Sachverhalt:
A. Mit Verfügungen vom 12. August 2009 erhob die Ausgleichskasse Schwyz bei B._ Beiträge für Nichterwerbstätige für den Zeitraum September 2004 bis Dezember 2007. Bemessungsgrundlage bildete das von der Steuerverwaltung am 27. Juli 2009 gemeldete Vermögen ihres am ... September 2007 verstorbenen Ehemannes gemäss den Veranlagungen 2004 bis 2007. Mit Einspracheentscheid vom 26. Januar 2010 bestätigte die Ausgleichskasse die angefochtenen Beitragsverfügungen.
B. Die Beschwerde der B._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit Entscheid vom 22. April 2010 im Sinne der Erwägungen ab.
C. B._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 22. April 2010 und die entsprechenden AHV-Beitragsveranlagungen für die Jahre 2004 bis (und mit ... September) 2007 seien aufzuheben und die Sache zur Neufestsetzung der Beitragspflicht basierend auf dem doppelten Mindestbetrag an das kantonale Verwaltungsgericht oder die Ausgleichskasse zurückzuweisen.
Die Ausgleichskasse Schwyz beantragt die Abweisung der Beschwerde. Kantonales Verwaltungsgericht und Bundesamt für Sozialversicherungen haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. Der vorinstanzliche Entscheid ist lediglich angefochten, soweit er die Beiträge der Beschwerdeführerin als Nichterwerbstätige für den Zeitraum von September 2004 bis September 2007 betrifft. Die Beiträge für die Monate Oktober bis Dezember 2007 sind nicht bestritten und daher zufolge Rechtskraft der gerichtlichen Überprüfung entzogen (BGE 125 V 413 E. 2a S. 415, 117 V 294 E. 2b S. 295).
2. Die Beschwerdeführerin rügt, das kantonale Gericht habe sich mit ihrer Argumentation in der vorinstanzlichen Beschwerde nur unvollständig auseinandergesetzt und dadurch ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 BV) verletzt.
Die Vorinstanz hat die wesentlichen Argumente gegen die bestrittene Beitragsbemessung der Ausgleichskasse einzeln wiedergegeben. Nach Darlegung der Rechtsprechung zu den massgebenden Gesetzesbestimmungen (Art. 10 Abs. 1 AHVG und Art. 28 Abs. 4 AHVV) hat sie explizit zu zwei Vorbringen Stellung genommen und dargelegt, weshalb sie nicht stichhaltig sind. Es trifft zu, dass sich die Vorinstanz zu einem Hauptargument (vgl. hinten E. 4) nicht explizit geäussert hat. Soweit darin eine Verletzung der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV sowie Art. 61 lit. h ATSG und Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG abgeleiteten Begründungspflicht zu erblicken ist, wiegt der Mangel nicht schwer, war es doch der Beschwerdeführerin ohne weiteres möglich, das vorinstanzliche Erkenntnis sachgerecht anzufechten und kann dieser Aspekt letztinstanzlich umfassend geprüft werden (Urteil 9C_472/2010 vom 5. Juli 2010 E. 3.1 mit Hinweis).
3. Nichterwerbstätige bezahlen je nach ihren sozialen Verhältnissen einen Beitrag von 324 (ab 1. Januar 2003: 353, ab 1. Januar 2007 bis 31. Dezember 2008: 370) bis 8'400 Franken pro Jahr (Art. 10 Abs. 1 Satz 1 AHVG). Die Beiträge der Nichterwerbstätigen, für die nicht der jährliche Mindestbeitrag von 353 resp. 370 Franken (Art. 10 Abs. 2 AHVG) vorgesehen ist, bemessen sich aufgrund ihres Vermögens und des mit 20 multiplizierten Renteneinkommens nach einer Tabelle mit abgestuften Zuschlägen (Art. 28 Abs. 1 AHVV in den vom 1. Januar 2003 bis 31. Dezember 2008 gültig gewesenen Fassungen). Ist eine verheiratete Person als Nichterwerbstätige beitragspflichtig, so bemessen sich ihre Beiträge aufgrund der Hälfte des ehelichen Vermögens und Renteneinkommens (Art. 28 Abs. 4 Satz 1 AHVV). Diese Regelung gilt ungeachtet des Güterstandes der Eheleute, mithin auch bei Gütertrennung, und ist gesetzes- und verfassungskonform (BGE 135 V 361 E. 5.1 S. 364 mit Hinweisen), dies namentlich unter dem Gesichtspunkt der Ungleichbehandlung von Verheirateten und in eheähnlicher Gemeinschaft lebenden Personen (BGE 125 V 221).
4. 4.1 Die Beschwerdeführerin, welche im Zeitraum von September 2004 bis September 2007 mit ihrem am ... dieses Monats verstorbenen Ehemann unter dem Güterstand der Gütertrennung gelebt hatte, bringt wie schon im vorinstanzlichen Verfahren vor, beim ehelichen Vermögen nach Art. 28 Abs. 4 AHVV handle es sich um einen Begriff aus dem Güterrecht nach Art. 181 ff. ZGB, somit um einen klaren bestimmten Rechtsbegriff, welcher keine Interpretationsspielräume offenlasse. Im Rahmen der Gütertrennung gebe es nun aber "per se" kein eheliches Vermögen. Bei unter diesem Güterstand lebenden Ehegatten fehle somit grundsätzlich das Bemessungssubstrat. Die bisherige Rechtsprechung, welche diesen Aspekt bislang nicht geprüft habe, sei zu überdenken und in Wiedererwägung zu ziehen.
4.2 Der Begriff des ehelichen Vermögens findet sich weder in den gesetzlichen Bestimmungen zum Güterrecht der Ehegatten (Art. 181 ff. ZGB), noch handelt es sich dabei um ein Rechtsinstitut des Zivilrechts. Nach allgemeinem Sprachverständnis ist mit dem ehelichen Vermögen das Vermögen beider Ehegatten zusammen unabhängig vom Güterstand gemeint. Dies entspricht der Formulierung in den - gleichwertigen (BGE 135 IV 113 E. 2.4.2 S. 117) - französischen und italienischen Textfassungen von Art. 28 Abs. 4 AHVV, wonach die Beiträge auf der Grundlage u.a. "de la moitié de la fortune du couple" bzw. "alla metà della sostanza dei coniugi" erhoben werden. Auch das Bundesgericht versteht unter dem ehelichen Vermögen das Vermögen beider Ehegatten unabhängig vom (gewählten) Güterstand (vgl. BGE 113 III 49 E. 1.2.1 S. 50). Vom selben Verständnis ist im Übrigen auch der Verordnungsgeber ausgegangen (vgl. Erläuterungen zu den Änderungen vom 29. November 1995 zur Durchführung der 10. AHV-Revision, AHI 1996 S. 1 ff., 24, wo von den Vermögen und Renteneinkommen beider Ehegatten ohne Rücksicht auf den Güterstand die Rede ist). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin steht somit die Rechtsprechung nicht im Widerspruch zum Wortlaut von Art. 28 Abs. 4 AHVV. Im Übrigen gehören gesetzliche Sozialversicherungslasten zum Unterhalt der Familie, woran sich der Ehegatte der pflichtigen erwerbs- und vermögenslosen Person "nach seinen Kräften" nötigenfalls durch Geldzahlungen aus seinem Vermögen zu beteiligen hat (Art. 163 Abs. 1 und 2 ZGB; vgl. BGE 135 V 361 E. 5.3.2).
5. 5.1 Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, sie sei im fraglichen Zeitraum erwerbs- und vermögenslos gewesen, während ihr damals noch lebender Ehemann über ein Vermögen von mehr als Fr. 6 Mio. (2004) resp. Fr. 19 Mio. (2005-[... September]2007) verfügt habe. Die Festsetzung der Beiträge als Nichterwerbstätige auf der Grundlage der Hälfte dieses grossen Vermögens führe zu einer mit dem Gleichbehandlungsgebot nach Art. 8 Abs. 1 BV und dem Willkürverbot nach Art. 9 BV unvereinbaren Mehrbelastung gegenüber einer Konkubinatspartnerin in gleichen Verhältnissen.
5.2 Die Vorinstanz hat dieselbe Rüge unter Hinweis auf BGE 135 V 361 E. 5.1 S. 364 und BGE 125 V 221 als nicht stichhaltig erachtet. Danach ist die Ungleichbehandlung von Verheirateten gegenüber in eheähnlicher Gemeinschaft lebender Personen als Folge der Begrenzung des Nichterwerbstätigenbeitrags auf 8'400 Franken sowie dem abgestuften Zuschlag (vorne E. 3) sachlich begründet und war der Bundesrat nicht verpflichtet, von einer Beitragsbemessung u.a. auf der Grundlage der Hälfte des ehelichen Vermögens gemäss Art. 28 Abs. 4 AHVV abzusehen (BGE 125 V 221 E. 3e/cc in fine S. 229).
