Sachverhalt:
A. Am 22. August 2008 beantragte die X._ GmbH dem Bezirksgericht Gersau, den Z._ betreffenden Vollstreckungsbescheid des Amtsgerichts München vom 30. November 1998 als vollstreckbar zu erklären, sowie ihr in der gegen diesen gerichteten Betreibung Nr. 1 des Betreibungsamtes A._ für den Betrag von Fr. 20'754.05 zuzüglich Zins von 6.5% seit 18. August 1998 für Fr. 19'056.85 sowie Zins zu 4% für Fr. 1'046.56 seit 30. November 1998 zuzüglich Betreibungskosten definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Der Vollstreckungsbescheid bezog sich auf einen Mahnbescheid des Amtsgerichts München vom 15. September 1998, mit dem Z._ aufgefordert wurde, eine Restforderung aus einem Leasingvertrag zu begleichen oder dagegen Einsprache zu erheben. Z._ hatte stets bestritten, das Mahnschreiben je erhalten zu haben. Das Bezirksgericht wies das Gesuch in allen Punkten mit der Begründung ab, die X._ GmbH habe den für die Anerkennung eines Abwesenheitsurteils erforderlichen Nachweis der persönlichen Zustellung des Mahnbescheids an Z._ nicht erbracht (Verfügung vom 16. Juli 2009).
B. Das Kantonsgericht Schwyz wies den von der X._ GmbH dagegen gerichteten Rekurs hauptsächlich unter Hinweis auf die Erwägungen des erstinstanzlichen Richters ab (Beschluss vom 9. September 2009).
C. Mit Eingabe vom 15. Oktober 2009 ersucht die X._ GmbH (nachfolgend Beschwerdeführerin) das Bundesgericht um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung im bereits vor den kantonalen Instanzen geltend gemachten Umfang, eventuell um Aufhebung des angefochtenen Urteils und Rückweisung desselben zu neuem Entscheid.
Die Präsidentin der II. Zivilrechtlichen Abteilung hat das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen (Verfügung vom 12. November 2009).
Zur Hauptsache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher Endentscheid im Sinn von Art. 75 Abs. 1 BGG und Art. 90 BGG betreffend definitive Rechtsöffnung. Dabei handelt es sich um einen Entscheid in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, der gemäss Art. 72 Abs. 2 lit. a BGG grundsätzlich der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (BGE 133 III 399 E. 1.4 S. 400; 134 III 141 E. 2 S. 143).
In vermögensrechtlichen Angelegenheiten ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Wird diese Streitwertgrenze - wie hier - nicht erreicht, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
1.2 Dieser Rechtsbegriff wird vom Bundesgericht angesichts der im Verlaufe der parlamentarischen Beratungen eingeführten subsidiären Verfassungsbeschwerde restriktiv ausgelegt, weshalb nicht mehr einfach von den in der Botschaft des Bundesrates erwähnten Anforderungen ausgegangen werden kann (BGE 134 III 115 E. 1.2; 133 III 493 E. 1.1 mit Hinweisen auf die Entstehungsgeschichte). Die Voraussetzungen von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG sind erfüllt, wenn ein allgemeines Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit Rechtssicherheit herzustellen (BGE 133 III 645 E. 2.4 S. 649; 134 III 354 E. 1.3 S. 357). Ein erhöhtes Interesse besteht dann, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass die entsprechende Frage je dem Bundesgericht unterbreitet werden kann, infolge der Streitwertgrenze äusserst gering ist (BGE 134 III 267 E. 1.2.3 S. 271); ein solches Interesse fehlt indessen, wenn nicht gesagt werden kann, dass die Frage mit Blick auf den erforderlichen Streitwert kaum jemals dem Bundesgericht zur freien Prüfung unterbreitet werden könnte (Urteil 5A_224/2008 vom 3. Dezember 2008 E. 1.2.2; Urteil 5A_309/2009 vom 9. Juni 2009 E. 1.5). Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt auch dann nicht vor, wenn es lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht (BGE 133 III 493 E. 1.2 S. 495 f.; 134 III 115 E. 1.2 S. 117). Beruft sich die Beschwerdeführerin auf diese Bestimmung, hat sie in ihrer Rechtsschrift darzutun, weshalb die Voraussetzungen hierfür gegeben sein sollen (Art. 42 BGG; BGE 133 III 645 E. 2.4 S. 648).
Vorliegend begnügt sie sich damit zu behaupten, es liege eine Frage von grundsätzlicher Bedeutung vor, ohne hinreichend zu begründen bzw. darzulegen, inwiefern die soeben skizzierten Voraussetzungen erfüllt sein sollen. Sie stellt dem Bundesgericht lediglich die Frage, ob und inwieweit bei einem deutschen Mahnbescheid eine im daraufhin ausgefertigten Vollstreckungsbescheid erwähnte Zustellungsbestätigung als Beleg der Zustellung eines Mahnbescheids im Sinne des LugÜ ausreicht. Ganz abgesehen davon, dass das Bundesgericht die aufgeworfene Rechtsfrage bereits beurteilt und beantwortet hat (s. E. 1.3 hiernach), genügt sie damit den Begründungsanforderungen nicht, weshalb auf ihre Beschwerde in Zivilsachen nicht eingetreten werden kann.
1.3 Indessen ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) entgegenzunehmen, soweit und sofern die formellen Anforderungen an diese erfüllt sind.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Dies gilt, anders als noch unter der Herrschaft des Bundesgesetzes über die Organisation der Bundesrechtspflege, auch bei einer Verletzung von Staatsverträgen (Art. 90 Abs. 1 lit. b OG; s. auch Urteil 5P.472/2002 E. 2.2), es sei denn, es werde eine den verfassungsmässigen Rechten gleichgestellte Norm angerufen. Die Beschwerdeführerin muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht. Es gilt das Rügeprinzip (BGE 133 III 589 E. 2 S. 591). Das Bundesgericht prüft daher nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein. Wird eine Verletzung des Willkürverbots geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Willkür in der Rechtsanwendung liegt dann vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 134 II 124 E. 4.1 S. 133).
Das Kantonsgericht Schwyz hat auf die Erwägungen des Einzelrichters von A._ verwiesen, der auf den Bundesgerichtsentscheid 5P.471/2002 vom 12. Februar 2003 abstellend das Begehren um definitive Rechtsöffnung mit der Begründung abwies, die im Vollstreckungsbescheid enthaltene Bestätigung der Zustellung des das Verfahren einleitenden Schriftstücks an den Beschwerdegegner stelle praxisgemäss keine Urkunde im Sinne von Art. 46 Nr. 2 LugÜ dar und es liege auch kein Ausnahmefall im Sinne von Art. 48 Abs. 1 LugÜ vor. Mit der Bemerkung, der Argumentation des Bezirksgerichts Gersau bzw. des Kantonsgerichts Schwyz könne nicht gefolgt werden, setzt sich die Beschwerdeführerin nicht in einer den Anforderungen an die Begründung der Beschwerde genügenden Weise auseinander, und es kann nicht darauf eingetreten werden. Dies gilt auch deshalb, weil die Beschwerdeführerin zwar ihre Auffassung des Inhalts der beiden angesprochenen Bestimmungen darlegt, es aber unterlässt aufzuzeigen, inwiefern die beiden Vorinstanzen diese krass verletzt hätten und das Ergebnis in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft.
1.4 Ferner führt die Beschwerdeführerin aus, die von ihr beschriebenen Vorgänge stellten "allenfalls" eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör im Sinne von Art. 29 Abs. 2 BV dar. Aus der Beschwerdeschrift kommt indes nicht klar hervor, worauf sich der Vorwurf beziehen soll. Soweit die Beschwerdeführerin es dem Bundesgericht anheim zu stellen scheint, sich auf die Suche nach einer Verletzung des rechtlichen Gehörs zu machen, verkennt sie offensichtlich dessen Aufgabe; auf diese Rüge ist nicht einzutreten.
2. Nach dem Gesagten kann nicht auf die Beschwerde eingetreten werden. Bei diesem Ausgang wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Zudem hat sie den Beschwerdegegner, der allerdings nur zum Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung zur Vernehmlassung eingeladen wurde, zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht des Kantons Schwyz, 2. Rekurskammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Dezember 2009
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Escher Schett