Sachverhalt:
A. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führt eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen des Verdachts der mehrfachen Drohung gegen Behörden und Beamte, Körperverletzung, Drohung, Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittel- bzw. gegen das Strassenverkehrsgesetz sowie der Störung des öffentlichen Verkehrs. Er wurde am 17. August 2011 polizeilich festgenommen und auf Antrag der Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 19. August 2011 durch das Zwangsmassnahmengericht des Kantons Basel-Stadt in Untersuchungshaft versetzt. Das Zwangsmassnahmengericht befristete die Haft vorläufig bis zum 11. November 2011. Eine gegen den Haftanordnungsentscheid gerichtete Beschwerde wies der Präsident des Appellationsgerichtes des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 14. September 2011 ab.
B. Gegen den Beschwerdeentscheid des Appellationsgerichtspräsidenten gelangte X._ mit Beschwerde vom 3. Oktober 2011 an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und seine sofortige Haftentlassung.
Der Appellationsgerichtspräsident beantragt die Abweisung der Beschwerde; die Staatsanwaltschaft und das Zwangsmassnahmengericht haben je auf Stellungnahmen verzichtet. Der Beschwerdeführer replizierte am 17. Oktober 2011.
Erwägungen:
1. Die Sachurteilsvoraussetzungen von Art. 78 ff. BGG geben zu keinen Vorbemerkungen Anlass. Art. 98 BGG gelangt hier nicht zur Anwendung (vgl. zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil des Bundesgerichtes 1B_277/2011 vom 28. Juni 2011 E. 1).
2. 2.1 Untersuchungshaft ist (vom Spezialfall der Ausführungsgefahr nach Art. 221 Abs. 2 StPO abgesehen) nur zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist (Art. 221 Abs. 1 Ingress StPO) und zudem ein besonderer Haftgrund im Sinne von Art. 221 Abs. 1 lit. a-c StPO vorliegt. Der besondere Haftgrund der Kollusionsgefahr ist erfüllt, wenn ernsthaft zu befürchten ist, dass der oder die Beschuldigte Personen beeinflusst oder auf Beweismittel einwirkt, um so die Wahrheitsfindung zu beeinträchtigen (Art. 221 Abs. 1 lit. b StPO).
2.2 Der angefochtene Entscheid stützt die Untersuchungshaft auf den besonderen Haftgrund der Kollusionsgefahr. Der alternative Haftgrund der Fortsetzungsgefahr (Art. 221 Abs. 1 lit. c StPO) wird von der Vorinstanz ausdrücklich nur noch ergänzend und subsidiär geprüft (vgl. angefochtener Entscheid, S. 6 f., E. 5-6). Der Beschwerdeführer bestreitet sowohl den dringenden Tatverdacht als auch die Annahme von Kollusionsgefahr.
3. Im Gegensatz zum erkennenden Sachrichter hat das Bundesgericht bei der Überprüfung des allgemeinen Haftgrundes des dringenden Tatverdachtes keine erschöpfende Abwägung sämtlicher belastender und entlastender Beweisergebnisse vorzunehmen. Macht ein Inhaftierter geltend, er befinde sich ohne ausreichenden Tatverdacht in strafprozessualer Haft, ist vielmehr zu prüfen, ob aufgrund der bisherigen Untersuchungsergebnisse genügend konkrete Anhaltspunkte für eine Straftat und eine Beteiligung des Beschwerdeführers an dieser Tat vorliegen, die Justizbehörden somit das Bestehen eines dringenden Tatverdachts mit vertretbaren Gründen bejahen durften. Im Haftprüfungsverfahren genügt dabei der Nachweis von konkreten Verdachtsmomenten, wonach das inkriminierte Verhalten mit erheblicher Wahrscheinlichkeit die fraglichen Tatbestandsmerkmale erfüllen könnte (vgl. BGE 137 IV 122 E. 3.2 S. 126; 116 Ia 143 E. 3c S. 146). Das Beschleunigungsgebot in Haftsachen (Art. 31 Abs. 3-4 BV, Art. 5 Abs. 2 StPO) lässt hier nur wenig Raum für ausgedehnte Beweismassnahmen. Zur Frage des dringenden Tatverdachtes bzw. zur Schuldfrage hat das Bundesgericht weder ein eigentliches Beweisverfahren durchzuführen, noch dem erkennenden Strafrichter vorzugreifen. Vorbehalten bleibt allenfalls die Abnahme eines liquiden Alibibeweises (vgl. BGE 137 IV 122 E. 3.2 S. 126 f.; 124 I 208 E. 3 S. 210 mit Hinweisen).
3.1 Bei Beschwerden, die gestützt auf das Recht der persönlichen Freiheit (Art. 10 Abs. 2, Art. 31 BV) wegen einer Haftanordnung erhoben werden, prüft das Bundesgericht im Hinblick auf die Schwere des Eingriffes die Auslegung und Anwendung der StPO frei (vgl. zur amtlichen Publikation bestimmtes Urteil des Bundesgerichtes 1B_277/2011 vom 28. Juni 2011 E. 1.2). Soweit jedoch reine Sachverhaltsfragen und damit Fragen der Beweiswürdigung zu beurteilen sind, greift das Bundesgericht nur ein, wenn die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 135 I 71 E. 2.5 S. 73 f.).
3.2 Die kantonalen Instanzen werfen dem Beschwerdeführer Folgendes vor:
3.2.1 Am 7. August 2011 habe er in Basel eine Frau angegriffen und gewürgt. Gleichentags (kurz nach diesem Vorfall) habe der Beschwerdeführer sich der polizeilichen Kontrolle zu entziehen versucht. Er sei im Auto (zunächst im Schritttempo) durch die Webergasse gefahren, worauf ihn die Polizeibeamten mit Handzeichen zum Anhalten aufgefordert hätten. Statt dessen habe er sein Tempo beschleunigt und sei frontal auf die Polizisten zugefahren, die sich mit einem Sprung zur Seite hätten retten müssen. Die betroffenen Beamten hätten über diesen Vorfall gleichentags einen Polizeirapport erstellt.
3.2.2 Der Angriff vom 7. August 2011 auf die genannte Frau werde durch ein Arztzeugnis belegt, ausgestellt am gleichen Tag durch die Notfallstation des Universitätsspitals Basel. Danach seien bei der mutmasslich Geschädigten ein Würgtrauma bzw. Kratzspuren am Hals festgestellt worden. Der Sachverhalt sei von der Strafanzeigerin (anlässlich ihrer polizeilichen Befragung als Auskunftsperson am gleichen Tag) ausführlich geschildert worden. Eine weitere Auskunftsperson habe (laut Polizeirapport) ausgesagt, sie habe Geschrei gehört; als sie der Geschädigten zur Hilfe habe eilen wollen, habe der Beschwerdeführer die Flucht ergriffen. Nach anfänglichem Abstreiten habe dieser anlässlich der Haftverhandlung vor dem Zwangsmassnahmengericht eingestanden, dass er die Strafanzeigerin gewürgt habe.
3.2.3 Am 12. August 2011 habe der Beschwerdeführer wiederum in Basel (auf dem Centralbahnplatz) mit einer anderen Person eine tätliche Auseinandersetzung geführt. Bei der anschliessenden Polizeikontrolle habe er die Beamten bei ihren Amtshandlungen zu hindern versucht und sich heftig gegen seine Arretierung gewehrt. Auf der anschliessenden Fahrt zur Polizeiwache habe er gegen zwei Beamte und eine Beamtin massive Todesdrohungen ausgestossen, versucht, einen Polizisten in die Hand zu beissen, getobt und einem zweiten Beamten seinen blutigen Speichel ins Gesicht gespuckt. Diese Vorwürfe stützten sich auf den Polizeirapport der betroffenen drei Polizeibeamten vom 13. August 2011 bzw. auf deren übereinstimmende Aussagen. Anlässlich seiner Befragung vom 13. August 2011 habe der Beschwerdeführer eingeräumt, sich gegen seine Festnahme gewehrt und die Polizisten verbal angegriffen zu haben.
3.2.4 Am 14. August 2011 habe der Beschwerdeführer (beim Meret Oppenheim-Platz) zwei Mitarbeiter einer privaten Bewachungs- und Sicherheitsfirma angegriffen, sie beschimpft und bedroht und ihnen Pfefferspray in die Augen und ins Gesicht gesprüht. Die Vorwürfe beruhten auf den übereinstimmenden Aussagen der beiden Geschädigten vom 1. und 2. September 2011 sowie auf dem betreffenden Polizeirapport vom 14. August 2011. Anlässlich seiner Einvernahme vom 18. August 2011 habe der Beschwerdeführer die Vorwürfe gegen ihn im Wesentlichen bestätigt. Zu den Augenverletzungen eines der Geschädigten liege ein Arztzeugnis vom 19. August 2011 bei den Akten.
3.2.5 Am 17. August 2011 habe der Beschwerdeführer die von ihm bereits am 7. August 2011 angegriffene Frau erneut aufgesucht und massiv bedroht. Die Geschädigte habe bei ihrer Befragung vom 17. August 2011 ausgesagt, dass er an diesem Tag zunächst dauernd bei ihr geklingelt habe. Sie habe dann zum Fenster hinausgeschaut, worauf der Beschwerdeführer mit seiner rechten Hand über seinen Hals gefahren sei und ihr mit dem Tod gedroht habe. Bei seiner Befragung vom 18. August 2011 habe er die Drohungen zwar bestritten, jedoch eingeräumt, er habe die Geschädigte aufgesucht. Anlässlich seiner Einvernahme habe er massive Vorwürfe gegen sie erhoben, wonach sie ihn angegriffen und falsch beschuldigt habe.
3.3 Was der Beschwerdeführer vorbringt, lässt die Annahme des dringenden Tatverdachtes von Verbrechen oder Vergehen nicht als bundesrechtswidrig erscheinen:
3.3.1 Seine Auffassung, der dringende Tatverdacht dürfe sich nur auf die mutmasslichen Delikte vom 17. August 2011 stützen, weil er nach den früheren untersuchten Vorfällen vom 7., 12., und 14. August 2011 noch nicht in Untersuchungshaft versetzt worden sei, ist offensichtlich unhaltbar. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den betreffenden Erwägungen des angefochtenen Entscheides (E. 3.3, S. 3) zudem nicht auseinander, sodass darauf nicht weiter einzutreten ist (vgl. Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG).
3.3.2 Was die untersuchten Vorfälle vom 7. August 2011 betrifft, macht der Beschwerdeführer zwar geltend, nicht er habe die Strafanzeigerin angegriffen, sondern sie ihn (weshalb er am 11. August 2011 Strafantrag gegen sie gestellt habe). Seiner Auffassung, diesbezüglich liege "Aussage gegen Aussage" vor, weshalb sich kein dringender Tatverdacht gegen ihn begründen lasse, kann jedoch angesichts der vorläufigen Beweisergebnisse (teilweise widersprüchliche Aussagen bzw. Teilgeständnisse des Beschwerdeführers, Aussagen der Strafanzeigerin und einer weiteren Auskunftsperson, Arztzeugnisse usw.) nicht gefolgt werden. Seine Bestreitungen und Vorbringen zur Würdigung der bisherigen Untersuchungsergebnisse sind (über das Dargelegte hinaus) nicht vom Haftrichter zu prüfen, sondern (im Falle einer Anklageerhebung) vom erkennenden Sachrichter. Dass sich die Vorinstanz zu entsprechenden Vorbringen des Beschwerdeführers nicht vertiefter geäussert hat, begründet in diesem Zusammenhang weder eine Verletzung des (in Art. 29 Abs. 2 BV verankerten) rechtlichen Gehörs, noch des Willkürverbots (Art. 9 BV).
4. Der Beschwerdeführer wendet sich sodann gegen die Annahme von Kollusionsgefahr.
4.1 Verdunkelung (im Sinne von Art. 221 Abs. 1 lit. b StPO) bedeutet nach der bundesgerichtlichen Praxis insbesondere, dass sich der Beschuldigte mit Zeugen, Auskunftspersonen, Sachverständigen oder Mitbeschuldigten ins Einvernehmen setzt oder sie zu wahrheitswidrigen Aussagen veranlasst, oder dass er Spuren und Beweismittel beseitigt. Untersuchungshaft wegen Kollusionsgefahr soll verhindern, dass der Beschuldigte die wahrheitsgetreue Abklärung des Sachverhaltes vereitelt oder gefährdet. Die theoretische Möglichkeit, dass der Beschuldigte kolludieren könnte, genügt indessen nicht, um Untersuchungshaft unter diesem Titel zu rechtfertigen. Es müssen vielmehr konkrete Indizien für die Annahme von Verdunkelungsgefahr sprechen. Das Vorliegen des Haftgrundes ist nach Massgabe der Umstände des jeweiligen Einzelfalles zu prüfen (BGE 137 IV 122 E. 4.2 S. 127 f.; 132 I 21 E. 3.2 S. 23 mit Hinweisen).
4.2 Konkrete Anhaltspunkte für Kollusionsgefahr können sich nach der Rechtsprechung des Bundesgerichtes namentlich ergeben aus dem bisherigen Verhalten des Beschuldigten im Strafprozess, aus seinen persönlichen Merkmalen, aus seiner Stellung und seinen Tatbeiträgen im Rahmen des untersuchten Sachverhaltes sowie aus den persönlichen Beziehungen zwischen ihm und den ihn belastenden Personen. Bei der Frage, ob im konkreten Fall eine massgebliche Beeinträchtigung des Strafverfahrens wegen Verdunkelung droht, ist auch der Art und Bedeutung der von Beeinflussung bedrohten Aussagen bzw. Beweismittel, der Schwere der untersuchten Straftaten sowie dem Stand des Verfahrens Rechnung zu tragen (BGE 132 I 21 E. 3.2.1 S. 23 f. mit Hinweisen; zur betreffenden Kasuistik vgl. auch Marc Forster, in: Basler Kommentar StPO, Basel 2011, Art. 221 N. 7). Je weiter das Strafverfahren vorangeschritten ist und je präziser der Sachverhalt bereits abgeklärt werden konnte, desto höhere Anforderungen sind an den Nachweis von Verdunkelungsgefahr zu stellen (BGE 137 IV 122 E. 4.2 S. 127 f.; 132 I 21 E. 3.2.2 S. 24 mit Hinweisen). Der Haftrichter hat auch zu prüfen, ob einem gewissen Kollusionsrisiko schon mit geeigneten Ersatzmassnahmen für Untersuchungshaft ausreichend begegnet werden könnte (BGE 137 IV 122 E. 6.2 S. 131 f.; 133 I 27 E. 3.2 S. 30, 270 E. 3.3.1 S. 279 f.).
4.3 Im angefochtenen Entscheid wird das Vorliegen von Kollusionsgefahr wie folgt begründet: Der Beschwerdeführer habe im Haftanordnungsverfahren nicht bestritten, dass er die am 7. August 2011 (vermutlich) angegriffene Strafanzeigerin am 17. August 2011 erneut aufgesucht habe. Nach seinen eigenen Aussagen (anlässlich seiner Einvernahme vom 18. August 2011) habe er sie am 17. August 2011 fragen wollen, warum sie gegenüber der Polizei (seiner Ansicht nach) "so viel Unwahrheiten erzählt" und ihm "angehängt" habe. Damit habe er selber zugestanden, dass er auf das Aussageverhalten der Strafanzeigerin habe einwirken wollen. Dass deren Aussagen bereits protokolliert worden seien, ändere am Fortbestehen der Verdunkelungsgefahr grundsätzlich nichts. Der Beschwerdeführer sei offensichtlich bestrebt, die Geschädigte zur Rücknahme ihrer Anschuldigungen zu bewegen. Dabei sei auch die Möglichkeit einer Konfrontationseinvernahme mit dem Beschwerdeführer mitzuberücksichtigen.
4.4 Die Annahme von Kollusionsgefahr hält vor dem Bundesrecht stand: Die Aufklärung der im August 2011 erfolgten Vorfälle befindet sich in einem noch relativ frühen Prozessstadium. Das Verhalten des Beschwerdeführers vom 17. August 2011 ist (nach seiner eigenen Darstellung vom 18. August 2011) als Verdunkelungsversuch einzustufen. Bei der von Beeinflussung bedrohten Aussage einer mutmasslich geschädigten Person handelt es sich um ein wichtiges Beweiselement. Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer gemäss den bisherigen Untersuchungsergebnissen ein auffälliges und hartnäckiges Aggressions- und Drohverhalten gegenüber diversen Privatpersonen und öffentlichen Funktionsträgern an den Tag gelegt hat.
4.4.1 Unbehelflich ist der Einwand des Beschwerdeführers, allfällige Kollusionshandlungen seien als "längst konsumiert" anzusehen, da er sich zwischen dem 7. und 17. August 2011 "wiederholt auf freiem Fuss" befunden habe. Seine Behauptung, der angefochtene Entscheid enthalte keine Angaben zu den kollusionsbedrohten Beweiserhebungen, trifft nicht zu. Die kantonalen Instanzen durften mitberücksichtigen, dass weitere staatsanwaltliche bzw. richterliche Befragungen, insbesondere Konfrontationseinvernahmen der Anzeigeerstatterin, zu erwarten sind (vgl. Art. 142-147, Art. 166 und Art. 311 f. StPO, Art. 6 Ziff. 3 lit. d EMRK).
4.4.2 Ebenso wenig ist in diesem Zusammenhang eine Verletzung der strafprozessualen Unschuldsvermutung ersichtlich (Art. 10 Abs. 1 StPO, Art. 32 Abs. 1 BV). Das Vorbringen des Beschwerdeführers, die Vorinstanz bezeichne (auf S. 7, E. 5.2, des angefochtenen Entscheides) die Strafanzeigerin (der Vorfälle vom 7. August 2011) als "Opfer", womit er als Täter vorverurteilt werde, ist aus dem Zusammenhang gerissen. Wie sich den Erwägungen des angefochtenen Entscheides entnehmen lässt, geht auch die Vorinstanz ausdrücklich davon aus, dass alle Vorwürfe erst Gegenstand der hängigen Strafuntersuchung bilden, weshalb der Beschwerdeführer bis zu einer allfälligen rechtskräftigen Verurteilung als unschuldig (wenn auch dringend tatverdächtig) zu betrachten ist (vgl. angefochtener Entscheid, E. 2-4: "Vorwurf", "Tatverdacht" usw.). Dass im angefochtenen Entscheid (in Übereinstimmung mit den gesetzlichen Begriffen von Art. 115 f. StPO) nicht ständig betont wird, dass es sich um eine mutmasslich geschädigte Person (bzw. um ein mutmassliches Opfer) handle, begründet keine Rechtsverletzung. Es ist im Gegenteil der Beschwerdeführer, der einen angeblichen Angriff der Anzeigeerstatterin auf ihn zu Unrecht als bereits bewiesen bezeichnet (vgl. Beschwerdeschrift, S. 9).
4.5 Es kann offen bleiben, ob neben der Kollusionsgefahr noch ein weiterer (alternativer) besonderer Haftgrund, namentlich Fortsetzungsgefahr, erfüllt wäre.
4.6 Als bundesrechtskonform erweist sich auch die Annahme der Vorinstanz, der dargelegten spezifischen Kollusionsgefahr lasse sich im aktuellen Untersuchungsstadium mit blossen Ersatzmassnahmen für Haft nicht ausreichend begegnen. Mit Recht hat die Vorinstanz dabei der bereits erfolgten Kollusionshandlung vom 17. August 2011 Rechnung getragen sowie der (sich aus den bisherigen Untersuchungsergebnissen manifestierenden) auffälligen Neigung des Beschwerdeführers zu massivem Aggressions- und Drohverhalten gegenüber diversen Personen.
4.7 Das Vorbringen des Beschwerdeführers, das Zwangsmassnahmengericht habe in erster Instanz noch keine Ersatzmassnahmen ausreichend geprüft, begründet hier keine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV), soweit diese Rüge überhaupt ausreichend substanziiert erscheint (vgl. Art. 42 Abs. 2 Satz 1 BGG). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern der angebliche erstinstanzliche Begründungsmangel durch die Erwägungen des angefochtenen Entscheides (E. 7.2, S. 10 f.) nicht hätte rechtsgenüglich korrigiert werden können.
5. Eher beiläufig rügt der Beschwerdeführer schliesslich auch noch die Haftdauer als unverhältnismässig.
Die Rüge erweist sich ebenfalls als unbegründet. Wie im angefochtenen Entscheid zutreffend erwogen wird, droht dem Beschwerdeführer im Falle einer Verurteilung wegen der untersuchten Delikte eine empfindliche Freiheitsstrafe. Die bisherige Haftdauer von ca. zwei Monaten ist noch nicht in grosse Nähe der konkret in Frage kommenden freiheitsentziehenden Sanktion gerückt (vgl. BGE 133 I 168 E. 4.1 S. 170 f., 270 E. 3.4.2 S. 281 f.; 132 I 21 E. 4.1-4.2 S. 27 f.). Zwar weist der Beschwerdeführer darauf hin, dass seit seiner Verhaftung drei weitere Personenbefragungen, aber noch keine Konfrontationseinvernahme erfolgt seien. Er legt in diesem Zusammenhang jedoch keine schweren Verfahrensfehler dar, welche eine Haftentlassung als geboten erscheinen liessen (vgl. BGE 133 I 270 E. 3.4.2 S. 281; 132 I 21 E. 4.1 S. 28 mit Hinweisen).
6. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen von Art. 64 BGG erfüllt sind (und insbesondere die finanzielle Bedürftigkeit des Gesuchstellers ausreichend dargetan erscheint), ist das Begehren zu bewilligen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen:
2.1 Es werden keine Kosten erhoben.
2.2 Rechtsanwältin Ana Dettwiler wird für das Verfahren vor Bundesgericht zur unentgeltlichen Rechtsvertreterin ernannt und aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft und dem Strafgericht Basel-Stadt, Zwangsmassnahmen, sowie dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Appellationsgerichtspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Oktober 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster