Faits:
A. Par jugement du 18 novembre 2009, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a condamné A.X._ pour actes d'ordre sexuel avec des enfants à la peine privative de liberté de trente mois. Il a suspendu l'exécution de cette peine à concurrence de quinze mois, fixant un délai d'épreuve de deux ans, et ordonné l'exécution ferme du solde de la peine. En outre, il a déclaré A.X._ débiteur de B.X._ de la somme de 30'000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral, donnant acte à cette dernière de ses réserves civiles pour le surplus.
B. Par arrêt du 22 février 2010, la Cour de cassation pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours formé par A.X._ et confirmé le jugement de première instance. En bref, elle retient les faits suivants:
B.a A.X._, né en 1959, a entretenu une relation sentimentale avec C.X._. De cette relation est née, le 4 février 1993, B.X._. La mère a décidé d'élever seule sa fille, ne souhaitant pas se marier avec le père. Celui-ci a cependant reconnu l'enfant. Par la suite, A.X._ a épousé Y._, avec laquelle il a eu trois enfants. Actuellement, la famille vit à Pully/VD. Bien que A.X._ demeure au domicile conjugal, le couple est désuni. Les époux ont même vécu séparés de septembre 2002 jusqu'en 2006 en tout cas.
B.b En 2003, A.X._ s'est livré à des attouchements sur sa fille, B.X._, âgée alors de dix ans, alors qu'il était venu la garder chez elle, la mère devant s'absenter.
Entre 2003 et le mois de juin 2005, il s'est à nouveau livré à des attouchements sur l'enfant B.X._, à deux ou trois reprises aux domiciles successifs de la fillette, à Prilly et Pully.
A Lausanne, le 9 mai 2006, entre 12h00 et 13h30, il s'est livré à des attouchements sur sa fille par-dessus ses vêtements et également par-dessous, après l'avoir couchée sur son lit. Lors de cet acte, il s'est couché sur sa fille sans qu'il soit possible d'affirmer qu'il l'a pénétrée.
C. Contre cet arrêt cantonal, A.X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision; subsidiairement, il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens qu'il est acquitté de l'ensemble des accusations portées à son encontre et que les conclusions civiles sont intégralement rejetées; plus subsidiairement, il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que sa peine est réduite à dix-huit mois et prononcée avec sursis pendant deux ans; encore plus subsidiairement, il conclut à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens qu'il est condamné à une peine de trente mois, dont six mois ferme, à exécuter en semi-détention, l'exécution du solde de la peine étant suspendue, avec un délai d'épreuve de deux ans. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
Considérant en droit:
1. Le recourant conteste l'intégralité des faits pour lesquels il a été condamné. Selon lui, la cour cantonale aurait établi ceux-ci de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), en se fondant sur les accusations de la jeune fille qui ne serait pas crédible. Parallèlement, il invoque le principe in dubio pro reo.
1. Le recourant conteste l'intégralité des faits pour lesquels il a été condamné. Selon lui, la cour cantonale aurait établi ceux-ci de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), en se fondant sur les accusations de la jeune fille qui ne serait pas crédible. Parallèlement, il invoque le principe in dubio pro reo.
1.1 1.1.1 Le Tribunal fédéral est un juge du droit. Il ne peut revoir les faits établis par l'autorité précédente que s'ils l'ont été de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire arbitraire. On peut renvoyer, sur la notion d'arbitraire, aux principes maintes fois exposés par le Tribunal fédéral (voir par ex: ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4/5; 134 I 140 consid. 5.4 p. 148; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153 et les arrêts cités). Lorsque l'autorité cantonale a forgé sa conviction quant aux faits sur la base d'un ensemble d'éléments ou d'indices convergents, il ne suffit pas que l'un ou l'autre de ceux-ci ou même chacun d'eux pris isolément soit à lui seul insuffisant. L'appréciation des preuves doit être examinée dans son ensemble. Il n'y a pas d'arbitraire si l'état de fait retenu pouvait être déduit de manière soutenable du rapprochement de divers éléments ou indices. De même, il n'y a pas d'arbitraire du seul fait qu'un ou plusieurs arguments corroboratifs sont fragiles, si la solution retenue peut être justifiée de façon soutenable par un ou plusieurs arguments de nature à emporter la conviction.
Le grief d'arbitraire doit être invoqué et motivé de manière précise (art. 106 al. 2 LTF). Le recourant doit exposer, de manière substantiée et pièces à l'appui, que les faits retenus l'ont été d'une manière absolument inadmissible, et non seulement discutable ou critiquable. Il ne saurait se borner à plaider à nouveau sa cause, contester les faits retenus ou rediscuter la manière dont ils ont été établis comme s'il s'adressait à une juridiction d'appel (ATF 133 IV 286). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 III 393 consid. 6 p. 397).
1.1.2 Dans la mesure où, comme en l'espèce, l'appréciation des preuves est critiquée en référence avec le principe in dubio pro reo, celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (ATF 127 I 38 consid. 2a p. 41).
1.2 En l'espèce, la cour cantonale a fondé sa conviction sur un ensemble d'éléments, que le recourant remet en cause:
1.2.1 La condamnation du recourant repose en premier lieu sur les accusations de B.X._. Se fondant sur le rapport d'observation du 13 novembre 2009 du Centre pour Adolescents de Valmont, le recourant soutient que l'adolescente serait une menteuse pratiquement pathologique, une personne extrêmement influençable et qu'elle aurait également une personnalité très instable (révolte à l'égard de sa mère, fugues nocturnes, participation à des "tournantes"). Si la mère de B.X._ a pu déclarer qu'elle avait perdu confiance en sa fille à la suite de nombreux mensonges et entourloupes (rapport d'observation p. 4), cela ne signifie pas encore que la jeune fille soit une menteuse pathologique et que ses accusations soient fausses. L'ensemble des personnes qui ont côtoyé B.X._ ont déclaré qu'elle était crédible dans ses accusations. Il en va ainsi du Directeur du Centre de Valmont qui a rédigé le rapport d'observation mentionné ci-dessus (jugement de première instance p. 16), du Dr Z._, pédopsychiatre (jugement de première instance p. 17) et de la maîtresse principale de la jeune fille (jugement de première instance p. 17). Les déclarations de B.X._ ont certes varié en cours d'enquête sur le fait de savoir si son père l'avait ou non violée. Comme le relève à juste titre le tribunal de première instance, il n'est toutefois pas rare que des enfants ou préadolescents victimes d'abus varient dans leurs accusations, l'essentiel étant ici de constater que B.X._ a toujours déclaré qu'elle avait été agressée sexuellement par son père. Du reste, les autorités cantonales ont abandonné l'accusation de viol, sur laquelle portaient les contradictions. Au vu de ce qui précède, la cour cantonale n'est pas tombée dans l'arbitraire en retenant que les déclarations de la victime étaient crédibles et ce malgré les variations de celles-ci et les difficultés relationnelles que la victime a avec sa mère.
1.2.2 Pour établir la crédibilité des accusations de B.X._, la cour cantonale se réfère au rapport d'observation du Centre pour Adolescents de Valmont et au témoignage de son directeur. Lors de l'audience, celui-ci a en effet déclaré que le comportement destructeur de B.X._ - consistant notamment à adopter des comportements à risque sur le plan sexuel - était typique d'un enfant qui avait subi des maltraitances sexuelles graves. Le recourant relève que, dans son rapport d'observation, le Directeur écrivait: "Nous sommes intimement persuadés que cette adolescente a été gravement maltraitée, sans qu'il nous soit bien sûr possible de déterminer précisément la nature exacte de cette maltraitance" (rapport p. 16). Le recourant voit ainsi une contradiction entre le rapport d'observation (qui laisserait ouverte la nature de la maltraitance) et les déclarations du Directeur du Centre à l'audience (qui conclurait à une maltraitance sexuelle) et en déduit que la cour cantonale serait tombée dans l'arbitraire en retenant la crédibilité des accusations de B.X._ sur la base des dires du Directeur de Valmont. La cour de céans ne voit pour sa part aucune contradiction. Ce dernier n'a pas affirmé que B.X._ avait été victime de maltraitance sexuelle, mais a simplement expliqué que son comportement était typique d'un enfant qui avait subi des maltraitances sexuelles graves (sans pour autant prétendre qu'il était certain qu'elle avait subi de telles maltraitances) et que, partant, les accusations de la jeune fille à l'égard de son père étaient crédibles. La cour de céans ne voit aucun arbitraire dans ce raisonnement.
1.2.3 La cour cantonale s'est en outre fondée sur le témoignage du Dr Z._, pédopsychiatre, qui a supervisé le travail de sa collègue, Dresse D._, qui suit B.X._. Pour ce praticien, il ne fait aucun doute que B.X._ a été confrontée à une atmosphère de violences, la violence pouvant naturellement être comprise comme une violence de nature psychologique ou sexuelle (jugement de première instance p. 17). Le recourant reproche au tribunal et à la cour cantonale d'avoir déduit arbitrairement de ce témoignage que B.X._ n'avait pu subir qu'une violence de nature sexuelle avec son cortège d'atteintes psychologiques. La critique du recourant est mal fondée. Le tribunal explique les raisons qui l'ont conduit à exclure toute autre violence qu'une violence sexuelle. Ainsi, il expose que l'instruction n'a pas établi que B.X._ avait été une enfant battue et que le rapport d'observation montre que B.X._ est une adolescente sociable, alors que l'expérience de la vie démontre que les enfants qui ont souffert de violences physiques sont enclins à les reproduire (jugement de première instance p. 17). Là non plus, la cour de céans ne discerne aucun arbitraire de la part du tribunal et de la cour cantonale.
1.2.4 Les juges cantonaux se sont également référés au témoignage de la maîtresse principale de B.X._. L'institutrice a déclaré que les confidences que B.X._ avait faites à ses amies et que celles-ci lui avaient rapportées étaient crédibles. L'institutrice ne témoigne pas sur les faits et l'objet des déclarations de B.X._, mais affirme que celle-ci était crédible lorsqu'elle a déclaré que les faits rapportés à ses amies étaient véridiques. La cour de céans ne voit pas en quoi la cour cantonale serait tombée dans l'arbitraire en considérant que ce témoignage constituait un élément supplémentaire en faveur de la crédibilité de la victime.
1.2.5 Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir exigé qu'il prouve le mobile des mensonges de sa fille et, partant, son innocence. Ce grief est mal fondé. La motivation de la cour cantonale ne revient pas à demander au recourant qu'il prouve le mobile de la victime. Celle-ci a simplement rejeté sa théorie en expliquant pourquoi elle considérait que la thèse d'une vengeance de la part de B.X._ ne résistait pas à l'examen (jugement de première instance p. 17; arrêt attaqué p. 11).
1.2.6 Enfin, le tribunal et la cour cantonale se sont fondés sur l'attitude, destructrice et empreinte de souffrance, adoptée par B.X._ depuis quelques années. Il ressort clairement des témoignages des éducateurs et du pédopsychiatre que ce comportement est évocateur d'abus sexuels. C'est en vain que le recourant soutient, invoquant le rapport d'observation du Centre de Valmont, que le comportement destructeur de B.X._ trouverait son origine dans les relations conflictuelles que la jeune fille entretient avec sa propre mère. Le rapport d'observation du Centre de Valmont expose certes les difficultés relationnelles entre la fille et la mère, mais déclare clairement que B.X._ manifeste tous les symptômes de l'enfant meurtrie dans sa chair et qu'elle a été gravement maltraitée (rapport p. 15 et 16). En soutenant que ce comportement destructeur trouve son origine dans les relations conflictuelles avec la mère, le recourant s'écarte donc du rapport d'observation du Centre de Valmont et, partant, son argumentation, qui ne repose sur aucune pièce du dossier, est purement appellatoire et, donc, irrecevable.
1.3 En définitive, au vu de l'ensemble des éléments cités ci-dessus, à savoir des accusations de la jeune fille et de son comportement destructeur, du rapport d'observation du Centre de Valmont, du témoignage du Dr Z._ et des déclarations de la maîtresse principale, la cour cantonale n'est pas tombée dans l'arbitraire en retenant que B.X._ avait été victime, à plusieurs reprises, d'actes d'ordre sexuel de la part de son père, alors qu'elle était âgée de dix à treize ans.
2. Condamné à une peine privative de liberté de trente mois, le recourant se plaint de la sévérité de celle-ci.
2.1 L'art. 47 CP prévoit que le juge fixe la peine d'après la culpabilité de l'auteur. Il prend en considération les antécédents et la situation personnelle de ce dernier ainsi que l'effet de la peine sur son avenir (al. 1). L'alinéa 2 de cette disposition énumère une série de critères à prendre en considération pour déterminer la culpabilité de l'auteur (ATF 134 IV 17 consid. 2.1 et les références citées).
Pour fixer la peine, le juge dispose d'un large pouvoir d'appréciation. Il y a toutefois violation du droit fédéral lorsque le juge sort du cadre légal, se fonde sur des critères étrangers à l'art. 47 CP, omet de prendre en considération des éléments d'appréciation prévus par cette disposition ou, enfin, si la peine qu'il prononce est exagérément sévère ou clémente au point de constituer un abus du pouvoir d'appréciation (ATF 134 IV 17 consid. 2.1; 129 IV 6 consid. 6.1 et les références citées).
2.2 Le recourant estime que la peine aurait dû être diminuée afin de ne pas réduire à néant son entreprise. En outre, la peine prononcée implique qu'il ne sera plus à même d'entretenir sa famille et de s'occuper de ses filles.
Il est inévitable que l'exécution d'une peine ferme d'une certaine durée ait des répercussions sur la vie professionnelle et familiale. Ces conséquences ne peuvent conduire à une réduction de la peine qu'en cas de circonstances extraordinaires (au sujet de l'effet de la peine sur l'avenir de l'auteur, ATF 134 IV 17 consid. 3.4 p. 24; à propos de la vie familiale, Wiprächtiger, Basler Kommentar, Strafrecht I, 2e éd., 2007, n. 118 ad art. 47). En l'espèce, de telles circonstances ne sont manifestement pas réalisées. Le couple est désuni. Sur le plan financier, la situation du recourant est obérée, et son épouse perçoit le revenu d'insertion. Mal fondé, le grief du recourant doit donc être rejeté.
2.3 Le recourant soutient que sa peine est exagérément sévère au regard de différents cas figurant dans la jurisprudence (ATF 122 IV 97 et 126 IV 136).
Compte tenu des nombreux paramètres qui interviennent dans la fixation de la peine, une comparaison avec des affaires concernant d'autres accusés et des faits différents est d'emblée délicate. Il ne suffit pas que le recourant puisse citer un ou deux cas où une peine particulièrement clémente a été fixée pour prétendre à un droit à l'égalité de traitement (ATF 120 IV 136 consid. 3a p. 142 s. et les arrêts cités; cf. aussi ATF 123 IV 49 consid. 2e p. 52 s.). Les disparités en cette matière s'expliquent par le principe de l'individualisation des peines, voulu par le législateur; elles ne suffisent pas en elles-mêmes pour conclure à un abus du pouvoir d'appréciation (ATF 123 IV 150 consid. 2a p. 152 s.).
En l'espèce, il convient de relever que, dans les deux cas cités par le recourant, le condamné n'était pas le père de la jeune fille abusée. En outre, dans la première affaire (ATF 122 IV 97), l'auteur avait montré une attitude coopérative durant l'enquête et il avait manifesté des regrets et une prise de conscience. Les circonstances, tant objectives que subjectives, qui sont déterminantes pour fixer la peine, sont dès lors totalement différentes de celles du présent cas. Mal fondé, le grief du recourant doit être rejeté.
2.4 Le recourant ne cite en définitive aucun élément important, propre à modifier la peine, qui aurait été omis ou pris en considération à tort. Il convient dès lors d'examiner si, au vu des circonstances, la peine infligée apparaît exagérément sévère au point de constituer un abus du pouvoir d'appréciation.
En l'espèce, la faute du recourant est très grave, puisque celui-ci a abusé de sa propre fille qui pouvait et devait avoir confiance en lui. Subjectivement, il ne pouvait lui échapper que de tels actes pouvaient la détruire ou tout au moins entraver durablement son développement. Le recourant est apparu aux juges cantonaux comme un être dénué de scrupules et de toute volonté d'introspection. Comme le recourant a agi à plusieurs reprises, il convient de retenir le concours d'infractions (art. 49 CP). A décharge, on peut mentionner le casier judiciaire vierge du recourant et une socialisation correcte.
Au vu de ces circonstances, la peine prononcée par la cour cantonale, qui est dans le cadre légal, n'apparaît pas sévère, de sorte qu'il faille conclure à un abus du large pouvoir d'appréciation accordé à la cour cantonale. Cette dernière a motivé de manière détaillée et complète la peine, et le recourant n'invoque aucun élément, propre à modifier la peine, qu'elle aurait omis ou pris en considération à tort. Le grief de violation de l'art. 47 CP est dès lors infondé.
3. Mis au bénéfice du sursis partiel, le recourant se plaint d'une mauvaise application de l'art. 43 CP. Il a été condamné à quinze mois ferme et à quinze mois avec sursis. Selon lui, la peine ferme aurait dû être de six mois au plus, et le sursis accordé sur vingt-quatre mois. Il aurait pu dès lors exécuter la peine ferme sous la forme de la semi-détention.
3.1 Selon l'art. 43 al. 2 et 3 CP, la partie à exécuter doit être au moins de six mois (al. 3), mais ne peut pas excéder la moitié de la peine (al. 2). Pour fixer dans ce cadre la durée de la partie ferme et avec sursis de la peine, le juge dispose d'un large pouvoir d'appréciation. A titre de critère de cette appréciation, il y a lieu de tenir compte de façon appropriée de la faute de l'auteur (art. 43 al. 1 CP). Le rapport entre ces deux parties de la peine doit être fixé de telle manière que, d'une part, la probabilité d'un comportement futur de l'auteur conforme à la loi, mais aussi sa culpabilité soient équitablement prises en compte. Ainsi, plus le pronostic est favorable et moins l'acte apparaît blâmable, plus la partie de la peine assortie du sursis doit être importante. Mais en même temps, la partie ferme de la peine doit demeurer proportionnée aux divers aspects de la faute (ATF 134 IV 1 consid. 5.6 p. 15).
3.2 En l'espèce, la peine à exécuter demeure dans le cadre légal, puisqu'elle est supérieure à six mois et qu'elle ne dépasse pas la moitié de la peine. La cour cantonale a, comme on l'a vu, considéré la culpabilité du recourant comme très grave et le pronostic comme n'étant pas particulièrement favorable compte tenu de l'absence de scrupules et de toute volonté d'introspection. Il s'ensuit qu'elle a pris en considération l'ensemble des éléments dégagés par la jurisprudence. En fixant la peine à exécuter à quinze mois, elle n'a pas outrepassé son pouvoir d'appréciation. Le grief de violation de l'art. 43 CP doit donc être rejeté.
4. Le recours doit ainsi être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Comme ses conclusions étaient vouées à l'échec, l'assistance judiciaire ne peut être accordée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant devra donc supporter les frais (art. 66 al. 1 LTF), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'600 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de cassation pénale.
Lausanne, le 4 octobre 2010
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Favre Kistler Vianin