Sachverhalt:
Mit Verfügung vom 21. Oktober 2008 lehnte die IV-Stelle Zug das Begehren der 1956 geborenen K._ um Ausrichtung einer Invalidenrente ab; der Invaliditätsgrad betrage nicht rentenbegründende 31 Prozent. Bereits mit Verfügung vom 7. Dezember 2007 hatte die Verwaltung der Versicherten Berufsberatung und Unterstützung bei der Stellensuche zugesprochen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zug wies die gegen die Verfügung vom 21. Oktober 2008 erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 25. Juni 2010).
K._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, es sei ihr, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids, mindestens eine halbe Invalidenrente zuzusprechen. Eventuell sei die Sache "zwecks weiteren Abklärungen inklusive einer Durchführung einer Eingliederungsmassnahme" an die IV-Stelle zurückzuweisen.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem wegen Verletzung von Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 132 V 393).
1.2 Die beschwerdeführende Partei kann rechtsfehlerhafte Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz rügen, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Dabei darf sie sich grundsätzlich aber nicht darauf beschränken, den bestrittenen Feststellungen des kantonalen Gerichts den nach ihrer Auffassung richtigen Sachverhalt gegenüberzustellen oder ihre eigene Beweiswürdigung zu erläutern. Vielmehr muss sie hinreichend genau angeben, inwiefern die vorinstanzlichen Feststellungen ihrer Ansicht nach rechtswidrig oder mit einem klaren Mangel behaftet sind (Urteil 4A_28/2007 vom 30. Mai 2007 E. 1.3 [in BGE 133 III 421 nicht publiziert]; Urteil 9C_688/2007 vom 22. Januar 2008 E. 2.3).
1.3 Die Vorinstanz hat die für die Beurteilung des Leistungsanspruchs einschlägigen Rechtsgrundlagen und die dazu ergangene Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2. 2.1 Das kantonale Gericht prüfte im angefochtenen Entscheid, ob bei der Beschwerdeführerin eine anspruchsbegründende Invalidität vorliege. Gemäss dem Gutachten der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) vom 14. Juni 2007, welchem rheumatologische, psychiatrische und kardiologische Untersuchungen zugrundeliegen, bestehe ein chronisches zervikales Schmerzsyndrom mit myofaszialer Reizsymptomatik sowie eine leichte depressive Episode ohne somatisches Syndrom unter Therapie. Die koronare Herzerkrankung beeinflusse nach gutachtlicher Einschätzung die Arbeitsfähigkeit nicht. In der aktuell ausgeübten Tätigkeit einer Raumpflegerin sei die Versicherte zu 50 Prozent arbeitsfähig, wobei sich vor allem die rheumatologischen und nur zu einem geringen Teil die psychopathologischen Befunde limitierend auswirkten. In der früheren Tätigkeit als Mitarbeiterin in der Zentralsterilisation eines Spitals sei sie wie auch für andere leichte, wechselbelastende Arbeiten - aufgrund der psychopathologischen Befunde - zu 80 Prozent arbeitsfähig. Eine Fortsetzung unter anderem der psychiatrischen Behandlung sei angezeigt. Berufliche Massnahmen seien nicht angezeigt, da die Versicherte an ihrem derzeitigen Arbeitsplatz gut integriert sei.
Die Rüge, die Verwaltung habe die leistungsablehnende Verfügung im Wissen um noch nicht abgeschlossene medizinische Abklärungen erlassen, verwarf die Vorinstanz mit der Begründung, dem Dossier könne nicht entnommen werden, dass die Versicherte bis zum Verfügungserlass am 21. Oktober 2008 eine Verschlechterung ihres Gesundheitszustandes geltend gemacht oder der IV-Stelle mitgeteilt hätte, dass medizinische Abklärungen in Gang seien. Was die inzwischen vorliegenden Berichte der Psychiaterin Dr. P._ vom 7. Dezember 2008 und des Orthopäden Dr. H._ vom 20. Dezember 2008 angehe, so könne offenbleiben, ob diese mit Blick auf ihre Datierung nach Verfügungserlass überhaupt zu berücksichtigen seien. Ersterer werde den beweisrechtlichen Anforderungen nicht gerecht; letzterer decke sich inhaltlich im Wesentlichen mit den Schlussfolgerungen des MEDAS-Gutachtens vom 14. Juni 2007. Darauf abstellend ergebe sich, dass die Beschwerdeführerin in leichten, wechselbelastenden Tätigkeiten zu 80 Prozent arbeitsfähig sei.
2.2 Letztinstanzlich lässt die Beschwerdeführerin im Wesentlichen erneut vortragen, die gesundheitliche Entwicklung im Zeitraum zwischen der Begutachtung durch die MEDAS im Frühjahr 2007 und den Berichten behandelnder Ärzte von Ende 2008 sei unberücksichtigt geblieben.
Nach Abschluss des Verwaltungsverfahrens (hier mit Verfügung vom 21. Oktober 2008) datierende Arztberichte (und andere einschlägige Dokumente) sind in die Beurteilung miteinzubeziehen, soweit sie Rückschlüsse auf den im relevanten Zeitraum gegebenen Sachverhalt erlauben (vgl. BGE 121 V 362 E. 1b in fine S. 366; mit Bezug auf die eingeschränkte Kognition: Urteil I 705/06 vom 16. August 2007 E. 4.1). Ob es sich hier so verhält, kann mit der Vorinstanz offenbleiben: Nach dem Bericht des Orthopäden Dr. H._ vom 20. Dezember 2008 ist die Beschwerdeführerin in leichten wechselbelastenden Tätigkeiten, wenn auch nicht hinsichtlich einer Reinigungsarbeit, voll arbeitsfähig. Die Psychiaterin Dr. P._ (Bericht vom 7. Dezember 2008) und der Allgemeinmediziner Dr. M._ (Bericht vom 14. November 2008) attestieren zwar je eine Arbeitsunfähigkeit im Umfang von 50 Prozent. Weshalb indessen diese Einschätzungen beweisrechtlich gegenüber derjenigen der MEDAS nicht durchdringen, hat die Vorinstanz ausführlich dargelegt. Die Beschwerdeführerin gibt nicht hinreichend genau an, inwiefern die vorinstanzlichen Feststellungen rechtswidrig oder mit einem klaren Mangel behaftet sein sollten (vgl. oben E. 1.2). Es kann daher auf die vorinstanzlichen Erwägungen verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
3. Dass die Bemessung des Invaliditätsgrades anderweitig nicht korrekt sein sollte, wird zu Recht nicht geltend gemacht; entsprechende Anhaltspunkte ergeben sich nicht aus den Akten. Es besteht somit kein Anlass für eine Weiterung des Prüfungsprogramms (vgl. BGE 110 V 48 E. 4a S. 53). Insgesamt bleibt es bei der vorinstanzlichen Schlussfolgerung, dass die Beschwerdeführerin bei einem Invaliditätsgrad von knapp 30 Prozent keinen Anspruch auf eine Invalidenrente hat.
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Sozialversicherungsrechtliche Kammer, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. September 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Traub