Faits:
A. P._ s'est annoncée à l'assurance-chômage le 11 juillet 2007. La caisse cantonale genevoise de chômage (ci-après : la caisse de chômage) lui a ouvert un délai-cadre d'indemnisation du 11 juillet 2007 au 10 juillet 2009. L'assurée, qui était enceinte à cette époque, a accouché d'une fille le 17 décembre 2007. Elle a perçu des allocations journalières de maternité dès cette date jusqu'au 6 avril 2008.
Le 7 avril 2008, P._ a requis à nouveau l'octroi des prestations de chômage. Dans le formulaire de demande d'indemnités de chômage qu'elle a rempli à cet effet, elle a coché la case «non» à la question n° 12 : «Avez-vous reçu jusqu'ici des allocations pour enfants/formation professionnelle et voulez-vous les faire valoir auprès de l'AC ?». L'assurée a bénéficié des indemnités journalières jusqu'au 30 septembre 2008, puis a été autorisée à exporter ses prestations de chômage en Espagne du 1er octobre au 31 décembre 2008.
Début 2009, P._ a déposé une demande d'allocations familiales auprès de la Caisse cantonale genevoise de compensation (ci-après : la caisse de compensation) qui a rendu, le 20 avril suivant, une décision par laquelle elle a accordé lesdites allocations pour la période s'étendant de janvier à mars 2008, invitant l'assurée à s'adresser, pour la période postérieure, aux autorités de chômage compétentes. Le 15 mai 2009, l'intéressée a sollicité de la caisse de chômage le versement rétroactif du supplément correspondant aux allocations familiales.
Par décision du 16 juin 2009, la caisse de chômage lui a accordé ce supplément pour la période du 1er février au 30 avril 2009. Elle a en revanche refusé de le lui verser du 1er avril 2008 au 1er janvier 2009, au motif qu'elle n'avait pas respecté le délai de trois mois pour faire valoir son droit. P._ a formé opposition contre cette décision, en indiquant qu'elle avait transmis à la caisse tous les documents utiles, notamment sur la naissance de sa fille. La caisse de chômage a écarté l'opposition dans une nouvelle décision du 20 août 2009.
B. L'assurée a recouru contre cette dernière décision devant le Tribunal cantonal genevois des assurances sociales (aujourd'hui: Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales). Dans sa réponse du 25 mars 2010, la caisse de chômage s'est déclarée prête à considérer que la demande de l'assurée du mois de janvier 2009, adressée à une autorité incompétente (la caisse de compensation), était réputée déposée devant elle à cette date et, par conséquent, à admettre le droit de l'assurée au supplément dès octobre 2008.
Par jugement du 6 juillet 2010, le tribunal cantonal a admis le recours et annulé les décisions des 16 juin et 20 août 2009. Il a condamné la caisse de chômage à verser à l'assurée le supplément correspondant aux allocations familiales d'avril à septembre 2008 et pris acte du fait que ladite caisse reconnaissait devoir ces prestations également d'octobre à janvier 2009.
C. La caisse de chômage interjette un recours en matière de droit public. Elle conclut à l'annulation de ce jugement et à la confirmation de sa décision sur opposition du 20 août 2009.
P._ et le Secrétariat d'Etat à l'économie ont tous deux renoncé à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit:
1. Le recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
2. Selon la jurisprudence, le droit au supplément correspondant aux allocations familiales (cf. art. 22 al. 1 LACI) est soumis au délai de péremption de l'art. 20 al. 3 LACI, qui prévoit que le droit s'éteint s'il n'est pas exercé dans les trois mois suivant la fin de chaque période de contrôle du chômage auquel il se rapporte (voir l'arrêt du Tribunal fédéral des assurances C 140/00 du 7 août 2002, consid. 3.1). Ce délai de trois mois ne peut être ni prolongé ni interrompu, mais peut faire l'objet d'une restitution.
3. Bien que les conclusions de la recourante tendent à l'annulation du jugement cantonal, il ressort clairement de son mémoire de recours qu'elle n'entend pas remettre en cause sa proposition de procédure du 25 mars 2010, selon laquelle les prestations sont dues depuis octobre 2008. Demeure ainsi seul litigieux en instance fédérale le point de savoir si l'assurée peut prétendre au supplément correspondant aux allocations familiales du 1er avril au 30 septembre 2008. Cela étant, il est constant qu'en ce qui concerne cette période, le droit de l'assurée est périmé.
4. Selon la jurisprudence, la restitution d'un délai échu pour faire valoir un droit à des prestations de l'assurance-chômage peut être accordée s'il existe une excuse valable pour justifier le retard (ATF 114 V 123; DTA 2000 n° 6 p. 31 consid. 2a). La restitution peut également s'imposer eu égard au principe de la protection de la bonne foi, en particulier lorsque l'assuré n'a pas agi parce qu'il a été induit en erreur par de faux renseignements donnés par l'autorité. Un assuré ne saurait toutefois se prévaloir de sa méconnaissance du droit (ATF 126 V 308 consid. 2b p. 313; DTA 2000 n° 6 p. 31 consid. 2a).
