Sachverhalt:
A. D._ (geb. 1971) meldete sich im August 1999 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an unter Hinweis auf (seit einem am 8. August 1997 erlittenen Unfall bestehende) gesundheitliche Beschwerden (Vergesslichkeit, rasche Ermüdbarkeit, Konzentrationsschwäche, Lärmempfindlichkeit, Nervosität). Mit Verfügung vom 6. Juni 2000 sprach ihm die IV-Stelle Solothurn berufliche Massnahmen zu (Übernahme einer dreimonatigen Abklärung/Standortbestimmung in der Beratungsstelle Y._ vom 5. Juli bis 4. Oktober 2000, welche indessen am 30. August 2000 abgebrochen wurde). Nach weiteren Abklärungen der medizinischen und erwerblichen Verhältnisse sprach die IV-Stelle D._ mit Wirkung ab 1. September 1999 eine ganze Invalidenrente zu (Invaliditätsgrad: 100 %; Verfügung vom 28. Juni 2002).
Im Rahmen des Ende April 2004 angehobenen Revisionsverfahrens holte die IV-Stelle beim Institut X._ ein Gutachten vom 19. September 2006 (samt Ergänzung vom 11. Mai 2007) ein. Gestützt darauf reduzierte sie den Anspruch des Versicherten mit Wirkung auf den 1. Oktober 2007 auf eine Viertelsrente (Invaliditätsgrad: 41 %; Verfügung vom 17. August 2007). Gleichzeitig wies sie darauf hin, dass sie ihm bei der Suche einer geeigneten Arbeitsstelle behilflich sein könne.
B. Beschwerdeweise liess D._ das Rechtsbegehren stellen, die rentenherabsetzende Verfügung sei aufzuheben. Es seien ihm mit Wirkung ab 1. Oktober 2007 und weiterhin die gesetzlichen Leistungen (inkl. berufliche Massnahmen) nach Massgabe eines Invaliditätsgrades von mindestens 50 %, zuzüglich Verzugszins, auszurichten. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung und zu neuem Entscheid an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit diese im Sinne der Erwägungen verfüge. Mit Entscheid vom 21. Mai 2008 wies das Versicherungsgericht des Kantons Solothurn die Beschwerde ab.
C. D._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Es seien ihm mit Wirkung ab 1. Oktober 2007 und weiterhin die gesetzlichen Leistungen (inkl. berufliche Massnahmen) nach Massgabe einer Invalidität von mindestens 50 % auszurichten, zuzüglich Verzugszins zu 5 % ab wann rechtens. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung und zu neuer Verfügung im Sinne der Erwägungen an die Verwaltung zurückzuweisen.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Am 21. Januar 2009 liess D._ dem Bundesgericht einen Bericht der Dr. phil. W._, Fachpsychologin für Neuropsychologie FSP, Fachpsychologin für Psychotherapie FSP, vom 13. Januar 2009 einreichen.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 132 V 393 zur auch unter der Herrschaft des BGG gültigen Abgrenzung von Tat- und Rechtsfragen im Bereich der Invaliditätsbemessung [Art. 16 ATSG] für die Ermittlung des Invaliditätsgrades nach Art. 28 Abs. 1 IVG). Noven sind unzulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2. Gegenstand der Verwaltungsverfügung vom 17. August 2007 bildete lediglich der Anspruch auf eine Invalidenrente. Dementsprechend ist auf die Ausführungen in der Beschwerde nur insoweit einzugehen, als sich diese mit dem Gegenstand der Verfügung und des vorinstanzlichen Entscheides bildenden Rentenanspruch befassen. Soweit in der Beschwerde berufliche Massnahmen anbegehrt werden, kann auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werden.
3. Im angefochtenen Entscheid werden die Bestimmungen und Grundsätze über den Begriff der Invalidität (Art. 4 IVG in Verbindung mit Art. 8 Abs. 1 ATSG), den Anspruch auf eine Invalidenrente (Art. 28 Abs. 1 IVG in der bis 31. Dezember 2007 gültig gewesenen Fassung), die Bestimmung des Invaliditätsgrades nach der Einkommensvergleichsmethode (Art. 16 ATSG), die Rentenrevision (Art. 17 Abs. 1 ATSG; Art. 88a Abs. 1 IVV) sowie die Aufgabe des Arztes oder der Ärztin im Rahmen der Invaliditätsbemessung (vgl. auch BGE 125 V 256 E. 4 S. 261 mit Hinweisen) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4. Streitig ist die revisionsweise Herabsetzung der seit 1. September 1999 ausgerichteten ganzen Rente auf eine Viertelsrente (mit Wirkung ab 1. Oktober 2007). Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, sein Gesundheitszustand habe sich nicht verbessert.
4.1 Gemäss den verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid erfolgte die Zusprechung einer ganzen Rente durch die IV-Stelle mit Verfügung vom 28. Juni 2002 gestützt auf die Einschätzung der Medizinischen Abklärungsstelle (MEDAS) am Spital Z._ (Gutachten vom 6. Juni 2001), gemäss welcher der Beschwerdeführer aufgrund eines organischen Psychosyndroms nach Schädel-Hirn-Trauma mit vorwiegend depressiver Symptomatik (postcommotionelles Syndrom [ICD-10 F07.2]; Fahrradunfall mit kurzzeitiger Amnesie im August 1997; leichte bis mittelschwere Hirnfunktionsstörung) in seiner Arbeitsfähigkeit massiv eingeschränkt sei (damals attestierte Arbeitsunfähigkeit: 100 %).
4.2 Nach pflichtgemässer Würdigung der medizinischen Akten (Art. 61 lit. c ATSG; BGE 132 V 393 E. 4.1 S. 400), insbesondere auch unter Berücksichtigung der das Gutachten des Instituts X._ kritisierenden Stellungnahme des Instituts V._ vom 15. Februar 2007, ist das kantonale Gericht zum nachvollziehbar begründeten Schluss gelangt, gestützt auf das Gutachten des Instituts X._ vom 19. September 2006 und dessen Ergänzung vom 11. Mai 2007 sei beim Beschwerdeführer spätestens im Jahr 2006 eine revisionsrechtlich erhebliche Verbesserung des Gesundheitszustandes eingetreten, indem keine Depression mehr bestehe und sich von der commotio cerebri nur noch ein Residualzustand feststellen lasse, so dass der Beschwerdeführer für leichte bis mittelschwere Tätigkeiten ohne häufiges Tragen von Lasten über 20 kg noch höchstens 30 % arbeitsunfähig sei. Diese tatsächliche Feststellung ist letztinstanzlich bindend (E. 1 hievor).
Die Einwendungen in der Beschwerde ändern hieran nichts. Soweit der Beschwerdeführer nachträglich zum Beweis seines Vorbringens, wonach die Abklärung im Institut X._ ungenügend gewesen sei und sich die gesundheitliche Situation seit der erstmaligen Rentenzusprechung nicht verändert habe, den Bericht der Dr. phil. W._ vom 13. Januar 2009 eingereicht hat, gilt es festzuhalten - unabhängig von der Frage, ob es sich bei diesem Beweismittel überhaupt um ein zulässiges Novum im Sinne von Art. 99 BGG handelt - dass für die Prüfung des Sachverhalts die Verhältnisse massgebend sind, wie sie sich bis zum Erlass der Verfügung entwickelt haben (BGE 132 V 215 E. 3.1.1 S. 220, 129 V 167 E. 1 S. 169 mit Hinweis auf BGE 121 V 362 E. 1b S. 366). Zum medizinisch umfassend dokumentierten rechtserheblichen Sachverhalt, wie er sich bis zu dem die zeitliche Grenze der richterlichen Überprüfungsbefugnis bildenden Verfügungserlass (17. August 2007) verwirklicht hat, trägt der eingereichte neuropsychologische Bericht (Untersuchung vom 10. und 17. November 2008) nichts bei, weshalb schon aus diesem Grund darauf nicht weiter einzugehen ist.
4.3 Nicht zu überzeugen vermag aber auch, was der Beschwerdeführer im Weitern gegen das Gutachten des Institut X._ vom 19. September 2006 vorbringt: Es trifft nicht zu, dass die Gutachter darin nicht hinreichend begründet hätten, weshalb ihrer Auffassung nach aus psychiatrischer Sicht keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit mehr vorliege. Vielmehr hielten sie fest, dass der Explorand über einen eutyhmen Affekt verfüge, sich nicht subjektiv verstimmt oder innerlich unruhig fühle, psychomotorisch unauffällig sei, seine Ausführungen mit adäquater Gestik und Mimik mache und die affektive Modulation erhalten sei; mit anderen Worten könne keine Depression mehr diagnostiziert werden. Dass der Wegfall der depressiven Symptomatik sodann nicht durch die im psychiatrischen Teilgutachten des Spital Z._ vom 19. März 2001 vorgeschlagene intensive Psychotherapie mit adäquatem Einsatz von Antidepressiva und neuropsychologische Rehabilitation (z.B. in einer auf Unfallfolgen spezialisierten Klinik) erreicht worden ist, ändert nichts, weil dies - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers (welcher dieses Vorgehen für eine unabdingbare Voraussetzung hält) - nicht der einzig mögliche Weg war, eine Verbesserung des Gesundheitszustandes zu erreichen, und offenbar bereits die nach seinen eigenen Angaben mindestens bis Juni 2003 fortgeführte psychiatrische Behandlung Wirkung zeigte. Soweit der Beschwerdeführer beanstandet, dass die kognitiven, neuropsychologischen Funktionen im Rahmen der Begutachtung durch das Institut X._ nicht getestet worden sind, ist darauf hinzuweisen, dass die Gutachter wegen der bei der neurologischen Untersuchung und bei der psychiatrischen Exploration aufgetretenen Hinweise auf noch vorhandene kognitive Störungen (wie Wortfindungsstörungen) festhielten, dass die durch Prof. Dr. phil. P._ im Jahr 1999 festgestellte Einschränkung der Leistungsfähigkeit aus neuropsychologischer Sicht um 30 % noch immer vorhanden sei. Davon geht im Übrigen auch der Beschwerdeführer aus, macht er doch geltend, die neuropsychologischen Beeinträchtigungen bestünden seit dem Unfall unverändert, und nicht etwa, diese hätten sich noch verschlimmert. Nicht beigepflichtet werden kann dem Beschwerdeführer schliesslich, soweit er vorbringt, die Gutachter des Instituts X._ hätten nur aufzeigen wollen, dass die ursprüngliche Beurteilung des Spital Z._ aus dem Jahr 2001 falsch gewesen sei, und hätten damit einen im Wesentlichen gleich gebliebenen Gesundheitszustand unterschiedlich eingeschätzt, was (wie er insoweit zutreffend vorbringt) nicht Grundlage für eine Rentenrevision bilden könne. Denn der gutachterlichen Auseinandersetzung mit der damaligen MEDAS-Beurteilung lässt sich keine derartige Kritik entnehmen; vielmehr haben die Gutachter einleuchtend aufgezeigt, wie sich die medizinischen Verhältnisse verändert haben, indem sie angaben, welche Einschränkungen in gleicher Weise fortbestehen (die neuropsychologischen) und für welche sich keine spezifischen Befunde mehr fanden (psychoorganisches Syndrom, depressive Symptomatik). Bei dieser Sachlage durfte die Vorinstanz denn auch in zulässiger antizipierter Beweiswürdigung (vgl. BGE 124 V 90 E. 4b S. 94) von weiteren Abklärungen absehen.
4.4 Nicht zu beanstanden sind des Weitern im Rahmen der gesetzlichen Kognition (E. 1; BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399) auch die Festsetzung der beiden hypothetischen Vergleichseinkommen (Valideneinkommen: Fr. 62'011.-; Invalideneinkommen: Fr. 37'294.-) und der aus der Gegenüberstellung derselben resultierende Invaliditätsgrad (40 %), beruhen sie doch weder auf offensichtlich unrichtigen Feststellungen im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG noch auf einer Bundesrechtsverletzung (Art. 95 lit. a BGG).
5. Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. März 2009
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Meyer Keel Baumann