Sachverhalt:
A. Mit Urteil vom 8. Juli 1997 stellte das Bezirksgericht St. Gallen (heute Kreisgericht) fest, dass X._ der Vater von Y._ (geb. ***1995) ist und setzte die Zahlung von Kindesunterhalt fest. Im Rahmen eines vom Vater angestrengten Abänderungsverfahrens verpflichtete das Kantonsgericht St. Gallen diesen mit Entscheid vom 2. März 2009, ab April 2009 und solange er unverschuldet arbeitslos bleibe, längstens aber bis März 2010, Fr. 200.-- Kindesunterhalt zu bezahlen; anschliessend seien bis zum Abschluss einer angemessenen Ausbildung des Kindes Fr. 350.-- zu leisten. Am 15. Juli 2010 machte X._ erneut ein Abänderungsverfahren anhängig. Am 9. November 2010 änderte das Kreisgericht St. Gallen das Urteil des Kantonsgerichts vom 2. März 2009 wie folgt ab:
"Mangels Leistungsfähigkeit von X._ wird der Unterhalt für den Sohn Y._ ab 1. September 2010 bis Ende August 2011 eingestellt. Anschliessend ist der Unterhalt von monatlich Fr. 350.-- wieder geschuldet, bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung. Allfällige Kinder- oder Ausbildungszulagen sind jedenfalls weiterzugeben."
B. Gegen diesen Entscheid erhob X._ am 17. Januar 2011 Berufung an das Kantonsgericht St. Gallen und verlangte im Wesentlichen, seine Unterhaltsverpflichtung sei bereits ab 1. April 2010 auf die Weitergabe allfälliger Kinderzulagen zu beschränken. Mittels Anschlussberufung beantragte Y._, das Urteil des Kantonsgerichts vom 2. März 2009 sei zu bestätigen. Mit Entscheid vom 6. Juni 2011 wies das Kantonsgericht sowohl die Berufung als auch die Anschlussberufung ab.
C. Mit Beschwerde vom 7. Juli 2011 (Datum der Postaufgabe) gelangt X._ (nachfolgend Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Kantonsgerichts St. Gallen vom 6. Juni 2011 sei dahingehend abzuändern, dass "ab 2. März 2010 bis Ende August 2010 keine Unterhaltsbeiträge zu bezahlen sind". Der Beschwerdeführer verlangt ausserdem die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht.
Es wurden die Akten, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer vermögensrechtlichen Zivilsache (Art. 72 Abs. 1, Art. 90 BGG). Die Vorinstanz hat den Streitwert auf unter Fr. 30'000.-- veranschlagt. Dieser Wert wird vom Beschwerdeführer nicht bestritten, und es bestehen auch keine Anhaltspunkte für dessen Unrichtigkeit. Damit wird der von Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG geforderte Streitwert (Fr. 30'000.--) nicht erreicht.
Da der Beschwerdeführer im Übrigen nicht behauptet, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), steht die Beschwerde in Zivilsachen nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist daher als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen. Mit dieser kann nur die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht (BGE 133 III 439 E. 3.2 S. 444 mit Hinweis). Das Bundesgericht kann die Verletzung eines Grundrechts nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG).
Der Beschwerdeführer bezeichnet das angefochtene Urteil als unfair. Indes geht weder aus den einzelnen konkreten Vorbringen des Beschwerdeführers noch aus dem angefochtenen Urteil hervor, weshalb mit Letzterem ein verfassungsmässiges Recht verletzt worden sein soll. Insbesondere vermögen die Ausführungen des Beschwerdeführers weder eine Verletzung der aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 BV) fliessenden Begründungspflicht noch das Vorliegen von Willkür in der Rechtsanwendung (Art. 9 BV) zu begründen. Somit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos bezeichnet werden, weshalb es an einer materiellen Voraussetzung der unentgeltlichen Rechtspflege fehlt (Art. 64 Abs. 1 BGG) und das entsprechende Gesuch abzuweisen ist. Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da er nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurde und ihm kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht St. Gallen, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. August 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Schwander