Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Der Beschwerdeführer war seit ca. 1984 beim Erziehungsdepartement des Kantons Basel-Stadt angestellt und als Lehrer tätig. Insbesondere in den letzten Jahren kam es von verschiedener Seite zu Beschwerden, die vor allem sein Verhalten auf der Beziehungsebene betrafen. Gespräche, Coachings und Supervisionen führten zu keiner Entspannung der Situation. In der Folge wurde ihm mitgeteilt, er werde beim vertrauensärztlichen Dienst angemeldet, damit über ihn ein psychiatrisches Gutachten erstellt werden könne. Gegebenenfalls werde er zu Beginn des neuen Schuljahres freigestellt. Mit diesem Vorgehen war der Beschwerdeführer nicht einverstanden, und er lehnte es ab, sich untersuchen zu lassen. Darauf wurde er freigestellt, und es wurden die Abklärung eines Fürsorgerischen Freiheitsentzuges angeregt sowie eine Strafanzeige wegen Drohung zum Nachteil der Lehrerschaft, der Schulhausleitung und der Schulleitung eingereicht. Das Strafverfahren wurde später mangels hinreichenden Beweises des Tatbestandes insbesondere in subjektiver Hinsicht eingestellt. Eine ordentliche Kündigung wurde durch das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt aus formellen Gründen aufgehoben, wobei das Gericht betonte, die Gutheissung habe nicht zur Folge, dass der Beschwerdeführer wieder unterrichten könne, sondern er habe sich aufgrund einer neuen, formell korrekten Weisung durch den vertrauensärztlichen Dienst untersuchen zu lassen.
Der Beschwerdeführer erstattete gegen verschiedene Personen Strafanzeige wegen übler Nachrede, Verleumdung, Amtsmissbrauchs, Amtsanmassung, falscher Anschuldigung, falschen Zeugnisses, Irreführung der Rechtspflege, Nötigung, Drohung, Verletzung des Berufsgeheimnisses und einfacher Körperverletzung. Die Staatsanwaltschaft stellte sämtliche Strafverfahren am 12./14./18. Februar 2008 ein. In einem Fall (6B_691/2009) trat sie am 28. April 2008 auf die Strafanzeige nicht ein. Die Vorinstanz hob die Beschlüsse der Staatsanwaltschaft in den angefochtenen Entscheiden insoweit auf, als sie Ehrverletzungsdelikte betrafen, und sie überwies die entsprechenden Akten an die Abteilung Privatklagen des Strafgerichts (betrifft Teile von 6B_682/2009 und 6B_691/2009). Im übrigen Umfang bestätigte sie die Beschlüsse der Staatsanwaltschaft.
Der Beschwerdeführer wendet sich mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht. Er beantragt, die Entscheide der Vorinstanz seien aufzuheben, soweit sie Offizialdelikte betreffen, und die Angelegenheit sei zur Anklagerhebung an die kantonalen Behörden zurückzuweisen.
2. Mit Verfügung vom 8. Oktober 2009 wurden die Gesuche des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen. Mit Präsidialverfügung vom gleichen Tag wurde er aufgefordert, dem Bundesgericht spätestens am 30. Oktober 2009 einen Kostenvorschuss von Fr. 5'000.-- einzuzahlen. Der Kostenvorschuss wurde innert Frist einbezahlt. Unter diesem Gesichtswinkel ist auf die Beschwerde einzutreten.
3. Der Beschwerdeführer wurde mit Verfügung vom 13. August 2009 aufgefordert, die angefochtenen Entscheide spätestens am 25. August 2009 nachzureichen, ansonsten die Rechtsschrift unbeachtet bleibe. In den Verfahren 6B_687/2009, 6B_688/2009, 6B_689/2009 und 6B_690/2009 ist er dieser Aufforderung nicht nachgekommen. In diesen vier Verfahren ist auf die Beschwerde schon aus diesem Grund nicht einzutreten.
4. Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei als Adressat der angefochtenen Entscheide "zweifelsohne" zur Beschwerde legitimiert (Beschwerde S. 2). Davon kann nicht die Rede sein. Soweit er nicht unter die zur Beschwerde Berechtigten gemäss Art. 81 BGG fällt und Geschädigter, nicht aber Opfer ist, ist er zur Beschwerde nicht legitimiert (BGE 133 IV 228).
Der Beschwerdeführer macht denn auch zusätzlich geltend, er sei durch die rechtswidrige Strafanzeige seiner Chefin in seiner psychischen Integrität unmittelbar beeinträchtigt worden und deshalb auch als Opfer im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zur Beschwerde legitimiert (Beschwerde S. 2 lit. A/3).
Es kann offen bleiben, ob der Beschwerdeführer in Bezug auf die Strafanzeige seiner Chefin tatsächlich Opfer im Sinne von Art. 1 OHG ist. Aber jedenfalls ist auf die Beschwerde, soweit sie die übrigen Beschuldigten betrifft, von vornherein nicht einzutreten, da der Beschwerdeführer insoweit nicht geltend macht, er sei Opfer im Sinne des OHG.
5. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe die Beweise willkürlich gewürdigt und den Sachverhalt unrichtig festgestellt. Zudem seien seine Menschenrechte missachtet worden (Beschwerde S. 2 lit. A/2).
Unter "Sachverhalt" (Beschwerde S. 3-5) schildert der Beschwerdeführer seine Sicht der Dinge, ohne dass sich daraus ergäbe, dass eine seiner Rügen begründet wäre. So macht er zum Beispiel geltend, seine Chefin habe die unklar formulierten Paragraphen des neuen Personalgesetzes genutzt und daraus eine Eskalationsspirale konstruiert, um ihn vorsätzlich an den Rand eines Nervenzusammenbruchs zu führen (Beschwerde S. 3). Mit solchen Behauptungen lässt sich von vornherein nicht dartun, dass die Vorinstanz infolge einer willkürlichen Beweiswürdigung den Sachverhalt unrichtig festgestellt hätte. Die Beschwerde genügt insoweit den Begründungsanforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG nicht.
Auch unter "Rechtliches" (Beschwerde S. 5-9) schildert der Beschwerdeführer im Wesentlichen seine Sicht der Dinge, ohne dass sich daraus ergäbe, dass eine Verletzung von Art. 7 (Beschwerde S. 8), 9 (Beschwerde S. 9) oder 30 BV (Beschwerde S. 8) vorläge. Insoweit genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG ebenfalls nicht.
Schliesslich verweist der Beschwerdeführer unter "Rechtliches" auf den Tatbestand des Amtsmissbrauchs von Art. 312 StGB (Beschwerde S. 5). Geprüft werden kann insoweit nur, ob sich seine Chefin durch ihre Strafanzeige eines Amtsmissbrauchs schuldig gemacht hat (s. oben E. 4).
Die Vorinstanz stellt im Zusammenhang mit der Strafanzeige fest, der Beschwerdeführer habe selber eingeräumt, dass seine Chefin seine Äusserungen durchaus als bedrohlich habe empfinden können. Weiter sei von ihm anerkannt, dass er sich bei einem Telefongespräch und bei einer Besprechung über Mobbing beklagt und in diesem Zusammenhang den Fall Tschanun erwähnt habe. Unter diesen Umständen sei verständlich, dass die Chefin in grosse Sorge geraten sei. Sie sei in der gegebenen Situation nicht nur berechtigt, sondern als Rektorin und Mitglied einer Behörde auch gehalten gewesen, gegen den Beschwerdeführer Anzeige wegen Drohung zu erstatten. Es liege auf der Hand, dass der Vergleich des Beschwerdeführers mit der Situation des angeblichen Mobbingopfers Tschanun umgehend die Assoziation mit den Delikten dieses Mannes - vierfacher Mord und Mordversuch an Arbeitskollegen im Rahmen eines eigentlichen Amoklaufs - geweckt habe und geeignet gewesen sei, die Umgebung in Angst und Schrecken zu versetzen, und eine Reaktion der Schulleitung, insbesondere zum Schutz von Schülern und Schülerinnen sowie Lehrern und Lehrerinnen, erheischt habe. Die Chefin habe in ihrer Strafanzeige und in ihrer Einvernahme das Vorgefallene im Übrigen durchwegs korrekt, präzise und differenziert geschildert (Verfahren 6B_682/2009, angefochtener Entscheid S. 15/16).
Dazu führt der Beschwerdeführer aus, seine Chefin habe mit der arglistigen Strafanzeige bloss ein "fiktives Bedrohungsszenario" in die Welt gesetzt, was ihr selber auch bewusst gewesen sei (Beschwerde S. 6). Wenn man demgegenüber von dem von der Vorinstanz willkürfrei festgestellten Sachverhalt ausgeht, ist die Einstellung des Verfahrens gegen die Chefin wegen Amtsmissbrauchs nicht zu beanstanden. Was daran gegen das schweizerische Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte, ergibt sich aus der Beschwerde nicht und ist auch nicht ersichtlich.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
6. Die Gerichtskosten für alle zehn Verfahren sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Strafgericht des Kantons Basel-Stadt, Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2009
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn