Faits:
A. A.a C._ travaille en qualité de greffière-juriste de juridiction au service de X._. A ce titre, elle est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Compagnie d'Assurances Nationale Suisse SA (ci-après: la Nationale).
Le 10 novembre 2008, son employeur a rempli une déclaration d'accident-bagatelle, dans laquelle il a indiqué que l'assurée avait ressenti une vive douleur au genou lors d'un mouvement de torsion, le 27 octobre 2008.
Le docteur O._, spécialiste en radiologie, a pratiqué une IRM du genou droit le 12 novembre 2008. En raison d'une persistance des douleurs au niveau du compartiment interne du genou droit, le docteur G._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a procédé à une arthroscopie et une résection plica synoviale le 10 février 2009.
Par décision du 1er avril 2009, confirmée sur opposition le 24 août suivant, la Nationale a refusé de prendre en charge le traitement relatif aux suites de l'événement du 27 octobre 2008, motif pris de l'absence d'une déchirure du ménisque.
A.b Saisi d'un recours de l'assurée, le Tribunal cantonal des assurances sociales de la République et canton de Genève (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales) a annulé la décision sur opposition attaquée et condamné la Nationale à prendre en charge, en sa qualité d'assureur LAA, les frais découlant de l'événement du 27 octobre 2008 (jugement du 19 avril 2010).
A.c Par arrêt du 3 juin 2011 (8C_501/2010), rendu sur recours de la Nationale, le Tribunal fédéral a annulé ce jugement et renvoyé la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement dans le sens des considérants. Il a considéré que le droit d'être entendu de la Nationale n'avait pas été respecté, ce qui entraînait l'annulation du prononcé attaqué, indépendamment du bien-fondé des griefs matériels soulevés dans le recours.
B. Statuant le 29 août 2011, la juridiction cantonale a condamné la Nationale à prendre en charge, au titre de l'assurance-accidents obligatoire, les suites de l'événement du 27 octobre 2008.
C. La Nationale interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant implicitement à la confirmation de sa décision sur opposition du 24 août 2009. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. La juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique (OFSP) ont renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2. Le litige porte sur le droit éventuel de l'intimée à la prise en charge par la recourante des frais de traitement pour les suites de l'événement du 27 octobre 2008 au titre des prestations en cas de lésions corporelles assimilées à un accident au sens de l'art. 9 al. 2 let. c OLAA (déchirures du ménisque).
Le jugement attaqué ne concernant pas l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents (art. 105 al. 3 LTF), le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF.
3. 3.1 Selon l'art. 9 al. 2 let. c OLAA, les déchirures du ménisque sont assimilées à un accident, même si elles ne sont pas causées par un facteur extérieur de caractère extraordinaire, pour autant qu'elles ne soient pas manifestement imputables à une maladie ou à des phénomènes dégénératifs.
3.2 La juridiction cantonale a admis l'existence d'une lésion intra-méniscale, soit une déchirure du ménisque de stade II, qui n'est pas arrivée à la surface du ménisque et qui, de ce fait, n'était pas visible lors de l'arthroscopie effectuée par le docteur G._, spécialiste en chirurgie orthopédique, le 10 février 2009. Les premiers juges se sont fondés pour cela sur le témoignage de ce médecin recueilli lors de l'audience d'enquête tenue le 18 janvier 2010. Ils ont retenu des déclarations du docteur G._ qu'une imagerie par résonance magnétique (IRM) effectuée le 12 novembre 2008 avait révélé l'existence d'une lésion, soit une dégénération mucoïde, soit une lésion traumatique. Cette dernière était toutefois la plus probable, dès lors qu'une lésion intra-méniscale ne pouvait être observée à l'arthroscopie du 10 février 2009, que la douleur était survenue à la suite de l'événement et que l'existence d'une cause dégénérative n'était pas explicable.
De son côté, la recourante fait valoir que la juridiction cantonale a apprécié les avis médicaux et constaté les faits pertinents d'une manière arbitraire en retenant à tort l'existence d'une lésion intra-méniscale en relation avec l'événement du 27 octobre 2008. Selon la recourante, la juridiction cantonale a ainsi écarté des faits et n'a pas tenu compte de l'ensemble des éléments pertinents, de sorte que ses constatations sont en contradiction avec certaines pièces ou déclarations consignées au dossier. La recourante est d'avis que les premiers juges ont fait une lecture manifestement erronée des pièces du dossier et qu'ils ont tiré des éléments recueillis des constatations insoutenables et en contradiction manifeste avec la situation de fait, de sorte que le jugement attaqué se révèle arbitraire dans son résultat.
3.3 Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause que si ceux-ci ont été établis en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire (cf. Message concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale du 28 février 2001, FF 2001 p. 4135), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause. La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci. L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62 et les références). Il appartient au recourant de démontrer le caractère arbitraire par une argumentation répondant aux exigences de l'art. 42 al. 2 LTF, respectivement de l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
3.4 Lors de l'audience d'enquête du 18 janvier 2010, le docteur G._ a déclaré à la juridiction cantonale qu'il n'avait pas d'explications claires au sujet des douleurs au genou droit et qu'il ne pouvait pas, le jour de l'audience, confirmer ou infirmer l'existence d'une lésion du ménisque. Selon ce médecin, l'IRM du 12 novembre 2008 montre une lésion probable d'un certain type, soit une dégénération mucoïde, soit une lésion traumatique. Mais même en ce qui concerne l'existence d'une lésion (dégénérative ou traumatique), le docteur G._ n'est pas catégorique, puisque, selon lui, la plica synoviale réséquée est un symptôme présent chez beaucoup de personnes et ne constitue pas nécessairement une pathologie. En effet, ce repli de la peau qui entoure l'articulation du genou peut s'enflammer lors d'un traumatisme ou même sans traumatisme, et peut éventuellement expliquer les douleurs. Aussi, ce médecin conclut-il son témoignage en affirmant que l'hypothèse la plus probable est celle d'une lésion intra-méniscale ou celle de la plica synoviale.
Cela étant, en retenant l'existence d'une lésion intra-méniscale (déchirure du ménisque de stade II) d'origine traumatique, la juridiction cantonale n'a pas tenu compte de plusieurs éléments avancés par le docteur G._. En effet, ce médecin n'a pas pu confirmer ou infirmer l'existence d'une lésion du ménisque à l'origine des douleurs et il ne tranche pas non plus le point de savoir si celles-ci doivent être attribuées à une lésion de ce type ou à la plica synoviale, laquelle a pu s'enflammer même sans traumatisme. En outre, en ce qui concerne les causes d'une lésion intra-méniscale éventuelle, le docteur G._ a évoqué une dégénération mucoïde et une atteinte extérieure, pour retenir finalement la seconde hypothèse au seul motif que l'assurée ne souffrait d'aucune douleur avant le mouvement de flexion-rotation effectué le 27 octobre 2008. On ne saurait toutefois retenir l'existence d'un lien de causalité naturelle avec ce mouvement au seul motif que les douleurs au genou sont apparues après cet événement. Cela reviendrait en effet à se fonder sur l'adage "post hoc ergo propter hoc", lequel ne permet pas, selon la jurisprudence, d'établir l'existence d'un tel lien (ATF 119 V 335 consid. 2b/bb p. 341 s.). Ainsi donc, dans la mesure où les premiers juges n'ont pas tenu compte, sans raison sérieuse, de plusieurs éléments importants ressortant des déclarations du docteur G._ et susceptibles d'influer sur le sort de la cause, l'appréciation des preuves apparaît arbitraire. Il convient dès lors de s'écarter des constatations de la juridiction cantonale, selon laquelle l'assurée a subi une déchirure du ménisque au sens de l'art. 9 al. 2 let. c OLAA. Partant, il n'est pas nécessaire d'examiner si les autres conditions jurisprudentielles mises à l'octroi de prestations de l'assurance-accidents en cas de lésion corporelle assimilée à un accident (cf. ATF 129 V 466) sont réalisées en l'espèce.
La décision sur opposition de la recourante du 24 août 2009 n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle bien fondé.
4. L'intimée, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 2 LTF).
Par ailleurs, la recourante n'a pas droit à des dépens en sa qualité d'organisation chargée de tâches de droit public (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis. Le jugement de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève du 29 août 2011 est annulé et la décision sur opposition de la Compagnie d'Assurances Nationale Suisse SA du 24 août 2009 est confirmée.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3. Il n'est pas alloué de dépens.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 25 septembre 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd