Erwägungen:
1.
A._ und B._ C._ ersuchten am 25. März 2012 um Erteilung der eidgenössischen Einbürgerungsbewilligung. Nach Prüfung der bundes- und kantonalrechtlichen Mindestanforderungen überwies das Gemeindeamt des Kantons Zürich das Einbürgerungsgesuch am 26. April 2012 an die Stadt Zürich zum Entscheid über die Aufnahme ins Gemeindebürgerrecht. Der Stadtrat von Zürich lehnte das Einbürgerungsgesuch mit Beschluss vom 27. Februar 2013 ab. Den dagegen von A._ und B._ C._ erhobenen Rekurs wies der Bezirksrat Zürich mit Beschluss vom 31. Oktober 2013 ab. Gegen diesen Beschluss erhoben A._ und B._ C._ am 11. Dezember 2013 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 19. März 2014 ab. Zur Begründung führte das Verwaltungsgericht zusammenfassend aus, dass die Beschwerdeführenden seit dem 1. März 2011 durch die öffentliche Sozialhilfe unterstützt werden müssten. Demnach sei ihre wirtschaftliche Erhaltungsfähigkeit nicht gegeben. Dem Beschwerdeführer wäre es trotz seiner Behinderung möglich, an fünf Halbtagen pro Woche einer Arbeit nachzugehen. Die Vorinstanz weise zu Recht darauf hin, dass die zahlreichen Bewerbungen des Beschwerdeführers nicht den üblichen Anforderungen an solche Schreiben entsprechen und die erfolglose Stellensuche auch auf diesen Umstand zurückzuführen sein dürfte. Damit sei das Kriterium der wirtschaftlichen Erhaltungsfähigkeit mit Blick auf den Beschwerdeführer nicht diskriminierend. Auch hätten die Beschwerdeführenden nicht dargetan, dass es der Beschwerdeführerin aus gesundheitlichen Gründen nicht möglich wäre, voll arbeitstätig zu sein. Da keine Gründe ersichtlich seien, die eine volle Arbeitstätigkeit unzumutbar erscheinen liessen, müsse sich die Beschwerdeführerin die als Folge ihrer nur teilweisen Arbeitstätigkeit fehlende wirtschaftliche Erhaltungsfähigkeit der Familie entgegenhalten lassen. Somit seien die Voraussetzungen für die Erteilung des Gemeindebürgerrechts nicht erfüllt.
2.
A._ und B._ C._ führen beim Bundesgericht mit Eingabe vom 22. April 2014 subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 19. März 2014. Da dieses Urteil der Beschwerde nicht beilag, forderte das Bundesgericht die Beschwerdeführer mit Verfügung vom 30. April 2014 auf, das fehlende vorinstanzliche Urteil nachzureichen. Innert Frist kamen die Beschwerdeführer dieser Aufforderung nach und reichten ausserdem am 8. Mai 2014 eine Beschwerdeergänzung ein. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein.
Die Beschwerdeführer vermögen mit ihrer hauptsächlich appellatorischen Kritik nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung des Verwaltungsgerichts, die zur Abweisung der Beschwerde führte, bzw. dessen Urteil selber im Ergebnis verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt daher den gesetzlichen Formerfordernissen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten ist.
4.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Stadtrat von Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Mai 2014
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli