Faits:
A. I._ travaille en qualité d'aide-soignante à l'Hôpital X._. A ce titre, elle est assurée obligatoirement contre le risque d'accident auprès du Groupe Mutuel Assurances GMA SA (ci-après: le Groupe Mutuel).
Elle a été victime d'un accident de la circulation en avril 2007: alors qu'elle était arrêtée, la voiture dans laquelle elle avait pris place a été heurtée à l'arrière par un autre véhicule. L'assurée s'est rendue le jour même à l'Hôpital X._, où les médecins ont diagnostiqué un hématome du cuir chevelu occipital. Le traumatisme a été qualifié de simple, correspondant à un degré 0 ("pas de douleurs de nuque, pas de symptôme somatique") selon la classification Quebec Task Force (rapport du docteur W._ du 16 août 2007).
L'assurée a repris le travail le 19 avril 2007. En raison de la persistance de céphalées diffuses et de l'apparition de nausées, elle a été en traitement auprès du docteur R._ à partir du 25 avril 2007. Le 18 juin suivant, elle a consulté le docteur T._, chiropraticien, en raison d'un important torticolis accompagné de cervico-brachialgies C5-C6 du bras droit (rapport du 22 avril 2008). Elle a été incapable de travailler depuis le 27 juillet 2007.
L'intéressée a séjourné à la Clinique Y._ du 28 août au 17 septembre 2007. Les médecins de cet établissement ont diagnostiqué un traumatisme cervical bénin indirect lors d'un accident de la voie publique le 17 avril 2007 avec, dans les suites, des céphalées, des cervicalgies, des nausées et une sensation vertigineuse, des troubles dégénératifs cervicaux C4-C5, C5-C6 et C6-C7, une petite hernie discale médiane C4-C5 et C5-C6, un discret syndrome radiculaire C7 irritatif du membre supérieur droit sur hernie disco-ostéophytique C6-C7 paramédiane droite, un discret syndrome d'enclavement du médian au tunnel carpien droit et une contusion anamnestique de l'occiput gauche le 17 avril 2007. Ils ont fait état d'une incapacité de travail de 100 % du 18 au 20 septembre 2007 et de 50 % du 21 septembre au 2 octobre 2007 (rapport du 25 septembre 2007). Dans un rapport du 9 octobre 2007, le docteur V._, chef du service de réadaptation de l'appareil locomoteur de la Clinique Y._, a attesté le maintien du taux d'incapacité de travail de 50 % au-delà du 2 octobre 2007.
Par décision du 18 octobre 2007, le Groupe Mutuel a supprimé le droit de l'assurée aux prestations à partir du 1er novembre 2007, motif pris de l'absence d'un lien de causalité entre l'accident et les troubles persistant au-delà de cette date.
Saisi d'une opposition de l'intéressée, l'assureur a requis notamment l'avis des docteurs R._ (rapport du 10 décembre 2007) et V._ (rapport du 2 janvier 2008). En outre, il a invité le docteur A._, spécialiste en orthopédie et traumatologie, à se déterminer sur le dossier médical de l'assurée (rapport du 12 mai 2008).
Par décision sur opposition du 27 juin 2008, le Groupe Mutuel a réformé la décision entreprise en ce sens que la suppression du droit aux prestations a été reportée au 18 décembre 2007.
B. Saisie d'un recours contre cette décision sur opposition, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais l'a rejeté par jugement du 30 mars 2009.
C. I._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant, sous suite de frais et dépens, au maintien de son droit à des prestations (indemnité journalière et frais médicaux) au-delà du 18 décembre 2007 et à l'octroi d'une rente d'invalidité et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Subsidiairement, elle demande le renvoi de la cause à l'intimé pour nouvelle décision.
L'intimé conclut au rejet du recours. De leur côté, la juridiction cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si l'intimé était fondé, par sa décision sur opposition du 27 juin 2008, à supprimer le droit de la recourante aux prestations de l'assurance-accidents à partir du 18 décembre 2007.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admette que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références). Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de façon générale favorisée par une telle circonstance (ATF 129 V 177 consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; 125 V 456 consid. 5a p. 461 et les références).
