Sachverhalt:
A. Der 1955 geborene T._ war - in bereits gekündigtem Arbeitsverhältnis - als Linienbus-Chauffeur in der Firma X._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 27. Januar 2005 wollte er kontrollieren, ob die Bustüre geschlossen sei, knickte dabei mit dem linken Fuss um und erlitt eine Distorsion am oberen Sprunggelenk (OSG). Die SUVA anerkannte ihre Leistungspflicht, gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 19. März 2007 eröffnete sie dem Versicherten, die Leistungen würden auf den 9. Dezember 2005 eingestellt, da die ab diesem Zeitpunkt noch geklagten Beschwerden nicht unfallkausal seien. Die vom Krankenpflegeversicherer des T._ vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 10. Mai 2007).
B. Die von T._ hiegegen erhobene Beschwerde und das zugleich gestellte Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 27. Januar 2009 ab. Es verneinte dabei jeglichen Leistungsanspruch aus dem Unfall vom 27. Januar 2005 ab 9. Dezember 2005.
C. T._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es seien die vollen Versicherungsleistungen zuzusprechen; eventuell sei die Sache zu weiteren Abklärungen zurückzuweisen. Zudem wird um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die kantonalen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Mit Eingabe vom 7. April 2009 äussert sich der Versicherte unaufgefordert nochmals.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Die vorinstanzliche Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege ist nach Antrag und Begründung in der Beschwerde nicht angefochten.
3. Streitig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer aus dem Unfall vom 27. Januar 2005 ab 9. Dezember 2005 noch Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich den für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden. Darauf wird verwiesen.
4. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, die ab 9. Dezember 2005 noch geklagten Beschwerden liessen sich nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Unfallfolge erklären. Diese Beurteilung beruht auf einer nicht zu beanstandenden Prüfung und Würdigung der medizinischen Akten. Die Vorinstanz hat dabei namentlich auf die überzeugenden kreisärztlichen Untersuchungsberichte vom 8. Dezember 2005 und 13. März 2007 abgestellt.
In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was Zweifel an der vorinstanzlichen Beurteilung zu begründen vermöchte. Der Versicherte legt mit der Beschwerde ein ärztliches Attest vom 5. Februar 2009 betreffend Rückenprobleme und ein Arztzeugnis vom 20. Januar 2009, worin für die Zeit vom 23. Juni 2008 bis 31. März 2009 eine krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit bestätigt wird, auf. Sodann reicht er mit der nachträglichen Eingabe vom 7. April 2009 den Bericht eines Psychiaters und Psychotherapeuten vom 26. März 2009 ein. Bei diesen Arztberichten handelt es sich indessen um prozessual unzulässige neue Beweismittel (BGE 135 V 194). Gleiches würde für den in der Beschwerde angekündigten Bericht eines klinischen Psychologen gelten. Unzulässig sind auch die ergänzenden Ausführungen in der - nach Ablauf der Beschwerdefrist und ausserhalb eines Schriftenwechsels eingereichten - Eingabe vom 7. April 2009. Der Versicherte beschränkt sich im Übrigen in der Beschwerdeschrift weitgehend auf die Rüge, mit dem Verzicht auf ergänzende medizinische Abklärungen sei sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden. Das kantonale Gericht hat indessen in überzeugender antizipierter Beweiswürdigung erkannt, dass solche Abklärungen nicht angezeigt sind, da sie keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten lassen. Eine Gehörsverletzung liegt nicht vor.
5. Das kantonale Gericht hat sodann erwogen, es bestünden Anhaltspunkte für eine psychische Problematik. Es bedürfe aber keiner weiteren Abklärungen zur Frage, ob eine natürlich unfallkausale psychische Gesundheitsschädigung vorliege, da es ohnehin am adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall fehle.
Das Vorgehen der Vorinstanz ist nicht zu beanstanden, wenn es in der Tat an der Adäquanz fehlt (SVR 1995 UV Nr. 23 S. 67, U 183/93 E. 3c). Das ist nachfolgend zu prüfen.
Die Adäquanz ist nach BGE 115 V 133 zu beurteilen. Danach wird zwischen banalen bzw. leichten Unfällen einerseits, schweren Unfällen anderseits und schliesslich dem dazwischen liegenden mittleren Bereich unterschieden (BGE 115 V 133 E. 6 S. 138 ff.). Das Abknicken des Fusses ist mit dem kantonalen Gericht den leichten Unfällen zuzurechnen. Das wird in der Beschwerde nicht begründet in Frage gestellt.
Bei leichten Unfällen kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres verneint werden, da solche Ereignisse nicht geeignet erscheinen, zu einer psychischen Fehlentwicklung zu führen (BGE 115 V 133 E. 6a S. 139). Ausnahmsweise ist die Adäquanzfrage zwar auch bei leichten Unfällen zu prüfen, wobei die Kriterien, die für Unfälle im mittleren Bereich gelten, heranzuziehen sind (vgl. aus jüngerer Zeit Urteil 8C_68/2009 vom 7. Mai 2009 E. 5.2 mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall lassen keine Anhaltspunkte auf einen solchen Ausnahmefall schliessen. Das kantonale Gericht hat demnach den adäquaten Kausalzusammenhang und somit die Leistungspflicht des Unfallversicherers für die psychische Problematik zu Recht verneint. Der angefochtene Entscheid ist demzufolge in allen Teilen rechtens.
6. Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
7. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; zum Erfordernis der Aussichtslosigkeit auch bei der unentgeltlichen Verbeiständung: Thomas Geiser, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N 30 zu Art. 64 BGG, Hansjörg Seiler, in: Seiler/von Werdt/ Güngerich; Bundesgerichtsgesetz, 2007, N 28 zu Art. 64 BGG). Auch die Bedürftigkeit (als weitere Voraussetzung der unentgeltlichen Rechtspflege) wäre zu verneinen, da der Beschwerdeführer der gerichtlichen Aufforderung, seine finanziellen Verhältnisse auszuweisen, nicht nachgekommen ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. August 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz