Sachverhalt:
A. W._, geboren 1993, bezog seit Mai 2006 Leistungen der Invalidenversicherung in Form von ambulanter Psychotherapie. Die von der IV-Stelle des Kantons St. Gallen bis 31. Mai 2008 bewilligte Kostenübernahme wurde bis 30. Juni 2009 verlängert (Verfügung vom 31. März 2009). Vom 16. März bis 5. September 2009 hielt sich die Versicherte stationär in der Klinik S._, Zentrum G._, auf. In deren Bericht vom 11. Juni 2009 wurden ihr eine schwere Adoleszentenkrise vor dem Hintergrund einer Spätadoption und Migration auf dem Boden einer Bindungsstörung bei vermuteter frühkindlicher Traumatisierung, eine hyperkinetische Störung des Sozialverhaltens sowie eine unterdurchschnittliche Intelligenz diagnostiziert. Nach Abschluss der stationären Behandlung sei ambulante Weiterbehandlung indiziert. Der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) der Invalidenversicherung (Dr. med. U._) kam am 31. August 2009 zum Schluss, dass die stationäre und ambulante Psychotherapie vorwiegend eine Leidensbehandlung sei; die gesundheitliche Störung der Versicherten sei zu gravierend, als dass die therapeutischen Bemühungen einen fokussierten, positiven Effekt auf die Schulung und die berufliche Ausbildungsfähigkeit haben könnten. Mit Vorbescheid vom 16. September 2009 kündigte die IV-Stelle an, sie werde die Kostengutsprache für die Verlängerung der Psychotherapie ab dem 16. März 2009 verweigern. W._ und die SWICA Krankenversicherung AG als Krankenversicherer erhoben Einwände. Mit Verfügung vom 3. November 2009 verneinte die IV-Stelle die Verlängerung der ambulanten Psychotherapie (ab 1. Juli 2009) und die Kostenübernahme der stationären Psychotherapie vom 16. März bis 5. September 2009.
B. Die hiegegen von den Eltern der W._ und der SWICA erhobenen Beschwerden hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 13. August 2010 gut und verpflichtete die Invalidenversicherung zur Gewährung medizinischer Massnahmen in Form der stationären Psychotherapie vom 16. März 2009 bis 5. September 2009 und der anschliessenden ambulanten Psychotherapie.
C. Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt Aufhebung des angefochtenen Entscheides und Bestätigung der Verfügung vom 3. November 2009.
Die SWICA beantragt Abweisung der Beschwerde, W._, Vorinstanz und Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann nach Art. 95 lit. a BGG die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Versicherte Anspruch auf Übernahme der Kosten ambulanter Psychotherapie über den 1. Juli 2009 hinaus und der stationären Psychotherapie vom 16. März bis 5. September 2009 durch die Invalidenversicherung hat. Im angefochtenen Entscheid werden die zur Beurteilung massgeblichen Rechtsgrundlagen zum Anspruch auf medizinische Massnahmen (Art. 12 f. IVG) richtig dargelegt. Darauf wird verwiesen.
2.1 Nach den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz können bei Jugendlichen medizinische Vorkehren bereits dann überwiegend der beruflichen Eingliederung dienen und auch bei einstweilen noch labilem Leidenscharakter als medizinische Massnahmen von der Invalidenversicherung übernommen werden, wenn ohne diese Vorkehren eine Heilung mit Defekt oder ein sonstwie stabilisierter Zustand einträte, wodurch die Berufsbildung oder die Erwerbsfähigkeit oder beide beeinträchtigt würden. Dies gilt grundsätzlich auch für die psychiatrische Behandlung des Jugendlichen, wenn das psychische Leiden mit hinreichender Wahrscheinlichkeit zu einem schwer korrigierbaren, die spätere Ausbildung und Erwerbsfähigkeit erheblich behindernden oder gar verunmöglichenden stabilen pathologischen Zustand führen würde (ULRICH MEYER, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 2010, S. 133 f. mit Hinweisen auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung). Die Therapie muss notwendig sein und darf nicht nur sinnvolle Unterstützungsmassnahme bilden. Dauerhaftigkeit und Wesentlichkeit des herbeizuführenden Eingliederungserfolgs sind im Zeitpunkt vor Durch- bzw. Weiterführung der fraglichen Massnahme anhand des massgebenden medizinischen Sachverhalts prognostisch zu beurteilen (Urteile 9C_109/2008 vom 18. April 2006, I 32/06 vom 9. August 2007 E. 6.1.2 und I 878/05 vom 7. August 2006 E. 2.1).
3. Mit Verfügung vom 3. November 2009 verneinte die IV-Stelle die Voraussetzungen für die Übernahme weiterer Psychotherapie mit der Begründung, es handle sich um eine Leidensbehandlung an sich mit unbestimmter Prognose. Die von der Invalidenversicherung übernommenen ambulanten und stationären Therapien hätten nicht den gewünschten positiven Effekt erzielt, vor allem nicht im Hinblick auf die Schule und die berufliche Ausbildungsfähigkeit.
3.1 Dem kann nicht beigepflichtet werden. Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat (E. 4.1-4.4) und worauf hier verwiesen werden kann, wurde der Versicherten von den behandelnden Ärzten und Psychologen im Hinblick auf die berufliche Eingliederungsfähigkeit eine günstige Prognose attestiert. Sie gehen alle davon aus, dass sie bei konsequenter Weiterführung der Therapie eine Berufsausbildung absolvieren und ins Erwerbsleben eingegliedert werden kann. Gemäss einer Mitteilung der Beschwerdeführerin vom 17. September 2009 war der Versicherten ja auch Berufsberatung und Abklärung der beruflichen Eingliederungsmöglichkeiten gewährt worden.
3.2 Die Beschwerde stützt sich im Wesentlichen auf eine interne Stellungnahme der RAD-Ärztin Dr. med. H._ vom 24. September 2010 zum vorinstanzliche Entscheid ab. Abgesehen davon, dass es sich hierbei um ein unzulässiges Novum handelt (Art. 99 Abs. 1 BGG), ist die dort angebrachte Kritik wenig substanziiert und nicht geeignet, Zweifel an der Richtigkeit der Einschätzung der behandelnden Ärzte und Psychologen und an der darauf basierenden Argumentation des kantonalen Gerichts zu wecken; sie gewichtet die vorinstanzliche Begründung einseitig. Der Vorwurf, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt und ihn willkürlich gewürdigt, ist unbegründet.
3.3 Vor diesem Hintergrund kann entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht gesagt werden, dass sich die gesundheitliche Situation unter Therapie verschärft hat und ein stabiler Defektzustand nicht verhindert werden kann. Vielmehr konnte im massgebenden Zeitpunkt des Verfügungserlasses (3. November 2009) aufgrund der medizinischen Aktenlage mit hinlänglicher Zuverlässigkeit noch von einer günstigen Prognose ausgegangen werden. Für die Zukunft ist diese Beurteilung nicht präjudizierend. Je nach Entwicklung der Verhältnisse kann die Beschwerdeführerin den Anspruch auf medizinische Massnahmen revisionsweise anpassen (Art. 17 Abs. 2 ATSG; vgl. BGE 113 V 22 E. 3b S. 27).
4. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Dezember 2010
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz