Sachverhalt:
A. Der 1958 geborene Dr. sc. nat. G._ war in der Firma X._ tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (SUVA) obligatorisch gegen Unfallfolgen versichert, als er am 2. April 2002 in F._ einen Unfall erlitt. Er sass in einem Restaurant, als sich eine Deckenplatte löste und auf ihn fiel. G._ liess sich anderntags wegen Nackenbeschwerden ärztlich behandeln. In der Folge wurde von einer Traumatisierung von Hinterkopf, Nacken und Schultern sowie von einer wahrscheinlichen Abknickverletzung der Halswirbelsäule (HWS) ausgegangen. Die SUVA gewährte Heilbehandlung und richtete Taggeld aus. Mit Verfügung vom 13. September 2007 stellte sie die Leistungen auf den 1. Juli 2007 ein und verneinte einen Anspruch auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung. Zur Begründung führte sie an, die noch bestehenden Beschwerden stünden nicht in einem adäquaten Kausalzusammenhang zum Unfall vom 2. April 2002. Die vom Krankenversicherer des G._ vorsorglich erhobene Einsprache wurde wieder zurückgezogen. Die Einsprache des Versicherten wies die SUVA ab (Einspracheentscheid vom 23. April 2008).
B. G._ führte hiegegen Beschwerde. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess diese in dem Sinne gut, dass es den Einspracheentscheid aufhob, die natürliche und adäquate Unfallkausalität der noch bestehenden Beschwerden bejahte und die Sache zur Festsetzung der Leistungsansprüche des Versicherten an die SUVA zurückwies (Entscheid vom 22. April 2009).
C. Die SUVA führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, es sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 23. April 2008 zu bestätigen.
G._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich, da das Verfahren noch nicht abgeschlossen wird und die Rückweisung auch nicht einzig der Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, um einen selbstständig eröffneten Vor- oder Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 BGG. Die Zulässigkeit der Beschwerde setzt somit - alternativ - voraus, dass der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Im Umstand, dass der vorinstanzliche Entscheid materiell verbindliche Anordnungen enthält, welche den Beschwerde führenden Unfallversicherer verpflichten, eine nach seiner Auffassung in dieser Form ungerechtfertigte Leistungszusprache zu erlassen, und der darauf beruhende Endentscheid praktisch nicht angefochten und das Ergebnis nicht mehr korrigiert werden könnte, ist ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne des Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zu erblicken (zum Ganzen: Urteil 8C_531/2008 vom 8. April 2009 E. 1 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 135 V 279, aber in: SVR 2009 UV Nr. 40 S. 137). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
3. Streitig und zu prüfen ist, ob aus dem Unfall vom 2. April 2002 ab 1. Juli 2007 noch ein Anspruch auf Leistungen der obligatorischen Unfallversicherung besteht.
Die Rechtsgrundlagen für die Beurteilung der Streitsache sind im vorinstanzlichen Entscheid, auf den verwiesen wird, zutreffend dargelegt. Das betrifft namentlich die Grundsätze über die für einen Leistungsanspruch aus der obligatorischen Unfallversicherung erforderlichen kausalen Zusammenhänge.
Hervorzuheben ist, dass die Leistungspflicht des Unfallversicherers nebst anderem einen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem eingetretenen Schaden voraussetzt (BGE 129 V 177 E. 3.1 und 3.2 S. 181). Liegt eine Gesundheitsschädigung mit einem klaren organischen Substrat vor, kann der adäquate Kausalzusammenhang in der Regel ohne weiteres zusammen mit dem natürlichen Kausalzusammenhang bejaht werden. Anders verhält es sich bei natürlich unfallkausalen, aber organisch nicht objektiv ausgewiesenen Beschwerden. Hier lässt sich die Adäquanzfrage nicht ohne eine besondere Prüfung beantworten. Dabei ist vom augenfälligen Geschehensablauf auszugehen, und es sind je nachdem weitere unfallbezogene Kriterien einzubeziehen. Bei psychischen Fehlentwicklungen nach Unfall werden diese Adäquanzkriterien unter Ausschluss psychischer Aspekte geprüft (sog. Psycho-Praxis; BGE 115 V 133), während bei Schleudertraumen und äquivalenten Verletzungen der HWS sowie Schädel-Hirntraumen auf eine Differenzierung zwischen physischen und psychischen Komponenten verzichtet wird (sog. Schleudertrauma-Praxis; zum Ganzen: BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen).
4. Das kantonale Gericht hat erkannt, die noch bestehenden Beschwerden seien natürlich kausal auf den Unfall vom 2. April 2002 zurückzuführen. Sie seien aber nicht mit einer organisch objektiv ausgewiesenen Folge des Unfalls zu erklären. Daher sei der adäquate Kausalzusammenhang besonders zu prüfen, was nach der Schleudertrauma-Praxis zu erfolgen habe.
Die vorinstanzliche Beurteilung ist insoweit nicht umstritten und gibt keinen Anlass zu Weiterungen. Streitig und zu prüfen ist, ob der adäquate Kausalzusammenhang gegeben ist, wie dies die Vorinstanz im Weiteren entschieden hat.
5. 5.1 Ausgangspunkt der Adäquanzbeurteilung bildet das (objektiv erfassbare) Unfallereignis. Abhängig von der Unfallschwere sind je nachdem weitere Kriterien in die Beurteilung einzubeziehen (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126; E. 2 hievor). Massgebend für die Beurteilung der Unfallschwere ist der augenfällige Geschehensablauf mit den sich dabei entwickelnden Kräften (SVR 2008 UV Nr. 8 S. 26, U 2, 3 und 4/07 E. 5.2 und 5.3.1; Urteil 8C_536/2007 vom 11. Juni 2008 E. 6.1).
Das kantonale Gericht hat das Ereignis vom 2. April 2002 im Bereich der mittleren Unfälle und dort nicht nahe den schweren oder den leichten Unfällen eingestuft. Die SUVA postuliert (höchstens) einen Grenzfall zu den leichten Unfällen. Der Beschwerdegegner geht davon aus, es liege mindestens der vom kantonalen Gericht angenommene Schweregrad vor.
Ein Grenzfall zu den schweren Unfällen oder gar ein schwerer Unfall liegt sicher nicht vor. Diese Schweregrade werden regelmässig nur bei Unfällen mit deutlich höheren Krafteinwirkungen angenommen (vgl. RKUV 2005 Nr. U 548 S. 228, U 306/04 E. 3.2.2, Nr. U 555 S. 322, U 458/04 E. 3.4.1, 1998 Nr. U 307 S. 448, U 169/97 E. 3a, je mit Hinweisen). Ob der Unfall vom 2. April 2002 im mittleren Bereich nun eher in der Mitte oder nahe den leichten Unfällen zuzuordnen wäre, kann offen bleiben, wie die folgenden Erwägungen zeigen.
5.2 Von den weiteren massgeblichen Kriterien müssten für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhanges jedenfalls entweder ein einzelnes in besonders ausgeprägter Weise oder aber mehrere in gehäufter oder auffallender Weise gegeben sein (BGE 134 V 109 E. 10.1 S. 126 f.; 117 V 359 E. 6 S. 367 f.).
5.2.1 Das kantonale Gericht hat zunächst festgestellt, die Kriterien der besonders dramatischen Begleitumstände oder besonderen Eindrücklichkeit des Unfalls, der Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen sowie der ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert, seien nicht gegeben. Das ist unbestritten und gibt zu keinen Bemerkungen Anlass. Zum Kriterium des schwierigen Heilungsverlaufs und erheblicher Komplikationen äussert sich der angefochtene Entscheid nicht. Aus den Akten ergeben sich keine Anhaltspunkte, welche für die Bejahung des Kriteriums sprächen. Es wird auch nichts Entsprechendes geltend gemacht.
Die Kriterien der fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung, der erheblichen Beschwerden und der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen hat die Vorinstanz bejaht. Während der Versicherte dem beipflichtet, erachtet die SUVA keines der adäquanzrelevanten Kriterien als gegeben.
5.2.2 Im Einzelnen ergibt sich zu den umstrittenen Kriterien Folgendes:
Die ärztliche Behandlung als solche beschränkte sich schon bald nach dem Unfall auf die Verordnung von Therapien und deren kontrollierende Begleitung. Es wurden sodann, mehrheitlich nicht über längere Zeiträume, ambulante Therapien verschiedener Art (u.a. MTT/Physio- und Craniosacraltherapie, Akupunktur, Lymphdrainage und Tragerbehandlung sowie Botoxspritzen) durchgeführt und Medikamente eingenommen. Zudem erfolgte ein einmonatiger Aufenthalt in der Klinik Y._ und führt der Beschwerdegegner regelmässiges Schwimmen seit dem Unfall an. Dies alles gestattet entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts noch nicht den Schluss auf eine fortgesetzt spezifische, belastende Behandlung im Sinne des entsprechenden Kriteriums (vgl. SVR 2009 UV Nr. 22 S. 80, 8C_209/2008 E. 5.4; Urteile 8C_144/2008 vom 8. August 2008 E. 7.3 und 8C_500/2007 vom 16. Mai 2008 E. 5.4), auch wenn die ambulanten Therapien zeitweise parallel erfolgten und auch das Zeitmanagement des Versicherten sicher erschwerten. Das Kriterium liegt somit nicht vor.
Die beiden verbleibenden Kriterien sind jedenfalls nicht in besonders ausgeprägter Weise gegeben. Das gilt entgegen der Auffassung von Vorinstanz und Versichertem nicht nur für das Kriterium der erheblichen Beschwerden, sondern auch für das Kriterium der erheblichen Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen. Zwar hat sich der Beschwerdegegner in anerkennenswerter Weise bemüht, sich wieder vollumfänglich in den Arbeitsprozess einzugliedern. Er war indessen schon kurz nach dem Unfall aus ärztlicher Sicht vorübergehend voll und in der Folge, ausser im Zusammenhang mit der Rehabilitation, stets zwischen 60 % und 80 % arbeitsfähig. Die Vorinstanz geht von einer durchschnittlichen Arbeitsunfähigkeit von rund 30 % aus. Selbst wenn das Kriterium trotz dieser vergleichsweise geringen Beeinträchtigung als erfüllt betrachtet würde, läge es daher sicher nicht in besonders ausgeprägter Weise vor.
Ob die beiden letztgenannten Kriterien überhaupt in der einfachen Form erfüllt wären, kann offen bleiben. Denn auch bejahendenfalls würde dies nicht genügen, um den adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 2. April 2002 und den ab 1. Juli 2007 noch bestandenen Beschwerden zu bejahen. Die SUVA hat einen Leistungsanspruch ab diesem Zeitpunkt somit zu Recht verneint. Dies führt zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides.
6. Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdegegner zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 22. April 2009 aufgehoben.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. Oktober 2009
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Lanz