Erwägungen:
1. X._ wurde mit Strafverfügung der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn vom 16. September 2009 wegen Nichtbeachtens des Vorschriftsignals "Verbot für Motorwagen" mit einer Busse von Fr. 100.-- bestraft. Dagegen erhob er mit Eingabe vom 29. September 2009 Einsprache. Nachdem er auf den 1. März 2010 vorgeladen wurde, ersuchte er erfolglos um Verschiebung der Verhandlung.
Nachdem X._ zur Verhandlung nicht erschienen war, verfügte der Amtsgerichtspräsident von Bucheggberg-Wasseramt am 1. März 2010, dass die Einsprache gegen die Strafverfügung als zurückgezogen gelte und stellte das Einspracheverfahren ein. Die Verfügung wurde X._ mit Gerichtsurkunde am 3. März 2010 in Zuchwil zugestellt, wobei Frau Y._ für den Empfang quittierte. Mit E-Mail vom 9. März 2010 gelangte X._ an das Amtsgericht. Der Amtsgerichtsschreiber teilte ihm mit E-Mail vom 10. März 2010 u.a. mit, dass Fax- oder E-Mail-Eingaben nicht zulässig seien. Er verwies ihn auf die Rechtsmittelbelehrung, wonach er innert 10 Tagen nach Erhalt des Entscheids ein Gesuch um Aufhebung der Säumnisfolgen stellen könne.
2. X._ erhob mit Schreiben vom 12. März 2010, welches am 15. März 2010 in den USA der Post übergeben wurde und am 25. März 2010 beim Obergericht des Kantons Solothurn eingegangen ist, "Einsprache bzw. Beschwerde" gegen die Verfügung des Amtsgerichtspräsidenten von Bucheggberg-Wasseramt vom 1. März 2010 und ersuchte gleichzeitig um Aufhebung der Säumnisfolgen. Die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn trat mit Beschluss vom 1. April 2010 wegen verspäteter Beschwerdeeinreichung auf die Beschwerde nicht ein und überwies den Brief vom 12. März 2010 an den Amtsgerichtspräsidenten zur Behandlung als Gesuch um Aufhebung der Säumnisfolgen. Zur Begründung führte die Beschwerdekammer zusammenfassend aus, dass gemäss § 206 StPO/SO die Beschwerde innert 10 Tagen seit der schriftlichen Eröffnung des angefochtenen Entscheids mit schriftlicher Begründung der Obergerichtskanzlei zuhanden der Beschwerdekammer einzureichen sei. Gemäss § 20 Abs. 3 StPO/SO müsse die schriftliche Eingabe spätestens am letzten Tag der Frist der Stelle, der sie einzureichen ist, oder einer anderen solothurnischen Amtsstelle zukommen oder der Schweizerischen Post übergeben werden. Vorliegend sei die angefochtene Verfügung am 4. März 2010 zugestellt worden, wodurch die Rechtsmittelfrist am 15. März 2010 endete. Die mit 12. März 2010 datierte Beschwerde sei am 15. März 2010 der amerikanischen Post übergeben worden und erst am 25. März 2010 an das Obergericht gelangt.
3. X._ führt mit Eingaben vom 30. April 2010 und 7. Mai 2010 (beide am 18. Mai 2010 beim Bundesgericht eingegangen) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 1. April 2010. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Ist ein, wie hier, in Anwendung kantonalen Rechts ergangener Entscheid angefochten, bildet die Verletzung blossen kantonalen Rechts keinen selbständigen Beschwerdegrund. Vielmehr hat der Beschwerdeführer darzulegen, inwiefern der beanstandete Entscheid gegen verfassungsmässige Rechte verstossen soll. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 134 I 313 E. 2 S. 315; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht darzulegen, inwiefern der wegen verspäteter Beschwerdeeinreichung erfolgte Nichteintretensbeschluss der Beschwerdekammer in verfassungswidriger Anwendung kantonaler Verfahrensbestimmungen ergangen sein soll. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG ist somit auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
5. Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dadurch wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amtsgerichtspräsidenten von Bucheggberg-Wasseramt und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Mai 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli