Sachverhalt:
A. A.a G._ wurde mit öffentlich-rechtlichem Anstellungsvertrag vom 18. März 2008 vom Bezirksrat Einsiedeln als "Leiterin Personalwesen" angestellt. Gemäss Ziffer 2 dieses Vertrages ist die Leiterin des Personalwesens dem Landschreiber als direktem Vorgesetztem unterstellt. Diese im Rahmen einer Reorganisation der Behörden und Verwaltungsstrukturen im Bezirk Einsiedeln neu geschaffene Arbeitsstelle trat G._ am 1. Juni 2008 an. Einen Monat später nahm der vom Stimmvolk des Bezirks Einsiedeln im Frühjahr 2008 neu gewählte Landschreiber E._ die Arbeit in seinem Amt auf.
A.b Nachdem in der Verwaltungsleitung des Bezirks seit längerem Spannungen bestanden hatten, ersuchten G._, der Abteilungsleiter Finanzen H._ und Schulleiter Z._ im Februar 2009 um ein Gespräch mit dem Bezirksammann, an welchem sie Vorbehalte gegenüber Landschreiber E._ erhoben. Ein Protokoll wurde nicht erstellt. Darauf setzten der Bezirksammann und der Landschreiber auf den 13. März 2009 eine Besprechung an, an welcher sich alle Mitglieder der Verwaltungsleitung und die Personalleiterin offen aussprechen sollten. In einem als "Persönlich/Vertraulich" bezeichneten Schreiben vom 12. März 2009 wandte sich die Beschwerdeführerin an den Bezirksammann und schilderte das aus ihrer Sicht schlechte Verhältnis insbesondere zum Landschreiber, dessen Verhalten sie als feindlich und destruktiv empfinde. Am 13. März 2009 fand die - wiederum nicht protokollierte - Aussprache statt. Es wurden weitere Aussprachen vorgesehen. Eine solche fand am 20. März 2009 zwischen dem Bezirksammann, dem Landschreiber und G._ statt. Letztere las ihre schriftlich vorgebrachten Vorhalte vor, die vom Landschreiber bestritten wurden. Am 31. März 2009 folgte eine weitere Aussprache, an welcher auch W._, der Abteilungsleiter Liegenschaften und frühere Sachbearbeiter Personal, teilnahm. Anlässlich dieses Gesprächs händigte Abteilungsleiter W._ ein Papier "Problemsituation Verwaltungsleitung" aus. G._ sagte, dass sie sich zu den darin erhobenen Vorwürfen nicht sofort äussern könne, sondern schriftlich Stellung nehmen werde. Am 7. April 2009 fand auf Ersuchen von O._, Abteilungsleiter Soziales, eine Besprechung zwischen diesem, dem Bezirksammann, dem Landschreiber und G._ statt. O._ hielt u.a. fest, dass die Vorwürfe im Papier von W._ zuträfen. Mit Schreiben vom 8. April 2009 (welches am 9. April 2009 bzw. am Donnerstag vor Ostern einging) erhob G._ ihrerseits Vorwürfe gegen den Landschreiber sowie gegen Abteilungsleiter W._ und beantragte dem Bezirksrat:
1. Das Arbeitsverhältnis des Angestellten W._ sei unverzüglich und fristlos zu kündigen.
2. Im Allermindesten sei E._ ein scharfer, schriftlicher Verweis zu erteilen, welcher zu den Personalakten zu nehmen sei.
3. Es sei die Stabstelle Personalleitung direkt dem Bezirksrat als Gremium oder aber einem einzelnen Bezirksrat zu unterstellen.
Daraufhin gewährte die Präsidialkommission des Bezirksrats G._ am 17. April 2009 das rechtliche Gehör. G._ erhielt am 21. April 2009 eine Kopie des Protokolls dieser Unterredung und bescheinigte am 22. April 2009 sinngemäss, ihre Aussagen seien an sich zutreffend, aber komprimiert festgehalten worden.
A.c Am 22. April 2009 fällte der Bezirksrat Einsiedeln folgenden Beschluss:
1. Das Arbeitsverhältnis mit Personalleiterin G._ ist unter Einhaltung der Kündigungsfrist von einem Monat auf den 31. Mai 2009 aufzulösen. Die Kündigung hat in Form eines begründeten Kündigungsschreibens zu erfolgen.
2. G._ ist per sofort von ihren Arbeitsverpflichtungen frei zu stellen. Nach erfolgter Kündigung hat sie den Arbeitsplatz sofort zu räumen.
3. Die Kündigung ist vom Bezirksammann und vom Landschreiber-Stellvertreter zu vollziehen.
Mit Schreiben vom 23. April 2009 teilte der Bezirksrat G._ mit, dass das bestehende Arbeitsverhältnis per 31. Mai 2009 aufgelöst und sie mit sofortiger Wirkung freigestellt werde. Mit Schreiben vom 27. April 2009 präzisierte der Bezirksrat, dass die Kündigungsfrist sechs Monate und nicht einen Monat betrage, womit das Anstellungsverhältnis mit dem Bezirk Einsiedeln am 31. Oktober 2009 ende.
A.d Mit Schreiben vom 28. April 2009 liess G._ dem Bezirksrat durch ihren Rechtsvertreter u.a. mitteilen, dass sie die Kündigung nicht akzeptiere und ihre Arbeitskraft weiterhin uneingeschränkt zur Verfügung stelle. Von diesem Schreiben nahm der Bezirksrat an seiner Sitzung vom 6. Mai 2009 Kenntnis und beschloss, an der Kündigung des Arbeitsverhältnisses festzuhalten. Dieses Ergebnis teilte der Bezirksrat G._ mit Schreiben vom 12. Mai 2009 mit.
B. Mit Klage vom 13. Juni 2009 gegen den Bezirk Einsiedeln stellte G._ beim Verwaltungsgericht Schwyz folgende Anträge:
1. Der Klägerin sei eine Abfindung i.S.v. § 21g Abs. 3 i.V.m. Abs. 2 PBV in der Höhe eines Jahressalärs sowie eine Entschädigung i.S.v. § 21g Abs. 3 PBV in der Höhe eines halben Jahressalärs zuzusprechen.
2. Die durch in Presse und Radio sowie verwaltungsintern verbreiteten wahrheitswidrigen Tatsachendarstellungen eingetretene und andauernde widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung i.S.v. Art. 28 Abs. 1 ZGB sei i.S.v. Art. 28a Abs. 1 Ziff. 2 ZGB zu beseitigen.
3. Gestützt auf die widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung i.S.v. Art. 28 Abs. 1 ZGB sei der Beklagte zu verpflichten, eine Gegendarstellung i.S.v. Art. 28g ZGB i.V.m. Art. 28a Abs. 2 ZGB zu den in Presse und Radio sowie verwaltungsintern verbreiteten wahrheitswidrigen Tatsachendarstellungen vorzunehmen.
4. Der Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin aufgrund ihrer durch die widerrechtliche Persönlichkeitsverletzung erlittenen immateriellen Unbill eine Genugtuung in der Höhe von Fr. 20'000.- auszurichten.
5. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Beklagten.
Das Verwaltungsgericht wies mit Entscheid vom 20. Mai 2010 das Begehren gemäss Ziffer 1 und jenes gemäss Ziffer 4, soweit damit eine Genugtuung im Zusammenhang mit den Umständen der Kündigung verlangt werde, ab. Auf die Anträge gemäss Ziffer 2 und 3 sowie Ziffer 4, soweit damit eine Genugtuung gestützt auf Art. 28a Abs. 3 ZGB verlangt werde, trat es nicht ein.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt G._ weiterhin die Zusprechung einer Abfindung in der Höhe eines Jahressalärs und einer Entschädigung i.S.v. § 21g Abs. 3 i.V.m. § 21f Abs. 2 PBV in der Höhe eines halben Jahressalärs beantragen. Im Übrigen sei der Entscheid der Vorinstanz aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an diese zurückzuweisen.
Der Bezirk Einsiedeln schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne.
D. Am 25. August 2011 hat das Bundesgericht eine öffentliche Urteilsberatung durchgeführt.
Erwägungen:
1. 1.1 Der angefochtene Entscheid ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG) und betrifft ein öffentlich-rechtliches Arbeitsverhältnis, d.h. eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinn von Art. 82 lit. a BGG. Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Streitigkeit, weshalb der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. g BGG nicht gegeben ist. Diesfalls ist die Beschwerde nur zulässig, wenn ein Streitwert von Fr. 15'000.- erreicht wird (Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG) oder wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Abs. 2). Vorliegend ist der Streitwert offensichtlich gegeben und ist auf die Beschwerde einzutreten.
1.2 Die Beschwerde kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Die Verletzung kantonaler und kommunaler Bestimmungen bildet nur dann einen zulässigen Beschwerdegrund, wenn eine derartige Rechtsverletzung einen Verstoss gegen Bundesrecht im Sinne von Art. 95 lit. a BGG oder gegen Völkerrecht im Sinne von Art. 95 lit. b BGG zur Folge hat (BGE 133 II 249 E. 1.2.1 S. 251 f.). Dies gilt auch im Bereich der öffentlich-rechtlichen Anstellungsverhältnisse, wenn das kantonale oder kommunale Personalrecht auf das Obligationenrecht verweist. Das Bundesprivatrecht gelangt diesfalls als ergänzendes kantonales oder kommunales Recht zur Anwendung (vgl. ARV 2009 S. 311, 8C_340/2009 E. 1.2; Urteile 8C_1053/2009 vom 16. August 2010 E. 2.2 und 1C_59/2008 vom 28. November 2008 E. 1.3).
1.3 In Ergänzung zu den Rügen, die sich auf Art. 95 f. BGG stützen, sind unter den engen Voraussetzungen von Art. 97 Abs. 1 BGG auch Vorbringen gegen die Sachverhaltsfeststellung zulässig. Ein solcher Einwand kann nach der letztgenannten Bestimmung nur erhoben werden, wenn die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig - das heisst willkürlich - ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252). Die Verletzung kann auch in einer unvollständigen Sachverhaltsfeststellung bestehen (Urteile 9C_534/2007 vom 27. Mai 2008 E. 1 mit Hinweisen; ULRICH MEYER, N 58-61 zu Art. 105, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger [Hrsg.], Basler Kommentar Bundesgerichtsgesetz, Basel 2008 [BSK BGG]). Willkür liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133 mit Hinweisen; Urteil 8C_340/2009 vom 24. August 2009 E. 1.3, nicht publiziert in: ARV 2009 S. 311).
2. 2.1 Grundlage für die Beurteilung der vorliegenden Streitsache bilden die Personal- und Besoldungsverordnung des Bezirkes Einsiedeln vom 17. Januar 2008 (PBV) und die Vollzugsverordnung dazu vom 31. Januar 2008 (VVzPBV). Gemäss § 6 Abs. 2 PBV gilt ergänzend das Obligationenrecht, wenn weder der PBV noch ihren Vollzugserlassen eine Vorschrift entnommen werden kann.
2.2 Das Arbeitsverhältnis der Angestellten endet u.a. durch Kündigung (§ 18 lit. a PBV) oder durch Auflösung aus wichtigen Gründen (lit. b).
Das Verfahren der Kündigung durch den Arbeitgeber regelt § 21 PBV wie folgt:
"1. Will die Anstellungsbehörde einem Mitarbeiter kündigen, hat er (recte: sie) ihm zuerst das rechtliche Gehör zu gewähren.
2. Die Kündigung ist von der Anstellungsbehörde schriftlich zu begründen.
3. Bevor einem Mitarbeiter nach Ablauf der Probezeit gekündigt werden kann, der nicht geeignet ist, seine Aufgabe zu erfüllen oder dessen Leistung und Verhalten nicht befriedigen, sind ihm die Beanstandungen durch eine Mitarbeiterbeurteilung vorzuhalten und ist ihm eine Bewährungsfrist von mindestens drei Monaten anzusetzen."
Unter dem Titel "sachlicher Kündigungsschutz" gilt, dass die Kündigung nicht missbräuchlich nach den Bestimmungen des Obligationenrechts sein darf und einen sachlichen Grund voraussetzt (§ 21a Abs. 1 PBV). Ein sachlicher Grund liegt u.a. vor, wenn ein Mitarbeiter nicht geeignet ist, seine Aufgabe zu erfüllen oder wenn seine Leistung und sein Verhalten nicht befriedigen (§ 21a Abs. 2 lit. b PBV).
Ausserdem kann das Arbeitsverhältnis aus wichtigen Gründen jederzeit aufgelöst werden. Auch diese Auflösung hat schriftlich und mit Begründung zu erfolgen. Als wichtiger Grund gilt jeder Umstand, bei dessen Vorhandensein nach Treu und Glauben die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht zumutbar ist (§ 21c PBV).
2.3 Zu den Folgen einer unzulässigen Kündigung oder Auflösung sieht der hier interessierende Absatz 2 des § 21f PBV vor:
"Ist eine Kündigung missbräuchlich nach den Bestimmungen des Obligationenrechts, ist eine Kündigung ohne sachlich zureichenden Grund nach § 21a Abs. 2 oder in Missachtung der Verfahrensvorschriften nach § 21 ausgesprochen worden oder ist eine fristlose Entlassung nach § 21c ohne wichtigen Grund erfolgt, entstehen finanzielle Ansprüche nach § 21g, sofern der betroffene Mitarbeiter nicht wieder eingestellt wird. Hingegen kann in diesen Fällen kein Anspruch auf die Fortführung des Arbeitsverhältnisses abgeleitet werden."
Gemäss § 21g Abs. 3 PBV bestehen die erwähnten finanziellen Ansprüche des betroffenen Mitarbeiters in einer Abfindung nach Absatz 2 und in einer zusätzlichen Entschädigung, die höchstens dem letzten halben Jahreslohn entspricht. Gemäss Absatz 2 entspricht die Abfindung höchstens dem letzten Jahreslohn und wird vom Bezirksrat nach bestimmten Gesichtspunkten festgesetzt.
3. Der Beschwerdeführerin wurde mit Schreiben vom 23. April 2009 "unter Einhaltung der in § 20 Abs. 1 lit. a der Personal- und Besoldungsverordnung des Bezirkes Einsiedeln festgelegten Kündigungsfrist von einem Monat per 31. Mai 2009" gekündigt. Mit Schreiben vom 27. April 2009 wurde das Beendigungsdatum im Hinblick auf die im Arbeitsvertrag enthaltene Kündigungsfrist von sechs Monaten auf den 31. Oktober 2009 geändert. Von ihrer Arbeitspflicht wurde die Beschwerdeführerin mit sofortiger Wirkung freigestellt.
Die Kündigung wurde im Schreiben vom 23. April 2009 wie folgt begründet:
"Vor allem aufgrund Ihres Schreibens vom 8. April 2009 an den Bezirksrat hat sich das Vertrauensverhältnis zwischen Ihnen und dem Landschreiber sowie weiteren Mitarbeitern so stark verschlechtert, dass eine weitere Zusammenarbeit für den Bezirk nicht mehr zumutbar ist".
3.1 Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin habe in dem genannten Schreiben vom 8. April 2009 die "Amtsenthebung" des vom Stimmvolk gewählten Landschreibers gefordert und unmissverständlich erklärt, dass sie den Landschreiber als Vorgesetzten nicht mehr akzeptieren könne, dass das Vertrauensverhältnis zwischen ihm und ihr vollends zerstört und eine Zusammenarbeit mit ihm nicht mehr möglich sei. Mit ihrer Weigerung, mit dem Landschreiber als Vorgesetztem länger zusammen zu arbeiten, habe sie einen wichtigen Grund zur Auflösung des Arbeitsverhältnisses im Sinn von § 21c PBV gesetzt. Entsprechend gehe auch die Rüge der Beschwerdeführerin fehl, das in § 21 Abs. 3 PBV enthaltene Kündigungsverfahren (Mitarbeitergespräch, Bewährungsfrist) sei nicht eingehalten worden. Diese Bestimmung betreffe nur Konstellationen, bei welchen der Mitarbeiter nicht geeignet sei, seine Aufgabe zu erfüllen, oder dessen Leistung und Verhalten nicht befriedigten. Diese Bestimmung gelte indessen nicht für Fälle gemäss § 21c PBV, wonach das Arbeitsverhältnis aus wichtigen Gründen jederzeit aufgelöst werden könne. Es sei denn auch nicht einzusehen, weshalb der Beschwerdeführerin noch eine Bewährungsfrist anzusetzen gewesen wäre, nachdem sie den Landschreiber als Vorgesetzten nicht akzeptiert und die weitere Zusammenarbeit abgelehnt habe.
3.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Arbeitsverhältnis sei ordentlich, unter Einhaltung der Kündigungsfrist, aufgelöst worden. Wenn die Vorinstanz behaupte, es liege eine fristlose Auflösung gemäss § 21c PBV vor, wende sie das kantonale Recht willkürlich an. Demzufolge hätten die zwingenden Verfahrensvorschriften von § 21 PBV - schriftliche Begründung, Mitarbeiterbeurteilung, Ansetzen einer Bewährungsfrist - eingehalten werden müssen. Tatsächlich sei aber weder die erforderliche Mitarbeiterbeurteilung durchgeführt noch eine Bewährungsfrist angesetzt worden. Die Argumentation des kantonalen Gerichts, eine Bewährungsfrist sei nicht anzusetzen gewesen, weil die Beschwerdeführerin die weitere Zusammenarbeit verweigert habe, sei verfehlt. Während dieser Periode hätte die von ihr vorgeschlagene Entflechtung der Kompetenzen zwischen Landschreiber und Leiterin Personalwesen vorgenommen und damit die Situation beruhigt werden können. Die Nichtanwendung von § 21 Abs. 3 PBV sei willkürlich.
3.3 Der Beschwerdegegner hält dem entgegen, er habe das Arbeitsverhältnis aufgrund des zerstörten Vertrauensverhältnisses, mithin aus wichtigen Gründen nach § 21c PBV, aufgelöst. Seien die Voraussetzungen für eine Auflösung aus wichtigen Gründen gegeben, so könne der Arbeitgeber fristlos kündigen, müsse aber nicht. Stattdessen könne er auch ordentlich oder auf eine verkürzte Frist (sog. Sozialfrist) kündigen. Ungeachtet dessen habe er die Verfahrensvorschriften von § 21 Abs. 1 und 2 PBV eingehalten. Einzig die Bewährungsfrist sei nicht angesetzt worden. Eine solche wäre aber sinn- und zwecklos gewesen und daher habe darauf verzichtet werden können.
3.3 Der Beschwerdegegner hält dem entgegen, er habe das Arbeitsverhältnis aufgrund des zerstörten Vertrauensverhältnisses, mithin aus wichtigen Gründen nach § 21c PBV, aufgelöst. Seien die Voraussetzungen für eine Auflösung aus wichtigen Gründen gegeben, so könne der Arbeitgeber fristlos kündigen, müsse aber nicht. Stattdessen könne er auch ordentlich oder auf eine verkürzte Frist (sog. Sozialfrist) kündigen. Ungeachtet dessen habe er die Verfahrensvorschriften von § 21 Abs. 1 und 2 PBV eingehalten. Einzig die Bewährungsfrist sei nicht angesetzt worden. Eine solche wäre aber sinn- und zwecklos gewesen und daher habe darauf verzichtet werden können.
3.4 3.4.1 Wie sich aus den beiden Schreiben des Beschwerdegegners vom 23. und 29. April 2009 - insbesondere der im Nachhinein verfügten Korrektur zur Wahrung der vertraglichen Kündigungsfrist gemäss Schreiben vom 29. April 2009 - unzweifelhaft ergibt, handelt es sich vorliegend um eine ordentliche Kündigung und nicht um eine fristlose. Der Beschwerdegegner und allenfalls auch die Vorinstanz (ihre Argumentation ist nicht klar) gehen sinngemäss davon aus, die Verfahrensvorschriften für eine ordentliche Kündigung müssten nicht eingehalten werden, wenn zwar ordentlich gekündigt wurde, jedoch der Kündigungsgrund auch eine fristlose Kündigung gerechtfertigt hätte. Entscheidend sei somit einzig, dass materiell ein Grund für eine fristlose Kündigung vorgelegen habe.
Das trifft nicht zu. § 18 PBV zählt die Beendigungsgründe abschliessend auf. Der Arbeitgeber muss sich für die ordentliche Kündigung oder die - fristlose - Auflösung aus wichtigen Gründen entscheiden. Eine weitere Möglichkeit sieht die PBV nicht vor. Insbesondere gibt es nicht so etwas wie eine fristlos-ordentliche Kündigung (mit den Verfahrensvorschriften einer fristlosen und den Voraussetzungen und Rechtsfolgen der ordentlichen Kündigung). § 21c Abs. 2 PBV (Auflösung aus wichtigen Gründen) entspricht praktisch wörtlich Art. 337 Abs. 2 OR (fristlose Auflösung aus wichtigen Gründen). Zur Auslegung kann daher die zu Art. 337 Abs. 1 und 2 OR entwickelte Praxis angemessen berücksichtigt werden. Danach rechtfertigt nur ein besonders schweres Fehlverhalten des Angestellten, welches die Weiterführung des Arbeitsverhältnisses für den Arbeitgeber unzumutbar macht, die fristlose Kündigung (BGE 130 III 28 E. 4.1 S. 31; Urteile 4A_32/2008 vom 20. Mai 2008 E. 3.1 und 2A.495/2006 vom 30 April 2007 E. 2, je mit weiteren Hinweisen). Kündigt ein Arbeitgeber ordentlich, gibt er damit zu erkennen, dass er selber die Weiterführung des Arbeitsverhältnisses bis zum Ablauf der Kündigungsfrist als zumutbar erachtet. Den Voraussetzungen für eine fristlose Auflösung muss daher in solchen Fällen nicht weiter nachgegangen werden. Nichts anderes ergibt sich auch aus dem vom Beschwerdegegner zitierten BGE 123 III 86. Vielmehr wird dort ausgeführt, entscheide sich der Arbeitgeber für eine ordentliche Kündigung, verliere er das Recht auf eine fristlose Auflösung (E. 2b S. 88). Ebenso wenig lässt sich aus der vom Beschwerdegegner angeführten (privatrechtlichen) Lehre zur sog. Sozialfrist bzw. zur sog. vorzeitigen Kündigung etwas anderes ableiten. Soweit die Lehre eine solche befürwortet, wird gleichzeitig festgestellt, dass die Sozialfrist aber jedenfalls nicht die Frist für die ordentliche Kündigung erreichen darf; denn damit habe der Kündigende zu erkennen gegeben, dass ihm die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses bis zum Ablauf der Frist der ordentlichen Kündigung nicht unzumutbar sei (MANFRED REHBINDER, Berner Kommentar, N. 19 zu Art. 337 OR; ADRIAN STAEHELIN, Zürcher Kommentar, N. 40 zu Art. 337 OR; vgl. auch Urteil 4C.174/2003 vom 27. Oktober 2003 E. 3.2.1).
§ 21a Abs. 2 PBV enthält einen abschliessenden Katalog der sachlichen Kündigungsgründe. Der vom Beschwerdegegner im Kündigungsschreiben vom 23. April 2009 geltend gemachte Grund - "Vertrauensverlust" - ist dort nicht als eigenständiger Kündigungsgrund genannt. Die Argumentation der Vorinstanz und des Beschwerdegegners läuft aber darauf hinaus, letztlich einen selbständigen Kündigungsgrund des Vertrauensverlusts zu bejahen, bei dem - wie auch bei den Kündigungstatbeständen gemäss § 21a Abs. 2 lit. a, c, d und e und anders als bei lit. b - die Verfahrensvorschriften gemäss § 21 Abs. 3 PBV nicht gelten. Das würde bedeuten, dass jedes als mangelhaft empfundene Verhalten in eine Störung des Vertrauensverhältnisses umdeutbar wäre und so die besonderen Schutzvorschriften des § 21 Abs. 3 PBV umgangen werden könnten. Der Beschwerdegegner hatte ursprünglich nicht dargelegt, auf welchen der sachlichen Kündigungsgründe gemäss § 21a Abs. 2 PBV er sich stützt. Im Protokoll vom 22. April 2009, wo er die Kündigung in Ergänzung zum Kündigungsschreiben vom 23. April 2009 vertiefter begründete, führte er einzig unter Hinweis auf ZBl 2003 S. 202, aus, es genügten sachlich vertretbare Gründe. Es reiche daher, wenn die Weiterbeschäftigung dem öffentlichen Interesse an einer funktionierenden Verwaltung widerspreche. Damit verkannte der Beschwerdegegner, dass dem von ihm zitierten Präjudiz eine Regelung zugrunde lag, die keine besonderen materiellen Voraussetzungen für eine ordentliche Kündigung enthielt.
Die vorinstanzliche Begründung, dass vorliegend die Verfahrensvorschriften von § 21 Abs. 3 PBV nicht einzuhalten waren, weil diese für Fälle nach § 21c PBV nicht gälten, erweist sich daher als willkürlich.
3.4.2 Eine willkürliche Begründung für sich allein genügt aber nicht. Vielmehr muss der Entscheid auch im Ergebnis unhaltbar sein, damit er vom Bundesgericht aufgehoben werden kann.
Die ordentliche Kündigung setzt wie dargelegt einen der sachlichen Kündigungsgründe gemäss § 21a Abs. 2 PBV voraus. Für diesen Fall gehen die Parteien stillschweigend davon aus, dass der geltend gemachte Vertrauensverlust unter § 21a Abs. 2 lit. b PBV zu subsumieren ist. Nachdem Vertrauensverlust nicht im luftleeren Raum entsteht, sondern in der Regel auf ein bestimmtes Verhalten oder allenfalls eine unbefriedigende Leistung zurückzuführen ist, besteht kein Anlass, die Subsumtion unter § 21a Abs. 2 lit. b PBV ("... oder wenn seine Leistung und sein Verhalten nicht befriedigen") in Frage zu stellen.
Für den Kündigungsgrund von § 21a Abs. 2 lit. b PBV sieht § 21 Abs. 3 PBV die Durchführung einer Mitarbeiterbeurteilung und das Ansetzen einer mindestens dreimonatigen Bewährungsfrist vor. Die Bestimmung enthält - anders als andere kantonale Regelungen (z.B. § 19 Abs. 1 des Gesetzes über das Arbeitsverhältnis des Staatspersonals des Kantons Zürich, LS 177.10: "Bevor die Anstellungsbehörde eine Kündigung aufgrund mangelnder Leistung oder unbefriedigenden Verhaltens ausspricht, räumt sie der oder dem Angestellten eine angemessene Bewährungsfrist von längstens sechs Monaten ein. Von einer Bewährungsfrist kann ausnahmsweise abgesehen werden, wenn feststeht, dass sie ihren Zweck nicht erfüllen kann") - keine Ausnahme für den Fall, dass die Bewährungsfrist zwecklos erscheint. Wenn die Vorinstanz trotzdem - die Begründung ist wie dargelegt nicht klar - wegen Nutzlosigkeit auf das Ansetzen einer Bewährungsfrist verzichten will, legt sie das kantonale Recht willkürlich aus.
3.4.3 Falls mit der Begründung, eine Bewährungsfrist hätte nicht angesetzt werden müssen, weil die Beschwerdeführerin die weitere Zusammenarbeit mit dem Landschreiber und einem Abteilungsleiter verweigerte, gemeint sein soll, sie habe damit ihre Arbeitspflicht nicht erfüllt - womit allenfalls der Kündigungsgrund gemäss § 21a Abs. 2 lit. c PBV (schwere Verletzung der Pflichten aus dem Arbeitsverhältnis) zur Diskussion gestanden wäre - ist darauf nicht weiter einzugehen. Der Beschwerdegegner hat sich nie auf diesen Kündigungsgrund berufen.
3.4.4 Unbestrittenermassen (E. 3.3 und 3.4 hiervor) wurde keine Bewährungsfrist nach § 21 Abs. 3 PBV angesetzt. Auch die nach dieser Bestimmung vorgeschriebene Mitarbeiterbeurteilung fand nicht statt. Die Beschwerdeführerin hat somit Anspruch auf eine Abfindung und eine zusätzliche Entschädigung gemäss § 21g Abs. 3 PBV.
4. 4.1 Gemäss Kündigungsschreiben vom 23. April 2009 und Protokoll vom 22. April 2009 war für den Beschwerdegegner vor allem das Schreiben der Beschwerdeführerin vom 8. April 2009 an den Bezirksrat massgeblich. Aufgrund der in diesem Schreiben enthaltenen überaus schweren Anschuldigungen gegenüber dem Landschreiber und den beiden Abteilungsleitern W._ und O._ sei eine weitere Zusammenarbeit nicht mehr denkbar. Ein grosser Teil der Anschuldigungen ziele auf deren Persönlichkeit. Die Fürsorgepflicht gebiete es dem Arbeitgeber zu handeln und die involvierten Arbeitnehmer nicht unzumutbaren Belastungen auszusetzen.
4.2 Das kantonale Gericht bejahte einen sachlichen Kündigungsgrund in diesem Sinn. Indem die Beschwerdeführerin in ihrem Schreiben vom 8. April 2009 den (vom Volk gewählten) Landschreiber als Vorgesetzten abgelehnt und eine weitere Zusammenarbeit mit ihm als unmöglich erachtet sowie ihm schwerwiegendes Fehlverhalten vorgeworfen habe, ohne dies ausreichend begründen zu können, habe sie einen wichtigen Grund für die Auflösung des Arbeitsverhältnisses geschaffen.
4.3 Die Beschwerdeführerin rügt, mit der alleinigen Fokussierung auf das Schreiben vom 8. April 2009 urteile die Vorinstanz willkürlich. Diese negiere damit die Schwere der Ereignisse, welche vorausgegangen seien. Die Beschwerdeführerin macht insbesondere wie bereits vorinstanzlich geltend, die Kündigung sei missbräuchlich. Sie sieht diese Missbräuchlichkeit darin, dass ihre Vorwürfe betreffend Mobbing, Schikanen und Missstände ungenügend abgeklärt worden seien. Der Arbeitgeber hätten ohne Zeitdruck ihre Vorwürfe prüfen müssen - genauso wie diejenigen von Abteilungsleiter W._ -, um dann, auch in Wahrung seiner Fürsorgepflicht, die erforderlichen Massnahmen (z.B. die Entflechtung der Kompetenzbereiche Landschreiber/Leitung Personalwesen) zu ergreifen.
4.4 § 21a Abs. 1 PBV verlangt unter dem Titel "sachlicher Kündigungsschutz" zweierlei, erstens, dass eine Kündigung nicht missbräuchlich nach den Bestimmungen des Obligationenrechts sein darf und zweitens, dass ein sachlich zureichender Grund vorliegt. Mit dem Erfordernis des sachlich zureichenden Kündigungsgrundes geht der öffentlich-rechtliche Kündigungsschutz weiter als jener im privaten Arbeitsrecht, wo grundsätzlich Kündigungsfreiheit besteht und die Kündigung einzig durch die Missbrauchstatbestände des Obligationenrechts beschränkt ist (vgl. Urteile 2P.252/2006 vom 13. März 2007 E. 3.1 und 2A.71/2001 vom 22. Mai 2001 E. 2c). Das Erfordernis des sachlichen Kündigungsgrundes einerseits und des Verbots des Rechtsmissbrauchs andererseits können insbesondere dort zu Abgrenzungsschwierigkeiten führen, wo der sachliche Grund mit einem bestimmten Verhalten des Arbeitnehmers begründet wird. Dieser Vorwurf lässt sich zumeist nicht klar objektivieren und stellt in der Regel einen verschuldensunabhängigen Kündigungsgrund dar (HARRY NÖTZLI, Die Beendigung von Arbeitsverhältnissen im Bundespersonalrecht, Bern 2005, Rz 140, bezogen auf Art. 12 Abs. 6 lit. b BPG - "Mängel ... im Verhalten"). Bei Kündigungen aufgrund eines Verhaltens des Mitarbeiters, das jedoch seinerseits aufgrund eines Konflikts zwischen verschiedenen Mitarbeitern oder zwischen Vorgesetzten und Mitarbeitern entstanden ist, können daher die Ursachen dieser Spannungen unter Umständen sowohl bei der Würdigung des sachlichen Kündigungsgrundes wie bei der Frage, ob eine sachlich begründete Kündigung nicht rechtsmissbräuchlich war, von Bedeutung sein. Wie es sich damit im Hinblick auf § 21a Abs. 1 PBV verhält, kann hier jedoch offen bleiben, zumal diese Bestimmung sowohl gegen eine missbräuchliche als auch gegen eine sachlich unbegründete Kündigung schützt und im Übrigen aus den in der nachfolgenden E. 5.1 aufgeführten Urteilen hervorgeht, dass auch eine sachlich an sich begründete Kündigung missbräuchlich sein kann. Die Beschwerdeführerin bemängelt zwar, dass die Vorinstanz die Umstände, die zu ihrem Schreiben vom 8. April 2009 geführt hätten, nicht in ihre Würdigung einbezogen habe. Sie begründet aber in der Beschwerde ihren Entschädigungsanspruch gemäss Ziffer 1 ihrer Rechtsbegehren ausdrücklich nur (nebst der Verletzung von Verfahrensvorschriften) mit der Missbräuchlichkeit der Kündigung. Sie rügt damit nicht das Fehlen eines sachlichen Kündigungsgrundes nach kantonalem Recht. Nachfolgend ist somit zu prüfen, ob die Kündigung missbräuchlich nach den Bestimmungen des Obligationenrechts war.
5. 5.1 Missbräuchlich ist eine Kündigung, wenn sie aus bestimmten Gründen ausgesprochen wird, die in Art. 336 OR umschrieben sind. Die Aufzählung in Art. 336 OR ist indessen nicht abschliessend. Sie konkretisiert vielmehr das allgemeine Rechtsmissbrauchsverbot. Eine missbräuchliche Kündigung kann somit auch aus andern Gründen bejaht werden. Der Vorwurf der Missbräuchlichkeit setzt indessen voraus, dass die geltend gemachten Gründe eine Schwere aufweisen, die mit jener der in Art. 336 OR ausdrücklich aufgeführten vergleichbar ist (BGE 136 III 513 E. 2.3 S. 514 f.; 132 III 115 E. 2.1 S. 116 f.; 131 III 535 E. 4.2 S. 538; 125 III 70 E. 2a S. 72; Urteil 4C.234/2001 vom 10. Dezember 2001 E. 3a und b, nicht publ. in: BGE 128 III 129; je mit Hinweisen). So kann eine Kündigung rechtsmissbräuchlich sein wegen der Art und Weise, wie sie ausgesprochen wurde, weil die kündigende Partei ein falsches und verdecktes Spiel treibt, das Treu und Glauben krass widerspricht, wegen einer schweren Persönlichkeitsverletzung im Umfeld der Kündigung (BGE 136 III 513 E. 2.3 S. 515; 132 III 115 E. 2.2 S. 117; 131 III 535 E. 4.2 S. 538 f.; 125 III 70 E. 2b S. 73), bei einem offensichtlichen Missverhältnis der auf dem Spiel stehenden Interessen oder wenn das Kündigungsrecht zweckwidrig ausgeübt wird (BGE 136 III 513 E. 2.3 S. 515; 132 III 115 E. 2.4 S. 118; 131 III 535 E. 4.2 S. 539). Mobbing an sich begründet den Missbrauch des Kündigungsrechts nicht ohne weiteres. Denkbar ist in diesem Zusammenhang allerdings, dass eine Kündigung etwa dann missbräuchlich sein kann, wenn sie wegen einer Leistungseinbusse des Arbeitnehmers ausgesprochen wird, die sich ihrerseits als Folge des Mobbing erweist. Denn die Ausnutzung eigenen rechtswidrigen Verhaltens bildet einen typischen Anwendungsfall des Rechtsmissbrauchs. Der Arbeitgeber, der Mobbing nicht verhindert, verletzt seine Fürsorgepflicht. Er kann daher die Kündigung nicht mit den Folgen seiner eigenen Vertragsverletzung rechtfertigen (BGE 125 III 70 E. 2a S. 72 f.; Pra 2009 Nr. 74 S. 496, 1C_245/2008 E. 4.2; Urteile 4C.189/2003 vom 23. September 2003 E. 5.1 und 4C.253/2001 vom 18. Dezember 2001 E. 2 und 3). Ferner gilt, dass eine Kündigung nicht missbräuchlich ist, wenn wegen des schwierigen Charakters eines Arbeitnehmers eine konfliktgeladene Situation am Arbeitsplatz entstanden ist, die sich schädlich auf die gemeinsame Arbeit auswirkt, und wenn der Arbeitgeber zuvor sämtliche ihm zumutbaren Vorkehren getroffen hat, um den Konflikt zu entschärfen. Hat sich der Arbeitgeber aber nicht oder ungenügend um die Lösung des Konflikts bemüht, ist er seiner Fürsorgepflicht nicht hinreichend nachgekommen, weshalb sich die Kündigung als missbräuchlich erweist (BGE 132 III 115 E. 2.2 S. 117; 125 III 70 E. 2c S. 74).
5.2 Ein zentraler Vorwurf gegenüber dem Landschreiber und dem Abteilungsleiter W._ im Schreiben vom 8. April 2009 bezog sich auf das von letzterem vorgelegte Papier "Problemsituation Verwaltungsleitung". Insbesondere stützte die Beschwerdeführerin ihre Vorbringen gegen den Landschreiber darauf, dass dieser bereits fünf Tage vor der Aussprache vom 31. März 2009 Kenntnis von diesem Papier gehabt bzw. allenfalls sogar selber daran mitgewirkt habe.
Das kantonale Gericht erachtete dieses Papier als nicht entscheidend.
5.2.1 Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz verharmlose das Papier, indem sie es als "Arbeitspapier" bzw. "Diskussionspapier" bezeichne, welches lediglich die subjektive Sicht eines Teilnehmers wiedergebe. Es sei willkürlich, wenn das kantonale Gericht im Zusammenhang mit der Verbreitung dieses Papiers keine schwerwiegende Verfehlung des Landschreibers erblickt habe. Zudem sei es bezeichnend, dass der vorinstanzliche Entscheid die Aussprache vom 7. April 2009 mit Abteilungsleiter O._, an welcher sich dieser hinter das Papier "Problemsituation Verwaltungsleitung" von Abteilungsleiter W._ gestellt habe, überhaupt nicht erwähne, obwohl dies ein wesentliches Glied in der Kette von Mobbing-Attacken gegenüber der Beschwerdeführerin gewesen sei.
5.2.2 Wenn die Vorinstanz ausführt, für die Beschwerdeführerin sei erkennbar gewesen, "dass dieses Arbeitspapier von W._ vorgetragen und als sein Werk präsentiert wurde", verkennt sie dessen Tragweite. Der Landschreiber hielt dazu in seinem e-mail vom 13. April 2008 u.a. fest: "In Sachen W._ war ich ehrlich und sagte, dass er mir sein Dokument gezeigt habe. Ich sagte ihm, es handle sich um sehr schwerwiegende Vorwürfe, welche er nötigenfalls beweisen müsse. Er sagte, er stehe dazu und ich hatte weder das Recht noch die Pflicht, ihm einen Maulkorb zu verpassen." Gemäss der vom Beschwerdegegner eingereichten "Organisations- und Kompetenzordnung des Bezirks Einsiedeln" vom 10. Oktober 2006, Ziffer 6.1, ist der Landschreiber Vorsitzender der Verwaltungsleitung, welcher die einzelnen Abteilungsleiter angehören. Er verfügt gegenüber den Abteilungsleitenden in fachunabhängigen, abteilungsübergreifenden Fragestellungen über eine Weisungsbefugnis. Der Angriff eines Abteilungsleiters gegenüber der Leiterin Personalwesen gehört zweifellos zu den fachunabhängigen und abteilungsübergreifenden Fragestellungen. Wenn ein Mitarbeiter "sehr schwerwiegende Vorwürfe" äusserte, die der Landschreiber selber als noch nicht bewiesen erachtete, hätte dieser daher darauf hinwirken müssen, dass diese zuerst abgeklärt werden. Das Schreiben des Abteilungsleiters W._, das vom Landschreiber nicht unterbunden und vom Abteilungsleiter O._ unterstützt wurde, war daher zweifellos eine Provokation.
5.3 Missbräuchlichkeit liegt wie dargelegt (E. 5.1) insbesondere vor, wenn der Arbeitgeber selber eine Ursache für das dem Mitarbeiter vorgeworfene Verhalten gesetzt hat.
