Erwägungen:
1. 1.1 Die türkische Staatsangehörige X._, geboren 1955, heiratete nach eigenen Angaben 1997 in der Türkei ihren vormaligen Ehemann Y._, mit dem sie vier Kinder hat, zum zweiten Mal. Ihr Ehemann, der damals aufgrund der Heirat mit einer Schweizerin über eine Niederlassungsbewilligung verfügte, reichte am 17. Mai 1997 ein Gesuch um Nachzug seiner Ehefrau ein, nachdem 1995 bereits drei der vier Kinder im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz gelangt waren. Die zuständige Behörde trat auf dieses Gesuch jedoch nicht ein, da die Niederlassungsbewilligung des Ehemannes aufgrund der Eingehung einer Scheinehe mit einer Schweizerin zuvor widerrufen worden war.
1.2 X._ reiste am 20. November 2002 in die Schweiz ein und beantragte am gleichen Tag Asyl. Sie machte geltend, mit ihrer in der Schweiz lebenden Familie, d.h. dem Ehemann und den drei erwachsenen Kindern, zusammenleben zu wollen. Das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Bundesamt für Migration) lehnte das Asylgesuch von X._ mit Entscheid vom 19. Februar 2003 ab. Die Behörden des Kantons Basel-Stadt sahen von ihrer Wegweisung im Anschluss an das Asylverfahren während des Prozesses um die Niederlassungsbewilligung ihres Ehemanns zunächst ab. Am 25. April 2003 erteilte der Bereich Dienste des damaligen Polizei- und Justizdepartements (heute: Sicherheitsdepartement) des Kantons Basel-Stadt X._ eine Aufenthaltsbewilligung von einem Jahr zwecks Verbleib beim Ehemann. Nachdem der Ehemann von X._ die Schweiz nach Abschluss des Wegweisungsverfahrens am 29. Juni 2005 verlassen hatte, verfügte der Bereich Dienste am 7. September 2006, dass die abgelaufene Aufenthaltsbewilligung von X._ nicht verlängert werde und diese die Schweiz bis Ende 2006 zu verlassen habe. Den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies das Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 15. August 2007 ab. Dagegen rekurrierte X._ erfolglos an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, welches mit Urteil vom 7. April 2008 den Rekurs in allen Teilen als unbegründet abwies.
1.3 Mit Eingabe vom 8. September 2008 erhebt X._ gegen das Urteil des Appellationsgerichts beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventuell subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils des Appellationsgerichts und die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung.
Das Appellationsgericht und das Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
1.4 Mit Verfügung vom 25. September 2008 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
2. 2.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. Art und Zulässigkeit von Rechtsmitteln von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 133 I 185 E. 2 S. 188, 300 E. 1.2 S. 302; je mit Hinweisen). Vorweg ist die Zulässigkeit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss Art. 82 ff. BGG zu prüfen, welche gegenüber der subsidiären Verfassungsbeschwerde das prinzipale Rechtsmittel darstellt (vgl. Art. 113 BGG: "soweit keine Beschwerde nach den Artikeln 72-89 zulässig ist").
2.2 Da das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung vor dem 1. Januar 2008, d.h. vor dem Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) gestellt worden ist, finden auf das vorliegende Verfahren noch die materiellen Bestimmungen des Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) Anwendung (Art. 126 Abs. 1 AuG).
2.3 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist auf dem Gebiet des Ausländerrechts die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
2.3.1 Die Beschwerdeführerin stellt zu Recht nicht in Abrede, dass Art. 17 Abs. 2 ANAG als Anspruchsgrundlage entfällt, nachdem sie seit 2005 nicht mehr mit ihrem Ehegatten zusammenlebt, wobei dessen Niederlassungsbewilligung ohnehin bereits erloschen wäre. Ein gesetzlicher Bewilligungsanspruch ergäbe sich auch nicht aus dem neuen - und für den vorliegenden Fall noch nicht anwendbaren (vgl. E. 2.2.) - Ausländergesetz, insbesondere nicht aus der Vorschrift von Art. 50 AuG, da ihr Ehemann bei ihrer Einreise in die Schweiz 2002 bereits nicht mehr über eine gültige Niederlassungsbewilligung verfügte.
2.3.2 Die Beschwerdeführerin kann auch aus dem Grundsatz der Achtung des Familienlebens ("umgekehrter Familiennachzug"; Art. 13 Abs. 1 BV bzw. Art. 8 EMRK) keinen Aufenthaltsanspruch ableiten, da nicht ersichtlich ist, inwiefern zwischen ihr und ihren erwachsenen Kindern ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis bestehen soll, wie es die Rechtssprechung verlangt (vgl. BGE 129 II 11 E. 2 S. 14).
2.3.3 Schliesslich fällt angesichts der Dauer und der Natur der bisherigen Landesanwesenheit der Beschwerdeführerin, die erst im Alter von 47 Jahren in die Schweiz gekommen ist, ein Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 13 BV bzw. Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privatlebens) von vornherein ausser Betracht, weil es an den entsprechenden restriktiven Voraussetzungen vorliegend offensichtlich fehlt (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.2 S. 286 ff.).
2.4 Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich damit als offensichtlich unzulässig.
3. 3.1 Eventuell will die Beschwerdeführerin ihr Rechtsmittel als subsidiäre Verfassungsbeschwerde behandelt wissen. Gemäss Art. 115 lit. b BGG ist zur Verfassungsbeschwerde berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Da der Beschwerdeführerin kein Rechtsanspruch auf die nicht verlängerte Bewilligung zusteht, ist sie durch deren Verweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, und sie ist grundsätzlich nicht legitimiert, den Bewilligungsentscheid in materieller Hinsicht, insbesondere wegen Verletzung des Willkürverbots, mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde anzufechten (BGE 133 I 185 E. 6 S. 197 ff.). Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, der angefochtene Entscheid sei willkürlich, erweist sich demnach auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als offensichtlich unzulässig.
3.2 Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist die Beschwerdeführerin berechtigt, die Verletzung von Parteirechten zu rügen, deren Verletzung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft (BGE 133 I 185 E. 6.2. S. 198 f.; sogenannte "Star-Praxis", s. BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 312 ff.).
Die Beschwerdeführerin rügt mehrfach, es liege eine Rechtsverweigerung im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BV vor, da das Appellationsgericht sich nicht mit der Begründung des angefochtenen Urteils auseinandergesetzt, sondern bloss auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen habe. Der vorinstanzliche Entscheid mag knapp ausgefallen sein, die Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin sind aber alle materiell behandelt worden. Fehlt einem Beschwerdeführer - wie hier - die Legitimation zur Willkürrüge, so kann er auch nicht rügen, die Begründung des angefochtenen Entscheids sei mangelhaft, da sich die Beurteilung dieser Rüge nicht von der Prüfung in der Sache trennen lässt (BGE 133 I 185 E. 6.2 S. 199; 129 I 217 E. 1.4 S. 222). Daraus ergibt sich, dass auf die Beschwerde auch unter diesem Gesichtswinkel nicht eingetreten werden kann.
4. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin sowie dem Sicherheitsdepartement und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Januar 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Winiger