Sachverhalt:
A. Der aus dem Kosovo stammende X._ (geb. 1957) hielt sich zwischen 1986 und 1996 als Saisonnier in der Schweiz auf. Seit März 1996 lebt er - zunächst mit einer Aufenthalts- und seit Oktober 2002 mit einer Niederlassungsbewilligung - ununterbrochen in der Schweiz. Wegen gesundheitlicher Probleme verlor er im Jahr 2000 seine Anstellung als Hilfsmaler. Seit Februar 2000 erhält er Sozialhilfeleistungen. Zwei Verfahren um Ausrichtung einer Invalidenrente blieben erfolglos, ein drittes ist seit April 2008 hängig. Im Rahmen des Familiennachzugs reisten im Mai 2003 die Ehefrau Y._ (geb. 1959) und der gemeinsame jüngste Sohn A._ (geb. 1987) in die Schweiz ein. Im Zusammenhang mit der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Ehefrau kündigte die Einwohnergemeinde Thun den Eheleuten X._ und Y._ im März 2006 und April 2007 fremdenpolizeiliche Massnahmen an, sofern sich ihre finanzielle Situation nicht bessern würde. Die Aufenthaltsbewilligung der Ehefrau wurde zuletzt bis zum 31. Januar 2008 verlängert.
Am 8. April 2008 widerrief die Einwohnergemeinde Thun die Niederlassungsbewilligung von X._ wegen Fürsorgeabhängigkeit und stellte fest, dass die Aufenthaltsbewilligung von Y._ infolge Ablaufs der Gültigkeitsdauer erloschen sei. Gleichzeitig wies sie die Eheleute X._ und Y._ unter Ansetzung einer Ausreisefrist aus der Schweiz weg. Die von den Eheleuten X._ und Y._ dagegen zunächst bei der Polizei- und Militärdirektion und sodann beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 27. Januar 2010 beantragen die Eheleute X._ und Y._ dem Bundesgericht, den in dieser Sache im Kanton zuletzt ergangenen Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 14. Dezember 2009 aufzuheben, dem Ehemann die Niederlassungsbewilligung weiterhin zu "erteilen" und die Aufenthaltsbewilligung der Ehefrau zu erneuern.
Die Einwohnergemeinde Thun, die kantonale Polizei- und Militärdirektion, das Verwaltungsgericht sowie das Bundesamt für Migration stellen den Antrag, die Beschwerde abzuweisen.
C. Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat der Beschwerde mit Verfügung vom 29. Januar 2010 hinsichtlich der mit dem angefochtenen Entscheid verbundenen Ausreiseverpflichtung die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1. Am 1. Januar 2008 hat das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) das Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG; BS 1 121) abgelöst. Sämtliche Beteiligten gehen zutreffend davon aus, dass vorliegend für den Widerruf der Niederlassungsbewilligung bereits das neue Ausländerrecht gilt, da dieses vor Eröffnung des Widerrufsverfahrens in Kraft getreten ist, während die Beschwerdeführerin 2 vor dem 1. Januar 2008 um Erneuerung ihrer Aufenthaltsbewilligung ersucht hat, weshalb insoweit materiell noch das alte Recht anzuwenden ist (vgl. Art. 126 Abs. 1 AuG; Urteil des Bundesgerichts 2C_745/2008 vom 24. Februar 2009 E. 1.2.4).
2. Nach Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
2.1 Gegen Entscheide über den Widerruf der gemäss Art. 34 Abs. 1 AuG unbefristeten Niederlassungsbewilligung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, weil grundsätzlich ein Anspruch auf Fortbestehen dieser Bewilligung gegeben ist (BGE 135 II 1 E. 1.2.1 S. 4). Deshalb ist auf die rechtzeitig eingereichte Beschwerde bezüglich des Ehemannes einzutreten.
2.2 Soweit sich das Beschwerdebegehren auf das Erneuern der Bewilligung der Ehefrau bezieht, ist hingegen zu differenzieren: Sie verfügt nicht auf jeden Fall über einen Bewilligungsanspruch. Nach Art. 17 Abs. 2 ANAG (in der Fassung vom 23. März 1990, AS 1991 1034 1043) hat der Ehegatte eines Ausländers mit Niederlassungsbewilligung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, solange die Eheleute zusammen wohnen (Satz 1), und nach einem ordnungsgemässen und ununterbrochenen Aufenthalt von fünf Jahren Anspruch auf die Niederlassungsbewilligung (Satz 2). Demnach hängt der Bewilligungsanspruch nach Art. 17 Abs. 2 Satz 1 ANAG - und damit die Zulässigkeit der Beschwerde betreffend die Ehefrau - davon ab, dass die Niederlassungsbewilligung des Ehemannes weiterhin Bestand hat bzw. nicht rechtmässig widerrufen wurde (vgl. BGE 135 II 1 E. 1.3 S. 5). Aus dem Schutz des Familienlebens nach Art. 8 EMRK und Art. 13 BV ergibt sich vorliegend für die Ehefrau nichts Günstigeres, da ein gefestigtes Anwesenheitsrecht des Ehegatten vorausgesetzt wird und dieses ebenfalls vom Fortbestand der Niederlassungsbewilligung abhängt; eine alternative Berufung auf den Schutz des Privatlebens kommt für beide Eheleute von vornherein nicht in Betracht und wurde im Übrigen auch nicht geltend gemacht (vgl. BGE 130 II 281 E. 3.1 und 3.2 S. 285 ff.). Einen vom Aufenthaltsstatus des Ehemannes unabhängigen - grundsätzlichen - Anspruch nach Art. 17 Abs. 2 Satz 2 ANAG (vgl. BGE 135 II 1 E. 1.2.2 S. 4) hat die Ehefrau, die im Mai 2003 im Familiennachzug einreiste, auch noch nicht erlangt, da die Niederlassungsbewilligung ihres Ehemannes noch vor Ablauf der erwähnten fünf Jahre widerrufen wurde. Keine Rolle spielt dabei, dass dieser Bewilligungswiderruf noch nicht rechtskräftig ist (vgl. BGE 127 II 60 E. 1c S. 63 f.).
3. 3.1 Gemäss Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG kann die Niederlassungsbewilligung widerrufen werden, wenn ein Ausländer oder eine Person, für die er zu sorgen hat, dauerhaft und in erheblichem Mass auf Sozialhilfe angewiesen ist. Die Niederlassungsbewilligung von Ausländern, die sich seit mehr als 15 Jahren ununterbrochen und ordnungsgemäss in der Schweiz aufhalten, kann allerdings nicht mehr nach Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG widerrufen werden (Art. 63 Abs. 2 AuG).
3.2 Auch wenn der Beschwerdeführer 1 bereits zwischen 1986 und 1996 regelmässig als Saisonnier in der Schweiz arbeitete, konnte er sich im Zeitpunkt der Widerrufsverfügung im Mai 2008 noch nicht auf einen mehr als fünfzehnjährigen ununterbrochenen und ordnungsgemässen Aufenthalt in der Schweiz berufen. Denn in der Zeit als Saisonnier war sein Aufenthalt nicht ununterbrochen. Erst seit März 1996 hat er sich mit einem fortwährenden Anwesenheitstitel in der Schweiz aufgehalten. Da das Gesetz ausdrücklich einen ununterbrochenen Aufenthalt verlangt, fällt auch eine Addierung der verschiedenen, nicht fortlaufenden Aufenthaltszeiten als Saisonnier - wie das die Beschwerdeführer anregen - ausser Betracht. Demnach steht Art. 63 Abs. 2 AuG dem Widerruf der Niederlassungsbewilligung nicht entgegen. Der frühere Aufenthalt als Saisonnier ist jedoch bei der Prüfung der Verhältnismässigkeit zu berücksichtigen (s. E. 4 hienach).
3.3 Die Beschwerdeführer rügen, der erwähnte Widerrufsgrund sei ohnehin nicht gegeben. Beim Ehemann bestehe eine unverschuldete Notlage bzw. Arbeitslosigkeit, was den Widerrufsgrund der Sozialhilfebedürftigkeit nicht begründe. Selbst wenn dies doch der Fall sein sollte, erweise sich der Widerruf als unverhältnismässig.
3.4 Nach der zum Ausweisungsgrund nach Art. 10 Abs. 1 lit. d ANAG entwickelten und für Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG weiter geltenden Praxis ist der erwähnte Widerrufsgrund erfüllt, wenn konkret die Gefahr einer fortgesetzten und erheblichen Fürsorgeabhängigkeit besteht. Blosse finanzielle Bedenken genügen nicht. Neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen ist auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht abzuwägen. Ein Widerruf soll in Betracht kommen, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt sorgen wird (vgl. zum AuG: Botschaft vom 8. März 2002, BBl 2002 3810 Ziff. 2.9.2 zu Art. 62; Urteil 2C_672/2008 vom 9. April 2009 E. 2.2; zum ANAG: BGE 119 Ib 1 E. 3b S. 6; 123 II 529 E. 4 S. 533; Urteil 2C_795/2008 vom 25. Februar 2009 E. 4.3).
Den nicht zu beanstandenden Feststellungen der Vorinstanz zufolge (E. 4 des angefochtenen Urteils) ist diese vorliegend zu Recht von der Erfüllung des Widerrufsgrundes ausgegangen. Namentlich sind bis März 2008 Fürsorgeleistungen in der Höhe von rund Fr. 252'000.-- aufgelaufen. Auch gegenwärtig beziehen die Beschwerdeführer in nicht unbeträchtlichem Umfang (monatlich zwischen Fr. 500.-- und 1'200.--) Sozialhilfe. Es ist nicht ersichtlich, dass sich ihre Einkommenssituation demnächst dauerhaft verbessern wird (zum letzten Rentenantrag vgl. E. 4.3 hiernach). Der Beschwerdeführer geht seit August 2009 einer Tätigkeit als Küchenhilfe mit einem Pensum von je zwei Stunden an zwei Tagen pro Woche nach, während seine Ehefrau, die Analphabetin ist, seit Herbst 2008 durch die Betreuung zweier Kinder meist einen monatlichen Verdienst von Fr. 700.-- bis 800.-- pro Monat erzielt.
Ob und inwieweit die Beschwerdeführer ein Verschulden an der Sozialhilfebedürftigkeit trifft, bildet nicht eine Frage des Vorliegens des Widerrufsgrundes, sondern der nach Art. 96 AuG vorzunehmenden Verhältnismässigkeitsprüfung (vgl. BBl 2002 3810 zu Art. 62; Berichterstatterin Leuthard und Nationalrat Pfister in AB 2004 N 1087 und 1089 f. als Antwort auf die Bedenken und Minderheitsanträge der Nationalräte Janiak, Gross und Vischer in AB 2004 N 1086 f.; s. auch Urteil 2C_470/2009 vom 4. November 2009 E. 3.1).
4. 4.1 Der Widerruf muss - wie angedeutet - verhältnismässig sein. Es ist eine sorgfältige Prüfung des Einzelfalles vorzunehmen (BBl 2002 3810 zu Art. 62). Insoweit haben die zuständigen Behörden namentlich die öffentlichen Interessen und die persönlichen Verhältnisse sowie den Grad der Integration der betroffenen Ausländer zu berücksichtigen (Art. 96 AuG). Fälle unverschuldeter Notlage sollen nicht zum Widerruf wegen Sozialhilfeabhängigkeit führen (vgl. Bundesrat Blocher und Berichterstatterin Leuthard in AB 2004 N 1089 f.).
4.2 Der Beschwerdeführer 1 macht geltend, er sei sozialhilfebedürftig geworden, weil er seine Arbeit wegen gesundheitlicher Probleme verloren habe und die Ärzte ihm dann mehrfach eine hundertprozentige Arbeitsunfähigkeit attestiert hätten. Dementsprechend hätten ihn die Arbeitsmarktbehörden auch als nicht vermittelbar eingestuft. Es gehe zu weit, von ihm im ausländerrechtlichen Verfahren zu verlangen, dass er sich dem ärztlichen Rat widersetze und "quasi entgegen fachärztlicher Anweisung" eine Arbeit aufnehme. Aufgrund der strengen invalidenversicherungsrechtlichen Gerichtspraxis bezüglich somatoformer Schmerzstörungen erhalte er keine Rente, obwohl er ärztlich arbeitsunfähig geschrieben sei.
4.3 Dem hält die Vorinstanz entgegen, dass dem Beschwerdeführer 1 zumutbar gewesen wäre, einer Arbeit nachzugehen, um seine Abhängigkeit von der Sozialhilfe zumindest erheblich zu vermindern. Zwar möge eine gewisse Rolle gespielt haben, dass ihn seine behandelnden Ärzte für arbeitsunfähig erklärt hätten. Unter Hinweis auf BGE 125 V 351 E. 3b/cc S. 353 führt die Vorinstanz aber aus, dass die Beurteilung der Hausärzte und behandelnden Ärzte in Zweifelsfällen eher zugunsten ihrer Patienten ausfällt. Ein erstes IV-Gesuch ist bereits im Jahre 2000 abgewiesen und gerichtlich bestätigt worden. Auch ein späteres IV-Gesuch ist am 25. August 2004 abgelehnt worden. Die Expertise des Zentrums für Medizinische Begutachtung der Eidgenössischen Invalidenversicherung (MEDAS) vom 12. August 2004, auf welche die Behörden damals abstellten, hatte eine Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit von 70 % ergeben. Ein weiteres MEDAS-Gutachten vom 7. Juli 2009, das auf eine zwischenzeitliche dritte IV-Anmeldung erstellt wurde, attestiert dem Beschwerdeführer 1 neuerdings sogar eine Arbeitsfähigkeit von 80 % in angepasster Tätigkeit. Nach den unbestritten gebliebenen Feststellungen der Vorinstanz geht der Beschwerdeführer deshalb selber auch nicht mehr von einer bevorstehenden Rentenausrichtung aus.
4.4 Der Vorwurf des Verwaltungsgerichts erweist sich als berechtigt: Auf die Ablehnung des zweiten IV-Gesuchs war der Beschwerdeführer 1 bis an das (damalige) Eidgenössische Versicherungsgericht gelangt. Dieses hielt mit Urteil vom 9. Juni 2006 fest, die kantonale Gerichtsinstanz habe die medizinische Aktenlage eingehend geprüft und zutreffend erwogen, weshalb sie auf das Gutachten der MEDAS vom 12. August 2004 abgestellt habe. Die kantonale Gerichtsinstanz habe auch dargelegt, warum sie anders lautende medizinische Schlussfolgerungen, namentlich einer behandelnden Ärztin des Beschwerdeführers 1, verworfen habe. Dem sei beizupflichten. Was der Beschwerdeführer dagegen vorgebracht habe, vermöge nicht zu einem anderen Resultat zu führen. Der Beschwerdeführer leide in erster Linie an einer somatoformen Schmerzstörung. Eine solche bewirke in der Regel keine langdauernde, zu einer Invalidität führende Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. Vielmehr sei es dem Betroffenen zuzumuten, die Schmerzen willentlich zu überwinden und wieder in den Arbeitsprozess einzusteigen. Die Kriterien, um von dieser Regel abzuweichen, seien beim Beschwerdeführer 1 nicht in genügend ausgeprägter Weise gegeben; namentlich bestünden erhebliche Diskrepanzen zwischen den geschilderten Schmerzen und der Anamnese (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts I 958/05 vom 9. Juni 2006 E. 2).
Selbst nach Ergehen des erwähnten Urteils des Eidgenössischen Versicherungsgerichts machte sich der Beschwerdeführer 1 nicht daran, eine geeignete Arbeit zu suchen, obwohl die Einwohnergemeinde Thun bereits im März 2006 eine Besserung der finanziellen Situation angemahnt hatte. Auch die Aufforderung zur Verringerung der Sozialhilfeabhängigkeit vom April 2007 liess er unbeachtet. Entgegen seiner Darstellung durfte der Beschwerdeführer 1 spätestens nach dem Entscheid des Eidgenössischen Versicherungsgerichts nicht mehr davon ausgehen, dass die Zeugnisse der ihn behandelnden Ärzte, welche weiterhin seine Arbeitsunfähigkeit attestierten, ihn von jedweden Bemühungen, eine Arbeit zu finden, entbanden. Dennoch wurde er erst im Frühjahr 2009 entsprechend tätig, wobei er seit August 2009 mit einem Aushilfspensum von bloss 10 % arbeitet.
Auch seine Ehefrau, die im Alter von 43 Jahren in die Schweiz eingereist ist, nahm erst im Oktober 2008 eine Teilzeittätigkeit (max. 80 Stunden pro Monat) auf, die allerdings ebenfalls bei Weitem nicht genügt, um den Gesamtbedarf zu decken. Zwar mag anfänglich noch der seinerzeit 16-jährige Sohn zu betreuen gewesen sein. Im Hinblick auf dessen vorangeschrittenes Alter und der Erwerbslosigkeit des Vaters, der sich ebenfalls an der Betreuung des Sohnes beteiligen konnte, hätte die Ehefrau aber bereits damals nach einer Arbeit suchen können, um die Sozialhilfebedürftigkeit zu verringern. Auch sie reagierte auf die Ermahnungen der Behörden vom März 2006 und April 2007 zunächst nicht.
Daher ist die Schlussfolgerung der Vorinstanzen, die Beschwerdeführer hätten ihre Sozialhilfeabhängigkeit zu einem grossen Teil selbst verschuldet, bundesrechtmässig. Da sie ihre Arbeitsfähigkeit nicht annähernd ausschöpfen, kann auch nicht davon die Rede sein, es sei eine Situation von echten "Working Poor" gegeben (vgl. dazu Nationalrat Müller in AB 2004 N 1088).
4.5 Auf die hierauf von der Vorinstanz vorgenommene sorgfältige und zutreffende Abwägung der sich gegenüber stehenden öffentlichen und privaten Interessen kann verwiesen werden (vgl. E. 5.3 des angefochtenen Urteils). Gewiss ist die Aufenthaltsdauer des Beschwerdeführers 1 in der Schweiz - einschliesslich der etwas über sechs Jahre als Saisonnier - als lang zu bezeichnen. Nach den Feststellungen der Vorinstanz sind die Beschwerdeführer jedoch nicht nur beruflich, sondern auch sozial wenig integriert, auch wenn sie weder im Betreibungs- noch im Strafregister Einträge haben. Der Beschwerdeführer 1 lebt erst seit dem vierzigsten Lebensjahr fortwährend in der Schweiz. Vorher hatte er - wie auch seine Ehefrau bis Mai 2003 - seinen Lebensmittelpunkt in seiner Heimat, wo noch zwei gemeinsame (erwachsene) Kinder wohnen. Die Beschwerdeführer weisen zwar auf die schwierige Wirtschaftslage in ihrer Heimat hin. Das gibt aber nicht den Ausschlag. Die aktuelle Situation war im Kosovo nicht wesentlich anders, als die Ehefrau dort vor noch gar nicht so langer Zeit lebte. Die Beschwerdeführer behaupten schliesslich selber nicht, ihr Land und ihre Kultur seien ihnen fremd geworden.
Demzufolge erweist sich der Widerruf der Niederlassungsbewilligung als verhältnismässig. Trotz wiederholter Androhungen haben die Beschwerdeführer nichts Ernsthaftes und Zumutbares unternommen, um ihre Einkommenssituation zu verbessern. Daher ist die Vorinstanz auch zu Recht davon ausgegangen, dass eine erneute blosse Androhung des Bewilligungswiderrufs ausscheidet. Die Arbeitssuche erst nach Ergehen der Widerrufsverfügung vermag an diesem Ergebnis nichts zu ändern, zumal die Sozialhilfeabhängigkeit anhält.
4.6 Die Beschwerdeführer berufen sich zusätzlich auf den Vertrauensschutz sowie auf Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV; vgl. allgemein BGE 131 II 627 E. 6.1 S. 637 mit Hinweisen). Dem Ehemann sei die Niederlassungsbewilligung im Jahr 2002 erteilt worden, obwohl er bereits seit zwei Jahren Sozialhilfe bezogen habe. Auch sei das Nachzugsgesuch für die Ehefrau im Jahr 2003 trotz Sozialhilfeabhängigkeit bewilligt worden.
Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung und die Verweigerung der Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung der Ehefrau verletzen deshalb jedoch nicht das Verhältnismässigkeitsprinzip, den Vertrauensschutz oder Treu und Glauben. Zum einen ist weder erkennbar noch von den Beschwerdeführern dargelegt worden, welche Dispositionen sie mit Blick auf das Verhalten der Behörden getroffen haben, die sie nicht mehr ohne Schaden rückgängig machen können. Zum anderen hatten die Behörden anlässlich der Verlängerung der Bewilligung der Ehefrau in den Jahren 2006 und 2007 bereits Vorbehalte wegen der Sozialhilfeabhängigkeit angebracht. Als sie den Nachzug und die Niederlassungsbewilligung gewährten, konnten sie noch davon ausgehen, dass die Fürsorgebedürftigkeit vorübergehender Natur sein würde. Sie durften damals namentlich auf das hängige IV-Verfahren sowie auf die Einkommensmöglichkeiten der nachzuziehenden Personen abstellen (vgl. BGE 122 II 1 E. 3c S. 8 und Urteil 2C_448/2007 vom 20. Februar 2008 E. 3.4 und 3.5 mit Hinweisen).
5. 5.1 Nach dem Dargelegten ist der Widerruf der Niederlassungsbewilligung insgesamt bundesrechtmässig. Demzufolge hat die Beschwerdeführerin 2 keinen Anspruch auf Erneuerung ihrer Aufenthaltsbewilligung, weshalb sich das diesbezügliche Beschwerdebegehren als unzulässig erweist (s. E. 2.2 hievor). Daher ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist.
5.2 Diesem Ausgang entsprechend hätten die Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (Art. 65 f. BGG). Sie haben aber um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Diesem Gesuch ist stattzugeben, da sie unstreitig bedürftig sind und ihre Beschwerde nicht von vornherein aussichtslos erschien (vgl. Art. 64 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen:
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Rechtsanwältin Rahel Beyeler, Bern, wird für das bundesgerichtliche Verfahren als unentgeltliche Rechtsbeiständin eingesetzt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Juni 2010
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
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