Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft von Santafé de Bogotá (Kolumbien) führt ein Strafverfahren unter anderem gegen X._ wegen Betrugs.
Am 12. November 1993 (ergänzt am 29. Dezember 1994) ersuchte sie die Schweiz um Rechtshilfe; dies im Wesentlichen gestützt auf folgenden Sachverhalt:
Die S._ SA in Belgrad habe der Bank A._ gegen Bezahlung von 750'000 US-Dollar kolumbianische Pesos zum Kauf angeboten. Am 30. September 1993 habe die Bank A._ eine Fax-Kopie des der Bank B._ (London) übergebenen Zahlungsauftrages der S._ SA erhalten. Darauf habe die Bank A._ die 750'000 US-Dollar am 4. Oktober 1993 auf ein Konto bei der Bank C._ in Lugano überwiesen. Der von der S._ SA geschuldete Pesos-Betrag sei jedoch nie eingetroffen. Es habe sich herausgestellt, dass es sich bei der Bestätigung des Zahlungsauftrages um eine Fälschung gehandelt habe. Mittlerweile seien die 750'000 US-Dollar auf ein Konto bei der damaligen Bank D._ in Grenchen, lautend auf X._, überwiesen worden.
Die Staatsanwaltschaft von Santafé de Bogotá ersuchte um Sperre des Kontos bei der Bank D._.
Am 15. November 1993 sperrte der Untersuchungsrichter des Kantons Solothurn den auf diesem Konto noch vorhandenen Saldo von 159'176.78 US-Dollar. Mit Verfügung vom 14. März 1994, korrigiert am 21. März 1994, überwies der Untersuchungsrichter diesen Betrag der Gerichtskasse Solothurn.
Mit Urteil vom 5. November 1996 erkannte das Obergericht des Kantons Solothurn (Strafkammer), der Betrag von 159'176.78 US-Dollar bleibe im Rahmen des Rechtshilfeverfahrens zu Handen der kolumbianischen Gerichtsbehörden beschlagnahmt und sei durch das Untersuchungsrichteramt in gleicher Währung zinstragend anzulegen.
Die von X._ dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Bundesgericht am 21. April 1997 ab, soweit es darauf eintrat (1A.389/1996).
B. Mit Ersuchen vom 21. Oktober 1996, der Schweizerischen Botschaft in Kolumbien am 22. Januar 1998 übergeben, verlangte die Strafrichterin 36 von Santafé de Bogotà die Herausgabe des beschlagnahmten Betrages zu Handen des Gerichtes 36 auf dessen Konto für Sicherstellungen bei der Bank E._ von Santafé de Bogotà.
Mit Schlussverfügung vom 26. März 2001 entsprach der Untersuchungsrichter des Kantons Solothurn dem Rechtshilfeersuchen. Er ordnete die Überweisung der beschlagnahmten 159'176.78 US-Dollar mitsamt dem inzwischen aufgelaufenen Ertrag, unter Abzug der Kosten der Vermögensverwaltung, auf das Konto des Strafgerichts von Santafé de Bogotà (Richterin 36) bei der dortigen Bank E._ an.
Die dagegen von X._ sowie den Firmen F._ und G._ erhobene Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Solothurn (Beschwerdekammer) am 22. Mai 2007 gut. Es hob die Verfügung des Untersuchungsrichters vom 26. März 2001 auf und verweigerte die Rechtshilfe. Es wies die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn an, der Firma Y._ (Rechtsnachfolgerin der Bank A._) nach Eintritt der Rechtskraft des obergerichtlichen Urteils Frist zu setzen zur Anhebung einer Zivilklage auf Herausgabe des beschlagnahmten Betrages, unter Androhung der Rückgabe des Betrages zuzüglich Zinsen an den Beschwerdeführer bzw. die Beschwerdeführerinnen.
Die vom Bundesamt für Justiz dagegen erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde hiess das Bundesgericht am 11. Februar 2008 gut. Es hob das Urteil des Obergerichts vom 22. Mai 2007 auf und wies die Sache an dieses zurück (1A.53/2007, in Pra 2008 Nr. 124 S. 770).
C. Mit Urteil vom 18. August 2008 trat das Obergericht auf die Beschwerden der inzwischen aufgelösten Firmen F._ und G._ gegen die Verfügung des Untersuchungsrichters vom 26. März 2001 nicht ein. Die Beschwerde von X._ wies es ab.
D. X._ führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit dem Antrag, das Urteil des Obergerichts vom 18. August 2008 und die Schlussverfügung vom 26. März 2001 seien aufzuheben; die Rechtshilfe sei zu verweigern; der beschlagnahmte Betrag von 159'176.78 US-Dollar (bzw. in der angelegten Währung) sei samt aufgelaufenen Zinsen dem Beschwerdeführer auszubezahlen.
E. Das Obergericht beantragt unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid die Abweisung der Beschwerde.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn hat auf Gegenbemerkungen verzichtet.
Die Firma Y._ hat sich vernehmen lassen mit dem Antrag, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Das Bundesamt für Justiz beantragt unter Hinweis auf seine Ausführungen im Verfahren 1A.53/2007 die Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Kolumbien und die Schweiz sind durch keinen Rechtshilfevertrag miteinander verbunden. Massgeblich ist deshalb das Bundesgesetz vom 20. März 1981 über internationale Rechtshilfe in Strafsachen (Rechtshilfegesetz, IRSG; SR 351.1) mitsamt der dazugehörenden Verordnung vom 24. Februar 1982 (IRSV; SR 351.11).
1.2 Das Rechtshilfegesetz ist mit Bundesgesetz vom 17. Juni 2005, in Kraft seit dem 1. Januar 2007, geändert worden. Der Untersuchungsrichter hat die Schlussverfügung vor dem 1. Januar 2007 erlassen. Gemäss Art. 110b IRSG richtet sich daher das vorliegende Beschwerdeverfahren nach dem bisherigen Recht (Urteil 1C.53/2007 vom 29. März 2007 E. 1.2).
1.3 Gegen das angefochtene Urteil ist gemäss aArt. 80f Abs. 1 IRSG die Verwaltungsgerichtsbeschwerde gegeben.
1.4 Der Beschwerdeführer ist Inhaber des Kontos, auf dem die 159'176.78 US-Dollar beschlagnahmt worden sind. Er ist nach Art. 80h lit. b IRSG zur Beschwerde befugt (BGE 127 II 198 E. 2d S. 205, mit Hinweisen).
1.5 Der Beschwerdeführer kann die Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, rügen (Art. 80i Abs. 1 lit. a IRSG).
Das Bundesgericht prüft im Verfahren der Verwaltungsgerichtsbeschwerde die bei ihm erhobenen Rügen mit freier Kognition. Es ist aber nicht verpflichtet, nach weiteren der Rechtshilfe allenfalls entgegenstehenden Gründen zu forschen, die aus der Beschwerde nicht hervorgehen (BGE 112 Ib 576 E. 3 S. 586).
1.6 Die vom Obergericht dem Bundesgericht zugesandten Akten reichen zur Beurteilung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde aus. Der Beizug sämtlicher Akten seit Verfahrensbeginn am 15. November 1993 - wie vom Beschwerdeführer beantragt - ist nicht erforderlich.
2. Der Beschwerdeführer macht (S. 4 ff.) geltend, der von den kolumbianischen Behörden dargestellte Sachverhalt sei falsch. Er habe keinen Betrug begangen.
Darauf ist nicht einzutreten, da im schweizerischen Rechtshilfeverfahren weder Tat- noch Schuldfragen zu prüfen sind und keine Beweiswürdigung vorzunehmen ist. Das Bundesgericht hat dies im Urteil vom 11. Februar 2008 (E. 3) bereits dargelegt. Darauf kann verwiesen werden.
3. Der Beschwerdeführer wendet (S. 7) ein, die Vorinstanz habe sich mit seinen Vorbringen zum Sachverhalt nicht auseinander gesetzt. Damit habe sie seinen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt.
Die Rüge ist unbegründet. Da die Vorinstanz keine Beweiswürdigung vorzunehmen hatte, hatte sie keinen Anlass, sich mit den Vorbringen des Beschwerdeführers dazu auseinander zu setzen.
4. 4.1 Der Beschwerdeführer rügt (S. 8 ff.), das kolumbianische Verfahren leide an schweren Mängeln. Die Rechtshilfe sei daher nach Art. 2 IRSG unzulässig.
4.2 Am 8. Mai 2001 verurteilte das 52. Bezirksgericht von Bogotá den Beschwerdeführer in dessen Abwesenheit wegen Betrugs zu 18 Monaten Gefängnis, bedingt bei einer Probezeit von zwei Jahren, und zu einer Busse. Überdies ordnete es die Rückerstattung des in der Schweiz beschlagnahmten Betrages an die Bank A._ an.
Die Vorinstanz erwägt (S. 18), dem Beschwerdeführer sei dieses Urteil spätestens im schweizerischen Rechtshilfeverfahren zur Kenntnis gelangt. Er habe es jedoch nicht angefochten. Er habe die im Rechtshilfeverfahren erhobenen Rügen zu den Mängeln des kolumbianischen Verfahrens vor den dortigen Gerichten nie geltend gemacht, sondern sich darauf beschränkt, sich in der Schweiz gegen die Gewährung der Rechtshilfe zu wehren. Wäre er der Auffassung gewesen, das Urteil des 52. Bezirksgerichtes sei auf unkorrekte Weise zustande gekommen, er sei im kolumbianischen Verfahren nicht vertreten gewesen und nicht zu Verhandlungen vorgeladen bzw. über das dortige Verfahren gar nicht informiert worden, hätte er gegen das Urteil des 52. Bezirksgerichtes intervenieren müssen.
4.3 Dagegen bringt der Beschwerdeführer substantiiert nichts vor. Er macht insbesondere nicht geltend, dass er gegen das in seiner Abwesenheit gefällte Urteil des 52. Bezirksgerichts nach dessen Kenntnisnahme nichts hätte unternehmen können. Hätte er aber die Möglichkeit gehabt, die von ihm behaupteten Mängel des kolumbianischen Verfahrens vor den dortigen Gerichtsbehörden zu rügen und von diesen beheben zulassen und ist er insoweit untätig geblieben, ist es widersprüchlich, wenn er nun im schweizerischen Rechtshilfeverfahren geltend macht, das kolumbianische Verfahren leide an diesen Mängeln. Der Beschuldigte kann nicht im ersuchenden Staat auf Rechtsbehelfe verzichten, mit denen er Mängel des dortigen Verfahrens hätte rügen können, um sich im schweizerischen Rechtshilfeverfahren darauf zu berufen, das ausländische Verfahren leide an solchen Mängeln. Ein derartiges Verhalten verdient keinen Rechtsschutz (vgl. BGE 130 III 113 E. 4.2 S. 123).
Die Beschwerde ist deshalb auch im vorliegenden Punkt unbehelflich.
5. Der Beschwerdeführer rügt (S. 13 ff.), das Rechtshilfeverfahren habe - vor allem bis zum vorinstanzlichen Urteil vom 22. Mai 2007 - zu lange gedauert. Überdies macht er Verjährung geltend.
Dazu hat sich das Bundesgericht im Urteil vom 11. Februar 2008 (E. 6) bereits geäussert. Es hat das Vorbringen als unbegründet beurteilt. Zu einem abweichenden Entscheid besteht hier kein Anlass.
6. Soweit der Beschwerdeführer (S. 14 ff.) einwendet, der beschlagnahmte Betrag von 159'176.78 US-Dollar stamme nicht aus einem Delikt, sondern aus "normalem Geschäftsverkehr", äussert er sich wiederum zu Beweisfragen. Darauf ist aus dem oben (E. 2) dargelegten Grund nicht einzutreten.
7. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (Art. 156 Abs. 1 OG). Er hat der privaten Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 159 Abs. 1 und 2 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verwaltungsgerichtsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Der Beschwerdeführer hat der privaten Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 500.-- zu bezahlen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, sowie dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Härri