Sachverhalt:
A. R._ (Jg. 1961) erlitt am 23. Juli 1999 als Beifahrerin in einem an einer Frontalkollision beteiligten Personenwagen Verletzungen im Bereich der Halswirbelsäule (HWS). Nach Anfang Mai 2003 verspätet erfolgter Meldung an die Basler Versicherungs-Gesellschaft (nachstehend: Basler) als mutmasslichem Unfallversicherer und einer in der Folge bis ans Verwaltungsgericht des Kantons Bern weitergezogenen Auseinandersetzung über das Bestehen einer Nichtberufsunfalldeckung bejahte dieses mit Entscheid vom 6. Juli 2006 den Versicherungsschutz, worauf die Basler die Leistungsansprüche der Versicherten näher abklärte. Am 9. Februar 2009 hielt sie verfügungsweise fest, dass spätestens ab 1. Mai 2005 kein adäquater Kausalzusammenhang zwischen den noch geklagten Beschwerden und dem Unfallereignis vom 23. Juli 1999 mehr bestehe, und stellte ihre Leistungen daher rückwirkend auf Ende April 2005 hin ein. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 10. November 2009 fest.
B. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die dagegen gerichtete Beschwerde mit Entscheid vom 8. September 2010 ab.
C. R._ lässt Beschwerde ans Bundesgericht führen mit dem Antrag, es sei die Basler unter Aufhebung des kantonalen Entscheids zu verpflichten, ihr die gesetzlichen Leistungen nach UVG (auch über den 30. April 2005 hinaus) zu erbringen. Zudem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Die Basler schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 ff. BGG) kann wegen Rechtsverletzungen gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG; vgl. BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252 mit Hinweisen). Es wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft indessen - unter Beachtung der Begründungspflicht in Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Fragen zu untersuchen, auch wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr aufgeworfen werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
2. Zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführerin über den 30. April 2005 hinaus Leistungen der Unfallversicherung zustehen.
Die massgeblichen gesetzlichen und von der Rechtsprechung dazu entwickelten Grundlagen zur Beurteilung der streitigen Leistungseinstellung sind im angefochtenen Entscheid, soweit hier von Belang, sowohl in materiell- als auch in formell-, namentlich beweisrechtlicher Hinsicht richtig dargelegt worden. Darauf wird verwiesen. Beizupflichten ist der Vorinstanz auch darin, dass - sofern ihre Verneinung der Adäquanzfrage zu Recht erfolgte - offen bleiben kann, ob es sich bei den nach April 2005 noch geklagten Beschwerden auch um natürlich kausale Folgen des Unfalles vom 23. Juli 1999 handelt (BGE 135 V 465 E. 5.1 S. 472 mit Hinweisen). Als kumulativ erforderliche Anspruchsvoraussetzungen müssen sowohl die natürliche als auch die adäquate Unfallkausalität von gesundheitsbedingten Einbussen gegeben sein, damit Versicherungsleistungen gewährt werden können.
3. 3.1 Nach einlässlicher Darlegung der im Zeitpunkt des Einspracheentscheids vom 10. November 2009 aktuellen medizinischen Situation einschliesslich der Entwicklung des Gesundheitszustandes seit dem versicherten Unfallereignis vom 23. Juli 1999 ist das kantonale Gericht zum Schluss gelangt, dass den Beschwerden somatischer Art im Vergleich zu den psychisch bedingten Beeinträchtigungen - einer reaktiven depressiven Entwicklung mit mittelgradig reaktivem Stimmungsbild vom Charakter eines selbstständigen Gesundheitsschadens - bloss untergeordnete Bedeutung beizumessen sei, weshalb die Adäquanzprüfung nicht nach der Schleudertrauma-Praxis (BGE 117 V 359 und 134 V 109), sondern nach der in BGE 115 V 133 für psychische Fehlentwicklungen nach einem Unfall aufgezeigten Methode, der so genannten Psycho-Praxis, vorzunehmen sei.
3.2 Die Beschwerdeführerin wendet dagegen (sinngemäss) ein, das psychische Leidensbild dürfe nicht überbewertet werden, nachdem sie doch ein Schleudertrauma der HWS erlitten habe und im Anschluss daran auch das dabei oftmals beobachtete und deshalb als typisch bezeichnete bunte Beschwerdebild aufgetreten sei, welches als für die leistungsmässigen und damit auch die erwerblichen Einschränkungen überwiegend ursächlich zu betrachten sei. Ihrer Auffassung nach muss sich die Adäquanzprüfung daher nach der Schleudertrauma-Praxis richten, wie sie in BGE 117 V 359 umschrieben und in BGE 134 V 109 präzisiert worden ist.
3.2 Die Beschwerdeführerin wendet dagegen (sinngemäss) ein, das psychische Leidensbild dürfe nicht überbewertet werden, nachdem sie doch ein Schleudertrauma der HWS erlitten habe und im Anschluss daran auch das dabei oftmals beobachtete und deshalb als typisch bezeichnete bunte Beschwerdebild aufgetreten sei, welches als für die leistungsmässigen und damit auch die erwerblichen Einschränkungen überwiegend ursächlich zu betrachten sei. Ihrer Auffassung nach muss sich die Adäquanzprüfung daher nach der Schleudertrauma-Praxis richten, wie sie in BGE 117 V 359 umschrieben und in BGE 134 V 109 präzisiert worden ist.
3.3 3.3.1 Als auf Grund des Entscheids des kantonalen Verwaltungsgerichts vom 6. Juli 2006 feststand, dass die Beschwerdeführerin anlässlich ihres Unfalles vom 23. Juli 1999 bei der Basler versichert war, zog Letztere im Rahmen ihrer Abklärungen unter anderem auch die von der Invalidenversicherung - bei welcher im Dezember 2001 eine Anmeldung zum Leistungsbezug eingegangen war - zusammengestellten medizinischen Unterlagen bei. Diesen ist zu entnehmen, dass es beim versicherten Unfall zu einem Schleudertrauma der HWS gekommen ist; vereinzelt ist auch von einer dabei aufgetretenen Bewusstlosigkeit und einer commotio cerebri die Rede; eine hirnorganische Veränderung konnte jedoch mit hoher Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen werden. Anschliessend sind dann Spannungskopfschmerzen mit einem Druckgefühl im Ohr, Konzentrationsstörungen und rasche Ermüdbarkeit sowie eine mittelgradig depressive Stimmungslage aufgetreten (Berichte der Neurologisch-Neurochirurgischen Poliklinik des Spitals A._ vom 26. April 2000, 5. September 2001 und 13. März 2002). Abgesehen von den direkt mit dem Unfallereignis vom 23. Juli 1999 in Zusammenhang gebrachten gesundheitlichen Problemen wurden im Röntgeninstitut X._ am 17. Juli 2002 auch deutliche degenerative - und damit nicht unfallkausale - HWS-Veränderungen festgestellt. Die IV-Stelle Bern hatte weiter eine Begutachtung durch den Neurologen Dr. med. M._ und den Psychiater Dr. med. H._ angeordnet, deren Expertisen am 14. (M._) resp. am 19. (H._) August 2003 erstattet wurden. Laut Dr. med. M._ leidet die Beschwerdeführerin an einem mittleren und einem oberen Cervicalsyndrom (beide mässig ausgeprägt) sowie an cervicocephalen Beschwerden; dadurch würden spontan und belastungsabhängig auftretende Genick- und Kopfschmerzen sowie Schulter-Arm-Schmerzen links verursacht und, bedingt durch die chronische Schmerzsymptomatik, käme es auch zu vermehrter Ermüdbarkeit und verminderter Belastbarkeit sowie leichten kognitiven Störungen. Zusammen mit Dr. med. H._ als Verfasser des psychiatrischen Teilgutachtens vom 19. August 2003 schloss Dr. med. M._ auf eine gesamthaft 50%ige Arbeitsunfähigkeit, wobei die Beeinträchtigung aus psychiatrischer Sicht (nicht additive) 20 % ausmache. Dr. med. H._ spricht im psychiatrischen Teilgutachten von einer depressiven Symptomatik, weswegen sich die Beschwerdeführerin seit März 2002 denn auch in regelmässiger psychotherapeutischer Behandlung beim Psycholgen dipl. Psych. F._ befände. Er stellt aber doch eine deutliche Remission der psychiatrischen Symptomatik fest und kann aktuell keine psychiatrische Diagnose mehr stellen: die Explorandin sei weder depressiv noch leide sie an einer Angststörung; lediglich müsse nach wie vor von einem labilisierten psychischen Gleichgewicht ausgegangen werden.
3.4 Diese sich aus dem Abklärungsverfahren der Invalidenversicherung ergebende Aktenlage zeigt, dass bei der Beschwerdeführerin nach dem erlittenen Schleudertrauma der HWS die nach solchen Verletzungen häufig beobachteten und daher zum typischen Beschwerdebild gehörenden Störungen aufgetreten sind, welche sich - zunächst zumindest - somatisch manifestierten. Daneben bestand zwar auch eine depressive Problematik im Sinne einer Anpassungsstörung mit depressiver Reaktion. Dass Letztere - als psychisch bedingte Beeinträchtigung - im gesamten Leidensbild aber schon früh und anschliessend während des gesamten Heilungsverlaufs eine die Arbeits- und damit auch die Erwerbsfähigkeit dominierend vermindernde Stellung erreicht und so eine überwiegende Bedeutung erlangt hätte, kann - entgegen der vorinstanzlichen Argumentation - nicht gesagt werden. Vielmehr macht die Beschwerdeführerin mit Recht geltend, dass nebst den somatisch, vorwiegend neurologisch begründbaren Erscheinungen wie etwa Konzentrations- und Wortfindungsstörungen primär die unmittelbaren Folgen des Schleudertraumas ihr Befinden entscheidend prägten und diesen insofern auch ausschlaggebender Einfluss auf ihre erwerbliche Leistungsfähigkeit zukam.
3.5 Zu keinem anderen Ergebnis führen die Abklärungen, welche auf Initiative der Basler selbst noch getätigt wurden. Die Psychologin Frau lic. phil. W._ der Klinik U._ weist auf Grund ihrer psychologischen Abklärung vom 5. August 2008 primär auf die geklagten Beschwerden somatischer Art wie chronische Kopfschmerzen, Schwindel und erhöhte Erschöpfbarkeit hin, kann aber keine Hinweise auf eine Persönlichkeitsstörung oder Akzentuierung der Persönlichkeit benennen. Der Leiter im "Funktionsbereich Allgemeine Psychiatrie" in der Klinik U._, Dr. med. L._, wollte in seinem am 4. November 2008 zu Handen des Spitals A._ erstatteten ausführlichen Gutachten eine Anpassungsstörung (mit längerer depressiver Reaktion [ICD-10 43.21]) - als einzigem überhaupt in Betracht fallenden psychiatrischen Befund - zwar nicht ausschliessen, konnte diesbezüglich aber doch einzelne bezeichnende Merkmale nicht ohne weiteres bestätigen. Dennoch wurde diese Diagnose von Oberarzt Dr. med. Z._ im Gutachten der Neurologischen und Poliklinik des Spitals A._ vom 7. Januar 2009 übernommen, aufgeführt allerdings nebst den direkt auf das erlittene Schleudertrauma und die commotio cerebri zurückzuführenden Befunden. Dr. med. Z._ wies zwar auf einen "Zustand nach HWS-Distorsionstrauma mit aktuell im Vordergrund stehender psychiatrischer Symptomatik" hin. Daraus kann indessen auf Grund der gesamten Aktenlage nicht mit hinreichender Zuverlässigkeit auf eine schon früh nach dem Unfallereignis einsetzende und anschliessend über all die Jahre hinweg anhaltende, das Leidensbild dominierend prägende psychische Störung geschlossen werden.
Eine speziell ins Gewicht fallende psychische Beeinträchtigung liess sich im Übrigen schon aus früheren ärztlichen Stellungnahmen, etwa des Dr. med. S._ vom 21. Februar 2003 oder des Dr. med. R._, ehemaliger Chefarzt Chirurgie am Kantonsspital N._, vom 9. Mai 2005, nicht ableiten. Auch die Berichte der Frau Dr. med. G._ vom 2. Juli und 25. September 2007 enthalten kaum Hinweise auf psychische Faktoren. So schrieb diese Ärztin am 25. September 2007 sogar ausdrücklich, als Ursache des Erschöpfungssyndroms sei ganz klar das Schleudertrauma und nicht eine soziale Situation zu sehen. Dr. med. R._ sprach am 9. Mai 2005 auf Grund der ihm zugänglichen Aktenlage primär von physischen Beschwerden und wies nur ganz am Schluss seines Berichts auf eine Abnahme der Depression hin, während Dr. med. S._ am 21. Februar 2003 lediglich am Rande eine reaktionelle depressive Problematik erwähnte, welche aber offenbar bloss vorübergehender Art war. Selbst der behandelnde Psycholge dipl. Psych. F._ betonte in seiner Auskunft vom 16. März 2004 die limitierende Wirkung der körperlichen Befunde, ohne den auch seiner Ansicht nach unfallbedingten somatopsychischen Störungen überwiegende Bedeutung zuzuschreiben.
3.6 Unter diesen Umständen kann der vorinstanzlichen Erkenntnis, wonach "selbst wenn von einem 'typischen bunten Beschwerdebild' ... auszugehen wäre, ..., aufgrund der Akten eine seit spätestens 2001 eindeutig im Vordergrund stehende psychiatrische Problematik mit überwiegender Wahrscheinlichkeit bejaht werden (müsse)", nicht beigepflichtet werden. Tatsächlich lässt es sich angesichts der nicht eindeutig in diese Richtung weisenden ärztlichen Angaben nicht rechtfertigen, die erforderliche Adäquanzprüfung nach der Psycho-Praxis durchzuführen, auch wenn die aus der psychischen Verfassung der Beschwerdeführerin resultierende Behinderung über die Jahre hinweg zugenommen und schliesslich (vorübergehend) tatsächlich überwiegende Bedeutung erlangt haben sollte. Insoweit weist die Beschwerdeführerin mit Recht darauf hin, dass es nicht angeht, längere Zeit nach einem Unfall, wenn die zum typischen Beschwerdebild gehörenden physischen Beschwerden weitgehend abgeklungen sind, die psychische Problematik aber fortbesteht, diese fortan nach der Psycho-Praxis zu beurteilen, während sie in einem früheren Stadium, als das typische Beschwerdebild noch ausgeprägt war, nach der Schleudertrauma-Praxis beurteilt worden wäre (vgl. Urteil 8C_742/2009 vom 13. September 2010, E. 5 [Ingress]; in RKUV 2002 Nr. U 465 S. 477 publiziertes Urteil U 164/01 vom 18. Juni 2002).
4. Auch wenn der vorinstanzliche Entscheid mithin dahingehend zu berichtigen ist, dass bei der Adäquanzprüfung die Schleudertrauma-Praxis anzuwenden ist, kann die Beschwerdeführerin daraus indessen im Ergebnis nichts zu ihren Gunsten ableiten.
4.1 Unbestrittenermassen ist die - aktenmässig kaum dokumentierte - Frontalkollision vom 23. Juli 1999 den mittelschweren Unfallereignissen zuzuordnen. Hat die Adäquanzprüfung nach Massgabe der Schleudertrauma-Praxis zu erfolgen, können - anders als nach der Psycho-Praxis - psychisch begründete Komponenten nicht ausser Acht gelassen werden (vgl. BGE 134 V 109 E. 2.1 S. 112 mit Hinweisen). Für eine Bejahung der Adäquanz müssen beim im engeren Sinne mittelschweren Unfallereignis mindestens eines der massgebenden Adäquanzkriterien (vgl. BGE 134 V 109 E. 10.3 S. 130) in besonders ausgeprägter oder aber mehrere davon in gehäufter Weise erfüllt sein (Urteil 8C_1045/2010 vom 16. März 2011 E. 5.1).
4.2 "Besonders dramatische Begleitumstände" oder eine "besondere Eindrücklichkeit" des Unfalles können schon angesichts des äusserst knapp dokumentierten Geschehensablaufs nicht als erstellt gelten. Hinweise darauf, dass eine gewisse Eindrücklichkeit, wie sie jedem Verkehrsunfall eigen ist, überschritten worden wäre oder besondere Begleitumstände vorgelegen hätten, liegen jedenfalls nicht vor. Eine diesbezügliche Beweislosigkeit, welche allenfalls mit der späten Unfallmeldung in Zusammenhang stehen könnte, müsste sich jedenfalls zum Nachteil der Beschwerdeführerin auswirken, welche aus dem unbewiesen gebliebenen Sachverhalt Rechte ableiten möchte. Auffallend ist immerhin, dass die Lenker der beiden beteiligten Unfallfahrzeuge offenbar unverletzt geblieben sind, was doch auf einen nicht allzu gravierenden Zusammenprall schliessen lässt. Auch unter Berücksichtigung der Vorbringen in der Beschwerdeschrift kann dieses Adäquanzkriterium somit nicht als erfüllt angesehen werden.
4.3 Mit der Vorinstanz ist ebenso wenig von einer "ärztlichen Fehlbehandlung, welche die Unfallfolgen erheblich verschlimmert" oder von einem "schwierigen Heilungsverlauf mit erheblichen Komplikationen" auszugehen. Dass die Beschwerdeführerin ab 2004 psychologische Hilfe in Anspruch genommen hat, ist jedenfalls nicht - wie die Vorinstanz in Erwägung gezogen hat - als nennenswerte Komplikation zu werten, zumal deren Intensität schon nach relativ kurzer Zeit auf Wunsch der Beschwerdeführerin massiv abgebaut wurde.
4.4 Schliesslich hat die Vorinstanz mit Recht auch das Kriterium der "Schwere oder besonderen Art der erlittenen Verletzungen" als nicht gegeben betrachtet. Die Diagnose einer HWS-Distorsion oder einer anderen, adäquanzrechtlich gleich behandelten Verletzung genügt für sich allein nicht zur Bejahung dieses Kriteriums. Hiezu bedarf es einer besonderen Schwere der für das Schleudertrauma typischen Beschwerden oder besonderer Umstände, welche das Beschwerdebild beeinflussen (BGE 134 V 109 E. 10.2.2 S. 127 f.). Solche Gegebenheiten liegen hier nicht vor.
4.5 Was das Kriterium der "fortgesetzt spezifischen, belastenden ärztlichen Behandlung" anbelangt, ist zunächst festzuhalten, dass der Abklärung der invaliditätsmässigen Anspruchsvoraussetzungen dienende Untersuchungen nicht zu den in diesem Sinne relevanten Behandlungen zu zählen sind. Die durchgeführten Therapien in Form von Physiotherapie, Osteopathie, Akupunktur, Muskelaufbautraining, Feldenkrais-Therapie, Psychotherapie sowie regelmässige Konsultationen des Hausarztes Dr. med. E._ können als fortgesetzt spezifische, aber nicht als belastende ärztliche Behandlungen gelten (vgl. Urteil 8C_749/2010 vom 6. Januar 2011 E. 6.3.2 mit Hinweisen).
4.6 Eine erhebliche Arbeitsunfähigkeit trotz ausgewiesener Anstrengungen liegt ebenfalls nicht vor, nachdem die Beschwerdeführerin ihre vor dem Unfall teilzeitlich ausgeübte Tätigkeit im Service der Cafeteria einer Buchhandlung schon nach drei Monaten wieder aufnehmen konnte und überdies mehrfach für eine mit ihren Leiden besser vereinbare Arbeit eine höhere Arbeitsfähigkeit bescheinigt wurde. Dass sie die angestrebte Steigerung ihrer früheren Betätigung als Gymnastiklehrerin, was vorgängig eine entsprechende Schulung bedingt hätte, im Hinblick auf ihren Gesundheitszustand aufgegeben hat, ändert nichts an der grundsätzlichen Zumutbarkeit anderweitig noch möglicher Einsätze. Entsprechende Stellenbemühungen aber fehlen.
4.7 Da somit sechs der massgebenden sieben Adäquanzkriterien nicht erfüllt sind, kann dahingestellt bleiben, ob das Kriterium der "erheblichen Beschwerden" angesichts der - von der Vorinstanz nicht berücksichtigten - psychischen Behinderungen als gegeben zu betrachten wäre. Da jedenfalls nicht von besonders ausgeprägten Beschwerden gesprochen werden könnte, würde dieses Kriterium allein für eine Bejahung des adäquaten Kausalzusammenhangs zwischen den noch vorhandenen Beschwerden und dem versicherten Unfallereignis nicht reichen.
5. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten von der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihr kann indessen die unentgeltliche Rechtspflege gewährt werden (Art. 64 BGG), weil die Bedürftigkeit aktenkundig ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die anwaltliche Vertretung doch geboten war (vgl. BGE 125 V 201 E. 4a S. 202 und 371 E. 5b S. 372). Es ist indessen auf Art. 64 Abs. 4 BGG hinzuweisen, wonach der Gerichtskasse Ersatz zu leisten sein wird, wenn dies später möglich sein sollte (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 750.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4. Rechtsanwalt Peter Kaufmann wird als unentgeltlicher Anwalt der Beschwerdeführerin bestellt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Gerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5. Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Mai 2011
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Ursprung Krähenbühl