Sachverhalt:
A. Der Regierungsstatthalter von Bern erteilte der Y._ AG am 15. November 2006 die Gesamtbaubewilligung für den Umbau des Warenhauses Ryfflihof in der Berner Altstadt. Das Bauprojekt umfasst unter anderem einen hofseitigen Erweiterungsbau auf Parzelle Nr. 949. Dieser soll aus einem verglasten und beheizten Wintergarten und einer gedeckten Terrasse auf der Höhe des 3. Obergeschosses bestehen.
B. Die Ehegatten X._, Eigentümer der Nachbarliegenschaft Nr. 946, wehrten sich gegen die Baubewilligung. Sie hatten bereits gegen das Baugesuch Einsprache erhoben. Ihre Beschwerden wurden von der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion (BVE) des Kantons Bern (Entscheid vom 14. Juni 2007) und vom Verwaltungsgericht des Kantons Bern (Urteil vom 1. November 2007) abgewiesen, soweit darauf eingetreten wurde.
C. Das verwaltungsgerichtliche Urteil zogen die Ehegatten X._ an das Bundesgericht weiter. Dieses hiess ihre Beschwerde mit Urteil 1C_430/2007 vom 21. April 2008 teilweise gut, soweit es um die Frage der Beeinträchtigung von Lichtzutritt und Aussicht auf ihrer Liegenschaft geht, und hob das verwaltungsgerichtliche Urteil auf. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. In Bezug auf die genannten Fragen erwog das Bundesgericht, die Liegenschaft der Beschwerdeführer erleide bezüglich Lichtzutritt und Aussicht entgegen der Feststellung des Verwaltungsgerichts mehr als nur eine minimale Beeinträchtigung. Dieses habe deshalb die Frage nicht offen lassen dürfen, ob Art. 79 Abs. 2 der Bauordnung der Stadt Bern (BO 06) Beeinträchtigungen dieser Art erfasse. Daraufhin nahm das Verwaltungsgericht das Verfahren wieder auf und fällte am 9. Juli 2008 ein neues Urteil; damit verneinte es diese Frage und wies die Beschwerde ein zweites Mal ab, soweit es darauf eintrat.
D. Mit Eingabe vom 10. September 2008 führen die Ehegatten X._ beim Bundesgericht wiederum Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie ersuchen erneut um Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Erteilung des Bauabschlags. Eventualiter sei das Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Y._ AG stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Einwohnergemeinde Bern und das Verwaltungsgericht beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die BVE hat Verzicht auf eine Vernehmlassung erklärt. In der Replik halten die Beschwerdeführer an ihren Begehren fest.
E. Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat das Gesuch der Beschwerdeführer um Gewährung der aufschiebenden Wirkung mit Verfügung vom 17. Oktober 2008 abgewiesen.
Erwägungen:
1. Die Eintretensvoraussetzungen sind an sich erfüllt. Unter dem Vorbehalt rechtsgenüglich begründeter Rügen (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. dazu BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246 mit Hinweisen) ist auf die Beschwerde einzutreten.
2. Nach dem hier anwendbaren Art. 79 Abs. 2 BO 06 kann das Nutzungsmass für einzelne Grundstücke in der Zone "Obere Altstadt" maximal bis zum mittleren vorhandenen Nutzungsmass der angrenzenden Liegenschaften erhöht werden, sofern dies dem Planungszweck gemäss Art. 77 dient und die umliegenden Gebäude nicht beeinträchtigt werden. Gemäss Art. 77 Abs. 2 BO 06 ist Planungszweck der Zone a) der Schutz der Oberen Altstadt und des Gewerbegebiets Matte in ihrer historischen Bebauungsstruktur, insbesondere aber der altstadtprägenden Gebäudevolumen, Geschosszahlen und -höhen, Gebäudefluchten, Dachformen und -gestaltungen, Fassaden, Lauben und Brandmauern sowie die Aussenräume; b) die Förderung der städtebaulichen Qualitäten als Citygebiet.
2.1 Wie in E. 3.3 des Urteils 1C_430/2007 vom 21. April 2008 ausgeführt wurde, umschreibt Art. 79 Abs. 2 BO 06 die Zulässigkeit einer Erhöhung des Nutzungsmasses an sich mittels dreier Voraussetzungen: Erstens ist ein Nutzungsmass-Vergleich mit den angrenzenden Liegenschaften anzustellen. Zweitens muss der Planungszweck gemäss Art. 77 BO 06 eingehalten sein. Drittens darf die bauliche Erweiterung die umliegenden Gebäude nicht beeinträchtigen. Die kantonalen Behörden haben sich im hier betroffenen Anwendungsfall damit begnügt, den Regelungsgehalt der ersten Anforderung im Rahmen der zweiten Anforderung zu berücksichtigen. Dieses Vorgehen hat das Bundesgericht nicht beanstandet. Demgemäss braucht insoweit nur geprüft zu werden, ob ein vernünftiges Verhältnis unter den bestehenden Nachbargebäuden gewahrt und die altstadtprägenden Strukturen nicht gestört werden. Die Beurteilung, dass das konkrete Bauprojekt dies einhält, hat das Bundesgericht geschützt (a.a.O., E. 4).
2.2 Der Streitgegenstand der vorliegenden Auseinandersetzung ist beschränkt auf die rechtliche Tragweite der dritten Voraussetzung, die in Art. 79 Abs. 2 BO 06 aufgeführt ist. Es handelt sich um das Verbot, umliegende Gebäude zu beeinträchtigen. In dem hier angefochtenen Urteil hat das Verwaltungsgericht den Wortlaut der fraglichen Gesetzeswendung als unklar bezeichnet und deren Sinn durch Auslegung ermittelt. Seiner Ansicht nach sind gestützt auf diese dritte Vorgabe nicht jegliche, sondern einzig gestalterische Beeinträchtigungen von Nachbarliegenschaften untersagt. Mit anderen Worten bewirke diese Vorgabe keinen Schutz vor anderen Immissionen. Für diese Schlussfolgerungen hat das Verwaltungsgericht verschiedene Gesichtspunkte berücksichtigt. Erhebliches Gewicht misst es dem Umstand zu, dass die Gemeinde die Bestimmung als rein gestalterische Vorschrift verstanden haben will.
2.3 Eine derartige Handhabung der Norm halten die Beschwerdeführer für sachlich unhaltbar; sie rufen das Willkürverbot (Art. 9 BV) an. Nach ihrer Meinung muss der betreffenden Anforderung zwingend eine Schutzwirkung gegen wesentliche Beeinträchtigungen von Lichtzutritt und Aussicht auf Nachbarliegenschaften beigelegt werden. Weiter machen sie geltend, die willkürliche Rechtsanwendung verletze zugleich das Gesetzmässigkeitsprinzip (Art. 5 Abs. 1 BV) und das Gleichbehandlungsgebot (Art. 8 Abs. 1 BV). Hinsichtlich der allgemeinen Tragweite der genannten Verfassungsnormen kann auf Urteil 1C_430/2007 vom 21. April 2008 E. 4.3 verwiesen werden.
2.4 Die Beschwerdeführer tun nicht dar, dass der Wortlaut der betreffenden Gesetzeswendung klar für ihre Auslegungsvariante spricht. Was die vom Verwaltungsgericht vorgenommene Normdeutung angeht, gilt Folgendes: Im Vergleich zur zweiten Vorgabe, die sich auf den Planungszweck gemäss Art. 77 BO 06 bezieht, billigt das Verwaltungsgericht der hier zur Diskussion stehenden, dritten Voraussetzung letztlich nicht mehr als eine untergeordnete Tragweite mit gleicher Zielrichtung zu. Dies ist im Lichte der vorgetragenen Verfassungsrügen nicht zu beanstanden. An diesem Ergebnis ändert selbst dann nichts, wenn bei der gegebenen Sachlage sowohl die dritte als auch die erste Anforderung von Art. 79 Abs. 2 BO 06 im Rahmen der Rechtsanwendung weitgehend in der zweiten Vorgabe aufgehen.
2.5 Von den Beschwerdeführern wird eingewendet, ohne den von ihnen verfochtenen Normgehalt seien sie gegen andere als ästhetisch schädigende Auswirkungen einer Nutzungserweiterung überhaupt nicht geschützt. Bei diesen Vorbringen fehlt es an einer rechtsgenüglichen Begründung. Die Beschwerdeführer zeigen nicht detailliert auf, inwiefern die übrigen - namentlich kommunalen - Bauvorschriften sie bezüglich Lichtzutritt und Aussicht ungenügend schützen würden. Insofern ist dem Bundesgericht eine Überprüfung verwehrt.
2.6 Im Übrigen hat das Bundesgericht, entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer, in E. 6.3 des Urteils 1C_430/2007 vom 21. April 2008 nicht bereits indirekt anerkannt, dass der fragliche Gesetzespassus in ihrem Sinne auszulegen wäre. Im damaligen Verfahren beschränkte sich das Bundesgericht darauf, das Verwaltungsgericht zu einer Klärung des fraglichen Normgehalts zu verpflichten. Eine inhaltliche Vorgabe war damit nicht verbunden. Nichts anderes folgt aus der von den Beschwerdeführern zitierten Urteilserwägung. Das Verwaltungsgericht hat die verlangte Klärung, wie vorstehend aufgezeigt, in verfassungsrechtlich haltbarer Weise vorgenommen. Folglich haben es die Beschwerdeführer hinzunehmen, dass es hier nicht mehr darauf ankommt, ob das Bauprojekt ihre Liegenschaft bezüglich Lichtzutritt und Aussicht beeinträchtigt.
3. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ausgangsgemäss haben die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Sie haben die Beschwerdegegnerin angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 und 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt.
3. Die Beschwerdeführer haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren, unter solidarischer Haftbarkeit, mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Parteien, der Einwohnergemeinde Bern, der Bau-, Verkehrs- und Energiedirektion und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, sowie dem Regierungsstatthalteramt Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Februar 2009
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Der Gerichtsschreiber:
Aemisegger Kessler Coendet