Faits:
A. A.a Y._ SA, constituée en mars 1997, est une société active notamment dans le domaine du développement, de la fabrication et du commerce d'équipements médicaux. Jusqu'au mois de mars 1999, le capital-actions de la société s'élevait à 150'000 fr.
En 1998, Y._ SA était à la recherche de capitaux pour développer son activité et X._ était intéressé à investir dans cette société. Par courrier du 11 décembre 1998 adressé à X._, Y._ SA a indiqué ce qui suit :
« Suite à nos différents contacts réalisés ces dernières semaines, nous avons le plaisir de vous confirmer que nous souhaitons vous engager en qualité de directeur administratif et financier dès le premier janvier 1999, pour un salaire annuel de 96'000.- (nonante-six mille francs suisses). Cet engagement est valable pour une durée indéfinie. Cette offre est soumise à la condition préalable de votre participation à raison de 400'000.- (quatre cent mille francs suisses) dans l'augmentation de capital de la société qui aura lieu au mois de janvier prochain ».
A.b En janvier 1999, une assemblée générale extraordinaire de Y._ SA a décidé d'augmenter le capital-actions de 150'000 fr. à 550'000 fr. et X._ a acheté 1'100 actions de la société pour le montant de 400'000 fr. L'augmentation de capital et la nomination de X._ en qualité d'administrateur avec signature individuelle ont été inscrites au Registre du commerce le 3 mars 1999.
A.c Le 10 mai 1999, X._ et Y._ SA ont signé un contrat intitulé « contrat de mandat », qui prévoit notamment ce qui suit :
« Préambule : [...]
Le Mandataire [X._] est un consultant indépendant inscrit au Registre du Commerce, au bénéfice d'une formation et d'une expérience adéquates en économie d'entreprise.
Les Parties ont décidé de confier une partie de l'administration de Y._ SA et de la promotion de ses produits au Mandataire. [...]
Objet :
Plus précisément, l'objet du présent mandat est la participation du Mandataire aux activités suivantes de Y._:
- La préparation du marketing du nouveau produit dénommé HF400.
- L'établissement de contrats de distribution pour le produit susmentionné.
- La tenue de la comptabilité financière et suivi des procédures y relatives.
- Etablissement et mise à jour d'un plan de trésorerie à moyen terme.
Honoraires et modalités de paiement :
Les travaux du Mandataire sont pris en charge sur la base d'un forfait mensuel de CHF 5'000.- hors TVA.
Le montant du forfait sera rediscuté après six mois de collaboration, soit à fin octobre 1999. [...]
Début du contrat, durée et conditions de résiliation :
Le contrat prend effet le 1er mai 1999. Sa durée est illimitée. La résiliation peut être faite par écrit par l'une des Parties moyennant un préavis de trois mois à compter de la fin du mois où elle est signifiée. »
A.d Outre ses fonctions d'administrateur, X._ a ainsi exercé une activité pour le compte de Y._ SA, qui consistait à tenir la comptabilité et à effectuer les paiements pour la société.
Il ressort d'un décompte pour l'année 1999 que X._ a prélevé des comptes de Y._ SA à titre d'honoraires la somme de 84'353 fr., à savoir : un montant total de 80'744 fr. de mai à décembre 1999, représentant par mois la somme de 10'093 fr. (soit 8'000 fr. plus 1'336 fr. de charges sociales et 757 fr. de TVA); un montant total de 3'609 fr. pour les mois de mars et avril 1999, à titre de différence entre la rémunération mensuelle précitée et les indemnités de chômage reçues pour ces deux mois (soit 16'000 fr. moins les indemnités par 13'139 fr. plus 478 fr. de charges sociales et 270 fr. de TVA).
De même, il ressort d'un décompte pour l'année 2000 que X._ a prélevé la somme de 65'876 fr., à savoir : un montant total de 49'751 fr. de janvier à mai 2000, représentant par mois la somme de 9'950 fr. 20 (soit 8'000 fr. plus 1'256 fr. de charges sociales et 696 fr. 20 de TVA); un montant total de 16'125 fr. de juin à août 2000, représentant par mois la somme de 5'375 fr. (soit 5'000 fr. plus 375 fr. de TVA).
Dans le cadre de la révision des comptes de Y._ SA par A._ SA, B._, employé de cette dernière, a déclaré n'avoir constaté aucune irrégularité ou anomalie s'agissant des honoraires prélevés par X._.
A.e À l'issue de discussions sur la question de la « dilution » de la part de X._ lors d'une nouvelle augmentation du capital-actions, les trois autres administrateurs de Y._ SA ont signé le 5 mai 2000 un document intitulé « Reconnaissance de dette », aux termes duquel ils « reconnaissent que la société Y._ SA doit à Monsieur X._, administrateur de Y._ SA, la somme de CHF 50'000 (cinquante mille francs suisses), valeur 1er février 1999. Cette somme est porteuse d'un intérêt annuel de 5% depuis le 1er février 1999. Le remboursement du capital et des intérêts interviendra sur décision du Conseil d'Administration mais au plus tard le 31.12.2002 ».
A.f Par courrier du 12 mai 2000, Y._ SA a déclaré résilier le contrat du 10 mai 1999 avec effet au 31 août 2000, date à laquelle X._ a effectivement cessé toute activité pour le compte de la société.
Par courrier du 30 novembre 2000 adressé à Y._ SA, l'ancien conseil de X._ a indiqué notamment ce qui suit :
« M. X._ a travaillé en qualité de directeur administratif et financier pour la Société Y._ SA dès décembre 1998 pour une rémunération de CHF 8'000.- par mois, plus les charges d'employeur (env. 16%), ainsi que la TVA (7,5%). Le salaire lui sera effectivement versé dès le 1er mai 1999, M. X._ ne touchant dès cette date plus d'indemnité chômage.
D'entente entre Y._ SA et notre mandant, différents contrats sont alors signés afin de donner l'apparence d'un statut d'indépendant à la relation de travail existante. Ce statut était alors indispensable à la couverture financière des dettes que M. X._ avait contractées lors de son investissement. [...]
Incontestablement, un contrat de travail d'une durée de 3 à 5 ans existait entre M. X._ et Y._ SA [...]
Selon nos calculs, basés sur une durée très raisonnable de trois ans, l'indemnité minimale de départ revenant à M. X._ [pour résiliation injustifiée du contrat de travail de durée déterminée (art. 337c al. 1 CO)] est égale à un montant de CHF 198'000.-, compte tenu d'un salaire mensuel de CHF 8'000.-, de la participation aux charges patronales et des salaires déjà réglés ».
Par courrier du 18 décembre 2000, l'un des administrateurs de Y._ SA, après avoir précisé que « [s]ans avoir l'objectif de répondre point par point à votre courrier du 30 novembre dernier nous nous devons cependant de préciser certains faits », a contesté l'existence d'un contrat de durée déterminée en se référant à la clause « Début du contrat, durée et conditions de résiliation » du contrat de mandat signé le 10 mai 1999; il n'a toutefois pas contesté le montant du salaire de 8'000 fr. que X._ disait avoir perçu ni indiqué que ce dernier s'était versé trop d'honoraires.
B. B.a Le 29 avril 2003, X._ a fait notifier à Y._ SA un commandement de payer la somme de 50'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er février 1991 (poursuite n° ...). L'opposition formée par Y._ SA à ce commandement de payer a été provisoirement levée par jugement du 28 mai 2004. Y._ SA a alors introduit une action en libération de dette devant le Tribunal de première instance du canton de Genève; elle excipait notamment de compensation, en invoquant une créance en restitution de la différence entre les montants prélevés par X._ et la rémunération convenue dans le contrat de mandat signé le 10 mai 1999.
B.b Par jugement du 19 avril 2007, le Tribunal de première instance a déclaré recevable l'action en libération de dette intentée par Y._ SA à l'encontre de X._ et a dit que la poursuite n°... n'irait pas sa voie. Il a considéré en substance que les parties étaient liées par un contrat de mandat signé le 10 mai 1999 - et non par un contrat de travail qui aurait été conclu sur la base de l'offre contenue dans le courrier de Y._ SA du 11 décembre 1998 -, que X._ avait prélevé 64'229 fr. en sus de la rémunération prévue et que Y._ SA était en droit de compenser cette créance de 64'229 fr. avec sa dette de 50'000 fr. résultant de la reconnaissance de dette du 5 mai 2000.
B.c Par arrêt du 18 janvier 2008, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté l'appel formé par X._ contre ce jugement, qu'elle a confirmé.
C. Agissant par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, X._ conclut avec suite de tous les dépens des instances cantonales et fédérale à la réforme de cet arrêt en ce sens que Y._ SA soit déclarée sa débitrice à concurrence de 50'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 1er février 1999 et qu'en conséquence, la poursuite n° ... ira sa voie.
L'intimée conclut avec suite de frais et dépens au rejet du recours.
Considérant en droit:
1. 1.1 Interjeté par la partie qui a succombé dans ses conclusions prises devant l'autorité précédente et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF; ATF 133 III 421 consid. 1.1), le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Portant sur une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours est donc en principe recevable, puisqu'il a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prévues par la loi (art. 42 LTF).
1.2 Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Sous réserve de l'exception prévue par l'art. 106 al. 2 LTF pour la violation de droits fondamentaux ou de dispositions de droit cantonal et intercantonal (cf. ATF 133 II 249 consid. 1.4.2), le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 134 III 102 consid. 1.1; 133 IV 150 consid. 1.2 et la jurisprudence citée). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF - sanctionnée par l'irrecevabilité des recours dont la motivation est manifestement insuffisante (art. 108 al. 1 let. b LTF) -, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 134 III 102 consid. 1.1; 133 II 249 consid. 1.4.1; 133 IV 150 consid. 1.2).
1.3 Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). La notion de faits qui ont été établis de façon manifestement inexacte, utilisée à l'art. 105 al. 2 LTF, correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (Message du Conseil fédéral concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4135, ch. 4.1.4.2; cf. ATF 134 V 53 consid. 4.3; 133 II 249 consid. 1.4.3, 384 consid. 4.2.2).
1.4 En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, l'autorité tombe dans l'arbitraire, selon la jurisprudence, lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 134 V 53 consid. 4.3; 129 I 8 consid. 2.1; 118 Ia 28 consid. 1b et les arrêts cités). Il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraît également concevable, voire préférable (ATF 133 I 149 consid. 3.1; 132 III 209 consid. 2.1; 129 I 8 consid. 2.1).
2. 2.1 Devant l'autorité précédente, le recourant a soutenu que le contrat du 10 mai 1999 correspondait à la réelle volonté des parties, mais que le montant des honoraires indiqué dans ce contrat (5'000 fr.) était simulé, le véritable montant des honoraires étant de 8'000 fr. Il a allégué avoir été amené à obtenir le statut d'indépendant pour des raisons financières et avoir été contraint de produire pour cela trois contrats de mandat à l'administration de l'AVS, raison pour laquelle il aurait conclu deux contrats de mandat fictifs - l'un du 23 juin 1999 avec la société D._ SA et l'autre du 28 juin 1999 avec la société C._ SA - prévoyant des honoraires de 1'500 fr. respectivement 2'600 fr.; il avait fixé à 5'000 fr. par mois le montant des honoraires fictifs en accord avec l'intimée, afin que la somme des montants ressortant des trois contrats de mandat ne dépassât pas la rémunération convenue conformément à l'offre d'engagement du 11 décembre 1998, soit 8'000 fr. par mois plus les charges sociales de l'employeur. Il s'est référé à cet égard au témoin B._ qui n'avait constaté aucune anomalie lors de la révision des comptes (cf. lettre A.d in fine supra), ainsi qu'au fait que l'intimée n'avait pas contesté lui devoir le montant mensuel de 8'000 fr. dans son courrier du 18 décembre 2000 (cf. lettre A.f in fine supra).
2.2 Après avoir rappelé les principes posés par la jurisprudence en matière d'actes simulés, soit notamment qu'il incombe à celui qui se prévaut de la simulation d'en apporter la preuve, la cour cantonale a constaté que l'intimée avait établi la conclusion du contrat du 10 mai 1999, dont il ressortait que le recourant avait droit à des honoraires à hauteur de 5'000 fr. hors TVA par mois pour son activité. Elle a exposé qu'il appartenait ainsi au recourant, qui soutenait avoir droit à 8'000 fr. en conformité avec l'offre d'engagement du 18 décembre 1998, de prouver que cette clause du contrat était simulée.
Or le recourant, à l'appui de ses allégations sur le caractère simulé du montant des honoraires ressortant du contrat de mandat du 10 mai 1999 (cf. consid. 2.1 supra), se bornait à produire les deux contrats de mandat conclus avec les sociétés D._ SA et C._ SA, mais n'avait pas produit de documents ni fait entendre de témoins qui auraient pu confirmer ses allégations. Son argument que l'intimée aurait admis ses prétentions en matière d'honoraires dans son courrier du 18 décembre 2000 ne pouvait être suivi. En effet, dans ce courrier, l'intimée - qui avait d'emblée précisé ne pas se déterminer de manière exhaustive - s'était contentée de contester l'existence d'un contrat de durée déterminée, sans se prononcer sur la justification des honoraires que le recourant avait perçus. Si l'on pouvait effectivement trouver curieux qu'elle n'ait pas réagi à cette occasion - alors qu'elle alléguait qu'elle n'était pas informée que le recourant s'était versé davantage que 5'000 fr. hors TVA -, cela ne suffisait toutefois pas pour en déduire qu'elle avait admis ces prétentions. D'ailleurs, on ne comprendrait pas pour quelle raison le recourant ne s'était versé que 5'000 fr. plus TVA dès son licenciement, soit de juin à août 2000, s'il estimait devoir recevoir davantage.
Sur le vu de ce qui précède, la cour cantonale a retenu que le recourant avait échoué dans la preuve de l'existence d'un contrat partiellement fictif et qu'il avait dès lors uniquement droit à des honoraires d'un montant de 5'000 fr. par mois plus TVA, conformément au contrat de mandat signé le 10 mai 1999.
2.3 Aux termes de l'art. 18 al. 1 CO, pour apprécier la forme et les clauses d'un contrat, il y a lieu de rechercher la réelle et commune intention des parties, sans s'arrêter aux expressions ou dénominations inexactes dont elles ont pu se servir, soit par erreur, soit pour déguiser la nature véritable de la convention. Dans cette dernière hypothèse, on parle de simulation (cf. le titre marginal de l'art. 18 CO). Un acte est simulé au sens de l'art. 18 CO lorsque les deux parties sont d'accord que les effets juridiques correspondant au sens objectif de leur déclaration ne doivent pas se produire et qu'elles n'ont voulu créer que l'apparence d'un acte juridique à l'égard des tiers (ATF 97 II 201 consid. 5 et les arrêts cités; 123 IV 61 consid. 5c/cc p. 68; 112 II 337 consid. 4a). Leur volonté véritable tendra soit à ne produire aucun effet juridique, soit à produire un autre effet que celui de l'acte apparent; dans ce dernier cas, les parties entendent en réalité conclure un second acte dissimulé (ATF 123 IV 61 consid. 5c/cc p. 68; 112 II 337 consid. 4a; arrêt non publié du 9 septembre 1987, reproduit in SJ 1988 p. 117, consid. 6b; JÄGGI/GAUCH, Zürcher Kommentar, Band V/1b, 1980, n. 94 s. ad art. 18 CO; KRAMER/SCHMIDLIN, Berner Kommentar, Band VI/1/1, 1986, n. 114 ad art. 18 CO). Juridiquement inefficace d'après la volonté réelle et commune des parties, le contrat simulé est nul (ATF 123 IV 61 consid. 5c/cc p. 68; 97 II 201 consid. 5 et les arrêts cités), tandis que le contrat dissimulé que, le cas échéant, les parties ont réellement conclu est valable si les dispositions légales auxquelles il est soumis quant à sa forme et à son contenu ont été observées (ATF 96 II 383 consid. 3a; 117 II 382 consid. 2a; WINIGER, Commentaire romand, Code des obligations I, 2003, n. 90 s. ad art. 18 CO).
La simulation ne porte pas nécessairement sur la totalité du contrat; elle peut aussi être partielle et ne porter par exemple que sur le montant convenu à titre d'honoraires ou de prix de vente (ATF 117 II 382 consid. 2a; WINIGER, op. cit., n. 78 s. ad art. 18 CO; JÄGGI/GAUCH, op. cit., n. 99 ad art. 18 CO; KRAMER/SCHMIDLIN, op. cit., n. 111 ad art. 18 CO; ENGEL, Traité des obligations en droit suisse, 2e éd. 1997, p. 224; cf. arrêt non publié du 9 septembre 1987, reproduit in SJ 1988 p. 117, consid. 6b). Dans ce cas, seule la partie simulée est sans effet, tandis que l'autre partie, celle que les partenaires ont réellement voulue, est valable (WINIGER, op. cit., n. 81 ad art. 18 CO; KRAMER/SCHMIDLIN, op. cit., n. 158 ad art. 18 CO; JÄGGI/GAUCH, op. cit., n. 115 s. ad art. 18 CO).
Le juge doit relever d'office la simulation (ATF 97 II 201 consid. 5 et la jurisprudence citée). Il incombe toutefois à celui qui se prévaut de la simulation d'en apporter la preuve (art. 8 CC), point sur lequel il y a lieu de se montrer exigeant (ATF 112 II 337 consid. 4a; 28 II 49 consid. 4 p. 56; JÄGGI/GAUCH, op. cit., n. 134 ad art. 18 CO).
2.4 En l'espèce, quoi qu'en dise le recourant, il n'apparaît pas que l'autorité précédente ait apprécié les preuves de manière arbitraire, au sens rappelé plus haut (cf. consid. 1.4 supra), en retenant que le recourant n'avait pas apporté la preuve que le montant des honoraires prévus par le contrat de mandat signé le 10 mai 1999 était simulé.
En effet, le recourant ne conteste pas que ce contrat, qui est le seul document signé par les deux parties et constitue de ce fait un moyen de preuve particulièrement important, reflète - hormis, selon lui, sur la question du montant des honoraires - la volonté réelle et commune des parties, en particulier s'agissant des services qu'il devait fournir comme consultant indépendant inscrit en cette qualité au Registre du commerce. Le recourant ne prétend pas non plus que la forme juridique de son engagement comme consultant indépendant selon les règles du contrat de mandat, quelles qu'aient pu être les raisons de ce choix, aurait été simulée; le recourant est d'ailleurs inscrit depuis le 29 juin 1999 au Registre du commerce comme exploitant une entreprise individuelle sous la raison « X._ - Conseil en Economie d'Entreprise », et il ne soutient pas qu'il n'aurait pas versé la TVA perçue sur les honoraires qu'il a facturés à l'intimée pour la période du 1er mai 1999 au 31 août 2000.
Il appert ainsi que les parties, après que le recourant fut entré dans le capital de Y._ SA à hauteur de 400'000 fr. en janvier 1999, ont, par la signature du contrat du 10 mai 1999, convenu de la participation du recourant aux activités de la société selon des modalités sensiblement différentes de celles évoquées six mois plus tôt dans la lettre de l'intimée du 18 décembre 1998, dans laquelle celle-ci offrait d'engager le recourant dès le 1er janvier 1999 comme « directeur administratif et financier » pour un « salaire » annuel de 96'000 fr. Ce n'est ainsi qu'à partir du 1er mai 1999, selon les constatations de fait opérées par l'autorité précédente, que le recourant a déployé une activité pour l'intimée, et ce selon les modalités finalement convenues dans le contrat de mandat signé le 10 mai 1999.
Dans ces conditions, le fait que l'offre d'engagement du 18 décembre 1998 mentionnait un salaire de 8'000 fr. pour un emploi de directeur administratif et financier ne permet pas d'affirmer que le montant des honoraires forfaitaires qui a finalement été convenu six mois plus tard pour une activité de nature différente serait simulé, en l'absence de témoignages ou de documents probants qui auraient pu corroborer une telle affirmation. À cet égard, la production de deux contrats signés respectivement le 23 et le 28 juin 1999 avec les sociétés D._ SA et C._ SA, prévoyant des honoraires de respectivement 1'500 fr. et 2'600 fr. hors TVA, ne saurait soutenir l'affirmation du recourant, en l'absence d'éléments de preuve sur le caractère fictif de ces contrats et sur leurs liens avec le contrat de mandat du 10 mai 1999, signé un mois et demi plus tôt.
Le seul élément qui tendrait à étayer la thèse du recourant réside dans le fait qu'alors que dans un courrier du 30 novembre 2000 à l'intimée, son ancien conseil avait notamment indiqué que le recourant avait perçu dès le 1er mai 1999 une rémunération de 8'000 fr. par mois, plus les charges d'employeur (env. 16%) ainsi que la TVA (7,5%), l'intimée n'a pas réagi sur ce point dans sa réponse du 18 décembre 2000. Toutefois, à ce moment-là, le mandat avait déjà pris fin depuis plusieurs mois et l'intimée, qui a d'emblée précisé ne pas se déterminer de manière exhaustive, s'est concentrée sur la contestation de l'existence d'un contrat de durée déterminée, construction juridique que le recourant soutenait alors pour réclamer une indemnité de départ de quelque 200'000 fr. Dans ces conditions, le seul fait que l'intimée, dans sa lettre du 18 décembre 2000, n'ait pas réagi sur le montant des honoraires que le recourant venait d'indiquer avoir perçus ne suffisait pas à apporter la preuve que le montant mensuel de 5'000 fr. hors TVA convenu dans le contrat du 10 mai 1999 aurait été simulé et que le montant réellement voulu par les parties aurait été de 8'000 fr. hors TVA par mois. D'ailleurs, si tel avait été le cas, on ne comprendrait pas pour quelle raison le recourant ne s'était versé que 5'000 fr. plus TVA dès son licenciement, soit de juin à août 2000, comme l'a relevé la cour cantonale.
2.5 Il résulte de ce qui précède que l'autorité précédente n'a pas établi les faits de manière arbitraire en retenant que le contrat de mandat signé le 10 mai 1999 exprimait la volonté réelle et commune des parties, y compris sur le montant de la rémunération.
S'il doit ainsi être tenu pour constant que les parties ont, par la signature du contrat du 10 mai 1999, convenu de la participation du recourant aux activités de l'intimée selon les modalités fixées dans ce document, qui différaient sensiblement de celles évoquées six mois plus tôt dans la première offre d'engagement du 18 décembre 1998, le recourant ne saurait soutenir, comme il le fait dans un deuxième grief, qu'en entrant dans le capital de Y._ SA à hauteur de 400'000 fr., il aurait accepté l'offre du 11 décembre 1998, de sorte que les parties aurait été liées par un contrat portant sur l'engagement du recourant comme directeur administratif et financier pour un salaire annuel de 96'000 fr.
3. En définitive, le recours, mal fondé, doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires et versera à l'intimée une indemnité pour ses dépens (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Une indemnité de 2'500 fr., à payer à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 26 mai 2008
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Le Greffier:
Corboz Abrecht