Faits:
A. A.a S._, née en 1963, travaillait dans un établissement médico-social comme aide-soignante et animatrice à 80 %. Souffrant notamment de troubles psychiques revêtant la forme d'une agoraphobie avec trouble panique, d'une anxiété généralisée, d'un épisode dépressif sans syndrome somatique et d'un syndrome douloureux somatoforme persistant, elle bénéficiait depuis le 1er octobre 2002 d'une rente entière de l'assurance-invalidité (décision du 10 février 2004).
A.b Au mois d'octobre 2004, l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI) a initié une procédure de révision de la rente d'invalidité. Il a confié au docteur R._ la réalisation d'une expertise psychiatrique. Dans son rapport du 4 mars 2006, ce médecin a conclu que, moyennant la poursuite du traitement psychiatrique qu'elle avait entrepris (thérapie cognitivo-comportementale), l'assurée était en mesure de reprendre son emploi à mi-temps d'abord, puis à plein temps ensuite. L'apparition soudaine d'une neuronite vestibulaire et la persistance par la suite de troubles de l'équilibre ont conduit l'office AI à confier une nouvelle expertise pluridisciplinaire à la Clinique X._. Dans leur rapport du 11 juin 2008, les docteurs D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et G._, spécialiste en rhumatologie, médecine interne et médecine du sport, ont retenu les diagnostics (avec répercussion sur la capacité de travail) d'arthrose nodulaire des doigts, prédominante à droite, et de status après déficit vestibulaire périphérique brusque gauche en février 2007, avec probable déficit otolithique séquellaire, ainsi que ceux (sans répercussion sur la capacité de travail) de syndrome douloureux somatoforme persistant et de traits de personnalité dépendante et anxieuse (évitante). La capacité de travail était de 80 % dans son dernier emploi en raison des problèmes arthrosiques aux mains et complète dans une activité plus légère; les problèmes psychiques n'influaient en revanche plus sur la capacité de travail. Bien que cet avis ne fût pas partagé par les médecin traitants de l'assurée, les docteurs K._ et U._ (rapports des 29 septembre et 6 octobre 2008), l'office AI a, par décision du 10 décembre 2008, supprimé la rente d'invalidité versée à l'assurée avec effet au premier jour du deuxième mois suivant la notification de la décision.
B. Par jugement du 26 juin 2009, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais a rejeté le recours formé par l'assurée contre cette décision.
C. S._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Par exception à ce principe, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. Dans un premier moyen, la recourante fait grief au Tribunal cantonal d'avoir violé son droit d'être entendue au sens de l'art. 29 al. 2 Cst. en ne tenant pas compte de l'expertise privée de la doctoresse V._ qu'elle lui aurait transmise le 26 juin 2009, soit à un moment où les parties n'avaient pas été informées de la clôture de la procédure d'instruction.
2.1 Dans la mesure où la recourante n'invoque aucune disposition de droit cantonal ou fédéral qui aurait obligé les premiers juges à lui annoncer expressément et formellement la clôture de la procédure d'instruction et qu'elle ne cite pas davantage une jurisprudence qui déduirait une telle obligation de l'art. 29 al. 2 Cst., on peut se demander si la violation du droit d'être entendu dont se prévaut la recourante est un moyen suffisamment motivé au regard des exigences accrues de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF (cf. supra consid. 1). Cette question peut demeurer indécise dès lors que le grief est, de toute façon, mal fondé.
2.2 L'art. 29 al. 2 Cst. garantit aux parties à une procédure judiciaire ou administrative le droit d'être entendues. La jurisprudence en a déduit, en particulier, le droit pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, celui de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision, celui d'avoir accès au dossier, celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (ATF 132 V 368 consid. 3.1 p. 370 et les références). Les exigences du droit d'être entendu ne sont pas respectées si le tribunal communique une prise de position (ou une pièce nouvelle) à une partie, mais lui signifie dans le même temps que l'échange d'écritures est terminé, privant ainsi la partie de toute possibilité de présenter ses observations (cf. ATF 132 I 42 consid. 3.3.2 p. 46 et les références). Lorsque le droit de procédure applicable prévoit qu'il n'y a en principe qu'un seul échange d'écritures - comme c'est le cas devant le Tribunal fédéral (cf. art. 102 al. 1 et 3 LTF) et le Tribunal cantonal du canton du Valais (art. 80 al. 1 let. d en corrélation avec l'art. 55 a contrario de la Loi sur la procédure et la juridiction administratives du 6 octobre 1976 [RSVS 176.2]) -, l'autorité peut se limiter, dans un premier temps, à communiquer la prise de position à titre d'information, sans avis formel de la possibilité de répliquer; pour autant que le juge n'ait pas clôturé l'échange d'écritures, la partie est ainsi mise en situation de faire ou non usage de son droit de réplique; si elle s'en abstient, elle est censée y avoir renoncé après l'écoulement d'un délai raisonnable (cf. ATF 133 I 98 consid. 2.2 p. 99; 132 I 42 consid. 3.3.3 p. 46; voir également arrêt 2C_688/2007 du 11 février 2008 consid. 2.2). Au terme de ce délai, le juge peut statuer sans avis formel de clôture de l'échange d'écritures ou de l'instruction, sous réserve d'une disposition de procédure prévoyant expressément une telle obligation (arrêt 9C_705/2009 du 21 décembre 2009 consid. 1.2.2).
2.3 En l'espèce, la recourante a transmis l'expertise de la doctoresse V._ au Tribunal cantonal par courrier daté du 26 juin 2009. Parvenue au greffe du Tribunal cantonal au plus tôt le jour suivant, soit postérieurement au prononcé du jugement litigieux, l'expertise ne pouvait être prise en considération pour statuer sur le cas de la recourante. Même si elle n'a pas formellement informé les parties que la procédure d'instruction était close, la juridiction cantonale pouvait raisonnablement considérer que la recourante avait renoncé à dupliquer ou à produire de nouveaux moyens de preuve, compte tenu du délai écoulé entre la communication par l'autorité cantonale de recours de la réponse de l'office AI et la date à laquelle elle a statué. La recourante n'expose pas en quoi les premiers juges lui auraient donné un motif particulier de penser qu'ils patienteraient encore avant de statuer sur le litige; en particulier, elle n'allègue pas qu'elle les aurait informés de son intention de produire une expertise privée ou qu'elle aurait demandé une suspension de procédure dans l'attente de l'établissement de ce moyen de preuve. Le grief de violation du droit d'être entendu soulevé par la recourante doit par conséquent être rejeté.
3. La recourante se plaint également d'une violation de son droit d'être entendue pour défaut de motivation du jugement entrepris, en tant que celui-ci n'examinerait pas les arguments soulevés en rapport avec l'évaluation du caractère invalidant de son trouble somatoforme douloureux.
3.1 La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) le devoir pour l'autorité de motiver sa décision, afin que le destinataire puisse la comprendre, l'attaquer utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. L'autorité n'a ainsi pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties; elle peut au contraire se limiter aux points essentiels pour la décision à rendre (ATF 133 III 439 consid. 3.3 p. 445 et les références).
3.2 La violation du droit d'entendu pour défaut de motivation de la décision attaquée est un grief qui n'est pas fondé en l'espèce, dans la mesure où la juridiction cantonale a mentionné les motifs qui l'ont conduite à retenir que les troubles psychiques de la recourante ne justifiaient plus en l'espèce d'incapacité de travail de longue durée. La recourante ne soutient d'ailleurs pas qu'elle n'aurait pas été en mesure de discerner la portée de la décision attaquée et de l'attaquer en connaissance de cause. En invoquant une mauvaise application de la jurisprudence en matière de troubles somatoformes, la recourante reproche en réalité à la juridiction cantonale, sous couvert d'une violation du droit d'être entendu, d'avoir fait preuve d'arbitraire dans la constatation des faits et l'appréciation des preuves et d'avoir violé le droit fédéral.
3.3 Cela étant, il n'y a pas lieu de considérer que la juridiction cantonale aurait violé le droit fédéral en n'examinant pas dans le détail la situation sous l'angle des précisions apportées par la jurisprudence concernant l'appréciation du caractère invalidant de troubles somatoformes douloureux (voir ATF 132 V 65, 131 V 49, 130 V 354 et 396). Le Tribunal cantonal a en effet considéré que le docteur D._ avait clairement exposé que le syndrome douloureux somatoforme persistant ne remplissait en aucun cas les critères de gravité pour qu'il puisse être qualifié d'invalidant. Dans ces conditions, il n'était pas nécessaire que la juridiction cantonale examine en détail les critères jurisprudentiels applicables en présence d'un tel diagnostic, les explications de l'expert étant suffisantes en soi. La nature des critiques portées par la recourante devant le Tribunal fédéral ne permettent d'ailleurs pas de remettre en cause le bien-fondé de cette appréciation, la recourante se bornant à proposer sa propre appréciation, sans tenter d'établir que le point de vue retenu par la juridiction cantonale serait manifestement insoutenable.
4. 4.1 La recourante reproche enfin au Tribunal cantonal d'avoir violé son droit d'être entendue en rejetant la requête de mise en oeuvre d'une expertise devant porter sur les séquelles liées au trouble vestibulaire. Au regard des rapports médicaux versés au dossier, elle estime que cette problématique, qui est la cause principale de son incapacité de travail, n'a pas fait l'objet d'une instruction suffisante. Elle s'étonne que les experts de la Clinique X._, qui ne sont pas des spécialistes de l'oto-rhino-laryngologie, puissent, sans procéder à des examens complémentaires, arriver à la conclusion que seule une activité en hauteur ou sur une échelle est contre-indiquée. Bien que conséquente, l'expertise n'apporterait aucun développement en rapport avec la neuronite vestibulaire et se contenterait d'apprécier l'incapacité de travail liée à ce trouble en un seul paragraphe. La recourante relève que tous ses médecins traitants, soit les docteurs K._, U._ et M._, indiquent qu'elle souffre de vertiges, lui reconnaissent une incapacité de travail liée au trouble vestibulaire et préconisent des mesures de rééducation. Au vu de ces éléments, les premiers juges ne pouvaient faire l'économie d'une expertise réalisée par un spécialiste en oto-rhino-laryngologie visant à établir le degré d'invalidité lié aux troubles vestibulaires.
4.2 La violation du droit d'être entendu (sur cette notion en corrélation avec l'administration de preuves, cf. ATF 130 II 425 consid. 2.1 p. 429, 119 Ib 492 consid. 5b/bb p. 505) dans le sens invoqué par la recourante est une question qui n'a pas de portée propre par rapport au grief tiré d'une mauvaise appréciation des preuves. Le juge peut effectivement renoncer à accomplir certains actes d'instruction sans que cela n'entraîne une violation du droit d'être entendu (arrêt I 363/99 du 8 février 2000 consid. 4, in SVR 2001 IV n° 10 p. 28) s'il est convaincu, en se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves (cf. ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352), que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation (sur l'appréciation anticipée des preuves, cf. UELI KIESER, Das Verwaltungsverfahren in der Sozialversicherung, p. 212 n° 450; KÖLZ/HÄNER, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2e éd., p. 39 n° 111 et p. 117 n° 320; FRITZ GYGI, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2e éd., p. 274).
4.3 En l'espèce, le Tribunal cantonal a considéré que les troubles oto-rhino-laryngologiques de la recourante étaient en grande partie subjectifs et ne l'empêchaient nullement d'exercer une activité lucrative adaptée, par exemple sédentaire, puisque seuls les travaux en hauteur lui étaient déconseillés. Aussi bien le docteur M._ que le docteur G._ avaient d'ailleurs confirmé que les répercussions objectives des troubles oto-rhino-laryngologiques étaient mineures et dues en grande partie à la composante psychique. Or, les troubles psychiques avaient connu une évolution favorable et n'étaient plus invalidants.
4.4 Sur le vu des pièces médicales versées au dossier, on ne saurait suivre le raisonnement des premiers juges. Comme le souligne la recourante, mis à part le docteur G._, qui n'est pas un spécialiste en oto-rhino-laryngologie, aucun médecin ne s'est prononcé sur la question de l'influence des troubles oto-rhino-laryngologiques sur la capacité résiduelle de travail de la recourante. On ne saurait à cet égard partager l'appréciation des premiers juges selon laquelle les troubles ressentis par la recourante ne l'empêcheraient nullement d'exercer une activité lucrative. Le docteur M._ a indiqué qu'il existait un dysfonctionnement de l'équilibre d'origine non-organique, lié à un conflit visuo-vestibulaire, à l'origine d'un trouble de la perception corporelle et de l'inconfort du mouvement et de l'espace, et estimé que l'accent devait être mis sur la prise en charge thérapeutique de la symptomatologie (rapports des 2 mai et 6 novembre 2008). Le fait que ce médecin ait posé en définitive le diagnostic de vertiges subjectifs chroniques et, partant, qu'il ait attribué une cause subjective à la symptomatologie, ne permet pas de conclure que celle-ci n'exerce aucune influence sur la capacité de travail de la recourante. Le fait est que la recourante présente des manifestations objectives sous la forme de vertiges et de pertes de l'équilibre qui semblent la gêner sérieusement dans sa vie quotidienne (rapport du docteur K._ du 6 octobre 2008). Les conclusions contraires de l'expertise réalisée à la Clinique X._ ne permettent pas de se convaincre du contraire, dès lors que les problèmes oto-rhino-laryngologiques n'ont pas fait l'objet d'un examen détaillé et que l'analyse à ce propos est plutôt sommaire et repose sur l'appréciation que font les experts du rapport du docteur M._ du 2 mai 2008.
4.5 Faute d'une évaluation circonstanciée rendue par un médecin spécialiste des problèmes oto-rhino-laryngologiques, l'instruction médicale apparaît incomplète. Il s'ensuit qu'il convient de renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle procède à un complément d'instruction sous la forme d'une expertise judiciaire. L'expertise devra revêtir un caractère pluridisciplinaire, au regard du rôle que semblent jouer des facteurs phobiques et anxieux sur la symptomatologie de la recourante (rapport du docteur M._ du 6 novembre 2008).
5. Vu l'issue du litige, les frais et les dépens de la procédure fédérale doivent être mis à la charge de l'intimé (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et la décision de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais du 26 juin 2009 est annulée. La cause est renvoyée à la juridiction de première instance pour complément d'instruction au sens des considérants et nouveau jugement.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. L'intimé versera à la recourante la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 24 février 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Piguet