Sachverhalt:
A. Mit Bundesbeschluss über die Volksinitiative "Für die Ausschaffung krimineller Ausländer (Ausschaffungsinitiative)" vom 18. Juni 2010 erklärte die Bundesversammlung die Ausschaffungsinitiative für gültig und beschloss, sie zusammen mit dem Gegenentwurf zur Abstimmung zu bringen (Bundesbeschluss vom 10. Juni 2010 über die Wegweisung krimineller Ausländerinnen und Ausländer im Rahmen der Bundesverfassung). Die auf den 28. November 2010 angesetzte Abstimmungsvorlage wurde den Stimmberechtigten mit Erläuterungen ("Bundesbüchlein") vom 1. September 2010 unterbreitet.
B. Mit Beschwerde vom 5. November 2010 wegen Verletzung der politischen Rechte beantragt Thomas Laube, die Abstimmung vom 28. November 2010 vorsorglich abzusetzen (Art. 104 BGG) oder der Beschwerde eventuell aufschiebende Wirkung zuzuerkennen (Art. 103 Abs. 3 BGG), wobei unverzüglich zu entscheiden sei, damit die Aussetzung der Abstimmung noch vollzogen werden könne. Falls die Abstimmung nicht ausgesetzt werde, seien die Abstimmungsresultate sowohl bezüglich der Ausschaffungsinitiative als auch des Gegenvorschlags für ungültig zu erklären. In diesem Fall sei ihm eine Frist für weitere Ausführungen anzusetzen. Ausserdem verlangt er den Ausstand sämtlicher von der SVP nominierten Bundesrichter.
C. Am 17. November 2010 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch ab, der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuzuerkennen bzw. die Abstimmung abzusetzen.
D. Mit Eingaben vom 19. und vom 24. November 2010 teilte Thomas Laube mit, dass er aufgrund der in der Präsidialverfügung vom 17. November 2010 geäusserten Zweifel, ob er mit seiner Beschwerde ans Bundesgericht den Instanzenzug ausgeschöpft habe, auch bei der Bundeskanzlei Beschwerde erhoben habe. An seiner Beschwerde ans Bundesgericht halte er indessen gleichwohl fest.
E. Am 28. November 2010 nahmen Volk (1'398'360 zu 1'243'325 Stimmen) und Stände (171⁄2 zu 51⁄2 Ständestimmen; vorläufige amtliche Endergebnisse der Bundeskanzlei) die Initiative an; der Gegenvorschlag wurde abgelehnt.
F. Mit Schreiben vom 10. Dezember 2010 teilt die Bundeskanzlerin dem Bundesgericht mit, dass sie mit Entscheid vom gleichen Datum auf die Beschwerde von Thomas Laube mangels Zuständigkeit nicht eingetreten sei, und reichte ihre Verfahrensakten ein.
G. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der Beschwerde gemäss Art. 29 Abs. 1 BGG von Amtes wegen (BGE 135 II 94 E. 1 S. 96; 134 II 186 E. 1.5 S. 188; 133 II 249 E. 1.1 S. 251).
1.1 Der Beschwerdeführer verlangt den Ausstand aller von der SVP nominierten Bundesrichter. Diese seien, da es sich beim Streitgegenstand um die Abstimmung über eine von ihrer Partei eingereichte Initiative handle, befangen.
Ausschliesslich an die Parteizugehörigkeit anknüpfende Ausstandsbegehren, die keine Gründe nennen, weshalb die betreffenden Richter in einem konkreten Fall befangen sein sollten, sind unzulässig (Urteil des Bundesgerichts 1P.715/1995 vom 8. Januar 1996 E. 3; 1P.245/1995 vom 11. Mai 1995 E. 3). Auf das Ausstandsbegehren ist somit nicht einzutreten.
1.2 Der Beschwerdeführer rügt, die freie Willensbildung der Stimmberechtigten sei beeinträchtigt, weil sie sowohl seitens der Bundesbehörden - etwa von den Spezialisten für Völkerrecht des Eidgenössischen Departements für auswärtige Angelegenheiten oder vom Bundesamt für Justiz - als auch seitens der Bundesratsparteien unzureichend und falsch informiert worden seien. Die Abstimmung vom 28. November 2010 beruhe daher auf einer mangelhaften Willensbildung der Stimmberechtigten, weshalb ihre Durchführung mit Art. 34 BV nicht vereinbar sei. Falsche Informationen im Vorfeld einer Abstimmung können Gegenstand einer Beschwerde nach Art. 82 lit. c BGG wegen Verletzung des Stimmrechts bilden (vgl. BGE 130 I 290 E. 3 und 5). Der Überprüfung durch das Bundesgericht entzogen sind dabei allerdings Akte von Bundesrat und Bundesversammlung (Art. 189 Abs. 4 BV). Soweit der Beschwerdeführer diesen beiden Organen vorwirft, die Willensbildung der Stimmbürger unzulässig beeinflusst zu haben, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (hinten E. 2.3).
1.2.1 Nach Art. 82 lit. c BGG beurteilt das Bundesgericht u.a. Beschwerden betreffend Volksabstimmungen. Nach der gesetzlichen Regelung wird es dabei allerdings nicht als erste Instanz tätig, sondern behandelt in eidgenössischen Stimmrechtsangelegenheiten nur Beschwerden gegen Verfügungen der Bundeskanzlei und gegen Entscheide von Kantonsregierungen (Art. 88 Abs. 1 lit. b BGG). Nach Art. 77 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes über die politischen Rechte (BPR; SR 161.1) kann gegen Unregelmässigkeiten bei eidgenössischen Abstimmungen, wie sie vom Beschwerdeführer geltend gemacht werden, Abstimmungsbeschwerde bei der Kantonsregierung erhoben werden (vgl. auch § 156 des Solothurner Gesetzes über die politischen Rechte vom 22. September 1996).
Die Anfechtbarkeit von Verfügungen der Bundeskanzlei über das Zustandekommen von Volks- und Kantonsreferenden sowie von Volksinitiativen, über die Vorprüfung von Titeln und Formalien von Volksinitiativen sowie über die Aufnahme von Parteien ins Parteiregister (Art. 66 Abs. 1, Art. 67b, Art. 69 Abs. 1 und 2 und Art. 76a BPR) ist im vorliegenden Zusammenhang ohne Belang.
1.2.2 Die Zuständigkeit der Kantonsregierungen als erste Beschwerdeinstanzen ist für Beanstandungen von kommunalen oder regionalen Sachverhalten sachgerecht. Diese können durch die mit der Durchführung der Abstimmung auf ihrem Territorium betraute und mit den lokalen Verhältnissen vertraute Kantonsregierung rasch beurteilt werden. Die Kantonsregierung kann allfällige Missstände - auch kraft ihrer aufsichtsrechtlichen Befugnisse - gegebenenfalls vor der Abstimmung beheben, sodass diese im betreffenden Kanton (doch noch) regulär durchgeführt werden kann. Unregelmässigkeiten, die keine kantonsübergreifende Auswirkungen haben, sind somit nach Art. 77 Abs. 1 lit. b BPR mit Abstimmungsbeschwerde bei der Kantonsregierung anzufechten, deren Entscheid ans Bundesgericht weitergezogen werden kann. Bei der Anfechtung von "innerkantonalen" Unregelmässigkeiten kann sich die Zuständigkeitsfrage daher nur insofern stellen, als unklar ist, ob der Stimmbürger immer an die Regierung seines Wohnsitzkantons gelangen muss, oder ob er auch bei der Regierung eines anderen Kantons Beschwerde führen kann, wenn er geltend macht, in diesem sei die Abstimmung mangelhaft durchgeführt worden. Das Bundesgericht hat diese Frage im Entscheid 1C_253/2009 vom 1. Oktober 2009 aufgeworfen und offengelassen.
1.2.3 Einer eingehenden Prüfung bedarf die Frage, wie die Beschwerdeführung zu erfolgen hat, wenn Anträge gestellt oder Sachverhalte beanstandet werden, welche über die Zuständigkeit einer Kantonsregierung hinausgehen. Das ist etwa der Fall, wenn die Verschiebung oder Absetzung einer eidgenössischen Abstimmung verlangt wird, was offensichtlich nicht in der Kompetenz einer Kantonsregierung liegt. Ähnlich verhält es sich, wenn Eingriffe in den Abstimmungskampf beanstandet werden, die kantonsübergreifend wirken, weil sie von Bundesbehörden, eidgenössischen Parteien oder anderen schweizweit tätigen Personen oder Vereinigungen ausgehen oder durch nationale Medien verbreitet werden. Aus der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) in Verbindung mit der verfassungsrechtlichen Garantie der politischen Rechten (Art. 34 BV) ergibt sich, dass eine gerichtliche Überprüfung auch dann erfolgen muss, wenn Unregelmässigkeiten infrage stehen, welche nicht auf das Gebiet eines Kantons beschränkt sind (vgl. BGE 136 II 132 E. 2.5.2 S. 140).
Zu dieser Problematik hat sich das Bundesgericht in BGE 136 II 132 E. 2.5.2 S. 140 geäussert: Es hatte über die Frage des Anspruchs auf Nachzählung eines knappen Abstimmungsresultats bei der Abstimmung über eine Vorlage betreffend die Einführung biometrischer Pässe zu befinden. Dabei legte es dar, dass Mängel, die im Rahmen einer an eine Kantonsregierung gerichteten Beschwerde (Art. 77 Abs. 1 lit. b BPR) gerügt werden, unter Umständen nicht behoben werden können, soweit Unregelmässigkeiten infrage stehen, welche nicht auf das Gebiet eines Kantons beschränkt sind. Abhilfe vermöge hier nur ein eidgenössisches Rechtsmittel zu schaffen. Für die Beurteilung des Rechtsmittels, das sich gegen das provisorische, vom Bundesrat noch nicht erwahrte gesamtschweizerische Abstimmungsresultat (Hauptresultat) richte, komme letztlich einzig das Bundesgericht infrage (BGE 136 II 132 E. 2.5.2 S. 140 am Ende). Dies ändert jedoch nichts daran, dass nach dem klaren Wortlaut von Art. 77 BPR alle die Verletzung des Stimmrechts betreffenden Beschwerden bei der Kantonsregierung zu erheben und dass solche Beschwerden innert drei Tagen seit der Entdeckung des Beschwerdegrundes, spätestens jedoch am dritten Tag nach der Veröffentlichung der Ergebnisse im kantonalen Amtsblatt eingeschrieben einzureichen sind (Art. 77 Abs. 2 BPR). Das Bundesgericht überprüft in der Folge auf Beschwerde hin die Entscheide der Kantonsregierungen (Art. 80 Abs. 1 BPR i.V.m. Art. 88 Abs. 1 lit. b BGG). Dieser Rechtsmittelzug gilt auch, soweit die angerufene Kantonsregierung für die Behandlung der vorgebrachten Belange nicht zuständig ist. Eine direkte Beschwerde an das Bundesgericht fällt mit Blick auf Art. 77 BPR trotz des in E. 2.5.3 von BGE 136 II 132 gemachten Hinweises ausser Betracht. In einer gegen den Entscheid der Kantonsregierung gerichteten Beschwerde können dem Bundesgericht dann aber auch Fragen unterbreitet werden, welche die Kantonsregierung mangels Zuständigkeit nicht behandeln konnte, sofern sie auf kantonaler Ebene bereits aufgeworfen wurden. Insoweit hat die Kantonsregierung einen formellen Nichteintretensentscheid zu fällen. Sie darf die Angelegenheit nicht formlos zuständigkeitshalber an das Bundesgericht zur Behandlung weiterleiten. Andernfalls müsste der Beschwerdeführer regelmässig beim Bundesgericht und bei der Kantonsregierung gleichzeitig Beschwerde einlegen. Das würde zu Koordinationsproblemen und zu Rechtsunsicherheit führen (unerwünschte Gabelung des Rechtsweges). Nachdem der Entscheid der Kantonsregierung ergangen ist, kann sich der Rechtsuchende an das Bundesgericht wenden. Dabei kann er das Nichteintreten und den materiellen Gehalt des Kantonsregierungsentscheids mit Beschwerde anfechten (Art. 80 Abs. 3 BPR). Gleichzeitig kann er auch bereits im kantonalen Verfahren zur Diskussion gestellte Fragen aufwerfen, welche die Kantonsregierung zuständigkeitshalber nicht materiell behandeln konnte, auch wenn er dazu bisher keine formellen Anträge gestellt hat.
1.3 Es ergibt sich, dass auf die Wahrung des Instanzenzugs gemäss Art. 77 Abs. 1 lit. b BPR nicht verzichtet werden kann. Auf die Beschwerde kann somit gestützt auf Art. 88 Abs. 1 lit. b BGG grundsätzlich nicht eingetreten werden. Im Hinblick auf die Ausführungen in BGE 136 II 132 E. 2.5.2 und 2.5.3 S. 140 f. erscheint es jedoch verständlich, dass der Beschwerdeführer seine Stimmrechtsbeschwerde direkt beim Bundesgericht einreichte. Sie ist deshalb gestützt auf den Grundsatz von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV) ausnahmsweise materiell zu beurteilen.
2. 2.1 Der Beschwerdeführer vertritt die Auffassung, die Ausschaffungsinitiative sei mit zwingendem Völkerrecht nicht vereinbar, da sie die von diesem verlangte "Non-Refoulement-Prüfung" ausschliesse. Sie verstosse zudem gegen das EU-Freizügigkeitsabkommen und sei damit gemäss geltendem Recht nicht durchführbar. Die Initiantin hätte dies dem Stimmbürger verschwiegen. Dies sei umso gravierender, als es sich bei der Initiantin nicht um irgendeine Splittergruppe, sondern um die grösste Partei der Schweiz handle, deren Vizepräsident und "Spiritus rector" zudem Justizminister gewesen sei. Deshalb wohne ihren Ausführungen zu diesem Thema eine gewisse Legitimität und (scheinbare) Glaubwürdigkeit inne. Die SVP und die anderen Bundesratsparteien hätten den Stimmbürgern erklären müssen, dass die Durchführung der Initiative die Kündigung des EU-Freizügigkeitsabkommens und weiterer wichtiger Völkerrechtsabkommen wie der EMRK, der Kinderrechtskonvention und des UNO-Pakts II voraussetze. Sie hätten die Stimmbürger zudem über die wirtschaftlichen und politischen Folgen der Kündigung des EU-Freizügigkeitsabkommens, die Guillotine-Klausel und damit das Dahinfallen der bilateralen Verträge mit der EU informieren müssen. Dem Bundesamt für Justiz und dem Eidgenössischen Departement für auswärtige Angelegenheiten sei vorzuwerfen, dass sie es unterlassen hätten, diese fehlerhaften Informationen mit ihrer fachlichen Autorität richtigzustellen.
2.2 Der Beschwerdeführer geht davon aus, dass die Bundesratsparteien quasi wie die Behörden verpflichtet sind, Vorlagen im Abstimmungskampf objektiv und ausgewogen darzulegen und unzutreffende Informationen richtigzustellen. Das trifft nicht zu. Es steht den politischen Parteien wie anderen privaten Vereinigungen oder Privatpersonen frei, ob sie sich an einem Abstimmungskampf beteiligen wollen. Tun sie das, so dürfen sie ihre Interessen auch einseitig und polemisch vertreten. Das ist insofern unbedenklich, als der mündige Stimmbürger um die Parteilichkeit der Parteien weiss und er vom Bundesrat in den Abstimmungserläuterungen eine sachliche und ausgewogene Darstellung des Abstimmungsgegenstands zugestellt erhält (Art. 10a, Art. 11 Abs. 2 BPR). Private Informationen oder Propaganda können die Willensbildung der Stimmbürger im Abstimmungsverfahren daher nur ausnahmsweise unzulässig beeinflussen, etwa dann, wenn mit privaten Publikationen in einem so späten Zeitpunkt mit offensichtlich unwahren und irreführenden Angaben in den Abstimmungskampf eingegriffen wird, dass es dem Bürger nach den Umständen unmöglich ist, sich aus anderen Quellen ein zuverlässiges objektives Bild von den tatsächlichen Verhältnissen zu machen (ZBl 97/1996 233 E. 3b; ZBl 81/1980 252; BGE 102 Ia 264 E. 3). Solches wird vorliegend nicht geltend gemacht.
2.3 Dass die verfassungs- und völkerrechtskonforme Umsetzung der Initiative schwierig sein wird, war den Stimmbürgerinnen und Stimmbürgern bewusst. Darauf wird in den Abstimmungserläuterungen wiederholt und unmissverständlich hingewiesen (S. 6, 9, 10, 11, 14). Die Vereinbarkeit der Initiative mit den völkerrechtlichen Verpflichtungen der Schweiz war zudem Gegenstand zahlreicher Diskussionen im Abstimmungskampf.
2.4 Somit erweisen sich die Rügen, wonach die Willensbildung der Stimmbürger bei der Abstimmung über die Ausschaffungsinitiative in unzulässiger Weise verfälscht worden sei und das Abstimmungsergebnis deshalb nicht dem freien Willen der Stimmberechtigten entspreche, als unbegründet bzw. unzulässig.
3. Die Beschwerde ist damit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Regierungsrat des Kantons Solothurn und der Bundeskanzlei schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Februar 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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