Faits:
A. Le 5 août 1999, A._, ressortissant algérien né en 1976, a épousé B._, ressortissante suisse née en 1956. Le 14 août 2002, il a déposé une demande de naturalisation facilitée fondée sur ce mariage. Le 12 août 2004, les époux prénommés ont signé une déclaration écrite aux termes de laquelle ils confirmaient résider à la même adresse et vivre en communauté conjugale effective et stable; ils ont pris connaissance du fait que la naturalisation facilitée ne pouvait pas être octroyée lorsque, avant ou pendant la procédure de naturalisation, l'un des époux demandait le divorce ou la séparation, ou lorsque la communauté conjugale effective n'existait plus. La déclaration signée précisait en outre que si cet état de fait était dissimulé, la naturalisation facilitée pouvait être annulée dans les cinq ans. Par décision du 14 septembre 2004, l'Office fédéral des migrations (ODM) a accordé à A._ la naturalisation facilitée en vertu de l'art. 27 de la loi fédérale du 29 septembre 1952 sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse (LN; RS 141.0).
B. Le 1er juillet 2005, A._ a quitté le domicile conjugal et le 12 juillet 2005 les époux ont introduit une demande de mesures protectrices de l'union conjugale au terme de laquelle ils concluaient au règlement de leur séparation de fait. Le 23 novembre 2005, l'ODM a informé A._ que cette séparation l'amenait à examiner s'il y avait lieu d'annuler la naturalisation facilitée. Il lui a donné la possibilité de présenter des observations, ce que l'intéressé a fait le 22 décembre 2005 par l'intermédiaire de son avocat. L'épouse de A._ a été entendue le 29 mars 2006. Le 6 avril 2006, l'ODM a informé le prénommé du fait qu'il envisageait de prononcer l'annulation de la naturalisation facilitée et l'a invité à se prononcer à ce sujet. L'avocat de A._ a déposé des observations le 1er mai 2006.
Par décision du 30 août 2006, l'ODM a prononcé l'annulation de la naturalisation facilitée octroyée à A._. Il a considéré qu'au moment de la déclaration du 12 août 2004, le mariage de l'intéressé n'était pas constitutif d'une communauté conjugale effective, stable et tournée vers l'avenir. L'octroi de la naturalisation facilitée s'était donc fait sur la base de déclarations mensongères voire d'une dissimulation de faits essentiels.
Le Tribunal administratif fédéral a confirmé la décision de l'ODM par arrêt du 14 avril 2008. Il a considéré en substance que l'enchaînement rapide des événements − séjour illégal en Suisse, mariage, obtention de la naturalisation, séparation − fondaient la présomption de fait que A._ avait choisi d'épouser une ressortissante suisse dans le but prépondérant de s'installer en Suisse et d'obtenir la nationalité de ce pays. Cette conviction était renforcée par divers éléments, notamment le fait que l'intéressé avait déjà voulu épouser une autre ressortissante suisse en mai 1998 − alors qu'il était encore marié à une ressortissante polonaise − le fait que la ressortissante suisse qu'il a finalement épousée le 5 août 1999 était de vingt ans son aînée et l'absence d'événement extraordinaire susceptible d'expliquer une détérioration rapide du lien conjugal après la déclaration de vie commune.
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt ainsi que la décision rendue par l'ODM le 30 août 2006. Il se plaint d'arbitraire et d'une violation de son droit d'être entendu. Le Tribunal administratif fédéral et l'ODM ont renoncé à se déterminer. A._ a déposé des observations complémentaires.
Considérant en droit:
1. L'arrêt entrepris émane du Tribunal administratif fédéral et concerne l'annulation de la naturalisation facilitée accordée au recourant, si bien qu'il peut faire l'objet d'un recours en matière de droit public devant la cour de céans (art. 82 al. 1 let. a et 86 al. 1 let. a LTF, art. 29 al. 1 let. f RTF). Le motif d'exclusion de l'art. 83 let. b LTF n'entre pas en ligne de compte, dès lors qu'il s'agit en l'espèce de naturalisation facilitée et non pas de naturalisation ordinaire (arrêt 1C_85/2007 du 6 septembre 2007 consid. 2). Pour le surplus, le recourant a la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF.
2. Le recourant n'invoque aucune disposition légale ou constitutionnelle, mais il se plaint sommairement d'arbitraire et d'une violation de son droit d'être entendu.
2.1 Les mémoires de recours destinés au Tribunal fédéral doivent être motivés. L'art. 42 al. 2 LTF exige en effet qu'ils exposent succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit. Lorsque, comme en l'espèce, la violation de droits fondamentaux est invoquée, l'art. 106 al. 2 LTF prévoit pour la motivation du recours des exigences qualifiées. De tels griefs doivent en effet être expressément soulevés et exposés de façon claire et détaillée dans le mémoire de recours, conformément à la pratique qui prévalait en matière de recours de droit public (ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 130 I 26 consid. 2.1. p. 31, 258 consid. 1.3 p. 261s.; 129 I 113 consid. 2.1 p. 120 et les références; Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4142).
2.2 Le recourant allègue que l'arrêt attaqué est "totalement arbitraire" car il "semble avoir pour seuls fondements des préjugés aux relents populistes, voire racistes". Ces affirmations ne sont toutefois aucunement étayées et ne constituent pas une démonstration de l'arbitraire. Le grief est donc irrecevable et le recourant peut être renvoyé aux considérants de l'arrêt querellé, qui exposent clairement les raisons ayant conduit l'autorité compétente à annuler la naturalisation facilitée. Pour le surplus, le recourant se limite à exposer divers éléments de fait, sans démontrer une constatation arbitraire de ceux-ci par l'autorité intimée, comme il lui appartenait de le faire (art. 97 al. 1 et 105 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.). Il affirme encore qu'il avait l'intention de créer une communauté conjugale réelle, stable et durable, sans donner davantage de précisions et sans expliquer en quoi le droit − en particulier la loi sur la nationalité − aurait été violé. Or, il n'appartient pas au Tribunal fédéral d'examiner d'office si la décision querellée est en tous points conforme au droit.
Les critiques relatives au droit d'être entendu ne sont pas davantage motivées. Nonobstant les explications données par le Tribunal administratif fédéral à ce sujet, le recourant persiste à affirmer que le courrier de l'ODM du 6 avril 2006 signifiait que la décision d'annuler la naturalisation avait déjà été prise sans qu'il ait pu se déterminer. Il ressort cependant clairement de ce courrier que l'ODM invitait l'avocat du recourant à se déterminer, en précisant qu'au vu des éléments figurant au dossier il s'apprêtait à rendre une décision d'annulation. Le recourant avait donc la possibilité d'exposer son point de vue en connaissance de cause, ce qu'il a d'ailleurs fait. On ne voit dès lors pas en quoi son droit d'être entendu aurait été violé et le recourant ne propose aucune démonstration à cet égard.
En définitive, le recours ne satisfait manifestement pas aux exigences minimales de motivation rappelées ci-dessus.
3. Il s'ensuit que le recours doit être déclaré irrecevable. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 1000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office fédéral des migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 7 août 2008
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener