Sachverhalt:
A. Dr. med. dent. Tankred Warnke betreibt am Bahnhofplatz in Zug eine Zahnarztpraxis, welche er als "Zahnklinik" bezeichnet.
Mit Verfügung vom 27. Februar 2007 untersagte ihm die Gesundheitsdirektion des Kantons Zug, für die Bezeichnung seiner Praxis den Begriff "Klinik" zu verwenden, und setzte ihm eine 30-tägige Frist, um sämtliche diesbezügliche Hinweise - u.a. im Handelsregister und auf dem Aushängeschild - zu beseitigen. Zur Begründung wurde im Wesentlichen angeführt, dass Arzt- und Zahnarztpraxen nach den massgeblichen Bestimmungen des zugerischen Rechts unter dem Namen der betreffenden Medizinalperson zu führen seien und die Bezeichnung "Klinik" allein stationären Institutionen vorbehalten sei.
Eine von Tankred Warnke dagegen eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Verwaltungsrechtliche Kammer, mit Urteil vom 1. April 2008 ab (Ziff. 1 des Dispositivs), wobei es die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer auferlegte (Ziff. 2 des Dispositivs); eine Parteientschädigung sprach es nicht zu (Ziff. 3 des Dispositivs).
B. Mit Eingabe vom 12. Mai 2008 erhebt Tankred Warnke beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, die Ziffern 1, 2 und 3 des Dispositivs des verwaltungsgerichtlichen Entscheids aufzuheben bzw. eventualiter diese Ziffern "zu kassieren" und den Fall zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Im Weiteren ersucht er darum, ihm "für alle Instanzen bis zum Bundesgericht eine angemessene Parteientschädigung" zuzusprechen bzw. die "Verfahrenskosten aller Instanzen" der Gesundheitsdirektion des Kantons Zug aufzuerlegen.
Das Verwaltungsgericht und die Gesundheitsdirektion des Kantons Zug schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1. 1.1 Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss Art. 83 BGG fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG).
Der Beschwerdeführer, welcher am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und besitzt ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung, womit er zur Beschwerde legitimiert ist (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.2 Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254).
Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 IV 286 E. 1.4 S. 287).
1.3 Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 97 Abs. 1 BGG bzw. Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge, welche rechtsgenüglich substantiiert vorzubringen ist (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.), setzt zudem voraus, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
2. Streitig ist, ob der Beschwerdeführer seine Zahnarztpraxis als "Zahnklinik" bezeichnen darf.
2.1 § 35 des Gesetzes vom 21. Mai 1970 über das Gesundheitswesen im Kanton Zug (im Folgenden auch: GesG/ZG) statuiert unter der Überschrift "Kranken- und Pflegeanstalten" eine besondere Bewilligungspflicht für den Betrieb eines "Spitals, Sanatoriums, Präventoriums oder Pflegeheims" (Abs. 1); solche "Anstalten" unterstehen der gesundheitspolizeilichen Aufsicht des Gesundheitsrates (Abs. 2). Die Verordnung I zum Gesundheitsgesetz (medizinische und pharmazeutische Berufe, Hilfsberufe sowie wissenschaftlich nicht anerkannte Behandlungen) vom 22. Dezember 1981 (im Folgenden auch: Vo I GesG/ZG) bestimmt in § 7 Abs. 2, dass "Auskündungen" den Namen der (als Praxisinhaber zugelassenen) Medizinalperson enthalten müssen (Satz 1). Die Auskündungen dürfen "keinen rechtswidrigen Inhalt haben und zu keinen Täuschungen Anlass geben" (Satz 2).
2.2 Im angefochtenen Urteil kommt das Verwaltungsgericht zum Ergebnis, die Bezeichnung der Zahnarztpraxis des Beschwerdeführers als "Zahnklinik" verstosse gegen das in § 7 Abs. 2 Vo I GesG/ZG statuierte Täuschungsverbot. Der Betrieb von Kranken- und Pflegeanstalten im Kanton Zug sei gemäss § 35 Abs. 1 GesG/ZG einer Bewilligungspflicht unterstellt, während es bei Arztpraxen genüge, dass der betreffende Arzt über eine persönliche Berufsausübungsbewilligung verfüge. In Verbindung mit dem Täuschungsverbot nach § 7 Abs. 2 Vo I GesG/ZG ergebe sich ohne weiteres, dass die in § 35 Abs. 1 GesG/ZG genannten Begriffe "Spital", "Sanatorium", "Präventorium" oder "Pflegeheim" von nicht bewilligungspflichtigen Einrichtungen nicht verwendet werden dürften. Diese Aufzählung sei jedoch nicht abschliessend. Intention der Bewilligungspflicht gemäss § 35 Abs. 1 GesG/ZG sei es unter anderem, sicherzustellen, dass die Patienten klar unterscheiden könnten zwischen ausschliesslich ambulanten und zumindest teilweise stationären Einrichtungen. Zum Begriff "Klinik" gehöre als notwendiges Merkmal die stationäre Aufnahme von Patienten. Eine solche Einrichtung biete Gesamtleistungen an, die im Regelfall durch einen niedergelassenen Zahnarzt nicht erbracht werden könnten, so u.a. die Möglichkeit der stationären Unterbringung und Verpflegung, eine besondere personelle Ausstattung mit Ärzten und Pflegepersonal wie auch das Vorhandensein einer erweiterten apparativen und sonstigen Ausstattung. Die Zahnarztpraxis des Beschwerdeführers unterscheide sich demgegenüber nicht wesentlich von anderen Praxen im Kanton. Daran vermöge auch der von ihm angebotene 24-Stunden-Service nichts zu ändern, da auch dieser in erster Linie für ambulante Behandlungen vorgesehen sei. Durch die Verwendung der Bezeichnung "Zahnklinik" wolle der Beschwerdeführer den Patienten ein - nicht vorhandenes - grösseres und besseres Behandlungsangebot als in einer gewöhnlichen Zahnarztpraxis suggerieren. Ein solches Vorgehen halte vor dem Täuschungsverbot von § 7 Abs. 2 Vo I GesG/ZG nicht stand.
2.3 Der Beschwerdeführer rügt zur Hauptsache einen Verstoss gegen die Wirtschaftsfreiheit und das Willkürverbot. Er stellt sich auf den Standpunkt, dass § 35 GesG/ZG die bewilligungspflichtigen Kranken- und Pflegeanstalten abschliessend regle und auch § 7 Abs. 2 Vo I GesG/ZG den Begriff der "Klinik" nicht erwähne (qualifiziertes Schweigen). Es fehle damit an einer gesetzlichen Grundlage für den Eingriff, was zugleich dem Legalitätsprinzip gemäss Art. 5 Abs. 1 BV und dem Gewaltenteilungsprinzip gemäss § 21 Abs. 1 in Verbindung mit § 31 lit. b und § 41 lit. b der Verfassung des Kantons Zug (KV/ZG; SR 131.218) zuwiderlaufe. Willkürlich sei sodann die Auslegung der kantonalen Behörden in Bezug auf den Begriff der "Klinik", worunter gemäss allgemeinem Sprachgebrauch in der Schweiz nicht bloss Krankenhäuser mit stationärer Behandlung, sondern auch Praxen mit ambulanter Behandlung verstanden würden. Die Patienten könnten insofern durch den Begriff "Zahnklinik" nicht getäuscht werden, weshalb auch ein öffentliches Interesse für die verfügte Anordnung, welche sich zudem als unverhältnismässig erweise, fehle. Die diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers seien im kantonalen Verfahren in Verletzung des rechtlichen Gehörs gänzlich ungeprüft geblieben. Verletzt würden schliesslich das Gleichbehandlungsgebot und die Wirtschaftsfreiheit dadurch, dass der Beschwerdeführer im Unterschied zu seinen Konkurrenten in anderen Kantonen den weit verbreiteten Begriff "Klinik" nicht mehr verwenden dürfe.
3. Am 1. September 2007, d.h. während des hängigen Rechtsmittelverfahrens beim kantonalen Verwaltungsgericht, ist das Bundesgesetz vom 23. Juni 2006 über die universitären Medizinalberufe (Medizinalberufegesetz, MedBG; SR 811.11) in Kraft getreten. Dieses Gesetz, welches auch den Zahnarztberuf erfasst (Art. 2 Abs. 1 lit. b), ermächtigt den Bundesrat, zu regeln, wie die von den betreffenden Medizinalpersonen erlangten Diplome und Weiterbildungstitel in der Berufsbezeichnung verwendet werden dürfen (Art. 39 MedBG). Nach dem Gesetzeswortlaut bleibt diese Regelungskompetenz freilich beschränkt auf die Verwendung von eidgenössischen Diplomen und Weiterbildungstiteln (vgl. auch die betreffende bundesrätliche Ausführungsbestimmung in Art. 12 der Verordnung vom 27. Juni 2007 über Diplome, Ausbildung, Weiterbildung und Berufsausübung in den universitären Medizinalberufen [SR 811.112.0]). Andere Zusatzbezeichnungen für die Praxis verbleiben demgegenüber grundsätzlich in der Regelungskompetenz der Kantone. Gemäss einer Lehrmeinung gilt dies u.a. auch für Bezeichnungen wie "Zentrum" oder "Klinik" (BORIS ETTER, Handkommentar zum Medizinalberufegesetz MedBG, Bern 2006, N. 4 f. zu Art. 39). Zum Marktauftritt von Medizinalpersonen gehört - abgesehen von der Berufsbezeichnung an sich - auch die Werbung. Das Medizinalberufegesetz sieht in Art. 40 einen - bundesrechtlich vereinheitlichten - Katalog an Berufspflichten vor, worunter die Vorschrift, dass Medizinalpersonen nur Werbung machen dürfen, "die objektiv ist, dem öffentlichen Bedürfnis entspricht und weder irreführend noch aufdringlich ist" (Art. 40 lit. d MedBG). Als in diesem Sinne zulässig gelten etwa Hinweise auf eine Spezialisierung der Medizinalperson oder die bevorzugten Tätigkeiten (Botschaft zum Medizinalberufegesetz, in: BBl 2005 S. 229, zu Art. 40). Die Verwendung des Begriffs "Zahnklinik" im Zusammenhang mit einer Zahnarztpraxis ist - jedenfalls aus Sicht der potentiellen Kundschaft (Patienten), auf welche es in diesem Kontext in erster Linie ankommt - als werbender Zusatz in der Firmenbezeichnung zu betrachten, was es nahelegen würde, die entsprechenden Schranken von Art. 40 lit. d MedBG zur Anwendung zu bringen. Der angefochtene Entscheid geht auf die erwähnte bundesrechtliche Bestimmung nicht näher ein, sondern beurteilt die Frage der Zulässigkeit der Verwendung des Begriffs "Klinik" ausschliesslich nach kantonalem Recht (vgl. E. 4b sowie E. 5b des angefochtenen Urteils). Auch der Beschwerdeführer scheint von der (alleinigen) Massgeblichkeit dieser Bestimmungen auszugehen und beruft sich nicht auf das eidgenössische Medizinalberufegesetz. Wie es sich damit im Einzelnen verhält, insbesondere ob und inwieweit die bundesrechtliche Regelung von Art. 40 lit. d MedBG im vorliegenden Zusammenhang zum Tragen kommt bzw. noch Raum für (selbständiges) kantonales Recht belässt und ob sie vom Verwaltungsgericht bereits auf das hängige Verfahren hätte angewendet werden müssen, kann dahingestellt bleiben, da sich das Täuschungsverbot in gleicher Weise aus dem kantonalen Gesundheitsrecht (§ 7 Abs. 2 Vo I GesG/ZG) als auch aus der genannten Bestimmung des Medizinalberufegesetzes ergibt (vgl. dazu ETTER, a.a.O., N. 25 ff. zu Art. 40; Walter Fellmann, Berufspflichten der Medizinalpersonen nach Art. 40 MedBG, in: René Schaffhauser/Ueli Kieser/Tomas Poledna [Hrsg.], Das neue Medizinalberufegesetz, St. Gallen 2008, S. 110 f.).
4. 4.1 Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung des Gewaltenteilungsgrundsatzes (gemäss § 21 Abs. 1 in Verbindung mit § 31 lit. b und § 41 lit. b KV/ZG) geltend macht, geht dieser Einwand an der Sache vorbei. Vorliegend geht es nicht darum, ob die einschlägigen kantonalen Vorschriften kompetenzkonform erlassen worden sind, sondern allein um deren Auslegung im konkreten Falle. Im Weiteren hat die Rüge der Verletzung des Legalitätsprinzips gemäss Art. 5 Abs. 1 BV - ausserhalb der Sonderbereiche des Abgabe- und des Strafrechts - keine selbständige Bedeutung, soweit gleichzeitig (wie vorliegend mit der Wirtschaftsfreiheit) ein spezifisches Grundrecht als verletzt angerufen wird und das Vorhandensein einer genügenden gesetzlichen Grundlage unter dem Gesichtswinkel von Art. 36 Abs. 1 BV zu prüfen ist (vgl. BGE 127 I 60 E. 3a S. 67; 130 I 388 E. 4 S. 391 f.; 129 I 161 E. 2.1 S. 162 f.; Urteil 2C_212/2007 vom 11. Dezember 2007, E. 3.1).
Der Beschwerdeführer kann sich als selbständig praktizierender Zahnarzt auf die Wirtschaftsfreiheit (Art. 27 BV) berufen (vgl. BGE 130 I 26 E. 4.1 S. 40 mit Hinweisen), welche insbesondere auch die freie Ausübung einer privatwirtschaftlichen Erwerbstätigkeit garantiert, worunter das Recht, für ein Produkt oder eine Dienstleistung zu werben (BGE 128 I 295 E. 4b S. 304 sowie E. 5a in fine S. 308 mit Hinweisen). Die Wirtschaftsfreiheit kann nach Art. 36 BV eingeschränkt werden, wenn hiefür eine gesetzliche Grundlage besteht, die Einschränkung im öffentlichen Interesse liegt, die entsprechende Massnahme verhältnismässig erscheint und zudem rechtsgleich erfolgt. Unzulässig sind wirtschaftspolitische oder standespolitische Massnahmen, die den freien Wettbewerb behindern, um gewisse Gewerbezweige oder Bewirtschaftungsformen zu sichern oder zu begünstigen, oder sonstwie den Wettbewerb verzerren (Art. 94 Abs. 4 BV; BGE 130 I 26 E. 4.5 S. 43 mit Hinweisen).
4.2 Das kantonale Gesundheitsgesetz unterscheidet zwischen den speziell organisierten Kranken- und Pflegeanstalten einerseits, welche als solche einer besonderen Bewilligung der Gesundheitsdirektion bedürfen und der Aufsicht des Gesundheitsrates unterstehen (§ 35 GesG/ZG), und der selbständigen Berufsausübung durch zugelassene private Medizinalpersonen andererseits (§§ 16 ff. GesG/ZG). Es liegt im öffentlichen Interesse, zu verlangen, dass dieser Unterschied in der Bezeichnung der Betriebe zum Ausdruck kommt. Der Patient soll wissen, ob er es mit einer im Sinne von § 35 GesG/ZG bewilligten Einrichtung oder aber mit einer privaten Arztpraxis zu tun hat. Der Begriff "Klinik" bezieht sich, wovon die kantonalen Instanzen zulässigerweise und willkürfrei ausgehen durften, auf stationäre Institutionen, weshalb es dem Kanton Zug insoweit nicht verwehrt werden kann, privaten Arztpraxen ohne stationäre Einrichtungen die Verwendung dieser Bezeichnung zu untersagen. Zu dieser Frage brauchten die kantonalen Behörden - entgegen der Meinung des Beschwerdeführers - kein Gutachten einzuholen; von einer Verletzung des rechtlichen Gehörs, einer willkürlichen Beweislastverteilung oder Beweiswürdigung kann diesbezüglich nicht gesprochen werden. Zwar trifft zu, dass gewisse Kantone die Bezeichnung als "Zahnklinik" bei grösseren privaten Zahnarztpraxen tolerieren, offenbar aus der Einsicht, dass stationäre Einrichtungen in der Zahnmedizin kaum eine Rolle spielen und insoweit auch keine Verwechslungsgefahr für die Patienten besteht. Wo es sich um Gruppenpraxen handelt, kann diese Besonderheit aber auch durch anderweitige Bezeichnungen zum Ausdruck gebracht werden, etwa durch den im Kanton Zug praxisgemäss zugelassenen Begriff "Zentrum" oder "Center". Der vom Beschwerdeführer offerierten Patientenbetreuung "rund um die Uhr" vermag auch diese andere Umschreibung gerecht zu werden. Die Wirtschaftsfreiheit wird durch die beanstandete Einschränkung der Bezeichnungsmöglichkeit nicht unverhältnismässig eingeschränkt.
4.3 Zu prüfen bleibt, ob das angefochtene Verbot auf einer hinreichenden gesetzlichen Grundlage beruht. Ein schwerer Eingriff in die Wirtschaftsfreiheit, der als solcher formellgesetzlich explizit vorgesehen sein müsste (Art. 36 Abs. 1 Satz 2 BV), liegt entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht vor. Auch eine kompetenzkonform erlassene Verordnungsvorschrift kann eine hinreichende Rechtsgrundlage darstellen. Inwiefern sich aus den angerufenen kantonalen Verfassungsvorschriften etwas Weitergehendes ergeben sollte, ist nicht ersichtlich. Da, wie erwähnt, kein schwerer Eingriff in die Wirtschaftsfreiheit in Frage steht, prüft das Bundesgericht die Auslegung des kantonalen Gesetzes- und Verordnungsrechts lediglich unter dem Gesichtswinkel der Willkür. Anders als im vormaligen Recht des Kantons Zürich (vgl. § 20 Abs. 2 der Ende Juni 2008 aufgehobenen zürcherischen Verordnung vom 10. Juni 1998 über die Zahnärztinnen und Zahnärzte) ist die Verwendung des Begriffes "Klinik" im Kanton Zug nicht ausdrücklich stationären Einrichtungen vorbehalten. Die zugerischen Behörden können sich für ihr Verbot einzig auf die Regelung von § 7 Vo I GesG/ZG stützen, wonach die Auskündungen den Namen der zugelassenen Medizinalperson enthalten müssen sowie keinen rechtswidrigen Inhalt haben und zu keinen Täuschungen Anlass geben dürfen. Inwiefern und wieso der Verordnungsgeber mit dem Erlass dieser letzteren, an sich selbstverständlichen Norm die ihm zustehenden Kompetenzen überschritten haben sollte, ist nicht einzusehen. Zweifelhaft erscheint dagegen, ob der Begriff "Zahnklinik" im Hinblick auf die heute in gewissen anderen Kantonen für grosse Zahnarztpraxen offenbar nicht selten verwendete Terminologie bei den Patienten tatsächlich den irrigen Eindruck erwecken kann, es mit einer stationären Heilanstalt im Sinne von § 35 GesG/ZG zu tun zu haben. Der kantonale Verordnungsgeber hätte es ohne weiteres in der Hand gehabt, § 2 Vo I GesG/ZG durch eine entsprechende Bestimmung zu ergänzen und in Bezug auf die zulässigen Bezeichnungen für Zahnarztpraxen die erforderliche Klarheit zu schaffen. Von einer geradezu willkürlichen Rechtsauslegung kann aber nicht gesprochen werden, wenn dem Beschwerdeführer gestützt auf die genannte Verordnungsbestimmung die Bezeichnung seiner Praxis als "Zahnklinik" untersagt wird.
4.4 Unbegründet ist die Rüge, die Rechtsgleichheit sei verletzt, weil andere Kantone die Verwendung des Begriffs "Zahnklinik" bei grossen Zahnarztpraxen sowie bei öffentlich-rechtlichen Instituten ohne stationäres Behandlungsangebot zuliessen. Das allgemeine Gleichbehandlungsgebot (Art. 8 Abs. 1 BV) wie auch der aus der Wirtschaftsfreiheit abgeleitete Grundsatz der Gleichbehandlung der Gewerbegenossen schützen nicht davor, dass ausserhalb des Kantons gelegene Konkurrenzbetriebe möglicherweise in den Genuss günstigerer rechtlicher Rahmenbedingungen kommen; dies ist eine grundsätzlich hinzunehmende Folge des föderalistischen Aufbaus des schweizerischen Staatswesens (BGE 125 I 173 E. 6d S. 179; 122 I 44 E. 3b/cc S. 47; 120 Ia 126 E. 6c S. 145, je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer macht im Übrigen nicht geltend, die Zuger Behörden würden bei anderen zur selbständigen Berufsausübung im Kanton zugelassenen Zahnärzten die Verwendung des Terminus "Zahnklinik" als Praxisbezeichnung tolerieren und insofern die betreffenden Bestimmungen in rechtsungleicher oder wettbewerbsverzerrender Weise anwenden.
4.5 Die vom angefochtenen Urteil geschützte Verfügung der kantonalen Gesundheitsdirektion verlangt vom Beschwerdeführer die Beseitigung sämtlicher Hinweise, welche seine Praxis mit "Klinik" bezeichnen. Dabei wird im Rahmen einer beispielhaften, nicht abschliessenden Aufzählung der zu korrigierenden Auskündungen auch das Handelsregister genannt, in welchem der Beschwerdeführer (im Kanton Zug) mit der Firma "AAA Zahnklinik Bahnhof Zug Ltd, Birmingham, Zweigniederlassung Zug" eingetragen ist.
Die sich ausschliesslich auf das Täuschungsverbot gemäss § 7 Abs. 2 Vo I GesG/ZG stützende Pflicht zur Anpassung der Auskündung kann sich nur auf jene Verlautbarungen beziehen, welche vom Publikum bei der Suche nach einem behandelnden Zahnarzt auch tatsächlich wahrgenommen werden können, so unter anderem auf die Auskündungen am Gebäude und in der Presse, die Eintragungen im Telefonbuch und in Branchenregistern sowie den Auftritt im Internet. Auch wenn der Eintrag im Handelsregister das Publikum bei der Wahl des Arztes weniger beeinflussen dürfte, handelt es sich auch dabei um eine öffentliche und über Internet einfach einsehbare Form von Auskündung, welcher im Übrigen - als Eintrag in einem öffentlichen Register - erhöhte Beweiskraft und bis zu einem gewissen Grad auch öffentlicher Glaube zukommt (vgl. Art. 933 OR, Art. 9 ZGB). Wenn die Zuger Behörden unter diesen Umständen darauf drängen, dass der Beschwerdeführer den Begriff "Klinik" auch im Handelsregister streichen lässt, verstossen sie nicht gegen das Willkürverbot.
Dass eine Firma bereits anlässlich ihrer Eintragung ins Handelsregister auf die Gebote der Firmenwahrheit und -klarheit bzw. auf ein firmenrechtliches Täuschungsverbot hin überprüft wird und dabei auch allfälligen entgegenstehenden öffentlichen Interessen Rechnung zu tragen ist (Art. 944 OR, Art. 26 und 28 HRegV [SR 221.411]), steht - entgegen der Meinung des Beschwerdeführers - der streitigen Anordnung nicht entgegen. Gleiches gilt für den Einwand, dass die betreffenden Abänderungen im Handelsregister nicht ohne weiteres möglich bzw. mit einem beträchtlichen Aufwand verbunden sind, hängt dies doch einzig mit der vom Beschwerdeführer selbst gewählten komplexen Firmenstruktur (Aktiengesellschaft nach britischem Recht mit Sitz in Birmingham, Zweigniederlassung im Kanton Zug) zusammen.
Worin schliesslich die Verweigerung eines fairen Beweisverfahrens (Art. 29 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK) oder die Verletzung des Prinzips der Waffengleichheit (Art. 8 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK) liegen soll, ist nicht ersichtlich.
5. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet abzuweisen.
Damit sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 BGG).
Für eine Abänderung des vorinstanzlichen Entscheids über die Kosten- und Entschädigungsfolgen im kantonalen Verfahren besteht bei diesem Ausgang kein Anlass (Art. 67 bzw. Art. 68 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1. Die Beschwerde wird abgewiesen.
2. Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Gesundheitsdirektion und dem Verwaltungsgericht (Verwaltungsrechtliche Kammer) des Kantons Zug schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. November 2008
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Der Gerichtsschreiber:
Merkli Moser