Sachverhalt:
A. Die 1974 geborene und bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft gegen die Folgen von Unfällen versicherte M._ wurde am 19. Dezember 2001 Opfer einer Auffahrkollision. Mit Verfügung vom 7. April 2006 und Einspracheentscheid vom 23. November 2006 stellte die Versicherung ab 30. April 2006 ihre Leistungen ein, da zwischen den geltend gemachten Beschwerden und dem Unfallereignis kein adäquater Kausalzusammenhang mehr bestehe.
B. Eine von M._ hiegegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden mit Entscheid vom 11. Juni 2008 dahingehend gut, dass es den angefochtenen Einspracheentscheid aufhob und die Sache zur weiteren Abklärung und zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Versicherung zurückwies.
C. Mit Beschwerde beantragt die Versicherung, es sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsentscheides das vorinstanzlich eingereichte Rechtsmittel vollumfänglich abzuweisen; ferner sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Erwägungen:
1. Gemäss Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG entscheidet der Präsident der Abteilung als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren über Nichteintreten auf offensichtlich unzulässige Beschwerden.
2. Die Vorinstanz hat die Sache unter Aufhebung des Einspracheentscheides zu weiteren medizinischen Abklärungen an die Beschwerdeführerin zurückgewiesen. Damit hat sie einen Zwischenentscheid im Sinne der Art. 90 ff. BGG gefällt (BGE 133 V 477 E. 4.2 S. 481). Da der selbständig eröffnete Entscheid weder die Zuständigkeit noch ein Ausstandsbegehren betrifft, ist eine Beschwerde nur zulässig, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG).
3. Es ist nicht erkennbar und wird auch nicht geltend gemacht, dass der vorinstanzliche Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil für die Beschwerdeführerin bewirken würde. Insbesondere wird - da der angefochtene Entscheid keine materiell-rechtlichen Vorgaben enthält - die Versicherung durch ihn nicht gezwungen, einen ihres Erachtens rechtswidrigen neuen Entscheid zu erlassen (vgl. BGE 133 V 477 E. 5.2.4 S. 484 und Urteile 8C_362/2007 vom 16. Januar 2008, E. 2.2 sowie 8C_575/2008 vom 24. Juli 2008, E. 3). Das kantonale Gericht hat zudem keine Sachverhaltsfeststellungen getroffen, welche für die Beschwerdeführerin in dem Sinne verbindlich wären, dass sie nach Vorliegen des Gutachtens von ihr nicht korrigiert werden könnten. Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ist damit nicht erfüllt. Dies gilt, selbst wenn die vorinstanzliche Feststellung, der rechtserhebliche Sachverhalt sei ungenügend abgeklärt, offensichtlich unrichtig wäre oder auf einer qualifiziert unrichtigen oder sogar willkürlichen Beweiswürdigung beruhte. Auch eine solche Rechtsverletzung (Art. 95 lit. a und Art. 97 Abs. 1 BGG) vermöchte dem Nachteil an sich unnötiger Abklärungen nicht rechtlichen Charakter zu geben (Urteile 9C_301/2007 vom 28. September 2007, E. 2.2, 8C_78/2008 vom 9. Juli 2008, E. 2, und 8C_575/2008 vom 24. Juli 2008 E. 3).
4. Eine Gutheissung der Beschwerde würde zwar einen sofortigen Endentscheid herbeiführen; kantonale Rückweisungsentscheide, mit denen einzig eine ergänzende Sachverhaltsabklärung angeordnet wird, verursachen indessen praxisgemäss in der Regel kein weitläufiges Beweisverfahren mit einem bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten im Sinne des Gesetzes (Urteile 8C_742/2007 vom 4. April 2008, E. 3, 8C_222/2007 vom 5. Mai 2008, E. 3, 8C_222/2008 vom 13. Juni 2008, E. 3 und 8C_575/2008 vom 24. Juli 2008, E. 4). Auch vorliegend ist nicht ersichtlich, dass die Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG erfüllt wären (vgl. auch Urteile 8C_750/2007 vom 20. Juni 2008 E. 3 und 8C_78/2008 vom 9. Juli 2008, E. 3), weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
5. Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Als unterliegende Partei hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG; BGE 133 V 642 E. 5). Eine Entschädigung an die Beschwerdegegnerin schuldet sie hingegen nicht, da Letztere nicht zu einer Stellungnahme vor Bundesgericht aufgefordert worden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG). Mit diesem Nichteintretensentscheid wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. August 2008
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Batz