In Erwägung,
dass X._ (Beschwerdeführer) beim Bezirksgericht Zürich gegen die Y._ AG (Beschwerdegegnerin) auf Zahlung von Fr. 63'161.20 zuzüglich Zins seit dem 1. Mai 1999 sowie Fr. 100.-- Kosten in der Betreibung Nr. 32652 des Betreibungsamts Zürich 7 klagte;
dass das Bezirksgericht Zürich die Klage des Beschwerdeführers mit Urteil vom 28. Mai 2008 abwies;
dass das Obergericht des Kantons Zürich auf Berufung des Beschwerdeführers hin mit Beschluss und Urteil vom 20. April 2010 auf die Klageänderung nicht eintrat und die Klage abwies;
dass der Beschwerdeführer dem Bundesgericht mit Eingabe vom 21. Mai 2010 erklärte, den Beschluss und das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. April 2010 mit Beschwerde anfechten zu wollen und dabei die Aufhebung des angefochtenen Entscheids sowie die Gutheissung der Klage beantragte;
dass in den Rechtsmitteln an das Bundesgericht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des kantonalen Entscheids dargelegt werden muss, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 2 BGG), wobei eine allfällige Verletzung der bundesrechtlichen Grundrechte oder kantonaler verfassungsmässiger Rechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn entsprechende Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG);
dass die Begründung in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein muss, weshalb blosse Verweise auf andere Schriftstücke unbeachtlich sind (BGE 131 III 384 E. 2.3 S. 387 f.);
dass von vornherein auf die Beschwerde nicht einzutreten ist, soweit sie sich gegen das Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 28. Mai 2008 richtet, da es sich dabei nicht um einen letztinstanzlichen Entscheid im Sinne von Art. 75 Abs. 1 BGG handelt;
dass sich der Beschwerdeführer nicht mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids des Obergerichts auseinandersetzt, sondern dem Bundesgericht einen Sachverhalt unterbreitet, der vom vorinstanzlich verbindlich festgestellten abweicht, ohne rechtsgenügend zu begründen, inwiefern dies nach Art. 105 Abs. 2 BGG zulässig sein soll;
dass sich der Beschwerdeführer vereinzelt auf eine Verletzung kantonaler Verfahrensvorschriften beruft, was im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nicht zulässig ist (vgl. Art. 95 BGG), zumal der Beschwerdeführer keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte aufzeigt (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG);
dass die vom Beschwerdeführer verschiedentlich behauptete Verletzung verfassungsmässiger Rechte, wie etwa der Rechtsgleichheit (Art. 8 BV), des Willkürverbots (Art. 9 BV) oder des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV) zunächst ohnehin nach § 281 ZPO/ZH mit kantonaler Nichtigkeitsbeschwerde dem Kassationsgericht hätte vorgetragen werden können, weshalb diese Rügen mangels Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs (Art. 75 Abs. 1 BGG) von vornherein ausser Betracht bleiben müssen;
dass der Beschwerdeführer in materieller Hinsicht lediglich in pauschaler Weise vorbringt, es sei ein Auftragsverhältnis zustande gekommen und es bestehe weder ein Schulderlass noch eine Verrechnung, ohne auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids einzugehen;
dass die Eingabe des Beschwerdeführers vom 21. Mai 2010 die erwähnten Begründungsanforderungen daher offensichtlich nicht erfüllt, soweit seine Vorbringen mangels Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs überhaupt zulässig sind, weshalb auf die Beschwerde in Anwendung von Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG nicht eingetreten werden kann;
dass dem Ausgang des Verfahrens entsprechend die Kosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen sind (Art. 66 Abs. 1 BGG);
dass der Beschwerdegegnerin keine Parteientschädigung zuzusprechen ist, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist;
erkennt die Präsidentin:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. August 2010
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Klett Leemann