Faits:
A. A._, né en 1972, originaire de E._ (Fribourg), et dame A._, née en 1972, de nationalité française, se sont mariés le 2 décembre 1994 à B._ (Genève). Ils ont eu un enfant, prénommé C._, né en 1996 à F._ (Genève).
Dame A._ a été reçue dans le droit de cité de son mari le 25 août 1999.
B. En novembre 2003, les époux se sont domiciliés à D._, dans le département de l'Ain (France), où ils avaient acquis une maison.
A._ a quitté le domicile conjugal le 1er septembre 2008 et a pris à bail un appartement à B._ (Genève) dès le 1er octobre suivant.
Dans l'intervalle, le 25 juillet 2008, il avait saisi le Tribunal de Grande-Instance de Bourg-en Bresse d'une requête en divorce. Dans le cadre de cette procédure, le juge français aux affaires familiales a rendu, le 4 novembre 2008, une ordonnance de non-conciliation, déclarée exécutoire par provision, nonobstant appel, par laquelle il a statué sur mesures provisoires. Il a notamment attribué le logement familial à l'épouse, constaté l'exercice en commun de l'autorité parentale, fixé la résidence habituelle de l'enfant chez sa mère, à D._, et réglé le droit de visite du père, dont il a fixé la part contributive à l'entretien et l'éducation de son fils à 400 EUR.
C. En juin 2009, dame A._ s'est installée, avec l'enfant, à Genève.
Le 6 juillet 2009, elle y a requis des mesures protectrices de l'union conjugale, que le Tribunal de première instance de Genève a traitées comme mesures provisoires qu'elle a rejetées par jugement du 14 janvier 2010.
Le 18 juin 2010, sur appel de dame A._, la Chambre civile de la Cour de justice a annulé ce prononcé et, statuant à nouveau, a attribué la garde de l'enfant à la mère, réservé un droit de visite en faveur du père qu'elle a par ailleurs condamné au versement, dès le 6 juillet 2009, d'une contribution à l'entretien de sa famille de 2'200 fr., allocations familiales non comprises.
D. Agissant par la voie du recours en matière civile le 20 juillet 2010, A._ conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal en tant qu'il statue sur son obligation d'entretien.
L'intimée propose le rejet du recours. L'autorité cantonale se réfère à ses considérants.
E. Par ordonnance du 4 août 2010, la Présidente de la IIe Cour de droit civil a admis la demande d'effet suspensif en ce qui concerne les contributions d'entretien dues en vertu de l'arrêt attaqué jusqu'au 30 juin 2010 et l'a rejetée pour le surplus.
Considérant en droit:
1. Le prononcé de mesures provisoires, ordonné sur la base de l'art. 137 al. 2 CC, est une décision en matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF. Bien que provisoire et sans effet sur le fond, elle est finale au sens de l'art. 90 LTF, dès lors que son objet est différent de celui de la procédure au fond et qu'elle met fin à l'instance sous l'angle procédural (ATF 134 III 426 consid. 2.2 p. 431 et les références). Seule la contribution d'entretien en faveur de la famille est litigieuse en l'espèce. Il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire (ATF 133 III 393 consid. 2), dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, 74 al. 1 let. b LTF).
Le recours a en outre été interjeté dans le délai prévu par la loi (art. 100 al. 1 LTF), contre une décision rendue en dernière instance cantonale par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 LTF). Il est donc en principe recevable.
2. Comme l'acte attaqué porte sur des mesures provisionnelles (ATF 133 III 393 consid. 5.1 in fine p. 396 et la jurisprudence citée), seule peut être invoquée la violation de droits constitutionnels (art. 98 LTF).
Le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits constitutionnels que si un tel moyen est invoqué et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88 et les arrêts cités). Le recourant qui se plaint d'arbitraire ne saurait, dès lors, se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente, mais il doit démontrer, par une argumentation précise, que cette décision se fonde sur une application de la loi ou une appréciation des preuves insoutenables (ATF 133 II 396 consid. 3.2 p. 400); les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 III 589 consid. 2 p. 591/592 et les arrêts cités).
3. En l'espèce, l'intimée a requis des mesures protectrices de l'union conjugale en Suisse - Etat où elle est domiciliée depuis juin 2009 - après que le recourant eut ouvert action en divorce à l'étranger (France) et obtenu, dans ce cadre, en novembre 2008, des mesures provisoires réglant la vie séparée (attribution du logement familial, garde, droit de visite et contribution en faveur de l'enfant). La cause présentant des éléments d'extranéité, il se justifiait d'examiner la compétence locale des tribunaux genevois.
Le recourant ne conteste à juste titre pas que, dans une telle affaire, à caractère international, dès qu'une action en divorce est pendante devant un tribunal compétent, seules des mesures provisoires - à l'exclusion de mesures protectrices de l'union conjugale - peuvent être ordonnées (ATF 134 III 326 consid. 3.2 p. 328). Il ne critique pas non plus les considérations selon lesquelles la compétence des tribunaux suisses pour ordonner des mesures provisoires ne peut découler de l'art. 62 al. 1 LDIP, dès lors qu'aucune procédure de divorce n'est pendante en Suisse (ATF 134 précité, ibidem). Il s'en prend en revanche à l'arrêt entrepris en tant qu'il admet la compétence des tribunaux genevois pour régler son obligation d'entretien envers la famille et statue sur ces aliments. Dans ce cadre, il se plaint plus précisément d'une violation de son droit à une décision motivée, découlant du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.). Il se prévaut en outre d'une application arbitraire de l'art. 10 LDIP et du droit applicable aux mesures provisoires de l'art. 137 CC.
4. Sous l'angle du droit d'être entendu, le recourant reproche en bref à la Cour de justice d'avoir admis sa compétence pour ordonner les mesures provisoires sur la base de l'art. 10 LDIP, sans avoir indiqué sur laquelle des hypothèses retenues par la jurisprudence elle fondait sa saisine.
4.1 Aux termes de l'art. 10 LDIP, les autorités judiciaires ou administratives suisses peuvent ordonner des mesures provisoires, même si elles ne sont pas compétentes pour connaître du fond.
Selon la jurisprudence, la compétence de l'art. 10 LDIP est donnée aux autorités judiciaires suisses, alors même qu'une action en divorce est pendante à l'étranger, dans cinq hypothèses: quand le droit que doit appliquer le tribunal étranger ne connaît pas une réglementation analogue à celle de l'art. 137 CC; quand les mesures ordonnées par le tribunal étranger ne peuvent pas être exécutées au domicile de la ou des parties en Suisse; quand doivent être ordonnées des mesures pour garantir une exécution future sur des biens sis en Suisse; quand il y a péril en la demeure; quand on ne saurait espérer que le tribunal étranger prendra une décision dans un délai convenable (ATF 134 III 326 consid. 3.5.1 p. 330).
4.2 Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de nature formelle, dont la violation entraîne l'annulation de la décision attaquée sans égard aux chances de succès du recours sur le fond (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437). Ce moyen doit par conséquent être examiné en premier lieu (ATF 124 I 49 consid. 1 p. 50) et avec un plein pouvoir d'examen (ATF 127 III 193 consid. 3 p. 194 et la jurisprudence citée).
Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. implique notamment pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision. Selon la jurisprudence, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (ATF 133 III 439 consid. 3.3 p. 445 et les arrêts cités). L'autorité n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais elle peut au contraire se limiter à ceux qui lui paraissent pertinents (ATF 133 I 270 consid. 3.1 p. 277; 130 II 530 consid. 4.3 p. 540; 126 I 97 consid. 2b).
4.3 Dans le cas particulier, ainsi que s'en plaint le recourant, on cherche vainement dans l'arrêt entrepris laquelle des hypothèses posées par la jurisprudence à l'application de l'art. 10 LDIP (supra, consid. 4.1) a conduit la Chambre civile à admettre la compétence des autorités genevoises pour régler provisoirement l'obligation d'entretien de la famille, seul point contesté devant la cour de céans.
A la lecture de l'arrêt cantonal, les considérations fondant la compétence litigieuse tant sur la Convention de La Haye du 19 octobre 1996 concernant la compétence, la loi applicable, la reconnaissance, l'exécution et la coopération en matière de responsabilité parentale et de mesures de protection des enfants (RS 0.211.231.011), réservée par l'art. 85 al. 1 LDIP dans sa teneur modifiée au 1er juillet 2009, que sur la Convention du 5 octobre 1961 concernant la compétence des autorités et la loi applicable en matière de protection des mineurs (RS 0.211.231.01), à laquelle renvoyait l'ancien art. 85 al. 1 LDIP, ne se rapportent qu'au règlement de la garde et des relations personnelles (sur la portée de la Convention de La Haye cf. notamment: ATF 132 III 586 consid. 2.2.1 p. 590 et les références; arrêt 5A_220/2009 du 30 juin 2009 publié à la SJ 2010 I p. 169; arrêt 5C.192/1998 publié à la SJ 1999 I p. 222). S'agissant de la contribution d'entretien en faveur de l'épouse (sur ce point: cf. ATF 134 III 326) et de l'enfant, il est impossible de déterminer si la Cour de justice a entendu fonder la compétence des tribunaux genevois sur l'une des hypothèses de l'art. 10 LDIP. L'exposé relatif à cette disposition n'est en effet assorti d'aucune subsomption.
Cela étant, le recours doit être admis pour violation du droit d'être entendu, l'arrêt attaqué être annulé et la cause être renvoyée pour nouvelle décision dans le sens des considérants, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs pris de l'application arbitraire du droit.
5. Compte tenu de l'issue du litige, les frais et dépens sont mis à la charge de l'intimée, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Une indemnité de 2'000 fr., à payer au recourant à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimée.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 17 mars 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Jordan