Sachverhalt:
A. Zwischen Y._ (als Klägerin) und X._ (als Beklagter) ist vor dem Bezirksgericht B._ ein Gerichtsverfahren betreffend Ungültigkeit bzw. Herabsetzung erbrechtlicher Verfügungen hängig. Mit Eingabe vom 23. Oktober 2006 erklärte X._, sie lehne Bezirksgerichtspräsidentin Z._ wegen Befangenheit ab.
Das Ausstandsbegehren wurde mit Urteil des Bezirksgerichts B._ vom 4. Januar 2007 abgewiesen.
Die von X._ gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Basel-Landschaft (Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht) am 30. Mai 2007 ab.
B. Mit einer als "Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 ff. des BGG" bezeichneten Eingabe vom 4. Juli 2007 ist X._ an das Bundesgericht gelangt. Sie beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts aufzuheben, und verlangt ausserdem (dem Sinne nach), ihr Ausstandsbegehren sei gutzuheissen.
Es ist keine Vernehmlassung zur Beschwerde eingeholt worden.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob auf ein Rechtsmittel einzutreten ist (BGE 132 III 291 E. 1 S. 292; 131 III 667 E. 1 S. 668 f., mit Hinweisen).
1.1 Angefochten ist ein selbständig eröffneter, letztinstanzlicher Entscheid über ein Ausstandsbegehren (Art. 92 Abs. 1 und Art. 75 Abs. 1 BGG). Es handelt sich um einen Zwischenentscheid. Bei solchen folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (Urteil 5A_108/2007 vom 11. Mai 2007, E. 1.2). Streitigkeiten betreffend die Ungültigkeit bzw. die Herabsetzung erbrechtlicher Verfügungen sind Zivilsachen vermögensrechtlicher Natur (Art. 72 Abs. 1 BGG). Ein Entscheid der vorliegenden Art ist demzufolge mit Beschwerde in Zivilsachen anfechtbar, sofern der Streitwert mindestens 30'000 Franken beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG).
1.2 Ungeachtet der Bestimmung von Art. 112 Abs. 1 lit. d BGG fehlt im angefochtenen Entscheid die Angabe des Streitwertes, und auch die Beschwerde enthält keinen entsprechenden Hinweis. Das Bundesgericht hat deshalb den Streitwert nach Ermessen festzusetzen (Art. 51 Abs. 2 BGG). Auch wenn für die Bestimmung des Streitwerts bei einer Ungültigkeitsklage nicht die Höhe des Gesamtnachlasses massgebend ist, sondern der Betrag, um den der Erbanspruch des klagenden Erben sich gegebenenfalls erhöhen oder verringern würde (vgl. BGE 78 II 181 E. b S. 183; Georg Messmer/Hermann Imboden, Die eidgenössischen Rechtsmittel in Zivilsachen, Zürich 1992, S. 84 mit Fn 27), ist angesichts der im Verlaufe der Vergleichsverhandlungen genannten Zahlen davon auszugehen, dass die Grenze von 30'000 Franken ohne weiteres erreicht ist.
1.3 Trotz ihrer unzutreffenden Bezeichnung als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist die - von der im Sinne von Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG beschwerten Person rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG) aufgegebene - Eingabe nach dem Gesagten als Beschwerde in Zivilsachen entgegenzunehmen (dazu BGE 133 III 462 E. 2.1 S. 465 f.).
2. Mit Beschwerde in Zivilsachen kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Unter dieses fallen auch verfassungsmässige Rechte des Bundes (BGE 133 III 446 E. 3.1 S. 447; 133 I 201 E. 1 S. 203).
2.1 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist deshalb weder durch die in der Beschwerdeschrift erhobenen Argumente noch durch die vorinstanzliche Begründung eingeschränkt; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem geltend gemachten Grund gutheissen, eine Beschwerde aber auch mit einer von der vorinstanzlichen Argumentation abweichenden Begründung abweisen. Angesichts der in Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG festgelegten allgemeinen Begründungspflicht prüft das Bundesgericht allerdings grundsätzlich nur die erhobenen Rügen. Es ist auf jeden Fall nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, soweit solche nicht (mehr) vorgetragen werden (BGE 133 III 545 E. 2.2 S. 550; 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass - entsprechend den altrechtlichen Begründungsanforderungen von Art. 90 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege (OG) - klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 133 III 393, E. 6 S. 397, und 545, E. 2.2 S. 550; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254).
2.2 Nach Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Wird eine willkürliche Feststellung von Tatsachen geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese offensichtlich unhaltbar sein soll, d.h. mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehe, auf einem offenkundigen Versehen beruhe oder sich sachlich in keiner Weise rechtfertigen lasse (BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann sich mit anderen Worten nicht darauf beschränken, den bestrittenen Feststellungen eigene tatsächliche Behauptungen gegenüberzustellen oder darzulegen, wie die Beweise seiner Ansicht nach zu würdigen gewesen wären. Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der kantonalen Instanz, die den dargelegten Anforderungen nicht genügen, ist nicht einzutreten. Vorbehalten bleiben offensichtliche Sachverhaltsmängel im Sinne von Art. 105 Abs. 2 BGG, die dem Richter geradezu in die Augen springen (BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 255).
2.3 Gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (im gleichen Sinne schon die Praxis zur staatsrechtlichen Beschwerde: BGE 128 I 354 E. 6c S. 357 mit Hinweisen). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die erwähnte Voraussetzung für eine nachträgliche Einreichung von Beweismitteln erfüllt sein soll (BGE 133 III 393 E. 3 S. 395).
3. Die Beschwerdeführerin bemängelt, dass das Kantonsgericht den Sachverhalt unrichtig festgestellt und von ihr vorgetragene Argumente nicht in Erwägung gezogen habe; gestützt auf die so festgehaltenen Tatsachen habe es alsdann den falschen Schluss gezogen, in den von ihr vorgebrachten Ereignissen lägen keine objektiven Umstände, die zu einer Parteilichkeit der Bezirksgerichtspräsidentin führen könnten. Indessen unterlässt sie Rechtsbestimmungen zu nennen, die von der Vorinstanz verletzt worden sein sollen. Ob die Eingabe den vom Gesetz an die Begründung einer Beschwerde gestellten Anforderungen überhaupt genügt, braucht nicht abschliessend erörtert zu werden: Selbst wenn davon ausgegangen würde, die Beschwerdeführerin mache dem Sinne nach einerseits eine willkürliche Sachverhaltsermittlung und damit eine Verletzung von Art. 9 BV und andererseits eine Missachtung ihres Anspruchs auf ein unabhängiges und unparteiisches Gericht (Art. 30 Abs. 1 BV) geltend, wäre der Beschwerde kein Erfolg beschieden:
3.1 In ihren Vorbringen zur kantonsgerichtlichen Sachverhaltsermittlung macht die Beschwerdeführerin selbst nicht geltend, die Würdigung der tatsächlichen Gegebenheiten durch die Vorinstanz sei vollkommen unhaltbar (vgl. oben E. 2.2). Sie begnügt sich vielmehr damit, ihre eigene Sicht der Dinge vorzutragen. Soweit sie sich darüber aufhält, dass ihre im kantonalen Verfahren angebrachten Rügen nicht korrekt wiedergegeben worden seien, sind ihre Ausführungen von vornherein unbehelflich, da das angefochtene Urteil nicht auf ihrer Meinung, sondern auf den Motiven des Kantonsgerichts beruht. Dass die Bezirksgerichtspräsidentin gegen die Beschwerdeführerin ausfällig geworden sei, nachdem diese am 28. Oktober 2004 einen zweiten Vergleichsvorschlag abgelehnt habe, wurde von den kantonalen Instanzen nicht festgestellt. Aus dem Umstand, dass die abgelehnte Richterin auf die von der Beschwerdeführerin in ihrem Schreiben vom 7. November 2004 erhobenen Vorwürfe nicht reagierte, ist im Übrigen keineswegs auf die Richtigkeit der Anschuldigung zu schliessen: Es bestand für die Richterin keine Pflicht, auf das besagte Schreiben zu reagieren. Ohne Willkür durfte das Kantonsgericht den nicht nachgewiesenen Vorwurf ausser Acht lassen.
3.1 In ihren Vorbringen zur kantonsgerichtlichen Sachverhaltsermittlung macht die Beschwerdeführerin selbst nicht geltend, die Würdigung der tatsächlichen Gegebenheiten durch die Vorinstanz sei vollkommen unhaltbar (vgl. oben E. 2.2). Sie begnügt sich vielmehr damit, ihre eigene Sicht der Dinge vorzutragen. Soweit sie sich darüber aufhält, dass ihre im kantonalen Verfahren angebrachten Rügen nicht korrekt wiedergegeben worden seien, sind ihre Ausführungen von vornherein unbehelflich, da das angefochtene Urteil nicht auf ihrer Meinung, sondern auf den Motiven des Kantonsgerichts beruht. Dass die Bezirksgerichtspräsidentin gegen die Beschwerdeführerin ausfällig geworden sei, nachdem diese am 28. Oktober 2004 einen zweiten Vergleichsvorschlag abgelehnt habe, wurde von den kantonalen Instanzen nicht festgestellt. Aus dem Umstand, dass die abgelehnte Richterin auf die von der Beschwerdeführerin in ihrem Schreiben vom 7. November 2004 erhobenen Vorwürfe nicht reagierte, ist im Übrigen keineswegs auf die Richtigkeit der Anschuldigung zu schliessen: Es bestand für die Richterin keine Pflicht, auf das besagte Schreiben zu reagieren. Ohne Willkür durfte das Kantonsgericht den nicht nachgewiesenen Vorwurf ausser Acht lassen.
3.2 3.2.1 Nach Art. 30 Abs. 1 BV (und der Bestimmung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK, die in dieser Hinsicht dieselbe Tragweite hat), hat der Einzelne Anspruch darauf, dass seine Sache von einem durch das Gesetz geschaffenen, zuständigen, unabhängigen und unparteiischen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird (BGE 133 I 1 E. 5.2 S. 3 mit Hinweisen). Liegen bei objektiver Betrachtungsweise Gegebenheiten vor, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen, so ist die Garantie verletzt (BGE 131 I 113 E. 3.4 S. 116 mit Hinweisen).
3.2.2 Dass ein Richter den Parteien Vergleichsvorschläge unterbreitet, ist nach der klaren Rechtsprechung des Bundesgerichts nicht zu beanstanden, so lange er nicht etwa eine durch den Prozess erst noch abzuklärende Tatsache als schon erwiesen ansieht oder sich bereits in einer Art festgelegt hat, dass Zweifel darüber bestehen, ob er einer anderen Bewertung der Sach- und Rechtslage auf Grund weiterer Abklärungen noch zugänglich wäre (BGE 131 I 113 E. 3.6 S. 119 f. mit Hinweisen).
3.2.2.1 Die Beschwerdeführerin erklärt, sie habe vor dem Kantonsgericht darauf hingewiesen, dass die Bezirksgerichtspräsidentin sich gar nie eine vorläufige Meinung gebildet habe. Fest steht, dass die abgelehnte Richterin verschiedene Vergleichsvorschläge formuliert hat und sich zur Sache folglich eine Meinung hat bilden müssen. Sollte die Beschwerdeführerin der Auffassung sein, es habe sich dabei lediglich um die Meinung der Beschwerdegegnerin gehandelt, legt sie nicht dar, woraus sich dies ergeben soll. Der Umstand, dass in einer bestimmten Vergleichsverhandlung die Sichtweise der Gerichtspräsidentin derjenigen der Beschwerdegegnerin näher lag als derjenigen der Beschwerdeführerin, vermag im Übrigen noch keine Verletzung des Anspruchs auf einen unabhängigen und unparteiischen Richter darzutun.
3.2.2.2 Das Vorbringen, die Bezirksgerichtspräsidentin hätte gar keine Vergleichsvorschläge unterbreiten dürfen, weil es im Hauptverfahren lediglich um die Gültigkeit bzw. Herabsetzbarkeit letztwilliger Verfügungen gehe, grenzt an Mutwilligkeit: Es stand der Beschwerdeführerin von allem Anfang an frei, diesen Standpunkt zu vertreten und solchen Vergleichsverhandlungen fernzubleiben. Sie brachte indessen ihrerseits Vorschläge ein, so dass sie mit dem in der Beschwerde erhobenen Vorwurf ein nicht zu schützendes widersprüchliches Verhalten an den Tag legt. Widersprüchlich ist die Haltung der Beschwerdeführerin auch insofern, als sie von der abgelehnten Richterin einerseits verlangt, sie hätte sich im Hinblick auf Vergleichsvorschläge eine eigene Meinung bilden müssen, in anderem Zusammenhang jedoch den Standpunkt vertritt, dass sie gar nicht im Stande gewesen sei, solche Vorschläge zu machen, weil die Parteien bereits vor Klageanhebung lange und erfolglos verhandelt hätten und die betreffenden Akten der Richterin nicht vollständig bekannt gewesen seien. Es ist sodann unbehelflich, wenn die Beschwerdeführerin der Erwägung des Kantonsgerichts, der Richter sei frei darin, je nach dem weiteren Verlauf des Verfahrens auf einen Vergleichsvorschlag zurückzukommen und diesen neuen Erkenntnissen anzupassen, entgegenhält, sie habe die Vorinstanz darauf hingewiesen, dass es solche nie gegeben habe: Der Erklärung des Kantonsgerichts ist nicht zu entnehmen, dass dieses davon ausgegangen wäre, es hätten sich neue Erkenntnisse ergeben.
3.2.2.3 Die Beschwerdeführerin wirft dem Kantonsgericht ferner vor, dass es ihre Rüge nicht in Erwägung gezogen habe, wonach die Bezirksgerichtspräsidentin anlässlich der Vergleichsverhandlung vom 28. Oktober 2004 nicht den von der Beschwerdegegnerin schriftlich eingereichten Vergleichsvorschlag vom 25. Mai 2004 zur Sprache gebracht habe, sondern gleich von einer von dieser am Verhandlungstag vorgetragenen "unpräjudiziellen Berechnung" ausgegangen sei. Soweit sie zu den Einzelheiten des beanstandeten Vorgehens auf ihre beim Bezirksgericht eingereichte Eingabe vom 7. November 2004 verweist, kommt sie den Begründungsanforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG nicht nach und sind ihre Vorbringen daher von vornherein unbeachtlich. Mit der vorinstanzlichen Auffassung, die Gerichtspräsidentin sei sowohl in der Bildung ihres Meinungsprozesses als auch darin frei gewesen, welche Standpunkte der Parteien sie in einen Vergleichsvorschlag aufnehme, setzt sich die Beschwerdeführerin in keiner Weise auseinander. So nennt sie beispielsweise selbst keine Regel, die den Richter verpflichten würde, Vergleichsvorschläge der Parteien chronologisch zu behandeln. Auch sonst macht sie keine Umstände namhaft, aus denen sich ergäbe, dass die Bezirksgerichtspräsidentin etwa noch abzuklärende Tatsachen als schon erwiesen angesehen oder sich im Sinne der oben angeführten Rechtsprechung in unzulässiger Art festgelegt hätte.
4. Soweit auf die Beschwerde einzutreten ist, ist sie nach dem Gesagten abzuweisen. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird als Beschwerde in Zivilsachen entgegengenommen.
2. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Präsidentin des Bezirksgerichts B._ und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft (Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Februar 2008
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Gysel