5.2 Die Vorinstanz hat dieselbe Rüge unter Hinweis auf BGE 135 V 361 E. 5.1 S. 364 und BGE 125 V 221 als nicht stichhaltig erachtet. Danach ist die Ungleichbehandlung von Verheirateten gegenüber in eheähnlicher Gemeinschaft lebender Personen als Folge der Begrenzung des Nichterwerbstätigenbeitrags auf 8'400 Franken sowie dem abgestuften Zuschlag (vorne E. 3) sachlich begründet und war der Bundesrat nicht verpflichtet, von einer Beitragsbemessung u.a. auf der Grundlage der Hälfte des ehelichen Vermögens gemäss Art. 28 Abs. 4 AHVV abzusehen (BGE 125 V 221 E. 3e/cc in fine S. 229).
5.3 5.3.1 Die Beschwerdeführerin führt insoweit richtig aus, dass die Gesamtbelastung von nichterwerbstätigen Ehepaaren in sehr guten finanziellen Verhältnissen höher ist, verglichen mit in eheähnlicher Gemeinschaft lebenden Paaren in gleicher finanzieller Lage (BGE 125 V 221 E. 3d/bb S. 226 f.). Das Vermögen des Ehemannes betrug im Zeitraum von September 2004 bis September 2007 mehr als Fr. 6,8 Mio. (2004) resp. über Fr. 19 Mio. (2005-[... September]2007). Die Beschwerdeführerin selber verfügte über kein Vermögen. Dies ergibt einen AHV-Nichterwerbstätigenbeitrag von Fr. 7'014.- (Fr. 2'856.- + 33 x Fr. 126.-; Art. 28 Abs. 1 AHVV in den vom 1. Januar 2003 bis 31. Dezember 2008 gültig gewesenen Fassungen) resp. Fr. 8'400.-. Demgegenüber hätte eine in einer eheähnlichen Gemeinschaft lebende Person bei im Übrigen gleichen Verhältnissen lediglich den Mindestbeitrag von Fr. 353.- (2003-2006) resp. Fr. 370.- (2007; vorne E. 3), somit erheblich weniger zu bezahlen.
5.3.2 Entgegen ihrer Auffassung wurde in BGE 125 V 221 jedoch keine massliche Schranke für eine gerade noch tolerierbare Mehrbelastung angegeben, bei deren Überschreitung ein Verstoss gegen das Gleichbehandlungsgebot nach Art. 8 Abs. 1 BV zu bejahen wäre. In E. 3e/aa S. 228 wurde zwar auf BGE 120 Ia 329 E. 6 S. 340 ff. hingewiesen, wo eine relative steuerliche Mehrbelastung eines Ehepaares mit Kindern im Vergleich zu einem Konkubinatspaar mit Kindern von mehr als 10 % als verfassungsmässig erachtet worden war. Daraus ergibt sich jedoch nichts zu ihren Gunsten. In E. 3e/cc S. 229 wurden die Gründe dargelegt, weshalb die Frage, ob die aus dem Gesetz sich ergebende beitragsrechtliche Ungleichbehandlung nichterwerbstätiger Verheirateter gegenüber Personen, welche in einer eheähnlichen Gemeinschaft leben, verfassungswidrig sei, anders zu beurteilen ist als im Bereich der Steuern. Das Eidg. Versicherungsgericht hatte abschliessend festgehalten, dass Ungleichheiten im Beitragsrecht in einem Regelungsbereich, der auch auf der Leistungsseite die Zivilstände ungleich behandle, eher hinzunehmen seien als bei den Steuern, die voraussetzungslos und nicht als Äquivalent für eine staatliche Leistung geschuldet seien. Die Beschwerdeführerin setzt sich nicht mit den betreffenden Erwägungen auseinander. Es sind auch keine anderen Gründe ersichtlich, die zu einer vertieften Auseinandersetzung mit BGE 125 V 221 und allenfalls einer davon abweichenden Beurteilung Anlass geben könnten. Die Beschwerde ist somit auch im zweiten gerügten Punkt unbegründet.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. September 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Fessler