Der Einzelrichter zieht in Erwägung:
1. Dem Beschwerdeführer wurden mit Verfügungen vom 16. Mai 2008 und 23. Juni 2008 eine Frist bis 6. Juni 2008 bzw. die in Art. 62 Abs. 3 BGG vorgeschriebene Nachfrist bis 14. Juli 2008 angesetzt, dem Bundesgericht einen Kostenvorschuss von Fr. 2'000.-- einzuzahlen, ansonsten auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde. Der Kostenvorschuss wurde nicht geleistet. Auf die Beschwerde ist deshalb androhungsgemäss im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Einzelrichter:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2008
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Der Gerichtsschreiber:
Favre Monn