Faits:
A. La faillite de la société X._, dont les associés gérants étaient N._, M._ et V._, a été prononcée le 3 août 2004. La Caisse de compensation du canton de Berne (ci-après: la caisse), auprès de laquelle la société avait été affiliée, a rendu une décision le 4 août 2006, par laquelle elle a réclamé solidairement aux trois prénommés la somme de 41'732 fr. 10 en réparation du dommage résultant du non-paiement de cotisations sociales par la société pour les années 2001 à 2004. Les prénommés ayant contesté cette décision, la caisse a rendu trois décisions sur opposition le 6 juin 2007. Par le prononcé notifié à N._, elle a partiellement accepté son opposition et réduit la créance en réparation du dommage à un montant de 16'582 fr. 85, en considérant que les parts de cotisations de l'employeur pour les années 2001 à 2003 étaient prescrites.
B. N._, M._ et V._ ont déféré les décisions sur opposition du 6 juin 2007 au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, qui a décidé de traiter séparément les trois causes. Par ordonnance du 14 novembre 2007, le juge instructeur a averti N._ qu'il était possible que le tribunal arrive à la conclusion que les créances litigieuses n'étaient pas prescrites dans la mesure admise par la caisse dans sa décision sur opposition et rende une décision en sa défaveur (reformatio in peius). Aussi, lui a-t-il imparti un délai au 28 novembre 2007 pour s'exprimer sur l'éventuelle réforme à son détriment de la décision litigieuse et l'a rendu attentif à la possibilité de retirer son recours jusqu'à cette date. N._ n'ayant pas répondu, un nouveau délai lui a été fixé au 10 décembre 2007 pour se déterminer sur la reformatio in peius et retirer son recours (ordonnance du 30 novembre 2007). Le délai s'est écoulé sans qu'une réponse du prénommé parvienne au tribunal.
Statuant le 2 juin 2008 sur le recours, le Tribunal administratif l'a rejeté et a modifié la décision sur opposition en défaveur de N._, en ce sens qu'il l'a condamné à payer à la caisse le montant de 41'432 fr. 10 à titre de réparation du dommage au sens de l'art. 52 LAVS.
C. Par écriture datée du 30 juin 2008, qu'il a complétée à l'invitation du Tribunal fédéral le 13 juillet suivant, N._ interjette un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal, dont il demande implicitement l'annulation. A l'appui de son recours, il produit un échange de correspondances avec le Tribunal administratif du canton de Berne postérieur au 2 juin 2008.
Le Tribunal fédéral a renoncé à procéder à un échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le mémoire de recours en matière de droit public doit contenir les conclusions et les motifs à l'appui de celles-ci (art. 42 al. 1 LTF). Les motifs doivent exposer succinctement en quoi l'acte attaqué viole le droit (art. 42 al. 2 LTF). Pour satisfaire à cette obligation de motiver, le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit; il n'est pas absolument indispensable qu'il indique expressément les dispositions légales - le numéro des articles de loi - ou qu'il désigne expressément les principes non écrits de droit qui auraient été violés; il suffit qu'à la lecture de son exposé, on comprenne clairement quelles règles de droit auraient été, selon lui, transgressées par l'autorité cantonale (ATF 134 V 53 consid. 3.3 p. 60 et les arrêts cités).
1.2 Au regard du contenu des écritures du 30 juin et 13 juillet 2008, dans lesquelles le recourant se limite dans une très large mesure à renvoyer sans autre précision aux pièces qu'il produit, on peut sérieusement douter que son recours remplisse les exigences de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF. On peut cependant renoncer à se prononcer sur la recevabilité du recours, dès lors que celui-ci doit en tout état de cause être rejeté pour les motifs qui suivent.
2. 2.1 Le recourant fait valoir qu'il serait prêt à assumer ses responsabilités envers l'intimée en participant proportionnellement au montant réclamé de 16'582 fr. 35 et non de 41'432 fr.10, et mentionne une lettre datée du 9 décembre 2006 (recte 2007), par laquelle il aurait déclaré retirer son recours. On peut en déduire qu'il reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas tenu compte du retrait de son recours et d'avoir rendu un jugement sur le fond. Seul est donc litigieux le point de savoir si c'est à bon droit que la juridiction cantonale est entrée en matière sur le recours et a statué sur le fond.
C'est le lieu de préciser que les pièces produites par le recourant - courriers au Tribunal administratif bernois des 9 décembre 2007 et 18 juin 2008; réponse de la juridiction cantonale du 20 juin 2008 - sont recevables au sens de l'art. 99 al. 1 LTF. Dans la mesure où le recourant les fait verser au dossier pour tenter de démontrer qu'aucun jugement sur le fond n'aurait dû être rendu, ces documents résultent de la décision de l'autorité précédente au sens de la disposition citée.
2.2 De l'échange de correspondances entre le recourant et la juridiction cantonale (des 18 et 20 juin 2008), il ressort que N._ prétend avoir adressé à la juridiction en question un courrier daté du 9 décembre 2007 - dont une copie était jointe à sa lettre du 18 juin 2008 -, dans lequel il a informé le Tribunal administratif du canton de Berne qu'il "retire [s]on recours afin de radier l'affaire en cours". Dans sa réponse du 20 juin 2008, l'autorité judiciaire cantonale a nié avoir reçu cette lettre (dont elle s'étonnait qu'elle n'eût pas été envoyée par pli recommandé) et précisé n'avoir reçu aucune réponse à ses ordonnances des 14 et 30 novembre 2007, ni à une troisième ordonnance du 14 décembre 2007 (par laquelle le Juge instructeur avait constaté l'absence de réaction de la part du recourant et transmis le dossier en l'état pour jugement). L'absence de réponse du recourant à la suite des actes de procédure des 14 et 30 novembre 2007 a également été constatée dans le jugement entrepris.
2.3 Pour l'observation du délai fixé pour le retrait du recours - en l'espèce au 27 novembre, puis au 10 décembre 2007 -, il suffit que l'écrit par lequel le recourant déclare retirer son recours soit remis avant l'expiration du délai à un bureau de poste suisse (cf. art. 42 al. 2 de la Loi du 23 mai 1989 sur la procédure et la juridiction administratives du canton de Berne [LPJA; RS BE 155.21], en relation avec l'art. 61 let. d LPGA). Lorsqu'un tel envoi, singulièrement la réception de la déclaration de retrait, est contesté, il incombe à la partie qui doit agir dans un certain délai pour sauvegarder ses droits de prouver que l'acte en question a bien été accompli en temps voulu (ATF 92 I 253 consid. 3 p. 257; arrêt H 131/06 du 12 mars 2007 in SVR 2007 AHV n° 8 p. 22).
En l'occurrence, le fardeau de la preuve appartient au recourant qui se prévaut d'avoir retiré son recours par courrier daté du 9 décembre 2007. La seule preuve qu'il apporte consiste toutefois en une copie de cette lettre - qu'il ne conteste pas avoir envoyée par pli simple -, ce qui ne suffit pas à démontrer que la déclaration a effectivement été remise à la poste. Pour ce faire, il aurait dû produire une quittance postale ou un autre reçu attestant de l'existence d'un envoi dans lequel l'acte en cause aurait pu se trouver. Aussi, à défaut de preuve que la déclaration de retrait a effectivement été envoyée en décembre 2007, il n'est pas possible d'admettre que le recourant a valablement retiré son recours en instance cantonale. Par conséquent, c'est à juste titre que la juridiction cantonale est entrée en matière sur le recours de N._ et a rendu un jugement sur le fond.
Le recours est dès lors mal fondé.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 janvier 2009
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Meyer Moser-Szeless