Sachverhalt:
Mit Einspracheentscheid vom 29. Dezember 2008 bestätigte die Allianz Suisse Versicherungs-Gesellschaft ihre Verfügung vom 17. Juli 2008, mit welcher sie die R._ (Jg. 1971) nach einem am 4. Mai 2002 erfolgten Sturz mit dem Fahrrad gewährten Leistungen (Taggelder, Heilbehandlung) mangels adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen versichertem Unfallereignis und noch geklagten Beschwerden auf den 31. Mai 2008 hin eingestellt hatte.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die dagegen gerichtete Beschwerde mit Entscheid vom 22. April 2010 ab.
R._ lässt beschwerdeweise beantragen, die Allianz sei zu verpflichten, ihr auch nach dem 31. Mai 2008 die gesetzlichen Leistungen zu erbringen, insbesondere eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung auszurichten, sowie für die noch ausstehenden Leistungen Verzugszins zu bezahlen.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Im Übrigen wendet es das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Es prüft indessen - unter Beachtung der Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind, und ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr aufgegriffen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2. Die Beschwerde richtet sich gegen die vom kantonalen Gericht geschützte Leistungseinstellung auf den 31. Mai 2008 hin zufolge fehlenden adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen dem Fahrradunfall vom 4. Mai 2002 und den verbliebenen Beschwerden. Geltend gemacht wird nebst einer ungenügenden Begründung des kantonalen Entscheids eine offensichtlich unrichtige und unter Verletzung von Beweiswürdigungsregeln erfolgte Feststellung der gesundheitlichen Beeinträchtigungen sowie eine fehlerhafte Beurteilung der Adäquanzfrage.
2.1 Die für die Beurteilung der streitigen Leistungsansprüche massgebenden gesetzlichen Grundlagen und die dazu ergangene Rechtsprechung sind im kantonalen Entscheid richtig dargelegt worden, worauf verwiesen wird.
2.2 Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist das kantonale Gericht im angefochtenen Entscheid seiner Begründungspflicht in genügender Weise nachgekommen. So hat es verständlich und nachvollziehbar aufgezeigt, wie und weshalb es zu seiner Erkenntnis gelangt ist. Dies gilt namentlich auch für das Abstellen auf den Verlaufsbericht des medizinischen Instituts X._ vom 26. Dezember 2007, dessen Beweiswert trotz der Vorbringen in der Beschwerdeschrift nicht ernsthaft in Frage zu stellen ist. Auch lässt sich nicht kritisieren, dass die psychiatrische Beurteilung primär auf Selbstangaben der Beschwerdeführerin beruht und diese nicht durch den Arbeitgeber und/oder den behandelnden Arzt verifiziert wurden. Bei jeder ärztlichen Untersuchung ist im Normalfall von den Auskünften des betroffenen Patienten auszugehen, an deren Zuverlässigkeit in aller Regel nicht zu zweifeln ist, sodass kein Anlass besteht, diese auch noch durch fremdanamnestische Informationen bestätigen zu lassen. Im Übrigen wird aus der Beschwerdeschrift nicht ersichtlich, inwiefern es zu einer Verletzung konkreter Beweiswürdigungsregeln gekommen sein sollte. Auch dass die psychiatrische Beurteilung anlässlich der beiden Begutachtungen im medizinischen Institut X._ nicht von der gleichen Person vorgenommen wurde, lässt die dabei jeweils gewonnenen Erkenntnisse in keiner Weise als fragwürdig erscheinen.
2.3 In nicht zu beanstandender Würdigung der gesamten medizinischen Aktenlage ist die Vorinstanz davon ausgegangen, dass keine organisch objektivierbaren Störungen vorliegen, weshalb die Adäquanzprüfung nach Massgabe der in BGE 134 V 109 präzisierten, so genannten Schleudertrauma-Praxis zu erfolgen habe. Dieser Betrachtungsweise ist grundsätzlich beizupflichten, hat die Beschwerdeführerin doch unbestrittenermassen eine Distorsion der Halswirbelsäule erlitten und ist es in der Folge zu dem in solchen Fällen oftmals auftretenden und insoweit als typisch bezeichneten Beschwerdebild gekommen. Auch die Einstufung des Sturzes mit dem Fahrrad vom 4. Mai 2002 als mittelschwer, im Grenzbereich zu den leichten Fällen liegend, hält einer Überprüfung durch das Bundesgericht durchaus stand. Entgegen den Vorbringen in der Beschwerdeschrift ist darin keine ungerechtfertigte Strenge zu erblicken, welche von der Rechtsprechung nicht gedeckt und daher rechtswidrig wäre. Von den für die Adäquanzprüfung relevanten Kriterien erachtete das kantonale Gericht dasjenige der Schwere und besonderen Art der erlittenen Verletzungen zwar als erfüllt, lehnte es hingegen trotz früher erlittener gleichartiger Läsionen der Halswirbelsäule ab, diesen Aspekt auch als in ausgeprägter Weise verwirklicht zu anerkennen, was angesichts der seit den früheren insoweit gleichartigen Vorfällen verstrichenen Zeitspanne ohne weiteres als gerechtfertigt erscheint. Im Weiteren taxierte die Vorinstanz das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen als zumindest teilweise, aber nicht in ausgeprägter Weise als erfüllt. Bei lediglich zwei der sieben massgeblichen Kriterien lässt sich die Adäquanz bei einem mittelschweren, im Bereich zu den leichteren Fällen liegenden Unfall klarerweise nicht bejahen. Dass, wie in der Beschwerdeschrift geltend gemacht, weitere Kriterien gegeben wären, trifft offensichtlich nicht zu, wie die Vorinstanz richtig und mit ausreichender Begründung versehen erkannt hat.
2.4 Soweit die Beschwerdeführerin unter Hinweis auf das Urteil U 116/03 des Eidgenössischen Versicherungsgerichts vom 6. Oktober 2003 geltend macht, ihr Tinnitus sei als objektivierbare organische Gesundheitsschädigung zu sehen, ist - abgesehen davon, dass es sich hier um einen im kantonalen Verfahren nicht aufgeworfenen Fragenkomplex handelt - festzuhalten, dass im angerufenen Urteil ein schwerer Tinnitus im Grenzbereich zu den sehr schweren Fällen zur Diskussion stand, was hier nicht zutrifft. Es musste dort laut ärztlicher Beurteilung "von einem schweren Tinnitus gesprochen werden, bei welchem die Bedingungen für einen sehr schweren Tinnitus nur knapp nicht erfüllt" seien. In den beiden Expertisen des medizinischen Instituts X._ vom 28. April 2005 und vom 26. Dezember 2006 hingegen wird der Tinnitus zwar erwähnt, bei den Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit aber nicht aufgeführt. Die Gutachter des medizinischen Instituts X._ sprechen vielmehr wiederholt von einem unauffälligen ORL- resp. HNO-Status und am 26. Dezember 2007 gar von einem Tinnitus, der "subjektiv aber wenig störend sei". Unter diesen Umständen aber ist im Tinnitus der Beschwerdeführerin - unabhängig davon, ob an dem nicht als Grundsatzentscheid ergangenen Urteil U 116/03 festgehalten wird - keine organisch ausgewiesene natürlich kausale Unfallfolge zu erblicken mit der Konsequenz, dass der Adäquanzfrage praktisch keine selbstständige Bedeutung mehr zukäme. Im Übrigen ging es in dem von der Beschwerdeführerin genannten Urteil des Eidgenössischen Versicherungsgerichts - anders als hier - um die Adäquanzprüfung bei einer Dekompensation (psychischen Fehlverarbeitung) bei Tinnitus.
3. Die Beschwerde wird im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG als offensichtlich unbegründet (Abs. 2 lit. a) mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den vorinstanzlichen Entscheid (Abs. 3) ohne Durchführung eines Schriftenwechsels (Art. 102 Abs. 1 BGG) erledigt. Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG) von der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Juli 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl