Faits:
A. F._, née en 1984, est entrée en Suisse et y a déposé une demande d'asile le 17 novembre 2004. L'Office fédéral des migrations (ODM) l'a attribuée au canton de Berne. Par décision du 29 juillet 2005, l'ODM a rejeté sa demande d'asile et prononcé son renvoi de Suisse dans un délai échéant le 23 septembre 2005. Le 8 juin 2006, l'ODM a enregistré la disparition de l'intéressée.
Par lettre du 4 juin 2007, F._ a informé l'ODM qu'elle avait quitté le canton de Berne en mars 2005 pour rejoindre dans le canton de Vaud le père de sa fille, A._, née en 2005. Elle expliquait qu'elle était depuis lors restée dans le canton de Vaud et qu'elle avait perdu son droit au permis N. Aussi bien demandait-elle à l'ODM de transmettre son dossier aux autorités compétentes vaudoises. Le 12 juin 2007, l'ODM lui a répondu que le canton de Berne demeurait son canton d'attribution et qu'il lui appartenait de s'annoncer aux autorités bernoises dans les plus brefs délais. Une fois son séjour en Suisse enregistré en bonne et due forme auprès desdites autorités, il incomberait au bureau d'état civil d'adresser à l'ODM une demande de renseignements en vue de l'établissement de l'acte de reconnaissance de l'enfant. Le 14 juin 2007, le Service de la population du canton de Vaud (SPOP) a fait savoir à l'ODM qu'il refusait son consentement au transfert de l'intéressée et de sa fille sur territoire vaudois, conformément à l'art. 22 al. 2 de l'ordonnance 1 du 11 août 1999 sur l'asile relative à la procédure (ordonnance 1 sur l'asile [OA 1]).
Le 3 mai 2008, F._ a sollicité du SPOP l'octroi d'une autorisation de séjour pour elle et pour sa fille. Par décision du 12 janvier 2009, le SPOP a refusé d'accorder à la requérante et à sa fille une autorisation de séjour «sous quelque forme que ce soit».
B. En 2009, F._ a accouché d'un garçon prénommé L._. Le 6 août 2009, elle a obtenu pour elle et ses enfants des prestations d'aide d'urgence dans le canton de Vaud. Elle a ensuite régulièrement demandé et obtenu le renouvellement des décisions d'octroi d'aide d'urgence (respectivement le 23 septembre 2009, le 29 octobre 2009 et le 16 novembre 2009). Cependant, par décision du 24 novembre 2009, le SPOP a refusé le renouvellement de l'aide d'urgence en faveur de l'intéressée et de ses enfants, au motif que la compétence en ce domaine relevait du canton de Berne, auquel la mère avait été attribuée dans la procédure d'asile.
C. Statuant le 2 mars 2010, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par F._ contre cette décision.
D. F._ et ses deux enfants ont formé un recours en matière de droit public dans lequel ils ont conclu à l'annulation de ce jugement. Le SPOP a conclu au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. La voie du recours en matière de droit public est ouverte en l'espèce. Le recours est en effet dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF) rendu dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), sans que l'on se trouve dans l'un des cas d'exception mentionnés à l'art. 83 LTF.
2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral et du droit international (cf. art. 95 let. a et b ainsi que 106 al. 1 LTF), sous réserve des exigences de motivation figurant à l'art. 106 al. 2 LTF. Il y procède en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 134 V 53 consid. 4.3 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF).
3. 3.1 Selon l'art. 80 al. 1 de la loi du 26 juin 1998 sur l'asile (LAsi; RS 142.31), dans sa version en vigueur depuis le 1er janvier 2008, l'aide sociale ou l'aide d'urgence est fournie aux personnes qui séjournent en Suisse en vertu de la présente loi par le canton auquel elles ont été attribuées. S'agissant des personnes qui n'ont pas été attribuées à un canton, l'aide d'urgence est fournie par le canton désigné pour exécuter le renvoi. Les cantons peuvent déléguer tout ou partie de cette tâche à des tiers, notamment aux oeuvres d'entraide autorisées conformément à l'art. 30 al. 2 LAsi.
L'art. 82 al. 1 LAsi (dans sa version également en vigueur depuis le 1er janvier 2008) prévoit que l'octroi de l'aide sociale et de l'aide d'urgence est régi par le droit cantonal. Les personnes frappées d'une décision de renvoi exécutoire auxquelles un délai de départ a été imparti peuvent être exclues du régime d'aide sociale.
Il résulte de cette réglementation que la personne qui a fait l'objet d'une décision de non-entrée en matière passée en force ou d'une décision de renvoi exécutoire après le rejet de sa demande d'asile n'a plus un droit à l'assistance ordinaire prévue par l'art. 81 LAsi, mais seulement à l'aide d'urgence garantie par l'art. 12 Cst. (voir aussi ATF 135 I 119 consid. 5.3 p. 123). La mise en oeuvre de l'art. 12 Cst. incombe aux cantons. Sous réserve des garanties minimales découlant de la Constitution, ceux-ci sont libres de fixer la nature et les modalités des prestations à fournir au titre de l'aide d'urgence (ATF 135 I 119 consid. 5.3 p. 123; 131 I 166 consid. 8.5 p. 184).
3.2 Selon la législation vaudoise, si l'intéressé est domicilié ou en séjour dans le canton au sens de l'art. 4 al. 1 de la loi du 2 décembre 2003 sur l'action sociale vaudoise (LASV; RSV 850.051), il peut prétendre au revenu d'insertion qui comprend principalement une prestation financière. S'il est requérant d'asile, l'assistance peut notamment prendre la forme d'un hébergement et de prestations financières, le montant de celles-ci étant fixé par les normes adoptées par le Conseil d'Etat (art. 5, 21 et 42 de la loi du 7 mars 2006 sur l'aide aux requérants d'asile et à certaines catégories d'étrangers [LARA; RSV 142.21]). Si, enfin, il séjourne illégalement sur le territoire vaudois, notamment s'il fait l'objet d'une décision de renvoi exécutoire après le rejet de sa demande d'asile, il n'a droit qu'à l'aide d'urgence conformément à l'art. 49 LARA. L'octroi et le contenu de l'aide d'urgence sont définis à l'art. 4a al. 3 LASV.
Les conditions de l'octroi de l'aide d'urgence sont encore précisées à l'art. 18 du règlement du 3 décembre 2008 sur l'assistance et l'aide d'urgence octroyées en application de la LARA (RLARA; RSV 142.21.2). En particulier, il appartient au département d'examiner si les conditions d'octroi de l'aide d'urgence sont remplies. Dans ce cadre, il vérifie notamment si le requérant ne peut prétendre à un autre régime d'assistance dans le canton de Vaud ou dans un autre canton (al. 1).
4. 4.1 Les premiers juges constatent que F._ a été attribuée au canton de Berne lors du dépôt de sa demande d'asile, ce qui a été confirmé par l'ODM dans son courrier du 12 juin 2007. Ils relèvent d'autre part que, conformément à l'art. 14 al. 1 LAsi, le requérant ne peut, à moins d'y avoir droit, engager de procédure visant à l'octroi d'une autorisation de séjour relevant du droit des étrangers entre le moment où il dépose une demande d'asile et celui où il quitte la Suisse suite à une décision de renvoi exécutoire, après le retrait de sa demande ou si le renvoi ne peut être exécuté et qu'une mesure de substitution est ordonnée. Le fait que le SPOP est entré en matière sur la demande d'autorisation de séjour présentée par F._ ne change rien à cette situation. Les premiers juges parviennent ainsi à la conclusion que l'intéressée entre dans le champ d'application des dispositions de la LARA relatives aux personnes séjournant illégalement en territoire vaudois. Même si son séjour est illégal, elle n'a pas droit à l'aide d'urgence en application de l'art. 49 LARA. En effet, conformément à l'art. 18 al. 1 RLARA, elle peut prétendre à un régime d'assistance dans un autre canton, en l'occurrence le canton de Berne. Le fait, ajoutent les premiers juges, que le SPOP lui a accordé, ainsi qu'à ses enfants, une aide d'urgence pour plusieurs mois, avant de la lui refuser, n'est pas déterminant : les recourants ne sauraient se prévaloir du droit à la protection de la bonne foi, car l'octroi de l'aide d'urgence pendant quatre mois ne les a pas amenés à prendre des mesures irréversibles ou du moins des mesures dont la modification leur serait préjudiciable.
4.2 Les recourants ne contestent pas le caractère illégal de leur séjour dans le canton de Vaud. F._ fait cependant valoir qu'elle y vit depuis plusieurs années, proche de son compagnon, et que ses deux enfants dont il est le père y sont nés. C'est dans ce canton qu'elle a construit le centre de ses relations sociales. Selon elle, elle a constitué un domicile dans le canton de Vaud et, par conséquent, un domicile d'assistance. D'ailleurs, c'est ce même canton qui serait à ses yeux compétent pour exécuter la décision de renvoi de l'ODM dont elle fait l'objet. Elle soutient par ailleurs qu'elle ne peut prétendre aucune prestation d'assistance d'un autre canton. Elle allègue, enfin, que le motif principal de son séjour en territoire vaudois réside dans le fait qu'elle entretient une relation de couple durable avec le père de ses enfants et qu'il importe donc de préserver les liens familiaux qui se sont noués. Invoquant à ce dernier propos la jurisprudence de la Cour européenne des droits de l'homme, elle soutient que la séparation des enfants d'avec l'un ou l'autre de leurs parents pour des motifs en lien avec l'assistance publique est une ingérence disproportionnée dans la vie familiale.
5. 5.1 Selon l'art. 27 al. 3, première phrase, LAsi, l'ODM attribue le requérant à un canton (canton d'attribution). Le requérant ne peut attaquer cette décision que pour violation du principe de l'unité de la famille (troisième phrase). Comme on l'a vu, l'attribution en application de l'art. 27 al. 3 LAsi entraîne de plein droit la compétence du canton d'attribution d'accorder au besoin l'aide sociale et l'aide d'urgence (art. 80 LAsi). Il ressort donc de cette réglementation que, contrairement à ce que soutiennent les recourants, la mère ne s'est pas constitué un domicile d'assistance dans le canton de Vaud. De même, c'est le canton de Berne qui était et reste en l'occurrence compétent pour exécuter le renvoi selon la décision de l'ODM du 29 juillet 2005 (voir l'art. 46 LAsi). C'est donc à juste titre que les juges cantonaux ont invoqué le principe de la subsidiarité - exprimé à l'art. 18 RLARA - pour en conclure que le refus du SPOP de renouveler l'aide d'urgence était justifié. Le principe de la subsidiarité est du reste un principe général qui régit le droit constitutionnel d'obtenir de l'aide dans des situations de détresse (art. 12 Cst.; voir par exemple ATF 135 I 119 consid. 7.4 p. 127). La décision de refus du SPOP n'apparaît donc pas critiquable, tant sous l'angle du droit fédéral que sous l'angle du droit cantonal qui le met en oeuvre.
5.2 Quant à l'allégation des recourants selon laquelle ils ne pourraient pas obtenir une aide d'urgence du canton de Berne, elle n'est aucunement étayée. Ils ne prétendent pas avoir présenté une demande dans ce canton et encore moins s'être vu opposer un refus des autorités bernoises. Au besoin, il appartiendra au SPOP d'appuyer les démarches des recourants auprès desdites autorités en vue d'obtenir une aide d'urgence et de prendre éventuellement les mesures utiles afin de faciliter leur transfert.
6. S'agissant du grief tiré du principe de l'unité de la famille, il appelle les remarques suivantes :
6.1 D'après la jurisprudence constante, les relations visées par l'art. 8 CEDH sont avant tout celles qui concernent la famille dite nucléaire («Kernfamilie»), soit celles qui existent entre époux ainsi qu'entre parents et enfants mineurs vivant en ménage commun (cf. ATF 135 I 143 consid. 1.3.2 p. 146; 129 II 11 consid. 2 p. 14; 127 II 60 consid. 1d/aa p. 65). Dans une jurisprudence récente, après avoir réaffirmé que la notion de «famille» ne se limitait pas aux seules relations fondées sur le mariage, mais pouvait englober d'autres liens familiaux de facto lorsque les parties cohabitent en dehors du mariage, la Cour européenne des droits de l'homme (CourEDH) a rappelé que, pour déterminer si une relation s'analyse en une «vie familiale», il y a lieu de tenir compte d'un certain nombre d'éléments, comme le fait de savoir si le couple vit ensemble, depuis combien de temps et s'il y a des enfants communs (arrêt CourEDH du 20 janvier 2009, aff. ?erife Y???t c. Turquie, requête no 3976/05, par. 25 et 26 et les arrêts cités).
6.2 Dans un arrêt du 15 septembre 2004 (arrêt 2A.361/2004 consid. 1.3), le Tribunal fédéral a jugé que la loi sur l'asile ne prévoyait aucune possibilité de changement de canton pour les requérants d'asile dont la procédure d'asile était définitivement close. En effet, à ce stade de la procédure, seules pouvaient en principe encore entrer en ligne de compte les mesures concrètes devant permettre à des personnes de quitter la Suisse. Il s'agit toutefois d'une limitation qui doit être relativisée au regard de la jurisprudence récente de la CourEDH. En effet, dans deux arrêts du 29 juillet 2010 (aff. Agraw c. Suisse, requête no 3295/06 et aff. Mengesha Kimfe c. Suisse, requête no 24404/05), celle-ci a jugé que le refus de modifier l'attribution cantonale d'un couple de demandeurs d'asile déboutés et en attente de leur renvoi constituait, eu égard au caractère exceptionnel des circonstances de l'affaire, une restriction à la vie familiale incompatible avec l'art. 8 CEDH. Dans la première des deux affaires citées, les circonstances exceptionnelles résidaient dans la prolongation involontaire du séjour en Suisse de la requérante, l'impossibilité de l'exécution de son renvoi en Ethiopie, le fait qu'elle n'avait pas pu développer une vie familiale hors du territoire suisse et qu'elle avait été empêchée de mener une vie de couple pendant cinq ans. L'intérêt de la requérante à pouvoir vivre avec son époux l'emportait sur celui des autorités à ne pas modifier le statut des demandeurs d'asile quant à leur attribution (par. 50 ss). Dans la seconde affaire, les circonstances étaient analogues : la requérante n'avait pas davantage pu développer une vie familiale hors du territoire suisse; même si elle vivait la plupart du temps avec son époux dans le canton de Vaud, elle était passible d'une sanction pénale pour séjour illégal et elle n'avait pas pu bénéficier de l'aide sociale ni du remboursement de ses frais de santé limités au canton de Saint-Gall.
6.3 En l'espèce, il n'y a toutefois pas lieu d'examiner ce qu'il en est sous l'angle de l'art. 8 CEDH. Ce n'est pas par le biais des règles sur l'aide sociale ou l'aide d'urgence qu'il convient de modifier, voire de contrecarrer, les décisions en matière d'attribution cantonale et de remettre ainsi en cause l'interdépendance consacrée dans la loi entre attribution cantonale et aide d'urgence. Cela irait à l'encontre de la volonté du législateur d'opérer une répartition équitable des requérants d'asile entre les cantons, compte tenu en particulier des conséquences financières liées à l'octroi de l'aide publique. Il se pourrait d'ailleurs que l'autorité compétente en matière d'attribution soit en l'espèce amenée - si cela était nécessaire pour garantir l'unité familiale - à modifier l'attribution du concubin de la mère recourante (lui-même requérant d'asile débouté) et non l'inverse. En définitive, si les recourants estiment se trouver dans une situation exceptionnelle où le respect de l'art. 8 CEDH justifierait un changement de canton d'attribution, même après le refus définitif de l'asile (supra consid. 6.2), ils doivent s'adresser à l'autorité compétente - en l'occurrence l'ODM - pour obtenir ce changement.
6.4 L'arrêt de la CourEDH dont se prévalent les recourants ne dit pas le contraire (arrêt CourEDH du 26 octobre 2006, aff. Wallová et Walla c. République tchèque, requête no 23848/04). Cette affaire concernait en effet le placement des enfants d'un couple dans un établissement d'assistance éducative. La Cour a rappelé sa jurisprudence constante selon laquelle le fait pour un parent et son enfant d'être ensemble représente un élément fondamental de la vie familiale; des mesures internes qui les en empêchent constituent une ingérence dans le droit protégé par l'art. 8 CEDH (par. 68). On ne voit pas que cette jurisprudence permette d'invoquer le principe de l'unité de la famille sans respecter au préalable les règles du droit interne en matière de procédure et de compétence des autorités pour modifier une attribution cantonale.
7. De ce qui précède, il résulte que le recours est mal fondé.
8. Les recourants ont déposé une demande d'assistance judiciaire en vue d'être dispensés d'avancer les frais de justice. Dès lors que le recours n'était pas d'emblée dénué de chances de succès et que la condition de l'indigence est remplie (art. 64 al. 1 LTF), il convient d'accepter cette requête. Demeure réservé un éventuel remboursement ultérieur dans l'hypothèse visée par l'art. 64 al. 4 LTF.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. L'assistance judiciaire est accordée aux recourants.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge des recourants. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lucerne, le 6 janvier 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd