Erwägungen:
1. X._, geboren 1977, ägyptischer Staatsangehöriger, reiste 2004 in die Schweiz ein, heiratete am 8. Oktober 2004 eine Schweizer Bürgerin und erhielt vom Kanton Zürich gestützt auf Art. 7 ANAG eine Aufenthaltsbewilligung. Die Ehefrau starb am 30. April 2006, und das Migrationsamt des Kantons Zürich wies am 22. Juni 2007 das im Herbst 2006 gestellte Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Ein Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Zürich blieb erfolglos. Das Verwaltungsgericht trat mit Beschluss vom 7. Januar 2008 auf die gegen den regierungsrätlichen Entscheid vom 14. November 2007 erhobene Beschwerde nicht ein, da nach kantonalem Recht das Bestehen eines Rechtsanspruchs auf Bewilligung Voraussetzung für die Zulässigkeit des Rechtsmittels wäre und ein solcher fehle. Das Verwaltungsgericht lehnte auch das Begehren um Kostenfreiheit für das Beschwerdeverfahren ab.
Mit einer Rechtsschrift vom 7. Februar 2008 hat X._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sowie subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Er stellt den Antrag, den Beschluss des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die zuständige kantonale Behörde anzuweisen, seine Aufenthaltsbewilligung aus humanitären Gründen angemessen zu verlängern.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. Art und Zulässigkeit von Rechtsmitteln von Amtes wegen (vgl. Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 133 I 185 E. 1 S. 188).
2.2 Vorab ist auf Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG [SR 142.20 bzw. AS 2007 5437 ff.]) zu verweisen, wonach auf Gesuche, die (wie im Falle des Beschwerdeführers) noch vor dem Inkrafttreten des Ausländergesetzes eingereicht worden sind, das bisherige Recht anwendbar bleibt, d.h. das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG).
2.3 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Der ausländische Ehegatte eines Schweizer Bürgers hat gestützt auf Art. 7 Abs. 1 ANAG Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Die Aufenthaltsbewilligung ist stets befristet (Art. 5 Abs. 1 ANAG). Nach Ablauf der Bewilligungsfrist ist jeweilen neu zu prüfen, ob die Voraussetzungen für eine Bewilligungsverlängerung erfüllt sind. Auf die Beibehaltung einer einmal erteilten Bewilligung besteht damit nicht grundsätzlich ein Rechtsanspruch. Was Art. 7 ANAG betrifft, wird ein Anspruch auf Bewilligungserneuerung, der vom Fortbestand der Ehe unabhängig ist, (frühestens) nach fünfjähriger Ehedauer erworben (Art. 7 Abs. 1 Satz 1 ANAG [Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung]). Der Tod des schweizerischen Ehegatten führt, wenn die Ehe nicht fünf Jahre gedauert hat, mithin zum Erlöschen des gesetzlichen Bewilligungsanspruchs des überlebenden ausländischen Ehegatten (BGE 120 Ib 16). Dasselbe gilt in Bezug auf Art. 8 EMRK, welcher den Schutz des Familienlebens und Privatlebens garantiert (BGE 120 Ib 16 E. 3 S. 21 f.); dabei vermag der Wunsch, das Grab des verstorbenen Ehegatten regelmässig besuchen zu wollen, keinen Bewilligungsanspruch zu begründen. Die Frage eines Bewilligungsanspruchs unter dem Gesichtswinkel des Rechts auf Schutz des Privatlebens stellt sich angesichts der bloss kurzen Anwesenheit des Beschwerdeführers in der Schweiz ohnehin nicht (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286 f.). Unerfindlich bleibt sodann, wie sich ein Recht auf Verbleiben des Beschwerdeführers in der Schweiz aus der Religionsfreiheit ergeben sollte. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit gestützt auf Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG offensichtlich unzulässig (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG).
2.4 Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BV) kann bloss die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG).
2.4.1 Gegenstand der Beschwerde ist der Nichteintretensbeschluss des Verwaltungsgerichts vom 7. Januar 2008. Dieses begründet sein Nichteintreten mit dem Fehlen eines Rechtsanspruchs auf Bewilligungsverlängerung. Weder erwähnt der Beschwerdeführer die vom Verwaltungsgericht herangezogenen einschlägigen kantonalrechtlichen Verfahrensnormen, noch zeigt er auf, inwiefern diese in seinem Fall in verfassungswidriger Weise angewendet worden seien; es fehlt jegliche Auseinandersetzung mit den für das Bestehen oder Fehlen eines Rechtsanspruchs massgeblichen Überlegungen. Mit dem blossen Erwähnen von Art. 8 EMRK und der Religionsfreiheit lässt sich keine Verfassungsrüge begründen (vgl. Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Übrigen ergibt sich implizit aus der vorstehenden E. 2.3, dass sich der Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts nicht beanstanden lässt.
2.4.2 Da das Verwaltungsgericht auf die bei ihm eingereichte Beschwerde nicht eingetreten ist, könnte der Beschwerdeführer angesichts der besonderen verfahrensrechtlichen Ausgangslage innert 30 Tagen seit Eröffnung des verwaltungsgerichtlichen Beschlusses Rügen auch gegen den letztinstanzlichen materiellen Entscheid, d.h. gegen denjenigen des Regierungsrats vorbringen (vgl. BGE 127 II 161 E. 3 S. 167). Voraussetzung hierzu ist insbesondere, dass dieser Entscheid ausdrücklich angefochten bzw. dessen Aufhebung beantragt wird und konkret diesen betreffende Rügen erhoben werden; daran fehlt es vorliegend.
2.4.3 Der Beschwerdeführer nimmt schliesslich Bezug darauf, dass das Verwaltungsgericht sein Gesuch um Kostenbefreiung abgelehnt hat, ohne aber hierzu konkret erkennbar eine Rüge zu erheben.
2.4.4 Wegen Fehlens zulässiger Rügen (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG) erweist sich auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde als offensichtlich unzulässig.
2.5 Auf die Beschwerden ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.6 Wie sich aus den vorstehenden Erwägungen ergibt, war die Beschwerde aussichtslos, sodass dem für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden kann (Art. 64 BGG).
Damit sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Verfahrensausgang entsprechend dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt, dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller