Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Dem Beschwerdeführer wird vorgeworfen, er habe seiner Ehefrau am 8. März 2012 eine SMS mit den Worten "je te tue" geschrieben. Zudem sei er am 28. Juli 2012 in Missachtung eines gerichtlich verfügten Annäherungsverbotes am Wohnort der Ehefrau aufgetaucht und habe an der Türe "Sturm geläutet", geklopft und einen Zettel hinterlegt.
Das Einzelgericht in Strafsachen Basel-Stadt verurteilte den Beschwerdeführer am 9. Januar 2014 wegen Drohung und Ungehorsams gegen eine amtliche Verfügung zu einer Geldstrafe von 40 Tagessätzen zu Fr. 35.--, mit bedingtem Strafvollzug bei einer Probezeit von zwei Jahren, sowie zu einer Busse von Fr. 300.-- bzw. drei Tagen Ersatzfreiheitsstrafe. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt bestätigte das Urteil am 29. September 2014 mit der Massgabe, dass der Tagessatz bei der Geldstrafe Fr. 10.-- beträgt.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts vom 29. September 2014 sei aufzuheben und er freizusprechen. Er rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt unvollständig oder unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG festgestellt.
2.
Die Beweiswürdigung kann vor Bundesgericht gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV ist. Willkür liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dass eine andere Lösung ebenfalls möglich ist, genügt nicht (BGE 138 III 378 E. 6.1, 137 I 1 E. 2.4). Die angebliche Willkür ist in der Beschwerde präzise zu rügen, und die Rüge ist zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht stellt insoweit strenge Anforderungen. Appellatorische Kritik, wie sie vor einer Instanz mit voller Kognition vorgebracht werden kann, ist vor Bundesgericht unzulässig.
2.1. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, der Beschwerdegegnerin 2 am 8. März 2012 eine SMS mit dem Inhalt "Je te tue" gesandt zu haben. Auch steht fest, dass eine solche Drohung geeignet ist, einen Menschen mit durchschnittlicher Belastbarkeit in Schrecken und Angst zu versetzen. Der Beschwerdeführer macht geltend, angesichts der konkreten Umstände und der Vorgeschichte ihrer Beziehung müsse davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdegegnerin 2 den Inhalt der SMS nicht ernst genommen habe und deshalb auch nicht in Schrecken oder Angst versetzt worden sei (Beschwerde S. 3-5 Ziff. 2-7).
Die Vorinstanz stellt auf die Aussagen der Beschwerdegegnerin 2 ab, wonach sie sehr wohl Angst gehabt habe. Der Beschwerdeführer habe sie schon früher verschiedentlich bedroht, worauf sie weggelaufen und zu Freunden gegangen sei. Unter anderem habe er ihr 2009 ein Messer an den Hals gehalten, was ihr "in Mark und Bein stecken" geblieben sei. Nach diesen Erlebnissen wisse sie, dass der Beschwerdeführer unberechenbar sei. Im Anschluss an die SMS vom 8. März 2012 sei sie zum ersten Mal ins Frauenhaus gegangen, weil sie gedacht habe, sie könne nicht mehr. Aufgrund verschiedener Realkriterien kommt die Vorinstanz zum Schluss, dass die Aussagen der Beschwerdegegnerin 2 ausgesprochen glaubhaft sind. Insoweit kann in Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG auf ihre Erwägungen verwiesen werden (vgl. Urteil S. 5).
Der Beschwerdeführer zeichnet demgegenüber ein anderes Bild der Beschwerdegegnerin 2, der es nur darum gehe, ihm zu schaden. Er vermag indessen nicht darzutun, dass die Vorinstanz in Willkür im oben umschriebenen Sinn verfallen wäre. So macht er z.B. geltend, dass der Eintritt ins Frauenhaus keine direkte Reaktion auf die SMS gewesen sei, weil die Beschwerdegegnerin 2 sich dort bereits einige Tage zuvor angemeldet hat (Beschwerde S. 3 Ziff. 2). Dazu verweist er auf den Polizeirapport vom 9. März 2012. Gemäss diesem meldete sich die Beschwerdegegnerin 2 im Frauenhaus an, weil sie auch zu diesem Zeitpunkt grosse Angst vor der Unberechenbarkeit des Beschwerdeführers hatte (KA act. 58). Die Anmeldung vermag folglich nicht zu widerlegen, dass die SMS vom 8. März 2012 schliesslich den unmittelbaren Anlass dafür darstellte, nach der Anmeldung auch tatsächlich ins Frauenhaus einzutreten.
2.2. In Bezug auf den Vorfall vom 28. Juli 2012 macht der Beschwerdeführer ohne gesonderte Begründung ebenfalls geltend, die Beschwerdegegnerin 2 habe ein Interesse daran, ihm zu schaden (Beschwerde S. 5 Ziff. 8). Es vermag jedoch nicht darzulegen, inwieweit die Feststellung der Vorinstanz, die Aussagen der Beschwerdegegnerin 2 seien überzeugend und glaubhaft (Urteil S. 7/8 E. 3.3), willkürlich sein könnte.
3.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist durch eine Reduktion der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG). Der Beschwerdegegnerin 2 ist keine Entschädigung auszurichten, weil sie vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Ausschuss, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Januar 2015
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn