Sachverhalt:
A. X._ ist Vater dreier Kinder. A._ (geb. 2000) und B._ (geb. 2002) gingen aus seiner Ehe mit C._ hervor. Das Bezirksgericht Dielsdorf schied die Ehe am 16. Februar 2006. Es verurteilte X._, für seine beiden Kinder monatliche indexierte Unterhaltsbeiträge von je Fr. 750.-- (ab 1. Januar 2014 Fr. 850.--) zu bezahlen, zuzüglich Kinderzulagen. Das dritte Kind, D._ (geb. 2004), zeugte X._ mit E._. Am 30. September 2004 schloss X._ mit D._ bzw. mit dessen Mutter als seiner gesetzlichen Vertreterin einen Unterhaltsvertrag ab. Darin verpflichtete er sich, monatliche indexierte Alimente von Fr. 905.-- (bis zur Vollendung des 6. Altersjahrs), Fr. 920.-- (bis zur Vollendung des 12. Altersjahrs) bzw. Fr. 1'030 (bis zu Mündigkeit von D._) zu bezahlen. Die Vormundschaftsbehörde F._ genehmigte den Vertrag.
B. Am 31. Januar 2012 beantragte die Einwohnergemeinde Y._ dem Bezirksgericht Bremgarten, die Arbeitgeberin von X._ gemäss Art. 291 ZGB zu verpflichten, ab März 2012 die monatlichen Unterhaltsbeiträge für D._ von Fr. 928.-- direkt vom Gehalt von X._ abzuziehen und der Finanzverwaltung der Gemeinde zu überweisen. Mit Entscheid vom 29. Juni 2012 wies das Bezirksgericht den jeweiligen Arbeitgeber bzw. den jeweiligen Schuldner von Einkommens-Ersatzleistungen an, monatlich den verlangten Betrag an die Finanzverwaltung der Gemeinde Y._ zu überweisen. Die dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Aargau am 17. September 2012 ab.
C. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 29. Oktober 2012 wendet sich X._ an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben und das Gesuch um Schuldneranweisung abzuweisen; eventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter beantragt er, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Verfügung vom 14. November 2012 erteilte die Präsidentin der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, in der Sache aber keine Stellungnahme eingeholt.
Erwägungen:
1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 BGG) über die Anordnung einer Schuldneranweisung nach Art. 291 ZGB. Das ist eine privilegierte Zwangsvollstreckungsmassnahme sui generis, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich zulässig ist (Art. 72 Abs. 2 lit. b BGG; BGE 137 III 193 E. 1.1 S. 195 f. mit Hinweisen). Weil mit der Schuldneranweisung vermögensrechtliche Interessen verfolgt werden, unterliegt die Beschwerde der Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- nach Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG (BGE a.a.O.). Diese Grenze ist erreicht. Als Zwangsvollstreckungsmassnahme ist die Schuldneranweisung Gegenstand eines Endentscheids (BGE 134 III 667 E. 1.1 S. 668). Auf die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist demnach einzutreten.
2. Die Schuldneranweisung gemäss Art. 291 ZGB stellt keine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 98 BGG dar (BGE 137 III 193 E. 1.2 S. 196 f. mit Hinweisen). Das bedeutet, dass in rechtlicher Hinsicht alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig sind. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Rügen (BGE 134 III 102 E. 1.1 S. 104 f.; s. auch Urteil 5A_92/2008 vom 25. Juni 2008 E. 2.3). Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingehen und im Einzelnen aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; er soll im Schriftsatz mit seiner Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die er als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. BGE 121 III 397 E. 2a S. 400; Urteil 4A_22/2008 vom 10. April 2008 E. 1). Allgemein gehaltene Einwände, die er ohne aufgezeigten oder erkennbaren Zusammenhang mit bestimmten Entscheidungsgründen vorbringt, genügen nicht (BGE 116 II 745 E. 3 S. 749).
