Faits:
A. B._, né en 1959, travaillait en qualité d'infirmier chef d'une unité de soins au service du foyer X._, à R._ (ci-après: le foyer). A ce titre, il était assuré contre les accidents professionnels et non professionnels auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Par déclaration du 4 mars 2008, l'employeur de l'assuré a annoncé un accident survenu le 3 mars précédent en ces termes: « M. B._ s'est tordu la nuque en retenant une résidante qui a chuté ». Consulté le jour même de l'événement, le docteur P._ a diagnostiqué des cervicalgies post-traumatiques et prescrit le port d'une minerve. Il a attesté une incapacité de travail du 4 au 16 mars 2008 (rapport du 27 mars 2008). L'assuré a été licencié avec effet au 28 mars 2008. Le 22 avril 2008, le docteur T._ a posé le diagnostic de cervico-brachialgie gauche secondaire à un traumatisme et prévu la reprise du travail à 100 % dès le 29 avril 2008.
Par décision du 12 juin 2008, la CNA a refusé d'allouer ses prestations pour les suites de l'événement du 3 mars 2008, au motif que ce dernier ne constituait ni un accident, ni une lésion corporelle assimilée à un accident.
Saisie d'une opposition, la CNA a confirmé son refus dans une nouvelle décision du 30 septembre 2008.
B. B._ a déféré cette décision sur opposition à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois. A l'appui de son recours, il a produit un rapport du docteur P._ du 17 octobre 2008, selon lequel il avait présenté des cervicalgies après s'être bloqué la nuque. Ce médecin a précisé que sous l'angle d'une lésion corporelle assimilée à un accident, on pourrait évoquer éventuellement un déboîtement d'articulation.
Le 19 mai 2009, une audience d'instruction s'est tenue au cours de laquelle l'assuré a précisé les circonstances de l'événement du 3 mars 2008.
Statuant le 2 juillet 2009, la juridiction cantonale a admis le recours et réformé la décision sur opposition de la CNA en ce sens que cette dernière était tenue de prendre en charge les suites de l'atteinte à la santé consécutive à l'événement du 3 mars 2008. En substance, elle a considéré que l'intéressé avait subi une lésion corporelle assimilée à un accident. Selon la juridiction cantonale, c'est dans un mouvement de torsion, accompagné du port du poids de la patiente, retenue à bout de bras qu'est intervenu le traumatisme.
C. La CNA interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation en concluant au rétablissement de sa décision sur opposition du 30 septembre 2008.
B._ conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Quant à l'Office fédéral de la santé publique, il a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Sous l'angle formel, l'intimé fait valoir que le signataire du recours H._, avocat, n'est pas inscrit au registre du commerce et n'a pas le pouvoir de représenter la recourante.
Ce grief doit être rejeté. Jurisprudence et doctrine considèrent en effet que l'inscription au registre du commerce n'est pas une condition de l'existence d'un pouvoir de représentation ni sur le plan interne ni sur le plan externe (cf. arrêt 4C.136/2004 du 13 juillet 2004 consid. 2.2.2.2.2 non publié in ATF 130 III 633 et les références). En l'espèce, la validité de la représentation dépend uniquement d'une réglementation interne. Il n'y a pas de raison de mettre en doute que, sur le plan interne, Me H._, avocat à la division juridique de la CNA, a le pouvoir de représenter cet établissement dans une procédure devant le Tribunal fédéral (pour un cas comparable concernant une caisse de compensation AVS voir arrêt H 359/99 et H 372/99 du 31 mai 2001).
2. Le litige porte sur le point de savoir si la CNA doit prendre en charge les suites de l'événement du 3 mars 2008.
3. Le jugement entrepris expose correctement les règles (art. 4 LPGA; art. 9 OLAA en relation avec l'art. 6 al. 2 LAA) et les principes jurisprudentiels applicables au litige, de sorte qu'on peut y renvoyer.
On rappellera que la notion d'accident se décompose en cinq éléments ou conditions, qui doivent être cumulativement réalisés : une atteinte dommageable; le caractère soudain de l'atteinte; le caractère involontaire de l'atteinte; le facteur extérieur de l'atteinte; enfin, le caractère extraordinaire du facteur extérieur (cf. art. 4 LPGA). Il suffit que l'un d'entre eux fasse défaut pour que l'événement ne puisse pas être qualifié d'accident (cf. ATF 129 V 402 consid. 2.1 p. 404 et les références; 122 V 230 consid. 1 p. 232 sv.).
En ce qui concerne les lésions assimilées à un accident qui sont énumérées exhaustivement à l'art. 9 al. 2 let. a à h OLAA, la jurisprudence a précisé qu'à l'exception du caractère «extraordinaire» de la cause extérieure, toutes les autres conditions constitutives de la notion d'accident doivent être réalisées (ATF 129 V 466).
4. 4.1 Il convient tout d'abord de se demander si l'événement du 3 mars 2008 est constitutif d'un accident, comme le soutient l'intimé à titre alternatif.
4.2 Lors de l'audience de comparution du 19 mai 2009, l'assuré a expliqué qu'au moment où il ouvrait le lit d'une patiente, celle-ci s'est levée de sa chaise roulante. Afin d'éviter qu'elle ne tombe, il s'est brusquement retourné vers elle. Dans ce mouvement de rotation, exécuté à bout de bras dans l'urgence, il a été entraîné par la chute de la patiente, pour en fin de compte, l'accompagner jusqu'au sol, au niveau duquel il s'est également retrouvé. Invité à préciser ses propos, l'assuré a souligné qu'il ne s'était pas agi d'une chute au sens premier du terme, mais de l'accompagnement de la chute de la patiente.
5. Au vu de cette description, il n'est pas décisif de savoir si l'assuré a ou non chuté. L'atteinte à la santé est survenue au moment où l'assuré, selon ses dires, a tenté de retenir la patiente. Si la condition du facteur extérieur est réalisée au travers du mouvement de torsion brusque effectué par l'intimé, celui-ci ne revêt pas en l'espèce un caractère extraordinaire justifiant d'admettre la survenance d'un accident. La rotation effectuée dans la précipitation par l'assuré pour retenir la patiente sur le point de choir n'est pas inhabituelle pour un infirmier. Il n'apparaît pas non plus que le mouvement litigieux se soit déroulé de manière non programmée, en tant qu'un fait extérieur particulier serait venu interférer celui-ci (cf. arrêt U 220/05 du 22 mai 2006 consid. 4.2). Il s'ensuit que les circonstances qui ont entraîné l'atteinte à la santé de l'assuré ne relèvent pas d'un accident au sens juridique du terme, faute du caractère extraordinaire du facteur extérieur dommageable.
6. Se pose ensuite la question de savoir si, comme l'ont retenu les premiers juges, l'assuré a subi une lésion assimilée à un accident au sens de l'art. 9 al. 2 OLAA (laquelle n'est pas subordonnée à l'existence du caractère «extraordinaire» de la cause extérieure).
Au regard des avis des docteurs P._ (du 27 mars 2008) et T._ (du 22 avril 2008), l'assuré a souffert de cervicalgies post-traumatiques respectivement de cervico-brachialgies. Ces troubles constatés immédiatement après l'événement litigieux (et consistant en de simples douleurs) ne font pas partie des lésions corporelles assimilées à un accident énumérées à l'art. 9 al. 2 OLAA. Certes le docteur P._ a laissé entendre, en octobre 2008, que l'atteinte à la santé de l'assuré pourrait entrer dans la catégorie des déboîtements d'articulation. Cependant, ainsi que l'expose la recourante, l'avis du docteur P._ relève de la simple hypothèse et ne repose sur aucune motivation. En outre, aucun autre médecin n'a évoqué la présence d'une lésion de ce genre. Partant, on doit admettre, conformément à la règle du degré de vraisemblance prépondérante appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181, 402 consid. 4.3 p. 406), que l'assuré n'a pas souffert d'un déboîtement d'articulation ou d'une autre lésion corporelle énumérée à l'art. 9 al. 2 OLAA.
7. Vu ce qui précède, la CNA était fondée, par sa décision sur opposition du 30 septembre 2008 à nier le droit de l'assuré à des prestations de l'assurance-accidents pour les suites de l'événement du 3 mars 2008. Le recours se révèle ainsi bien fondé.
8. L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois du 2 juillet 2009 est annulé.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 30 avril 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung Berset