Sachverhalt:
A. Mit Entscheid vom 25. Januar 2011 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die von S._ gegen den (einen Anspruch auf weitere Ausrichtung der bisher bezahlten minimalen Integrationszulage [MIZ] sowie Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung verneinenden) Entscheid des Bezirksrats vom 4. November 2010 erhobene Beschwerde teilweise gut, hob den Rekursentscheid bezüglich der MIZ auf und wies die Sache im Sinne der Erwägungen an den Bezirksrat zurück (Dispositiv-Ziff. 1). Die Kosten des Verfahrens von total Fr. 800.- (Dispositiv-Ziff. 2) wurden zur Hälfte der Beschwerdeführerin und zur Hälfte der Beschwerdegegnerin auferlegt (Dispositiv-Ziff. 3), wobei der auf die Beschwerdeführerin entfallende Anteil zufolge Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung (Dispositiv-Ziff. 1 der einzelrichterlichen Verfügung) einstweilen auf die Gerichtskasse genommen wurde. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung für das Rekurs- und das Beschwerdeverfahren wurde abgewiesen (Dispositiv-Ziff. 2 der einzelrichterlichen Verfügung). Des Weitern sprach das Verwaltungsgericht der Beschwerdeführerin keine Parteientschädigung zu (Dispositiv-Ziff. 4).
B. S._ lässt beim Bundesgericht Beschwerde führen mit den Anträgen, der vorinstanzliche Entscheid sei in den Ziff. 1 und 2 des Dispositivs der einzelrichterlichen Verfügung sowie in den Ziff. 3 und 4 des Entscheid-Dispositivs aufzuheben und die Gerichtskosten des vorinstanzlichen Verfahrens seien vollumfänglich der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen; ferner sei der Beschwerdegegnerin (recte: Beschwerdeführerin) eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen, und zwar sowohl für das Beschwerdeverfahren vor dem Verwaltungsgericht als auch für das vorangegangene Rekursverfahren vor dem Bezirksrat; eventualiter sei der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu bewilligen, und zwar sowohl für das Beschwerdeverfahren vor dem Verwaltungsgericht als auch für das Rekursverfahren vor dem Bezirksrat; schliesslich sei der Beschwerdeführerin auch für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung zu bewilligen.
Die Verfahrensakten wurden beigezogen. Es wurde keine Vernehmlassung eingeholt.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht überprüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (BGE 134 III 115 E. 1 S. 117, 379 E. 1 S. 381).
2. Soweit in der Beschwerde die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Entscheides angefochten werden (vgl. Ziff. 3 und 4 des Entscheid-Dispositivs vom 25. Januar 2011), ist Folgendes festzuhalten:
2.1 Beim (materiell nicht angefochtenen) vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481 f.). Solche (selbständig eröffnete) Entscheide sind nur unter den alternativen Voraussetzungen des Art. 93 Abs. 1 BGG anfechtbar, d.h. wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Der zweite Tatbestand spielt hier von vornherein keine Rolle: Ein Urteil des Bundesgerichts über den Ersatz der Kosten für das vorinstanzliche Verfahren würde nicht sofort zu einem Endentscheid in der Sache führen. Was das Erfordernis gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG anbelangt, hat das Bundesgericht in BGE 133 V 645 erkannt, dass die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolge in einem Rückweisungsentscheid ebenfalls einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG darstellt, wobei auch insofern der nicht wieder gutzumachende Nachteil zu verneinen und daher auf entsprechende Beschwerden nicht einzutreten ist. Diese Rechtsprechung wurde mehrfach bestätigt (vgl. die zahlreichen Hinweise im Urteil 9C_567/2008 vom 30. Oktober 2008, in welchem im Übrigen eine Praxisänderung abgelehnt wurde; s.a. 8C_827/2010 vom 12. November 2010 und 9C_720/2009 vom 29. September 2009). Die in einem Rückweisungsentscheid getroffene Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolge kann später durchaus noch beim Bundesgericht angefochten werden, entweder selbständig innerhalb der normalen Rechtsmittelfrist ab Rechtskraft des Endentscheids oder zusammen mit dem neuen Entscheid der Vorinstanz. Der Kostenspruch im Rückweisungsentscheid wird mit dem Endentscheid zum materiellen Inhalt dieses Erkenntnisses (BGE 133 V 645 E. 2.2 S. 648; Urteile 9C_720/2009 vom 29. September 2009 E. 1 und 9C_567/2008 vom 30. Oktober 2008 E. 4.2 mit Literaturhinweis).
2.2 Nach dem Gesagten ist die Beschwerde bezüglich der Kosten- und Entschädigungsfolgen offensichtlich unzulässig, so dass auf sie insofern nicht einzutreten ist.
3. Soweit die Beschwerdeführerin in ihrem Eventualbegehren die unentgeltliche Prozessführung sowohl für das Rekursverfahren vor dem Bezirksrat als auch für das Beschwerdeverfahren vor dem Verwaltungsgericht verlangt, ist darauf mangels Rechtsschutzinteresses nicht einzutreten, nachdem in diesen Verfahren zufolge Kostenlosigkeit resp. Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für die Gesuchstellerin keine Verfahrenskosten erhoben worden sind.
4. Mit Bezug auf die unentgeltliche Verbeiständung für das Rekurs- und das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren (vgl. Dispositiv-Ziff. 2 der einzelrichterlichen Verfügung vom 25. Januar 2011) ist Folgendes auszuführen:
4.1 Eine selbständig eröffnete Verfügung, mit der im kantonalen Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung abgewiesen wurde, stellt praxisgemäss einen Zwischenentscheid dar, welcher geeignet ist, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zu verursachen (BGE 133 IV 335; SVR 2009 UV Nr. 12 S. 49 E. 2 [8C_530/2008]; Urteil 8C_586/2010 vom 24. September 2010 E. 1), weshalb sich die Beschwerde insofern als zulässig erweist.
4.2 Der Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege wird in erster Linie durch das kantonale Prozessrecht geregelt, wobei unabhängig davon ein solcher Anspruch auf Grund von Art. 29 Abs. 3 BV besteht; da die Beschwerdeführerin nicht geltend macht, dass sich aus dem Verfassungs- und Verfahrensrecht des Kantons Zürich ein über Art. 29 Abs. 3 BV hinausgehender Anspruch ergibt, ist vorliegend die bundesrechtliche Minimalgarantie massgebend. Ob dieser durch die Bundesverfassung garantierte Anspruch verletzt wurde, untersucht das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei; soweit es um tatsächliche Feststellungen geht, ist seine Kognition auf Willkür beschränkt (BGE 130 I 180 E. 2.1 S. 182; 129 I 129 E. 2.1 S. 133 mit Hinweisen).
4.3 Zu prüfen ist vorliegend, ob das Verwaltungsgericht der Beschwerdeführerin für das Rekurs- und das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren einen unentgeltlichen Anwalt zu bestellen hat. Dies bedingt - nebst den vom Verwaltungsgericht bejahten und nicht weiter zu prüfenden Voraussetzungen der prozessualen Bedürftigkeit und der Nichtaussichtslosigkeit der Beschwerdebegehren -, dass ein Anwalt zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist (vgl. Art. 29 Abs. 3 BV).
Nach der Rechtsprechung trifft dies zu, wenn Interessen der gesuchstellenden Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der betroffenen Person einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten, sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Gesuchsteller auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (BGE 130 I 180 E. 2.2 S. 182 mit Hinweisen; MARCEL MAILLARD, in: Waldmann/Weissenberger [Hrsg.], Praxiskommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2009, N. 38 zu Art. 65; MARTIN KAYSER, in: Auer/Müller/Schindler [Hrsg.], Kommentar zum Bundesgesetz über das Verwaltungsverfahren, 2008, N. 29 ff. zu Art. 65).
4.4 Das kantonale Gericht hat erwogen, das in Frage stehende Sozialhilfeverfahren, in welchem Bereich die Notwendigkeit der anwaltlichen Verbeiständung generell nur mit Zurückhaltung anzunehmen sei, stelle angesichts der vorliegend streitigen MIZ von monatlich Fr. 100.- keinen besonders schweren Eingriff in die Rechtsstellung der Beschwerdeführerin dar, so dass schon allein deshalb eine anwaltliche Verbeiständung geboten gewesen wäre. Zwar habe die Gewährung der MIZ für einen Sozialhilfebezüger durchaus eine wesentliche Bedeutung, doch hätten sich im Rechtsmittelverfahren keine komplexen Rechtsfragen gestellt, und der Sachverhalt erscheine relativ einfach. Es hätte daher ausgereicht, wenn die Beschwerdeführerin im Zusammenhang mit dem Anspruch auf die MIZ ihre ärztlichen und therapeutischen Behandlungen dargelegt hätte, wozu sie trotz ihrer gesundheitlichen Schwierigkeiten in der Lage gewesen wäre, wie auch ihre im Einspracheverfahren eingereichten Schreiben zeigen würden. Damit lasse sich die Verneinung der Notwendigkeit einer Verbeiständung nicht beanstanden.
4.5 Diesen vorinstanzlichen Erwägungen ist im Lichte der von der Rechtsprechung entwickelten Grundsätze (vgl. E. 4.3 hievor) beizupflichten. Auch wenn mit dem Absehen von einer weiteren Ausrichtung der MIZ die finanziellen Interessen der Beschwerdeführerin relativ schwer betroffen sind, bietet doch der vorliegende Fall keine besonderen tatsächlichen oder rechtlichen Schwierigkeiten, die den Beizug eines Rechtsanwaltes notwendig gemacht hätten und denen die Gesuchstellerin alleine nicht gewachsen gewesen wäre. Vielmehr hat die Vorinstanz in diesem Zusammenhang zu Recht auf die von der Beschwerdeführerin verfassten und im Einspracheverfahren eingereichten Schreiben hingewiesen, die zeigen, dass sie in der Lage ist, selbständig ihren Standpunkt darzulegen. Daran vermögen auch die unter Bezugnahme auf die Bewilligung der unentgeltlichen Verbeiständung in anderen Verfahren bzw. Rechtsgebieten sowie auf den Bundesgerichtsentscheid 2P.234/2006 vom 14. Dezember 2006 erhobenen Einwendungen nichts zu ändern, weil jedenfalls die im vorliegenden Fall verneinte Notwendigkeit des Beizugs eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für das Rekurs- und das vorinstanzliche Beschwerdeverfahren keine Rechtsverletzung darstellt.
5. 5.1 Die Beschwerde erweist sich nach dem Gesagten als offensichtlich unbegründet, weshalb sie im Verfahren nach Art. 109 BGG und ohne Durchführung eines Schriftenwechsels (Art. 102 BGG) abzuweisen ist, soweit darauf eingetreten werden kann.
5.2 Bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt es sich, von der Erhebung von Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren abzusehen (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG), weshalb sich das Begehren um unentgeltliche Prozessführung als gegenstandslos erweist.
5.3 Hingegen ist das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung infolge Aussichtslosigkeit der Rechtsvorkehr für das letztinstanzliche Verfahren abzuweisen (Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung wird abgewiesen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, dem Bezirksrat Zürich, dem Regierungsrat des Kantons Zürich und der Sicherheitsdirektion schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. April 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz