Faits :
A.
Le 18 janvier 2009, A._, aide-menuisier à la Menuiserie C._ SA, a subi un accident de circulation sur l'autoroute. La voiture qui le précédait et dont le conducteur avait perdu la maîtrise lui a coupé la route. Malgré une manoeuvre d'évitement, la voiture de A._ a été percutée latéralement. Deux jours après l'accident, celui-ci a ressenti des douleurs à la nuque associées à des brachialgies avec des paresthésies qui l'ont amené à consulter le docteur B._ le 13 février 2009. Ce médecin a constaté des contractures et procédé à des manipulations manuelles. Il a prescrit un traitement médicamenteux, mais pas d'incapacité de travail. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), auprès de laquelle l'intéressé est assuré, a pris en charge le cas.
L'assuré a encore consulté le docteur B._ en mars, puis en juillet 2009. Des séances de physiothérapie lui ont été prescrites en automne. Les résultats des radiographies de sa colonne cervicale ont été jugés normaux, hormis une rectitude antalgique.
Vu l'absence d'amélioration durable des symptômes, A._ a été examiné le 15 avril 2010 par le docteur D._, médecin d'arrondissement de la CNA. Celui-ci a observé une mobilité et un status neurologique normal. Il a proposé trois séances supplémentaires chez le docteur B._ pour réduire la contracture du trapèze droit. Sur cette base, la CNA a clos le dossier au 30 avril 2010. L'assuré s'y est opposé, demandant une instruction plus approfondie. Il a produit plusieurs rapports médicaux (des docteurs B._ et E._).
La CNA a alors chargé le docteur F._, neurologue, de se prononcer. Dans son rapport du 5 janvier 2012, ce médecin a évoqué un syndrome cervical post-traumatique et éventuellement une pathologie articulaire de l'épaule. La CNA a également soumis le dossier au docteur G._, de sa division de médecine des assurances, lequel a retenu que l'accident avait selon toute vraisemblance largement cessé de déployer ses effets une année après sa survenance; cet événement n'avait en effet occasionné aucune lésion structurelle majeure permettant d'expliquer la persistance durable et la chronification des troubles douloureux (appréciation du 24 janvier 2012).
Par décision du 30 janvier 2012, confirmée sur opposition le 20 mars 2012, la CNA a informé l'assuré qu'elle mettait fin aux prestations avec effet au 30 avril 2010, à défaut d'un lien de causalité entre les troubles et l'accident.
B.
Par jugement du 14 avril 2014, la Ie Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal fribourgeois a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition de la CNA.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, dont il requiert l'annulation. Sous suite de frais et dépens, il conclut, principalement, au versement par la CNA des prestations d'assurance au-delà du 30 avril 2010; subsidiairement, au renvoi de la cause au tribunal cantonal pour mise en oeuvre d'une expertise judiciaire. Il sollicite également l'effet suspensif.
La CNA conclut au rejet du recours. Pour sa part, l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Est litigieux le maintien éventuel du droit du recourant à des prestations d'assurance au-delà du 30 avril 2010 pour les troubles à la nuque persistant après cette date.
Dès lors que ces troubles n'entraînent aucune incapacité de travail, la contestation porte uniquement sur la poursuite du traitement médical. Il s'agit d'une prestation en nature de l'assurance-accidents, si bien que le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait de l'instance précédente et ne peut s'en écarter qu'en cas de constatation manifestement inexacte ou effectuée en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 97 al. 1, art. 105 al. 1 et art. 105 al. 2 LTF).
2.
Aux termes de l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni aucune preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Le rapport du docteur H._ du 27 mai 2014, produit par le recourant en annexe de son recours fédéral, n'a pas été versé à la procédure cantonale. Par conséquent, ce document ne peut pas être pris en considération par la Cour de céans.
3.
Le jugement entrepris cite correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables en l'espèce - notamment en ce qui concerne l'exigence d'un lien de causalité naturelle entre l'atteinte à la santé et l'événement accidentel pour fonder un droit aux prestations -, de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
4.
4.1. Le recourant fait grief à la juridiction cantonale d'avoir suivi l'avis des médecins de la CNA et écarté ceux des docteurs B._, E._ et F._ qui ont pourtant tous les trois conclu à des cervicalgies post-traumatiques. Il estime que, dans la mesure où aucun d'entre eux n'a attribué ses douleurs à un état antérieur, ou déclaré que celles-ci sont disproportionnées aux circonstances de l'accident, ou encore constaté qu'elles ont été déclenchées par un état latent mais préexistant à l'événement accidentel, la CNA est tenue de prendre en charge le traitement demandé ou sinon d'ordonner une expertise.
4.2. On rappellera tout d'abord que, dans le contexte de la suppression du droit à des prestations, la règle selon laquelle le fardeau de la preuve appartient à la partie qui invoque la suppression du droit (RAMA 2000 n° U 363 p. 46 consid. 2 et la référence), entre seulement en considération s'il n'est pas possible, dans le cadre du principe inquisitoire, d'établir sur la base d'une appréciation des preuves un état de fait qui au degré de vraisemblance prépondérante corresponde à la réalité (ATF 117 V 264 consid. 3b et les références). La preuve de la disparition du lien de causalité naturelle ne doit pas être apportée par la preuve de facteurs étrangers à l'accident. Il est encore moins question d'exiger de l'assureur-accidents la preuve négative, qu'aucune atteinte à la santé ne subsiste plus ou que la personne assurée est dorénavant en parfaite santé. Est seul décisif le point de savoir si les causes accidentelles d'une atteinte à la santé ne jouent plus de rôle et doivent ainsi être considérées comme ayant disparu (cf. arrêt 8C_86/ 2009 du 17 juin 2009 consid. 4).
4.3. En l'occurrence, on ne voit pas que l'appréciation des preuves à laquelle ont procédé les premiers juges soit manifestement inexacte ou insoutenable. Il est établi que le recourant n'a pas subi de lésion structurelle ou neurologique, ni de blocage cervical aigu, à la suite de l'accident assuré. Cette constatation est unanimement partagée par tous les médecins consultés. Mis à part la persistance d'une douleur à la palpation profonde du trapèze et une discrète contracture des muscles sous-occipitaux droits, l'état du recourant est décrit sans pathologies identifiables, en particulier aussi sans limitation fonctionnelle du rachis cervico-dorsal ou de l'épaule droite (voir notamment le rapport du docteur E._, rhumatologue, du 9 décembre 2010). Certes, les médecins traitants, de même que le docteur F._, qualifient les douleurs dont il se plaint de cervicalgies "post-traumatiques". A la lecture de leurs considérations médicales, on doit toutefois constater que l'argument principal mis en avant est le fait que les douleurs sont apparues après l'accident et qu'elles n'ont pas entièrement disparu depuis malgré les traitements entrepris. On ne saurait cependant retenir la nature post-traumatique de la symptomatologie sur la base de ce seul élément (voir aussi l'arrêt 8C_400/2014 du 21 juillet 2014 consid. 3.2). Cela revient en effet à se fonder sur le principe post hoc ergo propter hoc lequel ne permet pas d'établir l'existence d'un lien de causalité naturelle (ATF 119 V 335 consid 2b/ bb p. 341 s.). En l'absence d'autres éléments médicaux objectifs propres à mettre en doute la fiabilité des conclusions des médecins de la CNA, selon lesquelles l'effet délétère de l'accident est à considérer comme éteint une année après sa survenance, la juridiction cantonale pouvait s'en tenir à celles-ci et renoncer à ordonner un complément d'instruction médicale (cf. ATF 135 V 465 consid. 4.7 p. 471).
Il s'ensuit que le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours doit être rejeté.
5.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). La requête d'effet suspensif est sans d'objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal fribourgeois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 31 mars 2015
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Leuzinger
La Greffière : von Zwehl