Sachverhalt:
A. Die 1960 geborene H._ meldete sich im März 2001 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügungen vom 15. Juni 2007 sprach ihr die IV-Stelle des Kantons St. Gallen eine halbe Invalidenrente ab 1. Februar 2005 zu. Nach einem ersten Beschwerdeverfahren, weiteren Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens ermittelte sie einen Invaliditätsgrad von 53 % und bestätigte mit Verfügung vom 26. Juli 2010 den Anspruch auf eine halbe Invalidenrente ab 1. Februar 2005.
B. Mit Beschwerde beantragte H._ spätestens ab 1. September 2000 eine ganze Invalidenrente; die IV-Stelle ersuchte um Feststellung, dass die Versicherte keinen Rentenanspruch habe. In teilweiser Gutheissung des Rechtsmittels sprach das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen der Versicherten mit Entscheid vom 11. Juni 2012 eine halbe Invalidenrente ab 1. Februar 2004 zu.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des Entscheides vom 11. Juni 2012 sei festzustellen, dass die Versicherte keinen Rentenanspruch habe.
H._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.
Erwägungen:
1. 1.1 Die IV-Stelle ist zur Beschwerde legitimiert, auch wenn sie mit der Verfügung vom 26. Juli 2010 den Anspruch auf eine (Teil-)Rente noch bejahte (BGE 138 V 339 E. 2 S. 340 ff.).
1.2 Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Die Vorinstanz hat dem Gutachten der MEDAS vom 20. November 2009 in Bezug auf sowohl den medizinischen Sachverhalt als auch die Arbeitsfähigkeitsschätzung Beweiskraft beigemessen. Gestützt darauf hat sie festgestellt, mit dem "Dazukommen des psychiatrischen Leidens" im Februar 2004 habe sich eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit für eine adaptierte Tätigkeit von 50 % ergeben. Dies führte nach ihrer Auffassung zu einer Erwerbsunfähigkeit im Umfang von 55 resp. 57,5 % und folglich zum Anspruch auf eine halbe Invalidenrente. Den Rentenbeginn hat sie auf den gleichen Zeitpunkt gelegt, weil die Versicherte während des Wartejahres (Art. 29 Abs. 1 lit. b IVG in der bis 31. Dezember 2007 geltenden resp. Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG in der seither geltenden Fassung) in der angestammten Tätigkeit vollständig arbeitsunfähig gewesen sei.
Streitig und zu prüfen ist lediglich die (Rechts-)Frage, ob das psychische Leiden der Beschwerdegegnerin mit Blick auf die Rechtsprechung von BGE 130 V 352 eine auch rechtlich relevante Einschränkung der Arbeitsfähigkeit bewirkt (zur Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen BGE 137 V 64 E. 1.2 S. 65 f.).
3.1 3.1.1 Somatoforme Schmerzstörungen und ähnliche aetiologisch-pathogenetisch unerklärliche syndromale Leidenszustände vermögen in der Regel keine lang dauernde, zu einer Invalidität im Sinne von Art. 4 Abs. 1 IVG führende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zu bewirken (BGE 136 V 279 E. 3 S. 280 ff.; 130 V 352 E. 2.2.2 und 2.2.3 S. 353 f.; 132 V 65; 131 V 49; 130 V 396). Die - nur in Ausnahmefällen anzunehmende - Unzumutbarkeit eines Wiedereinstiegs in den Arbeitsprozess setzt das Vorliegen einer mitwirkenden, psychisch ausgewiesenen Komorbidität von erheblicher Schwere, Intensität, Ausprägung und Dauer oder aber das Vorhandensein anderer qualifizierter, mit gewisser Intensität und Konstanz erfüllter Kriterien wie chronische körperliche Begleiterkrankungen und mehrjähriger Krankheitsverlauf bei unveränderter oder progredienter Symptomatik ohne längerfristige Remission, ein ausgewiesener sozialer Rückzug in allen Belangen des Lebens, ein verfestigter, therapeutisch nicht mehr angehbarer innerseelischer Verlauf einer an sich missglückten, psychisch aber entlastenden Konfliktbewältigung (primärer Krankheitsgewinn) oder schliesslich unbefriedigende Behandlungsergebnisse trotz konsequent durchgeführter Behandlungsbemühungen (auch mit unterschiedlichem therapeutischem Ansatz) und gescheiterte Rehabilitationsmassnahmen bei vorhandener Motivation und Eigenanstrengung der versicherten Person voraus (BGE 130 V 352 E. 2.2.3 S. 354 f.). Je mehr dieser Kriterien zutreffen und je ausgeprägter sich die entsprechenden Befunde darstellen, desto eher sind die Voraussetzungen für eine zumutbare Willensanstrengung zu verneinen (BGE 137 V 64 E. 4.1 S. 67 f.; 131 V 49 E. 1.2 S. 50 f. mit Hinweisen).
3.1.2 Auch wenn eine invalidisierende Wirkung einer mittelschweren depressiven Störung nicht von vornherein auszuschliessen ist, bedingt deren Annahme jedenfalls, dass es sich dabei nicht bloss um die Begleiterscheinung einer Schmerzkrankheit handelt (vgl. in Bezug auf mittelgradige depressive Episoden Urteil 9C_736/2011 vom 7. Februar 2012 E.4.2.2.1 mit Hinweisen), sondern um ein selbstständiges, vom psychogenen Schmerzsyndrom losgelöstes depressives Leiden (Urteil 9C_869/2011 vom 18. April 2012 E. 4.5; SVR 2008 IV Nr. 1 S. 1, I 176/06 E. 5.2). Fehlt es daran, ist nach der Rechtsprechung in der Regel keine invalidisierende Wirkung des Gesundheitsschadens anzunehmen (BGE 137 V 64; 130 V 352).
3.1.2 Auch wenn eine invalidisierende Wirkung einer mittelschweren depressiven Störung nicht von vornherein auszuschliessen ist, bedingt deren Annahme jedenfalls, dass es sich dabei nicht bloss um die Begleiterscheinung einer Schmerzkrankheit handelt (vgl. in Bezug auf mittelgradige depressive Episoden Urteil 9C_736/2011 vom 7. Februar 2012 E.4.2.2.1 mit Hinweisen), sondern um ein selbstständiges, vom psychogenen Schmerzsyndrom losgelöstes depressives Leiden (Urteil 9C_869/2011 vom 18. April 2012 E. 4.5; SVR 2008 IV Nr. 1 S. 1, I 176/06 E. 5.2). Fehlt es daran, ist nach der Rechtsprechung in der Regel keine invalidisierende Wirkung des Gesundheitsschadens anzunehmen (BGE 137 V 64; 130 V 352).
3.2 3.2.1 Für die Beurteilung der Arbeits(un)fähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Aufgabe des Arztes oder der Ärztin ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232; 125 V 351 E. 3a S. 352 mit Hinweis).
3.2.2 Im Rahmen der freien Beweiswürdigung (Art. 61 lit. c ATSG [SR 830.1]) darf sich die Verwaltung - und im Streitfall das Gericht - weder über die (den beweisrechtlichen Anforderungen genügenden) medizinischen Tatsachenfeststellungen hinwegsetzen noch sich die ärztlichen Einschätzungen und Schlussfolgerungen zur (Rest-)Arbeitsfähigkeit unbesehen ihrer konkreten sozialversicherungsrechtlichen Relevanz und Tragweite zu eigen machen. Die rechtsanwendenden Behörden haben diesfalls mit besonderer Sorgfalt zu prüfen, ob die ärztliche Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit auch invaliditätsfremde Gesichtspunkte (insbesondere psychosoziale und soziokulturelle Belastungsfaktoren) mitberücksichtigt, die vom sozialversicherungsrechtlichen Standpunkt aus unbeachtlich sind (vgl. BGE 130 V 352 E. 2.2.5 S. 355 f.; 127 V 294 E. 5a S. 299; SVR 2012 IV Nr. 22 S. 95, 8C_302/2011 E. 2.5.1). Wo psychosoziale Einflüsse das Bild prägen, ist bei der Annahme einer rentenbegründenden Invalidität Zurückhaltung geboten (vgl. BGE 127 V 294 E. 5a S. 299; Urteile 9C_2010/2012 vom 9. Juli 2012 E. 3.3.2; 9C_1041/2010 vom 30. März 2011 E. 5.1).
4. 4.1 Im Gutachten der MEDAS vom 20. November 2009 wurden folgende Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit gestellt:
"- Mittelgradige depressive Störung mit somatischem Syndrom bei verschiedenen psychosozialen Belastungen
- Chronisches cervicocephales Syndrom mit vielen vegetativen Begleitbeschwerden
- Funktionelle Beschwerden an beiden Armen und Händen mit Schwächegefühlen und Hyposensibilitätsgefühl im linken Arm
- Status nach handchirurgischem Eingriff wegen Tenovaginitis der Daumenbeugersehne 05/00 und der Zeigefingerbeugersehne 03/01 sowie erneut 04/02 mit subjektiver Krafteinbusse, objektiv normale Beweglichkeit der genannten Finger".
Das kantonale Gericht hat dementsprechend zutreffend (E. 1) festgestellt, dass im massgeblichen Zeitraum psychische Faktoren im Vordergrund gestanden hätten. Ebenso trifft der vorinstanzliche Hinweis, eine depressive Störung stelle "indessen keinen pathogenetisch (ätiologisch) unklaren syndromalen Zustand dar, bei welchem die Rechtsprechung zu den somatoformen Schmerzstörungen zur Anwendung gelangen würde", im Grundsatz zu (SVR 2012 IV Nr. 22 S. 95, 8C_302/2011 E. 2.4). Die Vorinstanz hat aber nicht festgestellt, dass die von den MEDAS-Experten attestierte Arbeitsunfähigkeit im Wesentlichen lediglich auf dem depressiven Leiden beruhen soll, und eine solche Feststellung wäre auch nicht haltbar (E. 1.2), zumal dies in klarem Widerspruch zur oben erwähnten Diagnoseliste stände (vgl. dazu auch E. 4.2). Soweit das kantonale Gericht angenommen zu haben scheint, die Anwendbarkeit der Rechtsprechung gemäss E. 3.1.1 sei aufgrund der diagnostizierten Depression von vornherein ausgeschlossen, kann ihm nicht beigepflichtet werden.
4.2 Aus den medizinischen Unterlagen, insbesondere dem MEDAS-Gutachten vom 20. November 2009, geht hervor, dass die gesundheitlichen Probleme der Versicherten in erheblichem Ausmass mit Eintritt des Handleidens im September 1999 ihren Anfang nahmen. Nachdem zwischen Mai 2000 und April 2002 handchirurgische Eingriffe erfolgten, verblieben ihr an Armen und Händen funktionelle Beschwerden und reaktive Schmerzen, für die kein somatisches Korrelat vorliegt. Die als cervicocephales Syndrom diagnostizierten Kopf- und Nackenschmerzen sind gemäss Angaben der Versicherten - allerdings vorerst ohne nachhaltigen Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit - bereits seit ca. 1981 vorhanden und scheinen sich ab Ende 2003 verstärkt zu haben; auch sie liessen sich indessen - trotz diesbezüglich gezielter Untersuchungen - nicht durch entsprechende Befunde objektivieren. Unter diesen Umständen ist klar von einem psychischen, syndromalen (Schmerz-)Leiden auszugehen, welches an den Vorgaben gemäss E. 3.1.1 zu messen ist (BGE 137 V 64 E. 4.3 S. 69).
4.3 Infolge einer beruflichen Abklärung wurde für angepasste Tätigkeiten - d.h. "bei körperlich und die Hände nur leichter belastenden" Arbeiten - eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit attestiert (Schlussbericht BEFAS vom 7. Oktober 2002). Ab Februar 2004 begab sich die Versicherte in psychiatrische Behandlung, wo erstmals eine depressive Störung festgestellt wurde. Zur Frage, ob es sich bei dieser um einen Begleitumstand des syndromalen (Schmerz-)Leidens oder um eine davon losgelöste, selbstständige depressive Beeinträchtigung handelt (E. 3.1.2), äusserten sich die MEDAS-Experten in den Gutachten vom 13. April 2006 und vom 20. November 2009 weder explizit noch indirekt. Aus dem Umstand, dass die MEDAS-Gutachter 2006 eine depressive Störung ohne, 2009 hingegen mit somatischem Syndrom diagnostizierten, lässt sich nichts ableiten, lag doch laut verbindlicher (E. 1.2) vorinstanzlicher Feststellung bei der zweiten Untersuchung ein weitgehend unveränderter Zustand vor.
In den medizinischen Unterlagen finden sich indessen klare Anhaltspunkte dafür, dass die Diagnosen in engem Zusammenhang stehen: Symptome einer Depression wurden erstmals mit dem Bericht der behandelnden Psychiaterin vom 19. Februar 2004 aktenkundig, nachdem das Verfahren bis zu diesem Zeitpunkt ausschliesslich von der Handproblematik geprägt war, obwohl die Versicherte nach eigenen Angaben bereits seit Jahren unter Kopfschmerzen gelitten hatte. Deren Verschlimmerung scheint gleichzeitig mit der depressiven Entwicklung eingesetzt zu haben. Zudem scheinen sowohl die Depression als auch die weiteren psychiatrischen Diagnosen weitgehend auf sozialen Problemen und somit grundsätzlich invaliditätsfremden Faktoren zu beruhen: So liess die Versicherte im Schreiben an die IV-Stelle vom 19. Februar 2004 darauf hinweisen, dass zur gesundheitlichen Verschlechterung "insbesondere auch die sehr schwierige finanzielle Situation beigetragen" habe, was die behandelnde Psychiaterin im Bericht vom 6. Juni 2004 bestätigte. Diese verwies zudem auf die Überforderung der alleinerziehenden Mutter durch die Erziehung des Sohnes und dessen schulische Probleme (Berichte vom 8. September 2007 und 4. September 2009). Der psychiatrische MEDAS-Experte nannte Aspekte wie "intellektuelle Leistungsfähigkeit, Schulbildung, Scheidung, schwieriges Einzelkind, Rolle der alleinerziehenden Mutter, wenig integriert, kulturelle Eigenschaften"; in Bezug auf die Prognose hielten die Gutachter Faktoren wie "Emigrationsproblematik, bescheidene Deutsch- und Schulkenntnisse, vieljährige Arbeitsabstinenz, starke Selbstlimitierung, schwierige soziale Verhältnisse und subjektive Krankheitsüberzeugung" für bedeutsam.
Unter diesen Umständen wäre selbst dann, wenn ein selbstständiges depressives Leiden vorläge, dafür im konkreten Fall nicht von einer sozialversicherungsrechtlich relevanten Einschränkung der Arbeitsfähigkeit auszugehen (Urteil 9C_210/2012 vom 9. Juli 2012 E. 4.2 mit Hinweisen), zumal in den MEDAS-Gutachten auch nicht ansatzweise dargelegt wurde und auch sonst nicht nachvollziehbar ist (vgl. E. 3.2.1), weshalb trotz Ausklammerung der genannten Gegebenheiten eine Arbeitsunfähigkeit von 50 % resultieren sollte.
4.4 Was die Morbiditätskriterien gemäss E. 3.1.1 anbelangt, lassen sich die fehlenden vorinstanzlichen Feststellungen ergänzen (E. 1.2). Die Depression als allfällige psychische Komorbidität bewirkt nach dem Gesagten keine relevante Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Es liegt auch keine erhebliche körperliche Begleiterkrankung vor, zumal es an einem somatischen Korrelat für das syndromale Leiden fehlt (vgl. Urteile 9C_540/2012 vom 17. Dezember 2012 E. 3.3.2; 9C_709/2009 vom 14. Dezember 2009 E. 4.1). Gemäss MEDAS-Gutachten vom 20. November 2009 berichtete die Versicherte von regelmässigen Kontakten mit der Schwester und deren Familie sowie mit einer Nachbarsfamilie; ein sozialer Rückzug in allen Belangen ist daher auszuschliessen. Laut psychiatrischem Gutachten fand die Beschwerdegegnerin durch ihre Krankheit "eine Rolle im Helfernetz". Damit ist klar ein rechtlich unbeachtlicher sekundärer Krankheitsgewinn (BGE 130 V 352 E. 3.3.2 S. 359) erstellt. Zwar liegt ein mehrjähriger Krankheitsverlauf mit unbefriedigenden Behandlungsergebnissen vor, aber immerhin empfahlen die Gutachter die Fortführung der psychiatrischen Behandlung.
Bei der erforderlichen Gesamtbetrachtung dieser Tatsachen gibt es keine hinreichenden Gründe, dem syndromalen psychischen Leiden ausnahmsweise invalidisierende Wirkung beizumessen. Die Beschwerde ist begründet.
5. Mit diesem Ergebnis wird die Beschwerdegegnerin schlechter gestellt als mit der Verfügung vom 26. Juli 2010. Ein Verfahren nach Art. 61 lit. d Satz 2 ATSG ist nicht aktenkundig. Die Sache ist daher zu dessen Durchführung an die Vorinstanz zurückzuweisen (BGE 138 V 339 E. 2.3.2.2 und E. 6 S. 343).
6. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 11. Juni 2012 wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit sie im Sinne von E. 5 verfahre.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Januar 2013
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kernen
Die Gerichtsschreiberin: Dormann