Erwägungen:
1. X._ ist pakistanischer Staatsangehöriger. Am 13. Februar 2001 heiratete er in seiner Heimat die deutsche Staatsangehörige Y._, die seit 1996 in der Schweiz lebt, und zog am 1. März 2002 zu ihr nach Frauenfeld.
Am 2. April 2007 stellte X._ bei den Behörden des Kantons Thurgau einen Antrag auf Erteilung der eidg. Einbürgerungsbewilligung, den diese zuständigkeitshalber dem Bundesamt für Migration überwies. X._ hielt in seiner Eingabe ausdrücklich fest, dass sich das Gesuch ausschliesslich auf ihn beziehe. Eine Einbürgerung der Ehefrau werde nicht beabsichtigt. Mit Schreiben vom 11. Mai 2007 teilte das Bundesamt für Migration X._ mit, dass die zeitlichen Wohnsitzerfordernisse für eine Einbürgerungsbewilligung gemäss Art. 15 Bürgerrechtsgesetz (BüG, SR 141.0) nicht erfüllt seien. Das Bundesamt ersuchte um Mitteilung, falls X._ eine anfechtbare Verfügung wünsche.
2. Das Bundesamt für Migration erliess auf Verlangen von X._ am 22. November 2007 eine Verfügung, mit welcher es auf das Gesuch um Erteilung der eidg. Einbürgerungsbewilligung wegen Fehlens der zeitlichen Wohnsitzerfordernisse gemäss Art. 15 BüG nicht eintrat. Eine gegen diese Verfügung von X._ erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 28. April 2008 ab. Zur Begründung führte das Bundesverwaltungsgericht zusammenfassend aus, dass X._ die formellen Voraussetzungen der Einbürgerungsbewilligung gemäss Art. 15 BüG nicht erfülle. Die erleichterte Einbürgerung sei nicht möglich, da X._ nicht mit einer Schweizerin verheiratet sei. An diesem Umstand ändere auch das Freizügigkeitsabkommen nichts, da dieses nur durch Staatsangehörige eines Vertragsstaates angerufen werden könne und zudem der Erwerb der Staatsangehörigkeit eines Vertragsstaates nicht zu den Rechtsbereichen gehöre, die das Freizügigkeitsabkommen mit seinen Anhängen regle.
3. X._ führt mit Eingabe vom 19. Mai 2008 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) gegen das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 28. April 2008. Das Bundesgericht verzichtete auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von Art. 82 BGG ist gemäss Art. 83 lit. b BGG gegen Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ausgeschlossen. Nicht unter diese Bestimmung fällt die erleichterte Einbürgerung nach Art. 26 ff. BüG, die vom Beschwerdeführer mit seiner Beschwerde hauptsächlich angestrebt wird. Ob dies auch für die vom Beschwerdeführer ebenfalls angerufene Einbürgerungsbewilligung nach Art. 12 Abs. 2 ff. BüG zutrifft, kann vorliegend offen bleiben, da - wie nachfolgende Ausführungen ergeben - mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
5. Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Art. 95 ff. BGG nennt die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen des Bundesverwaltungsgerichts, mit denen die Voraussetzungen für eine Einbürgerungsbewilligung bzw. eine erleichterte Einbürgerung verneint wurden, nicht auseinander und legt nicht dar, inwiefern das Bundesverwaltungsgericht dabei Bestimmungen des Bürgerrechtsgesetzes verletzt haben sollte. Das Bundesverwaltungsgericht legte dem Beschwerdeführer ausserdem ausführlich dar, dass er sich zu Unrecht auf das Freizügigkeitsabkommen und das Diskriminierungsverbot gemäss Art. 8 Abs. 2 BV berufe. Inwiefern es dabei Recht im Sinne von Art. 95 ff. BGG verletzt haben sollte, legt der Beschwerdeführer weder dar noch ist solches ersichtlich. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich geltend macht, das Bundesverwaltungsgericht hätte verschiedene kantonale Bestimmungen nicht angewendet, ergibt sich aus seiner Beschwerde nicht, inwiefern diese Bestimmungen in Bezug auf die eidgenössische Einbürgerungsbewilligung hätten beachtet werden müssen. Mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG entschieden werden kann.
6. Entsprechend dem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Pfäffli