Faits:
A.
A.a. Ressortissant brésilien né en 1988, X._ est entré illégalement en Suisse le 25 janvier 2011 pour y rejoindre sa mère, Y._, ressortissante brésilienne née en 1967 qui avait quitté le Brésil en 2003 après son divorce d'avec le père de l'intéressé et avait été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour en Suisse à la suite d'un second mariage avec Z._, ressortissant suisse né en 1934. X._ était par le passé déjà venu en Suisse pour des séjours touristiques, puis sans autorisation, en particulier d'avril 2007 à juin 2008, de même que de décembre 2008 à fin août 2009.
Le 31 janvier 2012, X._ a déposé une demande de regroupement familial pour vivre auprès de sa mère en Suisse, affirmant souffrir d'une maladie qui ne lui laissait aucune autre solution et précisant qu'une demande de prolongation de l'autorité parentale de sa mère sur lui-même avait été déposée.
A.b. Pour ce qui est de son état de santé, X._ a très brièvement été traité par un psychiatre suisse en août 2009, en raison d'une schizophrénie paranoïde et d'une dépendance au cannabis, voire à d'autres produits stupéfiants; il a ensuite été interné dans une clinique psychiatrique au Brésil du 29 août au 17 octobre 2009. Le 11 janvier 2011, un neurologue établi au Brésil a attesté qu'une schizophrénie paranoïde avait été diagnostiquée chez l'intéressé à l'âge de dix-neuf ans, qu'il se soignait de manière intermittente et qu'il dépendait de manière importante de sa mère, des points de vue thérapeutique, psychologique et affectif. Le 2 septembre 2011, la tante paternelle de l'intéressé a confirmé avoir pris en charge son neveu au Brésil pendant quelques mois depuis fin 2009, mais qu'en raison des difficultés rencontrées (consommation de marijuana et distribution de l'argent gagné par son emploi), la mère de l'intéressé avait décidé de le prendre en charge elle-même à la fin 2010. X._ a été hospitalisé au département de psychiatrie du Centre hospitalier universitaire vaudois (CHUV) du 9 au 23 juin 2011; il a encore consulté ambulatoirement la Clinique A._ les 1 er, 14 et 31 mars 2011. Le 5 janvier 2012, B._, psychiatre-psychothérapeute FMH, a attesté avoir suivi l'intéressé du 19 novembre 2007 au 8 avril 2008 et le suivre à nouveau, dans le cadre de l'unité de psychiatrie mobile, depuis le 6 décembre 2011.
A.c. Par décision du 7 juin 2012, la Justice de paix du district de Lausanne (ci-après: la Justice de paix) a institué une tutelle provisoire en faveur de X._, nommé sa mère en qualité de tutrice et imparti un délai à cette dernière pour la renseigner sur le sort donné à la demande de permis de séjour déposée en faveur de son fils. Le 29 juin 2012, Y._ s'est engagée à prendre en charge financièrement son fils.
B.
Par décision du 27 septembre 2012, le Service cantonal de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a refusé l'octroi de l'autorisation de séjour sollicitée par X._ et prononcé son renvoi de Suisse.
Ce dernier a recouru contre la décision du Service cantonal auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui, en instruisant la cause, a notamment établi qu'une autre tante de X._ avait pris soin de lui au Brésil et avait dû le faire hospitaliser pendant trois mois, mais ne pouvait plus continuer à s'en occuper, car cela avait affecté sa propre santé. En outre, depuis le 26 septembre 2012, l'intéressé suivait des cours de français à raison de deux heures par semaine. Z._ a déclaré le 13 novembre 2012 avoir assisté à une tentative de suicide de l'intéressé quelques années auparavant et a estimé que ce dernier n'était "absolument pas autonome". Dans un certificat du 17 décembre 2012, le psychiatre traitant B._ a notamment diagnostiqué chez X._ une schizophrénie paranoïde continue et un trouble dépressif récurrent; selon ce médecin, la "relative stabilité actuelle" était le fruit "d'une compliance médicamenteuse et d'un soutien familial important. C'est la mère du patient qui veille à la prise des médicaments, à la régularité du suivi, qui entretient son fils et qui fait office de tutrice". Le retour de l'intéressé au Brésil s'était à chaque fois accompagné d'une décompensation psychotique aiguë, ainsi que d'une hospitalisation de longue durée. "Un retour au Brésil priverait le patient d'un soutien indispensable et précieux et qui ne peut être fourni par un autre membre de la famille" (arrêt attaqué, p. 4). Le 19 décembre 2012, une troisième tante de X._ a indiqué que son neveu avait vécu chez elle de septembre à novembre 2010, mais qu'elle avait préféré que ce soit la mère de l'intéressé qui le prenne en charge en raison des crises de l'intéressé et du refus de prendre ses médicaments.
Par arrêt du 8 mai 2013, le Tribunal cantonal a rejeté le recours et confirmé la décision du 27 septembre 2012.
C.
X._ saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière de droit public contre l'arrêt du 8 mai 2013, en concluant, sous suite de frais et dépens, à l'octroi d'une autorisation de séjour par regroupement familial avec sa mère, "fondée sur l'art. 8 CEDH".
Le Tribunal cantonal se réfère à l'arrêt entrepris; le Service cantonal renonce à se déterminer; l'Office fédéral des migrations conclut au rejet du recours.
Par ordonnance présidentielle du 18 juin 2013, l'effet suspensif a été accordé au recours.
Considérant en droit:
1.
1.1. Selon l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit.
1.1.1. Comme l'ont retenu à juste titre les précédents juges, le recourant, qui était déjà adulte au moment de requérir le regroupement familial avec sa mère, une ressortissante brésilienne disposant d'une autorisation de séjour grâce à son mariage avec un ressortissant suisse, ne peut déduire aucun droit à séjourner en Suisse de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20), en particulier de ses art. 44, 29 ou 30 al. 1 let. b, qui sont des dispositions potestatives (cf. arrêts 2C_639/2012 du 13 février 2013 consid. 1.2.1; 2C_784/2012 du 23 août 2012 consid. 3; 2C_400/2011 du 2 décembre 2011 consid. 1.2.2). Le recourant ne les mentionne du reste plus à ce stade de la procédure.
1.1.2. Le recourant invoque de façon étayée, sous l'angle des art. 13 Cst. et 8 CEDH, son droit à la protection de la vie familiale pour s'opposer à une éventuelle séparation de sa mère, avec laquelle il prétend, du fait de sa maladie psychique et en dépit de son âge adulte, entretenir un rapport de dépendance particulier. Celle-ci a au demeurant été nommée sa tutrice provisoire. Bien que la jurisprudence relative au droit fondamental précité n'admette un tel motif de regroupement familial que de façon restrictive s'agissant des liens entretenus entre parents et enfants adultes (ATF 129 II 11 consid. 2 p. 14; arrêts 2D_7/2013 du 30 mai 2013 consid. 7.1.1; 2C_180/2010 du 27 juillet 2010 consid. 2.1), il est, dans les circonstances précitées, potentiellement de nature à conférer à l'intéressé un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour en Suisse, de sorte que le présent recours échappe au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. La question de savoir si c'est ou non à juste titre que les juges cantonaux ont nié l'existence de telles conditions ressortit au fond et non à la recevabilité (cf. arrêt 2C_117/2012 du 11 juin 2012 consid. 1.1).
1.2. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a, via sa tutrice, qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF, le recours en matière de droit public est recevable.
2.
Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement juridique sur les faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (ATF 138 I 49 consid. 7.1 p. 51) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. ATF 136 II 101 consid. 3 p. 104; arrêt 2C_330/2013 du 10 septembre 2013 consid. 2.2).
3.
Dans son arrêt du 8 mai 2013, le Tribunal cantonal a retenu que le recourant présentait une maladie psychique grave depuis l'âge de dix-neuf ans, qui avait été traitée médicalement tant au Brésil qu'en Suisse. Toutefois, l'intéressé n'était pas dépendant de sa mère au point qu'il pût se prévaloir de l'art. 8 par. 1 CEDH pour rester en Suisse; la présence de sa mère ne l'avait d'ailleurs pas empêché de subir des décompensations psychotiques et d'être hospitalisé en Suisse. Citant un arrêt de la Cour de céans, qui confirmait le renvoi de Suisse d'un ressortissant chilien atteint d'une maladie psychique grave comparable, ensuite de la commission d'infractions pénales caractérisées et multiples (agression d'ordre sexuelle, infractions à la LStup, vol par métier, etc.; arrêt 2C_816/2012 du 6 mars 2013 consid. 5.4), les précédents juges ont ajouté que le Brésil, où le recourant avait déjà été pris en charge auparavant, n'était pas dépourvu d'infrastructures médicales (cf. arrêt 2C_816/2012, ibidem). L'instance cantonale a en outre estimé qu'en cas de retour au Brésil, le recourant ne serait pas livré à lui-même, puisque presque toute sa famille y vivait, laquelle, même si la prise en charge de l'intéressé pouvait s'avérer lourde, bénéficiait de l'aide du corps médical. La mère du recourant pouvait de surcroît maintenir des contacts avec son fils par téléphone et durant ses séjours au Brésil, où le recourant avait toutes ses attaches familiales et socio-culturelles, ainsi que continuer à lui envoyer de l'argent depuis la Suisse; une mesure de tutelle pouvait aussi être prononcée au Brésil. Enfin, l'état de santé et les tendances suicidaires présentées par le recourant ne s'opposaient pas à l'exécution de son renvoi vers le Brésil; il appartenait à son thérapeute de prendre les précautions médicales et organisationnelles qui s'imposaient.
4.
Invoquant une violation des art. 13 Cst. ainsi que 8 CEDH, le recourant reproche aux juges cantonaux de n'avoir pas suffisamment tenu compte du lien de dépendance avec sa mère.
4.1. Selon la jurisprudence, un étranger peut se prévaloir de la protection de la vie familiale découlant de l'art. 8 CEDH (et de l'art. 13 Cst.) pour s'opposer à une éventuelle séparation de sa famille, à condition qu'il entretienne une relation étroite et effective avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse (cf. ATF 137 I 284 consid. 1.3 p. 287; 136 II 177 consid. 1.2 p. 180; arrêt 2C_639/2012 du 13 février 2013 consid. 1.2.2). Les relations visées par l'art. 8 CEDH sont avant tout celles qui existent entre époux, ainsi que les relations entre parents et enfants mineurs vivant en ménage commun (cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.2 p. 146; 127 II 60 consid. 1d/aa p. 65; arrêt 2C_40/2012 du 15 octobre 2012 consid. 8). S'agissant d'autres relations entre proches parents, comme celles entre frères et soeurs, la protection de l'art. 8 CEDH suppose que l'étranger se trouve dans un état de dépendance particulier à l'égard du parent ayant le droit de résider en Suisse. Tel est le cas lorsqu'il a besoin d'une attention et de soins que seuls des proches parents sont en mesure de prodiguer. Cela vaut notamment pour les enfants majeurs vis-à-vis de leurs parents résidant en Suisse (cf. ATF 129 II 11 consid. 2 p. 14; arrêt 2C_180/2010 du 27 juillet 2010 consid. 2.1). On peut en effet généralement présumer qu'à partir de dix-huit ans, un jeune adulte est en mesure de vivre de manière indépendante, sauf circonstances particulières telles qu'un handicap physique ou mental, ou une maladie grave (cf. ATF 137 I 154 consid. 3.4.2 p. 159; 120 Ib 257 consid. 1e p. 261 s.; arrêt 2C_508/2009 du 20 mai 2010 consid. 2.2). Le champ de protection de l'art. 8 CEDH serait étendu de façon excessive si les descendants majeurs capables de gagner leur vie pouvaient déduire de cette disposition conventionnelle le droit de vivre en ménage commun avec leurs parents et, à cette fin, le droit d'obtenir une autorisation de séjour (ATF 115 Ib 1 consid. 2c p. 5; arrêts 2D_139/2008 du 5 mars 2009 consid. 2.2; 2A.150/2006 du 4 avril 2006 consid. 2.2).
La Cour européenne des droits de l'homme (ci-après: la Cour EDH) subordonne également la protection de l'art. 8 CEDH, s'agissant d'adultes et notamment d'enfants adultes vis-à-vis de leurs parents, à l'existence de facteurs de dépendance allant au-delà des sentiments d'attachement ordinaires (cf., notamment, arrêt 2D_139/2008 du 5 mars 2009 consid. 2.3; Cour EDH, arrêts Shala c. Suisse, du 15 novembre 2012, req. 52873/09, par. 40; Emonet et al. c. Suisse, du 13 décembre 2007, req. 39051/03, par. 35 ss; Ezzouhdi c. France, du 13 février 2001, req. 47160/99, par. 34; décision L.H. et V.S. c. Belgique, du 7 mai 2013, req. 67429/10, par. 74). La condition de la relation de dépendance posée par la jurisprudence du Tribunal fédéral est dès lors conforme à la pratique des organes conventionnels (cf. ATF 120 Ib 257 consid. 1d p. 261; arrêt 2C_1/2013 du 16 janvier 2013 consid. 3.2.1).
4.2. Sur la base des principes et critères susmentionnés, il convient d'examiner si le Tribunal cantonal a à bon droit dénié au recourant la possibilité de se prévaloir des art. 13 Cst. et 8 CEDH pour pouvoir rester en Suisse auprès de sa mère.
4.2.1. En l'occurrence, la mère du recourant dispose d'une autorisation de séjour en vertu de son mariage avec un citoyen suisse et peut donc prétendre à la prolongation de son titre conformément à l'art. 42 al. 1 LEtr. Elle possède dès lors un droit de séjour durable dans notre pays, tel que l'exigent les art. 13 Cst. et 8 CEDH en matière de regroupement familial (cf. ATF 137 I 284 consid. 1.3 p. 287).
L'arrêt entrepris n'a de plus pas mis en doute l'existence d'une relation étroite et effective du recourant avec sa mère. Il résulte au contraire des faits établis par les précédents juges que, même lorsqu'il vivait encore au Brésil, le recourant a, légalement ou illégalement, rendu visite à sa mère en Suisse à des intervalles fréquents et, à certaines reprises, durant des périodes prolongées de plusieurs mois. Au regard de l'état de fait de l'arrêt cantonal, il est en outre avéré que durant ses séjours en Suisse, la mère du recourant l'a hébergé et lui a prodigué soins et encadrement. Elle a en outre veillé à ce qu'il soit suivi médicalement, voire hospitalisé en cas de crises psychotiques; de même, pendant que le recourant résidait encore au Brésil, elle a organisé sa prise en charge par divers membres de sa famille, qui se sont adressés à elle lorsqu'ils ne parvenaient plus à prendre en charge l'intéressé.
4.2.2. Il résulte par ailleurs de l'arrêt querellé que la maladie psychique chronique dont souffre le recourant a été considérée comme grave et handicapante, et nécessite un encadrement social et médical permanent. Cet élément est corroboré tant par les nombreux rapports et certificats médicaux émanant de psychiatres et psychologues pratiquant au Brésil comme en Suisse, que par des témoignages écrits de la famille mentionnés dans l'arrêt, ainsi que par la décision de la Justice de paix ayant placé l'intéressé sous la tutelle (provisoire, en raison de son statut précaire au regard du droit des étrangers) de sa mère.
4.3. Pour que l'art. 8 CEDH puisse, à titre exceptionnel, conférer un droit au recourant de poursuivre son séjour en Suisse auprès de sa mère, il est cependant non seulement nécessaire que celui-ci ait besoin d'une attention et de soins continus; encore faut-il que seule sa mère, auprès de laquelle il demande à pouvoir séjourner, soit en mesure de lui prodiguer cet encadrement.
4.4. A ce titre, comme il a été vu (consid. 3 supra), le Tribunal cantonal a retenu qu'il était possible au recourant de bénéficier d'une prise en charge adéquate au Brésil, grâce aux efforts de sa famille élargie vivant dans ce pays, de concert avec le corps médical local. A l'opposé, le recourant soutient en substance que ces constatations se trouveraient en contradiction manifeste avec le dossier, grief qui correspond à celui de l'arbitraire (art. 9 Cst.; cf. ATF 136 II 304 consid. 2.4 p. 313). Il conteste en particulier que les membres de sa famille restés au Brésil soient en mesure de lui prodiguer un encadrement, en se fondant notamment sur les déclarations de ses trois tantes d'après lesquelles il ne leur serait plus possible de prendre en charge leur neveu pour des motifs de santé ou en raison de la difficulté de gérer les crises psychotiques ou un manque de compliance médicale de sa part. De même, il ne serait pas possible à la mère du recourant, qui exerçait un emploi en Suisse à raison de 80%, de se rendre pour des périodes prolongées au Brésil en vue d'y assister son fils, dont le renvoi au Brésil conduirait fort probablement à une détérioration de l'état de santé.
4.4.1. Il n'y a arbitraire dans l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (cf. ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560). Il ne suffit pas que la motivation de la décision critiquée soit insoutenable; encore faut-il que celle-ci se révèle arbitraire dans son résultat (ATF 138 I 305 consid. 4.3 p. 319).
4.4.2. En l'espèce, l'appréciation des faits à laquelle a procédé le Tribunal cantonal méconnaît de manière patente les nombreuses pièces figurant au dossier, dont la valeur probante n'a pourtant pas été remise en cause dans l'arrêt litigieux. Ainsi, lorsqu'il a retenu la possibilité pour le recourant d'être pris en charge par ses proches au Brésil, le Tribunal cantonal a, sans véritable motivation, non seulement écarté les déclarations des trois tantes ayant, tour à tour, pris en charge l'intéressé, mais aussi le certificat médical clair du 17 décembre 2012, aux termes duquel "les autres membres de la famille (...) étaient incapables de le prendre en charge. Le père l'est également en raison de sa schizophrénie. Un retour au Brésil priverait le patient d'un soutien indispensable et précieux et qui ne peut être fourni par un autre membre de la famille" que sa mère. De plus, la dépendance importante du recourant de sa mère, "des points de vue thérapeutique, psychologique et affectif", avait déjà été constatée auparavant, notamment, par le certificat du 11 janvier 2011, établi par un neurologue brésilien. S'ajoute à cela que, selon la décision de mise sous tutelle provisoire prise par la Justice de paix, le trouble chronique dont souffre le recourant l'empêche de gérer ses affaires financières et administratives de manière conforme à ses intérêts, malgré sa compliance au traitement médicamenteux. Or, l'ensemble de ces éléments ne se contente pas de confirmer le besoin d'une assistance permanente imposé par l'état du recourant, mais également la nécessité que cette aide lui soit fournie par sa propre mère à défaut d'autres personnes proches disponibles. L'appréciation effectuée par le Tribunal cantonal n'a pas seulement laissé de côté des éléments propres à modifier sa conclusion, mais cette omission s'avère également arbitraire dans son résultat, en ce qu'elle a pour conséquence de priver le recourant des seuls vrais facteurs socio-affectifs aptes à aboutir à une stabilisation durable de son état de santé et en ce qu'elle conduit à l'exposer, en cas de renvoi vers le Brésil, à subir de nouvelles décompensations psychotiques dans un cadre retenu comme inadéquat à sa situation particulière.
Il sera encore précisé que le présent cas se distingue de celui traité en la cause 2C_816/2012 mentionné par le Tribunal cantonal, en ce que le recourant n'était, contrairement au cas d'espèce exceptionnel, pas parvenu à réfuter, sous l'angle de l'arbitraire, le prétendu défaut de lien de dépendance retenu par l'instance précédente (consid. 4.2), et en ce qu'il avait commis des infractions pénales graves et répétées qui pouvaient en tout état de cause justifier, au regard de la proportionnalité (cf. art. 8 par. 2 CEDH; art. 5 al. 2 et 36 al. 3 Cst. et art. 96 LEtr), son renvoi de Suisse nonobstant sa situation sur le plan socio-médical.
4.5. Compte tenu des éléments qui précèdent et contrairement à ce que l'arrêt attaqué a retenu, on se trouve, s'agissant du recourant, dans une situation impliquant l'existence d'éléments supplémentaires de dépendance, autres que les liens affectifs normaux, qui font exceptionnellement entrer en jeu les garanties découlant de l'art. 8 CEDH entre personnes adultes. Or, dans la mesure où il ne résulte pas de l'arrêt entrepris que des éléments prépondérants s'opposeraient à l'octroi d'une autorisation de séjour par regroupement familial en faveur du recourant (par exemple, la commission d'infractions par le recourant), étant de plus rappelé que sa mère a déclaré être prête à assumer son entretien, il y a lieu de retenir que la confirmation du refus dudit titre de séjour par le Tribunal cantonal a violé les art. 13 Cst. et 8 CEDH.
4.6. Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours, ainsi qu'à l'annulation de l'arrêt attaqué. L'affaire sera en conséquence renvoyée au Service cantonal pour qu'il octroie au recourant une autorisation de séjour par regroupement familial.
5.
Au vu de ce qui précède, le présent arrêt sera rendu sans frais (art. 66 al. 1 et 4 LTF). Le recourant étant représenté par une juriste qui n'est pas avocate et qui a formulé un mémoire de recours adéquat, des dépens lui seront alloués en application de l'art. 9 du règlement du 31 mars 2006 sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral (RS 173.110.210.3; cf. arrêt 2C_370/2012 du 29 octobre 2012 consid. 4); ceux-ci seront mis à la charge du canton de Vaud (art. 68 al. 1 et 2 LTF). L'affaire sera également renvoyée au Tribunal cantonal pour fixation des frais et dépens de la procédure cantonale (art. 67 et 68 al. 5 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est admis et l'arrêt du Tribunal cantonal du 8 mai 2013 annulé.
2.
La cause est renvoyée au Service de la population du canton de Vaud pour qu'il octroie une autorisation de séjour au recourant.
3.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal afin qu'il statue à nouveau sur le sort des frais et dépens de la procédure devant lui.
4.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5.
Le canton de Vaud versera au recourant une indemnité de 1'500 fr. à titre de dépens.
6.
Le présent arrêt est communiqué à la représentante du recourant, au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 5 décembre 2013
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Zünd
Le Greffier: Chatton