Faits:
A. A._ perçoit une rente de l'assurance-invalidité depuis le 1er mai 2006 (décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité [ci-après: l'office AI] du 16 avril 2008). Divorcée de B._ (jugement du Tribunal de première instance du 18 juin 1998, définitif et exécutoire le 25 août suivant), elle percevait simultanément des rentes complémentaires pour ses deux fils dont elle assumait l'autorité parentale et la garde. Ayant appris que les enfants vivaient en fait chez leur père, l'administration a informé l'assurée que les rentes complémentaires seraient versées à son ex-mari dès le 1er avril 2009, dans la mesure où les conditions d'un tel versement étaient réunies (décision du 22 avril 2009).
B. L'intéressée a déféré cette décision - dont elle sollicitait l'annulation - au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales. Elle contestait le versement des rentes complémentaires en mains de B._, dès lors que celui-ci ne détenait pas l'autorité parentale et que le seul acte judiciaire existant (jugement du Tribunal de première instance du 26 janvier 2009 attribuant sur mesures provisoires le droit de garde au père) n'était ni définitif ni exécutoire, puisqu'il avait fait l'objet d'un appel. N'ayant pas été avertie de l'ouverture de la procédure qui a abouti à l'adoption de la décision litigieuse et n'ayant, par conséquent, pas pu se prononcer sur le contenu de la demande de son ex-époux dont elle ignorait encore la teneur, elle invoquait aussi une violation de son droit d'être entendue.
La juridiction cantonale a débouté A._ de ses conclusions lors de la séance de comparution personnelle des parties (procès-verbal et jugement du 29 septembre 2009). Elle constatait fondamentalement que, pour la période postérieure au mois de juillet 2009, l'autorité judiciaire de recours appelée à se prononcer sur les mesures provisoires relatives au droit de garde avait décidé que les rentes complémentaires seraient payées à B._, ses enfants étant de fait domiciliés chez lui et leur garde lui étant désormais attribuée (jugement de la Cour de justice du 9 juillet 2009), de sorte qu'il n'y avait pas lieu d'y revenir. Elle estimait en outre que, pour la période antérieure comprise entre les mois d'avril et de juillet 2009, l'office AI avait toute latitude de prendre les mêmes dispositions pour les mêmes raisons. Elle considérait aussi que la violation du droit d'être entendu invoquée avait été réparée dans la mesure où l'assurée avait pu s'exprimer devant une autorité de recours possédant un plein pouvoir d'examen. Elle mettait enfin les frais de justice à charge de l'intéressée et la condamnait à verser à son ex-époux, appelé en cause, une indemnité de procédure de 2'500 francs.
C. A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle en requiert principalement l'annulation et conclut, sous suite de frais et dépens pour l'ensemble de la procédure, à l'annulation de la décision administrative. Elle requiert subsidiairement l'annulation des chiffres 2, 3 (en tant qu'ils rejettent le recours et invitent la Caisse cantonale genevoise de compensation à exécuter la décision litigieuse par le versement en mains de B._ des rentes complémentaires pour les mois d'avril à juillet 2009) et 6 (en tant qu'il la condamne à payer une indemnité de procédure de 2'500 fr. à son ex-mari) du dispositif du jugement attaqué et conclut toujours sous suite de frais et dépens à la constatation du fait que le paiement des rentes complémentaires directement à B._ ne peut prendre effet avant le mois d'août 2009.
L'office AI semble partager l'avis de l'assurée, mais s'en remet à justice en ce qui concerne le bien-fondé du recours. L'ex-époux conclut à son rejet sous suite de frais et dépens. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'examine en principe que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF auquel cas il peut les rectifier ou les compléter d'office (art. 105 al. 2 LTF). Conformément à la pratique qui prévalait en matière de recours de droit public, l'art. 106 al. 2 LTF exige que la violation des droits fondamentaux soit expressément soulevée et clairement exposée dans le mémoire de recours (ATF 130 I 26 consid. 2.1 p. 31, 258 consid. 1.3 p. 261 s.). Le recourant peut critiquer la constatation de faits importants pour le jugement de la cause seulement si ceux-ci ont été constatés en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2. La recourante reproche à la juridiction cantonale d'avoir violé l'art. 71ter al. 1 RAVS.
2.1 Selon cette disposition, la rente pour enfant est versée sur demande au parent qui n'est pas titulaire de la rente principale, si celui-ci détient l'autorité parentale sur l'enfant avec lequel il vit, lorsque les parents sont séparés ou ne sont pas ou plus mariés, toute décision contraire du juge civil ou de l'autorité tutélaire étant réservée.
2.2 L'assurée considère que les premiers juges auraient dû annuler la décision administrative dans la mesure où il n'existait à l'époque aucune décision exécutoire du juge civil, ni de l'autorité tutélaire qui autorisait l'office intimé à ordonner le paiement des rentes complémentaires en mains de B._. Elle estime à tout le moins que le versement en question ne saurait intervenir avant le 1er août 2009 dès lors que la Cour de justice, statuant le 9 juillet 2009 sur appel formé contre les mesures provisoires adoptées par le Tribunal de première instance, est la première autorité civile à avoir fixé la date à compter de laquelle un tel paiement était permis.
2.3 Parmi les conditions d'application de l'art. 71ter al. 1 RAVS, issues d'une pratique instaurée avant l'entrée en vigueur de cette disposition (ATF 98 V 216), figurent l'existence d'une requête émanant du parent qui ne perçoit pas la rente principale, qui exerce seul ou conjointement l'autorité parentale et chez qui l'enfant vit.
2.3.1 En l'espèce, il est admis de tous que les enfants résidaient chez leur père depuis 2006 au moins lorsque la décision litigieuse a été rendue, que celui pourvoyait à leur entretien et qu'il avait déposé une demande expresse auprès de l'office intimé pour percevoir directement les rentes complémentaires. En revanche, il apparaît qu'il n'était alors pas détenteur de l'autorité parentale.
2.3.2 Pour la période courant d'avril à juillet 2009, la juridiction cantonale a entériné la décision de l'administration au seul motif que cette dernière avait la faculté de prévoir le paiement des rentes complémentaires en mains du père puisque les enfants vivaient chez lui et qu'il en assumait la garde et l'entretien. Ce faisant, elle a totalement ignoré la condition de l'autorité parentale qui faisait défaut. De surcroît, il n'existait alors aucune décision de l'autorité judiciaire civile ou tutélaire autorisant un tel versement. En conséquence, l'acte attaqué et la décision litigieuse devront être annulés sur ce point.
2.3.3 Pour la période postérieure au 1er août 2009, les premiers juges se sont référés au jugement de la Cour de justice qui avait décidé le paiement des rentes pour enfant directement à B._ à partir de cette date. Ce faisant, la juridiction cantonale a étendu l'objet du litige et de la contestation (sur ces notions, cf. MEYER/VON ZWEHL, L'objet du litige en procédure de droit administratif fédéral, in Mélanges Pierre Moor, 2005, p. 435 ss) dans la mesure où elle a examiné la réalisation des conditions d'application de l'art. 71ter al. 1 RAVS au mois d'août 2009 et non pas au moment où la décision administrative a été prise. La recourante conteste indirectement cette extension en affirmant que l'acte attaqué l'a ainsi privée de la possibilité de s'exprimer sur le jugement de la Cour de justice et lui a dans le même temps supprimé une instance de recours (violation du droit d'être entendu). La question de savoir si l'extension du litige et de la contestation était admissible peut cependant rester ouverte dès lors que la décision du juge civil, qui n'est plus contestable, a eu pour effet de rendre la situation conforme au droit. Un renvoi du dossier à la juridiction cantonale ou à l'administration pour décision sur le droit au versement des rentes complémentaires pour enfant au-delà du 1er août 2009 apparaît dès lors sans intérêt et contraire à l'économie de procédure.
2.4 Au regard de ce qui précède, il apparaît que le jugement cantonal doit être annulé en tant qu'il confirme le versement des rentes complémentaires pour la période allant du 1er avril au 31 juillet 2009 et confirmé pour la période débutant le 1er août suivant; la décision administrative doit être annulée dans la même mesure. L'issue du litige a une incidence sur la répartition des frais et dépens de première instance; celle-ci devra être modifiée en fonction du résultat du procès devant le tribunal de céans.
3. Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'assurée, qui n'obtient que partiellement gain de cause, et de l'office intimé (art. 66 al. 1 LTF). Pour les mêmes motifs, la recourante ne peut prétendre qu'une indemnité de dépens réduite pour l'instance fédérale à charge de l'administration (art. 68 al.1 LTF). Invité à se déterminer et représenté par un avocat, B._ a également droit à une telle indemnité réduite à charge de l'assurée et de l'office intimé (cf. arrêt I 152/03 du 23 septembre 2003 consid. 7.3 et la référence).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est partiellement admis. Les chiffres 2 et 3 du dispositif du jugement du Tribunal cantonal genevois des assurances sociales du 29 septembre 2009 et la décision de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité du 22 avril 2009 sont réformés au sens des considérants.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante et de l'office intimé par moitié.
3. L'office intimé versera à la recourante la somme de 600 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. La recourante et l'office intimé verseront à B._ la somme de 1'000 fr. par moitié chacun à titre de dépens pour la dernière instance.
5. Les chiffres 5 et 6 du dispositif du jugement attaqué sont annulés et la cause est renvoyé à la juridiction cantonale pour qu'elle statue sur les frais et dépens au regard de l'issue du procès de dernière instance.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à B._, au Tribunal cantonal genevois des assurances sociales et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 18 mai 2010
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Meyer Cretton