Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1. Am 13. Juni 2005, 00.36 Uhr, meldete eine Patrouille der Stadtpolizei Solothurn der Alarmzentrale den Ausbruch eines Brandes im Güterschuppen am Hauptbahnhof Solothurn. Der Schopf, in welchem Gewerbetreibende eingemietet waren, brannte völlig aus. Die Polizei stiess in der Folge auf vier verdächtige Jugendliche, die sich zur Zeit des Brandausbruchs beim Güterschopf aufgehalten hatten.
Das Obergericht des Kantons Solothurn verurteilte den Beschwerdeführer mit Urteil vom 2. September 2010 wegen Brandstiftung zu einer Freiheitsstrafe von 15 Monaten, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, das Urteil vom 2. September 2010 aufzuheben und ihn vom Vorwurf der Brandstiftung freizusprechen.
2. Die Beschwerdefrist von Art. 100 Abs. 1 BGG ist eine gesetzliche Frist, die nicht erstreckt werden kann (Art. 47 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde wurde am letzten Tag der Frist eingereicht. Auf den Antrag AB1, das Bundesgericht solle gegebenenfalls eine Ergänzung der Beschwerdebegründung verlangen, ist nicht einzutreten.
3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die solothurnischen Gerichte und die Bericht erstattenden Personen seien befangen gewesen (BB2). Allein aus dem Umstand, dass nicht im Sinne des Beschwerdeführers entschieden wurde, ist indessen nicht herzuleiten, dass die Gerichtspersonen im Kanton Solothurn befangen gewesen wären.
4. Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei ungenügend verteidigt gewesen (BB1). Die Vorinstanz hat sich dazu geäussert, worauf in Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG verwiesen werden kann (vgl. angefochtenen Entscheid S. 2/3 E. I). Was daran gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte, ergibt sich aus der Beschwerde nicht und ist auch nicht ersichtlich.
5. Die Beweiswürdigung und die Feststellung des Sachverhalts können vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV sind. Willkür liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dass eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint, genügt nicht (BGE 134 I 140 E. 5.4). Die angebliche Willkür ist in der Beschwerde präzise zu rügen und die Rüge zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG). Kritik, wie sie vor einer Instanz mit voller Kognition vorgebracht werden könnte, ist vor Bundesgericht unzulässig.
In Bezug auf die Beweiswürdigung und den Sacherhalt kann auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. angefochtenen Entscheid S. 5 - 8).
Der Beschwerdeführer macht geltend, bei der Interpretation der Einvernahmen der vier Jugendlichen seien Unstimmigkeiten aufgetreten (BB1, BC6). Demgegenüber geht die Vorinstanz davon aus, die Aussagen der vier Jugendlichen hätten grundsätzlich übereingestimmt (angefochtener Entscheid S. 6 oben). Dass sie entscheidend auf denjenigen der Jugendlichen abstellte, der von der Wirkung des getrunkenen Alkohols am wenigsten beeinträchtigt war (angefochtener Entscheid S. 8), ist nicht zu beanstanden. Inwieweit dessen Aussagen "z.T. ziemlich widersprüchlich" gewesen wären (BC6), sagt der Beschwerdeführer nicht. Von Willkür kann jedenfalls nicht die Rede sein.
Der Beschwerdeführer rügt weiter, das Gericht habe es zu Unrecht abgelehnt, seinen Vater als Zeugen anzuhören (BB1). Inwieweit der Vater zum Ablauf der Geschehnisse, an denen er nicht teilgenommen hatte, etwas Relevantes hätte aussagen können, ist indessen nicht ersichtlich.
6. Der Beschwerdeführer macht in Bezug auf die rechtliche Qualifikation der Tat als Brandstiftung nur geltend, es liege keine vorsätzliche und auch keine eventualvorsätzliche Tat vor (BC2, BC4, BD1, BD2). Auch in diesem Punkt kann auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. angefochtenen Entscheid S. 10/11). Wenn man vom Sachverhalt, den die Vorinstanz willkürfrei festgestellt hat, ausgeht, ist der Schuldspruch nicht zu beanstanden. Dass der Beschwerdeführer sich zur Zeit der Tat in einer für ihn belastenden Situation befand (BC2), ändert nichts daran, dass er zumindest eventualvorsätzlich gehandelt hat.
7. Gemäss Art. 47 Abs. 1 StGB misst der Richter die Strafe nach dem Verschulden des Täters zu. Er berücksichtigt das Vorleben, die persönlichen Verhältnisse und die Wirkung der Strafe auf das Leben des Täters. Die Bewertung des Verschuldens wird in Art. 47 Abs. 2 StGB dahingehend präzisiert, dass es nach der Schwere der Verletzung oder Gefährdung des betroffenen Rechtsgutes, nach der Verwerflichkeit des Handelns, den Beweggründen und Zielen des Täters sowie danach bestimmt wird, wie weit der Täter nach den inneren und äusseren Umständen in der Lage war, die Gefährdung oder Verletzung zu vermeiden. Es liegt im Ermessen des Sachrichters, in welchem Umfang er die verschiedenen Strafzumessungsfaktoren berücksichtigt. Das Bundesgericht greift in die Strafzumessung nur ein, wenn der Sachrichter den gesetzlichen Strafrahmen über- oder unterschritten hat, wenn er nicht von massgebenden Gesichtspunkten ausgegangen ist oder wesentliche Gesichtspunkte ausser acht gelassen bzw. in Überschreitung oder Missbrauch seines Ermessens falsch gewichtet hat (BGE 134 IV 17 E. 2.1).
In Bezug auf die Strafzumessung kann auf die Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. angefochtenen Entscheid S. 13 - 18).
Der Beschwerdeführer macht geltend, seine persönlichen Verhältnisse seien nicht genügend geklärt und beurteilt worden (BB1, BC3). Davon kann nicht die Rede sein. Die Vorinstanz verkannte nicht, dass der Beschwerdeführer in sehr schwierigen familiären Verhältnissen aufwachsen musste (angefochtener Entscheid S. 16/17). In Bezug auf die Täterkomponente nahm sie denn auch eine Strafminderung von sechs Monaten vor (angefochtener Entscheid S. 18). Damit hielt sie sich im Rahmen des ihr zustehenden Ermessens.
8. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2010
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Favre C. Monn