Sachverhalt:
A. Der 1943 geborene D._ war in der Zeit zwischen 1961 und 1997 mit Unterbrüchen als Former der Firma E._ AG bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Bei einer arbeitsmedizinischen Untersuchung Asbeststaub-Gefährdeter wurde beim Versicherten am 16. Mai 1979 erstmals ein Herdschatten auf der Lunge diagnostiziert. In den folgenden Jahren wurde der Versicherte medizinisch überwacht; die SUVA anerkannte Pleuraveränderungen als berufsbedingt. Mit Schreiben vom 27. März 2006 erhob der Versicherte Anspruch auf eine Integritätsentschädigung. Die SUVA lehnte dieses Begehren mit Verfügung vom 4. September 2006 und Einspracheentscheid vom 19. September 2007 ab.
B. Die von D._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus mit Entscheid vom 10. Dezember 2008 ab.
C. Mit Beschwerde beantragt D._, ihm sei unter Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Gerichtsentscheides eine Integritätsentschädigung zuzusprechen.
Während die SUVA auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Gesundheit auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
1.2 Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
1.3 Da die Beschwerdegegnerin auf eine ausführliche Vernehmlassung verzichtet hat, besteht kein Anlass für die ausnahmsweise (Art. 102 Abs. 3 BGG) Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels. Dem diesbezüglichen Verfahrensantrag ist nicht stattzugeben.
2. 2.1 Gemäss Art. 6 Abs. 1 UVG erbringt die Unfallversicherung grundsätzlich Versicherungsleistungen bei Berufsunfällen, Nichtberufsunfällen und Berufskrankheiten. Soweit nichts anderes bestimmt ist, sind Berufskrankheiten von ihrem Ausbruch an einem Berufsunfall gleichgestellt. Sie gelten als ausgebrochen, sobald der Betroffene erstmals ärztlicher Behandlung bedarf oder arbeitsunfähig ist (Art. 9 Abs. 3 UVG).
2.2 Erleidet der Versicherte durch den Unfall bzw. durch eine ausgebrochene Berufskrankheit eine dauernde erhebliche Schädigung der körperlichen, geistigen oder psychischen Integrität, so hat er Anspruch auf eine angemessene Integritätsentschädigung. Die Entschädigung wird mit der Invalidenrente festgesetzt oder, falls kein Rentenanspruch besteht, bei der Beendigung der ärztlichen Behandlung gewährt (Art. 24 UVG).
2.3 Die Schädigung der psychischen Integrität als Folge einer Berufskrankheit ist grundsätzlich geeignet, einen Anspruch auf Integritätsentschädigung zu begründen. Allerdings ist eine adäquat kausale Verursachung einer solchen dauernden Schädigung der psychischen Integrität durch eine Berufskrankheit nicht leichthin anzunehmen (RKUV 2000 Nr. U 381 S. 251, U 172/99 E. 3).
3. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch des Versicherten auf eine Integritätsentschädigung der Unfallversicherung.
4. 4.1 Es steht fest und ist unbestritten, dass die beim Beschwerdeführer diagnostizierten Pleuraveränderungen auf eine berufsbedingte Asbestexposition zurückzuführen sind. Demgegenüber fehlen in den Akten Hinweise auf ein psychiatrisch fassbares Leiden von einer Schwere, welches geeignet wäre, eine erhebliche Schädigung der psychischen Integrität zu begründen. Die verständlichen Ängste und das nachvollziehbare Unbehagen, welches mit der Diagnose von asbestbedingten Pleuraveränderungen einhergeht, vermögen die Intensität, welche zur Zusprechung einer Integritätsentschädigung wegen Schädigung der psychischen Integrität vorausgesetzt wird, nicht zu erreichen.
4.2 Aus den medizinischen Akten ergibt sich, dass die durch die Pleuraveränderungen hervorgerufenen Einschränkungen in der Lungenfunktion, so sie überhaupt vorhanden sind, jedenfalls minimal sind. Dr. med. Z._ berichtete am 23. Oktober 2007 von normalen spirometischen Befunden ohne Hinweise auf eine obstruktive oder restriktive Ventilationsstörung oder auf eine Diffusionsstörung. Der Beschwerdeführer beruft sich zum Nachweis einer erheblichen Einschränkung auf einen Bericht des Prof. P._ vom 30. Dezember 2008. Die Zulässigkeit dieses Berichts als Beweismittel erscheint mit Blick auf Art. 99 Abs. 1 BGG zweifelhaft (vgl. auch BGE 135 V 194 E. 3.4 S. 199). Selbst dieser Arzt diagnostiziert indessen eine "Asbestosi pleuro-parenchimale con minime alterazioni funzionali respiratorie", geht mithin lediglich von minimalen funktionellen Einschränkung aus. Aufgrund der medizinischen Akten ist somit zwar erstellt, dass eine dauerhafte Schädigung der Integrität vorliegt, diese aber nicht als erheblich im Sinne von Art. 24 UVG qualifiziert werden kann. Irrelevant ist in diesem Zusammenhang, ob - wie vom Beschwerdeführer geltend gemacht - sein Risiko, eines Tages an einer malignen Asbestose zu erkranken, tatsächlich gegenüber anderen Personen, die der gleichen Asbestexposition ausgesetzt waren, erhöht ist. Da demnach mangels Erheblichkeit der Schädigung kein Anspruch auf eine Integritätsentschädigung besteht, brauchen die weiteren Anspruchsvoraussetzungen für eine solche Leistung nicht geprüft zu werden; insbesondere kann offenbleiben, ob die Berufskrankheit überhaupt im Sinne von Art. 9 Abs. 3 UVG als ausgebrochen gelten kann.
4.3 Besteht kein Anspruch auf eine Integritätsentschädigung, sind Einsprache- und kantonaler Gerichtsentscheid rechtens; die Beschwerde ist abzuweisen.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. August 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Holzer