Faits:
A. M._ a été victime d'un accident le 17 août 2006. Axa Assurances SA en a pris les suites en charge et a alloué des prestations (traitement médical et indemnités journalières) jusqu'au 28 février 2007, au titre de l'assurance obligatoire contre les accidents. Elle a refusé d'allouer des prestations au-delà de cette date, par décision du 12 mars 2007. Le 19 décembre 2008, à la suite d'une opposition de l'assuré, elle a maintenu son refus de prester et a exigé la restitution d'un montant de 34'005 fr. 50, correspondant selon elle à des prestations versées indûment pour la période du 17 août 2006 au 28 février 2007.
B. M._ a recouru devant le Tribunal cantonal vaudois. En substance, il a conclu à l'annulation de la décision sur opposition du 19 décembre 2008, en tant qu'elle exige la restitution de 34'005 fr. 50, et à la constatation de son droit à des prestations d'assurance pour la période postérieure au 28 février 2007. A titre préalable, il a demandé la restitution de l'effet suspensif au recours.
Par ordonnance du 27 février 2009, la Juge déléguée à l'instruction de la cause a restitué l'effet suspensif au recours.
C. Axa Assurances SA interjette un recours en matière de droit public et recours constitutionnel subsidiaire contre cette ordonnance. En substance, elle en demande la réforme en ce sens que l'effet suspensif au recours devant l'instance cantonale soit accordé dans une mesure limitée à l'exigence de restitution d'un montant de 34'005 fr. 50, la demande de restitution de l'effet suspensif présentée par M._ étant rejetée pour le surplus.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF). En dehors des hypothèses visées par l'art. 92 LTF (sans pertinence en l'espèce), les décision préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable, ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (art. 93 al. 1 LTF). Ces dispositions sont applicables, par analogie, au recours constitutionnel subsidiaire (art. 117 LTF).
2. 2.1 L'ordonnance du 27 février 2009 est une décision incidente relative à l'effet suspensif du recours interjeté par M._ en instance cantonale. La recourante ne conteste pas cette ordonnance dans la mesure où l'effet suspensif porte sur l'obligation de restituer un montant de 34'005 fr. 50, correspondant à des prestations déjà versées. En revanche, l'assurance-accidents soutient que l'ordonnance litigieuse résulte d'une pesée arbitraire des intérêts en présence, dans la mesure où elle la contraint à poursuivre le versement des prestations pendant la durée de la procédure de recours. Il en résulterait un risque de préjudice irréparable pour l'assurance-accidents, compte tenu des difficultés auxquelles elle serait exposée pour obtenir la restitution de ces nouvelles prestations si M._ devait finalement voir ses conclusions rejetées.
2.2 Par sa décision sur opposition du 19 décembre 2008, la recourante a nié la qualité d'assuré de M._ au moment de l'accident du 17 août 2006. Elle a donc refusé toute nouvelle prestation en sa faveur; en outre, considérant que les prestations déjà allouées étaient indues, elle en a exigé la restitution. En niant ainsi, ab ovo, le droit de M._ à toute prestation, faute d'être assuré, la recourante a rendu une décision négative dont les effets ne sont pas susceptibles d'être suspendus pendant une procédure de recours. Si M._ avait voulu obtenir qu'Axa Assurances SA soit condamnée à maintenir ses prestations pour la durée de la procédure, il aurait dû présenter une demande de mesures provisionnelles (cf. ATF 126 V 407; 123 V 41). Bien que la juridiction cantonale ne l'ait pas explicitement précisé, il en découle qu'en restituant l'effet suspensif au recours, sans prévoir de mesure provisionnelle, l'ordonnance litigieuse empêche provisoirement l'exécution forcée de la décision de restitution d'un montant de 34'005 fr. 50; en revanche, elle ne contraint pas l'assurance-accidents au versement de nouvelles prestations. Cela ressort d'ailleurs de la pesée des intérêts effectuée par la juridiction cantonale, qui n'a pris en considération que les intérêts respectifs d'Axa Assurances SA et M._ au paiement immédiat ou non du montant exigé en restitution par l'assurance-accidents.
2.3 Dès lors que l'ordonnance litigieuse ne contraint pas la recourante à poursuivre le versement de prestations contestées pendant la durée de la procédure, le risque de préjudice irréparable dont se prévaut l'assurance-accidents est inexistant. Qu'il soit considéré comme un recours en matière de droit public ou un recours constitutionnel subsidiaire, le recours est donc irrecevable, dans la mesure où il n'est pas d'emblée sans objet.
3. Vu le sort du recours, la recourante supportera des frais de justice (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Dans la mesure où il n'est pas sans objet, le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 9 juillet 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
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