Sachverhalt:
A. Auf Begehren der X._ Limited erliess die Arrestrichterin des Bezirks Zürich am 2. Juli 2010 gestützt auf Art. 271 Abs. 1 Ziff. 4 SchKG für eine Forderung von Fr. 4'226'240.-- nebst Zinsen einen Arrestbefehl gegen die Z._ Limited mit Sitz in A._/British Virgin Islands. Der Arrestbefehl erfasste sämtliche gegenüber der Y._ AG in Zürich bestehenden Bankguthaben der Arrestschuldnerin bis zur Deckung der Arrestforderung samt Zinsen und Kosten. Das Betreibungsamt Zürich 1 vollzog den Arrest (Nr. ...) am 13. Juli 2010 und gab in der Arresturkunde vom 19. Juli 2010 den Wert der Arrestgegenstände provisorisch mit "Fr. 1.--" an.
B. Gegen den Arrestvollzug gelangte die X._ Limited an das Bezirksgericht Zürich als untere Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen und verlangte, das Betreibungsamt sei anzuweisen, von der Bank unter Strafandrohung Auskunft über die Höhe sämtlicher Bankguthaben der Arrestschuldnerin zu verlangen. Die untere Aufsichtsbehörde wies die Beschwerde mit Beschluss vom 23. August 2010 ab. Hiergegen erhob die X._ Limited Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, welche mit Beschluss vom 9. September 2010 abgewiesen wurde.
C. Die X._ Limited führt mit Eingabe vom 23. September 2010 Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführerin beantragt dem Bundesgericht, den Entscheid der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde vom 9. September 2010 aufzuheben und das Betreibungsamt Zürich 1 anzuweisen, von der Bank Y._ AG unter Strafandrohung (Art. 324 Ziff. 5 StGB) Auskunft über die Höhe sämtlicher Bankguthaben der Z._ Limited zu verlangen.
Es sind keine Vernehmlassungen eingeholt worden.
Erwägungen:
1. 1.1 Entscheide in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG). Beschwerdeentscheide der kantonalen Aufsichtsbehörden über eine Verfügung eines Vollstreckungsorganes gemäss Art. 17 SchKG - wie der Arrestvollzug (Art. 275 SchKG) und die Aufforderung des Betreibungsamtes zur Angabe von Vermögenswerten (BGE 117 III 61 ff.; 125 III 391 ff.) - stellen einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG dar (BGE 133 III 350 E. 1.2 S. 351). Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig und die Eingabe des Beschwerdeführers ist als solche zu behandeln.
1.2 Der Vollzug des Arrestes durch das Betreibungsamt (Art. 275 SchKG), welcher die Pflichten des Schuldners und Dritter nach Art. 91 SchKG beinhaltet, stellt einen materiellen Akt der Zwangsvollstreckung dar, welcher als solcher nicht vorläufig und daher keine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 98 BGG ist (Urteil 5A_360/2010 E. 1.2, nicht publ. in BGE 136 III 379; Urteil 5A_515/2009 E. 1.2, nicht publ. in BGE 135 III 663; je mit Hinw.). Die Beschwerdegründe sind daher - anders als bei Beschwerden gegen den Arrestbefehl (BGE 133 III 589 E. 1 S. 590) - nicht beschränkt und es kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG).
1.3 In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG).
2. Die obere Aufsichtsbehörde hat im Wesentlichen festgehalten, dass nach gefestigter bundesgerichtlicher Praxis erst nach Ablauf der Einsprachefrist bzw. der rechtskräftigen Erledigung der Arresteinsprache eine Auskunftspflicht des Drittschuldners besteht. Das Vorgehen des Betreibungsamtes sei daher nicht zu beanstanden und der Arrestvollzug zu bestätigen. Daran vermöge die Kritik der Beschwerdeführerin, auf welche die Vorinstanz in einzelnen Punkten mit Hinweis auf die Gründe für die massgebende Praxis eingegangen ist, nichts zu ändern.
3. Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt ein Entscheid über den Zeitpunkt der Auskunftspflicht Dritter beim Arrestvollzug. Nach dem Sachverhalt im kantonalen Entscheid steht nicht in Frage, dass weder die Frist zur Einsprache (Art. 278 SchKG) gegen den Arrestbefehl abgelaufen noch eine allenfalls erhobene Arresteinsprache rechtskräftig erledigt worden ist.
3.1 Die Beschwerdeführerin stellt im Wesentlichen BGE 125 III 391 ff. in Frage. Sie macht geltend, Dritte - hier eine Bank - seien bereits nach dem Arrestvollzug unter Strafandrohung (Art. 324 Ziff. 5 StGB) zur Auskunft über Vermögenswerte des Arrestschuldners verpflichtet, und übernimmt die in der Lehre geäusserte Kritik (insbesondere mit Hinweis auf DANIEL SCHWANDER, Die Auskunftspflicht Dritter - namentlich der Banken - im Arrestverfahren, in: Festschrift Spühler 2004, S. 330 ff.).
3.2 Im erwähnten Urteil hat das Bundesgericht entschieden, dass die Auskunftspflicht des Dritten, der Gewahrsam an den Arrestgegegenständen ausübt, erst mit Ablauf der Einsprachefrist des Art 278 SchKG und, wenn Einsprache erhoben worden ist, erst mit dem Eintritt der Rechtskraft des Einspracheentscheides, entsteht. Die - unter Hinweis auf die damals unterschiedlichen Lehrmeinungen - getroffene Lösung wurde in BGE 131 III 660 (E. 4.4 S. 664) sowie durch die weitere nicht amtlich publizierte Praxis bestätigt. Im zuletzt ergangenen Urteil 5A_761/2009 vom 12. Januar 2010 (E. 3), auf welche auch die Vorinstanz hinweist, wird festgehalten, dass der Leitentscheid aus dem Jahre 1999 in der Lehre (unter Hinweis auf die gegensätzlichen, einschliesslich den von der Beschwerdeführerin zitierten Meinungen), nicht bloss auf Kritik, sondern mehrheitlich auf Zustimmung gestossen ist; das Bundesgericht hat keinen Anlass gesehen, um die eingeschlagene Praxis zu ändern. Die Beschwerdeführerin bringt kein entscheidendes Argument vor, welches rechtfertigen würde, die von ihr kritisierte Rechtsprechung einer erneuten Prüfung zu unterziehen. Wenn die obere Aufsichtsbehörde das Vorgehen des Betreibungsamtes beim Arrestvollzug geschützt hat, ist dies nicht zu beanstanden.
4. Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde, soweit sie den Anforderungen nach Art. 42 Abs. 2 BGG genügt, unbegründet und muss diese abgewiesen werden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 7'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante