Erwägungen:
1. X._ unterzog sich mehreren Operationen am rechten Fussgelenk. Am 14. März 2008 stellte sie bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich, Kantonale Opferhilfestelle, infolge Verletzung der ärztlichen Sorgfaltspflicht und fehlender Indikation ein Gesuch um Übernahme von Kosten sowie Ausrichtung einer Entschädigung und Genugtuung in unbezifferter Höhe. Ein Strafverfahren wurde nicht eingeleitet. Die Kantonale Opferhilfestelle wies das Gesuch mit Verfügung vom 15. April 2008 ab, da keine Straftat vorliege. Dagegen erhob X._ am 23. Juni 2008 Beschwerde mit dem Antrag auf Übernahme von Anwaltskosten. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Urteil vom 6. April 2010 ab. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass keine fahrlässige Körperverletzung und damit keine Straftat vorliege. Die Beschwerdeführerin sei nicht Opfer im Sinne des OHG und habe deshalb keinen Anspruch auf opferhilferechtliche Leistungen.
2. X._ wandte sich mit Eingaben vom 26. und 28. Mai 2010 an das Bundesgericht. Mit Schreiben vom 1. Juni 2010 teilte ihr die Adjunktin des Generalsekretärs des Bundesgerichts u.a. mit, dass aus ihren Eingaben nicht hervorgehe, ob ein beim Bundesgericht anfechtbarer Entscheid vorliege. In der Folge reichte X._ am 5. Juni 2010 das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 6. April 2010 ein. Ihre Eingaben sind somit als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 6. April 2010 entgegenzunehmen.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Die Beschwerdeführerin, die keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, setzt sich mit den Ausführungen des Sozialversicherungsgerichts, die zur Abweisung ihrer Beschwerde führten, nicht auseinander und legt nicht dar, inwiefern das angefochtene Urteil Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzen sollte. Da die vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Urteils darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
4. Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Kanton Zürich und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, sowie dem Bundesamt für Justiz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli