Faits:
A. A.a Le divorce des époux X._, né en 1978, et dame X._, née en 1980, a été prononcé par jugement du 3 juin 2011 du Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine. Il résulte notamment de cette décision que l'autorité parentale et la garde des trois enfants ont été confiées à la mère, sous réserve d'un droit de visite du père durant les vacances à raison de deux semaines en été, une semaine pendant les vacances de Noël/Nouvel-An et une dernière semaine durant le reste des vacances scolaires. Le jugement de divorce prévoit également que le père contribuera à l'entretien de son épouse par le versement d'une pension mensuelle de 400 fr. Les parties ont toutes deux plaidé au bénéfice de l'assistance judiciaire dans le cadre de cette procédure, en vertu de la décision du 12 août 2010 du Président du Tribunal civil de la Sarine.
Le 7 juillet 2011, le père a interjeté appel à l'encontre du jugement de divorce en ce qui concerne son droit de visite durant les vacances et la contribution d'entretien due à son épouse. Par mémoire séparé du même jour, il a requis le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure d'appel.
A.b Par requête de mesures superprovisionnelles du 13 juillet 2011, le père a demandé à ce qu'il soit autorisé à partir en vacances dans son pays d'origine avec ses trois enfants du 25 juillet au 15 août 2011. Pour cette procédure également, il a sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Par arrêt du 19 juillet 2011, le Juge délégué de la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg (ci-après: le Juge délégué) a rejeté la requête de mesures provisionnelles.
B. Statuant par arrêt du 28 juillet 2011, le Juge délégué a rejeté les requêtes d'assistance judiciaire présentées les 7 et 13 juillet 2011 par le père dans le cadre de l'appel contre le jugement de divorce et des mesures provisionnelles.
C. Par acte du 31 août 2011, le père exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut à ce qu'il soit mis au bénéfice de l'assistance judiciaire dans le cadre de la procédure d'appel introduite le 7 juillet 2011 et de la procédure de mesures provisionnelles introduite le 13 juillet 2011. Au préalable, il requiert l'octroi de l'effet suspensif au recours et le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invité à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, le Juge délégué a indiqué qu'il n'avait pas d'observations à formuler.
D. Par ordonnance du 13 septembre 2011, la Présidente de la cour de céans a octroyé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit:
1. Le refus de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente en tant qu'elle est l'accessoire de la demande principale (art. 93 al. 1 LTF; arrêt 5A_496/2009 du 21 octobre 2009 consid. 1.1). De jurisprudence constante, une telle décision est susceptible de causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF; ATF 133 IV 335 consid. 4 p. 338 s.; 129 I 281 consid. 1.1 p. 283, 129 consid. 1.1 p. 131; 126 I 207 consid. 2a p. 210 ss).
Le recours contre une telle décision incidente est soumis à la même voie de droit que celle qui est ouverte contre la décision principale (arrêts 5D_55/2011 du 23 septembre 2011 consid. 1.2; 5A_491/2007 du 15 novembre 2007, consid. 1.2). La cause pour laquelle l'assistance judiciaire est requise se rapporte à une procédure de divorce selon l'art. 111 CC et à des mesures superprovisionnelles, à savoir deux décisions en matière civile (art. 72 al. 1 LTF), portant sur l'exercice et le droit de visite durant les vacances scolaires et sur la contribution d'entretien due à l'épouse, contestée dans le cadre de la procédure de divorce. Partant, l'ensemble du litige est, par attraction, de nature non pécuniaire (arrêts 5A_697/2009 du 4 mars 2010 consid. 1.1; 5A_495/2008 du 30 octobre 2008 consid. 1.1) et le présent recours en matière civile est recevable indépendamment de la valeur litigieuse (ATF 116 II 493 consid. 2b p. 495). Le recours a par ailleurs été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme requise (art. 42 LTF), par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et ayant un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision prise par un tribunal supérieur statuant en instance cantonale unique (arrêt 5A_414/2011 du 26 juillet 2011 consid. 1.1. in fine). Le recours en matière civile est donc en principe recevable de ce chef.
2. En tant que l'arrêt attaqué concerne la procédure d'appel contre le jugement de divorce, le recours en matière civile au Tribunal fédéral peut être exercé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), qui comprend les droits constitutionnels (ATF 133 III 446 consid. 3.1 p. 447, 462 consid. 2.3 p. 466). Compte tenu des exigences de motivation posées, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), à l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une juridiction de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser lorsqu'elles ne sont plus discutées devant lui (ATF 133 IV 150 consid. 1.2 p. 152; 133 III 545 consid. 2.2 p. 550).
En tant que la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles, seule peut être dénoncée la violation de droits constitutionnels (art. 98 LTF; ATF 133 III 393 consid. 5.1 in fine p. 397, 585 consid. 3.3 p. 587). Le Tribunal fédéral n'examine la violation de ces droits que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (principe d'allégation; art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88 et les références citées).
3. Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 29 al. 3 Cst. et de l'art. 117 CPC, estimant que l'autorité précédente a déclaré à tort que ses conclusions en appel et en procédure de mesures provisionnelles étaient dénuées de toute chance de succès, entraînant le rejet de ses requêtes tendant à l'octroi de l'assistance judiciaire.
Aux termes de l'art. 117 CPC, une personne a droit à l'assistance judiciaire si elle ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a) et si sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b). A l'instar du recourant, il faut considérer que les conditions de l'assistance judiciaire selon le nouveau droit de procédure civile (art. 117 CPC) ne sont pas différentes de celles prévues, en tant que garantie minimale, par l'art. 29 al. 3 Cst. (arrêt 4A_494/2011 du 1er novembre 2011 consid. 2.1). Par conséquent, c'est uniquement à l'aune de cette dernière norme qu'il y a lieu d'examiner le mérite du présent recours.
3.1 En vertu de l'art. 29 al. 3, 1ère phr. Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Selon la jurisprudence, un procès est dénué de chances de succès lorsque les perspectives de le gagner sont notablement plus faibles que les risques de le perdre et que, dès lors, elles ne peuvent être considérées comme sérieuses, de sorte qu'un plaideur raisonnable et aisé renoncerait à s'y engager en raison des frais qu'il serait exposé à devoir supporter; en revanche, il ne l'est pas lorsque les chances de succès et les risques d'échec s'équilibrent à peu près ou que les premières n'apparaissent que légèrement inférieures aux secondes (ATF 133 III 614 consid. 5 p. 616; 129 I 129 consid. 2.3.1 p. 135 s.). L'élément déterminant réside dans le fait que l'indigent ne doit pas se lancer, parce qu'il plaide aux frais de la collectivité, dans des démarches vaines qu'une personne raisonnable n'entreprendrait pas si, disposant de moyens suffisants, elle devait les financer de ses propres deniers (arrêt 5A_425/2009 du 13 août 2009 consid. 3.1).
La situation doit être appréciée à la date du dépôt de la requête (ATF 133 III 614 consid. 5 in fine p. 616) et sur la base d'un examen sommaire (ATF 124 I 304 consid. 4a p. 308 s.), sans toutefois instruire une sorte de procès à titre préjudiciel (ATF 124 I 304 consid. 2c p. 307). Le Tribunal fédéral examine librement si le droit à l'assistance judiciaire découlant de l'art. 29 al. 3 Cst. a été méconnu; dire quels sont les éléments d'appréciation pertinents et s'il existe des chances de succès sont des questions de droit que le Tribunal fédéral peut examiner librement. En revanche, il ne revoit que sous l'angle de l'arbitraire les constatations de fait de l'autorité cantonale (ATF 134 I 12 consid. 2.3).
3.2 Dans le cadre de la procédure d'appel contre le jugement de divorce du 3 juin 2011, le père reproche aux juges de première instance d'avoir réduit à tort son droit de visite à quatre semaines pendant les vacances scolaires, ainsi que d'avoir octroyé à son épouse une contribution d'entretien, à sa charge.
3.2.1 Dans un premier grief, le recourant critique le droit de visite qui lui a été accordé durant les vacances. Il considère que son droit de visite devait comprendre la moitié des vacances scolaires des enfants et que ce droit a injustement été réduit au motif qu'il n'a pas un droit de garde partagée, en raison du refus de son épouse. Le père estime qu'il ne doit pas être pénalisé par l'opposition de la mère à l'instauration de ce système de garde. Pour le surplus, il ne critique pas la répartition de son droit aux vacances par rapport aux vacances scolaires.
Le Juge délégué a constaté que, au vu des éléments à prendre en considération pour la fixation du droit de visite et aux vacances du parent non gardien, à savoir l'âge des enfants, la notion que l'enfant a du temps et la disponibilité des parents, l'appel du père sur cette question semblait présenter bien plus de risques d'être rejeté que de chances d'être admis. Le Juge délégué s'est fondé sur les constatations du Tribunal civil de l'arrondissement de la Sarine qui a prononcé le divorce des époux, dont il ressort que le père travaille à 100 % et que les vacances dont il bénéficie sont bien inférieures à la moitié des vacances scolaires des enfants, de sorte qu'il ne pourrait pas pleinement exercer son droit de visite pendant la moitié des vacances scolaires, compte tenu de ses disponibilités. Le juge précédent a également relevé que le droit de visite doit s'exercer de manière personnelle, de sorte qu'il importe peu que le père projette de s'arranger avec une tierce personne afin que celle-ci garde les enfants durant les semaines de vacances scolaires durant lesquelles il doit travailler, son organisation interne n'étant pas en cause. Le Juge délégué a également précisé que le bien des enfants joue un rôle prépondérant par rapport aux éventuels intérêts des parents. A cet égard, il a en substance considéré que le souhait du père de partir trois semaines en été dans son pays d'origine avec ses enfants n'était pas prioritairement dans leur intérêt - à tout le moins le recourant n'en faisait pas la démonstration dans son appel -, vu la notion que les enfants de cet âge ont du temps, ainsi que des disponibilités du père.
A la suite d'un examen sommaire de la cause, il apparaît, au regard des circonstances de l'espèce, que les juges du divorce ont accordé au père le droit de visite durant les vacances le plus étendu que celui-ci puisse exercer personnellement. Il résulte de ce qui précède que le juge cantonal n'a pas violé le droit en refusant l'octroi de l'assistance judiciaire au père, les conclusions de l'appel relatives au droit au vacances étant dénuées de toutes chances de succès.
3.2.2 Dans son second grief en appel, le recourant s'en prend à la contribution d'entretien de son épouse. Le recourant soutient que la mère bénéficie d'un solde disponible de 35 fr. par mois, charge fiscale comprise, et que la part du loyer afférant aux enfants n'a pas été déduite de la charge de loyer retenue pour la détermination du minimum vital de celle-ci. Il soutient en outre que le principe du "clean break" doit s'appliquer en l'espèce. Enfin, il considère que la mère doit être astreinte à augmenter son taux d'activité lucrative, dès lors que le père bénéficie d'un large droit de visite la déchargeant de la tâche de garde des enfants. Il requiert donc la suppression de la contribution d'entretien en faveur de son épouse.
Pour sa part, le Juge délégué relève que le tribunal du divorce s'est fondé sur les mêmes chiffres que ceux utilisés pour le calcul des pensions des enfants, que le recourant ne conteste d'ailleurs pas en instance d'appel, si ce n'est qu'il allègue à tort que la part au loyer des enfants n'avait pas été déduite. Selon ces calculs, la mère souffre alors d'un déficit mensuel de 402 fr. 15. Dans son examen sommaire, le Juge délégué n'a par conséquent pas examiné si le principe de l'indépendance des époux ("clean break") devait s'appliquer, ainsi que le soutient le recourant, dès lors que la mère souffre d'un déficit et que le père bénéficie d'un solde disponible après le paiement des contributions d'entretien des enfants.
En tant que le recourant entend se plaindre d'une constatation inexacte des faits s'agissant de la part de loyer afférant aux enfants, il faut en effet admettre que, sur cette question, l'appel est manifestement voué à l'échec, le tribunal du divorce ayant explicitement mentionné dans son arrêt avoir réduit le montant du loyer de la mère pour tenir compte de la part des enfants. Pour le surplus, il est manifeste à la lecture du jugement de divorce dont est appel, que le mariage a eu une influence concrète sur la situation financière de l'épouse, le mariage ayant duré plus de dix ans (5 août 1999 - séparation le 31 juillet 2010) et trois enfants étant issus de cette union. De surcroît, la mère a réduit son activité professionnelle à la naissance du benjamin. L'autorité parentale et la garde des enfants âgés de dix, huit et deux ans ayant été confiées à la mère, celle-ci ne saurait être contrainte de travailler à temps complet. Vu les constatations qui précèdent, il apparaît ainsi d'emblée que le mariage a eu un impact décisif sur les conditions d'existence de l'épouse, partant, qu'elle a droit, vu le principe de la solidarité entre époux, à une contribution d'entretien jusqu'à ce qu'elle puisse reprendre une activité lucrative à plein temps, à savoir a priori dès que l'enfant le plus jeune aura atteint l'âge de seize ans révolus, le 23 décembre 2024 (ATF 137 III 102 consid. 4.2.2.2 p. 109). C'est ainsi à raison que le juge précédent a considéré que les chances de succès de l'appel sur le principe de l'octroi d'une contribution d'entretien à l'épouse, que le recourant critique sans remettre en cause le montant attribué, apparaissent nettement inférieures au risque de succomber.
3.2.3 Vu ce qui précède, l'appréciation des chances de succès de l'appel ne requérait pas un examen approfondi, ni une pesée des intérêts en cause, de sorte que l'autorité précédente n'a pas eu à préjuger le cas pour statuer sur l'octroi de l'assistance judiciaire (ATF 124 I 304 consid. 4a p. 308 s.). En conséquence, il faut admettre que c'est à bon droit que le Juge délégué a rejeté la demande d'assistance judiciaire du père en ce qui concerne la procédure d'appel.
3.3 Concernant le rejet de sa requête d'assistance judiciaire présentée dans le cadre des mesures provisionnelles, le père reproche au Juge délégué d'avoir considéré que l'autorisation urgente qu'il a sollicitée était dénuée de chance de succès. Il estime à cet égard avoir obtenu partiellement gain de cause, ayant été autorisé à partir avec ses enfants du 25 juillet 2011 jusqu'à la nuit du 8 au 9 août 2011.
Le dispositif de la décision provisionnelle rendu le 19 juillet 2011 mentionne explicitement le rejet de la requête urgente du recourant. Celui-ci a requis à titre de mesures superprovisionnelles, l'octroi de trois semaines consécutives de vacances durant l'été (du 25 juillet au 15 août 2011), alléguant que "le jugement de divorce avait la souplesse nécessaire pour accorder trois semaines en été"; pour sa part, la mère a conclu au rejet de la requête déposée par le père, autrement dit au maintien du statu quo prévoyant deux semaines durant les vacances scolaires d'été. Le Juge délégué ayant reconnu au père le droit de prendre ses enfants pour deux semaines et lui ayant ordonné de ramener ses enfants à leur mère au plus tard dans la nuit du 15ème jour, la solution retenue confirme en définitive la répartition et le nombre de semaines de vacances attribuées au père par le jugement de divorce.
A la suite d'un examen sommaire, l'autorité précédente était en mesure de statuer sur la requête de mesures superprovisionnelles et a constaté à bon droit que les conclusions prises par le recourant étaient vouées à l'échec, entraînant ainsi le rejet de la demande d'assistance judiciaire pour cette procédure également.
4. En définitive, le recours doit être rejeté. Les conclusions du recourant étant dénuées de toute chance de succès, sa demande d'assistance judiciaire pour la procédure devant la cour de céans ne saurait être agréée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'autorité intimée, qui n'a au demeurant été invitée à se déterminer que sur la requête d'effet suspensif et a renoncé à formuler des observations (art. 68 al. 2 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1. Le recours est rejeté.
2. La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3. Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4. Le présent arrêt est communiqué au recourant et au Juge délégué de la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 6 janvier 2012
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Hohl
La Greffière: Carlin