Sachverhalt:
A.
Die B._ AG (Gesuchsstellerin, Beschwerdegegnerin) stellte am 20. September 2013 gestützt auf Art. 257 Abs. 1 ZPO beim Bezirksgericht Zürich, Einzelgericht, ein Ausweisungsbegehren gegen A._ (Gesuchsgegner, Beschwerdeführer) und dessen Untermieter. Mit Verfügung vom 18. Dezember 2013 trat das Einzelgericht auf das Gesuch nicht ein (Ziffer 2). Es auferlegte die Entscheidgebühr von Fr. 2'500.-- der Gesuchsstellerin (Ziffer 3) und verpflichtete diese, dem Gesuchsgegner eine Parteientschädigung von Fr. 1'944.-- zu bezahlen (Ziffer 4). Zudem bestellte es ihm einen unentgeltlichen Rechtsbeistand (Ziffer 1).
B.
Gegen den Nichteintretensentscheid legte die Gesuchsstellerin Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Gleichentags erhob der Gesuchsgegner Kostenbeschwerde mit dem Antrag, die Gesuchsstellerin sei zu verpflichten, ihm eine Parteientschädigung von Fr. 5'388.-- zu bezahlen.
Das Obergericht sistierte das Beschwerdeverfahren bis zur rechtskräftigen Erledigung des Berufungsverfahrens. Anschliessend führte es das Verfahren fort und die Gesuchsstellerin trug in ihrer Beschwerdeantwort auf Abweisung der Beschwerde an. In einer unaufgefordert eingereichten Stellungnahme zur Beschwerdeantwort machte der Gesuchsgegner unter Bezugnahme auf den zwischenzeitlich ergangenen Berufungsentscheid geltend, der Streitwert betrage nicht wie vor erster Instanz angenommen Fr. 33'528.--, sondern Fr. 60'000.--.
Das Obergericht hob in teilweiser Gutheissung der Beschwerde Dispositiv Ziffer 4 der Verfügung des Einzelgerichts des Bezirksgerichts Zürich vom 18. Dezember 2013 auf und verpflichtete die Gesuchsstellerin, dem Gesuchsgegner für das erstinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'600.-- zu bezahlen. Die zweitinstanzliche Entscheidgebühr von Fr. 800.-- auferlegte es zu vier Fünfteln dem Gesuchsgegner und zu einem Fünftel der Gesuchsstellerin, wobei zwei Drittel des Anteils des Gesuchsgegners zufolge teilweiser Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege einstweilen auf die Gerichtskasse genommen wurden. Der Gesuchsgegner wurde zudem verpflichtet, der Gesuchsstellerin für das Beschwerdeverfahren eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 540.-- zu bezahlen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Gesuchsgegner dem Bundesgericht, in Gutheissung der Beschwerde sei das Urteil des Obergerichts des Kanton Zürich vom 24. Juni 2014 vollumfänglich aufzuheben; die Sache sei im Sinne der Erwägungen zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen; unter Kosten- und Entschädigungsfolge (zuzüglich Mehrwertsteuer) zulasten der Beschwerdegegnerin. Gleichzeitig beantragt er, ihm sei für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Hat eine Beschwerde an das Bundesgericht einzig die Kosten des kantonalen Verfahrens zum Gegenstand und ging es schon im vorinstanzlichen Verfahren allein um die Kosten, bestimmt sich der Streitwert für die Zulässigkeit der Beschwerde nach dem Betrag, in dem diese vor der Vorinstanz strittig waren (Urteile des Bundesgerichts 4D_54/2013 vom 6. Januar 2014 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 140 III 30; 4A_691/2012 vom 17. Januar 2013 E. 1.1). Der Betrag der vor Vorinstanz strittigen Parteientschädigung erreicht die im zu beurteilenden Fall für die Beschwerde in Zivilsachen massgebliche Streitwertgrenze von Fr. 15'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG) nicht.
1.2. Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag nicht, ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
1.2.1. Dieser Begriff ist restriktiv auszulegen. Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (BGE 135 III 1 E. 1.3 S. 4 mit Hinweisen). Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (Art. 42 Abs. 2 BGG).
1.2.2. Die Vorinstanz erwog unter anderem, das Bezirksgericht sei von einem Streitwert von Fr. 33'528.-- ausgegangen. Der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer habe dieser Streitwertberechnung in seiner Beschwerde zugestimmt. Erst in seiner nachträglichen Stellungnahme habe er sich auf die abweichende Streitwertberechnung der Kammer im Berufungsverfahren bezogen. Damit handle es sich um eine inhaltlich nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichte und damit unzulässige Beschwerdeergänzung. Die erstinstanzliche Streitwertberechnung und damit auch die daraus sich ergebende Grundgebühr nach § 4 Abs. 1 der Verordnung über die Anwaltsgebühren vom 8. September 2010 (AnwGebV; LS 215.3) von Fr. 5'388.-- sei daher nicht gerügt worden.
1.2.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, diese Begründung werfe die Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung auf, ob ein qualifiziertes Schweigen vorliege, weil die Zivilprozessordnung bei der Beschwerde - im Unterschied zur Berufung - keinen zweiten Schriftenwechsel vorsehe. Es stelle sich auch die Frage, ob sich ein Anspruch auf einen zweiten Schriftenwechsel im Beschwerdeverfahren nach Art. 319 ff. ZPO aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK ergebe.
1.2.4. Der Anspruch auf rechtliches Gehör nach Art. 29 Abs. 1 und 2 BV sowie Art. 6 Ziff. 1 EMRK umfasst das Recht, von allen bei Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können, unabhängig davon, ob die Eingaben neue und/oder wesentliche Vorbringen enthalten. Das Gericht kann einen zweiten Schriftenwechsel anordnen oder den Parteien Frist für eine allfällige Stellungnahme ansetzen. Es kann Eingaben aber auch lediglich zur Kenntnisnahme zustellen, wenn von den Parteien erwartet werden kann, dass sie umgehend unaufgefordert Stellung nehmen oder eine Stellungnahme beantragen, was namentlich bei anwaltlich Vertretenen oder Rechtskundigen der Fall ist (BGE 138 I 484 E. 2.4 und 2.5 mit Hinweisen; vgl. auch Urteile des EGMR Schmid gegen Schweiz vom 22. Juli 2014 §§ 29 ff. und Joos gegen Schweiz vom 15. November 2012 §§ 27 ff.).
Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (Art. 321 Abs. 1 ZPO). Wie das Bundesgericht im Hinblick auf den insofern mit Art. 321 Abs. 1 ZPO vergleichbaren Art. 42 Abs. 1 BGG wiederholt festgehalten hat, darf der Beschwerdeführer eine Replik nicht dazu verwenden, die Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern, wenn es zu einem zweiten Schriftenwechsel kommt (vgl. BGE 132 I 42 E. 3.3.4 S. 47 mit Hinweisen). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. BGE 135 I 19 E. 2.2 S. 21; Urteil des Bundesgerichts 4A_66/2014 vom 2. Juni 2014 E. 2.2). Soweit die Darlegungen darüber hinaus gehen, sind sie nicht zu berücksichtigen.
1.2.5. Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt sich offensichtlich nicht. Die Begründung der Vorinstanz beruht auf den dargestellten Rechtsgrundsätzen. Dem Beschwerdeführer wurde das Replikrecht tatsächlich gewährt und gleichzeitig aber zu Recht verwehrt, die Beschwerde nach Ablauf der gesetzlichen Beschwerdefrist zu ergänzen.
Die Beschwerde ist daher als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 BGG) entgegenzunehmen.
2.
Das Bundesgericht verlangt im Hinblick auf die reformatorische Natur der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 107 Abs. 2 BGG) und der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 117 i.V.m. Art. 107 Abs. 2 BGG) grundsätzlich einen materiellen Antrag, widrigenfalls es auf das Begehren nicht eintritt (BGE 134 III 379 E. 1.3 S. 383; Urteil des Bundesgerichts 4D_48/2007 vom 13. November 2007 E. 1.1). Anträge betreffend Geldforderungen sind zu beziffern (BGE 134 III 235 E. 2 S. 236 f. mit Hinweisen) und zwar grundsätzlich auch bei der vom Ausgang der Hauptsache unabhängigen Anfechtung der vorinstanzlichen Kosten- und Entschädigungsregelung (Urteil des Bundesgerichts 4A_375/2012 vom 20. November 2012 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 139 III 24). Der Beschwerdeführer beantragt lediglich die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und Rückweisung der Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz. Es kann offen bleiben, ob dieses Rechtsbegehren genügen würde, denn auf die Beschwerde kann aus andern Gründen teilweise nicht eingetreten werden, und im Übrigen ist sie abzuweisen.
3.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht (BGE 134 V 138 E. 2.1 S. 143; 133 III 439 E. 3.2 S. 444; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechtes nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG).
4.
Wie bereits aus den obigen Ausführungen zum Eintreten (vgl. E. 1.2 hiervor) folgt, hat die Vorinstanz durch das Nicht-Zulassen der Beschwerdeergänzung nach Ablauf der Beschwerdefrist den Anspruch auf rechtliches Gehör nicht verletzt. Darüber hinaus rügt der Beschwerdeführer einzig, der Entscheid sei im Ergebnis stossend. Die Vorinstanz sei im angefochtenen Entscheid zu Unrecht von einem Streitwert von Fr. 33'528.-- statt richtigerweise von Fr. 60'000.-- ausgegangen, woraus eine Differenz bei der Grundgebühr von Fr. 2'512.-- resultiere. Auch wenn er Art. 9 BV nicht ausdrücklich erwähnt, macht er damit eine Verletzung des Willkürverbots geltend.
4.1. Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Rechtsprechung nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür vielmehr nur auf, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dabei genügt es nicht, wenn sich nur die Begründung des angefochtenen Entscheides als unhaltbar erweist. Eine Aufhebung rechtfertigt sich nur dann, wenn der Entscheid auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (BGE 140 III 16 E. 2.1 S. 18 f.; 129 I 8 E. 2.1 S. 9; je mit Hinweisen).
4.2. Der Beschwerdeführer müsste somit im einzelnen darlegen, dass eine krasse Rechtsverletzung vorliegt und dies auch zu einem unhaltbaren Ergebnis führt. Er spricht zwar von einem stossenden Ergebnis, äussert sich aber konkret nur zum Differenzbetrag der Grundgebühr und nicht zum im Ergebnis zugesprochenen Betrag von Fr. 2'600.--. Namentlich legt er nicht dar, weshalb dieser Betrag unter Berücksichtigung der von der Vorinstanz als Reduktionsgründe erwähnten § 4 Abs. 3 und § 9 AnwGebV ein stossendes Ergebnis darstellt. Da bereits aus diesem Grund die Willkürrüge nicht hinreichend begründet ist (vgl. E. 3 hiervor), kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden, und es kann offen bleiben, ob die Begründung der Vorinstanz, wonach der erstinstanzlich festgestellte Streitwert mangels Rüge massgeblich sei, dem Willkürvorwurf standgehalten hätte.
5.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und von vornherein aussichtslos. Daher kann auch dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung nicht stattgegeben werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Entschädigung ist nicht geschuldet, da der Beschwerdegegnerin noch kein Aufwand entstand.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Oktober 2014
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Klett
Der Gerichtsschreiber: Luczak