Faits:
A. M._ est entrée au service de la Ville de X._ le 1er février 1991 comme employée de secrétariat. Elle a été nommée en qualité de fonctionnaire par le Conseil administratif de ladite ville avec effet au 1er janvier 1993, puis, le 4 décembre 1997, en qualité de secrétaire. Depuis le 30 avril 2001, elle a exercé sa fonction à la réception de la Ville.
La prénommée a été empêchée de travailler pour cause de maladie totalement du 10 février au 26 août 2005, puis partiellement jusqu'au 30 juin 2006. A la suite d'un entretien avec ses supérieurs, M._ a été rendue attentive, par lettre du conseiller administratif délégué du 13 septembre 2005, notamment au fait que son employeur attendait d'elle un engagement accru, une meilleure collaboration avec ses collègues et une meilleure intégration dans l'équipe. Une autre rencontre du même type s'est tenue le 31 octobre 2005, qui a donné lieu à une nouvelle lettre du même conseiller à l'intéressée du 3 novembre suivant, invitant cette dernière à se conformer aux règles et instructions de son employeur.
Le 21 mars 2006, le secrétaire général a adressé un blâme à la prénommée au motif qu'elle avait pris des vacances sans son accord préalable, qu'elle ne se conformait pas à des demandes simples, qu'elle avait tendance à déléguer son propre travail à sa remplaçante et qu'elle avait effectué un travail avec retard et sans soin. A la suite de l'intervention de l'avocat de l'intéressée, cette décision a été annulée par son auteur le 28 avril 2005 (recte : 2006), sous réserve d'un nouveau prononcé à intervenir une fois que l'intéressée se serait exprimée. Cela ayant été fait par courrier du 18 mai 2006, le secrétaire général a prononcé un avertissement à l'encontre de M._ le 30 juin 2006, maintenant les griefs retenus dans sa décision du 21 mars précédent, nuançant toutefois celui qui concernait la prise de vacances. Faute d'avoir été attaqué en temps utile, cet avertissement est entré en force.
A compter du 15 janvier 2007, l'intéressée a cessé d'occuper son poste, ayant dû être opérée d'une hernie discale le surlendemain. L'incapacité de travail de M._ s'étant prolongée, l'assureur de l'employeur pour la perte de gain en cas de maladie (la Compagnie d'assurances Y._) a soumis l'intéressée à l'expertise du docteur H._ du Centre Z._. Dans son rapport du 19 novembre 2007, l'expert a estimé que M._ était apte au travail à 75 % au moins, avec une perte de rendement de 25 %, en raison des changements de position nécessités par son état de santé. Cependant, selon le docteur A._, chirurgien traitant de l'intéressée, cette dernière demeurait totalement incapable de travailler (rapport du 22 janvier 2008). Aussi l'employeur a-t-il prié M._ de prendre rendez-vous avec le docteur S._, son propre médecin généraliste traitant, et le médecin-conseil de la Ville de X._ jusqu'au 15 février 2008. En réponse à cette demande, l'intéressée a communiqué un simple certificat du docteur S._ du 7 janvier 2008 attestant sa totale incapacité de travail depuis le 18 décembre 2007.
L'employeur a alors informé l'intéressée qu'après avoir envisagé de mettre fin aux rapports de service pour cause d'inaptitude durable d'exercer sa fonction pour raisons de santé, il entendait prendre cette décision pour des motifs liés à la personne de cette dernière (lettre du 14 mars 2008). M._ lui a communiqué alors le rapport d'expertise privée du docteur G._ du 15 avril 2008 lequel concluait à la totale incapacité de cette dernière d'exercer son activité de secrétaire en raison d'une instabilité lombaire.
Par décision du 29 avril 2008, le Conseil administratif de la Ville de X._ a résilié les rapports de service le liant à la prénommée avec effet au 31 juillet 2008, constatant l'incapacité de cette dernière à exercer son activité professionnelle de secrétaire, en précisant qu'au vu de tous les rapports médicaux en sa possession il estimait que l'incapacité totale de travail de l'intéressée avait été déterminée de manière cohérente, convaincante et dans le respect de ses droits. Il a aussi indiqué n'avoir pas d'autre poste à lui offrir qui correspondrait à ses capacités professionnelles et son état de santé. Dans la même décision, l'autorité susnommée a, par ailleurs, constaté l'incapacité de M._ à effectuer les tâches prévues dans le cadre du poste.
B. M._ a déféré cette décision au Tribunal administratif du canton de Genève, en demandant sa réintégration, subsidiairement à ce que la Ville de X._ soit condamnée à lui verser une indemnité de 180'513 fr. 60 représentant vingt-quatre mois de salaire brut.
Par jugement du 25 août 2009, le Tribunal administratif du canton de Genève a rejeté ce recours sans allouer d'indemnité.
C. M._ interjette recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de dépens, à ce que la Ville de X._ soit condamnée à lui verser la somme de 180'513 fr. 60 plus accessoires, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction précédente pour nouveau jugement.
La Ville de X._ conclut, sous suite de frais et dépens, à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public (lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause), le recours en matière de droit public est irrecevable contre des décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. Pour que le recours soit recevable, il faut encore, en principe, que la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. soit atteinte (art. 85 al. 1 let. b LTF). En l'occurrence, l'une des conclusions de la recourante porte sur une somme qui dépasse largement le seuil de la valeur litigieuse déterminante.
2. Saisi d'un recours, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer ceux-ci que s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 134 V 53 consid. 4.3) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 97 al. 1 LTF), ce qu'il lui appartient d'exposer et de démontrer de manière claire et circonstanciée. La correction du vice doit en outre être susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue dans la décision attaquée. Toutefois, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), il n'examine en principe que les griefs invoqués. Au demeurant, il ne peut pas entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal si le grief n'a pas été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
3. Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 et 5; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17; 131 I 217 consid. 2.1 p. 219; 129 I 173 consid. 3.1 p. 178). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; 127 I 38 consid. 2a p. 41).
4. 4.1 Aux termes de l'art. 25 du Statut du personnel de la Ville de X._, adopté le 12 décembre 2006 et entré en vigueur le 1er janvier 2007 (ci-après : le Statut), les agents communaux peuvent être licenciés moyennant un délai de trois mois pour la fin d'un mois (al. 1). Le licenciement peut intervenir lorsque, d'après les règles de la bonne foi, la poursuite des rapports de service n'est plus possible (al. 2). Selon l'al. 3 de cette disposition, sont notamment considérés comme motifs de licenciement : la perte de l'exercice des droits civils (let.a); l'inaptitude ou l'incapacité à effectuer les tâches prévues pour le cadre du poste (let.b); l'inobservation répétée des devoirs généraux du poste, malgré un avertissement écrit (let.c). Le licenciement ne peut être décidé qu'après que l'agent communal a pu s'exprimer par écrit sur les motifs invoqués et a été entendu par le Conseil administratif s'il en fait la demande, assisté du conseil de son choix (al. 4).
4.2 L'art. 27 du Statut prévoit que le Conseil administratif peut mettre fin aux rapports de service lorsqu'un collaborateur n'est plus en mesure durablement, pour des raisons de santé ou pour cause d'invalidité, de remplir les devoirs de sa fonction. L'incapacité du collaborateur doit avoir été déterminée de manière concomitante à la suite d'un examen médical approfondi, pratiqué par le médecin-conseil de la Caisse de retraite et le médecin traitant du collaborateur (al. 1). Est réputée durable l'incapacité de travail pour motifs de santé qui s'est prolongée conformément à l'art. 366, lettre c du code des obligations, ou sur six mois dans une année civile, lorsqu'une reprise de travail au taux d'activité antérieur n'est pas assurée dans le mois suivant, aux dires concordants du médecin-conseil de la commune et du médecin traitant de l'intéressé (al. 2). Il ne peut être mis fin aux rapports de service d'un collaborateur que s'il s'est avéré impossible de l'employer dans un autre poste, le cas échéant avec une diminution du taux d'activité (al. 3, 1ère phrase).
5. 5.1 Les premiers juges ont estimé que M._ avait refusé de collaborer dans le cadre de la procédure mise en route par la Ville de X._ sur la base de l'art. 27 du Statut, lorsque cette dernière lui a demandé de se rendre chez son médecin-conseil; ils ont retenu que, par son comportement, la recourante avait conduit l'intimée à renoncer à la voie de l'art. 27 du Statut et que cela, en particulier, fondait le droit de l'employeur de résilier les rapports de service sur la base de l'art. 25 du Statut. M._ soutient que, ce faisant, la juridiction cantonale a sombré dans l'arbitraire.
5.2 Absente de son poste de travail depuis le 15 janvier 2007, la recourante a été convoquée par lettre du chef du personnel de l'intimée du 11 septembre 2007, au motif de faire le bilan de sa situation. L'intéressée ayant refusé de répondre à cette convocation, invoquant le fait qu'elle se soumettrait à l'expertise médicale demandée par la Compagnie d'assurances Y._, l'employeur a expliqué qu'il fallait après un certain temps d'absence « envisager des démarches administratives auprès de certaines assurances sociales, sous peine de péjorer la situation de la personne concernée » (lettre au conseil de la recourante du 10 octobre 2007). Une fois connu le rapport de l'expertise médicale susmentionnée - concluant à une capacité de travail de 75 % - l'intimée a informé la recourante par lettre du 4 janvier 2008 qu'il s'en tiendrait aux conclusions de ce rapport et lui verserait par conséquent seulement 25 % de son salaire, « si la situation ne devait pas évoluer d'ici au 15 janvier ». Toutefois, dans une missive du 25 janvier suivant, l'employeur a déclaré renoncer à cette mesure et, au motif de clarifier la réelle incapacité de travail de l'intéressée, il a prié cette dernière d'obtenir des rapports du médecin-conseil de la commune et de son médecin traitant. M._ n'a pas consulté le médecin-conseil de la commune, mais elle a fourni un certificat de son propre médecin. L'employeur lui a alors signifié, par courrier du 14 mars 2008, qu'après avoir eu l'intention de procéder selon l'art. 27 du Statut, il envisageait le licenciement de la prénommée sur la base de l'art. 25 du Statut.
Dans ces circonstances, on ne saurait retenir que la recourante a refusé de collaborer à la mise en ?uvre de la procédure prévue par l'art. 27 du Statut, celle-ci n'ayant pas été ouverte de façon reconnaissable pour l'intéressée. En effet, selon l'art. 27 al. 1er, seconde phrase, du Statut, l'incapacité du collaborateur doit avoir été déterminée de manière concomitante à la suite d'un examen médical approfondi, pratiqué par le médecin-conseil de la Caisse de retraite et le médecin traitant du collaborateur. Or, en l'absence de référence expresse à cette procédure et alors qu'il n'avait pas été question de résiliation des rapports de service, les réquisitions de l'employeur, telles qu'elles apparaissent au regard des communications qui viennent d'être exposées, pouvaient de bonne foi être comprises par la recourante comme le rappel à son devoir d'établir la cause et l'étendue de son empêchement de travailler. Il appartient en effet ordinairement au travailleur d'apporter la preuve, par certificat médical, que son empêchement de travailler est dû à la maladie ou à l'accident (arrêt 8C_838/2009 du 17 février 2010, consid. 4.3 ; Christiane Brunner/Jean-Michel Bühler/Jean-Bernard Waeber/Christian Bruchez, Commentaire du contrat de travail, 2004, ad art. 324a p. 110 n. 3; Pierre Tercier/Pascal G. Favre, Les contrats spéciaux, 2009, p. 517 n. 3505).
Du moment que M._, avant qu'il soit question de son renvoi par l'intimée (v. lettre de cette dernière du 14 mars 2008), avait fourni à celle-ci un certificat de son médecin généraliste, le docteur S._, du 7 janvier 2008 et à la Compagnie d'assurances Y._ un rapport de son neurochirurgien, le docteur A._, du 22 janvier 2008, puis mis en ?uvre une expertise privée (mandat au docteur G._ du 3 mars 2008), il serait contraire aux pièces du dossier de retenir un refus de collaboration de sa part.
Cela étant, il convient d'examiner les autres aspects de la motivation des premiers juges et si le jugement entrepris se révèle arbitraire dans son résultat.
6. 6.1 Pour admettre que la résiliation des rapports de service par l'intimée était justifiée, les premiers juges se sont fondés non seulement sur le prétendu refus de collaborer dont il a été question plus haut, mais aussi sur « l'ensemble des circonstances ». Ils ont évoqué des difficultés dans les relations entre les parties antérieurement à l'avertissement adressé à la recourante le 30 juin 2006 ainsi que le refus de cette dernière de rencontrer le chef du personnel en octobre 2007, alors qu'elle était en arrêt de travail. Ils ont surtout pris en considération le fait que M._ se prévalait d'une totale incapacité de travailler depuis le 15 janvier 2007. Selon la juridiction cantonale, l'intimée était fondée à résilier les rapports de service litigieux parce que la recourante était inapte ou incapable d'effectuer les tâches prévues dans le cadre de son poste, au sens de l'art. 25 al. 2 let. b du Statut (jugement entrepris consid. 9 p. 19-20). La recourante soutient que la Ville de X._ ne disposait d'aucun motif valable lui permettant de s'affranchir des modalités d'un licenciement pour raisons de santé prévu par l'art. 27 du Statut, contrairement à ce qu'a retenu le tribunal cantonal au terme d'un établissement des faits arbitraire. Pour les motifs ci-après, elle ne peut être suivie.
6.2 Les considérations des premiers juges, telles qu'elles viennent d'être exposées, reviennent à admettre que, d'une part, l'inaptitude ou l'incapacité à effectuer les tâches prévues dans le cadre d'un poste d'agent communal, au sens de l'art. 25 al. 2 let. b du Statut, peut avoir pour cause une atteinte à la santé du fonctionnaire, et que, d'autre part, l'application des dispositions de l'art. 27 du Statut ne s'imposait pas en l'occurrence. Cette solution n'a rien d'arbitraire.
6.3 Le Statut prévoit trois catégories de collaborateurs : les auxiliaires, pour occuper des postes temporaires à durée limitée (art. 3), les employés, occupés à titre probatoire, dans l'attente d'une nomination en tant qu'agent (art. 4) et enfin les agents communaux, confirmés pour occuper un poste permanent (art. 5). Le licenciement des collaborateurs, pour des motifs liés à la personne de ces derniers, fait l'objet d'une sous-section du Statut (art. 23 ss) qui prévoit des dispositions distinctes selon la catégorie (art. 23 pour les auxiliaires; art. 24 pour les employés; art. 25 pour les agents). Parmi celles-ci, seul l'art. 25 indique des motifs de licenciement à son al. 3. Les dispositions suivantes de cette sous-section du Statut s'appliquent à tous les collaborateurs. L'art. 26 traite de la résiliation immédiate pour justes motifs. L'art. 27 régit la fin des rapports de service pour raisons de santé et l'art. 28 la retraite. L'art. 27 prévoit une procédure de détermination de l'incapacité de travail (al. 1, seconde phrase); il définit le caractère durable de l'incapacité de travail (al. 2); il conditionne la résiliation des rapports de service à l'impossibilité pour l'employeur d'occuper le collaborateur dans un autre poste, adapté à son état (al. 3). L'art. 27 du Statut ne prévoit pas délai de résiliation spécifique, alors que chacun des art. 23 à 25 comporte des dispositions particulières sur ce point.
Il ressort de la systématique même de ces normes que l'art. 27 du Statut n'exclut pas l'application de l'un ou l'autre des art. 23 à 25, comme le ferait une lex specialis dérogatoire, mais qu'il fixe seulement des règles particulières dans le cas où le licenciement d'un collaborateur est justifié par l'état de santé de celui-ci. A cet égard, les avis parfois exprimés par les parties dans la procédure, selon lesquels le licenciement de la recourante serait fondé, pour cette dernière, sur l'art. 27, et, pour l'intimée, sur l'art. 25 du Statut (v. consid. 4 du jugement entrepris), sont dépourvus de toute pertinence.
6.4 Comme cela a été exposé plus haut, l'art. 27 du Statut instaure une procédure de détermination de la mesure et du caractère durable de l'incapacité de travail du fonctionnaire susceptible de conduire à la résiliation des rapports de travail (al. 1 et 2). Lorsque, l'autorité et le fonctionnaire s'accordent sur ces deux notions, une telle procédure peut se révéler vaine. Tel est le cas en l'occurrence où, en définitive, la Ville de X._ a admis que M._ était totalement incapable de travailler et où le caractère durable de cette situation n'était pas mis en cause par les parties.
L'alinéa 3 de la disposition précitée exige qu'il ne soit mis fin aux rapports de service d'un collaborateur que s'il s'est avéré impossible de l'employer dans un autre poste, le cas échéant avec une diminution du taux d'activité (première phrase) et un réajustement de son traitement (seconde phrase). De toute évidence, l'application de cette norme réglementaire présuppose que le collaborateur en question dispose encore d'une capacité de travail résiduelle. La recourante ayant fait valoir une totale inaptitude, reconnue par son employeur, les autorités précédentes pouvaient, sans verser dans l'arbitraire, admettre que cette disposition n'avait pas à être mise en ?uvre dans son cas.
7. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, de même que toutes prétentions pécuniaires de la recourante, aux frais de cette dernière qui succombe (art. 65 al. 1 et 66 al. 1 LTF). La Ville de X._ n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 3000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal administratif de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 27 avril 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung Berset