Sachverhalt:
A. X._ erwarb aus dem Nachlass ihres verstorbenen Ehemannes bzw. aus Versicherungsleistungen am 30. April 2001 zwei Kassenobligationen (Inhaberpapiere) im Betrag von Fr. 440'000.--, die sie in ihr Wertschriftendepot bei der Bank A._ legen liess. Ihrem Sohn Y._ erteilte sie eine Vollmacht über das Depot. Gestützt auf eine mit ihrem Namenszug gezeichnete Anweisung vom 11. Juni 2001 wurden die beiden Kassenobligationen in ein auf Y._s Namen lautendes Depot bei der gleichen Bank übertragen. Y._ veräusserte alsdann die beiden Obligationen und investierte den Erlös ohne Wissen seiner Mutter in die B._ GmbH. Über diese wurde später der Konkurs eröffnet.
B. Mit Eingabe vom 4. Januar 2006 reichte X._ beim Amtsgericht C._ gegen Y._ Klage ein und beantragte, diesen zu verpflichten, ihr den Betrag von Fr. 440'000.-- nebst Zins zu 3,5 % auf Fr. 40'000.-- bzw. 3,25 % auf Fr. 400'000.-- seit 30. April 2001 zu zahlen. Y._ schloss auf Abweisung der Klage.
Das Amtsgericht (Abteilung I) und das Obergericht (I. Kammer) des Kantons Luzern wiesen die Klage mit Urteilen vom 12. Oktober 2007 bzw. vom 9. Juni 2008 ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. August 2008 verlangt X._, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an dieses zurückzuweisen; allenfalls sei die Klage durch das Bundesgericht gutzuheissen. Ausserdem ersucht sie darum, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Durch Präsidialverfügung vom 29. August 2008 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Der Beschwerdegegner und das Obergericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist der Entscheid der letzten kantonalen Instanz über eine Geldforderung, d.h. in einer Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) vermögensrechtlicher Natur. Der in einem Fall der vorliegenden Art erforderliche Streitwert von 30'000 Franken (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) ist bei weitem überschritten, so dass auf die rechtzeitig eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG) ohne weiteres einzutreten ist.
1.2 Mit Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht geltend gemacht werden (Art. 95 lit. a BGG), worunter auch verfassungsmässige Rechte des Bundes fallen (BGE 134 III 379 E. 1.2 S. 382 mit Hinweis). Hingegen kann eine Verletzung kantonalen Rechts als solche nicht gerügt, jedoch geltend gemacht werden, dessen Anwendung verstosse gegen das Willkürverbot und missachte daher Art. 9 BV (BGE 134 III 379 E. 1.2 S. 382 f. mit Hinweis).
1.3 Nach Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen).
2. Wer die tatsächliche Gewalt über eine Sache hat, ist ihr Besitzer (Art. 919 Abs. 1 ZGB). Gemäss Art. 930 Abs. 1 ZGB wird vom Besitzer einer beweglichen Sache vermutet, dass er ihr Eigentümer sei. Diese Rechtsvermutung kommt indessen nur bei einem rechtmässigen Erwerb des Besitzes zum Tragen. Erhebliche Zweifel an der Berechtigung des Besitzers zum Besitz können je nach den - vom Richter nach pflichtgemässem Ermessen zu würdigenden - Gegebenheiten ausreichen, die Rechtsvermutung umzustossen bzw. einen für die Rechtsvermutung genügenden Besitz überhaupt zu verneinen (vgl. BGE 84 II 253 E. 3 S. 261 mit Hinweisen; Emil W. Stark, Berner Kommentar, 3. Auflage, Vorbemerkungen Rechtsschutz zu Art. 930-937 ZGB, N. 50).
3. Das Obergericht ist davon ausgegangen, die Beschwerdeführerin habe die Kassenobligationen mit Wissen und Willen auf den Beschwerdegegner übertragen, indem sie die entsprechende Anweisung an die Bank selbst unterzeichnet habe. Die Beschwerdeführerin mache nicht geltend, der Beschwerdegegner habe auf unrechtmässige Weise Einfluss auf sie genommen; die erstinstanzliche Feststellung, ihre Unterschrift sei rechtmässig auf die Anweisung an die Bank A._ gekommen, sei unangefochten geblieben, womit der Besitz gültig übergegangen sei. Mit dem Amtsgericht erachtet die Vorinstanz das Vorbringen des Beschwerdegegners, die Beschwerdeführerin habe ihm die Obligationen geschenkt, weil sie im massgebenden Zeitpunkt mit dem Rest der Familie zerstritten gewesen sei, als nachvollziehbar. Die Beschwerdeführerin biete keine Beweise dafür an, dass das Verhältnis zwischen ihr und den (übrigen) Kindern im Zeitpunkt der Bankanweisung vom 11. Juni 2001 noch gut gewesen sei. Ihr Hinweis auf die letztwillige Verfügung vom 14. Mai 2001, worin sie alle ihre Kinder bedacht habe, genüge nicht, sei doch ein Gesinnungswandel zwischen dem Zeitpunkt der Erstellung des Testaments und dem 11. Juni 2001 nicht auszuschliessen. Sodann sprächen die Schreiben des Beschwerdegegners vom 21. und 22. August 2001 an die Bank A._ selbst dann nicht gegen eine Schenkung der Kassenobligationen, wenn die darin enthaltenen Hinweise auf einen Liegenschaftenverkauf der Beschwerdeführerin nicht korrekt gewesen sein sollten. Deren Behauptung, sie habe am 11. Juni 2001 über Guthaben von nur Fr. 524'922.-- verfügt, sei bestritten und nicht bewiesen, abgesehen davon, dass ein Vermögensstand der geltend gemachten Höhe eine Schenkung von Fr. 440'000.-- noch nicht als unglaubwürdig erscheinen liesse. Soweit die Beschwerdeführerin vorbringe, sie sei nie allein zur Bank A._ gegangen, sei nicht ersichtlich, inwiefern dies gegen eine Schenkung sprechen solle. Aus dem Umstand, dass keine der Parteien die Kassenobligationen versteuert haben solle, lasse sich kein zwingender Schluss auf die Eigentumsverhältnisse ziehen, so dass sich der Beizug der Steuererklärungen erübrige. Das Obergericht räumt ein, dass das Schreiben des Anwalts des Beschwerdegegners vom 27. Februar 2004 an die Beschwerdeführerin, worin von Bemühungen des Beschwerdegegners, "Ihre", d.h. der Beschwerdeführerin, (vom Beschwerdegegner bei der B._ GmbH angelegten) Gelder zurückführen zu können, und davon die Rede war, dass der Beschwerdegegner "Ihre Gelder" anderweitig verwendet habe, kaum mit einer Schenkung vereinbar sei. Indessen sei zu beachten, dass es sich bei diesem Schriftstück nur um einen im Rahmen einer Strafuntersuchung gegen den Beschwerdegegner sichergestellten Entwurf handle, der der Beschwerdeführerin nie zugestellt worden sei. Abschliessend hält die Vorinstanz dafür, dass allfällige Zweifel die für die Eigentumsvermutung sprechenden Umstände nicht überwögen und die Rechtsvermutung von Art. 930 Abs. 1 ZGB nicht umzustossen vermöchten. Das Zustandekommen eines Vermögensverwaltungsvertrags, in dessen Rahmen die Kassenobligationen auf den Beschwerdegegner übertragen worden wären, habe die Beschwerdeführerin nicht darzutun vermocht.
4. An ihrer Auffassung, es sei zwischen ihr und dem Beschwerdegegner ein Vermögensverwaltungsvertrag zustande gekommen, hält die Beschwerdeführerin ausdrücklich nicht mehr fest. Sie macht geltend, das Obergericht habe mit seinen übrigen Feststellungen gegen das Willkürverbot (Art. 9 BV) verstossen, ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK) missachtet, die Art. 8 und 930 ZGB sowie 41 und 62 ff. OR verletzt, § 61 der Luzerner Zivilprozessordnung (ZPO) willkürlich angewendet und den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt.
4.1 Als willkürlich bezeichnet die Beschwerdeführerin vorab die obergerichtliche Feststellung, sie habe die Kassenobligationen mit Wissen und Willen auf den Beschwerdegegner übertragen, was unangefochten geblieben sei: In Wirklichkeit habe sie dargelegt, dass der Beschwerdegegner sich ihre Unterschrift offenbar auf einen undatierten Bankbeleg erschlichen habe, und gleichzeitig unmissverständlich festgehalten, dass sie vom Inhalt des Bankauftrags keine Kenntnis gehabt habe und sich an die genauen Umstände der Unterzeichnung nicht mehr erinnern könne. Entgegen den Vorbringen des Beschwerdegegners sei sie als Geschäftsunerfahrene nie allein zur Bank A._ gegangen und habe sich bei der Eröffnung wie auch bei der Saldierung des Depots vom Beschwerdegegner begleiten und beraten lassen, was ihr fehlendes Wissen rund um Bank- und Anlagesachen und ihre Abhängigkeit in geschäftlichen Dingen von ihm dokumentiere. Ihr unter den angeführten Umständen zu unterstellen, sie habe die Obligationen mit Wissen und Willen auf den Beschwerdegegner übertragen, sei aktenwidrig.
Fest steht, dass der Beschwerdegegner, der die Kassenobligationen geschenkt, d.h. zu Eigentum übertragen erhalten haben will, sich hierfür ausschliesslich auf den - einzig in Kopie vorgelegten - formularmässigen, an die Bank adressierten Transferierungsauftrag vom 11. Juni 2001 zu berufen vermag. Schwer verständlich ist, weshalb der Beschwerdegegner sich nicht zumindest das Original dieses Schriftstücks oder eine zweite Ausfertigung des Auftrags mit Originalunterschrift gesichert hat. Freilich kann auch einer Fotokopie die Eigenschaft eines Beweismittels zukommen (vgl. BGE 116 IV 190 E. 2b/bb S. 193), doch muss jedenfalls dann, wenn es sich - wie hier - um das grundlegende Dokument für ein bedeutendes und den Ausgang eines Gerichtsverfahrens in einem wesentlichen Mass bestimmendes Rechtsgeschäft handelt, mit der Aufforderung des Gerichts gerechnet werden, das Originalschriftstück vorzulegen (vgl. Walther J. Habscheid, Schweizerisches Zivilprozess- und Gerichtsorganisationsrecht, 2. Auflage, Basel 1990, S. 415). Angesichts der in den übertragenen Papieren verkörperten bedeutenden Geldsumme hätte es sich für den Beschwerdegegner sogar aufdrängen müssen, die geltend gemachte Schenkung in einem separaten an ihn gerichteten Schriftstück ausdrücklich festhalten zu lassen.
4.2 Die Würdigung der tatsächlichen Gegebenheiten durch die Vorinstanz und deren Folgerung, das Vorliegen einer Schenkung sei nachvollziehbar, beanstandet die Beschwerdeführerin sodann auch insofern, als ihr Einwand gegen die Argumentation des Beschwerdegegners, sie sei im Zeitpunkt der Bankanweisung mit dem Rest der Familie zerstritten gewesen, verworfen wurde: In dem von ihr angerufenen Testament vom 14. Mai 2001 habe sie alle ihre drei Kinder und zusätzlich zwei Enkelkinder ausdrücklich bedacht. Einzig den Sohn D._ habe sie wegen persönlicher Differenzen auf den Pflichtteil gesetzt. Die Tochter und der Beschwerdegegner seien dagegen für den aus dieser Pflichtteilsregelung frei werdenden Teil als Erben eingesetzt worden. Die vorinstanzliche Annahme, sie sei mit dem Rest der Familie zerstritten gewesen, sei damit zweifelsfrei widerlegt, und es habe unter den dargelegten Umständen für sie auch nicht der geringste Anlass bestanden, bereits 28 Tage nach Testamentserrichtung praktisch ihr gesamtes Vermögen bloss einem ihrer Kinder, dem Beschwerdegegner, zu verschenken.
Der Beschwerdeführerin ist insofern beizupflichten, als es jeder Lebenserfahrung widerspricht und daher ganz unglaubwürdig ist, dass jemand, der ein Testament zugunsten seiner drei Kinder und zweier Enkelkinder errichtet hat, nur einen knappen Monat später den grössten Teil seines Vermögens (dazu unten E. 4.4) einem einzigen Kind schenkungsweise zukommen lässt. Die Feststellung des Obergerichts, ein solcher Gesinnungswandel sei nicht auszuschliessen, ist unbehelflich, sind doch keine konkreten Anhaltspunkte für einen kurzfristig entstandenen umfassenden Familienstreit, wie er vom Beschwerdegegner geltend gemacht wird, dargetan.
4.3 Ebenfalls zu Recht widerspricht die Beschwerdeführerin der Auffassung des Obergerichts, die beiden Schreiben des Beschwerdegegners vom 21. und 22. August 2001 (an die Bank A._) sprächen selbst dann nicht gegen eine Schenkung der Kassenobligationen, wenn die darin enthaltenen Hinweise auf einen Liegenschaftenverkauf der Beschwerdeführerin nicht korrekt gewesen sein sollten: Sie weist darauf hin, dass sie entgegen den Ausführungen des Beschwerdegegners in den beiden Schreiben nie Eigentümerin einer Liegenschaft gewesen sei, weshalb sie auch vor dem 21. August 2001 keine solche habe verkaufen können. Ebenso erlogen sei die Bemerkung im Schreiben vom 22. August 2008 gewesen, wonach der Verkauf ihrer Liegenschaft über eine andere Bank abgewickelt werde; eine zu verkaufende (weitere) Liegenschaft habe gar nie existiert.
In seiner Vernehmlassung zur Beschwerde hält der Beschwerdegegner den Ausführungen der Beschwerdeführerin einzig entgegen, diese habe zusammen mit ihrem verstorbenen Ehemann in Form eines "mit dem Grund und Boden fest verankerte[n] Wohnmobil[s]" in E._ ein Ferienobjekt besessen, das er im Rahmen der Erbschaftsabwicklung verkauft habe; es dürfe ihm als juristischen Laien nicht zum Vorwurf gemacht werden, dass er in diesem Zusammenhang von einer Liegenschaft gesprochen habe; diese Falschbezeichnung mache ihn noch lange nicht zu einem Lügner. Diese Vorbringen sind nicht geeignet, Zweifel an der Glaubwürdigkeit der Ausführungen des Beschwerdegegners - um die es der Beschwerdeführerin bei der Anrufung der beiden Schreiben einzig gegangen war - zu beseitigen, zumal der vom Beschwerdegegner erwähnte Vertrag über den Verkauf des Mobilheims, der rund Fr. 50'000.-- eingebracht habe, vom 22. Mai 2001 datiert, der Beschwerdegegner jedoch noch in seinem Schreiben vom 22. August 2001 an die Bank A._, d.h. drei Monate später, erklärte, er werde den Verkauf der Liegenschaft seiner Mutter über eine andere Bank abwickeln.
4.4 In der obergerichtlichen Feststellung, es sei bestritten und nicht bewiesen, dass sie am 11. Juni 2001 über Guthaben von nur Fr. 524'922.-- verfügt habe, erblickt die Beschwerdeführerin eine weitere willkürliche Würdigung, wobei gleichzeitig auch die Beweislastverteilung nach Art. 8 ZGB verletzt worden sei. Es treffe zu, dass der Beschwerdegegner behauptet habe, sie habe im erwähnten Zeitpunkt über Barmittel von gegen Fr. 900'000.-- verfügt, und mit dem Hinweis auf Konten, die steuerlich nicht deklariert seien, die Vollständigkeit der von ihr ausgewiesenen Guthaben von Fr. 524'922.-- bestritten habe. Obschon der Beschwerdegegner als ihr Nachlassberater und Steuervertreter über ihre Vermögensverhältnisse per 2001 bestens informiert und dokumentiert gewesen sei, habe er bezeichnenderweise seine Behauptung indessen nicht zum Beweis gestellt. Bei richtiger Beweislastverteilung und korrekter Beweiswürdigung sei von Guthaben in der von ihr angegebenen Höhe auszugehen, was zwar eine Schenkung von Fr. 440'000.-- nicht von vornherein ausschliesse, ihre Wahrscheinlichkeit angesichts des 28 Tage zuvor verurkundeten Testaments jedoch zusätzlich erheblich schmälere.
Diesen Ausführungen ist in jeder Hinsicht beizupflichten. Bei einem Vermögensstand von Fr. 524'922.--, von dem aufgrund der gegebenen Umstände auszugehen ist, erscheint es in der Tat als in hohem Masse unglaubwürdig, dass die Beschwerdeführerin, die im massgebenden Zeitpunkt (Juni 2001) erst rund 54 Jahre alt war, dem Beschwerdegegner eine Schenkung in der Höhe von Fr. 440'000.-- gemacht haben soll.
4.5 Wie die Beschwerdeführerin schliesslich zutreffend hervorhebt, hat das Obergericht selbst eingeräumt, dass der Briefentwurf des beschwerdegegnerischen Anwalts vom 27. Februar 2004 kaum als mit einer Schenkung vereinbar erscheine. Dass es sich um einen Entwurf handle, der im Rahmen einer Strafuntersuchung sichergestellt und der Beschwerdeführerin nie zugestellt worden sei, ist entgegen der Ansicht der Vorinstanz ebenso unerheblich wie die Frage, aus welchem Anlass er verfasst wurde. Entscheidend ist im vorliegenden Zusammenhang einzig, dass das Schriftstück vom Anwalt des Beschwerdegegners stammt und damit ein Zugeständnis des Beschwerdegegners (hinsichtlich der Berechtigung an den darin erwähnten Geldern) zugunsten der Beschwerdeführerin enthält.
5. Eine Gesamtbetrachtung des Dargelegten ergibt, dass die Würdigung der tatsächlichen Gegebenheiten durch das Obergericht im Ergebnis vollkommen unhaltbar ist. Die Zweifel an der Berechtigung des Beschwerdegegners zum (seinerzeitigen) Besitz an den beiden Kassenobligationen sind in Wirklichkeit klarerweise derart gross, dass sie entgegen der Rechtsauffassung der Vorinstanz die Rechtsvermutung nach Art. 930 Abs. 1 ZGB umzustossen vermögen bzw. die Annahme eines die Rechtsvermutung rechtfertigenden Besitzes nicht zulassen. Der angefochtene Entscheid ist daher aufzuheben.
5.1 Der Beschwerdegegner hat nach dem Gesagten über der Beschwerdeführerin gehörendes, nicht in sein Eigentum übergegangenes Vermögen verfügt, als er die beiden Kassenobligationen veräusserte. Durch den dabei erzielten Erlös war er im Sinne des von der Beschwerdeführerin angerufenen Art. 62 OR ungerechtfertigt bereichert, so dass er grundsätzlich zur Rückerstattung verpflichtet ist (Art. 62 Abs. 1 OR). Dass der Beschwerdegegner wegen des Konkurses der B._ GmbH, bei der der Erlös angelegt worden sei, nach seinen Vorbringen heute nicht mehr bereichert ist, ist ohne Belang: Es kann nach dem oben Ausgeführten nicht die Rede davon sein, dass er sich des Verkaufserlöses in gutem Glauben entäussert hätte und er im Sinne von Art. 64 OR aus diesem Grund zur Rückerstattung nicht verpflichtet wäre. Der Forderungsbetrag und die verlangten Zinsen werden als solche nicht bestritten.
5.2 Wie schon vor Obergericht leitet die Beschwerdeführerin den geltend gemachten Forderungsanspruch auch aus Art. 41 OR (Haftung aus unerlaubter Handlung) ab. Zwischen einem solchen Anspruch und einem Anspruch aus ungerechtfertigter Bereicherung besteht Anspruchskonkurrenz, soweit sich - wie hier - die Bereicherung mit dem Schaden deckt; eine Einschränkung könnte sich einzig insofern ergeben, als nach Art. 66 OR nicht zurückgefordert werden kann, was in der Absicht gegeben worden ist, einen rechtswidrigen oder unsittlichen Erfolg herbeizuführen (dazu BGE 117 IV 139 E. 3d/dd S. 149 mit Hinweisen; Hermann Schulin, Basler Kommentar, 4. Auflage, Basel 2007, N. 39 zu Art. 62 OR). Letzteres trifft hier indessen von vornherein nicht zu. Es braucht unter den gegebenen Umständen nicht geprüft zu werden, inwiefern die Voraussetzungen von Art. 41 OR erfüllt sind. Ebenso wenig sind die von der Beschwerdeführerin erhobenen weiteren Rügen zu prüfen.
5.3 Unter Berufung auf Art. 67 bzw. Art. 60 OR hatte der Beschwerdegegner schon vor Obergericht geltend gemacht, der Forderungsanspruch der Beschwerdeführerin sei verjährt. Die Vorinstanz, die den Anspruch dem Grundsatze nach verneint hat, hat sich mit dieser Einrede nicht befasst. Die Sache ist deshalb zu entsprechenden Abklärungen und zu neuem Entscheid an sie zurückzuweisen.
6. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dieser ist ausserdem zu verpflichten, die Beschwerdeführerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Hinsichtlich der Gerichtskosten wird das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, somit gegenstandslos. Da die Voraussetzung der Bedürftigkeit (Art. 64 Abs. 1 BGG) in Anbetracht der wirtschaftlichen Verhältnisse der Beschwerdeführerin bei ihr offensichtlich erfüllt ist, ist dem Gesuch hingegen insofern zu entsprechen, als im Falle der Uneinbringlichkeit der vom Beschwerdegegner zu zahlenden Parteientschädigung der der Beschwerdeführerin beizugebende Rechtsbeistand aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist (Art. 64 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird das Urteil des Obergerichts (I. Kammer) des Kantons Luzern vom 9. Juni 2008 aufgehoben und die Sache zur weiteren Abklärung und zu neuer Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. 3.1 Soweit das Gesuch der Beschwerdeführerin, ihr für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, nicht gegenstandslos geworden ist, wird es gutgeheissen, und es wird der Beschwerdeführerin in der Person von Rechtsanwalt lic. iur. Viktor Rüegg, ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.2 Der Beschwerdegegner wird verpflichtet, die Beschwerdeführerin für ihre Umtriebe im bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 10'000.-- zu entschädigen; im Falle der Uneinbringlichkeit wird Rechtsanwalt lic. iur. Viktor Rüegg aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 10'000.-- ausgerichtet.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht (I. Kammer) des Kantons Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Januar 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Gysel