Fatti:
A. Il 28 gennaio 2009 il dott. B._, specialista FMH in medicina interna, prescrisse una prima serie di sedute fisioterapiche di linfodrenaggio (edemi alle caviglie) per il suo paziente E._ il quale si recò per le relative cure dal fisioterapista M._ (trattamento dal 30 gennaio al 18 febbraio 2009). Con ulteriore prescrizione del 16 febbraio 2009 il dott. B._, posta la diagnosi di sciatalgia sinistra ed edemi agli arti inferiori, prescrisse un nuovo ciclo di nove sedute che vennero effettuate sempre presso il fisioterapista M._ (trattamento dal 20 febbraio al 13 marzo 2009). Preso atto del parere del proprio medico di fiducia, dott. Heinrich L._, specialista FMH in medicina interna, la Atupri Cassa malati, presso la quale E._ era assicurato contro le malattie, rifiutò in data 2 marzo 2009 la richiesta di garanzia del 16 febbraio 2009 ritenendo non essere dati i presupposti per la presa a carico del linfodrenaggio (posizione tariffale 7312). Il 5 marzo 2009 il dott. B._ precisò che la prescrizione del 28 gennaio 2009 per linfodrenaggio era indicata dalla diagnosi di linfoedema agli arti inferiori.
Il 18 marzo 2009 il dott. K._, specialista FMH in reumatologia, posta la diagnosi di sindrome panvertebrale cronica e stasi linfatica ai piedi, prescrisse un ulteriore ciclo di fisioterapia indicando quali misure fisioterapiche (poi effettuate dal 23 marzo al 20 aprile 2009) da adottare tra l'altro il linfodrenaggio e la mobilizzazione delle caviglie. Con la medesima motivazione, Atupri Cassa malati rinviò a M._ anche questa richiesta di garanzia (scritto del 31 marzo 2009). Nonostante le (ulteriori) precisazioni fornite dai dott. B._, K._ e A._ (internista), l'assicuratore malattia confermò la propria valutazione e ritornò al mittente le fatture del fisioterapista invitando lo stesso a correggerle. Atupri Cassa malati ribadiva infatti l'inapplicabilità della posizione tariffale 7312 poiché secondo il proprio medico di fiducia il paziente non aveva presentato edemi vascolari, bensì edemi ipostatici che andavano più semplicemente trattati con calze di compressione, mobilizzazione e posizione elevata delle gambe (v. anche presa di posizione del dott. L._ del 16 marzo 2010).
B. Con petizione del 23 giugno 2009 M._ ha convenuto la Atupri Cassa malati dinanzi al Tribunale arbitrale in materia di assicurazione contro le malattie e gli infortuni del Cantone Ticino al quale ha chiesto il riconoscimento della posizione tariffale 7312 e la condanna dell'assicuratore malattia al pagamento delle fatture 2 marzo 2009 (relativa al trattamento dal 30 gennaio al 18 febbraio 2009), 2 aprile 2009 (per la terapia dal 20 febbraio al 13 marzo 2009) e 4 maggio 2009 (concernente la cura dal 23 marzo al 20 aprile 2009) per un totale di fr. 2'581.30.
Per pronuncia del 2 giugno 2010 il Tribunale arbitrale ha accolto la petizione, riconoscendo di conseguenza all'attore le prestazioni secondo le posizioni tariffali esposte e condannando la Cassa malati al pagamento delle tre fatture.
C. Atupri Cassa malati ha presentato ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, al quale chiede di annullare il giudizio impugnato e di respingere la petizione o comunque, in via subordinata, di rinviare gli atti all'istanza precedente per nuovo esame dell'obbligo di prestazione. Dei motivi si dirà, per quanto occorra, nei considerandi.
M._ propone la reiezione del gravame, mentre l'Ufficio federale della sanità pubblica ha rinunciato a determinarsi.
Diritto:
1. Oggetto del contendere è la questione se la cassa malati ricorrente (art. 12 LAMal), in qualità di terzo pagante (art. 8 cpv. 1 della Convenzione tariffale tra la Federazione svizzera dei Fisioterapisti [FSF] e il Concordato degli assicuratori malattia svizzeri [CAMS], la Commissione delle tariffe mediche LAINF [CTM] e l'Assicurazione invalidità [AI] del 1° settembre 1997), sia tenuta ad onorare le prestazioni effettuate dall'opponente in veste di fornitore di prestazioni ai sensi dell'art. 35 LAMal in favore del paziente E._ e, in particolare, come sostiene l'insorgente, se tale pagamento non vada piuttosto negato in ragione di una violazione dei principi di efficacia, appropriatezza e, soprattutto, di economicità (art. 32 e 56 LAMal). Giustamente tale questione è stata sottoposta in prima istanza al Tribunale arbitrale competente secondo l'art. 89 LAMal (cfr. per analogia SVR 2010 KV n. 3 pag. 9 [9C_397/2009] consid. 1).
2. 2.1 Nell'accogliere la petizione, il Tribunale arbitrale ha rilevato come il fisioterapista avrebbe rispettato i dettami della Convenzione tariffale, avendo subordinato i trattamenti alle prescrizioni mediche ricevute, con precise indicazioni - non solo del medico di famiglia ma anche di un reumatologo - circa l'atto da intraprendere (linfodrenaggio). Inoltre, l'opponente, oltre a non essere abilitato a verificare la correttezza della diagnosi posta, non avrebbe avuto dubbio né motivo alcuno per non seguire le prescrizioni mediche. L'istanza precedente ha quindi osservato che la risposta negativa dell'assicuratore malattia alla richiesta di garanzia del 16 febbraio 2009 sarebbe intervenuta tardivamente, oltre il termine di dieci giorni lavorativi dal ricevimento del modulo di prescrizione previsto dalle disposizioni convenzionali, sicché, in applicazione delle stesse, l'autorizzazione andava ritenuta come concessa. Da ultimo ha ricordato che il paziente aveva potuto guarire grazie (anche) alle misure fisioterapiche messe in atto da M._.
2.2 La ricorrente, che contesta l'applicazione della posizione tariffale n. 7312, lamenta una violazione del diritto federale oltre che un accertamento arbitrario dei fatti giuridicamente rilevanti. Osserva che per la presa a carico del linfodrenaggio mancava una chiara indicazione medica in quanto facevano difetto le condizioni, e in particolare la diagnosi di edema linfatico, per riconoscere il trattamento. Determinante per l'assunzione da parte dell'assicurazione obbligatoria delle cure medico-sanitarie non sarebbe il fatto che la prestazione sia stata prescritta da un medico, bensì che essa soddisfi i criteri di efficacia, appropriatezza ed economicità (art. 32 LAMal). Spetta all'assicuratore malattia e, in caso di contestazione, al giudice effettuare questo controllo. Se così non fosse, i costi della salute crescerebbero a dismisura. Ora, sempre a mente della ricorrente, il Tribunale arbitrale non avrebbe minimamente proceduto a questo controllo, non avendo esaminato i presupposti dell'art. 32 LAMal. Presupposti che non sarebbero realizzati nella fattispecie poiché, per quanto indicato dal proprio medico di fiducia che ha negato la presenza di edemi linfatici e posto la diagnosi di edemi ipostatici, il trattamento fisioterapico di linfodrenaggio non era indicato medicalmente e quindi non era né adeguato né economico. L'insorgente rimprovera poi all'istanza precedente di avere ignorato, senza indicarne i motivi, la valutazione del dott. L._. In assenza di una speciale garanzia da parte sua, la cassa malati ricorrente esclude di conseguenza che l'opponente potesse confidare nella presa a carico del trattamento per il solo fatto che quest'ultimo era stato prescritto dal medico curante. Domanda pertanto di respingere la petizione o comunque di rinviare gli atti all'istanza precedente per esame dei precetti legali posti dall'art. 32 LAMal.
3. Giusta l'art. 25 cpv. 1 LAMal l'assicurazione obbligatoria delle cure medico-sanitarie assume i costi delle prestazioni atte a diagnosticare o a curare una malattia e i relativi postumi. Per il suo capoverso 2 lett. a, queste prestazioni comprendono segnatamente gli esami, le terapie e le cure dispensati ambulatorialmente, al domicilio del paziente, in ospedale o in una casa di cura: dal medico (cifra 1); dal chiropratico (cifra 2) oppure da persone che effettuano prestazioni previa prescrizione o indicazione medica (cifra 3). Le prestazioni di cui all'art. 25 LAMal devono essere efficaci, appropriate ed economiche. L'efficacia deve essere comprovata secondo metodi scientifici (art. 32 cpv. 1 LAMal). L'efficacia, l'appropriatezza e l'economicità delle prestazioni sono riesaminate periodicamente (art. 32 cpv. 2 LAMal).
Il Consiglio federale definisce segnatamente le prestazioni di cui all'articolo 25 capoverso 2 non effettuate da un medico o chiropratico (art. 33 cpv. 2 LAMal). Da parte sua, l'Esecutivo federale ha subdelegato al Dipartimento federale dell'interno (DFI) la competenza di determinare, con l'aiuto della commissione a ciò preposta, le prestazioni non dispensate dai medici o dai chiropratici che sono comunque a carico dell'assicurazione obbligatoria (art. 33 lett. b OAMal). Per tutte le prestazioni non dispensate da medici (o da chiropratici) vale il principio dell'elenco positivo. Gli assicuratori malattia rimborsano solo prestazioni che figurano nell'elenco. In mancanza di una tale designazione l'assicurato non può pretendere il rimborso della prestazione di cui ha beneficiato (Jean-Louis Duc, Diagnostic physiothérapeutique et accès direct au physiothérapeute, in: Etudes de droit social, 2001, pag. 122). Il DFI, con l'ausilio della Commissione federale delle prestazioni generali e delle questioni fondamentali (art. 37a lett. a OAMal), ha allestito l'elenco positivo delle prestazioni effettuate da persone che dispensano cure previa prescrizione o mandato medico. Questo elenco è esaustivo e si prefigge di designare in maniera possibilmente esatta e vincolante le prestazioni obbligatorie così che queste possano essere individuate in maniera semplice (Beatrice Gross Hawk, Selbständige nichtärztliche Medizinalpersonen in der freien Praxis - wie viel Freiheit belässt ihnen das Krankenversicherungsrecht, 2008, pag. 22 seg.). L'art. 5 OPre - nella versione applicabile in concreto, in vigore fino al 30 giugno 2009 (v. RU 2009 2821 e DTF 130 V 445 consid. 1.2.1 pag. 447) - contiene l'elenco delle prestazioni dei fisioterapisti assunte dall'assicurazione obbligatoria se sono effettuate previa prescrizione medica. Rientra in questo elenco anche il drenaggio linfatico di edemi linfatici, eseguito da fisioterapisti con formazione speciale in questa terapia (art. 5 cpv. 1 lett. h cifra 6 OPre, nella versione applicabile in concreto).
4. 4.1 Il principio di economicità prescritto dagli art. 32 e 56 LAMal vale per tutti i fornitori di prestazioni (SVR 2010 KV n. 3 pag. 9 consid. 4.2; Gebhard Eugster, Wirtschaftlichkeitskontrolle ambulanter ärztlicher Leistungen mit statistischen Methoden, 2003, pag. 44; Gross Hawk, op. cit., pag. 91), dunque anche per i fisioterapisti. Tuttavia, per le prestazioni effettuate su prescrizione medica, il medico assume una posizione chiave (DTF 125 V 284 consid. 4c e 4d pag. 289 segg.; SVR 2010 KV n. 3 pag. 9 consid. 4.2 con riferimenti). I fornitori di prestazioni paramediche soggiacciono pertanto al principio di economicità principalmente per quelle prestazioni che forniscono con una certa autonomia. Per quanto concerne invece le prestazioni fornite attenendosi alla prescrizione medica, la responsabilità ricade essenzialmente sul medico (Eugster, op. cit., pag. 43 seg. e pag. 46; Gross Hawk, op. cit., pag. 97 seg.; sull'esclusione, però, dall'obbligo di restituzione da parte di quest'ultimo [art. 56 cpv. 2 LAMal] delle spese da lui indirettamente generate cfr. la recente DTF 9C_733/2010 del 19 gennaio 2011).
4.2 Ciò vale anche per le cure dispensate da un fisioterapista previa prescrizione medica. L'art. 5 cpv. 1 della Convenzione tariffale in materia stabilisce che il fisioterapista lavora in stretta collaborazione con il medico curante e fornisce le prestazioni fisioterapeutiche conformemente alla prescrizione medica. A tal proposito giova ricordare che il fisioterapista non è medico e non può porre una diagnosi (Duc, op. cit., pag. 123). Pertanto, salvo i casi di abuso o di manifesta inadeguatezza del trattamento prescritto, ben difficilmente gli si potrà rimproverare un esercizio ineconomico se si attiene scrupolosamente alla prescrizione medica (Duc, op. cit., pag. 123 seg.; Eugster, op. cit., pag. 44 n. 96). Il principio di economicità riveste di fatto per il personale paramedico agente su prescrizione di un medico una rilevanza propria solo per quegli aspetti che sono lasciati alla sua libera scelta (in questo senso cfr. anche art. 5 cpv. 2 della Convenzione in esame, secondo la quale nell'ambito della prescrizione medica, delle disposizioni legali e delle sue competenze professionali, il fisioterapista è libero nella scelta dei metodi di trattamento). Questo margine di manovra è normalmente molto limitato, anche se non è necessariamente escluso (Gross Hawk, op. cit., pag. 95 n. 240 seg.). Ciò significa concretamente che un fisioterapista non è tenuto a valutare se la fisioterapia prescritta e di massima indicata sia la più appropriata tra le cure entranti in linea di conto. E neppure gli compete di giudicare se una terapia medicamentosa, altrettanto adeguata, non sarebbe maggiormente economica e quindi preferibile (Gross Hawk, op. cit., pag. 97 seg. n. 244).
4.3 In ogni caso l'assicuratore malattia può procedere nel singolo caso a un controllo dell'obbligo di prestazione prima, durante e dopo il trattamento. Fatta salva l'eccezione della garanzia automatica prevista dalla Convenzione tariffale in esame per il primo ciclo di terapia (v. art. 7 cpv. 1 e 2 della Convenzione; Gross Hawk, op. cit., pag. 103 nota 580), qualora venga prescritto un trattamento successivo (più di nove sedute), il modulo di prescrizione per il secondo ciclo di trattamento o per i seguenti trattamenti deve infatti essere inviato immediatamente all'assicuratore competente (art. 7 cpv. 2 della Convenzione; per i trattamenti di lunga durata [dalla 37a seduta] cfr. inoltre il suo cpv. 3).
5. 5.1 Ciò premesso, appare evidente l'obbligo per la ricorrente di pagare le prime due fatture relative ai primi due cicli di fisioterapia. In relazione al primo, la richiesta di garanzia - per quanto appena detto - non era infatti necessaria e l'opponente - per quanto accertato senza arbitrio dal Tribunale arbitrale - non aveva motivo alcuno per dubitare della correttezza della diagnosi e del trattamento da effettuare, chiaramente indicato dal medico curante. In relazione al secondo ciclo, invece, sempre senza arbitrio e senza che la circostanza abbia fatto oggetto di contestazione, l'istanza precedente ha constatato che l'intervento della Cassa malati presso il fisioterapista era avvenuto tardivamente, la risposta negativa alla richiesta di garanzia del 16 febbraio 2009 essendo stata inviata a M._ oltre dieci giorni lavorativi dopo il ricevimento del modulo di prescrizione, contrariamente a quanto prescritto dall'art. 7 cpv. 2 ultima frase della Convenzione tariffale. In tali circostanze, il trattamento andava indennizzato già solo per motivi formali (sui motivi sostanziali cfr. inoltre il considerando che segue) poiché il mancato o tardivo intervento equivaleva, nei suoi effetti, a una autorizzazione (art. 7 cpv. 2 ultima frase della Convenzione).
5.2 Quanto al terzo ciclo di fisioterapia, la valutazione del Tribunale arbitrale, che ne ha ammesso l'indicazione medica (edema linfatico) e l'assunzione dei costi, non è arbitraria (cfr. DTF 134 V 53 consid. 4.3 pag. 62). La diagnosi (stasi linfatica) posta dal reumatologo K._ è chiara. Altrettanto preciso è il trattamento da lui prescritto (linfodrenaggio). Queste indicazioni completano e confermano inoltre sia le precedenti valutazioni del dott. B._ sia quelle successive di quest'ultimo (v. scritti del 5 marzo e del 22 aprile 2009) e dello stesso dott. K._ (v. presa di posizione del 17 aprile 2009). Anche il rapporto 13 febbraio 2009 dell'internista A._ non rende arbitrario l'apprezzamento dell'istanza precedente dal momento che il medico si è limitato a dichiarare "meno probabibili edemi linfatici secondari ad eventuali linfadenopatie a livello del piccolo bacino (neoplasia prostatica?)". In tali circostanze, il fatto che il Tribunale arbitrale, nell'ambito della libera valutazione delle prove, non abbia (esplicitamente) tenuto conto della valutazione del dott. L._ per affermare l'obbligo di prestazione della ricorrente è quantomeno sostenibile e regge alle critiche ricorsuali, in buona parte di natura appellatoria e in quanto tali inammissibili in questa sede. Similmente, la circostanza che gli atti su cui si è basata l'istanza precedente per il proprio giudizio provengano dai medici curanti - che peraltro hanno a più riprese visitato E._ - e contrastino con la valutazione del medico di fiducia dell'assicuratore malattia (art. 57 LAMal; DTF 127 V 43 consid. 2d pag. 48) non è da sola atta a stravolgere e a rendere manifestamente inesatto l'accertamento del Tribunale arbitrale che pertanto poteva ammettere l'indicazione medica del trattamento senza necessità di complementi istruttori.
6. Ne segue che il ricorso dev'essere respinto. Le spese giudiziarie e le ripetibili della sede federale seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 nonché 68 cpv. 1 e 2 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1. Il ricorso è respinto.
2. Le spese giudiziarie di fr. 500.- sono poste a carico della ricorrente.
3. La ricorrente verserà all'opponente la somma di fr. 2800.- a titolo di ripetibili della sede federale.
4. Comunicazione alle parti, al Tribunale arbitrale in materia di assicurazione contro le malattie e gli infortuni e all'Ufficio federale della sanità pubblica.