3. 3.1 En l'espèce, seuls les docteurs V._ (rapport du 2 janvier 2008) et E._, spécialiste en médecine physique et réadaptation (rapport du 23 septembre 2008), ont examiné l'assurée après le 17 décembre 2007 et se sont prononcés au sujet des troubles persistant encore après cette date. Ceux-ci peuvent être répartis en deux catégories: premièrement, les troubles associés au mécanisme d'accélération comme des céphalées, des nucalgies, une discrète limitation de la mobilité cervicale, une fatigue, ainsi que des vertiges; deuxièmement, un trouble étranger à ce mécanisme consistant en une atteinte à l'épaule droite. Cette dernière affection a motivé la mise en oeuvre d'une IRM le 11 juin 2008, à la suite de laquelle a été posé le diagnostic de déchirure de la coiffe des rotateurs au niveau du tendon du muscle sus-épineux à droite.
3. 3.1 En l'espèce, seuls les docteurs V._ (rapport du 2 janvier 2008) et E._, spécialiste en médecine physique et réadaptation (rapport du 23 septembre 2008), ont examiné l'assurée après le 17 décembre 2007 et se sont prononcés au sujet des troubles persistant encore après cette date. Ceux-ci peuvent être répartis en deux catégories: premièrement, les troubles associés au mécanisme d'accélération comme des céphalées, des nucalgies, une discrète limitation de la mobilité cervicale, une fatigue, ainsi que des vertiges; deuxièmement, un trouble étranger à ce mécanisme consistant en une atteinte à l'épaule droite. Cette dernière affection a motivé la mise en oeuvre d'une IRM le 11 juin 2008, à la suite de laquelle a été posé le diagnostic de déchirure de la coiffe des rotateurs au niveau du tendon du muscle sus-épineux à droite.
3.2 3.2.1 La juridiction cantonale a considéré que cette lésion à l'épaule droite est apparue bien après l'accident, à la suite de manipulations ostéopathiques mal tolérées. Aussi, a-t-elle nié l'existence d'une relation de causalité naturelle entre ce trouble et l'accident.
De son côté, la recourante soutient qu'il existe une relation de causalité naturelle entre la déchirure du tendon du muscle sus-épineux et l'accident. Elle allègue, d'une part, que cette lésion a été constatée peu après l'accident, dans la mesure où le docteur V._ a posé le diagnostic de probable tendinopathie du supra-épineux de l'épaule droite dans son rapport du 10 août 2007. Comme elle a consulté l'ostéopathe B._ le 5 juin 2007 et le docteur T._ le 18 juin suivant en raison de douleurs dans le bras et dans l'épaule, l'intéressée réfute le point de vue de la juridiction cantonale selon lequel cette lésion est apparue bien après l'accident. D'autre part, elle soutient qu'il existe une relation de causalité naturelle entre cette atteinte et l'accident en invoquant l'avis du docteur E._.
3.2.2 Les ruptures de la coiffe des rotateurs figurent dans la liste exhaustive des lésions corporelles assimilées à un accident de l'art. 9 al. 2 OLAA (let. f; ATF 123 V 43). Selon l'al. 1er de cette disposition, pour autant qu'elles ne soient pas manifestement imputables à une maladie ou à des phénomènes dégénératifs, les lésions (mentionnées aux let. a à h) sont assimilées à un accident, même si elles ne sont pas causées par un facteur extérieur de caractère extraordinaire.
La notion de lésion assimilée à un accident a pour but d'éviter, au profit de l'assuré, la distinction souvent difficile entre maladie et accident. Aussi, les assureurs-accidents LAA doivent-ils assumer un risque qui, en raison de la distinction précitée, devrait en principe être couvert par l'assurance-maladie. Les lésions mentionnées à l'art. 9 al. 2 OLAA sont assimilées à un accident même si elles ont, pour l'essentiel, une origine vraisemblablement maladive ou dégénérative, pour autant qu'une cause extérieure ait, au moins, déclenché les symptômes dont souffre l'assuré (ATF 129 V 466; 123 V 43 consid. 2b p. 44; 116 V 145 consid. 2c p. 147; 114 V 298 consid. 3c p. 301). En revanche, en l'absence d'une cause extérieure - soit d'un événement similaire à un accident, externe au corps humain, susceptible d'être constaté de manière objective et qui présente une certaine importance -, fût-ce comme simple facteur déclenchant des lésions corporelles énumérées à l'art. 9 al. 2 OLAA, les troubles constatés sont à la charge de l'assurance-maladie (arrêt 8C_1025/2008 du 19 octobre 2009 consid. 3.1).
3.2.3 Sur le vu des renseignements médicaux versés au dossier, il n'est pas fait état de douleurs ni d'une limitation de l'épaule droite avant le 5 juin 2007, date à laquelle l'assurée a consulté l'ostéopathe B._. En effet, celle-ci a déclaré au docteur V._ qu'elle avait ressenti pour la première fois des douleurs dans cette partie du corps à la suite de cette consultation (cf. rapport du docteur V._ du 10 août 2007). Dans un premier temps, le docteur V._ a diagnostiqué une probable tendinopathie du supra-épineux de l'épaule droite. Dans ses rapports subséquents (des 25 septembre 2007 et 2 janvier 2008), il ne mentionne plus la tendinopathie mais fait état d'une irritation du membre supérieur droit qu'il associe à un discret syndrome radiculaire C7 d'origine dégénérative, qualifié d'étranger à l'accident. Ce n'est qu'après la mise en oeuvre d'une IRM le 11 juin 2008, que le docteur E._ a posé le diagnostic de déchirure de la coiffe des rotateurs au niveau du tendon du muscle sus-épineux, apparue lors de l'accident du 17 avril 2007.
Sur le vu de ces renseignements médicaux, on ne saurait admettre, comme le soutient la recourante, qu'il existe une relation de causalité naturelle entre cette atteinte et l'accident. D'une part, en effet, l'indication du docteur E._ selon laquelle cette lésion est apparue lors de l'accident est en contradiction manifeste avec l'ensemble des constatations médicales consignées au dossier. D'autre part, et contrairement à ce qu'allègue la recourante, ce médecin n'atteste pas l'existence d'une relation de causalité entre cette lésion et l'accident. Au demeurant, il n'était pas appelé à se prononcer sur ce point, du moment que son appréciation était destinée à l'Office cantonal AI du Valais. Par ailleurs, on ne saurait conclure à l'existence d'un lien de causalité au seul motif que les troubles à l'épaule sont apparus après l'accident. Cela reviendrait, en effet, à se fonder sur l'adage "post hoc ergo propter hoc", lequel ne permet pas, selon la jurisprudence, d'établir l'existence d'un tel lien (ATF 119 V 335 consid. 2b/bb p. 341 s.). L'apparition de douleurs à la suite d'un accident constitue au mieux un indice en faveur d'un rapport de causalité naturelle. En l'occurrence, il n'existe toutefois pas une autre circonstance sur laquelle s'appuyer pour corroborer cet indice et établir un tel lien de causalité. Surtout, l'assurée n'a décrit aucune douleur entre le 17 avril 2007 (date de l'accident) et le 5 juin suivant, soit un intervalle d'un mois et demi sans symptômes douloureux documentés médicalement en relation avec l'épaule droite. Or, compte tenu du caractère relativement détaillé des avis des médecins qui ont examiné l'assurée avant le 5 juin 2007 (rapports des docteurs W._ du 16 août 2007 et R._ du 10 décembre 2007), il faut considérer que si l'intéressée avait décrit des douleurs à l'épaule droite avant cette date, celles-ci y figureraient.
Cela étant, l'existence d'un rapport de causalité naturelle entre la lésion de la coiffe des rotateurs et l'accident doit être niée sans qu'il soit nécessaire d'ordonner un complément d'instruction comme le demande la recourante. Par ailleurs, on ne peut déduire d'aucune pièce versée au dossier qu'un facteur déclenchant de la lésion de la coiffe des rotateurs est survenu durant la période postérieure à l'accident. Du reste, la recourante ne le prétend pas.
Vu ce qui précède la déchirure du tendon du muscle sus-épineux n'est pas à la charge de l'assurance-accidents.
4. 4.1 En ce qui concerne les autres troubles, il est indéniable que la recourante ne souffre plus, après le 18 décembre 2007, d'une atteinte organique objectivable en relation avec le mécanisme d'accélération. Ce point ne fait l'objet d'aucune controverse entre les parties.
4. 4.1 En ce qui concerne les autres troubles, il est indéniable que la recourante ne souffre plus, après le 18 décembre 2007, d'une atteinte organique objectivable en relation avec le mécanisme d'accélération. Ce point ne fait l'objet d'aucune controverse entre les parties.
4.2 4.2.1 Par ailleurs, la juridiction cantonale a nié l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et les troubles sans substrat organique associés au mécanisme d'accélération persistant après le 18 décembre 2007, ce que la recourante conteste.
4.2.2 Dans un arrêt récent (ATF 134 V 109), le Tribunal fédéral a précisé sur plusieurs points sa jurisprudence au sujet de la relation de causalité entre des plaintes et un traumatisme de type "coup du lapin" ou un traumatisme analogue à la colonne cervicale ou encore un traumatisme cranio-cérébral, sans preuve d'un déficit organique objectivable. Selon cet arrêt, il y a lieu de s'en tenir à une méthode spécifique pour examiner le lien de causalité adéquate en présence de tels troubles (consid. 7 à 9 de l'arrêt cité). Par ailleurs, le Tribunal fédéral n'a pas modifié les principes qui ont fait leur preuve, à savoir la nécessité, d'une part, d'opérer une classification des accidents en fonction de leur degré de gravité et, d'autre part, d'inclure, selon la gravité de l'accident, d'autres critères lors de l'examen du caractère adéquat du lien de causalité (consid. 10.1). Cependant, il a renforcé les exigences concernant la preuve d'une lésion en relation de causalité naturelle avec l'accident, justifiant l'application de la méthode spécifique en matière de traumatisme de type "coup du lapin" (consid. 9) et modifié en partie les critères à prendre en considération lors de l'examen du caractère adéquat du lien de causalité (consid. 10). Ces critères sont désormais formulés de la manière suivante:
les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident (inchangé);
la gravité ou la nature particulière des lésions (inchangé);
l'administration prolongée d'un traitement médical spécifique et pénible (formulation modifiée);
l'intensité des douleurs (formulation modifiée);
les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident (inchangé);
les difficultés apparues au cours de la guérison et les complications importantes (inchangé);
l'importance de l'incapacité de travail en dépit des efforts reconnaissables de l'assuré (formulation modifiée).
4.2.3 En l'occurrence, l'argument de la recourante relatif au montant des dégâts causés à son véhicule ne permet pas de s'écarter du point de vue des premiers juges selon lequel l'accident du 14 avril 2007 ressortit à la catégorie des accidents de gravité moyenne, à la limite des accidents de peu de gravité.
La juridiction cantonale a considéré qu'un seul des critères déterminants pour établir le caractère adéquat du lien de causalité était admis, à savoir celui des douleurs persistantes. Toutefois, ces douleurs n'étaient pas d'une intensité suffisante pour faire admettre à elle seule l'existence d'un tel lien.
Par un premier moyen, la recourante fait valoir que le critère relatif à l'administration prolongé d'un traitement médical spécifique et pénible est réalisé. Ce point de vue est mal fondé. Le traitement subi par l'intéressée et consistant dans l'administration de médicaments anti-inflammatoires et myorelaxants, ainsi que dans des séances de chiropraxie et de physiothérapie n'a manifestement pas le caractère de pénibilité requis par la jurisprudence (cf. ATF 134 V 109 consid. 10.2.3 p. 128).
Par ailleurs, l'intéressée allègue une incapacité de travail importante en dépit de ses efforts reconnaissables. Toutefois, ce critère ne saurait être retenu, dès lors qu'en l'occurrence l'incapacité de travail, survenue plus de trois mois après l'accident, est due essentiellement à l'affection de l'épaule droite, laquelle n'est pas en relation de causalité naturelle avec cet événement. Il en va de même des complications survenues au cours de la guérison, de sorte que ce critère n'apparaît pas non plus réalisé.
Cela étant, il n'y a pas lieu de mettre en cause le point de vue des premiers juges selon lequel l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et les troubles persistant au-delà du 18 décembre 2007 doit être niée. Aussi, l'intimée était-elle fondée, par sa décision sur opposition du 27 juin 2008, à supprimer le droit de la recourante aux prestations de l'assurance-accidents à partir du 18 décembre 2007. Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
5. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton du Valais et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 9 avril 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd