Faits:
A. Par contrat du 15 novembre 2007, soumis au droit suisse, la société X._ Sàrl, responsable financière de l'équipe professionnelle de cyclisme W._, a engagé le coureur cycliste professionnel Y._ pour une durée de deux ans à compter du 1er janvier 2008. La rémunération du coureur cycliste a été fixée à 275'000 euros pour 2008 et à 340'000 euros pour 2009.
X._ Sàrl a résilié ledit contrat avec effet immédiat par lettre recommandée du 23 juillet 2008, au motif qu'un rapport médical, annexé à cette lettre, faisait apparaître des anomalies dans les valeurs de l'urine et du sang prélevés sur le coureur cycliste à l'occasion d'un contrôle interne effectué par l'équipe. Selon elle, il y avait là de sérieux indices d'une stimulation de la moelle osseuse consécutive à l'administration d'EPO exogène.
B. Le 1er septembre 2008, Y._, se fondant sur la clause compromissoire insérée dans le contrat, a déposé une requête d'arbitrage auprès du Tribunal Arbitral du Sport (TAS) afin d'obtenir quelque 5,7 millions d'euros d'indemnités en application des art. 49, 328 et 337c CO.
X._ Sàrl a conclu au rejet de la demande et, reconventionnellement, à l'octroi d'une indemnité d'un million d'euros à titre de réparation du tort moral.
Par sentence du 15 juin 2009, le TAS, admettant partiellement la demande, a condamné X._ Sàrl à payer à Y._ la somme de 654'166,67 euros avec intérêts à 5% dès le 27 novembre 2008, autorisé la publication de la sentence par ses soins et décidé de transmettre celle-ci à l'Union Cyclise Internationale (UCI). Il a mis 75% des frais d'arbitrage à la charge de X._ Sàrl, condamné cette dernière à verser 25'000 fr. de dépens à Y._ et rejeté toutes autres ou plus amples conclusions des parties. En résumé, le TAS a considéré que l'employeur avait résilié de manière injustifiée le contrat de travail liant les parties, sur la base d'une simple suspicion de dopage et sans avoir mis en oeuvre la procédure préalable ad hoc prévue dans le contrat.
C. Le 15 juillet 2009, X._ Sàrl a formé un recours en matière civile contre la sentence du 15 juin 2009. Ce recours a été rejeté par arrêt séparé de ce jour.
D. En date du 10 août 2009, X._ Sàrl a déposé une demande de révision en vue d'obtenir l'annulation de la même sentence.
L'intimé conclut principalement à l'irrecevabilité de la demande et, subsidiairement, au rejet de celle-ci. Le TAS propose le rejet de la demande.
Considérant en droit:
1. La loi sur le droit international privé (LDIP; RS 291) ne contient aucune disposition relative à la révision des sentences arbitrales au sens des art. 176 ss LDIP. Le Tribunal fédéral a comblé cette lacune par voie jurisprudentielle. Les motifs de révision de ces sentences étaient ceux que prévoyait l'art. 137 OJ. Ils sont désormais visés par l'art. 123 LTF. Le Tribunal fédéral est l'autorité judiciaire compétente pour connaître de la demande de révision de toute sentence arbitrale internationale, qu'elle soit finale, partielle ou préjudicielle; sa compétence en ce domaine ne concerne que les sentences liant le tribunal arbitral dont elles émanent, à l'exclusion des simples ordonnances ou directives de procédure susceptibles d'être modifiées ou rapportées en cours d'instance. S'il admet une demande de révision, le Tribunal fédéral ne se prononce pas lui-même sur le fond mais renvoie la cause au tribunal arbitral qui a statué ou à un nouveau tribunal arbitral à constituer (ATF 134 III 286 consid. 2 et les références).
2. L'intimé conteste la recevabilité de la demande de révision en faisant valoir que la requérante a valablement renoncé à attaquer la sentence. On laissera en suspens, ici, le point de savoir si la renonciation à recourir, prétendument incluse dans la clause compromissoire, excluait aussi le dépôt d'une demande de révision (cf. l'arrêt 4A_234/2008 du 14 août 2008 consid. 2.1 et les références). En effet, pour les motifs indiqués au considérant 3 de l'arrêt rendu ce jour sur le recours en matière de droit civil connexe, la renonciation en question est, de toute façon, inopérante.
3. 3.1 Dans sa demande de révision, la requérante invoque l'existence d'un fait nouveau et de preuves nouvelles constitués par les pièces qu'elle a fait parvenir au TAS en annexe à son fax daté du 12 juin 2009 (mais envoyé le 15 du même mois). La circonstance nouvelle alléguée par elle consiste dans l'adoption, le 9 mai 2009, et l'entrée en vigueur, le 31 mai 2009, de nouvelles directives techniques de l'Agence Mondiale Antidopage (AMA) au sujet de l'EPO (TD2009EPO). Selon elle, la stimulation de la moelle osseuse de l'intimé causée par l'administration d'EPO exogène devrait être tenue pour avérée au regard de ces nouvelles directives, ce qui suffirait à justifier après coup le bien-fondé du licenciement immédiat du coureur cycliste.
3. 3.1 Dans sa demande de révision, la requérante invoque l'existence d'un fait nouveau et de preuves nouvelles constitués par les pièces qu'elle a fait parvenir au TAS en annexe à son fax daté du 12 juin 2009 (mais envoyé le 15 du même mois). La circonstance nouvelle alléguée par elle consiste dans l'adoption, le 9 mai 2009, et l'entrée en vigueur, le 31 mai 2009, de nouvelles directives techniques de l'Agence Mondiale Antidopage (AMA) au sujet de l'EPO (TD2009EPO). Selon elle, la stimulation de la moelle osseuse de l'intimé causée par l'administration d'EPO exogène devrait être tenue pour avérée au regard de ces nouvelles directives, ce qui suffirait à justifier après coup le bien-fondé du licenciement immédiat du coureur cycliste.
3.2 3.2.1 En vertu de l'art. 123 al. 2 let. a LTF, la révision peut être demandée dans les affaires civiles si le requérant découvre après coup des faits pertinents ou des moyens de preuve concluants qu'il n'avait pas pu invoquer dans la procédure précédente, à l'exclusion des faits ou moyens de preuve postérieurs à l'arrêt.
Cette disposition reprend en substance l'art. 137 let. b aOJ, de sorte que la jurisprudence antérieure conserve toute sa valeur. Ainsi, seuls peuvent justifier une révision fondée sur l'art. 123 al. 2 let. a LTF les faits qui se sont produits jusqu'au moment où, dans la procédure principale, des allégations de fait étaient encore recevables, mais qui n'étaient pas connus du requérant malgré toute sa diligence et n'ont été découverts par lui que postérieurement au prononcé de la décision dont la révision est demandée; ces faits doivent, de surcroît, être pertinents, à savoir de nature à modifier l'état de fait qui est à la base de la décision attaquée et à aboutir à un jugement différent en fonction d'une appréciation juridique correcte (ATF 134 III 669 consid. 2 et les références). Il en va de même, mutatis mutandis, en ce qui concerne les preuves nouvelles (cf. arrêt 4P.213/1998 du 11 mai 1999 consid. 2b).
3.2.2 Les conditions justifiant une révision de la sentence du TAS sur le fondement de l'art. 123 al. 2 let. a LTF ne sont de toute évidence pas remplies en l'espèce.
Dans son recours en matière civile connexe, la requérante soutenait que la directive TD2009EPO était certes entrée en vigueur le 31 mai 2009, c'est-à-dire postérieurement à l'audience du 29 avril 2009, mais qu'il avait été signalé, lors de cette audience, "qu'il est probable que cette nouvelle norme entrera en vigueur prochainement" (p. 18, dernier §). L'intéressée allègue derechef, dans sa demande de révision, qu'il a bien été question, au cours de ladite audience, des nouvelles normes de l'AMA, "dont l'entrée en vigueur était possible pour la fin mai 2009"; elle ajoute que le médecin de l'équipe avait précisément appliqué ces nouvelles règles (mémoire, p. 8, ch. 23). Par ailleurs, elle fait remonter au 9 mai 2009 le moment de la découverte du motif de révision, qui détermine le point de départ du délai fixé par l'art. 124 al. 1 let. d LTF pour le dépôt de la demande ad hoc (mémoire, p. 12 let. c). Il est ainsi clairement établi que la requérante a eu connaissance du prétendu fait nouveau, resp. des preuves nouvelles, avant la communication de la sentence du 15 juin 2009.
Qu'il lui eût été possible d'introduire le "fait nouveau" pendente lite n'est guère contestable, quoi qu'elle en dise. Il en avait été question, faut-il le rappeler, au cours de l'audience du 29 avril 2009. Dès lors, l'élémentaire prudence eût commandé à cette partie d'inviter le TAS à prendre en considération la nouvelle directive qui était sur le point d'être adoptée et dont l'entrée en vigueur était envisagée pour la fin du mois suivant déjà, quitte à requérir, au besoin, la suspension de la procédure arbitrale jusqu'à l'entrée en force de la directive à venir. Au lieu de quoi, la requérante a attendu de connaître le sort réservé à la demande de l'intimé pour se prévaloir, alors seulement, de la circonstance prétendument nouvelle. Or, contrairement à ce qu'elle affirme et comme le TAS le fait remarquer avec raison dans sa réponse à la demande de révision, l'art. R.44.3 du Code de l'arbitrage en matière de sport lui permettait d'intervenir auprès du TAS afin qu'il prît en compte pareille circonstance. Par conséquent, la requérante doit, de toute façon, se laisser opposer son manque de diligence.
3.3 Au demeurant, même si le motif de révision était avéré, la demande de révision ne pourrait être admise. Il ressort, en effet, des chiffres 87 à 96 de la sentence attaquée que, de l'avis du TAS, la requérante n'a pas mis en oeuvre la procédure préalable prévue dans le contrat de travail qui aurait dû être appliquée avant que l'intimé puisse être licencié. Cet argument surabondant, que la requérante laisse intact, suffirait à justifier le maintien de ladite sentence même s'il fallait admettre, sur le vu des nouvelles directives de l'AMA, que l'intimé s'est effectivement dopé et que les soupçons de la requérante étaient donc fondés.
4. Cela étant, la demande de révision ne peut qu'être rejetée, ce qui rend sans objet la requête d'effet suspensif pendante.
En conséquence, la requérante, qui succombe, devra payer les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF) et verser des dépens à l'intimé (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. La demande de révision est rejetée.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 9'000 fr., sont mis à la charge de la requérante.
3. La requérante versera à l'intimé une indemnité de 10'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 13 octobre 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo