Sachverhalt:
A. X._ wurde vom Kantonsspital Luzern (Frauenspital) auf den 5. März 2008 zur operativen Entfernung einer Zyste am Eierstock aufgeboten und konnte das Spital nach durchgeführter Operation gleichentags wieder verlassen. Am Abend traten bei X._ Komplikationen im Bauchraum auf, sodass sie erneut ins Kantonsspital eingeliefert und notfallmässig am Darm operiert werden musste.
Am 18. März 2008 erhob X._ Strafklage gegen das Kantonsspital (gegen unbekannte Täterschaft) wegen fahrlässiger schwerer Körperverletzung. Sie machte geltend, über das Risiko einer möglichen schweren Darmverletzung infolge der Operation vom 5. März 2008 nicht hinreichend aufgeklärt worden zu sein, und warf dem operierenden Arzt grobe Fahrlässigkeit vor. Aus den sichergestellten Krankenakten konnte Dr. med. A._, damaliger Co-Chefarzt am Kantonsspital, als operierender Arzt ermittelt werden.
Nach durchgeführter Untersuchung kam die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern zum Schluss, es liege keine strafbare Handlung vor. Mit Verfügung vom 24. November 2011 stellte die Staatsanwaltschaft deshalb die gegen A._ wegen fahrlässiger Körperverletzung (Art. 125 StGB) und wegen Aussetzung (Art. 127 StGB) geführte Strafuntersuchung in Anwendung von Art. 319 Abs. 1 lit. a und b StPO (SR 312.0) ein. Der Entscheid wurde am 12. Dezember 2011 von der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Luzern genehmigt.
B. X._ focht die Verfahrenseinstellung mit Beschwerde beim Obergericht des Kantons Luzern an.
Mit Beschluss vom 7. August 2012 hiess das Obergericht die Beschwerde teilweise gut, hob die Einstellungsverfügung teilweise auf und wies die Strafsache zur Ergänzung der Strafuntersuchung betreffend den Tatbestand der fahrlässigen Körperverletzung "bei der Operationserweiterung aufgrund ungenügender Patienteneinwilligung" an die Staatsanwaltschaft zurück. Bezüglich der geltend gemachten fahrlässigen Körperverletzung aufgrund einer Lebensgefährdung und einer psychischen Schädigung sowie betreffend die behauptete Aussetzung wies das Obergericht die Beschwerde ab. Die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 1'000.-- auferlegte das Obergericht dem Kanton; Parteientschädigungen sprach es keine zu.
C. Mit Eingabe vom 8. Oktober 2012 führt X._ Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des angefochtenen Beschlusses. Die Vorinstanzen seien anzuweisen, gegen A._ wegen fahrlässiger Körperverletzung Anklage zu erheben, und das Obergericht sei anzuweisen, ihr eine Parteientschädigung zuzusprechen. Eventualiter sei das Obergericht anzuweisen, über ihren psychischen Gesundheitszustand ein Gutachten erstellen zu lassen.
Das Obergericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Oberstaatsanwaltschaft stellt Antrag auf Beschwerdeabweisung. Der Beschwerdegegner beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventualiter sei diese abzuweisen. Die Beschwerdeführerin hält in ihrer Replik an ihrem Standpunkt und an ihren Anträgen fest.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der bei ihm erhobenen Beschwerden von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 135 II 30 E. 1 S. 31).
1.1 Der angefochtene Beschluss der Vorinstanz, mit welchem diese die Einstellungsverfügung teilweise aufgehoben und die Sache zur Ergänzung der Strafuntersuchung an die Staatsanwaltschaft zurückgewiesen hat, ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). Ob es sich dabei um einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG oder um einen Zwischenentscheid handelt, der nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 BGG anfechtbar ist, kann offen bleiben, da auf die Beschwerde ohnehin nicht eingetreten werden kann.
1.2 Als Geschädigte bzw. Opfer ist die Beschwerdeführerin zur Beschwerdeführung befugt, sofern sich der angefochtene Entscheid auf ihre Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG).
Dies ist vorliegend nicht der Fall. Gemäss § 7 Abs. 1 des Spitalgesetzes des Kantons Luzern vom 11. September 2006 (SRL Nr. 800a) werden die kantonalen Spitäler unter der Bezeichnung "Luzerner Kantonsspital" und "Luzerner Psychiatrie" in zwei öffentlich-rechtlichen Anstalten mit eigener Rechtspersönlichkeit (im Folgenden Unternehmen genannt) zusammengefasst. § 33 Abs. 1 des Spitalgesetzes bestimmt, dass sich die Haftung der Unternehmen und ihres Personals nach dem Haftungsgesetz des Kantons Luzern vom 13. September 1988 (SRL Nr. 23) richtet. Gemäss § 4 des Haftungsgesetzes mit dem Randtitel "Widerrechtliche Schädigung Dritter" haftet das Gemeinwesen für den vollen Schaden, den ein Angestellter einem Dritten in Ausübung amtlicher Verrichtungen widerrechtlich zufügt, sofern es nicht nachweist, dass dem Angestellten kein Verschulden zur Last fällt (vgl. Abs. 1). Der Dritte hat gegen den Angestellten keinen Anspruch (Abs. 4).
Der Beschwerdegegner als damaliger Co-Chefarzt am Kantonsspital hat der Beschwerdeführerin den Schaden durch die Operation (respektive durch die angeblich mangelnde Aufklärung bzw. die zu früh erfolgte Spitalentlassung) und damit in Ausübung amtlicher Verrichtungen zugefügt. Da Patientinnen und Patienten als Dritte gemäss § 4 Abs. 4 des Haftungsgesetzes keine Ansprüche gegen Angestellte geltend machen können, kann sich der angefochtene Entscheid nicht auf allfällige Zivilforderungen der Beschwerdeführerin auswirken (vgl. auch Urteile 1B_491/2012 vom 30. November 2012 E. 2 und 1B_330/2011 vom 24. Oktober 2011 E. 1.1).
1.3 Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache kann die Geschädigte die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen. Das nach Art. 81 Abs. 1 lit. b BGG erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich in diesem Fall aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen. Ist die Beschwerdeführerin - wie vorliegend - nach kantonalem Recht Partei, kann sie die Verletzung jener Parteirechte rügen, die ihr nach dem kantonalen Verfahrensrecht, der BV oder der EMRK zustehen und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung bedeutet. Zulässig sind dabei Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind dagegen Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen. Eine in der Sache nicht legitimierte Beschwerdeführerin kann deshalb weder die Beweiswürdigung kritisieren, noch kann sie geltend machen, die Begründung sei materiell unzutreffend ("Star-Praxis"; BGE 136 IV 41 E. 1.4 S. 44).
Die Beschwerdeführerin macht keine Verletzung von Verfahrensrechten geltend, sondern kritisiert den Entscheid in der Sache, wozu sie nach der dargelegten "Star-Praxis" nicht befugt ist.
2. Auf die Beschwerde ist damit mangels Legitimation der Beschwerdeführerin nicht einzutreten. Diese hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und dem anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Luzern, Abteilung 1, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Luzern und dem Obergericht des Kantons Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Januar 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Stohner