Erwägungen:
1. X._ erhob beim Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, Beschwerde gegen einen Entscheid des Regierungsrats des Kantons Basel-Landschaft vom 24. Januar 2012 betreffend Widerruf seiner Niederlassungsbewilligung und Wegweisung. Er wurde am 9. Februar 2012 aufgefordert, bis zum 12. März 2012 einen Kostenvorschuss für das dortige Verfahren in der Höhe von Fr. 2'100.-- zu leisten. Am 13. März 2012 wurde ihm gestützt auf § 20 Abs. 5 des basel-landschaftlichen Gesetzes vom 16. Dezember 1993 über die Verfassungs- und Verwaltungsprozessordnung (VPO) - mit eingeschriebener Post - eine Nachfrist zur Vorschussleistung bis zum 26. März 2012 gesetzt; gleichzeitig wurde für den Fall des Fristversäumnisses angedroht, das Beschwerdeverfahren als gegenstandslos abzuschreiben. Der Kostenvorschuss wurde auch innert der Nachfrist nicht bezahlt. Gestützt auf diesen Sachverhalt schrieb das Kantonsgericht mit Verfügung der Präsidentin der Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht vom 2. April 2012 das Verfahren als gegenstandslos ab.
X._ gelangte mit einem als "letter of appeal" gegen die Verfügung des Kantonsgerichts bezeichneten, vom 4. April 2012 datierten und am 10. April 2012 zur Post gegebenen Schreiben an das Bundesgericht. Einer entsprechenden Aufforderung vom 12. April 2012 Folge leistend, reichte seine Ehefrau am 18. April 2012, zusammen mit einem kurzen Schreiben, die angefochtene Verfügung fristgerecht nach. Nachdem X._ mit Schreiben vom 20. April 2012 über die zu beachtenden Formvorschriften, namentlich über die Begründungspflicht gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG, informiert worden war, gelangte am 24. April 2012 wiederum seine Ehefrau an das Bundesgericht, wobei sie die Verfahrensabläufe vor den kantonalen Behörden bzw. vor dem Kantonsgericht schilderte.
Mit Urteil 2C_344/2012 vom 26. April 2012 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung wurde festgehalten, dass weder die eigenhändige Eingabe des Beschwerdeführers vom 4. April 2012 noch die beiden Schreiben seiner Ehefrau vom 18. und 24. April 2012, wobei letzteres als Antwort auf das Informationsschreiben des Bundesgerichts vom 20. April 2012 erschien, den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügten. Dieses Urteil wurde am 1. Mai 2012 versandt.
Sichtlich bevor er von diesem Urteil Kenntnis genommen hatte (Entgegennahme am 2. Mai 2012), wandte sich X._, unter Bezugnahme auf das Informationsschreiben des Bundesgerichts vom 20. April 2012, mit vom 1. Mai 2012 datiertem Schreiben (Postaufgabe 3. Mai 2012) ans Bundesgericht, wobei er sich zum ausländerrechtlichen Rechtsstreit und zur Frage der Nichtbezahlung des Kostenvorschusses vor dem Appellationsgericht äusserte.
Mit Schreiben vom 14. Mai (Postaufgabe 15. Mai) 2012 ersucht X._ sodann um Wiederherstellung der Frist in Bezug auf das Urteil 2C_344/2012 vom 26. April 2012. Gestützt darauf ist ein neues Verfahren eröffnet worden; es wurden weder ein Schriftenwechsel noch andere Instruktionsmassnahmen angeordnet.
2. 2.1 Gemäss Art. 61 BGG erwachsen Entscheide des Bundesgerichts am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft. Das Gericht kann darauf nicht zurückkommen, es sei denn, es würde ein Revisionsgesuch (Art. 121 ff. BGG) oder ein Fristwiederherstellungsgesuch gestellt (vgl. Art. 50 Abs. 2 BGG).
Vorliegend verhält es sich so, dass das Bundesgericht einen Nichteintretensentscheid gefällt hat; die bis zum Urteilszeitpunkt eingegangenen Rechtsschriften genügten den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht, wobei davon ausgegangen wurde, dass mit dem Schreiben der Ehefrau des Beschwerdeführers vom 24. April 2012 die Beschwerde im Sinne des Informationsschreibens vom 20. April 2012 verbessert werden sollte, weshalb mit dem Entscheid nicht zugewartet wurde.
Nun war allerdings die Beschwerdefrist von 30 Tagen (Art. 100 Abs. 1 BGG) zu jenem Zeitpunkt nicht abgelaufen; die angefochtene Verfügung des Kantonsgerichts datiert vom 2. April 2012, und die Beschwerdefrist begann angesichts des Friststillstandes vom siebenten Tag vor Ostern bis und mit dem siebenten Tag nach Ostern (Art. 46 Abs. 1 lit. a BGG) nicht vor dem 16. April 2012 zu laufen. Letzter Tag der Frist zur Anfechtung der fraglichen Verfügung war somit der 15. Mai 2012. In seinem Nichteintretensurteil vom 26. April 2012 hat sich das Bundesgericht mit dem "materiellen" Streitgegenstand (Nichteintreten des Kantonsgerichts wegen Nichtleistung des Kostenvorschusses) nicht befasst. Soweit bei einer solchen Konstellation innerhalb der noch laufenden Beschwerdefrist eine formgültige Rechtsschrift nachgereicht wird, entfaltet ein zuvor mangels formgültiger Rügen ergangenes Nichteintretensurteil Rechtskraftwirkungen nur in Bezug auf die formungültigen Rechtsschriften und steht einem nachträglichen Eintreten auf ein noch innerhalb der Beschwerdefrist korrekt neu erhobenes Rechtsmittel nicht entgegen. Eine entsprechende Parteieingabe erweist sich diesfalls als Beschwerde, mangels verpasster Frist nicht als Fristwiederherstellungsgesuch.
2.2 Der Beschwerdeführer hat nach der Ausfällung des Urteils vom 26. April 2012 noch zwei Rechtsschriften nachgereicht, beide innerhalb der durch den Friststillstand erstreckten Beschwerdefrist, eine vor, eine nach Kenntnisnahme vom erwähnten Urteil. Es liegt mithin von vornherein kein Fristwiederherstellungstatbestand vor. Hingegen ist noch zu prüfen, ob die rechtzeitigen nachträglichen Eingaben, namentlich diejenige vom 1./3. Mai 2012, womit der Beschwerdeführer erklärtermassen den Vorgaben des Informationsschreibens vom 20. April 2012 Folge leisten wollte, die Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG erfüllen; bejahendenfalls wäre, ungeachtet des Urteils vom 26. April 2012, auf die Beschwerde gegen die Verfügung vom 2. April 2012 nunmehr einzutreten und diese materiell zu behandeln.
2.3 Soweit die beiden Eingaben des Beschwerdeführers vom 1./3. und 14./15. Mai 2012 Bezug auf den begrenzten Verfahrensgegenstand (Nichtleistung des Kostenvorschusses vor Kantonsgericht) nehmen, genügen auch sie den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG offensichtlich nicht:
Wie bereits seine Ehefrau in ihrem Schreiben vom 24. April 2012 im ersten Verfahren macht der Beschwerdeführer zum massgeblichen Prozessthema wiederum geltend, sein Anwalt habe ein Kostenerlassgesuch gestellt und er sei über das Fortbestehen seiner Zahlungspflicht im Ungewissen gewesen. Aus der Beilage zur Eingabe der Ehefrau ergibt sich bloss, dass der damalige Anwalt am 12. März 2012 sein Mandat niederlegte und gleichzeitig das Kantonsgericht darum ersuchte, es sei "eine angemessene Fristerstreckung ... zur Überweisung des von Ihnen erbetenen Kostenvorschusses von Fr. 2'100.-- bzw. zur allfälligen Stellung eines Kostenerlassgesuches zu gewähren". Abgesehen davon, dass der Inhalt dieses Schreibens auch in der Eingabe vom 1./3. Mai 2012 nicht korrekt wiedergegeben und auch kein weiteres eigentliches Erlassgesuch bezeichnet (und beigelegt) wird, fehlt nach wie vor jeglicher Hinweis auf die vom Kantonsgericht in der angefochtenen Verfügung erwähnte, mit eingeschriebener Post erfolgte Nachfristansetzung vom 13. März 2012. Inwiefern das Kantonsgericht bei diesem Verfahrensverlauf schweizerisches Recht verletzt habe, lässt sich auch den Eingaben vom 1./3. und 14./15. Mai 2012 nicht entnehmen. Dass die nachträgliche Bezahlung des Kostenvorschusses unerheblich für den Verfahrensausgang ist, wurde bereits im Urteil 2C_344/2012 klargestellt.
2.4 Auf die auch unter Berücksichtigung der Rechtsschriften vom 1. und 14. Mai 2012 offensichtlich einer hinreichenden Begründung entbehrende Beschwerde ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.5 Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsanwalts kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde, deren Erfolgsaussichten allein am beschränkten Prozessgegenstand, nicht am materiellen ausländerrechtlichen Streitgegenstand zu messen sind, nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG).
Damit wären die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Es rechtfertigt sich jedoch, unter den gegebenen Umständen auf die Erhebung von Kosten für das zweite Verfahren zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Das Gesuch um Wiederherstellung der Frist wird als Beschwerde gegen die Verfügung des Kantonsgerichts Basel-Landschaft vom 2. April 2012 entgegengenommen.
2. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, Präsidentin, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Mai 2012
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller