Faits:
Faits:
A. C._ a oeuvré dès le 1er septembre 1994 en qualité de manoeuvre au service de l'entreprise X._. Son dernier jour de travail effectif remonte au 1er avril 1998. Le 7 avril 1998, il a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité.
Selon un rapport du 28 mai 1998 du docteur A._, généraliste et médecin traitant de l'assuré, celui-ci était atteint de lombosciatalgies et cruralgies droites sur discopathie L3-L4 et canal lombaire étroit et d'obésité. L'incapacité de travail dans son activité de manoeuvre de chantier avait été totale du 27 août au 14 décembre 1997 et depuis le 2 avril 1998.
Afin d'élucider le point de savoir quelles étaient les limitations fonctionnelles rencontrées par C._ dans une activité de manoeuvre de chantier et dans une activité adaptée, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a confié une expertise aux médecins de l'Association médicale du Centre Z._. Dans un rapport du 27 juin 2000, le docteur B._, médecin-chef de cet établissement, a posé le diagnostic de lombosciatalgies à prédominance droite d'origine mixte, organique sur discopathies étagées L3 à S1 avec légère protrusion discale L3 à L5 et fonctionnelle sur troubles somatoformes douloureux. A la question « Quelle capacité de travail peut-on espérer dans l'exercice d'une activité adaptée au handicap après une période éventuelle de mise au courant ? », l'expert a répondu « 60 % dans une activité où le patient peut alterner les positions assises et debout et qu'il ne soit pas astreint à porter des charges lourdes ».
Dans un projet d'acceptation de rente du 12 septembre 2000, l'office AI a avisé C._ que dans une activité adaptée à son état de santé soit des travaux de mécanique conventionnelle et de précision ainsi que des travaux de montage à l'établi, sa capacité de travail était de 60 % et qu'il était en mesure de réaliser un salaire annuel de 28'029 fr. Sans l'atteinte à sa santé, il percevrait dans son activité de manoeuvre un revenu annuel de 54'366 fr. Il résultait de la comparaison des revenus une invalidité de 48,44 %.
Par décision du 19 octobre 2000, l'office AI a alloué à C._ à partir du 1er avril 1999 un quart de rente d'invalidité, assorti d'un quart de rente complémentaire pour sa conjointe et d'un quart de rente pour enfant.
Par décision du 19 octobre 2000, l'office AI a alloué à C._ à partir du 1er avril 1999 un quart de rente d'invalidité, assorti d'un quart de rente complémentaire pour sa conjointe et d'un quart de rente pour enfant.
B. C._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à l'annulation de celle-ci et à l'allocation d'une demi-rente d'invalidité. Se référant à l'avis de son médecin traitant, il faisait valoir une incapacité de travail de 50 % dans un travail adapté.
Dans ses déterminations du 13 mars 2001, l'office AI a indiqué que pour calculer le revenu invalide, il s'était fondé non pas sur les barèmes de salaires tels qu'ils ressortent de l'enquête suisse sur la structure des salaires (ESS) de l'Office fédéral de la statistique, mais sur un salaire pour un poste non qualifié dans la mécanique selon les valeurs médianes obtenues à partir des données recueillies auprès d'entreprises du canton de Vaud.
Par jugement du 14 juin 2002, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision attaquée dans le sens des considérants. Se fondant sur les données statistiques, telles qu'elles résultent des enquêtes ESS de l'Office fédéral de la statistique, elle a fixé le revenu annuel d'invalide à 54'379 fr. 25 (valeur 2000) et pris en compte le 60 % de ce montant, soit 32'626 fr. 20. Opérant sur la somme de 32'704 fr. une déduction globale de 20 %, elle a retenu un revenu d'invalide de 26'163 fr. 20. En comparant ce gain avec le revenu sans invalidité de 54'336 fr. (recte : 54'366 fr.), on obtenait ainsi un taux d'invalidité de 51,87 % ([54'366 fr. - 26'163 fr. 20] x 100 / 54'366 fr.), lequel donne droit à une demi-rente d'invalidité.
Par jugement du 14 juin 2002, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision attaquée dans le sens des considérants. Se fondant sur les données statistiques, telles qu'elles résultent des enquêtes ESS de l'Office fédéral de la statistique, elle a fixé le revenu annuel d'invalide à 54'379 fr. 25 (valeur 2000) et pris en compte le 60 % de ce montant, soit 32'626 fr. 20. Opérant sur la somme de 32'704 fr. une déduction globale de 20 %, elle a retenu un revenu d'invalide de 26'163 fr. 20. En comparant ce gain avec le revenu sans invalidité de 54'336 fr. (recte : 54'366 fr.), on obtenait ainsi un taux d'invalidité de 51,87 % ([54'366 fr. - 26'163 fr. 20] x 100 / 54'366 fr.), lequel donne droit à une demi-rente d'invalidité.
C. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud interjette recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant à l'annulation de celui-ci.
C._ conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
Considérant en droit:
1. D'après la jurisprudence, la législation applicable en cas de changement de règles de droit reste celle qui était en vigueur lors de la réalisation de l'état de fait qui doit être apprécié juridiquement ou qui a des conséquences juridiques (ATF 127 V 467 consid. 1, 126 V 166 consid. 4b), les faits sur lesquels le Tribunal fédéral des assurances peut être amené à se prononcer dans le cadre d'une procédure de recours de droit administratif étant par ailleurs ceux qui se sont produits jusqu'au moment de la décision administrative litigieuse (ATF 121 V 366 consid. 1b). Partant, la loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA), du 6 octobre 2000, qui est entrée en vigueur le 1er janvier 2003 et qui a entraîné des modifications des dispositions dans le domaine de l'AI notamment, n'est pas applicable en l'espèce.
1. D'après la jurisprudence, la législation applicable en cas de changement de règles de droit reste celle qui était en vigueur lors de la réalisation de l'état de fait qui doit être apprécié juridiquement ou qui a des conséquences juridiques (ATF 127 V 467 consid. 1, 126 V 166 consid. 4b), les faits sur lesquels le Tribunal fédéral des assurances peut être amené à se prononcer dans le cadre d'une procédure de recours de droit administratif étant par ailleurs ceux qui se sont produits jusqu'au moment de la décision administrative litigieuse (ATF 121 V 366 consid. 1b). Partant, la loi fédérale sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA), du 6 octobre 2000, qui est entrée en vigueur le 1er janvier 2003 et qui a entraîné des modifications des dispositions dans le domaine de l'AI notamment, n'est pas applicable en l'espèce.
2. Les premiers juges ont retenu que l'intimé présente une capacité résiduelle de travail de 60 % dans un emploi adapté à son handicap, soit une activité où il peut alterner les positions assise et debout et où il n'est pas astreint à porter des charges lourdes (expertise du docteur B._ du 27 juin 2000), point qui n'est pas remis en cause devant la Cour de céans. Ils ont admis qu'il avait droit à une demi-rente pour une invalidité de 51,87 %, taux qui est contesté par le recourant.
2.1 Selon l'art. 28 al. 2 LAI (en vigueur jusqu'au 31 décembre 2002), pour l'évaluation de l'invalidité, le revenu du travail que l'invalide pourrait obtenir en exerçant l'activité qu'on peut raisonnablement attendre de lui, après exécution éventuelle de mesures de réadaptation et compte tenu d'une situation équilibrée du marché du travail, est comparé au revenu qu'il aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide.
2.2 Pour procéder à la comparaison des revenus, il convient de se placer au moment de la naissance du droit à la rente; les revenus avec et sans invalidité doivent être déterminés par rapport à un même moment et les modifications de ces revenus susceptibles d'influencer le droit à la rente survenues jusqu'au moment où la décision est rendue être prises en compte (ATF 129 V 222 et 128 V 174).
2.2 Pour procéder à la comparaison des revenus, il convient de se placer au moment de la naissance du droit à la rente; les revenus avec et sans invalidité doivent être déterminés par rapport à un même moment et les modifications de ces revenus susceptibles d'influencer le droit à la rente survenues jusqu'au moment où la décision est rendue être prises en compte (ATF 129 V 222 et 128 V 174).
3. En l'occurrence, le moment de la naissance du droit à la rente remonte au 1er avril 1999 (art. 29 al. 1 let. b LAI). Il n'y a pas eu de modifications des revenus avec et sans invalidité susceptibles d'influencer le droit à la rente jusqu'à la décision administrative litigieuse du 19 octobre 2000. Pour procéder à la comparaison des revenus, il convient donc de se placer en 1999.
3.1 Le montant de 54'366 fr. du revenu annuel sans invalidité, fixé par le recourant dans la décision administrative litigieuse et repris tel quel par les premiers juges dans la comparaison des revenus, n'est pas remis en cause devant la Cour de céans.
3.2 Est litigieux le calcul du revenu que l'intimé pourrait réaliser malgré la survenance de son invalidité en exerçant une activité adaptée à son handicap.
3.2.1 Le recourant a effectué ce calcul en se fondant sur un salaire pour un poste non qualifié dans la mécanique selon les valeurs médianes obtenues à partir des données recueillies auprès d'entreprises dans le canton de Vaud. Il fait valoir que les revenus d'invalide de référence ainsi obtenus sont nettement inférieurs à ceux habituellement retenus sur la base de données statistiques et qu'il n'est dès lors pas procédé à des réductions comme sur les salaires ressortant des statistiques. Selon lui, cette manière de procéder est conforme à la loi et l'application des données statistiques telles qu'elles résultent des enquêtes ESS ne se justifie donc pas. A titre subsidiaire, il conteste la déduction globale de 30 % (recte : 20 %) sur le salaire statistique effectuée par la juridiction cantonale.
3.2.2 Avec raison, les premiers juges ont appliqué en l'espèce les données statistiques. En effet, le revenu d'invalide doit être évalué avant tout en fonction de la situation professionnelle concrète de l'intéressé. En l'absence d'un revenu effectivement réalisé, il y a lieu de se référer aux données statistiques, telles qu'elles résultent des enquêtes sur la structure des salaires de l'Office fédéral de la statistique (ATF 126 V 76 s. consid. 3b/aa et bb; VSI 2002 p. 68 consid. 3b). On se réfère alors à la statistique des salaires bruts standardisés, en se fondant toujours sur la médiane ou valeur centrale (ATF 124 V 323 consid. 3b/bb; VSI 1999 p. 182).
Les données salariales qui résultent des descriptions de postes de travail (DPT) établies par la CNA peuvent également servir au calcul du revenu d'invalide si certaines conditions sont remplies. (arrêt U 35/00 et U 47/00 du 28 août 2003, destiné à la publication). Cinq DPT au moins doivent avoir été éditées et l'on doit pouvoir disposer de toutes les indications nécessaires sur le nombre total de places de travail documentées entrant en considération pour le handicap donné, sur le salaire maximum et minimum ainsi que sur le salaire moyen du groupe correspondant.
En l'occurrence, les données salariales résultant des DPT n'entrent pas en considération. Ainsi que cela ressort d'un rapport intermédiaire du 10 août 2000, le recourant, pour calculer le revenu d'invalide de l'intimé, s'est référé au salaire annuel moyen selon enquête REA. Pour des travaux de mécanique conventionnelle et de précision, permettant l'alternance des positions et n'impliquant que le port de charges légères, le salaire annuel moyen serait de 45'300 fr., soit de 27'180 fr. en cas d'occupation à 60 %. Pour des travaux de montage à l'établi, d'assemblage de pièces légères, de soudage de circuits imprimés, de contrôle et de réparation, celui-ci serait de 48'113 fr., soit de 28'878 fr. en cas d'occupation à 60 %.
Ainsi que le relèvent avec raison les premiers juges, on ignore tout des entreprises consultées dans l'enquête REA, au sujet de laquelle on ne sait pas comment les données salariales ont été établies. Par ailleurs, les indications fournies ne permettent pas non plus de déterminer à quelle année de référence se rapportent les salaires annuels moyens en question (arrêt non publié T. du 10 mai 2002 [I 481/01]). Il n'est dès lors pas possible de calculer le revenu d'invalide comme l'a fait l'office recourant.
3.2.3 Compte tenu de l'activité légère de substitution, le salaire de référence est celui auquel peuvent prétendre les hommes effectuant des activités simples et répétitives dans le secteur privé (RAMA 2001 n° U 439 p. 347), à savoir 4'268 fr. par mois - valeur en 1998 -, part au 13ème salaire comprise (Enquête sur la structure des salaires 1998, TA1 p. 25, niveau de qualification 4). Ce salaire mensuel hypothétique représente, compte tenu du fait que les salaires bruts standardisés se basent sur un horaire de travail de quarante heures, soit une durée hebdomadaire inférieure à la moyenne usuelle dans les entreprises en 1999 (41,8 heures; La Vie économique, 9-2001 p. 84, tabelle B 9.2) un revenu d'invalide de 4'460 fr. par mois (4'268 x 41,8 : 40). Adapté à l'évolution des salaires (La Vie économique, 9-2001 p. 85, tabelle B 10.2) de l'année 1999 (0.3 %), il s'élève à 4'473 fr. par mois. Attendu qu'il est raisonnablement exigible de l'intimé qu'il exerce à 60 % une activité légère de substitution, le salaire hypothétique est dès lors de 2'684 fr. par mois ou de 32'208 fr. par année.
3.2.4 Les premiers juges ont admis un abattement de 20 %, taux contesté par le recourant, qui allègue qu'une réduction de 10 % paraît adéquate au vu de la situation.
La mesure dans laquelle les salaires ressortant des statistiques doivent être réduits, dépend de l'ensemble des circonstances personnelles et professionnelles du cas particulier (limitations liées au handicap, âge, années de service, nationalité/catégorie d'autorisation de séjour et taux d'occupation) et résulte d'une évaluation dans les limites du pouvoir d'appréciation. Une déduction globale maximum de 25 % sur le salaire statistique permet de tenir compte des différents éléments qui peuvent influencer le revenu d'une activité lucrative (ATF 126 V 79 s. consid. 5b/aa-cc; VSI 2002 p. 70 s. consid. 4b).
L'intimé est né le 24 octobre 1963. Il est au bénéfice d'un permis C et d'une expérience professionnelle acquise en Suisse depuis 1985. Il ne présente donc aucune limitation liée à l'âge, aux années de service, à la nationalité ou à la catégorie d'autorisation de séjour. Le fait que l'atteinte à sa santé impose une alternance des positions assise et debout, lui interdit le port de charges lourdes et limite le taux d'occupation à 60 % justifie un abattement de 10 % au plus.
Compte tenu d'un abattement de 10 %, le revenu annuel d'invalide est de 28'987 fr. (valeur 1999).
3.3 La comparaison des revenus donne une invalidité de 46,68 % ([54'366 fr. - 28'987 fr.] x 100 : 54'366 fr.), taux qui donne droit à un quart de rente (art. 28 al. 1 LAI). Si l'intimé remplit les conditions du cas pénible, il a droit à une demi-rente d'invalidité (art. 28 al. 1bis LAI).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral des assurances prononce:
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud, du 14 juin 2002, est annulé.
1. Le recours est admis et le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud, du 14 juin 2002, est annulé.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
2. Il n'est pas perçu de frais de justice.
3. Le présent arrêt sera communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 octobre 2003
Au nom du Tribunal fédéral des assurances
Le Président de la IIe Chambre: Le Greffier: