Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 10. Januar 2011 wies das Bundesgericht eine von A._ (Gesuchsteller) gegen den Beschluss des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 23. August 2008 und den Zirkulationsbeschluss des Kassationsgerichts des Kantons Zürich vom 3. März 2010 gerichtete Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
B. Mit Revisionsgesuch vom 3. März 2011 beantragt der Gesuchsteller dem Bundesgericht, sein Urteil vom 10. Januar 2011 aufzuheben und die Sache an die erste Instanz zurückzuweisen. Weiter ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung und um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Mit Eingabe vom 14. März 2011 reichte der Gesuchsteller Bemerkungen zum Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege mit Angaben über seine wirtschaftliche Situation ein.
Erwägungen:
1. 1.1 Der Gesuchsteller macht geltend, das Bundesgericht habe Art. 121 lit. c und/oder lit. d BGG verletzt, indem es im Verfahren 4A_189/2010 das 6. Kapitel der Beschwerde aufgrund geringfügiger prozessualer Fehler nicht berücksichtigt und damit Art. 6 und Art. 13 EMRK verletzt habe.
1.2 Die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts kann nach Art. 121 BGG verlangt werden, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind (lit. c) oder, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (lit. d).
1.3 Das Bundesgericht hat das 6. Kapitel der Beschwerde bzw. die darin vorgebrachten Rügen nicht übersehen, sondern - wie der Gesuchsteller erkannt hat - als prozessual unzulässig qualifiziert, weshalb kein Versehen im Sinne von Art. 121 lit. d BGG vorliegt. Zudem stellt nach der Rechtsprechung eine Rüge keine Tatsache im Sinne von Art. 121 lit. d BGG dar, weshalb selbst das versehentliche Übergehen von Rügen keinen Revisionsgrund bilden könnte (Urteile 2F_5/2009 vom 3. Juli 2009 E. 3.1; 4F_1/2007 vom 13. März 2007 E. 5.1).
1.4 Dass das Bundesgericht Anträge unbeurteilt gelassen haben soll, macht der Beschwerdeführer nicht geltend, weshalb auch kein Revisionsgrund gemäss Art. 121 lit. c BGG gegeben ist.
1.5 Mit seinen weiteren Ausführungen übt der Gesuchsteller inhaltlich Kritik am Urteil des Bundesgerichts vom 10. Januar 2011 und der vorangegangenen kantonalen Entscheide, ohne aufzuzeigen, inwiefern insoweit ein Revisionsgrund gemäss Art. 121 lit. c und d BGG vorliegen soll.
2. Nach dem Gesagten ist das Revisionsgesuch unbegründet, weshalb es abzuweisen ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen. Sein Begehren um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, weil sein Rechtsbegehren von Anfang an aussichtslos im Sinne von Art. 64 Abs. 1 BGG war. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
2. Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Handelsgericht des Kantons Zürich und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2011
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Gelzer