Sachverhalt:
A. Die Eheleute X._ stellten am 18. September 2006 dem Gemeinderat Meggen ein Gesuch zum Bau eines Einfamilienhauses am Lettenrain 12 in Meggen (Parzelle Nr. 805). Das Grundstück liegt in der Wohnzone W2-a. Gegen das Vorhaben erhob der Eigentümer der benachbarten Liegenschaft, Y._, Einsprache. Nachdem das Baugesuch teilweise geändert und erneut öffentlich aufgelegt worden war, erteilte der Gemeinderat mit Entscheid vom 24. Februar 2010 die Baubewilligung.
Gegen diesen Entscheid erhob Y._ Verwaltungsgerichtsbeschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern hiess das Rechtsmittel mit Urteil vom 15. Dezember 2010 gut und hob die Baubewilligung auf.
B. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 17. Januar 2011 beantragen die Eheleute X._, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Luzern sei aufzuheben und die Baubewilligung sei zu erteilen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht beantragt in seiner Vernehmlassung, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdegegner verlangt die Abweisung der Beschwerde. Der Gemeinderat Meggen schliesst sich dagegen den Anträgen der Beschwerdeführer an.
Erwägungen:
1. Dem angefochtenen Entscheid liegt ein Beschwerdeverfahren über eine baurechtliche Bewilligung zugrunde. Nach Art. 34 Abs. 1 RPG (SR 700) gelten für die Rechtsmittel an die Bundesbehörden die allgemeinen Bestimmungen über die Bundesrechtspflege. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 lit. a BGG steht auf dem Gebiet des Raumplanungs- und Baurechts zur Verfügung. Das Bundesgerichtsgesetz enthält keinen Ausschlussgrund (Art. 83 BGG). Angefochten ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, welcher das Verfahren abschliesst (Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG). Die Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen, sind als Baugesuchsteller durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und haben ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (Art. 89 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2. 2.1 Die Beschwerdeführer rügen, das Verwaltungsgericht habe § 138 Abs. 1 des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Luzern vom 7. März 1989 (SRL Nr. 735; im Folgenden: PBG) willkürlich angewendet. Nach Satz 1 dieser Bestimmung ist bei der Berechnung der Anzahl Vollgeschosse das Untergeschoss dann mitzurechnen, wenn es mit mehr als zwei Dritteln seiner Aussenflächen aus dem ausgemittelten gewachsenen oder tiefer gelegten Terrain herausragt. Die Beschwerdeführer legen dar, sie würden akzeptieren, dass - entgegen der Meinung des Gemeinderats Meggen - die Palisadenwand und nicht der innere Baukörper für die Berechnung der Aussenfläche massgebend sei. Dass jedoch nach dieser Art der Berechnung mehr als zwei Drittel des Geschosses sichtbar seien, treffe offensichtlich nicht zu. Das Verwaltungsgericht begründe seine Schlussfolgerung denn auch nicht. Damit verletze es zudem den Anspruch auf rechtliches Gehör. Die unrichtige Sachverhaltsfeststellung habe sie veranlasst, dem Bundesgericht eine neue Berechnung der Architekten auf der Grundlage der Fläche der Palisadenwand einzureichen (vom 16. Januar 2011). Daraus gehe hervor, dass nicht einmal ein Drittel der Fläche sichtbar sei.
2.2 Der Gemeinderat Meggen schreibt in seiner Vernehmlassung zuhanden des Bundesgerichts, das Bauamt habe in seinem Auftrag die Flächenberechnung neu entsprechend dem vorinstanzlichen Urteil anhand der umhüllenden Palisadenwand vorgenommen. Die Berechnung habe gezeigt, dass die Aussenfläche über dem gewachsenen oder tiefer gelegten Terrain 42.8 % der gesamten Fläche der Palisadenwand ausmache und damit weniger als die zulässigen zwei Drittel (66 %) betrage.
2.3 Im angefochtenen Entscheid wird dargelegt, in der Regel sei die Fassade eines Gebäudes mit den Aussenwänden der abgeschlossenen Räume identisch. Beim vorliegenden Bauvorhaben träten die fassadenbildenden baulichen Elemente - von aussen betrachtet - indes anders in Erscheinung, denn als Fassaden würden nicht die Wände der hinter der Palisadenwand liegenden abgeschlossenen Räume wahrgenommen, sondern die vorgelagerte bzw. umhüllende Palisadenwand selbst.
Der Gemeinderat habe sich für die Berechnung der Ausnützungsziffer auf die Berechnungen im Plan Nr. 2.115 gestützt. Danach lägen zwei Drittel der Flächen über dem gewachsenen Terrain, womit das Geschoss nach § 138 Abs. 1 PBG tatsächlich nicht anrechenbar wäre. Der Plan Nr. 2.115 beziehe sich allerdings auf die Fassade des abgeschlossenen Baukörpers und nicht auf die fassadenbildende umhüllende Palisadenwand. Deshalb könne es bei der Berechnung der im Plan Nr. 2.115 wiedergegebenen Fassadenabwicklung nicht sein Bewenden haben. Nehme man die Palisadenwand als Referenz, so trete deutlich zu Tage, dass das Erdgeschoss um mehr als zwei Drittel aus dem gewachsenen oder tiefer gelegten Terrain herausrage, womit dieses Untergeschoss nach § 138 Abs. 1 PBG als Vollgeschoss zu qualifizieren sei. Dies führe zum Ergebnis, dass das Bauprojekt sowohl die zulässige Ausnützungsziffer wie auch die maximale Geschosszahl überschreite.
In ihrer Vernehmlassung zuhanden des Bundesgerichts vertritt die Vorinstanz zudem die Ansicht, die von den Beschwerdeführern eingereichte, neue Berechnung der massgeblichen Flächen stelle ein unzulässiges Novum dar.
2.4 Das rechtliche Gehör nach Art. 29 Abs. 2 BV verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (BGE 136 I 229 E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen).
Diesen Anforderungen vermag der angefochtene Entscheid nicht zu genügen. Wie die Vorinstanz aufzeigte, bezieht sich die Berechnung der Fassadenfläche im Plan Nr. 2.115 ausschliesslich auf den inneren Baukörper. Massgebend soll indessen, wie dies im bundesgerichtlichen Verfahren auch die Beschwerdeführer einräumen, die umhüllende Palisadenwand sein. Diesbezüglich beschränkt sich die Vorinstanz auf die Aussage, wenn man die Palisadenwand als Referenz nehme, trete deutlich zu Tage, dass das Erdgeschoss um mehr als zwei Drittel aus dem gewachsenen oder tiefer gelegten Terrain herausrage. Dies ist jedoch nicht nachvollziehbar. Der zitierte Plan lässt diesen Schluss jedenfalls nicht zu und die Vorinstanz begründet ihre Feststellung auch nicht auf eine andere Weise. Damit verletzt sie den Anspruch der Beschwerdeführer auf rechtliches Gehör.
In Bezug auf die von den Beschwerdeführern eingereichte, neue Berechnung gilt die Regelung neuer Vorbringen in Art. 99 Abs. 1 BGG. Danach dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt. Solche Umstände können namentlich darin liegen, dass die Vorinstanz materiell in einer Weise urteilt, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals rechtserheblich werden (Urteile 8C_545/2010 vom 22. November 2010 E. 3.1; 4A_18/2010 vom 15. März 2010 E. 2, nicht publ. in: BGE 136 I 197; je mit Hinweisen). Dass die Vorinstanz in Abweichung vom Entscheid des Gemeinderats Meggen, jedoch anscheinend ohne zuverlässige Berechnungsgrundlage in einem reformatorischen Entscheid zum Schluss kommen würde, die zulässige Ausnützungsziffer wie auch die maximale Geschosszahl seien überschritten, war für die Beschwerdeführer nicht vorhersehbar. Das neue Beweismittel erweist sich damit als zulässig. Es ist jedoch nicht Sache des Bundesgerichts, als erste Instanz darüber zu entscheiden, ob die Berechnung zutrifft und zu welchem rechtlichen Ergebnis sie führt. Vielmehr ist die Angelegenheit zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Zusammenfassend ergibt sich, dass die Beschwerde infolge der Verletzung der Begründungspflicht gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben ist. Die Sache wird zu neuer Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen. Es erübrigt sich damit, auf die weiteren Rügen der Beschwerdeführer einzugehen.
Diesem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdegegner aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat den obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdeführern eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 15. Dezember 2010 aufgehoben. Die Angelegenheit wird zur neuen Beurteilung an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3. Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Meggen und dem Verwaltungsgericht des Kantons Luzern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2011
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Fonjallaz Dold