Sachverhalt:
A. Der aus dem Kosovo stammende X._ (geb. 1975) reiste am 21. August 1994 illegal in die Schweiz ein und ersuchte hier erfolglos um Asyl. Im Juni 1997 heiratete er die Schweizer Bürgerin Y._ (geb. 1978) und erhielt daraufhin eine Aufenthaltsbewilligung. Im Mai 2001 wurde die Ehe geschieden; worauf X._ die in der Schweiz niederlassungsberechtigte Landsfrau Z._ (geb. 1982) heiratete und gestützt auf diese Ehe eine neue Aufenthaltsbewilligung erhielt. Das Ehepaar hat zwei Söhne (A._, geb. 2001, und B._, geb. 2005). Am 9. November 2005 wurde X._ von der Volkswirtschaftsdirektion des Kantons Uri (Amt für Arbeit und Migration) fremdenpolizeilich verwarnt, weil er zu verschiedenen Klagen Anlass gegeben habe (u.a. diverse Bussen, 45 Betreibungen und 12 Verlustscheine, Polizeirapporte wegen Hausfriedensbruchs und häuslicher Gewalt).
B. Am 18. Januar 2008 wies das Amt für Arbeit und Migration das Gesuch von X._ vom 6. August 2007 um eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab, im Wesentlichen mit der Begründung, gegen ihn hätten weitere Betreibungen eingeleitet werden müssen und er habe zu polizeilichen Interventionen (Anzeigen wegen häuslicher Gewalt) Anlass gegeben. Die Anzeigen habe die Ehefrau zwar wieder zurückgezogen, doch sei dies gemäss den Akten wegen des massiven Drucks des Ehemannes auf die Ehefrau geschehen. Für diese Begründung stützte sich das Amt auf einen Bericht des Sozialamts G._ vom 29. November 2007. Darin hielt der zuständige Sozialarbeiter zusammenfassend fest, aus seiner Sicht belasteten die Drohungen des Ehemannes gegenüber seiner Frau sowie die persönliche und finanzielle Vernachlässigung seiner Pflichten das gesamte Familiensystem massiv. X._ scheine es gut zu verstehen, psychischen Druck auf seine Frau auszuüben, um sie letztlich nach seinem Willen kontrollieren zu können.
Eine gegen die Verfügung vom 18. Januar 2008 erhobene Einsprache wies das Amt für Arbeit und Migration am 14. März 2008 ab.
C. Hiegegen gelangte X._ an das Obergericht des Kantons Uri und verlangte, ihm sei der Aufenthalt im Kanton Uri weiterhin zu bewilligen. Er trug vor, seine Ehe sei (wieder) intakt und machte geltend, die finanzielle Situation der Familie habe sich weiter verbessert. Er legte eine aktuelle Lohnabrechnung und einen aktuellen Betreibungsregisterauszug ins Recht, ausserdem einen neuen Arbeitsvertrag zwischen der S._ AG und seiner Ehefrau. Sodann beantragte er ausdrücklich, seine Frau - welche ihrerseits ein persönliches handschriftliches Schreiben zu den Akten gab - sei als Zeugin zu befragen, zumal sich das Amt für Arbeit und Migration bei der Beurteilung der ehelichen Situation lediglich auf den fraglichen, nicht den Tatsachen entsprechenden "Wahrnehmungsbericht" des Sozialamtes gestützt habe.
Mit Entscheid vom 11. Juli 2008 wies das Obergericht des Kantons Uri die Beschwerde ab. Die vom Beschwerdeführer im obergerichtlichen Verfahren neu eingereichten Beweismittel liess es unberücksichtigt, und auf die persönliche Anhörung der Ehefrau hatte es verzichtet, weil diese Beweismassnahme "untauglich" sei und im Übrigen davon ausgegangen werden könne, dass die Überzeugung des Gerichts dadurch nicht geändert würde. Den begründeten Entscheid versandte das Obergericht am 4. August 2008.
D. Mit Eingabe vom 11. September 2008 führt X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das Urteil des Obergerichts vom 11. Juli 2008 aufzuheben und ihm - dem Beschwerdeführer - den weiteren Aufenthalt im Kanton Uri zu bewilligen; eventuell sei er (letztmals) fremdenpolizeilich zu verwarnen.
Mit Eingabe vom 4. Oktober 2008 ersucht X._ ausserdem um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Das Amt für Arbeit und Migration verzichtet auf eine Stellungnahme, ebenso das Obergericht. Das Bundesamt für Migration beantragt, die Beschwerde abzuweisen.
Erwägungen:
1. 1.1 Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG schliesst die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide über ausländerrechtliche Bewilligungen aus, auf deren Erteilung weder nach dem Bundes- noch dem Völkerrecht ein Rechtsanspruch besteht.
1.2 Das streitige Gesuch um Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung wurde vor Inkrafttreten des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) am 1. Januar 2008 eingereicht und beurteilt sich daher noch nach dem inzwischen aufgehobenen Bundesgesetz vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) und seinen Ausführungserlassen (Art. 126 Abs. 1 AuG).
1.3 Gemäss Art. 17 Abs. 2 Satz 1 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990) hat der ausländische Ehegatte eines niedergelassenen Ausländers Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange die Ehegatten zusammen wohnen.
Der Beschwerdeführer ist mit einer in der Schweiz niederlassungsberechtigten Landsfrau verheiratet und lebt mit ihr zusammen. Damit steht ihm gestützt auf die erwähnte Bestimmung im Grundsatz ein Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung zu. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich damit als zulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG).
1.4 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2. Ein gemäss Art. 17 Abs. 2 ANAG bestehender Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung erlischt, wenn der Anspruchsberechtigte gegen die öffentliche Ordnung verstossen hat (Satz 4). Die betreffenden Voraussetzungen sind weniger streng als im Fall des ausländischen Ehegatten eines Schweizer Bürgers, in welchem ein Ausweisungsgrund im Sinne von Art. 10 ANAG vorliegen müsste. Die Verweigerung der Bewilligung muss jedoch verhältnismässig sein (vgl. BGE 120 Ib 129 E. 4 S. 130 f.; 122 II 385 E. 3a S. 390).
3. 3.1 Der Beschwerdeführer rügt vorab eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör, weil das Obergericht entgegen dem ausdrücklich gestellten Antrag darauf verzichtet habe, seine Ehefrau persönlich zur Ehe und zum Familienleben zu befragen. Die Vorinstanz wäre, zumal sie aufgrund des Novenverbots im kantonalen Verwaltungsgerichtsbeschwerdeverfahren auch die schriftliche Eingabe der Ehefrau nicht beachtet habe, verpflichtet gewesen, sich einen eigenen Eindruck von der Sachlage zu verschaffen.
3.2 Das rechtliche Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheides zur Sache zu äussern, erhebliche Beweise beizubringen, Einsicht in die Akten zu nehmen, mit erheblichen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen. Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst als Mitwirkungsrecht somit alle Befugnisse, die einer Partei einzuräumen sind, damit sie in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (BGE 132 II 485 E. 3.2 S. 494; 127 I 54 E. 2b S. 56; 117 Ia 262 E. 4b S. 268, mit Hinweisen).
Nach der Rechtsprechung kann das Gericht das Beweisverfahren schliessen, wenn die Beweisanträge eine nicht erhebliche Tatsache betreffen oder offensichtlich untauglich sind oder wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (BGE 130 II 425 E. 2.1 S. 428; 124 I 208 E. 4a S. 211).
Art. 29 Abs. 2 BV vermittelt auch nicht zwingend das Recht, mündlich angehört zu werden. Eine mündliche Äusserungsmöglichkeit kann aber geboten sein wegen persönlicher Umstände, die sich nur aufgrund einer mündlichen Anhörung klären lassen (vgl. Gerold Steinmann, in: Kommentar BV, 2. Auflage 2008, Rz. 25 zu Art. 29 Abs. 2 BV) bzw. wenn sich eine solche Anhörung für den zu fällenden Entscheid als unerlässlich erweist (BGE 122 II 464 E. 4 S. 469 f.).
3.3 Das Obergericht legt dem Beschwerdeführer als Verstoss gegen die öffentliche Ordnung im Sinne von Art. 17 Abs. 2 Satz 4 ANAG in erster Linie zur Last, dass er nach der erfolgten fremdenpolizeilichen Verwarnung weiterhin Schulden gemacht und zu Klagen im Zusammenhang mit häuslicher Gewalt Anlass gegeben habe (S. 11 des angefochtenen Entscheides). In tatsächlicher Hinsicht stellte es fest, dass dem Beschwerdeführer seit dem Jahre 2004 der Lohn bis auf das Existenzminimum gepfändet werde, wodurch es ihm gelungen sei, über die Hälfte seiner Schulden abzubauen (S. 9 des angefochtenen Entscheides). Weiter stellte das Gericht in tatsächlicher Hinsicht fest, dass die Anzeigen der Ehefrau wegen häuslicher Gewalt zurückgezogen wurden bzw. ein Strafverfahren wegen Drohung eingestellt worden ist (angefochtener Entscheid, ebenda).
Damit sind die gegenüber dem Beschwerdeführer erhobenen Vorwürfe nicht so gravierend, dass sie ungeachtet der Interessenlage der Familie und der Frage, wie eng die eheliche Beziehung ist, zur Verweigerung der anbegehrten Bewilligung führen können.
Vorliegend beruht die Auffassung der kantonalen Richter über die eheliche Situation des Beschwerdeführers einzig auf einem Bericht des Sozialamts (vgl. vorne lit. B). Es erscheint unter diesen Umständen willkürlich und mit einem fairen Verfahren (Art. 29 BV) unvereinbar, das Urteil auf ein indirektes Beweismittel abzustützen, ohne das verfügbare direkte Beweismittel (Befragung der Ehefrau) abzunehmen und so dem Beschwerdeführer zu ermöglichen, den Bericht des Sozialamtes in Frage zu stellen.
Die Gehörsrüge erweist sich nach dem Gesagten als begründet, was zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Urteils führt.
4. 4.1 Heisst das Bundesgericht die Beschwerde gut, so entscheidet es in der Sache selbst oder weist diese zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurück. Es kann die Sache auch an die Behörde zurückweisen, die als erste Instanz entschieden hat (Art. 107 Abs. 2 BGG).
Vorliegend erscheint es angezeigt, die Sache an das Obergericht des Kantons Uri zurückzuweisen, damit dieses den Sachverhalt unter Einhaltung der wesentlichen Verfahrensbestimmungen feststellt. Von Bundesrechts wegen wird in diesem Zusammenhang auch Folgendes zu berücksichtigen sein:
4.2 Das Bundesgerichtsgesetz schreibt den Kantonen vor, dass die richterliche Vorinstanz des Bundesgerichts oder ein vorgängig zuständiges Gericht den Sachverhalt frei prüft und das Recht von Amtes wegen anwendet (Art. 110 BGG). Daraus folgt, dass der Sachverhalt im gerichtlichen Verfahren zu erstellen ist, weshalb diesem auch neue Tatsachen und Beweismittel unterbreitet werden können (Alfred Kölz/ Jürg Bosshart/Martin Röhl, Kommentar zum Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich, 2. Aufl., Zürich 1999, N 11 zu § 52; Ruth Herzog, Art. 6 EMRK und kantonale Verwaltungsrechtspflege, S. 372; Heiner Wohlfart, Anforderungen der Art. 6 Abs. 1 EMRK und Art. 98a OG an die kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetze, in: AJP 1995 S. 1431). Damit wird die Rechtsweggarantie von Art. 29a BV bzw. Art. 6 EMRK umgesetzt, welche eine uneingeschränkte Sachverhalts- und Rechtskontrolle durch (wenigstens) ein Gericht verlangt.
Die Erwägungen des Obergerichts, wonach für seinen Rechtsmittelentscheid die Sachlage zur Zeit des Erlasses der erstinstanzlichen Verfügung massgebend sei und nachträgliche Veränderungen wegen des kantonalen prozessrechtlichen Novenverbots nicht berücksichtigt werden könnten (S. 5/6 des angefochtenen Entscheides), halten damit heutiger bundesgerichtlicher Überprüfung nicht (mehr) stand (vgl. dazu auch das zur Publikation vorgesehene Urteil 2C_607/2008 vom 24. März 2009, E. 3.3). Die Beschwerde ist auch aus diesem Grund gutzuheissen.
5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat der Kanton Uri den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 BGG). Damit wird das gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Uri (Verwaltungsrechtliche Abteilung) vom 11. Juli 2008 aufgehoben.
2. Die Sache wird zu neuer Beurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4. Der Kanton Uri hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
6. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Arbeit und Migration und dem Obergericht des Kantons Uri (Verwaltungsrechtliche Abteilung) sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts:
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Klopfenstein