5.3.1 Die Spannungen zwischen der Beschwerdeführerin und dem Landschreiber hingen massgeblich mit Kompetenzabgrenzungen zusammen. Hintergrund war eine im Jahr 2005 durchgeführte Behördenreform, nach welcher der Landschreiber als Personalchef fungierte, während damals die Stelle Personalleitung noch nicht bestand. Letztere wurde erst durch einen späteren Bezirksratsentscheid beschlossen. Im Bericht vom 9. November 2009 über die vom Bezirksrat in Auftrag gegebene Administrativuntersuchung wird dazu schlussfolgernd festgehalten, mangels Abstimmung dieser beiden organisatorischen Massnahmen habe die Beschwerdeführerin Mühe bekundet, ihren Kompetenzbereich zu finden respektive durchzusetzen. Dieser Konflikt deutet sich bereits in der Probezeitbeurteilung der Beschwerdeführerin durch den Landschreiber vom 5. September 2008 an, indem dort festgehalten wurde, ihre Stellung in Bezug auf Kompetenzen müsse sie teilweise noch finden. Ein Beispiel für einen solchen Konflikt war die dem Abteilungsleiter W._ bewilligte Spesenpauschale. Die Beschwerdeführerin hatte sich dazu in einem Mitbericht negativ geäussert; der Landschreiber stellte dann aber einen Antrag auf Befürwortung, dem der Bezirksrat folgte. Entsprechend führte die Beschwerdeführerin in ihrem Schreiben vom 8. April 2009 aus, sie habe sich gegenüber dem Landschreiber frustriert über die klaffende Diskrepanz zwischen dem Soll-Zustand gemäss dem Stelleninserat "Leiterin Personalwesen" und dem Ist-Zustand geäussert.
5.3.2 Im Stelleninserat suchte der Beschwerdegegner eine Personalfachperson mit eidgenössischem Fachausweis oder Fachhochschulausbildung, eine Persönlichkeit mit unternehmerischen Fähigkeiten, die gewohnt sei, selbstständig zu handeln. Als Hauptaufgaben wurden genannt die gesamte Personaladministration für rund 450 Lohnbezüger, die Personalrekrutierung/-betreuung/ -entwicklung sowie die Koordination der Lehrlingsausbildung nebst der Mitarbeit in strategischen und bereichsübergreifenden Projekten. Die neu geschaffene Funktion wurde als Stabstelle beschrieben, bei der sämtliche Personalaufgaben zusammenlaufen. Aufgrund dieses Inserats durfte die Beschwerdeführerin von einer Leitungsfunktion ausgehen.
Im Anstellungsvertrag wurde dann auf die Umschreibung der Aufgaben und Kompetenzen gemäss Stellenbeschrieb verwiesen. In letzterem wurde der Landschreiber sowohl fachlich wie organisatorisch-personell als übergeordnete Stelle bezeichnet. Insbesondere aus der fachlichen Überordnung ergab sich für den Landschreiber, dass seine Entscheidungen auch in Aufgabenbereichen, die der Beschwerdeführerin zugewiesen waren, vorgingen. Aus dem Begleitschreiben zum Arbeitsvertrag, nach welchem es sich beim beigelegten Stellenbeschrieb erst um einen Entwurf handelte, leitete die Beschwerdeführerin indessen ab, dass die Kompetenzabgrenzung noch nicht klar geregelt war. Dafür hatte sie umsomehr Anlass, als die rechtlichen Grundlagen widersprüchlich waren. In der "Organisations- und Kompetenzordnung des Bezirks Einsiedeln" vom 10. Oktober 2006 wurde zwar der Landschreiber als Personalchef bezeichnet (Ziff. 6.1 und 8.1), der zusammen mit einer Personaladministration die Stabstelle Personalwesen bildet (Ziff. 8.1), und ihm wurden - in seiner Funktion als Personalchef - konkret als Aufgaben das Ausstellen von Arbeitszeugnissen und das Führen von Mitarbeitendengesprächen mit Abteilungsleitenden zugewiesen (Ziff. 8.4). Die - neuere - VVzPBV vom 31. Januar 2008 weist demgegenüber unter dem Titel "II. Organisation" nur dem Bezirksrat (§ 5), der Verwaltungsleitung (§ 6; Bearbeitung der allgemeinen Personalfragen), dem Leiter Personalwesen (§§ 7, 8) und dem Personalverband (§ 8b) Funktionen im Personalwesen zu, nicht aber dem Landschreiber. So wurde beispielsweise die in der "Organisations- und Kompetenzordnung des Bezirks Einsiedeln" ausdrücklich dem Landschreiber zugewiesene Aufgabe des Ausstellens von Arbeitszeugnissen in § 7 Abs. 2 lit. j VVzPBV als Aufgabe des Leiters Personalwesen angeführt.
5.3.3 Die seit längerem schwelenden Spannungen, die schliesslich - nach der Provokation durch das Papier "Problemsituation Verwaltungsleitung" - in die Eskalation mit dem Schreiben der Beschwerdeführerin vom 8. April 2009 mündeten, waren also massgeblich durch die vom Beschwerdegegner zu vertretende ungeregelte und unklare Kompetenzabgrenzung verursacht. Diese wirkt umso gewichtiger, als die Beschwerdeführerin im Hinblick auf die ausgeschriebene Leitungsfunktion beim Beschwerdegegner eine Kaderposition als Leiterin Finanzen und Patientenwesen in einer Privatklinik aufgegeben hatte (vgl. Arbeitszeugnis vom 31. Mai 2008). Bejaht nun die Rechtsprechung eine Fürsorgepflichtverletzung und in der Folge eine missbräuchliche Kündigung bereits, wenn ein Arbeitgeber einen nicht von ihm verursachten Konflikt zwischen Mitarbeitern nicht zu verhindern sucht und stattdessen zur Kündigung schreitet, dann hat dies erst recht zu gelten, wenn ebendieser Konflikt sogar von ihm durch einen Organisationsmangel jedenfalls mitverursacht wurde (vgl. E. 5.1 am Ende; Urteil 1C_354/2008 vom 4. Mai 2009 E. 2.2 und 2.4). Daran ändert nichts, dass im Vorfeld der Kündigung mehrere Gespräche unter Leitung des Bezirksammanns stattfanden, denn es ist nicht ersichtlich, dass die grundsätzliche Frage der Kompetenzabgrenzung angegangen worden wäre. Indem die Vorinstanz diesen Gesichtspunkt völlig ausgeblendet hat und vielmehr umgekehrt zu Ungunsten der Beschwerdeführerin gewichtete, dass diese auf die Frage nach der künftigen Zusammenarbeit sinngemäss eine solche "von der Regelung der Schnittstellen zwischen dem Landschreiber und der Personalleitung einerseits und zwischen einer klaren Kompetenzabgrenzung andererseits" abhängig machte, handelte sie nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich.
5.3.4 Bei diesem Ergebnis muss auf die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin - namentlich fehlende Zeugeneinvernahmen und den Vorwurf einer Manipulation im Zusammenhang mit dem Begleitschreiben zu ihrem Arbeitsvertrag - nicht weiter eingegangen werden.
6. 6.1 Die Beschwerdeführerin hat somit Anspruch auf eine Abfindung und eine zusätzliche Entschädigung wegen missbräuchlicher Kündigung und Verletzung der Verfahrensvorschriften (§ 21f Abs. 2 i.V.m. § 21g Abs. 2 und 3 PBV). Die Abfindung entspricht höchstens dem letzten Jahreslohn. Massgebliche Kriterien im Einzelfall sind das Alter, die Dienstjahre und die persönlichen Verhältnisse des Mitarbeiters sowie der Grund, der zur Beendigung des Arbeitsverhältnisses geführt hat (§ 21g Abs. 2 PBV). Die zusätzliche Entschädigung entspricht höchstens dem letzten halben Jahreslohn (§ 21g Abs. 3 PBV).
6.2 Da die Parteien keine Ergänzung des Sachverhalts verlangen, kann das Bundesgericht über die Höhe der Abfindung und Entschädigung reformatorisch entscheiden (vgl. Art. 107 Abs. 2 BGG und Urteil 4A_571/2008 vom 5. März 2009 E. 5.2).
Die Beschwerdeführerin hat weder im vorinstanzlichen Schriftenwechsel noch im vorliegenden Beschwerdeverfahren Umstände dargelegt, welche die von ihr geforderte maximale Abfindung und Entschädigung von eineinhalb Jahreslöhnen rechtfertigen. Weder das Alter, noch die Dienstjahre oder die persönlichen Verhältnisse begründen ihre Forderung in masslicher Hinsicht. Praxisgemäss ist dem verfahrensmässigen Mangel bei der Kündigung mit Blick auf die Entschädigung kein allzu grosses Gewicht beizumessen. Das gilt in casu umso mehr für den inhaltlichen Mangel der Kündigung, da die Beschwerdeführerin aufgrund der unnötigen Schärfe ihres Schreibens vom 8. April 2009 eine erhebliche Mitverantwortung an der Auflösung des Arbeitsverhältnisses trägt. Insgesamt erscheint eine Abfindung und Entschädigung von drei Monatslöhnen angemessen.
6.3 Der Beschwerdeführerin ist demzufolge eine Abfindung und Entschädigung in der Höhe von drei Bruttomonatslöhnen auszurichten, basierend auf ihrem letzten Lohn im Jahr 2009, zuzüglich allfälliger Zulagen und Anteil am dreizehnten Monatslohn.
7. 7.1 Die Vorinstanz trat auf das weitere Begehren um Genugtuung, soweit es sich auf Art. 28 Abs. 1 ZGB stützte, nicht ein; soweit eine Genugtuungsforderung im Zusammenhang mit der Kündigung geltend gemacht wurde, wies es die Klage ab. Solche Unbill werde durch die in der PBV gewährleisteten Abfindungs- und Entschädigungsansprüche abgedeckt. Es sei auch nicht zulässig, für die gleiche Unbill nebst den Entschädigungen aus dem Personal- und Besoldungsrecht eine auf das Staatshaftungsgesetz abgestützte Genugtuung zu fordern.
7.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, eine Genugtuung könne nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung auch neben einer arbeitsrechtlichen Entschädigung zugesprochen werden, wenn die Persönlichkeitsverletzung wegen ihrer Schwere durch die Strafzahlung als nicht kompensiert erscheine. Jedenfalls bestehe aber ein Anspruch unabhängig von den personalrechtlichen Ansprüchen, wenn die Genugtuung nicht für Umstände im Zusammenhang mit der Kündigung gefordert werde, sondern aus Umständen resultiere, die vor der Kündigung eingetreten seien.
7.2 Die Beschwerdeführerin macht geltend, eine Genugtuung könne nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung auch neben einer arbeitsrechtlichen Entschädigung zugesprochen werden, wenn die Persönlichkeitsverletzung wegen ihrer Schwere durch die Strafzahlung als nicht kompensiert erscheine. Jedenfalls bestehe aber ein Anspruch unabhängig von den personalrechtlichen Ansprüchen, wenn die Genugtuung nicht für Umstände im Zusammenhang mit der Kündigung gefordert werde, sondern aus Umständen resultiere, die vor der Kündigung eingetreten seien.
7.3 7.3.1 Soweit die Beschwerdeführerin eine Genugtuung für Umstände vor der Kündigung geltend macht, substantiiert sie dies einzig mit dem Schreiben "Problemsituation Verwaltungsleitung". Es ist daher auch nur auf diese Rüge einzugehen. Wie indessen aus den vorstehenden Ausführungen hervorgeht, kann das eigene Schreiben der Beschwerdeführerin vom 8. April 2009 und damit die Frage, ob die Kündigung sachlich nicht gerechtfertigt bzw. missbräuchlich war, nicht ohne Einbezug des Schreibens "Problemsituation Verwaltungsleitung" beurteilt werden. Besteht aber dieser Zusammenhang, kann daraus offensichtlich kein selbständiger Genugtuungsanspruch abgeleitet werden.
7.3.2 § 21g Abs. 3 PBV gewährt neben dem Anspruch auf Abfindung einen Entschädigungsanspruch von höchstens dem halben Jahreslohn. Es ist nicht ersichtlich - und die Beschwerdeführerin substantiiert dies auch nicht weiter - inwiefern dieser Rahmen nicht genügen sollte (vgl. auch BGE 135 III 405 E. 3.1 S. 408). Ein darüber hinausgehender Anspruch besteht nicht.
8. Auf die Anträge um Beseitigung und Gegendarstellung (Rechtsbegehren Ziffern 2 und 3 im vorinstanzlichen Verfahren) ist das Verwaltungsgericht nicht eingetreten, da sie sich auf Art. 28 ff. ZGB stützten. Die Beschwerdeführerin verlangt zwar mit Ziffer 2 ihrer Anträge vor Bundesgericht ohne Unterscheidung Rückweisung an die Vorinstanz zur Neubeurteilung. In der Begründung bezieht sie sich aber nurmehr auf Genugtuungsansprüche aus Staatshaftungsrecht. Es ist somit davon auszugehen, dass das Nichteintreten auf die Ziffern 2 und 3 ihrer vorinstanzlichen Rechtsbegehren nicht angefochten ist.
9. Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, die Kosten den Parteien je hälftig aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gemeinwesen, das - wie hier - als Arbeitgeber in seinen Vermögensinteressen betroffen ist, ist nicht von den Gerichtskosten befreit (Art. 66 Abs. 4 BGG; BGE 136 I 39 E. 8.1.4 S. 41). Demgegenüber hat eine öffentlich-rechtliche Körperschaft - auch wenn sie nicht von Gerichtskosten befreit ist - keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis prozessiert (Art. 68 Abs. 3 BGG, BGE 134 II 117; Urteil 8C_151/2010 vom 31. August 2010 E. 6.2). Der Beschwerdegegner hat der Beschwerdeführerin demnach eine - nach Massgabe des Tarifs des Bundesgerichts festgesetzte und aufgrund des hälftigen Obsiegens reduzierte - Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; zum Tarif: Art. 4 des Reglements über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht, SR 173.110.210.3).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz, Kammer III, vom 20. Mai 2010 aufgehoben und der Beschwerdegegner verpflichtet wird, der Beschwerdeführerin drei Bruttomonatslöhne (zuzüglich allfälliger Zulagen und Anteil 13. Monatslohn) im Sinne der Erwägungen zu bezahlen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.- werden den Parteien je hälftig auferlegt.
3. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.- zu entschädigen.
4. Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, zurückgewiesen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. August 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Ursprung
Der Gerichtsschreiber: Lanz