Faits:
A. A.a X._, peintre de renommée internationale né en 1886, est décédé le 22 février 1980 à B._ (VD). Par testament public du 11 juillet 1958, il a désigné son épouse, dame X._, née en 1915, héritière unique de sa succession, qu'il a soumise au droit suisse, puis, par codicille du 28 mars 1972, au droit anglais.
Le 1er février 1988, dame X._ a constitué la "Fondation à la mémoire de X._" (Fondation), dont le but est notamment l'entretien et la conservation de l'oeuvre de celui-ci. Par testament du 1er mars 1995, la prénommée a institué le neveu de X._, A._, médecin autrichien né le 9 octobre 1943, héritier universel et légataire de deux aquarelles ainsi que d'une dizaine de dessins de son choix parmi les oeuvres de X._ en sa possession; elle a légué à la Fondation la somme de 200'000 fr. et la moitié des avoirs déposés auprès de l'Union de banques suisses (UBS) ainsi qu'une maison sise à B._. Par testament du 30 novembre 1998, dame X._ a institué la Fondation héritière unique et prévu différents legs, dont l'un consistait dans l'attribution à A._ de la moitié de son compte dépôt auprès de l'UBS; elle a précisé que ces dispositions rendaient caduques toutes celles qui avaient été rédigées antérieurement. Par codicille du 1er mars 2000, le legs en faveur de A._ a été fixé à un million de shillings autrichiens, le testament de 1998 étant révoqué sur ce point. Le 30 novembre 2005, l'exécuteur testamentaire de dame X._ a versé au bénéficiaire l'équivalent, en euros, d'un million de shillings autrichiens (i.e. environ 109'000 fr. suisses).
A.b Dame X._ a été victime d'un accident cardio-vasculaire qui a nécessité son hospitalisation du 4 au 8 juin 1998 pour l'implantation d'un pacemaker. Le 11 juin suivant, elle a eu un second accident cardio-vasculaire qui a causé un état confusionnel puis des problèmes d'élocution. Elle s'est installée en août 2001 dans une résidence pour personnes âgées. Elle est décédée le 22 juin 2004.
B. Le 25 août 2006, A._ a ouvert action en annulation de testament et en pétition d'hérédité à l'encontre de la Fondation devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois.
B.a Le 26 août 2006, il a requis l'assistance judiciaire pour les frais de justice et d'avocat.
Estimant que sa fortune et ses revenus lui permettaient d'assumer les frais du procès sans entamer la part de ses biens nécessaire à son entretien et à celui de sa famille, le Secrétariat du Bureau de l'assistance judiciaire du canton de Vaud (BAJ) a, par décision du 28 octobre 2006, refusé l'assistance judiciaire. Le 1er novembre suivant, le requérant a sollicité la communication de la motivation de cette décision. En guise de réponse, le BAJ lui a demandé de fournir certains renseignements et documents afin de pouvoir statuer en toute connaissance de cause.
Le 16 novembre 2006, l'intéressé a transmis les pièces et informations requises, en précisant que la Cour civile lui avait réclamé une avance de frais de 50'000 fr. pour le dépôt de la demande et 5'350 fr. pour une audience de mesures provisionnelles et préprovisionnelles qui devait se tenir le 29 novembre 2006.
Par décision du 7 décembre 2006, le BAJ a accordé l'assistance judiciaire partielle pour l'avance de frais de 50'000 fr. relative au dépôt de la demande, cette avance étant soumise à restitution principalement par mensualités de 1'500 fr. à partir du 1er janvier 2007, subsidiairement par un versement global du solde en cas de gain - total ou partiel - du procès.
B.b Le 9 décembre 2006, A._ a demandé le remboursement de la somme de 5'350 fr. versée à titre d'avance de frais pour l'audience du 29 novembre 2006; le 14 décembre suivant, il a requis l'extension de l'assistance judiciaire aux frais d'avocat, d'interprète, de traduction et d'expertise.
Par décisions du 30 janvier 2007, le BAJ a accordé à l'intéressé le bénéfice de l'assistance judiciaire pour les frais de l'audience du 2 février 2007 (6'000 fr.), pour les frais d'interprète (610 fr.) et pour les frais de traduction des pièces (7'740 fr.), le tout sous réserve de restitution comme prévu précédemment.
Le 30 janvier 2007, A._ a réclamé derechef le remboursement de la somme de 5'350 fr.; il a par ailleurs précisé qu'un cabinet d'avocats lausannois avait collaboré à l'élaboration de l'acte d'appel à l'encontre d'une ordonnance sur mesures provisionnelles du 3 janvier 2007 et demandé que ces frais soient pris en charge.
Le 5 mars 2007, A._ a transmis au BAJ une demande d'avance de frais de la Cour civile pour une requête de preuve à futur (900 fr.) et réitéré sa requête de prise en charge des honoraires de son avocat lausannois et de remboursement de la somme de 5'350 fr. Par décision du 15 mars 2007, le Secrétariat du BAJ a refusé l'assistance judiciaire pour l'avance de frais de 900 fr. par le motif que la fortune et les revenus du requérant lui permettaient d'assurer le versement de ce montant sans entamer la part de ses biens nécessaire à son entretien et à celui de sa famille.
B.c Le 22 mars 2007, A._ a sollicité le réexamen de la décision du 7 décembre 2006, concluant au bénéfice de l'assistance judiciaire complète, non soumise à restitution, et formé une réclamation contre la décision du 15 mars 2007.
Le 17 août 2007, le Secrétariat du BAJ a prononcé:
"a. Les requêtes de A._ des 16 novembre 2006 et 22 mars 2007 sollicitant le réexamen de la décision de refus du bénéfice de l'assistance judiciaire complète du 26 octobre 2006 sont rejetées.
b. La requête de A._ du 22 mars 2007 sollicitant le réexamen de la décision d'octroi du bénéfice de l'assistance judiciaire partielle du 7 décembre 2006 est rejetée.
c. La requête de A._ du 22 mars 2007 sollicitant le réexamen de la décision de refus du bénéfice de l'assistance judiciaire partielle du 15 mars 2007 est rejetée.
d. Le bénéfice de l'assistance judiciaire partielle pour l'avance de frais par fr. 5'350.- requise pour l'audience provisionnelle de la Cour civile du Tribunal cantonal du 29 novembre 2006 (cause CO 06.006184/1) est refusé à A._.
e. (Communication)".
Le 20 août 2007, A._ a déposé une réclamation contre cette décision, concluant à ce que l'assistance judiciaire complète lui soit octroyée, subsidiairement à ce qu'il soit mis au bénéfice de l'assistance judiciaire partielle pour les montants de 5'350 fr. relatifs aux frais de l'audience du 29 novembre 2006, de 900 fr. concernant la procédure de preuve à futur, de 1'500 fr. relatifs aux frais de la procédure d'administration d'office de la succession et d'environ 7'000 fr. à titre de frais de traduction des pièces produites; le 30 août 2007, il a complété cette écriture en demandant que l'assistance judiciaire lui soit accordée pour les frais d'intervention de son conseil lausannois (11'041 fr. 85) ainsi que pour le solde des frais de traduction (2'259 fr. 60).
Le 2 novembre 2007, A._ a requis l'assistance judiciaire pour l'avance de frais de 30'000 fr. réclamée par la Chambre des recours du Tribunal cantonal vaudois. Par décision du 27 novembre 2007, le BAJ l'a mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la somme en question.
B.d Le 29 janvier 2008, A._ a demandé le bénéfice de l'assistance judiciaire pour les frais de traduction (8'120 fr.).
Par lettre du 7 février 2008, le BAJ lui a rappelé que l'assistance judiciaire partielle n'était accordée que pour des opérations ordonnées par le tribunal et requis un devis concernant la traduction de la commission rogatoire du témoin C._. Dans sa réponse du même jour, A._ a indiqué que le prix de la traduction se montait à environ 2'610 fr., plus les frais de légalisation (85 fr.). Par décision du 13 février 2008, le BAJ a concédé l'assistance judiciaire pour l'avance des frais de traduction à hauteur de 2'610 fr.
Le 14 février 2008, A._ a requis l'assistance judiciaire pour les frais de traduction du procès-verbal d'audition du témoin D._. Par décision du 20 février 2008, le BAJ a accordé le bénéfice de l'assistance judiciaire pour lesdits frais (4'560 fr.).
B.e Le 1er avril 2008, A._ a demandé à être exonéré du paiement des mensualités de 1'500 fr. afin de pouvoir rétribuer son avocat. Par courrier du 2 avril 2008, le BAJ lui a répondu qu'il refusait de reconsidérer ses décisions.
Le 4 avril 2008, A._ a requis le réexamen des décisions du BAJ, renouvelant sa requête d'assistance judiciaire complète, subsidiairement de suspension de son obligation de remboursement des mensualités.
Le 18 septembre 2008, le BAJ a rendu la décision suivante:
"I. La demande de reconsidération de la décision du 26 octobre 2006 formée par A._ en date du 16 novembre 2006 est rejetée.
II. La demande de réexamen contre les décisions rendues le 26 octobre 2006, le 7 décembre 2006 et le 15 mars 2007 formée par A._ en date du 22 mars 2007 est rejetée.
III. La réclamation du 20 août 2007 formée par A._ contre la décision rendue par le Bureau de l'assistance judiciaire le 17 août 2007 est rejetée.
IV. La réclamation, respectivement la demande de réexamen, formée le 30 août 2007 par A._ contre la décision sur réexamen du 28 août 2007 rendue par le Bureau de l'assistance judiciaire est rejetée.
V. La demande de réexamen du 4 avril 2008 formée par A._ est rejetée.
VI. (Communication)".
C. C.a Le 29 novembre 2008, A._ a présenté une requête d'assistance judiciaire dans les termes suivants:
"1) Au demandeur est octroyée l'assistance judiciaire complète pour le procès successoral le divisant d'avec la Fondation à la mémoire de X._ pendant devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois (...), avec l'effet rétroactif à partir du 28 novembre 2005, subsidiairement avec l'effet à partir du dépôt de la demande le 26 août 2006.
2) Plus subsidiairement est octroyée l'assistance judiciaire pour l'avance de CHF 50'000.- selon facture du 10 novembre 2008 pour l'audience préliminaire dans le même procès".
C.b Par décision du 15 mai 2009, le Secrétariat du BAJ a refusé l'octroi de l'assistance judiciaire avec effet rétroactif.
Le 28 mai 2009, A._ a déposé une réclamation contre cette décision, concluant à ce que l'assistance judiciaire complète lui soit accordée rétroactivement depuis le début du litige, subsidiairement depuis le dépôt de cette réclamation.
C.c Par décision du 2 juillet 2009, le Secrétariat du BAJ a refusé l'octroi de l'assistance judiciaire pour l'avance de frais de 50'000 fr. relative à l'audience préliminaire devant la Cour civile.
Le 13 juillet 2009, A._ a déposé une réclamation contre cette décision, concluant à ce que l'assistance judiciaire complète lui soit octroyée, y compris pour les frais précités.
C.d Par décisions des 31 juillet et 24 août 2009, le BAJ a rejeté les réclamations dirigées respectivement contre les décisions des 15 mai et 2 juillet 2009.
D. Le 24 août 2009, A._ a recouru auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud à l'encontre de la décision du 31 juillet 2009, complétant son mémoire le 14 septembre 2009. Le 24 septembre suivant, il a recouru à l'encontre de la décision du 24 août 2009.
Les deux causes ont été jointes le 26 novembre 2009.
Statuant le 4 mars 2010, la Cour de droit administratif et public a rejeté les recours (I), confirmé les décisions attaquées (II/III), mis les frais à la charge du recourant (IV) et n'a pas alloué de dépens (V).
E. Par mémoire du 19 avril 2010, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral; il prend les conclusions suivantes:
"1) L'arrêt attaqué est annulé.
2) Au recourant est accordée l'assistance judiciaire complète pour le procès successoral (...) devant le Tribunal cantonal vaudois.
3) Subsidiairement lui est octroyée l'assistance judiciaire pour l'avance de CHF 50'000.- pour l'audience préliminaire dans le procès selon le chiffre 2.
4) Le recourant est dispensé des frais judiciaires; le tribunal le fait assister par le soussigné (i.e. Me Effenberger)".
Le recourant sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit:
1. 1.1 Le refus de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (ATF 129 I 129 consid. 1.1). Conformément au principe de l'unité de la procédure (ATF 134 V 138 consid. 3), la voie de recours contre une telle décision est déterminée par le litige principal (ATF 135 I 265 consid. 1.2). La cause au fond étant ici de nature successorale, à savoir civile (art. 72 al. 1 LTF), c'est avec raison que le recourant a formé un recours en matière civile, nonobstant la voie de droit indiquée par l'autorité précédente (recours en matière de droit public).
1.2 La décision attaquée se rapporte à une affaire qui, sur le fond, est de nature pécuniaire; sous réserve d'exceptions non pertinentes dans le cas présent (art. 74 al. 1 let. a et al. 2 LTF), le recours en matière civile n'est donc ouvert que si la valeur litigieuse atteint 30'000 fr. au moins (art. 74 al. 1 let. b LTF; cf. parmi plusieurs: arrêt 5D_6/2008 du 10 mars 2008 consid. 1.2). L'autorité précédente n'a pas mentionné la valeur litigieuse (art. 112 al. 1 let. d LTF); il ressort toutefois clairement de l'arrêt attaqué que le seuil légal est amplement atteint (cf. ATF 136 III 60 consid. 1.1.1).
1.3 Il ne résulte pas de la décision attaquée que le recourant se serait prévalu devant l'autorité précédente du Traité d'amitié, de commerce et d'établissement réciproque entre la Confédération Suisse et sa Majesté la Reine du Royaume-Uni de la Grande-Bretagne et d'Irlande conclu le 6 septembre 1855 (RS 0.142.113.671; Dutoit/Knoepfler/Lalive/Mercier, Répertoire de droit international privé suisse, vol. 3, 1986, p. 85 ss). Le moyen reposant sur cette convention s'avère dès lors irrecevable, faute d'épuisement des instances cantonales (art. 75 al. 1 LTF; ATF 134 III 524 consid. 1.3).
Le recours paraît irrecevable pour le même motif en tant qu'il porte sur la violation de l'art. 8 al. 2 Cst. et de l'art. 14 CEDH (discrimination du fait de l'origine de la personne concernée). Quoi qu'il en soit, la lecture de l'arrêt attaqué ne trahit pas le moindre indice "d'animosité envers le recourant en tant qu'étranger"; quant aux "notes des collaborateurs du BAJ", dont le contenu n'est pas constaté dans la décision entreprise (art. 105 al. 1 LTF), elles sont dénuées de pertinence, seul l'arrêt du Tribunal cantonal étant l'objet du recours (art. 75 al. 1 LTF).
1.4 Les autres conditions de recevabilité sont remplies: le recours a été déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. a et 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue par une autorité cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (art. 75 LTF); le recourant, qui a succombé devant la juridiction précédente, a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF).
2. 2.1 En vertu de l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit à l'assistance judiciaire gratuite, à moins que sa cause paraisse dépourvue de toute chance de succès; elle a, en outre, le droit à l'assistance gratuite d'un défenseur dans la mesure où la sauvegarde de ses droits le requiert. Le Tribunal fédéral contrôle librement si les exigences posées par cette norme constitutionnelle ont été observées; il ne revoit que sous l'angle restreint de l'arbitraire les constatations de fait de l'autorité précédente (ATF 134 I 12 consid. 2.3 et les arrêts cités). Le recourant ne démontre pas que l'art. 1er de la loi vaudoise sur l'assistance judiciaire du 24 novembre 1981 (LAJ), dont il dénonce aussi la violation, accorderait des garanties plus étendues que le droit constitutionnel fédéral; cette disposition ne revêt dès lors pas de portée propre dans la présente cause.
2.2 Une partie est indigente lorsqu'elle n'est pas en mesure d'assumer les frais de la procédure sans porter atteinte au minimum nécessaire à son entretien et à celui de sa famille (ATF 135 I 221 consid. 5.1 et les arrêts cités). Un procès est dépourvu de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre et qu'elles ne peuvent donc être considérées comme sérieuses, de sorte qu'un plaideur raisonnable et aisé renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'il s'exposerait à devoir supporter; il ne l'est pas si les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près ou que les premières ne sont que légèrement inférieures aux secondes (ATF 133 III 614 consid. 5 et les arrêts cités).
Il n'y a pas lieu d'examiner si la première condition est ou non réalisée en l'espèce, dès lors que la seconde ne l'est pas (infra, consid. 3).
3. 3.1 Le recourant reproche tout d'abord à l'autorité cantonale de s'être référée de manière inadmissible à l'arrêt du Tribunal fédéral rendu dans le contexte des mesures provisionnelles (arrêt 5A_257/2008 du 15 avril 2009), partant de s'être fondée sur des faits établis sommairement et au stade initial du procès.
Cette critique est sans fondement. Les juges précédents ont expressément tenu compte de tous les éléments du dossier à la date du dépôt de la requête (i.e. 29 novembre 2008), et non seulement de l'arrêt du Tribunal fédéral précité. Comme le relève le recourant, des "développements peuvent surgir" au cours de la procédure; autant qu'elles lui sont favorables, ces circonstances nouvelles pourraient alors justifier le dépôt d'une nouvelle requête.
Enfin, l'allégation selon laquelle l'autorité cantonale aurait attendu l'arrêt fédéral "pour éliminer le recourant de sa possibilité de faire valoir ses droits dans le procès au fond", comportement qui "viole la bonne foi (art. 5 al. 2 Cst.)", ne repose sur aucun élément tangible; il n'y a pas lieu de la commenter plus avant.
3.2 Le recourant affirme ensuite qu'il jouit d'un droit successoral préférable à celui de la Fondation, puisque dame X._ n'avait hérité des biens de son mari (settlor) qu'à titre de trustee, à charge pour elle de les transmettre à lui-même et à ses descendants (beneficiary); cette solution est admise en Suisse en vertu de la Convention de La Haye relative à la loi applicable au trust et à sa reconnaissance du 1er juillet 1985 (RS 0.221.371).
L'autorité précédente a retenu que le recourant n'avait produit aucune pièce permettant d'admettre qu'un "secret trust" aurait été constitué en sa faveur par X._. Une telle appréciation n'apparaît pas arbitraire. Les lettres produites, écrites entre 1967 et 1974, confirment, certes, le souci du prénommé de subvenir aux besoins matériels de ses proches, mais elles ne comportent aucune allusion à un quelconque trust. L'expertise invoquée par le recourant - dont il sera question plus loin - le confirme: seule l'épouse de X._ est désignée en tant qu'"unique héritière", et "il n'est pas fait mention de quelque trust que ce soit en faveur de son neveu" (i.e. recourant).
L'expertise établie le 8 février 2007 par des avocats anglais n'est pas davantage concluante. Il faut souligner d'emblée qu'un avis de droit ne constitue pas un moyen de preuve, mais ne revêt que la valeur d'une simple allégation de partie (arrêt 5A_261/2009 du 1er septembre 2009 consid. 1.3 et la jurisprudence citée, non publié sur ce point in: ATF 135 III 608). En l'occurrence, les experts ne se sont pas fondés sur leurs propres observations; ils se sont exprimés au regard de la version des faits que leur a présentée le recourant ("les dires"). S'ils ont donc admis l'existence d'un "secret trust", c'est sur la seule base des allégations du recourant d'après lesquelles, lors d'une "réunion de famille qui eut lieu en août 1978", X._ a déclaré, devant sa femme, que "son neveu devait être le seul héritier" et que, pour des raisons fiscales, il laisserait tous ses biens à son épouse, à charge pour cette dernière de désigner le recourant comme son unique héritier. Vu la thèse défendue par le principal intéressé au procès, la reconnaissance de ses droits successoraux apparaît ainsi hautement aléatoire.
3.3 À supposer qu'un trust ne puisse pas être reconnu en l'espèce, le recourant fait valoir qu'il est au bénéfice d'une substitution fidéicommissaire (cf. art. 488 ss CC), institution qui est proche du trust et permet également d'asseoir ses prérogatives successorales.
Cette construction - qui ne paraît pas avoir été invoquée devant la cour cantonale (art. 75 al. 1 LTF) - suppose toutefois que le de cujus en ait disposé ainsi (cf. art. 488 al. 1 CC); or, une telle disposition pour cause de mort n'est nullement établie.
3.4 Les considérations relatives à la prétendue incapacité de discernement de dame X._ à l'époque de la rédaction des dispositions testamentaires (i.e. 1998 et 2000), autant qu'elles sont pertinentes aux fins de la présente cause, doivent être écartées. Le recourant se borne à présenter sa propre lecture des pièces disponibles sans démontrer en quoi les motifs de la juridiction précédente seraient insoutenables; clairement appellatoire, le recours est irrecevable sur ce point (art. 106 al. 2 LTF; ATF 134 II 244 consid. 2.2). Les allégations sur l'indignité de la Fondation (cf. sur cette notion: ATF 132 III 305 et 315) ne ressortent pas des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), de sorte que toute l'argumentation du recourant à ce propos apparaît irrecevable.
4. Vu ce qui précède, le présent recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Les conclusions du recourant étant dépourvues de chances de succès, sa requête d'assistance judiciaire doit être rejetée (art. 64 al. 1 LTF), ce qui implique sa condamnation aux frais (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2. La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 5 août 2010
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Le Greffier:
Hohl Braconi