Sachverhalt:
A.
Die X._ AG ist Eigentümerin der Liegenschaft "A._strasse ..." (Parzelle Nr. 928 und Gebäude Nr. 82) in der Gemeinde Rothrist. Seit 1992 wurde im Erdgeschoss ein Massagesalon mit zwei Massageräumen betrieben. Im Ober- und Dachgeschoss waren Wohnungen eingerichtet. Im September 2009 ersuchte die X._ AG um nachträgliche Bewilligung zur Nutzung der Wohnungen als Massageräume. In Gutheissung der hiegegen erhobenen Einsprache der Y._ AG wies der Gemeinderat Rothrist mit Entscheid vom 22. März 2010 das Umnutzungsgesuch ab. Dagegen reichte die X._ AG beim Regierungsrat des Kantons Aargau Beschwerde ein. Dieser liess durch seinen Rechtsdienst am 30. September 2010 eine Augenscheinsverhandlung mit sämtlichen Beteiligten durchführen, woraufhin die Abteilung Verkehr des Departements Bau, Verkehr und Umwelt den aktualisierten Fachbericht vom 7. Januar 2011 zum Parkplatzbedarf verfasste. Mit Entscheid vom 19. Oktober 2011 hiess der Regierungsrat die Beschwerde teilweise gut, hob den angefochtenen Entscheid auf und wies die Sache zur Bewilligungserteilung im Sinne der Erwägungen an den Gemeinderat Rothrist zurück.
B.
Dagegen reichten sowohl der Gemeinderat Rothrist als auch die Y._ AG Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau ein. Der Regierungsrat und die X._ AG liessen sich dazu in abweisendem Sinne vernehmen. Mit Entscheiden vom 30. Oktober 2012 (WBE.2011.398 und WBE.2011.400) hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerden gut, soweit darauf eingetreten wurde (WBE.2011.400), hob den Entscheid des Regierungsrates vom 19. Oktober 2011 auf und bestätigte den Entscheid des Gemeinderates Rothrist vom 22. März 2010.
C.
Mit zwei separaten Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die X._ AG zur Hauptsache, die Entscheide vom 30. Oktober 2012 und der Entscheid des Gemeinderates Rothrist vom 22. März 2010 seien aufzuheben; die Sache sei zur Bewilligungserteilung an die Bewilligungsbehörde, eventualiter in Bestätigung des Entscheids des Regierungsrates vom 19. Oktober 2011 zur entsprechenden Bewilligungserteilung an den Gemeinderat Rothrist zurückzuweisen; subeventualiter sei die Sache an den Gemeinderat Rothrist, eventualiter an das kantonale Verwaltungsgericht zu neuem Entscheid zurückzuweisen (Verfahren 1C_3/2013 [WBE.2011.400] und 1C_19/2013 [WBE.2011.398]).
Das kantonale Verwaltungsgericht schliesst in beiden Verfahren auf Abweisung der Beschwerden, desgleichen der Gemeinderat Rothrist, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Y._ AG (Beschwerdegegnerin) stellt im Verfahren 1C_3/2013 ebenfalls den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
In ihren weiteren Rechtsschriften halten die Parteien an ihren Standpunkten fest.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerden richten sich gegen zwei verschiedene, in den massgeblichen Erwägungen und im Ergebnis indessen im Wesentlichen gleich lautende letztinstanzliche kantonale Entscheide. Es liegt ihnen der nämliche Sachverhalt zu Grunde und es stellen sich die gleichen Tat- und Rechtsfragen. Es kommt dazu, dass die Rechtsbegehren und deren Begründung weitgehend identisch sind. Es rechtfertigt sich daher, wie beantragt, die Verfahren 1C_3/2013 und 1C_19/2013 zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. Art. 24 BZP in Verbindung mit Art. 71 BGG; Urteil 2C_171/2007 vom 19. Oktober 2007 E. 1).
2.
Die Sachurteilsvoraussetzungen sind für beide Beschwerden grundsätzlich erfüllt. Unzulässig ist jedoch der Antrag der Beschwerdeführerin, auch den abschlägigen Entscheid des Gemeinderates von Rothrist vom 22. März 2010 aufzuheben. Dieser ist durch die Rechtsmittelentscheide ersetzt worden (Devolutiveffekt) und gilt inhaltlich als mitangefochten (BGE 134 II 142 E. 1.4 S.144).
3.
Streitgegenstand bildet die vorinstanzlich bestätigte Verweigerung der Umnutzung der Wohnräumlichkeiten im 1. Obergeschoss und im Dachgeschoss der Liegenschaft "A._strasse ..." (Parzelle Nr. 928, Gebäude Nr. 82) in Massageräume mangels genügender Pflichtparkplätze.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt, der vom kantonalen Verwaltungsgericht festgelegte Bedarf von acht Parkplätzen (für die gesamte Liegenschaft) stelle einen schweren, insbesondere unverhältnismässigen Eingriff in die Eigentumsgarantie (Art. 26 BV) und in die Wirtschaftsfreiheit (Art. 27 Abs. 2 BV) dar, weil aufgrund rechtlicher Vorgaben die Anzahl der Parkplätze auf der Parzelle Nr. 928 sowie auf der Nachbarparzelle Nr. 929 nicht mehr erhöht werden dürfe. Somit könne sie von vornherein ihrer Parkplatzerstellungspflicht nicht nachkommen, was im Verbund damit, dass sie davon nicht befreit worden sei - entschädigungslos oder durch Ersatzabgabe - dazu führe, dass die rechtlich zulässige und zonenkonforme Nutzung ihrer Liegenschaft gänzlich und dauerhaft untersagt werde. Die Grundrechtsverletzung beruhe auf einer unrichtigen, ja sogar willkürlichen Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts. Weiter wende die Vorinstanz offensichtlich kantonales Prozessrecht willkürlich an, indem sie das Ermessen des Gemeinderates über dasjenige des Regierungsrates stelle, mithin eine ihm verwehrte Ermessenskontrolle vornehme.
5.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dabei prüft es die Auslegung und Anwendung kantonaler und kommunaler baurechtlicher Vorschriften grundsätzlich nur auf Willkür hin (Art. 9 BV; Urteil 1A_57/2006 vom 6. September 2006 E. 4.4.1, in: ZBl 108/2007 S. 453), sofern nicht eine schwerwiegende Grundrechtseinschränkung zur Diskussion steht (Urteil 1P.840/2006 vom 4. Juli 2007 E. 5.1). Die beschwerdeführende Partei trifft eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG). Sie hat anhand und in Auseinandersetzung mit den Erwägungen im angefochtenen Entscheid präzise darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid willkürlich ist (BGE 138 I 171 E. 1.4 S. 176; 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.).
Nach der Rechtsprechung liegt Willkür in der Rechtsanwendung vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 137 I 1 E. 2.4 S. 5 mit Hinweisen).
Ebenfalls prüft das Bundesgericht die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung grundsätzlich bloss unter dem eingeschränkten Blickwinkel des Willkürverbots (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 136 II 101 E. 3 S. 104 f. mit Hinweisen; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG).
6.
6.1. Gemäss § 55 Abs. 1 des Gesetzes vom 19. Januar 1993 über Raumplanung, Umweltschutz und Bauwesen des Kantons Aargau (seit 1. Januar 2010: Raumentwicklung und Bauwesen [Baugesetz, BauG; SAR 713.100, in der bis 31. Dezember 2009 geltenden, hier anwendbaren Fassung]) sind bei Erstellung und eingreifender Umgestaltung, Erweiterung oder Zweckänderung von Bauten genügend Abstellplätze für die Fahrzeuge der Benutzer und Besucher sowie die erforderlichen Verkehrsflächen für den Zubringerdienst zu schaffen. Die Abstellplätze müssen auf privatem Grund in nützlicher Distanz zur Liegenschaft, der sie zu dienen haben, liegen und dauernd als solche benutzt werden können. Nach § 56 BauG müssen die Abstellplätze und die Verkehrsflächen so bemessen und gestaltet sein, dass die Fahrzeuge der Benutzer und der Besucher aufgenommen und der Zubringerdienst bewältigt werden können. Dabei sind die Grösse der Bauten, die Art ihrer Benutzung, die Erschliessung durch öffentliche Verkehrsmittel und die Möglichkeiten, andere Parkflächen zu benutzen, zu berücksichtigen (Abs. 1). Der Regierungsrat erlässt Richtlinien über Ausmass und technische Gestaltung der Abstellplätze und Verkehrsflächen. Im einzelnen Fall werden Anzahl und Gestaltung vom Gemeinderat festgelegt (Abs. 2).
Laut § 25 Abs. 1 der Allgemeinen Verordnung zum Baugesetz vom 23. Februar 1994 (ABauV; SAR 713.111, in Kraft gestanden bis 31. August 2011, in der vom 1. September 2005 bis 31. Dezember 2009 gültig gewesenen Fassung) gelten als Richtlinien für die Umschreibung der Begriffe und die Bemessung der Anzahl Abstellplätze die Normen des Schweizerischen Verbands der Strassen- und Verkehrsfachleute (VSS), u.a. SN 640 290 "Parkieren; Grenzbedarf, reduzierter Bedarf, Angebot" (ohne Ziffer 11) vom Mai 1993 samt Beilage mit Erfahrungswerten sowie die regierungsrätliche "Richtlinie zur Ermittlung des Angebots an Parkfeldern für Personenwagen bei verkehrsintensiven Nutzungen" vom 7. Juli 2004.
6.2. Die Pflicht, im Zusammenhang mit Bauten Parkplätze zu schaffen oder für Parkierungsmöglichkeiten zu sorgen, bedeutet einen Eingriff in die Eigentumsgarantie nach Art. 26 BV, somit in ein Grundrecht. Solche Einschränkungen sind nur zulässig, wenn sie auf einer gesetzlichen Grundlage beruhen, im öffentlichen Interesse liegen und verhältnismässig sind (Art. 36 BV; BGE 125 II 129 E. 8 S. 141 mit Hinweis). Bei der baurechtlichen Parkplatzerstellungspflicht handelt es sich in der Regel nicht um einen schweren Eingriff in die Eigentumsgarantie, soweit dadurch der bisherige oder künftig mögliche bestimmungsgemässe Gebrauch des Eigentums nicht massgeblich erschwert oder sogar verunmöglicht wird. Eine klare und ausdrückliche Regelung in einem formellen Gesetz ist somit nicht erforderlich; es genügt eine materielle Rechtsgrundlage, die ihrerseits verfassungsmässig ist, sich im Rahmen der Delegation hält und von der zuständigen Behörde erlassen worden ist; deren Vorhandensein und Anwendung wird im bundesgerichtlichen Verfahren lediglich unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots geprüft (Urteil 1P.840/2006 vom 4. Juli 2007 E. 5.1 mit Hinweisen). Dabei ist davon auszugehen, dass die Delegation von Rechtsetzungszuständigkeiten an die Exekutive oder ein anderes Organ zulässig ist, wenn sie in einem formellen Gesetz enthalten ist, nicht durch das kantonale Recht ausgeschlossen wird und sich auf ein bestimmtes Gebiet beschränkt (Urteil 1P.693/2004 vom 15. Juli 2005 E. 3.1 und 3.2 mit Hinweisen, in: ZBl 107/2006 S. 484).
§ 55 Abs. 1, § 56 Abs. 1 und 2 BauG sowie § 25 Abs. 1 ABauV bilden eine hinreichende gesetzliche Grundlage für eine Einschränkung der Eigentumsgarantie; der ebenfalls angerufenen Wirtschaftsfreiheit kommt aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde keine weiter gehende Bedeutung zu. Ausser Diskussion steht das öffentliche Interesse an der Parkplatzerstellungspflicht. Deren Verhältnismässigkeit kann ebenfalls nicht mit Fug bestritten werden und sie bewirkt in Fällen wie hier auch keinen schweren Eingriff in die Eigentumsgarantie, da eine bestimmungsgemässe und der Zonenordnung entsprechende Nutzung der Liegenschaft möglich ist. Im Übrigen sind bei der Anwendung der VSS-Norm SN 640 290 zur Bestimmung des Parkplatzbedarfs im Einzelfall die gesetzlichen Vorgaben in § 56 Abs. 1 Satz 2 BauG (Grösse der Bauten, Art ihrer Benutzung, Erschliessung durch öffentliche Verkehrsmittel, Möglichkeiten, andere Parkflächen zu benutzen) zu beachten, wobei nach der Praxis der Vorinstanz die darin enthaltenen Richtlinien nicht völlig schematisch und stur zu übernehmen sind (vgl. auch Urteil 2A.263/1999 vom 3. Mai 2000 E. 3d). Die Beschwerdeführerin sieht u.a. diese Grundsätze verletzt.
7.
Der Regierungsrat ermittelte in Anwendung der VSS-Norm SN 640 290 einen Pflichtbedarf von drei Parkplätzen, und zwar unabhängig von der Einstufung als kundenintensiver oder übriger Dienstleistungsbetrieb. Dabei ging er aufgrund des Betriebskonzepts der Gesuchstellerin von einem Betrieb mit drei Angestellten und demzufolge höchstens drei gleichzeitig anwesenden Besuchern aus. Er bewilligte daher die Umnutzung der Wohnräumlichkeiten im Ober- und Dachgeschoss der Liegenschaft "A._strasse ..." in weitere Massageräume unter ausdrücklicher Behaftung der Gesuchstellerin, dass (gleichzeitig) nicht mehr als drei Mitarbeiterinnen tätig sind. Unbestrittenermassen verfügt die Beschwerdeführerin über drei Parkplätze, die den gesetzlichen Anforderungen gemäss § 55 Abs. 1 BauG entsprechen.
7.1. Das kantonale Verwaltungsgericht hat dargelegt, weshalb das Betriebskonzept der Beschwerdeführerin, wonach maximal drei Damen gleichzeitig arbeiten würden bzw. von effektiv drei Arbeitsplätzen auszugehen sei, nicht plausibel ist: Es erscheine nicht realistisch, zu den bereits bestehenden zwei Massageräumen drei neue einzurichten, damit bloss ein Arbeitsplatz mehr betrieben werden könne. Auch sei kaum überprüfbar, ob tatsächlich maximal drei Damen gleichzeitig arbeiten würden. Dagegen spreche unter anderem, dass gemäss den aktenkundigen Auszügen der Internetseiten "Z._" der Beschwerdeführerin bereits in der Vergangenheit mehr als drei Damen ihre Dienste angeboten hätten. Dass an einem Freitag- oder Samstagabend oder sonst zu Hauptbetriebszeiten nur drei Damen gleichzeitig arbeiten sollen, auch wenn die Nachfrage grösser sei, erscheine nicht glaubhaft. Eine zusätzliche Belegung, insbesondere zu Hauptbetriebszeiten, könne nicht ausgeschlossen werden bzw. erscheine sogar wahrscheinlich und wäre ökonomisch selbstredend auch sinnvoll. Diese Sachverhaltsfeststellungen sind weder offensichtlich unrichtig noch kann von willkürlicher Beweiswürdigung gesprochen werden. Soweit dem Regierungsrat in diesem Zusammenhang ein Beurteilungsspielraum (Tatbestandsermessen) zukommt, war die Überprüfungsbefugnis der Vorinstanz nicht eingeschränkt (vgl. Art. 110 BGG; Urteile 2C_702/2012 vom 19. März 2013 E. 2.2, in: StR 68/2013 S. 464, und 5C.91/2004 vom 5. August 2004 E. 5.1 in fine, in: ZBGR 86/2005 S. 315). Der Vorwurf, die Vorinstanz habe unzulässigerweise in das Ermessen des Regierungsrates eingegriffen, ist somit unbegründet.
7.2.
7.2.1. Wie das kantonale Verwaltungsgericht festgestellt hat, enthält das Gebäude Nr. 82 auf der Liegenschaft "A._strasse ..." insgesamt fünf Massageräume, drei Aufenthaltsräume und drei weitere Räume nebst Küche und Duschen/WCs. Es ist unbestritten, dass in diesen Räumlichkeiten mehr als nur drei Personen gleichzeitig arbeiten können, was eine höhere Anzahl von Pflichtparkplätzen bedeute. Unter diesen Umständen kommt der Überprüfbarkeit der Einhaltung des Betriebskonzepts, d.h. dass tatsächlich maximal drei Frauen zur selben Zeit arbeiten, entscheidende Bedeutung zu. Der Regierungsrat hat dazu nichts gesagt. Es muss indessen mit zumutbarem Aufwand überprüft werden können, ob die geltend gemachte Nutzung, um deren Bewilligung nachgesucht wird, auch eingehalten wird, wenn eine in Bezug auf Anzahl Mitarbeiterinnen und Kunden intensivere Nutzung objektiv möglich ist und die Gefahr des Missbrauchs besteht.
7.2.2. Nach Auffassung der Vorinstanz ist kaum überprüfbar, ob tatsächlich maximal drei Damen gleichzeitig arbeiten (würden). Die Beschwerdeführerin rügt diese Feststellung als offensichtlich falsch und aktenwidrig. Zum einen habe der Regierungsrat in seinem Entscheid darauf hingewiesen, dass aus seiner Sicht eine Auflage betreffend die Anzahl der in der Liegenschaft tätigen Mitarbeiterinnen denkbar erscheine. Zum andern habe die Gemeinde mit ihrer Kontrolle vom 21. Oktober 2010 eine Möglichkeit einer solchen Überprüfung aufgezeigt. Damit vermag sie indessen die Annahme der Vorinstanz, die Anzahl der Mitarbeiterinnen sei kaum überprüfbar, nicht als offensichtlich unrichtig darzutun. Dazu hätte sie aufzeigen müssen, wie mit zumutbarem Aufwand überprüft werden kann, dass sich die Betreiberin des Massagesalons (und Mieterin der Liegenschaft "A._strasse ...") an die zu bewilligende Nutzung hält. Das Nichtausschöpfen der maximal möglichen Nutzung stellt gleichsam eine negative Tatsache dar (vgl. BGE 119 II 305 E. 1b/aa S. 305 f.). Die Auffassung der Beschwerdeführerin, dass die Einhaltung des Betriebskonzepts (maximal drei Frauen arbeiten gleichzeitig) sich nicht mehr oder minder gut überprüfen lasse als die Tatsache, ob als Wohnraum bewilligte Räume als Massagesalon genutzt würden, kann nicht geteilt werden.
Nach dem Gesagten stellt es im Ergebnis keine willkürliche Anwendung der einschlägigen kantonalen baurechtlichen Bestimmungen dar, dass das kantonale Verwaltungsgericht zur Ermittlung der Anzahl Pflichtparkplätze im Falle der Bewilligung der Umnutzung der Wohnungen im 1. Obergeschoss und im Dachgeschoss der Liegenschaft "A._strasse ..." von den Nutzungsmöglichkeiten, welche der Betrieb objektiv betrachtet eröffnet, ausgegangen ist und eine angeblich weniger weit gehende Nutzung verneint hat.
8.
Gemäss Berechnung des kantonalen Verwaltungsgerichts ergibt sich nach der VSS-Norm SN 640 290 ein Pflichtbedarf von neun (Gruppe 2 [Übrige Dienstleistungsbetriebe]) bzw. zehn (Gruppe 1 [Kundenintensive Dienstleistungsbetriebe]) Parkplätzen, wenn einzig auf die Gesamtfläche des Gebäudes Nr. 82 in der Liegenschaft "A._strasse ..." von 337 m2 und die Fläche pro Arbeitsplatz von 35 m2 bzw. 25 m2 abgestellt wird. Die Gemeinde hatte auf einen Bedarf von acht Parkplätzen abgestellt. Die Vorinstanz hat diese Beurteilung als vertretbar bezeichnet mit Blick darauf, dass fünf Massageräume betrieben werden sollen, die Beschwerdeführerin mit dem Baugesuch ebenfalls von einem Bedarf von acht Parkplätzen (für die gesamte Liegenschaft) ausgegangen sei und sogar bereits vier Parkplätze auf einer anderen Parzelle hinzugemietet habe. Der Entscheid liege innerhalb des der Gemeinde zukommenden Ermessensspielraums. Es bestehe deshalb kein Anlass, korrigierend einzugreifen. Eine Reduktion des Grenzbedarfs aufgrund der Erschliessung durch den öffentlichen Verkehr werde zu Recht nicht geltend gemacht.
8.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die Annahme von acht Pflichtparkplätzen stelle offensichtlich einen Ermessensmissbrauch und damit eine Rechtsverletzung dar. Den Ausführungen im angefochtenen Entscheid könne nirgends entnommen werden, dass tatsächlich mehr als fünf Arbeitsplätze theoretisch gleichzeitig betrieben werden könnten. Fünf Arbeitsplätze würden gemäss der VSS-Norm SN 640 290 maximal fünf Pflichtparkplätze ergeben. Weiter habe das kantonale Verwaltungsgericht die gute Anbindung an den öffentlichen Verkehr sowie die Möglichkeiten, andere Parkflächen zu benutzen, unberücksichtigt gelassen. Diese Vorbringen sind nicht stichhaltig.
Die Gemeinde nahm im Entscheid vom 22. März 2010 keine eigene Berechnung des Bedarfs an Parkplätzen für die (gesamte) Liegenschaft "A._strasse ..." vor, sondern stellte auf die diesbezüglichen Angaben der Beschwerdeführerin ab. Diese hatte (durch ihren Architekten) im Autoabstellplatz-Nachweis vom 9. Oktober 2009 in Anwendung der VSS-Norm 640 290 acht Parkplätze ermittelt, was sie in ihrer Stellungnahme vom 1. Dezember 2009 zur Einsprache der Beschwerdegegnerin bestätigte. Es kommt dazu, dass sie - wenige Tage - vor Einreichung des Baugesuchs auf der Parzelle Nr. 971 vier Parkplätze zu den bereits vorhandenen eigenen hinzugemietet hatte. Was sie im vorliegenden Zusammenhang zur Begründung dieses Verhaltens vorbringt, überzeugt nicht. Niemand mietet Parkplätze, wenn er selbst der Meinung ist, diese seien gar nicht nötig. Unbehelflich ist auch der Einwand der Beschwerdeführerin, es stünde ihr (sogar) frei, das Projekt bzw. die konkrete Nutzung im Laufe des Baubewilligungsverfahrens zu ändern und anzupassen. Das erstmals im Verfahren vor dem Regierungsrat erwähnte Betriebskonzept, wonach maximal drei Frauen gleichzeitig arbeiten würden, ist nicht von Relevanz (vorne E. 7.2.2). Unter den gegebenen Umständen jedenfalls durfte das kantonale Verwaltungsgericht willkürfrei davon ausgehen, dass für den Betrieb des Massagesalons, umfassend fünf Massageräume, drei Aufenthaltsräume und drei weitere Räume nebst Küche und Duschen/ WCs (vorne E. 7.2.1), ein Bedarf von acht Parkplätzen ausgewiesen ist, ohne sich abschliessend zur Anzahl Arbeitsplätze zu äussern bzw. wie viele Frauen gleichzeitig arbeiten werden.
8.2. Zutreffend ist sodann, dass nach § 56 Abs. 1 Satz 2 BauG bei der Ermittlung der notwendigen Anzahl Parkplätze auch die Erschliessung durch öffentliche Verkehrsmittel sowie die Möglichkeiten, andere Parkflächen zu benutzen, zu berücksichtigen sind. Gemäss der VSS-Norm SN 640 290 ist bei guter Anbindung an den öffentlichen Verkehr ein Abzug vom Grenzbedarf von bis zu 30 % vorzunehmen. Der Regierungsrat hatte eine solche Reduktion abgelehnt, hauptsächlich weil während der Hauptbesuchszeiten des Massagesalons in den Nacht- bzw. frühen Morgenstunden die Benutzung des Busses gänzlich ausgeschlossen sei. Zudem sei nach der einschlägigen VSS-Norm nur die Hauptverkehrszeit zwischen 06.00 und 20.00 Uhr massgeblich (vgl. E. 3b/cc des regierungsrätlichen Entscheids vom 19. Oktober 2011). Die Beschwerdeführerin focht diese Erwägungen nicht an. Vor Bundesgericht bestreitet sie zwar das Bestehen einer Hauptbetriebszeit (ab 20.00 Uhr sowie Freitag- und Samstagabend), sie bringt aber nichts vor, was die (implizite) Annahme des kantonalen Verwaltungsgerichts zu erschüttern vermöchte, dass vor allem in den Abend- und Nachtstunden der Massagesalon aufgesucht wird (vorne E. 7.1). Abgesehen davon rügt sie bloss, dass überhaupt kein Abzug vom Grenzbedarf von acht Parkplätzen für die Anbindung an den öffentlichen Verkehr vorgenommen worden sei. Selbst bei einem Abzug von 20 % ergäbe sich immer noch ein Bedarf von sechs Parkplätzen, über welche sie unbestrittenermassen nicht verfügt. Aufgrund des Dienstbarkeitsvertrages vom 11. Mai 1979 u.a. betreffend ein Kurzparkierungsrecht während den Ladenöffnungszeiten zu Gunsten Parzelle Nr. 928 und zu Lasten Parzelle Nr. 929 könnte im Übrigen nach den überzeugenden Darlegungen der Vorinstanz höchstens ein zusätzlicher Parkplatz angerechnet werden. Schliesslich kann aus § 56 Abs. 1 Satz 2 BauG, wonach bei der Ermittlung der notwendigen Parkplätze auch die Möglichkeiten, andere Parkflächen zu benutzen, zu berücksichtigen sind, nicht auf eine diesbezügliche voraussetzungslose Abklärungspflicht der Baubewilligungsbehörde geschlossen werden. Vielmehr wäre es Sache der Beschwerdeführerin gewesen, solche dauernden Gelegenheiten zu benennen. Das hat sie nicht getan. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör liegt nicht vor.
Zusammenfassend stellt es keine bundesrechtswidrige, insbesondere keine willkürliche Anwendung der einschlägigen kantonalen Vorschriften betreffend die Parkplatzerstellungspflicht dar, dass das kantonale Verwaltungsgericht den Nachweis für eine genügende Anzahl (acht) Parkplätze, deren dauernde und ausschliessliche Verfügbarkeit zu Gunsten der Liegenschaft "A._strasse ..." während den Öffnungszeiten des Massagesalons rechtlich sicher gestellt ist, nicht als erbracht erachtet hat.
9.
Gemäss § 55 Abs. 3 BauG (in der bis 31. Dezember 2009 geltenden Fassung) befreit der Gemeinderat von der Pflicht zur Erstellung von Abstellplätzen ganz oder teilweise, u.a. wenn der Aufwand unzumutbar wäre (lit. b). Wer von der Erstellung von Abstellplätzen befreit ist, hat der Gemeinde in der Regel eine Ersatzabgabe zu entrichten (§ 58 Abs. 1 und 2 BauG).
9.1. Nach Auffassung des kantonalen Verwaltungsgerichts kann sich die Beschwerdeführerin nicht auf § 55 Abs. 3 lit. b BauG berufen. Es treffe zwar zu, dass es ihr nicht möglich sei, weitere Parkplätze auf der Parzelle Nr. 928 zu erstellen. Dass sie die erforderliche Anzahl Parkplätze nicht aufzuweisen vermöge, liege jedoch einzig daran, dass die von ihr beantragte Nutzungsänderung einen Mehrverkehr und damit einen höheren Bedarf an Parkplätzen zur Folge habe (unter Hinweis auf AGVE 1997 S. 320 E. 2c/bb). Bei einer anderen Nutzung der Liegenschaft wäre die Anzahl der zur Verfügung stehenden Parkplätze durchaus genügend. Die zur Zeit vorhandene Parkplatzanzahl schränke die Nutzungsmöglichkeiten auch nicht in einem solchen Ausmasse ein, dass der vorliegende Sachverhalt einer Sonderbehandlung bedürfte. Die von ihr geltend gemachte Unzumutbarkeit im Sinne von § 55 Abs. 3 lit. b BauG habe sie mithin selbst verursacht.
Die Beschwerdeführerin wirft dem kantonalen Verwaltungsgericht sinngemäss eine unhaltbare, willkürlich Auslegung von § 55 Abs. 3 lit. b und § 58 Abs. 2 BauG vor.
9.2. Unter welchen Voraussetzungen auf einen Befreiungstatbestand wegen unzumutbarem Erstellungsaufwand zu schliessen ist, führt das kantonale Recht nicht näher aus. Das Verwaltungsgericht und die Gemeinde gehen im Gegensatz zur Beschwerdeführerin davon aus, dass ein Anspruch auf Befreiung von der Parkplatzerstellungspflicht nicht in jedem Fall besteht, wenn die Bereitstellung von Parkiermöglichkeiten für ein bestimmtes Bauvorhaben einen unverhältnismässig hohen Aufwand verursacht oder sogar überhaupt unmöglich ist. Sie interpretieren die Befreiungsnorm so, dass die Gemeinde eine Ausnahme nach § 55 Abs. 3 lit. b BauG verweigern darf, wenn eine vernünftige und rentable zonenkonforme Nutzung eines Baugrundstücks ohne Beanspruchung einer Ausnahme möglich ist bzw. - wie hier - bestand und weitergeführt bzw. wieder aufgenommen werden kann. Nach dieser Betrachtungsweise darf die Befreiungsnorm demnach nicht einzig zur Erzielung einer möglichst einträglichen Nutzung in Anspruch genommen werden, sondern nur dann, wenn auch eine übliche zonengemässe Nutzung des Baugrundes mit unzumutbar hohem Aufwand für die Bereitstellung der hierzu erforderlichen Abstellplätze verbunden ist. Dieses Verständnis der Bestimmung ergibt sich zwar nicht unmittelbar aus ihrem Wortlaut und ist auch nicht das einzig mögliche. Es lässt sich jedoch mit vernünftigen, sachbezogenen Argumenten begründen und ist deshalb keineswegs unhaltbar oder unverhältnismässig. Für die Auslegung der kantonalen Behörden spricht insbesondere die Überlegung, dass die privaten Grundeigentümer nicht gegen den Willen der Gemeinde als Planungsträgerin eine höchstmögliche Nutzung ihrer Liegenschaften unter Ausklammerung des damit verbundenen Parkraumbedarfs durchsetzen und der Gemeinde die Lösung der diesbezüglichen Aufgaben und Probleme überantworten können sollen. Auch die Frage nach ihrem Sinn und Zweck vermag die Anwendung der Befreiungsnorm durch die kantonalen Behörden zu stützen. Nach allgemeinem Verständnis sollen Ausnahmen dazu dienen, besonderen Verhältnissen Rechnung zu tragen und nicht bloss zur Optimierung der Rendite beansprucht werden können. Die Verweigerung der Befreiung von der Parkplatzerstellungspflicht durch die Gemeinde und das Verwaltungsgericht hält der Willkürprüfung durch das Bundesgericht daher stand. Die Berufung auf das Verhältnismässigkeitsprinzip hilft der Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang nicht weiter, weil diesem Grundsatz im Rahmen der Anwendung kantonalen Rechts keine über das Willkürverbot hinaus gehende Tragweite zukommt (BGE 134 I 153 E. 4 S. 156 ff.).
Eine uneinheitliche oder rechtsungleich gehandhabte Bewilligungspraxis hat die Beschwerdeführerin nicht dargelegt, weshalb sich weitere Ausführungen unter diesem Blickwinkel erübrigen. Fällt eine Befreiung nach willkürfreier Anwendung von § 55 Abs. 3 lit. b BauG ausser Betracht, so verfängt schliesslich auch der Einwand willkürlicher Auslegung von § 58 Abs. 2 BauG nicht, weil ohne Entbindung von der Parkplatzerstellungspflicht ohnehin keine Ersatzabgabepflicht besteht. Die Beschwerden erweisen sich in diesem Punkt ebenfalls als unbegründet.
10. Nach dem Ausgeführten sind die Beschwerden abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat der Beschwerdegegnerin im Verfahren 1C_3/2013 eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG). Die ebenfalls anwaltlich vertretene Gemeinde Rothrist hat indessen keinen Anspruch auf Parteikostenersatz (Art. 68 Abs. 3 BGG; BGE 134 II 117 E. 7).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1C_3/2013 und 1C_19/2013 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin hat der Beschwerdegegnerin Y._ AG eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Regierungsrat des Kantons Aargau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. November 2013
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Fessler