Faits:
A. A.a X._ exploite, en raison individuelle, une entreprise de gypserie, peinture et pose de papiers peints.
La Société A._ était propriétaire d'un immeuble à l'avenue ..., à Lausanne. En 1995, elle a décidé de rénover cet immeuble. X._ a été chargé de la réfection des façades (peinture) et des balcons (pose de chapes et de carrelages). Les travaux ont été achevés en mars 1996.
De son vivant H.Y._, actionnaire de ladite société, habitait dans l'immeuble en question. Ayant gagné la confiance des différents propriétaires de celui-ci, il s'est vu confier le soin de diriger le chantier et d'adjuger les travaux conjointement avec une architecte.
A.b Le 11 septembre 1995, X._ a signé une reconnaissance de dette de 29'348 fr. en faveur de H.Y._. Cette somme, qui devait être remboursée jusqu'au 30 novembre 1995, correspondait à un prêt octroyé pour le paiement de matériaux.
En date du 12 décembre 1995, X._ a signé une seconde reconnaissance de dette, d'un montant de 44'941 fr. 40, au profit de H.Y._. Le titre de la créance était désigné comme il suit (sic):
"... pour prêt qu'il nous a consenti ce jour, pour paiement des ouvriers Messieurs A._ + B._ pour travaux effectués sur la façade de l'immeuble + paiement des matériaux pour le chantier de l'immeuble pour la marquise et façade + sanitaire."
La somme due devait être remboursée à fin février 1996, faute de quoi H.Y._ était autorisé à distraire à cette fin une partie de la somme que le maître de l'ouvrage verserait à l'entrepreneur en paiement du prix des travaux.
Par un avenant du même jour, l'échéance de la dette, non remboursée, formant l'objet de la première reconnaissance, a été alignée sur celle de la dette incluse dans la seconde reconnaissance.
Au moment de la signature de la reconnaissance de dette du 12 décembre 1995, X._ faisait l'objet de poursuites pour plus de 580'000 fr. Les pièces produites par H.Y._ tendent à prouver qu'il a prêté de l'argent à l'entrepreneur, réglé plusieurs factures et financé fourniture et main-d'oeuvre, le tout pour un total de 44'992 fr. 75. Il n'est pas établi, en revanche, que l'intéressé ait remis à X._, en espèces, de la main à la main, la somme mentionnée dans la seconde reconnaissance de dette.
A.c Le 7 mars 1996, X._ a écrit à la société chargée de la gérance de l'immeuble afin de l'inviter à déduire 29'348 fr. de la somme lui revenant et à verser ce montant à H.Y._, pour payer la dette reconnue le 11 septembre 1995, ce qui a été fait.
Quant aux 44'991 fr. 40, objet de la seconde reconnaissance de dette, ils n'ont jamais été payés, fût-ce par acomptes, en dépit d'un rappel adressé le 12 août 1996 au débiteur.
Le 24 septembre 1996, H.Y._ a fait notifier un commandement de payer à X._. Par décision du 16 décembre 1996, la Présidente du Tribunal de district de Lausanne a ordonné la mainlevée provisoire, à concurrence du montant précité et des intérêts à 5% courant dès le 6 septembre 1996, de l'opposition totale formée par le débiteur. Un recours cantonal exercé contre cette décision a été rejeté par arrêt du 20 mars 1997.
Le 5 novembre 1996, X._ a déposé une plainte pénale contre H.Y._. Ce dernier a été inculpé d'extorsion et d'infraction à l'art. 87 LAVS par le juge d'instruction de l'arrondissement de Lausanne au terme de son audition du 23 août 1999.
H.Y._ est décédé le 2 février 2005, laissant pour unique héritière son épouse, F.Y._. De ce fait, la procédure pénale dirigée contre lui a été close, le 2 mars 2005, par une ordonnance de non-lieu.
B. Le 1er avril 1997, X._ avait ouvert une action en libération de dette à l'encontre de H.Y._, à concurrence du montant et des intérêts admis par le juge de la mainlevée. Il avait également pris une conclusion active visant au remboursement de la somme de 29'348 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er avril 1997.
Le défendeur avait conclu au rejet des conclusions formulées par le demandeur.
Par jugement du 21 juillet 2008, la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'action en libération de dette et en reconnaissance de dette ouverte "contre feu H.Y._, actuellement dirigée contre la défenderesse F.Y._".
Le 12 décembre 2008, X._ a saisi la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois. Cependant, il a retiré son recours par lettre du 23 janvier 2009 et le Président de la cour cantonale a rayé l'affaire du rôle par arrêt du 2 février 2009.
C. Le 12 janvier 2009, X._ a interjeté un recours en matière civile. Il conclut principalement à la réforme du jugement de la Cour civile en ce sens qu'il est constaté qu'il n'est pas le débiteur de la somme de 44'991 fr. 40 et des intérêts y afférents. A titre subsidiaire, le recourant requiert l'annulation du jugement attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouveau jugement dans le sens des considérants de l'arrêt fédéral. Il sollicite, en outre, que l'effet suspensif soit accordé à son recours.
L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, voire au rejet de celui-ci dans la mesure où il est recevable. Elle s'oppose également à l'octroi de l'effet suspensif au recours.
La Cour civile a renoncé à déposer une réponse.
Par ordonnance présidentielle du 22 janvier 2009, la procédure de recours fédérale a été suspendue jusqu'à droit connu sur le recours cantonal pendant.
Considérant en droit:
1. 1.1 La présente contestation a trait au remboursement d'un prétendu prêt consenti par feu H.Y._ au recourant. La décision dont elle a fait l'objet a été rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et dans une affaire pécuniaire (art. 74 al. 1 LTF). Elle ne peut être soumise au Tribunal fédéral, par la voie du recours en matière civile, que si la valeur litigieuse s'élève au moins à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Tel est le cas. Le recourant a joint à sa conclusion libératoire, qui porte sur 44'991 fr. 40, une conclusion additionnelle tendant au remboursement de la somme de 29'348 fr., intérêts en sus, qu'il avait fait verser à feu H.Y._. En vertu de l'art. 52 LTF, ces deux chefs de conclusions, qui ne s'excluent pas, doivent être additionnés (à ce sujet, cf. JEAN-FRANÇOIS POUDRET, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, 1990, vol. II, n. 1.2.2 ad art 47 aOJ). Il en résulte une valeur totale de 74'339 fr. 40, selon les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF).
1.2 Le recours en matière civile est recevable contre les décisions prises par les autorités cantonales de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). Si, pour certains griefs, la décision d'un tribunal cantonal supérieur peut être déférée à une autre autorité judiciaire cantonale, cette décision n'est pas de dernière instance pour ce qui concerne les questions susceptibles de ce recours cantonal; faute d'épuisement des voies de recours cantonales, ces questions ne peuvent pas être soulevées dans le cadre du recours en matière civile interjeté contre la décision du tribunal cantonal supérieur. Elles doivent d'abord faire l'objet du recours cantonal avant de pouvoir être soumises, le cas échéant, au Tribunal fédéral (cf. art. 100 al. 6 LTF).
En procédure civile vaudoise, le jugement rendu par la Cour civile du Tribunal cantonal peut faire l'objet d'un recours en nullité auprès de la Chambre des recours du Tribunal cantonal, en particulier pour violation des règles essentielles de la procédure (art. 444 al. 1 ch. 3 du Code de procédure civile du canton de Vaud du 14 décembre 1966 [CPC; RSV 270.11]). A teneur de l'art. 444 al. 2 CPC, le recours est toutefois irrecevable pour les griefs qui peuvent faire l'objet d'un recours en réforme au Tribunal fédéral. La jurisprudence cantonale en a déduit que, dès lors que le grief d'arbitraire dans l'appréciation des preuves ne pouvait pas être soulevé dans un recours en réforme (art. 43 aOJ), il pouvait l'être dans le recours en nullité cantonal (JdT 2001 III 128). La loi fédérale sur le Tribunal fédéral, entrée en vigueur le 1er janvier 2007, a remplacé le recours en réforme par le recours en matière civile (cf. art. 72 ss LTF); dans le cadre de ce nouveau recours, le grief de violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire est recevable (art. 95 let. a LTF; ATF 134 III 379 consid. 1.2). L'art. 444 al. 2 CPC/VD n'a toutefois pas été adapté à la modification des voies de recours fédérales; il continue de prévoir uniquement l'exclusion des griefs susceptibles de recours en réforme. Il en découle que le grief d'arbitraire dans l'appréciation des preuves demeure recevable dans le cadre du recours en nullité cantonal (arrêt 4A_495/2007 du 12 janvier 2009 consid. 2.1 et l'arrêt cité).
Il s'ensuit que, dans la mesure où il entendait reprocher à la Cour civile d'avoir établi les faits de manière arbitraire dans son jugement du 21 juillet 2008, le recourant devait formuler pareil grief par la voie du recours en nullité cantonal. Il a certes interjeté un tel recours, mais l'a retiré par la suite. Dès lors, tous les griefs qu'il articule dans son mémoire au titre de l'arbitraire dans la constatation des faits sont d'emblée irrecevables.
1.3 Le recourant, qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et qui a vu ses conclusions rejetées par celle-ci, a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée. Sa qualité pour recourir ne prête donc pas à discussion (art. 76 al. 1 LTF). Déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF en liaison avec l'art. 46 al. 1 let. c LTF) et la forme (art. 42 al. 1 LTF) prévus par la loi, le présent recours est ainsi recevable, sous les réserves faites ci-avant.
1.4 Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). N'étant pas lié par l'argumentation des parties, il apprécie librement la portée juridique des faits, mais s'en tient, d'ordinaire, aux questions de droit que la partie recourante soulève conformément aux exigences légales relatives à la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254). Il conduit son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF).
2. La cour cantonale a admis la validité de la première reconnaissance de dette, signée le 11 septembre 1995 par le recourant, qui portait sur un montant de 29'348 fr. (et non de 29'438 fr. comme indiqué par erreur au consid. IV/a, p. 44, de son arrêt). Partant, elle a rejeté la conclusion additionnelle que l'intéressé avait formulée de ce chef. Le recourant ne critique pas ce rejet et ne reprend pas ladite conclusion devant le Tribunal fédéral. Il n'y a donc pas lieu d'examiner cette question. Seul est désormais litigieux le point de savoir si le montant de 44'991 fr. 40, figurant dans la seconde reconnaissance de dette signée le 12 décembre 1995 par le recourant, et les intérêts y afférents sont dus, ce que le signataire de cet écrit conteste. Le montant en question est celui qui forme l'objet de l'action en libération de dette ouverte par le recourant.
3. 3.1 L'action en libération de dette prévue par l'art. 83 al. 2 LP est une action négatoire de droit matériel, qui tend à la constatation de l'inexistence ou de l'inexigibilité de la créance invoquée par le poursuivant. Elle se caractérise par la transposition du rôle des parties: le créancier est défendeur au lieu d'être demandeur. Cependant, la répartition du fardeau de la preuve n'en est pas modifiée pour autant. Il incombe donc au défendeur (i.e. le poursuivant) d'établir que la créance litigieuse a pris naissance, par exemple en produisant une reconnaissance de dette. Quant au demandeur (i.e. le poursuivi), il devra établir la non-existence ou le défaut d'exigibilité de la dette constatée par le titre (ATF 131 III 268 consid. 3.1 et les références).
3.2 L'engagement pris le 12 décembre 1995 par le recourant en faveur de feu H.Y._ est une reconnaissance de dette au sens de l'art. 17 CO. Y figurent l'indication de la cause de l'obligation, soit un contrat de prêt, et la manifestation de la volonté de l'emprunteur de rembourser le montant de ce prêt, par 44'991 fr. 40, à fin février 1996 au plus tard.
Aux termes de l'art. 17 CO, la reconnaissance d'une dette est valable, même si elle n'énonce pas la cause de l'obligation. La reconnaissance de dette se définit comme la déclaration par laquelle un débiteur manifeste au créancier qu'une dette déterminée existe (arrêt 4C.30/2006 du 18 mai 2006, consid. 3.2 et les références). Elle peut être causale, lorsque, comme c'est ici le cas, la cause de l'obligation y est mentionnée, ou abstraite à ce défaut; dans les deux cas, elle est valable. Toutefois, la cause sous-jacente doit exister et être valable, étant donné qu'en droit suisse, la reconnaissance de dette, même abstraite, a pour objet une obligation causale (ATF 119 II 452 consid. 1d p. 455; 105 II 183 consid. 4a et les références). L'effet d'une reconnaissance de dette est celui de renverser le fardeau de la preuve. Il appartient au débiteur qui conteste la dette d'établir que la cause de l'obligation mentionnée dans la reconnaissance de dette n'est pas valable, par exemple parce que le rapport juridique à la base de la reconnaissance est inexistant, nul (art. 19 et 20 CO), simulé (art. 18 al. 1 CO) ou qu'il a été invalidé (art. 31 CO). Plus généralement, le débiteur peut se prévaloir de toutes les objections et exceptions qui sont dirigées contre la dette reconnue (ATF 131 III 268 consid. 3.2 p. 273 et les références).
En l'espèce, conformément à ces principes, le recourant, bien qu'il fût demandeur à l'action en libération de dette, avait le fardeau de la preuve, s'agissant d'établir que le prêt mentionné dans la reconnaissance de dette du 12 décembre 1995 n'était pas valable, pour telle ou telle raison, ou n'avait pas été exécuté par le prétendu prêteur.
4. 4.1 Le prêt de consommation, régi par les art. 312 ss CO, exige qu'une des parties contractantes se soit engagée à transférer la propriété d'une chose fongible (le plus souvent de l'argent) à l'autre partie pour une certaine durée, à charge pour celle-ci de la restituer (ATF 131 III 268 consid. 4.2; 129 III 118 consid. 2.2 p. 120 et les auteurs cités). D'entente entre les parties, le prêteur pourra exécuter son obligation de manière indirecte en opérant un paiement en mains d'un tiers, tel un créancier de l'emprunteur (BENEDIKT MAURENBRECHER, Das verzinsliche Darlehen im schweizerischen Recht, thèse Berne 1994, p. 135 s.; SCHÄRER/MAURENBRECHER, in Commentaire bâlois, Obligationenrecht I, 4e éd. 2007, n° 7 ad art. 312 CO).
4.2 Selon la Cour civile, la reconnaissance de dette litigieuse n'a certes pas été rédigée par une personne maîtrisant parfaitement la langue française. Il n'en demeure pas moins qu'en interprétant son texte selon le principe de la confiance, on comprend que feu H.Y._ a fait crédit au recourant de la somme qui y est indiquée, en l'avançant.
A cet égard, les premiers juges ne considèrent pas comme décisif le fait que la remise de ladite somme en espèces, de la main du prêteur à celle de l'emprunteur, n'a pas été établie. Ils mettent, en revanche, l'accent sur les circonstances dans lesquelles l'écrit litigieux a été signé, en rappelant que le recourant traversait alors une crise financière importante, puisqu'il avait des poursuites pour plus de 580'000 fr., et qu'il éprouvait des difficultés à trouver du personnel et à payer ses fournisseurs. De l'avis des juges vaudois, pareils éléments sont de nature à démontrer que feu H.Y._ a soutenu financièrement le recourant, après l'avoir déjà fait trois mois plus tôt; ils mettent du reste à mal l'argument selon lequel le recourant croyait que la somme mentionnée dans la reconnaissance de dette se rapportait à une commission que le prénommé avait coutume d'exiger des personnes avec qui il traitait. Et la cour cantonale d'ajouter que "cette reconnaissance de dette, rapprochée des pièces produites par feu H.Y._ qui tendent à prouver qu'il a prêté de l'argent au demandeur, qu'il a réglé plusieurs factures et financé fourniture et main-d'oeuvre corrobore la réalité de l'obligation reconnue (...)" (jugement attaqué, consid. IV./b p. 46.). Les juges vaudois en concluent que le recourant n'a pas renversé la présomption de l'existence et du bien-fondé de la créance résultant de la reconnaissance de dette litigieuse.
4.3 Le recourant consacre la quasi-totalité de son mémoire à la tentative de démontrer que le jugement entrepris repose sur des constatations de fait arbitraires. Il s'en prend, en particulier, à la manière dont la cour cantonale a apprécié le témoignage du dénommé A._, reproche aux premiers juges d'avoir accordé une quelconque force probante aux pièces justificatives produites par feu H.Y._ et, à l'inverse, d'avoir "balayé" purement et simplement tous les témoignages favorables à sa thèse, enfin leur fait grief de ne pas s'être avisés des variations dans les motifs avancés par sa partie adverse pour justifier la créance litigieuse.
Semblable tentative était d'emblée vouée à l'échec. En effet, pour les motifs susmentionnés, la Cour de céans ne peut pas revoir les constatations de fait du jugement attaqué (cf. consid. 1.2).
Dès lors, la violation alléguée de l'art. 83 al. 2 LP apparaît inexistante puisque ce grief se fonde sur un autre état de fait que celui qui a été retenu par les juges vaudois.
La même remarque peut être faite au sujet du moyen pris de la violation de l'art. 20 CO. Ici aussi, le recourant s'écarte, sans y être autorisé, des constatations souveraines des juges du fait pour soutenir que le véritable objet de la reconnaissance de dette litigieuse consistait en un pot-de-vin.
Pour le surplus, le recourant ne démontre pas et il n'apparaît pas non plus que la Cour civile ait violé l'art. 83 al. 2 LP et les dispositions pertinentes du code des obligations en rejetant l'action en libération de dette.
Cela étant, le présent recours ne peut qu'être rejeté dans la faible mesure où il est recevable. La demande d'effet suspensif devient, en conséquence, sans objet.
5. Le recourant, qui succombe, devra payer les frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF) et indemniser l'intimée (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 14 avril 2009
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Klett Carruzzo