Faits:
A. A._, né en 1962, et dame A._, née en 1980, se sont mariés le 3 février 2006 à Sion. Ils ont eu deux enfants: B._, né en 2004, et C._, née en 2007.
Les conjoints se sont séparés le 17 septembre 2009.
Par requête de mesures protectrices de l'union conjugale du même jour, l'épouse a conclu à l'attribution de la garde des enfants en sa faveur, le père bénéficiant d'un droit de visite de trois heures une fois par semaine, ainsi qu'à l'allocation de contributions mensuelles d'un montant de 1'000 fr. pour son propre entretien et de 650 fr., respectivement 850 fr. pour celui de chaque enfant.
Le 21 octobre 2009, le Juge du district de Sion (ci-après: le juge de district), reprenant et complétant la transaction des parties du 13 octobre 2009, a condamné le mari à verser à l'épouse, dès le 1er octobre 2009, des contributions d'entretien de 650 fr. par mois pour elle-même et de 700 fr. par mois, allocations familiales en sus, pour chacun des enfants.
Admettant le pourvoi en nullité interjeté par le mari, le Juge de la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal du canton du Valais a, le 9 février 2010, annulé la décision du 21 octobre 2009 et renvoyé la cause en première instance pour nouvelle décision.
B. Le 11 mars 2010, le mari a conclu au paiement d'une contribution de 500 fr. par mois pour chacun des enfants et au rejet de toute autre prétention.
L'épouse a, par exploit du 15 mars 2010, conclu à l'octroi de contributions d'entretien mensuelles d'un montant de 650 fr. pour elle-même et de 700 fr. pour chacun des enfants.
Statuant derechef le 21 juillet 2010, le juge de district a, notamment, autorisé les époux à vivre séparés pour une durée indéterminée, attribué la garde des enfants à la mère, fixé le droit de visite du père dans un «Point Rencontre», ordonné une curatelle éducative et une curatelle de surveillance du droit de visite, enfin, condamné le père à verser mensuellement, dès le 1er octobre 2009, des contributions d'entretien de 486 fr., respectivement de 502 fr. pour chacun des enfants, allocations familiales éventuelles en sus, ainsi qu'une pension d'un montant de 541 fr. pour l'épouse.
Celle-ci s'est pourvue en nullité contre la décision du 21 juillet 2010, concluant à l'octroi d'une contribution de 1'450 fr. pour elle-même.
Par jugement du 27 septembre 2010, le Juge de la Cour de cassation civile a fixé à 650 fr. par mois le montant de la contribution d'entretien due à l'épouse. Ce magistrat a notamment considéré qu'il ne pouvait accorder plus que ce qui avait été réclamé en première instance, à peine de statuer ultra petita.
C. Contre ce jugement, l'épouse exerce, par acte du 26 octobre 2010, un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut à l'admission du recours, à l'annulation du jugement de l'autorité cantonale et au renvoi de la cause pour nouvelle décision. Subsidiairement, elle demande que le jugement attaqué soit réformé en ce sens que le montant de la contribution d'entretien due en sa faveur est fixé à 1'062 fr. par mois.
Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des déterminations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF; ATF 133 III 393 consid. 4. p. 395/396) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). Comme seule est en cause la contribution à l'entretien de l'épouse, on se trouve en présence d'une contestation de nature pécuniaire, dont la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, 74 al. 1 let. b LTF). Le recours est dès lors recevable selon ces dispositions.
1.2 La recourante a réduit ses conclusions devant le Tribunal fédéral, en ce sens qu'elle ne sollicite plus qu'une pension de 1'062 fr. au lieu des 1'450 fr. réclamés devant le juge cantonal. De telles conclusions, diminuées, ne se heurtent évidemment pas à l'interdiction des conclusions nouvelles instaurée par l'art. 99 al. 2 LTF (cf. Bernard Corboz, in Commentaire de la LTF, n. 36 ad art. 99).
1.3 Dès lors qu'il s'agit d'une décision en matière de mesures provisionnelles (ATF 133 III 393 consid. 5 p. 396/397, 585 consid. 3.3 p. 587 et la jurisprudence citée), le recours ne peut être formé que pour violation des droits constitutionnels (art. 98 LTF). Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés (art. 106 al. 2 LTF; sur les exigences de motivation de l'acte de recours: ATF 133 II 249 consid. 1.4.2 p. 254; 133 III 393 consid. 6 p. 397). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 133 II 396 consid. 3 p. 399/400).
1.4 Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, une rectification ou un complètement des constatations de fait n'entre en considération que si ladite autorité a violé des droits constitutionnels, les art. 95, 97 et 105 al. 2 LTF ne s'appliquant pas directement (ATF 133 III 393 consid. 7.1 p. 398 et 585 consid. 4.1 p. 588).
2. La recourante soutient que le jugement attaqué est arbitraire (art. 9 Cst.), car manifestement contraire à la jurisprudence clairement établie en matière de fixation de la contribution d'entretien pour le conjoint. Elle reproche à l'autorité cantonale d'avoir considéré qu'il ne pouvait lui être alloué plus que les 650 fr. réclamés en première instance, puisqu'elle a conclu, globalement, au paiement d'un montant de 2'050 fr. (650 fr. + 700 fr. + 700 fr.) pour l'entretien de la famille. Comme le juge de district a arrêté les contributions en faveur des enfants à 988 fr. au total (soit 486 fr. pour l'aîné et 502 fr. pour la cadette), le solde de 1'062 fr. (2'050 fr. - 988 fr.) pouvait, selon elle, lui être octroyé, dès lors qu'après paiement des pensions en faveur des enfants, l'intimé bénéficie d'un montant disponible de 1'072 fr. et qu'elle-même présente un découvert de 1'420 fr.
2.1 Selon l'art. 176 CC, relatif à l'organisation de la vie séparée, à la requête d'un des conjoints, le juge fixe la contribution pécuniaire à verser par l'une des parties à l'autre (al. 1 ch. 1). Contrairement aux mesures concernant les enfants - qu'il ordonne d'après les dispositions sur les effets de la filiation (art. 176 al. 3 CC en relation avec l'art. 276 al. 2 CC), sans être lié par les conclusions des parties conformément à la maxime d'office (Offizialmaxime) -, il statue en la matière en étant limité par les conclusions des parties en vertu du principe de disposition (Dispositionsgrundsatz). Les contributions pécuniaires allouées à l'époux et à l'enfant - même mineur (cf. art. 289 al. 1 CC) - constituent en effet des prétentions indépendantes qui ont chacune un sort juridique propre. Tel est aussi le cas en procédure de mesures protectrices de l'union conjugale, alors même que la prestation échoit au représentant de l'enfant et que celui-ci n'a pas qualité de partie; du reste, comme exposé plus haut, l'art. 176 CC distingue expressément les prestations dues au conjoint (al. 1 ch. 1) de celles dues aux enfants (al. 3). Comme l'action en entretien du conjoint n'est pas soumise à la maxime d'office, le juge est lié par les conclusions prises et ne peut accorder à une partie ni plus ni autre chose que ce qu'elle demande, ni moins que ce que son adversaire reconnaît (ATF 129 III 417 consid. 2.1.1 p. 419/420 et les références). La recourante ne prétend pas que le droit cantonal prévoirait le contraire.
La jurisprudence à laquelle elle se réfère (ATF 128 III 411) ne lui est par ailleurs d'aucun secours. Cet arrêt - rendu dans le contexte d'une procédure de recours contre un jugement de divorce - rappelle certes que les contributions dues tant au conjoint qu'aux enfants forment, du point de vue de la capacité contributive du débiteur, un ensemble dont les éléments individuels ne peuvent être fixés de manière entièrement indépendante les uns des autres, de sorte que, lorsque le recours porte sur les deux types de contributions, mais aussi, en vertu de l'art. 148 al. 1 2e phrase CC, lorsque la contribution du conjoint est seule litigieuse, les contributions en faveur des enfants et du conjoint doivent être calculées et fixées à nouveau (ATF 128 III 411 consid. 3.2.2 p. 415 et l'arrêt cité). Le Tribunal fédéral a toutefois précisé ultérieurement qu'il ne se justifiait pas pour autant de faire une exception au principe selon lequel l'action d'un conjoint pour son entretien est soumise au principe de la maxime de disposition (ATF 129 III 417 consid. 2.1.2 p. 420), principe qu'il mentionne d'ailleurs aussi dans l'arrêt précité paru aux ATF 128 III 411 (consid. 3.2.2 p. 415).
2.2 En l'occurrence, l'autorité cantonale ne saurait dès lors se voir reprocher d'avoir fait preuve d'arbitraire en considérant que les conclusions de l'épouse concernant l'allocation d'une contribution d'entretien en sa faveur étaient irrecevables dans la mesure où elles excédaient celles prises en première instance.
3. En conclusion, le recours se révèle mal fondé et ne peut dès lors qu'être rejeté. Vu l'issue - prévisible - de la procédure, la requête d'assistance judiciaire ne saurait être agréée (art. 64 LTF). Les frais judiciaires seront dès lors supportés par la recourante (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a en revanche pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé, qui n'a pas été invité à répondre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge de la Cour de cassation civile du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 24 janvier 2011
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: La Greffière:
Hohl Mairot