Faits:
A. Le 1er mai 2005, W._ SA (devenue par la suite Y._ SA; ci-après: la banque), ayant son siège à Genève, a engagé X._, domicilié à ..., en qualité de directeur général. Le contrat signé par les parties, qui contient une élection de droit en faveur du droit suisse, prévoit une rémunération sous la forme d'un salaire fixe, de frais de représentation, ainsi que d'un salaire variable dont les conditions sont réglées dans un document annexé signé le même jour. L'art. 2 du contrat prévoit que chacune des parties peut donner congé moyennant un préavis de 180 jours. En cas de congé, la banque a la faculté d'exiger du directeur général qu'il cesse immédiatement de travailler. L'art. 11 du contrat permet à la banque de licencier le directeur général avec effet immédiat dans un certain nombre de cas qui sont énumérés explicitement; l'alinéa 2 de cette disposition prévoit que s'il n'y a pas de justes motifs selon la loi suisse, le directeur général a le droit de percevoir une indemnité fixe correspondant à un salaire annuel.
Par courrier du 29 juin 2007, la banque a mis fin au contrat de travail du directeur général pour le 30 juin 2007. Il était indiqué que l'employé recevrait, en application de l'art. 11 du contrat de travail, une indemnité équivalant à une année de salaire.
Par courrier de son conseil du 17 août 2007, X._ a contesté la résiliation immédiate du rapport de travail, de sorte que les parties sont entrées en litige sur les conséquences pécuniaires de ce licenciement.
Le 4 septembre 2007, la banque a versé à son employé différentes sommes, notamment le montant qu'il réclamait à titre de bonus (salaire variable) pour l'année 2005.
B. Le 28 avril 2008, X._ a adressé à la juridiction des prud'hommes du canton de Genève une demande en paiement dirigée contre Y._ SA, lui réclamant au total la somme de 836'485 fr. avec intérêts.
Le 1er décembre 2009, le Tribunal des prud'hommes a rendu son jugement.
Saisie d'un appel formé par la banque et d'un appel incident interjeté par l'employé, la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève, par arrêt du 28 septembre 2010, a réformé le jugement rendu en première instance et a condamné la banque, sous réserve des déductions sociales, légales et usuelles, à verser à X._ la somme brute de 451'617 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2007, ainsi que la somme brute de 186'700 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er janvier 2008; elle a confirmé le jugement rendu en première instance dans la mesure où il a déclaré irrecevable la demande de l'employé tendant au paiement de 120'000 fr. à titre d'honoraires afférents à des mandats d'administrateur.
Le litige qui oppose les parties comprend quatre volets.
Premièrement, l'employé soutient qu'il a droit cumulativement au salaire pendant les six mois de préavis contractuel selon l'art. 2 du contrat et à l'indemnité pour licenciement immédiat sans justes motifs selon l'art. 11 al. 2 du contrat. La banque considère pour sa part que la réglementation de l'art. 11 al. 2 est exhaustive en cas de licenciement immédiat sans justes motifs et que le demandeur ne peut prétendre qu'à une année de salaire. Constatant qu'une volonté réelle et concordante des parties ne pouvait pas être établie, la cour cantonale, procédant à une interprétation normative, a considéré que l'employé ne pouvait pas cumuler l'indemnité pour licenciement immédiat injustifié avec le salaire qui lui aurait été dû en cas de congé ordinaire, conformément d'ailleurs à l'opinion exprimée par des témoins.
Deuxièmement, l'employé a soutenu qu'il avait droit à la fois à un salaire pour ses activités "genevoises", ainsi qu'à un salaire pour ses activités "...". La banque a contesté qu'il ait droit à une rémunération "...". Procédant à une appréciation des preuves apportées, la cour cantonale est parvenue à la conclusion que les parties étaient convenues d'une double rémunération, l'une pour les activités genevoises et l'autre pour les activités .... Ce point n'est plus litigieux devant le Tribunal fédéral.
Troisièmement, l'employé prétend que le bonus devait être calculé sur la base des résultats du groupe, et non pas exclusivement des résultats de la banque. Cette dernière a soutenu l'opinion inverse. Constatant que le bonus intégral ne devait être versé que si le bénéfice net annuel atteignait dix millions alors que le bénéfice annuel de la banque pour l'année 2006 n'atteignait qu'un million et pour l'année 2007 deux millions, la cour cantonale est parvenue à la conviction que les parties avaient en vue un calcul effectué sur la base des résultats du groupe dans son ensemble, ce qui lui est apparu logique aussi parce que le directeur général devait exercer une surveillance sur les autres sociétés du groupe.
Quatrièmement, l'employé a demandé une somme de 120'000 fr. à titre de rémunération pour les mandats d'administrateur qu'il avait exercés dans les sociétés filiales. Considérant que la rémunération d'un administrateur par une société ne relève pas du contrat de travail, la cour cantonale - comme le juge de première instance - a estimé que cette prétention ne ressortissait pas à la compétence de la juridiction des prud'hommes et a donc déclaré ce chef de demande irrecevable. Ce point n'est plus litigieux devant le Tribunal fédéral.
C. X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral (cause 4A_608/2010) contre l'arrêt cantonal. Invoquant une violation de l'art. 18 CO, il se plaint exclusivement de ce que la cour cantonale n'a pas admis le cumul entre le salaire pendant les six mois de préavis et l'indemnité pour licenciement immédiat injustifié correspondant à une année de salaire prévue par l'art. 11 al. 2 du contrat. Il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que sa partie adverse devrait être condamnée à lui payer, en plus des montants déjà admis, la somme de 216'635 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er juillet 2007.
L'intimée propose le rejet du recours.
D. Y._ SA exerce également un recours en matière civile au Tribunal fédéral (cause 4A_610/2010) contre le même arrêt. Invoquant une violation de l'art. 8 CC, elle se plaint exclusivement de ce que la cour cantonale ait admis que le bonus devait être calculé sur la base des résultats du groupe, et non pas de la banque seulement. Elle conclut à l'annulation de la décision attaquée, à ce que le Tribunal fédéral dise que le bonus n'est pas calculé à partir du bénéfice annuel consolidé, mais uniquement sur le bénéfice annuel de l'entité suisse de Y._ SA, à ce qu'il dise que la banque s'est entièrement acquittée du bonus qu'elle devait verser pour l'exercice 2006, à ce qu'il dise que la banque doit 20'868 fr. à X._ à titre de bonus pour l'exercice 2007 avec intérêts à 5% dès le 1er janvier 2008.
L'effet suspensif sollicité par la banque lui a été accordé par ordonnance présidentielle du 23 novembre 2010.
L'intimé conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.
Considérant en droit:
1. 1.1 Vu leur connexité évidente, les deux recours (4A_608/2010 et 4A_610/2010), qui s'en prennent à la même décision, doivent être tranchés dans un seul et même arrêt.
1.2 Chacun des recours a été interjeté par une partie qui a succombé dans ses conclusions touchant ses intérêts pécuniaires personnels (art. 76 al. 1 LTF) et est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse - calculée d'après les conclusions restées contentieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF) - dépasse très largement le seuil de 15'000 fr. requis en matière de droit du travail (art. 74 al. 1 et let. a LTF). Les deux recours, qui ont été déposés dans le délai prévu par la loi (art. 100 al. 1 LTF), sont donc en principe recevables, sous réserve des griefs soulevés (art. 42 LTF).
1.3 Un recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF.
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 135 III 397 consid. 1.4; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389). Par exception à la règle selon laquelle il examine le droit d'office, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
1.4 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 136 II 304 consid. 2.4; 135 III 127 consid. 1.5 p. 130, 397 consid. 1.5 p. 401) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées, faute de quoi il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (ATF 136 I 184 consid. 1.2 p. 187; 133 IV 286 consid. 1.4 et 6.2). Une rectification de l'état de fait ne peut être demandée que si elle est de nature à influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
1.5 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF). S'il admet le recours, le Tribunal fédéral peut statuer lui-même sur le fond ou renvoyer l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle prenne une nouvelle décision (art. 107 al. 2 LTF).
2. 2.1 Il résulte des constatations cantonales - qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - que les parties ont passé un accord qui, en raison de son contenu, doit être qualifié de contrat individuel de travail au sens de l'art. 319 al. 1 CO.
En raison du domicile à l'étranger de l'employé, le contrat présente un caractère international. Les parties étant convenues de soumettre le contrat au droit suisse, qui est le droit de l'Etat dans lequel l'employeur a son établissement, il n'est pas douteux que ce droit est seul applicable (art. 116 et 121 al. 3 LDIP).
I. Sur le recours de l'employé
Dans son recours (4A_608/2010), l'employé se plaint exclusivement de ce que la cour cantonale n'a pas cumulé l'indemnité pour licenciement immédiat sans justes motifs selon l'art. 11 al. 2 du contrat (une année de salaire) avec le droit au salaire pendant la période de préavis en cas de congé ordinaire selon l'art. 2 du contrat (six mois de salaire).
S'il n'existait pas de clause contractuelle, l'employé aurait droit, en cas de licenciement immédiat injustifié - comme c'est le cas en l'espèce -, à son salaire pendant le délai de congé (art. 337c al. 1 CO) ce qui représenterait en l'espèce six mois de salaire puisqu'un délai de préavis de six mois a été convenu, et, en plus, à une indemnité selon l'art. 337c al. 3 CO dont le montant ne peut pas dépasser six mois de salaire du travailleur. Ainsi, l'employé pourrait obtenir au maximum six mois de salaire correspondant au gain qu'il aurait réalisé pendant le délai de congé ordinaire et une indemnité dont le montant ne peut pas dépasser six mois de salaire, soit au total une année de salaire au maximum.
L'obligation de payer le salaire pendant la durée du délai de congé ordinaire prévue par l'art. 337c al. 1 CO revêt un caractère relativement impératif (art. 362 al. 1 CO) en ce sens que l'accord des parties ne peut pas y déroger au détriment de la travailleuse ou du travailleur. Bien que l'art. 362 CO n'en parle pas, la doctrine admet que l'indemnité prévue par l'art. 337c al. 3 CO revêt également un caractère relativement impératif (Rémy Wyler, Droit du travail, 2e éd., 2008, p. 520; Brunner/Bühler/Waeber/Bruchez, Commentaire du contrat de travail, 3e éd., 2004, n° 12 ad art. 337c CO, p. 290). A supposer que l'on admette - à la suite de la cour cantonale - que l'indemnité prévue par l'art. 11 al. 2 du contrat est seule applicable, cette réglementation contractuelle resterait plus favorable au travailleur que le régime légal, puisqu'il obtient automatiquement une année de salaire, alors qu'avec le système légal, l'indemnité de l'art. 337c al. 3 CO peut être inférieure à six mois de salaire et aboutir à un résultat final plus défavorable. Il n'est donc pas douteux que les clauses contractuelles convenues en l'espèce sont licites et qu'elles doivent être appliquées.
Comme l'a bien vu le recourant, le litige porte exclusivement sur leur interprétation (art. 18 CO; sur les principes régissant l'interprétation des manifestations de volonté: ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 412 s.).
La cour cantonale a constaté en fait - d'une manière qui lie le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - qu'une volonté réelle concordante des parties n'a pas pu être établie. Il faut donc procéder à une interprétation normative selon le principe de la confiance, ce qui constitue une question de droit (cf. ATF 135 III 410 ibidem).
Il est vrai que l'articulation entre les deux clauses contractuelles invoquées est particulièrement obscure et il n'est pas possible de dire, à la seule lecture du libellé de ces clauses, si elles ont un caractère alternatif ou cumulatif. Le terme "notwithstanding", utilisé fréquemment dans les contrats rédigés en anglais, marque une absence de relation ou de contradiction entre deux dispositions; son emploi en l'espèce s'explique par le fait que l'art. 11 permet un licenciement immédiat, alors même que l'art. 2 prévoit un délai de congé de 180 jours. On ne peut cependant rien en déduire de décisif sur le point litigieux, qui est de savoir si chaque clause règle de manière exhaustive le cas qu'elle prévoit ou si les montants indiqués peuvent se cumuler.
Les deux clauses sont en tout cas clairement séparées l'une de l'autre (art. 2 et art. 11), ce qui tend plutôt à montrer qu'elles n'ont pas de rapport direct entre elles. L'art. 2 prévoit la possibilité ordinaire de donner congé, faculté accordée à chacune des parties, moyennant un préavis de 180 jours; il est précisé, d'une manière logique, que l'employé a droit à son salaire pendant cette durée, puisque le contrat ne s'éteint pas avant l'échéance, même si l'employeur renonce à exiger le travail. Quant à l'art. 11, il ouvre pour l'employeur seulement la faculté de résilier le contrat de manière immédiate, mais à la condition que soit réalisée l'une des circonstances graves énoncées dans cette disposition. Il s'agit ainsi d'une disposition spéciale qui traite du licenciement abrupt. L'alinéa 2 de cette clause envisage l'hypothèse où le motif de résiliation ne serait pas considéré comme un juste motif au sens du droit suisse, c'est-à-dire au sens de l'art. 337 CO qui est absolument impératif (art. 361 al. 1 CO); dans ce cas de figure, il est prévu que l'employé a droit à une indemnité correspondant à une année de salaire.
L'idée qu'il s'agit d'une clause spéciale pour l'hypothèse d'un licenciement immédiat sans justes motifs conduit plutôt à penser qu'elle régit de manière exhaustive les conséquences pécuniaires de cette situation. Ajouter les six mois de salaire prévus par l'art. 2 du contrat reviendrait à appliquer une clause conçue pour le congé avec préavis, alors que l'on se trouve dans l'hypothèse d'un licenciement immédiat et que cette prévision fait l'objet d'une clause spéciale.
Lorsque des clauses contractuelles régissent une question qui est également réglementée par le droit non impératif, il faut en principe considérer qu'une dérogation au droit non impératif doit ressortir avec suffisamment de clarté de l'accord des parties, faute de quoi on doit considérer qu'elles n'ont pas voulu s'en écarter. Ainsi, si les parties conviennent, dans une vente mobilière, d'une garantie d'une année, il faut supposer que ce délai coïncide avec celui de l'art. 210 al. 1 CO et ne s'ajoute pas à lui (ATF 78 II 367 consid. 2 p. 368; Hans Giger, Commentaire bernois, n° 55 ad art. 210 CO). Or, comme on l'a vu, l'application cumulative de l'al. 1 et de l'al. 3 de l'art. 337c CO conduirait à allouer au maximum une année de salaire. Comme l'art. 11 al. 2 du contrat prévoit automatiquement (et non pas en tant que maximum) exactement la même conséquence pécuniaire, à savoir le droit à une année de salaire, on doit supposer que les parties avaient en vue le maximum prévu par la loi.
Il faut aussi observer que l'employeur aurait pu atteindre son but en donnant un préavis de six mois et en exigeant de l'employé qu'il cesse immédiatement de travailler comme le lui permettait l'art. 2 du contrat. Dans cette éventualité, il n'aurait eu que six mois de salaire à payer. Qu'il ait choisi la voie du licenciement immédiat sans justes motifs entraîne déjà - comme une sorte de sanction - une obligation de payer une année de salaire. Qu'il doive en plus payer encore six autres mois de salaire conduit à un désavantage pour l'employeur par rapport à la résiliation ordinaire dont on cherche en vain la justification.
Enfin, il sied de rappeler que l'employé, en tant que demandeur, assume le fardeau de la preuve (art. 8 CC). C'est à lui qu'il incombe de prouver des manifestations de volonté dont on puisse déduire que les parties entendaient cumuler la règle de l'art. 11 al. 2 et celle de l'art. 2 du contrat. Même si la question posée est en partie obscure en raison du libellé abstrus de la convention, il appert que le demandeur n'est pas parvenu à prouver une quelconque déclaration de l'employeur d'où l'on pourrait inférer que celui-ci acceptait de cumuler les conséquences pécuniaires d'un congé ordinaire et celles d'un congé immédiat sans justes motifs.
En conséquence, la solution à laquelle est parvenue la cour cantonale ne viole pas le droit fédéral. Le recours du demandeur doit être rejeté.
II. Sur le recours de la banque
2.2 Dans son recours (cause 4A_610/2010), la banque a conclu globalement à l'annulation de l'arrêt attaqué, mais elle ne se plaint, dans sa motivation, que des bases sur lesquelles le bonus a été calculé. Dans la mesure où ses conclusions tendent à l'annulation d'autres points du dispositif, elles sont irrecevables faute d'une motivation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF. En effet, le recours n'indique pas, sur les autres points du dispositif, en quoi l'arrêt attaqué violerait le droit.
2.3 La banque a également pris des conclusions en constatation de droit. Il ne ressort pas de l'état de fait cantonal - qui lie le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - qu'elle ait pris de semblables conclusions devant l'autorité précédente. Il s'agit donc de conclusions nouvelles qui, en tant que telles, sont irrecevables (art. 99 al. 2 LTF). Au demeurant, l'action en constatation de droit est subsidiaire par rapport à une action condamnatoire (ATF 123 III 49 consid. 1a p. 51; 119 II 368 consid. 2a p. 370). Comme la partie adverse a formé une action en paiement, il n'y a pas de place pour une action en constatation de droit, la seule question litigieuse étant de savoir si la banque doit ou non le montant qui lui est réclamé.
2.4 La banque soutient que le bonus devrait être calculé sur la base du résultat de son établissement à Genève, et non pas sur la base des résultats du groupe.
Procédant à une appréciation des preuves apportées, la cour cantonale est parvenue à la conviction que les parties avaient en vue les résultats des comptes de groupe.
La banque se plaint d'une violation de l'art. 8 CC.
Pour toutes les prétentions fondées sur le droit fédéral, cette disposition, en l'absence d'une règle contraire, répartit le fardeau de la preuve et détermine, sur cette base, laquelle des parties doit assumer les conséquences de l'échec de la preuve (ATF 129 III 18 consid. 2.6 p. 24; 127 III 519 consid. 2a). Elle ne prescrit cependant pas comment les preuves doivent être appréciées et sur quelles bases le juge peut forger sa conviction (ATF 128 III 22 consid. 2d; 127 III 248 consid. 3a). Dès lors que la cour cantonale est parvenue en l'espèce à une conviction, il n'y a pas d'échec de la preuve et la règle sur le fardeau de la preuve ne peut plus jouer aucun rôle (ATF 132 III 626 consid. 3.4 p. 634; 131 III 646 consid. 2.1 p. 649). Il n'y a donc pas eu de violation de l'art. 8 CC.
Après avoir constaté que l'annexe au contrat ne précisait pas les bases de calcul du bonus et que la présentation du rapport annuel n'était pas en elle-même un élément d'interprétation, la cour cantonale a assis sa conviction, d'une part, sur le fait qu'il était logique de tenir compte de l'ensemble des résultats puisque l'employé devait non seulement diriger la banque à Genève, mais aussi surveiller les sociétés filiales; d'autre part, elle a considéré que le montant fixé pour un bonus entier impliquait nécessairement que les parties avaient en vue les résultats de l'ensemble du groupe. On ne voit pas pourquoi la cour cantonale aurait ainsi forgé sa conviction de manière arbitraire. Il n'y a même pas lieu d'examiner la question, puisque l'arbitraire (respectivement la constatation inexacte des faits) n'est pas invoqué (art. 106 al. 2 LTF).
Partant, le recours de la banque doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
3. Les deux plaideurs ont succombé dans leur recours respectif. Chacune des parties doit donc assumer les frais judiciaires du recours qu'elle a interjeté (art. 66 al. 1 LTF). Il faut toutefois faire une différence pour tenir compte du fait que la banque, dans ses conclusions, a remis en cause un montant plus important.
Chacune des parties a droit à des dépens pour la procédure dans laquelle elle obtient gain de cause (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Cependant, les dépens se compensent. Dès lors, pour tenir compte de la différence qui vient d'être évoquée, il convient d'allouer à l'employé une indemnité réduite.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les procédures 4A_608/2010 et 4A_610/2010 sont jointes.
2. Le recours de X._ est rejeté.
3. Les frais judiciaires afférents à ce recours, arrêtés à 6'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le recours de Y._ SA est rejeté dans la mesure où il est recevable.
5. Les frais judiciaires afférents à ce recours, arrêtés à 7'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
6. Y._ SA versera à X._ une indemnité de 1'000 fr. à titre de dépens réduits.
7. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel de la juridiction des prud'hommes du canton de Genève.
Lausanne, le 10 janvier 2011
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Ramelet