Sachverhalt:
A. A.a Die 1957 geborene S._ war seit 1. Oktober 2000 als Hausdienstangestellte für das Spital A._ tätig und bei der Zürich Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Zürich) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 8. Oktober 2004 fiel ihr ein Teil einer Putzmaschine auf die linke Hand. Trotz mehrerer medizinischer Untersuchungen liess sich der Hauptgrund für die andauernden Handgelenksschmerzen nicht eruieren. Am 13. März 2006 diagnostizierte die Klinik X._ eine deutliche (mittelschwere) depressive Episode. Anlässlich der daraufhin in Auftrag gegebenen psychosomatischen Begutachtung stellte Frau Dr. med. E._, FMH für Arbeitsmedizin und Psychosomatik, im Gutachten vom 15. September 2006 die Diagnose einer anhaltenden somatoformen Schmerzstörung sowie Angst und depressive Störung gemischt, wobei sie hinsichtlich der Unfallkausalität festhielt, das Ereignis vom 8. Oktober 2004 habe als Auslöser ca. 20 % Anteil. Mit Verfügung vom 31. Oktober 2006 stellte die Zürich daraufhin ihre Leistungen per 1. November 2006 ein mit der Begründung, der natürliche Kausalzusammenhang sei nicht mehr überwiegend wahrscheinlich gegeben. Nach Einholung eines Berichts der psychiatrischen Klinik Z._ vom 26. März 2007, wo S._ in ambulanter Behandlung stand, sowie eines Gutachtens des Dr. med. K._, Facharzt für Chirurgie, speziell Handchirurgie, Leitender Arzt der Chirurgischen Klinik des Spitals Q._, vom 28. Dezember 2007 hielt die Zürich mit Einspracheentscheid vom 25. April 2008 an ihrem Standpunkt fest mit der Begründung, für eine weitere Leistungspflicht fehle es sowohl an der natürlichen wie auch an der adäquaten Kausalität.
A.b Die hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 25. November 2009 ab, soweit es darauf eintrat. Weil trotz des gestellten Antrags keine öffentliche Gerichtsverhandlung durchgeführt worden war, hiess das Bundesgericht die dagegen erhobene Beschwerde mit Urteil vom 30. April 2010 in dem Sinne gut, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 25. November 2009 aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen wurde, damit sie im Sinne der Erwägungen verfahre und über die Beschwerde gegen den Einspracheentscheid vom 25. April 2008 neu entscheide.
B. Nach Durchführung einer öffentlichen Verhandlung wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde mit Entscheid vom 22. Dezember 2010 wiederum ab, soweit darauf eingetreten wurde.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde lässt S._ sinngemäss beantragen, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung in einem fairen Verfahren gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 IPBPR, insbesondere unter Gewährung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes, an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Des Weiteren ersucht sie um Durchführung einer mündlichen und öffentlichen Parteiverhandlung und Beratung für den Fall, dass das Bundesgericht in der Sache selber abschliessend urteile, sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Der Vertreter der Versicherten legt zudem dar, dass eine weitere Vertretung durch ihn über die Anhebung der Beschwerde hinaus ausgeschlossen sei.
Erwägungen:
1. 1.1 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig (Art. 82 lit. a BGG). Mit ihr können auch eine willkürliche Rechtsanwendung oder Sachverhaltsfeststellung oder andere Verfassungsverletzungen sowie Verletzungen von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Für die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt daher kein Raum (Art. 113 BGG) und es ist darauf nicht einzutreten (SVR 2010 EL Nr. 7 S. 19, 9C_724/2009 E. 1).
1.2 Was die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anbelangt, ist darauf hinzuweisen, dass es rechtsmissbräuchlich ist, sich vor dem kantonalen Gericht auf mangelnde Fachkompetenz zu berufen, hernach jedoch den Prozess in der Sache ans Bundesgericht zu tragen. Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (Art. 108 Abs. 1 lit. c BGG).
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Die Beschwerdeführerin fordert die Durchführung einer mündlichen und öffentlichen Parteiverhandlung und Beratung.
3.1 Das kantonale Gericht hat eine öffentliche Verhandlung durchgeführt und insoweit Art. 6 Ziff. 1 EMRK Rechnung getragen. Gestützt auf die EMRK besteht kein Anspruch, dass auch das Bundesgericht eine öffentliche Verhandlung durchführt.
3.2 Das Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist grundsätzlich schriftlich (Art. 58 Abs. 2 und Art. 102 BGG). Das Bundesgericht berät gemäss Art. 58 Abs. 1 BGG den Entscheid nur dann mündlich, wenn der Abteilungspräsident bzw. die Abteilungspräsidentin dies anordnet oder ein Richter bzw. eine Richterin es verlangt (lit. a) oder aber wenn sich keine Einstimmigkeit ergibt (lit. b). Die gesetzlichen Voraussetzungen für die Durchführung einer mündlichen Beratung sind somit nicht gegeben. Was den Antrag auf Durchführung einer Parteiverhandlung anbelangt, hat die Beschwerdeführerin ihren Standpunkt im Rahmen ihrer Rechtsschriften ausführlich dargetan. Zudem fand vor Vorinstanz eine öffentliche Verhandlung statt, an der die Versicherte allerdings nicht teilnahm, obwohl das Bundesgericht die Sache auf ihre Intervention hin zur Durchführung derselben an die Vorinstanz zurückgewiesen hatte. Es ist daher nicht ersichtlich, inwiefern sich ausnahmsweise die Durchführung einer öffentlichen Parteiverhandlung im Sinne von Art. 57 BGG aufdrängen würde. Dies gilt umso mehr, als die Beschwerdeführerin nicht aufzeigt, weshalb die beanstandeten Punkte nicht bereits auf Grund der vorhandenen Akten beantwortbar sein sollen. Insgesamt ist somit weder eine mündliche Beratung noch eine öffentliche Parteiverhandlung anzuordnen.
4. Die Beschwerdeführerin macht zur Hauptsache und überaus weitschweifig geltend, die Vorinstanz habe ihr zu Unrecht einen unentgeltlichen Rechtsbeistand verweigert. Dieser formelle Einwand ist vorab zu prüfen.
5. 5.1 In Erwägung 1.3 des angefochtenen Entscheids führte das kantonale Gericht zur Begründung der die Verfügung vom 3. Juni 2008 bestätigenden Ablehnung der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes aus, diese setze neben der Bedürftigkeit, der fehlenden Aussichtslosigkeit und der Notwendigkeit der Vertretung voraus, dass von einem von der Beschwerdeführerin gewählten Rechtsanwalt ein entsprechendes Gesuch gestellt werde. Mangels eines solchen Gesuches könne der Beschwerdeführerin kein unentgeltlicher Rechtsvertreter bestellt werden.
5.2 Die Beschwerdeführerin wendet hiezu ein, die Forderung, dass das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege von einem Rechtsanwalt eingereicht werden müsse, sei krass gesetzwidrig, unsinnig und daher als haltlose Schikane zu qualifizieren, welche den Zugang zu einem fairen Verfahren im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 IPBPR verhindere.
5.3 Der Beschwerdeführerin ist insofern Recht zu geben, als dass es unzulässig wäre, wenn ein kantonales Gericht die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters davon abhängig machen würde, dass das entsprechende Gesuch von einem Rechtsanwalt gestellt wird. Ob die Äusserungen der Vorinstanz indessen tatsächlich im von der Beschwerdeführerin dargestellten Sinn zu verstehen sind, ist nicht klar. Die zugegebenermassen missverständlich formulierte Passage lässt - insbesondere unter Berücksichtigung der Verfügung des Sozialversicherungsgerichts vom 3. Juni 2008 und des Schreibens des Sozialversicherungsgerichts vom 13. Januar 2009, auf welche verwiesen wird - nämlich auch den nahe liegenderen Schluss zu, das kantonale Gericht habe der rechtsunkundigen Beschwerdeführerin aufzeigen wollen, dass sie ein späteres Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht selber einreichen müsste (wozu sie sich offensichtlich nicht in der Lage fühlte), sondern dies bereits der allenfalls beizuziehende Anwalt tun könnte. Wie es sich damit genau verhält, kann aus den nachstehenden Gründen offenbleiben.
6. 6.1 Gemäss Art. 61 lit. f ATSG muss das Recht, sich verbeiständen zu lassen, im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht gewährleistet sein. Wo die Verhältnisse es rechtfertigen, wird der Beschwerde führenden Person ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt. In Fortschreibung der bisherigen Rechtsprechung (BGE 97 V 115 E. 2 S. 117) ist die unentgeltliche Prozessführung dann zu gewähren, wenn der Prozess nicht offensichtlich aussichtslos, die Partei bedürftig und die Verbeiständung durch einen Anwalt notwendig oder doch geboten ist (BGE 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135, 128 I 225 E. 2.5.3 S. 236 mit Hinweis). Zur Beantwortung der letztgenannten Voraussetzung wird einerseits auf die Schwierigkeit der Rechtsfrage und die Tragweite des Rechtsstreits für die betroffene Person, andererseits auf die Persönlichkeit, namentlich die Fähigkeit, sich in einem Verfahren zu Recht zu finden, abgestellt (Geiser, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 32 zu Art. 64 BGG). Die amtliche Bestellung eines Prozessbeistandes erfolgt grundsätzlich nicht rückwirkend (Geiser, a.a.O., N. 35 zu Art. 64 BGG; Urteil 8C_1033/2010 vom 10. Juni 2011 E. 2).
6.2 Wie das kantonale Gericht bereits in der Verfügung vom 3. Juni 2008 ausgeführt hatte, genügte die von B._ eingereichte Beschwerde den Anforderungen in formeller Hinsicht. Zwar ist der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin, der nicht patentierter Anwalt ist, nach der Praxis der Vorinstanz von der Übernahme eines Mandates als unentgeltlicher Rechtsvertreter ausgeschlossen (MADELEINE RANDACHER, in: Gesetz über das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, Kommentar, 2. Auflage 2009, N. 10 zu § 16). Er ist aber berechtigt, als frei gewählter Vertreter die Interessenwahrung für eine Person zu übernehmen, gilt doch im kantonalen Verfahren vor dem Sozialversicherungsgericht das Anwaltsmonopol ebenso wenig (MADELEINE RANDACHER, a.a.O., N. 3 zu § 15) wie im Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vor dem Bundesgericht (Art. 40 Abs. 1 BGG e contrario). Hat der von der Beschwerdeführerin frei gewählte Vertreter durch die Beschwerdeeinreichung das Notwendige vorgekehrt, was von keiner Seite bestritten wird, bestand kein Anlass, der Beschwerdeführerin für das vorinstanzliche Verfahren zusätzlich noch einen unentgeltlichen Rechtsvertreter zur Seite zu stellen. Der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wurde im Übrigen bereits in früheren Verfahren darauf hingewiesen, dass seine Einwände in der jeweils durch ihn verfassten Schrift hinreichend klar zum Ausdruck gebracht worden waren, weshalb die Gesuche der jeweiligen Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung nicht nur soweit die Vertretung durch B._ betreffend, sondern auch soweit sie die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsvertreters für das weitere Verfahren mitumfassten, zu Recht abgewiesen worden waren (vgl. Urteile 8C_987/2009 vom 7. Dezember 2009 und 8C_381/2008 vom 10. Juni 2008).
6.3 Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass der Vertreter der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren eine genügende Beschwerde eingereicht hatte. Mangels Anwaltspatent konnte er jedoch nicht als unentgeltlicher Rechtsbeistand bestellt und entschädigt werden. Da im weiteren Verlauf des Verfahrens von der Beschwerdeführerin keine Prozesshandlungen mehr vorgenommen werden mussten und die unentgeltliche Rechtspflege nicht nachträglich gewährt werden kann (siehe Erwägung 6.1 hievor), wurde die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes vom kantonalen Gericht im Ergebnis zu Recht verweigert.
7. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat am 27. Oktober 2010 eine öffentliche Verhandlung durchgeführt, nachdem das Bundesgericht die Sache mit Urteil vom 30. April 2010 zu diesem Zweck an die Vorinstanz zurückgewiesen hatte. Obschon die Beschwerdeführerin die entsprechende Vorladung am 2. Juli 2010 entgegengenommen hatte, ist sie der Verhandlung ferngeblieben, hat weder den Beizug eines Dolmetschers beantragt noch sich an einen Rechtsanwalt gewendet, welcher ihre Interessen hätte vertreten können. Inwiefern die Durchführung der Verhandlung nicht konventionskonform im Sinne von Art. 6 Abs. 1 EMRK und Art. 14 IPBPR gewesen sein soll, wird weder substanziiert begründet noch ist es aus den Akten ersichtlich. Auf die entsprechende Rüge wird nicht weiter eingegangen.
8. In der Sache selber beschränken sich die Vorbringen der Beschwerdeführerin im Wesentlichen auf die Behauptung, es liege ein natürlicher und adäquater Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis vom 8. Oktober 2004 und der somatoformen Schmerzstörung vor.
8.1 Das kantonale Gericht ist nach umfassender Würdigung der medizinischen Aktenlage zum Schluss gekommen, dass die Beschwerdegegnerin den natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und den somatischen Beschwerden zu Recht verneint hat. Dies ist unbestritten. Es hat in der Folge den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und den psychischen Beschwerden geprüft und aufgezeigt, dass ein solcher selbst bei Qualifizierung des Ereignisses als mittelschwerer Unfall zu verneinen wäre, da von den für eine Bejahung der Adäquanz erforderlichen Kriterien höchstens eines erfüllt wäre. Die Frage des natürlichen Kausalzusammenhangs liess es daher offen. Den zutreffenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid, auf welche verwiesen wird, kann vollumfänglich beigepflichtet werden.
8.2 Die vor dem Bundesgericht erhobenen weitschweifigen Einwendungen vermögen, soweit sie überhaupt sachbezüglich sind, diese Beurteilung nicht in Zweifel zu ziehen. Zur Frage des Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis und den psychischen Beschwerden enthalten sie nichts Substanzielles. Was die Vorwürfe der fehlenden Unabhängigkeit und Unparteilichkeit des Gutachters Dr. med. K._ anbelangt, ist darauf hinzuweisen, dass von Versicherungsträgern im Verfahren nach Art. 44 ATSG eingeholten, den Anforderungen der Rechtsprechung genügenden Gutachten externer Spezialärzte voller Beweiswert zukommt, solange nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (BGE 135 V 465 E. 4.4 S. 470, 125 V 351 E. 3b/bb S. 353 mit weiteren Hinweisen). Dass das Gutachten vom 28. Dezember 2007 den Anforderungen der Rechtsprechung genügt und im Wesentlichen mit den übrigen medizinischen Akten übereinstimmt, hat die Vorinstanz sodann überzeugend aufgezeigt. Für die über den 31. Oktober 2006 hinaus geklagten Beschwerden ist daher mit dem kantonalen Gericht eine weitere Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin zu verneinen, weshalb die Beschwerde abzuweisen ist.
9. Da die Beschwerde von Anfang an aussichtslos war, ist eine der gemäss Art. 64 Abs. 1 BGG für die beantragte Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege erforderlichen Voraussetzungen nicht erfüllt. Was die Bestellung eines Anwaltes oder einer Anwältin gemäss Art. 64 Abs. 2 BGG anbelangt, fehlt es auch an der zur Wahrung der Rechte der Beschwerdeführerin erforderlichen Notwendigkeit. Die Beschwerdeführerin hat nämlich B._ zur Anhebung der Beschwerde beim Bundesgericht sowie zum Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bevollmächtigt. Dieser hat eine den Anforderungen von Art. 42 BGG genügende Rechtsschrift eingereicht. Weiteres qualifiziertes Mitwirken am Verfahren, welches eine unentgeltliche Verbeiständung rechtfertigen würde, war nicht erforderlich. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist daher abzuweisen und die Gerichtskosten sind dem Ausgang des Verfahrens entsprechend von der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Juli 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Kopp Käch