Faits:
A. A.a Le 19 octobre 2005, alors qu'il travaillait comme aide-peintre au service de l'entreprise X._ Sàrl, K._, né en 1976, a été victime d'un accident de la circulation. Il se trouvait au volant de sa voiture à l'arrêt en attendant de s'engager dans un rond-point, lorsqu'un autre véhicule, qui n'a pas freiné à temps, l'a percuté par l'arrière. Il y a eu un constat à l'amiable entre les conducteurs. Se plaignant de douleurs à la nuque et de fourmillements dans les mains, K._ s'est rendu à l'Hôpital Y._ où a été posé le diagnostic de traumatisme par accélération cranio-cervicale avec contusion de la colonne cervicale et thoracique. Les examens radiographiques avaient montré des résultats sans particularités. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), auprès de laquelle le prénommé était assuré, a pris en charge le cas. Après une incapacité de travail de 100 % du jour de l'accident au 6 novembre 2005, et ensuite de 50 % jusqu'au 21 décembre suivant, l'assuré a repris son travail à temps complet.
A.b Le 20 mai 2008, la caisse de chômage d'Unia a fait parvenir à la CNA une déclaration de rechute de l'accident du 19 octobre 2005 en indiquant que K._, inscrit au chômage depuis le 1er octobre 2007, était en incapacité de travail totale à partir du 18 avril 2008. Un rapport d'IRM fonctionnelle réalisée le 8 février 2008 au Centre Z._ a été versé au dossier dans lequel le docteur F._ a fait état d'altérations de signal autour de la partie gauche du ligament transverse de l'atlas pouvant indiquer une lésion de ce ligament avec une cicatrice périligamentaire (rapport du 15 février 2008).
L'assuré a été examiné le 9 juillet 2008 par le docteur R._, du service de médecine des assurances de la CNA. Ses plaintes consis-taient en des cervicalgies, des troubles de la vision, une baisse auditi-ve plus à droite qu'à gauche, un tinnitus, des vertiges, des troubles du sommeil, une fatigabilité et une irritabilité accrues, ainsi qu'une baisse de la concentration et des troubles de la mémoire. Le médecin de la CNA a estimé qu'il s'agissait du tableau typique des traumatismes d'accélération du rachis cervical. Au plan clinique, il a constaté une discrète myogélose de la musculature para-cervicale des deux côtés avec toutefois une mobilité conservée à tous les niveaux. La CNA a pris en charge le traitement médical prodigué à l'assuré et versé des indemnités journalières fondées sur une incapacité de travail totale.
L'assuré a fait l'objet de nombreuses investigations médicales sur le plan oto-neurologique, psychiatrique, ophtalmologique et rhumatologi-que (cf. rapports des docteurs O._, L._, B._, S._, de l'Hôpital W._, et E._, de l'Hôpital V._, respectivement des 21 août, 14 novembre, 18 novembre et 19 décembre 2008, et 28 septembre 2009).
Le 31 août 2009, la Zurich Assurances a informé à la CNA que K._ avait été soumis à une surveillance du 25 novembre au 5 décembre 2008 ainsi que du 30 mars au 30 avril 2009, et lui a transmis le matériel d'observation. Après avoir requis sa division médicale d'évaluer ces documents au plan médical (appréciation du 4 mars 2010), la CNA a suspendu le versement des indemnités journalières et donné la possibilité à l'assuré de se déterminer (décision provisionnelle du 31 mars 2010).
Par décision du 30 avril 2010, l'assureur-accidents a mis fin aux prestations considérant que l'assuré était apte à travailler depuis le 25 novembre 2008, et demandé la restitution des indemnités journalières versées à tort jusqu'au 31 mars 2010, soit un montant de 62'591 fr. 40. Saisie d'une opposition, la CNA l'a écartée dans une nouvelle décision du 8 juillet 2010.
B. Par jugement du 9 mars 2012, la Cour des assurances du Tribunal cantonal jurassien a partiellement admis le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition tant que la CNA exigeait le rembour-sement du montant de 62'591 fr. 40. Elle l'a rejeté pour le surplus.
C. K._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il requiert l'annulation. Il conclut, principalement, à ce que la CNA soit condamnée à lui allouer les prestations légales d'assurance; subsidiairement, à ce que la cause lui soit renvoyée en vue d'un complément d'instruction sous la forme d'une expertise médicale pluridisciplinaire. Il sollicite en outre l'assistance judiciaire.
La CNA conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publi-que a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit:
1. Est litigieux le point de savoir si le recourant a droit aux prestations de l'assurance-accidents pour la période postérieure au 31 mars 2010. Compte tenu de l'objet du litige, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (art. 97 al. 2 LTF).
2. Selon la jurisprudence, il y a rechute lorsqu'une atteinte présumée guérie récidive, de sorte qu'elle conduit à un traitement médical ou à une (nouvelle) incapacité de travail. Les rechutes se rattachent par définition à un événement accidentel. Corrélativement, elles ne peuvent faire naître une obligation de l'assureur-accidents (initial) de verser des prestations que s'il existe un lien de causalité naturelle et adéquate entre les nouvelles plaintes de l'intéressé et l'atteinte à la santé causée à l'époque par l'accident assuré (ATF 118 V 293 consid. 2c p. 296 et les références; RAMA 1994 n° U 206 p. 327 consid. 2).
Le jugement entrepris expose correctement les principes jurispruden-tiels relatifs aux notions précitées, de même que la jurisprudence applicable en matière de lésions du rachis cervical par accident de type "coup du lapin", de traumatisme analogue ou de traumatisme cranio-cérébral sans preuve d'un déficit fonctionnel organique (cf. ATF 134 V 109), de sorte qu'il suffit d'y renvoyer.
3. 3.1 Dans un premier grief, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir nié l'existence de lésions organiques en dépit de l'IRM fonctionnelle réalisée au Centre Z._ et de l'IRM cérébrale à laquelle il s'était soumis le 7 avril 2011 à l'Hôpital W._ et dont les résultats avaient été interprétés par le docteur D._, neurologue, au Centre hospitalier U._, ainsi que par les docteurs H._ et T._, radiologues. Ces documents apportaient la preuve qu'il présentait des lésions cérébrales consécutives au whiplash subi lors de l'accident du 19 octobre 2005. Or, en présence de lésions organiques, la causalité naturelle se confondait avec la causalité adéquate. A tout le moins, la mise en oeuvre d'une expertise pluridisci-plinaire se justifiait.
3.2 Le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de rappeler plusieurs fois qu'une IRM fonctionnelle ne constitue pas une méthode diagnostique éprouvée par la science médicale et qu'elle n'a donc pas de valeur probante pour statuer sur le rapport de causalité entre des symptômes présentés par un assuré et un traumatisme par accélération cervicale ou un traumatisme équivalent (ATF 134 V 231 consid. 5.3 p. 234). C'est donc à juste titre que la juridiction cantonale a statué sans pren-dre en considération les conclusions du docteur F._ du 15 février 2008.
3.3 Quant aux autres rapports médicaux produits en instance canto-nale par le recourant, indépendamment du fait qu'ils semblent pren-dre appui sur un examen IRM cérébral par la technique dite de tenseur de diffusion qui n'est pas non plus une méthode diagnostique éprou-vée par la science médicale (cf. arrêt 8C_978/2009 du 14 janvier 2011 consid. 5.2), ils n'ont pas la portée que celui-ci voudrait leur donner. Il sied de rappeler que la question de savoir si une atteinte à la santé se trouve en lien de causalité naturelle avec un événement accidentel doit être résolue au degré de la vraisemblance prépondérante et s'apprécie avant tout sur la base d'évaluations médicales auxquelles on peut attribuer un caractère probant suffisant selon la jurisprudence (cf. ATF 125 V 351 consid. 3a p. 352). Tel n'est pas le cas du document (du 26 mai 2011) émanant du docteur D._ sur lequel figurent les commentaires manuscrits suivants: "1. aspect d'atrophie corticale séquellaire notable [...] 2. atteinte de la protubérance à sa partie antérieure [...] 3. atteinte des 2 scissmes calcarmies [...] 4. dilatation de la partie antérieure de la come temporale droite [...] 5. atteinte vraisemblable de la partie postérieure du segment supérieur du faisceau arqué droit"). Cet écrit ne comporte en effet aucune explication médicale un tant soit peu motivée propre à démontrer, au degré de la vraisemblance prépondérante, que K._ présente des atteintes cérébrales causées par l'accident assuré et que, de surcroît, ces lésions se trouvent à l'origine des symptômes dont se plaint le prénommé et qui ont conduit à la déclaration de rechute du 20 mai 2008. La même conclusion s'impose en ce qui concerne le rapport établi le 28 juillet 2011 par les radiologues H._ et T._, qui ne font qu'attester l'existence d'une atrophie cérébrale ne correspondant pas à l'âge de l'assuré ("cerebral atrofia that is not correlated with age") sans fournir de motivation ni contenir des références susceptibles d'exclure une origine congénitale ou dégénérative de l'atrophie. On ne saurait donc en déduire la preuve de lésions cérébrales imputables au trau-matisme cervical du 19 octobre 2005.
3.4 Il n'y a pas non plus lieu de procéder à un complément d'instruc-tion, comme le demande le recourant, que ce soit sous la forme d'exa-mens spécifiques ou d'une expertise pluridisciplinaire. On ne voit pas en effet ce qui pourrait inciter le juge à ordonner des investigations supplémentaires en relation avec l'atrophie cérébrale étant donné que la thèse d'une telle atteinte développée à la suite de l'accident et entraînant des troubles de santé n'a pas été rapportée (voir également les autres éléments figurant au dossier, en particulier l'avis de la psychiatre L._ qui a noté une absence de troubles cognitifs chez l'assuré et les appréciations du docteur A._, neurologue à la division de médecine de la CNA, des 22 août et 25 octobre 2011). On peut par ailleurs s'étonner que le recourant n'ait pas versé au dossier l'avis des médecins de l'Hôpital W._ qui ont procédé à l'IRM cérébral. Enfin, K._ a fait l'objet de nombreux examens médicaux qui n'ont pas permis, à ce jour, de mettre en évidence d'autres atteintes organiques découlant de l'accident. Ainsi la doctoresse E._ a déclaré qu'il n'était pas possible de conclure que la légère surdité neurosensorielle dont le recourant est affecté était une conséquence de l'accident (rapport du 28 septembre 2008). Le docteur B._ a retenu un status ophtalmologique normal hormis un léger astigmatisme myopique à droite (rapport du 18 novembre 2008). Les examens radiographiques se sont révélés sans particularités. A part une myogélose, il n'y a pas de limitation au niveau locomoteur (voir les rapports d'examen du docteur R._). La cause est donc suffisamment instruite sur le plan médical.
4. 4.1 Les premiers juges ont retenu que les plaintes de l'assuré faisaient encore partie du tableau clinique typique des traumatismes par accélération cervicale et ont admis un lien de causalité naturelle entre ces symptômes et l'accident. Ils ont en revanche nié leur carac-tère adéquat. Dans un dernier moyen, le recourant critique cet examen de la causalité adéquate estimant qu'il remplit la plupart des critères jurisprudentiels pour qu'un tel lien de causalité soit reconnu.
4.2 Tout d'abord, c'est à raison que la juridiction cantonale a classé l'accident de la circulation du 19 octobre 2005 parmi les accidents de gravité moyenne à la limite des accidents de peu de gravité. En effet, le rapport biomécanique du 7 octobre 2008 évoque une accélération (delta-v) située vraisemblablement entre 10 et 15 km/h, et il ressort des photos du véhicule accidenté de l'assuré que le pare-choc arrière n'a été que très légèrement enfoncé.
4.3 Ensuite, contrairement à ce que prétend le recourant, le critère de la nature particulière des lésions subies n'est pas réuni. Il a déjà été dit que les troubles auditifs et oculaires ne peuvent pas être considérés comme découlant de l'accident. Au demeurant ce ne sont pas des lésions graves ou d'une nature particulière. Quant au traitement médical, il n'a pas été particulièrement pénible et a consisté pour l'essentiel en une médication antalgique et des séances de physiothérapie, d'acupuncture ainsi que d'ostéopathie. En ce qui concerne l'intensité des douleurs, on peut renvoyer à l'argumentation convaincante de la juridiction cantonale. Les observations menées pour le compte de la Zurich Assurances et l'évaluation médicale de celles-ci permettent en effet de retenir que le recourant n'est pas significativement empêché de mener ses activités quotidiennes (conduire une voiture, porter des charges), et n'indiquent aucune problématique de vertige ou de nuque lors de mouvements tels que tourner la tête, s'accroupir, se pencher etc. Le critère de l'importance de l'incapacité de travail en dépit d'efforts reconnaissables de l'assuré doit également être relativisée à l'aune de ces constatations. La référence à l'arrêt 8C_246/2009 n'est dès lors d'aucun secours au recourant. Il s'ensuit que l'existence d'un lien de causalité adéquate entre les troubles annoncés dans le cadre de la rechute et l'accident initial ne peut être admis.
4.4 Le jugement entrepris, qui a confirmé la décision de suppression des prestations rendue par la CNA, n'est pas critiquable. Le recours doit être rejeté.
5. Le recourant, qui satisfait aux conditions de l'art. 64 al. 1 LTF, est dispensé de l'obligation de payer les frais judiciaires. Quant aux conditions auxquelles l'art. 64 al. 2 LTF subordonne la désignation d'un avocat d'office, elles sont également réalisées. L'attention du recourant est cependant attirée sur le fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal s'il devient en mesure de le faire ultérieurement (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. Les frais judiciaires, arrêtés à 750 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils seront toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal.
3. Une indemnité de 2'800 fr., supportée par la caisse du Tribunal, est allouée à Me Pierre Siedler à titre d'honoraires.
4. Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 25 avril 2013
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Leuzinger
La Greffière: von Zwehl