Sachverhalt:
A. Das Besondere Untersuchungsrichteramt Liestal führt als Anklagebehörde ein Strafverfahren gegen X._ wegen strafbarer Handlungen gegen das Vermögen. Gestützt auf die Anklageschrift des Besonderen Untersuchungsrichteramtes hat das Strafgericht des Kantons Basel-Landschaft den Beschwerdeführer mit Urteil vom 4. November 2009 der mehrfachen qualifizierten Veruntreuung sowie der mehrfachen qualifizierten ungetreuen Geschäftsbesorgung schuldig erklärt und zu einer Zuchthausstrafe von 41⁄2 Jahren verurteilt. Gegen dieses Urteil reichten X._ und die Anklagebehörde beim Kantonsgericht Basel-Landschaft Appellation ein. Mit Begehren vom 24. Juni 2010 hat X._ beim Kantonsgericht ein Ausstandsbegehren gegen den Kantonsgerichtspräsidenten Thomas Bauer gestellt. Das Kantonsgericht hat das Ausstandsbegehren mit Beschluss vom 10. August 2010 abgewiesen.
B. Mit Beschwerde in Strafsachen vom 16. September 2010 beantragt X._ die Aufhebung des Kantonsgerichtsbeschlusses vom 10. August 2010 und die Gutheissung des Ausstandsbegehrens.
C. Das Kantonsgericht und der Kantonsgerichtspräsident stellen den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Besondere Untersuchungsrichteramt schliesst auf Abweisung der Beschwerde. In einer weiteren Eingabe äussert sich der Beschwerdeführer zu den Vernehmlassungen der übrigen Verfahrensbeteiligten.
Erwägungen:
1. Der angefochtene, kantonal letztinstanzliche Beschluss des Kantonsgerichts ist im Rahmen eines Strafverfahrens ergangen. Demnach fällt für die Anfechtung vor Bundesgericht die Beschwerde in Strafsachen gemäss Art. 78 ff. BGG in Betracht. Gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über Ausstandsbegehren kann nach Art. 92 Abs. 1 BGG Beschwerde geführt werden. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsmittelweg demjenigen in der Hauptsache (BGE 133 III 645 E. 2.2 S. 647 f.). Vorliegend ist demnach - da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen vorliegen - die Beschwerde in Strafsachen zulässig.
2. Der Beschwerdeführer beruft sich auf § 37 lit. c des kantonalen Gesetzes über die Organisation der Gerichte und der Strafverfolgungsbehörden (Gerichtsorganisationsgesetz, GOG/BL, SGS 170). Nach dieser Bestimmung können Richterinnen und Richter von einer Partei abgelehnt werden, wenn Umstände vorliegen, die geeignet sind, sie als befangen erscheinen zu lassen.
2.1 Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei. Voreingenommenheit und Befangenheit werden nach der Rechtsprechung angenommen, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Bei der Beurteilung solcher Umstände ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Richter tatsächlich befangen ist; es genügt, wenn hinreichende Anhaltspunkte hierfür sprechen (BGE 128 V 82 E. 2a; 124 I 121 E. 3a; je mit weiteren Hinweisen). Da die Ausstandsregelung in einem gewissen Spannungsverhältnis zum Anspruch auf den gesetzlichen Richter steht, muss sie eine Ausnahme bleiben, soll die Zuständigkeitsordnung nicht ausgehöhlt werden. Die persönliche Unbefangenheit des gesetzlichen Richters ist deshalb im Grundsatz zu vermuten (vgl. BGE 114 Ia 50 E. 3b S. 55); von der regelhaften Zuständigkeitsordnung darf nicht leichthin abgewichen werden (zum Ganzen: BGE 136 I 207 E. 3.1 S. 210; 135 I 14 E. 2; 134 I 238 E. 2.1 S. 240; 133 I 1 E. 6.2; 131 I 24 E. 1.1, 113 E. 3.4; Urteil 1P.711/2004 vom 17. März 2005 E. 3.1, publ. in: ZBl 107/2006 S. 393 ff.).
2.2 Der Beschwerdeführer führt aus, Kantonsgerichtspräsident Thomas Bauer sei Partner der Gesellschaft Ernst & Young. Diese Gesellschaft spiele in einem Anklagepunkt eine wichtige Rolle. Er werde im Strafverfahren unter anderem beschuldigt, Anleger getäuscht zu haben in Bezug auf ein geplantes Anlagegeschäft, für dessen Seriosität er sich auf schriftliche Zusicherungen von Ernst & Young Bahamas berufen könne. Somit werde im Prozess die Rolle von Ernst & Young im betreffenden Anlagegeschäft zu würdigen sein. Die Position des Kantonsgerichtspräsidenten Thomas Bauer als Partner von Ernst & Young sei geeignet, beim Beschwerdeführer und beim objektiven Betrachter Zweifel an seiner Unabhängigkeit zu nähren.
2.3 Das Kantonsgericht verneinte das Vorliegen eines Ablehnungsgrunds im Sinne von § 37 lit. c GOG/BL zunächst wegen des Umstands, dass Ernst & Young im vorliegenden Verfahren keine Parteistellung zukomme. Aus der Stellungnahme des Kantonsgerichtspräsidenten sowie der Homepage von Ernst & Young ergebe sich sodann, dass zwischen der Ernst & Young Schweiz und der Ernst & Young Bahamas zu keiner Zeit eine rechtliche oder wirtschaftliche Abhängigkeit bestanden habe. Das Verhalten einer für die Ernst & Young Bahamas zeichnenden Person, könne somit nicht der Ernst & Young Schweiz zugerechnet werden. Der Ausgang des Appellationsverfahrens zeitige daher weder für die Ernst & Young Schweiz noch - im Sinne einer unmittelbaren Reflexwirkung - für den Kantonsgerichtspräsidenten selbst, der als Partner bei der Ernst & Young AG, Basel, tätig sei, irgendwelche Vor- oder Nachteile. Nachdem bei der Bejahung von Ausstandsgründen grundsätzlich Zurückhaltung angebracht sei und ausserdem die Gutheissung eines Ausstandsbegehrens in sehr umfangreichen, komplexen Fällen wie dem vorliegenden mit zahlreichen potentiellen Geschädigten zu einer Verlängerung des Verfahrens führen könne, die in ein Spannungsverhältnis zum Beschleunigungsgebot träten, sei im vorliegenden Fall festzustellen, dass keine objektivierbare Tatsachen vorliegen, die bei einem Aussenstehenden den Verdacht der Befangenheit entstehen lassen könnten und den Kantonsgerichtspräsidenten im zweitinstanzlichen Strafverfahren gegenüber den Angeklagten als voreingenommen erscheinen liessen. Demzufolge sei das Ausstandsbegehren abzuweisen.
2.4 Diese Würdigung durch das Kantonsgericht ist nicht zu beanstanden. Es besteht aufgrund der vom Beschwerdeführer dargelegten Umstände nicht der Anschein, dass der Kantonsgerichtspräsident ein persönliches Interesse am vorliegenden Appellationsverfahren hätte. Es ist nicht ersichtlich, dass er bzw. die Ernst & Young Schweiz an den im Prozess zur Sprache kommenden Anlagegeschäften in irgendeiner Weise beteiligt gewesen wäre oder ein eigenes Interesse an einer bestimmten Würdigung der Tätigkeit eines früheren Angestellten der Ernst & Young Bahamas haben könnte. Weder Ernst & Young Schweiz noch Ernst & Young Bahamas sind Parteien im Strafprozess. Das Kantonsgericht durfte somit das Vorliegen eines Ablehnungsgrunds gegen den Präsidenten Thomas Bauer verneinen.
3. Es ergibt sich, dass die Beschwerde abzuweisen ist.
Der Beschwerdeführer ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Diesem Gesuch kann gestützt auf Art. 64 Abs. 1 BGG entsprochen werden. Der Beschwerdeführer legt seine Mittellosigkeit glaubhaft dar, und die Beschwerde erscheint nicht als von vornherein aussichtslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1 Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2 Rechtsanwalt Roger Wirz wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Thomas Bauer sowie dem Besonderen Untersuchungsrichteramt und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivil- und Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. November 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Haag