Faits:
A. Par arrêt du 20 juin 2008, la Cour d'assises du canton de Genève a condamné Y._, pour tentative de meurtre et crime impossible de meurtre, à une peine privative de liberté de trois ans, dont six mois sans sursis. Il a été retenu que, le 14 août 2004, l'accusé avait tiré cinq coups de feu en direction de sa fille, C.Y._, avec l'intention de la tuer (ce qui a été qualifié de tentative de meurtre) et qu'il avait ensuite appuyé à deux reprises sur la détente de l'arme en direction de l'époux de cette dernière, mais qu'aucun coup de feu n'était parti, le chargeur étant vidé (ce qui a été qualifié de crime impossible de meurtre). Deux balles ont touché C.Y._, dont l'une d'elle lui a causé une paraplégie sensori-motrice complète et définitive au-dessous de la vertèbre D1. La Cour d'assises a renvoyé à une décision ultérieure le sort des prétentions civiles.
Par arrêt du 30 avril 2009, la Cour d'assises, statuant sur partie, a condamné Y._ à payer à sa fille, C.Y._, une indemnité pour tort moral, laquelle a été fixée en dernier lieu à 153'880 fr. avec intérêt à 5 % dès le 14 août 2004, par arrêt du Tribunal fédéral du 27 mai 2010 (cause 4A_66/2010).
Y._ est décédé le 4 avril 2011. Ses héritiers sont sa veuve, A.Y._, et ses filles, B.Y._ et C.Y._. L'avocat Mike Hornung a été désigné comme représentant de l'hoirie, par ordonnance de la Justice de paix du 19 avril 2011.
Par arrêt du 31 mai 2012, la Cour d'assises a statué sur les prétentions en dommages-intérêts de C.Y._. Elle a condamné l'hoirie à lui payer les sommes de 605'395 fr. 80 avec intérêt à 5 % dès le 1er juillet 2008 et de 1'220'314 fr. 45 avec intérêt à 5 % dès le 31 mai 2012. L'arrêt mentionne qu'il peut faire l'objet d'un pourvoi auprès de la Cour de cassation genevoise.
Insatisfaite de la décision prise sur ses conclusions en dommages-intérêts, C.Y._ a déposé un pourvoi devant la Cour de cassation genevoise (conformément à la voie de recours indiquée) et également une déclaration d'appel auprès de la nouvelle Chambre pénale d'appel et de révision créée avec l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2011, du Code de procédure pénale suisse du 5 octobre 2007 (CPP; RS 312.0).
Par deux lettres datées du 3 juillet 2012, les deux juridictions saisies ont simultanément émis l'opinion qu'elles n'étaient pas compétentes pour connaître du recours.
B. La Chambre pénale d'appel et de révision ayant transmis la déclaration d'appel à la Cour de cassation pour raison de compétence, la Cour de cassation a rendu, le 5 juillet 2012, une décision d'incompétence, indiquant que celle-ci pouvait faire l'objet d'un recours au Tribunal fédéral.
Invoquant un déni de justice formel, C.Y._ a déposé, le 3 septembre 2012, un recours au Tribunal fédéral contre la décision d'incompétence rendue les 3 et 5 juillet 2012 par la Cour de cassation.
A sa requête, l'instruction du recours a été suspendue, par ordonnance présidentielle du 13 septembre 2012, dans l'attente d'une décision formelle de la Chambre pénale d'appel et de révision, qui pouvait rendre ce premier recours sans objet.
C. Par arrêt du 18 septembre 2012, la Chambre pénale d'appel et de révision a déclaré irrecevable, pour cause d'incompétence, l'appel formé par C.Y._.
C.Y._ a déposé, le 19 octobre 2012, un recours au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 18 septembre 2012 précité. Invoquant un déni de justice formel, prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst., et une violation de l'art. 454 al. 2 CPP, elle a conclu à ce que ses deux recours soient joints et à ce que le Tribunal fédéral, en annulant l'une des décisions attaquées, transmette la cause à la juridiction compétente, les frais et les dépens devant être mis à la charge du canton de Genève.
L'hoirie intimée a conclu en dernier lieu à la compétence de la Cour de cassation, les frais et dépens devant être laissés à la charge du canton de Genève.
Considérant en droit:
1. 1.1 Les deux recours portent sur la même question, à savoir la désignation de l'autorité compétente pour connaître du recours dirigé contre l'arrêt de la Cour d'assises du 31 mai 2012. Il se justifie donc de les joindre et de statuer par un seul arrêt.
1.2 Les recours sont dirigés contre deux décisions d'incompétence, l'une rendue par la Cour de cassation genevoise les 3 et 5 juillet 2012 et l'autre par la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise le 18 septembre 2012. Il résulte des faits de la cause que la recourante entendait se plaindre exclusivement du sort de ses prétentions civiles. En conséquence, les deux juridictions contre lesquelles les recours sont dirigés (la Cour de cassation et la Chambre pénale d'appel et de révision) ne devaient statuer que sur l'action civile, à l'exclusion de l'action pénale. Dès lors que seule l'action civile reste en cause, le recours ouvert au Tribunal fédéral est le recours en matière civile, et non pas, comme l'a pensé la recourante, le recours en matière pénale; peu importe en effet que la décision doive être rendue par une juridiction pénale ou par une juridiction civile (ATF 135 III 397 consid. 1.1 p. 399; 133 III 701 consid. 2.1). Cette erreur de dénomination reste sans conséquence, dès lors que les conditions de recevabilité d'un recours en matière civile sont réunies (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382).
1.3 Les deux recours sont interjetés par la partie qui a été privée de la possibilité de faire valoir ses droits et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF). Ils sont dirigés, dans chaque cas, contre un jugement final d'incompétence (art. 90 LTF; cf. ATF 135 V 153 consid. 1.3 p. 156) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) et par l'autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF; cf. ATF 138 III 41 consid. 1.1 p. 42) dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint manifestement le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). En conséquence, les recours sont recevables, puisqu'ils ont été déposés dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.4 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 136 I 241 consid. 2.1 p. 247; 136 II 304 consid. 2.4 p. 313).
Le Tribunal fédéral applique d'office le droit dont il peut contrôler le respect (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 138 II 331 consid. 1.3 p. 336; 137 II 313 consid. 4 p. 317 s.). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 397 consid. 1.4 in fine).
1.5 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations factuelles ont été retenues de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 II 353 consid. 5.1 p. 356) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
En l'espèce, les faits procéduraux nécessaires pour trancher la question posée ne sont pas contestés. Il n'appert d'ailleurs pas qu'ils aient été arrêtés arbitrairement.
1.6 Le Tribunal fédéral ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Toute conclusion nouvelle est irrecevable (art. 99 al. 2 LTF). In casu, on ne saurait reprocher à la recourante de ne pas avoir pris de conclusions sur le fond, puisque la cause n'est pas en état d'être jugée matériellement (134 III 379 consid. 1.3 p. 383).
2. 2.1 La recourante se plaint d'un déni de justice formel.
Il y a déni de justice formel, prohibé par l'art. 29 al. 1 Cst., lorsqu'une autorité se refuse à statuer, bien qu'elle y soit obligée (ATF 135 I 6 consid. 2.1 p. 9; 124 V 130 consid. 4 p. 133; 107 Ib 160 consid. 3b p. 164).
En l'occurrence, les deux autorités cantonales ont, dans chaque cas, statué, en se déclarant incompétentes pour connaître du recours qui leur était adressé.
La question est plutôt de savoir si l'une ou l'autre de ces deux décisions viole une norme de droit fédéral (art. 95 LTF). Le Tribunal fédéral peut examiner cette question librement (art. 106 al. 1 LTF).
2.2 Il a été constaté en fait - sans que l'arbitraire ne soit invoqué à ce propos - que l'arrêt de la Cour d'assises, contesté par la recourante, a été rendu après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2011, du CPP.
En conséquence, le CPP est en principe applicable, s'agissant d'une action civile exercée dans le cadre de l'action pénale. Comme la procédure devant la Cour d'assises a commencé avant l'entrée en vigueur du CPP, on se trouve en présence d'un problème de droit transitoire. Pour connaître les recours possibles, il faut se référer aux art. 453 et 454 CPP. Il ressort des titres marginaux que l'art. 453 CPP est consacré aux décisions rendues avant l'entrée en vigueur du code, alors que l'art. 454 CPP a trait aux décisions rendues après son entrée en vigueur. Comme la Cour d'assises a statué après l'entrée en vigueur du CPP, il faut appliquer l'art. 454 CPP.
2.3 Selon l'art. 454 al. 1 CPP, le nouveau droit est applicable aux recours formés contre les décisions rendues en première instance, après l'entrée en vigueur du présent code. S'il n'existait que cet alinéa, il est évident que la voie de recours ouverte serait celle du nouveau droit, comme le pense d'ailleurs la recourante.
Cependant, l'art. 454 al. 2 CPP introduit une exception à cette règle générale. Ce second alinéa prévoit que l'ancien droit est applicable aux recours contre les décisions rendues en première instance selon l'ancien droit, après l'entrée en vigueur du CPP, lorsque l'autorité qui a statué est une autorité judiciaire supérieure à celle de première instance. Il s'agit d'une règle transitoire qui est propre au CPP et que l'on ne retrouve pas à l'art. 405 CPC.
L'art. 454 al. 2 CPP correspond, mot à mot, à l'art. 460 al. 2 du projet du Conseil fédéral (FF 2006 p. 1511). Au sujet de cette disposition, le message explique ce qui suit :
" L'al. 2 présuppose que des débats de première instance qui étaient ouverts au moment de l'entrée en vigueur du code de procédure pénale suisse se poursuivent selon l'ancien droit, l'art. 456 étant applicable. Il présuppose également que les recours soient examinés par une autorité judiciaire supérieure à celle de première instance. En pareils cas, la plupart des codes cantonaux de procédure pénale prévoient une autorité compétente pour connaître des recours en deuxième instance, à défaut de quoi, l'autorité de recours aurait à examiner les décisions rendues en première instance par une autorité occupant le même rang qu'elle dans la hiérarchie des instances. Cette disposition est, par exemple, applicable aux procédures devant le tribunal pénal économique formé de membres du Tribunal cantonal ou de la Cour suprême " (FF 2006 p. 1336).
NIKLAUS SCHMID, qui est l'auteur de l'avant-projet (FF 2006 p. 1073), explique que lorsqu'une décision est rendue en première instance par une juridiction supérieure, par exemple une Cour d'assises, les cantons ont généralement prévu une autorité de recours spéciale et celle-ci reste compétente, selon les règles de l'ancien droit, pour les décisions qui ont été rendues après l'entrée du CPP (NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung, Praxiskommentar, 2009, n° 2 ad art. 454 CPP). Les auteurs qui se sont penchés sur cette question s'expriment dans le même sens (VIKTOR LIEBER, in Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, Donatsch/Hansjakob/Lieber (éd.), 2010, n° 2 ad art. 454 CPP; HANSPETER USTER, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2011, n° 2 ad art. 454 CPP).
Ainsi, le législateur a voulu, en édictant l'art. 454 al. 2 CPP, éviter qu'une décision rendue par un tribunal supérieur (par exemple un tribunal pénal économique comprenant des membres du tribunal cantonal) fasse l'objet d'un appel devant une section du même tribunal ou d'un tribunal de rang équivalent. Constatant que les cantons avaient généralement institué une juridiction spéciale pour ce genre de situations, il a tenu, lorsqu'une telle juridiction existe, qu'elle reste compétente, selon l'ancien droit, pour connaître des décisions rendues en première instance par un tribunal supérieur après l'entrée en vigueur du CPP. Autrement dit, le législateur a voulu éviter, dans le domaine de la procédure pénale, les " recours horizontaux " que l'on rencontre à titre transitoire en procédure civile dans certains cantons.
2.4 Selon la loi genevoise sur l'organisation judiciaire abrogée au 31 décembre 2010 (aLOJ/GE; E 2 05), la Cour d'assises était composée du président de la Cour de justice ou d'un juge délégué par lui et de douze jurés (art. 36 al. 1 aLOJ/GE). Il n'est donc pas douteux que cette juridiction se rattachait à la Cour de justice qui en fournissait le président. Or la Cour de justice est principalement une autorité de recours et doit être considérée comme le tribunal supérieur du canton de Genève (cf. art. 31 al. 1, 35, 35a, 35b, 35c aLOJ/GE).
Si l'on devait conclure que l'arrêt de la Cour d'assises était susceptible d'un appel devant la Chambre pénale d'appel et de révision, qui est une section de la Cour de justice, cela signifierait qu'une décision rendue sous la présidence d'un juge à la Cour de justice peut faire l'objet d'un recours devant une section composée d'autres juges de cette même Cour de justice. Il s'agirait précisément d'un recours horizontal que l'art. 454 al. 2 CPP a pour but d'éviter. C'est d'ailleurs en fonction des mêmes considérations que le législateur genevois avait créé une juridiction spéciale, la Cour de cassation, pour connaître de recours contre les décisions de la Cour d'assises. Dès lors, cette juridiction reste compétente, par le seul effet de l'art. 454 al. 2 CPP, pour connaître, selon les règles de l'ancien droit, de pourvois formés contre des arrêts de la Cour d'assises, même si ces derniers ont été rendus après l'entrée en vigueur du CPP.
Ainsi, la Cour de cassation genevoise, même si elle a été formellement dissoute, reste compétente, en vertu de l'art. 454 al. 2 CPP, pour connaître du pourvoi dont elle est saisie. Comme le législateur fédéral a exprimé sa volonté à l'art. 454 al. 2 CPP, il n'y a pas à se demander si cette solution est ou non opportune.
En conséquence, le recours doit être rejeté en tant qu'il est dirigé contre l'arrêt rendu le 18 septembre 2012 par la Chambre pénale d'appel et de révision, mais il doit être admis en tant qu'il est dirigé contre la décision d'incompétence rendue les 3 et 5 juillet 2012 par la Cour de cassation. La cause sera renvoyée à cette dernière juridiction pour qu'elle statue, selon l'ancien droit, sur le pourvoi dont elle est saisie.
3. Les dernières conclusions des parties ont été formulées de manière très prudente, de sorte que l'on ne peut dire que l'une d'entre elles succombe (cf. art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF). En revanche, il est clair que les institutions cantonales n'ont pas fonctionné correctement. Sans contester aucunement l'existence d'une possibilité de recours, les deux juridictions cantonales, par leurs lettres simultanées du 3 juillet 2012, se sont renvoyées la balle et ont créé la plus grande incertitude dans l'esprit des justiciables, ce qui a obligé la recourante à saisir le Tribunal fédéral pour trancher le conflit négatif de compétence. Dans une telle situation, il se justifie de ne pas percevoir de frais (cf. art. 66 al. 4 LTF), mais de mettre les dépens de la recourante à la charge du canton.
Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à l'hoirie intimée parce que ses écritures, qui vont dans le sens de la recourante, étaient inutiles (art. 68 al. 4 et 66 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours dirigé contre l'arrêt rendu le 18 septembre 2012 par la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice genevoise est rejeté.
2. Le recours dirigé contre la décision d'incompétence rendue les 3 et 5 juillet 2012 par la Cour de cassation du canton de Genève est admis et cette décision est annulée.
3. La cause est renvoyée à la Cour de cassation pour traiter le pourvoi dont elle est saisie.
4. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
5. Le canton de Genève versera à la recourante une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre pénale d'appel et de révision, et à la Cour de cassation du canton de Genève.
Lausanne, le 18 février 2013
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Klett
Le Greffier: Ramelet