Fatti:
A. Per decisione su opposizione 21 giugno 2010 la Cassa cantonale per gli assegni familiari del Cantone Ticino ha confermato il suo precedente provvedimento che negava, per difetto dei presupposti legali, il diritto di F._, divorziato, agli assegni familiari per il figlio P._, studente universitario, nato nel 1988, a partire dal 1° agosto 2009.
B. F._ si è aggravato al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino chiedendo il riconoscimento degli assegni familiari per il figlio P._ a far tempo dal 1° agosto 2009 e sino alla conclusione della formazione e/o al compimento del suo 25esimo anno di età.
Con pronuncia del 10 gennaio 2011, la Corte cantonale ha accolto il ricorso e, annullando la decisione su opposizione del 21 giugno 2010, ha riconosciuto a F._ il diritto alle chieste prestazioni anche dopo il 31 luglio 2009.
C. Sia la Cassa cantonale per gli assegni familiari sia l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali (UFAS) hanno presentato ricorso al Tribunale federale. Previa concessione dell'effetto sospensivo, la Cassa chiede in via principale l'annullamento del giudizio cantonale e la conferma della decisione su opposizione del 21 giugno 2010. Subordinatamente postula il rinvio degli atti alla precedente istanza per i suoi incombenti. Il tutto con protesta di spese e ripetibili. Per parte sua, l'UFAS domanda l'annullamento del giudizio impugnato e il rinvio della causa alla Corte cantonale per complemento istruttorio.
Chiamati ad esprimersi sul ricorso della Cassa, F._ ne ha postulato la reiezione protestando spese e ripetibili, mentre l'UFAS ha rinunciato a determinarsi. In relazione al ricorso dell'autorità di vigilanza, l'amministrazione ne propone l'accoglimento, mentre F._ ne chiede la reiezione, sempre con protesta di spese e ripetibili.
D. Con decreto del 13 aprile 2011 è stata respinta la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo formulata dall'amministrazione.
Diritto:
1. I ricorsi dell'amministrazione e dell'UFAS concernono fatti di ugual natura e pongono gli stessi temi di diritto materiale, per cui si giustifica la congiunzione delle cause e la pronuncia di una sola sentenza (DTF 128 V 124 consid. 1 pag. 126 e riferimenti).
2. Oggetto del contendere è il diritto di F._ agli assegni familiari per il figlio P._ anche dopo il 31 luglio 2009.
3. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Per il resto, il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF). Può scostarsi da questo accertamento solo qualora esso sia avvenuto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF (art. 105 cpv. 2 LTF).
4. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, cui si rinvia, l'autorità giudiziaria cantonale ha già esposto le norme disciplinanti la materia, rammentando in particolare come giusta l'art. 7 cpv. 1 della legge federale sugli assegni familiari (LAFam; in vigore dal 1° giugno 2009), qualora più persone abbiano diritto agli assegni familiari per lo stesso figlio in virtù di una regolamentazione federale o cantonale, il diritto spetta, nell'ordine, alla persona che esercita un'attività lucrativa (lett. a); alla persona che ha l'autorità parentale o che l'aveva fino alla maggiore età del figlio (lett. b); alla persona presso la quale il figlio vive prevalentemente o è prevalentemente vissuto fino alla maggiore età (lett. c); alla persona cui è applicabile l'ordinamento degli assegni familiari nel Cantone di domicilio del figlio (lett. d); alla persona con il reddito più elevato sottoposto all'AVS (lett. e).
5. La Cassa cantonale per gli assegni familiari ha negato il diritto di F._ alle prestazioni in lite dopo il 31 luglio 2009 in applicazione dell'art. 7 cpv. 1 lett. b LAFam, osservando che la sentenza di divorzio del 4 novembre 2004 attribuiva alla madre l'esercizio esclusivo dell'autorità parentale sul figlio P._ fino alla maggiore età. La Corte cantonale ha invece ritenuto che, a prescindere dalla questione di sapere se la madre di P._ esercitasse o meno un'attività lucrativa, erano in concreto dati i presupposti perché l'assegno di formazione continuasse a essere versato al padre.
6. Dagli atti di causa non risulta se la madre di P._ eserciti o meno un'attività lucrativa. Qualora l'interessata fosse professionalmente inattiva, il diritto agli assegni familiari spetterebbe al padre esercitante una tale attività (art. 7 cpv. 1 lett. a LAFam). Se per contro la madre dovesse svolgere un'attività lavorativa, gli assegni in lite spetterebbero a lei, avendole la sentenza di divorzio attribuito, all'epoca, l'esercizio esclusivo dell'autorità parentale su P._ (art. 7 cpv. 1 lett. b LAFam). Anche se quest'ultimo vive attualmento presso il padre, gli assegni di formazione sono in questa costellazione dovuti alla madre. Contrariamente a quanto ritenuto dalla Corte cantonale, l'art. 9 cpv. 1 LAFam si applica solo qualora gli assegni familiari non siano impiegati per provvedere alle necessità del figlio ai sensi dell'art. 2 LAFam, ciò che dev'essere tuttavia dimostrato. Un versamento degli assegni al padre potrebbe pertanto entrare in linea di conto soltanto se la madre, comprovatamente, non facesse beneficiare il figlio degli assegni di formazione percepiti. Nel suo ricorso, l'UFAS rileva a giusta ragione la possibilità per il figlio di chiedere, in virtù dell'art. 9 cpv. 2 LAFam, che gli assegni gli siano versati direttamente. Pure correttamente l'autorità di vigilanza ricorda che nel caso in cui la madre di P._ esercitasse un'attività lucrativa, F._ potrà, se del caso, pretendere il versamento della differenza di cui all'art. 7 cpv. 2 LAFam, norma, questa, che prevede che se i diritti agli assegni familiari del primo e del secondo avente diritto a norma del primo capoverso sono retti da ordinamenti di due diversi Cantoni, il secondo avente diritto ha diritto all'importo calcolato secondo l'aliquota legale minima applicabile nel suo Cantone, se maggiore di quella dell'altro.
Vuol inoltre essere aggiunto che F._ a torto ha continuato a percepire gli assegni per suo figlio durante il periodo dal 1° gennaio al 31 luglio 2009, versatigli in virtù del previgente diritto cantonale. In effetti, la LAFam non prevedeva un periodo transitorio; è divenuta appli-cabile con la sua entrata in vigore il 1° gennaio 2009. Gli argomenti sviluppati su questo tema dalla Corte cantonale non sono pertinenti. Di nessuna rilevanza è poi la tesi addotta dai primi giudici, secondo cui la madre di P._, non essendosi espressa in merito alla fattispecie, rimanendo silente, abbia implicitamente rinunciato a vantare pretese sul versamento dell'assegno di formazione. Non si può infatti derogare a una regolamentazione legale. Per quanto riguarda infine le affermazioni dell'istanza precedente relative all'art. 8 LAFam, giova precisare che il legislatore intendeva appunto chiarire la questione di sapere se gli assegni familiari dovessero essere versati in aggiunta ai contributi alimentari o meno, la LAFam essendo su questo punto lex specialis, prioritaria rispetto al Codice civile svizzero (CC).
7. Stante quanto precede, il giudizio della precedente istanza e la decisione su opposizione del 21 giugno 2010 devono essere annullati. Gli atti sono rinviati alla Cassa cantonale per gli assegni familiari per accertamento della situazione professionale della madre di P._ e per resa di un nuovo provvedimento.
8. Le spese seguono la soccombenza e sono poste a carico dell'opponente (art. 66 cpv. 1 LTF). Nessuna indennità per ripetibili è per contro assegnata all'amministrazione ricorrente (art. 68 cpv. 3 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Le cause 8C_123/2011 e 8C_132/2011 sono congiunte.
2. I ricorsi sono accolti nel senso che, annullati il giudizio cantonale impugnato del 10 gennaio 2011 e la decisione su opposizione 21 giugno 2010 della Cassa cantonale per gli assegni familiari del Cantone Ticino, gli atti sono rinviati a quest'ultima affinché proceda conformemente ai considerandi.
3. Le spese giudiziarie, fissate in complessivi fr. 750.-, sono poste a carico dell'opponente.
4. Non si assegnano ripetibili.
5. Comunicazione alle parti e al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino.