Sachverhalt:
A. Der 1963 geborene deutsche Staatsangehörige S._ war ab 1. Juni 2005 als Geschäftsführer in der Firma V._ angestellt. Am 27. Juni 2006 kündigte diese das Arbeitsverhältnis auf den 30. September 2006. S._ meldete sich am 31. August 2006 bei der Gemeinde M._ zur Arbeitsvermittlung; er entschied sich dabei unter den zur Wahl stehenden Arbeitslosenkassen für diejenige des Kantons Thurgau. Am 12. September 2006 stellte er Antrag auf Arbeitslosenentschädigung ab 2. Oktober 2006. Am 26. Juni 2007 ersuchte die Arbeitslosenkasse das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Thurgau (nachfolgend: AWA), zu prüfen und zu entscheiden, ob S._ Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung habe und ob sich sein Lebensmittelpunkt in der Schweiz befinde. Nach verschiedenen Sachverhaltsabklärungen verneinte das AWA mit Verfügung vom 19. Juli 2007 einen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung mangels Wohnsitzes des Versicherten in der Schweiz. Daran hielt das Amt mit Einspracheentscheid vom 25. September 2007 fest. Zwischenzeitlich hatte sich S._ am 27. Juni 2007 beim Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) und bei der Arbeitslosenkasse abgemeldet, da er eine Festanstellung in Deutschland gefunden habe.
B. S._ erhob gegen den Einspracheentscheid Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hiess diese gut, hob den Einspracheentscheid auf und erkannte, das Erfordernis des rechtsgenüglichen Aufenthaltes in der Schweiz sei zu bejahen; die Arbeitslosenkasse werde die weiteren Anspruchsvoraussetzungen zu prüfen und, sofern diese gegeben seien, die entsprechenden Leistungen auszurichten haben (Entscheid vom 5. März 2008).
C. Das AWA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben.
S._ lässt beantragen, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Das Staatssekretariat für Wirtschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Auf die Beschwerde ist entgegen dem Antrag des Versicherten einzutreten. Die gesetzlichen Voraussetzungen hiefür sind erfüllt.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (Art. 95 lit. a BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
3. Streitig ist der Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung. Das AWA hat diesen mit der Begründung verneint, der Beschwerdegegner habe weder im Zeitpunkt der Antragstellung noch während des ganzen folgenden Zeitraums, in welchem er Leistungen beanspruchte, Wohnsitz in der Schweiz gehabt. Das kantonale Gericht ist zum Ergebnis gelangt, ob das Erfordernis des rechtsgenüglichen Aufenthaltes erfüllt sei und ob der Versicherte gegebenenfalls als echter/unechter Grenzgänger zu qualifizieren sei, brauche nicht abschliessend beantwortet zu werden. Denn das Aufenthaltserfordernis müsse aus Gründen des Vertrauensschutzes infolge unterlassener Aufklärung/Beratung durch den Versicherungsträger bejaht werden. Hiegegen wendet sich die Beschwerde des AWA.
4. Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmungen (Art. 27 ATSG in Verbindung mit Art. 19a AVIV) und die Rechtsprechung (namentlich BGE 131 V 472) über die Aufklärungs- und Beratungspflicht der Versicherungsträger und Durchführungsorgane der Sozialversicherungen, insbesondere auch der Arbeitslosenversicherung, sowie über die Folgen einer Verletzung dieser Pflicht unter dem Gesichtspunkt des Vertrauensschutzes zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4.1 Das kantonale Gericht hat erkannt, verschiedene der Indizien, aus welchen das AWA auf einen Wohnsitz ausserhalb der Schweiz, in Deutschland, schliesse, seien der Arbeitslosenkasse resp. dem RAV schon im Oktober 2006 bekannt gewesen. Erst im Juni 2007 sei aber der Rechtsdienst des AWA um Abklärung der Anspruchsvoraussetzung des Wohnsitzes in der Schweiz ersucht worden. Es bestünden keinerlei Anhaltspunkte, wonach der Versicherte vorgängig auf die Problematik hingewiesen worden sei, welche sich aus einer allfälligen Wohnsitzverlegung nach Deutschland in Bezug auf die Anspruchsvoraussetzungen ergebe. Insbesondere sei er nie darüber aufgeklärt worden, dass im internationalen Verhältnis zu Deutschland der gewöhnliche Aufenthalt für die Frage, welcher Staat Arbeitslosenentschädigung ausrichte, entscheidend sein könne.
Diese Sachverhaltsfeststellung ist unbestritten.
4.2 Die Vorinstanz hat weiter erwogen, die Verwaltung wäre aufgrund der ihr vorliegenden Indizien gehalten gewesen, den Versicherten entsprechend aufzuklären. Indem sie dies nicht tat, habe sie die Aufklärungs- und Beratungspflicht verletzt. Aufgrund der gegebenen Umstände sei das Erfordernis des rechtsgenüglichen Aufenthalts in der Schweiz aus Gründen des Vertrauensschutzes zu bejahen. Denn andernfalls verliere der Beschwerdegegner aufgrund der unterlassenen Aufklärung durch die Verwaltung den Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung.
Diese Beurteilung ist, insbesondere auch im Lichte des in BGE 131 V 472 (vgl. auch BGE U 50/07 vom 4. August 2008 E. 11.2 mit Hinweisen) Gesagten, nicht zu beanstanden. Entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung hat die Vorinstanz dabei die Aufklärungs- und Beratungspflicht des Versicherungsträgers nicht zu ausdehnend interpretiert. Zu betonen ist hiebei namentlich, dass der Verwaltung die gleichen Indizien, welche nunmehr als Begründung für einen ausserschweizerischen Aufenthaltsort dienen sollen, im Wesentlichen bereits ab Oktober 2006 bekannt waren.
Auch die Einwände des AWA betreffend Vertrauensschutz führen zu keiner anderen Betrachtungsweise. Geltend gemacht wird in erster Linie, der Versicherte habe seine Mitwirkungspflicht nicht erfüllt und seinen Wohnsitz falsch angegeben. Der Beschwerdegegner hat indessen stets einen schweizerischen Aufenthaltsort geltend gemacht und auf die entsprechende Anfrage hin auch begründet, wo dies in der Schweiz gewesen ist und weshalb er weiterhin M._ angegeben hat. Zwar weisen die Akten diesbezüglich teilweise Ungereimtheiten auf. Es bestehen aber keine hinreichenden Anhaltspunkte dafür, dass der Versicherte missbräuchlicherweise einen schweizerischen Aufenthaltsort geltend gemacht hat, was gegebenenfalls zur Verwirkung des Vertrauensschutzes geführt hätte. Das AWA äussert sich im Übrigen selber nicht widerspruchsfrei, indem es auf der einen Seite vorbringt, der Beschwerdegegner habe sich nicht in der Schweiz aufgehalten, auf der anderen Seite aber ausführt, die Schweiz habe "vor und während des Leistungsverfahrens" "in geeigneter Weise als Wohn- und Beschäftigungsstaat des Versicherten nachgewiesen werden" können.
Zusammenfassend ist der angefochtene Entscheid als rechtens zu betrachten. Daran vermögen sämtliche weiteren Vorbringen in der Beschwerde nichts zu ändern. Das gilt insbesondere auch für die Ausführungen zur Anspruchsberechtigung bei echten und unechten Grenzgängern.
5. Das Beschwerde führende AWA hat ungeachtet seines Unterliegens im Verfahren keine Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG; BGE 133 V 640). Hingegen hat es dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1500.- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. November 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
i.V. Lustenberger Lanz