Sachverhalt:
A. A.a Am 4. März 1999 bewilligte die Vormundschaftsbehörde Kottwil X._ und ihrem damaligen Ehemann Z._ die Aufnahme von A._ (geb. 8. August 1993, indische Staatsangehörige) sowie B._ (geb. 2. Juni 1997) als Pflegekinder im Hinblick auf eine spätere Adoption.
A.b A._ besucht seit Sommer 2002 die heilpädagogische Schule der Stiftung C._ und lebt im dortigen Wohnheim. Anfänglich verbrachte A._ die Wochenenden und die Ferien bei den Pflegeeltern; am 27. Januar 2003 wurde der Kontakt zu diesen durch behördliche Anordnung einstweilen unterbrochen. Im (erfolglosen) Rechtsmittelverfahren ging es um den Schluss des Vormundes des Kindes, welcher aus Beobachtungen von Lehrpersonen und des Betreuungspersonals zur Auffassung kam, dass die Pflegeeltern das Kind wegen Überforderung ziemlich wahrscheinlich geschlagen hätten, und sowie um die Überforderung der Pflegeeltern im Umgang mit der Behinderung des Kindes (Urteil 5P.283/2003 des Bundesgerichts vom 15. September 2003 E. 3.4).
A.c Am 3. Dezember 2004 widerrief die Regierungsstatthalterin des Amtes Willisau die Pflegekinderbewilligung für A._. Es ergab sich mit aller Deutlichkeit, dass zwischen A._ und der Pflegefamilie nicht nur keine tragfähige, stabile Beziehung entstand, sondern das Kind eine eigentliche und ernst zu nehmende Abwehrhaltung gegenüber den Pflegeeltern entwickelt hatte; die Rückkehr in die Pflegefamilie wurde als Gefahr für die gesunde Weiterentwicklung des Kindes erachtet (Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern vom 16. Februar 2005 E. 2.7).
A.d B._ wurde am 28. Februar 2006 von X._ adoptiert, bei welcher nach ihrer Heirat mit Y._ am 8. Juli 2005 auch der Sohn D._ (geb. 21. Dezember 1993) lebt.
A.e Am 27. Oktober 2006 ersuchten X._ und Y._ um Erteilung einer Pflegekinderbewilligung für A._ zwecks späterer Adoption. Das Gesuch wurde vom Regierungsstatthalter des Amtes Luzern am 11. Mai 2007 und im Rechtsmittelverfahren vom Obergericht des Kantons Luzern am 18. Juli 2007 abgewiesen.
B. B.a Am 21. September 2009 stellten X._ und Y._ erneut ein Gesuch um Erteilung einer Pflegekinderbewilligung für A._. Das Kind sei ihnen, eventuell der Ehefrau allein in Pflege zu geben. An den Wochenenden und in den Ferien sei A._ unter ihre Obhut, eventuell in diejenige der Ehefrau zu geben; unter der Woche solle das Kind weiterhin in der Stiftung C._ zur Schule zu gehen.
B.b Mit Entscheid vom 4. Februar 2010 wies die Vormundschaftsbehörde Oberkirch das Gesuch ab. Zur Begründung stützte sie sich auf die Stellungnahmen des Vormundes von A._, der Vormundschaftsbehörde Ettiswil und der Stiftung C._, die übereinstimmend zum Schluss gelangten, eine Veränderung sei nicht im Sinne des Kindeswohls, sondern würde die inzwischen erreichte Stabilität gefährden. Sie lehnte die Einholung eines weiteren Gutachtens ab, nachdem der Kinder- und Jugendpsychiatrische Dienst des Kantons Luzern sich am 15. Juni 2004 bereits geäussert hatte. Die Vormundschaftsbehörde Oberkirch verwies insbesondere auf die Behinderung von A._; diese erfordere eine professionelle, stationäre Betreuung, welche durch eine Pflegekinderbewilligung nicht gewährleistet wäre.
B.c Gegen den Entscheid der Vormundschaftsbehörde erhoben X._ und Y._ Beschwerde, welche der Regierungsstatthalter des Amtes Sursee am 5. Juli 2010 abwies. Das Obergericht Luzern (II. Kammer) wies die von den Gesuchstellern erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit Urteil vom 6. September 2010 ab.
C. Mit Eingabe vom 6. Oktober 2010 führen X._ und Y._ Beschwerde in Zivilsachen. Die Beschwerdeführer beantragen dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur neuen Beurteilung zurückzuweisen; eventuell sei das Gesuch um Erteilung einer Pflegekinderbewilligung für A._ in Familienpflege gutzuheissen.
Das Obergericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Der Gemeinderat Oberkirch hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein Entscheid über die Verweigerung der Bewilligung zur Aufnahme eines Kindes in Familienpflege nach der Verordnung über die Aufnahme von Kindern zur Pflege und zur Adoption vom 19. Oktober 1977 (PAVO, SR 211.222.338). Der auf dem Gebiet des Kindesschutzes (vgl. Art. 307 ff. ZGB) ergangene Entscheid unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 7 BGG; Urteil 5A_619/2008 vom 16. Dezember 2008). Der Entscheid betrifft eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit, wurde vom Obergericht als letzter kantonaler Instanz erlassen und schliesst das Verfahren ab (Art. 75, Art. 90 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig.
1.2 Die Befugnis zur Beschwerde in Zivilsachen richtet sich nach Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG (in der bis zum 31. Dezember 2010 geltenden Fassung, da der angefochtene Entscheid vor der Gesetzesänderung ergangen ist; vgl. Art. 132 Abs. 1 BGG). Nach der Praxis ist die Person, welcher die behördliche Bewilligung zur Aufnahme eines Kindes nach der PAVO verweigert wird, zur Beschwerde in Zivilsachen legitimiert (vgl. Urteil 5A_760/2008 vom 2. März 2009 E. 1; Urteil 5A_66/2009 vom 6. April 2009 E. 1; Urteil 5A_619/2008 vom 16. Dezember 2008 E. 1). Die Beschwerdeführer sind demnach zur Beschwerde gegen die Verweigerung der Bewilligung nach PAVO befugt.
1.3 Mit vorliegender Beschwerde kann die Verletzung von u.a. Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten ist in der Beschwerdeschrift vorzubringen und zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG), wobei das Rügeprinzip gilt (BGE 133 III 589 E. 2 S. 591).
2. Anlass zur vorliegenden Beschwerde gibt das Gesuch der Beschwerdeführer vom 21. September 2009, mit welchem sie (erneut) ein Gesuch um Erteilung einer Pflegekinderbewilligung für A._ in Familienpflege gestellt haben. Streitpunkt ist, ob das Obergericht die Bewilligung verweigern durfte. Die Beschwerdeführer werfen dem Obergericht u.a. eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV vor. Sie rügen als Gehörsverletzung, dass die Vorinstanz ihre Stellungnahme zu den Vernehmlassungen des Regierungsstatthalters des Amtes Sursee und des Gemeinderates bzw. der Vormundschaftsbehörde Oberkirch aus dem Recht gewiesen habe. Die Vernehmlassungen seien am 20. August 2010, während der Gerichtsferien gemäss kantonaler Zivilprozessordnung, bei ihnen eingetroffen. Ihre Eingabe vom 1. September 2010 könne nicht als verspätet bezeichnet werden.
2.1 Das Obergericht hat die betreffende Eingabe als verspätet aus den Akten gewiesen, weil im kantonalen Verfahren grundsätzlich kein zweiter Schriftenwechsel erfolge und die erwähnten Vernehmlassungen am 18. August 2010 (lediglich) zur Orientierung zugesandt worden seien. Die spontane Stellungnahme vom 1. September 2010 (Postaufgabe) sei nicht unverzüglich eingereicht worden. Im Übrigen würde am Verfahrensausgang ohnehin nichts ändern, wenn die Eingabe zu den Akten genommen würde.
2.2 Gemäss der publizierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung hat die Partei, der eine Vernehmlassung oder eine Beschwerdeantwort zur blossen Kenntnisnahme übermittelt wurde, nach Treu und Glauben unverzüglich zu reagieren, wenn sie sich nochmals zur Sache äussern will. Grundsätzlich soll sie ihre Replikschrift unverzüglich einreichen oder zu diesem Zweck ein entsprechendes Gesuch stellen (BGE 133 I 100 E. 4.8 S. 105 mit Hinweisen).
2.3 Vorliegend hat das Obergericht die Vernehmlassungen des Regierungsstatthalters des Amtes Sursee und des Gemeinderates bzw. der Vormundschaftsbehörde Oberkirch den Beschwerdeführern nach den Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Urteil am 18. August 2010 zur Kenntnisnahme zugesandt. Die Vernehmlassungen sind bei den Beschwerdeführern - nach eigenen Angaben - am 20. August 2010 eingetroffen. Selbst wenn diese bereits am 19. August 2010 in Empfang genommen worden wären, hätten die Beschwerdeführer mit ihrer Stellungnahme vom 1. September 2010 innerhalb von 13 Tagen reagiert. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz erscheint diese Zeitspanne nicht übermässig lange. Daran ändert nichts, wenn das Obergericht (in der Vernehmlassung) ausführt, das kantonale Verfahren richte sich nicht nach der kantonalen Zivilprozessordnung (ZPO/LU), sondern Verwaltungsrechtspflege (VRP/LU), welche keine Gerichtsferien kenne. Unbehelflich ist sodann der blosse Hinweis der Vorinstanz im angefochtenen Urteil, dass sich "am Verfahrensausgang ohnehin nichts ändern würde, wenn die Eingabe zu den Akten genommen würde". Diesem Hinweis lässt sich nicht entnehmen, inwiefern die Eingabe der Beschwerdeführer keine neuen Vorbringen enthält, welche in tatsächlicher oder rechtlicher Hinsicht erheblich sein könnten (BGE 134 I 83 E. 4.1 S. 88).
2.4 Nach dem Dargelegten ist mit Art. 29 Abs. 2 BV nicht vereinbar, wenn das Obergericht die Eingabe der Beschwerdeführer vom 1. September 2010 als verspätet aus dem Recht gewiesen hat. Die Rüge der Gehörsverletzung ist begründet. Bei diesem Ergebnis ist die Begründetheit der weiteren Rügen nicht zu erörtern.
3. Aus diesen Gründen ist das angefochtene Urteil aufzuheben. Die Sache ist an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie unter genügender Berücksichtigung der Eingabe der Beschwerdeführer vom 1. September 2010 neu entscheide.
Dem Kanton Luzern werden keine Kosten auferlegt (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat er die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde in Zivilsachen wird gutgeheissen und das Urteil des Obergerichts des Kantons Luzern, II. Kammer, vom 6. September 2010 wird aufgehoben. Die Sache wird an die Vorinstanz zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen zurückgewiesen.
2. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3. Der Kanton Luzern hat die Beschwerdeführer mit insgesamt Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Luzern, II. Kammer, sowie dem Regierungsstatthalter des Amtes Sursee schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. März 2011
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Der Gerichtsschreiber:
Hohl Levante