Sachverhalt:
A. Die 1966 geborene, geschiedene L._ ist Mutter von vier Kindern, wovon eines bereits volljährig ist. Sie lebte mit den drei anderen Kindern, welche in den Jahren 1998, 2000 und 2005 geboren sind und dem Kindsvater, S._, 12 Jahre lang in einem Konkubinat, bis sie sich am 16. April 2009 von ihrem Partner trennte. Bis anhin war S._, welcher als selbstständig Erwerbender ein Grafikatelier betrieb, für den finanziellen Unterhalt der fünfköpfigen Familie aufgekommen.
Am 27. April 2009 stellte L._ Antrag auf Arbeitslosenentschädigung und gab an, sie sei bereit und in der Lage, teilzeitlich, im Rahmen von 60 % einer Vollzeitbeschäftigung, erwerbstätig zu sein. Mit Verfügung vom 20. Mai 2009 verneinte die SYNA Arbeitslosenkasse einen Anspruch auf Leistungen der Arbeitslosenversicherung mit der Begründung, L._ habe weder die Beitragszeit erfüllt, noch liege ein Befreiungsgrund vor. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest und lehnte zudem das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung im Einspracheverfahren ab (Einspracheentscheid vom 23. September 2009).
B. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 31. August 2010).
C. L._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, es seien die gesetzlich vorgesehenen Leistungen der Arbeitslosenversicherung auszurichten; ferner sei ihr für das Einspracheverfahren und für den Prozess vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die Kasse und das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) verzichten auf eine Stellungnahme.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2. Im Einspracheentscheid werden die Bestimmungen zur Erfüllung der Beitragszeit als Voraussetzung des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung (Art. 8 Abs. 1 lit. e AVIG) und zur Verlängerung der Rahmenfristen für den Leistungsbezug und die Beitragszeit für versicherte Personen, die vorübergehend aus dem Erwerbsleben ausgeschieden sind, um sich der Erziehung ihrer Kinder unter 10 Jahren zu widmen (Art. 9b AVIG), zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
3. Es steht aufgrund der Akten fest, dass die Beschwerdeführerin innerhalb der für die Erfüllung der Beitragszeit massgebenden Rahmenfrist vom 27. April 2005 bis 26. April 2009 (Art. 9b Abs. 2 AVIG; THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 2. Aufl. 2007, S. 2215 Rz. 116 und FN. 253; die Arbeitslosenkasse legt die Beitragsrahmenfrist in der Verfügung vom 20. Mai 2009 offensichtlich zu Unrecht auf den Zeitraum vom 27. April 2007 bis 26. April 2009 fest, während die Beschwerdeführerin ebenfalls unzutreffend von einer Beitragsrahmenfrist vom 27. April 2001 bis 26. April 2009 ausgehen will) nicht während mindestens zwölf Monaten eine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt hat (Art. 13 Abs. 1 AVIG). Entgegen ihrer Ansicht ist sie in dieser Beitragsrahmenfrist mit Blick auf das Kausalitätsprinzip (BGE 131 V 279 E. 1.2 S. 280; NUSSBAUMER, a.a.O., S. 2250 Rz. 239) nicht wegen Mutterschaft im Sinne von Art. 14 Abs. 1 lit. b AVIG von der Erfüllung der Beitragszeit befreit, nachdem ihr jüngstes Kind am 15. April 2005 geboren ist. Fraglich kann demnach einzig noch sein, ob sie wegen Auflösung des Konkubinats nach Art. 14 Abs. 2 AVIG von der Erfüllung der Beitragszeit befreit ist.
4. 4.1 Gemäss Art. 14 Abs. 2 AVIG sind Personen von der Erfüllung der Beitragszeit befreit, die wegen Trennung oder Scheidung der Ehe, wegen Invalidität (Art. 8 ATSG) oder Todes des Ehegatten oder aus ähnlichen Gründen oder wegen Wegfalls einer Invalidenrente gezwungen sind, eine unselbstständige Erwerbstätigkeit aufzunehmen oder zu erweitern. Diese Regel gilt nur dann, wenn das betreffende Ereignis nicht mehr als ein Jahr zurückliegt und die betroffene Person beim Eintritt dieses Ereignisses ihren Wohnsitz in der Schweiz hatte.
4.2 Art. 14 Abs. 2 AVIG ist in erster Linie für jene Fälle vorgesehen, in denen die Person, welche durch Geldzahlungen an den Unterhalt der Familie beiträgt, oder die Erwerbsquelle plötzlich aus- oder weggefallen ist. Sie zielt auf Versicherte, die nicht auf die Aufnahme, Wiederaufnahme oder Ausdehnung der Erwerbstätigkeit vorbereitet sind und aus wirtschaftlicher Notwendigkeit in verhältnismässig kurzer Zeit neu disponieren müssen (BGE 125 V 123 E. 2a S. 125; THOMAS NUSSBAUMER, a.a.O., S. 2252 Rz. 243). Gemäss höchstrichterlicher Praxis bildet namentlich die Auflösung eines Konkubinats keinen ähnlichen Grund im Sinne von Art. 14 Abs. 2 AVIG, weil die Beendigung der Lebensgemeinschaft keine rechtliche Unterhalts- und Beistandspflicht auslöst (BGE 123 V 219).
5. 5.1 Das kantonale Gericht ist der Ansicht, dass es durchaus gute Argumente für die Gleichbehandlung eines langjährigen Konkubinats mit einer Ehe gäbe, aber das Bundesgericht in neueren Urteilen keine Änderung der Rechtsprechung vorgenommen habe, so dass kein Anlass für einen abweichenden Entscheid bestehe.
5.2 Die Beschwerdeführerin lässt vorbringen, sie sei vor der Auflösung des Konkubinats in einer Lebenssituation gewesen, welche einer Ehe mit klassischer Rollenverteilung entspreche, indem der Mann die Ernährerrolle und die Frau die Verantwortung für Haushalt und Erziehung übernommen habe. Infolge der Trennung nach einem heftigen Streit sei nun der finanzielle Bedarf der Versicherten nicht mehr abgedeckt und sie sei gezwungen, eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen. Die bisherige Praxis bedeute im Ergebnis eine bewusste Schlechterstellung von Konkubinatspartnern gegenüber Verheirateten, wofür sich keine Begründung finden lasse. Zudem hätten sich die gesellschaftlichen Werte weiter gewandelt und in der Rechtsprechung sei eine Tendenz zu erkennen, diesem Wertewandel Rechnung zu tragen.
6. 6.1 Im kürzlich ergangenen Urteil BGE 8C_564/2010 vom 11. April 2011 prüfte das Bundesgericht eingehend, ob die Praxis, wonach die Auflösung eines Konkubinats keinen ähnlichen Grund im Sinne von Art. 14 Abs. 2 AVIG darstellt, zu ändern ist.
6.1.1 Im erwähnten Urteil wird zunächst die Entwicklung der besagten Rechtsprechung aufgezeigt (BGE 8C_564/2010 E. 6.2.1). Sodann wird unter anderem festgestellt, dass der vorliegend im Vordergrund stehende Satzteil des Art. 14 Abs. 2 AVIG - Befreiung von der Erfüllung der Beitragszeit "aus ähnlichen Gründen" - seit BGE 123 V 219 unverändert geblieben ist, womit nach wie vor allein gestützt auf die Formulierung der Gesetzesbestimmung eine Beitragsbefreiung zufolge Konkubinatsauflösung somit grundsätzlich möglich wäre. In der letztinstanzlichen Beschwerdeschrift wird aber zu Recht darauf hingewiesen, dass seitherige Änderungen in anderen Bereichen eingetreten sind. So wurde namentlich die Rechtsprechung, wonach haushaltführende Konkubinatspartnerinnen AHV-rechtlich als angestellte Haushälterinnen zu qualifizieren sind, mit BGE 125 V 205 aufgegeben. Diese Praxis entstand aus dem tatsächlichen Bedürfnis nach sozialer Absicherung für diese Personen, indem Art. 5 Abs. 2 AHVG (Beiträge von Einkommen aus unselbstständiger Erwerbstätigkeit; massgebender Lohn) analog zur Anwendung gebracht wurde (BGE 125 V 205 E. 7b S. 216). Eine Frau, die in einem eheähnlichen Verhältnis mit einem Mann lebt, den gemeinsamen Haushalt besorgt und von ihrem Partner Unterhaltsleistungen erhält, übte nach dieser Praxis eine beitragspflichtige Beschäftigung aus (BGE 125 V 205 E. 7g S. 217 f.; Urteil C 162/96 vom 27. August 1997 E. 3a, nicht publ. in: BGE 123 V 219, aber in: ARV 1998 Nr. 4 S. 21). Dieser Versicherungsschutz fiel mit der Aufgabe der Rechtsprechung weg. Gemildert wurde diese Konsequenz zunächst durch Art. 13 Abs. 2bis AVIG (in Kraft vom 1. Januar 1996 bis 30. Juni 2003). Gemäss dieser Bestimmung wurden Zeiten, in denen Versicherte - unabhängig von ihrem Zivilstand - keine beitragspflichtige Beschäftigung ausgeübt hatten, weil sie sich der Erziehung von Kindern unter 16 Jahren widmeten, als Beitragszeit angerechnet. Die 3. AVIG-Revision führte allerdings zu einem Systemwechsel: Die Erziehungszeiten werden nunmehr nicht mehr als Beitragszeiten anerkannt; dafür wird seit Inkrafttreten des Art. 9b AVIG auf den 1. Juli 2003 im Falle von Erziehungszeiten, ebenfalls unabhängig vom Zivilstand, unter bestimmten weiteren Voraussetzungen entweder die Rahmenfrist für den Leistungsbezug (Art. 9b Abs. 1 AVIG) oder für die Beitragszeit (Art. 9b Abs. 2 AVIG) verlängert. Es ist der Versicherten beizupflichten, dass diese Entwicklung eine faktische Verschlechterung für nichteheliche Lebenspartner beim Dahinfallen des Zusammenlebens oder der aus dem Zusammenleben fliessenden Versorgung bedeutet, wenn sie sich während mehrerer Jahre der Erziehung der Kinder widmen, innerhalb der verlängerten Rahmenfrist keine beitragspflichtige Beschäftigung ausüben und demzufolge wegen der Nichterfüllung der Beitragszeit keinen Anspruch auf Arbeitslosenentschädigung haben (GÄCHTER/SCHWENDENER, Nichteheliche Lebensgemeinschaften im Sozialversicherungsrecht, Ein Beitrag zum Verhältnis von Familien- und Sozialversicherungsrecht, FamPra.ch 2005 S. 852).
In der bundesrätlichen Verordnung ist zudem seit BGE 123 V 219 eine - nicht abschliessende - Präzisierung der ähnlichen Gründe erfolgt. Ein ähnlicher Grund im Sinne von Art. 14 Abs. 2 AVIG liegt nach Art. 13 Abs. 1bis AVIV, in Kraft seit 1. Juli 2003, insbesondere vor, wenn Personen, die wegen Wegfalls der Betreuung von Pflegebedürftigen gezwungen sind, eine unselbstständige Erwerbstätigkeit aufzunehmen oder zu erweitern, falls: a) die pflegebedürftige Person dauernd auf Hilfe angewiesen war, b) die betreuende und die pflegebedürftige Person im gemeinsamen Haushalt gewohnt haben, und c) die Betreuung mehr als ein Jahr gedauert hat. Die Auflösung des Konkubinats wird in dieser Bestimmung nicht erwähnt, obwohl der Bundesrat aus diesem Anlass im Vergleich zur bisherigen Praxis bei Auflösung einer eheähnlichen Gemeinschaft eine entsprechende Erweiterung des Katalogs der ähnlichen Gründe hätte vornehmen können.
Aus den Weisungen des SECO ergibt sich nichts anderes. Nach Ziffer B196 des Kreisschreibens des SECO über die Arbeitslosenentschädigung (KS ALE), gültig ab Januar 2007, liegen ähnliche Gründe im Sinne von Art. 14 Abs. 2 AVIG unter anderem dann nicht vor, wenn ein Konkubinat aufgelöst wird.
Mit Inkrafttreten des Bundesgesetzes über die eingetragene Partnerschaft gleichgeschlechtlicher Paare vom 18. Juni 2004 (Partnerschaftsgesetz, PartG; SR 211.231) auf den 1. Januar 2007 wurde die eingetragene Partnerschaft im Sozialversicherungsrecht während ihrer Dauer einer Ehe (Art. 13a Abs. 1 ATSG) und die gerichtliche Auflösung der eingetragenen Partnerschaft einer Scheidung gleichgestellt (Art. 13a Abs. 3 ATSG). Mit Blick auf Art. 13a Abs. 1 und 3 ATSG ist somit eine versicherte Person bei gerichtlicher Auflösung der eingetragenen Partnerschaft gestützt auf Art. 14 Abs. 2 AVIG von der Erfüllung der Beitragszeit befreit, falls die übrigen Voraussetzungen (namentlich finanzielle Notwendigkeit, eine unselbstständige Erwerbstätigkeit aufzunehmen oder zu erweitern) gegeben sind. Der Gesetzgeber hat es bisher unterlassen, für unverheiratete Paare unterschiedlichen Geschlechts eine Art. 13a ATSG entsprechende Bestimmung zu erlassen (BGE 8C_564/2010 vom 11. April 2011 E. 6.2).
6.1.2 Die Vorgaben, welche eine versicherte Person, die infolge Auflösung eines Konkubinats gezwungen ist, eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen, erfüllen muss, um Anspruch auf Arbeitslosentaggelder zu haben, sind seit BGE 123 V 219 strenger geworden (BGE 8C_564/2010 vom 11. April 2011 E. 6.2.2). Dies entspricht auch der Wahrnehmung der Beschwerdeführerin in der vorliegenden Streitsache. Allerdings misst das Bundesgericht - anders als die Versicherte - dem Umstand, dass Gesetz- und Verordnungsgeber dennoch davon abgesehen haben, Grundlagen für eine spezielle sozialversicherungsrechtliche Absicherung von (ehemaligen) Konkubinatspartnern zu schaffen, ein grosses Gewicht zu (BGE 8C_564/2010 vom 11. April 2011 E. 6.3).
Unverändert geblieben ist seitdem die - im Gegensatz zur Ehe - während der Dauer einer eheähnlichen Gemeinschaft mangelnde gesetzliche Verpflichtung zu gegenseitigem Unterhalt. Wird eine lebensprägende Ehe geschieden, so haben die Partner Anspruch auf Fortführung der ehelichen Lebenshaltung (BGE 135 III 59 E. 4.1 S. 61). Die Beendigung der eheähnlichen Gemeinschaft unterliegt keinerlei Schranken materieller oder formeller Art; sie kann jederzeit formlos aufgelöst werden und begründet weder eine gegenseitige Unterstützungspflicht noch einen Unterhaltsanspruch für die Zeit danach. Das Konkubinat verschafft den Partnern mit anderen Worten nach wie vor keine rechtlich geschützte Vertrauensposition (BGE 135 III 59 E. 4.2 S. 63). Dennoch hat die faktische Leistung von regelmässigem Unterhalt an einen Konkubinatspartner für diverse Rechtsgebiete Folgen (vgl. die beispielhafte Zusammenstellung in: AEBI-MÜLLER/WIDMER, Die nichteheliche Gemeinschaft im schweizerischen Recht, Jusletter vom 12. Januar 2009 S. 5 ff.).
Das Bundesgericht geht ebenso wie die Versicherte davon aus, dass sich die gesellschaftlichen Ansichten in Bezug auf das Konkubinat in den letzten Jahrzehnten - allerdings weniger seit BGE 123 V 219 bis heute, viel stärker im Zeitraum zwischen BGE 106 V 58 und BGE 123 V 219 - gewandelt haben. Gleichzeitig hat dies aber keine entsprechende Änderung der höchstrichterlichen Rechtsprechung in Bezug auf die Gleich-/Ungleichbehandlung von Ehe und Konkubinat bewirkt. Der Versuch einer sozialen Absicherung für die haushaltführende Konkubinatspartnerin in AHV-rechtlicher Hinsicht wurde mit BGE 125 V 205 namentlich deshalb aufgegeben, weil ein entscheidender Unterschied zwischen ehelicher und eheähnlicher Gemeinschaft durch die Revision des Eherechts an Bedeutung verloren hat, indem die Rollenverteilung während der Ehe gemäss Art. 163 Abs. 2 ZGB in der Fassung vom 5. Oktober 1984, in Kraft seit 1. Januar 1988, nunmehr auf dem Konsens der Ehegatten beruht. Diese Wandlung, welche ins Gesetz eingeflossen ist, stand der Weiterführung der bisherigen Praxis entgegen (BGE 125 V 205 E. 7c S. 216). Der Beschwerdeführerin kann nicht beigepflichtet werden, soweit sie die in BGE 125 V 205 erwähnten Veränderungen als Anlass sieht, die zur Diskussion stehende Rechtsprechung gemäss BGE 123 V 219 in Frage zu stellen. Zum einen geht es in casu um die Folgen der Auflösung eines Konkubinats, während in BGE 125 V 205 die Wirkungen des eheähnlichen Zusammenlebens im Vordergrund stehen. Zum anderen wurde mit der Änderung der Rechtsprechung in BGE 125 V 205 nicht zuletzt der Problematik von Richterrecht im gesetzlich nicht geregelten Bereich des Konkubinatsverhältnisses Rechnung getragen. Diese Praxisänderung bestärkt die auch in anderen Rechtsgebieten gewonnene Erkenntnis, dass eine allfällige Korrektur der mitunter als ungerecht empfundenen Rechtslage, welche insbesondere auf dem fehlenden Schutz des finanziell schwächeren Konkubinatspartners beruht, durch die Ausstattung stabiler und lebensprägender Partnerschaften mit angemessenen Rechtswirkungen Sache des Gesetzgebers ist (vgl. BGE 135 III 59 E. 4.3 S. 63 bezüglich Berücksichtigung eines vorehelichen Konkubinats beim nachehelichen Unterhalt; BGE 8C_564/2010 vom 11. April 2011 E. 6.3).
6.2 Nach dem kürzlich ergangenen Grundsatzurteil liegt der bisherigen Rechtsprechung keine unzulässige Diskriminierung einer Lebensform im Sinne von Art. 8 Abs. 2 BV zugrunde. Ehe und Konkubinat sind unterschiedliche Formen des Zusammenlebens mit unterschiedlichen Rechtswirkungen. Am Umstand, dass die Konkubinatspartner keine gegenseitige Unterstützungspflicht, welche mit Art. 163 ZGB vergleichbar wäre, trifft, und noch weniger ein Unterhaltsanspruch für die Zeit danach besteht, womit das eheähnliche Zusammenleben den Partnern im Vergleich zur Ehe keine rechtlich geschützte Vertrauensposition verschafft, hat sich nichts geändert. Damit liegt weiterhin ein sachlicher Grund für die im Rahmen von Art. 14 Abs. 2 AVIG unterschiedliche Behandlung der betroffenen Personen nach Ehetrennung oder -scheidung einerseits und nach Auflösung eines Konkubinats anderseits vor und es besteht keine im Sinne des Gleichbehandlungsgebots von Art. 8 Abs. 1 BV unzulässige oder willkürliche (Art. 9 BV) Differenzierung. Demnach werden in BGE 8C_564/2010 vom 11. April 2011 die Voraussetzungen für eine Praxisänderung verneint. Für die vorliegende Streitsache kann nichts anderes gelten.
7. Die Beschwerdeführerin hat die Rahmenfrist für die Beitragszeit nicht erfüllt und ist nicht im Sinne von Art. 14 Abs. 1 AVIG von der Erfüllung der Beitragszeit befreit. Gestützt auf die bisherige Praxis, an welcher das Bundesgericht festhält (BGE 8C_564/2010 vom 11. April 2011), fehlt es auch an einem Befreiungstatbestand gemäss Art. 14 Abs. 2 AVIG, weshalb die von der Arbeitslosenkasse mit Einspracheentscheid vom 23. September 2009 und vom kantonalen Gericht mit Entscheid vom 31. August 2010 bestätigte Ablehnung des Anspruchs auf Arbeitslosenentschädigung rechtens ist.
8. 8.1 Die Arbeitslosenkasse hat die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung im Einspracheverfahren (Bedürftigkeit der gesuchstellenden Partei, fehlende Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren und sachliche Gebotenheit des Anwaltsbeizugs) richtig dargelegt (Art. 2 und 37 Abs. 4 ATSG in Verbindung mit Art. 1 Abs. 1 AVIG; Einspracheentscheid vom 23. September 2009). An die sachliche Gebotenheit der unentgeltlichen Verbeiständung ist ein sehr strenger Massstab anzulegen (BGE 132 V 200 E. 5.1.3 S. 204).
8.2 Im angefochtenen Gerichtsentscheid wird unter Hinweis auf die konkreten rechtlichen Fragen ein Ausnahmefall verneint, welcher den Beizug eines unentgeltlichen Rechtsvertreters im Einspracheverfahren, rechtfertigen könnte. Der Einspracheentscheid sei deshalb auch bezüglich der Ablehnung der unentgeltlichen Verbeiständung zu bestätigen.
Das Bundesgericht hat die bisherige Praxis, wonach die Auflösung eines Konkubinats keinen Befreiungsgrund im Sinne von Art. 14 Abs. 2 AVIG darstellt, im kürzlich ergangenen, mehrfach zitierten Urteil einer eingehenden Prüfung unterzogen. Es trifft zwar zu, dass die Tatsachenlage im vorliegenden Streitfall einfach zu erfassen war. Schon im Einspracheverfahren stellten sich aber schwierige rechtliche Fragen, die eine fachliche Kompetenz voraussetzten, welche die Versicherte nicht aufweist und die ihr nur durch Beiordnung eines Rechtsanwalts oder einer Rechtsanwältin verschafft werden konnte. Eine erhebliche Tragweite der Sache ist zu bejahen. Insgesamt war es geboten, dass sie sich im Einspracheverfahren anwaltlich vertreten liess. Die Einsprache kann nicht als aussichtslos bezeichnet werden und die Beschwerdeführerin war schon zu jenem Zeitpunkt bedürftig. Damit sind die Voraussetzungen für die unentgeltliche Verbeiständung im Einspracheverfahren erfüllt. Die Sache ist an die Arbeitslosenkasse zurückzuweisen, damit sie über die Entschädigungshöhe verfüge.
9. Die Rückweisung der Sache an die Arbeitslosenkasse gemäss E. 8.2 hiervor gilt bezüglich der Verfahrenskosten als Obsiegen der Beschwerdeführerin (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG; BGE 132 V 215 E. 6.1 S. 235); im Übrigen unterliegt sie. Somit sind die Verfahrenskosten zu drei Vierteln ihr und zu einem Viertel der Kasse aufzuerlegen. Die unentgeltliche Rechtspflege kann der Versicherten, soweit sie unterliegt, gewährt werden, da die Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Beschwerde nicht von vornherein aussichtslos und die Vertretung notwendig war (Art. 64 BGG). Sie hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird in dem Sinne teilweise gutgeheissen, dass der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 31. August 2010 und der Einspracheentscheid der SYNA Arbeitslosenkasse vom 23. September 2009 in Bezug auf die unentgeltliche Verbeiständung für das Einspracheverfahren aufgehoben werden und die Sache an die Arbeitslosenkasse zurückgewiesen wird, damit sie im Sinne der Erwägung 8.2 verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden zu drei Vierteln der Beschwerdeführerin und zu einem Viertel der Beschwerdegegnerin auferlegt. Der Anteil der Beschwerdeführerin wird vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Die Arbeitslosenkasse hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 700.- zu entschädigen.
5. Rechtsanwalt Viktor Györffy, Zürich, wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'100.- ausgerichtet.
6. Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
7. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Staatssekretariat für Wirtschaft schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. April 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Die Gerichtsschreiberin:
Ursprung Berger Götz