Sachverhalt:
A. Die Ehe von X._ und Y._ wurde am 6. Juli 1989 geschieden. Mit Klage vom 3. Januar 2005 hat X._ die Abänderung des Scheidungsurteils verlangt. In diesem Verfahren sind beide Parteien anwaltlich vertreten. Beim Rechtsvertreter der Beklagten handelt es sich um den Vizepräsidenten des Kassationsgerichts des Kantons Zürich. Die für den Zivilprozess zuständige Einzelrichterin am Bezirksgericht Zürich, Richterin A._, ordnete auf Gesuch des Klägers die Durchführung des schriftlichen Verfahrens für Klagebegründung und Klageantwort an.
Nach Eingang der Klageantwort beantragte der Kläger am 27. Oktober 2005 die Anordnung vorsorglicher Massnahmen. Das Begehren enthielt lediglich eine Kurzbegründung, die der Kläger mit Eingabe vom 24. November 2005 ergänzte. Im Rahmen dieser Eingabe stellte der Kläger folgende Verfahrensanträge: Er lehnte die Richterin als befangen ab. Gleichzeitig sei die Beklagte aufzufordern, einen anderen Rechtsvertreter zu bezeichnen, der nicht dem Kassationsgericht angehöre.
Die Einzelrichterin am Bezirksgericht unterbreitete den Entscheid über das gegen sie gerichtete Ausstandsbegehren am 9. Dezember 2005 der Verwaltungskommission des Zürcher Obergerichts; zu dem Antrag, der den Rechtsvertreter der Beklagten betraf, äusserte sich die Richterin nicht. Die Verwaltungskommission wies das Ausstandsbegehren mit Beschluss vom 6. Januar 2006 ab.
B. Mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 8. Februar 2006 beantragt X._, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben. Er rügt, das Gleichbehandlungsgebot (Art. 8 BV), das Willkürverbot (Art. 9 BV), das rechtliche Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) sowie das Gebot der richterlichen Unabhängigkeit und Unparteilichkeit (Art. 30 Abs. 1 BV bzw. Art. 6 Ziff. 1 EMRK) seien verletzt worden.
Y._, Richterin A._ und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob auf eine staatsrechtliche Beschwerde einzutreten ist (BGE 131 I 153 E. 1 S. 156 mit Hinweisen).
1.1 Im III. Abschnitt des Gerichtsverfassungsgesetzes des Kantons Zürich vom 13. Juni 1976 (GVG/ZH; LS 211.1) wird der Ausstand der Justizbeamten geregelt. Der Kreis der betroffenen Justizbeamten ergibt sich aus der Aufzählung in § 95 GVG/ZH: Es sind dies die Richter, Geschworenen, Untersuchungs- und Anklagebeamten, Kanzleibeamten und Friedensrichter (Robert Hauser/Erhard Schweri, Kommentar zum zürcherischen Gerichtsverfassungsgesetz, Zürich 2002, Vorbemerkungen zu §§ 95 ff., Rz. 9). Nach § 101 GVG/ZH entscheidet die Aufsichtsbehörde über ein streitiges Ausstandsbegehren. Gemäss § 31 Ziff. 4 lit. b der Verordnung über die Organisation des Obergerichts vom 22. Juni 2005 (VOG/ZH; LS 212.51), in Kraft seit 1. Januar 2006, liegt die Zuständigkeit bei der Verwaltungskommission des Obergerichts, wenn sich das Ausstandsbegehren - wie hier - gegen eine Einzelrichterin am Bezirksgericht richtet.
1.2 Im angefochtenen Beschluss wurde zur Hauptsache beurteilt, ob die vom Beschwerdeführer abgelehnte Richterin in den Ausstand zu treten habe. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 87 Abs. 1 OG.
Im bezirksgerichtlichen Verfahren hatte der Beschwerdeführer zusätzlich den Rechtsbeistand der Beschwerdegegnerin abgelehnt. Im angefochtenen Entscheid erwog die Verwaltungskommission, diese Streitfrage betreffe die richtige Anwendung von § 29 der Zürcher Zivilprozessordnung vom 13. Juni 1976 (ZPO/ZH; LS 271) und wäre auf dem Rechtsmittelweg zu klären. Damit hat die Verwaltungskommission ihre sachliche Zuständigkeit zur Beurteilung dieses Begehrens verneint und ist stillschweigend darauf nicht eingetreten. Mit der hiergegen erhobenen Gehörsrüge beklagt sich der Beschwerdeführer sinngemäss über eine formelle Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV). Er strebt an, dass die beiden Ablehnungsbegehren zusammen beurteilt werden. Die Anfechtung des Nichteintretensentscheids muss deshalb verfahrensrechtlich das Schicksal der Hauptfrage teilen.
Dasselbe gilt für die weitere Verfassungsrüge, die Verwaltungskommission sei beim angefochtenen Beschluss befangen gewesen. Diesen Vorwurf, den der Beschwerdeführer erstmals in seiner staatsrechtlichen Beschwerde erhoben hat, begründet er mit der angeblichen Unhaltbarkeit der Erwägungen im angefochtenen Entscheid.
1.3 Zu prüfen bleibt, ob es sich beim angefochtenen Beschluss um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid handelt (Art. 86 OG). Der Beschwerdeführer behauptet dies. Er befasst sich aber in keiner Weise mit der allfälligen Zulässigkeit einer Nichtigkeitsbeschwerde an das Kassationsgericht. Die übrigen Verfahrensbeteiligten haben, wie erwähnt, auf eine Stellungnahme verzichtet.
1.4 Das Kassationsgericht tritt nach seiner Praxis auf Nichtigkeitsbeschwerden gegen Entscheide der obergerichtlichen Verwaltungskommission über den Ausstand von Bezirksrichtern in Zivilprozessen ein (Entscheid des Kassationsgerichts vom 17. April 2000, in: ZR 100/2001 Nr. 3, E. II.1c S. 10; Beschluss des Kassationsgerichts vom 24. August 2005 [Proz.-Nr. AA050098], E. 3, vgl. Entscheidsammlung auf http://entscheide.gerichte-zh.ch, je mit Hinweisen; zustimmend Hauser/Schweri, a.a.O., Rz. 7 zu § 101 GVG/ZH mit weiteren Hinweisen; vgl. auch Richard Frank/Hans Sträuli/Georg Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl., Zürich 1997, Rz. 6a zu § 282 ZPO/ZH).
Gemäss der angeführten Lehre und Praxis geht es beim Entscheid über den Ausstand, trotz der entsprechenden Wortwahl in § 101 GVG/ZH, nicht um einen Entscheid einer Aufsichtsbehörde im Sinne von § 284 Ziff. 2 ZPO/ZH. Vielmehr handelt es sich dabei um einen prozessleitenden Entscheid im Sinne von § 282 ZPO/ZH, der selbständig mit Nichtigkeitsbeschwerde angefochten werden kann. Im Übrigen bestimmt § 285 Abs. 2 ZPO/ZH, im Verhältnis zum Weiterzug an das Bundesgericht, dass die Nichtigkeitsbeschwerde stets zulässig ist, wenn eine Verletzung von Art. 8, 9, 29 oder 30 BV bzw. Art. 6 EMRK geltend gemacht wird.
Die Ablehnungsbegehren wurden hier im Rahmen des Gesuchs um vorsorgliche Massnahmen in einem Zivilprozess gestellt. Nach § 284 Ziff. 7 ZPO/ZH in der Fassung vom 27. Januar 2003 sind Nichtigkeitsbeschwerden gegen Rekursentscheide betreffend vorsorgliche Massnahmen ausgeschlossen. Diese Ausschlussbestimmung ist vorliegend offensichtlich nicht betroffen, handelt es sich doch beim angefochtenen Beschluss nicht um einen Rekursentscheid über vorsorgliche Massnahmen. Im Übrigen sind die Ablehnungsbegehren nicht nur im Hinblick auf den - ausstehenden - Entscheid über die vorsorglichen Massnahmen, sondern für den gesamten hängigen Zivilprozess vor Bezirksgericht gestellt worden.
1.5 Das Bundesgericht verzichtet in konstanter Praxis auf das Erfordernis der Erschöpfung des kantonalen Instanzenzuges, wenn an der Zulässigkeit eines Rechtsmittels ernsthafte Zweifel bestehen (BGE 125 I 394 E. 3 S. 396, 412 E. 1c S. 416, je mit Hinweisen). Solche Zweifel sind hier angesichts der dargelegten kantonalen Verfahrensbestimmungen und der Praxis des Kassationsgerichts an sich nicht angebracht (E. 1.4).
1.5.1 Bei Frank/Sträuli/Messmer, a.a.O., Rz. 3 zu § 284 ZPO/ZH, wird unter Hinweis auf BGE 69 I 15 die Meinung vertreten, Rekusationsentscheide seien ohne Erschöpfung des kantonalen Instanzenzugs mit staatsrechtlicher Beschwerde anfechtbar. Diese Auffassung ist seit der OG-Revision vom 4. Oktober 1991 überholt; Beschwerden wegen Verletzung der Garantie des verfassungsmässigen Richters (Art. 58 aBV bzw. Art. 30 Abs. 1 BV) fallen seit dieser am 15. Februar 1992 in Kraft getretenen Gesetzesrevision nicht mehr unter die Ausnahmen vom Erfordernis eines letztinstanzlichen kantonalen Entscheides. Ergänzend ist Art. 87 OG in der Revision vom 8. Oktober 1999 dahingehend geändert worden, dass gegen selbstständige Vor- und Zwischenentscheide über Ausstandsbegehren die staatsrechtliche Beschwerde zulässig ist (Abs. 1). Dafür können diese Entscheide später nicht mehr angefochten werden (vgl. BGE 126 I 203 E. 1b S. 206). Die Rechtslage auf Bundesebene im Hinblick auf den Grundsatz der relativen Subsidiarität der staatsrechtlichen Beschwerde unterliegt damit keinem Zweifel.
1.5.2 Dessen ungeachtet ist das Bundesgericht in einem Entscheid vom 26. Juni 1996, ohne nähere Begründung, auf eine staatsrechtliche Beschwerde eingetreten, die direkt gegen den Entscheid der Verwaltungskommission über den Ausstand eines Bezirksrichters in einem Scheidungsverfahren eingereicht worden war (Urteil 1P.208/1996, in: ZBl 98/1997 S. 515 bzw. Pra 86/1997 Nr. 3 S. 9). Ebenso hat das Bundesgericht im unveröffentlichten Urteil 1P.428/2001 vom 14. Dezember 2001 eine vergleichbare Beschwerde materiell behandelt; dort ging es um den Ausstand von Bezirksrichtern in einem Zivilprozess betreffend Persönlichkeitsverletzung. Am 6. Januar 2005 ist das Bundesgericht, wiederum ohne vertiefte Begründung, auf eine staatsrechtliche Beschwerde gegen den Ausstandsentscheid der Verwaltungskommission in einem Zivilprozess eingetreten (Urteil 1P.512/2004, erwähnt in: ZBl 106/2005 S. 327); der umstrittene Ausstand betraf eine Bezirksrichterin, die eine Klage betreffend Feststellung neuen Vermögens im Sinne von Art. 265a Abs. 4 SchKG zu beurteilen hatte.
1.5.3 Eine bundesgerichtliche Praxis ist zu ändern, wenn sich erweist, dass das Recht bisher unrichtig angewendet worden ist oder eine andere Rechtsanwendung dem Sinne des Gesetzes oder veränderten Verhältnissen besser entspricht (BGE 126 I 122 E. 5 S. 129 mit Hinweisen). Vertrauensschutz kann demgegenüber nicht geltend gemacht werden, ausser es seien Rechtsmittelfristen oder Formvorschriften für die Einlegung eines Rechtsmittels betroffen; vielmehr ist die neue Praxis - ohne Vorankündigung - sofort anwendbar, wenn die Zulässigkeit des Rechtsmittels als solche zur Diskussion steht (BGE 122 I 57 E. 3c/bb S. 60). So ist das Bundesgericht in einem Waadtländer Fall auf eine staatsrechtliche Beschwerde wegen fehlender Erschöpfung des kantonalen Instanzenzugs nicht eingetreten, obwohl es in der früheren Rechtsprechung noch an der Zulässigkeit desselben kantonalen Rechtsmittels gezweifelt hatte. Dabei war massgebend, dass das zuständige kantonale Gericht eine Praxisänderung vollzogen und veröffentlicht hatte, wonach das fragliche kantonale Rechtsmittel nun gegeben war (BGE 126 I 257 E. 1b S. 259). Hier ist nach der angeführten Lehre und Rechtsprechung davon auszugehen, dass das Kassationsgericht die Nichtigkeitsbeschwerde in langjähriger, auch in neuerer Zeit bestätigter Praxis in Fällen zugelassen hat, die mit der vorliegenden Konstellation vergleichbar sind (E. 1.4). Umso mehr muss eine entsprechende Anpassung der Eintretenspraxis des Bundesgerichts sofort wirksam werden.
1.6 Immerhin enthält der angefochtene Beschluss keine Rechtsmittelbelehrung. So verhielt es sich auch bei den in E. 1.5.2 genannten Fällen. Nach § 188 GVG/ZH muss auf die Möglichkeit einer kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde nur bei einem Endentscheid hingewiesen werden. Es ist in der Lehre umstritten, ob es nach § 188 GVG/ZH in einem prozessleitenden Zwischenentscheid geboten ist, die Möglichkeit einer kantonalen Nichtigkeitsbeschwerde anzugeben (befürwortend Hauser/ Schweri, a.a.O., Rz. 2 zu § 188 GVG; ablehnend Frank/Sträuli/Messmer, Ergänzungsband zum Kommentar ZPO, Zürich 2000, Rz. 1 zu § 188 GVG).
Der Kontroverse zum richtigen Verständnis von § 188 GVG/ZH kann hier jedoch keine entscheidende Bedeutung zukommen. Der angefochtene Beschluss wurde am 6. Januar 2006 gefällt. Seit 1. Januar 2006 steht die neue Zürcher Kantonsverfassung vom 27. Februar 2005 in Kraft (KV/ZH; LS 101). In Art. 18 Abs. 2 KV/ZH ist unter anderem ein Anspruch auf Rechtsmittelbelehrung verankert; dieses Grundrecht ist nicht der Übergangsbestimmung von Art. 138 KV/ZH unterstellt.
Der in Art. 18 Abs. 2 KV/ZH verankerte Anspruch hat zur Folge, dass dem Beschwerdeführer aus der Unterlassung der Rechtsmittelbelehrung kein Nachteil erwachsen darf (vgl. Art. 107 Abs. 3 OG; diese Bestimmung gilt analog auch für die staatsrechtliche Beschwerde [BGE 124 I 255 E. 1a/aa S. 258 mit Hinweisen]). Die Beschwerde ist daher dem Kassationsgericht zur Behandlung zu überweisen (vgl. BGE 125 I 313 E. 5 S. 320). Da der vom Kassationsgericht zu treffende Entscheid an das Bundesgericht weitergezogen werden kann, ist ein Meinungsaustausch über die Zuständigkeitsfrage nicht erforderlich (vgl. BGE 123 II 145 E. 3 S. 152).
2. Nach dem Gesagten ist die staatsrechtliche Beschwerde zurzeit mangels Erschöpfung des kantonalen Instanzenzugs ausgeschlossen. Die Beschwerde ist dem Kassationsgericht zur Behandlung zu überweisen, weshalb das bundesgerichtliche Verfahren als gegenstandslos am Geschäftsverzeichnis abzuschreiben ist. Bei diesem Verfahrensausgang sind weder Kosten zu erheben noch Parteientschädigungen zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 8. Februar 2006 wird dem Kassationsgericht des Kantons Zürich zur Behandlung überwiesen.
2. Das Verfahren 1P.83/2006 wird als gegenstandslos geworden am Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
3. Es werden keine Kosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, Bezirksrichterin A._, Y._, dem Obergericht, Verwaltungskommission, und dem Kassationsgericht des Kantons Zürich (unter Beilage der Eingabe gemäss Ziffer 1 und der kantonalen Akten [Obergericht, Geschäft ...; Bezirksgericht Zürich, Geschäft ...]) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2006
Im Namen der I. öffentlichrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber: