Sachverhalt:
A. Mit Zahlungsbefehl vom 3. November 2010 hatte X._ gegen Z._ für Fr. 94'688.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. Januar 2010 die Betreibung eingeleitet (Betreibung Nr. ... des Betreibungsamts Basel-Stadt).
B. Nachdem der Betriebene Rechtsvorschlag erhoben hatte, ersuchte X._ am 15. November 2010 das Zivilgericht Basel-Stadt um provisorische Rechtsöffnung. Hierfür stützte er sich auf eine Kopie eines handschriftlichen Dokumentes mit dem Titel "Schuldschein-Bestätigung". Mit Entscheid vom 1. März 2011 wies das Zivilgericht Basel-Stadt das Rechtsöffnungsgesuch ab. Die hierauf erhobene Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 2. März 2012 ab.
C. Mit Beschwerde vom 16. Mai 2012 (Datum der Postaufgabe) gelangt X._ (fortan Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts aufzuheben, und verlangt "Zurückweisung an die Vorinstanzen zur neuen Beurteilung oder Sistierung wegen Strafanzeige und laufenden Ermittlungen". Da willkürlich gehandelt worden sei, müsse eine Strafuntersuchung stattfinden. Weiter ersucht der Beschwerdeführer um eine "Wiedergutmachungs-Summe nach richterlichem Ermessen" sowie um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) in einer vermögensrechtlichen Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG), deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 51 Abs. 1 lit. a und Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich einzutreten.
1.2 Streitig ist auch vor Bundesgericht einzig das Rechtsöffnungsbegehren in der eingangs erwähnten Betreibung (s. Sachverhalt Bst. A). Nicht einzutreten ist daher auf das Ersuchen um eine "Wiedergutmachungs-Summe" und auf den Antrag, es müsse wegen willkürlichen Handelns eine "Strafuntersuchung stattfinden". Denn diese beiden Begehren haben mit dem Rechtsöffnungsverfahren nichts zu tun; das Bundesgericht ist hierfür nicht zuständig.
1.3 Im ordentlichen Beschwerdeverfahren sind vor Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (BGE 134 III 102 E. 1.1 S. 104 f.; s. auch Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. BGE 121 III 397 E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Allgemein gehaltene Einwände, die er ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorbringt, genügen nicht (BGE 116 II 745 E. 3 S. 749).
2. 2.1 Zunächst rügt der Beschwerdeführer die Befangenheit der im kantonalen Verfahren involvierten Gerichtspersonen; hierzu beruft er sich auf die Bundesverfassung und auf Art. 6 EMRK. Nach Art. 30 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Ob diese Garantien verletzt sind, prüft das Bundesgericht frei (vgl. zum Ganzen BGE 137 I 227 E. 2.1 S. 229 mit Hinweisen).
2.2 Mit Bezug auf die Befangenheitsvorwürfe gegen die mit dem erstinstanzlichen Verfahren befasste Zivilgerichtspräsidentin S._ hält das Appellationsgericht fest, der Beschwerdeführer könne eine Befangenheit nicht aufgrund seiner allenfalls vorbestehenden Antipathie gegenüber der Richterin oder aufgrund des Umstands konstruieren, dass diese seinen Begehren nicht stattgegeben habe; für einen Befangenheitsvorwurf fehle es an jeglichen objektiven Anhaltspunkten.
2.3 Bei dieser Erkenntnis muss es auch vor Bundesgericht bleiben. Unbehelflich ist zunächst der Vorwurf, die erstinstanzliche Richterin habe den gegnerischen Anwalt nicht darauf hingewiesen, dass er zur Vertretung weder berechtigt noch zugelassen sei und bis heute auch keine Vollmacht vorgewiesen habe. Hierbei handelt es sich um ein neues Vorbringen, das nur so weit vorgebracht werden dürfte, als erst der Entscheid des Appellationsgerichts dazu Anlass gab (Art. 99 Abs. 1 BGG). Inwiefern diese Voraussetzung erfüllt sein soll, tut der Beschwerdeführer nicht dar, so dass die Tatsachenbehauptung unbeachtlich ist (vgl. BGE 133 III 393 E. 3 S. 395 mit Hinweisen). Weiter beanstandet der Beschwerdeführer, die erstinstanzliche Richterin und auch die vorsitzende Richterin im oberinstanzlichen Verfahren, T._, hätten die "General-Vollmacht" nicht beachtet, die der Beschwerdegegner und U._ ihm erteilt hätten. Welche Schlüsse der Beschwerdeführer aus dieser Behauptung zieht und inwiefern dies von einer "reinen persönlichen Abneigung" gegen seine Person zeugen soll, lässt sich nicht nachvollziehen; darauf ist nicht einzutreten. Soweit der Beschwerdeführer den Befangenheitsvorwurf gegenüber T._ schliesslich damit begründet, das Original der Schuldanerkennung sei nicht eingefordert worden, übersieht er, dass dieses Beweismittel im oberinstanzlichen Verfahren als verspätet aus dem Recht gewiesen wurde. Diese Verspätung bestreitet der Beschwerdeführer nicht.
3. 3.1 In der Sache befand das Appellationsgericht, der Beschwerdegegner habe anlässlich der Rechtsöffnungsverhandlung bestritten, dass ein Original der in Kopie eingereichten "Schuldschein-Bestätigung" existiere, und geltend gemacht, dass die Unterschrift auf der Kopie nicht echt und eine Zahl manipuliert worden sei. Damit habe der Beschwerdegegner im förmlichen Rechtsöffnungsverfahren in rechtsgenüglicher Weise glaubhaft gemacht, dass die Forderung nicht (oder nicht in der genannten Höhe) bestehen könnte. Das Strafverfahren zur Klärung der Frage, ob die Unterschrift auf der Kopie des Darlehensvertrages echt bzw. ob eine Ziffer nachträglich eingefügt worden sei, brauche nicht abgewartet zu werden, denn als Beschwerdeinstanz habe das Appellationsgericht nur zu prüfen, ob die Vorinstanz aufgrund der ihr im Zeitpunkt des Entscheides bekannten Tatsachen richtig entschieden habe.
3.2 Auf diese Erwägungen geht der Beschwerdeführer nicht ein. Seinem Schriftsatz lässt sich nicht entnehmen, inwiefern er den angefochtenen Entscheid als rechtsfehlerhaft erachtet, noch finden sich darin irgendwelche Ausführungen, die als eine konkrete Aussage zu den Voraussetzungen der provisorischen Rechtsöffnung im Sinne von Art. 82 SchKG verstanden werden könnten. Wenn der Beschwerdeführer dem Bundesgericht in weitschweifigen Ausführungen vorträgt, weshalb der Beschwerdegegner ihm den angeblich "vorgestreckten" Betrag von Fr. 320'000.-- schulde und auch zurückzahlen könne, übersieht er offensichtlich, dass das Rechtsöffnungsverfahren ein förmliches Verfahren ist, in welchem der Richter ausschliesslich über die Existenz eines Vollstreckungstitels entscheidet, ohne über den Bestand der in Betreibung gesetzten Forderung zu befinden (BGE 132 III 140 E. 4.1.1 S. 142). Inwiefern der angefochtene Entscheid hinsichtlich des Vorliegens eines Vollstreckungstitels zu beanstanden wäre, ist denn auch nicht ersichtlich.
3.3 Abzuweisen ist schliesslich der Antrag, mit dem der Beschwerdeführer eine "Sistierung wegen Strafanzeige und laufenden Ermittlungen" verlangt. Denn für das vorliegende Beschwerdeverfahren ist derjenige Sachverhalt massgeblich, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen sind grundsätzlich unzulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG; vgl. E. 2.3). Was auch immer ein vermeintliches Strafverfahren betreffend die Echtheit der als Rechtsöffnungstitel vorgelegten Urkunde zutage fördern würde, wäre unbeachtlich, denn diese Erkenntnisse könnten jedenfalls keinen Eingang in den angefochtenen Entscheid gefunden haben. Mithin wäre schon begrifflich ausgeschlossen, dass der angefochtene Entscheid im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG Anlass geben könnte, das Ergebnis einer allfälligen Strafuntersuchung vor Bundesgericht vorzutragen.
4. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als offensichtlich unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit im Lichte von Art. 42 Abs. 2 BGG überhaupt darauf eingetreten werden kann. Es bleibt somit dabei, dass dem Beschwerdeführer die Rechtsöffnung in der erwähnten Betreibung (s. Sachverhalt Bst. A) nicht erteilt wird. Wie bereits das Appellationsgericht zutreffend erwähnt hat, ist es dem Beschwerdeführer aber unbenommen, in einem ordentlichen Prozess die materielle Begründetheit der Forderung zum Thema zu machen.
Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos gelten, weshalb es auch für das bundesgerichtliche Verfahren an den materiellen Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (Art. 64 Abs. 1 BGG) und das entsprechende Gesuch abzuweisen ist. Als unterliegende Parteien hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Nachdem der angefochtene Entscheid nicht geändert wird, kommt eine Neuverteilung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens von vornherein nicht in Frage (Art. 67 BGG)
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2012
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: V. Monn