Sachverhalt:
A. X._ betreibt in Zürich zwei Kinderkrippen. Für beide Institutionen schloss sie mit dem Sozialdepartement der Stadt Zürich am 20./24. Februar 2006 einen Leistungsvertrag ab (gültig ab 1. Januar 2006 bis 31. Dezember 2009), gemäss welchem das Sozialdepartement Betreuungstage "einkaufte" und diese Leistungen nach einem bestimmten Berechnungsschlüssel honorierte. Wegen Differenzen über Subventionsrückforderungen im Zusammenhang mit der Regelung der Nachzahlung von Elternbeiträgen kündigte X._ die beiden Subventionsverträge per Ende 2006. Zwischen den Parteien kam es in der Folge zu Verhandlungen über eine Weiterführung der Verträge. Am 31. Juli 2007 erhob X._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine verwaltungsrechtliche Klage mit dem Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass der am 20./24. Februar 2006 geschlossene "Kontrakt 2006 bis 2009" noch bestehe und die Parteien zur Erbringung der vertraglich geregelten Leistungen weiterhin verpflichtet seien. Das Verwaltungsgericht kam zum Schluss, zwischen den Parteien bestehe keine über den 31. Juli 2007 hinausgehende Leistungsvereinbarung, und wies die Klage mit Urteil vom 20. Dezember 2007 ab.
B. X._ führt hiegegen am 26. Februar 2008 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Begehren, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und festzustellen, dass die beiden Verträge nach wie vor in Kraft stünden und die Parteien zur Erbringung der vertraglich geschuldeten Leistungen verpflichtet seien.
Das Sozialdepartement der Stadt Zürich beantragt Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht stellt (unter Hinweis auf die Erwägungen seines Entscheides) den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
C. Mit Präsidialverfügung vom 10. April 2008 wurden das Sozialdepartement der Stadt Zürich und die Beschwerdeführerin im Sinne einer vorsorglichen Massnahme angehalten, die gemäss den Verträgen vom 20./24. Februar 2006 geschuldeten Leistungen bis Ende April 2008 zu erbringen.
Erwägungen:
1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keine der Ausnahmen gemäss Art. 83 BGG fällt. Das Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher zulässig. Die Beschwerdeführerin ist zu seiner Ergreifung legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
2. Das angefochtene kantonale Urteil befindet, wovon übereinstimmend auch die Parteien ausgehen, über Ansprüche aus einem öffentlichrechtlichen Vertrag, der die Voraussetzungen für den Bezug von Subventionen regelt. Das Privatrecht ist auf solche Verträge nicht direkt anwendbar. Die Regeln des Obligationenrechts können jedoch, soweit sich dies als sachgerecht erweist, auf öffentlichrechtliche Verträge analog Anwendung finden. Das Bundesgericht prüft die Handhabung dieser vertragsrechtlichen Grundsätze, wenn es sich um eine dem kantonalen öffentlichen Recht zuzuordnende Materie handelt, gleich wie die Auslegung des entsprechenden einfachen Gesetzesrechts nur unter dem Gesichtswinkel der Verfassungskonformität, d.h. insbesondere des Willkürverbotes (BGE 122 I 328 E.1 a/bb, S. 331 f., und E.3a, S. 333 f.; 105 la 207 E. 2c S. 211 f.). Solche Verfassungsrügen müssen ausdrücklich erhoben und gehörig begründet werden (Art. 42 Abs. 2 i.V. mit Art. 106 Abs. 2 BGG).
3. Die vorliegende Beschwerdeschrift erschöpft sich in weitschweifigen Ausführungen über die Tragweite und Hintergründe der vorhandenen Parteierklärungen, ohne das Vorliegen einer Verfassungsverletzung auch nur zu behaupten. Sie beruft sich einzig auf einzelne Bestimmungen des Obligationenrechts (Art. 1 und Art. 18 Abs. 1), deren Verletzung hier nach dem Gesagten als (direkter) Beschwerdegrund ausser Betracht fällt. Dass das Verwaltungsgericht allgemeine Grundsätze des Vertragsrechts in unhaltbarer Weise angewendet und dadurch gegen das Willkürverbot verstossen habe, wird weder gerügt noch dargetan. Mangels einer tauglichen Begründung ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten.
4. Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass Y._, welche als zuständige Abteilungsleiterin des städtischen Sozialdepartementes mit E-Mail vom 22. Dezember 2006 einem Vorschlag der Krippenbetreiberin zugestimmt haben soll, im angefochtenen Urteil (S. 9) als blosse "Sachbearbeiterin" bezeichnet werde, und erblickt hierin eine offensichtlich aktenwidrige Sachverhaltsfeststellung im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG. Diese Rüge ist, da die behauptete Verkennung der hierarchischen Stellung von Y._ nach der Darstellung in der Beschwerdeschrift (S. 9 f.) für das Ergebnis der Beurteilung von Bedeutung sein könnte, insoweit zulässig (Art. 97 Abs. 1 BGG). Sie vermag jedoch nicht durchzudringen. Das Sozialdepartement hält dem Einwand der Beschwerdeführerin in seiner Vernehmlassung entgegen, unter Sachbearbeitung sei lediglich die Zuständigkeit und Verantwortung für ein bestimmtes Sachgebiet zu verstehen, ohne dass sich hieraus eine hierarchische Funktion ablesen lasse; die im angefochtenen Urteil funktional verwendete Bezeichnung von Y._ als Sachbearbeiterin sei nicht als degradierend zu verstehen. Dem ist grundsätzlich beizupflichten. Die Bezeichnung als Sachbearbeiterin ist jedenfalls nicht offensichtlich unrichtig, und die Erwägungen des angefochtenen Urteils lassen auch nicht darauf schliessen, dass der erwähnten Nachricht vom 22. Dezember 2006 wegen Verkennung der hierarchischen Stellung der Absenderin ein falscher Stellenwert beigemessen wurde.
5. Die Beschwerde erweist sich damit, soweit darauf überhaupt einzutreten ist, als unbegründet. Bei diesem Ausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seitens der Stadt Zürich besteht kein Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3. Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4. Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Sozialdepartement der Stadt Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Mai 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Klopfenstein