Faits:
A. Au début d'octobre 2003, la société de promotion immobilière X._ Sàrl a chargé le bureau d'architecture Y._ SA d'entreprendre une procédure de demande de renseignements auprès de l'autorité administrative compétente du canton de Genève, au sujet d'un projet de construction de plusieurs bâtiments à réaliser sur un bien-fonds de Satigny. Cette procédure est prévue par la loi genevoise sur les constructions et les installations diverses (art. 5 al. 4); elle permet d'obtenir un « simple renseignement sans portée juridique » sur l'implantation, la destination, le gabarit, le volume et les voies d'accès du projet présenté. Ayant accompli sa mission, Y._ SA a présenté à sa commettante deux notes d'honoraires et débours aux montants de 132'075 fr.70, le 13 septembre 2004, et de 2'690 fr.40 le 5 octobre suivant, TVA comprise.
B. Le 20 août 2005, Y._ SA a ouvert action contre X._ Sàrl devant le Tribunal de première instance du canton de Genève; elle demandait que la défenderesse fût condamnée à lui payer ces sommes avec suite d'intérêts.
La défenderesse a conclu à la réduction des honoraires réclamés par l'autre partie, conformément à l'expertise que le tribunal ordonnerait.
Désigné en qualité d'expert, l'architecte A._ a déposé un rapport le 1er février 2007, puis le tribunal l'a interrogé, en présence des représentants des parties et de leurs conseils, lors de son audience du 2 avril suivant. L'expert évaluait le coût de la construction envisagée, sans le terrain ni les frais financiers, à plus de 17 millions de francs. Il a expliqué l'objectif et les enjeux de la procédure de demande de renseignements, dans la perspective des procédures ultérieures du plan localisé de quartier et de l'autorisation de construire, et il a décrit l'activité à accomplir à ce stade par le maître du projet ou son mandataire. En l'occurrence, la demanderesse n'avait pas fourni ni facturé de prestations excédant celles réellement nécessaires à la demande de renseignements. Dans sa première note, la demanderesse alléguait huit cent vingt-cinq heures de travail, ce qui était justifié par l'ampleur de sa tâche. Elle avait calculé les honoraires sur la base d'une norme « SIA/DAEL » qui n'était plus en usage et l'expert proposait une autre norme, soit celle de la Conférence de coordination des services de la construction et des immeubles des maîtres d'ouvrage publics; il parvenait ainsi à des honoraires quelque peu inférieurs. Les débours réclamés par la demanderesse étaient justifiés.
La défenderesse a réclamé sans succès une contre-expertise.
Le tribunal s'est prononcé le 28 avril 2008; sur la base de l'expertise, il a condamné la défenderesse à payer 126'967 fr.35 et 2'512 fr.85, avec intérêts au taux de 5% par an, respectivement dès le 14 septembre 2004 et le dès le 6 octobre 2004. A concurrence de ces sommes, il a donné mainlevée de l'opposition au commandement de payer que la demanderesse avait fait notifier. Le tribunal a par ailleurs rejeté une demande reconventionnelle de la défenderesse, portant sur des dommages-intérêts au montant de 211'600 francs.
La défenderesse ayant appelé à la Cour de justice, cette autorité a statué le 15 mai 2009; elle a confirmé le jugement.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile, la défenderesse requiert le Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt de la Cour de justice et de renvoyer la cause à cette autorité pour nouvelle décision.
La demanderesse conclut au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. En l'état de la cause, le Tribunal fédéral est saisi exclusivement de l'action principale tendant au paiement d'honoraires.
2. Selon la jurisprudence relative à l'art. 42 al. 1 LTF, le mémoire introductif du recours au Tribunal fédéral doit comporter des conclusions portant sur le sort de la cause, et la partie recourante n'est en principe pas recevable à réclamer seulement l'annulation de la décision attaquée. Dans la présente affaire, la défenderesse adopte ce dernier procédé. Celui-ci n'est admis que dans l'hypothèse où le Tribunal fédéral, en cas de succès du recours, ne pourrait de toute manière pas rendre un jugement final et devrait, au contraire, renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour complètement de l'état de fait et nouvelle décision selon l'art. 107 al. 2 LTF (ATF 133 III 489 consid. 3; voir aussi ATF 95 II 433 consid. 1 p. 436; 132 III 186 consid. 1.2 p. 188). Ledit procédé doit être admis en l'espèce, compte tenu que la défenderesse critique précisément la constatation des faits: selon son argumentation, les montants d'honoraires sont admis sur la base d'une preuve insuffisante.
Pour le surplus, le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). Introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours est en principe recevable.
3. Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2). Il conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF).
4. Dans les instances précédentes, les juges ont rejeté les réquisitions de la défenderesse tendant à soumettre les deux notes d'honoraires à une contre-expertise; elle leur reproche d'avoir ainsi violé les art. 8 CC et 29 al. 2 Cst. Cette première disposition répartit, entre les plaideurs, le fardeau de la preuve dans les contestations soumises au droit civil fédéral; la seconde garantit à toute personne le droit d'être entendue dans une procédure administrative ou judiciaire la concernant. Elles confèrent l'une et l'autre le droit à l'administration des preuves valablement offertes, à moins que, sur la base d'une appréciation anticipée des preuves déjà disponibles, le juge puisse sans arbitraire refuser l'administration d'une preuve supplémentaire qu'il tient pour impropre à modifier sa conviction (art. 8 CC: ATF 131 III 222 consid. 4.3 p. 226; 129 III 18 consid. 2.6 p. 24/25; art. 29 al. 2 Cst.: ATF 131 I 153 consid. 3 p. 157; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428).
L'appréciation des preuves est arbitraire lorsque le juge ne prend pas en considération, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier sa décision, lorsqu'il se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, sur la base des éléments recueillis, il parvient à des constatations insoutenables (ATF 129 I 8 consid.2.1; voir aussi ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62).
Devant le Tribunal de première instance, l'expert a expliqué l'activité à fournir par l'architecte mandataire dans la procédure de demande de renseignements, en particulier lorsque celle-ci concerne un projet important qui nécessitera un plan localisé de quartier. Il a déclaré sans équivoque que le nombre des heures de travail portées en compte par la demanderesse était approprié à cette activité et au projet concerné. Sur ce point essentiel, contrairement à l'opinion de la défenderesse, le juge du fait n'était pas tenu d'exiger un rapport comportant des références scientifiques et des explications plus détaillées car l'expert apportait surtout, dans cette affaire, son expérience de praticien. Pour le calcul des honoraires, sur la base de ce nombre d'heures, l'expert s'est référé à une norme différente, mais cette substitution est avantageuse à la défenderesse et celle-ci ne saurait donc la critiquer. Elle n'a d'ailleurs pas prétendu qu'un autre mode de calcul, plus favorable encore, entrât aussi en considération. La Cour de justice pouvait donc retenir sans arbitraire que l'expertise déjà disponible, constituée du rapport écrit de l'expert et de son rapport oral recueilli à l'audience, était concluante et suffisante. Il s'ensuit que le refus d'une contre-expertise est compatible avec les art. 8 CC et 29 al. 2 Cst.
5. Le recours se révèle privé de fondement, ce qui conduit à son rejet. A titre de partie qui succombe, son auteur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 5'000 francs.
3. La défenderesse versera une indemnité de 6'000 fr. à la demanderesse à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 13 août 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin