Faits:
A. Affiliée à «Assura, assurance maladie et accident» (ci-après : Assura), P._ a été poursuivie pour le non-paiement de ses primes d'assurance-maladie concernant les mois d'avril à juin 2010 (décision du 30 septembre 2010 qui lève l'opposition au commandement de payer du 18 août 2010; décision sur opposition du 19 novembre 2010).
B. L'assurée a déféré la décision du 19 novembre 2010 à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois, concluant substantiellement à l'annulation du commandement de payer. L'assureur maladie a conclu au rejet du recours. Invitée en date du 22 février 2011 à prendre connaissance du dossier et à répliquer avant le 16 mars 2011, l'intéressée a requis le 15 mars 2011 une prolongation du délai imparti au seul motif qu'elle voulait consulter certains documents produits par Assura. Le juge instructeur a refusé d'accéder à la demande dès lors que celle-ci n'était pas justifiée et, conformément au droit cantonal de procédure, a accordé un ultime délai de grâce de trois jours pour déposer d'éventuelles observations et prendre connaissance du dossier. P._ a invoqué des ennuis de santé qui l'auraient empêchée d'agir et a déposé un certificat attestant une incapacité totale de travail pour le mois de mars 2011.
La juridiction cantonale a fondamentalement débouté l'assurée de ses conclusions (jugement du 30 mars 2011). Sur la prolongation du délai, elle a estimé que l'intéressée n'avait pas établi avoir été empêchée de se déplacer pour consulter le dossier, de mandater quelqu'un pour le faire et de répliquer dans le premier délai ou dans le délai supplémentaire.
C. P._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont elle requiert l'annulation. Son argumentation porte uniquement sur la prolongation du délai pour répliquer.
Considérant en droit:
1. Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), notion qui correspond à celle d'arbitraire (cf. ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9). Suivant la pratique qui prévalait en matière de recours de droit public, l'art. 106 al. 2 LTF exige que la violation des droits fondamentaux soit explicitement soulevée et clairement exposée dans le mémoire de recours (cf. ATF 130 I 26 consid. 2.1 p. 31, 258 consid. 1.3 p. 261).
2. La recourante reproche à la juridiction cantonale de lui avoir refusé la prolongation ou la restitution du délai pour présenter une réplique en interprétant arbitrairement le certificat médical produit, ce qui aurait eu pour conséquence de violer son droit d'être entendue.
3. A supposer qu'elle soit assez motivée (cf. consid. 1), cette argumentation n'est de toute façon par pertinente. Selon le droit cantonal de procédure, la prolongation ou la restitution d'un délai judiciaire est effectivement une possibilité - et non une obligation - accordée à l'autorité pour autant qu'il existe des motifs suffisants (art. 21 al. 2 et 22 de la loi cantonale vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative [RSVd 173.36]). Or, la juridiction cantonale a en l'espèce clairement expliqué les raisons de son refus. La production d'un certificat médical établi postérieurement à l'échéance du délai dont la prolongation ou la restitution était demandée, qui atteste une incapacité totale de travail pour le mois de mars 2011 mais qui ne donne aucune indication sur la nature de l'atteinte à la santé ou de l'empêchement à participer à ce moment-là à la procédure d'une part, ainsi que l'absence d'explications de la part de l'assurée quant à cette atteinte ou de son empêchement à participer à la procédure d'autre part ne justifiaient pas à ses yeux la prolongation ou la restitution du délai dans la mesure où l'accomplissement de la condition de l'empêchement non fautif de déposer une écriture dans le délai ordinaire ou dans le délai de grâce n'avait pas été démontrée. Cette interprétation du certificat médical ne saurait être qualifiée d'arbitraire, d'autant moins qu'il apparaît clairement que, malgré l'affection dont elle souffrait, la recourante a été parfaitement capable de prendre connaissance de la réponse de l'assureur intimé, d'analyser cette écriture au point de pouvoir déterminer précisément quelles pièces elle voulait consulter, de solliciter une prolongation de délai avant l'échéance de celui-ci et de justifier sa demande par la production d'un certificat médical qu'il a fallu obtenir rapidement en allant consulter un médecin officiant dans un village passablement éloigné de son lieu de résidence, ce qui démontre à satisfaction que l'assurée était apte à gérer correctement ses affaires et que, si elle ne pouvait se déplacer pour consulter certaines des pièces produites par Assura, elle aurait au moins pu mandater quelqu'un pour le faire. On ne voit par ailleurs pas en quoi le fait de refuser de prolonger ou de restituer un délai dans les circonstances décrites précédemment violerait le droit d'être entendue de la recourante dès lors qu'elle s'est vu impartir deux délai (ordinaire et de grâce) pour le faire valoir.
4. Manifestement mal fondé, le recours de l'assurée doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'art. 109 al. 2 let. a LTF sans qu'il faille procéder à un échange d'écritures. Le prononcé du présent arrêt rend en outre sans objet la demande d'effet suspensif. L'échec prévisible des conclusions de la recourante commande par ailleurs le rejet de sa demande d'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 LTF), ainsi que sa condamnation au paiement des frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois ainsi qu'à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 20 juin 2011
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Cretton