Faits:
A. M._, née en 1975, travaillait comme aide-infirmière dans un établissement pour personnes âgées. A ce titre, elle était assurée contre le risque d'accidents auprès de Allianz Suisse Société d'assurances (ci-après : Allianz).
Le 27 janvier 2004, alors qu'elle était enceinte de son deuxième enfant, M._ est tombée dans les escaliers. Son médecin traitant, le docteur E._, a fait état d'une contusion au coccyx et, dans une moindre mesure, aux lombaires et à l'avant-bras; il a indiqué qu'il n'y avait pas de complication obstétricale immédiate mais que l'assurée ne devait pas reprendre son travail en raison de sa grossesse. Pour les suites de cet accident, Allianz a versé une indemnité journalière fondée sur une incapacité de travail médico-théorique de 4 semaines.
Dans un rapport médical intermédiaire LAA du 1er juillet 2004, le docteur E._ a informé Allianz que M._ avait accouché le 13 mars 2004 et qu'elle présentait toujours des douleurs lombaires et coccygiennes. Alors que l'évolution avait été favorable, cet accouchement, décrit comme difficile, avait exacerbé les lombalgies. La prénommée n'avait pas repris son travail à la fin de son congé maternité (le 13 septembre 2004). Par la suite, le médecin traitant a précisé qu'il y aurait eu deux chutes durant l'accouchement. L'employeur de l'assurée a fait parvenir une déclaration d'accident le 16 septembre 2004 faisant état de «douleurs dorsales dues à une anesthésie péridurale». A l'occasion d'un contact téléphonique avec l'assureur-accidents, M._ a confirmé qu'elle était tombée deux fois du lit d'accouchement un peu avant sa délivrance.
Par décision du 6 février 2005, Allianz a refusé de verser des prestations (prise en charge du traitement médical et versement d'une indemnité journalière), considérant que les allégations de l'assurée sur la survenance d'une chute durant son accouchement n'étaient pas établies au degré de la vraisemblance prépondérante. Saisie d'une opposition de l'assurée, elle l'a écartée dans une nouvelle décision du 4 août 2005.
B. L'assurée a recouru contre la décision sur opposition devant le Tribunal des assurances du canton de Vaud, devenu entre-temps la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal.
Après avoir ordonné une expertise sur les tracés d'enregistrement du monitorage obstétrical utilisé lors de l'accouchement et entendu plusieurs témoins, le tribunal cantonal a admis le recours. Il a annulé la décision litigieuse et renvoyé la cause à l'assureur-accidents afin qu'il complète l'instruction dans le sens des considérants et rende une nouvelle décision (jugement du 6 juillet 2009).
C. Allianz interjette un recours en matière de droit public. Sous suite de frais et dépens, elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et à la confirmation de sa décision sur opposition du 4 août 2005.
M._ conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Les premiers juges ont admis que l'intimée avait été victime d'une chute constitutive d'un événement accidentel. Ils ont annulé la décision litigieuse et renvoyé le dossier à la recourante pour qu'elle procède conformément aux considérants (examen du lien de causalité entre les troubles invoqués et la chute). Le jugement attaqué est une décision incidente, au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (cf. ATF 133 V 477 consid. 4.1.3 p. 481), qui engendre un préjudice irréparable dans la mesure où l'assureur est tenu par la décision cantonale de renvoi de rendre une décision, selon elle, contraire au droit (cf. ATF 133 V 477 consid. 5.2 p. 483 ss). Le recours est donc recevable.
2. Dans le domaine des assurances sociales, le juge fonde sa décision, sauf dispositions contraires de la loi, sur les faits qui, faute d'être établis de manière irréfutable, apparaissent comme les plus vraisemblables, c'est à-dire qui présentent un degré de vraisemblance prépondérante (ATF 126 V 353 consid. 5b p. 360; 125 V 193 consid. 2 p. 195 et les références; cf. ATF 130 III 321 consid. 3.2 et 3.3 p. 324 s.).
3. Pour arriver à la conclusion que M._ avait rendu vraisemblable l'existence d'une chute au cours de son accouchement, la juridiction cantonale s'est fondée sur les éléments suivants.
L'après-midi du 12 mars 2004, l'assurée a été hospitalisée pour accoucher. Elle a subi deux péridurales : la première, qui a échoué, a été pratiquée entre 18h25 et 18h50, la seconde, après 19h00. Le produit anesthésique a été administré vers 19h30. D'après le docteur W._, anesthésiste, ce produit entraîne une perte de sensibilité 15 à 30 minutes après l'injection et il est possible que la patiente ne remarque un affaiblissement musculaire de ses jambes qu'une fois debout. M._ a été suivie par un monitorage continu dès 17h30. Selon l'expert, le professeur H._, qui a examiné les tracés de l'enregistrement, il y a eu deux interruptions coïncidant avec la pose des péridurales (entre 18h25 et 18h50 et entre 19h11 et 19h26); le tracé foetal n'était pas interprétable entre 21h40 et 22h18. A la question de savoir s'il constatait, eu égard aux tracés enregistrés, la survenance d'un événement tel qu'une chute ou une complication, l'expert a répondu par la négative (rapport du 11 avril 2008). Après la pose de la seconde péridurale, se trouvaient dans la salle d'accouchement, aux côtés de l'assurée, J._, sage-femme, et P._, son mari. J._ a déclaré ne pas se souvenir d'une chute de la patiente sans toutefois pouvoir exclure qu'un tel événement ait pu avoir lieu; peut-être cette chute avait marqué la patiente, sans que cela puisse être considéré comme un événement important; en tout cas, elle aurait fait mention d'une chute à terre sur le partogramme. Pour sa part, P._ a indiqué que J._ avait insisté pour que sa femme se lève après la seconde péridurale; celle-ci s'est assise sur le bord du lit et est tout de suite tombée lorsqu'elle s'est mise debout; il l'a aidée à se relever et à se recoucher sur le lit; après, sa femme a vomi et s'est plainte de maux de dos. Il était certain que la sage-femme était présente lors de la chute; peut-être avait-elle banalisé l'accident.
Toujours selon les premiers juges, l'ensemble de ces éléments représentaient un faisceau d'indices permettant de considérer que la chute alléguée par l'assurée avait pu se passer entre 21h40 et 22h18, à un moment où le tracé foetal du monitorage n'était pas interprétable. L'absence d'indication d'une chute sur partogramme n'était pas décisive, car ce document ne mentionnait pas non plus la pose de la seconde péridurale. En revanche, le témoignage du mari était précis et crédible. Il n'était pas contredit par les propos de J._, dont on ne pouvait tirer aucune conclusion dans un sens ou dans l'autre. Il existait certes quelques divergences entre le mari et sa femme sur la chronologie des événements. L'assurée avait également évoqué deux chutes pour préciser ensuite qu'elle avait failli tomber une seconde fois mais qu'elle avait pu se retenir au bord du lit. Eu égard au contexte dans lequel les faits s'étaient déroulés, ces différences n'étaient toutefois pas de nature à mettre en doute le caractère vraisemblable d'une chute de l'assurée. Enfin, il paraissait compréhensible que celle-ci ne s'était pas immédiatement préoccupée d'annoncer l'événement à l'assureur-accidents. Elle en avait tout de même parlé à son gynécologue, le docteur F._, lors d'un contrôle le 12 mai 2004 ainsi qu'à son médecin traitant, le docteur E._.
4. Pour la recourante, l'appréciation des preuves par le tribunal cantonal n'est pas soutenable. D'une part, M._ a donné plusieurs versions différentes du déroulement des faits. D'autre part, ses allégations se trouvent en contradiction avec le dossier de surveillance médicale. Il ressort en effet de tous les témoignages du personnel soignant que lorsqu'une patiente a l'intention de se lever pour marcher, les capteurs du monitorage sont débranchés pour être ensuite reconnectés à un appareil ambulatoire. Or, le monitorage a seulement été interrompu à l'occasion de la pose des deux péridurales et l'expert n'a pas pu confirmer la réalité d'une chute. Il était également étonnant que le partogramme ne contînt aucune indication allant dans le sens du récit de l'assurée.
5. Contrairement à ce que soutient la recourante, on ne saurait faire grief à la juridiction cantonale d'avoir admis l'existence d'une chute à la lumière des informations recueillies. C'est un fait reconnu par les médecins qu'il existe un risque de chute après la pose d'une péridurale en raison d'une perte de sensibilité des jambes. Il est vrai que l'expert judiciaire a nié la survenance d'un incident problématique au regard de la normalité des valeurs inscrites sur l'enregistrement du monitorage. Il n'a toutefois pas exclu l'éventualité que l'assurée ait pu faire une chute. Quant aux arguments tirés des procédures de monitorage et des indications figurant sur le partogramme, ils ne sont pas de nature à apporter la preuve contraire des allégations de l'intimée et de son mari. Leur version des faits - et d'un événement accidentel - est a priori plausible, ainsi que l'a d'ailleurs admis J._. On rappellera qu'en ce domaine, l'exigence de preuve est réduite et qu'il suffit que l'assuré établisse une vraisemblance prépondérante. En revanche, les éléments mis en avant par la recourante permettent clairement d'écarter l'hypothèse d'une chute importante et de retenir qu'il s'est agi d'un accident qu'on peut qualifier de banal (voir aussi la déclaration rédigée par M._ d'où il ressort qu'elle n'est pas tombée au sol de tout son poids, mais qu'elle a été «rattrapée» par son mari qui a amorti sa chute).
Cela étant, il y a lieu de constater, à l'instar des premiers juges, que la documentation médicale est insuffisante pour l'examen du lien de causalité naturelle et adéquate entre cette chute et les maux de dos dont se plaint l'intimée. En effet, seul le docteur E._ a émis un bref commentaire à ce sujet (voir sa lettre du 21 mars 2005). La recourante devra donc encore instruire ce point et rendre une nouvelle décision sur le droit de l'assurée aux prestations.
6. Le recours se révèle mal fondé.
Vu l'issue du litige, les frais de justice doivent être supportés par la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). L'intimée a droit à des dépens à charge de l'assureur-accidents (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais de justice, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3. La recourante versera à l'intimée la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour la dernière instance.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 27 décembre 2010
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: La Greffière:
Ursprung von Zwehl