Faits:
A. Le 6 mai 1987, dame X._ a donné naissance à Y._. Quelques années plus tard, elle a épousé X._, avec qui elle a eu deux enfants, A._, puis B._, nées respectivement en 1993 et 1999.
Au début de l'année 2002, X._ a adopté Y._.
B. Le 21 septembre 2007, Y._ a ouvert contre ses parents une action alimentaire, concluant à ce qu'ils soient condamnés à lui verser une contribution d'entretien de 1'500 fr. par mois dès le 31 août 2006 et jusqu'à la fin de sa formation.
Par jugement du 6 décembre 2007, le Tribunal de première instance du canton de Genève a rejeté l'action.
Statuant le 20 juin 2008, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a admis l'appel de Y._ et condamné les parents à lui payer une contribution d'entretien de 800 fr. durant la première année de sa formation (du 1er août 2007 au 31 juillet 2008), 700 fr. durant la seconde année (prévue du 1er août 2008 au 31 juillet 2009) et 500 fr. durant la troisième année (prévue du 1er août 2009 au 31 juillet 2010).
C. Agissant par la voie du recours en matière civile et du recours constitutionnel subsidiaire, les époux X._ concluent à l'annulation de l'arrêt cantonal et à ce qu'ils soient libérés de toute contribution d'entretien.
Des déterminations sur le fond n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours a été interjeté en temps utile, compte tenu des féries d'été (art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. b LTF) par des parties qui ont succombé partiellement devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale et sur recours par le tribunal supérieur du canton de Genève (art. 75 LTF) dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF). S'agissant de la valeur litigieuse, elle est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF) juste avant que celle-ci prononce le jugement (BEAT RUDIN, in : Bundesgerichtsgesetz, Commentaire bâlois, 2008, n. 23 ad art. 51 LTF; SPÜHLER ET AL., Kurzkommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2006, n. 2 ad art. 51 LTF), ce qui représente en l'espèce un montant de 360'000 fr. [(1'500 fr. x 12) x 20; art. 51 al. 4 LTF]. La valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. étant atteinte (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours en matière civile est recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris les droits constitutionnels (ATF 133 III 446 consid. 3.1, 462 consid. 2.3). Saisi d'un tel recours, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2), ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF) et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées; à ce défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée (cf. ATF 130 III 138 consid. 1.4). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF).
2. Les recourants soutiennent que les juges précédents auraient écarté de manière arbitraire des faits décisifs pour l'issue du litige.
2.1 Il convient de rappeler que le juge dispose d'un large pouvoir lorsqu'il apprécie les preuves. La partie recourante doit ainsi démontrer dans quelle mesure le juge a abusé de son pouvoir d'appréciation et, plus particulièrement, s'il a omis, sans aucune raison sérieuse, de prendre en compte un élément de preuve propre à modifier la décision attaquée, s'il s'est manifestement trompé sur son sens et sa portée ou encore si, en se fondant sur les éléments recueillis, il en a tiré des constatations insoutenables (ATF 129 I 8 consid. 2.1).
2.2 En premier lieu, les recourants s'en prennent à l'omission par la cour cantonale de la constatation selon laquelle « Y._ avait déclaré se sentir proche de son père, avoir le même caractère, être calme comme lui, contrairement à sa mère, plus vive, avec qui elle parlait de sujet plus intimes ». On ne discerne pas en quoi ces éléments sont pertinents pour l'issue du litige; ils n'apportent en particulier aucun éclairage utile sur d'éventuelles violations par l'intimée de ses obligations filiales (cf. consid. 5 infra). Savoir si l'intimée était plus proche de son père ou de sa mère ne renseigne pas sur ses responsabilités dans la rupture avec ses parents. Les recourants déclarent certes que ces constatations sont décisives, mais s'abstiennent d'expliquer en quoi elles pourraient influer sur le sort de la cause.
2.3 Selon les recourants, les juges cantonaux ont décrit de manière incomplète les raisons pour lesquelles dame X._ a bénéficié d'un non-lieu dans l'enquête pénale ouverte à son encontre à la suite des violences physiques dénoncées par sa fille. Ils sont d'avis que l'autorité précédente aurait dû retenir que, selon l'ordonnance rendue par le juge d'instruction vaudois le 25 octobre 2005, dame X._ éduquait ses filles de manière stricte, mais qu'il ne s'agissait pas de maltraitance et qu'aucun autre élément de l'enquête n'avait permis d'établir le contraire. Le grief tombe à faux car l'arrêt attaqué mentionne expressément à la let. Bb in fine les circonstances décrites par les recourants.
2.4 La cour cantonale aurait également rapporté des faits incomplets en omettant de mentionner qu'à l'issue de sa scolarité obligatoire, l'intimée n'avait pas trouvé d'apprentissage et a dû faire une année de raccordement avant de commencer un apprentissage de laborantine. Les recourants ne précisent toutefois pas quelle pièce ou élément du dossier les juges précédents auraient écarté ou mal interprété. Ils n'indiquent en outre pas où et quand ils auraient allégué le fait litigieux devant les juridictions cantonales. Il s'agit donc d'un fait nouveau et partant, irrecevable (art. 99 al. 1 LTF).
2.5 Le même constat peut être fait en ce qui concerne l'allégation des recourants selon laquelle leur fille aurait quitté le domicile familial en 2005, et non en 2006 comme arrêté par la cour cantonale. Il ne ressort nullement de l'arrêt attaqué que les recourants auraient allégué un tel fait. Du reste, le passage du courrier auquel ils se réfèrent - « Avec O._, ce n'était pas du tout pareil, je ne pouvais plus être à la maison car vous me dégoûtiez (...) » - est totalement impropre à démontrer que l'intimée aurait quitté le foyer antérieurement à la date retenue par les juges précédents.
2.6 En dernier lieu, les recourants affirment que la cour cantonale a tiré des conclusions insoutenables d'un courrier d'une ancienne collègue de l'intimée en retenant que celle-ci avait été victime de mobbing de la part de son second employeur. En cela, ils se méprennent sur les constatations effectuées par la cour cantonale. Celle-ci a retenu que l'intimée avait allégué, sans être contestée sur ce point, avoir mis un terme, le 16 novembre 2006, à sa formation de gestionnaire de commerce de détail en raison du mobbing qu'elle subissait de la part de son employeur. Elle a relevé également la production par l'intimée d'un courrier émanant d'une ancienne collègue qui attestait du fait rapporté. Contrairement à ce que soutiennent les recourants, l'autorité cantonale a uniquement déduit de ces éléments que l'intimée n'était pas entièrement responsable de l'interruption de cet apprentissage, sans pour autant tenir pour établi qu'elle avait été victime de mobbing.
En définitive, les recourants échouent dans leur remise en question des faits de l'arrêt entrepris. La cour de céans s'en tiendra par conséquent aux faits retenus par les juges précédents (art. 105 al. 1 LTF).
3. Les recourants prétendent que la Cour de justice a enfreint l'art. 8 CC en constatant les faits.
3.1 L'art. 8 CC répartit le fardeau de la preuve pour toutes les prétentions fondées sur le droit fédéral et détermine, sur cette base, laquelle des parties doit assumer les conséquences de l'échec de la preuve (ATF 130 III 321 consid. 3.1; 129 III 18 consid. 2.6). On déduit également de l'art. 8 CC un droit à la preuve et à la contre-preuve (ATF 129 III 18 consid. 2.6; 126 III 315 consid. 4a). En particulier, le juge enfreint cette disposition s'il tient pour exactes les allégations non prouvées d'une partie, nonobstant leur contestation par la partie adverse, ou s'il refuse toute administration de preuve sur des faits pertinents en droit (ATF 130 III 591 consid. 5.4; 114 II 289 consid. 2a). En revanche, lorsque l'appréciation des preuves convainc le juge qu'un fait est établi à satisfaction de droit ou réfuté, la question de la répartition du fardeau de la preuve ne se pose plus et le grief tiré de la violation de l'art. 8 CC devient sans objet. Il s'agit alors d'une question d'appréciation des preuves (cf. ATF 127 III 519 consid. 2a p. 522; 122 III 219 consid. 3c).
3.2 En réalité, sous le couvert de l'art. 8 CC, les recourants reprochent aux juges cantonaux de n'avoir tenu compte que de certaines preuves et de les avoir « résumées ». Ces griefs, qui relèvent de l'appréciation des preuves, ont été examinés au considérant précédent. Rien ne permet de les rattacher à la disposition invoquée, les recourants ne prétendant pas que les juges cantonaux auraient tiré des constatations de faits de simples allégations ou qu'ils auraient refusé l'administration de preuves sur des faits pertinents. Le moyen pris de la violation de l'art. 8 CC est par conséquent sans objet.
4. Les recourants prétendent que les conditions d'application de l'art. 277 al. 2 CC ne sont pas remplies en l'espèce et que, par conséquent, leur fille majeure n'a pas droit à une contribution d'entretien. Selon eux, celle-ci ne poursuit pas d'études sérieuses et régulières, d'une part, et, d'autre part, elle supporte l'entière responsabilité de la rupture de leurs relations.
4.1 Selon la disposition précitée, si à sa majorité, l'enfant n'a pas encore de formation appropriée, les père et mère doivent, dans la mesure où les circonstances permettent de l'exiger d'eux, subvenir à son entretien jusqu'à ce qu'il ait acquis une telle formation, pour autant qu'elle soit achevée dans les délais normaux.
Le devoir d'entretien des père et mère de l'enfant majeur est destiné à donner à ce dernier la possibilité d'acquérir une formation professionnelle, à savoir les connaissances qui lui permettront de gagner sa vie dans un domaine correspondant à ses goûts et à ses aptitudes. La formation tend donc à l'acquisition de ce qui est nécessaire pour que l'enfant puisse se rendre autonome par la pleine exploitation de ses capacités, soit pour faire face par ses propres ressources aux besoins matériels de la vie (ATF 117 II 372 consid. 5b). Elle doit être achevée dans les délais normaux, ce qui implique que l'enfant doit s'y consacrer avec zèle ou, en tout cas, avec bonne volonté, sans toutefois faire preuve de dispositions exceptionnelles. La loi n'impose pas l'assistance à un étudiant qui perd son temps; il y a lieu d'accorder une importance décisive à l'intérêt, à l'engagement et à l'assiduité que manifeste un enfant à l'égard d'une formation déterminée dont on peut légitimement admettre qu'elle correspond à ses aptitudes. Le retard entraîné par un échec occasionnel de même qu'une brève période infructueuse ne prolonge pas nécessairement de manière anormale les délais de formation. Il incombe toutefois à l'enfant qui a commencé des études depuis un certain temps et réclame une contribution d'entretien de prouver qu'il a obtenu des succès, notamment qu'il a présenté les travaux requis et réussi les examens organisés dans le cours normal des études (ATF 117 II 127 consid. 3b et les arrêts cités).
4.2 Selon l'arrêt entrepris, l'intimée a terminé sa scolarité obligatoire en août 2003. Elle a alors commencé un apprentissage de laborantine en chimie, dont la durée prévue était de quatre ans. Durant cette formation, elle demeurait la semaine dans une chambre louée à Aubonne et passait les weeks-ends chez ses parents ou son ami. Cette période est marquée par un grave conflit qui l'a opposée à sa mère. L'intimée ayant confié à une infirmière scolaire au printemps 2004 qu'elle avait été victime de violences physiques de la part de sa mère, le Service de protection de la jeunesse de Lausanne a dénoncé le cas au juge d'instruction de l'arrondissement de la Côte. Celui-ci a rendu le 25 juin 2005 une ordonnance de non-lieu dans laquelle il a retenu que dame X._ s'était nettement adoucie depuis un incident survenu en 2002 au cours duquel elle avait frappé sa fille, et que si elle éduquait ses enfants de manière stricte, il ne s'agissait pas de maltraitance. Selon le certificat médical établi par le Dr C._ qui a suivi l'intimée de juillet à septembre 2005, celle-ci a souffert à cette époque de sévères troubles anxiodépressifs en rapport avec le conflit familial et qui ont influé sur sa capacité à poursuivre son apprentissage. D'entente avec son employeur, l'intimée a d'ailleurs mis fin à cette formation en décembre 2005. En août 2006, par l'entremise de son père, elle a commencé un apprentissage de gestionnaire du commerce de détail dans une entreprise horlogère. A la même époque, la situation familiale étant restée conflictuelle, elle a quitté le domicile de ses parents et s'est installée à Genève chez son ami. Le 16 novembre 2006, soit pendant la période d'essai, le contrat d'apprentissage a été rompu. Y._ a allégué, sans être contestée sur ce point, avoir été victime de mobbing de la part de son employeur et a produit un courrier d'une ancienne collègue qui attestait que l'intéressée était constamment dénigrée et rabaissée par son employeur. En mai 2007, l'intimée a signé un contrat d'apprentissage d'employée de commerce avec La Poste. Juste avant de commencer cette formation, elle ne s'est pas présentée à un stage d'une semaine prévu durant le mois de juillet 2007, que lui avait trouvé son père. Le 1er août suivant, elle a débuté l'apprentissage auprès de la Poste dont la durée est de trois ans, soit jusqu'au 31 juillet 2010. Un bulletin scolaire daté du 22 janvier 2008 atteste de résultats globalement bons et du suivi régulier des cours; un rapport de formation détaillé lui attribue une note de 5,5 sur 6 pour ses compétences professionnelles.
4.3 En l'occurrence, les deux premiers apprentissages commencés par l'intimée n'ont pas été menés à terme. Toutefois, ces échecs ne peuvent être attribués à un manque de volonté ou d'engagement de la part de l'intéressée. L'interruption du premier apprentissage s'explique en partie par les problèmes de santé psychique découlant du grave conflit familial, sans qu'il ne ressorte nullement de l'arrêt entrepris que cette interruption soit due à un manque d'engagement ou d'intérêt de l'intimée. Quand à l'arrêt du second apprentissage en novembre 2006, aucun indice ne laisse entendre qu'il provienne d'un défaut d'assiduité ou à une mauvaise volonté. On ne saurait déduire ces circonstances du fait qu'elle ne se soit pas présentée au stage d'une semaine prévu par son père pour le mois de juillet 2007, car il n'apparaît pas que ce stage d'une durée très limitée avait valeur de formation professionnelle ou même qu'il aurait été lié à la formation qu'elle devait débuter auprès de la Poste. S'agissant de cet apprentissage, l'intimée a démontré qu'elle donnait pleinement satisfaction à son employeur et qu'elle suivait avec succès les cours professionnels. Enfin, les parties avaient convenu alors que l'intimée était encore mineure qu'elle s'engagerait dans un apprentissage. Ce choix a d'ailleurs encore été confirmé par la suite, les parents l'ayant soutenu encore postérieurement à la majorité, en août 2006, dans la reprise d'un apprentissage qui a été interrompu sans que l'on puisse imputer cet arrêt à une faute de l'intéressée.
Au vu des circonstances, les juges cantonaux ont appliqué correctement le droit fédéral en considérant que le parcours scolaire et professionnel de l'intimée ne justifiait pas le refus d'une contribution d'entretien.
5. Les recourants affirment aussi que la rupture des relations personnelles est uniquement due à leur fille, ce qui exclut toute contribution d'entretien.
5.1 L'obligation d'entretien de l'art. 277 al. 2 CC dépend notamment des relations personnelles entre les parents et l'enfant (cf. ATF 127 I 202 consid. 3e). L'inexistence de celles-ci attribuée au seul comportement du demandeur d'aliments peut ainsi justifier un refus de la part des parents de toute contribution (ATF 120 II 177 consid. 3c et les arrêts cités). La jurisprudence exige toutefois que l'attitude de l'enfant lui soit imputable à faute, celle-ci devant être appréciée subjectivement (ATF 113 II 374 consid. 2); l'enfant doit avoir violé gravement (ATF 111 II 411 consid. 2) les devoirs qui lui incombent en vertu de l'art. 272 CC, et dans les cas où les relations personnelles sont rompues, avoir provoqué la rupture par son refus injustifié d'entretenir celles-là, son attitude gravement querelleuse ou son hostilité profonde. Admettre, dans de telles circonstances, le droit à l'entretien après la majorité reviendrait en effet à réduire le débiteur au rôle de parent payeur, ce que n'a assurément pas voulu le législateur (ATF 113 II 374 consid. 2; ATF 120 II 177 consid. 3c et les arrêts cités; 5C.205/2004 consid. 5.1 publié in : FamPra.ch 2005 p. 414).
5.2 Selon les constatations cantonales, les parties vivent dans une situation conflictuelle depuis plusieurs années, des épisodes de crise aiguë ayant alterné avec des périodes plus calmes. Le départ de l'intimée du domicile familial le 31 août 2006 pour s'installer chez son ami avait aussi pour but de ne pas laisser la situation s'envenimer davantage. Dans ce contexte, l'intimée a adressé à sa mère une lettre dans laquelle elle lui expliquait se sentir bloquée et avoir peur de lui parler. Elle reconnaissait avoir fait des « conneries » et y déclarait qu'elle pensait qu'elle [sa mère] ne lui faisait plus confiance et ne croyait plus en elle. Elle y écrivait encore « je ne sais même pas si tu m'aimes toujours ». Elle exprimait son souhait de vivre avec son ami, tout en gardant le contact avec ses parents et de pouvoir venir les voir, car elle ne pouvait pas vivre sans eux. Elle demandait à sa mère de la comprendre et de respecter son choix car elle ne voulait pas la perdre. Elle terminait sa lettre en lui disant qu'elle l'aimait de tout son coeur, pour toujours, et qu'elle pouvait l'appeler au téléphone. A son père, elle a également écrit pour demander une aide financière. Elle lui expliquait ne pas pouvoir retourner vivre à la maison car il s'était passé trop de choses avec sa mère et que « c'est plus fort [qu'elle] ». Elle disait avoir cherché un emploi en plus de son apprentissage, mais qu'elle ne pourrait pas étudier suffisamment ses cours si elle travaillait à côté. Or, sa formation lui tenait à coeur et elle sentait qu'elle allait réussir. Elle espérait ne pas perdre le contact avec ses parents, précisant que si elle avait une autre possibilité, elle ne demanderait pas d'argent à son père.
Par courrier du 25 septembre 2006, un assistant social du centre social protestant de Lausanne (ci-après : CSP) s'est adressé à dame X._ et l'a informée avoir reçu la visite de Y._. Souhaitant proposer des « pistes » afin de trouver une solution acceptable pour tous, l'employé du CSP a transmis les dispositions légales en matière d'entretien et lui a expliqué que, selon un budget fait avec Y._, celle-ci subissait un manque à gagner de quelques centaines de francs par mois. En conséquence, le CSP recommandait la signature d'une convention entre elle et sa fille qui prévoirait qu'en échange d'une contribution d'entretien pendant sa formation, Y._ l'informerait régulièrement de l'avancement de celle-ci. Le courrier précisait que le CSP restait à disposition pour toutes informations supplémentaires ou pour la recevoir avec Y._. Les recourants n'ont pas donné suite à ce courrier.
5.3 Au vu des faits constatés, l'origine de la situation conflictuelle dans laquelle vivent les parties depuis plusieurs années ne peut être attribuée à la faute exclusive de l'une ou l'autre. Tentant d'attribuer cette faute à leur fille, les recourants s'écartent des faits arrêtés par l'autorité précédente - et qui, par conséquent, lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF) - lorsqu'ils prétendent que la situation familiale tendue est due uniquement à l'attitude de Y._ qui a engagé une procédure pénale contre sa mère. Selon l'arrêt cantonal, la procédure pénale a été ouverte suite à la dénonciation du Service de protection de la jeunesse, lui-même informé par l'infirmière scolaire à laquelle Y._ s'était confiée. Il est du reste établi que dame X._, au moins à une reprise, a frappé sa fille. La cour cantonale a encore constaté que le départ de l'intimée avait également pour but de ne pas envenimer davantage la situation. On ne peut dès lors qu'approuver la conclusion de la cour cantonale selon laquelle les parties se partagent la responsabilité du différend familial. En ce qui concerne l'absence actuelle de relations personnelles, les courriers adressés par l'intimée à ses parents postérieurement à son départ de la maison démontrent clairement sa volonté de ne pas se couper de sa famille. Les recourants, qui n'ont réagi ni à ces courriers ni à l'invitation du CSP sans qu'on ne discerne les raisons pour lesquelles ils ne répondent pas aux efforts de leur fille pour se rapprocher d'eux, ne peuvent ainsi sérieusement soutenir que l'absence de relations personnelles provient du seul comportement de celle-ci.
Par ailleurs, comme l'a relevé la cour cantonale, il apparaît que le motif pour lequel ils refusent de fournir toute contribution à leur fille réside dans son choix de quitter le domicile familial contre leur volonté pour vivre en concubinage avec son ami. A suivre leur argumentation cette attitude constitue une violation des obligations filiales qui justifie leur refus de contribuer à l'entretien de leur fille. Or, le fait que l'enfant ait quitté le domicile familial et vive en concubinage n'exclut nullement qu'il puisse prétendre à une contribution d'entretien si les parents partagent la responsabilité du différend à l'origine du départ (ATF 111 II 413), ce qui est le cas en l'espèce.
L'autorité précédente n'a par conséquent pas violé l'art. 277 al. 2 CC en reconnaissant le droit à l'entretien.
6. En conclusion, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires seront supportés par les recourants qui succombent (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'accorder de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à répondre (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge des recourants.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 4 décembre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Rey-Mermet