5. 5.1 La juridiction cantonale a considéré que l'assurée avait été induite en erreur par la façon dont était rédigée la question n° 12 du formulaire de demande d'indemnités portant sur les allocations familiales. Le texte prêtait en effet à confusion dans la mesure où il contenait une double question et seulement deux champs de réponses possibles à cocher soit «oui», soit «non». Si la formulation utilisée ne posait pas de problèmes dans les cas normaux où il y avait une continuité dans la situation familiale de la personne concernée avant et après l'inscription au chômage, elle s'avérait inadaptée pour les cas particuliers tels celui de l'assurée qui avait mis au monde son premier enfant entre deux périodes de chômage. En cochant la case «non» à la question posée, P._ avait correctement répondu au premier membre de la question et ne pouvait penser que cette réponse impliquait également une renonciation au supplément prévu par l'art. 22 al. 1 LACI. Il s'agissait manifestement d'une erreur excusable. Par ailleurs, la prénommée avait demandé que son erreur soit rectifiée dès qu'elle s'en était rendue compte, de sorte que les conditions d'une restitution du délai de l'art. 20 al. 3 LACI étaient réalisées.
5.2 La caisse se plaint d'une constatation manifestement inexacte des faits et d'une violation du droit. En particulier, les premiers juges avaient retenu à tort que l'assurée s'était trompée dans sa réponse au questionnaire. Si la question n° 12 avait été ambiguë et si l'intéressée avait véritablement voulu présenter une demande d'allocations familiales par le biais de l'assurance-chômage, elle aurait réagi plus tôt. Or, elle avait invoqué une erreur de compréhension seulement en procédure d'opposition. Le déroulement des faits montrait bien plutôt que l'assurée avait omis d'entreprendre les démarches nécessaires pour faire valoir son droit au supplément lors de sa réinscription au chômage. Elle cherchait maintenant à rattraper son oubli en alléguant que la caisse de chômage aurait dû comprendre qu'elle entendait prétendre cette prestation au vu des documents produits avec sa demande d'indemnités. Toutefois, comme l'avait déjà dit le Tribunal fédéral des assurances dans l'arrêt C 140/00, le dépôt d'une demande d'indemnité de chômage n'incluait pas également une demande pour obtenir le supplément correspondant aux allocations familiales. L'ignorance du droit ne pouvant donner lieu à une restitution de délai, la décision de refus d'allouer le supplément pour la période litigieuse était fondée.
6. 6.1 Le point de savoir si l'assurée s'est trompée dans sa réponse au questionnaire ou ignorait qu'elle avait droit à percevoir un supplément correspondant aux allocations familiales par le biais de l'assurance-chômage n'est pas décisif en l'espèce. Aux termes de l'art. 27 al. 1 LPGA, les assureurs et les organes d'exécution des diverses assurances sociales sont tenus, dans les limites de leur domaine de compétence, de renseigner les personnes intéressées sur leurs droits et obligations. L'art. 22 al. 1 LACI règle le droit aux allocations familiales pour les périodes de chômage, si bien qu'il existe un devoir légal pour les autorités de chômage de renseigner les assurés à ce sujet. La question y relative dans le formulaire de demande d'indemnités ne satisfait toutefois que partiellement à cette obligation. Pour les motifs pertinents relevés par l'autorité cantonale, on doit en effet constater que les assurés ne disposent pas d'indications suffisamment claires pour formuler leur demande correctement. A tout le moins pas dans les cas où la personne assurée n'a pas touché d'allocations familiales par le passé mais en remplit les conditions au moment de sa demande d'indemnité de chômage, situation dans laquelle la formulation de la question n° 12 se révèle trompeuse.
6.2 En vertu du principe de la protection de la bonne foi découlant de l'art. 9 Cst, le défaut de renseignement dans une situation où une obligation de renseigner est prévue par la loi, ou lorsque les circonstances concrètes du cas particulier auraient commandé une information de l'assureur, est assimilé à une déclaration erronée qui peut, sous certaines conditions, obliger l'autorité (en l'espèce l'assureur) à consentir à un administré un avantage auquel il n'aurait pu prétendre, (ATF 131 V 472 consid. 5 p. 480). En l'occurrence, il ne fait guère de doute que si la question avait été posée en des termes clairs, l'intimée aurait fait valoir le droit au supplément de l'art. 22 al. 1 LACI - dont elle remplit sans conteste les conditions - au moyen du formulaire de demande d'indemnités. Il s'ensuit que la recourante ne saurait lui opposer le délai de péremption de l'art. 20 al. 3 LACI et que l'assurée a droit aux prestations depuis le 1er avril 2008. Le jugement entrepris n'est pas critiquable et le recours doit être rejeté.
7. Vu l'issue du litige, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais de justice, d'un montant de 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et au Secrétariat d'Etat à l'économie.
Lucerne, le 3 octobre 2011
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Ursprung
La Greffière: von Zwehl