Faits:
A. Le Ministère public de la Confédération (ci-après: le MPC) instruit une enquête contre A._ et trois autres ressortissants ouzbeks pour des infractions de blanchiment d'argent et de faux dans les titres. Dans ce cadre, il a ordonné des séquestres de comptes bancaires, des perquisitions de coffres-forts ainsi que la saisie de divers objets et documents. Certaines pièces étaient susceptibles de jouir de l'inviolabilité garantie par la Convention de Vienne sur les relations diplomatiques (RS 0.191.01) et la loi fédérale sur l'Etat hôte (LEH; RS 192.12), dans la mesure où elles concernaient la cheffe de la mission permanente de l'Ouzbékistan auprès de l'ONU à Genève. Elles ont par conséquent été placées sous scellés. A._, qui ne bénéficie pas de l'immunité diplomatique, a été placé en détention provisoire.
Par courrier du 15 août 2012, la République d'Ouzbékistan a indiqué au MPC qu'un ordinateur portable et une clé USB saisis contenaient des données couvertes par l'immunité diplomatique, de sorte qu'elle demandait leur restitution. Le MPC a alors requis des indications complémentaires permettant d'identifier les objets dont la restitution était sollicitée. Le 5 septembre 2012, la République d'Ouzbékistan a demandé au MPC le procès-verbal des perquisitions et un inventaire des objets saisis. Par courrier du 7 septembre 2012, elle a donné certains renseignements, en expliquant notamment pourquoi A._ était en possession des données en question.
Le 14 septembre 2012, le MPC a refusé de donner les informations requises par la République d'Ouzbékistan, au motif que celle-ci n'était pas partie à la procédure et que le caractère vague de sa requête ne permettait pas d'identifier les objets revendiqués ni de retenir qu'elle disposait d'un droit sur ceux-ci.
B. Le MPC a demandé la levée des scellés au Tribunal cantonal des mesures de contrainte du canton de Berne (ci-après: le Tmc), en application de l'art. 248 al. 3 du Code de procédure pénale suisse (CPP; RS 312.0). Par courrier du 21 septembre 2012, la République d'Ouzbékistan est intervenue auprès du Tmc pour revendiquer "un ordinateur portable, une clé USB et certains documents" en alléguant que ces objets bénéficiaient au moins pour partie de l'immunité diplomatique. Elle demandait également à participer à la procédure de levée des scellés. Le Président du Tmc a rejeté cette requête par un courrier du 24 septembre 2012, complété par une décision du 25 septembre 2012. Il a considéré en substance que la République d'Ouzbékistan n'avait pas la qualité de partie à la procédure de levée des scellés et qu'elle n'avait pas établi dans quelle mesure elle serait directement touchée dans ses droits au sens de l'art. 105 CPP.
C. Agissant par la voie du recours en matière pénale, la République d'Ouzbékistan demande au Tribunal fédéral d'annuler cette décision et d'ordonner au Tmc de l'admettre en qualité de participant à la procédure de levée de scellés. A titre de mesures provisionnelles, elle requiert du Tribunal fédéral qu'il ordonne au Tmc de suspendre l'instruction de la demande de levée de scellés jusqu'à l'issue de la procédure de recours.
La décision attaquée indiquant une voie de droit au Tribunal pénal fédéral, la République d'Ouzbékistan a également formé un recours auprès de cette autorité. Par ordonnance du 11 octobre 2012, le Président de la Ire Cour de droit public a suspendu la présente procédure jusqu'à droit jugé sur ledit recours. Celui-ci ayant été déclaré irrecevable, l'instruction a été reprise. Le MPC et le Tmc ont présenté des observations, concluant au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. La recourante a formulé des observations complémentaires.
D. Le 16 octobre 2012, A._ a été remis en liberté. L'ordinateur portable revendiqué par la République d'Ouzbékistan ainsi que des clés USB ont été restitués au prénommé, les données qu'ils contenaient ayant été sauvegardées par le MPC.
E. Par ordonnance du 1er novembre 2012, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête de mesures provisionnelles.
Considérant en droit:
1. Conformément à l'art. 393 al. 1 let. c CPP, un recours au sens du CPP n'est ouvert contre les décisions du Tmc que dans les cas prévus par ledit code. Aux termes de l'art. 248 al. 3 let. a CPP, le Tmc statue définitivement sur la demande de levée des scellés au stade de la procédure préliminaire. Le code ne prévoit pas de recours contre les autres décisions rendues par le Tmc dans le cadre de la procédure de levée des scellés. Le Tribunal pénal fédéral a dès lors considéré à juste titre que la décision attaquée ne pouvait faire l'objet d'aucun recours au sens de l'art. 393 CPP. Le recours au Tribunal fédéral est par conséquent directement ouvert (art. 80 LTF). La décision attaquée revêt pour la recourante un caractère final, puisqu'elle l'exclut de la procédure de levée des scellés. Elle est au demeurant susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF, en ce sens qu'elle l'empêche de faire valoir ses droits dans une procédure de levée des scellés portant sur des objets qui pourraient être couverts par son immunité. Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'art. 107 al. 2 LTF, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2. Invoquant l'art. 105 al. 2 CPP, la recourante soutient que la qualité de partie devrait lui être reconnue dans la mesure nécessaire à la sauvegarde de ses intérêts, dès lors qu'elle est un tiers touché par des actes de procédure au sens de l'art. 105 al. 1 let. f CPP.
2.1 Alors que les parties peuvent se prévaloir sans condition des droits procéduraux conférés par le code, les autres participants à la procédure doivent établir qu'ils sont directement touchés dans leurs droits au sens de l'art. 105 al. 2 CPP (NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung Praxiskommentar, 2009, n. 10 ad art. 105 CPP; VIKTOR LIEBER, in Donatsch/Hansjakob/Lieber (éd.), Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2010, n. 1 ad art. 105 CPP). Pour que le participant à la procédure se voie reconnaître la qualité de partie en application de l'art. 105 al. 2 CPP, il faut que l'atteinte à ses droits soit directe, immédiate et personnelle, une atteinte de fait ou indirecte étant insuffisante (ATF 137 IV 280 consid. 2.2.1 p. 283; cf. STEPHAN STUCKI, in Goldschmid/Maurer/ Sollberger (éd.), Kommentierte Textausgabe zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 2008, p. 83; NIKLAUS SCHMID, op. cit., n. 10 ad art. 105 CPP; HENRIETTE KÜFFER, in Basler Kommentar StPO, 2011, n. 31 ad art. 105 CPP). Comme exemples d'atteintes directes aux droits des autres participants à la procédure, la doctrine mentionne les atteintes aux droits et libertés fondamentales, l'obligation de se soumettre à une expertise, la contestation du droit de se taire, le rejet d'une demande d'indemnité, la condamnation aux frais ou encore le refus d'une mesure de protection (cf. VIKTOR LIEBER, op. cit., n. 12 ss ad art. 105 CPP; YASMINA BENDANI, in Commentaire romand CPP, 2011, n. 6, 10 et 14 ad art. 105 CPP).
2.2 En l'espèce, la recourante bénéficie des immunités de l'Etat, qui protègent notamment ses biens ainsi que ses représentants à l'étranger (cf. PATRICK DAILLIER/ALAIN PELLET, Droit international public, 7e éd., p. 451). Ce principe de droit coutumier a été précisé dans la Convention de Vienne sur les relations diplomatiques, qui règle en particulier l'immunité des agents diplomatiques (art. 29 et 31) et l'inviolabilité de leur correspondance et de leurs biens (art. 30). Ces immunités sont destinées à garantir le respect de la souveraineté de l'Etat (PATRICK DAILLIER/ALAIN PELLET, op. cit., p. 450), qui peut d'ailleurs renoncer à l'immunité de juridiction de ses agents (art. 32 al. 1). Ainsi, même si ces immunités s'étendent aux agents diplomatiques, l'Etat en est titulaire et bénéficie de droits à cet égard.
Dans ces conditions, s'il s'avère que les scellés ont été apposés sur des biens et des documents de la recourante ou de la cheffe de sa mission à Genève, la mesure litigieuse causerait une atteinte directe aux droits de la recourante au sens de l'art. 105 al. 2 CPP. Celle-ci devrait donc pouvoir participer à la procédure de levée des scellés dans la mesure nécessaire à la sauvegarde de ses intérêts. Certes, comme le relève la décision attaquée, une partie de la doctrine est d'avis que seul le détenteur des biens sous scellés a qualité de partie dans la procédure de l'art. 248 CPP (OLIVIER THORMANN/BEAT BRECHBÜHL, in Basler Kommentar StPO, op. cit., n. 32 ad art. 248 CPP). D'autres auteurs se montrent cependant plus souples et réservent une intervention des tiers touchés (ANDREAS J. KELLER, in Donatsch/Hansjakob/ Lieber (éd.), op. cit., n. 6 s. ad art. 248 CPP; CATHERINE CHIRAZI, in Commentaire romand CPP, op. cit., n. 12 ad art. 248 CPP). Quoi qu'il en soit, la mesure litigieuse causant une atteinte directe aux droits de la recourante, celle-ci doit être considérée comme un participant à la procédure au sens de l'art. 105 CPP.
La possibilité d'intervenir dans la procédure de levée des scellés s'impose d'autant plus en l'espèce que la recourante n'est apparemment pas en mesure d'identifier les biens et les documents saisis en mains de tiers et placés sous scellés. Le MPC et le Tmc ne lui ayant pas donné de renseignements sur ce point, seule une participation à la procédure de levée des scellés pourrait lui permettre de sauvegarder ses droits, en désignant les objets ou les documents sous scellés potentiellement couverts par l'immunité diplomatique. Le recours doit donc être admis et la qualité de participant à la procédure doit être reconnue à la recourante, étant précisé que cette qualité ne vaut que pour la procédure de levée des scellés et uniquement dans la mesure nécessaire à la sauvegarde de ses intérêts (art. 105 al. 2 CPP).
3. Il s'ensuit que le recours doit être admis et la décision attaquée annulée. La cause est renvoyée au Tmc, pour qu'il poursuive la procédure de levée des scellés en reconnaissant à la recourante la qualité de partie au sens de l'art. 105 al. 2 CPP. Il n'y a pas lieu de percevoir de frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF). La recourante obtenant gain de cause, la Confédération versera une indemnité à titre de dépens à son conseil (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est admis.
2. La décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée au Tribunal cantonal des mesures de contrainte du canton de Berne pour qu'il poursuive la procédure de levée des scellés en reconnaissant à la recourante la qualité de partie au sens de l'art. 105 al. 2 CPP.
3. La Confédération versera au conseil de la recourante une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
4. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5. Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Ministère public de la Confédération et au Tribunal cantonal des mesures de contrainte du canton de Berne.
Lausanne, le 10 janvier 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Rittener