Faits:
A.
Par ordonnance du 19 janvier 2011, le Juge du district de C._ a ratifié, pour valoir prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale, la convention passée le même jour entre les époux X._, aux termes de laquelle ceux-ci sont convenus de l'attribution de l'appartement conjugal à l'époux dès le 1 er mars 2011 et du versement d'une contribution d'entretien à l'épouse, à charge du mari, de 2'450 fr. par mois, dès le 1er mars 2011.
B.
Le 24 mai 2012, l'époux a déposé une requête en modification des mesures protectrices de l'union conjugale, tendant à ce que le montant de la contribution d'entretien soit réduit de 2'450 fr. à 1'000 fr., rétroactivement au 1 er mai 2011. L'épouse s'est déterminée le 16 août 2012, en concluant au rejet de la requête.
B.a. Par jugement du 27 août 2012, le Juge de district a rejeté la requête en modification des mesures protectrices de l'union conjugale.
L'époux a formé appel contre ce jugement le 13 septembre 2012, concluant à l'admission de sa requête en modification, partant, à la fixation d'une contribution d'entretien mensuelle de 1'000 fr., dès le 1 er mai 2011 et sollicitant le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure d'appel. Par écritures du 24 septembre 2012, l'épouse s'est déterminée, concluant au rejet de l'appel.
B.b. Par arrêt du 7 janvier 2013, le Juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté l'appel de l'époux ainsi que la requête d'assistance judiciaire présentée par celui-ci.
C.
Par acte du 8 février 2013, l'époux exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et à sa réforme en ce sens que sa requête de modification des mesures protectrices de l'union conjugale est admise, partant, la contribution d'entretien mensuelle est fixée à 1'500 fr., dès le 1 er mai 2011. Le recourant requiert au préalable l'octroi de l'effet suspensif à son recours et sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invitées à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, l'épouse a conclu à son rejet, demandant également d'être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale, et l'autorité précédente s'est référée aux considérants de son arrêt.
D.
Par ordonnance du 26 février 2013, le Président de la IIe Cour de droit civil a refusé d'accorder l'effet suspensif au recours.
Des réponses au fond n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1.
Le présent recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) ainsi que dans la forme légale (art. 42 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF; ATF 134 III 426 consid. 2.2 p. 431; 133 III 393 consid. 4 p. 396) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire matrimoniale (art. 72 al. 1 LTF). Le litige porte sur le versement d'une contribution pour l'entretien de l'épouse pour la durée des mesures protectrices de l'union conjugale, à savoir une cause de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 let. a LTF) et, ayant succombé dans ses conclusions, a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 let. b LTF). Le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
Dès lors que la décision attaquée porte sur la modification des mesures protectrices de l'union conjugale, lesquelles sont considérées comme des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5 p. 396), seule peut être invoquée à leur encontre la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés conformément au principe d'allégation ("Rügeprinzip", art. 106 al. 2 LTF), à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 133 III 393 consid. 5 p. 396; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit fondamental ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer ses allégations par une argumentation précise (ATF 134 II 349 consid. 3 p. 351 s.; 133 II 396 consid. 3.2 p. 400; arrêt 5A_99/2011 du 22 septembre 2011 consid. 2.1).
3.
Le recours a pour objet le rejet de la requête de modification des mesures protectrices de l'union conjugale déposée par l'époux.
3.1. Une fois que des mesures protectrices de l'union conjugale ont été ordonnées, elles ne peuvent être modifiées qu'aux conditions de l'art. 179 CC. Aux termes de l'art. 179 al. 1 1 ère phr. CC, le juge prononce les modifications commandées par les faits nouveaux et rapporte les mesures prises lorsque les causes qui les ont déterminées n'existent plus. Selon la jurisprudence, la modification des mesures provisoires ne peut être obtenue que si, depuis leur prononcé, les circonstances de fait ont changé d'une manière essentielle et durable, notamment en matière de revenus, à savoir si un changement significatif et non temporaire est survenu postérieurement à la date à laquelle la décision a été rendue, si les faits qui ont fondé le choix des mesures provisoires dont la modification est sollicitée se sont révélés faux ou ne se sont par la suite pas réalisés comme prévus. Une modification peut également être demandée si la décision de mesures provisoires s'est avérée plus tard injustifiée parce que le juge appelé à statuer n'a pas eu connaissance de faits importants (ATF 129 III 60 consid. 2 p. 61 s.; arrêt 5A_522/2011 du 18 janvier 2012 consid. 4.1 et les arrêts cités). La maxime inquisitoire ne dispense pas les parties de collaborer à l'établissement des faits (arrêt 5P.473/2006 consid. 3.2).
Lorsqu'il admet que les circonstances ayant prévalus lors du prononcé de mesures provisoires se sont modifiées durablement et de manière significative, le juge doit fixer à nouveau la contribution d'entretien, après avoir actualisé tous les éléments pris en compte pour le calcul dans le jugement précédent et litigieux devant lui (ATF 138 III 289 consid. 11.1.1 p. 292; 137 III 604 consid. 4.1.2 p. 606, arrêts 5A_140/2013 du 28 mai 2013 consid. 4.1; 5A_547/2012 du 14 mars 2013 consid. 4.3). La survenance de faits nouveaux importants et durables n'entraîne toutefois pas automatiquement une modification du montant de la contribution d'entretien; celle-ci ne se justifie que lorsque la différence entre le montant de la contribution d'entretien nouvellement calculée sur la base de tels faits et celle initialement fixée est d'une ampleur suffisante (arrêt 5A_487/2010 du 3 mars 2011 consid. 2.3).
3.2. En l'espèce, le Juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal valaisan a d'abord relevé que le premier juge avait, à juste titre, estimé que la naissance de l'enfant de l'époux d'une nouvelle relation, ainsi que l'octroi d'une rente entière d'assurance-invalidité en faveur de l'épouse qui ne percevait jusque-là aucun revenu, constituaient des faits nouveaux modifiant significativement et durablement la situation des époux, justifiant d'entrer en matière sur la requête en modification des mesures protectrices de l'union conjugale. L'autorité précédente a ensuite constaté que le premier juge, après avoir appliqué la méthode du minimum vital avec répartition de l'excédent, sans toutefois procéder à un calcul détaillé des besoins incompressibles de l'époux, a estimé que la contribution d'entretien convenue n'était pas excessive, rejetant la requête de modification. Le juge cantonal a rappelé que le minimum vital dans ce contexte se composait du montant de base, des frais de logement, des coûts de santé, des primes d'assurance-maladie obligatoire et complémentaires, des frais de déplacement et de repas hors-domicile, ainsi que des impôts.
Statuant sur l'appel de l'époux, le juge cantonal a considéré que celui-ci n'avait pas allégué dans sa requête de modification que ses charges avaient augmenté, observant au contraire qu'elles avaient diminué, ses frais professionnels ne se montant plus qu'à 12'295 fr., en sorte que les besoins incompressibles de l'époux, bien qu'ils n'aient pas été énumérés par le premier juge, n'avaient pas subis de hausse, partant, ne justifiaient pas la modification sollicitée. S'agissant du subside que l'épouse reçoit pour le paiement de sa prime d'assurance-maladie, le juge précédent a relevé que, depuis la convention de mesures protectrices de l'union conjugale, la subvention n'avait pas augmenté et le montant de la prime d'assurance n'avait pas diminué, les charges incompressibles de l'épouse demeurant inchangées. En tant que l'époux reprochait au premier juge, dans son appel, d'avoir réduit le coût mensuel d'entretien de son enfant à 400 fr. alors qu'il s'est engagé, dans une convention passée avec la mère de l'enfant et ratifiée par la Chambre pupillaire, à contribuer à l'entretien de celui-ci à hauteur de 800 fr., l'autorité cantonale a exposé que dite convention prévoit le versement en espèces de ce montant qu'en cas de séparation du couple qu'il forme avec la mère de son enfant, alors que, pendant la vie commune, la contribution du père est considérée comme effectuée en nature. L'autorité précédente a ainsi jugé que c'était à juste titre que le premier juge avait retenu un montant de 400 fr. pour l'entretien de l'enfant du recourant et qu'il y avait lieu de tenir compte, en sus, de la prime d'assurance-maladie de l'enfant après déduction du subside cantonal. S'agissant du montant de la rente AI perçue par l'épouse dont le recourant soutient que celle-ci pourrait obtenir un montant supplémentaire, le Juge de la Cour civile II a d'abord précisé qu'il ne lui appartenait pas d'examiner l'opportunité d'un recours contre une décision rendue par un assureur social, partant, qu'il ne pouvait que prendre acte du montant alloué, sans supputer du sort qu'une contestation aurait pu avoir; il a ensuite rejeté le grief, constatant que les prestations complémentaires de l'AI revêtent un caractère subsidiaire aux obligations d'entretien et qu'en cas de rejet de la requête de modification, les revenus de l'épouse excéderaient les montants minimaux pour l'octroi des prestations complémentaires.
Pour terminer, l'autorité précédente a recalculé le montant de la contribution d'entretien en tenant compte des éléments actualisés et a constaté que, nonobstant les faits nouveaux, la situation pécuniaire des parties est demeurée pour l'essentiel identique. Elle a ainsi considéré que la contribution litigieuse ne devait pas être modifiée et elle a rejeté l'appel de l'époux. Le juge cantonal a également rejeté la requête d'assistance judiciaire du recourant, exposant que sa cause était dénuée de chance de succès.
4.
Dans un premier moyen, le recourant s'en prend au refus de l'autorité précédente de tenir compte des frais d'entretien de son enfant né d'une nouvelle relation, tels qu'ils ont été fixés dans le cadre de la convention conclue avec la mère. Il affirme que le montant pris en considération pour l'entretien de son enfant a été calculé selon les directives du droit des poursuites, alors que l'étendue de son obligation d'entretien en faveur de son épouse a été déterminée selon les normes du droit de la famille, ce qui a pour conséquence un résultat lésant la position de l'enfant. Il expose que la solution du juge cantonal est choquante car elle réduit l'enfant à son minimum vital, en augmentant simultanément la contribution d'entretien de son épouse, au delà du strict minimum vital.
4.1. En substance, bien qu'il ne le soulève pas explicitement, ni ne se réfère à l'art. 9 Cst., l'on comprend que le recourant fait valoir le grief d'arbitraire.
Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire (art. 9 Cst.) si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 I 316 consid. 2.2.2 p. 318 s.; arrêt 5A_634/2011 du 16 janvier 2012 consid. 2.1.1 dont la publication est prévue). Pour qu'une telle décision soit annulée, il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (ATF 133 I 149 consid. 3.1 p. 153 et les références citées).
4.2. En l'occurrence, le recourant se borne à présenter sa propre appréciation de la cause, sans critiquer le raisonnement de l'autorité précédente qui a considéré que le montant prévu dans la convention n'était pas une charge d'entretien effective de l'époux tant que dure la vie commune avec la mère de son enfant ( cf. supra consid. 2). Il se limite ensuite à affirmer que la solution de l'arrêt attaqué est choquante, sans expliciter son grief, ni démontrer en quoi la motivation de l'autorité cantonale consacre une violation grave d'une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Il s'ensuit que son premier grief, insuffisamment motivé, ni même clairement soulevé, est d'emblée irrecevable (principe d'allégation, art. 106 al. 2 LTF, voir supra consid. 2).
5.
Le recourant se plaint deuxièmement du refus de tenir compte de sa charge fiscale dans la détermination de son minimum vital, alors que les impôts payés par son épouse auraient été pris en compte. Il fait valoir à cet égard que le Juge de la Cour civile II a doublement violé le droit fédéral : d'une part, matériellement, " dans le calcul du minimum vital de chacun "; d'autre part, par déni de justice, "en n'examinant pas ce grief pourtant clairement articulé devant lui ", le juge cantonal a violé son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.).
5.1. Dans la mesure où le recourant fait valoir que le calcul du minimum vital par l'autorité cantonale viole le droit fédéral matériel, il ne fait référence - même de manière implicite - à aucun droit fondamental susceptible d'être invoqué dans le cadre d'un recours soumis à l'art. 98 LTF et que l'autorité précédente aurait transgressé, en sorte que sa critique est d'emblée irrecevable (art. 98 et 106 al. 2 LTF, cf. supra consid. 2).
5.2. S'agissant pour le surplus du grief de violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), l'on comprend à la lecture du mémoire de recours que le recourant soulève ce reproche sous l'angle du droit à obtenir une décision motivée au sujet de la non-prise en considération de sa charge fiscale dans ses besoins incompressibles par réciprocité avec la manière de calculer le minimum vital de son épouse; toutefois, il n'explicite pas plus avant sa critique qu'il se contente de formuler. Ce faisant, le recourant ne démontre donc pas, même succinctement, en quoi la motivation du Juge de la Cour civile II - selon laquelle un montant pour la charge fiscale a été pris en considération dans le minimum vital élargi de l'époux, en dépit du fait que le premier juge n'a pas détaillé chaque poste ( cf. consid. 3.2 ci-dessus) - serait lacunaire. Faute de satisfaire au principe d'allégation, le grief de violation du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) est manifestement irrecevable (art. 106 al. 2 LTF, cf. supra consid. 2).
6.
Dans une troisième critique, le recourant reproche au Juge de la Cour civile II d'avoir violé l'art. 29 al. 3 Cst. en rejetant sa requête d'assistance judiciaire tendant à l'exonération des frais judiciaires et à la commission d'un avocat d'office. Il estime que l'autorité précédente a déclaré à tort que ses conclusions d'appel étaient d'emblée dénuées de chances de succès, compte tenu des critères d'octroi de l'assistance judiciaire. Il soutient que son appel posait des questions " juridiquement relativement complexes ", en sorte que son appel apparaissait défendable, démontrant son allégation par le soin que l'autorité précédente a mis pour réexaminer l'ensemble de la cause.
6.1. En vertu de l'art. 29 al. 3, 1ère phr. Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Selon la jurisprudence, un procès est dénué de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre et que, dès lors, elles ne peuvent être considérées comme sérieuses, de sorte qu'un plaideur raisonnable et aisé renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'il serait exposé à devoir supporter; en revanche, il ne l'est pas lorsque les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près ou que les premières n'apparaissent que légèrement inférieures aux seconds (ATF 133 III 614 consid. 5 p. 616; 129 I 129 consid. 2.3.1 p. 135 s.). L'élément déterminant réside dans le fait que l'indigent ne doit pas se lancer, parce qu'il plaide aux frais de la collectivité, dans des démarches vaines qu'une personne raisonnable n'entreprendrait pas si, disposant de moyens suffisants, elle devait les financer de ses propres deniers (arrêt 5A_425/2009 du 13 août 2009 consid. 3.1).
La situation doit être appréciée à la date du dépôt de la requête (ATF 133 III 614 consid. 5 in fine p. 616) et sur la base d'un examen sommaire (ATF 124 I 304 consid. 4a p. 308 s.).
6.2. En l'espèce, il apparaît à la lecture de l'arrêt entrepris que les chances que le recourant obtienne gain de cause en appel apparaissaient nettement inférieures au risque de succomber, en sorte que le refus du bénéfice de l'assistance judiciaire ne prête pas le flanc à la critique au vu de la jurisprudence sus-exposée. Le grief de la violation de l'art. 29 al. 3 Cst., que le recourant ne motive au demeurant qu'en se bornant à soutenir que la cause était " défendable " compte tenu des questions " juridiquement relativement complexes " qu'il a posées, doit donc être rejeté, dans la mesure où le grief est suffisamment motivé au regard de l'exigence de motivation des griefs portant sur la violation d'un droit de rang constitutionnel (principe d'allégation, art. 106 al. 2 LTF, cf. supra consid. 2).
7.
Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité. Les conclusions du recourant étant d'emblée dépourvues de toute chance de succès, sa requête d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale ne saurait être agréée (art. 64 LTF). Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée qui n'a pas été invitée à se déterminer au fond, mais qui a obtenu gain de cause dans sa détermination sur la requête d'effet suspensif, a droit à une indemnité de dépens pour cette écriture, mise à la charge du recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF); la demande d'assistance judiciaire de celle-ci devient par conséquent sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Une indemnité de 200 fr., à payer à titre de dépens à l'intimée, est mise à la charge du recourant.
5.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est sans objet.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 2 août 2013
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Gauron-Carlin