Faits:
A. A._ est propriétaire de la parcelle n° 3'259 du registre foncier de la commune de Pully (ci-après: la commune). Ce bien-fonds, d'une surface de 2'328 m2, est colloqué en zone de moyenne densité, selon le plan général d'affectation de la commune de Pully du 12 mars 2001. Il jouxte, au nord-est, les parcelles n° 1'422, 1'416 et 1'417. Ces biens-fonds comprennent sur leur partie supérieure, au nord-est, des bâtiments d'habitation bordant l'avenue C.-F. Ramuz. Au sud-ouest se trouve un secteur de forêt appartenant au cordon boisé, qui borde les rives de la rivière de la Vuachère. La parcelle de la recourante en est séparée par un chemin piétonnier, le chemin du Pont du Diable, qui mène, à l'ouest, à un pont enjambant la Vuachère. Le bien-fonds n° 3'259 présente une certaine déclivité dans l'axe est-ouest, la partie orientale étant située en amont. La pente est cependant irrégulière et son sens varie aux différents endroits de la parcelle.
Le 5 juin 2009, A._ a déposé une demande de permis de construire un bâtiment d'habitation de sept logements avec six places de parc intérieures et six places à l'air libre, sur le bien-fonds précité. Mis à l'enquête publique du 17 octobre au 16 novembre 2009, ce projet a suscité deux oppositions. Celles-ci ont toutefois été retirées, respectivement en juillet et en décembre 2010.
Le 28 juin 2010, à la suite d'une entrevue avec des représentants de la commune, un nouveau jeu de plans du projet a été produit. Ces plans décrivent un bâtiment rectangulaire de 27,18 m par 14,6 m, orienté dans l'axe nord-ouest - sud-est. Le dégagement est plus important du côté sud de la construction; en effet, environ 16 m séparent à cet endroit le bâtiment du chemin du Pont du Diable. Les courbes de niveau du terrain montrent que le bâtiment occupera la surface relativement plane située au centre de la parcelle.
Le bâtiment, qui comporte trois étages, est coiffé d'un toit à deux pans symétriques. Le sous-sol comprend un appartement, sept caves, un local technique, une buanderie et un garage souterrain. Au rez-de-chaussée du bâtiment se trouvent trois appartements; la partie saillante du sous-sol (garage) sert de terrasse pour deux de ceux-ci; la façade ouest comprend, en son centre, un balcon de 2 m 50 de profondeur et 6 m 45 de largeur. Les combles abritent également trois appartements; la façade ouest comporte un balcon identique à celui de l'étage inférieur; en façade est se trouve aussi un balcon qui occupe la moitié sud du pignon. Le toit du bâtiment comprend plusieurs lucarnes à un pan, dont les piédroits et les linteaux sont de même hauteur. Toutefois, la taille des fenêtres et la largeur des lucarnes varient. Sur l'un comme sur l'autre pan du toit, la distance entre les joues des lucarnes n'est pas uniforme.
L'accès à la parcelle n° 3'259 se fait depuis l'avenue C.-F. Ramuz en empruntant un passage défini par plusieurs servitudes, dont l'assiette occupe les parcelles n° 1'417, 1'420, 1'423 et 1'424. Cette voie aboutit au nord-est de la parcelle de A._. A partir de là, le projet prévoit la création d'un chemin en déblai d'une douzaine de mètres en direction du sud, dont la pente est de 23%. Le chemin se divise ensuite en deux. L'importance du déblai nécessité par le chemin augmente à mesure que l'on s'approche du garage souterrain. Le virage formé par la voie d'accès est bordé, de part et d'autre, de murs de soutènement.
Par décision du 25 octobre 2010, la Municipalité de Pully (ci-après: la Municipalité), s'appuyant sur l'art. 86 de la loi cantonale sur l'aménagement du territoire et les constructions du 4 décembre 1985 (LATC; RSV 700.11) et sur les art. 1 et 32 du règlement communal sur l'aménagement du territoire et des constructions du 12 mars 2001 (RCATC) a refusé de délivrer le permis de construire, pour des motifs liés à l'esthétique du projet et à son intégration au site.
B. A._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton du Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal). Celle-ci a procédé à une inspection locale en présence des parties, le 6 avril 2011. Par arrêt du 5 octobre 2011, le Tribunal cantonal a admis le recours, annulé la décision du 25 octobre 2010 et invité la commune à délivrer le permis de construire pour le projet soumis à l'enquête publique du 17 octobre au 16 novembre 2009, sur la base des nouveaux plans du 28 juin 2010. Il a considéré en substance qu'en refusant le permis de construire sollicité la Municipalité avait abusé de son pouvoir d'appréciation.
C. Agissant par les voies du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, la commune de Pully demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de confirmer sa décision du 25 octobre 2010 refusant le permis de construire susmentionné.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer. A._ conclut au rejet des recours, dans la mesure de leur recevabilité. Par courrier du 13 janvier 2012, la recourante renonce à présenter des observations complémentaires.
D. Par ordonnance du 25 novembre 2011, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif, présentée par la recourante.
Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions (art. 82 let. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. Selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF, les communes et autres collectivités publiques ont qualité pour recourir en invoquant la violation de garanties qui leur sont reconnues par les Constitutions cantonale ou fédérale. La commune de Pully, qui invoque l'autonomie dont elle bénéficie en matière d'aménagement local du territoire, a ainsi qualité pour agir. La question de savoir si elle est réellement autonome dans ce domaine relève du fond (ATF 135 I 43 consid. 1.2 p. 45 et les arrêts cités).
Les autres conditions de recevabilité étant par ailleurs réunies, la voie du recours en matière de droit public est ouverte, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
2. Dans la première partie de son écriture, après avoir déclaré faire sien l'état de fait transcrit dans l'arrêt attaqué dans la mesure où il est corroboré par les pièces du dossier, la recourante présente certains éléments nouveaux. Elle perd cependant de vue que le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. La recourante ne peut critiquer la constatation de faits qui importent pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), en particulier en violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (art. 97 al. 1 LTF; ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), ce qu'il lui appartient de démontrer par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF. En l'espèce, le recours ne comporte aucune démonstration du caractère arbitraire de l'état de fait de la décision attaquée, de sorte qu'il n'y a pas lieu de prendre en considération d'autres faits que ceux retenus dans ladite décision.
3. La recourante se plaint d'une violation de son autonomie communale.
3.1 Selon l'art. 50 al. 1 Cst., l'autonomie communale est garantie dans les limites fixées par le droit cantonal. Une commune bénéficie de la protection de son autonomie dans les domaines que le droit cantonal ne règle pas de façon exhaustive, mais qu'il laisse en tout ou partie dans la sphère communale, conférant par là aux autorités municipales une liberté de décision relativement importante. L'existence et l'étendue de l'autonomie communale dans une matière concrète sont déterminées essentiellement par la constitution et la législation cantonales (ATF 136 I 316 consid. 2.1.1 p. 317 et les arrêts cités).
En droit cantonal vaudois, les communes jouissent d'une autonomie maintes fois reconnue lorsqu'elles définissent, par des plans, l'affectation de leur territoire, et lorsqu'elles appliquent le droit des constructions (art. 139 al. 1 let. d Cst./VD; cf. notamment ATF 115 Ia 114 consid. 3d p. 118 s.; arrêt 1P.167/2003 consid. 3 publié in RDAF 2004 p. 114). Cela ressort en particulier de l'art. 2 al. 2 LATC, selon lequel l'Etat laisse aux communes la liberté d'appréciation nécessaire à l'accomplissement de leurs tâches. Le droit cantonal se borne ainsi à poser quelques règles sur l'esthétique, la solidité et la salubrité des constructions, sur la suppression des barrières architecturales et l'utilisation rationnelle de l'énergie (art. 86 à 102 LATC). En revanche, il ne contient aucune disposition sur la densité des constructions, en particulier sur le coefficient d'utilisation du sol, la hauteur et le nombre de niveaux admissibles. Ces domaines ressortissent au seul droit communal (arrêt 1P.167/2003 du 3 juillet 2003), de même que les dispositions sur l'esthétique des constructions.
3.2 Aux termes de l'art. 86 LATC, la municipalité veille à ce que les constructions, quelle que soit leur destination, ainsi que les aménagements qui leur sont liés, présentent un aspect architectural satisfaisant et s'intègrent à l'environnement (al. 1). Elle refuse le permis pour les constructions ou les démolitions susceptibles de compromettre l'aspect et le caractère d'un site, d'une localité, d'un quartier ou d'une rue, ou de nuire à l'aspect d'un édifice de valeur historique, artistique ou culturelle (al. 2). L'alinéa 3 de cette disposition prévoit que les règlements communaux doivent contenir des dispositions en vue d'éviter l'enlaidissement des localités et de leurs abords.
L'art. 32 RCATC permet à la Municipalité de prendre des dispositions exceptionnelles (notamment en application de l'art. 86 LATC) pour sauvegarder les qualités particulières d'un lieu ou pour tenir compte des situations acquises.
3.3 Selon la jurisprudence, la question de l'intégration d'une construction ou d'une installation à l'environnement bâti dans un site ne doit pas être résolue en fonction du sentiment subjectif de l'autorité, mais selon des critères objectifs et systématiques; en tous les cas, l'autorité compétente doit indiquer les raisons pour lesquelles elle considère qu'une construction ou une installation serait de nature ou non à enlaidir le site (arrêt 1P.581/1998 du 1er février 1999, in RDAF 2000 I 288; ATF 115 Ia 363 consid. 3b p. 367, 370 consid. 3 p. 373 et les arrêts cités). L'application d'une clause d'esthétique ne doit pas aboutir à ce que, de façon générale, la réglementation sur les zones en vigueur soit vidée de sa substance. En droit vaudois, un projet de construction peut être interdit sur la base de l'art. 86 LATC quand bien même il satisferait à toutes les autres dispositions cantonales et communales en matière de police des constructions. Cependant, lorsqu'un plan de zones prévoit que des constructions d'un certain volume peuvent être édifiées dans tel secteur du territoire, une interdiction de construire fondée sur l'art. 86 LATC, en raison du contraste formé par le volume du bâtiment projeté, ne peut se justifier que par un intérêt public prépondérant. Il faut que l'utilisation des possibilités de construire réglementaires apparaisse déraisonnable. Tel sera par exemple le cas s'il s'agit de protéger un site, un bâtiment ou un ensemble de bâtiments présentant des qualités esthétiques remarquables, qui font défaut à l'immeuble projeté ou que mettrait en péril sa construction (ATF 101 Ia 213 consid. 6c p. 222 s.; 115 Ia 114 consid. 3d p. 119).
Lorsqu'il s'agit d'examiner l'application de clauses d'esthétique, le Tribunal fédéral fait preuve de retenue dans l'appréciation des circonstances locales. Dans ce domaine, les autorités locales disposent en effet d'un large pouvoir d'appréciation (cf. ATF 132 II 408 consid. 4.3 p. 416 et les références; arrêt 1P.678/2004 du 21 juin 2005 consid. 4, in ZBl 2006 p. 430). C'est le cas notamment lorsqu'il s'agit de savoir si une construction ou une installation est de nature à compromettre l'aspect ou le caractère d'un site, d'une localité, d'un quartier ou d'une rue (ATF 115 Ia 114 consid. 3d p. 118, 363 consid. 3b p. 367; arrêt P.265/1985 du 16 avril 1986 consid. 3 in RDAF 1987 p. 155).
3.4 Lorsqu'elle est reconnue autonome dans un domaine spécifique, une commune peut dénoncer tant les excès de compétence d'une autorité cantonale de recours que la violation par celle-ci des règles du droit fédéral, cantonal ou communal qui régissent la matière (ATF 128 I 3 consid. 2b p. 9 et l'arrêt cité). Le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation du droit constitutionnel; en revanche, il vérifie l'application de règles de rang inférieur à la constitution cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire (art. 9 Cst.; ATF 135 I 302 consid. 1.2 p. 305 et les arrêts cités). Dans ce cas, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement plus judicieuse - paraît possible (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5 et les arrêts cités).
3.5 En l'espèce, la commune reproche au Tribunal cantonal d'avoir réexaminé tous les critères qu'elle avait invoqués dans sa décision du 25 octobre 2010 sous l'angle de l'intégration et de l'esthétique en apportant son propre résultat, substituant ainsi son appréciation à celle de l'autorité communale. Elle estime que l'instance précédente a manqué de retenue dans l'appréciation de la situation de la parcelle (consid. 3.5.1), de l'implantation de l'immeuble (consid. 3.5.2), de l'accès au garage inférieur (consid. 3.5.3) et de l'esthétique du bâtiment (consid. 3.5.4).
3.5.1 La Municipalité avait d'abord soutenu, dans sa décision du 25 octobre 2010, que la situation de la parcelle était exceptionnelle, remarquablement située sur l'avenue C.-F. Ramuz, bénéficiant d'une desserte optimale en transports publics, sise en deuxième rang lui permettant ainsi de ne pas être affectée par les nuisances sonores de ladite avenue et disposant d'un exceptionnel dégagement en contrebas au sud vers la forêt et la Vuachère.
Après s'être rendu sur place, le Tribunal cantonal a considéré au contraire que le site ne présentait aucune qualité particulière. Il a relevé que le terrain litigieux et le bâtiment projeté n'étaient pas visibles depuis la route et que la parcelle était isolée des regards, à l'exception des passants du chemin du Pont du Diable au sud dont on ne saurait exagérer le nombre. L'absence de nuisances sonores, qui confère certes au site un caractère agréable, ne justifiait pas que l'on se montre plus exigeant en matière d'esthétique des constructions. Enfin, la parcelle bordée par un cordon boisé qui empêche d'apercevoir les constructions situées en contrebas et le lac Léman, ne disposait pas d'un dégagement en direction du sud. Par conséquent, il ne se justifiait pas de poser des exigences accrues en matière de qualité architecturale et d'intégration au site.
Les constatations opérées par le Tribunal cantonal reposent sur des motifs objectifs et fondés. La Municipalité ne prétend d'ailleurs pas que ces constatations seraient fausses ou qu'elles conduiraient à une solution indéfendable. Partant, l'instance précédente n'a pas substitué son pouvoir d'appréciation à celui de l'autorité municipale, mais s'est contentée de sanctionner un excès du pouvoir d'appréciation de celle-ci.
3.5.2 La Municipalité reproche ensuite au Tribunal cantonal d'avoir remis en cause l'analyse municipale concernant l'implantation de l'immeuble. Dans sa décision du 25 octobre 2010, elle avait considéré que l'orientation de ladite implantation ne respectait pas la courbe naturelle des niveaux et que sa position, en amont de la parcelle, rendait difficile l'aménagement de la partie nord de celle-ci.
Le Tribunal cantonal a en revanche jugé que le bâtiment occupait la surface plane de la parcelle, comme le montrent les plans et comme il a pu le constater pendant l'inspection locale grâce aux gabarits posés. Cette solution évitait les mouvements de terrain excessifs. La situation légèrement en amont de l'immeuble - la distance entre la façade nord et la limite de propriété est de 10,68 m, contre environ 16 m du côté sud - permettait de dégager de la place du côté sud pour l'agrément des habitants, là où l'ensoleillement est meilleur. L'aménagement de la partie nord de la parcelle ne posait aucun problème majeur; il paraissait naturel que la constructrice ait choisi cette portion de terrain, moins intéressante, pour l'accès à l'immeuble et pour le stationnement. Enfin, l'orientation de l'immeuble était similaire à celles des bâtiments situés sur les parcelles adjacentes, au nord et à l'est.
L'analyse bien motivée de l'instance précédente ne paraît pas déraisonnable. La commune n'expose d'ailleurs pas en quoi ce raisonnement serait arbitraire. Ainsi, le Tribunal cantonal pouvait retenir sans violer l'autonomie dont la commune dispose en la matière que, sis sur la partie plane de la parcelle, légèrement en amont, le projet litigieux épousait convenablement la forme du terrain et que son orientation, similaire à celle des autres bâtiments alentour, respectait les contraintes que posaient les différents axes de pente de la parcelle. Il pouvait en déduire que l'autorité communale avait abusé de son pouvoir d'appréciation en critiquant l'implantation de l'immeuble litigieux, laquelle est au demeurant conforme au plan général d'affectation des zones et au règlement communal.
3.5.3 Dans sa décision du 25 octobre 2010, la Municipalité avait également critiqué l'accès au garage inférieur par une rampe, en courbe, qui formerait une "immense saignée dans le site, avec des talutages en biais", et qui impliquerait "des ouvrages de béton gigantesques". Elle avait aussi relevé que sa praticabilité en hiver semblait hasardeuse.
Pour le Tribunal cantonal, l'ouvrage est certes important, mais il consiste presque uniquement en des déblais. Les murs de soutènement, situés de part et d'autre du virage ne dépassent que légèrement le niveau du terrain aménagé. Ainsi, le chemin d'accès et les éléments bâtis qu'il comporte ne seront que peu visibles aux alentours de la parcelle. Depuis le chemin du Pont du Diable situé en contrebas, auquel la Municipalité prête une attention particulière, la percée ne s'offrira pas au regard des promeneurs, vu la pente du terrain et la nature de l'ouvrage. Elle sera mieux perceptible depuis les parcelles n° 1'417, 1'420 et 1'433, mais il s'agit de biens-fonds privés, par définition fréquentés par quelques personnes seulement, qui ne sauraient être incommodées gravement par l'ouvrage litigieux. Par ailleurs, la rampe d'accès ne constitue pas plus une balafre dans le site que le mur de soutènement situé à l'est de la construction, en bordure des parcelles n° 1'420 et 1'433.
Là encore, l'argumentation du Tribunal cantonal échappe à toute critique. C'est à bon droit qu'il a considéré que les aménagements extérieurs - importants s'agissant du chemin d'accès au garage inférieur - s'expliquaient par les contraintes réglementaires et la configuration des lieux, que leur impact visuel serait faible et que leur intégration au site - sans valeur particulière - ne posait pas de problème. Il pouvait en tirer la conclusion que l'autorité communale avait excédé son pouvoir d'appréciation en refusant le permis de construire pour ce motif.
La Municipalité reproche encore au Tribunal cantonal d'avoir considéré que le grief lié à la difficulté d'utilisation de la rampe d'accès en hiver était retiré. Elle ne discute cependant pas le motif avancé par l'instance précédente pour procéder de la sorte. Faute de motivation, ce grief doit être déclaré irrecevable.
3.5.4 Enfin, la recourante fait grief au Tribunal cantonal d'avoir réexaminé l'ensemble des "dispositions constructives de l'immeuble", sous l'angle de leur proportion, de leur disposition au sein de l'édifice, de leur nombre s'agissant des lucarnes et de "tout ce qui a trait à l'esthétique du bâtiment". Dans sa décision du 25 octobre 2010, elle avait déploré les "balcons maladroitement reliés au sol naturel", la présence de faux chaînages d'angles, les fenêtres aux proportions quelconques ainsi que les nombreuses et inélégantes lucarnes. Elle avait encore estimé que l'expression des façades et de la toiture était négligée.
Le Tribunal cantonal a estimé au contraire que l'ouvrage litigieux ne posait pas de problème du point de vue de l'intégration. Le bâtiment présentait une architecture classique (construction de base rectangulaire, coiffée d'un toit à deux pans symétriques) et réglementaire qui ne se démarquait pas des immeubles voisins. Certes, il comportait quelques éléments (notamment les lucarnes et la jonction entre le chemin d'accès et le balcon est des combles) disgracieux, mais on ne pouvait pas considérer qu'il y avait là une utilisation déraisonnable et irrationnelle des possibilités de construire réglementaires à laquelle s'opposerait un intérêt public prépondérant (cf. exposé détaillé dans l'arrêt attaqué p. 10 et 11).
A nouveau, le Tribunal cantonal n'a pas examiné de manière arbitraire l'application qu'a faite la commune de la clause d'esthétique. Il a d'ailleurs pris soin d'expliquer les raisons pour lesquelles il considérait que la construction projetée s'intégrait suffisamment, d'un point de vue esthétique, dans le quartier. Dans ces conditions, la recourante devait à tout le moins présenter des éléments concrets contredisant clairement l'appréciation de l'autorité précitée. Or, sans critiquer le raisonnement du Tribunal cantonal et sans contester que le projet ne porte atteinte à aucun intérêt public prépondérant, elle se borne pour l'essentiel à rappeler que l'instance précédente a procédé sans retenue, sans préciser en quoi consiste ce manque de retenue.
3.5.5 En définitive, le Tribunal cantonal est resté dans les limites du rôle qu'il s'était fixé, à savoir "s'assurer que la question de l'intégration de la construction à l'environnement bâti avait été examinée sur la base de critères objectifs et sans sacrifier à un goût ou à un sens esthétique particulièrement aigu, de manière à ce que le poids de la subjectivité, inévitable dans toute appréciation, n'influe que dans les limites de principes éprouvés et par référence à des notions communément admises". Les objections de la recourante ne sont pas de nature à démontrer le caractère manifestement insoutenable de l'argumentation du Tribunal cantonal. Ainsi, c'est l'application que la Municipalité a faite de la clause d'esthétique qui est arbitraire et non pas l'examen de cette application par le Tribunal cantonal. Partant, le refus de l'instance précédente d'interdire l'ouvrage litigieux ne viole pas l'autonomie de la commune de Pully.
4. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires, la recourante ayant agi dans l'exercice de ses attributions officielles sans que son intérêt patrimonial soit en cause (art. 66 al. 4 LTF). La commune de Pully versera néanmoins une indemnité à titre de dépens à l'intimée, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
3. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4. Une indemnité de 2'000 francs est allouée à l'intimée à titre de dépens, à la charge de la commune de Pully.
5. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 22 février 2012
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
La Greffière: Tornay Schaller