Faits :
A.
A.A._ est né le 21 août 2003 à l'hôpital Daler, à Fribourg. Lors des examens médicaux effectués après la naissance, l'oeil droit de l'enfant, demeuré fermé, n'a pas été contrôlé. Dans les jours qui ont suivi, le pédiatre a suspecté un trouble de la coagulation sanguine et fait transférer l'enfant au service hématologique pédiatrique de l'Hôpital de l'Ile, à Berne. Le 28 août 2003, une afibrinogénémie est diagnostiquée et un traitement substitutif en fibrinogène est mis en place. A.A._ est resté à l'Hôpital de l'Ile jusqu'au 2 septembre 2003. Aucun examen des yeux n'a été pratiqué pendant cette hospitalisation.
Le 16 septembre 2003, à l'occasion d'un contrôle dans le service hématologique pédiatrique de l'Hôpital de l'Ile, une rougeur constatée à l'oeil droit de A.A._ a fait l'objet d'un examen sans délai à la clinique ophtalmique de cet établissement; les médecins diagnostiquent alors une hémorragie de la chambre antérieure et du corps vitré. Il s'en est suivi une nouvelle hospitalisation en hématologie jusqu'au 24 septembre 2003; les dosages en fibrinogène sont augmentés et, le 22 septembre, un rinçage opératoire de la chambre antérieure est pratiqué.
Le 13 janvier 2004, la clinique ophtalmique de l'Hôpital de l'Ile a demandé un second avis à l'Hôpital ophtalmique Jules Gonin, à Lausanne. Dans le courrier de transmission, les médecins bernois font état d'une hématocornée et de saignements persistant dans le corps vitré (persistierender Glaskörpereinblutung); ils précisent qu'ils envisagent une vitrectomie (complètement de l'état de fait, art. 105 al. 2 LTF).
A.A._ est examiné sous narcose à Lausanne le 9 février 2004. Dans sa réponse du 10 février 2004 aux médecins bernois, l'Hôpital ophtalmique Jules Gonin pose le diagnostic de hématocornée avec membrane intra-camérulaire et décollement de rétine total en parapluie; l'oeil droit présente une perte fonctionnelle et aucune indication chirurgicale n'est retenue (complètement de l'état de fait, art. 105 al. 2 LTF).
B. Par lettre du 3 janvier 2005, B.A._ et C.A._, agissant au nom de leur fils A.A._, se sont adressés à l'Hôpital de l'Ile. Ils considéraient qu'un problème de responsabilité médicale se posait et entendaient solliciter une expertise extrajudiciaire auprès du bureau d'expertises de la Fédération des médecins suisses (FMH). Avec l'accord de l'assureur responsabilité civile de l'Hôpital de l'Ile, de la Fondation de l'Hôpital de l'Ile et des médecins concernés, une telle expertise a été effectuée par le Dr D._ et le Dr E._; leur rapport date des 28 juin/2 juillet 2009.
Les 21 juillet et 6 octobre 2009, les parents de A.A._ ont demandé un entretien à l'assureur en responsabilité civile de l'Hôpital de l'Ile, puis une confirmation écrite de la position de l'assureur et de son assuré.
Par décision du 20 octobre 2009, la Fondation de l'Hôpital de l'Ile (ci-après: la Fondation) a rejeté "la demande du 3 janvier 2005" de A.A._. Elle considérait que, d'après l'expertise de la FMH, le traitement ophtalmologique global, les examens, leur interprétation et la demande d'un deuxième avis s'étaient déroulés selon les règles de l'art et qu'aucune faute ni omission dans l'information des parents n'avait été relevée.
A.A._ a interjeté recours auprès du Tribunal administratif du canton de Berne. Il concluait à l'annulation de la décision du 20 octobre 2009 et au renvoi du dossier à la Fondation avec mandat d'ouvrir une procédure préalable et de rendre une nouvelle décision dans le sens des considérants. A titre subsidiaire, les conclusions du recours tendaient à ce qu'il soit constaté que la responsabilité de la Fondation pour la perte de l'oeil droit de A.A._ était engagée et à ce que le dossier soit renvoyé à l'intimée pour traiter et juger les prétentions du recourant. A titre encore plus subsidiaire, le recourant demandait que la Fondation soit condamnée à lui payer, avec intérêts, une indemnité de 35'000 fr. à titre de réparation morale et de 13'414 fr.70 à titre de remboursement des frais d'avocat; il réservait par ailleurs ses prétentions pour son dommage futur.
Au cours de la procédure, les parties ont été invitées à formuler des questions complémentaires aux médecins qui avaient rédigé l'expertise FMH. En date du 17 juillet 2013, ceux-ci ont rendu leur rapport (expertise judiciaire), sur lequel les parties ont eu l'occasion de s'exprimer.
Par jugement du 24 novembre 2014, la Cour des affaires de langue française du Tribunal administratif du canton de Berne a rejeté le recours, mis les deux tiers des frais à la charge de A.A._ et condamné la Fondation à verser à celui-ci un montant de 3'500 fr. à titre de participation forfaitaire aux dépens.
C. A.A._ exerce un recours en matière civile. Principalement, il demande au Tribunal fédéral d'annuler le jugement cantonal et d'admettre la responsabilité de la Fondation pour la perte de son oeil droit; il reprend pour le surplus les conclusions condamnatoires formulées dans l'instance cantonale et réserve ses prétentions pour le dommage futur. A titre subsidiaire, le recourant sollicite le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
La Fondation conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité.
Invité à se déterminer, le Tribunal administratif a déposé des observations et propose le rejet du recours.
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine librement et d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 140 IV 57 consid. 2; 139 III 133 consid. 1; 139 V 42 consid. 1).
1.1. Il n'est pas contesté que l'établissement hospitalier en cause est une organisation chargée de tâches de droit public et que le droit public cantonal s'applique à la responsabilité pour le dommage que ses employés causent dans l'exercice de leurs fonctions (cf. art. 61 al. 1 et 2 CO; art. 71 al. 1 Cst./BE; art. 47 al. 1 de la loi bernoise du 5 novembre 1992 sur le statut général de la fonction publique [aLPers/BE; ROB 1993 69] applicable à l'époque des faits litigieux).
Selon la jurisprudence, la responsabilité médicale, lorsqu'elle est soumise au droit public cantonal, donne lieu à des décisions qui sont prises en application de normes de droit public dans une matière devant être considérée comme connexe au droit civil; partant, elles sont sujettes au recours en matière civile (art. 72 al. 2 LTF; ATF 133 III 462 consid. 2.1 p. 465; confirmé in ATF 139 III 252 consid. 1.5 p. 254 s.)
1.2. Les conditions de recevabilité spécifiques du recours en matière civile sont régies par les art. 72 à 76 LTF.
1.2.1. Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 75 al. 2 LTF en relation avec l'art. 104a ch. 2 al. 1 de la loi bernoise du 3 mai 1989 sur la procédure et la juridiction administratives (LPJA/BE; RSB 155.21) ( recte : de la loi bernoise du 16 septembre 2004 sur le personnel [LPers/BE; RSB 153.01]) et avec l'art. 50 al. 1 LPers/BE ( recte : LPJA/BE). L'exigence de la double instance posée par le droit fédéral n'aurait pas été respectée en l'espèce, car l'intimée aurait rendu la décision du 20 octobre 2009 malgré l'absence d'une demande formelle d'indemnisation et sans avoir ouvert une procédure préalable au sens de l'art. 50 al. 1 LPJA/BE, ni avoir donné au recourant la possibilité de se déterminer sur l'expertise FMH.
1.2.2. Le recours est recevable notamment contre les décisions prises par les autorités cantonales de dernière instance (art. 75 al. 1 LTF). Selon l'art. 75 al. 2 LTF, les cantons instituent, comme autorités cantonales de dernière instance, des tribunaux supérieurs, lesquels statuent sur recours sauf dans les cas énumérés aux lettres a à c. Le droit fédéral impose ainsi aux cantons une double instance. A titre de disposition transitoire, l'art. 130 al. 2 LTF a toutefois accordé aux cantons un délai d'adaptation courant en principe jusqu'à l'entrée en vigueur du CPC. Celle-ci est intervenue le 1 er janvier 2011. L'exigence de la double instance vaut pleinement pour les décisions communiquées après cette date; pour les causes pendantes au 1 er janvier 2011 mais jugées après cette date, les cantons doivent ouvrir un recours auprès d'un tribunal supérieur. Les cantons demeurent libres de désigner l'autorité de première instance; il peut s'agir par exemple d'une autorité administrative, laquelle devra alors rendre une décision formelle susceptible de recours (ATF 139 III 252 consid. 1.6 p. 255 s. et les arrêts cités).
Jusqu'à l'entrée en vigueur de l'art. 104a LPers/BE le 1 er janvier 2009, les prétentions découlant de la responsabilité médicale soumise au droit public bernois devaient être exercées par la voie de l'action directe devant le Tribunal administratif. L'art. 104a LPers/BE a institué une double instance cantonale en pareil cas. En tant qu'organisation extérieure à l'administration cantonale au sens de l'art. 101 LPers/BE, l'intimée est devenue ainsi une autorité appelée à rendre une décision susceptible d'un recours devant le Tribunal administratif.
En l'espèce, le recourant s'est adressé à l'intimée et les parties ont mis en oeuvre l'expertise FMH avant l'entrée en vigueur de l'art. 104a LPers/BE. Devenue compétente par la suite pour se prononcer par une décision, l'intimée a considéré que, sur la base de l'expertise FMH, sa responsabilité n'était pas engagée. Le recourant a recouru auprès du Tribunal administratif contre cette décision. L'exigence de la double instance posée par l'art. 75 al. 2 LTF a été respectée en l'espèce. Contrairement au cas faisant l'objet de l'ATF 139 III 252 invoqué par le recourant, le jugement attaqué n'a pas été rendu par un tribunal administratif cantonal statuant en première instance, mais bien sur recours.
Au surplus, la cour cantonale a reconnu que le recourant n'avait pas pu, lors de la procédure devant l'intimée, se déterminer sur le résultat de l'expertise FMH et, partant, que son droit d'être entendu avait été violé. Elle a jugé toutefois que ce vice avait été réparé lors de la procédure de recours. En effet, le recourant a été en mesure d'exposer de manière détaillée ses griefs à l'encontre de l'expertise FMH devant le Tribunal administratif, qui jouit d'un plein pouvoir de cognition sur les questions de fait et de droit; il a pu également poser des questions complémentaires aux auteurs de l'expertise et discuter de leurs réponses. Le recourant n'explique pas en quoi la cour cantonale aurait, ce faisant, méconnu l'art. 29 al. 2 Cst. garantissant le droit d'être entendu. De même, il ne démontre pas en quoi l'autorité précédente aurait arbitrairement violé les dispositions cantonales régissant la procédure avant le prononcé d'une décision.
Dans la mesure où il est recevable, le premier grief soulevé dans le recours est mal fondé.
1.3. Pour le reste, la présente cause atteint la valeur litigieuse de 30'000 fr. ouvrant le recours en matière civile dans les affaires pécuniaires ne relevant ni du droit du travail, ni du droit du bail à loyer (art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recours est exercé par la partie qui a succombé dans ses conclusions et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. c et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
2.
2.1. L'intimée répond du dommage que ses agents causent de manière illicite à un tiers dans l'exercice de leurs fonctions (cf. art. 71 al. 1 Cst./BE, art. 47 al. 1 aLPers/BE; actuellement art. 101 al. 1 LPers/BE). Sa responsabilité, dite causale, est engagée lorsque les conditions suivantes sont remplies: un acte illicite, un dommage et un lien de causalité entre ceux-ci.
En l'espèce, l'acte illicite réside, de manière incontestée, dans l'absence d'examen des yeux lors de l'admission de l'enfant, le 28 août 2003, au service hématologique pédiatrique de l'Hôpital de l'Ile. L'existence d'un préjudice, lié à la perte fonctionnelle de l'oeil droit, ne prête pas non plus à discussion. Le point litigieux porte sur la causalité entre ces deux éléments.
Pour trancher cette question, le Tribunal administratif s'est fondé sur l'expertise FMH des Drs D._ et E._ ainsi que sur le rapport des mêmes experts établi pendant la procédure de recours; il est parvenu à la conclusion que, selon le degré de preuve de la vraisemblance prépondérante, le dommage se serait de toute façon produit si les médecins en cause avaient agi conformément à leurs devoirs. La cour cantonale a nié ainsi un lien de causalité entre le manquement imputable aux médecins de l'hôpital et la perte de vision de l'oeil droit du recourant.
2.2. Le recourant soulève tout d'abord le grief de l'établissement inexact des faits au sens de l'art. 97 LTF, notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (entre autres, ATF 140 III 115 consid. 2 p. 117). Il fait valoir que l'autorité précédente aurait versé dans l'arbitraire en se fondant sur la vision rétrospective des choses adoptée dans l'expertise FMH et le rapport complémentaire. Sous ce grief, le recourant critique en réalité les conclusions des experts, qui auraient fondé leur analyse sur des suppositions et sans entendre les médecins directement impliqués, notamment sur la question du début de l'hémorragie. Par ailleurs, l'affirmation selon laquelle l'évolution négative de la vision de l'oeil droit ne pouvait plus être influencée par une quelconque option thérapeutique le 28 août 2003 serait en contradiction flagrante avec l'attitude des médecins ophtalmologues de l'Hôpital de l'Ile, qui ont opté pour un traitement hautement dosé en fibrinogène dès la découverte de l'hémorragie le 16 septembre 2003 et avaient l'intention d'effectuer une vitrectomie avant de demander un second avis médical.
Invoquant l'art. 9 Cst., le recourant se plaint ensuite d'une application arbitraire de l'art. 71 al. 1 Cst./BE et de l'art. 47 al. 1 aLPers. Sous cet angle, il reproche à nouveau à la cour cantonale de s'être fondée sur des faits retenus par les experts, alors que ces faits relèveraient essentiellement de suppositions et non de constats avérés. Le recourant soutient que les incertitudes scientifiques qui subsisteraient dans cette affaire justifient de le mettre au bénéfice d'un allègement de la preuve; il conviendrait ainsi d'admettre que si un diagnostic correct avait été posé le 28 août 2003 pour être immédiatement suivi d'un traitement adéquat, les événements ne se seraient à tout le moins pas enchaînés de la même manière.
3.
Le manquement reproché aux médecins de l'Hôpital de l'Ile consiste dans une omission. En pareil cas, l'examen du lien de causalité revient à se demander si le dommage serait également survenu si l'acte omis avait été accompli. Une preuve stricte ne peut être exigée en la matière. Il suffit que le cours hypothétique des événements soit établi avec une vraisemblance prépondérante (ATF 132 III 715 consid. 3.2 p. 720; 124 III 155 consid. 3d p. 165). Lorsqu'elle est déduite exclusivement de l'expérience générale de la vie, la causalité hypothétique est revue librement par le Tribunal fédéral; en revanche, en tant que le juge a fondé son raisonnement sur des moyens de preuve, le Tribunal fédéral ne peut revoir ses constatations que sous l'angle de l'arbitraire dans l'appréciation des preuves, pour autant que le grief tiré de l'art. 9 Cst. soit invoqué et dûment motivé conformément à l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 132 III 305 consid. 3.5 p. 311, 715 consid. 2.3 p. 718 s.; 127 III 453 consid. 5d p. 456; 115 II 440 consid. 5 p. 447 ss).
3.1. Pour nier un lien de causalité hypothétique entre l'omission reprochée aux médecins et l'atteinte à l'intégrité subie par le recourant, la cour cantonale s'est fondée sur l'expertise FMH des 28 juin/2 juillet 2009 ainsi que sur l'expertise judiciaire du 17 juillet 2013.
L'expertise FMH n'a pas été ordonnée par l'autorité, mais mise en oeuvre en commun par les parties, avant le prononcé de la décision du 20 octobre 2009. Les mêmes experts ont ensuite été appelés par le Tribunal administratif à répondre aux questions des parties. A ce stade-là, l'intimée admettait que l'absence d'examen des yeux de l'enfant le 28 août 2003 constituait une "faute professionnelle", comme l'expertise FMH l'avait fait ressortir. En conséquence, l'expertise judiciaire portait uniquement sur le lien de causalité entre le défaut de diagnostic du 28 août 2003 et l'atteinte à la santé subie par le recourant. Elle se référait en outre à l'expertise FMH. Dans les circonstances de l'espèce, l'expertise des 28 juin/2 juillet 2009 ne peut être assimilée à de simples allégués de parties. Tant l'expertise FMH que l'expertise judiciaire constituent ainsi des moyens de preuve sur lesquels le Tribunal administratif pouvait se fonder.
3.2. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en se ralliant aux conclusions des experts.
Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. L'arbitraire, prohibé par l'art. 9 Cst., ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution pourrait entrer en considération ou même qu'elle serait préférable. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. Il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; encore faut-il que celle-ci soit arbitraire dans son résultat (ATF 140 III 16 consid. 2.1 p. 18 s., 157 consid. 2.1 p. 168; 139 III 334 consid. 3.2.5 p. 339; 138 III 378 consid. 6.1 p. 379 s.).
En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 137 III 226 consid. 4.2 p. 234; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560; 134 V 53 consid. 4.3 p. 62; 129 I 8 consid. 2.1 p. 9).
En particulier, lorsque l'autorité précédente juge une expertise concluante et en fait sien le résultat, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'appréciation arbitraire des preuves que si l'expert n'a pas répondu aux questions posées, si ses conclusions sont contradictoires ou si, d'une quelconque autre façon, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même sans connaissances spécifiques, que le juge ne pouvait tout simplement pas les ignorer. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de vérifier si toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire; sa tâche se limite bien plutôt à examiner si l'autorité intimée pouvait, sans arbitraire, se rallier au résultat de l'expertise (consid. 5 non publié de l'ATF 141 III 97; cf. ATF 138 III 193 consid. 4.3.1 p. 198; 136 II 539 consid. 3.2 p. 547; 133 II 384 consid. 4.2.3 p. 391; 132 II 257 consid. 4.4.1 p. 269).
3.2.1. Les experts n'ont pas pu entendre tous les médecins de l'Hôpital de l'Ile directement en charge du traitement du recourant à l'époque des faits litigieux. En revanche, ils ont procédé à l'audition du supérieur hiérarchique de trois médecins du service d'hématologie, ainsi qu'à celle du remplaçant du médecin-chef du service d'ophtalmologie; ils ont considéré ces auditions suffisantes pour répondre aux questions litigieuses. A cet égard, on ne voit pas en quoi les expertises seraient affectées d'un défaut rédhibitoire parce que tous les médecins concernés n'ont pas été directement entendus, étant précisé que le manquement en cause a été admis par l'intimée et qu'il s'agit de déterminer un scénario hypothétique.
3.2.2. Selon les experts, l'hypothèse la plus plausible est que des saignements massifs dans la chambre antérieure et le corps vitré sont intervenus de manière concomitante à la naissance, sans qu'il soit possible d'exclure qu'ils se soient produits in utero à la fin de la grossesse. Les experts expliquent leur conclusion par la pression physique subie à l'accouchement et par le fait que, lors du diagnostic le 16 septembre 2003, le sang observé était vieux et la cornée déjà infiltrée. Ces saignements massifs, en particulier dans le corps vitré, rendaient d'emblée le pronostic défavorable. D'après les experts, une substitution en fibrinogène aurait dû être mise en place tout au début de l'hémorragie pour sauver l'oeil. Si l'hémorragie avait été diagnostiquée le 28 août 2003, un traitement hautement dosé en fibrinogène entrepris à ce moment-là aurait pu influer sur d'éventuels saignements encore actifs ( "Nachblutungen" ), mais non sur la partie principale de l'ancienne hémorragie, dont il n'aurait pas favorisé la résorption; selon une très haute vraisemblance, le pronostic final n'en aurait donc pas été modifié.
Les experts attribuent le décollement de rétine aux saignements massifs qui étaient présents au plus tard à la naissance dans le corps vitré également. Pour traiter une hémorragie du corps vitré établie, seule une vitrectomie est envisageable. L'intervention sur le corps vitré est toutefois très difficile chez un nouveau-né et n'est pas raisonnablement indiquée. Elle est encore plus compliquée et son pronostic est encore plus mauvais lorsque la cornée est déjà imprégnée; à cet égard, les experts observent que des saignements importants dans la chambre antérieure commencent à imprégner la cornée après cinq à sept jours, de sorte qu'en l'espèce, même si d'éventuels saignements postérieurs à la naissance avaient été arrêtés le 28 août 2003, la cornée aurait déjà été détériorée lors de l'admission de l'enfant à l'Hôpital de l'Ile.
3.2.3. Le recourant devait démontrer avec une vraisemblance prépondérante qu'il n'aurait pas perdu la vision de son oeil droit si les médecins de l'Hôpital de l'Ile avaient procédé à un examen oculaire le 28 août 2003 et diagnostiqué alors l'hémorragie de la chambre antérieure et du corps vitré. La cour cantonale a jugé que cette preuve n'avait pas été rapportée; en effet, sur la base des rapports des experts, la perte de vision était très vraisemblablement inéluctable déjà lors de l'hospitalisation de l'enfant à l'Hôpital de l'Ile, sans qu'aucun traitement curatif valable ne puisse influer sur cette évolution défavorable.
Les critiques formulées dans le recours ne font pas apparaître les réponses des experts comme incohérentes, fondées sur de simples suppositions ou encore affectées de défauts évidents. S'agissant de la date du début de l'hémorragie, les experts expliquent de manière convaincante pourquoi des saignements massifs et concomitants dans la chambre antérieure et le corps vitré sont intervenus selon toute vraisemblance au plus tard lors de la naissance. En ce qui concerne le traitement de l'hémorragie oculaire par une augmentation des dosages en fibrinogène, les experts observent qu'il ne pouvait avoir d'effet que sur d'éventuels saignements en cours, mais non sur l'ancienne partie de l'hémorragie, en définitive déterminante pour le pronostic. Contrairement à ce que le recourant prétend, cette conclusion n'est pas contradictoire avec le fait que les médecins de l'Hôpital de l'Ile ont mis en place un tel traitement curatif à partir du 16 septembre 2003. De même, le fait qu'une vitrectomie ait été envisagée dans le cas de A.A._ ne permet pas de mettre en doute l'avis des experts sur le pronostic très mauvais d'une telle intervention chez un nouveau-né, qui plus est en présence d'une imprégnation de la cornée.
Il s'ensuit que la cour cantonale pouvait, sans arbitraire, se rallier aux conclusions de l'expertise pour déterminer quel aurait été très vraisemblablement le cours des événements si l'hémorragie avait été détectée lors de l'admission de A.A._ à l'Hôpital de l'Ile. Le grief tiré d'une violation des art. 97 LTF et 9 Cst. est mal fondé.
4.
Dans un dernier moyen, le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas avoir appliqué la théorie de la perte d'une chance. A son avis, les juges bernois auraient dû considérer la causalité entre le retard dans le diagnostic et la perte de la chance de conserver la vision de l'oeil droit grâce à une vitrectomie.
4.1. Selon la théorie de la perte d'une chance, le dommage réparable consiste dans la perte d'une chance mesurable de réaliser un gain ou d'éviter un préjudice; il correspond ainsi à la probabilité pour le lésé d'obtenir ce profit ou de ne pas subir ce désavantage. Le Tribunal fédéral a déjà jugé que la réception en droit suisse de cette théorie était à tout le moins problématique, car elle revenait en définitive à admettre la réparation d'un préjudice en fonction de la probabilité que le fait générateur de responsabilité ait causé le dommage. Une autorité cantonale ne saurait ainsi se voir reprocher une application arbitraire du droit cantonal régissant la responsabilité d'un hôpital public en n'examinant pas le dommage sous l'angle de la perte d'une chance (ATF 133 III 462 consid. 4.2 p. 468 s. et consid. 4.4.3 p. 471 s).
4.2. Il n'y a pas lieu de revenir ici sur cette jurisprudence, de sorte que la cour cantonale n'a pas violé de manière arbitraire le droit cantonal en n'appliquant pas en l'espèce la théorie de la perte d'une chance.
Au demeurant, le cas présent n'est guère typique de cette théorie. Le recourant lui-même invoque la causalité entre le retard dans le diagnostic et la perte d'une chance "réelle et sérieuse" de sauvegarder la vision de l'oeil droit. Or, sur la base des expertises, il apparaît très douteux qu'une vitrectomie envisagée plus tôt aurait constitué un traitement approprié qui aurait été susceptible de sauver l'oeil droit de A.A._.
5.
Sur le vu de ce qui précède, le recours sera rejeté dans la mesure où il est recevable.
En conséquence, le recourant prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et au Tribunal administratif du canton de Berne, Cour des affaires de langue française.
Lausanne, le 22 septembre 2015
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann