Erwägungen:
1. X._ (geb. 1988) stammt aus Nigeria. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 28. August 2008 in Ausschaffungshaft, die das Haftgericht III Bern-Mittelland am 1. September 2008 prüfte und bis zum 27. November 2008 bestätigte. X._ beantragt vor Bundesgericht, seinen Fall zu prüfen und ihn aus der Haft zu entlassen.
2. Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann aufgrund der eingeholten Unterlagen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden; es erübrigt sich, zu prüfen, ob die Eingabe, soweit sie überhaupt lesbar bzw. verständlich ist, den Begründungsanforderungen von Art. 42 BGG genügt:
2.1 Der Beschwerdeführer ist im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen und aufgefordert worden, das Land bis zum 2. Mai 2008 zu verlassen, was er nicht getan hat. Er ist am 23. August 2008 in Thun angehalten worden, wobei er 20 Gramm Kokain und Fr. 640.-- auf sich trug; in der Folge hat er wiederholt erklärt, auf keinen Fall bereit zu sein, in seine Heimat zurückzukehren. Es besteht bei ihm damit Untertauchensgefahr im Sinne der Rechtsprechung zu Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 und Ziff. 4 AuG (SR 142.20; BGE 130 II 56 E. 3.1 mit Hinweisen). Da auch alle übrigen Haftvoraussetzungen erfüllt sind - insbesondere nicht gesagt werden kann, dass er nicht in absehbarer Zeit ausgeschafft werden könnte bzw. die Behörden sich nicht zielstrebig hierum bemühen würden -, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht.
2.2 Was der Beschwerdeführer hiergegen einwendet, überzeugt nicht: Soweit er geltend macht, in seiner Heimat verfolgt zu werden, verkennt er, dass hierüber im Asylverfahren rechtskräftig entschieden worden ist. Die Asyl- bzw. Wegweisungsfrage bildet grundsätzlich nicht (mehr) Gegenstand des Haftprüfungsverfahrens (vgl. BGE 128 II 193 E. 2.2 S. 197 ff.; 125 II 217 E. 2 S. 220); ebenso wenig ist in diesem der Frage nachzugehen, wie er in den Besitz des ihm abgenommenen Kokains gekommen ist und ob er mit Drogen gehandelt hat oder nicht. Seine Festhaltung ist ausschliesslich ausländerrechtlich motiviert und dient der Sicherstellung des Vollzugs seiner Wegweisung. Der Beschwerdeführer kann seine Haft verkürzen, indem er bei der Beschaffung seiner Papiere kooperiert. Nur soweit solche vorliegen, kann allenfalls geprüft werden, ob er - wie von ihm gewünscht - auch in einen Drittstaat ausgeschafft werden könnte (vgl. Art. 69 Abs. 2 AuG). Erscheint dies nicht möglich, ist nur sein Heimatstaat verpflichtet, ihm die Einreise zu erlauben (vgl. BGE 133 II 97 E. 4.2.2). Den geltend gemachten gesundheitlichen Problemen kann im Rahmen des Haftvollzugs Rechnung getragen werden.
3. Aufgrund der besonderen Umstände sind keine Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 1, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar