Faits:
A. S._, née en 1965, travaillait en qualité d'employée pour l'entreprise X._ SA. A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accidents auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 19 mai 2007, elle a été victime d'un accident. Alors qu'elle circulait au volant de sa voiture, elle a perdu la maîtrise de son véhicule à une vitesse peu élevée, dans un virage. Elle a souffert de douleurs à la nuque ainsi que de troubles ostéo-musculaires nécessitant le port d'une collerette en mousse et la prise d'analgésiques et d'AINS systémiques (traitement anti-inflammatoire non stéroïdien). La CNA a pris le cas en charge.
Consulté un mois plus tard, le docteur M._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a posé le diagnostic de distorsion de la colonne cervicale (rapport du 26 juin 2007). Il a adressé l'assurée à son confrère, le docteur O._, spécialiste en neurologie. Celui-ci a fait état d'un syndrome cervico-radiculaire C7 non déficitaire, lequel ne devait pas entraîner une longue poursuite de l'arrêt des activités professionnelles de l'assurée (rapport du 29 juin 2007). Une IRM cervicale pratiquée le 4 juillet 2007 n'a pas mis en évidence de lésion significative du rachis cervical.
Du 12 mars au 9 avril 2008, S._ a séjourné à la Clinique Y._. Une évaluation multidisciplinaire n'a pas permis de retenir la présence de lésion neurologique. Du point de vue psychiatrique, la présence d'un trouble de l'adaptation avec réaction anxieuse a été constatée (rapport du 8 mai 2008). Dans l'intervalle, le diagnostic d'épisode dépressif moyen (F 32.2) a été posé par le docteur L._, psychiatre traitant (rapport du 6 mai 2008). Une IRM cérébrale et des rochers pratiquée le 21 août 2008 n'a pas révélé d'anomalie. Le 20 novembre 2008, S._ a été examinée par le médecin d'arrondissement de la CNA, le docteur R._.
Par décision du 9 décembre 2008, confirmée sur opposition le 21 août 2009, la CNA a mis un terme au versement des prestations d'assurance avec effet au 31 décembre 2008. Elle a estimé qu'à partir de cette date, il n'existait pas de lien de causalité adéquate entre les troubles présentés par l'assurée et l'accident.
B. Saisi d'un recours de S._ contre la décision sur opposition de la CNA, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel, Cour des assurances sociales (aujourd'hui: Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public) l'a rejeté par jugement du 29 septembre 2010.
C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation en concluant, sous suite de frais et dépens, à titre principal, à que le Tribunal fédéral admette l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident assuré et les troubles psychiques dont elle souffre et lui octroie par conséquent des indemnités journalières, voire une rente d'invalidité. A titre subsidiaire, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. En outre, elle requiert l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite.
D. Par ordonnance du 16 mars 2011, le Tribunal fédéral a rejeté cette demande au motif que les conclusions du recours paraissaient vouées à l'échec. Il a fixé un délai à S._ pour verser l'avance de frais. La prénommée s'est exécutée dans le délai imparti.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si la CNA était fondée, par sa décision sur opposition du 21 août 2009 à supprimer le droit de la recourante aux prestations de l'assurance-accidents à partir du 1er janvier 2009.
2. Compte tenu de l'objet du litige, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits constatés en instance cantonale (art. 97 al. 2 et 105 al 3 LTF).
3. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière ( ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance ( ATF 129 V 177 consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
4. En l'espèce, les premiers juges ont fait application des critères objectifs définis par la jurisprudence pour examiner le caractère adéquat du lien de causalité entre une atteinte à la santé psychique et un accident de gravité moyenne (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409). La recourante ne conteste pas ce choix. Elle ne conteste pas non plus la qualification d'accident de gravité moyenne retenue par les premiers juges (pour comparaison voir arrêts 8C_182/2009 du 8 décembre 2009 consid. 8.2; arrêt 8C 767/2009 du 3 août 2010 consid. 4.2; arrêt 8C_978/2009 du 14 janvier 2011 consid. 5.3 ainsi que la casuistique en matière de circulation routière mentionnée à la RAMA 2005 n° U 555 p. 322, U 458/04 consid. 3.4.1).
5. 5.1 Pour qu'un lien de causalité adéquate entre les troubles psychiques et un accident de gravité moyenne soit admis, il faut que les critères objectifs posés par la jurisprudence en la matière se cumulent ou revêtent une intensité particulière (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409; cf. arrêt 8C_788/2008 du 4 mai 2009 consid. 2).
5.2 A juste titre les premiers juges ont considéré qu'aucun de ces critères n'était rempli. En particulier, contrairement à ce que soutient la recourante, on ne saurait admettre que l'accident présentait un caractère dramatique. Non seulement la recourante roulait-elle à une vitesse peu élevée, mais en outre aucune autre personne ou automobile n'a été impliquée dans l'accident. Pour le reste, il suffit de renvoyer au considérant 3b du jugement cantonal. D'ailleurs, le recours est à la limite de la recevabilité, la recourante reprenant pratiquement mot pour mot l'argumentation soulevée devant la juridiction cantonale sans vraiment discuter les motifs de celle-ci en réponse aux griefs présentés devant elle. Dans ces conditions on peut douter que l'exigence d'une motivation topique soit satisfaite (cf. ATF 134 II 244 consid. 2.3 p. 247).
6. Manifestement infondé, le recours doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'art. 109 al. 2 let. a LTF. La recourante, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1, 1ère phrase, LTF). Pour le même motif, elle n'a pas droit aux dépens qu'elle prétend.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 14 juillet 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
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