Faits:
A. Au bénéfice d'une rente de vieillesse de l'assurance-vieillesse et survivants, L._ a déposé le 15 novembre 2007 une demande de prestations complémentaires. Par décision du 5 février 2008, confirmée par décision sur opposition du 6 août 2009, la Caisse cantonale neuchâteloise de compensation (ci-après: la caisse) a nié le droit de L._ à des prestations complémentaires à partir du 1er novembre 2007, motif pris d'un excédent de revenus. Dans son calcul, l'administration a tenu compte, à titre de fortune, notamment d'un montant de 428'000 fr. ayant fait l'objet d'une donation de L._ (pour moitié) à chacun de ses enfants, A._ et B._.
B. L._, qui a déménagé en avril 2008 au home X._, a déféré la décision sur opposition au Tribunal cantonal, Cour de droit public, de la République et canton de Neuchâtel. Par jugement du 28 mars 2011, le Tribunal cantonal a partiellement admis le recours; il a confirmé la décision du 6 août 2009 "en tant qu'elle nie le droit à des prestations complémentaires en novembre et décembre 2007 puis de janvier à mars 2008" (ch. 2 du dispositif). Il a par ailleurs renvoyé la cause à la caisse pour instruction complémentaire puis nouvelle décision au sens des considérants concernant la période ultérieure au 31 mars 2008 (ch. 3 du dispositif).
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, L._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal en ce qu'il donne instruction à la caisse de ne pas tenir compte, dans la détermination de sa fortune, des remboursements effectués par son fils sous forme de prise en charge des frais engendrés par son placement au home X._. Elle conclut à ce qu'il soit reconnu que les sommes payées par son fils au home X._ pour un montant total de 62'430 fr. soient déduites de la fortune dont elle s'est dessaisie. A titre subsidiaire, elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à la caisse pour qu'elle statue dans le sens des considérants du Tribunal fédéral.
La caisse n'a pas d'observations à présenter sur le recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (art. 90 LTF) et qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause (art. 91 let. a LTF), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (art. 92 al. 1 LTF). Selon l'art. 93 al. 1 LTF, les autres décisions préjudicielles et incidentes notifiées séparément peuvent faire l'objet d'un recours si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a) ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Si le recours n'est pas recevable au regard de ces conditions ou s'il n'a pas été utilisé, la décision incidente peut être attaquée par un recours contre la décision finale dans la mesure où elle influe sur le contenu de celle-ci (art. 93 al. 3 LTF).
Dans un arrêt ATF 133 V 477, le Tribunal fédéral a précisé les notions de décisions finales, partielles, préjudicielles et incidentes au sens des art. 90 à 93 LTF. Il a considéré qu'un jugement de renvoi ne met pas fin à la procédure, de sorte qu'il ne constitue pas une décision finale au sens de la LTF. Les jugements de renvoi qui tranchent une question de droit matériel ne sont pas non plus des décisions partielles au sens de l'art. 91 let. a LTF car il ne s'agit pas de décisions qui statuent sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause. Ils constituent bien plutôt des décisions incidentes qui peuvent être attaquées séparément aux conditions prévues à l'art. 93 al. 1 LTF (ATF 133 V 477 consid. 4.2 p. 481 et les références).
1.2 Par analogie avec la jurisprudence rendue dans le domaine de l'assurance-invalidité (ATF 135 V 141), le Tribunal fédéral a jugé qu'en matière de prestations complémentaires, la décision par laquelle la juridiction cantonale statue matériellement sur le droit à des prestations complémentaires pour une période déterminée et renvoie la cause à l'administration pour nouvelle décision en ce qui concerne la période postérieure constitue, pour la première partie du jugement, une décision partielle susceptible d'être attaquée séparément et, pour la seconde, une décision incidente (arrêt 9C_166/2011 du 24 octobre 2011 consid. 1.2 et 1.3).
2. 2.1 Dans le jugement attaqué, la juridiction cantonale a confirmé que la recourante n'avait pas droit à des prestations complémentaires pour la période courant du 1er novembre 2007 au 31 mars 2008 (ch. 2 du dispositif). Pour la période ultérieure, elle a renvoyé la cause à l'intimé pour instruction complémentaire puis nouvelle décision au sens des considérants (ch. 3 du dispositif). Selon ceux-ci (consid. 8 et 9), comme L._ était domiciliée au home médicalisé X._ depuis le mois d'avril 2008, l'intimée aurait dû en tenir compte pour déterminer les dépenses reconnues et les revenus déterminants au sens de la LPC, qui règle différemment le sort des personnes vivant ou non en permanence ou pour une longue durée dans un home ou un hôpital. Il incombait par conséquent à l'intimée de procéder à un nouveau calcul des dépenses et des revenus déterminants dès avril 2008, mais sans qu'il y ait lieu de déduire de la fortune de la recourante les montants que A._ versait au home X._. Ceux-ci n'avaient en effet jamais fait l'objet d'une convention entre la recourante et son fils selon laquelle ils auraient constitué des contre-prestations de la donation intervenue en 2001.
2.2 En ce qui concerne la période du 1er novembre 2007 au 31 mars 2008, les premiers juges ont statué matériellement sur le droit aux prestations complémentaires (qu'ils ont nié). Conformément à la jurisprudence ci-dessus exposée (consid. 1.2), le jugement entrepris constitue une décision partielle en tant qu'il porte sur cette première période. En ce qui concerne, en revanche, le droit éventuel de la recourante à des prestations complémentaires à partir du 1er avril 2008, le jugement attaqué est une décision incidente car la juridiction cantonale renvoie la cause à l'administration pour instruction complémentaire et nouvelle décision.
2.3 Au regard des conclusions du recours (cf. art. 107 al. 1 LTF) et de ses motifs, la recourante conteste le jugement entrepris uniquement en tant qu'il concerne la période postérieure au 31 mars 2008. En effet, elle s'en prend exclusivement aux considérations des premiers juges selon lesquelles l'intimée ne doit pas tenir compte dans la détermination de la fortune de l'ayant droit des sommes versées par A._ au home X._, en concluant à ce que ces montants (pour 62'430 fr.) soient déduits de la fortune dont elle s'est dessaisie. La recourante ne remet donc pas en cause la décision partielle de la juridiction cantonale sur le droit aux prestations du 1er novembre 2007 au 31 mars 2008, mais seulement la décision incidente portant sur la période postérieure. Son recours n'est donc admissible qu'aux conditions posées à l'art. 93 al. 1 let. a et b LTF.
3. 3.1 Un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF est un dommage de nature juridique qui ne peut pas être réparé ultérieurement par un jugement final ou une autre décision favorable au recourant (ATF 133 IV 139 consid. 4 p. 141, 288 consid. 3.1 p. 291). En revanche, un dommage de pur fait, comme la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme irréparable (ATF 131 I 57 consid. 1 p. 59 et les arrêts cités p. 59).
Par ailleurs, l'ouverture du recours, prévue pour des motifs d'économie de procédure (art. 93 al. 1 let. b LTF), contre une décision incidente constitue une exception et doit être interprétée de manière restrictive, d'autant plus que les parties ne subissent aucun préjudice lorsqu'elles n'attaquent pas immédiatement de telles décisions, qu'elles peuvent contester en même temps que la décision finale (art. 93 al. 3 LTF). L'art. 93 al. 1 let. b LTF suppose d'abord que le Tribunal fédéral soit en mesure de rendre lui-même un jugement final en réformant la décision préjudicielle ou incidente attaquée, ce qui n'est pas le cas s'il apparaît que, en cas d'admission du recours, il devra de toute manière annuler la décision attaquée et renvoyer la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision. Ensuite, l'admission du recours doit permettre d'éviter une procédure d'administration des preuves longue et coûteuse (ATF 134 III 426 consid. 1.3.2 p. 430 et les arrêts cités).
3.2 La recourante prétend que la décision préjudicielle entreprise lui cause un dommage irréparable. En effet, l'intimée serait tenue par les instructions de la juridiction cantonale de ne pas prendre en considération les montants que son fils a versés au home et la question de la prise en considération de ces paiements ne pourrait plus être soulevée ultérieurement, ce qui priverait la recourante de l'examen de ce point précis par le Tribunal fédéral.
L'argumentation de la recourante est mal fondée. S'il est vrai que l'intimée est tenue de se confirmer aux instructions du jugement entrepris, il n'en résulte toutefois pas un dommage irréparable pour la recourante. Contrairement à ce qu'elle allègue, elle pourra en effet soulever les griefs relatifs à l'absence de prise en compte des montants versés par son fils à l'institution dans laquelle elle réside à l'encontre du jugement cantonal sur le fond, puis, le cas échéant, devant le Tribunal fédéral (aux conditions de l'art. 93 al. 3 LTF).
Par ailleurs, l'admission du recours ne peut pas, en l'état de la procédure, conduire à une décision finale. En effet, même si le Tribunal fédéral parvenait à une solution inverse à celle retenue par la juridiction cantonale dans le sens voulu par la recourante, le litige sur le fond ne serait pas tranché, le renvoi de la cause à l'intimé ayant précisément pour but que l'intimée détermine les éléments nécessaires pour statuer sur le droit de la recourante à des prestations complémentaires à partir du 1er avril 2008. Le Tribunal fédéral ne pourrait donc pas mettre un terme définitif à la procédure.
3.3 Dès lors qu'aucune des deux éventualités prévues à l'art. 93 al. 1 LTF n'est réalisée, le recours doit être déclaré irrecevable.
4. Vu l'issue du litige, la recourante supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Même si elle obtient gain de cause, l'intimée n'a pas droit à une indemnité de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est irrecevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 7 février 2012
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Meyer
La Greffière: Moser-Szeless