Erwägungen:
1. Der Grosse Rat des Kantons Aargau lehnte am 2. Dezember 2008 das Gesuch von X._ um ordentliche Einbürgerung ab. In der Folge reichte X._ erfolglos eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Urteil 1D_1/2009 vom 15. Juni 2009) und ein Wiedererwägungsgesuch ein.
2. Am 14. Juli 2009 wurde X._ die kantonale Schlussabrechnung unterbreitet und der Betrag von Fr. 753.-- in Rechnung gestellt. Auf Eingaben von X._ hin bestätigte die Justizabteilung des Departements Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau mit Verfügung vom 10. August 2010 den eingeforderten Betrag und wies ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. Gegen diese Verfügung erhob X._ am 23. September 2010 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau. Dieses trat mit Urteil vom 30. September 2010 auf die Beschwerde nicht ein und wies ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass sich der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde nicht ansatzweise mit der Begründung der angefochtenen Verfügung auseinandergesetzt habe. Die Beschwerde erfülle die minimalen Begründungsanforderungen nicht, weshalb auf sie nicht einzutreten sei.
3. X._ führt mit Eingabe vom 17. November 2010 subsidiäre Verfassungsbeschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 30. September 2010. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4. Anfechtungsobjekt des vorliegenden Beschwerdeverfahrens ist das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 30. September 2010. Soweit der Beschwerdeführer Rechtsbegehren stellt, die ausserhalb des durch dieses Urteil geregelten Rechtsverhältnisses liegen, kann darauf von vornherein nicht eingetreten werden.
5. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen des Verwaltungsgerichts, die zum Nichteintreten auf seine Beschwerde und zur Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege führten, nicht auseinander und legt nicht dar, inwiefern das Verwaltungsgericht dabei verfassungsmässige Rechte (vgl. Art. 116 BGG) verletzt haben sollte. Da die vom Beschwerdeführer vorgebrachten Ausführungen keine Auseinandersetzung mit den Entscheidgründen des angefochtenen Urteils darstellen, ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
6. Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt somit der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Mit dem vorliegenden Urteil wird das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement Volkswirtschaft und Inneres und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2010
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli