Erwägungen:
1.
Vor dem Bezirksgericht sind Klagen von X._ gegen die Stadt Zürich hängig. In einem der Verfahren (Proz. CG120033) wurde ihm für einen Teil seiner Klage die unentgeltliche Rechtspflege verweigert; den für diesen Teil zu leistenden Kostenvorschuss fixierte das Bezirksgericht mit Beschluss vom 20. März 2013 auf Fr. 13'100.- und setzte hiefür eine Zahlungsfrist an. Dagegen beschwerte sich X._ beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses fällte am 2. Mai 2013 folgenden Beschluss (RB130013-O/Z1) : Es setzte eine Nachfrist von 14 Tagen an, um die als übermässig weitschweifig und als ungebührlich qualifizierte Beschwerde im Sinne der Erwägungen zu verbessern; das auch für das Verfahren vor Obergericht gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies es ab, wobei es eine Frist zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'000.-- für das obergerichtliche Verfahren selber ansetzte. Gegen diesen Beschluss gelangte X._ am 12. Juni 2013 (Postaufgabe) mit als Beschwerde in Zivilsachen zuzüglich subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneter, vom 9. Juni 2013 datierter Rechtsschrift an das Bundesgericht. Sie ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht verletze. Die Rüge, verfassungsmässige Rechte seien verletzt, bedarf spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Begründung hat sachbezogen zu sein, d.h. sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen; die Beschwerde führende Partei muss sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen.
Beim Obergericht angefochten ist ein Entscheid über die Auferlegung eines Kostenvorschusses durch das Bezirksgericht. Das Obergericht wertete die ihm vorgelegte Rechtsschrift gemessen am beschränkten Gegenstand als übermässig weitschweifig und zudem als ungebührlich, weil der Beschwerdeführer wiederholt Behörden, Behördenmitgliedern sowie der Justiz in unzulässiger Weise kriminelles Verhalten vorwerfe, sie einer amtsmissbräuchlichen Betrügerei bezichtige, beleidige und dergleichen, weshalb es den Beschwerdeführer gestützt auf Art. 132 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 132 Abs. 1 zweiter Satz ZPO zur Verbesserung aufforderte. Zudem stellte es, nach summarischer Prüfung der Rechtmässigkeit der Vorschusserhebung durch das Bezirksgericht, fest, dass die Beschwerde auch unabhängig von den prozessualen Mängeln als aussichtslos erscheine, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen und ein Kostenvorschuss zu leisten sei.
Der Beschwerdeführer äussert sich auf 90 Seiten zu zahlreichen Belangen seiner Rechtsstreitigkeiten mit den Behörden. Seine Rechtsschrift lässt jegliche gezielte Auseinandersetzung mit dem beschränkten Gegenstand des Beschlusses des Obergerichts bzw. mit dessen Erwägungen und den von ihm angewandten Rechtsnormen vermissen. Inwiefern das Obergericht mit seinen verfahrensleitenden Anordnungen schweizerisches Recht verletzt haben könnte, wird mit den weitschweifigen Ausführungen in der Beschwerdeschrift auch nicht ansatzweise dargelegt. Auf die Beschwerde ist wegen offensichtlichen Fehlens einer den gesetzlichen Anforderungen genügenden Begründung (s. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Da die vorliegende Beschwerde aussichtslos erschien, kann auch dem für das Verfahren vor Bundesgericht gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr ist der Art der Prozessführung Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdeführer weiss aus früheren Verfahren, dass die auch hier gewählte Vorgehensweise untauglich ist.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller