Faits:
A. A._, né en 1965, a été nommé en qualité de maître primaire à plein temps à l'Ecole primaire du cercle scolaire de X._ pour la période administrative courant du 1er août 1999 au 31 juillet 2003. En juillet 2002, à la suite de plaintes émanant de parents d'élèves, la Commission des écoles primaires et enfantines de X._ (ci-après : la commission) a requis l'intervention de L._, conseiller pédagogique, pour assister A._ dans l'exercice de ses tâches d'enseignant. Le 21 janvier 2003, la commission a renouvelé la nomination de l'intéressé pour la période allant de 2003 à 2009, en l'incitant toutefois à procéder à un changement rapide et radical sur divers points.
Estimant que l'évolution escomptée ne s'était pas produite, la commission s'est adressée le 14 mai 2004 au Service de l'enseignement. Le 27 mai suivant, la Ministre du Département de l'éducation du canton du Jura (ci-après : le département) a décidé d'ouvrir une enquête administrative à l'encontre de A._, qu'elle a confiée à B._. A partir de juillet 2004, l'intéressé s'est trouvé en congé maladie pour plusieurs mois. Le rapport d'enquête, remis le 7 janvier 2005, concluait à l'absence de manquements professionnels passibles d'une sanction disciplinaire et constatait plutôt une incapacité à exercer les devoirs de la fonction enseignante. Après avoir donné à A._ l'occasion de s'exprimer sur ce rapport, le département a rendu le 21 juin 2005 une décision, par laquelle il renonçait à prononcer contre lui une sanction disciplinaire. Dans cette décision, il était indiqué que le constat d'incapacité professionnelle mis à jour par l'enquête constituait un motif justifié de licenciement et qu'il appartenait à la commission d'en décider.
Par lettre du 28 juin 2005, se référant au résultat de l'enquête administrative, la commission a informé A._ qu'elle ouvrait une procédure de licenciement pour justes motifs contre lui et qu'il était suspendu de l'enseignement dans le cercle scolaire de X._ sans suppression de traitement; elle lui a imparti un délai pour s'exprimer à ce sujet. Le prénommé s'est déterminé dans une lettre du 19 août 2005.
ll a également saisi la Juge administrative du Tribunal de première instance de la République et canton du Jura (ci-après : le Tribunal de première instance) d'un recours contre la décision de le suspendre dans l'exercice de sa fonction. Ce recours a été rejeté le 11 août 2005. A._ a par ailleurs requis la récusation de la commission. Cette demande a été écartée respectivement par le Gouvernement de la République et canton du Jura (décision du 7 février 2006) et par la Chambre administrative du Tribunal cantonal jurassien (jugement du 16 mai 2006).
Par décision 13 septembre 2006, la commission a résilié les rapports de service avec effet au 31 décembre 2006 pour incapacité professionnelle et rupture du rapport de confiance après avoir tenu une séance, le 17 mai 2006, au cours de laquelle elle a entendu A._. Saisie d'une opposition, elle l'a écartée dans une nouvelle décision du 20 décembre 2006.
B. B.a A._ a recouru contre cette dernière décision devant le Tribunal de première instance qui, après avoir ordonné une expertise, a rejeté le recours et mis à charge du recourant une indemnité de dépens fixée à 20'000 fr. (jugement du 6 février 2008).
B.b Par arrêt du 15 décembre 2008, la Chambre administrative du Tribunal cantonal jurassien a réfuté l'ensemble des griefs formels et matériels soulevés par A._ contre le jugement du 6 février 2008, à l'exception du montant des dépens mis à la charge de celui-ci, tout en précisant que les rapports de travail cesseront à la fin du troisième mois suivant l'entrée en force de l'arrêt. En particulier, le tribunal cantonal a considéré que le droit d'être entendu de l'intéressé avait été respecté. Quant au fond, il a jugé que la décision de licenciement s'appuyait sur des motifs justifiés au sens de l'art. 104 de la loi scolaire du 20 décembre 1990 [RSJU 410.11] en liaison avec l'art. 47 de la loi sur le statut des magistrats, fonctionnaires et employés de la République et canton du Jura du 26 octobre 1978 [RSJU 173.11]. Au regard de l'expertise judiciaire, dont il n'y avait pas lieu de s'écarter, il fallait en effet admettre que le rapport de confiance entre la commission et A._ s'était irrémédiablement rompu. Dans ces conditions, l'intérêt public au bon fonctionnement de l'école commandait de mettre un terme aux rapports de service.
C. Agissant par la voie du recours de droit public (recte : recours en matière de droit public), A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt cantonal et de le rétablir dans sa fonction d'enseignant primaire.
La commission conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable, sous suite de frais et dépens. Le tribunal cantonal a conclu également au rejet du recours en tant qu'il est recevable.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 134 III 115 consid. 1 p. 117 et les arrêts cités).
2. 2.1 Le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine des rapports de travail de droit public (art. 82 let. a LTF).
2.2 Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public (lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause), le recours en matière de droit public est irrecevable contre des décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. Le recourant ne conclut pas au versement d'une somme d'argent, mais conteste implicitement son licenciement et demande sa réintégration dans sa fonction d'enseignant primaire. Un tel litige a partiellement un but économique et son objet peut être apprécié en argent, si bien qu'il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire (cf. arrêts 1C_547/2008 du 23 février 2009 consid. 2.1; 1C_116/2007 du 24 septembre 2007 consid. 2). Le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre ainsi pas en considération.
2.3 Pour que le recours soit recevable, il faut encore en principe que la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. soit atteinte (art. 85 al. 1 let. b LTF). Si les conclusions ne tendent pas au paiement d'une somme d'argent déterminée, le Tribunal fédéral fixe la valeur litigieuse selon son appréciation (art. 51 al. 2 LTF). Comme la contestation porte potentiellement sur un salaire de plusieurs mois au moins, on peut admettre que la valeur litigieuse atteint le seuil des 15'000 francs ouvrant la voie du recours en matière de droit public dans ce domaine.
3. En principe la production de nouvelles écritures après l'échéance du délai de recours n'est pas admissible, sauf à l'occasion d'un échange d'écritures ordonné par le Tribunal fédéral (art. 102 LTF). Tel n'a pas été le cas en l'espèce, de sorte que les écritures produites par le recourant au-delà du 2 février 2009 ne peuvent être prises en considération dans le cadre de la présente procédure.
4. Aux termes de l'art. 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal, que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. L'acte de recours doit, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et préciser en quoi consiste la violation (ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254, 133 III 393 consid. 6 p. 397). Lorsqu'il est saisi d'un recours, le Tribunal fédéral n'a donc pas à vérifier de lui-même si l'arrêt entrepris est en tous points conforme au droit et à l'équité.
5. Les mémoires - déposés en temps utile - du recourant ignorent dans une très large mesure ces exigences de motivation : les arguments sont présentés de manière embrouillée et difficilement compréhensible. On peut néanmoins en déduire que le principal grief de A._ relève du droit d'être entendu. Plus particulièrement, il semble que le prénommé entende se plaindre d'une violation de son droit d'être entendu par la commission à l'occasion de la procédure de licenciement.
6. Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par l'art. 29 al. 2 Cst., comprend notamment le droit de prendre connaissance du dossier et de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise, de produire des preuves pertinentes ou d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration de celles-ci ou de s'exprimer sur le résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (ATF 129 II 497 consid. 2.2, p. 504 s.; 127 III 576 consid. 2c p. 578). A certaines conditions, le Tribunal fédéral admet la possibilité de réparer, après coup, une violation du droit d'être entendu, en particulier lorsque la décision entachée est couverte par une nouvelle décision qu'une autorité supérieure - jouissant d'un pouvoir d'examen aussi étendu - a prononcée après avoir donné à la partie lésée la possibilité d'exercer effectivement son droit d'être entendue (ATF 126 I 68 consid. 2 p. 72; 118 Ib 111 consid. 4b p. 120/121).
7. Il résulte du dossier que l'intimée a donné la possibilité au recourant de s'exprimer sur l'ouverture d'une procédure de licenciement à son encontre et que celui-ci en a fait usage dans une lettre du 19 août 2005. Dans cette lettre, le recourant a contesté le reproche d'incapacité professionnelle qui lui était fait et requis l'audition d'un certain nombre de témoins ainsi que l'intervention d'un expert, faisant valoir que l'enquête établie par B._ avait été conduite de manière unilatérale. La commission n'a pas fait droit à cette requête. Elle a prononcé le licenciement de A._ après l'avoir entendu, une seconde fois, à l'occasion d'une séance du 17 mai 2006. Saisi d'un recours de l'intéressé contre la décision sur opposition de l'intimée, le Tribunal de première instance a repris l'instruction de la cause ab ovo. Les parties ont été invitées à présenter leurs arguments et à offrir leurs preuves. Donnant suite à la demande d'expertise du recourant, le tribunal précité a mandaté R._, ancien conseiller pédagogique, avec pour mission d'examiner le bien-fondé du reproche d'incapacité professionnelle et de procéder à une évaluation globale de la situation. Le recourant a eu la possibilité de se déterminer sur l'expertise (ordonnance du 4 juillet 2007). Plusieurs témoins ont également été entendus par la Juge administrative. Enfin, devant le tribunal cantonal, le recourant a eu loisir de faire valoir ses arguments par écrit. Force est ainsi de constater que A._ a été entendu à tous les stades de la procédure. Sous l'angle du droit d'administrer les preuves, on doit considérer qu'un éventuel vice commis par la commission a été réparé devant le Tribunal de première instance, autorité judiciaire qui dispose d'un pouvoir d'examen entier, et devant laquelle le recourant a pleinement pu exercer son droit d'être entendu. Le moyen soulevé se révèle ainsi mal fondé.
8. Sur le fond, le recourant n'explique pas, par des griefs clairement présentés et démontrés conformément aux exigences de motivation accrues mentionnées ci-dessus (voir consid. 4 supra), en quoi le tribunal cantonal aurait interprété et appliqué arbitrairement la réglementation cantonale topique en confirmant le licenciement prononcé par l'intimée. Il n'y a dès lors pas lieu d'examiner plus avant les critiques vagues du recourant à cet égard et il sera renvoyé aux considérants pertinents de l'arrêt entrepris (art. 109 al. 3 LTF).
9. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura.
Lucerne, le 24 août 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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