Sachverhalt:
A. Mit Urteil 2C_665/2010 vom 24. Mai 2011 hiess das Bundesgericht eine von X._ gegen einen Entscheid des Obergerichts des Kantons Luzern erhobene Beschwerde in einem Punkt gut. Im Übrigen wies es die Beschwerde aber ab, soweit es darauf eintrat.
B. Mit als Gesuch um Revision bezeichneter Eingabe vom 7. Juli 2011 beantragt X._ dem Bundesgericht, das erwähnte Urteil vom 24. Mai 2011 "revisionsweise aufzuheben" und neu zu entscheiden unter Berücksichtigung der "übersehenen in den Akten liegenden erheblichen Tatsachen". In prozessualer Hinsicht stellt er die Anträge, dem Revisionsgesuch die aufschiebende Wirkung zu erteilen und es dem Obergericht sowie dem Bundesamt für Justiz gemäss Art. 127 BGG zuzustellen. Ausserdem beantragt er, diejenigen Bundesrichter bekanntzugeben, die das Revisionsgesuch behandeln. "Informell" ersucht er, "einen andern Instruktionsrichter und einen andern instruierenden Gerichtsschreiber einzusetzen".
Das Bundesgericht hat das Obergericht sowie die Aufsichtskommission über die Anwältinnen und Anwälte des Kantons Luzern über das Revisionsgesuch informiert, ohne deren Vernehmlassung einzuholen. In Bezug auf die Zusammensetzung der zuständigen Abteilung verwies es X._ mit Schreiben vom 12. Juli 2011 auf den Staatskalender (vgl. dazu auch BGE 117 Ia 322 E. 1c S. 323) und teilte ihm mit, der definitive Spruchkörper könne nicht vorgängig bekannt gegeben werden.
Erwägungen:
1. Grundsätzlich ist diejenige Abteilung des Bundesgerichts für die Beurteilung eines Revisionsgesuches zuständig, die das Urteil, dessen Revision angestrebt wird, erlassen hat. In der Regel wird auch in der gleichen Zusammensetzung entschieden, was sich entgegen der Behauptung des Gesuchstellers sowohl aus der Praxis des Bundesgerichts als auch aus der Literatur ergibt (vgl. Art. 34 Abs. 2 BGG; BGE 114 Ia 50 E. 3d S. 58; 96 I 279 E. 2 S. 280; Urteile 5F_5/2010 vom 7. Juli 2010 E. 2; 4P.243/2005 vom 28. April 2006 E. 2 und 6P.81/2006 vom 28. April 2006 E. 1; Florence Aubry Girardin, Commentaire de la LTF, Corboz et al. [Hrsg.], 2009, N. 37 zu Art. 34 BGG; Yves Donzallaz, Loi sur le Tribunal fédéral, 2008 N. 4677; Isabelle Häner, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 19 in fine zu Art. 34 BGG; Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, 2007, N. 8 zu Art. 34 BGG). Die Feststellung des Gesuchstellers, nur sehr wenige oder so gut wie keine Revisionsgesuche seien in den vergangenen Jahren erfolgreich gewesen, stellt nicht einen Grund dar, von dieser Regel abzuweichen. Weitere Gründe für eine andere Zusammensetzung des Gerichts werden nicht geltend gemacht und sind ebenso wenig ersichtlich. Der Gesuchsteller hat für das vorliegende Verfahren zudem kein formelles Ausstandsbegehren mit entsprechender Begründung gestellt. Mithin erscheint unbedenklich, dass auch der instruierende Bundesrichter sowie der Gerichtsschreiber mitwirken, die bereits am zu revidierenden Entscheid teilgenommen hatten. Daran ändern die vom Beschwerdeführer ohne weitere Ausführungen zitierten Art. 30 BV und Art. 6 EMRK nichts.
2. 2.1 Der Gesuchsteller beruft sich auf die Revisionsgründe des Art. 121 lit. c und d BGG. Danach kann die Revision eines Urteils des Bundesgerichts verlangt werden, wenn dieses in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (lit. d) oder einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind (lit. c).
2.2 Im bundesgerichtlichen Verfahren 2C_665/2010 ging es um die disziplinarische Ahndung einer dem Gesuchsteller vorgeworfenen Berufspflichtverletzung. Dieser berief sich unter anderem darauf, dass die disziplinarische Verfolgung gemäss Art. 19 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) verjährt sei. Bereits bei Einleitung des Disziplinarverfahrens habe Verjährung vorgelegen oder zumindest später sei sie mangels geeigneter Unterbrechungs- bzw. Untersuchungshandlungen im Sinne von Art. 19 Abs. 2 BGFA eingetreten.
Der Gesuchsteller macht in seinem Gesuch um Revision geltend, das Bundesgericht habe seine Ausführungen und seinen Antrag auf Seite 47 seiner Beschwerde vom 27. August 2010 sowie auf Seite 3 seiner Replik vom 25. November 2010, ein "Aktenstück" vom 27. Februar 2009 und die Vernehmlassung des Bundesamts für Justiz vom 15. November 2010 übersehen bzw. nicht beurteilt.
2.3 Das Bundesgericht legte im Urteil vom 24. Mai 2011 (in E. 3.3 und 3.4) dar, warum Verjährung nicht bereits bei Einleitung des Disziplinarverfahrens gegeben war. Zur Rüge der späteren Unterbrechung der Verjährung führte es sodann aus (in E. 3.5), dem Obergericht zufolge habe die Aufsichtsbehörde unter anderem am 27. Februar 2009 eine verfahrensleitende Verfügung erlassen, welche die Verjährungsfrist zwischen dem 21. Juni 2008 und dem 14. Januar 2010 unterbrochen habe. Damit habe sich der Gesuchsteller vor Bundesgericht nicht befasst. Daher erweise sich die diesbezügliche Rüge des Gesuchstellers als unbehelflich, soweit auf sie mit Blick auf Art. 42 Abs. 2 BGG überhaupt einzutreten sei.
2.4 An der vom Gesuchsteller in seiner Beschwerde angegebenen Stelle hatte dieser Folgendes ausgeführt:
"Als Unterbrechungshandlungen anzusehen sind die formelle Eröffnung des Verfahrens, Aufforderungen zur Stellungnahme, Befragungen, Beweiserhebungen. Keine Unterbrechungshandlungen bewirken (mehrere) Anzeigen, die Betreibung, die Einleitung eines Zivilverfahrens (z.B. wegen Persönlichkeitsverletzung) oder eines Strafverfahrens (z.B. wegen Ehrverletzung). Demnach sind Urteile, Rückweisungsentscheide, Mitteilung eines Anzeigestellers etc. keine Unterbrechungshandlungen. Der Rückweisungsentscheid vom 27.10.2008 des Obergerichts war weder eine Untersuchungsmassnahme noch von der Aufsichtsbehörde stammend. Die Mitteilung der neuen Zusammensetzung der AR vom 28.9.2009 war offensichtlich auch keine Untersuchungshandlung. Somit ist die Sache heute verjährt, was vom Bundesgericht festzustellen ist".
2.5 Aus dieser Passage der Beschwerdeschrift wird ersichtlich, dass der Gesuchsteller zwar zwei weitere Akte - den Rückweisungsentscheid vom 27. Oktober 2008 und die Mitteilung vom 28. September 2009 -, die das Obergericht als Unterbrechungshandlungen angegeben hatte, erwähnte. Die vom Obergericht insoweit ebenfalls angeführte Verfügung vom 27. Februar 2009 nannte er indes nicht. In seinem Gesuch um Revision erklärt er zwar, diese Verfügung habe er mit der Formulierung "Mitteilung des [sic!] Anzeigestellers" gemeint. Aus seiner damaligen Beschwerdeschrift ist jedoch nicht zu entnehmen, dass sich diese Formulierung auf die Verfügung vom 27. Februar 2009 beziehen und warum diese nicht als Unterbrechungshandlung im Sinne von Art. 19 Abs. 2 BGFA gelten sollte. Solche Angaben werden erstmals im Gesuch um Revision gemacht. Ein Beschwerdeführer muss aber gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG in der Beschwerdebegründung darlegen, inwiefern der von ihm angefochtene Akt Recht verletzt. Dabei muss aus der Beschwerdeschrift ersichtlich sein, in welchem Punkten und weshalb der angefochtene Entscheid beanstandet wird (vgl. Botschaft zum BGG in BBl 2001 4232, 4294 und 4345; BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254; 133 IV 150 E. 1.2 S. 152; 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389; 134 I 303 E. 1.3 S. 306). Die Begründungsanforderungen sollen namentlich der Entlastung des Bundesgerichts dienen. Daher kann es - entgegen der Ansicht des Gesuchstellers - nicht sein, dass dieses den Inhalt von Rügen oder Beanstandungen überhaupt erst durch das Studium der vorinstanzlichen Akten erkennen kann, während der Beschwerdeführer unpräzise bleiben darf. Das widerspräche dem Sinn und Zweck von Art. 42 Abs. 2 BGG. Die Beschwerdeschrift bzw. die darin enthaltenen Rügen müssen aus sich selbst heraus verständlich sein. Insoweit geht auch der Einwand fehl, das Bundesgericht habe ein "Aktenstück vom 27.2.2009" offensichtlich übersehen.
Der Gesuchsteller weist zusätzlich auf seine Replik vom 25. November 2010 hin. Dort war davon die Rede, dass unter anderem die "Mitteilung des Anzeigestellers A._ vom 27.2.2009" keine Untersuchungshandlung sei. Damit wurde zwar immerhin das Datum des 27. Februar 2009 erwähnt. Dass es sich dabei um die vom Obergericht erwähnte verfahrensleitende Verfügung handeln und warum dieser keine Unterbrechungswirkung zukommen sollte, ergab sich aber ebenso wenig aus der Replik. Ausserdem dient diese nicht dazu, eine unvollständige Beschwerde zu ergänzen. Sie ist vielmehr nur insoweit statthaft, als die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten dazu Anlass gibt (vgl. BGE 135 I 19 E. 2.2 S. 21; 132 I 42 E. 3.3.4 S. 47).
Unbehelflich ist schliesslich der Hinweis des Gesuchstellers auf die Vernehmlassung des Bundesamtes für Justiz vom 15. November 2010. Dieses hat die Verfügung der Aufsichtsbehörde vom 27. Februar 2009 weder erwähnt noch sich explizit dazu geäussert, ob diese eine Untersuchungshandlungen im Sinne von Art. 19 Abs. 2 BGFA darstelle.
Dem Dargelegten zufolge hat das Bundesgericht nicht aus Versehen erhebliche Tatsachen nicht gewürdigt. Im Übrigen kann ein Gesuchsteller mit der Revision seine allfälligen Versäumnisse im Beschwerdeverfahren nicht nachträglich beheben (Urteil 5F_6/2011 vom 13. Juli 2011 E. 3.1 in fine mit Hinweisen; Elisabeth Escher, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2008, N. 9 in fine zu Art. 121 BGG).
2.6 Bloss ergänzend sei bemerkt, dass das Bundesamt für Justiz in dessen Vernehmlassung erklärte, alle Aktivitäten, die in einem engen Zusammenhang mit dem Disziplinarverfahren stünden, gehörten zu den Untersuchungshandlungen. Das schliesst insoweit auch die Mitteilung des Namens des Anzeigestellers an den belangten Anwalt ein, bevor über die Anordnung von Disziplinarmassnahmen entschieden wird, zumal wenn Letzterer - wie hier - darauf unter Berufung auf seinen Anspruch auf rechtliches Gehör bestand und deshalb mit einer etwaigen Stellungnahme von seiner Seite aus zu rechnen war.
2.7 Auch die Rüge, das Bundesgericht habe den Feststellungsantrag bezüglich der Verjährung nicht beurteilt, geht fehl. Die vom Gesuchsteller in seiner Beschwerde vom 27. August 2010 formell gestellten Rechtsbegehren (auf S. 2-4 der Beschwerdeschrift) enthielten keinen diesbezüglichen Antrag. Die Formulierung auf S. 47 der Beschwerdeschrift, "die Sache [sei] heute verjährt, was vom Bundesgericht festzustellen" sei, ist nicht als eigenständiger Antrag zu verstehen. Vielmehr wird damit nur eine vorfrageweise Feststellung begehrt, die zur Gutheissung des Beschwerdeantrags, den angefochtenen Entscheid des Obergerichts und damit die disziplinarische Sanktion aufzuheben, führen sollte. Mit seinen Ausführungen zur Verjährung und dem Entscheid, die Beschwerde bezüglich der disziplinarischen Sanktion abzuweisen, brachte das Bundesgericht denn auch zum Ausdruck, dass keine Verjährung gegeben war (vgl. zudem Pierre Ferrari, Commentaire de la LTF, Corboz et al. [Hrsg.], 2009, N. 13 zu Art. 121 BGG; Escher, a.a.O., N. 8 zu Art. 121 BGG; Donzallaz, a.a.O., 2008 N. 4661). Dem Gesuchsteller als Anwalt hätte im Übrigen bekannt sein müssen - und war es wohl auch -, dass für einen ausdrücklichen Feststellungsantrag neben einem entsprechenden Gestaltungsbegehren das schutzwürdige Interesse ohnehin gefehlt hätte (vgl. BGE 123 III 49 E. 1a S. 51; 125 II 152 E. 2 S. 160; 128 V 41 E. 3a S. 48; nicht publ. E. 1.3 von BGE 137 II 136).
3. Demzufolge ist das Revisionsgesuch abzuweisen. Diesem Ausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten dieses Verfahrens zu tragen (Art. 65 f. BGG). Mit dem Entscheid in der Hauptsache wird das gleichzeitig gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Das Gesuch um Revision des bundesgerichtlichen Urteils 2C_665/ 2010 vom 24. Mai 2011 wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesamt für Justiz - Letzterem zusammen mit dem Gesuch um Revision vom 7. Juli 2011 - schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. August 2011
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Zünd Merz