Faits:
A. A.X._, ressortissant kosovar né en 1979, a épousé le 26 septembre 2005, au Kosovo, B._, née en 1980, également de nationalité kosovare et titulaire d'une autorisation d'établissement en Suisse. Le recourant est entré en Suisse le 2 septembre 2006 et s'est vu octroyer une autorisation de séjour le 8 septembre de la même année. Cette autorisation a été par la suite plusieurs fois prolongée, la dernière fois jusqu'au 1er septembre 2009.
Interpellé par le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population), le mandataire de B.X._ a déclaré, dans une lettre du 7 juillet 2009, que les époux vivaient séparés depuis le 1er avril 2009, la vie conjugale étant devenue insupportable pour l'épouse. Une audience de mesures protectrices de l'union conjugale s'était tenue le 15 mai 2009 et les époux étaient convenus de vivre séparés. Par l'intermédiaire de son représentant, B.X._ a également exposé qu'elle souhaitait divorcer le plus rapidement possible, mais qu'elle devait attendre deux ans avant d'en obtenir le prononcé, car son mari était opposé à cette démarche.
Le 18 août 2009, A.X._ a demandé la prolongation de son autorisation de séjour.
Après lui avoir donné l'occasion de se déterminer, le Service de la population a refusé, par décision du 8 février 2010, le renouvellement de l'autorisation de séjour de A.X._. Cette décision était essentiellement fondée sur le fait que, les époux étant séparés depuis le mois d'avril ou mai 2009, le motif initial de l'autorisation de séjour n'existait plus et que le but de l'autorisation de séjour devait être considéré comme atteint. Le Service de la population a également mis en évidence le fait que la vie commune en Suisse des époux n'avait été que de deux ans et sept mois et qu'aucun enfant n'était issu de cette union. Enfin, aucune reprise effective de la vie commune n'avait eu lieu.
Par acte du 12 mars 2010, A.X._ a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal), qui a rejeté le recours par arrêt du 20 juillet 2010.
B. Par écriture parvenue au Tribunal fédéral le 23 août 2010, A.X._ a interjeté un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre l'arrêt rendu par le Tribunal cantonal le 20 juillet 2010. Il conclut à la prolongation de son titre de séjour en Suisse et, à titre de mesures provisionnelles, il requiert le droit de demeurer dans le canton de Vaud et dans la Confédération ainsi que d'y travailler jusqu'à droit connu sur le fond.
Le Tribunal cantonal et le Service de la population ont renoncé à se déterminer sur le recours, alors que l'Office fédéral des migrations s'est exprimé tardivement.
Par ordonnance du 25 août 2010, le Président de la IIe Cour de droit public a accordé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1. La demande de renouvellement de l'autorisation de séjour qui est à la base du présent litige date du 18 août 2009. Il y a donc lieu d'appliquer la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20) qui est entrée en vigueur le 1er janvier 2008 (cf. art. 126 al. 1 LEtr a contrario).
2. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 1 consid. 1.1 p. 3). Le recourant a déclaré interjeter tant un recours en matière de droit public qu'un recours constitutionnel subsidiaire, ce qui est possible (cf. art. 119 LTF). Le second n'étant recevable qu'en tant que le premier ne l'est pas, il convient de s'attacher d'abord à la recevabilité du recours en matière de droit public.
2.1 D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (ATF 136 II 177 consid. 1.1 p. 179; arrêt 2C_84/2010 du 1er octobre 2010, destiné à la publication, consid. 3.3).
2.2 D'après l'art. 43 al. 1 LEtr, le conjoint étranger du titulaire d'une autorisation d'établissement a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité à condition de vivre en ménage commun avec lui.
L'art. 49 LEtr prévoit une exception à l'exigence du ménage commun lorsque la communauté familiale (ou conjugale) est maintenue et que des raisons majeures justifiant l'existence de domiciles séparés peuvent être invoquées. Selon l'art. 76 de l'ordonnance fédérale du 24 octobre 2007 relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201), une exception à l'exigence du ménage commun peut résulter de raisons majeures dues, notamment, à des obligations professionnelles ou à une séparation provisoire en raison de problèmes familiaux importants. Il ressort de la formulation des art. 49 LEtr ("raisons majeures") et 76 OASA ("problèmes familiaux importants") que ces dispositions visent des situations exceptionnelles. Elles peuvent s'appliquer notamment lorsque l'épouse étrangère réside dans un foyer ou s'est constitué son propre domicile en raison de violences conjugales (arrêt 2C_635/2009 du 26 mars 2010 consid. 4.4 et les références aux travaux préparatoires).
De manière générale, il appartient à l'étranger d'établir l'existence de raisons majeures au sens de l'art. 49 LEtr, ainsi que le maintien de la communauté familiale en dépit des domiciles séparés. Cela vaut d'autant plus que cette situation a duré plus longtemps, car une séparation d'une certaine durée fait présumer que la communauté familiale a cessé d'exister (arrêt 2C_575/2009 du 1er juin 2010 consid. 3.5, où la séparation avait duré plus d'une année).
2.3 En l'occurrence, le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir exclu de manière prématurée et arbitraire la reprise de la vie commune. Il fait valoir que les mesures protectrices de l'union conjugale ont pour but "de régir les relations entre les époux le temps de leur séparation afin que ceux-ci puissent bénéficier d'une phase de transition devant leur permettre d'évaluer si la vie commune peut être reprise ou non". Le recourant soutient qu'il se trouve dans une situation de séparation provisoire en raison de problèmes familiaux importants, au sens de l'art. 76 OASA, et se prévaut de cette disposition ainsi que de l'art. 49 LEtr. Il invoque également les art. 8 CEDH et 13 Cst.
En argumentant de la sorte, le recourant n'allègue ni l'existence de raisons majeures justifiant des domiciles séparés, ni le maintien de la communauté conjugale en dépit de cette séparation, qui sont les deux conditions cumulatives posées par l'art. 49 LEtr pour que le conjoint étranger du titulaire d'une autorisation d'établissement ait droit à une autorisation de séjour, alors que les époux ne font pas ménage commun. La seule référence au prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale est manifestement insuffisante à cet égard. Quant au fait qu'une reprise de la vie commune ne serait pas exclue - ce qui est au demeurant plus que douteux au vu de la teneur du courrier du 7 juillet 2009 -, cette question n'est pas déterminante sous l'angle des art. 43 et 49 LEtr (cf. arrêt 2C_635/2009, précité, consid. 4.3 à la fin et 4.4).
Au demeurant, le recourant ne peut valablement invoquer l'art. 8 CEDH - ni l'art. 13 Cst., dont la portée est la même (ATF 126 II 377 consid. 7 p. 394) -, du moment que la protection de la vie familiale garantie par cette disposition suppose une relation étroite et effective (cf. ATF 131 II 265 consid. 5 p. 269; 129 II 193 consid. 5.3.1 p. 211), condition qui n'est à l'évidence pas réalisée en l'espèce.
Dès lors qu'il n'est pas possible d'admettre de manière soutenable l'existence d'un droit potentiel à l'autorisation sollicitée, le recours en matière de droit public est irrecevable.
3. La voie du recours constitutionnel subsidiaire n'est ouverte que pour se plaindre de la violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF), qu'il appartient au recourant d'invoquer et de motiver sous peine d'irrecevabilité (art. 106 al. 2 LTF applicable par renvoi de l'art. 117 LTF).
En l'occurrence, le recourant invoque, outre l'art. 8 CEDH dont il a déjà été question, le principe de la proportionnalité. Or, celui-ci, bien qu'il soit ancré à l'art. 5 al. 2 Cst., n'est pas considéré comme un droit fondamental (ATF 134 I 153 consid. 4.1 p. 156). Sans portée propre, il ne peut être invoqué, dans un recours constitutionnel subsidiaire, qu'en relation avec la violation d'un droit fondamental (Yves Donzallaz,
Loi sur le Tribunal fédéral, 2008, no 4572; Jean-Maurice Frésard, in Commentaire de la LTF, 2009, no 7 ad art. 116 LTF). Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est également irrecevable, faute de griefs pertinents.
4. Succombant, le recourant doit supporter un émolument judiciaire (cf. art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'a pas droit à des dépens (cf. art. 68 LTF a contrario).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les recours sont irrecevables.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi qu'à l'Office fédéral des migrations.
Lausanne, le 10 janvier 2011
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Zünd Vianin