Sachverhalt:
A. A.a Die seit Oktober 2007 getrennt lebenden Eheleute X._ und Z._ streiten über die Eintreibung ausstehender Unterhaltsbeiträge für ihre gemeinsame minderjährige Tochter Y._ (geb. 1995).
A.b Gestützt auf das Urteil des Oberlandesgerichts Hamm (Deutschland), das den Vater Z._ am 29. April 2009 zu monatlichen Unterhaltszahlungen verpflichtet hatte, stellte X._ am 16. Februar 2010 beim Betreibungsamt Oberland, Dienststelle Oberland Ost, ein Betreibungsbegehren für die Unterhaltsbeiträge von Mai 2009 bis März 2010 nebst Verzugszinsen und ersuchte für dieses Betreibungsverfahren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Nachdem diese Eingabe abhanden gekommen war, deponierte X._ am 23. März 2010 ein entsprechendes neues Betreibungsbegehren samt Rechtspflegegesuch beim Betreibungsamt Oberland, Dienststelle Oberland West. Dieses stellte am 25. März 2010 drei Zahlungsbefehle aus (Betreibungen Nrn. 1, 2 und 3). Am gleichen Tag hiess das Betreibungs- und Konkursamt Oberland das Rechtspflegegesuch vom 16. Februar 2010 gut.
A.c Z._ erhob gegen keinen der Zahlungsbefehle Rechtsvorschlag. Mit Eingaben vom 11. und 19. Mai 2010 ersuchte X._ um Fortsetzung der drei Betreibungen. Am 2. Juli 2010 stellte das Betreibungsamt X._ für die drei Betreibungen Verlustscheine über Fr. 2'423.55, Fr. 2'345.45 und Fr. 480.40 aus. Es vermerkte darauf, beim Schuldner habe im Rahmen des Pfändungsvollzuges kein pfändbares Vermögen festgestellt und kein künftiger Lohn gepfändet werden können, und verwies auf seine Verfügung vom 7. Juni 2010, wonach Z.s_ Existenzminimum von Fr. 3'044.30 seinen Nettolohn von Fr. 3'013.30 übersteigt. Zugleich erliess das Betreibungsamt an X._ für die drei Betreibungen je eine Gebührenverfügung.
B. B.a Nachdem X._ das Betreibungsamt zunächst um Wiedererwägung seiner Verfügung vom 7. Juni 2010 und der Gebührenrechnungen vom 2. Juli 2010 ersucht (Eingabe vom 6. Juli 2010), dieses Gesuch aber fallengelassen hatte, gelangte sie am 16. Juli 2010 mit Beschwerde an die Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen des Kantons Bern. Sie verlangte, die Verfügungen des Betreibungsamtes betreffend Berechnung des Existenzminimums vom 7. Juni 2010, die Verlustscheine in den drei Betreibungen vom 2. Juli 2010 sowie die dazugehörigen Gebührenverfügungen vom 2. Juli 2010 seien aufzuheben. Weiter sei das Betreibungsamt anzuweisen, die Pfändung des Lohnes von Z._ zu vollziehen und den Lohn des Schuldners mindestens im vollen Ausmass des Freibetrages von Fr. 532.50, und falls nicht ausreichend, um den Gesamtbetrag der Schulden samt Zinsen innerhalb eines Jahres zu begleichen, soweit erforderlich unter Eingriff in das Existenzminimum des Schuldners zu pfänden.
B.b In seiner Vernehmlassung vom 3. August 2010 beantragte das Betreibungsamt Oberland, Dienststelle Oberland West, das Begehren um Aufhebung der Gebührenverfügungen gutzuheissen, da die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege übersehen worden sei; im Übrigen sei die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werde. Zu dieser Vernehmlassung nahm X._ mit Eingabe vom 10. August 2010 Stellung und reichte der Aufsichtsbehörde Unterlagen zu ihren wirtschaftlichen Verhältnissen ein.
B.c Mit Entscheid vom 22. Oktober 2010 wies die Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen die Beschwerde vom 16. Juli 2010 ab, soweit sie nicht gegenstandslos geworden war; Kosten wurden keine gesprochen.
C. Mit Beschwerde vom 8. November 2010 wendet sich X._ (nachfolgend Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, den Entscheid der Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen des Kantons Bern vom 22. Oktober 2010 aufzuheben. Ebenso seien in den Betreibungen Nrn. 1, 2 und 3 des Betreibungsamtes Oberland, Dienststelle West, die Verfügungen dieses Betreibungsamtes vom 7. Juni 2010 betreffend Berechnung des Existenzminimums sowie die von ihm ausgestellten Verlustscheine Nrn. 4, 5 und 6 vom 2. Juli 2010 aufzuheben. Weiter sei das Betreibungsamt anzuweisen, die Pfändung von Z.s_ Einkommen unter Eingriff in dessen Notbedarf zu vollziehen und den pfändbaren Anteil des schuldnerischen Einkommens, der auf mindestens Fr. 406.55 festgesetzt werden soll, so zu ermitteln, dass Z._ Gesamtschuld im Betrag von Fr. 4'878.60 samt Zinsen durch die Pfändung von zwölf Monatslöhnen getilgt werden kann. Schliesslich verlangt die Beschwerdeführerin eine Entschädigung für die amtliche Rechtsvertretung im Beschwerdeverfahren vor der Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen im Betrag von Fr. 6'900.-- zuzüglich Mehrwertsteuer; eventualiter sei die Sache zur Festsetzung einer angemessenen Entschädigung an die Aufsichtsbehörde zurückzuweisen. Für das Verfahren vor Bundesgericht ersucht die Beschwerdeführerin ebenfalls um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Der Beschwerdegegner hat sich nicht zur Beschwerde vernehmen lassen. Das Betreibungsamt Oberland, Dienststelle Oberland West, verweist zur Hauptsache auf seine Stellungnahme vom 3. August 2010 (s. Bst. B.b). Die Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Mit ihrer rechtzeitig (Art. 100 Abs. 2 lit. a BGG) eingereichten Eingabe wehrt sich die Beschwerdeführerin gegen den Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid der kantonalen Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist daher ohne Rücksicht auf die gesetzliche Streitwertgrenze (Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG) grundsätzlich einzutreten.
1.2 Gegenstand der Beschwerde ist einzig der Entscheid der letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin legt ausführlich dar, weshalb das Betreibungsamt Oberland, Dienststelle Oberland West, die in Art. 93 SchKG enthaltene Vorschrift verletzt haben soll. Soweit die Beschwerdeführerin damit lediglich die Verfügung des Betreibungsamtes vom 7. Juni 2010 und die von diesem Amt ausgestellten Verlustscheine vom 2. Juli 2010 beanstandet, ist daher auf ihre Beschwerde nicht einzutreten. Unzulässig ist die Beschwerde mangels eines Rechtsschutzinteresses (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG) auch insofern, als die Beschwerdeführerin beantragt, der angefochtene Entscheid sei als Ganzer, das heisst auch im Punkt aufzuheben, in welchem die Vorinstanz die kantonale Beschwerde für gegenstandslos befunden hat (s. Bst. B.c).
1.3 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (BGE 134 III 102 E. 1.1 S. 104 f.; s. auch Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt.
Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt ausserdem das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft demnach nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
1.4 In jedem Fall legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann die Beschwerdeführerin nur einwenden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. BGE 134 V 53 E. 4.3 S. 62; 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). Überdies ist darzutun, inwiefern die Behebung des gerügten Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2 S. 22).
2. Die Beschwerdeführerin beruft sich zur Hauptsache auf die Verletzung bundesrechtlicher Verfahrensvorschriften. Am angefochtenen Entscheid bemängelt sie zunächst, dass die Aufsichtsbehörde ihr vorhalte, sie habe ihre Obliegenheit verletzt, das Betreibungsamt über ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse aufzuklären. Nach der Auffassung der Beschwerdeführerin fehlt es an einer gesetzlichen Grundlage für eine solche Obliegenheit im Zeitpunkt des Fortsetzungsbegehrens. Daher habe die Aufsichtsbehörde ein "rechtswidriges Vorgehen des Betreibungsamtes" geschützt. Weiter erhebt die Beschwerdeführerin den Vorwurf, ihre Einkommensverhältnisse seien von der Aufsichtsbehörde nicht von Amtes wegen abgeklärt worden; die Aufsichtsbehörde sei ihrer Pflicht zur Ermittlung des Sachverhaltes nicht oder nur ungenügend nachgekommen. Unter anderem habe sie keine Massnahmen getroffen, um die Grundfrage der Beschwerde zu entscheiden, ob zur Deckung der Unterhaltsforderungen ihrer minderjährigen Tochter in den Notbedarf des Schuldners eingegriffen werden könne.
2.1 Nach der Rechtsprechung kann bei der Pfändung in das Existenzminimum des Schuldners eingegriffen werden, wenn als betreibende Gläubiger Familienmitglieder des Schuldners auftreten. Der Eingriff ist jedoch nur zulässig, wenn das Einkommen des Gläubigers auch unter Einschluss der Alimentenforderung nicht zur Deckung seines eigenen Notbedarfs ausreicht (BGE 116 III 10 E. 2 S. 12 mit Hinweisen, bestätigt in BGE 123 III 332 E. 1 S. 332 f.; s. auch Urteil 5A_759/2008 vom 29. Dezember 2008 E. 5.2 und BGE 134 III 581 E. 3.2 583). Darüber, ob der Gläubiger zur Bestreitung seines Notbedarfs auf die richterlich zugesprochenen Alimente tatsächlich angewiesen ist, haben die Betreibungsbehörden von Amtes wegen Erhebungen anzustellen (BGE 111 III 13 E. 6a S. 19; 105 III 50 E. 5 S. 55). Diese behördliche Pflicht entbindet die Parteien freilich nicht davon, an der Feststellung des Sachverhaltes mitzuwirken. Es entspricht einem Verfahrensgrundsatz, dass die rechtssuchende Partei der zuständigen Behörde auch im Geltungsbereich des Untersuchungsgrundsatzes Auskünfte über relevante Tatsachen erteilen und verfügbare Beweismittel nennen muss - insbesondere dann, wenn sie das Verfahren durch ein eigenes Begehren eingeleitet hat oder darin eigene Rechte geltend macht (BGE 124 II 361 E. 2b S. 365; Urteil 1C_360/2008 vom 11. Mai 2009 E. 3.2.2 mit Hinweisen).
Das Gesagte gilt auch im Verfahren vor der kantonalen Aufsichtsbehörde. Gemäss Art. 20a Abs. 2 Ziff. 2 SchKG stellt die Aufsichtsbehörde den Sachverhalt von Amtes wegen fest. Sie kann die Parteien zur Mitwirkung anhalten und braucht auf deren Begehren nicht einzutreten, wenn sie die notwendige und zumutbare Mitwirkung verweigern. Aufgrund der gesetzlich vorgeschriebenen Untersuchungsmaxime hat die kantonale Aufsichtsbehörde das Verfahren zu leiten, die rechtserheblichen Tatsachen und erforderlichen Beweismittel zu bezeichnen, die Beweise zu erheben und sie zu würdigen. Die Aufsichtsbehörde hat die relevanten Tatsachen selbst festzustellen. Sie darf damit nicht zuwarten, bis die Parteien sie um die Instruktion des Verfahrens bitten oder ihr spontan geeignete Beweise unterbreiten. Die erwähnte Mitwirkungsobliegenheit der Parteien enthebt die Aufsichtsbehörde nicht von der Pflicht, die Parteien auf die Tatsachen hinzuweisen, die sie als rechtserheblich erachtet, und sie auf die Beweise aufmerksam zu machen, die sie zu erheben gedenkt. Vielmehr trifft die Behörde eine Aufklärungspflicht: Sie muss die Verfahrensbeteiligten in geeigneter Weise auf die zu beweisenden Tatsachen aufmerksam machen. Im Zweifelsfall hat sie durch Rückfragen bei den Parteien nachzuprüfen, ob deren Vorbringen und Beweisangebote vollständig sind (vgl. BGE 107 II 233 E. 2c S. 236).
2.2 Im angefochtenen Entscheid wirft die Aufsichtsbehörde der Beschwerdeführerin vor, sie sei ihrer Mitwirkungsobliegenheit nicht bzw. nicht ausreichend nachgekommen und habe erst im Beschwerdeverfahren im Rahmen des zweiten Schriftenwechsels Unterlagen eingereicht, aus denen im Übrigen nur ihr Einkommen und ihre Wohnkosten ersichtlich seien. Allein damit durfte sich die Vorinstanz nach dem Gesagten nicht zufrieden geben. Im vorliegenden Verfahren finden sich nämlich keine Anhaltspunkte dafür, dass die zuständigen Betreibungsbehörden die rechtserheblichen Tatsachen je konkret bezeichnet und die Beschwerdeführerin je darauf hingewiesen hätten, welche Tatsachen im Hinblick auf einen allfälligen Eingriff in den Notbedarf des Schuldners zur Feststellung ihrer Einkommens- und Vermögensverhältnisse (zusätzlich) zu beweisen sind. Unter diesen Umständen hätte die Aufsichtsbehörde, wenn sie die vorhandenen Beweismittel zur Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes als ungenügend erachtete, die Beschwerdeführerin auch im fortgeschrittenen Verfahrensstadium auf die noch zu ermittelnden Tatsachen hinweisen und sie dazu auffordern müssen, die entsprechenden Beweismittel nachzureichen. Indem sie untätig blieb, hat die Aufsichtsbehörde die Verantwortung für die Beschaffung der tatsächlichen Entscheidgrundlagen der Beschwerdeführerin allein auf die Schultern gelegt. Ein solches Vorgehen ist mit der Untersuchungsmaxime, wie sie sich aus Art. 20a Abs. 2 Ziff. 2 SchKG ergibt, nicht vereinbar.
2.3 Im Ergebnis rügt die Beschwerdeführerin zu Recht, die Vorinstanz habe darauf verzichtet, den Sachverhalt von Amtes wegen zu ermitteln. Ziffer 1 des angefochtenen Entscheides ist deshalb aufzuheben. Die Aufsichtsbehörde wird, wie oben ausgeführt (E. 2.1), zunächst von Amtes wegen die erforderlichen Beweise über die rechtserheblichen Tatsachen erheben müssen, um die Einkommens- und Vermögensverhältnisse der Beschwerdeführerin im Hinblick auf die Frage abzuklären, ob sie zur Deckung ihres eigenen Notbedarfes unbedingt auf die Alimentenzahlungen angewiesen ist und sich daher ein Eingriff in den Notbedarf des Beschwerdegegners rechtfertigt. Soweit die Beschwerdeführerin das Bundesgericht darum ersucht, in der Sache selbst zu entscheiden, verkennt sie das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren, das keine Abnahme und Würdigung von Beweisen vorsieht. Auf ihre diesbezüglichen Rechtsbegehren ist daher nicht einzutreten.
3. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz weiter vor, sie habe ihren verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt und sich damit eine formelle Rechtsverweigerung zuschulden kommen lassen. Sie rügt, die Aufsichtsbehörde habe Art. 29 BV verletzt, indem sie "die Sachlage und die eingereichten Unterlagen unter Anwendung ihrer reformatorischen und kassatorischen Kompetenz nicht überprüfte". Nachdem das Bundesgericht erkannt hat, dass die Vorinstanz ihrer Pflicht, den Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen, in Verletzung von Art. 20a Abs. 2 Ziff. 2 SchKG nicht nachgekommen ist, kommt den Rügen der Gehörsverletzung und der formellen Rechtsverweigerung keine selbständige Bedeutung mehr zu. Das Gleiche gilt hinsichtlich der Rüge, der angefochtene Entscheid sei willkürlich und unvereinbar mit dem schweizerischen "Ordre Public", der nach Auffassung der Beschwerdeführerin in Art. 276 ZGB zum Ausdruck kommt. Ohnehin beschränkt sich die Beschwerdeführerin darauf, den Inhalt der zitierten Vorschrift zu erläutern. Sie zeigt nicht auf, inwiefern die Vorinstanz diese Norm in Verletzung von Art. 9 BV angewendet hätte.
4. Schliesslich rügt die Beschwerdeführerin, die Aufsichtsbehörde habe ihr für das kantonale Beschwerdeverfahren ohne gesetzliche Grundlage die Entschädigung für ihren amtlichen Vertreter verweigert.
4.1 Nach Art. 20a Abs. 2 Ziff. 5 SchKG und Art. 61 Abs. 2 lit. a sowie Art. 62 Abs. 2 der Gebührenverordnung zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs (SR 281.35) darf die Aufsichtsbehörde in betreibungs- und konkursrechtlichen Beschwerdeverfahren weder Gerichtskosten erheben noch Parteientschädigungen zusprechen. Entgegen dem, was die Vorinstanz anzunehmen scheint, verbieten die zitierten Vorschriften der kantonalen Aufsichtsbehörde jedoch nicht, der rechtssuchenden Partei bei gegebenen Voraussetzungen die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen (BGE 122 III 392 E. 3c S. 394; 122 I 8 E. 2c S. 9 f.).
Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege richtet sich in erster Linie nach dem kantonalen Verfahrensrecht, dessen Anwendung und Auslegung das Bundesgericht nur unter dem Gesichtspunkt der Willkür prüft. Unabhängig davon folgt ein solcher Anspruch aber auch unmittelbar aus Art. 29 Abs. 3 BV (BGE 129 I 129 E. 2.1 S. 133). Aus dieser bundesverfassungsrechtlichen Minimalgarantie folgt jedoch nicht, dass die von einer unteren Behörde gewährte unentgeltliche Rechtspflege im anschliessenden Rechtsmittelverfahren automatisch weitergilt. Ob die Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren vor der Aufsichtsbehörde erneut hätte beantragen müssen, bestimmt sich somit nach dem kantonalen Verfahrensrecht, im vorliegenden Fall nach den Vorschriften des bernischen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 23. Mai 1989 (Art. 20a Abs. 3 SchKG i.V.m. Art. 11 Abs. 3 des bernischen Einführungsgesetzes zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs vom 16. März 1995). Dass die Aufsichtsbehörde die anwendbaren Vorschriften willkürlich angewendet hätte, macht die Beschwerdeführerin nicht in einer den Anforderungen an das Rügeprinzip (E. 1.3) genügenden Weise geltend. Allein mit der Behauptung, die Vorinstanz habe für die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege keine gesetzliche Grundlage genannt, ist jedenfalls nicht darzutun, dass der angefochtene Entscheid auch im Ergebnis unhaltbar ist (vgl. BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133).
4.2 Auch aus Art. 15 des Haager Übereinkommens vom 2. Oktober 1973 über die Anerkennung und Vollstreckung von Unterhaltsentscheidungen (SR 0.211.213.02, nachfolgend "HUÜ") vermag die Beschwerdeführerin nichts zu ihren Gunsten abzuleiten. Nach dieser Vorschrift, deren richtige Anwendung das Bundesgericht frei überprüft (Art. 95 lit. b i.V.m. Art. 106 Abs. 1 BGG), geniesst der Unterhaltsberechtigte, der im Ursprungsstaat ganz oder teilweise Verfahrenshilfe oder Befreiung von Verfahrenskosten genossen hat, in jedem Anerkennungs- oder Vollstreckungsverfahren die günstigste Verfahrenshilfe oder die weitestgehende Befreiung, die im Recht des Vollstreckungsstaates vorgesehen ist. Diese Vorschrift bezieht sich ihrem Wortlaut nach auf den Umfang der unentgeltlichen Rechtspflege und damit auf die materiellen Anspruchsvoraussetzungen der Bedürftigkeit des Unterhaltsberechtigten und - mit Bezug auf die Verbeiständung - auf die Notwendigkeit einer Vertretung. Ihr Zweck besteht darin, die Vollstreckungsbehörde von aufwendigen Nachforschungen darüber zu entlasten, in welchem Ausmass der Unterhaltsberechtigte im Urteilsstaat in den Genuss von unentgeltlicher Rechtspflege gekommen ist (PIERRE BELLET, Les nouvelles conventions de La Haye en matière d'obligations alimentaires, in: Journal du droit international 1974, S. 25). Der Unterhaltsberechtigte kommt jedoch nur in den Genuss derjenigen günstigsten Verfahrenshilfe, "die im Recht des Vollstreckungsstaates vorgesehen ist" (Art. 15 HUÜ, letzter Teilsatz). Aus diesem Verweis folgt, dass sich die weiteren, insbesondere verfahrensmässigen Voraussetzungen, die zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ebenfalls erfüllt sein müssen, nach dem innerstaatlichen Recht des Vollstreckungsstaates richten. Mithin ergibt sich aus Art. 15 HUÜ keine völkerrechtliche Pflicht der Vollstreckungsbehörde des ersuchten Staates, dem Unterhaltsberechtigten die unentgeltliche Rechtspflege ungeachtet allfälliger anderslautender innerstaatlicher Vorschriften auch ohne einen entsprechenden Antrag, das heisst von Amtes wegen zu gewähren.
4.3 Nach dem Gesagten hält der Kostenentscheid gemäss Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids vor Bundesrecht stand. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
5. 5.1 Gestützt auf die vorstehenden Erwägungen ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Ziffer 1 des angefochtenen Urteils ist aufzuheben und zur ergänzenden Tatsachenfeststellung und neuem Entscheid an die Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG). Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
5.2 Im Ergebnis obsiegt die Beschwerdeführerin in der Hauptsache. Der Beschwerdegegner ist im vorliegenden Verfahren, das die Frage der Pfändbarkeit des Einkommens des Unterhaltsschuldners zum Gegenstand hat, als Vollstreckungsgegner unterliegende Partei. Es rechtfertigt sich daher, ihm die Gerichtsgebühr für das Verfahren vor Bundesgericht aufzuerlegen und ihn zur Bezahlung einer Parteientschädigung an die Beschwerdeführerin zu verurteilen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG; vgl. Urteil 5A_548/2008 vom 7. Oktober 2008 E. 5). Damit wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird Ziff. 1 des Entscheids der Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen des Kantons Bern vom 22. Oktober 2010 aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid an die Aufsichtsbehörde zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
4. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Aufsichtsbehörde in Betreibungs- und Konkurssachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Februar 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher V. Monn