Faits:
A. Le 3 février 2009, E._ a été reconduit à son domicile par C._, chauffeur de D._. Durant le trajet, C._ a constaté que la tête de E._ ne reposait plus sur l'appuie-tête de son fauteuil roulant. Après avoir tenté en vain de replacer la tête correctement, il a continué sa route jusqu'au domicile de E._, qui a été retrouvé inconscient et transporté à l'hôpital dans un état critique. E._ est décédé le 9 février 2009.
A._ et B._, les parents de E._, se sont constitués parties civiles dans le cadre de la procédure pénale qui a été ouverte. Par ordonnance du 30 septembre 2009, le Juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne (ci-après: le juge d'instruction) a prononcé un non-lieu en faveur de C._, au motif qu'il n'avait pas été possible de déterminer les causes exactes du décès. Par arrêt du 13 novembre 2009, le Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a annulé cette ordonnance et renvoyé la cause au juge d'instruction pour qu'il procède à un complément d'instruction. Par ordonnance du 28 septembre 2010, le magistrat instructeur a prononcé un nouveau non-lieu en faveur de C._, considérant qu'aucune faute ne pouvait lui être reprochée en l'absence de directives en matière de sécurité durant les déplacements du patient.
Statuant sur recours de A._ et B._, le Tribunal cantonal a confirmé cette ordonnance par arrêt du 24 novembre 2010. Il a considéré en substance que le juge d'instruction avait correctement instruit la cause et qu'il n'y avait pas d'indices suffisants de culpabilité à l'encontre de C._, si bien que c'était à bon droit que le juge d'instruction avait prononcé un non-lieu.
B. Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ et B._ demandent au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de renvoyer la cause au Procureur de l'arrondissement de Lausanne pour complément d'enquête et nouvelle ordonnance. Ils se plaignent d'une violation de leur droit d'être entendus, au sens de l'art. 29 al. 2 Cst. et de l'art. 188 du Code de procédure pénale vaudois du 12 septembre 1967 (CPP/VD; abrogé le 1er janvier 2011), ainsi que d'une violation du principe in dubio pro duriore. Ils requièrent en outre l'octroi de l'assistance judiciaire. Le Procureur général du canton de Vaud ne s'est pas déterminé. Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt. Au terme de leurs observations, C._ et D._ concluent au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. L'arrêt attaqué a été rendu le 24 novembre 2010 de sorte que la qualité pour recourir doit s'examiner au regard de l'art. 81 LTF, selon la teneur de cette disposition en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010 (cf. art. 132 al. 1 LTF; arrêt 1B_37/2011 du 4 février 2011 consid. 2; NIKLAUS SCHMID, Übergangsrecht der Schweizerischen Strafprozessordnung, 2010, n. 352 p. 98). Les recourants sont les parents de feu E._; à ce titre, ils sont assimilés à la victime en vertu de l'art. 1 al. 2 de la loi fédérale sur l'aide aux victimes d'infractions (LAVI; RS 312.5). Ils ont pris part à la procédure devant l'autorité précédente. On ne saurait leur reprocher de ne pas avoir pris de conclusions civiles, dans la mesure où la nature de l'affaire permet de discerner sans ambiguïté quelles prétentions civiles pourraient être élevées et en quoi la décision attaquée pourrait influencer négativement le jugement de celles-ci (cf. ATF 127 IV 185 consid. 1a p. 187 et les arrêts cités). La qualité pour recourir doit ainsi leur être reconnue en vertu de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF dans son ancienne teneur. Les autres conditions de recevabilité du recours en matière pénale étant réunies, il y a lieu d'entrer en matière.
2. Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, les recourants se plaignent d'une violation de leur droit d'être entendus. Ils soutiennent que le juge d'instruction a omis arbitrairement de procéder à l'audition d'un témoin, qu'ils avaient pourtant requise dans le délai prévu par l'art. 188 al. 1 CPP/VD.
2.1 Tel qu'il est garanti à l'art. 29 al. 2 Cst., le droit d'être entendu comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, le droit de consulter le dossier, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuve pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 136 I 265 consid. 3.2 p. 272; 135 II 286 consid. 5.1 p. 293; 129 II 497 consid. 2.2 p. 504 s. et les arrêts cités). L'autorité peut cependant renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 429; 125 I 127 consid. 6c/cc in fine p. 135; 124 I 208 consid. 4a p. 211 et les arrêts cités).
Quant à l'art. 188 al. 1 CPP/VD, il prévoyait que le juge d'instruction, lorsqu'il était sur le point de clore l'enquête, fixait aux parties un délai convenable de cinq jours au moins, pour consulter le dossier, formuler toute réquisition ou produire toute pièce utile.
2.2 Le 2 septembre 2010, dans le délai qui leur a été imparti à cet effet en application de l'art. 188 al. 1 CPP/VD, les recourants ont demandé l'audition de la tante de E._. Ils alléguaient qu'elle s'était régulièrement occupée de lui et qu'elle était "particulièrement au courant sur le fait que le siège transportant E._ devait être transformé". Ils avaient déjà requis son audition le 1er septembre 2009, en relevant qu'elle s'était "notamment préoccupée, avec le personnel soignant, des réparations qui devaient être urgemment apportées à la coque" du fauteuil roulant. Dans leur recours au Tribunal cantonal, ils précisaient que ce témoignage serait "central afin d'établir les devoirs et incombances de chacun des intervenants". Confirmant le refus du juge d'instruction d'administrer ce moyen de preuve, le Tribunal cantonal a considéré que la tante de la victime n'était "pas spécialiste des règles de sécurité", de sorte que son audition n'aurait eu aucune incidence sur la décision contestée. Le juge d'instruction avait en effet prononcé un non-lieu en raison de l'absence de règles de sécurité pour le transport des patients et parce que les causes du décès n'avaient pas pu être établies.
2.2.1 Il est vrai que les médecins légistes n'ont pas pu déterminer avec certitude la cause du décès du fils des recourants. Au terme de leur rapport du 17 juillet 2009, ils ont néanmoins émis quatre hypothèses, dont deux au moins peuvent être mises en relation avec un problème lié au fauteuil roulant de la victime. Ils ont en effet estimé que l'anoxie cérébrale ayant provoqué le décès pouvait être due à "une compression cervicale exercée dans son fauteuil roulant" ou "un arrêt cardio-circulatoire par réflexe cardio-inhibiteur par stimulation des barorécepteurs sino-carotidiens du fait d'une compression". Les experts avaient en outre constaté que les lésions relevées sur le cou de la victime étaient superposables avec les structures fixes de l'appuie-tête (rapport p. 24).
Mises en relation avec d'autres éléments du dossier, ces conclusions étayent l'hypothèse de l'implication d'un défaut ou d'une mauvaise manipulation du fauteuil roulant dans le décès de la victime. Il est en particulier troublant de constater que des problèmes liés à l'appuie-tête dudit fauteuil ont été relevés par le personnel soignant, dans un carnet de compte-rendus journaliers. L'un d'eux écrivait ainsi le 20 novembre 2008 que "son appuie-tête se décroche fréquemment !", alors qu'un autre relevait le 16 janvier 2009, soit deux semaines avant le drame, qu'"il semble avoir un problème avec son appuie-tête". Ces problèmes liés à l'appuie-tête avaient en outre déjà été décelés dans un rapport de sortie daté du 25 juin 2008, qui mentionnait notamment que l'appuie-tête se déréglait souvent, de sorte que la tête pouvait passer sous celui-ci, ce qui pouvait "s'avérer fort dangereux". Ce rapport relevait aussi que le bandeau fixé à l'appuie-tête ne tenait que très rarement car le patient bougeait beaucoup sa tête et que le fait qu'aucune solution n'ait été trouvée était une "chose fort regrettable pour sa sécurité".
2.2.2 Dans ces conditions, le moyen de preuve requis par les recourants n'était pas dénué d'intérêt, dès lors que la personne dont ils demandaient l'audition connaissait selon eux l'état problématique du fauteuil roulant et qu'elle aurait même abordé cette question avec le personnel soignant. Ce témoignage pourrait donc fournir des renseignements utiles sur les problèmes de ce fauteuil et sur les personnes qui en avaient connaissance, étant précisé qu'aucun des témoins interrogés ne s'est encore exprimé sur l'état de l'appuie-tête, qui avait pourtant été jugé problématique - voire dangereux - dans les mois qui ont précédé le drame. Il ne s'agit donc pas d'interroger la témoin en question sur les règles de sécurité pour le transport des personnes handicapées, de sorte que l'absence de connaissances spécifiques dans ce domaine n'est pas déterminant.
Dans ces conditions, le témoignage requis est susceptible d'apporter certains éclaircissements sur le rôle des différents intervenants dans le déroulement des événements ayant conduit au décès du fils des recourants. Suivant les réponses apportées par la témoin, de nouvelles investigations pourraient s'imposer pour établir les responsabilités éventuelles. En particulier, s'il s'avère que des personnes connaissaient le défaut du fauteuil et les dangers qu'il faisait encourir à son occupant, et qu'elles n'ont pas fait le nécessaire pour remédier à cette situation, il n'est pas exclu qu'elles s'exposent à une condamnation. Un renvoi en jugement pourrait donc s'imposer en vertu de l'adage "in dubio pro duriore", notamment pour des infractions de mise en danger de la vie ou de la santé d'autrui au sens des art. 127 ss CP.
En définitive, le moyen de preuve requis, au demeurant simple à administrer, ne pouvait pas être purement et simplement écarté, ce d'autant moins que la présente instruction concerne la mort d'un homme. Par conséquent, l'appréciation anticipée des preuves offertes doit être qualifiée d'arbitraire, si bien qu'il y a lieu d'admettre le recours sur ce point. La cause devra dès lors être renvoyée au magistrat instructeur compétent, pour qu'il procède à l'audition requise et aux autres mesures d'instruction qui pourraient en découler.
3. Il s'ensuit que le recours doit être admis et la décision attaquée annulée. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants qui précèdent, et pour nouvelle décision sur les frais et dépens. Les recourants, qui obtiennent gain de cause avec l'assistance d'un avocat, ont droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF). Vu les motifs d'admission du recours, les dépens seront supportés par l'Etat de Vaud (art. 68 al. 1 LTF). Dans ces conditions, la requête d'assistance judiciaire devient sans objet. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Vaud pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Une indemnité de 2'000 fr. est allouée aux recourants à titre de dépens, à la charge de l'Etat de Vaud.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, au Procureur général et au Tribunal d'accusation du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 19 mai 2011
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Fonjallaz Rittener