Faits:
A. A.a De l'union entre X._ et Y._ sont issus les enfants A.Y._, née en 2000, et B.Y._, né en 2004, qui ont tous deux été reconnus par leur père. Celui-ci est également père d'une fillette née en 1998 de son précédent mariage. Les concubins se sont séparés en mai 2004.
Lors de la séance tenue le 1er décembre 2004 par la Justice de paix du 1er cercle de la Broye, les parents sont convenus que le père exercerait son droit de visite un week-end sur deux du vendredi soir à 18 heures au dimanche soir à 18 heures et que si, en raison de ses activités professionnelles de médecin urgentiste, il n'était pas en mesure de s'occuper de ses enfants le vendredi soir, ceux-ci seraient confiés soit à sa famille, soit à la «maman de jour», voire à leur mère.
Cette réglementation a été confirmée le 20 avril 2005 et précisée en ce sens qu'il appartenait au père de s'organiser si une urgence devait l'empêcher d'exercer son droit et que tout changement devait être annoncé au minimum quinze jours à l'avance. L'établissement du calendrier des droits de visite du week-end a été confié à une assistante sociale auprès du Service de l'enfance et de la jeunesse (ci-après: SEJ) et le droit de visite durant les vacances fixé à raison d'une semaine à Noël, d'une semaine à Pâques et de trois semaines en été, moyennant la détermination des dates deux mois à l'avance.
A.b Par décision du 28 septembre 2005, la Justice de paix a instauré une curatelle au sens de l'art. 308 al. 2 CC en faveur des enfants, domiciliés chez leur mère, désigné l'assistante sociale précitée comme curatrice et fixé le droit de visite du père, sauf entente entre les parties, à raison d'un week-end sur deux, alternativement du vendredi soir à 18 heures au dimanche soir à 18 heures et du samedi à 12 heures au dimanche soir à 18 heures, éventuellement au lundi à 12 heures, ainsi que durant une semaine à Noël, une semaine à Pâques et trois semaines en été.
A.c Compte tenu, notamment, du rapport établi le 8 mars 2006 par le SEJ, faisant état de difficultés liées à l'exercice du droit de visite, la Justice de paix a, dans sa séance du 20 juin 2006, décidé que ce droit s'exercerait uniquement sur la fillette, à raison d'un week-end mensuel du vendredi soir à 18 heures au dimanche soir à 18 heures et fixé six semaines à l'avance. Le vendredi soir, la mère ou la grand-mère de l'enfant se chargerait de son transport chez le père ou les parents de celui-ci tandis que le dimanche soir, le père ramènerait la fillette au domicile de sa mère. Les dates du droit de visite durant les vacances d'été et de Noël ont également été fixées.
B. Le 30 mars 2007, la mère a sollicité la suspension du droit de visite en raison du non-respect des termes précités.
Statuant sur cette demande le 12 juin 2007, la Justice de paix a décidé pour l'essentiel de maintenir le droit de visite du père sur sa fille à raison d'un week-end par mois - du vendredi soir à 18 heures au dimanche soir à 18 heures - et de trois semaines au minimum par année, à savoir deux en été et une à Noël moyennant un préavis de fixation des dates quatre semaines à l'avance, et sur son fils à raison d'un dimanche par mois (en même temps que sa soeur) durant les mois de juillet, août et septembre 2007, et, par la suite - soit dès octobre 2007 -, à raison d'un week-end par mois et de trois semaines au minimum par année (en même temps que sa soeur).
Par jugement du 31 août 2007, la Chambre des tutelles de l'arrondissement de la Broye a partiellement admis le recours formé par la mère contre cette décision, en ce sens que le droit de visite du père sur sa fille s'exercera le dernier week-end du mois du vendredi soir à 18 heures au dimanche soir à 18 heures, ainsi que durant trois semaines de vacances par année, soit deux en été et une à Noël, le père se chargeant entièrement des transports de la fillette du domicile d'un parent à celui de l'autre. La Chambre des tutelles a en outre instauré un droit de visite du père sur son fils, fixé le dimanche 30 septembre 2007 de 9 heures à 18 heures puis, à partir d'octobre 2007, le dernier week-end du mois du vendredi soir à 18 heures au dimanche soir à 18 heures, augmenté, dès Noël 2007, de trois semaines de vacances par année, à raison de deux en été et d'une à Noël. Il était prévu que le droit de visite sur le cadet s'exercerait en même temps que celui en faveur de l'aînée et que le père assumerait le transport des enfants entre les domiciles des parents.
La Chambre des tutelles du Tribunal cantonal du canton de Fribourg a, par arrêt du 22 avril 2008, partiellement admis le recours interjeté par le père contre ce jugement et a rejeté celui de la mère. Statuant à nouveau, elle a prévu que le père exercerait son droit de visite sur ses enfants chaque dernier dimanche du mois, la première fois le 25 mai 2008, et qu'il viendrait les chercher au domicile de leur mère le matin entre 10 heures et 10 heures et demie, puis les y ramènerait le soir pour 18 heures; la curatrice désignée le 28 septembre 2005 serait chargée de la surveillance de l'exercice du droit de visite selon ces modalités et pourrait adresser en temps utile à la Justice de paix de la Broye des propositions en vue de l'élargissement de ce droit.
C. Contre ce jugement, chacune des parties exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Le père conclut à ce que son droit de visite s'exerce un dimanche par mois, annoncé à la curatrice avec un préavis de quatre semaines, la mère devant amener les enfants à son domicile entre 10 heures et 10 heures et demie et lui-même les ramenant chez elle pour 18 heures. La mère sollicite quant à elle la suspension du droit de visite.
Des réponses sur le fond n'ont pas été requises.
D. Par ordonnance du 29 juillet 2008, la juge présidant la cour de céans a rejeté la requête d'effet suspensif présentée par la mère.
Considérant en droit:
1. Les deux recours sont dirigés contre la même décision, reposent sur les mêmes faits et soulèvent certaines questions juridiques identiques; dans ces conditions, il y a lieu de les joindre et de statuer à leur sujet par un seul arrêt (art. 24 PCF, applicable par renvoi de l'art. 71 LTF).
2. Formés en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF) de nature non pécuniaire, rendue en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 75 LTF), les recours sont recevables au regard de ces dispositions.
3. Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF); il peut rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252, 384 consid. 4.2.2 p. 391), ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 97 al. 1 LTF). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 LTF); il en est ainsi même lorsque la maxime d'office ou la maxime inquisitoire est applicable, ce qui est le cas s'agissant du sort des enfants (ATF 120 II 229 consid. 1c p. 232/232 [ad art. 55 al. 1 let. c OJ]).
En tant que les recourants allèguent des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris, sans invoquer valablement l'une des exceptions susmentionnées, leurs recours sont irrecevables. Tel est le cas, notamment, de l'affirmation de la recourante selon laquelle l'intimé aurait contesté judiciairement la paternité sur ses enfants.
4. La recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé l'art. 274 al. 2 CC en refusant de suspendre l'exercice du droit de visite. Se fondant sur le rapport de la curatrice du 20 novembre 2007, elle soutient que le maintien de ce droit est gravement préjudiciable aux enfants, qui devront rencontrer chaque mois un père qu'ils ne connaissent pas (ou plus) ou seront déçus par les défections de celui-ci. Selon elle, l'intimé ne respecterait pas ses obligations parentales en exerçant son droit de visite irrégulièrement et ne se soucierait pas de ses enfants, ayant même contesté judiciairement sa paternité sur ceux-ci. Elle affirme par ailleurs que l'exercice du droit de visite n'est pas entravé par son propre comportement.
4.1 Selon l'art. 273 al. 1 CC, le père ou la mère qui ne détient pas l'autorité parentale ou la garde ainsi que l'enfant mineur ont réciproquement le droit d'entretenir les relations personnelles indiquées par les circonstances. Autrefois considéré comme un droit naturel des parents, le droit aux relations personnelles est désormais conçu non seulement comme un droit et un devoir de ceux-ci (cf. art. 273 al. 2 CC), mais aussi comme un droit de la personnalité de l'enfant; il doit servir en premier lieu l'intérêt de celui-ci (ATF 131 III 209 consid. 5 p. 212 et les références citées). Le rapport de l'enfant avec ses deux parents est essentiel et peut jouer un rôle décisif dans le processus de sa recherche d'identité (ATF 130 III 585 consid. 2.2.2. p. 590 et les références).
Cependant, si de telles relations compromettent le développement de l'enfant, si les père et mère qui les entretiennent violent leurs obligations, s'ils ne se sont pas souciés sérieusement de l'enfant ou s'il existe d'autres justes motifs, le droit d'entretenir ces relations peut leur être retiré ou refusé (art. 274 al. 2 CC). Ce refus ou ce retrait ne peut être demandé que si le bien de l'enfant l'exige impérieusement et qu'il est impossible de trouver une réglementation du droit de visite qui sauvegarde ses intérêts: la disposition a pour objet de protéger l'enfant, et non de punir les parents. Ainsi, la violation par eux de leurs obligations et le fait de ne pas se soucier sérieusement de l'enfant ne sont pas en soi des comportements qui justifient le refus ou le retrait des relations personnelles; ils ne le sont que lorsqu'ils ont pour conséquence que ces relations portent atteinte au bien de l'enfant. (ATF 118 II 21 consid. 3c p. 24; 100 II 76 consid. 4b p. 83 et les références). Pour dire si un parent ne s'est pas soucié sérieusement de son enfant au sens de l'art. 274 al. 2 CC, on peut se référer à l'interprétation donnée à l'art. 265c ch. 2 CC, qui exprime en termes identiques l'une des hypothèses dans lesquelles, en matière d'adoption, il peut être fait abstraction du consentement d'un des parents (ATF 118 II 21 consid. 3d p. 25). L'exercice irrégulier du droit de visite et les déceptions réitérées qui en découlent pour l'enfant, de même que le non-respect des modalités fixées constituent une violation, par le bénéficiaire du droit de visite, de son obligation de loyauté prévue par l'art. 274 al. 1 CC (Schweizer, Commentaire bâlois, 3e éd., n. 6 ad art. 274 CC; Hegnauer, Commentaire bernois, n. 27 ad art. 274 CC; Bühler/Spühler, Commentaire bernois, n. 170 ad art. 156 CC; Hausheer, RDT 53/1998 p. 17 ss, p. 30; Hammer-Feldges, RDT 48/1993 p. 15 ss, p. 19). Les conflits entre les parents ne constituent pas un motif de restreindre le droit de visite: une telle limitation n'est justifiée que s'il y a lieu d'admettre au regard des circonstances que l'octroi d'un droit de visite usuel compromet le bien de l'enfant (ATF 131 III 209 consid. 5 p. 212 s.).
D'après la jurisprudence, il existe un danger pour le bien de l'enfant si son développement physique, moral ou psychique est menacé par la présence, même limitée, du parent qui n'a pas l'autorité parentale. Conformément au principe de la proportionnalité, il importe en outre que ce danger ne puisse être écarté par d'autres mesures appropriées. Le retrait de tout droit à des relations personnelles constitue l'ultima ratio et ne peut être ordonné dans l'intérêt de l'enfant que si les effets négatifs des relations personnelles ne peuvent être maintenus dans des limites supportables pour l'enfant (ATF 122 III 404 consid. 3b p. 407; 120 II 229 consid. 3b/aa p. 233 et les références). Le refus ou le retrait du droit aux relations personnelles selon l'art. 274 al. 2 CC nécessite des indices concrets de mise en danger du bien de l'enfant (ATF 122 III 404 consid. 3c p. 408).
Pour fixer le droit aux relations personnelles, le juge fait usage de son pouvoir d'appréciation (art. 4 CC). Le Tribunal fédéral s'impose dès lors une certaine retenue en la matière; il n'intervient que si la décision a été prise sur la base de circonstances qui ne jouent aucun rôle selon l'esprit de la loi, ou si des aspects essentiels ont été ignorés (ATF 120 II 229 consid. 4a p. 235 et l'arrêt cité; Hegnauer, op. cit., n. 61 ad art. 273 CC).
4.2 En l'occurrence, l'autorité cantonale fait siennes les considérations de la Chambre des tutelles de l'arrondissement de la Broye sur la nécessité, pour le père, de démontrer concrètement à ses enfants qu'il tient à entretenir avec eux les relations personnelles auxquelles ils ont réciproquement droit, fût-ce au prix d'une remise en question des priorités qu'il se fixe. Elle admet qu'en renvoyant ou en annulant, parfois au dernier moment, les jours de visites qu'il devait passer avec sa fille, en confiant celle-ci à ses parents une partie du week-end et en déléguant à des tiers le soin de l'amener chez lui, le père a fait preuve de manquements dans l'exercice de son droit aux relations personnelles, quelles que soient ses obligations professionnelles. A l'instar de la Chambre des tutelles de l'arrondissement de la Broye, l'autorité cantonale considère cependant que ces carences, aussi réelles soient-elles, ne justifient pas la suspension ou le refus du droit de visite. Au regard du principe de la proportionnalité et du rôle décisif que jouent les relations d'un parent envers son enfant pour l'épanouissement de ce dernier, il convient, selon les juges cantonaux, de maintenir le principe du droit de visite sur l'aînée et d'instaurer un tel droit sur le cadet, qui n'est resté que trop longtemps sans contact avec son père. Compte tenu de la disponibilité toujours plus restreinte de celui-ci, et du fait qu'il s'agit moins d'aménager un droit de visite que de le rétablir - le père ne l'ayant pas exercé sur sa fille depuis janvier 2007 - ou même de l'instaurer s'agissant de son fils, ces magistrats ont cependant estimé opportun de limiter provisoirement le droit aux relations personnelles à une seule journée mensuelle.
4.3 Cette appréciation n'apparaît pas abusive. S'il est vrai que le titulaire du droit de visite viole ses obligations, notamment son devoir de loyauté (art. 274 al. 1 CC), lorsqu'il n'exerce pas son droit de façon régulière ou ne respecte pas les consignes de l'autorité, un tel comportement ne peut justifier la suspension ou le refus dudit droit que s'il porte atteinte au bien de l'enfant. Or, si l'on conçoit que l'aînée ait été déçue par les défections de son père, l'arrêt entrepris ne constate pas que son développement physique, moral ou psychique serait entravé. La mère paraît prétendre le contraire, mais ses affirmations, purement appellatoires, ne peuvent être prises en considération. Sont également nouvelles, et par conséquent irrecevables, ses allégations tendant à démontrer que le père ne se soucierait pas sérieusement de ses enfants, au sens où l'entend la jurisprudence relative à l'art. 274 al. 2 CC (cf. supra, consid. 4.1 § 2). Il en va de même en tant que la recourante conteste l'opinion des juges précédents, selon laquelle elle n'a pas toujours encouragé ni facilité, comme elle aurait dû le faire, le droit de visite du père sur ses enfants, s'exposant ainsi, si elle continue à agir de la sorte, à des sanctions pénales.
Compte tenu du principe de proportionnalité, applicable en la matière, et de l'importance primordiale pour l'enfant de pouvoir entretenir des liens avec ses deux parents, l'autorité cantonale n'a, au regard des circonstances, pas violé l'art. 4 CC ni, partant, l'art. 274 al. 2 CC, en considérant qu'il se justifiait non pas de suspendre le droit aux relations personnelles, mais de maintenir, respectivement d'instaurer un droit de visite du père sur ses enfants, celui-ci étant au demeurant limité à un jour par mois.
5. 5.1 Se plaignant de la violation de l'art. 273 al. 1 CC, le recourant s'en prend quant à lui aux modalités du droit aux relations personnelles. Il conteste, d'une part, la fixation du dernier dimanche du mois comme jour de visite, arguant qu'une réglementation aussi figée n'est pas conciliable avec ses nombreuses contraintes professionnelles. D'autre part, il critique le fait de devoir aller chercher les enfants chez leur mère, au motif que celle-ci refuse de favoriser le droit de visite et que si elle les lui amenait, elle manifesterait son accord et même son soutien avec l'exercice de ce droit, ce qui les rassurerait.
5.2 Ces griefs n'apparaissent pas fondés. Il convient en effet de rappeler qu'une réglementation du droit de visite avec préavis du père en fonction de ses disponibilités a déjà été prévue par la Justice de paix dans sa séance du 20 juin 2006, sans que l'intéressé ne s'y conforme pour autant. De plus, en dépit des difficultés du recourant à se libérer de ses contraintes professionnelles, il apparaît conforme à l'intérêt des enfants de prévoir que le jour durant lequel s'exercera le droit de visite soit établi de manière fixe chaque mois, afin qu'ils puissent anticiper les visites de leur père et se préparer à le rencontrer, de même que pour amener celui-ci à prendre conscience de la nécessité, pour l'équilibre de ses enfants, d'exercer son droit de visite de façon régulière, au besoin en réaménageant ses activités professionnelles.
Quant au moyen pris de l'obligation d'aller chercher ses enfants chez leur mère, il doit également être rejeté. A l'argument invoqué par le recourant selon lequel, en les lui amenant, l'intimée ferait preuve d'une attitude positive, ce qui les rassurerait, il peut en effet être opposé qu'étant donné le manque de disponibilité et d'engagement dont il a fait preuve jusqu'ici envers eux, la démarche consistant à aller lui-même les chercher est de nature à démontrer sa volonté de s'en occuper et de créer ainsi un rapport de confiance avec eux. L'autorité cantonale n'a donc pas non plus enfreint son pouvoir d'appréciation sur ce point (art. 4 CC). Au reste, cette juridiction relève à juste titre que ces trajets ne devraient pas lui poser de difficultés insurmontables dès lors qu'ils sont effectués le dimanche, ce que le recourant ne conteste pas.
6. Vu ce qui précède, les recours se révèlent mal fondés et doivent par conséquent être rejetés, dans la mesure où ils sont recevables. Les frais judiciaires seront mis par moitié à la charge de chacun des recourants, qui succombent (art. 66 al. 1 LTF). L'intimé, qui s'est prononcé sur la demande d'effet suspensif de la recourante, concluant à son rejet, a droit à des dépens de ce chef.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Les causes 5A_448/2008 et 5A_454/2008 sont jointes.
2. Le recours interjeté par X._ est rejeté, dans la mesure où il est recevable (5A_448/2008).
3. Le recours interjeté par Y._ est rejeté, dans la mesure où il est recevable (5A_454/2008).
4. Les frais des deux procédures fédérales, arrêtés à 3'000 fr. au total, sont mis pour moitié à la charge de chacune des parties.
5. Y._ versera à X._ une indemnité de 800 fr. à titre de dépens.
6. Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des tutelles du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 2 octobre 2008
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Raselli Mairot