Sachverhalt:
A. Der 1979 geborene M._ war über den Arbeitgeber bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 12. Dezember 2003 bei einem schweren Autounfall ein Polytrauma erlitt. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 14. Juli 2007 schloss sie den Fall ab, wobei sie dem Versicherten für die verbleibende Beeinträchtigung der Integrität eine Entschädigung nach Massgabe einer Integritätseinbusse von 19 % zusprach und festhielt, über einen allfälligen Rentenanspruch werde separat befunden. M._ erhob Einsprache mit dem hauptsächlichen Antrag, der Integritätsschaden sei auf 40 % festzusetzen. Die SUVA hielt an der Verfügung fest (Einspracheentscheid vom 2. Juni 2008).
B. M._ erhob Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zog die Akten der Invalidenversicherung, bei der sich M._ im Oktober/November 2004 zum Leistungsbezug angemeldet hatte, bei und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 15. Januar 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt M._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und, wie bereits vorinstanzlich, die Rückweisung der Sache an den Unfallversicherer zur Ergänzung des medizinischen Sachverhaltes, insbesondere zur Durchführung einer neuropsychiatrischen Abklärung, beantragen.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf Integritätsentschädigung und dabei die Frage, ob der diesem zugrunde zu legende Integritätsschaden höher anzusetzen ist, als dies der Unfallversicherer getan und die Vorinstanz bestätigt hat.
Im Einspracheentscheid vom 2. Juni 2008, auf welchen mit der Vorinstanz zu verweisen ist, sind die Bestimmungen über den Anspruch auf eine Integritätsentschädigung (Art. 24 und 25 UVG; Art. 36 UVV) und die Grundsätze über die Feststellung des Integritätsschadens durch Anwendung der Skala in Anhang 3 zur UVV sowie der von der Medizinischen Abteilung der SUVA erarbeiteten Tabellen (sog. Feinraster) zutreffend dargelegt. Zu ergänzen ist, dass in dem seit Anfang 2004 geltenden Wortlaut von Art. 24 UVG und Art. 36 UVV nebst der bereits davor genannten Schädigung der körperlichen und geistigen Integrität nunmehr auch die Schädigung der psychischen Integrität ausdrücklich erwähnt wird. Ein Anspruch auf Integritätsentschädigung bei Schädigung der psychischen Integrität war bis dahin bereits aufgrund der Rechtsprechung (BGE 124 V 29 und 209) anerkannt worden.
3. 3.1 Der vom Versicherer zugesprochenen und im angefochtenen Entscheid bestätigten Integritätsentschädigung liegt die kreisärztliche Beurteilung des Integritätsschadens vom 26. Oktober 2007 zugrunde. Darin wird ausgeführt, die bleibenden Schädigungen bezüglich des Abdominaltraumas (entsprechend einem Verlust der Milz), am linken Knie und durch die im sichtbaren Bereich liegende Stirnnarbe seien in einer gesamthaften Würdigung einer Integritätseinbusse von 19 % gleichzusetzen.
Dies ist bezüglich der genannten Schädigungen nicht umstritten. Der Beschwerdeführer vertritt aber die Auffassung, er leide aufgrund des Unfalles auch an Kopfschmerzen und einer Beeinträchtigung der kognitiven Fähigkeiten. Dies sei bei der Integritätsentschädigung zu berücksichtigen.
3.2 Das kantonale Gericht hat dies verneint. Es stützt sich namentlich auf die ärztliche Beurteilung vom 25. August 2008 des Dr. med. B._, Facharzt für Neurologie FMH, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, von der Abteilung Versicherungsmedizin der SUVA. Dieser ist zum Ergebnis gelangt, es bestünden keine unfallkausalen Kopfschmerzen und kognitiven Leistungsminderungen, welche eine Integritätsentschädigung zu begründen vermöchten. Die durchgeführten eingehenden Abklärungen hätten keine Hinweise auf eine relevante strukturelle Hirnschädigung im Rahmen des Unfalls vom 12. Dezember 2003 erbracht und ein akutes oder chronisches posttraumatisches Kopfschmerzsyndrom sei als Unfallfolge nicht wahrscheinlich.
Diese fachärztliche Beurteilung beruht auf einer einlässlichen und überzeugenden Würdigung der medizinischen Akten.
Was in der Beschwerde vorgetragen wird, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Vorauszuschicken ist, dass vor allem Einwände gegen die kreisärztliche Beurteilung des Integritätsschadens vom 26. Oktober 2007 erhoben werden. Das kantonale Gericht hat aber in erster Linie auf die ärztliche Beurteilung des Dr. med. B._ abgestellt. Dieser bestätigt zwar die kreisärztliche Einschätzung, begründet dies aber noch einlässlicher, dies insbesondere auch im Hinblick darauf, weshalb kein höherer als der vom Kreisarzt angenommene Integritätsschaden vorliegt. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, es sei eine CT-Untersuchung des Schädels vorzunehmen, ist mit Dr. med. B._ festzuhalten, dass eine solche Abklärung am Universitätsspital X._ stattgefunden hat und keine Anhaltspunkte für eine intrakranielle Schädigung ergeben hat. Dr. med. B._ hat auch in nachvollziehbarer Weise ein unfallkausales, über dem Grad eines leichten Hirntraumas im Sinne einer leichten Commotio cerebri (mit Contusio capitis) liegendes Schädel-Hirntrauma verneint. Entgegen der Auffassung des Versicherten wurden hiebei die geklagten Beschwerden, einschliesslich der Kopfschmerzen und kognitiven Defizite, berücksichtigt. Dies erfolgte in überzeugender Würdigung u.a. der Berichte des Universitätsspitals X._ und der Rehaklinik Y._. Der Versicherungsmediziner hat dabei namentlich auch und in schlüssiger Weise die Latenzzeit zwischen dem Unfall und dem Auftreten der Beschwerden mit einbezogen. Der neuropsychologische Untersuchungsbericht der Frau Dr. phil. O._ vom 17. Oktober 2008 führt zu keinem anderen Ergebnis.
Vorgebracht wird weiter, die geklagten Beschwerden seien allenfalls mit der beim Unfall vom 12. Dezember 2003 erlittenen Fraktur am Halswirbelkörper (HWK) 7 zu erklären. Dies wird letztinstanzlich erstmalig geltend gemacht. Ob dies novenrechtlich überhaupt zulässig ist, kann offen bleiben, da der Einwand ohnehin nicht begründet ist. Die HWK-Fraktur führte gemäss Austrittsbericht des Universitätsspitals X._ vom 23. Februar 2004 nicht zu neurologischen Ausfällen. Das wurde auch im Austrittsbericht der Rehaklinik Y._ vom 25. Mai 2004 bestätigt, worin die Fraktur überdies als stabil bezeichnet wurde. Anlässlich der bildgebenden Untersuchung am Universitätsspital X._ vom 4. April 2005 wurde die HWK-Fraktur als konsolidiert beurteilt. Ihr wurde auch in keinem der ärztlichen Berichte eine Bedeutung für Beschwerden beigemessen.
Von den beantragten Beweisergänzungen (wie weitere bildgebende Untersuchungen, neuropsychologische Abklärung, Beizug zusätzlicher Akten und Befragung mit dem Beschwerdeführer) ist abzusehen, da sie keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen. Die Beschwerde ist damit in allen Teilen unbegründet.
4. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. Juli 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz