Faits:
A. R._, sans formation professionnelle, a travaillé en qualité de nettoyeur. A partir du 31 octobre 2005, il a oeuvré au service d'une société spécialisée dans le nettoyage de bâtiments. A la suite d'une chute survenue le 16 décembre 2006, il a présenté une incapacité totale de travail. Du 3 mars au 4 avril 2008, il a séjourné à la Clinique X._. Dans une appréciation médicale du 24 avril 2008, le docteur A._, spécialiste FMH en chirurgie et médecin d'arrondissement de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), a relevé que les médecins de la Clinique X._ avaient formulé une exigibilité, à savoir que R._ pouvait reprendre toute activité professionnelle, quelle qu'elle soit, pour autant que l'on respecte un port de charges ne dépassant pas 20 kg et l'absence de positions prolongées, de flexion du tronc.
Le 27 novembre 2007, R._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, en requérant l'octroi d'une orientation professionnelle et d'un reclassement dans une nouvelle profession et l'allocation d'une rente d'invalidité. Dans un préavis du 2 mai 2008, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève, se référant à l'appréciation médicale du 24 avril 2008 du médecin d'arrondissement de la CNA, a informé l'assuré qu'il avait présenté une invalidité de 100 % du 18 décembre 2007 au 30 juin 2008, période durant laquelle il avait droit à une rente entière, et que son droit à la rente serait supprimé au motif que depuis le mois d'avril 2008, il présentait une pleine capacité de travail et de gain dans toute activité professionnelle. Il l'avisait que des mesures d'ordre professionnel n'étaient pas non plus indiquées, attendu qu'elles n'étaient pas de nature à améliorer sa capacité de gain.
Le 5 juin 2008, R._ a fait part de ses observations à l'office AI.
Par décision du 24 juillet 2008, l'office AI a alloué à R._ une rente entière d'invalidité du 1er décembre 2007 au 30 juin 2008. Il a rejeté la demande en ce qui concerne l'octroi de mesures d'ordre professionnel.
B. Le 12 septembre 2008, R._ a formé recours contre cette décision devant le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève, en concluant à son annulation et au maintien de son droit à la rente tant qu'il n'aurait pas bénéficié de mesures d'ordre professionnel permettant de déterminer de manière concrète les activités et le taux de travail adaptés à ses problèmes de santé.
Dans un avis médical SMR du 17 octobre 2008, confirmé le 4 novembre 2008, la doctoresse G._ a relevé que les médecins de la Clinique X._ avaient repoussé l'exigibilité à la suite d'une entorse de la cheville droite survenue en fin de séjour et que la capacité de travail exigible remontait ainsi au 6 mai 2008.
Par jugement du 31 mars 2009, le Tribunal cantonal des assurances sociales a admis partiellement le recours en ce sens que le dossier était renvoyé à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève afin qu'il mette en place une mesure d'aide au placement (ch. 2 du dispositif), recours qu'il a rejeté pour le surplus (ch. 3 du dispositif).
C. L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à son annulation. Il invite le Tribunal fédéral à confirmer sa décision du 24 juillet 2008 d'octroi d'une rente entière limitée dans le temps, soit du 18 (recte: 1er) décembre 2007 au 30 juin 2008, et de refus de mesures d'ordre professionnel. Sa requête d'effet suspensif a été admise par ordonnance du 26 août 2009.
R._ n'a pas répondu au recours. Dans un préavis du 20 août 2009, l'Office fédéral des assurances sociales propose d'admettre le recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Les premiers juges ont confirmé le refus par l'office AI de mesures d'ordre professionnel au sens des art. 15 à 17 LAI, point qui n'est pas litigieux.
1.2 Ils ont renvoyé la cause à l'autorité inférieure afin qu'elle mette en place une mesure d'aide au placement au sens de l'art. 18 al. 1 LAI. L'office AI n'a plus aucune latitude de jugement en ce qui concerne le droit de l'assuré à une aide au placement. Le renvoi sert uniquement à la mise en place d'une telle mesure. Le jugement attaqué, bien qu'étant une décision de renvoi de première instance, est donc en réalité une décision finale (ATF 135 V 141 consid. 1.1 p. 143, 134 II 124 consid. 1.3 p. 127 et les références). A supposer que ce jugement puisse être considéré comme une décision incidente, la condition du préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF serait réalisée (arrêt 9C_385/2009 du 13 octobre 2009; ATF 134 II 124 consid. 1.3 p. 128). Le recours est recevable.
2. 2.1 L'art. 18 al. 1 première phrase LAI, dans sa teneur selon la novelle du 21 mars 2003 ([4e révision de l'AI], en vigueur du 1er janvier 2004 au 31 décembre 2007), disposait que les assurés invalides qui sont susceptibles d'être réadaptés ont droit à un soutien actif dans la recherche d'un emploi approprié, et, s'ils en ont déjà un, à un conseil suivi afin de le conserver.
Aux termes de l'art. 18 al. 1 LAI (nouvelle teneur selon la novelle du 6 octobre 2006 [5e révision de l'AI], en vigueur depuis le 1er janvier 2008), l'assuré présentant une incapacité de travail et susceptible d'être réadapté a droit:
a. à un soutien actif dans la recherche d'un emploi approprié;
b. à un conseil suivi afin de conserver un emploi.
2.2 Selon la jurisprudence, les raisons de santé pour lesquelles l'assuré rencontre des difficultés dans la recherche d'un emploi approprié entrent dans la notion d'invalidité propre à l'aide au placement si l'atteinte à la santé occasionne des difficultés dans la recherche d'un emploi au sens large (ATF 116 V 80 consid. 6a p. 81). Lorsque la capacité de travail est limitée uniquement du fait que seules des activités légères peuvent être exigées de l'assuré, il faut qu'il soit entravé de manière spécifique par l'atteinte à la santé dans la faculté de rechercher un emploi (arrêt [du Tribunal fédéral des assurances] I 421/01 du 15 juillet 2002, consid. 2c in VSI 2003 p. 274 s.), principe dont la jurisprudence a admis qu'il demeurait valable également après l'entrée en vigueur de la 4e révision de l'AI (arrêt I 427/05 du 24 mars 2006, in SVR 2006 IV Nr. 45 p. 162).
3. La juridiction cantonale a relevé que dans la perspective de la 5e révision de l'AI, la mesure d'aide au placement avait été élargie et permettait de prévoir une courte période d'observation professionnelle et d'entraînement au travail. Elle a considéré qu'il convenait de mettre en place une telle mesure en faveur de l'intimé et qu'il s'agirait pour l'office AI, ou l'établissement auquel le dossier serait confié, d'aider l'assuré à atteindre un taux d'activité de 100 % et de lui fournir l'aide nécessaire dans ses démarches de recherche d'emploi.
4. 4.1 L'art. 18 al. 1 LAI, dans sa nouvelle teneur selon la novelle du 6 octobre 2006, correspond à l'art. 18a (nouveau) al. 1 LAI du projet du Conseil fédéral dans son message du 22 juin 2005 concernant la modification de la loi fédérale sur l'assurance-invalidité (5e révision de l'AI). Il ressort du message précité de l'autorité exécutive que les assurés présentant une incapacité de travail complète ou partielle doivent avoir droit à un soutien actif dans la recherche d'un emploi approprié et, s'ils en ont déjà un, à un conseil suivi afin de le conserver (FF 2005 4279). Le Conseil fédéral y relève que l'art. 18a (nouveau) al. 1 LAI formule les conditions d'octroi de façon plus large que l'"actuel" art. 18, al. 1, de façon que toute personne en incapacité de travail, mais apte à la réadaptation, puisse profiter du placement et que la disposition est en outre complétée par la précision suivante: la personne assurée - et donc aussi son employeur - n'a pas seulement droit à un conseil suivi en vue du maintien d'un emploi existant mais aussi en vue d'un nouvel emploi procuré par l'AI. De la sorte, la personne assurée et son employeur peuvent compter sur le soutien des spécialistes de l'AI précisément au début d'un nouvel emploi (FF 2005 4319).
4.2 Ainsi que le relève avec raison l'OFAS dans son préavis, l'extension du droit au placement dans le cadre de la 5e révision de l'AI ne prévoit pas la possibilité d'une courte période d'observation professionnelle et/ou d'un entraînement au travail. Le Conseil fédéral n'a pas prévu cette possibilité dans le message précité du 22 juin 2005 (FF 2005 4215), ni du reste dans le message du 21 février 2001 relatif à la 4e révision de l'AI (FF 2001 3045). Au regard de l'art. 18 al. 1 LAI, dont le texte et le sens sont absolument clairs, la mesure d'aide au placement ne permet pas de prévoir une courte période d'observation professionnelle et d'entraînement au travail. Sur ce point, le jugement attaqué est contraire au droit fédéral.
5. 5.1 En tant que la mesure à mettre en place par l'administration doit aider l'intimé à atteindre un taux d'activité de 100 %, elle n'est pas susceptible d'être exécutée. Ainsi que le relève l'OFAS dans son préavis, ce but est étranger à l'art. 18 LAI et ne saurait être atteint par une mesure d'aide au placement au sens de cette disposition légale.
5.2 Reste à examiner si l'intimé est entravé par ses problèmes de santé dans la recherche d'un emploi approprié (supra, consid. 2.2, étant relevé que le principe exposé au consid. 2c de l'arrêt I 421/01 du 15 juillet 2002 demeure valable également après l'entrée en vigueur de la 5e révision de l'AI).
Les premiers juges, faisant leurs les conclusions de l'office AI sur la capacité de travail de l'assuré fondées sur l'appréciation des médecins de la Clinique X._ et celle du docteur A._, ont retenu que l'intimé avait recouvré une pleine capacité de travail dès avril 2008, dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles, soit sans port de charges dépassant 20 kg et sans positions prolongées ni flexion du tronc.
Sur le vu de l'avis médical SMR du 17 octobre 2008, il convient de rectifier d'office les constatations ci-dessus de la juridiction cantonale (art. 105 al. 2 LTF), en retenant que la capacité de travail exigible remonte au 6 mai 2008. Ainsi, à partir de ce moment-là, on pouvait raisonnablement exiger de l'intimé qu'il reprenne toute activité professionnelle, quelle qu'elle soit, pour autant que les limitations fonctionnelles décrites plus haut soient respectées (appréciation médicale du docteur A._ du 24 avril 2008). Attendu que l'assuré présente depuis le 6 mai 2008 une capacité de travail exigible de 100 % dans une activité légère adaptée à ses limitations et qu'aucun médecin n'atteste qu'il soit entravé par ses problèmes de santé dans la faculté de rechercher un emploi approprié, les conditions du droit à une aide au placement selon l'art. 18 al. 1 LAI ne sont pas remplies. Il se justifie dès lors d'annuler le ch. 2 du dispositif du jugement attaqué. Le recours est bien fondé.
6. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimé, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis en ce sens que le chiffre 2 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève du 31 mars 2009 est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 1er mars 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Wagner