Faits:
A. V._, né en 1959, a été engagé en qualité de menuisier-ébéniste au service de X._ en 1982 et il a été promu sous-chef constructeur en 1999. Il exerçait cette fonction au sein de l'atelier de menuiserie de X._ sous les ordres de son chef direct, T._, lequel travaillait sous la direction de P._, chef des ateliers de X._.
Au mois d'octobre 2006, septante-cinq employés de X._ ont adressé une lettre ouverte à la Ville de Genève (ci-après: la Ville) pour se plaindre de leurs conditions de travail difficiles. A la suite de cette plainte, X._ et la Ville ont, chacun de son côté, commandé un audit afin d'évaluer la structure institutionnelle de X._, la situation des relations humaines et les conditions de travail (audits Y._ SA et Z._ SA).
Ces audits ayant révélé d'importants dysfonctionnements dans l'institution, notamment au sein de l'atelier de menuiserie, une enquête interne a été ordonnée par le Conseil de fondation de X._, lequel a invité les menuisiers subordonnés à T._ et V._ à dresser la liste de leurs griefs. Celle-ci a été communiquée au Conseil de fondation le 14 décembre 2007.
Etant donné les faits reprochés notamment à V._, plusieurs personnes ont été entendues par le Conseil de fondation de X._, afin, notamment, d'examiner si une enquête administrative devait être ouverte ou si certains faits devaient faire l'objet d'une dénonciation pénale.
Le 25 janvier 2008, la Ville a ouvert une enquête administrative concernant P._, T._ et V._. Ce dernier a été suspendu de ses fonctions dès cette date. En outre, une procédure pénale ouverte contre T._ a abouti à l'inculpation de celui-ci.
Le rapport d'enquête administrative a été déposé le 26 mai 2008. En conclusion, il indiquait que V._, par son attitude générale, avait favorisé la dégradation de l'ambiance au sein de l'atelier et, ce faisant, violé ses devoirs de fonctionnaire. Ces manquements justifiaient une sanction disciplinaire contre l'intéressé.
Par décision du 9 juillet 2008, déclarée exécutoire nonobstant recours, le Conseil administratif de la Ville a notifié à V._ une mise à pied d'une durée de deux semaines avec effet immédiat et suspension du traitement, ainsi qu'une rétrogradation définitive de trois classes (classe 11 à 8) avec réduction de traitement, dès le 1er août 2008 et affectation au poste de machiniste à X._ avec un traitement annuel correspondant à la classe 8 de l'échelle des traitements.
B. V._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif de la République et canton de Genève (aujourd'hui: la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève). Il concluait à l'annulation de la décision attaquée et à la condamnation du Conseil administratif de la Ville au paiement, à titre de dommages-intérêts et tort moral, des sommes de 10'000 fr. et 5'000 fr. avec intérêt à 5 % dès le 25 janvier 2008.
Par jugement du 8 mars 2011, la juridiction cantonale a déclaré irrecevables les conclusions en paiement de dommages-intérêts et tort moral et rejeté le recours pour le surplus.
C. V._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire en concluant à l'annulation du jugement attaqué et de la décision du Conseil administratif de la Ville du 9 juillet 2008, subsidiairement au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouveau jugement, le tout sous suite de frais et dépens.
La Ville conclut au rejet du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire dans la mesure où ils sont recevables, sous suite de frais et dépens.
Considérant en droit:
1. Selon l'art. 83 let. g LTF, en matière de rapports de travail de droit public (lorsque, comme en l'espèce, la question de l'égalité des sexes n'est pas en cause), le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions qui concernent une contestation non pécuniaire. Le litige soumis à l'autorité cantonale porte sur la mise à pied de deux semaines avec suspension du traitement et la rétrogradation définitive de trois classes dans l'échelle des traitements, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (arrêt 8C_596/2009 du 4 novembre 2009 consid. 1.1).
En outre, la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. (art. 85 al. 1 let. b LTF) est atteinte.
Pour le surplus, le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF) et il a été déposé dans le délai prévu par la loi (art. 100 LTF).
Le recours en matière de droit public est dès lors recevable. Partant, en raison de son caractère subsidiaire, le recours constitutionnel n'est pas recevable (art. 113 LTF).
2. Le recourant ne conteste pas le jugement cantonal en tant qu'il déclare irrecevables ses conclusions en paiement de dommages-intérêts et tort moral. Sur le vu des griefs invoqués, il ne remet pas non plus en cause la confirmation par les premiers juges de sa mise à pied d'une durée de deux semaines avec suspension du traitement. Le litige porte donc sur la rétrogradation définitive de trois classes avec réduction de traitement et affectation au poste de machiniste à X._.
3. Le recourant est fonctionnaire de la Ville de Genève et, partant, il était soumis au statut du personnel de l'administration municipale du 3 juin 1986 (SPAM), en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010.
Selon l'art. 30 al. 1 let. w de la loi genevoise sur l'administration des communes du 13 avril 1984 (RS/GE B 6 05), le conseil municipal délibère lui-même sur le statut du personnel communal, ainsi que sur l'échelle des traitements et des salaires. Il s'agit donc d'un domaine du droit communal autonome. Par ailleurs, les sanctions disciplinaires à l'encontre du personnel communal sont prévues à l'art. 34 SPAM et relèvent donc aussi du droit communal autonome (arrêts 8C_906/2010 du 8 juillet 2011 consid. 4.1; 8C_596/2009 du 4 novembre 2009 consid. 2.1).
Appelé à examiner les griefs d'excès ou d'abus du pouvoir d'appréciation ou encore de fausse application par la juridiction cantonale des normes cantonales ou communales régissant le domaine en cause, le Tribunal fédéral examine librement l'interprétation du droit constitutionnel cantonal ou fédéral. En revanche il ne vérifie l'application des règles de rang inférieur à la Constitution et la constatation des faits que sous l'angle restreint de l'arbitraire (ATF 128 I 3 consid. 2b p. 9; 126 I 133 consid. 2 p. 136; 122 I 279 consid. 8c p. 291).
4. 4.1 Selon l'art. 33 SPAM, le fonctionnaire qui enfreint ses devoirs de service, soit intentionnellement, soit par négligence, est passible d'une sanction disciplinaire (al. 1). Les sanctions disciplinaires sont énumérées dans l'ordre croissant de gravité de la sanction à l'art. 34 SPAM. La rétrogradation temporaire ou définitive dans une classe inférieure, avec réduction de traitement dans les limites de la nouvelle catégorie est la sanction la plus sévère après la révocation. Elle est prononcée par le Conseil administratif.
4.2 La juridiction cantonale a retenu quatre violations objectives par le recourant de ses devoirs généraux de fonctionnaire: le fait de ne pas avoir entretenu des relations dignes et correctes avec P._ et ses subordonnés, d'avoir manqué de loyauté à l'égard de ceux-ci, d'avoir effectué des pauses trop longues et d'avoir "bricolé" (pratique consistant à utiliser à des fins personnelles l'équipement et les ressources humaines de l'atelier pendant ou en dehors de l'horaire de travail) plus que ce qui pouvait être raisonnablement attendu de l'intéressé dans les circonstances de l'espèce.
Les premiers juges ont constaté que V._ se moquait régulièrement, devant ses subordonnés, des plans dressés par P._ et qu'il interpellait parfois celui-ci en public en l'appelant "ciccio". Quant aux employés de l'atelier, il les interpellait sans les nommer, en les sifflant, en les pointant du doigt ou en les appelant "ciccio", "toi" ou "machin". Son indélicatesse se traduisait en outre par des reproches - voire des insultes - à l'égard d'un menuisier qui travaillait à temps partiel en raison d'une grave maladie et qu'il avait traité de "fainéant" et de "profiteur" à réitérées reprises, bien qu'il ait été informé du motif de la réduction de l'horaire de travail. En ce qui concerne le manque de loyauté envers ses subordonnés, la juridiction cantonale a relevé que le recourant se soustrayait régulièrement à son devoir de participer à la construction des décors et d'aider les intéressés dans l'exécution de leurs tâches et qu'il avait même refusé à un employé débordé de travail l'aide d'un collègue disponible. Par ailleurs, les premiers juges ont constaté un important dépassement des périodes de pause par l'intéressé en dépit de son devoir de montrer le bon exemple en sa qualité de supérieur hiérarchique. Quant à la pratique de la "bricole", il n'était pas établi, selon la juridiction cantonale, que le recourant s'y soit consacré pendant ses heures de travail ni en cachette après l'interdiction prononcée par le directeur technique au mois d'avril 2007, ni qu'il ait violé l'interdiction d'utiliser les machines le samedi. Cependant, si l'intéressé ne pouvait être tenu pour responsable d'une pratique connue et tolérée par toute la hiérarchie, l'ampleur des travaux de "bricole" dépassait la moyenne, même si celle des travaux effectués par T._ était encore plus grande.
4.3 Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir établi les faits déterminants de manière arbitraire en constatant qu'il avait pratiqué la "bricole" dans une mesure supérieure à la moyenne.
Si, dans son rapport du 26 mai 2008, l'enquêteur est d'avis que les travaux réalisés dans ce cadre restent dans les mêmes proportions que l'ensemble des menuisiers, cela ne suffit pas pour démontrer le caractère arbitraire de l'état de fait du jugement attaqué, lequel se fonde sur les procès-verbaux d'enquête. Au reste, le recourant n'expose pas en quoi l'appréciation des preuves par la juridiction cantonale est manifestement insoutenable ni ne remet en cause ses constatations portant sur les autres comportements reprochés.
4.4 La juridiction cantonale ayant constaté que la pratique de la "bricole" était connue et tolérée par la hiérarchie, le recourant soutient en outre que cette activité était licite et que, partant, les premiers juges ont violé l'interdiction de l'arbitraire en considérant qu'il avait porté atteinte aux intérêts de la Ville au sens de l'art. 12 SPAM en se consacrant à cette pratique.
Ce grief est mal fondé. Ce n'est pas parce qu'une telle pratique est connue et tolérée par la hiérarchie qu'elle devient pour autant licite. Au demeurant, la juridiction cantonale reproche à l'intéressé non pas de s'être consacré à cette pratique, mais de l'avoir fait dans une mesure supérieure à la moyenne, et cela en dépit des responsabilités liées à sa fonction, lesquelles auraient dû l'inciter à plus de retenue. Par ailleurs, le recourant ne remet pas en cause les autres griefs retenus par la juridiction cantonale et qui constituent des violations du devoir d'entretenir des relations dignes et correctes avec les autres membre du personnel (art. 13 SPAM), ainsi que de l'obligation de remplir tous les devoirs liés à la fonction, consciencieusement et avec diligence, et de respecter l'horaire de travail (art. 14 SPAM).
4.5 Vu ce qui précède, le recourant ne démontre pas à satisfaction de droit que la juridiction cantonale a établi les faits déterminants ou appliqué les art. 12 à 14 SPAM de façon arbitraire.
5. 5.1 Le recourant soutient que la Cour cantonale a violé de façon insoutenable et choquante le principe de la proportionnalité et contrevenu ainsi à l'interdiction de l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. en confirmant le changement de fonction avec rétrogradation de trois classes de traitement sans limitation dans le temps, en plus d'une mise à pied de deux semaines avec suspension de traitement. Il fait valoir qu'à côté des quatre griefs retenus par la juridiction cantonale (cf. consid. 4.2), celle-ci l'a pourtant absous de nombreux autres reproches invoqués par l'intimée. En outre, il soutient avoir adopté de bonne foi les comportements qui lui sont reprochés, étant donné la responsabilité importante de l'employeur dans le mauvais fonctionnement du service et l'attitude tolérante de son chef, circonstances qui ont été relevées par les premiers juges. Enfin, il fait valoir ses états de service excellents et invoque l'arbitraire de la rétrogradation qui l'obligera à assumer une fonction subalterne jusqu'à l'âge de la retraite.
5.2 Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire, au sens de l'art. 9 Cst., lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution apparaisse concevable, voire préférable, pour que cette décision soit annulée. Encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat, ce qu'il appartient au recourant de démontrer (cf. art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 V 2 consid. 1.3 p. 4 s.; 134 I 263 consid. 3.1 p. 265 s.). S'agissant du principe de la proportionnalité figurant à l'art. 5 al. 2 Cst., il n'est pas un droit fondamental, mais simplement un principe constitutionnel. Comme le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit fédéral en général (art. 95 let. a LTF), il est possible d'invoquer le principe de la proportionnalité directement et indépendamment d'un droit fondamental (ATF 134 I 153 consid. 4.1 p. 156 s. et les références). Le Tribunal fédéral a toutefois précisé que, lorsqu'il examine le droit cantonal indépendamment de toute atteinte à un droit fondamental, il ne revoit pas le respect du principe de la proportionnalité librement, mais seulement sous l'angle de l'arbitraire (ATF 134 I 153 consid. 4.3 p. 158). L'atteinte au principe de la proportionnalité soulevée ici se confond donc avec le grief d'arbitraire.
Le Tribunal fédéral ne peut examiner un moyen pris de la violation d'un droit constitutionnel que s'il est expressément soulevé et développé conformément aux exigences de motivation accrues prévues à l'art. 106 al. 2 LTF. Celles-ci imposent au recourant d'expliquer de manière claire et précise en quoi le droit constitutionnel aurait été violé (cf. ATF 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287).
5.3 En l'occurrence, le recourant invoque le grief d'arbitraire de la décision de rétrogradation en se contentant d'énumérer certains éléments qui, selon lui, n'auraient pas été suffisamment pris en compte au regard du principe de la proportionnalité. Ce faisant, il ne fait aucune démonstration d'une atteinte à un droit constitutionnel qui puisse satisfaire aux exigences de motivation de l'art. 106 al. 2 LTF. Ce moyen n'est dès lors pas admissible.
6. Par un autre moyen, le recourant compare sa situation avec celle de T._ en laissant entendre que la sanction prononcée contre lui violerait le principe d'égalité de traitement. Le Tribunal fédéral ne peut toutefois examiner ce grief, du moment que les exigences de motivation accrues prévues à l'art. 106 al. 2 LTF ne sont pas satisfaites.
7. 7.1 Le recourant soutient enfin qu'en confirmant la décision d'affectation à une autre fonction, la juridiction cantonale a violé le principe de la légalité d'une manière si choquante qu'elle a enfreint l'interdiction de l'arbitraire. Selon lui, les sanctions énumérées à l'art. 34 al. 1 SPAM ne comprennent pas le changement d'affectation ou de fonction. Une telle mesure est prévue aux art. 10 et 11 SPAM, dont les conditions ne sont toutefois pas réalisées en l'occurrence: d'une part, un changement d'affectation ne peut entraîner ni diminution de traitement, ni changement de classe (cf. art. 10 al. 2 SPAM); d'autre part, l'intéressé n'a pas donné son accord au transfert et il n'a pas bénéficié d'une période d'essai d'une année (cf. art. 11 SPAM).
De son côté la juridiction cantonale a considéré que la rétrogradation dans une classe inférieure avec réduction de traitement au sens de l'art. 34 al. 1 let. c SPAM peut impliquer un changement de fonction si celle-ci reste dans les compétences pour lesquelles le fonctionnaire a été engagé. Dans le cas particulier, elle a relevé que l'intérêt public au bon fonctionnement du service commandait impérativement que le recourant quittât l'atelier de menuiserie de X._ et qu'en outre, aucun autre poste de menuisier n'était disponible au sein de l'administration municipale. Par ailleurs, l'activité de machiniste restait dans les compétences d'un menuisier, ce que démontrait le fait que plusieurs menuisiers de l'atelier avaient commencé leur activité à X._ en qualité de machiniste de plateau.
7.2 En l'occurrence, le recourant n'expose pas en quoi la juridiction cantonale a appliqué l'art. 34 al. 1 let. c SPAM de manière arbitraire en retenant que la rétrogradation peut impliquer un changement de fonction. Par ailleurs, en considérant que les circonstances du cas particulier justifiaient un tel changement, la Ville n'a pas commis un excès ou un abus de son pouvoir d'appréciation relevant de son autonomie communale. Le moyen tiré de la violation du principe de la légalité se révèle ainsi mal fondé si tant est qu'il soit recevable.
8. Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours en matière de droit public est mal fondé.
9. Les frais de la cause sont mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF). La Ville ne peut se voir allouer des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2. Le recours en matière de droit public est rejeté.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Il n'est pas alloué de dépens.
5. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 2 mai 2012
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
Le Greffier: Beauverd