Faits:
A.
A.a. B.Y._, C.Z._ et A.X._ sont les enfants de E.Y._, décédée le 16 novembre 2009, et de F.X._, décédé en 2003. A.X._ est le père de D.X._, née en 1996 et représentée par son curateur H._, avocat.
A.b. En 1973, F.X._ a acquis la parcelle n° xxx du cadastre de la commune de G._, au lieu dit " ,,,, ", comprenant divers bâtiments, dont un château dénommé " .... ". Cette propriété a été inscrite au registre foncier au nom de B.Y._ et de E.Y._ en qualité de copropriétaires à hauteur de 50% chacun. Le 27 août 1992, E.Y._ a fait donation à sa fille C.Z._ de la moitié de sa part de propriété de la parcelle n° xxx. Par acte notarié du 15 octobre 1998, E.Y._ a fait donation à sa petite-fille D.X._ de sa part de copropriété d'un quart de dite parcelle. L'acte de donation prévoit que cette part est grevée d'un usufruit viager en faveur de la donatrice inscrit au registre foncier comme servitude personnelle à charge de la part de copropriété donnée. Par ailleurs, la clause 6 de cet acte prévoit que, " à titre de charge, la donataire devra constituer en faveur de son père, A.X._, dans un délai de trois mois au plus à compter du décès de la donatrice, un usufruit viager grevant la part de copropriété d'un quart (1/4) ici donnée ". B.Y._ pour une demie, C.Z._ et D.X._ pour un quart chacune, forment ainsi une copropriété simple portant sur l'immeuble n° xxx du cadastre de la commune de G._.
A.c. Le 8 février 2008, B.Y._ a ouvert action en partage contre C.Z._, D.X._ et E.Y._ devant le Président du Tribunal d'arrondissement de La Côte, concluant au partage et à la vente de l'immeuble précité. Par requête d'intervention et demande reconventionnelle du 5 août 2008, A.X._ a pris une conclusion en intervention dans la procédure en partage, une conclusion principale en rejet du partage et une conclusion subsidiaire en partage en nature de la parcelle n° xxx de la commune de G._. Reconventionnellement, il a conclu à ce qu'il soit interdit à sa fille D.X._ de vendre sa part de copropriété jusqu'au décès de E.Y._ et à ce qu'une restriction du droit d'aliéner cette part soit inscrite jusqu'au même terme. La requête d'intervention a été rejetée par jugement incident du 18 septembre 2008 du Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte, jugement lui-même confirmé par arrêt de la Chambre des recours du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 14 avril 2009.
Le 31 octobre 2008, E.Y._, par l'intermédiaire de son tuteur, a fait la déclaration suivante: " Par la présente, la soussignée, E.Y._, née le 14 janvier 1926, domiciliée ...., à G._, représentée par son tuteur, I._, déclare renoncer purement et simplement à agir en exécution de la charge ou à révoquer la donation, ou encore à réclamer à Mademoiselle D.X._ des dommages et intérêts pour la circonstance que l'exécution de la charge comprise dans l'acte de donation notarié par J._, notaire à K._, le 15 octobre 1998, sera devenu impossible du fait du partage et de la vente de la copropriété dans le cadre de l'action en partage ouverte par B.Y._. "
E.Y._ est décédée le 16 novembre 2009, de sorte que la procédure oppose désormais B.Y._, demandeur, à C.Z._ et D.X._, défenderesses.
A.d. Le 13 septembre 2012, A.X._ a déposé une nouvelle requête d'intervention, qui a été rejetée par jugement incident rendu le 8 juillet 2013 par la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte. Par arrêt du 17 septembre 2013, notifié le 6 décembre 2013, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours formé par A.X._ à l'encontre dudit jugement.
B.
Par acte du 24 janvier 2014, A.X._ forme un recours en matière civile, assorti d'une requête d'assistance judiciaire. Il conclut à la réforme de la décision attaquée en ce sens que sa requête d'intervention du 13 septembre 2012 est admise et qu'un délai lui est imparti pour se déterminer sur les écritures des parties à la procédure en partage.
Des réponses au fond n'ont pas été requises.
C.
Par ordonnance du 12 février 2014, la requête d'effet suspensif a été admise, en ce sens que la procédure de partage de la copropriété est suspendue jusqu'à droit connu sur le recours en matière civile.
Considérant en droit:
1.
1.1. Le refus d'admettre l'intervention d'une partie à une procédure déjà pendante constitue une décision partielle mettant fin à la procédure à l'égard d'un consort et est ainsi susceptible de recours (art. 91 let. b LTF; ATF 134 III 379 consid. 1.1 p. 381 s.; arrêt 5A_603/2013 du 25 octobre 2013 consid. 1.2). Par ailleurs, l'arrêt attaqué a été rendu sur recours par une autorité cantonale supérieure (art. 75 LTF) dans une cause civile (art. 72 al. 1 LTF) dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Le recours est interjeté par la partie qui n'a pas obtenu gain de cause en instance cantonale (art. 76 al. 1 LTF). Enfin, il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Sous cet angle, le recours en matière civile apparaît recevable.
1.2. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), y compris le droit constitutionnel (ATF 133 III 446 consid. 3.1 p. 447; 133 III 462 consid. 2.3 p. 466). Il ne peut par contre pas être interjeté pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (ATF 134 II 349 consid. 3 p. 351 s.; 133 III 462 consid. 2.3 p. 466).
Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués; il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (ATF 140 III 86 consid. 2; 135 II 384 consid. 2.2.1 p. 389; 135 III 397 consid. 1.4 p. 400). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel ou sur une question relevant du droit cantonal ou intercantonal que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF).
2.
Le recourant fait grief à la Chambre des recours civile d'avoir violé son droit d'être entendu, sous l'angle du défaut de motivation de la décision. Il reproche notamment à l'autorité précédente de s'être " retranchée " derrière le jugement de première instance et d'avoir, ce faisant, renoncé à se prononcer sur les arguments exposés et les pièces produites à l'appui de son recours.
2.1. Eu égard à la nature formelle du droit d'être entendu (ATF 127 V 431 consid. 3d/aa p. 437), une éventuelle violation de cette garantie de procédure doit être examinée en premier lieu (ATF 124 I 49 consid. 1 p. 50) et avec un plein pouvoir d'examen (ATF 127 III 193 consid. 3 p. 194 et les arrêts cités). La jurisprudence a notamment déduit du droit d'être entendu, consacré par l'art. 29 al. 2 Cst., le devoir pour le juge de motiver sa décision. Il suffit qu'il mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (ATF 133 III 439 consid. 3.3 p. 445 et les arrêts cités).
2.2. En tant qu'il expose que l'arrêt cantonal serait insuffisamment motivé, le recourant ne saurait être suivi. Il ressort en effet clairement de cet arrêt que, dès lors qu'aucun arbitraire n'avait été démontré, il n'y avait pas lieu de s'éloigner des constatations de fait retenues en première instance. Le recourant a d'ailleurs été parfaitement en mesure de contester cette motivation devant le Tribunal de céans, en soutenant que les constatations de fait effectuées par l'autorité de première instance, que la Chambre des recours civile a faites siennes, étaient manifestement inexactes et, partant, arbitraires. Le grief de violation du droit d'être entendu doit dès lors être rejeté.
3.
Le recourant se plaint ensuite de ce que la Chambre des recours civile aurait procédé à un établissement manifestement inexact des faits en retenant, d'une part, que E.Y._ n'avait pas eu l'intention d'obliger D.X._ à constituer un usufruit viager en sa faveur et, d'autre part, que cette dernière, qui avait deux ans en 1998 et qui ne bénéficiait pas d'une curatelle, ne pouvait avoir la volonté de s'engager à son égard.
3.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF); en tant que cour suprême, il est instance de révision du droit, et non pas juge du fait. Il peut certes rectifier ou compléter les faits s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (art. 97 al. 1 et art. 105 al. 2 LTF). Néanmoins, l'exception prévue par ces dispositions ne permet pas aux parties de rediscuter les faits de la cause comme si elles plaidaient devant un juge d'appel. La partie recourante qui entend faire rectifier l'état de fait doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions pour ce faire seraient réalisées (ATF 136 I 184 consid. 1.2 p. 187; 133 IV 286 consid. 6.2 p. 288); dans la mesure où le grief a trait au caractère arbitraire de l'établissement des faits, les exigences de motivation sont celles, plus strictes, de l'art. 106 al. 2 LTF (principe d'allégation; ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.).
3.2. En l'occurrence, la motivation du grief ne satisfait pas à ces exigences. Dans une argumentation purement appellatoire, le recourant se limite à exposer son point de vue. Le grief est dès lors irrecevable. Un tel résultat scelle le sort des violations invoquées des art. 304 al. 1 et 3, 422 ch. 7 et 424 aCC, en tant qu'elles sont directement liées au grief de constatation manifestement inexacte des faits.
4.
Invoquant enfin une violation arbitraire de l'art. 80 al. 1 de l'ancien Code de procédure civile vaudois du 14 décembre 1966 (aCPC-VD), le recourant reproche à la Chambre des recours civile de ne pas avoir admis qu'il disposait d'un intérêt digne de protection à intervenir à la procédure en partage et, ce faisant, d'avoir violé l'art. 112 al. 2 CO. Se fondant sur sa propre appréciation des faits de la cause - dont on ne saurait tenir compte (cf. supra consid. 3.2) -, il considère en substance que la Chambre des recours civile a versé dans l'arbitraire et violé le droit fédéral en considérant qu'il ne ressortait pas de la nature et du but du contrat de donation du 15 octobre 1998 que l'on se trouvait en présence d'une stipulation pour autrui parfaite en sa faveur.
4.1. Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si sa décision apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs ou en violation d'un droit certain. En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision soient insoutenables; il faut encore que celle-ci soit arbitraire dans son résultat. Il ne suffit d'ailleurs pas non plus qu'une solution différente de celle retenue par l'autorité cantonale puisse être tenue pour également concevable ou apparaisse même préférable (ATF 138 I 305 consid. 4.3 p. 319; 137 I 1 consid. 2.4 p. 5; 136 III 552 consid. 4.2 p. 560).
4.2. La Chambre des recours civile a jugé, sur la base des faits dûment retenus en première instance (cf. supra consid. 3.2), que dès lors qu'il avait été nié que la volonté réelle et concordante des parties était de contraindre la donataire à constituer un usufruit en faveur de son père et donc de lui conférer une prétention à cet égard, le recourant ne pouvait prétendre à l'inscription d'un usufruit en sa faveur. L'absence d'intérêt direct à intervenir au procès en partage de même que l'inexistence d'une stipulation pour autrui parfaite ne pouvaient donc qu'être confirmées.
En opposant sa propre analyse sur la base de faits qui ne ressortent pas de l'arrêt cantonal, le recourant ne parvient nullement à démontrer en quoi les art. 80 al. 1 aCPC-VD et 112 al. 2 CO auraient été arbitrairement appliqués par l'autorité cantonale. Le moyen se révèle ainsi mal fondé dans la mesure où il est recevable.
5.
Vu ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. Il en va de même de la requête d'assistance judiciaire, les conclusions du recourant étant d'emblée dépourvues de chances de succès (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr. (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer une indemnité de dépens aux intimés, qui n'ont pas été invités à répondre sur le fond et qui ont conclu au rejet de la requête d'effet suspensif alors que celle-ci a été admise.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours civile, et à la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte.
Lausanne, le 8 mai 2014
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président: von Werdt
La Greffière: Achtari