Faits:
A. Au 22 février 2005, B._ et A._ étaient les seuls actionnaires de X._ SA, active dans le domaine du transport et de la logistique. B._ détenait 25'003 actions et il en a alors vendu 20'000 à A._ pour le prix de 100'000 francs. Les actions vendues étaient immédiatement transférées à l'acquéreur et le prix serait payé en dix tranches mensuelles de 10'000 fr., la première le 1er mars 2005 et la dernière le 1er décembre 2005.
A._ est ingénieur et exerce la profession d'expert maritime.
Par jugement du 14 mars 2008, le Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte l'a débouté d'une action en libération de dette qu'il avait intentée à B._ et il l'a condamné à payer les sommes de 39'000 fr. et 100'000 fr. en capital, respectivement avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er juillet 2004 et de 8% par an dès le 15 juillet 2005. Selon le jugement, cette première somme est due à titre de remboursement de deux prêts versés en espèces, consentis le 19 et le 26 avril 2004; la seconde est due au titre du prix de vente des actions de X._ SA. Le tribunal a rejeté les moyens que le demandeur en libération de dette prétendait tirer du dol et de l'erreur essentielle; au motif que l'avance des frais n'avait pas été fournie, il avait préalablement refusé d'ordonner une expertise relative aux comptes et à la situation de X._ SA.
Saisie par le demandeur, la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois a statué le 6 avril 2009; elle a rejeté le recours et confirmé le jugement. Elle a rejeté les requêtes du demandeur tendant à de nouvelles mesures probatoires.
B. Agissant par la voie du recours en matière civile, le demandeur requiert le Tribunal fédéral de réformer l'arrêt de la Chambre des recours en ce sens qu'il n'est pas débiteur des sommes que le défendeur lui réclame par voie de poursuites.
Par ordonnance du 23 décembre 2009, le Tribunal fédéral a rejeté une demande d'assistance judiciaire présentée par le demandeur.
Invité à répondre, le défendeur a conclu au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF), rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF). Son auteur a pris part à l'instance précédente et succombé dans ses conclusions (art. 76 al. 1 LTF). La valeur litigieuse excède le minimum légal de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). Introduit en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 al. 1 à 3 LTF), le recours est en principe recevable.
Le recours est ouvert pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique ce droit d'office, hormis les droits fondamentaux (art. 106 LTF). Il n'est pas lié par l'argumentation des parties et il apprécie librement la portée juridique des faits; il s'en tient cependant, d'ordinaire, aux questions juridiques que la partie recourante soulève dans la motivation du recours (art. 42 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 p. 400; 133 II 249 consid. 1.4.1 p. 254), et il ne se prononce sur la violation de droits fondamentaux que s'il se trouve saisi d'un grief invoqué et motivé de façon détaillée (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88; 134 II 244 consid. 2.2 p. 246; 133 II 249 consid. 1.4.2). En particulier, la partie qui invoque la protection contre l'arbitraire, conférée par l'art. 9 Cst., doit indiquer de façon précise en quoi la décision attaquée est entachée d'un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; 133 II 396 consid. 3.2 p. 400). Le recours n'est pas recevable pour violation du droit cantonal, hormis les droits constitutionnels cantonaux (art. 95 let. c LTF) et certaines dispositions sans pertinence en matière civile (art. 95 let. d LTF).
Le Tribunal fédéral doit conduire son raisonnement juridique sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF); en règle générale, les allégations de fait et les moyens de preuve nouveaux sont irrecevables (art. 99 al. 1 LTF).
2. Le demandeur affirme qu'il n'a jamais reçu les deux prêts au total de 39'000 fr. et que ces sommes étaient destinées, en réalité, à des affaires de X._ SA. Il affirme aussi que les vingt mille actions achetées le 22 février 2005 étaient dépourvues de valeur, la société étant surendettée, et que son cocontractant l'a trompé à ce sujet. Il développe un exposé confus, reposant sur ses propres allégations plutôt que sur les constatations de fait de la décision attaquée. Il s'en prend surtout au refus de la Chambre des recours d'ordonner les mesures probatoires censées établir la tromperie; il ne tente cependant pas, sinon en opposant sa propre opinion à celle des précédents juges, de mettre en évidence une application arbitraire des dispositions cantonales applicables devant la Chambre des recours, selon lesquelles cette autorité ne complète qu'exceptionnellement les constatations de fait du Tribunal civil. Il mentionne la garantie de deux degrés d'instance prévue par l'art. 129 al. 1 Cst. vaud. mais il admet qu'une disposition transitoire - l'art. 179 al. 3bis Cst. vaud. - l'empêche de s'y référer utilement. Il prétend n'avoir pas eu un procès équitable devant le Tribunal civil parce que, selon ses affirmations, il s'est présenté à l'audience sans maîtriser la langue des débats et sans se faire assister d'un avocat. Il prétend avoir ignoré la possibilité d'obtenir, au besoin, l'assistance judiciaire.
La thèse ainsi présentée se résume comme suit: le demandeur était incapable de faire valoir ses moyens devant le Tribunal civil; les faits pertinents n'ont donc pas été constatés, et par suite, devant le Tribunal fédéral, le demandeur est empêché de faire reconnaître, d'une part, que les prêts sont simulés (art. 18 CO), et d'autre part que la vente d'actions est entachée de lésion, erreur essentielle et dol (art. 21, 23 et 28 CO).
Selon ses propres dires, le demandeur a entrepris le procès en libération de dette avec l'assistance d'un avocat, et celui-ci a résilié son mandat lorsqu'il eut appris que l'avance des frais d'expertise n'avait pas été versée. Dans ces conditions, il n'est pas vraisemblable que le demandeur se soit réellement trouvé hors d'état de se faire conseiller et assister utilement, y compris au sujet d'une éventuelle demande d'assistance judiciaire, si, désormais, sa situation financière ne lui permettait plus d'assumer les frais du procès. Le recours est mal fondé en tant que son auteur invoque la garantie d'un procès équitable conférée par l'art. 29 al. 1 Cst.; il est irrecevable en tant que l'auteur critique l'application du droit cantonal, ou encore, afin de se prévaloir des dispositions de droit fédéral précitées, argue de faits qui ne sont pas constatés par la juridiction cantonale.
3. A titre de partie qui succombe, le demandeur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Le demandeur acquittera un émolument judiciaire de 2'000 francs.
3. Le demandeur versera une indemnité de 2'500 fr. au défendeur à titre de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 22 mars 2010
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Le greffier:
Klett Thélin