Sachverhalt:
A. Die 1960 geborene K._ war als Betriebsmitarbeiterin in der Firma P._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als sie am 25. August 2007 einen Verkehrsunfall erlitt. Der von ihr gelenkte Personenwagen geriet auf der Überholspur der Autobahn wegen Luftverlusts an einem Pneu ins Schleudern, streifte einen auf der Normalspur fahrenden Lieferwagen, geriet auf den Pannenstreifen und prallte gegen die rechtsseitige Leitplanke. K._ wurde ins Kantonsspital X._ überführt, welches sie anderntags wieder verlassen konnte. Im Austrittsbericht des Spitals vom 3. September 2007 wurden namentlich eine Flanken- und Thoraxkontusion links und ein Distorsionstrauma der Halswirbelsäule (HWS) bei bekannter Diskopathie im oberen und unteren Bereich der Lendenwirbelsäule (LWS), mit Status nach Diskushernie L4/L5 vor Jahren, diagnostiziert und eine Arbeitsunfähigkeit bestätigt. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 13. Februar 2009 schloss sie den Fall auf den 28. Februar 2009 ab und verneinte einen Anspruch auf Leistungen (Heilbehandlung, Taggeld, Invalidenrente, Integritätsentschädigung) über diesen Zeitpunkt hinaus mit der Begründung, es fehle am adäquaten Kausalzusammenhang zwischen den noch geklagten Beschwerden und dem Unfall vom 25. August 2007. Daran hielt die SUVA auf Einsprache der Versicherten mit Entscheid vom 28. Oktober 2009 fest.
B. K._ erhob Beschwerde mit dem hauptsächlichen Rechtsbegehren, in Aufhebung des Einspracheentscheides sei die SUVA zu verpflichten, über den 28. Februar 2009 hinaus die gesetzlichen Leistungen zu erbringen; insbesondere seien weitere Heilbehandlungs- und Taggeldleistungen zuzusprechen sowie Langzeitansprüche wie Rente und Integritätsentschädigung zu prüfen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden gewährte K._ die unentgeltliche Verbeiständung und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 4. Mai 2010 ab.
C. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt K._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids beantragen und ihre vorinstanzlichen Leistungsbegehren erneuern. Zudem wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die SUVA schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (Urteil 8C_934/2008 vom 17. März 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 194, aber in: SVR 2009 UV Nr. 35 S. 120).
Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2. Streitig und zu prüfen ist, ob die Beschwerdeführerin aus dem Unfall vom 25. August 2007 über den 28. Februar 2009 hinaus Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung hat.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im angefochtenen Entscheid, auf den verwiesen wird, zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die zu beachtenden kausal- und beweisrechtlichen Grundsätze.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181). Dabei spielt im Sozialversicherungsrecht die Adäquanz als rechtliche Eingrenzung der sich aus dem natürlichen Kausalzusammenhang ergebenden Haftung des Unfallversicherers im Bereich organisch objektiv ausgewiesener Unfallfolgen praktisch keine Rolle, da sich hier die adäquate weitgehend mit der natürlichen Kausalität deckt. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier ist bei der Beurteilung der Adäquanz vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Nach der für psychische Fehlentwicklungen nach Unfall erarbeiteten sog. Psycho-Praxis (BGE 115 V 133) werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft, während nach der bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen anwendbaren sog. Schleudertrauma-Praxis auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
3. Das kantonale Gericht hat erkannt, dass sich die noch bestehenden Beschwerden nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls vom 25. August 2007 erklären lassen.
Diese Beurteilung ist letztinstanzlich nicht mehr umstritten und gibt nach Lage der Akten keinen Anlass zu Weiterungen.
4. Die Vorinstanz hat sodann den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den noch bestehenden Beschwerden geprüft. Sie ist hiebei - wie schon der Unfallversicherer - nach der Psycho-Praxis vorgegangen. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei die Schleudertrauma-Praxis anzuwenden.
Welche dieser Auffassung zutrifft, muss nicht abschliessend beurteilt werden, wenn der adäquate Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und den Beschwerden selbst nach der Schleudertrauma-Rechtsprechung zu verneinen ist. Trifft dies zu, was nachfolgend geprüft wird, erübrigt sich auch, weiter auf die Frage der natürlichen Unfallkausalität einzugehen (vgl. BGE 135 V 465 E. 5.1 S. 472).
4.1 Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126; SVR 2010 UV Nr. 3 S. 11, 8C_283/2009 E. 9.1 Ingress, auch zum Folgenden). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2/07 E. 5.3.1).
4.1.1 Das kantonale Gericht hat das Ereignis vom 25. August 2007 bei den mittelschweren Unfällen und dort nicht an der Grenze zu den schweren Unfällen eingestuft. Ob eher ein Unfall im mittleren Bereich der mittelschweren Unfälle oder aber ein Grenzfall zu den leichten Unfällen vorliegt, hat die Vorinstanz offen gelassen.
Nach Auffassung der Beschwerdeführerin liegt mindestens ein mittelschwerer Unfall im engeren Sinn, wenn nicht gar im Grenzbereich zu den schweren Unfällen vor.
4.1.2 Letzteres ist mit der Vorinstanz zu verneinen. Als Unfälle mit diesem Schweregrad hat die Praxis regelmässig Ereignisse eingestuft, welche mit wesentlichen höheren Krafteinwirkungen verbunden waren. Zu erwähnen sind nebst den im angefochtenen Entscheid genannten Präjudizien etwa (vgl. hiezu die Zusammenstellung im Urteil 8C_786/2009 vom 4. Januar 2010 E. 4.6.2): die Kollision eines Lastwagens mit einem Personenwagen auf der Autobahn, worauf dieser zuerst mit der rechten, anschliessend mit der linken Tunnelwand kollidierte und die Windschutzscheibe durch heftigen Kopfanprall der versicherten Person barst; der Personenwagen mit der versicherten Person geriet auf der Überholspur der Autobahn bei einer Geschwindigkeit von etwa 130 km/h plötzlich ins Schleudern, überquerte die Normalspur und den Pannenstreifen, kollidierte mit der Böschung, worauf sich das Fahrzeug überschlug, auf die Überholspur zurückgeschleudert wurde und auf den Rädern stehend zum Stillstand kam. Demgegenüber wurden als mittelschwere Unfälle im engeren Sinn Ereignisse qualifiziert, bei welchen das Fahrzeug mit der versicherten Person bei einem Überholmanöver mit ca. 100 km/h abrupt abgebremst wurde, dabei ins Schleudern geriet, gegen einen Strassenwall prallte, sich überschlug und auf der Fahrerseite zu liegen kam; einen Lastwagen beim Überholen touchierte und sich überschlug, von der Strasse abkam und sich überschlug; auf der Autobahn in einer Kurve ins Schleudern geriet, sich überschlug und auf dem Dach liegend zum Stillstand kam; sich bei einer Geschwindigkeit von ca. 90 km/h auf einer Autobahn über eine Mittelleitplanke hinweg überschlug - wobei die versicherte Person hinausgeschleudert wurde - und mit Totalschaden auf der Gegenfahrbahn auf dem Dach zu liegen kam oder - dieser Sachverhalt lag dem erwähnten Urteil 8C_786/2009 E. 4.6.2 zugrunde - mit einer Geschwindigkeit von ca. 90 km/h frontal in einen stehenden Personenwagen prallte.
Die von der Versicherten erwähnten drei Urteile des Bundesgerichts gestatten keine andere Betrachtungsweise. Bei dem im Urteil 8C_257/2008 vom 4. September 2008 beurteilten Unfall - dieser gehört zu den zuvor erwähnten, im Urteil 8C_786/2009 aufgeführten Beispielen - zeugen mehrere Faktoren (Kollision mit einem Lastwagen; heftiger Kopfanprall auf die Windschutzscheibe) von den höheren Krafteinwirkungen. Im Urteil 8C_633/2007 vom 7. Mai 2008 war über eine Zweifachkollision zu befinden, welche mit jeweils erheblichen unfallbedingten Geschwindigkeitsveränderungen und massiven Krafteinwirkungen verbunden war, wofür auch die erheblichen Beschädigungen am Personenwagen mit der versicherten Person und an einem weiteren unfallbeteiligten Fahrzeug sprachen. Gegenstand des Urteils 8C_129/2009 vom 15. September 2009 bildete ein Unfall, bei welchem ein anderes Fahrzeug seitlich-frontal in den Personenwagen mit der versicherten Person prallte, welcher dadurch eine ausgsprochen hohe Geschwindigkeitsänderung erfuhr, sich um die eigene Achse drehte und schliesslich von der Strasse geschleudert wurde. Diese Unfälle unterscheiden sich bezüglich Krafteinwirkungen von dem hier zur Diskussion stehenden Ereignis.
4.2 Bei der gegebenen Unfallschwere müssten von den weiteren massgeblichen Kriterien (gemäss BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130: besonders dramatische Begleitumstände oder besondere Eindrücklichkeit des Unfalls; Schwere oder besondere Art der erlittenen Verletzungen; fortgesetzt spezifische, belastende ärztliche Behandlung; erhebliche Beschwerden; ärztliche Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert; schwieriger Heilungsverlauf und erhebliche Komplikationen; erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen) für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f. mit Hinweis).
Die Beschwerdeführerin vertritt die Auffassung, fünf dieser Zusatzkriterien seien gegeben. Sie macht sodann geltend, ein Teil dieser Kriterien sei sogar in besonders ausgeprägter Weise erfüllt, ohne aber zu erwähnen, um welche es sich hiebei handeln soll.
Im Einzelnen ergibt sich Folgendes:
4.2.1 Zu Recht nicht geltend gemacht werden die Kriterien der ärztlichen Fehlbehandlung sowie des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen.
4.2.2 Ob besonders dramatische Begleitumstände oder eine besondere Eindrücklichkeit des Unfalls vorliegen, beurteilt sich objektiv und nicht aufgrund des subjektiven Empfindens bzw. Angstgefühls der versicherten Person. Zu beachten ist, dass jedem mindestens mittelschweren Unfall eine gewisse Eindrücklichkeit eigen ist, welche somit noch nicht für eine Bejahung des Kriteriums ausreichen kann (aus jüngster Zeit: Urteil 8C_277/2010 vom 24. September 2010 E. 9).
Dem Verkehrsunfall vom 25. August 2007 ist zwar eine gewisse Eindrücklichkeit nicht abzusprechen. Diese war aber im Lichte der Rechtsprechung zu diesem Kriterium (vgl. erwähntes Urteil 8C_786/2009 E. 5.2 mit Hinweisen) nicht in einer Weise besonders oder von dramatischen Umständen begleitet, dass dies die Bejahung des Kriteriums gestatten könnte. Entgegen der dramatisierenden Unfallschilderung in der Beschwerde liegen namentlich auch keine Anhaltspunkte dafür vor, dass der Personenwagen jäh - und mithin völlig unerwartet - ausser Kontrolle geriet. Die Versicherte gab vielmehr an, das Fahrzeug habe plötzlich hinten links zu vibrieren begonnen und sei kurz darauf ins Schleudern geraten (Polizeiprotokoll vom 30. August 2007). Soweit in der Beschwerde überdies geltend gemacht wird, der Personenwagen der Versicherten sei mit einem Lieferwagen kollidiert, ist festzuhalten, dass es sich dabei lediglich um eine Streifkollision gehandelt hat, bei welcher der Lieferwagen nur sehr geringe Schäden erlitt (erwähntes Polizeiprotokoll mit Fotodokumentation). Das relativiert die geltend gemachte Eindrücklichkeit des Ereignisses ebenfalls.
Die von der Versicherten erwähnten Präjudizien führen zu keinem anderen Ergebnis: Das ergibt sich ohne weiteres bezüglich des bereits erwähnten Urteils 8C_129/2009 (E. 4.1 hievor), da dort, entgegen der vorliegend von der Beschwerdeführerin vertretenen Auffassung, das Kriterium der Eindrücklichkeit nicht bejaht wurde, sondern gar keiner Prüfung bedurfte (besagtes Urteil E. 5.3). Der Unfall, über welchen im ebenfalls bereits genannten Urteil 8C_257/2008 (E. 4.1 hievor) befunden wurde, war deutlich eindrücklicher als der vorliegende, indem das Fahrzeug mit der versicherten Person in einem Tunnel mit einem Lastwagen kollidierte und anschliessend mehrfach gegen die Tunnelwände prallte. Zudem stiess die versicherte Person mit dem Kopf heftig gegen die Windschutzscheibe.
4.2.3 Der Vorzustand an der LWS lässt die erlittenen Verletzungen entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung nicht als besonders erscheinen (Urteil 8C_1075/2009 vom 30. März 2010 E. 5.4.2 mit Hinweis). Es bestehen auch keine anderen Anhaltspunkte, welche die Bejahung des Kriteriums gestatten könnten.
4.2.4 Nach dem Unfall erfolgte zunächst die erwähnte kurze Hospitalisation im Kantonsspital X._. Die Versicherte hielt sich später stationär in der Rehaklinik Y._ und - gemäss eigener Angabe vom 23. Oktober 2008 - für eine zehntägige Kur in einer Institution in Serbien auf. Sie verweist überdies namentlich auf ambulante Physiotherapie und auf Behandlungsversuche alternativmedizinischer und psychotherapeutischer Art. Von einer fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung kann damit nicht gesprochen werden. Praxisgemäss werden an dieses Kriterium höhere Anforderungen gestellt (vgl. SVR 2009 UV Nr. 22 S. 80, 8C_209/2008 E. 5.4; Urteil 8C_310/2010 vom 29. Juli 2010 E. 7.4). Daran ändert nichts, dass der Aufenthalt in der Rehaklinik Y._ mit rund 10 Wochen recht lang war, zumal sich die dort durchgeführten Massnahmen gemäss Austrittsbericht der Klinik vom 18. Januar 2008 im Wesentlichen auf ein Ergonomie-Trainingsprogramm, ein Copingprogramm und ein berufsbezogenes Training zur Verbesserung der Belastungstoleranz beschränkten.
4.2.5 Von den verbleibenden Kriterien (Beschwerden; Arbeitsunfähigkeit) müsste für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs mindestens eines in besonders ausgeprägter Weise erfüllt sein. In der Beschwerde wird nicht dargetan, für welches Kriterium dies zutreffen sollte. Es ergeben sich auch aus den Akten keine Anhaltspunkte, welche den Schluss auf eine solche Ausprägung eines oder mehrerer der Kriterien gestatten würden. Damit kann offen bleiben, ob diese Kriterien überhaupt in der einfachen Form als erfüllt zu betrachten wären.
4.3 Zusammenfassend hat das kantonale Gericht den rechtserheblichen Zusammenhang zwischen dem Unfall vom 25. August 2007 und den noch geklagten Beschwerden, und damit die Leistungspflicht der SUVA hiefür, zu Recht verneint. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
5. Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Dr. Bruno Häfliger, Luzern, wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Nidwalden, Abteilung Versicherungsgericht, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. November 2010
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz