Erwägungen:
1. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern wies mit Urteil vom 1. Oktober 2012 eine Beschwerde des 1975 geborenen tunesischen Staatsangehörigen X._ betreffend Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Gegen dieses Urteil erhob X._ am 5. November 2012 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten.
Mit Verfügung vom 8. November 2012 wurde der Beschwerdeführer aufgefordert, spätestens am 30. November 2012 einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- einzuzahlen. Am 28. November 2012 zahlte er einen Betrag von Fr. 1'000.-- ein. Gleichentags teilte er mit, es sei ihm nicht möglich, den Restbetrag rechtzeitig zu leisten; er ersuchte darum, es sei ihm zu gestatten, dies in zwei Raten per Ende Dezember und per Ende Januar zu tun. Mit Verfügung vom 30. November 2012 wurde dem Gesuch nur teilweise entsprochen, indem die Frist zur Bezahlung des restlichen Kostenvorschusses letztmals bis zum 14. Januar 2013 erstreckt wurde; die Verfügung enthielt den Hinweis, dass die Fristerstreckung als Nachfristansetzung im Sinne von Art. 62 Abs. 3 BGG gelte und im Unterlassungsfall auf die Beschwerde nicht eingetreten werde.
Mit Schreiben seines Rechtsvertreters vom 14. Januar 2013 liess der Beschwerdeführer mitteilen, eine fristgerechte Bezahlung des Restbetrags sei nicht möglich, weshalb um Erstreckung der diesbezüglichen Frist bis zum 1. Februar 2013 ersucht werde; für den Fall, dass dies nicht möglich sein sollte, wurde für den Restbetrag die unentgeltliche Rechtspflege beantragt und die Nachreichung entsprechender Unterlagen im Bedarfsfall in Aussicht gestellt.
2. Die Partei, die das Bundesgericht anruft, hat einen Kostenvorschuss in der Höhe der mutmasslichen Gerichtskosten zu leisten (Art. 62 Abs. 1 BGG). Gemäss Art. 62 Abs. 3 BGG setzt ihr der Instruktionsrichter bzw. der Abteilungspräsident (Art. 32 Abs. 1 BGG) eine angemessene Frist zur Leistung des Vorschusses und bei deren unbenütztem Ablauf eine Nachfrist, wobei das Bundesgericht auf die Eingabe nicht eintritt, wenn der Vorschuss innert der Nachfrist nicht geleistet wird. Es entspricht dem Wesen einer Nachfrist, dass sie nicht erstreckt werden kann, es sei denn, es lägen ganz besondere, nicht voraussehbare Hinderungsgründe vor, die vom Beschwerdeführer in seinem Gesuch um Einräumung einer zweiten Nachfrist spezifisch darzulegen sind (Urteil 2C_242/2012 vom 24. Mai 2012 mit Hinweis). Die Nachfrist kann nebst durch Bezahlung des Vorschusses auch durch Stellung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege gewahrt werden, aber nur dann, wenn dieses korrekt begründet wird und mit ausreichenden Belegen zur wirtschaftlichen Situation der Partei versehen ist; wer, trotz Kenntnisnahme vom durch den Prozess verursachten Kostenrisiko, die ordentliche Zahlungsfrist hat verstreichen lassen und erst innert der Nachfrist ein Kostenbefreiungsgesuch stellt, ohne spätestens dann der verfahrensrechtlichen Pflicht nachzukommen, seine Bedürftigkeit vollumfänglich zu belegen (vgl. BGE 125 IV 161 E. 4a S. 164; 120 Ia 179 E. 3a S. 181 f.), hat nach gefestigter Rechtsprechung ein Nichteintretensurteil zu gewärtigen (Urteil 2C_568/2010 vom 27. September 2010 E. 2 mit Hinweis).
Mit dem zweiten Fristerstreckungsgesuch werden keine ganz besonderen Gründe spezifisch dargelegt, die den Beschwerdeführer in unvorhersehbarer Weise an der Einhaltung der Nachfrist verhindert hätten. Er hat es sodann unterlassen, ein korrekt begründetes und belegtes Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu stellen. Die Nachfrist ist damit nicht gewahrt, und auf die Beschwerde ist, wie mit der Verfügung vom 30. November 2012 angedroht, mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nicht einzutreten.
Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer, der nicht frist- bzw. formgerecht um Kostenbefreiung ersucht hat, aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Absatz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde und auf das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Januar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller