Faits:
A. A.a C._, née en 1999, est issue de la relation hors mariage entre A._ et B._. Les parents se sont séparés en mars 2002.
Par jugement du 4 décembre 2003, la Cour d'appel du canton de Berne a fixé le droit de visite du père.
A.b À la suite du déménagement de la mère et de l'enfant en France, le père a obtenu un nouvel aménagement de son droit de visite par jugement du 6 juin 2006 du Tribunal de Grande Instance de Montbéliard.
A.c À la demande de B._, le Tribunal de Grande Instance de Montbéliard a fixé la résidence de l'enfant auprès du père en Suisse - c'est-à-dire "a attribué sa garde au père" - par jugement exécutoire du 14 avril 2009. Le changement de résidence ayant été ordonné pour la fin du deuxième trimestre scolaire, la mère a remis C._ à son père au mois de mai 2009 et l'enfant s'est établie auprès de lui en Suisse depuis lors.
A.d A._ a cependant fait appel de ce jugement en date du 20 mai 2009 auprès de la Cour d'Appel de Besançon. Par arrêt du 18 juin 2010, dite cour a fixé la résidence de l'enfant auprès de la mère dès la fin de l'année scolaire 2009-2010, octroyé un droit de visite au père et l'a condamné au versement d'une contribution d'entretien.
B. Par acte du 19 octobre 2010, A._ a requis de la Cour suprême du canton de Berne la reconnaissance de ce dernier arrêt en Suisse ainsi que son exécution, à savoir que C._ lui soit restituée.
Par arrêt du 19 janvier 2011, la 2e Chambre civile de la Cour suprême du canton de Berne a rejeté la requête.
C. Le 21 février 2011, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre cet arrêt, reprenant ses conclusions prises en instance cantonale.
Le dépôt de réponses n'a pas été requis.
Considérant en droit:
1. Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 135 III 1 consid. 1.1 et les références citées).
1.1 La décision attaquée est susceptible d'un recours en matière civile en vertu de l'art. 72 al. 2 let. b ch. 1 LTF. Ayant pour objet la reconnaissance d'un jugement étranger qui porte sur la résidence de l'enfant, le droit de visite du père, ainsi que la contribution due par celui-ci, à savoir sur des contestations à la fois pécuniaire et non pécuniaire, le recours en matière civile est recevable indépendamment de la valeur litigieuse (cf. arrêt 5A_220/2009 du 30 juin 2009 consid. 1).
Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) à l'encontre d'une décision rendue en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 LTF), le recours en matière civile est en principe recevable.
1.2 Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral - lequel comprend les droits constitutionnels (art. 95 let. a LTF; ATF 133 III 446 consid. 3.1, 462 consid. 2.3) -, ainsi que du droit international (art. 95 let b LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (ATF 133 III 545 consid. 2.2). Il ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si ce grief a été soulevé et motivé par le recourant (art. 106 al. 2 LTF ; ATF 134 I 83 consid. 3.2; 133 II 249 consid. 1.4.2). Si le recourant se plaint de la violation de tels droits, il doit satisfaire au principe d'allégation (Rügeprinzip, principio dell'allegazione), en indiquant précisément quelle disposition constitutionnelle ou légale a été violée et en démontrant, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (ATF 133 IV 286 consid. 1.4; 133 II 249 consid. 1.4.2). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 133 II 396 consid. 3).
1.3 Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF), c'est-à-dire que les constatations de fait sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (consid. 1.2).
2. La cour cantonale a appliqué la Convention européenne de Luxembourg du 28 mai 1980 sur la reconnaissance et l'exécution des décisions en matière de garde des enfants et le rétablissement de la garde des enfants (RS 0.211.230.01; ci-après: Convention de Luxembourg).
2.1 La Convention de Luxembourg, ratifiée tant par la Suisse que par la France, tend à assurer et accélérer le renvoi de l'enfant à la personne à qui il a été enlevé en violation d'une décision portant sur la garde; en termes d'efficacité elle a largement été dépassée par la Convention de La Haye du 25 octobre 1980 sur les aspects civils de l'enlèvement international d'enfants (RS 0.211.230.02; ci-après: Convention de La Haye de 1980; cf. BUCHER, L'enfant en droit international privé, 2003, n. 404; GALLANT, La Convention de Luxembourg du 28 mai 1980 [Bilan], in: Fulchiron [éd], Les enlèvements d'enfants à travers les frontières, 2004, p. 126 s.). La Convention de Luxembourg pose des conditions différentes à la reconnaissance des décisions en matière de garde selon que l'enfant a été déplacé sans droit (art. 8 et 9) ou de manière licite (art. 10). Il y a déplacement sans droit de l'enfant à travers une frontière internationale s'il a eu lieu en violation d'une décision relative à sa garde rendue dans un État contractant et exécutoire dans un tel État (art. 1 let. d). Le caractère illicite du déplacement peut également être établi par une décision rendue postérieurement à celui-ci (art. 12).
2.2 La cour cantonale a nié que l'enfant ait été déplacée sans droit, considérant que celle-ci avait été remise au père volontairement par la mère et conformément au jugement du Tribunal de Grande Instance de Montbéliard certifié exécutoire. En outre, elle a constaté que l'arrêt rendu par la Cour d'Appel de Besançon n'a pas du tout évoqué la problématique du déplacement de l'enfant de sorte que l'on ne saurait considérer qu'il qualifie, même implicitement, le déplacement d'illicite.
2.3 La recourante soutient que l'art. 9 de la Convention de Luxembourg est applicable. Elle invoque plus précisément que la cour cantonale aurait violé les art. 9 al. 3 et 12 de ladite convention en appréciant le bien-fondé de l'arrêt de la Cour d'Appel de Besançon, en tant qu'elle a considéré que celle-ci s'était bornée à un examen en fait et en droit sommaire ne permettant pas de comprendre quels motifs factuels exigeaient la réformation du jugement de première instance. Elle fait également valoir que, dite cour ayant fixé la résidence de l'enfant auprès de sa mère dès la fin de l'année scolaire 2009-2010, le déplacement devenait illicite dès ce moment-là. Elle conteste ainsi que la problématique du déplacement n'ait pas été évoquée dans l'arrêt - dont la reconnaissance est requise - puisque son dispositif prévoit, à tout le moins implicitement, que dès la fin de l'année scolaire, le père n'est plus en droit d'exercer la garde sur sa fille. Enfin, la recourante avance que le fait qu'elle ait rendu l'enfant à son père en exécution du jugement de première instance n'empêche nullement que le déplacement ne devienne illicite par la suite.
2.4 En l'espèce, le déplacement de l'enfant a eu lieu en vertu d'un jugement exécutoire, auquel les parties se sont volontairement soumises. Aussi, il a eu lieu de manière pleinement licite. Le fait que, sur appel, ce jugement ait été infirmé et que finalement la résidence de l'enfant ait été fixée auprès de la mère dès la fin de l'année scolaire 2009-2010 n'a pas eu pour effet de rendre illicite un déplacement initialement licite. Au contraire, en arrêtant la nouvelle résidence de l'enfant auprès de la mère à une date ultérieure au prononcé de son arrêt, la Cour d'Appel de Besançon a en réalité confirmé la licéité du déplacement en Suisse. De plus, l'art. 12 de la Convention de Luxembourg vise d'autres situations, à savoir lorsque le droit de garde n'est réglé par aucune décision exécutoire au moment du déplacement (cf. Schaefer-Altiparmakian, Aspects juridiques de l'enlèvement d'enfants par un parent, 2001, p. 125 s.). Or, tel n'est pas le cas en l'espèce puisque celui-ci intervient en exécution du jugement du Tribunal de Grande Instance de Montbéliard du 14 avril 2009. Mal fondé, le recours doit dès lors être rejeté sur ce point.
3. La recourante fait ensuite valoir que l'arrêt de la Cour d'Appel de Besançon doit également être reconnu en vertu de l'art. 10 de la Convention de Luxembourg.
3. La recourante fait ensuite valoir que l'arrêt de la Cour d'Appel de Besançon doit également être reconnu en vertu de l'art. 10 de la Convention de Luxembourg.
3.1 3.1.1 Lorsque l'enfant n'a pas été déplacé sans droit, la reconnaissance peut être demandée en vertu de l'art. 10 de la Convention de Luxembourg. Selon cet article, la reconnaissance peut être refusée s'il est constaté que les effets de la décision sont manifestement incompatibles avec les principes fondamentaux du droit régissant la famille et les enfants dans l'État requis (al. 1 let. a); s'il est constaté qu'en raison de changements de circonstances incluant l'écoulement du temps mais excluant le seul changement de résidence de l'enfant à la suite d'un déplacement sans droit, les effets de la décision d'origine ne sont manifestement plus conformes à l'intérêt de l'enfant (al. 1 let. b); si, au moment de l'introduction de l'instance dans l'État d'origine, l'enfant avait la nationalité de l'État requis ou sa résidence habituelle dans cet État alors qu'aucun de ces liens de rattachement n'existait avec l'État d'origine ou s'il avait à la fois la nationalité de l'État d'origine et de l'État requis et sa résidence habituelle dans l'État requis (al. 1 let. c) ou si la décision est incompatible avec une décision rendue, soit dans l'État requis, soit dans un État tiers tout en étant exécutoire dans l'État requis, à la suite d'une procédure engagée avant l'introduction de la demande de reconnaissance ou d'exécution, et si le refus est conforme à l'intérêt de l'enfant (al. 1 let. d).
3.1.2 L'intérêt pratique à se prévaloir de l'art. 10 de la Convention de Luxembourg, lorsqu'il n'y a pas d'enlèvement d'enfant, est donc limité en raison des nombreux motifs de refus de reconnaissance; ceux-ci sont comparables à ceux opposables à la reconnaissance et à l'exécution des décisions étrangères en général (arrêt 5P.215/2001 du 21 mars 2002 consid. 2a publié in SJ 2002 I p. 369; cf. également Message du Conseil fédéral du 24 novembre 1982 concernant la ratification de deux conventions internationales destinées à faciliter la solution des cas d'enlèvement international d'enfants par un de leurs parents ou leurs proches [ci-après: Message], FF 1983 p. 112 et 114; BUCHER, op. cit., n. 420 ss; Gmünder, Anerkennung und Vollstreckung von ausländischen Scheidungsurteilen unter besonderer Berücksichtigung von kindesrechtlichen Nebenfolgen, p. 137 s. et 140; Schaefer-ALTIPARMAKIAN, op. cit., p. 121 s.; PIRRUNG in: STAUDINGER, Kommentar zum BGB, 2009, n. E 57 ss Vorbem. ad art. 19 EGBGB). Les conditions de la reconnaissance sont plus restrictives que celles de l'art. 27 LDIP (DESCHENAUX, L'enlèvement international d'enfants par un parent, 1995, p. 65 s.) et impliquent notamment la vérification de la compétence des autorités qui ont rendu la décision (SIEHR in: Münchener Kommentar zum BGB, vol. 10, 2010, n. 42 Anh. III ad art. 21 EGBGB; GALLANT, op. cit., p. 129; GMÜNDER, op. cit., p. 138). Une telle reconnaissance est donc surtout demandée à titre préventif, dans le but d'assurer le respect du droit de garde dans le pays étranger de la nouvelle et future résidence habituelle de l'enfant (cf. Message, FF 1983 p. 112; SCHAEFER-ALTIPARMAKIAN, op. cit., p. 123 s.; BUCHER, op. cit., n. 426).
3.2 La cour cantonale a rejeté la demande de reconnaissance pour le motif qu'un retour de l'enfant en France serait contraire à son intérêt tant elle s'est intégrée en Suisse (art. 10 al. 1 let. b de la Convention de Luxembourg). Subsidiairement, elle a considéré que l'enfant avait sa résidence en Suisse au moment de l'introduction de l'instance d'appel alors qu'elle n'avait pas de lien aussi étroit avec la France (art. 10 al. 1 let. c de la Convention de Luxembourg).
3.3 S'agissant de l'examen des liens de l'enfant d'une part avec l'État requérant et d'autre part avec l'État requis, l'art. 10 al. 1 let. c de la Convention de Luxembourg se réfère à la nationalité ainsi qu'à la résidence habituelle de l'enfant au moment de l'introduction de l'instance. En l'espèce, seule la résidence habituelle de l'enfant est déterminante puisqu'elle n'est pas française et n'a obtenu la nationalité suisse qu'en mai 2010. La question de savoir si, en raison de sa résidence habituelle, les liens de l'enfant sont plus étroits avec l'État requis qu'avec l'État d'origine consiste en réalité à contrôler la compétence indirecte de l'autorité étrangère (cf. à ce sujet: SIEHR, op. cit., n. 42; GMÜNDER, op. cit., p. 138). La Convention de Luxembourg ne contenant aucune disposition quant à la compétence des autorités pour rendre les décisions en matière de garde des enfants, cette question doit être examinée à l'aune des principes régissant les réglementations conventionnelles.
3.3.1 La compétence indirecte de l'autorité étrangère doit ainsi être déterminée au regard des art. 1 et 4 de la Convention de La Haye du 5 octobre 1961 concernant la compétence des autorités et la loi applicable en matière de protection des mineurs (RS 0.211.231.01; ci-après: Convention de La Haye de 1961), entrée en vigueur le 4 février 1969 pour la Suisse et le 10 novembre 1972 pour la France. Cette convention s'applique à tous les mineurs qui ont leur résidence habituelle dans un des États contractants (art. 13 al. 1).
L'art. 1er de la Convention de La Haye de 1961 prévoit que les autorités, tant judiciaires qu'administratives, de l'État de la résidence habituelle d'un mineur sont - sous réserve des dispositions des art. 3, 4 et 5 al. 3 - compétentes pour prendre des mesures tendant à la protection de sa personne ou de ses biens. Pour le cas où un mineur déplace sa résidence habituelle d'un État contractant dans un autre, l'art. 5 al. 1 de la Convention prévoit que les mesures prises par les autorités de l'État de l'ancienne résidence habituelle restent en vigueur tant que les autorités de la nouvelle résidence habituelle ne les ont pas levées ou remplacées.
Selon la jurisprudence, des mesures ne peuvent en principe plus être prises par les autorités de l'État de l'ancienne résidence habituelle (ATF 132 III 586 consid. 2.2.4; 123 III 411 consid. 2a et les références citées). Dans les relations entre États contractants, le changement de résidence habituelle du mineur entraîne ainsi un changement simultané de la compétence; le principe de la perpetuatio fori ne s'applique pas. Il s'ensuit qu'une mesure rendue par un tribunal étranger ayant statué alors que l'enfant avait déjà transféré sa résidence habituelle en Suisse ou dans un autre État contractant ne peut être reconnue (ATF 132 III 586 consid. 2.2.4 et les références citées). Lorsque l'instance est pendante en appel, c'est-à-dire devant une autorité pouvant revoir la cause tant en fait qu'en droit, cette autorité perd la compétence pour statuer sur les mesures de protection (ATF 132 III 586 consid. 2.3.1; cf. également KROPHOLLER in: STAUDINGER, Kommentar zum BGB, 2003, n. 158 Vorbem. ad art. 19 EGBGB; SIEHR in: Münchener Kommentar zum BGB, vol. 10, 1998, n. 37 Anh. I ad art. 19 EGBGB; OBERLOSKAMP, Haager Minderjährigenschutzabkommen, 1983, n. 137 ad art. 1).
Ces principes valent également pour la Convention de La Haye du 19 octobre 1996 concernant la compétence, la loi applicable, la reconnaissance, l'exécution et la coopération en matière de responsabilité parentale et de mesures de protection des enfants (RS 0.211.231.011; art. 5), laquelle ne s'applique pas en l'espèce dès lors qu'elle n'est entrée en vigueur que le 1er février 2011 en France. Cette convention prévoit expressément que l'incompétence de l'autorité qui a statué constitue un motif de refus de la reconnaissance (art. 23 al. 2 let. a en relation avec l'art. 26 al. 3).
3.3.2 En l'espèce, la compétence de la Cour d'appel de Besançon - qui a statué, sur la base d'un état de fait qu'elle a elle-même instruit et établi, alors que l'enfant avait déplacé sa résidence habituelle en Suisse depuis plus d'un an - n'était donc pas donnée au sens de la Convention de La Haye de 1961.
3.3.3 Cette incompétence doit donc être constatée en application de l'art. 10 al. 1 let. c de la Convention de Luxembourg dès lors que celle-ci ne contient pas de dispositions claires et univoques quant au contrôle de la compétence indirecte des autorités de l'État d'origine. Un refus de reconnaissance pour ce motif pourrait également découler de l'art. 10 al. 1 let. a de la Convention de Luxembourg en tant que l'incompétence d'une autorité a pour conséquence que sa décision est manifestement incompatible avec les principes fondamentaux du droit régissant la famille et les enfants en Suisse (cf. à ce sujet: PIRRUNG, Sorgerechts- und Adoptionsübereinkommen der Haager Konferenz und des Europarats in: Rabels Zeitschrift für ausländisches und internationales Privatrecht 1993, p. 137). Cette solution s'impose d'autant plus en l'espèce que nous ne sommes pas en présence d'une situation que le législateur suisse avait à l'esprit lorsqu'il a ratifié la Convention de Luxembourg; il n'y a ni déplacement illicite, ni demande de reconnaissance à titre préventif (cf. consid. 3.1.2 supra). Le déplacement de l'enfant a eu lieu en exécution du jugement du Tribunal de Grande Instance de Montbéliard du 14 avril 2009 - qui attribue la garde de l'enfant au père, à sa demande - et c'est la procédure d'appel, instruite une fois l'enfant établie en Suisse, qui est à l'origine de la mesure dont la reconnaissance est requise (à savoir l'attribution de la garde à la mère et le retour de l'enfant en France).
4. Sur le vu de ce qui précède, la Cour d'Appel de Besançon n'était pas compétente de sorte que la reconnaissance de son arrêt en Suisse doit être refusée. L'arrêt cantonal peut ainsi être confirmé sans qu'il ne soit nécessaire d'examiner les motifs de refus tirés de l'art. 10 al. 1 let. b de la Convention de Luxembourg. Le recours doit donc être rejeté.
5. L'art. 5 al. 3 de la Convention de Luxembourg prévoit que, à l'exception des frais de rapatriement, chaque État contractant s'engage à n'exiger du demandeur aucun paiement pour toute mesure prise pour le compte de celui-ci par l'autorité centrale de cet État, y compris les frais et dépens du procès et, lorsque c'est le cas, les frais entraînés par la participation d'un avocat. Cette disposition est également applicable devant le Tribunal fédéral (art. 14 de la loi fédérale sur l'enlèvement international d'enfants et les Conventions de La Haye sur la protection des enfants et des adultes (LF-EEA; RS 211.222.32). Il n'est donc pas perçu de frais et une équitable indemnité, supportée par la Caisse du Tribunal fédéral, est allouée, au titre de l'assistance judiciaire, à Me Charles Poupon, avocat à Delémont, qui est désigné comme défenseur d'office de la recourante. Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'intimé qui n'a pas été invité à répondre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Il n'est pas perçu de frais.
3. Me Charles Poupon, avocat à X._, est désigné avocat d'office de la recourante et une indemnité de 3'000 fr. à titre d'honoraires lui sera versée par la Caisse du Tribunal fédéral.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à C._, par l'intermédiaire de sa curatrice, et à la 2e Chambre civile de la Cour suprême du canton de Berne.
Lausanne, le 31 mars 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Richard