Faits:
A. A.a K._ est infirmière de profession. Après avoir travaillé à 60 % du 1er février 1988 au 30 septembre 2003 pour le compte de l'Hôpital Y._, elle a été engagée à compter du 1er octobre 2003 par la Résidence "Z._", où elle a travaillé à 60 % d'abord, puis à 70 % dès le 1er mars 2004. En incapacité de travail depuis le 9 juin 2004, elle a été licenciée par son employeur avec effet au 31 décembre 2004. Durant toute cette période, elle a été assurée au titre de la prévoyance professionnelle auprès de la Caisse de prévoyance du personnel de l'Etat.
Souffrant de troubles de la lignée anxio-dépressive dans le cadre d'un épuisement professionnel, elle a déposé le 4 mars 2005 une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après: l'office AI) a recueilli des renseignements médicaux auprès des médecins traitants de l'assurée, les doctoresses D._, spécialiste en médecine interne générale (rapport du 30 mars 2005) et S._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 18 juillet 2005). Il a également fait verser à la cause le dossier constitué par la Caisse-maladie Avenir, assureur perte de gain en cas de maladie. Dans un rapport du 27 mai 2005, le docteur H._, à qui la Caisse-maladie Avenir avait confié la réalisation d'une expertise psychiatrique, a retenu le diagnostic de neurasthénie et indiqué que la reprise de son activité professionnelle pouvait être effective à 50 % dès le 1er juin 2005 et probablement à 100 % dès le mois d'août 2005.
Après avoir pris avis auprès de son Service médical régional (SMR), l'office AI a, par décision du 1er février 2006, confirmée sur opposition le 9 août suivant, rejeté la demande de prestations déposée par l'assurée.
A.b K._ s'est par la suite inscrite au chômage. Elle a bénéficié d'un délai cadre d'indemnisation du 3 octobre 2005 au 2 octobre 2007 et touché des prestations d'assurance d'octobre 2005 à décembre 2006 sur la base de degrés d'aptitude au placement variant entre 35 et 50 %. Au cours de cette période, elle a été engagée pour une durée déterminée en qualité d'infirmière par l'Association X._; elle a travaillé à 40 % du 1er mai au 31 juillet 2006 et à 50 % du 1er août au 31 octobre 2006 et a été assurée au titre de la prévoyance professionnelle auprès du Fonds de prévoyance en faveur du personnel de l'Association X._.
A.c Le 19 janvier 2007, K._ a déposé une nouvelle demande de prestation de l'assurance-invalidité. A l'appui de celle-ci, elle a produit un certificat médical de la doctoresse S._ du 16 janvier 2007, attestant qu'elle disposait depuis le 1er novembre 2006 d'une incapacité de travail de 50 % pour un emploi à 70 % en raison de difficultés psycho-affectives. Considérant que la situation médicale ne s'était pas modifiée depuis la dernière décision qu'il avait rendue, l'office AI a, par décision du 18 octobre 2007, rejeté la demande de prestations.
L'assurée a déféré cette décision auprès de la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif du canton de Fribourg (aujourd'hui: la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg). Malgré le dépôt du recours, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur A._. Dans son rapport du 21 avril 2008, ce médecin a retenu les diagnostics de trouble de l'anxiété généralisée et de trouble dépressif majeur récurrent (état actuel sévère); ces troubles occasionnaient depuis le 1er novembre 2006 une incapacité de travail de 50 % pour une activité de 70 %. Après avoir consulté les parties, le Tribunal cantonal a, par décision du 27 novembre 2008, rayé la cause du rôle. Par décisions des 16 mars et 21 avril 2009, l'office AI a alloué à l'assurée un trois quarts de rente d'invalidité avec effet au 1er novembre 2007.
B. Le 17 mars 2010, K._ a ouvert action contre le Fonds de prévoyance en faveur du personnel de l'association X._ devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Fribourg, en concluant à ce que l'institution de prévoyance soit condamnée à lui verser des prestations d'invalidité à partir du 1er novembre 2007, y compris des intérêts moratoires à 5 % à compter du jour du dépôt de l'action. Par jugement du 10 août 2012, le Tribunal cantonal a rejeté la demande.
C. K._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut à ce que le Fonds de prévoyance en faveur du personnel de l'association X._ soit condamné à lui verser les prestations d'invalidité légales et réglementaires (y compris des intérêts moratoires de 5 % dus à compter du 17 mars 2010). Elle assortit son recours d'une requête d'assistance judiciaire limité aux frais judiciaires.
Considérant en droit:
1.
1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit selon les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (cf. ATF 130 III 136 consid. 1.4 p. 140).
1.2 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut cependant rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
2. Est litigieux en l'espèce le droit de la recourante à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle, singulièrement la question de savoir si la recourante était assurée auprès de l'institution intimée au moment de la survenance de l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité.
2.1 Selon la jurisprudence, l'événement assuré au sens de l'art. 23 LPP est uniquement la survenance d'une incapacité de travail d'une certaine importance (20 % au moins; arrêts 9C_335/2011 du 14 mars 2012 consid. 2; B 105/03 du 14 mars 2005 consid. 1; B 48/97 du 7 octobre 1998 consid. 1), indépendamment du point de savoir à partir de quel moment et dans quelle mesure un droit à une prestation d'invalidité est né. La qualité d'assuré doit exister au moment de la survenance de l'incapacité de travail, mais pas nécessairement lors de l'apparition ou de l'aggravation de l'invalidité. Ces principes sont aussi applicables en matière de prévoyance plus étendue, à tout le moins en l'absence de dispositions statutaires ou réglementaires contraires (ATF 123 V 262 consid. 1a et b p. 263 et les références citées).
2.2 Cependant, pour que l'institution de prévoyance reste tenue à prestations, après la dissolution du rapport de prévoyance, il faut non seulement que l'incapacité de travail ait débuté à une époque où l'assuré lui était affilié, mais encore qu'il existe entre cette incapacité de travail et l'invalidité une relation d'étroite connexité. La connexité doit être à la fois matérielle et temporelle (ATF 130 V 270 consid. 4.1 p. 275). Il y a connexité matérielle si l'affection à l'origine de l'invalidité est la même que celle qui s'est déjà manifestée durant le rapport de prévoyance (et qui a entraîné une incapacité de travail). La connexité temporelle implique qu'il ne se soit pas écoulé une longue interruption de l'incapacité de travail; elle est rompue si, pendant une certaine période qui peut varier en fonction des circonstances du cas, l'assuré est à nouveau apte à travailler (ATF 123 V 262 consid. 1c p. 264; 120 V 112 consid. 2c/aa p. 117).
3. 3.1 En l'occurrence, la juridiction cantonale a considéré que si les troubles psychiques dont souffrait la recourante étaient présents depuis 2004 au moins, époque à laquelle elle n'était pas affiliée à l'intimé, ils n'avaient influé de manière conséquente et durable sur la capacité de travail qu'à partir du 1er novembre 2006, date à laquelle elle n'était plus affiliée auprès de l'intimé. Il n'y avait à cet égard pas lieu de s'écarter des décisions rendues par l'office AI les 16 mars et 21 avril 2009, lesquelles avaient fixé le début de l'incapacité de travail permanente et de longue durée au 1er novembre 2006 précisément. En outre, la recourante ne pouvait se prévaloir de la couverture d'assurance prolongée prévue à l'art. 10 al. 3 LPP, puisque, dès le 1er novembre 2006, elle était affiliée dans le cadre de l'assurance-chômage auprès de la Fondation institution supplétive LPP.
3.2 En substance, la recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits pertinents consécutive à une mauvaise appréciation des preuves, en retenant que les troubles psychiques n'avaient influé de manière conséquente et durable sur la capacité de travail qu'à partir du 1er novembre 2006. Si l'expertise réalisée par le docteur A._ était parfaitement convaincante s'agissant de la situation au moment de l'examen, elle ne permettait en revanche pas de statuer en parfaite connaissance de cause sur le sort à donner à l'action dirigée contre l'intimé, la chronologie de l'évolution de l'incapacité de travail manquant totalement de précision. Le docteur A._ n'avait ainsi pas formellement exclu que le début de l'incapacité de travail déterminante ait pu être antérieure au 1er novembre 2006, puisqu'il ne s'était pas prononcé sur l'existence d'une incapacité de travail d'au moins 20 % antérieurement à cette date. Plus généralement, la recourante fait grief à la juridiction cantonale de n'avoir pas examiné durant toute la période litigieuse (2004-2006) la question de l'existence d'une incapacité de travail d'au moins 20 %.
4. 4.1 Sur le vu des rapports des docteurs H._ - lequel avait retenu une capacité de travail de 50 % à partir de juin 2005 et de 100 % à partir d'août 2005 - et A._ - lequel avait retenu que l'incapacité de travail était de 50 % au moins pour une activité de 70 % à partir du 1er novembre 2006 (appréciation qui convergeait sur ce point avec celle émise par la doctoresse S._) -, la juridiction cantonale a estimé qu'ils permettaient de distinguer le moment auquel les troubles psychiques étaient apparus - en 2004 au moins - de celui auquel était survenue l'incapacité de travail invalidante - en 2006 selon le second expert. Relativement succinct et sommairement motivé, l'avis divergent de la doctoresse S._ sur la capacité résiduelle de travail pour la période antérieure au 1er novembre 2006 n'était pas de nature à mettre en doute, sur les points litigieux importants, l'opinion et les conclusions des deux experts psychiatres.
4.2 Compte tenu de son pouvoir d'examen restreint (cf. supra consid. 1.2), il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées, mais à la partie recourante d'établir en quoi celle opérée par l'autorité cantonale de recours serait manifestement inexacte ou incomplète, ou en quoi les faits constatés auraient été établis au mépris de règles essentielles de procédure. En l'occurrence, l'autorité cantonale de recours a expliqué de manière circonstanciée les raisons pour lesquelles elle considérait que l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité était survenue au mois de novembre 2006. Dans le cadre de son argumentation, la recourante se contente d'affirmer que le docteur A._ n'aurait pas exclu de manière absolue que la date de la survenance de l'incapacité de travail ait pu être antérieure au 1er novembre 2006. Elle ne met toutefois en évidence aucun élément objectif susceptible d'étayer cette thèse ou, à tout le moins, de justifier de procéder à un complément d'instruction. Dans ces conditions, on ne voit pas que la juridiction cantonale aurait abusé de son pouvoir d'appréciation et fait preuve d'arbitraire en retenant que l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité avait débuté le 1er novembre 2006.
5. Mal fondé, le recours doit être rejeté. Les frais afférents à la présente procédure seront supportés par la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Elle a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires. Les conditions d'octroi étant visiblement réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), celle-ci lui est accordée. Elle est toutefois rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la caisse du Tribunal, si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée à la recourante.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 9 avril 2013
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Kernen
Le Greffier: Piguet