Erwägungen:
1. Der türkische Staatsangehörige X._, geboren 1965, reiste im Juni 1988 in die Schweiz ein und ersuchte erfolglos um Asyl. Nach der Heirat mit einer niedergelassenen Landsfrau erhielt er die Aufenthaltsbewilligung, die nach der am 2. Dezember 1992 ausgesprochenen Scheidung nicht erneuert wurde. Da X._ der Ausreiseverpflichtung nicht nachkam, wurde er am 28. Januar 1994 zwangsweise ausgeschafft, wobei die zuständige Bundesbehörde gegen ihn eine bis zum 26. Januar 1999 gültige Einreisesperre verhängte. Am 29. Januar 2001 reiste X._ illegal in die Schweiz ein und ersuchte wiederum erfolglos um Asyl. Im Jahr 2002 heiratete er eine Schweizer Bürgerin; am 20. November 2002 erhielt er gestützt auf diese Ehe bzw. gestützt auf Art. 7 ANAG eine Aufenthaltsbewilligung für den Kanton Solothurn, wegen Verdachts auf Scheinehe nur für die Dauer von sechs Monaten. In der Folge wurde die Aufenthaltsbewilligung nicht verlängert und X._ aus dem Kanton Solothurn weggewiesen. Die gegen die entsprechende Verfügung erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 13. Dezember 2005 ab; das Urteil erwuchs in Rechtskraft.
Am 12. Mai 2006 ersuchte X._ das Departement des Innern des Kantons Solothurn um erneute Erteilung der Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug, weil er sich mit seiner Ehefrau versöhnt habe. Am 28. Februar 2008 lehnte das Departement des Innern das Gesuch um Familiennachzug unter Ansetzung einer Ausreisefrist (Wegweisung) ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies die gegen diese Verfügung erhobene Beschwerde am 26. Juni 2008 ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 27. August (Postaufgabe 28. August) 2008 beantragt X._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 26. Juni 2008 sei aufzuheben, es sei ihm der Familiennachzug zu gewähren, eventualiter sei eine Härtefallbewilligung gemäss Art. 13 Buchstabe f BV zu erteilen, es sei festzustellen, dass eine Wegweisung aus rechtlicher Sicht nicht zulässig und in Folge des Gesundheitszustandes faktisch nicht zu bewerkstelligen sei.
Der Beschwerdeführer hat am 8. September 2008 unter Einhaltung der ihm hierfür angesetzten Frist das angefochtene Urteil eingereicht. Ein Schriftenwechsel oder weitere Instruktionsmassnahmen sind nicht angeordnet worden.
2. 2.1 Gemäss Art. 83 lit. c BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten auf dem Gebiet des Ausländerrechts unzulässig betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Ziff. 2), sowie betreffend Wegweisung (Ziff. 4).
2.1.1 Der Beschwerdeführer ist - noch - mit einer Schweizer Bürgerin verheiratet; er hat daher gestützt auf Art. 7 des gemäss Art. 126 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20 bzw. AS 2007 5437) vorliegend noch zur Anwendung kommenden Bundesgesetzes vom 26. Mai 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) einen (bedingten) Rechtsanspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung. Ob die Berufung auf die Ehe in ausländerrechtlicher Sicht rechtsmissbräuchlich sei, ist materielle Rechtsfrage. In Bezug auf den Bewilligungstatbestand von Art. 7 ANAG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich zulässig.
2.1.2 Damit auf dieses Rechtsmittel eingetreten werden kann, müssen jedoch auch die weiteren Eintretensvoraussetzungen erfüllt sein. So muss die Beschwerdeschrift den gesetzlichen Formvorschriften genügen. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG hat sie nebst den Begehren deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung in gedrängter Form darzulegen ist, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Erforderlich ist eine sachbezogene Begründung; das heisst, dass der Beschwerdeführer wenigstens in den Grundzügen auf die für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen eingehen muss. Diese Voraussetzung ist vorliegend in Bezug auf den Bewilligungstatbestand von Art. 7 ANAG nicht erfüllt:
Das Verwaltungsgericht beruft sich primär auf sein früheres, rechtskräftig gewordenes Urteil vom 13. Dezember 2005 und beschränkt sich erklärtermassen darauf zu prüfen, ob seither irgendwelche Änderungen eingetreten seien, die eine Neubeurteilung der Situation rechtfertigten (E. 4 des angefochtenen Urteils). In der Folge (E. 5 und 6) befasst es sich mit dem Verhalten der Ehegatten, insbesondere der Ehefrau des Beschwerdeführers, seit anfangs 2006. Aus den einzelnen Vorkommnissen und Aussagen schliesst es, dass es zu keiner echten Wiederaufnahme der ehelichen Gemeinschaft gekommen sei und die Ehe nach wie vor als gescheitert betrachtet werden müsse. Was die Situation der Ehe betrifft, begnügt sich der Beschwerdeführer damit, sich darüber zu beklagen, er sei Opfer der Willkür einer Schweizerin und er werde nicht als Subjekt, sondern als Objekt angesehen, wogegen er sich wehre. Mit keinem Wort geht er auf die vom Verwaltungsgericht beschriebenen Verhältnisse ab Januar 2006 und die im angefochtenen Urteil angeführten, für das Scheitern der Ehe sprechenden Indizien ein. Damit aber fehlt es hinsichtlich des Bewilligungstatbestands von Art. 7 ANAG offensichtlich an einer hinreichenden Begründung (vgl. Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
2.1.3 Nebst Art. 7 ANAG kann sich der Beschwerdeführer auf keine ihm einen Bewilligungsanspruch verschaffende Norm berufen. Ein solcher Anspruch ergibt sich vorerst nicht aus der Verordnung vom 6. Oktober 1986 über die Begrenzung der Zahl der Ausländer (BVO), welche er erwähnt (vgl. dazu BGE 130 II 281 E. 2.2 S. 284 mit Hinweisen). Offensichtlich nicht erfüllt sind ferner die strengen von der Gesetzgebung aufgestellten Kriterien, um dem Beschwerdeführer gestützt auf das durch Art. 8 EMRK garantierte Recht auf Achtung des Privatlebens einen Bewilligungsanspruch zuzuerkennen (vgl. dazu BGE 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286 f.).
2.1.4 In Anwendung von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG (teilweise in Verbindung mit Art. 42 Abs. 2 BGG) kann auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Bezug auf die Frage der Bewilligungsverweigerung nicht eingetreten werden. Hinsichtlich der Wegweisung ergibt sich die Unzulässigkeit dieses ordentlichen Rechtsmittels aus Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG.
2.2 Die Beschwerde kann auch nicht etwa als subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) entgegengenommen werden. Mit diesem Rechtsmittel könnte allein die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG), wobei die Verletzung solcher Rechte konkret dargetan werden muss (Art. 106 Abs. 2 und Art. 42 Abs. 2 BGG). Beim vom Beschwerdeführer erwähnten Verhältnismässigkeitsprinzip handelt es sich nicht um ein selbstständig anrufbares verfassungsmässiges Recht i.S. von Art. 116 BGG (vgl. BGE 134 I 153 E. 4.1). Inwiefern sodann die kantonalen Behörden den Grundsatz von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 bzw. Art. 9 BV) bzw. das Fairnessgebot (Art. 29 Abs. 1 BV) missachtet haben könnten, wird nicht substantiiert dargelegt. Was insbesondere die angeblich ungenügende Würdigung seiner gesundheitlichen Situation betrifft, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, welche Behörde in welchem Verfahrensstadium welche konkreten Vorbringen nicht berücksichtigt habe. Nur ergänzend ist zu erwähnen, dass das dem Bundesgericht vorgelegte Arztzeugnis vom 5. März 2008 eine zeitlich vorübergehende Reiseunfähigkeit (für rund einen Monat) belegt und für die Beurteilung der Beschwerde schon darum unerheblich ist, und dass es sich beim neueren, ausführlicheren ärztlichen Bericht vom 7. Juli 2008 um ein unzulässiges neues Vorbringen bzw. Beweismittel handelt (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.3 Auf die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Mit diesem Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.4 Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind dem Beschwerdeführer als vor Bundesgericht unterliegender Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Departement des Innern und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. September 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Feller