Erwägungen:
1. X._, geboren 1964, Staatsangehöriger von Serbien, reiste 1988 in die Schweiz ein und zog zu seiner Ehefrau in den Kanton St. Gallen, wo er eine Aufenthaltsbewilligung erhielt, die regelmässig, zum Teil nur auf Zusehen und Wohlverhalten hin, erneuert wurde, zuletzt bis zum 7. Juli 2007. Das Ehepaar hat fünf Kinder (geboren zwischen 1989 und 2004). Ehefrau und Kinder leben seit September 2004 im Heimatstaat, wo die Ehe Mitte 2007 geschieden wurde.
X._ erwirkte zwischen 2000 und 2008 verschiedene Straferkenntnisse; insbesondere verurteilte ihn das Kantonsgericht St. Gallen mit Urteil vom 16. April 2008 wegen Gehilfenschaft zu schwerer Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Geldstrafe von 180 Tagessätzen à 50 Franken. Zudem weist er Schulden im Bereich von sechsstelligen Frankenbeträgen auf.
Das Ausländeramt des Kantons St. Gallen lehnte das Gesuch von X._ vom 15. Juni 2007 um eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung mit Verfügung vom 27. August 2008 ab. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen am 10. November 2008 ab. Mit Urteil vom 24. März 2009 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die gegen den Rekursentscheid des Departements erhobene Beschwerde ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 27. April 2009 stellt X._ dem Bundesgericht die Anträge, das Urteil des Verwaltungsgerichts und die diesem zugrundeliegenden Entscheide des Kantonalen Ausländeramtes und des Sicherheits- und Justizdepartements aufzuheben, ihm die Jahresaufenthaltsbewilligung zu verlängern, eventuell mit Bedingungen und Auflagen, also auf Zusehen hin und unter Verwarnung; eventualiter wird Rückweisung des Entscheids zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz beantragt.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
2.1.1 Der Beschwerdeführer kann sich auf keine Norm des Landesrechts berufen, die ihm einen Rechtsanspruch auf Bewilligungsverlängerung verleihen würde; ein Anspruch ergibt sich auch nicht aus einem Staatsvertrag betreffend Niederlassung zwischen der Schweiz und seinem Heimatstaat Serbien. Ein solcher Anspruch lässt sich sodann von vornherein aus den meisten vom Beschwerdeführer angerufenen verfassungsmässigen Rechten nicht ableiten (allgemeines Rechtsgleichheitsgebot [Art. 8 Abs. 1 BV], Achtung und Schutz der Menschenwürde [Art. 7 BV], Recht auf persönliche Freiheit [Art. 10 Abs. 2 BV]).
2.1.2 In ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahren lässt sich indessen unter Umständen ein Anspruch aus dem vom Beschwerdeführer angerufenen, durch Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV garantierten Recht auf Achtung des Privatlebens ableiten. Es genügt jedoch der Hinweis auf BGE 130 II 281 E. 3.21 S. 286 f., um aufzuzeigen, dass dies im Fall des Beschwerdeführers offensichtlich nicht der Fall ist; es fehlt klarerweise an den erforderlichen besonders intensiven, über eine normale Integration hinausgehenden privaten Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Art bzw. an vertieften sozialen Beziehungen; erst recht kann von einer eigentlichen Verwurzelung in der Schweiz keine Rede sein.
Da der Beschwerdeführer unter keinem Titel einen Rechtsanspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung geltend machen kann, erweist sich seine Beschwerde insofern als offensichtlich unzulässig, als sie als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erhoben worden ist.
2.2 Der Beschwerdeführer will seine Beschwerde auch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde verstanden wissen (Art. 113 ff. BGG). Mit diesem Rechtsmittel kann bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG), wobei diesbezüglich eine besonders ausgeprägte Rügepflicht gilt (Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG); sodann ist zur Verfassungsbeschwerde nur berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (Art. 115 lit. b BGG).
Da der Beschwerdeführer vorliegend im ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahren keine Rechtsansprüche geltend machen kann, sich solche namentlich nicht aus den von ihm angerufenen besonderen Grundrechten (Art. 7, Art. 8 Abs. 1 und Art. 10 Abs. 2 BV sowie Art. 8 EMRK bzw. 13 BV) ableiten lassen (s. vorstehende E. 2.1), wird er durch die Bewilligungsverweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, weshalb er zur Verfassungsbeschwerde hinsichtlich der Bewilligungsfrage selbst nicht legitimiert ist (vgl. BGE 133 I 185). Beim vom Beschwerdeführer ebenfalls erwähnten Verhältnismässigkeitsgebot gemäss Art. 5 Abs. 2 BV handelte es sich ohnehin bloss um ein verfassungsmässiges Prinzip, nicht aber um ein mit Verfassungsbeschwerde selbständig anrufbares verfassungsmässiges Recht (vgl. BGE 134 I 153 E. 4.1).
Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst zulässige Rügen verfahrensrechtlicher Natur (vgl. BGE 133 I 185 E. 6.2 S. 198 f.) werden nicht - formgerecht - erhoben. Wohl rügt der Beschwerdeführer die Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV sowie von Art. 6 EMRK (letzterer kommt in ausländerrechtlichen Bewilligungsverfahren allerdings nicht zur Anwendung); die diesbezüglichen Vorbringen (angebliche Nichtbeachtung bzw. unzureichende Würdigung von für die Interessenabwägung entscheidenden Gesichtspunkten) zielen auf eine materielle Prüfung der Angelegenheit ab, weshalb sie - mangels Sachlegitimation des Beschwerdeführers - nicht zu hören sind (vgl. BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 313; 129 I 217 E. 1.4 S. 222; 118 Ia 232 E. 1c S. 236).
2.3 Auf die in jeder Hinsicht offensichtlich unzulässige (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG) Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.4 Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Kantonalen Ausländeramt St. Gallen, dem Sicherheits- und Justizdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2009
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Müller Feller