Erwägungen:
1. Das Initiativkomitee Fairflug, die Fluglärmsolidarität und Kurt Klose haben am 19. August 2009 beim Regierungsrat des Kantons Zürich eine Stimmrechtsbeschwerde eingereicht. Mit dieser beanstanden sie den vom Regierungsrat verfassten "Beleuchtenden Bericht" zur Volksinitiative "Für eine faire Verteilung des Fluglärms um den Flughafen Zürich (Verteilungsinitiative)", über die am 27. September 2009 im Kanton Zürich abgestimmt werden soll.
Mit Eingabe vom 16. September 2009 gelangen sie mit einer Rechtsverzögerungsbeschwerde ans Bundesgericht. Diese begründen sie damit, der Regierungsrat sei hinsichtlich der bei ihm eingereichten Beschwerde bis anhin untätig geblieben. Gleichzeitig beantragen sie, im Sinne einer vorsorglichen Massnahme sei der Regierungsrat anzuweisen, die Abstimmung vom 27. September 2009 zu verschieben.
2. 2.1 Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob bzw. gegebenenfalls inwieweit es auf eine bei ihm eingereichte Beschwerde eintreten kann.
2.2 Der von den Beschwerdeführern eingereichte Stimmrechtsrekurs richtet sich gegen den vom Regierungsrat zur genannten Abstimmungsvorlage erstatteten "Beleuchtenden Bericht"; laut den Ausführungen der Beschwerdeführer soll dieser Bericht in verschiedener Hinsicht nicht den Tatsachen entsprechen. Damit betrifft der Rekurs eine Stellungnahme der Regierung im Vorfeld der Abstimmung. Die Qualifikation als Regierungsakt im Sinne von Art. 88 Abs. 2 Satz 2 BGG kann indes offen bleiben: Wie das Bundesgericht mit Urteil vom 29. Juni 2009 festgestellt hat (Verfahren 1C_82/2009), ist in Stimmrechtsangelegenheiten inzwischen das Zürcher Verwaltungsgericht - jedenfalls nach dem nunmehrigen Ablauf der Übergangsfrist nach Art. 130 Abs. 3 BGG - letzte kantonale Instanz, unabhängig davon, ob Akte der Regierung oder untergeordneter Behörden angefochten werden (§ 5 der am 29. November 2006 ergangenen Verordnung des Regierungsrats des Kantons Zürich über die Anpassung des kantonalen Rechts an das Bundesgerichtsgesetz, VO BGG). Diese Regelung kann sich auf Art. 130 Abs. 4 BGG stützen. Es wird Sache des Gesetzgebers sein, ob er von der Möglichkeit gemäss Art. 88 Abs. 2 Satz 2 BGG Gebrauch machen will, (alle oder gewisse) Akte der Regierung und oder des Parlaments nicht der kantonalen Gerichtsbarkeit zu unterstellen (E. 2). Insoweit kann hier im Übrigen auf die dem betreffenden Urteil zugrunde liegenden Erwägungen verwiesen werden; es besteht kein Anlass, darauf zurückzukommen.
Ist somit in Stimmrechtssachen der hier in Frage stehenden Art das kantonale Verwaltungsgericht die letzte kantonale Instanz, so liegt es auf der Hand, dass dies ebenso in Bezug auf eine damit in Zusammenhang stehende Rechtsverzögerungs- bzw. Rechtsverweigerungsbeschwerde gilt, wie sie hier vorliegt.
Mangels Letztinstanzlichkeit ist daher auf die Beschwerde vom 16. September 2009 nicht einzutreten. Diese ist dem Zürcher Verwaltungsgericht zur Behandlung zu überweisen.
Mit dem vorliegenden Urteil wird das Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Massnahme gegenstandslos.
3. Bei den gegebenen Verhältnissen rechtfertigt es sich, für das vorliegende Verfahren keine Kosten zu erheben (s. Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach wird erkannt:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
Die Eingabe der Beschwerdeführer vom 16. September 2009 wird dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zur Behandlung überwiesen.
2. Es werden keine Kosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern sowie dem Regierungsrat und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. September 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Bopp