Das Bundesgericht stellt fest und zieht in Erwägung:
Das Bundesgericht stellt fest und zieht in Erwägung:
1. A._ ist Basler Bürgerin und wohnt in Frankreich. Sie ersuchte am 15. Mai 2002 in Basel um Beiträge für eine Ausbildung in Strassburg. Das baselstädtische Amt für Ausbildungsbeiträge und die kantonale Kommission für Ausbildungsbeiträge lehnten das Gesuch am 6. November 2002 bzw. 7. Juli 2003 ab. Demgegenüber bejahte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Urteil vom 19. Dezember 2003 grundsätzlich den Stipendiumsanspruch und wies die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Kommission zurück.
Diese gewährte der Gesuchstellerin am 25. Februar 2004 für die Ausbildungsjahre 2002/2003 und 2003/2004 je ein Stipendium von Fr. 10'400.--; die Auszahlung machte sie aber vom Nachweis der erfolgreichen Absolvierung des ersten Ausbildungsjahres bzw. des ersten Semesters des zweiten Jahres (Prüfungsresultate und Referenzen) abhängig. Gegen diese Auflage rekurrierte die Gesuchstellerin (bzw. der sie vertretende Vater) erneut an das Appellationsgericht. Gemäss Rekursantwort der Kommission vom 18. Mai 2004 war der geforderte Nachweis inzwischen erbracht und das Stipendium ausbezahlt worden (dasjenige für 2003/2004 werde am 1. Juni 2004 ausgerichtet), weshalb der Rekurs gegenstandslos sei. Dies verneinte die Gesuchstellerin auf Anfrage des Appellationsgerichts und ersuchte, replizieren zu können; ihre Eingabe übergab sie am 7. Juni 2004 und damit am letzten Tag der vom Gericht gesetzten Frist zur Stellungnahme in Frankreich der Post (Eingang beim Gericht: 16. Juni 2004). Eine Replik ging am 23. Juni 2004 beim Appellationsgericht ein; dieses hatte jedoch das Rekursverfahren bereits mit Urteil vom 21. Juni 2004 (Zustellung: 27. August 2004) als gegenstandslos abgeschrieben.
Gegen diesen Abschreibungsentscheid richtet sich die vorliegende staatsrechtliche Beschwerde vom 24. September 2004. Das Appellationsgericht und die Kommission für Ausbildungsbeiträge beantragen, die Beschwerde abzuweisen (soweit darauf einzutreten sei). Mit Eingabe vom 24. Januar 2005 hat die Beschwerdeführerin unaufgefordert eine Replik eingereicht, in welcher sie um Sistierung des Verfahrens bis zum Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ersucht.
Gegen diesen Abschreibungsentscheid richtet sich die vorliegende staatsrechtliche Beschwerde vom 24. September 2004. Das Appellationsgericht und die Kommission für Ausbildungsbeiträge beantragen, die Beschwerde abzuweisen (soweit darauf einzutreten sei). Mit Eingabe vom 24. Januar 2005 hat die Beschwerdeführerin unaufgefordert eine Replik eingereicht, in welcher sie um Sistierung des Verfahrens bis zum Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ersucht.
2. Es besteht kein Anlass zur Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels, der im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nur ausnahmsweise stattfindet (Art. 93 Abs. 3 OG). Die Replik vom 24. Januar 2005 kann daher nicht berücksichtigt werden. Da die Beschwerdeschrift nach Ablauf der Beschwerdefrist nicht mehr ergänzt werden kann, besteht auch kein Grund, das Verfahren zu sistieren, bis über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung entschieden ist. Über dieses Gesuch kann im vorliegenden Urteil befunden werden (vgl. E. 4).
2. Es besteht kein Anlass zur Anordnung eines zweiten Schriftenwechsels, der im Verfahren der staatsrechtlichen Beschwerde nur ausnahmsweise stattfindet (Art. 93 Abs. 3 OG). Die Replik vom 24. Januar 2005 kann daher nicht berücksichtigt werden. Da die Beschwerdeschrift nach Ablauf der Beschwerdefrist nicht mehr ergänzt werden kann, besteht auch kein Grund, das Verfahren zu sistieren, bis über das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung entschieden ist. Über dieses Gesuch kann im vorliegenden Urteil befunden werden (vgl. E. 4).
3. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit überhaupt darauf einzutreten ist, und kann im vereinfachten Verfahren nach Art. 36a OG erledigt werden:
3.1 Mit ihrem Rekurs ersuchte die Beschwerdeführerin das Appellationsgericht, ihr bei der Vollstreckung des Urteils vom 19. Dezember 2003 zu helfen und die Verwaltung anzuweisen, "den inzwischen amtlich festgelegten Betrag von 10'400 Franken pro Studienjahr (total Fr. 20'800 für zwei Jahre) unverzüglich zu überweisen". Weitere Rechtsbegehren stellte sie nicht; insbesondere machte sie keine Verzugszinsen geltend (vgl. dazu Urteil 2P.36/2000 vom 3. Juli 2000, E. 3b), namentlich nicht solche seit dem 6. November 2002, dem Zeitpunkt, in dem das Stipendiumsgesuch abgelehnt worden war; sie verlangte auch keinen Schadenersatz für Umtriebe im ersten Verfahren vor dem Appellationsgericht bzw. für den Prozess, den sie in der gleichen Sache vor dem Zivilgericht Basel-Stadt eingeleitet hat.
Es ist unbestritten, dass die Stipendienbeträge inzwischen bezahlt worden sind. Damit wurde der Rekurs aber in der Tat gegenstandslos, hatte die Beschwerdeführerin doch erreicht, was sie mit ihrem (einzigen) Rekursbegehren verlangt hatte. Zwar erscheint das Vorgehen des Appellationsgerichts in verfahrensrechtlicher Hinsicht möglicherweise insofern nicht völlig korrekt, als es die Replik nicht berücksichtigte (vgl. dazu auch § 21 Abs. 1 des Basler Gesetzes vom 14. Juni 1928 über die Verwaltungsrechtspflege in Verbindung mit § 34b der Basler Zivilprozessordnung vom 8. Februar 1875 betreffend die Möglichkeit der Wiedereinsetzung in den vorigen Stand nach Fristversäumnis); auch kann man sich durchaus fragen, ob die Kommission für Ausbildungsbeiträge zu Recht erneut Studienausweise verlangte. Der angefochtene Abschreibungsbeschluss kann aber entgegen der Beschwerdeführerin nicht als willkürlich zu bezeichnet werden, zumal weder das Gericht noch die erste Instanz ihr Kosten auferlegt haben.
3.2 Was die Beschwerdeführerin hiergegen weiter einwendet, überzeugt nicht:
3.2.1 Sie macht geltend, die Familie habe noch sieben weitere Kinder, die Gefahr liefen, "später einmal Opfer des amtlichen Schneckenganges zu werden, ohne für die Verspätung und die Mühen des Papierkrieges entschädigt zu werden". Ob sich daraus ein schutzwürdiges Rechtsschutzinteresse ableiten lässt, ist fraglich, kann aber offen bleiben: Seit dem 8. August 2004 können im Ausland lebende Bürger des Kantons Basel-Stadt nur noch für Ausbildungen in der Schweiz Ansprüche geltend machen (vgl. § 4 Ziff. 3 des Basler Gesetzes vom 12. Oktober 1967 betreffend Ausbildungsbeiträge [in der Fassung des Grossratsbeschlusses vom 23. Juni 2004]). Aufgrund dieser Gesetzesänderung wird sich die Rechtslage für die weiteren Kinder der Familie der Beschwerdeführerin in Zukunft nicht mehr gleich darstellen.
3.2.2 Ebenso kann letztlich dahingestellt bleiben, ob das Appellationsgericht der Beschwerdeführerin die Frist zur Einreichung der Replik hätte verlängern bzw. die Replikschrift vom 21. Juni 2004 hätte berücksichtigen müssen: Diese Eingabe war zum vornherein ungeeignet, an der Gegenstandslosigkeit des Rekurses etwas zu ändern; sie enthielt zu dieser Frage auch keine sachbezogenen Äusserungen.
3.2.2 Ebenso kann letztlich dahingestellt bleiben, ob das Appellationsgericht der Beschwerdeführerin die Frist zur Einreichung der Replik hätte verlängern bzw. die Replikschrift vom 21. Juni 2004 hätte berücksichtigen müssen: Diese Eingabe war zum vornherein ungeeignet, an der Gegenstandslosigkeit des Rekurses etwas zu ändern; sie enthielt zu dieser Frage auch keine sachbezogenen Äusserungen.
4. Die staatsrechtliche Beschwerde ist damit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (einschliesslich Rechtsverbeiständung) ist wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren ebenfalls abzulehnen (vgl. Art. 152 OG). Demnach wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig, wobei die finanziellen Verhältnisse zu berücksichtigen sind (Art. 153, 153a und 156 Abs. 1 OG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 159 OG).
Demnach erkennt das Bundesgericht
im Verfahren nach Art. 36a OG:
im Verfahren nach Art. 36a OG:
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
1. Die staatsrechtliche Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung wird abgewiesen.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung wird abgewiesen.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- wird der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kommission für Ausbildungsbeiträge des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht sowie dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Februar 2005
Im Namen der II. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: