Faits:
A. A._ est député au Grand Conseil du canton de Genève (ci-après: le Grand Conseil) depuis 2005. En 2006 et 2007, il a été invité à ne pas utiliser l'adresse du parlement pour sa correspondance privée. Le 5 décembre 2008, il a été exclu d'une séance du Grand Conseil avec deux autres députés pour avoir refusé de présenter des excuses pour des propos jugés offensants.
Le 30 janvier 2012, A._ a envoyé, depuis son compte de messagerie électronique de député, un courriel virulent à un tiers qui venait de voir sa demande de grâce rejetée par le Grand Conseil. Se félicitant du rejet de cette demande, il a notamment écrit au tiers en question qu'il se réjouissait de le voir partir pour un "voyage bien mérité dans les geôles" où il irait nettoyer des porcheries. Il qualifiait en outre de "crime odieux" la "trahison d'amis" dont il se disait victime et il menaçait de se retourner très prochainement contre l'épouse de l'intéressé. Il concluait son message ainsi: "Finalement, l'adage qui vous sied à merveille dit que la vengeance est un plat qui se mange froid... surtout dans votre cellule ! Honte à vous et à celle qui vous accompagne dans votre triste fin de vie !". Pour ces faits, le Bureau du Grand Conseil a exclu A._ des commissions dont il était membre pour une durée de quatre mois, par décision du 24 février 2012.
B. Le 22 mars 2012, statuant sur opposition de A._, le Grand Conseil a confirmé la décision susmentionnée. A._ a recouru contre cette décision auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice), qui a rejeté le recours par arrêt du 30 juillet 2012. Cette autorité a considéré en substance que le député en question avait violé de manière flagrante l'art. 26A de la loi portant règlement du Grand Conseil (LRGC; RSG B 1 01), qui interdit aux députés de s'exprimer au nom du Grand Conseil ou d'une commission, et de donner à leurs communications une forme de nature à induire en erreur quant à l'identité de leur auteur. Le contenu du message litigieux pouvait en outre lui être imputé à faute. Quant à la sanction, elle était conforme à l'art. 32B LRGC, et d'autant plus justifiée que l'intéressé n'avait pas pris conscience du manquement à ses devoirs de député puisqu'il n'admettait qu'une "erreur d'adressage".
C. Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, subsidiairement de renvoyer la cause à l'instance cantonale pour nouvelle décision. Il demandait en outre l'octroi de l'effet suspensif, mais il a retiré cette requête le 1er octobre 2012 car l'exclusion de quatre mois prononcée à son encontre était arrivée à échéance.
Le Grand Conseil a formulé des observations, concluant à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. A._ a présenté des observations complémentaires.
Considérant en droit:
1. La voie du recours en matière de droit public est ouverte en l'espèce, la décision attaquée ayant été rendue dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF). Aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'est réalisée. Le recourant, qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente (art. 89 al. 1 let. a LTF), est particulièrement atteint par la décision attaquée (art. 89 al. 1 let. b LTF). Cela étant, la mesure litigieuse a été intégralement exécutée et le recourant n'explique pas quel intérêt actuel et pratique il conserverait. On peut donc se demander s'il a encore un intérêt digne de protection au sens de l'art. 89 al. 1 let. c LTF. Vu l'issue du recours, cette question peut cependant demeurer indécise. Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF), de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2. Invoquant l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.), le recourant affirme qu'il était insoutenable de considérer qu'il avait délibérément utilisé la messagerie du Grand Conseil, qu'il était clair qu'il agissait à titre personnel et que la sanction prononcée à son encontre était exagérément sévère.
2.1 Selon la jurisprudence, l'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable; le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue en dernière instance cantonale que si elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté ou si elle heurte de manière choquante le sentiment de la justice ou de l'équité. Il ne suffit pas que la motivation de la décision soit insoutenable; encore faut-il qu'elle soit arbitraire dans son résultat (ATF 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 I 316 consid. 2.2.2 p. 318 s.; 134 I 263 consid. 3.1 p. 265 s.; 133 I 149 consid. 3.1 p. 153; 132 I 13 consid. 5.1 p. 17; 131 I 217 consid. 2.1 p. 219; 129 I 173 consid. 3.1 p. 178). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, si elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision ou lorsqu'elle tire des constatations insoutenables des éléments recueillis (ATF 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9; 127 I 38 consid. 2a p. 41).
2.2 En l'occurrence, la Cour de justice a considéré que l'utilisation par le recourant de sa messagerie électronique officielle était délibérée. En effet, l'intéressé n'alléguait pas que ses cinq comptes de messagerie étaient "dans le même environnement de travail informatique" et il avait déjà été rendu attentif à la nécessité de bien distinguer entre ses sphères privée et officielle. Le contenu du message litigieux confirmait cette appréciation, le recourant faisant expressément référence à l'activité du Grand Conseil et de sa Commission de grâce. La teneur du message pouvait en outre être reprochée au recourant, qui avait fait des allégations fausses et "potentiellement contraires à l'honneur" du destinataire et proféré des menaces à l'encontre de l'épouse de celui-ci. Le ton du message était par ailleurs qualifié de particulièrement méprisant et sarcastique, ce qui était d'autant plus déplacé que le recourant était membre de la Commission de grâce ayant statué.
Le recourant ne démontre pas l'arbitraire de cette appréciation. Il avait certes indiqué que ses messageries étaient toutes installées sur le même ordinateur, ce qui ne permet pas pour autant de qualifier d'insoutenables les considérations sur son "environnement de travail informatique", même si l'on ne discerne pas clairement ce que la Cour de justice vise par cette expression. Quoi qu'il en soit, contrairement à ce qu'affirme le recourant, il n'était pas d'emblée clair qu'il ne s'adressait pas au tiers visé en qualité de député. S'il est vrai qu'il n'indique pas expressément dans son message être membre du Grand Conseil et de la Commission de grâce, il cite ces deux entités et sa qualité de député est de nature publique. Le destinataire pouvait donc comprendre que le recourant, qui lui écrivait quatre jours après le rejet de sa demande de grâce, s'adressait à lui en qualité de député. Il n'était en tout cas pas arbitraire de le considérer. Compte tenu du caractère sensible du message en question et des précédentes mises en garde du recourant quant à la séparation à respecter entre sa correspondance privée et ses activités de député, l'intéressé ne saurait se dédouaner en invoquant une simple "utilisation malencontreuse" de sa messagerie du Grand Conseil. Pour expliquer son geste, le recourant invoque également un préjudice économique que lui aurait causé le destinataire du message litigieux. A supposer que ce préjudice soit établi, il n'excuserait pas la teneur du message en question, qui n'est à l'évidence pas compatible avec les devoirs d'un député tels que formulés dans le serment prévu à l'art. 25 al. 2 LRGC. Enfin, compte tenu des circonstances et des antécédents du recourant, la suspension de quatre mois subie par celui-ci n'apparaît pas excessivement sévère. En définitive, cette sanction n'était insoutenable ni dans son fondement ni dans sa quotité, de sorte que l'arrêt attaqué n'est pas arbitraire au sens de la jurisprudence susmentionnée.
3. Il s'ensuit que le recours doit être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3. Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Grand Conseil, au Bureau du Grand Conseil et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre administrative.
Lausanne, le 15 février 2013
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: Fonjallaz
Le Greffier: Rittener