Sachverhalt:
A.
Die 1959 geborene K._ arbeitete bis 31. Januar 2012 zu 50 % als Schneiderin bei der Firma Q._ AG. Im Oktober 2008 meldete sie sich bei der IV-Stelle Basel-Stadt zum Leistungsbezug an. Diese holte diverse Arztberichte, einen Abklärungsbericht Haushalt vom 3. Oktober 2011 sowie Gutachten des Prof. Dr. med. T._ und des Dr. med. N._, Rheumatologische Universitätsklinik, Spital X._, vom 31. Oktober 2011 und des Psychiaters Dr. med. dipl. Psych. W._ vom 20. Juli 2012 ein. Im erstgenannten Gutachten wurden folgende Diagnosen mit Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit gestellt: 1. Chronisches lumbospondylogenes Schmerzsyndrom rechts; 2. St. n. Epicondylitis beidseits; 3. V.a. auf Supraspinatus Impingement-Syndrom links. Ohne Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit seien folgende Diagnosen: 1. Anamnestisch Mortonneuralgie beidseits linksbetont; 2. St. n. Steinler Operation bei therapieresistenter Plantarfasciitis und Fersensporn rechts 1996; 3. Anamnestisch St. n. Ulcus ventriculi: 4. Anamnestisch St. n. unklarem knotigem Mammabefund links. Der Gutachter Dr. med. dipl. Psych. W._ diagnostizierte eine leichtgradig depressive Episode mit somatischen Syndrom (ICD-10 F32.01) mit Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit; ohne Auswirkung auf diese sei eine chronische Schmerzstörung mit somatischen und psychischen Faktoren (ICD-10 F45.41). Die IV-Stelle zog beim Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) eine Stellungnahme des Psychiaters Dr. med. J._ vom 3. Januar 2013 bei. Mit Verfügung vom 27. Februar 2013 verneinte sie einen Rentenanspruch.
B.
Die dagegen geführte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt ab (Entscheid vom 27. August 2013).
C.
Mit Beschwerde beantragt die Versicherte, in Aufhebung des kantonalen Entscheides sei die Sache zur weiteren medizinischen Abklärung und Neuberechnung des Rentenanspruchs an die IV-Stelle zurückzuweisen; ihr sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht angeordnet.
Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 105 Abs. 2 BGG). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen sowie die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach Art. 61 lit. c ATSG und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232). Die aufgrund dieser Berichte gerichtlich festgestellte Gesundheitslage bzw. Arbeitsfähigkeit und die konkrete Beweiswürdigung sind Sachverhaltsfragen (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397; nicht publ. E. 4.1 des Urteils BGE 135 V 254, veröffentlicht in SVR 2009 IV Nr. 53 S. 164 [9C_204/2009]).
1.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (BGE 132 I 42 E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9). Diese Grundsätze gelten auch bei der konkreten Beweiswürdigung, bei welcher dem kantonalen Versicherungsgericht ein erheblicher Ermessensspielraum zusteht. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn es diesen missbraucht, insbesondere offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen, erhebliche Beweise übersehen oder solche willkürlich ausser Acht gelassen hat (BGE 132 III 209 E. 2.1 S. 211; zum Begriff der Willkür BGE 137 I 1 E. 2.4 S. 5; Urteil 9C_1019/2012 vom 23. August 2013 E. 1.2.3). Inwiefern das kantonale Gericht sein Ermessen missbraucht haben soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 261; SVR 2013 BVG Nr. 40 S. 174 E. 1.2 [9C_592/2012]; Urteil 8C_847/2013 vom 14. Februar 2014 E. 1.2).
2.
Die Vorinstanz hat in Würdigung der medizinischen Akten mit einlässlicher Begründung - auf die verwiesen wird - erwogen, gestützt auf das rheumatologische Gutachten des Spitals X._ vom 31. Oktober 2011 und das psychiatrische Gutachten des Dr. med. dipl. Psych. W._ vom 20. Juli 2012 sei davon auszugehen, dass die Versicherte in einer leidensangepassten Erwerbstätigkeit zu 100 % arbeitsfähig sei.
3.
3.1. Beschwerdeweise wird vorgebracht, das psychiatrische Gutachten des Dr. med. dipl. Psych. W._ vom 20. Juli 2012 sei in Unkenntnis des Berichts der Psychiater Dr. med. B._, Leitender Arzt, und Frau Dr. med. S._, Oberärztin, Klinik für Psychiatrie und Psychosomatik, Spital Y._, vom 16. März 2012 ergangen. Sie reichten der IV-Stelle diesen Bericht erst mit Schreiben vom 13. August 2012 ein, obwohl Frau Dr. med. S._ von der IV-Stelle bereits am 14. März 2012 zur Berichterstattung aufgefordert wurde; damals gab sie an, bis Juli 2012 könne sie keinen Bericht abgeben. Im Schreiben vom 13. August 2012 wurde ausgeführt, die Versicherte sei immer noch in Behandlung, wobei die Therapiestunden in 6-8-wöchigen Abständen stattfänden.
Weiter sei der psychiatrische Bericht des Spitals Y._ vom 16. März 2012 dem Gutachter Dr. med. dipl. Psych. W._ nicht nachträglich zur Stellungnahme zugestellt worden. Die Versicherte wendet ein, sein Gutachten sei damit nicht in Kenntnis einer entscheidenden Vorakte erstellt worden. Indem die Vorinstanz trotzdem auf sein Gutachten abgestellt habe, habe sie in willkürlicher Weise die Grundsätze zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Gutachten verletzt. Im Bericht des Spitals Y._ vom 16. März 2012 sei eine Anpassungsstörung mit einer längeren depressiven Reaktion (ICD-10 F43.21) diagnostiziert und die von Dr. med. dipl. Psych. W._ gestellte Diagnose einer somatoformen Schmerzstörung eingehend begründet verneint worden. Dieser habe die Arbeitsunfähigkeit anhand der Foerster-Kriterien negiert. Hätte er vom Bericht des Spitals Y._ vom 16. März 2012 Kenntnis gehabt, hätte er vermutlich selbst eine andere Beurteilung vorgenommen; zumindest hätte er seine abweichende Einschätzung eingehend begründen müssen. Es genüge nicht, dass die Vorinstanz geprüft habe, ob der Bericht des Spitals Y._ vom 16. März 2012 das Gutachten des Dr. med. dipl. Psych. W._ vom 20. Juli 2012 in Zweifel zu ziehen vermöge. Vielmehr habe sie die Frage, ob die Diagnose des Spital Y._ eine Arbeitsunfähigkeit ergeben könnte, ohne den Beizug des notwendigen Fachwissens eines unabhängigen Experten beantwortet.
3.2. Dr. med. dipl. Psych. W._ hatte bei der Erarbeitung des Gutachtens vom 20. Juli 2012 aufgrund der Angaben der Versicherten Kenntnis davon, dass sie seit ca. März 2012 im Spital Y._ bei Frau Dr. med. S._ alle 25-30 Tage in psychiatrischer Behandlung war. Dass der Gutachter bei ihr keine Auskunft einholte, ist nicht zu beanstanden. Denn die Notwendigkeit der Einholung einer Fremdanamnese bei der behandelnden Arztperson ist in erster Linie eine Frage des medizinischen Ermessens (vgl. Urteile 9C_939/2012 vom 5. September 2013 E. 2.2.1 und 8C_847/2013 E. 5.1.2); hier ist nicht ersichtlich, dass die gutachterlichen Schlussfolgerungen auf einer diesbezüglich unzureichenden Grundlage beruhten.
Dass der erst am 13. August 2012 der IV-Stelle zugestellte psychiatrische Bericht des Spitals Y._ vom 16. März 2012 nicht nachträglich Dr. med. dipl. Psych. W._ zur Stellungnahme zugestellt wurde, ist nicht zu beanstanden. Denn zum einen hat dies der RAD-Psychiater Dr. med. J._ im Aktenbericht vom 3. Januar 2013 nicht als erforderlich erachtet (zur Aufgabe des RAD, die Leistungsfähigkeit der versicherten Person zu beurteilen vgl. Art. 59 Abs. 2 und 2bis IVG; Art. 49 IVV; nicht publ. E. 3.3.2 des BGE 135 V 254). Zum anderen bildet die im Bericht des Spitals Y._ vom 16. März 2012 diagnostizierte Anpassungsstörung mit längerer depressiver Reaktion (ICD-10 F43.21) keine hinreichend ausgeprägte Psychopathologie; sie liegt vielmehr im Grenzbereich dessen, was überhaupt noch als krankheitswertig im Sinne des Gesetzes und potenziell invalidisierendes Leiden gelten kann (Urteil 9C_153/2012 vom 15. Oktober 2012 E. 4.3); dieser Bericht äussert sich denn auch nicht zur Arbeits (un) fähigkeit der Versicherten. Der Vorinstanz ist somit beizupflichten, dass er nicht geeignet ist, das Gutachten des Dr. med. dipl. Psych. W._ vom 20. Juli 2012 in Frage zu stellen (vgl. auch Urteile 8C_862/2013 vom 12. Februar 2014 E. 5.1.1 und 8C_825/2013 vom 21. Januar 2014 E. 3.4).
4.
4.1. Die Versicherte bringt weiter vor, vorinstanzlich habe sie gerügt, der psychiatrische Gutachter Dr. med. dipl. Psych. W._ habe sich in keiner Weise mit der abweichenden Einschätzung der Frau Dr. med. A._, Fachärztin FMH für Innere Medizin speziell Onkologie-Hämatologie, im Bericht vom 19. Januar 2012 auseinandergesetzt. Gemäss diesem Bericht sei sie unter anderem wegen einer Depression maximal noch zu 50 % arbeitsfähig. Soweit sich die Vorinstanz mit der entsprechenden Rüge nicht befasst habe, habe sie ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Auch in diesem Lichte sei das Abstellen auf des Gutachten des Dr. med. dipl. Psych. W._ vom 20. Juli 2012 offensichtlich unhaltbar.
4.2. Dr. med. dipl. Psych. W._ hat in seinem Gutachten den Bericht der Frau Dr. med. A._ vom 19. Januar 2012 zusammenfassend wiedergegeben und sich dazu im Rahmen der diagnostischen Beurteilung - wenn auch nur kurz - geäussert. Von einer gänzlich fehlenden Auseinandersetzung des Gutachters mit diesem Bericht kann entgegen der Versicherten mithin nicht gesprochen werden.
4.3. Aufgrund des Gehörsanspruchs (Art. 29 Abs. 2 BV) hat die Behörde ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung muss zumindest kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die es seinen Entscheid stützt. Dagegen wird nicht verlangt, dass sich die Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (BGE 138 I 232 E. 5.1 S. 237, 134 I 83 E. 4.1 S. 88). Die Vorinstanz erwog, der Umstand, dass die Hausärztin Frau Dr. med. A._ in Bezug auf die Arbeitsfähigkeit eine von den Gutachten abweichende Meinung vertrete, vermöge das Gutachten nicht zu entkräften; denn bei Frau Dr. med. A._ sei aufgrund ihrer auftragsrechtlichen Vertrauensstellung das Einfliessen von subjektiven Faktoren nicht auszuschliessen (BGE 135 V 465 E. 4.5 S. 470). Die Vorinstanz hat damit hinreichend dargetan, weshalb sie in psychischer Hinsicht nicht auf die Einschätzung der Frau Dr. med. A._ abstellte; von einer Verletzung der Begründungspflicht kann mithin nicht gesprochen werden.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, Aufgabe des Gutachtens des Spitals X._ vom 31. Oktober 2011 wäre es gewesen, sich rein zu ihrer rheumatologischen Einschränkung zu äussern. Indessen sei eine Aufteilung der Einschränkung der Arbeitsfähigkeit auf psychisch geistiger, körperlicher und sozialer Ebene vorgenommen worden. Zudem scheine es, dass die gutachterliche Einschätzung mit den Angaben der Versicherten durchmischt worden sei, was die Beurteilung noch unverständlicher mache. Dem ist entgegenzuhalten, dass in diesem Gutachten klar festgestellt wurde, aus rheumatologischer Sicht bestehe aktuell keine verminderte Leistungsfähigkeit.
5.2. Die Versicherte bringt vor, das Gutachten des Spitals X._ vom 31. Oktober 2011 habe sich in keiner Weise mit den abweichenden ärztlichen Einschätzungen auseinandergesetzt, namentlich nicht mit den Berichten der Frau Dr. med. A._ und des Spitals Y._. Bei den Akten liegen zwei Berichte der Frau Dr. med. A._ und mehrere Berichte des Spitals Y._. In der Beschwerde verweist die Versicherte konkret einzig auf die Berichte der Frau Dr. med. A._ vom 19. Januar 2012 und des Spitals Y._ vom 16. März 2012, weshalb sich das Bundesgericht im Lichte ihrer Rügepflicht (vgl. Art. 42 Abs. 1 f. BGG) nur hiermit zu befassen hat. Zu diesen erst später erstatteten Berichten konnte im Gutachten vom 31. Oktober 2011 selbstredend nicht Stellung genommen werden. Dass sie dem Spital X._ nicht nachträglich zur Stellungnahme zugestellt wurden, ist nicht zu beanstanden. Denn die Versicherte macht nicht substanziiert geltend, inwiefern diese Berichte wichtige - und nicht rein subjektiver ärztlicher Interpretation entspringende - Aspekte benennen, die bei der Begutachtung unerkannt oder ungewürdigt geblieben sind (vgl. Urteil 8C_847/2013 E. 5.1.2).
5.3. Die Versicherte wendet ein, die Vorinstanz habe zu den Rügen der widersprüchlichen Beurteilung der Arbeitsfähigkeit und der fehlenden Auseinandersetzung mit den Vorakten im Gutachten des Spitals X._ vom 31. Oktober 2011 nicht Stellung genommen, womit eine Verletzung des Gehörsanspruchs vorliege. Hierzu ist festzuhalten, dass die Vorinstanz begründet hat, weshalb sie das Gutachten des Spitals X._ bezüglich der Einschätzung der Arbeitsfähigkeit aus rheumatologischer Sicht als rechtsgenüglich erachtet und die den Gutachtern zur Verfügung gestandenen Vorakten daran nichts ändern können. Von einer Verletzung der Begründungspflicht (vgl. E. 4.3 hievor) kann nicht gesprochen werden.
6.
Insgesamt zeigt die Versicherte nicht auf und ist nicht ersichtlich, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung im Lichte der in E. 1.2 hievor dargelegten Grundsätze mangelhaft sind oder eine Bundesrechtsverletzung vorliegen soll.
7.
Der Einkommensvergleich (zur diesbezüglichen bundesgerichtlichen Kognition vgl. BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399), der einen Invaliditätsgrad von 0 % ergab, ist unbestritten, womit es sein Bewenden hat.
8.
Dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ist stattzugeben, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos bezeichnet werden kann und die anwaltliche Vertretung geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es ist eine aufwandgemässe Entschädigung zuzusprechen. Die Beschwerdeführerin wird indessen darauf hingewiesen, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Dr. Yves Waldmann wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'400.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. April 2014
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Leuzinger
Der Gerichtsschreiber: Jancar