Faits:
A. M._, née en 1947, a travaillé à temps partiel en qualité de concierge de l'immeuble dans lequel elle habitait. A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accident auprès de Zurich Compagnie d'Assurances (ci-après : Zurich Assurances).
Le 13 décembre 1999, elle a été victime d'une rupture de la coiffe des rotateurs de l'épaule gauche à la suite d'une chute dans les escaliers de son immeuble. Cet accident, survenu en dehors des heures de travail, a entraîné une incapacité de travail et nécessité des soins médicaux, en particulier une intervention chirurgicale.
Par décision du 26 mai 2005, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a alloué à l'intéressée une rente entière d'invalidité à partir du 1er mars 2002.
Par décision du 8 mai 2006, confirmée sur opposition le 31 décembre 2007, Zurich Assurances a refusé de prendre en charge le cas, motif pris que l'intéressée avait été victime d'un accident non professionnel pour le risque duquel elle n'était pas assurée, étant donné que son activité de concierge l'occupait moins de 12 heures par semaine.
B. M._ a déféré cette décision sur opposition au Tribunal des assurances du canton de Vaud, en concluant à l'octroi de prestations de l'assurance-accidents. A l'appui de son recours, elle a produit un décompte détaillé du temps consacré à l'accomplissement de ses travaux de conciergerie, lequel indiquait un horaire hebdomadaire de travail de 14 heures et 5 minutes.
Après avoir entendu divers témoins le 30 juin 2008, en particulier les époux B._ qui avaient succédé à l'intéressée dans son activité de concierge, la juridiction cantonale a rejeté le recours par jugement du 2 octobre 2008.
C. M._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant principalement au renvoi de la cause à Zurich Assurances afin qu'elle alloue ses prestations pour les suites de l'accident du 13 décembre 1999 et, subsidiairement, au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à présenter des déterminations.
Considérant en droit:
1. Le litige porte sur le point de savoir si la recourante a droit à des prestations de l'assurance-accidents obligatoire pour les suites de l'événement du 13 décembre 1999.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 LTF).
2. Si la LAA n'en dispose pas autrement, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle (art. 6 al. 1 LAA). Toutefois, les travailleurs à temps partiel n'étaient assurés contre le risque d'accident non professionnel qu'à la condition qu'ils fussent occupés par un employeur au moins 12 heures par semaine (art. 7 al. 2 et 8 al. 2 LAA, en corrélation avec l'art. 13 al. 1 OLAA, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 1999). Cette durée minimale d'occupation hebdomadaire a été ramenée à 8 heures lors de l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2000, de l'art. 13 al. 1 OLAA modifié. Cependant, le cas d'espèce reste régi par l'art. 13 al. 1 OLAA dans sa version valable jusqu'au 31 décembre 1999, eu égard au principe selon lequel les règles applicables sont celles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits (ATF 130 V 445 consid. 1.2.2 p. 447).
En l'espèce, le caractère non professionnel de l'événement du 13 décembre 1999 ne fait pas l'objet d'une controverse entre les parties. Il convient donc d'examiner si la recourante était occupée à raison d'au moins 12 heures par semaine en sa qualité de concierge.
3. 3.1 Dans sa décision sur opposition du 31 décembre 2007, Zurich Assurances a considéré que l'intéressée consacrait moins de 12 heures par semaine à son travail de concierge. Pour motiver son point de vue, elle s'est référé à une clause du contrat de conciergerie, passé le 9 juillet 1991 entre M._ et les copropriétaires de l'immeuble, selon laquelle les concierges devaient s'assurer eux-mêmes contre le risque d'accident non professionnel, ainsi qu'à la rémunération perçue par l'intéressée en sa qualité de concierge. Le salaire brut versé en 1999 étant de 7'073 fr., le salaire horaire pour l'activité alléguée de 12 heures hebdomadaires correspondrait à 12 fr. environ, ce qui serait nettement inférieur aux rémunérations payées usuellement dans la branche. Enfin, l'assureur-accidents a tenu compte du contrat de conciergerie passé en 2000 entre les copropriétaires de l'immeuble et le couple B._ qui avait succédé à la recourante. Or, selon les indications fournies par l'administratrice de la copropriété, l'activité de concierge représentait environ 7,5 heures de travail par semaine pour le couple.
Les premiers juges ont confirmé le point de vue de Zurich Assurances, d'après lequel la durée hebdomadaire du travail effectué par l'intéressée à l'époque de l'accident était inférieure à 12 heures. Pour fixer cette durée, ils ont examiné les tâches décrites dans le décompte détaillé produit par l'intéressée. Dans la mesure où celles-ci correspondaient aux travaux mentionnés dans le cahier des charges des nouveaux concierges, les juges cantonaux ont réduit le temps nécessaire à l'accomplissement de certaines activités lorsque la durée alléguée par M._ semblait particulièrement élevée par rapport au temps indiqué par les témoins. Ils ont conclu que l'intéressée devait vraisemblablement consacrer 10 heures et 50 minutes par semaine à son activité de concierge et que, par conséquent, elle n'était pas assurée contre le risque d'accident non professionnel.
De son côté, la recourante allègue que son activité de concierge l'occupait à raison de 12 heures par semaine, voire davantage. A l'appui de ses allégations, elle se réfère principalement à un rapport d'enquête économique sur le ménage établi par l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud dans le cadre de l'instruction de la demande de prestations de l'assurance-invalidité (rapport du 28 février 2005). Selon ce rapport, elle consacrait 12 heures par semaine à la conciergerie de son immeuble. En outre, l'intéressée invoque le témoignage de son mari devant la juridiction cantonale, selon lequel il aidait son épouse dans certaines tâches.
3.2 Dans le domaine des assurances sociales, le juge fonde sa décision, sauf dispositions contraires de la loi, sur les faits qui, faute d'être établis de manière irréfutable, apparaissent comme les plus vraisemblables, c'est-à-dire qui présentent un degré de vraisemblance prépondérante. Il ne suffit donc pas qu'un fait puisse être considéré seulement comme une hypothèse possible. Parmi tous les éléments de fait allégués ou envisageables, le juge doit, le cas échéant, retenir ceux qui lui paraissent les plus probables (ATF 126 V 353 consid. 5b p. 360; 125 V 193 consid. 2 p. 195 et les références; cf. ATF 130 III 321 consid. 3.2 et 3.3 p. 324 s.). Aussi n'existe-t-il pas, en droit des assurances sociales, un principe selon lequel l'administration ou le juge devrait statuer, dans le doute, en faveur de l'assuré.
Par ailleurs, la procédure est régie par le principe inquisitoire, d'après lequel les faits pertinents de la cause doivent être constatés d'office par le juge. Mais ce principe n'est pas absolu. Sa portée est restreinte par le devoir des parties de collaborer à l'instruction de l'affaire. Celui-ci comprend en particulier l'obligation des parties d'apporter, dans la mesure où cela peut être raisonnablement exigé d'elles, les preuves commandées par la nature du litige et des faits invoqués, faute de quoi elles risquent de devoir supporter les conséquences de l'absence de preuves (ATF 125 V 193 consid. 2 p. 195 et les références; cf. ATF 130 I 180 consid. 3.2 p. 183).
Par ailleurs, la procédure est régie par le principe inquisitoire, d'après lequel les faits pertinents de la cause doivent être constatés d'office par le juge. Mais ce principe n'est pas absolu. Sa portée est restreinte par le devoir des parties de collaborer à l'instruction de l'affaire. Celui-ci comprend en particulier l'obligation des parties d'apporter, dans la mesure où cela peut être raisonnablement exigé d'elles, les preuves commandées par la nature du litige et des faits invoqués, faute de quoi elles risquent de devoir supporter les conséquences de l'absence de preuves (ATF 125 V 193 consid. 2 p. 195 et les références; cf. ATF 130 I 180 consid. 3.2 p. 183).
3.3 3.3.1 En l'espèce, le contrat de conciergerie du 9 juillet 1991 ne contient aucune clause spécifique relative au temps de travail hebdomadaire. Toutefois, l'exclusion de la prise en charge des primes d'assurance pour le risque d'accident non professionnel et le montant du salaire convenu tendent à démontrer que la recourante consacrait moins de 12 heures par semaine à la conciergerie de son immeuble. En effet, comme l'ont constaté les premiers juges, le salaire horaire pour une activité de 12 heures hebdomadaires serait de 12 fr. environ, soit une rémunération modique par rapport aux salaires usuels dans ce genre d'activité. D'ailleurs, il ressort du dossier qu'en 1980, la recourante avait obtenu un salaire horaire plus élevé (15 fr.) pour des travaux de nettoyage effectués dans l'immeuble à la suite d'une inondation. Aussi, un salaire horaire de 12 fr. apparaît-il peu vraisemblable même en admettant qu'il n'ait pas été adapté à l'évolution des prix durant 19 ans.
Par ailleurs, interrogée par Zurich Assurances, l'administratrice de la copropriété a déclaré que l'horaire de travail des successeurs au poste occupé par la recourante était de 7,5 heures par semaine. Dans la mesure où les nouveaux concierges ont remplacé l'intéressée peu après la cessation de son activité, on peut raisonnablement penser que la durée de travail n'a pas sensiblement changé au moment de l'entrée en fonction des époux B._, de sorte que les allégations de la recourante au sujet de son temps de travail apparaissent peu convaincantes.
Certes, celle-ci se fonde sur le rapport d'enquête économique de l'assurance-invalidité, selon lequel elle travaillait 12 heures par semaine dans son activité de concierge. Cependant, cette évaluation du temps de travail est très approximative et ne repose sur aucun élément concret. Un examen attentif de ce rapport permet en effet de constater que la personne chargée de l'enquête a retenu un horaire hebdomadaire de 12 heures afin de trouver un compromis entre les 17 heures de travail hebdomadaire annoncées par le mandataire de la recourante et le temps qui semblait raisonnablement nécessaire pour effectuer le travail de conciergerie, compte tenu du salaire versé. Cette évaluation abstraite ne saurait dès lors constituer une base suffisamment fiable pour attester l'existence d'une couverture d'assurance LAA pour le risque d'accident non professionnel.
Quant au décompte détaillé du temps consacré à l'accomplissement des travaux de conciergerie, produit par l'intéressée devant le tribunal cantonal, il constitue une simple allégation sans valeur de preuve. Au demeurant, l'importance des travaux qui y sont décrits est fortement mise en cause par le témoignage des nouveaux concierges devant la juridiction cantonale. En effet, ceux-ci ont affirmé ne pas avoir à accomplir un grand nombre de tâches pourtant alléguées par la recourante dans son décompte. Or, même si l'on admet que certains changements ont pu avoir lieu au moment de l'entrée en fonction des nouveaux concierges, il demeure des différences importantes entre le nombre de tâches accomplies par ceux-ci et l'énumération des activités alléguées par l'intéressée. Dans la mesure où les contrats de conciergerie en question se sont succédé dans un court laps de temps, il est peu vraisemblable qu'autant de changements aient eu lieu dans les travaux à accomplir et il apparaît bien plutôt que la recourante a quelque peu surévalué l'importance de ses tâches.
Quant à l'argument selon lequel son mari l'aidait dans l'accomplissement de son activité de concierge, il n'est d'aucun secours pour l'intéressée, du moment qu'elle ne fait pas valoir que son époux accomplissait d'autres tâches que celles qu'elle a alléguées dans son décompte détaillé produit en instance cantonale.
3.3.2 Vu ce qui précède, il y a lieu de considérer comme établi au degré de vraisemblance prépondérante que la recourante consacrait moins de 12 heures par semaine à son activité de concierge. Aussi, ne bénéficiait-elle pas de la couverture LAA pour le risque d'accident non professionnel dans le cadre de cette activité. Zurich Assurances était dés lors fondée, par sa décision sur opposition du 31 décembre 2007, à refuser d'allouer ses prestations pour les suites de l'accident du 13 décembre 1999. Le jugement entrepris n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
4. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal des assurances du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 5 mai 2009
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Ursprung Beauverd