Faits:
A.a Y._, ressortissant étranger, né en 1965, a déposé une demande d'asile en Suisse le 16 décembre 1993, laquelle a été rejetée au mois de février 1994. Il a bénéficié ensuite de l'admission provisoire. La levée de cette mesure le 5 juillet 2007, liée à la fin du conflit au pays X._, a donné lieu à une décision de renvoi. Une demande de reconsidération de cette décision de renvoi a été rejetée, sur recours, par le Tribunal administratif fédéral le 11 août 2010.
Divorcé depuis 2002 d'une compatriote, Y._ est père d'un garçon, né le 17 janvier 2001, admis provisoirement et vivant chez sa mère, à C._. Le père est titulaire d'un droit de visite qu'il exerce régulièrement. Conformément à un jugement du 19 juin 2003 du Tribunal d'arrondissement Z._, il peut avoir son fils auprès de lui un week-end sur deux et durant la moitié des vacances scolaires.
Par courrier du 19 janvier 2009, Y._ a sollicité du Service de la population (SPOP) l'octroi de l'aide d'urgence en espèces et l'allocation d'un logement individuel proche du lieu de domicile de son fils, afin de lui permettre de poursuivre sa relation avec l'enfant. Le 20 janvier 2009, le SPOP a informé l'intéressé qu'il lui incombait de se rendre personnellement au SPOP, lequel rendrait une décision d'octroi d'aide d'urgence, puis auprès de l'Etablissement vaudois d'accueil des migrants (EVAM) qui rendrait une décision quant aux modalités des prestations d'hébergement et d'entretien.
Par la suite, Y._ a renouvelé sa demande à plusieurs reprises, tant à l'adresse de l'EVAM qu'à celle du Département de l'intérieur (DINT).
Le 4 février 2010, l'intéressé a fait parvenir à l'EVAM une copie du jugement de divorce et requis une décision sur les modalités de l'aide d'urgence portant notamment sur l'attribution d'un logement individuel, l'allocation de prestations en espèces pour son entretien et celui de son fils lorsqu'il en avait la garde, ainsi que pour ses frais de transport en relation avec son droit de garde et ses démarches auprès du SPOP pour renouveler son droit à l'aide d'urgence. Le 9 février 2010, l'EVAM a indiqué qu'il devait d'abord se rendre au SPOP pour y demander une décision d'octroi de l'aide d'urgence, et que ce n'était qu'après qu'il se verrait attribuer un logement par voie de décision. L'EVAM a ajouté que l'intéressé n'obtiendrait pas un logement individuel, mais qu'il serait logé dans un hébergement collectif. Ce courrier ne mentionnait pas de voies de droit.
Le 11 février 2010, Y._ a fait opposition à cette prise de position de l'EVAM du 9 février 2010. Il soutenait que l'attribution d'une place d'hébergement dans un foyer collectif n'était pas conforme au principe de la protection de la vie familiale avec son enfant mineur. Il concluait à ce que l'autorité indique le centre d'hébergement où il était censé prendre logement et, s'il s'agissait d'un des centres de N._, B._ ou S._, à ce que l'EVAM annule sa "décision" du 9 février 2010. Le 22 février suivant, il a demandé à l'EVAM de statuer à bref délai sur son opposition.
Par courrier du 24 février 2010, l'EVAM a indiqué qu'il n'avait pas la compétence de rendre une décision dès lors que l'intéressé séjournait illégalement sur le territoire suisse et qu'il n'était plus au bénéfice des prestations d'aide d'urgence depuis le 6 juillet 2009. Aussi a-t-il refusé de donner suite à la demande de l'intéressé tendant à la mise à disposition d'un logement individuel. Ce courrier ne mentionnait pas de voies de droit.
Le 2 mars 2010, le SPOP a alloué à Y._ les prestations d'aide d'urgence pour la période du 2 mars au 1er avril 2010. La décision indiquait qu'elle serait exécutée par l'EVAM, qui devait notamment décider du type et du lieu d'hébergement.
Le même jour, Y._ a également formé une opposition contre le courrier de l'EVAM du 24 février 2010 en concluant à l'annulation de la prise de position de cet établissement du 9 février précédent et à la mise à disposition d'un logement adéquat, proche du domicile de son fils. Selon l'intéressé, l'EVAM ne pouvait différer sa décision d'attribution d'un logement au motif que la décision d'octroi de l'aide d'urgence n'avait pas été renouvelée; tant que le litige au sujet de l'attribution du logement n'était pas résolu, aucune décision de renouvellement de l'aide d'urgence ne pouvait être rendue, du moment que l'intéressé ne percevait pas de prestations en espèces et ne pouvait pas, de ce fait, se rendre auprès du SPOP tous les quinze jours.
Le 9 mars 2010, l'EVAM a indiqué que sa prise de position du 9 février précédent - par laquelle il avait décliné sa compétence au motif de l'absence de décision du SPOP au sujet de l'aide d'urgence - ne constituait pas une décision sujette à opposition. Cependant, étant donné qu'entre-temps, le SPOP avait alloué l'aide d'urgence pour la période du 2 mars au 1er avril 2010, la demande de l'intéressé tendant à l'attribution d'un logement individuel sis à proximité du domicile de son fils serait transmise pour traitement à son unité hébergement.
Par décision du 23 mars 2010, indiquant les voies de droit, l'EVAM a rejeté la demande de placement dans un logement individuel.
A.b Le 22 avril 2010, Y._ a saisi le DINT d'un recours pour refus de statuer de l'EVAM. Il reprochait à celui-ci de n'avoir pas statué sur ses oppositions des 11 février et 2 mars 2010, la décision rendue le 23 mars 2010 n'étant pas, selon lui, conforme à son droit à une décision motivée, susceptible de recours. Par mémoire du 5 août 2010 adressé au SPOP, l'intéressé a demandé qu'il soit statué à bref délai sur son recours devant le DINT, à défaut de quoi il saisirait l'autorité judiciaire pour déni de justice.
B. B.a Le 2 septembre 2010, Y._ a saisi la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud d'un recours pour refus de statuer du DINT (cause PS.2010.0049).
Par décision du 4 octobre 2010, le DINT a rejeté, dans la mesure où il n'était pas sans objet, le recours formé contre le refus de l'EVAM de statuer sur les oppositions des 11 février et 2 mars 2010.
Par décision du 29 octobre 2010, le juge instructeur a rayé du rôle la cause PS.2010.0049 au motif que le recours pour refus de statuer était devenu sans objet ensuite de la décision du DINT du 4 octobre 2010.
B.b Y._ a recouru devant le tribunal cantonal contre la décision du DINT du 4 octobre 2010 dont il demandait l'annulation, en concluant à l'attribution d'un logement pour famille monoparentale avec un enfant et à l'octroi de prestations d'urgence en espèces, y compris pour les transports et l'entretien de l'enfant, liés à l'exercice du droit de visite.
Par jugement du 21 février 2011, le tribunal cantonal a rejeté le recours dans la mesure où il était recevable.
C. Y._ interjette un recours en concluant à l'annulation du jugement du tribunal cantonal du 21 février 2011. En outre, il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire en vue d'être dispensé des frais de justice et demande à être entendu en audience par le Tribunal fédéral pour expliquer son cas.
Dans sa réponse au recours, l'EVAM a indiqué que le recourant avait obtenu l'admission provisoire par décision du 8 avril 2011. Aussi est-il d'avis que le recours n'a plus d'objet et que la cause doit être rayée du rôle, dans la mesure où l'intéressé n'est plus assimilé à une personne déboutée de sa demande d'asile.
De son côté, la juridiction cantonale a renoncé à présenter des déterminations.
Par lettre du 7 juin 2011, le recourant allègue qu'il y a lieu de renoncer à l'exigence d'un intérêt actuel à recourir, du moment qu'il pourrait se retrouver dans une situation de détresse en cas d'annulation de l'admission provisoire.
Considérant en droit:
1. Dans sa réponse au recours, l'EVAM fait valoir que le recourant n'a plus d'intérêt actuel au recours et demande la radiation du rôle, étant donné qu'il a obtenu l'admission provisoire par décision du 8 avril 2011. De son côté, l'intéressé soutient qu'il y a lieu de renoncer à l'exigence d'un intérêt actuel à recourir, du moment qu'il peut se retrouver à nouveau dans la situation d'une personne en séjour illégal.
2. 2.1 Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (cf. ATF 134 II 272 consid. 1.1 p. 275 et les arrêts cités). Lorsqu'il n'est pas évident que les conditions de recevabilité sont remplies, il incombe au recourant d'alléguer les faits justifiant sa qualité pour recourir (ATF 134 II 120 consid. 1 p. 121).
2. 2.1 Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (cf. ATF 134 II 272 consid. 1.1 p. 275 et les arrêts cités). Lorsqu'il n'est pas évident que les conditions de recevabilité sont remplies, il incombe au recourant d'alléguer les faits justifiant sa qualité pour recourir (ATF 134 II 120 consid. 1 p. 121).
2.2 2.2.1 Aux termes de l'art. 89 al. 1 LTF, a qualité pour former un recours en matière de droit public quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a), est particulièrement atteint par la décision attaquée (let. b) et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celle-ci (let. c). Constitue un intérêt digne de protection, au sens de cette disposition, tout intérêt pratique ou juridique à demander la modification ou l'annulation de la décision attaquée. L'intérêt digne de protection consiste ainsi en l'utilité pratique que l'admission du recours apporterait au recourant (ATF 133 II 249 consid. 1.3.1 p. 252).
L'intérêt digne de protection doit par ailleurs être actuel (ATF 128 II 34 consid. 1b p. 36 et les arrêts cités). Cet intérêt actuel est déterminé en fonction du but poursuivi par le recours, des conséquences et de la portée d'une éventuelle admission de celui-ci. Le Tribunal fédéral peut toutefois renoncer à l'exigence d'un intérêt actuel lorsque le recours porte sur un acte qui pourrait se reproduire en tout temps dans des circonstances semblables et qui, en raison de sa brève durée ou de ses effets limités dans le temps, ne pourrait vraisemblablement jamais être soumis au contrôle judiciaire de la Cour suprême et, enfin, que, en raison de sa portée de principe, il existe un intérêt public suffisamment important à la solution de la question litigieuse (ATF 135 I 79 consid. 1.1 p. 81; 131 II 670 consid. 1.2 p. 674).
2.2.2 A défaut d'un intérêt actuel au moment du dépôt du recours, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur celui-ci et le déclare irrecevable. En revanche, si l'intérêt digne de protection ne fait pas d'emblée défaut, mais disparaît en cours de procédure, le litige est déclaré sans objet et la cause radiée du rôle (cf. ATF 118 Ia 488 consid. 1a p. 490). Dans la première éventualité, le Tribunal fédéral statue en procédure ordinaire (art. 57 ss LTF) ou simplifiée (art. 108 s. LTF); dans la seconde, le juge instructeur statue comme juge unique sur la radiation du rôle, sans qu'un jugement d'irrecevabilité soit rendu (cf. art. 32 al. 2 LTF).
2.2.2 A défaut d'un intérêt actuel au moment du dépôt du recours, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur celui-ci et le déclare irrecevable. En revanche, si l'intérêt digne de protection ne fait pas d'emblée défaut, mais disparaît en cours de procédure, le litige est déclaré sans objet et la cause radiée du rôle (cf. ATF 118 Ia 488 consid. 1a p. 490). Dans la première éventualité, le Tribunal fédéral statue en procédure ordinaire (art. 57 ss LTF) ou simplifiée (art. 108 s. LTF); dans la seconde, le juge instructeur statue comme juge unique sur la radiation du rôle, sans qu'un jugement d'irrecevabilité soit rendu (cf. art. 32 al. 2 LTF).
2.3 2.3.1 En l'espèce, le jugement attaqué statue sur deux points. D'une part, la juridiction cantonale a déclaré irrecevables les griefs de l'intéressé concernant son droit éventuel à un logement individuel et à diverses prestations au titre de l'aide d'urgence en faveur des personnes séjournant illégalement sur le territoire vaudois. Elle a considéré que ce point n'avait pas été tranché par la décision attaquée du DINT du 4 octobre 2010, laquelle portait uniquement sur le recours administratif dirigé contre le refus de l'EVAM de statuer sur les oppositions des 11 février et 2 mars 2010. D'autre part, la juridiction cantonale a nié l'existence d'un déni de justice au motif que l'EVAM avait statué sur la demande d'attribution d'un logement individuel par sa décision du 23 mars 2010 qui indiquait les voies de droit, et à laquelle, au demeurant, l'intéressé n'avait pas fait opposition.
2.3.2 Le recourant conclut uniquement à l'annulation du jugement attaqué. Ce faisant, il prend une conclusion purement cassatoire.
2.3.2.1 L'art. 107 al. 2 LTF permet au Tribunal fédéral de réformer le jugement attaqué, c'est-à-dire de statuer lui-même à nouveau sur le fond ou de renvoyer l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle rende une nouvelle décision. Cette disposition est comparable à l'ancien art. 114 al. 2 OJ, en vertu duquel le Tribunal fédéral, saisi d'un recours de droit administratif, pouvait statuer lui-même sur le fond ou renvoyer la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision lorsqu'il annulait la décision attaquée. Il appartenait au Tribunal fédéral de décider s'il voulait statuer sur le fond ou renvoyer la cause. En vertu de l'art. 114 al. 2 OJ, les deux voies envisageables étaient inclues dans la conclusion tendant à l'annulation du jugement attaqué. Dès lors, si le recourant ne prenait pas d'autre conclusion, il fallait comprendre qu'il s'en remettait à l'appréciation du tribunal quant aux conséquences matérielles concrètes de l'annulation du jugement attaqué. C'est pourquoi, dans le recours de droit administratif et sous réserve des cas prévus à l'ancien art. 108 al. 3 OJ, le Tribunal fédéral renonçait en principe à exiger en plus une conclusion au fond (ATF 133 II 370 consid. 2.2 p. 373 et les références).
Selon la jurisprudence, il n'y a pas de motif, dans le recours en matière de droit public, de s'écarter de cette ancienne pratique applicable en cas de recours de droit administratif lorsqu'une conclusion au fond ressort clairement de la motivation (ATF 133 II 409 consid. 1.4.1 p. 415).
2.3.2.2 En l'espèce, on comprend, à la lecture du mémoire de recours, que l'intéressé ne conteste pas le jugement cantonal en tant qu'il déclare irrecevables ses conclusions en relation avec les prestations en faveur des personnes en séjour irrégulier. Il conteste le prononcé attaqué en tant qu'il nie l'existence d'un déni de justice de l'EVAM. Sur ce point, le fait que le recourant a obtenu l'admission provisoire le 8 avril 2011 n'a pas fait disparaître son intérêt à ce que la cour de céans statue sur l'existence éventuelle d'un déni de justice et le recours est admissible en tant qu'il porte sur cette question.
2.3.2.3 En revanche, dans l'éventualité où le recourant voudrait également soulever des arguments sur le fond - ce qui n'est pas évident à la lecture de l'acte de recours -, ces griefs seraient irrecevables, dès lors que la juridiction cantonale n'est pas entrée en matière sur les conclusions tendant à l'octroi de prestations en faveur des personnes en séjour irrégulier (cf. ATF 123 V 335 consid. 1b p. 336 ss; 118 Ib 134 consid. 2 p. 135 s.; DTA 2002 n. 7 p. 59 [C 60/01] consid. 2).
3. 3.1 Le recourant fait valoir qu'en refusant de répondre à ses "oppositions" des 11 février et 2 mars 2010, dirigées contre les prises de position des 9, respectivement 24 février 2010, par lesquelles il a décliné sa compétence aussi longtemps que le SPOP n'aurait pas été saisi d'une demande, l'EVAM a commis un déni de justice, prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst. Selon l'intéressé, en refusant implicitement de statuer sur ses deux "oppositions", l'EVAM l'a privé de son droit à recevoir une décision écrite et motivée sur sa demande, à se déterminer sur les motifs de l'autorité qui lui sont inconnus jusqu'à ce jour, à exercer utilement son droit de recours, à recevoir une aide d'urgence conforme à sa situation de famille et à mener une vie familiale sans ingérence disproportionnée de l'autorité.
3.2 Aux termes de l'art. 29 al. 1 Cst., toute personne a droit, dans une procédure judiciaire ou administrative, à ce que sa cause soit jugée dans un délai raisonnable. Cette disposition consacre le principe de la célérité ou, en d'autres termes, prohibe le retard injustifié à statuer. L'autorité viole cette garantie constitutionnelle lorsqu'elle ne rend pas la décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire ainsi que toutes les autres circonstances font apparaître comme raisonnable (ATF 131 V 407 consid. 1.1 p. 409; 130 I 312 consid. 5.1 p. 331; 129 V 411 consid. 1.2 p. 416 et les arrêts cités). A cet égard, il y a lieu de se fonder sur des éléments objectifs. Entre autres critères sont notamment déterminants le degré de complexité de l'affaire, l'enjeu que revêt le litige pour l'intéressé, ainsi que le comportement de ce dernier et celui des autorités compétentes (ATF 130 I 312 consid. 5.2 p. 332; 125 V 188 consid. 2a p. 191).
3.3 En l'espèce, l'EVAM a rendu une décision le 23 mars 2010, par laquelle il a rejeté la demande de l'intéressé tendant à l'attribution d'un logement individuel. Cette décision mentionnait le droit de former opposition devant le directeur de l'EVAM. Certes, la motivation à l'appui de ce refus est très succincte, dans la mesure où elle se réfère exclusivement à la réglementation applicable et "aux éléments figurant dans le dossier". On peut dès lors se demander si elle satisfait aux exigences de motivation des décisions administratives. Ce point peut toutefois rester indécis dès lors que l'intéressé n'a pas fait opposition à cette décision - en invoquant, en particulier, une motivation insuffisante - et qu'ainsi celle-ci a acquis force de chose décidée. En ce qui concerne le reproche de déni de justice, il apparaît que l'administration a statué formellement dans un délai raisonnable - un mois et demi environ - à compter de la première "opposition" formée le 11 février 2010, de sorte que le grief apparaît mal fondé.
Cela étant, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé, dans la mesure où il est recevable.
4. Le recourant a demandé à être entendu par le Tribunal fédéral afin d'exposer les raisons pour lesquelles il ne parvient pas à obtenir l'aide d'urgence qui tienne compte de sa relation avec son fils.
Il n'y a pas lieu de donner suite à cette demande, du moment qu'elle concerne l'établissement de faits à l'appui d'éventuels griefs sur le fond, lesquels sont irrecevables (cf. consid. 2.3.2.3).
5. Il y a lieu en l'occurrence de renoncer à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1, seconde phrase, LTF). La demande du recourant tendant à obtenir l'assistance judiciaire en vue d'être dispensé des frais de justice apparaît ainsi sans objet.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lucerne, le 8 février 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd