Faits:
A. Par décision du 4 décembre 2007, l'Office régional de placement X._ (ci-après: ORP) a déclaré O._ inapte au placement à partir du 21 septembre 2007, au motif qu'elle ne disposait pas d'une solution de garde suffisante pour sa fille S._, née le 28 août 2004, compte tenu de sa recherche d'un travail à plein temps.
Le 13 décembre 2007, l'assurée a fait opposition à cette décision en déclarant qu'elle avait trouvé une personne disposée à garder sa fille.
Par décision sur opposition du 18 février 2008, l'Instance juridique de chômage de l'Etat de Vaud (Service de l'emploi) a rejeté l'opposition de l'assurée.
B. O._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud. Elle faisait valoir, notamment, qu'elle avait trouvé une crèche disposée à assurer la garde de sa fille pendant toute la journée du lundi au vendredi à partir du 17 mars 2008.
Dans sa réponse du 8 mai 2008, le Service de l'emploi a conclu au rejet du recours.
Dans une lettre du 23 juillet 2008, adressée à la Caisse de chômage Y._, avec copie au Tribunal cantonal, l'ORP a indiqué qu'il renonçait à rendre une décision administrative, au motif que l'assurée remplissait les conditions relatives à l'aptitude au placement, dans la mesure où elle avait trouvé une solution pour la garde de son enfant à partir du 17 mars 2008.
Par jugement du 10 septembre 2008, le président du Tribunal des assurances, sans statuer au fond, a prononcé le dispositif suivant:
« I. Acte est donné à la recourante de l'adhésion du Service de l'emploi à la conclusion de son recours.
II. Le passé-expédient est homologué pour valoir jugement ».
C. Le Service de l'emploi interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il requiert l'annulation en demandant que la cause soit renvoyée au Président du Tribunal des assurances du canton de Vaud afin qu'il se prononce sur l'aptitude au placement de l'assurée pour la période du 21 septembre 2007 au 16 mars 2008.
O._ ainsi que le Secrétariat d'Etat à l'économie ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement par lequel l'autorité cantonale de recours a rayé l'affaire du rôle. Il s'agit d'une décision au sens de l'art. 82 let. a LTF en liaison avec les art. 86 al. 1 let. d et 90 LTF contre laquelle la voie du recours en matière de droit public est ouverte.
2. Le Service de l'emploi fait grief à la juridiction cantonale d'avoir retenu que l'aptitude au placement de l'assurée avait été admise à partir du 21 septembre 2007. En realité, dans sa lettre du 23 juillet 2008, l'Office régional de placement aurait indiqué que cette condition était remplie dès le 17 mars 2008 de sorte que l'aptitude au placement de l'intimée restait litigieuse pour la période antérieure. L'office recourant en déduit que le premier juge a prononcé à tort la radiation du rôle de l'affaire.
3. Conformément à l'art. 72 PCF, qui s'applique par analogie à la procédure administrative en général (GRISEL, Traité de droit administratif, p. 937; GYGi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2ème édition, p. 326), lorsque le litige devient sans objet ou que les parties cessent d'y avoir un intérêt juridique, l'affaire est rayée du rôle; le tribunal statue sur les frais du procès par une décision sommairement motivée, en tenant compte de l'état de choses existant avant le fait qui met fin au litige. Cette disposition vise la survenance, en cours de procédure, de faits nouveaux qui rendent sans objet les points litigieux. Un procès ne devient toutefois pas sans objet lorsque l'autorité qui a rendu la décision déclare, dans sa réponse au recours, se rallier aux conclusions de ce dernier (voir, sur les différents actes pouvant mettre fin à la procédure, KÖLZ/HÄNER, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2ème édition, no 682). Il s'agit, en réalité, d'un acquiescement, mais qui est en principe inopérant en droit des assurances sociales, car il ne dispense pas le juge de se prononcer sur le recours (ATF 111 V 58 consid. 1 p. 60 sv.; RJAM 1983 no 520 p. 41 consid. 1; arrêt C 398/98 du 4 mars 1999).
En fait, l'autorité dont émane la décision attaquée et qui entend acquiescer au recours a la possibilité de rendre une nouvelle décision dans le sens des conclusions de celui-ci (KÖLZ/HÄNER, op. cit., no 684), conformément à l'art. 53 al 3 LPGA. L'art. 53 al. 3 LPGA dispose que jusqu'à l'envoi de son préavis à l'autorité de recours, l'assureur peut reconsidérer une décision ou une décision sur opposition contre laquelle un recours a été formé. Cette disposition légale règle le cas particulier de la reconsidération pendente lite d'une décision ou d'une décision sur opposition contre laquelle un recours a été formé (arrêts I 497/03 du 31 août 2004 consid. 3, I 653/03 du 20 avril 2004 consid. 1 et I 700/03 du 17 mars 2004 consid. 1.1, in ZBJV 140/2004 p. 751; voir aussi ATF 127 V 228 consid. 2b/bb p. 232 ss; UELI KIESER, ATSG-Kommentar, Kommentar zum Bundesgesetz über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts vom 6. Oktober 2000, 2ème édition, Zurich 2009, n° 46 et 47 ad art. 53).
4. En l'occurrence, l'administration n'a pas rendu de nouvelle décision en cours de procédure (cf. art. 49 al. 1 LPGA). Comme d'autre part, aucun fait n'a rendu sans objet le litige et que les déterminations du Service de l'emploi ne dispensaient pas le Tribunal des assurances de statuer, il convient d'annuler le jugement attaqué et de renvoyer la cause à ce même tribunal pour qu'il se prononce sur le litige.
5. Etant donné les circonstances, il se justifie de renoncer à percevoir des frais judiciaires à la charge de l'intimée (art. 66 al. 1, deuxième phrase, LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du 10 septembre 2008 rendu par le Président du Tribunal des assurances du canton de Vaud est annulé.
2. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, pour qu'il statue conformément aux considérants.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 31 juillet 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung Berset