Sachverhalt:
A. Der Vorstand der Gemeinde Klosters-Serneus traf am 7. März 2007 gegenüber den Eheleuten X._ eine Verfügung zum Schutz eines öffentlichen Fuss- und Wanderwegs; dieser verläuft gemäss dem Generellen Erschliessungsplan der Gemeinde unter anderem über das Grundstück Nr. 1652. Formell Eigentümerin der genannten Liegenschaft war Frau X._. In der Verfügung wurden aber beide Eheleute verpflichtet, nichts vorzukehren, was die Begehung dieses Fusswegs verunmögliche oder erschwere. Insbesondere wurde ihnen untersagt, Fahrzeuge auf den Fussweg abzustellen bzw. abstellen zu lassen oder mit Schnee aus Schleuder bzw. vom Pflug zu belegen. Weiter enthielt die Verfügung eine Bussenandrohung für den Widerhandlungsfall.
B. Die Eheleute X._ fochten die Verfügung beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden an. Am gerichtlichen Augenschein vom 20. August 2007 gaben sie bekannt, dass ein Verkauf der Liegenschaft anstehen könnte. Im Oktober 2007 teilten sie dem Verwaltungsgericht mit, die Veräusserung habe stattgefunden; der Besitz am Grundstück verbleibe ihnen jedoch bis zum 30. November 2007. Deswegen und mit Blick auf weitere Gründe verlangten sie weiterhin einen Entscheid in der Sache. Mit Urteil vom 4. Dezember 2007 trat das Verwaltungsgericht auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte den Beschwerdeführern die Gerichtskosten.
C. Mit Eingabe vom 29. April 2008 legen die Eheleute X._ gegen das verwaltungsgerichtliche Urteil beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein. Sie beantragen die Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Ausserdem sei die Vorinstanz anzuweisen, einen Abschreibungsentscheid zu erlassen und die amtlichen und ausseramtlichen Kosten im kantonalen Verfahren zulasten der Gemeinde zu verlegen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Gemeinde Klosters-Serneus und das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. In der Replik halten die Beschwerdeführer an ihren Rechtsbegehren fest.
Erwägungen:
1. Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen (vgl. Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 134 II 137 E. 1 S. 138).
1.1 Das kantonale Rechtsmittelverfahren betraf an sich eine Auseinandersetzung über einen öffentlichen Fuss- und Wanderweg; dabei handelte es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von Art. 82 lit. a BGG. Bezüglich des hier umstrittenen Entscheids, wie ein solches Verfahren bei Gegenstandslosigkeit zu erledigen und wie diesfalls die Kosten zu verlegen sind, steht grundsätzlich ebenfalls die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zur Verfügung.
1.2 Die Beschwerdegegnerin bestreitet die Beschwerdeberechtigung der Beschwerdeführer. Diese verfolgen vor Bundesgericht zum einen das Anliegen, statt des kantonalen Nichteintretensentscheids einen Abschreibungsentscheid zu erwirken. Ausserdem wehren sie sich gegen die Kostenverlegung des angefochtenen Urteils. Hinsichtlich der Kostenfrage ist die Legitimation ohne Weiteres gegeben. Da die beiden Punkte hier teilweise eng miteinander zusammenhängen, rechtfertigt es sich, die Legitimation bezüglich beider Aspekte zu bejahen.
1.3 Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben keinen Anlass zu weiteren Bemerkungen.
1.4 Der für die Behandlung der aufgeworfenen Fragen erhebliche Sachverhalt geht mit genügender Klarheit aus den Akten hervor. Es erübrigt sich daher, den von den Beschwerdeführern in der Replik genannten Beweisbegehren stattzugeben.
2. Art. 20 des kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 31. August 2006 (VRG/GR; BR 370.100) lautet:
1 Fällt im Laufe des Verfahrens das rechtserhebliche Interesse am Erlass eines Entscheids in der Sache weg, insbesondere aufgrund des Rückzugs der Begehren, der Rücknahme des angefochtenen Entscheids oder eines Vergleichs, schreibt die Behörde das Verfahren als erledigt ab.
2 Die Behörde entscheidet in der Abschreibungsverfügung über die Zuteilung der amtlichen und ausseramtlichen Kosten, wenn sich die Parteien darüber nicht einigen.
3 Rückzug, Anerkennung und Vergleich werden in die Abschreibungsverfügung aufgenommen und erlangen damit die Wirkung eines rechtskräftigen Entscheids.
Das Verwaltungsgericht hat im Wesentlichen erwogen, die mit der gemeindlichen Verfügung gegenüber den Beschwerdeführern ausgesprochenen Anordnungen seien ihnen persönlich und nicht etwa den jeweiligen Grundstückseigentümern auferlegt worden. Diese Anordnungen seien angesichts der Veräusserung und der Besitzaufgabe bezüglich der Liegenschaft per 30. November 2007 faktisch gegenstandslos geworden. Da die Beschwerdeführer trotz offenkundigen Fehlens eines rechtserheblichen Interesses einen materiellen Entscheid verlangt hätten, werde von einer gerichtlichen Abschreibung des Verfahrens im Sinne von Art. 20 Abs. 1 VRG/GR abgesehen und ein Nichteintretensentscheid gefällt. Es rechtfertige sich bei diesem Verfahrensausgang, die Gerichtskosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen. Der Gemeinde sei keine Parteientschädigung zuzusprechen.
3. Zunächst enthält die Beschwerdeschrift mehrere Sachverhaltsrügen, die sich auf den Bestand und die Tragweite der kommunalen Verfügung für die Beschwerdeführer beziehen. Damit die Feststellung eines Sachverhalts als willkürlich eingestuft werden kann, ist nicht nur eine unhaltbare Beweiswürdigung (vgl. zu dieser Anforderung BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9; 127 I 38 E. 2a S. 41) verlangt. Zusätzlich muss die gerügte Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens erheblich sein (vgl. BGE 133 III 393 E. 7.1 S. 398). Die letztgenannte Voraussetzung ist im vorliegenden Zusammenhang nicht erfüllt. Es ist weder behauptet noch ersichtlich, dass die betreffenden Sachverhaltsrügen für den allfälligen Unterschied zwischen einem Nichteintretensentscheid und einem Abschreibungsentscheid von Bedeutung sein können. Deshalb ist nicht weiter darauf einzugehen.
4. 4.1 Im Hinblick auf den Kostenpunkt des angefochtenen Urteils bringen die Beschwerdeführer weitere Sachverhaltsrügen vor und behaupten zugleich eine Gehörsverletzung (Art. 29 Abs. 2 BV bzw. Art. 6 EMRK). Sie weisen darauf hin, dass sie im verwaltungsgerichtlichen Verfahren einen Antrag auf Parteientschädigung gestellt hatten. Diese Tatsache sei in den Erwägungen des angefochtenen Urteils ausgeblendet worden. Ebenso habe das Verwaltungsgericht übersehen, dass nach der Veräusserung der Liegenschaft nicht nur bei den Beschwerdeführern, sondern gleichermassen auch bei der Gemeinde das Interesse an einem materiellen Entscheid dahingefallen sei. Die Gehörsrüge dreht sich um die Pflicht zu einer ausreichenden Begründung des Entscheids.
4.2 Den Sachverhaltsrügen zum Kostenpunkt kann im Gegensatz zu den bei E. 3 hiervor erwähnten Vorbringen die Eignung für eine Änderung des Verfahrensausgangs nicht von vornherein abgesprochen werden. Demzufolge sind diese zu erörtern. Im angefochtenen Urteil hat das Verwaltungsgericht die Frage der Kostentragung im Hinblick auf den zu fällenden verfahrensrechtlichen Entscheid als nicht wesentlich bezeichnet. Weiter hat es erwogen, die Frage eines virtuellen Interesses an einem Entscheid stelle sich nicht. Als Sachverhaltsrügen gehen die bei E. 4.1 wiedergegebenen Vorwürfe fehl. Das Verwaltungsgericht hat die von den Beschwerdeführern angeführten Tatsachen nicht übersehen.
4.3 Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts zu Art. 29 Abs. 2 BV kann sich die Behörde bei der Begründung des Entscheids auf die dafür wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88; 133 I 270 E. 3.1 S. 277; je mit Hinweisen). Art. 6 EMRK stellt in diesem Zusammenhang im Ergebnis keine strengeren Anforderungen auf (vgl. Entscheid des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte Spang gegen Schweiz vom 4. Mai 2004, Ziff. 2, in: VPB 68/2004 Nr. 172 S. 2182). Die Frage, ob der Kostenaspekt für die Wahl der Erledigungsart eine Rolle spielt, betrifft die richtige Anwendung des Verfahrensrechts. Falls sich ergibt, dass für den Kostenentscheid so oder anders keine Prüfung des mutmasslichen Verfahrensausgangs notwendig gewesen wäre, dann stösst die Gehörsrüge insofern ins Leere. Ebenso verhält es sich, wenn der nachträgliche Wegfall des Rechtsschutzinteresses auf Seiten der Gemeinde im Hinblick auf die Rechtsanwendung ohne Belang ist. Wie es sich damit verhält, ist im Rahmen der weiteren diesbezüglichen Rügen zu prüfen (vgl. E. 5 und 6 hiernach).
4.4 Im Übrigen hilft den Beschwerdeführern der Hinweis auf das bundesgerichtliche Urteil 1P.360/2001 vom 27. September 2001 E. 2f nichts. Dort ging es um die Begründung für eine Kürzung der Parteientschädigung, die ein Freigesprochener beantragt hatte. Mit jener Konstellation lässt sich der vorliegende Fall nicht vergleichen. Vielmehr ist hier am Grundsatz festzuhalten, dass der Entscheid über die Kosten- und Entschädigungsfolgen eines Verfahrens von Verfassungs wegen grundsätzlich nicht besonders begründet werden muss, wenn die Überlegungen, die den Richter zu seinem Entscheid führten, erkennbar sind (vgl. BGE 111 Ia 1 E. 2a S. 1 f.; 93 I 116 E. 2 S. 120).
5. 5.1 Zur Hauptsache machen die Beschwerdeführer geltend, es sei willkürlich, dass nicht eine Abschreibung mit Kostenverlegung zu ihren Gunsten erfolgt sei. Eine willkürliche Rechtsanwendung liegt vor, wenn diese nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist (vgl. BGE 134 I 140 E. 5.4 S. 148 mit Hinweisen).
5.2 Neben einer willkürlichen Anwendung des kantonalen Rechts rügen die Beschwerdeführer eine Missachtung des Legalitätsprinzips und rufen Art. 5 Abs. 1 BV an. Bei den Gerichtskosten handelt es sich um Kausalabgaben (BGE 132 I 117 E. 4.2 S. 121 mit Hinweis). Das Erfordernis der gesetzlichen Grundlage (Legalitätsprinzip) im Abgaberecht ist ein selbstständiges verfassungsmässiges Recht, das aus Art. 127 Abs. 1 BV abgeleitet wird; danach bedürfen öffentliche Abgaben einer formell-gesetzlichen Grundlage, welche diese in ihren Grundzügen umschreibt (BGE 133 V 402 E. 3.2 S. 405; 132 I 117 E. 4.2 S. 121).
Art. 20 Abs. 2 VRG/GR schreibt vor, dass im Fall der Abschreibung auch die Kostenzuteilung zu regeln ist, wenn sich die Parteien nicht darüber einigen können. Da das Verwaltungsgericht eine Anwendung von Art. 20 VRG/GR generell ausgeschlossen hat, gilt dies auch für dessen Abs. 2. Allerdings enthält die fragliche Norm keine eigenständige Regel, wie die Kostenverlegung zu geschehen hat. Derartige Bestimmungen sind hingegen in den Art. 72 ff. VRG/GR verankert. Von den Beschwerdeführern wird nicht konkret in Abrede gestellt, dass die letztgenannten Vorschriften eine hinreichende formell-gesetzliche Regelung für die Kostenverlegung bilden. Für die Frage, wie die erwähnten Normen richtig auszulegen sind, kommt dem Legalitätsprinzip grundsätzlich keine über das Willkürverbot hinausgehende Bedeutung zu. Ein Vorbehalt ist insofern einzig im Hinblick auf das von den Beschwerdeführern ebenfalls angerufene Verhältnismässigkeitsprinzip anzubringen (vgl. dazu E. 7 hiernach).
5.3 In der Replik wird zudem ein Verstoss gegen die Eigentumsgarantie ins Feld geführt; die umstrittene Kostenauflage habe den Beschwerdeführern einen Vermögensschaden verursacht. Es kann offen bleiben, ob eine derartige Beschwerdeergänzung im Rahmen der Replik überhaupt zulässig ist, denn die fraglichen Vorbringen vermögen keine andere Beurteilung zu bewirken. Dabei muss der Hinweis genügen, dass die Eigentumsgarantie hier keine weitergehende Bedeutung als die Prinzipien des Abgabenrechts haben kann (vgl. dazu BGE 127 I 60 E. 3b S. 68).
5.4 Weiter erachten die Beschwerdeführer das Vorgehen des Verwaltungsgerichts als treuwidrig und missbräuchlich; es habe mit seinem Urteil zugewartet, bis der Besitzesübergang eingetreten sei. Diese Rüge hat mit dem Vertrauensschutz im Sinne von Art. 9 BV nichts zu tun, weil das beanstandete behördliche Verhalten bei den Beschwerdeführern als Privaten keine ihr Verhalten beeinflussende Erwartungen begründete. Vielmehr sind die Vorbringen Art. 5 Abs. 3 BV zuzuordnen und erweisen sich im Ergebnis als Aspekt der verlangten Willkürprüfung (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1P.701/2004 vom 7. April 2005 E. 4.2).
6. 6.1 Das Verwaltungsgericht hat die Gegenstandslosigkeit des kantonalen Verfahrens allein auf die Veräusserung der Liegenschaft zurückgeführt. Den Beschwerdeführern ist zuzugeben, dass die Gegenstandslosigkeit nicht bereits mit der Veräusserung, welche sie dem Verwaltungsgericht mitteilten, eingetreten war. Der Zeitpunkt des Besitzesübergangs stand indessen im Zeitpunkt der Mitteilung fest und lag in naher Zukunft. Wie die Beschwerdeführer vor Bundesgericht erläutern, diente der Aufschub des Besitzesübergangs dazu, ihnen genügend Zeit für einen geordneten Auszug zu belassen. Vor diesem Hintergrund verfiel das Verwaltungsgericht nicht in Willkür, wenn es sein eigenes Zuwarten mit der Verfahrenserledigung als vernachlässigbar im Hinblick auf die Gegenstandslosigkeit des Verfahrens gewichtet hat. Unter dem Blickwinkel des Willkürverbots ist es auch nicht zu beanstanden, wenn das Verwaltungsgericht den Wegfall des Interesses der Gemeinde an einem Sachentscheid als unbeachtliche Folge des Verkaufsentscheids der Beschwerdeführer begriffen hat (vgl. zu dieser Rüge bereits E. 4 hiervor).
6.2 Gemäss Art. 73 Abs. 1 VRG/GR hat im Rechtsmittelverfahren in der Regel die unterliegende Partei die Kosten zu tragen. Art. 72 Abs. 1 VRG/GR sieht daneben in allgemeiner Weise vor, dass den Parteien die Kosten für Verfahren auferlegt werden können, die sie verlangt oder veranlasst haben. Es ist nach diesen Bestimmungen somit nicht ausgeschlossen, jene Partei als kosten- und entschädigungspflichtig zu erklären, die ein Verfahren veranlasst hat oder bei der die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit geführt haben. Diese Grundsätze der Kostenverlegung gelangen gegebenenfalls selbst nach der Rechtsprechung im Zusammenhang mit der Gegenstandslosigkeit bundesgerichtlicher Verfahren zur Anwendung. Daran ändert nichts, dass das Bundesgericht sich nach seiner Rechtsprechung für die Kostenregelung bei Gegenstandslosigkeit in erster Linie vom mutmasslichen Prozessausgang leiten lässt (vgl. dazu BGE 118 Ia 488 E. 4a S. 494; Urteil 2C_201/2008 vom 14. Juli 2008 E. 2.3 mit weiteren Hinweisen).
6.3 Die Beschwerdeführer wenden ein, das Verwaltungsgericht sei bei der Kostenzuteilung ohne triftige Gründe von der Grundregel abgewichen, wonach auf den mutmasslichen Ausgang des Beschwerdeverfahrens abzustellen sei. Zwar stellen die Beschwerdeführer die kommunale Verfügung als fehlerhaft hin und beanspruchen, die Kostenpflicht hätte daher auf jeden Fall der Gemeinde überbunden werden müssen. In dieser Hinsicht gelingt es ihnen aber nicht, dem Verwaltungsgericht erfolgreich eine willkürliche Rechtsanwendung vorzuwerfen. Es fällt auf, dass beide Seiten auf der Richtigkeit ihres Standpunkts in der gegenstandslos gewordenen Sache beharren. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt und unter Umständen der Entscheid in einer heiklen Rechtsfrage präjudiziert werden (vgl. erwähntes Urteil 2C_201/2008 E. 2.3). Demgegenüber bestanden - mit der Zurechnung der Gegenstandslosigkeit an die Beschwerdeführer und unter Berücksichtigung ihres Anliegens nach einem Entscheid in der Sache trotz Wegfall des Rechtsschutzinteresses - sachlich haltbare Anknüpfungspunkte für den umstrittenen Kostenentscheid. Dieser ist mit Art. 73 Abs. 1 VRG/GR vereinbar. Mithin durfte das Verwaltungsgericht nicht nur den Beschwerdeführern allein die Gerichtskosten auferlegen, sondern ihnen entsprechend auch eine Parteientschädigung verweigern.
6.4 Nach Meinung der Beschwerdeführer ist es darüber hinaus qualifiziert falsch, das Verfahren in ihrem Fall nicht mit einer Abschreibung im Sinne von Art. 20 VRG zu erledigen. Dieser Vorwurf geht ebenfalls fehl. Bei einer Gegenstandslosigkeit der vorliegenden Art lässt sich - anders als etwa in Fällen von Art. 20 Abs. 3 VRG/GR - die Auffassung vertreten, ein Abschreibungsentscheid sei in seiner rechtlichen Tragweite mit einem Nichteintretensentscheid vergleichbar, zumal wenn die Gegenstandslosigkeit - wie hier - in den Erwägungen festgehalten wird. Der Ansicht der Beschwerdeführer, dass nur eine Abschreibung die Zweifel über die weitere Wirksamkeit der kommunalen Verfügung ausräumen würde, kann nicht beigepflichtet werden. Das Verwaltungsgericht durfte auch willkürfrei annehmen, das kantonale Recht lasse in der vorliegenden Konstellation Raum für einen Nichteintretensentscheid, der sich nicht auf Art. 20 VRG/GR stützte. Einen solchen Schluss lässt insbesondere die weitgefasste Bestimmung von Art. 56 VRG/GR über die Urteilsbefugnis des Verwaltungsgerichts zu.
7. Ferner halten die Beschwerdeführer dem Verwaltungsgericht eine Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips vor. Wenn ihnen schon Gerichtskosten auferlegt würden, so sei doch eine Staatsgebühr von Fr. 3'000.-- für einen Nichteintretensentscheid übersetzt. Massgeblich für die Festlegung der Gebührenhöhe ist Art. 75 VRG/GR. Art. 75 Abs. 2 VRG/GR benennt eine Obergrenze des Kostenrahmens für die Staatsgebühr sowie die massgebenden Gesichtspunkte, nach denen die Höhe im Einzelfall zu bestimmen ist. Die Rüge betreffend die Verhältnismässigkeit der Gebührenhöhe ist im Lichte des Äquivalenzprinzips zu beurteilen. Danach darf eine Gebühr nicht in einem offensichtlichen Missverhältnis zum objektiven Wert der Leistung stehen und muss sich in vernünftigen Grenzen bewegen (vgl. BGE 132 II 371 E. 2.1 S. 375; 126 I 180 E. 3a/bb S. 188; je mit Hinweisen). Das angefochtene Urteil erforderte eine Begründung, insbesondere weil das Verwaltungsgericht zur Argumentation der Beschwerdeführer Stellung nehmen musste, wonach sie noch ein Rechtsschutzinteresse an einem materiellen Entscheid hätten. Die umstrittene Gebühr bewegt sich in einem vertretbaren Rahmen; der gegenteiligen Auffassung der Beschwerdeführer kann nicht gefolgt werden.
8. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten unter solidarischer Haftbarkeit zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Der Gemeinde als vor Bundesgericht obsiegenden Beschwerdegegnerin steht grundsätzlich keine Parteientschädigung zu (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG; BGE 134 II 117 E. 7 S. 119). Es sind keine besonderen Umstände für eine Abweichung von diesem Grundsatz gegeben.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Dezember 2008
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Féraud Kessler Coendet