3. Wenn die Eltern die Sorge für das Kind vernachlässigen, kann das Gericht ihre Schuldner anweisen, die Zahlungen ganz oder zum Teil an den gesetzlichen Vertreter des Kindes zu leisten (Art. 291 ZGB). Im Streit um die Anordnung einer solchen Schuldneranweisung steht die Begründetheit des auf Geldzahlung gerichteten Unterhaltsanspruchs grundsätzlich nicht zur Diskussion. Vielmehr setzt die Schuldneranweisung als Vollstreckungsmassnahme voraus, dass die Unterhaltsbeiträge bereits durch Urteil oder Vereinbarung festgesetzt sind (Urteil 5A_221/2011 vom 31. Oktober 2011 E. 4.3, nicht publ. in: BGE 138 III 11). Liegt ein gültiger Unterhaltstitel vor, ist die Anweisung für den darin festgesetzten Betrag auszusprechen, sofern der Unterhaltsschuldner seine Pflicht nicht erfüllt. Ist der Unterhaltstitel ein richterlicher, so hat sich das mit der Anweisung befasste Gericht weder mit einem bereits abgeschlossenen Prozess über die Unterhaltspflicht noch mit dem in diesem Prozess vorgebrachten und vom Richter berücksichtigten Sachverhalt erneut zu befassen (Urteile 5A_578/2011 vom 11. Januar 2012 E. 2.1; 5P.85/2006 vom 5. April 2006 E. 2; 5P.138/2004 vom 3. Mai 2004 E. 5.3). Das Gesagte gilt sinngemäss, wenn sich die Vollstreckungsmassnahme - wie hier - auf einen von der Vormundschaftsbehörde genehmigten und damit verbindlichen (Art. 287 Abs. 1 ZGB) Unterhaltsvertrag stützt. Denn vollstreckungsrechtlich ist der behördlich genehmigte Unterhaltsvertrag einem gerichtlichen Entscheid gleichgestellt. Es kommt ihm die Qualität eines definitiven Rechtsöffnungstitels zu (Art. 80 Abs. 2 Ziff. 2 SchKG). Allerdings darf eine Schuldneranweisung die grundlegenden Persönlichkeitsrechte des Rentenschuldners nicht verletzen (BGE 110 II 9 E. 4 S. 15 f.). Das bedeutet, dass die Grundsätze über die Festsetzung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums dann erneut - sinngemäss - anzuwenden sind, wenn sich die Lage des Unterhaltsschuldners seit Erlass des Unterhaltstitels in einer Weise verschlechtert hat, dass die Anweisung in sein Existenzminimum eingreift (Urteile 5A_578/2011 vom 11. Januar 2012 E. 2.1; 5P.85/2006 vom 5. April 2006 E. 2; 5P.138/2004 vom 3. Mai 2004 E. 5.3). Kommt - wie hier die bevorschussende Einwohnergemeinde Y._ - ein Gemeinwesen für den Kindesunterhalt auf, so geht auch das Recht, eine Schuldneranweisung zu verlangen, auf das Gemeinwesen über (Art. 289 Abs. 2 ZGB; BGE 137 III 193 E. 2 und 3 S. 197 ff.).
4. Nach dem Gesagten ist der Prozess betreffend die Anordnung einer Schuldneranweisung nicht dazu da, den Unterhaltsvertrag als solchen einer inhaltlichen Kontrolle zu unterziehen. Entgegen dem, was der Beschwerdeführer glauben machen will, hat sich der Richter in diesem Prozess also nicht mit der Frage zu beschäftigen, ob sich die vertragliche Unterhaltsforderung, die nun zur Vollstreckung steht, mit dem Grundsatz der Gleichbehandlung aller unterhaltsberechtigten Kinder verträgt. Zu prüfen ist lediglich, ob die Voraussetzungen für die Anordnung einer Schuldneranweisung erfüllt sind (dazu E. 5 und 6). Unbehelflich ist auch der weitere Einwand, der Unterhaltsvertrag stelle angesichts der übrigen Unterhaltsverpflichtungen eine "übermässige Freiheitsbeschränkung" im Sinne von Art. 27 Abs. 2 ZGB dar. Auch damit strebt der Beschwerdeführer eine materielle Überprüfung des Unterhaltstitels an, für die im Vollstreckungsverfahren kein Platz ist. Soweit er geltend macht, der Vertrag sei infolge der Verletzung von Art. 27 Abs. 2 ZGB im Sinne von Art. 19 und 20 OR nichtig, stützt sich der Beschwerdeführer einzig auf die Behauptung, der Vertrag gefährde die Grundlagen seiner wirtschaftlichen Existenz. Deren Schutz hat aber auch der Anweisungsrichter zu gewährleisten (E. 2). Von einer Nichtigkeit kann keine Rede sein. An der Sache vorbei geht schliesslich der Vorwurf, die "übersetzten Unterhaltsbeiträge" für D._ seien nur vereinbart worden, um eine möglichst hohe Bevorschussung auszulösen; dieses "Verhalten" sei rechtsmissbräuchlich im Sinne von Art. 2 Abs. 2 ZGB. Auch diese Rüge bezieht sich wiederum auf den Unterhaltsvertrag und nicht auf die Schuldneranweisung. Das Gleiche gilt, wenn der Beschwerdeführer das Gesuch um Schuldneranweisung selbst als "klaren Missbrauch dieses Instituts" bezeichnet. Auch dieser Vorwurf erschöpft sich nämlich darin, dass "offensichtlich nicht der Leistungsfähigkeit des Pflichtigen entsprechende Unterhaltsbeiträge" festgelegt worden seien.
5. Der Beschwerdeführer stellt sich weiter auf den Standpunkt, der Anweisungsrichter habe die finanziellen Verhältnisse der Eltern immerhin dann zu beachten, wenn ohne weiteres klar ist, dass der Rentenschuldner mit einer Abänderungsklage durchdringen könnte. Er stützt auf das Kantonsgericht St. Gallen (Urteil vom 15. März 2005, in: FamPra.ch 2006, S. 166) und auf eine Kommentarstelle (WALTER BÜHLER/KARL SPÜHLER, Berner Kommentar, 3. Aufl. 1980, N 284 zum alten Art. 156 ZGB). Wie es sich mit dieser These verhält, kann offenbleiben. Denn dass der Beschwerdeführer mit einer Abänderungsklage durchdringen könnte, seit Abschluss des Unterhaltsvertrages am 30. September 2004 also eine erhebliche Veränderung der Verhältnisse eingetreten wäre, liegt keineswegs auf der Hand. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass sich seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit inzwischen verringert hätte. Solcherlei ist auch nicht ersichtlich. Soweit er als Abänderungsgrund die konkurrierenden Unterhaltsansprüche der ehelichen Kinder A._ und B._ ins Feld führt, ist ihm entgegenzuhalten, dass sich die entsprechende Unterhaltspflicht gemäss dem Eheschutzentscheid des Bezirksgerichts Dielsdorf vom 28. April 2003 schon im Zeitpunkt des Abschlusses des Unterhaltsvertrages auf je Fr. 750.-- pro Monat belief. Daran änderte sich mit dem Scheidungsurteil vom 16. Februar 2006 nichts (s. Sachverhalt Bst. A). Von "zusätzlichen familiären Verpflichtungen", die "Anspruch auf eine Abänderung gemäss Art. 286 ZGB" geben könnten, kann auch unter diesem Blickwinkel keine Rede sein.
6. Bezogen auf den eigentlichen Streitgegenstand ist die Berechnung des monatlichen Existenzminimums des Beschwerdeführers streitig. Das Obergericht kommt zum Schluss, dieses setze sich aus einem Grundbetrag von Fr. 850.--, Wohnkosten von Fr. 920.--, verbilligten Krankenkassenprämien von Fr. 211.10 sowie den Alimenten für die ehelichen Kinder von Fr. 1'554.-- zusammen, belaufe sich also auf Fr. 3'525.10. Demgegenüber will der Beschwerdeführer einen Betrag von Fr. 4'539.-- angerechnet haben. Mit seinen Vorbringen vermag er jedoch nicht durchzudringen. So kann der blosse Umstand, dass seine neue Lebenspartnerin für die Betreuung ihres Kindes monatlich Fr. 600.-- aufwenden muss, kein Grund sein, ihm von den Kosten der 6-Zimmer-Liegenschaft mehr als 40 Prozent anzurechnen. Neu legt der Beschwerdeführer eine Verfügung auf, mit der die kantonale Sozialversicherungsanstalt sein Gesuch um Prämienverbilligung für das Jahr 2013 ablehnt. Die Verfügung stammt vom 6. Oktober 2012. Sie ist also nach dem angefochtenen Entscheid ergangen. Damit ist bereits begrifflich ausgeschlossen, dass erst der vorinstanzliche Entscheid zu diesem neuen Vorbringen hat Anlass geben können; dieses ist neu und daher unzulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG). Weiter macht der Beschwerdeführer Fahrzeugkosten für die Ausübung seines Besuchsrechts von Fr. 250.--, Kosten für auswärtige Verpflegung von Fr. 220.-- sowie einen Berufszuschlag von Fr. 50.-- geltend. Das Obergericht stellt in diesem Zusammenhang fest, gemäss Arbeitsvertrag würden dem Beschwerdeführer "sämtliche Auslagen" mit einer Tagespauschale von Fr. 25.-- entschädigt. Mit dieser Entschädigung von durchschnittlich Fr. 500.-- pro Monat vermöge er die geltend gemachten Verpflegungs- und Berufskosten zu decken; dass die Kosten für den Betrieb seines Fahrzeugs Fr. 230.-- überstiegen, habe er durch nichts belegt. Vor Bundesgericht beruft sich der Beschwerdeführer neu darauf, dass er die Tagespauschale "nur für jeden vollständigen Arbeitstag und nur bei effektiver Nutzung" erhalte. Inwiefern erst der Entscheid der Vorinstanz Anlass zu diesem neuen Vorbringen gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG), tut der Beschwerdeführer nicht dar, so dass darauf keine Rücksicht zu nehmen ist (vgl. BGE 133 III 393 E. 3 S. 395). Die Anrechnung der "besonderen Auslagen für Kinder" von Fr. 200.-- verweigert das Obergericht mit der Begründung, der Beschwerdeführer mache nicht geltend, dass es sich um neu anfallende Kosten handeln würde, die nicht schon bei der Festlegung des Unterhalts im Rahmen des Scheidungsverfahrens hätten berücksichtigt werden können. Der Beschwerdeführer äussert sich mit keinem Wort dazu, inwiefern diese vorinstanzliche Erkenntnis Recht verletze. Er gibt sich damit zufrieden, den behaupteten Anspruch zu wiederholen. Damit genügt er den Anforderungen an die Beschwerdebegründung (E. 2.) nicht.
7. Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Einwohnergemeinde Y._ ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, müssen die vor Bundesgericht gestellten Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden. Damit fehlt es an einer materiellen Voraussetzung für die Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege (Art. 64 Abs. 1 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Einwohnergemeinde Y._ und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Januar 2013
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn