Faits:
A. M._ a travaillé en qualité d'affineur en métaux précieux au service de la société X._ SA. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Il a été victime d'un accident de la circulation le 18 février 2003 : alors qu'il circulait au guidon de son scooter, sa trajectoire a été coupée par une automobile et il a chuté sur la chaussée. Transporté en ambulance à l'Hôpital W._, il est rentré le jour même à son domicile. Le traitement a été ensuite confié au docteur G._, lequel a prescrit la reprise du travail à 50 % dès le 5 mars 2003, puis à 100 % dès le 1er avril suivant. L'assuré a toutefois cessé son travail le 2 avril 2003 en raison de céphalées, d'un acouphène lancinant, de troubles de la concentration et de l'équilibre. Dans un rapport du 5 mai 2003 le docteur C._, spécialiste en médecine interne et nouveau médecin traitant de l'intéressé, a fait état d'un traumatisme crânien avec brève perte de connaissance, de contusions multiples, de vertiges, de céphalées et de troubles de la concentration. La CNA a pris en charge le cas.
L'assuré a séjourné à la Clinique romande de réadaptation (Clinique Y._) du 25 juin au 25 juillet 2003. Dans un rapport du 5 août 2003, les médecins de cet établissement ont diagnostiqué un traumatisme cranio-cérébral léger le 18 février 2003, des céphalées, ainsi qu'un trouble de l'adaptation avec humeur dépressive. Ils ont attesté une incapacité de travail entière en raison du trouble de nature psychiatrique.
Se plaignant d'une baisse de son acuité visuelle et d'une diplopie binoculaire apparues après son séjour à la Clinique Y._, l'assuré a été examiné par divers médecins, en particulier les docteurs B._, médecin-associé à l'Hôpital Z._ (rapport du 5 avril 2004), et S._, médecin adjoint au service d'ophtalmologie de l'Hôpital W._ (rapport du 11 août 2005).
La société X._ SA a résilié les rapports de travail avec effet au 31 décembre 2005.
La CNA a confié une expertise pluridisciplinaire aux médecins de la Clinique V._, lesquels ont consigné leurs conclusions dans un rapport du 3 mai 2006.
Se fondant sur ces conclusions, la CNA a rendu une décision le 15 juin 2006, confirmée sur opposition le 1er septembre suivant, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assuré à des prestations d'assurance à partir du 1er juillet 2006, motif pris que les troubles persistant après cette date n'étaient pas en relation de causalité avec l'accident du 18 février 2003.
B. Par jugement du 11 mars 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé contre la décision sur opposition par l'assuré qui avait produit un nouveau rapport du docteur S._ (du 4 janvier 2007).
C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à l'octroi de prestations de l'assurance-accidents (indemnité journalière, rente d'invalidité et indemnité pour atteinte à l'intégrité), subsidiairement au renvoi de la cause à la CNA pour complément d'instruction sous la forme d'une expertise ophtalmologique.
La CNA conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si la CNA était fondée, par sa décision sur opposition du 1er septembre 2006, à supprimer le droit du recourant aux prestations de l'assurance-accidents à partir du 1er juillet 2006.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 177 consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
3. 3.1 Sur le plan somatique, la CNA a considéré que l'assuré ne souffrait plus, après le 30 juin 2006, de troubles invalidants en relation avec l'accident du 18 février 2003. En particulier, elle est d'avis que la diminution de l'acuité visuelle, ainsi que du champ visuel ne découle pas d'une atteinte organique objectivable.
La juridiction cantonale a confirmé ce point de vue. Se fondant sur les conclusions des docteurs B._ (rapport du 5 avril 2004) et S._ (rapport du 4 janvier 2007), ainsi que des médecins de la Clinique V._ (rapport du 3 mai 2006), elle a considéré qu'aucune investigation mise en oeuvre dans le cas particulier n'avait permis d'objectiver un substrat organique aux troubles visuels de l'assuré.
3.2 En l'occurrence, il n'y a pas lieu d'accueillir le grief du recourant selon lequel l'intimée aurait dû mettre en oeuvre un complément d'instruction sous la forme d'une expertise ophtalmologique. En effet, si l'administration ou le juge, se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves fournies par les investigations auxquelles ils doivent procéder d'office, sont convaincus que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation, il est superflu d'administrer d'autres preuves (appréciation anticipée des preuves; Kieser, Das Verwaltungsverfahren in der Sozialversicherung, p. 212, n° 450; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2e éd., p. 39, n° 111 et p. 117, n° 320; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2e éd., p. 274; cf. aussi ATF 122 II 464 consid. 4a p. 469; 122 III 219 consid. 3c p. 223; 120 Ib 224 consid. 2b p. 229; 119 V 335 consid. 3c p. 344 et la référence). Une telle manière de procéder ne viole pas le droit d'être entendu selon l'art. 29 al. 2 Cst. (SVR 2001 IV n° 10 p. 28 consid. 4b), la jurisprudence rendue sous l'empire de l'art. 4 aCst. étant toujours valable (ATF 124 V 90 consid. 4b p. 94; 122 V 157 consid. 1d p. 162 et l'arrêt cité). Or, sur le vu de l'ensemble des investigations médicales menées à chef dans le cas particulier, il n'y a aucune raison de penser que d'autres mesures probatoires auraient permis d'aboutir à un résultat différent en ce qui concerne l'existence d'un substrat organique aux troubles visuels constatés.
Cela étant, il n'y a pas lieu de mettre en cause le point de vue de la CNA et de la juridiction cantonale, selon lequel l'assuré ne souffrait plus, après le 30 juin 2006, de troubles de nature organique en relation avec l'accident du 18 février 2003.
4. 4.1 En ce qui concerne les symptômes persistant après la date précitée, la CNA a nié le droit de l'assuré à des prestations motif pris de l'absence d'un lien de causalité adéquate entre ces troubles et l'accident. Elle s'est fondée pour cela sur les critères objectifs définis par la jurisprudence pour examiner le caractère adéquat du lien de causalité entre une atteinte à la santé psychique et un accident de gravité moyenne (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409).
La juridiction cantonale a confirmé ce point de vue. Elle a nié l'existence d'un lien de causalité adéquate entre les troubles et l'accident - qu'elle a qualifié d'accident de gravité moyenne, à la limite des accidents de peu de gravité - , au motif que les critères objectifs susmentionnés n'étaient pas réalisés.
On peut inférer des motifs à l'appui du présent recours que l'assuré reproche implicitement à la juridiction cantonale de s'être fondée sur les critères jurisprudentiels objectifs déterminants en cas d'atteinte à la santé psychique, au lieu des critères applicables en présence d'un traumatisme de type "coup du lapin" à la colonne cervicale, d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou d'un traumatisme cranio-cérébral. Dans ces derniers cas, on peut en effet renoncer à distinguer les aspects physiques des éléments psychiques, contrairement aux cas de troubles psychiques apparus après un accident. Selon le recourant, les critères de la durée du traitement médical spécifique et pénible (ATF 134 V 109 consid. 10.2.3 p. 128) et de la gravité ou de la nature particulière des lésions (ATF 134 V 109 consid. 10.2.2 p. 127 s.), ainsi que celui de l'importance de l'incapacité de travail en dépit des efforts reconnaissables de l'assuré (ATF 134 V 109 consid. 10.2.7 p.129 s.) sont réalisés en l'espèce.
4.2 En tant que principe répondant à la nécessité de fixer une limite raisonnable à la responsabilité de l'assureur-accidents social, la causalité adéquate n'a pratiquement aucune incidence en présence d'une atteinte à la santé physique en relation de causalité naturelle avec l'accident, du moment que dans ce cas l'assureur répond aussi des atteintes qui ne se produisent habituellement pas selon l'expérience médicale (ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103 et les références). En revanche, il en va autrement lorsque des symptômes, bien qu'apparaissant en relation de causalité naturelle avec un événement accidentel, ne sont pas objectivables du point de vue organique. Dans ce cas, il y a lieu d'examiner le caractère adéquat du lien de causalité en se fondant sur le déroulement de l'événement accidentel, compte tenu, selon les circonstances, de certains critères en relation avec cet événement (ATF 117 V 359 consid. 6 p. 366 ss et 369 consid. 4 p. 382 ss; 115 V 133 consid. 6 p. 138 ss et 403 consid. 5 p. 407 ss). En présence de troubles psychiques apparus après un accident, on examine les critères de la causalité adéquate en excluant les aspects psychiques (ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140 et 403 consid. 5c/aa p. 409), tandis qu'en présence d'un traumatisme de type "coup du lapin" à la colonne cervicale (ATF 117 V 359 consid. 6a p. 367), d'un traumatisme analogue à la colonne cervicale (SVR 1995 UV no 23 p. 67 consid. 2) ou d'un traumatisme cranio-cérébral (ATF 117 V 369 consid. 4b p. 383), on peut renoncer à distinguer les éléments physiques des éléments psychiques (sur l'ensemble de la question, cf. ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103 et SVR 2007 UV no 8 p. 27, consid. 2 ss, U 277/04, et les références).
Sur le vu de l'ensemble des avis médicaux recueillis au dossier, en particulier les rapports des médecins de la Clinique Y._ (du 5 août 2003) et des experts de la Clinique V._ (du 3 mai 2006), il apparaît que l'état de santé de l'assuré a été de manière précoce et durablement affecté par des troubles psychiques qui constituent une atteinte à la santé distincte et indépendante du tableau clinique caractéristique habituellement associé à un traumatisme de type "coup du lapin" à la colonne cervicale, un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou un traumatisme cranio-cérébral (cf. ATF 134 V 109 consid. 9.5 p. 125 s.). Pour ce motif, il convient de trancher le cas à la lumière des principes applicables en cas de troubles psychiques consécutifs à un accident (ATF 127 V 102 consid. 5b/bb p. 103 et les références).
Cela étant, la juridiction cantonale était fondée à appliquer les critères jurisprudentiels exposés aux arrêts ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p.140 et 403 consid. 5c/aa p. 409).
4.3 En l'occurrence, il n'y a pas de raison de mettre en cause le point de vue de la juridiction cantonale, selon lequel les critères objectifs déterminants pour examiner le lien de causalité entre les troubles psychiques persistant après le 30 juin 2006 et l'accident - qu'il y a lieu de qualifier d'accident de gravité moyenne à la limite des accidents de peu de gravité - ne sont pas réalisés. En particulier, et contrairement à ce que soutient le recourant, la durée du traitement médical n'apparait pas anormalement longue, étant donné que les troubles psychiques ont exercé très tôt une influence prépondérante sur l'évolution de l'état de santé de l'intéressé (cf. arrêts 8C_694/2007 du 3 juillet 2008 consid. 5.2 ; 8C_312/2007 du 5 juin 2008 consid. 3.2.1). Pour ce même motif, le critère de la gravité et de la nature particulière des lésions physiques, ainsi que celui du degré et de la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques n'apparaissent pas non plus réalisés.
Cela étant, l'existence d'un lien de causalité entre les troubles psychiques persistant après le 30 juin 2006 et l'accident doit être niée.
4.4 Vu ce qui précède, la CNA était fondée, par sa décision sur opposition du 1er septembre 2006, à supprimer le droit du recourant aux prestations de l'assurance-accidents à partir du 1er juillet 2006. Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
5. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêté à 750 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 mars 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd