Faits:
A. Le 11 avril 2006, Z._ a déposé plainte auprès de la police genevoise pour dénoncer le vol de son automobile Lancia Kappa, laquelle avait disparu d'une place de stationnement située devant son domicile à Thônex.
La police française a retrouvé l'automobile le lendemain 12 avril, abandonnée dans le lit d'un torrent, à 50 m en contrebas d'une route secondaire. L'endroit est retiré; il se trouve dans la commune de Lélex, à près de 50 km de Thônex.
Les risques de vol de ce véhicule, vol d'usage ou détroussement, à l'exclusion de l'abus de confiance, étaient couverts par la compagnie d'assurances X._ SA. Celle-ci a refusé ses prestations au motif que le vol ne lui paraissait pas établi.
B. Le 7 avril 2008, Z._ a ouvert action contre la compagnie d'assurances devant le Tribunal de première instance du canton de Genève. La défenderesse devait être condamnée à payer 34'432 fr. en capital, à titre de prestations d'assurance.
Le 6 novembre 2008, à concurrence de 14'886 fr., le tribunal a accueilli l'exception de chose jugée soulevée par la défenderesse. Ce jugement fut confirmé par la Cour de justice.
Le tribunal a pour le surplus rejeté l'action, par jugement du 22 avril 2010. Il a retenu que le vol du véhicule assuré n'était pas établi.
La Cour de justice a statué le 17 décembre 2010 sur l'appel du demandeur; réformant ce deuxième jugement, elle a condamné la défenderesse à payer 19'546 fr. avec intérêts au taux de 5% par an dès le 11 avril 2008.
C. Agissant par la voie du recours constitutionnel, la défenderesse requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Cour de justice en ce sens que l'action soit entièrement rejetée. Des conclusions subsidiaires tendent à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision.
Le demandeur conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF). La valeur litigieuse n'atteint pas le minimum légal de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF) et aucun des cas de dispense prévus par la loi ne se trouve réalisé (art. 74 al. 2 LTF); en conséquence, la cause n'est susceptible que du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF), à l'exclusion du recours ordinaire en matière civile. Le recours est dirigé contre un jugement final et de dernière instance cantonale (art. 75 al. 1, 90 et 117 LTF). La défenderesse a pris part à l'instance précédente et elle a succombé dans des conclusions concernant son propre patrimoine (art. 115 LTF). Le mémoire de recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) et il répond aux exigences légales (art. 42 al. 1 à 3 LTF).
Le recours constitutionnel ne peut être exercé que pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). Le Tribunal fédéral ne se saisit que des griefs soulevés et motivés de façon détaillée par la partie recourante (art. 106 al. 2 et 117 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 III 439 consid. 3.2 p. 444). Il doit statuer sur la base des faits constatés dans la décision attaquée; il ne peut rectifier ou compléter que les constatations de fait auxquelles l'autorité précédente est parvenue en violation des droits constitutionnels, pour autant que la partie recourante mette en évidence, de façon également détaillée, les constatations ainsi viciées (art. 118 LTF; ATF 133 III 439 ibidem; voir aussi ATF 136 II 489 consid. 2.8 p. 494; 133 III 393 consid. 7.1 p. 398).
2. Invoquant l'art. 9 Cst., la défenderesse fait grief à la Cour de justice d'avoir jugé arbitrairement que selon l'hypothèse la plus vraisemblable, le véhicule assuré a été effectivement volé au demandeur. Elle admet que la Cour devait apprécier les preuves au degré de la vraisemblance prépondérante, conformément à la jurisprudence consacrée en droit des assurances (ATF 131 III 321 consid. 3.5 p. 327).
En matière d'appréciation des preuves et de constatation des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire, et elle viole donc l'art. 9 Cst., lorsqu'elle ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, elle parvient à des constatations insoutenables (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1).
Selon la jurisprudence relative aux recours formés pour violation de droits constitutionnels (art. 106 al. 2 ou 116 LTF), celui qui se plaint d'arbitraire doit indiquer de façon précise en quoi la décision qu'il attaque est entachée d'un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; 133 II 396 consid. 3.2 p. 400; 136 II 489 consid. 2.8 p. 494).
3. Il est constant que le véhicule assuré a été retrouvé sans aucun dégât aux serrures des portières, à l'appareil de démarrage ni à l'antivol de la colonne de direction, c'est-à-dire sans traces d'effraction, alors que, selon les déclarations du demandeur, celui-ci l'avait soigneusement fermé à clé.
Il est aussi incontesté que le demandeur a parfois confié le véhicule et une clé à son garagiste, pour l'exécution de travaux de réparation, ou au préposé d'une station de lavage automatique. Selon la décision attaquée, il n'est pas exclu qu'une copie de cette clé ait pu être créée lors d'une de ces occasions, alors même que la défenderesse, sur la base d'un rapport technique que la Cour de justice juge dépourvu de force probante, affirme que les clés n'ont pas été copiées.
Pour parvenir à la conclusion que le vol est établi au degré de la vraisemblance prépondérante, la Cour prend en considération les éléments ci-après: lors de son audition par le Tribunal de première instance, le demandeur s'est expliqué de manière détaillée et apparemment complète sur son emploi du temps entre l'après-midi du 10 avril 2006, moment où il a quitté le véhicule, et la soirée du lendemain où il a déposé plainte; il ne se trouvait pas en situation de difficulté financière et il s'acquittait régulièrement du leasing et des primes d'assurance du véhicule; deux témoins ont confirmé qu'il était entièrement satisfait de cette voiture; le demandeur, ainsi qu'il l'a fait valoir, aurait compromis son emploi de gardien à la prison de Champ-Dollon s'il s'était aventuré dans une plainte pénale et une déclaration de sinistre mensongères; enfin, à supposer qu'il eût lui-même mené le véhicule au lieu de l'abandon, il aurait eu besoin d'un complice pour se faire reconduire à Thônex, ce qui accroissait le risque que la tromperie fût découverte.
4. A l'appui du grief d'arbitraire, la défenderesse ne présente qu'une argumentation très succincte. Elle persiste à contester qu'une clé du véhicule ait été copiée. Elle avance quelques considérations techniques, inconsistantes, alors que devant le Tribunal de première instance, elle s'est opposée à la requête du demandeur tendant à ce que les clés fussent soumises à une expertise judiciaire. Elle se réfère aussi, sur le même sujet, à des éléments de fait qui ne sont pas constatés dans la décision attaquée. Elle souligne encore que le demandeur a déclaré avoir vécu avec ses deux parents en 2006, à Thônex, alors que ceux-ci s'étaient séparés dès 2004. Rien de cela n'est de nature à révéler une erreur indiscutable dans l'appréciation de la Cour de justice, de sorte que, conformément à l'opinion du demandeur, la motivation du grief d'arbitraire est insuffisante. Il en résulte que le recours constitutionnel est irrecevable.
5. A titre de partie qui succombe, la défenderesse doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 2'000 francs.
3. La défenderesse versera une indemnité de 2'500 fr. au demandeur, à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 4 avril 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin