Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer, gegen den im Kanton Zug ein Verfahren wegen Mordes, Raubes und Brandstiftung geführt wird, reichte am 24. Oktober bzw. 6. November 2012 bei der Staatsanwaltschaft eine Strafanzeige ein gegen eine Staatsanwältin und mehrere Personen der Polizei wegen verschiedener Straftaten gegen die Ehre, gegen die Freiheit, gegen die Amts- und Berufspflicht sowie wegen Urkundenfälschung. Ausserdem sei ein ausserordentlicher Staatsanwalt mit der Untersuchung zu betrauen, "da man bei der Zuger Staatsanwaltschaft offensichtlich nicht gegen die Mitglieder der Zuger Strafuntersuchungsbehörden ermittelt".
Am 13. Mai 2013 nahm die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug die Strafuntersuchung nicht an die Hand. Das Obergericht des Kantons Zug trat am 8. August 2013 auf eine Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung nicht ein. Ein Ausstandsgesuch gegen den leitenden Staatsanwalt, der die Nichtanhandnahmeverfügung unterschrieben hatte, wies das Gericht ab.
Der Beschwerdeführer beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts vom 8. August 2013 sei aufzuheben. Es seien das Ausstandsgesuch gegen den Staatsanwalt gutzuheissen und die Einsetzung eines ausserkantonalen Staatsanwalts anzuordnen.
2.
Die Beschwerde richtet sich nur gegen die Abweisung des Ausstandsgesuchs gegen den Staatsanwalt. Dieser hatte bereits in einem anderen Verfahren gegen Unbekannt wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses am 13. September 2010 eine Einstellungsverfügung erlassen und im Juli 2010 aufgrund der Ferienabwesenheit eines Kollegen im Verfahren gegen den Beschwerdeführer wegen Mordes, Raubes und Brandstiftung für zwei Wochen die Verfahrensleitung übernommen. Der Beschwerdeführer schloss daraus, dass die Ausstandsgründe von Art. 56 lit. a, b und f StPO erfüllt seien. Die Vorinstanz verneint dies, worauf in Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG verwiesen werden kann (vgl. Urteil S. 3/4 E. 3).
Zunächst ist festzuhalten, dass die drei Fälle teilweise verschiedene Personen und unabhängige Vorwürfe betrafen und der Staatsanwalt deshalb nicht in der gleichen Sache tätig wurde (Art. 56 lit. b StPO). Ausgeschlossen werden kann auch, dass zwischen ihm und dem Beschwerdeführer eine Feindschaft besteht, die den Anschein von Befangenheit zu begründen vermöchte (Art. 56 lit. f StPO). Zu prüfen ist nur, ob davon ausgegangen werden muss, dass der Staatsanwalt am Ausgang der vorliegenden Sache ein persönliches Interesse hat (Art. 56 lit. a StPO).
Dass die Voraussetzungen von Art. 56 lit. a StPO erfüllt wären, vermag der Beschwerdeführer nicht darzulegen (vgl. Beschwerde S. 4/5). Insbesondere trifft nicht zu, dass bereits die "zeitgleiche Verfahrensführung" der Fälle für sich "offensichtlich" ein persönliches Interesse an deren Ausgang belegen würde. Der Beschwerdeführer äussert nur Kritik an der "Ermittlungsarbeit" des Staatsanwalts, die insbesondere im Verfahren gegen Unbekannt betreffend Verletzung des Amtsgeheimnisses mangelhaft gewesen sei. Abgesehen davon, dass er gegen die Einstellungsverfügung vom 13. September 2010 die ihm zustehenden Rechtsmittel ergreifen konnte, ist von vornherein nicht ersichtlich, inwieweit die behaupteten Ermittlungsmängel im Verfahren betreffend Verletzung des Amtsgeheimnisses einen "eindeutigen Beweis" für ein persönliches Interesse des Staatsanwalts am Ausgang des vorliegenden Verfahrens darstellen könnten. Insbesondere ist nicht zu sehen, aus welchem Grund ein ausserordentlicher Staatsanwalt, der im vorliegenden Verfahren eingesetzt worden wäre, "garantiert" Anlass gehabt hätte, auch das Verfahren betreffend Verletzung des Amtsgeheimnisses nochmals auf Mängel hin zu prüfen. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen.
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das nachträglich gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers (vgl. act. 9) ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, Strafabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, vom 22. Oktober 2013
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Mathys
Der Gerichtsschreiber: Monn