Der Präsident zieht in Erwägung:
1. Im angefochtenen Entscheid wurde auf eine kantonale Beschwerde nicht eingetreten, weil der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss nicht bezahlt hatte. Er macht vor Bundesgericht geltend, es sei unter Berücksichtigung seiner finanziellen Mittel ein neuer, angemessener Kostenvorschuss festzusetzen. Über die Frage des Kostenvorschusses im kantonalen Beschwerdeverfahren hat das Bundesgericht indessen bereits mit Urteil 1B_132/2010 vom 4. Mai 2010 rechtskräftig entschieden. Darauf kann heute nicht mehr zurückgekommen werden. Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Aufgrund der trölerischen Art der Prozessführung kommt ein Absehen von einer Kostenauflage nicht mehr in Betracht. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. August 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn