Faits:
A. A.a L'European Chess Union (ci-après: l'ECU) est une association de droit suisse qui a son siège à Hünenberg, dans le canton de Zoug. Elle a notamment pour tâche de gérer les différents tournois d'échecs organisés en Europe et a édicté, pour ce faire, une réglementation intitulée European Chess Union Tournament Rules 2010 (ci-après: le Règlement).
A une exception près, les compétitions de l'ECU ont lieu une fois par an. L'organisation de chaque tournoi est attribuée par le comité de l'ECU à une fédération nationale européenne sur la base d'un appel d'offres et selon des modalités fixées dans le Règlement. En résumé, à réception des candidatures, le comité de l'ECU désigne un inspecteur (ou deux inspecteurs s'il y a plus de trois candidats), qui doit être un organisateur expérimenté ou un arbitre. L'inspecteur visite les villes qui se sont portées candidates à l'organisation du tournoi d'échecs. Il évalue chaque candidature en fonction de divers critères répartis en sept catégories à l'annexe 1 du Règlement (salle de compétition, infrastructures hôtelières, liaisons aériennes, etc.). Ensuite, lors d'une séance du comité de l'ECU, l'inspecteur rend son rapport comportant les notes attribuées à chaque candidat pour les sept catégories, sauf deux qui restent l'apanage du comité. L'organisation du tournoi est alors attribuée au candidat ayant obtenu la note la plus élevée. Toutefois, si l'écart séparant les candidatures arrivées aux deux ou aux trois premières places est inférieur à un certain pourcentage, c'est à l'assemblée générale qu'il appartient de choisir entre l'une de ces candidatures.
A.b Le 30 avril 2011, l'ECU a procédé à un appel d'offres en vue de l'organisation des tournois 2013.
Dans le délai imparti, la Fédération X._ a annoncé, notamment, les candidatures de A._ pour le European Youth Championship (ci-après: l'EYC) et de B._ pour l'European Senior Team Championship (ci-après: l'ESTC). D'autres fédérations nationales, au nombre de quatre, respectivement trois, ont présenté des candidats à l'organisation de ces deux tournois. En particulier, le Monténégro a proposé d'organiser l'EYC à Budva.
L'ECU a désigné un inspecteur unique en la personne de C._, directeur des tournois organisés par elle. En effet, seules trois villes devaient encore être visitées après que les fédérations des autres villes candidates, dont la Fédération X._, eurent renoncé à une inspection contre l'attribution de la note maximale pour la salle de compétition et la nourriture à leurs candidats respectifs. L'inspecteur a visité, en particulier, Budva. Il y a été accueilli à l'aéroport par le dénommé D._, directeur exécutif de l'ECU, qui l'a conduit sur les sites.
Sur la base du rapport dressé par l'inspecteur C._, le comité de l'ECU, siégeant les 13 et 14 septembre 2011, a attribué l'organisation de l'EYC à la Fédération d'échec du Monténégro (ville de Budva). Il a décidé de renvoyer le choix de la ville organisatrice de l'ESTC à l'assemblée générale, faute d'un écart suffisant entre les notes obtenues par trois des quatre candidats.
B. Le 10 octobre 2011, la Fédération X._ a interjeté appel, auprès du Tribunal Arbitral du Sport (TAS), contre la décision du comité de l'ECU. Elle a conclu, en substance, en plus de l'annulation de cette décision, à ce que l'organisation de l'EYC et de l'ESTC lui soit attribuée. A titre subsidiaire, l'appelante a demandé au TAS d'inviter l'ECU à lancer une nouvelle procédure d'appel d'offres pour ces deux tournois et à désigner ensuite les deux fédérations retenues pour organiser ceux-ci. Dans son mémoire d'appel, la Fédération X._ a requis la nomination d'un expert indépendant qui serait chargé d'évaluer les candidatures déposées pour l'EYC et l'ESTC selon les critères fixés dans le Règlement afin de déterminer si l'évaluation faite par l'inspecteur C._ était défendable. Dans ce but, elle a soumis au TAS les noms de trois organisateurs professionnels de tournois d'échecs susceptibles d'effectuer ce travail.
Une Formation de trois membres a été constituée et les parties en ont été informées le 14 novembre 2011.
Par fax du 6 décembre 2011, une conseillère du TAS a communiqué aux conseils des parties l'information suivante:
"The parties are advised that having considered the Appellant's request for the appointment of an expert report and evaluation by an independant organiser, the Panel determines that no grounds have been put forward or established which justify the appointment of such an expert by the Panel. However, the parties are reminded tha they are free to nominate such experts and witness they deem necessary, pursuant to the provisions of Articles R44.2, R51 and R55 of the CAS Code."
Le 22 décembre 2011, le TAS a convoqué les parties à une audience fixée au 3 février 2012, en leur rappelant qu'elles devaient y amener les témoins ou experts éventuels annoncés dans leurs écritures.
En réponse à cette lettre, la Fédération X._ a indiqué les noms et adresses des quatre témoins dont elle requérait l'audition.
Le 27 janvier 2012, le TAS a rendu une ordonnance de procédure qui confirmait, sous chiffre 9, les termes de sa lettre du 22 décembre 2011. Les parties ont contresigné cette ordonnance.
A l'audience du 3 février 2012, la Fédération X._ a comparu avec ses quatre témoins, mais sans aucun expert. A l'issue de l'audience, les parties ont exprimé leur satisfaction quant au déroulement de celle-ci et n'ont formulé aucune remarque ou objection touchant la procédure.
Par sentence du 22 mars 2012, la Formation a rejeté l'appel dans la mesure où il était recevable.
C. Le 14 mai 2012, la Fédération X._ a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation de ladite sentence.
Dans sa réponse du 28 juin 2012, l'intimée a conclu au rejet du recours. Le TAS a pris la même conclusion dans sa réponse du 29 juin 2012.
Les parties ont maintenu leurs conclusions à l'occasion d'un second échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. D'après l'art. 54 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral rédige son arrêt dans une langue officielle, en règle générale dans la langue de la décision attaquée. Lorsque cette décision est rédigée dans une autre langue (ici l'anglais), le Tribunal fédéral utilise la langue officielle choisie par les parties. Devant le TAS, celles-ci ont utilisé l'anglais. Dans les mémoires adressés au Tribunal fédéral, elles ont employé, qui le français (la recourante), qui l'allemand (l'intimée). Conformément à sa pratique, le Tribunal fédéral adoptera la langue du recours et rendra, par conséquent, son arrêt en français.
2. Dans le domaine de l'arbitrage international, le recours en matière civile est recevable contre les décisions de tribunaux arbitraux aux conditions fixées par les art. 190 à 192 LDIP (art. 77 al. 1 LTF). Qu'il s'agisse de l'objet du recours, de la qualité pour recourir, du délai de recours, des conclusions prises par la recourante ou encore des motifs invoqués dans le mémoire de recours, aucune de ces conditions de recevabilité ne fait problème en l'espèce. Rien ne s'oppose donc à l'entrée en matière.
3. Dans un premier moyen, la recourante reproche au TAS d'avoir violé son droit d'être entendue, au sens de l'art. 190 al. 2 let. d LDIP, en refusant de mettre en oeuvre l'expertise requise par elle.
3.1 Le droit d'être entendu, tel qu'il est garanti par les art. 182 al. 3 et 190 al. 2 let. d LDIP, n'a en principe pas un contenu différent de celui consacré en droit constitutionnel (ATF 127 III 576 consid. 2c; 119 II 386 consid. 1b; 117 II 346 consid. 1a p. 347). Ainsi, il a été admis, dans le domaine de l'arbitrage, que chaque partie avait le droit de s'exprimer sur les faits essentiels pour le jugement, de présenter son argumentation juridique, de proposer ses moyens de preuve sur des faits pertinents et de prendre part aux séances du tribunal arbitral (ATF 127 III 576 consid. 2c; 116 II 639 consid. 4c p. 643).
S'agissant du droit de faire administrer des preuves, il faut qu'il ait été exercé en temps utile et selon les règles de forme applicables (ATF 119 II 386 consid. 1b p. 389). Le tribunal arbitral peut refuser d'administrer une preuve, sans violer le droit d'être entendu, si le moyen de preuve est inapte à fonder une conviction, si le fait à prouver est déjà établi, s'il est sans pertinence ou encore si le tribunal, en procédant à une appréciation anticipée des preuves, parvient à la conclusion que sa conviction est déjà faite et que le résultat de la mesure probatoire sollicitée ne peut plus la modifier (arrêt 4A_440/2010 du 7 janvier 2011 consid. 4.1). Le Tribunal fédéral ne peut revoir une appréciation anticipée des preuves, sauf sous l'angle extrêmement restreint de l'ordre public. Le droit d'être entendu ne permet pas d'exiger une mesure probatoire inapte à apporter la preuve (arrêt 4A_600/2010 du 17 mars 2011 consid. 4.1).
La partie qui s'estime victime d'une violation de son droit d'être entendue ou d'un autre vice de procédure doit l'invoquer d'emblée dans la procédure arbitrale, sous peine de forclusion. En effet, il est contraire à la bonne foi de n'invoquer un vice de procédure que dans le cadre du recours dirigé contre la sentence arbitrale, alors que le vice aurait pu être signalé en cours de procédure (arrêt 4A_150/2012 du 12 juillet 2012 consid. 4.1).
3.2 Considéré à la lumière de ces principes jurisprudentiels et sur le vu des arguments que lui opposent l'intimée et le TAS, le moyen soulevé par la recourante ne peut qu'être rejeté.
3.2.1 Sans doute la recourante critique-t-elle à juste titre deux arguments avancés par le TAS dans sa réponse au recours.
Le premier a trait au pouvoir, qualifié de "discrétionnaire", dont la Formation jouirait, en vertu de l'art. R44.3 du Code de l'arbitrage en matière de sport (ci-après: le Code), pour décider de commettre un expert, par opposition à une obligation qui lui serait faite de nommer un expert chaque fois qu'une partie le demande (réponse, n. 11). Il va sans dire que, si le TAS pouvait écarter ad libitum une requête, présentée en temps utile et dans les formes idoines, tendant à l'administration d'une expertise propre à prouver un fait pertinent et contesté, le droit d'être entendu de la partie requérante, garanti par les art. 182 al. 3 et 190 al. 2 let. d LDIP, s'en trouverait violé, quand bien même pareil pouvoir découlerait d'une interprétation correcte de la règle de procédure précitée.
Le second argument consiste dans l'assimilation que le TAS paraît vouloir faire entre une expertise judiciaire ordonnée par lui sur la base de l'art. R44.3 du Code, applicable à la procédure d'appel en vertu du renvoi de l'art. R57 du Code, et l'expertise privée, prévue à l'art. R.44.2 du Code, applicable par l'effet du même renvoi, qui consiste pour une partie à amener son ou ses experts à l'audience d'instruction orale (réponse n. 10). Contre une telle assimilation, la recourante fait valoir, avec raison, que les règles régissant ces deux types d'expertise sont très différentes et, surtout, que la force probante d'une expertise privée n'est pas comparable à celle d'une expertise judiciaire.
3.2.2 Ce nonobstant, le grief examiné ne saurait être admis. En effet, si elle s'estimait victime d'une violation de son droit d'être entendue, la recourante aurait dû relancer la Formation pendente lite et, singulièrement, lorsque celle-ci lui avait fait part, le 6 décembre 2011, de ce qu'elle ne voyait aucun motif susceptible de justifier la désignation d'un expert. Elle aurait dû s'opposer alors à la clôture de la procédure arbitrale en attirant l'attention des arbitres sur le fait qu'ils n'avaient pas ordonné l'expertise judiciaire requise et que semblable expertise ne pouvait pas être remplacée par la déposition d'un expert amené par elle à l'audience d'instruction à venir. Au lieu de quoi, la recourante n'a soulevé aucune objection ni formulé une quelconque remarque à ce propos entre la date précitée et celle de ladite audience (3 février 2012). Elle a même contresigné l'ordonnance de procédure du 27 janvier 2012 qui ne disait mot de l'expertise judiciaire requise. Enfin, elle n'a pas non plus émis de réserve à ce sujet au cours de l'audience du 3 février 2012. Il n'importe, à cet égard, qu'il n'existe pas de recours immédiat contre une décision incidente par laquelle le TAS refuse de désigner un expert, comme le souligne la recourante. La jurisprudence fédérale précitée n'en exige pas moins, sous peine de forclusion, que la partie intéressée attire l'attention de la Formation sur ce qu'elle considère être un vice de procédure et manifeste ainsi clairement son opposition à ce mode de faire dans l'espoir que son intervention amènera peut-être les arbitres à changer d'avis et à revenir sur la décision contestée qu'ils ont prise antérieurement. La recourante a préféré attendre de connaître l'issue du litige pour se plaindre, alors seulement, après avoir constaté qu'elle lui était défavorable, de la violation de son droit à la preuve, ce qui n'est pas admissible.
4. En second lieu, la recourante se plaint de la composition irrégulière du tribunal arbitral (art. 190 al. 2 let. a LDIP), subsidiairement de l'incompatibilité de la sentence avec l'ordre public procédural (art. 190 al. 2 let. e LDIP), du fait que le refus de mettre en oeuvre l'expertise requise par elle, qui lui a été notifié par le fax du 6 décembre 2011 précité, n'émanerait sans doute pas de la Formation, à l'en croire, mais, selon toute vraisemblance, du seul Greffe du TAS.
En argumentant ainsi, la recourante n'émet que des suppositions quant à l'auteur de l'ordonnance du 6 décembre 2011, lesquelles suppositions ne sauraient prévaloir contre le texte de cette ordonnance où il est question d'une décision prise par la Formation ("the Panel determines...").
Au demeurant, à supposer que la recourante dise vrai, elle n'en devrait pas moins se laisser opposer le fait qu'ayant pris connaissance du refus d'administrer l'expertise litigieuse, quel qu'en fût l'auteur, elle n'a pas fait le nécessaire pour tenter d'obtenir une décision inverse de la part de la Formation, initiative qu'elle aurait dû être d'autant plus encline à prendre qu'un tel refus, selon ses dires, pouvait lui avoir été signifié à l'insu des arbitres (cf. consid. 3.2.2 ci-dessus). Une éventuelle admission du second grief ne lui serait donc d'aucun secours.
5. Le présent recours doit ainsi être rejeté. Succombant, son auteur paiera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF); il versera, en outre, des dépens à son adverse partie (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal Arbitral du Sport (TAS).
Lausanne, le 19 septembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Carruzzo