Faits:
A. Le 13 janvier 2010, l'Office des poursuites de Genève a enregistré une réquisition de poursuite déposée par A._ contre B._, domicilié rue ..., à Y._, en paiement de 41'778 fr. au titre d'une reconnaissance de dette du 10 décembre 2008.
Un commandement de payer, poursuite n° xxxx, a été établi et remis à la poste pour notification le 4 février 2010. Cet acte a été notifié, sans opposition, le 10 février 2010 à "M. C._/cousin".
Le 25 février 2010, la créancière a requis la continuation de la poursuite.
B. B.a Le 2 septembre 2010, le poursuivi a requis la Commission de surveillance des offices des poursuites et des faillites du canton de Genève d'annuler la poursuite en cause. Il exposait en substance qu'il s'était présenté à l'office le 24 août 2010 pour y être interrogé dans le cadre de l'exécution d'une saisie et que l'huissier lui ayant présenté la liste des poursuites dirigées contre lui, il aurait "découvert" qu'il faisait l'objet de celle requise par la créancière, dont il ignorait l'existence, aucun commandement de payer, auquel il aurait fait opposition dans la mesure où il contestait totalement la créance, ne lui ayant été notifié, ni remis ultérieurement. Ayant appris de l'huissier que cet acte avait été notifié à C._ le 10 février 2010 et après avoir eu un entretien avec ce dernier, il avait informé l'office le 25 août 2010 qu'il formait opposition à la poursuite en question. Il a produit un billet d'avion électronique à son nom pour un vol Genève-Dakar, aller le 21 janvier 2010 et retour le 11 février 2010, deux reçus pour ses bagages, une copie de son passeport sénégalais, dont il ressortait qu'il avait prolongé son séjour au Sénégal jusqu'au 17 février 2010, ainsi qu'une procuration postale du 1er novembre 2009 aux termes de laquelle il autorisait C._ "à prendre livraison des envois postaux de toute nature (assignations de fonds y comprises) qui (lui) sont adressés et à donner quittance valable au guichet de la poste".
Dans son rapport du 22 septembre 2010 à l'intention de la commission de surveillance, l'office a indiqué que, selon le listing informatisé de la poursuite, la notification du commandement de payer avait été effectuée le 10 février 2010, "certainement au guichet postal", en mains de C._ et que ce dernier était en possession d'une procuration pour retirer le courrier du poursuivi à la poste. Il a ajouté que si la notification avait eu lieu au domicile privé en mains de C._, elle devrait être déclarée valable en application de l'art. 64 al. 1 LP.
Invitée à se déterminer, la créancière a conclu au rejet de la plainte, en faisant valoir que C._, qui avait une procuration et était officiellement domicilié à la même adresse que le poursuivi, faisait partie de son économie domestique et que la notification intervenue le 10 février 2010 était donc valable.
B.b Interpellée par la commission de surveillance, qui lui avait transmis l'exemplaire pour le créancier du commandement de payer produit par la créancière, La Poste a répondu, le 12 octobre 2010, que la signature figurant au verso, sous la rubrique "notification", ne correspondait à celle d'aucun de ses collaborateurs. Appelé à se déterminer sur ce qui précède, l'office a, le même jour, indiqué que l'exemplaire en question était un duplicata établi à la demande de la créancière le 7 octobre 2010, sur la base des informations contenues dans son système d'informations, et signé, sous la rubrique "notification", par le responsable du registre des poursuites, "comme cela se fait dans la pratique lorsqu'une partie à la procédure a égaré son exemplaire".
Le 14 octobre 2010, l'huissier de l'office a confirmé à la commission de surveillance qu'il avait interrogé le poursuivi en date du 24 août 2010 et l'avait informé de l'existence de la poursuite en cause. Il a ajouté que C._ s'était présenté à l'office le 29 juin 2010 et avait déclaré que le poursuivi était au Sénégal depuis novembre 2009 et n'avait aucun revenu en Suisse.
Selon les données de l'Office cantonal de la population, fournies par l'office en annexe à son rapport, le poursuivi était domicilié à la rue ... depuis le 1er janvier 2006 (logeur: C._); C._ était domicilié à la même adresse du 3 novembre 2004 au 15 février 2009, date à laquelle il avait quitté la Suisse pour le Sénégal.
Ces différentes observations et pièces n'ont pas été communiquées aux participants à la procédure.
B.c Par décision du 28 octobre 2010, la commission cantonale de surveillance a admis la plainte dans le sens des considérants, invité l'office à enregistrer l'opposition formée par le poursuivi, annulé la réquisition de continuer la poursuite en cause et constaté la nullité de la saisie exécutée dans le cadre de celle-ci.
C. Par acte du 8 novembre 2010, la créancière a interjeté un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant préalablement à l'octroi de l'effet suspensif et, au fond, à la réforme de la décision attaquée en ce sens que la plainte du poursuivi est rejetée. Elle invoque la violation des art. 29 al. 2 Cst. et 6 CEDH (droit à la réplique), des art. 9 et 29 al. 2 Cst. (arbitraire et violation du droit d'être entendu en relation avec l'administration et l'appréciation de preuves), ainsi que des règles de l'art. 64 LP sur la notification des actes de poursuite aux personnes physiques.
Les deux parties ont sollicité l'octroi de l'assistance judiciaire. L'intimé a été avisé, par l'ordonnance présidentielle du 26 novembre 2010 attribuant l'effet suspensif au recours, que dans le cas où une réponse serait requise, il lui appartiendrait de mandater lui-même un avocat pour déposer cette écriture.
Dans sa réponse, qu'il a déposée sans le concours d'un avocat, l'intimé a persisté dans les conclusions de sa plainte. L'autorité cantonale de surveillance a renoncé à répondre au recours.
Considérant en droit:
1. Le recours a été interjeté dans le délai (art. 100 al. 2 let. a LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi et il est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière de poursuite pour dettes et de faillite (art. 72 al. 2 let. a LTF) par une autorité cantonale de surveillance de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). Il émane en outre d'une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et qui a un intérêt juridique à l'annulation de la décision attaquée en tant que celle-ci ordonne l'enregistrement d'une opposition au commandement de payer qu'elle a fait notifier à l'intimé (sans opposition à teneur de l'édition de la poursuite), annule sa réquisition de continuer la poursuite et constate la nullité de la saisie qu'elle a obtenue (art. 76 al. 1 LTF). Le recours est donc recevable en principe, et ce indépendamment de la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. c LTF).
2. 2.1 Le droit d'être entendu est une garantie constitutionnelle de nature formelle, dont la violation entraîne l'annulation de la décision attaquée sans égard aux chances de succès du recours sur le fond (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437). Ce moyen doit par conséquent être examiné en premier lieu (ATF 124 I 49 consid. 1 p. 50) et avec un plein pouvoir d'examen (ATF 127 III 193 consid. 3 p. 194 et la jurisprudence citée).
2.2 Compris comme l'un des aspects de la notion générale de procès équitable au sens des art. 29 Cst. et 6 CEDH, le droit d'être entendu garantit notamment le droit pour une partie à un procès de prendre connaissance de toute argumentation présentée au tribunal et de se déterminer à son propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit, et qu'elle soit ou non concrètement susceptible d'influer sur le jugement à rendre. Il appartient en effet aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier contient des éléments déterminants qui appellent des observations de leur part. Ce droit à la réplique vaut pour toutes les procédures judiciaires. Toute prise de position ou pièce nouvelle versée au dossier doit dès lors être communiquée aux parties pour leur permettre de décider si elles veulent ou non faire usage de leur faculté de se déterminer (ATF 133 I 100 consid. 4.5; 133 I 98 consid. 2.2; 132 I 42 consid. 3.3.2 - 3.3.4; arrêts 5A_791/2010 du 23 mars 2011 consid. 2.3.1; 5D_8/2011 du 8 mars 2011 consid. 2.1; 4D_111/2010 du 19 janvier 2011 consid. 2.1; cf. en outre les arrêts de la Cour européenne des droits de l'homme dans les causes Schaller-Bossert contre Suisse du 28 octobre 2010 § 39 s. et Nideröst-Huber contre Suisse du 18 février 1997, Recueil CourEDH 1997-I p. 101 § 24).
En relation avec une telle communication, le tribunal a la possibilité d'ordonner un second échange d'écritures, ce qu'il fait cependant exceptionnellement (cf. en ce sens art. 102 al. 3 LTF) ou lorsque les circonstances le justifient (cf. art. 225 CPC). S'il y renonce, il doit néanmoins transmettre la prise de position ou pièce nouvelle à l'autre ou aux autres parties. Au vu de la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme, en particulier des récents arrêts Schaller-Bossert contre Suisse du 28 octobre 2010 § 39 ss et Ellès et autres contre Suisse du 16 décembre 2010 § 26 ss, la Conférence des Présidents du Tribunal fédéral a décidé que, pour ses propres communications et afin de respecter le droit d'être entendu, le Tribunal fédéral transmettra, en précisant qu'un second échange d'écritures n'est pas ordonné, la prise de position ou pièce nouvelle pour information et impartira un délai pour le dépôt d'observations éventuelles.
2.3 En l'espèce, il est constant que l'autorité cantonale de surveillance n'a même pas communiqué aux participants à la procédure les déterminations et autres documents recueillis après l'échange d'écritures sur la plainte (réponses de La Poste et de l'office du 12 octobre 2010, courriel de l'huissier du 14 octobre 2010, données de l'Office cantonal de la population). C'est donc à bon droit, au vu de la jurisprudence susmentionnée, que la recourante lui reproche d'avoir violé son droit à la réplique.
Le recours doit donc être admis pour ce motif, sans qu'il soit nécessaire d'examiner les autres griefs soulevés par la recourante. La décision attaquée doit par conséquent être annulée et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision prise dans le respect du droit à la réplique défini ci-dessus.
3. Vu la situation économique de la recourante, qui ne dispose pas de ressources suffisantes et dont les conclusions n'étaient par ailleurs pas d'emblée dénuées de chances de succès, il convient d'accéder à sa requête d'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 LTF), Me Romain Jordan lui étant désigné comme avocat d'office.
Quant à la demande d'assistance judiciaire présentée par l'intimé, elle doit être rejetée, faute de preuve de la situation de besoin invoquée et de chances de succès de la réponse, laquelle ne se détermine notamment pas sur la question décisive du droit de réplique. Partant, l'intimé doit être condamné au paiement des frais et dépens de l'instance fédérale (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LP). En l'occurrence, il y a lieu de faire une réserve concernant le paiement des honoraires de l'avocat d'office par la Caisse du Tribunal fédéral.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2. a) La demande d'assistance judiciaire de la recourante est admise et Me Romain Jordan est désigné comme avocat de cette partie pour la procédure fédérale.
b) La demande d'assistance judiciaire de l'intimé est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4. Une indemnité de 1'500 fr., à payer à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimé. Au cas où ces dépens ne pourraient être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera à Me Romain Jordan une indemnité de 1'500 fr. à titre d'honoraires.
5. Le présent arrêt est communiqué aux participants à la procédure et à la Commission de surveillance des offices des poursuites et des faillites du canton de Genève [actuellement: Autorité de surveillance (section civile de la Cour de justice)].
Lausanne, le 1er avril 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Fellay