Sachverhalt:
A. Mit Verfügung vom 3. Februar 2006 sprach die IV-Stelle des Kantons Zürich C._ eine ganze Invalidenrente samt Kinderrente ab 1. September 2005 zu, ausmachend insgesamt pro Monat Fr. 2'384.-. Daraus resultierte für die Zeit vom 1. September 2005 bis 31. Januar 2006 eine Nachzahlung von zusammen Fr. 11'920.-. Gleichzeitig verfügte die IV-Stelle Nachzahlung von Vorschussleistungen an die SWICA Krankenversicherung (nachfolgend: Swica) in der Höhe von Fr. 4'768.- und an die Sozialen Dienste X._ (nachfolgend: Soziale Dienste) in der Höhe von Fr. 7'152.-. Die Swica erhob dagegen Einsprache, welche mit Entscheid vom 5. Mai 2006 abgewiesen wurde.
B. Die Swica reichte dagegen Beschwerde beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ein. Dieses lud die Sozialen Dienste und C._ zum Prozess bei und drohte eine reformatio in peius an; mit Entscheid vom 25. Oktober 2007 wies es die Beschwerde ab und hob den Einspracheentscheid auf mit der Feststellung, dass der Beschwerdeführerin ein Verrechnungsbetrag von Fr. 4'138.20 zustehe.
C. Die Swica führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, die IV-Stelle sei in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids zu verpflichten, ihr einen Verrechnungsbetrag von Fr. 9'536.- zu leisten.
Die IV-Stelle und die Sozialen Dienste beantragen Abweisung der Beschwerde; C._ und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. 1.1 Es ist unter den Verfahrensbeteiligten nicht bestritten, dass die Beschwerdeführerin dem Versicherten gestützt auf eine Krankentaggeldversicherung nach dem Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag (VVG) für die Zeit vom 1. September bis 31. Dezember 2005 Taggelder von insgesamt Fr. 12'932.- ausbezahlt hat und - entsprechend dem Grundsatz der zeitlichen Kongruenz (Art. 85bis Abs. 3 IVV) - im Umfang der für diesen Zeitraum erfolgten Nachzahlung von Fr. 9'536.- (4 Monate à Fr. 2'384.-) grundsätzlich einen Direktauszahlungsanspruch hat (Art. 85bis IVV; vgl. zur Gesetzmässigkeit dieser Bestimmung auch nach dem Inkrafttreten von Art. 22 Abs. 2 ATSG die Urteile vom 14. August 2006 [I 518/05] E. 2.1 und 18. April 2006 [I 428/05] E. 4.3; zu ihrer Anwendung auf Krankentaggeldversicherungen nach VVG vgl. die Urteile vom 9. Dezember 2005 [I 632/03] E. 3.3.2, und 18. April 2006 [I 428/05] E. 4.4.1 sowie Rz. 10064 der Wegleitung über die Renten in der Eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung [RWL]).
1.2 Unbestritten ist sodann, dass die Sozialen Dienste den Versicherten bzw. seine Familie während des hier interessierenden Zeitraumes ebenfalls unterstützt haben, und zwar mit dem Betrag von monatlich Fr. 6'894.90 (insgesamt Fr. 27'579.60). Die Beschwerdeführerin stellt zu Recht nicht in Frage, dass auch die Sozialhilfe grundsätzlich zu den bevorschussenden Dritten im Sinne von Art. 85bis IVV gehört. Es ist auch nicht bestritten, dass die Sozialhilfebehörde gemäss § 19 Abs. 2 des kantonalen Sozialhilfegesetzes vom 14. Juni 1981 (SHG; in der Fassung vom 4. November 2002, in Kraft seit 1. Januar 2003) ein Rückforderungsrecht im Sinne von Art. 85bis Abs. 2 lit. b IVV hat (vgl. in BGE 128 V 108 [I 727/00] nicht publizierte E. 5c; Urteil vom 14. August 2006 [I 518/05] E. 2.2; anders noch BGE 123 V 25 E. 5c zur alten Fassung des zürcherischen SHG). Die Beschwerdeführerin bestreitet jedoch unter Hinweis auf die Subsidiarität der Sozialhilfe den Nachzahlungsanspruch der Sozialhilfebehörde, soweit zugleich ein von ihr als prioritär betrachteter Nachzahlungsanspruch des Krankentaggeldversicherers besteht.
2. Die Vorinstanz hat sich zur Begründung ihres Entscheids auf Rz. 10075 RWL gestützt. Diese lautet: "Haben mehrere bevorschussende Dritte ein Gesuch um Überweisung der Nachzahlung eingereicht und erfüllen die Gesuchsteller alle Voraussetzungen dazu, so ist die Nachzahlung unter den bevorschussenden Dritten im Verhältnis zu den erbrachten Vorschussleistungen aufzuteilen." Die Vorinstanz hat dementsprechend die folgende Rechnung angestellt: Die Beschwerdeführerin erbrachte im Zeitraum vom 1. September bis 31. Dezember Vorschussleistungen von Fr. 12'932.-, die sozialen Dienste Fr. 27'579.60. Die Leistungen der Beschwerdeführerin am Gesamtbetrag entsprechen 32 %, diejenigen der sozialen Dienste 68 %. In diesem Verhältnis hat sie die Nachzahlung aufgeteilt.
3. Die Beschwerdeführerin erachtet die Rz. 10075 RWL als bundesrechtswidrig.
3.1 Weder Art. 22 Abs. 2 ATSG noch Art. 85bis IVV regeln, wie vorzugehen ist, wenn die Nachzahlungssumme nicht ausreicht, um alle geltend gemachten Verrechnungen zu decken. Es liegt insoweit eine Gesetzeslücke vor, die durch Richterrecht (Art. 1 Abs. 2 ZGB) oder mangels eines solchen durch Verwaltungspraxis auszufüllen ist. Dass das Bundesamt für Sozialversicherungen in den RWL für diesen Fall eine Weisung getroffen hat, ist demnach nicht zu beanstanden (Art. 64 Abs. 1 IVG in Verbindung mit Art. 72 Abs. 1 AHVG und Art. 176 Abs. 2 AHVV). Die darin vorgesehene Aufteilung im Verhältnis zu den erbrachten Vorschussleistungen wird auch in der Lehre vertreten (Gabriela Riemer-Kafka, Auszahlung von Sozialversicherungsleistungen an bevorschussende Dritte, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Aktuelle Fragen der Sozialversicherungspraxis, St. Gallen 2001, S. 107 ff., 125 Fn. 50; Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, N 33 zu Art. 22; Franz Schlauri, Die zweigübergreifende Verrechnung und weitere Instrumente der Vollstreckungskoordination des Sozialversicherungsrechts, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2004, S. 137 ff., 160; Ruedi Schläppi, Rückforderung von Arbeitgeber-Vorschussleistungen, Schweizer Versicherung 2/1998 S. 38 ff., 41). Ob die in Rz. 10075 RWL getroffene Regelung inhaltlich gesetzmässig ist, braucht jedoch aus folgenden Gründen nicht abschliessend beurteilt zu werden.
3.2 Die anteilmässige Aufteilung muss nämlich in jedem Fall zurücktreten, wenn einer der Bevorschussenden nur in Ergänzung zur Invalidenversicherung leistungspflichtig ist, während der andere auch dann, wenn die IV-Rente von Anfang an bezahlt worden wäre, seine volle Leistung hätte erbringen müssen, diese Leistung mithin unabhängig von der IV-Rente und kumulativ zu ihr so oder so geschuldet wäre. Dies ist hier der Fall: Gemäss der massgeblichen vertraglichen Regelung (AVB 2005, Taggeldversicherung Salaria VVG, Art. 24 Ziff. 1) schuldet die Beschwerdeführerin das Taggeld nur in Ergänzung zur IV-Rente. Gemäss dem in den Akten liegenden Sozialhilfebudget für den Versicherten betrug der monatliche Bedarf des Versicherten und seiner Familie im fraglichen Zeitraum Fr. 10'117.30 (wovon Fr. 4'712.- Heimtaxe für den offenbar in einem Heim lebenden Versicherten). Als anrechenbare Einnahmen sind die von der Beschwerdeführerin geleisteten Taggelder von Fr. 3'222.40 genannt. Die Differenz von Fr. 6'894.90 bezahlte die Sozialhilfe. Hätte die Invalidenversicherung ihre Rente von Beginn an ausbezahlt, hätte die Beschwerdeführerin gemäss Vertrag nur die Differenz zwischen der IV-Rente und dem vereinbarten Taggeld bezahlen müssen. Der Versicherte hätte somit von Invalidenversicherung und Beschwerdeführerin zusammen gleich viel erhalten wie er tatsächlich von der Beschwerdeführerin allein erhalten hat, nämlich Fr. 3'222.40. Die Sozialhilfe hätte auch in diesem Fall den ganzen verbleibenden Betrag von Fr. 6'894.90 bezahlen müssen. Ihre Zahlung kann daher nicht als Vorschuss im Hinblick auf die IV-Rente betrachtet werden, sondern erfolgte unabhängig von dieser. Gemäss BGE 131 V 242 E. 5.2 und 5.3 müssen zwar die Vorschüsse im Sinne von Art. 85bis Abs. 1 IVV nicht in subjektiver Kenntnis eines Rentenbegehrens erfolgt sein; vorausgesetzt bleibt aber, dass für die zur Verhinderung eines doppelten Leistungsbezugs erforderliche Drittauszahlung die normativen Erfordernisse des Art. 85bis Abs. 1-3 IVV erfüllt sind (a.a.O., E. 5.2; BGE 132 V 113 E. 3.2.2 S. 116 f.). Daran fehlt es, wenn die Drittauszahlung zur Verhinderung eines doppelten Leistungsbezugs nicht erforderlich ist, weil die Leistung des Dritten so oder so hätte erbracht werden müssen, auch wenn im fraglichen Zeitraum (Art. 85bis Abs. 3 IVV) die Leistung der Invalidenversicherung bereits gewährt worden wäre. Das ist hier in Bezug auf die Sozialhilfeleistungen der Fall. Der Sozialhilfebehörde steht daher kein Drittauszahlungsanspruch zu und die Frage einer Aufteilung gemäss Rz. 10075 RWL stellt sich nicht.
3.3 Diesem Ergebnis kann auch nicht die Subsidiarität der Sozialhilfe entgegengehalten werden oder der Umstand, dass die Beschwerdeführerin als privatwirtschaftliches Versicherungsunternehmen im Unterschied zur öffentlichen Hand für ihre Leistungen Prämien bezogen hat; diese Prämien finanzieren die gemäss Versicherungsvertrag zu erbringenden Leistungen, also nur die Differenz zwischen dem vereinbarten Taggeld und einer allfälligen Leistung der Invalidenversicherung (vorne E. 3.2). Nur diesen Betrag schuldet die Beschwerdeführerin. Die verbleibende Differenz zum Existenzbedarf ist durch die Sozialhilfe zu decken. Es besteht keine gesetzliche Grundlage, um die Beschwerdeführerin zu verpflichten, an die Kosten der Sozialhilfe beizutragen; sie müsste so eine Leistung erbringen, die sie vertraglich nicht schuldet. Das gilt gleichermassen, wenn die Beschwerdeführerin vorläufig die Leistungen der Invalidenversicherung bevorschusst hat.
3.4 Der gesamte Nachzahlungsbetrag von Fr. 9'536.- für die Zeit vom 1. September bis 31. Dezember 2005 ist daher der Beschwerdeführerin auszubezahlen. Die Beschwerde ist begründet.
4. Es bleibt die prozessrechtliche Situation zu prüfen.
4.1 Die IV-Stelle hat der Beschwerdeführerin und den Sozialen Diensten eine Nachzahlung zugesprochen. Nur die Beschwerdeführerin hat Beschwerde erhoben mit dem Antrag, ihr sei ein grösserer Anteil an der Nachzahlung zuzusprechen. Die Sozialen Dienste haben selber nicht Beschwerde erhoben, sind aber von der Vorinstanz beigeladen worden; sie haben in ihrer Stellungnahme vom 24. Januar 2007 die Berechnung der IV-Stelle beanstandet und eine Korrektur der Aufteilung zu ihren Gunsten beantragt. Die Vorinstanz hat in den Erwägungen ihres Entscheids den Nachzahlungsbetrag zu Ungunsten der Beschwerdeführerin und zu Gunsten der Sozialen Dienste korrigiert, im Dispositiv freilich nur den der Beschwerdeführerin zustehenden Verrechnungsbetrag reduziert, nicht denjenigen der Sozialen Dienste erhöht, dies offenbar in der Annahme, die Rechtsstellung eines blossen Beigeladenen könne im Entscheid nicht geändert werden.
4.2 Diese Regel ist grundsätzlich richtig (vgl. BGE 130 V 501), hier aber nicht anwendbar; denn wenn der Drittauszahlungsanspruch als solcher weder im Grundsatz noch in der Höhe umstritten ist, wohl aber seine Aufteilung unter mehrere Drittansprecher, dann muss jede Erhöhung des dem einen zugesprochenen Betrags zwangsläufig eine Reduktion des dem anderen zustehenden Betrags zur Folge haben, weil die IV-Stelle insgesamt nicht höhere Drittauszahlungen zusprechen kann als die zu verrechnende Nachzahlung ausmacht. Wenn ein Drittansprecher beschwerdeweise das Begehren stellt, der eigene Betrag sei zu erhöhen, weil ein anderer Drittansprecher nicht oder nicht im zugesprochenen Umfang drittauszahlungsberechtigt sei, dann muss dies zwangsläufig zugleich als Begehren verstanden werden, den dem anderen zustehenden Betrag zu reduzieren. Es handelt sich insoweit um eine Drittbeschwerde gegen die den anderen Ansprecher begünstigende Verfügung, wozu der beschwerdeführende Drittansprecher als unmittelbar Betroffener legitimiert ist (Art. 59 ATSG; vgl. BGE 133 V 196 nicht publizierte E. 2.4). Der begünstigte Drittansprecher, gegen den sich das Rechtsbegehren richtet, ist in diesem Beschwerdeverfahren nicht bloss Beigeladener, sondern Gegenpartei, zumindest soweit er eigene Rechtsbegehren stellt (vgl. BGE 128 II 90 E. 2b S. 94; 126 V 455 E. 2s S. 459; Fritz Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, S. 179; Kölz/Häner, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2. Aufl., Zürich 1998, S. 190 Rz. 526).
4.3 Vorliegend konnten sich die Sozialen Dienste X._ sowohl im vorinstanzlichen als auch im bundesgerichtlichen Verfahren wie eine Gegenpartei äussern und haben dies auch mit eigenen Anträgen getan. Dass sie formal im vorinstanzlichen Verfahren nur als Beigeladene und nicht als Gegenpartei bezeichnet worden sind, ändert nichts daran, dass sie in Wirklichkeit die Stellung einer Gegenpartei hatten und sich entsprechend geäussert haben. Es steht daher nichts entgegen, dass im bundesgerichtlichen Entscheid ihre Rechtsstellung verschlechtert wird.
4.4 Das Bundesgericht kann indessen nur im Rahmen des Streitgegenstands entscheiden. Streitgegenstand war bereits im vorinstanzlichen Verfahren nur die Drittauszahlung des Betrags betreffend September bis Dezember 2005. Der von der IV-Stelle mit Verfügung vom 3. Februar 2006 den Sozialen Diensten zugesprochene Verrechnungsbetrag von Fr. 2'384.- für den Monat Januar 2006 bildet nicht Gegenstand des Beschwerdeverfahrens und bleibt daher bestehen.
5. Die IV-Stelle hat in diesem Verfahren nicht im eigenen Vermögensinteresse gehandelt, sondern zwischen den Vermögensinteressen der Beschwerdeführerin und denjenigen der Sozialdienste entschieden; sie trägt daher keine Kosten (Art. 66 Abs. 4 BGG). Diese sind den Sozialen Diensten X._ aufzuerlegen, die materiell unterlegene Gegenpartei sind (E. 4.3) und in ihrem unmittelbaren Vermögensinteresse handeln (vgl. BGE 127 V 107 E. 6b S. 111; Urteil vom 22. Oktober 1999 [I 139/99] E. 4; Seiler/von Werdt/Güngerich, Bundesgerichtsgesetz, N 10 zu Art. 66). Die nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 25. Oktober 2007 und der Einspracheentscheid der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 5. Mai 2006 werden aufgehoben. Die IV-Stelle des Kantons Zürich wird verpflichtet, der Beschwerdeführerin einen Drittauszahlungsbetrag von Fr. 9'536.- zu bezahlen. Den Sozialen Diensten X._ steht für die Zeit vom September bis Dezember 2005 keine Drittauszahlung zu.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden den Sozialen Diensten X._ auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, der Ausgleichskasse des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Oktober 2008
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Meyer Schmutz