Fatti:
A. K._, nato nel 1966, il 18 giugno 2007 ha annunciato alla Helsana Assicurazioni SA, tramite l'avv. Rossano Pinna, le turbe psichiche di cui è affetto, dovute, a suo dire, all'evento traumatico causato dagli arresti dei quali è rimasto vittima a seguito di un errore di persona, avvenuti rispettivamente il 30 novembre 2005 e il 22 aprile 2006.
Mediante decisione dell'11 settembre 2007, sostanzialmente confermata il 12 dicembre seguente anche in seguito all'opposizione dell'interessato, la Helsana ha negato il proprio obbligo di prestazioni per difetto del necessario nesso di causalità adeguata tra il danno alla salute e gli avvenimenti annunciati.
B. Adito dall'assicurato, rappresentato dall'avv. Pinna, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino, statuendo per giudice unico, ha respinto il gravame e confermato l'operato dell'assicuratore infortuni (pronuncia del 16 giugno 2008).
C. Sempre patrocinato dall'avv. Pinna, K._ ha deferito il giudizio cantonale al Tribunale federale, al quale, protestate spese e ripetibili, chiede di annullarlo e, in via principale, di rinviare gli atti alla Helsana affinché, previo complemento istruttorio, si pronunci nuovamente in merito all'oggetto della vertenza e renda un nuovo provvedimento; in via subordinata postula di riconoscere i presupposti di un infortunio ai sensi dell'art. 4 LPGA e di obbligare l'assicuratore ad erogare le prestazioni di legge.
La Helsana propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. 1.1 Il ricorso in materia di diritto pubblico (art. 82 LTF) può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. Il ricorrente può censurare l'accertamento dei fatti soltanto se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF e l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 e 105 cpv. 1 e 2 LTF). Se, tuttavia, come in concreto, il ricorso è diretto contro una decisione d'assegnazione o rifiuto di prestazioni pecuniarie dell'assicurazione militare o dell'assicurazione contro gli infortuni, può essere censurato qualsiasi accertamento inesatto o incompleto dei fatti giuridicamente rilevanti (art. 97 cpv. 2 LTF); il Tribunale federale in tal caso non è vincolato dall'accertamento dei fatti operato dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 3 LTF).
1.2 Per il resto, il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto (art. 106 cpv. 1 LTF). Esso esamina tuttavia la violazione di diritti fondamentali e di disposizioni di diritto cantonale e intercantonale soltanto se il ricorrente ha sollevato e motivato tale censura (art. 106 cpv. 2 LTF).
2. Oggetto del contendere è la questione di sapere se a ragione l'autorità giudiziaria cantonale, confermando l'operato dell'assicuratore infortuni, abbia negato il diritto del ricorrente all'erogazione di prestazioni assicurative a dipendenza dei gravi disturbi psichici che incontestatamente lo affliggono.
3. Nei considerandi dell'impugnata pronuncia, la precedente istanza ha già correttamente esposto i criteri sviluppati dalla giurisprudenza in materia di trauma psichico, rammentando in particolare i requisiti per ammettere l'esistenza di un nesso di causalità adeguata - presupposto indispensabile per l'erogazione di prestazioni da parte dell'assicuratore infortuni - tra infortunio e danno alla salute psichica. A tale esposizione può essere fatto riferimento e prestata adesione, non senza ribadire che, ai sensi dell'art. 4 LPGA, per infortunio si intende qualsiasi influsso dannoso, improvviso e involontario, apportato al corpo umano da un fattore esterno straordinario che comprometta la salute fisica, mentale o psichica o provochi la morte. Gli elementi costitutivi dell'infortunio devono essere realizzati cumulativamente (Jean-Maurice Frésard/Margit Moser-Szeless, L'assurance-accidents obligatoire, in Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 2a ed., n. 57).
4. 4.1 Per la giurisprudenza, un trauma psichico costituisce infortunio se è la conseguenza di un avvenimento di particolare violenza, avvenuto alla presenza dell'assicurato e atto a turbare immediatamente l'equilibrio psichico non solo di persone che godono di costituzione psichica sana, ma anche di soggetti in grado di sopportare in maniera limitata determinati schock nervosi, provocando reazioni di angoscia e di terrore (come paralisi, palpitazioni, confusione mentale o altri disturbi psichici). Per essere qualificato di infortunio, il trauma psichico deve, tra l'altro, scaturire dall'azione di un fattore esterno straordinario, il quale deve eccedere il quadro degli avvenimenti e delle situazioni che si possono, oggettivamente, considerare quotidiani o usuali. Come di regola, anche nell'ipotesi di un trauma psichico, la straordinarietà non concerne gli effetti, ma il fattore medesimo. Solo degli avvenimenti straordinari atti a suscitare terrore e che provocano shock psichici a loro volta straordinari configurano un fattore esterno straordinario costitutivo d'infortunio (DTF 129 V 177 consid. 2.1 pag. 179, 404 consid. 2.1 e i riferimenti ivi citati; sentenza U 548/06 del 20 settembre 2007 consid. 2.2, in SVR 2008 UV n. 7 pag. 22).
4.2 L'esistenza di simili avvenimenti paragonabili ad infortunio può ammettersi ad esempio in presenza di uno spavento improvviso dovuto a un incendio o a un terremoto catastrofali, a incidenti ferroviari o aerei vissuti in prima persona, a incidenti gravi della circolazione, al crollo di un ponte, al lancio di una bomba, a una rapina o ad altre situazioni di pericolo di morte improvvisa (STFA 1939 pag. 117 consid. 4 e 5; Alexandra Rumo-Jungo, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum Sozialversicherungsrecht, Bundesgesetz über die Unfallversicherung, 3a ed., pag. 29 e 33). È stato inoltre considerato infortunio un trauma psichico subito da un macchinista di un treno che si era reso conto di aver investito una persona sdraiatasi sui binari (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni U 93/88 del 20 aprile 1990, in RAMI 1990 no. U 109 pag. 300), non tuttavia quello subito da una persona sotto schock emotivo in seguito ad un incidente della circolazione in cui si erano verificati unicamente danni materiali (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni U 7/90 del 15 maggio 1991, in RAMI 1991 no. U 128 pag. 225; Alexandra Rumo-Jungo, op. cit., pag. 39). Le condizioni di un infortunio non sono realizzate neppure nel caso di un'assicurata vittima di uno scherzo da parte di un collega di lavoro che l'aveva sorpresa da tergo afferrandola alle spalle (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni U 206/99 del 24 gennaio 2000, in SJ 2000 II pag. 439). Recentemente, è stata negata la qualifica di infortunio con riferimento ad un autista il quale, per superare un camion, ha urtato un pneumatico che giaceva sull'autostrada, soffrendo in seguito di attacchi di panico e claustrofobia (sentenza 8C_341/2008 del 25 settembre 2008).
5. Nell'impugnata pronuncia, la Corte cantonale ha ritenuto che gli arresti del 2005 e del 2006 non costituivano un infortunio ai sensi dell'art. 4 LPGA. Inoltre, anche volendo ammettere l'esistenza di un evento di straordinaria e particolare violenza, atto a causare uno shock emozionale, e considerare che l'affezione psichica dell'assicurato ne sia una naturale conseguenza, l'esito della vertenza non potrebbe essere diverso, difettando in casu l'adeguatezza del nesso di causalità.
K._ sostiene invece che i due successivi arresti abbiano il carattere di evento terrificante e straordinario e siano da considerare come la causa adeguata dei disturbi psichici di cui è affetto.
6. 6.1 A mente dell'insorgente, i problemi di natura psichica basterebbero di per sé a provare che egli ha vissuto con terrore gli eventi annunciati. Tale argomentazione non può essere condivisa da questa Corte. Non è lo stato psichico posteriore che attribuisce all'accaduto il carattere violento, bensì l'avvenimento stesso deve essere di natura tale a suscitare sconvolgimento e ansia nella persona dell'assicurato (cfr. David Weiss, Die Qualifikation eines Schreckereignisses als Unfall nach Art. 4 ATSG, in RSAS 2007 pag. 47 e 51).
Nella fattispecie, contrariamente a quanto fatto valere dal ricorrente, non emergono elementi atti a provare il carattere terrificante dei due arresti. Durante questi ultimi alcun atto di violenza è stato perpetrato ai danni di K._. Nel primo caso, malgrado lo spavento iniziale, egli è stato rilasciato dopo una detenzione di pressappoco una settimana, durante la quale, sottoposto a un interrogatorio di un'ora e venti svoltosi lo stesso giorno dell'arresto, ha avuto modo di contattare in breve tempo il Consolato di Bosnia a Berna e di ottenere l'immediata collaborazione delle autorità svizzere, mentre nel secondo è stato direttamente trasportato in una clinica.
6.2 Per quanto riguarda il criterio della straordinarietà, l'arresto o la detenzione non possono certamente essere definiti come situazione usuale o quotidiana. Tuttavia, da un lato, avendo perso il passaporto durante la guerra, il ricorrente non poteva certo escludere che in futuro qualcuno si sarebbe spacciato per lui; dall'altro, a giusta ragione il giudice di prime cure fa notare che, nell'ambito del secondo arresto, avvenuto ai confini tra Bosnia e Croazia, il ricorrente era consapevole del rischio di nuove eventuali ripercussioni a causa dell'errore di persona commesso nei suoi confronti. Egli infatti prima di partire dalla Svizzera aveva provveduto a consegnare sia al Consolato bosniaco in Ticino sia all'Ambasciata bosniaca a Berna copia della traduzione della lettera dell'Ufficio federale di giustizia (UFG), con la quale quest'ultimo rifiutava la chiesta estradizione in mancanza di riscontro tra le impronte digitali inviategli dalle autorità rumene e quelle di K._. Ne consegue che l'evento in questione poteva essere almeno in parte prevedibile, dunque non certo qualificabile di straordinario.
6.3 A titolo abbondanziale, si rileva che neppure il requisito della repentinità è soddisfatto, come giustamente concluso dalla Corte cantonale. Il ricorrente sembra sostenere, a tal proposito, che i due arresti dei quali è rimasto vittima hanno valenza di infortunio nel loro insieme.
Il fatto che la lesione debba essere repentina (o improvvisa) non si- gnifica che questa debba prodursi in un istante. Occorre invece che essa si realizzi in un lasso di tempo relativamente breve, senza però che sia possibile stabilire una durata minima (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni U 430/00 del 18 luglio 2001 consid. 4b, in RAMI 2001 no. U 437 pag. 343). La repentinità si riferisce al fattore esterno all'origine della lesione, non per contro alle sue conseguenze che possono prodursi anche solo in uno stadio ulteriore (Frésard/Moser-Szeless, op. cit., n. 57). Per essere repentina, l'azione lesiva deve essere unica, non potendo per contro essere ripetuta o continuata (DTF 122 V 230 consid. 5c pag. 241). Giurisprudenza e dottrina non escludono l'unicità dell'azione lesiva nei casi in cui più avvenimenti si succedono in brevi spazi di tempo, a condizione che ciascuno di essi corrisponda alla definizione di infortunio (STFA 1961 pag. 201 consid. 2c; Alfred Bühler, Der Unfallbegriff, in Alfred Koller [editore], Haftpflicht- und Versicherungsrechtstagung 1995, San Gallo 1995, pag. 210).
Nel caso in esame, come già si è visto, l'assicurato è stato arrestato una prima volta il 30 novembre 2005, detenuto una settimana e in seguito rilasciato, una seconda volta il 22 aprile 2006 e trasportato direttamente in una clinica. Trattandosi di due situazioni differenti e avvenute a distanza di quasi cinque mesi, la condizione della repentinità non può quindi essere ammessa.
7. 7.1 Conformemente a quanto già osservato dal giudice cantonale, anche volendo ammettere che si tratti di un evento straordinario e repentino, in relazione di causalità naturale con il danno psichico, verrebbe comunque a mancare il necessario nesso di causalità adeguato.
7.2 Per accertare l'esistenza di un nesso di causalità adeguata tra uno shock emozionale e i conseguenti disturbi psichici sviluppati si deve apprezzare la situazione secondo la regola generale del corso ordinario delle cose e l'esperienza della vita (cfr. sentenza 8C_341/2008 del 25 settembre 2008 consid. 2.2). Infatti, i criteri obbiettivi sviluppati dalla giurisprudenza relativi alle turbe psichiche (DTF 123 V 98 consid. 3e pag. 104; 115 V 133 consid. 6-7 pag. 138 segg., 405 segg. consid. 4-6) sono inadatti nell'ambito di eventi traumatici, nei quali una persona subisce uno shock nervoso, poiché questi non procurano dei disturbi somatici (sentenza citata 8C_341/2008, consid. 2.2).
7.3 Orbene, questa Corte ritiene che secondo il corso ordinario delle cose e l'esperienza della vita, le circostanze nelle quali si sono svolti gli arresti non sono tali da turbare l'equilibrio psichico di una persona, né tanto meno quello del ricorrente. Al riguardo, giova sottolineare che, pur essendo la protezione assicurativa rivolta anche verso quei soggetti in grado di sopportare in maniera limitata determinati shock nervosi (DTF 129 V 177 consid. 3.3 pag. 181 e riferimenti ivi citati), contrariamente a quanto sostiene il ricorrente, non sono il passato e le esperienze vissute che devono essere prese in considerazione (come nel presente caso la drammatica prigionia nel campo di concentramento in Bosnia), bensì l'avvenimento in quanto tale deve essere atto a causare, sotto il profilo dell'adeguatezza, il trauma psichico. Inoltre, le circostanze nelle quali è avvenuto l'infortunio devono essere apprezzate obbiettivamente e non secondo la percezione soggettiva o le paure dell'assicurato (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni U 287/97 del 20 novembre 1998 consid. 3b/cc, in RAMI 1999 no. U 335 pag. 209; v. inoltre sentenze 8C_533/2008 del 26 novembre 2008 consid. 5.2 e 8C_623/2007 del 22 agosto 2008 consid. 8.1).
8. Infine, il ricorrente si duole di una violazione del diritto di essere sentito. A torto. Il fatto che il primo giudice, prevalendosi di un ammissibile apprezzamento anticipato delle prove, non abbia dato seguito ad ulteriori provvedimenti probatori, ovvero l'assunzione degli atti relativi all'incarto AI e l'ordine di una perizia medica supplementare per accertare ulteriormente lo stato di salute dell'interessato dal profilo neuropsichiatrico, ritenuti (giustamente) non di rilievo per l'esito del processo (DTF 131 I 153 consid. 3 pag. 157; 124 I 208 consid. 4a pag. 211; 122 II 464 consid. 4a pag. 469), non costituisce una violazione del diritto di essere sentito (art. 29 cpv. 2 Cost.) del ricorrente (sentenza del Tribunale federale delle assicurazioni I 362/99 dell'8 febbraio 2000 consid. 4, in SVR 2001 IV no. 10 pag. 28).
9. In esito a quanto precede, le censure sollevate da K._ si rilevano infondate e il giudizio cantonale querelato, che rifiuta la presa a carico dei disturbi psichici da parte della Helsana, denegando l'esistenza di un infortunio e del nesso di causalità adeguata, merita tutela.
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 750.- sono poste a carico del ricorrente.
3. Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.