Sachverhalt:
A. Der 1943 geborene R._ ist bei der Concordia Schweizerische Kranken- und Unfallversicherung AG (nachfolgend: Concordia) obligatorisch krankenversichert. Im Mai 2007 stellte er der Concordia einen Kostenvoranschlag für eine MRI-Untersuchung im Zentrum X._ zu, woraufhin diese mit Schreiben vom 26. Juni 2007 Kostengutsprache im Umfang von Fr. 523.85 erteilte. In der Folge fanden am 3. und 6. September 2007 zwei Untersuchungen statt, deren Kosten sich auf insgesamt Fr. 2'341.45 beliefen. Nach weiteren Briefwechseln hielt die Concordia mit Verfügung vom 9. Juni 2008 fest, in Anwendung der Tarifregelung gemäss Tarmed könne nur der Betrag von Fr. 523.85 vergütet werden. Die dagegen erhobene Einsprache wies sie mit Entscheid vom 15. Dezember 2008 ab.
B. In teilweiser Gutheissung der von R._ gegen den Einspracheentscheid erhobenen Beschwerde verpflichtete das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, die Concordia mit Entscheid vom 27. Mai 2010, die Kosten der MRI-Untersuchung im Betrag von Fr. 1'768.40 zu übernehmen.
C. C. a R._ lässt mit dem von ihm beigeladenen Zentrum X._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und unter Kosten- und Entschädigungsfolge habe die Concordia die Gesamtkosten der MRI-Untersuchung vom 3. und 6. September 2007 zu übernehmen.
C. b Die Concordia führt ebenfalls Beschwerde und beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides.
C. c R._ wie auch die Concordia beantragen die Abweisung der Beschwerde der Gegenpartei. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung beider Beschwerden. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Da den zwei Beschwerden derselbe Sachverhalt zugrunde liegt, sich die gleichen Rechtsfragen stellen und die Rechtsmittel den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (BGE 128 V 124 E. 1 S. 126 mit Hinweisen).
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. BGE 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140).
3. Es handelt sich hier um einen Tarifstreit zwischen Versicherer und Leistungserbringer (ausführlich zum Ganzen vgl. Eugster, Bundesgesetz über die Krankenversicherung, 2010, S. 544 F. Rz. 10-13). Zudem gilt das System des Tiers garant, da der Versicherte dem Leistungserbringer die Vergütung der Leistung schuldet. Er hat in diesem Fall gegenüber dem Versicherer einen Anspruch auf Rückerstattung (Art. 42 Abs. 1 KVG).
4. Streitigkeiten zwischen Versicherern und Leistungserbringern entscheidet ein Schiedsgericht. Es ist auch zuständig, wenn die versicherte Person die Vergütung schuldet; in diesem Fall vertritt ihr Versicherer sie auf eigene Kosten (Art. 89 Abs. 1 und 3 KVG).
5. Nach der Rechtsprechung bestimmt sich die Zuständigkeit des Schiedsgerichts danach, welche Parteien einander in Wirklichkeit gegenüber stehen. Der Streitgegenstand muss die besondere Stellung der Versicherer oder Leistungserbringer im Rahmen des KVG betreffen. Als Streitigkeiten im Rahmen des KVG fallen z.B. Honorar- und Tariffragen in Betracht (BGE 131 V 191 E. 2 S. 192 f. mit Hinweisen). Die Voraussetzungen für den Vertretungsanspruch vor Schiedsgericht sind hier klar erfüllt. In den Akten (Korrespondenz, Verfügung, Einspracheentscheid) hat die Beschwerdeführerin Concordia mehrfach klar aufgezeigt, welche Kontrahenten in dieser prinzipiellen Tarifstreitigkeit einander gegenüber stehen. Sie hätte darum den Versicherten vor dem Schiedsgericht zu vertreten gehabt, anstatt durch Verfügung an den Versicherten ihre Leistungspflicht über den von ihr als gerechtfertigt erachteten Betrag hinaus abzulehnen. Die Vertretung ist eine besondere KV-rechtliche Leistungskategorie, denn die versicherte Person soll im System des Tiers garant davor geschützt werden, die Folgen tragen zu müssen, wenn der Arzt tarifwidrig fakturiert, Tarifschutzbestimmungen verletzt oder eine unwirtschaftliche Leistung erbracht hat. Sonst würde ein Schutz vor zu hohen verrechneten Tarifen wegfallen, wodurch die Gefahr, dass Leistungserbringer zu hohe Taxen in Rechnung stellen, zunehmen und der Tarifschutz teilweise ausgehöhlt würde. Im System des Tiers garant ist der Krankenversicherer verpflichtet, die versicherte Person im Schiedsgerichtsverfahren gegen den Leistungserbringer zu vertreten, wenn streitig ist, ob dieser zu hohe Rechnungen gestellt hat. Der Krankenversicherer hat auf diesem Wege den Tarifschutz durchzusetzen (Urteil K 129/06 vom 29. Juni 2007 E. 4.3 und 5).
6. Nach Art. 27 Abs. 1 ATSG sind die Versicherer verpflichtet, die Versicherten über ihre Rechte und Pflichten aufzuklären. Hier war der Beschwerdeführer R._ sich des ihm gesetzlich garantierten Rechts auf Vertretung vor dem Schiedsgericht durch die Beschwerdeführerin Concordia ganz offensichtlich nicht bewusst. Daher wäre es an der Beschwerdeführerin Concordia gewesen, sich der Sache anzunehmen, den Versicherten aufzuklären und dessen Vertretung im Klageverfahren vor dem Schiedsgericht zu übernehmen. Dieser Sichtweise steht Art. 1 Abs. 2 lit. e KVG nicht entgegen, wonach die Bestimmungen des ATSG im Bereich "Verfahren vor dem kantonalen Schiedsgericht (Art. 89)" unanwendbar sind. Denn dieser Ausschluss will nach Wortlaut, Systematik sowie Sinn und Zweck nur verhindern, dass das ATSG im Schiedsgerichtsverfahren zur Anwendung gelangt, hingegen nicht, dass der Krankenversicherer die versicherte Person gegebenenfalls auf die Möglichkeit der Einleitung eines Schiedsgerichtsverfahrens und seiner Vertretung (Prozessstandschaft) aufmerksam zu machen hat.
7. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen die formellen Gültigkeitserfordernisse des Verfahrens, insbesondere auch die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht auf die Beschwerde oder Klage eingetreten ist. Hat die Vorinstanz übersehen, dass es an einer Prozessvoraussetzung fehlte und hat sie materiell entschieden, ist dies im Rechtsmittelverfahren von Amtes wegen zu berücksichtigen mit der Folge, dass der angefochtene Entscheid aufgehoben wird (BGE 128 V 89 E. 2a, 125 V 345 E. 1a S. 347, 122 V 320 E. 1 S. 322). Hier hat die Vorinstanz übersehen, dass es wegen fehlender sachlicher Zuständigkeit an einer Prozessvoraussetzung fehlte. Weil sie zu Unrecht auf die Beschwerde eingetreten ist, ist ihr Entscheid aufzuheben. Die Beschwerdeführerin Concordia wird den Beschwerdeführer R._ im Leistungsstreit vor dem kantonalen Schiedsgericht zu vertreten haben. Diese Rechtslage ist im Urteil 9C_687/2010 vom 30. Dezember 2010 zusammengefasst worden. An ihr ändert nichts, dass hier versicherte Person und Leistungserbringer den gleichen Rechtsvertreter bevollmächtigt haben, offenbar in der Annahme, ihre Interessen seien gleich gelagert, was hier nicht weiter zu erörtern ist.
8. Dieses Ergebnis ist als Unterliegen der Beschwerdeführerin Concordia zu werten, auch wenn der vorinstanzliche Entscheid aufgehoben wird. Die Gerichtskosten werden daher der Beschwerdeführerin Concordia als unterliegender Partei auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer R._ überdies für beide Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Der Beigeladenen ist mangels erheblichen Verfahrensaufwandes keine Entschädigung geschuldet.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Verfahren 9C_550/2010 und 9C_551/2010 werden vereinigt.
2. Die Beschwerden werden in dem Sinne gutgeheissen, als der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, vom 27. Mai 2010, sowie der Einspracheentscheid der Beschwerdeführerin Concordia vom 15. Dezember 2008 aufgehoben werden. Die Concordia wird verpflichtet, den Beschwerdeführer R._ im Verfahren vor dem kantonalen Schiedsgericht gegen das Zentrum X._ betreffend Vergütung für die Leistungen vom 3. und 6. September 2007 zu vertreten.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin Concordia auferlegt.
4. Die Beschwerdeführerin Concordia hat den Beschwerdeführer R._ für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.- zu entschädigen.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Zentrum X._, dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Februar 2011
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Scartazzini