Faits:
A. La Banque X._ est propriétaire de la parcelle 994 du registre foncier de la commune de Chêne-Bougeries, en cinquième zone de construction. Sur ce terrain, un centre de loisirs et de formation a été édifié en 1969, constitué de deux bâtiments, d'une piscine et d'un parking.
La parcelle 1849 de la même commune, propriété de A._, est immédiatement voisine du terrain de la Banque X._. Une villa y est érigée, occupée par son propriétaire.
B. Le 25 juin 2007, la Banque X._ a déposé auprès du Département cantonal des constructions et des technologies de l'information (ci-après: le Département cantonal) une demande définitive d'autorisation de construire pour transformer et agrandir le centre. Il s'agissait d'agrandir l'un des deux bâtiments, couvrir une terrasse, relier les deux corps existants par un couloir et effectuer des transformations intérieures.
A._ s'est opposé au projet le 9 août 2007. Il estimait que les conditions d'octroi d'une dérogation d'affectation devaient être réexaminées afin de protéger le voisinage des émissions excessives. Le centre devait faire l'objet d'un assainissement, notamment au niveau du bruit. De plus, il ne disposait pas de places de parc suffisantes au vu du trafic généré.
Le Département cantonal a octroyé l'autorisation sollicitée le 14 novembre 2008.
A._ a porté sa cause auprès de la Commission cantonale de recours en matière de constructions (actuellement la Commission cantonale de recours en matière administrative; ci-après: la Commission cantonale), qui a rejeté son recours par décision du 14 mai 2009. La Commission cantonale a retenu que les travaux envisagés étaient de nature à atténuer les nuisances sonores car la construction reliant les deux bâtiments créait un écran sonore entre la propriété de l'intéressé et la terrasse du restaurant. Les quinze places de parking supplémentaires n'engendreraient aucun inconvénient pour celui-ci puisqu'elles se trouveraient à l'opposé de sa parcelle. De plus, le chemin d'accès au parking n'était pas celui emprunté par l'intéressé pour rejoindre sa propriété. La Banque X._ avait accepté de ne plus chauffer sa piscine, ce qui diminuerait sa fréquentation et donc le bruit généré. Le fait que la Banque X._ veuille favoriser la formation plutôt que les loisirs concourait également à la diminution des nuisances sonores dont se plaignait le propriétaire voisin.
C. Par arrêt du 27 avril 2010 et après avoir procédé à un transport sur place, le Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif) a rejeté le recours de A._ contre la décision précitée. Il a relevé en substance que les inconvénients graves mis en avant par l'intéressé n'étaient pas générés par la modification du bâtiment qui serait réalisée en application de l'autorisation de construire complémentaire, mais bien par le centre en lui-même, édifié il y a plusieurs dizaines d'années et au bénéfice d'une autorisation de construire délivrée en 1969, qui ne pouvait être remise en cause dans la présente procédure. Le projet litigieux était en outre conforme à la législation fédérale en matière de protection de l'environnement, notamment en ce qui concernait les nuisances sonores.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du Tribunal administratif du 27 avril 2010 ainsi que la décision du Département cantonal du 14 novembre 2008. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause au Tribunal administratif pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il se plaint pour l'essentiel d'une constatation inexacte des faits et d'une appréciation arbitraire des preuves ainsi que d'une violation du droit cantonal et du droit fédéral.
Le Tribunal administratif s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Département cantonal se réfère intégralement à l'arrêt attaqué, dont il demande la confirmation, et conclut au rejet du recours. La Banque X._ conclut également au rejet du recours. Invité à se déterminer, l'Office fédéral de l'environnement constate que l'arrêt attaqué est conforme au droit fédéral. Le recourant a répliqué le 28 octobre 2010; il persiste intégralement dans ses conclusions. Le Département cantonal a confirmé ses conclusions le 29 octobre 2010.
Par ordonnance du 13 juillet 2010, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif du recourant.
Considérant en droit:
1. 1.1 Dirigé contre une décision confirmant en dernière instance cantonale l'octroi d'une autorisation définitive de construire, sans qu'aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF ne soit réalisée, le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public au sens des art. 82 ss LTF.
Le recourant a pris part à la procédure devant l'autorité précédente. Il est particulièrement touché par l'arrêt attaqué qui autorise la transformation et l'agrandissement du centre litigieux, sis sur la parcelle voisine, et qui entraînerait certaines restrictions à ses droits de propriété (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.3.3 p. 253 s.). Il dispose ainsi de la qualité pour recourir en vertu de l'art. 89 LTF.
1.2 Toutefois, dans la mesure où l'intéressé conclut à l'annulation de l'autorisation de construire du 14 novembre 2008, son recours est irrecevable en raison de l'effet dévolutif du recours déposé auprès du Tribunal administratif (cf. ATF 126 II 300 consid. 2a p. 302 s.; 125 II 29 consid. 1c p. 33).
2. Le recourant se plaint tout d'abord d'une constatation inexacte des faits et d'une appréciation arbitraire des preuves.
2.1 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus par l'art. 105 al. 2 LTF. Quant au recourant, il ne peut critiquer la constatation de faits, susceptibles d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure, que si ceux-ci ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (art. 97 al. 1 LTF; ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135). Selon la jurisprudence, l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits sont arbitraires (art. 9 Cst.; pour une définition de l'arbitraire cf. ATF 134 I 263 consid. 3.1 p. 265 s.; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153) lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; 127 I 38 consid. 2a p. 41).
2.2 L'intimée projette la construction de quinze places de parc supplémentaires, dans le but notamment de "fluidifier la circulation des véhicules". Au consid. 5b de son arrêt, le Tribunal administratif a retenu que les modifications qui seront apportées à la circulation et au stationnement des véhicules tendent à améliorer la situation. Selon le recourant, cette appréciation serait arbitraire et les juges cantonaux auraient tiré des constatations insoutenables des éléments recueillis. A son avis, la construction de places de parking supplémentaires n'aurait pas pour conséquence de fluidifier le trafic et de permettre une meilleure circulation, mais serait au contraire de nature à augmenter les nuisances sonores et de l'air, en permettant la présence d'un plus grand nombre de véhicules sur la même parcelle. Dans son mémoire de réponse, l'intimée explique que la création d'une quinzaine de places n'entraînera pas un agrandissement de la surface de stationnement, mais uniquement un meilleur ordonnancement de celle-ci afin de mieux réguler le parcage des véhicules. Elle précise que la surface actuelle ne comporte pas de marquage au sol et qu'elle souhaite uniquement aménager cet espace en délimitant des places bien définies, afin de structurer le stationnement des véhicules. Dans ces conditions, il apparaît que les juges cantonaux - qui avaient au demeurant procédé à un transport sur place pour apprécier la disposition du site - pouvaient, sans tomber dans l'arbitraire, considérer que la création de ces quinze places litigieuses tendaient à améliorer la situation relative à la circulation et au stationnement des véhicules.
Le recourant estime par ailleurs que la constatation du Tribunal administratif, selon laquelle "un centre de loisirs et de formation" est édifié sur la parcelle 994 du registre foncier de la commune de Chêne-Bougeries, serait arbitraire. Il ressort en effet du dossier que seule a été autorisée en 1969 la construction d'un centre de loisirs. Selon le recourant, ce serait précisément le but de l'autorisation de construire litigieuse de transformer l'affectation initiale pour que le centre de loisirs soit également un centre de formation. Il n'explique néanmoins pas en quoi une éventuelle correction de l'état de fait aurait permis de modifier le sort du litige et se contente d'alléguer que cette "nouvelle affectation" serait de nature à augmenter fortement la fréquentation du centre; or, ceci ne saute pas aux yeux, ce d'autant que, comme l'a exposé l'intimée dans sa réponse, le centre est utilisé de longue date pour des activités de formation en plus des activités de loisirs et que désormais la formation tendait à prendre le pas sur les loisirs. Il n'y a dès lors pas lieu de corriger les faits retenus dans l'arrêt attaqué et le Tribunal fédéral est lié par ceux-ci conformément à l'art. 105 al. 1 LTF.
3. Le recourant reproche ensuite au Tribunal administratif d'avoir procédé à une application arbitraire des art. 19 et 26 al. 1 de la loi genevoise du 4 juin 1987 d'application de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire (ci-après: la LaLAT).
L'art. 19 LaLAT découpe les zones à bâtir en cinq zones de construction. La 5ème zone est une zone résidentielle destinée aux villas (al. 3). En vertu de l'art. 26 al. 1 LaLAT, lorsque les circonstances le justifient et s'il n'en résulte pas d'inconvénients graves pour le voisinage, le département compétent peut déroger aux dispositions des art. 18 et 19 quant à la nature des constructions.
3.1 Sauf dans les cas cités expressément à l'art. 95 LTF, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (ATF 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Autrement dit, le Tribunal fédéral ne revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal et communal que sous l'angle de l'arbitraire. Il ne s'écarte de la solution retenue que si celle-ci se révèle insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, ou si elle a été adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain, ce qu'il appartient au recourant de démontrer par une argumentation qui réponde aux exigences des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF (cf. ATF 134 II 349 consid. 3 p. 351 s.; 133 II 249 consid de 1.4.2 p. 254 et les références). Le recourant doit ainsi indiquer précisément quelle disposition constitutionnelle ou légale a été violée et démontrer par une argumentation précise en quoi consiste la violation. En outre, si l'interprétation défendue par la cour cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable (ATF 132 I 13 consid. 5.1 p. 17).
3.2 Le recourant estime que c'est à tort que le Tribunal administratif a jugé que la Banque X._ pouvait bénéficier d'une dérogation pour la construction de son centre de formation, qui devait prendre place à côté du centre de loisirs autorisé en 1969. Les juges cantonaux auraient conclu de manière arbitraire à l'existence de circonstances particulières propres à justifier l'octroi d'une autorisation dérogatoire.
Dans son arrêt, l'autorité intimée a relevé que l'existence même du centre sur la parcelle concernée, autorisé en 1969, ainsi que le voisinage de plusieurs bâtiments qui n'étaient pas conformes à l'affectation de la zone villas, étaient des éléments que le Département cantonal pouvait, à juste titre et sans excéder son pouvoir d'appréciation, retenir pour admettre l'existence de circonstances particulières et ainsi octroyer une dérogation au sens de l'art. 26 LaLAT.
Le recourant ne conteste pas que plusieurs constructions non conformes à la zone se situent à proximité du bâtiment litigieux. Il s'agirait d'une école primaire ainsi que d'ateliers protégés pour handicapés mentaux. Par ailleurs, le centre lui-même a obtenu une dérogation à la zone en 1969, laquelle ne peut plus être remise en question à l'heure actuelle. Le recourant n'explique pas pourquoi il serait arbitraire de considérer ces éléments comme des circonstances particulières au sens de l'art. 26 LaLAT. Il se contente en effet de souligner que les deux autres bâtiments non conformes à la zone ne seraient fréquentés que pendant les horaires scolaires et n'induiraient que peu de mouvements de véhicules. Ces précisions ne font cependant pas apparaître insoutenable le raisonnement de la Cour cantonale. En réalité, le recourant se borne à opposer sa propre opinion à celle des juges cantonaux; or, des critiques de nature purement appellatoire sont irrecevables en l'espèce et le Tribunal fédéral n'est pas tenu d'examiner d'office si, en l'occurrence, les juges cantonaux ont correctement interprété la notion de circonstances particulières au sens de l'art. 26 al. 1 LaLAT (cf. consid. 3.1 ci-dessus). Quoi qu'il en soit, le raisonnement précité de la Cour cantonale n'apparaît pas a priori déraisonnable et peut être confirmé.
3.3 Le recourant reproche également au Tribunal administratif de n'avoir pas tenu compte de son intérêt à ce que les nuisances découlant de l'utilisation de la parcelle voisine n'augmentent pas. Il affirme que l'autorisation de construire litigieuse implique la création d'un nouveau centre, que l'aménagement de 15 places de parking est de nature à accroître les nuisances sonores et de l'air et que le chemin d'accès ne permet guère une augmentation de trafic.
Il sied tout d'abord de relever que le recourant part à tort du principe que l'autorisation de construire permettrait la construction d'un nouveau centre de formation, alors qu'il s'agit en réalité de transformer le centre existant, qui sert apparemment déjà aux loisirs et à la formation, et d'agrandir l'un des bâtiments. Le recourant allègue ensuite, sans l'établir, que la "nouvelle affectation" serait de nature à augmenter fortement la fréquentation du centre, ce qui ne paraît toutefois de loin pas être une évidence (cf. consid. 4.2 ci-après). A cela s'ajoute que l'aménagement de nouvelles places de parking tend à améliorer la situation relative à la circulation et au stationnement des véhicules (cf. consid. 2.2 ci-dessus) et que le chemin d'accès au parking du centre n'est de toute façon pas emprunté par le recourant pour rejoindre sa propriété, comme l'a relevé la Commission cantonale dans sa décision du 14 mai 2009.
Dans ses conditions, le Tribunal administratif pouvait, sans tomber dans l'arbitraire, relever que les inconvénients graves mis en avant par le recourant n'étaient pas générés par la modification du bâtiment qui serait réalisée en application de l'autorisation de construire complémentaire querellée, mais bien par le centre en lui-même, édifié il y a plusieurs dizaines d'années et au bénéfice d'une autorisation de construire délivrée en 1969.
Le grief relatif à la violation du droit cantonal doit par conséquent être rejeté.
4. En dernier lieu, le recourant soutient que l'arrêt attaqué viole l'art. 7 de la loi fédérale du 7 octobre 1983 sur la protection de l'environnement (LPE, RS 814.01) en relation avec l'art. 2 al. 1 de l'ordonnance du 15 décembre 1986 sur la protection contre le bruit (OPB, RS 814.41). Il fait valoir que l'augmentation des places de stationnement est de nature à accroître les nuisances sonores car elles permettent la présence d'un plus grand nombre de véhicules sur la même parcelle. Le droit fédéral serait violé dans la mesure où ces nuisances supplémentaires ne seront pas atténuées par un écran acoustique.
4.1 L'art. 7 LPE contient une liste de définitions des termes utilisés dans la législation sur la protection de l'environnement. Quant à l'art. 2 al. 1 OPB, il explique ce qu'il convient d'entendre par installations fixes au sens de l'OPB. Le recourant n'explique pas en quoi ces deux dispositions auraient été mal appliquées en l'espèce. Il est dès lors douteux que la motivation de son grief réponde aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF. Quoi qu'il en soit, l'arrêt attaqué est conforme au droit fédéral relatif à la protection contre le bruit.
4.2 Le centre litigieux, antérieur à l'entrée en vigueur de la LPE, doit être considéré comme une installation fixe existante. Faisant actuellement l'objet d'une autorisation de construire pour transformation et agrandissement, il est soumis à l'art. 8 OPB qui régit la limitation des émissions d'installations fixes modifiées. Cela signifie dans tous les cas que les émissions de bruit des éléments nouveaux ou modifiés doivent être limitées dans la mesure où cela est réalisable sur le plan de la technique et de l'exploitation et économiquement supportable (art. 8 al. 1 OPB). Il ressort du dossier que des mesures d'isolation phoniques (notamment quant à l'emplacement des monoblocs et ventilation) ont été ordonnées par l'Office cantonal de l'inspection et des relations du travail. Il reste encore à déterminer si la modification de l'installation doit être qualifiée de notable au sens de l'art. 8 al. 3 OPB. En l'espèce, l'Office fédéral de l'environnement a relevé qu'il était malaisé d'estimer le niveau exact des émissions sonores avant et après les transformations, dans la mesure où elles dépendaient principalement de l'utilisation qui sera faite du centre; il était en effet prévu de passer d'un statut de centre de loisirs et de formation à une prépondérance de la formation. Il était possible que certaines émissions diminueraient - par exemple en raison d'un changement de la clientèle comprenant notamment moins d'enfants, du cloisonnement de la terrasse et du restaurant, de la création de quinze places de parking à un autre endroit - tandis que d'autres pourraient augmenter - par exemple des émissions dues à d'éventuelles activités en soirée -. L'Office fédéral part toutefois de l'idée, sur la base des informations disponibles dans le dossier, que les heures d'ouverture du centre de loisirs et de formation ne seront pas modifiées et que le projet ne provoquera pas une perception d'immissions de bruit plus élevée; au contraire, il est même probable qu'elles diminueront de façon générale, y compris pour le parking, étant donné que la quinzaine de places de parking supplémentaires seront aménagées à l'opposé de la parcelle du recourant, de sorte que la modification de l'installation ne peut, in casu, être qualifiée de notable. Pour le surplus, on doit constater avec l'Office fédéral de l'environnement que la question de la pose d'un mur antibruit se rapporte en réalité à des éléments déjà existants de l'installation. Elle n'a dès lors pas à être examinée dans le cadre de la présente procédure, qui doit seulement prendre en compte les émissions de bruit des éléments d'installation nouveaux ou modifiés, conformément à l'art. 8 al. 1 OPB. Enfin, il peut être donné acte au recourant qu'en cas de changement d'utilisation de l'installation entraînant une réelle augmentation des nuisances, il lui appartiendra d'intervenir auprès du Service cantonal compétent.
5. Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable, aux frais du recourant qui succombe (art. 65 et 66 al. 1 LTF). En vertu de l'art. 68 al. 2 LTF, le recourant versera à l'intimée une indemnité à titre de dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, fixés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de dépens de 2'000 fr. est allouée à la Banque X._, à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, au Département des constructions et des technologies de l'information du canton de Genève, Office des autorisations de construire, au Tribunal administratif du canton de Genève, 1ère section, et à l'Office fédéral de l'environnement.
Lausanne, le 16 février 2011
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Fonjallaz Mabillard