Erwägungen:
1. Das Baudepartement des Kantons St. Gallen trat mit Entscheid vom 12. Februar 2010 auf einen Rekurs von X._ wegen fehlender Legitimation nicht ein. Dagegen erhob X._ am 16. März 2010 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und ersuchte u.a. um unentgeltliche Prozessführung. Das Verwaltungsgericht wies das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung mit Verfügung vom 17. März 2010 ab und forderte den Beschwerdeführer zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.-- auf. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, das Gesuch sei wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen.
2. X._ führt mit Eingabe vom 19. April 2010 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3. In seiner am 21. April 2010 beim Bundesgericht eingegangenen Beschwerde ersuchte der Beschwerdeführer um Erstreckung der Beschwerdefrist bis 22. April 2010. Die Beschwerdefrist ist als gesetzlich bestimmte Frist nicht erstreckbar (Art. 47 Abs. 1 BGG). Vorliegend gilt es den Fristenstillstand von Art. 46 Abs. 1 BGG zu beachten. Innert der durch Art. 46 BGG verlängerten Beschwerdefrist ging indessen keine Beschwerdeergänzung ein.
4. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, setzt sich mit den Ausführungen des Verwaltungsgerichts, die zur Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Prozessführung führten, nicht auseinander. Er legt nicht dar, inwiefern das Verwaltungsgericht Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt haben sollte, als es sein Gesuch wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde abwies. Da die vorgebrachten Ausführungen keine hinreichende Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen der angefochtenen Verfügung darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
5. Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Präsidenten des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Mai 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli