Faits:
A. Par décision du 13 août 2007, le Service des automobiles et de la navigation du canton de Genève - devenu l'Office cantonal des automobiles et de la navigation (ci-après: l'Office cantonal) - a prononcé à l'encontre de X._ une interdiction de faire usage de son permis de conduire français sur territoire suisse, pour une durée d'un mois. Cette mesure sanctionnait un dépassement de 21 km/h de la vitesse maximale autorisée en localité, commis le 11 janvier 2007 à Vandoeuvres. Dans un courrier accompagnant sa décision, l'Office cantonal indiquait que l'interdiction précitée serait effective du 1er au 31 octobre 2007.
B. Le 31 octobre 2007 à 02h30, X._ a été interpellé par les gardes-frontière au poste de douane de Moillesullaz, alors qu'il s'apprêtait à quitter le territoire suisse au volant de sa voiture. L'intéressé a exposé lors de son audition par les gendarmes qu'il savait qu'une interdiction d'usage de son permis de conduire étranger sur le territoire helvétique avait été prononcée à son encontre, mais qu'il avait convenu par téléphone avec l'Office cantonal que l'exécution de la mesure serait avancée d'une semaine et qu'elle prendrait ainsi fin durant le week-end des 26 et 27 octobre 2007. Il n'a toutefois pas été en mesure de donner le nom de la personne avec laquelle il s'était entretenu au téléphone, ni de produire le téléfax confirmant sa demande d'avancement de l'exécution de la mesure. L'Office cantonal a de son côté indiqué n'avoir reçu aucun courrier de X._ demandant de décaler l'exécution de la mesure; celle-ci était donc maintenue du 1er au 31 octobre 2007.
Par ordonnance de condamnation du 5 février 2008, le Procureur général du canton de Genève (ci-après: le Procureur général) a condamné X._ à une peine pécuniaire de vingt jours-amende avec sursis durant trois ans, ainsi qu'à une amende de 2'700 fr., pour avoir conduit un véhicule automobile alors que l'usage du permis de conduire lui avait été interdit (art. 95 ch. 2 de la loi fédérale du 19 décembre 1958 sur la circulation routière [LCR; RS 741.01]). Cette décision est entrée en force.
C. Le 8 février 2008, l'Office cantonal a prononcé à l'encontre de X._ une interdiction de faire usage de son permis de conduire étranger sur le territoire suisse pendant une durée de six mois. Fondée sur l'art. 16c LCR, cette interdiction sanctionnait l'infraction commise le 31 octobre 2007.
X._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal administratif du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif), qui a rejeté le recours par arrêt du 1er décembre 2009. Cette autorité a considéré en substance que X._, qui ne contestait pas le déroulement des faits, n'était pas parvenu à prouver qu'il avait agi sur la base d'une appréciation erronée des faits au sens de l'art. 13 al. 1 CP. La durée de l'interdiction d'usage du permis de conduire correspondait de surcroît au minimum légal de sorte qu'elle ne pouvait pas être réduite.
D. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt et de l'exempter de toute peine. Il requiert en outre l'octroi de l'effet suspensif. Il se plaint d'une constatation inexacte des faits et d'une violation des art. 13 al. 1 CP et 100 ch. 1 al. 2 LCR. L'Office cantonal ne s'est pas déterminé. Le Tribunal administratif se réfère à son arrêt. Invité à se déterminer, l'Office fédéral des routes a présenté des observations, au terme desquelles il conclut au rejet du recours. X._ n'a pas présenté d'observations complémentaires dans le délai imparti à cet effet.
E. Par ordonnance du 22 février 2010, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.
Considérant en droit:
1. Dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) confirmant une mesure administrative en matière de permis de conduire (art. 82 let. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions mentionnées à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. Le recourant est particulièrement touché par la décision attaquée, qui lui interdit de faire usage de son permis de conduire étranger sur le territoire suisse durant six mois; il a donc un intérêt digne de protection à obtenir son annulation, si bien qu'il a la qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Les autres conditions de recevabilité sont réunies, de sorte qu'il convient d'entrer en matière.
2. Dans la première partie de son écriture, le recourant entreprend de présenter son propre exposé des faits qu'il juge pertinents. Il perd ainsi de vue que le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer l'établissement des faits, susceptibles d'avoir une influence déterminante sur l'issue de la procédure, que si ceux-ci ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 97 al. 1 LTF; ATF 135 II 145 consid. 8.1 p. 153; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références citées; pour une définition de l'arbitraire cf. ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4; 134 I 263 consid. 3.1 p. 265 s.; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153). Il appartient au recourant de démontrer cette violation, par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF. Or, le recourant se borne en l'occurrence à rappeler des faits allégués devant le Tribunal administratif, sans démontrer en quoi il était arbitraire de ne pas les tenir pour avérés. En particulier, il ne produit aucune preuve à l'appui de sa thèse selon laquelle il aurait tenté de prendre contact avec l'Office cantonal pour décaler l'exécution de la mesure. Dans ces conditions, il y a lieu de considérer que le Tribunal administratif n'a pas fait preuve d'arbitraire en écartant la version des faits présentée par le recourant, de sorte qu'il convient de s'en tenir à l'état de fait retenu par l'arrêt attaqué.
3. Le recourant soutient qu'il a agi sous l'emprise d'une erreur sur les faits au sens de l'art. 13 CP, ce qui justifierait de renoncer à toute mesure à son encontre. Il expose en particulier qu'il avait des raisons valables de croire qu'il n'était plus sous le coup d'une interdiction de conduire sur le territoire suisse le 31 octobre 2007.
3.1 Les autorités administratives appelées à prononcer un retrait du permis de conduire ne peuvent s'écarter des constations de fait d'un jugement pénal entré en force qu'à certaines conditions, en particulier si des éléments de fait n'ont pas été pris en considération, s'il existe des preuves nouvelles ou si l'appréciation à laquelle s'est livré le juge pénal se heurte clairement aux faits constatés (ATF 123 II 97 consid. 3c/aa p. 104; 119 Ib 158 consid. 3c/aa p. 164 et les références). C'est sous cet angle qu'il y a lieu d'examiner si le recourant pourrait se prévaloir d'une erreur sur les faits au sens de l'art. 13 al. 1 CP. Selon cette disposition, quiconque agit sous l'influence d'une appréciation erronée des faits est jugé d'après cette appréciation si elle lui est favorable. Agit sous l'emprise d'une erreur sur les faits, celui qui n'a pas connaissance ou qui se base sur une appréciation erronée d'un élément constitutif d'une infraction pénale. L'intention délictuelle fait alors défaut (ATF 129 IV 238 consid. 3.1 p. 240 et 3.2 p. 240 s. et les références citées).
3.2 Le non-respect de la période d'exécution de la mesure d'interdiction de faire usage du permis de conduire en Suisse fait partie des éléments constitutifs de l'infraction. Il n'est pas contesté que l'Office cantonal a bien communiqué au recourant que l'exécution de la mesure était fixée du 1er au 31 octobre 2007. L'intéressé admet qu'il a eu connaissance de ce fait mais il prétend avoir demandé à avancer l'exécution de la mesure. Il n'a toutefois fourni aucun élément indiquant qu'il avait des raisons suffisantes d'estimer que l'exécution de la mesure avait été avancée et il ne produit aucune preuve nouvelle qui permettrait de s'écarter de l'appréciation du juge pénal sur ce point. Partant, il n'est pas établi que le recourant a agi sous l'emprise d'une appréciation erronée de la situation, si bien que l'art. 13 al. 1 CP n'est pas applicable en l'espèce. Il s'ensuit que ce grief doit être rejeté.
4. Invoquant l'art. 100 ch. 1 al. 2 LCR, le recourant allègue qu'il aurait dû être exempté de toute peine car l'infraction dont il s'est rendu coupable était très légère.
4.1 La disposition dont le recourant se prévaut s'applique aux sanctions pénales prévues par la LCR. Or, la sanction pénale fait l'objet de l'ordonnance de condamnation du 5 février 2008, qui est entrée en force. La présente procédure ne porte que sur la sanction administrative au sens des art. 16 ss LCR. A la lecture du grief, on comprend cependant que le recourant soutient implicitement que l'infraction devrait être qualifiée de particulièrement légère, de sorte qu'il faudrait renoncer à toute mesure administrative (art. 16a al. 4 LCR).
4.2 A teneur de l'art. 45 al. 1 de l'ordonnance du 27 octobre 1976 réglant l'admission des personnes et des véhicules à la circulation routière (OAC; RS 741.51), l'usage du permis étranger peut être interdit en vertu des dispositions qui s'appliquent au retrait de permis de conduire suisse, à savoir les art. 16 ss LCR. Conformément à l'art. 16c al. 1 let. f LCR, la personne qui conduit un véhicule automobile alors que le permis de conduire lui est retiré commet une infraction grave. En l'espèce, le recourant a conduit en Suisse le 31 octobre 2007 alors qu'il était sous le coup d'une mesure d'interdiction de faire usage de son permis de conduire étranger sur territoire helvétique. Il s'agit donc d'une infraction grave au sens de la loi, de sorte qu'une exemption de peine prévue pour les infractions particulièrement légères (art. 16a al. 4 LCR) n'entre pas en ligne de compte.
5. Enfin, le recourant se prévaut de sa bonne foi et fait valoir qu'il dispose d'une très bonne réputation en tant que conducteur et qu'une interdiction de conduire en Suisse durant six mois aurait de graves conséquences pour lui et ses employés.
5.1 En vertu de l'art. 16c al. 2 let. b LCR, le permis d'élève conducteur ou le permis de conduire est retiré pour six mois au minimum si, au cours des cinq années précédentes, le permis a été retiré une fois en raison d'une infraction moyennement grave. En l'occurrence, le recourant subissait une mesure d'interdiction d'usage du permis de conduire prononcée le 13 août 2007, qui sanctionnait un dépassement de 21 km/h de la vitesse autorisée dans une localité, soit une infraction moyennement grave selon la jurisprudence (ATF 126 II 196 consid. 2a p. 199; arrêt 1C_526/2009 du 25 mars 2010 consid. 3.1 et les références citées). Cette infraction ayant été commise dans les cinq ans précédant l'infraction du 31 octobre 2007, l'application de l'art. 16c al. 2 let. b LCR entraîne un retrait de permis - respectivement une interdiction de faire usage du permis de conduire étranger en Suisse - pour une durée minimale de six mois (cf. arrêt 1C_275/2007 du 16 mai 2008 consid. 4.3.2).
5.2 Conformément à l'art. 16 al. 3 LCR, si des circonstances telles que la gravité de la faute, les antécédents ou la nécessité professionnelle de conduire un véhicule automobile doivent être prises en compte pour fixer la durée du retrait, la durée minimale ne peut pas être réduite. La règle de l'art. 16 al. 3 LCR, qui rend incompressibles les durées minimales de retrait des permis de conduire, a été introduite dans la loi par souci d'uniformité. Le législateur a ainsi entendu exclure expressément la possibilité ouverte par la jurisprudence sous l'ancien droit de réduire la durée minimale de retrait en présence de circonstances particulières, notamment en faveur de conducteurs professionnels (Message du Conseil fédéral concernant la modification de la loi fédérale sur la circulation routière du 31 mars 1999, FF 1999 4131; ATF 135 II 334 consid. 2.2 p. 336; 132 II 234 consid. 2.3 p. 236 s. et les références citées).
Il découle de ce qui précède que l'interdiction signifiée au recourant de faire usage de son permis de conduire français durant six mois sur le territoire suisse correspond à la durée minimale incompressible. Il n'est dès lors pas possible de tenir compte de la bonne réputation de conducteur du recourant ou de ses besoins professionnels, de sorte que ce dernier grief doit lui aussi être rejeté.
6. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'Office cantonal des automobiles et de la navigation et au Tribunal administratif du canton de Genève, ainsi qu'à l'Office fédéral des routes.
Lausanne, le 12 juillet 2010
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Féraud Rittener