Faits:
A. X._, né en 1950, et dame X._, née en 1957, se sont mariés en 1976 à Fribourg. Deux enfants, aujourd'hui majeurs, sont issus de leur union.
Le 19 juillet 2004, l'épouse a déposé une demande de mesures protectrices de l'union conjugale, qu'elle a transformée, le 30 août 2004, en requête de mesures provisionnelles introductive d'action en divorce.
Par ordonnance de mesures provisionnelles du 14 octobre 2004, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye a, notamment, autorisé les conjoints à vivre séparés, attribué le logement familial au mari et rejeté, en raison de la situation financière déficitaire de celui-ci, les conclusions de l'épouse en paiement d'une contribution d'entretien d'un montant de 1'500 fr. par mois.
B. Par jugement du 20 juin 2007, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Broye a, entre autres points, prononcé le divorce des époux, homologué leurs conclusions sur le partage des avoirs de prévoyance, allouant de ce fait une somme de 7'342 fr. à l'épouse, et astreint le mari à verser à celle-ci une contribution d'entretien mensuelle d'un montant de 1'300 fr., payable le 1er de chaque mois et portant intérêt à 5% l'an à chaque échéance de retard.
Le mari a appelé de ce jugement auprès de la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg. Dans le cadre de cette procédure, l'épouse a déposé une requête de mesures provisionnelles tendant au paiement d'une contribution d'entretien d'un montant de 1'300 fr. par mois, requête qui a été rejetée le 20 mars 2008 par arrêt du Juge délégué de la Ie Cour d'appel civil.
Par arrêt du 3 septembre 2008, la Ie Cour d'appel civil a partiellement réformé le jugement du Tribunal d'arrondissement en ce sens qu'elle a supprimé la contribution d'entretien due à l'épouse compte tenu de la situation financière défavorable du mari, qui présentait un déficit mensuel de 200 fr.
C. L'épouse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 3 septembre 2008, concluant à sa réforme dans le sens du dispositif du jugement de première instance.
Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimé propose le rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Seule la contribution d'entretien après divorce est en l'occurrence litigieuse. L'arrêt entrepris est une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) dans une contestation pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). La recourante a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), car elle a pris part à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt juridique à la modification de la décision attaquée. Déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours est donc en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 134 III 102 consid. 1.1 p. 104/105). Il ne connaît de la violation des droits fondamentaux ou du droit cantonal que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), les exigences de motivation correspondant à celles de l'ancien art. 90 al. 1 let. b OJ (ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397).
1.3 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF); il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2. p. 252), doit démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation. Le Tribunal fédéral n'examine en effet ce grief que s'il a été invoqué et motivé (art. 106 al. 2 LTF) par le recourant, à savoir s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (principe de l'allégation; ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF; ATF 133 III 393 consid. 3 p. 395). Ces principes s'appliquent par analogie à la réponse (cf. l'ancien art. 59 al. 3 OJ).
En l'espèce, l'intimé expose de nombreux faits se rapportant notamment à sa situation financière, à celle de son entreprise ou aux circonstances relatives à l'état d'impécuniosité de la recourante qui ne ressortent pas de l'arrêt querellé. Il n'expose toutefois pas en quoi l'exception de l'art. 105 al. 2 LTF serait réalisée quant aux faits qu'il entend préciser. Dès lors, il y a lieu de s'en tenir aux constatations de l'autorité cantonale.
1.4 Le chef de conclusions de la recourante tendant à une indexation de sa contribution d'entretien est irrecevable, en tant qu'il est nouveau (art. 99 al. 2 LTF) et, de surcroît, dépourvu de toute motivation (art. 42 al. 1 LTF).
2. Sur le principe de l'octroi d'une contribution d'entretien à l'épouse - contribution allouée à hauteur de 1'300 fr. par le Tribunal civil d'arrondissement, qui a constaté que la recourante était entièrement assistée par les services sociaux et retenu que son minimum vital se montait à 2'136 fr. -, l'autorité cantonale a rejeté les critiques du mari. Elle a en revanche admis son grief reprochant aux premiers juges de lui avoir imputé une capacité de gain de 7'000 fr. par mois. A cet égard, le Tribunal cantonal a considéré que les revenus mensuels nets du débirentier devaient être arrêtés à 5'571 fr.10, soit 4'958 fr. de salaire et 613 fr.10 représentant la part du bénéfice de l'entreprise dont il est actionnaire et seul propriétaire. Au titre des charges du mari, le Tribunal cantonal a admis un montant total de 5'750 fr., dont 800 fr. d'impôts ainsi que 3'082 fr. de frais afférents à la maison dont il est propriétaire (frais comprenant 1'554 fr. d'intérêts hypothécaires, 1'000 fr. d'amortissement et 1'028 fr. d'autres charges, dont à déduire 500 fr. de participation de son entreprise aux charges de la maison). L'autorité cantonale en a conclu que le mari subissait un découvert de 200 fr. qui ne lui permettait pas de verser une contribution d'entretien à l'épouse.
3. La recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé l'art. 125 CC en estimant que l'intimé ne disposait pas de ressources suffisantes pour lui servir une contribution d'entretien. Elle expose que le Tribunal cantonal a inclus à tort, dans le calcul du minimum vital du débirentier, sa charge fiscale de 800 fr. et l'amortissement de sa dette hypothécaire, d'un montant de 1'000 fr.
3.1 Selon l'art. 125 al. 2 ch. 5 CC, le montant de la contribution d'entretien due par le conjoint débirentier dépend notamment des revenus et de la fortune de celui-ci. En cas de situations financières serrées, il convient de prendre comme point de départ le minimum vital au sens du droit des poursuites (ci-après: minimum vital LP) du débirentier, qui doit être préservé, ce principe valant dans tous les domaines du droit de la famille (ATF 133 III 57 consid. 3 p. 59; 123 III 1 consid. 3b/bb p. 4; cf. à propos de la contribution due au conjoint: ATF 127 III 289 consid. 2a/bb p. 292).
D'après la jurisprudence, ce n'est que si les moyens des époux sont insuffisants pour couvrir leur minima vitaux du droit des poursuites que la charge fiscale ne doit pas être prise en compte dans le calcul du minimum vital LP du débirentier (arrêt 5C.282/2002 du 27 mars 2003 consid. 2.1 publié in JdT 2003 I 193, qui confirme le principe sous l'empire du nouveau droit du divorce; cf. aussi ATF 127 III 289 consid. 2a/bb p. 292; 126 III 89 consid. 3b p. 93, 353 consid. 1a/aa p. 356 et les arrêts cités; 5A_383/2007 du 9 novembre 2007 consid. 2.2; 5A_732/2007 du 4 avril 2007 consid. 2.1).
Pour ce qui concerne les dettes hypothécaires, à la différence des intérêts hypothécaires qui font généralement partie du minimum vital LP, l'amortissement de la dette hypothécaire n'a pas à être pris en considération, sauf si les moyens financiers des époux le permettent: en effet, il ne sert pas à l'entretien, mais à la constitution du patrimoine (ATF 127 III 289 consid. 2a/bb p. 292 et les références mentionnées; 5A_87/2007 du 2 août 2007 consid. 3.2.2; 5A_131/2007 du 8 juin 2007 consid. 2.2 publié in FamPra.ch 2007 p. 893; 5P.498/2006 du 18 juin 2006 consid. 4.4.2 publié in FramPra.ch 2007 p. 929; 5P.425/2003 du 21 avril 2004 consid. 2.4 et les citations). Cette règle, qui donne la priorité à l'obligation d'entretien sur les dettes contractées envers les tiers, trouve son fondement dans le principe selon lequel, lorsque les moyens financiers des parties ne suffisent pas à couvrir les frais supplémentaires engendrés par l'existence parallèle de deux ménages, chaque époux a le droit de participer de manière identique au train de vie antérieur (ATF 129 III 7 consid. 3.1.1 p. 8; 119 II 314 consid. 4b/aa p. 318; arrêt 5C.6/2006 du 31 mars 2006 consid. 4.2 publié in FamPra.ch 2006 p. 925 ss).
3.2 En l'espèce, l'arrêt entrepris constate que le revenu mensuel de l'intimé s'élève à 5'571 fr.10 et ses charges, à 5'750 fr.30 par mois, d'où un déficit de 200 fr. Sur le vu des principes exposés au considérant précédent, l'autorité cantonale a violé le droit fédéral en prenant en considération le montant de 800 fr. dû à titre d'impôt ainsi que celui de 1'000 fr. représentant l'amortissement hypothécaire. C'est à tort que l'intimé se prévaut de l'arrêt paru aux ATF 128 III 257 pour affirmer qu'il convient d'inclure sa charge fiscale dans son minimum vital: le Tribunal fédéral a déjà exposé que l'on ne pouvait rien tirer de cet arrêt sur cette question (arrêt 5C.282/2002 du 27 mars 2003 consid. 2.2 publié in JdT 2003 I 193). De même, il soutient vainement que le refus de prendre en compte l'amortissement de sa dette hypothécaire pourrait conduire à la réalisation forcée de son entreprise, cette allégation n'étant pas démontrée. En faisant abstraction de ces postes, conformément à la jurisprudence, le débirentier bénéficie encore, après paiement de ses charges admissibles, d'un solde, arrondi, de 1'621 fr. (5'571 fr.10 [revenu] - 3'950 fr.30 [charges sans les impôts et l'amortissement] = 1'620 fr.80), ce qui lui permet de verser à l'épouse la contribution d'entretien de 1'300 fr. qu'elle réclame sans entamer son minimum vital LP.
Autant que l'intimé soutient de façon suffisamment explicite que la recourante n'a pas droit à une contribution d'entretien, au motif qu'elle aurait délibérément provoqué l'état de nécessité dans lequel elle se trouve en étant responsable de son état dépressif et de son alcoolisme, ainsi qu'en refusant d'entreprendre toute démarche pour sortir de sa situation, il n'expose nullement en quoi l'arrêt cantonal aurait violé le droit fédéral en retenant que l'affection dont souffre la recourante, attestée médicalement, ne justifie pas l'application de l'art. 125 al. 3 ch. 2 CC, cette norme devant être appliquée de façon restrictive. Du reste, contrairement à ce que soutient l'intimé, il ressort de l'arrêt cantonal que la recourante a déposé une demande de prestations AI le 22 juillet 2008.
4. En conclusion, le recours apparaît bien fondé et doit dès lors être admis. L'intimé, qui succombe, supportera par conséquent les frais et dépens de la présente procédure (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). La recourante ne prétend pas que les dépens ne pourraient pas être recouvrés et il ne résulte pas de l'arrêt attaqué ou du dossier que l'intimé serait impécunieux. Dans ces conditions, la demande d'assistance judiciaire de la recourante devient sans objet. Il appartiendra aux autorités cantonales de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (art. 68 al. 5 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que X._ est condamné à payer à dame X._ à titre de contribution à son entretien la somme de 1'300 fr., payable le premier de chaque mois et qui portera intérêt à 5% l'an à chaque échéance de retard.
2. La requête d'assistance judiciaire est sans objet.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
4. Une indemnité de 3'000 fr., à payer à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge de l'intimé.
5. La cause est renvoyée à la Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal du canton de Fribourg.
Lausanne, le 9 mars 2009
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot