Sachverhalt:
A. Die 1955 geborene M._ führte als Selbstständigerwerbende eine Chemische Reinigung und war bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) freiwillig gegen Unfallfolgen versichert. Am 9. Juni 2000 erlitt sie einen Verkehrsunfall. Sie hatte den von ihr gelenkten Opel Corsa verkehrsbedingt abgebremst. Der nachfolgende Volvo 240 prallte ins Heck des Opel. M._ suchte gleichentags die Hausärztin auf. Diese diagnostizierte eine commotio cerebri sowie Prellungen an Halswirbelsäule (HWS), Beinen und Armen und attestierte eine volle Arbeitsunfähigkeit. Die SUVA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld). Mit Bericht vom 24. Juli 2000 bestätigte die Hausärztin den Abschluss der Heilbehandlung und eine volle Arbeitsfähigkeit. Ab 9. Dezember 2002 bestand erneut eine im Ausmass variierende Arbeitsunfähigkeit. Die SUVA, der dies im Februar 2003 als Rückfall gemeldet wurde, gewährte wiederum Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 12. April 2006 schloss sie den Fall auf den 30. September 2005 ab, wobei sie jeglichen weiteren Leistungsanspruch über diesen Zeitpunkt hinaus verneinte. Zur Begründung führte sie aus, es fehle an einem rechtserheblichen Zusammenhang zwischen den noch geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 9. Juni 2000. Daran hielt die SUVA auf die von der Versicherten eingereichte Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 19. Oktober 2006).
B. Die von M._ hiegegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 25. November 2008 ab.
C. M._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es sei der kantonale Entscheid aufzuheben und die SUVA zu verpflichten, über den 30. September 2005 hinaus die gesetzlich geschuldeten Leistungen zu erbringen, allenfalls nach Vornahme der dazu notwendigen Abklärungen.
Die SUVA beantragt die Abweisung der Beschwerde, ohne sich weiter zur Sache zu äussern. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 134 V 369 E. 2 mit Hinweis). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig ist, ob die Versicherte aus dem Unfall vom 9. Juni 2000 über den 30. September 2005 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die für einen Leistungsanspruch erforderlichen kausalen Zusammenhänge im Allgemeinen sowie bei Rückfällen, bei unfallbedingten Verschlimmerungen eines Vorzustandes und bei organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden nach Unfall im Besonderen mit den sich jeweils stellenden Beweisfragen.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt. Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (sog. Psycho-Praxis), während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (sog. Schleudertrauma-Praxis; zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Die Beschwerdeführerin rügt zunächst einen zu frühen Fallabschluss.
Nach Gesetz (Art. 19 Abs. 1 UVG) und Praxis hat der Unfallversicherer den Fall (unter Einstellung von Heilbehandlung und Taggeld sowie Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes des Versicherten mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind (BGE 134 V 109 E. 4.1 S. 112 mit Hinweisen). Ob eine namhafte Besserung noch möglich ist, bestimmt sich insbesondere nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit diese unfallbedingt beeinträchtigt ist. Dabei verdeutlicht die Verwendung des Begriffes "namhaft" durch den Gesetzgeber, dass die durch weitere Heilbehandlung zu erwartende Besserung ins Gewicht fallen muss. Unbedeutende Verbesserungen genügen nicht (E. 4.3 S. 115).
Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung stehen im vorliegenden Fall nicht zur Diskussion. Das kantonale Gericht ist sodann zum Ergebnis gelangt, von einer Fortsetzung der Heilbehandlung über den 30. September 2005 hinaus habe keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes mehr erwartet werden können. Diese Beurteilung beruht auf einer sorgfältigen und zutreffenden Würdigung der medizinischen Akten. Hervorzuheben ist, dass Dr. med. V._, Neurologie/EEG, aus somatischer Sicht bereits mit Abklärungsbericht vom 17. September 2004 in Übereinstimmung mit weiteren Arztberichten einer Fortsetzung der Heilbehandlung ein erhebliches Besserungspotential absprach. Aus psychiatrischer Sicht ergibt sich nichts anderes. Insbesondere wird im psychiatrisch-psychotherapeutischen Gutachten vom 5. Oktober 2008, auf welches sich die Beschwerdeführerin beruft, auch eine namhafte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit aus psychischen Gründen - und damit auch eine entsprechende Besserungsperspektive - verneint (vgl. auch E. 5 Ingress in fine hienach). Weitere medizinische Abklärungen lassen keinen entscheidrelevanten Aufschluss erwarten.
4. Umstritten ist im Weiteren, ob die über den 30. September 2005 hinaus geklagten Beschwerden mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls vom 9. Juni 2000 zu erklären sind.
4. Umstritten ist im Weiteren, ob die über den 30. September 2005 hinaus geklagten Beschwerden mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls vom 9. Juni 2000 zu erklären sind.
4.1 4.1.1 Die Vorinstanz hat erwogen, die mittels bildgebender Verfahren im Bereich von HWS und Lendenwirbelsäule (LWS) festgestellten Pathologien (leichte arthronotische Veränderung am zervikokranialen Übergang; mässige Unkovertebralarthrose C5/6 und C6/6 mit leichten osteophytären Einengungen des Neuroforamens C5/6 links und C6/6 beidseits; allenfalls als Diskushernie zu interpretierende dorsale Bandscheibenprotrusion auf Höhe L4/L5) seien als degenerativ bedingt und vorbestanden, somit als unfallfremd zu betrachten. Das ist nach Lage der Akten richtig.
Umstritten ist insoweit einzig eine widersprüchlich erscheinende Aussage des Kreisarztes, welcher einerseits eine Osteochondrose diagnostiziert und dafür einen Integritätsschaden geschätzt, anderseits aber eine organisch nachweisbare Unfallfolge verneint hat. Das kantonale Gericht hat sich damit eingehend auseinandergesetzt. Es ist zutreffend zum Ergebnis gelangt, die kreisärztliche Aussage vermöge bei Berücksichtigung sämtlicher weiterer medizinischen Berichte weder den Schluss auf eine organische Unfallfolge noch einen weiteren Abklärungsbedarf zu begründen. Auf die überzeugenden Erwägungen im angefochtenen Entscheid kann verwiesen werden.
4.1.2 Die Vorinstanz hat sodann die Frage einer unfallbedingten Verschlimmerung des Vorzustandes geprüft. Sie ist zum Ergebnis gelangt, soweit überhaupt von einer Verschlimmerung auszugehen sei, wäre diese als vorübergehend zu betrachten und könnte sie jedenfalls für die über den 30. September 2005 hinaus bestandenen Beschwerden nicht verantwortlich gemacht werden.
Diese Beurteilung beruht auf einer einlässlichen Würdigung der medizinischen Akten, namentlich der Ergebnisse der mit bildgebenden Verfahren durchgeführten Untersuchungen. Sie ist, insbesondere auch im Lichte der Rechtsprechung zur Leistungspflicht des Unfallversicherers bei Diskushernien (vgl. Urteil 8C_614/2007 vom 10. Juli 2008 E. 4.1 mit Hinweisen; siehe auch SVR 2008 UV Nr. 36 S. 137 [8C_637/2007]), nicht zu beanstanden.
Was die Beschwerdeführerin vorträgt, führt zu keiner anderen Betrachtungsweise. Geltend gemacht wird, es seien weitere medizinische Abklärungen erforderlich. Mit dem kantonalen Gericht kann eine richtunggebende Verschlimmerung indessen gestützt auf die bereits durchgeführten Abklärungen zuverlässig verneint werden. Entgegen der Auffassung der Versicherten ist auch nicht erforderlich, die vorgenommenen bildgebenden Abklärungen, über welche die durchführenden Radiologen jeweils Bericht erstattet haben, nochmals durch einen Radiologen auswerten zu lassen.
4.2 Streitig ist sodann, ob die Versicherte beim Unfall vom 9. Juni 2000 eine Hirnverletzung erlitten hat. Die Vorinstanz hat dies verneint und auch das Vorliegen einer einfachen Hirnerschütterung (commotio cerebri) ausgeschlossen. Die Versicherte macht eine unfallbedingte Hirnschädigung im Sinne einer Mild traumatic brain injury (MTBI) geltend.
Die durchgeführte bildgebende Untersuchung des Schädels hat gemäss Bericht vom 15. Juni 2000 keine Anhaltspunkte für eine traumatisch bedingte ossäre Läsion ergeben. Zur Frage einer commotio cerebri äussern sich die medizinischen Akten unterschiedlich. Während die behandelnde Ärztin eine solche diagnostiziert hat (u.a. Bericht vom 24. Juli 2000), ist Dr. med. V._, welcher die Versicherte klinisch und elektroencephalographisch abgeklärt hat, im Bericht vom 17. September 2004 zum Ergebnis gelangt, beim Unfall vom 9. Juni 2000 sei es zu keiner Beteiligung des Gehirns im Sinne einer commotio cerebri gekommen. Jedenfalls lässt sich zuverlässig sagen, dass höchstens eine Hirnerschütterung eingetreten ist und eine gravierendere Hirnverletzung im Sinne einer organisch nachweisbaren Schädigung ausgeschlossen werden kann. Die beantragten weiteren Abklärungen lassen diesbezüglich keinen entscheidrelevanten neuen Aufschluss erwarten, weshalb davon abzusehen ist.
5. Nach dem Gesagten liegt keine organisch objektiv ausgewiesene Unfallfolge vor. Das schliesst zwar die natürliche Unfallkausalität der bestehenden Beschwerden nicht aus. Anders als bei einem klaren unfallbedingten organischen Korrelat kann der adäquate Kausalzusammenhang aber nicht ohne besondere Prüfung bejaht werden (E. 2 hievor). Dabei ist umstritten, wie die Adäquanz zu beurteilen ist. Während das kantonale Gericht nach der Psycho-Praxis vorgegangen ist, geht die Versicherte davon aus, es sei die Schleudertrauma-Rechtsprechung anwendbar.
Welche dieser Auffassungen zutrifft, muss dann nicht abschliessend beurteilt werden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang auch nach der Schleudertrauma-Praxis, welche in der Regel (vgl. Urteil 8C_986/2008 vom 23. März 2009 E. 4.1) und jedenfalls hier für die versicherte Person günstiger ist als die Psycho-Praxis, zu verneinen ist. Diesfalls erübrigen sich auch Weiterungen zur prozessualen Zulässigkeit des mit der Beschwerde aufgelegten psychiatrisch-psychotherapeutischen Gutachtens vom 5. Oktober 2008.
5.1 Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 115 V 133 E. 6 S. 138 ff.; 134 V 109 E. 10.1 S. 126; E. 2 hievor). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26 E. 5.2 und 5.3.1, [U 2, 3 und 4/07]; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat die Auffahrkollision vom 9. Juni 2000 den mittelschweren Unfällen an der Grenze zu den leichten Unfällen zugeordnet. Die Versicherte geht ebenfalls von einem mittelschweren Unfall vor, wendet sich aber gegen die Einordnung im Grenzbereich zu den leichten Unfällen. Feststeht jedenfalls, dass kein Unfall im Grenzbereich zu den schweren Unfällen oder gar ein schwerer Unfall vorliegt.
5.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges demnach entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein. Das gilt für die Psycho- wie für die Schleudertrauma-Praxis, wobei die Kriterien sich teilweise unterscheiden (BGE 115 V 133 E. 6c S. 140 f.; 134 V 109 E. 10 S. 126 ff.).
Das kantonale Gericht hat die Kriterien nach der Psycho-Praxis geprüft und ist zum Ergebnis gelangt, es sei höchstens und jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise das der körperlichen Dauerschmerzen erfüllt. Nach Auffassung der Versicherten ist die Schleudertrauma-Rechtsprechung anzuwenden und sind von den nach BGE 134 V 109 massgeblichen Kriterien mehrere erfüllt. Darauf ist nachfolgend einzugehen.
5.2.1 Zu Recht nicht geltend gemacht werden die Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls sowie der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert.
5.2.2 Das Kriterium der Schwere und besonderen Art der erlittenen Verletzungen liegt nicht vor. Es bedürfte hiefür einer besonderen Schwere der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen können (BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127 f.). Daran fehlt es hier. Was die Versicherte vorträgt, rechtfertigt kein anderes Ergebnis. Namentlich fehlen, auch in den Berichten der behandelnden Ärztin, Anhaltspunkte für eine beim Unfall eingenommene besondere Körperhaltung. Weitere Abklärungen hiezu lassen keinen verlässlichen neuen Aufschluss erwarten. Auch liegt keine erhebliche Vorschädigung im Bereich der HWS vor (vgl. zum Erfordernis der Erheblichkeit einer Vorschädigung: SVR 2007 UV Nr. 1 S. 1 E. 3.3.2 [U 39/04]; Urteil 8C_724/2008 vom 18. Dezember 2008 E. 4.2.2). Dies lässt sich aufgrund der durchgeführten bildgebenden Untersuchungen beurteilen, ohne dass noch Aktenergänzungen erforderlich wären.
5.2.3 Die Heilbehandlung bestand in erster Linie in Physiotherapie und Medikation sowie in einer rund dreiwöchigen Hospitalisation in der Klinik X._. Eine fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung ist damit nicht gegeben. Praxisgemäss werden an dieses Kriterium deutlich höhere Anforderungen gestellt (vgl. etwa SVR 2009 UV Nr. 22 S. 80 E. 5.4 [8C_209/2008]; Urteil 8C_144/2008 vom 8. August 2008 E. 7.3).
5.2.4 Ohne weiteres zu verneinen ist auch das Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen. Dass die Versicherte, wie sie geltend macht, über Jahre hinweg medizinische Fachpersonen konsultiert hat, ändert hieran nichts. Es müssten besondere Gründe gegeben sein, welche die Heilung beeinträchtigt haben (vgl. aus jüngerer Zeit: Urteile 8C_1015/2008 vom 6. April 2009 E. 5.3.3 mit Hinweis und 8C_304/2008 vom 1. April 2009 E. 5.2.1 mit Hinweisen). Dafür bestehen keine Anhaltspunkte.
5.2.5 Damit der adäquate Kausalzusammenhang bejaht werden könnte, müsste von den verbleibenden zwei Kriterien mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. Das ist nicht der Fall. Das Kriterium der erheblichen Beschwerden ist aufgrund der glaubhaften Schmerzen und der Beeinträchtigung, welche die Versicherte durch die Beschwerden im Lebensalltag erfährt, allenfalls in der einfachen Form zu bejahen. Was das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen betrifft, ist zwar der Einsatz, den die Beschwerdeführerin bezüglich Wiedereingliederung in den Arbeitsprozess gezeigt hat, anerkennenswert. In besonders ausgeprägter Weise liegt das Kriterium aber schon mit Blick auf die schon bald nach dem Unfall während einiger Zeit gegebene volle Arbeitsfähigkeit nicht vor. Ob es in der einfachen Form erfüllt wäre, muss nicht abschliessend geprüft werden. Denn auch bejahendenfalls würde dies nicht genügen, um den adäquaten Kausalzusammenhang als erfüllt zu betrachten.
5.3 Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht zu Recht einen rechtserheblichen Zusammenhang zwischen dem Unfall vom 9. Juni 2000 und den über den 30. September 2005 hinaus bestandenen Beschwerden und damit die Leistungspflicht der SUVA verneint. Es kann daher offen bleiben, ob der natürliche Kausalzusammenhang - ob nun im Sinne eines Rückfalles oder nicht - gegeben wäre.
6. Die Kosten des Verfahrens sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG)
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 13. Mai 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz