Sachverhalt:
A. Die 1968 geborene U._ war im Reinigungsdienst tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert. Am 2. Juli 2001 erlitt sie einen Verkehrsunfall. Der von ihr gelenkte Audi A6 stiess innerorts beim Einbiegen in eine andere Strasse mit der linken Frontecke gegen die rechte Frontecke eines herannahenden Busses. Dabei wurden der Lenkrad-Airbag des Audi ausgelöst und beide Fahrzeuge stark beschädigt. U._ wurde zur ambulanten Abklärung und Behandlung ins Spital X._ überführt, wo eine Distorsion der Halswirbelsäule (HWS) diagnostiziert und eine volle Arbeitsunfähigkeit bestätigt wurde (Bericht Spital X._ vom 7. August 2001). Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Die Versicherte konnte die Arbeit ab 2. Januar 2002 wieder zu 50 % aufnehmen und ab 11. Februar 2002 auf das volle Pensum steigern. Im Oktober 2002 bestätigte sie auch den Abschluss der Heilbehandlung. Ab 18. September 2003 bestand wegen zunehmender Beschwerden erneut eine volle Arbeitsunfähigkeit. Die SUVA, der dies als Rückfall gemeldet wurde, gewährte wiederum Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 26. Oktober 2005 eröffnete sie der Versicherten, die Leistungen würden auf den 30. November 2005 eingestellt; es bestehe auch kein Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung führte die SUVA aus, die noch geklagten Beschwerden stünden nicht in einem kausalen Zusammenhang zum Unfall vom 2. Juli 2001. Daran hielt sie auf die von U._ und deren Krankenversicherer erhobenen Einsprachen hin fest (Einspracheentscheid vom 14. Mai 2007).
B. Die von U._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 15. Oktober 2008 ab.
C. U._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des Einsprache- und des kantonalen Entscheids sei die SUVA zu verpflichten, über den 30. November 2005 hinaus die gesetzlichen Leistungen zu erbringen; eventuell sei die SUVA zu verpflichten, ein polydisziplinäres medizinisches Gutachten in Auftrag zu geben. Sodann sei die Vorinstanz anzuweisen, sämtliche Anwaltskosten dem Versicherer aufzuerlegen.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin aus dem Unfall vom 2. Juli 2001 über den 30. November 2005 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, richtig dargelegt. Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (sog. Psycho-Praxis), während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (sog. Schleudertrauma-Praxis; zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Es besteht zunächst Uneinigkeit in der Beantwortung der Frage, ob die noch bestehenden Beschwerden mit einem natürlich unfallkausalen, organisch objektiv ausgewiesenen Gesundheitsschaden zu erklären sind. Dies wird von SUVA und kantonalem Gericht verneint, von der Beschwerdeführerin hingegen bejaht.
3.1 Das kantonale Gericht hat hiezu vorab erwogen, rechtsprechungsgemäss stellten Verhärtungen, Verspannungen und Tonuserhöhungen der Muskulatur, Einschränkungen der HWS-Beweglichkeit und Druckdolenzen kein klar ausgewiesenes organisches Substrat dar. Sodann erkannte es, die in den SUVA-Akten ausgewiesenen bildgebenden Untersuchungen hätten lediglich mässige degenerative Veränderungen, jedoch keine ossären Läsionen ergeben.
Die vorinstanzliche Beurteilung ist insoweit zu Recht unbestritten. Die Beschwerdeführerin beruft sich zur Begründung ihrer abweichenden Auffassung auf die Berichte des Dr. med. M._, Spezialarzt für Neurologie FMH, vom 23. Mai 2006 und des Radiologieinstituts I._ vom 16. Januar 2006 sowie "auf die angefertigten Röntgenbilder". Weiter wird geltend gemacht, der Umstand, dass die Versicherte beim Unfall mit dem Kopf auf den Airbag prallte, sei bei der medizinischen Beurteilung nicht berücksichtigt worden.
3.2 Mit den "angefertigten Röntgenbildern" sind offensichtlich die im Bericht des Radiologieinstituts I._ vom 16. Januar 2006 beschriebenen Funktionsaufnahmen vom 13. Januar 2006 gemeint. Dabei wurde aber gemäss dem abklärenden Radiologen lediglich eine eingeschränkte Beweglichkeit im Bereich der HWS festgestellt. Eine organische Unfallfolge bzw. organische Ursache der geklagten Beschwerden ist damit nicht objektiv ausgewiesen.
3.3 Gemäss Bericht des Radiologieinstituts I._ vom 16. Januar 2006 wurde am 13. Januar 2006 auch eine Untersuchung der HWS mittels funktioneller Magnetresonanztomographie (fMRT; englisch: functional magnetic resonance imaging, fmri) durchgeführt. Laut Bericht des Dr. med. M._ vom 23. Mai 2006 wurde dabei der Befund von cervicocephalen Beschwerden mit insbesondere Kopfschmerzen, Schwindel und Übelkeit belegt, "indem die Motilität im Segment C1/2 und C3/4 vermindert dokumentiert werden konnte".
Das kantonale Gericht hat dies richtigerweise nicht zum Anlass genommen, eine organische Unfallfolge zu bejahen. Mit der erwähnten Verminderung der Motilität ist nämlich wiederum lediglich eine Bewegungseinschränkung gemeint (Springer Klinisches Wörterbuch, 2007, S. 1197). Dass eine organische Gesundheitsschädigung vorliegt, ist damit, wie schon erwähnt, nicht dargetan. Abgesehen davon kommt den mittels fMRT erhobenen Befunden für die Beurteilung der Unfallkausalität von Beschwerden nach Schleudertraumen der HWS und äquivalenten Unfallmechanismen nach dem aktuellen Stand der Wissenschaft kein Beweiswert zu. Insbesondere kann aus solchen Befunden nicht geschlossen werden, dass bestehende Schmerzen auf organisch (hinreichend) nachweisbare Unfallfolgen zurückzuführen sind (BGE 134 V 231). Dies hat die Vorinstanz zutreffend erkannt. Sie hat auch richtig erwogen, dass auch der weitere Inhalt der Berichte des Dr. med. M._ und des Radiologieinstituts I._ den Schluss auf organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolgen nicht zu stützen vermag.
3.4 Der Hinweis der Beschwerdeführerin auf den erfolgten Aufprall des Kopfes auf den Airbag rechtfertigt ebenfalls keine andere Betrachtungsweise. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern dies den Schluss auf eine organische Unfallfolge, welche die persistierenden Beschwerden zu erklären vermag, stützen könnte.
Festzuhalten bleibt, dass von weiteren medizinischen Abklärungen kein entscheidrelevanter neuer Aufschluss zur Frage einer organisch nachweisbaren Unfallfolge zu erwarten ist. Von Aktenergänzungen ist daher mit der Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung abzusehen.
4. Nach dem Gesagten liegt keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vor. Das schliesst zwar die natürliche Unfallkausalität der bestehenden Beschwerden nicht aus. Anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat kann der adäquate Kausalzusammenhang aber nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (E. 2 hievor).
4.1 Eine solche Adäquanzprüfung hat die Vorinstanz vorgenommen. Sie hat zunächst erwogen, es erscheine fraglich, ob die persistierenden Beschwerden mit einer natürlich unfallkausalen Verletzung im Sinne der Schleudertrauma-Praxis zu erklären seien. Abschliessend müsse dies aber nicht beantwortet werden. Denn der adäquate Kausalzusammenhang - und damit eine weitere Leistungspflicht des Unfallversicherers - sei auch bei einer Prüfung nach der besagten Praxis zu verneinen.
Gegen dieses Vorgehen ist nichts einzuwenden, wenn die Adäquanz tatsächlich auch nach der Schleudertrauma-Praxis, welche in der Regel und jedenfalls hier für die versicherte Person günstiger ist als die Psycho-Praxis, verneint werden muss. Das ist nachfolgend zu prüfen.
4.2 Für die Adäquanzbeurteilung ist an das (objektiv erfassbare) Unfallereignis anzuknüpfen. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126; E. 2 hievor). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.2 und 5.3.1, [U 2, 3 und 4/07]; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat die Kollision vom 2. Juli 2001 im mittelschweren Bereich an der Grenze zu den leichten Unfällen eingestuft. Demgegenüber geht die Beschwerdeführerin von einem Unfall im Grenzbereich zu den schweren Unfällen aus.
Gemäss der biomechanischen Kurzbeurteilung vom 15. Oktober 2001 prallte der Audi praktisch gerade und frontal auf den Bus. Die kollisionsbedingte Geschwindigkeitsveränderung (delta-v) des Audi lag unterhalb oder innerhalb eines Bereichs von 20 - 30 km/h. Ob der Unfall - mit der Vorinstanz - als mittelschwer im Grenzbereich zu den leichten Unfällen oder aber als mittelschwer im engeren Sinn zu charakterisieren ist, kann offenbleiben. Jedenfalls liegt entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung kein Unfall im Grenzbereich zu den schweren Unfällen vor. Als Unfälle mit diesem Schweregrad werden regelmässig nur Ereignisse qualifiziert, die mit markant höheren Krafteinwirkungen verbunden sind (vgl. RKUV Nr. U 555 S. 322 E. 3.4.1 [U 458/04] und Nr. U 548 S. 228 E. 3.2.2 [U 306/04], je mit Hinweisen). Solche Krafteinwirkungen lagen hier nicht vor. Dass die Versicherte mit dem Kopf auf den Airbag prallte, rechtfertigt keine andere Betrachtungsweise. Gleiches gilt für das Vorbringen der Beschwerdeführerin, es seien keine Bremsspuren der Fahrzeuge festgestellt worden, sowie für die Hinweise auf das hohe Gewicht des unfallgegnerischen Fahrzeuges und auf die Beschädigungen an den Fahrzeugen. In der biomechanischen Kurzbeurteilung vom 15. Oktober 2001, auf welche sich die Vorinstanz insbesondere stützt, wurden die Geschwindigkeiten der Unfallfahrzeuge wie auch der Umstand, dass der Audi mit einem Bus und daher mit einem deutlich schwereren Fahrzeug zusammenstiess, sowie die Fahrzeugschäden berücksichtigt.
4.3 Von den weiteren massgeblichen Kriterien (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130) müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f., 117 V 359 E. 6 S. 367 f.).
Das kantonale Gericht hat die beiden Kriterien der erheblichen Beschwerden und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen jeweils in der einfachen Form bejaht. Nach Auffassung der Versicherten sind diese Kriterien in besonders ausgeprägter Weise erfüllt und ist darüber hinaus auch das Kriterium der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen gegeben.
Die weiteren adäquanzrelevanten Kriterien (besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen) werden, nach Lage der Akten zu Recht, nicht geltend gemacht.
4.3.1 Für die Bejahung des Kriteriums der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzung genügt die Diagnose einer HWS-Distorsion (oder einer anderen, adäquanzrechtlich gleich zu behandelnden Verletzung) für sich allein nicht. Es bedarf hiezu einer besonderen Schwere der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können. Diese können beispielsweise in einer beim Unfall eingenommenen besonderen Körperhaltung und den dadurch bewirkten Komplikationen bestehen. Auch erhebliche Verletzungen, welche sich die versicherte Person neben dem Schleudertrauma, der äquivalenten Verletzung der HWS oder dem Schädel-Hirntrauma beim Unfall zugezogen hat, können bedeutsam sein (BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127 f. mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführerin macht geltend, das Kriterium sei erfüllt, weil sie durch das Öffnen des Airbags die linke Seite des Kopfes angeschlagen habe.
Alleine der Umstand, dass der Kopf gegen den geöffneten Lenkrad-Airbag prallt (ein anderweitiges Anschlagen des Kopfes ist nicht aktenkundig), erscheint indessen nicht geeignet, die schleudertraumatypischen Symptome hervorzurufen. Dies lässt sich auch ohne die beantragten weiteren Abklärungen zuverlässig beurteilen. Es fehlen zudem Anzeichen, dass es durch den Aufprall des Kopfes, abgesehen von einfachen Prellmarken im Gesicht, zu Komplikationen oder Verletzungen kam. Was im Besonderen die Körperhaltung betrifft, gab die Versicherte am 30. Juli 2001 im Erhebungsblatt für die Abklärung von HWS-Fällen an, sie habe den Kopf in Fahrtrichtung, leicht nach rechts abgedreht gehalten. Die Kopfhaltung wich somit nur geringfügig von der üblichen Geradeausrichtung ab und vermöchte daher ebenfalls nicht, den Schluss auf eine besondere Verletzungsart zu begründen. Das kantonale Gericht hat dieses Kriterium mithin zu Recht verneint.
4.3.2 Von erheblichen Beschwerden kann aufgrund der glaubhaft geklagten Schmerzen und der dadurch bewirkten Einschränkung im Lebensalltag (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.2.4 S. 128) ausgegangen werden. Entgegen der von der Versicherten vertretenen Auffassung übersteigen die Beschwerden das bei Schleudertrauma-Verletzungen übliche Mass aber nicht derart, dass das Kriterium in besonders ausgeprägter Weise erfüllt erscheint. Das gilt auch unter Berücksichtigung der geltend gemachten Einschränkung bei der Tätigkeit im Haushalt. Dass die im April 2005 begonnene Umschulung zur Kosmetikerin abgebrochen wurde, rechtfertigt ebenfalls keine andere Beurteilung, zumal dafür gemäss Bericht der IV-Berufsberatung vom 25. Mai 2005 auch eine intellektuelle Überforderung, und mithin ein unfallfremder Faktor verantwortlich war.
4.3.3 Mit Blick darauf, dass die Versicherte der Arbeit bereits ein halbes Jahr nach dem Unfall zu 50 % und kurz darauf zu 100 % wieder aufnehmen konnte und erst ab September 2003 wieder eine Arbeitsunfähigkeit bestand, erscheint fraglich, ob überhaupt eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit im Sinne des entsprechenden Kriteriums vorliegt. In besonders ausgeprägter Weise ist dieses aber jedenfalls nicht gegeben. Dies gilt auch unter Berücksichtigung der von der Versicherten gezeigten Anstrengungen. In der Beschwerde wird nichts vorgebracht, was eine andere Betrachtungsweise zu rechtfertigen vermöchte. Die Versicherte beschränkt sich darauf zu betonen, dass ihr der Abbruch der Kosmetikerinnen-Ausbildung nicht angelastet werden könne. Dies geschieht indessen nicht. Das Adäquanzkriterium ist schon aufgrund des zuvor Gesagten als höchstens in fraglicher, jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise erfüllt zu betrachten.
4.3.4 Zusammenfassend liegen - höchstens und jedenfalls nur in der einfachen Form - zwei Kriterien vor. Das genügt nicht, um dem Unfall vom 2. Juli 2001 eine rechtserhebliche Bedeutung für die über den 30. November 2005 hinaus geklagten Beschwerden beizumessen. Das kantonale Gericht hat somit die Leistungspflicht der SUVA ab diesem Zeitpunkt zu Recht verneint.
5. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat zudem keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das gilt gleichermassen für das vorinstanzliche Verfahren.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. März 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz