Erwägungen:
1. X._ (geb. 1980) stammt nach eigenen Angaben aus Bhutan, dürfte indessen eher indischer Staatsangehöriger sein. Er wurde im Asylverfahren rechtskräftig aus der Schweiz weggewiesen, verliess das Land indessen nicht. Der Migrationsdienst des Kantons Bern nahm ihn am 5. August 2008 in Durchsetzungshaft, welche der Haftrichter 5 am Haftgericht III Bern-Mittelland am 5. August 2008 prüfte und bis zum 4. September 2008 genehmigte. Das Bundesgericht bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin am 2. September 2008 (2C_612/2008). Am 4. September 2008 bewilligte der Haftrichter eine Verlängerung der Festhaltung von X._ bis zum 3. November 2008. X._ beantragt vor Bundesgericht, ihm sei der Aufenthalt in der Schweiz zu bewilligen und er sei aus der Haft zu entlassen.
2. Die Eingabe erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann aufgrund der eingeholten Unterlagen ohne Weiterungen im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 BGG erledigt werden; es erübrigt sich deshalb, die Eintretensvoraussetzungen zu prüfen (vgl. insbesondere Art. 42 BGG): Der Beschwerdeführer erfüllt - wie das Bundesgericht im Urteil vom 2. September 2008 festgestellt hat - die Voraussetzungen, welche die Anordnung einer Durchsetzungshaft rechtfertigen; es kann auf die entsprechenden Ausführungen verwiesen werden. Hieran hat sich inzwischen nichts geändert: Zwar konnte der Beschwerdeführer dank seiner Festhaltung auf der indischen Botschaft vorgeführt werden, wo er genauere Aussagen zu seinem ehemaligen Wohnort gemacht haben soll, die entsprechenden Angaben müssen nun jedoch noch durch die indischen Behörden bzw. allenfalls durch den Vertrauensanwalt der schweizerischen Botschaft überprüft werden, was eine gewisse Zeit dauert. Der Beschwerdeführer ist nach wie vor nicht bereit, sich selber Papiere zu beschaffen und freiwillig in seine Heimat auszureisen, weshalb seine Wegweisung ohne eine (zusätzliche) Verhaltensänderung seinerseits nicht vollzogen werden kann. Die Durchsetzungshaft durfte deshalb ohne Verletzung von Bundesrecht um zwei Monate verlängert werden (Art. 78 Abs. 2 AuG [SR 142.20]; BGE 133 II 97 ff.; 134 I 92 ff.; zur Publikation bestimmtes Urteil 2C_253/2008 vom 7. Juli 2008, E. 2). Die Bewilligungsfrage bildet als solche nicht (mehr) Gegenstand der Haftprüfung (BGE 130 II 56 E. 2 mit Hinweisen); hierüber ist im Asylverfahren rechtskräftig entschieden worden. Den Behörden wird indessen in Erinnerung gerufen, dass sich das Regionalgefängnis Bern nur beschränkt für längere ausländerrechtlich motivierte Festhaltungen eignet (vgl. das Urteil 2C_661/2007 vom 17. Dezember 2007, E. 2), weshalb der Beschwerdeführer so rasch wie möglich wieder in das Ausschaffungsgefängnis zu verlegen ist.
3. Aufgrund der besonderen Umstände sind keine Kosten zu erheben (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Migrationsdienst des Kantons Bern wird ersucht, dafür besorgt zu sein, dass das vorliegende Urteil dem Beschwerdeführer korrekt eröffnet und nötigenfalls verständlich gemacht wird.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Haftgericht III Bern-Mittelland, Haftrichter 5, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Oktober 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Hugi Yar