Erwägungen:
1. Der italienische Staatsangehörige X._, geboren 1951, lebte 1962 bis 1978 in der Schweiz, anschliessend (offenbar) wieder in Italien. Am 18. Oktober 2002 reiste er erneut in die Schweiz ein mit dem Zweck Stellensuche; ab Januar 2003 bis Mai 2005 war er arbeitstätig. Er erlitt einen Unfall und ging seither keiner Erwerbstätigkeit mehr nach. 2009 wurde sein Begehren um Zusprechung einer Invalidenrente abgewiesen; die diesbezüglichen Rechtsmittel blieben erfolglos. Da sich seine Lebenspartnerin verpflichtete, für seinen Lebensunterhalt aufzukommen, erhielt er eine bis 30. März 2011 gültige Aufenthaltsbewilligung. Ab April 2010 bis Ende August 2012 bezog er Sozialhilfe im Betrag von Fr. 88'388.95.
Am 6. September 2011 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich das Gesuch von X._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies ihn aus der Schweiz weg. Ein Rekurs an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich blieb erfolglos (Entscheid vom 6. September 2012). Mit Urteil vom 19. Dezember 2012 wies das Verwaltungsgericht die gegen den Rekursentscheid erhobene Beschwerde ab; es setzte die Ausreisefrist neu auf Ende März 2013 an.
Mit vom 21. Januar 2013 datiertem, am 25. Januar 2013 zur Post gegebenem, ans Bundesgericht adressiertem Schreiben erklärte X._, gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts Einsprache zu erheben. Mit Verfügung vom 28. Januar 2013 wurde er aufgefordert, die in der Eingabe erwähnte, indessen fehlende Seite 2 sowie das anzufechtende Urteil des Verwaltungsgerichts nachzureichen. Dieser Aufforderung kam er am 5. Februar 2013 fristgerecht nach.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat sich gezielt mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen der Vorinstanz auseinanderzusetzen.
Das Verwaltungsgericht hat die Frage der Anwesenheitsberechtigung des Beschwerdeführers unter den verschiedensten Aspekten geprüft. Es schloss einen Anspruch auf Niederlassungsbewilligung aus und legte dar, warum die Verweigerung einer Aufenthaltsbewilligung auf der Grundlage des Landesrechts unter Berücksichtigung sämtlicher Umstände, namentlich der voraussichtlich andauernden Sozialhilfeabhängigkeit, zulässig ist (E. 2.3 und 2.4). Weiter prüfte es, ob dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung unter dem Gesichtswinkel des Freizügigkeitsabkommens (FZA) zu verlängern wäre; es verneinte dies (E. 3.1 und 3.3); dabei befasste es sich spezifisch mit der Frage eines Verbleiberechts nach Aufgabe der Erwerbstätigkeit wegen Arbeitsunfähigkeit, wobei es festhielt, daran fehle es angesichts des rechtskräftigen IV-rechtlichen Entscheids (E. 3.2). Sodann ging es im Hinblick auf den hier lebenden bald volljährigen Sohn des Beschwerdeführers auf Art. 8 EMRK ein (E. 4) und prüfte schliesslich die Möglichkeit einer Bewilligungsverlängerung im freien Ermessen, d.h. ausserhalb eines Anspruchstatbestands (E. 5).
Die Eingaben des Beschwerdeführers lassen eine Auseinandersetzung mit den eben dargestellten Erwägungen vermissen. Er begnügt sich mit einem Hinweis auf mehrere ärztliche Berichte, womit er seiner Begründungspflicht nicht nachkommt. Sollte er damit implizit geltend machen wollen, er sei im Hinblick auf ein allfälliges Verbleiberecht nach FZA arbeitsunfähig, hätte er sich mit der Problematik der Rechtskraft des für die Belange des vorliegenden Verfahrens massgeblichen sozialversicherungsrechtlichen Entscheids befassen müssen.
Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung (Art. 108 Abs. lit. b BGG), sodass darauf mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten ist.
Da die Beschwerde von vornherein aussichtslos erschien, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (Art. 64 BGG). Entsprechend sind die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Kammer, und dem Bundesamt für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Februar 2013
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller