Erwägungen:
1. In dem vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn von X._ anhängig gemachten Verfahren betreffend Aberkennung des ausländischen Führerausweises ersuchte der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
Mit Verfügung vom 31. Juli 2012 wies der Präsident des genannten Gerichts das Gesuch ab.
Hiergegen führte X._ mit Eingabe vom 21. August 2012, die am 24. August 2012 beim Bundesgericht eingetroffen ist, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten.
2. Mit Urteil vom 19. September 2012 hat das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn die von X._ in Bezug auf die Aberkennung des ausländischen Führerausweises erhobene Beschwerde abgewiesen.
Damit ist das vorliegende bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos geworden.
3. Gemäss Art. 72 BZP in Verbindung mit Art. 71 BGG ist über die Kostenfolgen mit summarischer Begründung zu entscheiden. Danach sind die Kosten im Regelfall derjenigen Partei aufzuerlegen, die sich bei der Beurteilung des Rechtsstreites materiell im Unrecht befunden hätte.
Die Motorfahrzeugkontrolle für das Departement des Innern sowie das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn haben darauf verzichtet, sich zu den Kostenfolgen zu äussern. Der Beschwerdeführer beantragt mit Eingabe vom 29. Oktober 2012, die Beschwerde vom 21. August 2012 sei als erledigt zu erklären, wobei die Verfahrenskosten dem Beschwerdegegner (Departement des Innern, Motorfahrzeugkontrolle) aufzuerlegen seien. Einen Antrag um Zuspruch einer Parteientschädigung hat er weder mit dieser letztgenannten Eingabe noch mit der Beschwerde selber gestellt. Damit erübrigt es sich, die Beschwerde im Hinblick auf den hier zu treffenden Kostenentscheid weiter zu prüfen, zumal es sich rechtfertigt, für das vorliegende Verfahren ohnehin keine Gerichtsgebühr zu erheben.
Demnach verfügt der Präsident:
1. Die Beschwerde im Verfahren 1C_400/2012 wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Diese Verfügung wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern des Kantons Solothurn sowie dem Präsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2012
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Bopp