Sachverhalt:
A. Der 1984 geborene D._ war als Mechaniker in der Firma S._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 24. April 2006 erlitt er als Lenker eines Personenwagens einen Heckauffahrunfall. Der anderntags aufgesuchte Hausarzt diagnostizierte eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) und bestätigte eine volle Arbeitsunfähigkeit bis 1. Mai 2006 (Bericht vom 27. Mai 2006). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Im Dezember 2006 bestätigte der Hausarzt den Abschluss der Heilbehandlung.
Ab 1. Juni 2006 war D._ neu als Bohrassistent in der Firma H._ AG angestellt und wiederum bei der SUVA obligatorisch unfallversichert. Am 19. September 2006 verletzte er sich bei einem Berufsunfall am rechten Knie, worauf die SUVA vorübergehend Heilbehandlung und Taggeld ausrichtete. Ein weiterer Leistungsanspruch aus diesem Unfall wurde nicht geltend gemacht.
Am 9. August 2007 suchte D._ wegen Rückenschmerzen im Bereich der oberen Brustwirbelsäule (BWS) mit Ausstrahlungen in den linken Arm das Spital X._ auf, wo er bis zum folgenden Tag hospitalisiert wurde. Dies meldete die Firma H._ AG am 28. August 2007 der SUVA als Rückfall zum Autounfall vom 24. April 2006. In der Folge gab der Versicherte auch Beschwerden im Bereich der HWS und der Lendenwirbelsäule (LWS) an. Mit Verfügung vom 15. Oktober 2007 verneinte die SUVA ihre Leistungspflicht für die gemeldeten Beschwerden mit der Begründung, es fehle am natürlichen Kausalzusammenhang zum Unfall vom 24. April 2006. Daran hielt sie auf Einsprache des Versicherten hin fest (Einspracheentscheid vom 23. Januar 2008).
B. Die von D._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 5. Februar 2009 ab.
C. D._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und der Verfügung der SUVA vom 15. Oktober 2007 seien die gesetzlichen Leistungen zuzusprechen.
Die Akten der Vorinstanz und der SUVA wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Das kantonale Gericht hat im angefochtenen Entscheid die Bestimmungen und Grundsätze über den Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung, insbesondere über den hiefür nebst anderem erforderlichen natürlichen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden im Grundfall und bei Rückfall, zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die zu beachtenden beweisrechtlichen Grundsätze. Darauf wird verwiesen.
3. Die Vorinstanz ist zum Ergebnis gelangt, der natürliche Kausalzusammenhang zwischen den seit Mai 2007 im LWS- und BWS-Bereich geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 24. April 2006 sei nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachgewiesen. Was den HWS-Bereich betreffe, sei nur für die bis Herbst 2006 bestandenen Beschwerden von einer natürlichen Unfallkausalität auszugehen, nicht aber in Bezug auf die ab Herbst 2007 neu ärztlich dokumentierten Beschwerden.
Diese Beurteilung beruht auf einer einlässlichen Würdigung der medizinischen Akten. Das kantonale Gericht stützt sich dabei zu Recht namentlich auf die Berichte des Dr. med. C._, Kreisarzt-Stellvertreter, vom 4. Oktober 2007, und des Dr. med. B._, Facharzt FMH für Chirurgie, Abteilung Versicherungsmedizin der SUVA, vom 20. März 2008. Darin werden einlässlich und überzeugend die Gesichtspunkte erläutert, welche eine natürliche Unfallkausalität der Beschwerden ausschliessen. Hervorzuheben ist, dass der Versicherte nach dem Unfall geraume Zeit - in einem vollen Pensum und ohne dass eine Einschränkung des Leistungsvermögens aktenkundig wäre - eine körperlich anspruchsvolle Tätigkeit ausgeübt hat. Es war auch erst im Sommer 2007 wieder ärztliche Behandlung erforderlich. Echtzeitliche ärztliche Berichte, wonach zwischen Dezember 2006 und diesem Zeitpunkt - ausserhalb der hier nicht interessierenden Knieproblematik - gesundheitliche Probleme aufgetreten wären, liegen nicht vor. Die Vorinstanz hat zudem nachvollziehbar dargelegt, weshalb sie sich aufgrund der Stellungnahmen weiterer Ärzte, soweit sich diese abweichend von den SUVA-Ärzten äussern, nicht zu einer anderen Betrachtungsweise veranlasst sieht.
Was der Beschwerdeführer vorbringt, führt zu keinem anderen Ergebnis. Das gilt zunächst für die Ausführungen zum Hergang des Unfalls und den Beschädigungen, welche an den beteiligten Fahrzeugen entstanden sind. Daraus ergibt sich nichts, was Zweifel an den Aussagen der SUVA-Ärzte zu begründen vermöchte. Gleiches gilt für das Vorbringen, die SUVA-Ärzte hätten den Versicherten nicht selber untersucht, und für den Hinweis auf die hausärztlichen Stellungnahmen. Aufgrund der gegebenen Umstände waren die Fachärzte der SUVA in der Lage, die sich in medizinischer Hinsicht stellenden Fragen zur Kausalität gestützt auf die vorhandenen Akten zuverlässig zu beurteilen. Ihre Folgerungen sind mit dem kantonalen Gericht als überzeugender zu betrachten als die des Hausarztes, zumal sich dieser nicht widerspruchsfrei geäussert hat. Entgegen der in der Beschwerde weiter vertretenen Meinung, ist der medizinische Sachverhalt - auch mit bildgebenden Diagnoseverfahren - genügend abgeklärt. Soweit der Versicherte die Auffassung zu vertreten scheint, es sei die Durchführung einer funktionellen Magnetresonanztomographie (fMRT; englisch: functional magnetic resonance imaging, fmri) an der HWS erforderlich, kann ihm nicht gefolgt werden. Diese Untersuchungsmethode stellt, jedenfalls nach dem heutigen Stand der medizinischen Wissenschaft, kein geeignetes Beweismittel zur Beurteilung der Unfallkausalität von Beschwerden nach HWS-Traumen dar (BGE 134 V 231). Die übrigen Einwände des Versicherten sind ebenfalls weder im Einzelnen noch gesamthaft stichhaltig. Es kann auf die zutreffenden Erwägungen im vorinstanzlichen Entscheid verwiesen werden. Kantonales Gericht und Unfallversicherer haben demnach einen weiteren Leistungsanspruch zu Recht verneint.
4. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Juli 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz