. 1.1 Das angefochtene Urteil ist nach Inkrafttreten des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17. Juni 2005 (BGG; SR 173.110) ergangen, weshalb das neue Recht anzuwenden ist (Art. 132 Abs. 1 BGG).
1.2 Anlass zum vorliegenden Verfahren bildet die Auslegung einer Dienstbarkeit. Dabei handelt es sich um eine Zivilsache mit Vermögenswert (Art. 72 Abs. 1 BGG). Die Beeinträchtigung des Fuss- und Fahrwegrechts durch den strittigen Drahtmaschenzaun erreicht nach Angaben des Obergerichts die gesetzliche Streitwertgrenze nicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Davon abzuweichen besteht kein Anlass, zumal der Beschwerdeführer selber den Streitwert nicht in Frage stellt. Die Beschwerde in Zivilsachen ist demnach nur gegeben, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
1.3 Der Beschwerdeführer hat darzulegen, inwiefern sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt. Es kann nicht Aufgabe des Bundesgerichts sein, selber nach solchen Gründen zu suchen. Es wird sich hier im Wesentlichen auf die Argumentation des Beschwerdeführers abstützen können. Hingegen muss dieser nicht nachweisen, dass eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung auch tatsächlich gegeben ist (Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001, S. 4295).
Im vorliegenden Fall sieht der Beschwerdeführer eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung gegeben, da das Obergericht von der Bundesgerichtspraxis zur Ermittlung von Inhalt und Umfang einer Dienstbarkeit klar abgewichen sei. Seinen Ausführungen lässt sich indes entnehmen, dass er sich nicht gegen die vom Bundesgericht anhand von Art. 738 ZGB entwickelten Auslegungsgrundsätze richtet (vgl. BGE 132 III 651 E. 8 mit Hinweisen). Vielmehr ficht er die Auslegung des in Frage stehenden Fuss- und Fahrwegrechts als bundesrechtswidrig an und äussert sich in diesem Zusammenhang zu dem von der Vorinstanz ermittelten Sachverhalt. Damit ist gerade keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung dargetan, sondern wird dem Bundesgericht lediglich ein Einzelfall zur Beurteilung vorgelegt. Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde in Zivilsachen nicht eingetreten werden, da keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung aufgeworfen wird.
1.4 Damit bleibt zu prüfen, ob die Voraussetzungen für die Verfassungsbeschwerde gegeben sind. Diese wurde in der gleichen Rechtsschrift mit der ordentlichen Beschwerde erhoben (Art. 119 Abs. 1 BGG). Das angefochtene Urteil erweist sich als letztinstanzlich (Art. 113 BGG). Der Beschwerdeführer macht die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend (Art. 9 BV, Art. 26 BV; Art. 116 BGG). Die Verfassungsbeschwerde steht demnach im konkreten Fall zur Verfügung. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten indes nicht von Amtes wegen, sondern nur, soweit eine solche gerügt und begründet wird (Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Begründungspflicht lehnt sich bei der Verfassungsbeschwerde an die für die staatsrechtliche Beschwerde geltenden Anforderungen an (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; Botschaft, a.a.O., S. 4294). Demnach prüft das Bundesgericht auch weiterhin nur klar und einlässlich erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Hingegen tritt es auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid nicht ein. Macht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbotes geltend, muss er anhand des angefochtenen Entscheides im Einzelnen darlegen, inwiefern dieser im Ergebnis an einem qualifizierten Mangel leidet (BGE 130 I 258 E. 1.3). Damit wird auf die allgemeine Bestreitung der gegnerischen Vorbringen nicht eingegangen. Ebenso wenig werden im vorliegenden Verfahren Beweise abgenommen.
2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, den Sachverhalt in verschiedener Hinsicht willkürlich gewürdigt zu haben (Art. 9 BV).
2.1 Soweit er die Begründung des angefochtenen Urteils als schwer verständlich und sachfremd beurteilt, ohne indes aufzuzeigen, inwiefern diese zu einem im Ergebnis unhaltbaren Entscheid führt, ist darauf nicht einzugehen.
2.2 Die Vorinstanz kam aufgrund des Erwerbstitels zum Schluss, dass sich die Geschwister G._ bei der seinerzeitigen Einräumung der Dienstbarkeit eine umfassende und uneingeschränkte Benützung der auf dem Grundstück Nr. 1 erstellten privaten Zufahrtsstrasse sichern wollten. Dies habe entlang der ganzen Zufahrt und zudem diese querend geltend sollen. Demzufolge bestätigte die Vorinstanz die Verpflichtung zur Entfernung des Drahtmaschenzaunes, wie sie von der Erstinstanz angeordnet worden war.
Nach Ansicht des Beschwerdeführers stellte die Vorinstanz den Willen der Parteien bei der Begründung des Fusswegrechts im Jahre 1954 offensichtlich unrichtig fest. Selbst die Ausdehnung des Fusswegrechts um ein Fahrwegrecht im darauffolgenden Jahre habe einzig der genügenden Erschliessung des Grundstückes Nr. 3 gedient, hingegen hätten die Parteien nicht die Absicht gehabt, diese Dienstbarkeit entlang der ganzen Grenze des Grundstückes Nr. 1 einzuräumen. Mit diesen Ausführungen schildert der Beschwerdeführer einzig seine Sicht der Dinge, ohne darzutun, weshalb die tatbeständliche Feststellung der Vorinstanz über die Absicht der Parteien unhaltbar sein sollte. Auf die Rüge ist daher mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht einzutreten.
3. Der Beschwerdeführer rügt zudem die Verletzung von Bundesrecht. Die Vorinstanz soll entgegen der bundesgerichtlichen Praxis eine willentliche Änderung der bisherigen Zweckbestimmung zugelassen haben. Dieser Vorwurf wird nicht weiter begründet. Darauf ist nicht einzutreten.
4. Schliesslich macht der Beschwerdeführer die Verletzung der Eigentumsgarantie geltend (Art. 26 BV). Seiner Ansicht nach führt das vorinstanzliche Urteil zu einer erheblichen Rechtsunsicherheit, da jeder Rechtsnachfolger der Beschwerdegegner eine Zufahrt fordern könnte. Dazu müsste er den zwischenzeitlich auf seinem Grundstück angelegten Grüngürtel und den davor erstellten Zaun entfernen. Soweit dieses Vorbringen nicht ohnehin neu und damit unzulässig ist (Art. 99 Abs. 2 BGG), ist der Beschwerdeführer daran zu erinnern, dass es im vorliegenden Fall einzig um die von den Beschwerdegegnern geforderten Entfernung des Drahtmaschenzaunes geht. Ob diese Massnahme angebracht ist, ergibt sich ausschliesslich aus dem Dienstbarkeitsrecht. Einer Berufung auf die Eigentumsgarantie kommt damit keine eigenständige Bedeutung zu.
5. Nach dem Gesagten ist weder der Beschwerde in Zivilsachen noch der Verfassungsbeschwerde Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Den Beschwerdegegnern, die hinsichtlich dem Gesuch um aufschiebende Wirkung unterlegen sind, werden keine Gerichtskosten angelastet. Hingegen tragen sie ihre Parteikosten selber.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2. Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juli 2007
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber: