Sachverhalt:
A.
X._, geboren am 20. April 2001, ist seit ihrer Geburt cerebral gelähmt. Sie leidet an einer dystonen Cerebralparese, kann ihren Muskeltonus nicht steuern und ist bei allen täglichen Verrichtungen auf Hilfe angewiesen. Zwischen 2006 und 2009 besuchte sie den auf anthroposophischer Grundlage geführten privaten Kindergarten N._ in M._. Zuvor waren zwei Versuche, X._ in den öffentlichen Kindergarten des Zentrums für körperbehinderte Kinder (ZEKA) Dättwil aufzunehmen, an der diesbezüglich negativen Beurteilung der Schulleitung bzw. der Behörden gescheitert. Das (staatliche) Alternativangebot, eine Aufnahme in den Kindergarten der Heilpädagogischen Schule (HPS) Wettingen, lehnten die Eltern ab. Seit Beginn des Schuljahres 2009/2010 wird X._ von ihrer Mutter in der Kleinschule L._ - ebenfalls im Sinne der anthroposophischen Waldorf-Pädagogik (Rudolf Steiner) - unterrichtet.
B.
Mehrfach hatten die Eltern von X._ bei der Schulpflege Baden um Beteiligung an den Ausbildungs- und den damit verbundenen Transportkosten ihrer Tochter ersucht. Diese letzteren Transportkosten waren in einer ersten Phase - zwischen dem 12. August 2006 und dem 31. Dezember 2007 von der IV-Stelle Aargau übernommen worden, und zwar im Rahmen, wie sie beim Besuch des ZEKA in Dättwil angefallen wären (Fr. 8'190.--). Nachdem die Zuständigkeit der Invalidenversicherung für die Übernahme solcher Kosten weggefallen war (dazu unten E. 4.1.1), leistete die Schulpflege Baden mit Beschluss vom 30. Juni 2009"an die Transportkosten für den Besuch des privaten Kindergartens N._ (...) mit Wirkung ab 1.1.2008 bis Ende Schuljahr 2008/2009" Kostengutsprache in der Höhe von Fr. 650.-- pro Monat. Die Schulpflege stellte dabei auf diejenigen Transportkosten ab, die entständen, wenn X._ in die HPS Wettingen eingewiesen worden wäre. Auf weitere Anträge der Eltern um zusätzliche Kostenbeteiligung ging die Schulpflege zunächst nicht mehr ein. Mit Beschluss vom 26. Oktober 2010 lehnte sie es sodann ab, sich an den Kosten für den Besuch der Privatschule L._ (Heimschulung) zu beteiligen.
C.
Am 2. Mai 2011 liess X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau gegen die Einwohnergemeine Baden Klage erheben mit folgenden Anträgen:
1. Die Beklagte sei zu verpflichten, sich an den Schulungskosten der Klägerin mit denjenigen Schul- und Transportkosten zu beteiligen, die beim Besuch der öffentlichen Schule im ZEKA Dättwil, eventuell der HPS Wettingen, anfallen würden.
2. Es sei festzustellen, dass die Klägerin unabhängig von der Art der Schulung auf Kosten der Beklagten Anspruch auf die gleichen Therapien sowie Beratungs- und Unterstützungsangebote hat, wie beim Besuch der öffentlichen Schule.
3. Die Beklagte sei zu verpflichten, an die Kosten des dreijährigen Besuchs des privaten Kindergartens N._ durch die Klägerin diejenigen Kosten beizusteuern, die beim Besuch des öffentlichen Kindergartens im ZEKA Dättwil, eventuell in der HPS Wettingen, angefallen wären.
4. (Zins, Kosten- und Entschädigungsfolgen).
D. Die Klägerin liess im Wesentlichen geltend machen, sie habe nach Art. 19 BV Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Schulunterricht. Ziehe der Staat zur Einlösung dieser Garantie private Schulen zu Hilfe und leisteten jene zu diesem Zweck unter staatlicher Aufsicht gleichwertige Arbeit, bestehe Anspruch auf gleiche Kostentragung, "sprich Unentgeltlichkeit". Die Gleichheit erstrecke sich dabei auf die Übernahme der Kosten privater Schulung im Rahmen dessen, was auch die öffentliche Schule koste. Auf eine solche Kostenbeteiligung bestehe ein Anspruch, zumal im Falle der Heimschulung die Eltern bzw. ein Elternteil ihre Arbeitskraft "in die Schulung des Kindes anstatt in die finanziell einträgliche Erwerbstätigkeit" stecken würden. Zudem fielen den Eltern auch Kosten für die Schulräumlichkeiten und die Lehrmittel an.
Mit Urteil vom 3. Februar 2012 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau die Klage ab, soweit es darauf eintrat. Dabei auferlegte es der gesetzlichen Vertreterin der Klägerin Kosten und Auslagen in der Höhe von Fr. 3'426.-- und verpflichtete sie, der Einwohnergemeinde Baden eine Parteientschädigung von Fr. 4'600.-- auszurichten.
E.
Mit Eingabe vom 10. Juli 2012 lässt X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erheben mit den Anträgen, das letztgenannte Urteil aufzuheben und die Einwohnergemeinde Baden "zu verpflichten, sich an den Schulungs- und Transportkosten des dreijährigen Besuchs des privaten Kindergartens und der seit Schuljahr 2009/2010 laufenden privaten Schulung der Beschwerdeführerin mit denjenigen Schul- und Transportkosten zu beteiligen, die beim Besuch des öffentlichen Kindergartens und der öffentlichen Schule im ZEKA Dättwil, eventuell der HPS Wettingen, gleichfalls anfallen würden".
Die Einwohnergemeinde Baden beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Verwaltungsgericht hat sich vernehmen lassen, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen.
Mit Eingabe vom 5. November 2012 hat sich der Rechtsvertreter von X._ noch einmal geäussert.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid über eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts, welche unter keinen der in Art. 83 BGG genannten Ausschlussgründe fällt, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG).
1.2. Die Beschwerdeführerin, welche die Primarschule besucht, ist - gesetzlich vertreten durch ihre Mutter (vgl. Art. 298 und Art. 304 ZGB) - gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG zur Ergreifung dieses Rechtsmittels grundsätzlich legitimiert.
Die Legitimation setzt zusätzlich aber auch ein aktuelles und praktisches Rechtsschutzinteresse an einer Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids voraus (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG; BGE 137 II 40 E. 2.1 S. 41 f.; 135 I 79 E. 1.1 S. 81). Das Rechtsschutzinteresse fehlt, wenn das Urteil für den Beschwerdeführer ohne praktischen Nutzen wäre (Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Auflage 1983, S. 154). Fehlt einem Rechtssuchenden das Rechtsschutzbedürfnis, so ist auf den gestellten Antrag nicht einzutreten; fällt es im Laufe des Verfahrens dahin, wird die Sache gegenstandslos (BGE 137 I 23 E. 1.3 S. 24 f.).
Soweit die Beschwerdeführerin eine Beteiligung an den Transportkosten einfordert (vgl. Ziff. 2 des Rechtsbegehrens), ist ihr entgegenzuhalten, dass solche Beiträge bis zum Ende des Schuljahres 2008/2009 bereits - sei es durch die Invalidenversicherung, sei es durch die Schulpflege Baden - geleistet worden sind (vorne lit. A und lit. B). Seit Beginn des Schuljahres 2009/2010 wird die Beschwerdeführerin zu Hause von ihrer Mutter unterrichtet; und es fallen keine Transportkosten mehr an. Insoweit fehlt es der Beschwerdeführerin an der materiellen Beschwer bzw. am aktuellen und praktischen Rechtsschutzinteresse. Zwar verzichtet das Bundesgericht ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (BGE 137 I 23 E. 1.3.1 S. 25; 136 II 101 E. 1.1 S. 103). Solche besonderen Umstände liegen hier nicht vor, so dass in diesem Punkt auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
2.
Mit der Beschwerde beim Bundesgericht kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und lit. b BGG). Die Verletzung kantonalen Rechts ist hingegen vor Bundesgericht - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c -e BGG - kein selbstständiger Rügegrund, sondern kann nur daraufhin überprüft werden, ob damit Bundesrecht verletzt wird, wozu namentlich auch eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts gehört (BGE 138 I 143 E. 2 S. 149; 136 I 241 E. 2.4 S. 249).
Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG); dies setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die minimalen Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG erfüllt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung - BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246, 130 I 258 E. 1.3 S. 261 mit Hinweisen). Willkür in derRechtsanwendung liegt dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 137 I 1 E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil sodann den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 bzw. Art. 97 Abs. 1 BGG).
3.
Die Beschwerdeführerin will die Einwohnergemeinde Baden verpflichten, für die private Schulung generelleinen im Verhältnis zu den Kosten der öffentlichen Schule äquivalenten Beitrag an ihre Eltern auszurichten. Sie beruft sich dabei auf Bundes- und auf kantonales Recht.
3.1. Bundesrecht
3.1.1. Der Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht ist gewährleistet (Art. 19 BV). Für das Schulwesen sind die Kantone zuständig (Art. 62 Abs. 1 BV). Sie sorgen für einen ausreichenden Grundschulunterricht, der allen Kindern offen steht. Der Grundschulunterricht ist obligatorisch und untersteht staatlicher Leitung. An öffentlichen Schulen ist er unentgeltlich (Art. 62 Abs. 2 BV).
Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts sind Verfassungsbestimmungen grundsätzlich nach denselben Regeln auszulegen wie Normen des einfachen Gesetzesrechts (BGE 131 I 74 E. 4.1 S. 180 mit Hinweisen). Danach muss die Norm in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihr zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Auszurichten ist die Auslegung auf die ratio legis, die zu ermitteln dem Gericht allerdings nicht nach seinen eigenen, subjektiven Wertvorstellungen, sondern nach den Vorgaben des Gesetz- bzw. Verfassungsgebers aufgegeben ist (eingehend zur Auslegungsmethodik: BGE 128 I 34).
3.1.2. Art. 19 BV garantiert den "unentgeltlichen" Grundschulunterricht. Nach dem ausdrücklichen Wortlaut von Art. 62 Abs. 2 Satz 3 BV bezieht sich diese "Unentgeltlichkeit" aber ausschliesslich auf öffentliche Schulen. Der Privatschulunterricht wird davon - jedenfalls im Grundsatz (vgl. E. 3.1.5) - nicht erfasst. Das Bundesgericht sieht - nachdem sich auch aus den Materialien über die Neuordnung der Verfassung im Bildungsbereich (vgl. etwa Bericht der Kommission für Wissenschaft, Bildung und Kultur des Nationalrates vom 23. Juni 2005 [BBl 2005 5479, insbesondere 5520 ff.]) nichts Gegenteiliges ergibt, keinen Anlass, von diesem klaren Wortlaut abzuweichen.
3.1.3. Daran ändert die Glaubens- und Gewissensfreiheit, auf welche sich die Beschwerdeführerin ebenfalls beruft (Art. 19 ff. der Beschwerdeschrift), nichts: Art. 15 BV wird dadurch Rechnung getragen, dass staatliche Schulen konfessionell und weltanschaulich neutral sein müssen (BGE 123 I 296 E. 4 S. 305 ff., vgl. zur neuesten bundesgerichtlichen Rechtsprechung Urteil 2C_897/2012 vom 14. Februar 2013 [publ. in: JdT 2013 I 100]). Ein Verstoss gegen das Neutralitätsgebot liegt jedoch erst dann vor, wenn die religiöse Äusserung seitens der Schule bzw. der Lehrerschaft eine gewisse Intensität erreicht, so dass Auswirkungen auf die geistige Entwicklung der Kinder und auf ihre religiösen Überzeugungen nicht auszuschliessen sind (zit. Urteil 2C_897/2012 E. 3.2; BGE 123 I 296 E. 4 S. 305 ff.; 116 Ia 252 E. 7b S. 262 f.). Die Verpflichtung zur Neutralität staatlicher Schulen schliesst ebenso wenig jedes weltanschaulich motivierte Handeln im Unterricht aus (vgl. Urteil 2C_724/2011 vom 11. April 2012 E. 3), was - wie die Beschwerdeführerin mit Recht vortragen lässt - in dieser absoluten Form auch gar nicht möglich wäre.
3.1.4. Aus dem Grundsatz der Rechtsgleichheit (Art. 8 BV) kann die Beschwerdeführerin nichts zu ihren Gunsten ableiten. Nach dem Grundsatz von Art. 8 BV Abs. 1 BV wird verlangt, dass Gleiches nach Massgabe seiner Gleichheit gleich oder Ungleiches nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Der Anspruch auf rechtsgleiche Behandlung wird insbesondere verletzt, wenn hinsichtlich einer entscheidwesentlichen Tatsache rechtliche Unterscheidungen getroffen werden, für die ein vernünftiger Grund in den zu regelnden Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder wenn Unterscheidungen unterlassen werden, die aufgrund der Verhältnisse hätten getroffen werden müssen (vgl. BGE 136 I 17 E. 5.3 S. 19, 134 I 23 E. 9.1 S. 42 mit Hinweisen). Entscheidend dabei ist "das Dritte der Vergleichung" ("tertium comparationis") bzw. die Festlegung des Gemeinsamen, in dem zwei Sachverhalte übereinstimmen: Wenn der Verfassungsgeber ausdrücklich festlegt, dass der Grundschulunterricht nur an öffentlichen Schulen unentgeltlich sein muss, dann bringt er damit - als lex specialis zu Art. 8 Abs. 1 BV - zum Ausdruck, dass der Grundschulunterricht, der auf privater Basis erteilt wird, nicht gleich zu behandeln ist.
3.1.5. Aus der Bundesverfassung ergibt sich nach dem Gesagten kein Anspruch auf staatliche (Mit-) Finanzierung des privaten Grundschulunterrichts, jedenfalls so lange nicht, als an öffentlichen Schulen ein ausreichender (Art. 19 BV) Unterricht angeboten wird (vgl. auch BGE 138 I 162 E 3.2 S. 165; 133 I 156 E. 3.1 und 3.3 S. 158 f., Urteil 2C_738/2010 vom 24. Mai 2011 E. 3.3.2; Bernhard Ehrenzeller/Markus Schott, in: Die schweizerische Bundesverfassung, Ehrenzeller/Mastronardi/Schweizer/Vallender [Hrsg.], 2. Aufl. 2008, N. 32 zu Art. 62; Giovanni Biaggini, Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft, 2007, N. 8 zu Art. 19, N. 6 zu Art. 62).
3.1.6. An dieser Rechtslage ändert nichts, dass die Vorinstanz in E. 3.4 des angefochtenen Entscheides auch Überlegungen über die rechtspolitische Wünschbarkeit anderer Regelungen angestellt hat (beispielsweise "Bildungsgutscheine"), ebenso wenig dass solche Regelungen - wie die Beschwerdeführerin zu Recht vortragen lässt - denkbar wären und in anderen Ländern vorkommen.
3.2. Kantonales Recht
3.2.1. Das Verwaltungsgericht hat erwogen, soweit Entgeltlichkeit des Grundschulunterrichts bestehe, könnten ausserordentliche Situationen Besonderheiten herbeiführen, in welchen namentlich den unterhaltspflichtigen Eltern unverhältnismässige Lasten aufgebürdet würden. Solche Ausnahmen erfasse § 34 Abs. 3 der Kantonsverfassung vom 25. Juni 1980 (KV/AG), wonach die Träger der Schulen für Kinder, die wegen der Lage ihres Wohnortes, aus sozialen Gründen oder wegen einer Behinderung (dazu nachfolgend E. 4) benachteiligt seien, für ausgleichende Massnahmen zu sorgen hätten. Weitergehende Ansprüche, insbesondere beim Besuch von Privatschulen, gewährleisteten die Verfassungsbestimmungen und das Schulgesetz nicht.
3.2.2. Die Beschwerdeführerin legt nicht rechtsgenüglich (Art. 106 Abs. 2 BGG; vorne E. 2) dar, dass und inwiefern diese Auffassung unzutreffend sein sollte. Insbesondere ergibt sich ein Anspruch auf unentgeltlichen Privatschulunterricht nicht daraus, dass auch private Schulen (der Volksschulstufe) unter staatlicher Aufsicht stehen (§ 33 Abs. 2 KV). Diese Regelung setzt bloss die bundesrechtlichen Mindestvorgaben von Art. 62 Abs. 2 Satz 2 BV um.
4.
Andererseits verlangt die Beschwerdeführerin eine staatliche (Mit-) Finanzierung ihres privaten Grundschulunterrichts angesichts ihrer individuellen Situation als Behinderte.
4.1. Zur Rechtslage
4.1.1. Mit der Neugestaltung des Finanzausgleichs wurde ein neuer Abs. 3 von Art. 62 BV aufgenommen (in der Fassung vom 24. November 2004, in Kraft seit 1. Januar 2008; AS 2007 5765), wonach die Kantone namentlich für eine ausreichende Sonderschulung aller behinderter Kinder und Jugendlichen bis längstens zum vollendeten 20. Altersjahr sorgen. Diese Bestimmung steht im Zusammenhang damit, dass die Sonderschulung bis Ende 2007 wesentlich in der Verantwortung der eidgenössischen Invalidenversicherung lag (aArt. 19 IVG, aufgehoben per Ende 2007, AS 2007 5808), mit der Neuregelung des Finanzausgleichs jedoch den Kantonen übertragen wurde (vgl. Botschaft zur Neugestaltung des Finanzausgleichs, BBl 2002 2291 ff.). Gemäss Art. 20 des Bundesgesetzes vom 13. Dezember 2002 über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen (Behindertengleichstellungsgesetz, BehiG; SR 151.3) sorgen sodann die Kantone dafür, dass behinderte Kinder und Jugendliche eine Grundschulung erhalten, die ihren besonderen Bedürfnissen angepasst ist (Art. 20 Abs. 1 BehiG). Sie fördern, soweit dies möglich ist und dem Wohl des behinderten Kindes oder Jugendlichen dient, mit entsprechenden Schulungsformen die Integration behinderter Kinder und Jugendlicher in die Regelschule (Art. 20 Abs. 2 BehiG). Insbesondere sorgen sie dafür, dass wahrnehmungs- oder artikulationsbehinderte Kinder und Jugendliche und ihnen besonders nahestehende Personen eine auf die Behinderung abgestimmte Kommunikationstechnik erlernen können (Art. 20 Abs. 3 BehiG).
Wie das Bundesgericht bereits mehrfach erkannt hat, besteht auf dieser Grundlage für Behinderte ein Anspruch auf ausreichende Sonderschulung, aber kein bundesrechtlicher Anspruch auf Finanzierung einer privaten Sonderschulung, wenn das an öffentlichen Schulen angebotene Bildungsangebot angemessen und ausreichend ist (ausführlich BGE 138 I 162, sodann BGE 130 I 352 E. 3.3 S. 354 f.; 129 I 12 E. 6.4 S. 20) und die Integration des behinderten Kindes fördert (BGE 138 I 162 E. 4.6.2 S. 170).
4.1.2. Die Vorinstanz hat erwogen (E. 3.3.3 des angefochtenen Entscheides), auch aus dem kantonalen Recht ergebe sich ein Anspruch auf staatliche Leistungen an Privatschulkosten nur im Rahmen von § 34 Abs. 3 der Kantonsverfassung (vorne E. 3.2.1), d.h. wenn die Sonderschulung an öffentlichen Schulen nicht möglich oder nicht ausreichend sei. Diese kantonale Rechtslage steht nicht im Widerspruch zum Bundesrecht (vgl. Urteil 2C_588/2011 vom 16. Dezember 2011 E. 3.3 und E. 3.4). Die Beschwerdeführerin rügt auch nicht rechtsgenüglich (Art. 106 Abs. 2 BGG), dass und inwiefern die Vorinstanz das kantonale Recht bundesrechtswidrig (willkürlich) ausgelegt hätte.
4.2. Zum massgebenden Sachverhalt, zur Beweislast und zur Beweiswürdigung
4.2.1. Gemäss den Feststellungen der Vorinstanz verzichteten die Eltern auf eine abschliessende Abklärung durch den schulpsychologischen Dienst (SPD) und entschieden sich vor deren Vorliegen dafür, ihre Tochter einen privaten Kindergarten besuchen zu lassen (E. 4.6.1 und 4.6.2 des angefochtenen Entscheides). Ferner stellte das Verwaltungsgericht fest, die HPS wäre grundsätzlich geeignet, der Beschwerdeführerin eine angemessene und ausreichende Schulung anzubieten; jedenfalls habe die Beschwerdeführerin nicht bewiesen, dass dem nicht so wäre.
4.2.2. Die Beschwerdeführerin sieht darin eine willkürliche Beweislastverteilung und Beweiswürdigung (Art. 9 BV) sowie eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) durch Nichtabnahme angebotener Beweismittel (u.a. durch Verzicht auf die persönliche Befragung ihrer Mutter). Sie macht geltend, nach dem Grundsatz "negativa non sunt probanda" sei weder erforderlich noch möglich zu beweisen, dass "die in der privaten Heimschulung erzielten grossartigen Fortschritte" in der HPS oder anderen öffentlichen Institutionen nicht auch möglich gewesen wären.
4.2.3. Die Beschwerdeführerin behauptet einen Anspruch auf staatliche Finanzierung ihrer Privatschulung; die tatbeständlichen Voraussetzungen dazu hat sie deshalb zu beweisen (Art. 8 ZGB). Der Umstand, dass dazu negative Tatsachen bewiesen werden müssen, also die Forderung des Negativbeweises, ist nicht grundsätzlich unzulässig, ist aber bei der Beweiswürdigung und im Rahmen der Anforderungen an die Mitwirkungspflicht der Gegenpartei zu berücksichtigen; er ändert nichts an der objektiven Beweislastverteilung (BGE 137 II 313 E. 3.5.2 S. 325; 133 V 205 E. 5.5 S. 217; 119 II 305 E. 1b/aa S. 305/306; Urteil 5D_63/2009 vom 23. Juli 2009 E. 3.3).
4.2.4. Die Beschwerdeführerin behauptet nicht hinreichend substantiiert, dass und inwiefern Behinderte allgemein oder sie speziell als Einzelperson an der HPS Wettingen auf ein nicht ausreichendes Bildungsangebot treffen bzw. dort ungenügend ausgebildet würden. Dass das ZEKA Dättwil eine Aufnahme in den Kindergarten abgelehnt hat, ist dafür irrelevant. Die Aussage der Beschwerdeführerin, die HPS Wettingen sei nur für die Schulung geistig Behinderter - was für sie selber nicht zutreffe - geeignet, wurde so weder von der Vorinstanz festgestellt noch von der Beschwerdeführerin belegt. Ihre Argumentation, sie wäre durch den Besuch der HPS Wettingen als geistig behindert "abgestempelt" worden, erscheint daher unbegründet. Auch dass die HPS der Beschwerdeführerin anfänglich einen Intelligenzquotienten von unter 75 attestierte, belegt nicht, dass dort nicht eine angemessene ausreichende Schulung möglich gewesen wäre.
4.2.5. Die Ausführungen der Beschwerdeführerin legen zwar dar, dass nach Auffassung ihrer Mutter der private Kindergarten bzw. die private Schulung besser geeignet wäre; sie belegen aber nicht, inwiefern in der HPS Wettingen eine ausreichende Schulung nicht möglich sein sollte. Da der Standpunkt der Mutter durch ihre mehreren aktenkundigen Stellungnahmen bekannt war, durfte die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung (BGE 130 II 425 E. 2.1 S. 428) ohne Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) auch auf deren persönliche Befragung verzichten. Selbst wenn im Übrigen eine private Schulung für die Bedürfnisse der Beschwerdeführerin geeigneter erschiene, ergäbe sich daraus kein Anspruch auf staatliche finanzielle Leistungen; massgebend ist der ausreichende Unterricht (vorne E. 4.1.1).
5.
Bei dieser Rechts- und Sachlage hat die Vorinstanz mit Recht einen Anspruch der Beschwerdeführerin auf die eingeklagten staatlichen Geldleistungen verneint.
6.
Abschliessend ist über die Rüge zu befinden, wonach die Vorinstanz hinsichtlich der Kostenauflage das Behindertengleichstellungsgesetz verletzt habe:
6.1. Art. 10 Abs. 1 BehiG über die Kostenfreiheit von Verfahren gilt für Ansprüche nach Art. 7 oder 8 BehiG, somit auch für den benachteiligungsfreien Zugang zu Aus- und Weiterbildung (Art. 8 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 2 Abs. 5 lit. b und Art. 3 lit. f BehiG; Urteil 2C_930/2011 vom 1. Mai 2012 E. 3.1), und ist an sich von der kantonalen Behörde von Amtes wegen anzuwenden. Vorausgesetzt ist aber immerhin, dass es - wie in analogen Fällen etwa von Art. 13 Abs. 5 GlG oder Art. 343 Abs. 3 a OR bzw. heute Art. 114 ZPO (vgl. BGE 135 III 470 E. 1.2 und 3, 131 III 451 E. 3, 124 I 223 E. 3 sowie Urteil 2A.400/2005 vom 19. Dezember 2005) - in der Sache wirklich um einen solchen Anspruch geht, nicht bloss um eine andere Problematik, die einen gewissen Zusammenhang mit Behinderungen hat. Dass und weshalb es sich um einen Anspruch nach Art. 7 bzw. 8 BehiG handelt, hat derjenige darzutun, der daraus Rechte ableitet; die Behörde kann darauf abstellen, was der (potentiell) Anspruchsberechtigte hierbei geltend macht (zit. Urteil 2C_930/2011 E. 3.2).
6.2. Die Beschwerdeführerin hat vor der Vorinstanz primär einen Anspruch auf die Ausrichtung eines Kostenäquivalents - im Rahmen dessen, was auch die öffentliche Schulung kosten würde - an ihre Eltern geltend gemacht (vgl. vorne lit. C). Auch soweit sie sich auf ihre individuelle Lage bezog, trug sie nicht vor, sie werde gegenüber nicht Behinderten im Sinne von Art. 2 Abs. 5 BehiG benachteiligt, sondern sie wollte mit ihrer Argumentation den behaupteten generellen Anspruch auf ein solches Kostenäquivalent in ihrer individuellen Situation begründen. In der Sache ging es ihr um eine Angelegenheit, die zwar einen gewissen Zusammenhang mit ihrer Behinderung hat, doch musste das Verwaltungsgericht aufgrund der Ausführungen in der Klageschrift nicht darauf schliessen, die Klägerin mache einen Anspruch im Sinne von Art. 8 Abs. 2 BehiG geltend. Die Kostenauflage durch das Verwaltungsgericht (vorne lit. C) verletzt Art. 10 BehiG daher nicht.
6.3. Soweit die Beschwerdeführerin rügt, es laufe dem Gerechtigkeitsgedanken in unerträglicher Weise zuwider, dass das Verwaltungsgericht zu ihren Lasten der Einwohnergemeinde Baden eine Parteientschädigung zugesprochen habe, so richten sich die Voraussetzungen für die Ausrichtung einer solchen nach dem kantonalen Recht (S. 24 des angefochten Entscheides). Die Beschwerdeführerin tut nicht hinreichend dar, inwiefern die Vorinstanz dieses kantonale Recht willkürlich angewendet hätte (vgl. vorne E. 2).
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde als unbegründet abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Ausgang trägt die unterliegende Beschwerdeführerin nach Art. 66 in Verbindung mit Art. 65 Abs. 3 BGG die Gerichtskosten. Ein Anwendungsfall von Art. 65 Abs. 4 lit. d BGG liegt aus den in E. 6.2 dargelegten Gründen auch vor Bundesgericht nicht vor.
Die Einwohnergemeinde Baden hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Einwohnergemeinde Baden, dem Departement Bildung, Kultur und Sport des Kantons Aargau sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juni 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein